Wikiversity dewikiversity https://de.wikiversity.org/wiki/Hauptseite MediaWiki 1.48.0-wmf.1 first-letter Medium Spezial Diskussion Benutzer Benutzer Diskussion Wikiversity Wikiversity Diskussion Datei Datei Diskussion MediaWiki MediaWiki Diskussion Vorlage Vorlage Diskussion Hilfe Hilfe Diskussion Kategorie Kategorie Diskussion Kurs Kurs Diskussion Projekt Projekt Diskussion TimedText TimedText talk Modul Modul Diskussion Veranstaltung Veranstaltung Diskussion 106 9722 1118710 1117185 2026-11-03T08:24:32Z Bert Niehaus 20843 /* Grundlagen */ 1118710 wikitext text/x-wiki {{Fachbereich|Mathematik}} [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|146px|mini|Kurs enthält [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] Audio-Folien]] Der Kurs Stochastik nutzt den [[Wiki2Reveal]] und den [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal Foliengenerator Wiki2Reveal], der direkt aus dem jeweiligen Wiki-Quelltext eine Präsentation erstellt, die man im Browser mit der Taste "F" in den Vollbildmodus (z.B. für die Nutzung direkt in der Vorlesung verwenden kann. Mit der Taste "C" (Comment) kann man die Folien im Browser auch beschreiben. Mit der Taste "B" (Blackboard) hat man zu jeder Folien eine digitale Tafel für handschriftliche Anmerkungen. Die Annotationen bleiben nur temporär für den jeweiligen Aufruf der Wiki2Reveal-Präsentation und nur in der eigenen Browsersitzung erhalten. Wenn andere Personen die Wiki2Reveal-Präsentation aufrufen, sehen diese die eigenen Annotationen nicht. Das Design von [[Wiki2Reveal]] sorgt dafür, dass jeder Aufruf eine eigene individuelle Annotationsumgebung im Browser besitzt und damit auch bei einem Reload die eigenen Annotationen aus Datenschutzgründen nicht mehr sichtbar sind. == Lernressourcen == * [[/Aufgaben Tutorium/]] * [[Stochastik Überblick]] von Thomas Rudolf Korn * [[/R-Befehle/]] für Übungen mit Wahrscheinlichkeitsverteilungen und Datenanalyse == Grundlagen == * [[/Sigma-Algebra/]] * '''[[Borelsche Sigma-Algebra|Borelsche Sigma-Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Borelsche%20Sigma-Algebra&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Borelsche%20Sigma-Algebra&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] für stetige Wahrscheinlichkeitsmaße * '''[[Wahrscheinlichkeitsraum]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Wahrscheinlichkeitsraum&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Eigenschaften von Wahrscheinlichkeitsmaßen]] ** [[Messraum]] ** [[induziertes Wahrscheinlichkeitsmaß]] ** [[Kurs:Stochastik/Siebformel|Siebformel]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Siebformel&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Siebformel&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Zufallsvariable|Zufallsvariable]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Zufallsvariable&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zufallsvariable&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kombinatorik]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kombinatorik&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kombinatorik&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] wird z.B. benötigt, um die Anzahl in der Grundmenge <math>\Omega</math> zu bestimmen oder auch in der Definition von W-Verteilungen (z.B. [[/Binomialverteilung/]]) * '''[[Diskrete und stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen|Diskrete und stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Diskrete%20und%20stetige%20Wahrscheinlichkeitsverteilungen&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=no&shorttitle=Diskrete%20und%20stetige%20Wahrscheinlichkeitsverteilungen&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/diskrete Verteilung/]] ** [[Kurs:Stochastik/stetige Verteilung|Stetige Verteilung]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Stetige%20Verteilung&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurs:Stochastik/Stetige%20Verteilung&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Stochastik/Wahrscheinlichkeitsdichte|Wahrscheinlichkeitsdichte]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Wahrscheinlichkeitsdichte&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wahrscheinlichkeitsdichte&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Verteilungsfunktion/]] ** [[Kurs:Stochastik/P-fast sicher|P-fast sicher]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/P-fast%20sicher&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=P-fast%20sicher&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Diskrete Wahrscheinlichkeitsräume|Diskrete Wahrscheinlichkeitsräume]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Diskrete%20Wahrscheinlichkeitsr%C3%A4ume&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=no&shorttitle=Diskrete%20Wahrscheinlichkeitsr%C3%A4ume&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Bedingte Wahrscheinlichkeit]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Bedingte%20Wahrscheinlichkeit&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=no&shorttitle=Bedingte%20Wahrscheinlichkeit&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Definition|Definition - bedingte Wahrscheinlichkeit]] ** [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Zerlegungssatz|Zerlegungssatz]] ** [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Satz_von_Bayes|Satz von Bayes]] ** [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Satz_totale_Wahrscheinlichkeit|Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit]] ** [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Produktformel|Produktformel]] * '''[[Stochastische Unabhängigkeit]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Stochastische%20Unabh%C3%A4ngigkeit&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=no&shorttitle=Stochastische%20Unabh%C3%A4ngigkeit&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Momente|Erwartungswert und Momente]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Momente&author=Kurs%3A+Stochastik&audioslide=no&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Linearität Erwartungswert/]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Linearit%C3%A4t%20Erwartungswert&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=no Foliensatz]) **[[/Gleitender Mittelwert/]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Gleitender+Mittelwert&author=Kurs%3A+Stochastik&audioslide=no&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Stochastik/Varianz|Varianz]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Varianz&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Varianz&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Stochastik/Kovarianz|Kovarianz]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Kovarianz&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kovarianz&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Stochastik/Erzeugende Funktionen|Erzeugende Funktionen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Erzeugende%20Funktionen&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Erzeugende%20Funktionen&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Borelsche Sigma-Algebra|Borelsche Sigma-Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Borelsche%20Sigma-Algebra&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Borelsche%20Sigma-Algebra&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Räumliche Wahrscheinlichkeitsdichten aus diskreten Daten/]] == Zufallsexperimente == * '''[[Kurs:Stochastik/Zufallsexperiment|Zufallsexperiment]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Zufallsexperiment&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=no&shorttitle=Zufallsexperiment&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Stochastik/Verteilungsfunktion|Verteilungsfunktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Verteilungsfunktion&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Verteilungsfunktion&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Stochastik/Eigenschaften Verteilungsfunktion|Eigenschaften Verteilungsfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Eigenschaften%20Verteilungsfunktion&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Eigenschaften%20Verteilungsfunktion&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Konvergenz von Verteilungsfunktionen/]] * [[/Nullmenge/]] === Diskrete Zufallsexperimente === * [[/Bernoulli-Experiment/]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Bernoulli-Experiment&author=Kurs%3A+Stochastik&audioslide=no&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Galtonbrett/]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Galtonbrett&author=Kurs%3A+Stochastik&audioslide=no&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Binomialverteilung/]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Binomialverteilung&author=Kurs%3A+Stochastik&audioslide=no&language=de Foliensatz]) * [[/Negative Binomialverteilung/]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Negative%20Binomialverteilung&author=Kurs%3A+Stochastik&audioslide=no&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/hypergeometrische Verteilung/]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/hypergeometrische%20Verteilung&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=no Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/multivariate hypergeometrische Verteilung/]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/multivariate%20hypergeometrische_Verteilung&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=no Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Poisson-Verteilung|Poisson-Verteilung]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Poisson-Verteilung&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Poisson-Verteilung&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Stetige Zufallsexperimente === * '''[[Glockenkurve|Glockenkurve]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Glockenkurve&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Glockenkurve&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Stochastik/Normalverteilung|Normalverteilung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Normalverteilung&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Normalverteilung&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Stetige Gleichverteilung|Stetige Gleichverteilung bzw. Rechteckverteilung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Stetige%20Gleichverteilung&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stetige%20Gleichverteilung&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[w:de:Dreiecksverteilung|Dreiecksverteilung]] * '''[[Exponentialverteilung|Exponentialverteilung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Exponentialverteilung&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Exponentialverteilung&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Cauchy-Verteilung|Cauchy-Verteilung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Cauchy-Verteilung&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Verteilung&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] == Gesetze der großen Zahlen == <span id="Konvergenzbegriffe"><span> * [[/Unfaire Münze/]] * [[/Faltung/|Summenverteilung - Faltung von Wahrscheinlichkeitsverteilungen]] * '''[[/Konvergenzeigenschaften/]]''' ** [[Kurs:Stochastik/fast sichere Konvergenz|P-fast sichere Konvergenz]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/fast%20sichere%20Konvergenz&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=fast%20sichere%20Konvergenz&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit/]] ** [[Konvergenz nach Verteilung]] ** [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe]] * '''[[Kurs:Stochastik/Tschebyscheffsche Ungleichung|Tschebyscheffsche Ungleichung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Tschebyscheffsche%20Ungleichung&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Tschebyscheffsche%20Ungleichung&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Stochastik/Gesetz der großen Zahlen|Gesetze der großen Zahlen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Gesetz%20der%20gro%C3%9Fen%20Zahlen&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurs:Stochastik/Gesetz%20der%20gro%C3%9Fen%20Zahlen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Stochastik/Schwaches Gesetz der großen Zahlen|Schwaches Gesetz der großen Zahlen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Schwaches%20Gesetz%20der%20gro%C3%9Fen%20Zahlen&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Schwaches%20Gesetz%20der%20gro%C3%9Fen%20Zahlen&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Stochastik/Starkes Gesetz der großen Zahlen|Starkes Gesetz der großen Zahlen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Starkes%20Gesetz%20der%20gro%C3%9Fen%20Zahlen&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Starkes%20Gesetz%20der%20gro%C3%9Fen%20Zahlen&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Stochastik/fast sichere Konvergenz|P-fast sichere Konvergenz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/fast%20sichere%20Konvergenz&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=fast%20sichere%20Konvergenz&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Grenzwertsätze]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Grenzwertsätze&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=no Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Approximation Binomialverteilung/]] ** [[/Zentraler Grenzwertsatz/]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Zentraler_Grenzwertsatz&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=no Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Hypothesentest]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Hypothesentest&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=no Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Allgemeine Wahrscheinlichkeitstheorie]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Allgemeine_Wahrscheinlichkeitstheorie&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=no Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf Vektorräumen === * [[Multivariate Statistik]] ** [[/multivariate hypergeometrische Verteilung/]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/multivariate_hypergeometrische_Verteilung&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=no Foliensatz]) * '''[[Kurs:Stochastik/Zufallsvariablen für Vektorräume|Zufallsvariablen für Vektorräume]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Zufallsvariablen%20f%C3%BCr%20Vektorr%C3%A4ume&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=no&shorttitle=Zufallsvariablen%20f%C3%BCr%20Vektorr%C3%A4ume&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Texterzeugung und Textanalyse === * '''[[Kurs:Stochastik/Stochastik auf Texten|Stochastik auf Texten]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Stochastik%20auf%20Texten&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stochastik%20auf%20Texten&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Textanalyse und Textgenerierung/Rangordnung|Rangordnung von Texten]] * [[Textanalyse und Textgenerierung/Tippfehler und Ähnlichkeitsmaße/|Tippfehler und Ähnlichkeitsmaße]] * [[Textanalyse und Textgenerierung/Kryptoanalyse und Stochastik|Kryptoanalyse und Stochastik]] * [[Textanalyse und Textgenerierung/syntaktische Struktur|syntaktische Struktur und Grammatik]] * [[Textanalyse und Textgenerierung/Vorhersage von Textfragmenten|Vorhersage von Textfragmenten]] * '''[[Kurs:Stochastik/Stochastische Netze|Stochastische Netze]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Stochastische%20Netze&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stochastische%20Netze&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Textanalyse und Textgenerierung/Graphen von Textfragmenten|Graphen von Textfragmenten]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Textanalyse%20und%20Textgenerierung/Graphen%20von%20Textfragmenten&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Graphen%20von%20Textfragmenten&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Textanalyse und Textgenerierung/Wege in Graphen|Wege in Graphen aus Textfragmenten]] * [[Textanalyse und Textgenerierung/stochastische Textgenerierung|stochastische Textgenerierung]] * [[Textanalyse und Textgenerierung/interaktive Textgenerierung|interaktive Textgenerierung]] == Mathematik und Nachhaltigkeit == * [[Geplante Obsoleszenz]] - Stochastik, mittlere Lebensdauer und die Identifikation von kurzlebigen Produkten, die nicht ressourcenschonend produziert wurden. == Literatur / Skripte == <references/> == Siehe auch == * [[COVID-19/Mathematische Modellbildung]] * [[w:de:Formelsammlung Stochastik|Formelsammlung Stochastik]] * [[Graph einer Funktion]] * [[v:en:KnitR|KnitR]] * [[Kurs:Didaktik der Stochastik für Lernumgebungen]] * [[Kurs:Statistik für Anwender]] * [[w:de:Stochastik|Stochastik]] * [[Textanalyse und Textgenerierung]] * [[Wiki2Reveal]] mit [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal Foliengenerator für Wiki2Reveal] [[Kategorie:Stochastik]] [[Kategorie:Wiki2Reveal]] c2sm75let31cv4acbwoa68h0iqpu6gq 0 101035 1118627 1118614 2026-11-02T12:07:00Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1118627 wikitext text/x-wiki ==Einführung und Beispiele== [[w:Stochastik|Stochastik]] = [[w:Wahrscheinlichkeitstheorie|Wahrscheinlichkeitstheorie]] + [[w:Mathematische Statistik|Statistik]]<br> In der Stochastik werden Vorgänge untersucht, deren Ablauf vom Zufall (mit-)bestimmt wird. Sofern sie einer [[Wahrscheinlichkeitsraum|objektiven Beschreibung]] zugänglich sind, werden diese im Folgenden [[w:Zufallsexperiment|Zufallsexperiment]] genannt. === Beispiele Zufallsexperiment === * (B1) Geschlecht eines Neugeborenen <math>\Omega_1 := \{ m,w, d\} </math>, * (B2) Gewicht eines Neugeborenen in Gramm <math>\Omega_2 := \{1,\ldots , 6000\}</math>, * (B3) Anzahl der Würfe bis zur ersten 6 mit <math>\Omega_3 := \mathbb{N} </math> * (B4) Entnahme und Prüfung von Bauteilen (defekt/ in Ordnung) z.B. von 100 Glühbirnen aus einer Tagesproduktion <math>\Omega_4 := \{0,1\}^{100} </math> (0=defekt, 1=OK) * (B5) Augensumme beim Werfen von 3 Würfeln <math>\Omega_5:=\{3,\ldots , 18 \}</math> === Zufallsexperiment und mathematisches Modell === Wahrscheinlichkeitstheorie stellt für ein Zufallsexperiment unter Abzug der inhaltlichen Bedingungen (Abstraktion) ein [[w:mathematisches Modell|mathematisches Modell]] auf. Konkrete Fragestellungen können dann auf der Ebene dieses Modells bearbeitet werden. == Ergebnisraum, Ereignisse, Wahrscheinlichkeit == Alle möglichen [[w:Ergebnis (Stochastik)|Ergebnisse]] (Werte), die bei der Durchführung eines Zufallsexperimentes auftreten können, werden zum [[Ergebnisraum|Ergebnisraum]] (Grundmenge) <math>\Omega</math> zusammen gefasst. Jedes [[w:Element (Mathematik)|Element]] <math>\omega \in \Omega</math> heißt Ergebnis oder Realisation. <math>\Omega</math> wird vor der Durchführung des Zufallsexperiments festgelegt. === Beispiele Ergebnisraum === * (B1) Geschlecht eines Neugeborenen: <math>\Omega = \{m,w\} </math>, mögliches Ergebnis <math>\omega = m </math> * (B2) Gewicht eines Neugeborenen in Gramm: <math>\Omega = \{1, 2,..., 10000\}</math>, mögliches Ergebnis <math>\omega = 2731 [g] </math> * (B3) 900-maliges Würfeln mit Auszählen der gewürfelten Sechser: <math>\Omega = \{0, 1,..., 900\}</math>, mögliches Ergebnis <math>\omega = 138 </math> * (B4) Prüfung von 100 Glühbirnen: <math>\Omega = \{0, 1,..., 100\}</math>, mögliches Ergebnis <math>\omega = 12 </math> Glühbirnen defekt bei Überprüfung von 100 Glühbirnen. * (B5) Anzahl der Augen (1,..,6) beim Werfen eines Würfels <math>\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}</math>, mögliches Ergebnis <math>\omega = 2 </math> === Alternative Festlegung des Ergebnisraum === Je nach Fragestellung / Interessenslage sind unterschiedliche Festlegungen von <math>\Omega</math> möglich.<br> Falls in (B3) die maximale Länge von '1er', '2er', ... , '6er' Sequenzen interessiert, so setzt man <math>\Omega=\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}^{900}</math>. Ein mögliches Ergebnis wäre dann <math>\omega= (\underbrace{5, 6 , 1, 3,..., 6}_{900 \ mal}) \ \in \ \ \Omega</math>. === Ereignis === Häufig interessiert weniger das genaue Ergebnis <math>\omega</math> eines Zufallsexperiments, sondern mehr die Frage, ob die Realisation eine bestimmte Eigenschaft besitzt bzw. ob ein bestimmtes [[w:Ereignis (Wahrscheinlichkeitstheorie)|Ereignis]] eingetreten ist.<br> Die Ereignisse eines Zufallsexperimentes sind die Teilmengen der Grundmenge <math>\Omega</math>. 'Ereignis <math>A \subset \Omega</math> tritt ein' besagt, dass <math>\omega \in \Omega</math> als Ereignis eingetreten ist. === Unterschied: Ergebnis Ereignis === Sei <math>\Omega</math> der Ergebnisraum eines Zufallsexperiments <math>(\Omega,\mathcal{S},P)</math>, dann gilt: * <math>\omega \in \Omega</math> ist ein Ergebnis * <math>A \subset \Omega</math> ist ein Ereignis, wenn <math>A \in \mathcal{S} \subset \wp(\Omega)</math> ist ein Ereignis.<br> Ereignisse sind also Teilmengen von <math>\Omega</math>. ====Beispiel==== Bei einem Würfelexperiment ist ein Ergebnis <math>6\in \Omega</math>. Ein Ereignis "gerade Zahl gewürfelt" entspricht dann z.B. die Teilmenge <math>A:=\{2,4,6\} \subset \wp(\Omega)</math> === Bezeichnungen von Ereignissen (1)=== Seien <math> A, B \subset \Omega </math> Ereignisse, so bedeutet * <math> \overline{A} = \Omega \setminus A </math>: Komplementärereignis oder Gegenereignis von A ('A ist nicht eingetreten'). * <math> A \cup B </math>: Oder-Ereignis ('A und/ oder B ist/ sind eingetreten'). * <math> A \cap B </math>: Und-Ereignis ('A und B sind eingetreten'). * <math> \emptyset </math>: Unmögliches Ereignis. * <math> \Omega </math>: Sicheres Ereignis/Ergebnisraum (bzw. Grundmenge). * <math> \{\omega\} </math>: Elementarereignis, falls <math> \omega \in \Omega</math> ein Ergebnis ist. === Bezeichnungen von Ereignissen (2)=== * <math>\wp(\Omega)</math>: [[w:Potenzmenge|Potenzmenge]] von <math>\Omega</math> - Menge aller Teilmengen. * <math> w \in \Omega </math>: Ergebnis (Realisation). * <math> \mathcal{S} (\Omega)</math>: <math>\sigma</math>-Algebra, <math>A \in \mathcal{S} (\Omega)</math>, <math>[ A \subset \Omega ] </math> Ereignis. * <math> P(A) </math>: Wahrscheinlichkeit von <math> A </math>, <math> P </math> Wahrscheinlichkeitsverteilung über <math> \Omega </math> (genauer <math> \mathcal {S} (\Omega) </math>). * <math> (\Omega, \mathcal{S} (\Omega), P)</math>: bildet ein mathematisches Modell für ein Zufallsexperiment (alternativ: <math> (\Omega, \mathcal{S}, P)</math>, wenn der Bezug zum Ergebnisraum <math>\Omega</math> klar ist). == Siehe auch == * [[stetige Verteilung|stetiges Wahrscheinlichkeitsmaß]] * [[Wahrscheinlichkeitsraum]] * [[w:de:Zufallsexperiment|Zufallsexperiment]] === Kurse === * [[Kurs:Stochastik]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] == Seiten-Information == Der '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Diskrete_Wahrscheinlichkeitsräume&author=Kurs+Stochastik&language=de Foliensatz]''' wurde für den '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Stochastik Kurs:Stochastik]''' erstellt. * Inhalte der Seite basieren auf: ** [[Wikipedia:Wahrscheinlichkeitsraum]] * Diese Seite ist eine [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] Dokumententyp * Quelle: Wikiversity DE https://de.wikiversity.org/wiki/Diskrete_Wahrscheinlichkeitsräume <!-- * Nächste Inhalte des Kurses sind [[Beispiele Diskrete Wahrscheinlichkeitsräume]] --> pa6tg7ax1471tr92rc4ftzvcc530mm0 0 101886 1118767 1117196 2026-11-03T11:00:50Z Bert Niehaus 20843 /* Definition - Messraum */ 1118767 wikitext text/x-wiki == Einführung == Ein [[Wahrscheinlichkeitsraum#Definition|Wahrscheinlichkeitsraum]] in der [[Kurs:Stochastik|Stochastik]] oder [[w:de:Wahrscheinlichkeitstheorie|Wahrscheinlichkeitstheorie]]besteht aus einem Tripel <math>( \Omega,\mathcal{S}, P ) </math>, wobei * <math>\Omega</math> die Menge aller möglichen Ergebnisse des Zufallsexperimentes (<math>\Omega = \{1,2,3,4,5,6\}</math> Würfelwurf) * <math>\mathcal{S}</math> als Mengensystem von Teilmengen von Omega als die Menge alle Ereignisse (z.B. <math>\mathcal{S} \subseteq \wp(\Omega) </math> ) und * <math> P: \mathcal{S} \rightarrow [ 0,1 ] </math> die Funktion ist, die jeder messbaren Menge <math> A \in \mathcal{S} </math> eine Wahrscheinlichkeit <math> P(A) </math> zuordnet (z.B. <math>P(A)=\frac{1}{2} </math> mit <math>A:=\{1,3,5\}</math>). [[Datei:Audio de 0 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Einleitung]] <span id="Ergebnis"></span><span id="Ereignis"></span> <span id="Ergebnis"></span><span id="Ereignis"></span> == Ergebnis - Ereignis == * '''(Ergebnis)''' Elemente <math>\omega \in \Omega</math> nennt man Ergebnisse eines Zufallsexperimentes. Z.B. besagt das Ergebnis <math>\omega = 3</math> bei einem einmaligen Würfelwurf mit <math> \Omega = \{1,2,3,4,5,6\}</math>, dass die Zahl 3 gewürfelt wurde. * '''(Ereignis)''' Elemente <math>A \in \mathcal{S}</math> aus einer <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] sind dagegen Mengen von einzelnen Ergebnissen, deren Zusammenfassung man als ''"Ereignis"'' bezeichnet. Das Ereignis ''"gerade Zahl gewürfelt"'' kann man als Menge <math>A=\{2,4,6\}</math> formal beschreiben. Alle <math>A \in \mathcal{S}</math> aus der <math>\sigma</math>-Algebra nennt man [[messbare Abbildung|messbare Mengen]], denen man später mit einem [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] eine Wahrscheinlichkeit <math>P(A) </math> zuordnen kann. == Bemerkung - Maßproblem == Es kann [[w:de:Maßproblem#Unlösbarkeit_des_Maßproblems|gezeigt werden]], dass man auf <math>\mathbb{R}</math> bzw. allgemeiner <math> \mathbb{R}^n</math> nicht allen Teilmengen <math>A\subseteq \mathbb{R}^n</math> mit einem positiven, <math>\sigma</math>-additiven, normierten und translationsinvarianten Maß <math>\mu</math> eine Wahrscheinlichkeit zuordnen kann. dass u.a. Strecken deren Länge, Flächen deren Flächeninhalt bzw. allgemeine Mengen <math>A\subseteq \mathbb{R}^n</math> das Volumen zuordnet. Als Konsequenz schränkt man die Mächtigkeit der Potenzmenge über die Definition der <math>\sigma</math>-Algebra ein. <span id="Sigma-Algebra"></span> == Definition - Sigma-Algebra == Sei <math>\Omega \not= \emptyset</math>. Ein Teilmenge <math>\mathcal{S}</math> der Potenzmenge <math>\wp(\Omega) </math> heißt <math>\sigma</math>-Algebra, wenn folgende Bedingungen gelten: * <math>\Omega \in \mathcal{S}</math> * <math>A \in \mathcal{S} \Longrightarrow A^c = \Omega \setminus A \in \mathcal{S}</math> * <math>A_n \in \mathcal{S}</math> für alle <math>n \in \mathbb{N}</math>, dann gilt <math>\bigcup_{n \in \mathbb{N}}A_n \in \mathcal{S}</math> [[Datei:Audio de 1 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Sigma-Algebra]] ===Anmerkung === Die Struktur der <math>\sigma</math>-Algebra ist Grundlage für die Definition der Eigenschaften des Wahrscheinlichkeitsmaßes und dessen [[w:de:Wohldefiniertheit|Wohldefiniertheit]]. <span id="Messraum"></span> == Definition - Messraum == Sei <math>\Omega \not= \emptyset</math> und <math>\mathcal{S}</math> eine <math>\sigma</math>-Algebra über <math>\Omega</math>, dann heißt <math>(\Omega, \mathcal{S})</math> ein Messraum. Die Elemente <math>A \in \mathcal{S}</math> heißen ''messbare'' Mengen. [[Datei:Audio de 2 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Messraum]] <span id="messbare_Menge"></span> === Bemerkung - messbare Mengen === Beliebige Teilmengen <math>A\subset\mathbb{R}</math> sind wegen des [[w:de:Maßproblem#Unloesbarkeit|Maßproblems]] nicht notwendig messbar. Die Einschränkung der Potenzmenge <math>\wp(\mathbb{R})</math> auf die [[Borelsche Sigma-Algebra]] <math>\mathcal{B}(\mathbb{R})</math> über <math>\mathbb{R}</math> löst diese Problem. Man verliert allerdings die Eigenschaft, dass man beliebigen Teilmengen von <math>A\subset\mathbb{R}</math> ein Maß zuordnen kann. Daher nennt man die Mengen <math>A\in \mathcal{S}</math> auch die "messbaren Mengen". <span id="Ergebnisraum"></span><span id="Ereignisraum"></span> === Bemerkung - Ergebnisraum - Ereignisraum === In der [[Kurs:Stochastik|Wahrscheinlichkeitstheorie]] nennt man <math>\Omega</math> [[Ergebnis (Stochastik)|Ergebnisraum]] und [[Ereignis (Stochastik)|Ereignisraum]]. Beim eine [[w:de:Zufallsexperiment|Würfelexperiment]] ist 4 eine [[Ergebnis (Stochastik)|Ergebnis]] und <math>A=\{2,4,6\}\in \mathcal{S}</math> das Ereignis, dass eine ''gerade Zahl'' gewürfelt wurde. == Aufgaben == Die folgenden Aufgaben haben die angegebenen Lernziele: * Aufgabe 1 ist eine Übung, bei der man ein Mengensystem minimal so erweitern soll, dass es die Eigenschaft eine <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] besitzt. * Aufgabe 2 beschäftigt sich mit dem Erzeuger der [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelschen-Sigma-Algebra]] und Einpunktmengen. === Aufgabe 1 === Sei <math>\Omega \not= \emptyset</math> und <math>\mathcal{S}' \subseteq \wp(\Omega)</math>. Ziel der Aufgabe ist es, <math>\mathcal{S}' \subseteq \wp(\Omega)</math> so zu <math>\mathcal{S} \subseteq \wp(\Omega)</math> zu erweitern, dass <math>(\Omega,\mathcal{S})</math> ein Messraum ist. * Sei <math>\Omega := \{1,2,3,4,5,6\}</math> und <math>\mathcal{S}' := \{ \Omega, \{1,2\},\{5,6\} \}</math>. Ergänzen Sie Menge <math>\mathcal{S}'</math> minimal so zu <math>\mathcal{S}</math>, dass <math>\mathcal{S}</math> eine <math>\sigma-</math>Algebra ist. [[Datei:Audio de 3a wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Aufgabe 1]] === Aufgabe 2 === Die Borelsche <math>\sigma-</math>Algebra von den abgeschlossenen Intervallen <math>\mathcal{E}:= \{[a,b] | a,b \in \mathbb{R} \wedge a < b \}</math> erzeugt: * Begründen Sie mit dem Erzeuger der <math>\mathcal{E}</math> und den Eigenschaften einer <math>\sigma</math>-Algebra, dass <math>\{x\} \in \mathcal{B}</math> auch alle Einpunktmengen <math>\{x\} \in \mathcal{B}</math> enthält. [[Datei:Audio de 3b wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Aufgabe 2]] <span id="Definition"> == Defintion - Wahrscheinlichkeitsverteilung == Sei <math>( \Omega,\mathcal{S} ) </math> ein [[Messraum]] und eine Abbildung <math>P:\mathcal{S} \longrightarrow \mathbb{R}</math> gegeben, die folgende Eigenschaften besitzt: * '''(Nichtnegativität)''' <math>P(A)\geq 0</math> für alle <math>A \in \mathcal{S}</math> * '''(Normiertheit)''' <math>P(\Omega)=1</math> * '''(<math>\sigma</math>-Additivität)''' <math>A_n \in \mathcal{S}</math> für alle <math>n \in \mathbb{N}</math> und [[w:de:disjunkt|paarweise disjunkt]] folgt: <math>P\left(\bigcup_{n\in \mathbb{N}} A_n \right) = \sum_{n\in \mathbb{N}} P\left( A_n \right)</math>. <br> <math>P</math> nennt man dann '''''Wahrscheinlichkeitsmaß''''' bzw. '''''Wahrscheinlichkeitsverteilung''''' auf <math>( \Omega,\mathcal{S} ) </math> [[Datei:Audio de 7 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Definition W-Maß]]. <span id="Wahrscheinlichkeitsraum"></span> == Defintion - Wahrscheinlichkeitsraum == Sei <math>( \Omega,\mathcal{S} ) </math> ein [[Messraum]] und <math>P:\mathcal{S} \longrightarrow \mathbb{R}</math> ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] gegeben, dann nennt man <math>( \Omega,\mathcal{S}, P ) </math> '''''Wahrscheinlichkeitsraum'''''. <span id="EigenschaftWMass"></span> == Weitere Eigenschaften des Wahrscheinlichkeitsmaßes == * <math>0 \leq P(A) \leq 1</math> * <math>P(\emptyset) = 0</math> * <math>P(\Omega \setminus A) = 1-P(A)</math> * <math>P(A \setminus B) = P(A) - P(B)</math> falls <math>B \subseteq A</math> * <math>P(A \cup B) = P(A)+P(B)-P(A \cap B)</math> * Gilt <math>A \subseteq B</math>, so folgt <math>P(A) \leq P(B)</math>. === Aufgabe 1=== Beweisen Sie die obigen Aussagen durch Anwendung der Eigenschaften eines Wahrscheinlichkeitsraumes. === Aufgabe 2=== Vergleichen Sie die Eigenschaften der <math>\sigma</math>-Algebra mit den erweitereten Eigenschaften des [[Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaßes]]. Welche Parallelen stellen Sie fest? Gemeint sind Eigenschaften einer <math>\sigma</math>-Algebra, die notwendig sind, damit man das [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] <math>P</math> überhaupt auf der <math>\sigma</math>-Algebra definieren kann. <span id="messbare_Abbildung"> == Definition - Messbare Abbildung == Seien <math>(\Omega_1, \mathcal{S}_1)</math> und <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)</math> [[Messraum|Messräume]]. Eine Abbildung <math>X: \Omega_1 \longrightarrow \Omega_2</math> heißt <math>(\mathcal{S}_1,\mathcal{S}_2)</math>-messbar, wenn gilt: :<math>\forall_{B \in \mathcal{S}_2} \ : \ X^{-1}(B) \in \mathcal{S}_1 </math> === Bemerkung - Zufallsgröße === Wenn zusätzlich auf <math>(\Omega_1, \mathcal{S}_1)</math> ein [[#Definition|Wahrscheinlichkeitsraum]] <math>(P_1,\Omega_1, \mathcal{S}_1)</math> ist, dann nennt man <math>X</math> [[Zufallsgröße]]. Über die Zufallsgröße wird dann auch eine Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>P_2</math> auf dem [[Messraum]] <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)</math> über <math>P_2(B) := P_1(X^{-1}(B))</math> induziert. <span id="induzierte_Wahrscheinlichkeitsverteilung"></span> <span id="induziertes_Wahrscheinlichkeitsmaß"></span> == Definition - Induzierte Wahrscheinlichkeitsverteilung == Sei <math>X: \Omega_1 \longrightarrow \Omega_2</math> eine [[messbare Abbildung]], dann nennt man die durch <math>X</math> erzeugte Abbildung <math>P^X:\mathcal{S}_2 \to \mathbb{R}</math> die von dem [[Messraum]] <math>(\Omega_1, \mathcal{S}_1)</math> auf den Messraum <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)</math> induzieren Wahrscheinlichkeitsverteilung mit: :<math>P^X(B):= P(X^{-1}(B))</math> für alle <math>B \in \mathcal{S}_2</math>. <br> [[Datei:Audio de 5 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Induzierte W-Verteilung]] == Lemma - Induzierte Verteilung == Sei <math>(\Omega_1,\mathcal{S}_1, P)</math> ein [[Wahrscheinlichkeitsraum#Definition|Wahrscheinlichkeitsraum]], <math>X: \Omega_1 \longrightarrow \Omega_2</math> eine [[messbare Abbildung]] und <math>P^X:\mathcal{S}_2 \to \mathbb{R}</math> die von dem [[Messraum]] <math>(\Omega_1, \mathcal{S}_1)</math> auf den Messraum <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)</math> induzieren Wahrscheinlichkeitsverteilung, dann ist die induzierte Verteilung <math>P^X:\mathcal{S}_2 \to \mathbb{R}</math> eine [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] auf dem Messraum <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)</math>. === Aufgabe - Beweis des Lemma induzierte Verteilung === Beweisen Sie das Lemma zu induzierten Verteilungen als Übungsaufgaben, indem Sie die Axiome (P1), (P2) und (P3) eines [[Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaßes]] nachweisen. == Beispiel == Seien <math>(\Omega_1, \mathcal{S}_1)</math> und <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)</math> als Messräume wie folgt definiert: * <math>\Omega_1 := \{1,2,3,4,5,6\}^2</math> zweimaliges Würfeln mit <math>\mathcal{S}_1 := \wp(\Omega_1)</math> (Potenzmenge von <math>\Omega_1</math>). * <math>\Omega_2 := \mathbb{R}</math> mit <math>\mathcal{S}_2 := \mathcal{B}(\mathbb{R})</math> ([[w:de:Borelsche σ-Algebra|Borelsche <math>\sigma</math>-Algebra]]). * <math>X(w_1,w_2):= w_1+w_2 </math> für alle <math>(w_1,w_2) \in \Omega_1 := \{1,2,3,4,5,6\}^2</math> Bestimmen Sie mit <math>X: \Omega_1 \longrightarrow \Omega_2</math> die Menge <math>B:=\{1,\, 4\}\subset \Omega_2</math> die Menge <math>X^{-1}(B)=X^{-1}(\{1,\, 4\}) \subseteq \Omega_1</math>! [[Datei:Audio de 6 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Beispiel: Messbare Abbildung]] <span id="Wahrscheinlichkeitsmaß"></span> <span id="Definition"><span> <span id="Wahrscheinlichkeitsmaß"></span><span id="Wahrscheinlichkeitsverteilung"></span> <span id="Definition"></span><span id="SigmaAdditivitaet"></span> == Reellwertige Zufallsgröße == Sei <math>(\Omega_1, \mathcal{S}_1, P_1)</math> ein [[Wahrscheinlichkeitsraum#Definition|Wahrscheinlichkeitsraum]] und <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)=(\mathbb{R}, \mathcal{B})</math> die [[w:de:Borelsche σ-Algebra|Borelsche <math>\sigma</math>-Algebra]], dann nennt man die <math>(\mathcal{S}_1,\mathcal{B})</math>-[[messbare Abbildung]] <math>X:\Omega_1 \to \mathbb{R}</math> eine (eindimensionale) Zufallsgröße. '''Bemerkung:''' Die [[messbare Abbildung|Messbarkeit]] von <math>X</math> sorgt dafür, dass <math>P</math> auch auf den Mengen <math>X^{-1}(B)\in \mathcal{S}_1</math> definiert ist. Damit kann man dann eine [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] auf <math>(\mathbb{R}, \mathcal{B})</math> erzeugen. == Induzierte reellwertige Wahrscheinlichkeitsverteilung == Sei <math>(\Omega,\mathcal{S},P)</math> ein Zufallsexperiment und <math>X:\Omega \rightarrow \mathbb{R}</math> eine [[Zufallsgröße]] auf dem [[Messraum]] <math>(\Omega,\mathcal{S})</math>. Die induzierte Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>P_X</math> ist dann mit <math>\mathcal{B}</math> als [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelsche]] <math>\sigma</math>[[Borelsche Sigma-Algebra|-Algebra]] wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rccl} P_X : & \mathcal{B}(\mathbb{R}) & \rightarrow & [0,1] \\ & B & \mapsto & P_X(B) := P(\underbrace{X^{-1}(B)}_{\in \,\mathcal{S}}) \end{array} </math> Das [[w:de:Tupel|Triple]] <math> (\mathbb{R},\mathcal{B},P_X) </math> nennt man eine induzierte [[Wahrscheinlichkeitsverteilung|W-Verteilung]] der [[Zufallsgröße]] <math>X:\Omega \rightarrow \mathbb{R}</math><br/> [[Datei:Audio de 8 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Reellwertige induzierte W-VT]] = Siehe auch = * [[Eigenschaften von Wahrscheinlichkeitsmaßen]] * [[Kurs:Stochastik]] * [[Glockenkurve]] und stetige Wahrscheinlichkeitsdichten * [[Nullmenge]] * [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe]] * [[Zufallsgröße]] * [[w:de:Zufallsvektor|Zufallsvektor]] * [[Zufallsfolge]] = Seiteninformation = Der '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Wahrscheinlichkeitsraum&author=Stochastik&language=de&audioslide=yes Foliensatz]''' wurde für den '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Stochastik Kurs:Stochastik]''' mit [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] über den [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Linkgenerator] erstellt. * Inhalte der Seite basieren auf: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Wahrscheinlichkeitsraum https://de.wikipedia.org/wiki/Wahrscheinlichkeitsraum] * Diese Seite ist eine [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] Dokumententyp * Quelle: Wikiversity DE https://de.wikiversity.org/wiki/Wahrscheinlichkeitsraum * siehe [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] zur Funktionsweise von [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal]. [[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsverteilung]] [[Kategorie:Wiki2Reveal]] [[Category:Stochastik]] mzdq7poi2mzs5i0ue83zsdc1i34881y 1118768 1118767 2026-11-03T11:01:36Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1118768 wikitext text/x-wiki == Einführung == Ein [[Wahrscheinlichkeitsraum#Definition|Wahrscheinlichkeitsraum]] in der [[Kurs:Stochastik|Stochastik]] oder [[w:de:Wahrscheinlichkeitstheorie|Wahrscheinlichkeitstheorie]]besteht aus einem Tripel <math>( \Omega,\mathcal{S}, P ) </math>, wobei * <math>\Omega</math> die Menge aller möglichen Ergebnisse des Zufallsexperimentes (<math>\Omega = \{1,2,3,4,5,6\}</math> Würfelwurf) * <math>\mathcal{S}</math> als Mengensystem von Teilmengen von Omega als die Menge alle Ereignisse (z.B. <math>\mathcal{S} \subseteq \wp(\Omega) </math> ) und * <math> P: \mathcal{S} \rightarrow [ 0,1 ] </math> die Funktion ist, die jeder messbaren Menge <math> A \in \mathcal{S} </math> eine Wahrscheinlichkeit <math> P(A) </math> zuordnet (z.B. <math>P(A)=\frac{1}{2} </math> mit <math>A:=\{1,3,5\}</math>). [[Datei:Audio de 0 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Einleitung]] <span id="Ergebnis"></span><span id="Ereignis"></span> <span id="Ergebnis"></span><span id="Ereignis"></span> == Ergebnis - Ereignis == * '''(Ergebnis)''' Elemente <math>\omega \in \Omega</math> nennt man Ergebnisse eines Zufallsexperimentes. Z.B. besagt das Ergebnis <math>\omega = 3</math> bei einem einmaligen Würfelwurf mit <math> \Omega = \{1,2,3,4,5,6\}</math>, dass die Zahl 3 gewürfelt wurde. * '''(Ereignis)''' Elemente <math>A \in \mathcal{S}</math> aus einer <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] sind dagegen Mengen von einzelnen Ergebnissen, deren Zusammenfassung man als ''"Ereignis"'' bezeichnet. Das Ereignis ''"gerade Zahl gewürfelt"'' kann man als Menge <math>A=\{2,4,6\}</math> formal beschreiben. Alle <math>A \in \mathcal{S}</math> aus der <math>\sigma</math>-Algebra nennt man [[messbare Abbildung|messbare Mengen]], denen man später mit einem [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] eine Wahrscheinlichkeit <math>P(A) </math> zuordnen kann. == Bemerkung - Maßproblem == Es kann [[w:de:Maßproblem#Unlösbarkeit_des_Maßproblems|gezeigt werden]], dass man auf <math>\mathbb{R}</math> bzw. allgemeiner <math> \mathbb{R}^n</math> nicht allen Teilmengen <math>A\subseteq \mathbb{R}^n</math> mit einem positiven, <math>\sigma</math>-additiven, normierten und translationsinvarianten Maß <math>\mu</math> eine Wahrscheinlichkeit zuordnen kann. dass u.a. Strecken deren Länge, Flächen deren Flächeninhalt bzw. allgemeine Mengen <math>A\subseteq \mathbb{R}^n</math> das Volumen zuordnet. Als Konsequenz schränkt man die Mächtigkeit der Potenzmenge über die Definition der <math>\sigma</math>-Algebra ein. <span id="Sigma-Algebra"></span> == Definition - Sigma-Algebra == Sei <math>\Omega \not= \emptyset</math>. Ein Teilmenge <math>\mathcal{S}</math> der Potenzmenge <math>\wp(\Omega) </math> heißt <math>\sigma</math>-Algebra, wenn folgende Bedingungen gelten: * <math>\Omega \in \mathcal{S}</math> * <math>A \in \mathcal{S} \Longrightarrow A^c = \Omega \setminus A \in \mathcal{S}</math> * <math>A_n \in \mathcal{S}</math> für alle <math>n \in \mathbb{N}</math>, dann gilt <math>\bigcup_{n \in \mathbb{N}}A_n \in \mathcal{S}</math> [[Datei:Audio de 1 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Sigma-Algebra]] ===Anmerkung === Die Struktur der <math>\sigma</math>-Algebra ist Grundlage für die Definition der Eigenschaften des Wahrscheinlichkeitsmaßes und dessen [[w:de:Wohldefiniertheit|Wohldefiniertheit]]. <span id="Messraum"></span> == Definition - Messraum == Sei <math>\Omega \not= \emptyset</math> und <math>\mathcal{S}</math> eine <math>\sigma</math>-Algebra über <math>\Omega</math>, dann heißt <math>(\Omega, \mathcal{S})</math> ein Messraum. Die Elemente <math>A \in \mathcal{S}</math> heißen ''messbare'' Mengen. [[Datei:Audio de 2 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Messraum]] <span id="messbare_Menge"></span> === Bemerkung - messbare Mengen === Beliebige Teilmengen <math>A\subset\mathbb{R}</math> sind wegen des [[w:de:Maßproblem#Unloesbarkeit|Maßproblems]] nicht notwendig messbar. Die Einschränkung der Potenzmenge <math>\wp(\mathbb{R})</math> auf die [[Borelsche Sigma-Algebra]] <math>\mathcal{B}(\mathbb{R})</math> über <math>\mathbb{R}</math> löst diese Problem. Man verliert allerdings die Eigenschaft, dass man beliebigen Teilmengen von <math>A\subset\mathbb{R}</math> ein Maß zuordnen kann. Daher nennt man die Mengen <math>A\in \mathcal{S}</math> auch die "messbaren Mengen". <span id="Ergebnisraum"></span><span id="Ereignisraum"></span> === Bemerkung - Ergebnisraum - Ereignisraum === In der [[Kurs:Stochastik|Wahrscheinlichkeitstheorie]] nennt man <math>\Omega</math> [[Ergebnis (Stochastik)|Ergebnisraum]] und [[Ereignis (Stochastik)|Ereignisraum]]. Beim eine [[w:de:Zufallsexperiment|Würfelexperiment]] ist 4 eine [[Ergebnis (Stochastik)|Ergebnis]] und <math>A=\{2,4,6\}\in \mathcal{S}</math> das Ereignis, dass eine ''gerade Zahl'' gewürfelt wurde. == Aufgaben == Die folgenden Aufgaben haben die angegebenen Lernziele: * Aufgabe 1 ist eine Übung, bei der man ein Mengensystem minimal so erweitern soll, dass es die Eigenschaft eine <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] besitzt. * Aufgabe 2 beschäftigt sich mit dem Erzeuger der [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelschen-Sigma-Algebra]] und Einpunktmengen. === Aufgabe 1 === Sei <math>\Omega \not= \emptyset</math> und <math>\mathcal{S}' \subseteq \wp(\Omega)</math>. Ziel der Aufgabe ist es, <math>\mathcal{S}' \subseteq \wp(\Omega)</math> so zu <math>\mathcal{S} \subseteq \wp(\Omega)</math> zu erweitern, dass <math>(\Omega,\mathcal{S})</math> ein Messraum ist. * Sei <math>\Omega := \{1,2,3,4,5,6\}</math> und <math>\mathcal{S}' := \{ \Omega, \{1,2\},\{5,6\} \}</math>. Ergänzen Sie Menge <math>\mathcal{S}'</math> minimal so zu <math>\mathcal{S}</math>, dass <math>\mathcal{S}</math> eine <math>\sigma-</math>Algebra ist. [[Datei:Audio de 3a wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Aufgabe 1]] === Aufgabe 2 === Die Borelsche <math>\sigma-</math>Algebra von den abgeschlossenen Intervallen <math>\mathcal{E}:= \{[a,b] | a,b \in \mathbb{R} \wedge a < b \}</math> erzeugt: * Begründen Sie mit dem Erzeuger der <math>\mathcal{E}</math> und den Eigenschaften einer <math>\sigma</math>-Algebra, dass <math>\{x\} \in \mathcal{B}</math> auch alle Einpunktmengen <math>\{x\} \in \mathcal{B}</math> enthält. [[Datei:Audio de 3b wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Aufgabe 2]] <span id="Definition"> == Defintion - Wahrscheinlichkeitsverteilung == Sei <math>( \Omega,\mathcal{S} ) </math> ein [[Messraum]] und eine Abbildung <math>P:\mathcal{S} \longrightarrow \mathbb{R}</math> gegeben, die folgende Eigenschaften besitzt: * '''(Nichtnegativität)''' <math>P(A)\geq 0</math> für alle <math>A \in \mathcal{S}</math> * '''(Normiertheit)''' <math>P(\Omega)=1</math> * '''(<math>\sigma</math>-Additivität)''' <math>A_n \in \mathcal{S}</math> für alle <math>n \in \mathbb{N}</math> und [[w:de:disjunkt|paarweise disjunkt]] folgt: <math>P\left(\bigcup_{n\in \mathbb{N}} A_n \right) = \sum_{n\in \mathbb{N}} P\left( A_n \right)</math>. <br> <math>P</math> nennt man dann '''''Wahrscheinlichkeitsmaß''''' bzw. '''''Wahrscheinlichkeitsverteilung''''' auf <math>( \Omega,\mathcal{S} ) </math> [[Datei:Audio de 7 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Definition W-Maß]]. <span id="Wahrscheinlichkeitsraum"></span> == Defintion - Wahrscheinlichkeitsraum == Sei <math>( \Omega,\mathcal{S} ) </math> ein [[Messraum]] und <math>P:\mathcal{S} \longrightarrow \mathbb{R}</math> ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] gegeben, dann nennt man <math>( \Omega,\mathcal{S}, P ) </math> '''''Wahrscheinlichkeitsraum'''''. <span id="EigenschaftWMass"></span> == Weitere Eigenschaften des Wahrscheinlichkeitsmaßes == * <math>0 \leq P(A) \leq 1</math> * <math>P(\emptyset) = 0</math> * <math>P(\Omega \setminus A) = 1-P(A)</math> * <math>P(A \setminus B) = P(A) - P(B)</math> falls <math>B \subseteq A</math> * <math>P(A \cup B) = P(A)+P(B)-P(A \cap B)</math> * Gilt <math>A \subseteq B</math>, so folgt <math>P(A) \leq P(B)</math>. === Aufgabe 1=== Beweisen Sie die obigen Aussagen durch Anwendung der Eigenschaften eines Wahrscheinlichkeitsraumes. === Aufgabe 2=== Vergleichen Sie die Eigenschaften der <math>\sigma</math>-Algebra mit den erweitereten Eigenschaften des [[Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaßes]]. Welche Parallelen stellen Sie fest? Gemeint sind Eigenschaften einer <math>\sigma</math>-Algebra, die notwendig sind, damit man das [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] <math>P</math> überhaupt auf der <math>\sigma</math>-Algebra definieren kann. <span id="messbare_Abbildung"> == Definition - Messbare Abbildung == Seien <math>(\Omega_1, \mathcal{S}_1)</math> und <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)</math> [[Messraum|Messräume]]. Eine Abbildung <math>X: \Omega_1 \longrightarrow \Omega_2</math> heißt <math>(\mathcal{S}_1,\mathcal{S}_2)</math>-messbar, wenn gilt: :<math>\forall_{B \in \mathcal{S}_2} \ : \ X^{-1}(B) \in \mathcal{S}_1 </math> === Bemerkung - Zufallsgröße === Wenn zusätzlich auf <math>(\Omega_1, \mathcal{S}_1)</math> ein [[#Definition|Wahrscheinlichkeitsraum]] <math>(P_1,\Omega_1, \mathcal{S}_1)</math> ist, dann nennt man <math>X</math> [[Zufallsgröße]]. Über die Zufallsgröße wird dann auch eine Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>P_2</math> auf dem [[Messraum]] <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)</math> über <math>P_2(B) := P_1(X^{-1}(B))</math> induziert. <span id="induzierte_Wahrscheinlichkeitsverteilung"></span> <span id="induziertes_Wahrscheinlichkeitsmaß"></span> == Definition - Induzierte Wahrscheinlichkeitsverteilung == Sei <math>X: \Omega_1 \longrightarrow \Omega_2</math> eine [[messbare Abbildung]], dann nennt man die durch <math>X</math> erzeugte Abbildung <math>P^X:\mathcal{S}_2 \to \mathbb{R}</math> die von dem [[Messraum]] <math>(\Omega_1, \mathcal{S}_1)</math> auf den Messraum <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)</math> induzieren Wahrscheinlichkeitsverteilung mit: :<math>P^X(B):= P(X^{-1}(B))</math> für alle <math>B \in \mathcal{S}_2</math>. <br> [[Datei:Audio de 5 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Induzierte W-Verteilung]] == Lemma - Induzierte Verteilung == Sei <math>(\Omega_1,\mathcal{S}_1, P)</math> ein [[Wahrscheinlichkeitsraum#Definition|Wahrscheinlichkeitsraum]], <math>X: \Omega_1 \longrightarrow \Omega_2</math> eine [[messbare Abbildung]] und <math>P^X:\mathcal{S}_2 \to \mathbb{R}</math> die von dem [[Messraum]] <math>(\Omega_1, \mathcal{S}_1)</math> auf den Messraum <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)</math> induzieren Wahrscheinlichkeitsverteilung, dann ist die induzierte Verteilung <math>P^X:\mathcal{S}_2 \to \mathbb{R}</math> eine [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] auf dem Messraum <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)</math>. === Aufgabe - Beweis des Lemma induzierte Verteilung === Beweisen Sie das Lemma zu induzierten Verteilungen als Übungsaufgaben, indem Sie die Axiome (P1), (P2) und (P3) eines [[Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaßes]] nachweisen. == Beispiel == Seien <math>(\Omega_1, \mathcal{S}_1)</math> und <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)</math> als Messräume wie folgt definiert: * <math>\Omega_1 := \{1,2,3,4,5,6\}^2</math> zweimaliges Würfeln mit <math>\mathcal{S}_1 := \wp(\Omega_1)</math> (Potenzmenge von <math>\Omega_1</math>). * <math>\Omega_2 := \mathbb{R}</math> mit <math>\mathcal{S}_2 := \mathcal{B}(\mathbb{R})</math> ([[w:de:Borelsche σ-Algebra|Borelsche <math>\sigma</math>-Algebra]]). * <math>X(w_1,w_2):= w_1+w_2 </math> für alle <math>(w_1,w_2) \in \Omega_1 := \{1,2,3,4,5,6\}^2</math> Bestimmen Sie mit <math>X: \Omega_1 \longrightarrow \Omega_2</math> die Menge <math>B:=\{1,\, 4\}\subset \Omega_2</math> die Menge <math>X^{-1}(B)=X^{-1}(\{1,\, 4\}) \subseteq \Omega_1</math>! [[Datei:Audio de 6 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Beispiel: Messbare Abbildung]] <span id="Wahrscheinlichkeitsmaß"></span> <span id="Definition"><span> <span id="Wahrscheinlichkeitsmaß"></span><span id="Wahrscheinlichkeitsverteilung"></span> <span id="Definition"></span><span id="SigmaAdditivitaet"></span> == Reellwertige Zufallsgröße == Sei <math>(\Omega_1, \mathcal{S}_1, P_1)</math> ein [[Wahrscheinlichkeitsraum#Definition|Wahrscheinlichkeitsraum]] und <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)=(\mathbb{R}, \mathcal{B})</math> die [[w:de:Borelsche σ-Algebra|Borelsche <math>\sigma</math>-Algebra]], dann nennt man die <math>(\mathcal{S}_1,\mathcal{B})</math>-[[messbare Abbildung]] <math>X:\Omega_1 \to \mathbb{R}</math> eine (eindimensionale) Zufallsgröße. '''Bemerkung:''' Die [[messbare Abbildung|Messbarkeit]] von <math>X</math> sorgt dafür, dass <math>P</math> auch auf den Mengen <math>X^{-1}(B)\in \mathcal{S}_1</math> definiert ist. Damit kann man dann eine [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] auf <math>(\mathbb{R}, \mathcal{B})</math> erzeugen. == Induzierte reellwertige Wahrscheinlichkeitsverteilung == Sei <math>(\Omega,\mathcal{S},P)</math> ein Zufallsexperiment und <math>X:\Omega \rightarrow \mathbb{R}</math> eine [[Zufallsgröße]] auf dem [[Messraum]] <math>(\Omega,\mathcal{S})</math>. Die induzierte Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>P_X</math> ist dann mit <math>\mathcal{B}</math> als [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelsche]] <math>\sigma</math>[[Borelsche Sigma-Algebra|-Algebra]] wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rccl} P_X : & \mathcal{B}(\mathbb{R}) & \rightarrow & [0,1] \\ & B & \mapsto & P_X(B) := P(\underbrace{X^{-1}(B)}_{\in \,\mathcal{S}}) \end{array} </math> Das [[w:de:Tupel|Triple]] <math> (\mathbb{R},\mathcal{B},P_X) </math> nennt man eine induzierte [[Wahrscheinlichkeitsverteilung|W-Verteilung]] der [[Zufallsgröße]] <math>X:\Omega \rightarrow \mathbb{R}</math><br/> [[Datei:Audio de 8 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Reellwertige induzierte W-VT]] = Siehe auch = * [[Eigenschaften von Wahrscheinlichkeitsmaßen]] * [[Kurs:Stochastik]] * [[Glockenkurve]] und stetige Wahrscheinlichkeitsdichten * [[w:de:Maßproblem#Unloesbarkeit|Unlösbarkeit des Maßproblem]] nach [[w:de:Vitali|Vitali]] * [[Nullmenge]] * [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe]] * [[Zufallsgröße]] * [[w:de:Zufallsvektor|Zufallsvektor]] * [[Zufallsfolge]] = Seiteninformation = Der '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Wahrscheinlichkeitsraum&author=Stochastik&language=de&audioslide=yes Foliensatz]''' wurde für den '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Stochastik Kurs:Stochastik]''' mit [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] über den [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Linkgenerator] erstellt. * Inhalte der Seite basieren auf: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Wahrscheinlichkeitsraum https://de.wikipedia.org/wiki/Wahrscheinlichkeitsraum] * Diese Seite ist eine [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] Dokumententyp * Quelle: Wikiversity DE https://de.wikiversity.org/wiki/Wahrscheinlichkeitsraum * siehe [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] zur Funktionsweise von [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal]. [[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsverteilung]] [[Kategorie:Wiki2Reveal]] [[Category:Stochastik]] n46iqc6wazkszyvsebdlboiigj6xct0 1118769 1118768 2026-11-03T11:02:22Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1118769 wikitext text/x-wiki == Einführung == Ein [[Wahrscheinlichkeitsraum#Definition|Wahrscheinlichkeitsraum]] in der [[Kurs:Stochastik|Stochastik]] oder [[w:de:Wahrscheinlichkeitstheorie|Wahrscheinlichkeitstheorie]]besteht aus einem Tripel <math>( \Omega,\mathcal{S}, P ) </math>, wobei * <math>\Omega</math> die Menge aller möglichen Ergebnisse des Zufallsexperimentes (<math>\Omega = \{1,2,3,4,5,6\}</math> Würfelwurf) * <math>\mathcal{S}</math> als Mengensystem von Teilmengen von Omega als die Menge alle Ereignisse (z.B. <math>\mathcal{S} \subseteq \wp(\Omega) </math> ) und * <math> P: \mathcal{S} \rightarrow [ 0,1 ] </math> die Funktion ist, die jeder messbaren Menge <math> A \in \mathcal{S} </math> eine Wahrscheinlichkeit <math> P(A) </math> zuordnet (z.B. <math>P(A)=\frac{1}{2} </math> mit <math>A:=\{1,3,5\}</math>). [[Datei:Audio de 0 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Einleitung]] <span id="Ergebnis"></span><span id="Ereignis"></span> <span id="Ergebnis"></span><span id="Ereignis"></span> == Ergebnis - Ereignis == * '''(Ergebnis)''' Elemente <math>\omega \in \Omega</math> nennt man Ergebnisse eines Zufallsexperimentes. Z.B. besagt das Ergebnis <math>\omega = 3</math> bei einem einmaligen Würfelwurf mit <math> \Omega = \{1,2,3,4,5,6\}</math>, dass die Zahl 3 gewürfelt wurde. * '''(Ereignis)''' Elemente <math>A \in \mathcal{S}</math> aus einer <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] sind dagegen Mengen von einzelnen Ergebnissen, deren Zusammenfassung man als ''"Ereignis"'' bezeichnet. Das Ereignis ''"gerade Zahl gewürfelt"'' kann man als Menge <math>A=\{2,4,6\}</math> formal beschreiben. Alle <math>A \in \mathcal{S}</math> aus der <math>\sigma</math>-Algebra nennt man [[messbare Abbildung|messbare Mengen]], denen man später mit einem [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] eine Wahrscheinlichkeit <math>P(A) </math> zuordnen kann. == Bemerkung - Maßproblem == Es kann [[w:de:Maßproblem#Unlösbarkeit_des_Maßproblems|gezeigt werden]], dass man auf <math>\mathbb{R}</math> bzw. allgemeiner <math> \mathbb{R}^n</math> nicht allen Teilmengen <math>A\subseteq \mathbb{R}^n</math> mit einem positiven, <math>\sigma</math>-additiven, normierten und translationsinvarianten Maß <math>\mu</math> eine Wahrscheinlichkeit zuordnen kann. dass u.a. Strecken deren Länge, Flächen deren Flächeninhalt bzw. allgemeine Mengen <math>A\subseteq \mathbb{R}^n</math> das Volumen zuordnet. Als Konsequenz schränkt man die Mächtigkeit der Potenzmenge über die Definition der <math>\sigma</math>-Algebra ein. <span id="Sigma-Algebra"></span> == Definition - Sigma-Algebra == Sei <math>\Omega \not= \emptyset</math>. Ein Teilmenge <math>\mathcal{S}</math> der Potenzmenge <math>\wp(\Omega) </math> heißt <math>\sigma</math>-Algebra, wenn folgende Bedingungen gelten: * <math>\Omega \in \mathcal{S}</math> * <math>A \in \mathcal{S} \Longrightarrow A^c = \Omega \setminus A \in \mathcal{S}</math> * <math>A_n \in \mathcal{S}</math> für alle <math>n \in \mathbb{N}</math>, dann gilt <math>\bigcup_{n \in \mathbb{N}}A_n \in \mathcal{S}</math> [[Datei:Audio de 1 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Sigma-Algebra]] ===Anmerkung === Die Struktur der <math>\sigma</math>-Algebra ist Grundlage für die Definition der Eigenschaften des Wahrscheinlichkeitsmaßes und dessen [[w:de:Wohldefiniertheit|Wohldefiniertheit]]. <span id="Messraum"></span> == Definition - Messraum == Sei <math>\Omega \not= \emptyset</math> und <math>\mathcal{S}</math> eine <math>\sigma</math>-Algebra über <math>\Omega</math>, dann heißt <math>(\Omega, \mathcal{S})</math> ein Messraum. Die Elemente <math>A \in \mathcal{S}</math> heißen ''messbare'' Mengen. [[Datei:Audio de 2 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Messraum]] <span id="messbare_Menge"></span> === Bemerkung - messbare Mengen === Beliebige Teilmengen <math>A\subset\mathbb{R}</math> sind wegen des [[w:de:Maßproblem#Unloesbarkeit|Maßproblems]] nicht notwendig messbar. Die Einschränkung der Potenzmenge <math>\wp(\mathbb{R})</math> auf die [[Borelsche Sigma-Algebra]] <math>\mathcal{B}(\mathbb{R})</math> über <math>\mathbb{R}</math> löst diese Problem. Man verliert allerdings die Eigenschaft, dass man beliebigen Teilmengen von <math>A\subset\mathbb{R}</math> ein Maß zuordnen kann. Daher nennt man die Mengen <math>A\in \mathcal{S}</math> auch die "messbaren Mengen". <span id="Ergebnisraum"></span><span id="Ereignisraum"></span> === Bemerkung - Ergebnisraum - Ereignisraum === In der [[Kurs:Stochastik|Wahrscheinlichkeitstheorie]] nennt man <math>\Omega</math> [[Ergebnis (Stochastik)|Ergebnisraum]] und [[Ereignis (Stochastik)|Ereignisraum]]. Beim eine [[w:de:Zufallsexperiment|Würfelexperiment]] ist 4 eine [[Ergebnis (Stochastik)|Ergebnis]] und <math>A=\{2,4,6\}\in \mathcal{S}</math> das Ereignis, dass eine ''gerade Zahl'' gewürfelt wurde. == Aufgaben == Die folgenden Aufgaben haben die angegebenen Lernziele: * Aufgabe 1 ist eine Übung, bei der man ein Mengensystem minimal so erweitern soll, dass es die Eigenschaft eine <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] besitzt. * Aufgabe 2 beschäftigt sich mit dem Erzeuger der [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelschen-Sigma-Algebra]] und Einpunktmengen. === Aufgabe 1 === Sei <math>\Omega \not= \emptyset</math> und <math>\mathcal{S}' \subseteq \wp(\Omega)</math>. Ziel der Aufgabe ist es, <math>\mathcal{S}' \subseteq \wp(\Omega)</math> so zu <math>\mathcal{S} \subseteq \wp(\Omega)</math> zu erweitern, dass <math>(\Omega,\mathcal{S})</math> ein Messraum ist. * Sei <math>\Omega := \{1,2,3,4,5,6\}</math> und <math>\mathcal{S}' := \{ \Omega, \{1,2\},\{5,6\} \}</math>. Ergänzen Sie Menge <math>\mathcal{S}'</math> minimal so zu <math>\mathcal{S}</math>, dass <math>\mathcal{S}</math> eine <math>\sigma-</math>Algebra ist. [[Datei:Audio de 3a wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Aufgabe 1]] === Aufgabe 2 === Die Borelsche <math>\sigma-</math>Algebra von den abgeschlossenen Intervallen <math>\mathcal{E}:= \{[a,b] | a,b \in \mathbb{R} \wedge a < b \}</math> erzeugt: * Begründen Sie mit dem Erzeuger der <math>\mathcal{E}</math> und den Eigenschaften einer <math>\sigma</math>-Algebra, dass <math>\{x\} \in \mathcal{B}</math> auch alle Einpunktmengen <math>\{x\} \in \mathcal{B}</math> enthält. [[Datei:Audio de 3b wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Aufgabe 2]] <span id="Definition"> == Defintion - Wahrscheinlichkeitsverteilung == Sei <math>( \Omega,\mathcal{S} ) </math> ein [[Messraum]] und eine Abbildung <math>P:\mathcal{S} \longrightarrow \mathbb{R}</math> gegeben, die folgende Eigenschaften besitzt: * '''(Nichtnegativität)''' <math>P(A)\geq 0</math> für alle <math>A \in \mathcal{S}</math> * '''(Normiertheit)''' <math>P(\Omega)=1</math> * '''(<math>\sigma</math>-Additivität)''' <math>A_n \in \mathcal{S}</math> für alle <math>n \in \mathbb{N}</math> und [[w:de:disjunkt|paarweise disjunkt]] folgt: <math>P\left(\bigcup_{n\in \mathbb{N}} A_n \right) = \sum_{n\in \mathbb{N}} P\left( A_n \right)</math>. <br> <math>P</math> nennt man dann '''''Wahrscheinlichkeitsmaß''''' bzw. '''''Wahrscheinlichkeitsverteilung''''' auf <math>( \Omega,\mathcal{S} ) </math> [[Datei:Audio de 7 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Definition W-Maß]]. <span id="Wahrscheinlichkeitsraum"></span> == Defintion - Wahrscheinlichkeitsraum == Sei <math>( \Omega,\mathcal{S} ) </math> ein [[Messraum]] und <math>P:\mathcal{S} \longrightarrow \mathbb{R}</math> ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] gegeben, dann nennt man <math>( \Omega,\mathcal{S}, P ) </math> '''''Wahrscheinlichkeitsraum'''''. <span id="EigenschaftWMass"></span> == Weitere Eigenschaften des Wahrscheinlichkeitsmaßes == * <math>0 \leq P(A) \leq 1</math> * <math>P(\emptyset) = 0</math> * <math>P(\Omega \setminus A) = 1-P(A)</math> * <math>P(A \setminus B) = P(A) - P(B)</math> falls <math>B \subseteq A</math> * <math>P(A \cup B) = P(A)+P(B)-P(A \cap B)</math> * Gilt <math>A \subseteq B</math>, so folgt <math>P(A) \leq P(B)</math>. === Aufgabe 1=== Beweisen Sie die obigen Aussagen durch Anwendung der Eigenschaften eines Wahrscheinlichkeitsraumes. === Aufgabe 2=== Vergleichen Sie die Eigenschaften der <math>\sigma</math>-Algebra mit den erweitereten Eigenschaften des [[Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaßes]]. Welche Parallelen stellen Sie fest? Gemeint sind Eigenschaften einer <math>\sigma</math>-Algebra, die notwendig sind, damit man das [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] <math>P</math> überhaupt auf der <math>\sigma</math>-Algebra definieren kann. <span id="messbare_Abbildung"> == Definition - Messbare Abbildung == Seien <math>(\Omega_1, \mathcal{S}_1)</math> und <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)</math> [[Messraum|Messräume]]. Eine Abbildung <math>X: \Omega_1 \longrightarrow \Omega_2</math> heißt <math>(\mathcal{S}_1,\mathcal{S}_2)</math>-messbar, wenn gilt: :<math>\forall_{B \in \mathcal{S}_2} \ : \ X^{-1}(B) \in \mathcal{S}_1 </math> === Bemerkung - Zufallsgröße === Wenn zusätzlich auf <math>(\Omega_1, \mathcal{S}_1)</math> ein [[#Definition|Wahrscheinlichkeitsraum]] <math>(P_1,\Omega_1, \mathcal{S}_1)</math> ist, dann nennt man <math>X</math> [[Zufallsgröße]]. Über die Zufallsgröße wird dann auch eine Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>P_2</math> auf dem [[Messraum]] <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)</math> über <math>P_2(B) := P_1(X^{-1}(B))</math> induziert. <span id="induzierte_Wahrscheinlichkeitsverteilung"></span> <span id="induziertes_Wahrscheinlichkeitsmaß"></span> == Definition - Induzierte Wahrscheinlichkeitsverteilung == Sei <math>X: \Omega_1 \longrightarrow \Omega_2</math> eine [[messbare Abbildung]], dann nennt man die durch <math>X</math> erzeugte Abbildung <math>P^X:\mathcal{S}_2 \to \mathbb{R}</math> die von dem [[Messraum]] <math>(\Omega_1, \mathcal{S}_1)</math> auf den Messraum <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)</math> induzieren Wahrscheinlichkeitsverteilung mit: :<math>P^X(B):= P(X^{-1}(B))</math> für alle <math>B \in \mathcal{S}_2</math>. <br> [[Datei:Audio de 5 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Induzierte W-Verteilung]] == Lemma - Induzierte Verteilung == Sei <math>(\Omega_1,\mathcal{S}_1, P)</math> ein [[Wahrscheinlichkeitsraum#Definition|Wahrscheinlichkeitsraum]], <math>X: \Omega_1 \longrightarrow \Omega_2</math> eine [[messbare Abbildung]] und <math>P^X:\mathcal{S}_2 \to \mathbb{R}</math> die von dem [[Messraum]] <math>(\Omega_1, \mathcal{S}_1)</math> auf den Messraum <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)</math> induzieren Wahrscheinlichkeitsverteilung, dann ist die induzierte Verteilung <math>P^X:\mathcal{S}_2 \to \mathbb{R}</math> eine [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] auf dem Messraum <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)</math>. === Aufgabe - Beweis des Lemma induzierte Verteilung === Beweisen Sie das Lemma zu induzierten Verteilungen als Übungsaufgaben, indem Sie die Axiome (P1), (P2) und (P3) eines [[Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaßes]] nachweisen. == Beispiel == Seien <math>(\Omega_1, \mathcal{S}_1)</math> und <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)</math> als Messräume wie folgt definiert: * <math>\Omega_1 := \{1,2,3,4,5,6\}^2</math> zweimaliges Würfeln mit <math>\mathcal{S}_1 := \wp(\Omega_1)</math> (Potenzmenge von <math>\Omega_1</math>). * <math>\Omega_2 := \mathbb{R}</math> mit <math>\mathcal{S}_2 := \mathcal{B}(\mathbb{R})</math> ([[w:de:Borelsche σ-Algebra|Borelsche <math>\sigma</math>-Algebra]]). * <math>X(w_1,w_2):= w_1+w_2 </math> für alle <math>(w_1,w_2) \in \Omega_1 := \{1,2,3,4,5,6\}^2</math> Bestimmen Sie mit <math>X: \Omega_1 \longrightarrow \Omega_2</math> die Menge <math>B:=\{1,\, 4\}\subset \Omega_2</math> die Menge <math>X^{-1}(B)=X^{-1}(\{1,\, 4\}) \subseteq \Omega_1</math>! [[Datei:Audio de 6 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Beispiel: Messbare Abbildung]] <span id="Wahrscheinlichkeitsmaß"></span> <span id="Definition"><span> <span id="Wahrscheinlichkeitsmaß"></span><span id="Wahrscheinlichkeitsverteilung"></span> <span id="Definition"></span><span id="SigmaAdditivitaet"></span> == Reellwertige Zufallsgröße == Sei <math>(\Omega_1, \mathcal{S}_1, P_1)</math> ein [[Wahrscheinlichkeitsraum#Definition|Wahrscheinlichkeitsraum]] und <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)=(\mathbb{R}, \mathcal{B})</math> die [[w:de:Borelsche σ-Algebra|Borelsche <math>\sigma</math>-Algebra]], dann nennt man die <math>(\mathcal{S}_1,\mathcal{B})</math>-[[messbare Abbildung]] <math>X:\Omega_1 \to \mathbb{R}</math> eine (eindimensionale) Zufallsgröße. '''Bemerkung:''' Die [[messbare Abbildung|Messbarkeit]] von <math>X</math> sorgt dafür, dass <math>P</math> auch auf den Mengen <math>X^{-1}(B)\in \mathcal{S}_1</math> definiert ist. Damit kann man dann eine [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] auf <math>(\mathbb{R}, \mathcal{B})</math> erzeugen. == Induzierte reellwertige Wahrscheinlichkeitsverteilung == Sei <math>(\Omega,\mathcal{S},P)</math> ein Zufallsexperiment und <math>X:\Omega \rightarrow \mathbb{R}</math> eine [[Zufallsgröße]] auf dem [[Messraum]] <math>(\Omega,\mathcal{S})</math>. Die induzierte Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>P_X</math> ist dann mit <math>\mathcal{B}</math> als [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelsche]] <math>\sigma</math>[[Borelsche Sigma-Algebra|-Algebra]] wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rccl} P_X : & \mathcal{B}(\mathbb{R}) & \rightarrow & [0,1] \\ & B & \mapsto & P_X(B) := P(\underbrace{X^{-1}(B)}_{\in \,\mathcal{S}}) \end{array} </math> Das [[w:de:Tupel|Triple]] <math> (\mathbb{R},\mathcal{B},P_X) </math> nennt man eine induzierte [[Wahrscheinlichkeitsverteilung|W-Verteilung]] der [[Zufallsgröße]] <math>X:\Omega \rightarrow \mathbb{R}</math><br/> [[Datei:Audio de 8 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Reellwertige induzierte W-VT]] = Siehe auch = * [[Eigenschaften von Wahrscheinlichkeitsmaßen]] * [[Kurs:Stochastik]] * [[Glockenkurve]] und stetige Wahrscheinlichkeitsdichten * [[w:de:Maßproblem#Unloesbarkeit|Unlösbarkeit des Maßproblem]] nach [[w:de:Giuseppe_Vitali|Giuseppe Vitali]] * [[Nullmenge]] * [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe]] * [[Zufallsgröße]] * [[w:de:Zufallsvektor|Zufallsvektor]] * [[Zufallsfolge]] = Seiteninformation = Der '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Wahrscheinlichkeitsraum&author=Stochastik&language=de&audioslide=yes Foliensatz]''' wurde für den '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Stochastik Kurs:Stochastik]''' mit [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] über den [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Linkgenerator] erstellt. * Inhalte der Seite basieren auf: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Wahrscheinlichkeitsraum https://de.wikipedia.org/wiki/Wahrscheinlichkeitsraum] * Diese Seite ist eine [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] Dokumententyp * Quelle: Wikiversity DE https://de.wikiversity.org/wiki/Wahrscheinlichkeitsraum * siehe [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] zur Funktionsweise von [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal]. [[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsverteilung]] [[Kategorie:Wiki2Reveal]] [[Category:Stochastik]] htp5np7o7uizcl1ep71pdibjvn5k89h 0 101901 1118637 1079987 2026-11-02T13:18:58Z Bert Niehaus 20843 /* Berechnung mit Laplace-Verteilung */ 1118637 wikitext text/x-wiki [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|146px|mini|Kurs enthält [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] Audio-Folien]] == Einleitung == Diese Lerneinheit aus der [[Kurs:Stochastik|Stochastik]] behandelt folgende Inhalte: * [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Definition|Definition - Bedingte Wahrscheinlichkeit]] * [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Zerlegungssatz|Zerlegungssatz]] * [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Satz_von_Bayes|Satz von Bayes]] * [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Satz_totale_Wahrscheinlichkeit|Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit]] * [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Produktformel|Produktformel]] === Einführendes Beispiel - bedingte Wahrscheinlichkeit=== Gegeben sei ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum <math>(\Omega,\mathcal{S},P) </math>, Gleichverteilung über <math>(\Omega,\mathcal{S}) </math> und <math>\mathcal{S} := \wp((\Omega) </math>. <math> A,B \subset \Omega, A\neq \varnothing </math>. In dem einführenden Beispiel betrachten wir die Ereignisse: * <math>A</math>: Stochastik-Klausur bestanden * <math>B</math>: Fachwissenschaftliche Grundlagen mit 4,0 bestanden * Mit welcher Wahrscheinlichkeit <math>P(A|B)</math> besteht man die Stochastik-Klausur <math>A</math>, wenn man die Klausur zu den fachwissenschaftlichen Grundlagen nur mit 4,0 bestanden hat (d.h. <math>B</math> erfüllt ist)? [[Datei:Audio de 1 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Einleitung]] === Vorüberlegung === Wir nehmen an, dass das Ereignis <math> B </math> eintritt. Welche Definition ist sinnvoll für die Wahrscheinlichkeit von <math> B </math>, unter der Bedingung, dass <math> A </math> eingetreten ist? # Wenn die Bedingung <math> B </math> eintritt, so kann <math> A </math> nur dann eintreten, wenn das Ereignis <math> A \cap B </math> eintritt. # Wir konzentrieren uns auf die Realisationen <math> \omega \in A </math> und betrachten sie als gleichwahrscheinlich ([[w:de:Laplace-Verteilung|Laplace-Verteilung]]). # Allgemein gilt dann <math> P(C) = \frac {| C | }{ | \Omega |} </math> für alle <math>C \in \mathcal{S}</math>. [[Datei:Audio de 2 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Vorlüberlegung]] === Berechnung mit Laplace-Verteilung === Damit kann die Wahrscheinlichkeit von <math> A </math> unter der Bedingung <math> B </math> wie folgt definiert werden: :<math> P(A|B) := \frac {| A\cap B | }{ | B |} = \frac { \tfrac{|A \cap B | }{| \Omega | }} { \tfrac{| B |}{| \Omega | }}= \frac {P (A \cap B)}{ P(B)} </math> Dabei wurde der Bruch mit <math>\frac {1}{| \Omega |}</math> erweitert, um in Zähler und Nenner die Laplace-Wahrscheinlichkeiten für die Ereignisse <math> A \cap B </math> und <math> B </math> zu erzeugen. [[Datei:Audio de 3 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Berechnung mit Laplace-Verteilung]] <span id="Definition"></span> == Definition - bedingte Wahrscheinlichkeit == Sei <math> (\Omega,\mathcal{S},P) </math> ein Wahrscheinlichkeitsraum, <math> A \in \mathcal{S} </math> mit <math> P (B) >0 </math>. <br> a) Die Abbildung <math> P( \cdot | B): \mathcal{S} \to [0,1] </math>, die gemäß <math> P (A | B) = \frac {P(A \cap B)}{P(B)}, A,B \in \mathcal{S} </math> definiert ist, heißt bedingte Wahrscheinlichkeitsverteilung über <math> \Omega </math> unter (der Bedingung) <math> B </math>. <br> b) Die Zahl <math> P(A|B) </math> heißt bedingte Wahrscheinlichkeit von <math> A </math> unter (der Bedingung) <math> B </math>. [[Datei:Audio de 4 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Definition]] === Aufgabe - bedingte Wahrscheinlickeitsverteilung === Sei <math>(\Omega,\mathcal{S},P)</math> ein Wahrscheinlichkeitsraum. Weisen Sie für die Abbildung <math>\widetilde{P}</math> nach, dass diese die Eigenschaften eines Wahrscheinlichkeitsmaßes auf <math>(\Omega,\mathcal{S})</math> erfüllt. :<math> \begin{array}{rrcl} \widetilde{P}: & \mathcal{S} & \rightarrow & [0,1] \\ & A & \mapsto & \widetilde{P}(A) = P(A|B) \end{array} </math> === Aufgaben - Wahrscheinlichkeit auf Bedingung konzentriert=== Es gilt <math> P(\Omega|B) = 1 </math>. Die Wahrscheinlichkeit von <math> P( \cdot |B) </math> ist allerdings auf <math> B </math> konzentriert". * Zeigen Sie dazu, dass <math> P(A|B) = 0 </math> für alle <math> A \subset \bar B = \Omega\setminus B </math> <!-- denn: <math> P(A|B) = \frac {P (A \cap B)} {P(B)} = \frac {P (\emptyset)} {P(B)} = 0 </math> --> * Zeigen Sie, dass für <math> B \subset A </math>, <math> A \not= B </math> gilt, dass <math> P(A|B) = 1</math> (Hinweis: Zeigen Sie, dass <math> P(\bar A|B) = 0</math> gilt!) [[Datei:Audio de 5 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Aufgabenstellung]] === Anmerkung === Formt man die Definitionsformel von oben um zu <math> P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A|B) </math>, so kann man die Wahrscheinlichkeit des gleichzeitig Eintretens von <math> A </math> und <math> B </math> mithilfe der bedingten Wahrscheinlichkeit darstellen. Wir betrachten im Nachfolgenden eine Technik, eine Wahrscheinlichkeit auf <math> \Omega </math> durch bedingten Wahrscheinlichkeiten zusammenzusetzen. === Definition: Zerlegung === <math> (A_1, ..., A_m) </math> heißt Zerlegung von <math> \Omega </math> auf <math> (\Omega,\mathcal{S}) </math>, falls <math>\bigcup_{i=1} ^{m} A_i = \Omega, A_i \cap A_j = \varnothing </math> für alle <math> i \neq j </math> und <math>A_i, A_j \in \mathcal{S}</math>. == Zerlegungssatz == Sei <math>(A_1, ... ,A_m )</math> eine Zerlegung von <math>\Omega </math> auf <math> (\Omega,\mathcal{S})</math>. Für jedes <math> i = 1, ...,m </math> sei eine auf <math>A_i</math> konzentrierte Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>{Q_A}_i</math>auf <math>(\Omega,\mathcal{S} ) </math> gegeben (d.h. <math>{Q_A}_i (A_i) = 1 </math>) sowie Zahlen <math>p_i \in ( 0,1]</math> mit <math>\sum _{i = 1} ^{m} p_i = 1 </math>. <br> * (a) Dann existiert genau eine Wahrscheinlichkeitsverteilung <math> P </math> auf <math> \Omega </math> mit <br> ** (i) <math>P(A_i) = p_i > 0</math>. <br> ** (ii) <math>P(B|A_i) = {Q_A}_i(B)</math>, falls <math>p_i >0 </math> für alle <math>i=1, ...,m </math>. <br> * (b) Es gilt <math> P(B) = \sum _{i=1} ^{m} p_i \cdot {Q_A}_i(B) </math> für jedes <math> B \in \mathcal{S} </math>. === Beweis - Zerlegungssatz === Der Beweis gliedert sich in eine Existenzaussage für <math>P</math> und eine Eindeutigkeitsaussage, bei der die Existenz einer weiteren Wahrscheinlichkeitsverteilung für <math>\widetilde{P}</math> auf <math>\mathcal{S}</math> angenommen wird. Dann wird gezeigt, dass <math>\widetilde{P} = P</math> gilt bzw. <math>\widetilde{P}(B) = P(B)</math> für beliebige <math>B\in\mathcal{S}</math> gilt. ==== Beweis Existenz (i)==== Man definiere <math> P</math> gemäß Formel b) und rechnet nach, dass <math>P</math> eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf <math>\Omega </math> ist. Wie in der letzten Bemerkung gilt für die paarweise disjunkten <math> A_i</math> :<math>{Q_A}_i(A_j) = \left \{ \begin{array}{ll} 0, & i \neq j\\ 1, & i = j \end{array}\right. </math> Daraus folgt sofort (ai) <math>P(A_k) = \sum _{i=1} ^{m} p_i \cdot {Q_A}_i(A_k) = p_k</math>. [[Datei:Audio de 10 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Zerlegungsatz 2]] ==== Beweis Existenz (ii)==== Für ein beliebiges <math>p_i > 0 </math> und <math> B \in \mathcal{S} </math> gilt :<math> P(B|A_i) = \frac {P(A_i \cap B)}{ P(A_i)} = \frac {1} {p_i} \sum _{j=1} ^{m} p_j \cdot {Q_A}_j (A_i \cap B) = </math> :<math>= \frac {p_i} {p_i} ({Q_A}_i (A_i \cap B) + {Q_A}_i( \bar A_i \cap B) = {Q_A}_i(B) )</math> also ii). [[Datei:Audio de 11 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Zerlegungsatz 3]] ==== Beweis Eindeutigkeit ==== Sei <math> \tilde P </math> eine (weitere) Wahrscheinlichkeitsverteilung auf <math> (\Omega,\mathcal{S}) </math>, die (ai) und (aii) erfüllt. Dann gilt für <math> B \subset \Omega </math> und wegen <math> B= \Omega \cap B = \left( \bigcup _{j=1}^{m} A_j \right) \cap B</math> die Gleichung :<math>\tilde P (B) = \tilde P \left( \bigcup_ {j=1}^{m} A_j \cap B \right)= \sum _{j=1}^{m} \tilde P (A_j \cap B) = </math> :<math> = \sum _{j=1}^{m} \tilde P (A_j) \cdot \tilde P (B|A_j) \stackrel{(i),(ii)}{=} \sum _{j=1}^{m} p_j {Q_A}_j(B) = P(B) . \qquad \Box</math> [[Datei:Audio de 12 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Zerlegungsatz 4]] <span id="totale_Wahrscheinlichkeit"></span> == Satz der totalen Wahrscheinlichkeit == Für jedes <math> B \subset \Omega </math> und eine Zerlegung <math> (A_1,\ldots , A_m) </math> von <math>\Omega</math> auf <math>(\Omega,\mathcal{S})</math> gilt also für alle <math>B \in \mathcal{S}</math>: :<math> P(B) = \sum _{j=1} ^{m} P(A_j) \cdot P(B|A_j)</math> ("Formel der totalen Wahrscheinlichkeit"). <br> === Aufgabe für Studierende === Beweisen Sie den Satz der totalen Wahrscheinlichkeit über die Zerlegung von <math>\Omega</math>. [[Datei:Audio de 13 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Formel Totale Wahrscheinlichkeit]] <span id="Satz_von_Bayes"></span> == Satz - Formel von Bayes == Ist <math> P </math> eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf <math> \Omega </math>, <math> ( A_1, ... ,A_m ) </math> einer Zerlegung von <math>\Omega </math> auf <math>(\Omega,\mathcal{S})</math> , so gilt für jedes <math> B \in \mathcal{S} </math> mit <math> P(B) > 0 </math> und <math> i= 1, ... ,m </math> :<math>P(A_i|B) = \frac {P(B|A_i) \cdot P(A_i)} { \sum_{j=1}^{m} P(B|A_j) \cdot P(A_j) }.</math> [[Datei:Audio de 14 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Satz von Bayes]] === Beweis === :<math>P(A_i|B) = \frac {P(A_i\cap B)}{P(B)} = \frac{P(B|A_i) \cdot P(A_i)}{\sum_{j=1}^{m} P(B|A_j) \cdot P(A_j)} </math> [[Datei:Audio de 15 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Satz von Bayes - Beweis]] ==== Bemerkung==== Man beachte, dass auf der linken und rechten Seite "Argument und Bedingung" vertauscht auftreten. In einer außermathematischen Deutung spielen <math> A_j </math> die Rolle von (verschiedenen) Ursachen für die Wirkung von <math> B </math>. [[Datei:Audio de 16 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Satz von Bayes - Bemerkung]] ==== Beispiel (Test auf eine Krankheit) ==== <math> \Omega </math> sei die Gesamtheit der Personen aus der Bevölkerung. <math> p \cdot 100\% </math> der Bevölkerung (<math>K \subset \Omega </math>) leidet an der Krankheit. Ein Test für diese Krankheit spreche bei <math> k \cdot 100\% </math> der Kranken aus <math>K</math> an und bei <math> g \cdot 100\% </math> der Gesunden (<math>\Omega \setminus K</math>) positiv an (<math>k =</math> Sensitivität, <math>1-g =</math> Spezifität des Testes). Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat eine zufällig ausgewählte Person <math>\omega \in \Omega</math> die Krankheit, * wenn der Test positiv ausfällt? * wenn der Test negativ ausfällt? [[Datei:Audio de 17 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Satz von Bayes - Beispiel]] <span id="Produktformel"></span> == Produktformel- bedingte Wahrscheinlichkeit == Sei <math>P</math> eine [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] auf <math> \Omega </math> und seien <math> A_1, ... ,A_n \subset \Omega </math> mit <math> P( A_1 \cap ... \cap A_{n-1} )>0 </math>. Dann gilt die sogenannte "Produktformel": :<math> P( A_1 \cap ... \cap A_n) = P(A_1) \cdot P(A_2 | A_1) \cdot P(A_3 | A_1 \cap A_2) \cdot ... \cdot P(A_n | A_1 \cap ... \cap A_{n-1}) </math> [[Datei:Audio de 18 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Produktformel - Satz]] === Beweis - Produktformel === Die Faktoren auf der rechten Seite sind definiert wegen :<math>P(A_1) \ge P(A_1 \cap A_2) \ge ... \ge P(A_1 \cap ... \cap A_{n-1}) >0.</math> :<math> P( A_1 \cap ... \cap A_n) = P( A_1 \cap ... \cap A_{n-1} ) \cdot P( A_n | A_1 \cap ... \cap A_{n-1} ) </math> :<math> = P( A_1 \cap ... \cap A_{n-2}) \cdot P( A_{n-1} | A_1 \cap ... \cap A_{n-1} ) \cdot P( A_n | A_1 \cap ... \cap A_{n-1} ) = ... </math> :<math> = P(A_1) \cdot P(A_2 | A_1) \cdot P(A_3 | A_1 \cap A_2) \cdot ... \cdot P(A_n | A_1 \cap ... \cap A_{n-1}) \ \Box</math> [[Datei:Audio de 19 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Produktformel - Satz - Beweis]] ==== Bemerkung ==== Dieser Satz verallgemeinert die Formel <math>P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A). </math> [[Datei:Audio de 20 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Produktformel - Bemerkung]] == Seiten-Information == Der [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Bedingte+Wahrscheinlichkeit&author=Kurs%3A+Stochastik&audioslide=no&language=de Foliensatz] für diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Bedingte%20Wahrscheinlichkeit Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Bedingte_Wahrscheinlichkeit Bedingte Wahrscheinlichkeit] https://de.wikipedia.org/wiki/Bedingte_Wahrscheinlichkeit * Datum: 5.11.2018 * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity]-Konverter: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity * [https://niebert.github.com/Wiki2Reveal Wiki2Reveal Link-Generator] * Dieser Foliensatz gehört zum [[Kurs:Stochastik]] [[Category:Wiki2Reveal]] 74kg2vn9mj0i7etooypxt813qygear8 1118655 1118637 2026-11-02T14:38:51Z Bert Niehaus 20843 /* Zerlegungssatz */ 1118655 wikitext text/x-wiki [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|146px|mini|Kurs enthält [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] Audio-Folien]] == Einleitung == Diese Lerneinheit aus der [[Kurs:Stochastik|Stochastik]] behandelt folgende Inhalte: * [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Definition|Definition - Bedingte Wahrscheinlichkeit]] * [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Zerlegungssatz|Zerlegungssatz]] * [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Satz_von_Bayes|Satz von Bayes]] * [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Satz_totale_Wahrscheinlichkeit|Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit]] * [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Produktformel|Produktformel]] === Einführendes Beispiel - bedingte Wahrscheinlichkeit=== Gegeben sei ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum <math>(\Omega,\mathcal{S},P) </math>, Gleichverteilung über <math>(\Omega,\mathcal{S}) </math> und <math>\mathcal{S} := \wp((\Omega) </math>. <math> A,B \subset \Omega, A\neq \varnothing </math>. In dem einführenden Beispiel betrachten wir die Ereignisse: * <math>A</math>: Stochastik-Klausur bestanden * <math>B</math>: Fachwissenschaftliche Grundlagen mit 4,0 bestanden * Mit welcher Wahrscheinlichkeit <math>P(A|B)</math> besteht man die Stochastik-Klausur <math>A</math>, wenn man die Klausur zu den fachwissenschaftlichen Grundlagen nur mit 4,0 bestanden hat (d.h. <math>B</math> erfüllt ist)? [[Datei:Audio de 1 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Einleitung]] === Vorüberlegung === Wir nehmen an, dass das Ereignis <math> B </math> eintritt. Welche Definition ist sinnvoll für die Wahrscheinlichkeit von <math> B </math>, unter der Bedingung, dass <math> A </math> eingetreten ist? # Wenn die Bedingung <math> B </math> eintritt, so kann <math> A </math> nur dann eintreten, wenn das Ereignis <math> A \cap B </math> eintritt. # Wir konzentrieren uns auf die Realisationen <math> \omega \in A </math> und betrachten sie als gleichwahrscheinlich ([[w:de:Laplace-Verteilung|Laplace-Verteilung]]). # Allgemein gilt dann <math> P(C) = \frac {| C | }{ | \Omega |} </math> für alle <math>C \in \mathcal{S}</math>. [[Datei:Audio de 2 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Vorlüberlegung]] === Berechnung mit Laplace-Verteilung === Damit kann die Wahrscheinlichkeit von <math> A </math> unter der Bedingung <math> B </math> wie folgt definiert werden: :<math> P(A|B) := \frac {| A\cap B | }{ | B |} = \frac { \tfrac{|A \cap B | }{| \Omega | }} { \tfrac{| B |}{| \Omega | }}= \frac {P (A \cap B)}{ P(B)} </math> Dabei wurde der Bruch mit <math>\frac {1}{| \Omega |}</math> erweitert, um in Zähler und Nenner die Laplace-Wahrscheinlichkeiten für die Ereignisse <math> A \cap B </math> und <math> B </math> zu erzeugen. [[Datei:Audio de 3 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Berechnung mit Laplace-Verteilung]] <span id="Definition"></span> == Definition - bedingte Wahrscheinlichkeit == Sei <math> (\Omega,\mathcal{S},P) </math> ein Wahrscheinlichkeitsraum, <math> A \in \mathcal{S} </math> mit <math> P (B) >0 </math>. <br> a) Die Abbildung <math> P( \cdot | B): \mathcal{S} \to [0,1] </math>, die gemäß <math> P (A | B) = \frac {P(A \cap B)}{P(B)}, A,B \in \mathcal{S} </math> definiert ist, heißt bedingte Wahrscheinlichkeitsverteilung über <math> \Omega </math> unter (der Bedingung) <math> B </math>. <br> b) Die Zahl <math> P(A|B) </math> heißt bedingte Wahrscheinlichkeit von <math> A </math> unter (der Bedingung) <math> B </math>. [[Datei:Audio de 4 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Definition]] === Aufgabe - bedingte Wahrscheinlickeitsverteilung === Sei <math>(\Omega,\mathcal{S},P)</math> ein Wahrscheinlichkeitsraum. Weisen Sie für die Abbildung <math>\widetilde{P}</math> nach, dass diese die Eigenschaften eines Wahrscheinlichkeitsmaßes auf <math>(\Omega,\mathcal{S})</math> erfüllt. :<math> \begin{array}{rrcl} \widetilde{P}: & \mathcal{S} & \rightarrow & [0,1] \\ & A & \mapsto & \widetilde{P}(A) = P(A|B) \end{array} </math> === Aufgaben - Wahrscheinlichkeit auf Bedingung konzentriert=== Es gilt <math> P(\Omega|B) = 1 </math>. Die Wahrscheinlichkeit von <math> P( \cdot |B) </math> ist allerdings auf <math> B </math> konzentriert". * Zeigen Sie dazu, dass <math> P(A|B) = 0 </math> für alle <math> A \subset \bar B = \Omega\setminus B </math> <!-- denn: <math> P(A|B) = \frac {P (A \cap B)} {P(B)} = \frac {P (\emptyset)} {P(B)} = 0 </math> --> * Zeigen Sie, dass für <math> B \subset A </math>, <math> A \not= B </math> gilt, dass <math> P(A|B) = 1</math> (Hinweis: Zeigen Sie, dass <math> P(\bar A|B) = 0</math> gilt!) [[Datei:Audio de 5 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Aufgabenstellung]] === Anmerkung === Formt man die Definitionsformel von oben um zu <math> P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A|B) </math>, so kann man die Wahrscheinlichkeit des gleichzeitig Eintretens von <math> A </math> und <math> B </math> mithilfe der bedingten Wahrscheinlichkeit darstellen. Wir betrachten im Nachfolgenden eine Technik, eine Wahrscheinlichkeit auf <math> \Omega </math> durch bedingten Wahrscheinlichkeiten zusammenzusetzen. === Definition: Zerlegung === <math> (A_1, ..., A_m) </math> heißt Zerlegung von <math> \Omega </math> auf <math> (\Omega,\mathcal{S}) </math>, falls <math>\bigcup_{i=1} ^{m} A_i = \Omega, A_i \cap A_j = \varnothing </math> für alle <math> i \neq j </math> und <math>A_i, A_j \in \mathcal{S}</math>. === Motivation - Auswahl mit beschränkten Optionen === Als Beispiel werden 100 verschiedene Spiele <math>\Omega</math> auf <math>m</math> verschiedene Spielekisten <math>A_1, \ldots , A_m</math> verteilt. Es gibt <math>m\in \mathbb{N}</math> Personen und jede Person bekommt eine Kiste. Jede Person <math>i</math> kann nur Spiele aus der eigenen Kiste <math>A_i</math> und nicht aus anderen Kisten <math>A_j</math> auswählen mit <math>i\neq j</math>. Es gibt für jede der <math>i</math> Personen präferiert Spiele und daher gibt es eine Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>{Q_A}_i</math> ("Qual der Wahl aus <math>A_i</math>"), die die Wahrscheinlichkeit beschreibt, ein Spiel bestimmtes Spiel aus der eigenen Spielekiste auszuwählen. Die Wahrscheinlichkeit ist auf <math>A_i</math> konzentriert, da die Spieler nur aus der eigenen Kiste auswählen können. == Zerlegungssatz == Sei <math>(A_1, ... ,A_m )</math> eine Zerlegung von <math>\Omega </math> auf <math> (\Omega,\mathcal{S})</math>. Für jedes <math> i = 1, ...,m </math> sei eine auf <math>A_i</math> konzentrierte Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>Q_{A_i}</math> auf <math>(\Omega,\mathcal{S} ) </math> gegeben (d.h. <math>{Q_A}_i (A_i) = 1 </math>) sowie Zahlen <math>p_i \in ( 0,1]</math> mit <math>\sum _{i = 1} ^{m} p_i = 1 </math>. <br> * (a) Dann existiert genau eine Wahrscheinlichkeitsverteilung <math> P </math> auf <math> \Omega </math> mit <br> ** (i) <math>P(A_i) = p_i > 0</math>. <br> ** (ii) <math>P(B|A_i) = {Q_A}_i(B)</math>, falls <math>p_i >0 </math> für alle <math>i=1, ...,m </math>. <br> * (b) Es gilt <math> P(B) = \sum _{i=1} ^{m} p_i \cdot {Q_A}_i(B) </math> für jedes <math> B \in \mathcal{S} </math>. === Beweis - Zerlegungssatz === Der Beweis gliedert sich in eine Existenzaussage für <math>P</math> und eine Eindeutigkeitsaussage, bei der die Existenz einer weiteren Wahrscheinlichkeitsverteilung für <math>\widetilde{P}</math> auf <math>\mathcal{S}</math> angenommen wird. Dann wird gezeigt, dass <math>\widetilde{P} = P</math> gilt bzw. <math>\widetilde{P}(B) = P(B)</math> für beliebige <math>B\in\mathcal{S}</math> gilt. ==== Beweis Existenz (i)==== Man definiere <math> P</math> gemäß Formel b) und rechnet nach, dass <math>P</math> eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf <math>\Omega </math> ist. Wie in der letzten Bemerkung gilt für die paarweise disjunkten <math> A_i</math> :<math>{Q_A}_i(A_j) = \left \{ \begin{array}{ll} 0, & i \neq j\\ 1, & i = j \end{array}\right. </math> Daraus folgt sofort (ai) <math>P(A_k) = \sum _{i=1} ^{m} p_i \cdot {Q_A}_i(A_k) = p_k</math>. [[Datei:Audio de 10 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Zerlegungsatz 2]] ==== Beweis Existenz (ii)==== Für ein beliebiges <math>p_i > 0 </math> und <math> B \in \mathcal{S} </math> gilt :<math> P(B|A_i) = \frac {P(A_i \cap B)}{ P(A_i)} = \frac {1} {p_i} \sum _{j=1} ^{m} p_j \cdot {Q_A}_j (A_i \cap B) = </math> :<math>= \frac {p_i} {p_i} ({Q_A}_i (A_i \cap B) + {Q_A}_i( \bar A_i \cap B) = {Q_A}_i(B) )</math> also ii). [[Datei:Audio de 11 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Zerlegungsatz 3]] ==== Beweis Eindeutigkeit ==== Sei <math> \tilde P </math> eine (weitere) Wahrscheinlichkeitsverteilung auf <math> (\Omega,\mathcal{S}) </math>, die (ai) und (aii) erfüllt. Dann gilt für <math> B \subset \Omega </math> und wegen <math> B= \Omega \cap B = \left( \bigcup _{j=1}^{m} A_j \right) \cap B</math> die Gleichung :<math>\tilde P (B) = \tilde P \left( \bigcup_ {j=1}^{m} A_j \cap B \right)= \sum _{j=1}^{m} \tilde P (A_j \cap B) = </math> :<math> = \sum _{j=1}^{m} \tilde P (A_j) \cdot \tilde P (B|A_j) \stackrel{(i),(ii)}{=} \sum _{j=1}^{m} p_j {Q_A}_j(B) = P(B) . \qquad \Box</math> [[Datei:Audio de 12 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Zerlegungsatz 4]] <span id="totale_Wahrscheinlichkeit"></span> == Satz der totalen Wahrscheinlichkeit == Für jedes <math> B \subset \Omega </math> und eine Zerlegung <math> (A_1,\ldots , A_m) </math> von <math>\Omega</math> auf <math>(\Omega,\mathcal{S})</math> gilt also für alle <math>B \in \mathcal{S}</math>: :<math> P(B) = \sum _{j=1} ^{m} P(A_j) \cdot P(B|A_j)</math> ("Formel der totalen Wahrscheinlichkeit"). <br> === Aufgabe für Studierende === Beweisen Sie den Satz der totalen Wahrscheinlichkeit über die Zerlegung von <math>\Omega</math>. [[Datei:Audio de 13 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Formel Totale Wahrscheinlichkeit]] <span id="Satz_von_Bayes"></span> == Satz - Formel von Bayes == Ist <math> P </math> eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf <math> \Omega </math>, <math> ( A_1, ... ,A_m ) </math> einer Zerlegung von <math>\Omega </math> auf <math>(\Omega,\mathcal{S})</math> , so gilt für jedes <math> B \in \mathcal{S} </math> mit <math> P(B) > 0 </math> und <math> i= 1, ... ,m </math> :<math>P(A_i|B) = \frac {P(B|A_i) \cdot P(A_i)} { \sum_{j=1}^{m} P(B|A_j) \cdot P(A_j) }.</math> [[Datei:Audio de 14 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Satz von Bayes]] === Beweis === :<math>P(A_i|B) = \frac {P(A_i\cap B)}{P(B)} = \frac{P(B|A_i) \cdot P(A_i)}{\sum_{j=1}^{m} P(B|A_j) \cdot P(A_j)} </math> [[Datei:Audio de 15 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Satz von Bayes - Beweis]] ==== Bemerkung==== Man beachte, dass auf der linken und rechten Seite "Argument und Bedingung" vertauscht auftreten. In einer außermathematischen Deutung spielen <math> A_j </math> die Rolle von (verschiedenen) Ursachen für die Wirkung von <math> B </math>. [[Datei:Audio de 16 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Satz von Bayes - Bemerkung]] ==== Beispiel (Test auf eine Krankheit) ==== <math> \Omega </math> sei die Gesamtheit der Personen aus der Bevölkerung. <math> p \cdot 100\% </math> der Bevölkerung (<math>K \subset \Omega </math>) leidet an der Krankheit. Ein Test für diese Krankheit spreche bei <math> k \cdot 100\% </math> der Kranken aus <math>K</math> an und bei <math> g \cdot 100\% </math> der Gesunden (<math>\Omega \setminus K</math>) positiv an (<math>k =</math> Sensitivität, <math>1-g =</math> Spezifität des Testes). Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat eine zufällig ausgewählte Person <math>\omega \in \Omega</math> die Krankheit, * wenn der Test positiv ausfällt? * wenn der Test negativ ausfällt? [[Datei:Audio de 17 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Satz von Bayes - Beispiel]] <span id="Produktformel"></span> == Produktformel- bedingte Wahrscheinlichkeit == Sei <math>P</math> eine [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] auf <math> \Omega </math> und seien <math> A_1, ... ,A_n \subset \Omega </math> mit <math> P( A_1 \cap ... \cap A_{n-1} )>0 </math>. Dann gilt die sogenannte "Produktformel": :<math> P( A_1 \cap ... \cap A_n) = P(A_1) \cdot P(A_2 | A_1) \cdot P(A_3 | A_1 \cap A_2) \cdot ... \cdot P(A_n | A_1 \cap ... \cap A_{n-1}) </math> [[Datei:Audio de 18 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Produktformel - Satz]] === Beweis - Produktformel === Die Faktoren auf der rechten Seite sind definiert wegen :<math>P(A_1) \ge P(A_1 \cap A_2) \ge ... \ge P(A_1 \cap ... \cap A_{n-1}) >0.</math> :<math> P( A_1 \cap ... \cap A_n) = P( A_1 \cap ... \cap A_{n-1} ) \cdot P( A_n | A_1 \cap ... \cap A_{n-1} ) </math> :<math> = P( A_1 \cap ... \cap A_{n-2}) \cdot P( A_{n-1} | A_1 \cap ... \cap A_{n-1} ) \cdot P( A_n | A_1 \cap ... \cap A_{n-1} ) = ... </math> :<math> = P(A_1) \cdot P(A_2 | A_1) \cdot P(A_3 | A_1 \cap A_2) \cdot ... \cdot P(A_n | A_1 \cap ... \cap A_{n-1}) \ \Box</math> [[Datei:Audio de 19 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Produktformel - Satz - Beweis]] ==== Bemerkung ==== Dieser Satz verallgemeinert die Formel <math>P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A). </math> [[Datei:Audio de 20 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Produktformel - Bemerkung]] == Seiten-Information == Der [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Bedingte+Wahrscheinlichkeit&author=Kurs%3A+Stochastik&audioslide=no&language=de Foliensatz] für diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Bedingte%20Wahrscheinlichkeit Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Bedingte_Wahrscheinlichkeit Bedingte Wahrscheinlichkeit] https://de.wikipedia.org/wiki/Bedingte_Wahrscheinlichkeit * Datum: 5.11.2018 * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity]-Konverter: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity * [https://niebert.github.com/Wiki2Reveal Wiki2Reveal Link-Generator] * Dieser Foliensatz gehört zum [[Kurs:Stochastik]] [[Category:Wiki2Reveal]] r96fk9e1xfgj89igylobymfkohy8lv1 1118656 1118655 2026-11-02T14:39:23Z Bert Niehaus 20843 /* Motivation - Auswahl mit beschränkten Optionen */ 1118656 wikitext text/x-wiki [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|146px|mini|Kurs enthält [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] Audio-Folien]] == Einleitung == Diese Lerneinheit aus der [[Kurs:Stochastik|Stochastik]] behandelt folgende Inhalte: * [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Definition|Definition - Bedingte Wahrscheinlichkeit]] * [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Zerlegungssatz|Zerlegungssatz]] * [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Satz_von_Bayes|Satz von Bayes]] * [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Satz_totale_Wahrscheinlichkeit|Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit]] * [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Produktformel|Produktformel]] === Einführendes Beispiel - bedingte Wahrscheinlichkeit=== Gegeben sei ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum <math>(\Omega,\mathcal{S},P) </math>, Gleichverteilung über <math>(\Omega,\mathcal{S}) </math> und <math>\mathcal{S} := \wp((\Omega) </math>. <math> A,B \subset \Omega, A\neq \varnothing </math>. In dem einführenden Beispiel betrachten wir die Ereignisse: * <math>A</math>: Stochastik-Klausur bestanden * <math>B</math>: Fachwissenschaftliche Grundlagen mit 4,0 bestanden * Mit welcher Wahrscheinlichkeit <math>P(A|B)</math> besteht man die Stochastik-Klausur <math>A</math>, wenn man die Klausur zu den fachwissenschaftlichen Grundlagen nur mit 4,0 bestanden hat (d.h. <math>B</math> erfüllt ist)? [[Datei:Audio de 1 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Einleitung]] === Vorüberlegung === Wir nehmen an, dass das Ereignis <math> B </math> eintritt. Welche Definition ist sinnvoll für die Wahrscheinlichkeit von <math> B </math>, unter der Bedingung, dass <math> A </math> eingetreten ist? # Wenn die Bedingung <math> B </math> eintritt, so kann <math> A </math> nur dann eintreten, wenn das Ereignis <math> A \cap B </math> eintritt. # Wir konzentrieren uns auf die Realisationen <math> \omega \in A </math> und betrachten sie als gleichwahrscheinlich ([[w:de:Laplace-Verteilung|Laplace-Verteilung]]). # Allgemein gilt dann <math> P(C) = \frac {| C | }{ | \Omega |} </math> für alle <math>C \in \mathcal{S}</math>. [[Datei:Audio de 2 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Vorlüberlegung]] === Berechnung mit Laplace-Verteilung === Damit kann die Wahrscheinlichkeit von <math> A </math> unter der Bedingung <math> B </math> wie folgt definiert werden: :<math> P(A|B) := \frac {| A\cap B | }{ | B |} = \frac { \tfrac{|A \cap B | }{| \Omega | }} { \tfrac{| B |}{| \Omega | }}= \frac {P (A \cap B)}{ P(B)} </math> Dabei wurde der Bruch mit <math>\frac {1}{| \Omega |}</math> erweitert, um in Zähler und Nenner die Laplace-Wahrscheinlichkeiten für die Ereignisse <math> A \cap B </math> und <math> B </math> zu erzeugen. [[Datei:Audio de 3 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Berechnung mit Laplace-Verteilung]] <span id="Definition"></span> == Definition - bedingte Wahrscheinlichkeit == Sei <math> (\Omega,\mathcal{S},P) </math> ein Wahrscheinlichkeitsraum, <math> A \in \mathcal{S} </math> mit <math> P (B) >0 </math>. <br> a) Die Abbildung <math> P( \cdot | B): \mathcal{S} \to [0,1] </math>, die gemäß <math> P (A | B) = \frac {P(A \cap B)}{P(B)}, A,B \in \mathcal{S} </math> definiert ist, heißt bedingte Wahrscheinlichkeitsverteilung über <math> \Omega </math> unter (der Bedingung) <math> B </math>. <br> b) Die Zahl <math> P(A|B) </math> heißt bedingte Wahrscheinlichkeit von <math> A </math> unter (der Bedingung) <math> B </math>. [[Datei:Audio de 4 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Definition]] === Aufgabe - bedingte Wahrscheinlickeitsverteilung === Sei <math>(\Omega,\mathcal{S},P)</math> ein Wahrscheinlichkeitsraum. Weisen Sie für die Abbildung <math>\widetilde{P}</math> nach, dass diese die Eigenschaften eines Wahrscheinlichkeitsmaßes auf <math>(\Omega,\mathcal{S})</math> erfüllt. :<math> \begin{array}{rrcl} \widetilde{P}: & \mathcal{S} & \rightarrow & [0,1] \\ & A & \mapsto & \widetilde{P}(A) = P(A|B) \end{array} </math> === Aufgaben - Wahrscheinlichkeit auf Bedingung konzentriert=== Es gilt <math> P(\Omega|B) = 1 </math>. Die Wahrscheinlichkeit von <math> P( \cdot |B) </math> ist allerdings auf <math> B </math> konzentriert". * Zeigen Sie dazu, dass <math> P(A|B) = 0 </math> für alle <math> A \subset \bar B = \Omega\setminus B </math> <!-- denn: <math> P(A|B) = \frac {P (A \cap B)} {P(B)} = \frac {P (\emptyset)} {P(B)} = 0 </math> --> * Zeigen Sie, dass für <math> B \subset A </math>, <math> A \not= B </math> gilt, dass <math> P(A|B) = 1</math> (Hinweis: Zeigen Sie, dass <math> P(\bar A|B) = 0</math> gilt!) [[Datei:Audio de 5 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Aufgabenstellung]] === Anmerkung === Formt man die Definitionsformel von oben um zu <math> P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A|B) </math>, so kann man die Wahrscheinlichkeit des gleichzeitig Eintretens von <math> A </math> und <math> B </math> mithilfe der bedingten Wahrscheinlichkeit darstellen. Wir betrachten im Nachfolgenden eine Technik, eine Wahrscheinlichkeit auf <math> \Omega </math> durch bedingten Wahrscheinlichkeiten zusammenzusetzen. === Definition: Zerlegung === <math> (A_1, ..., A_m) </math> heißt Zerlegung von <math> \Omega </math> auf <math> (\Omega,\mathcal{S}) </math>, falls <math>\bigcup_{i=1} ^{m} A_i = \Omega, A_i \cap A_j = \varnothing </math> für alle <math> i \neq j </math> und <math>A_i, A_j \in \mathcal{S}</math>. === Motivation - Auswahl mit beschränkten Optionen === Als Beispiel werden 100 verschiedene Spiele <math>\Omega</math> auf <math>m</math> verschiedene Spielekisten <math>A_1, \ldots , A_m</math> verteilt. Es gibt <math>m\in \mathbb{N}</math> Personen und jede Person bekommt eine Kiste. Jede Person <math>i</math> kann nur Spiele aus der eigenen Kiste <math>A_i</math> und nicht aus anderen Kisten <math>A_j</math> auswählen mit <math>i\neq j</math>. Es gibt für jede der <math>i</math> Personen präferiert Spiele und daher gibt es eine Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>{Q_A}_i</math> (''"Qual der Wahl aus <math>A_i</math> aus der Spielekiste"''), die die Wahrscheinlichkeit beschreibt, ein Spiel bestimmtes Spiel aus der eigenen Spielekiste auszuwählen. Die Wahrscheinlichkeit ist auf <math>A_i</math> konzentriert, da die Spieler nur aus der eigenen Kiste auswählen können. == Zerlegungssatz == Sei <math>(A_1, ... ,A_m )</math> eine Zerlegung von <math>\Omega </math> auf <math> (\Omega,\mathcal{S})</math>. Für jedes <math> i = 1, ...,m </math> sei eine auf <math>A_i</math> konzentrierte Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>Q_{A_i}</math> auf <math>(\Omega,\mathcal{S} ) </math> gegeben (d.h. <math>{Q_A}_i (A_i) = 1 </math>) sowie Zahlen <math>p_i \in ( 0,1]</math> mit <math>\sum _{i = 1} ^{m} p_i = 1 </math>. <br> * (a) Dann existiert genau eine Wahrscheinlichkeitsverteilung <math> P </math> auf <math> \Omega </math> mit <br> ** (i) <math>P(A_i) = p_i > 0</math>. <br> ** (ii) <math>P(B|A_i) = {Q_A}_i(B)</math>, falls <math>p_i >0 </math> für alle <math>i=1, ...,m </math>. <br> * (b) Es gilt <math> P(B) = \sum _{i=1} ^{m} p_i \cdot {Q_A}_i(B) </math> für jedes <math> B \in \mathcal{S} </math>. === Beweis - Zerlegungssatz === Der Beweis gliedert sich in eine Existenzaussage für <math>P</math> und eine Eindeutigkeitsaussage, bei der die Existenz einer weiteren Wahrscheinlichkeitsverteilung für <math>\widetilde{P}</math> auf <math>\mathcal{S}</math> angenommen wird. Dann wird gezeigt, dass <math>\widetilde{P} = P</math> gilt bzw. <math>\widetilde{P}(B) = P(B)</math> für beliebige <math>B\in\mathcal{S}</math> gilt. ==== Beweis Existenz (i)==== Man definiere <math> P</math> gemäß Formel b) und rechnet nach, dass <math>P</math> eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf <math>\Omega </math> ist. Wie in der letzten Bemerkung gilt für die paarweise disjunkten <math> A_i</math> :<math>{Q_A}_i(A_j) = \left \{ \begin{array}{ll} 0, & i \neq j\\ 1, & i = j \end{array}\right. </math> Daraus folgt sofort (ai) <math>P(A_k) = \sum _{i=1} ^{m} p_i \cdot {Q_A}_i(A_k) = p_k</math>. [[Datei:Audio de 10 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Zerlegungsatz 2]] ==== Beweis Existenz (ii)==== Für ein beliebiges <math>p_i > 0 </math> und <math> B \in \mathcal{S} </math> gilt :<math> P(B|A_i) = \frac {P(A_i \cap B)}{ P(A_i)} = \frac {1} {p_i} \sum _{j=1} ^{m} p_j \cdot {Q_A}_j (A_i \cap B) = </math> :<math>= \frac {p_i} {p_i} ({Q_A}_i (A_i \cap B) + {Q_A}_i( \bar A_i \cap B) = {Q_A}_i(B) )</math> also ii). [[Datei:Audio de 11 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Zerlegungsatz 3]] ==== Beweis Eindeutigkeit ==== Sei <math> \tilde P </math> eine (weitere) Wahrscheinlichkeitsverteilung auf <math> (\Omega,\mathcal{S}) </math>, die (ai) und (aii) erfüllt. Dann gilt für <math> B \subset \Omega </math> und wegen <math> B= \Omega \cap B = \left( \bigcup _{j=1}^{m} A_j \right) \cap B</math> die Gleichung :<math>\tilde P (B) = \tilde P \left( \bigcup_ {j=1}^{m} A_j \cap B \right)= \sum _{j=1}^{m} \tilde P (A_j \cap B) = </math> :<math> = \sum _{j=1}^{m} \tilde P (A_j) \cdot \tilde P (B|A_j) \stackrel{(i),(ii)}{=} \sum _{j=1}^{m} p_j {Q_A}_j(B) = P(B) . \qquad \Box</math> [[Datei:Audio de 12 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Zerlegungsatz 4]] <span id="totale_Wahrscheinlichkeit"></span> == Satz der totalen Wahrscheinlichkeit == Für jedes <math> B \subset \Omega </math> und eine Zerlegung <math> (A_1,\ldots , A_m) </math> von <math>\Omega</math> auf <math>(\Omega,\mathcal{S})</math> gilt also für alle <math>B \in \mathcal{S}</math>: :<math> P(B) = \sum _{j=1} ^{m} P(A_j) \cdot P(B|A_j)</math> ("Formel der totalen Wahrscheinlichkeit"). <br> === Aufgabe für Studierende === Beweisen Sie den Satz der totalen Wahrscheinlichkeit über die Zerlegung von <math>\Omega</math>. [[Datei:Audio de 13 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Formel Totale Wahrscheinlichkeit]] <span id="Satz_von_Bayes"></span> == Satz - Formel von Bayes == Ist <math> P </math> eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf <math> \Omega </math>, <math> ( A_1, ... ,A_m ) </math> einer Zerlegung von <math>\Omega </math> auf <math>(\Omega,\mathcal{S})</math> , so gilt für jedes <math> B \in \mathcal{S} </math> mit <math> P(B) > 0 </math> und <math> i= 1, ... ,m </math> :<math>P(A_i|B) = \frac {P(B|A_i) \cdot P(A_i)} { \sum_{j=1}^{m} P(B|A_j) \cdot P(A_j) }.</math> [[Datei:Audio de 14 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Satz von Bayes]] === Beweis === :<math>P(A_i|B) = \frac {P(A_i\cap B)}{P(B)} = \frac{P(B|A_i) \cdot P(A_i)}{\sum_{j=1}^{m} P(B|A_j) \cdot P(A_j)} </math> [[Datei:Audio de 15 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Satz von Bayes - Beweis]] ==== Bemerkung==== Man beachte, dass auf der linken und rechten Seite "Argument und Bedingung" vertauscht auftreten. In einer außermathematischen Deutung spielen <math> A_j </math> die Rolle von (verschiedenen) Ursachen für die Wirkung von <math> B </math>. [[Datei:Audio de 16 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Satz von Bayes - Bemerkung]] ==== Beispiel (Test auf eine Krankheit) ==== <math> \Omega </math> sei die Gesamtheit der Personen aus der Bevölkerung. <math> p \cdot 100\% </math> der Bevölkerung (<math>K \subset \Omega </math>) leidet an der Krankheit. Ein Test für diese Krankheit spreche bei <math> k \cdot 100\% </math> der Kranken aus <math>K</math> an und bei <math> g \cdot 100\% </math> der Gesunden (<math>\Omega \setminus K</math>) positiv an (<math>k =</math> Sensitivität, <math>1-g =</math> Spezifität des Testes). Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat eine zufällig ausgewählte Person <math>\omega \in \Omega</math> die Krankheit, * wenn der Test positiv ausfällt? * wenn der Test negativ ausfällt? [[Datei:Audio de 17 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Satz von Bayes - Beispiel]] <span id="Produktformel"></span> == Produktformel- bedingte Wahrscheinlichkeit == Sei <math>P</math> eine [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] auf <math> \Omega </math> und seien <math> A_1, ... ,A_n \subset \Omega </math> mit <math> P( A_1 \cap ... \cap A_{n-1} )>0 </math>. Dann gilt die sogenannte "Produktformel": :<math> P( A_1 \cap ... \cap A_n) = P(A_1) \cdot P(A_2 | A_1) \cdot P(A_3 | A_1 \cap A_2) \cdot ... \cdot P(A_n | A_1 \cap ... \cap A_{n-1}) </math> [[Datei:Audio de 18 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Produktformel - Satz]] === Beweis - Produktformel === Die Faktoren auf der rechten Seite sind definiert wegen :<math>P(A_1) \ge P(A_1 \cap A_2) \ge ... \ge P(A_1 \cap ... \cap A_{n-1}) >0.</math> :<math> P( A_1 \cap ... \cap A_n) = P( A_1 \cap ... \cap A_{n-1} ) \cdot P( A_n | A_1 \cap ... \cap A_{n-1} ) </math> :<math> = P( A_1 \cap ... \cap A_{n-2}) \cdot P( A_{n-1} | A_1 \cap ... \cap A_{n-1} ) \cdot P( A_n | A_1 \cap ... \cap A_{n-1} ) = ... </math> :<math> = P(A_1) \cdot P(A_2 | A_1) \cdot P(A_3 | A_1 \cap A_2) \cdot ... \cdot P(A_n | A_1 \cap ... \cap A_{n-1}) \ \Box</math> [[Datei:Audio de 19 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Produktformel - Satz - Beweis]] ==== Bemerkung ==== Dieser Satz verallgemeinert die Formel <math>P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A). </math> [[Datei:Audio de 20 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Produktformel - Bemerkung]] == Seiten-Information == Der [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Bedingte+Wahrscheinlichkeit&author=Kurs%3A+Stochastik&audioslide=no&language=de Foliensatz] für diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Bedingte%20Wahrscheinlichkeit Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Bedingte_Wahrscheinlichkeit Bedingte Wahrscheinlichkeit] https://de.wikipedia.org/wiki/Bedingte_Wahrscheinlichkeit * Datum: 5.11.2018 * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity]-Konverter: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity * [https://niebert.github.com/Wiki2Reveal Wiki2Reveal Link-Generator] * Dieser Foliensatz gehört zum [[Kurs:Stochastik]] [[Category:Wiki2Reveal]] e0asrp3luju1ytczapc7t7cr8umourg 1118657 1118656 2026-11-02T14:57:19Z Bert Niehaus 20843 /* Satz der totalen Wahrscheinlichkeit */ 1118657 wikitext text/x-wiki [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|146px|mini|Kurs enthält [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] Audio-Folien]] == Einleitung == Diese Lerneinheit aus der [[Kurs:Stochastik|Stochastik]] behandelt folgende Inhalte: * [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Definition|Definition - Bedingte Wahrscheinlichkeit]] * [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Zerlegungssatz|Zerlegungssatz]] * [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Satz_von_Bayes|Satz von Bayes]] * [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Satz_totale_Wahrscheinlichkeit|Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit]] * [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Produktformel|Produktformel]] === Einführendes Beispiel - bedingte Wahrscheinlichkeit=== Gegeben sei ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum <math>(\Omega,\mathcal{S},P) </math>, Gleichverteilung über <math>(\Omega,\mathcal{S}) </math> und <math>\mathcal{S} := \wp((\Omega) </math>. <math> A,B \subset \Omega, A\neq \varnothing </math>. In dem einführenden Beispiel betrachten wir die Ereignisse: * <math>A</math>: Stochastik-Klausur bestanden * <math>B</math>: Fachwissenschaftliche Grundlagen mit 4,0 bestanden * Mit welcher Wahrscheinlichkeit <math>P(A|B)</math> besteht man die Stochastik-Klausur <math>A</math>, wenn man die Klausur zu den fachwissenschaftlichen Grundlagen nur mit 4,0 bestanden hat (d.h. <math>B</math> erfüllt ist)? [[Datei:Audio de 1 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Einleitung]] === Vorüberlegung === Wir nehmen an, dass das Ereignis <math> B </math> eintritt. Welche Definition ist sinnvoll für die Wahrscheinlichkeit von <math> B </math>, unter der Bedingung, dass <math> A </math> eingetreten ist? # Wenn die Bedingung <math> B </math> eintritt, so kann <math> A </math> nur dann eintreten, wenn das Ereignis <math> A \cap B </math> eintritt. # Wir konzentrieren uns auf die Realisationen <math> \omega \in A </math> und betrachten sie als gleichwahrscheinlich ([[w:de:Laplace-Verteilung|Laplace-Verteilung]]). # Allgemein gilt dann <math> P(C) = \frac {| C | }{ | \Omega |} </math> für alle <math>C \in \mathcal{S}</math>. [[Datei:Audio de 2 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Vorlüberlegung]] === Berechnung mit Laplace-Verteilung === Damit kann die Wahrscheinlichkeit von <math> A </math> unter der Bedingung <math> B </math> wie folgt definiert werden: :<math> P(A|B) := \frac {| A\cap B | }{ | B |} = \frac { \tfrac{|A \cap B | }{| \Omega | }} { \tfrac{| B |}{| \Omega | }}= \frac {P (A \cap B)}{ P(B)} </math> Dabei wurde der Bruch mit <math>\frac {1}{| \Omega |}</math> erweitert, um in Zähler und Nenner die Laplace-Wahrscheinlichkeiten für die Ereignisse <math> A \cap B </math> und <math> B </math> zu erzeugen. [[Datei:Audio de 3 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Berechnung mit Laplace-Verteilung]] <span id="Definition"></span> == Definition - bedingte Wahrscheinlichkeit == Sei <math> (\Omega,\mathcal{S},P) </math> ein Wahrscheinlichkeitsraum, <math> A \in \mathcal{S} </math> mit <math> P (B) >0 </math>. <br> a) Die Abbildung <math> P( \cdot | B): \mathcal{S} \to [0,1] </math>, die gemäß <math> P (A | B) = \frac {P(A \cap B)}{P(B)}, A,B \in \mathcal{S} </math> definiert ist, heißt bedingte Wahrscheinlichkeitsverteilung über <math> \Omega </math> unter (der Bedingung) <math> B </math>. <br> b) Die Zahl <math> P(A|B) </math> heißt bedingte Wahrscheinlichkeit von <math> A </math> unter (der Bedingung) <math> B </math>. [[Datei:Audio de 4 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Definition]] === Aufgabe - bedingte Wahrscheinlickeitsverteilung === Sei <math>(\Omega,\mathcal{S},P)</math> ein Wahrscheinlichkeitsraum. Weisen Sie für die Abbildung <math>\widetilde{P}</math> nach, dass diese die Eigenschaften eines Wahrscheinlichkeitsmaßes auf <math>(\Omega,\mathcal{S})</math> erfüllt. :<math> \begin{array}{rrcl} \widetilde{P}: & \mathcal{S} & \rightarrow & [0,1] \\ & A & \mapsto & \widetilde{P}(A) = P(A|B) \end{array} </math> === Aufgaben - Wahrscheinlichkeit auf Bedingung konzentriert=== Es gilt <math> P(\Omega|B) = 1 </math>. Die Wahrscheinlichkeit von <math> P( \cdot |B) </math> ist allerdings auf <math> B </math> konzentriert". * Zeigen Sie dazu, dass <math> P(A|B) = 0 </math> für alle <math> A \subset \bar B = \Omega\setminus B </math> <!-- denn: <math> P(A|B) = \frac {P (A \cap B)} {P(B)} = \frac {P (\emptyset)} {P(B)} = 0 </math> --> * Zeigen Sie, dass für <math> B \subset A </math>, <math> A \not= B </math> gilt, dass <math> P(A|B) = 1</math> (Hinweis: Zeigen Sie, dass <math> P(\bar A|B) = 0</math> gilt!) [[Datei:Audio de 5 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Aufgabenstellung]] === Anmerkung === Formt man die Definitionsformel von oben um zu <math> P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A|B) </math>, so kann man die Wahrscheinlichkeit des gleichzeitig Eintretens von <math> A </math> und <math> B </math> mithilfe der bedingten Wahrscheinlichkeit darstellen. Wir betrachten im Nachfolgenden eine Technik, eine Wahrscheinlichkeit auf <math> \Omega </math> durch bedingten Wahrscheinlichkeiten zusammenzusetzen. === Definition: Zerlegung === <math> (A_1, ..., A_m) </math> heißt Zerlegung von <math> \Omega </math> auf <math> (\Omega,\mathcal{S}) </math>, falls <math>\bigcup_{i=1} ^{m} A_i = \Omega, A_i \cap A_j = \varnothing </math> für alle <math> i \neq j </math> und <math>A_i, A_j \in \mathcal{S}</math>. === Motivation - Auswahl mit beschränkten Optionen === Als Beispiel werden 100 verschiedene Spiele <math>\Omega</math> auf <math>m</math> verschiedene Spielekisten <math>A_1, \ldots , A_m</math> verteilt. Es gibt <math>m\in \mathbb{N}</math> Personen und jede Person bekommt eine Kiste. Jede Person <math>i</math> kann nur Spiele aus der eigenen Kiste <math>A_i</math> und nicht aus anderen Kisten <math>A_j</math> auswählen mit <math>i\neq j</math>. Es gibt für jede der <math>i</math> Personen präferiert Spiele und daher gibt es eine Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>{Q_A}_i</math> (''"Qual der Wahl aus <math>A_i</math> aus der Spielekiste"''), die die Wahrscheinlichkeit beschreibt, ein Spiel bestimmtes Spiel aus der eigenen Spielekiste auszuwählen. Die Wahrscheinlichkeit ist auf <math>A_i</math> konzentriert, da die Spieler nur aus der eigenen Kiste auswählen können. == Zerlegungssatz == Sei <math>(A_1, ... ,A_m )</math> eine Zerlegung von <math>\Omega </math> auf <math> (\Omega,\mathcal{S})</math>. Für jedes <math> i = 1, ...,m </math> sei eine auf <math>A_i</math> konzentrierte Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>Q_{A_i}</math> auf <math>(\Omega,\mathcal{S} ) </math> gegeben (d.h. <math>{Q_A}_i (A_i) = 1 </math>) sowie Zahlen <math>p_i \in ( 0,1]</math> mit <math>\sum _{i = 1} ^{m} p_i = 1 </math>. <br> * (a) Dann existiert genau eine Wahrscheinlichkeitsverteilung <math> P </math> auf <math> \Omega </math> mit <br> ** (i) <math>P(A_i) = p_i > 0</math>. <br> ** (ii) <math>P(B|A_i) = {Q_A}_i(B)</math>, falls <math>p_i >0 </math> für alle <math>i=1, ...,m </math>. <br> * (b) Es gilt <math> P(B) = \sum _{i=1} ^{m} p_i \cdot {Q_A}_i(B) </math> für jedes <math> B \in \mathcal{S} </math>. === Beweis - Zerlegungssatz === Der Beweis gliedert sich in eine Existenzaussage für <math>P</math> und eine Eindeutigkeitsaussage, bei der die Existenz einer weiteren Wahrscheinlichkeitsverteilung für <math>\widetilde{P}</math> auf <math>\mathcal{S}</math> angenommen wird. Dann wird gezeigt, dass <math>\widetilde{P} = P</math> gilt bzw. <math>\widetilde{P}(B) = P(B)</math> für beliebige <math>B\in\mathcal{S}</math> gilt. ==== Beweis Existenz (i)==== Man definiere <math> P</math> gemäß Formel b) und rechnet nach, dass <math>P</math> eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf <math>\Omega </math> ist. Wie in der letzten Bemerkung gilt für die paarweise disjunkten <math> A_i</math> :<math>{Q_A}_i(A_j) = \left \{ \begin{array}{ll} 0, & i \neq j\\ 1, & i = j \end{array}\right. </math> Daraus folgt sofort (ai) <math>P(A_k) = \sum _{i=1} ^{m} p_i \cdot {Q_A}_i(A_k) = p_k</math>. [[Datei:Audio de 10 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Zerlegungsatz 2]] ==== Beweis Existenz (ii)==== Für ein beliebiges <math>p_i > 0 </math> und <math> B \in \mathcal{S} </math> gilt :<math> P(B|A_i) = \frac {P(A_i \cap B)}{ P(A_i)} = \frac {1} {p_i} \sum _{j=1} ^{m} p_j \cdot {Q_A}_j (A_i \cap B) = </math> :<math>= \frac {p_i} {p_i} ({Q_A}_i (A_i \cap B) + {Q_A}_i( \bar A_i \cap B) = {Q_A}_i(B) )</math> also ii). [[Datei:Audio de 11 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Zerlegungsatz 3]] ==== Beweis Eindeutigkeit ==== Sei <math> \tilde P </math> eine (weitere) Wahrscheinlichkeitsverteilung auf <math> (\Omega,\mathcal{S}) </math>, die (ai) und (aii) erfüllt. Dann gilt für <math> B \subset \Omega </math> und wegen <math> B= \Omega \cap B = \left( \bigcup _{j=1}^{m} A_j \right) \cap B</math> die Gleichung :<math>\tilde P (B) = \tilde P \left( \bigcup_ {j=1}^{m} A_j \cap B \right)= \sum _{j=1}^{m} \tilde P (A_j \cap B) = </math> :<math> = \sum _{j=1}^{m} \tilde P (A_j) \cdot \tilde P (B|A_j) \stackrel{(i),(ii)}{=} \sum _{j=1}^{m} p_j {Q_A}_j(B) = P(B) . \qquad \Box</math> [[Datei:Audio de 12 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Zerlegungsatz 4]] <span id="totale_Wahrscheinlichkeit"></span> == Satz der totalen Wahrscheinlichkeit == Sei <math>(\Omega ,\mathcal{S}, P)</math> ein [[Wahrscheinlichkeitsraum]] und <math> (A_1,\ldots , A_m) </math> eine [[Zerlegung (Stochastik)|Zerlegung]] von <math>\Omega</math> auf <math>(\Omega,\mathcal{S})</math> mit <math>P(A_j) > 0</math> für alle <math>j = 1, \ldots, m</math>. Für jedes <math> B \subset \Omega </math> und gilt also für alle <math>B \in \mathcal{S}</math>: :<math> P(B) = \sum _{j=1} ^{m} P(A_j) \cdot P(B|A_j)</math> ("Formel der totalen Wahrscheinlichkeit"). == Beweis - Satz - totale Wahrscheinlichkeit == Nach Voraussetzung gilt <math>P(A_j) > 0</math> für alle <math>j = 1, \ldots, m</math> und damit sind die bedingten Wahrscheinlichkeiten <math>P(B \mid A_j)</math> definiert, weil <math>P(A_j)</math> im Nenner der Definition der [[bedingte Wahrscheinlichkeit#Definition|bedingten Warscheinlichkeit]] auf tritt. === Schritt 1 - Zerlegung von Omega === Da die <math>A_j</math> eine Zerlegung von <math>\Omega</math> bilden, sind die <math>A_j</math> paarweise disjunkt nach Definition und auch die <math>B\cap A_j</math> sind als Teilmengen von <math>A_j</math> paarweise disjunkt. Damit gilt: :<math> \Omega = \bigcup_{j=1}^m A_j \quad \text{(disjunkt)} </math> === Schritt 2 - Zerlegung von B === Mit der Teilmengenbeziehung <math>B\cap A_j\subset A_j</math> Dann folgt für jedes <math>B \in \mathcal{S}</math> und der verallgemeinerten Anwendung <math>B \cap (A_1 \cup A_2) = (B\cap A_1) \cup (B\cap A_2)</math>: :<math> B = B \cap \Omega = B \cap \left( \bigcup_{j=1}^m A_j \right) = \bigcup_{j=1}^m (B \cap A_j) </math> Da die <math>A_j</math> disjunkt sind, sind auch die Schnitte <math>B \cap A_j</math> disjunkt. Also ist <math>(B \cap A_1, B \cap A_2, \ldots, B \cap A_m)</math> eine '''disjunkte Zerlegung''' von <math>B</math>. === Schritt 3 - Anwendung der Additivität der Wahrscheinlichkeit === Nach dem Axiom der <math>\sigma</math>-Additivität erlaubt insbesondere die Anwendung auf endliche Summen von disjunkte Ereignisse glt: :<math> P(B) = P\left( \bigcup_{j=1}^m (B \cap A_j) \right) = \sum_{j=1}^m P(B \cap A_j) </math> === Schritt 4 - Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit === Für jedes <math>j</math> mit <math>P(A_j) > 0</math> ist die bedingte Wahrscheinlichkeit definiert als: :<math> P(B \mid A_j) = \frac{P(B \cap A_j)}{P(A_j)} </math> Durch Umformung erhält man: :<math> P(B \cap A_j) = P(A_j) \cdot P(B \mid A_j) </math> ==== Schritt 5 - Einsetzen in die Summe ==== Setze dies in die Gleichung aus Schritt 3 ein: :<math> P(B) = \sum_{j=1}^m P(B \cap A_j) = \sum_{j=1}^m P(A_j) \cdot P(B \mid A_j) </math> Insgesamt erhält man die Aussage des Satzes über die totale Wahrscheinlichkeit :<math> {P(B) = \sum_{j=1}^m P(A_j) \cdot P(B \mid A_j)} </math> === Aufgabe für Studierende === Beweisen Sie den Satz der totalen Wahrscheinlichkeit in der Übung und begründen Sie jeden Teilschritte über die Zerlegung von <math>\Omega</math> und der Zerlegung von <math>B</math>. Fertigen Sie für die Beweisvorstellung Skizze an, die das Vorgehen im Beweis eräutert. [[Datei:Audio de 13 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Formel Totale Wahrscheinlichkeit]] <span id="Satz_von_Bayes"></span> == Satz - Formel von Bayes == Ist <math> P </math> eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf <math> \Omega </math>, <math> ( A_1, ... ,A_m ) </math> einer Zerlegung von <math>\Omega </math> auf <math>(\Omega,\mathcal{S})</math> , so gilt für jedes <math> B \in \mathcal{S} </math> mit <math> P(B) > 0 </math> und <math> i= 1, ... ,m </math> :<math>P(A_i|B) = \frac {P(B|A_i) \cdot P(A_i)} { \sum_{j=1}^{m} P(B|A_j) \cdot P(A_j) }.</math> [[Datei:Audio de 14 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Satz von Bayes]] === Beweis === :<math>P(A_i|B) = \frac {P(A_i\cap B)}{P(B)} = \frac{P(B|A_i) \cdot P(A_i)}{\sum_{j=1}^{m} P(B|A_j) \cdot P(A_j)} </math> [[Datei:Audio de 15 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Satz von Bayes - Beweis]] ==== Bemerkung==== Man beachte, dass auf der linken und rechten Seite "Argument und Bedingung" vertauscht auftreten. In einer außermathematischen Deutung spielen <math> A_j </math> die Rolle von (verschiedenen) Ursachen für die Wirkung von <math> B </math>. [[Datei:Audio de 16 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Satz von Bayes - Bemerkung]] ==== Beispiel (Test auf eine Krankheit) ==== <math> \Omega </math> sei die Gesamtheit der Personen aus der Bevölkerung. <math> p \cdot 100\% </math> der Bevölkerung (<math>K \subset \Omega </math>) leidet an der Krankheit. Ein Test für diese Krankheit spreche bei <math> k \cdot 100\% </math> der Kranken aus <math>K</math> an und bei <math> g \cdot 100\% </math> der Gesunden (<math>\Omega \setminus K</math>) positiv an (<math>k =</math> Sensitivität, <math>1-g =</math> Spezifität des Testes). Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat eine zufällig ausgewählte Person <math>\omega \in \Omega</math> die Krankheit, * wenn der Test positiv ausfällt? * wenn der Test negativ ausfällt? [[Datei:Audio de 17 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Satz von Bayes - Beispiel]] <span id="Produktformel"></span> == Produktformel- bedingte Wahrscheinlichkeit == Sei <math>P</math> eine [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] auf <math> \Omega </math> und seien <math> A_1, ... ,A_n \subset \Omega </math> mit <math> P( A_1 \cap ... \cap A_{n-1} )>0 </math>. Dann gilt die sogenannte "Produktformel": :<math> P( A_1 \cap ... \cap A_n) = P(A_1) \cdot P(A_2 | A_1) \cdot P(A_3 | A_1 \cap A_2) \cdot ... \cdot P(A_n | A_1 \cap ... \cap A_{n-1}) </math> [[Datei:Audio de 18 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Produktformel - Satz]] === Beweis - Produktformel === Die Faktoren auf der rechten Seite sind definiert wegen :<math>P(A_1) \ge P(A_1 \cap A_2) \ge ... \ge P(A_1 \cap ... \cap A_{n-1}) >0.</math> :<math> P( A_1 \cap ... \cap A_n) = P( A_1 \cap ... \cap A_{n-1} ) \cdot P( A_n | A_1 \cap ... \cap A_{n-1} ) </math> :<math> = P( A_1 \cap ... \cap A_{n-2}) \cdot P( A_{n-1} | A_1 \cap ... \cap A_{n-1} ) \cdot P( A_n | A_1 \cap ... \cap A_{n-1} ) = ... </math> :<math> = P(A_1) \cdot P(A_2 | A_1) \cdot P(A_3 | A_1 \cap A_2) \cdot ... \cdot P(A_n | A_1 \cap ... \cap A_{n-1}) \ \Box</math> [[Datei:Audio de 19 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Produktformel - Satz - Beweis]] ==== Bemerkung ==== Dieser Satz verallgemeinert die Formel <math>P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A). </math> [[Datei:Audio de 20 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Produktformel - Bemerkung]] == Seiten-Information == Der [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Bedingte+Wahrscheinlichkeit&author=Kurs%3A+Stochastik&audioslide=no&language=de Foliensatz] für diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Bedingte%20Wahrscheinlichkeit Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Bedingte_Wahrscheinlichkeit Bedingte Wahrscheinlichkeit] https://de.wikipedia.org/wiki/Bedingte_Wahrscheinlichkeit * Datum: 5.11.2018 * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity]-Konverter: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity * [https://niebert.github.com/Wiki2Reveal Wiki2Reveal Link-Generator] * Dieser Foliensatz gehört zum [[Kurs:Stochastik]] [[Category:Wiki2Reveal]] f7icvtm9rzz7q0w7w2ppe4kkkgef9fx 1118658 1118657 2026-11-02T14:57:55Z Bert Niehaus 20843 /* Definition: Zerlegung */ 1118658 wikitext text/x-wiki [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|146px|mini|Kurs enthält [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] Audio-Folien]] == Einleitung == Diese Lerneinheit aus der [[Kurs:Stochastik|Stochastik]] behandelt folgende Inhalte: * [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Definition|Definition - Bedingte Wahrscheinlichkeit]] * [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Zerlegungssatz|Zerlegungssatz]] * [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Satz_von_Bayes|Satz von Bayes]] * [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Satz_totale_Wahrscheinlichkeit|Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit]] * [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Produktformel|Produktformel]] === Einführendes Beispiel - bedingte Wahrscheinlichkeit=== Gegeben sei ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum <math>(\Omega,\mathcal{S},P) </math>, Gleichverteilung über <math>(\Omega,\mathcal{S}) </math> und <math>\mathcal{S} := \wp((\Omega) </math>. <math> A,B \subset \Omega, A\neq \varnothing </math>. In dem einführenden Beispiel betrachten wir die Ereignisse: * <math>A</math>: Stochastik-Klausur bestanden * <math>B</math>: Fachwissenschaftliche Grundlagen mit 4,0 bestanden * Mit welcher Wahrscheinlichkeit <math>P(A|B)</math> besteht man die Stochastik-Klausur <math>A</math>, wenn man die Klausur zu den fachwissenschaftlichen Grundlagen nur mit 4,0 bestanden hat (d.h. <math>B</math> erfüllt ist)? [[Datei:Audio de 1 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Einleitung]] === Vorüberlegung === Wir nehmen an, dass das Ereignis <math> B </math> eintritt. Welche Definition ist sinnvoll für die Wahrscheinlichkeit von <math> B </math>, unter der Bedingung, dass <math> A </math> eingetreten ist? # Wenn die Bedingung <math> B </math> eintritt, so kann <math> A </math> nur dann eintreten, wenn das Ereignis <math> A \cap B </math> eintritt. # Wir konzentrieren uns auf die Realisationen <math> \omega \in A </math> und betrachten sie als gleichwahrscheinlich ([[w:de:Laplace-Verteilung|Laplace-Verteilung]]). # Allgemein gilt dann <math> P(C) = \frac {| C | }{ | \Omega |} </math> für alle <math>C \in \mathcal{S}</math>. [[Datei:Audio de 2 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Vorlüberlegung]] === Berechnung mit Laplace-Verteilung === Damit kann die Wahrscheinlichkeit von <math> A </math> unter der Bedingung <math> B </math> wie folgt definiert werden: :<math> P(A|B) := \frac {| A\cap B | }{ | B |} = \frac { \tfrac{|A \cap B | }{| \Omega | }} { \tfrac{| B |}{| \Omega | }}= \frac {P (A \cap B)}{ P(B)} </math> Dabei wurde der Bruch mit <math>\frac {1}{| \Omega |}</math> erweitert, um in Zähler und Nenner die Laplace-Wahrscheinlichkeiten für die Ereignisse <math> A \cap B </math> und <math> B </math> zu erzeugen. [[Datei:Audio de 3 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Berechnung mit Laplace-Verteilung]] <span id="Definition"></span> == Definition - bedingte Wahrscheinlichkeit == Sei <math> (\Omega,\mathcal{S},P) </math> ein Wahrscheinlichkeitsraum, <math> A \in \mathcal{S} </math> mit <math> P (B) >0 </math>. <br> a) Die Abbildung <math> P( \cdot | B): \mathcal{S} \to [0,1] </math>, die gemäß <math> P (A | B) = \frac {P(A \cap B)}{P(B)}, A,B \in \mathcal{S} </math> definiert ist, heißt bedingte Wahrscheinlichkeitsverteilung über <math> \Omega </math> unter (der Bedingung) <math> B </math>. <br> b) Die Zahl <math> P(A|B) </math> heißt bedingte Wahrscheinlichkeit von <math> A </math> unter (der Bedingung) <math> B </math>. [[Datei:Audio de 4 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Definition]] === Aufgabe - bedingte Wahrscheinlickeitsverteilung === Sei <math>(\Omega,\mathcal{S},P)</math> ein Wahrscheinlichkeitsraum. Weisen Sie für die Abbildung <math>\widetilde{P}</math> nach, dass diese die Eigenschaften eines Wahrscheinlichkeitsmaßes auf <math>(\Omega,\mathcal{S})</math> erfüllt. :<math> \begin{array}{rrcl} \widetilde{P}: & \mathcal{S} & \rightarrow & [0,1] \\ & A & \mapsto & \widetilde{P}(A) = P(A|B) \end{array} </math> === Aufgaben - Wahrscheinlichkeit auf Bedingung konzentriert=== Es gilt <math> P(\Omega|B) = 1 </math>. Die Wahrscheinlichkeit von <math> P( \cdot |B) </math> ist allerdings auf <math> B </math> konzentriert". * Zeigen Sie dazu, dass <math> P(A|B) = 0 </math> für alle <math> A \subset \bar B = \Omega\setminus B </math> <!-- denn: <math> P(A|B) = \frac {P (A \cap B)} {P(B)} = \frac {P (\emptyset)} {P(B)} = 0 </math> --> * Zeigen Sie, dass für <math> B \subset A </math>, <math> A \not= B </math> gilt, dass <math> P(A|B) = 1</math> (Hinweis: Zeigen Sie, dass <math> P(\bar A|B) = 0</math> gilt!) [[Datei:Audio de 5 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Aufgabenstellung]] === Anmerkung === Formt man die Definitionsformel von oben um zu <math> P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A|B) </math>, so kann man die Wahrscheinlichkeit des gleichzeitig Eintretens von <math> A </math> und <math> B </math> mithilfe der bedingten Wahrscheinlichkeit darstellen. Wir betrachten im Nachfolgenden eine Technik, eine Wahrscheinlichkeit auf <math> \Omega </math> durch bedingten Wahrscheinlichkeiten zusammenzusetzen. <span id="ZerlegungDef"></span> === Definition - Zerlegung === <math> (A_1, ..., A_m) </math> heißt Zerlegung von <math> \Omega </math> auf <math> (\Omega,\mathcal{S}) </math>, falls <math>\bigcup_{i=1} ^{m} A_i = \Omega, A_i \cap A_j = \varnothing </math> für alle <math> i \neq j </math> und <math>A_i, A_j \in \mathcal{S}</math>. === Motivation - Auswahl mit beschränkten Optionen === Als Beispiel werden 100 verschiedene Spiele <math>\Omega</math> auf <math>m</math> verschiedene Spielekisten <math>A_1, \ldots , A_m</math> verteilt. Es gibt <math>m\in \mathbb{N}</math> Personen und jede Person bekommt eine Kiste. Jede Person <math>i</math> kann nur Spiele aus der eigenen Kiste <math>A_i</math> und nicht aus anderen Kisten <math>A_j</math> auswählen mit <math>i\neq j</math>. Es gibt für jede der <math>i</math> Personen präferiert Spiele und daher gibt es eine Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>{Q_A}_i</math> (''"Qual der Wahl aus <math>A_i</math> aus der Spielekiste"''), die die Wahrscheinlichkeit beschreibt, ein Spiel bestimmtes Spiel aus der eigenen Spielekiste auszuwählen. Die Wahrscheinlichkeit ist auf <math>A_i</math> konzentriert, da die Spieler nur aus der eigenen Kiste auswählen können. == Zerlegungssatz == Sei <math>(A_1, ... ,A_m )</math> eine Zerlegung von <math>\Omega </math> auf <math> (\Omega,\mathcal{S})</math>. Für jedes <math> i = 1, ...,m </math> sei eine auf <math>A_i</math> konzentrierte Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>Q_{A_i}</math> auf <math>(\Omega,\mathcal{S} ) </math> gegeben (d.h. <math>{Q_A}_i (A_i) = 1 </math>) sowie Zahlen <math>p_i \in ( 0,1]</math> mit <math>\sum _{i = 1} ^{m} p_i = 1 </math>. <br> * (a) Dann existiert genau eine Wahrscheinlichkeitsverteilung <math> P </math> auf <math> \Omega </math> mit <br> ** (i) <math>P(A_i) = p_i > 0</math>. <br> ** (ii) <math>P(B|A_i) = {Q_A}_i(B)</math>, falls <math>p_i >0 </math> für alle <math>i=1, ...,m </math>. <br> * (b) Es gilt <math> P(B) = \sum _{i=1} ^{m} p_i \cdot {Q_A}_i(B) </math> für jedes <math> B \in \mathcal{S} </math>. === Beweis - Zerlegungssatz === Der Beweis gliedert sich in eine Existenzaussage für <math>P</math> und eine Eindeutigkeitsaussage, bei der die Existenz einer weiteren Wahrscheinlichkeitsverteilung für <math>\widetilde{P}</math> auf <math>\mathcal{S}</math> angenommen wird. Dann wird gezeigt, dass <math>\widetilde{P} = P</math> gilt bzw. <math>\widetilde{P}(B) = P(B)</math> für beliebige <math>B\in\mathcal{S}</math> gilt. ==== Beweis Existenz (i)==== Man definiere <math> P</math> gemäß Formel b) und rechnet nach, dass <math>P</math> eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf <math>\Omega </math> ist. Wie in der letzten Bemerkung gilt für die paarweise disjunkten <math> A_i</math> :<math>{Q_A}_i(A_j) = \left \{ \begin{array}{ll} 0, & i \neq j\\ 1, & i = j \end{array}\right. </math> Daraus folgt sofort (ai) <math>P(A_k) = \sum _{i=1} ^{m} p_i \cdot {Q_A}_i(A_k) = p_k</math>. [[Datei:Audio de 10 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Zerlegungsatz 2]] ==== Beweis Existenz (ii)==== Für ein beliebiges <math>p_i > 0 </math> und <math> B \in \mathcal{S} </math> gilt :<math> P(B|A_i) = \frac {P(A_i \cap B)}{ P(A_i)} = \frac {1} {p_i} \sum _{j=1} ^{m} p_j \cdot {Q_A}_j (A_i \cap B) = </math> :<math>= \frac {p_i} {p_i} ({Q_A}_i (A_i \cap B) + {Q_A}_i( \bar A_i \cap B) = {Q_A}_i(B) )</math> also ii). [[Datei:Audio de 11 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Zerlegungsatz 3]] ==== Beweis Eindeutigkeit ==== Sei <math> \tilde P </math> eine (weitere) Wahrscheinlichkeitsverteilung auf <math> (\Omega,\mathcal{S}) </math>, die (ai) und (aii) erfüllt. Dann gilt für <math> B \subset \Omega </math> und wegen <math> B= \Omega \cap B = \left( \bigcup _{j=1}^{m} A_j \right) \cap B</math> die Gleichung :<math>\tilde P (B) = \tilde P \left( \bigcup_ {j=1}^{m} A_j \cap B \right)= \sum _{j=1}^{m} \tilde P (A_j \cap B) = </math> :<math> = \sum _{j=1}^{m} \tilde P (A_j) \cdot \tilde P (B|A_j) \stackrel{(i),(ii)}{=} \sum _{j=1}^{m} p_j {Q_A}_j(B) = P(B) . \qquad \Box</math> [[Datei:Audio de 12 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Zerlegungsatz 4]] <span id="totale_Wahrscheinlichkeit"></span> == Satz der totalen Wahrscheinlichkeit == Sei <math>(\Omega ,\mathcal{S}, P)</math> ein [[Wahrscheinlichkeitsraum]] und <math> (A_1,\ldots , A_m) </math> eine [[Zerlegung (Stochastik)|Zerlegung]] von <math>\Omega</math> auf <math>(\Omega,\mathcal{S})</math> mit <math>P(A_j) > 0</math> für alle <math>j = 1, \ldots, m</math>. Für jedes <math> B \subset \Omega </math> und gilt also für alle <math>B \in \mathcal{S}</math>: :<math> P(B) = \sum _{j=1} ^{m} P(A_j) \cdot P(B|A_j)</math> ("Formel der totalen Wahrscheinlichkeit"). == Beweis - Satz - totale Wahrscheinlichkeit == Nach Voraussetzung gilt <math>P(A_j) > 0</math> für alle <math>j = 1, \ldots, m</math> und damit sind die bedingten Wahrscheinlichkeiten <math>P(B \mid A_j)</math> definiert, weil <math>P(A_j)</math> im Nenner der Definition der [[bedingte Wahrscheinlichkeit#Definition|bedingten Warscheinlichkeit]] auf tritt. === Schritt 1 - Zerlegung von Omega === Da die <math>A_j</math> eine Zerlegung von <math>\Omega</math> bilden, sind die <math>A_j</math> paarweise disjunkt nach Definition und auch die <math>B\cap A_j</math> sind als Teilmengen von <math>A_j</math> paarweise disjunkt. Damit gilt: :<math> \Omega = \bigcup_{j=1}^m A_j \quad \text{(disjunkt)} </math> === Schritt 2 - Zerlegung von B === Mit der Teilmengenbeziehung <math>B\cap A_j\subset A_j</math> Dann folgt für jedes <math>B \in \mathcal{S}</math> und der verallgemeinerten Anwendung <math>B \cap (A_1 \cup A_2) = (B\cap A_1) \cup (B\cap A_2)</math>: :<math> B = B \cap \Omega = B \cap \left( \bigcup_{j=1}^m A_j \right) = \bigcup_{j=1}^m (B \cap A_j) </math> Da die <math>A_j</math> disjunkt sind, sind auch die Schnitte <math>B \cap A_j</math> disjunkt. Also ist <math>(B \cap A_1, B \cap A_2, \ldots, B \cap A_m)</math> eine '''disjunkte Zerlegung''' von <math>B</math>. === Schritt 3 - Anwendung der Additivität der Wahrscheinlichkeit === Nach dem Axiom der <math>\sigma</math>-Additivität erlaubt insbesondere die Anwendung auf endliche Summen von disjunkte Ereignisse glt: :<math> P(B) = P\left( \bigcup_{j=1}^m (B \cap A_j) \right) = \sum_{j=1}^m P(B \cap A_j) </math> === Schritt 4 - Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit === Für jedes <math>j</math> mit <math>P(A_j) > 0</math> ist die bedingte Wahrscheinlichkeit definiert als: :<math> P(B \mid A_j) = \frac{P(B \cap A_j)}{P(A_j)} </math> Durch Umformung erhält man: :<math> P(B \cap A_j) = P(A_j) \cdot P(B \mid A_j) </math> ==== Schritt 5 - Einsetzen in die Summe ==== Setze dies in die Gleichung aus Schritt 3 ein: :<math> P(B) = \sum_{j=1}^m P(B \cap A_j) = \sum_{j=1}^m P(A_j) \cdot P(B \mid A_j) </math> Insgesamt erhält man die Aussage des Satzes über die totale Wahrscheinlichkeit :<math> {P(B) = \sum_{j=1}^m P(A_j) \cdot P(B \mid A_j)} </math> === Aufgabe für Studierende === Beweisen Sie den Satz der totalen Wahrscheinlichkeit in der Übung und begründen Sie jeden Teilschritte über die Zerlegung von <math>\Omega</math> und der Zerlegung von <math>B</math>. Fertigen Sie für die Beweisvorstellung Skizze an, die das Vorgehen im Beweis eräutert. [[Datei:Audio de 13 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Formel Totale Wahrscheinlichkeit]] <span id="Satz_von_Bayes"></span> == Satz - Formel von Bayes == Ist <math> P </math> eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf <math> \Omega </math>, <math> ( A_1, ... ,A_m ) </math> einer Zerlegung von <math>\Omega </math> auf <math>(\Omega,\mathcal{S})</math> , so gilt für jedes <math> B \in \mathcal{S} </math> mit <math> P(B) > 0 </math> und <math> i= 1, ... ,m </math> :<math>P(A_i|B) = \frac {P(B|A_i) \cdot P(A_i)} { \sum_{j=1}^{m} P(B|A_j) \cdot P(A_j) }.</math> [[Datei:Audio de 14 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Satz von Bayes]] === Beweis === :<math>P(A_i|B) = \frac {P(A_i\cap B)}{P(B)} = \frac{P(B|A_i) \cdot P(A_i)}{\sum_{j=1}^{m} P(B|A_j) \cdot P(A_j)} </math> [[Datei:Audio de 15 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Satz von Bayes - Beweis]] ==== Bemerkung==== Man beachte, dass auf der linken und rechten Seite "Argument und Bedingung" vertauscht auftreten. In einer außermathematischen Deutung spielen <math> A_j </math> die Rolle von (verschiedenen) Ursachen für die Wirkung von <math> B </math>. [[Datei:Audio de 16 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Satz von Bayes - Bemerkung]] ==== Beispiel (Test auf eine Krankheit) ==== <math> \Omega </math> sei die Gesamtheit der Personen aus der Bevölkerung. <math> p \cdot 100\% </math> der Bevölkerung (<math>K \subset \Omega </math>) leidet an der Krankheit. Ein Test für diese Krankheit spreche bei <math> k \cdot 100\% </math> der Kranken aus <math>K</math> an und bei <math> g \cdot 100\% </math> der Gesunden (<math>\Omega \setminus K</math>) positiv an (<math>k =</math> Sensitivität, <math>1-g =</math> Spezifität des Testes). Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat eine zufällig ausgewählte Person <math>\omega \in \Omega</math> die Krankheit, * wenn der Test positiv ausfällt? * wenn der Test negativ ausfällt? [[Datei:Audio de 17 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Satz von Bayes - Beispiel]] <span id="Produktformel"></span> == Produktformel- bedingte Wahrscheinlichkeit == Sei <math>P</math> eine [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] auf <math> \Omega </math> und seien <math> A_1, ... ,A_n \subset \Omega </math> mit <math> P( A_1 \cap ... \cap A_{n-1} )>0 </math>. Dann gilt die sogenannte "Produktformel": :<math> P( A_1 \cap ... \cap A_n) = P(A_1) \cdot P(A_2 | A_1) \cdot P(A_3 | A_1 \cap A_2) \cdot ... \cdot P(A_n | A_1 \cap ... \cap A_{n-1}) </math> [[Datei:Audio de 18 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Produktformel - Satz]] === Beweis - Produktformel === Die Faktoren auf der rechten Seite sind definiert wegen :<math>P(A_1) \ge P(A_1 \cap A_2) \ge ... \ge P(A_1 \cap ... \cap A_{n-1}) >0.</math> :<math> P( A_1 \cap ... \cap A_n) = P( A_1 \cap ... \cap A_{n-1} ) \cdot P( A_n | A_1 \cap ... \cap A_{n-1} ) </math> :<math> = P( A_1 \cap ... \cap A_{n-2}) \cdot P( A_{n-1} | A_1 \cap ... \cap A_{n-1} ) \cdot P( A_n | A_1 \cap ... \cap A_{n-1} ) = ... </math> :<math> = P(A_1) \cdot P(A_2 | A_1) \cdot P(A_3 | A_1 \cap A_2) \cdot ... \cdot P(A_n | A_1 \cap ... \cap A_{n-1}) \ \Box</math> [[Datei:Audio de 19 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Produktformel - Satz - Beweis]] ==== Bemerkung ==== Dieser Satz verallgemeinert die Formel <math>P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A). </math> [[Datei:Audio de 20 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Produktformel - Bemerkung]] == Seiten-Information == Der [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Bedingte+Wahrscheinlichkeit&author=Kurs%3A+Stochastik&audioslide=no&language=de Foliensatz] für diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Bedingte%20Wahrscheinlichkeit Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Bedingte_Wahrscheinlichkeit Bedingte Wahrscheinlichkeit] https://de.wikipedia.org/wiki/Bedingte_Wahrscheinlichkeit * Datum: 5.11.2018 * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity]-Konverter: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity * [https://niebert.github.com/Wiki2Reveal Wiki2Reveal Link-Generator] * Dieser Foliensatz gehört zum [[Kurs:Stochastik]] [[Category:Wiki2Reveal]] hlzpk2j2mlo0i646bkwu631l4nzambv 1118659 1118658 2026-11-02T14:58:39Z Bert Niehaus 20843 /* Definition - Zerlegung */ 1118659 wikitext text/x-wiki [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|146px|mini|Kurs enthält [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] Audio-Folien]] == Einleitung == Diese Lerneinheit aus der [[Kurs:Stochastik|Stochastik]] behandelt folgende Inhalte: * [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Definition|Definition - Bedingte Wahrscheinlichkeit]] * [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Zerlegungssatz|Zerlegungssatz]] * [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Satz_von_Bayes|Satz von Bayes]] * [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Satz_totale_Wahrscheinlichkeit|Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit]] * [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Produktformel|Produktformel]] === Einführendes Beispiel - bedingte Wahrscheinlichkeit=== Gegeben sei ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum <math>(\Omega,\mathcal{S},P) </math>, Gleichverteilung über <math>(\Omega,\mathcal{S}) </math> und <math>\mathcal{S} := \wp((\Omega) </math>. <math> A,B \subset \Omega, A\neq \varnothing </math>. In dem einführenden Beispiel betrachten wir die Ereignisse: * <math>A</math>: Stochastik-Klausur bestanden * <math>B</math>: Fachwissenschaftliche Grundlagen mit 4,0 bestanden * Mit welcher Wahrscheinlichkeit <math>P(A|B)</math> besteht man die Stochastik-Klausur <math>A</math>, wenn man die Klausur zu den fachwissenschaftlichen Grundlagen nur mit 4,0 bestanden hat (d.h. <math>B</math> erfüllt ist)? [[Datei:Audio de 1 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Einleitung]] === Vorüberlegung === Wir nehmen an, dass das Ereignis <math> B </math> eintritt. Welche Definition ist sinnvoll für die Wahrscheinlichkeit von <math> B </math>, unter der Bedingung, dass <math> A </math> eingetreten ist? # Wenn die Bedingung <math> B </math> eintritt, so kann <math> A </math> nur dann eintreten, wenn das Ereignis <math> A \cap B </math> eintritt. # Wir konzentrieren uns auf die Realisationen <math> \omega \in A </math> und betrachten sie als gleichwahrscheinlich ([[w:de:Laplace-Verteilung|Laplace-Verteilung]]). # Allgemein gilt dann <math> P(C) = \frac {| C | }{ | \Omega |} </math> für alle <math>C \in \mathcal{S}</math>. [[Datei:Audio de 2 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Vorlüberlegung]] === Berechnung mit Laplace-Verteilung === Damit kann die Wahrscheinlichkeit von <math> A </math> unter der Bedingung <math> B </math> wie folgt definiert werden: :<math> P(A|B) := \frac {| A\cap B | }{ | B |} = \frac { \tfrac{|A \cap B | }{| \Omega | }} { \tfrac{| B |}{| \Omega | }}= \frac {P (A \cap B)}{ P(B)} </math> Dabei wurde der Bruch mit <math>\frac {1}{| \Omega |}</math> erweitert, um in Zähler und Nenner die Laplace-Wahrscheinlichkeiten für die Ereignisse <math> A \cap B </math> und <math> B </math> zu erzeugen. [[Datei:Audio de 3 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Berechnung mit Laplace-Verteilung]] <span id="Definition"></span> == Definition - bedingte Wahrscheinlichkeit == Sei <math> (\Omega,\mathcal{S},P) </math> ein Wahrscheinlichkeitsraum, <math> A \in \mathcal{S} </math> mit <math> P (B) >0 </math>. <br> a) Die Abbildung <math> P( \cdot | B): \mathcal{S} \to [0,1] </math>, die gemäß <math> P (A | B) = \frac {P(A \cap B)}{P(B)}, A,B \in \mathcal{S} </math> definiert ist, heißt bedingte Wahrscheinlichkeitsverteilung über <math> \Omega </math> unter (der Bedingung) <math> B </math>. <br> b) Die Zahl <math> P(A|B) </math> heißt bedingte Wahrscheinlichkeit von <math> A </math> unter (der Bedingung) <math> B </math>. [[Datei:Audio de 4 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Definition]] === Aufgabe - bedingte Wahrscheinlickeitsverteilung === Sei <math>(\Omega,\mathcal{S},P)</math> ein Wahrscheinlichkeitsraum. Weisen Sie für die Abbildung <math>\widetilde{P}</math> nach, dass diese die Eigenschaften eines Wahrscheinlichkeitsmaßes auf <math>(\Omega,\mathcal{S})</math> erfüllt. :<math> \begin{array}{rrcl} \widetilde{P}: & \mathcal{S} & \rightarrow & [0,1] \\ & A & \mapsto & \widetilde{P}(A) = P(A|B) \end{array} </math> === Aufgaben - Wahrscheinlichkeit auf Bedingung konzentriert=== Es gilt <math> P(\Omega|B) = 1 </math>. Die Wahrscheinlichkeit von <math> P( \cdot |B) </math> ist allerdings auf <math> B </math> konzentriert". * Zeigen Sie dazu, dass <math> P(A|B) = 0 </math> für alle <math> A \subset \bar B = \Omega\setminus B </math> <!-- denn: <math> P(A|B) = \frac {P (A \cap B)} {P(B)} = \frac {P (\emptyset)} {P(B)} = 0 </math> --> * Zeigen Sie, dass für <math> B \subset A </math>, <math> A \not= B </math> gilt, dass <math> P(A|B) = 1</math> (Hinweis: Zeigen Sie, dass <math> P(\bar A|B) = 0</math> gilt!) [[Datei:Audio de 5 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Aufgabenstellung]] === Anmerkung === Formt man die Definitionsformel von oben um zu <math> P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A|B) </math>, so kann man die Wahrscheinlichkeit des gleichzeitig Eintretens von <math> A </math> und <math> B </math> mithilfe der bedingten Wahrscheinlichkeit darstellen. Wir betrachten im Nachfolgenden eine Technik, eine Wahrscheinlichkeit auf <math> \Omega </math> durch bedingten Wahrscheinlichkeiten zusammenzusetzen. <span id="ZerlegungDef"></span> === Definition - Zerlegung === <math> (A_1, ..., A_m) </math> heißt [[bedingte Wahrscheinlichkeit#ZerlegungDef|Zerlegung]] von <math> \Omega </math> auf <math> (\Omega,\mathcal{S}) </math>, falls <math>\bigcup_{i=1} ^{m} A_i = \Omega, A_i \cap A_j = \varnothing </math> für alle <math> i \neq j </math> und <math>A_i, A_j \in \mathcal{S}</math>. === Motivation - Auswahl mit beschränkten Optionen === Als Beispiel werden 100 verschiedene Spiele <math>\Omega</math> auf <math>m</math> verschiedene Spielekisten <math>A_1, \ldots , A_m</math> verteilt. Es gibt <math>m\in \mathbb{N}</math> Personen und jede Person bekommt eine Kiste. Jede Person <math>i</math> kann nur Spiele aus der eigenen Kiste <math>A_i</math> und nicht aus anderen Kisten <math>A_j</math> auswählen mit <math>i\neq j</math>. Es gibt für jede der <math>i</math> Personen präferiert Spiele und daher gibt es eine Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>{Q_A}_i</math> (''"Qual der Wahl aus <math>A_i</math> aus der Spielekiste"''), die die Wahrscheinlichkeit beschreibt, ein Spiel bestimmtes Spiel aus der eigenen Spielekiste auszuwählen. Die Wahrscheinlichkeit ist auf <math>A_i</math> konzentriert, da die Spieler nur aus der eigenen Kiste auswählen können. == Zerlegungssatz == Sei <math>(A_1, ... ,A_m )</math> eine Zerlegung von <math>\Omega </math> auf <math> (\Omega,\mathcal{S})</math>. Für jedes <math> i = 1, ...,m </math> sei eine auf <math>A_i</math> konzentrierte Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>Q_{A_i}</math> auf <math>(\Omega,\mathcal{S} ) </math> gegeben (d.h. <math>{Q_A}_i (A_i) = 1 </math>) sowie Zahlen <math>p_i \in ( 0,1]</math> mit <math>\sum _{i = 1} ^{m} p_i = 1 </math>. <br> * (a) Dann existiert genau eine Wahrscheinlichkeitsverteilung <math> P </math> auf <math> \Omega </math> mit <br> ** (i) <math>P(A_i) = p_i > 0</math>. <br> ** (ii) <math>P(B|A_i) = {Q_A}_i(B)</math>, falls <math>p_i >0 </math> für alle <math>i=1, ...,m </math>. <br> * (b) Es gilt <math> P(B) = \sum _{i=1} ^{m} p_i \cdot {Q_A}_i(B) </math> für jedes <math> B \in \mathcal{S} </math>. === Beweis - Zerlegungssatz === Der Beweis gliedert sich in eine Existenzaussage für <math>P</math> und eine Eindeutigkeitsaussage, bei der die Existenz einer weiteren Wahrscheinlichkeitsverteilung für <math>\widetilde{P}</math> auf <math>\mathcal{S}</math> angenommen wird. Dann wird gezeigt, dass <math>\widetilde{P} = P</math> gilt bzw. <math>\widetilde{P}(B) = P(B)</math> für beliebige <math>B\in\mathcal{S}</math> gilt. ==== Beweis Existenz (i)==== Man definiere <math> P</math> gemäß Formel b) und rechnet nach, dass <math>P</math> eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf <math>\Omega </math> ist. Wie in der letzten Bemerkung gilt für die paarweise disjunkten <math> A_i</math> :<math>{Q_A}_i(A_j) = \left \{ \begin{array}{ll} 0, & i \neq j\\ 1, & i = j \end{array}\right. </math> Daraus folgt sofort (ai) <math>P(A_k) = \sum _{i=1} ^{m} p_i \cdot {Q_A}_i(A_k) = p_k</math>. [[Datei:Audio de 10 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Zerlegungsatz 2]] ==== Beweis Existenz (ii)==== Für ein beliebiges <math>p_i > 0 </math> und <math> B \in \mathcal{S} </math> gilt :<math> P(B|A_i) = \frac {P(A_i \cap B)}{ P(A_i)} = \frac {1} {p_i} \sum _{j=1} ^{m} p_j \cdot {Q_A}_j (A_i \cap B) = </math> :<math>= \frac {p_i} {p_i} ({Q_A}_i (A_i \cap B) + {Q_A}_i( \bar A_i \cap B) = {Q_A}_i(B) )</math> also ii). [[Datei:Audio de 11 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Zerlegungsatz 3]] ==== Beweis Eindeutigkeit ==== Sei <math> \tilde P </math> eine (weitere) Wahrscheinlichkeitsverteilung auf <math> (\Omega,\mathcal{S}) </math>, die (ai) und (aii) erfüllt. Dann gilt für <math> B \subset \Omega </math> und wegen <math> B= \Omega \cap B = \left( \bigcup _{j=1}^{m} A_j \right) \cap B</math> die Gleichung :<math>\tilde P (B) = \tilde P \left( \bigcup_ {j=1}^{m} A_j \cap B \right)= \sum _{j=1}^{m} \tilde P (A_j \cap B) = </math> :<math> = \sum _{j=1}^{m} \tilde P (A_j) \cdot \tilde P (B|A_j) \stackrel{(i),(ii)}{=} \sum _{j=1}^{m} p_j {Q_A}_j(B) = P(B) . \qquad \Box</math> [[Datei:Audio de 12 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Zerlegungsatz 4]] <span id="totale_Wahrscheinlichkeit"></span> == Satz der totalen Wahrscheinlichkeit == Sei <math>(\Omega ,\mathcal{S}, P)</math> ein [[Wahrscheinlichkeitsraum]] und <math> (A_1,\ldots , A_m) </math> eine [[Zerlegung (Stochastik)|Zerlegung]] von <math>\Omega</math> auf <math>(\Omega,\mathcal{S})</math> mit <math>P(A_j) > 0</math> für alle <math>j = 1, \ldots, m</math>. Für jedes <math> B \subset \Omega </math> und gilt also für alle <math>B \in \mathcal{S}</math>: :<math> P(B) = \sum _{j=1} ^{m} P(A_j) \cdot P(B|A_j)</math> ("Formel der totalen Wahrscheinlichkeit"). == Beweis - Satz - totale Wahrscheinlichkeit == Nach Voraussetzung gilt <math>P(A_j) > 0</math> für alle <math>j = 1, \ldots, m</math> und damit sind die bedingten Wahrscheinlichkeiten <math>P(B \mid A_j)</math> definiert, weil <math>P(A_j)</math> im Nenner der Definition der [[bedingte Wahrscheinlichkeit#Definition|bedingten Warscheinlichkeit]] auf tritt. === Schritt 1 - Zerlegung von Omega === Da die <math>A_j</math> eine Zerlegung von <math>\Omega</math> bilden, sind die <math>A_j</math> paarweise disjunkt nach Definition und auch die <math>B\cap A_j</math> sind als Teilmengen von <math>A_j</math> paarweise disjunkt. Damit gilt: :<math> \Omega = \bigcup_{j=1}^m A_j \quad \text{(disjunkt)} </math> === Schritt 2 - Zerlegung von B === Mit der Teilmengenbeziehung <math>B\cap A_j\subset A_j</math> Dann folgt für jedes <math>B \in \mathcal{S}</math> und der verallgemeinerten Anwendung <math>B \cap (A_1 \cup A_2) = (B\cap A_1) \cup (B\cap A_2)</math>: :<math> B = B \cap \Omega = B \cap \left( \bigcup_{j=1}^m A_j \right) = \bigcup_{j=1}^m (B \cap A_j) </math> Da die <math>A_j</math> disjunkt sind, sind auch die Schnitte <math>B \cap A_j</math> disjunkt. Also ist <math>(B \cap A_1, B \cap A_2, \ldots, B \cap A_m)</math> eine '''disjunkte Zerlegung''' von <math>B</math>. === Schritt 3 - Anwendung der Additivität der Wahrscheinlichkeit === Nach dem Axiom der <math>\sigma</math>-Additivität erlaubt insbesondere die Anwendung auf endliche Summen von disjunkte Ereignisse glt: :<math> P(B) = P\left( \bigcup_{j=1}^m (B \cap A_j) \right) = \sum_{j=1}^m P(B \cap A_j) </math> === Schritt 4 - Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit === Für jedes <math>j</math> mit <math>P(A_j) > 0</math> ist die bedingte Wahrscheinlichkeit definiert als: :<math> P(B \mid A_j) = \frac{P(B \cap A_j)}{P(A_j)} </math> Durch Umformung erhält man: :<math> P(B \cap A_j) = P(A_j) \cdot P(B \mid A_j) </math> ==== Schritt 5 - Einsetzen in die Summe ==== Setze dies in die Gleichung aus Schritt 3 ein: :<math> P(B) = \sum_{j=1}^m P(B \cap A_j) = \sum_{j=1}^m P(A_j) \cdot P(B \mid A_j) </math> Insgesamt erhält man die Aussage des Satzes über die totale Wahrscheinlichkeit :<math> {P(B) = \sum_{j=1}^m P(A_j) \cdot P(B \mid A_j)} </math> === Aufgabe für Studierende === Beweisen Sie den Satz der totalen Wahrscheinlichkeit in der Übung und begründen Sie jeden Teilschritte über die Zerlegung von <math>\Omega</math> und der Zerlegung von <math>B</math>. Fertigen Sie für die Beweisvorstellung Skizze an, die das Vorgehen im Beweis eräutert. [[Datei:Audio de 13 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Formel Totale Wahrscheinlichkeit]] <span id="Satz_von_Bayes"></span> == Satz - Formel von Bayes == Ist <math> P </math> eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf <math> \Omega </math>, <math> ( A_1, ... ,A_m ) </math> einer Zerlegung von <math>\Omega </math> auf <math>(\Omega,\mathcal{S})</math> , so gilt für jedes <math> B \in \mathcal{S} </math> mit <math> P(B) > 0 </math> und <math> i= 1, ... ,m </math> :<math>P(A_i|B) = \frac {P(B|A_i) \cdot P(A_i)} { \sum_{j=1}^{m} P(B|A_j) \cdot P(A_j) }.</math> [[Datei:Audio de 14 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Satz von Bayes]] === Beweis === :<math>P(A_i|B) = \frac {P(A_i\cap B)}{P(B)} = \frac{P(B|A_i) \cdot P(A_i)}{\sum_{j=1}^{m} P(B|A_j) \cdot P(A_j)} </math> [[Datei:Audio de 15 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Satz von Bayes - Beweis]] ==== Bemerkung==== Man beachte, dass auf der linken und rechten Seite "Argument und Bedingung" vertauscht auftreten. In einer außermathematischen Deutung spielen <math> A_j </math> die Rolle von (verschiedenen) Ursachen für die Wirkung von <math> B </math>. [[Datei:Audio de 16 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Satz von Bayes - Bemerkung]] ==== Beispiel (Test auf eine Krankheit) ==== <math> \Omega </math> sei die Gesamtheit der Personen aus der Bevölkerung. <math> p \cdot 100\% </math> der Bevölkerung (<math>K \subset \Omega </math>) leidet an der Krankheit. Ein Test für diese Krankheit spreche bei <math> k \cdot 100\% </math> der Kranken aus <math>K</math> an und bei <math> g \cdot 100\% </math> der Gesunden (<math>\Omega \setminus K</math>) positiv an (<math>k =</math> Sensitivität, <math>1-g =</math> Spezifität des Testes). Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat eine zufällig ausgewählte Person <math>\omega \in \Omega</math> die Krankheit, * wenn der Test positiv ausfällt? * wenn der Test negativ ausfällt? [[Datei:Audio de 17 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Satz von Bayes - Beispiel]] <span id="Produktformel"></span> == Produktformel- bedingte Wahrscheinlichkeit == Sei <math>P</math> eine [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] auf <math> \Omega </math> und seien <math> A_1, ... ,A_n \subset \Omega </math> mit <math> P( A_1 \cap ... \cap A_{n-1} )>0 </math>. Dann gilt die sogenannte "Produktformel": :<math> P( A_1 \cap ... \cap A_n) = P(A_1) \cdot P(A_2 | A_1) \cdot P(A_3 | A_1 \cap A_2) \cdot ... \cdot P(A_n | A_1 \cap ... \cap A_{n-1}) </math> [[Datei:Audio de 18 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Produktformel - Satz]] === Beweis - Produktformel === Die Faktoren auf der rechten Seite sind definiert wegen :<math>P(A_1) \ge P(A_1 \cap A_2) \ge ... \ge P(A_1 \cap ... \cap A_{n-1}) >0.</math> :<math> P( A_1 \cap ... \cap A_n) = P( A_1 \cap ... \cap A_{n-1} ) \cdot P( A_n | A_1 \cap ... \cap A_{n-1} ) </math> :<math> = P( A_1 \cap ... \cap A_{n-2}) \cdot P( A_{n-1} | A_1 \cap ... \cap A_{n-1} ) \cdot P( A_n | A_1 \cap ... \cap A_{n-1} ) = ... </math> :<math> = P(A_1) \cdot P(A_2 | A_1) \cdot P(A_3 | A_1 \cap A_2) \cdot ... \cdot P(A_n | A_1 \cap ... \cap A_{n-1}) \ \Box</math> [[Datei:Audio de 19 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Produktformel - Satz - Beweis]] ==== Bemerkung ==== Dieser Satz verallgemeinert die Formel <math>P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A). </math> [[Datei:Audio de 20 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Produktformel - Bemerkung]] == Seiten-Information == Der [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Bedingte+Wahrscheinlichkeit&author=Kurs%3A+Stochastik&audioslide=no&language=de Foliensatz] für diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Bedingte%20Wahrscheinlichkeit Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Bedingte_Wahrscheinlichkeit Bedingte Wahrscheinlichkeit] https://de.wikipedia.org/wiki/Bedingte_Wahrscheinlichkeit * Datum: 5.11.2018 * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity]-Konverter: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity * [https://niebert.github.com/Wiki2Reveal Wiki2Reveal Link-Generator] * Dieser Foliensatz gehört zum [[Kurs:Stochastik]] [[Category:Wiki2Reveal]] 1qe906mq6ftygdhbjml6551m0bp98a5 1118660 1118659 2026-11-02T14:58:57Z Bert Niehaus 20843 /* Zerlegungssatz */ 1118660 wikitext text/x-wiki [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|146px|mini|Kurs enthält [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] Audio-Folien]] == Einleitung == Diese Lerneinheit aus der [[Kurs:Stochastik|Stochastik]] behandelt folgende Inhalte: * [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Definition|Definition - Bedingte Wahrscheinlichkeit]] * [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Zerlegungssatz|Zerlegungssatz]] * [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Satz_von_Bayes|Satz von Bayes]] * [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Satz_totale_Wahrscheinlichkeit|Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit]] * [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Produktformel|Produktformel]] === Einführendes Beispiel - bedingte Wahrscheinlichkeit=== Gegeben sei ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum <math>(\Omega,\mathcal{S},P) </math>, Gleichverteilung über <math>(\Omega,\mathcal{S}) </math> und <math>\mathcal{S} := \wp((\Omega) </math>. <math> A,B \subset \Omega, A\neq \varnothing </math>. In dem einführenden Beispiel betrachten wir die Ereignisse: * <math>A</math>: Stochastik-Klausur bestanden * <math>B</math>: Fachwissenschaftliche Grundlagen mit 4,0 bestanden * Mit welcher Wahrscheinlichkeit <math>P(A|B)</math> besteht man die Stochastik-Klausur <math>A</math>, wenn man die Klausur zu den fachwissenschaftlichen Grundlagen nur mit 4,0 bestanden hat (d.h. <math>B</math> erfüllt ist)? [[Datei:Audio de 1 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Einleitung]] === Vorüberlegung === Wir nehmen an, dass das Ereignis <math> B </math> eintritt. Welche Definition ist sinnvoll für die Wahrscheinlichkeit von <math> B </math>, unter der Bedingung, dass <math> A </math> eingetreten ist? # Wenn die Bedingung <math> B </math> eintritt, so kann <math> A </math> nur dann eintreten, wenn das Ereignis <math> A \cap B </math> eintritt. # Wir konzentrieren uns auf die Realisationen <math> \omega \in A </math> und betrachten sie als gleichwahrscheinlich ([[w:de:Laplace-Verteilung|Laplace-Verteilung]]). # Allgemein gilt dann <math> P(C) = \frac {| C | }{ | \Omega |} </math> für alle <math>C \in \mathcal{S}</math>. [[Datei:Audio de 2 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Vorlüberlegung]] === Berechnung mit Laplace-Verteilung === Damit kann die Wahrscheinlichkeit von <math> A </math> unter der Bedingung <math> B </math> wie folgt definiert werden: :<math> P(A|B) := \frac {| A\cap B | }{ | B |} = \frac { \tfrac{|A \cap B | }{| \Omega | }} { \tfrac{| B |}{| \Omega | }}= \frac {P (A \cap B)}{ P(B)} </math> Dabei wurde der Bruch mit <math>\frac {1}{| \Omega |}</math> erweitert, um in Zähler und Nenner die Laplace-Wahrscheinlichkeiten für die Ereignisse <math> A \cap B </math> und <math> B </math> zu erzeugen. [[Datei:Audio de 3 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Berechnung mit Laplace-Verteilung]] <span id="Definition"></span> == Definition - bedingte Wahrscheinlichkeit == Sei <math> (\Omega,\mathcal{S},P) </math> ein Wahrscheinlichkeitsraum, <math> A \in \mathcal{S} </math> mit <math> P (B) >0 </math>. <br> a) Die Abbildung <math> P( \cdot | B): \mathcal{S} \to [0,1] </math>, die gemäß <math> P (A | B) = \frac {P(A \cap B)}{P(B)}, A,B \in \mathcal{S} </math> definiert ist, heißt bedingte Wahrscheinlichkeitsverteilung über <math> \Omega </math> unter (der Bedingung) <math> B </math>. <br> b) Die Zahl <math> P(A|B) </math> heißt bedingte Wahrscheinlichkeit von <math> A </math> unter (der Bedingung) <math> B </math>. [[Datei:Audio de 4 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Definition]] === Aufgabe - bedingte Wahrscheinlickeitsverteilung === Sei <math>(\Omega,\mathcal{S},P)</math> ein Wahrscheinlichkeitsraum. Weisen Sie für die Abbildung <math>\widetilde{P}</math> nach, dass diese die Eigenschaften eines Wahrscheinlichkeitsmaßes auf <math>(\Omega,\mathcal{S})</math> erfüllt. :<math> \begin{array}{rrcl} \widetilde{P}: & \mathcal{S} & \rightarrow & [0,1] \\ & A & \mapsto & \widetilde{P}(A) = P(A|B) \end{array} </math> === Aufgaben - Wahrscheinlichkeit auf Bedingung konzentriert=== Es gilt <math> P(\Omega|B) = 1 </math>. Die Wahrscheinlichkeit von <math> P( \cdot |B) </math> ist allerdings auf <math> B </math> konzentriert". * Zeigen Sie dazu, dass <math> P(A|B) = 0 </math> für alle <math> A \subset \bar B = \Omega\setminus B </math> <!-- denn: <math> P(A|B) = \frac {P (A \cap B)} {P(B)} = \frac {P (\emptyset)} {P(B)} = 0 </math> --> * Zeigen Sie, dass für <math> B \subset A </math>, <math> A \not= B </math> gilt, dass <math> P(A|B) = 1</math> (Hinweis: Zeigen Sie, dass <math> P(\bar A|B) = 0</math> gilt!) [[Datei:Audio de 5 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Aufgabenstellung]] === Anmerkung === Formt man die Definitionsformel von oben um zu <math> P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A|B) </math>, so kann man die Wahrscheinlichkeit des gleichzeitig Eintretens von <math> A </math> und <math> B </math> mithilfe der bedingten Wahrscheinlichkeit darstellen. Wir betrachten im Nachfolgenden eine Technik, eine Wahrscheinlichkeit auf <math> \Omega </math> durch bedingten Wahrscheinlichkeiten zusammenzusetzen. <span id="ZerlegungDef"></span> === Definition - Zerlegung === <math> (A_1, ..., A_m) </math> heißt [[bedingte Wahrscheinlichkeit#ZerlegungDef|Zerlegung]] von <math> \Omega </math> auf <math> (\Omega,\mathcal{S}) </math>, falls <math>\bigcup_{i=1} ^{m} A_i = \Omega, A_i \cap A_j = \varnothing </math> für alle <math> i \neq j </math> und <math>A_i, A_j \in \mathcal{S}</math>. === Motivation - Auswahl mit beschränkten Optionen === Als Beispiel werden 100 verschiedene Spiele <math>\Omega</math> auf <math>m</math> verschiedene Spielekisten <math>A_1, \ldots , A_m</math> verteilt. Es gibt <math>m\in \mathbb{N}</math> Personen und jede Person bekommt eine Kiste. Jede Person <math>i</math> kann nur Spiele aus der eigenen Kiste <math>A_i</math> und nicht aus anderen Kisten <math>A_j</math> auswählen mit <math>i\neq j</math>. Es gibt für jede der <math>i</math> Personen präferiert Spiele und daher gibt es eine Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>{Q_A}_i</math> (''"Qual der Wahl aus <math>A_i</math> aus der Spielekiste"''), die die Wahrscheinlichkeit beschreibt, ein Spiel bestimmtes Spiel aus der eigenen Spielekiste auszuwählen. Die Wahrscheinlichkeit ist auf <math>A_i</math> konzentriert, da die Spieler nur aus der eigenen Kiste auswählen können. == Zerlegungssatz == Sei <math>(A_1, ... ,A_m )</math> eine [[bedingte Wahrscheinlichkeit#ZerlegungDef|Zerlegung]] von <math>\Omega </math> auf <math> (\Omega,\mathcal{S})</math>. Für jedes <math> i = 1, ...,m </math> sei eine auf <math>A_i</math> konzentrierte Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>Q_{A_i}</math> auf <math>(\Omega,\mathcal{S} ) </math> gegeben (d.h. <math>{Q_A}_i (A_i) = 1 </math>) sowie Zahlen <math>p_i \in ( 0,1]</math> mit <math>\sum _{i = 1} ^{m} p_i = 1 </math>. <br> * (a) Dann existiert genau eine Wahrscheinlichkeitsverteilung <math> P </math> auf <math> \Omega </math> mit <br> ** (i) <math>P(A_i) = p_i > 0</math>. <br> ** (ii) <math>P(B|A_i) = {Q_A}_i(B)</math>, falls <math>p_i >0 </math> für alle <math>i=1, ...,m </math>. <br> * (b) Es gilt <math> P(B) = \sum _{i=1} ^{m} p_i \cdot {Q_A}_i(B) </math> für jedes <math> B \in \mathcal{S} </math>. === Beweis - Zerlegungssatz === Der Beweis gliedert sich in eine Existenzaussage für <math>P</math> und eine Eindeutigkeitsaussage, bei der die Existenz einer weiteren Wahrscheinlichkeitsverteilung für <math>\widetilde{P}</math> auf <math>\mathcal{S}</math> angenommen wird. Dann wird gezeigt, dass <math>\widetilde{P} = P</math> gilt bzw. <math>\widetilde{P}(B) = P(B)</math> für beliebige <math>B\in\mathcal{S}</math> gilt. ==== Beweis Existenz (i)==== Man definiere <math> P</math> gemäß Formel b) und rechnet nach, dass <math>P</math> eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf <math>\Omega </math> ist. Wie in der letzten Bemerkung gilt für die paarweise disjunkten <math> A_i</math> :<math>{Q_A}_i(A_j) = \left \{ \begin{array}{ll} 0, & i \neq j\\ 1, & i = j \end{array}\right. </math> Daraus folgt sofort (ai) <math>P(A_k) = \sum _{i=1} ^{m} p_i \cdot {Q_A}_i(A_k) = p_k</math>. [[Datei:Audio de 10 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Zerlegungsatz 2]] ==== Beweis Existenz (ii)==== Für ein beliebiges <math>p_i > 0 </math> und <math> B \in \mathcal{S} </math> gilt :<math> P(B|A_i) = \frac {P(A_i \cap B)}{ P(A_i)} = \frac {1} {p_i} \sum _{j=1} ^{m} p_j \cdot {Q_A}_j (A_i \cap B) = </math> :<math>= \frac {p_i} {p_i} ({Q_A}_i (A_i \cap B) + {Q_A}_i( \bar A_i \cap B) = {Q_A}_i(B) )</math> also ii). [[Datei:Audio de 11 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Zerlegungsatz 3]] ==== Beweis Eindeutigkeit ==== Sei <math> \tilde P </math> eine (weitere) Wahrscheinlichkeitsverteilung auf <math> (\Omega,\mathcal{S}) </math>, die (ai) und (aii) erfüllt. Dann gilt für <math> B \subset \Omega </math> und wegen <math> B= \Omega \cap B = \left( \bigcup _{j=1}^{m} A_j \right) \cap B</math> die Gleichung :<math>\tilde P (B) = \tilde P \left( \bigcup_ {j=1}^{m} A_j \cap B \right)= \sum _{j=1}^{m} \tilde P (A_j \cap B) = </math> :<math> = \sum _{j=1}^{m} \tilde P (A_j) \cdot \tilde P (B|A_j) \stackrel{(i),(ii)}{=} \sum _{j=1}^{m} p_j {Q_A}_j(B) = P(B) . \qquad \Box</math> [[Datei:Audio de 12 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Zerlegungsatz 4]] <span id="totale_Wahrscheinlichkeit"></span> == Satz der totalen Wahrscheinlichkeit == Sei <math>(\Omega ,\mathcal{S}, P)</math> ein [[Wahrscheinlichkeitsraum]] und <math> (A_1,\ldots , A_m) </math> eine [[Zerlegung (Stochastik)|Zerlegung]] von <math>\Omega</math> auf <math>(\Omega,\mathcal{S})</math> mit <math>P(A_j) > 0</math> für alle <math>j = 1, \ldots, m</math>. Für jedes <math> B \subset \Omega </math> und gilt also für alle <math>B \in \mathcal{S}</math>: :<math> P(B) = \sum _{j=1} ^{m} P(A_j) \cdot P(B|A_j)</math> ("Formel der totalen Wahrscheinlichkeit"). == Beweis - Satz - totale Wahrscheinlichkeit == Nach Voraussetzung gilt <math>P(A_j) > 0</math> für alle <math>j = 1, \ldots, m</math> und damit sind die bedingten Wahrscheinlichkeiten <math>P(B \mid A_j)</math> definiert, weil <math>P(A_j)</math> im Nenner der Definition der [[bedingte Wahrscheinlichkeit#Definition|bedingten Warscheinlichkeit]] auf tritt. === Schritt 1 - Zerlegung von Omega === Da die <math>A_j</math> eine Zerlegung von <math>\Omega</math> bilden, sind die <math>A_j</math> paarweise disjunkt nach Definition und auch die <math>B\cap A_j</math> sind als Teilmengen von <math>A_j</math> paarweise disjunkt. Damit gilt: :<math> \Omega = \bigcup_{j=1}^m A_j \quad \text{(disjunkt)} </math> === Schritt 2 - Zerlegung von B === Mit der Teilmengenbeziehung <math>B\cap A_j\subset A_j</math> Dann folgt für jedes <math>B \in \mathcal{S}</math> und der verallgemeinerten Anwendung <math>B \cap (A_1 \cup A_2) = (B\cap A_1) \cup (B\cap A_2)</math>: :<math> B = B \cap \Omega = B \cap \left( \bigcup_{j=1}^m A_j \right) = \bigcup_{j=1}^m (B \cap A_j) </math> Da die <math>A_j</math> disjunkt sind, sind auch die Schnitte <math>B \cap A_j</math> disjunkt. Also ist <math>(B \cap A_1, B \cap A_2, \ldots, B \cap A_m)</math> eine '''disjunkte Zerlegung''' von <math>B</math>. === Schritt 3 - Anwendung der Additivität der Wahrscheinlichkeit === Nach dem Axiom der <math>\sigma</math>-Additivität erlaubt insbesondere die Anwendung auf endliche Summen von disjunkte Ereignisse glt: :<math> P(B) = P\left( \bigcup_{j=1}^m (B \cap A_j) \right) = \sum_{j=1}^m P(B \cap A_j) </math> === Schritt 4 - Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit === Für jedes <math>j</math> mit <math>P(A_j) > 0</math> ist die bedingte Wahrscheinlichkeit definiert als: :<math> P(B \mid A_j) = \frac{P(B \cap A_j)}{P(A_j)} </math> Durch Umformung erhält man: :<math> P(B \cap A_j) = P(A_j) \cdot P(B \mid A_j) </math> ==== Schritt 5 - Einsetzen in die Summe ==== Setze dies in die Gleichung aus Schritt 3 ein: :<math> P(B) = \sum_{j=1}^m P(B \cap A_j) = \sum_{j=1}^m P(A_j) \cdot P(B \mid A_j) </math> Insgesamt erhält man die Aussage des Satzes über die totale Wahrscheinlichkeit :<math> {P(B) = \sum_{j=1}^m P(A_j) \cdot P(B \mid A_j)} </math> === Aufgabe für Studierende === Beweisen Sie den Satz der totalen Wahrscheinlichkeit in der Übung und begründen Sie jeden Teilschritte über die Zerlegung von <math>\Omega</math> und der Zerlegung von <math>B</math>. Fertigen Sie für die Beweisvorstellung Skizze an, die das Vorgehen im Beweis eräutert. [[Datei:Audio de 13 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Formel Totale Wahrscheinlichkeit]] <span id="Satz_von_Bayes"></span> == Satz - Formel von Bayes == Ist <math> P </math> eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf <math> \Omega </math>, <math> ( A_1, ... ,A_m ) </math> einer Zerlegung von <math>\Omega </math> auf <math>(\Omega,\mathcal{S})</math> , so gilt für jedes <math> B \in \mathcal{S} </math> mit <math> P(B) > 0 </math> und <math> i= 1, ... ,m </math> :<math>P(A_i|B) = \frac {P(B|A_i) \cdot P(A_i)} { \sum_{j=1}^{m} P(B|A_j) \cdot P(A_j) }.</math> [[Datei:Audio de 14 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Satz von Bayes]] === Beweis === :<math>P(A_i|B) = \frac {P(A_i\cap B)}{P(B)} = \frac{P(B|A_i) \cdot P(A_i)}{\sum_{j=1}^{m} P(B|A_j) \cdot P(A_j)} </math> [[Datei:Audio de 15 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Satz von Bayes - Beweis]] ==== Bemerkung==== Man beachte, dass auf der linken und rechten Seite "Argument und Bedingung" vertauscht auftreten. In einer außermathematischen Deutung spielen <math> A_j </math> die Rolle von (verschiedenen) Ursachen für die Wirkung von <math> B </math>. [[Datei:Audio de 16 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Satz von Bayes - Bemerkung]] ==== Beispiel (Test auf eine Krankheit) ==== <math> \Omega </math> sei die Gesamtheit der Personen aus der Bevölkerung. <math> p \cdot 100\% </math> der Bevölkerung (<math>K \subset \Omega </math>) leidet an der Krankheit. Ein Test für diese Krankheit spreche bei <math> k \cdot 100\% </math> der Kranken aus <math>K</math> an und bei <math> g \cdot 100\% </math> der Gesunden (<math>\Omega \setminus K</math>) positiv an (<math>k =</math> Sensitivität, <math>1-g =</math> Spezifität des Testes). Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat eine zufällig ausgewählte Person <math>\omega \in \Omega</math> die Krankheit, * wenn der Test positiv ausfällt? * wenn der Test negativ ausfällt? [[Datei:Audio de 17 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Satz von Bayes - Beispiel]] <span id="Produktformel"></span> == Produktformel- bedingte Wahrscheinlichkeit == Sei <math>P</math> eine [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] auf <math> \Omega </math> und seien <math> A_1, ... ,A_n \subset \Omega </math> mit <math> P( A_1 \cap ... \cap A_{n-1} )>0 </math>. Dann gilt die sogenannte "Produktformel": :<math> P( A_1 \cap ... \cap A_n) = P(A_1) \cdot P(A_2 | A_1) \cdot P(A_3 | A_1 \cap A_2) \cdot ... \cdot P(A_n | A_1 \cap ... \cap A_{n-1}) </math> [[Datei:Audio de 18 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Produktformel - Satz]] === Beweis - Produktformel === Die Faktoren auf der rechten Seite sind definiert wegen :<math>P(A_1) \ge P(A_1 \cap A_2) \ge ... \ge P(A_1 \cap ... \cap A_{n-1}) >0.</math> :<math> P( A_1 \cap ... \cap A_n) = P( A_1 \cap ... \cap A_{n-1} ) \cdot P( A_n | A_1 \cap ... \cap A_{n-1} ) </math> :<math> = P( A_1 \cap ... \cap A_{n-2}) \cdot P( A_{n-1} | A_1 \cap ... \cap A_{n-1} ) \cdot P( A_n | A_1 \cap ... \cap A_{n-1} ) = ... </math> :<math> = P(A_1) \cdot P(A_2 | A_1) \cdot P(A_3 | A_1 \cap A_2) \cdot ... \cdot P(A_n | A_1 \cap ... \cap A_{n-1}) \ \Box</math> [[Datei:Audio de 19 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Produktformel - Satz - Beweis]] ==== Bemerkung ==== Dieser Satz verallgemeinert die Formel <math>P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A). </math> [[Datei:Audio de 20 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Produktformel - Bemerkung]] == Seiten-Information == Der [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Bedingte+Wahrscheinlichkeit&author=Kurs%3A+Stochastik&audioslide=no&language=de Foliensatz] für diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Bedingte%20Wahrscheinlichkeit Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Bedingte_Wahrscheinlichkeit Bedingte Wahrscheinlichkeit] https://de.wikipedia.org/wiki/Bedingte_Wahrscheinlichkeit * Datum: 5.11.2018 * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity]-Konverter: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity * [https://niebert.github.com/Wiki2Reveal Wiki2Reveal Link-Generator] * Dieser Foliensatz gehört zum [[Kurs:Stochastik]] [[Category:Wiki2Reveal]] sla3y5gj6ojn404ptfo9f3d5s7gmm86 1118661 1118660 2026-11-02T14:59:34Z Bert Niehaus 20843 /* Satz der totalen Wahrscheinlichkeit */ 1118661 wikitext text/x-wiki [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|146px|mini|Kurs enthält [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] Audio-Folien]] == Einleitung == Diese Lerneinheit aus der [[Kurs:Stochastik|Stochastik]] behandelt folgende Inhalte: * [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Definition|Definition - Bedingte Wahrscheinlichkeit]] * [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Zerlegungssatz|Zerlegungssatz]] * [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Satz_von_Bayes|Satz von Bayes]] * [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Satz_totale_Wahrscheinlichkeit|Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit]] * [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Produktformel|Produktformel]] === Einführendes Beispiel - bedingte Wahrscheinlichkeit=== Gegeben sei ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum <math>(\Omega,\mathcal{S},P) </math>, Gleichverteilung über <math>(\Omega,\mathcal{S}) </math> und <math>\mathcal{S} := \wp((\Omega) </math>. <math> A,B \subset \Omega, A\neq \varnothing </math>. In dem einführenden Beispiel betrachten wir die Ereignisse: * <math>A</math>: Stochastik-Klausur bestanden * <math>B</math>: Fachwissenschaftliche Grundlagen mit 4,0 bestanden * Mit welcher Wahrscheinlichkeit <math>P(A|B)</math> besteht man die Stochastik-Klausur <math>A</math>, wenn man die Klausur zu den fachwissenschaftlichen Grundlagen nur mit 4,0 bestanden hat (d.h. <math>B</math> erfüllt ist)? [[Datei:Audio de 1 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Einleitung]] === Vorüberlegung === Wir nehmen an, dass das Ereignis <math> B </math> eintritt. Welche Definition ist sinnvoll für die Wahrscheinlichkeit von <math> B </math>, unter der Bedingung, dass <math> A </math> eingetreten ist? # Wenn die Bedingung <math> B </math> eintritt, so kann <math> A </math> nur dann eintreten, wenn das Ereignis <math> A \cap B </math> eintritt. # Wir konzentrieren uns auf die Realisationen <math> \omega \in A </math> und betrachten sie als gleichwahrscheinlich ([[w:de:Laplace-Verteilung|Laplace-Verteilung]]). # Allgemein gilt dann <math> P(C) = \frac {| C | }{ | \Omega |} </math> für alle <math>C \in \mathcal{S}</math>. [[Datei:Audio de 2 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Vorlüberlegung]] === Berechnung mit Laplace-Verteilung === Damit kann die Wahrscheinlichkeit von <math> A </math> unter der Bedingung <math> B </math> wie folgt definiert werden: :<math> P(A|B) := \frac {| A\cap B | }{ | B |} = \frac { \tfrac{|A \cap B | }{| \Omega | }} { \tfrac{| B |}{| \Omega | }}= \frac {P (A \cap B)}{ P(B)} </math> Dabei wurde der Bruch mit <math>\frac {1}{| \Omega |}</math> erweitert, um in Zähler und Nenner die Laplace-Wahrscheinlichkeiten für die Ereignisse <math> A \cap B </math> und <math> B </math> zu erzeugen. [[Datei:Audio de 3 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Berechnung mit Laplace-Verteilung]] <span id="Definition"></span> == Definition - bedingte Wahrscheinlichkeit == Sei <math> (\Omega,\mathcal{S},P) </math> ein Wahrscheinlichkeitsraum, <math> A \in \mathcal{S} </math> mit <math> P (B) >0 </math>. <br> a) Die Abbildung <math> P( \cdot | B): \mathcal{S} \to [0,1] </math>, die gemäß <math> P (A | B) = \frac {P(A \cap B)}{P(B)}, A,B \in \mathcal{S} </math> definiert ist, heißt bedingte Wahrscheinlichkeitsverteilung über <math> \Omega </math> unter (der Bedingung) <math> B </math>. <br> b) Die Zahl <math> P(A|B) </math> heißt bedingte Wahrscheinlichkeit von <math> A </math> unter (der Bedingung) <math> B </math>. [[Datei:Audio de 4 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Definition]] === Aufgabe - bedingte Wahrscheinlickeitsverteilung === Sei <math>(\Omega,\mathcal{S},P)</math> ein Wahrscheinlichkeitsraum. Weisen Sie für die Abbildung <math>\widetilde{P}</math> nach, dass diese die Eigenschaften eines Wahrscheinlichkeitsmaßes auf <math>(\Omega,\mathcal{S})</math> erfüllt. :<math> \begin{array}{rrcl} \widetilde{P}: & \mathcal{S} & \rightarrow & [0,1] \\ & A & \mapsto & \widetilde{P}(A) = P(A|B) \end{array} </math> === Aufgaben - Wahrscheinlichkeit auf Bedingung konzentriert=== Es gilt <math> P(\Omega|B) = 1 </math>. Die Wahrscheinlichkeit von <math> P( \cdot |B) </math> ist allerdings auf <math> B </math> konzentriert". * Zeigen Sie dazu, dass <math> P(A|B) = 0 </math> für alle <math> A \subset \bar B = \Omega\setminus B </math> <!-- denn: <math> P(A|B) = \frac {P (A \cap B)} {P(B)} = \frac {P (\emptyset)} {P(B)} = 0 </math> --> * Zeigen Sie, dass für <math> B \subset A </math>, <math> A \not= B </math> gilt, dass <math> P(A|B) = 1</math> (Hinweis: Zeigen Sie, dass <math> P(\bar A|B) = 0</math> gilt!) [[Datei:Audio de 5 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Aufgabenstellung]] === Anmerkung === Formt man die Definitionsformel von oben um zu <math> P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A|B) </math>, so kann man die Wahrscheinlichkeit des gleichzeitig Eintretens von <math> A </math> und <math> B </math> mithilfe der bedingten Wahrscheinlichkeit darstellen. Wir betrachten im Nachfolgenden eine Technik, eine Wahrscheinlichkeit auf <math> \Omega </math> durch bedingten Wahrscheinlichkeiten zusammenzusetzen. <span id="ZerlegungDef"></span> === Definition - Zerlegung === <math> (A_1, ..., A_m) </math> heißt [[bedingte Wahrscheinlichkeit#ZerlegungDef|Zerlegung]] von <math> \Omega </math> auf <math> (\Omega,\mathcal{S}) </math>, falls <math>\bigcup_{i=1} ^{m} A_i = \Omega, A_i \cap A_j = \varnothing </math> für alle <math> i \neq j </math> und <math>A_i, A_j \in \mathcal{S}</math>. === Motivation - Auswahl mit beschränkten Optionen === Als Beispiel werden 100 verschiedene Spiele <math>\Omega</math> auf <math>m</math> verschiedene Spielekisten <math>A_1, \ldots , A_m</math> verteilt. Es gibt <math>m\in \mathbb{N}</math> Personen und jede Person bekommt eine Kiste. Jede Person <math>i</math> kann nur Spiele aus der eigenen Kiste <math>A_i</math> und nicht aus anderen Kisten <math>A_j</math> auswählen mit <math>i\neq j</math>. Es gibt für jede der <math>i</math> Personen präferiert Spiele und daher gibt es eine Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>{Q_A}_i</math> (''"Qual der Wahl aus <math>A_i</math> aus der Spielekiste"''), die die Wahrscheinlichkeit beschreibt, ein Spiel bestimmtes Spiel aus der eigenen Spielekiste auszuwählen. Die Wahrscheinlichkeit ist auf <math>A_i</math> konzentriert, da die Spieler nur aus der eigenen Kiste auswählen können. == Zerlegungssatz == Sei <math>(A_1, ... ,A_m )</math> eine [[bedingte Wahrscheinlichkeit#ZerlegungDef|Zerlegung]] von <math>\Omega </math> auf <math> (\Omega,\mathcal{S})</math>. Für jedes <math> i = 1, ...,m </math> sei eine auf <math>A_i</math> konzentrierte Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>Q_{A_i}</math> auf <math>(\Omega,\mathcal{S} ) </math> gegeben (d.h. <math>{Q_A}_i (A_i) = 1 </math>) sowie Zahlen <math>p_i \in ( 0,1]</math> mit <math>\sum _{i = 1} ^{m} p_i = 1 </math>. <br> * (a) Dann existiert genau eine Wahrscheinlichkeitsverteilung <math> P </math> auf <math> \Omega </math> mit <br> ** (i) <math>P(A_i) = p_i > 0</math>. <br> ** (ii) <math>P(B|A_i) = {Q_A}_i(B)</math>, falls <math>p_i >0 </math> für alle <math>i=1, ...,m </math>. <br> * (b) Es gilt <math> P(B) = \sum _{i=1} ^{m} p_i \cdot {Q_A}_i(B) </math> für jedes <math> B \in \mathcal{S} </math>. === Beweis - Zerlegungssatz === Der Beweis gliedert sich in eine Existenzaussage für <math>P</math> und eine Eindeutigkeitsaussage, bei der die Existenz einer weiteren Wahrscheinlichkeitsverteilung für <math>\widetilde{P}</math> auf <math>\mathcal{S}</math> angenommen wird. Dann wird gezeigt, dass <math>\widetilde{P} = P</math> gilt bzw. <math>\widetilde{P}(B) = P(B)</math> für beliebige <math>B\in\mathcal{S}</math> gilt. ==== Beweis Existenz (i)==== Man definiere <math> P</math> gemäß Formel b) und rechnet nach, dass <math>P</math> eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf <math>\Omega </math> ist. Wie in der letzten Bemerkung gilt für die paarweise disjunkten <math> A_i</math> :<math>{Q_A}_i(A_j) = \left \{ \begin{array}{ll} 0, & i \neq j\\ 1, & i = j \end{array}\right. </math> Daraus folgt sofort (ai) <math>P(A_k) = \sum _{i=1} ^{m} p_i \cdot {Q_A}_i(A_k) = p_k</math>. [[Datei:Audio de 10 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Zerlegungsatz 2]] ==== Beweis Existenz (ii)==== Für ein beliebiges <math>p_i > 0 </math> und <math> B \in \mathcal{S} </math> gilt :<math> P(B|A_i) = \frac {P(A_i \cap B)}{ P(A_i)} = \frac {1} {p_i} \sum _{j=1} ^{m} p_j \cdot {Q_A}_j (A_i \cap B) = </math> :<math>= \frac {p_i} {p_i} ({Q_A}_i (A_i \cap B) + {Q_A}_i( \bar A_i \cap B) = {Q_A}_i(B) )</math> also ii). [[Datei:Audio de 11 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Zerlegungsatz 3]] ==== Beweis Eindeutigkeit ==== Sei <math> \tilde P </math> eine (weitere) Wahrscheinlichkeitsverteilung auf <math> (\Omega,\mathcal{S}) </math>, die (ai) und (aii) erfüllt. Dann gilt für <math> B \subset \Omega </math> und wegen <math> B= \Omega \cap B = \left( \bigcup _{j=1}^{m} A_j \right) \cap B</math> die Gleichung :<math>\tilde P (B) = \tilde P \left( \bigcup_ {j=1}^{m} A_j \cap B \right)= \sum _{j=1}^{m} \tilde P (A_j \cap B) = </math> :<math> = \sum _{j=1}^{m} \tilde P (A_j) \cdot \tilde P (B|A_j) \stackrel{(i),(ii)}{=} \sum _{j=1}^{m} p_j {Q_A}_j(B) = P(B) . \qquad \Box</math> [[Datei:Audio de 12 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Zerlegungsatz 4]] <span id="totale_Wahrscheinlichkeit"></span> == Satz der totalen Wahrscheinlichkeit == Sei <math>(\Omega ,\mathcal{S}, P)</math> ein [[Wahrscheinlichkeitsraum]] und <math> (A_1,\ldots , A_m) </math> eine [[Mengenzerlegung (Stochastik)|Zerlegung]] von <math>\Omega</math> auf <math>(\Omega,\mathcal{S})</math> mit <math>P(A_j) > 0</math> für alle <math>j = 1, \ldots, m</math>. Für jedes <math> B \subset \Omega </math> und gilt also für alle <math>B \in \mathcal{S}</math>: :<math> P(B) = \sum _{j=1} ^{m} P(A_j) \cdot P(B|A_j)</math> ("Formel der totalen Wahrscheinlichkeit"). == Beweis - Satz - totale Wahrscheinlichkeit == Nach Voraussetzung gilt <math>P(A_j) > 0</math> für alle <math>j = 1, \ldots, m</math> und damit sind die bedingten Wahrscheinlichkeiten <math>P(B \mid A_j)</math> definiert, weil <math>P(A_j)</math> im Nenner der Definition der [[bedingte Wahrscheinlichkeit#Definition|bedingten Warscheinlichkeit]] auf tritt. === Schritt 1 - Zerlegung von Omega === Da die <math>A_j</math> eine Zerlegung von <math>\Omega</math> bilden, sind die <math>A_j</math> paarweise disjunkt nach Definition und auch die <math>B\cap A_j</math> sind als Teilmengen von <math>A_j</math> paarweise disjunkt. Damit gilt: :<math> \Omega = \bigcup_{j=1}^m A_j \quad \text{(disjunkt)} </math> === Schritt 2 - Zerlegung von B === Mit der Teilmengenbeziehung <math>B\cap A_j\subset A_j</math> Dann folgt für jedes <math>B \in \mathcal{S}</math> und der verallgemeinerten Anwendung <math>B \cap (A_1 \cup A_2) = (B\cap A_1) \cup (B\cap A_2)</math>: :<math> B = B \cap \Omega = B \cap \left( \bigcup_{j=1}^m A_j \right) = \bigcup_{j=1}^m (B \cap A_j) </math> Da die <math>A_j</math> disjunkt sind, sind auch die Schnitte <math>B \cap A_j</math> disjunkt. Also ist <math>(B \cap A_1, B \cap A_2, \ldots, B \cap A_m)</math> eine '''disjunkte Zerlegung''' von <math>B</math>. === Schritt 3 - Anwendung der Additivität der Wahrscheinlichkeit === Nach dem Axiom der <math>\sigma</math>-Additivität erlaubt insbesondere die Anwendung auf endliche Summen von disjunkte Ereignisse glt: :<math> P(B) = P\left( \bigcup_{j=1}^m (B \cap A_j) \right) = \sum_{j=1}^m P(B \cap A_j) </math> === Schritt 4 - Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit === Für jedes <math>j</math> mit <math>P(A_j) > 0</math> ist die bedingte Wahrscheinlichkeit definiert als: :<math> P(B \mid A_j) = \frac{P(B \cap A_j)}{P(A_j)} </math> Durch Umformung erhält man: :<math> P(B \cap A_j) = P(A_j) \cdot P(B \mid A_j) </math> ==== Schritt 5 - Einsetzen in die Summe ==== Setze dies in die Gleichung aus Schritt 3 ein: :<math> P(B) = \sum_{j=1}^m P(B \cap A_j) = \sum_{j=1}^m P(A_j) \cdot P(B \mid A_j) </math> Insgesamt erhält man die Aussage des Satzes über die totale Wahrscheinlichkeit :<math> {P(B) = \sum_{j=1}^m P(A_j) \cdot P(B \mid A_j)} </math> === Aufgabe für Studierende === Beweisen Sie den Satz der totalen Wahrscheinlichkeit in der Übung und begründen Sie jeden Teilschritte über die Zerlegung von <math>\Omega</math> und der Zerlegung von <math>B</math>. Fertigen Sie für die Beweisvorstellung Skizze an, die das Vorgehen im Beweis eräutert. [[Datei:Audio de 13 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Formel Totale Wahrscheinlichkeit]] <span id="Satz_von_Bayes"></span> == Satz - Formel von Bayes == Ist <math> P </math> eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf <math> \Omega </math>, <math> ( A_1, ... ,A_m ) </math> einer Zerlegung von <math>\Omega </math> auf <math>(\Omega,\mathcal{S})</math> , so gilt für jedes <math> B \in \mathcal{S} </math> mit <math> P(B) > 0 </math> und <math> i= 1, ... ,m </math> :<math>P(A_i|B) = \frac {P(B|A_i) \cdot P(A_i)} { \sum_{j=1}^{m} P(B|A_j) \cdot P(A_j) }.</math> [[Datei:Audio de 14 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Satz von Bayes]] === Beweis === :<math>P(A_i|B) = \frac {P(A_i\cap B)}{P(B)} = \frac{P(B|A_i) \cdot P(A_i)}{\sum_{j=1}^{m} P(B|A_j) \cdot P(A_j)} </math> [[Datei:Audio de 15 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Satz von Bayes - Beweis]] ==== Bemerkung==== Man beachte, dass auf der linken und rechten Seite "Argument und Bedingung" vertauscht auftreten. In einer außermathematischen Deutung spielen <math> A_j </math> die Rolle von (verschiedenen) Ursachen für die Wirkung von <math> B </math>. [[Datei:Audio de 16 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Satz von Bayes - Bemerkung]] ==== Beispiel (Test auf eine Krankheit) ==== <math> \Omega </math> sei die Gesamtheit der Personen aus der Bevölkerung. <math> p \cdot 100\% </math> der Bevölkerung (<math>K \subset \Omega </math>) leidet an der Krankheit. Ein Test für diese Krankheit spreche bei <math> k \cdot 100\% </math> der Kranken aus <math>K</math> an und bei <math> g \cdot 100\% </math> der Gesunden (<math>\Omega \setminus K</math>) positiv an (<math>k =</math> Sensitivität, <math>1-g =</math> Spezifität des Testes). Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat eine zufällig ausgewählte Person <math>\omega \in \Omega</math> die Krankheit, * wenn der Test positiv ausfällt? * wenn der Test negativ ausfällt? [[Datei:Audio de 17 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Satz von Bayes - Beispiel]] <span id="Produktformel"></span> == Produktformel- bedingte Wahrscheinlichkeit == Sei <math>P</math> eine [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] auf <math> \Omega </math> und seien <math> A_1, ... ,A_n \subset \Omega </math> mit <math> P( A_1 \cap ... \cap A_{n-1} )>0 </math>. Dann gilt die sogenannte "Produktformel": :<math> P( A_1 \cap ... \cap A_n) = P(A_1) \cdot P(A_2 | A_1) \cdot P(A_3 | A_1 \cap A_2) \cdot ... \cdot P(A_n | A_1 \cap ... \cap A_{n-1}) </math> [[Datei:Audio de 18 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Produktformel - Satz]] === Beweis - Produktformel === Die Faktoren auf der rechten Seite sind definiert wegen :<math>P(A_1) \ge P(A_1 \cap A_2) \ge ... \ge P(A_1 \cap ... \cap A_{n-1}) >0.</math> :<math> P( A_1 \cap ... \cap A_n) = P( A_1 \cap ... \cap A_{n-1} ) \cdot P( A_n | A_1 \cap ... \cap A_{n-1} ) </math> :<math> = P( A_1 \cap ... \cap A_{n-2}) \cdot P( A_{n-1} | A_1 \cap ... \cap A_{n-1} ) \cdot P( A_n | A_1 \cap ... \cap A_{n-1} ) = ... </math> :<math> = P(A_1) \cdot P(A_2 | A_1) \cdot P(A_3 | A_1 \cap A_2) \cdot ... \cdot P(A_n | A_1 \cap ... \cap A_{n-1}) \ \Box</math> [[Datei:Audio de 19 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Produktformel - Satz - Beweis]] ==== Bemerkung ==== Dieser Satz verallgemeinert die Formel <math>P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A). </math> [[Datei:Audio de 20 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Produktformel - Bemerkung]] == Seiten-Information == Der [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Bedingte+Wahrscheinlichkeit&author=Kurs%3A+Stochastik&audioslide=no&language=de Foliensatz] für diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Bedingte%20Wahrscheinlichkeit Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Bedingte_Wahrscheinlichkeit Bedingte Wahrscheinlichkeit] https://de.wikipedia.org/wiki/Bedingte_Wahrscheinlichkeit * Datum: 5.11.2018 * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity]-Konverter: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity * [https://niebert.github.com/Wiki2Reveal Wiki2Reveal Link-Generator] * Dieser Foliensatz gehört zum [[Kurs:Stochastik]] [[Category:Wiki2Reveal]] hy68z1ucdfbxbj0sdixuoo7s5m9s49t 1118664 1118661 2026-11-02T15:00:30Z Bert Niehaus 20843 /* Schritt 1 - Zerlegung von Omega */ 1118664 wikitext text/x-wiki [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|146px|mini|Kurs enthält [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] Audio-Folien]] == Einleitung == Diese Lerneinheit aus der [[Kurs:Stochastik|Stochastik]] behandelt folgende Inhalte: * [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Definition|Definition - Bedingte Wahrscheinlichkeit]] * [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Zerlegungssatz|Zerlegungssatz]] * [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Satz_von_Bayes|Satz von Bayes]] * [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Satz_totale_Wahrscheinlichkeit|Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit]] * [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Produktformel|Produktformel]] === Einführendes Beispiel - bedingte Wahrscheinlichkeit=== Gegeben sei ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum <math>(\Omega,\mathcal{S},P) </math>, Gleichverteilung über <math>(\Omega,\mathcal{S}) </math> und <math>\mathcal{S} := \wp((\Omega) </math>. <math> A,B \subset \Omega, A\neq \varnothing </math>. In dem einführenden Beispiel betrachten wir die Ereignisse: * <math>A</math>: Stochastik-Klausur bestanden * <math>B</math>: Fachwissenschaftliche Grundlagen mit 4,0 bestanden * Mit welcher Wahrscheinlichkeit <math>P(A|B)</math> besteht man die Stochastik-Klausur <math>A</math>, wenn man die Klausur zu den fachwissenschaftlichen Grundlagen nur mit 4,0 bestanden hat (d.h. <math>B</math> erfüllt ist)? [[Datei:Audio de 1 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Einleitung]] === Vorüberlegung === Wir nehmen an, dass das Ereignis <math> B </math> eintritt. Welche Definition ist sinnvoll für die Wahrscheinlichkeit von <math> B </math>, unter der Bedingung, dass <math> A </math> eingetreten ist? # Wenn die Bedingung <math> B </math> eintritt, so kann <math> A </math> nur dann eintreten, wenn das Ereignis <math> A \cap B </math> eintritt. # Wir konzentrieren uns auf die Realisationen <math> \omega \in A </math> und betrachten sie als gleichwahrscheinlich ([[w:de:Laplace-Verteilung|Laplace-Verteilung]]). # Allgemein gilt dann <math> P(C) = \frac {| C | }{ | \Omega |} </math> für alle <math>C \in \mathcal{S}</math>. [[Datei:Audio de 2 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Vorlüberlegung]] === Berechnung mit Laplace-Verteilung === Damit kann die Wahrscheinlichkeit von <math> A </math> unter der Bedingung <math> B </math> wie folgt definiert werden: :<math> P(A|B) := \frac {| A\cap B | }{ | B |} = \frac { \tfrac{|A \cap B | }{| \Omega | }} { \tfrac{| B |}{| \Omega | }}= \frac {P (A \cap B)}{ P(B)} </math> Dabei wurde der Bruch mit <math>\frac {1}{| \Omega |}</math> erweitert, um in Zähler und Nenner die Laplace-Wahrscheinlichkeiten für die Ereignisse <math> A \cap B </math> und <math> B </math> zu erzeugen. [[Datei:Audio de 3 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Berechnung mit Laplace-Verteilung]] <span id="Definition"></span> == Definition - bedingte Wahrscheinlichkeit == Sei <math> (\Omega,\mathcal{S},P) </math> ein Wahrscheinlichkeitsraum, <math> A \in \mathcal{S} </math> mit <math> P (B) >0 </math>. <br> a) Die Abbildung <math> P( \cdot | B): \mathcal{S} \to [0,1] </math>, die gemäß <math> P (A | B) = \frac {P(A \cap B)}{P(B)}, A,B \in \mathcal{S} </math> definiert ist, heißt bedingte Wahrscheinlichkeitsverteilung über <math> \Omega </math> unter (der Bedingung) <math> B </math>. <br> b) Die Zahl <math> P(A|B) </math> heißt bedingte Wahrscheinlichkeit von <math> A </math> unter (der Bedingung) <math> B </math>. [[Datei:Audio de 4 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Definition]] === Aufgabe - bedingte Wahrscheinlickeitsverteilung === Sei <math>(\Omega,\mathcal{S},P)</math> ein Wahrscheinlichkeitsraum. Weisen Sie für die Abbildung <math>\widetilde{P}</math> nach, dass diese die Eigenschaften eines Wahrscheinlichkeitsmaßes auf <math>(\Omega,\mathcal{S})</math> erfüllt. :<math> \begin{array}{rrcl} \widetilde{P}: & \mathcal{S} & \rightarrow & [0,1] \\ & A & \mapsto & \widetilde{P}(A) = P(A|B) \end{array} </math> === Aufgaben - Wahrscheinlichkeit auf Bedingung konzentriert=== Es gilt <math> P(\Omega|B) = 1 </math>. Die Wahrscheinlichkeit von <math> P( \cdot |B) </math> ist allerdings auf <math> B </math> konzentriert". * Zeigen Sie dazu, dass <math> P(A|B) = 0 </math> für alle <math> A \subset \bar B = \Omega\setminus B </math> <!-- denn: <math> P(A|B) = \frac {P (A \cap B)} {P(B)} = \frac {P (\emptyset)} {P(B)} = 0 </math> --> * Zeigen Sie, dass für <math> B \subset A </math>, <math> A \not= B </math> gilt, dass <math> P(A|B) = 1</math> (Hinweis: Zeigen Sie, dass <math> P(\bar A|B) = 0</math> gilt!) [[Datei:Audio de 5 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Aufgabenstellung]] === Anmerkung === Formt man die Definitionsformel von oben um zu <math> P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A|B) </math>, so kann man die Wahrscheinlichkeit des gleichzeitig Eintretens von <math> A </math> und <math> B </math> mithilfe der bedingten Wahrscheinlichkeit darstellen. Wir betrachten im Nachfolgenden eine Technik, eine Wahrscheinlichkeit auf <math> \Omega </math> durch bedingten Wahrscheinlichkeiten zusammenzusetzen. <span id="ZerlegungDef"></span> === Definition - Zerlegung === <math> (A_1, ..., A_m) </math> heißt [[bedingte Wahrscheinlichkeit#ZerlegungDef|Zerlegung]] von <math> \Omega </math> auf <math> (\Omega,\mathcal{S}) </math>, falls <math>\bigcup_{i=1} ^{m} A_i = \Omega, A_i \cap A_j = \varnothing </math> für alle <math> i \neq j </math> und <math>A_i, A_j \in \mathcal{S}</math>. === Motivation - Auswahl mit beschränkten Optionen === Als Beispiel werden 100 verschiedene Spiele <math>\Omega</math> auf <math>m</math> verschiedene Spielekisten <math>A_1, \ldots , A_m</math> verteilt. Es gibt <math>m\in \mathbb{N}</math> Personen und jede Person bekommt eine Kiste. Jede Person <math>i</math> kann nur Spiele aus der eigenen Kiste <math>A_i</math> und nicht aus anderen Kisten <math>A_j</math> auswählen mit <math>i\neq j</math>. Es gibt für jede der <math>i</math> Personen präferiert Spiele und daher gibt es eine Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>{Q_A}_i</math> (''"Qual der Wahl aus <math>A_i</math> aus der Spielekiste"''), die die Wahrscheinlichkeit beschreibt, ein Spiel bestimmtes Spiel aus der eigenen Spielekiste auszuwählen. Die Wahrscheinlichkeit ist auf <math>A_i</math> konzentriert, da die Spieler nur aus der eigenen Kiste auswählen können. == Zerlegungssatz == Sei <math>(A_1, ... ,A_m )</math> eine [[bedingte Wahrscheinlichkeit#ZerlegungDef|Zerlegung]] von <math>\Omega </math> auf <math> (\Omega,\mathcal{S})</math>. Für jedes <math> i = 1, ...,m </math> sei eine auf <math>A_i</math> konzentrierte Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>Q_{A_i}</math> auf <math>(\Omega,\mathcal{S} ) </math> gegeben (d.h. <math>{Q_A}_i (A_i) = 1 </math>) sowie Zahlen <math>p_i \in ( 0,1]</math> mit <math>\sum _{i = 1} ^{m} p_i = 1 </math>. <br> * (a) Dann existiert genau eine Wahrscheinlichkeitsverteilung <math> P </math> auf <math> \Omega </math> mit <br> ** (i) <math>P(A_i) = p_i > 0</math>. <br> ** (ii) <math>P(B|A_i) = {Q_A}_i(B)</math>, falls <math>p_i >0 </math> für alle <math>i=1, ...,m </math>. <br> * (b) Es gilt <math> P(B) = \sum _{i=1} ^{m} p_i \cdot {Q_A}_i(B) </math> für jedes <math> B \in \mathcal{S} </math>. === Beweis - Zerlegungssatz === Der Beweis gliedert sich in eine Existenzaussage für <math>P</math> und eine Eindeutigkeitsaussage, bei der die Existenz einer weiteren Wahrscheinlichkeitsverteilung für <math>\widetilde{P}</math> auf <math>\mathcal{S}</math> angenommen wird. Dann wird gezeigt, dass <math>\widetilde{P} = P</math> gilt bzw. <math>\widetilde{P}(B) = P(B)</math> für beliebige <math>B\in\mathcal{S}</math> gilt. ==== Beweis Existenz (i)==== Man definiere <math> P</math> gemäß Formel b) und rechnet nach, dass <math>P</math> eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf <math>\Omega </math> ist. Wie in der letzten Bemerkung gilt für die paarweise disjunkten <math> A_i</math> :<math>{Q_A}_i(A_j) = \left \{ \begin{array}{ll} 0, & i \neq j\\ 1, & i = j \end{array}\right. </math> Daraus folgt sofort (ai) <math>P(A_k) = \sum _{i=1} ^{m} p_i \cdot {Q_A}_i(A_k) = p_k</math>. [[Datei:Audio de 10 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Zerlegungsatz 2]] ==== Beweis Existenz (ii)==== Für ein beliebiges <math>p_i > 0 </math> und <math> B \in \mathcal{S} </math> gilt :<math> P(B|A_i) = \frac {P(A_i \cap B)}{ P(A_i)} = \frac {1} {p_i} \sum _{j=1} ^{m} p_j \cdot {Q_A}_j (A_i \cap B) = </math> :<math>= \frac {p_i} {p_i} ({Q_A}_i (A_i \cap B) + {Q_A}_i( \bar A_i \cap B) = {Q_A}_i(B) )</math> also ii). [[Datei:Audio de 11 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Zerlegungsatz 3]] ==== Beweis Eindeutigkeit ==== Sei <math> \tilde P </math> eine (weitere) Wahrscheinlichkeitsverteilung auf <math> (\Omega,\mathcal{S}) </math>, die (ai) und (aii) erfüllt. Dann gilt für <math> B \subset \Omega </math> und wegen <math> B= \Omega \cap B = \left( \bigcup _{j=1}^{m} A_j \right) \cap B</math> die Gleichung :<math>\tilde P (B) = \tilde P \left( \bigcup_ {j=1}^{m} A_j \cap B \right)= \sum _{j=1}^{m} \tilde P (A_j \cap B) = </math> :<math> = \sum _{j=1}^{m} \tilde P (A_j) \cdot \tilde P (B|A_j) \stackrel{(i),(ii)}{=} \sum _{j=1}^{m} p_j {Q_A}_j(B) = P(B) . \qquad \Box</math> [[Datei:Audio de 12 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Zerlegungsatz 4]] <span id="totale_Wahrscheinlichkeit"></span> == Satz der totalen Wahrscheinlichkeit == Sei <math>(\Omega ,\mathcal{S}, P)</math> ein [[Wahrscheinlichkeitsraum]] und <math> (A_1,\ldots , A_m) </math> eine [[Mengenzerlegung (Stochastik)|Zerlegung]] von <math>\Omega</math> auf <math>(\Omega,\mathcal{S})</math> mit <math>P(A_j) > 0</math> für alle <math>j = 1, \ldots, m</math>. Für jedes <math> B \subset \Omega </math> und gilt also für alle <math>B \in \mathcal{S}</math>: :<math> P(B) = \sum _{j=1} ^{m} P(A_j) \cdot P(B|A_j)</math> ("Formel der totalen Wahrscheinlichkeit"). == Beweis - Satz - totale Wahrscheinlichkeit == Nach Voraussetzung gilt <math>P(A_j) > 0</math> für alle <math>j = 1, \ldots, m</math> und damit sind die bedingten Wahrscheinlichkeiten <math>P(B \mid A_j)</math> definiert, weil <math>P(A_j)</math> im Nenner der Definition der [[bedingte Wahrscheinlichkeit#Definition|bedingten Warscheinlichkeit]] auf tritt. === Schritt 1 - Zerlegung von Omega === Da die <math>A_j</math> eine [[bedingte Wahrscheinlichkeit#ZerlegungDef|Zerlegung]] von <math>\Omega</math> bilden, sind die <math>A_j</math> paarweise disjunkt nach Definition und auch die <math>B\cap A_j</math> sind als Teilmengen von <math>A_j</math> paarweise disjunkt. Damit gilt: :<math> \Omega = \bigcup_{j=1}^m A_j \quad \text{(disjunkt)} </math> === Schritt 2 - Zerlegung von B === Mit der Teilmengenbeziehung <math>B\cap A_j\subset A_j</math> Dann folgt für jedes <math>B \in \mathcal{S}</math> und der verallgemeinerten Anwendung <math>B \cap (A_1 \cup A_2) = (B\cap A_1) \cup (B\cap A_2)</math>: :<math> B = B \cap \Omega = B \cap \left( \bigcup_{j=1}^m A_j \right) = \bigcup_{j=1}^m (B \cap A_j) </math> Da die <math>A_j</math> disjunkt sind, sind auch die Schnitte <math>B \cap A_j</math> disjunkt. Also ist <math>(B \cap A_1, B \cap A_2, \ldots, B \cap A_m)</math> eine '''disjunkte Zerlegung''' von <math>B</math>. === Schritt 3 - Anwendung der Additivität der Wahrscheinlichkeit === Nach dem Axiom der <math>\sigma</math>-Additivität erlaubt insbesondere die Anwendung auf endliche Summen von disjunkte Ereignisse glt: :<math> P(B) = P\left( \bigcup_{j=1}^m (B \cap A_j) \right) = \sum_{j=1}^m P(B \cap A_j) </math> === Schritt 4 - Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit === Für jedes <math>j</math> mit <math>P(A_j) > 0</math> ist die bedingte Wahrscheinlichkeit definiert als: :<math> P(B \mid A_j) = \frac{P(B \cap A_j)}{P(A_j)} </math> Durch Umformung erhält man: :<math> P(B \cap A_j) = P(A_j) \cdot P(B \mid A_j) </math> ==== Schritt 5 - Einsetzen in die Summe ==== Setze dies in die Gleichung aus Schritt 3 ein: :<math> P(B) = \sum_{j=1}^m P(B \cap A_j) = \sum_{j=1}^m P(A_j) \cdot P(B \mid A_j) </math> Insgesamt erhält man die Aussage des Satzes über die totale Wahrscheinlichkeit :<math> {P(B) = \sum_{j=1}^m P(A_j) \cdot P(B \mid A_j)} </math> === Aufgabe für Studierende === Beweisen Sie den Satz der totalen Wahrscheinlichkeit in der Übung und begründen Sie jeden Teilschritte über die Zerlegung von <math>\Omega</math> und der Zerlegung von <math>B</math>. Fertigen Sie für die Beweisvorstellung Skizze an, die das Vorgehen im Beweis eräutert. [[Datei:Audio de 13 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Formel Totale Wahrscheinlichkeit]] <span id="Satz_von_Bayes"></span> == Satz - Formel von Bayes == Ist <math> P </math> eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf <math> \Omega </math>, <math> ( A_1, ... ,A_m ) </math> einer Zerlegung von <math>\Omega </math> auf <math>(\Omega,\mathcal{S})</math> , so gilt für jedes <math> B \in \mathcal{S} </math> mit <math> P(B) > 0 </math> und <math> i= 1, ... ,m </math> :<math>P(A_i|B) = \frac {P(B|A_i) \cdot P(A_i)} { \sum_{j=1}^{m} P(B|A_j) \cdot P(A_j) }.</math> [[Datei:Audio de 14 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Satz von Bayes]] === Beweis === :<math>P(A_i|B) = \frac {P(A_i\cap B)}{P(B)} = \frac{P(B|A_i) \cdot P(A_i)}{\sum_{j=1}^{m} P(B|A_j) \cdot P(A_j)} </math> [[Datei:Audio de 15 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Satz von Bayes - Beweis]] ==== Bemerkung==== Man beachte, dass auf der linken und rechten Seite "Argument und Bedingung" vertauscht auftreten. In einer außermathematischen Deutung spielen <math> A_j </math> die Rolle von (verschiedenen) Ursachen für die Wirkung von <math> B </math>. [[Datei:Audio de 16 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Satz von Bayes - Bemerkung]] ==== Beispiel (Test auf eine Krankheit) ==== <math> \Omega </math> sei die Gesamtheit der Personen aus der Bevölkerung. <math> p \cdot 100\% </math> der Bevölkerung (<math>K \subset \Omega </math>) leidet an der Krankheit. Ein Test für diese Krankheit spreche bei <math> k \cdot 100\% </math> der Kranken aus <math>K</math> an und bei <math> g \cdot 100\% </math> der Gesunden (<math>\Omega \setminus K</math>) positiv an (<math>k =</math> Sensitivität, <math>1-g =</math> Spezifität des Testes). Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat eine zufällig ausgewählte Person <math>\omega \in \Omega</math> die Krankheit, * wenn der Test positiv ausfällt? * wenn der Test negativ ausfällt? [[Datei:Audio de 17 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Satz von Bayes - Beispiel]] <span id="Produktformel"></span> == Produktformel- bedingte Wahrscheinlichkeit == Sei <math>P</math> eine [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] auf <math> \Omega </math> und seien <math> A_1, ... ,A_n \subset \Omega </math> mit <math> P( A_1 \cap ... \cap A_{n-1} )>0 </math>. Dann gilt die sogenannte "Produktformel": :<math> P( A_1 \cap ... \cap A_n) = P(A_1) \cdot P(A_2 | A_1) \cdot P(A_3 | A_1 \cap A_2) \cdot ... \cdot P(A_n | A_1 \cap ... \cap A_{n-1}) </math> [[Datei:Audio de 18 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Produktformel - Satz]] === Beweis - Produktformel === Die Faktoren auf der rechten Seite sind definiert wegen :<math>P(A_1) \ge P(A_1 \cap A_2) \ge ... \ge P(A_1 \cap ... \cap A_{n-1}) >0.</math> :<math> P( A_1 \cap ... \cap A_n) = P( A_1 \cap ... \cap A_{n-1} ) \cdot P( A_n | A_1 \cap ... \cap A_{n-1} ) </math> :<math> = P( A_1 \cap ... \cap A_{n-2}) \cdot P( A_{n-1} | A_1 \cap ... \cap A_{n-1} ) \cdot P( A_n | A_1 \cap ... \cap A_{n-1} ) = ... </math> :<math> = P(A_1) \cdot P(A_2 | A_1) \cdot P(A_3 | A_1 \cap A_2) \cdot ... \cdot P(A_n | A_1 \cap ... \cap A_{n-1}) \ \Box</math> [[Datei:Audio de 19 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Produktformel - Satz - Beweis]] ==== Bemerkung ==== Dieser Satz verallgemeinert die Formel <math>P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A). </math> [[Datei:Audio de 20 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Produktformel - Bemerkung]] == Seiten-Information == Der [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Bedingte+Wahrscheinlichkeit&author=Kurs%3A+Stochastik&audioslide=no&language=de Foliensatz] für diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Bedingte%20Wahrscheinlichkeit Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Bedingte_Wahrscheinlichkeit Bedingte Wahrscheinlichkeit] https://de.wikipedia.org/wiki/Bedingte_Wahrscheinlichkeit * Datum: 5.11.2018 * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity]-Konverter: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity * [https://niebert.github.com/Wiki2Reveal Wiki2Reveal Link-Generator] * Dieser Foliensatz gehört zum [[Kurs:Stochastik]] [[Category:Wiki2Reveal]] 3l15p447f4o4qgziyjgnst466n7fvam 1118665 1118664 2026-11-02T15:00:46Z Bert Niehaus 20843 /* Schritt 2 - Zerlegung von B */ 1118665 wikitext text/x-wiki [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|146px|mini|Kurs enthält [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] Audio-Folien]] == Einleitung == Diese Lerneinheit aus der [[Kurs:Stochastik|Stochastik]] behandelt folgende Inhalte: * [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Definition|Definition - Bedingte Wahrscheinlichkeit]] * [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Zerlegungssatz|Zerlegungssatz]] * [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Satz_von_Bayes|Satz von Bayes]] * [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Satz_totale_Wahrscheinlichkeit|Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit]] * [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Produktformel|Produktformel]] === Einführendes Beispiel - bedingte Wahrscheinlichkeit=== Gegeben sei ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum <math>(\Omega,\mathcal{S},P) </math>, Gleichverteilung über <math>(\Omega,\mathcal{S}) </math> und <math>\mathcal{S} := \wp((\Omega) </math>. <math> A,B \subset \Omega, A\neq \varnothing </math>. In dem einführenden Beispiel betrachten wir die Ereignisse: * <math>A</math>: Stochastik-Klausur bestanden * <math>B</math>: Fachwissenschaftliche Grundlagen mit 4,0 bestanden * Mit welcher Wahrscheinlichkeit <math>P(A|B)</math> besteht man die Stochastik-Klausur <math>A</math>, wenn man die Klausur zu den fachwissenschaftlichen Grundlagen nur mit 4,0 bestanden hat (d.h. <math>B</math> erfüllt ist)? [[Datei:Audio de 1 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Einleitung]] === Vorüberlegung === Wir nehmen an, dass das Ereignis <math> B </math> eintritt. Welche Definition ist sinnvoll für die Wahrscheinlichkeit von <math> B </math>, unter der Bedingung, dass <math> A </math> eingetreten ist? # Wenn die Bedingung <math> B </math> eintritt, so kann <math> A </math> nur dann eintreten, wenn das Ereignis <math> A \cap B </math> eintritt. # Wir konzentrieren uns auf die Realisationen <math> \omega \in A </math> und betrachten sie als gleichwahrscheinlich ([[w:de:Laplace-Verteilung|Laplace-Verteilung]]). # Allgemein gilt dann <math> P(C) = \frac {| C | }{ | \Omega |} </math> für alle <math>C \in \mathcal{S}</math>. [[Datei:Audio de 2 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Vorlüberlegung]] === Berechnung mit Laplace-Verteilung === Damit kann die Wahrscheinlichkeit von <math> A </math> unter der Bedingung <math> B </math> wie folgt definiert werden: :<math> P(A|B) := \frac {| A\cap B | }{ | B |} = \frac { \tfrac{|A \cap B | }{| \Omega | }} { \tfrac{| B |}{| \Omega | }}= \frac {P (A \cap B)}{ P(B)} </math> Dabei wurde der Bruch mit <math>\frac {1}{| \Omega |}</math> erweitert, um in Zähler und Nenner die Laplace-Wahrscheinlichkeiten für die Ereignisse <math> A \cap B </math> und <math> B </math> zu erzeugen. [[Datei:Audio de 3 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Berechnung mit Laplace-Verteilung]] <span id="Definition"></span> == Definition - bedingte Wahrscheinlichkeit == Sei <math> (\Omega,\mathcal{S},P) </math> ein Wahrscheinlichkeitsraum, <math> A \in \mathcal{S} </math> mit <math> P (B) >0 </math>. <br> a) Die Abbildung <math> P( \cdot | B): \mathcal{S} \to [0,1] </math>, die gemäß <math> P (A | B) = \frac {P(A \cap B)}{P(B)}, A,B \in \mathcal{S} </math> definiert ist, heißt bedingte Wahrscheinlichkeitsverteilung über <math> \Omega </math> unter (der Bedingung) <math> B </math>. <br> b) Die Zahl <math> P(A|B) </math> heißt bedingte Wahrscheinlichkeit von <math> A </math> unter (der Bedingung) <math> B </math>. [[Datei:Audio de 4 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Definition]] === Aufgabe - bedingte Wahrscheinlickeitsverteilung === Sei <math>(\Omega,\mathcal{S},P)</math> ein Wahrscheinlichkeitsraum. Weisen Sie für die Abbildung <math>\widetilde{P}</math> nach, dass diese die Eigenschaften eines Wahrscheinlichkeitsmaßes auf <math>(\Omega,\mathcal{S})</math> erfüllt. :<math> \begin{array}{rrcl} \widetilde{P}: & \mathcal{S} & \rightarrow & [0,1] \\ & A & \mapsto & \widetilde{P}(A) = P(A|B) \end{array} </math> === Aufgaben - Wahrscheinlichkeit auf Bedingung konzentriert=== Es gilt <math> P(\Omega|B) = 1 </math>. Die Wahrscheinlichkeit von <math> P( \cdot |B) </math> ist allerdings auf <math> B </math> konzentriert". * Zeigen Sie dazu, dass <math> P(A|B) = 0 </math> für alle <math> A \subset \bar B = \Omega\setminus B </math> <!-- denn: <math> P(A|B) = \frac {P (A \cap B)} {P(B)} = \frac {P (\emptyset)} {P(B)} = 0 </math> --> * Zeigen Sie, dass für <math> B \subset A </math>, <math> A \not= B </math> gilt, dass <math> P(A|B) = 1</math> (Hinweis: Zeigen Sie, dass <math> P(\bar A|B) = 0</math> gilt!) [[Datei:Audio de 5 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Aufgabenstellung]] === Anmerkung === Formt man die Definitionsformel von oben um zu <math> P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A|B) </math>, so kann man die Wahrscheinlichkeit des gleichzeitig Eintretens von <math> A </math> und <math> B </math> mithilfe der bedingten Wahrscheinlichkeit darstellen. Wir betrachten im Nachfolgenden eine Technik, eine Wahrscheinlichkeit auf <math> \Omega </math> durch bedingten Wahrscheinlichkeiten zusammenzusetzen. <span id="ZerlegungDef"></span> === Definition - Zerlegung === <math> (A_1, ..., A_m) </math> heißt [[bedingte Wahrscheinlichkeit#ZerlegungDef|Zerlegung]] von <math> \Omega </math> auf <math> (\Omega,\mathcal{S}) </math>, falls <math>\bigcup_{i=1} ^{m} A_i = \Omega, A_i \cap A_j = \varnothing </math> für alle <math> i \neq j </math> und <math>A_i, A_j \in \mathcal{S}</math>. === Motivation - Auswahl mit beschränkten Optionen === Als Beispiel werden 100 verschiedene Spiele <math>\Omega</math> auf <math>m</math> verschiedene Spielekisten <math>A_1, \ldots , A_m</math> verteilt. Es gibt <math>m\in \mathbb{N}</math> Personen und jede Person bekommt eine Kiste. Jede Person <math>i</math> kann nur Spiele aus der eigenen Kiste <math>A_i</math> und nicht aus anderen Kisten <math>A_j</math> auswählen mit <math>i\neq j</math>. Es gibt für jede der <math>i</math> Personen präferiert Spiele und daher gibt es eine Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>{Q_A}_i</math> (''"Qual der Wahl aus <math>A_i</math> aus der Spielekiste"''), die die Wahrscheinlichkeit beschreibt, ein Spiel bestimmtes Spiel aus der eigenen Spielekiste auszuwählen. Die Wahrscheinlichkeit ist auf <math>A_i</math> konzentriert, da die Spieler nur aus der eigenen Kiste auswählen können. == Zerlegungssatz == Sei <math>(A_1, ... ,A_m )</math> eine [[bedingte Wahrscheinlichkeit#ZerlegungDef|Zerlegung]] von <math>\Omega </math> auf <math> (\Omega,\mathcal{S})</math>. Für jedes <math> i = 1, ...,m </math> sei eine auf <math>A_i</math> konzentrierte Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>Q_{A_i}</math> auf <math>(\Omega,\mathcal{S} ) </math> gegeben (d.h. <math>{Q_A}_i (A_i) = 1 </math>) sowie Zahlen <math>p_i \in ( 0,1]</math> mit <math>\sum _{i = 1} ^{m} p_i = 1 </math>. <br> * (a) Dann existiert genau eine Wahrscheinlichkeitsverteilung <math> P </math> auf <math> \Omega </math> mit <br> ** (i) <math>P(A_i) = p_i > 0</math>. <br> ** (ii) <math>P(B|A_i) = {Q_A}_i(B)</math>, falls <math>p_i >0 </math> für alle <math>i=1, ...,m </math>. <br> * (b) Es gilt <math> P(B) = \sum _{i=1} ^{m} p_i \cdot {Q_A}_i(B) </math> für jedes <math> B \in \mathcal{S} </math>. === Beweis - Zerlegungssatz === Der Beweis gliedert sich in eine Existenzaussage für <math>P</math> und eine Eindeutigkeitsaussage, bei der die Existenz einer weiteren Wahrscheinlichkeitsverteilung für <math>\widetilde{P}</math> auf <math>\mathcal{S}</math> angenommen wird. Dann wird gezeigt, dass <math>\widetilde{P} = P</math> gilt bzw. <math>\widetilde{P}(B) = P(B)</math> für beliebige <math>B\in\mathcal{S}</math> gilt. ==== Beweis Existenz (i)==== Man definiere <math> P</math> gemäß Formel b) und rechnet nach, dass <math>P</math> eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf <math>\Omega </math> ist. Wie in der letzten Bemerkung gilt für die paarweise disjunkten <math> A_i</math> :<math>{Q_A}_i(A_j) = \left \{ \begin{array}{ll} 0, & i \neq j\\ 1, & i = j \end{array}\right. </math> Daraus folgt sofort (ai) <math>P(A_k) = \sum _{i=1} ^{m} p_i \cdot {Q_A}_i(A_k) = p_k</math>. [[Datei:Audio de 10 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Zerlegungsatz 2]] ==== Beweis Existenz (ii)==== Für ein beliebiges <math>p_i > 0 </math> und <math> B \in \mathcal{S} </math> gilt :<math> P(B|A_i) = \frac {P(A_i \cap B)}{ P(A_i)} = \frac {1} {p_i} \sum _{j=1} ^{m} p_j \cdot {Q_A}_j (A_i \cap B) = </math> :<math>= \frac {p_i} {p_i} ({Q_A}_i (A_i \cap B) + {Q_A}_i( \bar A_i \cap B) = {Q_A}_i(B) )</math> also ii). [[Datei:Audio de 11 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Zerlegungsatz 3]] ==== Beweis Eindeutigkeit ==== Sei <math> \tilde P </math> eine (weitere) Wahrscheinlichkeitsverteilung auf <math> (\Omega,\mathcal{S}) </math>, die (ai) und (aii) erfüllt. Dann gilt für <math> B \subset \Omega </math> und wegen <math> B= \Omega \cap B = \left( \bigcup _{j=1}^{m} A_j \right) \cap B</math> die Gleichung :<math>\tilde P (B) = \tilde P \left( \bigcup_ {j=1}^{m} A_j \cap B \right)= \sum _{j=1}^{m} \tilde P (A_j \cap B) = </math> :<math> = \sum _{j=1}^{m} \tilde P (A_j) \cdot \tilde P (B|A_j) \stackrel{(i),(ii)}{=} \sum _{j=1}^{m} p_j {Q_A}_j(B) = P(B) . \qquad \Box</math> [[Datei:Audio de 12 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Zerlegungsatz 4]] <span id="totale_Wahrscheinlichkeit"></span> == Satz der totalen Wahrscheinlichkeit == Sei <math>(\Omega ,\mathcal{S}, P)</math> ein [[Wahrscheinlichkeitsraum]] und <math> (A_1,\ldots , A_m) </math> eine [[Mengenzerlegung (Stochastik)|Zerlegung]] von <math>\Omega</math> auf <math>(\Omega,\mathcal{S})</math> mit <math>P(A_j) > 0</math> für alle <math>j = 1, \ldots, m</math>. Für jedes <math> B \subset \Omega </math> und gilt also für alle <math>B \in \mathcal{S}</math>: :<math> P(B) = \sum _{j=1} ^{m} P(A_j) \cdot P(B|A_j)</math> ("Formel der totalen Wahrscheinlichkeit"). == Beweis - Satz - totale Wahrscheinlichkeit == Nach Voraussetzung gilt <math>P(A_j) > 0</math> für alle <math>j = 1, \ldots, m</math> und damit sind die bedingten Wahrscheinlichkeiten <math>P(B \mid A_j)</math> definiert, weil <math>P(A_j)</math> im Nenner der Definition der [[bedingte Wahrscheinlichkeit#Definition|bedingten Warscheinlichkeit]] auf tritt. === Schritt 1 - Zerlegung von Omega === Da die <math>A_j</math> eine [[bedingte Wahrscheinlichkeit#ZerlegungDef|Zerlegung]] von <math>\Omega</math> bilden, sind die <math>A_j</math> paarweise disjunkt nach Definition und auch die <math>B\cap A_j</math> sind als Teilmengen von <math>A_j</math> paarweise disjunkt. Damit gilt: :<math> \Omega = \bigcup_{j=1}^m A_j \quad \text{(disjunkt)} </math> === Schritt 2 - Zerlegung von B === Mit der Teilmengenbeziehung <math>B\cap A_j\subset A_j</math> Dann folgt für jedes <math>B \in \mathcal{S}</math> und der verallgemeinerten Anwendung <math>B \cap (A_1 \cup A_2) = (B\cap A_1) \cup (B\cap A_2)</math>: :<math> B = B \cap \Omega = B \cap \left( \bigcup_{j=1}^m A_j \right) = \bigcup_{j=1}^m (B \cap A_j) </math> Da die <math>A_j</math> disjunkt sind, sind auch die Schnitte <math>B \cap A_j</math> disjunkt. Also ist <math>(B \cap A_1, B \cap A_2, \ldots, B \cap A_m)</math> eine [[bedingte Wahrscheinlichkeit#ZerlegungDef|disjunkte Zerlegung]] von <math>B</math>. === Schritt 3 - Anwendung der Additivität der Wahrscheinlichkeit === Nach dem Axiom der <math>\sigma</math>-Additivität erlaubt insbesondere die Anwendung auf endliche Summen von disjunkte Ereignisse glt: :<math> P(B) = P\left( \bigcup_{j=1}^m (B \cap A_j) \right) = \sum_{j=1}^m P(B \cap A_j) </math> === Schritt 4 - Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit === Für jedes <math>j</math> mit <math>P(A_j) > 0</math> ist die bedingte Wahrscheinlichkeit definiert als: :<math> P(B \mid A_j) = \frac{P(B \cap A_j)}{P(A_j)} </math> Durch Umformung erhält man: :<math> P(B \cap A_j) = P(A_j) \cdot P(B \mid A_j) </math> ==== Schritt 5 - Einsetzen in die Summe ==== Setze dies in die Gleichung aus Schritt 3 ein: :<math> P(B) = \sum_{j=1}^m P(B \cap A_j) = \sum_{j=1}^m P(A_j) \cdot P(B \mid A_j) </math> Insgesamt erhält man die Aussage des Satzes über die totale Wahrscheinlichkeit :<math> {P(B) = \sum_{j=1}^m P(A_j) \cdot P(B \mid A_j)} </math> === Aufgabe für Studierende === Beweisen Sie den Satz der totalen Wahrscheinlichkeit in der Übung und begründen Sie jeden Teilschritte über die Zerlegung von <math>\Omega</math> und der Zerlegung von <math>B</math>. Fertigen Sie für die Beweisvorstellung Skizze an, die das Vorgehen im Beweis eräutert. [[Datei:Audio de 13 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Formel Totale Wahrscheinlichkeit]] <span id="Satz_von_Bayes"></span> == Satz - Formel von Bayes == Ist <math> P </math> eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf <math> \Omega </math>, <math> ( A_1, ... ,A_m ) </math> einer Zerlegung von <math>\Omega </math> auf <math>(\Omega,\mathcal{S})</math> , so gilt für jedes <math> B \in \mathcal{S} </math> mit <math> P(B) > 0 </math> und <math> i= 1, ... ,m </math> :<math>P(A_i|B) = \frac {P(B|A_i) \cdot P(A_i)} { \sum_{j=1}^{m} P(B|A_j) \cdot P(A_j) }.</math> [[Datei:Audio de 14 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Satz von Bayes]] === Beweis === :<math>P(A_i|B) = \frac {P(A_i\cap B)}{P(B)} = \frac{P(B|A_i) \cdot P(A_i)}{\sum_{j=1}^{m} P(B|A_j) \cdot P(A_j)} </math> [[Datei:Audio de 15 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Satz von Bayes - Beweis]] ==== Bemerkung==== Man beachte, dass auf der linken und rechten Seite "Argument und Bedingung" vertauscht auftreten. In einer außermathematischen Deutung spielen <math> A_j </math> die Rolle von (verschiedenen) Ursachen für die Wirkung von <math> B </math>. [[Datei:Audio de 16 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Satz von Bayes - Bemerkung]] ==== Beispiel (Test auf eine Krankheit) ==== <math> \Omega </math> sei die Gesamtheit der Personen aus der Bevölkerung. <math> p \cdot 100\% </math> der Bevölkerung (<math>K \subset \Omega </math>) leidet an der Krankheit. Ein Test für diese Krankheit spreche bei <math> k \cdot 100\% </math> der Kranken aus <math>K</math> an und bei <math> g \cdot 100\% </math> der Gesunden (<math>\Omega \setminus K</math>) positiv an (<math>k =</math> Sensitivität, <math>1-g =</math> Spezifität des Testes). Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat eine zufällig ausgewählte Person <math>\omega \in \Omega</math> die Krankheit, * wenn der Test positiv ausfällt? * wenn der Test negativ ausfällt? [[Datei:Audio de 17 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Satz von Bayes - Beispiel]] <span id="Produktformel"></span> == Produktformel- bedingte Wahrscheinlichkeit == Sei <math>P</math> eine [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] auf <math> \Omega </math> und seien <math> A_1, ... ,A_n \subset \Omega </math> mit <math> P( A_1 \cap ... \cap A_{n-1} )>0 </math>. Dann gilt die sogenannte "Produktformel": :<math> P( A_1 \cap ... \cap A_n) = P(A_1) \cdot P(A_2 | A_1) \cdot P(A_3 | A_1 \cap A_2) \cdot ... \cdot P(A_n | A_1 \cap ... \cap A_{n-1}) </math> [[Datei:Audio de 18 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Produktformel - Satz]] === Beweis - Produktformel === Die Faktoren auf der rechten Seite sind definiert wegen :<math>P(A_1) \ge P(A_1 \cap A_2) \ge ... \ge P(A_1 \cap ... \cap A_{n-1}) >0.</math> :<math> P( A_1 \cap ... \cap A_n) = P( A_1 \cap ... \cap A_{n-1} ) \cdot P( A_n | A_1 \cap ... \cap A_{n-1} ) </math> :<math> = P( A_1 \cap ... \cap A_{n-2}) \cdot P( A_{n-1} | A_1 \cap ... \cap A_{n-1} ) \cdot P( A_n | A_1 \cap ... \cap A_{n-1} ) = ... </math> :<math> = P(A_1) \cdot P(A_2 | A_1) \cdot P(A_3 | A_1 \cap A_2) \cdot ... \cdot P(A_n | A_1 \cap ... \cap A_{n-1}) \ \Box</math> [[Datei:Audio de 19 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Produktformel - Satz - Beweis]] ==== Bemerkung ==== Dieser Satz verallgemeinert die Formel <math>P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A). </math> [[Datei:Audio de 20 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Produktformel - Bemerkung]] == Seiten-Information == Der [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Bedingte+Wahrscheinlichkeit&author=Kurs%3A+Stochastik&audioslide=no&language=de Foliensatz] für diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Bedingte%20Wahrscheinlichkeit Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Bedingte_Wahrscheinlichkeit Bedingte Wahrscheinlichkeit] https://de.wikipedia.org/wiki/Bedingte_Wahrscheinlichkeit * Datum: 5.11.2018 * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity]-Konverter: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity * [https://niebert.github.com/Wiki2Reveal Wiki2Reveal Link-Generator] * Dieser Foliensatz gehört zum [[Kurs:Stochastik]] [[Category:Wiki2Reveal]] nxkeng50oca1ztxgb0fehgsdt35kfjb 1118666 1118665 2026-11-02T15:02:01Z Bert Niehaus 20843 /* Seiten-Information */ 1118666 wikitext text/x-wiki [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|146px|mini|Kurs enthält [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] Audio-Folien]] == Einleitung == Diese Lerneinheit aus der [[Kurs:Stochastik|Stochastik]] behandelt folgende Inhalte: * [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Definition|Definition - Bedingte Wahrscheinlichkeit]] * [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Zerlegungssatz|Zerlegungssatz]] * [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Satz_von_Bayes|Satz von Bayes]] * [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Satz_totale_Wahrscheinlichkeit|Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit]] * [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Produktformel|Produktformel]] === Einführendes Beispiel - bedingte Wahrscheinlichkeit=== Gegeben sei ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum <math>(\Omega,\mathcal{S},P) </math>, Gleichverteilung über <math>(\Omega,\mathcal{S}) </math> und <math>\mathcal{S} := \wp((\Omega) </math>. <math> A,B \subset \Omega, A\neq \varnothing </math>. In dem einführenden Beispiel betrachten wir die Ereignisse: * <math>A</math>: Stochastik-Klausur bestanden * <math>B</math>: Fachwissenschaftliche Grundlagen mit 4,0 bestanden * Mit welcher Wahrscheinlichkeit <math>P(A|B)</math> besteht man die Stochastik-Klausur <math>A</math>, wenn man die Klausur zu den fachwissenschaftlichen Grundlagen nur mit 4,0 bestanden hat (d.h. <math>B</math> erfüllt ist)? [[Datei:Audio de 1 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Einleitung]] === Vorüberlegung === Wir nehmen an, dass das Ereignis <math> B </math> eintritt. Welche Definition ist sinnvoll für die Wahrscheinlichkeit von <math> B </math>, unter der Bedingung, dass <math> A </math> eingetreten ist? # Wenn die Bedingung <math> B </math> eintritt, so kann <math> A </math> nur dann eintreten, wenn das Ereignis <math> A \cap B </math> eintritt. # Wir konzentrieren uns auf die Realisationen <math> \omega \in A </math> und betrachten sie als gleichwahrscheinlich ([[w:de:Laplace-Verteilung|Laplace-Verteilung]]). # Allgemein gilt dann <math> P(C) = \frac {| C | }{ | \Omega |} </math> für alle <math>C \in \mathcal{S}</math>. [[Datei:Audio de 2 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Vorlüberlegung]] === Berechnung mit Laplace-Verteilung === Damit kann die Wahrscheinlichkeit von <math> A </math> unter der Bedingung <math> B </math> wie folgt definiert werden: :<math> P(A|B) := \frac {| A\cap B | }{ | B |} = \frac { \tfrac{|A \cap B | }{| \Omega | }} { \tfrac{| B |}{| \Omega | }}= \frac {P (A \cap B)}{ P(B)} </math> Dabei wurde der Bruch mit <math>\frac {1}{| \Omega |}</math> erweitert, um in Zähler und Nenner die Laplace-Wahrscheinlichkeiten für die Ereignisse <math> A \cap B </math> und <math> B </math> zu erzeugen. [[Datei:Audio de 3 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Berechnung mit Laplace-Verteilung]] <span id="Definition"></span> == Definition - bedingte Wahrscheinlichkeit == Sei <math> (\Omega,\mathcal{S},P) </math> ein Wahrscheinlichkeitsraum, <math> A \in \mathcal{S} </math> mit <math> P (B) >0 </math>. <br> a) Die Abbildung <math> P( \cdot | B): \mathcal{S} \to [0,1] </math>, die gemäß <math> P (A | B) = \frac {P(A \cap B)}{P(B)}, A,B \in \mathcal{S} </math> definiert ist, heißt bedingte Wahrscheinlichkeitsverteilung über <math> \Omega </math> unter (der Bedingung) <math> B </math>. <br> b) Die Zahl <math> P(A|B) </math> heißt bedingte Wahrscheinlichkeit von <math> A </math> unter (der Bedingung) <math> B </math>. [[Datei:Audio de 4 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Definition]] === Aufgabe - bedingte Wahrscheinlickeitsverteilung === Sei <math>(\Omega,\mathcal{S},P)</math> ein Wahrscheinlichkeitsraum. Weisen Sie für die Abbildung <math>\widetilde{P}</math> nach, dass diese die Eigenschaften eines Wahrscheinlichkeitsmaßes auf <math>(\Omega,\mathcal{S})</math> erfüllt. :<math> \begin{array}{rrcl} \widetilde{P}: & \mathcal{S} & \rightarrow & [0,1] \\ & A & \mapsto & \widetilde{P}(A) = P(A|B) \end{array} </math> === Aufgaben - Wahrscheinlichkeit auf Bedingung konzentriert=== Es gilt <math> P(\Omega|B) = 1 </math>. Die Wahrscheinlichkeit von <math> P( \cdot |B) </math> ist allerdings auf <math> B </math> konzentriert". * Zeigen Sie dazu, dass <math> P(A|B) = 0 </math> für alle <math> A \subset \bar B = \Omega\setminus B </math> <!-- denn: <math> P(A|B) = \frac {P (A \cap B)} {P(B)} = \frac {P (\emptyset)} {P(B)} = 0 </math> --> * Zeigen Sie, dass für <math> B \subset A </math>, <math> A \not= B </math> gilt, dass <math> P(A|B) = 1</math> (Hinweis: Zeigen Sie, dass <math> P(\bar A|B) = 0</math> gilt!) [[Datei:Audio de 5 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Aufgabenstellung]] === Anmerkung === Formt man die Definitionsformel von oben um zu <math> P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A|B) </math>, so kann man die Wahrscheinlichkeit des gleichzeitig Eintretens von <math> A </math> und <math> B </math> mithilfe der bedingten Wahrscheinlichkeit darstellen. Wir betrachten im Nachfolgenden eine Technik, eine Wahrscheinlichkeit auf <math> \Omega </math> durch bedingten Wahrscheinlichkeiten zusammenzusetzen. <span id="ZerlegungDef"></span> === Definition - Zerlegung === <math> (A_1, ..., A_m) </math> heißt [[bedingte Wahrscheinlichkeit#ZerlegungDef|Zerlegung]] von <math> \Omega </math> auf <math> (\Omega,\mathcal{S}) </math>, falls <math>\bigcup_{i=1} ^{m} A_i = \Omega, A_i \cap A_j = \varnothing </math> für alle <math> i \neq j </math> und <math>A_i, A_j \in \mathcal{S}</math>. === Motivation - Auswahl mit beschränkten Optionen === Als Beispiel werden 100 verschiedene Spiele <math>\Omega</math> auf <math>m</math> verschiedene Spielekisten <math>A_1, \ldots , A_m</math> verteilt. Es gibt <math>m\in \mathbb{N}</math> Personen und jede Person bekommt eine Kiste. Jede Person <math>i</math> kann nur Spiele aus der eigenen Kiste <math>A_i</math> und nicht aus anderen Kisten <math>A_j</math> auswählen mit <math>i\neq j</math>. Es gibt für jede der <math>i</math> Personen präferiert Spiele und daher gibt es eine Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>{Q_A}_i</math> (''"Qual der Wahl aus <math>A_i</math> aus der Spielekiste"''), die die Wahrscheinlichkeit beschreibt, ein Spiel bestimmtes Spiel aus der eigenen Spielekiste auszuwählen. Die Wahrscheinlichkeit ist auf <math>A_i</math> konzentriert, da die Spieler nur aus der eigenen Kiste auswählen können. == Zerlegungssatz == Sei <math>(A_1, ... ,A_m )</math> eine [[bedingte Wahrscheinlichkeit#ZerlegungDef|Zerlegung]] von <math>\Omega </math> auf <math> (\Omega,\mathcal{S})</math>. Für jedes <math> i = 1, ...,m </math> sei eine auf <math>A_i</math> konzentrierte Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>Q_{A_i}</math> auf <math>(\Omega,\mathcal{S} ) </math> gegeben (d.h. <math>{Q_A}_i (A_i) = 1 </math>) sowie Zahlen <math>p_i \in ( 0,1]</math> mit <math>\sum _{i = 1} ^{m} p_i = 1 </math>. <br> * (a) Dann existiert genau eine Wahrscheinlichkeitsverteilung <math> P </math> auf <math> \Omega </math> mit <br> ** (i) <math>P(A_i) = p_i > 0</math>. <br> ** (ii) <math>P(B|A_i) = {Q_A}_i(B)</math>, falls <math>p_i >0 </math> für alle <math>i=1, ...,m </math>. <br> * (b) Es gilt <math> P(B) = \sum _{i=1} ^{m} p_i \cdot {Q_A}_i(B) </math> für jedes <math> B \in \mathcal{S} </math>. === Beweis - Zerlegungssatz === Der Beweis gliedert sich in eine Existenzaussage für <math>P</math> und eine Eindeutigkeitsaussage, bei der die Existenz einer weiteren Wahrscheinlichkeitsverteilung für <math>\widetilde{P}</math> auf <math>\mathcal{S}</math> angenommen wird. Dann wird gezeigt, dass <math>\widetilde{P} = P</math> gilt bzw. <math>\widetilde{P}(B) = P(B)</math> für beliebige <math>B\in\mathcal{S}</math> gilt. ==== Beweis Existenz (i)==== Man definiere <math> P</math> gemäß Formel b) und rechnet nach, dass <math>P</math> eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf <math>\Omega </math> ist. Wie in der letzten Bemerkung gilt für die paarweise disjunkten <math> A_i</math> :<math>{Q_A}_i(A_j) = \left \{ \begin{array}{ll} 0, & i \neq j\\ 1, & i = j \end{array}\right. </math> Daraus folgt sofort (ai) <math>P(A_k) = \sum _{i=1} ^{m} p_i \cdot {Q_A}_i(A_k) = p_k</math>. [[Datei:Audio de 10 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Zerlegungsatz 2]] ==== Beweis Existenz (ii)==== Für ein beliebiges <math>p_i > 0 </math> und <math> B \in \mathcal{S} </math> gilt :<math> P(B|A_i) = \frac {P(A_i \cap B)}{ P(A_i)} = \frac {1} {p_i} \sum _{j=1} ^{m} p_j \cdot {Q_A}_j (A_i \cap B) = </math> :<math>= \frac {p_i} {p_i} ({Q_A}_i (A_i \cap B) + {Q_A}_i( \bar A_i \cap B) = {Q_A}_i(B) )</math> also ii). [[Datei:Audio de 11 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Zerlegungsatz 3]] ==== Beweis Eindeutigkeit ==== Sei <math> \tilde P </math> eine (weitere) Wahrscheinlichkeitsverteilung auf <math> (\Omega,\mathcal{S}) </math>, die (ai) und (aii) erfüllt. Dann gilt für <math> B \subset \Omega </math> und wegen <math> B= \Omega \cap B = \left( \bigcup _{j=1}^{m} A_j \right) \cap B</math> die Gleichung :<math>\tilde P (B) = \tilde P \left( \bigcup_ {j=1}^{m} A_j \cap B \right)= \sum _{j=1}^{m} \tilde P (A_j \cap B) = </math> :<math> = \sum _{j=1}^{m} \tilde P (A_j) \cdot \tilde P (B|A_j) \stackrel{(i),(ii)}{=} \sum _{j=1}^{m} p_j {Q_A}_j(B) = P(B) . \qquad \Box</math> [[Datei:Audio de 12 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Zerlegungsatz 4]] <span id="totale_Wahrscheinlichkeit"></span> == Satz der totalen Wahrscheinlichkeit == Sei <math>(\Omega ,\mathcal{S}, P)</math> ein [[Wahrscheinlichkeitsraum]] und <math> (A_1,\ldots , A_m) </math> eine [[Mengenzerlegung (Stochastik)|Zerlegung]] von <math>\Omega</math> auf <math>(\Omega,\mathcal{S})</math> mit <math>P(A_j) > 0</math> für alle <math>j = 1, \ldots, m</math>. Für jedes <math> B \subset \Omega </math> und gilt also für alle <math>B \in \mathcal{S}</math>: :<math> P(B) = \sum _{j=1} ^{m} P(A_j) \cdot P(B|A_j)</math> ("Formel der totalen Wahrscheinlichkeit"). == Beweis - Satz - totale Wahrscheinlichkeit == Nach Voraussetzung gilt <math>P(A_j) > 0</math> für alle <math>j = 1, \ldots, m</math> und damit sind die bedingten Wahrscheinlichkeiten <math>P(B \mid A_j)</math> definiert, weil <math>P(A_j)</math> im Nenner der Definition der [[bedingte Wahrscheinlichkeit#Definition|bedingten Warscheinlichkeit]] auf tritt. === Schritt 1 - Zerlegung von Omega === Da die <math>A_j</math> eine [[bedingte Wahrscheinlichkeit#ZerlegungDef|Zerlegung]] von <math>\Omega</math> bilden, sind die <math>A_j</math> paarweise disjunkt nach Definition und auch die <math>B\cap A_j</math> sind als Teilmengen von <math>A_j</math> paarweise disjunkt. Damit gilt: :<math> \Omega = \bigcup_{j=1}^m A_j \quad \text{(disjunkt)} </math> === Schritt 2 - Zerlegung von B === Mit der Teilmengenbeziehung <math>B\cap A_j\subset A_j</math> Dann folgt für jedes <math>B \in \mathcal{S}</math> und der verallgemeinerten Anwendung <math>B \cap (A_1 \cup A_2) = (B\cap A_1) \cup (B\cap A_2)</math>: :<math> B = B \cap \Omega = B \cap \left( \bigcup_{j=1}^m A_j \right) = \bigcup_{j=1}^m (B \cap A_j) </math> Da die <math>A_j</math> disjunkt sind, sind auch die Schnitte <math>B \cap A_j</math> disjunkt. Also ist <math>(B \cap A_1, B \cap A_2, \ldots, B \cap A_m)</math> eine [[bedingte Wahrscheinlichkeit#ZerlegungDef|disjunkte Zerlegung]] von <math>B</math>. === Schritt 3 - Anwendung der Additivität der Wahrscheinlichkeit === Nach dem Axiom der <math>\sigma</math>-Additivität erlaubt insbesondere die Anwendung auf endliche Summen von disjunkte Ereignisse glt: :<math> P(B) = P\left( \bigcup_{j=1}^m (B \cap A_j) \right) = \sum_{j=1}^m P(B \cap A_j) </math> === Schritt 4 - Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit === Für jedes <math>j</math> mit <math>P(A_j) > 0</math> ist die bedingte Wahrscheinlichkeit definiert als: :<math> P(B \mid A_j) = \frac{P(B \cap A_j)}{P(A_j)} </math> Durch Umformung erhält man: :<math> P(B \cap A_j) = P(A_j) \cdot P(B \mid A_j) </math> ==== Schritt 5 - Einsetzen in die Summe ==== Setze dies in die Gleichung aus Schritt 3 ein: :<math> P(B) = \sum_{j=1}^m P(B \cap A_j) = \sum_{j=1}^m P(A_j) \cdot P(B \mid A_j) </math> Insgesamt erhält man die Aussage des Satzes über die totale Wahrscheinlichkeit :<math> {P(B) = \sum_{j=1}^m P(A_j) \cdot P(B \mid A_j)} </math> === Aufgabe für Studierende === Beweisen Sie den Satz der totalen Wahrscheinlichkeit in der Übung und begründen Sie jeden Teilschritte über die Zerlegung von <math>\Omega</math> und der Zerlegung von <math>B</math>. Fertigen Sie für die Beweisvorstellung Skizze an, die das Vorgehen im Beweis eräutert. [[Datei:Audio de 13 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Formel Totale Wahrscheinlichkeit]] <span id="Satz_von_Bayes"></span> == Satz - Formel von Bayes == Ist <math> P </math> eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf <math> \Omega </math>, <math> ( A_1, ... ,A_m ) </math> einer Zerlegung von <math>\Omega </math> auf <math>(\Omega,\mathcal{S})</math> , so gilt für jedes <math> B \in \mathcal{S} </math> mit <math> P(B) > 0 </math> und <math> i= 1, ... ,m </math> :<math>P(A_i|B) = \frac {P(B|A_i) \cdot P(A_i)} { \sum_{j=1}^{m} P(B|A_j) \cdot P(A_j) }.</math> [[Datei:Audio de 14 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Satz von Bayes]] === Beweis === :<math>P(A_i|B) = \frac {P(A_i\cap B)}{P(B)} = \frac{P(B|A_i) \cdot P(A_i)}{\sum_{j=1}^{m} P(B|A_j) \cdot P(A_j)} </math> [[Datei:Audio de 15 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Satz von Bayes - Beweis]] ==== Bemerkung==== Man beachte, dass auf der linken und rechten Seite "Argument und Bedingung" vertauscht auftreten. In einer außermathematischen Deutung spielen <math> A_j </math> die Rolle von (verschiedenen) Ursachen für die Wirkung von <math> B </math>. [[Datei:Audio de 16 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Satz von Bayes - Bemerkung]] ==== Beispiel (Test auf eine Krankheit) ==== <math> \Omega </math> sei die Gesamtheit der Personen aus der Bevölkerung. <math> p \cdot 100\% </math> der Bevölkerung (<math>K \subset \Omega </math>) leidet an der Krankheit. Ein Test für diese Krankheit spreche bei <math> k \cdot 100\% </math> der Kranken aus <math>K</math> an und bei <math> g \cdot 100\% </math> der Gesunden (<math>\Omega \setminus K</math>) positiv an (<math>k =</math> Sensitivität, <math>1-g =</math> Spezifität des Testes). Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat eine zufällig ausgewählte Person <math>\omega \in \Omega</math> die Krankheit, * wenn der Test positiv ausfällt? * wenn der Test negativ ausfällt? [[Datei:Audio de 17 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Satz von Bayes - Beispiel]] <span id="Produktformel"></span> == Produktformel- bedingte Wahrscheinlichkeit == Sei <math>P</math> eine [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] auf <math> \Omega </math> und seien <math> A_1, ... ,A_n \subset \Omega </math> mit <math> P( A_1 \cap ... \cap A_{n-1} )>0 </math>. Dann gilt die sogenannte "Produktformel": :<math> P( A_1 \cap ... \cap A_n) = P(A_1) \cdot P(A_2 | A_1) \cdot P(A_3 | A_1 \cap A_2) \cdot ... \cdot P(A_n | A_1 \cap ... \cap A_{n-1}) </math> [[Datei:Audio de 18 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Produktformel - Satz]] === Beweis - Produktformel === Die Faktoren auf der rechten Seite sind definiert wegen :<math>P(A_1) \ge P(A_1 \cap A_2) \ge ... \ge P(A_1 \cap ... \cap A_{n-1}) >0.</math> :<math> P( A_1 \cap ... \cap A_n) = P( A_1 \cap ... \cap A_{n-1} ) \cdot P( A_n | A_1 \cap ... \cap A_{n-1} ) </math> :<math> = P( A_1 \cap ... \cap A_{n-2}) \cdot P( A_{n-1} | A_1 \cap ... \cap A_{n-1} ) \cdot P( A_n | A_1 \cap ... \cap A_{n-1} ) = ... </math> :<math> = P(A_1) \cdot P(A_2 | A_1) \cdot P(A_3 | A_1 \cap A_2) \cdot ... \cdot P(A_n | A_1 \cap ... \cap A_{n-1}) \ \Box</math> [[Datei:Audio de 19 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Produktformel - Satz - Beweis]] ==== Bemerkung ==== Dieser Satz verallgemeinert die Formel <math>P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A). </math> [[Datei:Audio de 20 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Produktformel - Bemerkung]] == Siehe auch == * [[stochastische Unabhängigkeit]] * [[bedingte Wahrscheinlichkeit#ZerlegungDef|disjunkte Zerlegung einer Menge]] == Seiten-Information == Der [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Bedingte+Wahrscheinlichkeit&author=Kurs%3A+Stochastik&audioslide=no&language=de Foliensatz] für diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Bedingte%20Wahrscheinlichkeit Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Bedingte_Wahrscheinlichkeit Bedingte Wahrscheinlichkeit] https://de.wikipedia.org/wiki/Bedingte_Wahrscheinlichkeit * Datum: 5.11.2018 * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity]-Konverter: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity * [https://niebert.github.com/Wiki2Reveal Wiki2Reveal Link-Generator] * Dieser Foliensatz gehört zum [[Kurs:Stochastik]] [[Category:Wiki2Reveal]] 3ptvonrau2o9ndbjx41bfpcm7ti686d 1118667 1118666 2026-11-02T15:08:14Z Bert Niehaus 20843 /* Beweis Existenz (i) */ 1118667 wikitext text/x-wiki [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|146px|mini|Kurs enthält [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] Audio-Folien]] == Einleitung == Diese Lerneinheit aus der [[Kurs:Stochastik|Stochastik]] behandelt folgende Inhalte: * [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Definition|Definition - Bedingte Wahrscheinlichkeit]] * [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Zerlegungssatz|Zerlegungssatz]] * [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Satz_von_Bayes|Satz von Bayes]] * [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Satz_totale_Wahrscheinlichkeit|Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit]] * [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Produktformel|Produktformel]] === Einführendes Beispiel - bedingte Wahrscheinlichkeit=== Gegeben sei ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum <math>(\Omega,\mathcal{S},P) </math>, Gleichverteilung über <math>(\Omega,\mathcal{S}) </math> und <math>\mathcal{S} := \wp((\Omega) </math>. <math> A,B \subset \Omega, A\neq \varnothing </math>. In dem einführenden Beispiel betrachten wir die Ereignisse: * <math>A</math>: Stochastik-Klausur bestanden * <math>B</math>: Fachwissenschaftliche Grundlagen mit 4,0 bestanden * Mit welcher Wahrscheinlichkeit <math>P(A|B)</math> besteht man die Stochastik-Klausur <math>A</math>, wenn man die Klausur zu den fachwissenschaftlichen Grundlagen nur mit 4,0 bestanden hat (d.h. <math>B</math> erfüllt ist)? [[Datei:Audio de 1 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Einleitung]] === Vorüberlegung === Wir nehmen an, dass das Ereignis <math> B </math> eintritt. Welche Definition ist sinnvoll für die Wahrscheinlichkeit von <math> B </math>, unter der Bedingung, dass <math> A </math> eingetreten ist? # Wenn die Bedingung <math> B </math> eintritt, so kann <math> A </math> nur dann eintreten, wenn das Ereignis <math> A \cap B </math> eintritt. # Wir konzentrieren uns auf die Realisationen <math> \omega \in A </math> und betrachten sie als gleichwahrscheinlich ([[w:de:Laplace-Verteilung|Laplace-Verteilung]]). # Allgemein gilt dann <math> P(C) = \frac {| C | }{ | \Omega |} </math> für alle <math>C \in \mathcal{S}</math>. [[Datei:Audio de 2 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Vorlüberlegung]] === Berechnung mit Laplace-Verteilung === Damit kann die Wahrscheinlichkeit von <math> A </math> unter der Bedingung <math> B </math> wie folgt definiert werden: :<math> P(A|B) := \frac {| A\cap B | }{ | B |} = \frac { \tfrac{|A \cap B | }{| \Omega | }} { \tfrac{| B |}{| \Omega | }}= \frac {P (A \cap B)}{ P(B)} </math> Dabei wurde der Bruch mit <math>\frac {1}{| \Omega |}</math> erweitert, um in Zähler und Nenner die Laplace-Wahrscheinlichkeiten für die Ereignisse <math> A \cap B </math> und <math> B </math> zu erzeugen. [[Datei:Audio de 3 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Berechnung mit Laplace-Verteilung]] <span id="Definition"></span> == Definition - bedingte Wahrscheinlichkeit == Sei <math> (\Omega,\mathcal{S},P) </math> ein Wahrscheinlichkeitsraum, <math> A \in \mathcal{S} </math> mit <math> P (B) >0 </math>. <br> a) Die Abbildung <math> P( \cdot | B): \mathcal{S} \to [0,1] </math>, die gemäß <math> P (A | B) = \frac {P(A \cap B)}{P(B)}, A,B \in \mathcal{S} </math> definiert ist, heißt bedingte Wahrscheinlichkeitsverteilung über <math> \Omega </math> unter (der Bedingung) <math> B </math>. <br> b) Die Zahl <math> P(A|B) </math> heißt bedingte Wahrscheinlichkeit von <math> A </math> unter (der Bedingung) <math> B </math>. [[Datei:Audio de 4 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Definition]] === Aufgabe - bedingte Wahrscheinlickeitsverteilung === Sei <math>(\Omega,\mathcal{S},P)</math> ein Wahrscheinlichkeitsraum. Weisen Sie für die Abbildung <math>\widetilde{P}</math> nach, dass diese die Eigenschaften eines Wahrscheinlichkeitsmaßes auf <math>(\Omega,\mathcal{S})</math> erfüllt. :<math> \begin{array}{rrcl} \widetilde{P}: & \mathcal{S} & \rightarrow & [0,1] \\ & A & \mapsto & \widetilde{P}(A) = P(A|B) \end{array} </math> === Aufgaben - Wahrscheinlichkeit auf Bedingung konzentriert=== Es gilt <math> P(\Omega|B) = 1 </math>. Die Wahrscheinlichkeit von <math> P( \cdot |B) </math> ist allerdings auf <math> B </math> konzentriert". * Zeigen Sie dazu, dass <math> P(A|B) = 0 </math> für alle <math> A \subset \bar B = \Omega\setminus B </math> <!-- denn: <math> P(A|B) = \frac {P (A \cap B)} {P(B)} = \frac {P (\emptyset)} {P(B)} = 0 </math> --> * Zeigen Sie, dass für <math> B \subset A </math>, <math> A \not= B </math> gilt, dass <math> P(A|B) = 1</math> (Hinweis: Zeigen Sie, dass <math> P(\bar A|B) = 0</math> gilt!) [[Datei:Audio de 5 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Aufgabenstellung]] === Anmerkung === Formt man die Definitionsformel von oben um zu <math> P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A|B) </math>, so kann man die Wahrscheinlichkeit des gleichzeitig Eintretens von <math> A </math> und <math> B </math> mithilfe der bedingten Wahrscheinlichkeit darstellen. Wir betrachten im Nachfolgenden eine Technik, eine Wahrscheinlichkeit auf <math> \Omega </math> durch bedingten Wahrscheinlichkeiten zusammenzusetzen. <span id="ZerlegungDef"></span> === Definition - Zerlegung === <math> (A_1, ..., A_m) </math> heißt [[bedingte Wahrscheinlichkeit#ZerlegungDef|Zerlegung]] von <math> \Omega </math> auf <math> (\Omega,\mathcal{S}) </math>, falls <math>\bigcup_{i=1} ^{m} A_i = \Omega, A_i \cap A_j = \varnothing </math> für alle <math> i \neq j </math> und <math>A_i, A_j \in \mathcal{S}</math>. === Motivation - Auswahl mit beschränkten Optionen === Als Beispiel werden 100 verschiedene Spiele <math>\Omega</math> auf <math>m</math> verschiedene Spielekisten <math>A_1, \ldots , A_m</math> verteilt. Es gibt <math>m\in \mathbb{N}</math> Personen und jede Person bekommt eine Kiste. Jede Person <math>i</math> kann nur Spiele aus der eigenen Kiste <math>A_i</math> und nicht aus anderen Kisten <math>A_j</math> auswählen mit <math>i\neq j</math>. Es gibt für jede der <math>i</math> Personen präferiert Spiele und daher gibt es eine Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>{Q_A}_i</math> (''"Qual der Wahl aus <math>A_i</math> aus der Spielekiste"''), die die Wahrscheinlichkeit beschreibt, ein Spiel bestimmtes Spiel aus der eigenen Spielekiste auszuwählen. Die Wahrscheinlichkeit ist auf <math>A_i</math> konzentriert, da die Spieler nur aus der eigenen Kiste auswählen können. == Zerlegungssatz == Sei <math>(A_1, ... ,A_m )</math> eine [[bedingte Wahrscheinlichkeit#ZerlegungDef|Zerlegung]] von <math>\Omega </math> auf <math> (\Omega,\mathcal{S})</math>. Für jedes <math> i = 1, ...,m </math> sei eine auf <math>A_i</math> konzentrierte Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>Q_{A_i}</math> auf <math>(\Omega,\mathcal{S} ) </math> gegeben (d.h. <math>{Q_A}_i (A_i) = 1 </math>) sowie Zahlen <math>p_i \in ( 0,1]</math> mit <math>\sum _{i = 1} ^{m} p_i = 1 </math>. <br> * (a) Dann existiert genau eine Wahrscheinlichkeitsverteilung <math> P </math> auf <math> \Omega </math> mit <br> ** (i) <math>P(A_i) = p_i > 0</math>. <br> ** (ii) <math>P(B|A_i) = {Q_A}_i(B)</math>, falls <math>p_i >0 </math> für alle <math>i=1, ...,m </math>. <br> * (b) Es gilt <math> P(B) = \sum _{i=1} ^{m} p_i \cdot {Q_A}_i(B) </math> für jedes <math> B \in \mathcal{S} </math>. === Beweis - Zerlegungssatz === Der Beweis gliedert sich in eine Existenzaussage für <math>P</math> und eine Eindeutigkeitsaussage, bei der die Existenz einer weiteren Wahrscheinlichkeitsverteilung für <math>\widetilde{P}</math> auf <math>\mathcal{S}</math> angenommen wird. Dann wird gezeigt, dass <math>\widetilde{P} = P</math> gilt bzw. <math>\widetilde{P}(B) = P(B)</math> für beliebige <math>B\in\mathcal{S}</math> gilt. ==== Beweis Existenz (i)==== Man definiere <math> P</math> gemäß Formel b) und rechnet nach, dass <math>P</math> die Eigenschaften eines [[Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaßes]] auf <math>\Omega </math> besitzt: * <math>P(A)\geq 0</math> für alle <math>A\in \mathcal{S}</math>, * <math>P(\Omega) = 1</math> * Nachweis der <math>\sigma</math>-Additivität von <math>P</math> über die <math>\sigma</math>-Additivität der Wahrscheinlichkeitsmaße <math>Q_{A_i}</math> nachweisen. ==== Beweis Existenz (i) - paarweise disjunkt==== Wie in der letzten Bemerkung gilt für die paarweise disjunkten <math> A_i</math> :<math>{Q_A}_i(A_j) = \left \{ \begin{array}{ll} 0, & i \neq j\\ 1, & i = j \end{array}\right. </math> Daraus folgt sofort (ai) <math>P(A_k) = \sum _{i=1} ^{m} p_i \cdot {Q_A}_i(A_k) = p_k</math>. [[Datei:Audio de 10 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Zerlegungsatz 2]] ==== Beweis Existenz (ii)==== Für ein beliebiges <math>p_i > 0 </math> und <math> B \in \mathcal{S} </math> gilt :<math> P(B|A_i) = \frac {P(A_i \cap B)}{ P(A_i)} = \frac {1} {p_i} \sum _{j=1} ^{m} p_j \cdot {Q_A}_j (A_i \cap B) = </math> :<math>= \frac {p_i} {p_i} ({Q_A}_i (A_i \cap B) + {Q_A}_i( \bar A_i \cap B) = {Q_A}_i(B) )</math> also ii). [[Datei:Audio de 11 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Zerlegungsatz 3]] ==== Beweis Eindeutigkeit ==== Sei <math> \tilde P </math> eine (weitere) Wahrscheinlichkeitsverteilung auf <math> (\Omega,\mathcal{S}) </math>, die (ai) und (aii) erfüllt. Dann gilt für <math> B \subset \Omega </math> und wegen <math> B= \Omega \cap B = \left( \bigcup _{j=1}^{m} A_j \right) \cap B</math> die Gleichung :<math>\tilde P (B) = \tilde P \left( \bigcup_ {j=1}^{m} A_j \cap B \right)= \sum _{j=1}^{m} \tilde P (A_j \cap B) = </math> :<math> = \sum _{j=1}^{m} \tilde P (A_j) \cdot \tilde P (B|A_j) \stackrel{(i),(ii)}{=} \sum _{j=1}^{m} p_j {Q_A}_j(B) = P(B) . \qquad \Box</math> [[Datei:Audio de 12 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Zerlegungsatz 4]] <span id="totale_Wahrscheinlichkeit"></span> == Satz der totalen Wahrscheinlichkeit == Sei <math>(\Omega ,\mathcal{S}, P)</math> ein [[Wahrscheinlichkeitsraum]] und <math> (A_1,\ldots , A_m) </math> eine [[Mengenzerlegung (Stochastik)|Zerlegung]] von <math>\Omega</math> auf <math>(\Omega,\mathcal{S})</math> mit <math>P(A_j) > 0</math> für alle <math>j = 1, \ldots, m</math>. Für jedes <math> B \subset \Omega </math> und gilt also für alle <math>B \in \mathcal{S}</math>: :<math> P(B) = \sum _{j=1} ^{m} P(A_j) \cdot P(B|A_j)</math> ("Formel der totalen Wahrscheinlichkeit"). == Beweis - Satz - totale Wahrscheinlichkeit == Nach Voraussetzung gilt <math>P(A_j) > 0</math> für alle <math>j = 1, \ldots, m</math> und damit sind die bedingten Wahrscheinlichkeiten <math>P(B \mid A_j)</math> definiert, weil <math>P(A_j)</math> im Nenner der Definition der [[bedingte Wahrscheinlichkeit#Definition|bedingten Warscheinlichkeit]] auf tritt. === Schritt 1 - Zerlegung von Omega === Da die <math>A_j</math> eine [[bedingte Wahrscheinlichkeit#ZerlegungDef|Zerlegung]] von <math>\Omega</math> bilden, sind die <math>A_j</math> paarweise disjunkt nach Definition und auch die <math>B\cap A_j</math> sind als Teilmengen von <math>A_j</math> paarweise disjunkt. Damit gilt: :<math> \Omega = \bigcup_{j=1}^m A_j \quad \text{(disjunkt)} </math> === Schritt 2 - Zerlegung von B === Mit der Teilmengenbeziehung <math>B\cap A_j\subset A_j</math> Dann folgt für jedes <math>B \in \mathcal{S}</math> und der verallgemeinerten Anwendung <math>B \cap (A_1 \cup A_2) = (B\cap A_1) \cup (B\cap A_2)</math>: :<math> B = B \cap \Omega = B \cap \left( \bigcup_{j=1}^m A_j \right) = \bigcup_{j=1}^m (B \cap A_j) </math> Da die <math>A_j</math> disjunkt sind, sind auch die Schnitte <math>B \cap A_j</math> disjunkt. Also ist <math>(B \cap A_1, B \cap A_2, \ldots, B \cap A_m)</math> eine [[bedingte Wahrscheinlichkeit#ZerlegungDef|disjunkte Zerlegung]] von <math>B</math>. === Schritt 3 - Anwendung der Additivität der Wahrscheinlichkeit === Nach dem Axiom der <math>\sigma</math>-Additivität erlaubt insbesondere die Anwendung auf endliche Summen von disjunkte Ereignisse glt: :<math> P(B) = P\left( \bigcup_{j=1}^m (B \cap A_j) \right) = \sum_{j=1}^m P(B \cap A_j) </math> === Schritt 4 - Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit === Für jedes <math>j</math> mit <math>P(A_j) > 0</math> ist die bedingte Wahrscheinlichkeit definiert als: :<math> P(B \mid A_j) = \frac{P(B \cap A_j)}{P(A_j)} </math> Durch Umformung erhält man: :<math> P(B \cap A_j) = P(A_j) \cdot P(B \mid A_j) </math> ==== Schritt 5 - Einsetzen in die Summe ==== Setze dies in die Gleichung aus Schritt 3 ein: :<math> P(B) = \sum_{j=1}^m P(B \cap A_j) = \sum_{j=1}^m P(A_j) \cdot P(B \mid A_j) </math> Insgesamt erhält man die Aussage des Satzes über die totale Wahrscheinlichkeit :<math> {P(B) = \sum_{j=1}^m P(A_j) \cdot P(B \mid A_j)} </math> === Aufgabe für Studierende === Beweisen Sie den Satz der totalen Wahrscheinlichkeit in der Übung und begründen Sie jeden Teilschritte über die Zerlegung von <math>\Omega</math> und der Zerlegung von <math>B</math>. Fertigen Sie für die Beweisvorstellung Skizze an, die das Vorgehen im Beweis eräutert. [[Datei:Audio de 13 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Formel Totale Wahrscheinlichkeit]] <span id="Satz_von_Bayes"></span> == Satz - Formel von Bayes == Ist <math> P </math> eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf <math> \Omega </math>, <math> ( A_1, ... ,A_m ) </math> einer Zerlegung von <math>\Omega </math> auf <math>(\Omega,\mathcal{S})</math> , so gilt für jedes <math> B \in \mathcal{S} </math> mit <math> P(B) > 0 </math> und <math> i= 1, ... ,m </math> :<math>P(A_i|B) = \frac {P(B|A_i) \cdot P(A_i)} { \sum_{j=1}^{m} P(B|A_j) \cdot P(A_j) }.</math> [[Datei:Audio de 14 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Satz von Bayes]] === Beweis === :<math>P(A_i|B) = \frac {P(A_i\cap B)}{P(B)} = \frac{P(B|A_i) \cdot P(A_i)}{\sum_{j=1}^{m} P(B|A_j) \cdot P(A_j)} </math> [[Datei:Audio de 15 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Satz von Bayes - Beweis]] ==== Bemerkung==== Man beachte, dass auf der linken und rechten Seite "Argument und Bedingung" vertauscht auftreten. In einer außermathematischen Deutung spielen <math> A_j </math> die Rolle von (verschiedenen) Ursachen für die Wirkung von <math> B </math>. [[Datei:Audio de 16 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Satz von Bayes - Bemerkung]] ==== Beispiel (Test auf eine Krankheit) ==== <math> \Omega </math> sei die Gesamtheit der Personen aus der Bevölkerung. <math> p \cdot 100\% </math> der Bevölkerung (<math>K \subset \Omega </math>) leidet an der Krankheit. Ein Test für diese Krankheit spreche bei <math> k \cdot 100\% </math> der Kranken aus <math>K</math> an und bei <math> g \cdot 100\% </math> der Gesunden (<math>\Omega \setminus K</math>) positiv an (<math>k =</math> Sensitivität, <math>1-g =</math> Spezifität des Testes). Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat eine zufällig ausgewählte Person <math>\omega \in \Omega</math> die Krankheit, * wenn der Test positiv ausfällt? * wenn der Test negativ ausfällt? [[Datei:Audio de 17 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Satz von Bayes - Beispiel]] <span id="Produktformel"></span> == Produktformel- bedingte Wahrscheinlichkeit == Sei <math>P</math> eine [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] auf <math> \Omega </math> und seien <math> A_1, ... ,A_n \subset \Omega </math> mit <math> P( A_1 \cap ... \cap A_{n-1} )>0 </math>. Dann gilt die sogenannte "Produktformel": :<math> P( A_1 \cap ... \cap A_n) = P(A_1) \cdot P(A_2 | A_1) \cdot P(A_3 | A_1 \cap A_2) \cdot ... \cdot P(A_n | A_1 \cap ... \cap A_{n-1}) </math> [[Datei:Audio de 18 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Produktformel - Satz]] === Beweis - Produktformel === Die Faktoren auf der rechten Seite sind definiert wegen :<math>P(A_1) \ge P(A_1 \cap A_2) \ge ... \ge P(A_1 \cap ... \cap A_{n-1}) >0.</math> :<math> P( A_1 \cap ... \cap A_n) = P( A_1 \cap ... \cap A_{n-1} ) \cdot P( A_n | A_1 \cap ... \cap A_{n-1} ) </math> :<math> = P( A_1 \cap ... \cap A_{n-2}) \cdot P( A_{n-1} | A_1 \cap ... \cap A_{n-1} ) \cdot P( A_n | A_1 \cap ... \cap A_{n-1} ) = ... </math> :<math> = P(A_1) \cdot P(A_2 | A_1) \cdot P(A_3 | A_1 \cap A_2) \cdot ... \cdot P(A_n | A_1 \cap ... \cap A_{n-1}) \ \Box</math> [[Datei:Audio de 19 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Produktformel - Satz - Beweis]] ==== Bemerkung ==== Dieser Satz verallgemeinert die Formel <math>P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A). </math> [[Datei:Audio de 20 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Produktformel - Bemerkung]] == Siehe auch == * [[stochastische Unabhängigkeit]] * [[bedingte Wahrscheinlichkeit#ZerlegungDef|disjunkte Zerlegung einer Menge]] == Seiten-Information == Der [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Bedingte+Wahrscheinlichkeit&author=Kurs%3A+Stochastik&audioslide=no&language=de Foliensatz] für diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Bedingte%20Wahrscheinlichkeit Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Bedingte_Wahrscheinlichkeit Bedingte Wahrscheinlichkeit] https://de.wikipedia.org/wiki/Bedingte_Wahrscheinlichkeit * Datum: 5.11.2018 * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity]-Konverter: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity * [https://niebert.github.com/Wiki2Reveal Wiki2Reveal Link-Generator] * Dieser Foliensatz gehört zum [[Kurs:Stochastik]] [[Category:Wiki2Reveal]] 3yr3yzbx28kyso9vhjcjnxzyg83g8rv 1118669 1118667 2026-11-02T15:10:27Z Bert Niehaus 20843 /* Beweis Existenz (i) - paarweise disjunkt */ 1118669 wikitext text/x-wiki [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|146px|mini|Kurs enthält [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] Audio-Folien]] == Einleitung == Diese Lerneinheit aus der [[Kurs:Stochastik|Stochastik]] behandelt folgende Inhalte: * [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Definition|Definition - Bedingte Wahrscheinlichkeit]] * [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Zerlegungssatz|Zerlegungssatz]] * [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Satz_von_Bayes|Satz von Bayes]] * [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Satz_totale_Wahrscheinlichkeit|Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit]] * [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Produktformel|Produktformel]] === Einführendes Beispiel - bedingte Wahrscheinlichkeit=== Gegeben sei ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum <math>(\Omega,\mathcal{S},P) </math>, Gleichverteilung über <math>(\Omega,\mathcal{S}) </math> und <math>\mathcal{S} := \wp((\Omega) </math>. <math> A,B \subset \Omega, A\neq \varnothing </math>. In dem einführenden Beispiel betrachten wir die Ereignisse: * <math>A</math>: Stochastik-Klausur bestanden * <math>B</math>: Fachwissenschaftliche Grundlagen mit 4,0 bestanden * Mit welcher Wahrscheinlichkeit <math>P(A|B)</math> besteht man die Stochastik-Klausur <math>A</math>, wenn man die Klausur zu den fachwissenschaftlichen Grundlagen nur mit 4,0 bestanden hat (d.h. <math>B</math> erfüllt ist)? [[Datei:Audio de 1 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Einleitung]] === Vorüberlegung === Wir nehmen an, dass das Ereignis <math> B </math> eintritt. Welche Definition ist sinnvoll für die Wahrscheinlichkeit von <math> B </math>, unter der Bedingung, dass <math> A </math> eingetreten ist? # Wenn die Bedingung <math> B </math> eintritt, so kann <math> A </math> nur dann eintreten, wenn das Ereignis <math> A \cap B </math> eintritt. # Wir konzentrieren uns auf die Realisationen <math> \omega \in A </math> und betrachten sie als gleichwahrscheinlich ([[w:de:Laplace-Verteilung|Laplace-Verteilung]]). # Allgemein gilt dann <math> P(C) = \frac {| C | }{ | \Omega |} </math> für alle <math>C \in \mathcal{S}</math>. [[Datei:Audio de 2 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Vorlüberlegung]] === Berechnung mit Laplace-Verteilung === Damit kann die Wahrscheinlichkeit von <math> A </math> unter der Bedingung <math> B </math> wie folgt definiert werden: :<math> P(A|B) := \frac {| A\cap B | }{ | B |} = \frac { \tfrac{|A \cap B | }{| \Omega | }} { \tfrac{| B |}{| \Omega | }}= \frac {P (A \cap B)}{ P(B)} </math> Dabei wurde der Bruch mit <math>\frac {1}{| \Omega |}</math> erweitert, um in Zähler und Nenner die Laplace-Wahrscheinlichkeiten für die Ereignisse <math> A \cap B </math> und <math> B </math> zu erzeugen. [[Datei:Audio de 3 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Berechnung mit Laplace-Verteilung]] <span id="Definition"></span> == Definition - bedingte Wahrscheinlichkeit == Sei <math> (\Omega,\mathcal{S},P) </math> ein Wahrscheinlichkeitsraum, <math> A \in \mathcal{S} </math> mit <math> P (B) >0 </math>. <br> a) Die Abbildung <math> P( \cdot | B): \mathcal{S} \to [0,1] </math>, die gemäß <math> P (A | B) = \frac {P(A \cap B)}{P(B)}, A,B \in \mathcal{S} </math> definiert ist, heißt bedingte Wahrscheinlichkeitsverteilung über <math> \Omega </math> unter (der Bedingung) <math> B </math>. <br> b) Die Zahl <math> P(A|B) </math> heißt bedingte Wahrscheinlichkeit von <math> A </math> unter (der Bedingung) <math> B </math>. [[Datei:Audio de 4 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Definition]] === Aufgabe - bedingte Wahrscheinlickeitsverteilung === Sei <math>(\Omega,\mathcal{S},P)</math> ein Wahrscheinlichkeitsraum. Weisen Sie für die Abbildung <math>\widetilde{P}</math> nach, dass diese die Eigenschaften eines Wahrscheinlichkeitsmaßes auf <math>(\Omega,\mathcal{S})</math> erfüllt. :<math> \begin{array}{rrcl} \widetilde{P}: & \mathcal{S} & \rightarrow & [0,1] \\ & A & \mapsto & \widetilde{P}(A) = P(A|B) \end{array} </math> === Aufgaben - Wahrscheinlichkeit auf Bedingung konzentriert=== Es gilt <math> P(\Omega|B) = 1 </math>. Die Wahrscheinlichkeit von <math> P( \cdot |B) </math> ist allerdings auf <math> B </math> konzentriert". * Zeigen Sie dazu, dass <math> P(A|B) = 0 </math> für alle <math> A \subset \bar B = \Omega\setminus B </math> <!-- denn: <math> P(A|B) = \frac {P (A \cap B)} {P(B)} = \frac {P (\emptyset)} {P(B)} = 0 </math> --> * Zeigen Sie, dass für <math> B \subset A </math>, <math> A \not= B </math> gilt, dass <math> P(A|B) = 1</math> (Hinweis: Zeigen Sie, dass <math> P(\bar A|B) = 0</math> gilt!) [[Datei:Audio de 5 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Aufgabenstellung]] === Anmerkung === Formt man die Definitionsformel von oben um zu <math> P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A|B) </math>, so kann man die Wahrscheinlichkeit des gleichzeitig Eintretens von <math> A </math> und <math> B </math> mithilfe der bedingten Wahrscheinlichkeit darstellen. Wir betrachten im Nachfolgenden eine Technik, eine Wahrscheinlichkeit auf <math> \Omega </math> durch bedingten Wahrscheinlichkeiten zusammenzusetzen. <span id="ZerlegungDef"></span> === Definition - Zerlegung === <math> (A_1, ..., A_m) </math> heißt [[bedingte Wahrscheinlichkeit#ZerlegungDef|Zerlegung]] von <math> \Omega </math> auf <math> (\Omega,\mathcal{S}) </math>, falls <math>\bigcup_{i=1} ^{m} A_i = \Omega, A_i \cap A_j = \varnothing </math> für alle <math> i \neq j </math> und <math>A_i, A_j \in \mathcal{S}</math>. === Motivation - Auswahl mit beschränkten Optionen === Als Beispiel werden 100 verschiedene Spiele <math>\Omega</math> auf <math>m</math> verschiedene Spielekisten <math>A_1, \ldots , A_m</math> verteilt. Es gibt <math>m\in \mathbb{N}</math> Personen und jede Person bekommt eine Kiste. Jede Person <math>i</math> kann nur Spiele aus der eigenen Kiste <math>A_i</math> und nicht aus anderen Kisten <math>A_j</math> auswählen mit <math>i\neq j</math>. Es gibt für jede der <math>i</math> Personen präferiert Spiele und daher gibt es eine Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>{Q_A}_i</math> (''"Qual der Wahl aus <math>A_i</math> aus der Spielekiste"''), die die Wahrscheinlichkeit beschreibt, ein Spiel bestimmtes Spiel aus der eigenen Spielekiste auszuwählen. Die Wahrscheinlichkeit ist auf <math>A_i</math> konzentriert, da die Spieler nur aus der eigenen Kiste auswählen können. == Zerlegungssatz == Sei <math>(A_1, ... ,A_m )</math> eine [[bedingte Wahrscheinlichkeit#ZerlegungDef|Zerlegung]] von <math>\Omega </math> auf <math> (\Omega,\mathcal{S})</math>. Für jedes <math> i = 1, ...,m </math> sei eine auf <math>A_i</math> konzentrierte Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>Q_{A_i}</math> auf <math>(\Omega,\mathcal{S} ) </math> gegeben (d.h. <math>{Q_A}_i (A_i) = 1 </math>) sowie Zahlen <math>p_i \in ( 0,1]</math> mit <math>\sum _{i = 1} ^{m} p_i = 1 </math>. <br> * (a) Dann existiert genau eine Wahrscheinlichkeitsverteilung <math> P </math> auf <math> \Omega </math> mit <br> ** (i) <math>P(A_i) = p_i > 0</math>. <br> ** (ii) <math>P(B|A_i) = {Q_A}_i(B)</math>, falls <math>p_i >0 </math> für alle <math>i=1, ...,m </math>. <br> * (b) Es gilt <math> P(B) = \sum _{i=1} ^{m} p_i \cdot {Q_A}_i(B) </math> für jedes <math> B \in \mathcal{S} </math>. === Beweis - Zerlegungssatz === Der Beweis gliedert sich in eine Existenzaussage für <math>P</math> und eine Eindeutigkeitsaussage, bei der die Existenz einer weiteren Wahrscheinlichkeitsverteilung für <math>\widetilde{P}</math> auf <math>\mathcal{S}</math> angenommen wird. Dann wird gezeigt, dass <math>\widetilde{P} = P</math> gilt bzw. <math>\widetilde{P}(B) = P(B)</math> für beliebige <math>B\in\mathcal{S}</math> gilt. ==== Beweis Existenz (i)==== Man definiere <math> P</math> gemäß Formel b) und rechnet nach, dass <math>P</math> die Eigenschaften eines [[Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaßes]] auf <math>\Omega </math> besitzt: * <math>P(A)\geq 0</math> für alle <math>A\in \mathcal{S}</math>, * <math>P(\Omega) = 1</math> * Nachweis der <math>\sigma</math>-Additivität von <math>P</math> über die <math>\sigma</math>-Additivität der Wahrscheinlichkeitsmaße <math>Q_{A_i}</math> nachweisen. ==== Beweis Existenz (i) - paarweise disjunkt==== Da die Wahrscheinlichkeitsmasse von den Wahrscheinlichkeitsmaßen <math>Q_{A_i}</math> auf <math>A_i</math> konzentriert ist, gilt für die paarweise disjunkten <math> A_i</math> aus der Zerlegung <math>(A_1,\ldots ,A_m)</math> folgende Eigenschaft: :<math>{Q_A}_i(A_j) = \left \{ \begin{array}{ll} 0, & i \neq j\\ 1, & i = j \end{array}\right. </math> Daraus folgt sofort (ai) <math>P(A_k) = \sum _{i=1} ^{m} p_i \cdot {Q_A}_i(A_k) = p_k</math>. [[Datei:Audio de 10 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Zerlegungsatz 2]] ==== Beweis Existenz (ii)==== Für ein beliebiges <math>p_i > 0 </math> und <math> B \in \mathcal{S} </math> gilt :<math> P(B|A_i) = \frac {P(A_i \cap B)}{ P(A_i)} = \frac {1} {p_i} \sum _{j=1} ^{m} p_j \cdot {Q_A}_j (A_i \cap B) = </math> :<math>= \frac {p_i} {p_i} ({Q_A}_i (A_i \cap B) + {Q_A}_i( \bar A_i \cap B) = {Q_A}_i(B) )</math> also ii). [[Datei:Audio de 11 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Zerlegungsatz 3]] ==== Beweis Eindeutigkeit ==== Sei <math> \tilde P </math> eine (weitere) Wahrscheinlichkeitsverteilung auf <math> (\Omega,\mathcal{S}) </math>, die (ai) und (aii) erfüllt. Dann gilt für <math> B \subset \Omega </math> und wegen <math> B= \Omega \cap B = \left( \bigcup _{j=1}^{m} A_j \right) \cap B</math> die Gleichung :<math>\tilde P (B) = \tilde P \left( \bigcup_ {j=1}^{m} A_j \cap B \right)= \sum _{j=1}^{m} \tilde P (A_j \cap B) = </math> :<math> = \sum _{j=1}^{m} \tilde P (A_j) \cdot \tilde P (B|A_j) \stackrel{(i),(ii)}{=} \sum _{j=1}^{m} p_j {Q_A}_j(B) = P(B) . \qquad \Box</math> [[Datei:Audio de 12 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Zerlegungsatz 4]] <span id="totale_Wahrscheinlichkeit"></span> == Satz der totalen Wahrscheinlichkeit == Sei <math>(\Omega ,\mathcal{S}, P)</math> ein [[Wahrscheinlichkeitsraum]] und <math> (A_1,\ldots , A_m) </math> eine [[Mengenzerlegung (Stochastik)|Zerlegung]] von <math>\Omega</math> auf <math>(\Omega,\mathcal{S})</math> mit <math>P(A_j) > 0</math> für alle <math>j = 1, \ldots, m</math>. Für jedes <math> B \subset \Omega </math> und gilt also für alle <math>B \in \mathcal{S}</math>: :<math> P(B) = \sum _{j=1} ^{m} P(A_j) \cdot P(B|A_j)</math> ("Formel der totalen Wahrscheinlichkeit"). == Beweis - Satz - totale Wahrscheinlichkeit == Nach Voraussetzung gilt <math>P(A_j) > 0</math> für alle <math>j = 1, \ldots, m</math> und damit sind die bedingten Wahrscheinlichkeiten <math>P(B \mid A_j)</math> definiert, weil <math>P(A_j)</math> im Nenner der Definition der [[bedingte Wahrscheinlichkeit#Definition|bedingten Warscheinlichkeit]] auf tritt. === Schritt 1 - Zerlegung von Omega === Da die <math>A_j</math> eine [[bedingte Wahrscheinlichkeit#ZerlegungDef|Zerlegung]] von <math>\Omega</math> bilden, sind die <math>A_j</math> paarweise disjunkt nach Definition und auch die <math>B\cap A_j</math> sind als Teilmengen von <math>A_j</math> paarweise disjunkt. Damit gilt: :<math> \Omega = \bigcup_{j=1}^m A_j \quad \text{(disjunkt)} </math> === Schritt 2 - Zerlegung von B === Mit der Teilmengenbeziehung <math>B\cap A_j\subset A_j</math> Dann folgt für jedes <math>B \in \mathcal{S}</math> und der verallgemeinerten Anwendung <math>B \cap (A_1 \cup A_2) = (B\cap A_1) \cup (B\cap A_2)</math>: :<math> B = B \cap \Omega = B \cap \left( \bigcup_{j=1}^m A_j \right) = \bigcup_{j=1}^m (B \cap A_j) </math> Da die <math>A_j</math> disjunkt sind, sind auch die Schnitte <math>B \cap A_j</math> disjunkt. Also ist <math>(B \cap A_1, B \cap A_2, \ldots, B \cap A_m)</math> eine [[bedingte Wahrscheinlichkeit#ZerlegungDef|disjunkte Zerlegung]] von <math>B</math>. === Schritt 3 - Anwendung der Additivität der Wahrscheinlichkeit === Nach dem Axiom der <math>\sigma</math>-Additivität erlaubt insbesondere die Anwendung auf endliche Summen von disjunkte Ereignisse glt: :<math> P(B) = P\left( \bigcup_{j=1}^m (B \cap A_j) \right) = \sum_{j=1}^m P(B \cap A_j) </math> === Schritt 4 - Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit === Für jedes <math>j</math> mit <math>P(A_j) > 0</math> ist die bedingte Wahrscheinlichkeit definiert als: :<math> P(B \mid A_j) = \frac{P(B \cap A_j)}{P(A_j)} </math> Durch Umformung erhält man: :<math> P(B \cap A_j) = P(A_j) \cdot P(B \mid A_j) </math> ==== Schritt 5 - Einsetzen in die Summe ==== Setze dies in die Gleichung aus Schritt 3 ein: :<math> P(B) = \sum_{j=1}^m P(B \cap A_j) = \sum_{j=1}^m P(A_j) \cdot P(B \mid A_j) </math> Insgesamt erhält man die Aussage des Satzes über die totale Wahrscheinlichkeit :<math> {P(B) = \sum_{j=1}^m P(A_j) \cdot P(B \mid A_j)} </math> === Aufgabe für Studierende === Beweisen Sie den Satz der totalen Wahrscheinlichkeit in der Übung und begründen Sie jeden Teilschritte über die Zerlegung von <math>\Omega</math> und der Zerlegung von <math>B</math>. Fertigen Sie für die Beweisvorstellung Skizze an, die das Vorgehen im Beweis eräutert. [[Datei:Audio de 13 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Formel Totale Wahrscheinlichkeit]] <span id="Satz_von_Bayes"></span> == Satz - Formel von Bayes == Ist <math> P </math> eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf <math> \Omega </math>, <math> ( A_1, ... ,A_m ) </math> einer Zerlegung von <math>\Omega </math> auf <math>(\Omega,\mathcal{S})</math> , so gilt für jedes <math> B \in \mathcal{S} </math> mit <math> P(B) > 0 </math> und <math> i= 1, ... ,m </math> :<math>P(A_i|B) = \frac {P(B|A_i) \cdot P(A_i)} { \sum_{j=1}^{m} P(B|A_j) \cdot P(A_j) }.</math> [[Datei:Audio de 14 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Satz von Bayes]] === Beweis === :<math>P(A_i|B) = \frac {P(A_i\cap B)}{P(B)} = \frac{P(B|A_i) \cdot P(A_i)}{\sum_{j=1}^{m} P(B|A_j) \cdot P(A_j)} </math> [[Datei:Audio de 15 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Satz von Bayes - Beweis]] ==== Bemerkung==== Man beachte, dass auf der linken und rechten Seite "Argument und Bedingung" vertauscht auftreten. In einer außermathematischen Deutung spielen <math> A_j </math> die Rolle von (verschiedenen) Ursachen für die Wirkung von <math> B </math>. [[Datei:Audio de 16 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Satz von Bayes - Bemerkung]] ==== Beispiel (Test auf eine Krankheit) ==== <math> \Omega </math> sei die Gesamtheit der Personen aus der Bevölkerung. <math> p \cdot 100\% </math> der Bevölkerung (<math>K \subset \Omega </math>) leidet an der Krankheit. Ein Test für diese Krankheit spreche bei <math> k \cdot 100\% </math> der Kranken aus <math>K</math> an und bei <math> g \cdot 100\% </math> der Gesunden (<math>\Omega \setminus K</math>) positiv an (<math>k =</math> Sensitivität, <math>1-g =</math> Spezifität des Testes). Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat eine zufällig ausgewählte Person <math>\omega \in \Omega</math> die Krankheit, * wenn der Test positiv ausfällt? * wenn der Test negativ ausfällt? [[Datei:Audio de 17 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Satz von Bayes - Beispiel]] <span id="Produktformel"></span> == Produktformel- bedingte Wahrscheinlichkeit == Sei <math>P</math> eine [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] auf <math> \Omega </math> und seien <math> A_1, ... ,A_n \subset \Omega </math> mit <math> P( A_1 \cap ... \cap A_{n-1} )>0 </math>. Dann gilt die sogenannte "Produktformel": :<math> P( A_1 \cap ... \cap A_n) = P(A_1) \cdot P(A_2 | A_1) \cdot P(A_3 | A_1 \cap A_2) \cdot ... \cdot P(A_n | A_1 \cap ... \cap A_{n-1}) </math> [[Datei:Audio de 18 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Produktformel - Satz]] === Beweis - Produktformel === Die Faktoren auf der rechten Seite sind definiert wegen :<math>P(A_1) \ge P(A_1 \cap A_2) \ge ... \ge P(A_1 \cap ... \cap A_{n-1}) >0.</math> :<math> P( A_1 \cap ... \cap A_n) = P( A_1 \cap ... \cap A_{n-1} ) \cdot P( A_n | A_1 \cap ... \cap A_{n-1} ) </math> :<math> = P( A_1 \cap ... \cap A_{n-2}) \cdot P( A_{n-1} | A_1 \cap ... \cap A_{n-1} ) \cdot P( A_n | A_1 \cap ... \cap A_{n-1} ) = ... </math> :<math> = P(A_1) \cdot P(A_2 | A_1) \cdot P(A_3 | A_1 \cap A_2) \cdot ... \cdot P(A_n | A_1 \cap ... \cap A_{n-1}) \ \Box</math> [[Datei:Audio de 19 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Produktformel - Satz - Beweis]] ==== Bemerkung ==== Dieser Satz verallgemeinert die Formel <math>P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A). </math> [[Datei:Audio de 20 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Produktformel - Bemerkung]] == Siehe auch == * [[stochastische Unabhängigkeit]] * [[bedingte Wahrscheinlichkeit#ZerlegungDef|disjunkte Zerlegung einer Menge]] == Seiten-Information == Der [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Bedingte+Wahrscheinlichkeit&author=Kurs%3A+Stochastik&audioslide=no&language=de Foliensatz] für diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Bedingte%20Wahrscheinlichkeit Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Bedingte_Wahrscheinlichkeit Bedingte Wahrscheinlichkeit] https://de.wikipedia.org/wiki/Bedingte_Wahrscheinlichkeit * Datum: 5.11.2018 * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity]-Konverter: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity * [https://niebert.github.com/Wiki2Reveal Wiki2Reveal Link-Generator] * Dieser Foliensatz gehört zum [[Kurs:Stochastik]] [[Category:Wiki2Reveal]] chv7zdnz7stlpwh2qj2ik46zeea3n9i 1118670 1118669 2026-11-02T15:11:21Z Bert Niehaus 20843 /* Beweis Existenz (ii) */ 1118670 wikitext text/x-wiki [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|146px|mini|Kurs enthält [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] Audio-Folien]] == Einleitung == Diese Lerneinheit aus der [[Kurs:Stochastik|Stochastik]] behandelt folgende Inhalte: * [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Definition|Definition - Bedingte Wahrscheinlichkeit]] * [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Zerlegungssatz|Zerlegungssatz]] * [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Satz_von_Bayes|Satz von Bayes]] * [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Satz_totale_Wahrscheinlichkeit|Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit]] * [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Produktformel|Produktformel]] === Einführendes Beispiel - bedingte Wahrscheinlichkeit=== Gegeben sei ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum <math>(\Omega,\mathcal{S},P) </math>, Gleichverteilung über <math>(\Omega,\mathcal{S}) </math> und <math>\mathcal{S} := \wp((\Omega) </math>. <math> A,B \subset \Omega, A\neq \varnothing </math>. In dem einführenden Beispiel betrachten wir die Ereignisse: * <math>A</math>: Stochastik-Klausur bestanden * <math>B</math>: Fachwissenschaftliche Grundlagen mit 4,0 bestanden * Mit welcher Wahrscheinlichkeit <math>P(A|B)</math> besteht man die Stochastik-Klausur <math>A</math>, wenn man die Klausur zu den fachwissenschaftlichen Grundlagen nur mit 4,0 bestanden hat (d.h. <math>B</math> erfüllt ist)? [[Datei:Audio de 1 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Einleitung]] === Vorüberlegung === Wir nehmen an, dass das Ereignis <math> B </math> eintritt. Welche Definition ist sinnvoll für die Wahrscheinlichkeit von <math> B </math>, unter der Bedingung, dass <math> A </math> eingetreten ist? # Wenn die Bedingung <math> B </math> eintritt, so kann <math> A </math> nur dann eintreten, wenn das Ereignis <math> A \cap B </math> eintritt. # Wir konzentrieren uns auf die Realisationen <math> \omega \in A </math> und betrachten sie als gleichwahrscheinlich ([[w:de:Laplace-Verteilung|Laplace-Verteilung]]). # Allgemein gilt dann <math> P(C) = \frac {| C | }{ | \Omega |} </math> für alle <math>C \in \mathcal{S}</math>. [[Datei:Audio de 2 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Vorlüberlegung]] === Berechnung mit Laplace-Verteilung === Damit kann die Wahrscheinlichkeit von <math> A </math> unter der Bedingung <math> B </math> wie folgt definiert werden: :<math> P(A|B) := \frac {| A\cap B | }{ | B |} = \frac { \tfrac{|A \cap B | }{| \Omega | }} { \tfrac{| B |}{| \Omega | }}= \frac {P (A \cap B)}{ P(B)} </math> Dabei wurde der Bruch mit <math>\frac {1}{| \Omega |}</math> erweitert, um in Zähler und Nenner die Laplace-Wahrscheinlichkeiten für die Ereignisse <math> A \cap B </math> und <math> B </math> zu erzeugen. [[Datei:Audio de 3 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Berechnung mit Laplace-Verteilung]] <span id="Definition"></span> == Definition - bedingte Wahrscheinlichkeit == Sei <math> (\Omega,\mathcal{S},P) </math> ein Wahrscheinlichkeitsraum, <math> A \in \mathcal{S} </math> mit <math> P (B) >0 </math>. <br> a) Die Abbildung <math> P( \cdot | B): \mathcal{S} \to [0,1] </math>, die gemäß <math> P (A | B) = \frac {P(A \cap B)}{P(B)}, A,B \in \mathcal{S} </math> definiert ist, heißt bedingte Wahrscheinlichkeitsverteilung über <math> \Omega </math> unter (der Bedingung) <math> B </math>. <br> b) Die Zahl <math> P(A|B) </math> heißt bedingte Wahrscheinlichkeit von <math> A </math> unter (der Bedingung) <math> B </math>. [[Datei:Audio de 4 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Definition]] === Aufgabe - bedingte Wahrscheinlickeitsverteilung === Sei <math>(\Omega,\mathcal{S},P)</math> ein Wahrscheinlichkeitsraum. Weisen Sie für die Abbildung <math>\widetilde{P}</math> nach, dass diese die Eigenschaften eines Wahrscheinlichkeitsmaßes auf <math>(\Omega,\mathcal{S})</math> erfüllt. :<math> \begin{array}{rrcl} \widetilde{P}: & \mathcal{S} & \rightarrow & [0,1] \\ & A & \mapsto & \widetilde{P}(A) = P(A|B) \end{array} </math> === Aufgaben - Wahrscheinlichkeit auf Bedingung konzentriert=== Es gilt <math> P(\Omega|B) = 1 </math>. Die Wahrscheinlichkeit von <math> P( \cdot |B) </math> ist allerdings auf <math> B </math> konzentriert". * Zeigen Sie dazu, dass <math> P(A|B) = 0 </math> für alle <math> A \subset \bar B = \Omega\setminus B </math> <!-- denn: <math> P(A|B) = \frac {P (A \cap B)} {P(B)} = \frac {P (\emptyset)} {P(B)} = 0 </math> --> * Zeigen Sie, dass für <math> B \subset A </math>, <math> A \not= B </math> gilt, dass <math> P(A|B) = 1</math> (Hinweis: Zeigen Sie, dass <math> P(\bar A|B) = 0</math> gilt!) [[Datei:Audio de 5 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Aufgabenstellung]] === Anmerkung === Formt man die Definitionsformel von oben um zu <math> P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A|B) </math>, so kann man die Wahrscheinlichkeit des gleichzeitig Eintretens von <math> A </math> und <math> B </math> mithilfe der bedingten Wahrscheinlichkeit darstellen. Wir betrachten im Nachfolgenden eine Technik, eine Wahrscheinlichkeit auf <math> \Omega </math> durch bedingten Wahrscheinlichkeiten zusammenzusetzen. <span id="ZerlegungDef"></span> === Definition - Zerlegung === <math> (A_1, ..., A_m) </math> heißt [[bedingte Wahrscheinlichkeit#ZerlegungDef|Zerlegung]] von <math> \Omega </math> auf <math> (\Omega,\mathcal{S}) </math>, falls <math>\bigcup_{i=1} ^{m} A_i = \Omega, A_i \cap A_j = \varnothing </math> für alle <math> i \neq j </math> und <math>A_i, A_j \in \mathcal{S}</math>. === Motivation - Auswahl mit beschränkten Optionen === Als Beispiel werden 100 verschiedene Spiele <math>\Omega</math> auf <math>m</math> verschiedene Spielekisten <math>A_1, \ldots , A_m</math> verteilt. Es gibt <math>m\in \mathbb{N}</math> Personen und jede Person bekommt eine Kiste. Jede Person <math>i</math> kann nur Spiele aus der eigenen Kiste <math>A_i</math> und nicht aus anderen Kisten <math>A_j</math> auswählen mit <math>i\neq j</math>. Es gibt für jede der <math>i</math> Personen präferiert Spiele und daher gibt es eine Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>{Q_A}_i</math> (''"Qual der Wahl aus <math>A_i</math> aus der Spielekiste"''), die die Wahrscheinlichkeit beschreibt, ein Spiel bestimmtes Spiel aus der eigenen Spielekiste auszuwählen. Die Wahrscheinlichkeit ist auf <math>A_i</math> konzentriert, da die Spieler nur aus der eigenen Kiste auswählen können. == Zerlegungssatz == Sei <math>(A_1, ... ,A_m )</math> eine [[bedingte Wahrscheinlichkeit#ZerlegungDef|Zerlegung]] von <math>\Omega </math> auf <math> (\Omega,\mathcal{S})</math>. Für jedes <math> i = 1, ...,m </math> sei eine auf <math>A_i</math> konzentrierte Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>Q_{A_i}</math> auf <math>(\Omega,\mathcal{S} ) </math> gegeben (d.h. <math>{Q_A}_i (A_i) = 1 </math>) sowie Zahlen <math>p_i \in ( 0,1]</math> mit <math>\sum _{i = 1} ^{m} p_i = 1 </math>. <br> * (a) Dann existiert genau eine Wahrscheinlichkeitsverteilung <math> P </math> auf <math> \Omega </math> mit <br> ** (i) <math>P(A_i) = p_i > 0</math>. <br> ** (ii) <math>P(B|A_i) = {Q_A}_i(B)</math>, falls <math>p_i >0 </math> für alle <math>i=1, ...,m </math>. <br> * (b) Es gilt <math> P(B) = \sum _{i=1} ^{m} p_i \cdot {Q_A}_i(B) </math> für jedes <math> B \in \mathcal{S} </math>. === Beweis - Zerlegungssatz === Der Beweis gliedert sich in eine Existenzaussage für <math>P</math> und eine Eindeutigkeitsaussage, bei der die Existenz einer weiteren Wahrscheinlichkeitsverteilung für <math>\widetilde{P}</math> auf <math>\mathcal{S}</math> angenommen wird. Dann wird gezeigt, dass <math>\widetilde{P} = P</math> gilt bzw. <math>\widetilde{P}(B) = P(B)</math> für beliebige <math>B\in\mathcal{S}</math> gilt. ==== Beweis Existenz (i)==== Man definiere <math> P</math> gemäß Formel b) und rechnet nach, dass <math>P</math> die Eigenschaften eines [[Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaßes]] auf <math>\Omega </math> besitzt: * <math>P(A)\geq 0</math> für alle <math>A\in \mathcal{S}</math>, * <math>P(\Omega) = 1</math> * Nachweis der <math>\sigma</math>-Additivität von <math>P</math> über die <math>\sigma</math>-Additivität der Wahrscheinlichkeitsmaße <math>Q_{A_i}</math> nachweisen. ==== Beweis Existenz (i) - paarweise disjunkt==== Da die Wahrscheinlichkeitsmasse von den Wahrscheinlichkeitsmaßen <math>Q_{A_i}</math> auf <math>A_i</math> konzentriert ist, gilt für die paarweise disjunkten <math> A_i</math> aus der Zerlegung <math>(A_1,\ldots ,A_m)</math> folgende Eigenschaft: :<math>{Q_A}_i(A_j) = \left \{ \begin{array}{ll} 0, & i \neq j\\ 1, & i = j \end{array}\right. </math> Daraus folgt sofort (ai) <math>P(A_k) = \sum _{i=1} ^{m} p_i \cdot {Q_A}_i(A_k) = p_k</math>. [[Datei:Audio de 10 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Zerlegungsatz 2]] ==== Beweis Existenz (ii)==== Für ein beliebiges <math>p_i > 0 </math> und <math> B \in \mathcal{S} </math> gilt mit Anwendung der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit: :<math> P(B|A_i) = \frac {P(A_i \cap B)}{ P(A_i)} = \frac {1} {p_i} \sum _{j=1} ^{m} p_j \cdot {Q_A}_j (A_i \cap B) = </math> :<math>= \frac {p_i} {p_i} ({Q_A}_i (A_i \cap B) + {Q_A}_i( \bar A_i \cap B) = {Q_A}_i(B) )</math> also ii). [[Datei:Audio de 11 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Zerlegungsatz 3]] ==== Beweis Eindeutigkeit ==== Sei <math> \tilde P </math> eine (weitere) Wahrscheinlichkeitsverteilung auf <math> (\Omega,\mathcal{S}) </math>, die (ai) und (aii) erfüllt. Dann gilt für <math> B \subset \Omega </math> und wegen <math> B= \Omega \cap B = \left( \bigcup _{j=1}^{m} A_j \right) \cap B</math> die Gleichung :<math>\tilde P (B) = \tilde P \left( \bigcup_ {j=1}^{m} A_j \cap B \right)= \sum _{j=1}^{m} \tilde P (A_j \cap B) = </math> :<math> = \sum _{j=1}^{m} \tilde P (A_j) \cdot \tilde P (B|A_j) \stackrel{(i),(ii)}{=} \sum _{j=1}^{m} p_j {Q_A}_j(B) = P(B) . \qquad \Box</math> [[Datei:Audio de 12 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Zerlegungsatz 4]] <span id="totale_Wahrscheinlichkeit"></span> == Satz der totalen Wahrscheinlichkeit == Sei <math>(\Omega ,\mathcal{S}, P)</math> ein [[Wahrscheinlichkeitsraum]] und <math> (A_1,\ldots , A_m) </math> eine [[Mengenzerlegung (Stochastik)|Zerlegung]] von <math>\Omega</math> auf <math>(\Omega,\mathcal{S})</math> mit <math>P(A_j) > 0</math> für alle <math>j = 1, \ldots, m</math>. Für jedes <math> B \subset \Omega </math> und gilt also für alle <math>B \in \mathcal{S}</math>: :<math> P(B) = \sum _{j=1} ^{m} P(A_j) \cdot P(B|A_j)</math> ("Formel der totalen Wahrscheinlichkeit"). == Beweis - Satz - totale Wahrscheinlichkeit == Nach Voraussetzung gilt <math>P(A_j) > 0</math> für alle <math>j = 1, \ldots, m</math> und damit sind die bedingten Wahrscheinlichkeiten <math>P(B \mid A_j)</math> definiert, weil <math>P(A_j)</math> im Nenner der Definition der [[bedingte Wahrscheinlichkeit#Definition|bedingten Warscheinlichkeit]] auf tritt. === Schritt 1 - Zerlegung von Omega === Da die <math>A_j</math> eine [[bedingte Wahrscheinlichkeit#ZerlegungDef|Zerlegung]] von <math>\Omega</math> bilden, sind die <math>A_j</math> paarweise disjunkt nach Definition und auch die <math>B\cap A_j</math> sind als Teilmengen von <math>A_j</math> paarweise disjunkt. Damit gilt: :<math> \Omega = \bigcup_{j=1}^m A_j \quad \text{(disjunkt)} </math> === Schritt 2 - Zerlegung von B === Mit der Teilmengenbeziehung <math>B\cap A_j\subset A_j</math> Dann folgt für jedes <math>B \in \mathcal{S}</math> und der verallgemeinerten Anwendung <math>B \cap (A_1 \cup A_2) = (B\cap A_1) \cup (B\cap A_2)</math>: :<math> B = B \cap \Omega = B \cap \left( \bigcup_{j=1}^m A_j \right) = \bigcup_{j=1}^m (B \cap A_j) </math> Da die <math>A_j</math> disjunkt sind, sind auch die Schnitte <math>B \cap A_j</math> disjunkt. Also ist <math>(B \cap A_1, B \cap A_2, \ldots, B \cap A_m)</math> eine [[bedingte Wahrscheinlichkeit#ZerlegungDef|disjunkte Zerlegung]] von <math>B</math>. === Schritt 3 - Anwendung der Additivität der Wahrscheinlichkeit === Nach dem Axiom der <math>\sigma</math>-Additivität erlaubt insbesondere die Anwendung auf endliche Summen von disjunkte Ereignisse glt: :<math> P(B) = P\left( \bigcup_{j=1}^m (B \cap A_j) \right) = \sum_{j=1}^m P(B \cap A_j) </math> === Schritt 4 - Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit === Für jedes <math>j</math> mit <math>P(A_j) > 0</math> ist die bedingte Wahrscheinlichkeit definiert als: :<math> P(B \mid A_j) = \frac{P(B \cap A_j)}{P(A_j)} </math> Durch Umformung erhält man: :<math> P(B \cap A_j) = P(A_j) \cdot P(B \mid A_j) </math> ==== Schritt 5 - Einsetzen in die Summe ==== Setze dies in die Gleichung aus Schritt 3 ein: :<math> P(B) = \sum_{j=1}^m P(B \cap A_j) = \sum_{j=1}^m P(A_j) \cdot P(B \mid A_j) </math> Insgesamt erhält man die Aussage des Satzes über die totale Wahrscheinlichkeit :<math> {P(B) = \sum_{j=1}^m P(A_j) \cdot P(B \mid A_j)} </math> === Aufgabe für Studierende === Beweisen Sie den Satz der totalen Wahrscheinlichkeit in der Übung und begründen Sie jeden Teilschritte über die Zerlegung von <math>\Omega</math> und der Zerlegung von <math>B</math>. Fertigen Sie für die Beweisvorstellung Skizze an, die das Vorgehen im Beweis eräutert. [[Datei:Audio de 13 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Formel Totale Wahrscheinlichkeit]] <span id="Satz_von_Bayes"></span> == Satz - Formel von Bayes == Ist <math> P </math> eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf <math> \Omega </math>, <math> ( A_1, ... ,A_m ) </math> einer Zerlegung von <math>\Omega </math> auf <math>(\Omega,\mathcal{S})</math> , so gilt für jedes <math> B \in \mathcal{S} </math> mit <math> P(B) > 0 </math> und <math> i= 1, ... ,m </math> :<math>P(A_i|B) = \frac {P(B|A_i) \cdot P(A_i)} { \sum_{j=1}^{m} P(B|A_j) \cdot P(A_j) }.</math> [[Datei:Audio de 14 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Satz von Bayes]] === Beweis === :<math>P(A_i|B) = \frac {P(A_i\cap B)}{P(B)} = \frac{P(B|A_i) \cdot P(A_i)}{\sum_{j=1}^{m} P(B|A_j) \cdot P(A_j)} </math> [[Datei:Audio de 15 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Satz von Bayes - Beweis]] ==== Bemerkung==== Man beachte, dass auf der linken und rechten Seite "Argument und Bedingung" vertauscht auftreten. In einer außermathematischen Deutung spielen <math> A_j </math> die Rolle von (verschiedenen) Ursachen für die Wirkung von <math> B </math>. [[Datei:Audio de 16 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Satz von Bayes - Bemerkung]] ==== Beispiel (Test auf eine Krankheit) ==== <math> \Omega </math> sei die Gesamtheit der Personen aus der Bevölkerung. <math> p \cdot 100\% </math> der Bevölkerung (<math>K \subset \Omega </math>) leidet an der Krankheit. Ein Test für diese Krankheit spreche bei <math> k \cdot 100\% </math> der Kranken aus <math>K</math> an und bei <math> g \cdot 100\% </math> der Gesunden (<math>\Omega \setminus K</math>) positiv an (<math>k =</math> Sensitivität, <math>1-g =</math> Spezifität des Testes). Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat eine zufällig ausgewählte Person <math>\omega \in \Omega</math> die Krankheit, * wenn der Test positiv ausfällt? * wenn der Test negativ ausfällt? [[Datei:Audio de 17 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Satz von Bayes - Beispiel]] <span id="Produktformel"></span> == Produktformel- bedingte Wahrscheinlichkeit == Sei <math>P</math> eine [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] auf <math> \Omega </math> und seien <math> A_1, ... ,A_n \subset \Omega </math> mit <math> P( A_1 \cap ... \cap A_{n-1} )>0 </math>. Dann gilt die sogenannte "Produktformel": :<math> P( A_1 \cap ... \cap A_n) = P(A_1) \cdot P(A_2 | A_1) \cdot P(A_3 | A_1 \cap A_2) \cdot ... \cdot P(A_n | A_1 \cap ... \cap A_{n-1}) </math> [[Datei:Audio de 18 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Produktformel - Satz]] === Beweis - Produktformel === Die Faktoren auf der rechten Seite sind definiert wegen :<math>P(A_1) \ge P(A_1 \cap A_2) \ge ... \ge P(A_1 \cap ... \cap A_{n-1}) >0.</math> :<math> P( A_1 \cap ... \cap A_n) = P( A_1 \cap ... \cap A_{n-1} ) \cdot P( A_n | A_1 \cap ... \cap A_{n-1} ) </math> :<math> = P( A_1 \cap ... \cap A_{n-2}) \cdot P( A_{n-1} | A_1 \cap ... \cap A_{n-1} ) \cdot P( A_n | A_1 \cap ... \cap A_{n-1} ) = ... </math> :<math> = P(A_1) \cdot P(A_2 | A_1) \cdot P(A_3 | A_1 \cap A_2) \cdot ... \cdot P(A_n | A_1 \cap ... \cap A_{n-1}) \ \Box</math> [[Datei:Audio de 19 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Produktformel - Satz - Beweis]] ==== Bemerkung ==== Dieser Satz verallgemeinert die Formel <math>P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A). </math> [[Datei:Audio de 20 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Produktformel - Bemerkung]] == Siehe auch == * [[stochastische Unabhängigkeit]] * [[bedingte Wahrscheinlichkeit#ZerlegungDef|disjunkte Zerlegung einer Menge]] == Seiten-Information == Der [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Bedingte+Wahrscheinlichkeit&author=Kurs%3A+Stochastik&audioslide=no&language=de Foliensatz] für diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Bedingte%20Wahrscheinlichkeit Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Bedingte_Wahrscheinlichkeit Bedingte Wahrscheinlichkeit] https://de.wikipedia.org/wiki/Bedingte_Wahrscheinlichkeit * Datum: 5.11.2018 * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity]-Konverter: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity * [https://niebert.github.com/Wiki2Reveal Wiki2Reveal Link-Generator] * Dieser Foliensatz gehört zum [[Kurs:Stochastik]] [[Category:Wiki2Reveal]] c1mtzbwfg7coe1pgv6050kx22350yvg 1118672 1118670 2026-11-02T15:18:32Z Bert Niehaus 20843 /* Beweis - Produktformel */ 1118672 wikitext text/x-wiki [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|146px|mini|Kurs enthält [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] Audio-Folien]] == Einleitung == Diese Lerneinheit aus der [[Kurs:Stochastik|Stochastik]] behandelt folgende Inhalte: * [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Definition|Definition - Bedingte Wahrscheinlichkeit]] * [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Zerlegungssatz|Zerlegungssatz]] * [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Satz_von_Bayes|Satz von Bayes]] * [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Satz_totale_Wahrscheinlichkeit|Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit]] * [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Produktformel|Produktformel]] === Einführendes Beispiel - bedingte Wahrscheinlichkeit=== Gegeben sei ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum <math>(\Omega,\mathcal{S},P) </math>, Gleichverteilung über <math>(\Omega,\mathcal{S}) </math> und <math>\mathcal{S} := \wp((\Omega) </math>. <math> A,B \subset \Omega, A\neq \varnothing </math>. In dem einführenden Beispiel betrachten wir die Ereignisse: * <math>A</math>: Stochastik-Klausur bestanden * <math>B</math>: Fachwissenschaftliche Grundlagen mit 4,0 bestanden * Mit welcher Wahrscheinlichkeit <math>P(A|B)</math> besteht man die Stochastik-Klausur <math>A</math>, wenn man die Klausur zu den fachwissenschaftlichen Grundlagen nur mit 4,0 bestanden hat (d.h. <math>B</math> erfüllt ist)? [[Datei:Audio de 1 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Einleitung]] === Vorüberlegung === Wir nehmen an, dass das Ereignis <math> B </math> eintritt. Welche Definition ist sinnvoll für die Wahrscheinlichkeit von <math> B </math>, unter der Bedingung, dass <math> A </math> eingetreten ist? # Wenn die Bedingung <math> B </math> eintritt, so kann <math> A </math> nur dann eintreten, wenn das Ereignis <math> A \cap B </math> eintritt. # Wir konzentrieren uns auf die Realisationen <math> \omega \in A </math> und betrachten sie als gleichwahrscheinlich ([[w:de:Laplace-Verteilung|Laplace-Verteilung]]). # Allgemein gilt dann <math> P(C) = \frac {| C | }{ | \Omega |} </math> für alle <math>C \in \mathcal{S}</math>. [[Datei:Audio de 2 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Vorlüberlegung]] === Berechnung mit Laplace-Verteilung === Damit kann die Wahrscheinlichkeit von <math> A </math> unter der Bedingung <math> B </math> wie folgt definiert werden: :<math> P(A|B) := \frac {| A\cap B | }{ | B |} = \frac { \tfrac{|A \cap B | }{| \Omega | }} { \tfrac{| B |}{| \Omega | }}= \frac {P (A \cap B)}{ P(B)} </math> Dabei wurde der Bruch mit <math>\frac {1}{| \Omega |}</math> erweitert, um in Zähler und Nenner die Laplace-Wahrscheinlichkeiten für die Ereignisse <math> A \cap B </math> und <math> B </math> zu erzeugen. [[Datei:Audio de 3 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Berechnung mit Laplace-Verteilung]] <span id="Definition"></span> == Definition - bedingte Wahrscheinlichkeit == Sei <math> (\Omega,\mathcal{S},P) </math> ein Wahrscheinlichkeitsraum, <math> A \in \mathcal{S} </math> mit <math> P (B) >0 </math>. <br> a) Die Abbildung <math> P( \cdot | B): \mathcal{S} \to [0,1] </math>, die gemäß <math> P (A | B) = \frac {P(A \cap B)}{P(B)}, A,B \in \mathcal{S} </math> definiert ist, heißt bedingte Wahrscheinlichkeitsverteilung über <math> \Omega </math> unter (der Bedingung) <math> B </math>. <br> b) Die Zahl <math> P(A|B) </math> heißt bedingte Wahrscheinlichkeit von <math> A </math> unter (der Bedingung) <math> B </math>. [[Datei:Audio de 4 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Definition]] === Aufgabe - bedingte Wahrscheinlickeitsverteilung === Sei <math>(\Omega,\mathcal{S},P)</math> ein Wahrscheinlichkeitsraum. Weisen Sie für die Abbildung <math>\widetilde{P}</math> nach, dass diese die Eigenschaften eines Wahrscheinlichkeitsmaßes auf <math>(\Omega,\mathcal{S})</math> erfüllt. :<math> \begin{array}{rrcl} \widetilde{P}: & \mathcal{S} & \rightarrow & [0,1] \\ & A & \mapsto & \widetilde{P}(A) = P(A|B) \end{array} </math> === Aufgaben - Wahrscheinlichkeit auf Bedingung konzentriert=== Es gilt <math> P(\Omega|B) = 1 </math>. Die Wahrscheinlichkeit von <math> P( \cdot |B) </math> ist allerdings auf <math> B </math> konzentriert". * Zeigen Sie dazu, dass <math> P(A|B) = 0 </math> für alle <math> A \subset \bar B = \Omega\setminus B </math> <!-- denn: <math> P(A|B) = \frac {P (A \cap B)} {P(B)} = \frac {P (\emptyset)} {P(B)} = 0 </math> --> * Zeigen Sie, dass für <math> B \subset A </math>, <math> A \not= B </math> gilt, dass <math> P(A|B) = 1</math> (Hinweis: Zeigen Sie, dass <math> P(\bar A|B) = 0</math> gilt!) [[Datei:Audio de 5 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Aufgabenstellung]] === Anmerkung === Formt man die Definitionsformel von oben um zu <math> P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A|B) </math>, so kann man die Wahrscheinlichkeit des gleichzeitig Eintretens von <math> A </math> und <math> B </math> mithilfe der bedingten Wahrscheinlichkeit darstellen. Wir betrachten im Nachfolgenden eine Technik, eine Wahrscheinlichkeit auf <math> \Omega </math> durch bedingten Wahrscheinlichkeiten zusammenzusetzen. <span id="ZerlegungDef"></span> === Definition - Zerlegung === <math> (A_1, ..., A_m) </math> heißt [[bedingte Wahrscheinlichkeit#ZerlegungDef|Zerlegung]] von <math> \Omega </math> auf <math> (\Omega,\mathcal{S}) </math>, falls <math>\bigcup_{i=1} ^{m} A_i = \Omega, A_i \cap A_j = \varnothing </math> für alle <math> i \neq j </math> und <math>A_i, A_j \in \mathcal{S}</math>. === Motivation - Auswahl mit beschränkten Optionen === Als Beispiel werden 100 verschiedene Spiele <math>\Omega</math> auf <math>m</math> verschiedene Spielekisten <math>A_1, \ldots , A_m</math> verteilt. Es gibt <math>m\in \mathbb{N}</math> Personen und jede Person bekommt eine Kiste. Jede Person <math>i</math> kann nur Spiele aus der eigenen Kiste <math>A_i</math> und nicht aus anderen Kisten <math>A_j</math> auswählen mit <math>i\neq j</math>. Es gibt für jede der <math>i</math> Personen präferiert Spiele und daher gibt es eine Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>{Q_A}_i</math> (''"Qual der Wahl aus <math>A_i</math> aus der Spielekiste"''), die die Wahrscheinlichkeit beschreibt, ein Spiel bestimmtes Spiel aus der eigenen Spielekiste auszuwählen. Die Wahrscheinlichkeit ist auf <math>A_i</math> konzentriert, da die Spieler nur aus der eigenen Kiste auswählen können. == Zerlegungssatz == Sei <math>(A_1, ... ,A_m )</math> eine [[bedingte Wahrscheinlichkeit#ZerlegungDef|Zerlegung]] von <math>\Omega </math> auf <math> (\Omega,\mathcal{S})</math>. Für jedes <math> i = 1, ...,m </math> sei eine auf <math>A_i</math> konzentrierte Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>Q_{A_i}</math> auf <math>(\Omega,\mathcal{S} ) </math> gegeben (d.h. <math>{Q_A}_i (A_i) = 1 </math>) sowie Zahlen <math>p_i \in ( 0,1]</math> mit <math>\sum _{i = 1} ^{m} p_i = 1 </math>. <br> * (a) Dann existiert genau eine Wahrscheinlichkeitsverteilung <math> P </math> auf <math> \Omega </math> mit <br> ** (i) <math>P(A_i) = p_i > 0</math>. <br> ** (ii) <math>P(B|A_i) = {Q_A}_i(B)</math>, falls <math>p_i >0 </math> für alle <math>i=1, ...,m </math>. <br> * (b) Es gilt <math> P(B) = \sum _{i=1} ^{m} p_i \cdot {Q_A}_i(B) </math> für jedes <math> B \in \mathcal{S} </math>. === Beweis - Zerlegungssatz === Der Beweis gliedert sich in eine Existenzaussage für <math>P</math> und eine Eindeutigkeitsaussage, bei der die Existenz einer weiteren Wahrscheinlichkeitsverteilung für <math>\widetilde{P}</math> auf <math>\mathcal{S}</math> angenommen wird. Dann wird gezeigt, dass <math>\widetilde{P} = P</math> gilt bzw. <math>\widetilde{P}(B) = P(B)</math> für beliebige <math>B\in\mathcal{S}</math> gilt. ==== Beweis Existenz (i)==== Man definiere <math> P</math> gemäß Formel b) und rechnet nach, dass <math>P</math> die Eigenschaften eines [[Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaßes]] auf <math>\Omega </math> besitzt: * <math>P(A)\geq 0</math> für alle <math>A\in \mathcal{S}</math>, * <math>P(\Omega) = 1</math> * Nachweis der <math>\sigma</math>-Additivität von <math>P</math> über die <math>\sigma</math>-Additivität der Wahrscheinlichkeitsmaße <math>Q_{A_i}</math> nachweisen. ==== Beweis Existenz (i) - paarweise disjunkt==== Da die Wahrscheinlichkeitsmasse von den Wahrscheinlichkeitsmaßen <math>Q_{A_i}</math> auf <math>A_i</math> konzentriert ist, gilt für die paarweise disjunkten <math> A_i</math> aus der Zerlegung <math>(A_1,\ldots ,A_m)</math> folgende Eigenschaft: :<math>{Q_A}_i(A_j) = \left \{ \begin{array}{ll} 0, & i \neq j\\ 1, & i = j \end{array}\right. </math> Daraus folgt sofort (ai) <math>P(A_k) = \sum _{i=1} ^{m} p_i \cdot {Q_A}_i(A_k) = p_k</math>. [[Datei:Audio de 10 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Zerlegungsatz 2]] ==== Beweis Existenz (ii)==== Für ein beliebiges <math>p_i > 0 </math> und <math> B \in \mathcal{S} </math> gilt mit Anwendung der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit: :<math> P(B|A_i) = \frac {P(A_i \cap B)}{ P(A_i)} = \frac {1} {p_i} \sum _{j=1} ^{m} p_j \cdot {Q_A}_j (A_i \cap B) = </math> :<math>= \frac {p_i} {p_i} ({Q_A}_i (A_i \cap B) + {Q_A}_i( \bar A_i \cap B) = {Q_A}_i(B) )</math> also ii). [[Datei:Audio de 11 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Zerlegungsatz 3]] ==== Beweis Eindeutigkeit ==== Sei <math> \tilde P </math> eine (weitere) Wahrscheinlichkeitsverteilung auf <math> (\Omega,\mathcal{S}) </math>, die (ai) und (aii) erfüllt. Dann gilt für <math> B \subset \Omega </math> und wegen <math> B= \Omega \cap B = \left( \bigcup _{j=1}^{m} A_j \right) \cap B</math> die Gleichung :<math>\tilde P (B) = \tilde P \left( \bigcup_ {j=1}^{m} A_j \cap B \right)= \sum _{j=1}^{m} \tilde P (A_j \cap B) = </math> :<math> = \sum _{j=1}^{m} \tilde P (A_j) \cdot \tilde P (B|A_j) \stackrel{(i),(ii)}{=} \sum _{j=1}^{m} p_j {Q_A}_j(B) = P(B) . \qquad \Box</math> [[Datei:Audio de 12 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Zerlegungsatz 4]] <span id="totale_Wahrscheinlichkeit"></span> == Satz der totalen Wahrscheinlichkeit == Sei <math>(\Omega ,\mathcal{S}, P)</math> ein [[Wahrscheinlichkeitsraum]] und <math> (A_1,\ldots , A_m) </math> eine [[Mengenzerlegung (Stochastik)|Zerlegung]] von <math>\Omega</math> auf <math>(\Omega,\mathcal{S})</math> mit <math>P(A_j) > 0</math> für alle <math>j = 1, \ldots, m</math>. Für jedes <math> B \subset \Omega </math> und gilt also für alle <math>B \in \mathcal{S}</math>: :<math> P(B) = \sum _{j=1} ^{m} P(A_j) \cdot P(B|A_j)</math> ("Formel der totalen Wahrscheinlichkeit"). == Beweis - Satz - totale Wahrscheinlichkeit == Nach Voraussetzung gilt <math>P(A_j) > 0</math> für alle <math>j = 1, \ldots, m</math> und damit sind die bedingten Wahrscheinlichkeiten <math>P(B \mid A_j)</math> definiert, weil <math>P(A_j)</math> im Nenner der Definition der [[bedingte Wahrscheinlichkeit#Definition|bedingten Warscheinlichkeit]] auf tritt. === Schritt 1 - Zerlegung von Omega === Da die <math>A_j</math> eine [[bedingte Wahrscheinlichkeit#ZerlegungDef|Zerlegung]] von <math>\Omega</math> bilden, sind die <math>A_j</math> paarweise disjunkt nach Definition und auch die <math>B\cap A_j</math> sind als Teilmengen von <math>A_j</math> paarweise disjunkt. Damit gilt: :<math> \Omega = \bigcup_{j=1}^m A_j \quad \text{(disjunkt)} </math> === Schritt 2 - Zerlegung von B === Mit der Teilmengenbeziehung <math>B\cap A_j\subset A_j</math> Dann folgt für jedes <math>B \in \mathcal{S}</math> und der verallgemeinerten Anwendung <math>B \cap (A_1 \cup A_2) = (B\cap A_1) \cup (B\cap A_2)</math>: :<math> B = B \cap \Omega = B \cap \left( \bigcup_{j=1}^m A_j \right) = \bigcup_{j=1}^m (B \cap A_j) </math> Da die <math>A_j</math> disjunkt sind, sind auch die Schnitte <math>B \cap A_j</math> disjunkt. Also ist <math>(B \cap A_1, B \cap A_2, \ldots, B \cap A_m)</math> eine [[bedingte Wahrscheinlichkeit#ZerlegungDef|disjunkte Zerlegung]] von <math>B</math>. === Schritt 3 - Anwendung der Additivität der Wahrscheinlichkeit === Nach dem Axiom der <math>\sigma</math>-Additivität erlaubt insbesondere die Anwendung auf endliche Summen von disjunkte Ereignisse glt: :<math> P(B) = P\left( \bigcup_{j=1}^m (B \cap A_j) \right) = \sum_{j=1}^m P(B \cap A_j) </math> === Schritt 4 - Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit === Für jedes <math>j</math> mit <math>P(A_j) > 0</math> ist die bedingte Wahrscheinlichkeit definiert als: :<math> P(B \mid A_j) = \frac{P(B \cap A_j)}{P(A_j)} </math> Durch Umformung erhält man: :<math> P(B \cap A_j) = P(A_j) \cdot P(B \mid A_j) </math> ==== Schritt 5 - Einsetzen in die Summe ==== Setze dies in die Gleichung aus Schritt 3 ein: :<math> P(B) = \sum_{j=1}^m P(B \cap A_j) = \sum_{j=1}^m P(A_j) \cdot P(B \mid A_j) </math> Insgesamt erhält man die Aussage des Satzes über die totale Wahrscheinlichkeit :<math> {P(B) = \sum_{j=1}^m P(A_j) \cdot P(B \mid A_j)} </math> === Aufgabe für Studierende === Beweisen Sie den Satz der totalen Wahrscheinlichkeit in der Übung und begründen Sie jeden Teilschritte über die Zerlegung von <math>\Omega</math> und der Zerlegung von <math>B</math>. Fertigen Sie für die Beweisvorstellung Skizze an, die das Vorgehen im Beweis eräutert. [[Datei:Audio de 13 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Formel Totale Wahrscheinlichkeit]] <span id="Satz_von_Bayes"></span> == Satz - Formel von Bayes == Ist <math> P </math> eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf <math> \Omega </math>, <math> ( A_1, ... ,A_m ) </math> einer Zerlegung von <math>\Omega </math> auf <math>(\Omega,\mathcal{S})</math> , so gilt für jedes <math> B \in \mathcal{S} </math> mit <math> P(B) > 0 </math> und <math> i= 1, ... ,m </math> :<math>P(A_i|B) = \frac {P(B|A_i) \cdot P(A_i)} { \sum_{j=1}^{m} P(B|A_j) \cdot P(A_j) }.</math> [[Datei:Audio de 14 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Satz von Bayes]] === Beweis === :<math>P(A_i|B) = \frac {P(A_i\cap B)}{P(B)} = \frac{P(B|A_i) \cdot P(A_i)}{\sum_{j=1}^{m} P(B|A_j) \cdot P(A_j)} </math> [[Datei:Audio de 15 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Satz von Bayes - Beweis]] ==== Bemerkung==== Man beachte, dass auf der linken und rechten Seite "Argument und Bedingung" vertauscht auftreten. In einer außermathematischen Deutung spielen <math> A_j </math> die Rolle von (verschiedenen) Ursachen für die Wirkung von <math> B </math>. [[Datei:Audio de 16 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Satz von Bayes - Bemerkung]] ==== Beispiel (Test auf eine Krankheit) ==== <math> \Omega </math> sei die Gesamtheit der Personen aus der Bevölkerung. <math> p \cdot 100\% </math> der Bevölkerung (<math>K \subset \Omega </math>) leidet an der Krankheit. Ein Test für diese Krankheit spreche bei <math> k \cdot 100\% </math> der Kranken aus <math>K</math> an und bei <math> g \cdot 100\% </math> der Gesunden (<math>\Omega \setminus K</math>) positiv an (<math>k =</math> Sensitivität, <math>1-g =</math> Spezifität des Testes). Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat eine zufällig ausgewählte Person <math>\omega \in \Omega</math> die Krankheit, * wenn der Test positiv ausfällt? * wenn der Test negativ ausfällt? [[Datei:Audio de 17 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Satz von Bayes - Beispiel]] <span id="Produktformel"></span> == Produktformel- bedingte Wahrscheinlichkeit == Sei <math>P</math> eine [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] auf <math> \Omega </math> und seien <math> A_1, ... ,A_n \subset \Omega </math> mit <math> P( A_1 \cap ... \cap A_{n-1} )>0 </math>. Dann gilt die sogenannte "Produktformel": :<math> P( A_1 \cap ... \cap A_n) = P(A_1) \cdot P(A_2 | A_1) \cdot P(A_3 | A_1 \cap A_2) \cdot ... \cdot P(A_n | A_1 \cap ... \cap A_{n-1}) </math> [[Datei:Audio de 18 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Produktformel - Satz]] == Beweis - Produktformel == Allgemein für [[Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaße]] gilt für <math>C_1\subseteq C_2</math> mit <math>C_1,C_2 \in \mathcal{S}</math> auch <math>P(C_1)\leq P(C_2)</math>. Diese Eigenschaft wendet man auf die folgende Teilmengenbeziehung an: :<math>A_1 \supseteq A_1 \cap A_2\supseteq ... \supseteq A_1 \cap ... \cap A_{n-1}</math> Die Anwendung des Wahrscheinlichkeitsmaßes auf die Teilmengenbeziehung liefert: :<math>P(A_1) \ge P(A_1 \cap A_2) \ge ... \ge P(A_1 \cap ... \cap A_{n-1}) >0.</math> === Beweisschritt 1 - Produktformel === :<math> P( A_1 \cap ... \cap A_n) = P( A_1 \cap ... \cap A_{n-1} ) \cdot P( A_n | A_1 \cap ... \cap A_{n-1} ) </math> === Beweisschritt 2 - Produktformel === :<math> = P( A_1 \cap ... \cap A_{n-2}) \cdot P( A_{n-1} | A_1 \cap ... \cap A_{n-1} ) \cdot P( A_n | A_1 \cap ... \cap A_{n-1} ) = ... </math> === Beweisschritt 3 - Produktformel === :<math> = P(A_1) \cdot P(A_2 | A_1) \cdot P(A_3 | A_1 \cap A_2) \cdot ... \cdot P(A_n | A_1 \cap ... \cap A_{n-1}) \ \Box</math> [[Datei:Audio de 19 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Produktformel - Satz - Beweis]] ==== Bemerkung ==== Dieser Satz verallgemeinert die Formel <math>P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A). </math> [[Datei:Audio de 20 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Produktformel - Bemerkung]] == Siehe auch == * [[stochastische Unabhängigkeit]] * [[bedingte Wahrscheinlichkeit#ZerlegungDef|disjunkte Zerlegung einer Menge]] == Seiten-Information == Der [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Bedingte+Wahrscheinlichkeit&author=Kurs%3A+Stochastik&audioslide=no&language=de Foliensatz] für diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Bedingte%20Wahrscheinlichkeit Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Bedingte_Wahrscheinlichkeit Bedingte Wahrscheinlichkeit] https://de.wikipedia.org/wiki/Bedingte_Wahrscheinlichkeit * Datum: 5.11.2018 * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity]-Konverter: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity * [https://niebert.github.com/Wiki2Reveal Wiki2Reveal Link-Generator] * Dieser Foliensatz gehört zum [[Kurs:Stochastik]] [[Category:Wiki2Reveal]] 74vjx3ycoef7cqgz52gj9j6f4dcx7r3 1118674 1118672 2026-11-02T15:23:29Z Bert Niehaus 20843 /* Beweis - Produktformel */ 1118674 wikitext text/x-wiki [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|146px|mini|Kurs enthält [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] Audio-Folien]] == Einleitung == Diese Lerneinheit aus der [[Kurs:Stochastik|Stochastik]] behandelt folgende Inhalte: * [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Definition|Definition - Bedingte Wahrscheinlichkeit]] * [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Zerlegungssatz|Zerlegungssatz]] * [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Satz_von_Bayes|Satz von Bayes]] * [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Satz_totale_Wahrscheinlichkeit|Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit]] * [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Produktformel|Produktformel]] === Einführendes Beispiel - bedingte Wahrscheinlichkeit=== Gegeben sei ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum <math>(\Omega,\mathcal{S},P) </math>, Gleichverteilung über <math>(\Omega,\mathcal{S}) </math> und <math>\mathcal{S} := \wp((\Omega) </math>. <math> A,B \subset \Omega, A\neq \varnothing </math>. In dem einführenden Beispiel betrachten wir die Ereignisse: * <math>A</math>: Stochastik-Klausur bestanden * <math>B</math>: Fachwissenschaftliche Grundlagen mit 4,0 bestanden * Mit welcher Wahrscheinlichkeit <math>P(A|B)</math> besteht man die Stochastik-Klausur <math>A</math>, wenn man die Klausur zu den fachwissenschaftlichen Grundlagen nur mit 4,0 bestanden hat (d.h. <math>B</math> erfüllt ist)? [[Datei:Audio de 1 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Einleitung]] === Vorüberlegung === Wir nehmen an, dass das Ereignis <math> B </math> eintritt. Welche Definition ist sinnvoll für die Wahrscheinlichkeit von <math> B </math>, unter der Bedingung, dass <math> A </math> eingetreten ist? # Wenn die Bedingung <math> B </math> eintritt, so kann <math> A </math> nur dann eintreten, wenn das Ereignis <math> A \cap B </math> eintritt. # Wir konzentrieren uns auf die Realisationen <math> \omega \in A </math> und betrachten sie als gleichwahrscheinlich ([[w:de:Laplace-Verteilung|Laplace-Verteilung]]). # Allgemein gilt dann <math> P(C) = \frac {| C | }{ | \Omega |} </math> für alle <math>C \in \mathcal{S}</math>. [[Datei:Audio de 2 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Vorlüberlegung]] === Berechnung mit Laplace-Verteilung === Damit kann die Wahrscheinlichkeit von <math> A </math> unter der Bedingung <math> B </math> wie folgt definiert werden: :<math> P(A|B) := \frac {| A\cap B | }{ | B |} = \frac { \tfrac{|A \cap B | }{| \Omega | }} { \tfrac{| B |}{| \Omega | }}= \frac {P (A \cap B)}{ P(B)} </math> Dabei wurde der Bruch mit <math>\frac {1}{| \Omega |}</math> erweitert, um in Zähler und Nenner die Laplace-Wahrscheinlichkeiten für die Ereignisse <math> A \cap B </math> und <math> B </math> zu erzeugen. [[Datei:Audio de 3 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Berechnung mit Laplace-Verteilung]] <span id="Definition"></span> == Definition - bedingte Wahrscheinlichkeit == Sei <math> (\Omega,\mathcal{S},P) </math> ein Wahrscheinlichkeitsraum, <math> A \in \mathcal{S} </math> mit <math> P (B) >0 </math>. <br> a) Die Abbildung <math> P( \cdot | B): \mathcal{S} \to [0,1] </math>, die gemäß <math> P (A | B) = \frac {P(A \cap B)}{P(B)}, A,B \in \mathcal{S} </math> definiert ist, heißt bedingte Wahrscheinlichkeitsverteilung über <math> \Omega </math> unter (der Bedingung) <math> B </math>. <br> b) Die Zahl <math> P(A|B) </math> heißt bedingte Wahrscheinlichkeit von <math> A </math> unter (der Bedingung) <math> B </math>. [[Datei:Audio de 4 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Definition]] === Aufgabe - bedingte Wahrscheinlickeitsverteilung === Sei <math>(\Omega,\mathcal{S},P)</math> ein Wahrscheinlichkeitsraum. Weisen Sie für die Abbildung <math>\widetilde{P}</math> nach, dass diese die Eigenschaften eines Wahrscheinlichkeitsmaßes auf <math>(\Omega,\mathcal{S})</math> erfüllt. :<math> \begin{array}{rrcl} \widetilde{P}: & \mathcal{S} & \rightarrow & [0,1] \\ & A & \mapsto & \widetilde{P}(A) = P(A|B) \end{array} </math> === Aufgaben - Wahrscheinlichkeit auf Bedingung konzentriert=== Es gilt <math> P(\Omega|B) = 1 </math>. Die Wahrscheinlichkeit von <math> P( \cdot |B) </math> ist allerdings auf <math> B </math> konzentriert". * Zeigen Sie dazu, dass <math> P(A|B) = 0 </math> für alle <math> A \subset \bar B = \Omega\setminus B </math> <!-- denn: <math> P(A|B) = \frac {P (A \cap B)} {P(B)} = \frac {P (\emptyset)} {P(B)} = 0 </math> --> * Zeigen Sie, dass für <math> B \subset A </math>, <math> A \not= B </math> gilt, dass <math> P(A|B) = 1</math> (Hinweis: Zeigen Sie, dass <math> P(\bar A|B) = 0</math> gilt!) [[Datei:Audio de 5 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Aufgabenstellung]] === Anmerkung === Formt man die Definitionsformel von oben um zu <math> P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A|B) </math>, so kann man die Wahrscheinlichkeit des gleichzeitig Eintretens von <math> A </math> und <math> B </math> mithilfe der bedingten Wahrscheinlichkeit darstellen. Wir betrachten im Nachfolgenden eine Technik, eine Wahrscheinlichkeit auf <math> \Omega </math> durch bedingten Wahrscheinlichkeiten zusammenzusetzen. <span id="ZerlegungDef"></span> === Definition - Zerlegung === <math> (A_1, ..., A_m) </math> heißt [[bedingte Wahrscheinlichkeit#ZerlegungDef|Zerlegung]] von <math> \Omega </math> auf <math> (\Omega,\mathcal{S}) </math>, falls <math>\bigcup_{i=1} ^{m} A_i = \Omega, A_i \cap A_j = \varnothing </math> für alle <math> i \neq j </math> und <math>A_i, A_j \in \mathcal{S}</math>. === Motivation - Auswahl mit beschränkten Optionen === Als Beispiel werden 100 verschiedene Spiele <math>\Omega</math> auf <math>m</math> verschiedene Spielekisten <math>A_1, \ldots , A_m</math> verteilt. Es gibt <math>m\in \mathbb{N}</math> Personen und jede Person bekommt eine Kiste. Jede Person <math>i</math> kann nur Spiele aus der eigenen Kiste <math>A_i</math> und nicht aus anderen Kisten <math>A_j</math> auswählen mit <math>i\neq j</math>. Es gibt für jede der <math>i</math> Personen präferiert Spiele und daher gibt es eine Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>{Q_A}_i</math> (''"Qual der Wahl aus <math>A_i</math> aus der Spielekiste"''), die die Wahrscheinlichkeit beschreibt, ein Spiel bestimmtes Spiel aus der eigenen Spielekiste auszuwählen. Die Wahrscheinlichkeit ist auf <math>A_i</math> konzentriert, da die Spieler nur aus der eigenen Kiste auswählen können. == Zerlegungssatz == Sei <math>(A_1, ... ,A_m )</math> eine [[bedingte Wahrscheinlichkeit#ZerlegungDef|Zerlegung]] von <math>\Omega </math> auf <math> (\Omega,\mathcal{S})</math>. Für jedes <math> i = 1, ...,m </math> sei eine auf <math>A_i</math> konzentrierte Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>Q_{A_i}</math> auf <math>(\Omega,\mathcal{S} ) </math> gegeben (d.h. <math>{Q_A}_i (A_i) = 1 </math>) sowie Zahlen <math>p_i \in ( 0,1]</math> mit <math>\sum _{i = 1} ^{m} p_i = 1 </math>. <br> * (a) Dann existiert genau eine Wahrscheinlichkeitsverteilung <math> P </math> auf <math> \Omega </math> mit <br> ** (i) <math>P(A_i) = p_i > 0</math>. <br> ** (ii) <math>P(B|A_i) = {Q_A}_i(B)</math>, falls <math>p_i >0 </math> für alle <math>i=1, ...,m </math>. <br> * (b) Es gilt <math> P(B) = \sum _{i=1} ^{m} p_i \cdot {Q_A}_i(B) </math> für jedes <math> B \in \mathcal{S} </math>. === Beweis - Zerlegungssatz === Der Beweis gliedert sich in eine Existenzaussage für <math>P</math> und eine Eindeutigkeitsaussage, bei der die Existenz einer weiteren Wahrscheinlichkeitsverteilung für <math>\widetilde{P}</math> auf <math>\mathcal{S}</math> angenommen wird. Dann wird gezeigt, dass <math>\widetilde{P} = P</math> gilt bzw. <math>\widetilde{P}(B) = P(B)</math> für beliebige <math>B\in\mathcal{S}</math> gilt. ==== Beweis Existenz (i)==== Man definiere <math> P</math> gemäß Formel b) und rechnet nach, dass <math>P</math> die Eigenschaften eines [[Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaßes]] auf <math>\Omega </math> besitzt: * <math>P(A)\geq 0</math> für alle <math>A\in \mathcal{S}</math>, * <math>P(\Omega) = 1</math> * Nachweis der <math>\sigma</math>-Additivität von <math>P</math> über die <math>\sigma</math>-Additivität der Wahrscheinlichkeitsmaße <math>Q_{A_i}</math> nachweisen. ==== Beweis Existenz (i) - paarweise disjunkt==== Da die Wahrscheinlichkeitsmasse von den Wahrscheinlichkeitsmaßen <math>Q_{A_i}</math> auf <math>A_i</math> konzentriert ist, gilt für die paarweise disjunkten <math> A_i</math> aus der Zerlegung <math>(A_1,\ldots ,A_m)</math> folgende Eigenschaft: :<math>{Q_A}_i(A_j) = \left \{ \begin{array}{ll} 0, & i \neq j\\ 1, & i = j \end{array}\right. </math> Daraus folgt sofort (ai) <math>P(A_k) = \sum _{i=1} ^{m} p_i \cdot {Q_A}_i(A_k) = p_k</math>. [[Datei:Audio de 10 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Zerlegungsatz 2]] ==== Beweis Existenz (ii)==== Für ein beliebiges <math>p_i > 0 </math> und <math> B \in \mathcal{S} </math> gilt mit Anwendung der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit: :<math> P(B|A_i) = \frac {P(A_i \cap B)}{ P(A_i)} = \frac {1} {p_i} \sum _{j=1} ^{m} p_j \cdot {Q_A}_j (A_i \cap B) = </math> :<math>= \frac {p_i} {p_i} ({Q_A}_i (A_i \cap B) + {Q_A}_i( \bar A_i \cap B) = {Q_A}_i(B) )</math> also ii). [[Datei:Audio de 11 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Zerlegungsatz 3]] ==== Beweis Eindeutigkeit ==== Sei <math> \tilde P </math> eine (weitere) Wahrscheinlichkeitsverteilung auf <math> (\Omega,\mathcal{S}) </math>, die (ai) und (aii) erfüllt. Dann gilt für <math> B \subset \Omega </math> und wegen <math> B= \Omega \cap B = \left( \bigcup _{j=1}^{m} A_j \right) \cap B</math> die Gleichung :<math>\tilde P (B) = \tilde P \left( \bigcup_ {j=1}^{m} A_j \cap B \right)= \sum _{j=1}^{m} \tilde P (A_j \cap B) = </math> :<math> = \sum _{j=1}^{m} \tilde P (A_j) \cdot \tilde P (B|A_j) \stackrel{(i),(ii)}{=} \sum _{j=1}^{m} p_j {Q_A}_j(B) = P(B) . \qquad \Box</math> [[Datei:Audio de 12 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Zerlegungsatz 4]] <span id="totale_Wahrscheinlichkeit"></span> == Satz der totalen Wahrscheinlichkeit == Sei <math>(\Omega ,\mathcal{S}, P)</math> ein [[Wahrscheinlichkeitsraum]] und <math> (A_1,\ldots , A_m) </math> eine [[Mengenzerlegung (Stochastik)|Zerlegung]] von <math>\Omega</math> auf <math>(\Omega,\mathcal{S})</math> mit <math>P(A_j) > 0</math> für alle <math>j = 1, \ldots, m</math>. Für jedes <math> B \subset \Omega </math> und gilt also für alle <math>B \in \mathcal{S}</math>: :<math> P(B) = \sum _{j=1} ^{m} P(A_j) \cdot P(B|A_j)</math> ("Formel der totalen Wahrscheinlichkeit"). == Beweis - Satz - totale Wahrscheinlichkeit == Nach Voraussetzung gilt <math>P(A_j) > 0</math> für alle <math>j = 1, \ldots, m</math> und damit sind die bedingten Wahrscheinlichkeiten <math>P(B \mid A_j)</math> definiert, weil <math>P(A_j)</math> im Nenner der Definition der [[bedingte Wahrscheinlichkeit#Definition|bedingten Warscheinlichkeit]] auf tritt. === Schritt 1 - Zerlegung von Omega === Da die <math>A_j</math> eine [[bedingte Wahrscheinlichkeit#ZerlegungDef|Zerlegung]] von <math>\Omega</math> bilden, sind die <math>A_j</math> paarweise disjunkt nach Definition und auch die <math>B\cap A_j</math> sind als Teilmengen von <math>A_j</math> paarweise disjunkt. Damit gilt: :<math> \Omega = \bigcup_{j=1}^m A_j \quad \text{(disjunkt)} </math> === Schritt 2 - Zerlegung von B === Mit der Teilmengenbeziehung <math>B\cap A_j\subset A_j</math> Dann folgt für jedes <math>B \in \mathcal{S}</math> und der verallgemeinerten Anwendung <math>B \cap (A_1 \cup A_2) = (B\cap A_1) \cup (B\cap A_2)</math>: :<math> B = B \cap \Omega = B \cap \left( \bigcup_{j=1}^m A_j \right) = \bigcup_{j=1}^m (B \cap A_j) </math> Da die <math>A_j</math> disjunkt sind, sind auch die Schnitte <math>B \cap A_j</math> disjunkt. Also ist <math>(B \cap A_1, B \cap A_2, \ldots, B \cap A_m)</math> eine [[bedingte Wahrscheinlichkeit#ZerlegungDef|disjunkte Zerlegung]] von <math>B</math>. === Schritt 3 - Anwendung der Additivität der Wahrscheinlichkeit === Nach dem Axiom der <math>\sigma</math>-Additivität erlaubt insbesondere die Anwendung auf endliche Summen von disjunkte Ereignisse glt: :<math> P(B) = P\left( \bigcup_{j=1}^m (B \cap A_j) \right) = \sum_{j=1}^m P(B \cap A_j) </math> === Schritt 4 - Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit === Für jedes <math>j</math> mit <math>P(A_j) > 0</math> ist die bedingte Wahrscheinlichkeit definiert als: :<math> P(B \mid A_j) = \frac{P(B \cap A_j)}{P(A_j)} </math> Durch Umformung erhält man: :<math> P(B \cap A_j) = P(A_j) \cdot P(B \mid A_j) </math> ==== Schritt 5 - Einsetzen in die Summe ==== Setze dies in die Gleichung aus Schritt 3 ein: :<math> P(B) = \sum_{j=1}^m P(B \cap A_j) = \sum_{j=1}^m P(A_j) \cdot P(B \mid A_j) </math> Insgesamt erhält man die Aussage des Satzes über die totale Wahrscheinlichkeit :<math> {P(B) = \sum_{j=1}^m P(A_j) \cdot P(B \mid A_j)} </math> === Aufgabe für Studierende === Beweisen Sie den Satz der totalen Wahrscheinlichkeit in der Übung und begründen Sie jeden Teilschritte über die Zerlegung von <math>\Omega</math> und der Zerlegung von <math>B</math>. Fertigen Sie für die Beweisvorstellung Skizze an, die das Vorgehen im Beweis eräutert. [[Datei:Audio de 13 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Formel Totale Wahrscheinlichkeit]] <span id="Satz_von_Bayes"></span> == Satz - Formel von Bayes == Ist <math> P </math> eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf <math> \Omega </math>, <math> ( A_1, ... ,A_m ) </math> einer Zerlegung von <math>\Omega </math> auf <math>(\Omega,\mathcal{S})</math> , so gilt für jedes <math> B \in \mathcal{S} </math> mit <math> P(B) > 0 </math> und <math> i= 1, ... ,m </math> :<math>P(A_i|B) = \frac {P(B|A_i) \cdot P(A_i)} { \sum_{j=1}^{m} P(B|A_j) \cdot P(A_j) }.</math> [[Datei:Audio de 14 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Satz von Bayes]] === Beweis === :<math>P(A_i|B) = \frac {P(A_i\cap B)}{P(B)} = \frac{P(B|A_i) \cdot P(A_i)}{\sum_{j=1}^{m} P(B|A_j) \cdot P(A_j)} </math> [[Datei:Audio de 15 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Satz von Bayes - Beweis]] ==== Bemerkung==== Man beachte, dass auf der linken und rechten Seite "Argument und Bedingung" vertauscht auftreten. In einer außermathematischen Deutung spielen <math> A_j </math> die Rolle von (verschiedenen) Ursachen für die Wirkung von <math> B </math>. [[Datei:Audio de 16 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Satz von Bayes - Bemerkung]] ==== Beispiel (Test auf eine Krankheit) ==== <math> \Omega </math> sei die Gesamtheit der Personen aus der Bevölkerung. <math> p \cdot 100\% </math> der Bevölkerung (<math>K \subset \Omega </math>) leidet an der Krankheit. Ein Test für diese Krankheit spreche bei <math> k \cdot 100\% </math> der Kranken aus <math>K</math> an und bei <math> g \cdot 100\% </math> der Gesunden (<math>\Omega \setminus K</math>) positiv an (<math>k =</math> Sensitivität, <math>1-g =</math> Spezifität des Testes). Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat eine zufällig ausgewählte Person <math>\omega \in \Omega</math> die Krankheit, * wenn der Test positiv ausfällt? * wenn der Test negativ ausfällt? [[Datei:Audio de 17 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Satz von Bayes - Beispiel]] <span id="Produktformel"></span> == Produktformel- bedingte Wahrscheinlichkeit == Sei <math>P</math> eine [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] auf <math> \Omega </math> und seien <math> A_1, ... ,A_n \subset \Omega </math> mit <math> P( A_1 \cap ... \cap A_{n-1} )>0 </math>. Dann gilt die sogenannte "Produktformel": :<math> P( A_1 \cap ... \cap A_n) = P(A_1) \cdot P(A_2 | A_1) \cdot P(A_3 | A_1 \cap A_2) \cdot ... \cdot P(A_n | A_1 \cap ... \cap A_{n-1}) </math> [[Datei:Audio de 18 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Produktformel - Satz]] == Beweis - Produktformel == Allgemein für [[Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaße]] gilt für <math>C_1\subseteq C_2</math> mit <math>C_1,C_2 \in \mathcal{S}</math> auch <math>P(C_1)\leq P(C_2)</math>. Diese Eigenschaft wendet man auf die folgende Teilmengenbeziehung an: :<math>A_1 \supseteq A_1 \cap A_2\supseteq ... \supseteq A_1 \cap ... \cap A_{n-1}</math> === Beweisschritt 1 - Produktformel === Die Anwendung des Wahrscheinlichkeitsmaßes auf die Teilmengenbeziehung der obigen Vorüberlegung liefert: :<math>P(A_1) \ge P(A_1 \cap A_2) \ge ... \ge P(A_1 \cap ... \cap A_{n-1}) >0.</math> === Beweisschritt 2 - Produktformel === Wegen <math>P(A_1 \cap ... \cap A_{n-1}) >0</math> ist die folgende bedingte Wahrscheinlichkeit wohldefiniert: :<math> P( A_1 \cap ... \cap A_n) = P( A_1 \cap ... \cap A_{n-1} ) \cdot P( A_n | A_1 \cap ... \cap A_{n-1} ) </math> === Beweisschritt 3 - Produktformel === Nun ist wegen Beweisschritt 1 auch <math> P( A_1 \cap ... \cap A_{n-2} ) > 0 </math> gegeben und man kann wiederum :<math> = P( A_1 \cap ... \cap A_{n-2}) \cdot P( A_{n-1} | A_1 \cap ... \cap A_{n-1} ) \cdot P( A_n | A_1 \cap ... \cap A_{n-1} ) = ... </math> === Beweisschritt 4 - Produktformel === :<math> = P(A_1) \cdot P(A_2 | A_1) \cdot P(A_3 | A_1 \cap A_2) \cdot ... \cdot P(A_n | A_1 \cap ... \cap A_{n-1}) \ \Box</math> [[Datei:Audio de 19 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Produktformel - Satz - Beweis]] ==== Bemerkung ==== Dieser Satz verallgemeinert die Formel <math>P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A). </math> [[Datei:Audio de 20 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Produktformel - Bemerkung]] == Siehe auch == * [[stochastische Unabhängigkeit]] * [[bedingte Wahrscheinlichkeit#ZerlegungDef|disjunkte Zerlegung einer Menge]] == Seiten-Information == Der [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Bedingte+Wahrscheinlichkeit&author=Kurs%3A+Stochastik&audioslide=no&language=de Foliensatz] für diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Bedingte%20Wahrscheinlichkeit Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Bedingte_Wahrscheinlichkeit Bedingte Wahrscheinlichkeit] https://de.wikipedia.org/wiki/Bedingte_Wahrscheinlichkeit * Datum: 5.11.2018 * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity]-Konverter: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity * [https://niebert.github.com/Wiki2Reveal Wiki2Reveal Link-Generator] * Dieser Foliensatz gehört zum [[Kurs:Stochastik]] [[Category:Wiki2Reveal]] nhxv5hot3mc4lod0fqhdo4jl01ubws5 1118675 1118674 2026-11-02T15:24:35Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 2 - Produktformel */ 1118675 wikitext text/x-wiki [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|146px|mini|Kurs enthält [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] Audio-Folien]] == Einleitung == Diese Lerneinheit aus der [[Kurs:Stochastik|Stochastik]] behandelt folgende Inhalte: * [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Definition|Definition - Bedingte Wahrscheinlichkeit]] * [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Zerlegungssatz|Zerlegungssatz]] * [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Satz_von_Bayes|Satz von Bayes]] * [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Satz_totale_Wahrscheinlichkeit|Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit]] * [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Produktformel|Produktformel]] === Einführendes Beispiel - bedingte Wahrscheinlichkeit=== Gegeben sei ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum <math>(\Omega,\mathcal{S},P) </math>, Gleichverteilung über <math>(\Omega,\mathcal{S}) </math> und <math>\mathcal{S} := \wp((\Omega) </math>. <math> A,B \subset \Omega, A\neq \varnothing </math>. In dem einführenden Beispiel betrachten wir die Ereignisse: * <math>A</math>: Stochastik-Klausur bestanden * <math>B</math>: Fachwissenschaftliche Grundlagen mit 4,0 bestanden * Mit welcher Wahrscheinlichkeit <math>P(A|B)</math> besteht man die Stochastik-Klausur <math>A</math>, wenn man die Klausur zu den fachwissenschaftlichen Grundlagen nur mit 4,0 bestanden hat (d.h. <math>B</math> erfüllt ist)? [[Datei:Audio de 1 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Einleitung]] === Vorüberlegung === Wir nehmen an, dass das Ereignis <math> B </math> eintritt. Welche Definition ist sinnvoll für die Wahrscheinlichkeit von <math> B </math>, unter der Bedingung, dass <math> A </math> eingetreten ist? # Wenn die Bedingung <math> B </math> eintritt, so kann <math> A </math> nur dann eintreten, wenn das Ereignis <math> A \cap B </math> eintritt. # Wir konzentrieren uns auf die Realisationen <math> \omega \in A </math> und betrachten sie als gleichwahrscheinlich ([[w:de:Laplace-Verteilung|Laplace-Verteilung]]). # Allgemein gilt dann <math> P(C) = \frac {| C | }{ | \Omega |} </math> für alle <math>C \in \mathcal{S}</math>. [[Datei:Audio de 2 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Vorlüberlegung]] === Berechnung mit Laplace-Verteilung === Damit kann die Wahrscheinlichkeit von <math> A </math> unter der Bedingung <math> B </math> wie folgt definiert werden: :<math> P(A|B) := \frac {| A\cap B | }{ | B |} = \frac { \tfrac{|A \cap B | }{| \Omega | }} { \tfrac{| B |}{| \Omega | }}= \frac {P (A \cap B)}{ P(B)} </math> Dabei wurde der Bruch mit <math>\frac {1}{| \Omega |}</math> erweitert, um in Zähler und Nenner die Laplace-Wahrscheinlichkeiten für die Ereignisse <math> A \cap B </math> und <math> B </math> zu erzeugen. [[Datei:Audio de 3 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Berechnung mit Laplace-Verteilung]] <span id="Definition"></span> == Definition - bedingte Wahrscheinlichkeit == Sei <math> (\Omega,\mathcal{S},P) </math> ein Wahrscheinlichkeitsraum, <math> A \in \mathcal{S} </math> mit <math> P (B) >0 </math>. <br> a) Die Abbildung <math> P( \cdot | B): \mathcal{S} \to [0,1] </math>, die gemäß <math> P (A | B) = \frac {P(A \cap B)}{P(B)}, A,B \in \mathcal{S} </math> definiert ist, heißt bedingte Wahrscheinlichkeitsverteilung über <math> \Omega </math> unter (der Bedingung) <math> B </math>. <br> b) Die Zahl <math> P(A|B) </math> heißt bedingte Wahrscheinlichkeit von <math> A </math> unter (der Bedingung) <math> B </math>. [[Datei:Audio de 4 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Definition]] === Aufgabe - bedingte Wahrscheinlickeitsverteilung === Sei <math>(\Omega,\mathcal{S},P)</math> ein Wahrscheinlichkeitsraum. Weisen Sie für die Abbildung <math>\widetilde{P}</math> nach, dass diese die Eigenschaften eines Wahrscheinlichkeitsmaßes auf <math>(\Omega,\mathcal{S})</math> erfüllt. :<math> \begin{array}{rrcl} \widetilde{P}: & \mathcal{S} & \rightarrow & [0,1] \\ & A & \mapsto & \widetilde{P}(A) = P(A|B) \end{array} </math> === Aufgaben - Wahrscheinlichkeit auf Bedingung konzentriert=== Es gilt <math> P(\Omega|B) = 1 </math>. Die Wahrscheinlichkeit von <math> P( \cdot |B) </math> ist allerdings auf <math> B </math> konzentriert". * Zeigen Sie dazu, dass <math> P(A|B) = 0 </math> für alle <math> A \subset \bar B = \Omega\setminus B </math> <!-- denn: <math> P(A|B) = \frac {P (A \cap B)} {P(B)} = \frac {P (\emptyset)} {P(B)} = 0 </math> --> * Zeigen Sie, dass für <math> B \subset A </math>, <math> A \not= B </math> gilt, dass <math> P(A|B) = 1</math> (Hinweis: Zeigen Sie, dass <math> P(\bar A|B) = 0</math> gilt!) [[Datei:Audio de 5 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Aufgabenstellung]] === Anmerkung === Formt man die Definitionsformel von oben um zu <math> P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A|B) </math>, so kann man die Wahrscheinlichkeit des gleichzeitig Eintretens von <math> A </math> und <math> B </math> mithilfe der bedingten Wahrscheinlichkeit darstellen. Wir betrachten im Nachfolgenden eine Technik, eine Wahrscheinlichkeit auf <math> \Omega </math> durch bedingten Wahrscheinlichkeiten zusammenzusetzen. <span id="ZerlegungDef"></span> === Definition - Zerlegung === <math> (A_1, ..., A_m) </math> heißt [[bedingte Wahrscheinlichkeit#ZerlegungDef|Zerlegung]] von <math> \Omega </math> auf <math> (\Omega,\mathcal{S}) </math>, falls <math>\bigcup_{i=1} ^{m} A_i = \Omega, A_i \cap A_j = \varnothing </math> für alle <math> i \neq j </math> und <math>A_i, A_j \in \mathcal{S}</math>. === Motivation - Auswahl mit beschränkten Optionen === Als Beispiel werden 100 verschiedene Spiele <math>\Omega</math> auf <math>m</math> verschiedene Spielekisten <math>A_1, \ldots , A_m</math> verteilt. Es gibt <math>m\in \mathbb{N}</math> Personen und jede Person bekommt eine Kiste. Jede Person <math>i</math> kann nur Spiele aus der eigenen Kiste <math>A_i</math> und nicht aus anderen Kisten <math>A_j</math> auswählen mit <math>i\neq j</math>. Es gibt für jede der <math>i</math> Personen präferiert Spiele und daher gibt es eine Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>{Q_A}_i</math> (''"Qual der Wahl aus <math>A_i</math> aus der Spielekiste"''), die die Wahrscheinlichkeit beschreibt, ein Spiel bestimmtes Spiel aus der eigenen Spielekiste auszuwählen. Die Wahrscheinlichkeit ist auf <math>A_i</math> konzentriert, da die Spieler nur aus der eigenen Kiste auswählen können. == Zerlegungssatz == Sei <math>(A_1, ... ,A_m )</math> eine [[bedingte Wahrscheinlichkeit#ZerlegungDef|Zerlegung]] von <math>\Omega </math> auf <math> (\Omega,\mathcal{S})</math>. Für jedes <math> i = 1, ...,m </math> sei eine auf <math>A_i</math> konzentrierte Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>Q_{A_i}</math> auf <math>(\Omega,\mathcal{S} ) </math> gegeben (d.h. <math>{Q_A}_i (A_i) = 1 </math>) sowie Zahlen <math>p_i \in ( 0,1]</math> mit <math>\sum _{i = 1} ^{m} p_i = 1 </math>. <br> * (a) Dann existiert genau eine Wahrscheinlichkeitsverteilung <math> P </math> auf <math> \Omega </math> mit <br> ** (i) <math>P(A_i) = p_i > 0</math>. <br> ** (ii) <math>P(B|A_i) = {Q_A}_i(B)</math>, falls <math>p_i >0 </math> für alle <math>i=1, ...,m </math>. <br> * (b) Es gilt <math> P(B) = \sum _{i=1} ^{m} p_i \cdot {Q_A}_i(B) </math> für jedes <math> B \in \mathcal{S} </math>. === Beweis - Zerlegungssatz === Der Beweis gliedert sich in eine Existenzaussage für <math>P</math> und eine Eindeutigkeitsaussage, bei der die Existenz einer weiteren Wahrscheinlichkeitsverteilung für <math>\widetilde{P}</math> auf <math>\mathcal{S}</math> angenommen wird. Dann wird gezeigt, dass <math>\widetilde{P} = P</math> gilt bzw. <math>\widetilde{P}(B) = P(B)</math> für beliebige <math>B\in\mathcal{S}</math> gilt. ==== Beweis Existenz (i)==== Man definiere <math> P</math> gemäß Formel b) und rechnet nach, dass <math>P</math> die Eigenschaften eines [[Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaßes]] auf <math>\Omega </math> besitzt: * <math>P(A)\geq 0</math> für alle <math>A\in \mathcal{S}</math>, * <math>P(\Omega) = 1</math> * Nachweis der <math>\sigma</math>-Additivität von <math>P</math> über die <math>\sigma</math>-Additivität der Wahrscheinlichkeitsmaße <math>Q_{A_i}</math> nachweisen. ==== Beweis Existenz (i) - paarweise disjunkt==== Da die Wahrscheinlichkeitsmasse von den Wahrscheinlichkeitsmaßen <math>Q_{A_i}</math> auf <math>A_i</math> konzentriert ist, gilt für die paarweise disjunkten <math> A_i</math> aus der Zerlegung <math>(A_1,\ldots ,A_m)</math> folgende Eigenschaft: :<math>{Q_A}_i(A_j) = \left \{ \begin{array}{ll} 0, & i \neq j\\ 1, & i = j \end{array}\right. </math> Daraus folgt sofort (ai) <math>P(A_k) = \sum _{i=1} ^{m} p_i \cdot {Q_A}_i(A_k) = p_k</math>. [[Datei:Audio de 10 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Zerlegungsatz 2]] ==== Beweis Existenz (ii)==== Für ein beliebiges <math>p_i > 0 </math> und <math> B \in \mathcal{S} </math> gilt mit Anwendung der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit: :<math> P(B|A_i) = \frac {P(A_i \cap B)}{ P(A_i)} = \frac {1} {p_i} \sum _{j=1} ^{m} p_j \cdot {Q_A}_j (A_i \cap B) = </math> :<math>= \frac {p_i} {p_i} ({Q_A}_i (A_i \cap B) + {Q_A}_i( \bar A_i \cap B) = {Q_A}_i(B) )</math> also ii). [[Datei:Audio de 11 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Zerlegungsatz 3]] ==== Beweis Eindeutigkeit ==== Sei <math> \tilde P </math> eine (weitere) Wahrscheinlichkeitsverteilung auf <math> (\Omega,\mathcal{S}) </math>, die (ai) und (aii) erfüllt. Dann gilt für <math> B \subset \Omega </math> und wegen <math> B= \Omega \cap B = \left( \bigcup _{j=1}^{m} A_j \right) \cap B</math> die Gleichung :<math>\tilde P (B) = \tilde P \left( \bigcup_ {j=1}^{m} A_j \cap B \right)= \sum _{j=1}^{m} \tilde P (A_j \cap B) = </math> :<math> = \sum _{j=1}^{m} \tilde P (A_j) \cdot \tilde P (B|A_j) \stackrel{(i),(ii)}{=} \sum _{j=1}^{m} p_j {Q_A}_j(B) = P(B) . \qquad \Box</math> [[Datei:Audio de 12 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Zerlegungsatz 4]] <span id="totale_Wahrscheinlichkeit"></span> == Satz der totalen Wahrscheinlichkeit == Sei <math>(\Omega ,\mathcal{S}, P)</math> ein [[Wahrscheinlichkeitsraum]] und <math> (A_1,\ldots , A_m) </math> eine [[Mengenzerlegung (Stochastik)|Zerlegung]] von <math>\Omega</math> auf <math>(\Omega,\mathcal{S})</math> mit <math>P(A_j) > 0</math> für alle <math>j = 1, \ldots, m</math>. Für jedes <math> B \subset \Omega </math> und gilt also für alle <math>B \in \mathcal{S}</math>: :<math> P(B) = \sum _{j=1} ^{m} P(A_j) \cdot P(B|A_j)</math> ("Formel der totalen Wahrscheinlichkeit"). == Beweis - Satz - totale Wahrscheinlichkeit == Nach Voraussetzung gilt <math>P(A_j) > 0</math> für alle <math>j = 1, \ldots, m</math> und damit sind die bedingten Wahrscheinlichkeiten <math>P(B \mid A_j)</math> definiert, weil <math>P(A_j)</math> im Nenner der Definition der [[bedingte Wahrscheinlichkeit#Definition|bedingten Warscheinlichkeit]] auf tritt. === Schritt 1 - Zerlegung von Omega === Da die <math>A_j</math> eine [[bedingte Wahrscheinlichkeit#ZerlegungDef|Zerlegung]] von <math>\Omega</math> bilden, sind die <math>A_j</math> paarweise disjunkt nach Definition und auch die <math>B\cap A_j</math> sind als Teilmengen von <math>A_j</math> paarweise disjunkt. Damit gilt: :<math> \Omega = \bigcup_{j=1}^m A_j \quad \text{(disjunkt)} </math> === Schritt 2 - Zerlegung von B === Mit der Teilmengenbeziehung <math>B\cap A_j\subset A_j</math> Dann folgt für jedes <math>B \in \mathcal{S}</math> und der verallgemeinerten Anwendung <math>B \cap (A_1 \cup A_2) = (B\cap A_1) \cup (B\cap A_2)</math>: :<math> B = B \cap \Omega = B \cap \left( \bigcup_{j=1}^m A_j \right) = \bigcup_{j=1}^m (B \cap A_j) </math> Da die <math>A_j</math> disjunkt sind, sind auch die Schnitte <math>B \cap A_j</math> disjunkt. Also ist <math>(B \cap A_1, B \cap A_2, \ldots, B \cap A_m)</math> eine [[bedingte Wahrscheinlichkeit#ZerlegungDef|disjunkte Zerlegung]] von <math>B</math>. === Schritt 3 - Anwendung der Additivität der Wahrscheinlichkeit === Nach dem Axiom der <math>\sigma</math>-Additivität erlaubt insbesondere die Anwendung auf endliche Summen von disjunkte Ereignisse glt: :<math> P(B) = P\left( \bigcup_{j=1}^m (B \cap A_j) \right) = \sum_{j=1}^m P(B \cap A_j) </math> === Schritt 4 - Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit === Für jedes <math>j</math> mit <math>P(A_j) > 0</math> ist die bedingte Wahrscheinlichkeit definiert als: :<math> P(B \mid A_j) = \frac{P(B \cap A_j)}{P(A_j)} </math> Durch Umformung erhält man: :<math> P(B \cap A_j) = P(A_j) \cdot P(B \mid A_j) </math> ==== Schritt 5 - Einsetzen in die Summe ==== Setze dies in die Gleichung aus Schritt 3 ein: :<math> P(B) = \sum_{j=1}^m P(B \cap A_j) = \sum_{j=1}^m P(A_j) \cdot P(B \mid A_j) </math> Insgesamt erhält man die Aussage des Satzes über die totale Wahrscheinlichkeit :<math> {P(B) = \sum_{j=1}^m P(A_j) \cdot P(B \mid A_j)} </math> === Aufgabe für Studierende === Beweisen Sie den Satz der totalen Wahrscheinlichkeit in der Übung und begründen Sie jeden Teilschritte über die Zerlegung von <math>\Omega</math> und der Zerlegung von <math>B</math>. Fertigen Sie für die Beweisvorstellung Skizze an, die das Vorgehen im Beweis eräutert. [[Datei:Audio de 13 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Formel Totale Wahrscheinlichkeit]] <span id="Satz_von_Bayes"></span> == Satz - Formel von Bayes == Ist <math> P </math> eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf <math> \Omega </math>, <math> ( A_1, ... ,A_m ) </math> einer Zerlegung von <math>\Omega </math> auf <math>(\Omega,\mathcal{S})</math> , so gilt für jedes <math> B \in \mathcal{S} </math> mit <math> P(B) > 0 </math> und <math> i= 1, ... ,m </math> :<math>P(A_i|B) = \frac {P(B|A_i) \cdot P(A_i)} { \sum_{j=1}^{m} P(B|A_j) \cdot P(A_j) }.</math> [[Datei:Audio de 14 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Satz von Bayes]] === Beweis === :<math>P(A_i|B) = \frac {P(A_i\cap B)}{P(B)} = \frac{P(B|A_i) \cdot P(A_i)}{\sum_{j=1}^{m} P(B|A_j) \cdot P(A_j)} </math> [[Datei:Audio de 15 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Satz von Bayes - Beweis]] ==== Bemerkung==== Man beachte, dass auf der linken und rechten Seite "Argument und Bedingung" vertauscht auftreten. In einer außermathematischen Deutung spielen <math> A_j </math> die Rolle von (verschiedenen) Ursachen für die Wirkung von <math> B </math>. [[Datei:Audio de 16 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Satz von Bayes - Bemerkung]] ==== Beispiel (Test auf eine Krankheit) ==== <math> \Omega </math> sei die Gesamtheit der Personen aus der Bevölkerung. <math> p \cdot 100\% </math> der Bevölkerung (<math>K \subset \Omega </math>) leidet an der Krankheit. Ein Test für diese Krankheit spreche bei <math> k \cdot 100\% </math> der Kranken aus <math>K</math> an und bei <math> g \cdot 100\% </math> der Gesunden (<math>\Omega \setminus K</math>) positiv an (<math>k =</math> Sensitivität, <math>1-g =</math> Spezifität des Testes). Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat eine zufällig ausgewählte Person <math>\omega \in \Omega</math> die Krankheit, * wenn der Test positiv ausfällt? * wenn der Test negativ ausfällt? [[Datei:Audio de 17 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Satz von Bayes - Beispiel]] <span id="Produktformel"></span> == Produktformel- bedingte Wahrscheinlichkeit == Sei <math>P</math> eine [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] auf <math> \Omega </math> und seien <math> A_1, ... ,A_n \subset \Omega </math> mit <math> P( A_1 \cap ... \cap A_{n-1} )>0 </math>. Dann gilt die sogenannte "Produktformel": :<math> P( A_1 \cap ... \cap A_n) = P(A_1) \cdot P(A_2 | A_1) \cdot P(A_3 | A_1 \cap A_2) \cdot ... \cdot P(A_n | A_1 \cap ... \cap A_{n-1}) </math> [[Datei:Audio de 18 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Produktformel - Satz]] == Beweis - Produktformel == Allgemein für [[Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaße]] gilt für <math>C_1\subseteq C_2</math> mit <math>C_1,C_2 \in \mathcal{S}</math> auch <math>P(C_1)\leq P(C_2)</math>. Diese Eigenschaft wendet man auf die folgende Teilmengenbeziehung an: :<math>A_1 \supseteq A_1 \cap A_2\supseteq ... \supseteq A_1 \cap ... \cap A_{n-1}</math> === Beweisschritt 1 - Produktformel === Die Anwendung des Wahrscheinlichkeitsmaßes auf die Teilmengenbeziehung der obigen Vorüberlegung liefert: :<math>P(A_1) \ge P(A_1 \cap A_2) \ge ... \ge P(A_1 \cap ... \cap A_{n-1}) >0.</math> === Beweisschritt 2 - Produktformel === Wegen <math>P(A_1 \cap ... \cap A_{n-2})\leq P(A_1 \cap ... \cap A_{n-1}) >0</math> ist die folgende bedingte Wahrscheinlichkeit wohldefiniert: :<math> P( A_1 \cap ... \cap A_n) = P( A_1 \cap ... \cap A_{n-1} ) \cdot P( A_n | A_1 \cap ... \cap A_{n-1} ) </math> === Beweisschritt 3 - Produktformel === Nun ist wegen Beweisschritt 1 auch <math> P( A_1 \cap ... \cap A_{n-2} ) > 0 </math> gegeben und man kann wiederum :<math> = P( A_1 \cap ... \cap A_{n-2}) \cdot P( A_{n-1} | A_1 \cap ... \cap A_{n-1} ) \cdot P( A_n | A_1 \cap ... \cap A_{n-1} ) = ... </math> === Beweisschritt 4 - Produktformel === :<math> = P(A_1) \cdot P(A_2 | A_1) \cdot P(A_3 | A_1 \cap A_2) \cdot ... \cdot P(A_n | A_1 \cap ... \cap A_{n-1}) \ \Box</math> [[Datei:Audio de 19 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Produktformel - Satz - Beweis]] ==== Bemerkung ==== Dieser Satz verallgemeinert die Formel <math>P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A). </math> [[Datei:Audio de 20 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Produktformel - Bemerkung]] == Siehe auch == * [[stochastische Unabhängigkeit]] * [[bedingte Wahrscheinlichkeit#ZerlegungDef|disjunkte Zerlegung einer Menge]] == Seiten-Information == Der [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Bedingte+Wahrscheinlichkeit&author=Kurs%3A+Stochastik&audioslide=no&language=de Foliensatz] für diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Bedingte%20Wahrscheinlichkeit Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Bedingte_Wahrscheinlichkeit Bedingte Wahrscheinlichkeit] https://de.wikipedia.org/wiki/Bedingte_Wahrscheinlichkeit * Datum: 5.11.2018 * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity]-Konverter: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity * [https://niebert.github.com/Wiki2Reveal Wiki2Reveal Link-Generator] * Dieser Foliensatz gehört zum [[Kurs:Stochastik]] [[Category:Wiki2Reveal]] izpzjgs4g68utnkn096nyuo3h02pm6f 1118676 1118675 2026-11-02T15:26:17Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 3 - Produktformel */ 1118676 wikitext text/x-wiki [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|146px|mini|Kurs enthält [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] Audio-Folien]] == Einleitung == Diese Lerneinheit aus der [[Kurs:Stochastik|Stochastik]] behandelt folgende Inhalte: * [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Definition|Definition - Bedingte Wahrscheinlichkeit]] * [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Zerlegungssatz|Zerlegungssatz]] * [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Satz_von_Bayes|Satz von Bayes]] * [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Satz_totale_Wahrscheinlichkeit|Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit]] * [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Produktformel|Produktformel]] === Einführendes Beispiel - bedingte Wahrscheinlichkeit=== Gegeben sei ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum <math>(\Omega,\mathcal{S},P) </math>, Gleichverteilung über <math>(\Omega,\mathcal{S}) </math> und <math>\mathcal{S} := \wp((\Omega) </math>. <math> A,B \subset \Omega, A\neq \varnothing </math>. In dem einführenden Beispiel betrachten wir die Ereignisse: * <math>A</math>: Stochastik-Klausur bestanden * <math>B</math>: Fachwissenschaftliche Grundlagen mit 4,0 bestanden * Mit welcher Wahrscheinlichkeit <math>P(A|B)</math> besteht man die Stochastik-Klausur <math>A</math>, wenn man die Klausur zu den fachwissenschaftlichen Grundlagen nur mit 4,0 bestanden hat (d.h. <math>B</math> erfüllt ist)? [[Datei:Audio de 1 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Einleitung]] === Vorüberlegung === Wir nehmen an, dass das Ereignis <math> B </math> eintritt. Welche Definition ist sinnvoll für die Wahrscheinlichkeit von <math> B </math>, unter der Bedingung, dass <math> A </math> eingetreten ist? # Wenn die Bedingung <math> B </math> eintritt, so kann <math> A </math> nur dann eintreten, wenn das Ereignis <math> A \cap B </math> eintritt. # Wir konzentrieren uns auf die Realisationen <math> \omega \in A </math> und betrachten sie als gleichwahrscheinlich ([[w:de:Laplace-Verteilung|Laplace-Verteilung]]). # Allgemein gilt dann <math> P(C) = \frac {| C | }{ | \Omega |} </math> für alle <math>C \in \mathcal{S}</math>. [[Datei:Audio de 2 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Vorlüberlegung]] === Berechnung mit Laplace-Verteilung === Damit kann die Wahrscheinlichkeit von <math> A </math> unter der Bedingung <math> B </math> wie folgt definiert werden: :<math> P(A|B) := \frac {| A\cap B | }{ | B |} = \frac { \tfrac{|A \cap B | }{| \Omega | }} { \tfrac{| B |}{| \Omega | }}= \frac {P (A \cap B)}{ P(B)} </math> Dabei wurde der Bruch mit <math>\frac {1}{| \Omega |}</math> erweitert, um in Zähler und Nenner die Laplace-Wahrscheinlichkeiten für die Ereignisse <math> A \cap B </math> und <math> B </math> zu erzeugen. [[Datei:Audio de 3 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Berechnung mit Laplace-Verteilung]] <span id="Definition"></span> == Definition - bedingte Wahrscheinlichkeit == Sei <math> (\Omega,\mathcal{S},P) </math> ein Wahrscheinlichkeitsraum, <math> A \in \mathcal{S} </math> mit <math> P (B) >0 </math>. <br> a) Die Abbildung <math> P( \cdot | B): \mathcal{S} \to [0,1] </math>, die gemäß <math> P (A | B) = \frac {P(A \cap B)}{P(B)}, A,B \in \mathcal{S} </math> definiert ist, heißt bedingte Wahrscheinlichkeitsverteilung über <math> \Omega </math> unter (der Bedingung) <math> B </math>. <br> b) Die Zahl <math> P(A|B) </math> heißt bedingte Wahrscheinlichkeit von <math> A </math> unter (der Bedingung) <math> B </math>. [[Datei:Audio de 4 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Definition]] === Aufgabe - bedingte Wahrscheinlickeitsverteilung === Sei <math>(\Omega,\mathcal{S},P)</math> ein Wahrscheinlichkeitsraum. Weisen Sie für die Abbildung <math>\widetilde{P}</math> nach, dass diese die Eigenschaften eines Wahrscheinlichkeitsmaßes auf <math>(\Omega,\mathcal{S})</math> erfüllt. :<math> \begin{array}{rrcl} \widetilde{P}: & \mathcal{S} & \rightarrow & [0,1] \\ & A & \mapsto & \widetilde{P}(A) = P(A|B) \end{array} </math> === Aufgaben - Wahrscheinlichkeit auf Bedingung konzentriert=== Es gilt <math> P(\Omega|B) = 1 </math>. Die Wahrscheinlichkeit von <math> P( \cdot |B) </math> ist allerdings auf <math> B </math> konzentriert". * Zeigen Sie dazu, dass <math> P(A|B) = 0 </math> für alle <math> A \subset \bar B = \Omega\setminus B </math> <!-- denn: <math> P(A|B) = \frac {P (A \cap B)} {P(B)} = \frac {P (\emptyset)} {P(B)} = 0 </math> --> * Zeigen Sie, dass für <math> B \subset A </math>, <math> A \not= B </math> gilt, dass <math> P(A|B) = 1</math> (Hinweis: Zeigen Sie, dass <math> P(\bar A|B) = 0</math> gilt!) [[Datei:Audio de 5 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Aufgabenstellung]] === Anmerkung === Formt man die Definitionsformel von oben um zu <math> P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A|B) </math>, so kann man die Wahrscheinlichkeit des gleichzeitig Eintretens von <math> A </math> und <math> B </math> mithilfe der bedingten Wahrscheinlichkeit darstellen. Wir betrachten im Nachfolgenden eine Technik, eine Wahrscheinlichkeit auf <math> \Omega </math> durch bedingten Wahrscheinlichkeiten zusammenzusetzen. <span id="ZerlegungDef"></span> === Definition - Zerlegung === <math> (A_1, ..., A_m) </math> heißt [[bedingte Wahrscheinlichkeit#ZerlegungDef|Zerlegung]] von <math> \Omega </math> auf <math> (\Omega,\mathcal{S}) </math>, falls <math>\bigcup_{i=1} ^{m} A_i = \Omega, A_i \cap A_j = \varnothing </math> für alle <math> i \neq j </math> und <math>A_i, A_j \in \mathcal{S}</math>. === Motivation - Auswahl mit beschränkten Optionen === Als Beispiel werden 100 verschiedene Spiele <math>\Omega</math> auf <math>m</math> verschiedene Spielekisten <math>A_1, \ldots , A_m</math> verteilt. Es gibt <math>m\in \mathbb{N}</math> Personen und jede Person bekommt eine Kiste. Jede Person <math>i</math> kann nur Spiele aus der eigenen Kiste <math>A_i</math> und nicht aus anderen Kisten <math>A_j</math> auswählen mit <math>i\neq j</math>. Es gibt für jede der <math>i</math> Personen präferiert Spiele und daher gibt es eine Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>{Q_A}_i</math> (''"Qual der Wahl aus <math>A_i</math> aus der Spielekiste"''), die die Wahrscheinlichkeit beschreibt, ein Spiel bestimmtes Spiel aus der eigenen Spielekiste auszuwählen. Die Wahrscheinlichkeit ist auf <math>A_i</math> konzentriert, da die Spieler nur aus der eigenen Kiste auswählen können. == Zerlegungssatz == Sei <math>(A_1, ... ,A_m )</math> eine [[bedingte Wahrscheinlichkeit#ZerlegungDef|Zerlegung]] von <math>\Omega </math> auf <math> (\Omega,\mathcal{S})</math>. Für jedes <math> i = 1, ...,m </math> sei eine auf <math>A_i</math> konzentrierte Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>Q_{A_i}</math> auf <math>(\Omega,\mathcal{S} ) </math> gegeben (d.h. <math>{Q_A}_i (A_i) = 1 </math>) sowie Zahlen <math>p_i \in ( 0,1]</math> mit <math>\sum _{i = 1} ^{m} p_i = 1 </math>. <br> * (a) Dann existiert genau eine Wahrscheinlichkeitsverteilung <math> P </math> auf <math> \Omega </math> mit <br> ** (i) <math>P(A_i) = p_i > 0</math>. <br> ** (ii) <math>P(B|A_i) = {Q_A}_i(B)</math>, falls <math>p_i >0 </math> für alle <math>i=1, ...,m </math>. <br> * (b) Es gilt <math> P(B) = \sum _{i=1} ^{m} p_i \cdot {Q_A}_i(B) </math> für jedes <math> B \in \mathcal{S} </math>. === Beweis - Zerlegungssatz === Der Beweis gliedert sich in eine Existenzaussage für <math>P</math> und eine Eindeutigkeitsaussage, bei der die Existenz einer weiteren Wahrscheinlichkeitsverteilung für <math>\widetilde{P}</math> auf <math>\mathcal{S}</math> angenommen wird. Dann wird gezeigt, dass <math>\widetilde{P} = P</math> gilt bzw. <math>\widetilde{P}(B) = P(B)</math> für beliebige <math>B\in\mathcal{S}</math> gilt. ==== Beweis Existenz (i)==== Man definiere <math> P</math> gemäß Formel b) und rechnet nach, dass <math>P</math> die Eigenschaften eines [[Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaßes]] auf <math>\Omega </math> besitzt: * <math>P(A)\geq 0</math> für alle <math>A\in \mathcal{S}</math>, * <math>P(\Omega) = 1</math> * Nachweis der <math>\sigma</math>-Additivität von <math>P</math> über die <math>\sigma</math>-Additivität der Wahrscheinlichkeitsmaße <math>Q_{A_i}</math> nachweisen. ==== Beweis Existenz (i) - paarweise disjunkt==== Da die Wahrscheinlichkeitsmasse von den Wahrscheinlichkeitsmaßen <math>Q_{A_i}</math> auf <math>A_i</math> konzentriert ist, gilt für die paarweise disjunkten <math> A_i</math> aus der Zerlegung <math>(A_1,\ldots ,A_m)</math> folgende Eigenschaft: :<math>{Q_A}_i(A_j) = \left \{ \begin{array}{ll} 0, & i \neq j\\ 1, & i = j \end{array}\right. </math> Daraus folgt sofort (ai) <math>P(A_k) = \sum _{i=1} ^{m} p_i \cdot {Q_A}_i(A_k) = p_k</math>. [[Datei:Audio de 10 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Zerlegungsatz 2]] ==== Beweis Existenz (ii)==== Für ein beliebiges <math>p_i > 0 </math> und <math> B \in \mathcal{S} </math> gilt mit Anwendung der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit: :<math> P(B|A_i) = \frac {P(A_i \cap B)}{ P(A_i)} = \frac {1} {p_i} \sum _{j=1} ^{m} p_j \cdot {Q_A}_j (A_i \cap B) = </math> :<math>= \frac {p_i} {p_i} ({Q_A}_i (A_i \cap B) + {Q_A}_i( \bar A_i \cap B) = {Q_A}_i(B) )</math> also ii). [[Datei:Audio de 11 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Zerlegungsatz 3]] ==== Beweis Eindeutigkeit ==== Sei <math> \tilde P </math> eine (weitere) Wahrscheinlichkeitsverteilung auf <math> (\Omega,\mathcal{S}) </math>, die (ai) und (aii) erfüllt. Dann gilt für <math> B \subset \Omega </math> und wegen <math> B= \Omega \cap B = \left( \bigcup _{j=1}^{m} A_j \right) \cap B</math> die Gleichung :<math>\tilde P (B) = \tilde P \left( \bigcup_ {j=1}^{m} A_j \cap B \right)= \sum _{j=1}^{m} \tilde P (A_j \cap B) = </math> :<math> = \sum _{j=1}^{m} \tilde P (A_j) \cdot \tilde P (B|A_j) \stackrel{(i),(ii)}{=} \sum _{j=1}^{m} p_j {Q_A}_j(B) = P(B) . \qquad \Box</math> [[Datei:Audio de 12 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Zerlegungsatz 4]] <span id="totale_Wahrscheinlichkeit"></span> == Satz der totalen Wahrscheinlichkeit == Sei <math>(\Omega ,\mathcal{S}, P)</math> ein [[Wahrscheinlichkeitsraum]] und <math> (A_1,\ldots , A_m) </math> eine [[Mengenzerlegung (Stochastik)|Zerlegung]] von <math>\Omega</math> auf <math>(\Omega,\mathcal{S})</math> mit <math>P(A_j) > 0</math> für alle <math>j = 1, \ldots, m</math>. Für jedes <math> B \subset \Omega </math> und gilt also für alle <math>B \in \mathcal{S}</math>: :<math> P(B) = \sum _{j=1} ^{m} P(A_j) \cdot P(B|A_j)</math> ("Formel der totalen Wahrscheinlichkeit"). == Beweis - Satz - totale Wahrscheinlichkeit == Nach Voraussetzung gilt <math>P(A_j) > 0</math> für alle <math>j = 1, \ldots, m</math> und damit sind die bedingten Wahrscheinlichkeiten <math>P(B \mid A_j)</math> definiert, weil <math>P(A_j)</math> im Nenner der Definition der [[bedingte Wahrscheinlichkeit#Definition|bedingten Warscheinlichkeit]] auf tritt. === Schritt 1 - Zerlegung von Omega === Da die <math>A_j</math> eine [[bedingte Wahrscheinlichkeit#ZerlegungDef|Zerlegung]] von <math>\Omega</math> bilden, sind die <math>A_j</math> paarweise disjunkt nach Definition und auch die <math>B\cap A_j</math> sind als Teilmengen von <math>A_j</math> paarweise disjunkt. Damit gilt: :<math> \Omega = \bigcup_{j=1}^m A_j \quad \text{(disjunkt)} </math> === Schritt 2 - Zerlegung von B === Mit der Teilmengenbeziehung <math>B\cap A_j\subset A_j</math> Dann folgt für jedes <math>B \in \mathcal{S}</math> und der verallgemeinerten Anwendung <math>B \cap (A_1 \cup A_2) = (B\cap A_1) \cup (B\cap A_2)</math>: :<math> B = B \cap \Omega = B \cap \left( \bigcup_{j=1}^m A_j \right) = \bigcup_{j=1}^m (B \cap A_j) </math> Da die <math>A_j</math> disjunkt sind, sind auch die Schnitte <math>B \cap A_j</math> disjunkt. Also ist <math>(B \cap A_1, B \cap A_2, \ldots, B \cap A_m)</math> eine [[bedingte Wahrscheinlichkeit#ZerlegungDef|disjunkte Zerlegung]] von <math>B</math>. === Schritt 3 - Anwendung der Additivität der Wahrscheinlichkeit === Nach dem Axiom der <math>\sigma</math>-Additivität erlaubt insbesondere die Anwendung auf endliche Summen von disjunkte Ereignisse glt: :<math> P(B) = P\left( \bigcup_{j=1}^m (B \cap A_j) \right) = \sum_{j=1}^m P(B \cap A_j) </math> === Schritt 4 - Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit === Für jedes <math>j</math> mit <math>P(A_j) > 0</math> ist die bedingte Wahrscheinlichkeit definiert als: :<math> P(B \mid A_j) = \frac{P(B \cap A_j)}{P(A_j)} </math> Durch Umformung erhält man: :<math> P(B \cap A_j) = P(A_j) \cdot P(B \mid A_j) </math> ==== Schritt 5 - Einsetzen in die Summe ==== Setze dies in die Gleichung aus Schritt 3 ein: :<math> P(B) = \sum_{j=1}^m P(B \cap A_j) = \sum_{j=1}^m P(A_j) \cdot P(B \mid A_j) </math> Insgesamt erhält man die Aussage des Satzes über die totale Wahrscheinlichkeit :<math> {P(B) = \sum_{j=1}^m P(A_j) \cdot P(B \mid A_j)} </math> === Aufgabe für Studierende === Beweisen Sie den Satz der totalen Wahrscheinlichkeit in der Übung und begründen Sie jeden Teilschritte über die Zerlegung von <math>\Omega</math> und der Zerlegung von <math>B</math>. Fertigen Sie für die Beweisvorstellung Skizze an, die das Vorgehen im Beweis eräutert. [[Datei:Audio de 13 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Formel Totale Wahrscheinlichkeit]] <span id="Satz_von_Bayes"></span> == Satz - Formel von Bayes == Ist <math> P </math> eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf <math> \Omega </math>, <math> ( A_1, ... ,A_m ) </math> einer Zerlegung von <math>\Omega </math> auf <math>(\Omega,\mathcal{S})</math> , so gilt für jedes <math> B \in \mathcal{S} </math> mit <math> P(B) > 0 </math> und <math> i= 1, ... ,m </math> :<math>P(A_i|B) = \frac {P(B|A_i) \cdot P(A_i)} { \sum_{j=1}^{m} P(B|A_j) \cdot P(A_j) }.</math> [[Datei:Audio de 14 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Satz von Bayes]] === Beweis === :<math>P(A_i|B) = \frac {P(A_i\cap B)}{P(B)} = \frac{P(B|A_i) \cdot P(A_i)}{\sum_{j=1}^{m} P(B|A_j) \cdot P(A_j)} </math> [[Datei:Audio de 15 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Satz von Bayes - Beweis]] ==== Bemerkung==== Man beachte, dass auf der linken und rechten Seite "Argument und Bedingung" vertauscht auftreten. In einer außermathematischen Deutung spielen <math> A_j </math> die Rolle von (verschiedenen) Ursachen für die Wirkung von <math> B </math>. [[Datei:Audio de 16 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Satz von Bayes - Bemerkung]] ==== Beispiel (Test auf eine Krankheit) ==== <math> \Omega </math> sei die Gesamtheit der Personen aus der Bevölkerung. <math> p \cdot 100\% </math> der Bevölkerung (<math>K \subset \Omega </math>) leidet an der Krankheit. Ein Test für diese Krankheit spreche bei <math> k \cdot 100\% </math> der Kranken aus <math>K</math> an und bei <math> g \cdot 100\% </math> der Gesunden (<math>\Omega \setminus K</math>) positiv an (<math>k =</math> Sensitivität, <math>1-g =</math> Spezifität des Testes). Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat eine zufällig ausgewählte Person <math>\omega \in \Omega</math> die Krankheit, * wenn der Test positiv ausfällt? * wenn der Test negativ ausfällt? [[Datei:Audio de 17 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Satz von Bayes - Beispiel]] <span id="Produktformel"></span> == Produktformel- bedingte Wahrscheinlichkeit == Sei <math>P</math> eine [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] auf <math> \Omega </math> und seien <math> A_1, ... ,A_n \subset \Omega </math> mit <math> P( A_1 \cap ... \cap A_{n-1} )>0 </math>. Dann gilt die sogenannte "Produktformel": :<math> P( A_1 \cap ... \cap A_n) = P(A_1) \cdot P(A_2 | A_1) \cdot P(A_3 | A_1 \cap A_2) \cdot ... \cdot P(A_n | A_1 \cap ... \cap A_{n-1}) </math> [[Datei:Audio de 18 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Produktformel - Satz]] == Beweis - Produktformel == Allgemein für [[Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaße]] gilt für <math>C_1\subseteq C_2</math> mit <math>C_1,C_2 \in \mathcal{S}</math> auch <math>P(C_1)\leq P(C_2)</math>. Diese Eigenschaft wendet man auf die folgende Teilmengenbeziehung an: :<math>A_1 \supseteq A_1 \cap A_2\supseteq ... \supseteq A_1 \cap ... \cap A_{n-1}</math> === Beweisschritt 1 - Produktformel === Die Anwendung des Wahrscheinlichkeitsmaßes auf die Teilmengenbeziehung der obigen Vorüberlegung liefert: :<math>P(A_1) \ge P(A_1 \cap A_2) \ge ... \ge P(A_1 \cap ... \cap A_{n-1}) >0.</math> === Beweisschritt 2 - Produktformel === Wegen <math>P(A_1 \cap ... \cap A_{n-2})\leq P(A_1 \cap ... \cap A_{n-1}) >0</math> ist die folgende bedingte Wahrscheinlichkeit wohldefiniert: :<math> P( A_1 \cap ... \cap A_n) = P( A_1 \cap ... \cap A_{n-1} ) \cdot P( A_n | A_1 \cap ... \cap A_{n-1} ) </math> === Beweisschritt 3 - Produktformel === Nun ist wegen Beweisschritt 1 auch <math> P( A_1 \cap ... \cap A_{n-2} ) > 0 </math> gegeben und man kann wiederum :<math> P( A_1 \cap ... \cap A_{n} = </math> :<math> = P( A_1 \cap ... \cap A_{n-2}) \cdot P( A_{n-1} | A_1 \cap ... \cap A_{n-1} ) \cdot P( A_n | A_1 \cap ... \cap A_{n-1} ) </math> === Beweisschritt 4 - Produktformel === :<math> = P(A_1) \cdot P(A_2 | A_1) \cdot P(A_3 | A_1 \cap A_2) \cdot ... \cdot P(A_n | A_1 \cap ... \cap A_{n-1}) \ \Box</math> [[Datei:Audio de 19 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Produktformel - Satz - Beweis]] ==== Bemerkung ==== Dieser Satz verallgemeinert die Formel <math>P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A). </math> [[Datei:Audio de 20 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Produktformel - Bemerkung]] == Siehe auch == * [[stochastische Unabhängigkeit]] * [[bedingte Wahrscheinlichkeit#ZerlegungDef|disjunkte Zerlegung einer Menge]] == Seiten-Information == Der [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Bedingte+Wahrscheinlichkeit&author=Kurs%3A+Stochastik&audioslide=no&language=de Foliensatz] für diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Bedingte%20Wahrscheinlichkeit Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Bedingte_Wahrscheinlichkeit Bedingte Wahrscheinlichkeit] https://de.wikipedia.org/wiki/Bedingte_Wahrscheinlichkeit * Datum: 5.11.2018 * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity]-Konverter: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity * [https://niebert.github.com/Wiki2Reveal Wiki2Reveal Link-Generator] * Dieser Foliensatz gehört zum [[Kurs:Stochastik]] [[Category:Wiki2Reveal]] 334xp30x1jzyav69ml25y6wyek9n7t0 1118677 1118676 2026-11-02T15:26:57Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 3 - Produktformel */ 1118677 wikitext text/x-wiki [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|146px|mini|Kurs enthält [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] Audio-Folien]] == Einleitung == Diese Lerneinheit aus der [[Kurs:Stochastik|Stochastik]] behandelt folgende Inhalte: * [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Definition|Definition - Bedingte Wahrscheinlichkeit]] * [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Zerlegungssatz|Zerlegungssatz]] * [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Satz_von_Bayes|Satz von Bayes]] * [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Satz_totale_Wahrscheinlichkeit|Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit]] * [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Produktformel|Produktformel]] === Einführendes Beispiel - bedingte Wahrscheinlichkeit=== Gegeben sei ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum <math>(\Omega,\mathcal{S},P) </math>, Gleichverteilung über <math>(\Omega,\mathcal{S}) </math> und <math>\mathcal{S} := \wp((\Omega) </math>. <math> A,B \subset \Omega, A\neq \varnothing </math>. In dem einführenden Beispiel betrachten wir die Ereignisse: * <math>A</math>: Stochastik-Klausur bestanden * <math>B</math>: Fachwissenschaftliche Grundlagen mit 4,0 bestanden * Mit welcher Wahrscheinlichkeit <math>P(A|B)</math> besteht man die Stochastik-Klausur <math>A</math>, wenn man die Klausur zu den fachwissenschaftlichen Grundlagen nur mit 4,0 bestanden hat (d.h. <math>B</math> erfüllt ist)? [[Datei:Audio de 1 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Einleitung]] === Vorüberlegung === Wir nehmen an, dass das Ereignis <math> B </math> eintritt. Welche Definition ist sinnvoll für die Wahrscheinlichkeit von <math> B </math>, unter der Bedingung, dass <math> A </math> eingetreten ist? # Wenn die Bedingung <math> B </math> eintritt, so kann <math> A </math> nur dann eintreten, wenn das Ereignis <math> A \cap B </math> eintritt. # Wir konzentrieren uns auf die Realisationen <math> \omega \in A </math> und betrachten sie als gleichwahrscheinlich ([[w:de:Laplace-Verteilung|Laplace-Verteilung]]). # Allgemein gilt dann <math> P(C) = \frac {| C | }{ | \Omega |} </math> für alle <math>C \in \mathcal{S}</math>. [[Datei:Audio de 2 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Vorlüberlegung]] === Berechnung mit Laplace-Verteilung === Damit kann die Wahrscheinlichkeit von <math> A </math> unter der Bedingung <math> B </math> wie folgt definiert werden: :<math> P(A|B) := \frac {| A\cap B | }{ | B |} = \frac { \tfrac{|A \cap B | }{| \Omega | }} { \tfrac{| B |}{| \Omega | }}= \frac {P (A \cap B)}{ P(B)} </math> Dabei wurde der Bruch mit <math>\frac {1}{| \Omega |}</math> erweitert, um in Zähler und Nenner die Laplace-Wahrscheinlichkeiten für die Ereignisse <math> A \cap B </math> und <math> B </math> zu erzeugen. [[Datei:Audio de 3 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Berechnung mit Laplace-Verteilung]] <span id="Definition"></span> == Definition - bedingte Wahrscheinlichkeit == Sei <math> (\Omega,\mathcal{S},P) </math> ein Wahrscheinlichkeitsraum, <math> A \in \mathcal{S} </math> mit <math> P (B) >0 </math>. <br> a) Die Abbildung <math> P( \cdot | B): \mathcal{S} \to [0,1] </math>, die gemäß <math> P (A | B) = \frac {P(A \cap B)}{P(B)}, A,B \in \mathcal{S} </math> definiert ist, heißt bedingte Wahrscheinlichkeitsverteilung über <math> \Omega </math> unter (der Bedingung) <math> B </math>. <br> b) Die Zahl <math> P(A|B) </math> heißt bedingte Wahrscheinlichkeit von <math> A </math> unter (der Bedingung) <math> B </math>. [[Datei:Audio de 4 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Definition]] === Aufgabe - bedingte Wahrscheinlickeitsverteilung === Sei <math>(\Omega,\mathcal{S},P)</math> ein Wahrscheinlichkeitsraum. Weisen Sie für die Abbildung <math>\widetilde{P}</math> nach, dass diese die Eigenschaften eines Wahrscheinlichkeitsmaßes auf <math>(\Omega,\mathcal{S})</math> erfüllt. :<math> \begin{array}{rrcl} \widetilde{P}: & \mathcal{S} & \rightarrow & [0,1] \\ & A & \mapsto & \widetilde{P}(A) = P(A|B) \end{array} </math> === Aufgaben - Wahrscheinlichkeit auf Bedingung konzentriert=== Es gilt <math> P(\Omega|B) = 1 </math>. Die Wahrscheinlichkeit von <math> P( \cdot |B) </math> ist allerdings auf <math> B </math> konzentriert". * Zeigen Sie dazu, dass <math> P(A|B) = 0 </math> für alle <math> A \subset \bar B = \Omega\setminus B </math> <!-- denn: <math> P(A|B) = \frac {P (A \cap B)} {P(B)} = \frac {P (\emptyset)} {P(B)} = 0 </math> --> * Zeigen Sie, dass für <math> B \subset A </math>, <math> A \not= B </math> gilt, dass <math> P(A|B) = 1</math> (Hinweis: Zeigen Sie, dass <math> P(\bar A|B) = 0</math> gilt!) [[Datei:Audio de 5 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Aufgabenstellung]] === Anmerkung === Formt man die Definitionsformel von oben um zu <math> P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A|B) </math>, so kann man die Wahrscheinlichkeit des gleichzeitig Eintretens von <math> A </math> und <math> B </math> mithilfe der bedingten Wahrscheinlichkeit darstellen. Wir betrachten im Nachfolgenden eine Technik, eine Wahrscheinlichkeit auf <math> \Omega </math> durch bedingten Wahrscheinlichkeiten zusammenzusetzen. <span id="ZerlegungDef"></span> === Definition - Zerlegung === <math> (A_1, ..., A_m) </math> heißt [[bedingte Wahrscheinlichkeit#ZerlegungDef|Zerlegung]] von <math> \Omega </math> auf <math> (\Omega,\mathcal{S}) </math>, falls <math>\bigcup_{i=1} ^{m} A_i = \Omega, A_i \cap A_j = \varnothing </math> für alle <math> i \neq j </math> und <math>A_i, A_j \in \mathcal{S}</math>. === Motivation - Auswahl mit beschränkten Optionen === Als Beispiel werden 100 verschiedene Spiele <math>\Omega</math> auf <math>m</math> verschiedene Spielekisten <math>A_1, \ldots , A_m</math> verteilt. Es gibt <math>m\in \mathbb{N}</math> Personen und jede Person bekommt eine Kiste. Jede Person <math>i</math> kann nur Spiele aus der eigenen Kiste <math>A_i</math> und nicht aus anderen Kisten <math>A_j</math> auswählen mit <math>i\neq j</math>. Es gibt für jede der <math>i</math> Personen präferiert Spiele und daher gibt es eine Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>{Q_A}_i</math> (''"Qual der Wahl aus <math>A_i</math> aus der Spielekiste"''), die die Wahrscheinlichkeit beschreibt, ein Spiel bestimmtes Spiel aus der eigenen Spielekiste auszuwählen. Die Wahrscheinlichkeit ist auf <math>A_i</math> konzentriert, da die Spieler nur aus der eigenen Kiste auswählen können. == Zerlegungssatz == Sei <math>(A_1, ... ,A_m )</math> eine [[bedingte Wahrscheinlichkeit#ZerlegungDef|Zerlegung]] von <math>\Omega </math> auf <math> (\Omega,\mathcal{S})</math>. Für jedes <math> i = 1, ...,m </math> sei eine auf <math>A_i</math> konzentrierte Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>Q_{A_i}</math> auf <math>(\Omega,\mathcal{S} ) </math> gegeben (d.h. <math>{Q_A}_i (A_i) = 1 </math>) sowie Zahlen <math>p_i \in ( 0,1]</math> mit <math>\sum _{i = 1} ^{m} p_i = 1 </math>. <br> * (a) Dann existiert genau eine Wahrscheinlichkeitsverteilung <math> P </math> auf <math> \Omega </math> mit <br> ** (i) <math>P(A_i) = p_i > 0</math>. <br> ** (ii) <math>P(B|A_i) = {Q_A}_i(B)</math>, falls <math>p_i >0 </math> für alle <math>i=1, ...,m </math>. <br> * (b) Es gilt <math> P(B) = \sum _{i=1} ^{m} p_i \cdot {Q_A}_i(B) </math> für jedes <math> B \in \mathcal{S} </math>. === Beweis - Zerlegungssatz === Der Beweis gliedert sich in eine Existenzaussage für <math>P</math> und eine Eindeutigkeitsaussage, bei der die Existenz einer weiteren Wahrscheinlichkeitsverteilung für <math>\widetilde{P}</math> auf <math>\mathcal{S}</math> angenommen wird. Dann wird gezeigt, dass <math>\widetilde{P} = P</math> gilt bzw. <math>\widetilde{P}(B) = P(B)</math> für beliebige <math>B\in\mathcal{S}</math> gilt. ==== Beweis Existenz (i)==== Man definiere <math> P</math> gemäß Formel b) und rechnet nach, dass <math>P</math> die Eigenschaften eines [[Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaßes]] auf <math>\Omega </math> besitzt: * <math>P(A)\geq 0</math> für alle <math>A\in \mathcal{S}</math>, * <math>P(\Omega) = 1</math> * Nachweis der <math>\sigma</math>-Additivität von <math>P</math> über die <math>\sigma</math>-Additivität der Wahrscheinlichkeitsmaße <math>Q_{A_i}</math> nachweisen. ==== Beweis Existenz (i) - paarweise disjunkt==== Da die Wahrscheinlichkeitsmasse von den Wahrscheinlichkeitsmaßen <math>Q_{A_i}</math> auf <math>A_i</math> konzentriert ist, gilt für die paarweise disjunkten <math> A_i</math> aus der Zerlegung <math>(A_1,\ldots ,A_m)</math> folgende Eigenschaft: :<math>{Q_A}_i(A_j) = \left \{ \begin{array}{ll} 0, & i \neq j\\ 1, & i = j \end{array}\right. </math> Daraus folgt sofort (ai) <math>P(A_k) = \sum _{i=1} ^{m} p_i \cdot {Q_A}_i(A_k) = p_k</math>. [[Datei:Audio de 10 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Zerlegungsatz 2]] ==== Beweis Existenz (ii)==== Für ein beliebiges <math>p_i > 0 </math> und <math> B \in \mathcal{S} </math> gilt mit Anwendung der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit: :<math> P(B|A_i) = \frac {P(A_i \cap B)}{ P(A_i)} = \frac {1} {p_i} \sum _{j=1} ^{m} p_j \cdot {Q_A}_j (A_i \cap B) = </math> :<math>= \frac {p_i} {p_i} ({Q_A}_i (A_i \cap B) + {Q_A}_i( \bar A_i \cap B) = {Q_A}_i(B) )</math> also ii). [[Datei:Audio de 11 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Zerlegungsatz 3]] ==== Beweis Eindeutigkeit ==== Sei <math> \tilde P </math> eine (weitere) Wahrscheinlichkeitsverteilung auf <math> (\Omega,\mathcal{S}) </math>, die (ai) und (aii) erfüllt. Dann gilt für <math> B \subset \Omega </math> und wegen <math> B= \Omega \cap B = \left( \bigcup _{j=1}^{m} A_j \right) \cap B</math> die Gleichung :<math>\tilde P (B) = \tilde P \left( \bigcup_ {j=1}^{m} A_j \cap B \right)= \sum _{j=1}^{m} \tilde P (A_j \cap B) = </math> :<math> = \sum _{j=1}^{m} \tilde P (A_j) \cdot \tilde P (B|A_j) \stackrel{(i),(ii)}{=} \sum _{j=1}^{m} p_j {Q_A}_j(B) = P(B) . \qquad \Box</math> [[Datei:Audio de 12 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Zerlegungsatz 4]] <span id="totale_Wahrscheinlichkeit"></span> == Satz der totalen Wahrscheinlichkeit == Sei <math>(\Omega ,\mathcal{S}, P)</math> ein [[Wahrscheinlichkeitsraum]] und <math> (A_1,\ldots , A_m) </math> eine [[Mengenzerlegung (Stochastik)|Zerlegung]] von <math>\Omega</math> auf <math>(\Omega,\mathcal{S})</math> mit <math>P(A_j) > 0</math> für alle <math>j = 1, \ldots, m</math>. Für jedes <math> B \subset \Omega </math> und gilt also für alle <math>B \in \mathcal{S}</math>: :<math> P(B) = \sum _{j=1} ^{m} P(A_j) \cdot P(B|A_j)</math> ("Formel der totalen Wahrscheinlichkeit"). == Beweis - Satz - totale Wahrscheinlichkeit == Nach Voraussetzung gilt <math>P(A_j) > 0</math> für alle <math>j = 1, \ldots, m</math> und damit sind die bedingten Wahrscheinlichkeiten <math>P(B \mid A_j)</math> definiert, weil <math>P(A_j)</math> im Nenner der Definition der [[bedingte Wahrscheinlichkeit#Definition|bedingten Warscheinlichkeit]] auf tritt. === Schritt 1 - Zerlegung von Omega === Da die <math>A_j</math> eine [[bedingte Wahrscheinlichkeit#ZerlegungDef|Zerlegung]] von <math>\Omega</math> bilden, sind die <math>A_j</math> paarweise disjunkt nach Definition und auch die <math>B\cap A_j</math> sind als Teilmengen von <math>A_j</math> paarweise disjunkt. Damit gilt: :<math> \Omega = \bigcup_{j=1}^m A_j \quad \text{(disjunkt)} </math> === Schritt 2 - Zerlegung von B === Mit der Teilmengenbeziehung <math>B\cap A_j\subset A_j</math> Dann folgt für jedes <math>B \in \mathcal{S}</math> und der verallgemeinerten Anwendung <math>B \cap (A_1 \cup A_2) = (B\cap A_1) \cup (B\cap A_2)</math>: :<math> B = B \cap \Omega = B \cap \left( \bigcup_{j=1}^m A_j \right) = \bigcup_{j=1}^m (B \cap A_j) </math> Da die <math>A_j</math> disjunkt sind, sind auch die Schnitte <math>B \cap A_j</math> disjunkt. Also ist <math>(B \cap A_1, B \cap A_2, \ldots, B \cap A_m)</math> eine [[bedingte Wahrscheinlichkeit#ZerlegungDef|disjunkte Zerlegung]] von <math>B</math>. === Schritt 3 - Anwendung der Additivität der Wahrscheinlichkeit === Nach dem Axiom der <math>\sigma</math>-Additivität erlaubt insbesondere die Anwendung auf endliche Summen von disjunkte Ereignisse glt: :<math> P(B) = P\left( \bigcup_{j=1}^m (B \cap A_j) \right) = \sum_{j=1}^m P(B \cap A_j) </math> === Schritt 4 - Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit === Für jedes <math>j</math> mit <math>P(A_j) > 0</math> ist die bedingte Wahrscheinlichkeit definiert als: :<math> P(B \mid A_j) = \frac{P(B \cap A_j)}{P(A_j)} </math> Durch Umformung erhält man: :<math> P(B \cap A_j) = P(A_j) \cdot P(B \mid A_j) </math> ==== Schritt 5 - Einsetzen in die Summe ==== Setze dies in die Gleichung aus Schritt 3 ein: :<math> P(B) = \sum_{j=1}^m P(B \cap A_j) = \sum_{j=1}^m P(A_j) \cdot P(B \mid A_j) </math> Insgesamt erhält man die Aussage des Satzes über die totale Wahrscheinlichkeit :<math> {P(B) = \sum_{j=1}^m P(A_j) \cdot P(B \mid A_j)} </math> === Aufgabe für Studierende === Beweisen Sie den Satz der totalen Wahrscheinlichkeit in der Übung und begründen Sie jeden Teilschritte über die Zerlegung von <math>\Omega</math> und der Zerlegung von <math>B</math>. Fertigen Sie für die Beweisvorstellung Skizze an, die das Vorgehen im Beweis eräutert. [[Datei:Audio de 13 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Formel Totale Wahrscheinlichkeit]] <span id="Satz_von_Bayes"></span> == Satz - Formel von Bayes == Ist <math> P </math> eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf <math> \Omega </math>, <math> ( A_1, ... ,A_m ) </math> einer Zerlegung von <math>\Omega </math> auf <math>(\Omega,\mathcal{S})</math> , so gilt für jedes <math> B \in \mathcal{S} </math> mit <math> P(B) > 0 </math> und <math> i= 1, ... ,m </math> :<math>P(A_i|B) = \frac {P(B|A_i) \cdot P(A_i)} { \sum_{j=1}^{m} P(B|A_j) \cdot P(A_j) }.</math> [[Datei:Audio de 14 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Satz von Bayes]] === Beweis === :<math>P(A_i|B) = \frac {P(A_i\cap B)}{P(B)} = \frac{P(B|A_i) \cdot P(A_i)}{\sum_{j=1}^{m} P(B|A_j) \cdot P(A_j)} </math> [[Datei:Audio de 15 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Satz von Bayes - Beweis]] ==== Bemerkung==== Man beachte, dass auf der linken und rechten Seite "Argument und Bedingung" vertauscht auftreten. In einer außermathematischen Deutung spielen <math> A_j </math> die Rolle von (verschiedenen) Ursachen für die Wirkung von <math> B </math>. [[Datei:Audio de 16 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Satz von Bayes - Bemerkung]] ==== Beispiel (Test auf eine Krankheit) ==== <math> \Omega </math> sei die Gesamtheit der Personen aus der Bevölkerung. <math> p \cdot 100\% </math> der Bevölkerung (<math>K \subset \Omega </math>) leidet an der Krankheit. Ein Test für diese Krankheit spreche bei <math> k \cdot 100\% </math> der Kranken aus <math>K</math> an und bei <math> g \cdot 100\% </math> der Gesunden (<math>\Omega \setminus K</math>) positiv an (<math>k =</math> Sensitivität, <math>1-g =</math> Spezifität des Testes). Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat eine zufällig ausgewählte Person <math>\omega \in \Omega</math> die Krankheit, * wenn der Test positiv ausfällt? * wenn der Test negativ ausfällt? [[Datei:Audio de 17 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Satz von Bayes - Beispiel]] <span id="Produktformel"></span> == Produktformel- bedingte Wahrscheinlichkeit == Sei <math>P</math> eine [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] auf <math> \Omega </math> und seien <math> A_1, ... ,A_n \subset \Omega </math> mit <math> P( A_1 \cap ... \cap A_{n-1} )>0 </math>. Dann gilt die sogenannte "Produktformel": :<math> P( A_1 \cap ... \cap A_n) = P(A_1) \cdot P(A_2 | A_1) \cdot P(A_3 | A_1 \cap A_2) \cdot ... \cdot P(A_n | A_1 \cap ... \cap A_{n-1}) </math> [[Datei:Audio de 18 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Produktformel - Satz]] == Beweis - Produktformel == Allgemein für [[Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaße]] gilt für <math>C_1\subseteq C_2</math> mit <math>C_1,C_2 \in \mathcal{S}</math> auch <math>P(C_1)\leq P(C_2)</math>. Diese Eigenschaft wendet man auf die folgende Teilmengenbeziehung an: :<math>A_1 \supseteq A_1 \cap A_2\supseteq ... \supseteq A_1 \cap ... \cap A_{n-1}</math> === Beweisschritt 1 - Produktformel === Die Anwendung des Wahrscheinlichkeitsmaßes auf die Teilmengenbeziehung der obigen Vorüberlegung liefert: :<math>P(A_1) \ge P(A_1 \cap A_2) \ge ... \ge P(A_1 \cap ... \cap A_{n-1}) >0.</math> === Beweisschritt 2 - Produktformel === Wegen <math>P(A_1 \cap ... \cap A_{n-2})\leq P(A_1 \cap ... \cap A_{n-1}) >0</math> ist die folgende bedingte Wahrscheinlichkeit wohldefiniert: :<math> P( A_1 \cap ... \cap A_n) = P( A_1 \cap ... \cap A_{n-1} ) \cdot P( A_n | A_1 \cap ... \cap A_{n-1} ) </math> === Beweisschritt 3 - Produktformel === Nun ist wegen Beweisschritt 1 auch <math> P( A_1 \cap ... \cap A_{n-2} ) > 0 </math> gegeben und man kann wiederum :<math> P( A_1 \cap ... \cap A_{n}) = </math> :<math> \quad = P( A_1 \cap ... \cap A_{n-2}) \cdot P( A_{n-1} | A_1 \cap ... \cap A_{n-2} ) \cdot P( A_n | A_1 \cap ... \cap A_{n-1} ) </math> === Beweisschritt 4 - Produktformel === :<math> = P(A_1) \cdot P(A_2 | A_1) \cdot P(A_3 | A_1 \cap A_2) \cdot ... \cdot P(A_n | A_1 \cap ... \cap A_{n-1}) \ \Box</math> [[Datei:Audio de 19 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Produktformel - Satz - Beweis]] ==== Bemerkung ==== Dieser Satz verallgemeinert die Formel <math>P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A). </math> [[Datei:Audio de 20 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Produktformel - Bemerkung]] == Siehe auch == * [[stochastische Unabhängigkeit]] * [[bedingte Wahrscheinlichkeit#ZerlegungDef|disjunkte Zerlegung einer Menge]] == Seiten-Information == Der [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Bedingte+Wahrscheinlichkeit&author=Kurs%3A+Stochastik&audioslide=no&language=de Foliensatz] für diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Bedingte%20Wahrscheinlichkeit Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Bedingte_Wahrscheinlichkeit Bedingte Wahrscheinlichkeit] https://de.wikipedia.org/wiki/Bedingte_Wahrscheinlichkeit * Datum: 5.11.2018 * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity]-Konverter: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity * [https://niebert.github.com/Wiki2Reveal Wiki2Reveal Link-Generator] * Dieser Foliensatz gehört zum [[Kurs:Stochastik]] [[Category:Wiki2Reveal]] klb9n4eia77iv25wfvwejfkwwg5yysm 1118679 1118677 2026-11-02T15:29:03Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 4 - Produktformel */ 1118679 wikitext text/x-wiki [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|146px|mini|Kurs enthält [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] Audio-Folien]] == Einleitung == Diese Lerneinheit aus der [[Kurs:Stochastik|Stochastik]] behandelt folgende Inhalte: * [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Definition|Definition - Bedingte Wahrscheinlichkeit]] * [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Zerlegungssatz|Zerlegungssatz]] * [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Satz_von_Bayes|Satz von Bayes]] * [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Satz_totale_Wahrscheinlichkeit|Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit]] * [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Produktformel|Produktformel]] === Einführendes Beispiel - bedingte Wahrscheinlichkeit=== Gegeben sei ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum <math>(\Omega,\mathcal{S},P) </math>, Gleichverteilung über <math>(\Omega,\mathcal{S}) </math> und <math>\mathcal{S} := \wp((\Omega) </math>. <math> A,B \subset \Omega, A\neq \varnothing </math>. In dem einführenden Beispiel betrachten wir die Ereignisse: * <math>A</math>: Stochastik-Klausur bestanden * <math>B</math>: Fachwissenschaftliche Grundlagen mit 4,0 bestanden * Mit welcher Wahrscheinlichkeit <math>P(A|B)</math> besteht man die Stochastik-Klausur <math>A</math>, wenn man die Klausur zu den fachwissenschaftlichen Grundlagen nur mit 4,0 bestanden hat (d.h. <math>B</math> erfüllt ist)? [[Datei:Audio de 1 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Einleitung]] === Vorüberlegung === Wir nehmen an, dass das Ereignis <math> B </math> eintritt. Welche Definition ist sinnvoll für die Wahrscheinlichkeit von <math> B </math>, unter der Bedingung, dass <math> A </math> eingetreten ist? # Wenn die Bedingung <math> B </math> eintritt, so kann <math> A </math> nur dann eintreten, wenn das Ereignis <math> A \cap B </math> eintritt. # Wir konzentrieren uns auf die Realisationen <math> \omega \in A </math> und betrachten sie als gleichwahrscheinlich ([[w:de:Laplace-Verteilung|Laplace-Verteilung]]). # Allgemein gilt dann <math> P(C) = \frac {| C | }{ | \Omega |} </math> für alle <math>C \in \mathcal{S}</math>. [[Datei:Audio de 2 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Vorlüberlegung]] === Berechnung mit Laplace-Verteilung === Damit kann die Wahrscheinlichkeit von <math> A </math> unter der Bedingung <math> B </math> wie folgt definiert werden: :<math> P(A|B) := \frac {| A\cap B | }{ | B |} = \frac { \tfrac{|A \cap B | }{| \Omega | }} { \tfrac{| B |}{| \Omega | }}= \frac {P (A \cap B)}{ P(B)} </math> Dabei wurde der Bruch mit <math>\frac {1}{| \Omega |}</math> erweitert, um in Zähler und Nenner die Laplace-Wahrscheinlichkeiten für die Ereignisse <math> A \cap B </math> und <math> B </math> zu erzeugen. [[Datei:Audio de 3 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Berechnung mit Laplace-Verteilung]] <span id="Definition"></span> == Definition - bedingte Wahrscheinlichkeit == Sei <math> (\Omega,\mathcal{S},P) </math> ein Wahrscheinlichkeitsraum, <math> A \in \mathcal{S} </math> mit <math> P (B) >0 </math>. <br> a) Die Abbildung <math> P( \cdot | B): \mathcal{S} \to [0,1] </math>, die gemäß <math> P (A | B) = \frac {P(A \cap B)}{P(B)}, A,B \in \mathcal{S} </math> definiert ist, heißt bedingte Wahrscheinlichkeitsverteilung über <math> \Omega </math> unter (der Bedingung) <math> B </math>. <br> b) Die Zahl <math> P(A|B) </math> heißt bedingte Wahrscheinlichkeit von <math> A </math> unter (der Bedingung) <math> B </math>. [[Datei:Audio de 4 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Definition]] === Aufgabe - bedingte Wahrscheinlickeitsverteilung === Sei <math>(\Omega,\mathcal{S},P)</math> ein Wahrscheinlichkeitsraum. Weisen Sie für die Abbildung <math>\widetilde{P}</math> nach, dass diese die Eigenschaften eines Wahrscheinlichkeitsmaßes auf <math>(\Omega,\mathcal{S})</math> erfüllt. :<math> \begin{array}{rrcl} \widetilde{P}: & \mathcal{S} & \rightarrow & [0,1] \\ & A & \mapsto & \widetilde{P}(A) = P(A|B) \end{array} </math> === Aufgaben - Wahrscheinlichkeit auf Bedingung konzentriert=== Es gilt <math> P(\Omega|B) = 1 </math>. Die Wahrscheinlichkeit von <math> P( \cdot |B) </math> ist allerdings auf <math> B </math> konzentriert". * Zeigen Sie dazu, dass <math> P(A|B) = 0 </math> für alle <math> A \subset \bar B = \Omega\setminus B </math> <!-- denn: <math> P(A|B) = \frac {P (A \cap B)} {P(B)} = \frac {P (\emptyset)} {P(B)} = 0 </math> --> * Zeigen Sie, dass für <math> B \subset A </math>, <math> A \not= B </math> gilt, dass <math> P(A|B) = 1</math> (Hinweis: Zeigen Sie, dass <math> P(\bar A|B) = 0</math> gilt!) [[Datei:Audio de 5 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Aufgabenstellung]] === Anmerkung === Formt man die Definitionsformel von oben um zu <math> P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A|B) </math>, so kann man die Wahrscheinlichkeit des gleichzeitig Eintretens von <math> A </math> und <math> B </math> mithilfe der bedingten Wahrscheinlichkeit darstellen. Wir betrachten im Nachfolgenden eine Technik, eine Wahrscheinlichkeit auf <math> \Omega </math> durch bedingten Wahrscheinlichkeiten zusammenzusetzen. <span id="ZerlegungDef"></span> === Definition - Zerlegung === <math> (A_1, ..., A_m) </math> heißt [[bedingte Wahrscheinlichkeit#ZerlegungDef|Zerlegung]] von <math> \Omega </math> auf <math> (\Omega,\mathcal{S}) </math>, falls <math>\bigcup_{i=1} ^{m} A_i = \Omega, A_i \cap A_j = \varnothing </math> für alle <math> i \neq j </math> und <math>A_i, A_j \in \mathcal{S}</math>. === Motivation - Auswahl mit beschränkten Optionen === Als Beispiel werden 100 verschiedene Spiele <math>\Omega</math> auf <math>m</math> verschiedene Spielekisten <math>A_1, \ldots , A_m</math> verteilt. Es gibt <math>m\in \mathbb{N}</math> Personen und jede Person bekommt eine Kiste. Jede Person <math>i</math> kann nur Spiele aus der eigenen Kiste <math>A_i</math> und nicht aus anderen Kisten <math>A_j</math> auswählen mit <math>i\neq j</math>. Es gibt für jede der <math>i</math> Personen präferiert Spiele und daher gibt es eine Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>{Q_A}_i</math> (''"Qual der Wahl aus <math>A_i</math> aus der Spielekiste"''), die die Wahrscheinlichkeit beschreibt, ein Spiel bestimmtes Spiel aus der eigenen Spielekiste auszuwählen. Die Wahrscheinlichkeit ist auf <math>A_i</math> konzentriert, da die Spieler nur aus der eigenen Kiste auswählen können. == Zerlegungssatz == Sei <math>(A_1, ... ,A_m )</math> eine [[bedingte Wahrscheinlichkeit#ZerlegungDef|Zerlegung]] von <math>\Omega </math> auf <math> (\Omega,\mathcal{S})</math>. Für jedes <math> i = 1, ...,m </math> sei eine auf <math>A_i</math> konzentrierte Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>Q_{A_i}</math> auf <math>(\Omega,\mathcal{S} ) </math> gegeben (d.h. <math>{Q_A}_i (A_i) = 1 </math>) sowie Zahlen <math>p_i \in ( 0,1]</math> mit <math>\sum _{i = 1} ^{m} p_i = 1 </math>. <br> * (a) Dann existiert genau eine Wahrscheinlichkeitsverteilung <math> P </math> auf <math> \Omega </math> mit <br> ** (i) <math>P(A_i) = p_i > 0</math>. <br> ** (ii) <math>P(B|A_i) = {Q_A}_i(B)</math>, falls <math>p_i >0 </math> für alle <math>i=1, ...,m </math>. <br> * (b) Es gilt <math> P(B) = \sum _{i=1} ^{m} p_i \cdot {Q_A}_i(B) </math> für jedes <math> B \in \mathcal{S} </math>. === Beweis - Zerlegungssatz === Der Beweis gliedert sich in eine Existenzaussage für <math>P</math> und eine Eindeutigkeitsaussage, bei der die Existenz einer weiteren Wahrscheinlichkeitsverteilung für <math>\widetilde{P}</math> auf <math>\mathcal{S}</math> angenommen wird. Dann wird gezeigt, dass <math>\widetilde{P} = P</math> gilt bzw. <math>\widetilde{P}(B) = P(B)</math> für beliebige <math>B\in\mathcal{S}</math> gilt. ==== Beweis Existenz (i)==== Man definiere <math> P</math> gemäß Formel b) und rechnet nach, dass <math>P</math> die Eigenschaften eines [[Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaßes]] auf <math>\Omega </math> besitzt: * <math>P(A)\geq 0</math> für alle <math>A\in \mathcal{S}</math>, * <math>P(\Omega) = 1</math> * Nachweis der <math>\sigma</math>-Additivität von <math>P</math> über die <math>\sigma</math>-Additivität der Wahrscheinlichkeitsmaße <math>Q_{A_i}</math> nachweisen. ==== Beweis Existenz (i) - paarweise disjunkt==== Da die Wahrscheinlichkeitsmasse von den Wahrscheinlichkeitsmaßen <math>Q_{A_i}</math> auf <math>A_i</math> konzentriert ist, gilt für die paarweise disjunkten <math> A_i</math> aus der Zerlegung <math>(A_1,\ldots ,A_m)</math> folgende Eigenschaft: :<math>{Q_A}_i(A_j) = \left \{ \begin{array}{ll} 0, & i \neq j\\ 1, & i = j \end{array}\right. </math> Daraus folgt sofort (ai) <math>P(A_k) = \sum _{i=1} ^{m} p_i \cdot {Q_A}_i(A_k) = p_k</math>. [[Datei:Audio de 10 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Zerlegungsatz 2]] ==== Beweis Existenz (ii)==== Für ein beliebiges <math>p_i > 0 </math> und <math> B \in \mathcal{S} </math> gilt mit Anwendung der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit: :<math> P(B|A_i) = \frac {P(A_i \cap B)}{ P(A_i)} = \frac {1} {p_i} \sum _{j=1} ^{m} p_j \cdot {Q_A}_j (A_i \cap B) = </math> :<math>= \frac {p_i} {p_i} ({Q_A}_i (A_i \cap B) + {Q_A}_i( \bar A_i \cap B) = {Q_A}_i(B) )</math> also ii). [[Datei:Audio de 11 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Zerlegungsatz 3]] ==== Beweis Eindeutigkeit ==== Sei <math> \tilde P </math> eine (weitere) Wahrscheinlichkeitsverteilung auf <math> (\Omega,\mathcal{S}) </math>, die (ai) und (aii) erfüllt. Dann gilt für <math> B \subset \Omega </math> und wegen <math> B= \Omega \cap B = \left( \bigcup _{j=1}^{m} A_j \right) \cap B</math> die Gleichung :<math>\tilde P (B) = \tilde P \left( \bigcup_ {j=1}^{m} A_j \cap B \right)= \sum _{j=1}^{m} \tilde P (A_j \cap B) = </math> :<math> = \sum _{j=1}^{m} \tilde P (A_j) \cdot \tilde P (B|A_j) \stackrel{(i),(ii)}{=} \sum _{j=1}^{m} p_j {Q_A}_j(B) = P(B) . \qquad \Box</math> [[Datei:Audio de 12 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Zerlegungsatz 4]] <span id="totale_Wahrscheinlichkeit"></span> == Satz der totalen Wahrscheinlichkeit == Sei <math>(\Omega ,\mathcal{S}, P)</math> ein [[Wahrscheinlichkeitsraum]] und <math> (A_1,\ldots , A_m) </math> eine [[Mengenzerlegung (Stochastik)|Zerlegung]] von <math>\Omega</math> auf <math>(\Omega,\mathcal{S})</math> mit <math>P(A_j) > 0</math> für alle <math>j = 1, \ldots, m</math>. Für jedes <math> B \subset \Omega </math> und gilt also für alle <math>B \in \mathcal{S}</math>: :<math> P(B) = \sum _{j=1} ^{m} P(A_j) \cdot P(B|A_j)</math> ("Formel der totalen Wahrscheinlichkeit"). == Beweis - Satz - totale Wahrscheinlichkeit == Nach Voraussetzung gilt <math>P(A_j) > 0</math> für alle <math>j = 1, \ldots, m</math> und damit sind die bedingten Wahrscheinlichkeiten <math>P(B \mid A_j)</math> definiert, weil <math>P(A_j)</math> im Nenner der Definition der [[bedingte Wahrscheinlichkeit#Definition|bedingten Warscheinlichkeit]] auf tritt. === Schritt 1 - Zerlegung von Omega === Da die <math>A_j</math> eine [[bedingte Wahrscheinlichkeit#ZerlegungDef|Zerlegung]] von <math>\Omega</math> bilden, sind die <math>A_j</math> paarweise disjunkt nach Definition und auch die <math>B\cap A_j</math> sind als Teilmengen von <math>A_j</math> paarweise disjunkt. Damit gilt: :<math> \Omega = \bigcup_{j=1}^m A_j \quad \text{(disjunkt)} </math> === Schritt 2 - Zerlegung von B === Mit der Teilmengenbeziehung <math>B\cap A_j\subset A_j</math> Dann folgt für jedes <math>B \in \mathcal{S}</math> und der verallgemeinerten Anwendung <math>B \cap (A_1 \cup A_2) = (B\cap A_1) \cup (B\cap A_2)</math>: :<math> B = B \cap \Omega = B \cap \left( \bigcup_{j=1}^m A_j \right) = \bigcup_{j=1}^m (B \cap A_j) </math> Da die <math>A_j</math> disjunkt sind, sind auch die Schnitte <math>B \cap A_j</math> disjunkt. Also ist <math>(B \cap A_1, B \cap A_2, \ldots, B \cap A_m)</math> eine [[bedingte Wahrscheinlichkeit#ZerlegungDef|disjunkte Zerlegung]] von <math>B</math>. === Schritt 3 - Anwendung der Additivität der Wahrscheinlichkeit === Nach dem Axiom der <math>\sigma</math>-Additivität erlaubt insbesondere die Anwendung auf endliche Summen von disjunkte Ereignisse glt: :<math> P(B) = P\left( \bigcup_{j=1}^m (B \cap A_j) \right) = \sum_{j=1}^m P(B \cap A_j) </math> === Schritt 4 - Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit === Für jedes <math>j</math> mit <math>P(A_j) > 0</math> ist die bedingte Wahrscheinlichkeit definiert als: :<math> P(B \mid A_j) = \frac{P(B \cap A_j)}{P(A_j)} </math> Durch Umformung erhält man: :<math> P(B \cap A_j) = P(A_j) \cdot P(B \mid A_j) </math> ==== Schritt 5 - Einsetzen in die Summe ==== Setze dies in die Gleichung aus Schritt 3 ein: :<math> P(B) = \sum_{j=1}^m P(B \cap A_j) = \sum_{j=1}^m P(A_j) \cdot P(B \mid A_j) </math> Insgesamt erhält man die Aussage des Satzes über die totale Wahrscheinlichkeit :<math> {P(B) = \sum_{j=1}^m P(A_j) \cdot P(B \mid A_j)} </math> === Aufgabe für Studierende === Beweisen Sie den Satz der totalen Wahrscheinlichkeit in der Übung und begründen Sie jeden Teilschritte über die Zerlegung von <math>\Omega</math> und der Zerlegung von <math>B</math>. Fertigen Sie für die Beweisvorstellung Skizze an, die das Vorgehen im Beweis eräutert. [[Datei:Audio de 13 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Formel Totale Wahrscheinlichkeit]] <span id="Satz_von_Bayes"></span> == Satz - Formel von Bayes == Ist <math> P </math> eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf <math> \Omega </math>, <math> ( A_1, ... ,A_m ) </math> einer Zerlegung von <math>\Omega </math> auf <math>(\Omega,\mathcal{S})</math> , so gilt für jedes <math> B \in \mathcal{S} </math> mit <math> P(B) > 0 </math> und <math> i= 1, ... ,m </math> :<math>P(A_i|B) = \frac {P(B|A_i) \cdot P(A_i)} { \sum_{j=1}^{m} P(B|A_j) \cdot P(A_j) }.</math> [[Datei:Audio de 14 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Satz von Bayes]] === Beweis === :<math>P(A_i|B) = \frac {P(A_i\cap B)}{P(B)} = \frac{P(B|A_i) \cdot P(A_i)}{\sum_{j=1}^{m} P(B|A_j) \cdot P(A_j)} </math> [[Datei:Audio de 15 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Satz von Bayes - Beweis]] ==== Bemerkung==== Man beachte, dass auf der linken und rechten Seite "Argument und Bedingung" vertauscht auftreten. In einer außermathematischen Deutung spielen <math> A_j </math> die Rolle von (verschiedenen) Ursachen für die Wirkung von <math> B </math>. [[Datei:Audio de 16 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Satz von Bayes - Bemerkung]] ==== Beispiel (Test auf eine Krankheit) ==== <math> \Omega </math> sei die Gesamtheit der Personen aus der Bevölkerung. <math> p \cdot 100\% </math> der Bevölkerung (<math>K \subset \Omega </math>) leidet an der Krankheit. Ein Test für diese Krankheit spreche bei <math> k \cdot 100\% </math> der Kranken aus <math>K</math> an und bei <math> g \cdot 100\% </math> der Gesunden (<math>\Omega \setminus K</math>) positiv an (<math>k =</math> Sensitivität, <math>1-g =</math> Spezifität des Testes). Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat eine zufällig ausgewählte Person <math>\omega \in \Omega</math> die Krankheit, * wenn der Test positiv ausfällt? * wenn der Test negativ ausfällt? [[Datei:Audio de 17 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Satz von Bayes - Beispiel]] <span id="Produktformel"></span> == Produktformel- bedingte Wahrscheinlichkeit == Sei <math>P</math> eine [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] auf <math> \Omega </math> und seien <math> A_1, ... ,A_n \subset \Omega </math> mit <math> P( A_1 \cap ... \cap A_{n-1} )>0 </math>. Dann gilt die sogenannte "Produktformel": :<math> P( A_1 \cap ... \cap A_n) = P(A_1) \cdot P(A_2 | A_1) \cdot P(A_3 | A_1 \cap A_2) \cdot ... \cdot P(A_n | A_1 \cap ... \cap A_{n-1}) </math> [[Datei:Audio de 18 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Produktformel - Satz]] == Beweis - Produktformel == Allgemein für [[Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaße]] gilt für <math>C_1\subseteq C_2</math> mit <math>C_1,C_2 \in \mathcal{S}</math> auch <math>P(C_1)\leq P(C_2)</math>. Diese Eigenschaft wendet man auf die folgende Teilmengenbeziehung an: :<math>A_1 \supseteq A_1 \cap A_2\supseteq ... \supseteq A_1 \cap ... \cap A_{n-1}</math> === Beweisschritt 1 - Produktformel === Die Anwendung des Wahrscheinlichkeitsmaßes auf die Teilmengenbeziehung der obigen Vorüberlegung liefert: :<math>P(A_1) \ge P(A_1 \cap A_2) \ge ... \ge P(A_1 \cap ... \cap A_{n-1}) >0.</math> === Beweisschritt 2 - Produktformel === Wegen <math>P(A_1 \cap ... \cap A_{n-2})\leq P(A_1 \cap ... \cap A_{n-1}) >0</math> ist die folgende bedingte Wahrscheinlichkeit wohldefiniert: :<math> P( A_1 \cap ... \cap A_n) = P( A_1 \cap ... \cap A_{n-1} ) \cdot P( A_n | A_1 \cap ... \cap A_{n-1} ) </math> === Beweisschritt 3 - Produktformel === Nun ist wegen Beweisschritt 1 auch <math> P( A_1 \cap ... \cap A_{n-2} ) > 0 </math> gegeben und man kann wiederum :<math> P( A_1 \cap ... \cap A_{n}) = </math> :<math> \quad = P( A_1 \cap ... \cap A_{n-2}) \cdot P( A_{n-1} | A_1 \cap ... \cap A_{n-2} ) \cdot P( A_n | A_1 \cap ... \cap A_{n-1} ) </math> === Beweisschritt 4 - Produktformel === Wenn man dieses Vorgehen iteriert auf Wahrscheinlickeiten der Schnittmengen anwendet erhält man die Produktformel: :<math> P(A_1 \cap ... \cap A_{n}) = </math> :<math> \quad P(A_1) \cdot P(A_2 | A_1) \cdot P(A_3 | A_1 \cap A_2) \cdot ... \cdot P(A_n | A_1 \cap ... \cap A_{n-1}) \ \Box</math> [[Datei:Audio de 19 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Produktformel - Satz - Beweis]] ==== Bemerkung ==== Dieser Satz verallgemeinert die Formel <math>P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A). </math> [[Datei:Audio de 20 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Produktformel - Bemerkung]] == Siehe auch == * [[stochastische Unabhängigkeit]] * [[bedingte Wahrscheinlichkeit#ZerlegungDef|disjunkte Zerlegung einer Menge]] == Seiten-Information == Der [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Bedingte+Wahrscheinlichkeit&author=Kurs%3A+Stochastik&audioslide=no&language=de Foliensatz] für diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Bedingte%20Wahrscheinlichkeit Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Bedingte_Wahrscheinlichkeit Bedingte Wahrscheinlichkeit] https://de.wikipedia.org/wiki/Bedingte_Wahrscheinlichkeit * Datum: 5.11.2018 * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity]-Konverter: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity * [https://niebert.github.com/Wiki2Reveal Wiki2Reveal Link-Generator] * Dieser Foliensatz gehört zum [[Kurs:Stochastik]] [[Category:Wiki2Reveal]] g9omdj6s81da0shi7q8waugk6e62ot7 1118680 1118679 2026-11-02T15:29:20Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 4 - Produktformel */ 1118680 wikitext text/x-wiki [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|146px|mini|Kurs enthält [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] Audio-Folien]] == Einleitung == Diese Lerneinheit aus der [[Kurs:Stochastik|Stochastik]] behandelt folgende Inhalte: * [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Definition|Definition - Bedingte Wahrscheinlichkeit]] * [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Zerlegungssatz|Zerlegungssatz]] * [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Satz_von_Bayes|Satz von Bayes]] * [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Satz_totale_Wahrscheinlichkeit|Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit]] * [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Produktformel|Produktformel]] === Einführendes Beispiel - bedingte Wahrscheinlichkeit=== Gegeben sei ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum <math>(\Omega,\mathcal{S},P) </math>, Gleichverteilung über <math>(\Omega,\mathcal{S}) </math> und <math>\mathcal{S} := \wp((\Omega) </math>. <math> A,B \subset \Omega, A\neq \varnothing </math>. In dem einführenden Beispiel betrachten wir die Ereignisse: * <math>A</math>: Stochastik-Klausur bestanden * <math>B</math>: Fachwissenschaftliche Grundlagen mit 4,0 bestanden * Mit welcher Wahrscheinlichkeit <math>P(A|B)</math> besteht man die Stochastik-Klausur <math>A</math>, wenn man die Klausur zu den fachwissenschaftlichen Grundlagen nur mit 4,0 bestanden hat (d.h. <math>B</math> erfüllt ist)? [[Datei:Audio de 1 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Einleitung]] === Vorüberlegung === Wir nehmen an, dass das Ereignis <math> B </math> eintritt. Welche Definition ist sinnvoll für die Wahrscheinlichkeit von <math> B </math>, unter der Bedingung, dass <math> A </math> eingetreten ist? # Wenn die Bedingung <math> B </math> eintritt, so kann <math> A </math> nur dann eintreten, wenn das Ereignis <math> A \cap B </math> eintritt. # Wir konzentrieren uns auf die Realisationen <math> \omega \in A </math> und betrachten sie als gleichwahrscheinlich ([[w:de:Laplace-Verteilung|Laplace-Verteilung]]). # Allgemein gilt dann <math> P(C) = \frac {| C | }{ | \Omega |} </math> für alle <math>C \in \mathcal{S}</math>. [[Datei:Audio de 2 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Vorlüberlegung]] === Berechnung mit Laplace-Verteilung === Damit kann die Wahrscheinlichkeit von <math> A </math> unter der Bedingung <math> B </math> wie folgt definiert werden: :<math> P(A|B) := \frac {| A\cap B | }{ | B |} = \frac { \tfrac{|A \cap B | }{| \Omega | }} { \tfrac{| B |}{| \Omega | }}= \frac {P (A \cap B)}{ P(B)} </math> Dabei wurde der Bruch mit <math>\frac {1}{| \Omega |}</math> erweitert, um in Zähler und Nenner die Laplace-Wahrscheinlichkeiten für die Ereignisse <math> A \cap B </math> und <math> B </math> zu erzeugen. [[Datei:Audio de 3 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Berechnung mit Laplace-Verteilung]] <span id="Definition"></span> == Definition - bedingte Wahrscheinlichkeit == Sei <math> (\Omega,\mathcal{S},P) </math> ein Wahrscheinlichkeitsraum, <math> A \in \mathcal{S} </math> mit <math> P (B) >0 </math>. <br> a) Die Abbildung <math> P( \cdot | B): \mathcal{S} \to [0,1] </math>, die gemäß <math> P (A | B) = \frac {P(A \cap B)}{P(B)}, A,B \in \mathcal{S} </math> definiert ist, heißt bedingte Wahrscheinlichkeitsverteilung über <math> \Omega </math> unter (der Bedingung) <math> B </math>. <br> b) Die Zahl <math> P(A|B) </math> heißt bedingte Wahrscheinlichkeit von <math> A </math> unter (der Bedingung) <math> B </math>. [[Datei:Audio de 4 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Definition]] === Aufgabe - bedingte Wahrscheinlickeitsverteilung === Sei <math>(\Omega,\mathcal{S},P)</math> ein Wahrscheinlichkeitsraum. Weisen Sie für die Abbildung <math>\widetilde{P}</math> nach, dass diese die Eigenschaften eines Wahrscheinlichkeitsmaßes auf <math>(\Omega,\mathcal{S})</math> erfüllt. :<math> \begin{array}{rrcl} \widetilde{P}: & \mathcal{S} & \rightarrow & [0,1] \\ & A & \mapsto & \widetilde{P}(A) = P(A|B) \end{array} </math> === Aufgaben - Wahrscheinlichkeit auf Bedingung konzentriert=== Es gilt <math> P(\Omega|B) = 1 </math>. Die Wahrscheinlichkeit von <math> P( \cdot |B) </math> ist allerdings auf <math> B </math> konzentriert". * Zeigen Sie dazu, dass <math> P(A|B) = 0 </math> für alle <math> A \subset \bar B = \Omega\setminus B </math> <!-- denn: <math> P(A|B) = \frac {P (A \cap B)} {P(B)} = \frac {P (\emptyset)} {P(B)} = 0 </math> --> * Zeigen Sie, dass für <math> B \subset A </math>, <math> A \not= B </math> gilt, dass <math> P(A|B) = 1</math> (Hinweis: Zeigen Sie, dass <math> P(\bar A|B) = 0</math> gilt!) [[Datei:Audio de 5 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Aufgabenstellung]] === Anmerkung === Formt man die Definitionsformel von oben um zu <math> P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A|B) </math>, so kann man die Wahrscheinlichkeit des gleichzeitig Eintretens von <math> A </math> und <math> B </math> mithilfe der bedingten Wahrscheinlichkeit darstellen. Wir betrachten im Nachfolgenden eine Technik, eine Wahrscheinlichkeit auf <math> \Omega </math> durch bedingten Wahrscheinlichkeiten zusammenzusetzen. <span id="ZerlegungDef"></span> === Definition - Zerlegung === <math> (A_1, ..., A_m) </math> heißt [[bedingte Wahrscheinlichkeit#ZerlegungDef|Zerlegung]] von <math> \Omega </math> auf <math> (\Omega,\mathcal{S}) </math>, falls <math>\bigcup_{i=1} ^{m} A_i = \Omega, A_i \cap A_j = \varnothing </math> für alle <math> i \neq j </math> und <math>A_i, A_j \in \mathcal{S}</math>. === Motivation - Auswahl mit beschränkten Optionen === Als Beispiel werden 100 verschiedene Spiele <math>\Omega</math> auf <math>m</math> verschiedene Spielekisten <math>A_1, \ldots , A_m</math> verteilt. Es gibt <math>m\in \mathbb{N}</math> Personen und jede Person bekommt eine Kiste. Jede Person <math>i</math> kann nur Spiele aus der eigenen Kiste <math>A_i</math> und nicht aus anderen Kisten <math>A_j</math> auswählen mit <math>i\neq j</math>. Es gibt für jede der <math>i</math> Personen präferiert Spiele und daher gibt es eine Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>{Q_A}_i</math> (''"Qual der Wahl aus <math>A_i</math> aus der Spielekiste"''), die die Wahrscheinlichkeit beschreibt, ein Spiel bestimmtes Spiel aus der eigenen Spielekiste auszuwählen. Die Wahrscheinlichkeit ist auf <math>A_i</math> konzentriert, da die Spieler nur aus der eigenen Kiste auswählen können. == Zerlegungssatz == Sei <math>(A_1, ... ,A_m )</math> eine [[bedingte Wahrscheinlichkeit#ZerlegungDef|Zerlegung]] von <math>\Omega </math> auf <math> (\Omega,\mathcal{S})</math>. Für jedes <math> i = 1, ...,m </math> sei eine auf <math>A_i</math> konzentrierte Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>Q_{A_i}</math> auf <math>(\Omega,\mathcal{S} ) </math> gegeben (d.h. <math>{Q_A}_i (A_i) = 1 </math>) sowie Zahlen <math>p_i \in ( 0,1]</math> mit <math>\sum _{i = 1} ^{m} p_i = 1 </math>. <br> * (a) Dann existiert genau eine Wahrscheinlichkeitsverteilung <math> P </math> auf <math> \Omega </math> mit <br> ** (i) <math>P(A_i) = p_i > 0</math>. <br> ** (ii) <math>P(B|A_i) = {Q_A}_i(B)</math>, falls <math>p_i >0 </math> für alle <math>i=1, ...,m </math>. <br> * (b) Es gilt <math> P(B) = \sum _{i=1} ^{m} p_i \cdot {Q_A}_i(B) </math> für jedes <math> B \in \mathcal{S} </math>. === Beweis - Zerlegungssatz === Der Beweis gliedert sich in eine Existenzaussage für <math>P</math> und eine Eindeutigkeitsaussage, bei der die Existenz einer weiteren Wahrscheinlichkeitsverteilung für <math>\widetilde{P}</math> auf <math>\mathcal{S}</math> angenommen wird. Dann wird gezeigt, dass <math>\widetilde{P} = P</math> gilt bzw. <math>\widetilde{P}(B) = P(B)</math> für beliebige <math>B\in\mathcal{S}</math> gilt. ==== Beweis Existenz (i)==== Man definiere <math> P</math> gemäß Formel b) und rechnet nach, dass <math>P</math> die Eigenschaften eines [[Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaßes]] auf <math>\Omega </math> besitzt: * <math>P(A)\geq 0</math> für alle <math>A\in \mathcal{S}</math>, * <math>P(\Omega) = 1</math> * Nachweis der <math>\sigma</math>-Additivität von <math>P</math> über die <math>\sigma</math>-Additivität der Wahrscheinlichkeitsmaße <math>Q_{A_i}</math> nachweisen. ==== Beweis Existenz (i) - paarweise disjunkt==== Da die Wahrscheinlichkeitsmasse von den Wahrscheinlichkeitsmaßen <math>Q_{A_i}</math> auf <math>A_i</math> konzentriert ist, gilt für die paarweise disjunkten <math> A_i</math> aus der Zerlegung <math>(A_1,\ldots ,A_m)</math> folgende Eigenschaft: :<math>{Q_A}_i(A_j) = \left \{ \begin{array}{ll} 0, & i \neq j\\ 1, & i = j \end{array}\right. </math> Daraus folgt sofort (ai) <math>P(A_k) = \sum _{i=1} ^{m} p_i \cdot {Q_A}_i(A_k) = p_k</math>. [[Datei:Audio de 10 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Zerlegungsatz 2]] ==== Beweis Existenz (ii)==== Für ein beliebiges <math>p_i > 0 </math> und <math> B \in \mathcal{S} </math> gilt mit Anwendung der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit: :<math> P(B|A_i) = \frac {P(A_i \cap B)}{ P(A_i)} = \frac {1} {p_i} \sum _{j=1} ^{m} p_j \cdot {Q_A}_j (A_i \cap B) = </math> :<math>= \frac {p_i} {p_i} ({Q_A}_i (A_i \cap B) + {Q_A}_i( \bar A_i \cap B) = {Q_A}_i(B) )</math> also ii). [[Datei:Audio de 11 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Zerlegungsatz 3]] ==== Beweis Eindeutigkeit ==== Sei <math> \tilde P </math> eine (weitere) Wahrscheinlichkeitsverteilung auf <math> (\Omega,\mathcal{S}) </math>, die (ai) und (aii) erfüllt. Dann gilt für <math> B \subset \Omega </math> und wegen <math> B= \Omega \cap B = \left( \bigcup _{j=1}^{m} A_j \right) \cap B</math> die Gleichung :<math>\tilde P (B) = \tilde P \left( \bigcup_ {j=1}^{m} A_j \cap B \right)= \sum _{j=1}^{m} \tilde P (A_j \cap B) = </math> :<math> = \sum _{j=1}^{m} \tilde P (A_j) \cdot \tilde P (B|A_j) \stackrel{(i),(ii)}{=} \sum _{j=1}^{m} p_j {Q_A}_j(B) = P(B) . \qquad \Box</math> [[Datei:Audio de 12 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Zerlegungsatz 4]] <span id="totale_Wahrscheinlichkeit"></span> == Satz der totalen Wahrscheinlichkeit == Sei <math>(\Omega ,\mathcal{S}, P)</math> ein [[Wahrscheinlichkeitsraum]] und <math> (A_1,\ldots , A_m) </math> eine [[Mengenzerlegung (Stochastik)|Zerlegung]] von <math>\Omega</math> auf <math>(\Omega,\mathcal{S})</math> mit <math>P(A_j) > 0</math> für alle <math>j = 1, \ldots, m</math>. Für jedes <math> B \subset \Omega </math> und gilt also für alle <math>B \in \mathcal{S}</math>: :<math> P(B) = \sum _{j=1} ^{m} P(A_j) \cdot P(B|A_j)</math> ("Formel der totalen Wahrscheinlichkeit"). == Beweis - Satz - totale Wahrscheinlichkeit == Nach Voraussetzung gilt <math>P(A_j) > 0</math> für alle <math>j = 1, \ldots, m</math> und damit sind die bedingten Wahrscheinlichkeiten <math>P(B \mid A_j)</math> definiert, weil <math>P(A_j)</math> im Nenner der Definition der [[bedingte Wahrscheinlichkeit#Definition|bedingten Warscheinlichkeit]] auf tritt. === Schritt 1 - Zerlegung von Omega === Da die <math>A_j</math> eine [[bedingte Wahrscheinlichkeit#ZerlegungDef|Zerlegung]] von <math>\Omega</math> bilden, sind die <math>A_j</math> paarweise disjunkt nach Definition und auch die <math>B\cap A_j</math> sind als Teilmengen von <math>A_j</math> paarweise disjunkt. Damit gilt: :<math> \Omega = \bigcup_{j=1}^m A_j \quad \text{(disjunkt)} </math> === Schritt 2 - Zerlegung von B === Mit der Teilmengenbeziehung <math>B\cap A_j\subset A_j</math> Dann folgt für jedes <math>B \in \mathcal{S}</math> und der verallgemeinerten Anwendung <math>B \cap (A_1 \cup A_2) = (B\cap A_1) \cup (B\cap A_2)</math>: :<math> B = B \cap \Omega = B \cap \left( \bigcup_{j=1}^m A_j \right) = \bigcup_{j=1}^m (B \cap A_j) </math> Da die <math>A_j</math> disjunkt sind, sind auch die Schnitte <math>B \cap A_j</math> disjunkt. Also ist <math>(B \cap A_1, B \cap A_2, \ldots, B \cap A_m)</math> eine [[bedingte Wahrscheinlichkeit#ZerlegungDef|disjunkte Zerlegung]] von <math>B</math>. === Schritt 3 - Anwendung der Additivität der Wahrscheinlichkeit === Nach dem Axiom der <math>\sigma</math>-Additivität erlaubt insbesondere die Anwendung auf endliche Summen von disjunkte Ereignisse glt: :<math> P(B) = P\left( \bigcup_{j=1}^m (B \cap A_j) \right) = \sum_{j=1}^m P(B \cap A_j) </math> === Schritt 4 - Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit === Für jedes <math>j</math> mit <math>P(A_j) > 0</math> ist die bedingte Wahrscheinlichkeit definiert als: :<math> P(B \mid A_j) = \frac{P(B \cap A_j)}{P(A_j)} </math> Durch Umformung erhält man: :<math> P(B \cap A_j) = P(A_j) \cdot P(B \mid A_j) </math> ==== Schritt 5 - Einsetzen in die Summe ==== Setze dies in die Gleichung aus Schritt 3 ein: :<math> P(B) = \sum_{j=1}^m P(B \cap A_j) = \sum_{j=1}^m P(A_j) \cdot P(B \mid A_j) </math> Insgesamt erhält man die Aussage des Satzes über die totale Wahrscheinlichkeit :<math> {P(B) = \sum_{j=1}^m P(A_j) \cdot P(B \mid A_j)} </math> === Aufgabe für Studierende === Beweisen Sie den Satz der totalen Wahrscheinlichkeit in der Übung und begründen Sie jeden Teilschritte über die Zerlegung von <math>\Omega</math> und der Zerlegung von <math>B</math>. Fertigen Sie für die Beweisvorstellung Skizze an, die das Vorgehen im Beweis eräutert. [[Datei:Audio de 13 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Formel Totale Wahrscheinlichkeit]] <span id="Satz_von_Bayes"></span> == Satz - Formel von Bayes == Ist <math> P </math> eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf <math> \Omega </math>, <math> ( A_1, ... ,A_m ) </math> einer Zerlegung von <math>\Omega </math> auf <math>(\Omega,\mathcal{S})</math> , so gilt für jedes <math> B \in \mathcal{S} </math> mit <math> P(B) > 0 </math> und <math> i= 1, ... ,m </math> :<math>P(A_i|B) = \frac {P(B|A_i) \cdot P(A_i)} { \sum_{j=1}^{m} P(B|A_j) \cdot P(A_j) }.</math> [[Datei:Audio de 14 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Satz von Bayes]] === Beweis === :<math>P(A_i|B) = \frac {P(A_i\cap B)}{P(B)} = \frac{P(B|A_i) \cdot P(A_i)}{\sum_{j=1}^{m} P(B|A_j) \cdot P(A_j)} </math> [[Datei:Audio de 15 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Satz von Bayes - Beweis]] ==== Bemerkung==== Man beachte, dass auf der linken und rechten Seite "Argument und Bedingung" vertauscht auftreten. In einer außermathematischen Deutung spielen <math> A_j </math> die Rolle von (verschiedenen) Ursachen für die Wirkung von <math> B </math>. [[Datei:Audio de 16 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Satz von Bayes - Bemerkung]] ==== Beispiel (Test auf eine Krankheit) ==== <math> \Omega </math> sei die Gesamtheit der Personen aus der Bevölkerung. <math> p \cdot 100\% </math> der Bevölkerung (<math>K \subset \Omega </math>) leidet an der Krankheit. Ein Test für diese Krankheit spreche bei <math> k \cdot 100\% </math> der Kranken aus <math>K</math> an und bei <math> g \cdot 100\% </math> der Gesunden (<math>\Omega \setminus K</math>) positiv an (<math>k =</math> Sensitivität, <math>1-g =</math> Spezifität des Testes). Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat eine zufällig ausgewählte Person <math>\omega \in \Omega</math> die Krankheit, * wenn der Test positiv ausfällt? * wenn der Test negativ ausfällt? [[Datei:Audio de 17 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Satz von Bayes - Beispiel]] <span id="Produktformel"></span> == Produktformel- bedingte Wahrscheinlichkeit == Sei <math>P</math> eine [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] auf <math> \Omega </math> und seien <math> A_1, ... ,A_n \subset \Omega </math> mit <math> P( A_1 \cap ... \cap A_{n-1} )>0 </math>. Dann gilt die sogenannte "Produktformel": :<math> P( A_1 \cap ... \cap A_n) = P(A_1) \cdot P(A_2 | A_1) \cdot P(A_3 | A_1 \cap A_2) \cdot ... \cdot P(A_n | A_1 \cap ... \cap A_{n-1}) </math> [[Datei:Audio de 18 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Produktformel - Satz]] == Beweis - Produktformel == Allgemein für [[Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaße]] gilt für <math>C_1\subseteq C_2</math> mit <math>C_1,C_2 \in \mathcal{S}</math> auch <math>P(C_1)\leq P(C_2)</math>. Diese Eigenschaft wendet man auf die folgende Teilmengenbeziehung an: :<math>A_1 \supseteq A_1 \cap A_2\supseteq ... \supseteq A_1 \cap ... \cap A_{n-1}</math> === Beweisschritt 1 - Produktformel === Die Anwendung des Wahrscheinlichkeitsmaßes auf die Teilmengenbeziehung der obigen Vorüberlegung liefert: :<math>P(A_1) \ge P(A_1 \cap A_2) \ge ... \ge P(A_1 \cap ... \cap A_{n-1}) >0.</math> === Beweisschritt 2 - Produktformel === Wegen <math>P(A_1 \cap ... \cap A_{n-2})\leq P(A_1 \cap ... \cap A_{n-1}) >0</math> ist die folgende bedingte Wahrscheinlichkeit wohldefiniert: :<math> P( A_1 \cap ... \cap A_n) = P( A_1 \cap ... \cap A_{n-1} ) \cdot P( A_n | A_1 \cap ... \cap A_{n-1} ) </math> === Beweisschritt 3 - Produktformel === Nun ist wegen Beweisschritt 1 auch <math> P( A_1 \cap ... \cap A_{n-2} ) > 0 </math> gegeben und man kann wiederum :<math> P( A_1 \cap ... \cap A_{n}) = </math> :<math> \quad = P( A_1 \cap ... \cap A_{n-2}) \cdot P( A_{n-1} | A_1 \cap ... \cap A_{n-2} ) \cdot P( A_n | A_1 \cap ... \cap A_{n-1} ) </math> === Beweisschritt 4 - Produktformel === Wenn man dieses Vorgehen iteriert auf Wahrscheinlickeiten der Schnittmengen anwendet erhält man die Produktformel: :<math> P(A_1 \cap ... \cap A_{n}) = </math> :<math> \quad = P(A_1) \cdot P(A_2 | A_1) \cdot P(A_3 | A_1 \cap A_2) \cdot ... \cdot P(A_n | A_1 \cap ... \cap A_{n-1}) \ \Box</math> [[Datei:Audio de 19 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Produktformel - Satz - Beweis]] ==== Bemerkung ==== Dieser Satz verallgemeinert die Formel <math>P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A). </math> [[Datei:Audio de 20 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Produktformel - Bemerkung]] == Siehe auch == * [[stochastische Unabhängigkeit]] * [[bedingte Wahrscheinlichkeit#ZerlegungDef|disjunkte Zerlegung einer Menge]] == Seiten-Information == Der [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Bedingte+Wahrscheinlichkeit&author=Kurs%3A+Stochastik&audioslide=no&language=de Foliensatz] für diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Bedingte%20Wahrscheinlichkeit Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Bedingte_Wahrscheinlichkeit Bedingte Wahrscheinlichkeit] https://de.wikipedia.org/wiki/Bedingte_Wahrscheinlichkeit * Datum: 5.11.2018 * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity]-Konverter: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity * [https://niebert.github.com/Wiki2Reveal Wiki2Reveal Link-Generator] * Dieser Foliensatz gehört zum [[Kurs:Stochastik]] [[Category:Wiki2Reveal]] aveh5f1ulvjyc9xeioiwcf74nl2x77n 1118736 1118680 2026-11-03T10:03:02Z Bert Niehaus 20843 /* Schritt 5 - Einsetzen in die Summe */ 1118736 wikitext text/x-wiki [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|146px|mini|Kurs enthält [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] Audio-Folien]] == Einleitung == Diese Lerneinheit aus der [[Kurs:Stochastik|Stochastik]] behandelt folgende Inhalte: * [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Definition|Definition - Bedingte Wahrscheinlichkeit]] * [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Zerlegungssatz|Zerlegungssatz]] * [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Satz_von_Bayes|Satz von Bayes]] * [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Satz_totale_Wahrscheinlichkeit|Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit]] * [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Produktformel|Produktformel]] === Einführendes Beispiel - bedingte Wahrscheinlichkeit=== Gegeben sei ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum <math>(\Omega,\mathcal{S},P) </math>, Gleichverteilung über <math>(\Omega,\mathcal{S}) </math> und <math>\mathcal{S} := \wp((\Omega) </math>. <math> A,B \subset \Omega, A\neq \varnothing </math>. In dem einführenden Beispiel betrachten wir die Ereignisse: * <math>A</math>: Stochastik-Klausur bestanden * <math>B</math>: Fachwissenschaftliche Grundlagen mit 4,0 bestanden * Mit welcher Wahrscheinlichkeit <math>P(A|B)</math> besteht man die Stochastik-Klausur <math>A</math>, wenn man die Klausur zu den fachwissenschaftlichen Grundlagen nur mit 4,0 bestanden hat (d.h. <math>B</math> erfüllt ist)? [[Datei:Audio de 1 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Einleitung]] === Vorüberlegung === Wir nehmen an, dass das Ereignis <math> B </math> eintritt. Welche Definition ist sinnvoll für die Wahrscheinlichkeit von <math> B </math>, unter der Bedingung, dass <math> A </math> eingetreten ist? # Wenn die Bedingung <math> B </math> eintritt, so kann <math> A </math> nur dann eintreten, wenn das Ereignis <math> A \cap B </math> eintritt. # Wir konzentrieren uns auf die Realisationen <math> \omega \in A </math> und betrachten sie als gleichwahrscheinlich ([[w:de:Laplace-Verteilung|Laplace-Verteilung]]). # Allgemein gilt dann <math> P(C) = \frac {| C | }{ | \Omega |} </math> für alle <math>C \in \mathcal{S}</math>. [[Datei:Audio de 2 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Vorlüberlegung]] === Berechnung mit Laplace-Verteilung === Damit kann die Wahrscheinlichkeit von <math> A </math> unter der Bedingung <math> B </math> wie folgt definiert werden: :<math> P(A|B) := \frac {| A\cap B | }{ | B |} = \frac { \tfrac{|A \cap B | }{| \Omega | }} { \tfrac{| B |}{| \Omega | }}= \frac {P (A \cap B)}{ P(B)} </math> Dabei wurde der Bruch mit <math>\frac {1}{| \Omega |}</math> erweitert, um in Zähler und Nenner die Laplace-Wahrscheinlichkeiten für die Ereignisse <math> A \cap B </math> und <math> B </math> zu erzeugen. [[Datei:Audio de 3 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Berechnung mit Laplace-Verteilung]] <span id="Definition"></span> == Definition - bedingte Wahrscheinlichkeit == Sei <math> (\Omega,\mathcal{S},P) </math> ein Wahrscheinlichkeitsraum, <math> A \in \mathcal{S} </math> mit <math> P (B) >0 </math>. <br> a) Die Abbildung <math> P( \cdot | B): \mathcal{S} \to [0,1] </math>, die gemäß <math> P (A | B) = \frac {P(A \cap B)}{P(B)}, A,B \in \mathcal{S} </math> definiert ist, heißt bedingte Wahrscheinlichkeitsverteilung über <math> \Omega </math> unter (der Bedingung) <math> B </math>. <br> b) Die Zahl <math> P(A|B) </math> heißt bedingte Wahrscheinlichkeit von <math> A </math> unter (der Bedingung) <math> B </math>. [[Datei:Audio de 4 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Definition]] === Aufgabe - bedingte Wahrscheinlickeitsverteilung === Sei <math>(\Omega,\mathcal{S},P)</math> ein Wahrscheinlichkeitsraum. Weisen Sie für die Abbildung <math>\widetilde{P}</math> nach, dass diese die Eigenschaften eines Wahrscheinlichkeitsmaßes auf <math>(\Omega,\mathcal{S})</math> erfüllt. :<math> \begin{array}{rrcl} \widetilde{P}: & \mathcal{S} & \rightarrow & [0,1] \\ & A & \mapsto & \widetilde{P}(A) = P(A|B) \end{array} </math> === Aufgaben - Wahrscheinlichkeit auf Bedingung konzentriert=== Es gilt <math> P(\Omega|B) = 1 </math>. Die Wahrscheinlichkeit von <math> P( \cdot |B) </math> ist allerdings auf <math> B </math> konzentriert". * Zeigen Sie dazu, dass <math> P(A|B) = 0 </math> für alle <math> A \subset \bar B = \Omega\setminus B </math> <!-- denn: <math> P(A|B) = \frac {P (A \cap B)} {P(B)} = \frac {P (\emptyset)} {P(B)} = 0 </math> --> * Zeigen Sie, dass für <math> B \subset A </math>, <math> A \not= B </math> gilt, dass <math> P(A|B) = 1</math> (Hinweis: Zeigen Sie, dass <math> P(\bar A|B) = 0</math> gilt!) [[Datei:Audio de 5 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Aufgabenstellung]] === Anmerkung === Formt man die Definitionsformel von oben um zu <math> P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A|B) </math>, so kann man die Wahrscheinlichkeit des gleichzeitig Eintretens von <math> A </math> und <math> B </math> mithilfe der bedingten Wahrscheinlichkeit darstellen. Wir betrachten im Nachfolgenden eine Technik, eine Wahrscheinlichkeit auf <math> \Omega </math> durch bedingten Wahrscheinlichkeiten zusammenzusetzen. <span id="ZerlegungDef"></span> === Definition - Zerlegung === <math> (A_1, ..., A_m) </math> heißt [[bedingte Wahrscheinlichkeit#ZerlegungDef|Zerlegung]] von <math> \Omega </math> auf <math> (\Omega,\mathcal{S}) </math>, falls <math>\bigcup_{i=1} ^{m} A_i = \Omega, A_i \cap A_j = \varnothing </math> für alle <math> i \neq j </math> und <math>A_i, A_j \in \mathcal{S}</math>. === Motivation - Auswahl mit beschränkten Optionen === Als Beispiel werden 100 verschiedene Spiele <math>\Omega</math> auf <math>m</math> verschiedene Spielekisten <math>A_1, \ldots , A_m</math> verteilt. Es gibt <math>m\in \mathbb{N}</math> Personen und jede Person bekommt eine Kiste. Jede Person <math>i</math> kann nur Spiele aus der eigenen Kiste <math>A_i</math> und nicht aus anderen Kisten <math>A_j</math> auswählen mit <math>i\neq j</math>. Es gibt für jede der <math>i</math> Personen präferiert Spiele und daher gibt es eine Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>{Q_A}_i</math> (''"Qual der Wahl aus <math>A_i</math> aus der Spielekiste"''), die die Wahrscheinlichkeit beschreibt, ein Spiel bestimmtes Spiel aus der eigenen Spielekiste auszuwählen. Die Wahrscheinlichkeit ist auf <math>A_i</math> konzentriert, da die Spieler nur aus der eigenen Kiste auswählen können. == Zerlegungssatz == Sei <math>(A_1, ... ,A_m )</math> eine [[bedingte Wahrscheinlichkeit#ZerlegungDef|Zerlegung]] von <math>\Omega </math> auf <math> (\Omega,\mathcal{S})</math>. Für jedes <math> i = 1, ...,m </math> sei eine auf <math>A_i</math> konzentrierte Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>Q_{A_i}</math> auf <math>(\Omega,\mathcal{S} ) </math> gegeben (d.h. <math>{Q_A}_i (A_i) = 1 </math>) sowie Zahlen <math>p_i \in ( 0,1]</math> mit <math>\sum _{i = 1} ^{m} p_i = 1 </math>. <br> * (a) Dann existiert genau eine Wahrscheinlichkeitsverteilung <math> P </math> auf <math> \Omega </math> mit <br> ** (i) <math>P(A_i) = p_i > 0</math>. <br> ** (ii) <math>P(B|A_i) = {Q_A}_i(B)</math>, falls <math>p_i >0 </math> für alle <math>i=1, ...,m </math>. <br> * (b) Es gilt <math> P(B) = \sum _{i=1} ^{m} p_i \cdot {Q_A}_i(B) </math> für jedes <math> B \in \mathcal{S} </math>. === Beweis - Zerlegungssatz === Der Beweis gliedert sich in eine Existenzaussage für <math>P</math> und eine Eindeutigkeitsaussage, bei der die Existenz einer weiteren Wahrscheinlichkeitsverteilung für <math>\widetilde{P}</math> auf <math>\mathcal{S}</math> angenommen wird. Dann wird gezeigt, dass <math>\widetilde{P} = P</math> gilt bzw. <math>\widetilde{P}(B) = P(B)</math> für beliebige <math>B\in\mathcal{S}</math> gilt. ==== Beweis Existenz (i)==== Man definiere <math> P</math> gemäß Formel b) und rechnet nach, dass <math>P</math> die Eigenschaften eines [[Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaßes]] auf <math>\Omega </math> besitzt: * <math>P(A)\geq 0</math> für alle <math>A\in \mathcal{S}</math>, * <math>P(\Omega) = 1</math> * Nachweis der <math>\sigma</math>-Additivität von <math>P</math> über die <math>\sigma</math>-Additivität der Wahrscheinlichkeitsmaße <math>Q_{A_i}</math> nachweisen. ==== Beweis Existenz (i) - paarweise disjunkt==== Da die Wahrscheinlichkeitsmasse von den Wahrscheinlichkeitsmaßen <math>Q_{A_i}</math> auf <math>A_i</math> konzentriert ist, gilt für die paarweise disjunkten <math> A_i</math> aus der Zerlegung <math>(A_1,\ldots ,A_m)</math> folgende Eigenschaft: :<math>{Q_A}_i(A_j) = \left \{ \begin{array}{ll} 0, & i \neq j\\ 1, & i = j \end{array}\right. </math> Daraus folgt sofort (ai) <math>P(A_k) = \sum _{i=1} ^{m} p_i \cdot {Q_A}_i(A_k) = p_k</math>. [[Datei:Audio de 10 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Zerlegungsatz 2]] ==== Beweis Existenz (ii)==== Für ein beliebiges <math>p_i > 0 </math> und <math> B \in \mathcal{S} </math> gilt mit Anwendung der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit: :<math> P(B|A_i) = \frac {P(A_i \cap B)}{ P(A_i)} = \frac {1} {p_i} \sum _{j=1} ^{m} p_j \cdot {Q_A}_j (A_i \cap B) = </math> :<math>= \frac {p_i} {p_i} ({Q_A}_i (A_i \cap B) + {Q_A}_i( \bar A_i \cap B) = {Q_A}_i(B) )</math> also ii). [[Datei:Audio de 11 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Zerlegungsatz 3]] ==== Beweis Eindeutigkeit ==== Sei <math> \tilde P </math> eine (weitere) Wahrscheinlichkeitsverteilung auf <math> (\Omega,\mathcal{S}) </math>, die (ai) und (aii) erfüllt. Dann gilt für <math> B \subset \Omega </math> und wegen <math> B= \Omega \cap B = \left( \bigcup _{j=1}^{m} A_j \right) \cap B</math> die Gleichung :<math>\tilde P (B) = \tilde P \left( \bigcup_ {j=1}^{m} A_j \cap B \right)= \sum _{j=1}^{m} \tilde P (A_j \cap B) = </math> :<math> = \sum _{j=1}^{m} \tilde P (A_j) \cdot \tilde P (B|A_j) \stackrel{(i),(ii)}{=} \sum _{j=1}^{m} p_j {Q_A}_j(B) = P(B) . \qquad \Box</math> [[Datei:Audio de 12 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Zerlegungsatz 4]] <span id="totale_Wahrscheinlichkeit"></span> == Satz der totalen Wahrscheinlichkeit == Sei <math>(\Omega ,\mathcal{S}, P)</math> ein [[Wahrscheinlichkeitsraum]] und <math> (A_1,\ldots , A_m) </math> eine [[Mengenzerlegung (Stochastik)|Zerlegung]] von <math>\Omega</math> auf <math>(\Omega,\mathcal{S})</math> mit <math>P(A_j) > 0</math> für alle <math>j = 1, \ldots, m</math>. Für jedes <math> B \subset \Omega </math> und gilt also für alle <math>B \in \mathcal{S}</math>: :<math> P(B) = \sum _{j=1} ^{m} P(A_j) \cdot P(B|A_j)</math> ("Formel der totalen Wahrscheinlichkeit"). == Beweis - Satz - totale Wahrscheinlichkeit == Nach Voraussetzung gilt <math>P(A_j) > 0</math> für alle <math>j = 1, \ldots, m</math> und damit sind die bedingten Wahrscheinlichkeiten <math>P(B \mid A_j)</math> definiert, weil <math>P(A_j)</math> im Nenner der Definition der [[bedingte Wahrscheinlichkeit#Definition|bedingten Warscheinlichkeit]] auf tritt. === Schritt 1 - Zerlegung von Omega === Da die <math>A_j</math> eine [[bedingte Wahrscheinlichkeit#ZerlegungDef|Zerlegung]] von <math>\Omega</math> bilden, sind die <math>A_j</math> paarweise disjunkt nach Definition und auch die <math>B\cap A_j</math> sind als Teilmengen von <math>A_j</math> paarweise disjunkt. Damit gilt: :<math> \Omega = \bigcup_{j=1}^m A_j \quad \text{(disjunkt)} </math> === Schritt 2 - Zerlegung von B === Mit der Teilmengenbeziehung <math>B\cap A_j\subset A_j</math> Dann folgt für jedes <math>B \in \mathcal{S}</math> und der verallgemeinerten Anwendung <math>B \cap (A_1 \cup A_2) = (B\cap A_1) \cup (B\cap A_2)</math>: :<math> B = B \cap \Omega = B \cap \left( \bigcup_{j=1}^m A_j \right) = \bigcup_{j=1}^m (B \cap A_j) </math> Da die <math>A_j</math> disjunkt sind, sind auch die Schnitte <math>B \cap A_j</math> disjunkt. Also ist <math>(B \cap A_1, B \cap A_2, \ldots, B \cap A_m)</math> eine [[bedingte Wahrscheinlichkeit#ZerlegungDef|disjunkte Zerlegung]] von <math>B</math>. === Schritt 3 - Anwendung der Additivität der Wahrscheinlichkeit === Nach dem Axiom der <math>\sigma</math>-Additivität erlaubt insbesondere die Anwendung auf endliche Summen von disjunkte Ereignisse glt: :<math> P(B) = P\left( \bigcup_{j=1}^m (B \cap A_j) \right) = \sum_{j=1}^m P(B \cap A_j) </math> === Schritt 4 - Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit === Für jedes <math>j</math> mit <math>P(A_j) > 0</math> ist die bedingte Wahrscheinlichkeit definiert als: :<math> P(B \mid A_j) = \frac{P(B \cap A_j)}{P(A_j)} </math> Durch Umformung erhält man: :<math> P(B \cap A_j) = P(A_j) \cdot P(B \mid A_j) </math> === Schritt 5 - Einsetzen in die Summe === Setze dies in die Gleichung aus Schritt 3 ein: :<math> P(B) = \sum_{j=1}^m P(B \cap A_j) = \sum_{j=1}^m P(A_j) \cdot P(B \mid A_j) </math> Insgesamt erhält man die Aussage des Satzes über die totale Wahrscheinlichkeit :<math> {P(B) = \sum_{j=1}^m P(A_j) \cdot P(B \mid A_j)} </math> === Aufgabe für Studierende === Beweisen Sie den Satz der totalen Wahrscheinlichkeit in der Übung und begründen Sie jeden Teilschritte über die Zerlegung von <math>\Omega</math> und der Zerlegung von <math>B</math>. Fertigen Sie für die Beweisvorstellung Skizze an, die das Vorgehen im Beweis eräutert. [[Datei:Audio de 13 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Formel Totale Wahrscheinlichkeit]] <span id="Satz_von_Bayes"></span> == Satz - Formel von Bayes == Ist <math> P </math> eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf <math> \Omega </math>, <math> ( A_1, ... ,A_m ) </math> einer Zerlegung von <math>\Omega </math> auf <math>(\Omega,\mathcal{S})</math> , so gilt für jedes <math> B \in \mathcal{S} </math> mit <math> P(B) > 0 </math> und <math> i= 1, ... ,m </math> :<math>P(A_i|B) = \frac {P(B|A_i) \cdot P(A_i)} { \sum_{j=1}^{m} P(B|A_j) \cdot P(A_j) }.</math> [[Datei:Audio de 14 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Satz von Bayes]] === Beweis === :<math>P(A_i|B) = \frac {P(A_i\cap B)}{P(B)} = \frac{P(B|A_i) \cdot P(A_i)}{\sum_{j=1}^{m} P(B|A_j) \cdot P(A_j)} </math> [[Datei:Audio de 15 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Satz von Bayes - Beweis]] ==== Bemerkung==== Man beachte, dass auf der linken und rechten Seite "Argument und Bedingung" vertauscht auftreten. In einer außermathematischen Deutung spielen <math> A_j </math> die Rolle von (verschiedenen) Ursachen für die Wirkung von <math> B </math>. [[Datei:Audio de 16 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Satz von Bayes - Bemerkung]] ==== Beispiel (Test auf eine Krankheit) ==== <math> \Omega </math> sei die Gesamtheit der Personen aus der Bevölkerung. <math> p \cdot 100\% </math> der Bevölkerung (<math>K \subset \Omega </math>) leidet an der Krankheit. Ein Test für diese Krankheit spreche bei <math> k \cdot 100\% </math> der Kranken aus <math>K</math> an und bei <math> g \cdot 100\% </math> der Gesunden (<math>\Omega \setminus K</math>) positiv an (<math>k =</math> Sensitivität, <math>1-g =</math> Spezifität des Testes). Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat eine zufällig ausgewählte Person <math>\omega \in \Omega</math> die Krankheit, * wenn der Test positiv ausfällt? * wenn der Test negativ ausfällt? [[Datei:Audio de 17 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Satz von Bayes - Beispiel]] <span id="Produktformel"></span> == Produktformel- bedingte Wahrscheinlichkeit == Sei <math>P</math> eine [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] auf <math> \Omega </math> und seien <math> A_1, ... ,A_n \subset \Omega </math> mit <math> P( A_1 \cap ... \cap A_{n-1} )>0 </math>. Dann gilt die sogenannte "Produktformel": :<math> P( A_1 \cap ... \cap A_n) = P(A_1) \cdot P(A_2 | A_1) \cdot P(A_3 | A_1 \cap A_2) \cdot ... \cdot P(A_n | A_1 \cap ... \cap A_{n-1}) </math> [[Datei:Audio de 18 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Produktformel - Satz]] == Beweis - Produktformel == Allgemein für [[Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaße]] gilt für <math>C_1\subseteq C_2</math> mit <math>C_1,C_2 \in \mathcal{S}</math> auch <math>P(C_1)\leq P(C_2)</math>. Diese Eigenschaft wendet man auf die folgende Teilmengenbeziehung an: :<math>A_1 \supseteq A_1 \cap A_2\supseteq ... \supseteq A_1 \cap ... \cap A_{n-1}</math> === Beweisschritt 1 - Produktformel === Die Anwendung des Wahrscheinlichkeitsmaßes auf die Teilmengenbeziehung der obigen Vorüberlegung liefert: :<math>P(A_1) \ge P(A_1 \cap A_2) \ge ... \ge P(A_1 \cap ... \cap A_{n-1}) >0.</math> === Beweisschritt 2 - Produktformel === Wegen <math>P(A_1 \cap ... \cap A_{n-2})\leq P(A_1 \cap ... \cap A_{n-1}) >0</math> ist die folgende bedingte Wahrscheinlichkeit wohldefiniert: :<math> P( A_1 \cap ... \cap A_n) = P( A_1 \cap ... \cap A_{n-1} ) \cdot P( A_n | A_1 \cap ... \cap A_{n-1} ) </math> === Beweisschritt 3 - Produktformel === Nun ist wegen Beweisschritt 1 auch <math> P( A_1 \cap ... \cap A_{n-2} ) > 0 </math> gegeben und man kann wiederum :<math> P( A_1 \cap ... \cap A_{n}) = </math> :<math> \quad = P( A_1 \cap ... \cap A_{n-2}) \cdot P( A_{n-1} | A_1 \cap ... \cap A_{n-2} ) \cdot P( A_n | A_1 \cap ... \cap A_{n-1} ) </math> === Beweisschritt 4 - Produktformel === Wenn man dieses Vorgehen iteriert auf Wahrscheinlickeiten der Schnittmengen anwendet erhält man die Produktformel: :<math> P(A_1 \cap ... \cap A_{n}) = </math> :<math> \quad = P(A_1) \cdot P(A_2 | A_1) \cdot P(A_3 | A_1 \cap A_2) \cdot ... \cdot P(A_n | A_1 \cap ... \cap A_{n-1}) \ \Box</math> [[Datei:Audio de 19 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Produktformel - Satz - Beweis]] ==== Bemerkung ==== Dieser Satz verallgemeinert die Formel <math>P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A). </math> [[Datei:Audio de 20 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Produktformel - Bemerkung]] == Siehe auch == * [[stochastische Unabhängigkeit]] * [[bedingte Wahrscheinlichkeit#ZerlegungDef|disjunkte Zerlegung einer Menge]] == Seiten-Information == Der [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Bedingte+Wahrscheinlichkeit&author=Kurs%3A+Stochastik&audioslide=no&language=de Foliensatz] für diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Bedingte%20Wahrscheinlichkeit Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Bedingte_Wahrscheinlichkeit Bedingte Wahrscheinlichkeit] https://de.wikipedia.org/wiki/Bedingte_Wahrscheinlichkeit * Datum: 5.11.2018 * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity]-Konverter: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity * [https://niebert.github.com/Wiki2Reveal Wiki2Reveal Link-Generator] * Dieser Foliensatz gehört zum [[Kurs:Stochastik]] [[Category:Wiki2Reveal]] ekzmbs7gyj63r5li8b1wxhze19eg202 1118737 1118736 2026-11-03T10:03:50Z Bert Niehaus 20843 /* Schritt 5 - Einsetzen in die Summe */ 1118737 wikitext text/x-wiki [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|146px|mini|Kurs enthält [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] Audio-Folien]] == Einleitung == Diese Lerneinheit aus der [[Kurs:Stochastik|Stochastik]] behandelt folgende Inhalte: * [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Definition|Definition - Bedingte Wahrscheinlichkeit]] * [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Zerlegungssatz|Zerlegungssatz]] * [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Satz_von_Bayes|Satz von Bayes]] * [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Satz_totale_Wahrscheinlichkeit|Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit]] * [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Produktformel|Produktformel]] === Einführendes Beispiel - bedingte Wahrscheinlichkeit=== Gegeben sei ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum <math>(\Omega,\mathcal{S},P) </math>, Gleichverteilung über <math>(\Omega,\mathcal{S}) </math> und <math>\mathcal{S} := \wp((\Omega) </math>. <math> A,B \subset \Omega, A\neq \varnothing </math>. In dem einführenden Beispiel betrachten wir die Ereignisse: * <math>A</math>: Stochastik-Klausur bestanden * <math>B</math>: Fachwissenschaftliche Grundlagen mit 4,0 bestanden * Mit welcher Wahrscheinlichkeit <math>P(A|B)</math> besteht man die Stochastik-Klausur <math>A</math>, wenn man die Klausur zu den fachwissenschaftlichen Grundlagen nur mit 4,0 bestanden hat (d.h. <math>B</math> erfüllt ist)? [[Datei:Audio de 1 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Einleitung]] === Vorüberlegung === Wir nehmen an, dass das Ereignis <math> B </math> eintritt. Welche Definition ist sinnvoll für die Wahrscheinlichkeit von <math> B </math>, unter der Bedingung, dass <math> A </math> eingetreten ist? # Wenn die Bedingung <math> B </math> eintritt, so kann <math> A </math> nur dann eintreten, wenn das Ereignis <math> A \cap B </math> eintritt. # Wir konzentrieren uns auf die Realisationen <math> \omega \in A </math> und betrachten sie als gleichwahrscheinlich ([[w:de:Laplace-Verteilung|Laplace-Verteilung]]). # Allgemein gilt dann <math> P(C) = \frac {| C | }{ | \Omega |} </math> für alle <math>C \in \mathcal{S}</math>. [[Datei:Audio de 2 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Vorlüberlegung]] === Berechnung mit Laplace-Verteilung === Damit kann die Wahrscheinlichkeit von <math> A </math> unter der Bedingung <math> B </math> wie folgt definiert werden: :<math> P(A|B) := \frac {| A\cap B | }{ | B |} = \frac { \tfrac{|A \cap B | }{| \Omega | }} { \tfrac{| B |}{| \Omega | }}= \frac {P (A \cap B)}{ P(B)} </math> Dabei wurde der Bruch mit <math>\frac {1}{| \Omega |}</math> erweitert, um in Zähler und Nenner die Laplace-Wahrscheinlichkeiten für die Ereignisse <math> A \cap B </math> und <math> B </math> zu erzeugen. [[Datei:Audio de 3 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Berechnung mit Laplace-Verteilung]] <span id="Definition"></span> == Definition - bedingte Wahrscheinlichkeit == Sei <math> (\Omega,\mathcal{S},P) </math> ein Wahrscheinlichkeitsraum, <math> A \in \mathcal{S} </math> mit <math> P (B) >0 </math>. <br> a) Die Abbildung <math> P( \cdot | B): \mathcal{S} \to [0,1] </math>, die gemäß <math> P (A | B) = \frac {P(A \cap B)}{P(B)}, A,B \in \mathcal{S} </math> definiert ist, heißt bedingte Wahrscheinlichkeitsverteilung über <math> \Omega </math> unter (der Bedingung) <math> B </math>. <br> b) Die Zahl <math> P(A|B) </math> heißt bedingte Wahrscheinlichkeit von <math> A </math> unter (der Bedingung) <math> B </math>. [[Datei:Audio de 4 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Definition]] === Aufgabe - bedingte Wahrscheinlickeitsverteilung === Sei <math>(\Omega,\mathcal{S},P)</math> ein Wahrscheinlichkeitsraum. Weisen Sie für die Abbildung <math>\widetilde{P}</math> nach, dass diese die Eigenschaften eines Wahrscheinlichkeitsmaßes auf <math>(\Omega,\mathcal{S})</math> erfüllt. :<math> \begin{array}{rrcl} \widetilde{P}: & \mathcal{S} & \rightarrow & [0,1] \\ & A & \mapsto & \widetilde{P}(A) = P(A|B) \end{array} </math> === Aufgaben - Wahrscheinlichkeit auf Bedingung konzentriert=== Es gilt <math> P(\Omega|B) = 1 </math>. Die Wahrscheinlichkeit von <math> P( \cdot |B) </math> ist allerdings auf <math> B </math> konzentriert". * Zeigen Sie dazu, dass <math> P(A|B) = 0 </math> für alle <math> A \subset \bar B = \Omega\setminus B </math> <!-- denn: <math> P(A|B) = \frac {P (A \cap B)} {P(B)} = \frac {P (\emptyset)} {P(B)} = 0 </math> --> * Zeigen Sie, dass für <math> B \subset A </math>, <math> A \not= B </math> gilt, dass <math> P(A|B) = 1</math> (Hinweis: Zeigen Sie, dass <math> P(\bar A|B) = 0</math> gilt!) [[Datei:Audio de 5 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Aufgabenstellung]] === Anmerkung === Formt man die Definitionsformel von oben um zu <math> P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A|B) </math>, so kann man die Wahrscheinlichkeit des gleichzeitig Eintretens von <math> A </math> und <math> B </math> mithilfe der bedingten Wahrscheinlichkeit darstellen. Wir betrachten im Nachfolgenden eine Technik, eine Wahrscheinlichkeit auf <math> \Omega </math> durch bedingten Wahrscheinlichkeiten zusammenzusetzen. <span id="ZerlegungDef"></span> === Definition - Zerlegung === <math> (A_1, ..., A_m) </math> heißt [[bedingte Wahrscheinlichkeit#ZerlegungDef|Zerlegung]] von <math> \Omega </math> auf <math> (\Omega,\mathcal{S}) </math>, falls <math>\bigcup_{i=1} ^{m} A_i = \Omega, A_i \cap A_j = \varnothing </math> für alle <math> i \neq j </math> und <math>A_i, A_j \in \mathcal{S}</math>. === Motivation - Auswahl mit beschränkten Optionen === Als Beispiel werden 100 verschiedene Spiele <math>\Omega</math> auf <math>m</math> verschiedene Spielekisten <math>A_1, \ldots , A_m</math> verteilt. Es gibt <math>m\in \mathbb{N}</math> Personen und jede Person bekommt eine Kiste. Jede Person <math>i</math> kann nur Spiele aus der eigenen Kiste <math>A_i</math> und nicht aus anderen Kisten <math>A_j</math> auswählen mit <math>i\neq j</math>. Es gibt für jede der <math>i</math> Personen präferiert Spiele und daher gibt es eine Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>{Q_A}_i</math> (''"Qual der Wahl aus <math>A_i</math> aus der Spielekiste"''), die die Wahrscheinlichkeit beschreibt, ein Spiel bestimmtes Spiel aus der eigenen Spielekiste auszuwählen. Die Wahrscheinlichkeit ist auf <math>A_i</math> konzentriert, da die Spieler nur aus der eigenen Kiste auswählen können. == Zerlegungssatz == Sei <math>(A_1, ... ,A_m )</math> eine [[bedingte Wahrscheinlichkeit#ZerlegungDef|Zerlegung]] von <math>\Omega </math> auf <math> (\Omega,\mathcal{S})</math>. Für jedes <math> i = 1, ...,m </math> sei eine auf <math>A_i</math> konzentrierte Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>Q_{A_i}</math> auf <math>(\Omega,\mathcal{S} ) </math> gegeben (d.h. <math>{Q_A}_i (A_i) = 1 </math>) sowie Zahlen <math>p_i \in ( 0,1]</math> mit <math>\sum _{i = 1} ^{m} p_i = 1 </math>. <br> * (a) Dann existiert genau eine Wahrscheinlichkeitsverteilung <math> P </math> auf <math> \Omega </math> mit <br> ** (i) <math>P(A_i) = p_i > 0</math>. <br> ** (ii) <math>P(B|A_i) = {Q_A}_i(B)</math>, falls <math>p_i >0 </math> für alle <math>i=1, ...,m </math>. <br> * (b) Es gilt <math> P(B) = \sum _{i=1} ^{m} p_i \cdot {Q_A}_i(B) </math> für jedes <math> B \in \mathcal{S} </math>. === Beweis - Zerlegungssatz === Der Beweis gliedert sich in eine Existenzaussage für <math>P</math> und eine Eindeutigkeitsaussage, bei der die Existenz einer weiteren Wahrscheinlichkeitsverteilung für <math>\widetilde{P}</math> auf <math>\mathcal{S}</math> angenommen wird. Dann wird gezeigt, dass <math>\widetilde{P} = P</math> gilt bzw. <math>\widetilde{P}(B) = P(B)</math> für beliebige <math>B\in\mathcal{S}</math> gilt. ==== Beweis Existenz (i)==== Man definiere <math> P</math> gemäß Formel b) und rechnet nach, dass <math>P</math> die Eigenschaften eines [[Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaßes]] auf <math>\Omega </math> besitzt: * <math>P(A)\geq 0</math> für alle <math>A\in \mathcal{S}</math>, * <math>P(\Omega) = 1</math> * Nachweis der <math>\sigma</math>-Additivität von <math>P</math> über die <math>\sigma</math>-Additivität der Wahrscheinlichkeitsmaße <math>Q_{A_i}</math> nachweisen. ==== Beweis Existenz (i) - paarweise disjunkt==== Da die Wahrscheinlichkeitsmasse von den Wahrscheinlichkeitsmaßen <math>Q_{A_i}</math> auf <math>A_i</math> konzentriert ist, gilt für die paarweise disjunkten <math> A_i</math> aus der Zerlegung <math>(A_1,\ldots ,A_m)</math> folgende Eigenschaft: :<math>{Q_A}_i(A_j) = \left \{ \begin{array}{ll} 0, & i \neq j\\ 1, & i = j \end{array}\right. </math> Daraus folgt sofort (ai) <math>P(A_k) = \sum _{i=1} ^{m} p_i \cdot {Q_A}_i(A_k) = p_k</math>. [[Datei:Audio de 10 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Zerlegungsatz 2]] ==== Beweis Existenz (ii)==== Für ein beliebiges <math>p_i > 0 </math> und <math> B \in \mathcal{S} </math> gilt mit Anwendung der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit: :<math> P(B|A_i) = \frac {P(A_i \cap B)}{ P(A_i)} = \frac {1} {p_i} \sum _{j=1} ^{m} p_j \cdot {Q_A}_j (A_i \cap B) = </math> :<math>= \frac {p_i} {p_i} ({Q_A}_i (A_i \cap B) + {Q_A}_i( \bar A_i \cap B) = {Q_A}_i(B) )</math> also ii). [[Datei:Audio de 11 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Zerlegungsatz 3]] ==== Beweis Eindeutigkeit ==== Sei <math> \tilde P </math> eine (weitere) Wahrscheinlichkeitsverteilung auf <math> (\Omega,\mathcal{S}) </math>, die (ai) und (aii) erfüllt. Dann gilt für <math> B \subset \Omega </math> und wegen <math> B= \Omega \cap B = \left( \bigcup _{j=1}^{m} A_j \right) \cap B</math> die Gleichung :<math>\tilde P (B) = \tilde P \left( \bigcup_ {j=1}^{m} A_j \cap B \right)= \sum _{j=1}^{m} \tilde P (A_j \cap B) = </math> :<math> = \sum _{j=1}^{m} \tilde P (A_j) \cdot \tilde P (B|A_j) \stackrel{(i),(ii)}{=} \sum _{j=1}^{m} p_j {Q_A}_j(B) = P(B) . \qquad \Box</math> [[Datei:Audio de 12 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Zerlegungsatz 4]] <span id="totale_Wahrscheinlichkeit"></span> == Satz der totalen Wahrscheinlichkeit == Sei <math>(\Omega ,\mathcal{S}, P)</math> ein [[Wahrscheinlichkeitsraum]] und <math> (A_1,\ldots , A_m) </math> eine [[Mengenzerlegung (Stochastik)|Zerlegung]] von <math>\Omega</math> auf <math>(\Omega,\mathcal{S})</math> mit <math>P(A_j) > 0</math> für alle <math>j = 1, \ldots, m</math>. Für jedes <math> B \subset \Omega </math> und gilt also für alle <math>B \in \mathcal{S}</math>: :<math> P(B) = \sum _{j=1} ^{m} P(A_j) \cdot P(B|A_j)</math> ("Formel der totalen Wahrscheinlichkeit"). == Beweis - Satz - totale Wahrscheinlichkeit == Nach Voraussetzung gilt <math>P(A_j) > 0</math> für alle <math>j = 1, \ldots, m</math> und damit sind die bedingten Wahrscheinlichkeiten <math>P(B \mid A_j)</math> definiert, weil <math>P(A_j)</math> im Nenner der Definition der [[bedingte Wahrscheinlichkeit#Definition|bedingten Warscheinlichkeit]] auf tritt. === Schritt 1 - Zerlegung von Omega === Da die <math>A_j</math> eine [[bedingte Wahrscheinlichkeit#ZerlegungDef|Zerlegung]] von <math>\Omega</math> bilden, sind die <math>A_j</math> paarweise disjunkt nach Definition und auch die <math>B\cap A_j</math> sind als Teilmengen von <math>A_j</math> paarweise disjunkt. Damit gilt: :<math> \Omega = \bigcup_{j=1}^m A_j \quad \text{(disjunkt)} </math> === Schritt 2 - Zerlegung von B === Mit der Teilmengenbeziehung <math>B\cap A_j\subset A_j</math> Dann folgt für jedes <math>B \in \mathcal{S}</math> und der verallgemeinerten Anwendung <math>B \cap (A_1 \cup A_2) = (B\cap A_1) \cup (B\cap A_2)</math>: :<math> B = B \cap \Omega = B \cap \left( \bigcup_{j=1}^m A_j \right) = \bigcup_{j=1}^m (B \cap A_j) </math> Da die <math>A_j</math> disjunkt sind, sind auch die Schnitte <math>B \cap A_j</math> disjunkt. Also ist <math>(B \cap A_1, B \cap A_2, \ldots, B \cap A_m)</math> eine [[bedingte Wahrscheinlichkeit#ZerlegungDef|disjunkte Zerlegung]] von <math>B</math>. === Schritt 3 - Anwendung der Additivität der Wahrscheinlichkeit === Nach dem Axiom der <math>\sigma</math>-Additivität erlaubt insbesondere die Anwendung auf endliche Summen von disjunkte Ereignisse glt: :<math> P(B) = P\left( \bigcup_{j=1}^m (B \cap A_j) \right) = \sum_{j=1}^m P(B \cap A_j) </math> === Schritt 4 - Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit === Für jedes <math>j</math> mit <math>P(A_j) > 0</math> ist die bedingte Wahrscheinlichkeit definiert als: :<math> P(B \mid A_j) = \frac{P(B \cap A_j)}{P(A_j)} </math> Durch Umformung erhält man: :<math> P(B \cap A_j) = P(A_j) \cdot P(B \mid A_j) </math> === Schritt 5 - Einsetzen in die Summe === Setze dies in die Gleichung aus Schritt 3 ein: :<math> P(B) = \sum_{j=1}^m P(B \cap A_j) = \sum_{j=1}^m P(A_j) \cdot P(B \mid A_j) </math> Insgesamt erhält man die Aussage des [[Bedingte_Wahrscheinlichkeit#Satz_totale_Wahrscheinlichkeit|Satzes über die totale Wahrscheinlichkeit]] :<math> {P(B) = \sum_{j=1}^m P(A_j) \cdot P(B \mid A_j)} </math> === Aufgabe für Studierende === Beweisen Sie den Satz der totalen Wahrscheinlichkeit in der Übung und begründen Sie jeden Teilschritte über die Zerlegung von <math>\Omega</math> und der Zerlegung von <math>B</math>. Fertigen Sie für die Beweisvorstellung Skizze an, die das Vorgehen im Beweis eräutert. [[Datei:Audio de 13 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Formel Totale Wahrscheinlichkeit]] <span id="Satz_von_Bayes"></span> == Satz - Formel von Bayes == Ist <math> P </math> eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf <math> \Omega </math>, <math> ( A_1, ... ,A_m ) </math> einer Zerlegung von <math>\Omega </math> auf <math>(\Omega,\mathcal{S})</math> , so gilt für jedes <math> B \in \mathcal{S} </math> mit <math> P(B) > 0 </math> und <math> i= 1, ... ,m </math> :<math>P(A_i|B) = \frac {P(B|A_i) \cdot P(A_i)} { \sum_{j=1}^{m} P(B|A_j) \cdot P(A_j) }.</math> [[Datei:Audio de 14 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Satz von Bayes]] === Beweis === :<math>P(A_i|B) = \frac {P(A_i\cap B)}{P(B)} = \frac{P(B|A_i) \cdot P(A_i)}{\sum_{j=1}^{m} P(B|A_j) \cdot P(A_j)} </math> [[Datei:Audio de 15 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Satz von Bayes - Beweis]] ==== Bemerkung==== Man beachte, dass auf der linken und rechten Seite "Argument und Bedingung" vertauscht auftreten. In einer außermathematischen Deutung spielen <math> A_j </math> die Rolle von (verschiedenen) Ursachen für die Wirkung von <math> B </math>. [[Datei:Audio de 16 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Satz von Bayes - Bemerkung]] ==== Beispiel (Test auf eine Krankheit) ==== <math> \Omega </math> sei die Gesamtheit der Personen aus der Bevölkerung. <math> p \cdot 100\% </math> der Bevölkerung (<math>K \subset \Omega </math>) leidet an der Krankheit. Ein Test für diese Krankheit spreche bei <math> k \cdot 100\% </math> der Kranken aus <math>K</math> an und bei <math> g \cdot 100\% </math> der Gesunden (<math>\Omega \setminus K</math>) positiv an (<math>k =</math> Sensitivität, <math>1-g =</math> Spezifität des Testes). Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat eine zufällig ausgewählte Person <math>\omega \in \Omega</math> die Krankheit, * wenn der Test positiv ausfällt? * wenn der Test negativ ausfällt? [[Datei:Audio de 17 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Satz von Bayes - Beispiel]] <span id="Produktformel"></span> == Produktformel- bedingte Wahrscheinlichkeit == Sei <math>P</math> eine [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] auf <math> \Omega </math> und seien <math> A_1, ... ,A_n \subset \Omega </math> mit <math> P( A_1 \cap ... \cap A_{n-1} )>0 </math>. Dann gilt die sogenannte "Produktformel": :<math> P( A_1 \cap ... \cap A_n) = P(A_1) \cdot P(A_2 | A_1) \cdot P(A_3 | A_1 \cap A_2) \cdot ... \cdot P(A_n | A_1 \cap ... \cap A_{n-1}) </math> [[Datei:Audio de 18 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Produktformel - Satz]] == Beweis - Produktformel == Allgemein für [[Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaße]] gilt für <math>C_1\subseteq C_2</math> mit <math>C_1,C_2 \in \mathcal{S}</math> auch <math>P(C_1)\leq P(C_2)</math>. Diese Eigenschaft wendet man auf die folgende Teilmengenbeziehung an: :<math>A_1 \supseteq A_1 \cap A_2\supseteq ... \supseteq A_1 \cap ... \cap A_{n-1}</math> === Beweisschritt 1 - Produktformel === Die Anwendung des Wahrscheinlichkeitsmaßes auf die Teilmengenbeziehung der obigen Vorüberlegung liefert: :<math>P(A_1) \ge P(A_1 \cap A_2) \ge ... \ge P(A_1 \cap ... \cap A_{n-1}) >0.</math> === Beweisschritt 2 - Produktformel === Wegen <math>P(A_1 \cap ... \cap A_{n-2})\leq P(A_1 \cap ... \cap A_{n-1}) >0</math> ist die folgende bedingte Wahrscheinlichkeit wohldefiniert: :<math> P( A_1 \cap ... \cap A_n) = P( A_1 \cap ... \cap A_{n-1} ) \cdot P( A_n | A_1 \cap ... \cap A_{n-1} ) </math> === Beweisschritt 3 - Produktformel === Nun ist wegen Beweisschritt 1 auch <math> P( A_1 \cap ... \cap A_{n-2} ) > 0 </math> gegeben und man kann wiederum :<math> P( A_1 \cap ... \cap A_{n}) = </math> :<math> \quad = P( A_1 \cap ... \cap A_{n-2}) \cdot P( A_{n-1} | A_1 \cap ... \cap A_{n-2} ) \cdot P( A_n | A_1 \cap ... \cap A_{n-1} ) </math> === Beweisschritt 4 - Produktformel === Wenn man dieses Vorgehen iteriert auf Wahrscheinlickeiten der Schnittmengen anwendet erhält man die Produktformel: :<math> P(A_1 \cap ... \cap A_{n}) = </math> :<math> \quad = P(A_1) \cdot P(A_2 | A_1) \cdot P(A_3 | A_1 \cap A_2) \cdot ... \cdot P(A_n | A_1 \cap ... \cap A_{n-1}) \ \Box</math> [[Datei:Audio de 19 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Produktformel - Satz - Beweis]] ==== Bemerkung ==== Dieser Satz verallgemeinert die Formel <math>P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A). </math> [[Datei:Audio de 20 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Produktformel - Bemerkung]] == Siehe auch == * [[stochastische Unabhängigkeit]] * [[bedingte Wahrscheinlichkeit#ZerlegungDef|disjunkte Zerlegung einer Menge]] == Seiten-Information == Der [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Bedingte+Wahrscheinlichkeit&author=Kurs%3A+Stochastik&audioslide=no&language=de Foliensatz] für diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Bedingte%20Wahrscheinlichkeit Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Bedingte_Wahrscheinlichkeit Bedingte Wahrscheinlichkeit] https://de.wikipedia.org/wiki/Bedingte_Wahrscheinlichkeit * Datum: 5.11.2018 * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity]-Konverter: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity * [https://niebert.github.com/Wiki2Reveal Wiki2Reveal Link-Generator] * Dieser Foliensatz gehört zum [[Kurs:Stochastik]] [[Category:Wiki2Reveal]] 10k73g8i9k7xu4q6o59ditfdkxlbyec 1118739 1118737 2026-11-03T10:05:02Z Bert Niehaus 20843 /* Satz der totalen Wahrscheinlichkeit */ 1118739 wikitext text/x-wiki [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|146px|mini|Kurs enthält [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] Audio-Folien]] == Einleitung == Diese Lerneinheit aus der [[Kurs:Stochastik|Stochastik]] behandelt folgende Inhalte: * [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Definition|Definition - Bedingte Wahrscheinlichkeit]] * [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Zerlegungssatz|Zerlegungssatz]] * [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Satz_von_Bayes|Satz von Bayes]] * [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Satz_totale_Wahrscheinlichkeit|Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit]] * [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Produktformel|Produktformel]] === Einführendes Beispiel - bedingte Wahrscheinlichkeit=== Gegeben sei ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum <math>(\Omega,\mathcal{S},P) </math>, Gleichverteilung über <math>(\Omega,\mathcal{S}) </math> und <math>\mathcal{S} := \wp((\Omega) </math>. <math> A,B \subset \Omega, A\neq \varnothing </math>. In dem einführenden Beispiel betrachten wir die Ereignisse: * <math>A</math>: Stochastik-Klausur bestanden * <math>B</math>: Fachwissenschaftliche Grundlagen mit 4,0 bestanden * Mit welcher Wahrscheinlichkeit <math>P(A|B)</math> besteht man die Stochastik-Klausur <math>A</math>, wenn man die Klausur zu den fachwissenschaftlichen Grundlagen nur mit 4,0 bestanden hat (d.h. <math>B</math> erfüllt ist)? [[Datei:Audio de 1 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Einleitung]] === Vorüberlegung === Wir nehmen an, dass das Ereignis <math> B </math> eintritt. Welche Definition ist sinnvoll für die Wahrscheinlichkeit von <math> B </math>, unter der Bedingung, dass <math> A </math> eingetreten ist? # Wenn die Bedingung <math> B </math> eintritt, so kann <math> A </math> nur dann eintreten, wenn das Ereignis <math> A \cap B </math> eintritt. # Wir konzentrieren uns auf die Realisationen <math> \omega \in A </math> und betrachten sie als gleichwahrscheinlich ([[w:de:Laplace-Verteilung|Laplace-Verteilung]]). # Allgemein gilt dann <math> P(C) = \frac {| C | }{ | \Omega |} </math> für alle <math>C \in \mathcal{S}</math>. [[Datei:Audio de 2 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Vorlüberlegung]] === Berechnung mit Laplace-Verteilung === Damit kann die Wahrscheinlichkeit von <math> A </math> unter der Bedingung <math> B </math> wie folgt definiert werden: :<math> P(A|B) := \frac {| A\cap B | }{ | B |} = \frac { \tfrac{|A \cap B | }{| \Omega | }} { \tfrac{| B |}{| \Omega | }}= \frac {P (A \cap B)}{ P(B)} </math> Dabei wurde der Bruch mit <math>\frac {1}{| \Omega |}</math> erweitert, um in Zähler und Nenner die Laplace-Wahrscheinlichkeiten für die Ereignisse <math> A \cap B </math> und <math> B </math> zu erzeugen. [[Datei:Audio de 3 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Berechnung mit Laplace-Verteilung]] <span id="Definition"></span> == Definition - bedingte Wahrscheinlichkeit == Sei <math> (\Omega,\mathcal{S},P) </math> ein Wahrscheinlichkeitsraum, <math> A \in \mathcal{S} </math> mit <math> P (B) >0 </math>. <br> a) Die Abbildung <math> P( \cdot | B): \mathcal{S} \to [0,1] </math>, die gemäß <math> P (A | B) = \frac {P(A \cap B)}{P(B)}, A,B \in \mathcal{S} </math> definiert ist, heißt bedingte Wahrscheinlichkeitsverteilung über <math> \Omega </math> unter (der Bedingung) <math> B </math>. <br> b) Die Zahl <math> P(A|B) </math> heißt bedingte Wahrscheinlichkeit von <math> A </math> unter (der Bedingung) <math> B </math>. [[Datei:Audio de 4 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Definition]] === Aufgabe - bedingte Wahrscheinlickeitsverteilung === Sei <math>(\Omega,\mathcal{S},P)</math> ein Wahrscheinlichkeitsraum. Weisen Sie für die Abbildung <math>\widetilde{P}</math> nach, dass diese die Eigenschaften eines Wahrscheinlichkeitsmaßes auf <math>(\Omega,\mathcal{S})</math> erfüllt. :<math> \begin{array}{rrcl} \widetilde{P}: & \mathcal{S} & \rightarrow & [0,1] \\ & A & \mapsto & \widetilde{P}(A) = P(A|B) \end{array} </math> === Aufgaben - Wahrscheinlichkeit auf Bedingung konzentriert=== Es gilt <math> P(\Omega|B) = 1 </math>. Die Wahrscheinlichkeit von <math> P( \cdot |B) </math> ist allerdings auf <math> B </math> konzentriert". * Zeigen Sie dazu, dass <math> P(A|B) = 0 </math> für alle <math> A \subset \bar B = \Omega\setminus B </math> <!-- denn: <math> P(A|B) = \frac {P (A \cap B)} {P(B)} = \frac {P (\emptyset)} {P(B)} = 0 </math> --> * Zeigen Sie, dass für <math> B \subset A </math>, <math> A \not= B </math> gilt, dass <math> P(A|B) = 1</math> (Hinweis: Zeigen Sie, dass <math> P(\bar A|B) = 0</math> gilt!) [[Datei:Audio de 5 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Aufgabenstellung]] === Anmerkung === Formt man die Definitionsformel von oben um zu <math> P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A|B) </math>, so kann man die Wahrscheinlichkeit des gleichzeitig Eintretens von <math> A </math> und <math> B </math> mithilfe der bedingten Wahrscheinlichkeit darstellen. Wir betrachten im Nachfolgenden eine Technik, eine Wahrscheinlichkeit auf <math> \Omega </math> durch bedingten Wahrscheinlichkeiten zusammenzusetzen. <span id="ZerlegungDef"></span> === Definition - Zerlegung === <math> (A_1, ..., A_m) </math> heißt [[bedingte Wahrscheinlichkeit#ZerlegungDef|Zerlegung]] von <math> \Omega </math> auf <math> (\Omega,\mathcal{S}) </math>, falls <math>\bigcup_{i=1} ^{m} A_i = \Omega, A_i \cap A_j = \varnothing </math> für alle <math> i \neq j </math> und <math>A_i, A_j \in \mathcal{S}</math>. === Motivation - Auswahl mit beschränkten Optionen === Als Beispiel werden 100 verschiedene Spiele <math>\Omega</math> auf <math>m</math> verschiedene Spielekisten <math>A_1, \ldots , A_m</math> verteilt. Es gibt <math>m\in \mathbb{N}</math> Personen und jede Person bekommt eine Kiste. Jede Person <math>i</math> kann nur Spiele aus der eigenen Kiste <math>A_i</math> und nicht aus anderen Kisten <math>A_j</math> auswählen mit <math>i\neq j</math>. Es gibt für jede der <math>i</math> Personen präferiert Spiele und daher gibt es eine Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>{Q_A}_i</math> (''"Qual der Wahl aus <math>A_i</math> aus der Spielekiste"''), die die Wahrscheinlichkeit beschreibt, ein Spiel bestimmtes Spiel aus der eigenen Spielekiste auszuwählen. Die Wahrscheinlichkeit ist auf <math>A_i</math> konzentriert, da die Spieler nur aus der eigenen Kiste auswählen können. == Zerlegungssatz == Sei <math>(A_1, ... ,A_m )</math> eine [[bedingte Wahrscheinlichkeit#ZerlegungDef|Zerlegung]] von <math>\Omega </math> auf <math> (\Omega,\mathcal{S})</math>. Für jedes <math> i = 1, ...,m </math> sei eine auf <math>A_i</math> konzentrierte Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>Q_{A_i}</math> auf <math>(\Omega,\mathcal{S} ) </math> gegeben (d.h. <math>{Q_A}_i (A_i) = 1 </math>) sowie Zahlen <math>p_i \in ( 0,1]</math> mit <math>\sum _{i = 1} ^{m} p_i = 1 </math>. <br> * (a) Dann existiert genau eine Wahrscheinlichkeitsverteilung <math> P </math> auf <math> \Omega </math> mit <br> ** (i) <math>P(A_i) = p_i > 0</math>. <br> ** (ii) <math>P(B|A_i) = {Q_A}_i(B)</math>, falls <math>p_i >0 </math> für alle <math>i=1, ...,m </math>. <br> * (b) Es gilt <math> P(B) = \sum _{i=1} ^{m} p_i \cdot {Q_A}_i(B) </math> für jedes <math> B \in \mathcal{S} </math>. === Beweis - Zerlegungssatz === Der Beweis gliedert sich in eine Existenzaussage für <math>P</math> und eine Eindeutigkeitsaussage, bei der die Existenz einer weiteren Wahrscheinlichkeitsverteilung für <math>\widetilde{P}</math> auf <math>\mathcal{S}</math> angenommen wird. Dann wird gezeigt, dass <math>\widetilde{P} = P</math> gilt bzw. <math>\widetilde{P}(B) = P(B)</math> für beliebige <math>B\in\mathcal{S}</math> gilt. ==== Beweis Existenz (i)==== Man definiere <math> P</math> gemäß Formel b) und rechnet nach, dass <math>P</math> die Eigenschaften eines [[Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaßes]] auf <math>\Omega </math> besitzt: * <math>P(A)\geq 0</math> für alle <math>A\in \mathcal{S}</math>, * <math>P(\Omega) = 1</math> * Nachweis der <math>\sigma</math>-Additivität von <math>P</math> über die <math>\sigma</math>-Additivität der Wahrscheinlichkeitsmaße <math>Q_{A_i}</math> nachweisen. ==== Beweis Existenz (i) - paarweise disjunkt==== Da die Wahrscheinlichkeitsmasse von den Wahrscheinlichkeitsmaßen <math>Q_{A_i}</math> auf <math>A_i</math> konzentriert ist, gilt für die paarweise disjunkten <math> A_i</math> aus der Zerlegung <math>(A_1,\ldots ,A_m)</math> folgende Eigenschaft: :<math>{Q_A}_i(A_j) = \left \{ \begin{array}{ll} 0, & i \neq j\\ 1, & i = j \end{array}\right. </math> Daraus folgt sofort (ai) <math>P(A_k) = \sum _{i=1} ^{m} p_i \cdot {Q_A}_i(A_k) = p_k</math>. [[Datei:Audio de 10 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Zerlegungsatz 2]] ==== Beweis Existenz (ii)==== Für ein beliebiges <math>p_i > 0 </math> und <math> B \in \mathcal{S} </math> gilt mit Anwendung der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit: :<math> P(B|A_i) = \frac {P(A_i \cap B)}{ P(A_i)} = \frac {1} {p_i} \sum _{j=1} ^{m} p_j \cdot {Q_A}_j (A_i \cap B) = </math> :<math>= \frac {p_i} {p_i} ({Q_A}_i (A_i \cap B) + {Q_A}_i( \bar A_i \cap B) = {Q_A}_i(B) )</math> also ii). [[Datei:Audio de 11 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Zerlegungsatz 3]] ==== Beweis Eindeutigkeit ==== Sei <math> \tilde P </math> eine (weitere) Wahrscheinlichkeitsverteilung auf <math> (\Omega,\mathcal{S}) </math>, die (ai) und (aii) erfüllt. Dann gilt für <math> B \subset \Omega </math> und wegen <math> B= \Omega \cap B = \left( \bigcup _{j=1}^{m} A_j \right) \cap B</math> die Gleichung :<math>\tilde P (B) = \tilde P \left( \bigcup_ {j=1}^{m} A_j \cap B \right)= \sum _{j=1}^{m} \tilde P (A_j \cap B) = </math> :<math> = \sum _{j=1}^{m} \tilde P (A_j) \cdot \tilde P (B|A_j) \stackrel{(i),(ii)}{=} \sum _{j=1}^{m} p_j {Q_A}_j(B) = P(B) . \qquad \Box</math> [[Datei:Audio de 12 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Zerlegungsatz 4]] <span id="totale_Wahrscheinlichkeit"></span> <span id="Satz_totale_Wahrscheinlichkeit"></span> == Satz der totalen Wahrscheinlichkeit == Sei <math>(\Omega ,\mathcal{S}, P)</math> ein [[Wahrscheinlichkeitsraum]] und <math> (A_1,\ldots , A_m) </math> eine [[Mengenzerlegung (Stochastik)|Zerlegung]] von <math>\Omega</math> auf <math>(\Omega,\mathcal{S})</math> mit <math>P(A_j) > 0</math> für alle <math>j = 1, \ldots, m</math>. Für jedes <math> B \subset \Omega </math> und gilt also für alle <math>B \in \mathcal{S}</math>: :<math> P(B) = \sum _{j=1} ^{m} P(A_j) \cdot P(B|A_j)</math> ("Formel der totalen Wahrscheinlichkeit"). == Beweis - Satz - totale Wahrscheinlichkeit == Nach Voraussetzung gilt <math>P(A_j) > 0</math> für alle <math>j = 1, \ldots, m</math> und damit sind die bedingten Wahrscheinlichkeiten <math>P(B \mid A_j)</math> definiert, weil <math>P(A_j)</math> im Nenner der Definition der [[bedingte Wahrscheinlichkeit#Definition|bedingten Warscheinlichkeit]] auf tritt. === Schritt 1 - Zerlegung von Omega === Da die <math>A_j</math> eine [[bedingte Wahrscheinlichkeit#ZerlegungDef|Zerlegung]] von <math>\Omega</math> bilden, sind die <math>A_j</math> paarweise disjunkt nach Definition und auch die <math>B\cap A_j</math> sind als Teilmengen von <math>A_j</math> paarweise disjunkt. Damit gilt: :<math> \Omega = \bigcup_{j=1}^m A_j \quad \text{(disjunkt)} </math> === Schritt 2 - Zerlegung von B === Mit der Teilmengenbeziehung <math>B\cap A_j\subset A_j</math> Dann folgt für jedes <math>B \in \mathcal{S}</math> und der verallgemeinerten Anwendung <math>B \cap (A_1 \cup A_2) = (B\cap A_1) \cup (B\cap A_2)</math>: :<math> B = B \cap \Omega = B \cap \left( \bigcup_{j=1}^m A_j \right) = \bigcup_{j=1}^m (B \cap A_j) </math> Da die <math>A_j</math> disjunkt sind, sind auch die Schnitte <math>B \cap A_j</math> disjunkt. Also ist <math>(B \cap A_1, B \cap A_2, \ldots, B \cap A_m)</math> eine [[bedingte Wahrscheinlichkeit#ZerlegungDef|disjunkte Zerlegung]] von <math>B</math>. === Schritt 3 - Anwendung der Additivität der Wahrscheinlichkeit === Nach dem Axiom der <math>\sigma</math>-Additivität erlaubt insbesondere die Anwendung auf endliche Summen von disjunkte Ereignisse glt: :<math> P(B) = P\left( \bigcup_{j=1}^m (B \cap A_j) \right) = \sum_{j=1}^m P(B \cap A_j) </math> === Schritt 4 - Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit === Für jedes <math>j</math> mit <math>P(A_j) > 0</math> ist die bedingte Wahrscheinlichkeit definiert als: :<math> P(B \mid A_j) = \frac{P(B \cap A_j)}{P(A_j)} </math> Durch Umformung erhält man: :<math> P(B \cap A_j) = P(A_j) \cdot P(B \mid A_j) </math> === Schritt 5 - Einsetzen in die Summe === Setze dies in die Gleichung aus Schritt 3 ein: :<math> P(B) = \sum_{j=1}^m P(B \cap A_j) = \sum_{j=1}^m P(A_j) \cdot P(B \mid A_j) </math> Insgesamt erhält man die Aussage des [[Bedingte_Wahrscheinlichkeit#Satz_totale_Wahrscheinlichkeit|Satzes über die totale Wahrscheinlichkeit]] :<math> {P(B) = \sum_{j=1}^m P(A_j) \cdot P(B \mid A_j)} </math> === Aufgabe für Studierende === Beweisen Sie den Satz der totalen Wahrscheinlichkeit in der Übung und begründen Sie jeden Teilschritte über die Zerlegung von <math>\Omega</math> und der Zerlegung von <math>B</math>. Fertigen Sie für die Beweisvorstellung Skizze an, die das Vorgehen im Beweis eräutert. [[Datei:Audio de 13 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Formel Totale Wahrscheinlichkeit]] <span id="Satz_von_Bayes"></span> == Satz - Formel von Bayes == Ist <math> P </math> eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf <math> \Omega </math>, <math> ( A_1, ... ,A_m ) </math> einer Zerlegung von <math>\Omega </math> auf <math>(\Omega,\mathcal{S})</math> , so gilt für jedes <math> B \in \mathcal{S} </math> mit <math> P(B) > 0 </math> und <math> i= 1, ... ,m </math> :<math>P(A_i|B) = \frac {P(B|A_i) \cdot P(A_i)} { \sum_{j=1}^{m} P(B|A_j) \cdot P(A_j) }.</math> [[Datei:Audio de 14 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Satz von Bayes]] === Beweis === :<math>P(A_i|B) = \frac {P(A_i\cap B)}{P(B)} = \frac{P(B|A_i) \cdot P(A_i)}{\sum_{j=1}^{m} P(B|A_j) \cdot P(A_j)} </math> [[Datei:Audio de 15 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Satz von Bayes - Beweis]] ==== Bemerkung==== Man beachte, dass auf der linken und rechten Seite "Argument und Bedingung" vertauscht auftreten. In einer außermathematischen Deutung spielen <math> A_j </math> die Rolle von (verschiedenen) Ursachen für die Wirkung von <math> B </math>. [[Datei:Audio de 16 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Satz von Bayes - Bemerkung]] ==== Beispiel (Test auf eine Krankheit) ==== <math> \Omega </math> sei die Gesamtheit der Personen aus der Bevölkerung. <math> p \cdot 100\% </math> der Bevölkerung (<math>K \subset \Omega </math>) leidet an der Krankheit. Ein Test für diese Krankheit spreche bei <math> k \cdot 100\% </math> der Kranken aus <math>K</math> an und bei <math> g \cdot 100\% </math> der Gesunden (<math>\Omega \setminus K</math>) positiv an (<math>k =</math> Sensitivität, <math>1-g =</math> Spezifität des Testes). Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat eine zufällig ausgewählte Person <math>\omega \in \Omega</math> die Krankheit, * wenn der Test positiv ausfällt? * wenn der Test negativ ausfällt? [[Datei:Audio de 17 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Satz von Bayes - Beispiel]] <span id="Produktformel"></span> == Produktformel- bedingte Wahrscheinlichkeit == Sei <math>P</math> eine [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] auf <math> \Omega </math> und seien <math> A_1, ... ,A_n \subset \Omega </math> mit <math> P( A_1 \cap ... \cap A_{n-1} )>0 </math>. Dann gilt die sogenannte "Produktformel": :<math> P( A_1 \cap ... \cap A_n) = P(A_1) \cdot P(A_2 | A_1) \cdot P(A_3 | A_1 \cap A_2) \cdot ... \cdot P(A_n | A_1 \cap ... \cap A_{n-1}) </math> [[Datei:Audio de 18 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Produktformel - Satz]] == Beweis - Produktformel == Allgemein für [[Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaße]] gilt für <math>C_1\subseteq C_2</math> mit <math>C_1,C_2 \in \mathcal{S}</math> auch <math>P(C_1)\leq P(C_2)</math>. Diese Eigenschaft wendet man auf die folgende Teilmengenbeziehung an: :<math>A_1 \supseteq A_1 \cap A_2\supseteq ... \supseteq A_1 \cap ... \cap A_{n-1}</math> === Beweisschritt 1 - Produktformel === Die Anwendung des Wahrscheinlichkeitsmaßes auf die Teilmengenbeziehung der obigen Vorüberlegung liefert: :<math>P(A_1) \ge P(A_1 \cap A_2) \ge ... \ge P(A_1 \cap ... \cap A_{n-1}) >0.</math> === Beweisschritt 2 - Produktformel === Wegen <math>P(A_1 \cap ... \cap A_{n-2})\leq P(A_1 \cap ... \cap A_{n-1}) >0</math> ist die folgende bedingte Wahrscheinlichkeit wohldefiniert: :<math> P( A_1 \cap ... \cap A_n) = P( A_1 \cap ... \cap A_{n-1} ) \cdot P( A_n | A_1 \cap ... \cap A_{n-1} ) </math> === Beweisschritt 3 - Produktformel === Nun ist wegen Beweisschritt 1 auch <math> P( A_1 \cap ... \cap A_{n-2} ) > 0 </math> gegeben und man kann wiederum :<math> P( A_1 \cap ... \cap A_{n}) = </math> :<math> \quad = P( A_1 \cap ... \cap A_{n-2}) \cdot P( A_{n-1} | A_1 \cap ... \cap A_{n-2} ) \cdot P( A_n | A_1 \cap ... \cap A_{n-1} ) </math> === Beweisschritt 4 - Produktformel === Wenn man dieses Vorgehen iteriert auf Wahrscheinlickeiten der Schnittmengen anwendet erhält man die Produktformel: :<math> P(A_1 \cap ... \cap A_{n}) = </math> :<math> \quad = P(A_1) \cdot P(A_2 | A_1) \cdot P(A_3 | A_1 \cap A_2) \cdot ... \cdot P(A_n | A_1 \cap ... \cap A_{n-1}) \ \Box</math> [[Datei:Audio de 19 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Produktformel - Satz - Beweis]] ==== Bemerkung ==== Dieser Satz verallgemeinert die Formel <math>P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A). </math> [[Datei:Audio de 20 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Produktformel - Bemerkung]] == Siehe auch == * [[stochastische Unabhängigkeit]] * [[bedingte Wahrscheinlichkeit#ZerlegungDef|disjunkte Zerlegung einer Menge]] == Seiten-Information == Der [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Bedingte+Wahrscheinlichkeit&author=Kurs%3A+Stochastik&audioslide=no&language=de Foliensatz] für diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Bedingte%20Wahrscheinlichkeit Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Bedingte_Wahrscheinlichkeit Bedingte Wahrscheinlichkeit] https://de.wikipedia.org/wiki/Bedingte_Wahrscheinlichkeit * Datum: 5.11.2018 * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity]-Konverter: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity * [https://niebert.github.com/Wiki2Reveal Wiki2Reveal Link-Generator] * Dieser Foliensatz gehört zum [[Kurs:Stochastik]] [[Category:Wiki2Reveal]] mwj6x4q2hzvl15nn5kfx8h2z1k2ia5n 1118744 1118739 2026-11-03T10:08:51Z Bert Niehaus 20843 /* Satz der totalen Wahrscheinlichkeit */ 1118744 wikitext text/x-wiki [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|146px|mini|Kurs enthält [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] Audio-Folien]] == Einleitung == Diese Lerneinheit aus der [[Kurs:Stochastik|Stochastik]] behandelt folgende Inhalte: * [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Definition|Definition - Bedingte Wahrscheinlichkeit]] * [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Zerlegungssatz|Zerlegungssatz]] * [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Satz_von_Bayes|Satz von Bayes]] * [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Satz_totale_Wahrscheinlichkeit|Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit]] * [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Produktformel|Produktformel]] === Einführendes Beispiel - bedingte Wahrscheinlichkeit=== Gegeben sei ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum <math>(\Omega,\mathcal{S},P) </math>, Gleichverteilung über <math>(\Omega,\mathcal{S}) </math> und <math>\mathcal{S} := \wp((\Omega) </math>. <math> A,B \subset \Omega, A\neq \varnothing </math>. In dem einführenden Beispiel betrachten wir die Ereignisse: * <math>A</math>: Stochastik-Klausur bestanden * <math>B</math>: Fachwissenschaftliche Grundlagen mit 4,0 bestanden * Mit welcher Wahrscheinlichkeit <math>P(A|B)</math> besteht man die Stochastik-Klausur <math>A</math>, wenn man die Klausur zu den fachwissenschaftlichen Grundlagen nur mit 4,0 bestanden hat (d.h. <math>B</math> erfüllt ist)? [[Datei:Audio de 1 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Einleitung]] === Vorüberlegung === Wir nehmen an, dass das Ereignis <math> B </math> eintritt. Welche Definition ist sinnvoll für die Wahrscheinlichkeit von <math> B </math>, unter der Bedingung, dass <math> A </math> eingetreten ist? # Wenn die Bedingung <math> B </math> eintritt, so kann <math> A </math> nur dann eintreten, wenn das Ereignis <math> A \cap B </math> eintritt. # Wir konzentrieren uns auf die Realisationen <math> \omega \in A </math> und betrachten sie als gleichwahrscheinlich ([[w:de:Laplace-Verteilung|Laplace-Verteilung]]). # Allgemein gilt dann <math> P(C) = \frac {| C | }{ | \Omega |} </math> für alle <math>C \in \mathcal{S}</math>. [[Datei:Audio de 2 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Vorlüberlegung]] === Berechnung mit Laplace-Verteilung === Damit kann die Wahrscheinlichkeit von <math> A </math> unter der Bedingung <math> B </math> wie folgt definiert werden: :<math> P(A|B) := \frac {| A\cap B | }{ | B |} = \frac { \tfrac{|A \cap B | }{| \Omega | }} { \tfrac{| B |}{| \Omega | }}= \frac {P (A \cap B)}{ P(B)} </math> Dabei wurde der Bruch mit <math>\frac {1}{| \Omega |}</math> erweitert, um in Zähler und Nenner die Laplace-Wahrscheinlichkeiten für die Ereignisse <math> A \cap B </math> und <math> B </math> zu erzeugen. [[Datei:Audio de 3 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Berechnung mit Laplace-Verteilung]] <span id="Definition"></span> == Definition - bedingte Wahrscheinlichkeit == Sei <math> (\Omega,\mathcal{S},P) </math> ein Wahrscheinlichkeitsraum, <math> A \in \mathcal{S} </math> mit <math> P (B) >0 </math>. <br> a) Die Abbildung <math> P( \cdot | B): \mathcal{S} \to [0,1] </math>, die gemäß <math> P (A | B) = \frac {P(A \cap B)}{P(B)}, A,B \in \mathcal{S} </math> definiert ist, heißt bedingte Wahrscheinlichkeitsverteilung über <math> \Omega </math> unter (der Bedingung) <math> B </math>. <br> b) Die Zahl <math> P(A|B) </math> heißt bedingte Wahrscheinlichkeit von <math> A </math> unter (der Bedingung) <math> B </math>. [[Datei:Audio de 4 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Definition]] === Aufgabe - bedingte Wahrscheinlickeitsverteilung === Sei <math>(\Omega,\mathcal{S},P)</math> ein Wahrscheinlichkeitsraum. Weisen Sie für die Abbildung <math>\widetilde{P}</math> nach, dass diese die Eigenschaften eines Wahrscheinlichkeitsmaßes auf <math>(\Omega,\mathcal{S})</math> erfüllt. :<math> \begin{array}{rrcl} \widetilde{P}: & \mathcal{S} & \rightarrow & [0,1] \\ & A & \mapsto & \widetilde{P}(A) = P(A|B) \end{array} </math> === Aufgaben - Wahrscheinlichkeit auf Bedingung konzentriert=== Es gilt <math> P(\Omega|B) = 1 </math>. Die Wahrscheinlichkeit von <math> P( \cdot |B) </math> ist allerdings auf <math> B </math> konzentriert". * Zeigen Sie dazu, dass <math> P(A|B) = 0 </math> für alle <math> A \subset \bar B = \Omega\setminus B </math> <!-- denn: <math> P(A|B) = \frac {P (A \cap B)} {P(B)} = \frac {P (\emptyset)} {P(B)} = 0 </math> --> * Zeigen Sie, dass für <math> B \subset A </math>, <math> A \not= B </math> gilt, dass <math> P(A|B) = 1</math> (Hinweis: Zeigen Sie, dass <math> P(\bar A|B) = 0</math> gilt!) [[Datei:Audio de 5 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Aufgabenstellung]] === Anmerkung === Formt man die Definitionsformel von oben um zu <math> P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A|B) </math>, so kann man die Wahrscheinlichkeit des gleichzeitig Eintretens von <math> A </math> und <math> B </math> mithilfe der bedingten Wahrscheinlichkeit darstellen. Wir betrachten im Nachfolgenden eine Technik, eine Wahrscheinlichkeit auf <math> \Omega </math> durch bedingten Wahrscheinlichkeiten zusammenzusetzen. <span id="ZerlegungDef"></span> === Definition - Zerlegung === <math> (A_1, ..., A_m) </math> heißt [[bedingte Wahrscheinlichkeit#ZerlegungDef|Zerlegung]] von <math> \Omega </math> auf <math> (\Omega,\mathcal{S}) </math>, falls <math>\bigcup_{i=1} ^{m} A_i = \Omega, A_i \cap A_j = \varnothing </math> für alle <math> i \neq j </math> und <math>A_i, A_j \in \mathcal{S}</math>. === Motivation - Auswahl mit beschränkten Optionen === Als Beispiel werden 100 verschiedene Spiele <math>\Omega</math> auf <math>m</math> verschiedene Spielekisten <math>A_1, \ldots , A_m</math> verteilt. Es gibt <math>m\in \mathbb{N}</math> Personen und jede Person bekommt eine Kiste. Jede Person <math>i</math> kann nur Spiele aus der eigenen Kiste <math>A_i</math> und nicht aus anderen Kisten <math>A_j</math> auswählen mit <math>i\neq j</math>. Es gibt für jede der <math>i</math> Personen präferiert Spiele und daher gibt es eine Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>{Q_A}_i</math> (''"Qual der Wahl aus <math>A_i</math> aus der Spielekiste"''), die die Wahrscheinlichkeit beschreibt, ein Spiel bestimmtes Spiel aus der eigenen Spielekiste auszuwählen. Die Wahrscheinlichkeit ist auf <math>A_i</math> konzentriert, da die Spieler nur aus der eigenen Kiste auswählen können. == Zerlegungssatz == Sei <math>(A_1, ... ,A_m )</math> eine [[bedingte Wahrscheinlichkeit#ZerlegungDef|Zerlegung]] von <math>\Omega </math> auf <math> (\Omega,\mathcal{S})</math>. Für jedes <math> i = 1, ...,m </math> sei eine auf <math>A_i</math> konzentrierte Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>Q_{A_i}</math> auf <math>(\Omega,\mathcal{S} ) </math> gegeben (d.h. <math>{Q_A}_i (A_i) = 1 </math>) sowie Zahlen <math>p_i \in ( 0,1]</math> mit <math>\sum _{i = 1} ^{m} p_i = 1 </math>. <br> * (a) Dann existiert genau eine Wahrscheinlichkeitsverteilung <math> P </math> auf <math> \Omega </math> mit <br> ** (i) <math>P(A_i) = p_i > 0</math>. <br> ** (ii) <math>P(B|A_i) = {Q_A}_i(B)</math>, falls <math>p_i >0 </math> für alle <math>i=1, ...,m </math>. <br> * (b) Es gilt <math> P(B) = \sum _{i=1} ^{m} p_i \cdot {Q_A}_i(B) </math> für jedes <math> B \in \mathcal{S} </math>. === Beweis - Zerlegungssatz === Der Beweis gliedert sich in eine Existenzaussage für <math>P</math> und eine Eindeutigkeitsaussage, bei der die Existenz einer weiteren Wahrscheinlichkeitsverteilung für <math>\widetilde{P}</math> auf <math>\mathcal{S}</math> angenommen wird. Dann wird gezeigt, dass <math>\widetilde{P} = P</math> gilt bzw. <math>\widetilde{P}(B) = P(B)</math> für beliebige <math>B\in\mathcal{S}</math> gilt. ==== Beweis Existenz (i)==== Man definiere <math> P</math> gemäß Formel b) und rechnet nach, dass <math>P</math> die Eigenschaften eines [[Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaßes]] auf <math>\Omega </math> besitzt: * <math>P(A)\geq 0</math> für alle <math>A\in \mathcal{S}</math>, * <math>P(\Omega) = 1</math> * Nachweis der <math>\sigma</math>-Additivität von <math>P</math> über die <math>\sigma</math>-Additivität der Wahrscheinlichkeitsmaße <math>Q_{A_i}</math> nachweisen. ==== Beweis Existenz (i) - paarweise disjunkt==== Da die Wahrscheinlichkeitsmasse von den Wahrscheinlichkeitsmaßen <math>Q_{A_i}</math> auf <math>A_i</math> konzentriert ist, gilt für die paarweise disjunkten <math> A_i</math> aus der Zerlegung <math>(A_1,\ldots ,A_m)</math> folgende Eigenschaft: :<math>{Q_A}_i(A_j) = \left \{ \begin{array}{ll} 0, & i \neq j\\ 1, & i = j \end{array}\right. </math> Daraus folgt sofort (ai) <math>P(A_k) = \sum _{i=1} ^{m} p_i \cdot {Q_A}_i(A_k) = p_k</math>. [[Datei:Audio de 10 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Zerlegungsatz 2]] ==== Beweis Existenz (ii)==== Für ein beliebiges <math>p_i > 0 </math> und <math> B \in \mathcal{S} </math> gilt mit Anwendung der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit: :<math> P(B|A_i) = \frac {P(A_i \cap B)}{ P(A_i)} = \frac {1} {p_i} \sum _{j=1} ^{m} p_j \cdot {Q_A}_j (A_i \cap B) = </math> :<math>= \frac {p_i} {p_i} ({Q_A}_i (A_i \cap B) + {Q_A}_i( \bar A_i \cap B) = {Q_A}_i(B) )</math> also ii). [[Datei:Audio de 11 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Zerlegungsatz 3]] ==== Beweis Eindeutigkeit ==== Sei <math> \tilde P </math> eine (weitere) Wahrscheinlichkeitsverteilung auf <math> (\Omega,\mathcal{S}) </math>, die (ai) und (aii) erfüllt. Dann gilt für <math> B \subset \Omega </math> und wegen <math> B= \Omega \cap B = \left( \bigcup _{j=1}^{m} A_j \right) \cap B</math> die Gleichung :<math>\tilde P (B) = \tilde P \left( \bigcup_ {j=1}^{m} A_j \cap B \right)= \sum _{j=1}^{m} \tilde P (A_j \cap B) = </math> :<math> = \sum _{j=1}^{m} \tilde P (A_j) \cdot \tilde P (B|A_j) \stackrel{(i),(ii)}{=} \sum _{j=1}^{m} p_j {Q_A}_j(B) = P(B) . \qquad \Box</math> [[Datei:Audio de 12 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Zerlegungsatz 4]] <span id="totale_Wahrscheinlichkeit"></span> <span id="Satz_totale_Wahrscheinlichkeit"></span> == Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit == Sei <math>(\Omega ,\mathcal{S}, P)</math> ein [[Wahrscheinlichkeitsraum]] und <math> (A_1,\ldots , A_m) </math> eine [[Mengenzerlegung (Stochastik)|Zerlegung]] von <math>\Omega</math> auf <math>(\Omega,\mathcal{S})</math> mit <math>P(A_j) > 0</math> für alle <math>j = 1, \ldots, m</math>. Für jedes <math> B \subset \Omega </math> und gilt also für alle <math>B \in \mathcal{S}</math>: :<math> P(B) = \sum _{j=1} ^{m} P(A_j) \cdot P(B|A_j)</math> ("Formel der totalen Wahrscheinlichkeit"). == Beweis - Satz - totale Wahrscheinlichkeit == Nach Voraussetzung gilt <math>P(A_j) > 0</math> für alle <math>j = 1, \ldots, m</math> und damit sind die bedingten Wahrscheinlichkeiten <math>P(B \mid A_j)</math> definiert, weil <math>P(A_j)</math> im Nenner der Definition der [[bedingte Wahrscheinlichkeit#Definition|bedingten Warscheinlichkeit]] auf tritt. === Schritt 1 - Zerlegung von Omega === Da die <math>A_j</math> eine [[bedingte Wahrscheinlichkeit#ZerlegungDef|Zerlegung]] von <math>\Omega</math> bilden, sind die <math>A_j</math> paarweise disjunkt nach Definition und auch die <math>B\cap A_j</math> sind als Teilmengen von <math>A_j</math> paarweise disjunkt. Damit gilt: :<math> \Omega = \bigcup_{j=1}^m A_j \quad \text{(disjunkt)} </math> === Schritt 2 - Zerlegung von B === Mit der Teilmengenbeziehung <math>B\cap A_j\subset A_j</math> Dann folgt für jedes <math>B \in \mathcal{S}</math> und der verallgemeinerten Anwendung <math>B \cap (A_1 \cup A_2) = (B\cap A_1) \cup (B\cap A_2)</math>: :<math> B = B \cap \Omega = B \cap \left( \bigcup_{j=1}^m A_j \right) = \bigcup_{j=1}^m (B \cap A_j) </math> Da die <math>A_j</math> disjunkt sind, sind auch die Schnitte <math>B \cap A_j</math> disjunkt. Also ist <math>(B \cap A_1, B \cap A_2, \ldots, B \cap A_m)</math> eine [[bedingte Wahrscheinlichkeit#ZerlegungDef|disjunkte Zerlegung]] von <math>B</math>. === Schritt 3 - Anwendung der Additivität der Wahrscheinlichkeit === Nach dem Axiom der <math>\sigma</math>-Additivität erlaubt insbesondere die Anwendung auf endliche Summen von disjunkte Ereignisse glt: :<math> P(B) = P\left( \bigcup_{j=1}^m (B \cap A_j) \right) = \sum_{j=1}^m P(B \cap A_j) </math> === Schritt 4 - Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit === Für jedes <math>j</math> mit <math>P(A_j) > 0</math> ist die bedingte Wahrscheinlichkeit definiert als: :<math> P(B \mid A_j) = \frac{P(B \cap A_j)}{P(A_j)} </math> Durch Umformung erhält man: :<math> P(B \cap A_j) = P(A_j) \cdot P(B \mid A_j) </math> === Schritt 5 - Einsetzen in die Summe === Setze dies in die Gleichung aus Schritt 3 ein: :<math> P(B) = \sum_{j=1}^m P(B \cap A_j) = \sum_{j=1}^m P(A_j) \cdot P(B \mid A_j) </math> Insgesamt erhält man die Aussage des [[Bedingte_Wahrscheinlichkeit#Satz_totale_Wahrscheinlichkeit|Satzes über die totale Wahrscheinlichkeit]] :<math> {P(B) = \sum_{j=1}^m P(A_j) \cdot P(B \mid A_j)} </math> === Aufgabe für Studierende === Beweisen Sie den Satz der totalen Wahrscheinlichkeit in der Übung und begründen Sie jeden Teilschritte über die Zerlegung von <math>\Omega</math> und der Zerlegung von <math>B</math>. Fertigen Sie für die Beweisvorstellung Skizze an, die das Vorgehen im Beweis eräutert. [[Datei:Audio de 13 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Formel Totale Wahrscheinlichkeit]] <span id="Satz_von_Bayes"></span> == Satz - Formel von Bayes == Ist <math> P </math> eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf <math> \Omega </math>, <math> ( A_1, ... ,A_m ) </math> einer Zerlegung von <math>\Omega </math> auf <math>(\Omega,\mathcal{S})</math> , so gilt für jedes <math> B \in \mathcal{S} </math> mit <math> P(B) > 0 </math> und <math> i= 1, ... ,m </math> :<math>P(A_i|B) = \frac {P(B|A_i) \cdot P(A_i)} { \sum_{j=1}^{m} P(B|A_j) \cdot P(A_j) }.</math> [[Datei:Audio de 14 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Satz von Bayes]] === Beweis === :<math>P(A_i|B) = \frac {P(A_i\cap B)}{P(B)} = \frac{P(B|A_i) \cdot P(A_i)}{\sum_{j=1}^{m} P(B|A_j) \cdot P(A_j)} </math> [[Datei:Audio de 15 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Satz von Bayes - Beweis]] ==== Bemerkung==== Man beachte, dass auf der linken und rechten Seite "Argument und Bedingung" vertauscht auftreten. In einer außermathematischen Deutung spielen <math> A_j </math> die Rolle von (verschiedenen) Ursachen für die Wirkung von <math> B </math>. [[Datei:Audio de 16 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Satz von Bayes - Bemerkung]] ==== Beispiel (Test auf eine Krankheit) ==== <math> \Omega </math> sei die Gesamtheit der Personen aus der Bevölkerung. <math> p \cdot 100\% </math> der Bevölkerung (<math>K \subset \Omega </math>) leidet an der Krankheit. Ein Test für diese Krankheit spreche bei <math> k \cdot 100\% </math> der Kranken aus <math>K</math> an und bei <math> g \cdot 100\% </math> der Gesunden (<math>\Omega \setminus K</math>) positiv an (<math>k =</math> Sensitivität, <math>1-g =</math> Spezifität des Testes). Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat eine zufällig ausgewählte Person <math>\omega \in \Omega</math> die Krankheit, * wenn der Test positiv ausfällt? * wenn der Test negativ ausfällt? [[Datei:Audio de 17 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Satz von Bayes - Beispiel]] <span id="Produktformel"></span> == Produktformel- bedingte Wahrscheinlichkeit == Sei <math>P</math> eine [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] auf <math> \Omega </math> und seien <math> A_1, ... ,A_n \subset \Omega </math> mit <math> P( A_1 \cap ... \cap A_{n-1} )>0 </math>. Dann gilt die sogenannte "Produktformel": :<math> P( A_1 \cap ... \cap A_n) = P(A_1) \cdot P(A_2 | A_1) \cdot P(A_3 | A_1 \cap A_2) \cdot ... \cdot P(A_n | A_1 \cap ... \cap A_{n-1}) </math> [[Datei:Audio de 18 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Produktformel - Satz]] == Beweis - Produktformel == Allgemein für [[Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaße]] gilt für <math>C_1\subseteq C_2</math> mit <math>C_1,C_2 \in \mathcal{S}</math> auch <math>P(C_1)\leq P(C_2)</math>. Diese Eigenschaft wendet man auf die folgende Teilmengenbeziehung an: :<math>A_1 \supseteq A_1 \cap A_2\supseteq ... \supseteq A_1 \cap ... \cap A_{n-1}</math> === Beweisschritt 1 - Produktformel === Die Anwendung des Wahrscheinlichkeitsmaßes auf die Teilmengenbeziehung der obigen Vorüberlegung liefert: :<math>P(A_1) \ge P(A_1 \cap A_2) \ge ... \ge P(A_1 \cap ... \cap A_{n-1}) >0.</math> === Beweisschritt 2 - Produktformel === Wegen <math>P(A_1 \cap ... \cap A_{n-2})\leq P(A_1 \cap ... \cap A_{n-1}) >0</math> ist die folgende bedingte Wahrscheinlichkeit wohldefiniert: :<math> P( A_1 \cap ... \cap A_n) = P( A_1 \cap ... \cap A_{n-1} ) \cdot P( A_n | A_1 \cap ... \cap A_{n-1} ) </math> === Beweisschritt 3 - Produktformel === Nun ist wegen Beweisschritt 1 auch <math> P( A_1 \cap ... \cap A_{n-2} ) > 0 </math> gegeben und man kann wiederum :<math> P( A_1 \cap ... \cap A_{n}) = </math> :<math> \quad = P( A_1 \cap ... \cap A_{n-2}) \cdot P( A_{n-1} | A_1 \cap ... \cap A_{n-2} ) \cdot P( A_n | A_1 \cap ... \cap A_{n-1} ) </math> === Beweisschritt 4 - Produktformel === Wenn man dieses Vorgehen iteriert auf Wahrscheinlickeiten der Schnittmengen anwendet erhält man die Produktformel: :<math> P(A_1 \cap ... \cap A_{n}) = </math> :<math> \quad = P(A_1) \cdot P(A_2 | A_1) \cdot P(A_3 | A_1 \cap A_2) \cdot ... \cdot P(A_n | A_1 \cap ... \cap A_{n-1}) \ \Box</math> [[Datei:Audio de 19 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Produktformel - Satz - Beweis]] ==== Bemerkung ==== Dieser Satz verallgemeinert die Formel <math>P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A). </math> [[Datei:Audio de 20 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Produktformel - Bemerkung]] == Siehe auch == * [[stochastische Unabhängigkeit]] * [[bedingte Wahrscheinlichkeit#ZerlegungDef|disjunkte Zerlegung einer Menge]] == Seiten-Information == Der [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Bedingte+Wahrscheinlichkeit&author=Kurs%3A+Stochastik&audioslide=no&language=de Foliensatz] für diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Bedingte%20Wahrscheinlichkeit Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Bedingte_Wahrscheinlichkeit Bedingte Wahrscheinlichkeit] https://de.wikipedia.org/wiki/Bedingte_Wahrscheinlichkeit * Datum: 5.11.2018 * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity]-Konverter: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity * [https://niebert.github.com/Wiki2Reveal Wiki2Reveal Link-Generator] * Dieser Foliensatz gehört zum [[Kurs:Stochastik]] [[Category:Wiki2Reveal]] k75h2i5fi8o1w98b165jktasttouugw 1118748 1118744 2026-11-03T10:19:07Z Bert Niehaus 20843 /* Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit */ 1118748 wikitext text/x-wiki [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|146px|mini|Kurs enthält [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] Audio-Folien]] == Einleitung == Diese Lerneinheit aus der [[Kurs:Stochastik|Stochastik]] behandelt folgende Inhalte: * [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Definition|Definition - Bedingte Wahrscheinlichkeit]] * [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Zerlegungssatz|Zerlegungssatz]] * [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Satz_von_Bayes|Satz von Bayes]] * [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Satz_totale_Wahrscheinlichkeit|Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit]] * [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Produktformel|Produktformel]] === Einführendes Beispiel - bedingte Wahrscheinlichkeit=== Gegeben sei ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum <math>(\Omega,\mathcal{S},P) </math>, Gleichverteilung über <math>(\Omega,\mathcal{S}) </math> und <math>\mathcal{S} := \wp((\Omega) </math>. <math> A,B \subset \Omega, A\neq \varnothing </math>. In dem einführenden Beispiel betrachten wir die Ereignisse: * <math>A</math>: Stochastik-Klausur bestanden * <math>B</math>: Fachwissenschaftliche Grundlagen mit 4,0 bestanden * Mit welcher Wahrscheinlichkeit <math>P(A|B)</math> besteht man die Stochastik-Klausur <math>A</math>, wenn man die Klausur zu den fachwissenschaftlichen Grundlagen nur mit 4,0 bestanden hat (d.h. <math>B</math> erfüllt ist)? [[Datei:Audio de 1 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Einleitung]] === Vorüberlegung === Wir nehmen an, dass das Ereignis <math> B </math> eintritt. Welche Definition ist sinnvoll für die Wahrscheinlichkeit von <math> B </math>, unter der Bedingung, dass <math> A </math> eingetreten ist? # Wenn die Bedingung <math> B </math> eintritt, so kann <math> A </math> nur dann eintreten, wenn das Ereignis <math> A \cap B </math> eintritt. # Wir konzentrieren uns auf die Realisationen <math> \omega \in A </math> und betrachten sie als gleichwahrscheinlich ([[w:de:Laplace-Verteilung|Laplace-Verteilung]]). # Allgemein gilt dann <math> P(C) = \frac {| C | }{ | \Omega |} </math> für alle <math>C \in \mathcal{S}</math>. [[Datei:Audio de 2 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Vorlüberlegung]] === Berechnung mit Laplace-Verteilung === Damit kann die Wahrscheinlichkeit von <math> A </math> unter der Bedingung <math> B </math> wie folgt definiert werden: :<math> P(A|B) := \frac {| A\cap B | }{ | B |} = \frac { \tfrac{|A \cap B | }{| \Omega | }} { \tfrac{| B |}{| \Omega | }}= \frac {P (A \cap B)}{ P(B)} </math> Dabei wurde der Bruch mit <math>\frac {1}{| \Omega |}</math> erweitert, um in Zähler und Nenner die Laplace-Wahrscheinlichkeiten für die Ereignisse <math> A \cap B </math> und <math> B </math> zu erzeugen. [[Datei:Audio de 3 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Berechnung mit Laplace-Verteilung]] <span id="Definition"></span> == Definition - bedingte Wahrscheinlichkeit == Sei <math> (\Omega,\mathcal{S},P) </math> ein Wahrscheinlichkeitsraum, <math> A \in \mathcal{S} </math> mit <math> P (B) >0 </math>. <br> a) Die Abbildung <math> P( \cdot | B): \mathcal{S} \to [0,1] </math>, die gemäß <math> P (A | B) = \frac {P(A \cap B)}{P(B)}, A,B \in \mathcal{S} </math> definiert ist, heißt bedingte Wahrscheinlichkeitsverteilung über <math> \Omega </math> unter (der Bedingung) <math> B </math>. <br> b) Die Zahl <math> P(A|B) </math> heißt bedingte Wahrscheinlichkeit von <math> A </math> unter (der Bedingung) <math> B </math>. [[Datei:Audio de 4 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Definition]] === Aufgabe - bedingte Wahrscheinlickeitsverteilung === Sei <math>(\Omega,\mathcal{S},P)</math> ein Wahrscheinlichkeitsraum. Weisen Sie für die Abbildung <math>\widetilde{P}</math> nach, dass diese die Eigenschaften eines Wahrscheinlichkeitsmaßes auf <math>(\Omega,\mathcal{S})</math> erfüllt. :<math> \begin{array}{rrcl} \widetilde{P}: & \mathcal{S} & \rightarrow & [0,1] \\ & A & \mapsto & \widetilde{P}(A) = P(A|B) \end{array} </math> === Aufgaben - Wahrscheinlichkeit auf Bedingung konzentriert=== Es gilt <math> P(\Omega|B) = 1 </math>. Die Wahrscheinlichkeit von <math> P( \cdot |B) </math> ist allerdings auf <math> B </math> konzentriert". * Zeigen Sie dazu, dass <math> P(A|B) = 0 </math> für alle <math> A \subset \bar B = \Omega\setminus B </math> <!-- denn: <math> P(A|B) = \frac {P (A \cap B)} {P(B)} = \frac {P (\emptyset)} {P(B)} = 0 </math> --> * Zeigen Sie, dass für <math> B \subset A </math>, <math> A \not= B </math> gilt, dass <math> P(A|B) = 1</math> (Hinweis: Zeigen Sie, dass <math> P(\bar A|B) = 0</math> gilt!) [[Datei:Audio de 5 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Aufgabenstellung]] === Anmerkung === Formt man die Definitionsformel von oben um zu <math> P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A|B) </math>, so kann man die Wahrscheinlichkeit des gleichzeitig Eintretens von <math> A </math> und <math> B </math> mithilfe der bedingten Wahrscheinlichkeit darstellen. Wir betrachten im Nachfolgenden eine Technik, eine Wahrscheinlichkeit auf <math> \Omega </math> durch bedingten Wahrscheinlichkeiten zusammenzusetzen. <span id="ZerlegungDef"></span> === Definition - Zerlegung === <math> (A_1, ..., A_m) </math> heißt [[bedingte Wahrscheinlichkeit#ZerlegungDef|Zerlegung]] von <math> \Omega </math> auf <math> (\Omega,\mathcal{S}) </math>, falls <math>\bigcup_{i=1} ^{m} A_i = \Omega, A_i \cap A_j = \varnothing </math> für alle <math> i \neq j </math> und <math>A_i, A_j \in \mathcal{S}</math>. === Motivation - Auswahl mit beschränkten Optionen === Als Beispiel werden 100 verschiedene Spiele <math>\Omega</math> auf <math>m</math> verschiedene Spielekisten <math>A_1, \ldots , A_m</math> verteilt. Es gibt <math>m\in \mathbb{N}</math> Personen und jede Person bekommt eine Kiste. Jede Person <math>i</math> kann nur Spiele aus der eigenen Kiste <math>A_i</math> und nicht aus anderen Kisten <math>A_j</math> auswählen mit <math>i\neq j</math>. Es gibt für jede der <math>i</math> Personen präferiert Spiele und daher gibt es eine Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>{Q_A}_i</math> (''"Qual der Wahl aus <math>A_i</math> aus der Spielekiste"''), die die Wahrscheinlichkeit beschreibt, ein Spiel bestimmtes Spiel aus der eigenen Spielekiste auszuwählen. Die Wahrscheinlichkeit ist auf <math>A_i</math> konzentriert, da die Spieler nur aus der eigenen Kiste auswählen können. == Zerlegungssatz == Sei <math>(A_1, ... ,A_m )</math> eine [[bedingte Wahrscheinlichkeit#ZerlegungDef|Zerlegung]] von <math>\Omega </math> auf <math> (\Omega,\mathcal{S})</math>. Für jedes <math> i = 1, ...,m </math> sei eine auf <math>A_i</math> konzentrierte Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>Q_{A_i}</math> auf <math>(\Omega,\mathcal{S} ) </math> gegeben (d.h. <math>{Q_A}_i (A_i) = 1 </math>) sowie Zahlen <math>p_i \in ( 0,1]</math> mit <math>\sum _{i = 1} ^{m} p_i = 1 </math>. <br> * (a) Dann existiert genau eine Wahrscheinlichkeitsverteilung <math> P </math> auf <math> \Omega </math> mit <br> ** (i) <math>P(A_i) = p_i > 0</math>. <br> ** (ii) <math>P(B|A_i) = {Q_A}_i(B)</math>, falls <math>p_i >0 </math> für alle <math>i=1, ...,m </math>. <br> * (b) Es gilt <math> P(B) = \sum _{i=1} ^{m} p_i \cdot {Q_A}_i(B) </math> für jedes <math> B \in \mathcal{S} </math>. === Beweis - Zerlegungssatz === Der Beweis gliedert sich in eine Existenzaussage für <math>P</math> und eine Eindeutigkeitsaussage, bei der die Existenz einer weiteren Wahrscheinlichkeitsverteilung für <math>\widetilde{P}</math> auf <math>\mathcal{S}</math> angenommen wird. Dann wird gezeigt, dass <math>\widetilde{P} = P</math> gilt bzw. <math>\widetilde{P}(B) = P(B)</math> für beliebige <math>B\in\mathcal{S}</math> gilt. ==== Beweis Existenz (i)==== Man definiere <math> P</math> gemäß Formel b) und rechnet nach, dass <math>P</math> die Eigenschaften eines [[Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaßes]] auf <math>\Omega </math> besitzt: * <math>P(A)\geq 0</math> für alle <math>A\in \mathcal{S}</math>, * <math>P(\Omega) = 1</math> * Nachweis der <math>\sigma</math>-Additivität von <math>P</math> über die <math>\sigma</math>-Additivität der Wahrscheinlichkeitsmaße <math>Q_{A_i}</math> nachweisen. ==== Beweis Existenz (i) - paarweise disjunkt==== Da die Wahrscheinlichkeitsmasse von den Wahrscheinlichkeitsmaßen <math>Q_{A_i}</math> auf <math>A_i</math> konzentriert ist, gilt für die paarweise disjunkten <math> A_i</math> aus der Zerlegung <math>(A_1,\ldots ,A_m)</math> folgende Eigenschaft: :<math>{Q_A}_i(A_j) = \left \{ \begin{array}{ll} 0, & i \neq j\\ 1, & i = j \end{array}\right. </math> Daraus folgt sofort (ai) <math>P(A_k) = \sum _{i=1} ^{m} p_i \cdot {Q_A}_i(A_k) = p_k</math>. [[Datei:Audio de 10 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Zerlegungsatz 2]] ==== Beweis Existenz (ii)==== Für ein beliebiges <math>p_i > 0 </math> und <math> B \in \mathcal{S} </math> gilt mit Anwendung der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit: :<math> P(B|A_i) = \frac {P(A_i \cap B)}{ P(A_i)} = \frac {1} {p_i} \sum _{j=1} ^{m} p_j \cdot {Q_A}_j (A_i \cap B) = </math> :<math>= \frac {p_i} {p_i} ({Q_A}_i (A_i \cap B) + {Q_A}_i( \bar A_i \cap B) = {Q_A}_i(B) )</math> also ii). [[Datei:Audio de 11 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Zerlegungsatz 3]] ==== Beweis Eindeutigkeit ==== Sei <math> \tilde P </math> eine (weitere) Wahrscheinlichkeitsverteilung auf <math> (\Omega,\mathcal{S}) </math>, die (ai) und (aii) erfüllt. Dann gilt für <math> B \subset \Omega </math> und wegen <math> B= \Omega \cap B = \left( \bigcup _{j=1}^{m} A_j \right) \cap B</math> die Gleichung :<math>\tilde P (B) = \tilde P \left( \bigcup_ {j=1}^{m} A_j \cap B \right)= \sum _{j=1}^{m} \tilde P (A_j \cap B) = </math> :<math> = \sum _{j=1}^{m} \tilde P (A_j) \cdot \tilde P (B|A_j) \stackrel{(i),(ii)}{=} \sum _{j=1}^{m} p_j {Q_A}_j(B) = P(B) . \qquad \Box</math> [[Datei:Audio de 12 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Zerlegungsatz 4]] <span id="totale_Wahrscheinlichkeit"></span> <span id="Satz_totale_Wahrscheinlichkeit"></span> == Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit == Sei <math>(\Omega ,\mathcal{S}, P)</math> ein [[Wahrscheinlichkeitsraum]] und <math> (A_1,\ldots , A_m) </math> eine [[Mengenzerlegung (Stochastik)|Zerlegung]] von <math>\Omega</math> auf <math>(\Omega,\mathcal{S})</math> mit <math>P(A_j) > 0</math> für alle <math>j = 1, \ldots, m</math>. Für jedes <math> B \subset \Omega </math> und gilt also für alle <math>B \in \mathcal{S}</math>: :<math> P(B) = \sum _{j=1} ^{m} P(A_j) \cdot P(B|A_j)</math> === Bemerkung - Formel der totalen Wahrscheinlichkeit === Die Formel aus dem Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit erlaubt die Bestimmung der totalen Wahrscheinlichkeit <math>P(B)</math> von einem Ereignis <math>B\in \mathcal{S}</math>, wenn nur die Wahrscheinlichkeiten von unter verschiedenen Bedingungen kennt. Man kennt z.B. bei einem Erkrankung <math>B</math> in einem Tierbestand nur die Wahrscheinlichkeiten <math>P(A_j)</math> für eine Stressor <math>A_j</math> (z.B. Umweltbelastung für ein Ökosystem) und die bedingte Wahrscheinlichkeit <math>P(B|A_j)</math>, dass Tiere unter diesem Stressor <math>A_j</math> erkranken. <math>\Omega</math> ist dann die Vereinigung von allen möglichen auftretenden Stressoren <math>A_1, \ldots , A_m</math> ggf. unter Hinzunahme des Ereignisses <math>A_0</math> als "ungestresstes" Ökosystem (siehe [[disjunkte Zerlegung einer Menge|Zerlegung]]) . == Beweis - Satz - totale Wahrscheinlichkeit == Nach Voraussetzung gilt <math>P(A_j) > 0</math> für alle <math>j = 1, \ldots, m</math> und damit sind die bedingten Wahrscheinlichkeiten <math>P(B \mid A_j)</math> definiert, weil <math>P(A_j)</math> im Nenner der Definition der [[bedingte Wahrscheinlichkeit#Definition|bedingten Warscheinlichkeit]] auf tritt. === Schritt 1 - Zerlegung von Omega === Da die <math>A_j</math> eine [[bedingte Wahrscheinlichkeit#ZerlegungDef|Zerlegung]] von <math>\Omega</math> bilden, sind die <math>A_j</math> paarweise disjunkt nach Definition und auch die <math>B\cap A_j</math> sind als Teilmengen von <math>A_j</math> paarweise disjunkt. Damit gilt: :<math> \Omega = \bigcup_{j=1}^m A_j \quad \text{(disjunkt)} </math> === Schritt 2 - Zerlegung von B === Mit der Teilmengenbeziehung <math>B\cap A_j\subset A_j</math> Dann folgt für jedes <math>B \in \mathcal{S}</math> und der verallgemeinerten Anwendung <math>B \cap (A_1 \cup A_2) = (B\cap A_1) \cup (B\cap A_2)</math>: :<math> B = B \cap \Omega = B \cap \left( \bigcup_{j=1}^m A_j \right) = \bigcup_{j=1}^m (B \cap A_j) </math> Da die <math>A_j</math> disjunkt sind, sind auch die Schnitte <math>B \cap A_j</math> disjunkt. Also ist <math>(B \cap A_1, B \cap A_2, \ldots, B \cap A_m)</math> eine [[bedingte Wahrscheinlichkeit#ZerlegungDef|disjunkte Zerlegung]] von <math>B</math>. === Schritt 3 - Anwendung der Additivität der Wahrscheinlichkeit === Nach dem Axiom der <math>\sigma</math>-Additivität erlaubt insbesondere die Anwendung auf endliche Summen von disjunkte Ereignisse glt: :<math> P(B) = P\left( \bigcup_{j=1}^m (B \cap A_j) \right) = \sum_{j=1}^m P(B \cap A_j) </math> === Schritt 4 - Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit === Für jedes <math>j</math> mit <math>P(A_j) > 0</math> ist die bedingte Wahrscheinlichkeit definiert als: :<math> P(B \mid A_j) = \frac{P(B \cap A_j)}{P(A_j)} </math> Durch Umformung erhält man: :<math> P(B \cap A_j) = P(A_j) \cdot P(B \mid A_j) </math> === Schritt 5 - Einsetzen in die Summe === Setze dies in die Gleichung aus Schritt 3 ein: :<math> P(B) = \sum_{j=1}^m P(B \cap A_j) = \sum_{j=1}^m P(A_j) \cdot P(B \mid A_j) </math> Insgesamt erhält man die Aussage des [[Bedingte_Wahrscheinlichkeit#Satz_totale_Wahrscheinlichkeit|Satzes über die totale Wahrscheinlichkeit]] :<math> {P(B) = \sum_{j=1}^m P(A_j) \cdot P(B \mid A_j)} </math> === Aufgabe für Studierende === Beweisen Sie den Satz der totalen Wahrscheinlichkeit in der Übung und begründen Sie jeden Teilschritte über die Zerlegung von <math>\Omega</math> und der Zerlegung von <math>B</math>. Fertigen Sie für die Beweisvorstellung Skizze an, die das Vorgehen im Beweis eräutert. [[Datei:Audio de 13 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Formel Totale Wahrscheinlichkeit]] <span id="Satz_von_Bayes"></span> == Satz - Formel von Bayes == Ist <math> P </math> eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf <math> \Omega </math>, <math> ( A_1, ... ,A_m ) </math> einer Zerlegung von <math>\Omega </math> auf <math>(\Omega,\mathcal{S})</math> , so gilt für jedes <math> B \in \mathcal{S} </math> mit <math> P(B) > 0 </math> und <math> i= 1, ... ,m </math> :<math>P(A_i|B) = \frac {P(B|A_i) \cdot P(A_i)} { \sum_{j=1}^{m} P(B|A_j) \cdot P(A_j) }.</math> [[Datei:Audio de 14 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Satz von Bayes]] === Beweis === :<math>P(A_i|B) = \frac {P(A_i\cap B)}{P(B)} = \frac{P(B|A_i) \cdot P(A_i)}{\sum_{j=1}^{m} P(B|A_j) \cdot P(A_j)} </math> [[Datei:Audio de 15 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Satz von Bayes - Beweis]] ==== Bemerkung==== Man beachte, dass auf der linken und rechten Seite "Argument und Bedingung" vertauscht auftreten. In einer außermathematischen Deutung spielen <math> A_j </math> die Rolle von (verschiedenen) Ursachen für die Wirkung von <math> B </math>. [[Datei:Audio de 16 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Satz von Bayes - Bemerkung]] ==== Beispiel (Test auf eine Krankheit) ==== <math> \Omega </math> sei die Gesamtheit der Personen aus der Bevölkerung. <math> p \cdot 100\% </math> der Bevölkerung (<math>K \subset \Omega </math>) leidet an der Krankheit. Ein Test für diese Krankheit spreche bei <math> k \cdot 100\% </math> der Kranken aus <math>K</math> an und bei <math> g \cdot 100\% </math> der Gesunden (<math>\Omega \setminus K</math>) positiv an (<math>k =</math> Sensitivität, <math>1-g =</math> Spezifität des Testes). Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat eine zufällig ausgewählte Person <math>\omega \in \Omega</math> die Krankheit, * wenn der Test positiv ausfällt? * wenn der Test negativ ausfällt? [[Datei:Audio de 17 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Satz von Bayes - Beispiel]] <span id="Produktformel"></span> == Produktformel- bedingte Wahrscheinlichkeit == Sei <math>P</math> eine [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] auf <math> \Omega </math> und seien <math> A_1, ... ,A_n \subset \Omega </math> mit <math> P( A_1 \cap ... \cap A_{n-1} )>0 </math>. Dann gilt die sogenannte "Produktformel": :<math> P( A_1 \cap ... \cap A_n) = P(A_1) \cdot P(A_2 | A_1) \cdot P(A_3 | A_1 \cap A_2) \cdot ... \cdot P(A_n | A_1 \cap ... \cap A_{n-1}) </math> [[Datei:Audio de 18 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Produktformel - Satz]] == Beweis - Produktformel == Allgemein für [[Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaße]] gilt für <math>C_1\subseteq C_2</math> mit <math>C_1,C_2 \in \mathcal{S}</math> auch <math>P(C_1)\leq P(C_2)</math>. Diese Eigenschaft wendet man auf die folgende Teilmengenbeziehung an: :<math>A_1 \supseteq A_1 \cap A_2\supseteq ... \supseteq A_1 \cap ... \cap A_{n-1}</math> === Beweisschritt 1 - Produktformel === Die Anwendung des Wahrscheinlichkeitsmaßes auf die Teilmengenbeziehung der obigen Vorüberlegung liefert: :<math>P(A_1) \ge P(A_1 \cap A_2) \ge ... \ge P(A_1 \cap ... \cap A_{n-1}) >0.</math> === Beweisschritt 2 - Produktformel === Wegen <math>P(A_1 \cap ... \cap A_{n-2})\leq P(A_1 \cap ... \cap A_{n-1}) >0</math> ist die folgende bedingte Wahrscheinlichkeit wohldefiniert: :<math> P( A_1 \cap ... \cap A_n) = P( A_1 \cap ... \cap A_{n-1} ) \cdot P( A_n | A_1 \cap ... \cap A_{n-1} ) </math> === Beweisschritt 3 - Produktformel === Nun ist wegen Beweisschritt 1 auch <math> P( A_1 \cap ... \cap A_{n-2} ) > 0 </math> gegeben und man kann wiederum :<math> P( A_1 \cap ... \cap A_{n}) = </math> :<math> \quad = P( A_1 \cap ... \cap A_{n-2}) \cdot P( A_{n-1} | A_1 \cap ... \cap A_{n-2} ) \cdot P( A_n | A_1 \cap ... \cap A_{n-1} ) </math> === Beweisschritt 4 - Produktformel === Wenn man dieses Vorgehen iteriert auf Wahrscheinlickeiten der Schnittmengen anwendet erhält man die Produktformel: :<math> P(A_1 \cap ... \cap A_{n}) = </math> :<math> \quad = P(A_1) \cdot P(A_2 | A_1) \cdot P(A_3 | A_1 \cap A_2) \cdot ... \cdot P(A_n | A_1 \cap ... \cap A_{n-1}) \ \Box</math> [[Datei:Audio de 19 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Produktformel - Satz - Beweis]] ==== Bemerkung ==== Dieser Satz verallgemeinert die Formel <math>P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A). </math> [[Datei:Audio de 20 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Produktformel - Bemerkung]] == Siehe auch == * [[stochastische Unabhängigkeit]] * [[bedingte Wahrscheinlichkeit#ZerlegungDef|disjunkte Zerlegung einer Menge]] == Seiten-Information == Der [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Bedingte+Wahrscheinlichkeit&author=Kurs%3A+Stochastik&audioslide=no&language=de Foliensatz] für diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Bedingte%20Wahrscheinlichkeit Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Bedingte_Wahrscheinlichkeit Bedingte Wahrscheinlichkeit] https://de.wikipedia.org/wiki/Bedingte_Wahrscheinlichkeit * Datum: 5.11.2018 * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity]-Konverter: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity * [https://niebert.github.com/Wiki2Reveal Wiki2Reveal Link-Generator] * Dieser Foliensatz gehört zum [[Kurs:Stochastik]] [[Category:Wiki2Reveal]] qbbbygnz6s0ok6iqjinovksau2mfl3o 1118749 1118748 2026-11-03T10:19:22Z Bert Niehaus 20843 /* Bemerkung - Formel der totalen Wahrscheinlichkeit */ 1118749 wikitext text/x-wiki [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|146px|mini|Kurs enthält [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] Audio-Folien]] == Einleitung == Diese Lerneinheit aus der [[Kurs:Stochastik|Stochastik]] behandelt folgende Inhalte: * [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Definition|Definition - Bedingte Wahrscheinlichkeit]] * [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Zerlegungssatz|Zerlegungssatz]] * [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Satz_von_Bayes|Satz von Bayes]] * [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Satz_totale_Wahrscheinlichkeit|Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit]] * [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Produktformel|Produktformel]] === Einführendes Beispiel - bedingte Wahrscheinlichkeit=== Gegeben sei ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum <math>(\Omega,\mathcal{S},P) </math>, Gleichverteilung über <math>(\Omega,\mathcal{S}) </math> und <math>\mathcal{S} := \wp((\Omega) </math>. <math> A,B \subset \Omega, A\neq \varnothing </math>. In dem einführenden Beispiel betrachten wir die Ereignisse: * <math>A</math>: Stochastik-Klausur bestanden * <math>B</math>: Fachwissenschaftliche Grundlagen mit 4,0 bestanden * Mit welcher Wahrscheinlichkeit <math>P(A|B)</math> besteht man die Stochastik-Klausur <math>A</math>, wenn man die Klausur zu den fachwissenschaftlichen Grundlagen nur mit 4,0 bestanden hat (d.h. <math>B</math> erfüllt ist)? [[Datei:Audio de 1 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Einleitung]] === Vorüberlegung === Wir nehmen an, dass das Ereignis <math> B </math> eintritt. Welche Definition ist sinnvoll für die Wahrscheinlichkeit von <math> B </math>, unter der Bedingung, dass <math> A </math> eingetreten ist? # Wenn die Bedingung <math> B </math> eintritt, so kann <math> A </math> nur dann eintreten, wenn das Ereignis <math> A \cap B </math> eintritt. # Wir konzentrieren uns auf die Realisationen <math> \omega \in A </math> und betrachten sie als gleichwahrscheinlich ([[w:de:Laplace-Verteilung|Laplace-Verteilung]]). # Allgemein gilt dann <math> P(C) = \frac {| C | }{ | \Omega |} </math> für alle <math>C \in \mathcal{S}</math>. [[Datei:Audio de 2 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Vorlüberlegung]] === Berechnung mit Laplace-Verteilung === Damit kann die Wahrscheinlichkeit von <math> A </math> unter der Bedingung <math> B </math> wie folgt definiert werden: :<math> P(A|B) := \frac {| A\cap B | }{ | B |} = \frac { \tfrac{|A \cap B | }{| \Omega | }} { \tfrac{| B |}{| \Omega | }}= \frac {P (A \cap B)}{ P(B)} </math> Dabei wurde der Bruch mit <math>\frac {1}{| \Omega |}</math> erweitert, um in Zähler und Nenner die Laplace-Wahrscheinlichkeiten für die Ereignisse <math> A \cap B </math> und <math> B </math> zu erzeugen. [[Datei:Audio de 3 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Berechnung mit Laplace-Verteilung]] <span id="Definition"></span> == Definition - bedingte Wahrscheinlichkeit == Sei <math> (\Omega,\mathcal{S},P) </math> ein Wahrscheinlichkeitsraum, <math> A \in \mathcal{S} </math> mit <math> P (B) >0 </math>. <br> a) Die Abbildung <math> P( \cdot | B): \mathcal{S} \to [0,1] </math>, die gemäß <math> P (A | B) = \frac {P(A \cap B)}{P(B)}, A,B \in \mathcal{S} </math> definiert ist, heißt bedingte Wahrscheinlichkeitsverteilung über <math> \Omega </math> unter (der Bedingung) <math> B </math>. <br> b) Die Zahl <math> P(A|B) </math> heißt bedingte Wahrscheinlichkeit von <math> A </math> unter (der Bedingung) <math> B </math>. [[Datei:Audio de 4 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Definition]] === Aufgabe - bedingte Wahrscheinlickeitsverteilung === Sei <math>(\Omega,\mathcal{S},P)</math> ein Wahrscheinlichkeitsraum. Weisen Sie für die Abbildung <math>\widetilde{P}</math> nach, dass diese die Eigenschaften eines Wahrscheinlichkeitsmaßes auf <math>(\Omega,\mathcal{S})</math> erfüllt. :<math> \begin{array}{rrcl} \widetilde{P}: & \mathcal{S} & \rightarrow & [0,1] \\ & A & \mapsto & \widetilde{P}(A) = P(A|B) \end{array} </math> === Aufgaben - Wahrscheinlichkeit auf Bedingung konzentriert=== Es gilt <math> P(\Omega|B) = 1 </math>. Die Wahrscheinlichkeit von <math> P( \cdot |B) </math> ist allerdings auf <math> B </math> konzentriert". * Zeigen Sie dazu, dass <math> P(A|B) = 0 </math> für alle <math> A \subset \bar B = \Omega\setminus B </math> <!-- denn: <math> P(A|B) = \frac {P (A \cap B)} {P(B)} = \frac {P (\emptyset)} {P(B)} = 0 </math> --> * Zeigen Sie, dass für <math> B \subset A </math>, <math> A \not= B </math> gilt, dass <math> P(A|B) = 1</math> (Hinweis: Zeigen Sie, dass <math> P(\bar A|B) = 0</math> gilt!) [[Datei:Audio de 5 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Aufgabenstellung]] === Anmerkung === Formt man die Definitionsformel von oben um zu <math> P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A|B) </math>, so kann man die Wahrscheinlichkeit des gleichzeitig Eintretens von <math> A </math> und <math> B </math> mithilfe der bedingten Wahrscheinlichkeit darstellen. Wir betrachten im Nachfolgenden eine Technik, eine Wahrscheinlichkeit auf <math> \Omega </math> durch bedingten Wahrscheinlichkeiten zusammenzusetzen. <span id="ZerlegungDef"></span> === Definition - Zerlegung === <math> (A_1, ..., A_m) </math> heißt [[bedingte Wahrscheinlichkeit#ZerlegungDef|Zerlegung]] von <math> \Omega </math> auf <math> (\Omega,\mathcal{S}) </math>, falls <math>\bigcup_{i=1} ^{m} A_i = \Omega, A_i \cap A_j = \varnothing </math> für alle <math> i \neq j </math> und <math>A_i, A_j \in \mathcal{S}</math>. === Motivation - Auswahl mit beschränkten Optionen === Als Beispiel werden 100 verschiedene Spiele <math>\Omega</math> auf <math>m</math> verschiedene Spielekisten <math>A_1, \ldots , A_m</math> verteilt. Es gibt <math>m\in \mathbb{N}</math> Personen und jede Person bekommt eine Kiste. Jede Person <math>i</math> kann nur Spiele aus der eigenen Kiste <math>A_i</math> und nicht aus anderen Kisten <math>A_j</math> auswählen mit <math>i\neq j</math>. Es gibt für jede der <math>i</math> Personen präferiert Spiele und daher gibt es eine Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>{Q_A}_i</math> (''"Qual der Wahl aus <math>A_i</math> aus der Spielekiste"''), die die Wahrscheinlichkeit beschreibt, ein Spiel bestimmtes Spiel aus der eigenen Spielekiste auszuwählen. Die Wahrscheinlichkeit ist auf <math>A_i</math> konzentriert, da die Spieler nur aus der eigenen Kiste auswählen können. == Zerlegungssatz == Sei <math>(A_1, ... ,A_m )</math> eine [[bedingte Wahrscheinlichkeit#ZerlegungDef|Zerlegung]] von <math>\Omega </math> auf <math> (\Omega,\mathcal{S})</math>. Für jedes <math> i = 1, ...,m </math> sei eine auf <math>A_i</math> konzentrierte Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>Q_{A_i}</math> auf <math>(\Omega,\mathcal{S} ) </math> gegeben (d.h. <math>{Q_A}_i (A_i) = 1 </math>) sowie Zahlen <math>p_i \in ( 0,1]</math> mit <math>\sum _{i = 1} ^{m} p_i = 1 </math>. <br> * (a) Dann existiert genau eine Wahrscheinlichkeitsverteilung <math> P </math> auf <math> \Omega </math> mit <br> ** (i) <math>P(A_i) = p_i > 0</math>. <br> ** (ii) <math>P(B|A_i) = {Q_A}_i(B)</math>, falls <math>p_i >0 </math> für alle <math>i=1, ...,m </math>. <br> * (b) Es gilt <math> P(B) = \sum _{i=1} ^{m} p_i \cdot {Q_A}_i(B) </math> für jedes <math> B \in \mathcal{S} </math>. === Beweis - Zerlegungssatz === Der Beweis gliedert sich in eine Existenzaussage für <math>P</math> und eine Eindeutigkeitsaussage, bei der die Existenz einer weiteren Wahrscheinlichkeitsverteilung für <math>\widetilde{P}</math> auf <math>\mathcal{S}</math> angenommen wird. Dann wird gezeigt, dass <math>\widetilde{P} = P</math> gilt bzw. <math>\widetilde{P}(B) = P(B)</math> für beliebige <math>B\in\mathcal{S}</math> gilt. ==== Beweis Existenz (i)==== Man definiere <math> P</math> gemäß Formel b) und rechnet nach, dass <math>P</math> die Eigenschaften eines [[Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaßes]] auf <math>\Omega </math> besitzt: * <math>P(A)\geq 0</math> für alle <math>A\in \mathcal{S}</math>, * <math>P(\Omega) = 1</math> * Nachweis der <math>\sigma</math>-Additivität von <math>P</math> über die <math>\sigma</math>-Additivität der Wahrscheinlichkeitsmaße <math>Q_{A_i}</math> nachweisen. ==== Beweis Existenz (i) - paarweise disjunkt==== Da die Wahrscheinlichkeitsmasse von den Wahrscheinlichkeitsmaßen <math>Q_{A_i}</math> auf <math>A_i</math> konzentriert ist, gilt für die paarweise disjunkten <math> A_i</math> aus der Zerlegung <math>(A_1,\ldots ,A_m)</math> folgende Eigenschaft: :<math>{Q_A}_i(A_j) = \left \{ \begin{array}{ll} 0, & i \neq j\\ 1, & i = j \end{array}\right. </math> Daraus folgt sofort (ai) <math>P(A_k) = \sum _{i=1} ^{m} p_i \cdot {Q_A}_i(A_k) = p_k</math>. [[Datei:Audio de 10 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Zerlegungsatz 2]] ==== Beweis Existenz (ii)==== Für ein beliebiges <math>p_i > 0 </math> und <math> B \in \mathcal{S} </math> gilt mit Anwendung der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit: :<math> P(B|A_i) = \frac {P(A_i \cap B)}{ P(A_i)} = \frac {1} {p_i} \sum _{j=1} ^{m} p_j \cdot {Q_A}_j (A_i \cap B) = </math> :<math>= \frac {p_i} {p_i} ({Q_A}_i (A_i \cap B) + {Q_A}_i( \bar A_i \cap B) = {Q_A}_i(B) )</math> also ii). [[Datei:Audio de 11 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Zerlegungsatz 3]] ==== Beweis Eindeutigkeit ==== Sei <math> \tilde P </math> eine (weitere) Wahrscheinlichkeitsverteilung auf <math> (\Omega,\mathcal{S}) </math>, die (ai) und (aii) erfüllt. Dann gilt für <math> B \subset \Omega </math> und wegen <math> B= \Omega \cap B = \left( \bigcup _{j=1}^{m} A_j \right) \cap B</math> die Gleichung :<math>\tilde P (B) = \tilde P \left( \bigcup_ {j=1}^{m} A_j \cap B \right)= \sum _{j=1}^{m} \tilde P (A_j \cap B) = </math> :<math> = \sum _{j=1}^{m} \tilde P (A_j) \cdot \tilde P (B|A_j) \stackrel{(i),(ii)}{=} \sum _{j=1}^{m} p_j {Q_A}_j(B) = P(B) . \qquad \Box</math> [[Datei:Audio de 12 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Zerlegungsatz 4]] <span id="totale_Wahrscheinlichkeit"></span> <span id="Satz_totale_Wahrscheinlichkeit"></span> == Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit == Sei <math>(\Omega ,\mathcal{S}, P)</math> ein [[Wahrscheinlichkeitsraum]] und <math> (A_1,\ldots , A_m) </math> eine [[Mengenzerlegung (Stochastik)|Zerlegung]] von <math>\Omega</math> auf <math>(\Omega,\mathcal{S})</math> mit <math>P(A_j) > 0</math> für alle <math>j = 1, \ldots, m</math>. Für jedes <math> B \subset \Omega </math> und gilt also für alle <math>B \in \mathcal{S}</math>: :<math> P(B) = \sum _{j=1} ^{m} P(A_j) \cdot P(B|A_j)</math> === Bemerkung - Formel der totalen Wahrscheinlichkeit === Die Formel aus dem Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit erlaubt die Bestimmung der totalen Wahrscheinlichkeit <math>P(B)</math> von einem Ereignis <math>B\in \mathcal{S}</math>, wenn nur die Wahrscheinlichkeiten von unter verschiedenen Bedingungen kennt. Man kennt z.B. bei einem Erkrankung <math>B</math> in einem Tierbestand nur die Wahrscheinlichkeiten <math>P(A_j)</math> für eine Stressor <math>A_j</math> (z.B. Umweltbelastung für ein Ökosystem) und die bedingte Wahrscheinlichkeit <math>P(B|A_j)</math>, dass Tiere unter diesem Stressor <math>A_j</math> erkranken. <math>\Omega</math> ist dann die Vereinigung von allen möglichen auftretenden Stressoren <math>A_1, \ldots , A_m</math> ggf. unter Hinzunahme des Ereignisses <math>A_0</math> als "ungestresstes" Ökosystem (siehe [[disjunkte Zerlegung einer Menge|Zerlegung einer Menge]]) . == Beweis - Satz - totale Wahrscheinlichkeit == Nach Voraussetzung gilt <math>P(A_j) > 0</math> für alle <math>j = 1, \ldots, m</math> und damit sind die bedingten Wahrscheinlichkeiten <math>P(B \mid A_j)</math> definiert, weil <math>P(A_j)</math> im Nenner der Definition der [[bedingte Wahrscheinlichkeit#Definition|bedingten Warscheinlichkeit]] auf tritt. === Schritt 1 - Zerlegung von Omega === Da die <math>A_j</math> eine [[bedingte Wahrscheinlichkeit#ZerlegungDef|Zerlegung]] von <math>\Omega</math> bilden, sind die <math>A_j</math> paarweise disjunkt nach Definition und auch die <math>B\cap A_j</math> sind als Teilmengen von <math>A_j</math> paarweise disjunkt. Damit gilt: :<math> \Omega = \bigcup_{j=1}^m A_j \quad \text{(disjunkt)} </math> === Schritt 2 - Zerlegung von B === Mit der Teilmengenbeziehung <math>B\cap A_j\subset A_j</math> Dann folgt für jedes <math>B \in \mathcal{S}</math> und der verallgemeinerten Anwendung <math>B \cap (A_1 \cup A_2) = (B\cap A_1) \cup (B\cap A_2)</math>: :<math> B = B \cap \Omega = B \cap \left( \bigcup_{j=1}^m A_j \right) = \bigcup_{j=1}^m (B \cap A_j) </math> Da die <math>A_j</math> disjunkt sind, sind auch die Schnitte <math>B \cap A_j</math> disjunkt. Also ist <math>(B \cap A_1, B \cap A_2, \ldots, B \cap A_m)</math> eine [[bedingte Wahrscheinlichkeit#ZerlegungDef|disjunkte Zerlegung]] von <math>B</math>. === Schritt 3 - Anwendung der Additivität der Wahrscheinlichkeit === Nach dem Axiom der <math>\sigma</math>-Additivität erlaubt insbesondere die Anwendung auf endliche Summen von disjunkte Ereignisse glt: :<math> P(B) = P\left( \bigcup_{j=1}^m (B \cap A_j) \right) = \sum_{j=1}^m P(B \cap A_j) </math> === Schritt 4 - Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit === Für jedes <math>j</math> mit <math>P(A_j) > 0</math> ist die bedingte Wahrscheinlichkeit definiert als: :<math> P(B \mid A_j) = \frac{P(B \cap A_j)}{P(A_j)} </math> Durch Umformung erhält man: :<math> P(B \cap A_j) = P(A_j) \cdot P(B \mid A_j) </math> === Schritt 5 - Einsetzen in die Summe === Setze dies in die Gleichung aus Schritt 3 ein: :<math> P(B) = \sum_{j=1}^m P(B \cap A_j) = \sum_{j=1}^m P(A_j) \cdot P(B \mid A_j) </math> Insgesamt erhält man die Aussage des [[Bedingte_Wahrscheinlichkeit#Satz_totale_Wahrscheinlichkeit|Satzes über die totale Wahrscheinlichkeit]] :<math> {P(B) = \sum_{j=1}^m P(A_j) \cdot P(B \mid A_j)} </math> === Aufgabe für Studierende === Beweisen Sie den Satz der totalen Wahrscheinlichkeit in der Übung und begründen Sie jeden Teilschritte über die Zerlegung von <math>\Omega</math> und der Zerlegung von <math>B</math>. Fertigen Sie für die Beweisvorstellung Skizze an, die das Vorgehen im Beweis eräutert. [[Datei:Audio de 13 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Formel Totale Wahrscheinlichkeit]] <span id="Satz_von_Bayes"></span> == Satz - Formel von Bayes == Ist <math> P </math> eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf <math> \Omega </math>, <math> ( A_1, ... ,A_m ) </math> einer Zerlegung von <math>\Omega </math> auf <math>(\Omega,\mathcal{S})</math> , so gilt für jedes <math> B \in \mathcal{S} </math> mit <math> P(B) > 0 </math> und <math> i= 1, ... ,m </math> :<math>P(A_i|B) = \frac {P(B|A_i) \cdot P(A_i)} { \sum_{j=1}^{m} P(B|A_j) \cdot P(A_j) }.</math> [[Datei:Audio de 14 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Satz von Bayes]] === Beweis === :<math>P(A_i|B) = \frac {P(A_i\cap B)}{P(B)} = \frac{P(B|A_i) \cdot P(A_i)}{\sum_{j=1}^{m} P(B|A_j) \cdot P(A_j)} </math> [[Datei:Audio de 15 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Satz von Bayes - Beweis]] ==== Bemerkung==== Man beachte, dass auf der linken und rechten Seite "Argument und Bedingung" vertauscht auftreten. In einer außermathematischen Deutung spielen <math> A_j </math> die Rolle von (verschiedenen) Ursachen für die Wirkung von <math> B </math>. [[Datei:Audio de 16 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Satz von Bayes - Bemerkung]] ==== Beispiel (Test auf eine Krankheit) ==== <math> \Omega </math> sei die Gesamtheit der Personen aus der Bevölkerung. <math> p \cdot 100\% </math> der Bevölkerung (<math>K \subset \Omega </math>) leidet an der Krankheit. Ein Test für diese Krankheit spreche bei <math> k \cdot 100\% </math> der Kranken aus <math>K</math> an und bei <math> g \cdot 100\% </math> der Gesunden (<math>\Omega \setminus K</math>) positiv an (<math>k =</math> Sensitivität, <math>1-g =</math> Spezifität des Testes). Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat eine zufällig ausgewählte Person <math>\omega \in \Omega</math> die Krankheit, * wenn der Test positiv ausfällt? * wenn der Test negativ ausfällt? [[Datei:Audio de 17 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Satz von Bayes - Beispiel]] <span id="Produktformel"></span> == Produktformel- bedingte Wahrscheinlichkeit == Sei <math>P</math> eine [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] auf <math> \Omega </math> und seien <math> A_1, ... ,A_n \subset \Omega </math> mit <math> P( A_1 \cap ... \cap A_{n-1} )>0 </math>. Dann gilt die sogenannte "Produktformel": :<math> P( A_1 \cap ... \cap A_n) = P(A_1) \cdot P(A_2 | A_1) \cdot P(A_3 | A_1 \cap A_2) \cdot ... \cdot P(A_n | A_1 \cap ... \cap A_{n-1}) </math> [[Datei:Audio de 18 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Produktformel - Satz]] == Beweis - Produktformel == Allgemein für [[Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaße]] gilt für <math>C_1\subseteq C_2</math> mit <math>C_1,C_2 \in \mathcal{S}</math> auch <math>P(C_1)\leq P(C_2)</math>. Diese Eigenschaft wendet man auf die folgende Teilmengenbeziehung an: :<math>A_1 \supseteq A_1 \cap A_2\supseteq ... \supseteq A_1 \cap ... \cap A_{n-1}</math> === Beweisschritt 1 - Produktformel === Die Anwendung des Wahrscheinlichkeitsmaßes auf die Teilmengenbeziehung der obigen Vorüberlegung liefert: :<math>P(A_1) \ge P(A_1 \cap A_2) \ge ... \ge P(A_1 \cap ... \cap A_{n-1}) >0.</math> === Beweisschritt 2 - Produktformel === Wegen <math>P(A_1 \cap ... \cap A_{n-2})\leq P(A_1 \cap ... \cap A_{n-1}) >0</math> ist die folgende bedingte Wahrscheinlichkeit wohldefiniert: :<math> P( A_1 \cap ... \cap A_n) = P( A_1 \cap ... \cap A_{n-1} ) \cdot P( A_n | A_1 \cap ... \cap A_{n-1} ) </math> === Beweisschritt 3 - Produktformel === Nun ist wegen Beweisschritt 1 auch <math> P( A_1 \cap ... \cap A_{n-2} ) > 0 </math> gegeben und man kann wiederum :<math> P( A_1 \cap ... \cap A_{n}) = </math> :<math> \quad = P( A_1 \cap ... \cap A_{n-2}) \cdot P( A_{n-1} | A_1 \cap ... \cap A_{n-2} ) \cdot P( A_n | A_1 \cap ... \cap A_{n-1} ) </math> === Beweisschritt 4 - Produktformel === Wenn man dieses Vorgehen iteriert auf Wahrscheinlickeiten der Schnittmengen anwendet erhält man die Produktformel: :<math> P(A_1 \cap ... \cap A_{n}) = </math> :<math> \quad = P(A_1) \cdot P(A_2 | A_1) \cdot P(A_3 | A_1 \cap A_2) \cdot ... \cdot P(A_n | A_1 \cap ... \cap A_{n-1}) \ \Box</math> [[Datei:Audio de 19 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Produktformel - Satz - Beweis]] ==== Bemerkung ==== Dieser Satz verallgemeinert die Formel <math>P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A). </math> [[Datei:Audio de 20 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Produktformel - Bemerkung]] == Siehe auch == * [[stochastische Unabhängigkeit]] * [[bedingte Wahrscheinlichkeit#ZerlegungDef|disjunkte Zerlegung einer Menge]] == Seiten-Information == Der [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Bedingte+Wahrscheinlichkeit&author=Kurs%3A+Stochastik&audioslide=no&language=de Foliensatz] für diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Bedingte%20Wahrscheinlichkeit Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Bedingte_Wahrscheinlichkeit Bedingte Wahrscheinlichkeit] https://de.wikipedia.org/wiki/Bedingte_Wahrscheinlichkeit * Datum: 5.11.2018 * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity]-Konverter: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity * [https://niebert.github.com/Wiki2Reveal Wiki2Reveal Link-Generator] * Dieser Foliensatz gehört zum [[Kurs:Stochastik]] [[Category:Wiki2Reveal]] 5ixm5c6otanv2kptofq1n3hv55qe0qw 1118750 1118749 2026-11-03T10:21:44Z Bert Niehaus 20843 /* Definition - Zerlegung */ 1118750 wikitext text/x-wiki [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|146px|mini|Kurs enthält [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] Audio-Folien]] == Einleitung == Diese Lerneinheit aus der [[Kurs:Stochastik|Stochastik]] behandelt folgende Inhalte: * [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Definition|Definition - Bedingte Wahrscheinlichkeit]] * [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Zerlegungssatz|Zerlegungssatz]] * [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Satz_von_Bayes|Satz von Bayes]] * [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Satz_totale_Wahrscheinlichkeit|Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit]] * [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Produktformel|Produktformel]] === Einführendes Beispiel - bedingte Wahrscheinlichkeit=== Gegeben sei ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum <math>(\Omega,\mathcal{S},P) </math>, Gleichverteilung über <math>(\Omega,\mathcal{S}) </math> und <math>\mathcal{S} := \wp((\Omega) </math>. <math> A,B \subset \Omega, A\neq \varnothing </math>. In dem einführenden Beispiel betrachten wir die Ereignisse: * <math>A</math>: Stochastik-Klausur bestanden * <math>B</math>: Fachwissenschaftliche Grundlagen mit 4,0 bestanden * Mit welcher Wahrscheinlichkeit <math>P(A|B)</math> besteht man die Stochastik-Klausur <math>A</math>, wenn man die Klausur zu den fachwissenschaftlichen Grundlagen nur mit 4,0 bestanden hat (d.h. <math>B</math> erfüllt ist)? [[Datei:Audio de 1 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Einleitung]] === Vorüberlegung === Wir nehmen an, dass das Ereignis <math> B </math> eintritt. Welche Definition ist sinnvoll für die Wahrscheinlichkeit von <math> B </math>, unter der Bedingung, dass <math> A </math> eingetreten ist? # Wenn die Bedingung <math> B </math> eintritt, so kann <math> A </math> nur dann eintreten, wenn das Ereignis <math> A \cap B </math> eintritt. # Wir konzentrieren uns auf die Realisationen <math> \omega \in A </math> und betrachten sie als gleichwahrscheinlich ([[w:de:Laplace-Verteilung|Laplace-Verteilung]]). # Allgemein gilt dann <math> P(C) = \frac {| C | }{ | \Omega |} </math> für alle <math>C \in \mathcal{S}</math>. [[Datei:Audio de 2 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Vorlüberlegung]] === Berechnung mit Laplace-Verteilung === Damit kann die Wahrscheinlichkeit von <math> A </math> unter der Bedingung <math> B </math> wie folgt definiert werden: :<math> P(A|B) := \frac {| A\cap B | }{ | B |} = \frac { \tfrac{|A \cap B | }{| \Omega | }} { \tfrac{| B |}{| \Omega | }}= \frac {P (A \cap B)}{ P(B)} </math> Dabei wurde der Bruch mit <math>\frac {1}{| \Omega |}</math> erweitert, um in Zähler und Nenner die Laplace-Wahrscheinlichkeiten für die Ereignisse <math> A \cap B </math> und <math> B </math> zu erzeugen. [[Datei:Audio de 3 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Berechnung mit Laplace-Verteilung]] <span id="Definition"></span> == Definition - bedingte Wahrscheinlichkeit == Sei <math> (\Omega,\mathcal{S},P) </math> ein Wahrscheinlichkeitsraum, <math> A \in \mathcal{S} </math> mit <math> P (B) >0 </math>. <br> a) Die Abbildung <math> P( \cdot | B): \mathcal{S} \to [0,1] </math>, die gemäß <math> P (A | B) = \frac {P(A \cap B)}{P(B)}, A,B \in \mathcal{S} </math> definiert ist, heißt bedingte Wahrscheinlichkeitsverteilung über <math> \Omega </math> unter (der Bedingung) <math> B </math>. <br> b) Die Zahl <math> P(A|B) </math> heißt bedingte Wahrscheinlichkeit von <math> A </math> unter (der Bedingung) <math> B </math>. [[Datei:Audio de 4 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Definition]] === Aufgabe - bedingte Wahrscheinlickeitsverteilung === Sei <math>(\Omega,\mathcal{S},P)</math> ein Wahrscheinlichkeitsraum. Weisen Sie für die Abbildung <math>\widetilde{P}</math> nach, dass diese die Eigenschaften eines Wahrscheinlichkeitsmaßes auf <math>(\Omega,\mathcal{S})</math> erfüllt. :<math> \begin{array}{rrcl} \widetilde{P}: & \mathcal{S} & \rightarrow & [0,1] \\ & A & \mapsto & \widetilde{P}(A) = P(A|B) \end{array} </math> === Aufgaben - Wahrscheinlichkeit auf Bedingung konzentriert=== Es gilt <math> P(\Omega|B) = 1 </math>. Die Wahrscheinlichkeit von <math> P( \cdot |B) </math> ist allerdings auf <math> B </math> konzentriert". * Zeigen Sie dazu, dass <math> P(A|B) = 0 </math> für alle <math> A \subset \bar B = \Omega\setminus B </math> <!-- denn: <math> P(A|B) = \frac {P (A \cap B)} {P(B)} = \frac {P (\emptyset)} {P(B)} = 0 </math> --> * Zeigen Sie, dass für <math> B \subset A </math>, <math> A \not= B </math> gilt, dass <math> P(A|B) = 1</math> (Hinweis: Zeigen Sie, dass <math> P(\bar A|B) = 0</math> gilt!) [[Datei:Audio de 5 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Aufgabenstellung]] === Anmerkung === Formt man die Definitionsformel von oben um zu <math> P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A|B) </math>, so kann man die Wahrscheinlichkeit des gleichzeitig Eintretens von <math> A </math> und <math> B </math> mithilfe der bedingten Wahrscheinlichkeit darstellen. Wir betrachten im Nachfolgenden eine Technik, eine Wahrscheinlichkeit auf <math> \Omega </math> durch bedingten Wahrscheinlichkeiten zusammenzusetzen. <span id="ZerlegungDef"></span> == Definition - Zerlegung einer Grundmenge== <math> (A_1, ..., A_m) </math> heißt [[bedingte Wahrscheinlichkeit#ZerlegungDef|Zerlegung]] von <math> \Omega </math> in messbare Mengen <math>A_1 , \ldots , A_m \in \mathcal{S}</math> in dem [[Messraum]] <math> (\Omega,\mathcal{S}) </math>, falls <math>\bigcup_{i=1} ^{m} A_i = \Omega, A_i \cap A_j = \varnothing </math> für alle <math> i \neq j </math> und <math>A_i, A_j \in \mathcal{S}</math>. === Motivation - Auswahl mit beschränkten Optionen === Als Beispiel werden 100 verschiedene Spiele <math>\Omega</math> auf <math>m</math> verschiedene Spielekisten <math>A_1, \ldots , A_m</math> verteilt. Es gibt <math>m\in \mathbb{N}</math> Personen und jede Person bekommt eine Kiste. Jede Person <math>i</math> kann nur Spiele aus der eigenen Kiste <math>A_i</math> und nicht aus anderen Kisten <math>A_j</math> auswählen mit <math>i\neq j</math>. Es gibt für jede der <math>i</math> Personen präferiert Spiele und daher gibt es eine Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>{Q_A}_i</math> (''"Qual der Wahl aus <math>A_i</math> aus der Spielekiste"''), die die Wahrscheinlichkeit beschreibt, ein Spiel bestimmtes Spiel aus der eigenen Spielekiste auszuwählen. Die Wahrscheinlichkeit ist auf <math>A_i</math> konzentriert, da die Spieler nur aus der eigenen Kiste auswählen können. == Zerlegungssatz == Sei <math>(A_1, ... ,A_m )</math> eine [[bedingte Wahrscheinlichkeit#ZerlegungDef|Zerlegung]] von <math>\Omega </math> auf <math> (\Omega,\mathcal{S})</math>. Für jedes <math> i = 1, ...,m </math> sei eine auf <math>A_i</math> konzentrierte Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>Q_{A_i}</math> auf <math>(\Omega,\mathcal{S} ) </math> gegeben (d.h. <math>{Q_A}_i (A_i) = 1 </math>) sowie Zahlen <math>p_i \in ( 0,1]</math> mit <math>\sum _{i = 1} ^{m} p_i = 1 </math>. <br> * (a) Dann existiert genau eine Wahrscheinlichkeitsverteilung <math> P </math> auf <math> \Omega </math> mit <br> ** (i) <math>P(A_i) = p_i > 0</math>. <br> ** (ii) <math>P(B|A_i) = {Q_A}_i(B)</math>, falls <math>p_i >0 </math> für alle <math>i=1, ...,m </math>. <br> * (b) Es gilt <math> P(B) = \sum _{i=1} ^{m} p_i \cdot {Q_A}_i(B) </math> für jedes <math> B \in \mathcal{S} </math>. === Beweis - Zerlegungssatz === Der Beweis gliedert sich in eine Existenzaussage für <math>P</math> und eine Eindeutigkeitsaussage, bei der die Existenz einer weiteren Wahrscheinlichkeitsverteilung für <math>\widetilde{P}</math> auf <math>\mathcal{S}</math> angenommen wird. Dann wird gezeigt, dass <math>\widetilde{P} = P</math> gilt bzw. <math>\widetilde{P}(B) = P(B)</math> für beliebige <math>B\in\mathcal{S}</math> gilt. ==== Beweis Existenz (i)==== Man definiere <math> P</math> gemäß Formel b) und rechnet nach, dass <math>P</math> die Eigenschaften eines [[Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaßes]] auf <math>\Omega </math> besitzt: * <math>P(A)\geq 0</math> für alle <math>A\in \mathcal{S}</math>, * <math>P(\Omega) = 1</math> * Nachweis der <math>\sigma</math>-Additivität von <math>P</math> über die <math>\sigma</math>-Additivität der Wahrscheinlichkeitsmaße <math>Q_{A_i}</math> nachweisen. ==== Beweis Existenz (i) - paarweise disjunkt==== Da die Wahrscheinlichkeitsmasse von den Wahrscheinlichkeitsmaßen <math>Q_{A_i}</math> auf <math>A_i</math> konzentriert ist, gilt für die paarweise disjunkten <math> A_i</math> aus der Zerlegung <math>(A_1,\ldots ,A_m)</math> folgende Eigenschaft: :<math>{Q_A}_i(A_j) = \left \{ \begin{array}{ll} 0, & i \neq j\\ 1, & i = j \end{array}\right. </math> Daraus folgt sofort (ai) <math>P(A_k) = \sum _{i=1} ^{m} p_i \cdot {Q_A}_i(A_k) = p_k</math>. [[Datei:Audio de 10 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Zerlegungsatz 2]] ==== Beweis Existenz (ii)==== Für ein beliebiges <math>p_i > 0 </math> und <math> B \in \mathcal{S} </math> gilt mit Anwendung der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit: :<math> P(B|A_i) = \frac {P(A_i \cap B)}{ P(A_i)} = \frac {1} {p_i} \sum _{j=1} ^{m} p_j \cdot {Q_A}_j (A_i \cap B) = </math> :<math>= \frac {p_i} {p_i} ({Q_A}_i (A_i \cap B) + {Q_A}_i( \bar A_i \cap B) = {Q_A}_i(B) )</math> also ii). [[Datei:Audio de 11 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Zerlegungsatz 3]] ==== Beweis Eindeutigkeit ==== Sei <math> \tilde P </math> eine (weitere) Wahrscheinlichkeitsverteilung auf <math> (\Omega,\mathcal{S}) </math>, die (ai) und (aii) erfüllt. Dann gilt für <math> B \subset \Omega </math> und wegen <math> B= \Omega \cap B = \left( \bigcup _{j=1}^{m} A_j \right) \cap B</math> die Gleichung :<math>\tilde P (B) = \tilde P \left( \bigcup_ {j=1}^{m} A_j \cap B \right)= \sum _{j=1}^{m} \tilde P (A_j \cap B) = </math> :<math> = \sum _{j=1}^{m} \tilde P (A_j) \cdot \tilde P (B|A_j) \stackrel{(i),(ii)}{=} \sum _{j=1}^{m} p_j {Q_A}_j(B) = P(B) . \qquad \Box</math> [[Datei:Audio de 12 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Zerlegungsatz 4]] <span id="totale_Wahrscheinlichkeit"></span> <span id="Satz_totale_Wahrscheinlichkeit"></span> == Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit == Sei <math>(\Omega ,\mathcal{S}, P)</math> ein [[Wahrscheinlichkeitsraum]] und <math> (A_1,\ldots , A_m) </math> eine [[Mengenzerlegung (Stochastik)|Zerlegung]] von <math>\Omega</math> auf <math>(\Omega,\mathcal{S})</math> mit <math>P(A_j) > 0</math> für alle <math>j = 1, \ldots, m</math>. Für jedes <math> B \subset \Omega </math> und gilt also für alle <math>B \in \mathcal{S}</math>: :<math> P(B) = \sum _{j=1} ^{m} P(A_j) \cdot P(B|A_j)</math> === Bemerkung - Formel der totalen Wahrscheinlichkeit === Die Formel aus dem Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit erlaubt die Bestimmung der totalen Wahrscheinlichkeit <math>P(B)</math> von einem Ereignis <math>B\in \mathcal{S}</math>, wenn nur die Wahrscheinlichkeiten von unter verschiedenen Bedingungen kennt. Man kennt z.B. bei einem Erkrankung <math>B</math> in einem Tierbestand nur die Wahrscheinlichkeiten <math>P(A_j)</math> für eine Stressor <math>A_j</math> (z.B. Umweltbelastung für ein Ökosystem) und die bedingte Wahrscheinlichkeit <math>P(B|A_j)</math>, dass Tiere unter diesem Stressor <math>A_j</math> erkranken. <math>\Omega</math> ist dann die Vereinigung von allen möglichen auftretenden Stressoren <math>A_1, \ldots , A_m</math> ggf. unter Hinzunahme des Ereignisses <math>A_0</math> als "ungestresstes" Ökosystem (siehe [[disjunkte Zerlegung einer Menge|Zerlegung einer Menge]]) . == Beweis - Satz - totale Wahrscheinlichkeit == Nach Voraussetzung gilt <math>P(A_j) > 0</math> für alle <math>j = 1, \ldots, m</math> und damit sind die bedingten Wahrscheinlichkeiten <math>P(B \mid A_j)</math> definiert, weil <math>P(A_j)</math> im Nenner der Definition der [[bedingte Wahrscheinlichkeit#Definition|bedingten Warscheinlichkeit]] auf tritt. === Schritt 1 - Zerlegung von Omega === Da die <math>A_j</math> eine [[bedingte Wahrscheinlichkeit#ZerlegungDef|Zerlegung]] von <math>\Omega</math> bilden, sind die <math>A_j</math> paarweise disjunkt nach Definition und auch die <math>B\cap A_j</math> sind als Teilmengen von <math>A_j</math> paarweise disjunkt. Damit gilt: :<math> \Omega = \bigcup_{j=1}^m A_j \quad \text{(disjunkt)} </math> === Schritt 2 - Zerlegung von B === Mit der Teilmengenbeziehung <math>B\cap A_j\subset A_j</math> Dann folgt für jedes <math>B \in \mathcal{S}</math> und der verallgemeinerten Anwendung <math>B \cap (A_1 \cup A_2) = (B\cap A_1) \cup (B\cap A_2)</math>: :<math> B = B \cap \Omega = B \cap \left( \bigcup_{j=1}^m A_j \right) = \bigcup_{j=1}^m (B \cap A_j) </math> Da die <math>A_j</math> disjunkt sind, sind auch die Schnitte <math>B \cap A_j</math> disjunkt. Also ist <math>(B \cap A_1, B \cap A_2, \ldots, B \cap A_m)</math> eine [[bedingte Wahrscheinlichkeit#ZerlegungDef|disjunkte Zerlegung]] von <math>B</math>. === Schritt 3 - Anwendung der Additivität der Wahrscheinlichkeit === Nach dem Axiom der <math>\sigma</math>-Additivität erlaubt insbesondere die Anwendung auf endliche Summen von disjunkte Ereignisse glt: :<math> P(B) = P\left( \bigcup_{j=1}^m (B \cap A_j) \right) = \sum_{j=1}^m P(B \cap A_j) </math> === Schritt 4 - Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit === Für jedes <math>j</math> mit <math>P(A_j) > 0</math> ist die bedingte Wahrscheinlichkeit definiert als: :<math> P(B \mid A_j) = \frac{P(B \cap A_j)}{P(A_j)} </math> Durch Umformung erhält man: :<math> P(B \cap A_j) = P(A_j) \cdot P(B \mid A_j) </math> === Schritt 5 - Einsetzen in die Summe === Setze dies in die Gleichung aus Schritt 3 ein: :<math> P(B) = \sum_{j=1}^m P(B \cap A_j) = \sum_{j=1}^m P(A_j) \cdot P(B \mid A_j) </math> Insgesamt erhält man die Aussage des [[Bedingte_Wahrscheinlichkeit#Satz_totale_Wahrscheinlichkeit|Satzes über die totale Wahrscheinlichkeit]] :<math> {P(B) = \sum_{j=1}^m P(A_j) \cdot P(B \mid A_j)} </math> === Aufgabe für Studierende === Beweisen Sie den Satz der totalen Wahrscheinlichkeit in der Übung und begründen Sie jeden Teilschritte über die Zerlegung von <math>\Omega</math> und der Zerlegung von <math>B</math>. Fertigen Sie für die Beweisvorstellung Skizze an, die das Vorgehen im Beweis eräutert. [[Datei:Audio de 13 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Formel Totale Wahrscheinlichkeit]] <span id="Satz_von_Bayes"></span> == Satz - Formel von Bayes == Ist <math> P </math> eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf <math> \Omega </math>, <math> ( A_1, ... ,A_m ) </math> einer Zerlegung von <math>\Omega </math> auf <math>(\Omega,\mathcal{S})</math> , so gilt für jedes <math> B \in \mathcal{S} </math> mit <math> P(B) > 0 </math> und <math> i= 1, ... ,m </math> :<math>P(A_i|B) = \frac {P(B|A_i) \cdot P(A_i)} { \sum_{j=1}^{m} P(B|A_j) \cdot P(A_j) }.</math> [[Datei:Audio de 14 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Satz von Bayes]] === Beweis === :<math>P(A_i|B) = \frac {P(A_i\cap B)}{P(B)} = \frac{P(B|A_i) \cdot P(A_i)}{\sum_{j=1}^{m} P(B|A_j) \cdot P(A_j)} </math> [[Datei:Audio de 15 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Satz von Bayes - Beweis]] ==== Bemerkung==== Man beachte, dass auf der linken und rechten Seite "Argument und Bedingung" vertauscht auftreten. In einer außermathematischen Deutung spielen <math> A_j </math> die Rolle von (verschiedenen) Ursachen für die Wirkung von <math> B </math>. [[Datei:Audio de 16 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Satz von Bayes - Bemerkung]] ==== Beispiel (Test auf eine Krankheit) ==== <math> \Omega </math> sei die Gesamtheit der Personen aus der Bevölkerung. <math> p \cdot 100\% </math> der Bevölkerung (<math>K \subset \Omega </math>) leidet an der Krankheit. Ein Test für diese Krankheit spreche bei <math> k \cdot 100\% </math> der Kranken aus <math>K</math> an und bei <math> g \cdot 100\% </math> der Gesunden (<math>\Omega \setminus K</math>) positiv an (<math>k =</math> Sensitivität, <math>1-g =</math> Spezifität des Testes). Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat eine zufällig ausgewählte Person <math>\omega \in \Omega</math> die Krankheit, * wenn der Test positiv ausfällt? * wenn der Test negativ ausfällt? [[Datei:Audio de 17 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Satz von Bayes - Beispiel]] <span id="Produktformel"></span> == Produktformel- bedingte Wahrscheinlichkeit == Sei <math>P</math> eine [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] auf <math> \Omega </math> und seien <math> A_1, ... ,A_n \subset \Omega </math> mit <math> P( A_1 \cap ... \cap A_{n-1} )>0 </math>. Dann gilt die sogenannte "Produktformel": :<math> P( A_1 \cap ... \cap A_n) = P(A_1) \cdot P(A_2 | A_1) \cdot P(A_3 | A_1 \cap A_2) \cdot ... \cdot P(A_n | A_1 \cap ... \cap A_{n-1}) </math> [[Datei:Audio de 18 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Produktformel - Satz]] == Beweis - Produktformel == Allgemein für [[Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaße]] gilt für <math>C_1\subseteq C_2</math> mit <math>C_1,C_2 \in \mathcal{S}</math> auch <math>P(C_1)\leq P(C_2)</math>. Diese Eigenschaft wendet man auf die folgende Teilmengenbeziehung an: :<math>A_1 \supseteq A_1 \cap A_2\supseteq ... \supseteq A_1 \cap ... \cap A_{n-1}</math> === Beweisschritt 1 - Produktformel === Die Anwendung des Wahrscheinlichkeitsmaßes auf die Teilmengenbeziehung der obigen Vorüberlegung liefert: :<math>P(A_1) \ge P(A_1 \cap A_2) \ge ... \ge P(A_1 \cap ... \cap A_{n-1}) >0.</math> === Beweisschritt 2 - Produktformel === Wegen <math>P(A_1 \cap ... \cap A_{n-2})\leq P(A_1 \cap ... \cap A_{n-1}) >0</math> ist die folgende bedingte Wahrscheinlichkeit wohldefiniert: :<math> P( A_1 \cap ... \cap A_n) = P( A_1 \cap ... \cap A_{n-1} ) \cdot P( A_n | A_1 \cap ... \cap A_{n-1} ) </math> === Beweisschritt 3 - Produktformel === Nun ist wegen Beweisschritt 1 auch <math> P( A_1 \cap ... \cap A_{n-2} ) > 0 </math> gegeben und man kann wiederum :<math> P( A_1 \cap ... \cap A_{n}) = </math> :<math> \quad = P( A_1 \cap ... \cap A_{n-2}) \cdot P( A_{n-1} | A_1 \cap ... \cap A_{n-2} ) \cdot P( A_n | A_1 \cap ... \cap A_{n-1} ) </math> === Beweisschritt 4 - Produktformel === Wenn man dieses Vorgehen iteriert auf Wahrscheinlickeiten der Schnittmengen anwendet erhält man die Produktformel: :<math> P(A_1 \cap ... \cap A_{n}) = </math> :<math> \quad = P(A_1) \cdot P(A_2 | A_1) \cdot P(A_3 | A_1 \cap A_2) \cdot ... \cdot P(A_n | A_1 \cap ... \cap A_{n-1}) \ \Box</math> [[Datei:Audio de 19 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Produktformel - Satz - Beweis]] ==== Bemerkung ==== Dieser Satz verallgemeinert die Formel <math>P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A). </math> [[Datei:Audio de 20 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Produktformel - Bemerkung]] == Siehe auch == * [[stochastische Unabhängigkeit]] * [[bedingte Wahrscheinlichkeit#ZerlegungDef|disjunkte Zerlegung einer Menge]] == Seiten-Information == Der [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Bedingte+Wahrscheinlichkeit&author=Kurs%3A+Stochastik&audioslide=no&language=de Foliensatz] für diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Bedingte%20Wahrscheinlichkeit Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Bedingte_Wahrscheinlichkeit Bedingte Wahrscheinlichkeit] https://de.wikipedia.org/wiki/Bedingte_Wahrscheinlichkeit * Datum: 5.11.2018 * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity]-Konverter: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity * [https://niebert.github.com/Wiki2Reveal Wiki2Reveal Link-Generator] * Dieser Foliensatz gehört zum [[Kurs:Stochastik]] [[Category:Wiki2Reveal]] s4r1vsv1wu41vfe4ghj2dl7x5golhhs 1118751 1118750 2026-11-03T10:22:50Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1118751 wikitext text/x-wiki [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|146px|mini|Kurs enthält [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] Audio-Folien]] == Einleitung == Diese Lerneinheit aus der [[Kurs:Stochastik|Stochastik]] behandelt folgende Inhalte: * [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Definition|Definition - Bedingte Wahrscheinlichkeit]] * [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Zerlegungssatz|Zerlegungssatz]] * [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Satz_von_Bayes|Satz von Bayes]] * [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Satz_totale_Wahrscheinlichkeit|Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit]] * [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Produktformel|Produktformel]] === Einführendes Beispiel - bedingte Wahrscheinlichkeit=== Gegeben sei ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum <math>(\Omega,\mathcal{S},P) </math>, Gleichverteilung über <math>(\Omega,\mathcal{S}) </math> und <math>\mathcal{S} := \wp((\Omega) </math>. <math> A,B \subset \Omega, A\neq \varnothing </math>. In dem einführenden Beispiel betrachten wir die Ereignisse: * <math>A</math>: Stochastik-Klausur bestanden * <math>B</math>: Fachwissenschaftliche Grundlagen mit 4,0 bestanden * Mit welcher Wahrscheinlichkeit <math>P(A|B)</math> besteht man die Stochastik-Klausur <math>A</math>, wenn man die Klausur zu den fachwissenschaftlichen Grundlagen nur mit 4,0 bestanden hat (d.h. <math>B</math> erfüllt ist)? [[Datei:Audio de 1 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Einleitung]] === Vorüberlegung === Wir nehmen an, dass das Ereignis <math> B </math> eintritt. Welche Definition ist sinnvoll für die Wahrscheinlichkeit von <math> B </math>, unter der Bedingung, dass <math> A </math> eingetreten ist? # Wenn die Bedingung <math> B </math> eintritt, so kann <math> A </math> nur dann eintreten, wenn das Ereignis <math> A \cap B </math> eintritt. # Wir konzentrieren uns auf die Realisationen <math> \omega \in A </math> und betrachten sie als gleichwahrscheinlich ([[w:de:Laplace-Verteilung|Laplace-Verteilung]]). # Allgemein gilt dann <math> P(C) = \frac {| C | }{ | \Omega |} </math> für alle <math>C \in \mathcal{S}</math>. [[Datei:Audio de 2 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Vorlüberlegung]] === Berechnung mit Laplace-Verteilung === Damit kann die Wahrscheinlichkeit von <math> A </math> unter der Bedingung <math> B </math> wie folgt definiert werden: :<math> P(A|B) := \frac {| A\cap B | }{ | B |} = \frac { \tfrac{|A \cap B | }{| \Omega | }} { \tfrac{| B |}{| \Omega | }}= \frac {P (A \cap B)}{ P(B)} </math> Dabei wurde der Bruch mit <math>\frac {1}{| \Omega |}</math> erweitert, um in Zähler und Nenner die Laplace-Wahrscheinlichkeiten für die Ereignisse <math> A \cap B </math> und <math> B </math> zu erzeugen. [[Datei:Audio de 3 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Berechnung mit Laplace-Verteilung]] <span id="Definition"></span> == Definition - bedingte Wahrscheinlichkeit == Sei <math> (\Omega,\mathcal{S},P) </math> ein Wahrscheinlichkeitsraum, <math> A \in \mathcal{S} </math> mit <math> P (B) >0 </math>. <br> a) Die Abbildung <math> P( \cdot | B): \mathcal{S} \to [0,1] </math>, die gemäß <math> P (A | B) = \frac {P(A \cap B)}{P(B)}, A,B \in \mathcal{S} </math> definiert ist, heißt bedingte Wahrscheinlichkeitsverteilung über <math> \Omega </math> unter (der Bedingung) <math> B </math>. <br> b) Die Zahl <math> P(A|B) </math> heißt bedingte Wahrscheinlichkeit von <math> A </math> unter (der Bedingung) <math> B </math>. [[Datei:Audio de 4 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Definition]] === Aufgabe - bedingte Wahrscheinlickeitsverteilung === Sei <math>(\Omega,\mathcal{S},P)</math> ein Wahrscheinlichkeitsraum. Weisen Sie für die Abbildung <math>\widetilde{P}</math> nach, dass diese die Eigenschaften eines Wahrscheinlichkeitsmaßes auf <math>(\Omega,\mathcal{S})</math> erfüllt. :<math> \begin{array}{rrcl} \widetilde{P}: & \mathcal{S} & \rightarrow & [0,1] \\ & A & \mapsto & \widetilde{P}(A) = P(A|B) \end{array} </math> === Aufgaben - Wahrscheinlichkeit auf Bedingung konzentriert=== Es gilt <math> P(\Omega|B) = 1 </math>. Die Wahrscheinlichkeit von <math> P( \cdot |B) </math> ist allerdings auf <math> B </math> konzentriert". * Zeigen Sie dazu, dass <math> P(A|B) = 0 </math> für alle <math> A \subset \bar B = \Omega\setminus B </math> <!-- denn: <math> P(A|B) = \frac {P (A \cap B)} {P(B)} = \frac {P (\emptyset)} {P(B)} = 0 </math> --> * Zeigen Sie, dass für <math> B \subset A </math>, <math> A \not= B </math> gilt, dass <math> P(A|B) = 1</math> (Hinweis: Zeigen Sie, dass <math> P(\bar A|B) = 0</math> gilt!) [[Datei:Audio de 5 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Aufgabenstellung]] === Anmerkung === Formt man die Definitionsformel von oben um zu <math> P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A|B) </math>, so kann man die Wahrscheinlichkeit des gleichzeitig Eintretens von <math> A </math> und <math> B </math> mithilfe der bedingten Wahrscheinlichkeit darstellen. Wir betrachten im Nachfolgenden eine Technik, eine Wahrscheinlichkeit auf <math> \Omega </math> durch bedingten Wahrscheinlichkeiten zusammenzusetzen. <span id="ZerlegungDef"></span> == Definition - Zerlegung einer Grundmenge== <math> (A_1, ..., A_m) </math> heißt [[bedingte Wahrscheinlichkeit#ZerlegungDef|Zerlegung]] von <math> \Omega </math> in messbare Mengen <math>A_1 , \ldots , A_m \in \mathcal{S}</math> in dem [[Messraum]] <math> (\Omega,\mathcal{S}) </math>, falls <math>\bigcup_{i=1} ^{m} A_i = \Omega, A_i \cap A_j = \varnothing </math> für alle <math> i \neq j </math> und <math>A_i, A_j \in \mathcal{S}</math>. === Motivation - Auswahl mit beschränkten Optionen === Als Beispiel werden 100 verschiedene Spiele <math>\Omega</math> auf <math>m</math> verschiedene Spielekisten <math>A_1, \ldots , A_m</math> verteilt. Es gibt <math>m\in \mathbb{N}</math> Personen und jede Person bekommt eine Kiste. Jede Person <math>i</math> kann nur Spiele aus der eigenen Kiste <math>A_i</math> und nicht aus anderen Kisten <math>A_j</math> auswählen mit <math>i\neq j</math>. Es gibt für jede der <math>i</math> Personen präferiert Spiele und daher gibt es eine Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>{Q_A}_i</math> (''"Qual der Wahl aus <math>A_i</math> aus der Spielekiste"''), die die Wahrscheinlichkeit beschreibt, ein Spiel bestimmtes Spiel aus der eigenen Spielekiste auszuwählen. Die Wahrscheinlichkeit ist auf <math>A_i</math> konzentriert, da die Spieler nur aus der eigenen Kiste auswählen können. == Zerlegungssatz == Sei <math>(A_1, ... ,A_m )</math> eine [[bedingte Wahrscheinlichkeit#ZerlegungDef|Zerlegung]] von <math>\Omega </math> auf <math> (\Omega,\mathcal{S})</math>. Für jedes <math> i = 1, ...,m </math> sei eine auf <math>A_i</math> konzentrierte Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>Q_{A_i}</math> auf <math>(\Omega,\mathcal{S} ) </math> gegeben (d.h. <math>{Q_A}_i (A_i) = 1 </math>) sowie Zahlen <math>p_i \in ( 0,1]</math> mit <math>\sum _{i = 1} ^{m} p_i = 1 </math>. <br> * (a) Dann existiert genau eine Wahrscheinlichkeitsverteilung <math> P </math> auf <math> \Omega </math> mit <br> ** (i) <math>P(A_i) = p_i > 0</math>. <br> ** (ii) <math>P(B|A_i) = {Q_A}_i(B)</math>, falls <math>p_i >0 </math> für alle <math>i=1, ...,m </math>. <br> * (b) Es gilt <math> P(B) = \sum _{i=1} ^{m} p_i \cdot {Q_A}_i(B) </math> für jedes <math> B \in \mathcal{S} </math>. === Beweis - Zerlegungssatz === Der Beweis gliedert sich in eine Existenzaussage für <math>P</math> und eine Eindeutigkeitsaussage, bei der die Existenz einer weiteren Wahrscheinlichkeitsverteilung für <math>\widetilde{P}</math> auf <math>\mathcal{S}</math> angenommen wird. Dann wird gezeigt, dass <math>\widetilde{P} = P</math> gilt bzw. <math>\widetilde{P}(B) = P(B)</math> für beliebige <math>B\in\mathcal{S}</math> gilt. ==== Beweis Existenz (i)==== Man definiere <math> P</math> gemäß Formel b) und rechnet nach, dass <math>P</math> die Eigenschaften eines [[Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaßes]] auf <math>\Omega </math> besitzt: * <math>P(A)\geq 0</math> für alle <math>A\in \mathcal{S}</math>, * <math>P(\Omega) = 1</math> * Nachweis der <math>\sigma</math>-Additivität von <math>P</math> über die <math>\sigma</math>-Additivität der Wahrscheinlichkeitsmaße <math>Q_{A_i}</math> nachweisen. ==== Beweis Existenz (i) - paarweise disjunkt==== Da die Wahrscheinlichkeitsmasse von den Wahrscheinlichkeitsmaßen <math>Q_{A_i}</math> auf <math>A_i</math> konzentriert ist, gilt für die paarweise disjunkten <math> A_i</math> aus der Zerlegung <math>(A_1,\ldots ,A_m)</math> folgende Eigenschaft: :<math>{Q_A}_i(A_j) = \left \{ \begin{array}{ll} 0, & i \neq j\\ 1, & i = j \end{array}\right. </math> Daraus folgt sofort (ai) <math>P(A_k) = \sum _{i=1} ^{m} p_i \cdot {Q_A}_i(A_k) = p_k</math>. [[Datei:Audio de 10 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Zerlegungsatz 2]] ==== Beweis Existenz (ii)==== Für ein beliebiges <math>p_i > 0 </math> und <math> B \in \mathcal{S} </math> gilt mit Anwendung der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit: :<math> P(B|A_i) = \frac {P(A_i \cap B)}{ P(A_i)} = \frac {1} {p_i} \sum _{j=1} ^{m} p_j \cdot {Q_A}_j (A_i \cap B) = </math> :<math>= \frac {p_i} {p_i} ({Q_A}_i (A_i \cap B) + {Q_A}_i( \bar A_i \cap B) = {Q_A}_i(B) )</math> also ii). [[Datei:Audio de 11 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Zerlegungsatz 3]] ==== Beweis Eindeutigkeit ==== Sei <math> \tilde P </math> eine (weitere) Wahrscheinlichkeitsverteilung auf <math> (\Omega,\mathcal{S}) </math>, die (ai) und (aii) erfüllt. Dann gilt für <math> B \subset \Omega </math> und wegen <math> B= \Omega \cap B = \left( \bigcup _{j=1}^{m} A_j \right) \cap B</math> die Gleichung :<math>\tilde P (B) = \tilde P \left( \bigcup_ {j=1}^{m} A_j \cap B \right)= \sum _{j=1}^{m} \tilde P (A_j \cap B) = </math> :<math> = \sum _{j=1}^{m} \tilde P (A_j) \cdot \tilde P (B|A_j) \stackrel{(i),(ii)}{=} \sum _{j=1}^{m} p_j {Q_A}_j(B) = P(B) . \qquad \Box</math> [[Datei:Audio de 12 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Zerlegungsatz 4]] <span id="totale_Wahrscheinlichkeit"></span> <span id="Satz_totale_Wahrscheinlichkeit"></span> == Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit == Sei <math>(\Omega ,\mathcal{S}, P)</math> ein [[Wahrscheinlichkeitsraum]] und <math> (A_1,\ldots , A_m) </math> eine [[Mengenzerlegung (Stochastik)|Zerlegung]] von <math>\Omega</math> auf <math>(\Omega,\mathcal{S})</math> mit <math>P(A_j) > 0</math> für alle <math>j = 1, \ldots, m</math>. Für jedes <math> B \subset \Omega </math> und gilt also für alle <math>B \in \mathcal{S}</math>: :<math> P(B) = \sum _{j=1} ^{m} P(A_j) \cdot P(B|A_j)</math> === Bemerkung - Formel der totalen Wahrscheinlichkeit === Die Formel aus dem Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit erlaubt die Bestimmung der totalen Wahrscheinlichkeit <math>P(B)</math> von einem Ereignis <math>B\in \mathcal{S}</math>, wenn nur die Wahrscheinlichkeiten von unter verschiedenen Bedingungen kennt. Man kennt z.B. bei einem Erkrankung <math>B</math> in einem Tierbestand nur die Wahrscheinlichkeiten <math>P(A_j)</math> für eine Stressor <math>A_j</math> (z.B. Umweltbelastung für ein Ökosystem) und die bedingte Wahrscheinlichkeit <math>P(B|A_j)</math>, dass Tiere unter diesem Stressor <math>A_j</math> erkranken. <math>\Omega</math> ist dann die Vereinigung von allen möglichen auftretenden Stressoren <math>A_1, \ldots , A_m</math> ggf. unter Hinzunahme des Ereignisses <math>A_0</math> als "ungestresstes" Ökosystem (siehe [[disjunkte Zerlegung einer Menge|Zerlegung einer Menge]]) . == Beweis - Satz - totale Wahrscheinlichkeit == Nach Voraussetzung gilt <math>P(A_j) > 0</math> für alle <math>j = 1, \ldots, m</math> und damit sind die bedingten Wahrscheinlichkeiten <math>P(B \mid A_j)</math> definiert, weil <math>P(A_j)</math> im Nenner der Definition der [[bedingte Wahrscheinlichkeit#Definition|bedingten Warscheinlichkeit]] auf tritt. === Schritt 1 - Zerlegung von Omega === Da die <math>A_j</math> eine [[bedingte Wahrscheinlichkeit#ZerlegungDef|Zerlegung]] von <math>\Omega</math> bilden, sind die <math>A_j</math> paarweise disjunkt nach Definition und auch die <math>B\cap A_j</math> sind als Teilmengen von <math>A_j</math> paarweise disjunkt. Damit gilt: :<math> \Omega = \bigcup_{j=1}^m A_j \quad \text{(disjunkt)} </math> === Schritt 2 - Zerlegung von B === Mit der Teilmengenbeziehung <math>B\cap A_j\subset A_j</math> Dann folgt für jedes <math>B \in \mathcal{S}</math> und der verallgemeinerten Anwendung <math>B \cap (A_1 \cup A_2) = (B\cap A_1) \cup (B\cap A_2)</math>: :<math> B = B \cap \Omega = B \cap \left( \bigcup_{j=1}^m A_j \right) = \bigcup_{j=1}^m (B \cap A_j) </math> Da die <math>A_j</math> disjunkt sind, sind auch die Schnitte <math>B \cap A_j</math> disjunkt. Also ist <math>(B \cap A_1, B \cap A_2, \ldots, B \cap A_m)</math> eine [[bedingte Wahrscheinlichkeit#ZerlegungDef|disjunkte Zerlegung]] von <math>B</math>. === Schritt 3 - Anwendung der Additivität der Wahrscheinlichkeit === Nach dem Axiom der <math>\sigma</math>-Additivität erlaubt insbesondere die Anwendung auf endliche Summen von disjunkte Ereignisse glt: :<math> P(B) = P\left( \bigcup_{j=1}^m (B \cap A_j) \right) = \sum_{j=1}^m P(B \cap A_j) </math> === Schritt 4 - Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit === Für jedes <math>j</math> mit <math>P(A_j) > 0</math> ist die bedingte Wahrscheinlichkeit definiert als: :<math> P(B \mid A_j) = \frac{P(B \cap A_j)}{P(A_j)} </math> Durch Umformung erhält man: :<math> P(B \cap A_j) = P(A_j) \cdot P(B \mid A_j) </math> === Schritt 5 - Einsetzen in die Summe === Setze dies in die Gleichung aus Schritt 3 ein: :<math> P(B) = \sum_{j=1}^m P(B \cap A_j) = \sum_{j=1}^m P(A_j) \cdot P(B \mid A_j) </math> Insgesamt erhält man die Aussage des [[Bedingte_Wahrscheinlichkeit#Satz_totale_Wahrscheinlichkeit|Satzes über die totale Wahrscheinlichkeit]] :<math> {P(B) = \sum_{j=1}^m P(A_j) \cdot P(B \mid A_j)} </math> === Aufgabe für Studierende === Beweisen Sie den Satz der totalen Wahrscheinlichkeit in der Übung und begründen Sie jeden Teilschritte über die Zerlegung von <math>\Omega</math> und der Zerlegung von <math>B</math>. Fertigen Sie für die Beweisvorstellung Skizze an, die das Vorgehen im Beweis eräutert. [[Datei:Audio de 13 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Formel Totale Wahrscheinlichkeit]] <span id="Satz_von_Bayes"></span> == Satz - Formel von Bayes == Ist <math> P </math> eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf <math> \Omega </math>, <math> ( A_1, ... ,A_m ) </math> einer Zerlegung von <math>\Omega </math> auf <math>(\Omega,\mathcal{S})</math> , so gilt für jedes <math> B \in \mathcal{S} </math> mit <math> P(B) > 0 </math> und <math> i= 1, ... ,m </math> :<math>P(A_i|B) = \frac {P(B|A_i) \cdot P(A_i)} { \sum_{j=1}^{m} P(B|A_j) \cdot P(A_j) }.</math> [[Datei:Audio de 14 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Satz von Bayes]] === Beweis === :<math>P(A_i|B) = \frac {P(A_i\cap B)}{P(B)} = \frac{P(B|A_i) \cdot P(A_i)}{\sum_{j=1}^{m} P(B|A_j) \cdot P(A_j)} </math> [[Datei:Audio de 15 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Satz von Bayes - Beweis]] ==== Bemerkung==== Man beachte, dass auf der linken und rechten Seite "Argument und Bedingung" vertauscht auftreten. In einer außermathematischen Deutung spielen <math> A_j </math> die Rolle von (verschiedenen) Ursachen für die Wirkung von <math> B </math>. [[Datei:Audio de 16 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Satz von Bayes - Bemerkung]] ==== Beispiel (Test auf eine Krankheit) ==== <math> \Omega </math> sei die Gesamtheit der Personen aus der Bevölkerung. <math> p \cdot 100\% </math> der Bevölkerung (<math>K \subset \Omega </math>) leidet an der Krankheit. Ein Test für diese Krankheit spreche bei <math> k \cdot 100\% </math> der Kranken aus <math>K</math> an und bei <math> g \cdot 100\% </math> der Gesunden (<math>\Omega \setminus K</math>) positiv an (<math>k =</math> Sensitivität, <math>1-g =</math> Spezifität des Testes). Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat eine zufällig ausgewählte Person <math>\omega \in \Omega</math> die Krankheit, * wenn der Test positiv ausfällt? * wenn der Test negativ ausfällt? [[Datei:Audio de 17 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Satz von Bayes - Beispiel]] <span id="Produktformel"></span> == Produktformel- bedingte Wahrscheinlichkeit == Sei <math>P</math> eine [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] auf <math> \Omega </math> und seien <math> A_1, ... ,A_n \subset \Omega </math> mit <math> P( A_1 \cap ... \cap A_{n-1} )>0 </math>. Dann gilt die sogenannte "Produktformel": :<math> P( A_1 \cap ... \cap A_n) = P(A_1) \cdot P(A_2 | A_1) \cdot P(A_3 | A_1 \cap A_2) \cdot ... \cdot P(A_n | A_1 \cap ... \cap A_{n-1}) </math> [[Datei:Audio de 18 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Produktformel - Satz]] == Beweis - Produktformel == Allgemein für [[Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaße]] gilt für <math>C_1\subseteq C_2</math> mit <math>C_1,C_2 \in \mathcal{S}</math> auch <math>P(C_1)\leq P(C_2)</math>. Diese Eigenschaft wendet man auf die folgende Teilmengenbeziehung an: :<math>A_1 \supseteq A_1 \cap A_2\supseteq ... \supseteq A_1 \cap ... \cap A_{n-1}</math> === Beweisschritt 1 - Produktformel === Die Anwendung des Wahrscheinlichkeitsmaßes auf die Teilmengenbeziehung der obigen Vorüberlegung liefert: :<math>P(A_1) \ge P(A_1 \cap A_2) \ge ... \ge P(A_1 \cap ... \cap A_{n-1}) >0.</math> === Beweisschritt 2 - Produktformel === Wegen <math>P(A_1 \cap ... \cap A_{n-2})\leq P(A_1 \cap ... \cap A_{n-1}) >0</math> ist die folgende bedingte Wahrscheinlichkeit wohldefiniert: :<math> P( A_1 \cap ... \cap A_n) = P( A_1 \cap ... \cap A_{n-1} ) \cdot P( A_n | A_1 \cap ... \cap A_{n-1} ) </math> === Beweisschritt 3 - Produktformel === Nun ist wegen Beweisschritt 1 auch <math> P( A_1 \cap ... \cap A_{n-2} ) > 0 </math> gegeben und man kann wiederum :<math> P( A_1 \cap ... \cap A_{n}) = </math> :<math> \quad = P( A_1 \cap ... \cap A_{n-2}) \cdot P( A_{n-1} | A_1 \cap ... \cap A_{n-2} ) \cdot P( A_n | A_1 \cap ... \cap A_{n-1} ) </math> === Beweisschritt 4 - Produktformel === Wenn man dieses Vorgehen iteriert auf Wahrscheinlickeiten der Schnittmengen anwendet erhält man die Produktformel: :<math> P(A_1 \cap ... \cap A_{n}) = </math> :<math> \quad = P(A_1) \cdot P(A_2 | A_1) \cdot P(A_3 | A_1 \cap A_2) \cdot ... \cdot P(A_n | A_1 \cap ... \cap A_{n-1}) \ \Box</math> [[Datei:Audio de 19 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Produktformel - Satz - Beweis]] ==== Bemerkung ==== Dieser Satz verallgemeinert die Formel <math>P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A). </math> [[Datei:Audio de 20 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Produktformel - Bemerkung]] == Siehe auch == * [[stochastische Unabhängigkeit]] * [[bedingte Wahrscheinlichkeit#ZerlegungDef|disjunkte Zerlegung einer Menge]] * [[Messraum]] * [[messbare Zerlegung einer Grundmenge]] == Seiten-Information == Der [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Bedingte+Wahrscheinlichkeit&author=Kurs%3A+Stochastik&audioslide=no&language=de Foliensatz] für diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Bedingte%20Wahrscheinlichkeit Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Bedingte_Wahrscheinlichkeit Bedingte Wahrscheinlichkeit] https://de.wikipedia.org/wiki/Bedingte_Wahrscheinlichkeit * Datum: 5.11.2018 * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity]-Konverter: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity * [https://niebert.github.com/Wiki2Reveal Wiki2Reveal Link-Generator] * Dieser Foliensatz gehört zum [[Kurs:Stochastik]] [[Category:Wiki2Reveal]] lb8kx82c0bao79oqs5uoagbs9dfxu9b 1118755 1118751 2026-11-03T10:31:31Z Bert Niehaus 20843 /* Motivation - Auswahl mit beschränkten Optionen */ 1118755 wikitext text/x-wiki [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|146px|mini|Kurs enthält [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] Audio-Folien]] == Einleitung == Diese Lerneinheit aus der [[Kurs:Stochastik|Stochastik]] behandelt folgende Inhalte: * [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Definition|Definition - Bedingte Wahrscheinlichkeit]] * [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Zerlegungssatz|Zerlegungssatz]] * [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Satz_von_Bayes|Satz von Bayes]] * [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Satz_totale_Wahrscheinlichkeit|Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit]] * [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Produktformel|Produktformel]] === Einführendes Beispiel - bedingte Wahrscheinlichkeit=== Gegeben sei ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum <math>(\Omega,\mathcal{S},P) </math>, Gleichverteilung über <math>(\Omega,\mathcal{S}) </math> und <math>\mathcal{S} := \wp((\Omega) </math>. <math> A,B \subset \Omega, A\neq \varnothing </math>. In dem einführenden Beispiel betrachten wir die Ereignisse: * <math>A</math>: Stochastik-Klausur bestanden * <math>B</math>: Fachwissenschaftliche Grundlagen mit 4,0 bestanden * Mit welcher Wahrscheinlichkeit <math>P(A|B)</math> besteht man die Stochastik-Klausur <math>A</math>, wenn man die Klausur zu den fachwissenschaftlichen Grundlagen nur mit 4,0 bestanden hat (d.h. <math>B</math> erfüllt ist)? [[Datei:Audio de 1 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Einleitung]] === Vorüberlegung === Wir nehmen an, dass das Ereignis <math> B </math> eintritt. Welche Definition ist sinnvoll für die Wahrscheinlichkeit von <math> B </math>, unter der Bedingung, dass <math> A </math> eingetreten ist? # Wenn die Bedingung <math> B </math> eintritt, so kann <math> A </math> nur dann eintreten, wenn das Ereignis <math> A \cap B </math> eintritt. # Wir konzentrieren uns auf die Realisationen <math> \omega \in A </math> und betrachten sie als gleichwahrscheinlich ([[w:de:Laplace-Verteilung|Laplace-Verteilung]]). # Allgemein gilt dann <math> P(C) = \frac {| C | }{ | \Omega |} </math> für alle <math>C \in \mathcal{S}</math>. [[Datei:Audio de 2 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Vorlüberlegung]] === Berechnung mit Laplace-Verteilung === Damit kann die Wahrscheinlichkeit von <math> A </math> unter der Bedingung <math> B </math> wie folgt definiert werden: :<math> P(A|B) := \frac {| A\cap B | }{ | B |} = \frac { \tfrac{|A \cap B | }{| \Omega | }} { \tfrac{| B |}{| \Omega | }}= \frac {P (A \cap B)}{ P(B)} </math> Dabei wurde der Bruch mit <math>\frac {1}{| \Omega |}</math> erweitert, um in Zähler und Nenner die Laplace-Wahrscheinlichkeiten für die Ereignisse <math> A \cap B </math> und <math> B </math> zu erzeugen. [[Datei:Audio de 3 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Berechnung mit Laplace-Verteilung]] <span id="Definition"></span> == Definition - bedingte Wahrscheinlichkeit == Sei <math> (\Omega,\mathcal{S},P) </math> ein Wahrscheinlichkeitsraum, <math> A \in \mathcal{S} </math> mit <math> P (B) >0 </math>. <br> a) Die Abbildung <math> P( \cdot | B): \mathcal{S} \to [0,1] </math>, die gemäß <math> P (A | B) = \frac {P(A \cap B)}{P(B)}, A,B \in \mathcal{S} </math> definiert ist, heißt bedingte Wahrscheinlichkeitsverteilung über <math> \Omega </math> unter (der Bedingung) <math> B </math>. <br> b) Die Zahl <math> P(A|B) </math> heißt bedingte Wahrscheinlichkeit von <math> A </math> unter (der Bedingung) <math> B </math>. [[Datei:Audio de 4 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Definition]] === Aufgabe - bedingte Wahrscheinlickeitsverteilung === Sei <math>(\Omega,\mathcal{S},P)</math> ein Wahrscheinlichkeitsraum. Weisen Sie für die Abbildung <math>\widetilde{P}</math> nach, dass diese die Eigenschaften eines Wahrscheinlichkeitsmaßes auf <math>(\Omega,\mathcal{S})</math> erfüllt. :<math> \begin{array}{rrcl} \widetilde{P}: & \mathcal{S} & \rightarrow & [0,1] \\ & A & \mapsto & \widetilde{P}(A) = P(A|B) \end{array} </math> === Aufgaben - Wahrscheinlichkeit auf Bedingung konzentriert=== Es gilt <math> P(\Omega|B) = 1 </math>. Die Wahrscheinlichkeit von <math> P( \cdot |B) </math> ist allerdings auf <math> B </math> konzentriert". * Zeigen Sie dazu, dass <math> P(A|B) = 0 </math> für alle <math> A \subset \bar B = \Omega\setminus B </math> <!-- denn: <math> P(A|B) = \frac {P (A \cap B)} {P(B)} = \frac {P (\emptyset)} {P(B)} = 0 </math> --> * Zeigen Sie, dass für <math> B \subset A </math>, <math> A \not= B </math> gilt, dass <math> P(A|B) = 1</math> (Hinweis: Zeigen Sie, dass <math> P(\bar A|B) = 0</math> gilt!) [[Datei:Audio de 5 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Aufgabenstellung]] === Anmerkung === Formt man die Definitionsformel von oben um zu <math> P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A|B) </math>, so kann man die Wahrscheinlichkeit des gleichzeitig Eintretens von <math> A </math> und <math> B </math> mithilfe der bedingten Wahrscheinlichkeit darstellen. Wir betrachten im Nachfolgenden eine Technik, eine Wahrscheinlichkeit auf <math> \Omega </math> durch bedingten Wahrscheinlichkeiten zusammenzusetzen. <span id="ZerlegungDef"></span> == Definition - Zerlegung einer Grundmenge== <math> (A_1, ..., A_m) </math> heißt [[bedingte Wahrscheinlichkeit#ZerlegungDef|Zerlegung]] von <math> \Omega </math> in messbare Mengen <math>A_1 , \ldots , A_m \in \mathcal{S}</math> in dem [[Messraum]] <math> (\Omega,\mathcal{S}) </math>, falls <math>\bigcup_{i=1} ^{m} A_i = \Omega, A_i \cap A_j = \varnothing </math> für alle <math> i \neq j </math> und <math>A_i, A_j \in \mathcal{S}</math>. === Motivation - Auswahl mit beschränkten Optionen === Als Beispiel werden 100 verschiedene Spiele <math>\Omega</math> auf <math>m</math> verschiedene Spielekisten <math>A_1, \ldots , A_m</math> verteilt. Es gibt <math>m\in \mathbb{N}</math> Personen und jede Person bekommt eine Kiste. Jede Person <math>i</math> kann nur Spiele aus der eigenen Kiste <math>A_i</math> und nicht aus anderen Kisten <math>A_j</math> auswählen mit <math>i\neq j</math>. Es gibt für jede der <math>i</math> Personen präferiert Spiele und daher gibt es eine Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>{Q_A}_i</math> (''"Qual der Wahl aus <math>A_i</math> aus der Spielekiste"''), die die Wahrscheinlichkeit beschreibt, ein Spiel bestimmtes Spiel aus der eigenen Spielekiste auszuwählen. Die Wahrscheinlichkeit ist auf <math>A_i</math> konzentriert, da die Spieler nur aus der eigenen Kiste auswählen können. === Bekannte und unbekannte Wahrscheinlichkeiten === Bei der Anwendung des Zerlegungssatzes kennt man in dem obigen Beispiel Auswahlwahrscheinlichkeit <math>p_j</math> von Probanden eine bestimmte Klasse von Spiele <math>A_j</math> (z.B. Brettspiele) auszuwählen. In dem obigen speziellen Beispiel wurde diese Klasse von Spielen mit <math>A_j</math> bezeichnet. Danach folgt ein zweiter Auswahlprozess der Probanden nun aus der Spielekiste <math>A_j</math> ein spezielles Spiel auszuwählen. Der folgende Zerlegungssatz kann damit auf zweistufige stochastische Auswahlprozesse angewendet werden, bei dem im dem Zufallsexperiment zunächst ein Klasse <math>A_j</math> von Objekten auswählt wird und dann ein konkretes Objekt <math>\omega \in A_j</math>. == Zerlegungssatz == Sei <math>(A_1, ... ,A_m )</math> eine [[bedingte Wahrscheinlichkeit#ZerlegungDef|Zerlegung]] von <math>\Omega </math> auf <math> (\Omega,\mathcal{S})</math>. Für jedes <math> i = 1, ...,m </math> sei eine auf <math>A_i</math> konzentrierte Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>Q_{A_i}</math> auf <math>(\Omega,\mathcal{S} ) </math> gegeben (d.h. <math>{Q_A}_i (A_i) = 1 </math>) sowie Zahlen <math>p_i \in ( 0,1]</math> mit <math>\sum _{i = 1} ^{m} p_i = 1 </math>. <br> * (a) Dann existiert genau eine Wahrscheinlichkeitsverteilung <math> P </math> auf <math> \Omega </math> mit <br> ** (i) <math>P(A_i) = p_i > 0</math>. <br> ** (ii) <math>P(B|A_i) = {Q_A}_i(B)</math>, falls <math>p_i >0 </math> für alle <math>i=1, ...,m </math>. <br> * (b) Es gilt <math> P(B) = \sum _{i=1} ^{m} p_i \cdot {Q_A}_i(B) </math> für jedes <math> B \in \mathcal{S} </math>. === Beweis - Zerlegungssatz === Der Beweis gliedert sich in eine Existenzaussage für <math>P</math> und eine Eindeutigkeitsaussage, bei der die Existenz einer weiteren Wahrscheinlichkeitsverteilung für <math>\widetilde{P}</math> auf <math>\mathcal{S}</math> angenommen wird. Dann wird gezeigt, dass <math>\widetilde{P} = P</math> gilt bzw. <math>\widetilde{P}(B) = P(B)</math> für beliebige <math>B\in\mathcal{S}</math> gilt. ==== Beweis Existenz (i)==== Man definiere <math> P</math> gemäß Formel b) und rechnet nach, dass <math>P</math> die Eigenschaften eines [[Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaßes]] auf <math>\Omega </math> besitzt: * <math>P(A)\geq 0</math> für alle <math>A\in \mathcal{S}</math>, * <math>P(\Omega) = 1</math> * Nachweis der <math>\sigma</math>-Additivität von <math>P</math> über die <math>\sigma</math>-Additivität der Wahrscheinlichkeitsmaße <math>Q_{A_i}</math> nachweisen. ==== Beweis Existenz (i) - paarweise disjunkt==== Da die Wahrscheinlichkeitsmasse von den Wahrscheinlichkeitsmaßen <math>Q_{A_i}</math> auf <math>A_i</math> konzentriert ist, gilt für die paarweise disjunkten <math> A_i</math> aus der Zerlegung <math>(A_1,\ldots ,A_m)</math> folgende Eigenschaft: :<math>{Q_A}_i(A_j) = \left \{ \begin{array}{ll} 0, & i \neq j\\ 1, & i = j \end{array}\right. </math> Daraus folgt sofort (ai) <math>P(A_k) = \sum _{i=1} ^{m} p_i \cdot {Q_A}_i(A_k) = p_k</math>. [[Datei:Audio de 10 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Zerlegungsatz 2]] ==== Beweis Existenz (ii)==== Für ein beliebiges <math>p_i > 0 </math> und <math> B \in \mathcal{S} </math> gilt mit Anwendung der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit: :<math> P(B|A_i) = \frac {P(A_i \cap B)}{ P(A_i)} = \frac {1} {p_i} \sum _{j=1} ^{m} p_j \cdot {Q_A}_j (A_i \cap B) = </math> :<math>= \frac {p_i} {p_i} ({Q_A}_i (A_i \cap B) + {Q_A}_i( \bar A_i \cap B) = {Q_A}_i(B) )</math> also ii). [[Datei:Audio de 11 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Zerlegungsatz 3]] ==== Beweis Eindeutigkeit ==== Sei <math> \tilde P </math> eine (weitere) Wahrscheinlichkeitsverteilung auf <math> (\Omega,\mathcal{S}) </math>, die (ai) und (aii) erfüllt. Dann gilt für <math> B \subset \Omega </math> und wegen <math> B= \Omega \cap B = \left( \bigcup _{j=1}^{m} A_j \right) \cap B</math> die Gleichung :<math>\tilde P (B) = \tilde P \left( \bigcup_ {j=1}^{m} A_j \cap B \right)= \sum _{j=1}^{m} \tilde P (A_j \cap B) = </math> :<math> = \sum _{j=1}^{m} \tilde P (A_j) \cdot \tilde P (B|A_j) \stackrel{(i),(ii)}{=} \sum _{j=1}^{m} p_j {Q_A}_j(B) = P(B) . \qquad \Box</math> [[Datei:Audio de 12 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Zerlegungsatz 4]] <span id="totale_Wahrscheinlichkeit"></span> <span id="Satz_totale_Wahrscheinlichkeit"></span> == Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit == Sei <math>(\Omega ,\mathcal{S}, P)</math> ein [[Wahrscheinlichkeitsraum]] und <math> (A_1,\ldots , A_m) </math> eine [[Mengenzerlegung (Stochastik)|Zerlegung]] von <math>\Omega</math> auf <math>(\Omega,\mathcal{S})</math> mit <math>P(A_j) > 0</math> für alle <math>j = 1, \ldots, m</math>. Für jedes <math> B \subset \Omega </math> und gilt also für alle <math>B \in \mathcal{S}</math>: :<math> P(B) = \sum _{j=1} ^{m} P(A_j) \cdot P(B|A_j)</math> === Bemerkung - Formel der totalen Wahrscheinlichkeit === Die Formel aus dem Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit erlaubt die Bestimmung der totalen Wahrscheinlichkeit <math>P(B)</math> von einem Ereignis <math>B\in \mathcal{S}</math>, wenn nur die Wahrscheinlichkeiten von unter verschiedenen Bedingungen kennt. Man kennt z.B. bei einem Erkrankung <math>B</math> in einem Tierbestand nur die Wahrscheinlichkeiten <math>P(A_j)</math> für eine Stressor <math>A_j</math> (z.B. Umweltbelastung für ein Ökosystem) und die bedingte Wahrscheinlichkeit <math>P(B|A_j)</math>, dass Tiere unter diesem Stressor <math>A_j</math> erkranken. <math>\Omega</math> ist dann die Vereinigung von allen möglichen auftretenden Stressoren <math>A_1, \ldots , A_m</math> ggf. unter Hinzunahme des Ereignisses <math>A_0</math> als "ungestresstes" Ökosystem (siehe [[disjunkte Zerlegung einer Menge|Zerlegung einer Menge]]) . == Beweis - Satz - totale Wahrscheinlichkeit == Nach Voraussetzung gilt <math>P(A_j) > 0</math> für alle <math>j = 1, \ldots, m</math> und damit sind die bedingten Wahrscheinlichkeiten <math>P(B \mid A_j)</math> definiert, weil <math>P(A_j)</math> im Nenner der Definition der [[bedingte Wahrscheinlichkeit#Definition|bedingten Warscheinlichkeit]] auf tritt. === Schritt 1 - Zerlegung von Omega === Da die <math>A_j</math> eine [[bedingte Wahrscheinlichkeit#ZerlegungDef|Zerlegung]] von <math>\Omega</math> bilden, sind die <math>A_j</math> paarweise disjunkt nach Definition und auch die <math>B\cap A_j</math> sind als Teilmengen von <math>A_j</math> paarweise disjunkt. Damit gilt: :<math> \Omega = \bigcup_{j=1}^m A_j \quad \text{(disjunkt)} </math> === Schritt 2 - Zerlegung von B === Mit der Teilmengenbeziehung <math>B\cap A_j\subset A_j</math> Dann folgt für jedes <math>B \in \mathcal{S}</math> und der verallgemeinerten Anwendung <math>B \cap (A_1 \cup A_2) = (B\cap A_1) \cup (B\cap A_2)</math>: :<math> B = B \cap \Omega = B \cap \left( \bigcup_{j=1}^m A_j \right) = \bigcup_{j=1}^m (B \cap A_j) </math> Da die <math>A_j</math> disjunkt sind, sind auch die Schnitte <math>B \cap A_j</math> disjunkt. Also ist <math>(B \cap A_1, B \cap A_2, \ldots, B \cap A_m)</math> eine [[bedingte Wahrscheinlichkeit#ZerlegungDef|disjunkte Zerlegung]] von <math>B</math>. === Schritt 3 - Anwendung der Additivität der Wahrscheinlichkeit === Nach dem Axiom der <math>\sigma</math>-Additivität erlaubt insbesondere die Anwendung auf endliche Summen von disjunkte Ereignisse glt: :<math> P(B) = P\left( \bigcup_{j=1}^m (B \cap A_j) \right) = \sum_{j=1}^m P(B \cap A_j) </math> === Schritt 4 - Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit === Für jedes <math>j</math> mit <math>P(A_j) > 0</math> ist die bedingte Wahrscheinlichkeit definiert als: :<math> P(B \mid A_j) = \frac{P(B \cap A_j)}{P(A_j)} </math> Durch Umformung erhält man: :<math> P(B \cap A_j) = P(A_j) \cdot P(B \mid A_j) </math> === Schritt 5 - Einsetzen in die Summe === Setze dies in die Gleichung aus Schritt 3 ein: :<math> P(B) = \sum_{j=1}^m P(B \cap A_j) = \sum_{j=1}^m P(A_j) \cdot P(B \mid A_j) </math> Insgesamt erhält man die Aussage des [[Bedingte_Wahrscheinlichkeit#Satz_totale_Wahrscheinlichkeit|Satzes über die totale Wahrscheinlichkeit]] :<math> {P(B) = \sum_{j=1}^m P(A_j) \cdot P(B \mid A_j)} </math> === Aufgabe für Studierende === Beweisen Sie den Satz der totalen Wahrscheinlichkeit in der Übung und begründen Sie jeden Teilschritte über die Zerlegung von <math>\Omega</math> und der Zerlegung von <math>B</math>. Fertigen Sie für die Beweisvorstellung Skizze an, die das Vorgehen im Beweis eräutert. [[Datei:Audio de 13 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Formel Totale Wahrscheinlichkeit]] <span id="Satz_von_Bayes"></span> == Satz - Formel von Bayes == Ist <math> P </math> eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf <math> \Omega </math>, <math> ( A_1, ... ,A_m ) </math> einer Zerlegung von <math>\Omega </math> auf <math>(\Omega,\mathcal{S})</math> , so gilt für jedes <math> B \in \mathcal{S} </math> mit <math> P(B) > 0 </math> und <math> i= 1, ... ,m </math> :<math>P(A_i|B) = \frac {P(B|A_i) \cdot P(A_i)} { \sum_{j=1}^{m} P(B|A_j) \cdot P(A_j) }.</math> [[Datei:Audio de 14 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Satz von Bayes]] === Beweis === :<math>P(A_i|B) = \frac {P(A_i\cap B)}{P(B)} = \frac{P(B|A_i) \cdot P(A_i)}{\sum_{j=1}^{m} P(B|A_j) \cdot P(A_j)} </math> [[Datei:Audio de 15 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Satz von Bayes - Beweis]] ==== Bemerkung==== Man beachte, dass auf der linken und rechten Seite "Argument und Bedingung" vertauscht auftreten. In einer außermathematischen Deutung spielen <math> A_j </math> die Rolle von (verschiedenen) Ursachen für die Wirkung von <math> B </math>. [[Datei:Audio de 16 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Satz von Bayes - Bemerkung]] ==== Beispiel (Test auf eine Krankheit) ==== <math> \Omega </math> sei die Gesamtheit der Personen aus der Bevölkerung. <math> p \cdot 100\% </math> der Bevölkerung (<math>K \subset \Omega </math>) leidet an der Krankheit. Ein Test für diese Krankheit spreche bei <math> k \cdot 100\% </math> der Kranken aus <math>K</math> an und bei <math> g \cdot 100\% </math> der Gesunden (<math>\Omega \setminus K</math>) positiv an (<math>k =</math> Sensitivität, <math>1-g =</math> Spezifität des Testes). Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat eine zufällig ausgewählte Person <math>\omega \in \Omega</math> die Krankheit, * wenn der Test positiv ausfällt? * wenn der Test negativ ausfällt? [[Datei:Audio de 17 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Satz von Bayes - Beispiel]] <span id="Produktformel"></span> == Produktformel- bedingte Wahrscheinlichkeit == Sei <math>P</math> eine [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] auf <math> \Omega </math> und seien <math> A_1, ... ,A_n \subset \Omega </math> mit <math> P( A_1 \cap ... \cap A_{n-1} )>0 </math>. Dann gilt die sogenannte "Produktformel": :<math> P( A_1 \cap ... \cap A_n) = P(A_1) \cdot P(A_2 | A_1) \cdot P(A_3 | A_1 \cap A_2) \cdot ... \cdot P(A_n | A_1 \cap ... \cap A_{n-1}) </math> [[Datei:Audio de 18 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Produktformel - Satz]] == Beweis - Produktformel == Allgemein für [[Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaße]] gilt für <math>C_1\subseteq C_2</math> mit <math>C_1,C_2 \in \mathcal{S}</math> auch <math>P(C_1)\leq P(C_2)</math>. Diese Eigenschaft wendet man auf die folgende Teilmengenbeziehung an: :<math>A_1 \supseteq A_1 \cap A_2\supseteq ... \supseteq A_1 \cap ... \cap A_{n-1}</math> === Beweisschritt 1 - Produktformel === Die Anwendung des Wahrscheinlichkeitsmaßes auf die Teilmengenbeziehung der obigen Vorüberlegung liefert: :<math>P(A_1) \ge P(A_1 \cap A_2) \ge ... \ge P(A_1 \cap ... \cap A_{n-1}) >0.</math> === Beweisschritt 2 - Produktformel === Wegen <math>P(A_1 \cap ... \cap A_{n-2})\leq P(A_1 \cap ... \cap A_{n-1}) >0</math> ist die folgende bedingte Wahrscheinlichkeit wohldefiniert: :<math> P( A_1 \cap ... \cap A_n) = P( A_1 \cap ... \cap A_{n-1} ) \cdot P( A_n | A_1 \cap ... \cap A_{n-1} ) </math> === Beweisschritt 3 - Produktformel === Nun ist wegen Beweisschritt 1 auch <math> P( A_1 \cap ... \cap A_{n-2} ) > 0 </math> gegeben und man kann wiederum :<math> P( A_1 \cap ... \cap A_{n}) = </math> :<math> \quad = P( A_1 \cap ... \cap A_{n-2}) \cdot P( A_{n-1} | A_1 \cap ... \cap A_{n-2} ) \cdot P( A_n | A_1 \cap ... \cap A_{n-1} ) </math> === Beweisschritt 4 - Produktformel === Wenn man dieses Vorgehen iteriert auf Wahrscheinlickeiten der Schnittmengen anwendet erhält man die Produktformel: :<math> P(A_1 \cap ... \cap A_{n}) = </math> :<math> \quad = P(A_1) \cdot P(A_2 | A_1) \cdot P(A_3 | A_1 \cap A_2) \cdot ... \cdot P(A_n | A_1 \cap ... \cap A_{n-1}) \ \Box</math> [[Datei:Audio de 19 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Produktformel - Satz - Beweis]] ==== Bemerkung ==== Dieser Satz verallgemeinert die Formel <math>P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A). </math> [[Datei:Audio de 20 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Produktformel - Bemerkung]] == Siehe auch == * [[stochastische Unabhängigkeit]] * [[bedingte Wahrscheinlichkeit#ZerlegungDef|disjunkte Zerlegung einer Menge]] * [[Messraum]] * [[messbare Zerlegung einer Grundmenge]] == Seiten-Information == Der [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Bedingte+Wahrscheinlichkeit&author=Kurs%3A+Stochastik&audioslide=no&language=de Foliensatz] für diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Bedingte%20Wahrscheinlichkeit Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Bedingte_Wahrscheinlichkeit Bedingte Wahrscheinlichkeit] https://de.wikipedia.org/wiki/Bedingte_Wahrscheinlichkeit * Datum: 5.11.2018 * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity]-Konverter: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity * [https://niebert.github.com/Wiki2Reveal Wiki2Reveal Link-Generator] * Dieser Foliensatz gehört zum [[Kurs:Stochastik]] [[Category:Wiki2Reveal]] anauae6na5lrwcdz6dkhl9nqemwzr8t 1118759 1118755 2026-11-03T10:47:15Z Bert Niehaus 20843 /* Bekannte und unbekannte Wahrscheinlichkeiten */ 1118759 wikitext text/x-wiki [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|146px|mini|Kurs enthält [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] Audio-Folien]] == Einleitung == Diese Lerneinheit aus der [[Kurs:Stochastik|Stochastik]] behandelt folgende Inhalte: * [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Definition|Definition - Bedingte Wahrscheinlichkeit]] * [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Zerlegungssatz|Zerlegungssatz]] * [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Satz_von_Bayes|Satz von Bayes]] * [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Satz_totale_Wahrscheinlichkeit|Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit]] * [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Produktformel|Produktformel]] === Einführendes Beispiel - bedingte Wahrscheinlichkeit=== Gegeben sei ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum <math>(\Omega,\mathcal{S},P) </math>, Gleichverteilung über <math>(\Omega,\mathcal{S}) </math> und <math>\mathcal{S} := \wp((\Omega) </math>. <math> A,B \subset \Omega, A\neq \varnothing </math>. In dem einführenden Beispiel betrachten wir die Ereignisse: * <math>A</math>: Stochastik-Klausur bestanden * <math>B</math>: Fachwissenschaftliche Grundlagen mit 4,0 bestanden * Mit welcher Wahrscheinlichkeit <math>P(A|B)</math> besteht man die Stochastik-Klausur <math>A</math>, wenn man die Klausur zu den fachwissenschaftlichen Grundlagen nur mit 4,0 bestanden hat (d.h. <math>B</math> erfüllt ist)? [[Datei:Audio de 1 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Einleitung]] === Vorüberlegung === Wir nehmen an, dass das Ereignis <math> B </math> eintritt. Welche Definition ist sinnvoll für die Wahrscheinlichkeit von <math> B </math>, unter der Bedingung, dass <math> A </math> eingetreten ist? # Wenn die Bedingung <math> B </math> eintritt, so kann <math> A </math> nur dann eintreten, wenn das Ereignis <math> A \cap B </math> eintritt. # Wir konzentrieren uns auf die Realisationen <math> \omega \in A </math> und betrachten sie als gleichwahrscheinlich ([[w:de:Laplace-Verteilung|Laplace-Verteilung]]). # Allgemein gilt dann <math> P(C) = \frac {| C | }{ | \Omega |} </math> für alle <math>C \in \mathcal{S}</math>. [[Datei:Audio de 2 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Vorlüberlegung]] === Berechnung mit Laplace-Verteilung === Damit kann die Wahrscheinlichkeit von <math> A </math> unter der Bedingung <math> B </math> wie folgt definiert werden: :<math> P(A|B) := \frac {| A\cap B | }{ | B |} = \frac { \tfrac{|A \cap B | }{| \Omega | }} { \tfrac{| B |}{| \Omega | }}= \frac {P (A \cap B)}{ P(B)} </math> Dabei wurde der Bruch mit <math>\frac {1}{| \Omega |}</math> erweitert, um in Zähler und Nenner die Laplace-Wahrscheinlichkeiten für die Ereignisse <math> A \cap B </math> und <math> B </math> zu erzeugen. [[Datei:Audio de 3 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Berechnung mit Laplace-Verteilung]] <span id="Definition"></span> == Definition - bedingte Wahrscheinlichkeit == Sei <math> (\Omega,\mathcal{S},P) </math> ein Wahrscheinlichkeitsraum, <math> A \in \mathcal{S} </math> mit <math> P (B) >0 </math>. <br> a) Die Abbildung <math> P( \cdot | B): \mathcal{S} \to [0,1] </math>, die gemäß <math> P (A | B) = \frac {P(A \cap B)}{P(B)}, A,B \in \mathcal{S} </math> definiert ist, heißt bedingte Wahrscheinlichkeitsverteilung über <math> \Omega </math> unter (der Bedingung) <math> B </math>. <br> b) Die Zahl <math> P(A|B) </math> heißt bedingte Wahrscheinlichkeit von <math> A </math> unter (der Bedingung) <math> B </math>. [[Datei:Audio de 4 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Definition]] === Aufgabe - bedingte Wahrscheinlickeitsverteilung === Sei <math>(\Omega,\mathcal{S},P)</math> ein Wahrscheinlichkeitsraum. Weisen Sie für die Abbildung <math>\widetilde{P}</math> nach, dass diese die Eigenschaften eines Wahrscheinlichkeitsmaßes auf <math>(\Omega,\mathcal{S})</math> erfüllt. :<math> \begin{array}{rrcl} \widetilde{P}: & \mathcal{S} & \rightarrow & [0,1] \\ & A & \mapsto & \widetilde{P}(A) = P(A|B) \end{array} </math> === Aufgaben - Wahrscheinlichkeit auf Bedingung konzentriert=== Es gilt <math> P(\Omega|B) = 1 </math>. Die Wahrscheinlichkeit von <math> P( \cdot |B) </math> ist allerdings auf <math> B </math> konzentriert". * Zeigen Sie dazu, dass <math> P(A|B) = 0 </math> für alle <math> A \subset \bar B = \Omega\setminus B </math> <!-- denn: <math> P(A|B) = \frac {P (A \cap B)} {P(B)} = \frac {P (\emptyset)} {P(B)} = 0 </math> --> * Zeigen Sie, dass für <math> B \subset A </math>, <math> A \not= B </math> gilt, dass <math> P(A|B) = 1</math> (Hinweis: Zeigen Sie, dass <math> P(\bar A|B) = 0</math> gilt!) [[Datei:Audio de 5 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Aufgabenstellung]] === Anmerkung === Formt man die Definitionsformel von oben um zu <math> P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A|B) </math>, so kann man die Wahrscheinlichkeit des gleichzeitig Eintretens von <math> A </math> und <math> B </math> mithilfe der bedingten Wahrscheinlichkeit darstellen. Wir betrachten im Nachfolgenden eine Technik, eine Wahrscheinlichkeit auf <math> \Omega </math> durch bedingten Wahrscheinlichkeiten zusammenzusetzen. <span id="ZerlegungDef"></span> == Definition - Zerlegung einer Grundmenge== <math> (A_1, ..., A_m) </math> heißt [[bedingte Wahrscheinlichkeit#ZerlegungDef|Zerlegung]] von <math> \Omega </math> in messbare Mengen <math>A_1 , \ldots , A_m \in \mathcal{S}</math> in dem [[Messraum]] <math> (\Omega,\mathcal{S}) </math>, falls <math>\bigcup_{i=1} ^{m} A_i = \Omega, A_i \cap A_j = \varnothing </math> für alle <math> i \neq j </math> und <math>A_i, A_j \in \mathcal{S}</math>. === Motivation - Auswahl mit beschränkten Optionen === Als Beispiel werden 100 verschiedene Spiele <math>\Omega</math> auf <math>m</math> verschiedene Spielekisten <math>A_1, \ldots , A_m</math> verteilt. Es gibt <math>m\in \mathbb{N}</math> Personen und jede Person bekommt eine Kiste. Jede Person <math>i</math> kann nur Spiele aus der eigenen Kiste <math>A_i</math> und nicht aus anderen Kisten <math>A_j</math> auswählen mit <math>i\neq j</math>. Es gibt für jede der <math>i</math> Personen präferiert Spiele und daher gibt es eine Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>{Q_A}_i</math> (''"Qual der Wahl aus <math>A_i</math> aus der Spielekiste"''), die die Wahrscheinlichkeit beschreibt, ein Spiel bestimmtes Spiel aus der eigenen Spielekiste auszuwählen. Die Wahrscheinlichkeit ist auf <math>A_i</math> konzentriert, da die Spieler nur aus der eigenen Kiste auswählen können. === Bekannte und unbekannte Wahrscheinlichkeiten === Bei der Anwendung des Zerlegungssatzes kennt man in dem obigen Beispiel Auswahlwahrscheinlichkeit <math>p_j</math> von Probanden eine bestimmte Klasse von Spiele <math>A_j</math> (z.B. Brettspiele) auszuwählen. In dem obigen speziellen Beispiel wurde diese Klasse von Spielen mit <math>A_j</math> bezeichnet. Danach folgt ein zweiter Auswahlprozess der Probanden nun aus der Spielekiste <math>A_j</math> ein spezielles Spiel auszuwählen. Der folgende Zerlegungssatz kann damit auf zweistufige stochastische Auswahlprozesse angewendet werden, bei dem im dem Zufallsexperiment zunächst ein Klasse <math>A_j</math> von Objekten auswählt wird und dann ein konkretes Objekt <math>\omega_j \in A_j</math>. == Zerlegungssatz == Sei <math>(A_1, ... ,A_m )</math> eine [[bedingte Wahrscheinlichkeit#ZerlegungDef|Zerlegung]] von <math>\Omega </math> auf <math> (\Omega,\mathcal{S})</math>. Für jedes <math> i = 1, ...,m </math> sei eine auf <math>A_i</math> konzentrierte Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>Q_{A_i}</math> auf <math>(\Omega,\mathcal{S} ) </math> gegeben (d.h. <math>{Q_A}_i (A_i) = 1 </math>) sowie Zahlen <math>p_i \in ( 0,1]</math> mit <math>\sum _{i = 1} ^{m} p_i = 1 </math>. <br> * (a) Dann existiert genau eine Wahrscheinlichkeitsverteilung <math> P </math> auf <math> \Omega </math> mit <br> ** (i) <math>P(A_i) = p_i > 0</math>. <br> ** (ii) <math>P(B|A_i) = {Q_A}_i(B)</math>, falls <math>p_i >0 </math> für alle <math>i=1, ...,m </math>. <br> * (b) Es gilt <math> P(B) = \sum _{i=1} ^{m} p_i \cdot {Q_A}_i(B) </math> für jedes <math> B \in \mathcal{S} </math>. === Beweis - Zerlegungssatz === Der Beweis gliedert sich in eine Existenzaussage für <math>P</math> und eine Eindeutigkeitsaussage, bei der die Existenz einer weiteren Wahrscheinlichkeitsverteilung für <math>\widetilde{P}</math> auf <math>\mathcal{S}</math> angenommen wird. Dann wird gezeigt, dass <math>\widetilde{P} = P</math> gilt bzw. <math>\widetilde{P}(B) = P(B)</math> für beliebige <math>B\in\mathcal{S}</math> gilt. ==== Beweis Existenz (i)==== Man definiere <math> P</math> gemäß Formel b) und rechnet nach, dass <math>P</math> die Eigenschaften eines [[Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaßes]] auf <math>\Omega </math> besitzt: * <math>P(A)\geq 0</math> für alle <math>A\in \mathcal{S}</math>, * <math>P(\Omega) = 1</math> * Nachweis der <math>\sigma</math>-Additivität von <math>P</math> über die <math>\sigma</math>-Additivität der Wahrscheinlichkeitsmaße <math>Q_{A_i}</math> nachweisen. ==== Beweis Existenz (i) - paarweise disjunkt==== Da die Wahrscheinlichkeitsmasse von den Wahrscheinlichkeitsmaßen <math>Q_{A_i}</math> auf <math>A_i</math> konzentriert ist, gilt für die paarweise disjunkten <math> A_i</math> aus der Zerlegung <math>(A_1,\ldots ,A_m)</math> folgende Eigenschaft: :<math>{Q_A}_i(A_j) = \left \{ \begin{array}{ll} 0, & i \neq j\\ 1, & i = j \end{array}\right. </math> Daraus folgt sofort (ai) <math>P(A_k) = \sum _{i=1} ^{m} p_i \cdot {Q_A}_i(A_k) = p_k</math>. [[Datei:Audio de 10 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Zerlegungsatz 2]] ==== Beweis Existenz (ii)==== Für ein beliebiges <math>p_i > 0 </math> und <math> B \in \mathcal{S} </math> gilt mit Anwendung der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit: :<math> P(B|A_i) = \frac {P(A_i \cap B)}{ P(A_i)} = \frac {1} {p_i} \sum _{j=1} ^{m} p_j \cdot {Q_A}_j (A_i \cap B) = </math> :<math>= \frac {p_i} {p_i} ({Q_A}_i (A_i \cap B) + {Q_A}_i( \bar A_i \cap B) = {Q_A}_i(B) )</math> also ii). [[Datei:Audio de 11 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Zerlegungsatz 3]] ==== Beweis Eindeutigkeit ==== Sei <math> \tilde P </math> eine (weitere) Wahrscheinlichkeitsverteilung auf <math> (\Omega,\mathcal{S}) </math>, die (ai) und (aii) erfüllt. Dann gilt für <math> B \subset \Omega </math> und wegen <math> B= \Omega \cap B = \left( \bigcup _{j=1}^{m} A_j \right) \cap B</math> die Gleichung :<math>\tilde P (B) = \tilde P \left( \bigcup_ {j=1}^{m} A_j \cap B \right)= \sum _{j=1}^{m} \tilde P (A_j \cap B) = </math> :<math> = \sum _{j=1}^{m} \tilde P (A_j) \cdot \tilde P (B|A_j) \stackrel{(i),(ii)}{=} \sum _{j=1}^{m} p_j {Q_A}_j(B) = P(B) . \qquad \Box</math> [[Datei:Audio de 12 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Zerlegungsatz 4]] <span id="totale_Wahrscheinlichkeit"></span> <span id="Satz_totale_Wahrscheinlichkeit"></span> == Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit == Sei <math>(\Omega ,\mathcal{S}, P)</math> ein [[Wahrscheinlichkeitsraum]] und <math> (A_1,\ldots , A_m) </math> eine [[Mengenzerlegung (Stochastik)|Zerlegung]] von <math>\Omega</math> auf <math>(\Omega,\mathcal{S})</math> mit <math>P(A_j) > 0</math> für alle <math>j = 1, \ldots, m</math>. Für jedes <math> B \subset \Omega </math> und gilt also für alle <math>B \in \mathcal{S}</math>: :<math> P(B) = \sum _{j=1} ^{m} P(A_j) \cdot P(B|A_j)</math> === Bemerkung - Formel der totalen Wahrscheinlichkeit === Die Formel aus dem Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit erlaubt die Bestimmung der totalen Wahrscheinlichkeit <math>P(B)</math> von einem Ereignis <math>B\in \mathcal{S}</math>, wenn nur die Wahrscheinlichkeiten von unter verschiedenen Bedingungen kennt. Man kennt z.B. bei einem Erkrankung <math>B</math> in einem Tierbestand nur die Wahrscheinlichkeiten <math>P(A_j)</math> für eine Stressor <math>A_j</math> (z.B. Umweltbelastung für ein Ökosystem) und die bedingte Wahrscheinlichkeit <math>P(B|A_j)</math>, dass Tiere unter diesem Stressor <math>A_j</math> erkranken. <math>\Omega</math> ist dann die Vereinigung von allen möglichen auftretenden Stressoren <math>A_1, \ldots , A_m</math> ggf. unter Hinzunahme des Ereignisses <math>A_0</math> als "ungestresstes" Ökosystem (siehe [[disjunkte Zerlegung einer Menge|Zerlegung einer Menge]]) . == Beweis - Satz - totale Wahrscheinlichkeit == Nach Voraussetzung gilt <math>P(A_j) > 0</math> für alle <math>j = 1, \ldots, m</math> und damit sind die bedingten Wahrscheinlichkeiten <math>P(B \mid A_j)</math> definiert, weil <math>P(A_j)</math> im Nenner der Definition der [[bedingte Wahrscheinlichkeit#Definition|bedingten Warscheinlichkeit]] auf tritt. === Schritt 1 - Zerlegung von Omega === Da die <math>A_j</math> eine [[bedingte Wahrscheinlichkeit#ZerlegungDef|Zerlegung]] von <math>\Omega</math> bilden, sind die <math>A_j</math> paarweise disjunkt nach Definition und auch die <math>B\cap A_j</math> sind als Teilmengen von <math>A_j</math> paarweise disjunkt. Damit gilt: :<math> \Omega = \bigcup_{j=1}^m A_j \quad \text{(disjunkt)} </math> === Schritt 2 - Zerlegung von B === Mit der Teilmengenbeziehung <math>B\cap A_j\subset A_j</math> Dann folgt für jedes <math>B \in \mathcal{S}</math> und der verallgemeinerten Anwendung <math>B \cap (A_1 \cup A_2) = (B\cap A_1) \cup (B\cap A_2)</math>: :<math> B = B \cap \Omega = B \cap \left( \bigcup_{j=1}^m A_j \right) = \bigcup_{j=1}^m (B \cap A_j) </math> Da die <math>A_j</math> disjunkt sind, sind auch die Schnitte <math>B \cap A_j</math> disjunkt. Also ist <math>(B \cap A_1, B \cap A_2, \ldots, B \cap A_m)</math> eine [[bedingte Wahrscheinlichkeit#ZerlegungDef|disjunkte Zerlegung]] von <math>B</math>. === Schritt 3 - Anwendung der Additivität der Wahrscheinlichkeit === Nach dem Axiom der <math>\sigma</math>-Additivität erlaubt insbesondere die Anwendung auf endliche Summen von disjunkte Ereignisse glt: :<math> P(B) = P\left( \bigcup_{j=1}^m (B \cap A_j) \right) = \sum_{j=1}^m P(B \cap A_j) </math> === Schritt 4 - Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit === Für jedes <math>j</math> mit <math>P(A_j) > 0</math> ist die bedingte Wahrscheinlichkeit definiert als: :<math> P(B \mid A_j) = \frac{P(B \cap A_j)}{P(A_j)} </math> Durch Umformung erhält man: :<math> P(B \cap A_j) = P(A_j) \cdot P(B \mid A_j) </math> === Schritt 5 - Einsetzen in die Summe === Setze dies in die Gleichung aus Schritt 3 ein: :<math> P(B) = \sum_{j=1}^m P(B \cap A_j) = \sum_{j=1}^m P(A_j) \cdot P(B \mid A_j) </math> Insgesamt erhält man die Aussage des [[Bedingte_Wahrscheinlichkeit#Satz_totale_Wahrscheinlichkeit|Satzes über die totale Wahrscheinlichkeit]] :<math> {P(B) = \sum_{j=1}^m P(A_j) \cdot P(B \mid A_j)} </math> === Aufgabe für Studierende === Beweisen Sie den Satz der totalen Wahrscheinlichkeit in der Übung und begründen Sie jeden Teilschritte über die Zerlegung von <math>\Omega</math> und der Zerlegung von <math>B</math>. Fertigen Sie für die Beweisvorstellung Skizze an, die das Vorgehen im Beweis eräutert. [[Datei:Audio de 13 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Formel Totale Wahrscheinlichkeit]] <span id="Satz_von_Bayes"></span> == Satz - Formel von Bayes == Ist <math> P </math> eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf <math> \Omega </math>, <math> ( A_1, ... ,A_m ) </math> einer Zerlegung von <math>\Omega </math> auf <math>(\Omega,\mathcal{S})</math> , so gilt für jedes <math> B \in \mathcal{S} </math> mit <math> P(B) > 0 </math> und <math> i= 1, ... ,m </math> :<math>P(A_i|B) = \frac {P(B|A_i) \cdot P(A_i)} { \sum_{j=1}^{m} P(B|A_j) \cdot P(A_j) }.</math> [[Datei:Audio de 14 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Satz von Bayes]] === Beweis === :<math>P(A_i|B) = \frac {P(A_i\cap B)}{P(B)} = \frac{P(B|A_i) \cdot P(A_i)}{\sum_{j=1}^{m} P(B|A_j) \cdot P(A_j)} </math> [[Datei:Audio de 15 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Satz von Bayes - Beweis]] ==== Bemerkung==== Man beachte, dass auf der linken und rechten Seite "Argument und Bedingung" vertauscht auftreten. In einer außermathematischen Deutung spielen <math> A_j </math> die Rolle von (verschiedenen) Ursachen für die Wirkung von <math> B </math>. [[Datei:Audio de 16 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Satz von Bayes - Bemerkung]] ==== Beispiel (Test auf eine Krankheit) ==== <math> \Omega </math> sei die Gesamtheit der Personen aus der Bevölkerung. <math> p \cdot 100\% </math> der Bevölkerung (<math>K \subset \Omega </math>) leidet an der Krankheit. Ein Test für diese Krankheit spreche bei <math> k \cdot 100\% </math> der Kranken aus <math>K</math> an und bei <math> g \cdot 100\% </math> der Gesunden (<math>\Omega \setminus K</math>) positiv an (<math>k =</math> Sensitivität, <math>1-g =</math> Spezifität des Testes). Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat eine zufällig ausgewählte Person <math>\omega \in \Omega</math> die Krankheit, * wenn der Test positiv ausfällt? * wenn der Test negativ ausfällt? [[Datei:Audio de 17 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Satz von Bayes - Beispiel]] <span id="Produktformel"></span> == Produktformel- bedingte Wahrscheinlichkeit == Sei <math>P</math> eine [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] auf <math> \Omega </math> und seien <math> A_1, ... ,A_n \subset \Omega </math> mit <math> P( A_1 \cap ... \cap A_{n-1} )>0 </math>. Dann gilt die sogenannte "Produktformel": :<math> P( A_1 \cap ... \cap A_n) = P(A_1) \cdot P(A_2 | A_1) \cdot P(A_3 | A_1 \cap A_2) \cdot ... \cdot P(A_n | A_1 \cap ... \cap A_{n-1}) </math> [[Datei:Audio de 18 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Produktformel - Satz]] == Beweis - Produktformel == Allgemein für [[Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaße]] gilt für <math>C_1\subseteq C_2</math> mit <math>C_1,C_2 \in \mathcal{S}</math> auch <math>P(C_1)\leq P(C_2)</math>. Diese Eigenschaft wendet man auf die folgende Teilmengenbeziehung an: :<math>A_1 \supseteq A_1 \cap A_2\supseteq ... \supseteq A_1 \cap ... \cap A_{n-1}</math> === Beweisschritt 1 - Produktformel === Die Anwendung des Wahrscheinlichkeitsmaßes auf die Teilmengenbeziehung der obigen Vorüberlegung liefert: :<math>P(A_1) \ge P(A_1 \cap A_2) \ge ... \ge P(A_1 \cap ... \cap A_{n-1}) >0.</math> === Beweisschritt 2 - Produktformel === Wegen <math>P(A_1 \cap ... \cap A_{n-2})\leq P(A_1 \cap ... \cap A_{n-1}) >0</math> ist die folgende bedingte Wahrscheinlichkeit wohldefiniert: :<math> P( A_1 \cap ... \cap A_n) = P( A_1 \cap ... \cap A_{n-1} ) \cdot P( A_n | A_1 \cap ... \cap A_{n-1} ) </math> === Beweisschritt 3 - Produktformel === Nun ist wegen Beweisschritt 1 auch <math> P( A_1 \cap ... \cap A_{n-2} ) > 0 </math> gegeben und man kann wiederum :<math> P( A_1 \cap ... \cap A_{n}) = </math> :<math> \quad = P( A_1 \cap ... \cap A_{n-2}) \cdot P( A_{n-1} | A_1 \cap ... \cap A_{n-2} ) \cdot P( A_n | A_1 \cap ... \cap A_{n-1} ) </math> === Beweisschritt 4 - Produktformel === Wenn man dieses Vorgehen iteriert auf Wahrscheinlickeiten der Schnittmengen anwendet erhält man die Produktformel: :<math> P(A_1 \cap ... \cap A_{n}) = </math> :<math> \quad = P(A_1) \cdot P(A_2 | A_1) \cdot P(A_3 | A_1 \cap A_2) \cdot ... \cdot P(A_n | A_1 \cap ... \cap A_{n-1}) \ \Box</math> [[Datei:Audio de 19 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Produktformel - Satz - Beweis]] ==== Bemerkung ==== Dieser Satz verallgemeinert die Formel <math>P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A). </math> [[Datei:Audio de 20 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Produktformel - Bemerkung]] == Siehe auch == * [[stochastische Unabhängigkeit]] * [[bedingte Wahrscheinlichkeit#ZerlegungDef|disjunkte Zerlegung einer Menge]] * [[Messraum]] * [[messbare Zerlegung einer Grundmenge]] == Seiten-Information == Der [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Bedingte+Wahrscheinlichkeit&author=Kurs%3A+Stochastik&audioslide=no&language=de Foliensatz] für diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Bedingte%20Wahrscheinlichkeit Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Bedingte_Wahrscheinlichkeit Bedingte Wahrscheinlichkeit] https://de.wikipedia.org/wiki/Bedingte_Wahrscheinlichkeit * Datum: 5.11.2018 * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity]-Konverter: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity * [https://niebert.github.com/Wiki2Reveal Wiki2Reveal Link-Generator] * Dieser Foliensatz gehört zum [[Kurs:Stochastik]] [[Category:Wiki2Reveal]] lo37ghgkmbwdu4i214s16ol4u7ua2r4 1118761 1118759 2026-11-03T10:49:30Z Bert Niehaus 20843 /* Definition - Zerlegung einer Grundmenge */ 1118761 wikitext text/x-wiki [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|146px|mini|Kurs enthält [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] Audio-Folien]] == Einleitung == Diese Lerneinheit aus der [[Kurs:Stochastik|Stochastik]] behandelt folgende Inhalte: * [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Definition|Definition - Bedingte Wahrscheinlichkeit]] * [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Zerlegungssatz|Zerlegungssatz]] * [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Satz_von_Bayes|Satz von Bayes]] * [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Satz_totale_Wahrscheinlichkeit|Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit]] * [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Produktformel|Produktformel]] === Einführendes Beispiel - bedingte Wahrscheinlichkeit=== Gegeben sei ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum <math>(\Omega,\mathcal{S},P) </math>, Gleichverteilung über <math>(\Omega,\mathcal{S}) </math> und <math>\mathcal{S} := \wp((\Omega) </math>. <math> A,B \subset \Omega, A\neq \varnothing </math>. In dem einführenden Beispiel betrachten wir die Ereignisse: * <math>A</math>: Stochastik-Klausur bestanden * <math>B</math>: Fachwissenschaftliche Grundlagen mit 4,0 bestanden * Mit welcher Wahrscheinlichkeit <math>P(A|B)</math> besteht man die Stochastik-Klausur <math>A</math>, wenn man die Klausur zu den fachwissenschaftlichen Grundlagen nur mit 4,0 bestanden hat (d.h. <math>B</math> erfüllt ist)? [[Datei:Audio de 1 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Einleitung]] === Vorüberlegung === Wir nehmen an, dass das Ereignis <math> B </math> eintritt. Welche Definition ist sinnvoll für die Wahrscheinlichkeit von <math> B </math>, unter der Bedingung, dass <math> A </math> eingetreten ist? # Wenn die Bedingung <math> B </math> eintritt, so kann <math> A </math> nur dann eintreten, wenn das Ereignis <math> A \cap B </math> eintritt. # Wir konzentrieren uns auf die Realisationen <math> \omega \in A </math> und betrachten sie als gleichwahrscheinlich ([[w:de:Laplace-Verteilung|Laplace-Verteilung]]). # Allgemein gilt dann <math> P(C) = \frac {| C | }{ | \Omega |} </math> für alle <math>C \in \mathcal{S}</math>. [[Datei:Audio de 2 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Vorlüberlegung]] === Berechnung mit Laplace-Verteilung === Damit kann die Wahrscheinlichkeit von <math> A </math> unter der Bedingung <math> B </math> wie folgt definiert werden: :<math> P(A|B) := \frac {| A\cap B | }{ | B |} = \frac { \tfrac{|A \cap B | }{| \Omega | }} { \tfrac{| B |}{| \Omega | }}= \frac {P (A \cap B)}{ P(B)} </math> Dabei wurde der Bruch mit <math>\frac {1}{| \Omega |}</math> erweitert, um in Zähler und Nenner die Laplace-Wahrscheinlichkeiten für die Ereignisse <math> A \cap B </math> und <math> B </math> zu erzeugen. [[Datei:Audio de 3 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Berechnung mit Laplace-Verteilung]] <span id="Definition"></span> == Definition - bedingte Wahrscheinlichkeit == Sei <math> (\Omega,\mathcal{S},P) </math> ein Wahrscheinlichkeitsraum, <math> A \in \mathcal{S} </math> mit <math> P (B) >0 </math>. <br> a) Die Abbildung <math> P( \cdot | B): \mathcal{S} \to [0,1] </math>, die gemäß <math> P (A | B) = \frac {P(A \cap B)}{P(B)}, A,B \in \mathcal{S} </math> definiert ist, heißt bedingte Wahrscheinlichkeitsverteilung über <math> \Omega </math> unter (der Bedingung) <math> B </math>. <br> b) Die Zahl <math> P(A|B) </math> heißt bedingte Wahrscheinlichkeit von <math> A </math> unter (der Bedingung) <math> B </math>. [[Datei:Audio de 4 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Definition]] === Aufgabe - bedingte Wahrscheinlickeitsverteilung === Sei <math>(\Omega,\mathcal{S},P)</math> ein Wahrscheinlichkeitsraum. Weisen Sie für die Abbildung <math>\widetilde{P}</math> nach, dass diese die Eigenschaften eines Wahrscheinlichkeitsmaßes auf <math>(\Omega,\mathcal{S})</math> erfüllt. :<math> \begin{array}{rrcl} \widetilde{P}: & \mathcal{S} & \rightarrow & [0,1] \\ & A & \mapsto & \widetilde{P}(A) = P(A|B) \end{array} </math> === Aufgaben - Wahrscheinlichkeit auf Bedingung konzentriert=== Es gilt <math> P(\Omega|B) = 1 </math>. Die Wahrscheinlichkeit von <math> P( \cdot |B) </math> ist allerdings auf <math> B </math> konzentriert". * Zeigen Sie dazu, dass <math> P(A|B) = 0 </math> für alle <math> A \subset \bar B = \Omega\setminus B </math> <!-- denn: <math> P(A|B) = \frac {P (A \cap B)} {P(B)} = \frac {P (\emptyset)} {P(B)} = 0 </math> --> * Zeigen Sie, dass für <math> B \subset A </math>, <math> A \not= B </math> gilt, dass <math> P(A|B) = 1</math> (Hinweis: Zeigen Sie, dass <math> P(\bar A|B) = 0</math> gilt!) [[Datei:Audio de 5 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Aufgabenstellung]] === Anmerkung === Formt man die Definitionsformel von oben um zu <math> P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A|B) </math>, so kann man die Wahrscheinlichkeit des gleichzeitig Eintretens von <math> A </math> und <math> B </math> mithilfe der bedingten Wahrscheinlichkeit darstellen. Wir betrachten im Nachfolgenden eine Technik, eine Wahrscheinlichkeit auf <math> \Omega </math> durch bedingten Wahrscheinlichkeiten zusammenzusetzen. <span id="ZerlegungDef"></span> == Definition - Zerlegung einer Grundmenge== <math> (A_1, ..., A_m) </math> heißt [[bedingte Wahrscheinlichkeit#ZerlegungDef|Zerlegung]] von <math> \Omega </math> in [[messbare Mengen]] <math>A_1 , \ldots , A_m \in \mathcal{S}</math> in dem [[Messraum]] <math> (\Omega,\mathcal{S}) </math>, falls <math>\bigcup_{i=1} ^{m} A_i = \Omega, A_i \cap A_j = \varnothing </math> für alle <math> i \neq j </math> und <math>A_i, A_j \in \mathcal{S}</math>. === Motivation - Auswahl mit beschränkten Optionen === Als Beispiel werden 100 verschiedene Spiele <math>\Omega</math> auf <math>m</math> verschiedene Spielekisten <math>A_1, \ldots , A_m</math> verteilt. Es gibt <math>m\in \mathbb{N}</math> Personen und jede Person bekommt eine Kiste. Jede Person <math>i</math> kann nur Spiele aus der eigenen Kiste <math>A_i</math> und nicht aus anderen Kisten <math>A_j</math> auswählen mit <math>i\neq j</math>. Es gibt für jede der <math>i</math> Personen präferiert Spiele und daher gibt es eine Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>{Q_A}_i</math> (''"Qual der Wahl aus <math>A_i</math> aus der Spielekiste"''), die die Wahrscheinlichkeit beschreibt, ein Spiel bestimmtes Spiel aus der eigenen Spielekiste auszuwählen. Die Wahrscheinlichkeit ist auf <math>A_i</math> konzentriert, da die Spieler nur aus der eigenen Kiste auswählen können. === Bekannte und unbekannte Wahrscheinlichkeiten === Bei der Anwendung des Zerlegungssatzes kennt man in dem obigen Beispiel Auswahlwahrscheinlichkeit <math>p_j</math> von Probanden eine bestimmte Klasse von Spiele <math>A_j</math> (z.B. Brettspiele) auszuwählen. In dem obigen speziellen Beispiel wurde diese Klasse von Spielen mit <math>A_j</math> bezeichnet. Danach folgt ein zweiter Auswahlprozess der Probanden nun aus der Spielekiste <math>A_j</math> ein spezielles Spiel auszuwählen. Der folgende Zerlegungssatz kann damit auf zweistufige stochastische Auswahlprozesse angewendet werden, bei dem im dem Zufallsexperiment zunächst ein Klasse <math>A_j</math> von Objekten auswählt wird und dann ein konkretes Objekt <math>\omega_j \in A_j</math>. == Zerlegungssatz == Sei <math>(A_1, ... ,A_m )</math> eine [[bedingte Wahrscheinlichkeit#ZerlegungDef|Zerlegung]] von <math>\Omega </math> auf <math> (\Omega,\mathcal{S})</math>. Für jedes <math> i = 1, ...,m </math> sei eine auf <math>A_i</math> konzentrierte Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>Q_{A_i}</math> auf <math>(\Omega,\mathcal{S} ) </math> gegeben (d.h. <math>{Q_A}_i (A_i) = 1 </math>) sowie Zahlen <math>p_i \in ( 0,1]</math> mit <math>\sum _{i = 1} ^{m} p_i = 1 </math>. <br> * (a) Dann existiert genau eine Wahrscheinlichkeitsverteilung <math> P </math> auf <math> \Omega </math> mit <br> ** (i) <math>P(A_i) = p_i > 0</math>. <br> ** (ii) <math>P(B|A_i) = {Q_A}_i(B)</math>, falls <math>p_i >0 </math> für alle <math>i=1, ...,m </math>. <br> * (b) Es gilt <math> P(B) = \sum _{i=1} ^{m} p_i \cdot {Q_A}_i(B) </math> für jedes <math> B \in \mathcal{S} </math>. === Beweis - Zerlegungssatz === Der Beweis gliedert sich in eine Existenzaussage für <math>P</math> und eine Eindeutigkeitsaussage, bei der die Existenz einer weiteren Wahrscheinlichkeitsverteilung für <math>\widetilde{P}</math> auf <math>\mathcal{S}</math> angenommen wird. Dann wird gezeigt, dass <math>\widetilde{P} = P</math> gilt bzw. <math>\widetilde{P}(B) = P(B)</math> für beliebige <math>B\in\mathcal{S}</math> gilt. ==== Beweis Existenz (i)==== Man definiere <math> P</math> gemäß Formel b) und rechnet nach, dass <math>P</math> die Eigenschaften eines [[Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaßes]] auf <math>\Omega </math> besitzt: * <math>P(A)\geq 0</math> für alle <math>A\in \mathcal{S}</math>, * <math>P(\Omega) = 1</math> * Nachweis der <math>\sigma</math>-Additivität von <math>P</math> über die <math>\sigma</math>-Additivität der Wahrscheinlichkeitsmaße <math>Q_{A_i}</math> nachweisen. ==== Beweis Existenz (i) - paarweise disjunkt==== Da die Wahrscheinlichkeitsmasse von den Wahrscheinlichkeitsmaßen <math>Q_{A_i}</math> auf <math>A_i</math> konzentriert ist, gilt für die paarweise disjunkten <math> A_i</math> aus der Zerlegung <math>(A_1,\ldots ,A_m)</math> folgende Eigenschaft: :<math>{Q_A}_i(A_j) = \left \{ \begin{array}{ll} 0, & i \neq j\\ 1, & i = j \end{array}\right. </math> Daraus folgt sofort (ai) <math>P(A_k) = \sum _{i=1} ^{m} p_i \cdot {Q_A}_i(A_k) = p_k</math>. [[Datei:Audio de 10 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Zerlegungsatz 2]] ==== Beweis Existenz (ii)==== Für ein beliebiges <math>p_i > 0 </math> und <math> B \in \mathcal{S} </math> gilt mit Anwendung der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit: :<math> P(B|A_i) = \frac {P(A_i \cap B)}{ P(A_i)} = \frac {1} {p_i} \sum _{j=1} ^{m} p_j \cdot {Q_A}_j (A_i \cap B) = </math> :<math>= \frac {p_i} {p_i} ({Q_A}_i (A_i \cap B) + {Q_A}_i( \bar A_i \cap B) = {Q_A}_i(B) )</math> also ii). [[Datei:Audio de 11 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Zerlegungsatz 3]] ==== Beweis Eindeutigkeit ==== Sei <math> \tilde P </math> eine (weitere) Wahrscheinlichkeitsverteilung auf <math> (\Omega,\mathcal{S}) </math>, die (ai) und (aii) erfüllt. Dann gilt für <math> B \subset \Omega </math> und wegen <math> B= \Omega \cap B = \left( \bigcup _{j=1}^{m} A_j \right) \cap B</math> die Gleichung :<math>\tilde P (B) = \tilde P \left( \bigcup_ {j=1}^{m} A_j \cap B \right)= \sum _{j=1}^{m} \tilde P (A_j \cap B) = </math> :<math> = \sum _{j=1}^{m} \tilde P (A_j) \cdot \tilde P (B|A_j) \stackrel{(i),(ii)}{=} \sum _{j=1}^{m} p_j {Q_A}_j(B) = P(B) . \qquad \Box</math> [[Datei:Audio de 12 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Zerlegungsatz 4]] <span id="totale_Wahrscheinlichkeit"></span> <span id="Satz_totale_Wahrscheinlichkeit"></span> == Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit == Sei <math>(\Omega ,\mathcal{S}, P)</math> ein [[Wahrscheinlichkeitsraum]] und <math> (A_1,\ldots , A_m) </math> eine [[Mengenzerlegung (Stochastik)|Zerlegung]] von <math>\Omega</math> auf <math>(\Omega,\mathcal{S})</math> mit <math>P(A_j) > 0</math> für alle <math>j = 1, \ldots, m</math>. Für jedes <math> B \subset \Omega </math> und gilt also für alle <math>B \in \mathcal{S}</math>: :<math> P(B) = \sum _{j=1} ^{m} P(A_j) \cdot P(B|A_j)</math> === Bemerkung - Formel der totalen Wahrscheinlichkeit === Die Formel aus dem Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit erlaubt die Bestimmung der totalen Wahrscheinlichkeit <math>P(B)</math> von einem Ereignis <math>B\in \mathcal{S}</math>, wenn nur die Wahrscheinlichkeiten von unter verschiedenen Bedingungen kennt. Man kennt z.B. bei einem Erkrankung <math>B</math> in einem Tierbestand nur die Wahrscheinlichkeiten <math>P(A_j)</math> für eine Stressor <math>A_j</math> (z.B. Umweltbelastung für ein Ökosystem) und die bedingte Wahrscheinlichkeit <math>P(B|A_j)</math>, dass Tiere unter diesem Stressor <math>A_j</math> erkranken. <math>\Omega</math> ist dann die Vereinigung von allen möglichen auftretenden Stressoren <math>A_1, \ldots , A_m</math> ggf. unter Hinzunahme des Ereignisses <math>A_0</math> als "ungestresstes" Ökosystem (siehe [[disjunkte Zerlegung einer Menge|Zerlegung einer Menge]]) . == Beweis - Satz - totale Wahrscheinlichkeit == Nach Voraussetzung gilt <math>P(A_j) > 0</math> für alle <math>j = 1, \ldots, m</math> und damit sind die bedingten Wahrscheinlichkeiten <math>P(B \mid A_j)</math> definiert, weil <math>P(A_j)</math> im Nenner der Definition der [[bedingte Wahrscheinlichkeit#Definition|bedingten Warscheinlichkeit]] auf tritt. === Schritt 1 - Zerlegung von Omega === Da die <math>A_j</math> eine [[bedingte Wahrscheinlichkeit#ZerlegungDef|Zerlegung]] von <math>\Omega</math> bilden, sind die <math>A_j</math> paarweise disjunkt nach Definition und auch die <math>B\cap A_j</math> sind als Teilmengen von <math>A_j</math> paarweise disjunkt. Damit gilt: :<math> \Omega = \bigcup_{j=1}^m A_j \quad \text{(disjunkt)} </math> === Schritt 2 - Zerlegung von B === Mit der Teilmengenbeziehung <math>B\cap A_j\subset A_j</math> Dann folgt für jedes <math>B \in \mathcal{S}</math> und der verallgemeinerten Anwendung <math>B \cap (A_1 \cup A_2) = (B\cap A_1) \cup (B\cap A_2)</math>: :<math> B = B \cap \Omega = B \cap \left( \bigcup_{j=1}^m A_j \right) = \bigcup_{j=1}^m (B \cap A_j) </math> Da die <math>A_j</math> disjunkt sind, sind auch die Schnitte <math>B \cap A_j</math> disjunkt. Also ist <math>(B \cap A_1, B \cap A_2, \ldots, B \cap A_m)</math> eine [[bedingte Wahrscheinlichkeit#ZerlegungDef|disjunkte Zerlegung]] von <math>B</math>. === Schritt 3 - Anwendung der Additivität der Wahrscheinlichkeit === Nach dem Axiom der <math>\sigma</math>-Additivität erlaubt insbesondere die Anwendung auf endliche Summen von disjunkte Ereignisse glt: :<math> P(B) = P\left( \bigcup_{j=1}^m (B \cap A_j) \right) = \sum_{j=1}^m P(B \cap A_j) </math> === Schritt 4 - Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit === Für jedes <math>j</math> mit <math>P(A_j) > 0</math> ist die bedingte Wahrscheinlichkeit definiert als: :<math> P(B \mid A_j) = \frac{P(B \cap A_j)}{P(A_j)} </math> Durch Umformung erhält man: :<math> P(B \cap A_j) = P(A_j) \cdot P(B \mid A_j) </math> === Schritt 5 - Einsetzen in die Summe === Setze dies in die Gleichung aus Schritt 3 ein: :<math> P(B) = \sum_{j=1}^m P(B \cap A_j) = \sum_{j=1}^m P(A_j) \cdot P(B \mid A_j) </math> Insgesamt erhält man die Aussage des [[Bedingte_Wahrscheinlichkeit#Satz_totale_Wahrscheinlichkeit|Satzes über die totale Wahrscheinlichkeit]] :<math> {P(B) = \sum_{j=1}^m P(A_j) \cdot P(B \mid A_j)} </math> === Aufgabe für Studierende === Beweisen Sie den Satz der totalen Wahrscheinlichkeit in der Übung und begründen Sie jeden Teilschritte über die Zerlegung von <math>\Omega</math> und der Zerlegung von <math>B</math>. Fertigen Sie für die Beweisvorstellung Skizze an, die das Vorgehen im Beweis eräutert. [[Datei:Audio de 13 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Formel Totale Wahrscheinlichkeit]] <span id="Satz_von_Bayes"></span> == Satz - Formel von Bayes == Ist <math> P </math> eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf <math> \Omega </math>, <math> ( A_1, ... ,A_m ) </math> einer Zerlegung von <math>\Omega </math> auf <math>(\Omega,\mathcal{S})</math> , so gilt für jedes <math> B \in \mathcal{S} </math> mit <math> P(B) > 0 </math> und <math> i= 1, ... ,m </math> :<math>P(A_i|B) = \frac {P(B|A_i) \cdot P(A_i)} { \sum_{j=1}^{m} P(B|A_j) \cdot P(A_j) }.</math> [[Datei:Audio de 14 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Satz von Bayes]] === Beweis === :<math>P(A_i|B) = \frac {P(A_i\cap B)}{P(B)} = \frac{P(B|A_i) \cdot P(A_i)}{\sum_{j=1}^{m} P(B|A_j) \cdot P(A_j)} </math> [[Datei:Audio de 15 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Satz von Bayes - Beweis]] ==== Bemerkung==== Man beachte, dass auf der linken und rechten Seite "Argument und Bedingung" vertauscht auftreten. In einer außermathematischen Deutung spielen <math> A_j </math> die Rolle von (verschiedenen) Ursachen für die Wirkung von <math> B </math>. [[Datei:Audio de 16 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Satz von Bayes - Bemerkung]] ==== Beispiel (Test auf eine Krankheit) ==== <math> \Omega </math> sei die Gesamtheit der Personen aus der Bevölkerung. <math> p \cdot 100\% </math> der Bevölkerung (<math>K \subset \Omega </math>) leidet an der Krankheit. Ein Test für diese Krankheit spreche bei <math> k \cdot 100\% </math> der Kranken aus <math>K</math> an und bei <math> g \cdot 100\% </math> der Gesunden (<math>\Omega \setminus K</math>) positiv an (<math>k =</math> Sensitivität, <math>1-g =</math> Spezifität des Testes). Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat eine zufällig ausgewählte Person <math>\omega \in \Omega</math> die Krankheit, * wenn der Test positiv ausfällt? * wenn der Test negativ ausfällt? [[Datei:Audio de 17 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Satz von Bayes - Beispiel]] <span id="Produktformel"></span> == Produktformel- bedingte Wahrscheinlichkeit == Sei <math>P</math> eine [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] auf <math> \Omega </math> und seien <math> A_1, ... ,A_n \subset \Omega </math> mit <math> P( A_1 \cap ... \cap A_{n-1} )>0 </math>. Dann gilt die sogenannte "Produktformel": :<math> P( A_1 \cap ... \cap A_n) = P(A_1) \cdot P(A_2 | A_1) \cdot P(A_3 | A_1 \cap A_2) \cdot ... \cdot P(A_n | A_1 \cap ... \cap A_{n-1}) </math> [[Datei:Audio de 18 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Produktformel - Satz]] == Beweis - Produktformel == Allgemein für [[Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaße]] gilt für <math>C_1\subseteq C_2</math> mit <math>C_1,C_2 \in \mathcal{S}</math> auch <math>P(C_1)\leq P(C_2)</math>. Diese Eigenschaft wendet man auf die folgende Teilmengenbeziehung an: :<math>A_1 \supseteq A_1 \cap A_2\supseteq ... \supseteq A_1 \cap ... \cap A_{n-1}</math> === Beweisschritt 1 - Produktformel === Die Anwendung des Wahrscheinlichkeitsmaßes auf die Teilmengenbeziehung der obigen Vorüberlegung liefert: :<math>P(A_1) \ge P(A_1 \cap A_2) \ge ... \ge P(A_1 \cap ... \cap A_{n-1}) >0.</math> === Beweisschritt 2 - Produktformel === Wegen <math>P(A_1 \cap ... \cap A_{n-2})\leq P(A_1 \cap ... \cap A_{n-1}) >0</math> ist die folgende bedingte Wahrscheinlichkeit wohldefiniert: :<math> P( A_1 \cap ... \cap A_n) = P( A_1 \cap ... \cap A_{n-1} ) \cdot P( A_n | A_1 \cap ... \cap A_{n-1} ) </math> === Beweisschritt 3 - Produktformel === Nun ist wegen Beweisschritt 1 auch <math> P( A_1 \cap ... \cap A_{n-2} ) > 0 </math> gegeben und man kann wiederum :<math> P( A_1 \cap ... \cap A_{n}) = </math> :<math> \quad = P( A_1 \cap ... \cap A_{n-2}) \cdot P( A_{n-1} | A_1 \cap ... \cap A_{n-2} ) \cdot P( A_n | A_1 \cap ... \cap A_{n-1} ) </math> === Beweisschritt 4 - Produktformel === Wenn man dieses Vorgehen iteriert auf Wahrscheinlickeiten der Schnittmengen anwendet erhält man die Produktformel: :<math> P(A_1 \cap ... \cap A_{n}) = </math> :<math> \quad = P(A_1) \cdot P(A_2 | A_1) \cdot P(A_3 | A_1 \cap A_2) \cdot ... \cdot P(A_n | A_1 \cap ... \cap A_{n-1}) \ \Box</math> [[Datei:Audio de 19 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Produktformel - Satz - Beweis]] ==== Bemerkung ==== Dieser Satz verallgemeinert die Formel <math>P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A). </math> [[Datei:Audio de 20 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg|Produktformel - Bemerkung]] == Siehe auch == * [[stochastische Unabhängigkeit]] * [[bedingte Wahrscheinlichkeit#ZerlegungDef|disjunkte Zerlegung einer Menge]] * [[Messraum]] * [[messbare Zerlegung einer Grundmenge]] == Seiten-Information == Der [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Bedingte+Wahrscheinlichkeit&author=Kurs%3A+Stochastik&audioslide=no&language=de Foliensatz] für diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Bedingte%20Wahrscheinlichkeit Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Bedingte_Wahrscheinlichkeit Bedingte Wahrscheinlichkeit] https://de.wikipedia.org/wiki/Bedingte_Wahrscheinlichkeit * Datum: 5.11.2018 * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity]-Konverter: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity * [https://niebert.github.com/Wiki2Reveal Wiki2Reveal Link-Generator] * Dieser Foliensatz gehört zum [[Kurs:Stochastik]] [[Category:Wiki2Reveal]] 19o83od3xaax3ohv7z1clwar770ozo4 0 106697 1118634 1118175 2026-11-02T13:02:54Z Bocardodarapti 2041 1118634 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Wir gehen vom Monoidhomomorphismus {{ Abbildung |name= \varphi | \N^2 | \N || |SZ= }} mit {{ Relationskette | \varphi {{makl| e_1 |}} || b || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | \varphi {{makl| e_2 |}} || a || || || |SZ= }} aus. Das Bild ist das von {{ mathkor|term1= a |und|term2= b |SZ= }} erzeugte Untermonoid {{math|term= M |SZ=}} von {{math|term= \N |SZ=.}} Unter dieser Abbildung werden {{ mathkor|term1= ae_1 |und|term2= be_2 |SZ= }} auf das gleiche Element {{math|term= ab |SZ=}} abgebildet. Wenn unter {{math|term= \varphi |SZ=}} die beiden Paare {{ mathkor|term1= (r,s) |und|term2= (u,v) |SZ= }} auf das gleiche Element abgebildet werden, so gilt {{ Relationskette | rb+sa || ub+va || || || |SZ= }} und somit {{ Relationskette | (r-u)b || (v-s)a || || || |SZ=, }} wobei wir annehmen dürfen, dass die beiden Differenzen nichtnegativ sind. Wegen der Teilerfremdheit muss {{ Relationskette | r-u || \ell a || || || |SZ= }} ein Vielfaches von {{math|term= a |SZ=}} und entsprechend {{ Relationskette | v-s || \ell b || || || |SZ= }} sein. Doch dann ist {{ Relationskette/display | (r,s) || (u+\ell a,v- \ell b) || (u,v) + \ell (a,-b) || || |SZ= }} bzw. {{ Relationskette/display | (r,s) + \ell (0,b) || (u,v) + \ell (a,0) || || || |SZ=. }} Das bedeutet, dass die Äquivalenzrelation auf {{math|term= \N^2 |SZ=,}} die zu {{math|term= \varphi |SZ=}} gehört, allein durch die eine Bedingung {{ Relationskette | a(1,0) | \sim | b(0,1) || || || |SZ= }} erzwungen wird. Es ist also {{ Relationskette/display | \N^2/ a e_1 \sim b e_2 | \cong | M || || || |SZ=. }} Das zugehörige binomiale Ideal ist {{mathl|term= {{makl| X^a-Y^b |}} |SZ=}} und nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Monoidring/Erzeuger und Relationen/Ideal/Fakt |Nr= |SZ= }}{{{zusatz1|}}} ist {{ Relationskette/display | K[X,Y]/{{makl| X^a-Y^b |}} | \cong| K[M] || || || |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4g38x11vfgsb2wnrfbrg4t1jchx8wfe 106 129960 1118709 1117318 2026-11-03T08:22:40Z Bert Niehaus 20843 /* Kapitel 1: Grundlagen */ 1118709 wikitext text/x-wiki {{Fachbereich|Mathematik}} [[Datei:Algebra extension.svg|mini|Algebraerweiterung <math>B</math> von <math>A</math>, die ein inverses Element <math>b=z^{-1}\in B</math> zu einem gegeben <math>z\in A</math> enthält]] Der Kurs behandelt ein grundlegendes Konzept, mathematische Eigenschaften in Erweiterungen einer Grundmenge zu betrachten. Dabei erweitern man eine Grundmenge <math>A</math> zu einer Erweiterung <math>B</math> mit <math>A\subset B</math> und überprüft dabei eine Eigenschaft eines Elementes <math>z\in A</math> in der Erweiterung <math>z\in B</math>. In diesem Kurs behandelt wir die multiplikative Invertierbarkeit als mathematische Eigenschaft und betrachten u.a. topologische Eigenschaften, die ein Invertierbarkeit eines Elementes <math>z\in A</math> in einer Erweiterung <math>B</math> ermöglichen, d.h. :<math>\exists_{z^{-1} \in B}: \, z \cdot z^{-1} = z^{-1} \cdot z = e</math> erfüllt ist und <math>e\in A</math> das Einselement der Multiplikation ist. Im Wesentlichen geht es dabei um topologische Eigenschaften des Elementes <math>z\in A</math>, dass entweder eine Invertierbarkeit in einer bestimmten Erweiterung <math>B</math> von <math>A</math> ermöglicht bzw. in beliebigen Erweiterungen <math>B</math> von <math>A</math> nie ein inverses Element besitzt, d.h. permanent singulär ist. Der [[w:de:Nullvektor|Nullvektor]] <math>0_{_A}</math> oder [[w:de:Nullteiler|Nullteiler]] können aus algebraischen Gründen auch in Algebraerweiterungen <math>B</math> nicht invertiert werden. Es gibt auch topologische Eigenschaften (wie z.B. [[w:de:topologischer Nullteiler|topologischer Nullteiler]]), die eine Invertierbarkeit in Algebraerweiterung <math>B</math> unmöglich machen. Die Grundmengen mit einer multiplikativen Verknüpfung sind hier [[/topologische Algebra/|topologische Algebren]], bei denen die Verknüpfungen * (TA1) Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar als äußere Verknüpfung, * (TA2) Addition von Vektoren im Vektoraum als innere Verknüpfung und * (TA3) Multiplikation von zwei Vektoren als innere Verknüpfung jeweils stetig sind. Dabei wird ein Vektorraum mit den Eigenschaften (TA1) und (TA2) als ein topologischer Vektorraum bezeichnet. Gibt es zusätzlich eine Multiplikation ist zusätzlich diese multiplikative innere Verknüpfung stetig (TA3) dann nennt man den Vektorraum eine [[/topologische Algebra/|topologische Algebra]]. == Inhalte == ===Kapitel 0 === Das '''Kapitel 0''' enthält die Voraussetzungen und grundlegende Resultate, die für den Kurs wesentlich sind. * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Mengenlehre|Mengenlehre]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Mengenlehre&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Folien]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Komplexe Zahl|Komplexe Zahlen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Graph einer Funktion]]''' * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Topologie|Topologie]]''' * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Umgebung|Umgebung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Umgebung&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Umgebung&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Vektorräume|Vektorräume]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Vektorr%C3%A4ume&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Absolute Homogenität|Absolute Homogenität]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Absolute%20Homogenit%C3%A4t&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Absolute%20Homogenit%C3%A4t&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Normen, Metriken, Topologie]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?language=de&domain=wikiversity&title=Normen,%20Metriken,%20Topologie&author=Funktionalanalysis&audioslide=yes Folien]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Netze (Mathematik)|Netze]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?language=de&domain=wikiversity&title=Netze_(Mathematik)&author=Funktionalanalysis&audioslide=yes Folien]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Topologische Algebra/Konvergenz gegen Unendlich|Konvergenz gegen Unendlich]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Topologische%20Algebra/Konvergenz%20gegen%20Unendlich&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Konvergenz%20gegen%20Unendlich&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Lineare Abbildung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?language=de&domain=wikiversity&title=Lineare_Abbildun&author=Funktionalanalysis&audioslide=yes Folien]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Stetigkeitssatz_f%C3%BCr_lineare_Abbildungen&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen#Cauchy-Folgen_in_metrischen_Räumen|Cauchy-Folgen in metrischen Räumen]]''' * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen#Cauchy-Netz_in_topologischen_Vektorräumen|Cauchy-Netze in topologischen Vektorräumen]]''' * '''[[Vollständigkeit|Vollständigkeit]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Vollst%C3%A4ndigkeit&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Banachalgebra|Banachalgebra]]''' * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Faltung|Faltung als Multiplikation in einer Banachalgebra]] <!-- * '''[[Normenäquivalenzsatz]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Normen%C3%A4quivalenzsatz&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Lemma von Riesz]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Lemma_von_Riesz&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kompaktheitssatz von Riesz]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kompaktheitssatz%20von%20Riesz&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] --> * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Quotientenraum|Quotientenraum]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Quotientenraum&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Ideal_(Algebra)|Ideal (Algebra)]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Ideale_(Algebra)&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Kapitel 1: Grundlagen === * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Einführung|Einführung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Einf%C3%BChrung&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologische Algebra|Topologische Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologische%20Algebra&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Kreisförmige Mengen|Kreisförmige Mengen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Kreisf%C3%B6rmige%20Mengen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Minkowski-Funktionale|Absorbierende Mengen und Minkowski-Funktionale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Minkowski-Funktionale&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Gaugefunktionale|Gaugefunktionale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Gaugefunktionale&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Basiserzeugendes Gaugefunktionalsystem|Basiserzeugendes Gaugefunktionalsystem]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Basiserzeugendes%20Gaugefunktionalsystem&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Konvexe Mengen und Dreiecksungleichung|Konvexe Mengen und Dreiecksungleichung]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologisierungslemma für Algebren|Topologisierungslemma für Algebren]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologisierungslemma%20f%C3%BCr%20Algebren&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Korrespondenz-Lemma für p-Halbnormen|Korrespondenz-Lemma für p-Halbnormen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Korrespondenz-Lemma%20f%C3%BCr%20p-Halbnormen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/pseudokonvex - konvex/]] ** [[p-konvexe_Subadditivität#Lemma_-_Subadditivität_p-Konvexität|p-konvexe Subadditivität]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=p-konvexe%20Subadditivit%C3%A4t&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=p-konvexe%20Subadditivit%C3%A4t&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Stetigkeitskonstante der Addition#Stetigkeitskonstante_der_Addition|Stetigkeitskonstante der Addition]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Stetigkeitskonstante%20der%20Addition&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stetigkeitskonstante%20der%20Addition&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Algebraerweiterung|Algebraerweiterung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Algebraerweiterung&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Zahlbereichserweiterung|Zahlbereichserweiterung]] - Analogie zur Algebraerweiterung - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Zahlbereichserweiterung&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Erweiterung%20der%20Zahlbereiche&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra|Polynomnalgebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Potenzreihenalgebra|Potenzreihenalgebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Potenzreihenalgebra&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Stetigkeitssequenzen|Stetigkeitssequenzen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Stetigkeitssequenzen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Nullstellen-Inversen-Transformation|Nullstellen-Inversen-Transformation]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Nullstellen-Inversen-Transformation&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Nullstellen-Inversen-Transformation&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Kapitel 2: K-singuläre Elemente === Zunächst sollen topologische Kriterien behandelt werden, die dafür sorgen, dass ein Elemen permanent singulär in jeder Algebraerweiterung der Klasse <math>\mathcal{K}</math>. Wenn die Negation der topologischen Eigenschaft dazu führt, dass das Element ein inverses Element in einer Algebraerweiterung der Klasse <math>\mathcal{K}</math> besitzt, entsteht ein topoligisches Invertierbarkeitskriterien. * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Algebraische Eigenschaften - permament singulär|Algebraische Eigenschaften - permament singulär]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Algebraische%20Eigenschaften%20-%20permament%20singul%C3%A4r&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologische Nullteiler|Topologische Nullteiler]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologische%20Nullteiler&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/TNT-Kriterium für Gaugefunktionale|TNT-Kriterium für Gaugefunktionale]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/TNT-Kriterium%20f%C3%BCr%20Gaugefunktionale&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Multiplikative topologische Nullteiler|Multiplikative topologische Nullteiler]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Multiplikative%20topologische%20Nullteiler&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Kleine Potenzen|Kleine Potenzen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Kleine%20Potenzen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologisch kleine Potenzen|Topologisch kleine Potenzen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologisch%20kleine%20Potenzen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Satz - TKP und Gaugefunktionale|Satz - TKP und Gaugefunktionale]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Satz%20-%20TKP%20und%20Gaugefunktionale&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Satz - KP-TNT-Summen|Satz - KP-TNT-Summen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Satz%20-%20KP-TNT-Summen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Satz - Stetigkeitssequenzen K-Regularität|Satz - Stetigkeitssequenzen K-Regularität]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Satz%20-%20Stetigkeitssequenzen%20K-Regularit%C3%A4t&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Kapitel 3: K-reguläre Elemente === In diesem Kapitel werden mit den gegebenen topologischen Kriterien Algebraerweiterungen Algebraerweiterung der Klasse <math>\mathcal{K}</math> konstruiert, in denen ein gegebenes <math>\mathcal{K}</math>-reguläres Element invertierbar ist. * '''[[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Eigenschaften K-Regularität|Eigenschaften K-Regularität]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Eigenschaften%20K-Regularit%C3%A4t&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Konstruktion des Algebraisomorphismus|Konstruktion des Algebraisomorphismus]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Konstruktion%20des%20Algebraisomorphismus&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[/Algebraklassen/]]''' === (3.1) Normierte und lokalbeschränkte Algebren === * [[Norm (Mathematik)]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Normalisierte Norm|Normalisierte Norm]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Normalisierte%20Norm&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Normalisierte%20Norm&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen|Inverse und geometrische Reihen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/B-Regularität|B-Regularität]]''' - Banachalgebren ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/B-Regularit%C3%A4t&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/B-Regularität/Von Äquivalenzklassen zum Ideal|Von Äquivalenzklassen zum Ideal]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/B-Regularit%C3%A4t/Von%20%C3%84quivalenzklassen%20zum%20Ideal&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Von%20%C3%84quivalenzklassen%20zum%20Ideal&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/B-Regularität/Stetigkeit Cauchy-Produkt|Normeigenschaften Stetigkeit - Cauchy-Produkt in Banachalgebren]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/B-Regularit%C3%A4t/Stetigkeit%20Cauchy-Produkt&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Konstruktion des Algebraisomorphismus|Konstruktion des Algebraisomorphismus]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Konstruktion%20des%20Algebraisomorphismus&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/P-Regularität|P-Regularität]]''' - lokal beschränkte Algebren ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/P-Regularit%C3%A4t&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[lokal beschränkt]] ** [[Dreiecksungleichung p-Konvexität]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Beispiel p-nomierbarer Raum|Beispiel p-nomierbarer Raum]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/p-konvexe Hülle|absolut p-konvexe Hülle]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/p-konvexe%20H%C3%BClle&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Satz - Quasinormierbarkeit|Satz - Quasinormierbarkeit]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Satz%20-%20Quasinormierbarkeit&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Satz p-Normierbarkeit|Satz p-Normierbarkeit]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Satz%20p-Normierbarkeit&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Satz - Konkavitätsmodul|Satz - Konkavitätsmodul]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Satz%20-%20Konkavit%C3%A4tsmodul&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Konstruktion des Algebraisomorphismus|Konstruktion des Algebraisomorphismus]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Konstruktion%20des%20Algebraisomorphismus&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/P-Regularität über p-Normen|P-Regularität über p-Normen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/P-Regularit%C3%A4t%20%C3%BCber%20p-Normen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/P-Regularität über Quasinormen|P-Regularität über Quasinormen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/P-Regularit%C3%A4t%20%C3%BCber%20Quasinormen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/P-Algebra - Beispiel|P-Algebra - Beispiel]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/P-Algebra%20-%20Beispiel&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === (3.2) Multiplikative toplogische Algebren === * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/MLC-Regularität|MLC-Regularität]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/MLC-Regularit%C3%A4t&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[lokalkonvex]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Multiplikative topologische Nullteiler|Multiplikative topologische Nullteiler]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Multiplikative%20topologische%20Nullteiler&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/MLC-Stetigkeit - Cauchyprodukt|MLC-Stetigkeit - Cauchyprodukt]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/MLC-Stetigkeit%20-%20Cauchyprodukt&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Konstruktion des Algebraisomorphismus für submultiplikative p-Halbnormen|Konstruktion des Algebraisomorphismus submultiplikative Halbnormen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Konstruktion%20des%20Algebraisomorphismus&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/MPC-Regularität|MPC-Regularität]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/MPC-Regularit%C3%A4t&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[pseudokonvex]] ** [[pseudokonvexe Subadditivität]] ** [[Kurs:Funktionalanalysis/Quotientenraum|Quotientenraum]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Quotientenraum&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Multiplikative topologische Nullteiler|Multiplikative topologische Nullteiler]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Multiplikative%20topologische%20Nullteiler&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Konstruktion des Algebraisomorphismus für submultiplikative p-Halbnormen|Konstruktion des Algebraisomorphismus für submultiplikative p-Halbnormen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Konstruktion%20des%20Algebraisomorphismus&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/MPC-Stetigkeit - Cauchyprodukt|MPC-Stetigkeit - Cauchyprodukt]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/MPC-Stetigkeit%20-%20Cauchyprodukt&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === (3.3) Lokalkonvexe und pseudokonvexe Algebren === * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/LC-Regularität|LC-Regularität]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/LC-Regularit%C3%A4t&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[lokalkonvex]] ** [[/Beispiele lokalkonvexer Raum/]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/LC-Stetigkeit Cauchy-Produkt|LC-Stetigkeit Cauchy-Produkt]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/LC-Stetigkeit%20Cauchy-Produkt&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Topologisch_große_Potenzen#Korrollar:_LC-Regularitätskriterium|LC-Regularitätskriterium für Halbnormensysteme]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Konstruktion des Algebraisomorphismus|Konstruktion des Algebraisomorphismus]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Konstruktion%20des%20Algebraisomorphismus&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/PC-Regularität|PC-Regularität]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/PC-Regularit%C3%A4t&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Pseudokonvex|pseudokonvex]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Pseudokonvex&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Pseudokonvex&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[pseudokonvexe Subadditivität]] ** [[Stetigkeitskonstante der Addition]] ** [[/Beispiele pseudokonvexer Raum/]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Konstruktion des Algebraisomorphismus|Konstruktion des Algebraisomorphismus]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Konstruktion%20des%20Algebraisomorphismus&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologisch große Potenzen|Topologisch große Potenzen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologisch%20gro%C3%9Fe%20Potenzen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Topologisch_große_Potenzen#PC-Regularitätskriterium|PC-Regularitätskriterium für Quasihalbnormensysteme]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Koeffizientenlemma der Cauchy-Multiplikation|Koeffizientenlemma der Cauchy-Multiplikation]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Koeffizientenlemma%20der%20Cauchy-Multiplikation&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/PC-Stetigkeit Cauchy-Produkt|PC-Stetigkeit Cauchy-Produkt]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/PC-Stetigkeit%20Cauchy-Produkt&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/PC-Homöomorphie - Algebraisomorphismus|PC-Homöomorphie - Algebraisomorphismus]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/PC-Hom%C3%B6omorphie%20-%20Algebraisomorphismus&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === (3.4) Topologische Algebren === * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologische Algebra|Topologische Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologische%20Algebra&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Topologische%20Algebra&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Beispiel - T-Algebra|Beispiel - T-Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20-%20T-Algebra&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispiel%20-%20T-Algebra&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[pseudokonvexe Subadditivität]] ** [[pseudokonvex]] ** [[Stetigkeitskonstante der Addition]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Normalisiertes Gaugefunktionalsystem|Normalisiertes Gaugefunktionalsystem]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Normalisiertes%20Gaugefunktionalsystem&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Normalisiertes%20Gaugefunktionalsystem&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/T-Regularität|T-Regularität]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/T-Regularit%C3%A4t&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologisierungslemma für Algebren|Topologisierungslemma für Algebren]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologisierungslemma%20f%C3%BCr%20Algebren&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Konstruktion des Algebraisomorphismus|Konstruktion des Algebraisomorphismus]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Konstruktion%20des%20Algebraisomorphismus&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologisch große Potenzen|Topologisch große Potenzen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologisch%20gro%C3%9Fe%20Potenzen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Lemma - Kaskadensummen |Lemma - Kaskadensummen ]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Lemma%20-%20Kaskadensummen%20&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Lemma - Kaskadenprodukte |Lemma - Kaskadenprodukte ]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Lemma%20-%20Kaskadenprodukte%20&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Kaskadenabschätzung Cauchy-Produkt - T-Regularität|Kaskadenabschätzung Cauchy-Produkt - T-Regularität]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Stetigkeit%20-%20Cauchymultiplikation%20-%20T-Regularit%C3%A4t&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/T-Stetigkeit Cauchy-Produkt|T-Stetigkeit Cauchy-Produkt]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/T-Stetigkeit%20Cauchy-Produkt&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/T-Regularitätskriterium|T-Regularitätskriterium]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/T-Regularit%C3%A4tskriterium&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Hauptsatz über K-reguläre Elemente|Hauptsatz über K-reguläre Elemente]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Hauptsatz%20%C3%BCber%20K-regul%C3%A4re%20Elemente&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Kapitel 4: Lösbarkeit von Gleichungen === In diesem Kapitel wird die Invertierbarkeit <math>z \cdot x = x \cdot z = e</math> mit <math>x=z^{-1}</math> als speziellen Fall der Lösbarkeit einer Gleichung <math>z_1 \cdot x = z_2</math> mit <math>z_1,z_2 \in A</math> betrachtet. Hier wird in einer Algebraerweiterung <math>B</math> von <math>A</math> nach einer Lösung <math>x\in B</math> gesucht, die die Gleichung <math>z_1 \cdot x = z_2</math> löst. Im Kern geht es auch hier um die Frage, welche topologischen Eigenschaften verhindern eine Lösbarkeit und welche Eigenschaften erlauben die Lösbarkeit der Gleichung in einer Algebraerweiterung <math>B</math> von <math>A</math>, * [[/Lösbarkeit in Banachalgebren/]] == Nutzung der Materialien für Lehrveranstaltungen == Die Vorlesung wird in einem PanDoc-Folien-Format ([[PanDocElectron-Presentation|PanDocElectron-SLIDE]]) in Wikiversity bereitgestellt, das mit dem Werkzeug [[Wiki2Reveal]] in annotierbare Folien übertragen wird bzw. mit [http://niebert.github.io/PanDocElectron PanDocElectron] die online verfügbare Wikiversity-Quelle lädt und in offline nutzbare Präsentationfolien umwandeln kann. Mit [[Wiki2Reveal]] können Sie auch direkt aus den Wikiversity-Artikeln ein [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal RevealJS- oder DZSlides-Präsentation erstellen]. == Ursprung der Materialen == Im Sinne der OER ([[Open Educational Resources]]) sollten die Vorlesungsinhalten zur freien Verfügungen gestellt werden. Anfänglich wurden die Vorlesungsinhalte entlang eines Skriptes in Wikiversity abgebildet. Eine direkte Nutzung in Lehrveranstaltung aus Folien erfordert eine Anpassung der Inhalten und eine Segmentierung der Inhalte in Unterabschnitte, die als Folien dargestellt werden. Entsprechend von Rückfragen und Anmerkungen in Vorlesungen wurden in erstellten Foliensätze mit zusätzlichen Begründung ergänzt, damit eine bessere eigenständige Nacharbeit der Vorlesungsinhalte möglich wird. === PDF-Export und digitale handschriftliche Annotation === Ein PDF-Export ist standardmäßig als PDF in Wikiveristy möglich. Studierende können die PDF exportieren und in der OpenSource-Software [[w:de:Xournal|Xournal]] auf Linux, Windows oder Mac editieren und eigene handschriftliche Anmerkungen digital ergänzen. === PanDoc-Electron === Mit Pandoc-Electron kann man aus Wiki-Inhalten Präsentation oder LibreOffice-Dokumenten exportiert werden, die dann weiter mit individuellen Anmerkungen versehen werden können. Die Wartung und Update der Inhalte in einem Repository ist allerdings sehr aufwändig, weil an mehreren Stellen bei Verbesserungen eine Aktualisierung der Inhalte vorgenommen werden muss. Daher wurde für die Vorlesungsfolien [[Wiki2Reveal]]-Artikel entwickelt, die es ermöglichen, direkt aus den Wikiversityinhalten Vorlesungsfolien zu generieren und dies auch online im eigenen Browser zu annotieren (d.h. man kann die Folien z.B. beschriften). Die Abschnitte in den Artikeln sind in der Regel mit sehr wenig Text versehen, damit bei der dynmaischen Erzeugung der Folien der Inhalt eines einzelnen Abschnittes auf eine Folie passt. Alle Folienseiten in Wikiversity haben daher am Ende der Seiten einen Hinweis ''[[PanDocElectron-Presentation|PanDocElectron-SLIDE]]'' und sind der [[Wiki2Reveal]]-Kategorie zugeordnet. Wenn Sie diese Seiten editieren, achten Sie bitte darauf, dass die Folien nicht zu voll werden. Ausführlichere Texte zu den Slides werden in der Regel in eigenen Artikeln erstellt. Falls sich die Erläuterungsseiten explizit auf eine Folien beziehen, erhält die Erläuterungsseite eine Markierung ''[[PanDocElectron-Presentation|PanDocElectron-TEXT]]'' und SLIDE- bzw. TEXT-Version verweisen wechselseitig aufeinander. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Einführung&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal für Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien] * [[Hilfe:Quiz|Hilfe: Erstellung Quiz für Vorlesungsinhalte]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] == Wiki-Bücher == * [[b:en:Functional_Analysis|Wikibook: Functional Analysis]] [[Kategorie:Wiki2Reveal]] [[Category:Funktionalanalysis]] [[Kategorie:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] <noinclude>[[en:Inverse-producing extensions of Topological Algebras]]</noinclude> cx8kd4yqedt5751e4tq21vgqjomkezq 106 130501 1118704 1118098 2026-11-03T08:16:53Z Bert Niehaus 20843 /* Definition - Nullteiler */ 1118704 wikitext text/x-wiki == Einführung == Zunächst werden algebraische Eigenschaften untersucht, die ein Element <math>z</math> aus einer Algebra <math>A</math> zu einem permanent singulären Element machen, d.h. bei dem also in beliebigen Algebraerweiterung kein inverses Element <math>b=z^{-1}\in B</math> existieren kann. [[Datei:Algebra extension.svg|350px|Algebraerweiterung B von A]] == Nullelement - permanent singulär == Sei <math>(A,\mathcal{T}_A)</math> sei eine unitale topologische Algebra mit dem Einselement <math>e\in A</math> mit <math>e \not= 0_A</math>. Der Nullvektor <math> 0_A \in A </math> ist permanent singulär. === Beweis durch Widerspruch === '''Annahme:''' Es gibt eine Algebraerweiterung <math>(B,\mathcal{T}_B)</math> von <math>(A,\mathcal{T}_A)</math>, in der Nullvektor <math>0_A</math> invertierbar ist, d.h. das multiplikative Inverse Element <math>b_o \in B</math> besitzt: :<math> 0_A \cdot b_o = 0_A \cdot b_o = e </math> Wir erhalten nun den Widerspruch durch den Nachweis, dass <math> 0_A\cdot b = b \cdot 0_A= 0_A </math> für alle <math>b\in B</math> über die Algebraeigenschaften zeigt, denn es gilt mit den Eigenschaften von Vektorräumen bzw. Algebren (bitte ergänzen in den Übungen in Wikiversity) == Nilpotentes Element - permanent singulär == Sei <math>(A,\mathcal{T}_A)</math> sei eine unitale topologische Algebra mit dem Einselement <math>e\in A</math> mit <math>e \not= 0_A</math> und <math> z \in A </math> ein [[w:en:nilpotent|nilpotentes Element]] in <math>A</math> mit <math>z^n = 0_A</math> und <math>z^{n-1} \not= 0_A</math> für <math>n \in \mathbb{N}</math>, dann ist <math> z \in A </math> permanent singulär. === Beweis durch Widerspruch === Sei <math> z \in A </math> ein [[w:en:nilpotent|nilpotentes Element]] in <math>A</math> mit <math>z^n = 0_A</math> und <math>z^{n-1} \not= 0_A</math>. Ferner definiert man <math>z^{0} := e_A</math> und <math>z^{n+1} := z^n \cdot z</math>. ==== Annahme - nilpotentes Element T-regulär ==== Man nimmt nun an, dass es eine Algebraerweiterung <math>(B,\mathcal{T}_B)</math> von <math>(A,\mathcal{T}_A)</math> gibt, in der das nilpotente Element <math> z \in A </math> invertierbar ist, d.h. es existiert ein multiplikatives inverses Element <math>b:=z^{-1} \in B</math> mit: :<math> z \cdot b = b \cdot z = e </math> ==== Widerspruch - nilpotentes Element T-regulär ==== Wir erhalten nun den Widerspruch durch die Voraussetzung <math>z^{n-1} \not= 0_A </math>, wobei die folgenden algebraischen Umformungen zeigen, dass auch <math>z^{n-1} = 0_A</math> gelten müsste: :<math> 0_A = 0_A \cdot b = (z^{n-1} \cdot z) \cdot b = z^{n-1} \cdot (z \cdot b) = z^{n-1} \cdot e = z^{n-1} </math> Widerspruch! <span id="DefNullteiler"></span> == Definition - Nullteiler == Sei <math>(A,\mathcal{T}_{\!\!\!\!_A})</math> eine unitale [[topologische Algebra]] mit dem Einselement <math>e_{\!\!_A}\in A</math> und <math>e \not= 0_{\!\!_A}</math>. Ein Element <math> z_0 \in A \setminus \{0_{\!\!_A}\} </math> heißt * '''linker [[w:de:Nullteiler|Nullteiler]]''' in <math>A</math>, wenn ein <math> z_1 \in A\setminus \{0_{\!\!_A}\} </math> existiert mit <math>z_0\cdot z_1 = 0_{\!\!_A}</math> gilt, * '''rechter [[w:de:Nullteiler|Nullteiler]]''' in <math>A</math>, wenn ein <math> z_1 \in A\setminus \{0_{\!\!_A}\} </math> existiert mit <math>z_1\cdot z_0 = 0_{\!\!_A}</math> gilt, * '''beidseitiger [[w:de:Nullteiler|Nullteiler]]''' in <math>A</math>, wenn ein <math> z_1 \in A\setminus \{0_{\!\!_A}\} </math> sowohl rechter als auch linker Nullteiler ist. === Bemerkung - Ring und Nullteiler === Wenn man die toplogische Struktur auf dem Grundraum nicht betrachtet, werden [[w:de:Nullteiler|Nullteiler]] in der algebraischen Struktur [[w:de:Ring (Mathematik)|Ring]] betrachtet. Wenn der Grundraum zusätzlich topologische Eigenschaften besitzt, kann auch erst topologische Invertierbarkeitskriterien untersuchen, die eine Invertierbarkeit in eine konstruierbaren [[Algebraerweiterung]] <math>B</math> von <math>A</math> ermöglicht. Ohne Topologie auf dem Grundraum kann auch nicht von bijektiven und stetigen Einbettung von <math>A</math> auf <math>A' \subset B</math> sprechen. === Bemerkung - Vertauschbarkeit der Multiplikation === Für die Definition für einen beidseitigen [[w:de:Nullteiler|Nullteiler]] in <math>A</math> muss die Multiplikation nicht notwendigerweise vertauschbar sein, d.h. mit <math> z_1 \in A\setminus \{0_{\!\!_A}\} </math> gilt z.B. <math>z_0\cdot z_1 =0_{\!\!_A}</math> aber nicht notwendigerweise auch <math>z_1\cdot z_0 =0_{\!\!_A}</math> (siehe [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Nullstellen-Inversen-Transformation#BeispielNT|Matrixalgebrabeispiel]]). In dem Beispiel wurde ein einseitger Nullteiler als <math>2\times 2</math>-Matrix angegeben, wobei die Nullteilereigenschaft nicht kommutiert. Für einen beidseitigen Nullteiler gibt es ggf. zwei verschiedene <math> z_1 , z_2 \in A\setminus \{0_{\!\!_A}\} </math> mit <math>z_1\cdot z_0 =0_{\!\!_A} </math> und <math>z_0\cdot z_2 =0_{\!\!_A} </math>, wobei <math>z_1 \neq z_2</math> gilt. == Nullteiler - permanent singulär == Sei <math>(A,\mathcal{T}_{\!\!\!\!_A})</math> sei eine unitale topologische Algebra mit dem Einselement <math>e\in A</math> mit <math>e \not= 0_{\!\!_A}</math> und <math> z \in A </math> ein [[w:de:Nullteiler|Nullteiler]] in <math>A</math>, dann ist <math> z \in A </math> permanent singulär. === Beweis durch Widerspruch === '''Annahme:''' Es gibt eine Algebraerweiterung <math>(B,\mathcal{T}_B)</math> von <math>(A,\mathcal{T}_A)</math>, in ein Nullteiler <math> z_o \in A </math> invertierbar ist, d.h. das multiplikative Inverse Element <math>z_o^{-1} \in B</math> besitzt: :<math> z_o \cdot z_o^{-1} = z_o^{-1} \cdot z_o = e </math> ==== Nullteilereigenschaft ==== Ferner nutzen wir die Eigenschaft, dass <math>z_o \in A</math> ein Nullteiler in <math>A</math> ist, d.h. <math>z_o \not= 0_A</math> und es gibt ein Element <math>z_1 \not= 0_A</math> mit <math>z_1 \in A</math> mit: :<math> z_1 \cdot z_o = 0_A \mbox{ oder } z_o \cdot z_1 = 0_A</math> ==== Fall 1 - Nullteilereigenschaft ==== Wir erhalten nun den Widerspruch durch den Nachweis :<math> 0_A= 0_A \cdot z_0^{-1} = (z_1 \cdot z_0) \cdot z_0^{-1} = z_1 \cdot (z_0 \cdot z_0^{-1}) =z_1 \cdot e = z_1 </math> Dies ist ein Widerspruch zu <math> z_1 \neq 0_A </math> ==== Fall 2 - Nullteilereigenschaft ==== Analog zeigt man den zweiten Fall, da die Multiplikation in Algebren nicht zwingend kommutativ sein muss: : <math> 0_A = z_0^{-1} \cdot 0_A = z_0^{-1} \cdot (z_0 \cdot z_1) = (z_0^{-1} \cdot z_0) \cdot z_1= e \cdot z_1 = z_1 \Rightarrow 0_A = z_1 </math> Dies führt ebenfalls zu einem Widerspruch zur Voraussetzung <math> z_1 \neq 0_A </math> == Bemerkung == Die oben genannten Elemente sind allein durch ihre algebraischen Eigenschaften permanent singulär. Im weiteren Verlauf der Vorlesung werden wir auch topologische Eigenschaften betrachten, die ein Element permanent singulär machen. Dazu gehören die [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Topologische_Nullteiler|topologischen Nullteiler]] in einer Algebra. Jeder Nullteiler ist auch ein topologischer Nullteiler - aber nicht umgekehrt. == Aufgaben für Lernende == * Zeigen Sie, dass ein nilpotentes Element in einer Algebra auch ein [[w:de:Nullteiler|Nullteiler]] ist! * Zeigen Sie, dass ein nilpotentes Element in einer [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] auch ein [[kleine Potenzen]] besitzt! * Zeigen Sie, dass ein Nullteiler in einer [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] auch ein [[topologischer Nullteiler]] ist! * Geben Sie eine Beispiel für eine [[topologischer Nullteiler|topologischen Nullteiler]] an, der aber kein Nullteiler ist! * Erläutern Sie, warum in den Beweisen oben die Topologie auf <math>A</math> keine Rolle spielt. Argumentieren Sie dabei über die Eigenschaften in der topologischen Algebra, die Sie für den Nachweis der permanenten Singulärität verwendet haben. == Siehe auch == * [[w:de:Nullteiler|Nullteiler]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Nullstellen-Inversen-Transformation|Nullstellen-Inversen-Transformation]] * [[w:de:nilpotent|nilpotent]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologische Nullteiler|topologische Nullteiler]]<ref>Arens, R. (1958). Inverse-producing extensions of normed algebras. Transactions of the American Mathematical Society, 88(2), 536-548.</ref> * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologisch kleine Potenzen|topologisch kleine Potenzen]] == Quellennachweis == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Algebraische%20Eigenschaften%20-%20permament%20singul%C3%A4r&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Algebraische%20Eigenschaften%20-%20permament%20singul%C3%A4r&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Algebraische%20Eigenschaften%20-%20permament%20singul%C3%A4r https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Algebraische%20Eigenschaften%20-%20permament%20singul%C3%A4r] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Algebraische%20Eigenschaften%20-%20permament%20singul%C3%A4r Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Algebraische%20Eigenschaften%20-%20permament%20singul%C3%A4r * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Algebraische%20Eigenschaften%20-%20permament%20singul%C3%A4r&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] 9ej5bowl9vrmxzw734laiftcgd47t0j 1118705 1118704 2026-11-03T08:18:07Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1118705 wikitext text/x-wiki == Einführung == Zunächst werden algebraische Eigenschaften untersucht, die ein Element <math>z</math> aus einer Algebra <math>A</math> zu einem permanent singulären Element machen, d.h. bei dem also in beliebigen Algebraerweiterung kein inverses Element <math>b=z^{-1}\in B</math> existieren kann. [[Datei:Algebra extension.svg|350px|Algebraerweiterung B von A]] == Nullelement - permanent singulär == Sei <math>(A,\mathcal{T}_A)</math> sei eine unitale topologische Algebra mit dem Einselement <math>e\in A</math> mit <math>e \not= 0_A</math>. Der Nullvektor <math> 0_A \in A </math> ist permanent singulär. === Beweis durch Widerspruch === '''Annahme:''' Es gibt eine Algebraerweiterung <math>(B,\mathcal{T}_B)</math> von <math>(A,\mathcal{T}_A)</math>, in der Nullvektor <math>0_A</math> invertierbar ist, d.h. das multiplikative Inverse Element <math>b_o \in B</math> besitzt: :<math> 0_A \cdot b_o = 0_A \cdot b_o = e </math> Wir erhalten nun den Widerspruch durch den Nachweis, dass <math> 0_A\cdot b = b \cdot 0_A= 0_A </math> für alle <math>b\in B</math> über die Algebraeigenschaften zeigt, denn es gilt mit den Eigenschaften von Vektorräumen bzw. Algebren (bitte ergänzen in den Übungen in Wikiversity) == Nilpotentes Element - permanent singulär == Sei <math>(A,\mathcal{T}_A)</math> sei eine unitale topologische Algebra mit dem Einselement <math>e\in A</math> mit <math>e \not= 0_A</math> und <math> z \in A </math> ein [[w:en:nilpotent|nilpotentes Element]] in <math>A</math> mit <math>z^n = 0_A</math> und <math>z^{n-1} \not= 0_A</math> für <math>n \in \mathbb{N}</math>, dann ist <math> z \in A </math> permanent singulär. === Beweis durch Widerspruch === Sei <math> z \in A </math> ein [[w:en:nilpotent|nilpotentes Element]] in <math>A</math> mit <math>z^n = 0_A</math> und <math>z^{n-1} \not= 0_A</math>. Ferner definiert man <math>z^{0} := e_A</math> und <math>z^{n+1} := z^n \cdot z</math>. ==== Annahme - nilpotentes Element T-regulär ==== Man nimmt nun an, dass es eine Algebraerweiterung <math>(B,\mathcal{T}_B)</math> von <math>(A,\mathcal{T}_A)</math> gibt, in der das nilpotente Element <math> z \in A </math> invertierbar ist, d.h. es existiert ein multiplikatives inverses Element <math>b:=z^{-1} \in B</math> mit: :<math> z \cdot b = b \cdot z = e </math> ==== Widerspruch - nilpotentes Element T-regulär ==== Wir erhalten nun den Widerspruch durch die Voraussetzung <math>z^{n-1} \not= 0_A </math>, wobei die folgenden algebraischen Umformungen zeigen, dass auch <math>z^{n-1} = 0_A</math> gelten müsste: :<math> 0_A = 0_A \cdot b = (z^{n-1} \cdot z) \cdot b = z^{n-1} \cdot (z \cdot b) = z^{n-1} \cdot e = z^{n-1} </math> Widerspruch! <span id="DefNullteiler"></span> == Definition - Nullteiler == Sei <math>(A,\mathcal{T}_{\!\!\!\!_A})</math> eine unitale [[topologische Algebra]] mit dem Einselement <math>e_{\!\!_A}\in A</math> und <math>e \not= 0_{\!\!_A}</math>. Ein Element <math> z_0 \in A \setminus \{0_{\!\!_A}\} </math> heißt * '''linker [[w:de:Nullteiler|Nullteiler]]''' in <math>A</math>, wenn ein <math> z_1 \in A\setminus \{0_{\!\!_A}\} </math> existiert mit <math>z_0\cdot z_1 = 0_{\!\!_A}</math> gilt, * '''rechter [[w:de:Nullteiler|Nullteiler]]''' in <math>A</math>, wenn ein <math> z_1 \in A\setminus \{0_{\!\!_A}\} </math> existiert mit <math>z_1\cdot z_0 = 0_{\!\!_A}</math> gilt, * '''beidseitiger [[w:de:Nullteiler|Nullteiler]]''' in <math>A</math>, wenn ein <math> z_1 \in A\setminus \{0_{\!\!_A}\} </math> sowohl rechter als auch linker Nullteiler ist. === Bemerkung - Ring und Nullteiler === Wenn man die toplogische Struktur auf dem Grundraum nicht betrachtet, werden [[w:de:Nullteiler|Nullteiler]] in der algebraischen Struktur [[w:de:Ring (Mathematik)|Ring]] betrachtet. Wenn der Grundraum zusätzlich topologische Eigenschaften besitzt, kann auch erst topologische Invertierbarkeitskriterien untersuchen, die eine Invertierbarkeit in eine konstruierbaren [[Algebraerweiterung]] <math>B</math> von <math>A</math> ermöglicht. Ohne Topologie auf dem Grundraum kann auch nicht von bijektiven und stetigen Einbettung von <math>A</math> auf <math>A' \subset B</math> sprechen. === Bemerkung - Vertauschbarkeit der Multiplikation === Für die Definition für einen beidseitigen [[w:de:Nullteiler|Nullteiler]] in <math>A</math> muss die Multiplikation nicht notwendigerweise vertauschbar sein, d.h. mit <math> z_1 \in A\setminus \{0_{\!\!_A}\} </math> gilt z.B. <math>z_0\cdot z_1 =0_{\!\!_A}</math> aber nicht notwendigerweise auch <math>z_1\cdot z_0 =0_{\!\!_A}</math> (siehe [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Nullstellen-Inversen-Transformation#BeispielNT|Matrixalgebrabeispiel]]). In dem Beispiel wurde ein einseitger Nullteiler als <math>2\times 2</math>-Matrix angegeben, wobei die Nullteilereigenschaft nicht kommutiert. Für einen beidseitigen Nullteiler gibt es ggf. zwei verschiedene <math> z_1 , z_2 \in A\setminus \{0_{\!\!_A}\} </math> mit <math>z_1\cdot z_0 =0_{\!\!_A} </math> und <math>z_0\cdot z_2 =0_{\!\!_A} </math>, wobei <math>z_1 \neq z_2</math> gilt. == Nullteiler - permanent singulär == Sei <math>(A,\mathcal{T}_{\!\!\!\!_A})</math> sei eine unitale topologische Algebra mit dem Einselement <math>e\in A</math> mit <math>e \not= 0_{\!\!_A}</math> und <math> z \in A </math> ein [[w:de:Nullteiler|Nullteiler]] in <math>A</math>, dann ist <math> z \in A </math> permanent singulär. === Beweis durch Widerspruch === '''Annahme:''' Es gibt eine Algebraerweiterung <math>(B,\mathcal{T}_B)</math> von <math>(A,\mathcal{T}_A)</math>, in ein Nullteiler <math> z_o \in A </math> invertierbar ist, d.h. das multiplikative Inverse Element <math>z_o^{-1} \in B</math> besitzt: :<math> z_o \cdot z_o^{-1} = z_o^{-1} \cdot z_o = e </math> ==== Nullteilereigenschaft ==== Ferner nutzen wir die Eigenschaft, dass <math>z_o \in A</math> ein Nullteiler in <math>A</math> ist, d.h. <math>z_o \not= 0_A</math> und es gibt ein Element <math>z_1 \not= 0_A</math> mit <math>z_1 \in A</math> mit: :<math> z_1 \cdot z_o = 0_A \mbox{ oder } z_o \cdot z_1 = 0_A</math> ==== Fall 1 - Nullteilereigenschaft ==== Wir erhalten nun den Widerspruch durch den Nachweis :<math> 0_A= 0_A \cdot z_0^{-1} = (z_1 \cdot z_0) \cdot z_0^{-1} = z_1 \cdot (z_0 \cdot z_0^{-1}) =z_1 \cdot e = z_1 </math> Dies ist ein Widerspruch zu <math> z_1 \neq 0_A </math> ==== Fall 2 - Nullteilereigenschaft ==== Analog zeigt man den zweiten Fall, da die Multiplikation in Algebren nicht zwingend kommutativ sein muss: : <math> 0_A = z_0^{-1} \cdot 0_A = z_0^{-1} \cdot (z_0 \cdot z_1) = (z_0^{-1} \cdot z_0) \cdot z_1= e \cdot z_1 = z_1 \Rightarrow 0_A = z_1 </math> Dies führt ebenfalls zu einem Widerspruch zur Voraussetzung <math> z_1 \neq 0_A </math> == Bemerkung == Die oben genannten Elemente sind allein durch ihre algebraischen Eigenschaften permanent singulär. Im weiteren Verlauf der Vorlesung werden wir auch topologische Eigenschaften betrachten, die ein Element permanent singulär machen. Dazu gehören die [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Topologische_Nullteiler|topologischen Nullteiler]] in einer Algebra. Jeder Nullteiler ist auch ein topologischer Nullteiler - aber nicht umgekehrt. == Aufgaben für Lernende == * Zeigen Sie, dass ein nilpotentes Element in einer Algebra auch ein [[w:de:Nullteiler|Nullteiler]] ist! * Zeigen Sie, dass ein nilpotentes Element in einer [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] auch ein [[kleine Potenzen]] besitzt! * Zeigen Sie, dass ein Nullteiler in einer [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] auch ein [[topologischer Nullteiler]] ist! * Geben Sie eine Beispiel für eine [[topologischer Nullteiler|topologischen Nullteiler]] an, der aber kein Nullteiler ist! * Erläutern Sie, warum in den Beweisen oben die Topologie auf <math>A</math> keine Rolle spielt. Argumentieren Sie dabei über die Eigenschaften in der topologischen Algebra, die Sie für den Nachweis der permanenten Singulärität verwendet haben. == Siehe auch == * [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Nullstellen-Inversen-Transformation#BeispielNT|Matrixalgebrabeispiel mit Nullteilern]] * [[w:de:Nullteiler|Nullteiler]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Nullstellen-Inversen-Transformation|Nullstellen-Inversen-Transformation]] * [[w:de:nilpotent|nilpotent]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologische Nullteiler|topologische Nullteiler]]<ref>Arens, R. (1958). Inverse-producing extensions of normed algebras. Transactions of the American Mathematical Society, 88(2), 536-548.</ref> * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologisch kleine Potenzen|topologisch kleine Potenzen]] == Quellennachweis == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Algebraische%20Eigenschaften%20-%20permament%20singul%C3%A4r&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Algebraische%20Eigenschaften%20-%20permament%20singul%C3%A4r&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Algebraische%20Eigenschaften%20-%20permament%20singul%C3%A4r https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Algebraische%20Eigenschaften%20-%20permament%20singul%C3%A4r] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Algebraische%20Eigenschaften%20-%20permament%20singul%C3%A4r Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Algebraische%20Eigenschaften%20-%20permament%20singul%C3%A4r * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Algebraische%20Eigenschaften%20-%20permament%20singul%C3%A4r&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] ov6gdqqbele9ul6r54po7xan3wa0x7w 106 131697 1118774 739926 2026-11-03T11:46:23Z Bert Niehaus 20843 /* Satz */ 1118774 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/T-Regularit%C3%A4tskriterium&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. == Zielsetzung == Diese Lerneinheit in der Wikiversity hat das Ziel, die <math>\mathcal{T}</math>-Regularität eines Elementes <math>z \in A</math> für eine beliebige topologische Algebra zu charakterisieren. == Zielgruppe == Die Zielgruppe der Lerneinheit sind Studierende der Mathematik. Die [[Wiki2Reveal]]-Folien im Kurs dienen dazu, dass Lehrende bei Bedarf direkt die Folien in Lehrveranstaltungen einsetzen können, bzw. Studierende mit den Folien mathematische Sachverhalte vorstellen können, die zur Lösung einer Aufgabe verwendet werden könnten. Die Folien können bei Eingabe mit einem digitalen Stift im Browser annotiert werden, d.h. man im Browser direkt mit einem Stift auf die Folien schreiben. == T-Regularitätskriterium == Im Folgenden werden wir die Übertragungsmöglichkeiten von pseudokonvexen Algebren auf beliebige topologische Algebren. Da die Cauchymultiplikation aber nur stetig in der Partialsummentopologie von <math display="inline"> \left| \! \left\| \cdot \right\| \! \right| _{{\mathcal{A}} \times \N_0}</math> auf <math display="inline">A[t]</math> ist, kann noch keine Charakterisierung der <math>\mathcal{T}</math>-regulären Elemente in Anlehnung an die <math display="inline">{\mathcal{PC}} </math>-regulären Elemente angegeben werden. === Bemerkung zu den Herausforderungen === Im Anschluß an den Beweis des Satzes wird erläutert, an welchen Stellen die Herausforderungen für ein Charakterisierung der <math>\mathcal{T}</math>-regulären Elemente liegen. == Satz == Sei <math display="inline">\left( A,\left\| \cdot \right\| _{\mathcal{A}} \right)\in {\mathcal{T}} _e</math> mit <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{\mathcal{A}} </math> als gerichtetes <math display="inline">{\mathcal{T}} </math>-System (aus Gaugefunktionalen). === Voraussetzungen - Topologisierung === Für jedes <math display="inline">\alpha\in {\mathcal{A}} </math> sei eine Folge <math display="inline">\left(\left\| \cdot \right\| _{(\alpha,k)}\right)_{k\in \N}</math> von Gaugefunktionalen mit Konstanten <math display="inline">D_k(\alpha)>0</math> und ein <math display="inline">\beta\in {\mathcal{A}} </math> gegeben, mit * <math display="inline"> \left\| x \right\| _\alpha\leq \left\| x \right\| _{(\alpha,k)} \leq D_k(\alpha) \cdot \left\| x \right\| _\beta </math> für alle <math display="inline">x\in A</math> und <math display="inline">k\in \N_0</math>, * <math display="inline"> \left\| x \right\| _{(\alpha,k)}\leq \left\| zx \right\| _{(\alpha,k+1)} </math> für alle <math display="inline"> x\in A </math>, <math display="inline"> k\in \N_0 </math> und <math display="inline"> \left\| \cdot \right\| _{(\alpha,0)}:= \left\| \cdot \right\| _\alpha </math>. === Aussage - Topologisierung === Dann existiert ein <math display="inline"> {\mathcal{T}} </math>-System <math display="inline"> \left| \! \left\| \cdot \right\| \! \right| _{{\mathcal{A}} \times \N_0}</math> auf <math display="inline">A[t]</math>, dass die Cauchymultiplikation mit <math display="inline"> \left| \! \left\| \cdot \right\| \! \right| _{{\mathcal{A}} \times \N_0}^{\downarrow \N} </math> stetig ist und die Relativtopologie der Quotientengaugefunktionale :<math display="block"> \left\| [x] \right\|_{(\alpha,n)} := \inf _{q\in A[t]} \left| \! \left\| x+(zt-e)q(t) \right\| \! \right| _{(\alpha,n+1)} \geq \left\| x \right\| ^{(\alpha)}_n \mbox{ für alle } x\in A </math> auf <math display="inline">A[t]/I</math> mit <math display="inline">I:=\overline{(z\cdot t-e)\cdot A[t]}</math> mit der von <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{\mathcal{A}} </math> erzeugten Ausgangstopologie übereinstimmt. == Beweis == Man definiert mit den oben genannten Eigenschaften (1) und (2) und der Stetigkeit der Addition eine Abbildung :<math display="block"> \widetilde{\cdot} : {\mathcal{A}} \times \N_0 \longrightarrow {\mathcal{A}} \times \N_0 (\alpha,k) \longmapsto \widetilde{(\alpha,k)}, </math> für die gilt: * <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{(\alpha,k)}\in \left\| \cdot \right\| _{\mathcal{A}} </math> für alle <math display="inline">\alpha\in {\mathcal{A}} </math> und <math display="inline">k\in \N_0</math>. * <math display="inline">\left\| x \right\| _{(\alpha,k)} \leq \left\| zx \right\| _{\widetilde{(\alpha,k)}}</math> für alle <math display="inline">x\in A</math>, <math display="inline">\alpha\in {\mathcal{A}} </math> und <math display="inline">k\in \N_0</math>. * <math display="inline">\displaystyle \left\| \sum_{j=1}^{k} x_j \right\| _{(\alpha,k)} \leq \sum_{j=1}^{k} \left\| x_j \right\| _{\widetilde{(\alpha,k)}} </math> für alle <math display="inline">x_j\in A</math>, <math display="inline">\alpha\in {\mathcal{A}} </math> und <math display="inline">k\in \N_0</math>. Dann gibt es wegen Lemma LemDomSeq eine <math display="inline">M_{\mathcal{T}} </math>-Sequenz <math display="inline">\left( \left\| \cdot \right\| ^{(\alpha)}_n \right)_{n\in \N_0}</math> mit * <math display="inline">\left\| \cdot \right\| ^{(\alpha)}_n \leq \left\| \cdot \right\| ^{(\alpha)}_{n+1}</math> für alle <math display="inline">\alpha\in {\mathcal{A}} </math> und <math display="inline">n\in \N_0</math>. * <math display="inline">\displaystyle \left\| \sum_{j=1}^{n} x_j \right\| _n^{(\alpha)} \leq \sum_{j=1}^{k} \left\| x_j \right\| _{n+1}^{(\alpha)} </math> für alle <math display="inline">x_j\in A</math>, <math display="inline">\alpha\in {\mathcal{A}} </math> und <math display="inline">n\in \N_0</math>. * <math display="inline">\left\| xy \right\| ^{(\alpha)}_n \leq \left\| x \right\| ^{(\alpha)}_{n+1} \cdot \left\| y \right\| ^{(\alpha)}_{n+1}</math> für alle <math display="inline">x,y\in A</math> * <math display="inline">\left\| x \right\| ^{(\alpha)}_n \leq \left\| zx \right\| ^{(\alpha)}_{n+1}</math>. Anschließend definiert man die Gaugefunktionale auf <math display="inline">A[t]</math> durch :<math display="block"> \left| \! \left\| p \right\| \! \right| _{(\alpha,n)} := \sum_{k=0}^{\infty} \left\| p_k \right\| ^{(\alpha)}_{n+2k}, </math> und man erhält für alle <math display="inline">p,q\in A[t]</math> :<math> \begin{array}{rcl} \left| \! \left\| p+q \right\| \! \right| _{(\alpha,n)} &\leq & \left| \! \left\| p \right\| \! \right| _{(\alpha,n+1)} + \left| \! \left\| q \right\| \! \right| _{(\alpha,n+1)}, \mbox{ sowie }\\ & & \\ \left| \! \left\| pq \right\| \! \right| ^{\downarrow m}_{(\alpha,n)} &=& \sum_{k=0}^{m} \left\| \sum_{j=0}^{k}p_jq_{k-j} \right\| ^{(\alpha)}_{n+2k}\\ &\leq & \sum_{k=0}^{m} \sum_{j=0}^{k}\left\| p_jq_{k-j} \right\| ^{(\alpha)}_{n+2k+1}\\ &\leq & \sum_{k=0}^{m} \sum_{j=0}^{k}\left\| p_j \right\| ^{(\alpha)}_{n+2k+2} \cdot \left\| q_{k-j} \right\| ^{(\alpha)}_{n+2k+2}\\ &\leq & \sum_{k=0}^{m} \sum_{j=0}^{k}\left\| p_j \right\| ^{(\alpha)}_{n+2m+2} \cdot \left\| q_{k-j} \right\| ^{(\alpha)}_{n+2m+2}\\ &\leq & \left( \sum_{j=0}^{m}\left\| p_j \right\| ^{(\alpha)}_{n+2(m+1)} \right) \cdot \left( \sum_{j=0}^{m}\left\| q_j \right\| ^{(\alpha)}_{n+2(m+1)} \right) \\ &\leq & \left( \sum_{j=0}^{m}\left\| p_j \right\| ^{(\alpha)}_{n+2(m+1)+2j} \right) \cdot \left( \sum_{j=0}^{m}\left\| q_j \right\| ^{(\alpha)}_{n+2(m+1)+2j} \right) \\ &=& \left| \! \left\| p \right\| \! \right| ^{\downarrow m}_{(\alpha,n+2(m+1))} \cdot \left| \! \left\| q \right\| \! \right| ^{\downarrow m}_{(\alpha,n+2(m+1))} \ . \\ \end{array} </math> Mit <math display="inline"> \left\| x \right\| ^{(\alpha)}_{n} = \left\| (x-y)+y \right\| ^{(\alpha)}_{n} \leq \left\| x-y \right\| ^{(\alpha)}_{n+1} + \left\| y \right\| ^{(\alpha)}_{n+1}</math> gilt auch\\ <math display="inline">\left\| x \right\| ^{(\alpha)}_{n} - \left\| y \right\| ^{(\alpha)}_{n+1} \leq \left\| x-y \right\| ^{(\alpha)}_{n+1}</math> und man schätzt die Quotientengaugefunktionale mit folgender Ungleichungskette für <math display="inline">n>0</math> nach unten ab. :<math> \begin{array}{rcl} \left| \! \left\| x-(zt-e)q(t) \right\| \! \right| _{(\alpha,n)} &=& \left\| x-q_o \right\| ^{(\alpha)}_n + \sum_{k=1}^{\infty} \left\| zq_{k-1}-q_k \right\| ^{(\alpha)}_{n+2k} \\ &\geq& \left\| x-q_o \right\| ^{(\alpha)}_n + \sum_{k=1}^{\infty} \left\| zq_{k-1} \right\| ^{(\alpha)}_{n+2k-1} - \left\| q_k \right\| ^{(\alpha)}_{n+2k} \\ &\geq& \left\| x-q_o \right\| ^{(\alpha)}_n + \sum_{k=1}^{\infty} \left\| q_{k-1} \right\| ^{(\alpha)}_{n+2k-2} - \left\| q_k \right\| ^{(\alpha)}_{n+2k} \\ &=& \left\| x-q_o \right\| ^{(\alpha)}_n + \left\| q_o \right\| ^{(\alpha)}_n\\ &\geq& \left\| x-q_o+q_o \right\| ^{(\alpha)}_{n-1} = \left\| x \right\| ^{(\alpha)}_{n-1} \end{array} </math> Insgesamt ergibt sich <math display="inline"> \left\| [x] \right\|_{(\alpha,n+1)} \geq \left\| x \right\| ^{(\alpha)}_{n}</math> für alle <math display="inline">n\in \N_0</math> und <math display="inline">x\in A</math>. <math> \Box </math> === Zur Lösung der Charakterisierung der T-regulären Elemente === Der Versuch, den allgemeinen topologischen Fall mit einer ähnlichen Beweisstruktur wie beim pseudokonvexen Charakterisierungsatz zu lösen, ist bei den verschiedensten Lösungsansätzen an der Beschränkung der Gaugefunktionale gescheitert. * Beschränkung nach "`oben"', d.h. die Cauchymultiplikation ist nicht stetig auf <math display="inline">A[t]</math>. * Beschränkung nach "`unten"', d.h. die Homöomorphie der Einbettung von <math display="inline">A</math> in die gesuchte Algebraerweiterung <math display="inline">B</math> ist nicht erfüllt. Die Übertragungsmöglichkeiten, die in dem Satz zur <math>\mathcal{T}</math>-Regularität formuliert sind, liefern kein zufriedenstellendes Ergebnis. Die Schwierigkeit liegt in der Formulierung des topologischen Invertierbarkeitskriteriums allein über die gegebenen Gaugefunktionale <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{\mathcal{A}}</math> auf <math display="inline">A</math>. Für Teilklassen <math display="inline">{\mathcal{K}}</math> von <math display="inline">{\mathcal{PC}}</math> war dies möglich, denn in den bisher bekannten Beweisen konnten die Eigenschaften von <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{\mathcal{A}}</math> in Bezug auf das <math display="inline">{\mathcal{K}}</math>-reguläre Element <math display="inline">z\in A</math> auf die Polynomalgebra <math display="inline">A[t]</math> durch die im folgenden definierten <math display="inline">{\mathcal{K}}</math>-Funktionale übertragen werden. :<math display="block"> \left| \! \left\| p \right\| \! \right| _\alpha := \sum_{k=0}^{\infty} C_k(\alpha) \cdot \left\| p_k \right\| _{(\alpha,k)} (*) </math> mit <math display="inline">\displaystyle p(t)=\sum_{k=0}^{\infty} p_k\cdot t^k \in A[t]</math>, <math display="inline">C_k(\alpha)>0</math>, <math display="inline">\alpha\in {\mathcal{A}}</math> und <math display="inline">k\in \N_0</math>. Die Festlegung, dass die Gaugefunktionale die obige Form <math display="inline">(*)</math> auf <math display="inline">A[t]</math> besitzen, ist jedoch für den allgemeinen Fall <math display="inline"> \mathcal{T} </math> eine zu starke Einschränkung. Der Ausweg aus den unter <math display="inline">(i)</math> und <math display="inline">(ii)</math> genannten Schwierigkeiten ist die Formulierung des <math display="inline"> \mathcal{T} </math>-Regularitätskriteriums für die Polynomalgebra <math display="inline">A[t]</math>. Für den Satz zur <math>\mathcal{T}</math>-Regularität müssen wieder zwei Implikation bewiesen werden: * Für die <math display="inline"> \mathcal{T} </math>-Regularität eines Elementes <math display="inline">z\in A</math> ist es notwendig, dass die Polynomalgebra <math display="inline">A[t]</math> (Cauchymultiplikation auf <math display="inline">A[t]</math>) mit einer Topologie versehen werden kann, die <math display="inline">A[t]</math> zu einer topologischen Algebra macht. Den Zusammenhang zur Ausgangstopologie auf <math display="inline">A</math> beschreiben zwei Bedingungen über das topologieerzeugende Gaugefunktionalsystem <math display="inline"> \left| \! \left\| \cdot \right\| \! \right| _{\widetilde{\mathcal{A}}}</math> auf <math display="inline">A[t]</math> und das gegebene System <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{\mathcal{A}}</math> auf <math display="inline">A</math>. Wie bei dem <math display="inline">{\mathcal{PC}}</math>-Regularitätskriterium in Satz <math>\mathcal{B}</math>-Regularität besitzt auch hier wieder eine Bedingung rein topologische Bedeutung, während die andere die gewünschten algebraischen Konsequenzen nach sich zieht. * Dieses unter a) beschriebene Kriterium ist aber auch hinreichend für die <math display="inline"> \mathcal{T} </math>-Regularität, denn mit diesem Kriterium kann eine <math display="inline"> \mathcal{T} </math>-Erweiterung <math display="inline">B</math> von <math display="inline">A</math> konstruiert werden, in der <math display="inline">z</math> invertierbar ist. <math display="inline">B</math> ist wie bei allen anderen Regularitätsbeweisen eine Quotientenalgebra <math display="inline">A[t]/I</math>, wobei in diesem Fall <math display="inline">I</math> {\em nicht} als abgeschlossenes Hauptideal <math display="inline">\overline{(z\cdot t-e)\cdot A[t]}</math> gewählt wird, sondern als Kern des Systems <math display="inline"> \left| \! \left\| \cdot \right\| \! \right| _{\widetilde{\mathcal{A}}}^*</math> mit :<math display="block"> \left| \! \left\| p \right\| \! \right| _\beta^*:= \inf_{q\in A[t]} \left| \! \left\| p+(z\cdot t-e)\cdot q(t) \right\| \! \right| _\beta. </math> Kern eines System <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{\mathcal{A}}</math> von <math display="inline">{\mathcal{K}}</math>-Funktionalen auf <math display="inline">A</math> bedeutet: :<math display="block"> {\mathrm{ \, Kern}} (A , \left\| \cdot \right\| _{\mathcal{A}} ) := \left\{ x\in A : \left\| x \right\| _\alpha=0 \mbox{ für alle }\alpha\in {\mathcal{A}}\right\}. </math> Für Hausdorffräume <math display="inline">\left( A , \left\| \cdot \right\| _{\mathcal{A}} \right)</math> gilt <math display="inline"> {\mathrm{ \, Kern}} (A , \left\| \cdot \right\| _{\mathcal{A}} ) = \{0\}</math>. <math display="inline">I</math> enthält dabei das oben angegebene Hauptideal. Es ist aber auch möglich, dass das Hauptideal eine echte Teilmenge von <math display="inline">I</math> ist. Zunächst müssen noch zwei Aussagen bewiesen werden, die für die Topologisierung der gesuchten Algebraerweiterung von Bedeutung sind. == Lemma: == Sei <math display="inline">\left( A,\left\| \cdot \right\| _{{\mathcal{A}}} \right)\in {\mathcal{K}}</math> eine topologische Algebra der Klasse <math display="inline">{\mathcal{K}}</math> und <math display="inline">I\subset A</math> sei ein abgeschlossenes Ideal in <math display="inline">A</math>. Dann ist <math display="inline">A/I</math> mit <math display="inline">[x]:=x+I</math> als Äquivalenzklasse von <math display="inline">x</math> und dem Quotientensystem <math display="inline"> \left| \! \left\| \,\cdot\, \right\| \! \right| _{{\mathcal{A}}}</math> der <math display="inline">{\mathcal{K}}</math>-Funktionale :<math display="block"> \left| \! \left\| \,[x]\, \right\| \! \right| _{\alpha} := \inf_{q\in I} \left\| x+q \right\| _{\alpha} \mbox{ für alle } x\in A </math> eine topologische <math display="inline">{\mathcal{K}}</math>-Algebra. == Beweis == Man betrachtet nur den Fall <math display="inline">{\mathcal{K}}={\mathcal{PC}}</math> mit <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{{\mathcal{A}}\times \N}</math> als <math display="inline">p</math>-Halbnormensystem. Für alle anderen Klassen verläuft der Beweis analog, denn die "`<math display="inline">\leq </math>"'-Abschätzung für <math display="inline">{\mathcal{K}}</math>-Funktionale auf <math display="inline">A</math> bleibt auch auf <math display="inline">A/I</math> gültig (sogar mit den gleichen Stetigkeitskonstanten der Addition bei Quasinormen). :<math> \begin{array}{rcl} \left| \! \left\| [x_1+x_2] \right\| \! \right| _{\alpha} &=& \inf_{q\in I} \left\| x_1+x_2+q \right\| _\alpha\\ &=& \inf_{q_1,q_2\in I} \| x_1+x_2+ \underbrace{(q_1+q_2)}_{\in I} \| _\alpha\\ &\leq & \inf_{q_1,q_2\in I} \left\| x_1+ q_1 \right\| _\alpha + \left\| x_2+ q_2 \right\| _\alpha \\ &=& \inf_{q_1\in I} \left\| x_1+q_1 \right\| _\alpha + \inf_{q_2\in I} \left\| x_2+q_2 \right\| _\alpha \\ &=& \left| \! \left\| \,[x_1]\, \right\| \! \right| _\alpha + \left| \! \left\| \,[x_2]\, \right\| \! \right| _\alpha \end{array} </math> Analog erhält man für die Multiplikation mit <math display="inline">\left\| xy \right\| _\alpha \leq \left\| x \right\| _\beta \cdot \left\| y \right\| _\beta</math> für alle <math display="inline">x,y\in A</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \left| \! \left\| \,[x_1 x_2]\, \right\| \! \right| _\alpha &=& \inf_{q\in I} \left\| x_1 x_2+q \right\| _\alpha\\ &\leq & \inf_{q_1,q_2\in I} \| x_1 x_2+ (\underbrace{q_1q_2 + x_1q_2 + q_1x_2} _{\in I}) \|_\alpha\\ &\leq & \inf_{q_1,q_2\in I} \left\| (x_1+ q_1)\cdot (x_2+q_2) \right\| _\alpha \\ &\leq & \inf_{q_1,q_2\in I} \left\| x_1+ q_1 \right\| _\beta \cdot \left\| x_2+ q_2 \right\| _\beta \\ &=& \inf_{q_1\in I} \left\| x_1+q_1 \right\| _\beta \cdot \inf_{q_2\in I} \left\| x_2+q_2 \right\| _\beta \\ &=& \left| \! \left\| \,[x_1]\, \right\| \! \right| _\beta \cdot \left| \! \left\| \,[x_2]\, \right\| \! \right| _\beta . \end{array} </math> Da <math display="inline">I</math> abgeschlossen ist, ist auch <math display="inline">A/I</math> Hausdorff'sch.<math> \Box </math> == Lemma: == Sei <math display="inline">\left( A , \left\| \cdot \right\| _{\mathcal{A}} \right) \in {\mathcal{K}}(\mathbb{K})</math> nicht notwendig Hausdorffsch, dann ist <math display="inline">B:=A/I</math> mit :<math display="block"> I := {\mathrm{ \, Kern}} (A , \left\| \cdot \right\| _{\mathcal{A}} ) := \left\{ x\in A : \left\| x \right\| _\alpha=0 \mbox{ für alle }\alpha\in {\mathcal{A}}\right\} </math> und den von <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{\mathcal{A}}</math> auf <math display="inline">B</math> induzierten Quotienten-<math display="inline">{\mathcal{K}}</math>-Funktionalen eine Hausdorffsche Algebra der Klasse <math display="inline">{\mathcal{K}}(\mathbb{K})</math>. == Beweis == Sei <math display="inline">A</math> eine beliebige topologische Algebra mit Gaugefunktionalsystem <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{\mathcal{A}}</math>. Die Beweise für spezielle <math display="inline">{\mathcal{K}}</math>-Algebren laufen unter Ausnutzung der Eigenschaften von <math display="inline">{\mathcal{K}}</math>-Funktionalen analog. Sei <math display="inline">x,y\in I</math>, <math display="inline">z\in A</math> und <math display="inline">\lambda \in \mathbb{K}</math>, dann gibt es zu jedem <math display="inline">\alpha\in {\mathcal{A}}</math> mit der Stetigkeit der Addition bzw. Multiplikation ein <math display="inline">\widetilde{\alpha}\in {\mathcal{A}}</math> bzw. <math display="inline">\widehat{\alpha}\in {\mathcal{A}}</math> mit * <math display="inline"> \left\| \lambda \cdot x \right\| _\alpha = \lambda \cdot \underbrace{\left\| x \right\| _\alpha}_{=0} =0 </math> <math display="inline">\Longrightarrow</math> <math display="inline">\lambda \cdot x\in I</math>\\ * <math display="inline"> \left\| x+y \right\| _\alpha \leq \underbrace{\left\| x \right\| _{\widetilde{\alpha}}}_{=0} + \underbrace{\left\| y \right\| _{\widetilde{\alpha}}}_{=0} =0</math> <math display="inline">\Longrightarrow</math> <math display="inline">x+y\in I</math> \\ * <math display="inline"> \left\| z\cdot x \right\| _\alpha \leq \left\| z \right\| _{\widehat{\alpha}} \cdot \underbrace{\left\| x \right\| _{\widehat{\alpha}}}_{=0} =0</math> <math display="inline">\Longrightarrow</math> <math display="inline">z\cdot x\in I</math>\\ Ferner ist <math display="inline">I</math> abgeschlossen, denn für ein Netz <math display="inline">(x_\eta)_\eta</math> aus <math display="inline">I</math>, das gegen <math display="inline">x_o</math> konvergiert, gilt die folgende Abschätzung. Dabei wird <math display="inline">\widetilde{\alpha}</math> wie oben mit der Stetigkeit der Addition zu <math display="inline">\alpha</math> gewählt. :<math display="block"> \left\| x_o \right\| _\alpha = \left\| x_o \right\| _\alpha - \underbrace{\left\| x_\eta \right\| _{\widetilde{\alpha}}}_{=0} \leq \left\| x_o-x_\eta \right\| _{\widetilde{\alpha}} {_{\stackrel{\displaystyle \longrightarrow}{\scriptstyle \eta}}} 0 </math> Damit folgt <math display="inline">\left\| x_o \right\| _\alpha = 0</math> und mit <math display="inline">\alpha\in {\mathcal{A}}</math> beliebig erhält man <math display="inline">x_o\in I</math>. Die Behauptung liefert nun die Anwendung von Lemma QuoAlg , da <math display="inline">I</math> ein abgeschlossenes Ideal in <math display="inline">A</math> bildet. <math> \Box </math> Der folgende Hauptsatz, der zunächst nur als Lösung der Charakterisierung der <math display="inline"> \mathcal{T}^k</math>-regulären Elemente entwickelt wurde, hat sich bei näherer Untersuchung als entscheidendes Kriterium herausgestellt, die Invertierbarkeit in einer bestimmten <math display="inline">{\mathcal{K}}</math>-Erweiterung einer gegebenen Algebra durch zwei topologische Bedingungen äquivalent zu beschreiben.\\ == Hauptsatz == Sei <math display="inline">\left( A , \left\| \cdot \right\| _{\mathcal{A}} \right) \in {\mathcal{K}}_e^k</math>. Ein Element <math display="inline">z\in A</math> ist genau dann <math display="inline">{\mathcal{K}}^k</math>-regulär, wenn ein <math display="inline">{\mathcal{K}}</math>-Funktionalsystem <math display="inline"> \left| \! \left\| \cdot \right\| \! \right| _{\widetilde{\mathcal{A}}}</math> auf <math display="inline">A[t]</math> existiert, das <math display="inline">A[t]</math> zu einer nicht notwendig Hausdorff'schen <math display="inline">{\mathcal{K}}</math>-Algebra macht und das folgende zwei Bedingungen erfüllt: * Zu jedem <math display="inline">\mu\in {\widetilde{\mathcal{A}}}</math> existiert ein <math display="inline">\alpha\in {\mathcal{A}}</math> und ein <math display="inline">C_\mu>0</math>, so dass \\ <math display="inline"> \left| \! \left\| x \right\| \! \right| _\mu \leq C_\mu\cdot \left\| x \right\| _\alpha</math> für alle <math display="inline">x\in A</math> gilt. * Zu jedem <math display="inline">\alpha\in {\mathcal{A}}</math> existiert ein <math display="inline">\mu\in {\widetilde{\mathcal{A}}}</math> und ein <math display="inline">C_\alpha>0</math>, so dass :<math display="block"> \left\| x \right\| _\alpha \leq C_\alpha\cdot \left| \! \left\| x+(z\cdot t-e)\cdot q(t) \right\| \! \right| _\mu </math> für alle <math display="inline">x\in A</math> und <math display="inline">q\in A[t]</math> gilt. == Beweis == "`<math display="inline">\Longrightarrow</math>"' Da jedes <math display="inline">{\mathcal{K}}</math>-Funktional bei Ersetzung von <math display="inline">p</math>-Halbnormen und Quasihalbnormen\footnote{siehe Abschnitt SECpN-QN über den Zusammenhang von <math display="inline">p</math>-Normen und Quasinormen.} auch ein Gaugefunktional ist, werden in diesem klassenunabhängigen Beweis lediglich Gaugefunktionaleigenschaften in Zusammenhang mit den stetigen Algebraoperationen verwendet. Haben die Gaugefunktionale zusätzliche Eigenschaften, wie zum Beispiel Halbnormen, so vereinfacht sich der Beweis an einigen Stellen und die Aussage bleibt für eine eingeschränkte Algebrenklasse <math display="inline">{\mathcal{K}}</math> ebenfalls gültig. Dies liegt unter anderem an der Tatsache, dass Einschränkungen von <math display="inline">{\mathcal{K}}</math>-Funktionalen auf Teilalgebren wieder <math display="inline">{\mathcal{K}}</math>-Funktionale sind. Sei <math display="inline">z\in A\in {\mathcal{K}}_e^k</math> ein <math display="inline">{\mathcal{K}}^k</math>-reguläres Element, dann gibt es eine <math display="inline">{\mathcal{K}}^k</math>-Erweiterung <math display="inline">B</math> von <math display="inline">A</math>, in der <math display="inline">z</math> invertierbar ist. Sei <math display="inline">b\in B</math> das Inverse zu <math display="inline">z</math> und <math display="inline"> \left| \! \left\| \cdot \right\| \! \right| _{\widetilde{\mathcal{A}}}</math> das Gaugefunktionalsystem auf <math display="inline">B</math>. Die von <math display="inline">A</math> und <math display="inline">b</math> erzeugte Teilalgebra <math display="inline">A_b</math> von <math display="inline">B</math> hat die Gestalt :<math display="block"> A_b:= \left\{ \sum_{k=0}^{n} a_k \cdot b^k \, : \, a_k\in A \mbox{ und } n\in \N_0 \right\}. </math> Man wählt <math display="inline"> \left| \! \left\| \cdot \right\| \! \right| _{\widetilde{\mathcal{A}}}</math> als gesuchtes Gaugefunktionalsystem auf <math display="inline">A[t]</math> mit folgender Identifikation mit Elementen aus <math display="inline">A_b</math>. Sei <math display="inline">p(t):= \sum_{k=0}^{n} p_k\cdot t^k \in A[t]</math>, dann definiert man :<math display="block"> \left| \! \left\| p \right\| \! \right| _\mu := \bigg| \!\bigg|\!\bigg| \underbrace{\sum_{k=0}^{n} p_k\cdot b^k}_{\in B} \bigg| \!\bigg|\!\bigg|_\mu \mbox{ für alle } \mu\in {\widetilde{\mathcal{A}}} \mbox{ und } p\in A[t]. </math> Man sieht an dieser Stelle, dass <math display="inline"> \left| \! \left\| \cdot \right\| \! \right| _{\widetilde{\mathcal{A}}}</math> auf <math display="inline">A[t]</math> keine Hausdorfftopologie erzeugt, denn beispielsweise gilt für das von <math display="inline">0</math> verschiedene Polynom <math display="inline">q(t):=2e-z\cdot t -z^2\cdot t^2</math> gerade <math display="inline"> \left| \! \left\| q \right\| \! \right| _\mu=0</math> für alle <math display="inline">\mu\in {\widetilde{\mathcal{A}}}</math>, da <math display="inline">q(b)=2e-z\cdot b-z^2\cdot b^2=0</math>. Die Cauchymultiplikation auf <math display="inline">A[t]</math> und die Multiplikation auf <math display="inline">A_b</math> sind topologisch und algebraisch miteinander verträglich. Damit ergibt sich insbesondere die Stetigkeit der Cauchymultiplikation über die Stetigkeit der Multiplikation auf <math display="inline">B</math>. Sei <math display="inline">\nu\in {\widetilde{\mathcal{A}}}</math> zu einem gegebenen <math display="inline">\mu\in{\widetilde{\mathcal{A}}}</math> so gewählt, dass für alle <math display="inline">x,y\in B</math> die Ungleichung <math display="inline"> \left| \! \left\| x\cdot y \right\| \! \right| _\mu\leq \left| \! \left\| x \right\| \! \right| _\nu \cdot \left| \! \left\| y \right\| \! \right| _\nu </math> gilt, dann erhält man für alle <math display="inline">p,q\in A[t]</math> die Abschätzung :<math display="block"> \left| \! \left\| p\cdot q \right\| \! \right| _\mu = \left| \! \left\| (p\cdot q)(b) \right\| \! \right|_\mu = \left| \! \left\| p(b)\cdot q(b) \right\| \! \right| _\mu \leq \left| \! \left\| p(b) \right\| \! \right| _\nu \cdot \left| \! \left\| q(b) \right\| \! \right| _\nu = \left| \! \left\| p \right\| \! \right| _\nu\cdot \left| \! \left\| q \right\| \! \right| _\nu, </math> also die Stetigkeit der Cauchymultiplaktion auf <math display="inline">A[t]</math>. In ähnlicher Weise folgt die Stetigkeit der Addition auf <math display="inline">A[t]</math> über die von <math display="inline">B</math> auf <math display="inline">A_b</math> eingeschränkten Gaugefunktionale. <math display="inline">A[t]</math> wird also über die Teilalgebra <math display="inline">A_b</math> von <math display="inline">B</math> topologisiert. Mit der Homöomorphie der Einbettung von <math display="inline">A</math> in <math display="inline">B</math> erhält man einerseits durch die Stetigkeit der Abbildung <math display="inline">\tau</math> die Bedingung {\it (HS 1)} unmittelbar und andererseits gibt es durch die Stetigkeit der Umkehrabbildung <math display="inline">\tau^{-1}</math> zu jedem <math display="inline">\alpha \in {\mathcal{A}}</math> ein <math display="inline">\mu\in {\widetilde{\mathcal{A}}}</math> und ein <math display="inline">C_\alpha>0</math> mit ==== Abschätzung der Gaugefunktionale nach unten ==== :<math display="block"> \left\| x \right\| _\alpha \leq C_\alpha\cdot \left| \! \left\| x \right\| \! \right| _\mu \mbox{ für alle } x\in A. (*) </math> Die zweite Ungleichung der Behauptung ergibt sich mit <math display="inline">(*)</math>, denn es gilt :<math display="block"> \left| \! \left\| x+(z\cdot t-e)\cdot q(t) \right\| \! \right|_\mu = | \! |\! | x+(\underbrace{z\cdot b-e}_{=0} )\cdot q(b) | \! |\! |_\mu = \left| \! \left\| x \right\| \! \right| _\mu \geq \frac{1}{C_\alpha} \left\| x \right\|_\alpha . </math> === Beweisrichtung von dem Gaugefunktionalsystem zur Algebraerweiterung === "<math display="inline">\Longleftarrow</math>" Sei nun umgekehrt <math display="inline">A[t]</math> eine nicht notwendig Hausdorff'sche topologische Algebra mit Gaugefunktionalsystem <math display="inline"> \left| \! \left\| \cdot \right\| \! \right| _{\widetilde{\mathcal{A}}}</math>, das die Bedingung (HS 1) und (HS 2) aus der Behauptung des Satzes erfüllt. Man definiert auf <math display="inline">A[t]</math> ein weiteres Gaugefunktionalsystem <math display="inline"> \left| \! \left\| \cdot \right\| \! \right| _{\widetilde{\mathcal{A}}}^*</math>. Für <math display="inline">p\in A[t]</math> setzt man: :<math display="block"> \left| \! \left\| p \right\| \! \right| ^*_\mu := \inf_{q\in A[t]} \left| \! \left\| p(t)+ (z\cdot t-e)\cdot q(t) \right\| \! \right| _\mu. </math> ==== Übergang zur Quotientenalgebra ==== Die gesuchte Algebra, in der <math display="inline">z</math> invertierbar ist, ist die Quotientenalgebra <math display="inline">B:=A/I</math>, wobei <math display="inline">I</math> als Kern des Systems <math display="inline"> \left| \! \left\| \cdot \right\| \! \right| _{\widetilde{\mathcal{A}}}^*</math> gewählt wird. Da auch das System <math display="inline"> \left| \! \left\| \cdot \right\| \! \right| _{\widetilde{\mathcal{A}}}^*</math> die Algebra <math display="inline">A[t]</math> zu einer topologischen Algebra macht, liefert die Anwendung von Lemma QuoKern , dass <math display="inline">B</math> eine Hausdorff'sche topologische Algebra ist. Der Algebrahomomorphismus <math display="inline">\tau: A\longrightarrow B</math> mit <math display="inline">x\longmapsto [x]:=x+I</math>, der <math display="inline">x</math> mit dem konstanten Polynom mit Wert <math display="inline">x</math> identifiziert und dann diesem Polynom seine Äquivalenzklasse in <math display="inline">B</math> zuordnet, ist der gesuchte Algebraisomorphismus von <math display="inline">A</math> nach <math display="inline">\tau(A)\subset B</math>, wenn man die Homöomorphie von <math display="inline">A</math> und <math display="inline">\tau(A)</math> gezeigt hat (siehe dazu einleitende Bemerkungen zu den K-singulären Elementen). Durch Bedingung (HS 2) aus der Behauptung folgt insbesondere, dass zu jedem <math display="inline">\alpha \in {\mathcal{A}}</math> ein <math display="inline">\mu\in {\widetilde{\mathcal{A}}}</math> und ein <math display="inline">C_\alpha>0</math> existieren mit :<math display="block"> \left\| x \right\| _{\alpha} \leq C_\alpha \cdot \left| \! \left\| x \right\| \! \right| _{\mu}^{*} \mbox{für alle } x\in {\mathcal{A}}. </math> ==== Stetigkeit der Addition ==== Wählt man zu dem <math display="inline">\mu\in {\widetilde{\mathcal{A}}}</math> ein <math display="inline">\widetilde{\mu}\in {\widetilde{\mathcal{A}}}</math> mit :<math display="block"> \left| \! \left\| p+q \right\| \! \right| _{\mu}^{*} \leq \left| \! \left\| p \right\| \! \right| _{\widetilde{\mu}}^{*} + \left| \! \left\| q \right\| \! \right| _{\widetilde{\mu}}^{*} \mbox{ für alle } p,q\in A[t], </math> so erhält man für alle <math display="inline"> q\in I={\mathrm{ \, Kern}}\left( A[t], \left| \! \left\| \cdot \right\| \! \right|_{\widetilde{\mathcal{A}}}^{\ast}\right) </math>: :<math> \begin{array}{rcl} \frac{1}{C_\alpha}\cdot \left\| x \right\| _{\alpha} & \leq & \left| \! \left\| x \right\| \! \right| _{\mu}^{\ast} = \left| \! \left\| x \right\| \! \right| _{\mu}^{\ast} - \underbrace{ \left| \! \left\| q \right\| \! \right|_{\widetilde{\mu}}^{\ast} }_{=0} \leq \left| \! \left\| x-q \right\| \! \right| _{\widetilde{\mu}}^{\ast} \\ \Longrightarrow \frac{1}{C_\alpha}\cdot \left\| x \right\| _{\alpha} & \leq & \inf_{q\in I} \left| \! \left\| x-q \right\| \! \right|_{\widetilde{\mu}}^{\ast} = \left\| [x] \right\|_{\widetilde{\mu}} = \left\| x+I \right\|_{\widetilde{\mu}} \end{array} </math> für alle <math display="inline">x\in A</math>. ==== Quotientengaugefunktionalsystem ==== Dabei ist <math display="inline"> \left\| \cdot \right\|_{{\widetilde{\mathcal{A}}}}</math> das Quotientengaugefunktionalsystem auf <math display="inline"> B </math>. Damit ist die von <math display="inline">B</math> auf <math display="inline">\tau(A)</math> induzierte Relativtopologie feiner als die von <math display="inline">A</math> auf <math display="inline">\tau(A)</math> über <math display="inline">\tau</math> induzierte Topologie. Also ist der Homomorphismus <math display="inline">\tau</math> nach <math display="inline">B</math> injektiv und bijektiv von <math display="inline">A</math> auf <math display="inline">\tau(A)</math>, denn für alle <math display="inline">\alpha\in {\mathcal{A}}</math> gibt es aufgrund des oben erwähnten topologischen Zusammenhangs ein <math display="inline">\widetilde{\mu}\in {\widetilde{\mathcal{A}}}</math> mit :<math display="block"> \left\| x \right\| _\alpha \leq C_\alpha\cdot \left\| [x] \right\|_{\widetilde{\mu}} \mbox{ für alle } x \in A. </math> Sei nun <math display="inline">x_1\not= x_2</math>, dann existiert wegen der Hausdorffeigenschaft ein <math display="inline">\alpha\in {\mathcal{A}}</math> mit <math display="inline">\left\| x_1-x_2 \right\| _\alpha > 0</math>, so dass :<math display="block"> 0 < \left\| x_1-x_2 \right\| _\alpha \leq C_\alpha\cdot \left\| [x_1-x_2] \right\|_{\widetilde{\mu}} = \left\| [x_1]-[x_2] \right\|_{\widetilde{\mu}} </math> und damit <math display="inline">[x_1]\not= [x_2]</math> gilt. Zum Nachweis der Homöomorphie ist weiterhin die Stetigkeit der Umkehrabbildung zu zeigen. Diese ergibt sich aber unmittelbar aus Bedingung {\it (HS 1)}, denn wählt man zu jedem <math display="inline">\mu\in {\widetilde{\mathcal{A}}}</math> aus {\it (HS 1)} ein <math display="inline">\widetilde{\mu}\in {\widetilde{\mathcal{A}}}</math> mit :<math display="block"> \left| \! \left\| p+q \right\| \! \right| _{\mu}^{*} \leq \left| \! \left\| p \right\| \! \right| _{\widetilde{\mu}}^{*} + \left| \! \left\| q \right\| \! \right| _{\widetilde{\mu}}^{*} , \mbox{für alle } p,q\in A[t], </math> so kann man mit {\it (HS 2)} zu diesem <math display="inline">\widetilde{\mu}</math> ein <math display="inline">\alpha\in {\widetilde{\mathcal{A}}} </math> und ein <math display="inline">C_{\widetilde{\mu}}>0</math> finden mit <math display="inline">\left\| x \right\| _{\alpha} \geq \left| \! \left\| x \right\| \! \right| _{\widetilde{\mu}}</math> für alle <math display="inline">x\in A</math>. Insgesamt ergibt sich für alle <math display="inline">p\in I</math> und alle <math display="inline">x\in A</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \left| \! \left\| x+p \right\| \! \right| _{\mu}^{*} &\leq& \left| \! \left\| x \right\| \! \right| _{\widetilde{\mu}}^{*} + \underbrace{ \left| \! \left\| p \right\| \! \right| _{\widetilde{\mu}}^{*}}_{=0} = \inf_{\widehat{q}\in A[t]} \left| \! \left\| x+(z\cdot t - e)\cdot \widehat{q}(t) \right\| \! \right| _{\widetilde{\mu}}\\ &\leq& \left| \! \left\| x \right\| \! \right| _{\widetilde{\mu}}\leq C_{\widetilde{\mu}}\cdot \left\| x \right\| _{\alpha} . \end{array} </math> ==== Infimumbildung ==== Durch Infimumbildung über alle <math display="inline">p\in I</math> bleibt die Ungleichung für die Äquivalenzklasse <math display="inline">[x]</math> erhalten und es gilt :<math display="block"> \left\| [x] \right\|_{\mu} \leq \left| \! \left\| x+p \right\| \! \right| _{\mu}^{\ast} \leq C_{\widetilde{\mu}} \cdot \left\| x \right\| _{\alpha} \mbox{ für alle } x\in A. </math> Wegen <math display="inline">z\cdot t - e \in (z\cdot t-e) \cdot A[t] \subset I</math>, gilt <math display="inline">[0]=[z\cdot t-e]= [z]\cdot [t]-[e]</math> und aufgrund Kommutativität der Algebra <math display="inline">A</math> und <math display="inline">[e]=[z]\cdot [t]</math> erhält man <math display="inline">[z]\in \mathcal{G}_{ \mathcal{T}^{k}}(B)</math>. <math display="inline">\mbox{ }</math> <math> \Box </math> ==== Charakterisierung der T-regulären Elemente ==== Die Charakterisierung der <math display="inline"> \mathcal{T} ^k</math>-regulären Elemente ist damit eine unmittelbare Folgerung des Hauptsatzes, die in nachstehendem Korollar noch einmal formuliert wird. Die Konstanten <math display="inline">C_\alpha</math> bzw. <math display="inline">C_\mu</math> des Hauptsatzes, deren Verwendung für submultiplikative <math display="inline"> \mathcal{K} </math>-Funktionale notwendig ist, werden mit in die Definition der Gaugefunktionale übernommen. Dies vereinfacht die Formulierung der Aussage von Korollar zum Hauptsatz . == Korrollar: == Sei <math display="inline">\left( A , \left\| \cdot \right\| _{\mathcal{A}} \right) \in \mathcal{T}_e^k</math>. Ein Element <math display="inline">z\in A</math> ist genau dann <math display="inline"> \mathcal{T}^k</math>-regulär, wenn ein Gaugefunktionalsystem <math display="inline"> \left| \! \left\| \cdot \right\| \! \right| _{\widetilde{\mathcal{A}}}</math> auf <math display="inline">A[t]</math> existiert, das <math display="inline">A[t]</math> zu einer nicht notwendig Hausdorff'schen topologischen Algebra macht und das folgende zwei Bedingungen erfüllt: * Zu jedem <math display="inline">\mu\in {\widetilde{\mathcal{A}}}</math> existiert ein <math display="inline">\alpha\in {\mathcal{A}}</math> mit <math display="inline"> \left| \! \left\| x \right\| \! \right| _\mu \leq \left\| x \right\| _\alpha</math> für alle <math display="inline">x\in A</math>. * Zu jedem <math display="inline">\alpha\in {\mathcal{A}}</math> existiert ein <math display="inline">\mu\in {\widetilde{\mathcal{A}}}</math>, so dass :<math display="block"> \left\| x \right\| _\alpha \leq \left| \! \left\| x+(z\cdot t-e)\cdot q(t) \right\| \! \right| _\mu </math> für alle <math display="inline">x\in A</math> und <math display="inline">q\in A[t]</math> gilt. == Aufgaben für Studierende == === Siehe auch === * [[Wiki2Reveal]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/T-Regularit%C3%A4tskriterium&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/T-Regularit%C3%A4tskriterium&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/T-Regularit%C3%A4tskriterium https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/T-Regularit%C3%A4tskriterium] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/T-Regularit%C3%A4tskriterium Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/T-Regularit%C3%A4tskriterium * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/T-Regularit%C3%A4tskriterium&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] 4f2dg4fxliwj1m524rq5piap1defes8 1118775 1118774 2026-11-03T11:46:55Z Bert Niehaus 20843 /* Satz */ 1118775 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/T-Regularit%C3%A4tskriterium&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. == Zielsetzung == Diese Lerneinheit in der Wikiversity hat das Ziel, die <math>\mathcal{T}</math>-Regularität eines Elementes <math>z \in A</math> für eine beliebige topologische Algebra zu charakterisieren. == Zielgruppe == Die Zielgruppe der Lerneinheit sind Studierende der Mathematik. Die [[Wiki2Reveal]]-Folien im Kurs dienen dazu, dass Lehrende bei Bedarf direkt die Folien in Lehrveranstaltungen einsetzen können, bzw. Studierende mit den Folien mathematische Sachverhalte vorstellen können, die zur Lösung einer Aufgabe verwendet werden könnten. Die Folien können bei Eingabe mit einem digitalen Stift im Browser annotiert werden, d.h. man im Browser direkt mit einem Stift auf die Folien schreiben. == T-Regularitätskriterium == Im Folgenden werden wir die Übertragungsmöglichkeiten von pseudokonvexen Algebren auf beliebige topologische Algebren. Da die Cauchymultiplikation aber nur stetig in der Partialsummentopologie von <math display="inline"> \left| \! \left\| \cdot \right\| \! \right| _{{\mathcal{A}} \times \N_0}</math> auf <math display="inline">A[t]</math> ist, kann noch keine Charakterisierung der <math>\mathcal{T}</math>-regulären Elemente in Anlehnung an die <math display="inline">{\mathcal{PC}} </math>-regulären Elemente angegeben werden. === Bemerkung zu den Herausforderungen === Im Anschluß an den Beweis des Satzes wird erläutert, an welchen Stellen die Herausforderungen für ein Charakterisierung der <math>\mathcal{T}</math>-regulären Elemente liegen. == Satz == Sei <math display="inline">\left( A,\left\| \cdot \right\| _{\mathcal{A}} \right)\in {\mathcal{T}} _e</math> mit <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{\mathcal{A}} </math> als gerichtetes <math display="inline">{\mathcal{T}} </math>-System (aus Gaugefunktionalen). ==== Voraussetzungen - Topologisierung ==== Für jedes <math display="inline">\alpha\in {\mathcal{A}} </math> sei eine Folge <math display="inline">\left(\left\| \cdot \right\| _{(\alpha,k)}\right)_{k\in \N}</math> von Gaugefunktionalen mit Konstanten <math display="inline">D_k(\alpha)>0</math> und ein <math display="inline">\beta\in {\mathcal{A}} </math> gegeben, mit * <math display="inline"> \left\| x \right\| _\alpha\leq \left\| x \right\| _{(\alpha,k)} \leq D_k(\alpha) \cdot \left\| x \right\| _\beta </math> für alle <math display="inline">x\in A</math> und <math display="inline">k\in \N_0</math>, * <math display="inline"> \left\| x \right\| _{(\alpha,k)}\leq \left\| zx \right\| _{(\alpha,k+1)} </math> für alle <math display="inline"> x\in A </math>, <math display="inline"> k\in \N_0 </math> und <math display="inline"> \left\| \cdot \right\| _{(\alpha,0)}:= \left\| \cdot \right\| _\alpha </math>. ==== Aussage - Topologisierung ==== Dann existiert ein <math display="inline"> {\mathcal{T}} </math>-System <math display="inline"> \left| \! \left\| \cdot \right\| \! \right| _{{\mathcal{A}} \times \N_0}</math> auf <math display="inline">A[t]</math>, dass die Cauchymultiplikation mit <math display="inline"> \left| \! \left\| \cdot \right\| \! \right| _{{\mathcal{A}} \times \N_0}^{\downarrow \N} </math> stetig ist und die Relativtopologie der Quotientengaugefunktionale :<math display="block"> \left\| [x] \right\|_{(\alpha,n)} := \inf _{q\in A[t]} \left| \! \left\| x+(zt-e)q(t) \right\| \! \right| _{(\alpha,n+1)} \geq \left\| x \right\| ^{(\alpha)}_n \mbox{ für alle } x\in A </math> auf <math display="inline">A[t]/I</math> mit <math display="inline">I:=\overline{(z\cdot t-e)\cdot A[t]}</math> mit der von <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{\mathcal{A}} </math> erzeugten Ausgangstopologie übereinstimmt. == Beweis == Man definiert mit den oben genannten Eigenschaften (1) und (2) und der Stetigkeit der Addition eine Abbildung :<math display="block"> \widetilde{\cdot} : {\mathcal{A}} \times \N_0 \longrightarrow {\mathcal{A}} \times \N_0 (\alpha,k) \longmapsto \widetilde{(\alpha,k)}, </math> für die gilt: * <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{(\alpha,k)}\in \left\| \cdot \right\| _{\mathcal{A}} </math> für alle <math display="inline">\alpha\in {\mathcal{A}} </math> und <math display="inline">k\in \N_0</math>. * <math display="inline">\left\| x \right\| _{(\alpha,k)} \leq \left\| zx \right\| _{\widetilde{(\alpha,k)}}</math> für alle <math display="inline">x\in A</math>, <math display="inline">\alpha\in {\mathcal{A}} </math> und <math display="inline">k\in \N_0</math>. * <math display="inline">\displaystyle \left\| \sum_{j=1}^{k} x_j \right\| _{(\alpha,k)} \leq \sum_{j=1}^{k} \left\| x_j \right\| _{\widetilde{(\alpha,k)}} </math> für alle <math display="inline">x_j\in A</math>, <math display="inline">\alpha\in {\mathcal{A}} </math> und <math display="inline">k\in \N_0</math>. Dann gibt es wegen Lemma LemDomSeq eine <math display="inline">M_{\mathcal{T}} </math>-Sequenz <math display="inline">\left( \left\| \cdot \right\| ^{(\alpha)}_n \right)_{n\in \N_0}</math> mit * <math display="inline">\left\| \cdot \right\| ^{(\alpha)}_n \leq \left\| \cdot \right\| ^{(\alpha)}_{n+1}</math> für alle <math display="inline">\alpha\in {\mathcal{A}} </math> und <math display="inline">n\in \N_0</math>. * <math display="inline">\displaystyle \left\| \sum_{j=1}^{n} x_j \right\| _n^{(\alpha)} \leq \sum_{j=1}^{k} \left\| x_j \right\| _{n+1}^{(\alpha)} </math> für alle <math display="inline">x_j\in A</math>, <math display="inline">\alpha\in {\mathcal{A}} </math> und <math display="inline">n\in \N_0</math>. * <math display="inline">\left\| xy \right\| ^{(\alpha)}_n \leq \left\| x \right\| ^{(\alpha)}_{n+1} \cdot \left\| y \right\| ^{(\alpha)}_{n+1}</math> für alle <math display="inline">x,y\in A</math> * <math display="inline">\left\| x \right\| ^{(\alpha)}_n \leq \left\| zx \right\| ^{(\alpha)}_{n+1}</math>. Anschließend definiert man die Gaugefunktionale auf <math display="inline">A[t]</math> durch :<math display="block"> \left| \! \left\| p \right\| \! \right| _{(\alpha,n)} := \sum_{k=0}^{\infty} \left\| p_k \right\| ^{(\alpha)}_{n+2k}, </math> und man erhält für alle <math display="inline">p,q\in A[t]</math> :<math> \begin{array}{rcl} \left| \! \left\| p+q \right\| \! \right| _{(\alpha,n)} &\leq & \left| \! \left\| p \right\| \! \right| _{(\alpha,n+1)} + \left| \! \left\| q \right\| \! \right| _{(\alpha,n+1)}, \mbox{ sowie }\\ & & \\ \left| \! \left\| pq \right\| \! \right| ^{\downarrow m}_{(\alpha,n)} &=& \sum_{k=0}^{m} \left\| \sum_{j=0}^{k}p_jq_{k-j} \right\| ^{(\alpha)}_{n+2k}\\ &\leq & \sum_{k=0}^{m} \sum_{j=0}^{k}\left\| p_jq_{k-j} \right\| ^{(\alpha)}_{n+2k+1}\\ &\leq & \sum_{k=0}^{m} \sum_{j=0}^{k}\left\| p_j \right\| ^{(\alpha)}_{n+2k+2} \cdot \left\| q_{k-j} \right\| ^{(\alpha)}_{n+2k+2}\\ &\leq & \sum_{k=0}^{m} \sum_{j=0}^{k}\left\| p_j \right\| ^{(\alpha)}_{n+2m+2} \cdot \left\| q_{k-j} \right\| ^{(\alpha)}_{n+2m+2}\\ &\leq & \left( \sum_{j=0}^{m}\left\| p_j \right\| ^{(\alpha)}_{n+2(m+1)} \right) \cdot \left( \sum_{j=0}^{m}\left\| q_j \right\| ^{(\alpha)}_{n+2(m+1)} \right) \\ &\leq & \left( \sum_{j=0}^{m}\left\| p_j \right\| ^{(\alpha)}_{n+2(m+1)+2j} \right) \cdot \left( \sum_{j=0}^{m}\left\| q_j \right\| ^{(\alpha)}_{n+2(m+1)+2j} \right) \\ &=& \left| \! \left\| p \right\| \! \right| ^{\downarrow m}_{(\alpha,n+2(m+1))} \cdot \left| \! \left\| q \right\| \! \right| ^{\downarrow m}_{(\alpha,n+2(m+1))} \ . \\ \end{array} </math> Mit <math display="inline"> \left\| x \right\| ^{(\alpha)}_{n} = \left\| (x-y)+y \right\| ^{(\alpha)}_{n} \leq \left\| x-y \right\| ^{(\alpha)}_{n+1} + \left\| y \right\| ^{(\alpha)}_{n+1}</math> gilt auch\\ <math display="inline">\left\| x \right\| ^{(\alpha)}_{n} - \left\| y \right\| ^{(\alpha)}_{n+1} \leq \left\| x-y \right\| ^{(\alpha)}_{n+1}</math> und man schätzt die Quotientengaugefunktionale mit folgender Ungleichungskette für <math display="inline">n>0</math> nach unten ab. :<math> \begin{array}{rcl} \left| \! \left\| x-(zt-e)q(t) \right\| \! \right| _{(\alpha,n)} &=& \left\| x-q_o \right\| ^{(\alpha)}_n + \sum_{k=1}^{\infty} \left\| zq_{k-1}-q_k \right\| ^{(\alpha)}_{n+2k} \\ &\geq& \left\| x-q_o \right\| ^{(\alpha)}_n + \sum_{k=1}^{\infty} \left\| zq_{k-1} \right\| ^{(\alpha)}_{n+2k-1} - \left\| q_k \right\| ^{(\alpha)}_{n+2k} \\ &\geq& \left\| x-q_o \right\| ^{(\alpha)}_n + \sum_{k=1}^{\infty} \left\| q_{k-1} \right\| ^{(\alpha)}_{n+2k-2} - \left\| q_k \right\| ^{(\alpha)}_{n+2k} \\ &=& \left\| x-q_o \right\| ^{(\alpha)}_n + \left\| q_o \right\| ^{(\alpha)}_n\\ &\geq& \left\| x-q_o+q_o \right\| ^{(\alpha)}_{n-1} = \left\| x \right\| ^{(\alpha)}_{n-1} \end{array} </math> Insgesamt ergibt sich <math display="inline"> \left\| [x] \right\|_{(\alpha,n+1)} \geq \left\| x \right\| ^{(\alpha)}_{n}</math> für alle <math display="inline">n\in \N_0</math> und <math display="inline">x\in A</math>. <math> \Box </math> === Zur Lösung der Charakterisierung der T-regulären Elemente === Der Versuch, den allgemeinen topologischen Fall mit einer ähnlichen Beweisstruktur wie beim pseudokonvexen Charakterisierungsatz zu lösen, ist bei den verschiedensten Lösungsansätzen an der Beschränkung der Gaugefunktionale gescheitert. * Beschränkung nach "`oben"', d.h. die Cauchymultiplikation ist nicht stetig auf <math display="inline">A[t]</math>. * Beschränkung nach "`unten"', d.h. die Homöomorphie der Einbettung von <math display="inline">A</math> in die gesuchte Algebraerweiterung <math display="inline">B</math> ist nicht erfüllt. Die Übertragungsmöglichkeiten, die in dem Satz zur <math>\mathcal{T}</math>-Regularität formuliert sind, liefern kein zufriedenstellendes Ergebnis. Die Schwierigkeit liegt in der Formulierung des topologischen Invertierbarkeitskriteriums allein über die gegebenen Gaugefunktionale <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{\mathcal{A}}</math> auf <math display="inline">A</math>. Für Teilklassen <math display="inline">{\mathcal{K}}</math> von <math display="inline">{\mathcal{PC}}</math> war dies möglich, denn in den bisher bekannten Beweisen konnten die Eigenschaften von <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{\mathcal{A}}</math> in Bezug auf das <math display="inline">{\mathcal{K}}</math>-reguläre Element <math display="inline">z\in A</math> auf die Polynomalgebra <math display="inline">A[t]</math> durch die im folgenden definierten <math display="inline">{\mathcal{K}}</math>-Funktionale übertragen werden. :<math display="block"> \left| \! \left\| p \right\| \! \right| _\alpha := \sum_{k=0}^{\infty} C_k(\alpha) \cdot \left\| p_k \right\| _{(\alpha,k)} (*) </math> mit <math display="inline">\displaystyle p(t)=\sum_{k=0}^{\infty} p_k\cdot t^k \in A[t]</math>, <math display="inline">C_k(\alpha)>0</math>, <math display="inline">\alpha\in {\mathcal{A}}</math> und <math display="inline">k\in \N_0</math>. Die Festlegung, dass die Gaugefunktionale die obige Form <math display="inline">(*)</math> auf <math display="inline">A[t]</math> besitzen, ist jedoch für den allgemeinen Fall <math display="inline"> \mathcal{T} </math> eine zu starke Einschränkung. Der Ausweg aus den unter <math display="inline">(i)</math> und <math display="inline">(ii)</math> genannten Schwierigkeiten ist die Formulierung des <math display="inline"> \mathcal{T} </math>-Regularitätskriteriums für die Polynomalgebra <math display="inline">A[t]</math>. Für den Satz zur <math>\mathcal{T}</math>-Regularität müssen wieder zwei Implikation bewiesen werden: * Für die <math display="inline"> \mathcal{T} </math>-Regularität eines Elementes <math display="inline">z\in A</math> ist es notwendig, dass die Polynomalgebra <math display="inline">A[t]</math> (Cauchymultiplikation auf <math display="inline">A[t]</math>) mit einer Topologie versehen werden kann, die <math display="inline">A[t]</math> zu einer topologischen Algebra macht. Den Zusammenhang zur Ausgangstopologie auf <math display="inline">A</math> beschreiben zwei Bedingungen über das topologieerzeugende Gaugefunktionalsystem <math display="inline"> \left| \! \left\| \cdot \right\| \! \right| _{\widetilde{\mathcal{A}}}</math> auf <math display="inline">A[t]</math> und das gegebene System <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{\mathcal{A}}</math> auf <math display="inline">A</math>. Wie bei dem <math display="inline">{\mathcal{PC}}</math>-Regularitätskriterium in Satz <math>\mathcal{B}</math>-Regularität besitzt auch hier wieder eine Bedingung rein topologische Bedeutung, während die andere die gewünschten algebraischen Konsequenzen nach sich zieht. * Dieses unter a) beschriebene Kriterium ist aber auch hinreichend für die <math display="inline"> \mathcal{T} </math>-Regularität, denn mit diesem Kriterium kann eine <math display="inline"> \mathcal{T} </math>-Erweiterung <math display="inline">B</math> von <math display="inline">A</math> konstruiert werden, in der <math display="inline">z</math> invertierbar ist. <math display="inline">B</math> ist wie bei allen anderen Regularitätsbeweisen eine Quotientenalgebra <math display="inline">A[t]/I</math>, wobei in diesem Fall <math display="inline">I</math> {\em nicht} als abgeschlossenes Hauptideal <math display="inline">\overline{(z\cdot t-e)\cdot A[t]}</math> gewählt wird, sondern als Kern des Systems <math display="inline"> \left| \! \left\| \cdot \right\| \! \right| _{\widetilde{\mathcal{A}}}^*</math> mit :<math display="block"> \left| \! \left\| p \right\| \! \right| _\beta^*:= \inf_{q\in A[t]} \left| \! \left\| p+(z\cdot t-e)\cdot q(t) \right\| \! \right| _\beta. </math> Kern eines System <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{\mathcal{A}}</math> von <math display="inline">{\mathcal{K}}</math>-Funktionalen auf <math display="inline">A</math> bedeutet: :<math display="block"> {\mathrm{ \, Kern}} (A , \left\| \cdot \right\| _{\mathcal{A}} ) := \left\{ x\in A : \left\| x \right\| _\alpha=0 \mbox{ für alle }\alpha\in {\mathcal{A}}\right\}. </math> Für Hausdorffräume <math display="inline">\left( A , \left\| \cdot \right\| _{\mathcal{A}} \right)</math> gilt <math display="inline"> {\mathrm{ \, Kern}} (A , \left\| \cdot \right\| _{\mathcal{A}} ) = \{0\}</math>. <math display="inline">I</math> enthält dabei das oben angegebene Hauptideal. Es ist aber auch möglich, dass das Hauptideal eine echte Teilmenge von <math display="inline">I</math> ist. Zunächst müssen noch zwei Aussagen bewiesen werden, die für die Topologisierung der gesuchten Algebraerweiterung von Bedeutung sind. == Lemma: == Sei <math display="inline">\left( A,\left\| \cdot \right\| _{{\mathcal{A}}} \right)\in {\mathcal{K}}</math> eine topologische Algebra der Klasse <math display="inline">{\mathcal{K}}</math> und <math display="inline">I\subset A</math> sei ein abgeschlossenes Ideal in <math display="inline">A</math>. Dann ist <math display="inline">A/I</math> mit <math display="inline">[x]:=x+I</math> als Äquivalenzklasse von <math display="inline">x</math> und dem Quotientensystem <math display="inline"> \left| \! \left\| \,\cdot\, \right\| \! \right| _{{\mathcal{A}}}</math> der <math display="inline">{\mathcal{K}}</math>-Funktionale :<math display="block"> \left| \! \left\| \,[x]\, \right\| \! \right| _{\alpha} := \inf_{q\in I} \left\| x+q \right\| _{\alpha} \mbox{ für alle } x\in A </math> eine topologische <math display="inline">{\mathcal{K}}</math>-Algebra. == Beweis == Man betrachtet nur den Fall <math display="inline">{\mathcal{K}}={\mathcal{PC}}</math> mit <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{{\mathcal{A}}\times \N}</math> als <math display="inline">p</math>-Halbnormensystem. Für alle anderen Klassen verläuft der Beweis analog, denn die "`<math display="inline">\leq </math>"'-Abschätzung für <math display="inline">{\mathcal{K}}</math>-Funktionale auf <math display="inline">A</math> bleibt auch auf <math display="inline">A/I</math> gültig (sogar mit den gleichen Stetigkeitskonstanten der Addition bei Quasinormen). :<math> \begin{array}{rcl} \left| \! \left\| [x_1+x_2] \right\| \! \right| _{\alpha} &=& \inf_{q\in I} \left\| x_1+x_2+q \right\| _\alpha\\ &=& \inf_{q_1,q_2\in I} \| x_1+x_2+ \underbrace{(q_1+q_2)}_{\in I} \| _\alpha\\ &\leq & \inf_{q_1,q_2\in I} \left\| x_1+ q_1 \right\| _\alpha + \left\| x_2+ q_2 \right\| _\alpha \\ &=& \inf_{q_1\in I} \left\| x_1+q_1 \right\| _\alpha + \inf_{q_2\in I} \left\| x_2+q_2 \right\| _\alpha \\ &=& \left| \! \left\| \,[x_1]\, \right\| \! \right| _\alpha + \left| \! \left\| \,[x_2]\, \right\| \! \right| _\alpha \end{array} </math> Analog erhält man für die Multiplikation mit <math display="inline">\left\| xy \right\| _\alpha \leq \left\| x \right\| _\beta \cdot \left\| y \right\| _\beta</math> für alle <math display="inline">x,y\in A</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \left| \! \left\| \,[x_1 x_2]\, \right\| \! \right| _\alpha &=& \inf_{q\in I} \left\| x_1 x_2+q \right\| _\alpha\\ &\leq & \inf_{q_1,q_2\in I} \| x_1 x_2+ (\underbrace{q_1q_2 + x_1q_2 + q_1x_2} _{\in I}) \|_\alpha\\ &\leq & \inf_{q_1,q_2\in I} \left\| (x_1+ q_1)\cdot (x_2+q_2) \right\| _\alpha \\ &\leq & \inf_{q_1,q_2\in I} \left\| x_1+ q_1 \right\| _\beta \cdot \left\| x_2+ q_2 \right\| _\beta \\ &=& \inf_{q_1\in I} \left\| x_1+q_1 \right\| _\beta \cdot \inf_{q_2\in I} \left\| x_2+q_2 \right\| _\beta \\ &=& \left| \! \left\| \,[x_1]\, \right\| \! \right| _\beta \cdot \left| \! \left\| \,[x_2]\, \right\| \! \right| _\beta . \end{array} </math> Da <math display="inline">I</math> abgeschlossen ist, ist auch <math display="inline">A/I</math> Hausdorff'sch.<math> \Box </math> == Lemma: == Sei <math display="inline">\left( A , \left\| \cdot \right\| _{\mathcal{A}} \right) \in {\mathcal{K}}(\mathbb{K})</math> nicht notwendig Hausdorffsch, dann ist <math display="inline">B:=A/I</math> mit :<math display="block"> I := {\mathrm{ \, Kern}} (A , \left\| \cdot \right\| _{\mathcal{A}} ) := \left\{ x\in A : \left\| x \right\| _\alpha=0 \mbox{ für alle }\alpha\in {\mathcal{A}}\right\} </math> und den von <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{\mathcal{A}}</math> auf <math display="inline">B</math> induzierten Quotienten-<math display="inline">{\mathcal{K}}</math>-Funktionalen eine Hausdorffsche Algebra der Klasse <math display="inline">{\mathcal{K}}(\mathbb{K})</math>. == Beweis == Sei <math display="inline">A</math> eine beliebige topologische Algebra mit Gaugefunktionalsystem <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{\mathcal{A}}</math>. Die Beweise für spezielle <math display="inline">{\mathcal{K}}</math>-Algebren laufen unter Ausnutzung der Eigenschaften von <math display="inline">{\mathcal{K}}</math>-Funktionalen analog. Sei <math display="inline">x,y\in I</math>, <math display="inline">z\in A</math> und <math display="inline">\lambda \in \mathbb{K}</math>, dann gibt es zu jedem <math display="inline">\alpha\in {\mathcal{A}}</math> mit der Stetigkeit der Addition bzw. Multiplikation ein <math display="inline">\widetilde{\alpha}\in {\mathcal{A}}</math> bzw. <math display="inline">\widehat{\alpha}\in {\mathcal{A}}</math> mit * <math display="inline"> \left\| \lambda \cdot x \right\| _\alpha = \lambda \cdot \underbrace{\left\| x \right\| _\alpha}_{=0} =0 </math> <math display="inline">\Longrightarrow</math> <math display="inline">\lambda \cdot x\in I</math>\\ * <math display="inline"> \left\| x+y \right\| _\alpha \leq \underbrace{\left\| x \right\| _{\widetilde{\alpha}}}_{=0} + \underbrace{\left\| y \right\| _{\widetilde{\alpha}}}_{=0} =0</math> <math display="inline">\Longrightarrow</math> <math display="inline">x+y\in I</math> \\ * <math display="inline"> \left\| z\cdot x \right\| _\alpha \leq \left\| z \right\| _{\widehat{\alpha}} \cdot \underbrace{\left\| x \right\| _{\widehat{\alpha}}}_{=0} =0</math> <math display="inline">\Longrightarrow</math> <math display="inline">z\cdot x\in I</math>\\ Ferner ist <math display="inline">I</math> abgeschlossen, denn für ein Netz <math display="inline">(x_\eta)_\eta</math> aus <math display="inline">I</math>, das gegen <math display="inline">x_o</math> konvergiert, gilt die folgende Abschätzung. Dabei wird <math display="inline">\widetilde{\alpha}</math> wie oben mit der Stetigkeit der Addition zu <math display="inline">\alpha</math> gewählt. :<math display="block"> \left\| x_o \right\| _\alpha = \left\| x_o \right\| _\alpha - \underbrace{\left\| x_\eta \right\| _{\widetilde{\alpha}}}_{=0} \leq \left\| x_o-x_\eta \right\| _{\widetilde{\alpha}} {_{\stackrel{\displaystyle \longrightarrow}{\scriptstyle \eta}}} 0 </math> Damit folgt <math display="inline">\left\| x_o \right\| _\alpha = 0</math> und mit <math display="inline">\alpha\in {\mathcal{A}}</math> beliebig erhält man <math display="inline">x_o\in I</math>. Die Behauptung liefert nun die Anwendung von Lemma QuoAlg , da <math display="inline">I</math> ein abgeschlossenes Ideal in <math display="inline">A</math> bildet. <math> \Box </math> Der folgende Hauptsatz, der zunächst nur als Lösung der Charakterisierung der <math display="inline"> \mathcal{T}^k</math>-regulären Elemente entwickelt wurde, hat sich bei näherer Untersuchung als entscheidendes Kriterium herausgestellt, die Invertierbarkeit in einer bestimmten <math display="inline">{\mathcal{K}}</math>-Erweiterung einer gegebenen Algebra durch zwei topologische Bedingungen äquivalent zu beschreiben.\\ == Hauptsatz == Sei <math display="inline">\left( A , \left\| \cdot \right\| _{\mathcal{A}} \right) \in {\mathcal{K}}_e^k</math>. Ein Element <math display="inline">z\in A</math> ist genau dann <math display="inline">{\mathcal{K}}^k</math>-regulär, wenn ein <math display="inline">{\mathcal{K}}</math>-Funktionalsystem <math display="inline"> \left| \! \left\| \cdot \right\| \! \right| _{\widetilde{\mathcal{A}}}</math> auf <math display="inline">A[t]</math> existiert, das <math display="inline">A[t]</math> zu einer nicht notwendig Hausdorff'schen <math display="inline">{\mathcal{K}}</math>-Algebra macht und das folgende zwei Bedingungen erfüllt: * Zu jedem <math display="inline">\mu\in {\widetilde{\mathcal{A}}}</math> existiert ein <math display="inline">\alpha\in {\mathcal{A}}</math> und ein <math display="inline">C_\mu>0</math>, so dass \\ <math display="inline"> \left| \! \left\| x \right\| \! \right| _\mu \leq C_\mu\cdot \left\| x \right\| _\alpha</math> für alle <math display="inline">x\in A</math> gilt. * Zu jedem <math display="inline">\alpha\in {\mathcal{A}}</math> existiert ein <math display="inline">\mu\in {\widetilde{\mathcal{A}}}</math> und ein <math display="inline">C_\alpha>0</math>, so dass :<math display="block"> \left\| x \right\| _\alpha \leq C_\alpha\cdot \left| \! \left\| x+(z\cdot t-e)\cdot q(t) \right\| \! \right| _\mu </math> für alle <math display="inline">x\in A</math> und <math display="inline">q\in A[t]</math> gilt. == Beweis == "`<math display="inline">\Longrightarrow</math>"' Da jedes <math display="inline">{\mathcal{K}}</math>-Funktional bei Ersetzung von <math display="inline">p</math>-Halbnormen und Quasihalbnormen\footnote{siehe Abschnitt SECpN-QN über den Zusammenhang von <math display="inline">p</math>-Normen und Quasinormen.} auch ein Gaugefunktional ist, werden in diesem klassenunabhängigen Beweis lediglich Gaugefunktionaleigenschaften in Zusammenhang mit den stetigen Algebraoperationen verwendet. Haben die Gaugefunktionale zusätzliche Eigenschaften, wie zum Beispiel Halbnormen, so vereinfacht sich der Beweis an einigen Stellen und die Aussage bleibt für eine eingeschränkte Algebrenklasse <math display="inline">{\mathcal{K}}</math> ebenfalls gültig. Dies liegt unter anderem an der Tatsache, dass Einschränkungen von <math display="inline">{\mathcal{K}}</math>-Funktionalen auf Teilalgebren wieder <math display="inline">{\mathcal{K}}</math>-Funktionale sind. Sei <math display="inline">z\in A\in {\mathcal{K}}_e^k</math> ein <math display="inline">{\mathcal{K}}^k</math>-reguläres Element, dann gibt es eine <math display="inline">{\mathcal{K}}^k</math>-Erweiterung <math display="inline">B</math> von <math display="inline">A</math>, in der <math display="inline">z</math> invertierbar ist. Sei <math display="inline">b\in B</math> das Inverse zu <math display="inline">z</math> und <math display="inline"> \left| \! \left\| \cdot \right\| \! \right| _{\widetilde{\mathcal{A}}}</math> das Gaugefunktionalsystem auf <math display="inline">B</math>. Die von <math display="inline">A</math> und <math display="inline">b</math> erzeugte Teilalgebra <math display="inline">A_b</math> von <math display="inline">B</math> hat die Gestalt :<math display="block"> A_b:= \left\{ \sum_{k=0}^{n} a_k \cdot b^k \, : \, a_k\in A \mbox{ und } n\in \N_0 \right\}. </math> Man wählt <math display="inline"> \left| \! \left\| \cdot \right\| \! \right| _{\widetilde{\mathcal{A}}}</math> als gesuchtes Gaugefunktionalsystem auf <math display="inline">A[t]</math> mit folgender Identifikation mit Elementen aus <math display="inline">A_b</math>. Sei <math display="inline">p(t):= \sum_{k=0}^{n} p_k\cdot t^k \in A[t]</math>, dann definiert man :<math display="block"> \left| \! \left\| p \right\| \! \right| _\mu := \bigg| \!\bigg|\!\bigg| \underbrace{\sum_{k=0}^{n} p_k\cdot b^k}_{\in B} \bigg| \!\bigg|\!\bigg|_\mu \mbox{ für alle } \mu\in {\widetilde{\mathcal{A}}} \mbox{ und } p\in A[t]. </math> Man sieht an dieser Stelle, dass <math display="inline"> \left| \! \left\| \cdot \right\| \! \right| _{\widetilde{\mathcal{A}}}</math> auf <math display="inline">A[t]</math> keine Hausdorfftopologie erzeugt, denn beispielsweise gilt für das von <math display="inline">0</math> verschiedene Polynom <math display="inline">q(t):=2e-z\cdot t -z^2\cdot t^2</math> gerade <math display="inline"> \left| \! \left\| q \right\| \! \right| _\mu=0</math> für alle <math display="inline">\mu\in {\widetilde{\mathcal{A}}}</math>, da <math display="inline">q(b)=2e-z\cdot b-z^2\cdot b^2=0</math>. Die Cauchymultiplikation auf <math display="inline">A[t]</math> und die Multiplikation auf <math display="inline">A_b</math> sind topologisch und algebraisch miteinander verträglich. Damit ergibt sich insbesondere die Stetigkeit der Cauchymultiplikation über die Stetigkeit der Multiplikation auf <math display="inline">B</math>. Sei <math display="inline">\nu\in {\widetilde{\mathcal{A}}}</math> zu einem gegebenen <math display="inline">\mu\in{\widetilde{\mathcal{A}}}</math> so gewählt, dass für alle <math display="inline">x,y\in B</math> die Ungleichung <math display="inline"> \left| \! \left\| x\cdot y \right\| \! \right| _\mu\leq \left| \! \left\| x \right\| \! \right| _\nu \cdot \left| \! \left\| y \right\| \! \right| _\nu </math> gilt, dann erhält man für alle <math display="inline">p,q\in A[t]</math> die Abschätzung :<math display="block"> \left| \! \left\| p\cdot q \right\| \! \right| _\mu = \left| \! \left\| (p\cdot q)(b) \right\| \! \right|_\mu = \left| \! \left\| p(b)\cdot q(b) \right\| \! \right| _\mu \leq \left| \! \left\| p(b) \right\| \! \right| _\nu \cdot \left| \! \left\| q(b) \right\| \! \right| _\nu = \left| \! \left\| p \right\| \! \right| _\nu\cdot \left| \! \left\| q \right\| \! \right| _\nu, </math> also die Stetigkeit der Cauchymultiplaktion auf <math display="inline">A[t]</math>. In ähnlicher Weise folgt die Stetigkeit der Addition auf <math display="inline">A[t]</math> über die von <math display="inline">B</math> auf <math display="inline">A_b</math> eingeschränkten Gaugefunktionale. <math display="inline">A[t]</math> wird also über die Teilalgebra <math display="inline">A_b</math> von <math display="inline">B</math> topologisiert. Mit der Homöomorphie der Einbettung von <math display="inline">A</math> in <math display="inline">B</math> erhält man einerseits durch die Stetigkeit der Abbildung <math display="inline">\tau</math> die Bedingung {\it (HS 1)} unmittelbar und andererseits gibt es durch die Stetigkeit der Umkehrabbildung <math display="inline">\tau^{-1}</math> zu jedem <math display="inline">\alpha \in {\mathcal{A}}</math> ein <math display="inline">\mu\in {\widetilde{\mathcal{A}}}</math> und ein <math display="inline">C_\alpha>0</math> mit ==== Abschätzung der Gaugefunktionale nach unten ==== :<math display="block"> \left\| x \right\| _\alpha \leq C_\alpha\cdot \left| \! \left\| x \right\| \! \right| _\mu \mbox{ für alle } x\in A. (*) </math> Die zweite Ungleichung der Behauptung ergibt sich mit <math display="inline">(*)</math>, denn es gilt :<math display="block"> \left| \! \left\| x+(z\cdot t-e)\cdot q(t) \right\| \! \right|_\mu = | \! |\! | x+(\underbrace{z\cdot b-e}_{=0} )\cdot q(b) | \! |\! |_\mu = \left| \! \left\| x \right\| \! \right| _\mu \geq \frac{1}{C_\alpha} \left\| x \right\|_\alpha . </math> === Beweisrichtung von dem Gaugefunktionalsystem zur Algebraerweiterung === "<math display="inline">\Longleftarrow</math>" Sei nun umgekehrt <math display="inline">A[t]</math> eine nicht notwendig Hausdorff'sche topologische Algebra mit Gaugefunktionalsystem <math display="inline"> \left| \! \left\| \cdot \right\| \! \right| _{\widetilde{\mathcal{A}}}</math>, das die Bedingung (HS 1) und (HS 2) aus der Behauptung des Satzes erfüllt. Man definiert auf <math display="inline">A[t]</math> ein weiteres Gaugefunktionalsystem <math display="inline"> \left| \! \left\| \cdot \right\| \! \right| _{\widetilde{\mathcal{A}}}^*</math>. Für <math display="inline">p\in A[t]</math> setzt man: :<math display="block"> \left| \! \left\| p \right\| \! \right| ^*_\mu := \inf_{q\in A[t]} \left| \! \left\| p(t)+ (z\cdot t-e)\cdot q(t) \right\| \! \right| _\mu. </math> ==== Übergang zur Quotientenalgebra ==== Die gesuchte Algebra, in der <math display="inline">z</math> invertierbar ist, ist die Quotientenalgebra <math display="inline">B:=A/I</math>, wobei <math display="inline">I</math> als Kern des Systems <math display="inline"> \left| \! \left\| \cdot \right\| \! \right| _{\widetilde{\mathcal{A}}}^*</math> gewählt wird. Da auch das System <math display="inline"> \left| \! \left\| \cdot \right\| \! \right| _{\widetilde{\mathcal{A}}}^*</math> die Algebra <math display="inline">A[t]</math> zu einer topologischen Algebra macht, liefert die Anwendung von Lemma QuoKern , dass <math display="inline">B</math> eine Hausdorff'sche topologische Algebra ist. Der Algebrahomomorphismus <math display="inline">\tau: A\longrightarrow B</math> mit <math display="inline">x\longmapsto [x]:=x+I</math>, der <math display="inline">x</math> mit dem konstanten Polynom mit Wert <math display="inline">x</math> identifiziert und dann diesem Polynom seine Äquivalenzklasse in <math display="inline">B</math> zuordnet, ist der gesuchte Algebraisomorphismus von <math display="inline">A</math> nach <math display="inline">\tau(A)\subset B</math>, wenn man die Homöomorphie von <math display="inline">A</math> und <math display="inline">\tau(A)</math> gezeigt hat (siehe dazu einleitende Bemerkungen zu den K-singulären Elementen). Durch Bedingung (HS 2) aus der Behauptung folgt insbesondere, dass zu jedem <math display="inline">\alpha \in {\mathcal{A}}</math> ein <math display="inline">\mu\in {\widetilde{\mathcal{A}}}</math> und ein <math display="inline">C_\alpha>0</math> existieren mit :<math display="block"> \left\| x \right\| _{\alpha} \leq C_\alpha \cdot \left| \! \left\| x \right\| \! \right| _{\mu}^{*} \mbox{für alle } x\in {\mathcal{A}}. </math> ==== Stetigkeit der Addition ==== Wählt man zu dem <math display="inline">\mu\in {\widetilde{\mathcal{A}}}</math> ein <math display="inline">\widetilde{\mu}\in {\widetilde{\mathcal{A}}}</math> mit :<math display="block"> \left| \! \left\| p+q \right\| \! \right| _{\mu}^{*} \leq \left| \! \left\| p \right\| \! \right| _{\widetilde{\mu}}^{*} + \left| \! \left\| q \right\| \! \right| _{\widetilde{\mu}}^{*} \mbox{ für alle } p,q\in A[t], </math> so erhält man für alle <math display="inline"> q\in I={\mathrm{ \, Kern}}\left( A[t], \left| \! \left\| \cdot \right\| \! \right|_{\widetilde{\mathcal{A}}}^{\ast}\right) </math>: :<math> \begin{array}{rcl} \frac{1}{C_\alpha}\cdot \left\| x \right\| _{\alpha} & \leq & \left| \! \left\| x \right\| \! \right| _{\mu}^{\ast} = \left| \! \left\| x \right\| \! \right| _{\mu}^{\ast} - \underbrace{ \left| \! \left\| q \right\| \! \right|_{\widetilde{\mu}}^{\ast} }_{=0} \leq \left| \! \left\| x-q \right\| \! \right| _{\widetilde{\mu}}^{\ast} \\ \Longrightarrow \frac{1}{C_\alpha}\cdot \left\| x \right\| _{\alpha} & \leq & \inf_{q\in I} \left| \! \left\| x-q \right\| \! \right|_{\widetilde{\mu}}^{\ast} = \left\| [x] \right\|_{\widetilde{\mu}} = \left\| x+I \right\|_{\widetilde{\mu}} \end{array} </math> für alle <math display="inline">x\in A</math>. ==== Quotientengaugefunktionalsystem ==== Dabei ist <math display="inline"> \left\| \cdot \right\|_{{\widetilde{\mathcal{A}}}}</math> das Quotientengaugefunktionalsystem auf <math display="inline"> B </math>. Damit ist die von <math display="inline">B</math> auf <math display="inline">\tau(A)</math> induzierte Relativtopologie feiner als die von <math display="inline">A</math> auf <math display="inline">\tau(A)</math> über <math display="inline">\tau</math> induzierte Topologie. Also ist der Homomorphismus <math display="inline">\tau</math> nach <math display="inline">B</math> injektiv und bijektiv von <math display="inline">A</math> auf <math display="inline">\tau(A)</math>, denn für alle <math display="inline">\alpha\in {\mathcal{A}}</math> gibt es aufgrund des oben erwähnten topologischen Zusammenhangs ein <math display="inline">\widetilde{\mu}\in {\widetilde{\mathcal{A}}}</math> mit :<math display="block"> \left\| x \right\| _\alpha \leq C_\alpha\cdot \left\| [x] \right\|_{\widetilde{\mu}} \mbox{ für alle } x \in A. </math> Sei nun <math display="inline">x_1\not= x_2</math>, dann existiert wegen der Hausdorffeigenschaft ein <math display="inline">\alpha\in {\mathcal{A}}</math> mit <math display="inline">\left\| x_1-x_2 \right\| _\alpha > 0</math>, so dass :<math display="block"> 0 < \left\| x_1-x_2 \right\| _\alpha \leq C_\alpha\cdot \left\| [x_1-x_2] \right\|_{\widetilde{\mu}} = \left\| [x_1]-[x_2] \right\|_{\widetilde{\mu}} </math> und damit <math display="inline">[x_1]\not= [x_2]</math> gilt. Zum Nachweis der Homöomorphie ist weiterhin die Stetigkeit der Umkehrabbildung zu zeigen. Diese ergibt sich aber unmittelbar aus Bedingung {\it (HS 1)}, denn wählt man zu jedem <math display="inline">\mu\in {\widetilde{\mathcal{A}}}</math> aus {\it (HS 1)} ein <math display="inline">\widetilde{\mu}\in {\widetilde{\mathcal{A}}}</math> mit :<math display="block"> \left| \! \left\| p+q \right\| \! \right| _{\mu}^{*} \leq \left| \! \left\| p \right\| \! \right| _{\widetilde{\mu}}^{*} + \left| \! \left\| q \right\| \! \right| _{\widetilde{\mu}}^{*} , \mbox{für alle } p,q\in A[t], </math> so kann man mit {\it (HS 2)} zu diesem <math display="inline">\widetilde{\mu}</math> ein <math display="inline">\alpha\in {\widetilde{\mathcal{A}}} </math> und ein <math display="inline">C_{\widetilde{\mu}}>0</math> finden mit <math display="inline">\left\| x \right\| _{\alpha} \geq \left| \! \left\| x \right\| \! \right| _{\widetilde{\mu}}</math> für alle <math display="inline">x\in A</math>. Insgesamt ergibt sich für alle <math display="inline">p\in I</math> und alle <math display="inline">x\in A</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \left| \! \left\| x+p \right\| \! \right| _{\mu}^{*} &\leq& \left| \! \left\| x \right\| \! \right| _{\widetilde{\mu}}^{*} + \underbrace{ \left| \! \left\| p \right\| \! \right| _{\widetilde{\mu}}^{*}}_{=0} = \inf_{\widehat{q}\in A[t]} \left| \! \left\| x+(z\cdot t - e)\cdot \widehat{q}(t) \right\| \! \right| _{\widetilde{\mu}}\\ &\leq& \left| \! \left\| x \right\| \! \right| _{\widetilde{\mu}}\leq C_{\widetilde{\mu}}\cdot \left\| x \right\| _{\alpha} . \end{array} </math> ==== Infimumbildung ==== Durch Infimumbildung über alle <math display="inline">p\in I</math> bleibt die Ungleichung für die Äquivalenzklasse <math display="inline">[x]</math> erhalten und es gilt :<math display="block"> \left\| [x] \right\|_{\mu} \leq \left| \! \left\| x+p \right\| \! \right| _{\mu}^{\ast} \leq C_{\widetilde{\mu}} \cdot \left\| x \right\| _{\alpha} \mbox{ für alle } x\in A. </math> Wegen <math display="inline">z\cdot t - e \in (z\cdot t-e) \cdot A[t] \subset I</math>, gilt <math display="inline">[0]=[z\cdot t-e]= [z]\cdot [t]-[e]</math> und aufgrund Kommutativität der Algebra <math display="inline">A</math> und <math display="inline">[e]=[z]\cdot [t]</math> erhält man <math display="inline">[z]\in \mathcal{G}_{ \mathcal{T}^{k}}(B)</math>. <math display="inline">\mbox{ }</math> <math> \Box </math> ==== Charakterisierung der T-regulären Elemente ==== Die Charakterisierung der <math display="inline"> \mathcal{T} ^k</math>-regulären Elemente ist damit eine unmittelbare Folgerung des Hauptsatzes, die in nachstehendem Korollar noch einmal formuliert wird. Die Konstanten <math display="inline">C_\alpha</math> bzw. <math display="inline">C_\mu</math> des Hauptsatzes, deren Verwendung für submultiplikative <math display="inline"> \mathcal{K} </math>-Funktionale notwendig ist, werden mit in die Definition der Gaugefunktionale übernommen. Dies vereinfacht die Formulierung der Aussage von Korollar zum Hauptsatz . == Korrollar: == Sei <math display="inline">\left( A , \left\| \cdot \right\| _{\mathcal{A}} \right) \in \mathcal{T}_e^k</math>. Ein Element <math display="inline">z\in A</math> ist genau dann <math display="inline"> \mathcal{T}^k</math>-regulär, wenn ein Gaugefunktionalsystem <math display="inline"> \left| \! \left\| \cdot \right\| \! \right| _{\widetilde{\mathcal{A}}}</math> auf <math display="inline">A[t]</math> existiert, das <math display="inline">A[t]</math> zu einer nicht notwendig Hausdorff'schen topologischen Algebra macht und das folgende zwei Bedingungen erfüllt: * Zu jedem <math display="inline">\mu\in {\widetilde{\mathcal{A}}}</math> existiert ein <math display="inline">\alpha\in {\mathcal{A}}</math> mit <math display="inline"> \left| \! \left\| x \right\| \! \right| _\mu \leq \left\| x \right\| _\alpha</math> für alle <math display="inline">x\in A</math>. * Zu jedem <math display="inline">\alpha\in {\mathcal{A}}</math> existiert ein <math display="inline">\mu\in {\widetilde{\mathcal{A}}}</math>, so dass :<math display="block"> \left\| x \right\| _\alpha \leq \left| \! \left\| x+(z\cdot t-e)\cdot q(t) \right\| \! \right| _\mu </math> für alle <math display="inline">x\in A</math> und <math display="inline">q\in A[t]</math> gilt. == Aufgaben für Studierende == === Siehe auch === * [[Wiki2Reveal]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/T-Regularit%C3%A4tskriterium&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/T-Regularit%C3%A4tskriterium&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/T-Regularit%C3%A4tskriterium https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/T-Regularit%C3%A4tskriterium] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/T-Regularit%C3%A4tskriterium Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/T-Regularit%C3%A4tskriterium * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/T-Regularit%C3%A4tskriterium&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] jahpjd91b0610ep0yl2hyyanjhfvvn7 4 141067 1118689 1117767 2026-11-02T16:01:27Z Alexis Jazz 32026 Updating gadget usage statistics from [[Special:GadgetUsage]] ([[phab:T121049]]) 1118689 wikitext text/x-wiki {{#ifexist:Project:GUS2Wiki/top|{{/top}}|This page provides a historical record of [[Special:GadgetUsage]] through its page history. 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B. in Worte, Bilder oder Gesten. { Kanal } = Das Medium oder der Weg, über den die Botschaft übertragen wird, z. B. gesprochene Sprache, Textnachrichten oder E-Mails. { Dekodierung } = Der Prozess, bei dem der Empfänger die empfangene Botschaft interpretiert und versucht zu verstehen, was der Sender mitteilen möchte. { Feedback } = Die Reaktion oder Antwort des Empfängers auf die Botschaft, die dem Sender Informationen darüber gibt, wie gut die Botschaft verstanden wurde. { Ergänze '''bedeuten''', '''Emotionen''', '''Kommunikationsmittel''', '''Kultur''', '''Rückmeldung''', '''Sprachen''', '''stören''', '''unklar''', '''Vorurteile''', '''Wissen'''. | type="{}" } Wörter oder Symbole { bedeuten } für Sender anderes als für Empfänger. Sender und Empfänger sprechen verschiedene { Sprachen }. Gesten, Symbole und Verhaltensweisen bedeuten je nach { Kultur } etwas anderes. Lärm und Ablenkung { stören } die Kommunikation. Sender und Empfänger haben { Emotionen|Vorurteile }. Sender formulieren ihre Botschaft { unklar } oder mehrdeutig. { Emotionen|Vorurteile } beeinflussen, wie Nachrichten interpretiert werden. Wenn Sender und Empfänger gemeinsames { Wissen } oder gemeinsame Erfahrungen teilen, verstehen sie sich besser. Empfänger zeigen mit einer { Rückmeldung }, ob sie Botschaften richtig verstanden haben. { Kommunikationsmittel } (zum Beispiel schriftliche Nachrichten, persönliche Gespräche oder visuelle Kommunikation) werden bewusst gewählt. </quiz> = Lern-Quiz: Das Sender-Empfänger-Modell = Dieses Quiz baut Schritt für Schritt auf. Lesen Sie jeweils zuerst die kurze Theorie und lösen Sie dann die Fragen. Gehen Sie erst zur nächsten Stufe, wenn Sie die vorherige sicher beherrschen. == Stufe 1: Die Grundidee == {| class="wikitable" style="width:100%; background:#f4f8ff;" | '''Theorie:''' Bei jeder Kommunikation gibt es mindestens zwei Beteiligte: * Der '''Sender''' möchte etwas mitteilen. * Der '''Empfänger''' nimmt die Mitteilung auf. * Was übermittelt wird, ist die '''Nachricht''' (auch: Botschaft). |} <quiz display=simple> {Wer ist im Sender-Empfänger-Modell die Person, die eine Nachricht verschickt? |type="()"} + Der Sender || Richtig! Der Sender ist der Ausgangspunkt der Kommunikation. - Der Empfänger || Nein, der Empfänger nimmt die Nachricht auf. - Der Kanal || Nein, der Kanal ist der Übertragungsweg. {Frau Keller schreibt ihrem Chef eine E-Mail. Wer ist der Empfänger? |type="()"} - Frau Keller || Nein, Frau Keller schreibt die E-Mail – sie ist die Senderin. + Der Chef || Richtig! Er erhält die Nachricht. - Die E-Mail || Nein, die E-Mail ist das Mittel, mit dem die Nachricht übermittelt wird. {Ergänzen Sie die Lücken. |type="{}"} Bei der Kommunikation schickt der { Sender } eine { Nachricht|Botschaft } an den { Empfänger }. </quiz> == Stufe 2: Kanal, Codierung und Decodierung == {| class="wikitable" style="width:100%; background:#f4f8ff;" | '''Theorie:''' Eine Nachricht kann nicht einfach «vom Kopf in den Kopf» springen. * Der Sender muss seine Gedanken in Zeichen übersetzen (Wörter, Gesten, Bilder). Das nennt man '''Codierung'''. * Die Nachricht wird über einen '''Kanal''' übertragen, z. B. Sprache im direkten Gespräch, Telefon, E-Mail, Brief oder Chat. * Der Empfänger muss die Zeichen wieder deuten und verstehen. Das nennt man '''Decodierung'''. * Damit das klappt, brauchen beide einen '''gemeinsamen Zeichenvorrat''' (z. B. dieselbe Sprache, dieselben Fachbegriffe). |} <quiz display=simple> {Was versteht man unter Codierung? |type="()"} - Der Empfänger versteht die Nachricht. || Nein, das ist die Decodierung. + Der Sender übersetzt seine Gedanken in Zeichen (z. B. Wörter). || Richtig! - Die Nachricht wird verschlüsselt, damit niemand sie lesen kann. || Nein, im Kommunikationsmodell hat Codierung nichts mit Geheimhaltung zu tun. {Welche der folgenden Beispiele sind Kanäle? (Mehrere Antworten möglich) |type="[]"} + Telefon + E-Mail - Der Kunde || Der Kunde ist eine Person, also Sender oder Empfänger. + Brief - Die Reklamation || Die Reklamation ist der Inhalt, also die Nachricht. {Ordnen Sie zu: Wer ist zuständig? |type="()"} | Sender | Empfänger +- Codiert die Nachricht -+ Decodiert die Nachricht +- Wählt den Kanal aus -+ Deutet die Zeichen {Ein Informatiker erklärt einem Kunden: «Ihr DNS-Server löst die Domain nicht auf.» Der Kunde versteht nichts. Woran liegt das? |type="()"} - Der Kanal ist gestört. || Nein, der Kunde hört die Wörter ja gut. + Sender und Empfänger haben keinen gemeinsamen Zeichenvorrat. || Richtig! Die Fachbegriffe gehören nicht zum Zeichenvorrat des Kunden. - Der Kunde hat falsch codiert. || Nein, der Kunde ist hier Empfänger – er decodiert. </quiz> == Stufe 3: Störungen == {| class="wikitable" style="width:100%; background:#f4f8ff;" | '''Theorie:''' Auf dem Weg vom Sender zum Empfänger kann vieles schiefgehen. Solche Einflüsse nennt man '''Störungen''' (auch: Rauschen). Man unterscheidet grob: * '''Technische / äussere Störungen:''' Lärm, schlechte Verbindung, unleserliche Schrift * '''Sprachliche Störungen:''' Fachjargon, Fremdsprache, unklare Formulierung * '''Persönliche / emotionale Störungen:''' Stress, Vorurteile, Müdigkeit, schlechte Beziehung zwischen den Beteiligten |} <quiz display=simple> {Ordnen Sie die Störungen der richtigen Art zu. |type="()"} | technisch / äusserlich | sprachlich | persönlich / emotional +-- Die Handyverbindung bricht ständig ab. -+- Der Sender verwendet viele Abkürzungen, die der Empfänger nicht kennt. --+ Der Empfänger ist wütend auf den Sender und hört nicht richtig zu. +-- Im Grossraumbüro ist es sehr laut. -+- Die Anleitung ist in einem komplizierten Amtsdeutsch geschrieben. --+ Die Lernende ist nach einer schlaflosen Nacht unkonzentriert. {Wo im Modell können Störungen auftreten? (Mehrere Antworten möglich) |type="[]"} + Beim Sender + Im Kanal + Beim Empfänger || Richtig – Störungen können an jeder Stelle des Kommunikationsprozesses auftreten. {Ergänzen Sie. |type="{}"} Alles, was die Übertragung einer Nachricht beeinträchtigt, nennt man eine { Störung|Störungen|Rauschen }. </quiz> == Stufe 4: Feedback – die Rückmeldung == {| class="wikitable" style="width:100%; background:#f4f8ff;" | '''Theorie:''' Woher weiss der Sender, ob seine Nachricht richtig angekommen ist? Durch das '''Feedback''' (Rückmeldung) des Empfängers. * Beim Feedback '''tauschen Sender und Empfänger die Rollen''': Der Empfänger wird zum Sender. * Feedback kann verbal sein («Habe ich Sie richtig verstanden, dass …?») oder nonverbal (Nicken, Stirnrunzeln). * Ohne Feedback spricht man von '''einseitiger''' Kommunikation, mit Feedback von '''zweiseitiger''' Kommunikation. |} <quiz display=simple> {Was passiert beim Feedback? |type="()"} - Der Sender wiederholt seine Nachricht lauter. || Nein, das ist höchstens ein Versuch, eine Störung zu überwinden. + Der Empfänger wird zum Sender und gibt eine Rückmeldung. || Richtig! Die Rollen werden getauscht. - Der Kanal wird gewechselt. || Nein, ein Kanalwechsel ist kein Feedback. {Welche Beispiele sind Feedback? (Mehrere Antworten möglich) |type="[]"} + Die Kundin sagt am Telefon: «Ich fasse zusammen: Die Lieferung kommt am Freitag?» + Ein Lernender runzelt während der Erklärung die Stirn. - Der Chef schickt eine Rundmail an alle Mitarbeitenden. || Eine Rundmail ist zunächst eine Nachricht des Senders – noch keine Rückmeldung. + Der Kunde antwortet auf eine Offerte: «Danke, ich bin einverstanden.» {Welche Kommunikation ist einseitig? |type="()"} + Eine Durchsage am Bahnhof || Richtig – die Reisenden können nicht direkt antworten. - Ein Verkaufsgespräch am Schalter || Nein, hier ist direktes Feedback möglich. - Ein Chat mit einem Kollegen || Nein, im Chat kann der Kollege sofort reagieren. </quiz> == Stufe 5: Anwendung – alles zusammen == {| class="wikitable" style="width:100%; background:#fff8e6;" | '''Fallbeispiel:''' Herr Brunner, Sachbearbeiter bei einer Versicherung, ruft eine Kundin an, um ihr mitzuteilen, dass ihr Schaden übernommen wird. Er spricht schnell und benutzt Begriffe wie «Selbstbehalt» und «Deckungsumfang». Im Hintergrund läuft der Drucker. Die Kundin sagt am Schluss: «Ich habe leider nicht alles verstanden. Könnten Sie mir das schriftlich schicken?» Herr Brunner sendet ihr danach eine kurze, einfach formulierte E-Mail. |} <quiz display=simple> {Wer ist im Telefongespräch zuerst der Sender? |type="()"} + Herr Brunner - Die Kundin - Die Versicherung als Firma || Nicht ganz – sprechen tut eine konkrete Person. {Welche Kanäle kommen im Fallbeispiel vor? (Mehrere Antworten möglich) |type="[]"} + Telefon + E-Mail - Brief || Die Kundin wünscht etwas Schriftliches, Herr Brunner wählt aber die E-Mail. - Persönliches Gespräch vor Ort {Welche Störungen treten auf? |type="()"} | tritt auf | tritt nicht auf +- Fachbegriffe (sprachliche Störung) +- Hintergrundgeräusch (äussere Störung) +- Schnelles Sprechen -+ Fremdsprache {Wie ist die Aussage der Kundin «Ich habe leider nicht alles verstanden» einzuordnen? |type="()"} + Es ist Feedback – die Kundin wird zur Senderin. || Richtig! Dank dieser Rückmeldung merkt Herr Brunner, dass seine Nachricht nicht angekommen ist. - Es ist eine Störung. || Nein, die Aussage zeigt eine Störung an, ist aber selbst eine Rückmeldung. - Es ist eine Codierung durch Herrn Brunner. || Nein, die Kundin spricht hier, nicht Herr Brunner. {Was hat Herr Brunner mit seiner E-Mail verbessert? (Mehrere Antworten möglich) |type="[]"} + Er hat einen anderen Kanal gewählt. + Er hat die Nachricht anders codiert (einfachere Sprache). + Er hat auf das Feedback der Kundin reagiert. - Er hat den Empfänger gewechselt. || Nein, die Kundin bleibt Empfängerin. {Ergänzen Sie den Merksatz. |type="{}"} Eine Nachricht kommt nur dann richtig an, wenn der Sender verständlich { codiert|kodiert }, einen passenden { Kanal } wählt, { Störungen } möglichst vermeidet und das { Feedback|Rückmeldung } des Empfängers beachtet. </quiz> == Zusammenfassung == {| class="wikitable" ! Begriff !! Bedeutung |- | Sender || Person, die etwas mitteilt |- | Empfänger || Person, die die Mitteilung aufnimmt |- | Nachricht || Inhalt, der übermittelt wird |- | Codierung || Gedanken in Zeichen übersetzen (Sender) |- | Kanal || Übertragungsweg (Telefon, E-Mail, Gespräch …) |- | Decodierung || Zeichen deuten und verstehen (Empfänger) |- | Zeichenvorrat || Gemeinsame Sprache und Begriffe beider Beteiligten |- | Störung || Alles, was die Übertragung beeinträchtigt |- | Feedback || Rückmeldung des Empfängers; die Rollen werden getauscht |} =Weiterführendes = * [[:w:alpha-Lernen|alpha-Lernen]] zum Thema ''Kommunikation'' durcharbeiten. == Missverständnisse == <quiz display="simple"> { '''Um Störungen und Missverständnisse in der Kommunikation zu vermeiden, gibt es einige bewährte Praktiken.''' Ergänze: aktiv, Diversität, Emotionen, Feedback, Fragen, kanal, klar, korrekt, Mehrdeutigkeiten, schriftlich, Zielgruppe. | type="{}" } - Formulieren Sie Ihre Botschaften so '''{ klar } und präzise''' wie möglich. Vermeiden Sie { Mehrdeutigkeiten } und vage Ausdrücke. - Als Empfänger ist es wichtig, '''{ aktiv } zuzuhören''' und sicherzustellen, dass Sie die Botschaft des Senders { korrekt } verstanden haben. Stellen Sie { Fragen }, um Unklarheiten zu beseitigen. - Wählen Sie den '''Kommunikations{ kanal }''', der am besten zur Botschaft und zum Zweck passt. Manche Informationen sind besser { schriftlich }, während andere mündlich übermittelt werden sollten. - Denken Sie daran, wer Ihre '''{ Zielgruppe }''' ist, und passen Sie Ihre Kommunikation an deren Bedürfnisse und Vorkenntnisse an. - Als Sender sollten Sie aktiv '''{ Feedback }''' von Ihrem Empfänger einholen, um sicherzustellen, dass die Botschaft angekommen ist und verstanden wurde. - Beachten Sie '''kulturelle Unterschiede und { Diversität }''', die die Interpretation von Botschaften beeinflussen können. - Berücksichtigen Sie die '''{ Emotionen } und Gefühle''' der Empfänger Ihrer Nachricht, da sie die Kommunikation stark beeinflussen können. </quiz> [[Kategorie:Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)]] rjjhqegae1zsjjsdsfbj44x707tjj0m 1118623 1118622 2026-11-02T12:03:48Z Paul Sutermeister 37610 Paul Sutermeister verschob die Seite [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Kommunikation]] nach [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Sender-Empfänger-Modell]]: präziseres Lemma 1118622 wikitext text/x-wiki <!--* [[:w:Kommunikationsmittel#Arten|Kommunikationsmittel]] * [[:w:Verständigung|Kommunikationsziel]] * [[:w:Stakeholder#Stakeholder_eines_Unternehmens|Zielgruppe]]--> __NOTOC__ = [[:w:Sender-Empfänger-Modell|Sender-Empfänger-Modell]] = <quiz display="simple"> { [[Bild:Sender-Empfänger-Modell nach Shannon und Weaver.jpg|400px| ]] | typ="[]" } | Sender | Kanal | Empfänger +-- codiert -+- verzerrt --+ decodiert { Ergänze: '''Botschaft''', '''Dekodierung''', '''Feedback''', '''Kanal''', '''Kodierung''', '''Sender'''. | type="{}" } { Sender } = Die Person oder Entität, die eine Botschaft sendet. { Botschaft } = Die Information oder Mitteilung, die der Sender dem Empfänger übermitteln möchte. { Kodierung } = Der Prozess, bei dem der Sender die Botschaft in ein für die Übertragung geeignetes Format umwandelt, z. B. in Worte, Bilder oder Gesten. { Kanal } = Das Medium oder der Weg, über den die Botschaft übertragen wird, z. B. gesprochene Sprache, Textnachrichten oder E-Mails. { Dekodierung } = Der Prozess, bei dem der Empfänger die empfangene Botschaft interpretiert und versucht zu verstehen, was der Sender mitteilen möchte. { Feedback } = Die Reaktion oder Antwort des Empfängers auf die Botschaft, die dem Sender Informationen darüber gibt, wie gut die Botschaft verstanden wurde. { Ergänze '''bedeuten''', '''Emotionen''', '''Kommunikationsmittel''', '''Kultur''', '''Rückmeldung''', '''Sprachen''', '''stören''', '''unklar''', '''Vorurteile''', '''Wissen'''. | type="{}" } Wörter oder Symbole { bedeuten } für Sender anderes als für Empfänger. Sender und Empfänger sprechen verschiedene { Sprachen }. Gesten, Symbole und Verhaltensweisen bedeuten je nach { Kultur } etwas anderes. Lärm und Ablenkung { stören } die Kommunikation. Sender und Empfänger haben { Emotionen|Vorurteile }. Sender formulieren ihre Botschaft { unklar } oder mehrdeutig. { Emotionen|Vorurteile } beeinflussen, wie Nachrichten interpretiert werden. Wenn Sender und Empfänger gemeinsames { Wissen } oder gemeinsame Erfahrungen teilen, verstehen sie sich besser. Empfänger zeigen mit einer { Rückmeldung }, ob sie Botschaften richtig verstanden haben. { Kommunikationsmittel } (zum Beispiel schriftliche Nachrichten, persönliche Gespräche oder visuelle Kommunikation) werden bewusst gewählt. </quiz> = Lern-Quiz: Das Sender-Empfänger-Modell = Dieses Quiz baut Schritt für Schritt auf. Lesen Sie jeweils zuerst die kurze Theorie und lösen Sie dann die Fragen. Gehen Sie erst zur nächsten Stufe, wenn Sie die vorherige sicher beherrschen. == Stufe 1: Die Grundidee == {| class="wikitable" style="width:100%; background:#f4f8ff;" | '''Theorie:''' Bei jeder Kommunikation gibt es mindestens zwei Beteiligte: * Der '''Sender''' möchte etwas mitteilen. * Der '''Empfänger''' nimmt die Mitteilung auf. * Was übermittelt wird, ist die '''Nachricht''' (auch: Botschaft). |} <quiz display=simple> {Wer ist im Sender-Empfänger-Modell die Person, die eine Nachricht verschickt? |type="()"} + Der Sender || Richtig! Der Sender ist der Ausgangspunkt der Kommunikation. - Der Empfänger || Nein, der Empfänger nimmt die Nachricht auf. - Der Kanal || Nein, der Kanal ist der Übertragungsweg. {Frau Keller schreibt ihrem Chef eine E-Mail. Wer ist der Empfänger? |type="()"} - Frau Keller || Nein, Frau Keller schreibt die E-Mail – sie ist die Senderin. + Der Chef || Richtig! Er erhält die Nachricht. - Die E-Mail || Nein, die E-Mail ist das Mittel, mit dem die Nachricht übermittelt wird. {Ergänzen Sie die Lücken. |type="{}"} Bei der Kommunikation schickt der { Sender } eine { Nachricht|Botschaft } an den { Empfänger }. </quiz> == Stufe 2: Kanal, Codierung und Decodierung == {| class="wikitable" style="width:100%; background:#f4f8ff;" | '''Theorie:''' Eine Nachricht kann nicht einfach «vom Kopf in den Kopf» springen. * Der Sender muss seine Gedanken in Zeichen übersetzen (Wörter, Gesten, Bilder). Das nennt man '''Codierung'''. * Die Nachricht wird über einen '''Kanal''' übertragen, z. B. Sprache im direkten Gespräch, Telefon, E-Mail, Brief oder Chat. * Der Empfänger muss die Zeichen wieder deuten und verstehen. Das nennt man '''Decodierung'''. * Damit das klappt, brauchen beide einen '''gemeinsamen Zeichenvorrat''' (z. B. dieselbe Sprache, dieselben Fachbegriffe). |} <quiz display=simple> {Was versteht man unter Codierung? |type="()"} - Der Empfänger versteht die Nachricht. || Nein, das ist die Decodierung. + Der Sender übersetzt seine Gedanken in Zeichen (z. B. Wörter). || Richtig! - Die Nachricht wird verschlüsselt, damit niemand sie lesen kann. || Nein, im Kommunikationsmodell hat Codierung nichts mit Geheimhaltung zu tun. {Welche der folgenden Beispiele sind Kanäle? (Mehrere Antworten möglich) |type="[]"} + Telefon + E-Mail - Der Kunde || Der Kunde ist eine Person, also Sender oder Empfänger. + Brief - Die Reklamation || Die Reklamation ist der Inhalt, also die Nachricht. {Ordnen Sie zu: Wer ist zuständig? |type="()"} | Sender | Empfänger +- Codiert die Nachricht -+ Decodiert die Nachricht +- Wählt den Kanal aus -+ Deutet die Zeichen {Ein Informatiker erklärt einem Kunden: «Ihr DNS-Server löst die Domain nicht auf.» Der Kunde versteht nichts. Woran liegt das? |type="()"} - Der Kanal ist gestört. || Nein, der Kunde hört die Wörter ja gut. + Sender und Empfänger haben keinen gemeinsamen Zeichenvorrat. || Richtig! Die Fachbegriffe gehören nicht zum Zeichenvorrat des Kunden. - Der Kunde hat falsch codiert. || Nein, der Kunde ist hier Empfänger – er decodiert. </quiz> == Stufe 3: Störungen == {| class="wikitable" style="width:100%; background:#f4f8ff;" | '''Theorie:''' Auf dem Weg vom Sender zum Empfänger kann vieles schiefgehen. Solche Einflüsse nennt man '''Störungen''' (auch: Rauschen). Man unterscheidet grob: * '''Technische / äussere Störungen:''' Lärm, schlechte Verbindung, unleserliche Schrift * '''Sprachliche Störungen:''' Fachjargon, Fremdsprache, unklare Formulierung * '''Persönliche / emotionale Störungen:''' Stress, Vorurteile, Müdigkeit, schlechte Beziehung zwischen den Beteiligten |} <quiz display=simple> {Ordnen Sie die Störungen der richtigen Art zu. |type="()"} | technisch / äusserlich | sprachlich | persönlich / emotional +-- Die Handyverbindung bricht ständig ab. -+- Der Sender verwendet viele Abkürzungen, die der Empfänger nicht kennt. --+ Der Empfänger ist wütend auf den Sender und hört nicht richtig zu. +-- Im Grossraumbüro ist es sehr laut. -+- Die Anleitung ist in einem komplizierten Amtsdeutsch geschrieben. --+ Die Lernende ist nach einer schlaflosen Nacht unkonzentriert. {Wo im Modell können Störungen auftreten? (Mehrere Antworten möglich) |type="[]"} + Beim Sender + Im Kanal + Beim Empfänger || Richtig – Störungen können an jeder Stelle des Kommunikationsprozesses auftreten. {Ergänzen Sie. |type="{}"} Alles, was die Übertragung einer Nachricht beeinträchtigt, nennt man eine { Störung|Störungen|Rauschen }. </quiz> == Stufe 4: Feedback – die Rückmeldung == {| class="wikitable" style="width:100%; background:#f4f8ff;" | '''Theorie:''' Woher weiss der Sender, ob seine Nachricht richtig angekommen ist? Durch das '''Feedback''' (Rückmeldung) des Empfängers. * Beim Feedback '''tauschen Sender und Empfänger die Rollen''': Der Empfänger wird zum Sender. * Feedback kann verbal sein («Habe ich Sie richtig verstanden, dass …?») oder nonverbal (Nicken, Stirnrunzeln). * Ohne Feedback spricht man von '''einseitiger''' Kommunikation, mit Feedback von '''zweiseitiger''' Kommunikation. |} <quiz display=simple> {Was passiert beim Feedback? |type="()"} - Der Sender wiederholt seine Nachricht lauter. || Nein, das ist höchstens ein Versuch, eine Störung zu überwinden. + Der Empfänger wird zum Sender und gibt eine Rückmeldung. || Richtig! Die Rollen werden getauscht. - Der Kanal wird gewechselt. || Nein, ein Kanalwechsel ist kein Feedback. {Welche Beispiele sind Feedback? (Mehrere Antworten möglich) |type="[]"} + Die Kundin sagt am Telefon: «Ich fasse zusammen: Die Lieferung kommt am Freitag?» + Ein Lernender runzelt während der Erklärung die Stirn. - Der Chef schickt eine Rundmail an alle Mitarbeitenden. || Eine Rundmail ist zunächst eine Nachricht des Senders – noch keine Rückmeldung. + Der Kunde antwortet auf eine Offerte: «Danke, ich bin einverstanden.» {Welche Kommunikation ist einseitig? |type="()"} + Eine Durchsage am Bahnhof || Richtig – die Reisenden können nicht direkt antworten. - Ein Verkaufsgespräch am Schalter || Nein, hier ist direktes Feedback möglich. - Ein Chat mit einem Kollegen || Nein, im Chat kann der Kollege sofort reagieren. </quiz> == Stufe 5: Anwendung – alles zusammen == {| class="wikitable" style="width:100%; background:#fff8e6;" | '''Fallbeispiel:''' Herr Brunner, Sachbearbeiter bei einer Versicherung, ruft eine Kundin an, um ihr mitzuteilen, dass ihr Schaden übernommen wird. Er spricht schnell und benutzt Begriffe wie «Selbstbehalt» und «Deckungsumfang». Im Hintergrund läuft der Drucker. Die Kundin sagt am Schluss: «Ich habe leider nicht alles verstanden. Könnten Sie mir das schriftlich schicken?» Herr Brunner sendet ihr danach eine kurze, einfach formulierte E-Mail. |} <quiz display=simple> {Wer ist im Telefongespräch zuerst der Sender? |type="()"} + Herr Brunner - Die Kundin - Die Versicherung als Firma || Nicht ganz – sprechen tut eine konkrete Person. {Welche Kanäle kommen im Fallbeispiel vor? (Mehrere Antworten möglich) |type="[]"} + Telefon + E-Mail - Brief || Die Kundin wünscht etwas Schriftliches, Herr Brunner wählt aber die E-Mail. - Persönliches Gespräch vor Ort {Welche Störungen treten auf? |type="()"} | tritt auf | tritt nicht auf +- Fachbegriffe (sprachliche Störung) +- Hintergrundgeräusch (äussere Störung) +- Schnelles Sprechen -+ Fremdsprache {Wie ist die Aussage der Kundin «Ich habe leider nicht alles verstanden» einzuordnen? |type="()"} + Es ist Feedback – die Kundin wird zur Senderin. || Richtig! Dank dieser Rückmeldung merkt Herr Brunner, dass seine Nachricht nicht angekommen ist. - Es ist eine Störung. || Nein, die Aussage zeigt eine Störung an, ist aber selbst eine Rückmeldung. - Es ist eine Codierung durch Herrn Brunner. || Nein, die Kundin spricht hier, nicht Herr Brunner. {Was hat Herr Brunner mit seiner E-Mail verbessert? (Mehrere Antworten möglich) |type="[]"} + Er hat einen anderen Kanal gewählt. + Er hat die Nachricht anders codiert (einfachere Sprache). + Er hat auf das Feedback der Kundin reagiert. - Er hat den Empfänger gewechselt. || Nein, die Kundin bleibt Empfängerin. {Ergänzen Sie den Merksatz. |type="{}"} Eine Nachricht kommt nur dann richtig an, wenn der Sender verständlich { codiert|kodiert }, einen passenden { Kanal } wählt, { Störungen } möglichst vermeidet und das { Feedback|Rückmeldung } des Empfängers beachtet. </quiz> == Zusammenfassung == {| class="wikitable" ! Begriff !! Bedeutung |- | Sender || Person, die etwas mitteilt |- | Empfänger || Person, die die Mitteilung aufnimmt |- | Nachricht || Inhalt, der übermittelt wird |- | Codierung || Gedanken in Zeichen übersetzen (Sender) |- | Kanal || Übertragungsweg (Telefon, E-Mail, Gespräch …) |- | Decodierung || Zeichen deuten und verstehen (Empfänger) |- | Zeichenvorrat || Gemeinsame Sprache und Begriffe beider Beteiligten |- | Störung || Alles, was die Übertragung beeinträchtigt |- | Feedback || Rückmeldung des Empfängers; die Rollen werden getauscht |} =Weiterführendes = * [[:w:alpha-Lernen|alpha-Lernen]] zum Thema ''Kommunikation'' durcharbeiten. == Missverständnisse == <quiz display="simple"> { '''Um Störungen und Missverständnisse in der Kommunikation zu vermeiden, gibt es einige bewährte Praktiken.''' Ergänze: aktiv, Diversität, Emotionen, Feedback, Fragen, kanal, klar, korrekt, Mehrdeutigkeiten, schriftlich, Zielgruppe. | type="{}" } - Formulieren Sie Ihre Botschaften so '''{ klar } und präzise''' wie möglich. Vermeiden Sie { Mehrdeutigkeiten } und vage Ausdrücke. - Als Empfänger ist es wichtig, '''{ aktiv } zuzuhören''' und sicherzustellen, dass Sie die Botschaft des Senders { korrekt } verstanden haben. Stellen Sie { Fragen }, um Unklarheiten zu beseitigen. - Wählen Sie den '''Kommunikations{ kanal }''', der am besten zur Botschaft und zum Zweck passt. Manche Informationen sind besser { schriftlich }, während andere mündlich übermittelt werden sollten. - Denken Sie daran, wer Ihre '''{ Zielgruppe }''' ist, und passen Sie Ihre Kommunikation an deren Bedürfnisse und Vorkenntnisse an. - Als Sender sollten Sie aktiv '''{ Feedback }''' von Ihrem Empfänger einholen, um sicherzustellen, dass die Botschaft angekommen ist und verstanden wurde. - Beachten Sie '''kulturelle Unterschiede und { Diversität }''', die die Interpretation von Botschaften beeinflussen können. - Berücksichtigen Sie die '''{ Emotionen } und Gefühle''' der Empfänger Ihrer Nachricht, da sie die Kommunikation stark beeinflussen können. </quiz> [[Kategorie:Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)]] rjjhqegae1zsjjsdsfbj44x707tjj0m 1118757 1118623 2026-11-03T10:44:22Z Paul Sutermeister 37610 1118757 wikitext text/x-wiki <!--* [[:w:Kommunikationsmittel#Arten|Kommunikationsmittel]] * [[:w:Verständigung|Kommunikationsziel]] * [[:w:Stakeholder#Stakeholder_eines_Unternehmens|Zielgruppe]]--> __NOTOC__ = Lern-Quiz: [[:w:Sender-Empfänger-Modell|Sender-Empfänger-Modell]] = [[Bild:Sender-Empfänger-Modell nach Shannon und Weaver.jpg|thumb]] Dieses Quiz baut Schritt für Schritt auf. Lesen Sie jeweils zuerst die kurze Theorie und lösen Sie dann die Fragen. Gehen Sie erst zur nächsten Stufe, wenn Sie die vorherige sicher beherrschen. == Stufe 1: Die Grundidee == {| class="wikitable" style="width:100%; background:#f4f8ff;" | '''Theorie:''' Bei jeder Kommunikation gibt es mindestens zwei Beteiligte: * Der '''Sender''' möchte etwas mitteilen. * Der '''Empfänger''' nimmt die Mitteilung auf. * Was übermittelt wird, ist die '''Nachricht''' (auch: Botschaft). |} <quiz display=simple> {Wer ist im Sender-Empfänger-Modell die Person, die eine Nachricht verschickt? |type="()"} + Der Sender || Richtig! Der Sender ist der Ausgangspunkt der Kommunikation. - Der Empfänger || Nein, der Empfänger nimmt die Nachricht auf. - Der Kanal || Nein, der Kanal ist der Übertragungsweg. {Frau Keller schreibt ihrem Chef eine E-Mail. Wer ist der Empfänger? |type="()"} - Frau Keller || Nein, Frau Keller schreibt die E-Mail – sie ist die Senderin. + Der Chef || Richtig! Er erhält die Nachricht. - Die E-Mail || Nein, die E-Mail ist das Mittel, mit dem die Nachricht übermittelt wird. {Ergänzen Sie die Lücken. |type="{}"} Bei der Kommunikation schickt der { Sender } eine { Nachricht|Botschaft } an den { Empfänger }. </quiz> == Stufe 2: Kanal, Codierung und Decodierung == {| class="wikitable" style="width:100%; background:#f4f8ff;" | '''Theorie:''' Eine Nachricht kann nicht einfach «vom Kopf in den Kopf» springen. * Der Sender muss seine Gedanken in Zeichen übersetzen (Wörter, Gesten, Bilder). Das nennt man '''Codierung'''. * Die Nachricht wird über einen '''Kanal''' übertragen, z. B. Sprache im direkten Gespräch, Telefon, E-Mail, Brief oder Chat. * Der Empfänger muss die Zeichen wieder deuten und verstehen. Das nennt man '''Decodierung'''. * Damit das klappt, brauchen beide einen '''gemeinsamen Zeichenvorrat''' (z. B. dieselbe Sprache, dieselben Fachbegriffe). |} <quiz display=simple> {Was versteht man unter Codierung? |type="()"} - Der Empfänger versteht die Nachricht. || Nein, das ist die Decodierung. + Der Sender übersetzt seine Gedanken in Zeichen (z. B. Wörter). || Richtig! - Die Nachricht wird verschlüsselt, damit niemand sie lesen kann. || Nein, im Kommunikationsmodell hat Codierung nichts mit Geheimhaltung zu tun. {Welche der folgenden Beispiele sind Kanäle? (Mehrere Antworten möglich) |type="[]"} + Telefon + E-Mail - Der Kunde || Der Kunde ist eine Person, also Sender oder Empfänger. + Brief - Die Reklamation || Die Reklamation ist der Inhalt, also die Nachricht. {Ordnen Sie zu: Wer ist zuständig? |type="()"} | Sender | Empfänger +- Codiert die Nachricht -+ Decodiert die Nachricht +- Wählt den Kanal aus -+ Deutet die Zeichen {Ein Informatiker erklärt einem Kunden: «Ihr DNS-Server löst die Domain nicht auf.» Der Kunde versteht nichts. Woran liegt das? |type="()"} - Der Kanal ist gestört. || Nein, der Kunde hört die Wörter ja gut. + Sender und Empfänger haben keinen gemeinsamen Zeichenvorrat. || Richtig! Die Fachbegriffe gehören nicht zum Zeichenvorrat des Kunden. - Der Kunde hat falsch codiert. || Nein, der Kunde ist hier Empfänger – er decodiert. </quiz> <quiz display="simple"> { [[Bild:Sender-Empfänger-Modell nach Shannon und Weaver.jpg|400px| ]] | typ="[]" } | Sender | Kanal | Empfänger +-- codiert -+- verzerrt --+ decodiert { Ergänze: '''Botschaft''', '''Dekodierung''', '''Feedback''', '''Kanal''', '''Kodierung''', '''Sender'''. | type="{}" } { Sender } = Die Person oder Entität, die eine Botschaft sendet. { Botschaft } = Die Information oder Mitteilung, die der Sender dem Empfänger übermitteln möchte. { Kodierung } = Der Prozess, bei dem der Sender die Botschaft in ein für die Übertragung geeignetes Format umwandelt, z. B. in Worte, Bilder oder Gesten. { Kanal } = Das Medium oder der Weg, über den die Botschaft übertragen wird, z. B. gesprochene Sprache, Textnachrichten oder E-Mails. { Dekodierung } = Der Prozess, bei dem der Empfänger die empfangene Botschaft interpretiert und versucht zu verstehen, was der Sender mitteilen möchte. { Feedback } = Die Reaktion oder Antwort des Empfängers auf die Botschaft, die dem Sender Informationen darüber gibt, wie gut die Botschaft verstanden wurde. </quiz> == Stufe 3: Störungen == {| class="wikitable" style="width:100%; background:#f4f8ff;" | '''Theorie:''' Auf dem Weg vom Sender zum Empfänger kann vieles schiefgehen. Solche Einflüsse nennt man '''Störungen''' (auch: Rauschen). Man unterscheidet grob: * '''Technische / äussere Störungen:''' Lärm, schlechte Verbindung, unleserliche Schrift * '''Sprachliche Störungen:''' Fachjargon, Fremdsprache, unklare Formulierung * '''Persönliche / emotionale Störungen:''' Stress, Vorurteile, Müdigkeit, schlechte Beziehung zwischen den Beteiligten |} <quiz display=simple> {Ordnen Sie die Störungen der richtigen Art zu. |type="()"} | technisch / äusserlich | sprachlich | persönlich / emotional +-- Die Handyverbindung bricht ständig ab. -+- Der Sender verwendet viele Abkürzungen, die der Empfänger nicht kennt. --+ Der Empfänger ist wütend auf den Sender und hört nicht richtig zu. +-- Im Grossraumbüro ist es sehr laut. -+- Die Anleitung ist in einem komplizierten Amtsdeutsch geschrieben. --+ Die Lernende ist nach einer schlaflosen Nacht unkonzentriert. {Wo im Modell können Störungen auftreten? (Mehrere Antworten möglich) |type="[]"} + Beim Sender + Im Kanal + Beim Empfänger || Richtig – Störungen können an jeder Stelle des Kommunikationsprozesses auftreten. {Ergänzen Sie. |type="{}"} Alles, was die Übertragung einer Nachricht beeinträchtigt, nennt man eine { Störung|Störungen|Rauschen }. </quiz> <quiz> { Ergänze '''bedeuten''', '''Emotionen''', '''Kommunikationsmittel''', '''Kultur''', '''Rückmeldung''', '''Sprachen''', '''stören''', '''unklar''', '''Vorurteile''', '''Wissen'''. | type="{}" } Wörter oder Symbole { bedeuten } für Sender anderes als für Empfänger. Sender und Empfänger sprechen verschiedene { Sprachen }. Gesten, Symbole und Verhaltensweisen bedeuten je nach { Kultur } etwas anderes. Lärm und Ablenkung { stören } die Kommunikation. Sender und Empfänger haben { Emotionen|Vorurteile }. Sender formulieren ihre Botschaft { unklar } oder mehrdeutig. { Emotionen|Vorurteile } beeinflussen, wie Nachrichten interpretiert werden. Wenn Sender und Empfänger gemeinsames { Wissen } oder gemeinsame Erfahrungen teilen, verstehen sie sich besser. Empfänger zeigen mit einer { Rückmeldung }, ob sie Botschaften richtig verstanden haben. { Kommunikationsmittel } (zum Beispiel schriftliche Nachrichten, persönliche Gespräche oder visuelle Kommunikation) werden bewusst gewählt. </quiz> == Stufe 4: Feedback – die Rückmeldung == {| class="wikitable" style="width:100%; background:#f4f8ff;" | '''Theorie:''' Woher weiss der Sender, ob seine Nachricht richtig angekommen ist? Durch das '''Feedback''' (Rückmeldung) des Empfängers. * Beim Feedback '''tauschen Sender und Empfänger die Rollen''': Der Empfänger wird zum Sender. * Feedback kann verbal sein («Habe ich Sie richtig verstanden, dass …?») oder nonverbal (Nicken, Stirnrunzeln). * Ohne Feedback spricht man von '''einseitiger''' Kommunikation, mit Feedback von '''zweiseitiger''' Kommunikation. |} <quiz display=simple> {Was passiert beim Feedback? |type="()"} - Der Sender wiederholt seine Nachricht lauter. || Nein, das ist höchstens ein Versuch, eine Störung zu überwinden. + Der Empfänger wird zum Sender und gibt eine Rückmeldung. || Richtig! Die Rollen werden getauscht. - Der Kanal wird gewechselt. || Nein, ein Kanalwechsel ist kein Feedback. {Welche Beispiele sind Feedback? (Mehrere Antworten möglich) |type="[]"} + Die Kundin sagt am Telefon: «Ich fasse zusammen: Die Lieferung kommt am Freitag?» + Ein Lernender runzelt während der Erklärung die Stirn. - Der Chef schickt eine Rundmail an alle Mitarbeitenden. || Eine Rundmail ist zunächst eine Nachricht des Senders – noch keine Rückmeldung. + Der Kunde antwortet auf eine Offerte: «Danke, ich bin einverstanden.» {Welche Kommunikation ist einseitig? |type="()"} + Eine Durchsage am Bahnhof || Richtig – die Reisenden können nicht direkt antworten. - Ein Verkaufsgespräch am Schalter || Nein, hier ist direktes Feedback möglich. - Ein Chat mit einem Kollegen || Nein, im Chat kann der Kollege sofort reagieren. </quiz> == Stufe 5: Anwendung – alles zusammen == {| class="wikitable" style="width:100%; background:#fff8e6;" | '''Fallbeispiel:''' Herr Brunner, Sachbearbeiter bei einer Versicherung, ruft eine Kundin an, um ihr mitzuteilen, dass ihr Schaden übernommen wird. Er spricht schnell und benutzt Begriffe wie «Selbstbehalt» und «Deckungsumfang». Im Hintergrund läuft der Drucker. Die Kundin sagt am Schluss: «Ich habe leider nicht alles verstanden. Könnten Sie mir das schriftlich schicken?» Herr Brunner sendet ihr danach eine kurze, einfach formulierte E-Mail. |} <quiz display=simple> {Wer ist im Telefongespräch zuerst der Sender? |type="()"} + Herr Brunner - Die Kundin - Die Versicherung als Firma || Nicht ganz – sprechen tut eine konkrete Person. {Welche Kanäle kommen im Fallbeispiel vor? (Mehrere Antworten möglich) |type="[]"} + Telefon + E-Mail - Brief || Die Kundin wünscht etwas Schriftliches, Herr Brunner wählt aber die E-Mail. - Persönliches Gespräch vor Ort {Welche Störungen treten auf? |type="()"} | tritt auf | tritt nicht auf +- Fachbegriffe (sprachliche Störung) +- Hintergrundgeräusch (äussere Störung) +- Schnelles Sprechen -+ Fremdsprache {Wie ist die Aussage der Kundin «Ich habe leider nicht alles verstanden» einzuordnen? |type="()"} + Es ist Feedback – die Kundin wird zur Senderin. || Richtig! Dank dieser Rückmeldung merkt Herr Brunner, dass seine Nachricht nicht angekommen ist. - Es ist eine Störung. || Nein, die Aussage zeigt eine Störung an, ist aber selbst eine Rückmeldung. - Es ist eine Codierung durch Herrn Brunner. || Nein, die Kundin spricht hier, nicht Herr Brunner. {Was hat Herr Brunner mit seiner E-Mail verbessert? (Mehrere Antworten möglich) |type="[]"} + Er hat einen anderen Kanal gewählt. + Er hat die Nachricht anders codiert (einfachere Sprache). + Er hat auf das Feedback der Kundin reagiert. - Er hat den Empfänger gewechselt. || Nein, die Kundin bleibt Empfängerin. {Ergänzen Sie den Merksatz. |type="{}"} Eine Nachricht kommt nur dann richtig an, wenn der Sender verständlich { codiert|kodiert }, einen passenden { Kanal } wählt, { Störungen } möglichst vermeidet und das { Feedback|Rückmeldung } des Empfängers beachtet. </quiz> == Zusammenfassung == {| class="wikitable" ! Begriff !! Bedeutung |- | Sender || Person, die etwas mitteilt |- | Empfänger || Person, die die Mitteilung aufnimmt |- | Nachricht || Inhalt, der übermittelt wird |- | Codierung || Gedanken in Zeichen übersetzen (Sender) |- | Kanal || Übertragungsweg (Telefon, E-Mail, Gespräch …) |- | Decodierung || Zeichen deuten und verstehen (Empfänger) |- | Zeichenvorrat || Gemeinsame Sprache und Begriffe beider Beteiligten |- | Störung || Alles, was die Übertragung beeinträchtigt |- | Feedback || Rückmeldung des Empfängers; die Rollen werden getauscht |} =Weiterführendes = * [[:w:alpha-Lernen|alpha-Lernen]] zum Thema ''Kommunikation'' durcharbeiten. == Missverständnisse == <quiz display="simple"> { '''Um Störungen und Missverständnisse in der Kommunikation zu vermeiden, gibt es einige bewährte Praktiken.''' Ergänze: aktiv, Diversität, Emotionen, Feedback, Fragen, kanal, klar, korrekt, Mehrdeutigkeiten, schriftlich, Zielgruppe. | type="{}" } - Formulieren Sie Ihre Botschaften so '''{ klar } und präzise''' wie möglich. Vermeiden Sie { Mehrdeutigkeiten } und vage Ausdrücke. - Als Empfänger ist es wichtig, '''{ aktiv } zuzuhören''' und sicherzustellen, dass Sie die Botschaft des Senders { korrekt } verstanden haben. Stellen Sie { Fragen }, um Unklarheiten zu beseitigen. - Wählen Sie den '''Kommunikations{ kanal }''', der am besten zur Botschaft und zum Zweck passt. Manche Informationen sind besser { schriftlich }, während andere mündlich übermittelt werden sollten. - Denken Sie daran, wer Ihre '''{ Zielgruppe }''' ist, und passen Sie Ihre Kommunikation an deren Bedürfnisse und Vorkenntnisse an. - Als Sender sollten Sie aktiv '''{ Feedback }''' von Ihrem Empfänger einholen, um sicherzustellen, dass die Botschaft angekommen ist und verstanden wurde. - Beachten Sie '''kulturelle Unterschiede und { Diversität }''', die die Interpretation von Botschaften beeinflussen können. - Berücksichtigen Sie die '''{ Emotionen } und Gefühle''' der Empfänger Ihrer Nachricht, da sie die Kommunikation stark beeinflussen können. </quiz> [[Kategorie:Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)]] t844bn9re9d0lwapwrxxe10lucb0x2k 106 167054 1118625 1118617 2026-11-02T12:04:27Z Paul Sutermeister 37610 1118625 wikitext text/x-wiki Das Programm des Kurses '''Personal Skills''' zur Erlangung des [[Kurs:Handelsdiplom|Handelsdiploms]] des [[:w:Verband Schweizerischer Handelsschulen|Verbandes Schweizerischer Handelsschulen]] (VSH) basiert auf den Leistungszielen des VSH<ref>[https://www.vsh.swiss/assets/Downloads/Reglemente/VSH-Business/VSH-Reglement-HD-kZu-Kauffrau-Kaufmann-2025_rev_Brand_V1.pdf ''Reglement Handelsdiplom VSH Business Kaufmännische Zusatzausbildung.''] [[:w:Verband Schweizerischer Handelsschulen|Verband Schweizerischer Handelsschulen]], 2025, Seite 26.</ref> <small>(kleine Änderungen vorbehalten)</small>: {| class="wikitable" ! Kurstag (jeweils 45 Minuten) ! Kursinhalt ! Lehrmittel |- | 10./11. August 2026 | '''Office Knigge''':</br>Telefongespräch, Reklamation, E-Mail (Abwesenheitsmeldung), soziale Netzwerke | Graber/Ritter (2025), Seiten 7-18<ref>Bettina Graber, Sonja Ritter: ''Office-Knigge & Selbstmanagement / Personal Skills für Handelsschulen: Praxisorientierte Theorie, Aufgaben & Lösungen.'' Schaffhausen: [[:w:Westermann Gruppe|Westermann]], 2025. 134 Seiten. ISBN 978-3-85612-002-3</ref> |- | 17./18. August | '''Bekleidung und Auftreten'''</br> | Seiten 24-31 |- | 24./25. August | '''Arbeiten im Team''':</br>[[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Johari|Johari-Fenster]], [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Maslow|Maslows Bedürfnispyramide]], [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Eisberg|Eisbergmodell]], [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Teamrolle|Teamrollen]], Teamwerte, Wertschätzung | Seiten 35-43 |- | 31. August / 1. September | Arbeiten im Team:</br>[[Kurs:Personal_Skills_(Handelsdiplom_VSH)/Sender-Empfänger-Modell|Sender-Empfänger-Modell]], [[Kurs:Personal_Skills_(Handelsdiplom_VSH)/Watzlawick|Watzlawick-Axiome]] | Seiten 44-46 |- | 7./8. September | Arbeiten im Team:</br>[[Kurs:Personal_Skills_(Handelsdiplom_VSH)/Vier-Seiten-Modell|Vier-Seiten-Modell]], Distanzzonen | Seiten 46-48 |- | 14./15. September | Arbeiten im Team:</br>[[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Kognitive Verzerrung|Wahrnehmungsfehler]], [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Teambildung|Teamphasen (Tuckman)]] | Seiten 48-51 |- | 21./22. September | Arbeiten im Team:</br>[[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Fragen|Fragetechniken]], «Nein» sagen | Seiten 52-56 |- | 12./13. Oktober | Arbeiten im Team:</br>Stressoren, Konflikt | Seiten 56-61 |- | 19./20. Oktober | Arbeiten im Team:</br>Umgang mit [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Eskalation|Konflikt → Mobbing]] verhindern | Seiten 62-68 |- | 26./27. Oktober | Arbeiten im Team:</br>Resilienz | Seiten 69-75 |- | 2./3. November | '''Eventmanagement''':</br> Konzept, Checkliste | Seiten 82-86 |- | 9./10. November | '''Selbstmanagement''':</br>[[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/SMART|SMART]], [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Paretoprinzip|Pareto]] | Seiten 90-94 |- | 16./17. November | Selbstmanagement:</br>[[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/ALPEN-Methode|Alpenmethode]], IPERKA, Leistungskurve | Seiten 95-99 |- | 23./24. November | Selbstmanagement:</br>[[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/ABC-Analyse|ABC-Analyse]], Kreativitätstechniken | Seiten 100-104 |- | 30. November / 1. Dezember | Selbstmanagement:</br>Kopfstand-Technik, [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Eisenhower-Prinzip|Eisenhower-Prinzip]] | Seiten 104-108 |- | 7./8. Dezember | '''Präsentationstechnik''': [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Präsentation|Erfolgskomponenten]], Rhetorik/Mimik/Gestik | Seiten 113-119 |- | 14./15. Dezember 2026 | Präsentationstechnik: Sitzungen organisieren (& Protokoll), Checklisten erstellen | Seiten 119-126 |- | '''4./5. Januar 2027''' | colspan="2" | <span style="color:red;">'''MODULPRÜFUNG'''</span>: keine Hilfsmittel erlaubt (gemäss Hilfsmittelliste des [[:w:Verband Schweizerischer Handelsschulen|VSH]])<ref name="hilfsmittelliste">[https://www.vsh.swiss/assets/Downloads/Reglemente/VSH-Business/VSH-Hilfsmittelliste-2025_HD-kZu_rev_Brand_V1.pdf Hilfsmittelliste] des [[:w:Verband Schweizerischer Handelsschulen|VSH]] (Stand 2025)</ref> |} <!-- = Ergänzendes Material = <small> :[[:en:Human capital|Human Capital]] :[[:en:Personal development|Personal development]] :[[:en:21st century skills|21st century skills]] :[[:en:Competence (human resources)|Competence in human resources]] :[[:en:Key Skills Qualification|Key Skills Qualification]]</small> == Kommunikation == * [[Benutzer:Paul Sutermeister/Aktives Zuhören|Aktives Zuhören]] * [[Benutzer:Paul Sutermeister/Fragetechnik|Fragetechnik]] == Team == * '''[[Benutzer:Paul Sutermeister/Team|Teambildung, Gesprächsführung, Konfliktlösung]]''' * [[Benutzer:Paul Sutermeister/Rangdynamik|Rangdynamik]] * <small>[[:w:Gruppendynamik|Phasenmodell nach Tuckman / Rangdynamische Positionen nach Schindler (Alpha, Beta, Gamma, Omega)]]</small> == [[:w:Selbstmanagement|Selbstmanagement]] == # Persönliche Leistungskurve – Wann arbeite ich am besten? # Pareto – Was lohnt sich? # ABC – Was ist wichtig? # Eisenhower – Was ist wichtig ''und'' dringend? # SMART – Wie formuliere ich ein gutes Ziel? # ALPEN – Wie plane ich meinen Tag? # IPERKA – Wie führe ich einen ganzen Prozess durch? === [[:w:Arbeitskurve|Persönliche Leistungskurve]] === <gallery> Nivel de atención durante el ritmo circadiano.jpg|'''[[:w:Circadiane Rhythmik|Circadiane Rhythmik]]''' Adenosine Sleep Two Process Model.png|[[:w:Zwei-Prozess-Modell der Schlafregulation|Zwei-Prozess-Modell der Schlafregulation]] </gallery> Das eigene Energie- und Konzentrationsniveau, und somit die Produktivität, schwanken über den Tag. Diese Erkenntnis ist Grundlage für folgende Planungs- und Priorisierungsmethoden. === [[:w:Modell der vollständigen Handlung|IPERKA]] === ; Zweck : '''Strukturierter Arbeits- und Projektprozess:''' Komplexeste Methode, eignet sich für ganze Arbeits- und Projektprozesse. → Abschluss: Vom Tagesgeschäft zur vollständigen Handlung und Prozesssteuerung. ; Schritte : '''I'''nformieren – Situation klären : '''P'''lanen – Vorgehen, Ressourcen : '''E'''ntscheiden – beste Lösung wählen : '''R'''ealisieren – ausführen : '''K'''ontrollieren – prüfen : '''A'''uswerten – lernen und verbessern ==== Beispiel: Spaghetti kochen ==== '''I – Informieren''' * Was will ich kochen? → Spaghetti * Was brauche ich? → Nudeln, Sauce, Salz, Wasser * Habe ich alles zu Hause? → Sauce fehlt '''P – Planen''' * Ich gehe zuerst kurz einkaufen. * Danach koche ich. * Das Essen soll um 18 Uhr fertig sein. '''E – Entscheiden''' * Ich entscheide: '''Ich kaufe die Sauce und koche Spaghetti.''' '''R – Realisieren (Ausführen)''' * Ich gehe in den Laden und kaufe die Sauce. * Ich koche Wasser. * Ich koche die Spaghetti. * Ich wärme die Sauce. '''K – Kontrollieren''' * Sind die Spaghetti gar? * Schmeckt die Sauce? * Ist das Essen rechtzeitig (z.B. um 18 Uhr) fertig? '''A – Auswerten''' * Hat alles gut geklappt? * War meine Planung realistisch? * Was mache ich nächstes Mal besser? (z.B. früher anfangen, mehr Sauce kaufen) ==== Beispiel: Eine Sitzung organisieren ==== '''I – Informieren''' * Worum geht es in der Sitzung? → Team-Besprechung * Wer muss dabei sein? → 5 Mitarbeitende * Wie lange dauert die Sitzung? → 30 Minuten * Gibt es einen Termin? → Noch nicht '''P – Planen''' * Ich schlage zwei mögliche Termine vor. * Ich reserviere einen Sitzungsraum. * Ich erstelle eine kurze Traktandenliste. * Ich plane die Dauer der Sitzung (30 Minuten). '''E – Entscheiden''' * Ich entscheide mich für: ** Termin: Dienstag, 14:00 Uhr ** Raum: Sitzungszimmer 2 * Ich entscheide, welche Traktanden besprochen werden. '''R – Realisieren (Ausführen)''' * Ich verschicke die Einladung per E-Mail. * Ich drucke die Traktandenliste aus. * Ich leite die Sitzung. * Ich mache kurze Notizen während der Sitzung. '''K – Kontrollieren''' * Waren alle eingeladen? * Hat die Sitzung pünktlich begonnen und geendet? * Wurden alle Traktanden besprochen? '''A – Auswerten''' * Hat die Sitzung etwas gebracht? * War sie gut vorbereitet? * Was mache ich nächstes Mal besser? (z.B. klarere Traktanden, weniger Themen) === [[:w:Kreativitätstechniken|Kreativitätstechniken]] === * [[:w:Walt-Disney-Methode|Walt-Disney-Methode]] * [[:w:Denkhüte von De Bono|Denkhüte von De Bono]] * [[:w:Kopfstandtechnik|Kopfstandtechnik]]--> =Lehrmittel= * Bettina Graber, Sonja Ritter: ''Office-Knigge & Selbstmanagement / Personal Skills für Handelsschulen: Praxisorientierte Theorie, Aufgaben & Lösungen.'' Schaffhausen: [[:w:Westermann Gruppe|Westermann]], 2025. 134 Seiten. ISBN 978-3-85612-002-3 = Einzelnachweise = <references/> [[Kategorie:Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)| ]] jt5ju32y74jvf01zpch49hw0gpub36h 1118628 1118625 2026-11-02T12:16:05Z Paul Sutermeister 37610 1118628 wikitext text/x-wiki Das Programm des Kurses '''Personal Skills''' zur Erlangung des [[Kurs:Handelsdiplom|Handelsdiploms]] des [[:w:Verband Schweizerischer Handelsschulen|Verbandes Schweizerischer Handelsschulen]] (VSH) basiert auf den Leistungszielen des VSH<ref>[https://www.vsh.swiss/assets/Downloads/Reglemente/VSH-Business/VSH-Reglement-HD-kZu-Kauffrau-Kaufmann-2025_rev_Brand_V1.pdf ''Reglement Handelsdiplom VSH Business Kaufmännische Zusatzausbildung.''] [[:w:Verband Schweizerischer Handelsschulen|Verband Schweizerischer Handelsschulen]], 2025, Seite 26.</ref> <small>(kleine Änderungen vorbehalten)</small>: {| class="wikitable" ! Kurstag (jeweils 45 Minuten) ! Kursinhalt ! Lehrmittel |- | 10./11. August 2026 | '''Office Knigge''':</br>Telefongespräch, Reklamation, E-Mail (Abwesenheitsmeldung), soziale Netzwerke | Graber/Ritter (2025), Seiten 7-18<ref>Bettina Graber, Sonja Ritter: ''Office-Knigge & Selbstmanagement / Personal Skills für Handelsschulen: Praxisorientierte Theorie, Aufgaben & Lösungen.'' Schaffhausen: [[:w:Westermann Gruppe|Westermann]], 2025. 134 Seiten. ISBN 978-3-85612-002-3</ref> |- | 17./18. August | '''Bekleidung und Auftreten'''</br> | Seiten 24-31 |- | 24./25. August | '''Arbeiten im Team''':</br>[[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Johari|Johari-Fenster]], [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Maslow|Maslows Bedürfnispyramide]], [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Eisberg|Eisbergmodell]], [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Teamrolle|Teamrollen]], [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Rangdynamik|Rangdynamik]], Teamwerte, Wertschätzung | Seiten 35-43 |- | 31. August / 1. September | Arbeiten im Team:</br>[[Kurs:Personal_Skills_(Handelsdiplom_VSH)/Sender-Empfänger-Modell|Sender-Empfänger-Modell]], [[Kurs:Personal_Skills_(Handelsdiplom_VSH)/Watzlawick|Watzlawick-Axiome]] | Seiten 44-46 |- | 7./8. September | Arbeiten im Team:</br>[[Kurs:Personal_Skills_(Handelsdiplom_VSH)/Vier-Seiten-Modell|Vier-Seiten-Modell]], Distanzzonen | Seiten 46-48 |- | 14./15. September | Arbeiten im Team:</br>[[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Kognitive Verzerrung|Wahrnehmungsfehler]], [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Teambildung|Teamphasen (Tuckman)]] | Seiten 48-51 |- | 21./22. September | Arbeiten im Team:</br>[[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Fragen|Fragetechniken]], «Nein» sagen | Seiten 52-56 |- | 12./13. Oktober | Arbeiten im Team:</br>Stressoren, Konflikt | Seiten 56-61 |- | 19./20. Oktober | Arbeiten im Team:</br>Umgang mit [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Eskalation|Konflikt → Mobbing]] verhindern | Seiten 62-68 |- | 26./27. Oktober | Arbeiten im Team:</br>Resilienz | Seiten 69-75 |- | 2./3. November | '''Eventmanagement''':</br> Konzept, Checkliste | Seiten 82-86 |- | 9./10. November | '''Selbstmanagement''':</br>[[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/SMART|SMART]], [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Paretoprinzip|Pareto]] | Seiten 90-94 |- | 16./17. November | Selbstmanagement:</br>[[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/ALPEN-Methode|Alpenmethode]], IPERKA, Leistungskurve | Seiten 95-99 |- | 23./24. November | Selbstmanagement:</br>[[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/ABC-Analyse|ABC-Analyse]], Kreativitätstechniken | Seiten 100-104 |- | 30. November / 1. Dezember | Selbstmanagement:</br>Kopfstand-Technik, [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Eisenhower-Prinzip|Eisenhower-Prinzip]] | Seiten 104-108 |- | 7./8. Dezember | '''Präsentationstechnik''': [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Präsentation|Erfolgskomponenten]], Rhetorik/Mimik/Gestik | Seiten 113-119 |- | 14./15. Dezember 2026 | Präsentationstechnik: Sitzungen organisieren (& Protokoll), Checklisten erstellen | Seiten 119-126 |- | '''4./5. Januar 2027''' | colspan="2" | <span style="color:red;">'''MODULPRÜFUNG'''</span>: keine Hilfsmittel erlaubt (gemäss Hilfsmittelliste des [[:w:Verband Schweizerischer Handelsschulen|VSH]])<ref name="hilfsmittelliste">[https://www.vsh.swiss/assets/Downloads/Reglemente/VSH-Business/VSH-Hilfsmittelliste-2025_HD-kZu_rev_Brand_V1.pdf Hilfsmittelliste] des [[:w:Verband Schweizerischer Handelsschulen|VSH]] (Stand 2025)</ref> |} <!-- = Ergänzendes Material = <small> :[[:en:Human capital|Human Capital]] :[[:en:Personal development|Personal development]] :[[:en:21st century skills|21st century skills]] :[[:en:Competence (human resources)|Competence in human resources]] :[[:en:Key Skills Qualification|Key Skills Qualification]]</small> == Kommunikation == * [[Benutzer:Paul Sutermeister/Aktives Zuhören|Aktives Zuhören]] * [[Benutzer:Paul Sutermeister/Fragetechnik|Fragetechnik]] == Team == * '''[[Benutzer:Paul Sutermeister/Team|Teambildung, Gesprächsführung, Konfliktlösung]]''' * [[Benutzer:Paul Sutermeister/Rangdynamik|Rangdynamik]] * <small>[[:w:Gruppendynamik|Phasenmodell nach Tuckman / Rangdynamische Positionen nach Schindler (Alpha, Beta, Gamma, Omega)]]</small> == [[:w:Selbstmanagement|Selbstmanagement]] == # Persönliche Leistungskurve – Wann arbeite ich am besten? # Pareto – Was lohnt sich? # ABC – Was ist wichtig? # Eisenhower – Was ist wichtig ''und'' dringend? # SMART – Wie formuliere ich ein gutes Ziel? # ALPEN – Wie plane ich meinen Tag? # IPERKA – Wie führe ich einen ganzen Prozess durch? === [[:w:Arbeitskurve|Persönliche Leistungskurve]] === <gallery> Nivel de atención durante el ritmo circadiano.jpg|'''[[:w:Circadiane Rhythmik|Circadiane Rhythmik]]''' Adenosine Sleep Two Process Model.png|[[:w:Zwei-Prozess-Modell der Schlafregulation|Zwei-Prozess-Modell der Schlafregulation]] </gallery> Das eigene Energie- und Konzentrationsniveau, und somit die Produktivität, schwanken über den Tag. Diese Erkenntnis ist Grundlage für folgende Planungs- und Priorisierungsmethoden. === [[:w:Modell der vollständigen Handlung|IPERKA]] === ; Zweck : '''Strukturierter Arbeits- und Projektprozess:''' Komplexeste Methode, eignet sich für ganze Arbeits- und Projektprozesse. → Abschluss: Vom Tagesgeschäft zur vollständigen Handlung und Prozesssteuerung. ; Schritte : '''I'''nformieren – Situation klären : '''P'''lanen – Vorgehen, Ressourcen : '''E'''ntscheiden – beste Lösung wählen : '''R'''ealisieren – ausführen : '''K'''ontrollieren – prüfen : '''A'''uswerten – lernen und verbessern ==== Beispiel: Spaghetti kochen ==== '''I – Informieren''' * Was will ich kochen? → Spaghetti * Was brauche ich? → Nudeln, Sauce, Salz, Wasser * Habe ich alles zu Hause? → Sauce fehlt '''P – Planen''' * Ich gehe zuerst kurz einkaufen. * Danach koche ich. * Das Essen soll um 18 Uhr fertig sein. '''E – Entscheiden''' * Ich entscheide: '''Ich kaufe die Sauce und koche Spaghetti.''' '''R – Realisieren (Ausführen)''' * Ich gehe in den Laden und kaufe die Sauce. * Ich koche Wasser. * Ich koche die Spaghetti. * Ich wärme die Sauce. '''K – Kontrollieren''' * Sind die Spaghetti gar? * Schmeckt die Sauce? * Ist das Essen rechtzeitig (z.B. um 18 Uhr) fertig? '''A – Auswerten''' * Hat alles gut geklappt? * War meine Planung realistisch? * Was mache ich nächstes Mal besser? (z.B. früher anfangen, mehr Sauce kaufen) ==== Beispiel: Eine Sitzung organisieren ==== '''I – Informieren''' * Worum geht es in der Sitzung? → Team-Besprechung * Wer muss dabei sein? → 5 Mitarbeitende * Wie lange dauert die Sitzung? → 30 Minuten * Gibt es einen Termin? → Noch nicht '''P – Planen''' * Ich schlage zwei mögliche Termine vor. * Ich reserviere einen Sitzungsraum. * Ich erstelle eine kurze Traktandenliste. * Ich plane die Dauer der Sitzung (30 Minuten). '''E – Entscheiden''' * Ich entscheide mich für: ** Termin: Dienstag, 14:00 Uhr ** Raum: Sitzungszimmer 2 * Ich entscheide, welche Traktanden besprochen werden. '''R – Realisieren (Ausführen)''' * Ich verschicke die Einladung per E-Mail. * Ich drucke die Traktandenliste aus. * Ich leite die Sitzung. * Ich mache kurze Notizen während der Sitzung. '''K – Kontrollieren''' * Waren alle eingeladen? * Hat die Sitzung pünktlich begonnen und geendet? * Wurden alle Traktanden besprochen? '''A – Auswerten''' * Hat die Sitzung etwas gebracht? * War sie gut vorbereitet? * Was mache ich nächstes Mal besser? (z.B. klarere Traktanden, weniger Themen) === [[:w:Kreativitätstechniken|Kreativitätstechniken]] === * [[:w:Walt-Disney-Methode|Walt-Disney-Methode]] * [[:w:Denkhüte von De Bono|Denkhüte von De Bono]] * [[:w:Kopfstandtechnik|Kopfstandtechnik]]--> =Lehrmittel= * Bettina Graber, Sonja Ritter: ''Office-Knigge & Selbstmanagement / Personal Skills für Handelsschulen: Praxisorientierte Theorie, Aufgaben & Lösungen.'' Schaffhausen: [[:w:Westermann Gruppe|Westermann]], 2025. 134 Seiten. ISBN 978-3-85612-002-3 = Einzelnachweise = <references/> [[Kategorie:Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)| ]] fzxx87l381rdy78x5uhv45lmry9ppu7 1118732 1118628 2026-11-03T09:59:58Z Paul Sutermeister 37610 1118732 wikitext text/x-wiki Das Programm des Kurses '''Personal Skills''' zur Erlangung des [[Kurs:Handelsdiplom|Handelsdiploms]] des [[:w:Verband Schweizerischer Handelsschulen|Verbandes Schweizerischer Handelsschulen]] (VSH) basiert auf den Leistungszielen des VSH<ref>[https://www.vsh.swiss/assets/Downloads/Reglemente/VSH-Business/VSH-Reglement-HD-kZu-Kauffrau-Kaufmann-2025_rev_Brand_V1.pdf ''Reglement Handelsdiplom VSH Business Kaufmännische Zusatzausbildung.''] [[:w:Verband Schweizerischer Handelsschulen|Verband Schweizerischer Handelsschulen]], 2025, Seite 26.</ref> <small>(kleine Änderungen vorbehalten)</small>: {| class="wikitable" ! Kurstag (jeweils 45 Minuten) ! Kursinhalt ! Lehrmittel |- | 10./11. August 2026 | '''Office Knigge''':</br>Telefongespräch, Reklamation, E-Mail (Abwesenheitsmeldung), soziale Netzwerke | Graber/Ritter (2025), Seiten 7-18<ref>Bettina Graber, Sonja Ritter: ''Office-Knigge & Selbstmanagement / Personal Skills für Handelsschulen: Praxisorientierte Theorie, Aufgaben & Lösungen.'' Schaffhausen: [[:w:Westermann Gruppe|Westermann]], 2025. 134 Seiten. ISBN 978-3-85612-002-3</ref> |- | 17./18. August | '''Bekleidung und Auftreten'''</br> | Seiten 24-31 |- | 24./25. August | '''Arbeiten im Team''':</br>[[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Johari|Johari-Fenster]], [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Maslow|Maslows Bedürfnispyramide]], [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Eisberg|Eisbergmodell]], [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Teamrolle|Teamrollen]], [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Rangdynamik|Rangdynamik]], Teamwerte, Wertschätzung | Seiten 35-43 |- | 31. August / 1. September | Arbeiten im Team:</br>[[Kurs:Personal_Skills_(Handelsdiplom_VSH)/Sender-Empfänger-Modell|Sender-Empfänger-Modell]], [[Kurs:Personal_Skills_(Handelsdiplom_VSH)/Watzlawick|Watzlawick-Axiome]] | Seiten 44-46 |- | 7./8. September | Arbeiten im Team:</br>[[Kurs:Personal_Skills_(Handelsdiplom_VSH)/Vier-Seiten-Modell|Vier-Seiten-Modell]], [[:w:Proxemik|Distanzzonen]] | Seiten 46-48 |- | 14./15. September | Arbeiten im Team:</br>[[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Kognitive Verzerrung|Wahrnehmungsfehler]], [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Teambildung|Teamphasen (Tuckman)]] | Seiten 48-51 |- | 21./22. September | Arbeiten im Team:</br>[[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Fragen|Fragetechniken]], «Nein» sagen | Seiten 52-56 |- | 12./13. Oktober | Arbeiten im Team:</br>Stressoren, Konflikt | Seiten 56-61 |- | 19./20. Oktober | Arbeiten im Team:</br>Umgang mit [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Eskalation|Konflikt → Mobbing]] verhindern | Seiten 62-68 |- | 26./27. Oktober | Arbeiten im Team:</br>Resilienz | Seiten 69-75 |- | 2./3. November | '''Eventmanagement''':</br> Konzept, Checkliste | Seiten 82-86 |- | 9./10. November | '''Selbstmanagement''':</br>[[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/SMART|SMART]], [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Paretoprinzip|Pareto]] | Seiten 90-94 |- | 16./17. November | Selbstmanagement:</br>[[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/ALPEN-Methode|Alpenmethode]], IPERKA, Leistungskurve | Seiten 95-99 |- | 23./24. November | Selbstmanagement:</br>[[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/ABC-Analyse|ABC-Analyse]], Kreativitätstechniken | Seiten 100-104 |- | 30. November / 1. Dezember | Selbstmanagement:</br>Kopfstand-Technik, [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Eisenhower-Prinzip|Eisenhower-Prinzip]] | Seiten 104-108 |- | 7./8. Dezember | '''Präsentationstechnik''': [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Präsentation|Erfolgskomponenten]], Rhetorik/Mimik/Gestik | Seiten 113-119 |- | 14./15. Dezember 2026 | Präsentationstechnik: Sitzungen organisieren (& Protokoll), Checklisten erstellen | Seiten 119-126 |- | '''4./5. Januar 2027''' | colspan="2" | <span style="color:red;">'''MODULPRÜFUNG'''</span>: keine Hilfsmittel erlaubt (gemäss Hilfsmittelliste des [[:w:Verband Schweizerischer Handelsschulen|VSH]])<ref name="hilfsmittelliste">[https://www.vsh.swiss/assets/Downloads/Reglemente/VSH-Business/VSH-Hilfsmittelliste-2025_HD-kZu_rev_Brand_V1.pdf Hilfsmittelliste] des [[:w:Verband Schweizerischer Handelsschulen|VSH]] (Stand 2025)</ref> |} <!-- = Ergänzendes Material = <small> :[[:en:Human capital|Human Capital]] :[[:en:Personal development|Personal development]] :[[:en:21st century skills|21st century skills]] :[[:en:Competence (human resources)|Competence in human resources]] :[[:en:Key Skills Qualification|Key Skills Qualification]]</small> == Kommunikation == * [[Benutzer:Paul Sutermeister/Aktives Zuhören|Aktives Zuhören]] * [[Benutzer:Paul Sutermeister/Fragetechnik|Fragetechnik]] == Team == * '''[[Benutzer:Paul Sutermeister/Team|Teambildung, Gesprächsführung, Konfliktlösung]]''' * [[Benutzer:Paul Sutermeister/Rangdynamik|Rangdynamik]] * <small>[[:w:Gruppendynamik|Phasenmodell nach Tuckman / Rangdynamische Positionen nach Schindler (Alpha, Beta, Gamma, Omega)]]</small> == [[:w:Selbstmanagement|Selbstmanagement]] == # Persönliche Leistungskurve – Wann arbeite ich am besten? # Pareto – Was lohnt sich? # ABC – Was ist wichtig? # Eisenhower – Was ist wichtig ''und'' dringend? # SMART – Wie formuliere ich ein gutes Ziel? # ALPEN – Wie plane ich meinen Tag? # IPERKA – Wie führe ich einen ganzen Prozess durch? === [[:w:Arbeitskurve|Persönliche Leistungskurve]] === <gallery> Nivel de atención durante el ritmo circadiano.jpg|'''[[:w:Circadiane Rhythmik|Circadiane Rhythmik]]''' Adenosine Sleep Two Process Model.png|[[:w:Zwei-Prozess-Modell der Schlafregulation|Zwei-Prozess-Modell der Schlafregulation]] </gallery> Das eigene Energie- und Konzentrationsniveau, und somit die Produktivität, schwanken über den Tag. Diese Erkenntnis ist Grundlage für folgende Planungs- und Priorisierungsmethoden. === [[:w:Modell der vollständigen Handlung|IPERKA]] === ; Zweck : '''Strukturierter Arbeits- und Projektprozess:''' Komplexeste Methode, eignet sich für ganze Arbeits- und Projektprozesse. → Abschluss: Vom Tagesgeschäft zur vollständigen Handlung und Prozesssteuerung. ; Schritte : '''I'''nformieren – Situation klären : '''P'''lanen – Vorgehen, Ressourcen : '''E'''ntscheiden – beste Lösung wählen : '''R'''ealisieren – ausführen : '''K'''ontrollieren – prüfen : '''A'''uswerten – lernen und verbessern ==== Beispiel: Spaghetti kochen ==== '''I – Informieren''' * Was will ich kochen? → Spaghetti * Was brauche ich? → Nudeln, Sauce, Salz, Wasser * Habe ich alles zu Hause? → Sauce fehlt '''P – Planen''' * Ich gehe zuerst kurz einkaufen. * Danach koche ich. * Das Essen soll um 18 Uhr fertig sein. '''E – Entscheiden''' * Ich entscheide: '''Ich kaufe die Sauce und koche Spaghetti.''' '''R – Realisieren (Ausführen)''' * Ich gehe in den Laden und kaufe die Sauce. * Ich koche Wasser. * Ich koche die Spaghetti. * Ich wärme die Sauce. '''K – Kontrollieren''' * Sind die Spaghetti gar? * Schmeckt die Sauce? * Ist das Essen rechtzeitig (z.B. um 18 Uhr) fertig? '''A – Auswerten''' * Hat alles gut geklappt? * War meine Planung realistisch? * Was mache ich nächstes Mal besser? (z.B. früher anfangen, mehr Sauce kaufen) ==== Beispiel: Eine Sitzung organisieren ==== '''I – Informieren''' * Worum geht es in der Sitzung? → Team-Besprechung * Wer muss dabei sein? → 5 Mitarbeitende * Wie lange dauert die Sitzung? → 30 Minuten * Gibt es einen Termin? → Noch nicht '''P – Planen''' * Ich schlage zwei mögliche Termine vor. * Ich reserviere einen Sitzungsraum. * Ich erstelle eine kurze Traktandenliste. * Ich plane die Dauer der Sitzung (30 Minuten). '''E – Entscheiden''' * Ich entscheide mich für: ** Termin: Dienstag, 14:00 Uhr ** Raum: Sitzungszimmer 2 * Ich entscheide, welche Traktanden besprochen werden. '''R – Realisieren (Ausführen)''' * Ich verschicke die Einladung per E-Mail. * Ich drucke die Traktandenliste aus. * Ich leite die Sitzung. * Ich mache kurze Notizen während der Sitzung. '''K – Kontrollieren''' * Waren alle eingeladen? * Hat die Sitzung pünktlich begonnen und geendet? * Wurden alle Traktanden besprochen? '''A – Auswerten''' * Hat die Sitzung etwas gebracht? * War sie gut vorbereitet? * Was mache ich nächstes Mal besser? (z.B. klarere Traktanden, weniger Themen) === [[:w:Kreativitätstechniken|Kreativitätstechniken]] === * [[:w:Walt-Disney-Methode|Walt-Disney-Methode]] * [[:w:Denkhüte von De Bono|Denkhüte von De Bono]] * [[:w:Kopfstandtechnik|Kopfstandtechnik]]--> =Lehrmittel= * Bettina Graber, Sonja Ritter: ''Office-Knigge & Selbstmanagement / Personal Skills für Handelsschulen: Praxisorientierte Theorie, Aufgaben & Lösungen.'' Schaffhausen: [[:w:Westermann Gruppe|Westermann]], 2025. 134 Seiten. ISBN 978-3-85612-002-3 = Einzelnachweise = <references/> [[Kategorie:Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)| ]] 582pntvwz6a6hfjkrpn25fozih6qqxt 1118746 1118732 2026-11-03T10:12:31Z Paul Sutermeister 37610 1118746 wikitext text/x-wiki Das Programm des Kurses '''Personal Skills''' zur Erlangung des [[Kurs:Handelsdiplom|Handelsdiploms]] des [[:w:Verband Schweizerischer Handelsschulen|Verbandes Schweizerischer Handelsschulen]] (VSH) basiert auf den Leistungszielen des VSH<ref>[https://www.vsh.swiss/assets/Downloads/Reglemente/VSH-Business/VSH-Reglement-HD-kZu-Kauffrau-Kaufmann-2025_rev_Brand_V1.pdf ''Reglement Handelsdiplom VSH Business Kaufmännische Zusatzausbildung.''] [[:w:Verband Schweizerischer Handelsschulen|Verband Schweizerischer Handelsschulen]], 2025, Seite 26.</ref> <small>(kleine Änderungen vorbehalten)</small>: {| class="wikitable" ! Kurstag (jeweils 45 Minuten) ! Kursinhalt ! Lehrmittel |- | 10./11. August 2026 | '''Office Knigge''':</br>Telefongespräch, Reklamation, E-Mail (Abwesenheitsmeldung), soziale Netzwerke | Graber/Ritter (2025), Seiten 7-18<ref>Bettina Graber, Sonja Ritter: ''Office-Knigge & Selbstmanagement / Personal Skills für Handelsschulen: Praxisorientierte Theorie, Aufgaben & Lösungen.'' Schaffhausen: [[:w:Westermann Gruppe|Westermann]], 2025. 134 Seiten. ISBN 978-3-85612-002-3</ref> |- | 17./18. August | '''Bekleidung und Auftreten'''</br> | Seiten 24-31 |- | 24./25. August | '''Arbeiten im Team''':</br>[[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Johari|Johari-Fenster]], [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Maslow|Maslows Bedürfnispyramide]], [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Eisberg|Eisbergmodell]], [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Teamrolle|Teamrollen]], [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Rangdynamik|Rangdynamik]], Teamwerte, Wertschätzung | Seiten 35-43 |- | 31. August / 1. September | Arbeiten im Team:</br>[[Kurs:Personal_Skills_(Handelsdiplom_VSH)/Sender-Empfänger-Modell|Sender-Empfänger-Modell]], [[Kurs:Personal_Skills_(Handelsdiplom_VSH)/Watzlawick|Watzlawick-Axiome]] | Seiten 44-46 |- | 7./8. September | Arbeiten im Team:</br>[[Kurs:Personal_Skills_(Handelsdiplom_VSH)/Vier-Seiten-Modell|Vier-Seiten-Modell]], [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Distanz|Distanzzonen]] | Seiten 46-48 |- | 14./15. September | Arbeiten im Team:</br>[[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Kognitive Verzerrung|Wahrnehmungsfehler]], [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Teambildung|Teamphasen (Tuckman)]] | Seiten 48-51 |- | 21./22. September | Arbeiten im Team:</br>[[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Fragen|Fragetechniken]], «Nein» sagen | Seiten 52-56 |- | 12./13. Oktober | Arbeiten im Team:</br>Stressoren, Konflikt | Seiten 56-61 |- | 19./20. Oktober | Arbeiten im Team:</br>Umgang mit [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Eskalation|Konflikt → Mobbing]] verhindern | Seiten 62-68 |- | 26./27. Oktober | Arbeiten im Team:</br>Resilienz | Seiten 69-75 |- | 2./3. November | '''Eventmanagement''':</br> Konzept, Checkliste | Seiten 82-86 |- | 9./10. November | '''Selbstmanagement''':</br>[[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/SMART|SMART]], [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Paretoprinzip|Pareto]] | Seiten 90-94 |- | 16./17. November | Selbstmanagement:</br>[[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/ALPEN-Methode|Alpenmethode]], IPERKA, Leistungskurve | Seiten 95-99 |- | 23./24. November | Selbstmanagement:</br>[[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/ABC-Analyse|ABC-Analyse]], Kreativitätstechniken | Seiten 100-104 |- | 30. November / 1. Dezember | Selbstmanagement:</br>Kopfstand-Technik, [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Eisenhower-Prinzip|Eisenhower-Prinzip]] | Seiten 104-108 |- | 7./8. Dezember | '''Präsentationstechnik''': [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Präsentation|Erfolgskomponenten]], Rhetorik/Mimik/Gestik | Seiten 113-119 |- | 14./15. Dezember 2026 | Präsentationstechnik: Sitzungen organisieren (& Protokoll), Checklisten erstellen | Seiten 119-126 |- | '''4./5. Januar 2027''' | colspan="2" | <span style="color:red;">'''MODULPRÜFUNG'''</span>: keine Hilfsmittel erlaubt (gemäss Hilfsmittelliste des [[:w:Verband Schweizerischer Handelsschulen|VSH]])<ref name="hilfsmittelliste">[https://www.vsh.swiss/assets/Downloads/Reglemente/VSH-Business/VSH-Hilfsmittelliste-2025_HD-kZu_rev_Brand_V1.pdf Hilfsmittelliste] des [[:w:Verband Schweizerischer Handelsschulen|VSH]] (Stand 2025)</ref> |} <!-- = Ergänzendes Material = <small> :[[:en:Human capital|Human Capital]] :[[:en:Personal development|Personal development]] :[[:en:21st century skills|21st century skills]] :[[:en:Competence (human resources)|Competence in human resources]] :[[:en:Key Skills Qualification|Key Skills Qualification]]</small> == Kommunikation == * [[Benutzer:Paul Sutermeister/Aktives Zuhören|Aktives Zuhören]] * [[Benutzer:Paul Sutermeister/Fragetechnik|Fragetechnik]] == Team == * '''[[Benutzer:Paul Sutermeister/Team|Teambildung, Gesprächsführung, Konfliktlösung]]''' * [[Benutzer:Paul Sutermeister/Rangdynamik|Rangdynamik]] * <small>[[:w:Gruppendynamik|Phasenmodell nach Tuckman / Rangdynamische Positionen nach Schindler (Alpha, Beta, Gamma, Omega)]]</small> == [[:w:Selbstmanagement|Selbstmanagement]] == # Persönliche Leistungskurve – Wann arbeite ich am besten? # Pareto – Was lohnt sich? # ABC – Was ist wichtig? # Eisenhower – Was ist wichtig ''und'' dringend? # SMART – Wie formuliere ich ein gutes Ziel? # ALPEN – Wie plane ich meinen Tag? # IPERKA – Wie führe ich einen ganzen Prozess durch? === [[:w:Arbeitskurve|Persönliche Leistungskurve]] === <gallery> Nivel de atención durante el ritmo circadiano.jpg|'''[[:w:Circadiane Rhythmik|Circadiane Rhythmik]]''' Adenosine Sleep Two Process Model.png|[[:w:Zwei-Prozess-Modell der Schlafregulation|Zwei-Prozess-Modell der Schlafregulation]] </gallery> Das eigene Energie- und Konzentrationsniveau, und somit die Produktivität, schwanken über den Tag. Diese Erkenntnis ist Grundlage für folgende Planungs- und Priorisierungsmethoden. === [[:w:Modell der vollständigen Handlung|IPERKA]] === ; Zweck : '''Strukturierter Arbeits- und Projektprozess:''' Komplexeste Methode, eignet sich für ganze Arbeits- und Projektprozesse. → Abschluss: Vom Tagesgeschäft zur vollständigen Handlung und Prozesssteuerung. ; Schritte : '''I'''nformieren – Situation klären : '''P'''lanen – Vorgehen, Ressourcen : '''E'''ntscheiden – beste Lösung wählen : '''R'''ealisieren – ausführen : '''K'''ontrollieren – prüfen : '''A'''uswerten – lernen und verbessern ==== Beispiel: Spaghetti kochen ==== '''I – Informieren''' * Was will ich kochen? → Spaghetti * Was brauche ich? → Nudeln, Sauce, Salz, Wasser * Habe ich alles zu Hause? → Sauce fehlt '''P – Planen''' * Ich gehe zuerst kurz einkaufen. * Danach koche ich. * Das Essen soll um 18 Uhr fertig sein. '''E – Entscheiden''' * Ich entscheide: '''Ich kaufe die Sauce und koche Spaghetti.''' '''R – Realisieren (Ausführen)''' * Ich gehe in den Laden und kaufe die Sauce. * Ich koche Wasser. * Ich koche die Spaghetti. * Ich wärme die Sauce. '''K – Kontrollieren''' * Sind die Spaghetti gar? * Schmeckt die Sauce? * Ist das Essen rechtzeitig (z.B. um 18 Uhr) fertig? '''A – Auswerten''' * Hat alles gut geklappt? * War meine Planung realistisch? * Was mache ich nächstes Mal besser? (z.B. früher anfangen, mehr Sauce kaufen) ==== Beispiel: Eine Sitzung organisieren ==== '''I – Informieren''' * Worum geht es in der Sitzung? → Team-Besprechung * Wer muss dabei sein? → 5 Mitarbeitende * Wie lange dauert die Sitzung? → 30 Minuten * Gibt es einen Termin? → Noch nicht '''P – Planen''' * Ich schlage zwei mögliche Termine vor. * Ich reserviere einen Sitzungsraum. * Ich erstelle eine kurze Traktandenliste. * Ich plane die Dauer der Sitzung (30 Minuten). '''E – Entscheiden''' * Ich entscheide mich für: ** Termin: Dienstag, 14:00 Uhr ** Raum: Sitzungszimmer 2 * Ich entscheide, welche Traktanden besprochen werden. '''R – Realisieren (Ausführen)''' * Ich verschicke die Einladung per E-Mail. * Ich drucke die Traktandenliste aus. * Ich leite die Sitzung. * Ich mache kurze Notizen während der Sitzung. '''K – Kontrollieren''' * Waren alle eingeladen? * Hat die Sitzung pünktlich begonnen und geendet? * Wurden alle Traktanden besprochen? '''A – Auswerten''' * Hat die Sitzung etwas gebracht? * War sie gut vorbereitet? * Was mache ich nächstes Mal besser? (z.B. klarere Traktanden, weniger Themen) === [[:w:Kreativitätstechniken|Kreativitätstechniken]] === * [[:w:Walt-Disney-Methode|Walt-Disney-Methode]] * [[:w:Denkhüte von De Bono|Denkhüte von De Bono]] * [[:w:Kopfstandtechnik|Kopfstandtechnik]]--> =Lehrmittel= * Bettina Graber, Sonja Ritter: ''Office-Knigge & Selbstmanagement / Personal Skills für Handelsschulen: Praxisorientierte Theorie, Aufgaben & Lösungen.'' Schaffhausen: [[:w:Westermann Gruppe|Westermann]], 2025. 134 Seiten. ISBN 978-3-85612-002-3 = Einzelnachweise = <references/> [[Kategorie:Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)| ]] 6h3l4ou83pcnlaf4zt1p90h7z88h4s0 106 167773 1118711 1118612 2026-11-03T08:25:35Z Bert Niehaus 20843 /* Definition - P-fast sicher */ 1118711 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In der Wahrscheinlichkeitstheorie ist der Begriff ''<math>P</math>-fast sicher'' bzgl. <math>(\Omega, \mathcal{S}, P)</math> ein Weg, ein deterministisch sicheres Eintreten von Ereignissen durch ein stochastische Konzept zu ersetzen. Ein Ereignis <math>A</math> tritt dabei ''<math>P</math>-fast sicher'' ein, wenn <math>P(A)=1</math> mit <math>A\subset \Omega</math> erfüllt. Dabei kann <math>A\not= \Omega</math> und damit <math>A^c \not= \emptyset </math> gelten. Es gibt also bzgl. <math>A</math> auch Elemente <math>\omega \in \Omega</math>, die nicht die Eigenschaft für das Eintreten des Ereignis <math>A</math> erfüllen. === P-fast sicher - Nullmengen === Der Begriff ''<math>P</math>-fast sicher'' ist über Komplementbildung eng mit dem Begriff der <math>P</math>-[[Kurs:Stochastik/P-fast_sicher#Definition_-_Nullmenge|Nullmenge]] verbunden, denn tritt <math>A</math> <math>P</math>-fast sicher ein, so ist <math>N:=A^c = \Omega \setminus A</math> eine <math>P</math>-[[Kurs:Stochastik/P-fast_sicher#Definition_-_P-Nullmenge|Nullmenge]] === Ziel der Lerneinheit === In diesem Artikel werden wir die Definition und Beispiele für den Begriff P-fast sicher auf einem Grundraum <math>(\Omega, \mathcal{S}, P)</math> erläutern. == Definition - P-fast sicher == Sei (<math>\Omega, \mathcal{S}, P</math>) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Ein Ereignis <math>A \in \mathcal{S}</math> heißt P-fast sicher, wenn <math>P(A) = 1</math> gilt. Dies bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis <math>A</math> eintritt, gleich 1 ist. == Beispiele == * Sei (<math>\Omega, \mathcal{S}, P</math>) ein Wahrscheinlichkeitsraum und sei <math>A = \Omega</math>. Dann ist <math>P(A) = P(\Omega) = 1</math>, da die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis <math>\Omega</math> eintritt, gleich 1 ist. Somit ist <math>A</math> P-fast sicher. * Sei (<math>\Omega, \mathcal{S}, P</math>) ein Wahrscheinlichkeitsraum und sei <math>A = \emptyset</math>. Dann ist <math>P(A) = P(\emptyset) = 0</math>, da die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis <math>\emptyset</math> eintritt, gleich 0 ist. Somit ist <math>A</math> nicht P-fast sicher. * Sei (<math>\Omega, \mathcal{S}, P</math>) ein Wahrscheinlichkeitsraum und sei <math>A = \{x \in \Omega | X(x) > 0\}</math>, wobei <math>X</math> eine Zufallsvariable ist. Wenn <math>P(X > 0) = 1</math>, dann ist <math>A</math> P-fast sicher. == Eigenschaften == * Wenn <math>A</math> P-fast sicher ist, dann ist auch <math>A^c</math> (das Komplement von <math>A</math>) P-fast sicher. * Wenn <math>A</math> und <math>B</math> P-fast sicher sind, dann ist auch <math>A \cap B</math> P-fast sicher. * Wenn <math>A</math> P-fast sicher ist und <math>B \subset A</math>, dann ist auch <math>B</math> P-fast sicher. == Definition - P-Nullmenge == Sei (<math>\Omega, \mathcal{S}, P</math>) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Ein Ereignis <math>N \in \mathcal{S}</math> heißt P-Nullmenge, wenn <math>P(N) = 0</math> gilt. === Bemerkung - P-Nullmenge === Ob eine Menge <math>N\subset \Omega</math> mit <math>N\in \mathcal{S}</math> eine Nullmenge ist, hängt von dem Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math>. === P-Nullmengen bei stetigen Verteilung - Einpunktmenge=== Sei (<math>\Omega, \mathcal{S}, P</math>) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Bei stetigen Verteilung (<math>\mathbb{R}^n, \mathcal{B}(\mathbb{R}^n), P^X</math>) für eine Zufallsgröße <math>X : \Omega \to \mathbb{R}^n </math> mit <math>n\in \mathbb{N}</math> sind Einpunktmengen <math>N=\{x\}</math> mit <math>x=(x_1,\ldots ,x_n) \in \mathbb{R}^n </math> über die Definition der stetigen Verteilung <math>P^X</math>-Nullmenge die Wahrscheinlichkeitsmasse <math>P(N)=0</math>. === P-Nullmengen bei stetigen Verteilung - abzählbare Menge=== Zusammen mit der <math>\sigma</math>-Additivität ist auch jeder [[w:de:abzählbar|abzählbare Menge]] als abzählbare Vereinigung von Einpunktmenge eine <math>P^X</math>-Nullmenge. :<math>N := \bigcup_{k=1}^{\infty} \{x^{(k)}\} =\bigcup_{k=1}^{\infty} \left\{ \left(x_1^{(k)},\ldots ,x_n^{(k)}\right) \right\} \in \mathbb{R}^n </math> Dies bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit der durch <math>X: \Omega \to \mathbb{R}^n </math> auf <math>\mathbb{R}^n </math> induzierten Verteilung <math>P^X</math> für abzählbare Mengen <math>N</math> immer eine <math>P^X</math>-Nullmenge ist. == Anwendungen == Der Begriff P-fast sicher wird oft in der Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik verwendet, um die Wahrscheinlichkeit von Ereignissen zu beschreiben, die mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit eintreten. === P-fast sichere Konvergenz === Im Gegensatz zu klassischen Konvergenz für Funktionfolgen :<math>\forall_{x\in \mathbb{R}} \lim_{n\to \infty} f_n(x) = f_o(x)</math> kann man mit einem Wahrscheinlichkeitsraum (<math>\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), P</math>) auf <math>\mathbb{R}</math> <math>P</math>-fast sichere Konvergenz definieren. :<math>\stackrel{P}{\lim_{n\to \infty}} f_n(x) = f_o(x) \forall_{x\in \mathbb{R}\N} \lim_{n\to \infty} f_n(x) = f_o(x)</math> === Gesetz der großen Zahlen === Beispielsweise wird kann man nach dem Borelschen Gesetz der großen Zahlen sagen, dass das die relative Häufigkeit nach <math>n</math> stochastisch unabhängigen Versuchswiederholungen <math>\overline{X_n}</math> P-fast sicher <math>P</math>-fast sicher gegen eine im Allgemeinen unbekannte theorische Wahrscheinlichkeit konvergiert. Fasst man dabei die Fälle zu einer Menge <math>N</math> zusammen, für die die Konvergenz nicht erfüllt ist, so ist <math>N</math> eine <math>P</math>-Nullmenge. == Aufgaben == Die Übungen beziehen sich auf die Überprüfung, ob eine Eigenschaft <math>P</math>-fast sicher gilt bzw. eine Menge eine <math>P</math>-Nullmenge ist. === Aufgabe 1 - induzierte Verteilung === Sei (<math>\Omega, \mathcal{S}, P</math>) ein Wahrscheinlichkeitsraum und <math>X:\Omega \to \mathbb{R}</math> eine reellwertige Zufallsgröße. Man definiert nun <math>A = \{\omega \in \Omega | X(\omega) > 0\}</math> und betrachte die induzierte Verteilung <math>P^X</math> auf <math>\mathbb{R}</math>. Ferner gilt <math>P^X(([-1,0]) = \frac{1}{10}</math>. Überprüfen Sie, ob <math>A</math> ein <math>P</math>-fast sicheres Ereignis ist. === Aufgabe 2 - Rechteckverteilung === Sei <math>\Omega := \mathbb{R}</math> und <math>(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), P_{[a,b]})</math> ein Wahrscheinlichkeitsraum, wobei <math>P_{[a,b]}</math> eine [[Rechteckverteilung]] auf dem Intervall <math>[a,b]\subset \mathbb{R}</math> ist. Für welche Wahl von <math>a</math> und <math>b</math> mit <math>a < b </math> ist die Menge <math>A := \mathbb{R}^+</math> * eine <math>P_{[a,b]}</math>-Nullmenge, * ein <math>P_{[a,b]}</math>-fast sicheres Ereignis. == Fazit == Der Begriff <math>P</math>-fast sicher bzw. der Begriff <math>P</math>-Nullmenge ist ein wichtiger Konzept in der Wahrscheinlichkeitstheorie, um eine Art Gütemaß nach Wahrscheinlichkeit für nicht-deterministisches Eintreten eines Ereignisses beschreiben zu können. Es gibt also Ausnahmen <math>N:= \Omega \setminus A</math> aus dem Grundraum <math>\Omega</math>, die die Eigenschaft des Ereignisse <math>A</math> nicht erfüllen. Diese Menge <math> N</math> der Ausnahmen ist allerding bezogen auf das Wahrscheinlichkeitmaß <math>P</math> eine <math>P</math>-Nullmenge bzw. umgekehrt tritt das Ereignis <math>A</math> mit der Wahrscheinlichkeit <math>P(A)=1</math> ein. == Siehe auch == * [[Wahrscheinlichkeitsraum]] * [[Zufallsgröße]] 0ow00pu287kkt11ppgqwvj4jauuz3m6 1118712 1118711 2026-11-03T08:30:18Z Bert Niehaus 20843 /* P-fast sichere Konvergenz */ 1118712 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In der Wahrscheinlichkeitstheorie ist der Begriff ''<math>P</math>-fast sicher'' bzgl. <math>(\Omega, \mathcal{S}, P)</math> ein Weg, ein deterministisch sicheres Eintreten von Ereignissen durch ein stochastische Konzept zu ersetzen. Ein Ereignis <math>A</math> tritt dabei ''<math>P</math>-fast sicher'' ein, wenn <math>P(A)=1</math> mit <math>A\subset \Omega</math> erfüllt. Dabei kann <math>A\not= \Omega</math> und damit <math>A^c \not= \emptyset </math> gelten. Es gibt also bzgl. <math>A</math> auch Elemente <math>\omega \in \Omega</math>, die nicht die Eigenschaft für das Eintreten des Ereignis <math>A</math> erfüllen. === P-fast sicher - Nullmengen === Der Begriff ''<math>P</math>-fast sicher'' ist über Komplementbildung eng mit dem Begriff der <math>P</math>-[[Kurs:Stochastik/P-fast_sicher#Definition_-_Nullmenge|Nullmenge]] verbunden, denn tritt <math>A</math> <math>P</math>-fast sicher ein, so ist <math>N:=A^c = \Omega \setminus A</math> eine <math>P</math>-[[Kurs:Stochastik/P-fast_sicher#Definition_-_P-Nullmenge|Nullmenge]] === Ziel der Lerneinheit === In diesem Artikel werden wir die Definition und Beispiele für den Begriff P-fast sicher auf einem Grundraum <math>(\Omega, \mathcal{S}, P)</math> erläutern. == Definition - P-fast sicher == Sei (<math>\Omega, \mathcal{S}, P</math>) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Ein Ereignis <math>A \in \mathcal{S}</math> heißt P-fast sicher, wenn <math>P(A) = 1</math> gilt. Dies bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis <math>A</math> eintritt, gleich 1 ist. == Beispiele == * Sei (<math>\Omega, \mathcal{S}, P</math>) ein Wahrscheinlichkeitsraum und sei <math>A = \Omega</math>. Dann ist <math>P(A) = P(\Omega) = 1</math>, da die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis <math>\Omega</math> eintritt, gleich 1 ist. Somit ist <math>A</math> P-fast sicher. * Sei (<math>\Omega, \mathcal{S}, P</math>) ein Wahrscheinlichkeitsraum und sei <math>A = \emptyset</math>. Dann ist <math>P(A) = P(\emptyset) = 0</math>, da die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis <math>\emptyset</math> eintritt, gleich 0 ist. Somit ist <math>A</math> nicht P-fast sicher. * Sei (<math>\Omega, \mathcal{S}, P</math>) ein Wahrscheinlichkeitsraum und sei <math>A = \{x \in \Omega | X(x) > 0\}</math>, wobei <math>X</math> eine Zufallsvariable ist. Wenn <math>P(X > 0) = 1</math>, dann ist <math>A</math> P-fast sicher. == Eigenschaften == * Wenn <math>A</math> P-fast sicher ist, dann ist auch <math>A^c</math> (das Komplement von <math>A</math>) P-fast sicher. * Wenn <math>A</math> und <math>B</math> P-fast sicher sind, dann ist auch <math>A \cap B</math> P-fast sicher. * Wenn <math>A</math> P-fast sicher ist und <math>B \subset A</math>, dann ist auch <math>B</math> P-fast sicher. == Definition - P-Nullmenge == Sei (<math>\Omega, \mathcal{S}, P</math>) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Ein Ereignis <math>N \in \mathcal{S}</math> heißt P-Nullmenge, wenn <math>P(N) = 0</math> gilt. === Bemerkung - P-Nullmenge === Ob eine Menge <math>N\subset \Omega</math> mit <math>N\in \mathcal{S}</math> eine Nullmenge ist, hängt von dem Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math>. === P-Nullmengen bei stetigen Verteilung - Einpunktmenge=== Sei (<math>\Omega, \mathcal{S}, P</math>) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Bei stetigen Verteilung (<math>\mathbb{R}^n, \mathcal{B}(\mathbb{R}^n), P^X</math>) für eine Zufallsgröße <math>X : \Omega \to \mathbb{R}^n </math> mit <math>n\in \mathbb{N}</math> sind Einpunktmengen <math>N=\{x\}</math> mit <math>x=(x_1,\ldots ,x_n) \in \mathbb{R}^n </math> über die Definition der stetigen Verteilung <math>P^X</math>-Nullmenge die Wahrscheinlichkeitsmasse <math>P(N)=0</math>. === P-Nullmengen bei stetigen Verteilung - abzählbare Menge=== Zusammen mit der <math>\sigma</math>-Additivität ist auch jeder [[w:de:abzählbar|abzählbare Menge]] als abzählbare Vereinigung von Einpunktmenge eine <math>P^X</math>-Nullmenge. :<math>N := \bigcup_{k=1}^{\infty} \{x^{(k)}\} =\bigcup_{k=1}^{\infty} \left\{ \left(x_1^{(k)},\ldots ,x_n^{(k)}\right) \right\} \in \mathbb{R}^n </math> Dies bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit der durch <math>X: \Omega \to \mathbb{R}^n </math> auf <math>\mathbb{R}^n </math> induzierten Verteilung <math>P^X</math> für abzählbare Mengen <math>N</math> immer eine <math>P^X</math>-Nullmenge ist. == Anwendungen == Der Begriff P-fast sicher wird oft in der Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik verwendet, um die Wahrscheinlichkeit von Ereignissen zu beschreiben, die mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit eintreten. === P-fast sichere Konvergenz === Im Gegensatz zur klassischen Konvergenz für Funktionfolgen :<math>\forall_{x\in \mathbb{R}} \lim_{n\to \infty} f_n(x) = f_o(x)</math> kann man mit einem Wahrscheinlichkeitsraum (<math>\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), P</math>) auf <math>\mathbb{R}</math> mit der <math>P</math>-fast sichere Konvergenz die klassische Konvergenz nur mit Ausnahme von einer Punktmenge <math>N\subset \mathbb{R}</math> definieren, mit <math>P(N)= 0</math>. Das bedeutet :<math>\stackrel{P}{\lim_{n\to \infty}} f_n(x) = f_o(x) :\Leftrightarrow \forall_{x\in \mathbb{R}\setminus N} \lim_{n\to \infty} f_n(x) = f_o(x)</math> === Gesetz der großen Zahlen === Beispielsweise wird kann man nach dem Borelschen Gesetz der großen Zahlen sagen, dass das die relative Häufigkeit nach <math>n</math> stochastisch unabhängigen Versuchswiederholungen <math>\overline{X_n}</math> P-fast sicher <math>P</math>-fast sicher gegen eine im Allgemeinen unbekannte theorische Wahrscheinlichkeit konvergiert. Fasst man dabei die Fälle zu einer Menge <math>N</math> zusammen, für die die Konvergenz nicht erfüllt ist, so ist <math>N</math> eine <math>P</math>-Nullmenge. == Aufgaben == Die Übungen beziehen sich auf die Überprüfung, ob eine Eigenschaft <math>P</math>-fast sicher gilt bzw. eine Menge eine <math>P</math>-Nullmenge ist. === Aufgabe 1 - induzierte Verteilung === Sei (<math>\Omega, \mathcal{S}, P</math>) ein Wahrscheinlichkeitsraum und <math>X:\Omega \to \mathbb{R}</math> eine reellwertige Zufallsgröße. Man definiert nun <math>A = \{\omega \in \Omega | X(\omega) > 0\}</math> und betrachte die induzierte Verteilung <math>P^X</math> auf <math>\mathbb{R}</math>. Ferner gilt <math>P^X(([-1,0]) = \frac{1}{10}</math>. Überprüfen Sie, ob <math>A</math> ein <math>P</math>-fast sicheres Ereignis ist. === Aufgabe 2 - Rechteckverteilung === Sei <math>\Omega := \mathbb{R}</math> und <math>(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), P_{[a,b]})</math> ein Wahrscheinlichkeitsraum, wobei <math>P_{[a,b]}</math> eine [[Rechteckverteilung]] auf dem Intervall <math>[a,b]\subset \mathbb{R}</math> ist. Für welche Wahl von <math>a</math> und <math>b</math> mit <math>a < b </math> ist die Menge <math>A := \mathbb{R}^+</math> * eine <math>P_{[a,b]}</math>-Nullmenge, * ein <math>P_{[a,b]}</math>-fast sicheres Ereignis. == Fazit == Der Begriff <math>P</math>-fast sicher bzw. der Begriff <math>P</math>-Nullmenge ist ein wichtiger Konzept in der Wahrscheinlichkeitstheorie, um eine Art Gütemaß nach Wahrscheinlichkeit für nicht-deterministisches Eintreten eines Ereignisses beschreiben zu können. Es gibt also Ausnahmen <math>N:= \Omega \setminus A</math> aus dem Grundraum <math>\Omega</math>, die die Eigenschaft des Ereignisse <math>A</math> nicht erfüllen. Diese Menge <math> N</math> der Ausnahmen ist allerding bezogen auf das Wahrscheinlichkeitmaß <math>P</math> eine <math>P</math>-Nullmenge bzw. umgekehrt tritt das Ereignis <math>A</math> mit der Wahrscheinlichkeit <math>P(A)=1</math> ein. == Siehe auch == * [[Wahrscheinlichkeitsraum]] * [[Zufallsgröße]] njs6sd9io2qtin6uck7vue5vx8beq69 1118713 1118712 2026-11-03T08:31:17Z Bert Niehaus 20843 /* P-fast sichere Konvergenz */ 1118713 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In der Wahrscheinlichkeitstheorie ist der Begriff ''<math>P</math>-fast sicher'' bzgl. <math>(\Omega, \mathcal{S}, P)</math> ein Weg, ein deterministisch sicheres Eintreten von Ereignissen durch ein stochastische Konzept zu ersetzen. Ein Ereignis <math>A</math> tritt dabei ''<math>P</math>-fast sicher'' ein, wenn <math>P(A)=1</math> mit <math>A\subset \Omega</math> erfüllt. Dabei kann <math>A\not= \Omega</math> und damit <math>A^c \not= \emptyset </math> gelten. Es gibt also bzgl. <math>A</math> auch Elemente <math>\omega \in \Omega</math>, die nicht die Eigenschaft für das Eintreten des Ereignis <math>A</math> erfüllen. === P-fast sicher - Nullmengen === Der Begriff ''<math>P</math>-fast sicher'' ist über Komplementbildung eng mit dem Begriff der <math>P</math>-[[Kurs:Stochastik/P-fast_sicher#Definition_-_Nullmenge|Nullmenge]] verbunden, denn tritt <math>A</math> <math>P</math>-fast sicher ein, so ist <math>N:=A^c = \Omega \setminus A</math> eine <math>P</math>-[[Kurs:Stochastik/P-fast_sicher#Definition_-_P-Nullmenge|Nullmenge]] === Ziel der Lerneinheit === In diesem Artikel werden wir die Definition und Beispiele für den Begriff P-fast sicher auf einem Grundraum <math>(\Omega, \mathcal{S}, P)</math> erläutern. == Definition - P-fast sicher == Sei (<math>\Omega, \mathcal{S}, P</math>) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Ein Ereignis <math>A \in \mathcal{S}</math> heißt P-fast sicher, wenn <math>P(A) = 1</math> gilt. Dies bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis <math>A</math> eintritt, gleich 1 ist. == Beispiele == * Sei (<math>\Omega, \mathcal{S}, P</math>) ein Wahrscheinlichkeitsraum und sei <math>A = \Omega</math>. Dann ist <math>P(A) = P(\Omega) = 1</math>, da die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis <math>\Omega</math> eintritt, gleich 1 ist. Somit ist <math>A</math> P-fast sicher. * Sei (<math>\Omega, \mathcal{S}, P</math>) ein Wahrscheinlichkeitsraum und sei <math>A = \emptyset</math>. Dann ist <math>P(A) = P(\emptyset) = 0</math>, da die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis <math>\emptyset</math> eintritt, gleich 0 ist. Somit ist <math>A</math> nicht P-fast sicher. * Sei (<math>\Omega, \mathcal{S}, P</math>) ein Wahrscheinlichkeitsraum und sei <math>A = \{x \in \Omega | X(x) > 0\}</math>, wobei <math>X</math> eine Zufallsvariable ist. Wenn <math>P(X > 0) = 1</math>, dann ist <math>A</math> P-fast sicher. == Eigenschaften == * Wenn <math>A</math> P-fast sicher ist, dann ist auch <math>A^c</math> (das Komplement von <math>A</math>) P-fast sicher. * Wenn <math>A</math> und <math>B</math> P-fast sicher sind, dann ist auch <math>A \cap B</math> P-fast sicher. * Wenn <math>A</math> P-fast sicher ist und <math>B \subset A</math>, dann ist auch <math>B</math> P-fast sicher. == Definition - P-Nullmenge == Sei (<math>\Omega, \mathcal{S}, P</math>) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Ein Ereignis <math>N \in \mathcal{S}</math> heißt P-Nullmenge, wenn <math>P(N) = 0</math> gilt. === Bemerkung - P-Nullmenge === Ob eine Menge <math>N\subset \Omega</math> mit <math>N\in \mathcal{S}</math> eine Nullmenge ist, hängt von dem Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math>. === P-Nullmengen bei stetigen Verteilung - Einpunktmenge=== Sei (<math>\Omega, \mathcal{S}, P</math>) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Bei stetigen Verteilung (<math>\mathbb{R}^n, \mathcal{B}(\mathbb{R}^n), P^X</math>) für eine Zufallsgröße <math>X : \Omega \to \mathbb{R}^n </math> mit <math>n\in \mathbb{N}</math> sind Einpunktmengen <math>N=\{x\}</math> mit <math>x=(x_1,\ldots ,x_n) \in \mathbb{R}^n </math> über die Definition der stetigen Verteilung <math>P^X</math>-Nullmenge die Wahrscheinlichkeitsmasse <math>P(N)=0</math>. === P-Nullmengen bei stetigen Verteilung - abzählbare Menge=== Zusammen mit der <math>\sigma</math>-Additivität ist auch jeder [[w:de:abzählbar|abzählbare Menge]] als abzählbare Vereinigung von Einpunktmenge eine <math>P^X</math>-Nullmenge. :<math>N := \bigcup_{k=1}^{\infty} \{x^{(k)}\} =\bigcup_{k=1}^{\infty} \left\{ \left(x_1^{(k)},\ldots ,x_n^{(k)}\right) \right\} \in \mathbb{R}^n </math> Dies bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit der durch <math>X: \Omega \to \mathbb{R}^n </math> auf <math>\mathbb{R}^n </math> induzierten Verteilung <math>P^X</math> für abzählbare Mengen <math>N</math> immer eine <math>P^X</math>-Nullmenge ist. == Anwendungen == Der Begriff P-fast sicher wird oft in der Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik verwendet, um die Wahrscheinlichkeit von Ereignissen zu beschreiben, die mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit eintreten. === P-fast sichere Konvergenz === Im Gegensatz zur klassischen Konvergenz für Funktionfolgen :<math>\forall_{x\in \mathbb{R}} \lim_{n\to \infty} f_n(x) = f_{\!o}(x)</math> kann man mit einem Wahrscheinlichkeitsraum (<math>\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), P</math>) auf <math>\mathbb{R}</math> mit der <math>P</math>-fast sichere Konvergenz die klassische Konvergenz nur mit Ausnahme von einer Punktmenge <math>N\subset \mathbb{R}</math> definieren, mit <math>P(N)= 0</math>. Das bedeutet :<math>\stackrel{P}{\lim_{n\to \infty}} f_n(x) = f_{\!o}(x) :\Leftrightarrow \forall_{x\in \mathbb{R}\setminus N} \lim_{n\to \infty} f_n(x) = f_{\!o}(x)</math> === Gesetz der großen Zahlen === Beispielsweise wird kann man nach dem Borelschen Gesetz der großen Zahlen sagen, dass das die relative Häufigkeit nach <math>n</math> stochastisch unabhängigen Versuchswiederholungen <math>\overline{X_n}</math> P-fast sicher <math>P</math>-fast sicher gegen eine im Allgemeinen unbekannte theorische Wahrscheinlichkeit konvergiert. Fasst man dabei die Fälle zu einer Menge <math>N</math> zusammen, für die die Konvergenz nicht erfüllt ist, so ist <math>N</math> eine <math>P</math>-Nullmenge. == Aufgaben == Die Übungen beziehen sich auf die Überprüfung, ob eine Eigenschaft <math>P</math>-fast sicher gilt bzw. eine Menge eine <math>P</math>-Nullmenge ist. === Aufgabe 1 - induzierte Verteilung === Sei (<math>\Omega, \mathcal{S}, P</math>) ein Wahrscheinlichkeitsraum und <math>X:\Omega \to \mathbb{R}</math> eine reellwertige Zufallsgröße. Man definiert nun <math>A = \{\omega \in \Omega | X(\omega) > 0\}</math> und betrachte die induzierte Verteilung <math>P^X</math> auf <math>\mathbb{R}</math>. Ferner gilt <math>P^X(([-1,0]) = \frac{1}{10}</math>. Überprüfen Sie, ob <math>A</math> ein <math>P</math>-fast sicheres Ereignis ist. === Aufgabe 2 - Rechteckverteilung === Sei <math>\Omega := \mathbb{R}</math> und <math>(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), P_{[a,b]})</math> ein Wahrscheinlichkeitsraum, wobei <math>P_{[a,b]}</math> eine [[Rechteckverteilung]] auf dem Intervall <math>[a,b]\subset \mathbb{R}</math> ist. Für welche Wahl von <math>a</math> und <math>b</math> mit <math>a < b </math> ist die Menge <math>A := \mathbb{R}^+</math> * eine <math>P_{[a,b]}</math>-Nullmenge, * ein <math>P_{[a,b]}</math>-fast sicheres Ereignis. == Fazit == Der Begriff <math>P</math>-fast sicher bzw. der Begriff <math>P</math>-Nullmenge ist ein wichtiger Konzept in der Wahrscheinlichkeitstheorie, um eine Art Gütemaß nach Wahrscheinlichkeit für nicht-deterministisches Eintreten eines Ereignisses beschreiben zu können. Es gibt also Ausnahmen <math>N:= \Omega \setminus A</math> aus dem Grundraum <math>\Omega</math>, die die Eigenschaft des Ereignisse <math>A</math> nicht erfüllen. Diese Menge <math> N</math> der Ausnahmen ist allerding bezogen auf das Wahrscheinlichkeitmaß <math>P</math> eine <math>P</math>-Nullmenge bzw. umgekehrt tritt das Ereignis <math>A</math> mit der Wahrscheinlichkeit <math>P(A)=1</math> ein. == Siehe auch == * [[Wahrscheinlichkeitsraum]] * [[Zufallsgröße]] 7v2hj315d0bmbarjjwstvfs20bk7xc9 1118714 1118713 2026-11-03T08:32:11Z Bert Niehaus 20843 /* P-fast sichere Konvergenz */ 1118714 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In der Wahrscheinlichkeitstheorie ist der Begriff ''<math>P</math>-fast sicher'' bzgl. <math>(\Omega, \mathcal{S}, P)</math> ein Weg, ein deterministisch sicheres Eintreten von Ereignissen durch ein stochastische Konzept zu ersetzen. Ein Ereignis <math>A</math> tritt dabei ''<math>P</math>-fast sicher'' ein, wenn <math>P(A)=1</math> mit <math>A\subset \Omega</math> erfüllt. Dabei kann <math>A\not= \Omega</math> und damit <math>A^c \not= \emptyset </math> gelten. Es gibt also bzgl. <math>A</math> auch Elemente <math>\omega \in \Omega</math>, die nicht die Eigenschaft für das Eintreten des Ereignis <math>A</math> erfüllen. === P-fast sicher - Nullmengen === Der Begriff ''<math>P</math>-fast sicher'' ist über Komplementbildung eng mit dem Begriff der <math>P</math>-[[Kurs:Stochastik/P-fast_sicher#Definition_-_Nullmenge|Nullmenge]] verbunden, denn tritt <math>A</math> <math>P</math>-fast sicher ein, so ist <math>N:=A^c = \Omega \setminus A</math> eine <math>P</math>-[[Kurs:Stochastik/P-fast_sicher#Definition_-_P-Nullmenge|Nullmenge]] === Ziel der Lerneinheit === In diesem Artikel werden wir die Definition und Beispiele für den Begriff P-fast sicher auf einem Grundraum <math>(\Omega, \mathcal{S}, P)</math> erläutern. == Definition - P-fast sicher == Sei (<math>\Omega, \mathcal{S}, P</math>) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Ein Ereignis <math>A \in \mathcal{S}</math> heißt P-fast sicher, wenn <math>P(A) = 1</math> gilt. Dies bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis <math>A</math> eintritt, gleich 1 ist. == Beispiele == * Sei (<math>\Omega, \mathcal{S}, P</math>) ein Wahrscheinlichkeitsraum und sei <math>A = \Omega</math>. Dann ist <math>P(A) = P(\Omega) = 1</math>, da die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis <math>\Omega</math> eintritt, gleich 1 ist. Somit ist <math>A</math> P-fast sicher. * Sei (<math>\Omega, \mathcal{S}, P</math>) ein Wahrscheinlichkeitsraum und sei <math>A = \emptyset</math>. Dann ist <math>P(A) = P(\emptyset) = 0</math>, da die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis <math>\emptyset</math> eintritt, gleich 0 ist. Somit ist <math>A</math> nicht P-fast sicher. * Sei (<math>\Omega, \mathcal{S}, P</math>) ein Wahrscheinlichkeitsraum und sei <math>A = \{x \in \Omega | X(x) > 0\}</math>, wobei <math>X</math> eine Zufallsvariable ist. Wenn <math>P(X > 0) = 1</math>, dann ist <math>A</math> P-fast sicher. == Eigenschaften == * Wenn <math>A</math> P-fast sicher ist, dann ist auch <math>A^c</math> (das Komplement von <math>A</math>) P-fast sicher. * Wenn <math>A</math> und <math>B</math> P-fast sicher sind, dann ist auch <math>A \cap B</math> P-fast sicher. * Wenn <math>A</math> P-fast sicher ist und <math>B \subset A</math>, dann ist auch <math>B</math> P-fast sicher. == Definition - P-Nullmenge == Sei (<math>\Omega, \mathcal{S}, P</math>) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Ein Ereignis <math>N \in \mathcal{S}</math> heißt P-Nullmenge, wenn <math>P(N) = 0</math> gilt. === Bemerkung - P-Nullmenge === Ob eine Menge <math>N\subset \Omega</math> mit <math>N\in \mathcal{S}</math> eine Nullmenge ist, hängt von dem Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math>. === P-Nullmengen bei stetigen Verteilung - Einpunktmenge=== Sei (<math>\Omega, \mathcal{S}, P</math>) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Bei stetigen Verteilung (<math>\mathbb{R}^n, \mathcal{B}(\mathbb{R}^n), P^X</math>) für eine Zufallsgröße <math>X : \Omega \to \mathbb{R}^n </math> mit <math>n\in \mathbb{N}</math> sind Einpunktmengen <math>N=\{x\}</math> mit <math>x=(x_1,\ldots ,x_n) \in \mathbb{R}^n </math> über die Definition der stetigen Verteilung <math>P^X</math>-Nullmenge die Wahrscheinlichkeitsmasse <math>P(N)=0</math>. === P-Nullmengen bei stetigen Verteilung - abzählbare Menge=== Zusammen mit der <math>\sigma</math>-Additivität ist auch jeder [[w:de:abzählbar|abzählbare Menge]] als abzählbare Vereinigung von Einpunktmenge eine <math>P^X</math>-Nullmenge. :<math>N := \bigcup_{k=1}^{\infty} \{x^{(k)}\} =\bigcup_{k=1}^{\infty} \left\{ \left(x_1^{(k)},\ldots ,x_n^{(k)}\right) \right\} \in \mathbb{R}^n </math> Dies bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit der durch <math>X: \Omega \to \mathbb{R}^n </math> auf <math>\mathbb{R}^n </math> induzierten Verteilung <math>P^X</math> für abzählbare Mengen <math>N</math> immer eine <math>P^X</math>-Nullmenge ist. == Anwendungen == Der Begriff P-fast sicher wird oft in der Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik verwendet, um die Wahrscheinlichkeit von Ereignissen zu beschreiben, die mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit eintreten. === P-fast sichere Konvergenz === Im Gegensatz zur klassischen Konvergenz für Funktionfolgen :<math>\forall_{x\in \mathbb{R}} \lim_{n\to \infty} f_n(x) = f_{\!o}(x)</math> kann man mit einem Wahrscheinlichkeitsraum (<math>\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), P</math>) auf <math>\mathbb{R}</math> mit der <math>P</math>-fast sichere Konvergenz die klassische Konvergenz nur mit Ausnahme von einer Punktmenge <math>N\subset \mathbb{R}</math> definieren, mit <math>P(N)= 0</math>. Daher definiert man die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz wie folgt: :<math>\stackrel{P}{\lim_{n\to \infty}} f_n(x) = f_{\!o}(x) :\Leftrightarrow \forall_{x\in \mathbb{R}\setminus N} \lim_{n\to \infty} f_n(x) = f_{\!o}(x)</math> === Gesetz der großen Zahlen === Beispielsweise wird kann man nach dem Borelschen Gesetz der großen Zahlen sagen, dass das die relative Häufigkeit nach <math>n</math> stochastisch unabhängigen Versuchswiederholungen <math>\overline{X_n}</math> P-fast sicher <math>P</math>-fast sicher gegen eine im Allgemeinen unbekannte theorische Wahrscheinlichkeit konvergiert. Fasst man dabei die Fälle zu einer Menge <math>N</math> zusammen, für die die Konvergenz nicht erfüllt ist, so ist <math>N</math> eine <math>P</math>-Nullmenge. == Aufgaben == Die Übungen beziehen sich auf die Überprüfung, ob eine Eigenschaft <math>P</math>-fast sicher gilt bzw. eine Menge eine <math>P</math>-Nullmenge ist. === Aufgabe 1 - induzierte Verteilung === Sei (<math>\Omega, \mathcal{S}, P</math>) ein Wahrscheinlichkeitsraum und <math>X:\Omega \to \mathbb{R}</math> eine reellwertige Zufallsgröße. Man definiert nun <math>A = \{\omega \in \Omega | X(\omega) > 0\}</math> und betrachte die induzierte Verteilung <math>P^X</math> auf <math>\mathbb{R}</math>. Ferner gilt <math>P^X(([-1,0]) = \frac{1}{10}</math>. Überprüfen Sie, ob <math>A</math> ein <math>P</math>-fast sicheres Ereignis ist. === Aufgabe 2 - Rechteckverteilung === Sei <math>\Omega := \mathbb{R}</math> und <math>(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), P_{[a,b]})</math> ein Wahrscheinlichkeitsraum, wobei <math>P_{[a,b]}</math> eine [[Rechteckverteilung]] auf dem Intervall <math>[a,b]\subset \mathbb{R}</math> ist. Für welche Wahl von <math>a</math> und <math>b</math> mit <math>a < b </math> ist die Menge <math>A := \mathbb{R}^+</math> * eine <math>P_{[a,b]}</math>-Nullmenge, * ein <math>P_{[a,b]}</math>-fast sicheres Ereignis. == Fazit == Der Begriff <math>P</math>-fast sicher bzw. der Begriff <math>P</math>-Nullmenge ist ein wichtiger Konzept in der Wahrscheinlichkeitstheorie, um eine Art Gütemaß nach Wahrscheinlichkeit für nicht-deterministisches Eintreten eines Ereignisses beschreiben zu können. Es gibt also Ausnahmen <math>N:= \Omega \setminus A</math> aus dem Grundraum <math>\Omega</math>, die die Eigenschaft des Ereignisse <math>A</math> nicht erfüllen. Diese Menge <math> N</math> der Ausnahmen ist allerding bezogen auf das Wahrscheinlichkeitmaß <math>P</math> eine <math>P</math>-Nullmenge bzw. umgekehrt tritt das Ereignis <math>A</math> mit der Wahrscheinlichkeit <math>P(A)=1</math> ein. == Siehe auch == * [[Wahrscheinlichkeitsraum]] * [[Zufallsgröße]] 0m4lrkx609p6oja3kjuxcnym5wg9qto 1118715 1118714 2026-11-03T08:34:01Z Bert Niehaus 20843 /* Bemerkung - P-Nullmenge */ 1118715 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In der Wahrscheinlichkeitstheorie ist der Begriff ''<math>P</math>-fast sicher'' bzgl. <math>(\Omega, \mathcal{S}, P)</math> ein Weg, ein deterministisch sicheres Eintreten von Ereignissen durch ein stochastische Konzept zu ersetzen. Ein Ereignis <math>A</math> tritt dabei ''<math>P</math>-fast sicher'' ein, wenn <math>P(A)=1</math> mit <math>A\subset \Omega</math> erfüllt. Dabei kann <math>A\not= \Omega</math> und damit <math>A^c \not= \emptyset </math> gelten. Es gibt also bzgl. <math>A</math> auch Elemente <math>\omega \in \Omega</math>, die nicht die Eigenschaft für das Eintreten des Ereignis <math>A</math> erfüllen. === P-fast sicher - Nullmengen === Der Begriff ''<math>P</math>-fast sicher'' ist über Komplementbildung eng mit dem Begriff der <math>P</math>-[[Kurs:Stochastik/P-fast_sicher#Definition_-_Nullmenge|Nullmenge]] verbunden, denn tritt <math>A</math> <math>P</math>-fast sicher ein, so ist <math>N:=A^c = \Omega \setminus A</math> eine <math>P</math>-[[Kurs:Stochastik/P-fast_sicher#Definition_-_P-Nullmenge|Nullmenge]] === Ziel der Lerneinheit === In diesem Artikel werden wir die Definition und Beispiele für den Begriff P-fast sicher auf einem Grundraum <math>(\Omega, \mathcal{S}, P)</math> erläutern. == Definition - P-fast sicher == Sei (<math>\Omega, \mathcal{S}, P</math>) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Ein Ereignis <math>A \in \mathcal{S}</math> heißt P-fast sicher, wenn <math>P(A) = 1</math> gilt. Dies bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis <math>A</math> eintritt, gleich 1 ist. == Beispiele == * Sei (<math>\Omega, \mathcal{S}, P</math>) ein Wahrscheinlichkeitsraum und sei <math>A = \Omega</math>. Dann ist <math>P(A) = P(\Omega) = 1</math>, da die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis <math>\Omega</math> eintritt, gleich 1 ist. Somit ist <math>A</math> P-fast sicher. * Sei (<math>\Omega, \mathcal{S}, P</math>) ein Wahrscheinlichkeitsraum und sei <math>A = \emptyset</math>. Dann ist <math>P(A) = P(\emptyset) = 0</math>, da die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis <math>\emptyset</math> eintritt, gleich 0 ist. Somit ist <math>A</math> nicht P-fast sicher. * Sei (<math>\Omega, \mathcal{S}, P</math>) ein Wahrscheinlichkeitsraum und sei <math>A = \{x \in \Omega | X(x) > 0\}</math>, wobei <math>X</math> eine Zufallsvariable ist. Wenn <math>P(X > 0) = 1</math>, dann ist <math>A</math> P-fast sicher. == Eigenschaften == * Wenn <math>A</math> P-fast sicher ist, dann ist auch <math>A^c</math> (das Komplement von <math>A</math>) P-fast sicher. * Wenn <math>A</math> und <math>B</math> P-fast sicher sind, dann ist auch <math>A \cap B</math> P-fast sicher. * Wenn <math>A</math> P-fast sicher ist und <math>B \subset A</math>, dann ist auch <math>B</math> P-fast sicher. == Definition - P-Nullmenge == Sei (<math>\Omega, \mathcal{S}, P</math>) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Ein Ereignis <math>N \in \mathcal{S}</math> heißt P-Nullmenge, wenn <math>P(N) = 0</math> gilt. === Bemerkung - P-Nullmenge === Ob eine Menge <math>N\subset \Omega</math> mit <math>N\in \mathcal{S}</math> eine Nullmenge ist, hängt von dem Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> an und nicht allein von der Auswahl der Teilmenge <math>N\subset \Omega</math>. === P-Nullmengen bei stetigen Verteilung - Einpunktmenge=== Sei (<math>\Omega, \mathcal{S}, P</math>) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Bei stetigen Verteilung (<math>\mathbb{R}^n, \mathcal{B}(\mathbb{R}^n), P^X</math>) für eine Zufallsgröße <math>X : \Omega \to \mathbb{R}^n </math> mit <math>n\in \mathbb{N}</math> sind Einpunktmengen <math>N=\{x\}</math> mit <math>x=(x_1,\ldots ,x_n) \in \mathbb{R}^n </math> über die Definition der stetigen Verteilung <math>P^X</math>-Nullmenge die Wahrscheinlichkeitsmasse <math>P(N)=0</math>. === P-Nullmengen bei stetigen Verteilung - abzählbare Menge=== Zusammen mit der <math>\sigma</math>-Additivität ist auch jeder [[w:de:abzählbar|abzählbare Menge]] als abzählbare Vereinigung von Einpunktmenge eine <math>P^X</math>-Nullmenge. :<math>N := \bigcup_{k=1}^{\infty} \{x^{(k)}\} =\bigcup_{k=1}^{\infty} \left\{ \left(x_1^{(k)},\ldots ,x_n^{(k)}\right) \right\} \in \mathbb{R}^n </math> Dies bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit der durch <math>X: \Omega \to \mathbb{R}^n </math> auf <math>\mathbb{R}^n </math> induzierten Verteilung <math>P^X</math> für abzählbare Mengen <math>N</math> immer eine <math>P^X</math>-Nullmenge ist. == Anwendungen == Der Begriff P-fast sicher wird oft in der Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik verwendet, um die Wahrscheinlichkeit von Ereignissen zu beschreiben, die mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit eintreten. === P-fast sichere Konvergenz === Im Gegensatz zur klassischen Konvergenz für Funktionfolgen :<math>\forall_{x\in \mathbb{R}} \lim_{n\to \infty} f_n(x) = f_{\!o}(x)</math> kann man mit einem Wahrscheinlichkeitsraum (<math>\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), P</math>) auf <math>\mathbb{R}</math> mit der <math>P</math>-fast sichere Konvergenz die klassische Konvergenz nur mit Ausnahme von einer Punktmenge <math>N\subset \mathbb{R}</math> definieren, mit <math>P(N)= 0</math>. Daher definiert man die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz wie folgt: :<math>\stackrel{P}{\lim_{n\to \infty}} f_n(x) = f_{\!o}(x) :\Leftrightarrow \forall_{x\in \mathbb{R}\setminus N} \lim_{n\to \infty} f_n(x) = f_{\!o}(x)</math> === Gesetz der großen Zahlen === Beispielsweise wird kann man nach dem Borelschen Gesetz der großen Zahlen sagen, dass das die relative Häufigkeit nach <math>n</math> stochastisch unabhängigen Versuchswiederholungen <math>\overline{X_n}</math> P-fast sicher <math>P</math>-fast sicher gegen eine im Allgemeinen unbekannte theorische Wahrscheinlichkeit konvergiert. Fasst man dabei die Fälle zu einer Menge <math>N</math> zusammen, für die die Konvergenz nicht erfüllt ist, so ist <math>N</math> eine <math>P</math>-Nullmenge. == Aufgaben == Die Übungen beziehen sich auf die Überprüfung, ob eine Eigenschaft <math>P</math>-fast sicher gilt bzw. eine Menge eine <math>P</math>-Nullmenge ist. === Aufgabe 1 - induzierte Verteilung === Sei (<math>\Omega, \mathcal{S}, P</math>) ein Wahrscheinlichkeitsraum und <math>X:\Omega \to \mathbb{R}</math> eine reellwertige Zufallsgröße. Man definiert nun <math>A = \{\omega \in \Omega | X(\omega) > 0\}</math> und betrachte die induzierte Verteilung <math>P^X</math> auf <math>\mathbb{R}</math>. Ferner gilt <math>P^X(([-1,0]) = \frac{1}{10}</math>. Überprüfen Sie, ob <math>A</math> ein <math>P</math>-fast sicheres Ereignis ist. === Aufgabe 2 - Rechteckverteilung === Sei <math>\Omega := \mathbb{R}</math> und <math>(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), P_{[a,b]})</math> ein Wahrscheinlichkeitsraum, wobei <math>P_{[a,b]}</math> eine [[Rechteckverteilung]] auf dem Intervall <math>[a,b]\subset \mathbb{R}</math> ist. Für welche Wahl von <math>a</math> und <math>b</math> mit <math>a < b </math> ist die Menge <math>A := \mathbb{R}^+</math> * eine <math>P_{[a,b]}</math>-Nullmenge, * ein <math>P_{[a,b]}</math>-fast sicheres Ereignis. == Fazit == Der Begriff <math>P</math>-fast sicher bzw. der Begriff <math>P</math>-Nullmenge ist ein wichtiger Konzept in der Wahrscheinlichkeitstheorie, um eine Art Gütemaß nach Wahrscheinlichkeit für nicht-deterministisches Eintreten eines Ereignisses beschreiben zu können. Es gibt also Ausnahmen <math>N:= \Omega \setminus A</math> aus dem Grundraum <math>\Omega</math>, die die Eigenschaft des Ereignisse <math>A</math> nicht erfüllen. Diese Menge <math> N</math> der Ausnahmen ist allerding bezogen auf das Wahrscheinlichkeitmaß <math>P</math> eine <math>P</math>-Nullmenge bzw. umgekehrt tritt das Ereignis <math>A</math> mit der Wahrscheinlichkeit <math>P(A)=1</math> ein. == Siehe auch == * [[Wahrscheinlichkeitsraum]] * [[Zufallsgröße]] jqz1k4fpq8zj1dhjo9un9pzcxcfslfa 1118716 1118715 2026-11-03T08:34:57Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1118716 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In der Wahrscheinlichkeitstheorie ist der Begriff ''<math>P</math>-fast sicher'' bzgl. <math>(\Omega, \mathcal{S}, P)</math> ein Weg, ein deterministisch sicheres Eintreten von Ereignissen durch ein stochastische Konzept zu ersetzen. Ein Ereignis <math>A</math> tritt dabei ''<math>P</math>-fast sicher'' ein, wenn <math>P(A)=1</math> mit <math>A\subset \Omega</math> erfüllt. Dabei kann <math>A\not= \Omega</math> und damit <math>A^c \not= \emptyset </math> gelten. Es gibt also bzgl. <math>A</math> auch Elemente <math>\omega \in \Omega</math>, die nicht die Eigenschaft für das Eintreten des Ereignis <math>A</math> erfüllen. === P-fast sicher - Nullmengen === Der Begriff ''<math>P</math>-fast sicher'' ist über Komplementbildung eng mit dem Begriff der <math>P</math>-[[Kurs:Stochastik/P-fast_sicher#Definition_-_Nullmenge|Nullmenge]] verbunden, denn tritt <math>A</math> <math>P</math>-fast sicher ein, so ist <math>N:=A^c = \Omega \setminus A</math> eine <math>P</math>-[[Kurs:Stochastik/P-fast_sicher#Definition_-_P-Nullmenge|Nullmenge]] === Ziel der Lerneinheit === In diesem Artikel werden wir die Definition und Beispiele für den Begriff P-fast sicher auf einem Grundraum <math>(\Omega, \mathcal{S}, P)</math> erläutern. == Definition - P-fast sicher == Sei (<math>\Omega, \mathcal{S}, P</math>) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Ein Ereignis <math>A \in \mathcal{S}</math> heißt P-fast sicher, wenn <math>P(A) = 1</math> gilt. Dies bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis <math>A</math> eintritt, gleich 1 ist. == Beispiele == * Sei (<math>\Omega, \mathcal{S}, P</math>) ein Wahrscheinlichkeitsraum und sei <math>A = \Omega</math>. Dann ist <math>P(A) = P(\Omega) = 1</math>, da die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis <math>\Omega</math> eintritt, gleich 1 ist. Somit ist <math>A</math> P-fast sicher. * Sei (<math>\Omega, \mathcal{S}, P</math>) ein Wahrscheinlichkeitsraum und sei <math>A = \emptyset</math>. Dann ist <math>P(A) = P(\emptyset) = 0</math>, da die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis <math>\emptyset</math> eintritt, gleich 0 ist. Somit ist <math>A</math> nicht P-fast sicher. * Sei (<math>\Omega, \mathcal{S}, P</math>) ein Wahrscheinlichkeitsraum und sei <math>A = \{x \in \Omega | X(x) > 0\}</math>, wobei <math>X</math> eine Zufallsvariable ist. Wenn <math>P(X > 0) = 1</math>, dann ist <math>A</math> P-fast sicher. == Eigenschaften == * Wenn <math>A</math> P-fast sicher ist, dann ist auch <math>A^c</math> (das Komplement von <math>A</math>) P-fast sicher. * Wenn <math>A</math> und <math>B</math> P-fast sicher sind, dann ist auch <math>A \cap B</math> P-fast sicher. * Wenn <math>A</math> P-fast sicher ist und <math>B \subset A</math>, dann ist auch <math>B</math> P-fast sicher. == Definition - P-Nullmenge == Sei (<math>\Omega, \mathcal{S}, P</math>) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Ein Ereignis <math>N \in \mathcal{S}</math> heißt P-Nullmenge, wenn <math>P(N) = 0</math> gilt. === Bemerkung - P-Nullmenge === Ob eine Menge <math>N\subset \Omega</math> mit <math>N\in \mathcal{S}</math> eine Nullmenge ist, hängt von dem Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> an und nicht allein von der Auswahl der Teilmenge <math>N\subset \Omega</math>. === P-Nullmengen bei stetigen Verteilung - Einpunktmenge=== Sei (<math>\Omega, \mathcal{S}, P</math>) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Bei stetigen Verteilung (<math>\mathbb{R}^n, \mathcal{B}(\mathbb{R}^n), P^X</math>) für eine Zufallsgröße <math>X : \Omega \to \mathbb{R}^n </math> mit <math>n\in \mathbb{N}</math> sind Einpunktmengen <math>N=\{x\}</math> mit <math>x=(x_1,\ldots ,x_n) \in \mathbb{R}^n </math> über die Definition der stetigen Verteilung <math>P^X</math>-Nullmenge die Wahrscheinlichkeitsmasse <math>P(N)=0</math>. === P-Nullmengen bei stetigen Verteilung - abzählbare Menge=== Zusammen mit der <math>\sigma</math>-Additivität ist auch jeder [[w:de:abzählbar|abzählbare Menge]] als abzählbare Vereinigung von Einpunktmenge eine <math>P^X</math>-Nullmenge. :<math>N := \bigcup_{k=1}^{\infty} \{x^{(k)}\} =\bigcup_{k=1}^{\infty} \left\{ \left(x_1^{(k)},\ldots ,x_n^{(k)}\right) \right\} \in \mathbb{R}^n </math> Dies bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit der durch <math>X: \Omega \to \mathbb{R}^n </math> auf <math>\mathbb{R}^n </math> induzierten Verteilung <math>P^X</math> für abzählbare Mengen <math>N</math> immer eine <math>P^X</math>-Nullmenge ist. == Anwendungen == Der Begriff P-fast sicher wird oft in der Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik verwendet, um die Wahrscheinlichkeit von Ereignissen zu beschreiben, die mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit eintreten. === P-fast sichere Konvergenz === Im Gegensatz zur klassischen Konvergenz für Funktionfolgen :<math>\forall_{x\in \mathbb{R}} \lim_{n\to \infty} f_n(x) = f_{\!o}(x)</math> kann man mit einem Wahrscheinlichkeitsraum (<math>\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), P</math>) auf <math>\mathbb{R}</math> mit der <math>P</math>-fast sichere Konvergenz die klassische Konvergenz nur mit Ausnahme von einer Punktmenge <math>N\subset \mathbb{R}</math> definieren, mit <math>P(N)= 0</math>. Daher definiert man die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz wie folgt: :<math>\stackrel{P}{\lim_{n\to \infty}} f_n(x) = f_{\!o}(x) :\Leftrightarrow \forall_{x\in \mathbb{R}\setminus N} \lim_{n\to \infty} f_n(x) = f_{\!o}(x)</math> === Gesetz der großen Zahlen === Beispielsweise wird kann man nach dem Borelschen Gesetz der großen Zahlen sagen, dass das die relative Häufigkeit nach <math>n</math> stochastisch unabhängigen Versuchswiederholungen <math>\overline{X_n}</math> P-fast sicher <math>P</math>-fast sicher gegen eine im Allgemeinen unbekannte theorische Wahrscheinlichkeit konvergiert. 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Überprüfen Sie, ob <math>A</math> ein <math>P</math>-fast sicheres Ereignis ist. === Aufgabe 2 - Rechteckverteilung === Sei <math>\Omega := \mathbb{R}</math> und <math>(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), P_{[a,b]})</math> ein Wahrscheinlichkeitsraum, wobei <math>P_{[a,b]}</math> eine [[Rechteckverteilung]] auf dem Intervall <math>[a,b]\subset \mathbb{R}</math> ist. Für welche Wahl von <math>a</math> und <math>b</math> mit <math>a < b </math> ist die Menge <math>A := \mathbb{R}^+</math> * eine <math>P_{[a,b]}</math>-Nullmenge, * ein <math>P_{[a,b]}</math>-fast sicheres Ereignis. == Fazit == Der Begriff <math>P</math>-fast sicher bzw. der Begriff <math>P</math>-Nullmenge ist ein wichtiger Konzept in der Wahrscheinlichkeitstheorie, um eine Art Gütemaß nach Wahrscheinlichkeit für nicht-deterministisches Eintreten eines Ereignisses beschreiben zu können. Es gibt also Ausnahmen <math>N:= \Omega \setminus A</math> aus dem Grundraum <math>\Omega</math>, die die Eigenschaft des Ereignisse <math>A</math> nicht erfüllen. Diese Menge <math> N</math> der Ausnahmen ist allerding bezogen auf das Wahrscheinlichkeitmaß <math>P</math> eine <math>P</math>-Nullmenge bzw. umgekehrt tritt das Ereignis <math>A</math> mit der Wahrscheinlichkeit <math>P(A)=1</math> ein. == Siehe auch == * [[Rechteckverteilung]] * [[Wahrscheinlichkeitsraum]] * [[Zufallsgröße]] 5zsl2aexhpq3tppagdjukwhf9vccgym 1118717 1118716 2026-11-03T08:35:43Z Bert Niehaus 20843 /* Anwendungen */ 1118717 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In der Wahrscheinlichkeitstheorie ist der Begriff ''<math>P</math>-fast sicher'' bzgl. <math>(\Omega, \mathcal{S}, P)</math> ein Weg, ein deterministisch sicheres Eintreten von Ereignissen durch ein stochastische Konzept zu ersetzen. Ein Ereignis <math>A</math> tritt dabei ''<math>P</math>-fast sicher'' ein, wenn <math>P(A)=1</math> mit <math>A\subset \Omega</math> erfüllt. Dabei kann <math>A\not= \Omega</math> und damit <math>A^c \not= \emptyset </math> gelten. Es gibt also bzgl. <math>A</math> auch Elemente <math>\omega \in \Omega</math>, die nicht die Eigenschaft für das Eintreten des Ereignis <math>A</math> erfüllen. === P-fast sicher - Nullmengen === Der Begriff ''<math>P</math>-fast sicher'' ist über Komplementbildung eng mit dem Begriff der <math>P</math>-[[Kurs:Stochastik/P-fast_sicher#Definition_-_Nullmenge|Nullmenge]] verbunden, denn tritt <math>A</math> <math>P</math>-fast sicher ein, so ist <math>N:=A^c = \Omega \setminus A</math> eine <math>P</math>-[[Kurs:Stochastik/P-fast_sicher#Definition_-_P-Nullmenge|Nullmenge]] === Ziel der Lerneinheit === In diesem Artikel werden wir die Definition und Beispiele für den Begriff P-fast sicher auf einem Grundraum <math>(\Omega, \mathcal{S}, P)</math> erläutern. == Definition - P-fast sicher == Sei (<math>\Omega, \mathcal{S}, P</math>) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Ein Ereignis <math>A \in \mathcal{S}</math> heißt P-fast sicher, wenn <math>P(A) = 1</math> gilt. Dies bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis <math>A</math> eintritt, gleich 1 ist. == Beispiele == * Sei (<math>\Omega, \mathcal{S}, P</math>) ein Wahrscheinlichkeitsraum und sei <math>A = \Omega</math>. Dann ist <math>P(A) = P(\Omega) = 1</math>, da die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis <math>\Omega</math> eintritt, gleich 1 ist. Somit ist <math>A</math> P-fast sicher. * Sei (<math>\Omega, \mathcal{S}, P</math>) ein Wahrscheinlichkeitsraum und sei <math>A = \emptyset</math>. Dann ist <math>P(A) = P(\emptyset) = 0</math>, da die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis <math>\emptyset</math> eintritt, gleich 0 ist. Somit ist <math>A</math> nicht P-fast sicher. * Sei (<math>\Omega, \mathcal{S}, P</math>) ein Wahrscheinlichkeitsraum und sei <math>A = \{x \in \Omega | X(x) > 0\}</math>, wobei <math>X</math> eine Zufallsvariable ist. Wenn <math>P(X > 0) = 1</math>, dann ist <math>A</math> P-fast sicher. == Eigenschaften == * Wenn <math>A</math> P-fast sicher ist, dann ist auch <math>A^c</math> (das Komplement von <math>A</math>) P-fast sicher. * Wenn <math>A</math> und <math>B</math> P-fast sicher sind, dann ist auch <math>A \cap B</math> P-fast sicher. * Wenn <math>A</math> P-fast sicher ist und <math>B \subset A</math>, dann ist auch <math>B</math> P-fast sicher. == Definition - P-Nullmenge == Sei (<math>\Omega, \mathcal{S}, P</math>) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Ein Ereignis <math>N \in \mathcal{S}</math> heißt P-Nullmenge, wenn <math>P(N) = 0</math> gilt. === Bemerkung - P-Nullmenge === Ob eine Menge <math>N\subset \Omega</math> mit <math>N\in \mathcal{S}</math> eine Nullmenge ist, hängt von dem Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> an und nicht allein von der Auswahl der Teilmenge <math>N\subset \Omega</math>. === P-Nullmengen bei stetigen Verteilung - Einpunktmenge=== Sei (<math>\Omega, \mathcal{S}, P</math>) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Bei stetigen Verteilung (<math>\mathbb{R}^n, \mathcal{B}(\mathbb{R}^n), P^X</math>) für eine Zufallsgröße <math>X : \Omega \to \mathbb{R}^n </math> mit <math>n\in \mathbb{N}</math> sind Einpunktmengen <math>N=\{x\}</math> mit <math>x=(x_1,\ldots ,x_n) \in \mathbb{R}^n </math> über die Definition der stetigen Verteilung <math>P^X</math>-Nullmenge die Wahrscheinlichkeitsmasse <math>P(N)=0</math>. === P-Nullmengen bei stetigen Verteilung - abzählbare Menge=== Zusammen mit der <math>\sigma</math>-Additivität ist auch jeder [[w:de:abzählbar|abzählbare Menge]] als abzählbare Vereinigung von Einpunktmenge eine <math>P^X</math>-Nullmenge. :<math>N := \bigcup_{k=1}^{\infty} \{x^{(k)}\} =\bigcup_{k=1}^{\infty} \left\{ \left(x_1^{(k)},\ldots ,x_n^{(k)}\right) \right\} \in \mathbb{R}^n </math> Dies bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit der durch <math>X: \Omega \to \mathbb{R}^n </math> auf <math>\mathbb{R}^n </math> induzierten Verteilung <math>P^X</math> für abzählbare Mengen <math>N</math> immer eine <math>P^X</math>-Nullmenge ist. == Anwendungen == Der Begriff P-fast sicher wird oft in der Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik verwendet, um die Wahrscheinlichkeit von Ereignissen zu beschreiben, die mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit eintreten. === P-fast sichere Konvergenz === Im Gegensatz zur klassischen Konvergenz für [[w:de:Funktionenfolge|Funktionenfolgen]] :<math>\forall_{x\in \mathbb{R}} \lim_{n\to \infty} f_n(x) = f_{\!o}(x)</math> kann man mit einem Wahrscheinlichkeitsraum (<math>\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), P</math>) auf <math>\mathbb{R}</math> mit der <math>P</math>-fast sichere Konvergenz die klassische Konvergenz nur mit Ausnahme von einer Punktmenge <math>N\subset \mathbb{R}</math> definieren, mit <math>P(N)= 0</math>. Daher definiert man die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz wie folgt: :<math>\stackrel{P}{\lim_{n\to \infty}} f_n(x) = f_{\!o}(x) :\Leftrightarrow \forall_{x\in \mathbb{R}\setminus N} \lim_{n\to \infty} f_n(x) = f_{\!o}(x)</math> === Gesetz der großen Zahlen === Beispielsweise wird kann man nach dem Borelschen Gesetz der großen Zahlen sagen, dass das die relative Häufigkeit nach <math>n</math> stochastisch unabhängigen Versuchswiederholungen <math>\overline{X_n}</math> P-fast sicher <math>P</math>-fast sicher gegen eine im Allgemeinen unbekannte theorische Wahrscheinlichkeit konvergiert. Fasst man dabei die Fälle zu einer Menge <math>N</math> zusammen, für die die Konvergenz nicht erfüllt ist, so ist <math>N</math> eine <math>P</math>-Nullmenge. == Aufgaben == Die Übungen beziehen sich auf die Überprüfung, ob eine Eigenschaft <math>P</math>-fast sicher gilt bzw. eine Menge eine <math>P</math>-Nullmenge ist. === Aufgabe 1 - induzierte Verteilung === Sei (<math>\Omega, \mathcal{S}, P</math>) ein Wahrscheinlichkeitsraum und <math>X:\Omega \to \mathbb{R}</math> eine reellwertige Zufallsgröße. Man definiert nun <math>A = \{\omega \in \Omega | X(\omega) > 0\}</math> und betrachte die induzierte Verteilung <math>P^X</math> auf <math>\mathbb{R}</math>. Ferner gilt <math>P^X(([-1,0]) = \frac{1}{10}</math>. Überprüfen Sie, ob <math>A</math> ein <math>P</math>-fast sicheres Ereignis ist. === Aufgabe 2 - Rechteckverteilung === Sei <math>\Omega := \mathbb{R}</math> und <math>(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), P_{[a,b]})</math> ein Wahrscheinlichkeitsraum, wobei <math>P_{[a,b]}</math> eine [[Rechteckverteilung]] auf dem Intervall <math>[a,b]\subset \mathbb{R}</math> ist. Für welche Wahl von <math>a</math> und <math>b</math> mit <math>a < b </math> ist die Menge <math>A := \mathbb{R}^+</math> * eine <math>P_{[a,b]}</math>-Nullmenge, * ein <math>P_{[a,b]}</math>-fast sicheres Ereignis. == Fazit == Der Begriff <math>P</math>-fast sicher bzw. der Begriff <math>P</math>-Nullmenge ist ein wichtiger Konzept in der Wahrscheinlichkeitstheorie, um eine Art Gütemaß nach Wahrscheinlichkeit für nicht-deterministisches Eintreten eines Ereignisses beschreiben zu können. Es gibt also Ausnahmen <math>N:= \Omega \setminus A</math> aus dem Grundraum <math>\Omega</math>, die die Eigenschaft des Ereignisse <math>A</math> nicht erfüllen. Diese Menge <math> N</math> der Ausnahmen ist allerding bezogen auf das Wahrscheinlichkeitmaß <math>P</math> eine <math>P</math>-Nullmenge bzw. umgekehrt tritt das Ereignis <math>A</math> mit der Wahrscheinlichkeit <math>P(A)=1</math> ein. == Siehe auch == * [[Rechteckverteilung]] * [[Wahrscheinlichkeitsraum]] * [[Zufallsgröße]] bxzz7wmpsvqsptjgl9stim32wi7or64 1118718 1118717 2026-11-03T08:36:21Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1118718 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In der Wahrscheinlichkeitstheorie ist der Begriff ''<math>P</math>-fast sicher'' bzgl. <math>(\Omega, \mathcal{S}, P)</math> ein Weg, ein deterministisch sicheres Eintreten von Ereignissen durch ein stochastische Konzept zu ersetzen. Ein Ereignis <math>A</math> tritt dabei ''<math>P</math>-fast sicher'' ein, wenn <math>P(A)=1</math> mit <math>A\subset \Omega</math> erfüllt. Dabei kann <math>A\not= \Omega</math> und damit <math>A^c \not= \emptyset </math> gelten. Es gibt also bzgl. <math>A</math> auch Elemente <math>\omega \in \Omega</math>, die nicht die Eigenschaft für das Eintreten des Ereignis <math>A</math> erfüllen. === P-fast sicher - Nullmengen === Der Begriff ''<math>P</math>-fast sicher'' ist über Komplementbildung eng mit dem Begriff der <math>P</math>-[[Kurs:Stochastik/P-fast_sicher#Definition_-_Nullmenge|Nullmenge]] verbunden, denn tritt <math>A</math> <math>P</math>-fast sicher ein, so ist <math>N:=A^c = \Omega \setminus A</math> eine <math>P</math>-[[Kurs:Stochastik/P-fast_sicher#Definition_-_P-Nullmenge|Nullmenge]] === Ziel der Lerneinheit === In diesem Artikel werden wir die Definition und Beispiele für den Begriff P-fast sicher auf einem Grundraum <math>(\Omega, \mathcal{S}, P)</math> erläutern. == Definition - P-fast sicher == Sei (<math>\Omega, \mathcal{S}, P</math>) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Ein Ereignis <math>A \in \mathcal{S}</math> heißt P-fast sicher, wenn <math>P(A) = 1</math> gilt. Dies bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis <math>A</math> eintritt, gleich 1 ist. == Beispiele == * Sei (<math>\Omega, \mathcal{S}, P</math>) ein Wahrscheinlichkeitsraum und sei <math>A = \Omega</math>. Dann ist <math>P(A) = P(\Omega) = 1</math>, da die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis <math>\Omega</math> eintritt, gleich 1 ist. Somit ist <math>A</math> P-fast sicher. * Sei (<math>\Omega, \mathcal{S}, P</math>) ein Wahrscheinlichkeitsraum und sei <math>A = \emptyset</math>. Dann ist <math>P(A) = P(\emptyset) = 0</math>, da die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis <math>\emptyset</math> eintritt, gleich 0 ist. Somit ist <math>A</math> nicht P-fast sicher. * Sei (<math>\Omega, \mathcal{S}, P</math>) ein Wahrscheinlichkeitsraum und sei <math>A = \{x \in \Omega | X(x) > 0\}</math>, wobei <math>X</math> eine Zufallsvariable ist. Wenn <math>P(X > 0) = 1</math>, dann ist <math>A</math> P-fast sicher. == Eigenschaften == * Wenn <math>A</math> P-fast sicher ist, dann ist auch <math>A^c</math> (das Komplement von <math>A</math>) P-fast sicher. * Wenn <math>A</math> und <math>B</math> P-fast sicher sind, dann ist auch <math>A \cap B</math> P-fast sicher. * Wenn <math>A</math> P-fast sicher ist und <math>B \subset A</math>, dann ist auch <math>B</math> P-fast sicher. == Definition - P-Nullmenge == Sei (<math>\Omega, \mathcal{S}, P</math>) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Ein Ereignis <math>N \in \mathcal{S}</math> heißt P-Nullmenge, wenn <math>P(N) = 0</math> gilt. === Bemerkung - P-Nullmenge === Ob eine Menge <math>N\subset \Omega</math> mit <math>N\in \mathcal{S}</math> eine Nullmenge ist, hängt von dem Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> an und nicht allein von der Auswahl der Teilmenge <math>N\subset \Omega</math>. === P-Nullmengen bei stetigen Verteilung - Einpunktmenge=== Sei (<math>\Omega, \mathcal{S}, P</math>) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Bei stetigen Verteilung (<math>\mathbb{R}^n, \mathcal{B}(\mathbb{R}^n), P^X</math>) für eine Zufallsgröße <math>X : \Omega \to \mathbb{R}^n </math> mit <math>n\in \mathbb{N}</math> sind Einpunktmengen <math>N=\{x\}</math> mit <math>x=(x_1,\ldots ,x_n) \in \mathbb{R}^n </math> über die Definition der stetigen Verteilung <math>P^X</math>-Nullmenge die Wahrscheinlichkeitsmasse <math>P(N)=0</math>. === P-Nullmengen bei stetigen Verteilung - abzählbare Menge=== Zusammen mit der <math>\sigma</math>-Additivität ist auch jeder [[w:de:abzählbar|abzählbare Menge]] als abzählbare Vereinigung von Einpunktmenge eine <math>P^X</math>-Nullmenge. :<math>N := \bigcup_{k=1}^{\infty} \{x^{(k)}\} =\bigcup_{k=1}^{\infty} \left\{ \left(x_1^{(k)},\ldots ,x_n^{(k)}\right) \right\} \in \mathbb{R}^n </math> Dies bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit der durch <math>X: \Omega \to \mathbb{R}^n </math> auf <math>\mathbb{R}^n </math> induzierten Verteilung <math>P^X</math> für abzählbare Mengen <math>N</math> immer eine <math>P^X</math>-Nullmenge ist. == Anwendungen == Der Begriff P-fast sicher wird oft in der Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik verwendet, um die Wahrscheinlichkeit von Ereignissen zu beschreiben, die mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit eintreten. === P-fast sichere Konvergenz === Im Gegensatz zur klassischen Konvergenz für [[w:de:Funktionenfolge|Funktionenfolgen]] :<math>\forall_{x\in \mathbb{R}} \lim_{n\to \infty} f_n(x) = f_{\!o}(x)</math> kann man mit einem Wahrscheinlichkeitsraum (<math>\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), P</math>) auf <math>\mathbb{R}</math> mit der <math>P</math>-fast sichere Konvergenz die klassische Konvergenz nur mit Ausnahme von einer Punktmenge <math>N\subset \mathbb{R}</math> definieren, mit <math>P(N)= 0</math>. Daher definiert man die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz wie folgt: :<math>\stackrel{P}{\lim_{n\to \infty}} f_n(x) = f_{\!o}(x) :\Leftrightarrow \forall_{x\in \mathbb{R}\setminus N} \lim_{n\to \infty} f_n(x) = f_{\!o}(x)</math> === Gesetz der großen Zahlen === Beispielsweise wird kann man nach dem Borelschen Gesetz der großen Zahlen sagen, dass das die relative Häufigkeit nach <math>n</math> stochastisch unabhängigen Versuchswiederholungen <math>\overline{X_n}</math> P-fast sicher <math>P</math>-fast sicher gegen eine im Allgemeinen unbekannte theorische Wahrscheinlichkeit konvergiert. Fasst man dabei die Fälle zu einer Menge <math>N</math> zusammen, für die die Konvergenz nicht erfüllt ist, so ist <math>N</math> eine <math>P</math>-Nullmenge. == Aufgaben == Die Übungen beziehen sich auf die Überprüfung, ob eine Eigenschaft <math>P</math>-fast sicher gilt bzw. eine Menge eine <math>P</math>-Nullmenge ist. === Aufgabe 1 - induzierte Verteilung === Sei (<math>\Omega, \mathcal{S}, P</math>) ein Wahrscheinlichkeitsraum und <math>X:\Omega \to \mathbb{R}</math> eine reellwertige Zufallsgröße. Man definiert nun <math>A = \{\omega \in \Omega | X(\omega) > 0\}</math> und betrachte die induzierte Verteilung <math>P^X</math> auf <math>\mathbb{R}</math>. Ferner gilt <math>P^X(([-1,0]) = \frac{1}{10}</math>. Überprüfen Sie, ob <math>A</math> ein <math>P</math>-fast sicheres Ereignis ist. === Aufgabe 2 - Rechteckverteilung === Sei <math>\Omega := \mathbb{R}</math> und <math>(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), P_{[a,b]})</math> ein Wahrscheinlichkeitsraum, wobei <math>P_{[a,b]}</math> eine [[Rechteckverteilung]] auf dem Intervall <math>[a,b]\subset \mathbb{R}</math> ist. Für welche Wahl von <math>a</math> und <math>b</math> mit <math>a < b </math> ist die Menge <math>A := \mathbb{R}^+</math> * eine <math>P_{[a,b]}</math>-Nullmenge, * ein <math>P_{[a,b]}</math>-fast sicheres Ereignis. == Fazit == Der Begriff <math>P</math>-fast sicher bzw. der Begriff <math>P</math>-Nullmenge ist ein wichtiger Konzept in der Wahrscheinlichkeitstheorie, um eine Art Gütemaß nach Wahrscheinlichkeit für nicht-deterministisches Eintreten eines Ereignisses beschreiben zu können. Es gibt also Ausnahmen <math>N:= \Omega \setminus A</math> aus dem Grundraum <math>\Omega</math>, die die Eigenschaft des Ereignisse <math>A</math> nicht erfüllen. Diese Menge <math> N</math> der Ausnahmen ist allerding bezogen auf das Wahrscheinlichkeitmaß <math>P</math> eine <math>P</math>-Nullmenge bzw. umgekehrt tritt das Ereignis <math>A</math> mit der Wahrscheinlichkeit <math>P(A)=1</math> ein. == Siehe auch == * [[w:de:Funktionenfolge|Funktionenfolgen]] * [[Rechteckverteilung]] * [[Wahrscheinlichkeitsraum]] * [[Zufallsgröße]] hjlw1zpsu8f2oy245tej8x1wrp6x4hs 1118719 1118718 2026-11-03T08:36:45Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1118719 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In der Wahrscheinlichkeitstheorie ist der Begriff ''<math>P</math>-fast sicher'' bzgl. <math>(\Omega, \mathcal{S}, P)</math> ein Weg, ein deterministisch sicheres Eintreten von Ereignissen durch ein stochastische Konzept zu ersetzen. Ein Ereignis <math>A</math> tritt dabei ''<math>P</math>-fast sicher'' ein, wenn <math>P(A)=1</math> mit <math>A\subset \Omega</math> erfüllt. Dabei kann <math>A\not= \Omega</math> und damit <math>A^c \not= \emptyset </math> gelten. Es gibt also bzgl. <math>A</math> auch Elemente <math>\omega \in \Omega</math>, die nicht die Eigenschaft für das Eintreten des Ereignis <math>A</math> erfüllen. === P-fast sicher - Nullmengen === Der Begriff ''<math>P</math>-fast sicher'' ist über Komplementbildung eng mit dem Begriff der <math>P</math>-[[Kurs:Stochastik/P-fast_sicher#Definition_-_Nullmenge|Nullmenge]] verbunden, denn tritt <math>A</math> <math>P</math>-fast sicher ein, so ist <math>N:=A^c = \Omega \setminus A</math> eine <math>P</math>-[[Kurs:Stochastik/P-fast_sicher#Definition_-_P-Nullmenge|Nullmenge]] === Ziel der Lerneinheit === In diesem Artikel werden wir die Definition und Beispiele für den Begriff P-fast sicher auf einem Grundraum <math>(\Omega, \mathcal{S}, P)</math> erläutern. == Definition - P-fast sicher == Sei (<math>\Omega, \mathcal{S}, P</math>) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Ein Ereignis <math>A \in \mathcal{S}</math> heißt P-fast sicher, wenn <math>P(A) = 1</math> gilt. Dies bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis <math>A</math> eintritt, gleich 1 ist. == Beispiele == * Sei (<math>\Omega, \mathcal{S}, P</math>) ein Wahrscheinlichkeitsraum und sei <math>A = \Omega</math>. Dann ist <math>P(A) = P(\Omega) = 1</math>, da die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis <math>\Omega</math> eintritt, gleich 1 ist. Somit ist <math>A</math> P-fast sicher. * Sei (<math>\Omega, \mathcal{S}, P</math>) ein Wahrscheinlichkeitsraum und sei <math>A = \emptyset</math>. Dann ist <math>P(A) = P(\emptyset) = 0</math>, da die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis <math>\emptyset</math> eintritt, gleich 0 ist. Somit ist <math>A</math> nicht P-fast sicher. * Sei (<math>\Omega, \mathcal{S}, P</math>) ein Wahrscheinlichkeitsraum und sei <math>A = \{x \in \Omega | X(x) > 0\}</math>, wobei <math>X</math> eine Zufallsvariable ist. Wenn <math>P(X > 0) = 1</math>, dann ist <math>A</math> P-fast sicher. == Eigenschaften == * Wenn <math>A</math> P-fast sicher ist, dann ist auch <math>A^c</math> (das Komplement von <math>A</math>) P-fast sicher. * Wenn <math>A</math> und <math>B</math> P-fast sicher sind, dann ist auch <math>A \cap B</math> P-fast sicher. * Wenn <math>A</math> P-fast sicher ist und <math>B \subset A</math>, dann ist auch <math>B</math> P-fast sicher. == Definition - P-Nullmenge == Sei (<math>\Omega, \mathcal{S}, P</math>) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Ein Ereignis <math>N \in \mathcal{S}</math> heißt P-Nullmenge, wenn <math>P(N) = 0</math> gilt. === Bemerkung - P-Nullmenge === Ob eine Menge <math>N\subset \Omega</math> mit <math>N\in \mathcal{S}</math> eine Nullmenge ist, hängt von dem Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> an und nicht allein von der Auswahl der Teilmenge <math>N\subset \Omega</math>. === P-Nullmengen bei stetigen Verteilung - Einpunktmenge=== Sei (<math>\Omega, \mathcal{S}, P</math>) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Bei stetigen Verteilung (<math>\mathbb{R}^n, \mathcal{B}(\mathbb{R}^n), P^X</math>) für eine Zufallsgröße <math>X : \Omega \to \mathbb{R}^n </math> mit <math>n\in \mathbb{N}</math> sind Einpunktmengen <math>N=\{x\}</math> mit <math>x=(x_1,\ldots ,x_n) \in \mathbb{R}^n </math> über die Definition der stetigen Verteilung <math>P^X</math>-Nullmenge die Wahrscheinlichkeitsmasse <math>P(N)=0</math>. === P-Nullmengen bei stetigen Verteilung - abzählbare Menge=== Zusammen mit der <math>\sigma</math>-Additivität ist auch jeder [[w:de:abzählbar|abzählbare Menge]] als abzählbare Vereinigung von Einpunktmenge eine <math>P^X</math>-Nullmenge. :<math>N := \bigcup_{k=1}^{\infty} \{x^{(k)}\} =\bigcup_{k=1}^{\infty} \left\{ \left(x_1^{(k)},\ldots ,x_n^{(k)}\right) \right\} \in \mathbb{R}^n </math> Dies bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit der durch <math>X: \Omega \to \mathbb{R}^n </math> auf <math>\mathbb{R}^n </math> induzierten Verteilung <math>P^X</math> für abzählbare Mengen <math>N</math> immer eine <math>P^X</math>-Nullmenge ist. == Anwendungen == Der Begriff P-fast sicher wird oft in der Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik verwendet, um die Wahrscheinlichkeit von Ereignissen zu beschreiben, die mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit eintreten. === P-fast sichere Konvergenz === Im Gegensatz zur klassischen Konvergenz für [[w:de:Funktionenfolge|Funktionenfolgen]] :<math>\forall_{x\in \mathbb{R}} \lim_{n\to \infty} f_n(x) = f_{\!o}(x)</math> kann man mit einem Wahrscheinlichkeitsraum (<math>\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), P</math>) auf <math>\mathbb{R}</math> mit der <math>P</math>-fast sichere Konvergenz die klassische Konvergenz nur mit Ausnahme von einer Punktmenge <math>N\subset \mathbb{R}</math> definieren, mit <math>P(N)= 0</math>. Daher definiert man die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz wie folgt: :<math>\stackrel{P}{\lim_{n\to \infty}} f_n(x) = f_{\!o}(x) :\Leftrightarrow \forall_{x\in \mathbb{R}\setminus N} \lim_{n\to \infty} f_n(x) = f_{\!o}(x)</math> === Gesetz der großen Zahlen === Beispielsweise wird kann man nach dem Borelschen Gesetz der großen Zahlen sagen, dass das die relative Häufigkeit nach <math>n</math> stochastisch unabhängigen Versuchswiederholungen <math>\overline{X_n}</math> P-fast sicher <math>P</math>-fast sicher gegen eine im Allgemeinen unbekannte theorische Wahrscheinlichkeit konvergiert. Fasst man dabei die Fälle zu einer Menge <math>N</math> zusammen, für die die Konvergenz nicht erfüllt ist, so ist <math>N</math> eine <math>P</math>-Nullmenge. == Aufgaben == Die Übungen beziehen sich auf die Überprüfung, ob eine Eigenschaft <math>P</math>-fast sicher gilt bzw. eine Menge eine <math>P</math>-Nullmenge ist. === Aufgabe 1 - induzierte Verteilung === Sei (<math>\Omega, \mathcal{S}, P</math>) ein Wahrscheinlichkeitsraum und <math>X:\Omega \to \mathbb{R}</math> eine reellwertige Zufallsgröße. Man definiert nun <math>A = \{\omega \in \Omega | X(\omega) > 0\}</math> und betrachte die induzierte Verteilung <math>P^X</math> auf <math>\mathbb{R}</math>. Ferner gilt <math>P^X(([-1,0]) = \frac{1}{10}</math>. Überprüfen Sie, ob <math>A</math> ein <math>P</math>-fast sicheres Ereignis ist. === Aufgabe 2 - Rechteckverteilung === Sei <math>\Omega := \mathbb{R}</math> und <math>(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), P_{[a,b]})</math> ein Wahrscheinlichkeitsraum, wobei <math>P_{[a,b]}</math> eine [[Rechteckverteilung]] auf dem Intervall <math>[a,b]\subset \mathbb{R}</math> ist. Für welche Wahl von <math>a</math> und <math>b</math> mit <math>a < b </math> ist die Menge <math>A := \mathbb{R}^+</math> * eine <math>P_{[a,b]}</math>-Nullmenge, * ein <math>P_{[a,b]}</math>-fast sicheres Ereignis. == Fazit == Der Begriff <math>P</math>-fast sicher bzw. der Begriff <math>P</math>-Nullmenge ist ein wichtiger Konzept in der Wahrscheinlichkeitstheorie, um eine Art Gütemaß nach Wahrscheinlichkeit für nicht-deterministisches Eintreten eines Ereignisses beschreiben zu können. Es gibt also Ausnahmen <math>N:= \Omega \setminus A</math> aus dem Grundraum <math>\Omega</math>, die die Eigenschaft des Ereignisse <math>A</math> nicht erfüllen. Diese Menge <math> N</math> der Ausnahmen ist allerding bezogen auf das Wahrscheinlichkeitmaß <math>P</math> eine <math>P</math>-Nullmenge bzw. umgekehrt tritt das Ereignis <math>A</math> mit der Wahrscheinlichkeit <math>P(A)=1</math> ein. == Siehe auch == * [[Folgenräume]] * [[w:de:Funktionenfolge|Funktionenfolgen]] * [[Rechteckverteilung]] * [[Wahrscheinlichkeitsraum]] * [[Zufallsgröße]] 95h5aa6fmy4spm7lu4rof309w6rytn8 1118730 1118719 2026-11-03T09:58:25Z Bert Niehaus 20843 /* P-fast sichere Konvergenz */ 1118730 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In der Wahrscheinlichkeitstheorie ist der Begriff ''<math>P</math>-fast sicher'' bzgl. <math>(\Omega, \mathcal{S}, P)</math> ein Weg, ein deterministisch sicheres Eintreten von Ereignissen durch ein stochastische Konzept zu ersetzen. Ein Ereignis <math>A</math> tritt dabei ''<math>P</math>-fast sicher'' ein, wenn <math>P(A)=1</math> mit <math>A\subset \Omega</math> erfüllt. Dabei kann <math>A\not= \Omega</math> und damit <math>A^c \not= \emptyset </math> gelten. Es gibt also bzgl. <math>A</math> auch Elemente <math>\omega \in \Omega</math>, die nicht die Eigenschaft für das Eintreten des Ereignis <math>A</math> erfüllen. === P-fast sicher - Nullmengen === Der Begriff ''<math>P</math>-fast sicher'' ist über Komplementbildung eng mit dem Begriff der <math>P</math>-[[Kurs:Stochastik/P-fast_sicher#Definition_-_Nullmenge|Nullmenge]] verbunden, denn tritt <math>A</math> <math>P</math>-fast sicher ein, so ist <math>N:=A^c = \Omega \setminus A</math> eine <math>P</math>-[[Kurs:Stochastik/P-fast_sicher#Definition_-_P-Nullmenge|Nullmenge]] === Ziel der Lerneinheit === In diesem Artikel werden wir die Definition und Beispiele für den Begriff P-fast sicher auf einem Grundraum <math>(\Omega, \mathcal{S}, P)</math> erläutern. == Definition - P-fast sicher == Sei (<math>\Omega, \mathcal{S}, P</math>) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Ein Ereignis <math>A \in \mathcal{S}</math> heißt P-fast sicher, wenn <math>P(A) = 1</math> gilt. Dies bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis <math>A</math> eintritt, gleich 1 ist. == Beispiele == * Sei (<math>\Omega, \mathcal{S}, P</math>) ein Wahrscheinlichkeitsraum und sei <math>A = \Omega</math>. Dann ist <math>P(A) = P(\Omega) = 1</math>, da die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis <math>\Omega</math> eintritt, gleich 1 ist. Somit ist <math>A</math> P-fast sicher. * Sei (<math>\Omega, \mathcal{S}, P</math>) ein Wahrscheinlichkeitsraum und sei <math>A = \emptyset</math>. Dann ist <math>P(A) = P(\emptyset) = 0</math>, da die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis <math>\emptyset</math> eintritt, gleich 0 ist. Somit ist <math>A</math> nicht P-fast sicher. * Sei (<math>\Omega, \mathcal{S}, P</math>) ein Wahrscheinlichkeitsraum und sei <math>A = \{x \in \Omega | X(x) > 0\}</math>, wobei <math>X</math> eine Zufallsvariable ist. Wenn <math>P(X > 0) = 1</math>, dann ist <math>A</math> P-fast sicher. == Eigenschaften == * Wenn <math>A</math> P-fast sicher ist, dann ist auch <math>A^c</math> (das Komplement von <math>A</math>) P-fast sicher. * Wenn <math>A</math> und <math>B</math> P-fast sicher sind, dann ist auch <math>A \cap B</math> P-fast sicher. * Wenn <math>A</math> P-fast sicher ist und <math>B \subset A</math>, dann ist auch <math>B</math> P-fast sicher. == Definition - P-Nullmenge == Sei (<math>\Omega, \mathcal{S}, P</math>) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Ein Ereignis <math>N \in \mathcal{S}</math> heißt P-Nullmenge, wenn <math>P(N) = 0</math> gilt. === Bemerkung - P-Nullmenge === Ob eine Menge <math>N\subset \Omega</math> mit <math>N\in \mathcal{S}</math> eine Nullmenge ist, hängt von dem Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> an und nicht allein von der Auswahl der Teilmenge <math>N\subset \Omega</math>. === P-Nullmengen bei stetigen Verteilung - Einpunktmenge=== Sei (<math>\Omega, \mathcal{S}, P</math>) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Bei stetigen Verteilung (<math>\mathbb{R}^n, \mathcal{B}(\mathbb{R}^n), P^X</math>) für eine Zufallsgröße <math>X : \Omega \to \mathbb{R}^n </math> mit <math>n\in \mathbb{N}</math> sind Einpunktmengen <math>N=\{x\}</math> mit <math>x=(x_1,\ldots ,x_n) \in \mathbb{R}^n </math> über die Definition der stetigen Verteilung <math>P^X</math>-Nullmenge die Wahrscheinlichkeitsmasse <math>P(N)=0</math>. === P-Nullmengen bei stetigen Verteilung - abzählbare Menge=== Zusammen mit der <math>\sigma</math>-Additivität ist auch jeder [[w:de:abzählbar|abzählbare Menge]] als abzählbare Vereinigung von Einpunktmenge eine <math>P^X</math>-Nullmenge. :<math>N := \bigcup_{k=1}^{\infty} \{x^{(k)}\} =\bigcup_{k=1}^{\infty} \left\{ \left(x_1^{(k)},\ldots ,x_n^{(k)}\right) \right\} \in \mathbb{R}^n </math> Dies bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit der durch <math>X: \Omega \to \mathbb{R}^n </math> auf <math>\mathbb{R}^n </math> induzierten Verteilung <math>P^X</math> für abzählbare Mengen <math>N</math> immer eine <math>P^X</math>-Nullmenge ist. == Anwendungen == Der Begriff P-fast sicher wird oft in der Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik verwendet, um die Wahrscheinlichkeit von Ereignissen zu beschreiben, die mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit eintreten. === P-fast sichere Konvergenz === Im Gegensatz zur klassischen [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe|punktweisen Konvergenz]] für [[w:de:Funktionenfolge|Funktionenfolgen]] :<math> \lim_{n\to \infty} f_n = f_{\!o} :\Longleftrightarrow \underset{x\in \mathbb{R}}{\forall} \lim_{n\to \infty} f_n(x) = f_{\!o}(x) </math> kann man mit einem Wahrscheinlichkeitsraum (<math>\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), P</math>) auf <math>\mathbb{R}</math> mit der <math>P</math>-fast sichere Konvergenz die klassische Konvergenz nur mit Ausnahme von einer Punktmenge <math>N\subset \mathbb{R}</math> definieren, mit <math>P(N)= 0</math>. Daher definiert man die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz wie folgt: :<math>\stackrel{P}{\lim_{n\to \infty}} f_n = f_{\!o} :\Longleftrightarrow \underset{x\in \mathbb{R}\setminus N}{\forall} \lim_{n\to \infty} f_n(x) = f_{\!o}(x)</math> === Gesetz der großen Zahlen === Beispielsweise wird kann man nach dem Borelschen Gesetz der großen Zahlen sagen, dass das die relative Häufigkeit nach <math>n</math> stochastisch unabhängigen Versuchswiederholungen <math>\overline{X_n}</math> P-fast sicher <math>P</math>-fast sicher gegen eine im Allgemeinen unbekannte theorische Wahrscheinlichkeit konvergiert. Fasst man dabei die Fälle zu einer Menge <math>N</math> zusammen, für die die Konvergenz nicht erfüllt ist, so ist <math>N</math> eine <math>P</math>-Nullmenge. == Aufgaben == Die Übungen beziehen sich auf die Überprüfung, ob eine Eigenschaft <math>P</math>-fast sicher gilt bzw. eine Menge eine <math>P</math>-Nullmenge ist. === Aufgabe 1 - induzierte Verteilung === Sei (<math>\Omega, \mathcal{S}, P</math>) ein Wahrscheinlichkeitsraum und <math>X:\Omega \to \mathbb{R}</math> eine reellwertige Zufallsgröße. Man definiert nun <math>A = \{\omega \in \Omega | X(\omega) > 0\}</math> und betrachte die induzierte Verteilung <math>P^X</math> auf <math>\mathbb{R}</math>. Ferner gilt <math>P^X(([-1,0]) = \frac{1}{10}</math>. Überprüfen Sie, ob <math>A</math> ein <math>P</math>-fast sicheres Ereignis ist. === Aufgabe 2 - Rechteckverteilung === Sei <math>\Omega := \mathbb{R}</math> und <math>(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), P_{[a,b]})</math> ein Wahrscheinlichkeitsraum, wobei <math>P_{[a,b]}</math> eine [[Rechteckverteilung]] auf dem Intervall <math>[a,b]\subset \mathbb{R}</math> ist. Für welche Wahl von <math>a</math> und <math>b</math> mit <math>a < b </math> ist die Menge <math>A := \mathbb{R}^+</math> * eine <math>P_{[a,b]}</math>-Nullmenge, * ein <math>P_{[a,b]}</math>-fast sicheres Ereignis. == Fazit == Der Begriff <math>P</math>-fast sicher bzw. der Begriff <math>P</math>-Nullmenge ist ein wichtiger Konzept in der Wahrscheinlichkeitstheorie, um eine Art Gütemaß nach Wahrscheinlichkeit für nicht-deterministisches Eintreten eines Ereignisses beschreiben zu können. Es gibt also Ausnahmen <math>N:= \Omega \setminus A</math> aus dem Grundraum <math>\Omega</math>, die die Eigenschaft des Ereignisse <math>A</math> nicht erfüllen. Diese Menge <math> N</math> der Ausnahmen ist allerding bezogen auf das Wahrscheinlichkeitmaß <math>P</math> eine <math>P</math>-Nullmenge bzw. umgekehrt tritt das Ereignis <math>A</math> mit der Wahrscheinlichkeit <math>P(A)=1</math> ein. == Siehe auch == * [[Folgenräume]] * [[w:de:Funktionenfolge|Funktionenfolgen]] * [[Rechteckverteilung]] * [[Wahrscheinlichkeitsraum]] * [[Zufallsgröße]] 6ueaesx1cwby6bbg9kyrh2zrtn27476 1118731 1118730 2026-11-03T09:58:42Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1118731 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In der Wahrscheinlichkeitstheorie ist der Begriff ''<math>P</math>-fast sicher'' bzgl. <math>(\Omega, \mathcal{S}, P)</math> ein Weg, ein deterministisch sicheres Eintreten von Ereignissen durch ein stochastische Konzept zu ersetzen. Ein Ereignis <math>A</math> tritt dabei ''<math>P</math>-fast sicher'' ein, wenn <math>P(A)=1</math> mit <math>A\subset \Omega</math> erfüllt. Dabei kann <math>A\not= \Omega</math> und damit <math>A^c \not= \emptyset </math> gelten. Es gibt also bzgl. <math>A</math> auch Elemente <math>\omega \in \Omega</math>, die nicht die Eigenschaft für das Eintreten des Ereignis <math>A</math> erfüllen. === P-fast sicher - Nullmengen === Der Begriff ''<math>P</math>-fast sicher'' ist über Komplementbildung eng mit dem Begriff der <math>P</math>-[[Kurs:Stochastik/P-fast_sicher#Definition_-_Nullmenge|Nullmenge]] verbunden, denn tritt <math>A</math> <math>P</math>-fast sicher ein, so ist <math>N:=A^c = \Omega \setminus A</math> eine <math>P</math>-[[Kurs:Stochastik/P-fast_sicher#Definition_-_P-Nullmenge|Nullmenge]] === Ziel der Lerneinheit === In diesem Artikel werden wir die Definition und Beispiele für den Begriff P-fast sicher auf einem Grundraum <math>(\Omega, \mathcal{S}, P)</math> erläutern. == Definition - P-fast sicher == Sei (<math>\Omega, \mathcal{S}, P</math>) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Ein Ereignis <math>A \in \mathcal{S}</math> heißt P-fast sicher, wenn <math>P(A) = 1</math> gilt. Dies bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis <math>A</math> eintritt, gleich 1 ist. == Beispiele == * Sei (<math>\Omega, \mathcal{S}, P</math>) ein Wahrscheinlichkeitsraum und sei <math>A = \Omega</math>. Dann ist <math>P(A) = P(\Omega) = 1</math>, da die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis <math>\Omega</math> eintritt, gleich 1 ist. Somit ist <math>A</math> P-fast sicher. * Sei (<math>\Omega, \mathcal{S}, P</math>) ein Wahrscheinlichkeitsraum und sei <math>A = \emptyset</math>. Dann ist <math>P(A) = P(\emptyset) = 0</math>, da die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis <math>\emptyset</math> eintritt, gleich 0 ist. Somit ist <math>A</math> nicht P-fast sicher. * Sei (<math>\Omega, \mathcal{S}, P</math>) ein Wahrscheinlichkeitsraum und sei <math>A = \{x \in \Omega | X(x) > 0\}</math>, wobei <math>X</math> eine Zufallsvariable ist. Wenn <math>P(X > 0) = 1</math>, dann ist <math>A</math> P-fast sicher. == Eigenschaften == * Wenn <math>A</math> P-fast sicher ist, dann ist auch <math>A^c</math> (das Komplement von <math>A</math>) P-fast sicher. * Wenn <math>A</math> und <math>B</math> P-fast sicher sind, dann ist auch <math>A \cap B</math> P-fast sicher. * Wenn <math>A</math> P-fast sicher ist und <math>B \subset A</math>, dann ist auch <math>B</math> P-fast sicher. == Definition - P-Nullmenge == Sei (<math>\Omega, \mathcal{S}, P</math>) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Ein Ereignis <math>N \in \mathcal{S}</math> heißt P-Nullmenge, wenn <math>P(N) = 0</math> gilt. === Bemerkung - P-Nullmenge === Ob eine Menge <math>N\subset \Omega</math> mit <math>N\in \mathcal{S}</math> eine Nullmenge ist, hängt von dem Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> an und nicht allein von der Auswahl der Teilmenge <math>N\subset \Omega</math>. === P-Nullmengen bei stetigen Verteilung - Einpunktmenge=== Sei (<math>\Omega, \mathcal{S}, P</math>) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Bei stetigen Verteilung (<math>\mathbb{R}^n, \mathcal{B}(\mathbb{R}^n), P^X</math>) für eine Zufallsgröße <math>X : \Omega \to \mathbb{R}^n </math> mit <math>n\in \mathbb{N}</math> sind Einpunktmengen <math>N=\{x\}</math> mit <math>x=(x_1,\ldots ,x_n) \in \mathbb{R}^n </math> über die Definition der stetigen Verteilung <math>P^X</math>-Nullmenge die Wahrscheinlichkeitsmasse <math>P(N)=0</math>. === P-Nullmengen bei stetigen Verteilung - abzählbare Menge=== Zusammen mit der <math>\sigma</math>-Additivität ist auch jeder [[w:de:abzählbar|abzählbare Menge]] als abzählbare Vereinigung von Einpunktmenge eine <math>P^X</math>-Nullmenge. :<math>N := \bigcup_{k=1}^{\infty} \{x^{(k)}\} =\bigcup_{k=1}^{\infty} \left\{ \left(x_1^{(k)},\ldots ,x_n^{(k)}\right) \right\} \in \mathbb{R}^n </math> Dies bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit der durch <math>X: \Omega \to \mathbb{R}^n </math> auf <math>\mathbb{R}^n </math> induzierten Verteilung <math>P^X</math> für abzählbare Mengen <math>N</math> immer eine <math>P^X</math>-Nullmenge ist. == Anwendungen == Der Begriff P-fast sicher wird oft in der Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik verwendet, um die Wahrscheinlichkeit von Ereignissen zu beschreiben, die mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit eintreten. === P-fast sichere Konvergenz === Im Gegensatz zur klassischen [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe|punktweisen Konvergenz]] für [[w:de:Funktionenfolge|Funktionenfolgen]] :<math> \lim_{n\to \infty} f_n = f_{\!o} :\Longleftrightarrow \underset{x\in \mathbb{R}}{\forall} \lim_{n\to \infty} f_n(x) = f_{\!o}(x) </math> kann man mit einem Wahrscheinlichkeitsraum (<math>\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), P</math>) auf <math>\mathbb{R}</math> mit der <math>P</math>-fast sichere Konvergenz die klassische Konvergenz nur mit Ausnahme von einer Punktmenge <math>N\subset \mathbb{R}</math> definieren, mit <math>P(N)= 0</math>. Daher definiert man die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz wie folgt: :<math>\stackrel{P}{\lim_{n\to \infty}} f_n = f_{\!o} :\Longleftrightarrow \underset{x\in \mathbb{R}\setminus N}{\forall} \lim_{n\to \infty} f_n(x) = f_{\!o}(x)</math> === Gesetz der großen Zahlen === Beispielsweise wird kann man nach dem Borelschen Gesetz der großen Zahlen sagen, dass das die relative Häufigkeit nach <math>n</math> stochastisch unabhängigen Versuchswiederholungen <math>\overline{X_n}</math> P-fast sicher <math>P</math>-fast sicher gegen eine im Allgemeinen unbekannte theorische Wahrscheinlichkeit konvergiert. Fasst man dabei die Fälle zu einer Menge <math>N</math> zusammen, für die die Konvergenz nicht erfüllt ist, so ist <math>N</math> eine <math>P</math>-Nullmenge. == Aufgaben == Die Übungen beziehen sich auf die Überprüfung, ob eine Eigenschaft <math>P</math>-fast sicher gilt bzw. eine Menge eine <math>P</math>-Nullmenge ist. === Aufgabe 1 - induzierte Verteilung === Sei (<math>\Omega, \mathcal{S}, P</math>) ein Wahrscheinlichkeitsraum und <math>X:\Omega \to \mathbb{R}</math> eine reellwertige Zufallsgröße. Man definiert nun <math>A = \{\omega \in \Omega | X(\omega) > 0\}</math> und betrachte die induzierte Verteilung <math>P^X</math> auf <math>\mathbb{R}</math>. Ferner gilt <math>P^X(([-1,0]) = \frac{1}{10}</math>. Überprüfen Sie, ob <math>A</math> ein <math>P</math>-fast sicheres Ereignis ist. === Aufgabe 2 - Rechteckverteilung === Sei <math>\Omega := \mathbb{R}</math> und <math>(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), P_{[a,b]})</math> ein Wahrscheinlichkeitsraum, wobei <math>P_{[a,b]}</math> eine [[Rechteckverteilung]] auf dem Intervall <math>[a,b]\subset \mathbb{R}</math> ist. Für welche Wahl von <math>a</math> und <math>b</math> mit <math>a < b </math> ist die Menge <math>A := \mathbb{R}^+</math> * eine <math>P_{[a,b]}</math>-Nullmenge, * ein <math>P_{[a,b]}</math>-fast sicheres Ereignis. == Fazit == Der Begriff <math>P</math>-fast sicher bzw. der Begriff <math>P</math>-Nullmenge ist ein wichtiger Konzept in der Wahrscheinlichkeitstheorie, um eine Art Gütemaß nach Wahrscheinlichkeit für nicht-deterministisches Eintreten eines Ereignisses beschreiben zu können. Es gibt also Ausnahmen <math>N:= \Omega \setminus A</math> aus dem Grundraum <math>\Omega</math>, die die Eigenschaft des Ereignisse <math>A</math> nicht erfüllen. Diese Menge <math> N</math> der Ausnahmen ist allerding bezogen auf das Wahrscheinlichkeitmaß <math>P</math> eine <math>P</math>-Nullmenge bzw. umgekehrt tritt das Ereignis <math>A</math> mit der Wahrscheinlichkeit <math>P(A)=1</math> ein. == Siehe auch == * [[Folgenräume]] * [[w:de:Funktionenfolge|Funktionenfolgen]] * [[Rechteckverteilung]] * [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe]] * [[Wahrscheinlichkeitsraum]] * [[Zufallsgröße]] h3fjlc220bqm2x04zbpdjmu2e9zmfs8 1118733 1118731 2026-11-03T10:00:38Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1118733 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In der Wahrscheinlichkeitstheorie ist der Begriff ''<math>P</math>-fast sicher'' bzgl. <math>(\Omega, \mathcal{S}, P)</math> ein Weg, ein deterministisch sicheres Eintreten von Ereignissen durch ein stochastische Konzept zu ersetzen. Ein Ereignis <math>A</math> tritt dabei ''<math>P</math>-fast sicher'' ein, wenn <math>P(A)=1</math> mit <math>A\subset \Omega</math> erfüllt. Dabei kann <math>A\not= \Omega</math> und damit <math>A^c \not= \emptyset </math> gelten. Es gibt also bzgl. <math>A</math> auch Elemente <math>\omega \in \Omega</math>, die nicht die Eigenschaft für das Eintreten des Ereignis <math>A</math> erfüllen. === P-fast sicher - Nullmengen === Der Begriff ''<math>P</math>-fast sicher'' ist über Komplementbildung eng mit dem Begriff der <math>P</math>-[[Kurs:Stochastik/P-fast_sicher#Definition_-_Nullmenge|Nullmenge]] verbunden, denn tritt <math>A</math> <math>P</math>-fast sicher ein, so ist <math>N:=A^c = \Omega \setminus A</math> eine <math>P</math>-[[Kurs:Stochastik/P-fast_sicher#Definition_-_P-Nullmenge|Nullmenge]] === Ziel der Lerneinheit === In diesem Artikel werden wir die Definition und Beispiele für den Begriff P-fast sicher auf einem Grundraum <math>(\Omega, \mathcal{S}, P)</math> erläutern. == Definition - P-fast sicher == Sei (<math>\Omega, \mathcal{S}, P</math>) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Ein Ereignis <math>A \in \mathcal{S}</math> heißt P-fast sicher, wenn <math>P(A) = 1</math> gilt. Dies bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis <math>A</math> eintritt, gleich 1 ist. == Beispiele == * Sei (<math>\Omega, \mathcal{S}, P</math>) ein Wahrscheinlichkeitsraum und sei <math>A = \Omega</math>. Dann ist <math>P(A) = P(\Omega) = 1</math>, da die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis <math>\Omega</math> eintritt, gleich 1 ist. Somit ist <math>A</math> P-fast sicher. * Sei (<math>\Omega, \mathcal{S}, P</math>) ein Wahrscheinlichkeitsraum und sei <math>A = \emptyset</math>. Dann ist <math>P(A) = P(\emptyset) = 0</math>, da die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis <math>\emptyset</math> eintritt, gleich 0 ist. Somit ist <math>A</math> nicht P-fast sicher. * Sei (<math>\Omega, \mathcal{S}, P</math>) ein Wahrscheinlichkeitsraum und sei <math>A = \{x \in \Omega | X(x) > 0\}</math>, wobei <math>X</math> eine Zufallsvariable ist. Wenn <math>P(X > 0) = 1</math>, dann ist <math>A</math> P-fast sicher. == Eigenschaften == * Wenn <math>A</math> P-fast sicher ist, dann ist auch <math>A^c</math> (das Komplement von <math>A</math>) P-fast sicher. * Wenn <math>A</math> und <math>B</math> P-fast sicher sind, dann ist auch <math>A \cap B</math> P-fast sicher. * Wenn <math>A</math> P-fast sicher ist und <math>B \subset A</math>, dann ist auch <math>B</math> P-fast sicher. == Definition - P-Nullmenge == Sei (<math>\Omega, \mathcal{S}, P</math>) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Ein Ereignis <math>N \in \mathcal{S}</math> heißt P-Nullmenge, wenn <math>P(N) = 0</math> gilt. === Bemerkung - P-Nullmenge === Ob eine Menge <math>N\subset \Omega</math> mit <math>N\in \mathcal{S}</math> eine Nullmenge ist, hängt von dem Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> an und nicht allein von der Auswahl der Teilmenge <math>N\subset \Omega</math>. === P-Nullmengen bei stetigen Verteilung - Einpunktmenge=== Sei (<math>\Omega, \mathcal{S}, P</math>) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Bei stetigen Verteilung (<math>\mathbb{R}^n, \mathcal{B}(\mathbb{R}^n), P^X</math>) für eine Zufallsgröße <math>X : \Omega \to \mathbb{R}^n </math> mit <math>n\in \mathbb{N}</math> sind Einpunktmengen <math>N=\{x\}</math> mit <math>x=(x_1,\ldots ,x_n) \in \mathbb{R}^n </math> über die Definition der stetigen Verteilung <math>P^X</math>-Nullmenge die Wahrscheinlichkeitsmasse <math>P(N)=0</math>. === P-Nullmengen bei stetigen Verteilung - abzählbare Menge=== Zusammen mit der <math>\sigma</math>-Additivität ist auch jeder [[w:de:abzählbar|abzählbare Menge]] als abzählbare Vereinigung von Einpunktmenge eine <math>P^X</math>-Nullmenge. :<math>N := \bigcup_{k=1}^{\infty} \{x^{(k)}\} =\bigcup_{k=1}^{\infty} \left\{ \left(x_1^{(k)},\ldots ,x_n^{(k)}\right) \right\} \in \mathbb{R}^n </math> Dies bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit der durch <math>X: \Omega \to \mathbb{R}^n </math> auf <math>\mathbb{R}^n </math> induzierten Verteilung <math>P^X</math> für abzählbare Mengen <math>N</math> immer eine <math>P^X</math>-Nullmenge ist. == Anwendungen == Der Begriff P-fast sicher wird oft in der Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik verwendet, um die Wahrscheinlichkeit von Ereignissen zu beschreiben, die mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit eintreten. === P-fast sichere Konvergenz === Im Gegensatz zur klassischen [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe|punktweisen Konvergenz]] für [[w:de:Funktionenfolge|Funktionenfolgen]] :<math> \lim_{n\to \infty} f_n = f_{\!o} :\Longleftrightarrow \underset{x\in \mathbb{R}}{\forall} \lim_{n\to \infty} f_n(x) = f_{\!o}(x) </math> kann man mit einem Wahrscheinlichkeitsraum (<math>\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), P</math>) auf <math>\mathbb{R}</math> mit der <math>P</math>-fast sichere Konvergenz die klassische Konvergenz nur mit Ausnahme von einer Punktmenge <math>N\subset \mathbb{R}</math> definieren, mit <math>P(N)= 0</math>. Daher definiert man die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz wie folgt: :<math>\stackrel{P}{\lim_{n\to \infty}} f_n = f_{\!o} :\Longleftrightarrow \underset{x\in \mathbb{R}\setminus N}{\forall} \lim_{n\to \infty} f_n(x) = f_{\!o}(x)</math> === Gesetz der großen Zahlen === Beispielsweise wird kann man nach dem Borelschen Gesetz der großen Zahlen sagen, dass das die relative Häufigkeit nach <math>n</math> stochastisch unabhängigen Versuchswiederholungen <math>\overline{X_n}</math> P-fast sicher <math>P</math>-fast sicher gegen eine im Allgemeinen unbekannte theorische Wahrscheinlichkeit konvergiert. Fasst man dabei die Fälle zu einer Menge <math>N</math> zusammen, für die die Konvergenz nicht erfüllt ist, so ist <math>N</math> eine <math>P</math>-Nullmenge. == Aufgaben == Die Übungen beziehen sich auf die Überprüfung, ob eine Eigenschaft <math>P</math>-fast sicher gilt bzw. eine Menge eine <math>P</math>-Nullmenge ist. === Aufgabe 1 - induzierte Verteilung === Sei (<math>\Omega, \mathcal{S}, P</math>) ein Wahrscheinlichkeitsraum und <math>X:\Omega \to \mathbb{R}</math> eine reellwertige Zufallsgröße. Man definiert nun <math>A = \{\omega \in \Omega | X(\omega) > 0\}</math> und betrachte die induzierte Verteilung <math>P^X</math> auf <math>\mathbb{R}</math>. Ferner gilt <math>P^X(([-1,0]) = \frac{1}{10}</math>. Überprüfen Sie, ob <math>A</math> ein <math>P</math>-fast sicheres Ereignis ist. === Aufgabe 2 - Rechteckverteilung === Sei <math>\Omega := \mathbb{R}</math> und <math>(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), P_{[a,b]})</math> ein Wahrscheinlichkeitsraum, wobei <math>P_{[a,b]}</math> eine [[Rechteckverteilung]] auf dem Intervall <math>[a,b]\subset \mathbb{R}</math> ist. Für welche Wahl von <math>a</math> und <math>b</math> mit <math>a < b </math> ist die Menge <math>A := \mathbb{R}^+</math> * eine <math>P_{[a,b]}</math>-Nullmenge, * ein <math>P_{[a,b]}</math>-fast sicheres Ereignis. == Fazit == Der Begriff <math>P</math>-fast sicher bzw. der Begriff <math>P</math>-Nullmenge ist ein wichtiger Konzept in der Wahrscheinlichkeitstheorie, um eine Art Gütemaß nach Wahrscheinlichkeit für nicht-deterministisches Eintreten eines Ereignisses beschreiben zu können. Es gibt also Ausnahmen <math>N:= \Omega \setminus A</math> aus dem Grundraum <math>\Omega</math>, die die Eigenschaft des Ereignisse <math>A</math> nicht erfüllen. Diese Menge <math> N</math> der Ausnahmen ist allerding bezogen auf das Wahrscheinlichkeitmaß <math>P</math> eine <math>P</math>-Nullmenge bzw. umgekehrt tritt das Ereignis <math>A</math> mit der Wahrscheinlichkeit <math>P(A)=1</math> ein. == Siehe auch == * [[Folgenräume]] * [[w:de:Funktionenfolge|Funktionenfolgen]] * [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#punktweise_Konvergenz|punktweise Konvergenz]] * [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#P-fast-sicher_Konvergenz|P-fast sichere Konvergenz]] * [[Rechteckverteilung]] * [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe]] * [[Wahrscheinlichkeitsraum]] * [[Zufallsgröße]] dnjbx2plw8nhlxiisuv1llwvpiy28et 1118734 1118733 2026-11-03T10:01:14Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1118734 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In der Wahrscheinlichkeitstheorie ist der Begriff ''<math>P</math>-fast sicher'' bzgl. <math>(\Omega, \mathcal{S}, P)</math> ein Weg, ein deterministisch sicheres Eintreten von Ereignissen durch ein stochastische Konzept zu ersetzen. Ein Ereignis <math>A</math> tritt dabei ''<math>P</math>-fast sicher'' ein, wenn <math>P(A)=1</math> mit <math>A\subset \Omega</math> erfüllt. Dabei kann <math>A\not= \Omega</math> und damit <math>A^c \not= \emptyset </math> gelten. Es gibt also bzgl. <math>A</math> auch Elemente <math>\omega \in \Omega</math>, die nicht die Eigenschaft für das Eintreten des Ereignis <math>A</math> erfüllen. === P-fast sicher - Nullmengen === Der Begriff ''<math>P</math>-fast sicher'' ist über Komplementbildung eng mit dem Begriff der <math>P</math>-[[Kurs:Stochastik/P-fast_sicher#Definition_-_Nullmenge|Nullmenge]] verbunden, denn tritt <math>A</math> <math>P</math>-fast sicher ein, so ist <math>N:=A^c = \Omega \setminus A</math> eine <math>P</math>-[[Kurs:Stochastik/P-fast_sicher#Definition_-_P-Nullmenge|Nullmenge]] === Ziel der Lerneinheit === In diesem Artikel werden wir die Definition und Beispiele für den Begriff P-fast sicher auf einem Grundraum <math>(\Omega, \mathcal{S}, P)</math> erläutern. == Definition - P-fast sicher == Sei (<math>\Omega, \mathcal{S}, P</math>) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Ein Ereignis <math>A \in \mathcal{S}</math> heißt P-fast sicher, wenn <math>P(A) = 1</math> gilt. Dies bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis <math>A</math> eintritt, gleich 1 ist. == Beispiele == * Sei (<math>\Omega, \mathcal{S}, P</math>) ein Wahrscheinlichkeitsraum und sei <math>A = \Omega</math>. Dann ist <math>P(A) = P(\Omega) = 1</math>, da die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis <math>\Omega</math> eintritt, gleich 1 ist. Somit ist <math>A</math> P-fast sicher. * Sei (<math>\Omega, \mathcal{S}, P</math>) ein Wahrscheinlichkeitsraum und sei <math>A = \emptyset</math>. Dann ist <math>P(A) = P(\emptyset) = 0</math>, da die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis <math>\emptyset</math> eintritt, gleich 0 ist. Somit ist <math>A</math> nicht P-fast sicher. * Sei (<math>\Omega, \mathcal{S}, P</math>) ein Wahrscheinlichkeitsraum und sei <math>A = \{x \in \Omega | X(x) > 0\}</math>, wobei <math>X</math> eine Zufallsvariable ist. Wenn <math>P(X > 0) = 1</math>, dann ist <math>A</math> P-fast sicher. == Eigenschaften == * Wenn <math>A</math> P-fast sicher ist, dann ist auch <math>A^c</math> (das Komplement von <math>A</math>) P-fast sicher. * Wenn <math>A</math> und <math>B</math> P-fast sicher sind, dann ist auch <math>A \cap B</math> P-fast sicher. * Wenn <math>A</math> P-fast sicher ist und <math>B \subset A</math>, dann ist auch <math>B</math> P-fast sicher. == Definition - P-Nullmenge == Sei (<math>\Omega, \mathcal{S}, P</math>) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Ein Ereignis <math>N \in \mathcal{S}</math> heißt P-Nullmenge, wenn <math>P(N) = 0</math> gilt. === Bemerkung - P-Nullmenge === Ob eine Menge <math>N\subset \Omega</math> mit <math>N\in \mathcal{S}</math> eine Nullmenge ist, hängt von dem Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> an und nicht allein von der Auswahl der Teilmenge <math>N\subset \Omega</math>. === P-Nullmengen bei stetigen Verteilung - Einpunktmenge=== Sei (<math>\Omega, \mathcal{S}, P</math>) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Bei stetigen Verteilung (<math>\mathbb{R}^n, \mathcal{B}(\mathbb{R}^n), P^X</math>) für eine Zufallsgröße <math>X : \Omega \to \mathbb{R}^n </math> mit <math>n\in \mathbb{N}</math> sind Einpunktmengen <math>N=\{x\}</math> mit <math>x=(x_1,\ldots ,x_n) \in \mathbb{R}^n </math> über die Definition der stetigen Verteilung <math>P^X</math>-Nullmenge die Wahrscheinlichkeitsmasse <math>P(N)=0</math>. === P-Nullmengen bei stetigen Verteilung - abzählbare Menge=== Zusammen mit der <math>\sigma</math>-Additivität ist auch jeder [[w:de:abzählbar|abzählbare Menge]] als abzählbare Vereinigung von Einpunktmenge eine <math>P^X</math>-Nullmenge. :<math>N := \bigcup_{k=1}^{\infty} \{x^{(k)}\} =\bigcup_{k=1}^{\infty} \left\{ \left(x_1^{(k)},\ldots ,x_n^{(k)}\right) \right\} \in \mathbb{R}^n </math> Dies bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit der durch <math>X: \Omega \to \mathbb{R}^n </math> auf <math>\mathbb{R}^n </math> induzierten Verteilung <math>P^X</math> für abzählbare Mengen <math>N</math> immer eine <math>P^X</math>-Nullmenge ist. == Anwendungen == Der Begriff P-fast sicher wird oft in der Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik verwendet, um die Wahrscheinlichkeit von Ereignissen zu beschreiben, die mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit eintreten. === P-fast sichere Konvergenz === Im Gegensatz zur klassischen [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe|punktweisen Konvergenz]] für [[w:de:Funktionenfolge|Funktionenfolgen]] :<math> \lim_{n\to \infty} f_n = f_{\!o} :\Longleftrightarrow \underset{x\in \mathbb{R}}{\forall} \lim_{n\to \infty} f_n(x) = f_{\!o}(x) </math> kann man mit einem Wahrscheinlichkeitsraum (<math>\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), P</math>) auf <math>\mathbb{R}</math> mit der <math>P</math>-fast sichere Konvergenz die klassische Konvergenz nur mit Ausnahme von einer Punktmenge <math>N\subset \mathbb{R}</math> definieren, mit <math>P(N)= 0</math>. Daher definiert man die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz wie folgt: :<math>\stackrel{P}{\lim_{n\to \infty}} f_n = f_{\!o} :\Longleftrightarrow \underset{x\in \mathbb{R}\setminus N}{\forall} \lim_{n\to \infty} f_n(x) = f_{\!o}(x)</math> === Gesetz der großen Zahlen === Beispielsweise wird kann man nach dem Borelschen Gesetz der großen Zahlen sagen, dass das die relative Häufigkeit nach <math>n</math> stochastisch unabhängigen Versuchswiederholungen <math>\overline{X_n}</math> P-fast sicher <math>P</math>-fast sicher gegen eine im Allgemeinen unbekannte theorische Wahrscheinlichkeit konvergiert. Fasst man dabei die Fälle zu einer Menge <math>N</math> zusammen, für die die Konvergenz nicht erfüllt ist, so ist <math>N</math> eine <math>P</math>-Nullmenge. == Aufgaben == Die Übungen beziehen sich auf die Überprüfung, ob eine Eigenschaft <math>P</math>-fast sicher gilt bzw. eine Menge eine <math>P</math>-Nullmenge ist. === Aufgabe 1 - induzierte Verteilung === Sei (<math>\Omega, \mathcal{S}, P</math>) ein Wahrscheinlichkeitsraum und <math>X:\Omega \to \mathbb{R}</math> eine reellwertige Zufallsgröße. Man definiert nun <math>A = \{\omega \in \Omega | X(\omega) > 0\}</math> und betrachte die induzierte Verteilung <math>P^X</math> auf <math>\mathbb{R}</math>. Ferner gilt <math>P^X(([-1,0]) = \frac{1}{10}</math>. Überprüfen Sie, ob <math>A</math> ein <math>P</math>-fast sicheres Ereignis ist. === Aufgabe 2 - Rechteckverteilung === Sei <math>\Omega := \mathbb{R}</math> und <math>(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), P_{[a,b]})</math> ein Wahrscheinlichkeitsraum, wobei <math>P_{[a,b]}</math> eine [[Rechteckverteilung]] auf dem Intervall <math>[a,b]\subset \mathbb{R}</math> ist. Für welche Wahl von <math>a</math> und <math>b</math> mit <math>a < b </math> ist die Menge <math>A := \mathbb{R}^+</math> * eine <math>P_{[a,b]}</math>-Nullmenge, * ein <math>P_{[a,b]}</math>-fast sicheres Ereignis. == Fazit == Der Begriff <math>P</math>-fast sicher bzw. der Begriff <math>P</math>-Nullmenge ist ein wichtiger Konzept in der Wahrscheinlichkeitstheorie, um eine Art Gütemaß nach Wahrscheinlichkeit für nicht-deterministisches Eintreten eines Ereignisses beschreiben zu können. Es gibt also Ausnahmen <math>N:= \Omega \setminus A</math> aus dem Grundraum <math>\Omega</math>, die die Eigenschaft des Ereignisse <math>A</math> nicht erfüllen. Diese Menge <math> N</math> der Ausnahmen ist allerding bezogen auf das Wahrscheinlichkeitmaß <math>P</math> eine <math>P</math>-Nullmenge bzw. umgekehrt tritt das Ereignis <math>A</math> mit der Wahrscheinlichkeit <math>P(A)=1</math> ein. == Siehe auch == * [[Folgenräume]] * [[w:de:Funktionenfolge|Funktionenfolgen]] * [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#punktweise_Konvergenz|punktweise Konvergenz]] * [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#P-fast_sichere_Konvergenz|P-fast sichere Konvergenz]] * [[Rechteckverteilung]] * [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe]] * [[Wahrscheinlichkeitsraum]] * [[Zufallsgröße]] 7lftmoeguqy6z01yp5xzvpkbgcn6fx4 1118735 1118734 2026-11-03T10:02:04Z Bert Niehaus 20843 /* P-fast sichere Konvergenz */ 1118735 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In der Wahrscheinlichkeitstheorie ist der Begriff ''<math>P</math>-fast sicher'' bzgl. <math>(\Omega, \mathcal{S}, P)</math> ein Weg, ein deterministisch sicheres Eintreten von Ereignissen durch ein stochastische Konzept zu ersetzen. Ein Ereignis <math>A</math> tritt dabei ''<math>P</math>-fast sicher'' ein, wenn <math>P(A)=1</math> mit <math>A\subset \Omega</math> erfüllt. Dabei kann <math>A\not= \Omega</math> und damit <math>A^c \not= \emptyset </math> gelten. Es gibt also bzgl. <math>A</math> auch Elemente <math>\omega \in \Omega</math>, die nicht die Eigenschaft für das Eintreten des Ereignis <math>A</math> erfüllen. === P-fast sicher - Nullmengen === Der Begriff ''<math>P</math>-fast sicher'' ist über Komplementbildung eng mit dem Begriff der <math>P</math>-[[Kurs:Stochastik/P-fast_sicher#Definition_-_Nullmenge|Nullmenge]] verbunden, denn tritt <math>A</math> <math>P</math>-fast sicher ein, so ist <math>N:=A^c = \Omega \setminus A</math> eine <math>P</math>-[[Kurs:Stochastik/P-fast_sicher#Definition_-_P-Nullmenge|Nullmenge]] === Ziel der Lerneinheit === In diesem Artikel werden wir die Definition und Beispiele für den Begriff P-fast sicher auf einem Grundraum <math>(\Omega, \mathcal{S}, P)</math> erläutern. == Definition - P-fast sicher == Sei (<math>\Omega, \mathcal{S}, P</math>) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Ein Ereignis <math>A \in \mathcal{S}</math> heißt P-fast sicher, wenn <math>P(A) = 1</math> gilt. Dies bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis <math>A</math> eintritt, gleich 1 ist. == Beispiele == * Sei (<math>\Omega, \mathcal{S}, P</math>) ein Wahrscheinlichkeitsraum und sei <math>A = \Omega</math>. Dann ist <math>P(A) = P(\Omega) = 1</math>, da die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis <math>\Omega</math> eintritt, gleich 1 ist. Somit ist <math>A</math> P-fast sicher. * Sei (<math>\Omega, \mathcal{S}, P</math>) ein Wahrscheinlichkeitsraum und sei <math>A = \emptyset</math>. Dann ist <math>P(A) = P(\emptyset) = 0</math>, da die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis <math>\emptyset</math> eintritt, gleich 0 ist. Somit ist <math>A</math> nicht P-fast sicher. * Sei (<math>\Omega, \mathcal{S}, P</math>) ein Wahrscheinlichkeitsraum und sei <math>A = \{x \in \Omega | X(x) > 0\}</math>, wobei <math>X</math> eine Zufallsvariable ist. Wenn <math>P(X > 0) = 1</math>, dann ist <math>A</math> P-fast sicher. == Eigenschaften == * Wenn <math>A</math> P-fast sicher ist, dann ist auch <math>A^c</math> (das Komplement von <math>A</math>) P-fast sicher. * Wenn <math>A</math> und <math>B</math> P-fast sicher sind, dann ist auch <math>A \cap B</math> P-fast sicher. * Wenn <math>A</math> P-fast sicher ist und <math>B \subset A</math>, dann ist auch <math>B</math> P-fast sicher. == Definition - P-Nullmenge == Sei (<math>\Omega, \mathcal{S}, P</math>) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Ein Ereignis <math>N \in \mathcal{S}</math> heißt P-Nullmenge, wenn <math>P(N) = 0</math> gilt. === Bemerkung - P-Nullmenge === Ob eine Menge <math>N\subset \Omega</math> mit <math>N\in \mathcal{S}</math> eine Nullmenge ist, hängt von dem Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> an und nicht allein von der Auswahl der Teilmenge <math>N\subset \Omega</math>. === P-Nullmengen bei stetigen Verteilung - Einpunktmenge=== Sei (<math>\Omega, \mathcal{S}, P</math>) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Bei stetigen Verteilung (<math>\mathbb{R}^n, \mathcal{B}(\mathbb{R}^n), P^X</math>) für eine Zufallsgröße <math>X : \Omega \to \mathbb{R}^n </math> mit <math>n\in \mathbb{N}</math> sind Einpunktmengen <math>N=\{x\}</math> mit <math>x=(x_1,\ldots ,x_n) \in \mathbb{R}^n </math> über die Definition der stetigen Verteilung <math>P^X</math>-Nullmenge die Wahrscheinlichkeitsmasse <math>P(N)=0</math>. === P-Nullmengen bei stetigen Verteilung - abzählbare Menge=== Zusammen mit der <math>\sigma</math>-Additivität ist auch jeder [[w:de:abzählbar|abzählbare Menge]] als abzählbare Vereinigung von Einpunktmenge eine <math>P^X</math>-Nullmenge. :<math>N := \bigcup_{k=1}^{\infty} \{x^{(k)}\} =\bigcup_{k=1}^{\infty} \left\{ \left(x_1^{(k)},\ldots ,x_n^{(k)}\right) \right\} \in \mathbb{R}^n </math> Dies bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit der durch <math>X: \Omega \to \mathbb{R}^n </math> auf <math>\mathbb{R}^n </math> induzierten Verteilung <math>P^X</math> für abzählbare Mengen <math>N</math> immer eine <math>P^X</math>-Nullmenge ist. == Anwendungen == Der Begriff P-fast sicher wird oft in der Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik verwendet, um die Wahrscheinlichkeit von Ereignissen zu beschreiben, die mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit eintreten. === P-fast sichere Konvergenz === Im Gegensatz zur klassischen [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe|punktweisen Konvergenz]] für [[w:de:Funktionenfolge|Funktionenfolgen]] :<math> \lim_{n\to \infty} f_n = f_{\!o} :\Longleftrightarrow \underset{x\in \mathbb{R}}{\forall} \lim_{n\to \infty} f_n(x) = f_{\!o}(x) </math> kann man mit einem Wahrscheinlichkeitsraum (<math>\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), P</math>) auf <math>\mathbb{R}</math> mit der <math>P</math>-fast sichere Konvergenz die [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#punkteweise_Konvergenz|punktweise Konvergenz]] nur mit Ausnahme von einer Punktmenge <math>N\subset \mathbb{R}</math> definieren, mit <math>P(N)= 0</math>. Daher definiert man die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz wie folgt: :<math>\stackrel{P}{\lim_{n\to \infty}} f_n = f_{\!o} :\Longleftrightarrow \underset{x\in \mathbb{R}\setminus N}{\forall} \lim_{n\to \infty} f_n(x) = f_{\!o}(x)</math> === Gesetz der großen Zahlen === Beispielsweise wird kann man nach dem Borelschen Gesetz der großen Zahlen sagen, dass das die relative Häufigkeit nach <math>n</math> stochastisch unabhängigen Versuchswiederholungen <math>\overline{X_n}</math> P-fast sicher <math>P</math>-fast sicher gegen eine im Allgemeinen unbekannte theorische Wahrscheinlichkeit konvergiert. Fasst man dabei die Fälle zu einer Menge <math>N</math> zusammen, für die die Konvergenz nicht erfüllt ist, so ist <math>N</math> eine <math>P</math>-Nullmenge. == Aufgaben == Die Übungen beziehen sich auf die Überprüfung, ob eine Eigenschaft <math>P</math>-fast sicher gilt bzw. eine Menge eine <math>P</math>-Nullmenge ist. === Aufgabe 1 - induzierte Verteilung === Sei (<math>\Omega, \mathcal{S}, P</math>) ein Wahrscheinlichkeitsraum und <math>X:\Omega \to \mathbb{R}</math> eine reellwertige Zufallsgröße. Man definiert nun <math>A = \{\omega \in \Omega | X(\omega) > 0\}</math> und betrachte die induzierte Verteilung <math>P^X</math> auf <math>\mathbb{R}</math>. Ferner gilt <math>P^X(([-1,0]) = \frac{1}{10}</math>. Überprüfen Sie, ob <math>A</math> ein <math>P</math>-fast sicheres Ereignis ist. === Aufgabe 2 - Rechteckverteilung === Sei <math>\Omega := \mathbb{R}</math> und <math>(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), P_{[a,b]})</math> ein Wahrscheinlichkeitsraum, wobei <math>P_{[a,b]}</math> eine [[Rechteckverteilung]] auf dem Intervall <math>[a,b]\subset \mathbb{R}</math> ist. Für welche Wahl von <math>a</math> und <math>b</math> mit <math>a < b </math> ist die Menge <math>A := \mathbb{R}^+</math> * eine <math>P_{[a,b]}</math>-Nullmenge, * ein <math>P_{[a,b]}</math>-fast sicheres Ereignis. == Fazit == Der Begriff <math>P</math>-fast sicher bzw. der Begriff <math>P</math>-Nullmenge ist ein wichtiger Konzept in der Wahrscheinlichkeitstheorie, um eine Art Gütemaß nach Wahrscheinlichkeit für nicht-deterministisches Eintreten eines Ereignisses beschreiben zu können. Es gibt also Ausnahmen <math>N:= \Omega \setminus A</math> aus dem Grundraum <math>\Omega</math>, die die Eigenschaft des Ereignisse <math>A</math> nicht erfüllen. Diese Menge <math> N</math> der Ausnahmen ist allerding bezogen auf das Wahrscheinlichkeitmaß <math>P</math> eine <math>P</math>-Nullmenge bzw. umgekehrt tritt das Ereignis <math>A</math> mit der Wahrscheinlichkeit <math>P(A)=1</math> ein. == Siehe auch == * [[Folgenräume]] * [[w:de:Funktionenfolge|Funktionenfolgen]] * [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#punktweise_Konvergenz|punktweise Konvergenz]] * [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#P-fast_sichere_Konvergenz|P-fast sichere Konvergenz]] * [[Rechteckverteilung]] * [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe]] * [[Wahrscheinlichkeitsraum]] * [[Zufallsgröße]] 2pubag4jmlwqab5hbhl8b5j9k0zmpc9 106 170015 1118651 1118396 2026-11-02T14:20:13Z Paul Sutermeister 37610 1118651 wikitext text/x-wiki [[Datei:BoatGlider1.gif|thumb]] <div style=" border-left:6px solid #ffb703; background:#fff7e6; padding:0.9em; margin:1em 0; border-radius:8px; box-shadow:0 2px 6px rgba(0,0,0,0.08); "> <big>'''B - Zellen</big>''' </div> = Lernquiz = <quiz display="simple"> { In welchem Register befinden sich die Befehle? | typ="[]" } | Datei | Start | Einfügen | Seitenlayout | Formeln | Daten | Überprüfen | Ansicht +------- Suchen +------- Ersetzen +------- Sortieren +------- Ausschneiden +------- Kopieren </quiz> <quiz display="simple"> { In welcher Gruppe innerhalb des Registers '''Start''' befinden sich die Befehle? | typ="[]" } | Zwischenablage | Schriftart | Ausrichtung | Zahl | Formatvorlagen | Zellen | Bearbeiten ------+ Suchen +------ Ausschneiden ------+ Ersetzen +------ Kopieren ------+ Sortieren </quiz> = Übung = Ersetze im Dateinamen ''Nachname'' durch deinen eigenen Nachnamen. # '''Kopiere''' die untenstehende Tabelle in eine leere Excel-Arbeitsmappe (ab Zelle A1). Speichere sie unter ''Bürowoche_Nachname.xlsx'' auf Laufwerk C:. # '''Korrigiere''' den Rechtschreibfehler in Zelle B3 und die Zahl in Zelle D4 auf 2.5. '''Lösche''' den Kommentar in Zelle F4. # Gib in Zelle F1 das heutige Datum ein (ohne Funktion). # '''Verschiebe''' den Bereich A1:F5 so, dass ''KW'' in Zelle B2 steht. # '''Sortiere''' die Liste aufsteigend nach KW. # '''Kopiere''' die Formel aus Zelle F3 nach F4:F6. # Fülle Spalte B bis KW 12 aus. # Fülle die Spalten C bis F bis Zeile 14 aus, sodass sich die Zeilen 3 bis 6 wiederholen. Tipp: Halte beim Ziehen die Ctrl-Taste gedrückt.<ref>In Excel gibt es beim Ziehen des kleinen Quadrats in der unteren rechten Ecke einer markierten Zelle zwei Möglichkeiten: Ohne Ctrl-Taste versucht Excel, eine Zahlenreihe oder ein Muster fortzusetzen. Mit gedrückter Ctrl-Taste wiederholt Excel die ausgewählten Inhalte, anstatt die Zahlenreihe fortzusetzen.</ref> # '''Ersetze''' alle «Kaffee» durch «Tee». Schreibe in Zelle B1 «Ersetzungen:» und in C1 die Anzahl Ersetzungen. # Erstelle ein neues Tabellenblatt ''Tabelle2''. '''Kopiere''' den Bereich B2:F6 in Zelle B2 von ''Tabelle2''. # '''Nachweis:''' Wechsle zurück zu ''Tabelle1'' und erstelle ein Bildschirmfoto der Zeilen 1 bis 14 (Windows-Taste + Umschalt + S). Sende es der Lehrperson. # '''Speichere''' und schliesse die Datei, aber nicht Excel. {| class="wikitable" ! KW !! Tätigkeit !! Anzahl !! Zeit (h) !! Pro Stunde !! |- | 3 || Zahlungen erfassen || 40 || 4 || || |- | 1 || E-Mials beantworten || 30 || 3 || =C3/D3 || |- | 4 || Kaffee kochen || 5 || 25 || || 25 Stunden Kaffee? Echt jetzt? |- | 2 || Rechnungen kontrollieren || 10 || 2 || || |} = Lösung = {| class="wikitable" style="text-align:left" ! !! A !! B !! C !! D !! E !! F !! G |- ! 1 | || Ersetzungen || 3 || || || || |- ! 2 | || KW || Tätigkeit || Anzahl || Zeit (h) || Pro Stunde || ''heutiges Datum'' |- ! 3 | || 1 || E-Mails beantworten || 30 || 3 || 10 || |- ! 4 | || 2 || Rechnungen kontrollieren || 10 || 2 || 5 || |- ! 5 | || 3 || Zahlungen erfassen || 40 || 4 || 10 || |- ! 6 | || 4 || Tee kochen || 5 || 2.5 || 2 || |- ! 7 | || 5 || E-Mails beantworten || 30 || 3 || 10 || |- ! 8 | || 6 || Rechnungen kontrollieren || 10 || 2 || 5 || |- ! 9 | || 7 || Zahlungen erfassen || 40 || 4 || 10 || |- ! 10 | || 8 || Tee kochen || 5 || 2.5 || 2 || |- ! 11 | || 9 || E-Mails beantworten || 30 || 3 || 10 || |- ! 12 | || 10 || Rechnungen kontrollieren || 10 || 2 || 5 || |- ! 13 | || 11 || Zahlungen erfassen || 40 || 4 || 10 || |- ! 14 | || 12 || Tee kochen || 5 || 2.5 || 2 || |} = Bemerkungen = <references/> [[Kategorie:Kurs:Tabellenkalkulation]] klaz2tqhbjszt07itbn4burs7v006h0 106 171023 1118635 1118354 2026-11-02T13:03:56Z Bocardodarapti 2041 1118635 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2026-2027)/Vorlesungsgestaltung|7| {{Zwischenüberschrift|Von binomialen Gleichungen zu Exponentengleichungen}} {{:Binomiale Gleichungen/Exponentengleichungen/Textabschnitt|}} {{Zwischenüberschrift|Monoidringe}} {{:Monoidring/Eigenschaften/Einführung/Textabschnitt}} {{ inputbeispiel |Allgemeine Hyperbel/Laurentring/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Monoidring/Additives Untermonoid von N/Beispiel|| }} Die folgende Aussage knüpft an {{ Faktlink |Faktseitenname= Binomiale Gleichung/Ebener Fall/Teilerfremd/Parametrisierung/Fakt |Nr= |SZ= }} an. {{ inputfaktbeweis |Ebene monomiale Kurve/Teilerfremd/Ideal/Fakt|Lemma||zusatz1=&nbsp; {{ Zusatz/Klammer |text=oder direkt| |ISZ=|ESZ= }} }} Allgemeiner als in {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Monoidring/Additives Untermonoid von N/Beispiel |Nr= |SZ= }} werden kommutative Monoide als ein Untermonoid einer kommutativen Gruppe und insbesondere als ein Untermonoid von {{math|term= \Z^d |SZ=}} realisiert. Der umgebende {{math|term= \Z^d |SZ=}} wird dabei auch ein Gitter genannt. Das endlich erzeugte Untermonoid {{ Relationskette | M | \subseteq | \Z^d || || || |SZ= }} wird von endlich vielen ganzzahligen Tupeln erzeugt. Oft wählt man die umgebende Gruppe {{math|term= \Gamma |SZ=}} minimal in dem Sinne, dass {{math|term= \Gamma |SZ=}} das Differenzengitter zu {{math|term= M |SZ=}} ist. Das bedeutet, dass man jedes Gitterelement als eine Differenz von Monoidelementen schreiben kann. Der Rang des Differenzengitters ist die Dimension des Monoids und des Monoidringes über einem Körper. Wenn die Erzeuger gegeben sind, so kann es immer noch schwierig sein, alle Relationen, also alle binomialen Gleichheiten, zu verstehen. Ein Untermonoid kann manchmal auch dadurch gegeben werden, dass man im {{ Relationskette | \Z^d | \subseteq | \R^d || || || |SZ= }} von einem rationalen Polyeder ausgeht, und alle Gitterpunkte innerhalb des Kegels das Monoid definieren. In diesem Fall kann das Auffinden aller Erzeuger kompliziert sein. {{ inputbeispiel |A_k-1-Singularität/Monoidring/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Monoidring/Veronesering/Dimension 2 Grad k/Beispiel||zusatz1={{:Monoidring/Veronesering/Dimension 2 Grad 3/Singularität/Beispiel}} }} {{ inputbeispiel |Standardquadrik/Monoidring/Beispiel|| }} }} qqhtq0y4dx5rg93pvakk0hhn6f0f9ob 106 171024 1118682 1118367 2026-11-02T15:51:22Z Bocardodarapti 2041 1118682 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2026-2027)/Vorlesungsgestaltung|8| {{Zwischenüberschrift|Universelle Eigenschaft der Monoidringe}} {{inputfaktbeweis|Kommutative Monoidringe/Universelle Eigenschaft für R-Algebren mit Monoidabbildung/Fakt|Satz|}} Die folgende Aussage bedeutet, in Zusammenhang mit {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Monoidring/Funktorialität/Abbildungseigenschaften/Aufgabe |Nr= |SZ=, }} dass bei fixiertem Grundring {{math|term= R |SZ=}} die Zuordnung, die einem Monoid {{math|term= M |SZ=}} den Monoidring {{math|term= R[M] |SZ=}} zuordnet, ein {{Stichwort|Funktor|SZ=}} ist. {{inputfaktbeweis |Kommutative Monoidringe/Funktorialität im Monoid/Fakt|Korollar||}} {{inputbemerkung |Kommutative Monoidringe/Universelle Eigenschaft für R-Algebren mit Monoidabbildung/Polynomring als Spezialfall/Bemerkung||}} {{inputfaktbeweis |Kommutative Monoidringe/Funktorialität im Monoid/Surjektivität/Fakt|Lemma|}} {{inputfaktbeweis |Kommutative Monoidringe/Erzeugendensystem für Monoid und Polynomring/Fakt|Korollar||}} {{Zwischenüberschrift|Monoidring und binomiales Ideal}} {{ inputfaktbeweis |Monoidring/Erzeuger und Relationen/Ideal/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktbeweis |Monoidring/Kürzbar/Erzeuger und Relationen/Ideal/Fakt|Korollar|| }} {{ inputfaktbeweis |Kommutatives Monoid/In Gitter/Spitz/Nullpunkt singulär/Fakt|Lemma|| }} {{Zwischenüberschrift|Graduierungen}} Eine weitere Möglichkeit, Monoidringe zu erhalten, ergibt sich über Graduierungen. {{ inputdefinition |Graduierte Algebra/Ring/Gruppe beliebig/Definition|| }} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Polynomring/Graduierung/Neutrale Stufe/Monoidring/Fakt|Lemma|| }} }} sx05nngq0lvz5we68rl3zlczh8gotr2 1118687 1118682 2026-11-02T15:56:57Z Bocardodarapti 2041 1118687 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2026-2027)/Vorlesungsgestaltung|8| {{Zwischenüberschrift|Universelle Eigenschaft der Monoidringe}} {{inputfaktbeweis|Kommutative Monoidringe/Universelle Eigenschaft für R-Algebren mit Monoidabbildung/Fakt|Satz|}} Die folgende Aussage bedeutet, in Zusammenhang mit {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Monoidring/Funktorialität/Abbildungseigenschaften/Aufgabe |Nr= |SZ=, }} dass bei fixiertem Grundring {{math|term= R |SZ=}} die Zuordnung, die einem Monoid {{math|term= M |SZ=}} den Monoidring {{math|term= R[M] |SZ=}} zuordnet, ein {{Stichwort|Funktor|SZ=}} ist. {{inputfaktbeweis |Kommutative Monoidringe/Funktorialität im Monoid/Fakt|Korollar||}} {{inputbemerkung |Kommutative Monoidringe/Universelle Eigenschaft für 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1118697 1118687 2026-11-02T16:44:53Z Bocardodarapti 2041 1118697 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2026-2027)/Vorlesungsgestaltung|8| {{Zwischenüberschrift|Universelle Eigenschaft der Monoidringe}} {{inputfaktbeweis|Kommutative Monoidringe/Universelle Eigenschaft für R-Algebren mit Monoidabbildung/Fakt|Satz|}} Die folgende Aussage bedeutet, in Zusammenhang mit {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Monoidring/Funktorialität/Abbildungseigenschaften/Aufgabe |Nr= |SZ=, }} dass bei fixiertem Grundring {{math|term= R |SZ=}} die Zuordnung, die einem Monoid {{math|term= M |SZ=}} den Monoidring {{math|term= R[M] |SZ=}} zuordnet, ein {{Stichwort|Funktor|SZ=}} ist. {{inputfaktbeweis |Kommutative Monoidringe/Funktorialität im Monoid/Fakt|Korollar||}} {{inputbemerkung |Kommutative Monoidringe/Universelle Eigenschaft für R-Algebren mit Monoidabbildung/Polynomring als Spezialfall/Bemerkung||}} {{inputfaktbeweis |Kommutative Monoidringe/Funktorialität im 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2026-2027)/Vorlesungsgestaltung|8| {{Zwischenüberschrift|Universelle Eigenschaft der Monoidringe}} {{inputfaktbeweis|Kommutative Monoidringe/Universelle Eigenschaft für R-Algebren mit Monoidabbildung/Fakt|Satz|}} Die folgende Aussage bedeutet, in Zusammenhang mit {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Monoidring/Funktorialität/Abbildungseigenschaften/Aufgabe |Nr= |SZ=, }} dass bei fixiertem Grundring {{math|term= R |SZ=}} die Zuordnung, die einem Monoid {{math|term= M |SZ=}} den Monoidring {{math|term= R[M] |SZ=}} zuordnet, ein {{Stichwort|Funktor|SZ=}} ist. {{inputfaktbeweis |Kommutative Monoidringe/Funktorialität im Monoid/Fakt|Korollar||}} {{inputbemerkung |Kommutative Monoidringe/Universelle Eigenschaft für R-Algebren mit Monoidabbildung/Polynomring als Spezialfall/Bemerkung||}} {{inputfaktbeweis |Kommutative Monoidringe/Funktorialität im Monoid/Surjektivität/Fakt|Lemma|}} {{inputfaktbeweis |Kommutative Monoidringe/Erzeugendensystem für Monoid und Polynomring/Fakt|Korollar||}} {{Zwischenüberschrift|Monoidring und binomiales Ideal}} {{ inputfaktbeweis |Monoidring/Erzeuger und Relationen/Ideal/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktbeweis |Monoidring/Kürzbar/Erzeuger und Relationen/Ideal/Fakt|Korollar|| }} {{ inputfaktbeweis |Kommutatives Monoid/In Gitter/Spitz/Nullpunkt singulär/Fakt|Lemma|| }} {{Zwischenüberschrift|Graduierungen}} Eine weitere Möglichkeit, Monoidringe zu erhalten, ergibt sich über Graduierungen. {{ inputdefinition |Graduierte Algebra/Ring/Gruppe beliebig/Definition|| }} Auf dem Polynomring {{mathl|term= R[ X_1 {{kommadots|}} X_r ] |SZ=}} ist vor allem die Graduierung mit Werten in {{math|term= \Z |SZ=}} wichtig, bei der jede Variable den Grad {{math|term= 1 |SZ=}} besitzt. Der Grad eines Monomes ist dann einfach die Summe der einzelnen Exponenten. Die Grdauierung des Polynomringes mit Werten in {{mathl|term= \Z^r |SZ=,}} bei der die Variable {{math|term= X_i |SZ=}} den Standardvektor {{math|term= e_i |SZ=}} als Grad {{ Zusatz/Klammer |text=Gradtupel| |ISZ=|ESZ= }} bekommt, heißt {{Stichwort|feine Graduierung|msw=|SZ=.}} {{ inputfaktbeweis |Polynomring/Graduierung/Neutrale Stufe/Monoidring/Fakt|Lemma|| }} {{ inputbeispiel |Monoidring/Veronesering/Dimension 2 Grad k/Graduierung/Beispiel|| }} }} s85naciqu8rssyo2a8xbu6k4oqk4fip 1118727 1118726 2026-11-03T08:58:56Z Bocardodarapti 2041 1118727 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2026-2027)/Vorlesungsgestaltung|8| {{Zwischenüberschrift|Universelle Eigenschaft der Monoidringe}} {{inputfaktbeweis|Kommutative Monoidringe/Universelle Eigenschaft für R-Algebren mit Monoidabbildung/Fakt|Satz|}} Die folgende Aussage bedeutet, in Zusammenhang mit {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Monoidring/Funktorialität/Abbildungseigenschaften/Aufgabe |Nr= |SZ=, }} dass bei fixiertem Grundring {{math|term= R |SZ=}} die Zuordnung, die einem Monoid {{math|term= M |SZ=}} den Monoidring {{math|term= R[M] |SZ=}} zuordnet, ein {{Stichwort|Funktor|SZ=}} ist. {{inputfaktbeweis |Kommutative Monoidringe/Funktorialität im Monoid/Fakt|Korollar||}} {{inputbemerkung |Kommutative Monoidringe/Universelle Eigenschaft für R-Algebren mit Monoidabbildung/Polynomring als Spezialfall/Bemerkung||}} {{inputfaktbeweis |Kommutative Monoidringe/Funktorialität im Monoid/Surjektivität/Fakt|Lemma|}} {{inputfaktbeweis |Kommutative Monoidringe/Erzeugendensystem für Monoid und Polynomring/Fakt|Korollar||}} {{Zwischenüberschrift|Monoidring und binomiales Ideal}} {{ inputfaktbeweis |Monoidring/Erzeuger und Relationen/Ideal/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktbeweis |Monoidring/Kürzbar/Erzeuger und Relationen/Ideal/Fakt|Korollar|| }} {{ inputfaktbeweis |Kommutatives Monoid/In Gitter/Spitz/Nullpunkt singulär/Fakt|Lemma|| }} {{Zwischenüberschrift|Graduierungen}} Eine weitere Möglichkeit, Monoidringe zu erhalten, ergibt sich über Graduierungen. {{ inputdefinition |Graduierte Algebra/Ring/Gruppe beliebig/Definition|| }} Auf dem Polynomring {{mathl|term= R[ X_1 {{kommadots|}} X_r ] |SZ=}} ist vor allem die Graduierung mit Werten in {{math|term= \Z |SZ=}} wichtig, bei der jede Variable den Grad {{math|term= 1 |SZ=}} besitzt. 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Man spricht von der {{Stichwort|Standardgraduierung|msw=|SZ=.}} Die Graduierung des Polynomringes mit Werten in {{mathl|term= \Z^r |SZ=,}} bei der die Variable {{math|term= X_i |SZ=}} den Standardvektor {{math|term= e_i |SZ=}} als Grad {{ Zusatz/Klammer |text=Gradtupel| |ISZ=|ESZ= }} bekommt, heißt {{Stichwort|feine Graduierung|msw=|SZ=.}} {{ inputfaktbeweis |Polynomring/Graduierung/Neutrale Stufe/Monoidring/Fakt|Lemma|| }} {{ inputbeispiel |Monoidring/Veronesering/Dimension 2 Grad k/Graduierung/Beispiel|| }} }} thaij0qcngagjooxfsj2vvjwc7v63z3 1118728 1118727 2026-11-03T09:00:17Z Bocardodarapti 2041 1118728 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2026-2027)/Vorlesungsgestaltung|8| {{Zwischenüberschrift|Universelle Eigenschaft der Monoidringe}} {{inputfaktbeweis|Kommutative Monoidringe/Universelle Eigenschaft für R-Algebren mit Monoidabbildung/Fakt|Satz|}} Die folgende Aussage bedeutet, in Zusammenhang mit {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Monoidring/Funktorialität/Abbildungseigenschaften/Aufgabe |Nr= |SZ=, }} dass bei fixiertem Grundring {{math|term= R |SZ=}} die Zuordnung, die einem Monoid {{math|term= M |SZ=}} den Monoidring {{math|term= R[M] |SZ=}} zuordnet, ein {{Stichwort|Funktor|SZ=}} ist. {{inputfaktbeweis |Kommutative Monoidringe/Funktorialität im Monoid/Fakt|Korollar||}} {{inputbemerkung |Kommutative Monoidringe/Universelle Eigenschaft für R-Algebren mit Monoidabbildung/Polynomring als Spezialfall/Bemerkung||}} {{inputfaktbeweis |Kommutative Monoidringe/Funktorialität im Monoid/Surjektivität/Fakt|Lemma|}} {{inputfaktbeweis |Kommutative Monoidringe/Erzeugendensystem für Monoid und Polynomring/Fakt|Korollar||}} {{Zwischenüberschrift|Monoidring und binomiales Ideal}} {{ inputfaktbeweis |Monoidring/Erzeuger und Relationen/Ideal/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktbeweis |Monoidring/Kürzbar/Erzeuger und Relationen/Ideal/Fakt|Korollar|| }} {{ inputfaktbeweis |Kommutatives Monoid/In Gitter/Spitz/Nullpunkt singulär/Fakt|Lemma|| }} {{Zwischenüberschrift|Graduierungen}} Eine weitere Möglichkeit, Monoidringe zu erhalten, ergibt sich über Graduierungen. {{ inputdefinition |Graduierte Algebra/Ring/Gruppe beliebig/Definition|| }} Auf dem Polynomring {{mathl|term= R[ X_1 {{kommadots|}} X_r ] |SZ=}} ist vor allem die Graduierung mit Werten in {{math|term= \Z |SZ=}} wichtig, bei der jede Variable den Grad {{math|term= 1 |SZ=}} besitzt. Der Grad eines Monomes ist dann einfach die Summe der einzelnen Exponenten. Man spricht von der {{Stichwort|Standardgraduierung|msw=|SZ=.}} Die Graduierung des Polynomringes mit Werten in {{mathl|term= \Z^r |SZ=,}} bei der die Variable {{math|term= X_i |SZ=}} den Standardvektor {{math|term= e_i |SZ=}} als Grad {{ Zusatz/Klammer |text=Gradtupel| |ISZ=|ESZ= }} bekommt, heißt {{Stichwort|feine Graduierung|msw=|SZ=.}} Viele Graduierungen entstehen durch eine Vergröberung der feien Graduierung, also durch einen {{ Zusatz/Klammer |text=surjektiven| |ISZ=|ESZ= }} Gruppenhomomorphismus {{ Abbildung |name= |\Z^r|D || |SZ=. }} {{ inputfaktbeweis |Polynomring/Graduierung/Neutrale Stufe/Monoidring/Fakt|Lemma|| }} {{ inputbeispiel |Monoidring/Veronesering/Dimension 2 Grad k/Graduierung/Beispiel|| }} }} j62208xaa72p9hzyo48nds4ku8m1cfp 106 171025 1118681 1118411 2026-11-02T15:49:57Z Bocardodarapti 2041 1118681 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2026-2027)/Vorlesungsgestaltung|9| In den folgenden drei Vorlesungen möchten wir die endlichen Untergruppen {{ Relationskette | G | \subseteq | {{op:SLG| 2 | {{CC}} }} || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=bis auf Konjugation| |ISZ=|ESZ= }} und die zugehörigen Invariantenringe {{mathl|term= K[U,V]^G |SZ=}} bestimmen. Es wird sich herausstellen, dass es hierzu eine überschaubare Klassifikation gibt, nämlich die ADE-Klassifikation. Die auftretenden Invariantenringe bzw. ihre Spektren {{ Zusatz/Klammer |text=also die Bahnenräume| |ISZ=|ESZ= }} nennt man {{Stichwort|ADE-Singularitäten|SZ=.}} Die anvisierte Klassifikation beruht auf der Klassifikation der endlichen Bewegungsgruppen im {{math|term= \R^3 |SZ=.}} Die ADE-Singularitäten treten in vielen verschiedenen Kontexten immer wieder auf. {{Zwischenüberschrift|Gruppenoperationen}} {{:Gruppenoperation/Kurzeinführung/Textabschnitt|}} {{Zwischenüberschrift|Lineare Gruppenoperationen auf dem {{math|term= K^d |SZ=}} }} {{:Lineare Gruppenoperation/Polynomring/Einführung/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|Invariantenringe}} {{:Gruppenoperation/Kommutativer Ring/Invariantenring/Einführung/Textabschnitt}} Zur Graduierung durch die Gruppe {{math|term= D |SZ=}} gehört eine Gruppenoperation der dualen Gruppe {{mathl|term= {{op:Charakterdual| G |}} |SZ=.}} {{ inputdefinition |Gruppe/Charaktergruppe in Körper/Definition|| }} Die Aussagekraft der Charaktergruppe hängt wesentlich davon ab, wie viele Einheitswurzeln der Körper besitzt. Bei {{math|term= D |SZ=}} endlich und {{ Relationskette | K || {{CC}} || || || |SZ= }} sind {{math|term= D |SZ=}} und {{mathl|term= {{op:Charakterdual| G |}} |SZ=}} zueinander isomorph, aber nicht kanonisch. {{ inputfaktbeweis |Graduierter Ring/Körper/Endliche Gruppe/Einheitswurzeln/Invariantenring/Fakt|Lemma|| }} {{ inputbeispiel |Einheitswurzel/xy-z^n/Graduierung/Beispiel|| }} }} 48ko6j0pxgt18m086jffwbl917xflnz 1118683 1118681 2026-11-02T15:52:27Z Bocardodarapti 2041 1118683 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2026-2027)/Vorlesungsgestaltung|9| In den folgenden drei Vorlesungen möchten wir die endlichen Untergruppen {{ Relationskette | G | \subseteq | {{op:SLG| 2 | {{CC}} }} || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=bis auf Konjugation| |ISZ=|ESZ= }} und die zugehörigen Invariantenringe {{mathl|term= K[U,V]^G |SZ=}} bestimmen. Es wird sich herausstellen, dass es hierzu eine überschaubare Klassifikation gibt, nämlich die ADE-Klassifikation. Die auftretenden Invariantenringe bzw. ihre Spektren {{ Zusatz/Klammer |text=also die Bahnenräume| |ISZ=|ESZ= }} nennt man {{Stichwort|ADE-Singularitäten|SZ=.}} Die anvisierte Klassifikation beruht auf der Klassifikation der endlichen Bewegungsgruppen im {{math|term= \R^3 |SZ=.}} Die ADE-Singularitäten treten in vielen verschiedenen Kontexten immer wieder auf. {{Zwischenüberschrift|Gruppenoperationen}} {{:Gruppenoperation/Kurzeinführung/Textabschnitt|}} {{Zwischenüberschrift|Lineare Gruppenoperationen auf dem {{math|term= K^d |SZ=}} }} {{:Lineare Gruppenoperation/Polynomring/Einführung/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|Invariantenringe}} {{:Gruppenoperation/Kommutativer Ring/Invariantenring/Einführung/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|Graduierungen und Gruppenoperationen}} Zur Graduierung durch die Gruppe {{math|term= D |SZ=}} gehört eine Gruppenoperation der dualen Gruppe {{mathl|term= {{op:Charakterdual| G |}} |SZ=.}} {{ inputdefinition |Gruppe/Charaktergruppe in Körper/Definition|| }} Die Aussagekraft der Charaktergruppe hängt wesentlich davon ab, wie viele Einheitswurzeln der Körper besitzt. Bei {{math|term= D |SZ=}} endlich und {{ Relationskette | K || {{CC}} || || || |SZ= }} sind {{math|term= D |SZ=}} und {{mathl|term= {{op:Charakterdual| G |}} |SZ=}} zueinander isomorph, aber nicht kanonisch. Viele Monoidringe {{ Zusatz/Klammer |text=nämlich die torisch-normalen| |ISZ=|ESZ= }} kann man als Invariantenring zu einer Gruppenoperation {{ Zusatz/Klammer |text=einer endlichen oder unendlichen Gruppenoperation| |ISZ=|ESZ= }} auf dem Polynomring erhalten, sodass wir direkt ein Vielzahl an Invariantenringen zur Verfügung haben. {{ inputfaktbeweis |Graduierter Ring/Körper/Endliche Gruppe/Einheitswurzeln/Invariantenring/Fakt|Lemma|| }} {{ inputbeispiel |Einheitswurzel/xy-z^n/Graduierung/Beispiel|| }} }} 7fle57lywn351zdplviikij3l5btmwa 106 172600 1118738 1114489 2026-11-03T10:04:42Z Paul Sutermeister 37610 + [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Teambildung|Teamphasen nach Tuckman]] 1118738 wikitext text/x-wiki '''Interagieren in einem vernetzten Arbeitsumfeld''' ist '''[[:w:Handlungskompetenzbereich|Handlungskompetenzbereich B]]''' der [[Kurs:Kaufleute EFZ|Ausbildung ''Kaufleute EFZ'']].<ref>[[:w:Staatssekretariat für Bildung, Forschung und Innovation (SBFI)|SBFI]]: ''[https://www.becc.admin.ch/becc/public/bvz/beruf/show/68800 Kauffrau/Kaufmann EFZ (ab Lehrbeginn 2023)]</ref> <quiz display="simple"> { Ordne [[:w:Handlungskompetenzbereich|HKB]] zu: | typ="()" } | [[Kurs:Kaufleute EFZ/In unterschiedlichen Teams zur Bearbeitung kaufmännischer Aufträge zusammenarbeiten und kommunizieren|B1]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Schnittstellen in betrieblichen Prozessen koordinieren|B2]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/In wirtschaftlichen Fachdiskussionen mitdiskutieren|B3]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Kaufmännische Projektmanagementaufgaben ausführen und Teilprojekte bearbeiten|B4]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Betriebliche Veränderungsprozesse mitgestalten|B5]] +---- [[Kurs:Kaufleute EFZ/In unterschiedlichen Teams zur Bearbeitung kaufmännischer Aufträge zusammenarbeiten und kommunizieren|In unterschiedlichen Teams zur Bearbeitung kaufmännischer Aufträge zusammenarbeiten und kommunizieren]] -+--- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Schnittstellen in betrieblichen Prozessen 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'''Interagieren in einem vernetzten Arbeitsumfeld''' ist '''[[:w:Handlungskompetenzbereich|Handlungskompetenzbereich B]]''' der [[Kurs:Kaufleute EFZ|Ausbildung ''Kaufleute EFZ'']].<ref>[[:w:Staatssekretariat für Bildung, Forschung und Innovation (SBFI)|SBFI]]: ''[https://www.becc.admin.ch/becc/public/bvz/beruf/show/68800 Kauffrau/Kaufmann EFZ (ab Lehrbeginn 2023)]</ref> <quiz display="simple"> { Ordne [[:w:Handlungskompetenzbereich|HKB]] zu: | typ="()" } | [[Kurs:Kaufleute EFZ/In unterschiedlichen Teams zur Bearbeitung kaufmännischer Aufträge zusammenarbeiten und kommunizieren|B1]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Schnittstellen in betrieblichen Prozessen koordinieren|B2]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/In wirtschaftlichen Fachdiskussionen mitdiskutieren|B3]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Kaufmännische Projektmanagementaufgaben ausführen und Teilprojekte bearbeiten|B4]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Betriebliche Veränderungsprozesse mitgestalten|B5]] +---- [[Kurs:Kaufleute EFZ/In unterschiedlichen Teams zur 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zur Bearbeitung kaufmännischer Aufträge zusammenarbeiten und kommunizieren''' ist Handlungskompetenz [[Kurs:Kaufleute EFZ/Interagieren in einem vernetzten Arbeitsumfeld|B]]1 der [[Kurs:Kaufleute EFZ|Ausbildung ''Kaufleute EFZ'']].<ref>[[:w:Staatssekretariat für Bildung, Forschung und Innovation (SBFI)|SBFI]]: ''[https://www.becc.admin.ch/becc/public/bvz/beruf/show/68800 Kauffrau/Kaufmann EFZ (ab Lehrbeginn 2023)]</ref> <quiz display="simple"> { Ordne die Leistungsziele zu: | typ="()" } | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Situation|B1.1]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Sprache|B1.2]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Adressat|B1.3]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Konflikt|B1.4]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Reflexion|B1.5]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Vorgaben, Vereinbarungen und Termine|B1.6]] +----- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Situation|Sie arbeiten mit allen Teammitgliedern situationsgerecht zusammen.]] -+---- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Sprache|Sie kommunizieren mit allen Teammitgliedern in der regionalen Landessprache, in Englisch oder in einer zweiten Landessprache.]] --+--- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Adressat|Sie kommunizieren mit allen Teammitgliedern adressatengerecht.]] ---+-- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Konflikt|Sie sprechen Konfliktsituationen an und setzen sich für sachbezogene Lösungen ein.]] ----+- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Reflexion|Sie reflektieren ihre Kommunikation und ihren Umgang mit den Teammitgliedern und leiten Optimierungsmassnahmen für die Zukunft ab.]] -----+ [[Kurs:Kaufleute EFZ/Vorgaben, Vereinbarungen und Termine|Sie setzen in ihren Aufträgen Vorgaben, Vereinbarungen und Termine um und leiten bei Abweichungen zeitgerecht Massnahmen ein.]] </quiz> = Grundlegende Theorien für den gesamten HKB B = * [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Teambildung|Teamphasen nach Tuckman]] * [[Kurs:Personal_Skills_(Handelsdiplom_VSH)/Distanz|Distanzzonen]] = Einzelnachweise = <references/> [[Kategorie:Kurs:Kaufleute EFZ/HK B1| ]] ej1wzik8j1m5s30w2cgres7t37c1eg1 1118754 1118753 2026-11-03T10:30:56Z Paul Sutermeister 37610 /* Grundlegende Theorien für den gesamten HKB B */ 1118754 wikitext text/x-wiki '''In unterschiedlichen Teams zur Bearbeitung kaufmännischer Aufträge zusammenarbeiten und kommunizieren''' ist Handlungskompetenz [[Kurs:Kaufleute EFZ/Interagieren in einem vernetzten Arbeitsumfeld|B]]1 der [[Kurs:Kaufleute EFZ|Ausbildung ''Kaufleute EFZ'']].<ref>[[:w:Staatssekretariat für Bildung, Forschung und Innovation (SBFI)|SBFI]]: ''[https://www.becc.admin.ch/becc/public/bvz/beruf/show/68800 Kauffrau/Kaufmann EFZ (ab Lehrbeginn 2023)]</ref> <quiz display="simple"> { Ordne die Leistungsziele zu: | typ="()" } | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Situation|B1.1]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Sprache|B1.2]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Adressat|B1.3]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Konflikt|B1.4]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Reflexion|B1.5]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Vorgaben, Vereinbarungen und Termine|B1.6]] +----- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Situation|Sie arbeiten mit allen Teammitgliedern situationsgerecht zusammen.]] -+---- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Sprache|Sie kommunizieren mit allen Teammitgliedern in der regionalen Landessprache, in Englisch oder in einer zweiten Landessprache.]] --+--- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Adressat|Sie kommunizieren mit allen Teammitgliedern adressatengerecht.]] ---+-- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Konflikt|Sie sprechen Konfliktsituationen an und setzen sich für sachbezogene Lösungen ein.]] ----+- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Reflexion|Sie reflektieren ihre Kommunikation und ihren Umgang mit den Teammitgliedern und leiten Optimierungsmassnahmen für die Zukunft ab.]] -----+ [[Kurs:Kaufleute EFZ/Vorgaben, Vereinbarungen und Termine|Sie setzen in ihren Aufträgen Vorgaben, Vereinbarungen und Termine um und leiten bei Abweichungen zeitgerecht Massnahmen ein.]] </quiz> = Grundlegende Theorien für den gesamten HKB B1 = * [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Teambildung|Teamphasen nach Tuckman]] * [[Kurs:Personal_Skills_(Handelsdiplom_VSH)/Distanz|Distanzzonen]] = Einzelnachweise = <references/> [[Kategorie:Kurs:Kaufleute EFZ/HK B1| ]] 14f5pw6nwhvvu38akvnpxfykrjtvhjv 1118756 1118754 2026-11-03T10:39:37Z Paul Sutermeister 37610 1118756 wikitext text/x-wiki '''In unterschiedlichen Teams zur Bearbeitung kaufmännischer Aufträge zusammenarbeiten und kommunizieren''' ist Handlungskompetenz [[Kurs:Kaufleute EFZ/Interagieren in einem vernetzten Arbeitsumfeld|B]]1 der [[Kurs:Kaufleute EFZ|Ausbildung ''Kaufleute EFZ'']].<ref>[[:w:Staatssekretariat für Bildung, Forschung und Innovation (SBFI)|SBFI]]: ''[https://www.becc.admin.ch/becc/public/bvz/beruf/show/68800 Kauffrau/Kaufmann EFZ (ab Lehrbeginn 2023)]</ref> = Grundlegende Theorien für den gesamten HKB B1 = * [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Teambildung|Teamphasen nach Tuckman]] * [[Kurs:Personal_Skills_(Handelsdiplom_VSH)/Distanz|Distanzzonen]] = Leistungsziele = <quiz display="simple"> { Ordne die Leistungsziele zu: | typ="()" } | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Situation|B1.1]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Sprache|B1.2]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Adressat|B1.3]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Konflikt|B1.4]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Reflexion|B1.5]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Vorgaben, Vereinbarungen und Termine|B1.6]] +----- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Situation|Sie arbeiten mit allen Teammitgliedern situationsgerecht zusammen.]] -+---- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Sprache|Sie kommunizieren mit allen Teammitgliedern in der regionalen Landessprache, in Englisch oder in einer zweiten Landessprache.]] --+--- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Adressat|Sie kommunizieren mit allen Teammitgliedern adressatengerecht.]] ---+-- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Konflikt|Sie sprechen Konfliktsituationen an und setzen sich für sachbezogene Lösungen ein.]] ----+- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Reflexion|Sie reflektieren ihre Kommunikation und ihren Umgang mit den Teammitgliedern und leiten Optimierungsmassnahmen für die Zukunft ab.]] -----+ [[Kurs:Kaufleute EFZ/Vorgaben, Vereinbarungen und Termine|Sie setzen in ihren Aufträgen Vorgaben, Vereinbarungen und Termine um und leiten bei Abweichungen zeitgerecht Massnahmen ein.]] </quiz> = Einzelnachweise = <references/> [[Kategorie:Kurs:Kaufleute EFZ/HK B1| ]] t2bnhxjm9x2e8r4fta24k72liz83x57 1118758 1118756 2026-11-03T10:45:22Z Paul Sutermeister 37610 /* Grundlegende Theorien für den gesamten HKB B1 */ [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Sender-Empfänger-Modell|Sender-Empfänger-Modell]] 1118758 wikitext text/x-wiki '''In unterschiedlichen Teams zur Bearbeitung kaufmännischer Aufträge zusammenarbeiten und kommunizieren''' ist Handlungskompetenz [[Kurs:Kaufleute EFZ/Interagieren in einem vernetzten Arbeitsumfeld|B]]1 der [[Kurs:Kaufleute EFZ|Ausbildung ''Kaufleute EFZ'']].<ref>[[:w:Staatssekretariat für Bildung, Forschung und Innovation (SBFI)|SBFI]]: ''[https://www.becc.admin.ch/becc/public/bvz/beruf/show/68800 Kauffrau/Kaufmann EFZ (ab Lehrbeginn 2023)]</ref> = Grundlegende Theorien für den gesamten HKB B1 = * [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Sender-Empfänger-Modell|Sender-Empfänger-Modell]] * [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Teambildung|Teamphasen nach Tuckman]] * [[Kurs:Personal_Skills_(Handelsdiplom_VSH)/Distanz|Distanzzonen]] = Leistungsziele = <quiz display="simple"> { Ordne die Leistungsziele zu: | typ="()" } | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Situation|B1.1]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Sprache|B1.2]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Adressat|B1.3]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Konflikt|B1.4]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Reflexion|B1.5]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Vorgaben, Vereinbarungen und Termine|B1.6]] +----- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Situation|Sie arbeiten mit allen Teammitgliedern situationsgerecht zusammen.]] -+---- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Sprache|Sie kommunizieren mit allen Teammitgliedern in der regionalen Landessprache, in Englisch oder in einer zweiten Landessprache.]] --+--- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Adressat|Sie kommunizieren mit allen Teammitgliedern adressatengerecht.]] ---+-- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Konflikt|Sie sprechen Konfliktsituationen an und setzen sich für sachbezogene Lösungen ein.]] ----+- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Reflexion|Sie reflektieren ihre Kommunikation und ihren Umgang mit den Teammitgliedern und leiten Optimierungsmassnahmen für die Zukunft ab.]] -----+ [[Kurs:Kaufleute EFZ/Vorgaben, Vereinbarungen und Termine|Sie setzen in ihren Aufträgen Vorgaben, Vereinbarungen und Termine um und leiten bei Abweichungen zeitgerecht Massnahmen ein.]] </quiz> = Einzelnachweise = <references/> [[Kategorie:Kurs:Kaufleute EFZ/HK B1| ]] dk9lqndnrfx2ev19asvwq6kcp20euas 1118763 1118758 2026-11-03T10:57:39Z Paul Sutermeister 37610 /* Grundlegende Theorien für den gesamten HKB B1 */ 1118763 wikitext text/x-wiki '''In unterschiedlichen Teams zur Bearbeitung kaufmännischer Aufträge zusammenarbeiten und kommunizieren''' ist Handlungskompetenz [[Kurs:Kaufleute EFZ/Interagieren in einem vernetzten Arbeitsumfeld|B]]1 der [[Kurs:Kaufleute EFZ|Ausbildung ''Kaufleute EFZ'']].<ref>[[:w:Staatssekretariat für Bildung, Forschung und Innovation (SBFI)|SBFI]]: ''[https://www.becc.admin.ch/becc/public/bvz/beruf/show/68800 Kauffrau/Kaufmann EFZ (ab Lehrbeginn 2023)]</ref> = Grundlegende Theorien für den gesamten HKB B1 = * [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Sender-Empfänger-Modell|Sender-Empfänger-Modell (codieren, decodieren…)]] * [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Teambildung|Teamphasen nach Tuckman (Forming, Storming, Norming, Performing)]] * [[Kurs:Personal_Skills_(Handelsdiplom_VSH)/Distanz|Distanzzonen (intim, persönlich, sozial, öffentlich)]] * [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Rangdynamik|Rangdynamik (Alpha, Beta, Gamma, Omega)]] = Leistungsziele = <quiz display="simple"> { Ordne die Leistungsziele zu: | typ="()" } | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Situation|B1.1]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Sprache|B1.2]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Adressat|B1.3]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Konflikt|B1.4]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Reflexion|B1.5]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Vorgaben, Vereinbarungen und Termine|B1.6]] +----- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Situation|Sie arbeiten mit allen Teammitgliedern situationsgerecht zusammen.]] -+---- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Sprache|Sie kommunizieren mit allen Teammitgliedern in der regionalen Landessprache, in Englisch oder in einer zweiten Landessprache.]] --+--- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Adressat|Sie kommunizieren mit allen Teammitgliedern adressatengerecht.]] ---+-- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Konflikt|Sie sprechen Konfliktsituationen an und setzen sich für sachbezogene Lösungen ein.]] ----+- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Reflexion|Sie reflektieren ihre Kommunikation und ihren Umgang mit den Teammitgliedern und leiten Optimierungsmassnahmen für die Zukunft ab.]] -----+ [[Kurs:Kaufleute EFZ/Vorgaben, Vereinbarungen und Termine|Sie setzen in ihren Aufträgen Vorgaben, Vereinbarungen und Termine um und leiten bei Abweichungen zeitgerecht Massnahmen ein.]] </quiz> = Einzelnachweise = <references/> [[Kategorie:Kurs:Kaufleute EFZ/HK B1| ]] isw9i0fe9xgm7bv1plvnx2teng9ave1 1118764 1118763 2026-11-03T10:58:48Z Paul Sutermeister 37610 /* Grundlegende Theorien für den gesamten HKB B1 */ 1118764 wikitext text/x-wiki '''In unterschiedlichen Teams zur Bearbeitung kaufmännischer Aufträge zusammenarbeiten und kommunizieren''' ist Handlungskompetenz [[Kurs:Kaufleute EFZ/Interagieren in einem vernetzten Arbeitsumfeld|B]]1 der [[Kurs:Kaufleute EFZ|Ausbildung ''Kaufleute EFZ'']].<ref>[[:w:Staatssekretariat für Bildung, Forschung und Innovation (SBFI)|SBFI]]: ''[https://www.becc.admin.ch/becc/public/bvz/beruf/show/68800 Kauffrau/Kaufmann EFZ (ab Lehrbeginn 2023)]</ref> = Grundlegende Theorien für den gesamten HKB B1 = * [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Sender-Empfänger-Modell|Sender-Empfänger-Modell (codieren, decodieren…)]] * [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Watzlawick|Watzlawick-Axiome (man kann nicht nicht kommunizieren…)]] * [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Teambildung|Teamphasen nach Tuckman (Forming, Storming, Norming, Performing)]] * [[Kurs:Personal_Skills_(Handelsdiplom_VSH)/Distanz|Distanzzonen (intim, persönlich, sozial, öffentlich)]] * [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Rangdynamik|Rangdynamik (Alpha, Beta, Gamma, Omega)]] = Leistungsziele = <quiz display="simple"> { Ordne die Leistungsziele zu: | typ="()" } | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Situation|B1.1]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Sprache|B1.2]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Adressat|B1.3]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Konflikt|B1.4]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Reflexion|B1.5]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Vorgaben, Vereinbarungen und Termine|B1.6]] +----- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Situation|Sie arbeiten mit allen Teammitgliedern situationsgerecht zusammen.]] -+---- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Sprache|Sie kommunizieren mit allen Teammitgliedern in der regionalen Landessprache, in Englisch oder in einer zweiten Landessprache.]] --+--- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Adressat|Sie kommunizieren mit allen Teammitgliedern adressatengerecht.]] ---+-- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Konflikt|Sie sprechen Konfliktsituationen an und setzen sich für sachbezogene Lösungen ein.]] ----+- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Reflexion|Sie reflektieren ihre Kommunikation 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= Grundlegende Theorien für den gesamten HKB B1 = * [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Sender-Empfänger-Modell|Sender-Empfänger-Modell (codieren, decodieren…)]] * [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Watzlawick|Watzlawick-Axiome (man kann nicht nicht kommunizieren…)]] * [[Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Vier-Seiten-Modell|Vier-Seiten-Modell (Beziehungsebene usw.)]] * [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Teambildung|Teamphasen nach Tuckman (Forming, Storming, Norming, Performing)]] * [[Kurs:Personal_Skills_(Handelsdiplom_VSH)/Distanz|Distanzzonen (intim, persönlich, sozial, öffentlich)]] * [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Rangdynamik|Rangdynamik (Alpha, Beta, Gamma, Omega)]] = Leistungsziele = <quiz display="simple"> { Ordne die Leistungsziele zu: | typ="()" } | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Situation|B1.1]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Sprache|B1.2]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Adressat|B1.3]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Konflikt|B1.4]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Reflexion|B1.5]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Vorgaben, Vereinbarungen und Termine|B1.6]] +----- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Situation|Sie arbeiten mit allen Teammitgliedern situationsgerecht zusammen.]] -+---- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Sprache|Sie kommunizieren mit allen Teammitgliedern in der regionalen Landessprache, in Englisch oder in einer zweiten Landessprache.]] --+--- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Adressat|Sie kommunizieren mit allen Teammitgliedern adressatengerecht.]] ---+-- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Konflikt|Sie sprechen Konfliktsituationen an und setzen sich für sachbezogene Lösungen ein.]] ----+- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Reflexion|Sie reflektieren ihre Kommunikation und ihren Umgang mit den Teammitgliedern und leiten Optimierungsmassnahmen für die Zukunft ab.]] -----+ [[Kurs:Kaufleute EFZ/Vorgaben, Vereinbarungen und Termine|Sie setzen in ihren Aufträgen Vorgaben, Vereinbarungen und Termine um und leiten bei Abweichungen zeitgerecht Massnahmen ein.]] </quiz> = Einzelnachweise = <references/> [[Kategorie:Kurs:Kaufleute EFZ/HK B1| ]] 8tzj6sqe14ld4aalaf7cuppygk0nktm 1118766 1118765 2026-11-03T11:00:38Z Paul Sutermeister 37610 /* Grundlegende Theorien für den gesamten HKB B1 */ 1118766 wikitext text/x-wiki '''In unterschiedlichen Teams zur Bearbeitung kaufmännischer Aufträge zusammenarbeiten und kommunizieren''' ist Handlungskompetenz [[Kurs:Kaufleute EFZ/Interagieren in einem vernetzten Arbeitsumfeld|B]]1 der [[Kurs:Kaufleute EFZ|Ausbildung ''Kaufleute EFZ'']].<ref>[[:w:Staatssekretariat für Bildung, Forschung und Innovation (SBFI)|SBFI]]: ''[https://www.becc.admin.ch/becc/public/bvz/beruf/show/68800 Kauffrau/Kaufmann EFZ (ab Lehrbeginn 2023)]</ref> = Grundlegende Theorien für den gesamten HKB B1 = * [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Sender-Empfänger-Modell|Sender-Empfänger-Modell (codieren, decodieren…)]] * [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Watzlawick|Watzlawick-Axiome (man kann nicht nicht kommunizieren…)]] * [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Vier-Seiten-Modell|Vier-Seiten-Modell (Beziehungsebene usw.)]] * [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Teambildung|Teamphasen nach Tuckman (Forming, Storming, Norming, Performing)]] * [[Kurs:Personal_Skills_(Handelsdiplom_VSH)/Distanz|Distanzzonen (intim, persönlich, sozial, öffentlich)]] * [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Rangdynamik|Rangdynamik (Alpha, Beta, Gamma, Omega)]] = Leistungsziele = <quiz display="simple"> { Ordne die Leistungsziele zu: | typ="()" } | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Situation|B1.1]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Sprache|B1.2]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Adressat|B1.3]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Konflikt|B1.4]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Reflexion|B1.5]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Vorgaben, Vereinbarungen und Termine|B1.6]] +----- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Situation|Sie arbeiten mit allen Teammitgliedern situationsgerecht zusammen.]] -+---- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Sprache|Sie kommunizieren mit allen Teammitgliedern in der regionalen Landessprache, in Englisch oder in einer zweiten Landessprache.]] --+--- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Adressat|Sie kommunizieren mit allen Teammitgliedern adressatengerecht.]] ---+-- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Konflikt|Sie sprechen Konfliktsituationen an und setzen sich für sachbezogene Lösungen ein.]] ----+- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Reflexion|Sie reflektieren ihre Kommunikation und ihren Umgang mit den Teammitgliedern und leiten Optimierungsmassnahmen für die Zukunft ab.]] -----+ [[Kurs:Kaufleute EFZ/Vorgaben, Vereinbarungen und Termine|Sie setzen in ihren Aufträgen Vorgaben, Vereinbarungen und Termine um und leiten bei Abweichungen zeitgerecht Massnahmen ein.]] </quiz> = Einzelnachweise = <references/> [[Kategorie:Kurs:Kaufleute EFZ/HK B1| ]] knw0t4mnxp6wscvip2nmyfz0zqb2uwf 1118770 1118766 2026-11-03T11:03:09Z Paul Sutermeister 37610 /* Grundlegende Theorien für den gesamten HKB B1 */ 1118770 wikitext text/x-wiki '''In unterschiedlichen Teams zur Bearbeitung kaufmännischer Aufträge zusammenarbeiten und kommunizieren''' ist Handlungskompetenz [[Kurs:Kaufleute EFZ/Interagieren in einem vernetzten Arbeitsumfeld|B]]1 der [[Kurs:Kaufleute EFZ|Ausbildung ''Kaufleute EFZ'']].<ref>[[:w:Staatssekretariat für Bildung, Forschung und Innovation (SBFI)|SBFI]]: ''[https://www.becc.admin.ch/becc/public/bvz/beruf/show/68800 Kauffrau/Kaufmann EFZ (ab Lehrbeginn 2023)]</ref> = Grundlegende Theorien für den gesamten HKB B1 = * [[Kurs:Personal_Skills_(Handelsdiplom_VSH)/Distanz|Distanzzonen (intim, persönlich, sozial, öffentlich)]] * [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Johari|Johari-Fenster]] * [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Sender-Empfänger-Modell|Sender-Empfänger-Modell (codieren, decodieren…)]] * [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Watzlawick|Watzlawick-Axiome (man kann nicht nicht kommunizieren…)]] * [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Vier-Seiten-Modell|Vier-Seiten-Modell (Beziehungsebene usw.)]] * [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Teambildung|Teamphasen nach Tuckman (Forming, Storming, Norming, Performing)]] * [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Rangdynamik|Rangdynamik (Alpha, Beta, Gamma, Omega)]] = Leistungsziele = <quiz display="simple"> { Ordne die Leistungsziele zu: | typ="()" } | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Situation|B1.1]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Sprache|B1.2]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Adressat|B1.3]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Konflikt|B1.4]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Reflexion|B1.5]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Vorgaben, Vereinbarungen und Termine|B1.6]] +----- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Situation|Sie arbeiten mit allen Teammitgliedern situationsgerecht zusammen.]] -+---- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Sprache|Sie kommunizieren mit allen Teammitgliedern in der regionalen Landessprache, in Englisch oder in einer zweiten Landessprache.]] --+--- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Adressat|Sie kommunizieren mit allen Teammitgliedern adressatengerecht.]] ---+-- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Konflikt|Sie sprechen Konfliktsituationen an und setzen sich für sachbezogene Lösungen ein.]] ----+- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Reflexion|Sie reflektieren ihre Kommunikation und ihren Umgang mit den Teammitgliedern und leiten Optimierungsmassnahmen für die Zukunft ab.]] -----+ [[Kurs:Kaufleute EFZ/Vorgaben, Vereinbarungen und Termine|Sie setzen in ihren Aufträgen Vorgaben, Vereinbarungen und Termine um und leiten bei Abweichungen zeitgerecht Massnahmen ein.]] </quiz> = Einzelnachweise = <references/> [[Kategorie:Kurs:Kaufleute EFZ/HK B1| ]] pxomh2hj3se8i4v2vl8mbbe77j6a0oo 1118771 1118770 2026-11-03T11:04:17Z Paul Sutermeister 37610 /* Grundlegende Theorien für den gesamten HKB B1 */ 1118771 wikitext text/x-wiki '''In unterschiedlichen Teams zur Bearbeitung kaufmännischer Aufträge zusammenarbeiten und kommunizieren''' ist Handlungskompetenz [[Kurs:Kaufleute EFZ/Interagieren in einem vernetzten Arbeitsumfeld|B]]1 der [[Kurs:Kaufleute EFZ|Ausbildung ''Kaufleute EFZ'']].<ref>[[:w:Staatssekretariat für Bildung, Forschung und Innovation (SBFI)|SBFI]]: ''[https://www.becc.admin.ch/becc/public/bvz/beruf/show/68800 Kauffrau/Kaufmann EFZ (ab Lehrbeginn 2023)]</ref> = Grundlegende Theorien für den gesamten HKB B1 = * [[Kurs:Personal_Skills_(Handelsdiplom_VSH)/Distanz|Distanzzonen (intim, persönlich, sozial, öffentlich)]] * [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Johari|Johari-Fenster (mein Geheimnis usw.)]] * [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Sender-Empfänger-Modell|Sender-Empfänger-Modell (codieren, decodieren…)]] * [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Watzlawick|Watzlawick-Axiome (man kann nicht nicht kommunizieren…)]] * [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Vier-Seiten-Modell|Vier-Seiten-Modell (Beziehungsebene usw.)]] * [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Teambildung|Teamphasen nach Tuckman (Forming, Storming, Norming, Performing)]] * [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Rangdynamik|Rangdynamik (Alpha, Beta, Gamma, Omega)]] = Leistungsziele = <quiz display="simple"> { Ordne die Leistungsziele zu: | typ="()" } | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Situation|B1.1]] | [[Kurs:Kaufleute 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Termine um und leiten bei Abweichungen zeitgerecht Massnahmen ein.]] </quiz> = Einzelnachweise = <references/> [[Kategorie:Kurs:Kaufleute EFZ/HK B1| ]] 9ruda9rdzgb7vlp3ubvxxxnim7rcc07 1118772 1118771 2026-11-03T11:06:43Z Paul Sutermeister 37610 /* Grundlegende Theorien für den gesamten HKB B1 */ 1118772 wikitext text/x-wiki '''In unterschiedlichen Teams zur Bearbeitung kaufmännischer Aufträge zusammenarbeiten und kommunizieren''' ist Handlungskompetenz [[Kurs:Kaufleute EFZ/Interagieren in einem vernetzten Arbeitsumfeld|B]]1 der [[Kurs:Kaufleute EFZ|Ausbildung ''Kaufleute EFZ'']].<ref>[[:w:Staatssekretariat für Bildung, Forschung und Innovation (SBFI)|SBFI]]: ''[https://www.becc.admin.ch/becc/public/bvz/beruf/show/68800 Kauffrau/Kaufmann EFZ (ab Lehrbeginn 2023)]</ref> = Grundlegende Theorien für den gesamten HKB B1 = * [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Maslow|Maslow-Bedürfnispyramide (von Essen/Trinken bis Selbstverwirklichung)]] * [[Kurs:Personal_Skills_(Handelsdiplom_VSH)/Distanz|Distanzzonen (intim, persönlich, sozial, öffentlich)]] * [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Johari|Johari-Fenster (mein Geheimnis usw.)]] * [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Sender-Empfänger-Modell|Sender-Empfänger-Modell (codieren, decodieren…)]] * [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Watzlawick|Watzlawick-Axiome (man kann nicht nicht kommunizieren…)]] * [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Vier-Seiten-Modell|Vier-Seiten-Modell (Beziehungsebene usw.)]] * [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Teambildung|Teamphasen nach Tuckman (Forming, Storming, Norming, Performing)]] * [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Rangdynamik|Rangdynamik (Alpha, Beta, Gamma, Omega)]] = Leistungsziele = <quiz display="simple"> { Ordne die Leistungsziele zu: | typ="()" } | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Situation|B1.1]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Sprache|B1.2]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Adressat|B1.3]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Konflikt|B1.4]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Reflexion|B1.5]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Vorgaben, Vereinbarungen und Termine|B1.6]] +----- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Situation|Sie arbeiten mit allen Teammitgliedern situationsgerecht zusammen.]] -+---- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Sprache|Sie kommunizieren mit allen Teammitgliedern in der regionalen Landessprache, in Englisch oder in einer zweiten Landessprache.]] --+--- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Adressat|Sie kommunizieren mit allen Teammitgliedern adressatengerecht.]] ---+-- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Konflikt|Sie sprechen Konfliktsituationen an und setzen sich für sachbezogene Lösungen ein.]] ----+- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Reflexion|Sie reflektieren ihre Kommunikation und ihren Umgang mit den Teammitgliedern und leiten Optimierungsmassnahmen für die Zukunft ab.]] -----+ [[Kurs:Kaufleute EFZ/Vorgaben, Vereinbarungen und Termine|Sie setzen in ihren Aufträgen Vorgaben, Vereinbarungen und Termine um und leiten bei Abweichungen zeitgerecht Massnahmen ein.]] </quiz> = Einzelnachweise = <references/> [[Kategorie:Kurs:Kaufleute EFZ/HK B1| ]] hss174n5eed2w5vdk4lnroo8ayggk38 1118773 1118772 2026-11-03T11:09:04Z Paul Sutermeister 37610 /* Grundlegende Theorien für den gesamten HKB B1 */ 1118773 wikitext text/x-wiki '''In unterschiedlichen Teams zur Bearbeitung kaufmännischer Aufträge zusammenarbeiten und kommunizieren''' ist Handlungskompetenz [[Kurs:Kaufleute EFZ/Interagieren in einem vernetzten Arbeitsumfeld|B]]1 der [[Kurs:Kaufleute EFZ|Ausbildung ''Kaufleute EFZ'']].<ref>[[:w:Staatssekretariat für Bildung, Forschung und Innovation (SBFI)|SBFI]]: ''[https://www.becc.admin.ch/becc/public/bvz/beruf/show/68800 Kauffrau/Kaufmann EFZ (ab Lehrbeginn 2023)]</ref> = Grundlegende Theorien für den gesamten HKB B1 = * [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Maslow|Maslow-Bedürfnispyramide (von Essen/Trinken bis Selbstverwirklichung)]] * [[Kurs:Personal_Skills_(Handelsdiplom_VSH)/Distanz|Distanzzonen (intim, persönlich, sozial, öffentlich)]] * [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Johari|Johari-Fenster (mein Geheimnis usw.)]] * [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Sender-Empfänger-Modell|Sender-Empfänger-Modell (codieren, decodieren…)]] * [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Watzlawick|Watzlawick-Axiome (man kann nicht nicht kommunizieren…)]] * [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Vier-Seiten-Modell|Vier-Seiten-Modell (Beziehungsebene usw.)]] * [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Teambildung|Teamphasen nach Tuckman (Forming, Storming, Norming, Performing)]] * [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Rangdynamik|Rangdynamik (Alpha, Beta, Gamma, Omega)]] * [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Fragen|Fragetechnik (geschlossene oder offene Fragen usw.)]] = Leistungsziele = <quiz display="simple"> { Ordne die Leistungsziele zu: | typ="()" } | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Situation|B1.1]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Sprache|B1.2]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Adressat|B1.3]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Konflikt|B1.4]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Reflexion|B1.5]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Vorgaben, Vereinbarungen und Termine|B1.6]] +----- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Situation|Sie arbeiten mit allen Teammitgliedern situationsgerecht zusammen.]] -+---- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Sprache|Sie kommunizieren mit allen Teammitgliedern in der regionalen Landessprache, in Englisch oder in einer zweiten Landessprache.]] --+--- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Adressat|Sie kommunizieren mit allen Teammitgliedern adressatengerecht.]] ---+-- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Konflikt|Sie sprechen Konfliktsituationen an und setzen sich für sachbezogene Lösungen ein.]] ----+- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Reflexion|Sie reflektieren ihre Kommunikation und ihren Umgang mit den Teammitgliedern und leiten Optimierungsmassnahmen für die Zukunft ab.]] -----+ [[Kurs:Kaufleute EFZ/Vorgaben, Vereinbarungen und Termine|Sie setzen in ihren Aufträgen Vorgaben, Vereinbarungen und Termine um und leiten bei Abweichungen zeitgerecht Massnahmen ein.]] </quiz> = Einzelnachweise = <references/> [[Kategorie:Kurs:Kaufleute EFZ/HK B1| ]] dh05knulkyz5vob2q4yavf1vstdl167 106 172769 1118725 1118595 2026-11-03T08:53:08Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1118725 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Beispiel|9|9|Kurs=|}} je5rgh80i7y54u2rr2l4i2ui101hdla 106 172771 1118724 1118594 2026-11-03T08:52:58Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1118724 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Lemma|9|8|Kurs=|}} cmpxzma51x7h349p5qoqpqgsl3ysk0j 106 173036 1118729 1115955 2026-11-03T09:36:03Z Paul Sutermeister 37610 1118729 wikitext text/x-wiki __NOTOC__ = Lernquiz: [[:w:Teambildung#Phasenmodell_nach_Tuckman|Teamphasen nach Tuckman]] = Teams funktionieren nicht vom ersten Tag an perfekt. Sie entwickeln sich in typischen Phasen. In diesem Lernquiz erarbeiten Sie das Modell von Bruce Tuckman Schritt für Schritt: von den Grundlagen über die einzelnen Phasen bis zur Anwendung auf konkrete Situationen. '''So gehen Sie vor:''' Lesen Sie zuerst jeweils den kurzen Info-Teil, beantworten Sie dann die Fragen und klicken Sie auf «Antworten absenden». Zu vielen Antworten erhalten Sie eine Rückmeldung. == Stufe 1: Das Modell kennenlernen == {| class="wikitable" style="width:100%" |- | '''Info:''' Der amerikanische Psychologe '''Bruce Tuckman''' beschrieb 1965, dass Gruppen typischerweise vier Phasen durchlaufen: '''Forming, Storming, Norming und Performing'''. 1977 ergänzte er das Modell zusammen mit Mary Ann Jensen um eine fünfte Phase: '''Adjourning''' (Auflösung). Die Phasen folgen meist aufeinander, ein Team kann aber auch in eine frühere Phase zurückfallen, zum Beispiel wenn jemand Neues dazukommt. |} <quiz display=simple> { Wer hat das Modell der Teamphasen entwickelt? | type="()" } - Abraham Maslow || Maslow kennen Sie von der Bedürfnispyramide. + Bruce Tuckman || Richtig! Er veröffentlichte das Modell 1965. - Friedemann Schulz von Thun || Von ihm stammt das Kommunikationsquadrat (Vier-Ohren-Modell). { Wie viele Phasen umfasst das Modell in der erweiterten Fassung von 1977? | type="()" } - 3 - 4 || Das war die ursprüngliche Fassung von 1965. + 5 || Richtig! Adjourning kam 1977 als fünfte Phase dazu. { Welche Aussagen treffen auf das Modell zu? (Mehrere Antworten möglich) | type="[]" } + Teams durchlaufen typischerweise verschiedene Entwicklungsphasen. - Ein gutes Team überspringt die Konfliktphase immer. || Konflikte gehören zur normalen Entwicklung eines Teams. + Ein Team kann in eine frühere Phase zurückfallen. || Zum Beispiel bei neuen Mitgliedern oder einer neuen Aufgabe. - Das Modell gilt nur für Sportmannschaften. || Es gilt für alle Arten von Gruppen: Projektteams, Schulklassen, Abteilungen usw. </quiz> == Stufe 2: Die Reihenfolge == {| class="wikitable" style="width:100%" |- | '''Merkhilfe:''' Die vier ersten Phasen reimen sich auf «-orming»: '''Form – Storm – Norm – Perform'''. Am Schluss folgt '''Adjourning'''. |} <quiz display=simple> { Ordnen Sie jeder Phase die richtige Position zu. | type="[][][][][]" } .1 .2 .3 .4 .5 ---+- Performing -+--- Storming +---- Forming ----+ Adjourning --+-- Norming { Ergänzen Sie die Lücken. | type="{}" } Die erste Phase heisst { Forming|forming _10 }. Nach der Konfliktphase folgt die Phase { Norming|norming _10 }. Die Phase der Auflösung heisst { Adjourning|adjourning _10 }. </quiz> == Stufe 3: Die Phasen im Detail == {| class="wikitable" style="width:100%" ! Phase !! Deutsch !! Was passiert im Team? |- | '''Forming''' || Orientierung, Kennenlernen || Man ist höflich und vorsichtig, beobachtet sich gegenseitig. Ziele und Rollen sind noch unklar. Man orientiert sich stark an der Leitung. |- | '''Storming''' || Konflikt, Machtkampf || Unterschiedliche Meinungen und Arbeitsweisen prallen aufeinander. Es gibt Diskussionen über Rollen, Ziele und Einfluss. Die Stimmung kann angespannt sein. |- | '''Norming''' || Organisation, Regeln || Das Team einigt sich auf Regeln, Rollen und Arbeitsweisen. Ein Wir-Gefühl entsteht, man unterstützt sich gegenseitig. |- | '''Performing''' || Leistung, Arbeit || Das Team arbeitet selbstständig, effizient und zielorientiert. Konflikte werden sachlich gelöst. |- | '''Adjourning''' || Auflösung, Abschied || Die Aufgabe ist erledigt, das Team löst sich auf. Es wird Bilanz gezogen; manchmal herrscht Wehmut. |} <quiz display=simple> { In welcher Phase sind die Teammitglieder höflich, vorsichtig und noch unsicher? | type="()" } + Forming || Richtig! Man lernt sich erst kennen. - Storming - Norming - Performing { In welcher Phase entstehen gemeinsame Regeln und ein Wir-Gefühl? | type="()" } - Forming - Storming || In dieser Phase wird noch um Regeln und Rollen gestritten. + Norming || Richtig! - Adjourning { Welche Merkmale passen zur Storming-Phase? (Mehrere Antworten möglich) | type="[]" } + Diskussionen über Rollen und Zuständigkeiten + Spannungen und Meinungsverschiedenheiten - Das Team arbeitet reibungslos und selbstständig. || Das beschreibt die Performing-Phase. + Einzelne versuchen, ihren Einfluss durchzusetzen. - Das Team zieht Bilanz und verabschiedet sich. || Das passiert in der Adjourning-Phase. { Was kennzeichnet die Performing-Phase? (Mehrere Antworten möglich) | type="[]" } + Hohe Leistung und Zielorientierung + Konflikte werden sachlich und konstruktiv gelöst. - Die Rollen sind noch völlig unklar. || Das ist typisch für Forming. + Das Team braucht wenig Steuerung von aussen. </quiz> == Stufe 4: Aussagen zuordnen == Jetzt wird es etwas anspruchsvoller: Typische Aussagen von Teammitgliedern verraten, in welcher Phase sich ein Team befindet. <quiz display=simple> { Ordnen Sie jede Aussage der passenden Phase zu. | type="[][][][][]" } .Forming .Storming .Norming .Performing .Adjourning -+--- «Warum sollen wir es immer so machen, wie du willst?» +---- «Hallo zusammen, ich bin neu hier. Was ist eigentlich genau unsere Aufgabe?» ---+- «Läuft super – ich übernehme die Auswertung, ihr macht die Präsentation fertig.» --+-- «Schlagen wir doch vor: Jeden Montag ein kurzes Update, und Entscheide treffen wir gemeinsam.» ----+ «Schade, dass das Projekt vorbei ist. Was nehmen wir für das nächste Mal mit?» -+--- «So kann ich nicht arbeiten, die Aufteilung ist total unfair!» --+-- «Ich finde es gut, dass wir uns jetzt besser absprechen.» </quiz> == Stufe 5: Fallbeispiele == Lesen Sie die Situationen genau und bestimmen Sie die Phase. <quiz display=simple> { '''Fall A:''' In einem Lehrbetrieb wird eine neue Projektgruppe für die Organisation des Firmenjubiläums gebildet. Beim ersten Treffen stellen sich alle vor und fragen die Projektleiterin, was genau von ihnen erwartet wird. In welcher Phase ist das Team? | type="()" } + Forming || Richtig! Kennenlernen und Orientierung an der Leitung. - Storming - Norming - Performing { '''Fall B:''' Zwei Wochen später: Sandra möchte das Fest elegant gestalten, Marco will ein lockeres Grillfest. Die Diskussionen werden lauter, und Lea zieht sich zurück. In welcher Phase ist das Team? | type="()" } - Forming + Storming || Richtig! Unterschiedliche Vorstellungen prallen aufeinander. - Norming - Adjourning { '''Fall C:''' Nach einem klärenden Gespräch einigt sich das Team auf einen Kompromiss. Es legt Zuständigkeiten fest und vereinbart, Entscheide gemeinsam zu treffen. In welcher Phase ist das Team? | type="()" } - Storming + Norming || Richtig! Regeln und Rollen werden festgelegt. - Performing - Adjourning { '''Fall D:''' Das Team ist gut eingespielt und arbeitet effizient. Nun kommt ein neues Mitglied dazu, das vieles anders machen möchte. Plötzlich gibt es wieder Diskussionen. Was ist passiert? | type="()" } - Das Team hat versagt und muss aufgelöst werden. || Nein – das ist ein ganz normaler Vorgang. + Das Team ist in eine frühere Phase (Storming) zurückgefallen. || Richtig! Veränderungen in der Zusammensetzung können das Team in frühere Phasen zurückwerfen. - Das Team ist direkt in die Adjourning-Phase gewechselt. </quiz> == Stufe 6: Was braucht das Team? == Je nach Phase braucht ein Team unterschiedliche Unterstützung durch die Leitung oder durch die Teammitglieder selbst. <quiz display=simple> { Was hilft dem Team in der Forming-Phase am meisten? | type="()" } + Klare Ziele, Orientierung und Gelegenheit zum Kennenlernen || Richtig! Das schafft Sicherheit. - Möglichst wenig Kommunikation, damit alle sofort arbeiten - Die Leitung zieht sich komplett zurück. || Dafür ist es noch zu früh – das passt eher zu Performing. { Wie geht man in der Storming-Phase am besten mit Konflikten um? | type="()" } - Konflikte ignorieren, dann verschwinden sie von selbst. || Unausgesprochene Konflikte schwelen weiter und blockieren das Team. + Konflikte offen und sachlich ansprechen, verschiedene Sichtweisen anhören || Richtig! So kann das Team in die Norming-Phase übergehen. - Die lauteste Person entscheiden lassen { Welche Massnahmen passen zur Norming-Phase? (Mehrere Antworten möglich) | type="[]" } + Gemeinsame Regeln schriftlich festhalten + Rollen und Zuständigkeiten klären - Das Team auflösen + Positive Entwicklungen anerkennen </quiz> == Stufe 7: Zusammenfassung == Testen Sie zum Abschluss, ob Sie das ganze Modell im Griff haben. <quiz display=simple> { Ergänzen Sie den Text. | type="{}" } Das Modell der Teamphasen stammt von Bruce { Tuckman|tuckman _8 }. In der ersten Phase, dem { Forming|forming _8 }, lernen sich die Mitglieder kennen. Danach kommt es im { Storming|storming _8 } zu Konflikten. Im { Norming|norming _8 } werden Regeln und Rollen festgelegt. Im { Performing|performing _10 } erbringt das Team seine beste Leistung. Ist die Aufgabe erledigt, löst sich das Team im { Adjourning|adjourning _10 } auf. { Welche Aussage fasst das Modell am besten zusammen? | type="()" } - Ein Team ist von Anfang an leistungsfähig, wenn die Mitglieder gut ausgebildet sind. - Konflikte zeigen, dass ein Team schlecht zusammengesetzt ist. + Teams entwickeln sich in Phasen; Konflikte gehören dazu und sind ein Schritt auf dem Weg zur Leistungsfähigkeit. || Genau! Das ist die Kernaussage von Tuckman. </quiz> = Weiteres Quiz = <quiz display="simple"> { [[:w:Teambildung#Phasenmodell_nach_Tuckman|Wie entwickelt sich ein Team?]] Ordne zu: | typ="[]" } | Forming | Storming | Norming | Performing --+- Kontrakt +--- Kontakt ---+ Kooperation -+-- Konflikt </quiz> <quiz display="simple"> { Wie entwickelt sich ein Team? | type="{}" } Beim { Performing } arbeitet das Team effektiv und produktiv zusammen. Die Mitglieder haben ihre Rollen gefunden, kommunizieren gut miteinander und arbeiten gemeinsam an der Erreichung der Teamziele. Beim { Norming } beginnen die Teammitglieder, sich auf gemeinsame Ziele und Arbeitsweisen zu einigen. Es werden Normen und Regeln für die Zusammenarbeit entwickelt, und Konflikte werden oft gelöst oder zumindest besser verwaltet. Beim { Storming } können Konflikte und Meinungsverschiedenheiten auftreten, da Teammitglieder ihre unterschiedlichen Ansichten und Persönlichkeiten besser verstehen. Es kann zu Machtkämpfen und Unsicherheiten kommen, während das Team versucht, sich zu organisieren. Beim { Forming } kommen die Teammitglieder erstmals zusammen. Sie sind in der Regel höflich, hören einander zu und versuchen, sich kennenzulernen. Die Rollen und Verantwortlichkeiten im Team sind oft noch nicht klar definiert. </quiz> [[Kategorie:Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)]] 3qdqss3qvwbi3g7xdkessiy52fiiu0l 1118740 1118729 2026-11-03T10:05:40Z Paul Sutermeister 37610 /* Stufe 2: Die Reihenfolge */ 1118740 wikitext text/x-wiki __NOTOC__ = Lernquiz: [[:w:Teambildung#Phasenmodell_nach_Tuckman|Teamphasen nach Tuckman]] = Teams funktionieren nicht vom ersten Tag an perfekt. Sie entwickeln sich in typischen Phasen. In diesem Lernquiz erarbeiten Sie das Modell von Bruce Tuckman Schritt für Schritt: von den Grundlagen über die einzelnen Phasen bis zur Anwendung auf konkrete Situationen. '''So gehen Sie vor:''' Lesen Sie zuerst jeweils den kurzen Info-Teil, beantworten Sie dann die Fragen und klicken Sie auf «Antworten absenden». Zu vielen Antworten erhalten Sie eine Rückmeldung. == Stufe 1: Das Modell kennenlernen == {| class="wikitable" style="width:100%" |- | '''Info:''' Der amerikanische Psychologe '''Bruce Tuckman''' beschrieb 1965, dass Gruppen typischerweise vier Phasen durchlaufen: '''Forming, Storming, Norming und Performing'''. 1977 ergänzte er das Modell zusammen mit Mary Ann Jensen um eine fünfte Phase: '''Adjourning''' (Auflösung). Die Phasen folgen meist aufeinander, ein Team kann aber auch in eine frühere Phase zurückfallen, zum Beispiel wenn jemand Neues dazukommt. |} <quiz display=simple> { Wer hat das Modell der Teamphasen entwickelt? | type="()" } - Abraham Maslow || Maslow kennen Sie von der Bedürfnispyramide. + Bruce Tuckman || Richtig! Er veröffentlichte das Modell 1965. - Friedemann Schulz von Thun || Von ihm stammt das Kommunikationsquadrat (Vier-Ohren-Modell). { Wie viele Phasen umfasst das Modell in der erweiterten Fassung von 1977? | type="()" } - 3 - 4 || Das war die ursprüngliche Fassung von 1965. + 5 || Richtig! Adjourning kam 1977 als fünfte Phase dazu. { Welche Aussagen treffen auf das Modell zu? (Mehrere Antworten möglich) | type="[]" } + Teams durchlaufen typischerweise verschiedene Entwicklungsphasen. - Ein gutes Team überspringt die Konfliktphase immer. || Konflikte gehören zur normalen Entwicklung eines Teams. + Ein Team kann in eine frühere Phase zurückfallen. || Zum Beispiel bei neuen Mitgliedern oder einer neuen Aufgabe. - Das Modell gilt nur für Sportmannschaften. || Es gilt für alle Arten von Gruppen: Projektteams, Schulklassen, Abteilungen usw. </quiz> == Stufe 2: Die Reihenfolge == {| class="wikitable" style="width:100%" |- | '''Merkhilfe:''' Die vier ersten Phasen reimen sich auf «-orming»: '''Form – Storm – Norm – Perform'''. Am Schluss folgt '''Adjourning'''. |} <quiz display=simple> { Ordnen Sie jeder Phase die richtige Position zu. | type="[][][][][]" } | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 ---+- Performing -+--- Storming +---- Forming ----+ Adjourning --+-- Norming { Ergänzen Sie die Lücken. | type="{}" } Die erste Phase heisst { Forming|forming _10 }. 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Konflikte werden sachlich gelöst. |- | '''Adjourning''' || Auflösung, Abschied || Die Aufgabe ist erledigt, das Team löst sich auf. Es wird Bilanz gezogen; manchmal herrscht Wehmut. |} <quiz display=simple> { In welcher Phase sind die Teammitglieder höflich, vorsichtig und noch unsicher? | type="()" } + Forming || Richtig! Man lernt sich erst kennen. - Storming - Norming - Performing { In welcher Phase entstehen gemeinsame Regeln und ein Wir-Gefühl? | type="()" } - Forming - Storming || In dieser Phase wird noch um Regeln und Rollen gestritten. + Norming || Richtig! - Adjourning { Welche Merkmale passen zur Storming-Phase? (Mehrere Antworten möglich) | type="[]" } + Diskussionen über Rollen und Zuständigkeiten + Spannungen und Meinungsverschiedenheiten - Das Team arbeitet reibungslos und selbstständig. || Das beschreibt die Performing-Phase. + Einzelne versuchen, ihren Einfluss durchzusetzen. - Das Team zieht Bilanz und verabschiedet sich. || Das passiert in der Adjourning-Phase. { Was kennzeichnet die Performing-Phase? 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Beim { Norming } beginnen die Teammitglieder, sich auf gemeinsame Ziele und Arbeitsweisen zu einigen. Es werden Normen und Regeln für die Zusammenarbeit entwickelt, und Konflikte werden oft gelöst oder zumindest besser verwaltet. Beim { Storming } können Konflikte und Meinungsverschiedenheiten auftreten, da Teammitglieder ihre unterschiedlichen Ansichten und Persönlichkeiten besser verstehen. Es kann zu Machtkämpfen und Unsicherheiten kommen, während das Team versucht, sich zu organisieren. Beim { Forming } kommen die Teammitglieder erstmals zusammen. Sie sind in der Regel höflich, hören einander zu und versuchen, sich kennenzulernen. Die Rollen und Verantwortlichkeiten im Team sind oft noch nicht klar definiert. </quiz> [[Kategorie:Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)]] kbxbmfkhf9o55ggh8hmy2vqrcfbdvb8 106 173190 1118720 1117445 2026-11-03T08:43:16Z Bocardodarapti 2041 1118720 wikitext text/x-wiki {{Deckblatt |Blatt1=5 |von1=19 |bis1=22 |Blatt2=6 |von2=32 |bis2=36 |}} [[Kategorie:Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2026-2027)/Teil I/Hilfsstruktur]] imuojmih1x9zr87db958vawrimv5thl 106 173221 1118702 1118172 2026-11-03T08:13:29Z Bert Niehaus 20843 /* Schritt 4.3.5 - Beispiel Einheitsmatrix */ 1118702 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Auf einer unitalen [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>(A,\mathcal{T}_{\!\!\!\!A})</math> mit Einselement <math>e_{\!\!_A}\in A</math> und Nullvektor <math>0_{\!\!_A}\in A</math> kann man eine [[Polynomalgebra]] <math>(A[t],\mathcal{T}_{\!\!\!\!A[t]})</math> definieren. Ziel dieser Lerneinheit ist es, die Transformation von einem [[polynomiales Nullstellenproblem|polynomialen Nullstellenproblem]] <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math> in eine [[polynomiales Inversenproblem]] <math>p(z)\cdot z^m = e_{\!\!_A}</math> zu untersuchen. === Bemerkung - Polynomalgebra und Auswertung in A === Bei der Betrachtung von Polynomalgebren muss man das Polynom als Vektor <math>q\in A[t]</math> der Polynomalgebra <math>A[t]</math> von der Auswertung des Polynoms an einer Stelle in <math>z\in A</math> unterscheiden. Die Auswertung <math>q(z)</math> eines Polynoms <math>q\in A[t]</math> an der Stelle <math>z\in A</math> ist nämlich ein Element von <math>A</math> und <math>q(z)\in A</math> als endliche Verknüpfungen von wohldefinierten Operationen in dem Algebra <math>A</math> (z.B. <math>a\cdot z^3 = a\cdot z\cdot z\cdot z\in A</math> und für <math>w_1,w_2\in A</math> gilt <math>w_1+w_2\in A</math>). Die Notation <math>q(z)\in A[t]</math> ist daher formal '''nicht korrekt''', sondern für <math>z\in A</math> gilt <math>q(z)\in A</math>. <span id="DefNullstellenProblem"></span> === Definition - Polynomiales Nullstellenproblem === Sei <math>(A,\mathcal{T}_{\!\!\!\!A})</math> eine [[topologische Algebra]] Nullvektor <math> 0_{\!\!_A}\in A</math> und <math>(A[t],\mathcal{T}_{\!\!\!\!A[z]})</math> eine [[Polynomalgebra]] mit Koeffizienten aus <math>A</math> und [[topologischer Raum|Topologie]] <math>\mathcal{T}_{\!\!\!\!A[z]}</math>. Ein polynomiales Nullstellenproblem vom Grad <math>n\in\mathbb{N}</math> ist die Untersuchung der Lösbarkeit bzw. der Lösungen der Gleichung <math>q(z)=\sum_{k=0}^{n} q_k\cdot z^k=0_{\!\!_A}</math> mit <math>q_0\neq 0_{\!\! A}</math>, <math>z\in A</math> und <math>q\in A[t]</math>. ==== Beispiel - Nullstellenproblem ==== In den komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> gibt des [[Fundamentalsatz der Algebra]], der besagt, dass jedes nicht-konstante Polynom <math>q\in \mathbb{C}[t]</math> mindestens eine Nullstelle <math>z_0\in \mathbb{C}</math>, d.h. <math>q(z_0)=0</math>. Die Nullstellen von Polynomen <math>q\in \mathbb{C}[t]</math> mit <math>q(z):=\sum_{k=m}^n q_k\cdot z^k</math> mit <math>m \geq 1</math> kann man zunächst einmal als Produkt eines Polynoms <math>\widetilde{q\,}(t) := \sum_{k=0}^{n-m} q_{k+m}\cdot z^k</math> und <math>z^m</math>. Die Exponent <math>m\in \mathbb{N}</math> kann bei einem nicht-konstanten Polynom <math>q\in \mathbb{C}[t]</math> so gewählt werden, dass <math>\widetilde{q\,}_0=q_{m}\neq 0</math> gilt. In einem solchen Fall ist das Nullstellenproblem direkt lösbar, wobei <math>z_0:=0\in\mathbb{C}</math> eine Nullstelle der Ordnung <math>m</math> ist. <span id="DefInversenProblem"></span> === Definition - Polynomiales Inversenproblem === Sei <math>(A,\mathcal{T}_{\!\!\!\!A})</math> eine unitale [[topologische Algebra]] mit Einselement <math>e_{\!\!_A}\in A</math> des Multiplikation und <math>(A[t],\mathcal{T}_{\!\!\!\!A[z]})</math> eine [[Polynomalgebra]] mit Koeffizienten aus <math>A</math> und [[topologischer Raum|Topologie]] <math>\mathcal{T}_{\!\!\!\!A[t]}</math>. Ein polynomiales Inversenproblem ist die Untersuchung der Lösbarkeit bzw. der Lösungen der Gleichung <math>p(z)\cdot z^m=e_{\!\!_A}</math> mit <math> z\in A</math>, <math>m\in \mathbb{N}_0</math> für ein gegebenes Polynom <math>q\in A[t]</math>. ==== Bemerkung - Transformationsrichtung ==== Jedes [[polynomiales Inversenproblem|polynomiale Inversenproblem]] lässt sich durch Ausmultiplizieren des Terms <math></math> und Subtraktion des neutralen Elementes der Multiplikation in ein [[polynomiales Nullstellenproblem]] transformieren. Die Umkehrung betrachtet das [[Lemma zur Nullstellen-Inversen-Transformation]]. ==== Beispiel - Polynomiale Transformation in ein Inversenproblem ==== Man möchte eine Nullstelle <math>z_0\in \mathbb{C}</math> von dem folgenden Polynom <math>q\in \mathbb{C}[t]</math> bestimmen: :<math> q(z) = 3\cdot z^7 -4\cdot z^4- 10\cdot z^3+9 </math> Das zugehörige [[polynomiales Nullstellenproblem|Nullstellenproblem]] lautet <math>q(z)=0</math> und ein Ersatzpolynom <math>\widetilde{q\,}</math> wird bestimmt, das die gleichen Nullstellen wie <math>q\in \mathbb{C}[t] </math> besitzt. Das Inversenproblem lautet dann: :<math> \widetilde{q\,}(z)\cdot z^3 = 1 \quad \quad \widetilde{q\,}^{(1)}(z) = -\tfrac{3}{9}\cdot z^4 +\tfrac{4}{9}\cdot z^1 + \tfrac{10}{9} </math> Die Potenz <math>m</math> maximiert man in der Regel so, bis <math>\widetilde{q\,}_0 \neq 0</math> gilt. == Lemma zur Nullstellen-Inversen-Transformation == Sei <math>(A,\mathcal{T}_{\!\!\!\!A})</math> eine unitale [[topologische Algebra]] mit Nullvektor <math>0_{\!\!_A}\in A</math>, Einselement <math>e_{\!\!_A}\in A</math> der Multiplikation und <math>(A[t],\mathcal{T}_{\!\!\!\!A[t]})</math> eine [[Polynomalgebra]] mit Koeffizienten aus <math>A</math> und [[topologischer Raum|Topologie]] <math>\mathcal{T}_{\!\!\!\!A[t]}</math>. Sei <math>q(z)=\sum_{k=0}^{n} q_k\cdot z^k=0_{\!\!_A}</math> mit <math>q_0\in \mathcal{G}(A)</math>, <math>z\in A</math> und <math>q\in A[t]</math>, dann lässt sich ein lösbares Nullstellenproblem <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math> in ein Inversenproblem <math> p(z)\cdot z^m = e_{\!\!_A}</math> mit <math>p(z) = \sum_{k=0}^{n-m} \underbrace{-q_0^{-1}\cdot q_{k-m}}_{=p_{k}} \cdot z^k </math> transformieren. == Beweis - Nullstellen-Inversen-Transformation == Aus <math>q_0\in \mathcal{G}(A)</math> folgt unmittelbar <math>q_0\neq 0_{\!\!_A}</math>, da der Nullvektor kein multiplikatives Inverses besitzt. In den nächsten Schritt wird eine Fallunterscheidung vorgenommen. === Schritt 1 - Grad(p) 0 === Wenn der Grad von <math>q</math> eine Konstante mit <math>q_0\neq 0 </math> ist. Ferner bistzt <math>q_0</math> wegen <math>q_0\in \mathcal{G}(A)</math> ein multiplikatives Inverses <math>q_0^{-1}\in A</math> von <math>q_0</math> und es gilt die folgende Gleichung: :<math> q_0\cdot q_0^{-1} = q_0^{-1}\cdot q_0 = e_{\!\!_A} \ \Longrightarrow \ q_0 \neq 0_{\!\!_A} </math> Wegen <math>q_0\in \mathcal{G}(A)</math> ist die Gleichung <math>0_{\!\!_A} \neq q_0 =q(z) = 0_{\!\!_A}</math> ist damit unlösbar und es gibt '''kein lösbares''' Nullstellenproblem <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math>. === Schritt 2 - Normalisierung des Nullstellenproblems === Mit der Existenz eines multiplikativen inversen Elementes <math>q_0^{-1}\in A</math> zu Konstant <math>q_0</math> gilt die Gleichung :<math> q_0\cdot q_0^{-1} = q_0^{-1}\cdot q_0 = e_{\!\!_A} </math> und man kann die Nullstellengleichung mit dem Element <math>-q_0^{-1}\in A</math> multiplizieren. Man erhält dann: :<math> 0_{\!\!_A} = -q_0^{-1}\cdot 0_{\!\!_A} = -q_0^{-1}\cdot q(z) = -\underbrace{q_0^{-1}\cdot q_0}_{=e_{\!\!_A}} + \sum_{k=1}^n -q_0^{-1}\cdot q_k \cdot z^k =: \widetilde{q\,}(z) </math> === Schritt 3 - Addition des neutralen Elements und Distributivegesetz === Man erhält durch Addition des neutralen Elements <math>e_{\!\!_A} </math> die Gleichung: :<math> e_{\!\!_A} = \widetilde{q\,}(z) + e_{\!\!_A} = \sum_{k=1}^n \underbrace{-q_0^{-1}\cdot q_k}_{=\widetilde{q\,}_k} \cdot z^k </math> Per Distributivgesetz kann man mindestens für <math>m=1</math> ein <math>z^m</math> ausklammern und es gilt: :<math> e_{\!\!_A} = \widetilde{q\,}(z) + e_{\!\!_A} = \bigg( \underbrace{\sum_{k=m}^n \underbrace{-q_0^{-1}\cdot q_k}_{=\widetilde{q\,}_k} \cdot z^{k-m} \bigg)}_{=:p(z)} \cdot z^{m} = p(z)\cdot z^{m} </math> === Schritt 4 - Darstellung als Inversenproblem === Insgesamt lässt sich damit jedes lösbare polynomiale Nullstellenproblem <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math> in ein polynomiales Inversenproblem <math>p(z)\cdot z^m = e_{\!\!_A}</math> überführen. === Schritt 5 - Lösungsmenge und Transformation === Im Allgemeinen verändert sich die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}:=\{z\in A\, : \, q(z)=c_0 \}</math> bei einer polynomialen Gleichung <math>q(z)=c_0\in A</math> bei folgenden Operationen nicht: * '''(AddL)''' Addition einer Konstanten <math> c \in A</math> auf beiden Gleichungsseiten mit <math>q(z)+c=c_0+c</math> und * '''(SMultL)''' Multiplikation mit einem Skalar <math>\lambda \in \mathbb{C}\setminus \{0\} </math> mit <math>\lambda\cdot q(z)=\lambda\cdot c_0\in A</math> Die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}:=\{z\in A\, : \, q(z)=c_0 \}</math> kann sich aber bei der Multiplikation mit einem Element <math>c\in A\setminus \{0_{\!\!_A}\}</math> aus der Algebra verändern (siehe Beispiel - [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Nullstellen-Inversen-Transformation#Loesungsmenge|Veränderung der Lösungsmenge]]) ==== Schritt 5.1 - Multiplikation mit invertierbaren Elementen ==== Es bleibt also zu zeigen, dass sich die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}:=\{z\in A\, : \, q(z)=0_{\!\!_A} \}</math> des polynomiale Nullstellenproblem <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math> nicht von der Lösungsmenge <math>\widehat{\mathbb{L}}:=\{z\in A\, : \, p(z)\cdot z^m =e_{\!\!_A} \}</math> des polynomiales Inversenproblem <math>p(z)\cdot z^m = e_{\!\!_A}</math> unterscheidet. ==== Schritt 5.2 - Multiplikation mit invertierbaren Elementen ==== Es gilt immer, dass für beliebige polynomiale Terme aus <math>q(z)=c_0</math> und beliebige <math>c\in A</math> auch <math>c\cdot q(z)=c \cdot c_0</math> gilt. Dies gilt als insbesondere für <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math> und <math>c:=q_0^{-1}</math>. Danach kann mit der Regel ''(AddL)'' aus Schritt 5 das neutrale Element der Multiplkation auf beiden Seiten addieren. Damit folgt aus <math>z\in\mathbb{L}</math>, dass auch <math>z\in \widehat{\mathbb{L}}</math> gilt und man erhält man die folgende Teilmengenbeziehung: :<math> \underbrace{\big\{z\in A\, : \, q(z)=0_{\!\!_A} \big\}}_{=\mathbb{L}} \ \subseteq \ \underbrace{\big\{z\in A\, : \, p(z)\cdot z^m =e_{\!\!_A} \big\}}_{=\widehat{\mathbb{L}}} </math> ==== Schritt 5.3 - Koeffizientendefinition des Polynoms nutzen ==== Sei nun <math>z\in \widehat{\mathbb{L}}</math> mit <math>p(z)\cdot z^m =e_{\!\!_A}</math> beliebig gewählt. Dabei gilt folgende Gleichung: :<math> 0_{\!\!_A} = p(z)\cdot z^m - e_{\!\!_A} =p(z)\cdot z^m -q_0^{-1}\cdot q_0 </math> Dabei ist <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math> das lösbare Nullstellenproblem, deren Koeffizienten für <math>p(z) = \sum_{k=0}^{n-m} \underbrace{-q_0^{-1}\cdot q_{k+m}}_{=p_{k}} \cdot z^k </math> verwendet werden. ==== Schritt 5.4 - Invertierbarkeit der Konstanten nutzen ==== Da <math>q_0\in \mathcal{G}(A)</math> ein multiplikatives Inverses Element besitzt, gilt auch <math>-q_0\in \mathcal{G}(A)</math>. Wählt man nun eine beliebige Lösung <math>z\in \widehat{\mathbb{L}}</math> der der Gleichung <math> 0_{\!\!_A} = p(z)\cdot z^m - e_{\!\!_A} </math>. Durch Multiplikation der Gleichung mit <math>-q_0</math> bleibt <math>z\in \widehat{\mathbb{L}}</math> weiterhin Lösung der Gleichung. ==== Schritt 5.5 - Multiplikation mit invertierbaren Elementen ==== Durch Einsetzen erhält man :<math> -q_0\cdot 0_{\!\!_A} = -q_0\cdot \big( p(z)\cdot z^m - e_{\!\!_A} \big) =-q_0\cdot p(z)\cdot z^m + q_0 </math> und zusammen mit der Definition von <math>p</math> das polynomiale Nullstellenproblem <math>q(z)=0_{\!\!_A} </math>: :<math> -q_0\cdot p(z) \cdot z^m + q_0= \underbrace{\left( \sum_{k=0}^{n-m} \underbrace{-q_0\cdot (-q_0^{-1})\cdot q_{k+m}}_{=q_{k+m}} \cdot z^{k+m} \right) + q_0}_{ = q(z)} </math> ==== Schritt 5.6 - Übereinstimmung der Lösungsmengen ==== Damit gilt auch die umgekehrte Inklusion <math> \mathbb{L} \ \supseteq \ \widehat{\mathbb{L}} </math> und mit Schritt 5.3 zusammen erhält man: :<math> \mathbb{L} \ = \ \widehat{\mathbb{L}} </math> Insgesamt stimmen also die Lösungsmengen für das Nullstellenproblem <math> \mathbb{L} </math> und die Lösungsmenge für das Inversenproblem <math>\widehat{\mathbb{L}}</math> überein. <math>\quad \Box</math> <span id="Loesungsmenge"></span> == Beispiel - Veränderung der Lösungsmenge durch Multiplikation == Das Beispiel behandelt ein Nullstellenproblem <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math> vom Grad 1 und es wird gezeigt, dass sich durch Multiplikation der Gleichung mit einem Element <math>a\in A\setminus \{0_{\!\!_A} \}</math> die Lösungsmenge von <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math> zu <math>a\cdot q(z)=a\cdot 0_{\!\!_A} = 0_{\!\!_A}</math> verändert. === Teilaspekte === Insgesamt werden dabei in einer Algebra <math>A</math> der quadratischen <math>2\times 2</math>-Matrizen * Nullteiler betrachtet, * Lösungsmenge von <math> q(z)= q_1 \cdot z = 0_{\!\!_A} </math> * Lösungsmenge von <math> a \cdot q_1 \cdot z = 0_{\!\!_A} </math> === Verknüfungen in der Algebra === Bzgl. der Algebra <math>A</math> betrachtet man die ''Polynomalgebra'' <math> A[t] </math>, wobei die Polynome <math>p\in A </math> Koeffizienten aus der Algebra der <math> 2 \times 2 </math>-Matrizen über den komplexen Zahlen <math> \mathbb{C} </math> besitzen. Die Addition der Matrizen erfolgt komponentenweise und die Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar <math>\lambda \in \mathbb{C}</math> wird analog zum Vektorraum <math>\mathbb{C}^n</math> komponentweise gestreckt. Die Multiplikation in <math>A</math> ist die Matrixmultiplikation als innere Verknüpfung. Die Multiplikation ist nicht kommutativ. === Matrizenalgebra === Die Algebra <math>A</math> besteht aus quadratischen Matrizen, damit die Matrixmultiplikation eine innere Verknüpfung in der :<math> A = Mat(2\times 2 , \mathbb{C}) = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \mid a,b,c,d \in \mathbb{C} \right\} </math> ==== Addition - Matrixalgebra ==== Die Addition und Multiplikation in <math> A[t] </math> sind wie folgt definiert: :<math> \begin{pmatrix} a_1 & b_1 \\ c_1 & d_1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a_2 & b_2 \\ c_2 & d_2 \end{pmatrix} := \begin{pmatrix} a_1+a_2 & b_1+b_2 \\ c_1+c_2 & d_1+d_2 \end{pmatrix} </math> ==== Multiplikation mit Skalar - Matrixalgebra ==== Multiplikation mit einem Skalar <math> \lambda \in \mathbb{C}</math> erfolgt komponentenweise: :<math> \lambda \cdot \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} := \begin{pmatrix} \lambda \cdot a & \lambda \cdot b \\ \lambda \cdot c & \lambda \cdot d \end{pmatrix} </math> ==== Multiplikation in der Matrixalgebra ==== Matrixmultiplikation ist die innere Verknüpfung der Form: :<math> \begin{array}{rccl} \cdot : & A \times A & \rightarrow & A \\ & \left( \begin{pmatrix} a_1 & b_1 \\ c_1 & d_1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} a_2 & b_2 \\ c_2 & d_2 \end{pmatrix} \right) & \mapsto & \begin{pmatrix} a_1a_2 + b_1c_2 & a_1b_2+b_1d_2 \\ c_1a_2+d_1c_2 & c_1b_2+d_1d_2 \end{pmatrix} \end{array} </math> === Polynomalgebra mit Matrizenal als Koeffizienten === Die Polynomalgebra <math> A[t] </math> besteht aus Polynomen der Form: :<math> q(t) = \sum_{k=0}^n q_k\cdot t^k, \quad \text{mit } q_k \in A </math> Die Multiplikation von Polynomen ist die Cauchy-Multiplikation in der [[Polynomalgebra]], wobei die Verknüfungen mit den Koeffizienten bereits über die Matrizenalgebra definert sind (siehe [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Nullstellen-Inversen-Transformation#Matrizenalgebra|Matrizenalgebra]]) ==== Aufgabe für Studierende ==== Verwenden Sie Ihre Vorwissen aus der Linearen Algebra und dem [[w:de:Satz_von_Cayley-Hamilton|Satz von Caley-Hamilton]]. Erläutern Sie, welche Polynome verwendet werden, bei denen man Matrizen <math>x\in A</math> als Argumente für <math>p(x)</math> verwendet werden (siehe [[w:de:charakteristisches Polynom|charakteristische Polynom]]). Welche Unterschiede bestehen zu der hier verwendeten Polynomalgebra? <span id="BeispielNT"></span> === Schritt 1 - Konstruktion von Nullteilern === In <math> Mat(2\times 2, \mathbb{C}) </math> gibt es '''Nullteiler''', d.h. Matrizen <math> a, q_1 \neq 0_{\!\!_A} </math>, sodass <math> a\cdot q_1 = 0_{\!\!_A} </math>, aber <math> q_1 \neq 0_{\!\!_A} </math>, <math> a \neq 0_{\!\!_A} </math>. In diesem Beispiel wählt man die folgenden Matrizen: :<math> q_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad a = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} </math> === Schritt 2 - Nullteilereigenschaft === Mit der Definition der obigen Matrizen gilt dann mit der Definition der Matrixmultiplikation: :<math> q_1 \cdot a = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = 0_{\!\!_A} </math> Die Nullteilereigenschaft kommutiert in diesem Fall :<math> a \cdot q_1 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = 0_{\!\!_A} </math> Also: <math> q_1 \cdot a = 0_{\!\!_A} </math> und <math> a \cdot q_1 = 0_{\!\!_A} </math>. In diesem Fall '''kommutiert''' die Multiplikation bzgl. [[Nullteiler|Linksnullteiler]] mit seinem "komplementären" [[Nullteiler|Rechtsnullteiler]]. === Schritt 3 - Anzahl komplementärer Nullteiler === Ein komplementärer [[Nullteiler|Rechtsnullteiler]] <math>a</math> zu ein [[Nullteiler|Linksnullteiler]] <math>q_0</math> ist nicht eindeutig bestimmt. :<math> q_1 \cdot b = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 4 & 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = 0_{\!\!_A} </math> Allgemein sind die folgenden Matrizen komplementäre Rechtsnullteiler zu <math>q_1</math>: :<math> b = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ b_1 & b_2 \end{pmatrix} \neq 0_{\!\!_A} </math> === Schritt 2 - Nicht-kommutative Nullteiler === Wählt man nun für die Matrix <math>a\in A</math> eine: :<math> q_1 = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad a = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} </math> ==== Schritt 2.1 - Berechnung der Matrixmultiplikation ==== Berechne Nullteilereigenschaft: :<math> a \cdot q_1 = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = 0_{\!\!_A} </math> Vertauscht man die beiden Faktoren erhält man die folgende Matrix: :<math> q_1 \cdot a = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 6 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \neq 0_A </math> ==== Schritt 2.2 - Nullteilereigenschaft - Faktorentausch ==== Also gilt mit Schritt 2.1, dass <math> a \cdot q_1 = 0_{\!\!_A} </math> erfüllt ist, aber nach Faktorentausch das Produkt <math> q_1 \cdot a \neq 0_{\!\!_A} </math> keine [[Nullteiler|Nullteilereigenschaft]] zeigt. Die [[Nullteiler|Nullteilereigenschaft]] ist nicht notwendigerweise kommutativ. ==== Bemerkung 2.3 - Bezeichnung Nullteiler ==== Die Unterschiede zeigen sich auch in der Bezeichnung, denn in Schritt 2.1 ist <math> q_1 </math> ein '''rechter Nullteiler''' von <math> a </math>, aber <math> a </math> ist '''kein linker Nullteiler''' von <math> q_1 </math>, da <math> q_1 \cdot a \neq 0 </math> gilt. === Schritt 3 - Polynom 1. Grades === Man betrachtet nun eine Nullstellenproblem mit einem einfachen Polynom vom Grad 1. Dieses Beispiel wurde gewählt, damit man die Veränderung der Lösungen bei Multiplikation einer Gleichung mit einem von <math>0_{\!\!_A}</math> verschiedenen Faktor <math>a\in A \subset A[t]</math> zu untersuchen. Dabei wird <math>A \subset A[t]</math> aufgefasst, wobei ein Element <math>a\in A </math> als konstantes Polynom in <math>A[t]</math> aufgefasst wird. ==== Schritt 3.1 - Formulierung des Nullstellenproblems ==== Sei <math> q(t) = q_1 \cdot t \in A[t] </math> ein Polynom vom Grad 1 mit dem Koeffizient <math> q_1 \in A</math> aus das Algebra der <math>2\times 2</math>-Matrizen. Das Nullstellenproblem wird durch die folgende einfache Gleichung formuliert: :<math> q(t)=q_1 \cdot t = 0_{\!\!_A} </math> ==== Schritt 3.2 - Lösungsmenge des Nullstellenproblems ==== Die Lösungsmenge der Gleichung <math> p_1 \cdot t = 0_{\!\!_A} </math> ist nun eine Teilmenge der Matrizenalgebra <math>A</math>, weil man <math> t\in A</math>, die die obige Gleichung lösen. Man wählt nun für die Gleichung die folgende Variablendefinitionen aus Schritt 2.2 : :<math> q_1 = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad \mathbb{L} = \{t\in A \ : \ q_1 \cdot t = 0_{\!\!_A} \} </math> Dabei ist <math>0_{\!\!_A}</math> die quadratische Nullmatrix aus <math>A</math> und auch <math>p_1</math> und <math>t</math> sind ebenfalls quadratische <math>2\times 2</math>-Matrizen. ==== Augabe 3.3 - Lösungsmenge bestimmen ==== Bestimmen Sie die Lösungsmenge des Nullstellenproblems aus Schritt 3.2 mit algebraischen Umformungen: :<math> t = \begin{pmatrix} t_1 & t_2 \\ t_3 & t_4 \end{pmatrix} \in A </math> ==== Schritt 3.4 - Multiplikation des Nullstellenproblems mit Faktor==== Als Faktor wählt man nun die folgende Matrix aus <math>A</math>: :<math> a = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} , \quad \widetilde{\mathbb{L}} = \{t\in A \ : \ a\cdot q_1 \cdot t = a\cdot 0_{\!\!_A} = 0_{\!\!_A} \} </math> === Schritt 4 - Formale Variablen === Die Polynome <math> q_1 \cdot t = 0_{\!\!_A}</math> bzw. <math> a\cdot q_1 \cdot t = a\cdot 0_{\!\!_A}</math> besitzt mit <math>t</math> eigentlich eine formale Variable ist. Das Polynom wird in obigen Beispiel mit <math>t\in A</math> ausgewertet. Möglich ist aber auch, dass die formale Variable mit Skalaren <math>t\in \mathbb{C}</math> ausgewertet wird. Die erfolgt z.B. bei [[Konvexkombination]]en mit <math>t\in [0,1]</math> oder allgemeiner <math>t\in \mathbb{C}</math>, wobei die Koeffizienten <math>p_k</math> des Polynoms wieder <math>2\times 2</math>-Matrizen sind. <math>p(t)\in A</math> ist dann wieder <math>2\times 2</math>-Matrix, die als Linearkombination der Matrizen polynomial berechnet wird. ==== Bemerkung 4.1 - Lösungsmenge ==== Die konkrete Bindung der formalen Variable <math>t</math> bestimmt auch die Grundmenge aus der die Lösungsmenge stammt. In dem hier gewählt Beispiel sucht man nach Matrizen <math>t\in A</math>, die eine Gleichung <math> q(t) = 0_{\!\!_A} </math> zu einer wahren Aussage machen. Damit ist die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}</math> der Gleichung für Polynome <math>q\in A[t] </math> eine Teilmenge von <math>A</math>. ==== Schritt 4.2 - Unterschiede in der Lösungsmenge ==== Aus der reellen und komplexen Analysis ist man gewohnt, Gleichungen mit von 0 verschiedenen Faktoren <math>a\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> zu multiplizieren, da diese Umformung in <math>\mathbb{C}</math> bzw. <math>\mathbb{R}</math> eine Äquivalenzumformung darstellt und damit die Lösungs einer Gleichung nicht verändert. In dem hier gewählten Bespiel ist das '''nicht der Fall''', da <math> q_1 \neq 0_{\!\!_A} </math> zwar nicht der Nullvektor ist, aber algebraisch die [[Nullteiler|Nullteilereigenschaft]] besitzt und damit Lösungsmenge hier verändert. === Schritt 4.3 - Bestimmung der Lösungsmengen === Man betrachtet die beiden folgenden Gleichungen in der Algebra <math> A </math>: * '''(L1)''' <math> q_1 \cdot t = 0_{\!\!_A} </math> für <math> t \in A </math> * '''(L2)''' <math> a \cdot q_1 \cdot t = 0_{\!\!_A} </math> für <math> t \in A </math> mit <math> p_1 </math> und <math> a </math> wie oben gewählt. ==== Schritt 4.3.1 - Lösungsmenge von Gleichung L1 ==== Man setzt zu dem gegebenen <math>q_1</math> die formale Variable <math>t</math> als beliebige <math>2\times 2</math>-Matrix mit den Einträgen <math>t_1,t_2,t_3,t_4\in \mathbb{C}</math>: :<math> q_1 = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad t = \begin{pmatrix} t_1 & t_2 \\ t_3 & t_4 \end{pmatrix} \in A </math> Dann liefert das Matrixprodukt mit <math>t\in A</math>: :<math> q_1 \cdot t = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} t_1 & t_2 \\ t_3 & t_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} t_1 & t_2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = 0_{\!\!_A} </math> ==== Schritt 4.3.2 - Nullteilereigenschaft für L1 ==== Damit das Matrixprodukt aus Schritt 4.3.1 die Nullmatrix <math> 0_{\!\!_A} </math> ergibt, muss <math>t_1=0</math> und <math>t_2=0</math> erfüllt sein. Damit besteht die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}_1</math> aus rechten komplementären [[Nullteiler|Nullteilern]] zu <math>q_1</math> und der und zumindest für eine der beiden Variable Nullmatrix <math> 0_{\!\!_A} </math>. Damit ist <math>\mathbb{L}</math> wie folgt definiert: :<math>\mathbb{L} := \left\{ \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ t_3 & t_4 \end{pmatrix} \ : \ t_1,t_2\in \mathbb{C} \right\} =\{ t\in A \ : \ q_1 \cdot t = 0_{\!\!_A} \} </math> ==== Schritt 4.3.3 - Lösungsmenge von Gleichung L2 ==== Man betrachtet nun die folgende Gleichung (L2) <math> a \cdot q_1 \cdot t = 0_{\!\!_A} </math> und sucht nach Lösungen <math> t \in A </math>, die die Gleichung <math> a\cdot (q_1 \cdot t) = a\cdot 0_{\!\!_A} = 0_{\!\!_A} </math> zu einer wahren Aussage machen. Dabei setzt man: :<math> a:=\begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \neq 0_{\!\!_A} </math> ==== Schritt 4.3.4 - Nullteilereigenschaft und Assoziativität bzgl L2 ==== Nach der Nullteilereigenschaft bzgl. <math>q_1</math> und <math>a</math> (siehe Schritt 3) gilt mit der Assoziativität der Multiplikation in der topologischen Algebra folgende Gleichung: :<math> a\cdot (q_1 \cdot t) = \underbrace{(a\cdot q_1)}_{= 0_{\!\!_A} } \cdot t = 0_{\!\!_A} \cdot t = 0_{\!\!_A} </math> Diese Gleichung ist im Gegensatz zur Gleichung <math>q_1 \cdot t = 0_{\!\!_A} </math> für alle Matrizen <math>t\in A</math> lösbar und die Lösungsmenge <math>\widehat{\mathbb{L}} = A \neq \mathbb{L}</math>. Die Lösungsmenge der Gleichung <math> q_1 \cdot t = 0_{\!\!_A} </math> und <math> a \cdot q_1 \cdot t = 0_{\!\!_A} </math> stimmen also nicht überein. ==== Schritt 4.3.5 - Beispiel Einheitsmatrix ==== An einem Gegenbeispiel <math>t=e\in A</math>, nämlich der Einheitsmatrix aus <math>A</math>, kann man direkt sehen, dass die Lösungsmengen <math>\widehat{\mathbb{L}}</math> und <math>\mathbb{L}</math> verschieden sind, denn es gilt: :<math> e = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \quad \quad q_1 \cdot t = q_1 \neq 0_{\!\!_A} </math> und damit gilt <math>e\notin \mathbb{L}</math>. Aber <math>e\in \widehat{\mathbb{L}}</math> liegt in der zweiten Lösungsmenge mit :<math> a\cdot (q_1 \cdot e) = \underbrace{(a\cdot q_1)}_{= 0_{\!\!_A}} \cdot e = 0_{\!\!_A} \cdot e = 0_{\!\!_A} </math> === Schritt 4.4 - Lösungsmengen === Insgesamt wurde gezeigt, dass sich die Lösungsmengen bei der Multiplikation mit einem Element <math>a\neq 0_{\!\!_A}</math> die Lösungsmenge einer Gleichung verändern können. Ist <math>a</math> allerdings invertierbar, dann kann man (wie im obigen Lemma verwendet) Gleichung mit <math>a</math> multiplizieren, ohne dass sich die Lösungsmenge verändert. == Anwendungsbeispiele == In den reellen und komplexen Zahlen lassen sich mit der Aussage des Lemmas alle lösbaren polynomialen Nullstellenprobleme <math>q(z)=0</math> mit <math>q_0\neq 0</math> in ein polynomiales Inversenproblem <math>p(z)\cdot z^m = 1</math> überführen. Dies liegt an der Eigenschaft, dass <math>(\mathbb{R}\!\setminus \!\{0\},\cdot)</math> bzw. <math>(\mathbb{C}\!\setminus \!\{0\},\cdot)</math> eine multiplikative Gruppe <math>q_0\neq 0</math> ist und damit <math>q_0\in \mathcal{G}(\mathbb{R})</math> bzw. <math>q_0\in \mathcal{G}(\mathbb{C})</math> erfüllt ist. == Siehe auch == * [[Konvexkombination]] * [[Nullteiler]] * [[topologische Algebra]] * [[Topologischer Raum]] fut7p3iwilwtinh1lcj3x2fxn6pjacm 1118703 1118702 2026-11-03T08:14:27Z Bert Niehaus 20843 /* Schritt 4.3.4 - Nullteilereigenschaft und Assoziativität bzgl L2 */ 1118703 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Auf einer unitalen [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>(A,\mathcal{T}_{\!\!\!\!A})</math> mit Einselement <math>e_{\!\!_A}\in A</math> und Nullvektor <math>0_{\!\!_A}\in A</math> kann man eine [[Polynomalgebra]] <math>(A[t],\mathcal{T}_{\!\!\!\!A[t]})</math> definieren. Ziel dieser Lerneinheit ist es, die Transformation von einem [[polynomiales Nullstellenproblem|polynomialen Nullstellenproblem]] <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math> in eine [[polynomiales Inversenproblem]] <math>p(z)\cdot z^m = e_{\!\!_A}</math> zu untersuchen. === Bemerkung - Polynomalgebra und Auswertung in A === Bei der Betrachtung von Polynomalgebren muss man das Polynom als Vektor <math>q\in A[t]</math> der Polynomalgebra <math>A[t]</math> von der Auswertung des Polynoms an einer Stelle in <math>z\in A</math> unterscheiden. Die Auswertung <math>q(z)</math> eines Polynoms <math>q\in A[t]</math> an der Stelle <math>z\in A</math> ist nämlich ein Element von <math>A</math> und <math>q(z)\in A</math> als endliche Verknüpfungen von wohldefinierten Operationen in dem Algebra <math>A</math> (z.B. <math>a\cdot z^3 = a\cdot z\cdot z\cdot z\in A</math> und für <math>w_1,w_2\in A</math> gilt <math>w_1+w_2\in A</math>). Die Notation <math>q(z)\in A[t]</math> ist daher formal '''nicht korrekt''', sondern für <math>z\in A</math> gilt <math>q(z)\in A</math>. <span id="DefNullstellenProblem"></span> === Definition - Polynomiales Nullstellenproblem === Sei <math>(A,\mathcal{T}_{\!\!\!\!A})</math> eine [[topologische Algebra]] Nullvektor <math> 0_{\!\!_A}\in A</math> und <math>(A[t],\mathcal{T}_{\!\!\!\!A[z]})</math> eine [[Polynomalgebra]] mit Koeffizienten aus <math>A</math> und [[topologischer Raum|Topologie]] <math>\mathcal{T}_{\!\!\!\!A[z]}</math>. Ein polynomiales Nullstellenproblem vom Grad <math>n\in\mathbb{N}</math> ist die Untersuchung der Lösbarkeit bzw. der Lösungen der Gleichung <math>q(z)=\sum_{k=0}^{n} q_k\cdot z^k=0_{\!\!_A}</math> mit <math>q_0\neq 0_{\!\! A}</math>, <math>z\in A</math> und <math>q\in A[t]</math>. ==== Beispiel - Nullstellenproblem ==== In den komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> gibt des [[Fundamentalsatz der Algebra]], der besagt, dass jedes nicht-konstante Polynom <math>q\in \mathbb{C}[t]</math> mindestens eine Nullstelle <math>z_0\in \mathbb{C}</math>, d.h. <math>q(z_0)=0</math>. Die Nullstellen von Polynomen <math>q\in \mathbb{C}[t]</math> mit <math>q(z):=\sum_{k=m}^n q_k\cdot z^k</math> mit <math>m \geq 1</math> kann man zunächst einmal als Produkt eines Polynoms <math>\widetilde{q\,}(t) := \sum_{k=0}^{n-m} q_{k+m}\cdot z^k</math> und <math>z^m</math>. Die Exponent <math>m\in \mathbb{N}</math> kann bei einem nicht-konstanten Polynom <math>q\in \mathbb{C}[t]</math> so gewählt werden, dass <math>\widetilde{q\,}_0=q_{m}\neq 0</math> gilt. In einem solchen Fall ist das Nullstellenproblem direkt lösbar, wobei <math>z_0:=0\in\mathbb{C}</math> eine Nullstelle der Ordnung <math>m</math> ist. <span id="DefInversenProblem"></span> === Definition - Polynomiales Inversenproblem === Sei <math>(A,\mathcal{T}_{\!\!\!\!A})</math> eine unitale [[topologische Algebra]] mit Einselement <math>e_{\!\!_A}\in A</math> des Multiplikation und <math>(A[t],\mathcal{T}_{\!\!\!\!A[z]})</math> eine [[Polynomalgebra]] mit Koeffizienten aus <math>A</math> und [[topologischer Raum|Topologie]] <math>\mathcal{T}_{\!\!\!\!A[t]}</math>. Ein polynomiales Inversenproblem ist die Untersuchung der Lösbarkeit bzw. der Lösungen der Gleichung <math>p(z)\cdot z^m=e_{\!\!_A}</math> mit <math> z\in A</math>, <math>m\in \mathbb{N}_0</math> für ein gegebenes Polynom <math>q\in A[t]</math>. ==== Bemerkung - Transformationsrichtung ==== Jedes [[polynomiales Inversenproblem|polynomiale Inversenproblem]] lässt sich durch Ausmultiplizieren des Terms <math></math> und Subtraktion des neutralen Elementes der Multiplikation in ein [[polynomiales Nullstellenproblem]] transformieren. Die Umkehrung betrachtet das [[Lemma zur Nullstellen-Inversen-Transformation]]. ==== Beispiel - Polynomiale Transformation in ein Inversenproblem ==== Man möchte eine Nullstelle <math>z_0\in \mathbb{C}</math> von dem folgenden Polynom <math>q\in \mathbb{C}[t]</math> bestimmen: :<math> q(z) = 3\cdot z^7 -4\cdot z^4- 10\cdot z^3+9 </math> Das zugehörige [[polynomiales Nullstellenproblem|Nullstellenproblem]] lautet <math>q(z)=0</math> und ein Ersatzpolynom <math>\widetilde{q\,}</math> wird bestimmt, das die gleichen Nullstellen wie <math>q\in \mathbb{C}[t] </math> besitzt. Das Inversenproblem lautet dann: :<math> \widetilde{q\,}(z)\cdot z^3 = 1 \quad \quad \widetilde{q\,}^{(1)}(z) = -\tfrac{3}{9}\cdot z^4 +\tfrac{4}{9}\cdot z^1 + \tfrac{10}{9} </math> Die Potenz <math>m</math> maximiert man in der Regel so, bis <math>\widetilde{q\,}_0 \neq 0</math> gilt. == Lemma zur Nullstellen-Inversen-Transformation == Sei <math>(A,\mathcal{T}_{\!\!\!\!A})</math> eine unitale [[topologische Algebra]] mit Nullvektor <math>0_{\!\!_A}\in A</math>, Einselement <math>e_{\!\!_A}\in A</math> der Multiplikation und <math>(A[t],\mathcal{T}_{\!\!\!\!A[t]})</math> eine [[Polynomalgebra]] mit Koeffizienten aus <math>A</math> und [[topologischer Raum|Topologie]] <math>\mathcal{T}_{\!\!\!\!A[t]}</math>. Sei <math>q(z)=\sum_{k=0}^{n} q_k\cdot z^k=0_{\!\!_A}</math> mit <math>q_0\in \mathcal{G}(A)</math>, <math>z\in A</math> und <math>q\in A[t]</math>, dann lässt sich ein lösbares Nullstellenproblem <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math> in ein Inversenproblem <math> p(z)\cdot z^m = e_{\!\!_A}</math> mit <math>p(z) = \sum_{k=0}^{n-m} \underbrace{-q_0^{-1}\cdot q_{k-m}}_{=p_{k}} \cdot z^k </math> transformieren. == Beweis - Nullstellen-Inversen-Transformation == Aus <math>q_0\in \mathcal{G}(A)</math> folgt unmittelbar <math>q_0\neq 0_{\!\!_A}</math>, da der Nullvektor kein multiplikatives Inverses besitzt. In den nächsten Schritt wird eine Fallunterscheidung vorgenommen. === Schritt 1 - Grad(p) 0 === Wenn der Grad von <math>q</math> eine Konstante mit <math>q_0\neq 0 </math> ist. Ferner bistzt <math>q_0</math> wegen <math>q_0\in \mathcal{G}(A)</math> ein multiplikatives Inverses <math>q_0^{-1}\in A</math> von <math>q_0</math> und es gilt die folgende Gleichung: :<math> q_0\cdot q_0^{-1} = q_0^{-1}\cdot q_0 = e_{\!\!_A} \ \Longrightarrow \ q_0 \neq 0_{\!\!_A} </math> Wegen <math>q_0\in \mathcal{G}(A)</math> ist die Gleichung <math>0_{\!\!_A} \neq q_0 =q(z) = 0_{\!\!_A}</math> ist damit unlösbar und es gibt '''kein lösbares''' Nullstellenproblem <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math>. === Schritt 2 - Normalisierung des Nullstellenproblems === Mit der Existenz eines multiplikativen inversen Elementes <math>q_0^{-1}\in A</math> zu Konstant <math>q_0</math> gilt die Gleichung :<math> q_0\cdot q_0^{-1} = q_0^{-1}\cdot q_0 = e_{\!\!_A} </math> und man kann die Nullstellengleichung mit dem Element <math>-q_0^{-1}\in A</math> multiplizieren. Man erhält dann: :<math> 0_{\!\!_A} = -q_0^{-1}\cdot 0_{\!\!_A} = -q_0^{-1}\cdot q(z) = -\underbrace{q_0^{-1}\cdot q_0}_{=e_{\!\!_A}} + \sum_{k=1}^n -q_0^{-1}\cdot q_k \cdot z^k =: \widetilde{q\,}(z) </math> === Schritt 3 - Addition des neutralen Elements und Distributivegesetz === Man erhält durch Addition des neutralen Elements <math>e_{\!\!_A} </math> die Gleichung: :<math> e_{\!\!_A} = \widetilde{q\,}(z) + e_{\!\!_A} = \sum_{k=1}^n \underbrace{-q_0^{-1}\cdot q_k}_{=\widetilde{q\,}_k} \cdot z^k </math> Per Distributivgesetz kann man mindestens für <math>m=1</math> ein <math>z^m</math> ausklammern und es gilt: :<math> e_{\!\!_A} = \widetilde{q\,}(z) + e_{\!\!_A} = \bigg( \underbrace{\sum_{k=m}^n \underbrace{-q_0^{-1}\cdot q_k}_{=\widetilde{q\,}_k} \cdot z^{k-m} \bigg)}_{=:p(z)} \cdot z^{m} = p(z)\cdot z^{m} </math> === Schritt 4 - Darstellung als Inversenproblem === Insgesamt lässt sich damit jedes lösbare polynomiale Nullstellenproblem <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math> in ein polynomiales Inversenproblem <math>p(z)\cdot z^m = e_{\!\!_A}</math> überführen. === Schritt 5 - Lösungsmenge und Transformation === Im Allgemeinen verändert sich die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}:=\{z\in A\, : \, q(z)=c_0 \}</math> bei einer polynomialen Gleichung <math>q(z)=c_0\in A</math> bei folgenden Operationen nicht: * '''(AddL)''' Addition einer Konstanten <math> c \in A</math> auf beiden Gleichungsseiten mit <math>q(z)+c=c_0+c</math> und * '''(SMultL)''' Multiplikation mit einem Skalar <math>\lambda \in \mathbb{C}\setminus \{0\} </math> mit <math>\lambda\cdot q(z)=\lambda\cdot c_0\in A</math> Die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}:=\{z\in A\, : \, q(z)=c_0 \}</math> kann sich aber bei der Multiplikation mit einem Element <math>c\in A\setminus \{0_{\!\!_A}\}</math> aus der Algebra verändern (siehe Beispiel - [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Nullstellen-Inversen-Transformation#Loesungsmenge|Veränderung der Lösungsmenge]]) ==== Schritt 5.1 - Multiplikation mit invertierbaren Elementen ==== Es bleibt also zu zeigen, dass sich die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}:=\{z\in A\, : \, q(z)=0_{\!\!_A} \}</math> des polynomiale Nullstellenproblem <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math> nicht von der Lösungsmenge <math>\widehat{\mathbb{L}}:=\{z\in A\, : \, p(z)\cdot z^m =e_{\!\!_A} \}</math> des polynomiales Inversenproblem <math>p(z)\cdot z^m = e_{\!\!_A}</math> unterscheidet. ==== Schritt 5.2 - Multiplikation mit invertierbaren Elementen ==== Es gilt immer, dass für beliebige polynomiale Terme aus <math>q(z)=c_0</math> und beliebige <math>c\in A</math> auch <math>c\cdot q(z)=c \cdot c_0</math> gilt. Dies gilt als insbesondere für <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math> und <math>c:=q_0^{-1}</math>. Danach kann mit der Regel ''(AddL)'' aus Schritt 5 das neutrale Element der Multiplkation auf beiden Seiten addieren. Damit folgt aus <math>z\in\mathbb{L}</math>, dass auch <math>z\in \widehat{\mathbb{L}}</math> gilt und man erhält man die folgende Teilmengenbeziehung: :<math> \underbrace{\big\{z\in A\, : \, q(z)=0_{\!\!_A} \big\}}_{=\mathbb{L}} \ \subseteq \ \underbrace{\big\{z\in A\, : \, p(z)\cdot z^m =e_{\!\!_A} \big\}}_{=\widehat{\mathbb{L}}} </math> ==== Schritt 5.3 - Koeffizientendefinition des Polynoms nutzen ==== Sei nun <math>z\in \widehat{\mathbb{L}}</math> mit <math>p(z)\cdot z^m =e_{\!\!_A}</math> beliebig gewählt. Dabei gilt folgende Gleichung: :<math> 0_{\!\!_A} = p(z)\cdot z^m - e_{\!\!_A} =p(z)\cdot z^m -q_0^{-1}\cdot q_0 </math> Dabei ist <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math> das lösbare Nullstellenproblem, deren Koeffizienten für <math>p(z) = \sum_{k=0}^{n-m} \underbrace{-q_0^{-1}\cdot q_{k+m}}_{=p_{k}} \cdot z^k </math> verwendet werden. ==== Schritt 5.4 - Invertierbarkeit der Konstanten nutzen ==== Da <math>q_0\in \mathcal{G}(A)</math> ein multiplikatives Inverses Element besitzt, gilt auch <math>-q_0\in \mathcal{G}(A)</math>. Wählt man nun eine beliebige Lösung <math>z\in \widehat{\mathbb{L}}</math> der der Gleichung <math> 0_{\!\!_A} = p(z)\cdot z^m - e_{\!\!_A} </math>. Durch Multiplikation der Gleichung mit <math>-q_0</math> bleibt <math>z\in \widehat{\mathbb{L}}</math> weiterhin Lösung der Gleichung. ==== Schritt 5.5 - Multiplikation mit invertierbaren Elementen ==== Durch Einsetzen erhält man :<math> -q_0\cdot 0_{\!\!_A} = -q_0\cdot \big( p(z)\cdot z^m - e_{\!\!_A} \big) =-q_0\cdot p(z)\cdot z^m + q_0 </math> und zusammen mit der Definition von <math>p</math> das polynomiale Nullstellenproblem <math>q(z)=0_{\!\!_A} </math>: :<math> -q_0\cdot p(z) \cdot z^m + q_0= \underbrace{\left( \sum_{k=0}^{n-m} \underbrace{-q_0\cdot (-q_0^{-1})\cdot q_{k+m}}_{=q_{k+m}} \cdot z^{k+m} \right) + q_0}_{ = q(z)} </math> ==== Schritt 5.6 - Übereinstimmung der Lösungsmengen ==== Damit gilt auch die umgekehrte Inklusion <math> \mathbb{L} \ \supseteq \ \widehat{\mathbb{L}} </math> und mit Schritt 5.3 zusammen erhält man: :<math> \mathbb{L} \ = \ \widehat{\mathbb{L}} </math> Insgesamt stimmen also die Lösungsmengen für das Nullstellenproblem <math> \mathbb{L} </math> und die Lösungsmenge für das Inversenproblem <math>\widehat{\mathbb{L}}</math> überein. <math>\quad \Box</math> <span id="Loesungsmenge"></span> == Beispiel - Veränderung der Lösungsmenge durch Multiplikation == Das Beispiel behandelt ein Nullstellenproblem <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math> vom Grad 1 und es wird gezeigt, dass sich durch Multiplikation der Gleichung mit einem Element <math>a\in A\setminus \{0_{\!\!_A} \}</math> die Lösungsmenge von <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math> zu <math>a\cdot q(z)=a\cdot 0_{\!\!_A} = 0_{\!\!_A}</math> verändert. === Teilaspekte === Insgesamt werden dabei in einer Algebra <math>A</math> der quadratischen <math>2\times 2</math>-Matrizen * Nullteiler betrachtet, * Lösungsmenge von <math> q(z)= q_1 \cdot z = 0_{\!\!_A} </math> * Lösungsmenge von <math> a \cdot q_1 \cdot z = 0_{\!\!_A} </math> === Verknüfungen in der Algebra === Bzgl. der Algebra <math>A</math> betrachtet man die ''Polynomalgebra'' <math> A[t] </math>, wobei die Polynome <math>p\in A </math> Koeffizienten aus der Algebra der <math> 2 \times 2 </math>-Matrizen über den komplexen Zahlen <math> \mathbb{C} </math> besitzen. Die Addition der Matrizen erfolgt komponentenweise und die Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar <math>\lambda \in \mathbb{C}</math> wird analog zum Vektorraum <math>\mathbb{C}^n</math> komponentweise gestreckt. Die Multiplikation in <math>A</math> ist die Matrixmultiplikation als innere Verknüpfung. Die Multiplikation ist nicht kommutativ. === Matrizenalgebra === Die Algebra <math>A</math> besteht aus quadratischen Matrizen, damit die Matrixmultiplikation eine innere Verknüpfung in der :<math> A = Mat(2\times 2 , \mathbb{C}) = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \mid a,b,c,d \in \mathbb{C} \right\} </math> ==== Addition - Matrixalgebra ==== Die Addition und Multiplikation in <math> A[t] </math> sind wie folgt definiert: :<math> \begin{pmatrix} a_1 & b_1 \\ c_1 & d_1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a_2 & b_2 \\ c_2 & d_2 \end{pmatrix} := \begin{pmatrix} a_1+a_2 & b_1+b_2 \\ c_1+c_2 & d_1+d_2 \end{pmatrix} </math> ==== Multiplikation mit Skalar - Matrixalgebra ==== Multiplikation mit einem Skalar <math> \lambda \in \mathbb{C}</math> erfolgt komponentenweise: :<math> \lambda \cdot \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} := \begin{pmatrix} \lambda \cdot a & \lambda \cdot b \\ \lambda \cdot c & \lambda \cdot d \end{pmatrix} </math> ==== Multiplikation in der Matrixalgebra ==== Matrixmultiplikation ist die innere Verknüpfung der Form: :<math> \begin{array}{rccl} \cdot : & A \times A & \rightarrow & A \\ & \left( \begin{pmatrix} a_1 & b_1 \\ c_1 & d_1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} a_2 & b_2 \\ c_2 & d_2 \end{pmatrix} \right) & \mapsto & \begin{pmatrix} a_1a_2 + b_1c_2 & a_1b_2+b_1d_2 \\ c_1a_2+d_1c_2 & c_1b_2+d_1d_2 \end{pmatrix} \end{array} </math> === Polynomalgebra mit Matrizenal als Koeffizienten === Die Polynomalgebra <math> A[t] </math> besteht aus Polynomen der Form: :<math> q(t) = \sum_{k=0}^n q_k\cdot t^k, \quad \text{mit } q_k \in A </math> Die Multiplikation von Polynomen ist die Cauchy-Multiplikation in der [[Polynomalgebra]], wobei die Verknüfungen mit den Koeffizienten bereits über die Matrizenalgebra definert sind (siehe [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Nullstellen-Inversen-Transformation#Matrizenalgebra|Matrizenalgebra]]) ==== Aufgabe für Studierende ==== Verwenden Sie Ihre Vorwissen aus der Linearen Algebra und dem [[w:de:Satz_von_Cayley-Hamilton|Satz von Caley-Hamilton]]. Erläutern Sie, welche Polynome verwendet werden, bei denen man Matrizen <math>x\in A</math> als Argumente für <math>p(x)</math> verwendet werden (siehe [[w:de:charakteristisches Polynom|charakteristische Polynom]]). Welche Unterschiede bestehen zu der hier verwendeten Polynomalgebra? <span id="BeispielNT"></span> === Schritt 1 - Konstruktion von Nullteilern === In <math> Mat(2\times 2, \mathbb{C}) </math> gibt es '''Nullteiler''', d.h. Matrizen <math> a, q_1 \neq 0_{\!\!_A} </math>, sodass <math> a\cdot q_1 = 0_{\!\!_A} </math>, aber <math> q_1 \neq 0_{\!\!_A} </math>, <math> a \neq 0_{\!\!_A} </math>. In diesem Beispiel wählt man die folgenden Matrizen: :<math> q_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad a = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} </math> === Schritt 2 - Nullteilereigenschaft === Mit der Definition der obigen Matrizen gilt dann mit der Definition der Matrixmultiplikation: :<math> q_1 \cdot a = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = 0_{\!\!_A} </math> Die Nullteilereigenschaft kommutiert in diesem Fall :<math> a \cdot q_1 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = 0_{\!\!_A} </math> Also: <math> q_1 \cdot a = 0_{\!\!_A} </math> und <math> a \cdot q_1 = 0_{\!\!_A} </math>. In diesem Fall '''kommutiert''' die Multiplikation bzgl. [[Nullteiler|Linksnullteiler]] mit seinem "komplementären" [[Nullteiler|Rechtsnullteiler]]. === Schritt 3 - Anzahl komplementärer Nullteiler === Ein komplementärer [[Nullteiler|Rechtsnullteiler]] <math>a</math> zu ein [[Nullteiler|Linksnullteiler]] <math>q_0</math> ist nicht eindeutig bestimmt. :<math> q_1 \cdot b = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 4 & 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = 0_{\!\!_A} </math> Allgemein sind die folgenden Matrizen komplementäre Rechtsnullteiler zu <math>q_1</math>: :<math> b = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ b_1 & b_2 \end{pmatrix} \neq 0_{\!\!_A} </math> === Schritt 2 - Nicht-kommutative Nullteiler === Wählt man nun für die Matrix <math>a\in A</math> eine: :<math> q_1 = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad a = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} </math> ==== Schritt 2.1 - Berechnung der Matrixmultiplikation ==== Berechne Nullteilereigenschaft: :<math> a \cdot q_1 = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = 0_{\!\!_A} </math> Vertauscht man die beiden Faktoren erhält man die folgende Matrix: :<math> q_1 \cdot a = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 6 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \neq 0_A </math> ==== Schritt 2.2 - Nullteilereigenschaft - Faktorentausch ==== Also gilt mit Schritt 2.1, dass <math> a \cdot q_1 = 0_{\!\!_A} </math> erfüllt ist, aber nach Faktorentausch das Produkt <math> q_1 \cdot a \neq 0_{\!\!_A} </math> keine [[Nullteiler|Nullteilereigenschaft]] zeigt. Die [[Nullteiler|Nullteilereigenschaft]] ist nicht notwendigerweise kommutativ. ==== Bemerkung 2.3 - Bezeichnung Nullteiler ==== Die Unterschiede zeigen sich auch in der Bezeichnung, denn in Schritt 2.1 ist <math> q_1 </math> ein '''rechter Nullteiler''' von <math> a </math>, aber <math> a </math> ist '''kein linker Nullteiler''' von <math> q_1 </math>, da <math> q_1 \cdot a \neq 0 </math> gilt. === Schritt 3 - Polynom 1. Grades === Man betrachtet nun eine Nullstellenproblem mit einem einfachen Polynom vom Grad 1. Dieses Beispiel wurde gewählt, damit man die Veränderung der Lösungen bei Multiplikation einer Gleichung mit einem von <math>0_{\!\!_A}</math> verschiedenen Faktor <math>a\in A \subset A[t]</math> zu untersuchen. Dabei wird <math>A \subset A[t]</math> aufgefasst, wobei ein Element <math>a\in A </math> als konstantes Polynom in <math>A[t]</math> aufgefasst wird. ==== Schritt 3.1 - Formulierung des Nullstellenproblems ==== Sei <math> q(t) = q_1 \cdot t \in A[t] </math> ein Polynom vom Grad 1 mit dem Koeffizient <math> q_1 \in A</math> aus das Algebra der <math>2\times 2</math>-Matrizen. Das Nullstellenproblem wird durch die folgende einfache Gleichung formuliert: :<math> q(t)=q_1 \cdot t = 0_{\!\!_A} </math> ==== Schritt 3.2 - Lösungsmenge des Nullstellenproblems ==== Die Lösungsmenge der Gleichung <math> p_1 \cdot t = 0_{\!\!_A} </math> ist nun eine Teilmenge der Matrizenalgebra <math>A</math>, weil man <math> t\in A</math>, die die obige Gleichung lösen. Man wählt nun für die Gleichung die folgende Variablendefinitionen aus Schritt 2.2 : :<math> q_1 = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad \mathbb{L} = \{t\in A \ : \ q_1 \cdot t = 0_{\!\!_A} \} </math> Dabei ist <math>0_{\!\!_A}</math> die quadratische Nullmatrix aus <math>A</math> und auch <math>p_1</math> und <math>t</math> sind ebenfalls quadratische <math>2\times 2</math>-Matrizen. ==== Augabe 3.3 - Lösungsmenge bestimmen ==== Bestimmen Sie die Lösungsmenge des Nullstellenproblems aus Schritt 3.2 mit algebraischen Umformungen: :<math> t = \begin{pmatrix} t_1 & t_2 \\ t_3 & t_4 \end{pmatrix} \in A </math> ==== Schritt 3.4 - Multiplikation des Nullstellenproblems mit Faktor==== Als Faktor wählt man nun die folgende Matrix aus <math>A</math>: :<math> a = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} , \quad \widetilde{\mathbb{L}} = \{t\in A \ : \ a\cdot q_1 \cdot t = a\cdot 0_{\!\!_A} = 0_{\!\!_A} \} </math> === Schritt 4 - Formale Variablen === Die Polynome <math> q_1 \cdot t = 0_{\!\!_A}</math> bzw. <math> a\cdot q_1 \cdot t = a\cdot 0_{\!\!_A}</math> besitzt mit <math>t</math> eigentlich eine formale Variable ist. Das Polynom wird in obigen Beispiel mit <math>t\in A</math> ausgewertet. Möglich ist aber auch, dass die formale Variable mit Skalaren <math>t\in \mathbb{C}</math> ausgewertet wird. Die erfolgt z.B. bei [[Konvexkombination]]en mit <math>t\in [0,1]</math> oder allgemeiner <math>t\in \mathbb{C}</math>, wobei die Koeffizienten <math>p_k</math> des Polynoms wieder <math>2\times 2</math>-Matrizen sind. <math>p(t)\in A</math> ist dann wieder <math>2\times 2</math>-Matrix, die als Linearkombination der Matrizen polynomial berechnet wird. ==== Bemerkung 4.1 - Lösungsmenge ==== Die konkrete Bindung der formalen Variable <math>t</math> bestimmt auch die Grundmenge aus der die Lösungsmenge stammt. In dem hier gewählt Beispiel sucht man nach Matrizen <math>t\in A</math>, die eine Gleichung <math> q(t) = 0_{\!\!_A} </math> zu einer wahren Aussage machen. Damit ist die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}</math> der Gleichung für Polynome <math>q\in A[t] </math> eine Teilmenge von <math>A</math>. ==== Schritt 4.2 - Unterschiede in der Lösungsmenge ==== Aus der reellen und komplexen Analysis ist man gewohnt, Gleichungen mit von 0 verschiedenen Faktoren <math>a\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> zu multiplizieren, da diese Umformung in <math>\mathbb{C}</math> bzw. <math>\mathbb{R}</math> eine Äquivalenzumformung darstellt und damit die Lösungs einer Gleichung nicht verändert. In dem hier gewählten Bespiel ist das '''nicht der Fall''', da <math> q_1 \neq 0_{\!\!_A} </math> zwar nicht der Nullvektor ist, aber algebraisch die [[Nullteiler|Nullteilereigenschaft]] besitzt und damit Lösungsmenge hier verändert. === Schritt 4.3 - Bestimmung der Lösungsmengen === Man betrachtet die beiden folgenden Gleichungen in der Algebra <math> A </math>: * '''(L1)''' <math> q_1 \cdot t = 0_{\!\!_A} </math> für <math> t \in A </math> * '''(L2)''' <math> a \cdot q_1 \cdot t = 0_{\!\!_A} </math> für <math> t \in A </math> mit <math> p_1 </math> und <math> a </math> wie oben gewählt. ==== Schritt 4.3.1 - Lösungsmenge von Gleichung L1 ==== Man setzt zu dem gegebenen <math>q_1</math> die formale Variable <math>t</math> als beliebige <math>2\times 2</math>-Matrix mit den Einträgen <math>t_1,t_2,t_3,t_4\in \mathbb{C}</math>: :<math> q_1 = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad t = \begin{pmatrix} t_1 & t_2 \\ t_3 & t_4 \end{pmatrix} \in A </math> Dann liefert das Matrixprodukt mit <math>t\in A</math>: :<math> q_1 \cdot t = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} t_1 & t_2 \\ t_3 & t_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} t_1 & t_2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = 0_{\!\!_A} </math> ==== Schritt 4.3.2 - Nullteilereigenschaft für L1 ==== Damit das Matrixprodukt aus Schritt 4.3.1 die Nullmatrix <math> 0_{\!\!_A} </math> ergibt, muss <math>t_1=0</math> und <math>t_2=0</math> erfüllt sein. Damit besteht die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}_1</math> aus rechten komplementären [[Nullteiler|Nullteilern]] zu <math>q_1</math> und der und zumindest für eine der beiden Variable Nullmatrix <math> 0_{\!\!_A} </math>. Damit ist <math>\mathbb{L}</math> wie folgt definiert: :<math>\mathbb{L} := \left\{ \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ t_3 & t_4 \end{pmatrix} \ : \ t_1,t_2\in \mathbb{C} \right\} =\{ t\in A \ : \ q_1 \cdot t = 0_{\!\!_A} \} </math> ==== Schritt 4.3.3 - Lösungsmenge von Gleichung L2 ==== Man betrachtet nun die folgende Gleichung (L2) <math> a \cdot q_1 \cdot t = 0_{\!\!_A} </math> und sucht nach Lösungen <math> t \in A </math>, die die Gleichung <math> a\cdot (q_1 \cdot t) = a\cdot 0_{\!\!_A} = 0_{\!\!_A} </math> zu einer wahren Aussage machen. Dabei setzt man: :<math> a:=\begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \neq 0_{\!\!_A} </math> ==== Schritt 4.3.4 - Nullteilereigenschaft und Assoziativität bzgl L2 ==== Nach der [[Nullteiler|Nullteilereigenschaft]] bzgl. <math>q_1</math> und <math>a</math> (siehe Schritt 3) gilt mit der Assoziativität der Multiplikation in der topologischen Algebra folgende Gleichung: :<math> a\cdot (q_1 \cdot t) = \underbrace{(a\cdot q_1)}_{= 0_{\!\!_A} } \cdot t = 0_{\!\!_A} \cdot t = 0_{\!\!_A} </math> Diese Gleichung ist im Gegensatz zur Gleichung <math>q_1 \cdot t = 0_{\!\!_A} </math> für alle Matrizen <math>t\in A</math> lösbar und die Lösungsmenge <math>\widehat{\mathbb{L}} = A \neq \mathbb{L}</math>. Die Lösungsmenge der Gleichung <math> q_1 \cdot t = 0_{\!\!_A} </math> und <math> a \cdot q_1 \cdot t = 0_{\!\!_A} </math> stimmen also nicht überein. ==== Schritt 4.3.5 - Beispiel Einheitsmatrix ==== An einem Gegenbeispiel <math>t=e\in A</math>, nämlich der Einheitsmatrix aus <math>A</math>, kann man direkt sehen, dass die Lösungsmengen <math>\widehat{\mathbb{L}}</math> und <math>\mathbb{L}</math> verschieden sind, denn es gilt: :<math> e = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \quad \quad q_1 \cdot t = q_1 \neq 0_{\!\!_A} </math> und damit gilt <math>e\notin \mathbb{L}</math>. Aber <math>e\in \widehat{\mathbb{L}}</math> liegt in der zweiten Lösungsmenge mit :<math> a\cdot (q_1 \cdot e) = \underbrace{(a\cdot q_1)}_{= 0_{\!\!_A}} \cdot e = 0_{\!\!_A} \cdot e = 0_{\!\!_A} </math> === Schritt 4.4 - Lösungsmengen === Insgesamt wurde gezeigt, dass sich die Lösungsmengen bei der Multiplikation mit einem Element <math>a\neq 0_{\!\!_A}</math> die Lösungsmenge einer Gleichung verändern können. Ist <math>a</math> allerdings invertierbar, dann kann man (wie im obigen Lemma verwendet) Gleichung mit <math>a</math> multiplizieren, ohne dass sich die Lösungsmenge verändert. == Anwendungsbeispiele == In den reellen und komplexen Zahlen lassen sich mit der Aussage des Lemmas alle lösbaren polynomialen Nullstellenprobleme <math>q(z)=0</math> mit <math>q_0\neq 0</math> in ein polynomiales Inversenproblem <math>p(z)\cdot z^m = 1</math> überführen. Dies liegt an der Eigenschaft, dass <math>(\mathbb{R}\!\setminus \!\{0\},\cdot)</math> bzw. <math>(\mathbb{C}\!\setminus \!\{0\},\cdot)</math> eine multiplikative Gruppe <math>q_0\neq 0</math> ist und damit <math>q_0\in \mathcal{G}(\mathbb{R})</math> bzw. <math>q_0\in \mathcal{G}(\mathbb{C})</math> erfüllt ist. == Siehe auch == * [[Konvexkombination]] * [[Nullteiler]] * [[topologische Algebra]] * [[Topologischer Raum]] oyc7iqcqnn81tc26ro5objktg93eiz4 1118706 1118703 2026-11-03T08:20:38Z Bert Niehaus 20843 /* Einleitung */ 1118706 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Auf einer unitalen [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>(A,\mathcal{T}_{\!\!\!\!A})</math> mit Einselement <math>e_{\!\!_A}\in A</math> und Nullvektor <math>0_{\!\!_A}\in A</math> kann man eine [[Polynomalgebra]] <math>(A[t],\mathcal{T}_{\!\!\!\!A[t]})</math> definieren. Ziel dieser Lerneinheit ist es, die Transformation von einem [[polynomiales Nullstellenproblem|polynomialen Nullstellenproblem]] <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math> in eine [[polynomiales Inversenproblem]] <math>p(z)\cdot z^m = e_{\!\!_A}</math> zu untersuchen. Die in Beispiel verwendeten [[Nullteiler]] in einer [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Nullstellen-Inversen-Transformation#BeispielNT|Matrixalgebra]] sind eine Spezialfall von [[topologischer Nullteiler|topologischen Nullteilern]]. === Bemerkung - Polynomalgebra und Auswertung in A === Bei der Betrachtung von Polynomalgebren muss man das Polynom als Vektor <math>q\in A[t]</math> der Polynomalgebra <math>A[t]</math> von der Auswertung des Polynoms an einer Stelle in <math>z\in A</math> unterscheiden. Die Auswertung <math>q(z)</math> eines Polynoms <math>q\in A[t]</math> an der Stelle <math>z\in A</math> ist nämlich ein Element von <math>A</math> und <math>q(z)\in A</math> als endliche Verknüpfungen von wohldefinierten Operationen in dem Algebra <math>A</math> (z.B. <math>a\cdot z^3 = a\cdot z\cdot z\cdot z\in A</math> und für <math>w_1,w_2\in A</math> gilt <math>w_1+w_2\in A</math>). Die Notation <math>q(z)\in A[t]</math> ist daher formal '''nicht korrekt''', sondern für <math>z\in A</math> gilt <math>q(z)\in A</math>. <span id="DefNullstellenProblem"></span> === Definition - Polynomiales Nullstellenproblem === Sei <math>(A,\mathcal{T}_{\!\!\!\!A})</math> eine [[topologische Algebra]] Nullvektor <math> 0_{\!\!_A}\in A</math> und <math>(A[t],\mathcal{T}_{\!\!\!\!A[z]})</math> eine [[Polynomalgebra]] mit Koeffizienten aus <math>A</math> und [[topologischer Raum|Topologie]] <math>\mathcal{T}_{\!\!\!\!A[z]}</math>. Ein polynomiales Nullstellenproblem vom Grad <math>n\in\mathbb{N}</math> ist die Untersuchung der Lösbarkeit bzw. der Lösungen der Gleichung <math>q(z)=\sum_{k=0}^{n} q_k\cdot z^k=0_{\!\!_A}</math> mit <math>q_0\neq 0_{\!\! A}</math>, <math>z\in A</math> und <math>q\in A[t]</math>. ==== Beispiel - Nullstellenproblem ==== In den komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> gibt des [[Fundamentalsatz der Algebra]], der besagt, dass jedes nicht-konstante Polynom <math>q\in \mathbb{C}[t]</math> mindestens eine Nullstelle <math>z_0\in \mathbb{C}</math>, d.h. <math>q(z_0)=0</math>. Die Nullstellen von Polynomen <math>q\in \mathbb{C}[t]</math> mit <math>q(z):=\sum_{k=m}^n q_k\cdot z^k</math> mit <math>m \geq 1</math> kann man zunächst einmal als Produkt eines Polynoms <math>\widetilde{q\,}(t) := \sum_{k=0}^{n-m} q_{k+m}\cdot z^k</math> und <math>z^m</math>. Die Exponent <math>m\in \mathbb{N}</math> kann bei einem nicht-konstanten Polynom <math>q\in \mathbb{C}[t]</math> so gewählt werden, dass <math>\widetilde{q\,}_0=q_{m}\neq 0</math> gilt. In einem solchen Fall ist das Nullstellenproblem direkt lösbar, wobei <math>z_0:=0\in\mathbb{C}</math> eine Nullstelle der Ordnung <math>m</math> ist. <span id="DefInversenProblem"></span> === Definition - Polynomiales Inversenproblem === Sei <math>(A,\mathcal{T}_{\!\!\!\!A})</math> eine unitale [[topologische Algebra]] mit Einselement <math>e_{\!\!_A}\in A</math> des Multiplikation und <math>(A[t],\mathcal{T}_{\!\!\!\!A[z]})</math> eine [[Polynomalgebra]] mit Koeffizienten aus <math>A</math> und [[topologischer Raum|Topologie]] <math>\mathcal{T}_{\!\!\!\!A[t]}</math>. Ein polynomiales Inversenproblem ist die Untersuchung der Lösbarkeit bzw. der Lösungen der Gleichung <math>p(z)\cdot z^m=e_{\!\!_A}</math> mit <math> z\in A</math>, <math>m\in \mathbb{N}_0</math> für ein gegebenes Polynom <math>q\in A[t]</math>. ==== Bemerkung - Transformationsrichtung ==== Jedes [[polynomiales Inversenproblem|polynomiale Inversenproblem]] lässt sich durch Ausmultiplizieren des Terms <math></math> und Subtraktion des neutralen Elementes der Multiplikation in ein [[polynomiales Nullstellenproblem]] transformieren. Die Umkehrung betrachtet das [[Lemma zur Nullstellen-Inversen-Transformation]]. ==== Beispiel - Polynomiale Transformation in ein Inversenproblem ==== Man möchte eine Nullstelle <math>z_0\in \mathbb{C}</math> von dem folgenden Polynom <math>q\in \mathbb{C}[t]</math> bestimmen: :<math> q(z) = 3\cdot z^7 -4\cdot z^4- 10\cdot z^3+9 </math> Das zugehörige [[polynomiales Nullstellenproblem|Nullstellenproblem]] lautet <math>q(z)=0</math> und ein Ersatzpolynom <math>\widetilde{q\,}</math> wird bestimmt, das die gleichen Nullstellen wie <math>q\in \mathbb{C}[t] </math> besitzt. Das Inversenproblem lautet dann: :<math> \widetilde{q\,}(z)\cdot z^3 = 1 \quad \quad \widetilde{q\,}^{(1)}(z) = -\tfrac{3}{9}\cdot z^4 +\tfrac{4}{9}\cdot z^1 + \tfrac{10}{9} </math> Die Potenz <math>m</math> maximiert man in der Regel so, bis <math>\widetilde{q\,}_0 \neq 0</math> gilt. == Lemma zur Nullstellen-Inversen-Transformation == Sei <math>(A,\mathcal{T}_{\!\!\!\!A})</math> eine unitale [[topologische Algebra]] mit Nullvektor <math>0_{\!\!_A}\in A</math>, Einselement <math>e_{\!\!_A}\in A</math> der Multiplikation und <math>(A[t],\mathcal{T}_{\!\!\!\!A[t]})</math> eine [[Polynomalgebra]] mit Koeffizienten aus <math>A</math> und [[topologischer Raum|Topologie]] <math>\mathcal{T}_{\!\!\!\!A[t]}</math>. Sei <math>q(z)=\sum_{k=0}^{n} q_k\cdot z^k=0_{\!\!_A}</math> mit <math>q_0\in \mathcal{G}(A)</math>, <math>z\in A</math> und <math>q\in A[t]</math>, dann lässt sich ein lösbares Nullstellenproblem <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math> in ein Inversenproblem <math> p(z)\cdot z^m = e_{\!\!_A}</math> mit <math>p(z) = \sum_{k=0}^{n-m} \underbrace{-q_0^{-1}\cdot q_{k-m}}_{=p_{k}} \cdot z^k </math> transformieren. == Beweis - Nullstellen-Inversen-Transformation == Aus <math>q_0\in \mathcal{G}(A)</math> folgt unmittelbar <math>q_0\neq 0_{\!\!_A}</math>, da der Nullvektor kein multiplikatives Inverses besitzt. In den nächsten Schritt wird eine Fallunterscheidung vorgenommen. === Schritt 1 - Grad(p) 0 === Wenn der Grad von <math>q</math> eine Konstante mit <math>q_0\neq 0 </math> ist. Ferner bistzt <math>q_0</math> wegen <math>q_0\in \mathcal{G}(A)</math> ein multiplikatives Inverses <math>q_0^{-1}\in A</math> von <math>q_0</math> und es gilt die folgende Gleichung: :<math> q_0\cdot q_0^{-1} = q_0^{-1}\cdot q_0 = e_{\!\!_A} \ \Longrightarrow \ q_0 \neq 0_{\!\!_A} </math> Wegen <math>q_0\in \mathcal{G}(A)</math> ist die Gleichung <math>0_{\!\!_A} \neq q_0 =q(z) = 0_{\!\!_A}</math> ist damit unlösbar und es gibt '''kein lösbares''' Nullstellenproblem <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math>. === Schritt 2 - Normalisierung des Nullstellenproblems === Mit der Existenz eines multiplikativen inversen Elementes <math>q_0^{-1}\in A</math> zu Konstant <math>q_0</math> gilt die Gleichung :<math> q_0\cdot q_0^{-1} = q_0^{-1}\cdot q_0 = e_{\!\!_A} </math> und man kann die Nullstellengleichung mit dem Element <math>-q_0^{-1}\in A</math> multiplizieren. Man erhält dann: :<math> 0_{\!\!_A} = -q_0^{-1}\cdot 0_{\!\!_A} = -q_0^{-1}\cdot q(z) = -\underbrace{q_0^{-1}\cdot q_0}_{=e_{\!\!_A}} + \sum_{k=1}^n -q_0^{-1}\cdot q_k \cdot z^k =: \widetilde{q\,}(z) </math> === Schritt 3 - Addition des neutralen Elements und Distributivegesetz === Man erhält durch Addition des neutralen Elements <math>e_{\!\!_A} </math> die Gleichung: :<math> e_{\!\!_A} = \widetilde{q\,}(z) + e_{\!\!_A} = \sum_{k=1}^n \underbrace{-q_0^{-1}\cdot q_k}_{=\widetilde{q\,}_k} \cdot z^k </math> Per Distributivgesetz kann man mindestens für <math>m=1</math> ein <math>z^m</math> ausklammern und es gilt: :<math> e_{\!\!_A} = \widetilde{q\,}(z) + e_{\!\!_A} = \bigg( \underbrace{\sum_{k=m}^n \underbrace{-q_0^{-1}\cdot q_k}_{=\widetilde{q\,}_k} \cdot z^{k-m} \bigg)}_{=:p(z)} \cdot z^{m} = p(z)\cdot z^{m} </math> === Schritt 4 - Darstellung als Inversenproblem === Insgesamt lässt sich damit jedes lösbare polynomiale Nullstellenproblem <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math> in ein polynomiales Inversenproblem <math>p(z)\cdot z^m = e_{\!\!_A}</math> überführen. === Schritt 5 - Lösungsmenge und Transformation === Im Allgemeinen verändert sich die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}:=\{z\in A\, : \, q(z)=c_0 \}</math> bei einer polynomialen Gleichung <math>q(z)=c_0\in A</math> bei folgenden Operationen nicht: * '''(AddL)''' Addition einer Konstanten <math> c \in A</math> auf beiden Gleichungsseiten mit <math>q(z)+c=c_0+c</math> und * '''(SMultL)''' Multiplikation mit einem Skalar <math>\lambda \in \mathbb{C}\setminus \{0\} </math> mit <math>\lambda\cdot q(z)=\lambda\cdot c_0\in A</math> Die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}:=\{z\in A\, : \, q(z)=c_0 \}</math> kann sich aber bei der Multiplikation mit einem Element <math>c\in A\setminus \{0_{\!\!_A}\}</math> aus der Algebra verändern (siehe Beispiel - [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Nullstellen-Inversen-Transformation#Loesungsmenge|Veränderung der Lösungsmenge]]) ==== Schritt 5.1 - Multiplikation mit invertierbaren Elementen ==== Es bleibt also zu zeigen, dass sich die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}:=\{z\in A\, : \, q(z)=0_{\!\!_A} \}</math> des polynomiale Nullstellenproblem <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math> nicht von der Lösungsmenge <math>\widehat{\mathbb{L}}:=\{z\in A\, : \, p(z)\cdot z^m =e_{\!\!_A} \}</math> des polynomiales Inversenproblem <math>p(z)\cdot z^m = e_{\!\!_A}</math> unterscheidet. ==== Schritt 5.2 - Multiplikation mit invertierbaren Elementen ==== Es gilt immer, dass für beliebige polynomiale Terme aus <math>q(z)=c_0</math> und beliebige <math>c\in A</math> auch <math>c\cdot q(z)=c \cdot c_0</math> gilt. Dies gilt als insbesondere für <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math> und <math>c:=q_0^{-1}</math>. Danach kann mit der Regel ''(AddL)'' aus Schritt 5 das neutrale Element der Multiplkation auf beiden Seiten addieren. Damit folgt aus <math>z\in\mathbb{L}</math>, dass auch <math>z\in \widehat{\mathbb{L}}</math> gilt und man erhält man die folgende Teilmengenbeziehung: :<math> \underbrace{\big\{z\in A\, : \, q(z)=0_{\!\!_A} \big\}}_{=\mathbb{L}} \ \subseteq \ \underbrace{\big\{z\in A\, : \, p(z)\cdot z^m =e_{\!\!_A} \big\}}_{=\widehat{\mathbb{L}}} </math> ==== Schritt 5.3 - Koeffizientendefinition des Polynoms nutzen ==== Sei nun <math>z\in \widehat{\mathbb{L}}</math> mit <math>p(z)\cdot z^m =e_{\!\!_A}</math> beliebig gewählt. Dabei gilt folgende Gleichung: :<math> 0_{\!\!_A} = p(z)\cdot z^m - e_{\!\!_A} =p(z)\cdot z^m -q_0^{-1}\cdot q_0 </math> Dabei ist <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math> das lösbare Nullstellenproblem, deren Koeffizienten für <math>p(z) = \sum_{k=0}^{n-m} \underbrace{-q_0^{-1}\cdot q_{k+m}}_{=p_{k}} \cdot z^k </math> verwendet werden. ==== Schritt 5.4 - Invertierbarkeit der Konstanten nutzen ==== Da <math>q_0\in \mathcal{G}(A)</math> ein multiplikatives Inverses Element besitzt, gilt auch <math>-q_0\in \mathcal{G}(A)</math>. Wählt man nun eine beliebige Lösung <math>z\in \widehat{\mathbb{L}}</math> der der Gleichung <math> 0_{\!\!_A} = p(z)\cdot z^m - e_{\!\!_A} </math>. Durch Multiplikation der Gleichung mit <math>-q_0</math> bleibt <math>z\in \widehat{\mathbb{L}}</math> weiterhin Lösung der Gleichung. ==== Schritt 5.5 - Multiplikation mit invertierbaren Elementen ==== Durch Einsetzen erhält man :<math> -q_0\cdot 0_{\!\!_A} = -q_0\cdot \big( p(z)\cdot z^m - e_{\!\!_A} \big) =-q_0\cdot p(z)\cdot z^m + q_0 </math> und zusammen mit der Definition von <math>p</math> das polynomiale Nullstellenproblem <math>q(z)=0_{\!\!_A} </math>: :<math> -q_0\cdot p(z) \cdot z^m + q_0= \underbrace{\left( \sum_{k=0}^{n-m} \underbrace{-q_0\cdot (-q_0^{-1})\cdot q_{k+m}}_{=q_{k+m}} \cdot z^{k+m} \right) + q_0}_{ = q(z)} </math> ==== Schritt 5.6 - Übereinstimmung der Lösungsmengen ==== Damit gilt auch die umgekehrte Inklusion <math> \mathbb{L} \ \supseteq \ \widehat{\mathbb{L}} </math> und mit Schritt 5.3 zusammen erhält man: :<math> \mathbb{L} \ = \ \widehat{\mathbb{L}} </math> Insgesamt stimmen also die Lösungsmengen für das Nullstellenproblem <math> \mathbb{L} </math> und die Lösungsmenge für das Inversenproblem <math>\widehat{\mathbb{L}}</math> überein. <math>\quad \Box</math> <span id="Loesungsmenge"></span> == Beispiel - Veränderung der Lösungsmenge durch Multiplikation == Das Beispiel behandelt ein Nullstellenproblem <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math> vom Grad 1 und es wird gezeigt, dass sich durch Multiplikation der Gleichung mit einem Element <math>a\in A\setminus \{0_{\!\!_A} \}</math> die Lösungsmenge von <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math> zu <math>a\cdot q(z)=a\cdot 0_{\!\!_A} = 0_{\!\!_A}</math> verändert. === Teilaspekte === Insgesamt werden dabei in einer Algebra <math>A</math> der quadratischen <math>2\times 2</math>-Matrizen * Nullteiler betrachtet, * Lösungsmenge von <math> q(z)= q_1 \cdot z = 0_{\!\!_A} </math> * Lösungsmenge von <math> a \cdot q_1 \cdot z = 0_{\!\!_A} </math> === Verknüfungen in der Algebra === Bzgl. der Algebra <math>A</math> betrachtet man die ''Polynomalgebra'' <math> A[t] </math>, wobei die Polynome <math>p\in A </math> Koeffizienten aus der Algebra der <math> 2 \times 2 </math>-Matrizen über den komplexen Zahlen <math> \mathbb{C} </math> besitzen. Die Addition der Matrizen erfolgt komponentenweise und die Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar <math>\lambda \in \mathbb{C}</math> wird analog zum Vektorraum <math>\mathbb{C}^n</math> komponentweise gestreckt. Die Multiplikation in <math>A</math> ist die Matrixmultiplikation als innere Verknüpfung. Die Multiplikation ist nicht kommutativ. === Matrizenalgebra === Die Algebra <math>A</math> besteht aus quadratischen Matrizen, damit die Matrixmultiplikation eine innere Verknüpfung in der :<math> A = Mat(2\times 2 , \mathbb{C}) = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \mid a,b,c,d \in \mathbb{C} \right\} </math> ==== Addition - Matrixalgebra ==== Die Addition und Multiplikation in <math> A[t] </math> sind wie folgt definiert: :<math> \begin{pmatrix} a_1 & b_1 \\ c_1 & d_1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a_2 & b_2 \\ c_2 & d_2 \end{pmatrix} := \begin{pmatrix} a_1+a_2 & b_1+b_2 \\ c_1+c_2 & d_1+d_2 \end{pmatrix} </math> ==== Multiplikation mit Skalar - Matrixalgebra ==== Multiplikation mit einem Skalar <math> \lambda \in \mathbb{C}</math> erfolgt komponentenweise: :<math> \lambda \cdot \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} := \begin{pmatrix} \lambda \cdot a & \lambda \cdot b \\ \lambda \cdot c & \lambda \cdot d \end{pmatrix} </math> ==== Multiplikation in der Matrixalgebra ==== Matrixmultiplikation ist die innere Verknüpfung der Form: :<math> \begin{array}{rccl} \cdot : & A \times A & \rightarrow & A \\ & \left( \begin{pmatrix} a_1 & b_1 \\ c_1 & d_1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} a_2 & b_2 \\ c_2 & d_2 \end{pmatrix} \right) & \mapsto & \begin{pmatrix} a_1a_2 + b_1c_2 & a_1b_2+b_1d_2 \\ c_1a_2+d_1c_2 & c_1b_2+d_1d_2 \end{pmatrix} \end{array} </math> === Polynomalgebra mit Matrizenal als Koeffizienten === Die Polynomalgebra <math> A[t] </math> besteht aus Polynomen der Form: :<math> q(t) = \sum_{k=0}^n q_k\cdot t^k, \quad \text{mit } q_k \in A </math> Die Multiplikation von Polynomen ist die Cauchy-Multiplikation in der [[Polynomalgebra]], wobei die Verknüfungen mit den Koeffizienten bereits über die Matrizenalgebra definert sind (siehe [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Nullstellen-Inversen-Transformation#Matrizenalgebra|Matrizenalgebra]]) ==== Aufgabe für Studierende ==== Verwenden Sie Ihre Vorwissen aus der Linearen Algebra und dem [[w:de:Satz_von_Cayley-Hamilton|Satz von Caley-Hamilton]]. Erläutern Sie, welche Polynome verwendet werden, bei denen man Matrizen <math>x\in A</math> als Argumente für <math>p(x)</math> verwendet werden (siehe [[w:de:charakteristisches Polynom|charakteristische Polynom]]). Welche Unterschiede bestehen zu der hier verwendeten Polynomalgebra? <span id="BeispielNT"></span> === Schritt 1 - Konstruktion von Nullteilern === In <math> Mat(2\times 2, \mathbb{C}) </math> gibt es '''Nullteiler''', d.h. Matrizen <math> a, q_1 \neq 0_{\!\!_A} </math>, sodass <math> a\cdot q_1 = 0_{\!\!_A} </math>, aber <math> q_1 \neq 0_{\!\!_A} </math>, <math> a \neq 0_{\!\!_A} </math>. In diesem Beispiel wählt man die folgenden Matrizen: :<math> q_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad a = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} </math> === Schritt 2 - Nullteilereigenschaft === Mit der Definition der obigen Matrizen gilt dann mit der Definition der Matrixmultiplikation: :<math> q_1 \cdot a = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = 0_{\!\!_A} </math> Die Nullteilereigenschaft kommutiert in diesem Fall :<math> a \cdot q_1 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = 0_{\!\!_A} </math> Also: <math> q_1 \cdot a = 0_{\!\!_A} </math> und <math> a \cdot q_1 = 0_{\!\!_A} </math>. In diesem Fall '''kommutiert''' die Multiplikation bzgl. [[Nullteiler|Linksnullteiler]] mit seinem "komplementären" [[Nullteiler|Rechtsnullteiler]]. === Schritt 3 - Anzahl komplementärer Nullteiler === Ein komplementärer [[Nullteiler|Rechtsnullteiler]] <math>a</math> zu ein [[Nullteiler|Linksnullteiler]] <math>q_0</math> ist nicht eindeutig bestimmt. :<math> q_1 \cdot b = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 4 & 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = 0_{\!\!_A} </math> Allgemein sind die folgenden Matrizen komplementäre Rechtsnullteiler zu <math>q_1</math>: :<math> b = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ b_1 & b_2 \end{pmatrix} \neq 0_{\!\!_A} </math> === Schritt 2 - Nicht-kommutative Nullteiler === Wählt man nun für die Matrix <math>a\in A</math> eine: :<math> q_1 = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad a = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} </math> ==== Schritt 2.1 - Berechnung der Matrixmultiplikation ==== Berechne Nullteilereigenschaft: :<math> a \cdot q_1 = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = 0_{\!\!_A} </math> Vertauscht man die beiden Faktoren erhält man die folgende Matrix: :<math> q_1 \cdot a = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 6 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \neq 0_A </math> ==== Schritt 2.2 - Nullteilereigenschaft - Faktorentausch ==== Also gilt mit Schritt 2.1, dass <math> a \cdot q_1 = 0_{\!\!_A} </math> erfüllt ist, aber nach Faktorentausch das Produkt <math> q_1 \cdot a \neq 0_{\!\!_A} </math> keine [[Nullteiler|Nullteilereigenschaft]] zeigt. Die [[Nullteiler|Nullteilereigenschaft]] ist nicht notwendigerweise kommutativ. ==== Bemerkung 2.3 - Bezeichnung Nullteiler ==== Die Unterschiede zeigen sich auch in der Bezeichnung, denn in Schritt 2.1 ist <math> q_1 </math> ein '''rechter Nullteiler''' von <math> a </math>, aber <math> a </math> ist '''kein linker Nullteiler''' von <math> q_1 </math>, da <math> q_1 \cdot a \neq 0 </math> gilt. === Schritt 3 - Polynom 1. Grades === Man betrachtet nun eine Nullstellenproblem mit einem einfachen Polynom vom Grad 1. Dieses Beispiel wurde gewählt, damit man die Veränderung der Lösungen bei Multiplikation einer Gleichung mit einem von <math>0_{\!\!_A}</math> verschiedenen Faktor <math>a\in A \subset A[t]</math> zu untersuchen. Dabei wird <math>A \subset A[t]</math> aufgefasst, wobei ein Element <math>a\in A </math> als konstantes Polynom in <math>A[t]</math> aufgefasst wird. ==== Schritt 3.1 - Formulierung des Nullstellenproblems ==== Sei <math> q(t) = q_1 \cdot t \in A[t] </math> ein Polynom vom Grad 1 mit dem Koeffizient <math> q_1 \in A</math> aus das Algebra der <math>2\times 2</math>-Matrizen. Das Nullstellenproblem wird durch die folgende einfache Gleichung formuliert: :<math> q(t)=q_1 \cdot t = 0_{\!\!_A} </math> ==== Schritt 3.2 - Lösungsmenge des Nullstellenproblems ==== Die Lösungsmenge der Gleichung <math> p_1 \cdot t = 0_{\!\!_A} </math> ist nun eine Teilmenge der Matrizenalgebra <math>A</math>, weil man <math> t\in A</math>, die die obige Gleichung lösen. Man wählt nun für die Gleichung die folgende Variablendefinitionen aus Schritt 2.2 : :<math> q_1 = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad \mathbb{L} = \{t\in A \ : \ q_1 \cdot t = 0_{\!\!_A} \} </math> Dabei ist <math>0_{\!\!_A}</math> die quadratische Nullmatrix aus <math>A</math> und auch <math>p_1</math> und <math>t</math> sind ebenfalls quadratische <math>2\times 2</math>-Matrizen. ==== Augabe 3.3 - Lösungsmenge bestimmen ==== Bestimmen Sie die Lösungsmenge des Nullstellenproblems aus Schritt 3.2 mit algebraischen Umformungen: :<math> t = \begin{pmatrix} t_1 & t_2 \\ t_3 & t_4 \end{pmatrix} \in A </math> ==== Schritt 3.4 - Multiplikation des Nullstellenproblems mit Faktor==== Als Faktor wählt man nun die folgende Matrix aus <math>A</math>: :<math> a = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} , \quad \widetilde{\mathbb{L}} = \{t\in A \ : \ a\cdot q_1 \cdot t = a\cdot 0_{\!\!_A} = 0_{\!\!_A} \} </math> === Schritt 4 - Formale Variablen === Die Polynome <math> q_1 \cdot t = 0_{\!\!_A}</math> bzw. <math> a\cdot q_1 \cdot t = a\cdot 0_{\!\!_A}</math> besitzt mit <math>t</math> eigentlich eine formale Variable ist. Das Polynom wird in obigen Beispiel mit <math>t\in A</math> ausgewertet. Möglich ist aber auch, dass die formale Variable mit Skalaren <math>t\in \mathbb{C}</math> ausgewertet wird. Die erfolgt z.B. bei [[Konvexkombination]]en mit <math>t\in [0,1]</math> oder allgemeiner <math>t\in \mathbb{C}</math>, wobei die Koeffizienten <math>p_k</math> des Polynoms wieder <math>2\times 2</math>-Matrizen sind. <math>p(t)\in A</math> ist dann wieder <math>2\times 2</math>-Matrix, die als Linearkombination der Matrizen polynomial berechnet wird. ==== Bemerkung 4.1 - Lösungsmenge ==== Die konkrete Bindung der formalen Variable <math>t</math> bestimmt auch die Grundmenge aus der die Lösungsmenge stammt. In dem hier gewählt Beispiel sucht man nach Matrizen <math>t\in A</math>, die eine Gleichung <math> q(t) = 0_{\!\!_A} </math> zu einer wahren Aussage machen. Damit ist die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}</math> der Gleichung für Polynome <math>q\in A[t] </math> eine Teilmenge von <math>A</math>. ==== Schritt 4.2 - Unterschiede in der Lösungsmenge ==== Aus der reellen und komplexen Analysis ist man gewohnt, Gleichungen mit von 0 verschiedenen Faktoren <math>a\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> zu multiplizieren, da diese Umformung in <math>\mathbb{C}</math> bzw. <math>\mathbb{R}</math> eine Äquivalenzumformung darstellt und damit die Lösungs einer Gleichung nicht verändert. In dem hier gewählten Bespiel ist das '''nicht der Fall''', da <math> q_1 \neq 0_{\!\!_A} </math> zwar nicht der Nullvektor ist, aber algebraisch die [[Nullteiler|Nullteilereigenschaft]] besitzt und damit Lösungsmenge hier verändert. === Schritt 4.3 - Bestimmung der Lösungsmengen === Man betrachtet die beiden folgenden Gleichungen in der Algebra <math> A </math>: * '''(L1)''' <math> q_1 \cdot t = 0_{\!\!_A} </math> für <math> t \in A </math> * '''(L2)''' <math> a \cdot q_1 \cdot t = 0_{\!\!_A} </math> für <math> t \in A </math> mit <math> p_1 </math> und <math> a </math> wie oben gewählt. ==== Schritt 4.3.1 - Lösungsmenge von Gleichung L1 ==== Man setzt zu dem gegebenen <math>q_1</math> die formale Variable <math>t</math> als beliebige <math>2\times 2</math>-Matrix mit den Einträgen <math>t_1,t_2,t_3,t_4\in \mathbb{C}</math>: :<math> q_1 = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad t = \begin{pmatrix} t_1 & t_2 \\ t_3 & t_4 \end{pmatrix} \in A </math> Dann liefert das Matrixprodukt mit <math>t\in A</math>: :<math> q_1 \cdot t = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} t_1 & t_2 \\ t_3 & t_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} t_1 & t_2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = 0_{\!\!_A} </math> ==== Schritt 4.3.2 - Nullteilereigenschaft für L1 ==== Damit das Matrixprodukt aus Schritt 4.3.1 die Nullmatrix <math> 0_{\!\!_A} </math> ergibt, muss <math>t_1=0</math> und <math>t_2=0</math> erfüllt sein. Damit besteht die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}_1</math> aus rechten komplementären [[Nullteiler|Nullteilern]] zu <math>q_1</math> und der und zumindest für eine der beiden Variable Nullmatrix <math> 0_{\!\!_A} </math>. Damit ist <math>\mathbb{L}</math> wie folgt definiert: :<math>\mathbb{L} := \left\{ \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ t_3 & t_4 \end{pmatrix} \ : \ t_1,t_2\in \mathbb{C} \right\} =\{ t\in A \ : \ q_1 \cdot t = 0_{\!\!_A} \} </math> ==== Schritt 4.3.3 - Lösungsmenge von Gleichung L2 ==== Man betrachtet nun die folgende Gleichung (L2) <math> a \cdot q_1 \cdot t = 0_{\!\!_A} </math> und sucht nach Lösungen <math> t \in A </math>, die die Gleichung <math> a\cdot (q_1 \cdot t) = a\cdot 0_{\!\!_A} = 0_{\!\!_A} </math> zu einer wahren Aussage machen. Dabei setzt man: :<math> a:=\begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \neq 0_{\!\!_A} </math> ==== Schritt 4.3.4 - Nullteilereigenschaft und Assoziativität bzgl L2 ==== Nach der [[Nullteiler|Nullteilereigenschaft]] bzgl. <math>q_1</math> und <math>a</math> (siehe Schritt 3) gilt mit der Assoziativität der Multiplikation in der topologischen Algebra folgende Gleichung: :<math> a\cdot (q_1 \cdot t) = \underbrace{(a\cdot q_1)}_{= 0_{\!\!_A} } \cdot t = 0_{\!\!_A} \cdot t = 0_{\!\!_A} </math> Diese Gleichung ist im Gegensatz zur Gleichung <math>q_1 \cdot t = 0_{\!\!_A} </math> für alle Matrizen <math>t\in A</math> lösbar und die Lösungsmenge <math>\widehat{\mathbb{L}} = A \neq \mathbb{L}</math>. Die Lösungsmenge der Gleichung <math> q_1 \cdot t = 0_{\!\!_A} </math> und <math> a \cdot q_1 \cdot t = 0_{\!\!_A} </math> stimmen also nicht überein. ==== Schritt 4.3.5 - Beispiel Einheitsmatrix ==== An einem Gegenbeispiel <math>t=e\in A</math>, nämlich der Einheitsmatrix aus <math>A</math>, kann man direkt sehen, dass die Lösungsmengen <math>\widehat{\mathbb{L}}</math> und <math>\mathbb{L}</math> verschieden sind, denn es gilt: :<math> e = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \quad \quad q_1 \cdot t = q_1 \neq 0_{\!\!_A} </math> und damit gilt <math>e\notin \mathbb{L}</math>. Aber <math>e\in \widehat{\mathbb{L}}</math> liegt in der zweiten Lösungsmenge mit :<math> a\cdot (q_1 \cdot e) = \underbrace{(a\cdot q_1)}_{= 0_{\!\!_A}} \cdot e = 0_{\!\!_A} \cdot e = 0_{\!\!_A} </math> === Schritt 4.4 - Lösungsmengen === Insgesamt wurde gezeigt, dass sich die Lösungsmengen bei der Multiplikation mit einem Element <math>a\neq 0_{\!\!_A}</math> die Lösungsmenge einer Gleichung verändern können. Ist <math>a</math> allerdings invertierbar, dann kann man (wie im obigen Lemma verwendet) Gleichung mit <math>a</math> multiplizieren, ohne dass sich die Lösungsmenge verändert. == Anwendungsbeispiele == In den reellen und komplexen Zahlen lassen sich mit der Aussage des Lemmas alle lösbaren polynomialen Nullstellenprobleme <math>q(z)=0</math> mit <math>q_0\neq 0</math> in ein polynomiales Inversenproblem <math>p(z)\cdot z^m = 1</math> überführen. Dies liegt an der Eigenschaft, dass <math>(\mathbb{R}\!\setminus \!\{0\},\cdot)</math> bzw. <math>(\mathbb{C}\!\setminus \!\{0\},\cdot)</math> eine multiplikative Gruppe <math>q_0\neq 0</math> ist und damit <math>q_0\in \mathcal{G}(\mathbb{R})</math> bzw. <math>q_0\in \mathcal{G}(\mathbb{C})</math> erfüllt ist. == Siehe auch == * [[Konvexkombination]] * [[Nullteiler]] * [[topologische Algebra]] * [[Topologischer Raum]] tek7d3smx7oftigr1gax7p7p0opg31w 1118707 1118706 2026-11-03T08:21:04Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1118707 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Auf einer unitalen [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>(A,\mathcal{T}_{\!\!\!\!A})</math> mit Einselement <math>e_{\!\!_A}\in A</math> und Nullvektor <math>0_{\!\!_A}\in A</math> kann man eine [[Polynomalgebra]] <math>(A[t],\mathcal{T}_{\!\!\!\!A[t]})</math> definieren. Ziel dieser Lerneinheit ist es, die Transformation von einem [[polynomiales Nullstellenproblem|polynomialen Nullstellenproblem]] <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math> in eine [[polynomiales Inversenproblem]] <math>p(z)\cdot z^m = e_{\!\!_A}</math> zu untersuchen. Die in Beispiel verwendeten [[Nullteiler]] in einer [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Nullstellen-Inversen-Transformation#BeispielNT|Matrixalgebra]] sind eine Spezialfall von [[topologischer Nullteiler|topologischen Nullteilern]]. === Bemerkung - Polynomalgebra und Auswertung in A === Bei der Betrachtung von Polynomalgebren muss man das Polynom als Vektor <math>q\in A[t]</math> der Polynomalgebra <math>A[t]</math> von der Auswertung des Polynoms an einer Stelle in <math>z\in A</math> unterscheiden. Die Auswertung <math>q(z)</math> eines Polynoms <math>q\in A[t]</math> an der Stelle <math>z\in A</math> ist nämlich ein Element von <math>A</math> und <math>q(z)\in A</math> als endliche Verknüpfungen von wohldefinierten Operationen in dem Algebra <math>A</math> (z.B. <math>a\cdot z^3 = a\cdot z\cdot z\cdot z\in A</math> und für <math>w_1,w_2\in A</math> gilt <math>w_1+w_2\in A</math>). Die Notation <math>q(z)\in A[t]</math> ist daher formal '''nicht korrekt''', sondern für <math>z\in A</math> gilt <math>q(z)\in A</math>. <span id="DefNullstellenProblem"></span> === Definition - Polynomiales Nullstellenproblem === Sei <math>(A,\mathcal{T}_{\!\!\!\!A})</math> eine [[topologische Algebra]] Nullvektor <math> 0_{\!\!_A}\in A</math> und <math>(A[t],\mathcal{T}_{\!\!\!\!A[z]})</math> eine [[Polynomalgebra]] mit Koeffizienten aus <math>A</math> und [[topologischer Raum|Topologie]] <math>\mathcal{T}_{\!\!\!\!A[z]}</math>. Ein polynomiales Nullstellenproblem vom Grad <math>n\in\mathbb{N}</math> ist die Untersuchung der Lösbarkeit bzw. der Lösungen der Gleichung <math>q(z)=\sum_{k=0}^{n} q_k\cdot z^k=0_{\!\!_A}</math> mit <math>q_0\neq 0_{\!\! A}</math>, <math>z\in A</math> und <math>q\in A[t]</math>. ==== Beispiel - Nullstellenproblem ==== In den komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> gibt des [[Fundamentalsatz der Algebra]], der besagt, dass jedes nicht-konstante Polynom <math>q\in \mathbb{C}[t]</math> mindestens eine Nullstelle <math>z_0\in \mathbb{C}</math>, d.h. <math>q(z_0)=0</math>. Die Nullstellen von Polynomen <math>q\in \mathbb{C}[t]</math> mit <math>q(z):=\sum_{k=m}^n q_k\cdot z^k</math> mit <math>m \geq 1</math> kann man zunächst einmal als Produkt eines Polynoms <math>\widetilde{q\,}(t) := \sum_{k=0}^{n-m} q_{k+m}\cdot z^k</math> und <math>z^m</math>. Die Exponent <math>m\in \mathbb{N}</math> kann bei einem nicht-konstanten Polynom <math>q\in \mathbb{C}[t]</math> so gewählt werden, dass <math>\widetilde{q\,}_0=q_{m}\neq 0</math> gilt. In einem solchen Fall ist das Nullstellenproblem direkt lösbar, wobei <math>z_0:=0\in\mathbb{C}</math> eine Nullstelle der Ordnung <math>m</math> ist. <span id="DefInversenProblem"></span> === Definition - Polynomiales Inversenproblem === Sei <math>(A,\mathcal{T}_{\!\!\!\!A})</math> eine unitale [[topologische Algebra]] mit Einselement <math>e_{\!\!_A}\in A</math> des Multiplikation und <math>(A[t],\mathcal{T}_{\!\!\!\!A[z]})</math> eine [[Polynomalgebra]] mit Koeffizienten aus <math>A</math> und [[topologischer Raum|Topologie]] <math>\mathcal{T}_{\!\!\!\!A[t]}</math>. Ein polynomiales Inversenproblem ist die Untersuchung der Lösbarkeit bzw. der Lösungen der Gleichung <math>p(z)\cdot z^m=e_{\!\!_A}</math> mit <math> z\in A</math>, <math>m\in \mathbb{N}_0</math> für ein gegebenes Polynom <math>q\in A[t]</math>. ==== Bemerkung - Transformationsrichtung ==== Jedes [[polynomiales Inversenproblem|polynomiale Inversenproblem]] lässt sich durch Ausmultiplizieren des Terms <math></math> und Subtraktion des neutralen Elementes der Multiplikation in ein [[polynomiales Nullstellenproblem]] transformieren. Die Umkehrung betrachtet das [[Lemma zur Nullstellen-Inversen-Transformation]]. ==== Beispiel - Polynomiale Transformation in ein Inversenproblem ==== Man möchte eine Nullstelle <math>z_0\in \mathbb{C}</math> von dem folgenden Polynom <math>q\in \mathbb{C}[t]</math> bestimmen: :<math> q(z) = 3\cdot z^7 -4\cdot z^4- 10\cdot z^3+9 </math> Das zugehörige [[polynomiales Nullstellenproblem|Nullstellenproblem]] lautet <math>q(z)=0</math> und ein Ersatzpolynom <math>\widetilde{q\,}</math> wird bestimmt, das die gleichen Nullstellen wie <math>q\in \mathbb{C}[t] </math> besitzt. Das Inversenproblem lautet dann: :<math> \widetilde{q\,}(z)\cdot z^3 = 1 \quad \quad \widetilde{q\,}^{(1)}(z) = -\tfrac{3}{9}\cdot z^4 +\tfrac{4}{9}\cdot z^1 + \tfrac{10}{9} </math> Die Potenz <math>m</math> maximiert man in der Regel so, bis <math>\widetilde{q\,}_0 \neq 0</math> gilt. == Lemma zur Nullstellen-Inversen-Transformation == Sei <math>(A,\mathcal{T}_{\!\!\!\!A})</math> eine unitale [[topologische Algebra]] mit Nullvektor <math>0_{\!\!_A}\in A</math>, Einselement <math>e_{\!\!_A}\in A</math> der Multiplikation und <math>(A[t],\mathcal{T}_{\!\!\!\!A[t]})</math> eine [[Polynomalgebra]] mit Koeffizienten aus <math>A</math> und [[topologischer Raum|Topologie]] <math>\mathcal{T}_{\!\!\!\!A[t]}</math>. Sei <math>q(z)=\sum_{k=0}^{n} q_k\cdot z^k=0_{\!\!_A}</math> mit <math>q_0\in \mathcal{G}(A)</math>, <math>z\in A</math> und <math>q\in A[t]</math>, dann lässt sich ein lösbares Nullstellenproblem <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math> in ein Inversenproblem <math> p(z)\cdot z^m = e_{\!\!_A}</math> mit <math>p(z) = \sum_{k=0}^{n-m} \underbrace{-q_0^{-1}\cdot q_{k-m}}_{=p_{k}} \cdot z^k </math> transformieren. == Beweis - Nullstellen-Inversen-Transformation == Aus <math>q_0\in \mathcal{G}(A)</math> folgt unmittelbar <math>q_0\neq 0_{\!\!_A}</math>, da der Nullvektor kein multiplikatives Inverses besitzt. In den nächsten Schritt wird eine Fallunterscheidung vorgenommen. === Schritt 1 - Grad(p) 0 === Wenn der Grad von <math>q</math> eine Konstante mit <math>q_0\neq 0 </math> ist. Ferner bistzt <math>q_0</math> wegen <math>q_0\in \mathcal{G}(A)</math> ein multiplikatives Inverses <math>q_0^{-1}\in A</math> von <math>q_0</math> und es gilt die folgende Gleichung: :<math> q_0\cdot q_0^{-1} = q_0^{-1}\cdot q_0 = e_{\!\!_A} \ \Longrightarrow \ q_0 \neq 0_{\!\!_A} </math> Wegen <math>q_0\in \mathcal{G}(A)</math> ist die Gleichung <math>0_{\!\!_A} \neq q_0 =q(z) = 0_{\!\!_A}</math> ist damit unlösbar und es gibt '''kein lösbares''' Nullstellenproblem <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math>. === Schritt 2 - Normalisierung des Nullstellenproblems === Mit der Existenz eines multiplikativen inversen Elementes <math>q_0^{-1}\in A</math> zu Konstant <math>q_0</math> gilt die Gleichung :<math> q_0\cdot q_0^{-1} = q_0^{-1}\cdot q_0 = e_{\!\!_A} </math> und man kann die Nullstellengleichung mit dem Element <math>-q_0^{-1}\in A</math> multiplizieren. Man erhält dann: :<math> 0_{\!\!_A} = -q_0^{-1}\cdot 0_{\!\!_A} = -q_0^{-1}\cdot q(z) = -\underbrace{q_0^{-1}\cdot q_0}_{=e_{\!\!_A}} + \sum_{k=1}^n -q_0^{-1}\cdot q_k \cdot z^k =: \widetilde{q\,}(z) </math> === Schritt 3 - Addition des neutralen Elements und Distributivegesetz === Man erhält durch Addition des neutralen Elements <math>e_{\!\!_A} </math> die Gleichung: :<math> e_{\!\!_A} = \widetilde{q\,}(z) + e_{\!\!_A} = \sum_{k=1}^n \underbrace{-q_0^{-1}\cdot q_k}_{=\widetilde{q\,}_k} \cdot z^k </math> Per Distributivgesetz kann man mindestens für <math>m=1</math> ein <math>z^m</math> ausklammern und es gilt: :<math> e_{\!\!_A} = \widetilde{q\,}(z) + e_{\!\!_A} = \bigg( \underbrace{\sum_{k=m}^n \underbrace{-q_0^{-1}\cdot q_k}_{=\widetilde{q\,}_k} \cdot z^{k-m} \bigg)}_{=:p(z)} \cdot z^{m} = p(z)\cdot z^{m} </math> === Schritt 4 - Darstellung als Inversenproblem === Insgesamt lässt sich damit jedes lösbare polynomiale Nullstellenproblem <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math> in ein polynomiales Inversenproblem <math>p(z)\cdot z^m = e_{\!\!_A}</math> überführen. === Schritt 5 - Lösungsmenge und Transformation === Im Allgemeinen verändert sich die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}:=\{z\in A\, : \, q(z)=c_0 \}</math> bei einer polynomialen Gleichung <math>q(z)=c_0\in A</math> bei folgenden Operationen nicht: * '''(AddL)''' Addition einer Konstanten <math> c \in A</math> auf beiden Gleichungsseiten mit <math>q(z)+c=c_0+c</math> und * '''(SMultL)''' Multiplikation mit einem Skalar <math>\lambda \in \mathbb{C}\setminus \{0\} </math> mit <math>\lambda\cdot q(z)=\lambda\cdot c_0\in A</math> Die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}:=\{z\in A\, : \, q(z)=c_0 \}</math> kann sich aber bei der Multiplikation mit einem Element <math>c\in A\setminus \{0_{\!\!_A}\}</math> aus der Algebra verändern (siehe Beispiel - [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Nullstellen-Inversen-Transformation#Loesungsmenge|Veränderung der Lösungsmenge]]) ==== Schritt 5.1 - Multiplikation mit invertierbaren Elementen ==== Es bleibt also zu zeigen, dass sich die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}:=\{z\in A\, : \, q(z)=0_{\!\!_A} \}</math> des polynomiale Nullstellenproblem <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math> nicht von der Lösungsmenge <math>\widehat{\mathbb{L}}:=\{z\in A\, : \, p(z)\cdot z^m =e_{\!\!_A} \}</math> des polynomiales Inversenproblem <math>p(z)\cdot z^m = e_{\!\!_A}</math> unterscheidet. ==== Schritt 5.2 - Multiplikation mit invertierbaren Elementen ==== Es gilt immer, dass für beliebige polynomiale Terme aus <math>q(z)=c_0</math> und beliebige <math>c\in A</math> auch <math>c\cdot q(z)=c \cdot c_0</math> gilt. Dies gilt als insbesondere für <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math> und <math>c:=q_0^{-1}</math>. Danach kann mit der Regel ''(AddL)'' aus Schritt 5 das neutrale Element der Multiplkation auf beiden Seiten addieren. Damit folgt aus <math>z\in\mathbb{L}</math>, dass auch <math>z\in \widehat{\mathbb{L}}</math> gilt und man erhält man die folgende Teilmengenbeziehung: :<math> \underbrace{\big\{z\in A\, : \, q(z)=0_{\!\!_A} \big\}}_{=\mathbb{L}} \ \subseteq \ \underbrace{\big\{z\in A\, : \, p(z)\cdot z^m =e_{\!\!_A} \big\}}_{=\widehat{\mathbb{L}}} </math> ==== Schritt 5.3 - Koeffizientendefinition des Polynoms nutzen ==== Sei nun <math>z\in \widehat{\mathbb{L}}</math> mit <math>p(z)\cdot z^m =e_{\!\!_A}</math> beliebig gewählt. Dabei gilt folgende Gleichung: :<math> 0_{\!\!_A} = p(z)\cdot z^m - e_{\!\!_A} =p(z)\cdot z^m -q_0^{-1}\cdot q_0 </math> Dabei ist <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math> das lösbare Nullstellenproblem, deren Koeffizienten für <math>p(z) = \sum_{k=0}^{n-m} \underbrace{-q_0^{-1}\cdot q_{k+m}}_{=p_{k}} \cdot z^k </math> verwendet werden. ==== Schritt 5.4 - Invertierbarkeit der Konstanten nutzen ==== Da <math>q_0\in \mathcal{G}(A)</math> ein multiplikatives Inverses Element besitzt, gilt auch <math>-q_0\in \mathcal{G}(A)</math>. Wählt man nun eine beliebige Lösung <math>z\in \widehat{\mathbb{L}}</math> der der Gleichung <math> 0_{\!\!_A} = p(z)\cdot z^m - e_{\!\!_A} </math>. Durch Multiplikation der Gleichung mit <math>-q_0</math> bleibt <math>z\in \widehat{\mathbb{L}}</math> weiterhin Lösung der Gleichung. ==== Schritt 5.5 - Multiplikation mit invertierbaren Elementen ==== Durch Einsetzen erhält man :<math> -q_0\cdot 0_{\!\!_A} = -q_0\cdot \big( p(z)\cdot z^m - e_{\!\!_A} \big) =-q_0\cdot p(z)\cdot z^m + q_0 </math> und zusammen mit der Definition von <math>p</math> das polynomiale Nullstellenproblem <math>q(z)=0_{\!\!_A} </math>: :<math> -q_0\cdot p(z) \cdot z^m + q_0= \underbrace{\left( \sum_{k=0}^{n-m} \underbrace{-q_0\cdot (-q_0^{-1})\cdot q_{k+m}}_{=q_{k+m}} \cdot z^{k+m} \right) + q_0}_{ = q(z)} </math> ==== Schritt 5.6 - Übereinstimmung der Lösungsmengen ==== Damit gilt auch die umgekehrte Inklusion <math> \mathbb{L} \ \supseteq \ \widehat{\mathbb{L}} </math> und mit Schritt 5.3 zusammen erhält man: :<math> \mathbb{L} \ = \ \widehat{\mathbb{L}} </math> Insgesamt stimmen also die Lösungsmengen für das Nullstellenproblem <math> \mathbb{L} </math> und die Lösungsmenge für das Inversenproblem <math>\widehat{\mathbb{L}}</math> überein. <math>\quad \Box</math> <span id="Loesungsmenge"></span> == Beispiel - Veränderung der Lösungsmenge durch Multiplikation == Das Beispiel behandelt ein Nullstellenproblem <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math> vom Grad 1 und es wird gezeigt, dass sich durch Multiplikation der Gleichung mit einem Element <math>a\in A\setminus \{0_{\!\!_A} \}</math> die Lösungsmenge von <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math> zu <math>a\cdot q(z)=a\cdot 0_{\!\!_A} = 0_{\!\!_A}</math> verändert. === Teilaspekte === Insgesamt werden dabei in einer Algebra <math>A</math> der quadratischen <math>2\times 2</math>-Matrizen * Nullteiler betrachtet, * Lösungsmenge von <math> q(z)= q_1 \cdot z = 0_{\!\!_A} </math> * Lösungsmenge von <math> a \cdot q_1 \cdot z = 0_{\!\!_A} </math> === Verknüfungen in der Algebra === Bzgl. der Algebra <math>A</math> betrachtet man die ''Polynomalgebra'' <math> A[t] </math>, wobei die Polynome <math>p\in A </math> Koeffizienten aus der Algebra der <math> 2 \times 2 </math>-Matrizen über den komplexen Zahlen <math> \mathbb{C} </math> besitzen. Die Addition der Matrizen erfolgt komponentenweise und die Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar <math>\lambda \in \mathbb{C}</math> wird analog zum Vektorraum <math>\mathbb{C}^n</math> komponentweise gestreckt. Die Multiplikation in <math>A</math> ist die Matrixmultiplikation als innere Verknüpfung. Die Multiplikation ist nicht kommutativ. === Matrizenalgebra === Die Algebra <math>A</math> besteht aus quadratischen Matrizen, damit die Matrixmultiplikation eine innere Verknüpfung in der :<math> A = Mat(2\times 2 , \mathbb{C}) = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \mid a,b,c,d \in \mathbb{C} \right\} </math> ==== Addition - Matrixalgebra ==== Die Addition und Multiplikation in <math> A[t] </math> sind wie folgt definiert: :<math> \begin{pmatrix} a_1 & b_1 \\ c_1 & d_1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a_2 & b_2 \\ c_2 & d_2 \end{pmatrix} := \begin{pmatrix} a_1+a_2 & b_1+b_2 \\ c_1+c_2 & d_1+d_2 \end{pmatrix} </math> ==== Multiplikation mit Skalar - Matrixalgebra ==== Multiplikation mit einem Skalar <math> \lambda \in \mathbb{C}</math> erfolgt komponentenweise: :<math> \lambda \cdot \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} := \begin{pmatrix} \lambda \cdot a & \lambda \cdot b \\ \lambda \cdot c & \lambda \cdot d \end{pmatrix} </math> ==== Multiplikation in der Matrixalgebra ==== Matrixmultiplikation ist die innere Verknüpfung der Form: :<math> \begin{array}{rccl} \cdot : & A \times A & \rightarrow & A \\ & \left( \begin{pmatrix} a_1 & b_1 \\ c_1 & d_1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} a_2 & b_2 \\ c_2 & d_2 \end{pmatrix} \right) & \mapsto & \begin{pmatrix} a_1a_2 + b_1c_2 & a_1b_2+b_1d_2 \\ c_1a_2+d_1c_2 & c_1b_2+d_1d_2 \end{pmatrix} \end{array} </math> === Polynomalgebra mit Matrizenal als Koeffizienten === Die Polynomalgebra <math> A[t] </math> besteht aus Polynomen der Form: :<math> q(t) = \sum_{k=0}^n q_k\cdot t^k, \quad \text{mit } q_k \in A </math> Die Multiplikation von Polynomen ist die Cauchy-Multiplikation in der [[Polynomalgebra]], wobei die Verknüfungen mit den Koeffizienten bereits über die Matrizenalgebra definert sind (siehe [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Nullstellen-Inversen-Transformation#Matrizenalgebra|Matrizenalgebra]]) ==== Aufgabe für Studierende ==== Verwenden Sie Ihre Vorwissen aus der Linearen Algebra und dem [[w:de:Satz_von_Cayley-Hamilton|Satz von Caley-Hamilton]]. Erläutern Sie, welche Polynome verwendet werden, bei denen man Matrizen <math>x\in A</math> als Argumente für <math>p(x)</math> verwendet werden (siehe [[w:de:charakteristisches Polynom|charakteristische Polynom]]). Welche Unterschiede bestehen zu der hier verwendeten Polynomalgebra? <span id="BeispielNT"></span> === Schritt 1 - Konstruktion von Nullteilern === In <math> Mat(2\times 2, \mathbb{C}) </math> gibt es '''Nullteiler''', d.h. Matrizen <math> a, q_1 \neq 0_{\!\!_A} </math>, sodass <math> a\cdot q_1 = 0_{\!\!_A} </math>, aber <math> q_1 \neq 0_{\!\!_A} </math>, <math> a \neq 0_{\!\!_A} </math>. In diesem Beispiel wählt man die folgenden Matrizen: :<math> q_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad a = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} </math> === Schritt 2 - Nullteilereigenschaft === Mit der Definition der obigen Matrizen gilt dann mit der Definition der Matrixmultiplikation: :<math> q_1 \cdot a = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = 0_{\!\!_A} </math> Die Nullteilereigenschaft kommutiert in diesem Fall :<math> a \cdot q_1 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = 0_{\!\!_A} </math> Also: <math> q_1 \cdot a = 0_{\!\!_A} </math> und <math> a \cdot q_1 = 0_{\!\!_A} </math>. In diesem Fall '''kommutiert''' die Multiplikation bzgl. [[Nullteiler|Linksnullteiler]] mit seinem "komplementären" [[Nullteiler|Rechtsnullteiler]]. === Schritt 3 - Anzahl komplementärer Nullteiler === Ein komplementärer [[Nullteiler|Rechtsnullteiler]] <math>a</math> zu ein [[Nullteiler|Linksnullteiler]] <math>q_0</math> ist nicht eindeutig bestimmt. :<math> q_1 \cdot b = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 4 & 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = 0_{\!\!_A} </math> Allgemein sind die folgenden Matrizen komplementäre Rechtsnullteiler zu <math>q_1</math>: :<math> b = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ b_1 & b_2 \end{pmatrix} \neq 0_{\!\!_A} </math> === Schritt 2 - Nicht-kommutative Nullteiler === Wählt man nun für die Matrix <math>a\in A</math> eine: :<math> q_1 = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad a = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} </math> ==== Schritt 2.1 - Berechnung der Matrixmultiplikation ==== Berechne Nullteilereigenschaft: :<math> a \cdot q_1 = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = 0_{\!\!_A} </math> Vertauscht man die beiden Faktoren erhält man die folgende Matrix: :<math> q_1 \cdot a = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 6 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \neq 0_A </math> ==== Schritt 2.2 - Nullteilereigenschaft - Faktorentausch ==== Also gilt mit Schritt 2.1, dass <math> a \cdot q_1 = 0_{\!\!_A} </math> erfüllt ist, aber nach Faktorentausch das Produkt <math> q_1 \cdot a \neq 0_{\!\!_A} </math> keine [[Nullteiler|Nullteilereigenschaft]] zeigt. Die [[Nullteiler|Nullteilereigenschaft]] ist nicht notwendigerweise kommutativ. ==== Bemerkung 2.3 - Bezeichnung Nullteiler ==== Die Unterschiede zeigen sich auch in der Bezeichnung, denn in Schritt 2.1 ist <math> q_1 </math> ein '''rechter Nullteiler''' von <math> a </math>, aber <math> a </math> ist '''kein linker Nullteiler''' von <math> q_1 </math>, da <math> q_1 \cdot a \neq 0 </math> gilt. === Schritt 3 - Polynom 1. Grades === Man betrachtet nun eine Nullstellenproblem mit einem einfachen Polynom vom Grad 1. Dieses Beispiel wurde gewählt, damit man die Veränderung der Lösungen bei Multiplikation einer Gleichung mit einem von <math>0_{\!\!_A}</math> verschiedenen Faktor <math>a\in A \subset A[t]</math> zu untersuchen. Dabei wird <math>A \subset A[t]</math> aufgefasst, wobei ein Element <math>a\in A </math> als konstantes Polynom in <math>A[t]</math> aufgefasst wird. ==== Schritt 3.1 - Formulierung des Nullstellenproblems ==== Sei <math> q(t) = q_1 \cdot t \in A[t] </math> ein Polynom vom Grad 1 mit dem Koeffizient <math> q_1 \in A</math> aus das Algebra der <math>2\times 2</math>-Matrizen. Das Nullstellenproblem wird durch die folgende einfache Gleichung formuliert: :<math> q(t)=q_1 \cdot t = 0_{\!\!_A} </math> ==== Schritt 3.2 - Lösungsmenge des Nullstellenproblems ==== Die Lösungsmenge der Gleichung <math> p_1 \cdot t = 0_{\!\!_A} </math> ist nun eine Teilmenge der Matrizenalgebra <math>A</math>, weil man <math> t\in A</math>, die die obige Gleichung lösen. Man wählt nun für die Gleichung die folgende Variablendefinitionen aus Schritt 2.2 : :<math> q_1 = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad \mathbb{L} = \{t\in A \ : \ q_1 \cdot t = 0_{\!\!_A} \} </math> Dabei ist <math>0_{\!\!_A}</math> die quadratische Nullmatrix aus <math>A</math> und auch <math>p_1</math> und <math>t</math> sind ebenfalls quadratische <math>2\times 2</math>-Matrizen. ==== Augabe 3.3 - Lösungsmenge bestimmen ==== Bestimmen Sie die Lösungsmenge des Nullstellenproblems aus Schritt 3.2 mit algebraischen Umformungen: :<math> t = \begin{pmatrix} t_1 & t_2 \\ t_3 & t_4 \end{pmatrix} \in A </math> ==== Schritt 3.4 - Multiplikation des Nullstellenproblems mit Faktor==== Als Faktor wählt man nun die folgende Matrix aus <math>A</math>: :<math> a = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} , \quad \widetilde{\mathbb{L}} = \{t\in A \ : \ a\cdot q_1 \cdot t = a\cdot 0_{\!\!_A} = 0_{\!\!_A} \} </math> === Schritt 4 - Formale Variablen === Die Polynome <math> q_1 \cdot t = 0_{\!\!_A}</math> bzw. <math> a\cdot q_1 \cdot t = a\cdot 0_{\!\!_A}</math> besitzt mit <math>t</math> eigentlich eine formale Variable ist. Das Polynom wird in obigen Beispiel mit <math>t\in A</math> ausgewertet. Möglich ist aber auch, dass die formale Variable mit Skalaren <math>t\in \mathbb{C}</math> ausgewertet wird. Die erfolgt z.B. bei [[Konvexkombination]]en mit <math>t\in [0,1]</math> oder allgemeiner <math>t\in \mathbb{C}</math>, wobei die Koeffizienten <math>p_k</math> des Polynoms wieder <math>2\times 2</math>-Matrizen sind. <math>p(t)\in A</math> ist dann wieder <math>2\times 2</math>-Matrix, die als Linearkombination der Matrizen polynomial berechnet wird. ==== Bemerkung 4.1 - Lösungsmenge ==== Die konkrete Bindung der formalen Variable <math>t</math> bestimmt auch die Grundmenge aus der die Lösungsmenge stammt. In dem hier gewählt Beispiel sucht man nach Matrizen <math>t\in A</math>, die eine Gleichung <math> q(t) = 0_{\!\!_A} </math> zu einer wahren Aussage machen. Damit ist die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}</math> der Gleichung für Polynome <math>q\in A[t] </math> eine Teilmenge von <math>A</math>. ==== Schritt 4.2 - Unterschiede in der Lösungsmenge ==== Aus der reellen und komplexen Analysis ist man gewohnt, Gleichungen mit von 0 verschiedenen Faktoren <math>a\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> zu multiplizieren, da diese Umformung in <math>\mathbb{C}</math> bzw. <math>\mathbb{R}</math> eine Äquivalenzumformung darstellt und damit die Lösungs einer Gleichung nicht verändert. In dem hier gewählten Bespiel ist das '''nicht der Fall''', da <math> q_1 \neq 0_{\!\!_A} </math> zwar nicht der Nullvektor ist, aber algebraisch die [[Nullteiler|Nullteilereigenschaft]] besitzt und damit Lösungsmenge hier verändert. === Schritt 4.3 - Bestimmung der Lösungsmengen === Man betrachtet die beiden folgenden Gleichungen in der Algebra <math> A </math>: * '''(L1)''' <math> q_1 \cdot t = 0_{\!\!_A} </math> für <math> t \in A </math> * '''(L2)''' <math> a \cdot q_1 \cdot t = 0_{\!\!_A} </math> für <math> t \in A </math> mit <math> p_1 </math> und <math> a </math> wie oben gewählt. ==== Schritt 4.3.1 - Lösungsmenge von Gleichung L1 ==== Man setzt zu dem gegebenen <math>q_1</math> die formale Variable <math>t</math> als beliebige <math>2\times 2</math>-Matrix mit den Einträgen <math>t_1,t_2,t_3,t_4\in \mathbb{C}</math>: :<math> q_1 = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad t = \begin{pmatrix} t_1 & t_2 \\ t_3 & t_4 \end{pmatrix} \in A </math> Dann liefert das Matrixprodukt mit <math>t\in A</math>: :<math> q_1 \cdot t = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} t_1 & t_2 \\ t_3 & t_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} t_1 & t_2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = 0_{\!\!_A} </math> ==== Schritt 4.3.2 - Nullteilereigenschaft für L1 ==== Damit das Matrixprodukt aus Schritt 4.3.1 die Nullmatrix <math> 0_{\!\!_A} </math> ergibt, muss <math>t_1=0</math> und <math>t_2=0</math> erfüllt sein. Damit besteht die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}_1</math> aus rechten komplementären [[Nullteiler|Nullteilern]] zu <math>q_1</math> und der und zumindest für eine der beiden Variable Nullmatrix <math> 0_{\!\!_A} </math>. Damit ist <math>\mathbb{L}</math> wie folgt definiert: :<math>\mathbb{L} := \left\{ \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ t_3 & t_4 \end{pmatrix} \ : \ t_1,t_2\in \mathbb{C} \right\} =\{ t\in A \ : \ q_1 \cdot t = 0_{\!\!_A} \} </math> ==== Schritt 4.3.3 - Lösungsmenge von Gleichung L2 ==== Man betrachtet nun die folgende Gleichung (L2) <math> a \cdot q_1 \cdot t = 0_{\!\!_A} </math> und sucht nach Lösungen <math> t \in A </math>, die die Gleichung <math> a\cdot (q_1 \cdot t) = a\cdot 0_{\!\!_A} = 0_{\!\!_A} </math> zu einer wahren Aussage machen. Dabei setzt man: :<math> a:=\begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \neq 0_{\!\!_A} </math> ==== Schritt 4.3.4 - Nullteilereigenschaft und Assoziativität bzgl L2 ==== Nach der [[Nullteiler|Nullteilereigenschaft]] bzgl. <math>q_1</math> und <math>a</math> (siehe Schritt 3) gilt mit der Assoziativität der Multiplikation in der topologischen Algebra folgende Gleichung: :<math> a\cdot (q_1 \cdot t) = \underbrace{(a\cdot q_1)}_{= 0_{\!\!_A} } \cdot t = 0_{\!\!_A} \cdot t = 0_{\!\!_A} </math> Diese Gleichung ist im Gegensatz zur Gleichung <math>q_1 \cdot t = 0_{\!\!_A} </math> für alle Matrizen <math>t\in A</math> lösbar und die Lösungsmenge <math>\widehat{\mathbb{L}} = A \neq \mathbb{L}</math>. Die Lösungsmenge der Gleichung <math> q_1 \cdot t = 0_{\!\!_A} </math> und <math> a \cdot q_1 \cdot t = 0_{\!\!_A} </math> stimmen also nicht überein. ==== Schritt 4.3.5 - Beispiel Einheitsmatrix ==== An einem Gegenbeispiel <math>t=e\in A</math>, nämlich der Einheitsmatrix aus <math>A</math>, kann man direkt sehen, dass die Lösungsmengen <math>\widehat{\mathbb{L}}</math> und <math>\mathbb{L}</math> verschieden sind, denn es gilt: :<math> e = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \quad \quad q_1 \cdot t = q_1 \neq 0_{\!\!_A} </math> und damit gilt <math>e\notin \mathbb{L}</math>. Aber <math>e\in \widehat{\mathbb{L}}</math> liegt in der zweiten Lösungsmenge mit :<math> a\cdot (q_1 \cdot e) = \underbrace{(a\cdot q_1)}_{= 0_{\!\!_A}} \cdot e = 0_{\!\!_A} \cdot e = 0_{\!\!_A} </math> === Schritt 4.4 - Lösungsmengen === Insgesamt wurde gezeigt, dass sich die Lösungsmengen bei der Multiplikation mit einem Element <math>a\neq 0_{\!\!_A}</math> die Lösungsmenge einer Gleichung verändern können. Ist <math>a</math> allerdings invertierbar, dann kann man (wie im obigen Lemma verwendet) Gleichung mit <math>a</math> multiplizieren, ohne dass sich die Lösungsmenge verändert. == Anwendungsbeispiele == In den reellen und komplexen Zahlen lassen sich mit der Aussage des Lemmas alle lösbaren polynomialen Nullstellenprobleme <math>q(z)=0</math> mit <math>q_0\neq 0</math> in ein polynomiales Inversenproblem <math>p(z)\cdot z^m = 1</math> überführen. Dies liegt an der Eigenschaft, dass <math>(\mathbb{R}\!\setminus \!\{0\},\cdot)</math> bzw. <math>(\mathbb{C}\!\setminus \!\{0\},\cdot)</math> eine multiplikative Gruppe <math>q_0\neq 0</math> ist und damit <math>q_0\in \mathcal{G}(\mathbb{R})</math> bzw. <math>q_0\in \mathcal{G}(\mathbb{C})</math> erfüllt ist. == Siehe auch == * [[Konvexkombination]] * [[Nullteiler]] * [[topologische Algebra]] * [[topologische Nullteiler]] * [[Topologischer Raum]] ou4holal1j94cjrxbu5f7k3ipcg6gig 1118708 1118707 2026-11-03T08:22:03Z Bert Niehaus 20843 1118708 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Auf einer unitalen [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>(A,\mathcal{T}_{\!\!\!\!A})</math> mit Einselement <math>e_{\!\!_A}\in A</math> und Nullvektor <math>0_{\!\!_A}\in A</math> kann man eine [[Polynomalgebra]] <math>(A[t],\mathcal{T}_{\!\!\!\!A[t]})</math> definieren. Ziel dieser Lerneinheit ist es, die Transformation von einem [[polynomiales Nullstellenproblem|polynomialen Nullstellenproblem]] <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math> in eine [[polynomiales Inversenproblem]] <math>p(z)\cdot z^m = e_{\!\!_A}</math> zu untersuchen. Die in Beispiel verwendeten [[Nullteiler]] in einer [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Nullstellen-Inversen-Transformation#BeispielNT|Matrixalgebra]] sind eine Spezialfall von [[topologischer Nullteiler|topologischen Nullteilern]]. === Bemerkung - Polynomalgebra und Auswertung in A === Bei der Betrachtung von Polynomalgebren muss man das Polynom als Vektor <math>q\in A[t]</math> der Polynomalgebra <math>A[t]</math> von der Auswertung des Polynoms an einer Stelle in <math>z\in A</math> unterscheiden. Die Auswertung <math>q(z)</math> eines Polynoms <math>q\in A[t]</math> an der Stelle <math>z\in A</math> ist nämlich ein Element von <math>A</math> und <math>q(z)\in A</math> als endliche Verknüpfungen von wohldefinierten Operationen in dem Algebra <math>A</math> (z.B. <math>a\cdot z^3 = a\cdot z\cdot z\cdot z\in A</math> und für <math>w_1,w_2\in A</math> gilt <math>w_1+w_2\in A</math>). Die Notation <math>q(z)\in A[t]</math> ist daher formal '''nicht korrekt''', sondern für <math>z\in A</math> gilt <math>q(z)\in A</math>. <span id="DefNullstellenProblem"></span> === Definition - Polynomiales Nullstellenproblem === Sei <math>(A,\mathcal{T}_{\!\!\!\!A})</math> eine [[topologische Algebra]] Nullvektor <math> 0_{\!\!_A}\in A</math> und <math>(A[t],\mathcal{T}_{\!\!\!\!A[z]})</math> eine [[Polynomalgebra]] mit Koeffizienten aus <math>A</math> und [[topologischer Raum|Topologie]] <math>\mathcal{T}_{\!\!\!\!A[z]}</math>. Ein polynomiales Nullstellenproblem vom Grad <math>n\in\mathbb{N}</math> ist die Untersuchung der Lösbarkeit bzw. der Lösungen der Gleichung <math>q(z)=\sum_{k=0}^{n} q_k\cdot z^k=0_{\!\!_A}</math> mit <math>q_0\neq 0_{\!\! A}</math>, <math>z\in A</math> und <math>q\in A[t]</math>. ==== Beispiel - Nullstellenproblem ==== In den komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> gibt des [[Fundamentalsatz der Algebra]], der besagt, dass jedes nicht-konstante Polynom <math>q\in \mathbb{C}[t]</math> mindestens eine Nullstelle <math>z_0\in \mathbb{C}</math>, d.h. <math>q(z_0)=0</math>. Die Nullstellen von Polynomen <math>q\in \mathbb{C}[t]</math> mit <math>q(z):=\sum_{k=m}^n q_k\cdot z^k</math> mit <math>m \geq 1</math> kann man zunächst einmal als Produkt eines Polynoms <math>\widetilde{q\,}(t) := \sum_{k=0}^{n-m} q_{k+m}\cdot z^k</math> und <math>z^m</math>. Die Exponent <math>m\in \mathbb{N}</math> kann bei einem nicht-konstanten Polynom <math>q\in \mathbb{C}[t]</math> so gewählt werden, dass <math>\widetilde{q\,}_0=q_{m}\neq 0</math> gilt. In einem solchen Fall ist das Nullstellenproblem direkt lösbar, wobei <math>z_0:=0\in\mathbb{C}</math> eine Nullstelle der Ordnung <math>m</math> ist. <span id="DefInversenProblem"></span> === Definition - Polynomiales Inversenproblem === Sei <math>(A,\mathcal{T}_{\!\!\!\!A})</math> eine unitale [[topologische Algebra]] mit Einselement <math>e_{\!\!_A}\in A</math> des Multiplikation und <math>(A[t],\mathcal{T}_{\!\!\!\!A[z]})</math> eine [[Polynomalgebra]] mit Koeffizienten aus <math>A</math> und [[topologischer Raum|Topologie]] <math>\mathcal{T}_{\!\!\!\!A[t]}</math>. Ein polynomiales Inversenproblem ist die Untersuchung der Lösbarkeit bzw. der Lösungen der Gleichung <math>p(z)\cdot z^m=e_{\!\!_A}</math> mit <math> z\in A</math>, <math>m\in \mathbb{N}_0</math> für ein gegebenes Polynom <math>q\in A[t]</math>. ==== Bemerkung - Transformationsrichtung ==== Jedes [[polynomiales Inversenproblem|polynomiale Inversenproblem]] lässt sich durch Ausmultiplizieren des Terms <math></math> und Subtraktion des neutralen Elementes der Multiplikation in ein [[polynomiales Nullstellenproblem]] transformieren. Die Umkehrung betrachtet das [[Lemma zur Nullstellen-Inversen-Transformation]]. ==== Beispiel - Polynomiale Transformation in ein Inversenproblem ==== Man möchte eine Nullstelle <math>z_0\in \mathbb{C}</math> von dem folgenden Polynom <math>q\in \mathbb{C}[t]</math> bestimmen: :<math> q(z) = 3\cdot z^7 -4\cdot z^4- 10\cdot z^3+9 </math> Das zugehörige [[polynomiales Nullstellenproblem|Nullstellenproblem]] lautet <math>q(z)=0</math> und ein Ersatzpolynom <math>\widetilde{q\,}</math> wird bestimmt, das die gleichen Nullstellen wie <math>q\in \mathbb{C}[t] </math> besitzt. Das Inversenproblem lautet dann: :<math> \widetilde{q\,}(z)\cdot z^3 = 1 \quad \quad \widetilde{q\,}^{(1)}(z) = -\tfrac{3}{9}\cdot z^4 +\tfrac{4}{9}\cdot z^1 + \tfrac{10}{9} </math> Die Potenz <math>m</math> maximiert man in der Regel so, bis <math>\widetilde{q\,}_0 \neq 0</math> gilt. == Lemma zur Nullstellen-Inversen-Transformation == Sei <math>(A,\mathcal{T}_{\!\!\!\!A})</math> eine unitale [[topologische Algebra]] mit Nullvektor <math>0_{\!\!_A}\in A</math>, Einselement <math>e_{\!\!_A}\in A</math> der Multiplikation und <math>(A[t],\mathcal{T}_{\!\!\!\!A[t]})</math> eine [[Polynomalgebra]] mit Koeffizienten aus <math>A</math> und [[topologischer Raum|Topologie]] <math>\mathcal{T}_{\!\!\!\!A[t]}</math>. Sei <math>q(z)=\sum_{k=0}^{n} q_k\cdot z^k=0_{\!\!_A}</math> mit <math>q_0\in \mathcal{G}(A)</math>, <math>z\in A</math> und <math>q\in A[t]</math>, dann lässt sich ein lösbares Nullstellenproblem <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math> in ein Inversenproblem <math> p(z)\cdot z^m = e_{\!\!_A}</math> mit <math>p(z) = \sum_{k=0}^{n-m} \underbrace{-q_0^{-1}\cdot q_{k-m}}_{=p_{k}} \cdot z^k </math> transformieren. == Beweis - Nullstellen-Inversen-Transformation == Aus <math>q_0\in \mathcal{G}(A)</math> folgt unmittelbar <math>q_0\neq 0_{\!\!_A}</math>, da der Nullvektor kein multiplikatives Inverses besitzt. In den nächsten Schritt wird eine Fallunterscheidung vorgenommen. === Schritt 1 - Grad(p) 0 === Wenn der Grad von <math>q</math> eine Konstante mit <math>q_0\neq 0 </math> ist. Ferner bistzt <math>q_0</math> wegen <math>q_0\in \mathcal{G}(A)</math> ein multiplikatives Inverses <math>q_0^{-1}\in A</math> von <math>q_0</math> und es gilt die folgende Gleichung: :<math> q_0\cdot q_0^{-1} = q_0^{-1}\cdot q_0 = e_{\!\!_A} \ \Longrightarrow \ q_0 \neq 0_{\!\!_A} </math> Wegen <math>q_0\in \mathcal{G}(A)</math> ist die Gleichung <math>0_{\!\!_A} \neq q_0 =q(z) = 0_{\!\!_A}</math> ist damit unlösbar und es gibt '''kein lösbares''' Nullstellenproblem <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math>. === Schritt 2 - Normalisierung des Nullstellenproblems === Mit der Existenz eines multiplikativen inversen Elementes <math>q_0^{-1}\in A</math> zu Konstant <math>q_0</math> gilt die Gleichung :<math> q_0\cdot q_0^{-1} = q_0^{-1}\cdot q_0 = e_{\!\!_A} </math> und man kann die Nullstellengleichung mit dem Element <math>-q_0^{-1}\in A</math> multiplizieren. Man erhält dann: :<math> 0_{\!\!_A} = -q_0^{-1}\cdot 0_{\!\!_A} = -q_0^{-1}\cdot q(z) = -\underbrace{q_0^{-1}\cdot q_0}_{=e_{\!\!_A}} + \sum_{k=1}^n -q_0^{-1}\cdot q_k \cdot z^k =: \widetilde{q\,}(z) </math> === Schritt 3 - Addition des neutralen Elements und Distributivegesetz === Man erhält durch Addition des neutralen Elements <math>e_{\!\!_A} </math> die Gleichung: :<math> e_{\!\!_A} = \widetilde{q\,}(z) + e_{\!\!_A} = \sum_{k=1}^n \underbrace{-q_0^{-1}\cdot q_k}_{=\widetilde{q\,}_k} \cdot z^k </math> Per Distributivgesetz kann man mindestens für <math>m=1</math> ein <math>z^m</math> ausklammern und es gilt: :<math> e_{\!\!_A} = \widetilde{q\,}(z) + e_{\!\!_A} = \bigg( \underbrace{\sum_{k=m}^n \underbrace{-q_0^{-1}\cdot q_k}_{=\widetilde{q\,}_k} \cdot z^{k-m} \bigg)}_{=:p(z)} \cdot z^{m} = p(z)\cdot z^{m} </math> === Schritt 4 - Darstellung als Inversenproblem === Insgesamt lässt sich damit jedes lösbare polynomiale Nullstellenproblem <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math> in ein polynomiales Inversenproblem <math>p(z)\cdot z^m = e_{\!\!_A}</math> überführen. === Schritt 5 - Lösungsmenge und Transformation === Im Allgemeinen verändert sich die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}:=\{z\in A\, : \, q(z)=c_0 \}</math> bei einer polynomialen Gleichung <math>q(z)=c_0\in A</math> bei folgenden Operationen nicht: * '''(AddL)''' Addition einer Konstanten <math> c \in A</math> auf beiden Gleichungsseiten mit <math>q(z)+c=c_0+c</math> und * '''(SMultL)''' Multiplikation mit einem Skalar <math>\lambda \in \mathbb{C}\setminus \{0\} </math> mit <math>\lambda\cdot q(z)=\lambda\cdot c_0\in A</math> Die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}:=\{z\in A\, : \, q(z)=c_0 \}</math> kann sich aber bei der Multiplikation mit einem Element <math>c\in A\setminus \{0_{\!\!_A}\}</math> aus der Algebra verändern (siehe Beispiel - [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Nullstellen-Inversen-Transformation#Loesungsmenge|Veränderung der Lösungsmenge]]) ==== Schritt 5.1 - Multiplikation mit invertierbaren Elementen ==== Es bleibt also zu zeigen, dass sich die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}:=\{z\in A\, : \, q(z)=0_{\!\!_A} \}</math> des polynomiale Nullstellenproblem <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math> nicht von der Lösungsmenge <math>\widehat{\mathbb{L}}:=\{z\in A\, : \, p(z)\cdot z^m =e_{\!\!_A} \}</math> des polynomiales Inversenproblem <math>p(z)\cdot z^m = e_{\!\!_A}</math> unterscheidet. ==== Schritt 5.2 - Multiplikation mit invertierbaren Elementen ==== Es gilt immer, dass für beliebige polynomiale Terme aus <math>q(z)=c_0</math> und beliebige <math>c\in A</math> auch <math>c\cdot q(z)=c \cdot c_0</math> gilt. Dies gilt als insbesondere für <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math> und <math>c:=q_0^{-1}</math>. Danach kann mit der Regel ''(AddL)'' aus Schritt 5 das neutrale Element der Multiplkation auf beiden Seiten addieren. Damit folgt aus <math>z\in\mathbb{L}</math>, dass auch <math>z\in \widehat{\mathbb{L}}</math> gilt und man erhält man die folgende Teilmengenbeziehung: :<math> \underbrace{\big\{z\in A\, : \, q(z)=0_{\!\!_A} \big\}}_{=\mathbb{L}} \ \subseteq \ \underbrace{\big\{z\in A\, : \, p(z)\cdot z^m =e_{\!\!_A} \big\}}_{=\widehat{\mathbb{L}}} </math> ==== Schritt 5.3 - Koeffizientendefinition des Polynoms nutzen ==== Sei nun <math>z\in \widehat{\mathbb{L}}</math> mit <math>p(z)\cdot z^m =e_{\!\!_A}</math> beliebig gewählt. Dabei gilt folgende Gleichung: :<math> 0_{\!\!_A} = p(z)\cdot z^m - e_{\!\!_A} =p(z)\cdot z^m -q_0^{-1}\cdot q_0 </math> Dabei ist <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math> das lösbare Nullstellenproblem, deren Koeffizienten für <math>p(z) = \sum_{k=0}^{n-m} \underbrace{-q_0^{-1}\cdot q_{k+m}}_{=p_{k}} \cdot z^k </math> verwendet werden. ==== Schritt 5.4 - Invertierbarkeit der Konstanten nutzen ==== Da <math>q_0\in \mathcal{G}(A)</math> ein multiplikatives Inverses Element besitzt, gilt auch <math>-q_0\in \mathcal{G}(A)</math>. Wählt man nun eine beliebige Lösung <math>z\in \widehat{\mathbb{L}}</math> der der Gleichung <math> 0_{\!\!_A} = p(z)\cdot z^m - e_{\!\!_A} </math>. Durch Multiplikation der Gleichung mit <math>-q_0</math> bleibt <math>z\in \widehat{\mathbb{L}}</math> weiterhin Lösung der Gleichung. ==== Schritt 5.5 - Multiplikation mit invertierbaren Elementen ==== Durch Einsetzen erhält man :<math> -q_0\cdot 0_{\!\!_A} = -q_0\cdot \big( p(z)\cdot z^m - e_{\!\!_A} \big) =-q_0\cdot p(z)\cdot z^m + q_0 </math> und zusammen mit der Definition von <math>p</math> das polynomiale Nullstellenproblem <math>q(z)=0_{\!\!_A} </math>: :<math> -q_0\cdot p(z) \cdot z^m + q_0= \underbrace{\left( \sum_{k=0}^{n-m} \underbrace{-q_0\cdot (-q_0^{-1})\cdot q_{k+m}}_{=q_{k+m}} \cdot z^{k+m} \right) + q_0}_{ = q(z)} </math> ==== Schritt 5.6 - Übereinstimmung der Lösungsmengen ==== Damit gilt auch die umgekehrte Inklusion <math> \mathbb{L} \ \supseteq \ \widehat{\mathbb{L}} </math> und mit Schritt 5.3 zusammen erhält man: :<math> \mathbb{L} \ = \ \widehat{\mathbb{L}} </math> Insgesamt stimmen also die Lösungsmengen für das Nullstellenproblem <math> \mathbb{L} </math> und die Lösungsmenge für das Inversenproblem <math>\widehat{\mathbb{L}}</math> überein. <math>\quad \Box</math> <span id="Loesungsmenge"></span> == Beispiel - Veränderung der Lösungsmenge durch Multiplikation == Das Beispiel behandelt ein Nullstellenproblem <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math> vom Grad 1 und es wird gezeigt, dass sich durch Multiplikation der Gleichung mit einem Element <math>a\in A\setminus \{0_{\!\!_A} \}</math> die Lösungsmenge von <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math> zu <math>a\cdot q(z)=a\cdot 0_{\!\!_A} = 0_{\!\!_A}</math> verändert. === Teilaspekte === Insgesamt werden dabei in einer Algebra <math>A</math> der quadratischen <math>2\times 2</math>-Matrizen * Nullteiler betrachtet, * Lösungsmenge von <math> q(z)= q_1 \cdot z = 0_{\!\!_A} </math> * Lösungsmenge von <math> a \cdot q_1 \cdot z = 0_{\!\!_A} </math> === Verknüfungen in der Algebra === Bzgl. der Algebra <math>A</math> betrachtet man die ''Polynomalgebra'' <math> A[t] </math>, wobei die Polynome <math>p\in A </math> Koeffizienten aus der Algebra der <math> 2 \times 2 </math>-Matrizen über den komplexen Zahlen <math> \mathbb{C} </math> besitzen. Die Addition der Matrizen erfolgt komponentenweise und die Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar <math>\lambda \in \mathbb{C}</math> wird analog zum Vektorraum <math>\mathbb{C}^n</math> komponentweise gestreckt. Die Multiplikation in <math>A</math> ist die Matrixmultiplikation als innere Verknüpfung. Die Multiplikation ist nicht kommutativ. === Matrizenalgebra === Die Algebra <math>A</math> besteht aus quadratischen Matrizen, damit die Matrixmultiplikation eine innere Verknüpfung in der :<math> A = Mat(2\times 2 , \mathbb{C}) = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \mid a,b,c,d \in \mathbb{C} \right\} </math> ==== Addition - Matrixalgebra ==== Die Addition und Multiplikation in <math> A[t] </math> sind wie folgt definiert: :<math> \begin{pmatrix} a_1 & b_1 \\ c_1 & d_1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a_2 & b_2 \\ c_2 & d_2 \end{pmatrix} := \begin{pmatrix} a_1+a_2 & b_1+b_2 \\ c_1+c_2 & d_1+d_2 \end{pmatrix} </math> ==== Multiplikation mit Skalar - Matrixalgebra ==== Multiplikation mit einem Skalar <math> \lambda \in \mathbb{C}</math> erfolgt komponentenweise: :<math> \lambda \cdot \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} := \begin{pmatrix} \lambda \cdot a & \lambda \cdot b \\ \lambda \cdot c & \lambda \cdot d \end{pmatrix} </math> ==== Multiplikation in der Matrixalgebra ==== Matrixmultiplikation ist die innere Verknüpfung der Form: :<math> \begin{array}{rccl} \cdot : & A \times A & \rightarrow & A \\ & \left( \begin{pmatrix} a_1 & b_1 \\ c_1 & d_1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} a_2 & b_2 \\ c_2 & d_2 \end{pmatrix} \right) & \mapsto & \begin{pmatrix} a_1a_2 + b_1c_2 & a_1b_2+b_1d_2 \\ c_1a_2+d_1c_2 & c_1b_2+d_1d_2 \end{pmatrix} \end{array} </math> === Polynomalgebra mit Matrizenal als Koeffizienten === Die Polynomalgebra <math> A[t] </math> besteht aus Polynomen der Form: :<math> q(t) = \sum_{k=0}^n q_k\cdot t^k, \quad \text{mit } q_k \in A </math> Die Multiplikation von Polynomen ist die Cauchy-Multiplikation in der [[Polynomalgebra]], wobei die Verknüfungen mit den Koeffizienten bereits über die Matrizenalgebra definert sind (siehe [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Nullstellen-Inversen-Transformation#Matrizenalgebra|Matrizenalgebra]]) ==== Aufgabe für Studierende ==== Verwenden Sie Ihre Vorwissen aus der Linearen Algebra und dem [[w:de:Satz_von_Cayley-Hamilton|Satz von Caley-Hamilton]]. Erläutern Sie, welche Polynome verwendet werden, bei denen man Matrizen <math>x\in A</math> als Argumente für <math>p(x)</math> verwendet werden (siehe [[w:de:charakteristisches Polynom|charakteristische Polynom]]). Welche Unterschiede bestehen zu der hier verwendeten Polynomalgebra? <span id="BeispielNT"></span> === Schritt 1 - Konstruktion von Nullteilern === In <math> Mat(2\times 2, \mathbb{C}) </math> gibt es '''Nullteiler''', d.h. Matrizen <math> a, q_1 \neq 0_{\!\!_A} </math>, sodass <math> a\cdot q_1 = 0_{\!\!_A} </math>, aber <math> q_1 \neq 0_{\!\!_A} </math>, <math> a \neq 0_{\!\!_A} </math>. In diesem Beispiel wählt man die folgenden Matrizen: :<math> q_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad a = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} </math> === Schritt 2 - Nullteilereigenschaft === Mit der Definition der obigen Matrizen gilt dann mit der Definition der Matrixmultiplikation: :<math> q_1 \cdot a = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = 0_{\!\!_A} </math> Die Nullteilereigenschaft kommutiert in diesem Fall :<math> a \cdot q_1 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = 0_{\!\!_A} </math> Also: <math> q_1 \cdot a = 0_{\!\!_A} </math> und <math> a \cdot q_1 = 0_{\!\!_A} </math>. In diesem Fall '''kommutiert''' die Multiplikation bzgl. [[Nullteiler|Linksnullteiler]] mit seinem "komplementären" [[Nullteiler|Rechtsnullteiler]]. === Schritt 3 - Anzahl komplementärer Nullteiler === Ein komplementärer [[Nullteiler|Rechtsnullteiler]] <math>a</math> zu ein [[Nullteiler|Linksnullteiler]] <math>q_0</math> ist nicht eindeutig bestimmt. :<math> q_1 \cdot b = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 4 & 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = 0_{\!\!_A} </math> Allgemein sind die folgenden Matrizen komplementäre Rechtsnullteiler zu <math>q_1</math>: :<math> b = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ b_1 & b_2 \end{pmatrix} \neq 0_{\!\!_A} </math> === Schritt 2 - Nicht-kommutative Nullteiler === Wählt man nun für die Matrix <math>a\in A</math> eine: :<math> q_1 = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad a = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} </math> ==== Schritt 2.1 - Berechnung der Matrixmultiplikation ==== Berechne Nullteilereigenschaft: :<math> a \cdot q_1 = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = 0_{\!\!_A} </math> Vertauscht man die beiden Faktoren erhält man die folgende Matrix: :<math> q_1 \cdot a = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 6 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \neq 0_A </math> ==== Schritt 2.2 - Nullteilereigenschaft - Faktorentausch ==== Also gilt mit Schritt 2.1, dass <math> a \cdot q_1 = 0_{\!\!_A} </math> erfüllt ist, aber nach Faktorentausch das Produkt <math> q_1 \cdot a \neq 0_{\!\!_A} </math> keine [[Nullteiler|Nullteilereigenschaft]] zeigt. Die [[Nullteiler|Nullteilereigenschaft]] ist nicht notwendigerweise kommutativ. ==== Bemerkung 2.3 - Bezeichnung Nullteiler ==== Die Unterschiede zeigen sich auch in der Bezeichnung, denn in Schritt 2.1 ist <math> q_1 </math> ein '''rechter Nullteiler''' von <math> a </math>, aber <math> a </math> ist '''kein linker Nullteiler''' von <math> q_1 </math>, da <math> q_1 \cdot a \neq 0 </math> gilt. === Schritt 3 - Polynom 1. Grades === Man betrachtet nun eine Nullstellenproblem mit einem einfachen Polynom vom Grad 1. Dieses Beispiel wurde gewählt, damit man die Veränderung der Lösungen bei Multiplikation einer Gleichung mit einem von <math>0_{\!\!_A}</math> verschiedenen Faktor <math>a\in A \subset A[t]</math> zu untersuchen. Dabei wird <math>A \subset A[t]</math> aufgefasst, wobei ein Element <math>a\in A </math> als konstantes Polynom in <math>A[t]</math> aufgefasst wird. ==== Schritt 3.1 - Formulierung des Nullstellenproblems ==== Sei <math> q(t) = q_1 \cdot t \in A[t] </math> ein Polynom vom Grad 1 mit dem Koeffizient <math> q_1 \in A</math> aus das Algebra der <math>2\times 2</math>-Matrizen. Das Nullstellenproblem wird durch die folgende einfache Gleichung formuliert: :<math> q(t)=q_1 \cdot t = 0_{\!\!_A} </math> ==== Schritt 3.2 - Lösungsmenge des Nullstellenproblems ==== Die Lösungsmenge der Gleichung <math> p_1 \cdot t = 0_{\!\!_A} </math> ist nun eine Teilmenge der Matrizenalgebra <math>A</math>, weil man <math> t\in A</math>, die die obige Gleichung lösen. Man wählt nun für die Gleichung die folgende Variablendefinitionen aus Schritt 2.2 : :<math> q_1 = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad \mathbb{L} = \{t\in A \ : \ q_1 \cdot t = 0_{\!\!_A} \} </math> Dabei ist <math>0_{\!\!_A}</math> die quadratische Nullmatrix aus <math>A</math> und auch <math>p_1</math> und <math>t</math> sind ebenfalls quadratische <math>2\times 2</math>-Matrizen. ==== Augabe 3.3 - Lösungsmenge bestimmen ==== Bestimmen Sie die Lösungsmenge des Nullstellenproblems aus Schritt 3.2 mit algebraischen Umformungen: :<math> t = \begin{pmatrix} t_1 & t_2 \\ t_3 & t_4 \end{pmatrix} \in A </math> ==== Schritt 3.4 - Multiplikation des Nullstellenproblems mit Faktor==== Als Faktor wählt man nun die folgende Matrix aus <math>A</math>: :<math> a = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} , \quad \widetilde{\mathbb{L}} = \{t\in A \ : \ a\cdot q_1 \cdot t = a\cdot 0_{\!\!_A} = 0_{\!\!_A} \} </math> === Schritt 4 - Formale Variablen === Die Polynome <math> q_1 \cdot t = 0_{\!\!_A}</math> bzw. <math> a\cdot q_1 \cdot t = a\cdot 0_{\!\!_A}</math> besitzt mit <math>t</math> eigentlich eine formale Variable ist. Das Polynom wird in obigen Beispiel mit <math>t\in A</math> ausgewertet. Möglich ist aber auch, dass die formale Variable mit Skalaren <math>t\in \mathbb{C}</math> ausgewertet wird. Die erfolgt z.B. bei [[Konvexkombination]]en mit <math>t\in [0,1]</math> oder allgemeiner <math>t\in \mathbb{C}</math>, wobei die Koeffizienten <math>p_k</math> des Polynoms wieder <math>2\times 2</math>-Matrizen sind. <math>p(t)\in A</math> ist dann wieder <math>2\times 2</math>-Matrix, die als Linearkombination der Matrizen polynomial berechnet wird. ==== Bemerkung 4.1 - Lösungsmenge ==== Die konkrete Bindung der formalen Variable <math>t</math> bestimmt auch die Grundmenge aus der die Lösungsmenge stammt. In dem hier gewählt Beispiel sucht man nach Matrizen <math>t\in A</math>, die eine Gleichung <math> q(t) = 0_{\!\!_A} </math> zu einer wahren Aussage machen. Damit ist die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}</math> der Gleichung für Polynome <math>q\in A[t] </math> eine Teilmenge von <math>A</math>. ==== Schritt 4.2 - Unterschiede in der Lösungsmenge ==== Aus der reellen und komplexen Analysis ist man gewohnt, Gleichungen mit von 0 verschiedenen Faktoren <math>a\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> zu multiplizieren, da diese Umformung in <math>\mathbb{C}</math> bzw. <math>\mathbb{R}</math> eine Äquivalenzumformung darstellt und damit die Lösungs einer Gleichung nicht verändert. In dem hier gewählten Bespiel ist das '''nicht der Fall''', da <math> q_1 \neq 0_{\!\!_A} </math> zwar nicht der Nullvektor ist, aber algebraisch die [[Nullteiler|Nullteilereigenschaft]] besitzt und damit Lösungsmenge hier verändert. === Schritt 4.3 - Bestimmung der Lösungsmengen === Man betrachtet die beiden folgenden Gleichungen in der Algebra <math> A </math>: * '''(L1)''' <math> q_1 \cdot t = 0_{\!\!_A} </math> für <math> t \in A </math> * '''(L2)''' <math> a \cdot q_1 \cdot t = 0_{\!\!_A} </math> für <math> t \in A </math> mit <math> p_1 </math> und <math> a </math> wie oben gewählt. ==== Schritt 4.3.1 - Lösungsmenge von Gleichung L1 ==== Man setzt zu dem gegebenen <math>q_1</math> die formale Variable <math>t</math> als beliebige <math>2\times 2</math>-Matrix mit den Einträgen <math>t_1,t_2,t_3,t_4\in \mathbb{C}</math>: :<math> q_1 = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad t = \begin{pmatrix} t_1 & t_2 \\ t_3 & t_4 \end{pmatrix} \in A </math> Dann liefert das Matrixprodukt mit <math>t\in A</math>: :<math> q_1 \cdot t = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} t_1 & t_2 \\ t_3 & t_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} t_1 & t_2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = 0_{\!\!_A} </math> ==== Schritt 4.3.2 - Nullteilereigenschaft für L1 ==== Damit das Matrixprodukt aus Schritt 4.3.1 die Nullmatrix <math> 0_{\!\!_A} </math> ergibt, muss <math>t_1=0</math> und <math>t_2=0</math> erfüllt sein. Damit besteht die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}_1</math> aus rechten komplementären [[Nullteiler|Nullteilern]] zu <math>q_1</math> und der und zumindest für eine der beiden Variable Nullmatrix <math> 0_{\!\!_A} </math>. Damit ist <math>\mathbb{L}</math> wie folgt definiert: :<math>\mathbb{L} := \left\{ \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ t_3 & t_4 \end{pmatrix} \ : \ t_1,t_2\in \mathbb{C} \right\} =\{ t\in A \ : \ q_1 \cdot t = 0_{\!\!_A} \} </math> ==== Schritt 4.3.3 - Lösungsmenge von Gleichung L2 ==== Man betrachtet nun die folgende Gleichung (L2) <math> a \cdot q_1 \cdot t = 0_{\!\!_A} </math> und sucht nach Lösungen <math> t \in A </math>, die die Gleichung <math> a\cdot (q_1 \cdot t) = a\cdot 0_{\!\!_A} = 0_{\!\!_A} </math> zu einer wahren Aussage machen. Dabei setzt man: :<math> a:=\begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \neq 0_{\!\!_A} </math> ==== Schritt 4.3.4 - Nullteilereigenschaft und Assoziativität bzgl L2 ==== Nach der [[Nullteiler|Nullteilereigenschaft]] bzgl. <math>q_1</math> und <math>a</math> (siehe Schritt 3) gilt mit der Assoziativität der Multiplikation in der topologischen Algebra folgende Gleichung: :<math> a\cdot (q_1 \cdot t) = \underbrace{(a\cdot q_1)}_{= 0_{\!\!_A} } \cdot t = 0_{\!\!_A} \cdot t = 0_{\!\!_A} </math> Diese Gleichung ist im Gegensatz zur Gleichung <math>q_1 \cdot t = 0_{\!\!_A} </math> für alle Matrizen <math>t\in A</math> lösbar und die Lösungsmenge <math>\widehat{\mathbb{L}} = A \neq \mathbb{L}</math>. Die Lösungsmenge der Gleichung <math> q_1 \cdot t = 0_{\!\!_A} </math> und <math> a \cdot q_1 \cdot t = 0_{\!\!_A} </math> stimmen also nicht überein. ==== Schritt 4.3.5 - Beispiel Einheitsmatrix ==== An einem Gegenbeispiel <math>t=e\in A</math>, nämlich der Einheitsmatrix aus <math>A</math>, kann man direkt sehen, dass die Lösungsmengen <math>\widehat{\mathbb{L}}</math> und <math>\mathbb{L}</math> verschieden sind, denn es gilt: :<math> e = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \quad \quad q_1 \cdot t = q_1 \neq 0_{\!\!_A} </math> und damit gilt <math>e\notin \mathbb{L}</math>. Aber <math>e\in \widehat{\mathbb{L}}</math> liegt in der zweiten Lösungsmenge mit :<math> a\cdot (q_1 \cdot e) = \underbrace{(a\cdot q_1)}_{= 0_{\!\!_A}} \cdot e = 0_{\!\!_A} \cdot e = 0_{\!\!_A} </math> === Schritt 4.4 - Lösungsmengen === Insgesamt wurde gezeigt, dass sich die Lösungsmengen bei der Multiplikation mit einem Element <math>a\neq 0_{\!\!_A}</math> die Lösungsmenge einer Gleichung verändern können. Ist <math>a</math> allerdings invertierbar, dann kann man (wie im obigen Lemma verwendet) Gleichung mit <math>a</math> multiplizieren, ohne dass sich die Lösungsmenge verändert. == Anwendungsbeispiele == In den reellen und komplexen Zahlen lassen sich mit der Aussage des Lemmas alle lösbaren polynomialen Nullstellenprobleme <math>q(z)=0</math> mit <math>q_0\neq 0</math> in ein polynomiales Inversenproblem <math>p(z)\cdot z^m = 1</math> überführen. Dies liegt an der Eigenschaft, dass <math>(\mathbb{R}\!\setminus \!\{0\},\cdot)</math> bzw. <math>(\mathbb{C}\!\setminus \!\{0\},\cdot)</math> eine multiplikative Gruppe <math>q_0\neq 0</math> ist und damit <math>q_0\in \mathcal{G}(\mathbb{R})</math> bzw. <math>q_0\in \mathcal{G}(\mathbb{C})</math> erfüllt ist. == Siehe auch == * [[Konvexkombination]] * [[Nullteiler]] * [[topologische Algebra]] * [[topologische Nullteiler]] * [[Topologischer Raum]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Nullstellen-Inversen-Transformation&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Nullstellen-Inversen-Transformation&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Nullstellen-Inversen-Transformation&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Nullstellen-Inversen-Transformation&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Nullstellen-Inversen-Transformation https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Nullstellen-Inversen-Transformation] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Nullstellen-Inversen-Transformation Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Nullstellen-Inversen-Transformation * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Nullstellen-Inversen-Transformation&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Nullstellen-Inversen-Transformation&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] bsav7qe33vqm5yvw791era1zwzvxcl0 0 173284 1118639 1117789 2026-11-02T13:24:59Z Lennart Theofel 42059 /* Einleitung */ 1118639 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[Datei:Lick Fire on the Umatilla National Forest burning at night.jpg|mini|Waldbrand]] Ziel der Modellbildung ist es, Risikokarten für eine bestimmte Region in zeitlicher Entwicklung zu visualisieren. Modelle sollen dabei unterstützen, um Risiko wahrnehmen zu können, ökonomische und ökologischen Risiken zu quantifizieren und Gegenmaßnahmen zur Risikoprävention abzuleiten. Dies ist insbesondere in heißen Regionen der Erde wesentlich für die Evakuierung von Menschen (siehe Australien<ref>Shahparvari, S., Chhetri, P., Abareshi, A., & Abbasi, B. (2026). Multi-objective decision analytics for short-notice bushfire evacuation: An Australian case study. The Australasian Journal of Information Systems, 19(1), 31.</ref>) ==Zyklen der Modellierung== * [[/SEK 1/]] == Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[Kurs:Mathematische Modellbildung]] * [[w:de:Waldbrandgefährdung (Deutschland)|Waldbrandgefährdung]] onejdc32w3g2b8nonjf2mmx26z08jj4 1118640 1118639 2026-11-02T13:26:58Z Lennart Theofel 42059 /* Zyklen der Modellierung */ 1118640 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[Datei:Lick Fire on the Umatilla National Forest burning at night.jpg|mini|Waldbrand]] Ziel der Modellbildung ist es, Risikokarten für eine bestimmte Region in zeitlicher Entwicklung zu visualisieren. Modelle sollen dabei unterstützen, um Risiko wahrnehmen zu können, ökonomische und ökologischen Risiken zu quantifizieren und Gegenmaßnahmen zur Risikoprävention abzuleiten. Dies ist insbesondere in heißen Regionen der Erde wesentlich für die Evakuierung von Menschen (siehe Australien<ref>Shahparvari, S., Chhetri, P., Abareshi, A., & Abbasi, B. (2026). Multi-objective decision analytics for short-notice bushfire evacuation: An Australian case study. The Australasian Journal of Information Systems, 19(1), 31.</ref>) ==Zyklen der Modellierung== * [[/Sek 1/|Sekundarstufe 1]] == Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[Kurs:Mathematische Modellbildung]] * [[w:de:Waldbrandgefährdung (Deutschland)|Waldbrandgefährdung]] m0c29gq3hbuyab9tegwazev4wkwsh69 1118641 1118640 2026-11-02T13:28:07Z Lennart Theofel 42059 /* Zyklen der Modellierung */ 1118641 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[Datei:Lick Fire on the Umatilla National Forest burning at night.jpg|mini|Waldbrand]] Ziel der Modellbildung ist es, Risikokarten für eine bestimmte Region in zeitlicher Entwicklung zu visualisieren. Modelle sollen dabei unterstützen, um Risiko wahrnehmen zu können, ökonomische und ökologischen Risiken zu quantifizieren und Gegenmaßnahmen zur Risikoprävention abzuleiten. Dies ist insbesondere in heißen Regionen der Erde wesentlich für die Evakuierung von Menschen (siehe Australien<ref>Shahparvari, S., Chhetri, P., Abareshi, A., & Abbasi, B. (2026). Multi-objective decision analytics for short-notice bushfire evacuation: An Australian case study. The Australasian Journal of Information Systems, 19(1), 31.</ref>) ==Zyklen der Modellierung== * [[/Sek 1/|Sekundarstufe 1]] * [[/Sek 2/|Sekundarstufe 2]] * [[/Uni/|Uni-Niveau]] == Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[Kurs:Mathematische Modellbildung]] * [[w:de:Waldbrandgefährdung (Deutschland)|Waldbrandgefährdung]] s3h08z7utkrm3b5hyf6ledoo2ufchm9 1118642 1118641 2026-11-02T13:29:09Z Lennart Theofel 42059 /* Zyklen der Modellierung */ 1118642 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[Datei:Lick Fire on the Umatilla National Forest burning at night.jpg|mini|Waldbrand]] Ziel der Modellbildung ist es, Risikokarten für eine bestimmte Region in zeitlicher Entwicklung zu visualisieren. Modelle sollen dabei unterstützen, um Risiko wahrnehmen zu können, ökonomische und ökologischen Risiken zu quantifizieren und Gegenmaßnahmen zur Risikoprävention abzuleiten. Dies ist insbesondere in heißen Regionen der Erde wesentlich für die Evakuierung von Menschen (siehe Australien<ref>Shahparvari, S., Chhetri, P., Abareshi, A., & Abbasi, B. (2026). Multi-objective decision analytics for short-notice bushfire evacuation: An Australian case study. The Australasian Journal of Information Systems, 19(1), 31.</ref>) ==Zyklen der Modellierung== * [[/Sek 1/|Sekundarstufe 1]] * [[/Sek 2/|Sekundarstufe 2]] * [[/Uni/|Uni-Niveau]] ""Mathematische Modellbildung"" == Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[Kurs:Mathematische Modellbildung]] * [[w:de:Waldbrandgefährdung (Deutschland)|Waldbrandgefährdung]] cwlguhp1blwjwksgjg1c8e22yionrq5 1118643 1118642 2026-11-02T13:29:49Z Lennart Theofel 42059 /* Zyklen der Modellierung */ 1118643 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[Datei:Lick Fire on the Umatilla National Forest burning at night.jpg|mini|Waldbrand]] Ziel der Modellbildung ist es, Risikokarten für eine bestimmte Region in zeitlicher Entwicklung zu visualisieren. Modelle sollen dabei unterstützen, um Risiko wahrnehmen zu können, ökonomische und ökologischen Risiken zu quantifizieren und Gegenmaßnahmen zur Risikoprävention abzuleiten. Dies ist insbesondere in heißen Regionen der Erde wesentlich für die Evakuierung von Menschen (siehe Australien<ref>Shahparvari, S., Chhetri, P., Abareshi, A., & Abbasi, B. (2026). Multi-objective decision analytics for short-notice bushfire evacuation: An Australian case study. The Australasian Journal of Information Systems, 19(1), 31.</ref>) ==Zyklen der Modellierung== * [[/Sek 1/|Sekundarstufe 1]] * [[/Sek 2/|Sekundarstufe 2]] * [[/Uni/|Uni-Niveau]] ==Mathematische Modellbildung== ==Software für die Modellierung== == Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[Kurs:Mathematische Modellbildung]] * [[w:de:Waldbrandgefährdung (Deutschland)|Waldbrandgefährdung]] 4qxt6svakifgwmprnelm95o0714eik3 1118644 1118643 2026-11-02T13:30:46Z Lennart Theofel 42059 /* Software für die Modellierung */ 1118644 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[Datei:Lick Fire on the Umatilla National Forest burning at night.jpg|mini|Waldbrand]] Ziel der Modellbildung ist es, Risikokarten für eine bestimmte Region in zeitlicher Entwicklung zu visualisieren. Modelle sollen dabei unterstützen, um Risiko wahrnehmen zu können, ökonomische und ökologischen Risiken zu quantifizieren und Gegenmaßnahmen zur Risikoprävention abzuleiten. Dies ist insbesondere in heißen Regionen der Erde wesentlich für die Evakuierung von Menschen (siehe Australien<ref>Shahparvari, S., Chhetri, P., Abareshi, A., & Abbasi, B. (2026). Multi-objective decision analytics for short-notice bushfire evacuation: An Australian case study. The Australasian Journal of Information Systems, 19(1), 31.</ref>) ==Zyklen der Modellierung== * [[/Sek 1/|Sekundarstufe 1]] * [[/Sek 2/|Sekundarstufe 2]] * [[/Uni/|Uni-Niveau]] ==Mathematische Modellbildung== ==Software für die Modellierung== * [[Geogebra]] == Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[Kurs:Mathematische Modellbildung]] * [[w:de:Waldbrandgefährdung (Deutschland)|Waldbrandgefährdung]] jwg2ist0gcp8zkvqkpin68i5a874cp5 1118645 1118644 2026-11-02T13:31:30Z Lennart Theofel 42059 /* Software für die Modellierung */ 1118645 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[Datei:Lick Fire on the Umatilla National Forest burning at night.jpg|mini|Waldbrand]] Ziel der Modellbildung ist es, Risikokarten für eine bestimmte Region in zeitlicher Entwicklung zu visualisieren. Modelle sollen dabei unterstützen, um Risiko wahrnehmen zu können, ökonomische und ökologischen Risiken zu quantifizieren und Gegenmaßnahmen zur Risikoprävention abzuleiten. Dies ist insbesondere in heißen Regionen der Erde wesentlich für die Evakuierung von Menschen (siehe Australien<ref>Shahparvari, S., Chhetri, P., Abareshi, A., & Abbasi, B. (2026). Multi-objective decision analytics for short-notice bushfire evacuation: An Australian case study. The Australasian Journal of Information Systems, 19(1), 31.</ref>) ==Zyklen der Modellierung== * [[/Sek 1/|Sekundarstufe 1]] * [[/Sek 2/|Sekundarstufe 2]] * [[/Uni/|Uni-Niveau]] ==Mathematische Modellbildung== ==Software für die Modellierung== * [[Geogebra]] * [[Maxima CAS]] == Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[Kurs:Mathematische Modellbildung]] * [[w:de:Waldbrandgefährdung (Deutschland)|Waldbrandgefährdung]] khx71t9d3ulfxt8pi5uxfldmjqms4qa 1118650 1118645 2026-11-02T14:18:42Z Lennart Theofel 42059 /* Mathematische Modellbildung */ 1118650 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[Datei:Lick Fire on the Umatilla National Forest burning at night.jpg|mini|Waldbrand]] Ziel der Modellbildung ist es, Risikokarten für eine bestimmte Region in zeitlicher Entwicklung zu visualisieren. Modelle sollen dabei unterstützen, um Risiko wahrnehmen zu können, ökonomische und ökologischen Risiken zu quantifizieren und Gegenmaßnahmen zur Risikoprävention abzuleiten. Dies ist insbesondere in heißen Regionen der Erde wesentlich für die Evakuierung von Menschen (siehe Australien<ref>Shahparvari, S., Chhetri, P., Abareshi, A., & Abbasi, B. (2026). Multi-objective decision analytics for short-notice bushfire evacuation: An Australian case study. The Australasian Journal of Information Systems, 19(1), 31.</ref>) ==Zyklen der Modellierung== * [[/Sek 1/|Sekundarstufe 1]] * [[/Sek 2/|Sekundarstufe 2]] * [[/Uni/|Uni-Niveau]] ==Mathematische Modellbildung== * [[Gradientenabstiegsverfahren]] ==Software für die Modellierung== * [[Geogebra]] * [[Maxima CAS]] == Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[Kurs:Mathematische Modellbildung]] * [[w:de:Waldbrandgefährdung (Deutschland)|Waldbrandgefährdung]] lq3kp8hv60kf1zqjs295m6gp4ncnpjj 1118652 1118650 2026-11-02T14:20:54Z Lennart Theofel 42059 /* Mathematische Modellbildung */ 1118652 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[Datei:Lick Fire on the Umatilla National Forest burning at night.jpg|mini|Waldbrand]] Ziel der Modellbildung ist es, Risikokarten für eine bestimmte Region in zeitlicher Entwicklung zu visualisieren. Modelle sollen dabei unterstützen, um Risiko wahrnehmen zu können, ökonomische und ökologischen Risiken zu quantifizieren und Gegenmaßnahmen zur Risikoprävention abzuleiten. Dies ist insbesondere in heißen Regionen der Erde wesentlich für die Evakuierung von Menschen (siehe Australien<ref>Shahparvari, S., Chhetri, P., Abareshi, A., & Abbasi, B. (2026). Multi-objective decision analytics for short-notice bushfire evacuation: An Australian case study. The Australasian Journal of Information Systems, 19(1), 31.</ref>) ==Zyklen der Modellierung== * [[/Sek 1/|Sekundarstufe 1]] * [[/Sek 2/|Sekundarstufe 2]] * [[/Uni/|Uni-Niveau]] ==Mathematische Modellbildung== * [[Gradientenabstiegsverfahren]] * '''[[Gradientenabstiegsverfahren|Gradientenabstiegsverfahren]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Gradientenabstiegsverfahren&author=Kurs:%20Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Gradientenabstiegsverfahren&coursetitle=Kurs:%20Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ==Software für die Modellierung== * [[Geogebra]] * [[Maxima CAS]] == Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[Kurs:Mathematische Modellbildung]] * [[w:de:Waldbrandgefährdung (Deutschland)|Waldbrandgefährdung]] 8oiliwaaca079e9ee26r8bjomssqhqw 1118653 1118652 2026-11-02T14:22:14Z Lennart Theofel 42059 /* Mathematische Modellbildung */ 1118653 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[Datei:Lick Fire on the Umatilla National Forest burning at night.jpg|mini|Waldbrand]] Ziel der Modellbildung ist es, Risikokarten für eine bestimmte Region in zeitlicher Entwicklung zu visualisieren. Modelle sollen dabei unterstützen, um Risiko wahrnehmen zu können, ökonomische und ökologischen Risiken zu quantifizieren und Gegenmaßnahmen zur Risikoprävention abzuleiten. Dies ist insbesondere in heißen Regionen der Erde wesentlich für die Evakuierung von Menschen (siehe Australien<ref>Shahparvari, S., Chhetri, P., Abareshi, A., & Abbasi, B. (2026). Multi-objective decision analytics for short-notice bushfire evacuation: An Australian case study. The Australasian Journal of Information Systems, 19(1), 31.</ref>) ==Zyklen der Modellierung== * [[/Sek 1/|Sekundarstufe 1]] * [[/Sek 2/|Sekundarstufe 2]] * [[/Uni/|Uni-Niveau]] ==Mathematische Modellbildung== * [[Gradientenabstiegsverfahren]] (hier stehen später die Verfahren, die man in der Modellbildiung braucht, bzw. verwendet hat) * '''[[Gradientenabstiegsverfahren|Gradientenabstiegsverfahren]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Gradientenabstiegsverfahren&author=Kurs:%20Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Gradientenabstiegsverfahren&coursetitle=Kurs:%20Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ==Software für die Modellierung== * [[Geogebra]] * [[Maxima CAS]] == Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[Kurs:Mathematische Modellbildung]] * [[w:de:Waldbrandgefährdung (Deutschland)|Waldbrandgefährdung]] ngs9irfakssx5t2whwoo7pwyzs656cn 1118654 1118653 2026-11-02T14:22:38Z Lennart Theofel 42059 /* Mathematische Modellbildung */ 1118654 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[Datei:Lick Fire on the Umatilla National Forest burning at night.jpg|mini|Waldbrand]] Ziel der Modellbildung ist es, Risikokarten für eine bestimmte Region in zeitlicher Entwicklung zu visualisieren. Modelle sollen dabei unterstützen, um Risiko wahrnehmen zu können, ökonomische und ökologischen Risiken zu quantifizieren und Gegenmaßnahmen zur Risikoprävention abzuleiten. Dies ist insbesondere in heißen Regionen der Erde wesentlich für die Evakuierung von Menschen (siehe Australien<ref>Shahparvari, S., Chhetri, P., Abareshi, A., & Abbasi, B. (2026). Multi-objective decision analytics for short-notice bushfire evacuation: An Australian case study. The Australasian Journal of Information Systems, 19(1), 31.</ref>) ==Zyklen der Modellierung== * [[/Sek 1/|Sekundarstufe 1]] * [[/Sek 2/|Sekundarstufe 2]] * [[/Uni/|Uni-Niveau]] ==Mathematische Modellbildung== * [[Gradientenabstiegsverfahren]] (hier stehen später die Verfahren, die man in der Modellbildung braucht, bzw. verwendet hat) * '''[[Gradientenabstiegsverfahren|Gradientenabstiegsverfahren]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Gradientenabstiegsverfahren&author=Kurs:%20Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Gradientenabstiegsverfahren&coursetitle=Kurs:%20Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ==Software für die Modellierung== * [[Geogebra]] * [[Maxima CAS]] == Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[Kurs:Mathematische Modellbildung]] * [[w:de:Waldbrandgefährdung (Deutschland)|Waldbrandgefährdung]] iyyi3tdeu7w6b7nnnely3ccjwq9y4hw 106 173346 1118630 1118161 2026-11-02T12:26:58Z Paul Sutermeister 37610 1118630 wikitext text/x-wiki Aktuelle Entwicklungen im wirtschaftlichen und gesellschaftlichen Bereich recherchieren und die Auswirkungen auf Betrieb und Arbeitsbereich reflektieren (K4). Beispielthema: * Zukunft der Arbeit (KI, [[:w:Generation Z|Generation Z]], [[:w:Fachkräftemangel|Fachkräftemangel]], [[:w:Arbeit 4.0|hybrides Arbeiten]]). Auswirkungen von Veränderungsprozessen auf kaufmännische Tätigkeiten ableiten (K4). Fallstudien zum Beispiel über die "Zukunft der Arbeit". [[Kategorie:Kurs:Kaufleute EFZ/HK B5]] 6ekcf5dhor4mwwywedw6fgytdzhyfxh 0 173350 1118693 1118507 2026-11-02T16:07:25Z Bocardodarapti 2041 1118693 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= {{bildskip|}} {{ inputbild |VeroneseDim2Generator4|svg|230px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer=Bocardodarapti |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} Es sei {{ Relationskette | {{{k|k}}} | \in | \N_{\geq 2} || || || |SZ= }} fixiert. Wir betrachten im {{math|term= \N^2 |SZ=}} das additive Untermonoid, das von den {{math|term= {{{k|k}}} +1 |SZ=}} Tupeln {{ Math/display|term= (0,1),\, (1,1), \, (2,1) {{kommadots}} (k,1) |SZ= }} erzeugt wird. Dieses Monoid stimmt mit der Menge der Gitterpunkte überein, die durch die {{math|term= y |SZ=-}}Achse und die Halbgerade des flachsten Tupels {{mathl|term= (k,1) |SZ=}} begrenzt wird. Es ist klar, dass man auf keinen der Erzeuger verzichten kann. Etwas schwieriger ist es, zu zeigen, dass alle Gitterpunkte innerhalb des zweidimensionalen Kegels als eine Summe dieser Erzeuger erhalten werden kann. Diese Darstellung ist hochgradig uneindeutig. Beispielsweise ist bei {{ Relationskette | k || 3 || || || |SZ= }} {{ Relationskette/display | (3,3) || (0,1) + (0,1) + (3,1) || (0,1) + (1,1) + (2,1) || (1,1) + (1,1) + (1,1) || |SZ=. }} Der zugehörige Monoidring ist {{ Relationskette/display | K[Y, XY,X^2Y {{kommadots}} X^k Y] | \subseteq | K[X,Y] || || || |SZ=. }} Da diese Algebra {{mathl|term= k+1 |SZ=}} Erzeuger besitzt, gibt es einen surjektiven {{ Definitionslink |Prämath=K |Algebra{{drucktrenn}}homomorphismus| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name= | K[T_0 {{kommadots|}} T_{k} ] | K[Y, XY,X^2Y {{kommadots}} X^k Y] | T_i | YX^k |SZ=. }} Es ist etwas mühsam, ein Erzeugendensystem des Kernes zu bestimmen. Er wird aber von binomialen Polynomen erzeugt, die von binomialen {{ Zusatz/Klammer |text=kombinatorischen| |ISZ=|ESZ= }} Gleichungen des Monoids bestimmt sind. Bei {{ Relationskette | {{{k|k}}} || 2 || || |SZ= }} handelt es sich um {{ Relationskette/display | K[Y,XY,X^2Y] | \cong | K[U,V,W]/ {{makl| UW-V^2 |}} || || |SZ=, }} dies ist also eine {{math|term= A |SZ=-}}Singularität. Bei {{ Relationskette | {{{k|k}}} || 3 || || |SZ= }} handelt es sich um {{ Relationskette/display/handlinks | K[Y , XY , X^2Y,X^3Y] | \cong | K[U,V,W,Z]/ {{makl| UZ-VW,UW - V^2,VZ -W^2 |}} || || || |SZ=. }} {{{zusatz1|}}} Eine weitere Beschreibungsmöglichkeit dieser Monoidringe ergibt sich als sogenannte {{ Definitionslink |Veronese-Ringe| |Kontext=| |SZ=. }} Man startet in {{mathl|term= K[S,T] |SZ=}} und betrachtet den Unterring, der von allen Monomen der Form {{mathl|term= S^iT^j |SZ=}} mit {{ Relationskette | i+j || k || || || |SZ= }} erzeugt wird. Diese Monome sind {{math/druckdisplay|term= S^{ {{{k|k}}} }, S^{ {{{k|k}}}-1}T {{kommadots|}} ST^{ {{{k|k}}}-1} , T^{ {{{k|k}}} } |SZ=.}} Auch diese Realisierung kann man auf der Ebene der Monoide verstehen, indem man im {{mathl|term= \N^2 |SZ=}} das von den {{ Math/display|term= (i,j),\, i+j =k |SZ=, }} erzeugte Untermonoid betrachtet, siehe {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Monoidring/Veronesering/Dimension 2 Grad k/Graduierung/Beispiel |Nr= |SZ=. }} Diese Beschreibung ist offenbar symmetrischer. Ein Vorteil der ersten Beschreibung ist, dass dort das umgebende Gitter das Differenzengitter ist, was in der zweiten Beschreibung nicht gilt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Veronese-Monoidringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} k871pr2mf4ena6r3vgtjmy12fqsxo08 106 173396 1118629 2026-11-02T12:16:57Z Paul Sutermeister 37610 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1118629 wikitext text/x-wiki __NOTOC__ = Das Rangdynamikmodell nach Raoul Schindler = In jeder Gruppe, ob Schulklasse, Arbeitsteam oder Sportverein, übernehmen Menschen unterschiedliche Positionen. Das Rangdynamikmodell hilft, solche Gruppenprozesse zu verstehen. Arbeiten Sie die folgenden Abschnitte der Reihe nach durch: Lesen Sie jeweils zuerst den Text und lösen Sie danach das Quiz dazu. == Worum geht es? == '''Raoul Schindler''' (1923–2014) war ein Wiener Psychiater und Psychoanalytiker. In den 1950er-Jahren beobachtete er Therapiegruppen und stellte fest, dass sich in Gruppen immer wieder ähnliche Positionen herausbilden. 1957 beschrieb er dazu sein Modell der '''Rangdynamik'''. Die Grundidee: * Eine Gruppe entsteht und funktioniert immer in Bezug auf ein '''Gegenüber''', abgekürzt '''G'''. Das kann eine Aufgabe, ein Ziel, eine andere Gruppe oder ein Gegner sein. * Durch die Ausrichtung auf dieses Gegenüber verteilen sich in der Gruppe bestimmte '''Positionen'''. * Schindler benennt diese Positionen mit griechischen Buchstaben: '''Alpha, Beta, Gamma''' und '''Omega'''. * Wichtig: Es geht um '''Positionen''' in einer Gruppe, nicht um Charaktereigenschaften einer Person. <quiz display=simple> {Wer hat das Rangdynamikmodell entwickelt? |type="()"} + Raoul Schindler, ein Wiener Psychiater || Richtig. Schindler entwickelte das Modell aus der Beobachtung von Therapiegruppen. - Sigmund Freud, der Begründer der Psychoanalyse || Nein. Schindler war zwar Psychoanalytiker, das Modell stammt aber von ihm selbst. - Ein Verhaltensforscher, der Wolfsrudel beobachtete || Nein. Schindler beobachtete menschliche Gruppen, nämlich Therapiegruppen. {Wofür steht im Modell der Buchstabe G? |type="()"} - Für die Gruppe als Ganzes - Für die Gamma-Position + Für das Gegenüber der Gruppe, z. B. eine Aufgabe, ein Ziel oder einen Gegner || Genau. Ohne Gegenüber gibt es keine Ausrichtung und damit auch keine Positionen. - Für den Gruppenleiter {Welche Aussagen treffen auf das Modell zu? (mehrere Antworten möglich) |type="[]"} + Die Positionen entstehen in Bezug auf ein Gegenüber. + Die Positionen werden mit griechischen Buchstaben bezeichnet. - Das Modell beschreibt angeborene Charaktereigenschaften. || Nein. Es geht um Positionen in einer bestimmten Gruppe, nicht um feste Eigenschaften eines Menschen. - Das Modell gilt nur für Therapiegruppen. || Nein. Schindler entwickelte es in Therapiegruppen, es wird aber auf alle Gruppen angewendet. </quiz> == Die vier Positionen == ; Alpha – die Führungsposition : Alpha ergreift die Initiative, gibt die Richtung vor und vertritt die Gruppe nach aussen. Alpha steht in direkter Auseinandersetzung mit dem Gegenüber G. Alpha ist auf die Unterstützung der Gruppe angewiesen: Ohne Gefolgschaft gibt es keine Führung. ; Beta – die Fachperson, Beraterin oder Berater : Beta verfügt über Wissen und Erfahrung und berät die Gruppe und Alpha. Beta ist eher unabhängig und emotional weniger stark an die Gruppe gebunden. Beta kann Alpha stützen, aber auch eine Konkurrenz werden, weil Beta Alternativen aufzeigen kann. ; Gamma – die Mitglieder, die mitarbeiten : Gamma ist meist die grösste Gruppe. Gamma-Mitglieder identifizieren sich mit Alpha, übernehmen dessen Ziele und erledigen einen grossen Teil der Arbeit. Ohne Gamma könnte Alpha nichts bewirken. ; Omega – die Gegenposition : Omega steht am Rand der Gruppe. Omega zögert, kritisiert oder widerspricht und zeigt damit oft Zweifel, die auch andere haben, aber nicht aussprechen. Omega steht dem Gegenüber G am nächsten. Deshalb wird Omega leicht zum Aussenseiter oder Sündenbock. <quiz display=simple> {Ordnen Sie die Beschreibungen den Positionen zu. |type="()"} | Alpha | Beta | Gamma | Omega +--- Gibt die Richtung vor und vertritt die Gruppe nach aussen. -+-- Bringt Fachwissen ein und berät die Gruppe. --+- Identifiziert sich mit der Führung und erledigt einen grossen Teil der Arbeit. ---+ Äussert Zweifel und Widerspruch, steht am Rand der Gruppe. -+-- Ist eher unabhängig und emotional wenig an die Gruppe gebunden. ---+ Steht dem Gegenüber G am nächsten. {Ergänzen Sie den Text. |type="{}"} Die Position mit den meisten Mitgliedern ist meist { Gamma (i) _8 }. Die Person, die Alpha berät und Alternativen aufzeigen kann, besetzt die Position { Beta (i) _8 }. Wer Zweifel ausspricht und leicht zum Sündenbock wird, ist in der Position { Omega (i) _8 }. {Warum kann Beta für Alpha zur Konkurrenz werden? |type="()"} - Weil Beta immer mehr Mitglieder hinter sich hat als Alpha. + Weil Beta mit seinem Wissen andere Wege aufzeigen kann als Alpha. || Richtig. Beta hat Fachautorität und kann Alternativen anbieten. - Weil Beta direkt mit dem Gegenüber G verbündet ist. || Nein, das trifft eher auf Omega zu. {Warum braucht Alpha die Gamma-Mitglieder? |type="()"} + Weil es ohne Gefolgschaft keine Führung gibt. - Weil Gamma die Ziele der Gruppe festlegt. - Weil Gamma Alpha fachlich berät. || Nein, das ist die Aufgabe von Beta. </quiz> == Das Gegenüber und die Rolle von Omega == Schindler betont: Die Positionen hängen vom Gegenüber G ab. * '''Alpha''' setzt sich aktiv mit G auseinander und führt die Gruppe gegen oder zu G hin. * '''Omega''' verkörpert in der Gruppe die Seite von G: Omega spricht aus, was gegen den Weg von Alpha spricht. Omega wird deshalb oft abgelehnt. Doch Omega hat eine wichtige Funktion: Omega bringt Kritik und Zweifel in die Gruppe, die sonst untergehen würden. Wenn eine Gruppe ihr Omega ausschliesst, entsteht häufig '''ein neues Omega''': Eine andere Person rückt in diese Position nach. Das Problem ist also nicht die Person, sondern die Spannung in der Gruppe. <quiz display=simple> {Was zeigt die Omega-Position der Gruppe? |type="()"} - Dass die Gruppe schlecht geführt wird. + Zweifel und Einwände, die in der Gruppe vorhanden sind, aber sonst nicht ausgesprochen werden. || Richtig. Omega ist oft die Stimme der unausgesprochenen Bedenken. - Dass die betreffende Person keine Teamfähigkeit hat. || Nein. Es geht um eine Position in der Gruppe, nicht um einen Charakterfehler. {Eine Gruppe schliesst ihr Omega aus. Was passiert nach Schindler häufig? |type="()"} - Die Gruppe ist danach konfliktfrei. - Alpha übernimmt die Omega-Position. + Eine andere Person rückt in die Omega-Position nach. || Genau. Die Spannung bleibt bestehen und sucht sich eine neue Trägerin oder einen neuen Träger. {Wie sollte eine Teamleitung sinnvollerweise mit Omega umgehen? (mehrere Antworten möglich) |type="[]"} + Die Einwände ernst nehmen und prüfen. + Omega nicht vorschnell als Störenfried abstempeln. - Omega möglichst schnell aus dem Team entfernen. || Davon rät das Modell ab: Meist entsteht dann ein neues Omega. - Omega ignorieren, bis sich die Person anpasst. </quiz> == Rangdynamik: Positionen sind beweglich == Das Wort '''Dynamik''' ist zentral: Die Positionen sind nicht fest verteilt. * Wenn sich das '''Gegenüber''' oder die '''Aufgabe''' ändert, können sich die Positionen verschieben. Wer bei der Planung eines Ausflugs Alpha ist, ist bei einer Excel-Aufgabe vielleicht Gamma, und die Excel-Expertin wird plötzlich Alpha oder Beta. * Dieselbe Person kann in '''verschiedenen Gruppen''' unterschiedliche Positionen einnehmen: z. B. Alpha in der Familie, Gamma im Team und Omega im Sportverein. * Jede Position ist für die Gruppe '''notwendig'''. Keine ist an sich gut oder schlecht. <quiz display=simple> {Warum heisst das Modell Rang''dynamik''? |type="()"} - Weil die Ränge eine feste Hierarchie bilden. + Weil sich die Positionen je nach Situation, Aufgabe und Gruppe verändern können. || Richtig. - Weil die Gruppe sich immer schneller bewegen muss. {Welche Aussagen sind richtig? (mehrere Antworten möglich) |type="[]"} + Eine Person kann in verschiedenen Gruppen unterschiedliche Positionen haben. + Ändert sich die Aufgabe, können sich die Positionen verschieben. - Wer einmal Omega ist, bleibt immer Omega. || Nein. Positionen sind beweglich. - Alpha ist die wertvollste Position, Omega die wertloseste. || Nein. Alle Positionen erfüllen eine Funktion für die Gruppe. {Ergänzen Sie. |type="{}"} Die Positionen hängen vom { Gegenüber|Gegner|Ziel (i) _12 } der Gruppe ab. Keine Position ist an sich gut oder schlecht, jede ist für die Gruppe { notwendig|wichtig (i) _10 }. </quiz> == Fallbeispiel == Ein Team von fünf kaufmännischen Angestellten soll das Jubiläumsfest der Firma organisieren. * '''Lea''' schlägt sofort ein Konzept vor, verteilt Aufgaben und präsentiert den Plan der Geschäftsleitung. * '''Marco''' hat schon drei Firmenanlässe organisiert. Er weist auf Budgetgrenzen hin und schlägt zwei andere Locations vor. * '''Sina''' und '''Deniz''' finden Leas Idee gut und kümmern sich um Einladungen und Catering. * '''Jonas''' sagt in jeder Sitzung, das Fest sei zu teuer und interessiere die Belegschaft kaum. Die anderen reagieren genervt. <quiz display=simple> {Ordnen Sie die Personen den Positionen zu. |type="()"} | Alpha | Beta | Gamma | Omega +--- Lea -+-- Marco --+- Sina --+- Deniz ---+ Jonas {Was ist hier das Gegenüber G? |type="()"} - Jonas + Die Aufgabe, ein gelungenes Jubiläumsfest zu organisieren (mit Budget und Erwartungen der Geschäftsleitung) || Richtig. Das Gegenüber ist die Aufgabe mit ihren Anforderungen und Grenzen. - Lea - Das Catering-Unternehmen {Das Team überlegt, Jonas aus der Projektgruppe zu nehmen. Was würden Sie mit Blick auf das Modell raten? |type="()"} - Ja, dann arbeitet das Team ohne Störungen. + Seine Einwände (Kosten, Interesse der Belegschaft) prüfen, denn sie könnten berechtigt sein. Ohne ihn würde vermutlich jemand anderes in die Omega-Position rücken. || Genau. Omega bringt wichtige Hinweise ein, und die Spannung verschwindet nicht durch Ausschluss. - Jonas zum neuen Alpha ernennen. {Plötzlich muss das Team kurzfristig eine komplexe Kostenkalkulation in Excel erstellen. Deniz ist darin sehr gut. Was kann passieren? |type="()"} - Nichts, die Positionen bleiben gleich. + Deniz kann in dieser Situation in eine Alpha- oder Beta-Position rücken. || Richtig. Mit der Aufgabe verändert sich das Gegenüber und damit die Positionen. - Deniz wird automatisch Omega. </quiz> == Kritische Einordnung == Das Modell ist ein hilfreiches Werkzeug, um Gruppen zu beobachten. Es hat aber auch Grenzen: * Es beruht auf '''Beobachtungen''' und ist wissenschaftlich nur wenig überprüft. * Die Buchstaben Alpha und Omega erinnern an Vorstellungen aus der Tierverhaltensforschung (z. B. das „Alphatier“ im Wolfsrudel). Schindler hat sein Modell aber aus menschlichen Gruppen entwickelt. Und auch die Idee vom „Alphawolf“ gilt heute als überholt. * Menschliche Gruppen sind komplexer als vier Positionen. Viele Menschen bewegen sich zwischen Positionen oder passen in keine eindeutig. * Gefahr: Menschen werden '''etikettiert''' („Du bist halt ein Omega“). Das widerspricht der Grundidee, denn es geht um Positionen in einer Situation, nicht um den Wert einer Person. <quiz display=simple> {Welche Kritikpunkte am Modell sind berechtigt? (mehrere Antworten möglich) |type="[]"} + Das Modell ist empirisch nur wenig überprüft. + Es vereinfacht die Wirklichkeit stark. + Es kann dazu verleiten, Menschen in Schubladen zu stecken. - Es wurde direkt aus der Beobachtung von Wolfsrudeln übernommen. || Nein. Schindler beobachtete menschliche Therapiegruppen. Nur die Bezeichnungen erinnern an die Tierwelt. {Wie setzt man das Modell sinnvoll ein? |type="()"} + Als Werkzeug, um Gruppenprozesse zu erkennen und zu besprechen, ohne Personen festzulegen. || Genau. Das Modell hilft beim Hinschauen, ersetzt aber nicht das Gespräch. - Um im Team offiziell festzulegen, wer Alpha, Beta, Gamma und Omega ist. - Um zu entscheiden, wer befördert wird. </quiz> == Reflexion == Beantworten Sie für sich (oder zu zweit) diese Fragen: # Denken Sie an zwei Gruppen, in denen Sie Mitglied sind (z. B. Klasse, Arbeitsteam, Familie, Verein). Welche Position nehmen Sie in welcher Gruppe meist ein? # Erinnern Sie sich an eine Situation, in der sich Ihre Position verändert hat. Was hat die Veränderung ausgelöst? # Haben Sie schon einmal erlebt, dass eine Person in die Omega-Position gedrängt wurde? Was hätte der Gruppe geholfen? [[Kategorie:Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)]] eu2bjm0yqdb9t6vrsuru0i7ugiw9ng1 106 173397 1118631 2026-11-02T12:40:04Z Paul Sutermeister 37610 Entwurf 1118631 wikitext text/x-wiki '''Schnittstellen in betrieblichen Prozessen koordinieren''' ist Handlungskompetenz [[Kurs:Kaufleute EFZ/Interagieren in einem vernetzten Arbeitsumfeld|B]]2 der [[Kurs:Kaufleute EFZ|Ausbildung ''Kaufleute EFZ'']].<ref>[[:w:Staatssekretariat für Bildung, Forschung und Innovation (SBFI)|SBFI]]: ''[https://www.becc.admin.ch/becc/public/bvz/beruf/show/68800 Kauffrau/Kaufmann EFZ (ab Lehrbeginn 2023)]</ref> <quiz display="simple"> { Ordne die Leistungsziele zu: | typ="()" } | [[Kurs:Kaufleute EFZ/|B2.1]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/|B2.2]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/|B2.3]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/|B2.4]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/|B2.5]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/|B2.6]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/|B2.7]] +------ [[Kurs:Kaufleute EFZ/Mit Schnittstellenpartnern und Anspruchsgruppen zusammenarbeiten|Sie arbeiten als Bindeglied mit unterschiedlichen Schnittstellenpartnern und Anspruchsgruppen effizient zusammen über unterschiedliche Kanäle.]] -+----- [[Kurs:Kaufleute EFZ/|Sie schätzen die Bedürfnisse und Anliegen der verschiedenen Anspruchsgruppen an den Schnittstellen ein und leiten zweckmässige Arbeitsschritte systematisch ab.]] --+---- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Schnittstellen koordinieren|Sie koordinieren an den Schnittstellen zwischen allen Beteiligten mit kaufmännischen Hilfsmitteln.]] ---+--- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Mit Schnittstellenbeteiligten kommunizieren|Sie kommunizieren und dokumentieren als Bindeglied anspruchsvolle technische und fachliche Inhalte gegenüber internen und externen Schnittstellenbeteiligten adressatengerecht.]] ----+-- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Regeln, Usanzen und Vorgaben anwenden|Sie wenden im Geschäftsverkehr die betrieblichen und gesellschaftlichen Regeln, Usanzen und Vorgaben an.]] -----+- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Schnittstellen optimieren|Sie reflektieren ihre Schnittstellenkoordination und schlagen den zuständigen Stellen Optimierungsmassnahmen vor.]] ------+ [[Kurs:Kaufleute EFZ/Mit Fachverantwortlichen zusammenarbeiten|Sie arbeiten mit den Fachverantwortlichen konstruktiv zusammen.]] </quiz> = Einzelnachweise = <references/> [[Kategorie:Kurs:Kaufleute EFZ/HK B2| ]] 6yqnrnrmy9spkob6j6m1rvmrgsx08di 1118636 1118631 2026-11-02T13:04:36Z Paul Sutermeister 37610 1118636 wikitext text/x-wiki '''Schnittstellen in betrieblichen Prozessen koordinieren''' ist Handlungskompetenz [[Kurs:Kaufleute EFZ/Interagieren in einem vernetzten Arbeitsumfeld|B]]2 der [[Kurs:Kaufleute EFZ|Ausbildung ''Kaufleute EFZ'']].<ref>[[:w:Staatssekretariat für Bildung, Forschung und Innovation (SBFI)|SBFI]]: ''[https://www.becc.admin.ch/becc/public/bvz/beruf/show/68800 Kauffrau/Kaufmann EFZ (ab Lehrbeginn 2023)]</ref> <quiz display="simple"> { Ordne die Leistungsziele zu: | typ="()" } | [[Kurs:Kaufleute EFZ/|B2.1]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/|B2.2]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/|B2.3]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/|B2.4]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/|B2.5]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/|B2.6]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/|B2.7]] +------ [[Kurs:Kaufleute EFZ/Mit Schnittstellenpartnern und Anspruchsgruppen zusammenarbeiten|Sie arbeiten als Bindeglied mit unterschiedlichen Schnittstellenpartnern und Anspruchsgruppen effizient zusammen über unterschiedliche Kanäle.]] -+----- [[Kurs:Kaufleute EFZ/|Sie schätzen die Bedürfnisse und Anliegen der verschiedenen Anspruchsgruppen an den Schnittstellen ein und leiten zweckmässige Arbeitsschritte systematisch ab.]] --+---- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Schnittstellen koordinieren|Sie koordinieren an den Schnittstellen zwischen allen Beteiligten mit kaufmännischen Hilfsmitteln.]] ---+--- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Mit Schnittstellenbeteiligten kommunizieren|Sie kommunizieren und dokumentieren als Bindeglied anspruchsvolle technische und fachliche Inhalte gegenüber internen und externen Schnittstellenbeteiligten adressatengerecht.]] ----+-- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Regeln, Usanzen und Vorgaben anwenden|Sie wenden im Geschäftsverkehr die betrieblichen und gesellschaftlichen Regeln, Usanzen und Vorgaben an.]] -----+- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Schnittstellen optimieren|Sie reflektieren ihre Schnittstellenkoordination und schlagen den zuständigen Stellen Optimierungsmassnahmen vor.]] ------+ [[Kurs:Kaufleute EFZ/Mit Fachverantwortlichen zusammenarbeiten|Sie arbeiten mit den Fachverantwortlichen konstruktiv zusammen.]] </quiz> __NOTOC__ = Handlungskompetenz b2: Schnittstellen in betrieblichen Prozessen koordinieren = Dieses Lern-Quiz ist in vier Stufen aufgebaut. Arbeiten Sie die Stufen der Reihe nach durch: Jede Stufe setzt das Wissen der vorherigen voraus. {| class="wikitable" ! Stufe !! Thema !! Niveau |- | 1 || Grundbegriffe verstehen || K1–K2 |- | 2 || Die sieben Leistungsziele bt1–bt7 unterscheiden || K2 |- | 3 || Im Fallbeispiel anwenden || K3 |- | 4 || Analysieren und verbessern || K4 |} == Stufe 1: Grundbegriffe == === Theorie === * Eine '''Schnittstelle''' entsteht überall dort, wo eine Aufgabe von einem Bereich an einen anderen übergeht – zum Beispiel vom Verkauf an die Produktion oder vom Lager an die Buchhaltung. * '''Anspruchsgruppen''' (Stakeholder) sind Personen oder Gruppen, die Erwartungen an das Unternehmen oder an einen Prozess haben: Kundschaft, Lieferanten, Mitarbeitende, Vorgesetzte, Behörden usw. Man unterscheidet '''interne''' und '''externe''' Anspruchsgruppen. * Kaufleute arbeiten als '''Bindeglied''': Sie verbinden die Beteiligten, sorgen dafür, dass Informationen fliessen, und berücksichtigen die unterschiedlichen Interessen. * '''Adressatengerecht''' kommunizieren heisst: Inhalt, Sprache und Form so wählen, dass die Empfängerin oder der Empfänger die Information versteht und nutzen kann. === Quiz === <quiz display=simple> {Was ist eine Schnittstelle in einem betrieblichen Prozess? |type="()"} + Eine Stelle, an der eine Aufgabe oder Information von einem Bereich an einen anderen übergeht. || Richtig. An Schnittstellen gehen Informationen besonders leicht verloren. - Ein Kabelanschluss zwischen zwei Computern. || Das ist die technische Bedeutung. Im Prozess geht es um die Übergabe zwischen Bereichen. - Die Abteilung, die für die Koordination zuständig ist. || Nein. Eine Schnittstelle ist keine Abteilung, sondern ein Übergang zwischen Bereichen. - Der Abschluss eines Projekts. || Nein. Schnittstellen gibt es während des ganzen Prozesses. {Welche dieser Anspruchsgruppen sind '''intern'''? |type="[]"} + Mitarbeitende der Produktion - Kundinnen und Kunden + Geschäftsleitung - Lieferanten + Lernende im Betrieb - Steuerbehörde {Ergänzen Sie die Lücken. |type="{}"} Kaufleute arbeiten als { Bindeglied _12 } an Schnittstellen. Sie kommunizieren Inhalte so, dass die Empfänger sie verstehen – also { adressatengerecht|zielgruppengerecht _18 }. {Ein Kunde, ein Lieferant und die Produktionsleiterin haben unterschiedliche Erwartungen an einen Auftrag. Wie nennt man diese Beteiligten zusammenfassend? |type="()"} - Fachverantwortliche || Fachverantwortliche sind nur die Personen, die inhaltlich für ein Fachgebiet zuständig sind (z. B. die Produktionsleiterin), nicht der Kunde. + Anspruchsgruppen || Richtig. Alle, die Erwartungen an den Prozess haben, gehören dazu. - Kanäle || Kanäle sind die Wege der Kommunikation (Telefon, E-Mail …), nicht die Personen. - Hilfsmittel || Hilfsmittel sind Werkzeuge wie Checklisten oder Terminpläne. </quiz> == Stufe 2: Die sieben Leistungsziele unterscheiden == === Theorie === Die sieben betrieblichen Leistungsziele lassen sich mit je einer Leitfrage unterscheiden: {| class="wikitable" ! Ziel !! Leitfrage !! Ebene |- | '''bt1''' || Mit wem arbeite ich zusammen – und über welchen Kanal? || Kontakt & Kanalwahl |- | '''bt2''' || Was brauchen die Beteiligten – und was folgt daraus für meine nächsten Schritte? || Analyse (vorwärts) |- | '''bt3''' || Womit halte ich alle auf dem gleichen Stand? || Hilfsmittel & Organisation |- | '''bt4''' || Wie übersetze ich Fachinhalt für mein Gegenüber – und halte ihn fest? || Inhalt & Sprache |- | '''bt5''' || Welche Regeln, Usanzen und Vorgaben gelten? || Rahmen |- | '''bt6''' || Was lief nicht gut – und was schlage ich vor? || Rückblick & Verbesserung |- | '''bt7''' || Wie verhalte ich mich gegenüber den Fachverantwortlichen? || Haltung |} '''Achtung, Verwechslungsgefahr:''' * '''bt1 / bt3 / bt7''': ''wer und über welchen Kanal'' – ''womit'' – ''mit welcher Haltung'' * '''bt1 / bt4''': ''Zusammenarbeit funktioniert'' – ''Inhalt kommt verständlich an'' * '''bt2 / bt6''': ''nach vorne schauen'' – ''zurückschauen'' === Quiz === <quiz display=simple> {Ordnen Sie jede Leitfrage dem passenden Leistungsziel zu. |type="()"} | bt1 | bt2 | bt3 | bt4 | bt5 | bt6 | bt7 +------ Mit wem arbeite ich zusammen und über welchen Kanal? -+----- Was brauchen die Beteiligten und was folgt daraus für meine Arbeitsschritte? --+---- Mit welchen Hilfsmitteln halte ich alle auf dem gleichen Stand? ---+--- Wie erkläre ich einen technischen Inhalt verständlich? ----+-- Welche Regeln und Vorgaben muss ich einhalten? -----+- Was hat nicht funktioniert und was schlage ich vor? ------+ Wie arbeite ich konstruktiv mit den Fachleuten zusammen? {Welches Leistungsziel schaut '''zurück''' auf die eigene Koordination? |type="()"} - bt2 || bt2 schaut nach vorne: Aus Bedürfnissen werden nächste Arbeitsschritte abgeleitet. + bt6 || Richtig. Reflektieren heisst zurückschauen – und daraus Verbesserungen ableiten. - bt3 || bt3 betrifft die Hilfsmittel, nicht die Reflexion. {Worin unterscheidet sich bt7 von bt1? |type="()"} - bt7 betrifft externe Partner, bt1 nur interne. || Nein. bt1 umfasst interne '''und''' externe Schnittstellenpartner. + bt1 betrifft alle Schnittstellenpartner und die Kanalwahl, bt7 die konstruktive Haltung gegenüber den Fachverantwortlichen. || Richtig. bt7 ist enger gefasst und betont das ''Wie'' der Zusammenarbeit. - Es gibt keinen Unterschied, die Ziele sind doppelt. || Die Ziele überschneiden sich, aber der Schwerpunkt ist verschieden. {Welche Beispiele sind '''kaufmännische Hilfsmittel''' im Sinne von bt3? |type="[]"} + Gemeinsamer Terminplan + Checkliste für die Auftragsübergabe + Eintrag im CRM-System - Ein freundlicher Tonfall am Telefon || Das gehört eher zu bt7 (Haltung) oder bt1. + Besprechungsprotokoll - Das Fachwissen des Ingenieurs </quiz> == Stufe 3: Im Fallbeispiel anwenden == === Fallbeispiel === Lea Brunner arbeitet in der Auftragsabwicklung der ''Muster Maschinenbau AG''. Die Firma ''Bäckerei Keller'' bestellt eine spezielle Teigknetmaschine, die in der eigenen Produktion angepasst werden muss. Am Auftrag beteiligt sind: * der Kunde (Herr Keller, Bäckermeister, kein Techniker) * die Konstruktion (Ingenieur Herr Rossi) * die Produktion * das Lager und der Versand * die Buchhaltung Lea koordiniert den ganzen Auftrag. === Quiz === <quiz display=simple> {Herr Rossi schickt Lea ein technisches Datenblatt mit Leistungsangaben in kW und Drehzahlen. Herr Keller möchte wissen, ob die Maschine für seine Backstube geeignet ist. Was tut Lea im Sinne von bt4? |type="()"} - Sie leitet das Datenblatt unverändert an Herrn Keller weiter. || Das ist nicht adressatengerecht: Herr Keller ist kein Techniker. + Sie fasst die wichtigsten Punkte in verständlicher Sprache zusammen (z. B. Teigmenge pro Durchgang, Platzbedarf, Stromanschluss) und legt das Datenblatt als Beilage bei. || Richtig. Sie übersetzt den Fachinhalt für den Kunden und dokumentiert ihn. - Sie bittet Herrn Keller, sich direkt mit Herrn Rossi in Verbindung zu setzen. || Damit gibt Lea ihre Rolle als Bindeglied auf. {Die Produktion braucht für die Anpassung drei Wochen, Herr Keller möchte die Maschine aber in zwei Wochen. Was ist der passende Schritt nach bt2? |type="()"} + Lea klärt, was Herr Keller genau braucht (z. B. ob eine Leihmaschine die Lücke überbrückt), und leitet daraus mögliche Lösungen und nächste Schritte ab. || Richtig. Bedürfnisse einschätzen und daraus zweckmässige Arbeitsschritte ableiten. - Lea sagt dem Kunden einfach zwei Wochen zu. || Damit ignoriert sie die Möglichkeiten der Produktion – Ärger ist vorprogrammiert. - Lea wartet ab, bis sich jemand meldet. || Koordinieren heisst aktiv handeln. {Welches Leistungsziel steht im Vordergrund? Ordnen Sie zu. |type="()"} | bt1 | bt3 | bt5 | bt7 +--- Lea ruft das Lager an, weil dort E-Mails oft erst am Abend gelesen werden. -+-- Lea erstellt eine Checkliste, auf der alle Abteilungen ihre erledigten Schritte abhaken. --+- Lea achtet darauf, dass die Rechnung die vereinbarten Zahlungsbedingungen und die MWST korrekt enthält. ---+ Herr Rossi korrigiert Leas Angabe zur Stromspannung. Lea bedankt sich, übernimmt die Korrektur und fragt bei Unklarheiten künftig zuerst nach. {Lea schreibt dem Kunden eine Auftragsbestätigung. Welche Angaben gehören aus Sicht von bt5 (Regeln, Usanzen, Vorgaben) unbedingt hinein? |type="[]"} + Preis und Zahlungsbedingungen + Liefertermin + Hinweis auf die geltenden AGB - Private Handynummer von Herrn Rossi || Persönliche Daten von Mitarbeitenden gibt man nicht ohne Einwilligung weiter (Datenschutz). - Die interne Kalkulation mit der Gewinnmarge || Interne Kalkulationen sind vertraulich. </quiz> == Stufe 4: Analysieren und verbessern == === Theorie === * '''Schnittstellen analysieren''': Wo gibt es Übergaben? Wer ist von wem abhängig? Wo gehen Informationen verloren oder entstehen Wartezeiten? * '''Verbesserungen vorschlagen''': Ein guter Vorschlag beschreibt das Problem, die Ursache und eine konkrete Massnahme – und richtet sich an die zuständige Stelle. * '''Ziele einer Unternehmung''': ** '''Normative Ziele''' beschreiben Werte und Grundhaltungen (Leitbild, Ethik, z. B. „Wir handeln nachhaltig und fair“). ** '''Strategische Ziele''' legen die langfristige Ausrichtung fest (z. B. „In fünf Jahren sind wir Marktführer für Bäckereimaschinen in der Schweiz“). ** Aus ihnen werden die konkreten, kurzfristigen '''operativen Ziele''' abgeleitet. ** An Schnittstellen helfen diese Ziele, bei Interessenkonflikten zu entscheiden. === Quiz === <quiz display=simple> {Nach dem Auftrag stellt Lea fest: Die Produktion hat zweimal mit einer veralteten Zeichnung gearbeitet, weil Herr Rossi Änderungen nur per E-Mail an Lea geschickt hatte. Wo liegt das Schnittstellenproblem? |type="()"} + Bei der Übergabe von der Konstruktion zur Produktion: Änderungen kamen nicht bei allen Beteiligten an. || Richtig. Die Produktion war von Informationen abhängig, die sie nicht erhalten hat. - Bei der Übergabe vom Lager zum Versand. || Diese Schnittstelle war hier nicht betroffen. - Beim Kunden, weil er Änderungen verlangt hat. || Kundenwünsche sind normal. Das Problem liegt in der internen Weitergabe. {Welcher Verbesserungsvorschlag nach bt6 ist am besten? |type="()"} - „Herr Rossi muss besser aufpassen.“ || Das ist ein Vorwurf, keine Massnahme. Er löst das Problem nicht nachhaltig. - „Wir sollten mehr kommunizieren.“ || Zu allgemein. Was genau soll sich ändern? + „Ich schlage vor, dass alle Zeichnungen nur noch im gemeinsamen Projektordner mit Versionsnummer abgelegt werden und die Produktion bei jeder Änderung automatisch benachrichtigt wird.“ || Richtig. Konkret, auf die Ursache bezogen und an die zuständige Stelle richtbar. {Ordnen Sie die Aussagen der richtigen Zielebene zu. |type="()"} | normativ | strategisch | operativ +-- „Wir behandeln Kundschaft und Mitarbeitende mit Respekt und Ehrlichkeit.“ -+- „Bis 2030 erschliessen wir den Markt in der Westschweiz.“ --+ „Die Maschine für die Bäckerei Keller wird bis 15. März ausgeliefert.“ +-- „Wir setzen auf ressourcenschonende Produktion.“ -+- „Wir wollen in drei Jahren 20 % unseres Umsatzes mit Serviceverträgen erzielen.“ {Die Produktion möchte die Lieferung verschieben, um eine grössere Serie effizient abzuschliessen. Das Leitbild sagt: „Wir halten, was wir versprechen.“ Wie hilft das normative Ziel Lea an dieser Schnittstelle? |type="()"} + Es gibt eine Entscheidungshilfe: Der zugesagte Termin gegenüber dem Kunden hat Vorrang, oder eine Verschiebung muss offen und frühzeitig mit dem Kunden abgesprochen werden. || Richtig. Normative Ziele helfen, Interessenkonflikte zwischen Anspruchsgruppen zu lösen. - Gar nicht – Leitbilder sind nur für die Werbung da. || Leitbilder sollen das tägliche Handeln leiten, gerade bei Konflikten. - Die Produktion entscheidet allein, weil sie die Fachverantwortung hat. || Fachverantwortung heisst nicht, dass die Interessen der anderen Anspruchsgruppen keine Rolle spielen. {Ergänzen Sie den Fachbegriff. |type="{}"} Wenn die Produktion erst arbeiten kann, nachdem die Konstruktion die Zeichnung geliefert hat, besteht zwischen den beiden Bereichen eine { Abhängigkeit _14 }. </quiz> == Zusammenfassung == {| class="wikitable" ! Merksatz |- | Kaufleute sind das '''Bindeglied''' an Schnittstellen: Sie wählen den richtigen '''Kanal''' (bt1), erkennen die '''Bedürfnisse''' (bt2), koordinieren mit '''Hilfsmitteln''' (bt3), '''übersetzen''' Fachinhalte (bt4), halten die '''Regeln''' ein (bt5), '''reflektieren''' und verbessern (bt6) und arbeiten '''konstruktiv''' mit den Fachverantwortlichen zusammen (bt7). |} = Einzelnachweise = <references/> [[Kategorie:Kurs:Kaufleute EFZ/HK B2| ]] oj78q702w2xpviclwe84qahs1askq6y 1118668 1118636 2026-11-02T15:09:58Z Paul Sutermeister 37610 1118668 wikitext text/x-wiki '''Schnittstellen in betrieblichen Prozessen koordinieren''' ist Handlungskompetenz [[Kurs:Kaufleute EFZ/Interagieren in einem vernetzten Arbeitsumfeld|B]]2 der [[Kurs:Kaufleute EFZ|Ausbildung ''Kaufleute EFZ'']].<ref>[[:w:Staatssekretariat für Bildung, Forschung und Innovation (SBFI)|SBFI]]: ''[https://www.becc.admin.ch/becc/public/bvz/beruf/show/68800 Kauffrau/Kaufmann EFZ (ab Lehrbeginn 2023)]</ref> <quiz display="simple"> { Ordne die Leistungsziele zu: | typ="()" } | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Bindeglied zwischen Schnittstellenpartnern|B2.1]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Bedürfnisse der Anspruchsgruppen|B2.2]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Koordination mit kaufmännischen Hilfsmitteln|B2.3]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Adressatengerechte Kommunikation von Fachinhalten|B2.4]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Betriebliche und gesellschaftliche Regeln|B2.5]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Optimierung der Schnittstellenkoordination|B2.6]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Zusammenarbeit mit Fachverantwortlichen|B2.7]] +------ [[Kurs:Kaufleute EFZ/Bindeglied zwischen Schnittstellenpartnern|Sie arbeiten als Bindeglied mit unterschiedlichen Schnittstellenpartnern und Anspruchsgruppen effizient zusammen über unterschiedliche Kanäle.]] -+----- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Bedürfnisse der Anspruchsgruppen|Sie schätzen die Bedürfnisse und Anliegen der verschiedenen Anspruchsgruppen an den Schnittstellen ein und leiten zweckmässige Arbeitsschritte systematisch ab.]] --+---- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Koordination mit kaufmännischen Hilfsmitteln|Sie koordinieren an den Schnittstellen zwischen allen Beteiligten mit kaufmännischen Hilfsmitteln.]] ---+--- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Adressatengerechte Kommunikation von Fachinhalten|Sie kommunizieren und dokumentieren als Bindeglied anspruchsvolle technische und fachliche Inhalte gegenüber internen und externen Schnittstellenbeteiligten adressatengerecht.]] ----+-- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Betriebliche und gesellschaftliche Regeln|Sie wenden im Geschäftsverkehr die betrieblichen und gesellschaftlichen Regeln, Usanzen und Vorgaben an.]] -----+- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Optimierung der Schnittstellenkoordination|Sie reflektieren ihre Schnittstellenkoordination und schlagen den zuständigen Stellen Optimierungsmassnahmen vor.]] ------+ [[Kurs:Kaufleute EFZ/Zusammenarbeit mit Fachverantwortlichen|Sie arbeiten mit den Fachverantwortlichen konstruktiv zusammen.]] </quiz> __NOTOC__ = Handlungskompetenz b2: Schnittstellen in betrieblichen Prozessen koordinieren = Dieses Lern-Quiz ist in vier Stufen aufgebaut. Arbeiten Sie die Stufen der Reihe nach durch: Jede Stufe setzt das Wissen der vorherigen voraus. {| class="wikitable" ! Stufe !! Thema !! Niveau |- | 1 || Grundbegriffe verstehen || K1–K2 |- | 2 || Die sieben Leistungsziele bt1–bt7 unterscheiden || K2 |- | 3 || Im Fallbeispiel anwenden || K3 |- | 4 || Analysieren und verbessern || K4 |} == Stufe 1: Grundbegriffe == === Theorie === * Eine '''Schnittstelle''' entsteht überall dort, wo eine Aufgabe von einem Bereich an einen anderen übergeht – zum Beispiel vom Verkauf an die Produktion oder vom Lager an die Buchhaltung. * '''Anspruchsgruppen''' (Stakeholder) sind Personen oder Gruppen, die Erwartungen an das Unternehmen oder an einen Prozess haben: Kundschaft, Lieferanten, Mitarbeitende, Vorgesetzte, Behörden usw. Man unterscheidet '''interne''' und '''externe''' Anspruchsgruppen. * Kaufleute arbeiten als '''Bindeglied''': Sie verbinden die Beteiligten, sorgen dafür, dass Informationen fliessen, und berücksichtigen die unterschiedlichen Interessen. * '''Adressatengerecht''' kommunizieren heisst: Inhalt, Sprache und Form so wählen, dass die Empfängerin oder der Empfänger die Information versteht und nutzen kann. === Quiz === <quiz display=simple> {Was ist eine Schnittstelle in einem betrieblichen Prozess? |type="()"} + Eine Stelle, an der eine Aufgabe oder Information von einem Bereich an einen anderen übergeht. || Richtig. An Schnittstellen gehen Informationen besonders leicht verloren. - Ein Kabelanschluss zwischen zwei Computern. || Das ist die technische Bedeutung. Im Prozess geht es um die Übergabe zwischen Bereichen. - Die Abteilung, die für die Koordination zuständig ist. || Nein. Eine Schnittstelle ist keine Abteilung, sondern ein Übergang zwischen Bereichen. - Der Abschluss eines Projekts. || Nein. Schnittstellen gibt es während des ganzen Prozesses. {Welche dieser Anspruchsgruppen sind '''intern'''? |type="[]"} + Mitarbeitende der Produktion - Kundinnen und Kunden + Geschäftsleitung - Lieferanten + Lernende im Betrieb - Steuerbehörde {Ergänzen Sie die Lücken. |type="{}"} Kaufleute arbeiten als { Bindeglied _12 } an Schnittstellen. Sie kommunizieren Inhalte so, dass die Empfänger sie verstehen – also { adressatengerecht|zielgruppengerecht _18 }. {Ein Kunde, ein Lieferant und die Produktionsleiterin haben unterschiedliche Erwartungen an einen Auftrag. Wie nennt man diese Beteiligten zusammenfassend? |type="()"} - Fachverantwortliche || Fachverantwortliche sind nur die Personen, die inhaltlich für ein Fachgebiet zuständig sind (z. B. die Produktionsleiterin), nicht der Kunde. + Anspruchsgruppen || Richtig. Alle, die Erwartungen an den Prozess haben, gehören dazu. - Kanäle || Kanäle sind die Wege der Kommunikation (Telefon, E-Mail …), nicht die Personen. - Hilfsmittel || Hilfsmittel sind Werkzeuge wie Checklisten oder Terminpläne. </quiz> == Stufe 2: Die sieben Leistungsziele unterscheiden == === Theorie === Die sieben betrieblichen Leistungsziele lassen sich mit je einer Leitfrage unterscheiden: {| class="wikitable" ! Ziel !! Leitfrage !! Ebene |- | '''bt1''' || Mit wem arbeite ich zusammen – und über welchen Kanal? || Kontakt & Kanalwahl |- | '''bt2''' || Was brauchen die Beteiligten – und was folgt daraus für meine nächsten Schritte? || Analyse (vorwärts) |- | '''bt3''' || Womit halte ich alle auf dem gleichen Stand? || Hilfsmittel & Organisation |- | '''bt4''' || Wie übersetze ich Fachinhalt für mein Gegenüber – und halte ihn fest? || Inhalt & Sprache |- | '''bt5''' || Welche Regeln, Usanzen und Vorgaben gelten? || Rahmen |- | '''bt6''' || Was lief nicht gut – und was schlage ich vor? || Rückblick & Verbesserung |- | '''bt7''' || Wie verhalte ich mich gegenüber den Fachverantwortlichen? || Haltung |} '''Achtung, Verwechslungsgefahr:''' * '''bt1 / bt3 / bt7''': ''wer und über welchen Kanal'' – ''womit'' – ''mit welcher Haltung'' * '''bt1 / bt4''': ''Zusammenarbeit funktioniert'' – ''Inhalt kommt verständlich an'' * '''bt2 / bt6''': ''nach vorne schauen'' – ''zurückschauen'' === Quiz === <quiz display=simple> {Ordnen Sie jede Leitfrage dem passenden Leistungsziel zu. |type="()"} | bt1 | bt2 | bt3 | bt4 | bt5 | bt6 | bt7 +------ Mit wem arbeite ich zusammen und über welchen Kanal? -+----- Was brauchen die Beteiligten und was folgt daraus für meine Arbeitsschritte? --+---- Mit welchen Hilfsmitteln halte ich alle auf dem gleichen Stand? ---+--- Wie erkläre ich einen technischen Inhalt verständlich? ----+-- Welche Regeln und Vorgaben muss ich einhalten? -----+- Was hat nicht funktioniert und was schlage ich vor? ------+ Wie arbeite ich konstruktiv mit den Fachleuten zusammen? {Welches Leistungsziel schaut '''zurück''' auf die eigene Koordination? |type="()"} - bt2 || bt2 schaut nach vorne: Aus Bedürfnissen werden nächste Arbeitsschritte abgeleitet. + bt6 || Richtig. Reflektieren heisst zurückschauen – und daraus Verbesserungen ableiten. - bt3 || bt3 betrifft die Hilfsmittel, nicht die Reflexion. {Worin unterscheidet sich bt7 von bt1? |type="()"} - bt7 betrifft externe Partner, bt1 nur interne. || Nein. bt1 umfasst interne '''und''' externe Schnittstellenpartner. + bt1 betrifft alle Schnittstellenpartner und die Kanalwahl, bt7 die konstruktive Haltung gegenüber den Fachverantwortlichen. || Richtig. bt7 ist enger gefasst und betont das ''Wie'' der Zusammenarbeit. - Es gibt keinen Unterschied, die Ziele sind doppelt. || Die Ziele überschneiden sich, aber der Schwerpunkt ist verschieden. {Welche Beispiele sind '''kaufmännische Hilfsmittel''' im Sinne von bt3? |type="[]"} + Gemeinsamer Terminplan + Checkliste für die Auftragsübergabe + Eintrag im CRM-System - Ein freundlicher Tonfall am Telefon || Das gehört eher zu bt7 (Haltung) oder bt1. + Besprechungsprotokoll - Das Fachwissen des Ingenieurs </quiz> == Stufe 3: Im Fallbeispiel anwenden == === Fallbeispiel === Lea Brunner arbeitet in der Auftragsabwicklung der ''Muster Maschinenbau AG''. Die Firma ''Bäckerei Keller'' bestellt eine spezielle Teigknetmaschine, die in der eigenen Produktion angepasst werden muss. Am Auftrag beteiligt sind: * der Kunde (Herr Keller, Bäckermeister, kein Techniker) * die Konstruktion (Ingenieur Herr Rossi) * die Produktion * das Lager und der Versand * die Buchhaltung Lea koordiniert den ganzen Auftrag. === Quiz === <quiz display=simple> {Herr Rossi schickt Lea ein technisches Datenblatt mit Leistungsangaben in kW und Drehzahlen. Herr Keller möchte wissen, ob die Maschine für seine Backstube geeignet ist. Was tut Lea im Sinne von bt4? |type="()"} - Sie leitet das Datenblatt unverändert an Herrn Keller weiter. || Das ist nicht adressatengerecht: Herr Keller ist kein Techniker. + Sie fasst die wichtigsten Punkte in verständlicher Sprache zusammen (z. B. Teigmenge pro Durchgang, Platzbedarf, Stromanschluss) und legt das Datenblatt als Beilage bei. || Richtig. Sie übersetzt den Fachinhalt für den Kunden und dokumentiert ihn. - Sie bittet Herrn Keller, sich direkt mit Herrn Rossi in Verbindung zu setzen. || Damit gibt Lea ihre Rolle als Bindeglied auf. {Die Produktion braucht für die Anpassung drei Wochen, Herr Keller möchte die Maschine aber in zwei Wochen. Was ist der passende Schritt nach bt2? |type="()"} + Lea klärt, was Herr Keller genau braucht (z. B. ob eine Leihmaschine die Lücke überbrückt), und leitet daraus mögliche Lösungen und nächste Schritte ab. || Richtig. Bedürfnisse einschätzen und daraus zweckmässige Arbeitsschritte ableiten. - Lea sagt dem Kunden einfach zwei Wochen zu. || Damit ignoriert sie die Möglichkeiten der Produktion – Ärger ist vorprogrammiert. - Lea wartet ab, bis sich jemand meldet. || Koordinieren heisst aktiv handeln. {Welches Leistungsziel steht im Vordergrund? Ordnen Sie zu. |type="()"} | bt1 | bt3 | bt5 | bt7 +--- Lea ruft das Lager an, weil dort E-Mails oft erst am Abend gelesen werden. -+-- Lea erstellt eine Checkliste, auf der alle Abteilungen ihre erledigten Schritte abhaken. --+- Lea achtet darauf, dass die Rechnung die vereinbarten Zahlungsbedingungen und die MWST korrekt enthält. ---+ Herr Rossi korrigiert Leas Angabe zur Stromspannung. Lea bedankt sich, übernimmt die Korrektur und fragt bei Unklarheiten künftig zuerst nach. {Lea schreibt dem Kunden eine Auftragsbestätigung. Welche Angaben gehören aus Sicht von bt5 (Regeln, Usanzen, Vorgaben) unbedingt hinein? |type="[]"} + Preis und Zahlungsbedingungen + Liefertermin + Hinweis auf die geltenden AGB - Private Handynummer von Herrn Rossi || Persönliche Daten von Mitarbeitenden gibt man nicht ohne Einwilligung weiter (Datenschutz). - Die interne Kalkulation mit der Gewinnmarge || Interne Kalkulationen sind vertraulich. </quiz> == Stufe 4: Analysieren und verbessern == === Theorie === * '''Schnittstellen analysieren''': Wo gibt es Übergaben? Wer ist von wem abhängig? Wo gehen Informationen verloren oder entstehen Wartezeiten? * '''Verbesserungen vorschlagen''': Ein guter Vorschlag beschreibt das Problem, die Ursache und eine konkrete Massnahme – und richtet sich an die zuständige Stelle. * '''Ziele einer Unternehmung''': ** '''Normative Ziele''' beschreiben Werte und Grundhaltungen (Leitbild, Ethik, z. B. „Wir handeln nachhaltig und fair“). ** '''Strategische Ziele''' legen die langfristige Ausrichtung fest (z. B. „In fünf Jahren sind wir Marktführer für Bäckereimaschinen in der Schweiz“). ** Aus ihnen werden die konkreten, kurzfristigen '''operativen Ziele''' abgeleitet. ** An Schnittstellen helfen diese Ziele, bei Interessenkonflikten zu entscheiden. === Quiz === <quiz display=simple> {Nach dem Auftrag stellt Lea fest: Die Produktion hat zweimal mit einer veralteten Zeichnung gearbeitet, weil Herr Rossi Änderungen nur per E-Mail an Lea geschickt hatte. Wo liegt das Schnittstellenproblem? |type="()"} + Bei der Übergabe von der Konstruktion zur Produktion: Änderungen kamen nicht bei allen Beteiligten an. || Richtig. Die Produktion war von Informationen abhängig, die sie nicht erhalten hat. - Bei der Übergabe vom Lager zum Versand. || Diese Schnittstelle war hier nicht betroffen. - Beim Kunden, weil er Änderungen verlangt hat. || Kundenwünsche sind normal. Das Problem liegt in der internen Weitergabe. {Welcher Verbesserungsvorschlag nach bt6 ist am besten? |type="()"} - „Herr Rossi muss besser aufpassen.“ || Das ist ein Vorwurf, keine Massnahme. Er löst das Problem nicht nachhaltig. - „Wir sollten mehr kommunizieren.“ || Zu allgemein. Was genau soll sich ändern? + „Ich schlage vor, dass alle Zeichnungen nur noch im gemeinsamen Projektordner mit Versionsnummer abgelegt werden und die Produktion bei jeder Änderung automatisch benachrichtigt wird.“ || Richtig. Konkret, auf die Ursache bezogen und an die zuständige Stelle richtbar. {Ordnen Sie die Aussagen der richtigen Zielebene zu. |type="()"} | normativ | strategisch | operativ +-- „Wir behandeln Kundschaft und Mitarbeitende mit Respekt und Ehrlichkeit.“ -+- „Bis 2030 erschliessen wir den Markt in der Westschweiz.“ --+ „Die Maschine für die Bäckerei Keller wird bis 15. März ausgeliefert.“ +-- „Wir setzen auf ressourcenschonende Produktion.“ -+- „Wir wollen in drei Jahren 20 % unseres Umsatzes mit Serviceverträgen erzielen.“ {Die Produktion möchte die Lieferung verschieben, um eine grössere Serie effizient abzuschliessen. Das Leitbild sagt: „Wir halten, was wir versprechen.“ Wie hilft das normative Ziel Lea an dieser Schnittstelle? |type="()"} + Es gibt eine Entscheidungshilfe: Der zugesagte Termin gegenüber dem Kunden hat Vorrang, oder eine Verschiebung muss offen und frühzeitig mit dem Kunden abgesprochen werden. || Richtig. Normative Ziele helfen, Interessenkonflikte zwischen Anspruchsgruppen zu lösen. - Gar nicht – Leitbilder sind nur für die Werbung da. || Leitbilder sollen das tägliche Handeln leiten, gerade bei Konflikten. - Die Produktion entscheidet allein, weil sie die Fachverantwortung hat. || Fachverantwortung heisst nicht, dass die Interessen der anderen Anspruchsgruppen keine Rolle spielen. {Ergänzen Sie den Fachbegriff. |type="{}"} Wenn die Produktion erst arbeiten kann, nachdem die Konstruktion die Zeichnung geliefert hat, besteht zwischen den beiden Bereichen eine { Abhängigkeit _14 }. </quiz> == Zusammenfassung == {| class="wikitable" ! Merksatz |- | Kaufleute sind das '''Bindeglied''' an Schnittstellen: Sie wählen den richtigen '''Kanal''' (bt1), erkennen die '''Bedürfnisse''' (bt2), koordinieren mit '''Hilfsmitteln''' (bt3), '''übersetzen''' Fachinhalte (bt4), halten die '''Regeln''' ein (bt5), '''reflektieren''' und verbessern (bt6) und arbeiten '''konstruktiv''' mit den Fachverantwortlichen zusammen (bt7). |} = Einzelnachweise = <references/> [[Kategorie:Kurs:Kaufleute EFZ/HK B2| ]] aygy05q9us9978u703lw8uo5h2iojli 14 173398 1118632 2026-11-02T12:41:04Z Paul Sutermeister 37610 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1118632 wikitext text/x-wiki [[Kategorie:Kurs:Kaufleute EFZ/HK B]] 1f8a2wkfyxfykkg76zp817013002vw1 1118633 1118632 2026-11-02T12:41:22Z Paul Sutermeister 37610 1118633 wikitext text/x-wiki [[Kategorie:Kurs:Kaufleute EFZ/HKB B]] c2gz850ke7rej2qwy7v5qj6l1lk7teq 3 173399 1118638 2026-11-02T13:22:44Z New user message 15350 Begrüßung eines neuen Benutzers mit einer [[Template:Welcome|Willkommensnachricht]] auf dessen Diskussionsseite 1118638 wikitext text/x-wiki {{Template:Welcome|name=Lennart Theofel}} -- [[Benutzer:New user message|New user message]] ([[Benutzer Diskussion:New user message|Diskussion]]) 14:22, 2. Nov. 2026 (CET) 1jpu0h13ehagiu255g0rzfh7rjsllep 0 173400 1118646 2026-11-02T13:50:05Z Lennart Theofel 42059 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1118646 wikitext text/x-wiki ==Einleitung== Wir wollen im Sekundarstufen 1 Niveau ein vereinfachtes Modell mit einer Brennregel verwenden, bei dem man eine erste Vorstellung von der räumlichen Ausbreitung eines Waldbrands gewinnt. Die Vereinfachungen sind: * Keine Berücksichtigung des Windes. * Bäume brennen nicht in einem kontinuierlichen Modell ab, sondern auf einem Schachbrettmuster. * Feuchtigkeit und Bodenbeschaffenheit werden ebenfalls nicht berücksichtigut. Berücksichtigt wird: * Ein brennender Baum kann in seiner Brennperiode maximal 3 Nachbarbäume in Brand setzen. * Auf welche NAchbarzellen dei Funken übergehen, wird durch ein Zufallsexperiment beschrieben. * Die Bäume stehen in einem rasterförmigen Muster (wie ein Schachbrett). * Nur direkt benachbarte Bäume (oben, unten, links, rechts) können brennen. * Ein Baum brennt nur einmal – dann ist er „verbrannt“. * Es gibt 3 Zustände von Bäumen: unverbrannt, brennt, verbrannt. * Es gibt 4 Zustände von Zellen: Baum umverbrannt, Baum brennt, Baum verbrannt, kein Baum. * Jede Schachbrettzelle hat entweder einen Baum oder ist leer. 43ozcee48ym9wyp15ptiy0c0m7y4zwb 1118647 1118646 2026-11-02T13:52:01Z Lennart Theofel 42059 /* Einleitung */ 1118647 wikitext text/x-wiki ==Einleitung== Wir wollen im Sekundarstufen 1 Niveau ein vereinfachtes Modell mit einer Brennregel verwenden, bei dem man eine erste Vorstellung von der räumlichen Ausbreitung eines Waldbrands gewinnt. Die Vereinfachungen sind: ===Unberücksichtigte Kriterien=== Nicht berücksichtigt wird: * Wind * Bäume brennen nicht in einem kontinuierlichen Modell ab, sondern auf einem Schachbrettmuster. * Feuchtigkeit und Bodenbeschaffenheit ===Berücksichtigte Kriterien=== Berücksichtigt wird: * Ein brennender Baum kann in seiner Brennperiode maximal 3 Nachbarbäume in Brand setzen. * Auf welche Nachbarzellen dei Funken übergehen, wird durch ein Zufallsexperiment beschrieben. * Die Bäume stehen in einem rasterförmigen Muster (wie ein Schachbrett). * Nur direkt benachbarte Bäume (oben, unten, links, rechts) können brennen. * Ein Baum brennt nur einmal – dann ist er „verbrannt“. * Es gibt 3 Zustände von Bäumen: unverbrannt, brennt, verbrannt. * Es gibt 4 Zustände von Zellen: Baum umverbrannt, Baum brennt, Baum verbrannt, kein Baum. * Jede Schachbrettzelle hat entweder einen Baum oder ist leer. pv0ponr8r43homrii3yaq367qnul4n4 1118648 1118647 2026-11-02T13:54:05Z Lennart Theofel 42059 /* Einleitung */ 1118648 wikitext text/x-wiki ==Einleitung== Wir wollen im Sekundarstufen 1 Niveau ein vereinfachtes Modell mit einer Brennregel verwenden, bei dem man eine erste Vorstellung von der räumlichen Ausbreitung eines Waldbrands gewinnt. Die Vereinfachungen sind: ===Unberücksichtigte Kriterien=== Nicht berücksichtigt wird: * Wind * Bäume brennen nicht in einem kontinuierlichen Modell ab, sondern auf einem Schachbrettmuster. * Feuchtigkeit und Bodenbeschaffenheit ===Berücksichtigte Kriterien=== Berücksichtigt wird: * Ein brennender Baum kann in seiner Brennperiode maximal 3 Nachbarbäume in Brand setzen. * Auf welche Nachbarzellen dei Funken übergehen, wird durch ein Zufallsexperiment beschrieben. * Die Bäume stehen in einem rasterförmigen Muster (wie ein Schachbrett). * Nur direkt benachbarte Bäume (oben, unten, links, rechts) können brennen. * Ein Baum brennt nur einmal – dann ist er „verbrannt“. * Es gibt 3 Zustände von Bäumen: unverbrannt, brennt, verbrannt. * Es gibt 4 Zustände von Zellen: Baum umverbrannt, Baum brennt, Baum verbrannt, kein Baum. * Jede Schachbrettzelle hat entweder einen Baum oder ist leer. ==Verwendete Softwarewerkzeuge== Tabellenkalkulation [[w:de:Libre Office|LibreOffice]] 5z1iqwvnlhdq3jj302u59yg776zz9ea 1118649 1118648 2026-11-02T14:02:18Z Lennart Theofel 42059 /* Verwendete Softwarewerkzeuge */ 1118649 wikitext text/x-wiki ==Einleitung== Wir wollen im Sekundarstufen 1 Niveau ein vereinfachtes Modell mit einer Brennregel verwenden, bei dem man eine erste Vorstellung von der räumlichen Ausbreitung eines Waldbrands gewinnt. Die Vereinfachungen sind: ===Unberücksichtigte Kriterien=== Nicht berücksichtigt wird: * Wind * Bäume brennen nicht in einem kontinuierlichen Modell ab, sondern auf einem Schachbrettmuster. * Feuchtigkeit und Bodenbeschaffenheit ===Berücksichtigte Kriterien=== Berücksichtigt wird: * Ein brennender Baum kann in seiner Brennperiode maximal 3 Nachbarbäume in Brand setzen. * Auf welche Nachbarzellen dei Funken übergehen, wird durch ein Zufallsexperiment beschrieben. * Die Bäume stehen in einem rasterförmigen Muster (wie ein Schachbrett). * Nur direkt benachbarte Bäume (oben, unten, links, rechts) können brennen. * Ein Baum brennt nur einmal – dann ist er „verbrannt“. * Es gibt 3 Zustände von Bäumen: unverbrannt, brennt, verbrannt. * Es gibt 4 Zustände von Zellen: Baum umverbrannt, Baum brennt, Baum verbrannt, kein Baum. * Jede Schachbrettzelle hat entweder einen Baum oder ist leer. ==Verwendete Softwarewerkzeuge== Die Tabellenkalkulation [[w:de:Libre Office|LibreOffice]] wird verwendet, um die Zellen auf dem Schachbrettmuster darzustellen. Die Einfärbung erfolgt über bedingte Formatierung: * Grün (<math> x = 0 </math>) = umverbrannt * rot (<math> 0 < x < 1 </math>) = brennt * schwarz (<math> x\geq 1 </math>)= verbrannt * weiß ( <math> x < 0 </math>) = kein Baum in der Zelle 5lb58d8njuqm4ucwd9qwht6bxp62ift 0 173401 1118662 2026-11-02T14:59:51Z Bert Niehaus 20843 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1118662 wikitext text/x-wiki #REDIRECT[[[[bedingte Wahrscheinlichkeit#ZerlegungDef]] 7z8e7epkxvkw7fpynscyp6fye666j6q 1118663 1118662 2026-11-02T15:00:05Z Bert Niehaus 20843 Weiterleitung nach [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#ZerlegungDef]] erstellt 1118663 wikitext text/x-wiki #REDIRECT[[bedingte Wahrscheinlichkeit#ZerlegungDef]] ofecerhc4bmpa2smlecjas86nbyxjut 106 173402 1118671 2026-11-02T15:17:19Z Paul Sutermeister 37610 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1118671 wikitext text/x-wiki = Betriebliche Regeln = * [[:w:Strategie_(Wirtschaft)#Vision_und_Mission|Vision]] * [[:w:Wertvorstellung|Werte]] * [[:w:Unternehmensleitbild|Leitbild]] * [[:w:Zielpyramide|Zielpyramide]] = Gesellschaftliche Regeln = * [[:w:Corporate Social Responsibility|CSR]] [[Kategorie:Kurs:Kaufleute EFZ/HK B2]] jszpkjssesm5u2fwtk2muruwwq1nkpk 1118673 1118671 2026-11-02T15:21:50Z Paul Sutermeister 37610 1118673 wikitext text/x-wiki = Betriebliche Regeln = * [[:w:Strategie_(Wirtschaft)#Vision_und_Mission|Vision]] * [[:w:Wertvorstellung|Werte]] * [[:w:Unternehmensleitbild|Leitbild]] * Zielpyramide = Gesellschaftliche Regeln = * [[:w:Corporate Social Responsibility|CSR]] [[Kategorie:Kurs:Kaufleute EFZ/HK B2]] 0rxwtp4yf8g93nm0ugivqhcttinxg2u 106 173403 1118678 2026-11-02T15:28:52Z Paul Sutermeister 37610 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1118678 wikitext text/x-wiki [[:w:Stakeholder|Anspruchsgruppen]] [[Kategorie:Kurs:Kaufleute EFZ/HK B2]] n62cyd73pbdet3ne4irpke6d7zbftlt 106 173404 1118684 2026-11-02T15:53:03Z Paul Sutermeister 37610 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1118684 wikitext text/x-wiki '''Kaufmännische Kompetenzentwicklung überprüfen und weiterentwickeln''' ist Handlungskompetenz [[Kurs:Kaufleute EFZ/Handeln in agilen Arbeits- und Organisationsformen|A]]1 der [[Kurs:Kaufleute EFZ|Ausbildung ''Kaufleute EFZ'']].<ref>[[:w:Staatssekretariat für Bildung, Forschung und Innovation (SBFI)|SBFI]]: ''[https://www.becc.admin.ch/becc/public/bvz/beruf/show/68800 Kauffrau/Kaufmann EFZ (ab Lehrbeginn 2023)]</ref> <quiz display="simple"> { Ordne die Leistungsziele zu: | typ="()" } | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Lebenslanges Lernen|A1.1]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Kompetenzentwicklung|A1.2]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Weiterbildung|A1.3]] +-- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Lebenslanges Lernen|Sie informieren sich im Arbeitsmarkt über Trends und Entwicklungsmöglichkeiten in ihrem Berufsfeld.]] -+- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Kompetenzentwicklung|Sie analysieren und dokumentieren ihre Fähigkeiten, Stärken und Schwächen im berufs- und tätigkeitsrelevanten Bereich.]] --+ [[Kurs:Kaufleute EFZ/Weiterbildung|Sie leiten Vorschläge für Massnahmen zur Weiterentwicklung ihrer berufsbezogenen Kompetenzen ab.]] </quiz> __NOTOC__ = Handlungskompetenz a1: Kaufmännische Kompetenzentwicklung überprüfen und weiterentwickeln = Dieses Lern-Quiz ist in vier Stufen aufgebaut. Arbeiten Sie die Stufen der Reihe nach durch: Jede Stufe setzt das Wissen der vorherigen voraus. {| class="wikitable" ! Stufe !! Thema !! Niveau |- | 1 || Grundbegriffe verstehen || K1–K2 |- | 2 || Die drei Leistungsziele a1.bt1–bt3 unterscheiden || K2 |- | 3 || Im Fallbeispiel anwenden || K3 |- | 4 || Ziele formulieren und Weiterbildungen auswählen || K3–K4 |} == Stufe 1: Grundbegriffe == === Theorie === * Eine '''Kompetenz''' ist die Fähigkeit, eine Situation erfolgreich zu bewältigen. Man unterscheidet oft: ** '''Fachkompetenz''' – Fachwissen und Können (z. B. Buchhaltung, Excel) ** '''Methodenkompetenz''' – Arbeitstechniken (z. B. Zeitplanung, Recherche) ** '''Sozialkompetenz''' – Umgang mit anderen (z. B. Teamfähigkeit, Konfliktfähigkeit) ** '''Selbstkompetenz''' – Umgang mit sich selbst (z. B. Selbstständigkeit, Belastbarkeit) * '''Lebenslanges Lernen''' bedeutet: Lernen hört mit dem Lehrabschluss nicht auf. Die Arbeitswelt verändert sich laufend (Digitalisierung, Automatisierung, künstliche Intelligenz), deshalb müssen Berufsleute ihre Kompetenzen immer wieder anpassen. * Eine '''Standortbestimmung''' ist eine bewusste Bestandesaufnahme: Was kann ich schon? Wo sind meine Stärken und Schwächen? Wo will ich hin? === Quiz === <quiz display=simple> {Warum ist lebenslanges Lernen für Kaufleute besonders wichtig? |type="()"} + Weil sich Arbeitsmittel und Aufgaben durch Digitalisierung und Automatisierung laufend verändern. || Richtig. Viele Routinearbeiten werden automatisiert; gefragt sind neue Kompetenzen. - Weil das EFZ nach fünf Jahren ungültig wird. || Nein. Das EFZ bleibt gültig – aber das Wissen veraltet, wenn man nicht weiterlernt. - Weil man nur mit einem Studium eine Stelle findet. || Nein. Weiterlernen kann auch im Betrieb, in Kursen oder selbstständig geschehen. {Ordnen Sie die Beispiele der passenden Kompetenzart zu. |type="()"} | Fachkompetenz | Methodenkompetenz | Sozialkompetenz | Selbstkompetenz +--- Sie können eine Debitorenrechnung korrekt verbuchen. -+-- Sie planen Ihre Woche mit einer Prioritätenliste. --+- Sie vermitteln bei einem Streit im Team. ---+ Sie bleiben auch unter Zeitdruck ruhig und arbeiten sorgfältig. +--- Sie kennen die wichtigsten Excel-Funktionen. --+- Sie geben einer Kollegin konstruktives Feedback. {Ergänzen Sie die Lücke. |type="{}"} Eine bewusste Bestandesaufnahme der eigenen Fähigkeiten, Stärken und Schwächen nennt man { Standortbestimmung _20 }. {Welche Aussagen zum lebenslangen Lernen treffen zu? |type="[]"} + Man kann auch am Arbeitsplatz lernen, z. B. durch neue Aufgaben. + Auch informelles Lernen (z. B. Lernvideos, Fachartikel) zählt dazu. - Lebenslanges Lernen betrifft nur Fachwissen. || Auch Methoden-, Sozial- und Selbstkompetenzen entwickeln sich weiter. - Wer eine gute Lehre gemacht hat, muss nicht mehr weiterlernen. </quiz> == Stufe 2: Die drei Leistungsziele unterscheiden == === Theorie === Die drei betrieblichen Leistungsziele bilden einen Ablauf in drei Blickrichtungen: {| class="wikitable" ! Ziel !! Blickrichtung !! Leitfrage !! Typische Tätigkeiten |- | '''a1.bt1''' || nach aussen || Was verlangt der Arbeitsmarkt – und welche Möglichkeiten habe ich in meinem Berufsfeld? || Stelleninserate lesen, Trends verfolgen, Berufsberatung nutzen |- | '''a1.bt2''' || nach innen || Was kann ich – wo sind meine Stärken und Schwächen? || Standortbestimmung, Selbst- und Fremdeinschätzung, dokumentieren |- | '''a1.bt3''' || nach vorne || Was nehme ich mir vor – und was vereinbare ich mit meinen Vorgesetzten? || Massnahmen ableiten, Ziele formulieren, Weiterbildung wählen, festlegen |} '''Merke:''' Erst wer weiss, was der Markt verlangt (bt1) und was man selbst kann (bt2), kann sinnvolle Massnahmen festlegen (bt3). === Quiz === <quiz display=simple> {Ordnen Sie die Tätigkeiten dem passenden Leistungsziel zu. |type="()"} | bt1 | bt2 | bt3 +-- Sie lesen Stelleninserate und notieren, welche Kompetenzen oft verlangt werden. -+- Sie füllen einen Selbsteinschätzungsbogen zu Ihren Kompetenzen aus. --+ Sie vereinbaren mit Ihrer Berufsbildnerin, im nächsten Semester einen Excel-Kurs zu besuchen. +-- Sie informieren sich, welche Weiterbildungen nach dem EFZ möglich sind. -+- Sie bitten Ihren Vorgesetzten um eine Einschätzung Ihrer Stärken und Schwächen. --+ Sie formulieren ein messbares Lernziel für die nächsten drei Monate. {Welches Leistungsziel richtet den Blick '''nach innen'''? |type="()"} - bt1 || bt1 richtet den Blick nach aussen auf den Arbeitsmarkt. + bt2 || Richtig. Hier geht es um die eigenen Fähigkeiten, Stärken und Schwächen. - bt3 || bt3 richtet den Blick nach vorne auf Massnahmen. {Warum steht bt3 am Schluss? |type="()"} + Weil man Massnahmen erst sinnvoll ableiten kann, wenn man die Anforderungen des Marktes und den eigenen Stand kennt. || Richtig. bt3 baut auf bt1 und bt2 auf. - Weil bt3 am wenigsten wichtig ist. || Nein. bt3 ist das Ergebnis des ganzen Prozesses. - Die Reihenfolge ist zufällig. || Die Ziele bauen logisch aufeinander auf. {Was gehört '''zwingend''' zu bt3 dazu? |type="[]"} + Vorschläge für Massnahmen ableiten + Massnahmen mit Vorgesetzten bzw. Berufsbildner/in festlegen - Ein Bewerbungsschreiben verfassen || Bewerben gehört zu einer anderen Handlungskompetenz (a3). - Ein persönliches Netzwerk aufbauen || Netzwerke sind Thema der Handlungskompetenz a2. </quiz> == Stufe 3: Im Fallbeispiel anwenden == === Fallbeispiel === Nora Meier ist im zweiten Lehrjahr als Kauffrau EFZ bei einer Versicherung. Ihre Berufsbildnerin, Frau Graf, hat das halbjährliche Standortgespräch angekündigt. Nora soll sich darauf vorbereiten. Nora weiss: Sie ist sehr zuverlässig und kommt gut mit Kundinnen und Kunden am Telefon zurecht. Mit Excel tut sie sich schwer, und in Sitzungen traut sie sich selten, ihre Meinung zu sagen. Nach der Lehre möchte sie vielleicht im Personalwesen arbeiten. === Quiz === <quiz display=simple> {Nora möchte wissen, was im Personalwesen heute verlangt wird. Was ist ein sinnvoller erster Schritt im Sinne von bt1? |type="()"} + Sie vergleicht aktuelle Stelleninserate für HR-Assistenz und notiert die häufig verlangten Kompetenzen und Abschlüsse. || Richtig. So erkennt sie Trends und Anforderungen im Arbeitsmarkt. - Sie meldet sich sofort für eine teure Weiterbildung an. || Das wäre eine Massnahme (bt3) – ohne vorher den Markt und den eigenen Stand zu kennen. - Sie fragt ihre Kolleginnen, ob sie Personalwesen spannend finden. || Meinungen sind interessant, sagen aber wenig über die Anforderungen im Arbeitsmarkt aus. {Welche Methoden eignen sich für Noras Standortbestimmung (bt2)? |type="[]"} + Stärken-Schwächen-Analyse + Selbsteinschätzung mit einem Kompetenzraster + Fremdeinschätzung durch Frau Graf (Feedback) - Ein Horoskop lesen || Das ist keine seriöse Methode. + Durchsicht der eigenen Lerndokumentation {Ordnen Sie Noras Merkmale zu. |type="()"} | Stärke | Schwäche +- Sie ist zuverlässig. -+ Sie hat Mühe mit Excel. +- Sie kommuniziert gut am Telefon. -+ Sie äussert ihre Meinung in Sitzungen selten. {Nora schlägt im Gespräch Massnahmen vor. Welcher Vorschlag passt am besten zu ihrer Standortbestimmung und ihrem Berufsziel? |type="()"} - „Ich möchte besser werden.“ || Zu allgemein. Woran und wie? + „Ich besuche bis Ende Semester den internen Excel-Grundkurs, und ich bringe in jeder Teamsitzung mindestens einen eigenen Beitrag ein.“ || Richtig. Die Massnahmen beziehen sich auf ihre Schwächen, sind konkret und überprüfbar. - „Ich mache nach der Lehre ein Studium.“ || Das ist ein Fernziel, aber keine konkrete Massnahme für die nächste Zeit. {Warum legt Nora die Massnahmen '''gemeinsam''' mit Frau Graf fest? |type="()"} + Weil der Betrieb Lernmöglichkeiten ermöglichen muss (z. B. Kursbesuch, neue Aufgaben) und die Massnahmen so verbindlich werden. || Richtig. Der Bildungsplan verlangt die Absprache mit Vorgesetzten bzw. Berufsbildner/innen. - Weil Lernende nicht selbst entscheiden dürfen, was sie lernen. || Nein. Nora macht die Vorschläge selbst – festgelegt wird gemeinsam. - Weil Frau Graf die Massnahmen bezahlen muss. || Nicht unbedingt. Es geht um Abstimmung und Verbindlichkeit. </quiz> == Stufe 4: Ziele formulieren und Weiterbildungen auswählen == === Theorie === '''Messbare Ziele nach SMART''' {| class="wikitable" ! Buchstabe !! Bedeutung !! Frage |- | '''S''' || spezifisch || Was genau will ich erreichen? |- | '''M''' || messbar || Woran erkenne ich, dass ich es erreicht habe? |- | '''A''' || attraktiv / akzeptiert || Will ich das wirklich? Ist es mit dem Betrieb abgesprochen? |- | '''R''' || realistisch || Ist es mit meinen Mitteln erreichbar? |- | '''T''' || terminiert || Bis wann? |} '''Weiterbildungsmöglichkeiten nach dem EFZ (Auswahl)''' * Kurse und Zertifikate (z. B. Sprachdiplome, Informatikzertifikate) * Berufsmaturität (BM) – Zugang zur Fachhochschule * Höhere Berufsbildung: Berufsprüfung (eidg. Fachausweis), höhere Fachprüfung (eidg. Diplom), höhere Fachschule (HF) * Fachhochschule (Bachelor, z. B. Betriebsökonomie) '''Entwicklung dokumentieren und reflektieren:''' Ziele, Massnahmen und Ergebnisse schriftlich festhalten (z. B. Lerndokumentation, Lernjournal) und regelmässig fragen: Was habe ich erreicht? Was hat geholfen? Was mache ich anders? === Quiz === <quiz display=simple> {Welches Ziel ist nach SMART formuliert? |type="()"} - „Ich will besser in Excel werden.“ || Nicht messbar und nicht terminiert. - „Ich will alles über Excel wissen.“ || Nicht realistisch und nicht messbar. + „Bis Ende März erstelle ich selbstständig eine Tabelle mit WENN- und SVERWEIS-Funktionen für unsere Spesenabrechnung.“ || Richtig. Spezifisch, messbar, realistisch und terminiert. - „Ich arbeite ab sofort mehr am Computer.“ || Nicht spezifisch und nicht messbar. {Welcher SMART-Buchstabe fehlt? „Ich besuche einen Englischkurs und erreiche das Niveau B2.“ |type="()"} - S || Das Ziel ist spezifisch (Englisch, B2). - M || Das Niveau B2 ist messbar. + T || Richtig. Es fehlt ein Termin – bis wann? - R || Ob es realistisch ist, hängt vom Termin ab – der fehlt aber. {Nora möchte nach der Lehre im Personalwesen arbeiten und berufsbegleitend weiterlernen. Welche Weiterbildung passt am besten? |type="()"} + Eidg. Fachausweis HR-Fachfrau/-Fachmann (Berufsprüfung) || Richtig. Diese Weiterbildung ist berufsbegleitend und genau auf das Personalwesen ausgerichtet. - Eidg. Fachausweis Treuhänder/in || Passt nicht zu Noras Berufsziel. - Vollzeitstudium Medizin || Passt weder zum Berufsziel noch zum Wunsch, berufsbegleitend zu lernen. {Welche Fragen gehören zur '''Reflexion''' einer Entwicklungsmassnahme? |type="[]"} + Habe ich mein Ziel erreicht? + Was hat mir beim Lernen geholfen? + Was würde ich beim nächsten Mal anders machen? - Wer ist schuld, dass es nicht geklappt hat? || Reflexion sucht nach Erkenntnissen, nicht nach Schuldigen. {Ergänzen Sie die Lücke. |type="{}"} Die Berufsmaturität ermöglicht den Zugang zur { Fachhochschule _16 }. </quiz> == Zusammenfassung == {| class="wikitable" ! Merksatz |- | Kaufleute schauen '''nach aussen''' auf Trends im Arbeitsmarkt (bt1), '''nach innen''' auf ihre Stärken und Schwächen (bt2) und '''nach vorne''', indem sie Massnahmen zur Weiterentwicklung ableiten und mit ihren Vorgesetzten festlegen (bt3). |} ''Quelle: Bildungsplan Kauffrau/Kaufmann EFZ (68800), Handlungskompetenz a1, Leistungsziele a1.bt1–bt3 und a1.bs1a, bs2a–b, bs3a–c.'' = Einzelnachweise = <references/> [[Kategorie:Kurs:Kaufleute EFZ/HK A1| ]] mk5wv0fytgbtmsd7sa0k4dwjh03x5iy 1118688 1118684 2026-11-02T15:57:10Z Paul Sutermeister 37610 1118688 wikitext text/x-wiki '''Kaufmännische Kompetenzentwicklung überprüfen und weiterentwickeln''' ist Handlungskompetenz [[Kurs:Kaufleute EFZ/Handeln in agilen Arbeits- und Organisationsformen|A]]1 der [[Kurs:Kaufleute EFZ|Ausbildung ''Kaufleute EFZ'']].<ref>[[:w:Staatssekretariat für Bildung, Forschung und Innovation (SBFI)|SBFI]]: ''[https://www.becc.admin.ch/becc/public/bvz/beruf/show/68800 Kauffrau/Kaufmann EFZ (ab Lehrbeginn 2023)]</ref> <quiz display="simple"> { Ordne die Leistungsziele zu: | typ="()" } | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Lebenslanges Lernen|A1.1]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Standortbestimmung|A1.2]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Weiterbildung|A1.3]] +-- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Lebenslanges Lernen|Sie informieren sich im Arbeitsmarkt über Trends und Entwicklungsmöglichkeiten in ihrem Berufsfeld.]] -+- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Standortbestimmung|Sie analysieren und dokumentieren ihre Fähigkeiten, Stärken und Schwächen im berufs- und tätigkeitsrelevanten Bereich.]] --+ [[Kurs:Kaufleute EFZ/Weiterbildung|Sie leiten Vorschläge für Massnahmen zur Weiterentwicklung ihrer berufsbezogenen Kompetenzen ab.]] </quiz> __NOTOC__ = Handlungskompetenz a1: Kaufmännische Kompetenzentwicklung überprüfen und weiterentwickeln = Dieses Lern-Quiz ist in vier Stufen aufgebaut. Arbeiten Sie die Stufen der Reihe nach durch: Jede Stufe setzt das Wissen der vorherigen voraus. {| class="wikitable" ! Stufe !! Thema !! Niveau |- | 1 || Grundbegriffe verstehen || K1–K2 |- | 2 || Die drei Leistungsziele a1.bt1–bt3 unterscheiden || K2 |- | 3 || Im Fallbeispiel anwenden || K3 |- | 4 || Ziele formulieren und Weiterbildungen auswählen || K3–K4 |} == Stufe 1: Grundbegriffe == === Theorie === * Eine '''Kompetenz''' ist die Fähigkeit, eine Situation erfolgreich zu bewältigen. Man unterscheidet oft: ** '''Fachkompetenz''' – Fachwissen und Können (z. B. Buchhaltung, Excel) ** '''Methodenkompetenz''' – Arbeitstechniken (z. B. Zeitplanung, Recherche) ** '''Sozialkompetenz''' – Umgang mit anderen (z. B. Teamfähigkeit, Konfliktfähigkeit) ** '''Selbstkompetenz''' – Umgang mit sich selbst (z. B. Selbstständigkeit, Belastbarkeit) * '''Lebenslanges Lernen''' bedeutet: Lernen hört mit dem Lehrabschluss nicht auf. Die Arbeitswelt verändert sich laufend (Digitalisierung, Automatisierung, künstliche Intelligenz), deshalb müssen Berufsleute ihre Kompetenzen immer wieder anpassen. * Eine '''Standortbestimmung''' ist eine bewusste Bestandesaufnahme: Was kann ich schon? Wo sind meine Stärken und Schwächen? Wo will ich hin? === Quiz === <quiz display=simple> {Warum ist lebenslanges Lernen für Kaufleute besonders wichtig? |type="()"} + Weil sich Arbeitsmittel und Aufgaben durch Digitalisierung und Automatisierung laufend verändern. || Richtig. Viele Routinearbeiten werden automatisiert; gefragt sind neue Kompetenzen. - Weil das EFZ nach fünf Jahren ungültig wird. || Nein. Das EFZ bleibt gültig – aber das Wissen veraltet, wenn man nicht weiterlernt. - Weil man nur mit einem Studium eine Stelle findet. || Nein. Weiterlernen kann auch im Betrieb, in Kursen oder selbstständig geschehen. {Ordnen Sie die Beispiele der passenden Kompetenzart zu. |type="()"} | Fachkompetenz | Methodenkompetenz | Sozialkompetenz | Selbstkompetenz +--- Sie können eine Debitorenrechnung korrekt verbuchen. -+-- Sie planen Ihre Woche mit einer Prioritätenliste. --+- Sie vermitteln bei einem Streit im Team. ---+ Sie bleiben auch unter Zeitdruck ruhig und arbeiten sorgfältig. +--- Sie kennen die wichtigsten Excel-Funktionen. --+- Sie geben einer Kollegin konstruktives Feedback. {Ergänzen Sie die Lücke. |type="{}"} Eine bewusste Bestandesaufnahme der eigenen Fähigkeiten, Stärken und Schwächen nennt man { Standortbestimmung _20 }. {Welche Aussagen zum lebenslangen Lernen treffen zu? |type="[]"} + Man kann auch am Arbeitsplatz lernen, z. B. durch neue Aufgaben. + Auch informelles Lernen (z. B. Lernvideos, Fachartikel) zählt dazu. - Lebenslanges Lernen betrifft nur Fachwissen. || Auch Methoden-, Sozial- und Selbstkompetenzen entwickeln sich weiter. - Wer eine gute Lehre gemacht hat, muss nicht mehr weiterlernen. </quiz> == Stufe 2: Die drei Leistungsziele unterscheiden == === Theorie === Die drei betrieblichen Leistungsziele bilden einen Ablauf in drei Blickrichtungen: {| class="wikitable" ! Ziel !! Blickrichtung !! Leitfrage !! Typische Tätigkeiten |- | '''a1.bt1''' || nach aussen || Was verlangt der Arbeitsmarkt – und welche Möglichkeiten habe ich in meinem Berufsfeld? || Stelleninserate lesen, Trends verfolgen, Berufsberatung nutzen |- | '''a1.bt2''' || nach innen || Was kann ich – wo sind meine Stärken und Schwächen? || Standortbestimmung, Selbst- und Fremdeinschätzung, dokumentieren |- | '''a1.bt3''' || nach vorne || Was nehme ich mir vor – und was vereinbare ich mit meinen Vorgesetzten? || Massnahmen ableiten, Ziele formulieren, Weiterbildung wählen, festlegen |} '''Merke:''' Erst wer weiss, was der Markt verlangt (bt1) und was man selbst kann (bt2), kann sinnvolle Massnahmen festlegen (bt3). === Quiz === <quiz display=simple> {Ordnen Sie die Tätigkeiten dem passenden Leistungsziel zu. |type="()"} | bt1 | bt2 | bt3 +-- Sie lesen Stelleninserate und notieren, welche Kompetenzen oft verlangt werden. -+- Sie füllen einen Selbsteinschätzungsbogen zu Ihren Kompetenzen aus. --+ Sie vereinbaren mit Ihrer Berufsbildnerin, im nächsten Semester einen Excel-Kurs zu besuchen. +-- Sie informieren sich, welche Weiterbildungen nach dem EFZ möglich sind. -+- Sie bitten Ihren Vorgesetzten um eine Einschätzung Ihrer Stärken und Schwächen. --+ Sie formulieren ein messbares Lernziel für die nächsten drei Monate. {Welches Leistungsziel richtet den Blick '''nach innen'''? |type="()"} - bt1 || bt1 richtet den Blick nach aussen auf den Arbeitsmarkt. + bt2 || Richtig. Hier geht es um die eigenen Fähigkeiten, Stärken und Schwächen. - bt3 || bt3 richtet den Blick nach vorne auf Massnahmen. {Warum steht bt3 am Schluss? |type="()"} + Weil man Massnahmen erst sinnvoll ableiten kann, wenn man die Anforderungen des Marktes und den eigenen Stand kennt. || Richtig. bt3 baut auf bt1 und bt2 auf. - Weil bt3 am wenigsten wichtig ist. || Nein. bt3 ist das Ergebnis des ganzen Prozesses. - Die Reihenfolge ist zufällig. || Die Ziele bauen logisch aufeinander auf. {Was gehört '''zwingend''' zu bt3 dazu? |type="[]"} + Vorschläge für Massnahmen ableiten + Massnahmen mit Vorgesetzten bzw. Berufsbildner/in festlegen - Ein Bewerbungsschreiben verfassen || Bewerben gehört zu einer anderen Handlungskompetenz (a3). - Ein persönliches Netzwerk aufbauen || Netzwerke sind Thema der Handlungskompetenz a2. </quiz> == Stufe 3: Im Fallbeispiel anwenden == === Fallbeispiel === Nora Meier ist im zweiten Lehrjahr als Kauffrau EFZ bei einer Versicherung. Ihre Berufsbildnerin, Frau Graf, hat das halbjährliche Standortgespräch angekündigt. Nora soll sich darauf vorbereiten. Nora weiss: Sie ist sehr zuverlässig und kommt gut mit Kundinnen und Kunden am Telefon zurecht. Mit Excel tut sie sich schwer, und in Sitzungen traut sie sich selten, ihre Meinung zu sagen. Nach der Lehre möchte sie vielleicht im Personalwesen arbeiten. === Quiz === <quiz display=simple> {Nora möchte wissen, was im Personalwesen heute verlangt wird. Was ist ein sinnvoller erster Schritt im Sinne von bt1? |type="()"} + Sie vergleicht aktuelle Stelleninserate für HR-Assistenz und notiert die häufig verlangten Kompetenzen und Abschlüsse. || Richtig. So erkennt sie Trends und Anforderungen im Arbeitsmarkt. - Sie meldet sich sofort für eine teure Weiterbildung an. || Das wäre eine Massnahme (bt3) – ohne vorher den Markt und den eigenen Stand zu kennen. - Sie fragt ihre Kolleginnen, ob sie Personalwesen spannend finden. || Meinungen sind interessant, sagen aber wenig über die Anforderungen im Arbeitsmarkt aus. {Welche Methoden eignen sich für Noras Standortbestimmung (bt2)? |type="[]"} + Stärken-Schwächen-Analyse + Selbsteinschätzung mit einem Kompetenzraster + Fremdeinschätzung durch Frau Graf (Feedback) - Ein Horoskop lesen || Das ist keine seriöse Methode. + Durchsicht der eigenen Lerndokumentation {Ordnen Sie Noras Merkmale zu. |type="()"} | Stärke | Schwäche +- Sie ist zuverlässig. -+ Sie hat Mühe mit Excel. +- Sie kommuniziert gut am Telefon. -+ Sie äussert ihre Meinung in Sitzungen selten. {Nora schlägt im Gespräch Massnahmen vor. Welcher Vorschlag passt am besten zu ihrer Standortbestimmung und ihrem Berufsziel? |type="()"} - „Ich möchte besser werden.“ || Zu allgemein. Woran und wie? + „Ich besuche bis Ende Semester den internen Excel-Grundkurs, und ich bringe in jeder Teamsitzung mindestens einen eigenen Beitrag ein.“ || Richtig. Die Massnahmen beziehen sich auf ihre Schwächen, sind konkret und überprüfbar. - „Ich mache nach der Lehre ein Studium.“ || Das ist ein Fernziel, aber keine konkrete Massnahme für die nächste Zeit. {Warum legt Nora die Massnahmen '''gemeinsam''' mit Frau Graf fest? |type="()"} + Weil der Betrieb Lernmöglichkeiten ermöglichen muss (z. B. Kursbesuch, neue Aufgaben) und die Massnahmen so verbindlich werden. || Richtig. Der Bildungsplan verlangt die Absprache mit Vorgesetzten bzw. Berufsbildner/innen. - Weil Lernende nicht selbst entscheiden dürfen, was sie lernen. || Nein. Nora macht die Vorschläge selbst – festgelegt wird gemeinsam. - Weil Frau Graf die Massnahmen bezahlen muss. || Nicht unbedingt. Es geht um Abstimmung und Verbindlichkeit. </quiz> == Stufe 4: Ziele formulieren und Weiterbildungen auswählen == === Theorie === '''Messbare Ziele nach SMART''' {| class="wikitable" ! Buchstabe !! Bedeutung !! Frage |- | '''S''' || spezifisch || Was genau will ich erreichen? |- | '''M''' || messbar || Woran erkenne ich, dass ich es erreicht habe? |- | '''A''' || attraktiv / akzeptiert || Will ich das wirklich? Ist es mit dem Betrieb abgesprochen? |- | '''R''' || realistisch || Ist es mit meinen Mitteln erreichbar? |- | '''T''' || terminiert || Bis wann? |} '''Weiterbildungsmöglichkeiten nach dem EFZ (Auswahl)''' * Kurse und Zertifikate (z. B. Sprachdiplome, Informatikzertifikate) * Berufsmaturität (BM) – Zugang zur Fachhochschule * Höhere Berufsbildung: Berufsprüfung (eidg. Fachausweis), höhere Fachprüfung (eidg. Diplom), höhere Fachschule (HF) * Fachhochschule (Bachelor, z. B. Betriebsökonomie) '''Entwicklung dokumentieren und reflektieren:''' Ziele, Massnahmen und Ergebnisse schriftlich festhalten (z. B. Lerndokumentation, Lernjournal) und regelmässig fragen: Was habe ich erreicht? Was hat geholfen? Was mache ich anders? === Quiz === <quiz display=simple> {Welches Ziel ist nach SMART formuliert? |type="()"} - „Ich will besser in Excel werden.“ || Nicht messbar und nicht terminiert. - „Ich will alles über Excel wissen.“ || Nicht realistisch und nicht messbar. + „Bis Ende März erstelle ich selbstständig eine Tabelle mit WENN- und SVERWEIS-Funktionen für unsere Spesenabrechnung.“ || Richtig. Spezifisch, messbar, realistisch und terminiert. - „Ich arbeite ab sofort mehr am Computer.“ || Nicht spezifisch und nicht messbar. {Welcher SMART-Buchstabe fehlt? „Ich besuche einen Englischkurs und erreiche das Niveau B2.“ |type="()"} - S || Das Ziel ist spezifisch (Englisch, B2). - M || Das Niveau B2 ist messbar. + T || Richtig. Es fehlt ein Termin – bis wann? - R || Ob es realistisch ist, hängt vom Termin ab – der fehlt aber. {Nora möchte nach der Lehre im Personalwesen arbeiten und berufsbegleitend weiterlernen. Welche Weiterbildung passt am besten? |type="()"} + Eidg. Fachausweis HR-Fachfrau/-Fachmann (Berufsprüfung) || Richtig. Diese Weiterbildung ist berufsbegleitend und genau auf das Personalwesen ausgerichtet. - Eidg. Fachausweis Treuhänder/in || Passt nicht zu Noras Berufsziel. - Vollzeitstudium Medizin || Passt weder zum Berufsziel noch zum Wunsch, berufsbegleitend zu lernen. {Welche Fragen gehören zur '''Reflexion''' einer Entwicklungsmassnahme? |type="[]"} + Habe ich mein Ziel erreicht? + Was hat mir beim Lernen geholfen? + Was würde ich beim nächsten Mal anders machen? - Wer ist schuld, dass es nicht geklappt hat? || Reflexion sucht nach Erkenntnissen, nicht nach Schuldigen. {Ergänzen Sie die Lücke. |type="{}"} Die Berufsmaturität ermöglicht den Zugang zur { Fachhochschule _16 }. </quiz> == Zusammenfassung == {| class="wikitable" ! Merksatz |- | Kaufleute schauen '''nach aussen''' auf Trends im Arbeitsmarkt (bt1), '''nach innen''' auf ihre Stärken und Schwächen (bt2) und '''nach vorne''', indem sie Massnahmen zur Weiterentwicklung ableiten und mit ihren Vorgesetzten festlegen (bt3). |} ''Quelle: Bildungsplan Kauffrau/Kaufmann EFZ (68800), Handlungskompetenz a1, Leistungsziele a1.bt1–bt3 und a1.bs1a, bs2a–b, bs3a–c.'' = Einzelnachweise = <references/> [[Kategorie:Kurs:Kaufleute EFZ/HK A1| ]] soj37yrgi1mdk0tql8272pwyxekbm7a 14 173405 1118685 2026-11-02T15:54:12Z Paul Sutermeister 37610 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1118685 wikitext text/x-wiki [[Kategorie:Kurs:Kaufleute EFZ/HK A1| ]] smti6su175oo4o50j858zxgb076oh6x 1118686 1118685 2026-11-02T15:55:26Z Paul Sutermeister 37610 1118686 wikitext text/x-wiki [[Kategorie:Kurs:Kaufleute EFZ/HKB A]] 5b5orbbc6bve7kimd9pjscq09xf9bla 1118696 1118686 2026-11-02T16:31:04Z Paul Sutermeister 37610 1118696 wikitext text/x-wiki Diese Kategorie umfasst Leistungsziele der [[Kurs:Kaufleute EFZ/Kaufmännische Kompetenzentwicklung überprüfen und weiterentwickeln|Handlungskompetenz A1: '''Kaufmännische Kompetenzentwicklung überprüfen und weiterentwickeln''']].<ref>[https://www.becc.admin.ch/becc/public/bvz/beruf/show/68800 ''Bildungsplan zur Verordnung des SBFI vom 16. August 2021 über die berufliche Grundbildung für Kauffrau/Kaufmann mit eidgenössischem Fähigkeitszeugnis (EFZ)'']</ref> = Einzelnachweise = <references/> [[Kategorie:Kurs:Kaufleute EFZ/HKB A]] pmecldhrvynvk0iheos9339bl3u0rah 106 173406 1118690 2026-11-02T16:01:39Z Paul Sutermeister 37610 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1118690 wikitext text/x-wiki * [[:w:Lebenslanges Lernen|Lebenslanges Lernen]] * Weiterbildungspflicht * Anpassungsfähigkeit [[Kategorie:Kurs:Kaufleute EFZ/HK A1]] c0x5p8a5d57euro7iwxymrmkj40ok68 0 173407 1118691 2026-11-02T16:06:05Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1118691 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= {{bildskip|}} {{ inputbild |VeroneseDim2Grad3|svg|230px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer=Bocardodarapti |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Veronese-Monoidringe |Kategorie2=Theorie der Polynomringe in zwei Variablen über einem Körper |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} npsmtlsnxate2z6cx714v9m18xgmqm8 1118692 1118691 2026-11-02T16:06:50Z Bocardodarapti 2041 1118692 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= {{bildskip|}} {{ inputbild |VeroneseDim2Grad3|svg|230px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer=Bocardodarapti |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Monoidring/Veronesering/Dimension 2 Grad k/Beispiel |Nr= |SZ= }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Veronese-Monoidringe |Kategorie2=Theorie der Polynomringe in zwei Variablen über einem Körper |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} 7sqb7fkeuvnmcryrd5aiv6j1hjhkl0w 1118701 1118692 2026-11-02T16:56:43Z Bocardodarapti 2041 1118701 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= {{bildskip|}} {{ inputbild |VeroneseDim2Grad3|svg|230px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer=Bocardodarapti |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} Wir betrachten den Monoidhomomorphismus {{ Abbildung/display |name= \delta | \N^d | {{op:Zmod| k |}} || |SZ=, }} bei dem jeder Standardvektor {{math|term= e_i |SZ=}} auf {{math|term= 1 |SZ=}} abgebildet wird. Dies entspricht der {{ Definitionslink |Prämath= |Graduierung| |Kontext=| |SZ= }} auf dem Polynomring {{ Relationskette/display | K[X_1 {{kommadots|}} X_d] | \cong | K[\N^d] || || || |SZ=, }} bei der jede Variable den Grad {{math|term= 1 |SZ=}} in {{mathl|term= {{op:Zmod| k |}} |SZ=}} bekommt. Ein Monom besitzt genau dann den Grad {{math|term= 0 |SZ=}} unter dieser Graduierung, wenn die Summe der Exponenten ein Vielfaches von {{math|term= k |SZ=}} ist. Im Sinne von {{ Faktlink |Faktseitenname= Polynomring/Graduierung/Neutrale Stufe/Monoidring/Fakt |Nr= |SZ= }} ist der Ring der nullten Stufe gleich dem Monoidring zum Monoid {{ Relationskette/display | M || {{Mengebed| \nu \in \N^d | \delta (\nu) {{=}} 0 }} || || || |SZ=. }} Dieser Monoidring wird von {{mathl|term= X^\nu |SZ=}} mit {{ Relationskette | \sum \nu_i || k || || || |SZ= }} erzeugt. Bei {{ Relationskette | d || 2 || || || |SZ= }} sind das die Monome {{mathl|term= X_1^k, X_1^{k-1}X_2 {{kommadots}} X_2^k |SZ=.}} Dieses Monoid entspricht der in {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Monoidring/Veronesering/Dimension 2 Grad k/Beispiel |Nr= |SZ= }} beschriebenen Situation. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Veronese-Monoidringe |Kategorie2=Theorie der Polynomringe in zwei Variablen über einem Körper |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} 4kzewmyypmnh553l2b18jb5mj91yldz 106 173408 1118694 2026-11-02T16:26:36Z Paul Sutermeister 37610 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1118694 wikitext text/x-wiki '''Netzwerke im kaufmännischen Bereich aufbauen und nutzen''' ist Handlungskompetenz [[Kurs:Kaufleute EFZ/Handeln in agilen Arbeits- und Organisationsformen|A]]2 der [[Kurs:Kaufleute EFZ|Ausbildung ''Kaufleute EFZ'']].<ref>[[:w:Staatssekretariat für Bildung, Forschung und Innovation (SBFI)|SBFI]]: ''[https://www.becc.admin.ch/becc/public/bvz/beruf/show/68800 Kauffrau/Kaufmann EFZ (ab Lehrbeginn 2023)]</ref> <quiz display="simple"> { Ordne die Leistungsziele zu: | typ="()" } | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Netzwerkaufbau|A2.1]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Netzwerkpflege|A2.2]] +- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Netzwerkaufbau|Sie präsentieren sich in Ihren betrieblichen Netzwerk-Kontakten situationsbezogen.]] -+ [[Kurs:Kaufleute EFZ/Netzwerkpflege|Sie entwickeln und präsentieren eine Strategie, um das persönliche Netzwerk aufzubauen und zu pflegen.]] </quiz> __NOTOC__ = Handlungskompetenz a2: Netzwerke im kaufmännischen Bereich aufbauen und nutzen = Dieses Lern-Quiz ist in vier Stufen aufgebaut. Arbeiten Sie die Stufen der Reihe nach durch: Jede Stufe setzt das Wissen der vorherigen voraus. {| class="wikitable" ! Stufe !! Thema !! Niveau |- | 1 || Grundbegriffe verstehen || K2 |- | 2 || Die vier Leistungsziele a2.bt1–bt4 unterscheiden || K2 |- | 3 || Im Fallbeispiel anwenden || K3 |- | 4 || Auftritte vergleichen und eine Netzwerkstrategie entwickeln || K3 |} == Stufe 1: Grundbegriffe == === Theorie === * Ein '''berufliches Netzwerk''' besteht aus allen Kontakten, die für die eigene Arbeit nützlich sein können: Arbeitskolleginnen und -kollegen, Vorgesetzte, Kundschaft, Lieferanten, Mitlernende, Lehrpersonen, ehemalige Arbeitskolleg/innen, Mitglieder von Berufsverbänden. * '''Analoge Netzwerke''' entstehen durch persönliche Begegnungen (z. B. Berufsmessen, Vereine, Firmenanlässe, überbetriebliche Kurse). '''Digitale Netzwerke''' laufen über Online-Plattformen (z. B. LinkedIn, Fachforen, Gruppen in Messenger-Diensten). * Ein Netzwerk lebt vom '''Geben und Nehmen''': Wer nur Hilfe sucht, aber nie selbst etwas beiträgt, verliert seine Kontakte. '''Chancen und Risiken''' {| class="wikitable" ! !! Chancen !! Risiken |- | '''analog''' || Vertrauen durch persönlichen Kontakt, bleibender Eindruck || Zeitaufwand, begrenzte Reichweite |- | '''digital''' || grosse Reichweite, schnell, ortsunabhängig || Datenschutz, digitaler Fussabdruck, unprofessionelle Beiträge bleiben sichtbar, Fake-Profile |} === Quiz === <quiz display=simple> {Was gehört zu einem beruflichen Netzwerk? |type="[]"} + Ehemalige Mitlernende aus der Berufsfachschule + Eine Ansprechperson bei einem Lieferanten + Mitglieder eines Berufsverbands - Nur Personen, mit denen man befreundet ist || Ein berufliches Netzwerk umfasst auch Personen, die man nur beruflich kennt. + Die Kursleiterin aus dem überbetrieblichen Kurs {Ordnen Sie zu: analoges oder digitales Netzwerk? |type="()"} | analog | digital +- Gespräch am Stand einer Berufsmesse -+ Kontaktanfrage auf LinkedIn +- Apéro nach einem Firmenanlass -+ Beitrag in einem Online-Fachforum +- Treffen im Turnverein {Welche Aussage beschreibt ein '''Risiko''' digitaler Netzwerke? |type="()"} - Man erreicht viele Personen in kurzer Zeit. || Das ist eine Chance. + Unüberlegte Beiträge oder Fotos können noch Jahre später von Arbeitgebern gefunden werden. || Richtig. Der digitale Fussabdruck lässt sich kaum löschen. - Man kann Kontakte unabhängig vom Wohnort pflegen. || Das ist eine Chance. {Ergänzen Sie die Lücke. |type="{}"} Ein Netzwerk funktioniert nur, wenn beide Seiten profitieren. Man spricht vom Prinzip des Gebens und { Nehmens _10 }. </quiz> == Stufe 2: Die vier Leistungsziele unterscheiden == === Theorie === {| class="wikitable" ! Ziel !! Stichwort !! Leitfrage !! Beispiel |- | '''a2.bt1''' || Auftritt || Wie präsentiere ich mich in meinem Netzwerk – passend zur Situation? || Sich an einem Kundenanlass kurz und professionell vorstellen |- | '''a2.bt2''' || Pflege || Wie halte ich meine Kontakte aufrecht – und über welche Kanäle? || Zum Jubiläum gratulieren, LinkedIn-Profil aktuell halten |- | '''a2.bt3''' || Nutzung für Aufträge || Wen in meinem Netzwerk kann ich für eine konkrete Aufgabe einbeziehen? || Für einen Auftrag eine Ansprechperson bei einem Lieferanten anfragen |- | '''a2.bt4''' || Austausch || Wie teile ich Informationen und Erfahrungen mit anderen? || In einer Gruppe von Lernenden Tipps zur Prüfungsvorbereitung austauschen |} '''Achtung, Verwechslungsgefahr:''' * '''bt2 / bt4''': ''Beziehung erhalten'' – ''Inhalte austauschen'' * '''bt3 / bt4''': ''gezielt für einen bestimmten Auftrag'' – ''laufend und gegenseitig, ohne bestimmten Auftrag'' === Quiz === <quiz display=simple> {Ordnen Sie die Situationen dem passenden Leistungsziel zu. |type="()"} | bt1 | bt2 | bt3 | bt4 +--- Sie stellen sich an einer Messe einem möglichen Kunden in zwei Sätzen vor. -+-- Sie schreiben einer ehemaligen Arbeitskollegin zu ihrem neuen Job eine kurze Gratulation. --+- Sie brauchen für einen Auftrag rasch eine Übersetzung und fragen einen Kontakt, der ein Übersetzungsbüro kennt. ---+ Sie berichten in einem Fachforum, wie Ihr Betrieb die elektronische Rechnung eingeführt hat. -+-- Sie aktualisieren Ihr LinkedIn-Profil nach dem Abschluss eines Kurses. ---+ In einer Lernendengruppe tauschen Sie Erfahrungen zur Arbeit mit dem neuen ERP-System aus. {Worin unterscheidet sich bt3 von bt4? |type="()"} + Bei bt3 nutze ich das Netzwerk gezielt für eine bestimmte Situation oder einen bestimmten Auftrag, bei bt4 geht es um den laufenden, gegenseitigen Austausch. || Richtig. - Bei bt3 geht es um digitale, bei bt4 um analoge Netzwerke. || Nein. Beide Ziele gelten für analoge und digitale Netzwerke. - Es gibt keinen Unterschied. || Beide Ziele handeln vom Nutzen des Netzwerks, aber mit einem anderen Schwerpunkt. {Worum geht es bei bt1? |type="()"} - Um möglichst viele Kontakte. || Die Anzahl ist nicht entscheidend. + Um einen professionellen Auftritt, der zur jeweiligen Situation passt. || Richtig. Man präsentiert sich an einem Kundenanlass anders als in einer Lernendengruppe. - Um das Aufräumen der eigenen Kontaktliste. || Das gehört eher zur Pflege (bt2). {Welche Tätigkeiten gehören zur Netzwerkpflege (bt2)? |type="[]"} + Sich nach längerer Zeit wieder einmal bei einem Kontakt melden + Ein passendes Medium wählen (z. B. persönliches Gespräch, E-Mail, LinkedIn) + Kontaktdaten aktuell halten - Einen Kontakt nur dann anschreiben, wenn man etwas braucht || Das widerspricht dem Prinzip von Geben und Nehmen. </quiz> == Stufe 3: Im Fallbeispiel anwenden == === Fallbeispiel === Luca Steiner ist im dritten Lehrjahr als Kaufmann EFZ in einem Reisebüro. Er möchte nach der Lehre im Eventmanagement arbeiten. Bisher hat er nur ein privates Instagram-Profil mit Partyfotos. Am Freitag findet ein Branchenanlass des Tourismusverbands statt, an dem auch Eventagenturen teilnehmen. Lucas Chefin hat ihm erlaubt, mitzukommen. === Quiz === <quiz display=simple> {Luca wird am Anlass einer Geschäftsführerin einer Eventagentur vorgestellt. Was ist ein situationsgerechter Auftritt (bt1)? |type="()"} + Er stellt sich mit Name, Funktion und Betrieb vor, erwähnt kurz sein Interesse am Eventmanagement und stellt eine Frage zu ihrer Agentur. || Richtig. Kurz, professionell und mit echtem Interesse am Gegenüber. - Er erzählt ausführlich von seinen Ferien. || Zu privat und zu lang für einen Erstkontakt. - Er fragt sofort nach einer Stelle. || Zu direkt. Zuerst eine Beziehung aufbauen, dann allenfalls nachfragen. {Nach dem Anlass möchte Luca den Kontakt pflegen (bt2). Was sollte er tun? |type="[]"} + Innerhalb weniger Tage eine kurze, persönliche Kontaktanfrage auf LinkedIn mit Bezug zum Gespräch senden + Ein eigenes LinkedIn-Profil mit Ausbildung und Interessen erstellen + Sein Instagram-Profil auf privat stellen oder unpassende Fotos entfernen || Richtig. Wer sich beruflich vernetzt, wird oft auch online gesucht. - Die Geschäftsführerin jeden Tag anschreiben || Zu aufdringlich. Pflege braucht das richtige Mass. {Einige Wochen später sucht Lucas Chefin für eine Firmenreise eine Agentur, die ein Abendprogramm organisiert. Wie nutzt Luca sein Netzwerk im Sinne von bt3? |type="()"} + Er schlägt vor, die Geschäftsführerin vom Branchenanlass anzufragen, und stellt den Kontakt her. || Richtig. Er nutzt sein Netzwerk gezielt für einen konkreten Auftrag. - Er schreibt in einem öffentlichen Post, dass sein Betrieb eine Agentur sucht. || Interne Informationen gehören nicht ungefragt in die Öffentlichkeit. - Er sucht selbst im Internet, ohne seinen Kontakt zu erwähnen. || Möglich, aber er nutzt dabei sein Netzwerk nicht. {Luca tritt einer Online-Gruppe von jungen Event-Fachleuten bei. Welches Verhalten entspricht bt4? |type="()"} - Er liest nur mit und schreibt nie etwas. || Austausch heisst auch, selbst etwas beizutragen. + Er beantwortet Fragen zu Gruppenreisen aus seiner Erfahrung und stellt selbst Fragen zur Eventplanung. || Richtig. Informationen und Erfahrungen werden gegenseitig ausgetauscht. - Er postet regelmässig Werbung für sein Reisebüro. || Das ist Werbung, kein Erfahrungsaustausch. </quiz> == Stufe 4: Auftritte vergleichen und eine Netzwerkstrategie entwickeln == === Theorie === '''Merkmale eines professionellen Auftritts''' * passendes Profilbild bzw. gepflegtes Erscheinungsbild * klare Angaben zu Ausbildung, Funktion und Interessen * sachliche, korrekte Sprache * Beiträge mit Mehrwert für andere * respektvoller Umgang, auch bei anderer Meinung '''Eine Netzwerkstrategie in fünf Schritten''' # '''Ziel klären:''' Wozu brauche ich mein Netzwerk? (z. B. Berufseinstieg im Eventmanagement) # '''Netzwerk analysieren:''' Wen kenne ich schon? (z. B. mit einer Netzwerkkarte) # '''Lücken erkennen:''' Welche Kontakte fehlen mir für mein Ziel? # '''Kanäle und Massnahmen wählen:''' Wo und wie lerne ich neue Kontakte kennen und pflege die bestehenden? # '''Überprüfen:''' Bringt mich mein Netzwerk meinem Ziel näher? === Quiz === <quiz display=simple> {Zwei Lernende haben ein LinkedIn-Profil. Welches wirkt professioneller? |type="()"} + Profil A: Foto mit neutralem Hintergrund, Titel „Kauffrau EFZ in Ausbildung | Interesse an Finanzen“, kurze Beschreibung der Lehre und eines Projekts. || Richtig. Klar, sachlich und aussagekräftig. - Profil B: Ferienfoto mit Sonnenbrille, Titel „Chillen ist mein Hobby“, keine Angaben zur Ausbildung. || Für ein berufliches Netzwerk ungeeignet. {Welche Eigenschaften gehören zu einem professionellen Auftritt im Netzwerk? |type="[]"} + Sachliche, fehlerfreie Sprache + Beiträge, die anderen einen Nutzen bringen - Möglichst viele private Fotos || Private Inhalte gehören nicht in ein berufliches Profil. + Respektvoller Umgang, auch bei Kritik - Möglichst viele Kontaktanfragen an Unbekannte ohne Begleittext {Bringen Sie die Schritte einer Netzwerkstrategie in die richtige Reihenfolge. |type="()"} | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 --+-- Lücken erkennen +---- Ziel klären ----+ Überprüfen -+--- Netzwerk analysieren ---+- Kanäle und Massnahmen wählen {Luca stellt fest: In seinem Netzwerk gibt es viele Personen aus dem Tourismus, aber niemanden aus Eventagenturen. Welcher Strategieschritt ist das? |type="()"} - Ziel klären || Sein Ziel (Eventmanagement) kennt er schon. + Lücken erkennen || Richtig. Er vergleicht sein Netzwerk mit seinem Ziel. - Überprüfen || Überprüfen kommt erst, wenn Massnahmen umgesetzt sind. {Ergänzen Sie die Lücke. |type="{}"} Eine grafische Darstellung aller eigenen Kontakte, zum Beispiel mit sich selbst in der Mitte, nennt man { Netzwerkkarte _14 }. </quiz> == Zusammenfassung == {| class="wikitable" ! Merksatz |- | Kaufleute treten in ihrem Netzwerk '''situationsgerecht''' auf (bt1), '''pflegen''' ihre Kontakte über passende Kanäle (bt2), nutzen das Netzwerk '''gezielt für Aufträge''' (bt3) und '''tauschen''' Informationen und Erfahrungen aus (bt4). |} = Einzelnachweise = <references/> [[Kategorie:Kurs:Kaufleute EFZ/HK A2| ]] 7b6ni7v4hy6iywjhvk43ecq25082d8w 14 173409 1118695 2026-11-02T16:28:47Z Paul Sutermeister 37610 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1118695 wikitext text/x-wiki Diese Kategorie umfasst Leistungsziele der [[Kurs:Kaufleute EFZ/Netzwerke im kaufmännischen Bereich aufbauen und nutzen|Handlungskompetenz A2: '''Netzwerke im kaufmännischen Bereich aufbauen und nutzen''']].<ref>[https://www.becc.admin.ch/becc/public/bvz/beruf/show/68800 ''Bildungsplan zur Verordnung des SBFI vom 16. August 2021 über die berufliche Grundbildung für Kauffrau/Kaufmann mit eidgenössischem Fähigkeitszeugnis (EFZ)'']</ref> = Einzelnachweise = <references/> [[Kategorie:Kurs:Kaufleute EFZ/HKB A]] tgge8rh4bs98e0uyszwc2qh8nhoklqi 106 173410 1118698 2026-11-02T16:45:22Z Paul Sutermeister 37610 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1118698 wikitext text/x-wiki '''Kaufmännische Aufträge entgegennehmen und bearbeiten''' ist Handlungskompetenz [[Kurs:Kaufleute EFZ/Handeln in agilen Arbeits- und Organisationsformen|A]]3 der [[Kurs:Kaufleute EFZ|Ausbildung ''Kaufleute EFZ'']].<ref>[[:w:Staatssekretariat für Bildung, Forschung und Innovation (SBFI)|SBFI]]: ''[https://www.becc.admin.ch/becc/public/bvz/beruf/show/68800 Kauffrau/Kaufmann EFZ (ab Lehrbeginn 2023)]</ref> <quiz display="simple"> { Ordne die Leistungsziele zu: | typ="()" } | [[Kurs:Kaufleute EFZ/|A3.1]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/|A3.2]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/|A3.3]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/|A3.4]] +--- [[Kurs:Kaufleute EFZ/|Sie engagieren sich für kaufmännische Aufträge und Aufgaben, die zu ihrem Kompetenzprofil passen.]] -+-- [[Kurs:Kaufleute EFZ/|Sie bearbeiten kaufmännische Aufträge und Aufgaben dienstleistungsorientiert.]] --+- [[Kurs:Kaufleute EFZ/|Sie wenden gängige Instrumente zur Messung der Zufriedenheit der Auftraggebenden an.]] ---+ [[Kurs:Kaufleute EFZ/|Sie schätzen die Fremdwahrnehmung ihrer Leistung ein und geben ihrem Umfeld eine adäquate Rückmeldung auf Inputs.]] </quiz> __NOTOC__ = Handlungskompetenz a3: Kaufmännische Aufträge entgegennehmen und bearbeiten = Dieses Lern-Quiz ist in vier Stufen aufgebaut. Arbeiten Sie die Stufen der Reihe nach durch: Jede Stufe setzt das Wissen der vorherigen voraus. {| class="wikitable" ! Stufe !! Thema !! Niveau |- | 1 || Grundbegriffe verstehen || K2 |- | 2 || Die vier Leistungsziele a3.bt1–bt4 unterscheiden || K2 |- | 3 || Im Fallbeispiel anwenden || K3 |- | 4 || Zufriedenheit messen, Fremdwahrnehmung einschätzen, Rückmeldung geben || K3–K4 |} == Stufe 1: Grundbegriffe == === Theorie === * Ein '''kaufmännischer Auftrag''' ist eine Aufgabe, die jemand für andere erledigt. '''Auftraggebende''' können '''intern''' (z. B. Vorgesetzte, andere Abteilungen) oder '''extern''' (z. B. Kundschaft) sein. * Das '''Kompetenzprofil''' beschreibt, was eine Person kann: Fach-, Methoden-, Sozial- und Selbstkompetenzen. * '''Selbstmarketing''' heisst, die eigenen Kompetenzen gezielt und glaubwürdig sichtbar zu machen – zum Beispiel, um einen interessanten Auftrag oder eine neue Stelle zu erhalten. Zentrale Faktoren sind: ** die eigenen Stärken kennen ** sie passend zum Auftrag bzw. zur Stelle präsentieren ** ein gepflegtes Auftreten (persönlich, schriftlich und online) ** Glaubwürdigkeit: nur versprechen, was man halten kann * '''Dienstleistungsorientiert''' arbeiten heisst: die Bedürfnisse der Auftraggebenden ins Zentrum stellen, zuverlässig, freundlich und termingerecht arbeiten. === Quiz === <quiz display=simple> {Ordnen Sie zu: interner oder externer Auftrag? |type="()"} | intern | extern +- Die Personalabteilung bittet Sie, eine Präsentation für den Infoanlass vorzubereiten. -+ Eine Kundin bestellt per E-Mail 200 Broschüren. +- Ihr Vorgesetzter beauftragt Sie, die Sitzung vom Montag zu protokollieren. -+ Ein Lieferant bittet um eine Bestätigung des Liefertermins. {Was bedeutet Selbstmarketing? |type="()"} + Die eigenen Kompetenzen gezielt und glaubwürdig sichtbar machen. || Richtig. - Möglichst viel über sich selbst erzählen. || Selbstmarketing ist gezielt und auf das Gegenüber ausgerichtet, nicht ausschweifend. - Sich besser darstellen, als man ist. || Nein. Wer übertreibt, verliert seine Glaubwürdigkeit. {Welche Faktoren gehören zum Selbstmarketing? |type="[]"} + Die eigenen Stärken kennen + Kompetenzen passend zum Auftrag präsentieren + Ein gepflegter Online-Auftritt - Möglichst viele Aufträge annehmen, auch wenn man sie nicht bewältigen kann || Das schadet der Glaubwürdigkeit. + Nur versprechen, was man halten kann {Ergänzen Sie die Lücken. |type="{}"} Wer einen Auftrag erteilt, ist die oder der { Auftraggebende|Auftraggeber|Auftraggeberin _30 }. Wer die Bedürfnisse dieser Person ins Zentrum stellt, arbeitet { dienstleistungsorientiert|kundenorientiert _30 }. </quiz> == Stufe 2: Die vier Leistungsziele unterscheiden == === Theorie === Die vier Leistungsziele folgen dem Ablauf eines Auftrags: {| class="wikitable" ! Ziel !! Phase !! Leitfrage !! Beispiel |- | '''a3.bt1''' || vorher || Welche Aufträge passen zu mir – und wie zeige ich, dass ich sie übernehmen kann? || Sich für die Organisation des Lernendenanlasses melden, weil man gut organisieren kann |- | '''a3.bt2''' || während || Wie erledige ich den Auftrag im Sinne der Auftraggebenden? || Termin einhalten, bei Unklarheiten nachfragen, freundlich kommunizieren |- | '''a3.bt3''' || danach || Wie zufrieden sind die Auftraggebenden? || Nach Abschluss um eine Rückmeldung bitten, kurze Umfrage durchführen |- | '''a3.bt4''' || danach || Was lerne ich daraus – und was mache ich nächstes Mal besser? || Eigene Arbeit und Rückmeldungen auswerten, Verbesserungsmassnahmen ableiten |} '''Achtung, Verwechslungsgefahr:''' * '''bt3 / bt4''': Rückmeldungen ''einholen'' – Rückmeldungen und eigene Arbeit ''auswerten'' * '''a3.bt4 / a1.bt2''': In a1 analysiert man die ''eigenen Kompetenzen allgemein'', in a3 die ''Ausführung eines bestimmten Auftrags''. === Quiz === <quiz display=simple> {Ordnen Sie die Tätigkeiten dem passenden Leistungsziel zu. |type="()"} | bt1 | bt2 | bt3 | bt4 +--- Sie bieten an, die Social-Media-Beiträge für den Tag der offenen Tür zu gestalten, weil Sie darin Erfahrung haben. -+-- Sie merken, dass der Termin knapp wird, und informieren die Auftraggeberin frühzeitig. --+- Sie schicken nach der Veranstaltung einen kurzen Online-Fragebogen an die Teilnehmenden. ---+ Sie stellen fest, dass Sie zu spät mit der Planung begonnen haben, und nehmen sich vor, nächstes Mal einen Zeitplan zu erstellen. -+-- Sie klären zu Beginn genau, was die Kundin erwartet. ---+ Sie vergleichen die Rückmeldungen mit Ihrer eigenen Einschätzung. {Worin unterscheidet sich bt3 von bt4? |type="()"} + Bei bt3 holt man Rückmeldungen ein, bei bt4 wertet man sie zusammen mit der eigenen Arbeit aus und leitet Verbesserungen ab. || Richtig. - bt3 betrifft interne, bt4 externe Aufträge. || Nein. Beide Ziele gelten für interne und externe Aufträge. - bt4 kommt vor bt3. || Nein. Man braucht zuerst die Rückmeldungen, um sie auswerten zu können. {In welcher Phase eines Auftrags steht bt1? |type="()"} + Vor dem Auftrag || Richtig. Man engagiert sich für Aufträge, die zum eigenen Kompetenzprofil passen. - Während des Auftrags || Das ist bt2. - Nach dem Auftrag || Das sind bt3 und bt4. {Was gehört zu einer dienstleistungsorientierten Bearbeitung (bt2)? |type="[]"} + Den Auftrag zu Beginn genau klären + Termine einhalten oder Verzögerungen frühzeitig melden + Freundlich und lösungsorientiert kommunizieren - Den Auftrag so erledigen, wie es für einen selbst am einfachsten ist || Im Zentrum stehen die Bedürfnisse der Auftraggebenden. </quiz> == Stufe 3: Im Fallbeispiel anwenden == === Fallbeispiel === Selina Huber ist im zweiten Lehrjahr als Kauffrau EFZ bei einer Gemeindeverwaltung. Die Abteilung Kultur sucht jemanden, der für das Dorffest einen Flyer und die Anmeldung der Marktstände organisiert. Selina gestaltet in ihrer Freizeit gerne Plakate und kennt sich mit Online-Formularen aus. === Quiz === <quiz display=simple> {Wie kann Selina sich im Sinne von bt1 für den Auftrag engagieren? |type="()"} + Sie meldet sich bei der Abteilung Kultur, nennt ihre Erfahrung mit Gestaltung und Online-Formularen und zeigt ein Beispiel eines Plakats. || Richtig. Sie präsentiert ihre Kompetenzen auftragsbezogen und überzeugend. - Sie wartet, bis man sie fragt. || So erfährt niemand, dass sie dafür geeignet ist. - Sie sagt, sie könne alles, auch Webseiten programmieren. || Übertreibung schadet der Glaubwürdigkeit. {Selina erhält den Auftrag. Was tut sie im Sinne von bt2 als Erstes? |type="()"} + Sie klärt mit der Auftraggeberin Inhalt, Budget, Termin und Zielgruppe des Flyers. || Richtig. Wer den Auftrag genau kennt, kann ihn im Sinn der Auftraggebenden erledigen. - Sie beginnt sofort mit der Gestaltung nach ihrem eigenen Geschmack. || Ohne Auftragsklärung riskiert sie, am Bedürfnis vorbeizuarbeiten. - Sie bestellt schon 5000 Flyer bei der Druckerei. || Zuerst müssen Inhalt und Menge geklärt sein. {Nach dem Dorffest möchte Selina wissen, wie zufrieden die Beteiligten waren (bt3). Welche Wege sind geeignet? |type="[]"} + Ein kurzes Gespräch mit der Auftraggeberin aus der Abteilung Kultur + Ein Online-Fragebogen an die Marktfahrenden zur Anmeldung + Eine Bewertungsfrage mit einer Skala von 1 bis 5 - Nur die eigene Einschätzung festhalten || Das ist Selbsteinschätzung, keine Rückmeldung der Auftraggebenden. {Die Rückmeldungen zeigen: Der Flyer kam gut an, aber viele Marktfahrende fanden das Anmeldeformular kompliziert. Was ist eine sinnvolle Verbesserungsmassnahme nach bt4? |type="()"} - „Die Marktfahrenden sind halt nicht so computererfahren.“ || Das schiebt die Verantwortung ab, statt die eigene Arbeit zu analysieren. + „Nächstes Mal lasse ich das Formular vor der Veröffentlichung von zwei Personen testen und reduziere es auf die nötigen Felder.“ || Richtig. Konkret, auf die Ursache bezogen und umsetzbar. - „Ich mache nie wieder Formulare.“ || Das ist keine Verbesserung, sondern ein Rückzug. </quiz> == Stufe 4: Zufriedenheit messen, Fremdwahrnehmung einschätzen, Rückmeldung geben == === Theorie === '''Instrumente zur Messung der Zufriedenheit''' * Feedbackgespräch * Fragebogen bzw. Online-Umfrage (mit Skalen und offenen Fragen) * Weiterempfehlungsfrage: „Wie wahrscheinlich ist es, dass Sie uns weiterempfehlen?“ (Skala 0–10) * Auswertung von Reklamationen und Lob [[Datei:Johari-Fenster 1.webm|thumb|mini|[[:w:Johari-Fenster|Johari-Fenster]]]] '''Selbst- und Fremdwahrnehmung ([[:w:Johari-Fenster|Johari-Fenster]])''' {| class="wikitable" ! !! mir bekannt !! mir unbekannt |- ! anderen bekannt | öffentliche Person || blinder Fleck |- ! anderen unbekannt | Privatperson (Geheimnis) || Unbekanntes |} Rückmeldungen anderer helfen, den '''blinden Fleck''' zu verkleinern. '''Regeln für eine angemessene Rückmeldung''' * Ich-Botschaften verwenden („Mir ist aufgefallen …“) * konkret beschreiben statt pauschal bewerten * zeitnah und sachlich * Positives und Verbesserungswürdiges nennen * Rückmeldungen anderer zuerst anhören, nicht sofort rechtfertigen === Quiz === <quiz display=simple> {Welche Instrumente eignen sich zur Messung der Zufriedenheit von Auftraggebenden? |type="[]"} + Feedbackgespräch + Online-Fragebogen + Weiterempfehlungsfrage mit Skala 0–10 - Eigene Notizen zum Arbeitsablauf || Das ist eine Selbstreflexion, keine Messung der Zufriedenheit der Auftraggebenden. + Auswertung von Reklamationen {Ihre Teamleiterin sagt Ihnen, dass Sie in Sitzungen oft andere unterbrechen. Sie haben das bisher nie bemerkt. Zu welchem Bereich des Johari-Fensters gehört dieses Verhalten? |type="()"} - Öffentliche Person || Dann wäre es Ihnen schon bekannt gewesen. + Blinder Fleck || Richtig. Andere nehmen es wahr, Sie selbst nicht. - Privatperson || Die Privatperson umfasst, was nur Sie kennen. - Unbekanntes || Das Verhalten ist ja anderen bekannt. {Ordnen Sie die Felder des Johari-Fensters zu. |type="()"} | öffentliche Person | blinder Fleck | Privatperson | Unbekanntes +--- mir bekannt und anderen bekannt -+-- mir unbekannt, aber anderen bekannt --+- mir bekannt, aber anderen unbekannt ---+ mir unbekannt und anderen unbekannt {Ein Kollege bittet Sie um Rückmeldung zu seiner Präsentation. Welche Rückmeldung ist angemessen? |type="()"} - „Das war schlecht.“ || Pauschal und verletzend – damit kann er nichts anfangen. - „Alles super!“ || Freundlich, aber ohne Informationen zur Verbesserung. + „Mir hat dein klarer Aufbau gefallen. Bei den Folien mit den Zahlen war die Schrift für mich zu klein – vielleicht könntest du dort weniger Text verwenden.“ || Richtig. Ich-Botschaft, konkret, mit Positivem und einem Verbesserungsvorschlag. {Ergänzen Sie die Lücke. |type="{}"} Was andere an mir wahrnehmen, ich selbst aber nicht, nennt man im Johari-Fenster den blinden { Fleck _8 }. </quiz> == Zusammenfassung == {| class="wikitable" ! Merksatz |- | Kaufleute '''engagieren''' sich für Aufträge, die zu ihrem Kompetenzprofil passen (bt1), '''bearbeiten''' sie dienstleistungsorientiert (bt2), holen '''Rückmeldungen''' ein (bt3) und '''werten''' Qualität, Vorgehen und Rückmeldungen aus, um sich zu verbessern (bt4). |} = Einzelnachweise = <references/> [[Kategorie:Kurs:Kaufleute EFZ/HK A3| ]] kfdfdpwhqn85zka2acv50vefqpwdmff 1118699 1118698 2026-11-02T16:46:07Z Paul Sutermeister 37610 1118699 wikitext text/x-wiki '''Kaufmännische Aufträge entgegennehmen und bearbeiten''' ist Handlungskompetenz [[Kurs:Kaufleute EFZ/Handeln in agilen Arbeits- und Organisationsformen|A]]3 der [[Kurs:Kaufleute EFZ|Ausbildung ''Kaufleute EFZ'']].<ref>[[:w:Staatssekretariat für Bildung, Forschung und Innovation (SBFI)|SBFI]]: ''[https://www.becc.admin.ch/becc/public/bvz/beruf/show/68800 Kauffrau/Kaufmann EFZ (ab Lehrbeginn 2023)]</ref> {{überarbeiten}} <quiz display="simple"> { Ordne die Leistungsziele zu: | typ="()" } | [[Kurs:Kaufleute EFZ/|A3.1]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/|A3.2]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/|A3.3]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/|A3.4]] +--- [[Kurs:Kaufleute EFZ/|Sie engagieren sich für kaufmännische Aufträge und Aufgaben, die zu ihrem Kompetenzprofil passen.]] -+-- [[Kurs:Kaufleute EFZ/|Sie bearbeiten kaufmännische Aufträge und Aufgaben dienstleistungsorientiert.]] --+- [[Kurs:Kaufleute EFZ/|Sie wenden gängige Instrumente zur Messung der Zufriedenheit der Auftraggebenden an.]] ---+ [[Kurs:Kaufleute EFZ/|Sie schätzen die Fremdwahrnehmung ihrer Leistung ein und geben ihrem Umfeld eine adäquate Rückmeldung auf Inputs.]] </quiz> __NOTOC__ = Handlungskompetenz a3: Kaufmännische Aufträge entgegennehmen und bearbeiten = Dieses Lern-Quiz ist in vier Stufen aufgebaut. Arbeiten Sie die Stufen der Reihe nach durch: Jede Stufe setzt das Wissen der vorherigen voraus. {| class="wikitable" ! Stufe !! Thema !! Niveau |- | 1 || Grundbegriffe verstehen || K2 |- | 2 || Die vier Leistungsziele a3.bt1–bt4 unterscheiden || K2 |- | 3 || Im Fallbeispiel anwenden || K3 |- | 4 || Zufriedenheit messen, Fremdwahrnehmung einschätzen, Rückmeldung geben || K3–K4 |} == Stufe 1: Grundbegriffe == === Theorie === * Ein '''kaufmännischer Auftrag''' ist eine Aufgabe, die jemand für andere erledigt. '''Auftraggebende''' können '''intern''' (z. B. Vorgesetzte, andere Abteilungen) oder '''extern''' (z. B. Kundschaft) sein. * Das '''Kompetenzprofil''' beschreibt, was eine Person kann: Fach-, Methoden-, Sozial- und Selbstkompetenzen. * '''Selbstmarketing''' heisst, die eigenen Kompetenzen gezielt und glaubwürdig sichtbar zu machen – zum Beispiel, um einen interessanten Auftrag oder eine neue Stelle zu erhalten. Zentrale Faktoren sind: ** die eigenen Stärken kennen ** sie passend zum Auftrag bzw. zur Stelle präsentieren ** ein gepflegtes Auftreten (persönlich, schriftlich und online) ** Glaubwürdigkeit: nur versprechen, was man halten kann * '''Dienstleistungsorientiert''' arbeiten heisst: die Bedürfnisse der Auftraggebenden ins Zentrum stellen, zuverlässig, freundlich und termingerecht arbeiten. === Quiz === <quiz display=simple> {Ordnen Sie zu: interner oder externer Auftrag? |type="()"} | intern | extern +- Die Personalabteilung bittet Sie, eine Präsentation für den Infoanlass vorzubereiten. -+ Eine Kundin bestellt per E-Mail 200 Broschüren. +- Ihr Vorgesetzter beauftragt Sie, die Sitzung vom Montag zu protokollieren. -+ Ein Lieferant bittet um eine Bestätigung des Liefertermins. {Was bedeutet Selbstmarketing? |type="()"} + Die eigenen Kompetenzen gezielt und glaubwürdig sichtbar machen. || Richtig. - Möglichst viel über sich selbst erzählen. || Selbstmarketing ist gezielt und auf das Gegenüber ausgerichtet, nicht ausschweifend. - Sich besser darstellen, als man ist. || Nein. Wer übertreibt, verliert seine Glaubwürdigkeit. {Welche Faktoren gehören zum Selbstmarketing? |type="[]"} + Die eigenen Stärken kennen + Kompetenzen passend zum Auftrag präsentieren + Ein gepflegter Online-Auftritt - Möglichst viele Aufträge annehmen, auch wenn man sie nicht bewältigen kann || Das schadet der Glaubwürdigkeit. + Nur versprechen, was man halten kann {Ergänzen Sie die Lücken. |type="{}"} Wer einen Auftrag erteilt, ist die oder der { Auftraggebende|Auftraggeber|Auftraggeberin _30 }. Wer die Bedürfnisse dieser Person ins Zentrum stellt, arbeitet { dienstleistungsorientiert|kundenorientiert _30 }. </quiz> == Stufe 2: Die vier Leistungsziele unterscheiden == === Theorie === Die vier Leistungsziele folgen dem Ablauf eines Auftrags: {| class="wikitable" ! Ziel !! Phase !! Leitfrage !! Beispiel |- | '''a3.bt1''' || vorher || Welche Aufträge passen zu mir – und wie zeige ich, dass ich sie übernehmen kann? || Sich für die Organisation des Lernendenanlasses melden, weil man gut organisieren kann |- | '''a3.bt2''' || während || Wie erledige ich den Auftrag im Sinne der Auftraggebenden? || Termin einhalten, bei Unklarheiten nachfragen, freundlich kommunizieren |- | '''a3.bt3''' || danach || Wie zufrieden sind die Auftraggebenden? || Nach Abschluss um eine Rückmeldung bitten, kurze Umfrage durchführen |- | '''a3.bt4''' || danach || Was lerne ich daraus – und was mache ich nächstes Mal besser? || Eigene Arbeit und Rückmeldungen auswerten, Verbesserungsmassnahmen ableiten |} '''Achtung, Verwechslungsgefahr:''' * '''bt3 / bt4''': Rückmeldungen ''einholen'' – Rückmeldungen und eigene Arbeit ''auswerten'' * '''a3.bt4 / a1.bt2''': In a1 analysiert man die ''eigenen Kompetenzen allgemein'', in a3 die ''Ausführung eines bestimmten Auftrags''. === Quiz === <quiz display=simple> {Ordnen Sie die Tätigkeiten dem passenden Leistungsziel zu. |type="()"} | bt1 | bt2 | bt3 | bt4 +--- Sie bieten an, die Social-Media-Beiträge für den Tag der offenen Tür zu gestalten, weil Sie darin Erfahrung haben. -+-- Sie merken, dass der Termin knapp wird, und informieren die Auftraggeberin frühzeitig. --+- Sie schicken nach der Veranstaltung einen kurzen Online-Fragebogen an die Teilnehmenden. ---+ Sie stellen fest, dass Sie zu spät mit der Planung begonnen haben, und nehmen sich vor, nächstes Mal einen Zeitplan zu erstellen. -+-- Sie klären zu Beginn genau, was die Kundin erwartet. ---+ Sie vergleichen die Rückmeldungen mit Ihrer eigenen Einschätzung. {Worin unterscheidet sich bt3 von bt4? |type="()"} + Bei bt3 holt man Rückmeldungen ein, bei bt4 wertet man sie zusammen mit der eigenen Arbeit aus und leitet Verbesserungen ab. || Richtig. - bt3 betrifft interne, bt4 externe Aufträge. || Nein. Beide Ziele gelten für interne und externe Aufträge. - bt4 kommt vor bt3. || Nein. Man braucht zuerst die Rückmeldungen, um sie auswerten zu können. {In welcher Phase eines Auftrags steht bt1? |type="()"} + Vor dem Auftrag || Richtig. Man engagiert sich für Aufträge, die zum eigenen Kompetenzprofil passen. - Während des Auftrags || Das ist bt2. - Nach dem Auftrag || Das sind bt3 und bt4. {Was gehört zu einer dienstleistungsorientierten Bearbeitung (bt2)? |type="[]"} + Den Auftrag zu Beginn genau klären + Termine einhalten oder Verzögerungen frühzeitig melden + Freundlich und lösungsorientiert kommunizieren - Den Auftrag so erledigen, wie es für einen selbst am einfachsten ist || Im Zentrum stehen die Bedürfnisse der Auftraggebenden. </quiz> == Stufe 3: Im Fallbeispiel anwenden == === Fallbeispiel === Selina Huber ist im zweiten Lehrjahr als Kauffrau EFZ bei einer Gemeindeverwaltung. Die Abteilung Kultur sucht jemanden, der für das Dorffest einen Flyer und die Anmeldung der Marktstände organisiert. Selina gestaltet in ihrer Freizeit gerne Plakate und kennt sich mit Online-Formularen aus. === Quiz === <quiz display=simple> {Wie kann Selina sich im Sinne von bt1 für den Auftrag engagieren? |type="()"} + Sie meldet sich bei der Abteilung Kultur, nennt ihre Erfahrung mit Gestaltung und Online-Formularen und zeigt ein Beispiel eines Plakats. || Richtig. Sie präsentiert ihre Kompetenzen auftragsbezogen und überzeugend. - Sie wartet, bis man sie fragt. || So erfährt niemand, dass sie dafür geeignet ist. - Sie sagt, sie könne alles, auch Webseiten programmieren. || Übertreibung schadet der Glaubwürdigkeit. {Selina erhält den Auftrag. Was tut sie im Sinne von bt2 als Erstes? |type="()"} + Sie klärt mit der Auftraggeberin Inhalt, Budget, Termin und Zielgruppe des Flyers. || Richtig. Wer den Auftrag genau kennt, kann ihn im Sinn der Auftraggebenden erledigen. - Sie beginnt sofort mit der Gestaltung nach ihrem eigenen Geschmack. || Ohne Auftragsklärung riskiert sie, am Bedürfnis vorbeizuarbeiten. - Sie bestellt schon 5000 Flyer bei der Druckerei. || Zuerst müssen Inhalt und Menge geklärt sein. {Nach dem Dorffest möchte Selina wissen, wie zufrieden die Beteiligten waren (bt3). Welche Wege sind geeignet? |type="[]"} + Ein kurzes Gespräch mit der Auftraggeberin aus der Abteilung Kultur + Ein Online-Fragebogen an die Marktfahrenden zur Anmeldung + Eine Bewertungsfrage mit einer Skala von 1 bis 5 - Nur die eigene Einschätzung festhalten || Das ist Selbsteinschätzung, keine Rückmeldung der Auftraggebenden. {Die Rückmeldungen zeigen: Der Flyer kam gut an, aber viele Marktfahrende fanden das Anmeldeformular kompliziert. Was ist eine sinnvolle Verbesserungsmassnahme nach bt4? |type="()"} - „Die Marktfahrenden sind halt nicht so computererfahren.“ || Das schiebt die Verantwortung ab, statt die eigene Arbeit zu analysieren. + „Nächstes Mal lasse ich das Formular vor der Veröffentlichung von zwei Personen testen und reduziere es auf die nötigen Felder.“ || Richtig. Konkret, auf die Ursache bezogen und umsetzbar. - „Ich mache nie wieder Formulare.“ || Das ist keine Verbesserung, sondern ein Rückzug. </quiz> == Stufe 4: Zufriedenheit messen, Fremdwahrnehmung einschätzen, Rückmeldung geben == === Theorie === '''Instrumente zur Messung der Zufriedenheit''' * Feedbackgespräch * Fragebogen bzw. Online-Umfrage (mit Skalen und offenen Fragen) * Weiterempfehlungsfrage: „Wie wahrscheinlich ist es, dass Sie uns weiterempfehlen?“ (Skala 0–10) * Auswertung von Reklamationen und Lob [[Datei:Johari-Fenster 1.webm|thumb|mini|[[:w:Johari-Fenster|Johari-Fenster]]]] '''Selbst- und Fremdwahrnehmung ([[:w:Johari-Fenster|Johari-Fenster]])''' {| class="wikitable" ! !! mir bekannt !! mir unbekannt |- ! anderen bekannt | öffentliche Person || blinder Fleck |- ! anderen unbekannt | Privatperson (Geheimnis) || Unbekanntes |} Rückmeldungen anderer helfen, den '''blinden Fleck''' zu verkleinern. '''Regeln für eine angemessene Rückmeldung''' * Ich-Botschaften verwenden („Mir ist aufgefallen …“) * konkret beschreiben statt pauschal bewerten * zeitnah und sachlich * Positives und Verbesserungswürdiges nennen * Rückmeldungen anderer zuerst anhören, nicht sofort rechtfertigen === Quiz === <quiz display=simple> {Welche Instrumente eignen sich zur Messung der Zufriedenheit von Auftraggebenden? |type="[]"} + Feedbackgespräch + Online-Fragebogen + Weiterempfehlungsfrage mit Skala 0–10 - Eigene Notizen zum Arbeitsablauf || Das ist eine Selbstreflexion, keine Messung der Zufriedenheit der Auftraggebenden. + Auswertung von Reklamationen {Ihre Teamleiterin sagt Ihnen, dass Sie in Sitzungen oft andere unterbrechen. Sie haben das bisher nie bemerkt. Zu welchem Bereich des Johari-Fensters gehört dieses Verhalten? |type="()"} - Öffentliche Person || Dann wäre es Ihnen schon bekannt gewesen. + Blinder Fleck || Richtig. Andere nehmen es wahr, Sie selbst nicht. - Privatperson || Die Privatperson umfasst, was nur Sie kennen. - Unbekanntes || Das Verhalten ist ja anderen bekannt. {Ordnen Sie die Felder des Johari-Fensters zu. |type="()"} | öffentliche Person | blinder Fleck | Privatperson | Unbekanntes +--- mir bekannt und anderen bekannt -+-- mir unbekannt, aber anderen bekannt --+- mir bekannt, aber anderen unbekannt ---+ mir unbekannt und anderen unbekannt {Ein Kollege bittet Sie um Rückmeldung zu seiner Präsentation. Welche Rückmeldung ist angemessen? |type="()"} - „Das war schlecht.“ || Pauschal und verletzend – damit kann er nichts anfangen. - „Alles super!“ || Freundlich, aber ohne Informationen zur Verbesserung. + „Mir hat dein klarer Aufbau gefallen. Bei den Folien mit den Zahlen war die Schrift für mich zu klein – vielleicht könntest du dort weniger Text verwenden.“ || Richtig. Ich-Botschaft, konkret, mit Positivem und einem Verbesserungsvorschlag. {Ergänzen Sie die Lücke. |type="{}"} Was andere an mir wahrnehmen, ich selbst aber nicht, nennt man im Johari-Fenster den blinden { Fleck _8 }. </quiz> == Zusammenfassung == {| class="wikitable" ! Merksatz |- | Kaufleute '''engagieren''' sich für Aufträge, die zu ihrem Kompetenzprofil passen (bt1), '''bearbeiten''' sie dienstleistungsorientiert (bt2), holen '''Rückmeldungen''' ein (bt3) und '''werten''' Qualität, Vorgehen und Rückmeldungen aus, um sich zu verbessern (bt4). |} = Einzelnachweise = <references/> [[Kategorie:Kurs:Kaufleute EFZ/HK A3| ]] 35g8hqdcl29qkhy3lq2wcqtq5l8wu07 14 173411 1118700 2026-11-02T16:49:12Z Paul Sutermeister 37610 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1118700 wikitext text/x-wiki Diese Kategorie umfasst Leistungsziele der [[Kurs:Kaufleute EFZ/Kaufmännische Aufträge entgegennehmen und bearbeiten|Handlungskompetenz A3: '''Kaufmännische Aufträge entgegennehmen und bearbeiten''']].<ref>[https://www.becc.admin.ch/becc/public/bvz/beruf/show/68800 ''Bildungsplan zur Verordnung des SBFI vom 16. August 2021 über die berufliche Grundbildung für Kauffrau/Kaufmann mit eidgenössischem Fähigkeitszeugnis (EFZ)'']</ref> = Einzelnachweise = <references/> [[Kategorie:Kurs:Kaufleute EFZ/HKB A]] 6sz3c4pprvwhl9sz7hwky4rfzaab659 106 173412 1118721 2026-11-03T08:52:28Z Arbota 36910 Bot: Referenzseite erstellt. 1118721 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Beispiel|8|11|Kurs=|}} 9qpy3a0tptnolu0mkjwk05hgidblg6j 106 173413 1118722 2026-11-03T08:52:38Z Arbota 36910 Bot: Referenzseite erstellt. 1118722 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Beispiel|7|10|Kurs=|}} sjdqei8mztwkpjgph49drltdmeoumxh 106 173414 1118723 2026-11-03T08:52:48Z Arbota 36910 Bot: Referenzseite erstellt. 1118723 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Lemma|8|10|Kurs=|}} tcf285julhgv1zhlnr06m0ehu6u810s 0 173415 1118742 2026-11-03T10:07:05Z Bert Niehaus 20843 Weiterleitung nach [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit]] erstellt 1118742 wikitext text/x-wiki #REDIRECT[[bedingte Wahrscheinlichkeit#Satz_von_der_totalen_Wahrscheinlichkeit]] rrn465ae0tutj4hckuq7klenac3v1b9 1118743 1118742 2026-11-03T10:07:37Z Bert Niehaus 20843 Weiterleitungsziel von [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit]] nach [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#totale Wahrscheinlichkeit]] geändert 1118743 wikitext text/x-wiki #REDIRECT[[bedingte Wahrscheinlichkeit#totale_Wahrscheinlichkeit]] tt08k5eugw1f0idgk149ja1d0436esl 106 173416 1118745 2026-11-03T10:09:40Z Paul Sutermeister 37610 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1118745 wikitext text/x-wiki __NOTOC__ = Distanzzonen: Wie nah ist zu nah? = Jeder Mensch hat eine '''unsichtbare Blase''' um sich herum. Wer in diese Blase kommt, darf das nur, wenn er uns gut kennt. Diese Idee stammt vom amerikanischen Forscher '''Edward T. Hall''' (1966). Er nannte sie '''[[:w:Proxemik|Proxemik]]''' – die Lehre vom Abstand zwischen Menschen. Die Grundidee ist einfach: {| class="wikitable" |- | '''Je näher''' wir jemanden an uns heranlassen, || '''desto enger''' ist die Beziehung. |} Es gibt '''vier Zonen'''. Wir schauen sie Schritt für Schritt an. == Schritt 1: Die Messlatte ist dein Körper == Du brauchst keinen Meterstab. Dein Körper reicht: * '''Ellbogen angewinkelt''' ≈ 0,5 Meter * '''Arm ganz ausgestreckt''' ≈ 1 Meter * '''Ein grosser Schritt''' ≈ 1 Meter '''Mach es selbst:''' Streck deinen Arm aus. Alles, was du mit der Hand berühren kannst, ist ungefähr deine persönliche Zone. <quiz display=simple> { Wie viel ist ein ausgestreckter Arm ungefähr? |type="()" } - 10 Zentimeter + 1 Meter || Genau. Dein Arm ist ein praktischer Meterstab, den du immer dabeihast. - 5 Meter </quiz> == Schritt 2: Die Intimdistanz (0 bis 0,5 Meter) == '''Bild im Kopf:''' Du kannst den anderen '''riechen''', '''flüstern''' hören und seine Wärme spüren. '''Wer darf hier rein?''' * Partnerin oder Partner * Eigene Kinder, Eltern * Sehr enge Freunde '''Typische Situationen:''' umarmen, trösten, ein Kind ins Bett bringen, ein Geheimnis flüstern. '''Aha-Moment:''' Im vollen Bus oder im Lift stehen fremde Menschen in dieser Zone. Darum schauen dort alle auf den Boden, aufs Handy oder an die Decke. So „tun wir so“, als wäre der andere gar nicht da. <quiz display=simple> { Warum schauen Menschen im vollen Lift oft auf den Boden? |type="()" } - Weil der Boden interessant ist. + Weil Fremde in ihrer Intimzone stehen und das unangenehm ist. || Richtig. Mit dem Wegschauen schaffen wir einen „Abstand“, den es körperlich gerade nicht gibt. - Weil man im Lift nicht sprechen darf. { Wer darf normalerweise in die Intimdistanz? |type="[]" } + Mein Kind + Meine Partnerin oder mein Partner - Ein Verkäufer im Laden - Mein neuer Arbeitskollege </quiz> == Schritt 3: Die persönliche Distanz (0,5 bis 1,5 Meter) == '''Bild im Kopf:''' Ungefähr '''eine Armlänge'''. Man kann sich die Hand geben, aber man berührt sich nicht ständig. '''Wer darf hier rein?''' * Freunde und Bekannte * Gute Kolleginnen und Kollegen '''Typische Situationen:''' ein Gespräch beim Kaffee, mit einem Freund auf der Parkbank sitzen, zu zweit in der Pause plaudern. '''Aha-Moment:''' Beim '''Händeschütteln''' strecken beide den Arm aus. Genau so viel Abstand bleibt danach meistens auch im Gespräch. <quiz display=simple> { Du triffst eine Kollegin in der Pause und plauderst mit ihr. Welche Distanz passt? |type="()" } - Intimdistanz + Persönliche Distanz || Genau. Etwa eine Armlänge: nah genug für ein lockeres Gespräch, aber nicht zu nah. - Öffentliche Distanz { Ergänze: Die persönliche Distanz ist ungefähr eine { Armlänge|Armlaenge _10 }. |type="{}" } </quiz> == Schritt 4: Die soziale Distanz (1,5 bis 4 Meter) == '''Bild im Kopf:''' Zwischen euch steht oft '''ein Tisch''', ein '''Schalter''' oder ein '''Pult'''. '''Wer ist hier?''' * Menschen, die man nur beruflich oder kurz kennt * Kundinnen und Kunden, Behörden, Vorgesetzte '''Typische Situationen:''' am Bankschalter, ein Bewerbungsgespräch, eine Sitzung am Besprechungstisch, beim Arzt am Empfang. '''Aha-Moment:''' Der Tisch im Büro ist nicht nur ein Möbel. Er '''schafft automatisch''' die richtige Distanz für ein sachliches Gespräch. <quiz display=simple> { Du hast ein Bewerbungsgespräch. Welche Distanz ist normal? |type="()" } - Intimdistanz - Persönliche Distanz + Soziale Distanz || Richtig. Meist sitzt man sich an einem Tisch gegenüber. Das ist sachlich und respektvoll. { Welche Situationen gehören zur sozialen Distanz? |type="[]" } + Gespräch am Bankschalter + Sitzung am Besprechungstisch - Ein Kind umarmen - Eine Rede vor 200 Leuten </quiz> == Schritt 5: Die öffentliche Distanz (ab 4 Metern) == '''Bild im Kopf:''' Eine '''Bühne''' oder ein '''Rednerpult'''. Man muss '''laut''' sprechen. Ein persönliches Gespräch ist kaum möglich. '''Wer ist hier?''' * Ein Publikum, das man nicht persönlich kennt '''Typische Situationen:''' eine Lehrperson vorne vor einer grossen Klasse, ein Vortrag, ein Konzert, eine Politikerin auf der Bühne. '''Aha-Moment:''' Auf diese Distanz sieht man Gesichter nicht mehr genau. Darum braucht man '''grosse Gesten''' und eine '''laute, klare Stimme'''. <quiz display=simple> { Warum muss ein Redner auf der Bühne grosse Gesten machen? |type="()" } - Weil er nervös ist. + Weil man aus über 4 Metern Distanz kleine Gesten und die Mimik kaum sieht. || Genau. Je grösser die Distanz, desto deutlicher muss die Körpersprache sein. - Weil es so vorgeschrieben ist. </quiz> == Schritt 6: Alle vier Zonen auf einen Blick == {| class="wikitable" ! Zone !! Abstand !! Bild im Kopf !! Mit wem? |- | '''Intim''' || 0 – 0,5 m || flüstern, riechen, umarmen || Familie, Partner |- | '''Persönlich''' || 0,5 – 1,5 m || eine Armlänge, Hand geben || Freunde, gute Kollegen |- | '''Sozial''' || 1,5 – 4 m || ein Tisch dazwischen || Kunden, Behörden, Vorgesetzte |- | '''Öffentlich''' || ab 4 m || Bühne, Rednerpult || Publikum |} ''Die Meterangaben sind Richtwerte. Halls Originalwerte sind etwas kleiner (z. B. öffentlich ab ca. 3,6 m).'' == Schritt 7: Das grosse Zuordnungs-Quiz == <quiz display=simple> { Eine Mutter liest ihrem Kind abends eine Geschichte vor, das Kind sitzt auf ihrem Schoss. |type="()" } + Intimdistanz - Persönliche Distanz - Soziale Distanz - Öffentliche Distanz { Zwei Freunde trinken zusammen ein Bier an einem kleinen Bistrotisch. |type="()" } - Intimdistanz + Persönliche Distanz - Soziale Distanz - Öffentliche Distanz { Eine Kundin bespricht mit dem Bankberater am Schreibtisch eine Hypothek. |type="()" } - Intimdistanz - Persönliche Distanz + Soziale Distanz - Öffentliche Distanz { Der Schulleiter begrüsst alle Lernenden in der Aula am ersten Schultag. |type="()" } - Intimdistanz - Persönliche Distanz - Soziale Distanz + Öffentliche Distanz { Ein Verkäufer kommt Ihnen beim Beraten so nahe, dass Sie seinen Atem riechen. Was passiert? |type="()" } - Nichts, das ist normal. + Er dringt in die Intimdistanz ein. Das wirkt aufdringlich und man weicht zurück. || Richtig. Wer ungefragt zu nahe kommt, wirkt respektlos – auch wenn er es gar nicht so meint. - Er hält die öffentliche Distanz ein. </quiz> == Schritt 8: Andere Länder, andere Abstände == Nicht überall sind die Zonen gleich gross. * In '''Südeuropa''', '''Lateinamerika''' oder '''arabischen Ländern''' stehen Menschen oft '''näher''' beieinander. Man berührt sich auch häufiger, zum Beispiel am Arm. * In '''Nordeuropa''', der '''Schweiz''' oder '''Japan''' hält man oft '''mehr Abstand'''. '''Aha-Moment:''' Stell dir ein Gespräch zwischen einer Person aus Kolumbien und einer Person aus der Schweiz vor. * Die Kolumbianerin geht einen Schritt näher, weil das für sie freundlich ist. * Der Schweizer geht einen Schritt zurück, weil es ihm zu nah ist. * So „tanzen“ beide durch den Raum. Sie denkt vielleicht: „Er ist kühl.“ Er denkt: „Sie ist aufdringlich.“ * Dabei meinen es '''beide gut'''. <quiz display=simple> { Eine Person kommt Ihnen im Gespräch näher, als Sie es gewohnt sind. Was ist eine mögliche Erklärung? |type="()" } - Sie will Sie bestimmt ärgern. + In ihrer Kultur ist ein kleinerer Abstand normal und freundlich. || Genau. Distanz ist auch kulturell geprägt. Bevor man urteilt, lohnt es sich, daran zu denken. - Sie hört schlecht. { Was ist richtig? |type="[]" } + Die Distanzzonen sind nicht in allen Kulturen gleich gross. + Zu viel Nähe kann aufdringlich wirken. + Zu viel Abstand kann kühl oder abweisend wirken. - Die Meterangaben gelten weltweit genau gleich. </quiz> == Schritt 9: Ausprobieren und nachdenken == '''Mini-Experiment zu zweit:''' # Stellt euch etwa 5 Meter voneinander entfernt auf. # Eine Person geht langsam auf die andere zu. # Die stehende Person sagt „Stopp“, sobald es unangenehm wird. # Messt den Abstand mit eurem Arm. '''Fragen zum Nachdenken:''' * Wo hast du „Stopp“ gesagt? In welcher Zone war das? * Wäre es bei einer fremden Person anders gewesen als bei einem Freund? * In welcher Situation im Alltag kommt dir jemand manchmal zu nahe? == Merksatz == {| class="wikitable" |- | '''Abstand ist Sprache ohne Worte.''' Wer den richtigen Abstand wählt, zeigt Respekt. |} [[Kategorie:Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)]] oirf09c0zuk9l0ow9wdox27d3qyj3s4 1118747 1118745 2026-11-03T10:17:22Z Paul Sutermeister 37610 1118747 wikitext text/x-wiki __NOTOC__ [[Datei:PROXEMIC.jpg|thumb]] = Distanzzonen: Wie nah ist zu nah? = Jeder Mensch hat eine '''unsichtbare Blase''' um sich herum. Wer in diese Blase kommt, darf das nur, wenn er uns gut kennt. Diese Idee stammt vom amerikanischen Forscher '''Edward T. Hall''' (1966). Er nannte sie '''[[:w:Proxemik|Proxemik]]''' – die Lehre vom Abstand zwischen Menschen. Die Grundidee ist einfach: {| class="wikitable" |- | '''Je näher''' wir jemanden an uns heranlassen, || '''desto enger''' ist die Beziehung. |} Es gibt '''vier Zonen'''. Wir schauen sie Schritt für Schritt an. == Schritt 1: Die Messlatte ist dein Körper == Du brauchst keinen Meterstab. Dein Körper reicht: * '''Ellbogen angewinkelt''' ≈ 0,5 Meter * '''Arm ganz ausgestreckt''' ≈ 1 Meter * '''Ein grosser Schritt''' ≈ 1 Meter '''Mach es selbst:''' Streck deinen Arm aus. Alles, was du mit der Hand berühren kannst, ist ungefähr deine persönliche Zone. <quiz display=simple> { Wie viel ist ein ausgestreckter Arm ungefähr? |type="()" } - 10 Zentimeter + 1 Meter || Genau. Dein Arm ist ein praktischer Meterstab, den du immer dabeihast. - 5 Meter </quiz> == Schritt 2: Die Intimdistanz (0 bis 0,5 Meter) == [[Datei:Daumier - Types parisiens - planche 37.jpg|thumb]] '''Bild im Kopf:''' Du kannst den anderen '''riechen''', '''flüstern''' hören und seine Wärme spüren. '''Wer darf hier rein?''' * Partnerin oder Partner * Eigene Kinder, Eltern * Sehr enge Freunde '''Typische Situationen:''' umarmen, trösten, ein Kind ins Bett bringen, ein Geheimnis flüstern. '''Aha-Moment:''' Im vollen Bus oder im Lift stehen fremde Menschen in dieser Zone. Darum schauen dort alle auf den Boden, aufs Handy oder an die Decke. So „tun wir so“, als wäre der andere gar nicht da. <quiz display=simple> { Warum schauen Menschen im vollen Lift oft auf den Boden? |type="()" } - Weil der Boden interessant ist. + Weil Fremde in ihrer Intimzone stehen und das unangenehm ist. || Richtig. Mit dem Wegschauen schaffen wir einen „Abstand“, den es körperlich gerade nicht gibt. - Weil man im Lift nicht sprechen darf. { Wer darf normalerweise in die Intimdistanz? |type="[]" } + Mein Kind + Meine Partnerin oder mein Partner - Ein Verkäufer im Laden - Mein neuer Arbeitskollege </quiz> == Schritt 3: Die persönliche Distanz (0,5 bis 1,5 Meter) == [[Datei:Description (atribucion interna y extrerna).jpg|thumb|mini|Intime oder persönliche Distanz?]] '''Bild im Kopf:''' Ungefähr '''eine Armlänge'''. Man kann sich die Hand geben, aber man berührt sich nicht ständig. '''Wer darf hier rein?''' * Freunde und Bekannte * Gute Kolleginnen und Kollegen '''Typische Situationen:''' ein Gespräch beim Kaffee, mit einem Freund auf der Parkbank sitzen, zu zweit in der Pause plaudern. '''Aha-Moment:''' Beim '''Händeschütteln''' strecken beide den Arm aus. Genau so viel Abstand bleibt danach meistens auch im Gespräch. <quiz display=simple> { Du triffst eine Kollegin in der Pause und plauderst mit ihr. Welche Distanz passt? |type="()" } - Intimdistanz + Persönliche Distanz || Genau. Etwa eine Armlänge: nah genug für ein lockeres Gespräch, aber nicht zu nah. - Öffentliche Distanz { Ergänze: Die persönliche Distanz ist ungefähr eine { Armlänge|Armlaenge _10 }. |type="{}" } </quiz> == Schritt 4: Die soziale Distanz (1,5 bis 4 Meter) == [[Datei:2024-07-02 Aufhof Hannover innovercity.jpg|thumb]] '''Bild im Kopf:''' Zwischen euch steht oft '''ein Tisch''', ein '''Schalter''' oder ein '''Pult'''. '''Wer ist hier?''' * Menschen, die man nur beruflich oder kurz kennt * Kundinnen und Kunden, Behörden, Vorgesetzte '''Typische Situationen:''' am Bankschalter, ein Bewerbungsgespräch, eine Sitzung am Besprechungstisch, beim Arzt am Empfang. '''Aha-Moment:''' Der Tisch im Büro ist nicht nur ein Möbel. Er '''schafft automatisch''' die richtige Distanz für ein sachliches Gespräch. <quiz display=simple> { Du hast ein Bewerbungsgespräch. Welche Distanz ist normal? |type="()" } - Intimdistanz - Persönliche Distanz + Soziale Distanz || Richtig. Meist sitzt man sich an einem Tisch gegenüber. Das ist sachlich und respektvoll. { Welche Situationen gehören zur sozialen Distanz? |type="[]" } + Gespräch am Bankschalter + Sitzung am Besprechungstisch - Ein Kind umarmen - Eine Rede vor 200 Leuten </quiz> == Schritt 5: Die öffentliche Distanz (ab 4 Metern) == '''Bild im Kopf:''' Eine '''Bühne''' oder ein '''Rednerpult'''. Man muss '''laut''' sprechen. Ein persönliches Gespräch ist kaum möglich. '''Wer ist hier?''' * Ein Publikum, das man nicht persönlich kennt '''Typische Situationen:''' eine Lehrperson vorne vor einer grossen Klasse, ein Vortrag, ein Konzert, eine Politikerin auf der Bühne. '''Aha-Moment:''' Auf diese Distanz sieht man Gesichter nicht mehr genau. Darum braucht man '''grosse Gesten''' und eine '''laute, klare Stimme'''. <quiz display=simple> { Warum muss ein Redner auf der Bühne grosse Gesten machen? |type="()" } - Weil er nervös ist. + Weil man aus über 4 Metern Distanz kleine Gesten und die Mimik kaum sieht. || Genau. Je grösser die Distanz, desto deutlicher muss die Körpersprache sein. - Weil es so vorgeschrieben ist. </quiz> == Schritt 6: Alle vier Zonen auf einen Blick == {| class="wikitable" ! Zone !! Abstand !! Bild im Kopf !! Mit wem? |- | '''Intim''' || 0 – 0,5 m || flüstern, riechen, umarmen || Familie, Partner |- | '''Persönlich''' || 0,5 – 1,5 m || eine Armlänge, Hand geben || Freunde, gute Kollegen |- | '''Sozial''' || 1,5 – 4 m || ein Tisch dazwischen || Kunden, Behörden, Vorgesetzte |- | '''Öffentlich''' || ab 4 m || Bühne, Rednerpult || Publikum |} ''Die Meterangaben sind Richtwerte. Halls Originalwerte sind etwas kleiner (z. B. öffentlich ab ca. 3,6 m).'' == Schritt 7: Das grosse Zuordnungs-Quiz == <quiz display=simple> { Eine Mutter liest ihrem Kind abends eine Geschichte vor, das Kind sitzt auf ihrem Schoss. |type="()" } + Intimdistanz - Persönliche Distanz - Soziale Distanz - Öffentliche Distanz { Zwei Freunde trinken zusammen ein Bier an einem kleinen Bistrotisch. |type="()" } - Intimdistanz + Persönliche Distanz - Soziale Distanz - Öffentliche Distanz { Eine Kundin bespricht mit dem Bankberater am Schreibtisch eine Hypothek. |type="()" } - Intimdistanz - Persönliche Distanz + Soziale Distanz - Öffentliche Distanz { Der Schulleiter begrüsst alle Lernenden in der Aula am ersten Schultag. |type="()" } - Intimdistanz - Persönliche Distanz - Soziale Distanz + Öffentliche Distanz { Ein Verkäufer kommt Ihnen beim Beraten so nahe, dass Sie seinen Atem riechen. Was passiert? |type="()" } - Nichts, das ist normal. + Er dringt in die Intimdistanz ein. Das wirkt aufdringlich und man weicht zurück. || Richtig. Wer ungefragt zu nahe kommt, wirkt respektlos – auch wenn er es gar nicht so meint. - Er hält die öffentliche Distanz ein. </quiz> == Schritt 8: Andere Länder, andere Abstände == Nicht überall sind die Zonen gleich gross. * In '''Südeuropa''', '''Lateinamerika''' oder '''arabischen Ländern''' stehen Menschen oft '''näher''' beieinander. Man berührt sich auch häufiger, zum Beispiel am Arm. * In '''Nordeuropa''', der '''Schweiz''' oder '''Japan''' hält man oft '''mehr Abstand'''. '''Aha-Moment:''' Stell dir ein Gespräch zwischen einer Person aus Kolumbien und einer Person aus der Schweiz vor. * Die Kolumbianerin geht einen Schritt näher, weil das für sie freundlich ist. * Der Schweizer geht einen Schritt zurück, weil es ihm zu nah ist. * So „tanzen“ beide durch den Raum. Sie denkt vielleicht: „Er ist kühl.“ Er denkt: „Sie ist aufdringlich.“ * Dabei meinen es '''beide gut'''. <quiz display=simple> { Eine Person kommt Ihnen im Gespräch näher, als Sie es gewohnt sind. Was ist eine mögliche Erklärung? |type="()" } - Sie will Sie bestimmt ärgern. + In ihrer Kultur ist ein kleinerer Abstand normal und freundlich. || Genau. Distanz ist auch kulturell geprägt. Bevor man urteilt, lohnt es sich, daran zu denken. - Sie hört schlecht. { Was ist richtig? |type="[]" } + Die Distanzzonen sind nicht in allen Kulturen gleich gross. + Zu viel Nähe kann aufdringlich wirken. + Zu viel Abstand kann kühl oder abweisend wirken. - Die Meterangaben gelten weltweit genau gleich. </quiz> == Schritt 9: Ausprobieren und nachdenken == '''Mini-Experiment zu zweit:''' # Stellt euch etwa 5 Meter voneinander entfernt auf. # Eine Person geht langsam auf die andere zu. # Die stehende Person sagt „Stopp“, sobald es unangenehm wird. # Messt den Abstand mit eurem Arm. '''Fragen zum Nachdenken:''' * Wo hast du „Stopp“ gesagt? In welcher Zone war das? * Wäre es bei einer fremden Person anders gewesen als bei einem Freund? * In welcher Situation im Alltag kommt dir jemand manchmal zu nahe? == Merksatz == {| class="wikitable" |- | '''Abstand ist Sprache ohne Worte.''' Wer den richtigen Abstand wählt, zeigt Respekt. |} [[Kategorie:Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)]] fwouim5iujxkvdwv6g0imd61rrrkq9i 1118762 1118747 2026-11-03T10:53:27Z Paul Sutermeister 37610 /* Schritt 5: Die öffentliche Distanz (ab 4 Metern) */ 1118762 wikitext text/x-wiki __NOTOC__ [[Datei:PROXEMIC.jpg|thumb]] = Distanzzonen: Wie nah ist zu nah? = Jeder Mensch hat eine '''unsichtbare Blase''' um sich herum. Wer in diese Blase kommt, darf das nur, wenn er uns gut kennt. Diese Idee stammt vom amerikanischen Forscher '''Edward T. Hall''' (1966). Er nannte sie '''[[:w:Proxemik|Proxemik]]''' – die Lehre vom Abstand zwischen Menschen. Die Grundidee ist einfach: {| class="wikitable" |- | '''Je näher''' wir jemanden an uns heranlassen, || '''desto enger''' ist die Beziehung. |} Es gibt '''vier Zonen'''. Wir schauen sie Schritt für Schritt an. == Schritt 1: Die Messlatte ist dein Körper == Du brauchst keinen Meterstab. Dein Körper reicht: * '''Ellbogen angewinkelt''' ≈ 0,5 Meter * '''Arm ganz ausgestreckt''' ≈ 1 Meter * '''Ein grosser Schritt''' ≈ 1 Meter '''Mach es selbst:''' Streck deinen Arm aus. Alles, was du mit der Hand berühren kannst, ist ungefähr deine persönliche Zone. <quiz display=simple> { Wie viel ist ein ausgestreckter Arm ungefähr? |type="()" } - 10 Zentimeter + 1 Meter || Genau. Dein Arm ist ein praktischer Meterstab, den du immer dabeihast. - 5 Meter </quiz> == Schritt 2: Die Intimdistanz (0 bis 0,5 Meter) == [[Datei:Daumier - Types parisiens - planche 37.jpg|thumb]] '''Bild im Kopf:''' Du kannst den anderen '''riechen''', '''flüstern''' hören und seine Wärme spüren. '''Wer darf hier rein?''' * Partnerin oder Partner * Eigene Kinder, Eltern * Sehr enge Freunde '''Typische Situationen:''' umarmen, trösten, ein Kind ins Bett bringen, ein Geheimnis flüstern. '''Aha-Moment:''' Im vollen Bus oder im Lift stehen fremde Menschen in dieser Zone. Darum schauen dort alle auf den Boden, aufs Handy oder an die Decke. So „tun wir so“, als wäre der andere gar nicht da. <quiz display=simple> { Warum schauen Menschen im vollen Lift oft auf den Boden? |type="()" } - Weil der Boden interessant ist. + Weil Fremde in ihrer Intimzone stehen und das unangenehm ist. || Richtig. Mit dem Wegschauen schaffen wir einen „Abstand“, den es körperlich gerade nicht gibt. - Weil man im Lift nicht sprechen darf. { Wer darf normalerweise in die Intimdistanz? |type="[]" } + Mein Kind + Meine Partnerin oder mein Partner - Ein Verkäufer im Laden - Mein neuer Arbeitskollege </quiz> == Schritt 3: Die persönliche Distanz (0,5 bis 1,5 Meter) == [[Datei:Description (atribucion interna y extrerna).jpg|thumb|mini|Intime oder persönliche Distanz?]] '''Bild im Kopf:''' Ungefähr '''eine Armlänge'''. Man kann sich die Hand geben, aber man berührt sich nicht ständig. '''Wer darf hier rein?''' * Freunde und Bekannte * Gute Kolleginnen und Kollegen '''Typische Situationen:''' ein Gespräch beim Kaffee, mit einem Freund auf der Parkbank sitzen, zu zweit in der Pause plaudern. '''Aha-Moment:''' Beim '''Händeschütteln''' strecken beide den Arm aus. Genau so viel Abstand bleibt danach meistens auch im Gespräch. <quiz display=simple> { Du triffst eine Kollegin in der Pause und plauderst mit ihr. Welche Distanz passt? |type="()" } - Intimdistanz + Persönliche Distanz || Genau. Etwa eine Armlänge: nah genug für ein lockeres Gespräch, aber nicht zu nah. - Öffentliche Distanz { Ergänze: Die persönliche Distanz ist ungefähr eine { Armlänge|Armlaenge _10 }. |type="{}" } </quiz> == Schritt 4: Die soziale Distanz (1,5 bis 4 Meter) == [[Datei:2024-07-02 Aufhof Hannover innovercity.jpg|thumb]] '''Bild im Kopf:''' Zwischen euch steht oft '''ein Tisch''', ein '''Schalter''' oder ein '''Pult'''. '''Wer ist hier?''' * Menschen, die man nur beruflich oder kurz kennt * Kundinnen und Kunden, Behörden, Vorgesetzte '''Typische Situationen:''' am Bankschalter, ein Bewerbungsgespräch, eine Sitzung am Besprechungstisch, beim Arzt am Empfang. '''Aha-Moment:''' Der Tisch im Büro ist nicht nur ein Möbel. Er '''schafft automatisch''' die richtige Distanz für ein sachliches Gespräch. <quiz display=simple> { Du hast ein Bewerbungsgespräch. Welche Distanz ist normal? |type="()" } - Intimdistanz - Persönliche Distanz + Soziale Distanz || Richtig. Meist sitzt man sich an einem Tisch gegenüber. Das ist sachlich und respektvoll. { Welche Situationen gehören zur sozialen Distanz? |type="[]" } + Gespräch am Bankschalter + Sitzung am Besprechungstisch - Ein Kind umarmen - Eine Rede vor 200 Leuten </quiz> == Schritt 5: Die öffentliche Distanz (ab 4 Metern) == [[Datei:Piazza della Signoria.jpg|thumb]] '''Bild im Kopf:''' Eine '''Bühne''' oder ein '''Rednerpult'''. Man muss '''laut''' sprechen. Ein persönliches Gespräch ist kaum möglich. '''Wer ist hier?''' * Ein Publikum, das man nicht persönlich kennt '''Typische Situationen:''' eine Lehrperson vorne vor einer grossen Klasse, ein Vortrag, ein Konzert, eine Politikerin auf der Bühne. '''Aha-Moment:''' Auf diese Distanz sieht man Gesichter nicht mehr genau. Darum braucht man '''grosse Gesten''' und eine '''laute, klare Stimme'''. <quiz display=simple> { Warum muss ein Redner auf der Bühne grosse Gesten machen? |type="()" } - Weil er nervös ist. + Weil man aus über 4 Metern Distanz kleine Gesten und die Mimik kaum sieht. || Genau. Je grösser die Distanz, desto deutlicher muss die Körpersprache sein. - Weil es so vorgeschrieben ist. </quiz> == Schritt 6: Alle vier Zonen auf einen Blick == {| class="wikitable" ! Zone !! Abstand !! Bild im Kopf !! Mit wem? |- | '''Intim''' || 0 – 0,5 m || flüstern, riechen, umarmen || Familie, Partner |- | '''Persönlich''' || 0,5 – 1,5 m || eine Armlänge, Hand geben || Freunde, gute Kollegen |- | '''Sozial''' || 1,5 – 4 m || ein Tisch dazwischen || Kunden, Behörden, Vorgesetzte |- | '''Öffentlich''' || ab 4 m || Bühne, Rednerpult || Publikum |} ''Die Meterangaben sind Richtwerte. Halls Originalwerte sind etwas kleiner (z. B. öffentlich ab ca. 3,6 m).'' == Schritt 7: Das grosse Zuordnungs-Quiz == <quiz display=simple> { Eine Mutter liest ihrem Kind abends eine Geschichte vor, das Kind sitzt auf ihrem Schoss. |type="()" } + Intimdistanz - Persönliche Distanz - Soziale Distanz - Öffentliche Distanz { Zwei Freunde trinken zusammen ein Bier an einem kleinen Bistrotisch. |type="()" } - Intimdistanz + Persönliche Distanz - Soziale Distanz - Öffentliche Distanz { Eine Kundin bespricht mit dem Bankberater am Schreibtisch eine Hypothek. |type="()" } - Intimdistanz - Persönliche Distanz + Soziale Distanz - Öffentliche Distanz { Der Schulleiter begrüsst alle Lernenden in der Aula am ersten Schultag. |type="()" } - Intimdistanz - Persönliche Distanz - Soziale Distanz + Öffentliche Distanz { Ein Verkäufer kommt Ihnen beim Beraten so nahe, dass Sie seinen Atem riechen. Was passiert? |type="()" } - Nichts, das ist normal. + Er dringt in die Intimdistanz ein. Das wirkt aufdringlich und man weicht zurück. || Richtig. Wer ungefragt zu nahe kommt, wirkt respektlos – auch wenn er es gar nicht so meint. - Er hält die öffentliche Distanz ein. </quiz> == Schritt 8: Andere Länder, andere Abstände == Nicht überall sind die Zonen gleich gross. * In '''Südeuropa''', '''Lateinamerika''' oder '''arabischen Ländern''' stehen Menschen oft '''näher''' beieinander. Man berührt sich auch häufiger, zum Beispiel am Arm. * In '''Nordeuropa''', der '''Schweiz''' oder '''Japan''' hält man oft '''mehr Abstand'''. '''Aha-Moment:''' Stell dir ein Gespräch zwischen einer Person aus Kolumbien und einer Person aus der Schweiz vor. * Die Kolumbianerin geht einen Schritt näher, weil das für sie freundlich ist. * Der Schweizer geht einen Schritt zurück, weil es ihm zu nah ist. * So „tanzen“ beide durch den Raum. Sie denkt vielleicht: „Er ist kühl.“ Er denkt: „Sie ist aufdringlich.“ * Dabei meinen es '''beide gut'''. <quiz display=simple> { Eine Person kommt Ihnen im Gespräch näher, als Sie es gewohnt sind. Was ist eine mögliche Erklärung? |type="()" } - Sie will Sie bestimmt ärgern. + In ihrer Kultur ist ein kleinerer Abstand normal und freundlich. || Genau. Distanz ist auch kulturell geprägt. Bevor man urteilt, lohnt es sich, daran zu denken. - Sie hört schlecht. { Was ist richtig? |type="[]" } + Die Distanzzonen sind nicht in allen Kulturen gleich gross. + Zu viel Nähe kann aufdringlich wirken. + Zu viel Abstand kann kühl oder abweisend wirken. - Die Meterangaben gelten weltweit genau gleich. </quiz> == Schritt 9: Ausprobieren und nachdenken == '''Mini-Experiment zu zweit:''' # Stellt euch etwa 5 Meter voneinander entfernt auf. # Eine Person geht langsam auf die andere zu. # Die stehende Person sagt „Stopp“, sobald es unangenehm wird. # Messt den Abstand mit eurem Arm. '''Fragen zum Nachdenken:''' * Wo hast du „Stopp“ gesagt? In welcher Zone war das? * Wäre es bei einer fremden Person anders gewesen als bei einem Freund? * In welcher Situation im Alltag kommt dir jemand manchmal zu nahe? == Merksatz == {| class="wikitable" |- | '''Abstand ist Sprache ohne Worte.''' Wer den richtigen Abstand wählt, zeigt Respekt. |} [[Kategorie:Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)]] chwscf0fdsvg2rmx2vmb05xivz27el4 0 173417 1118760 2026-11-03T10:48:31Z Bert Niehaus 20843 Weiterleitung nach [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#ZerlegungDef]] erstellt 1118760 wikitext text/x-wiki #REDIRECT[[bedingte Wahrscheinlichkeit#ZerlegungDef]] ofecerhc4bmpa2smlecjas86nbyxjut