Wikiversity dewikiversity https://de.wikiversity.org/wiki/Hauptseite MediaWiki 1.48.0-wmf.3 first-letter Medium Spezial Diskussion Benutzer Benutzer Diskussion Wikiversity Wikiversity Diskussion Datei Datei Diskussion MediaWiki MediaWiki Diskussion Vorlage Vorlage Diskussion Hilfe Hilfe Diskussion Kategorie Kategorie Diskussion Kurs Kurs Diskussion Projekt Projekt Diskussion TimedText TimedText talk Modul Modul Diskussion Veranstaltung Veranstaltung Diskussion 106 12769 1118814 1118153 2026-11-04T07:17:17Z Bert Niehaus 20843 /* Polynomialer Nullstellensatz */ 1118814 wikitext text/x-wiki {{Fachbereich|Mathematik}} [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|146px|mini|Kurs enthält [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] Audio-Folien]] [[Datei:Mapping f z equal 1 over z.gif|mini|Bewegung von Bildpunkten einer Funktion <math>f</math>. Dabei ist <math>z</math> in blauer Farbe und <math>f(z)= \frac{1}{z}</math> in roter Farbe markiert. <math>z</math> bewegt sich auf der Spur von <math>\gamma(t)=t\cdot e^{it}</math>.]] [[File:Image of path 1 over z.webm|thumb|Bild einer Kurve in den komplexen Zahlen von der Funktion <math>f(z)=\frac{1}{z}</math>]] == Inhalte == In dem Kurs Funktionentheorie<ref>Fischer, W., & Lieb, I. (2013). Funktionentheorie. Springer-Verlag.</ref><ref>H. Leutwiler (1997) Skript zur Vorlesung Funktionentheorie, Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg - URL: https://www.math.fau.de/wp-content/uploads/2019/04/Leutwiler_funktionen.pdf</ref> werden folgende Themen behandelt. Die Themen sind jeweils mit Wikipediainhalten verlinkt und zusätzlich mit einem ''Wikibuch-Link'' versehen, mit dem man sich maßgeschneidert für das eigene Vorwissen ein Buch als PDF-Dateien zu dem Oberthema generieren kann. Als angemeldeter Benutzer kann man die Literaturzusammenstellung auch abspeichern und nach eigenem Lernfortschritt weiter anpassen. <math>(\ast)</math>-Kapitel sind optional. == Funktionentheorie - Teil 1 == === Grundlagen === * '''[[/Lernvoraussetzungen/|Lernvoraussetzungen aus der Analysis]]''' * '''[[Unterschiede - Konvergenzbegriffe]]''' - ohne stochastische Konvergenz * '''[[Komplexe Zahl|Komplexe Zahlen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** Wikiversity: [[Komplexe_Zahlen/Definition|Definition]] - [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Spezial:Buch&bookcmd=book_creator&referer=Komplexe+Zahl Wikibuch] ** [[Komplexe Zahl#Orbitdarstellung|Orbitdarstellung von Operationen in komplexen Zahlen]] ** [[w:Satz von Heine-Borel|Kompaktheitssatz von Heine-Borel]] ** [[w:Komplexe_Zahl#Komplexe_Zahlenebene|geometrische Einführung]] ** [[Komplexe_Zahl#Rechenregeln|Operationen und Regeln]] ** [[w:Riemannsche_Zahlenkugel|Riemannsche Zahlenkugel]] - komplexe Zahlen <math>\mathbb{C}</math> auf einer Kugeloberfläche. ** [[w:Stereografische_Projektion|stereografische Projektion]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Komplexe Zahlen als Matrizen|Komplexe Zahlen als Matrizen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzen und Wurzeln|Potenzen und Wurzeln]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzen%20und%20Wurzeln&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzen%20und%20Wurzeln&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Graph einer Funktion|Graph einer Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Graph%20einer%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Graph%20einer%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Analysis I/Kapitel III: Die elementaren Funktionen|Elementare Funktionen]]''' auf den komplexen Zahlen * '''[[Weg-Zeit-Risikointegral|Weg-Zeit-Risikointegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg-Zeit-Risikointegral&author=%20%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie&coursetitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] andere Formen von Wegintegralen * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS - Rechnen mit komplexen Zahlen]] === Topologische Grundlagen === * '''[[/Folgen und Reihen/|Konvergenz von Folgen und Reihen in den komplexen Zahlen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&shorttitle=Konvergenz%20von%20Folgen%20und%20Reihen&title=Kurs:Funktionentheorie/Folgen%20und%20Reihen&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe|Potenzreihe]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzreihe&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologische Algebra|Topologische Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologische%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Topologische%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Normen, Metriken, Topologie]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Normen%2C+Metriken%2C+Topologie&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Normierter Raum]] ** [[Metrischer Raum]] ** [[Topologischer Raum]] - Wikiversity: [[Topologie/Grundbegriffe/Topologie/Definition|Definition Topologie]] ** [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * '''[[/einfach zusammenhängend/]]''' * '''[[/Gebiet/]]''' === Komplexe Differenzierbarkeit === * '''[[Holomorphe Funktion|Holomorphe Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Holomorphe_Funktion|Komplexe Differenzierbarkeit und Holomorphie]] ** [[/Partielle Ableitungen/]] * '''[[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[/Anwendungen CR-DG/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Anwendungen_CR-DG&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalkül|Wirtinger-Kalkül]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalk%C3%BCl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wirtinger-Kalk%C3%BCl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Kurven und Wegintegrale === * '''[[Kurvenintegral|Kurvenintegral im <math> \mathbb{R}^n </math>]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurven|Kurven]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurven&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurven&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' * '''[[Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare Kurve|rektifizierbare Kurve]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare%20Kurve&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=rektifizierbare%20Kurve&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Integralrechnung|Wikipedia: Integralrechnung]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Weg, Spur, Gebiet|Weg, Gebiet, geschlossener Weg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Weg,_Spur,_Gebiet&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Weg,%20Spur,%20Gebiet&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Wegintegral|Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Kurvenintegral#Kurvenintegrale|Wikpedia:Kurvenintegral allgemein]] ** [[w:de:stetige Funktion|Stetigkeit]] und [[w:de:Grenzwert_(Folge)|Grenzwerte]], ** [[Kurs:Funktionentheorie/Integration durch Substitution|Integration durch Substitution]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integration%20durch%20Substitution&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integration%20durch%20Substitution&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/reelle Integrale als Spezialfall von Wegintegralen/]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral ohne Wegableitung|Wegintegral ohne Wegableitung]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral%20ohne%20Wegableitung&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegintegral%20ohne%20Wegableitung&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Weg-Zeit-Risikointegral]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Kurve|Spur, Graph]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Spur&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurve&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale|Mittelwertsatz für Wegintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Holomorphie === * '''[[Holomorphie|Holomorphie]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphie&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphie/Kriterien|Kriterien]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie/Kriterien&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kriterien&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Holomorphe_Funktion#.C3.84quivalente_Eigenschaften_holomorpher_Funktionen_einer_Variablen|Wikipedia: Holomorphiekriterien]] ** [[/Unterschiede zur reellen Differenzierbarkeit/]] ** [[w:Konforme_Abbildung|konforme Abbildungen]]<math>(\ast)</math>, * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen|Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral|Eigenschaften von Kurvenintegralen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg|Integrationsweg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integrationsweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Stammfunktionen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/sternförmig|sternförmig]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/sternf%C3%B6rmig&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=sternf%C3%B6rmig&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/stetige Funktion mit Stammfunktion|stetige Funktion mit Stammfunktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Wegunabhängigkeit|Wegunabhängigkeit]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Wegunabh%C3%A4ngigkeit&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegunabh%C3%A4ngigkeit&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion als Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20als%20Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20als%20Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma|Approximationslemma]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationslemma&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion - geschlossene Wege|Stammfunktion - geschlossene Wege]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] <span id="CIS-CIF"></span> === Cauchy-Integralsatz CIS === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat (Details)]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes#Korrollar_von_Goursat|Goursat mit Ausnahme eines Punkte - Umkreis des Dreiecks]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz|Cauchy-Integralsatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Integralsatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete/]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für sternförmige Gebiete/]] ** [[/einfach zusammenhängend/]] * '''[[Satz von Morera|Satz von Morera]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Morera&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Morera&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Holomorphie/Kriterien|Holomorphiekriterien]] === Cauchy-Integralformel CIF === * '''[[/Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben/]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Cauchy-Integralformel%20für%20Kreisscheiben&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lokale Entwicklung in Potenzreihen|Lokale Entwicklung in Potenzreihen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Abelsches Lemma/]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen|1/z und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiele%20f%C3%BCr%20Potenzreihenentwicklungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen/Cauchy-Dichte|Cauchy-Dichte und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] ** [[Fehlerfunktion|Fehlerfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fehlerfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fehlerfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Satz über lokale Stammfunktionen|Satz über lokale Stammfunktionen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs: Funktionentheorie/Identitätssatz|Identitätssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/Identit%C3%A4tssatz&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Differentialgleichung - Exponentialfunktion/|Differentialgleichung für Exponentialfunktion]] - Anwendung Identitätssatz ** [[Kurs:Stochastik/Normalverteilung#Funktionentheorie|Verteilungsfunktion der Normalverteilung]] - Anwendung Identitätssatz ** [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz von Liouville|Satz von Liouville]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20von%20Liouville&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Liouville&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatz der Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz%20der%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fundamentalsatz%20der%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Komplexe Nullstellen reeller Polynome/]] ** [[/Cauchy-Schranke für Nullstellen/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen|Cauchy-Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip|Maximumprinzip]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Maximumprinzip&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphiekriterien]]''' === Polynomialer Nullstellensatz === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Argumentfunktion|Argumentfunktion und Polarkoordinatendarstellung]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/algebraische Vervollständigung|algebraische Vervollständigung]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/generalisiert|generalisierter Logarithmus]] auf beliebigen [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] [[Gebiet (Mathematik)|Gebieten]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige|Zweige des Logarithmus]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zweige%20des%20Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#Hauptzweig|Hauptzweig des Logarithmus]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#negativer_Hauptzweig|negativer Hauptzweig des Logarithmus]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#imaginaerer_Hauptzweig|imaginärer Hauptzweig des Logarithmus]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#negativer_imaginaerer_Hauptzweig|negativer imaginärer Hauptzweig des Logarithmus]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/logmod|logmod-Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/logmod&author=Logarithmus&language=de&audioslide=yes&shorttitle=logmod-Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] und Periodizität der Exponentionalfunktion, * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen|Äquivalenzklassen des Logarithmus]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/%C3%84quivalenzklassen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%C3%84quivalenzklassen%20des%20Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Potenzfunktionen|Potenzfunktionen]] <math>z^n</math> * [[Kurs:Funktionentheorie/exponentielle unktionen|exponentielle Funktionen]] <math>a^z</math> * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/rlog|rlog-Funktion]] beschreibt wie oft kann man einen Logarithmus als Verkettung "rekursiv" anwenden kann. * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/rekursiver Logarithmus|rekursiver Logarithmus]] als Mehrfachverkettung des Logarithmus mit sich selbst. * [[/Eulersche Nullstellen/]] * [[Identitätssatz für Logarithmen]] * [[Polynomialer Nullstellensatz]] == Funktionentheorie - Teil 2 (*) == In diesem Teil der Lehrveranstaltung wird ein Zusammenhang zwischen Geometrie, Integrationstheorie mit messbaren Mengen hergestellt und die Verbindung zu Wegintegralen behandelt. <span id="Flaechenintegrale"></span> === Stammfunktionen und messbare Mengen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz über lokale Stammfunktionen|Satz über lokale Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz für Stammfunktionen|Differenzsatz für Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz%20f%C3%BCr%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale|Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Definition Flächenintegrale]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Complex%20Analysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Stammfunktionen höherer Ordnung]] ** [[orientierte Fläche]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktion und Unterschied zur Stammfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenstammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral%20%C3%BCber%20Real-%20und%20Imagin%C3%A4rteil&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral%20und%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Rechteckintegrale=== * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orientierung für Rechteckintegrale]] ** [[Lemma für Rechteckintegrale|Lemma - Rechteckintegrale über Flächenstammfunktionen]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale|Darstellungslemma für Rechteckintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Dreiecksintegrale=== Nach dem [[Lemma von Goursat]] ist Wegintegral über den Dreiecksrand 0. Bei Flächenintegralen werden Randintegrale für den Dreieckrand betrachtet, die nicht geschlossen sind. * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orientierung für Dreiecksintegrale]] ** [[Randwegintegral für Dreiecke]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz_für_Dreiecke#Korollar1|Korollar 1 - Invarianz Eckpunktwahl]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz_für_Dreiecke#Korollar2|Korollar 2 - Rechenregeln Randintegrale]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale|Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Dreiecksintegrale|Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Kette von orientierten Flächen/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz für Dreiecke|Approximationssatz für Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Integrale über Polygone === In diesem Abschnitt werden Randintegrale über Vielecke zusammen mit der Berechnung behandelt. * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Vierecke|Flächenintegrale über Vierecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Vierecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz für Polygone|Eckenreduktionssatz für Polygone]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/alternierender Randweg|alternierender Randweg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/alternierender%20Randweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=alternierender%20Randweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Vielecke|Flächenintegrale über Vielecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Vielecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Integrale über Kreisscheiben und Ellipsen === * [[/holomophe Integrationswege/]] * [[/Flächenintegrale über Kreisscheiben/]] * [[/Randwegtransformation für Kreisscheiben/]] * [[/Flächenintegrale über Ellipsen/]] * [[/Flächenintegrale - berandete Wegintegrale/]] * [[/Fubini und Cavalierisches Prinzip/]] == Funktionentheorie - Teil 3 == In diesem Teil der Lehrveranstaltung wird der Begriff der Taylorreihe zum Begriff der [[Laurent-Reihe]] verallgemeinert (analog zur Erweiterung der ganzen Zahlen in Stellenwertsystem um Nachkommastelle, die hier den Potenzen <math>(z-z_o)^{-n}</math> mit <math>n\in\mathbb{N}</math> entsprechen). Ferner werden Cauchy-Integralformel und Cauchy-Integralsatz von geschlossenen Weg auf Zyklen verallgemeinert. <span id="LaurentCISCIF"></span> === Von Taylorreihen zu Laurentreihen und Residuen === * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kette&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kette&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl|Umlaufzahl]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Umlaufzahl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Zyklus|Zyklus]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Zyklus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zyklus&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Laurent-Reihe|Von Taylor-Reihen zu Laurent-Reihen]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Laurent-Reihe&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[b-adische Stellenwertsysteme|b-adische Stellenwertsysteme - Exkurs bzgl. Laurent-Reihen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=b-adische%20Stellenwertsystem&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispielrechnung mit Laurentreihen|Beispielrechnung mit Laurentreihen]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/kreisförmige Konvergenzbereiche|kreisförmige Konvergenzbereiche]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] - Abelsches Lemma === Cauchy-Integralformel und Cauchy-Integralsatz für Zyklen === <span id="CIS-CIF"></span> Die Aussagen des [[Cauchy-Integralsatz|CIS]] und [[Cauchy-Integralformel|CIF]] für konvexe bzw. sternförmige Gebiete werden auf [[nullhomolog|nullhomologe]] [[Zyklus|Zyklen]] verallgemeinert. Es wird CIS-NZ wird aus CIF-NZ gefolgert. * '''[[Integralformel von Cauchy|Cauchy Integralformel für Zyklen]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben/]] * '''[[Integralsatz von Cauchy#Zyklen|Cauchyscher Integralsatz für Zyklen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete|Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Satz von der Gebietstreue === Bilder von Gebieten sind unter holomorphen Funktionen wieder Gebiete. * '''[[Kurs: Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue|Satz von der Gebietstreue]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/Satz%20von%20der%20Gebietstreue&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20der%20Gebietstreue&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] (Open Mapping Theorem) * [[Kurs:Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue/Anwendungen|Anwendungen des Satzes von der Gebietstreue]] === Singularität und Residuen === * '''[[/Singularitäten/]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Singularitäten&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Riemannscher Hebbarkeitssatz|Riemannscher Hebbarkeitssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiel - wesentliche Singularität|Beispiel - exp(1/z) - wesentliche Singularität]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiel_-_wesentliche_Singularität/z)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuum|Residuum]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuum&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung|Entwicklung in Laurentreihen]], * [[Kurs:Funktionentheorie/isolierte Singularität|isolierte Singularitäten]], * [[Kurs:Funktionentheorie/Zerlegungssatz|Zerlegungssatz]], * '''[[Satz von Casorati-Weierstraß|Satz von Casorati-Weierstraß]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuensatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale|Beispielintegrale - Anwendung Residuensatz]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispielintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Reelle Integrale mit Residuensatz|Reelle Integrale mit Residuensatz]], ** [[/Flächenintegrale und Residuen/]] * '''[[/Null- und Polstellen zählendes Integral/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Null-%20und%20Polstellen%20z%C3%A4hlendes%20Integral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Satz von Rouché]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz+von+Rouché&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[meromorphe Funktion|meromorphe Funktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=meromorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=meromorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] <span id="Vektorfeld"></span> * '''[[Kurs: Funktionentheorie/holomorphe Funktionen als Vektorfelder|holomorphe Funktionen als Vektorfelder]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Wege in Vektorfeldern|holomorphe Wege in Vektorfeldern]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Wege als Lösungen von Differentialgleichungen/]] === Integralkorrespondenzsatz (*) === Mit dem Integralkorrespondenzsatz wird ein Zusammenhang zwischen Standardintegralen mit Wegableitung <math>\gamma{\,}'</math> und [[Weg-Zeit-Risikointegral|Weg-Zeit-Integralen]] ohne Wegableitung hergestellt. * [[Kurs:Funktionentheorie/Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege|Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege]] * [[/Injektivitätslemma für Wege/]] * [[/Spurüberdeckungslemma/]] * [[/Integralkorrespondenzsatz/]] <span id="Hilbertraum"></span> == Holormorphe Funktionen als Hilbertraum == In diesem optionalen Teil der Lehrveranstaltung wird ein Wegintegral als [[Skalarprodukt]] auf einem Teilraum von [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktionen]] interpretiert und genauer untersucht. Dabei werden Anforderungen an den [[Integrationsweg]] <math>\gamma</math> definiert, damit das zugehörige Wegintegral ein [[Skalarprodukt]] auf einem [[Funktionenraum]] definiert. Damit erhalten diese holomorphen Funktionen eine geometrische Hilbertraumstruktur, in der der [[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras]] oder der [[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Thales|Satz des Thales[[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Thales|Funktionalanalysis/Satz des Thales]] gilt. * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Funktionenraum als Hilbertraum|Funktionenraum als Hilbertraum]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Funktionenraum%20als%20Hilbertraum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Funktionraum%20als%20Hilbertraum&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orthogonalprojektion]] ** [[Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches_Orthonormalisierungsverfahren|Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Hilbertraum&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20des%20Pythagoras&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Thales|Satz des Thales]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Thales&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20des%20Thales&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Semi-Skalarprodukt|Semi-Skalarprodukte für holomophe Funktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Semi-Skalarprodukt|Semi-Skalarprodukt]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Semi-Skalarprodukt#unvollstaendig|unvollständiger Semihilbertraum als Funktionenraum]] ** [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Semi-Skalarprodukt#Semihilbert-Stetigkeitssatz|Semihilbert-Stetigkeitssatz für Maße auf Funktionenräumen]] ** [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Semi-Skalarprodukt#Buchstabenerkennung|Buchstabenerkennung mit Semiskalarprodukten]] ** [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Semi-Skalarprodukt#Nachhaltigkeit|Nachhaltigkeit und Semiskalarprodukte]] === Riemannscher Abbildungssatz - Automorphismen === * '''[[Riemannscher Abbildungssatz|Riemannscher Abbildungssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Riemannscher%20Abbildungssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannscher%20Abbildungssatz&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Schwarz|Lemma von Schwarz]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Automorphismen_der_Einheitskreisscheibe|<math>\mathrm{Aut}(\mathbb D)</math>]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Harmonische_Funktion|analytische und harmonische Funktionen]] * Lösung durch konforme Verpflanzung, Beispiele (ebene stationäre Strömungen in Flüssigkeiten, ebene elektrostatische Felder) * [[Kurs:Analysis III/Kapitel IV: Verallgemeinerte analytische Funktionen|Verallgemeinerte analytische Funktionen]] == Übungen == * Übungen zur [[Kurs:Funktionentheorie/Übungen|Einführung in die Funktionentheorie]] * [[/Quiz/|Beispiel für ein Quiz in der Funktionentheorie]] * [[Videokonferenz/Gruppenarbeit|Gruppenarbeit in Breakouträumen mit Videokonferenzen]] == Softwarenutzung == Ferner wird in Anlehnung an den [[v:en:Open Community Approach|Open Community Approach]] folgende Open Source verwendet: * [[Maxima CAS]] - ComputerAlgebraSystem * [[Maxima CAS/Komplexe Zahlen|komplexe Zahlen in Maxima CAS]] == Vorlesungsfolien aus Wikiversity-Inhalten == Mit [[PanDocElectron-Presentation|PanDocElectron]] kann man direkt aus Wikiversity-Inhalten Vorlesungsfolien erstellen, die man mit man einem Tablet auch annotieren kann. == Handschriftliche Notitzen == * Im Ausbildungskontext haben die individuellen handschriftlichen Annotation eine wesentliche Bedeutung, da der individuelle Erkenntnisgewinn oder auch aktuelle Probleme beim Verständnis der Beweislogik für eine weitere Betrachtung der mathematischen Theorie gekennzeichnet werden kann. Auch in [[Videokonferenz|Videokonferenzen]] kann das Arbeiten an gemeinsam entwickelten Skizzen oder die gemeinsame Annotation von PDF-Dokumenten eine wichtig Rolle für einen kollaborativen Lernprozess sein. Tablets oder Convertible mit Stifteingabe erlauben ** eine digitale Annotation von PDF-Dokumenten z.B. PDF-Export aus Wikiversity für das eigene Dokumentenportfolio zu einer Lehrveranstaltung oder ** die kollaborative Entwicklung von Beweisideen in OpenSource-Videokonferenzsystemen. ** Mit der [https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases OpenSource-Software Xournal]<ref>Xournal (2020) OpenSource digitale Schreibumgebung und Annotationssoftware für PDF-Dokumente - Github: https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases (retrieverd 2020/04/20) </ref> können Sie diese Annotation von PDF-Dokumenten unter Linux, Windows und MacOSX nutzen ([https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases Download GitHub]) und ** für kollaboratives Arbeiten an Beweisideen kann z.B. auch in der [[w:de:BigBlueButton|Open-Source-Videokonferenzsoftware BigBlueButton]] einsetzen. == Siehe auch == * [[CAS4Wiki]] * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS]] * [[Hilfe:Quiz|Quiz für Vorlesungsinhalte]] * [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * [[Konvexkombination]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Videokonferenz/mündliche Prüfung]] === Kurse === * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)]] * [[Objektorientierte Mathematische Modellbildung]] * [[Kurs:Stochastik]] [[Kategorie:Mathematik]] == Literatur == [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis]]</noinclude> 3g5soq0rjugudixdmj9yb60xgzl6qv6 0 55778 1118841 1064835 2026-11-04T10:38:41Z Bocardodarapti 2041 1118841 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= {{:Kommutativer Ring/Situation|SZ=}} und {{math|term= D |SZ=}} eine {{ Definitionslink |kommutative Gruppe| |Kontext=| |SZ= {{ Zusatz/{{{zusatz1|}}} |text=Diese Gruppe wird fast immer additiv geschrieben| |ISZ=.|ESZ=. }} }} Eine {{ Definitionslink |Prämath=R|Algebra| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= A |SZ=}} heißt {{ Definitionswort |Prämath=D| |graduiert| |msw=Graduierte Algebra |SZ=, }} wenn es eine {{ Definitionslink |direkte Summenzerlegung| |Kontext=Modul| |SZ= }} {{ Relationskette/display | A || \bigoplus_{d \in D} A_d || || || |SZ= }} mit {{ Definitionslink |Prämath=R|Untermoduln| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= A_d |SZ=}} derart gibt, dass {{ Relationskette | R | \subseteq | A_0 || || || |SZ= }} ist und für die Multiplikation auf {{math|term= A |SZ=}} die Beziehung {{ Relationskette/display | A_d \cdot A_e | \subseteq | A_{d+e} || || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der graduierten kommutativen Ringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Graduierte Algebra |Definitionswort2= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1qs32kkx5jm77uopjm3f1ihxr58ve5b 0 94613 1118827 1076728 2026-11-04T09:51:03Z Bert Niehaus 20843 /* Lernvoraussetzungen */ 1118827 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite zum Thema ''Wegintegral'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt: * (1) Wege als stetige Abbildungen von einem Interval <math>[a,b]</math> in die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> über die man integriert, * (2) Ableitungen von Kurven/Wegen als Voraussetzung für Definition von Wegintegralen, * (3) Definition von Wegintegralen e== Lernvoraussetzungen == Die Lernressource zum Thema ''Wegintegral'' hat die folgenden Lernvoraussetzungen, die zum Verständnis der nachfolgenden Ausführungen hilfreich bzw. notwendig sind. * Begriff des [[Kurs:Maßtheorie_auf_topologischen_Räumen/Wege_in_topologischen_Räumen|Weges in einem topologischen Raum]], * [[Weg-Zeit-Risikointegral|Wege und Risikofunktion]] * Differnzierbarkeit in der reellen Analysis, * Integration in der reellen Analysis. === Reeller Wertebereich mit Animation === [[Datei:Line integral of scalar field.gif|350px|center|Illustration eines Kurvenintegrals in einem 2D-Raum ]] == Geometrische Grundidee des Wegintegrals == Die folgende Kurve <math>\gamma</math> umläuft einen Punkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> zweimal. [[Datei:Windungszahl5.png|150px|center|Weg um einen Punkt]] == Integral über ein Intervall == Sei <math>G\subseteq \mathbb{C}</math> ein [[w:de:Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] und <math>f\colon [a,b] \to\mathbb{C}</math> eine [[w:de:komplexwertige Funktion|komplexwertige Funktion]]. Man nennt die Funktion <math>f</math> integrierbar, wenn ::<math>\operatorname{Re}(f):G \to\mathbb{R}</math> und <math>\operatorname{Im}(f):G \to\mathbb{R}</math> mit <math>f=\operatorname{Re}(f) + i \cdot \operatorname{Im}(f)</math> integrierbare Funktionen sind. Man definiert :<math>\int\limits_a^b f(x)\mathrm{d} x := \int\limits_a^b\operatorname{Re}(f)(x)\mathrm{d}x +\mathrm{i}\int\limits_a^b\operatorname{Im}(f)(x)\mathrm{d}x</math>. === Linearität des Integrals === Das Integral <math>\int\limits_a^b f(x)\mathrm{d} x </math> ist damit <math>\mathbb{C}</math>-linear mit und <math>f_1\colon [a,b] \to\mathbb{C}</math> und <math>f_2\colon [a,b] \to\mathbb{C}</math> und <math>\lambda = \lambda_1 + i\lambda_2 \in \mathbb{C}</math>. === Aufgabe - Linearität === Beweisen Sie die <math>\mathbb{C}</math>-Linearität des komplexwertigen Integrals als Übung :<math>\int\limits_a^b \lambda \cdot f(x)\mathrm{d}x = \lambda \cdot \int\limits_a^b f(x)\mathrm{d}x</math>. mit <math>\lambda = \lambda_1 + i\lambda_2 \in \mathbb{C}</math>. === Stammfunktion === Ist <math>f:[a,b] \to \mathbb{C}</math> stetig und <math>F:[a,b] \to \mathbb{C}</math> eine Stammfunktion von <math>f</math>, so gilt wie im reellen :<math>\int\limits_a^b f(x)\mathrm{d}x = F(b)-F(a)</math>. === Beweis - Stammfunktion === Mit <math>F'=f</math> zusammen mit beiden Real-Imaginärteilzerlegungen <math>f=\operatorname{Re}(f) + i \cdot \operatorname{Im}(f)</math> und <math>F=\operatorname{Re}(F) + i \cdot \operatorname{Im}(F)</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \int\limits_a^b f(x)\mathrm{d} x & = & \int\limits_a^b\operatorname{Re}(f)(x)\mathrm{d}x +\mathrm{i}\int\limits_a^b\operatorname{Im}(f)(x)\mathrm{d}x \\ & = & (\operatorname{Re}(F)(b)-\operatorname{Re}(F)(a)) + \mathrm{i} (\operatorname{Im}(F)(b)-\operatorname{Im}(F)(a)) \\ & = & (\operatorname{Re}(F)(b)+ \mathrm{i}\operatorname{Im}(F)(b))-(\operatorname{Re}(F)(a)) + \mathrm{i} \operatorname{Im}(F)(a)) \\ & = & F(b) - F(a) \end{array} </math> <span id="Definition"></span> == Definition - Wegintegral == Der Integralbegriff wird über die Definition eines Integrationsweges auf die komplexe Ebene wie folgt erweitert: Ist <math>f\colon G\to\mathbb C</math> eine komplexwertige Funktion auf einem [[w:de:Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G\subseteq\mathbb C</math>, und ist <math>\gamma\colon[a,b]\to G</math> eine stückweise stetig differenzierbarer [[w:de:Weg (Mathematik)|Weg]] in <math>G</math>, so ist das ''Wegintegral'' von <math>f</math> entlang des Weges <math>\gamma</math> definiert als : <math>\int\limits_\gamma f:=\int\limits_\gamma f(z)\,\mathrm dz:=\int\limits_a^b f(\gamma(t))\cdot \gamma'(t)\,\mathrm dt.</math> Der Malpunkt bezeichnet hier die komplexe Multiplikation.<ref>„Kurvenintegral“. In: Wikipedia, Die freie Enzyklopädie. Bearbeitungsstand: 24. November 2017, 16:22 UTC. URL: https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Kurvenintegral&oldid=171345033 (Abgerufen: 8. Dezember 2017, 14:27 UTC) </ref> == Cauchyscher Integralsatz == Die zentrale Aussage über Wegintegrale komplexer Funktionen ist der [[w:de:Cauchyscher Integralsatz|Cauchysche Integralsatz]]: Für eine [[w:de:Holomorphie|holomorphe]] Funktion <math>f</math> hängt das Wegintegral nur von der [[w:de:Homotopie|Homotopie]]klasse von <math>\gamma</math> ab. Ist <math>U</math> [[w:de:Zusammenhängender Raum|einfach zusammenhängend]], so hängt das Integral also überhaupt nicht von <math>\gamma</math>, sondern nur von Anfangs- und Endpunkt ab. Analog zum reellen Fall definiert man die ''Länge'' des Weges <math>\gamma:[a,b]\rightarrow \mathbb{C}</math> durch :<math>\mathcal{L}(\gamma):=\int\limits_a^b \left| \gamma'(t) \right| \mathrm{d}t</math>. == Standardabschätzung == Für theoretische Zwecke ist folgende [[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen|Ungleichung]], die sogenannte ''Standardabschätzung'', von besonderem Interesse: :<math>\left| \int_\gamma f(z) \, \mathrm dz \right| \leq \mathcal{L}(\gamma)\cdot C</math>, wenn <math>\left| f(z) \right|\leq C</math> für alle <math>z\in Spur(\gamma)</math> gilt. == Parametriesung des Weges == Das Wegintegral ist unabhängig von der Parametrisierung des Weges <math>\gamma</math>, d. h. es ist nicht zwingend notwendig, <math>[a,b]</math> als Parameterbereich zu wählen. Wenn man z.B. man für den Weg nicht den Definitionsbereich <math>[a,b]</math> wählt, sondern <math>[0,1]</math> und integriert über den Weg <math>\widetilde{\gamma}(t) = (\gamma \circ \varphi)(t)</math> mit <math> \varphi(t):=a\cdot (1-t) + b\cdot t</math>, dann ändert sich der Wert des Integrals nicht. :<math> \int_\gamma f(z) \, \mathrm dz = \int_{\widetilde{\gamma}} f(z) \, \mathrm dz </math> === Aufgabe - Umparametrisierung === Zeigen Sie durch Substitution, dass die obige Gleichung allgemein gilt. == Aufgabe == * Sei <math>\gamma\colon[a,b]\to G</math> mit <math>t\mapsto \gamma(t)= sin(t)+i\cdot t^2</math>. Bestimmen Sie <math>\gamma'(t)</math>! * Berechnen Sie für den Weg <math>\gamma\colon[0,2\pi]\to \mathbb{C}</math> mit <math>t\mapsto \gamma(t)= r\cdot e^{i\cdot t}</math> das Wegintegral <math>\int\limits_\gamma \frac{1}{z}\,\mathrm dz</math> * Berechnen Sie die Länge des Weges <math>L(\gamma)</math> mit <math>t\mapsto \gamma(t)= r\cdot e^{i\cdot t}</math>. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurvenintegral]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen|Ungleichungen]] * [[Graph einer Funktion]] * [[Kurs:Funktionentheorie/reelle Integrale als Spezialfall von Wegintegralen|reelle Integrale als Spezialfall von Wegintegralen]] * [[Weg-Zeit-Risikointegral]] == Literatur == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Wegintegral https://de.wikiversity.org/wiki/Wegintegral] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Wegintegral Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Wegintegral * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Path Integral]]</noinclude> [[Kategorie:Funktionentheorie]] [[Kategorie:Wegintegral (MSW)]] prss17nlytsprzcjwkwqg7espzjlzcz 1118828 1118827 2026-11-04T09:54:20Z Bert Niehaus 20843 /* Aufgabe - Umparametrisierung */ 1118828 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite zum Thema ''Wegintegral'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt: * (1) Wege als stetige Abbildungen von einem Interval <math>[a,b]</math> in die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> über die man integriert, * (2) Ableitungen von Kurven/Wegen als Voraussetzung für Definition von Wegintegralen, * (3) Definition von Wegintegralen e== Lernvoraussetzungen == Die Lernressource zum Thema ''Wegintegral'' hat die folgenden Lernvoraussetzungen, die zum Verständnis der nachfolgenden Ausführungen hilfreich bzw. notwendig sind. * Begriff des [[Kurs:Maßtheorie_auf_topologischen_Räumen/Wege_in_topologischen_Räumen|Weges in einem topologischen Raum]], * [[Weg-Zeit-Risikointegral|Wege und Risikofunktion]] * Differnzierbarkeit in der reellen Analysis, * Integration in der reellen Analysis. === Reeller Wertebereich mit Animation === [[Datei:Line integral of scalar field.gif|350px|center|Illustration eines Kurvenintegrals in einem 2D-Raum ]] == Geometrische Grundidee des Wegintegrals == Die folgende Kurve <math>\gamma</math> umläuft einen Punkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> zweimal. [[Datei:Windungszahl5.png|150px|center|Weg um einen Punkt]] == Integral über ein Intervall == Sei <math>G\subseteq \mathbb{C}</math> ein [[w:de:Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] und <math>f\colon [a,b] \to\mathbb{C}</math> eine [[w:de:komplexwertige Funktion|komplexwertige Funktion]]. Man nennt die Funktion <math>f</math> integrierbar, wenn ::<math>\operatorname{Re}(f):G \to\mathbb{R}</math> und <math>\operatorname{Im}(f):G \to\mathbb{R}</math> mit <math>f=\operatorname{Re}(f) + i \cdot \operatorname{Im}(f)</math> integrierbare Funktionen sind. Man definiert :<math>\int\limits_a^b f(x)\mathrm{d} x := \int\limits_a^b\operatorname{Re}(f)(x)\mathrm{d}x +\mathrm{i}\int\limits_a^b\operatorname{Im}(f)(x)\mathrm{d}x</math>. === Linearität des Integrals === Das Integral <math>\int\limits_a^b f(x)\mathrm{d} x </math> ist damit <math>\mathbb{C}</math>-linear mit und <math>f_1\colon [a,b] \to\mathbb{C}</math> und <math>f_2\colon [a,b] \to\mathbb{C}</math> und <math>\lambda = \lambda_1 + i\lambda_2 \in \mathbb{C}</math>. === Aufgabe - Linearität === Beweisen Sie die <math>\mathbb{C}</math>-Linearität des komplexwertigen Integrals als Übung :<math>\int\limits_a^b \lambda \cdot f(x)\mathrm{d}x = \lambda \cdot \int\limits_a^b f(x)\mathrm{d}x</math>. mit <math>\lambda = \lambda_1 + i\lambda_2 \in \mathbb{C}</math>. === Stammfunktion === Ist <math>f:[a,b] \to \mathbb{C}</math> stetig und <math>F:[a,b] \to \mathbb{C}</math> eine Stammfunktion von <math>f</math>, so gilt wie im reellen :<math>\int\limits_a^b f(x)\mathrm{d}x = F(b)-F(a)</math>. === Beweis - Stammfunktion === Mit <math>F'=f</math> zusammen mit beiden Real-Imaginärteilzerlegungen <math>f=\operatorname{Re}(f) + i \cdot \operatorname{Im}(f)</math> und <math>F=\operatorname{Re}(F) + i \cdot \operatorname{Im}(F)</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \int\limits_a^b f(x)\mathrm{d} x & = & \int\limits_a^b\operatorname{Re}(f)(x)\mathrm{d}x +\mathrm{i}\int\limits_a^b\operatorname{Im}(f)(x)\mathrm{d}x \\ & = & (\operatorname{Re}(F)(b)-\operatorname{Re}(F)(a)) + \mathrm{i} (\operatorname{Im}(F)(b)-\operatorname{Im}(F)(a)) \\ & = & (\operatorname{Re}(F)(b)+ \mathrm{i}\operatorname{Im}(F)(b))-(\operatorname{Re}(F)(a)) + \mathrm{i} \operatorname{Im}(F)(a)) \\ & = & F(b) - F(a) \end{array} </math> <span id="Definition"></span> == Definition - Wegintegral == Der Integralbegriff wird über die Definition eines Integrationsweges auf die komplexe Ebene wie folgt erweitert: Ist <math>f\colon G\to\mathbb C</math> eine komplexwertige Funktion auf einem [[w:de:Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G\subseteq\mathbb C</math>, und ist <math>\gamma\colon[a,b]\to G</math> eine stückweise stetig differenzierbarer [[w:de:Weg (Mathematik)|Weg]] in <math>G</math>, so ist das ''Wegintegral'' von <math>f</math> entlang des Weges <math>\gamma</math> definiert als : <math>\int\limits_\gamma f:=\int\limits_\gamma f(z)\,\mathrm dz:=\int\limits_a^b f(\gamma(t))\cdot \gamma'(t)\,\mathrm dt.</math> Der Malpunkt bezeichnet hier die komplexe Multiplikation.<ref>„Kurvenintegral“. In: Wikipedia, Die freie Enzyklopädie. Bearbeitungsstand: 24. November 2017, 16:22 UTC. URL: https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Kurvenintegral&oldid=171345033 (Abgerufen: 8. Dezember 2017, 14:27 UTC) </ref> == Cauchyscher Integralsatz == Die zentrale Aussage über Wegintegrale komplexer Funktionen ist der [[w:de:Cauchyscher Integralsatz|Cauchysche Integralsatz]]: Für eine [[w:de:Holomorphie|holomorphe]] Funktion <math>f</math> hängt das Wegintegral nur von der [[w:de:Homotopie|Homotopie]]klasse von <math>\gamma</math> ab. Ist <math>U</math> [[w:de:Zusammenhängender Raum|einfach zusammenhängend]], so hängt das Integral also überhaupt nicht von <math>\gamma</math>, sondern nur von Anfangs- und Endpunkt ab. Analog zum reellen Fall definiert man die ''Länge'' des Weges <math>\gamma:[a,b]\rightarrow \mathbb{C}</math> durch :<math>\mathcal{L}(\gamma):=\int\limits_a^b \left| \gamma'(t) \right| \mathrm{d}t</math>. == Standardabschätzung == Für theoretische Zwecke ist folgende [[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen|Ungleichung]], die sogenannte ''Standardabschätzung'', von besonderem Interesse: :<math>\left| \int_\gamma f(z) \, \mathrm dz \right| \leq \mathcal{L}(\gamma)\cdot C</math>, wenn <math>\left| f(z) \right|\leq C</math> für alle <math>z\in Spur(\gamma)</math> gilt. == Parametriesung des Weges == Das Wegintegral ist unabhängig von der Parametrisierung des Weges <math>\gamma</math>, d. h. es ist nicht zwingend notwendig, <math>[a,b]</math> als Parameterbereich zu wählen. Wenn man z.B. man für den Weg nicht den Definitionsbereich <math>[a,b]</math> wählt, sondern <math>[0,1]</math> und integriert über den Weg <math>\widetilde{\gamma}(t) = (\gamma \circ \varphi)(t)</math> mit <math> \varphi(t):=a\cdot (1-t) + b\cdot t</math>, dann ändert sich der Wert des Integrals nicht. :<math> \int_\gamma f(z) \, \mathrm dz = \int_{\widetilde{\gamma}} f(z) \, \mathrm dz </math> === Aufgabe - Umparametrisierung === In dem obigen Fall geht man zur Vereinfachung davon aus, dass die Funktion auf ganz <math>\mathbb{C}</math> definiert ist und <math>f</math> eine holomorphe (also ganze) Funktion ist. Zeigen Sie durch Substitution, dass die obige Gleichung allgemein gilt. == Aufgabe == * Sei <math>\gamma\colon[a,b]\to G</math> mit <math>t\mapsto \gamma(t)= sin(t)+i\cdot t^2</math>. Bestimmen Sie <math>\gamma'(t)</math>! * Berechnen Sie für den Weg <math>\gamma\colon[0,2\pi]\to \mathbb{C}</math> mit <math>t\mapsto \gamma(t)= r\cdot e^{i\cdot t}</math> das Wegintegral <math>\int\limits_\gamma \frac{1}{z}\,\mathrm dz</math> * Berechnen Sie die Länge des Weges <math>L(\gamma)</math> mit <math>t\mapsto \gamma(t)= r\cdot e^{i\cdot t}</math>. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurvenintegral]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen|Ungleichungen]] * [[Graph einer Funktion]] * [[Kurs:Funktionentheorie/reelle Integrale als Spezialfall von Wegintegralen|reelle Integrale als Spezialfall von Wegintegralen]] * [[Weg-Zeit-Risikointegral]] == Literatur == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Wegintegral https://de.wikiversity.org/wiki/Wegintegral] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Wegintegral Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Wegintegral * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Path Integral]]</noinclude> [[Kategorie:Funktionentheorie]] [[Kategorie:Wegintegral (MSW)]] 9vp21nlboagb3m4iefqsznsosz42343 1118829 1118828 2026-11-04T09:54:50Z Bert Niehaus 20843 /* Aufgabe */ 1118829 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite zum Thema ''Wegintegral'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt: * (1) Wege als stetige Abbildungen von einem Interval <math>[a,b]</math> in die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> über die man integriert, * (2) Ableitungen von Kurven/Wegen als Voraussetzung für Definition von Wegintegralen, * (3) Definition von Wegintegralen e== Lernvoraussetzungen == Die Lernressource zum Thema ''Wegintegral'' hat die folgenden Lernvoraussetzungen, die zum Verständnis der nachfolgenden Ausführungen hilfreich bzw. notwendig sind. * Begriff des [[Kurs:Maßtheorie_auf_topologischen_Räumen/Wege_in_topologischen_Räumen|Weges in einem topologischen Raum]], * [[Weg-Zeit-Risikointegral|Wege und Risikofunktion]] * Differnzierbarkeit in der reellen Analysis, * Integration in der reellen Analysis. === Reeller Wertebereich mit Animation === [[Datei:Line integral of scalar field.gif|350px|center|Illustration eines Kurvenintegrals in einem 2D-Raum ]] == Geometrische Grundidee des Wegintegrals == Die folgende Kurve <math>\gamma</math> umläuft einen Punkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> zweimal. [[Datei:Windungszahl5.png|150px|center|Weg um einen Punkt]] == Integral über ein Intervall == Sei <math>G\subseteq \mathbb{C}</math> ein [[w:de:Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] und <math>f\colon [a,b] \to\mathbb{C}</math> eine [[w:de:komplexwertige Funktion|komplexwertige Funktion]]. Man nennt die Funktion <math>f</math> integrierbar, wenn ::<math>\operatorname{Re}(f):G \to\mathbb{R}</math> und <math>\operatorname{Im}(f):G \to\mathbb{R}</math> mit <math>f=\operatorname{Re}(f) + i \cdot \operatorname{Im}(f)</math> integrierbare Funktionen sind. Man definiert :<math>\int\limits_a^b f(x)\mathrm{d} x := \int\limits_a^b\operatorname{Re}(f)(x)\mathrm{d}x +\mathrm{i}\int\limits_a^b\operatorname{Im}(f)(x)\mathrm{d}x</math>. === Linearität des Integrals === Das Integral <math>\int\limits_a^b f(x)\mathrm{d} x </math> ist damit <math>\mathbb{C}</math>-linear mit und <math>f_1\colon [a,b] \to\mathbb{C}</math> und <math>f_2\colon [a,b] \to\mathbb{C}</math> und <math>\lambda = \lambda_1 + i\lambda_2 \in \mathbb{C}</math>. === Aufgabe - Linearität === Beweisen Sie die <math>\mathbb{C}</math>-Linearität des komplexwertigen Integrals als Übung :<math>\int\limits_a^b \lambda \cdot f(x)\mathrm{d}x = \lambda \cdot \int\limits_a^b f(x)\mathrm{d}x</math>. mit <math>\lambda = \lambda_1 + i\lambda_2 \in \mathbb{C}</math>. === Stammfunktion === Ist <math>f:[a,b] \to \mathbb{C}</math> stetig und <math>F:[a,b] \to \mathbb{C}</math> eine Stammfunktion von <math>f</math>, so gilt wie im reellen :<math>\int\limits_a^b f(x)\mathrm{d}x = F(b)-F(a)</math>. === Beweis - Stammfunktion === Mit <math>F'=f</math> zusammen mit beiden Real-Imaginärteilzerlegungen <math>f=\operatorname{Re}(f) + i \cdot \operatorname{Im}(f)</math> und <math>F=\operatorname{Re}(F) + i \cdot \operatorname{Im}(F)</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \int\limits_a^b f(x)\mathrm{d} x & = & \int\limits_a^b\operatorname{Re}(f)(x)\mathrm{d}x +\mathrm{i}\int\limits_a^b\operatorname{Im}(f)(x)\mathrm{d}x \\ & = & (\operatorname{Re}(F)(b)-\operatorname{Re}(F)(a)) + \mathrm{i} (\operatorname{Im}(F)(b)-\operatorname{Im}(F)(a)) \\ & = & (\operatorname{Re}(F)(b)+ \mathrm{i}\operatorname{Im}(F)(b))-(\operatorname{Re}(F)(a)) + \mathrm{i} \operatorname{Im}(F)(a)) \\ & = & F(b) - F(a) \end{array} </math> <span id="Definition"></span> == Definition - Wegintegral == Der Integralbegriff wird über die Definition eines Integrationsweges auf die komplexe Ebene wie folgt erweitert: Ist <math>f\colon G\to\mathbb C</math> eine komplexwertige Funktion auf einem [[w:de:Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G\subseteq\mathbb C</math>, und ist <math>\gamma\colon[a,b]\to G</math> eine stückweise stetig differenzierbarer [[w:de:Weg (Mathematik)|Weg]] in <math>G</math>, so ist das ''Wegintegral'' von <math>f</math> entlang des Weges <math>\gamma</math> definiert als : <math>\int\limits_\gamma f:=\int\limits_\gamma f(z)\,\mathrm dz:=\int\limits_a^b f(\gamma(t))\cdot \gamma'(t)\,\mathrm dt.</math> Der Malpunkt bezeichnet hier die komplexe Multiplikation.<ref>„Kurvenintegral“. In: Wikipedia, Die freie Enzyklopädie. Bearbeitungsstand: 24. November 2017, 16:22 UTC. URL: https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Kurvenintegral&oldid=171345033 (Abgerufen: 8. Dezember 2017, 14:27 UTC) </ref> == Cauchyscher Integralsatz == Die zentrale Aussage über Wegintegrale komplexer Funktionen ist der [[w:de:Cauchyscher Integralsatz|Cauchysche Integralsatz]]: Für eine [[w:de:Holomorphie|holomorphe]] Funktion <math>f</math> hängt das Wegintegral nur von der [[w:de:Homotopie|Homotopie]]klasse von <math>\gamma</math> ab. Ist <math>U</math> [[w:de:Zusammenhängender Raum|einfach zusammenhängend]], so hängt das Integral also überhaupt nicht von <math>\gamma</math>, sondern nur von Anfangs- und Endpunkt ab. Analog zum reellen Fall definiert man die ''Länge'' des Weges <math>\gamma:[a,b]\rightarrow \mathbb{C}</math> durch :<math>\mathcal{L}(\gamma):=\int\limits_a^b \left| \gamma'(t) \right| \mathrm{d}t</math>. == Standardabschätzung == Für theoretische Zwecke ist folgende [[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen|Ungleichung]], die sogenannte ''Standardabschätzung'', von besonderem Interesse: :<math>\left| \int_\gamma f(z) \, \mathrm dz \right| \leq \mathcal{L}(\gamma)\cdot C</math>, wenn <math>\left| f(z) \right|\leq C</math> für alle <math>z\in Spur(\gamma)</math> gilt. == Parametriesung des Weges == Das Wegintegral ist unabhängig von der Parametrisierung des Weges <math>\gamma</math>, d. h. es ist nicht zwingend notwendig, <math>[a,b]</math> als Parameterbereich zu wählen. Wenn man z.B. man für den Weg nicht den Definitionsbereich <math>[a,b]</math> wählt, sondern <math>[0,1]</math> und integriert über den Weg <math>\widetilde{\gamma}(t) = (\gamma \circ \varphi)(t)</math> mit <math> \varphi(t):=a\cdot (1-t) + b\cdot t</math>, dann ändert sich der Wert des Integrals nicht. :<math> \int_\gamma f(z) \, \mathrm dz = \int_{\widetilde{\gamma}} f(z) \, \mathrm dz </math> === Aufgabe - Umparametrisierung === In dem obigen Fall geht man zur Vereinfachung davon aus, dass die Funktion auf ganz <math>\mathbb{C}</math> definiert ist und <math>f</math> eine holomorphe (also ganze) Funktion ist. Zeigen Sie durch Substitution, dass die obige Gleichung allgemein gilt. == Aufgabe == * Sei <math>\gamma\colon[a,b]\to G</math> mit <math>t\mapsto \gamma(t)= \sin(t)+i\cdot t^2</math>. Bestimmen Sie <math>\gamma'(t)</math>! * Berechnen Sie für den Weg <math>\gamma\colon[0,2\pi]\to \mathbb{C}</math> mit <math>t\mapsto \gamma(t)= r\cdot e^{i\cdot t}</math> das Wegintegral <math>\int\limits_\gamma \frac{1}{z}\,\mathrm dz</math> * Berechnen Sie die Länge des Weges <math>\mathcal{L}(\gamma)</math> mit <math>t\mapsto \gamma(t)= r\cdot e^{i\cdot t}</math>. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurvenintegral]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen|Ungleichungen]] * [[Graph einer Funktion]] * [[Kurs:Funktionentheorie/reelle Integrale als Spezialfall von Wegintegralen|reelle Integrale als Spezialfall von Wegintegralen]] * [[Weg-Zeit-Risikointegral]] == Literatur == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Wegintegral https://de.wikiversity.org/wiki/Wegintegral] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Wegintegral Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Wegintegral * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Path Integral]]</noinclude> [[Kategorie:Funktionentheorie]] [[Kategorie:Wegintegral (MSW)]] 71awua4qzerh8yscb8iqicb9285pejo 0 98682 1118804 1116501 2026-11-03T16:59:12Z PaFra 14559 /* 4.4.1. Nepotismus und Selbstbereicherung der Umaiyaden */ 1118804 wikitext text/x-wiki {{Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI)/Navigation}} [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 03|3 <<<]] — [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 05|>>> 5]] {{TOC nonum}} = 4. Die Expansion des islamischen Staates und das frühe Kalifat (630-656) = Der Staat von Yathrib/Medina steigt zur wichtigsten Macht in Arabien auf. Muhammads Tod 632 stürzt ihn zwar in eine schwere Krise, doch kann sie schnell überwunden und mit Hilfe der arabischen Stämme eine Expansionsbewegung in Gang gesetzt werden, die zur Eroberung des gesamten Vorderen Orients führt. Wichtige religiöse Neuerungen: die Reform des Kalenders und die Kodifizierung des Korans. == 4.1. Die letzten Jahre des Propheten (630-632) == === 4.1.1. Aussöhnung mit den Quraisch und Anschluss der Araber === Wenige Tage nach der Einnahme von Mekka durch die Muslime zog vom Südosten her eine neue militärische Gefahr herauf. Die Stämme der Hawāzin und der Thaqīf hatten eine Armee von 20.000 Kämpfern aufgestellt und bedrohten damit Mekka. Da die Hawāzin nicht nur Muhammad und den Muslimen, sondern auch den heidnisch gebliebenen Quraisch feindlich gegenüber standen, ergab sich die Gelegenheit zu einem Ausgleich. Als Muhammad die heidnischen Mekkaner dazu aufforderte, zusammen gegen den gemeinsamen Feind zu ziehen, schlossen sich ihm etwa 2.000 Mann von ihnen an. In dem Tal [[w:Hunain|Hunain]] kam es zu einer Schlacht, bei der zeitweise der Ausgang unsicher schien (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/25 Q 9:25f]), doch am Ende siegten Muhammads Truppen und eroberten das feindliche Lager. Viele der früheren mekkanischen Gegner Muhammads, darunter auch die Söhne [[w:Abū Sufyān ibn Harb|Abū Sufyāns]], konnten bei dieser Gelegenheit durch eine großzügige Beuteverteilung für den Islam gewonnen werden. Diese mekkanischen „Spätkonvertiten“ werden in Anlehnung an einen Koranvers, der auf das Ereignis Bezug nimmt ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/60 Q 9:60]), als ''al-muʾallafa qulūbu-hum'' („die, deren Herzen gewonnen wurden“) bezeichnet. Zu einem raschen Interessenausgleich mit früheren Gegnern trug auch bei, dass Muhammad die Familien, die bisher die kultischen Ämter in Mekka ausgeübt hatten, in diesen Ämtern bestätigte. So übergab er einem Angehörigen der ʿAbd ad-Dār, die schon vorher das Türhüteramt der Kaaba versehen hatten, den Schlüssel des Heiligtums als Zeichen seiner erblichen Belehnung mit diesem Amt. Bis heute haben die Banū Schaiba, die Nachkommen von Schaiba ibn ʿUthmān aus dem Clan ʿAbd ad-Dār, dieses Türhüteramt der Kaaba inne. [[File:Jami Masjid, Mandu - minbar 01.jpg|mini|[[w:Minbar|Minbar]] in der Freitagsmoschee von [[w:Mandu (Stadt)|Mandu]], 14. Jh.]] Nach der Schlacht von Hunain im Frühjahr 630 war die Expansion der neuen Religion in das Innere der Arabischen Halbinsel überwältigend. Muhammad sandte Briefe an die in den verschiedenen Teilen der arabischen Halbinsel lebenden Stämme und forderte sie auf, den Islam anzunehmen. Verschiedene Stämme wie die [[w:Azd (Stamm)|Azd]], [[w:Kinda (Arabien)|Kinda]] und [[w:Bāhila|Bāhila]] schickten umgekehrt Gesandtschaften zu ihm und baten ihn um Aufnahme in sein Bündnis. Deshalb wird das Jahr nach der Einnahme Mekkas in der islamischen Geschichtsschreibung auch das „Jahr der Gesandtschaften“ (''ʿām al-wufūd'') genannt. Bei seinen Predigten und Verhandlungen mit den Delegationen verwendete der Prophet jetzt häufig den [[w:Minbar|Minbar]], einen kanzelartigen Thron aus Holz. Ursprünglich wohl ein Hoheitssymbol, wurde der Minbar später als Ort, von dem aus die Freitagspredigt gehalten wird, zu einem festen Bestandteil der Innenausstattung von Moscheen. Für offene Gegner des Propheten wurde das Leben auch außerhalb Mekkas nun immer schwieriger. Sicher waren sie nur, wenn sie sich dem Propheten unterwarfen und den Islam annahmen. So tat es beispielsweise [[w:ʿIkrima ibn Abī Dschahl|ʿIkrima]], der Sohn von [[w:Abū Dschahl|Abū Dschahl]], der bis zuletzt gegen Muhammad gekämpft hatte und zunächst in den Jemen geflohen war. Bekannt geworden ist auch der Dichter [[w:Kaʿb ibn Zuhair|Kaʿb ibn Zuhair]], der in satirischen Versen Muhammad angegriffen hatte und deshalb zur Tötung freigegeben worden war. Er tauchte in dieser Zeit überraschend in Medina auf und trug öffentlich ein Lobgedicht auf den Propheten und die Quraisch vor. Dieses mit den Worten ''Bānat Suʿād'' beginnende Gedicht wurde später zu einem der wichtigsten religiösen Gedichte des Islams und ist als solches immer wieder kommentiert und schmückend erweitert worden. Im Herbst 630 kam es noch einmal zu einer internen Krise, als Muhammad, offenbar gegen den Willen vieler seiner Anhänger (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/81 Q 9:81]), einen Feldzug gegen die Byzantiner und ihre arabischen Bundesgenossen an der syrischen Grenze unternahm. Zeitgleich mit diesem [[w:Feldzug nach Tabūk|Feldzug nach Tabūk]] setzten sich einige von Muhammads Anhängern ab, errichteten sich eine eigene Moschee (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/107 Q 9:107-11]) und heckten gegen den Propheten eine Intrige aus. Die Koranverse, die diese Situation verarbeiten, fordern den Propheten auf, hart gegen die als [[w:Munāfiq|Munāfiqūn]] und [[w:Kāfir|Kuffār]] bezeichnete Gruppe vorzugehen und drohen diesen als Apostaten die Höllenstrafe an (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/73 Q 9:73f]). Den Gläubigen wurde umgekehrt im Koran für ihren kämpferischen Einsatz großer jenseitiger Lohn in Aussicht gestellt. Das Verhältnis zwischen ihrem Einsatz und der jenseitigen Belohnung wird dabei nach Art eines Handelsgeschäfts mit Gott beschrieben: {{Zitat|Gott hat den Gläubigen ihr Leben und ihr Vermögen dafür abgekauft, dass sie das Paradies haben sollen. Sie sollen kämpfen für die Sache Gottes und töten und getötet werden. Das ist ein ihn bindendes Versprechen [...]. Und wer hält sein Versprechen getreuer als Gott? Freut euch also über das, was ihr erkauft habt. Denn das ist der große Gewinn.|[https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/111 Q 9:111]}} Mit diesem und ähnlich lautenden Versen (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/74 Q 4:74]; [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/61/vers/10 61:10]) wurde im Islam ein eigenes Konzept des Märtyrertums begründet: Derjenige, der sich im Kampf selbst aufopfert und den Tod auf dem Schlachtfeld findet, ist kein Verlierer, sondern in Wirklichkeit der „große Gewinner“. Diese Form der religiösen Mobilisierung der Gläubigen zum Kampf hat möglicherweise entscheidend zur schnellen Expansion des islamischen Staates beigetragen. === 4.1.2. Muslime und Nicht-Muslime === Die Annahme des Islams wurde jetzt zur strikten Vorbedingung einer Aufnahme in das Bündnis mit Mohammed. Das bedeutete zugleich, dass sich ihm immer mehr Menschen rein aus politischen und wirtschaftlichen Gründen anschlossen, der neuen Religion jedoch innerlich kaum zugetan waren. Das galt wohl vor allem für die Beduinen, wie aus einem in dieser Hinsicht vielsagenden Koranvers hervorgeht: {{Zitat|Die Wüstenaraber (''al-Aʿrāb'') sagen: Wir glauben! Sprich: Ihr glaubt nicht! Sagt vielmehr: Wir haben uns unterworfen. Denn der Glaube ist noch nicht in eure Herzen eingedrungen.|[https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/49/vers/14 Sure 49:14]}} Unterwerfung (''islām'') unter den Willen Gottes und seines Gesandten, so sagt es uns dieser Vers, bedeutete eben nicht immer auch innerliche Annahme des Glaubens ([[w:Īmān|Īmān]]). Um als „Brüder in der Religion“ anerkennt zu werden, war es allerdings nur notwendig, das Gebet ([[w:Salāt|Salāt]]) zu verrichten und die Läuterungsgabe ([[w:Zakāt|Zakāt]]) entrichten (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/11 Q 9:11]). Die in frühmekkanischer Zeit als fromme Übung eingeführte Zakāt hatte sich offenbar bis zu diesem Zeitpunkt zu einer Art Almosensteuer entwickelt. Als Synonym für ''zakāt'' erscheint in dieser Zeit im Koran auch das Wort [[w:Sadaqa|Sadaqa]] (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/103 Q 9:103]). Zum Einzug dieser Abgaben, aber auch zur Unterweisung der neu bekehrten Stämme in der Religion sandte Muhammad mehrere seiner Gefährten in die verschiedenen Gebiete der arabischen Halbinsel, so zum Beispiel [[w:Abū Huraira|Abū Huraira]] nach Bahrain in Ostarabien (nicht identisch mit dem heutigen Staat [[w:Bahrain|Bahrain]]), [[w:ʿAmr ibn al-ʿĀs|ʿAmr ibn al-ʿĀs]] nach [[w:Oman|Oman]] und Muʿādh ibn Dschabal in den [[w:Jemen|Jemen]]. Nachdem Muhammad mit den Heiden und Juden gebrochen hatte, scheint er noch lange eine positive Einstellung gegenüber dem Christentum gewahrt zu haben. Das zeigt eine Stelle im Koran, an der es heißt: {{Zitat|Du wirst sicher finden, dass diejenigen Menschen, die sich den Gläubigen gegenüber am meisten feindlich zeigen, die Juden und die Heiden sind. Und du wirst sicher finden, dass diejenigen, die den Gläubigen in Liebe am nächsten stehen, die sind, welche sagen: Wir sind Christen (''Naṣārā''). Dies deshalb, weil es unter ihnen Priester und Mönche gibt, und weil sie nicht hochmütig sind.|[https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/5/vers/82 Q 5:82]}} In den Korankommentaren wird bei diesem Vers auf die positiven Erfahrungen, die Muhammads Anhänger im christlichen Äthiopien gemacht hatten, verwiesen. Grundsätzlich war Muhammad allerdings der Auffassung, dass er von Jesus als Gesandter angekündigt worden war (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/61/vers/6 Q 61:6]) und der Koran nicht nur eine Bestätigung der Tora, sondern auch des Evangeliums ([[w:Indschīl|Indschīl]]) darstellt (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/3/vers/3 Q 3:3]), und die Christen von daher wie die Juden vor die Aufgabe gestellt waren, seinen religiösen Führungsanspruch anzuerkennen und zum Islam überzutreten. Bei Verhandlungen mit Abgesandten christlicher Gemeinschaften der arabischen Halbinsel machte der Prophet nun aber die Erfahrung, dass diese im Gegensatz zu den heidnischen Arabern eben nicht bereit waren, den Islam anzunehmen. Besonders bekannt geworden ist der Fall einer Delegation von Geistlichen aus [[w:Nadschran|Nadschrān]], dem Zentrum des südarabischen Christentums, die zum Ausdruck brachten, dass sie sich zwar der politischen Macht des Propheten fügen, aber nicht zum Islam übertreten wollten, weil sie sich selbst im Besitz der wahren Religion sahen. In diesen historischen Zusammenhang wird von der islamischen Tradition die koranische Aussage gestellt, dass Jesus vor Gott gleich Adam und wie er allein durch das Schöpferwort ''kun'' („Sei!“) erschaffen worden sei ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/3/vers/59 Q 3:59]). Muhammad soll dieses Koranwort den christlichen Geistlichen aus Nadschrān entgegengehalten haben, als es zu einem Streit über die von den Christen behauptete [[w:Sohn Gottes|Gottessohnschaft]] Jesu‘ kam. Anschließend, so berichten die arabischen Quellen, forderte er die Geistlichen zur Herbeiführung eines Gottesurteils über die Wahrheit der beiden religiösen Positionen durch gegenseitige Verfluchung ([[w:Mubāhala|Mubāhala]]) auf (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/3/vers/61 Q 3:61]), was diese jedoch ablehnten. Schließlich einigte man sich darauf, dass die Leute von Nadschrān dem Propheten einen jährlichen Tribut entrichten sollten, wofür umgekehrt der Prophet ihnen den Schutz für Leben und Religion zusicherte. Die Verschlechterung der Beziehungen zu den Christen lässt sich auch darauf zurückführen, dass der Prophet in dieser Zeit verstärktes Interesse an der Expansionsroute nach Syrien zeigte, wo in der Mehrzahl Christen lebten und nicht zum Islam konvertieren wollten. Bei ihnen kam nun ebenfalls das Modell der Tributzahlung zur Anwendung. Die arabischen Quellen berichten, dass sich als Folge des [[w:Feldzug nach Tabūk|Feldzuges nach Tabūk]] im Herbst 630 mehrere christliche Gemeinden am [[w:Golf von Akaba|Golf von Akaba]] in Nordwestarabien, darunter auch die Stadt [[w:Eilat|Aila]], dem Propheten unterwarfen und bereit erklärten, die sogenannte [[w:Dschizya|Dschizya]], an ihn zu entrichten. Der arabische Begriff ''Dschizya'' hat die Grundbedeutung von „Ausgleich, Kompensation“. Was die Dschizya-Zahlung ausgleichen sollte, lässt sich nicht mit Gewissheit sagen. Allerdings hat diese Abgabe eine koranische Grundlage in [[w:Sure 9|Sure 9]], wo die Muslime aufgefordert werden, gegen die [[w:Ahl al-kitāb|Ahl al-kitāb]] zu kämpfen, bis „sie kleinlaut aus der Hand die Dschizya entrichten“ ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/29 Q 9:29]). Die Pflicht zum Kampf gegen Juden und Christen wird an der betreffenden Stelle daraus abgeleitet, dass sich die beiden Religionsgemeinschaften fälschlicherweise neben Gott [[w:Rabbinen|Rabbinen]] und [[w:Mönch|Mönche]] zu Herren genommen hätten ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/31 Q 9:31]), von [[w:Esra (Person)|Esra]] bzw. Christus behaupteten, sie seien Gottes Sohn, und damit die Rede der früheren Ungläubigen nachahmten ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/30 Q 9:30]). Diese koranischen Aussagen legitimierten eine neue, aggressivere Haltung gegenüber den Christen, bedeuteten aber andererseits auch, dass Juden und Christen die Möglichkeit gegeben wurde, bei Unterwerfung ihre Religion weiter auszuüben. Auch gegenüber [[w:Zoroastrier|Zoroastriern]] zeigte Muhammad diese Haltung. Als ihm zu Ohren kam, dass sich die auf dem Gebiet von Bahrain lebenden Zoroastrier weigerten, den Islam anzunehmen, ließ er ihnen unter der Bedingung, dass sie die Dschizya entrichteten, diese Freiheit. Als Rechtfertigung dafür soll er das bekannte Koranwort: „[[w:Kein Zwang in der Religion|Es gibt keinen Zwang in der Religion]]“ ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/256 Q 2:256]) herangezogen haben. === 4.1.3. Neuordnung der Wallfahrt und Reform des Kalenders === Im Jahr der Einnahme Mekkas (630) hielten sich Muhammad und seine engsten Gefährten vom Haddsch, der für die muslimischen und nicht-muslimischen Pilger noch ganz nach den altgewohnten Riten ablief, fern. Im Jahre darauf (631) beauftragte Muhammad seinen Gefährten [[w:Abū Bakr|Abū Bakr]], den Haddsch anzuführen. Während dieser sich bereits in Mekka befand, schickte ihm der Prophet seinen Vetter ʿAlī nach, der in [[w:Minā|Minā]] die folgenden Worte öffentlich verkündete, die auch Teil des Korans sind: {{Zitat|Eine Ankündigung von Gott und seinem Gesandten an die Leute am Tag der großen Wallfahrt: Gott hat keine Verpflichtung mehr gegenüber den [[w:Muschrik|Beigesellern]], und sein Gesandter ebenfalls nicht. Wenn ihr bußfertig umkehrt, ist das besser für euch. Wenn ihr euch aber abwendet, dann wisset, dass ihr Gott nicht zuschanden machen könnte. Und verheiße den Ungläubigen schmerzliche Strafe.|[https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/3 Q 9:3]}} Kurz danach heißt es: {{Zitat|Sind aber die heiligen Monate verflossen, so erschlaget die Beigeseller, wo ihr sie findet, und packet sie und belagert sie und lauert ihnen in jedem Hinterhalt auf.|[https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/5 Q 9:5]}} {| class="wikitable floatright" |- ! colspan="2" | Die islamischen Monate |- ! Nr !! Name |- | 1 | [[w:Muharram|Muharram]] |- | 2 | [[w:Safar|Safar]] |- | 3 | [[w:Rabīʿ al-awwal|Rabīʿ I]] |- | 4 | [[w:Rabīʿ ath-thānī|Rabīʿ II]] |- | 5 | [[w:Dschumādā l-ūlā|Dschumādā I]] |- | 6 | [[w:Dschumādā th-thāniya|Dschumādā II]] |- | 7 | [[w:Radschab|Radschab]] |- | 8 | [[w:Schaʿbān|Schaʿbān]] |- | 9 | [[w:Ramadan|Ramadān]] |- | 10 | [[w:Schawwāl|Schauwāl]] |- | 11 | [[w:Dhu l-qaʿda|Dhū l-Qaʿda]] |- | 12 | [[w:Dhū l-Hiddscha|Dhū l-Hiddscha]] |} Diese Verse vom Anfang der Sure 9 zeigen sehr deutlich, wie sich die Machtverhältnisse verändert hatten. Indem Muhammad den Ungläubigen unter schärfsten Androhungen verbot, sich Mekka anzunähern, schloss er sie auch von allen wirtschaftlichen Aktivitäten in dieser Stadt aus. Erst im Jahre 632 nahm Muhammad selbst am Haddsch teil. Hierbei verhielt er sich bei einzelnen Wallfahrtstationen anders, als es die Heiden getan hatten. So verlegte er den Lauf von [[w:ʿArafāt|ʿArafāt]] nach [[w:Muzdalifa|Muzdalifa]] auf die Zeit nach Sonnenuntergang und den Lauf von Muzdalifa nach Minā auf die Zeit vor Sonnenaufgang, um diesen Riten den Charakter heidnischer Sonnenverehrung zu nehmen. Außerdem bezog er die Wallfahrtsriten, die während der [[w:ʿUmra|ʿUmra]] an der Kaaba in Mekka vollzogen wurden, in den Haddsch ein. Die Bezeichnung ''Haddsch'' ging nun auf das kombinierte Wallfahrtsritual über; die speziell dem mekkanischen Heiligtum geltende ʿUmra-Wallfahrt blieb aber als „kleine Wallfahrt“ weiter bestehen. Muhammads Haddsch im Jahre 632, aufgrund seines kurz danach eingetretenen Todes [[w:Abschiedswallfahrt|Abschiedswallfahrt]] genannt, wurde für alle Zeiten zum Vorbild für dieses Ritual. Die Kaaba erlebte durch die Neuordnung des Haddsch einen enormen Bedeutungszuwachs. Da andere Heiligtümer wie dasjenige von [[w:Dhū l-Chalasa|Dhū l-Chalasa]] in Tabāla von Muhammads Anhängern zerstört wurden, erhielt sie nun auf der arabischen Halbinsel eine Monopolstellung. Im Zuge der Neuordnung des Haddsch wurde auch der altarabische lunisolare Kalender mit seinem [[w:Einschaltung (Zeitrechnung)|Interkalationssystem]] des ''nasīʾ'' (vgl. oben [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 01 #1.3.3. Das altarabische Heidentum und die Heiligtümer von Mekka|1.3.3.]]) abgeschafft und ein reiner [[w:Lunarkalender|Lunarkalender]] mit einer unveränderlichen Zahl von zwölf Monaten eingeführt. Die Gründe für die Kalenderreform sind nicht ganz klar, die Koranverse, die davon handeln ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/36 Q 9:36f]), lassen aber erkennen, dass die Entscheidungen derjenigen, die für die Einschiebung von Schaltmonaten und Heiligerklärung von Monaten zuständig waren, als willkürlich empfunden wurden und dies relevant für die Kriegführung war. Um deutlich zu machen, dass der erste Safar nun immer als heiliger Monat galt, erhielt er den Namen [[w:Muharram|al-Muharram]] („der Geheiligte“). Das neue Mondjahr mit nur 354 Tagen wurde zur Grundlage für den islamischen Kalender und diente fortan zur Bestimmung der religiösen Feste. Da dieses Mondjahr, das sich gewissermaßen „rückwärts“ durch die Sonnenjahre bewegt, für Ackerbau treibende Bauern jedoch nicht praktikabel ist, wurde in fast allen Ländern, in denen der Islam Wurzeln geschlagen hat, daneben ein [[w:Solarkalender|Solarkalender]] weitergeführt. == 4.2. Abū Bakr (632-634) – „Stellvertreter des Gottesgesandten“ == === 4.2.1. Die Ereignisse der Saqīfa und die Anfänge des Kalifats === Als Muhammad nach Medina zurückkehrte, verschlechterte sich sein Gesundheitszustand erheblich. Am 8. Juni 632 starb er. Es wird berichtet, dass er vor seinem Tod seine Nachfolge durch ein Testament regeln wollte, [[w:ʿUmar ibn al-Chattāb|ʿUmar ibn al-Chattāb]], der in der medinischen Zeit zu einem seiner wichtigsten Berater aufgestiegen war, dies jedoch verhindert habe. Muhammad hinterließ keinen männlichen Nachkommen. Mit seiner ersten Frau [[w:Chadīdscha bint Chuwailid|Chadīdscha]] hatte er vier Töchter und zwei oder drei Söhne. Letztere waren allerdings schon als Kinder verstorben. Seinen Adoptivsohn [[w:Zaid ibn Hāritha|Zaid ibn Hāritha]] hatte er im Zusammenhang mit der Affäre um [[w:Zainab bint Dschahsch|Zainab bint Dschahsch]] verstoßen. Auf diesen Sachverhalt soll sich das Koranwort von [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/33/vers/40 Sure 33:40] beziehen, in dem klargestellt wird, dass Muhammad keine Söhne hat und auch sein Amt als Gottesgesandter nicht erblich ist, er vielmehr „Siegel der Propheten“ (''ḫātam an-nabīyīn'') ist. Es war also völlig unklar, wer die Führung der [[w:Umma|Umma]] nach seinem Tod übernehmen sollte. In dieser Situation traten schwere Meinungsverschiedenheiten zwischen den mekkanischen [[w:Muhādschirūn|Muhādschirūn]] und den medinischen [[w:Ansār|Ansār]] hervor. Die Ansār zogen zu [[w:Saʿd ibn ʿUbāda|Saʿd ibn ʿUbāda]], dem Chef des medinischen Clans Banū Sāʿida, und versammelten sich in seiner Saqīfa („offener Versammlungsplatz“). Dort erhoben sie die Forderung, dass sich Ansār und Quraisch trennen sollten und eine jede Gruppe für sich einen Befehlshaber (''amīr'') wählen sollte. Damit drohte die islamische Gemeinschaft auseinanderzubrechen. Die Diskussion spitzte sich zu, als zu den Versammelten die drei Muhādschirūn Abū Bakr, ʿUmar und [[w:Abū ʿUbaida ibn al-Dscharrāh|Abū ʿUbaida]] hinzutraten. Vor allem ʿUmar trat strikt gegen jede Teilung der Gemeinschaft ein. Abū Bakr betonte den Vorranganspruch des Stammes Quraisch. In dieser Situation überraschte ʿUmar die Anwesenden, indem er plötzlich Abū Bakr die [[w:Baiʿa|Baiʿa]] leistete. Dieser hatte das Gebet der Gemeinde angeführt, als Muhammad bereits im Sterben lag. Daraus ergab sich für ihn ein gewisser Nimbus. Außerdem war er durch ʿĀ'ischa Schwiegervater des Propheten und darüber hinaus einer der frühesten Gläubigen überhaupt (vgl. oben [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 02#2.1.3. Die neue Gemeinde|2.1.3.]]). Bei allen wichtigen Kämpfen gegen die heidnischen Quraisch von Mekka war er dabei gewesen und hatte mit seinen finanziellen Mitteln andere Feldzüge unterstützt. Somit war Abū Bakr ein geeigneter Kompromisskandidat für Ansār und Muhādschirūn. Entscheidend für den weiteren Verlauf der Versammlung war die überraschende Ankunft der Banū Aslam, eines Clans aus der Umgebung von Medina, der für seine besondere Loyalität gegenüber dem Propheten bekannt war. Sie stießen in großen Zahlen zu der Versammlung und huldigten Abū Bakr. Viele Ansār weigerten sich zunächst, Abū Bakr zu huldigen. Auch die [[w:Banū Hāschim|Banū Hāschim]], der Clan des Propheten, protestierten dagegen, dass sie bei der Regelung der Nachfolge übergangen worden waren. Einige Ansār brachten in dieser Situation [[w:ʿAlī ibn Abī Tālib|ʿAlī ibn Abī Tālib]], der der nächste Verwandte des Propheten war, als Alternative für Abū Bakr ins Spiel. ʿAlī hatte offensichtlich auch die Unterstützung der Nachkommen von [[w:ʿAbd Schams ibn ʿAbd Manāf|ʿAbd Schams]]. Sie pochten in dieser Situation auf die politischen Vorrechte der Nachkommen [[w:ʿAbd Manāf ibn Qusaiy|ʿAbd Manāfs]], zu denen sowohl die ʿAbd Schams als auch die Banū Hāschim gehörten, und kritisierten, dass Abū Bakr nicht diesem Stammesadel angehörte. [[Datei:Abu bakr2.jpg|mini|Die Prophetengefährten schwören Abū Bakr den Treueid, während rechts neben ihm ʿUmar sitzt, Miniatur in einem [[w:Osmanisches Reich|osmanischen]] [[w:Siyer-i Nebi|Siyer-i-Nebi]]-Werk, 1596]] In der Folgezeit sorgte ʿUmar zusammen mit den Banū Aslam dafür, dass fast alle Bewohner Medinas Abū Bakr den Treueid leisteten, wobei sie möglicherweise auch Gewalt anwendeten. Abū Bakr selbst trat allerdings eher bescheiden auf. Er ließ erkennen, dass er sich als Fortsetzer der Linie des Propheten betrachtete, keinesfalls aber als Neuerer. In diesem Sinn war er darum bemüht, alle Verordnungen und Anweisungen des Propheten einzuhalten und weiterzuführen. Dieses Bestreben spiegelt sich auch in der Bezeichnung, die er für sein Amt gebrauchte. Er nannte sich ''ḫalīfat rasūl Allāh'', „Stellvertreter des Gesandten Gottes“. Stellvertreter des Gottesgesandten hatte es schon zu Lebzeiten des Propheten öfters gegeben: Für die Zeit seiner Abwesenheit von Medina, während eines kriegerischen Unternehmens vor allem, pflegte Muhammad solche Stellvertreter zu bestimmen, die für die Aufrechterhaltung der Ordnung zu sorgen hatten. Mit der Wahl dieses Titel, der im Deutschen üblicherweise mit ''Kalif'' wiedergegeben wird, machte Abū Bakr deutlich, dass er sich mit seinem Amt keine herrschaftliche Macht anmaßen, sondern lediglich den Status quo innerhalb der Umma aufrechterhalten wollte. Höhere Machtansprüche haben sich mit dem Kalifentitel erst in späterer Zeit entwickelt. Dass sich Abū Bakr gegen ʿAlī und die Banū Hāschim durchsetzte, hängt möglicherweise auch damit zusammen, dass man unter den Muhādschirūn aufgrund der Ehe ʿAlīs mit der Prophetentochter Fātima die Entstehung einer Dynastie befürchtete und deshalb lieber auf Abū Bakr setzte, bei dem diese Gefahr nicht bestand. Zu einer Konfrontation zwischen Abū Bakr, ʿUmar und der Prophetenfamilie führte wenig später der Streit um das von Juden bewirtschaftete Landgut des Propheten in Fadak im nördlichen [[w:Hedschas|Hedschas]]. Als Fātima Ansprüche auf dieses Landgut geltend machte, hielten die beiden ihr entgegen, dass der Prophet sein gesamtes Eigentum als Sadaqa der Gemeinschaft der Muslime vermacht habe. Da Fātima keinen ausreichenden Beweis dafür vorbringen konnte, dass der Prophet ihr das Landgut schon zu Lebzeiten geschenkt habe, zog Abū Bakr es ein. Fātima brach daraufhin den Kontakt zu Abū Bakr vollständig ab. Sechs Monate später starb sie. Erst nach ihrem Tod leistete auch ʿAlī dem Kalifen den Treueeid. Damit war die Nachfolgefrage endgültig geklärt. === 4.2.2. Abfallbewegung (''ridda'') und Wiederaufnahme des Dschihad === [[Datei:Mohammad_adil-Riddah_wars.PNG|mini|Schauplätze der Ridda-Kriege]] Nach dem Tode des Propheten setzte bei den Stämmen der Arabischen Halbinsel eine breite Absetzbewegung ein, die in den Quellen als [[w:Ridda|Ridda-Kriege]] bezeichnet wird. Der kurzzeitige Machtverlust der Quraisch führte dazu, dass in vielen Stämmen diejenigen Gruppen Oberwasser erhielten, die schon immer dem Anschluss an den Quraisch-Staat kritisch gegenüber gestanden hatten. In einigen Gegenden Arabiens traten Gegenpropheten auf, die auch auf dem religiösen Gebiet die Hegemonie des Islams in Frage stellten. Im Jemen etablierte sich der Gegenprophet al-Aswad, der in kurzer Zeit weite Gebiete Südarabiens unter seine Kontrolle bringen konnte. Er trat wie Muhammad im Namen Allāhs auf und verstand es, Ressentiments gegen die neue Abhängigkeit von Medina für seine Sache auszunutzen. Bei dem Stamm Hanīfa, der in der ostarabischen [[w:Al-Yamama|Yamāma]] lebte, tat sich ein Prophet namens [[w:Musailima|Musailima]] hervor, der in seinen Lehren gewisse monotheistische Anklänge zeigte, indem er im Namen [[w:Rahmanismus|Rahmāns]] predigte. Im zentralarabischen [[w:Nadschd|Nadschd]]-Gebiet traten sogar zwei Propheten auf, im Norden bei den Asad-Beduinen [[w:Tulayha|Tulaiha]] und im Süden bei den Tamīm die Prophetin Sadschāh. Unter Musailima wurde die härteste Gegnerschaft gezeigt, deren Wirksamkeit sich noch durch ein Bündnis mit der Prophetin Sadschāh erhöhte. Auf diese Weise entstand eine Allianz der Gegner, die eine gewaltige Armee mobilisieren konnte. Diejenigen Stämme, die sich der Ridda-Bewegung angschlossen, weigerten sich, weiterhin die Zakāt zu zahlen. Sie meinten, sie sei Teil eines Vertrages gewesen, den sie mit dem Propheten geschlossen hatten und der mit seinem Tod erloschen sei. Abū Bakr sandte von Mekka und Medina verschiedene Heere aus, um die abgefallenen Stämme mit Waffengewalt zurückzugewinnen. In den Feldzügen gegen die abgefallenen Stämme taten sich besonders zwei Mekkaner von den [[w:Machzūm|Machzūm]] hervor, die Muhammad lange heftig bekämpft hatten, [[w:Chālid ibn al-Walīd|Chālid ibn al-Walīd]] und [[w:ʿIkrima ibn Abī Dschahl|ʿIkrima ibn Abī Dschahl]]. Chālid konnte im Frühjahr 633 in der Ebene ʿAqrabā' den Truppen der Banū Hanīfa unter der Führung von Musailima eine vernichtende Niederlage beibringen. Weitere Kämpfe fanden in Bahrain, Oman und Jemen statt. Besonders erbitterten Widerstand leisteten die Kinda unter ihrem letzten Stammeskönig [[w:al-Aschʿath ibn Qais|al-Aschʿath ibn Qais]]. Mit der Einnahme ihrer Festung Nudschair im Hadramaut endete die Ridda-Bewegung. Al-Aschʿath wurde in Ketten nach Medina gebracht und dort durch Abū Bakr begnadigt. [[File:Mohammad adil-Muslims Invasion of Syria.PNG|mini|Die vier von Abū Bakr nach Syrien ausgesandten Truppenkontingente]] Die Ridda-Abwehrkämpfe gingen im Norden der Arabischen Halbinsel nun nahtlos in eine Eroberungsbewegung über. Noch im Jahre 633 unternahm Chālid mit seinen Kämpfern Überfälle auf Gebiete des Südirak, machte die dort lebenden Nomadenstämme botmäßig und eroberte [[w:al-Hīra|al-Hīra]], die Hauptstadt des [[w:Lachmiden|Lachmidenreiches]]. [[w:Al-Balādhurī|Al-Balādhurī]] (gest. 892), der Verfasser des wichtigsten arabischen Werkes über die [[w:Futūh|Futūh]], berichtet, dass Abū Bakr im Frühjahr 634 die Bewohner von Mekka, at-Tā'if, des Jemen und die Beduinen im Nadschd und Hedschas angeschrieben habe, „um sie für den Dschihad auszuheben und in ihnen die Lust daran und an der bei den [[w:Rhomäer|Rhomäern]] zu holenden Kriegsbeute zu entfachen.“ Sein Aufruf war offensichtlich ein voller Erfolg. Es wird berichtet, er habe in Medina drei Heere aufstellen können. Vier Truppenkontingente unter dem Oberbefehl von [[w:Abū ʿUbaida ibn al-Dscharrāh|Abū ʿUbaida ibn al-Dscharrāh]] zogen in Richtung Syrien. Als sich eine größere Konfrontation mit der byzantinischen Armee ankündigte, sandte Abū Bakr den noch im Irak weilenden Chālid ibn al-Walīd zu ihrer Verstärkung nach Syrien. Die beiden arabischen Heere trafen im Süden Syriens zusammen, und gemeinsam konnte man die Stadt [[w:Bosra|Bostra]] einnehmen. Unter Chālids Oberbefehl besiegten die Araber im Juli 634 ein byzantinisches Heer, das ihnen bei Adschnādain in Palästina entgegentrat. == 4.3. ʿUmar ibn al-Chattāb (634-644) - „Befehlshaber der Gläubigen“ == Abū Bakr starb im August 634. Er hatte in seinem Testament ʿUmar ibn al-Chattāb als Nachfolger eingesetzt, der bereits während seines Kalifats als eigentlicher Befehlshaber fungiert hatte. Zwar kam ʿUmar nur aus einem recht unbedeutenden quraischitischen Clan, doch konnte er frühe Verdienste um den Islam vorweisen und stand auch durch seine Tochter [[w:Hafsa bint ʿUmar|Hafsa]] in einem schwägerlichen Verhältnis zum Propheten. Er war der erste Kalif, der den Titel ''amīr al-muʾminīn'' („Befehlshaber der Gläubigen“) annahm. Dieser Titel wird seither von allen Herrschern benutzt, die einen Führungsanspruch über die gesamte Gemeinschaft der Muslime erheben. === 4.3.1. Die Eroberung des Vorderen Orients === [[File:Mohammad adil-Muslim invasion of Syria-3.PNG|mini|Die muslimischen Vorstöße in Syrien, 634-36]] Unter ʿUmar setzte sich die unter Abū Bakr begonnene Eroberungsbewegung fort. Hier werden nur stichpunktartig die wichtigsten Stationen der Eroberungsbewegung genannt: # Syrien und Palästina. Die Byzantiner, die sich nach der Schlacht von Adschnādain ins Jordantal zurückgezogen hatten, wurden im Januar 635 bei der Stadt [[w:Pella (Jordanien)|Pella]] erneut von den Arabern geschlagen und zogen nach Damaskus ab. Die Araber konnten daraufhin das gesamte Gebiet des heutigen Jordaniens einnehmen, darunter auch die prachtvoll ausgebaute Bischofsstadt [[w:Gerasa|Gerasa]]. Im Sommer 635 fiel bereits [[w:Damaskus|Damaskus]] und bald danach Emesa, das heutige [[w:Homs|Homs]]. Der byzantinische Versuch, Syrien zurückzuerobern, scheiterte. Im August 636 brachten die Araber den neu zusammengezogenen byzantinischen Truppen am [[w:Jarmuk|Yarmūk]], einem linken Nebenfluss des Jordan, der heute die Grenze zwischen Syrien und Jordanien bildet, erneut eine [[w:Schlacht am Jarmuk|Niederlage]] bei und zwangen sie so endgültig zum Rückzug aus Syrien. Als 638 [[w:Jerusalem|Jerusalem]] eingenommen wurde, reiste ʿUmar selber an, um die Stadt für die Muslime in Besitz zu nehmen. 640 folgte noch die Einnahme des Seehafens [[w:Caesarea Maritima|Caesarea]]. Damit endete die byzantinische Herrschaft auch in Palästina. # Irak. Im Herbst 634 sandte ʿUmar ein Heer zum Kampf gegen die Perser in den Irak aus. Im Süden nahm noch vor 635 der frühe Prophetengefährte ʿUtba ibn Ghazwān mit seinen Kämpfern das Mündungsgebiet von Euphrat und Tigris mit der bedeutenden Hafenstadt [[w:Apologos|al-Ubulla]] ein. Weiter nördlich erlitten die arabischen Kämpfer zunächst in der sogenannten [[w:Schlacht an der Brücke|Schlacht an der Brücke]] eine schwere Niederlage, konnten aber dann in der [[w:Schlacht von al-Qādisīya|Schlacht von al-Qādisīya]] (zwischen 635 und 638) über die persische Armee siegen. Der seit 632 herrschende Sassanide [[w:Yazdegerd III.|Yazdegerd III.]] überließ daraufhin den arabischen Truppen den Irak, gab seine Hauptstadt Ktesiphon auf und zog mit seinem Hofstaat nach Osten ab. Der Sieg von al-Qādisīya war für die Muslime ein ähnlich großer Triumpf wie der Sieg über die heidnischen Mekkaner bei der Schlacht von Badr im Jahre 624. Viele glaubten, dass sie den Sieg über die Perser nur der Hilfe Gottes verdankten. Einige von ihnen waren sogar der Meinung, dass [[w:al-Chidr|al-Chidr]], „der Grüne“, eine engelartige Gestalt, die aber nicht den Engeln zugerechnet wird, bei der Schlacht auf Seiten der Muslime mitgekämpft hatte. [[File:Mohammad adil-Muslim conquest of Egypt.PNG|mini|[[w:Arabische_Eroberung_%C3%84gyptens#Islamische_Eroberung_%C3%84gyptens|Die muslimische Eroberung Ägyptens]], 639-640.]] # <li value="3">Ägypten. ʿAmr ibn al-ʿĀs fiel 639 in einem fast privat zu nennenden Unternehmen in Ägypten ein. Nach Eroberung der in der Nähe des heutigen Kairo gelegenen byzantinischen Festung Babylon im April 641 konnte er das [[w:Nildelta|Nildelta]] mit seinem Heer nahezu ohne Widerstand einnehmen. 642 erfolgte die Eroberung Alexandriens, 643 die Einnahme von [[w:Barke (Libyen)|Barqa]] auf dem Gebiet des heutigen Libyen.</li> # Nordmesopotamien. Dieses Gebiet, das auch als die [[w:Dschazīra|Dschazīra]] (wörtl. „Insel“, nämlich zw. [[w:Euphrat|Euphrat]] und [[w:Tigris|Tigris]]) bekannt ist, wurde zwischen 639 und 641 von Nordsyrien aus durch ʿIyād ibn Ghanm erobert, wobei dieser auch schon Vorstöße nach Armenien unternahm. Zur Kontrolle der eroberten Gebiete und als Ausgangsbasis für weitere Eroberungen wurden an mehreren Orten arabische Garnisonen stationiert. In Syrien waren das bereits bestehende Orte, [[w:al-Dschābiya|al-Dschābiya]], die ehemalige Residenz der [[w:Ghassaniden|ghassānidischen]] Fürsten, und Homs. In den anderen Ländern wurden neue Lagerstädte gegründet, in denen die arabischen Krieger stammes- und clanweise auf verschiedene Parzellen verteilt und jeweils Moscheen nach dem Vorbild der Prophetenmoschee in Medina errichtet wurden. Die wichtigsten dieser [[w:Misr|Misr]] genannten Lagerstädte waren [[w:Basra|Basra]] und [[w:Kufa|Kufa]] im Irak, beide 638 gegründet, [[w:Mossul|Mossul]] in Nordmesopotamien, 641 gegründet, und [[w:Fustāt|al-Fustāt]] in Ägypten, das 643 direkt neben der alten byzantinischen Festung Babylon angelegt wurde. Diese Lagerstädte bildeten fortan die Zentren arabisch-islamischen Lebens in den eroberten Gebieten. Von Basra und Kufa aus unternahmen arabische Heerführer in den späten 630er Jahren Vorstöße nach Persien. Zwischen 637 und 640 unterwarfen sie [[w:Chusistan|Chusistan]] im Südwesten des heutigen Iran. Nach der [[w:Schlacht bei Nehawand|Schlacht bei Nihāwand]] im westiranischen [[w:Zāgros-Gebirge|Zagros-Gebirge]], bei der die Araber den sassanidischen Truppen eine weitere Niederlage bereiteten, stand ihnen das persische Hochland offen. Von Nihāwand aus zogen sie weiter nordwärts und machten das Gebiet von [[w:Aserbaidschan (Iran)|Aserbaidschan]] tributpflichtig. 644 konnten sie außerdem die Stadt [[w:Isfahan|Isfahan]] erobern. Der Sassanidenherrscher Yazdegird III. floh derweil weiter nach Osten. === 4.3.2. Faktoren, die die schnelle Expansion des islamischen Staates begünstigten === Mit seinen Eroberungen und Städtegründungen schuf ʿUmar wichtige Grundlagen für die sich später herausbildende islamische Zivilisation. Wie aber erklärt sich, dass die Eroberungen so schnell vorangetrieben werden konnten? Verschiedene Faktoren lassen sich als Gründe anführen: # Der der islamischen Eroberung vorausgehende Streit zwischen Oströmischem Reich und Sassanidischem Reich um die Vorherrschaft über den Vorderen Orient, der zu Lebzeiten Muhammads zu einem heftigen militärischen Schlagabtausch geführt hatte, hatte die beiden Reiche stark geschwächt. # Ein weiterer wichtiger Faktor in Syrien, Palästina und Ägypten war die fehlende Loyalität der Untertanen ihren ehemaligen Oberherren gegenüber. Diese Länder waren erst kurz vor der islamischen Eroberung wieder unter byzantinische Kontrolle gekommen. Weitaus die meisten Bewohner waren [[w:Monophysitismus|monophysitische]] Christen, für die die herrschende [[w:Konzil von Chalcedon|chalkedonische]] (griechisch-orthodoxe) byzantinische Reichskirche ein bedrückender Gegner war. Auch die syrischen Juden waren den neuen Herren freundlich gesinnt, denn die Byzantiner hatten sie jahrhundertelang verfolgt und ihnen den Zugang zur Stadt Jerusalem verwehrt. Im Zuge der islamischen Eroberung Jerusalems wurde der [[w:Tempelberg|Tempelberg]], der über Jahrhunderte nur eine Schutthalde war, als Heiligtum reaktiviert. Als ʿUmar ibn al-Chattāb 638 Jerusalem für die Muslime in Besitz nahm, wurde er von [[w:Kaʿb al-Ahbār|Kaʿb al-Ahbār]], einem zum Islam übergetretenen Juden aus dem Jemen begleitet. Er deutete dieses Ereignis propagandistisch als Erfüllung biblischer Prophetien. Diese Deutungen fielen bei den Juden Syriens offenbar auf fruchtbaren Boden. Sie betrachteten ʿUmar als einen messianischen Herrscher. Der in diesem Zusammenhang verwendete syrisch-aramäische Begriff ''pārōqā'' („Erlöser“) wurde in seiner arabischen Form ''fārūq'' zum allgemein üblichen Beinamen ʿUmars. # Die von den Arabern praktizierte vertragliche Regelung des Herrschaftswechsels brachte den Unterworfenen keine erheblichen Nachteile und führte zu einer „günstige(n) Konstellation konvergierender Interessen“ ([[w:Albrecht Noth|A. Noth]]), die als einer der Hauptgründe für den Erfolg der militärischen Anstrengungen der Araber gelten darf. Wie es im spätantiken Orient üblich war, gewährten die Araber den Bewohnern von Städten, die sich freiwillig ihrer Herrschaft unterwarfen, eine Sicherheitsgarantie. Sie wird in den arabischen Quellen als ''amān'' bezeichnet. Darüber hinaus wurde den Ahl al-kitāb, den Anhängern der monotheistischen Buchreligionen, neben dem Schutz ihres Lebens und Besitzes auch die freie Ausübung ihrer Religion und der Besitz ihrer Kultstätten und -gegenstände garantiert. Dieser Schutz hieß [[w:Dhimma|Dhimma]] und war eine einklagbare Verpflichtung des islamischen Staates gegenüber seinen nichtmuslimischen Untertanen; der einzelne Schutzbürger hieß Dhimmī. Seine Gegenleistung war die Dschizya, zur Zeit der Eroberung wohl als Pauschale der eroberten Stadt zu entrichten. Die in dieser Zeit mit unterworfenen Städten geschlossenen Verträge galten in der gesamten vormodernen Zeit als Modell für die Regelung des Verhältnisses zwischen islamischem Staat und nicht-muslimischen Untertanen. === 4.3.3. Organisation von Staat und Religion === [[File:Kabah Old Picture - panoramio.jpg|mini|Die Verhüllung der Kaaba mit einer neuen [[w:Kiswa|Kiswa]] ist seit ʿUmar ein bedeutendes Symbol islamischer Herrschaft.]] Zur Sicherung der Einkommen der Kämpfer und Gefährten Muhammads führte ʿUmar 641 ein Zentralregister ([[w:Diwan (Verwaltung)|Dīwān]]) ein, in dem die Zahlungen eingetragen wurden, die der Staat regelmäßig jedem zukommen ließ. Wichtigstes Kriterium für die Stellung in dem Register war die Position zum Islam. Deshalb stand an der Spitze mit den höchsten Zuwendungen der Clan, aus dem der Prophet hervorgegangen war, die [[w:Banū Hāschim|Banū Hāschim]]. Diesem Kreis schlossen sich die weiteren Verwandten an, dann kamen die Ansār aus Medina, die [[w:Schlacht von Badr|Badr]]-Kämpfer und die [[w:Schlacht von Uhud|Uhud]]-Überlebenden, schließlich die in Syrien und Irak eingesetzten Stammeskrieger. Auf diese Weise wurde eine feste Besoldung entwickelt, die ʿUmar aus den drei wichtigsten Staatseinnahmen finanzieren konnte. Dazu zählten die Dschizya, die Zakāt und die Bodensteuer (''ḫarāǧ''). Zur Verwaltung der Ausgaben und Einnahmen wurde eine Staatskasse (''bait al-māl'') eingerichtet. Die Heerführer, die in den verschiedenen Ländern auf Posten lagen, wie ʿAmr ibn al-ʿĀs im neueroberten Ägypten, wurden dazu aufgefordert, die Hälfte ihrer Einkünfte in diese Staatskasse einzuzahlen. ʿUmar setzte den Koranlesern (''qurrāʾ'') [[w:Dotation|Dotationen]] aus und setzte in verschiedenen Städten des Reiches Beamte mit dem Titel eines [[w:Qādī|Qādī]] ein. Der Begriff ''Qādī'' wird heute üblicherweise mit „Richter“ übersetzt, allerdings waren in dieser Zeit mit diesem Amt noch zahlreiche andere administrative und hoheitliche Aufgaben verbunden, wie zum Beispiel die Leitung des [[w:Freitagsgebet|Freitagsgebets]]. <div style="background: #fff; border-width: 1px 3px 3px 1px; text-align: center; padding-top:3px; float:{{{float|left}}}; font-size: smaller; line-height: 1.3; margin-left:1em; margin-right: 4px; width: 15em"> '''Heutiges Datum nach <br /> Hidschrī-Zeitrechnung''': ---- {{#timel:xmj.}} {{#switch:{{{1|{{#timel:xmn}}}}}|1=Muharram|2=Safar|3=Rabīʿ I|4=Rabīʿ II|5=Dschumādā I|6=Dschumādā II|7=Radschab|8=Schaʿbān|9=Ramadān|10=Schauwāl|11=Dhū l-Qaʿda|12=Dhū l-Hiddscha}} {{#timel:xmY}}<br /><small>(= {{#timel:j. F}} {{#timel:Y}}) <br /><nowiki>[</nowiki><span class="plainlinks">[{{fullurl:{{FULLPAGENAME}}|action=purge}} aktualisieren]</span><nowiki>]</nowiki></small> </div> Von großer Bedeutung war des Weiteren, dass ʿUmar im Jahre 638 eine neue Zeitrechnung einführte. Anlass dafür waren Streitigkeiten in Armeeteilen über Datierungsfragen. Als erstes Jahr der neuen Zeitrechnung wurde das Jahr der [[w:Hidschra|Hidschra]] des Propheten von Mekka nach Medina festgelegt, das am 16. Juli 622 begann. Damit wurde eine wichtige staatliche Maßnahme zur Vereinheitlichung getroffen. Diese [[w:Hidschrī-Jahreszählung|Hidschrī-Zeitrechnung]] hat sich im Laufe der Zeit im islamischen Herrschaftsbereich immer mehr durchgesetzt und gilt bis heute in vielen islamischen Ländern als eine der offiziellen Zeitrechnungen bzw. sogar die offizielle Zeitrechnung. Weiterhin ist bekannt, dass sich ʿUmar bei der Regierung sehr stark auf das koranische Prinzip der Konsultation ([[w:Schūrā|Schūrā]]) stützte. Zwar hörte er gelegentlich auch den Rat anderer Kreise, doch beschränkte er sich bei der Konsultation üblicherweise auf die verdienten mekkanischen Prophetengefährten. Zahlreiche Berichte beschreiben, wie er deren Meinung über wichtige politische und rechtliche Fragen einholte. Ein solches Gremium von verdienten mekkanischen Prophetengefährten trat auch nach ʿUmars Tod zusammen, um seinen Nachfolger zu wählen. [[File:Prière de Tarawih dans la Grande Mosquée de Kairouan. Ramadan 2012.jpg|mini|Die [[w:Tarāwīh|Tarāwīh]]-Gebete sind bis heute ein wichtiges Ritual im Bereich des [[w:Sunniten|sunnitischen]] Islams]] Auf religiöser Ebene war von wegweisender Bedeutung, dass ʿUmar während seiner Herrschaft die Stoff-Bekleidung ([[w:Kiswa|Kiswa]]) der Kaaba auf Kosten des Staatshaushalts erneuern ließ. Damit wurde dieses ursprünglich heidnische Ritual zu einem wichtigen Herrschaftssymbol im islamischen Staat. Der Ort für das Gebet an der Kaaba wurde durch einen Stein markiert, der entsprechend dem im Koran ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/125 Q 2:125]) genannten „Standplatz Abrahams“ als [[w:Maqām Ibrāhīm|Maqām Ibrāhīm]] bezeichnet wurde. Den Platz um die Kaaba ließ ʿUmar erweitern und mit einer Mauer versehen, womit er die Grundlage der [[w:al-Harām-Moschee|al-Harām-Moschee]] als eines selbständigen Gebäudes legte. Als neue gottesdienstliche Übung im Ramadān führte ʿUmar die nächtlichen [[w:Tarāwīh|Tarāwīh]]-Gebete ein, bei denen zwischen einer großen Zahl von Gebetszyklen immer wieder längere Pausen (''tarāwīḥ'') eingeschoben werden. Während ʿUmars Kalifat wurden auch im Bereich der Geschlechterordnung wichtige Veränderungen vorgenommen, die als Normen bis heute fortwirken. So führte ʿUmar als Bestrafung für außerehelichen Geschlechtsverkehr ([[w:Zinā|Zinā]]) bei bereits verheirateten Personen den Tod durch Steinigung ein. Der Koran sieht bei diesem Vergehen ohne Ansehen der Person als Strafe nur hundert Peitschenhiebe und Ausschluss aus dem Heiratssystem vor ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/24/vers/2 Q 24:2f]). ʿUmar berief sich bei dieser Maßnahme auf den sogenannten [[w:Steinigungsvers|Steinigungsvers]], der seiner Auffassung nach ursprünglich im Koran gestanden hatte, dann aber daraus gestrichen worden war. Das aus dem alten Arabien übernommene Rechtsinstitut der zeitlich begrenzten Genussehe ([[w:Mutʿa-Ehe|Mutʿa]]), auf das zu dieser Zeit noch viele Muslime zurückgriffen, wenn sie kurze sexuelle Beziehungen eingehen wollten, wurde von ʿUmar verboten. Außerdem verschärfte ʿUmar die Regeln für die [[w:Talāq|Verstoßung]] von Ehefrauen: Während nämlich vorher die Ehe erst dann beendet war, wenn der Ehemann die Verstoßungsformel in drei unterschiedlichen Monatsperioden ausgesprochen hatte, galt dies nun auch dann, wenn der Mann sie drei Mal direkt nacheinander ausgesprochen hatte. === 4.3.4. Die Vielgestaltigkeit des Korantextes === Ein bekannter Bericht besagt, dass ʿUmar noch während Abū Bakrs Kalifat von der Tatsache beunruhigt gewesen sei, dass in der Schlacht gegen Musailima viele ''qurrāʾ'' getötet worden waren. Die ''qurrāʾ'', d.h. Koranleser, waren jene, die den Koran auswendig kannten. Aus Furcht, dass infolge solcher Verluste schließlich auch die Kenntnis des heiligen Textes verloren gehen könnte, riet er Abū Bakr, eine Sammlung des Korans erstellen zu lassen. Mit diesem Unternehmen wurde [[w:Zaid ibn Thābit|Zaid ibn Thābit]], einer von Muhammads Sekretären (vgl. oben [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 03#3.2.5. Der allmähliche Machtzuwachs des Propheten|3.2.5.]]), beauftragt. Zaid schrieb nieder, was er auf Blättern (''ṣuḥuf'') gesammelt hatte, und übergab dies Abū Bakr. Es gibt allerdings keine Belege dafür, dass diese „Sammlung“ irgendwo als autoritativ akzeptiert wurde. ʿUmar befand sich aber wohl zu Beginn seines Kalifats im Besitz dieser Sammlung. Außer dieser Sammlung ʿUmars gab es zu seiner Zeit noch eine Anzahl anderer Kodizes, von denen die vier berühmtesten diejenigen von [[w:Ubaiy ibn Kaʿb|Ubaiy ibn Kaʿb]], [[w:ʿAbdallāh ibn Masʿūd|ʿAbdallāh ibn Masʿūd]], Miqdād ibn Aswad und [[w:Abū Mūsā al-Aschʿarī|Abū Mūsā al-Aschʿarī]] waren. Ubaiy war wie Zaid ibn Thābit Sekretär des Propheten gewesen und hatte schon zu seinen Lebzeiten Mitschriften seiner Verkündigungen angefertigt (vgl. oben [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 03#3.2.5. Der allmähliche Machtzuwachs des Propheten|3.2.5.]]). ʿAbdallāh ibn Masʿūd und Miqdād ibn Aswad, die Muslime der ersten Stunde waren, hatten den Koran dagegen nur mündlich memoriert. Miqdād war während der Zeit von ʿUmar in Syrien stationiert, ʿAbdallāh ibn Masʿūd wurde von ʿUmar 642 als Qādī nach Kufa geschickt. Der Jemenit Abū Mūsā al-Aschʿarī, der sich dem Propheten erst 628 angeschlossen hatte, wurde 638 von ʿUmar zum Statthalter von Basra ernannt. Was die Verbreitung der von diesen Männern erstellten Kodizes anlangt, so hielten sich die Dasmaszener an die Lesart des Ubaiy, die Kufier an die des Ibn Masʿūd, die Basrier an die des Abū Mūsā und die Bewohner von Homs an diejenige des Miqdād. Dass die Ausgaben des Ibn Masʿūd und Abū Mūsā in Kufa bzw. Basra solches Ansehen erreichten, hängt sicherlich damit zusammen, dass die beiden Männer dort als staatliche Funktionsträger tätig waren. Die Verwendung der Sammlung von Ubaiy, der sich selbst in Medina aufhielt, in Damaskus deutet dagegen darauf hin, dass diese Sammlung zu dieser Zeit eine überregionale Bedeutung erhalten hatte. Die Zulässigkeit all dieser verschiedenen Versionen des Korantextes wurde mit Berichten begründet, wonach der Prophet zu Lebzeiten Gefährten, die über die Unterschiedlichkeit der im Umlauf befindlichen Versionen des Korantexts besorgt, selbst damit beruhigt habe, dass der Koran in sieben Varianten (''ʿalā sabʿati aḥruf'') offenbart worden sei. Bei der Verbreitung dieser Berichte nahm Ubaiy eine Schlüsselrolle ein. Die textlichen Unterschiede zwischen den verschiedenen Versionen waren zum Teil beträchtlich. So war zum zum Beispiel in [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/3/vers/19 Sure 3:19] in der Sammlung Ibn Masʿūds als Name für die Religion nicht Islam, sondern ''Hanīfīya'' angegeben. == 4.4. ʿUthmān ibn ʿAffān (644-656) - „Stellvertreter Gottes“ == === 4.4.1. Nepotismus und Selbstbereicherung der Umaiyaden === Nach dem Tod von ʿUmar trat das von ihm gebildete Konsulativgremium verdienter Prophetengefährten zusammen, um seinen Nachfolger zu wählen. Ihm gehörten sechs Männer an: [[w:ʿUthmān ibn ʿAffān|ʿUthmān ibn ʿAffān]], ʿAlī ibn Abī Tālib, [[w:ʿAbd ar-Rahmān ibn ʿAuf|ʿAbd ar-Rahmān ibn ʿAuf]], [[w:Talha ibn ʿUbaidallāh|Talha ibn ʿUbaidallāh]], [[w:az-Zubair ibn al-ʿAuwām|az-Zubair ibn al-ʿAuwām]] und [[w:Saʿd ibn Abī Waqqās|Saʿd ibn Abī Waqqās]]. Von den genannten Personen hegten allein ʿAlī und ʿUthmān Ambitionen auf die Nachfolge. ʿAbd ar-Rahmān verzichtete auf die Kandidatur unter der Bedingung, dass ihm im Falle der Uneinigkeit die Aufgabe des Schiedsrichters übertragen würde. Da Saʿd für ʿAlī votierte und az-Zubair für ʿUthmān, Talha aber abwesend war, kam ʿAbd ar-Rahmān als Schiedsrichter zum Einsatz. Er entschied sich nach Beratungen mit den Häuptern der quraischitischen Clane für ʿUthmān, wodurch dieser zum neuen Kalifen wurde. ʿUthmān gehörte den [[w:Umayyaden|Umaiyaden]], einer Familie der ʿAbd Schams, an. Bei der endgültigen Einigung auf ʿUthmān war wahrscheinlich dieser ''nasab'' letztlich ausschlaggebend. In jedem Fall kündigt sich mit der Erhebung des Umaiyaden ʿUthmān die wenig später erfolgte Etablierung der ersten islamischen Dynastie, die sich eben aus der Umaiya-Familie rekrutierte, bereits an. {{Anker|Marwan}} Schon kurz nach seiner Amtseinführung setzte ʿUthmān Verwandte in zentrale Statthalterposten ein. Syrien befand sich ohnehin schon seit ʿUmar in der Hand des Umaiyaden [[w:Muʿāwiya_I.|Muʿāwiya ibn Abī Sufyān]]. Er war der Sohn von Muhammads ehemaligen Gegner [[w:Abū Sufyān ibn Harb|Abū Sufyān ibn Harb]]. Aber auch in Kufa und Ägypten wurden jetzt Umaiyaden als Gouverneure eingesetzt. Saʿd ibn Abī Waqqās, der Gründer von Kufa, musste ʿUthmāns Verwandten, Walīd ibn ʿUqba, weichen. ʿAmr ibn al-ʿĀs, der Eroberer Ägyptens, der noch im Jahre 645 einen byzantinischen Versuch, Ägypten wiederzuerobern, erfolgreich abwehren konnte, wurde als Gouverneur durch [[w:ʿAbdallāh ibn Saʿd|ʿAbdallāh ibn Abī Sarh]], den Milchbruder ʿUthmāns, ersetzt, der eine zweifelhafte Vergangenheit hatte (vgl. oben [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 03#3.2.3. Andere Gegner Muhammads|3.2.3.]]). Als es im Jahre 649/50 zu Beschwerden über den Statthalter von Basra, Abū Mūsā al-Aschʿarī, kam, wurde auch diese Posten noch mit einem Umaiyaden, nämlich ʿAbdallāh ibn ʿĀmir, besetzt. Zum engsten Berater des Kalifen stieg [[w:Marwan I.|Marwān ibn al-Hakam]] auf, ebenfalls ein Umaiyade. Diese [[w:Vetternwirtschaft|nepotistische]] Politik führte zu einer Entfremdung zwischen dem Kalifen und dem Gremium von Prophetengefährten, die ihn in dieses Amt gewählt hatten. [[File:Mohammad adil-Rashidun-empire-at-its-peak-close.PNG|mini|Die Ausdehnung des islamischen Reiches gegen Ende von ʿUthmāns Kalifat]] Dennoch konnten die Eroberungszüge unter ʿUthmān und seinen Gouverneuren erfolgreich fortgesetzt werden. Muʿāwiya hatte schon 642 von Damaskus aus den Heerführer Habīb ibn Maslama zum Kampf in den [[w:Kaukasus|Kaukasus]] entsandt. Er konnte 645 die georgische Hauptstadt [[w:Tiflis|Tiflis]] einnehmen und bis 652 Armenien unterwerfen. Außerdem baute Muʿāwiya in den syrischen Hafenstädten eine Flotte auf, besetzte 649 [[w:Zypern|Zypern]] und drängte Byzanz aus dem östlichen Mittelmeer zurück. ʿAbdallāh ibn Abī Sarh unternahm von [[w:Fustāt|al-Fustāt]] aus Expeditionen an der nordafrikanischen Küste entlang in Richtung Westen und eroberte 647 [[w:Tripolitanien|Tripolitanien]]. 652 unterwarf er außerdem [[w:Oberägypten|Oberägypten]] und brachte das Königreich [[w:Nubien|Nubien]] in ein Tributverhältnis zum islamischen Staat. Zur Kontrolle der nubischen Tributzahlungen wurde in der Stadt Syene (heute [[w:Assuan|Assuan]]) eine Militärgarnison stationiert. ʿAbdallāh ibn ʿĀmir vollendete 650 mit der Einnahme von [[w:Persepolis|Persepolis]] die Eroberung der [[w:Persis|Persis]] ([[w:Fars|Fārs]]) und besetzte 651/2 die sassanidische Nordostprovinz [[w:Chorasan|Chorasan]] mit den Städten [[w:Nischapur|Nischapur]], [[w:Merw|Merw]], [[w:Balch|Balch]] und [[w:Herat|Herat]]. Im gleichen Jahr fiel der Sassaniden-Herrscher [[w:Yazdegerd_III.|Yazdegerd III.]] in Merw einem Mordanschlag zum Opfer, womit die Sassaniden-Dynastie endgültig erlosch. ʿUthmān machte sich allerdings dadurch unbeliebt, dass er einen Teil der bei den Futūh eroberten Ländereien, die nach Vorstellung der Kämpfer der Gemeinschaft der Muslime insgesamt gehörten, unter Berufung auf den im Koran beschriebenen „Fünft“ (''ḫums'', vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/8/vers/41 Q 8:41]) zurückhielt und unter seinen Gouverneuren und Verwandten als Landgüter (''qaṭāʾiʿ'') verteilte. Auch verschiedene Prophetengefährten wie etwa Talha wurden großzügig mit Landschenkungen bedacht. Einer von ʿUthmāns Verwandten, der im Irak als Gouverneur eingesetzt war, verstieg sich zu der Aussage, dass das Fruchtland des Irak, der sogenannte ''sawād'', „Garten der Quraisch“ geworden sei, also gewissermaßen Eigentum dieses Stammes. Auch ʿAbdallāh ibn Abī Sarh, ʿUthmāns Gouverneur in Ägypten, tat sich durch gesteigerte Ausbeutungsmethoden negativ hervor. Mit den so erlangten Mitteln erbaute er sich in Ägypten einen prächtigen Palast. Allein diese Haltung bedeutete, wenn man ʿUmars Anweisungen hinsichtlich der Bauaktivität zum Vergleich heranzieht, eine bedenkliche Veränderung. Im Gegensatz zu seinen Vorgängern erhob ʿUthmān auch Anspruch auf göttliche Autorisierung. Er bezeichnete sich in seinen Urkunden nicht mehr als Stellvertreter des Gottesgesandten (''ḫalīfat rasūl Allāh''), sondern direkt als Stellvertreter Gottes (''ḫalīfat Allāh''). Damit stellte er sich in die Nachfolge des Königs [[w:David|David]], von dem Gott im Koran ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/38/vers/26 38:26]) sagt, dass Er ihn als Stellvertreter auf Erden eingesetzt habe, damit er zwischen den Menschen nach der Wahrheit richte. Dieses Modell des Kalifats übernahmen später fast alle anderen Herrscher, die diesen Titel für sich beanspruchten. === 4.4.2. Die Erstellung einer offiziellen Koranausgabe === [[File:The ‘Uthman Qur'an - Kufic.jpg|mini|links|Ausschnitt aus einem Korantext, der auf ʿUthmān zurückgeführt wird. [[w:Diakritisches Zeichen|Diakritische Zeichen]] fehlen.]] Unter dem Kalifat ʿUthmāns wurde eine erste offizielle Koranausgabe erstellt. Die islamische Tradition besagt, dass zu dieser Zeit, insbesondere während der Kriegszüge nach Armenien und Aserbaidschan, also im Jahre 652, Männer aus Syrien und dem Irak über die verschiedenen Lesarten des Korans in Streit gerieten. Als der General Hudhaifa von der Expedition zurückgekehrt war, trug er die Sache dem Kalifen vor, und der Kalif beschloss, eine Kommission einzusetzen, die einen offiziellen Korantext festlegen sollte. Mit dieser Aufgabe wurde erneut Zaid ibn Thābit betraut, wobei ihm jedoch drei Muslime aus Mekka zur Seite gestellt wurden. Die Kommissionsmitglieder wurden angewiesen, sich dort, wo es irgendeine sprachliche Schwierigkeit bei der Lesung gab, an den Dialekt der Quraisch von Mekka zu halten. Zaid und seinen Mitarbeiter händigte man für ihre Arbeit die Blätter (''ṣuḥuf'') ʿUmars aus, die bei seinem Tod an seine Tochter [[w:Hafsa bint ʿUmar|Hafsa]] gegangen war. Mit dieser Version verglichen sie alle Koranfragmente, die sie finden konnten, und fügten an passenden Stellen alle ausgelassenen Verse ein. Ziel ihrer Bemühungen war die Festlegung eines autoritativen Textes des Korans. Davon wurden dann Kopien angefertigt und in die wichtigsten Städte des islamischen Reiches (Damaskus, Kufa, Basra und wahrscheinlich auch Mekka) geschickt. Es heißt, dass ʿUthmān die anderen Korankodizes vernichten ließ. In Wirklichkeit wurde aber keine völlige Vertilgung der anderen Niederschriften erreicht. ʿAbdallāh ibn Masʿūd zum Beispiel weigerte sich erfolgreich, seinen Korankodex herauszugeben. Von den anderen Korankodizes wich die neu erstellte offizielle Koranausgabe in mehreren Punkten ab. So enthält sie am Anfang und Ende Gebete, die in anderen Korankodizes fehlten. Sie bilden die erste Sure, die [[w:al-Fātiha|Fātiha]], und die beiden letzten mit ''aʿūḏu bi-rabbi'' („Ich nehme Zuflucht beim Herrn...“) eingeleiteten Suren [[w:Sure 113|Sure 113]] und [[w:Sure 114|114]], die [[w:Apotropaion|apotropäische]] Funktion haben. Die Fātiha ist ein Eröffnungsgebet, das für den Gottesdienst der Muslime sehr große Bedeutung hat und deswegen auch mit dem christlichen [[w:Vaterunser|Vaterunser]] verglichen worden ist. Sein Text lautet: [[Datei:FirstSurahKoran.jpg|mini|hochkant|Kalligraphisch gestaltete Fātiha in arabischer Schrift, {{Audio|Surah Al fatiha104.ogg|Die Fātiha zum Anhören}}]] <poem lang="nl" style="margin-left:2em; float:left;"> ''Bi-smi Llāhi r-raḥmāni r-raḥīm'' ''al-ḥamdu li-Llāhi rabbi l-ʿālamīn'' ''ar-raḥmāni r-raḥīm'' ''māliki yaumi d-dīn'' ''īyāka naʿbudu wa-īyāka nastaʿīn'' ''ihdī-nā ṣ-ṣirāta l-mustaqīm'' ''ṣirāta llaḏīna anʿamta ʿalai-him'' ''ġairi l-maġḍūbi ʿalai-him wa-lā ḍ-ḍāllīn'' </poem> <poem style="margin-left:2em; float:left;"> Im Namen Gottes, des barmherzigen Erbarmers, Lob sei Gott, dem Herrn der Welten, dem barmherzigen Erbarmer, dem König des Gerichtstags. Dir dienen wir, dich rufen wir um Hilfe an. Führe uns den rechten Weg, den Weg derer, denen du Huld erwiesen hast, nicht derer, denen du zürnst und nicht derer, die irregehen. </poem> <div style="clear:left;"></div> Von großer Bedeutung war eine Differenz in [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/24 Sure 4:24]. In dem Passus, in dem den Männern erlaubt wird, sich mit ihrem Vermögen über ihre gewöhnlichen Ehefrauen hinaus sonstige Frauen zu verschaffen, wenn sie ihnen nach dem erfahrenen Genuss ihren Lohn geben, stand sowohl in dem Kodex von ʿAbdallāh ibn Masʿūd als auch in demjenigen von Ubaiy ibn Kaʿb der Ausdruck ''ilā aǧal musammā'' („bis zur genannten Zeit“). Daraus leiteten mehrere [[w:Sahāba|Prophetengefährten]] ab, dass zeitlich begrenzte Ehen zum Zweck des sexuellen Genusses ([[w:Mutʿa-Ehe|Mutʿa]]) trotz des Verbotes durch ʿUmar weiterhin erlaubt seien. In dem Korantext von ʿUthmān, der Grundlage aller späteren Koranausgaben ist, fehlt dieser Ausdruck. === 4.4.3. Die Entstehung einer religiös-politischen Opposition === Gegen die neu eingetretenen Umstände, Haltungen und Denkweisen in den aristokratischen Führungskreisen des Reiches bildete sich in Syrien und im Irak eine religiös-politische Oppositionsbewegung, die vor allem von Frommen, die zu Muhammads frühen Anhängern gehört hatten, getragen wurde. Einer der bekanntesten Vertreter dieser Bewegung war [[w:Abū Dharr al-Ghifārī|Abū Dharr al-Ghifārī]], der aufgrund seines frühen Beitritts zum Islam und seiner Meriten als Kämpfer eine hohe Stellung in der islamischen Gemeinde hatte. Als ʿUthmān nach den Eroberungszügen von 647 in Tripolitanien einen Großteil des erbeuteten Vermögens an Verwandte und seinen Sekretär Zaid ibn Thābit gab, predigte Abū Dharr gegen diejenigen, die „Geld anhäufen“, wobei er sich auf das Koranwort von Sure [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/34 9:34] bezog: „Wer aber Gold und Silber hortet und es nicht für die Sache Gottes ausgibt, denen verkünde schmerzhafte Strafe.“ ʿUthmān verbannte ihn daraufhin nach Syrien, wo Abū Dharr aber weitere Auseinandersetzungen mit dem dortigen umaiyadischen Statthalter Muʿāwiya hatte. Abū Dharr warf ihm vor, die ihm anvertrauten Gelder der Muslime zu veruntreuen, und forderte bei Predigten die Reichen dazu auf, die Armen zu unterstützen. Offensichtlich fand Abū Dharrs Bestreben ein beachtliches Echo unter den Armen in Syrien, denn diese versuchten daraufhin, die Reichen zu entsprechenden Handlungen zu zwingen. Als es zu Beschwerden bei Muʿāwiya kam, wandte sich dieser schriftlich an ʿUthmān und meldete ihm, dass Abū Dharr die Menschen in Syrien gegen ihn aufhetze. ʿUthmān ließ den angeblichen Aufrührer hierauf nach Medina kommen und zog seine Hinrichtung in Erwägung, nahm jedoch auf Anraten von ʿAlī ibn Abī Tālib davon Abstand. Der Kalif schickte ihn schließlich in eine Art Verbannung nach Rabdha, einem Dorf der Umgebung, wo er in Armut und Zurückgezogenheit um das Jahr 652 verstarb. Das harte Vorgehen gegen diesen populären Prophetengefährten schadete ʿUthmāns Ansehen stark. Auch in den Lagern Kufa und Basra, die durch Einwanderung von Stammesangehörigen der arabischen Halbinsel mittlerweile zu bedeutenden Siedlungen herangewachsen waren, regte sich Widerstand gegen ʿUthmān. In Kufa kritisierte ʿAbdallāh Ibn Masʿūd schon 650 den neuen Gouverneur, dessen heidnisches Gebaren ihn verstörte. 651 kam es zum Bruch mit ʿUthmān. Ibn Masʿūd fiel in Ungnade, unter Umständen, die nicht klar sind. Eine öffentliche Szene folgte, bei der er vom Kalifen misshandelt wurde. Ein Grund für diese Konfrontation mag die Auseinandersetzung um Ibn Masʿūds Korankodex (''muṣḥaf'') gewesen sein. Ibn Masʿūd zufolge war der [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/5/vers/67 Vers 5:67] zur Zeit des Propheten mit einem explizit auf ʿAlī bezogenen Zusatz versehen gewesen. Das deutet auf eine große Loyalität Ibn Masʿūds gegenüber ʿAlī und seiner Familie hin. === 4.4.4. ʿUthmāns Ermordung === [[File:Rebellions against Uthman & the Kharijite Origins.png|mini|Die Orte, von denen aus die Unzufriedenen nach Medina zogen.]] In den letzten Jahren des Kalifats von ʿUthmān wurden die Beschwerden gegen ihn immer lauter, und es entstand eine regelrechte Protestbewegung. Nach dem Bericht [[w:at-Tabarī|at-Tabarī]]s war es ein Mann namens [[w:ʿAbdallāh ibn Saba'|ʿAbdallāh ibn Saba']], der sie von Ägypten aus koordinierte. Er stellte ʿUthmān als Usurpator dar und propagierte, dass allein ʿAlī als Mohammeds Bevollmächtigter (''waṣī'') zur Herrschaft über die [[w:Umma|Umma]] befugt sei. Im Frühjahr 656 zogen große Gruppen Unzufriedener aus Ägypten, Basra und Kufa nach Medina, führten beim Kalifen über verschiedene Dinge Klage und verlangten seine Absetzung. ʿUthmān, der ihre Forderungen für unberechtigt hielt, bequemte sich schließlich zu Verhandlungen und sagte zu, ihre Beschwerden zu prüfen. Die Unzufriedenen wurden dadurch zunächst weitgehend beruhigt und traten den Heimweg an. Die Beschwerdeführer aus Ägypten fingen aber unterwegs einen Boten des Kalifen ab, der eine geheime Botschaft an den Statthalter in Ägypten bei sich hatte. Darin beauftragte der Kalif diesen, die Anführer hinzurichten und andere entsprechend zu bestrafen. Aufgebracht kehrten die Unzufriedenen nach Medina zurück, stellten den Kalifen zur Rede und forderten ihn ultimativ zum Rücktritt auf. Es kam zur Belagerung seines Hauses, wo ihn seine Knechte und Verwandten verteidigten und damit die Konfrontation verschärften. Das Gebäude wurde am 17. Juni 656 gestürmt, und ʿUthmān ermordet. Eine wichtige Folge der Ermordung ʿUthmāns war, dass die Stadt Medina fortan ihre Rolle als politisches Zentrum des islamischen Staates verlor. Noch wichtiger war allerdings, dass es über die Beurteilung von ʿUthmān und die Frage, ob seine Ermordung gerechtfertigt war, zu einer tiefgehenden Spaltung der Muslime kam, die bis heute noch nicht überwunden ist. In diesen Auseinandersetzungen um ʿUthmān tauchte zum ersten Mal eine wichtige Formel auf, die nämlich von dem „Buch Gottes und der [[w:Sunna|Sunna]] des Propheten“. Mit dem Buch Gottes war der Koran gemeint, mit der Sunna des Propheten die von diesem begründete Handlungspraxis, die man in der Gemeinschaft der Muslime als normativen Maßstab ansah. Während die Gegner ʿUthmāns überzeugt waren, dass ʿUthmān gegen die Prinzipien von Koran und Prophetensunna verstoßen hatte, verteidigten seine Parteigänger, insbesondere die Umaiyaden, seine Handlungsweise gegen diesen Vorwurf. == 4.5. Weiterführende Literatur == * Sean Anthony: ''The Caliph and the heretic: Ibn Saba' and the origins of Shīʿism.'' Leiden 2012. * [[w:Al-Balādhurī|Al-Balādhurī]]: ''Kitāb Futūḥ al-buldān.'' Deutsche Übersetzung von [[w:Oskar Rescher|Oskar Rescher]]. 2 Bde. Leipzig 1917, Stuttgart 1923. * Heribert Busse: „ʿOmar b. al-Ḫaṭṭāb in Jerusalem“ in ''Jerusalem Studies in Arabic and Islam'' 5 (1984) 73–119. * Patricia Crone und Michael Cook: ''Hagarism. The Making of the Islamic World.'' Cambridge 1977. * Patricia Crone und Martin Hinds: ''God’s Caliph. Religious authority in the first centuries of Islam.'' Cambridge 1986. * Paul Gerhard Dannhauer: ''Untersuchungen zur frühen Geschichte des Qadi-Amtes.'' Bonn 1975. * Fred Donner: ''The early Islamic conquests.'' Princeton, NJ 1981. * Taieb El-Hibri: ''Parable and Politics in Early Islamic History. The Rashidun Caliphs.'' New York-Chichester 2010. * [[w:Martin Hinds|Martin Hinds]]: “The Murder of the Caliph ʿUthmān” in ''International Journal of Middle East Studies'' 3 (1972) 450–469. * Wilferd Madelung: ''The Succession to Muhammad. A study of the early caliphate.'' Cambridge 1997. * Al Makin: ''Representing the enemy: Musaylima in Muslim literature''. Frankfurt/Main 2010. * Theodor Nöldeke: ''Geschichte des Qorāns. Zweiter Teil: Die Sammlung des Qorāns.'' 2. Aufl. völlig umgearbeitet von Fr. Schwally. Leipzig 1919. * Albrecht Noth: “Von der medinensischen 'Umma' zu einer muslimischen Ökumene“ in A. Noth u. J. Paul (Hrsg.): ''Der Islamische Orient. Grundzüge seiner Geschichte.'' Würzburg 1998. * David Stephan Powers: ''Muḥammad is not the father of any of your men: the making of the last prophet''. Philadelphia 2009. * Israel Wolfensohn: ''Kaʿb al-Aḥbār und seine Stellung im Ḥadīṯ und in der islamischen Legendenliteratur.'' Gelnhausen 1933. == 4.6. Fragen/Aufgaben == 1. Welche Umstände erleichterten die islamische Eroberung des Vorderen Orients? 2. Welche Veränderungen nahm Muhammad am Haddsch-Ritual vor? 3. Nach dem Tode Muhammads traten unter den Muslimen erhebliche Meinungsverschiedenheiten auf. Erklären Sie, um welches Problem es ging, und wie dieses gelöst wurde. 4. Welche Titel nahmen die ersten muslimischen Herrscher nach Muhammad an und welche Vorstellungen waren mit ihnen verbunden? 5. Nennen Sie politische und religiöse Reformen, die unter dem Kalifen ʿUmar ibn al-Chattāb vorgenommen wurden. 6. In welcher Weise lag der Koran nach dem Tode Muhammads vor und welche redaktionellen Prozesse fanden bis zum Kalifat ʿUmars statt? 7. Der Kalif ʿUthmān ließ die erste offizielle Koranausgabe erstellen. In welchen Punkten wich sie von anderen damals verwendeten Korankodizes ab? 8. Beschreiben Sie die Entwicklungen, die zur Ermordung des Kalifen ʿUthmān und damit auch zur Spaltung der Muslime führten. {{Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI)/Navigation}} 7sun2h5o0q2z8k8ecf4capwhupa0c1y 1118805 1118804 2026-11-03T17:00:05Z PaFra 14559 /* 4.4.1. Nepotismus und Selbstbereicherung der Umaiyaden */ 1118805 wikitext text/x-wiki {{Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI)/Navigation}} [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 03|3 <<<]] — [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 05|>>> 5]] {{TOC nonum}} = 4. Die Expansion des islamischen Staates und das frühe Kalifat (630-656) = Der Staat von Yathrib/Medina steigt zur wichtigsten Macht in Arabien auf. Muhammads Tod 632 stürzt ihn zwar in eine schwere Krise, doch kann sie schnell überwunden und mit Hilfe der arabischen Stämme eine Expansionsbewegung in Gang gesetzt werden, die zur Eroberung des gesamten Vorderen Orients führt. Wichtige religiöse Neuerungen: die Reform des Kalenders und die Kodifizierung des Korans. == 4.1. Die letzten Jahre des Propheten (630-632) == === 4.1.1. Aussöhnung mit den Quraisch und Anschluss der Araber === Wenige Tage nach der Einnahme von Mekka durch die Muslime zog vom Südosten her eine neue militärische Gefahr herauf. Die Stämme der Hawāzin und der Thaqīf hatten eine Armee von 20.000 Kämpfern aufgestellt und bedrohten damit Mekka. Da die Hawāzin nicht nur Muhammad und den Muslimen, sondern auch den heidnisch gebliebenen Quraisch feindlich gegenüber standen, ergab sich die Gelegenheit zu einem Ausgleich. Als Muhammad die heidnischen Mekkaner dazu aufforderte, zusammen gegen den gemeinsamen Feind zu ziehen, schlossen sich ihm etwa 2.000 Mann von ihnen an. In dem Tal [[w:Hunain|Hunain]] kam es zu einer Schlacht, bei der zeitweise der Ausgang unsicher schien (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/25 Q 9:25f]), doch am Ende siegten Muhammads Truppen und eroberten das feindliche Lager. Viele der früheren mekkanischen Gegner Muhammads, darunter auch die Söhne [[w:Abū Sufyān ibn Harb|Abū Sufyāns]], konnten bei dieser Gelegenheit durch eine großzügige Beuteverteilung für den Islam gewonnen werden. Diese mekkanischen „Spätkonvertiten“ werden in Anlehnung an einen Koranvers, der auf das Ereignis Bezug nimmt ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/60 Q 9:60]), als ''al-muʾallafa qulūbu-hum'' („die, deren Herzen gewonnen wurden“) bezeichnet. Zu einem raschen Interessenausgleich mit früheren Gegnern trug auch bei, dass Muhammad die Familien, die bisher die kultischen Ämter in Mekka ausgeübt hatten, in diesen Ämtern bestätigte. So übergab er einem Angehörigen der ʿAbd ad-Dār, die schon vorher das Türhüteramt der Kaaba versehen hatten, den Schlüssel des Heiligtums als Zeichen seiner erblichen Belehnung mit diesem Amt. Bis heute haben die Banū Schaiba, die Nachkommen von Schaiba ibn ʿUthmān aus dem Clan ʿAbd ad-Dār, dieses Türhüteramt der Kaaba inne. [[File:Jami Masjid, Mandu - minbar 01.jpg|mini|[[w:Minbar|Minbar]] in der Freitagsmoschee von [[w:Mandu (Stadt)|Mandu]], 14. Jh.]] Nach der Schlacht von Hunain im Frühjahr 630 war die Expansion der neuen Religion in das Innere der Arabischen Halbinsel überwältigend. Muhammad sandte Briefe an die in den verschiedenen Teilen der arabischen Halbinsel lebenden Stämme und forderte sie auf, den Islam anzunehmen. Verschiedene Stämme wie die [[w:Azd (Stamm)|Azd]], [[w:Kinda (Arabien)|Kinda]] und [[w:Bāhila|Bāhila]] schickten umgekehrt Gesandtschaften zu ihm und baten ihn um Aufnahme in sein Bündnis. Deshalb wird das Jahr nach der Einnahme Mekkas in der islamischen Geschichtsschreibung auch das „Jahr der Gesandtschaften“ (''ʿām al-wufūd'') genannt. Bei seinen Predigten und Verhandlungen mit den Delegationen verwendete der Prophet jetzt häufig den [[w:Minbar|Minbar]], einen kanzelartigen Thron aus Holz. Ursprünglich wohl ein Hoheitssymbol, wurde der Minbar später als Ort, von dem aus die Freitagspredigt gehalten wird, zu einem festen Bestandteil der Innenausstattung von Moscheen. Für offene Gegner des Propheten wurde das Leben auch außerhalb Mekkas nun immer schwieriger. Sicher waren sie nur, wenn sie sich dem Propheten unterwarfen und den Islam annahmen. So tat es beispielsweise [[w:ʿIkrima ibn Abī Dschahl|ʿIkrima]], der Sohn von [[w:Abū Dschahl|Abū Dschahl]], der bis zuletzt gegen Muhammad gekämpft hatte und zunächst in den Jemen geflohen war. Bekannt geworden ist auch der Dichter [[w:Kaʿb ibn Zuhair|Kaʿb ibn Zuhair]], der in satirischen Versen Muhammad angegriffen hatte und deshalb zur Tötung freigegeben worden war. Er tauchte in dieser Zeit überraschend in Medina auf und trug öffentlich ein Lobgedicht auf den Propheten und die Quraisch vor. Dieses mit den Worten ''Bānat Suʿād'' beginnende Gedicht wurde später zu einem der wichtigsten religiösen Gedichte des Islams und ist als solches immer wieder kommentiert und schmückend erweitert worden. Im Herbst 630 kam es noch einmal zu einer internen Krise, als Muhammad, offenbar gegen den Willen vieler seiner Anhänger (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/81 Q 9:81]), einen Feldzug gegen die Byzantiner und ihre arabischen Bundesgenossen an der syrischen Grenze unternahm. Zeitgleich mit diesem [[w:Feldzug nach Tabūk|Feldzug nach Tabūk]] setzten sich einige von Muhammads Anhängern ab, errichteten sich eine eigene Moschee (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/107 Q 9:107-11]) und heckten gegen den Propheten eine Intrige aus. Die Koranverse, die diese Situation verarbeiten, fordern den Propheten auf, hart gegen die als [[w:Munāfiq|Munāfiqūn]] und [[w:Kāfir|Kuffār]] bezeichnete Gruppe vorzugehen und drohen diesen als Apostaten die Höllenstrafe an (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/73 Q 9:73f]). Den Gläubigen wurde umgekehrt im Koran für ihren kämpferischen Einsatz großer jenseitiger Lohn in Aussicht gestellt. Das Verhältnis zwischen ihrem Einsatz und der jenseitigen Belohnung wird dabei nach Art eines Handelsgeschäfts mit Gott beschrieben: {{Zitat|Gott hat den Gläubigen ihr Leben und ihr Vermögen dafür abgekauft, dass sie das Paradies haben sollen. Sie sollen kämpfen für die Sache Gottes und töten und getötet werden. Das ist ein ihn bindendes Versprechen [...]. Und wer hält sein Versprechen getreuer als Gott? Freut euch also über das, was ihr erkauft habt. Denn das ist der große Gewinn.|[https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/111 Q 9:111]}} Mit diesem und ähnlich lautenden Versen (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/74 Q 4:74]; [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/61/vers/10 61:10]) wurde im Islam ein eigenes Konzept des Märtyrertums begründet: Derjenige, der sich im Kampf selbst aufopfert und den Tod auf dem Schlachtfeld findet, ist kein Verlierer, sondern in Wirklichkeit der „große Gewinner“. Diese Form der religiösen Mobilisierung der Gläubigen zum Kampf hat möglicherweise entscheidend zur schnellen Expansion des islamischen Staates beigetragen. === 4.1.2. Muslime und Nicht-Muslime === Die Annahme des Islams wurde jetzt zur strikten Vorbedingung einer Aufnahme in das Bündnis mit Mohammed. Das bedeutete zugleich, dass sich ihm immer mehr Menschen rein aus politischen und wirtschaftlichen Gründen anschlossen, der neuen Religion jedoch innerlich kaum zugetan waren. Das galt wohl vor allem für die Beduinen, wie aus einem in dieser Hinsicht vielsagenden Koranvers hervorgeht: {{Zitat|Die Wüstenaraber (''al-Aʿrāb'') sagen: Wir glauben! Sprich: Ihr glaubt nicht! Sagt vielmehr: Wir haben uns unterworfen. Denn der Glaube ist noch nicht in eure Herzen eingedrungen.|[https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/49/vers/14 Sure 49:14]}} Unterwerfung (''islām'') unter den Willen Gottes und seines Gesandten, so sagt es uns dieser Vers, bedeutete eben nicht immer auch innerliche Annahme des Glaubens ([[w:Īmān|Īmān]]). Um als „Brüder in der Religion“ anerkennt zu werden, war es allerdings nur notwendig, das Gebet ([[w:Salāt|Salāt]]) zu verrichten und die Läuterungsgabe ([[w:Zakāt|Zakāt]]) entrichten (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/11 Q 9:11]). Die in frühmekkanischer Zeit als fromme Übung eingeführte Zakāt hatte sich offenbar bis zu diesem Zeitpunkt zu einer Art Almosensteuer entwickelt. Als Synonym für ''zakāt'' erscheint in dieser Zeit im Koran auch das Wort [[w:Sadaqa|Sadaqa]] (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/103 Q 9:103]). Zum Einzug dieser Abgaben, aber auch zur Unterweisung der neu bekehrten Stämme in der Religion sandte Muhammad mehrere seiner Gefährten in die verschiedenen Gebiete der arabischen Halbinsel, so zum Beispiel [[w:Abū Huraira|Abū Huraira]] nach Bahrain in Ostarabien (nicht identisch mit dem heutigen Staat [[w:Bahrain|Bahrain]]), [[w:ʿAmr ibn al-ʿĀs|ʿAmr ibn al-ʿĀs]] nach [[w:Oman|Oman]] und Muʿādh ibn Dschabal in den [[w:Jemen|Jemen]]. Nachdem Muhammad mit den Heiden und Juden gebrochen hatte, scheint er noch lange eine positive Einstellung gegenüber dem Christentum gewahrt zu haben. Das zeigt eine Stelle im Koran, an der es heißt: {{Zitat|Du wirst sicher finden, dass diejenigen Menschen, die sich den Gläubigen gegenüber am meisten feindlich zeigen, die Juden und die Heiden sind. Und du wirst sicher finden, dass diejenigen, die den Gläubigen in Liebe am nächsten stehen, die sind, welche sagen: Wir sind Christen (''Naṣārā''). Dies deshalb, weil es unter ihnen Priester und Mönche gibt, und weil sie nicht hochmütig sind.|[https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/5/vers/82 Q 5:82]}} In den Korankommentaren wird bei diesem Vers auf die positiven Erfahrungen, die Muhammads Anhänger im christlichen Äthiopien gemacht hatten, verwiesen. Grundsätzlich war Muhammad allerdings der Auffassung, dass er von Jesus als Gesandter angekündigt worden war (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/61/vers/6 Q 61:6]) und der Koran nicht nur eine Bestätigung der Tora, sondern auch des Evangeliums ([[w:Indschīl|Indschīl]]) darstellt (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/3/vers/3 Q 3:3]), und die Christen von daher wie die Juden vor die Aufgabe gestellt waren, seinen religiösen Führungsanspruch anzuerkennen und zum Islam überzutreten. Bei Verhandlungen mit Abgesandten christlicher Gemeinschaften der arabischen Halbinsel machte der Prophet nun aber die Erfahrung, dass diese im Gegensatz zu den heidnischen Arabern eben nicht bereit waren, den Islam anzunehmen. Besonders bekannt geworden ist der Fall einer Delegation von Geistlichen aus [[w:Nadschran|Nadschrān]], dem Zentrum des südarabischen Christentums, die zum Ausdruck brachten, dass sie sich zwar der politischen Macht des Propheten fügen, aber nicht zum Islam übertreten wollten, weil sie sich selbst im Besitz der wahren Religion sahen. In diesen historischen Zusammenhang wird von der islamischen Tradition die koranische Aussage gestellt, dass Jesus vor Gott gleich Adam und wie er allein durch das Schöpferwort ''kun'' („Sei!“) erschaffen worden sei ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/3/vers/59 Q 3:59]). Muhammad soll dieses Koranwort den christlichen Geistlichen aus Nadschrān entgegengehalten haben, als es zu einem Streit über die von den Christen behauptete [[w:Sohn Gottes|Gottessohnschaft]] Jesu‘ kam. Anschließend, so berichten die arabischen Quellen, forderte er die Geistlichen zur Herbeiführung eines Gottesurteils über die Wahrheit der beiden religiösen Positionen durch gegenseitige Verfluchung ([[w:Mubāhala|Mubāhala]]) auf (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/3/vers/61 Q 3:61]), was diese jedoch ablehnten. Schließlich einigte man sich darauf, dass die Leute von Nadschrān dem Propheten einen jährlichen Tribut entrichten sollten, wofür umgekehrt der Prophet ihnen den Schutz für Leben und Religion zusicherte. Die Verschlechterung der Beziehungen zu den Christen lässt sich auch darauf zurückführen, dass der Prophet in dieser Zeit verstärktes Interesse an der Expansionsroute nach Syrien zeigte, wo in der Mehrzahl Christen lebten und nicht zum Islam konvertieren wollten. Bei ihnen kam nun ebenfalls das Modell der Tributzahlung zur Anwendung. Die arabischen Quellen berichten, dass sich als Folge des [[w:Feldzug nach Tabūk|Feldzuges nach Tabūk]] im Herbst 630 mehrere christliche Gemeinden am [[w:Golf von Akaba|Golf von Akaba]] in Nordwestarabien, darunter auch die Stadt [[w:Eilat|Aila]], dem Propheten unterwarfen und bereit erklärten, die sogenannte [[w:Dschizya|Dschizya]], an ihn zu entrichten. Der arabische Begriff ''Dschizya'' hat die Grundbedeutung von „Ausgleich, Kompensation“. Was die Dschizya-Zahlung ausgleichen sollte, lässt sich nicht mit Gewissheit sagen. Allerdings hat diese Abgabe eine koranische Grundlage in [[w:Sure 9|Sure 9]], wo die Muslime aufgefordert werden, gegen die [[w:Ahl al-kitāb|Ahl al-kitāb]] zu kämpfen, bis „sie kleinlaut aus der Hand die Dschizya entrichten“ ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/29 Q 9:29]). Die Pflicht zum Kampf gegen Juden und Christen wird an der betreffenden Stelle daraus abgeleitet, dass sich die beiden Religionsgemeinschaften fälschlicherweise neben Gott [[w:Rabbinen|Rabbinen]] und [[w:Mönch|Mönche]] zu Herren genommen hätten ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/31 Q 9:31]), von [[w:Esra (Person)|Esra]] bzw. Christus behaupteten, sie seien Gottes Sohn, und damit die Rede der früheren Ungläubigen nachahmten ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/30 Q 9:30]). Diese koranischen Aussagen legitimierten eine neue, aggressivere Haltung gegenüber den Christen, bedeuteten aber andererseits auch, dass Juden und Christen die Möglichkeit gegeben wurde, bei Unterwerfung ihre Religion weiter auszuüben. Auch gegenüber [[w:Zoroastrier|Zoroastriern]] zeigte Muhammad diese Haltung. Als ihm zu Ohren kam, dass sich die auf dem Gebiet von Bahrain lebenden Zoroastrier weigerten, den Islam anzunehmen, ließ er ihnen unter der Bedingung, dass sie die Dschizya entrichteten, diese Freiheit. Als Rechtfertigung dafür soll er das bekannte Koranwort: „[[w:Kein Zwang in der Religion|Es gibt keinen Zwang in der Religion]]“ ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/256 Q 2:256]) herangezogen haben. === 4.1.3. Neuordnung der Wallfahrt und Reform des Kalenders === Im Jahr der Einnahme Mekkas (630) hielten sich Muhammad und seine engsten Gefährten vom Haddsch, der für die muslimischen und nicht-muslimischen Pilger noch ganz nach den altgewohnten Riten ablief, fern. Im Jahre darauf (631) beauftragte Muhammad seinen Gefährten [[w:Abū Bakr|Abū Bakr]], den Haddsch anzuführen. Während dieser sich bereits in Mekka befand, schickte ihm der Prophet seinen Vetter ʿAlī nach, der in [[w:Minā|Minā]] die folgenden Worte öffentlich verkündete, die auch Teil des Korans sind: {{Zitat|Eine Ankündigung von Gott und seinem Gesandten an die Leute am Tag der großen Wallfahrt: Gott hat keine Verpflichtung mehr gegenüber den [[w:Muschrik|Beigesellern]], und sein Gesandter ebenfalls nicht. Wenn ihr bußfertig umkehrt, ist das besser für euch. Wenn ihr euch aber abwendet, dann wisset, dass ihr Gott nicht zuschanden machen könnte. Und verheiße den Ungläubigen schmerzliche Strafe.|[https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/3 Q 9:3]}} Kurz danach heißt es: {{Zitat|Sind aber die heiligen Monate verflossen, so erschlaget die Beigeseller, wo ihr sie findet, und packet sie und belagert sie und lauert ihnen in jedem Hinterhalt auf.|[https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/5 Q 9:5]}} {| class="wikitable floatright" |- ! colspan="2" | Die islamischen Monate |- ! Nr !! Name |- | 1 | [[w:Muharram|Muharram]] |- | 2 | [[w:Safar|Safar]] |- | 3 | [[w:Rabīʿ al-awwal|Rabīʿ I]] |- | 4 | [[w:Rabīʿ ath-thānī|Rabīʿ II]] |- | 5 | [[w:Dschumādā l-ūlā|Dschumādā I]] |- | 6 | [[w:Dschumādā th-thāniya|Dschumādā II]] |- | 7 | [[w:Radschab|Radschab]] |- | 8 | [[w:Schaʿbān|Schaʿbān]] |- | 9 | [[w:Ramadan|Ramadān]] |- | 10 | [[w:Schawwāl|Schauwāl]] |- | 11 | [[w:Dhu l-qaʿda|Dhū l-Qaʿda]] |- | 12 | [[w:Dhū l-Hiddscha|Dhū l-Hiddscha]] |} Diese Verse vom Anfang der Sure 9 zeigen sehr deutlich, wie sich die Machtverhältnisse verändert hatten. Indem Muhammad den Ungläubigen unter schärfsten Androhungen verbot, sich Mekka anzunähern, schloss er sie auch von allen wirtschaftlichen Aktivitäten in dieser Stadt aus. Erst im Jahre 632 nahm Muhammad selbst am Haddsch teil. Hierbei verhielt er sich bei einzelnen Wallfahrtstationen anders, als es die Heiden getan hatten. So verlegte er den Lauf von [[w:ʿArafāt|ʿArafāt]] nach [[w:Muzdalifa|Muzdalifa]] auf die Zeit nach Sonnenuntergang und den Lauf von Muzdalifa nach Minā auf die Zeit vor Sonnenaufgang, um diesen Riten den Charakter heidnischer Sonnenverehrung zu nehmen. Außerdem bezog er die Wallfahrtsriten, die während der [[w:ʿUmra|ʿUmra]] an der Kaaba in Mekka vollzogen wurden, in den Haddsch ein. Die Bezeichnung ''Haddsch'' ging nun auf das kombinierte Wallfahrtsritual über; die speziell dem mekkanischen Heiligtum geltende ʿUmra-Wallfahrt blieb aber als „kleine Wallfahrt“ weiter bestehen. Muhammads Haddsch im Jahre 632, aufgrund seines kurz danach eingetretenen Todes [[w:Abschiedswallfahrt|Abschiedswallfahrt]] genannt, wurde für alle Zeiten zum Vorbild für dieses Ritual. Die Kaaba erlebte durch die Neuordnung des Haddsch einen enormen Bedeutungszuwachs. Da andere Heiligtümer wie dasjenige von [[w:Dhū l-Chalasa|Dhū l-Chalasa]] in Tabāla von Muhammads Anhängern zerstört wurden, erhielt sie nun auf der arabischen Halbinsel eine Monopolstellung. Im Zuge der Neuordnung des Haddsch wurde auch der altarabische lunisolare Kalender mit seinem [[w:Einschaltung (Zeitrechnung)|Interkalationssystem]] des ''nasīʾ'' (vgl. oben [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 01 #1.3.3. Das altarabische Heidentum und die Heiligtümer von Mekka|1.3.3.]]) abgeschafft und ein reiner [[w:Lunarkalender|Lunarkalender]] mit einer unveränderlichen Zahl von zwölf Monaten eingeführt. Die Gründe für die Kalenderreform sind nicht ganz klar, die Koranverse, die davon handeln ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/36 Q 9:36f]), lassen aber erkennen, dass die Entscheidungen derjenigen, die für die Einschiebung von Schaltmonaten und Heiligerklärung von Monaten zuständig waren, als willkürlich empfunden wurden und dies relevant für die Kriegführung war. Um deutlich zu machen, dass der erste Safar nun immer als heiliger Monat galt, erhielt er den Namen [[w:Muharram|al-Muharram]] („der Geheiligte“). Das neue Mondjahr mit nur 354 Tagen wurde zur Grundlage für den islamischen Kalender und diente fortan zur Bestimmung der religiösen Feste. Da dieses Mondjahr, das sich gewissermaßen „rückwärts“ durch die Sonnenjahre bewegt, für Ackerbau treibende Bauern jedoch nicht praktikabel ist, wurde in fast allen Ländern, in denen der Islam Wurzeln geschlagen hat, daneben ein [[w:Solarkalender|Solarkalender]] weitergeführt. == 4.2. Abū Bakr (632-634) – „Stellvertreter des Gottesgesandten“ == === 4.2.1. Die Ereignisse der Saqīfa und die Anfänge des Kalifats === Als Muhammad nach Medina zurückkehrte, verschlechterte sich sein Gesundheitszustand erheblich. Am 8. Juni 632 starb er. Es wird berichtet, dass er vor seinem Tod seine Nachfolge durch ein Testament regeln wollte, [[w:ʿUmar ibn al-Chattāb|ʿUmar ibn al-Chattāb]], der in der medinischen Zeit zu einem seiner wichtigsten Berater aufgestiegen war, dies jedoch verhindert habe. Muhammad hinterließ keinen männlichen Nachkommen. Mit seiner ersten Frau [[w:Chadīdscha bint Chuwailid|Chadīdscha]] hatte er vier Töchter und zwei oder drei Söhne. Letztere waren allerdings schon als Kinder verstorben. Seinen Adoptivsohn [[w:Zaid ibn Hāritha|Zaid ibn Hāritha]] hatte er im Zusammenhang mit der Affäre um [[w:Zainab bint Dschahsch|Zainab bint Dschahsch]] verstoßen. Auf diesen Sachverhalt soll sich das Koranwort von [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/33/vers/40 Sure 33:40] beziehen, in dem klargestellt wird, dass Muhammad keine Söhne hat und auch sein Amt als Gottesgesandter nicht erblich ist, er vielmehr „Siegel der Propheten“ (''ḫātam an-nabīyīn'') ist. Es war also völlig unklar, wer die Führung der [[w:Umma|Umma]] nach seinem Tod übernehmen sollte. In dieser Situation traten schwere Meinungsverschiedenheiten zwischen den mekkanischen [[w:Muhādschirūn|Muhādschirūn]] und den medinischen [[w:Ansār|Ansār]] hervor. Die Ansār zogen zu [[w:Saʿd ibn ʿUbāda|Saʿd ibn ʿUbāda]], dem Chef des medinischen Clans Banū Sāʿida, und versammelten sich in seiner Saqīfa („offener Versammlungsplatz“). Dort erhoben sie die Forderung, dass sich Ansār und Quraisch trennen sollten und eine jede Gruppe für sich einen Befehlshaber (''amīr'') wählen sollte. Damit drohte die islamische Gemeinschaft auseinanderzubrechen. Die Diskussion spitzte sich zu, als zu den Versammelten die drei Muhādschirūn Abū Bakr, ʿUmar und [[w:Abū ʿUbaida ibn al-Dscharrāh|Abū ʿUbaida]] hinzutraten. Vor allem ʿUmar trat strikt gegen jede Teilung der Gemeinschaft ein. Abū Bakr betonte den Vorranganspruch des Stammes Quraisch. In dieser Situation überraschte ʿUmar die Anwesenden, indem er plötzlich Abū Bakr die [[w:Baiʿa|Baiʿa]] leistete. Dieser hatte das Gebet der Gemeinde angeführt, als Muhammad bereits im Sterben lag. Daraus ergab sich für ihn ein gewisser Nimbus. Außerdem war er durch ʿĀ'ischa Schwiegervater des Propheten und darüber hinaus einer der frühesten Gläubigen überhaupt (vgl. oben [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 02#2.1.3. Die neue Gemeinde|2.1.3.]]). Bei allen wichtigen Kämpfen gegen die heidnischen Quraisch von Mekka war er dabei gewesen und hatte mit seinen finanziellen Mitteln andere Feldzüge unterstützt. Somit war Abū Bakr ein geeigneter Kompromisskandidat für Ansār und Muhādschirūn. Entscheidend für den weiteren Verlauf der Versammlung war die überraschende Ankunft der Banū Aslam, eines Clans aus der Umgebung von Medina, der für seine besondere Loyalität gegenüber dem Propheten bekannt war. Sie stießen in großen Zahlen zu der Versammlung und huldigten Abū Bakr. Viele Ansār weigerten sich zunächst, Abū Bakr zu huldigen. Auch die [[w:Banū Hāschim|Banū Hāschim]], der Clan des Propheten, protestierten dagegen, dass sie bei der Regelung der Nachfolge übergangen worden waren. Einige Ansār brachten in dieser Situation [[w:ʿAlī ibn Abī Tālib|ʿAlī ibn Abī Tālib]], der der nächste Verwandte des Propheten war, als Alternative für Abū Bakr ins Spiel. ʿAlī hatte offensichtlich auch die Unterstützung der Nachkommen von [[w:ʿAbd Schams ibn ʿAbd Manāf|ʿAbd Schams]]. Sie pochten in dieser Situation auf die politischen Vorrechte der Nachkommen [[w:ʿAbd Manāf ibn Qusaiy|ʿAbd Manāfs]], zu denen sowohl die ʿAbd Schams als auch die Banū Hāschim gehörten, und kritisierten, dass Abū Bakr nicht diesem Stammesadel angehörte. [[Datei:Abu bakr2.jpg|mini|Die Prophetengefährten schwören Abū Bakr den Treueid, während rechts neben ihm ʿUmar sitzt, Miniatur in einem [[w:Osmanisches Reich|osmanischen]] [[w:Siyer-i Nebi|Siyer-i-Nebi]]-Werk, 1596]] In der Folgezeit sorgte ʿUmar zusammen mit den Banū Aslam dafür, dass fast alle Bewohner Medinas Abū Bakr den Treueid leisteten, wobei sie möglicherweise auch Gewalt anwendeten. Abū Bakr selbst trat allerdings eher bescheiden auf. Er ließ erkennen, dass er sich als Fortsetzer der Linie des Propheten betrachtete, keinesfalls aber als Neuerer. In diesem Sinn war er darum bemüht, alle Verordnungen und Anweisungen des Propheten einzuhalten und weiterzuführen. Dieses Bestreben spiegelt sich auch in der Bezeichnung, die er für sein Amt gebrauchte. Er nannte sich ''ḫalīfat rasūl Allāh'', „Stellvertreter des Gesandten Gottes“. Stellvertreter des Gottesgesandten hatte es schon zu Lebzeiten des Propheten öfters gegeben: Für die Zeit seiner Abwesenheit von Medina, während eines kriegerischen Unternehmens vor allem, pflegte Muhammad solche Stellvertreter zu bestimmen, die für die Aufrechterhaltung der Ordnung zu sorgen hatten. Mit der Wahl dieses Titel, der im Deutschen üblicherweise mit ''Kalif'' wiedergegeben wird, machte Abū Bakr deutlich, dass er sich mit seinem Amt keine herrschaftliche Macht anmaßen, sondern lediglich den Status quo innerhalb der Umma aufrechterhalten wollte. Höhere Machtansprüche haben sich mit dem Kalifentitel erst in späterer Zeit entwickelt. Dass sich Abū Bakr gegen ʿAlī und die Banū Hāschim durchsetzte, hängt möglicherweise auch damit zusammen, dass man unter den Muhādschirūn aufgrund der Ehe ʿAlīs mit der Prophetentochter Fātima die Entstehung einer Dynastie befürchtete und deshalb lieber auf Abū Bakr setzte, bei dem diese Gefahr nicht bestand. Zu einer Konfrontation zwischen Abū Bakr, ʿUmar und der Prophetenfamilie führte wenig später der Streit um das von Juden bewirtschaftete Landgut des Propheten in Fadak im nördlichen [[w:Hedschas|Hedschas]]. Als Fātima Ansprüche auf dieses Landgut geltend machte, hielten die beiden ihr entgegen, dass der Prophet sein gesamtes Eigentum als Sadaqa der Gemeinschaft der Muslime vermacht habe. Da Fātima keinen ausreichenden Beweis dafür vorbringen konnte, dass der Prophet ihr das Landgut schon zu Lebzeiten geschenkt habe, zog Abū Bakr es ein. Fātima brach daraufhin den Kontakt zu Abū Bakr vollständig ab. Sechs Monate später starb sie. Erst nach ihrem Tod leistete auch ʿAlī dem Kalifen den Treueeid. Damit war die Nachfolgefrage endgültig geklärt. === 4.2.2. Abfallbewegung (''ridda'') und Wiederaufnahme des Dschihad === [[Datei:Mohammad_adil-Riddah_wars.PNG|mini|Schauplätze der Ridda-Kriege]] Nach dem Tode des Propheten setzte bei den Stämmen der Arabischen Halbinsel eine breite Absetzbewegung ein, die in den Quellen als [[w:Ridda|Ridda-Kriege]] bezeichnet wird. Der kurzzeitige Machtverlust der Quraisch führte dazu, dass in vielen Stämmen diejenigen Gruppen Oberwasser erhielten, die schon immer dem Anschluss an den Quraisch-Staat kritisch gegenüber gestanden hatten. In einigen Gegenden Arabiens traten Gegenpropheten auf, die auch auf dem religiösen Gebiet die Hegemonie des Islams in Frage stellten. Im Jemen etablierte sich der Gegenprophet al-Aswad, der in kurzer Zeit weite Gebiete Südarabiens unter seine Kontrolle bringen konnte. Er trat wie Muhammad im Namen Allāhs auf und verstand es, Ressentiments gegen die neue Abhängigkeit von Medina für seine Sache auszunutzen. Bei dem Stamm Hanīfa, der in der ostarabischen [[w:Al-Yamama|Yamāma]] lebte, tat sich ein Prophet namens [[w:Musailima|Musailima]] hervor, der in seinen Lehren gewisse monotheistische Anklänge zeigte, indem er im Namen [[w:Rahmanismus|Rahmāns]] predigte. Im zentralarabischen [[w:Nadschd|Nadschd]]-Gebiet traten sogar zwei Propheten auf, im Norden bei den Asad-Beduinen [[w:Tulayha|Tulaiha]] und im Süden bei den Tamīm die Prophetin Sadschāh. Unter Musailima wurde die härteste Gegnerschaft gezeigt, deren Wirksamkeit sich noch durch ein Bündnis mit der Prophetin Sadschāh erhöhte. Auf diese Weise entstand eine Allianz der Gegner, die eine gewaltige Armee mobilisieren konnte. Diejenigen Stämme, die sich der Ridda-Bewegung angschlossen, weigerten sich, weiterhin die Zakāt zu zahlen. Sie meinten, sie sei Teil eines Vertrages gewesen, den sie mit dem Propheten geschlossen hatten und der mit seinem Tod erloschen sei. Abū Bakr sandte von Mekka und Medina verschiedene Heere aus, um die abgefallenen Stämme mit Waffengewalt zurückzugewinnen. In den Feldzügen gegen die abgefallenen Stämme taten sich besonders zwei Mekkaner von den [[w:Machzūm|Machzūm]] hervor, die Muhammad lange heftig bekämpft hatten, [[w:Chālid ibn al-Walīd|Chālid ibn al-Walīd]] und [[w:ʿIkrima ibn Abī Dschahl|ʿIkrima ibn Abī Dschahl]]. Chālid konnte im Frühjahr 633 in der Ebene ʿAqrabā' den Truppen der Banū Hanīfa unter der Führung von Musailima eine vernichtende Niederlage beibringen. Weitere Kämpfe fanden in Bahrain, Oman und Jemen statt. Besonders erbitterten Widerstand leisteten die Kinda unter ihrem letzten Stammeskönig [[w:al-Aschʿath ibn Qais|al-Aschʿath ibn Qais]]. Mit der Einnahme ihrer Festung Nudschair im Hadramaut endete die Ridda-Bewegung. Al-Aschʿath wurde in Ketten nach Medina gebracht und dort durch Abū Bakr begnadigt. [[File:Mohammad adil-Muslims Invasion of Syria.PNG|mini|Die vier von Abū Bakr nach Syrien ausgesandten Truppenkontingente]] Die Ridda-Abwehrkämpfe gingen im Norden der Arabischen Halbinsel nun nahtlos in eine Eroberungsbewegung über. Noch im Jahre 633 unternahm Chālid mit seinen Kämpfern Überfälle auf Gebiete des Südirak, machte die dort lebenden Nomadenstämme botmäßig und eroberte [[w:al-Hīra|al-Hīra]], die Hauptstadt des [[w:Lachmiden|Lachmidenreiches]]. [[w:Al-Balādhurī|Al-Balādhurī]] (gest. 892), der Verfasser des wichtigsten arabischen Werkes über die [[w:Futūh|Futūh]], berichtet, dass Abū Bakr im Frühjahr 634 die Bewohner von Mekka, at-Tā'if, des Jemen und die Beduinen im Nadschd und Hedschas angeschrieben habe, „um sie für den Dschihad auszuheben und in ihnen die Lust daran und an der bei den [[w:Rhomäer|Rhomäern]] zu holenden Kriegsbeute zu entfachen.“ Sein Aufruf war offensichtlich ein voller Erfolg. Es wird berichtet, er habe in Medina drei Heere aufstellen können. Vier Truppenkontingente unter dem Oberbefehl von [[w:Abū ʿUbaida ibn al-Dscharrāh|Abū ʿUbaida ibn al-Dscharrāh]] zogen in Richtung Syrien. Als sich eine größere Konfrontation mit der byzantinischen Armee ankündigte, sandte Abū Bakr den noch im Irak weilenden Chālid ibn al-Walīd zu ihrer Verstärkung nach Syrien. Die beiden arabischen Heere trafen im Süden Syriens zusammen, und gemeinsam konnte man die Stadt [[w:Bosra|Bostra]] einnehmen. Unter Chālids Oberbefehl besiegten die Araber im Juli 634 ein byzantinisches Heer, das ihnen bei Adschnādain in Palästina entgegentrat. == 4.3. ʿUmar ibn al-Chattāb (634-644) - „Befehlshaber der Gläubigen“ == Abū Bakr starb im August 634. Er hatte in seinem Testament ʿUmar ibn al-Chattāb als Nachfolger eingesetzt, der bereits während seines Kalifats als eigentlicher Befehlshaber fungiert hatte. Zwar kam ʿUmar nur aus einem recht unbedeutenden quraischitischen Clan, doch konnte er frühe Verdienste um den Islam vorweisen und stand auch durch seine Tochter [[w:Hafsa bint ʿUmar|Hafsa]] in einem schwägerlichen Verhältnis zum Propheten. Er war der erste Kalif, der den Titel ''amīr al-muʾminīn'' („Befehlshaber der Gläubigen“) annahm. Dieser Titel wird seither von allen Herrschern benutzt, die einen Führungsanspruch über die gesamte Gemeinschaft der Muslime erheben. === 4.3.1. Die Eroberung des Vorderen Orients === [[File:Mohammad adil-Muslim invasion of Syria-3.PNG|mini|Die muslimischen Vorstöße in Syrien, 634-36]] Unter ʿUmar setzte sich die unter Abū Bakr begonnene Eroberungsbewegung fort. Hier werden nur stichpunktartig die wichtigsten Stationen der Eroberungsbewegung genannt: # Syrien und Palästina. Die Byzantiner, die sich nach der Schlacht von Adschnādain ins Jordantal zurückgezogen hatten, wurden im Januar 635 bei der Stadt [[w:Pella (Jordanien)|Pella]] erneut von den Arabern geschlagen und zogen nach Damaskus ab. Die Araber konnten daraufhin das gesamte Gebiet des heutigen Jordaniens einnehmen, darunter auch die prachtvoll ausgebaute Bischofsstadt [[w:Gerasa|Gerasa]]. Im Sommer 635 fiel bereits [[w:Damaskus|Damaskus]] und bald danach Emesa, das heutige [[w:Homs|Homs]]. Der byzantinische Versuch, Syrien zurückzuerobern, scheiterte. Im August 636 brachten die Araber den neu zusammengezogenen byzantinischen Truppen am [[w:Jarmuk|Yarmūk]], einem linken Nebenfluss des Jordan, der heute die Grenze zwischen Syrien und Jordanien bildet, erneut eine [[w:Schlacht am Jarmuk|Niederlage]] bei und zwangen sie so endgültig zum Rückzug aus Syrien. Als 638 [[w:Jerusalem|Jerusalem]] eingenommen wurde, reiste ʿUmar selber an, um die Stadt für die Muslime in Besitz zu nehmen. 640 folgte noch die Einnahme des Seehafens [[w:Caesarea Maritima|Caesarea]]. Damit endete die byzantinische Herrschaft auch in Palästina. # Irak. Im Herbst 634 sandte ʿUmar ein Heer zum Kampf gegen die Perser in den Irak aus. Im Süden nahm noch vor 635 der frühe Prophetengefährte ʿUtba ibn Ghazwān mit seinen Kämpfern das Mündungsgebiet von Euphrat und Tigris mit der bedeutenden Hafenstadt [[w:Apologos|al-Ubulla]] ein. Weiter nördlich erlitten die arabischen Kämpfer zunächst in der sogenannten [[w:Schlacht an der Brücke|Schlacht an der Brücke]] eine schwere Niederlage, konnten aber dann in der [[w:Schlacht von al-Qādisīya|Schlacht von al-Qādisīya]] (zwischen 635 und 638) über die persische Armee siegen. Der seit 632 herrschende Sassanide [[w:Yazdegerd III.|Yazdegerd III.]] überließ daraufhin den arabischen Truppen den Irak, gab seine Hauptstadt Ktesiphon auf und zog mit seinem Hofstaat nach Osten ab. Der Sieg von al-Qādisīya war für die Muslime ein ähnlich großer Triumpf wie der Sieg über die heidnischen Mekkaner bei der Schlacht von Badr im Jahre 624. Viele glaubten, dass sie den Sieg über die Perser nur der Hilfe Gottes verdankten. Einige von ihnen waren sogar der Meinung, dass [[w:al-Chidr|al-Chidr]], „der Grüne“, eine engelartige Gestalt, die aber nicht den Engeln zugerechnet wird, bei der Schlacht auf Seiten der Muslime mitgekämpft hatte. [[File:Mohammad adil-Muslim conquest of Egypt.PNG|mini|[[w:Arabische_Eroberung_%C3%84gyptens#Islamische_Eroberung_%C3%84gyptens|Die muslimische Eroberung Ägyptens]], 639-640.]] # <li value="3">Ägypten. ʿAmr ibn al-ʿĀs fiel 639 in einem fast privat zu nennenden Unternehmen in Ägypten ein. Nach Eroberung der in der Nähe des heutigen Kairo gelegenen byzantinischen Festung Babylon im April 641 konnte er das [[w:Nildelta|Nildelta]] mit seinem Heer nahezu ohne Widerstand einnehmen. 642 erfolgte die Eroberung Alexandriens, 643 die Einnahme von [[w:Barke (Libyen)|Barqa]] auf dem Gebiet des heutigen Libyen.</li> # Nordmesopotamien. Dieses Gebiet, das auch als die [[w:Dschazīra|Dschazīra]] (wörtl. „Insel“, nämlich zw. [[w:Euphrat|Euphrat]] und [[w:Tigris|Tigris]]) bekannt ist, wurde zwischen 639 und 641 von Nordsyrien aus durch ʿIyād ibn Ghanm erobert, wobei dieser auch schon Vorstöße nach Armenien unternahm. Zur Kontrolle der eroberten Gebiete und als Ausgangsbasis für weitere Eroberungen wurden an mehreren Orten arabische Garnisonen stationiert. In Syrien waren das bereits bestehende Orte, [[w:al-Dschābiya|al-Dschābiya]], die ehemalige Residenz der [[w:Ghassaniden|ghassānidischen]] Fürsten, und Homs. In den anderen Ländern wurden neue Lagerstädte gegründet, in denen die arabischen Krieger stammes- und clanweise auf verschiedene Parzellen verteilt und jeweils Moscheen nach dem Vorbild der Prophetenmoschee in Medina errichtet wurden. Die wichtigsten dieser [[w:Misr|Misr]] genannten Lagerstädte waren [[w:Basra|Basra]] und [[w:Kufa|Kufa]] im Irak, beide 638 gegründet, [[w:Mossul|Mossul]] in Nordmesopotamien, 641 gegründet, und [[w:Fustāt|al-Fustāt]] in Ägypten, das 643 direkt neben der alten byzantinischen Festung Babylon angelegt wurde. Diese Lagerstädte bildeten fortan die Zentren arabisch-islamischen Lebens in den eroberten Gebieten. Von Basra und Kufa aus unternahmen arabische Heerführer in den späten 630er Jahren Vorstöße nach Persien. Zwischen 637 und 640 unterwarfen sie [[w:Chusistan|Chusistan]] im Südwesten des heutigen Iran. Nach der [[w:Schlacht bei Nehawand|Schlacht bei Nihāwand]] im westiranischen [[w:Zāgros-Gebirge|Zagros-Gebirge]], bei der die Araber den sassanidischen Truppen eine weitere Niederlage bereiteten, stand ihnen das persische Hochland offen. Von Nihāwand aus zogen sie weiter nordwärts und machten das Gebiet von [[w:Aserbaidschan (Iran)|Aserbaidschan]] tributpflichtig. 644 konnten sie außerdem die Stadt [[w:Isfahan|Isfahan]] erobern. Der Sassanidenherrscher Yazdegird III. floh derweil weiter nach Osten. === 4.3.2. Faktoren, die die schnelle Expansion des islamischen Staates begünstigten === Mit seinen Eroberungen und Städtegründungen schuf ʿUmar wichtige Grundlagen für die sich später herausbildende islamische Zivilisation. Wie aber erklärt sich, dass die Eroberungen so schnell vorangetrieben werden konnten? Verschiedene Faktoren lassen sich als Gründe anführen: # Der der islamischen Eroberung vorausgehende Streit zwischen Oströmischem Reich und Sassanidischem Reich um die Vorherrschaft über den Vorderen Orient, der zu Lebzeiten Muhammads zu einem heftigen militärischen Schlagabtausch geführt hatte, hatte die beiden Reiche stark geschwächt. # Ein weiterer wichtiger Faktor in Syrien, Palästina und Ägypten war die fehlende Loyalität der Untertanen ihren ehemaligen Oberherren gegenüber. Diese Länder waren erst kurz vor der islamischen Eroberung wieder unter byzantinische Kontrolle gekommen. Weitaus die meisten Bewohner waren [[w:Monophysitismus|monophysitische]] Christen, für die die herrschende [[w:Konzil von Chalcedon|chalkedonische]] (griechisch-orthodoxe) byzantinische Reichskirche ein bedrückender Gegner war. Auch die syrischen Juden waren den neuen Herren freundlich gesinnt, denn die Byzantiner hatten sie jahrhundertelang verfolgt und ihnen den Zugang zur Stadt Jerusalem verwehrt. Im Zuge der islamischen Eroberung Jerusalems wurde der [[w:Tempelberg|Tempelberg]], der über Jahrhunderte nur eine Schutthalde war, als Heiligtum reaktiviert. Als ʿUmar ibn al-Chattāb 638 Jerusalem für die Muslime in Besitz nahm, wurde er von [[w:Kaʿb al-Ahbār|Kaʿb al-Ahbār]], einem zum Islam übergetretenen Juden aus dem Jemen begleitet. Er deutete dieses Ereignis propagandistisch als Erfüllung biblischer Prophetien. Diese Deutungen fielen bei den Juden Syriens offenbar auf fruchtbaren Boden. Sie betrachteten ʿUmar als einen messianischen Herrscher. Der in diesem Zusammenhang verwendete syrisch-aramäische Begriff ''pārōqā'' („Erlöser“) wurde in seiner arabischen Form ''fārūq'' zum allgemein üblichen Beinamen ʿUmars. # Die von den Arabern praktizierte vertragliche Regelung des Herrschaftswechsels brachte den Unterworfenen keine erheblichen Nachteile und führte zu einer „günstige(n) Konstellation konvergierender Interessen“ ([[w:Albrecht Noth|A. Noth]]), die als einer der Hauptgründe für den Erfolg der militärischen Anstrengungen der Araber gelten darf. Wie es im spätantiken Orient üblich war, gewährten die Araber den Bewohnern von Städten, die sich freiwillig ihrer Herrschaft unterwarfen, eine Sicherheitsgarantie. Sie wird in den arabischen Quellen als ''amān'' bezeichnet. Darüber hinaus wurde den Ahl al-kitāb, den Anhängern der monotheistischen Buchreligionen, neben dem Schutz ihres Lebens und Besitzes auch die freie Ausübung ihrer Religion und der Besitz ihrer Kultstätten und -gegenstände garantiert. Dieser Schutz hieß [[w:Dhimma|Dhimma]] und war eine einklagbare Verpflichtung des islamischen Staates gegenüber seinen nichtmuslimischen Untertanen; der einzelne Schutzbürger hieß Dhimmī. Seine Gegenleistung war die Dschizya, zur Zeit der Eroberung wohl als Pauschale der eroberten Stadt zu entrichten. Die in dieser Zeit mit unterworfenen Städten geschlossenen Verträge galten in der gesamten vormodernen Zeit als Modell für die Regelung des Verhältnisses zwischen islamischem Staat und nicht-muslimischen Untertanen. === 4.3.3. Organisation von Staat und Religion === [[File:Kabah Old Picture - panoramio.jpg|mini|Die Verhüllung der Kaaba mit einer neuen [[w:Kiswa|Kiswa]] ist seit ʿUmar ein bedeutendes Symbol islamischer Herrschaft.]] Zur Sicherung der Einkommen der Kämpfer und Gefährten Muhammads führte ʿUmar 641 ein Zentralregister ([[w:Diwan (Verwaltung)|Dīwān]]) ein, in dem die Zahlungen eingetragen wurden, die der Staat regelmäßig jedem zukommen ließ. Wichtigstes Kriterium für die Stellung in dem Register war die Position zum Islam. Deshalb stand an der Spitze mit den höchsten Zuwendungen der Clan, aus dem der Prophet hervorgegangen war, die [[w:Banū Hāschim|Banū Hāschim]]. Diesem Kreis schlossen sich die weiteren Verwandten an, dann kamen die Ansār aus Medina, die [[w:Schlacht von Badr|Badr]]-Kämpfer und die [[w:Schlacht von Uhud|Uhud]]-Überlebenden, schließlich die in Syrien und Irak eingesetzten Stammeskrieger. Auf diese Weise wurde eine feste Besoldung entwickelt, die ʿUmar aus den drei wichtigsten Staatseinnahmen finanzieren konnte. Dazu zählten die Dschizya, die Zakāt und die Bodensteuer (''ḫarāǧ''). Zur Verwaltung der Ausgaben und Einnahmen wurde eine Staatskasse (''bait al-māl'') eingerichtet. Die Heerführer, die in den verschiedenen Ländern auf Posten lagen, wie ʿAmr ibn al-ʿĀs im neueroberten Ägypten, wurden dazu aufgefordert, die Hälfte ihrer Einkünfte in diese Staatskasse einzuzahlen. ʿUmar setzte den Koranlesern (''qurrāʾ'') [[w:Dotation|Dotationen]] aus und setzte in verschiedenen Städten des Reiches Beamte mit dem Titel eines [[w:Qādī|Qādī]] ein. Der Begriff ''Qādī'' wird heute üblicherweise mit „Richter“ übersetzt, allerdings waren in dieser Zeit mit diesem Amt noch zahlreiche andere administrative und hoheitliche Aufgaben verbunden, wie zum Beispiel die Leitung des [[w:Freitagsgebet|Freitagsgebets]]. <div style="background: #fff; border-width: 1px 3px 3px 1px; text-align: center; padding-top:3px; float:{{{float|left}}}; font-size: smaller; line-height: 1.3; margin-left:1em; margin-right: 4px; width: 15em"> '''Heutiges Datum nach <br /> Hidschrī-Zeitrechnung''': ---- {{#timel:xmj.}} {{#switch:{{{1|{{#timel:xmn}}}}}|1=Muharram|2=Safar|3=Rabīʿ I|4=Rabīʿ II|5=Dschumādā I|6=Dschumādā II|7=Radschab|8=Schaʿbān|9=Ramadān|10=Schauwāl|11=Dhū l-Qaʿda|12=Dhū l-Hiddscha}} {{#timel:xmY}}<br /><small>(= {{#timel:j. F}} {{#timel:Y}}) <br /><nowiki>[</nowiki><span class="plainlinks">[{{fullurl:{{FULLPAGENAME}}|action=purge}} aktualisieren]</span><nowiki>]</nowiki></small> </div> Von großer Bedeutung war des Weiteren, dass ʿUmar im Jahre 638 eine neue Zeitrechnung einführte. Anlass dafür waren Streitigkeiten in Armeeteilen über Datierungsfragen. Als erstes Jahr der neuen Zeitrechnung wurde das Jahr der [[w:Hidschra|Hidschra]] des Propheten von Mekka nach Medina festgelegt, das am 16. Juli 622 begann. Damit wurde eine wichtige staatliche Maßnahme zur Vereinheitlichung getroffen. Diese [[w:Hidschrī-Jahreszählung|Hidschrī-Zeitrechnung]] hat sich im Laufe der Zeit im islamischen Herrschaftsbereich immer mehr durchgesetzt und gilt bis heute in vielen islamischen Ländern als eine der offiziellen Zeitrechnungen bzw. sogar die offizielle Zeitrechnung. Weiterhin ist bekannt, dass sich ʿUmar bei der Regierung sehr stark auf das koranische Prinzip der Konsultation ([[w:Schūrā|Schūrā]]) stützte. Zwar hörte er gelegentlich auch den Rat anderer Kreise, doch beschränkte er sich bei der Konsultation üblicherweise auf die verdienten mekkanischen Prophetengefährten. Zahlreiche Berichte beschreiben, wie er deren Meinung über wichtige politische und rechtliche Fragen einholte. Ein solches Gremium von verdienten mekkanischen Prophetengefährten trat auch nach ʿUmars Tod zusammen, um seinen Nachfolger zu wählen. [[File:Prière de Tarawih dans la Grande Mosquée de Kairouan. Ramadan 2012.jpg|mini|Die [[w:Tarāwīh|Tarāwīh]]-Gebete sind bis heute ein wichtiges Ritual im Bereich des [[w:Sunniten|sunnitischen]] Islams]] Auf religiöser Ebene war von wegweisender Bedeutung, dass ʿUmar während seiner Herrschaft die Stoff-Bekleidung ([[w:Kiswa|Kiswa]]) der Kaaba auf Kosten des Staatshaushalts erneuern ließ. Damit wurde dieses ursprünglich heidnische Ritual zu einem wichtigen Herrschaftssymbol im islamischen Staat. Der Ort für das Gebet an der Kaaba wurde durch einen Stein markiert, der entsprechend dem im Koran ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/125 Q 2:125]) genannten „Standplatz Abrahams“ als [[w:Maqām Ibrāhīm|Maqām Ibrāhīm]] bezeichnet wurde. Den Platz um die Kaaba ließ ʿUmar erweitern und mit einer Mauer versehen, womit er die Grundlage der [[w:al-Harām-Moschee|al-Harām-Moschee]] als eines selbständigen Gebäudes legte. Als neue gottesdienstliche Übung im Ramadān führte ʿUmar die nächtlichen [[w:Tarāwīh|Tarāwīh]]-Gebete ein, bei denen zwischen einer großen Zahl von Gebetszyklen immer wieder längere Pausen (''tarāwīḥ'') eingeschoben werden. Während ʿUmars Kalifat wurden auch im Bereich der Geschlechterordnung wichtige Veränderungen vorgenommen, die als Normen bis heute fortwirken. So führte ʿUmar als Bestrafung für außerehelichen Geschlechtsverkehr ([[w:Zinā|Zinā]]) bei bereits verheirateten Personen den Tod durch Steinigung ein. Der Koran sieht bei diesem Vergehen ohne Ansehen der Person als Strafe nur hundert Peitschenhiebe und Ausschluss aus dem Heiratssystem vor ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/24/vers/2 Q 24:2f]). ʿUmar berief sich bei dieser Maßnahme auf den sogenannten [[w:Steinigungsvers|Steinigungsvers]], der seiner Auffassung nach ursprünglich im Koran gestanden hatte, dann aber daraus gestrichen worden war. Das aus dem alten Arabien übernommene Rechtsinstitut der zeitlich begrenzten Genussehe ([[w:Mutʿa-Ehe|Mutʿa]]), auf das zu dieser Zeit noch viele Muslime zurückgriffen, wenn sie kurze sexuelle Beziehungen eingehen wollten, wurde von ʿUmar verboten. Außerdem verschärfte ʿUmar die Regeln für die [[w:Talāq|Verstoßung]] von Ehefrauen: Während nämlich vorher die Ehe erst dann beendet war, wenn der Ehemann die Verstoßungsformel in drei unterschiedlichen Monatsperioden ausgesprochen hatte, galt dies nun auch dann, wenn der Mann sie drei Mal direkt nacheinander ausgesprochen hatte. === 4.3.4. Die Vielgestaltigkeit des Korantextes === Ein bekannter Bericht besagt, dass ʿUmar noch während Abū Bakrs Kalifat von der Tatsache beunruhigt gewesen sei, dass in der Schlacht gegen Musailima viele ''qurrāʾ'' getötet worden waren. Die ''qurrāʾ'', d.h. Koranleser, waren jene, die den Koran auswendig kannten. Aus Furcht, dass infolge solcher Verluste schließlich auch die Kenntnis des heiligen Textes verloren gehen könnte, riet er Abū Bakr, eine Sammlung des Korans erstellen zu lassen. Mit diesem Unternehmen wurde [[w:Zaid ibn Thābit|Zaid ibn Thābit]], einer von Muhammads Sekretären (vgl. oben [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 03#3.2.5. Der allmähliche Machtzuwachs des Propheten|3.2.5.]]), beauftragt. Zaid schrieb nieder, was er auf Blättern (''ṣuḥuf'') gesammelt hatte, und übergab dies Abū Bakr. Es gibt allerdings keine Belege dafür, dass diese „Sammlung“ irgendwo als autoritativ akzeptiert wurde. ʿUmar befand sich aber wohl zu Beginn seines Kalifats im Besitz dieser Sammlung. Außer dieser Sammlung ʿUmars gab es zu seiner Zeit noch eine Anzahl anderer Kodizes, von denen die vier berühmtesten diejenigen von [[w:Ubaiy ibn Kaʿb|Ubaiy ibn Kaʿb]], [[w:ʿAbdallāh ibn Masʿūd|ʿAbdallāh ibn Masʿūd]], Miqdād ibn Aswad und [[w:Abū Mūsā al-Aschʿarī|Abū Mūsā al-Aschʿarī]] waren. Ubaiy war wie Zaid ibn Thābit Sekretär des Propheten gewesen und hatte schon zu seinen Lebzeiten Mitschriften seiner Verkündigungen angefertigt (vgl. oben [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 03#3.2.5. Der allmähliche Machtzuwachs des Propheten|3.2.5.]]). ʿAbdallāh ibn Masʿūd und Miqdād ibn Aswad, die Muslime der ersten Stunde waren, hatten den Koran dagegen nur mündlich memoriert. Miqdād war während der Zeit von ʿUmar in Syrien stationiert, ʿAbdallāh ibn Masʿūd wurde von ʿUmar 642 als Qādī nach Kufa geschickt. Der Jemenit Abū Mūsā al-Aschʿarī, der sich dem Propheten erst 628 angeschlossen hatte, wurde 638 von ʿUmar zum Statthalter von Basra ernannt. Was die Verbreitung der von diesen Männern erstellten Kodizes anlangt, so hielten sich die Dasmaszener an die Lesart des Ubaiy, die Kufier an die des Ibn Masʿūd, die Basrier an die des Abū Mūsā und die Bewohner von Homs an diejenige des Miqdād. Dass die Ausgaben des Ibn Masʿūd und Abū Mūsā in Kufa bzw. Basra solches Ansehen erreichten, hängt sicherlich damit zusammen, dass die beiden Männer dort als staatliche Funktionsträger tätig waren. Die Verwendung der Sammlung von Ubaiy, der sich selbst in Medina aufhielt, in Damaskus deutet dagegen darauf hin, dass diese Sammlung zu dieser Zeit eine überregionale Bedeutung erhalten hatte. Die Zulässigkeit all dieser verschiedenen Versionen des Korantextes wurde mit Berichten begründet, wonach der Prophet zu Lebzeiten Gefährten, die über die Unterschiedlichkeit der im Umlauf befindlichen Versionen des Korantexts besorgt, selbst damit beruhigt habe, dass der Koran in sieben Varianten (''ʿalā sabʿati aḥruf'') offenbart worden sei. Bei der Verbreitung dieser Berichte nahm Ubaiy eine Schlüsselrolle ein. Die textlichen Unterschiede zwischen den verschiedenen Versionen waren zum Teil beträchtlich. So war zum zum Beispiel in [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/3/vers/19 Sure 3:19] in der Sammlung Ibn Masʿūds als Name für die Religion nicht Islam, sondern ''Hanīfīya'' angegeben. == 4.4. ʿUthmān ibn ʿAffān (644-656) - „Stellvertreter Gottes“ == === 4.4.1. Nepotismus und Selbstbereicherung der Umaiyaden === Nach dem Tod von ʿUmar trat das von ihm gebildete Konsulativgremium verdienter Prophetengefährten zusammen, um seinen Nachfolger zu wählen. Ihm gehörten sechs Männer an: [[w:ʿUthmān ibn ʿAffān|ʿUthmān ibn ʿAffān]], ʿAlī ibn Abī Tālib, [[w:ʿAbd ar-Rahmān ibn ʿAuf|ʿAbd ar-Rahmān ibn ʿAuf]], [[w:Talha ibn ʿUbaidallāh|Talha ibn ʿUbaidallāh]], [[w:az-Zubair ibn al-ʿAuwām|az-Zubair ibn al-ʿAuwām]] und [[w:Saʿd ibn Abī Waqqās|Saʿd ibn Abī Waqqās]]. Von den genannten Personen hegten allein ʿAlī und ʿUthmān Ambitionen auf die Nachfolge. ʿAbd ar-Rahmān verzichtete auf die Kandidatur unter der Bedingung, dass ihm im Falle der Uneinigkeit die Aufgabe des Schiedsrichters übertragen würde. Da Saʿd für ʿAlī votierte und az-Zubair für ʿUthmān, Talha aber abwesend war, kam ʿAbd ar-Rahmān als Schiedsrichter zum Einsatz. Er entschied sich nach Beratungen mit den Häuptern der quraischitischen Clane für ʿUthmān, wodurch dieser zum neuen Kalifen wurde. ʿUthmān gehörte den [[w:Umayyaden|Umaiyaden]], einer Familie der ʿAbd Schams, an. Bei der endgültigen Einigung auf ʿUthmān war wahrscheinlich dieser ''nasab'' letztlich ausschlaggebend. In jedem Fall kündigt sich mit der Erhebung des Umaiyaden ʿUthmān die wenig später erfolgte Etablierung der ersten islamischen Dynastie, die sich eben aus der Umaiya-Familie rekrutierte, bereits an. {{Anker|Marwan}} Schon kurz nach seiner Amtseinführung setzte ʿUthmān Verwandte in zentrale Statthalterposten ein. Syrien befand sich ohnehin schon seit ʿUmar in der Hand des Umaiyaden [[w:Muʿāwiya_I.|Muʿāwiya ibn Abī Sufyān]]. Er war der Sohn von Muhammads ehemaligen Gegner [[w:Abū Sufyān ibn Harb|Abū Sufyān ibn Harb]]. Aber auch in Kufa und Ägypten wurden jetzt Umaiyaden als Gouverneure eingesetzt. Saʿd ibn Abī Waqqās, der Gründer von Kufa, musste ʿUthmāns Verwandten, Walīd ibn ʿUqba, weichen. ʿAmr ibn al-ʿĀs, der Eroberer Ägyptens, der noch im Jahre 645 einen byzantinischen Versuch, Ägypten wiederzuerobern, erfolgreich abwehren konnte, wurde als Gouverneur durch [[w:ʿAbdallāh ibn Saʿd|ʿAbdallāh ibn Abī Sarh]], den Milchbruder ʿUthmāns mit zweifelhafter Vergangenheit (vgl. oben [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 03#3.2.3. Andere Gegner Muhammads|3.2.3.]]), ersetzt. Als es im Jahre 649/50 zu Beschwerden über den Statthalter von Basra, Abū Mūsā al-Aschʿarī, kam, wurde auch diese Posten noch mit einem Umaiyaden, nämlich ʿAbdallāh ibn ʿĀmir, besetzt. Zum engsten Berater des Kalifen stieg [[w:Marwan I.|Marwān ibn al-Hakam]] auf, ebenfalls ein Umaiyade. Diese [[w:Vetternwirtschaft|nepotistische]] Politik führte zu einer Entfremdung zwischen dem Kalifen und dem Gremium von Prophetengefährten, die ihn in dieses Amt gewählt hatten. [[File:Mohammad adil-Rashidun-empire-at-its-peak-close.PNG|mini|Die Ausdehnung des islamischen Reiches gegen Ende von ʿUthmāns Kalifat]] Dennoch konnten die Eroberungszüge unter ʿUthmān und seinen Gouverneuren erfolgreich fortgesetzt werden. Muʿāwiya hatte schon 642 von Damaskus aus den Heerführer Habīb ibn Maslama zum Kampf in den [[w:Kaukasus|Kaukasus]] entsandt. Er konnte 645 die georgische Hauptstadt [[w:Tiflis|Tiflis]] einnehmen und bis 652 Armenien unterwerfen. Außerdem baute Muʿāwiya in den syrischen Hafenstädten eine Flotte auf, besetzte 649 [[w:Zypern|Zypern]] und drängte Byzanz aus dem östlichen Mittelmeer zurück. ʿAbdallāh ibn Abī Sarh unternahm von [[w:Fustāt|al-Fustāt]] aus Expeditionen an der nordafrikanischen Küste entlang in Richtung Westen und eroberte 647 [[w:Tripolitanien|Tripolitanien]]. 652 unterwarf er außerdem [[w:Oberägypten|Oberägypten]] und brachte das Königreich [[w:Nubien|Nubien]] in ein Tributverhältnis zum islamischen Staat. Zur Kontrolle der nubischen Tributzahlungen wurde in der Stadt Syene (heute [[w:Assuan|Assuan]]) eine Militärgarnison stationiert. ʿAbdallāh ibn ʿĀmir vollendete 650 mit der Einnahme von [[w:Persepolis|Persepolis]] die Eroberung der [[w:Persis|Persis]] ([[w:Fars|Fārs]]) und besetzte 651/2 die sassanidische Nordostprovinz [[w:Chorasan|Chorasan]] mit den Städten [[w:Nischapur|Nischapur]], [[w:Merw|Merw]], [[w:Balch|Balch]] und [[w:Herat|Herat]]. Im gleichen Jahr fiel der Sassaniden-Herrscher [[w:Yazdegerd_III.|Yazdegerd III.]] in Merw einem Mordanschlag zum Opfer, womit die Sassaniden-Dynastie endgültig erlosch. ʿUthmān machte sich allerdings dadurch unbeliebt, dass er einen Teil der bei den Futūh eroberten Ländereien, die nach Vorstellung der Kämpfer der Gemeinschaft der Muslime insgesamt gehörten, unter Berufung auf den im Koran beschriebenen „Fünft“ (''ḫums'', vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/8/vers/41 Q 8:41]) zurückhielt und unter seinen Gouverneuren und Verwandten als Landgüter (''qaṭāʾiʿ'') verteilte. Auch verschiedene Prophetengefährten wie etwa Talha wurden großzügig mit Landschenkungen bedacht. Einer von ʿUthmāns Verwandten, der im Irak als Gouverneur eingesetzt war, verstieg sich zu der Aussage, dass das Fruchtland des Irak, der sogenannte ''sawād'', „Garten der Quraisch“ geworden sei, also gewissermaßen Eigentum dieses Stammes. Auch ʿAbdallāh ibn Abī Sarh, ʿUthmāns Gouverneur in Ägypten, tat sich durch gesteigerte Ausbeutungsmethoden negativ hervor. Mit den so erlangten Mitteln erbaute er sich in Ägypten einen prächtigen Palast. Allein diese Haltung bedeutete, wenn man ʿUmars Anweisungen hinsichtlich der Bauaktivität zum Vergleich heranzieht, eine bedenkliche Veränderung. Im Gegensatz zu seinen Vorgängern erhob ʿUthmān auch Anspruch auf göttliche Autorisierung. Er bezeichnete sich in seinen Urkunden nicht mehr als Stellvertreter des Gottesgesandten (''ḫalīfat rasūl Allāh''), sondern direkt als Stellvertreter Gottes (''ḫalīfat Allāh''). Damit stellte er sich in die Nachfolge des Königs [[w:David|David]], von dem Gott im Koran ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/38/vers/26 38:26]) sagt, dass Er ihn als Stellvertreter auf Erden eingesetzt habe, damit er zwischen den Menschen nach der Wahrheit richte. Dieses Modell des Kalifats übernahmen später fast alle anderen Herrscher, die diesen Titel für sich beanspruchten. === 4.4.2. Die Erstellung einer offiziellen Koranausgabe === [[File:The ‘Uthman Qur'an - Kufic.jpg|mini|links|Ausschnitt aus einem Korantext, der auf ʿUthmān zurückgeführt wird. [[w:Diakritisches Zeichen|Diakritische Zeichen]] fehlen.]] Unter dem Kalifat ʿUthmāns wurde eine erste offizielle Koranausgabe erstellt. Die islamische Tradition besagt, dass zu dieser Zeit, insbesondere während der Kriegszüge nach Armenien und Aserbaidschan, also im Jahre 652, Männer aus Syrien und dem Irak über die verschiedenen Lesarten des Korans in Streit gerieten. Als der General Hudhaifa von der Expedition zurückgekehrt war, trug er die Sache dem Kalifen vor, und der Kalif beschloss, eine Kommission einzusetzen, die einen offiziellen Korantext festlegen sollte. Mit dieser Aufgabe wurde erneut Zaid ibn Thābit betraut, wobei ihm jedoch drei Muslime aus Mekka zur Seite gestellt wurden. Die Kommissionsmitglieder wurden angewiesen, sich dort, wo es irgendeine sprachliche Schwierigkeit bei der Lesung gab, an den Dialekt der Quraisch von Mekka zu halten. Zaid und seinen Mitarbeiter händigte man für ihre Arbeit die Blätter (''ṣuḥuf'') ʿUmars aus, die bei seinem Tod an seine Tochter [[w:Hafsa bint ʿUmar|Hafsa]] gegangen war. Mit dieser Version verglichen sie alle Koranfragmente, die sie finden konnten, und fügten an passenden Stellen alle ausgelassenen Verse ein. Ziel ihrer Bemühungen war die Festlegung eines autoritativen Textes des Korans. Davon wurden dann Kopien angefertigt und in die wichtigsten Städte des islamischen Reiches (Damaskus, Kufa, Basra und wahrscheinlich auch Mekka) geschickt. Es heißt, dass ʿUthmān die anderen Korankodizes vernichten ließ. In Wirklichkeit wurde aber keine völlige Vertilgung der anderen Niederschriften erreicht. ʿAbdallāh ibn Masʿūd zum Beispiel weigerte sich erfolgreich, seinen Korankodex herauszugeben. Von den anderen Korankodizes wich die neu erstellte offizielle Koranausgabe in mehreren Punkten ab. So enthält sie am Anfang und Ende Gebete, die in anderen Korankodizes fehlten. Sie bilden die erste Sure, die [[w:al-Fātiha|Fātiha]], und die beiden letzten mit ''aʿūḏu bi-rabbi'' („Ich nehme Zuflucht beim Herrn...“) eingeleiteten Suren [[w:Sure 113|Sure 113]] und [[w:Sure 114|114]], die [[w:Apotropaion|apotropäische]] Funktion haben. Die Fātiha ist ein Eröffnungsgebet, das für den Gottesdienst der Muslime sehr große Bedeutung hat und deswegen auch mit dem christlichen [[w:Vaterunser|Vaterunser]] verglichen worden ist. Sein Text lautet: [[Datei:FirstSurahKoran.jpg|mini|hochkant|Kalligraphisch gestaltete Fātiha in arabischer Schrift, {{Audio|Surah Al fatiha104.ogg|Die Fātiha zum Anhören}}]] <poem lang="nl" style="margin-left:2em; float:left;"> ''Bi-smi Llāhi r-raḥmāni r-raḥīm'' ''al-ḥamdu li-Llāhi rabbi l-ʿālamīn'' ''ar-raḥmāni r-raḥīm'' ''māliki yaumi d-dīn'' ''īyāka naʿbudu wa-īyāka nastaʿīn'' ''ihdī-nā ṣ-ṣirāta l-mustaqīm'' ''ṣirāta llaḏīna anʿamta ʿalai-him'' ''ġairi l-maġḍūbi ʿalai-him wa-lā ḍ-ḍāllīn'' </poem> <poem style="margin-left:2em; float:left;"> Im Namen Gottes, des barmherzigen Erbarmers, Lob sei Gott, dem Herrn der Welten, dem barmherzigen Erbarmer, dem König des Gerichtstags. Dir dienen wir, dich rufen wir um Hilfe an. Führe uns den rechten Weg, den Weg derer, denen du Huld erwiesen hast, nicht derer, denen du zürnst und nicht derer, die irregehen. </poem> <div style="clear:left;"></div> Von großer Bedeutung war eine Differenz in [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/24 Sure 4:24]. In dem Passus, in dem den Männern erlaubt wird, sich mit ihrem Vermögen über ihre gewöhnlichen Ehefrauen hinaus sonstige Frauen zu verschaffen, wenn sie ihnen nach dem erfahrenen Genuss ihren Lohn geben, stand sowohl in dem Kodex von ʿAbdallāh ibn Masʿūd als auch in demjenigen von Ubaiy ibn Kaʿb der Ausdruck ''ilā aǧal musammā'' („bis zur genannten Zeit“). Daraus leiteten mehrere [[w:Sahāba|Prophetengefährten]] ab, dass zeitlich begrenzte Ehen zum Zweck des sexuellen Genusses ([[w:Mutʿa-Ehe|Mutʿa]]) trotz des Verbotes durch ʿUmar weiterhin erlaubt seien. In dem Korantext von ʿUthmān, der Grundlage aller späteren Koranausgaben ist, fehlt dieser Ausdruck. === 4.4.3. Die Entstehung einer religiös-politischen Opposition === Gegen die neu eingetretenen Umstände, Haltungen und Denkweisen in den aristokratischen Führungskreisen des Reiches bildete sich in Syrien und im Irak eine religiös-politische Oppositionsbewegung, die vor allem von Frommen, die zu Muhammads frühen Anhängern gehört hatten, getragen wurde. Einer der bekanntesten Vertreter dieser Bewegung war [[w:Abū Dharr al-Ghifārī|Abū Dharr al-Ghifārī]], der aufgrund seines frühen Beitritts zum Islam und seiner Meriten als Kämpfer eine hohe Stellung in der islamischen Gemeinde hatte. Als ʿUthmān nach den Eroberungszügen von 647 in Tripolitanien einen Großteil des erbeuteten Vermögens an Verwandte und seinen Sekretär Zaid ibn Thābit gab, predigte Abū Dharr gegen diejenigen, die „Geld anhäufen“, wobei er sich auf das Koranwort von Sure [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/34 9:34] bezog: „Wer aber Gold und Silber hortet und es nicht für die Sache Gottes ausgibt, denen verkünde schmerzhafte Strafe.“ ʿUthmān verbannte ihn daraufhin nach Syrien, wo Abū Dharr aber weitere Auseinandersetzungen mit dem dortigen umaiyadischen Statthalter Muʿāwiya hatte. Abū Dharr warf ihm vor, die ihm anvertrauten Gelder der Muslime zu veruntreuen, und forderte bei Predigten die Reichen dazu auf, die Armen zu unterstützen. Offensichtlich fand Abū Dharrs Bestreben ein beachtliches Echo unter den Armen in Syrien, denn diese versuchten daraufhin, die Reichen zu entsprechenden Handlungen zu zwingen. Als es zu Beschwerden bei Muʿāwiya kam, wandte sich dieser schriftlich an ʿUthmān und meldete ihm, dass Abū Dharr die Menschen in Syrien gegen ihn aufhetze. ʿUthmān ließ den angeblichen Aufrührer hierauf nach Medina kommen und zog seine Hinrichtung in Erwägung, nahm jedoch auf Anraten von ʿAlī ibn Abī Tālib davon Abstand. Der Kalif schickte ihn schließlich in eine Art Verbannung nach Rabdha, einem Dorf der Umgebung, wo er in Armut und Zurückgezogenheit um das Jahr 652 verstarb. Das harte Vorgehen gegen diesen populären Prophetengefährten schadete ʿUthmāns Ansehen stark. Auch in den Lagern Kufa und Basra, die durch Einwanderung von Stammesangehörigen der arabischen Halbinsel mittlerweile zu bedeutenden Siedlungen herangewachsen waren, regte sich Widerstand gegen ʿUthmān. In Kufa kritisierte ʿAbdallāh Ibn Masʿūd schon 650 den neuen Gouverneur, dessen heidnisches Gebaren ihn verstörte. 651 kam es zum Bruch mit ʿUthmān. Ibn Masʿūd fiel in Ungnade, unter Umständen, die nicht klar sind. Eine öffentliche Szene folgte, bei der er vom Kalifen misshandelt wurde. Ein Grund für diese Konfrontation mag die Auseinandersetzung um Ibn Masʿūds Korankodex (''muṣḥaf'') gewesen sein. Ibn Masʿūd zufolge war der [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/5/vers/67 Vers 5:67] zur Zeit des Propheten mit einem explizit auf ʿAlī bezogenen Zusatz versehen gewesen. Das deutet auf eine große Loyalität Ibn Masʿūds gegenüber ʿAlī und seiner Familie hin. === 4.4.4. ʿUthmāns Ermordung === [[File:Rebellions against Uthman & the Kharijite Origins.png|mini|Die Orte, von denen aus die Unzufriedenen nach Medina zogen.]] In den letzten Jahren des Kalifats von ʿUthmān wurden die Beschwerden gegen ihn immer lauter, und es entstand eine regelrechte Protestbewegung. Nach dem Bericht [[w:at-Tabarī|at-Tabarī]]s war es ein Mann namens [[w:ʿAbdallāh ibn Saba'|ʿAbdallāh ibn Saba']], der sie von Ägypten aus koordinierte. Er stellte ʿUthmān als Usurpator dar und propagierte, dass allein ʿAlī als Mohammeds Bevollmächtigter (''waṣī'') zur Herrschaft über die [[w:Umma|Umma]] befugt sei. Im Frühjahr 656 zogen große Gruppen Unzufriedener aus Ägypten, Basra und Kufa nach Medina, führten beim Kalifen über verschiedene Dinge Klage und verlangten seine Absetzung. ʿUthmān, der ihre Forderungen für unberechtigt hielt, bequemte sich schließlich zu Verhandlungen und sagte zu, ihre Beschwerden zu prüfen. Die Unzufriedenen wurden dadurch zunächst weitgehend beruhigt und traten den Heimweg an. Die Beschwerdeführer aus Ägypten fingen aber unterwegs einen Boten des Kalifen ab, der eine geheime Botschaft an den Statthalter in Ägypten bei sich hatte. Darin beauftragte der Kalif diesen, die Anführer hinzurichten und andere entsprechend zu bestrafen. Aufgebracht kehrten die Unzufriedenen nach Medina zurück, stellten den Kalifen zur Rede und forderten ihn ultimativ zum Rücktritt auf. Es kam zur Belagerung seines Hauses, wo ihn seine Knechte und Verwandten verteidigten und damit die Konfrontation verschärften. Das Gebäude wurde am 17. Juni 656 gestürmt, und ʿUthmān ermordet. Eine wichtige Folge der Ermordung ʿUthmāns war, dass die Stadt Medina fortan ihre Rolle als politisches Zentrum des islamischen Staates verlor. Noch wichtiger war allerdings, dass es über die Beurteilung von ʿUthmān und die Frage, ob seine Ermordung gerechtfertigt war, zu einer tiefgehenden Spaltung der Muslime kam, die bis heute noch nicht überwunden ist. In diesen Auseinandersetzungen um ʿUthmān tauchte zum ersten Mal eine wichtige Formel auf, die nämlich von dem „Buch Gottes und der [[w:Sunna|Sunna]] des Propheten“. Mit dem Buch Gottes war der Koran gemeint, mit der Sunna des Propheten die von diesem begründete Handlungspraxis, die man in der Gemeinschaft der Muslime als normativen Maßstab ansah. Während die Gegner ʿUthmāns überzeugt waren, dass ʿUthmān gegen die Prinzipien von Koran und Prophetensunna verstoßen hatte, verteidigten seine Parteigänger, insbesondere die Umaiyaden, seine Handlungsweise gegen diesen Vorwurf. == 4.5. Weiterführende Literatur == * Sean Anthony: ''The Caliph and the heretic: Ibn Saba' and the origins of Shīʿism.'' Leiden 2012. * [[w:Al-Balādhurī|Al-Balādhurī]]: ''Kitāb Futūḥ al-buldān.'' Deutsche Übersetzung von [[w:Oskar Rescher|Oskar Rescher]]. 2 Bde. Leipzig 1917, Stuttgart 1923. * Heribert Busse: „ʿOmar b. al-Ḫaṭṭāb in Jerusalem“ in ''Jerusalem Studies in Arabic and Islam'' 5 (1984) 73–119. * Patricia Crone und Michael Cook: ''Hagarism. The Making of the Islamic World.'' Cambridge 1977. * Patricia Crone und Martin Hinds: ''God’s Caliph. Religious authority in the first centuries of Islam.'' Cambridge 1986. * Paul Gerhard Dannhauer: ''Untersuchungen zur frühen Geschichte des Qadi-Amtes.'' Bonn 1975. * Fred Donner: ''The early Islamic conquests.'' Princeton, NJ 1981. * Taieb El-Hibri: ''Parable and Politics in Early Islamic History. The Rashidun Caliphs.'' New York-Chichester 2010. * [[w:Martin Hinds|Martin Hinds]]: “The Murder of the Caliph ʿUthmān” in ''International Journal of Middle East Studies'' 3 (1972) 450–469. * Wilferd Madelung: ''The Succession to Muhammad. A study of the early caliphate.'' Cambridge 1997. * Al Makin: ''Representing the enemy: Musaylima in Muslim literature''. Frankfurt/Main 2010. * Theodor Nöldeke: ''Geschichte des Qorāns. Zweiter Teil: Die Sammlung des Qorāns.'' 2. Aufl. völlig umgearbeitet von Fr. Schwally. Leipzig 1919. * Albrecht Noth: “Von der medinensischen 'Umma' zu einer muslimischen Ökumene“ in A. Noth u. J. Paul (Hrsg.): ''Der Islamische Orient. Grundzüge seiner Geschichte.'' Würzburg 1998. * David Stephan Powers: ''Muḥammad is not the father of any of your men: the making of the last prophet''. Philadelphia 2009. * Israel Wolfensohn: ''Kaʿb al-Aḥbār und seine Stellung im Ḥadīṯ und in der islamischen Legendenliteratur.'' Gelnhausen 1933. == 4.6. Fragen/Aufgaben == 1. Welche Umstände erleichterten die islamische Eroberung des Vorderen Orients? 2. Welche Veränderungen nahm Muhammad am Haddsch-Ritual vor? 3. Nach dem Tode Muhammads traten unter den Muslimen erhebliche Meinungsverschiedenheiten auf. Erklären Sie, um welches Problem es ging, und wie dieses gelöst wurde. 4. Welche Titel nahmen die ersten muslimischen Herrscher nach Muhammad an und welche Vorstellungen waren mit ihnen verbunden? 5. Nennen Sie politische und religiöse Reformen, die unter dem Kalifen ʿUmar ibn al-Chattāb vorgenommen wurden. 6. In welcher Weise lag der Koran nach dem Tode Muhammads vor und welche redaktionellen Prozesse fanden bis zum Kalifat ʿUmars statt? 7. Der Kalif ʿUthmān ließ die erste offizielle Koranausgabe erstellen. In welchen Punkten wich sie von anderen damals verwendeten Korankodizes ab? 8. Beschreiben Sie die Entwicklungen, die zur Ermordung des Kalifen ʿUthmān und damit auch zur Spaltung der Muslime führten. {{Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI)/Navigation}} 2k8ohoezn1dsuet4d935q03ixbccotd 0 106682 1118830 1118149 2026-11-04T10:03:22Z Bocardodarapti 2041 1118830 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Der surjektive {{ Definitionslink |Monoidhomomorphismus| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name= | \N^n | M {{=}} \N^n/\sim || |SZ= }} induziert nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Kommutative Monoidringe/Funktorialität im Monoid/Fakt |Nr= |SZ= }} und {{ Faktlink |Faktseitenname= Kommutative Monoidringe/Funktorialität im Monoid/Surjektivität/Fakt |Nr= |SZ= }} einen surjektiven {{ Definitionslink |Prämath=R |Algebraho{{drucktrenn|}}momorphismus| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name= \varphi |R[\N^n] {{=}} R[X_1 {{kommadots|}} X_n] | R[M] || |SZ=. }} Wir müssen zeigen, dass der Kern dieser Abbildung gleich dem von den binomialen Polynomen {{mathl|term= X^\mu- X^\nu|SZ=}} zu {{mathl|term= \mu \sim \nu|SZ=}} in {{math|term= \N^n |SZ=}} erzeugten Ideal ist. 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November */ Die Datenlaube im Jahr 2026 1118807 wikitext text/x-wiki '''DatenlaubeJam''', dienstags 2026, meist ab 8:30, BBB: https://bbb.tu-dresden.de/rooms/l3b-ikm-u3c-2rd/join == 3. November == {{Wikisource|Zedler:Butter-Stolle}} {{Wikisource|Damast}} {{Wikisource|Index:Lieder zum 14. October 1872.pdf}} ; Die Datenlaube im Jahr 2026 Christian Erlinger: ''Großes Update des zentralen Code-Repositories'' ... ''Über 18.500 Items in Wikidata'', https://diedatenlaube.github.io/posts/2026/update_2026.html == 27. Oktober == ; Handschriftliche Notizen lesen und ergänzen {{Wikisource|Tafellied der Freiwilligen Turner-Feuerwehr zu Neumünster|Tafellied der Freiwilligen Turner-Feuerwehr zu Neumünster, 1881}} CP: Dresden-Plauener Lieder? Durchsuchen: ''Broschüren- und Collectaneen-Sammlung des Sammlers Adolf Jädicke'', https://digital.slub-dresden.de/kollektionen/17 == 20. Oktober == ; Tafellieder Heute [[Datei:Tafellieder Verein für Erdkunde zu Dresden 1913.pdf|mini|Tafellieder des Vereins für Erdkunde zu Dresden, 14. März 1913]] * ''Des Bäuerleins Tageslauf : Dem Landwirtschaftlichen Verein Reinhardtsgrimma und Umgegend gewidmet zum Ball am 15. März 1921'', [https://cdn.reinhardtsgrimma.de/reinhardtsgrimma.de/images/heimatblatt/grimmsches_heimatblatt18.pdf Grimmsches Heimatblatt 18] * ''Tafellied zum 31. Stiftungsfest des Gewerbegehilfen-Vereins Reinhardtsgrimma u. Umg. Am 18. Januar 1923 Im „Goldnen Hirsch“ zu Reinhardtsgrimma'', [https://cdn.reinhardtsgrimma.de/reinhardtsgrimma.de/images/heimatblatt/grimmsches_heimatblatt21.pdf Grimmsches Heimatblatt 21] : Grimmsches Heimatblatt: https://reinhardtsgrimma.de/heimatblatt.html * Landesbibliothek Kiel: https://katalog.ub.uni-kiel.de/DB=3/SET=2/TTL=1/MAT=/NOMAT=T/CLK?IKT=1016&TRM=Tafellieder bzw. ''Tafel*lied'' == 13. Oktober == ; Neu aus Dresden [[s:Verein für Erdkunde zu Dresden]] == 6. Oktober == [[Datei:Dresdner Geschichtsblätter - Titel.jpg|mini|Dresdner Geschichtsblätter - Titel]] ; Fertig [[s:Dresdner Geschichtsblätter Band 6 (1913 bis 1916)]], bis auf die geschützten Texte ; Zweitkorrektur {{Wikisource|Mitteilungen des Vereins für Chemnitzer Geschichte Dritter und Vierter Band}} ; Wunschzettel [[d:Q4112660]], [[c:Category:Wish lists]] == 29. September == [[Datei:Exposición "El casco antiguo" escuela bella época dresde.jpg|mini|Exposición "El casco antiguo" escuela bella época dresde]] * Dundee City Archives: Burns Supper, Scotland-GDR Society, In The Red Flag, https://nearby.hypotheses.org/6524 * Mitteilungen des Vereins für Chemnitzer Geschichte Dritter und Vierter Band - mindestens einmal korrigiert: {{Wikisource|Index:Mitteilungen_des_Vereins_für_Chemnitzer_Geschichte_Dritter_und_Vierter_Band.pdf}} * Geschichtswettbwerb: [[w:Lotte Hahm]] ; Neu {{Wikisource|Zur Kipper- und Wipperzeit in Kursachsen}} ; Handwerker-Heft (Dresdner Hefte) {{Wikisource|Tafellied 400 Jahre Buchdruckerkunst in Dresden}} * [[c:Category:Ausstellung des sächsischen Kunstgewerbes und Handwerks Dresden 1896]] * Ausstellung des sächsischen Kunstgewerbes und Handwerks 1896 baute einen kleinen Event-Erlebnis-Park im Stile einer frühneuzeitlichen Stadt auf das Areal der Güntzwiese, heutige Cockerwiese. "Die Alte Stadt" zog mehr Besucher an als die Ausstellungen des Handwerks im Ausstellungspalast. Wer möchte kann per Georeferenzierung die Bilder des Leporellos der Cockerwiese zuordnen, hier ist der genaue Plan aus dem Ausstellungskatalog: https://digital.slub-dresden.de/werkansicht/dlf/124455/24 == 22. September == * Leseholz transkribiert und in der Wikisource: {{Wikisource|Leseholz-Zettel_No_33}} * Korrekturlesen erwünscht: {{Wikisource|Index:Goldenes_Buch_Hotel_Bellevue_Dresden.pdf}} == 15. September == [[Datei:Leseholz-Zettel.pdf|Leseholz-Zettel, 1861|mini]] ; Leseholz-Zettel Neu: [[s:Leseholz-Zettel No 33]] ; Sächsisches Gaffee-Lied!, circa 1909 <poem>Und nimmt der Deifel einst mich beim Schlaffiddchen, Und trägt im Flug mich nach der Helle fort, So trink ich schnell vom Gaffee noch ä Schniddchen, Denn keenen giebts an jenem dunklen Ort. Nur trinkt mer Schwefelbliemchen Nur mit des Deifels Miehmchen; Kee Gaffee dort, o welche Hellenpein, Ich bin ä Sachse, will ä Sachse sein. (...)</poem> Quelle: Stadtarchiv Leipzig: 0290 (Handwerkerinnungen), Schornsteinfegerinnung Nr. C 13, 200-jähriges Bestehen [Jubelfeier!] der Schornsteinfegerkreisinnung Leipzig, (Dokument 81), Transkript: https://nearby.hypotheses.org/6448. Vielleicht von Lene Voigt? Vgl. https://www.mdr.de/kultur/literatur/lene-voigt-gedichte,lene-voigt-leipzig-sachsen-mundart-dichtung-104.html == 8. September == [[Datei:Typographen-Lied 1846.jpg|mini|Typographen-Lied 1846]] ; SPRECHSAAL ; Handwerksheft {{Wikisource|Tafellied 400 Jahre Buchdruckerkunst in Dresden|Tafellied bei dem zur 400jährigen Jubelfeier der Erfindung der Buchdruckerkunst den 21. Juni 1840 in Dresden stattfindenden Festmahle im Saale der Harmonie}} == 1. September == ; Elektrische-Tafellied-Archiv-Bibliothek (ETAB) : Neu 1913 {{Wikisource|Eröffnung Bahn Hohenstein–Gersdorf–Lugau–Oelsnitz}} Gesucht: Tafellieder der Textilindustrie, vielleicht auch mit Damast? ; 3 x Leipzig 1866 {{Wikisource|Tafellieder der Bäcker und Müller 1866}} == 25. August == [[Datei:Kraftspeise zur Tafel in Liegnitz 1895.jpg|mini|Kraftspeise zur Tafel in Liegnitz 1895]] {{Wikisource|Tafellieder Eröffnungsfeier der Eisenbahn Wolkenstein-Jöhstadt 1892}} {{Wikisource|Kraftspeise zur Tafel in Liegnitz 1895}} ; Digitalladen Aschaffenburg CF berichtet: ''Bürgerbeteiligung und Digitalladen der Stadt Aschaffenburg'', https://digital.aschaffenburg.de/digitalladen/ : ''Kommen Sie vorbei! Wir freuen uns darauf, Sie kennenzulernen.'' ; ''Anschließend'' [[meta:Event:Global GLAM call 2026-08-25]] : https://etherpad.wikimedia.org/p/Global_GLAM_Calls_%E2%80%94_2026_Notes == 18. August == Wir sprachen über KI-Fotos auf Einladungen von Gesichtsvereinen, über das attraktive Ambiente für gelegentlichen DatenlabeJam in der Zebradiele nahe dem [[w:Universitätsarchiv der Technischen Universität Dresden]] ... ; Neu ist ... die [[s:Forsche Naturforscherei]] aus Chemnitz. == 11. August == [[Datei:In Memoriam Moreauschaenke Liedtext.JPG|mini|In Memoriam ''Moreauschaenke'', Liedtext]] ; [[w:Moreauschänke|Moreauschänke]] in Dresden : In memoriam Moreauschänke <poem> 1. Schänke wir Dich grüßen, o Gambrinus hilf, Bald wirst Du Dich schließen, o Gambrinus hilf, Gambrinus hilf uns allen aus der tiefen Not! 2. Quelle unsrer Freude, o Gambrinus hilf, Trösterin in Leiden, o Gambrinus hilf, Gambrinus hilf uns allen aus der tiefen Not! 3. Kneipe ohnegleichen, o Gambrinus hilf, Mußt vom Platze weichen, o Gambrinus hilf, Gambrinus hilf uns allen aus der tiefen Not! 4. Stoff tat'st Du uns spenden, o Gambrinus hilf, Traurig mußt Du enden, o Gambrinus hilf, Gambrinus hilf uns allen aus der tiefen Not! 5. Gedenkt es miteinander, o Gambrinus hilf, Man rieb hier Salamander, o Gambrinus hilf, Gambrinus hilf uns allen aus der tiefen Not! 6. Lieder hier erklangen, o Gambrinus hilf, Mützen wir hier schwangen, o Gambrinus hilf, Gambrinus hilf uns allen aus der tiefen Not! 7. Uns bleibt nur zu hoffen, o Gambrinus hilf, Du einst wieder offen, o Gambrinus hilf, Gambrinus hilf uns allen aus der tiefen Not! 8. Jetzt mit diesem Tranke, o Gambrinus hilf, Sagen wir Dir "Danke", o Gambrinus hilf, Gambrinus hilf uns allen aus der tiefen Not! 9. Altem Brauch gemäße, o Gambrinus hilf, Leert nun die Gefäße, o Gambrinus hilf, Gambrinus hilf uns allen aus der tiefen Not! </poem> : Worte: AH. Jürgen Modrzynski x S! xx O! zum 4. November 1988 : Melodie: altes fränkisches Wallfahrtslied ''Anmerkungen'' : "Man rieb hier Salamander", ein Ritus vor dem Ex-Trinken eines Glases Bieres, vgl. [[w:Salamander (Ritual)]]. : Parodie auf das katholische Marienlied "Meerstern, ich Dich grüße", [[w:Ave maris stella]] == 4. August == [[s:Dresdner Geschichtsblätter Band 6 (1913 bis 1916)]] {{Wikisource|Alt-Dresdner Gelegenheitsdichtung}} : "Ein fruchtbarer Boden für diese Erzeugnisse war unser Sachsen. In Dresden blühte die Gelegenheitsdichtung. Noch finden sich in alten Papieren wertvolle Reste. Das beste davon sollte gesammelt werden; ich bitte, mir solche Gedichte, ob gedruckt oder handschriftlich, zugänglich machen zu wollen." [[Datei:Menggunakan Wikipedia dalam Pembelajaran-Seri 1 (page 26-2 crop).jpg|mini|Menggunakan Wikipedia dalam Pembelajaran-Seri 1 (page 26-2 crop)]] {{Wikisource|Mitteilungen des Vereins für Chemnitzer Geschichte Dritter und Vierter Band}} : {{Wikisource|Gottlob Daniel Staberoh}} {{Wikisource|Tafellied der Abend-Zeitung 13.07.1842}} : "Dieses Zitat (''Die erste Strophe des Tafellieds'') stammt aus dem Gedicht „Die Kochkunst“ von Friedrich von Hagedorn (1708–1754), einem bekannten Dichter der deutschen Aufklärung", behauptet eine Suchmaschine. Stimmt das? Wer findet ggf.? : zur 2. Strophe: "Dieses Zitat stammt aus dem Gedicht „Der Küchengarten“ von Christian Fürchtegott Gellert (1715–1769), einem bedeutenden deutschen Dichter und Moralphilosophen der Aufklärungszeit." : zur 3. Strophe: "Ein wunderbarer Vierzeiler, der die perfekte Balance zwischen Trank und Schmaus beschreibt! Die Verse fangen das klassische Lebensgefühl von Genuss und Geselligkeit perfekt ein." : Tafellied gesamt mit Google: "Das ist ein wunderbares, historisches Gedicht, das die Kochkunst gegenüber dem Weinloben verteidigt! Es stammt aus dem Kochbuch-Klassiker „Praktisches Kochbuch“ von Henriette Davidis (erstmals erschienen 1844). Dort dient es traditionell als feierliches Entree (Einleitung) für das Kapitel über die Kochkunst." ; Notizen zur Methode ''DatenlaubeJam'' Was noch? * 2026: ''See the Unseen'': [[s:Chemnitzer Geschichtsverein|Verein für Chemnitzer Geschichte]] mit [[s:Kunsthütte Chemnitz]] :: Lern- und Lehrmittel (OER): [[s:Tafellieder#Sekundärliteratur]] :: Tafellieder und andere Gelegenheitsdichtung in sächsischen Sammlungen :: Neu: DatenlaubeJam [[d:Q140833912]] * 2024: [[DieDatenlaube/Notizen/Methode DatenlaubeJam|Methode DatenlaubeJam]] * 2023: [[DieDatenlaube/Lehre]] * 2022: [[DieDatenlaube/Notizen/GeNeMe Abstrakt|GeNeMe]] == 27. Juli == ; Tatort Dresden Läuft gut, [[d:Q140136012]], https://www.dresdner-geschichtsverein.de/hefte/aktuelles-heft. ; Tafellieder : [[s:Tafellied Jubelfeier Schnellpresse König und Bauer|Tafellied bei der Jubelfeier zur Erbauung der 1000. Schnellpresse im König und Bauer’schen Etablissement Kloster Oberzell am 23. März 1865]] : [[s:Orthographisches Tafellied 1876|Orthographisches Tafellied]] == 21. Juli == [[Datei:Menggunakan Wikipedia dalam Pembelajaran-Seri 1 (page 26-1 crop).jpg|thumb|Menggunakan Wikipedia dalam Pembelajaran-Seri 1 (page 26-1 crop)]] * [[s:Tafellied bei dem Hebeschmause Waldenburg 1878|Tafellied bei dem Hebeschmause des Seminar-Umbaues zu Waldenburg den 10. August 1878]] * feine Piktogramme [[c:Category:Menggunakan Wikipedia dalam Pembelajaran]] ; Sind Turmvasen = Turmknöpfe mit anderer Form? [[s:Der alte und neue urkundliche Inhalt der Turmvase des alten Rathauses zu Dresden]], in: [[s:Dresdner Geschichtsblätter Band 6 (1913 bis 1916)]], 1915 == 14. Juli == * [[s:Aus dem religiösen und kirchlichen Leben Dresdens mit besonderer Berücksichtigung früherer Kriegszeiten]], Dresdner Geschichtsblätter, 1916 * ''Ein Ausflug nach Waldenburg'' samt ''Volkslied, am Tauftage des erstgeborenen Durchlauchtigen Prinzen von Schönburg Waldenburg, gesungen den 5. November 1819'', 11. Juli 2026, https://www.museum-waldenburg.de/blog/detail/ein-ausflug-nach-waldenburg == 7. Juli == ; Mission Blüher 2.0 Janosch (SLUB) zeigt Kulinaria: https://www.slub-dresden.de/entdecken/deutsches-archiv-der-kulinarik/digitalisierung-und-erschliessung-kulinarischer-quellen/ocr-blueher * Blueher OCR Korrektur App https://blueher-korrektur.culinaria-online.de/ * Vokabulartdaten für https://skosmos.org/, https://demo.skosmos.org/euro/de/, Skosmos [[d:Q130281770]] ; Schon gewusst? [[w:Tafellied|Tafellied]] in der Wikipedia Dazu Saxorum: https://saxorum.hypotheses.org/15983, Zugriffsstatistik: https://pageviews.wmcloud.org/?project=de.wikipedia.org&platform=all-access&agent=user&redirects=0&range=latest-30&pages=Tafellied == 30. Juni == [[Datei:Merkblatt Reichsversicherungsanstalt Januar 1914.pdf|mini|Merkblatt der Reichsversicherungsanstalt, 1914]] ; [[v:de:Kurs:Wikisource ASpB 2026|Spezialbestände aus Spezialbibliotheken]] {{Wikisource|Merkblatt Reichsversicherungsanstalt Januar 1914|''Merkblatt der Reichsversicherungsanstalt für Angestellte für die Einleitung eines Heilverfahrens (§§ 36 bis 43 des Versicherungsgesetzes für Angestellte)''}} == 23. Juni == ; Stadtansichten Alexander Winkler entdeckt (in & für) Berlin ''Wikidata Bildpositionen'': https://wd-image-positions.toolforge.org/, vgl. [[c:User:Awinkler3/Annotating_the_City]]. Austausch willkommen! ; Geschichtsvereinsbibliotheken linked open JB: Poster-[[Projekt:Wikisource links SaxFDM 2026|Projekt]] mit Daniel F. == 16. Juni == [[Datei:Dresdner Geschichtsblätter 1915 Nr. 1 Seite 110 Grafik.jpg|mini|Dresdner Geschichtsblätter 1915, Nr. 1, [[s:Seite:Dresdner Geschichtsblätter Sechster Band.pdf/113|S. 110]]]] Neu ist der Artikel [[w:Tafellied]]. ; Lied der Töpfer Altstadtwaldenburg: https://nearby.hypotheses.org/6053 == 9. Juni == ; 180 Tage Zukunft [[Datei:Lepidoptera collection 01652.jpg|mini|Lepidoptera collection 01652]] * Naturalienkabinett Waldenburg: https://www.museum-waldenburg.de/forschen-bewahren/wunderkammer-digital, ... https://www.geschichtsverein-waldenburg.de * neu: [[s:Waldenburg (Sachsen)]], siehe auch: [[c:Category:Museum Waldenburg]] == 2. Juni == {{Wikisource|Ludwig Richter}} ; Sinnsprüche : CF: "Hier gibts soviel zu tun, da reichen meine Tanzkarten nicht!" : JB: "Marktforschung kann enttäuschend sein." ; [[c:Category:Graphical abstracts|Graphical abstracts]] für DD-Hefte-Titel!? ; Neu : [[c:Category:Elbhang-Kurier]] : Leipziger Ausstellungsdaten: [[c:Category:Strukturen der Macht (exhibition)]] == 26. Mai == [[Datei:Wikidata in Museen, Archiven und Bibliotheken.pdf|100px|Wikidata in Museen, Archiven und Bibliotheken|right]] == 19. Mai == ; Neu {{Wikisource|Mitteilungen des Vereins für Chemnitzer Geschichte Dritter und Vierter Band}} {{Wikisource|Dresdner Geschichtsblätter Band 6 (1913 bis 1916)}} == 12. Mai == * Bericht vom Besuch der Ehrenamtler der SLUB in Freiberg, dort interessantes Gebäude und Blick ins Magazin * Projekt Herrnhuter läuft weiter, große Datenmengen werden generiert auf Zenodo: https://zenodo.org/records/19130765 * Tipp: Universum Dresden-Schau von Ernst Hirsch, viele tolle Dresdenaufnahmen, viel Stadtgeschichte * Projekt der SäBiG und der SLUb zum Besucherbuch der Bibliothek: https://digital.slub-dresden.de/werkansicht/dlf/12236/1 zum Projekt: https://www.saxorum.de/mitmachen/bibliotheksgeschichte-zum-mitmachen bisschen unklar, wo das Projekt liegt, vielleicht mal in die Datenlaube einladen? * Stand Geschichtsbücher: Band 5 fertig (juhu!!!) {{Wikisource|Dresdner Geschichtsblätter Band 5 (1909 bis 1912)}} * bitte Band 6 vorbereiten [[Datei:Kesselsdorf und Maxen.Seite295.jpg|mini|Kesselsdorf und Maxen, S. 295]] * Cossefritz bearbeitet weiter: {{Wikisource|Kesselsdorf_und_Maxen_–_Zwei_Winterschlachten_bei_Dresden}} und möchte den Wanderweg gehen, wer geht mit? ==5. Mai== [[Datei:Goldenes Buch Seite 001 Signatur 05.jpg|mini|Unterschrift Friedrich Ebert]] * ''Wenn Kruzianer feiern'', https://www.musik-in-dresden.de/2026/05/03/wenn-kruzianer-feiern/ über Tafellieder ; Datenpflege Das [[s:Goldenes Buch zum 70. Geburtstag August Bebel 1910/Personenregister|Personenregister des Goldenen Buches zum 70. Geburtstag August Bebel 1910]] wurde komplett auf WD umgestellt == April == [[Datei:Ortskarte des Königreichs Sachson 1-250.000. Auf Veranlassung der königlichen Ministerien sowie des evangelisch-lutherischen Landes-Consistoriums, nach amtlichen Quellen bearbeitet - btv1b53258207z.jpg|mini|Schöne übersichtliche politische Karte des Kgr. Sachsen, gespendet von der Franz. Nationalbibliothek]] [[Datei:Dresden, Albertinum, Ludwig Richter, im Juni.JPG|mini|1859 in der Kunstakademie ausgestellt]] ;Frühjahrsputz beim Poenicke: {{Wikisource|Album der Rittergüter und Schlösser im Königreiche Sachsen}} <gallery caption="neue Bilder" perrow="5" showfilename> Posseck Vogtland 2017 xy11.jpg Rittergut Untermarxgrün, Herrenhaus.jpg Schloss Heinersgrün (1).jpg Kirche St. Nikolaus (Rodau).jpg Herrenhaus des Ritterguts Gutenfürst (2).jpg </gallery> ; Interessant und hilfreich: https://sachsens-schloesser.de/ ; Desiderat mit Hilfe [[w:Staatliche Kunstsammlungen Dresden|SKD-Kunstbibliothek]] erledigt {{Wikisource|Katalog zu der von der Kön. Sächs. Akademie der bildenden Künste alljährlich veranstalteten Kunst-Ausstellung in Dresden 1859}} ; Neues Projekt Marie Simon: [[s:Index:Die Krankenpflege 1876.pdf]] == 31. März == [[Datei:Kesselsdorf und Maxen.Seite71.jpg|mini|Kesselsdorf und Maxen, S. 71]] ; Projekte {{Wikisource|Kunstdenkmäler Amtshauptmannschaft Flöha}} {{Wikisource|Kesselsdorf und Maxen – Zwei Winterschlachten bei Dresden}} {{Wikisource|Im Verein (Kunsthütte)}} {{Wikisource|Tafellied zur Crucianer-Feier am 2. Mai 1891}} * [[c:Category:Beschreibende Darstellung der älteren Bau- und Kunstdenkmäler des Königreichs Sachsen (Heft 7, Chemnitz)]] == 24. März == [[File:Die Gartenlaube (1898) b 0196 a 5.jpg|mini|Osterei als Tischkartenhalter, Die Gartenlaube, 1898, S. 196]] ; Zeitgemäßes neues Projekt? ''Ostereier für Buchhändler : mit Salz, Pfeffer, Essig oder Senf zu verspeisen im Jahre 1864'', https://mdz-nbn-resolving.de/details:bsb11267173 <gallery> Die_Gartenlaube_(1898)_b_0185_1.jpg|Das „Ritzen“ der Ostereier Die_Gartenlaube_(1898)_b_0185_2.jpg|Mährische Ostereier Die_Gartenlaube_(1898)_b_0186_1.jpg|Galizische Ostereier Die_Gartenlaube_(1898)_b_0186_2.jpg|Bemaltes und beschriebenes Gänseei Eduard Unger (painter, 1853) eastereggs ChatGPT-Image.png Die Gartenlaube (1894) b 180 3.jpg|[[s:Ein Gruß vom Osterhasen|Ein Gruß vom Osterhasen, 1894]] </gallery> == 17. März == Neue Themenseite: [[s:Kunsthütte Chemnitz]] ; Edits * Deutsche Nationalbibliothek [[d:Q27302]] * Sammelauftrag [[d:Q2217225]] * Sondersammelgebiet [[d:Q1746046]] * élections municipales de 2026 à Paris [[d:Q124423240]] == 10. März == ; Save the date * Tagung „Lebendiges Netzwerk Industriekultur im Ehrenamt“, Tagung mit Markt der Akteure in Dresden, am 28. März 2026: [https://www.saechsischer-heimatschutz.de/files/heimatschutz/pdf/Denkmalnetz%20Sachsen/Lebendiges%20Netzwerk/Tagungsprogramm%20LNIK%2028.03.2026_Stand_15.01.2026.pdf Flyer] ; Lieder Kunsthütte in [[s:Chemnitz#Kunst]] {{Wikisource|1. Tafellied zum 20. Stiftungsfeste des Erzgebirgischen Gartenbauvereins}} {{Wikisource|2. Tafellied zum 20. Stiftungsfeste des Erzgebirgischen Gartenbauvereins}} {{Wikisource|Erstes Tafellied Erzgebirgischer Gartenbauverein 1884}} {{Wikisource|Zweites Tafellied Erzgebirgischer Gartenbauverein 1884}} ; Instabil {{Wikisource|Index:Kesselsdorf und Maxen.pdf}} Nach Leerspeicherung geht’s kurzfristig – Das Problem hat sich leider weiter manifestiert – Problem hat sich in Luft aufgelöst, da auf djvu umgestellt. Nichts zu danken. {{Wikisource|Index:Kesselsdorf und Maxen.djvu}} == 3. März == ; C. {{Wikisource|Kunsthütte oder Pechhütte|Kunsthütte oder – Pechhütte?}} {{Wikisource|Die Geschichte von der Kunsthütte}} {{Wikisource|Die Chemnitzer wollten e Kunstvereinl hamm}} ; Deutsche Digitale B. Dokumention: [[meta:WikiKult - Offene Kulturdaten/Virtuelle Ausstellungen|Virtuelle Ausstellungen]] der DDB == 24. Februar == [[Datei:Liddy Böttcher.pdf|thumb|Die hochverehrte Mitbegründerin des Gewerbschul-Damenkränzchens ihre aufrichtige Freundin und treue Beratherin Frau Geh. Regierungsrath Liddy Böttcher in Dresden begrüssen in dankbarer Anerkennung ihres verdienstlichen Wirkens hierdurch als ihr Ehrenmitglied die gegenwärtigen Mitglieder dieser Vereinigung. Chemnitz, den 21. Juni 1882.]] ; Dresden: Plauen * Altarverhüllung und Passionsandachten, https://jakobikirchgemeinde-dresden.de/aktuelles/altarverhuellung-und-passionsandachten ; Kunsthütte Chemnitz * [[c:Category:Kunsthütte Chemnitz]], Kunstsammlungen Chemnitz: [https://www.kunstsammlungen-chemnitz.de/bibliothek-archiv/ Bibliothek und Archiv] ; Archiverlebnisse ... ''13. Tag der Archive'' am 7./8. März 2026, https://www.staatsarchiv.sachsen.de/tag-der-archive-2026-8099.html : ''Ordnung muss sein. Extra-Touren mit historischen Tanzkarten – und mit GLAM'', https://osl.hypotheses.org/21052 : ''Unboxing: Tafellieder, Tanzkarten, Bücher, Dachböden'', https://nearby.hypotheses.org/5225 ; Datenpflege * automatische Rückverlinkung zu WD in Echtzeit -> super! siehe: https://personen.niedersaechsische-bibliographie.de/person/1786778084/ == 17. Februar == [[Datei:Trostworte DDB.jpg|mini|Konrad Dielitz, DDB: Trostworte]] ; Es wollt' die Kunsthütt' auch einmal auf eine Reise gehen [[c:Category:Kunsthütte Chemnitz]] ; DDBstudio Kennt Ihr die [https://www.deutsche-digitale-bibliothek.de/content/virtuelle-ausstellungen Virtuellen Ausstellungen] der [[c:Category:Deutsche Digitale Bibliothek|Deutschen Digitalen Bibliothek]]? ; Urheber gesucht: <gallery> Meyers Universum Band 01 06 7. Auflage.jpg|[[d:Q138292728]] nicht in Marienbad, sondern in Karlsbad </gallery> == 10. Februar == [[Datei:Bildnisse hervorragender Dresdner (1908) August Tiedge.jpg|mini|hochkant|Christoph August Tiedge]] ; WP-Artikel gesucht [[d:Q138029143]], Stadtwiki hat vorgelegt: https://www.stadtwikidd.de/wiki/Tiedge-Stiftung ; [[Projekt:Tanzkarten]] Wie können historische Tanzkarten heute als Lern- und Lehrmittel dienen? ; Volltext bei Wikisource [[d:Q138038625]] = https://swb.bsz-bw.de/DB=2.304/PPNSET?PPN=1124690913&INDEXSET=21 {{Wikisource|Verzeichniss der von Speck’schen Gemälde-Sammlung, Teil 1 (1827)}} ; "Grüne Liste" für die Recherche von Lehrerbiografien im Königreich Sachsen {{Wikisource|Sächsischer Gymnasiallehrerverein}} == 3. Februar == [[Datei:Bildnisse hervorragender Dresdner (1908) Ludwig Richter.jpg|mini|hochkant|[[w:Ludwig Richter|Ludwig Richter]] war Lehrer an der Zeichenschule Meißen]] ; Tafellieder Heute * {{Wikisource|Tafellied Hebammenverein Bautzen|Tafel-Lied zum 25jährigen Stiftungsfest des Hebammenvereins Bautzen und Umg. am 7. Oktober 1926}} ; Universitäts- und Stadtbibliothek Köln über Wikisource ''Schatz an Digitalisaten und Texten wurde an der Universitäts- und Stadtbibliothek Köln in einen lokalen Katalog überführt und so für alle Nutzer - innerhalb und ausserhalb der Universität zu Köln - in einem modernen Recherche-Portal erschlossen.'' https://wikisource.ub.uni-koeln.de/portal/home.html?l=de ; WP-Artikel gesucht [[d:Q137948126]], Stadtwiki hat vorgelegt: https://www.stadtwikidd.de/wiki/Zeichenschule_Meißen, mehrfach erwähnt in: {{Wikisource|Lebensläufe Meißner Künstler}} Mehrfache Erwähnung auch im Stadtwiki Meißen via https://stadtwiki-meissen.de/wiki/Lebensläufe_Meißner_Künstler_(1888). Eine Seite dort wäre relevant. : ''(...) wenn man einen Artikel zur Zeichenschule Meißen (1743-1893) anlegt, dann muss nach meiner Meinung auch gleichzeitig ein Artikel über die "Kunstschule Meißen" (ab 1906) angelegt werden. (...)'' [https://stadtwiki-meissen.de/wiki/Diskussion:Lebensl%C3%A4ufe_Mei%C3%9Fner_K%C3%BCnstler_(1888) Link] == 27. Januar == ; Lesenswert [[d:Q137877729]]: zentrale Themen: Wahlen in Baltimore am 2. November 1859, Nativisten, Rowdys, Know Nothing Party; dazu der Soundtrack: [https://www.youtube.com/watch?v=_TvDge63Iy8 Baltimore] Man beachte den Text: [[s:Das Washingtondenkmal zu Baltimore in Maryland]] : jetzt auch auf Archivalia: https://archivalia.hypotheses.org/249945 ; Augenweide [[d:Q137886412]]: [[c:Category:Souvenirs des eaux de Baden-Baden et des environs (ca. 1837)]] Hinweis: Baden-Baden ist Partnerstadt von Freital ; Citizen Science in Dresden [[w:Wohnungsenquête (Berlin)]] {{Wikisource|Gesundheit und Städteerweiterung}} {{Wikisource|Wohnung und Krankheit}} {{Wikisource|Wohnungsnot in den großen Städten}} {{Wikisource|Die Wohnungsnoth der ärmeren Klassen}} {{Wikisource|Wohnungsnoth der Arbeiterinnen}} ; Verein für die Geschichte Leipzigs {{Wikisource|Leipziger Geschichtsverein}} ; Capital of Culture Content {{Wikisource|Tafellied im ökonomischen Verein zu Chemnitz}} == 20. Januar == ; Rollout [[d:Q136696936|164. Heft auf WD nun komplett (bis auf bibliographische Einträge in diversen Katalogen)]] ; Thüringer Schulportal ''Tafellieder : Informationen, Digitalisate und Einsatzmöglichkeiten im Bildungsbereich'', https://www.schulportal-thueringen.de/media/detail?tspi=18946, siehe auch [[s:Wikisource:OER]] ; Thüringen dito {{Commonscat|Hennebergisch-Fränkischer Geschichtsverein}} == 13. Januar == ; Neues Projekt {{Wikisource|Die Sophienkirche in Dresden}} ; Altes Projekt, neuer Band {{Wikisource|Meyer’s Universum, oder Abbildung und Beschreibung des Sehenswerthesten und Merkwürdigsten der Natur und Kunst auf der ganzen Erde. Zwanzigster Band|Meyer’s Universum, 20. Band}} ; Neue Themenseite {{Wikisource|Hasel}} ; Neue Tafellieder <gallery> Tafellied gesucht 1897.jpg|Tafellied gesucht, 1897 Tafellieder Schillerfest 1853.jpg|Aufforderung Tafellieder einzusenden bis 1. November 1853 </gallery> {{Wikisource|Tafellied beim Stiftungsfeste des Kunst- und Handwerksvereins zu Altenburg}} {{Wikisource|Tafellied auf Schulze-Delitzsch 1883}} {{Wikisource|Tafellied von Wilhelm Müller}} {{Wikisource|Neu-orthographisches Tafellied 1876}} : {{Wikisource|Parteitag der Deutschen Volkspartei (Der Beobachter, 1895)}} Neue Themenseite für die OER-Entwicklung {{Wikisource|Tafellieder}} == 6. Januar == ; Meyer’s Universum {{Wikisource|Das neue Museum in Dresden}} <gallery> Meyers Universum Band 19 33.jpg|Gesundes neues Jahr! </gallery> ; Tafellieder {{Wikisource|Tafellied des Vereins für Geschichte Dresdens 1894|Tafellied des Vereins für Geschichte Dresdens, 1894}} {{Wikisource|Alles per Dampf (1863)}} {{Wikisource|Olympische Grüsse (1899)}} {{Wikisource|Tafellied Ehemaliger Werkmeisterschüler Chemnitz 1884}} ; Dresden historisch, frisch hochgeladen [[d:Q137675269]] <gallery> S. Prout Sketches in Flanders and Germany 1833 45.jpg S. Prout Sketches in Flanders and Germany 1833 46.jpg S. Prout Sketches in Flanders and Germany 1833 47.jpg S. Prout Sketches in Flanders and Germany 1833 48.jpg S. Prout Sketches in Flanders and Germany 1833 49.jpg </gallery> ; Ratsschulbibliothek Zwickau : https://www.ratsschulbibliothek.de, Projektidee {{Wikisource|Mitteilungen des Vereins für Geschichte Dresdens. Zehntes Heft}} == Bibliothek == === Leseecke === * [[DieDatenlaube/call4edits]] === DatenlaubeJam '21, '22, '23, '24, '25 === Archive: '''[[DieDatenlaube/Notizen/2021|2021]]''', '''[[DieDatenlaube/Notizen/2022|2022]]''', '''[[DieDatenlaube/Notizen/2023|2023]]''', '''[[DieDatenlaube/Notizen/2024|2024]]''', '''[[DieDatenlaube/Notizen/2025|2025]]''' siehe auch [[s:Wikisource:Wikisource-Informationsstand_SLUB/Archiv|''Archiv des Wikisource-Informationsstands'' in der SLUB Dresden]] == Werkzeug== <gallery> Logo des Dresdner Geschichtsverein e.V.jpg|Logo des Dresdner Geschichtsverein e.V. Dresdner Journal 1906 010 Tierschutzverein.jpg|Nachtrag zum 164. Dresdner Heft Cover of Wikipedia and Academic Libraries (page 1 crop).jpg|[[s:en:Wikipedia and Academic Libraries: A Global Project|Wikipedia and Academic Libraries: A Global Project, 2021]] Wir bilden aus.jpg|right|mini|Wir bilden aus. Wikisource-logo-green.svg|Wikisource DDB im Wikiversum q.jpg|[[meta:WikiKult - Offene Kulturdaten/Virtuelle Ausstellungen|Deutsche Digitale Bibliothek im Wikiversum]]]] </gallery> === Fußnoten === <references /> [[Kategorie:Bibliothek]] [[Kategorie:Dresden]] [[Kategorie:Citizen Science]] 061sj85cqbo3unulqwcn67lxsqhkkuz 106 131461 1118779 1063272 2026-11-03T12:29:33Z Bert Niehaus 20843 /* Kaskadierende Summe mit Gaugefunktionalen */ 1118779 wikitext text/x-wiki == Einführung == Im Gegensatz zu Dreiecksungleichungen bei Halbnormen,<math>p</math>-Halbnormen oder der Subadditivität mit Stetigkeitskonstante der Addition bei Quasihalbnormen kann man im Allgemeinen bei mehreren Summanden bei topologischen Algebren für mehrere Summanden in einer Addition nicht notwendig das gleiche Gaugefunktional unabhängig von der Anzahl der Summanden wählen. Das Kaskaden-Lemma für Summen ist notwendig, um für die Stetigkeit der Cauchy-Multiplikation und eine unterschiedliche Anzahl der Summanden ein Abschätzung zu erhalten, die die Cauchy-Multiplikation stetig auf der Polynomalgebra macht. == Kaskadierende Summe mit Gaugefunktionalen == [[Datei:Cascading sum gaugefunctional.svg|400px|alternativtext=Kaskadierende Summe mit Gaugefunktionalen]] <span id="Lemma_Kaskadensumme"></span> == Lemma - Kaskadensummen == Sei <math> (A , \| \cdot \|_{\mathcal{A}} ) </math> eine topologische Algebra mit dem basiserzeugenden <math>p</math>-Gaugefunktionalsystem <math> \| \cdot \|_{\mathcal{A}} </math>, dann gibt es für alle <math> \alpha \in {\mathcal{A}}</math> eine [[Stetigkeitssequenz]] <math display="inline"> \left( \left\| \cdot \right\|_{(\alpha ,n)} \right)_{n \in \mathbb{N}_0} </math>, die folgende Eigenschaften besitzt: * (KA1) <math display="inline"> \left\| \cdot \right\|_{(\alpha , k )} \leq \left\| \cdot \right\|_{(\alpha , k+1 )} </math> für <math> k\in \{ 1, \ldots , n-1 \} </math> und <math> \|\cdot \|_{(\alpha , 0 )} := \| \cdot \|_\alpha </math> * (KA2) <math display="inline"> \displaystyle \left\| \sum_{k=1}^n x_k +y_k \right\|_\alpha \leq \sum_{k=1}^n \left( \left\| x_k \right\|_{(\alpha , k )} + \left\| y_k \right\|_{(\alpha , k )} \right) </math> == Beweis - Kaskadensummen == Für den Beweis verwendet man Ungleichung für die Stetigkeit der Addition für ein [[Basiserzeugendes Gaugefunktionalsystem|basiserzeugendes Gaugefunktionalsystem]] aus dem [[Topologisierungslemma für Algebren]]. Der Beweis gliedert sich in 3 Teile: * [[Stetigkeitssequenz|Stetigkeitssequenz]] wird induktiv definiert und sei <math> \|\cdot \|_{(\alpha , 0 )} := \| \cdot \|_\alpha </math> , * (KA1) Isotonie der Stetigkeitssequenz * (KA2) Kaskadenungleichung === Beweis 1 - Stetigkeit der Addition === Mit der [[Stetigkeitssequenz|Stetigkeitssequenzen]] der Multiplikation erzeugen, d.h. es gibt zu jedem Gaugefunktional <math>\|\cdot \|_\alpha</math> ein <math>\|\cdot \|_{\beta_1}</math> mit :<math>\| x + y \|_\alpha \leq \| x \|_{\beta_1} + \| y \|_{\beta_1} </math> für alle <math> x,y \in A</math>. Zu <math>_{\beta_1} \in \mathcal{A}</math> gilt es wieder ein <math>p</math>-Gaugefunktional <math>\|\cdot \|_\gamma</math> mit :<math>\| x + y \|_{\beta_1} \leq \| x \|_{\gamma_1} + \| y \|_{\gamma_1} </math> für alle <math> x,y \in A</math>. Man definiert nun <math> \left\| \cdot \right\|_{(\alpha , 1)} := \|\cdot \|_{\gamma_1} </math>. === Beweis 2 - Stetigkeit der Addition === Angewendet auf die Summe <math>x_1+y_1 + \sum_{k=2}^n (x_k +y_k) </math> mit <math>k=1</math> ergibt sich. :<math> \begin{array}{rcl} \left\| \displaystyle \sum_{i=1}^n (x_i +y_i) \right\|_{(\alpha , 0)} & \leq & \| x_1+y_1 \|_{\beta_1} + \left\| \displaystyle \sum_{i=2}^n (x_i +y_i) \right\|_{\beta_1} \\ & = & \| x_1\|_{(\alpha , 1)} + \| y_1 \|_{(\alpha , 1)} + \\ & & + \, \| x_2+y_2 \|_{(\alpha , 1)} + \left\| \displaystyle \sum_{i=3}^n (x_i +y_i) \right\|_{(\alpha , 1)} \\ \end{array} </math> === Beweis 3 - Stetigkeit der Addition === Ist nun <math>\left\| \cdot \right\|_{(\alpha , k)} </math> gegeben, so kann man wieder zu diesem <math>p</math>-Gaugefunktional <math>\left\| \cdot \right\|_{(\alpha , k)} </math> wieder <math>\|\cdot \|_{\beta_k}</math> finden, für das dann wiederum die folgende Ungleichung gilt: * <math>\| x + y \|_{(\alpha , k)} \leq \| x \|_{\beta_k} + \| x \|_{\beta_k} </math> für alle <math> x,y \in A</math> * Man definiert nun <math> \left\| \cdot \right\|_{(\alpha , k+1)} := \|\cdot \|_{\beta_k} </math> === Beweis 4 - Induktive Abschätzung der Summen === Mit der obigen Konstruktion erweitern man nun die Summen von <math> k </math> auf <math>k+1</math> und das Gaugefunktional <math> \|\cdot \|_{(\alpha ,k)} </math> bereits induktiv definiert. Angewendet auf die Summe <math>\sum_{i=1}^k (x_i +y_i) + (x_i +y_i) + \sum_{i=k+2}^n (x_i +y_i) </math> ergibt sich. :<math> \begin{array}{rcl} \left\| \displaystyle \sum_{i=2}^n (x_i +y_i) \right\|_{\alpha} & \leq & \displaystyle \sum_{i=1}^k \left( \| x_i\|_{(\alpha , i)} + \| y_i \|_{(\alpha , i)} \right) + \\ & & + \, \underbrace{\| x_{k+1}+y_{k+1} \|_{(\alpha , k)} }_{ \leq \| x_{k+1}\|_{(\alpha , k+1)} + \| y_{k+1} \|_{(\alpha , k+1)}} + \left\| \displaystyle \sum_{i=k+2}^n (x_i +y_i) \right\|_{(\alpha , k)} \\ & \leq & \displaystyle \sum_{i=1}^{k+1} \left( \| x_i\|_{(\alpha , i)} + \| y_i \|_{(\alpha , i)} \right) + \\ & & + \, \| x_{k+2}+y_{k+2} \|_{(\alpha , k+1)} + \left\| \displaystyle \sum_{i=k+3}^n (x_i +y_i) \right\|_{(\alpha , k)} \\ \end{array} </math> === Beweis 5 - (KA1) Isotonie der Stetigkeitssequenz === Die Stetigkeitssequenz von Gaugefunktionalen ist isoton (d.h. <math> \| \cdot \|_{(\alpha , k)} \leq \| \cdot \|_{(\alpha , k+1)} </math>), denn für alle <math> x \in A</math> gilt: :<math> \| x \|_{(\alpha , k)} = \| x + 0_A \|_{(\alpha , k)} \leq \| x \|_{(\alpha , k+1)} + \underbrace{ \| 0 \|_{(\alpha , k+1)} }_{=0} = \| x \|_{(\alpha , k+1)} </math> === Beweis 6 - (KA2) - Kaskadenungleichung === Die Stetigkeitssequenz von Gaugefunktionalen wird schrittweise für 3 Summanden angewendet: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \left\| \sum_{k=1}^n (x_k + y_k) \right\|_\alpha & \leq & \displaystyle \left\| x_k \right\|_{(\alpha , 1)} + \left\| y_k \right\|_{(\alpha , 1)} + \left\| \sum_{k=2}^n x_k + y_k \right\|_{(\alpha , 1)} \\ & \leq & \displaystyle \sum_{k=1}^2 \left( \left\| x_k \right\|_{(\alpha , 2)} + \left\| y_k \right\|_{(\alpha , 2)} \right) + \left\| \sum_{k=3}^n x_k + y_k \right\|_{(\alpha , 2)} \\ & \leq & \displaystyle \sum_{k=1}^n \left( \left\| x_k \right\|_{(\alpha , k )} + \left\| y_k \right\|_{(\alpha , k )} \right) \end{array} </math> Insgesamt folgt die Behauptung. <math>\Box</math> == Korollar 1 - Kaskadensummen == Sei <math> (A , \| \cdot \|_{\mathcal{A}} ) </math> eine topologische Algebra mit dem basiserzeugenden <math>p</math>-Gaugefunktionalsystem <math> \| \cdot \|_{\mathcal{A}} </math>, dann gibt es für alle <math> \alpha \in {\mathcal{A}}</math> eine isotone Stetigkeitssequenz <math display="inline"> \left( \left\| \cdot \right\|_{(\alpha ,n)} \right)_{n \in \mathbb{N}_0} </math>, die folgende Eigenschaften besitzt: * (KA1) <math display="inline"> \left\| x \cdot y \right\|_{(\alpha , k )} \leq \left\| x \right\|_{(\alpha , k+1 )} \cdot \left\| y \right\|_{(\alpha , k+1 )} </math> für <math> k\in \mathbb{N}_o </math> und <math> \|\cdot \|_{(\alpha , 0 )} := \| \cdot \|_\alpha </math> * (KA2) <math display="inline"> \displaystyle \left\| \sum_{k=1}^n x_k +y_k \right\|_{(\alpha , m)} \leq \sum_{k=1}^n \left( \left\| x_k \right\|_{(\alpha , m+k )} + \left\| y_k \right\|_{(\alpha , m+k )} \right) </math> für alle <math>m\in \mathbb{N}_o </math>. == Korollar 2 - Kaskadensumme == Sei <math> (A , \| \cdot \|_{\mathcal{A}} ) </math> eine topologische Algebra mit dem basiserzeugenden <math>p</math>-Gaugefunktionalsystem <math> \| \cdot \|_{\mathcal{A}} </math>, dann gibt es für alle <math> \alpha \in {\mathcal{A}}</math> eine isotone Stetigkeitssequenz <math display="inline"> \left( \left\| \cdot \right\|_{(\alpha ,n)} \right)_{n \in \mathbb{N}_0} </math>, die folgende Eigenschaften besitzt: * (SA1) <math display="inline"> \left\| x \cdot y \right\|_{(\alpha , k )} \leq \left\| x \right\|_{(\alpha , k+1 )} \cdot \left\| y \right\|_{(\alpha , k+1 )} </math> für <math> k\in \mathbb{N}_o </math> und <math> \|\cdot \|_{(\alpha , 0 )} := \| \cdot \|_\alpha </math> * (SA2) <math display="inline"> \displaystyle \left\| \sum_{k=1}^n x_k \right\|_{(\alpha , m)} \leq \sum_{k=1}^n \left\| x_k \right\|_{(\alpha , m+k )} </math> === Bemerkung - Korollare Kaskadenlemma === Das Korollar 2 erhält man unmittelbar aus Korollar 1 durch Setzung von <math>y_k = 0_A</math>. === Beweisaufgabe für Studierende === Beweisen Sie das Korollar 1 unter Verwendung der Lemmas über Kaskadensummen und über die Stetigkeit der Multiplikation in einer topologischen Algebra (siehe [[Topologisierungslemma für Algebren]]) == Siehe auch == * [[Basiserzeugendes Gaugefunktionalsystem|basiserzeugendes Gaugefunktionalsystem]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Lemma - Kaskadenprodukte|Lemma - Kaskadenprodukte]] * [[Stetigkeitssequenz]] * [[Topologische Algebra]] * [[Topologisierungslemma für Algebren]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Lemma%20-%20Kaskadensummen%20&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Lemma%20-%20Kaskadensummen%20&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Lemma%20-%20Kaskadensummen%20 https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Lemma%20-%20Kaskadensummen%20] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Lemma%20-%20Kaskadensummen%20 Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Lemma%20-%20Kaskadensummen%20 * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Lemma%20-%20Kaskadensummen%20&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] faczrctzl4jnd6j02esi1ghihmzmoeg 1118787 1118779 2026-11-03T12:42:34Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1118787 wikitext text/x-wiki == Einführung == Im Gegensatz zu Dreiecksungleichungen bei Halbnormen,<math>p</math>-Halbnormen oder der Subadditivität mit Stetigkeitskonstante der Addition bei Quasihalbnormen kann man im Allgemeinen bei mehreren Summanden bei topologischen Algebren für mehrere Summanden in einer Addition nicht notwendig das gleiche Gaugefunktional unabhängig von der Anzahl der Summanden wählen. Das Kaskaden-Lemma für Summen ist notwendig, um für die Stetigkeit der Cauchy-Multiplikation und eine unterschiedliche Anzahl der Summanden ein Abschätzung zu erhalten, die die Cauchy-Multiplikation stetig auf der Polynomalgebra macht. == Kaskadierende Summe mit Gaugefunktionalen == [[Datei:Cascading sum gaugefunctional.svg|400px|alternativtext=Kaskadierende Summe mit Gaugefunktionalen]] <span id="Lemma_Kaskadensumme"></span> == Lemma - Kaskadensummen == Sei <math> (A , \| \cdot \|_{\mathcal{A}} ) </math> eine topologische Algebra mit dem basiserzeugenden <math>p</math>-Gaugefunktionalsystem <math> \| \cdot \|_{\mathcal{A}} </math>, dann gibt es für alle <math> \alpha \in {\mathcal{A}}</math> eine [[Stetigkeitssequenz]] <math display="inline"> \left( \left\| \cdot \right\|_{(\alpha ,n)} \right)_{n \in \mathbb{N}_0} </math>, die folgende Eigenschaften besitzt: * (KA1) <math display="inline"> \left\| \cdot \right\|_{(\alpha , k )} \leq \left\| \cdot \right\|_{(\alpha , k+1 )} </math> für <math> k\in \{ 1, \ldots , n-1 \} </math> und <math> \|\cdot \|_{(\alpha , 0 )} := \| \cdot \|_\alpha </math> * (KA2) <math display="inline"> \displaystyle \left\| \sum_{k=1}^n x_k +y_k \right\|_\alpha \leq \sum_{k=1}^n \left( \left\| x_k \right\|_{(\alpha , k )} + \left\| y_k \right\|_{(\alpha , k )} \right) </math> == Beweis - Kaskadensummen == Für den Beweis verwendet man Ungleichung für die Stetigkeit der Addition für ein [[Basiserzeugendes Gaugefunktionalsystem|basiserzeugendes Gaugefunktionalsystem]] aus dem [[Topologisierungslemma für Algebren]]. Der Beweis gliedert sich in 3 Teile: * [[Stetigkeitssequenz|Stetigkeitssequenz]] wird induktiv definiert und sei <math> \|\cdot \|_{(\alpha , 0 )} := \| \cdot \|_\alpha </math> , * (KA1) Isotonie der Stetigkeitssequenz * (KA2) Kaskadenungleichung === Beweis 1 - Stetigkeit der Addition === Mit der [[Stetigkeitssequenz|Stetigkeitssequenzen]] der Multiplikation erzeugen, d.h. es gibt zu jedem Gaugefunktional <math>\|\cdot \|_\alpha</math> ein <math>\|\cdot \|_{\beta_1}</math> mit :<math>\| x + y \|_\alpha \leq \| x \|_{\beta_1} + \| y \|_{\beta_1} </math> für alle <math> x,y \in A</math>. Zu <math>_{\beta_1} \in \mathcal{A}</math> gilt es wieder ein <math>p</math>-Gaugefunktional <math>\|\cdot \|_\gamma</math> mit :<math>\| x + y \|_{\beta_1} \leq \| x \|_{\gamma_1} + \| y \|_{\gamma_1} </math> für alle <math> x,y \in A</math>. Man definiert nun <math> \left\| \cdot \right\|_{(\alpha , 1)} := \|\cdot \|_{\gamma_1} </math>. === Beweis 2 - Stetigkeit der Addition === Angewendet auf die Summe <math>x_1+y_1 + \sum_{k=2}^n (x_k +y_k) </math> mit <math>k=1</math> ergibt sich. :<math> \begin{array}{rcl} \left\| \displaystyle \sum_{i=1}^n (x_i +y_i) \right\|_{(\alpha , 0)} & \leq & \| x_1+y_1 \|_{\beta_1} + \left\| \displaystyle \sum_{i=2}^n (x_i +y_i) \right\|_{\beta_1} \\ & = & \| x_1\|_{(\alpha , 1)} + \| y_1 \|_{(\alpha , 1)} + \\ & & + \, \| x_2+y_2 \|_{(\alpha , 1)} + \left\| \displaystyle \sum_{i=3}^n (x_i +y_i) \right\|_{(\alpha , 1)} \\ \end{array} </math> === Beweis 3 - Stetigkeit der Addition === Ist nun <math>\left\| \cdot \right\|_{(\alpha , k)} </math> gegeben, so kann man wieder zu diesem <math>p</math>-Gaugefunktional <math>\left\| \cdot \right\|_{(\alpha , k)} </math> wieder <math>\|\cdot \|_{\beta_k}</math> finden, für das dann wiederum die folgende Ungleichung gilt: * <math>\| x + y \|_{(\alpha , k)} \leq \| x \|_{\beta_k} + \| x \|_{\beta_k} </math> für alle <math> x,y \in A</math> * Man definiert nun <math> \left\| \cdot \right\|_{(\alpha , k+1)} := \|\cdot \|_{\beta_k} </math> === Beweis 4 - Induktive Abschätzung der Summen === Mit der obigen Konstruktion erweitern man nun die Summen von <math> k </math> auf <math>k+1</math> und das Gaugefunktional <math> \|\cdot \|_{(\alpha ,k)} </math> bereits induktiv definiert. Angewendet auf die Summe <math>\sum_{i=1}^k (x_i +y_i) + (x_i +y_i) + \sum_{i=k+2}^n (x_i +y_i) </math> ergibt sich. :<math> \begin{array}{rcl} \left\| \displaystyle \sum_{i=2}^n (x_i +y_i) \right\|_{\alpha} & \leq & \displaystyle \sum_{i=1}^k \left( \| x_i\|_{(\alpha , i)} + \| y_i \|_{(\alpha , i)} \right) + \\ & & + \, \underbrace{\| x_{k+1}+y_{k+1} \|_{(\alpha , k)} }_{ \leq \| x_{k+1}\|_{(\alpha , k+1)} + \| y_{k+1} \|_{(\alpha , k+1)}} + \left\| \displaystyle \sum_{i=k+2}^n (x_i +y_i) \right\|_{(\alpha , k)} \\ & \leq & \displaystyle \sum_{i=1}^{k+1} \left( \| x_i\|_{(\alpha , i)} + \| y_i \|_{(\alpha , i)} \right) + \\ & & + \, \| x_{k+2}+y_{k+2} \|_{(\alpha , k+1)} + \left\| \displaystyle \sum_{i=k+3}^n (x_i +y_i) \right\|_{(\alpha , k)} \\ \end{array} </math> === Beweis 5 - (KA1) Isotonie der Stetigkeitssequenz === Die Stetigkeitssequenz von Gaugefunktionalen ist isoton (d.h. <math> \| \cdot \|_{(\alpha , k)} \leq \| \cdot \|_{(\alpha , k+1)} </math>), denn für alle <math> x \in A</math> gilt: :<math> \| x \|_{(\alpha , k)} = \| x + 0_A \|_{(\alpha , k)} \leq \| x \|_{(\alpha , k+1)} + \underbrace{ \| 0 \|_{(\alpha , k+1)} }_{=0} = \| x \|_{(\alpha , k+1)} </math> === Beweis 6 - (KA2) - Kaskadenungleichung === Die Stetigkeitssequenz von Gaugefunktionalen wird schrittweise für 3 Summanden angewendet: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \left\| \sum_{k=1}^n (x_k + y_k) \right\|_\alpha & \leq & \displaystyle \left\| x_k \right\|_{(\alpha , 1)} + \left\| y_k \right\|_{(\alpha , 1)} + \left\| \sum_{k=2}^n x_k + y_k \right\|_{(\alpha , 1)} \\ & \leq & \displaystyle \sum_{k=1}^2 \left( \left\| x_k \right\|_{(\alpha , 2)} + \left\| y_k \right\|_{(\alpha , 2)} \right) + \left\| \sum_{k=3}^n x_k + y_k \right\|_{(\alpha , 2)} \\ & \leq & \displaystyle \sum_{k=1}^n \left( \left\| x_k \right\|_{(\alpha , k )} + \left\| y_k \right\|_{(\alpha , k )} \right) \end{array} </math> Insgesamt folgt die Behauptung. <math>\Box</math> == Korollar 1 - Kaskadensummen == Sei <math> (A , \| \cdot \|_{\mathcal{A}} ) </math> eine topologische Algebra mit dem basiserzeugenden <math>p</math>-Gaugefunktionalsystem <math> \| \cdot \|_{\mathcal{A}} </math>, dann gibt es für alle <math> \alpha \in {\mathcal{A}}</math> eine isotone Stetigkeitssequenz <math display="inline"> \left( \left\| \cdot \right\|_{(\alpha ,n)} \right)_{n \in \mathbb{N}_0} </math>, die folgende Eigenschaften besitzt: * (KA1) <math display="inline"> \left\| x \cdot y \right\|_{(\alpha , k )} \leq \left\| x \right\|_{(\alpha , k+1 )} \cdot \left\| y \right\|_{(\alpha , k+1 )} </math> für <math> k\in \mathbb{N}_o </math> und <math> \|\cdot \|_{(\alpha , 0 )} := \| \cdot \|_\alpha </math> * (KA2) <math display="inline"> \displaystyle \left\| \sum_{k=1}^n x_k +y_k \right\|_{(\alpha , m)} \leq \sum_{k=1}^n \left( \left\| x_k \right\|_{(\alpha , m+k )} + \left\| y_k \right\|_{(\alpha , m+k )} \right) </math> für alle <math>m\in \mathbb{N}_o </math>. == Korollar 2 - Kaskadensumme == Sei <math> (A , \| \cdot \|_{\mathcal{A}} ) </math> eine topologische Algebra mit dem basiserzeugenden <math>p</math>-Gaugefunktionalsystem <math> \| \cdot \|_{\mathcal{A}} </math>, dann gibt es für alle <math> \alpha \in {\mathcal{A}}</math> eine isotone Stetigkeitssequenz <math display="inline"> \left( \left\| \cdot \right\|_{(\alpha ,n)} \right)_{n \in \mathbb{N}_0} </math>, die folgende Eigenschaften besitzt: * (SA1) <math display="inline"> \left\| x \cdot y \right\|_{(\alpha , k )} \leq \left\| x \right\|_{(\alpha , k+1 )} \cdot \left\| y \right\|_{(\alpha , k+1 )} </math> für <math> k\in \mathbb{N}_o </math> und <math> \|\cdot \|_{(\alpha , 0 )} := \| \cdot \|_\alpha </math> * (SA2) <math display="inline"> \displaystyle \left\| \sum_{k=1}^n x_k \right\|_{(\alpha , m)} \leq \sum_{k=1}^n \left\| x_k \right\|_{(\alpha , m+k )} </math> === Bemerkung - Korollare Kaskadenlemma === Das Korollar 2 erhält man unmittelbar aus Korollar 1 durch Setzung von <math>y_k = 0_A</math>. === Beweisaufgabe für Studierende === Beweisen Sie das Korollar 1 unter Verwendung der Lemmas über Kaskadensummen und über die Stetigkeit der Multiplikation in einer topologischen Algebra (siehe [[Topologisierungslemma für Algebren]]) == Siehe auch == * [[Basiserzeugendes Gaugefunktionalsystem|basiserzeugendes Gaugefunktionalsystem]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Lemma - Kaskadensummen|Lemma - Kaskadensummen]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Lemma - Kaskadenprodukte#Korrolar_Summen_Produkte|Korrolar - Summen - Produkte]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Lemma - Kaskadenprodukte|Lemma - Kaskadenprodukte]] * [[Stetigkeitssequenz]] * [[Topologische Algebra]] * [[Topologisierungslemma für Algebren]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Lemma%20-%20Kaskadensummen%20&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Lemma%20-%20Kaskadensummen%20&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Lemma%20-%20Kaskadensummen%20 https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Lemma%20-%20Kaskadensummen%20] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Lemma%20-%20Kaskadensummen%20 Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Lemma%20-%20Kaskadensummen%20 * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Lemma%20-%20Kaskadensummen%20&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] ey36ygk5rdxty1ohcjsx0m40awj283g 1118788 1118787 2026-11-03T12:42:57Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1118788 wikitext text/x-wiki == Einführung == Im Gegensatz zu Dreiecksungleichungen bei Halbnormen,<math>p</math>-Halbnormen oder der Subadditivität mit Stetigkeitskonstante der Addition bei Quasihalbnormen kann man im Allgemeinen bei mehreren Summanden bei topologischen Algebren für mehrere Summanden in einer Addition nicht notwendig das gleiche Gaugefunktional unabhängig von der Anzahl der Summanden wählen. Das Kaskaden-Lemma für Summen ist notwendig, um für die Stetigkeit der Cauchy-Multiplikation und eine unterschiedliche Anzahl der Summanden ein Abschätzung zu erhalten, die die Cauchy-Multiplikation stetig auf der Polynomalgebra macht. == Kaskadierende Summe mit Gaugefunktionalen == [[Datei:Cascading sum gaugefunctional.svg|400px|alternativtext=Kaskadierende Summe mit Gaugefunktionalen]] <span id="Lemma_Kaskadensumme"></span> == Lemma - Kaskadensummen == Sei <math> (A , \| \cdot \|_{\mathcal{A}} ) </math> eine topologische Algebra mit dem basiserzeugenden <math>p</math>-Gaugefunktionalsystem <math> \| \cdot \|_{\mathcal{A}} </math>, dann gibt es für alle <math> \alpha \in {\mathcal{A}}</math> eine [[Stetigkeitssequenz]] <math display="inline"> \left( \left\| \cdot \right\|_{(\alpha ,n)} \right)_{n \in \mathbb{N}_0} </math>, die folgende Eigenschaften besitzt: * (KA1) <math display="inline"> \left\| \cdot \right\|_{(\alpha , k )} \leq \left\| \cdot \right\|_{(\alpha , k+1 )} </math> für <math> k\in \{ 1, \ldots , n-1 \} </math> und <math> \|\cdot \|_{(\alpha , 0 )} := \| \cdot \|_\alpha </math> * (KA2) <math display="inline"> \displaystyle \left\| \sum_{k=1}^n x_k +y_k \right\|_\alpha \leq \sum_{k=1}^n \left( \left\| x_k \right\|_{(\alpha , k )} + \left\| y_k \right\|_{(\alpha , k )} \right) </math> == Beweis - Kaskadensummen == Für den Beweis verwendet man Ungleichung für die Stetigkeit der Addition für ein [[Basiserzeugendes Gaugefunktionalsystem|basiserzeugendes Gaugefunktionalsystem]] aus dem [[Topologisierungslemma für Algebren]]. Der Beweis gliedert sich in 3 Teile: * [[Stetigkeitssequenz|Stetigkeitssequenz]] wird induktiv definiert und sei <math> \|\cdot \|_{(\alpha , 0 )} := \| \cdot \|_\alpha </math> , * (KA1) Isotonie der Stetigkeitssequenz * (KA2) Kaskadenungleichung === Beweis 1 - Stetigkeit der Addition === Mit der [[Stetigkeitssequenz|Stetigkeitssequenzen]] der Multiplikation erzeugen, d.h. es gibt zu jedem Gaugefunktional <math>\|\cdot \|_\alpha</math> ein <math>\|\cdot \|_{\beta_1}</math> mit :<math>\| x + y \|_\alpha \leq \| x \|_{\beta_1} + \| y \|_{\beta_1} </math> für alle <math> x,y \in A</math>. Zu <math>_{\beta_1} \in \mathcal{A}</math> gilt es wieder ein <math>p</math>-Gaugefunktional <math>\|\cdot \|_\gamma</math> mit :<math>\| x + y \|_{\beta_1} \leq \| x \|_{\gamma_1} + \| y \|_{\gamma_1} </math> für alle <math> x,y \in A</math>. Man definiert nun <math> \left\| \cdot \right\|_{(\alpha , 1)} := \|\cdot \|_{\gamma_1} </math>. === Beweis 2 - Stetigkeit der Addition === Angewendet auf die Summe <math>x_1+y_1 + \sum_{k=2}^n (x_k +y_k) </math> mit <math>k=1</math> ergibt sich. :<math> \begin{array}{rcl} \left\| \displaystyle \sum_{i=1}^n (x_i +y_i) \right\|_{(\alpha , 0)} & \leq & \| x_1+y_1 \|_{\beta_1} + \left\| \displaystyle \sum_{i=2}^n (x_i +y_i) \right\|_{\beta_1} \\ & = & \| x_1\|_{(\alpha , 1)} + \| y_1 \|_{(\alpha , 1)} + \\ & & + \, \| x_2+y_2 \|_{(\alpha , 1)} + \left\| \displaystyle \sum_{i=3}^n (x_i +y_i) \right\|_{(\alpha , 1)} \\ \end{array} </math> === Beweis 3 - Stetigkeit der Addition === Ist nun <math>\left\| \cdot \right\|_{(\alpha , k)} </math> gegeben, so kann man wieder zu diesem <math>p</math>-Gaugefunktional <math>\left\| \cdot \right\|_{(\alpha , k)} </math> wieder <math>\|\cdot \|_{\beta_k}</math> finden, für das dann wiederum die folgende Ungleichung gilt: * <math>\| x + y \|_{(\alpha , k)} \leq \| x \|_{\beta_k} + \| x \|_{\beta_k} </math> für alle <math> x,y \in A</math> * Man definiert nun <math> \left\| \cdot \right\|_{(\alpha , k+1)} := \|\cdot \|_{\beta_k} </math> === Beweis 4 - Induktive Abschätzung der Summen === Mit der obigen Konstruktion erweitern man nun die Summen von <math> k </math> auf <math>k+1</math> und das Gaugefunktional <math> \|\cdot \|_{(\alpha ,k)} </math> bereits induktiv definiert. Angewendet auf die Summe <math>\sum_{i=1}^k (x_i +y_i) + (x_i +y_i) + \sum_{i=k+2}^n (x_i +y_i) </math> ergibt sich. :<math> \begin{array}{rcl} \left\| \displaystyle \sum_{i=2}^n (x_i +y_i) \right\|_{\alpha} & \leq & \displaystyle \sum_{i=1}^k \left( \| x_i\|_{(\alpha , i)} + \| y_i \|_{(\alpha , i)} \right) + \\ & & + \, \underbrace{\| x_{k+1}+y_{k+1} \|_{(\alpha , k)} }_{ \leq \| x_{k+1}\|_{(\alpha , k+1)} + \| y_{k+1} \|_{(\alpha , k+1)}} + \left\| \displaystyle \sum_{i=k+2}^n (x_i +y_i) \right\|_{(\alpha , k)} \\ & \leq & \displaystyle \sum_{i=1}^{k+1} \left( \| x_i\|_{(\alpha , i)} + \| y_i \|_{(\alpha , i)} \right) + \\ & & + \, \| x_{k+2}+y_{k+2} \|_{(\alpha , k+1)} + \left\| \displaystyle \sum_{i=k+3}^n (x_i +y_i) \right\|_{(\alpha , k)} \\ \end{array} </math> === Beweis 5 - (KA1) Isotonie der Stetigkeitssequenz === Die Stetigkeitssequenz von Gaugefunktionalen ist isoton (d.h. <math> \| \cdot \|_{(\alpha , k)} \leq \| \cdot \|_{(\alpha , k+1)} </math>), denn für alle <math> x \in A</math> gilt: :<math> \| x \|_{(\alpha , k)} = \| x + 0_A \|_{(\alpha , k)} \leq \| x \|_{(\alpha , k+1)} + \underbrace{ \| 0 \|_{(\alpha , k+1)} }_{=0} = \| x \|_{(\alpha , k+1)} </math> === Beweis 6 - (KA2) - Kaskadenungleichung === Die Stetigkeitssequenz von Gaugefunktionalen wird schrittweise für 3 Summanden angewendet: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \left\| \sum_{k=1}^n (x_k + y_k) \right\|_\alpha & \leq & \displaystyle \left\| x_k \right\|_{(\alpha , 1)} + \left\| y_k \right\|_{(\alpha , 1)} + \left\| \sum_{k=2}^n x_k + y_k \right\|_{(\alpha , 1)} \\ & \leq & \displaystyle \sum_{k=1}^2 \left( \left\| x_k \right\|_{(\alpha , 2)} + \left\| y_k \right\|_{(\alpha , 2)} \right) + \left\| \sum_{k=3}^n x_k + y_k \right\|_{(\alpha , 2)} \\ & \leq & \displaystyle \sum_{k=1}^n \left( \left\| x_k \right\|_{(\alpha , k )} + \left\| y_k \right\|_{(\alpha , k )} \right) \end{array} </math> Insgesamt folgt die Behauptung. <math>\Box</math> == Korollar 1 - Kaskadensummen == Sei <math> (A , \| \cdot \|_{\mathcal{A}} ) </math> eine topologische Algebra mit dem basiserzeugenden <math>p</math>-Gaugefunktionalsystem <math> \| \cdot \|_{\mathcal{A}} </math>, dann gibt es für alle <math> \alpha \in {\mathcal{A}}</math> eine isotone Stetigkeitssequenz <math display="inline"> \left( \left\| \cdot \right\|_{(\alpha ,n)} \right)_{n \in \mathbb{N}_0} </math>, die folgende Eigenschaften besitzt: * (KA1) <math display="inline"> \left\| x \cdot y \right\|_{(\alpha , k )} \leq \left\| x \right\|_{(\alpha , k+1 )} \cdot \left\| y \right\|_{(\alpha , k+1 )} </math> für <math> k\in \mathbb{N}_o </math> und <math> \|\cdot \|_{(\alpha , 0 )} := \| \cdot \|_\alpha </math> * (KA2) <math display="inline"> \displaystyle \left\| \sum_{k=1}^n x_k +y_k \right\|_{(\alpha , m)} \leq \sum_{k=1}^n \left( \left\| x_k \right\|_{(\alpha , m+k )} + \left\| y_k \right\|_{(\alpha , m+k )} \right) </math> für alle <math>m\in \mathbb{N}_o </math>. == Korollar 2 - Kaskadensumme == Sei <math> (A , \| \cdot \|_{\mathcal{A}} ) </math> eine topologische Algebra mit dem basiserzeugenden <math>p</math>-Gaugefunktionalsystem <math> \| \cdot \|_{\mathcal{A}} </math>, dann gibt es für alle <math> \alpha \in {\mathcal{A}}</math> eine isotone Stetigkeitssequenz <math display="inline"> \left( \left\| \cdot \right\|_{(\alpha ,n)} \right)_{n \in \mathbb{N}_0} </math>, die folgende Eigenschaften besitzt: * (SA1) <math display="inline"> \left\| x \cdot y \right\|_{(\alpha , k )} \leq \left\| x \right\|_{(\alpha , k+1 )} \cdot \left\| y \right\|_{(\alpha , k+1 )} </math> für <math> k\in \mathbb{N}_o </math> und <math> \|\cdot \|_{(\alpha , 0 )} := \| \cdot \|_\alpha </math> * (SA2) <math display="inline"> \displaystyle \left\| \sum_{k=1}^n x_k \right\|_{(\alpha , m)} \leq \sum_{k=1}^n \left\| x_k \right\|_{(\alpha , m+k )} </math> === Bemerkung - Korollare Kaskadenlemma === Das Korollar 2 erhält man unmittelbar aus Korollar 1 durch Setzung von <math>y_k = 0_A</math>. === Beweisaufgabe für Studierende === Beweisen Sie das Korollar 1 unter Verwendung der Lemmas über Kaskadensummen und über die Stetigkeit der Multiplikation in einer topologischen Algebra (siehe [[Topologisierungslemma für Algebren]]) == Siehe auch == * [[Basiserzeugendes Gaugefunktionalsystem|basiserzeugendes Gaugefunktionalsystem]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Lemma - Kaskadensummen#Lemma_Kaskadensummen|Lemma - Kaskadensummen]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Lemma - Kaskadenprodukte#Korrolar_Summen_Produkte|Korrolar - Summen - Produkte]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Lemma - Kaskadenprodukte|Lemma - Kaskadenprodukte]] * [[Stetigkeitssequenz]] * [[Topologische Algebra]] * [[Topologisierungslemma für Algebren]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Lemma%20-%20Kaskadensummen%20&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Lemma%20-%20Kaskadensummen%20&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Lemma%20-%20Kaskadensummen%20 https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Lemma%20-%20Kaskadensummen%20] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Lemma%20-%20Kaskadensummen%20 Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Lemma%20-%20Kaskadensummen%20 * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Lemma%20-%20Kaskadensummen%20&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] qi271lvedakmr11i8eb1am5a2bq5aww 106 131507 1118782 1005562 2026-11-03T12:35:20Z Bert Niehaus 20843 /* Lemma - Kaskadenprodukte */ 1118782 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In Analogie zum [[Lemma über Kaskadensummen]] kann man diese Eigenschaft mit der Stetigkeit der Multiplikation auch auf Produkte in topologischen Algebren übertragen (siehe auch [[Topologisierungslemma für Algebren]]). <span id="Lemma_Kaskadenprodukte"></span> == Lemma - Kaskadenprodukte == Sei <math> (A , \| \cdot \|_{\mathcal{A}} ) </math> eine [[Unital positiv|unital positive]] topologische Algebra mit dem basiserzeugenden <math>p</math>-Gaugefunktionalsystem <math> \| \cdot \|_{\mathcal{A}} </math>, dann gibt es für alle <math> \alpha \in {\mathcal{A}}</math> eine isotone Stetigkeitssequenz <math display="inline"> \left( \left\| \cdot \right\|_{(\alpha ,n)} \right)_{n \in \mathbb{N}_0} </math>, die folgende Eigenschaften besitzt: * (KM1) <math display="inline"> \left\| \cdot \right\|_{(\alpha , k )} \leq \left\| \cdot \right\|_{(\alpha , k+1 )} </math> für <math> k\in \{ 1, \ldots , n-1 \} </math> mit <math> \left\| \cdot \right\|_{(\alpha , 0 )} := \left\| \cdot \right\|_{\alpha} </math> * (KM2) <math display="inline"> \displaystyle \left\| \prod_{k=1}^n x_k \cdot y_k \right\|_\alpha \leq \prod_{k=1}^n \left( \left\| x_k \right\|_{(\alpha , k )} \cdot \left\| y_k \right\|_{(\alpha , k )} \right) </math> == Beweis - Kaskadensummen == Für den Beweis verwendet man Ungleichungen für die Stetigkeit der Multiplikation für ein [[Basiserzeugendes Gaugefunktionalsystem|basiserzeugendes Gaugefunktionalsystem]] aus dem [[Topologisierungslemma für Algebren]]. Der Beweis erfolgt in 3 Teilen * [[Stetigkeitssequenz|Stetigkeitssequenz]] wird induktiv definiert und man setzt <math> \left\| \cdot \right\|_{(\alpha , 0 )} := \left\| \cdot \right\|_{\alpha} </math>. * (K1) Isotonie der Stetigkeitssequenzen * (K2) Beweis der Kaskadenungleichung der Multiplkation === Beweis 1 - Stetigkeit der Multiplikation === Mit der [[Stetigkeitssequenz|Stetigkeitssequenzen]] kann man analog zu den [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Lemma - Kaskadensummen|Kaskadensummen]] über die Stetigkeit der Multiplikation erzeugen, d.h. es gibt zu jedem <math>p</math>-Gaugefunktional <math>\|\cdot \|_\alpha</math> ein <math>\|\cdot \|_{\beta}</math>, ein <math>M_{\beta} \geq 1 </math> mit :<math>\| x \cdot y \|_\alpha \leq M_{\beta_1} \cdot \| x \|_{\beta_1} \cdot \| y \|_{\beta_1} </math> Für die Stetigkeitskonstanten <math>M_{\beta_1} </math> der Multiplkation bei einem basiserzeugenden <math>p</math>-Gaugefunktional gilt zunächst einmal <math>M_{\beta_1} > 0 </math>. Ohne Einschränkung kann aber <math>M_{\beta_1} \geq 1 </math> gewählt werden. === Beweis 2 - Stetigkeit der Multiplikation === Die induktive Definition der [[Stetigkeitssequenz|Stetigkeitssequenz]] kann erfolgt pro Index <math> k\in \mathbb{N}</math> über zweifach über die Stetigkeit der Multiplikation erzeugen und zu jedem <math>p</math>-Gaugefunktional <math>\|\cdot \|_\alpha</math> gibt es ein <math>p</math>-Gaugefunktional <math>\|\cdot \|_{\beta_1}</math> und ein <math>M_{\beta_1} \geq \max \{ 1, \| e_{_A} \|_{\beta_1} \}</math> mit :<math> \| x \cdot y \|_\alpha \leq M_{\beta_1} \cdot \| x \|_{\beta_1} \cdot \| y \|_{\beta_1} \leq M_{\beta_1} \cdot \| x \|_{\beta_1} \cdot \underbrace{M_{\beta_1}}_{\geq 1} \cdot \| y \|_{\beta_1} </math> für alle <math> x,y \in A</math>. Zu <math>\beta_1 \in \mathcal{A}</math> gilt es wieder ein <math>p</math>-Gaugefunktional <math>\|\cdot \|_{\gamma_1}</math> mit :<math>\| x \cdot y \|_{\beta_1} \leq M_{\gamma_1} \cdot \| x \|_{\gamma_1} \cdot \| y \|_{\gamma_1} </math> für alle <math> x,y \in A</math> und <math>M_{\gamma_1} \geq \max \left\{ \| e_{_A} \|_{\beta_1}, \| e_{_A} \|_{\gamma_1} , M_{\beta_1} , 1 \right\}</math>. === Beweis 3 - Definition des p-Gaugefunktionals === Man kann ohne Einschränkung <math>M_{\gamma_1} \geq \max \left\{ \| e_{_A} \|_{\beta_1}, \| e_{_A} \|_{\gamma_1} , M_{\beta_1} , 1 \right\}</math> wählen und definiert nun das p-Gaugefunktional als :<math> \| x \|_{(\alpha,1)} := {M_{\beta_1}}^2 \cdot {M_{\gamma_1}}^2 \cdot \| x \|_{\gamma_1} </math> für alle <math>x \in A </math>. === Beweis 3 - Neutrales Element der Multiplikation === Ohne Einschränkung sei ferner <math> M_{\beta_1} \geq \underbrace{\| e_A \|_{\beta_1}}_{>0}</math> gewählt werden und man erhält: :<math> \begin{array}{rcl} \| x \|_\alpha & \leq & M_{\beta_1} \cdot \| x \|_{\beta_1} \cdot \underbrace{\| e_{_A} \|_{\beta_1}}_{\leq M_{\beta_1}} \leq {M_{\beta_1}}^2 \cdot M_{\gamma_1} \cdot \| x \|_{\beta_1} \\ & \leq & {M_{\beta_1}}^2 \cdot M_{\gamma_1} \cdot \| x \|_{\gamma_1} \cdot \underbrace{\| e_{_A} \|_{\gamma_1}}_{\leq M_{\gamma_1}} = \left\| x \right\|_{(\alpha , 1)} \\ \end{array} </math> Mit der Definition von <math> \left\| \cdot \right\|_{(\alpha , 1)} := {M_{\beta_1}}^2 \cdot {M_{\gamma_1}}^2 \cdot \| \cdot \|_{\gamma_1} </math> gilt das letzte Gleichheitszeichen und die Isotonie. === Beweis 4 - Induktive Definition der Stetigkeitssequenz === Man wendet nun Definition <math>\left\| \cdot \right\|_{(\alpha , 1)} </math> auf das Produkt an und man erhält die folgende Ungleichung gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \left\| \displaystyle \prod_{i=1}^n x_i \cdot y_i \right\|_{\alpha} & \leq & M_{\beta_k} \cdot \underbrace{ \| x_1\cdot y_1\|_{\beta_1} }_{ M_{\gamma_1} \cdot \| x_1\|_{\gamma_1} \cdot \| y_1\|_{\gamma_1} } \cdot \underbrace{ \left\| \displaystyle \prod_{i=2}^n x_i \cdot y_i \right\|_{\beta_1} }_{ M_{\gamma_1} \cdot \| x_2\cdot y_2 \|_{\gamma_1} \cdot \left\| \prod_{i=3}^n x_i \cdot y_i \right\|_{\gamma_1} } \\ & \leq & \| x_1\|_{(\alpha,1)} \cdot \| y_1\|_{(\alpha,1)} \cdot \| x_2 \cdot y_2\|_{(\alpha,1)} \cdot \left\| \displaystyle \prod_{i=3}^n x_i \cdot y_i \right\|_{(\alpha,1)} \\ \end{array} </math> === Beweis 5 - Stetigkeit der Multiplikation === Sei nun <math>\left\| \cdot \right\|_{(\alpha , k)} </math> gegeben. Mit der Stetigkeit der Multiplikation kann man wieder zu diesem <math>p</math>-Gaugefunktional <math>\left\| \cdot \right\|_{(\alpha , k)} </math> wieder ein <math>\|\cdot \|_{\beta_k}</math> mit einer Konstante <math>M_{\beta_k} \geq \max\{ 1, \| e_{_A} \|_{\beta_k} \} </math> finden, für das mit <math>\beta_{k} \in \mathcal{A} </math> für alle <math> x,y \in A</math> gilt: :<math> \left\| x \cdot y \right\|_{(\alpha , k)} \leq M_{\beta_k} \cdot \| x \|_{\beta_k} \cdot \| y \|_{\beta_k} </math> Man definiert nun <math> \left\| x \right\|_{(\alpha , k+1)} := {M_{\beta_k}}^2 \cdot \|x \|_{\beta_k} </math> für alle <math>x \in A</math>. === Beweis 5 - Stetigkeit der Multiplikation === Mit der Wahl von <math>M_{\beta_k} \geq 1 </math> folgt u.a. <math>{M_{\beta_k}}^2 \geq M_{\beta_k} \geq 1 </math> und man kann das Produkt wie folgt abschätzen: :<math> \begin{array}{rcl} \left\| \displaystyle \prod_{i=1}^n x_i \cdot y_i \right\|_{\alpha} \!\!\!\!\! & \leq & \displaystyle \prod_{i=1}^k \left( \| x_i\|_{(\alpha , i)} \cdot \|y_i\|_{(\alpha , i)} \right) \cdot \\ & & \cdot \, \underbrace{ \| x_{k+1} \cdot y_{k+1} \|_{(\alpha , k)} }_{ \leq M_{\beta_k} \cdot \| x_{k+1} \|_{\beta_k} \cdot \| y_{k+1} \|_{\beta_k} } \cdot \left\| \displaystyle \prod_{i=k+2}^n x_i \cdot y_i \right\|_{(\alpha,k)} \\ & \leq & \displaystyle \prod_{i=1}^{k+1} \left( \| x_i\|_{(\alpha , i)} \cdot \|y_i\|_{(\alpha , i)} \right) \cdot \\ & & \cdot \, M_{\beta_k} \cdot \| x_{k+2} \cdot y_{k+2} \|_{\beta_k} \cdot \left\| \displaystyle \prod_{i=k+3}^n x_i \cdot y_i \right\|_{\beta_k} \\ \end{array} </math> === Beweis 6 - Stetigkeit der Multiplikation === Durch eine weitere Abschätzung <math>{M_{\beta_k}}^2 \geq M_{\beta_k} \geq 1 </math> und der Definition von <math>\|\cdot \|_{(\alpha,k)}</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \left\| \displaystyle \prod_{i=1}^n x_i \cdot y_i \right\|_{\alpha} \!\!\!\!\! & \leq & \displaystyle \prod_{i=1}^{k+1} \left( \| x_i\|_{(\alpha , i)} \cdot \|y_i\|_{(\alpha , i)} \right) \cdot \\ & & \cdot \, M_{\beta_k} \cdot \| x_{k+2} \cdot y_{k+2} \|_{\beta_k} \cdot \left\| \displaystyle \prod_{i=k+3}^n x_i \cdot y_i \right\|_{\beta_k} \\ & \leq & \displaystyle \prod_{i=1}^{k+1} \left( \| x_i\|_{(\alpha , i)} \cdot \|y_i\|_{(\alpha , i)} \right) \cdot \\ & & \cdot \, \| x_{k+2} \cdot y_{k+2} \|_{(\alpha,k+1)} \cdot \left\| \displaystyle \prod_{i=k+3}^n x_i \cdot y_i \right\|_{(\alpha,k+1)} \\ \end{array} </math> === Beweis 8 - (K1) - Isotonie der Stetigkeitssequenz === Die Stetigkeitssequenz von Gaugefunktionalen ist isoton (d.h. <math> \| \cdot \|_{(\alpha , k)} \leq \| \cdot \|_{(\alpha , k+1)} </math>), denn für alle <math> x \in A</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \| x \|_{(\alpha , k)} & \leq & M_{\beta_k} \cdot \| x \|_{\beta_k} \cdot \underbrace{ \| e_A \|_{\beta_k} }_{\leq M_{\beta_k}} \\ & \leq & \underbrace{ {M_{\beta_k}}^2 \cdot \| x \|_{\gamma_k} }_{= \| x \|_{(\alpha, k+1)}} = \| x \|_{(\alpha, k+1)} \end{array} </math> === Beweis 9 - (K2) - Kaskadenungleichung === Insgesamt erhält man die Stetigkeitssequenz die Stetigkeitssequenz für beliebig große <math>n\in \mathbb{N}</math> induktiv und es gilt die Kaskadenungleichung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \left\| \prod_{k=1}^n x_k \cdot y_k \right\|_\alpha & \leq & \displaystyle \left\| x_k \right\|_{(\alpha , 1)} \cdot \left\| y_k \right\|_{(\alpha , 1)} \cdot \left\| \prod_{k=2}^n x_k \cdot y_k \right\|_{(\alpha , 1)} \\ & \leq & \displaystyle \prod_{k=1}^2 \left( \left\| x_k \right\|_{(\alpha , 2)} \cdot \left\| y_k \right\|_{(\alpha , 2)} \right) \cdot \left\| \prod_{k=3}^n x_k \cdot y_k \right\|_{(\alpha , 2)} \\ & \leq & \displaystyle \prod_{k=1}^n \left( \left\| x_k \right\|_{(\alpha , k )} \cdot \left\| y_k \right\|_{(\alpha , k )} \right) \end{array} </math> == Kaskadenungleichung für Summen und Produkte == Verbinden Sie die Kaskadenungleichung für Prodkukte mit der Kaskadenungleichung für Summen. [[Datei:Cascading sum gaugefunctional.svg|400px|alternativtext=Kaskadierende Summe mit Gaugefunktionalen]] == Korrolar - Kaskadensequenz == Sei <math> (A , \| \cdot \|_{\mathcal{A}} ) </math> eine [[Unital positiv|unital positive]] topologische Algebra mit dem basiserzeugenden <math>p</math>-Gaugefunktionalsystem <math> \| \cdot \|_{\mathcal{A}} </math>, dann gibt es für alle <math> \alpha \in {\mathcal{A}}</math> eine [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/isotone Stetigkeitssequenz|isotone Stetigkeitssequenz]] <math display="inline"> \left( \left\| \cdot \right\|_{(\alpha ,m)} \right)_{m \in \mathbb{N}_0} </math>, die ,mit <math>\|\cdot \|_{(\alpha,0)} := \|\cdot \|_{\alpha}</math> folgende Eigenschaften besitzt: * (K1) <math display="inline"> \left\| \cdot \right\|_{(\alpha , k )} \leq \left\| \cdot \right\|_{(\alpha , k+1 )} </math> für <math> k\in \{ 1, \ldots , n-1 \} </math> * (K2) <math display="inline"> \displaystyle \left\| \sum_{k=1}^n x_k + y_k \right\|_{(\alpha,m)} \leq \sum_{k=1}^n \left( \left\| x_k \right\|_{(\alpha , m+k )} + \left\| y_k \right\|_{(\alpha , m+k )} \right) </math> * (K3) <math display="inline"> \displaystyle \left\| \prod_{k=1}^n x_k \cdot y_k \right\|_{ (\alpha,m) } \leq \prod_{k=1}^n \left( \left\| x_k \right\|_{(\alpha , m+k )} \cdot \left\| y_k \right\|_{(\alpha , m+k )} \right) </math> == Beweisaufgabe für Studierende == Beweisen Sie die obige Abschätzung im Korrolar, indem Sie die induktive Definition im Lemma über Kaskadenprodukte mit dem [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Lemma - Kaskadensummen|Lemma über Kaskadensummen]] verbinden und die induktive Definition für beide Kaskadenungleichungen vornehmen. == Siehe auch == * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Lemma - Kaskadensummen|Lemma - Kaskadensummen]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Lemma%20-%20Kaskadenprodukte%20&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Lemma%20-%20Kaskadenprodukte%20&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Lemma%20-%20Kaskadenprodukte%20 https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Lemma%20-%20Kaskadenprodukte%20] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Lemma%20-%20Kaskadenprodukte%20 Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Lemma%20-%20Kaskadenprodukte%20 * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Lemma%20-%20Kaskadenprodukte%20&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] psna4bugyji3syq5jd0o33gvqtzha8a 1118783 1118782 2026-11-03T12:37:13Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisaufgabe für Studierende */ 1118783 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In Analogie zum [[Lemma über Kaskadensummen]] kann man diese Eigenschaft mit der Stetigkeit der Multiplikation auch auf Produkte in topologischen Algebren übertragen (siehe auch [[Topologisierungslemma für Algebren]]). <span id="Lemma_Kaskadenprodukte"></span> == Lemma - Kaskadenprodukte == Sei <math> (A , \| \cdot \|_{\mathcal{A}} ) </math> eine [[Unital positiv|unital positive]] topologische Algebra mit dem basiserzeugenden <math>p</math>-Gaugefunktionalsystem <math> \| \cdot \|_{\mathcal{A}} </math>, dann gibt es für alle <math> \alpha \in {\mathcal{A}}</math> eine isotone Stetigkeitssequenz <math display="inline"> \left( \left\| \cdot \right\|_{(\alpha ,n)} \right)_{n \in \mathbb{N}_0} </math>, die folgende Eigenschaften besitzt: * (KM1) <math display="inline"> \left\| \cdot \right\|_{(\alpha , k )} \leq \left\| \cdot \right\|_{(\alpha , k+1 )} </math> für <math> k\in \{ 1, \ldots , n-1 \} </math> mit <math> \left\| \cdot \right\|_{(\alpha , 0 )} := \left\| \cdot \right\|_{\alpha} </math> * (KM2) <math display="inline"> \displaystyle \left\| \prod_{k=1}^n x_k \cdot y_k \right\|_\alpha \leq \prod_{k=1}^n \left( \left\| x_k \right\|_{(\alpha , k )} \cdot \left\| y_k \right\|_{(\alpha , k )} \right) </math> == Beweis - Kaskadensummen == Für den Beweis verwendet man Ungleichungen für die Stetigkeit der Multiplikation für ein [[Basiserzeugendes Gaugefunktionalsystem|basiserzeugendes Gaugefunktionalsystem]] aus dem [[Topologisierungslemma für Algebren]]. Der Beweis erfolgt in 3 Teilen * [[Stetigkeitssequenz|Stetigkeitssequenz]] wird induktiv definiert und man setzt <math> \left\| \cdot \right\|_{(\alpha , 0 )} := \left\| \cdot \right\|_{\alpha} </math>. * (K1) Isotonie der Stetigkeitssequenzen * (K2) Beweis der Kaskadenungleichung der Multiplkation === Beweis 1 - Stetigkeit der Multiplikation === Mit der [[Stetigkeitssequenz|Stetigkeitssequenzen]] kann man analog zu den [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Lemma - Kaskadensummen|Kaskadensummen]] über die Stetigkeit der Multiplikation erzeugen, d.h. es gibt zu jedem <math>p</math>-Gaugefunktional <math>\|\cdot \|_\alpha</math> ein <math>\|\cdot \|_{\beta}</math>, ein <math>M_{\beta} \geq 1 </math> mit :<math>\| x \cdot y \|_\alpha \leq M_{\beta_1} \cdot \| x \|_{\beta_1} \cdot \| y \|_{\beta_1} </math> Für die Stetigkeitskonstanten <math>M_{\beta_1} </math> der Multiplkation bei einem basiserzeugenden <math>p</math>-Gaugefunktional gilt zunächst einmal <math>M_{\beta_1} > 0 </math>. Ohne Einschränkung kann aber <math>M_{\beta_1} \geq 1 </math> gewählt werden. === Beweis 2 - Stetigkeit der Multiplikation === Die induktive Definition der [[Stetigkeitssequenz|Stetigkeitssequenz]] kann erfolgt pro Index <math> k\in \mathbb{N}</math> über zweifach über die Stetigkeit der Multiplikation erzeugen und zu jedem <math>p</math>-Gaugefunktional <math>\|\cdot \|_\alpha</math> gibt es ein <math>p</math>-Gaugefunktional <math>\|\cdot \|_{\beta_1}</math> und ein <math>M_{\beta_1} \geq \max \{ 1, \| e_{_A} \|_{\beta_1} \}</math> mit :<math> \| x \cdot y \|_\alpha \leq M_{\beta_1} \cdot \| x \|_{\beta_1} \cdot \| y \|_{\beta_1} \leq M_{\beta_1} \cdot \| x \|_{\beta_1} \cdot \underbrace{M_{\beta_1}}_{\geq 1} \cdot \| y \|_{\beta_1} </math> für alle <math> x,y \in A</math>. Zu <math>\beta_1 \in \mathcal{A}</math> gilt es wieder ein <math>p</math>-Gaugefunktional <math>\|\cdot \|_{\gamma_1}</math> mit :<math>\| x \cdot y \|_{\beta_1} \leq M_{\gamma_1} \cdot \| x \|_{\gamma_1} \cdot \| y \|_{\gamma_1} </math> für alle <math> x,y \in A</math> und <math>M_{\gamma_1} \geq \max \left\{ \| e_{_A} \|_{\beta_1}, \| e_{_A} \|_{\gamma_1} , M_{\beta_1} , 1 \right\}</math>. === Beweis 3 - Definition des p-Gaugefunktionals === Man kann ohne Einschränkung <math>M_{\gamma_1} \geq \max \left\{ \| e_{_A} \|_{\beta_1}, \| e_{_A} \|_{\gamma_1} , M_{\beta_1} , 1 \right\}</math> wählen und definiert nun das p-Gaugefunktional als :<math> \| x \|_{(\alpha,1)} := {M_{\beta_1}}^2 \cdot {M_{\gamma_1}}^2 \cdot \| x \|_{\gamma_1} </math> für alle <math>x \in A </math>. === Beweis 3 - Neutrales Element der Multiplikation === Ohne Einschränkung sei ferner <math> M_{\beta_1} \geq \underbrace{\| e_A \|_{\beta_1}}_{>0}</math> gewählt werden und man erhält: :<math> \begin{array}{rcl} \| x \|_\alpha & \leq & M_{\beta_1} \cdot \| x \|_{\beta_1} \cdot \underbrace{\| e_{_A} \|_{\beta_1}}_{\leq M_{\beta_1}} \leq {M_{\beta_1}}^2 \cdot M_{\gamma_1} \cdot \| x \|_{\beta_1} \\ & \leq & {M_{\beta_1}}^2 \cdot M_{\gamma_1} \cdot \| x \|_{\gamma_1} \cdot \underbrace{\| e_{_A} \|_{\gamma_1}}_{\leq M_{\gamma_1}} = \left\| x \right\|_{(\alpha , 1)} \\ \end{array} </math> Mit der Definition von <math> \left\| \cdot \right\|_{(\alpha , 1)} := {M_{\beta_1}}^2 \cdot {M_{\gamma_1}}^2 \cdot \| \cdot \|_{\gamma_1} </math> gilt das letzte Gleichheitszeichen und die Isotonie. === Beweis 4 - Induktive Definition der Stetigkeitssequenz === Man wendet nun Definition <math>\left\| \cdot \right\|_{(\alpha , 1)} </math> auf das Produkt an und man erhält die folgende Ungleichung gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \left\| \displaystyle \prod_{i=1}^n x_i \cdot y_i \right\|_{\alpha} & \leq & M_{\beta_k} \cdot \underbrace{ \| x_1\cdot y_1\|_{\beta_1} }_{ M_{\gamma_1} \cdot \| x_1\|_{\gamma_1} \cdot \| y_1\|_{\gamma_1} } \cdot \underbrace{ \left\| \displaystyle \prod_{i=2}^n x_i \cdot y_i \right\|_{\beta_1} }_{ M_{\gamma_1} \cdot \| x_2\cdot y_2 \|_{\gamma_1} \cdot \left\| \prod_{i=3}^n x_i \cdot y_i \right\|_{\gamma_1} } \\ & \leq & \| x_1\|_{(\alpha,1)} \cdot \| y_1\|_{(\alpha,1)} \cdot \| x_2 \cdot y_2\|_{(\alpha,1)} \cdot \left\| \displaystyle \prod_{i=3}^n x_i \cdot y_i \right\|_{(\alpha,1)} \\ \end{array} </math> === Beweis 5 - Stetigkeit der Multiplikation === Sei nun <math>\left\| \cdot \right\|_{(\alpha , k)} </math> gegeben. Mit der Stetigkeit der Multiplikation kann man wieder zu diesem <math>p</math>-Gaugefunktional <math>\left\| \cdot \right\|_{(\alpha , k)} </math> wieder ein <math>\|\cdot \|_{\beta_k}</math> mit einer Konstante <math>M_{\beta_k} \geq \max\{ 1, \| e_{_A} \|_{\beta_k} \} </math> finden, für das mit <math>\beta_{k} \in \mathcal{A} </math> für alle <math> x,y \in A</math> gilt: :<math> \left\| x \cdot y \right\|_{(\alpha , k)} \leq M_{\beta_k} \cdot \| x \|_{\beta_k} \cdot \| y \|_{\beta_k} </math> Man definiert nun <math> \left\| x \right\|_{(\alpha , k+1)} := {M_{\beta_k}}^2 \cdot \|x \|_{\beta_k} </math> für alle <math>x \in A</math>. === Beweis 5 - Stetigkeit der Multiplikation === Mit der Wahl von <math>M_{\beta_k} \geq 1 </math> folgt u.a. <math>{M_{\beta_k}}^2 \geq M_{\beta_k} \geq 1 </math> und man kann das Produkt wie folgt abschätzen: :<math> \begin{array}{rcl} \left\| \displaystyle \prod_{i=1}^n x_i \cdot y_i \right\|_{\alpha} \!\!\!\!\! & \leq & \displaystyle \prod_{i=1}^k \left( \| x_i\|_{(\alpha , i)} \cdot \|y_i\|_{(\alpha , i)} \right) \cdot \\ & & \cdot \, \underbrace{ \| x_{k+1} \cdot y_{k+1} \|_{(\alpha , k)} }_{ \leq M_{\beta_k} \cdot \| x_{k+1} \|_{\beta_k} \cdot \| y_{k+1} \|_{\beta_k} } \cdot \left\| \displaystyle \prod_{i=k+2}^n x_i \cdot y_i \right\|_{(\alpha,k)} \\ & \leq & \displaystyle \prod_{i=1}^{k+1} \left( \| x_i\|_{(\alpha , i)} \cdot \|y_i\|_{(\alpha , i)} \right) \cdot \\ & & \cdot \, M_{\beta_k} \cdot \| x_{k+2} \cdot y_{k+2} \|_{\beta_k} \cdot \left\| \displaystyle \prod_{i=k+3}^n x_i \cdot y_i \right\|_{\beta_k} \\ \end{array} </math> === Beweis 6 - Stetigkeit der Multiplikation === Durch eine weitere Abschätzung <math>{M_{\beta_k}}^2 \geq M_{\beta_k} \geq 1 </math> und der Definition von <math>\|\cdot \|_{(\alpha,k)}</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \left\| \displaystyle \prod_{i=1}^n x_i \cdot y_i \right\|_{\alpha} \!\!\!\!\! & \leq & \displaystyle \prod_{i=1}^{k+1} \left( \| x_i\|_{(\alpha , i)} \cdot \|y_i\|_{(\alpha , i)} \right) \cdot \\ & & \cdot \, M_{\beta_k} \cdot \| x_{k+2} \cdot y_{k+2} \|_{\beta_k} \cdot \left\| \displaystyle \prod_{i=k+3}^n x_i \cdot y_i \right\|_{\beta_k} \\ & \leq & \displaystyle \prod_{i=1}^{k+1} \left( \| x_i\|_{(\alpha , i)} \cdot \|y_i\|_{(\alpha , i)} \right) \cdot \\ & & \cdot \, \| x_{k+2} \cdot y_{k+2} \|_{(\alpha,k+1)} \cdot \left\| \displaystyle \prod_{i=k+3}^n x_i \cdot y_i \right\|_{(\alpha,k+1)} \\ \end{array} </math> === Beweis 8 - (K1) - Isotonie der Stetigkeitssequenz === Die Stetigkeitssequenz von Gaugefunktionalen ist isoton (d.h. <math> \| \cdot \|_{(\alpha , k)} \leq \| \cdot \|_{(\alpha , k+1)} </math>), denn für alle <math> x \in A</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \| x \|_{(\alpha , k)} & \leq & M_{\beta_k} \cdot \| x \|_{\beta_k} \cdot \underbrace{ \| e_A \|_{\beta_k} }_{\leq M_{\beta_k}} \\ & \leq & \underbrace{ {M_{\beta_k}}^2 \cdot \| x \|_{\gamma_k} }_{= \| x \|_{(\alpha, k+1)}} = \| x \|_{(\alpha, k+1)} \end{array} </math> === Beweis 9 - (K2) - Kaskadenungleichung === Insgesamt erhält man die Stetigkeitssequenz die Stetigkeitssequenz für beliebig große <math>n\in \mathbb{N}</math> induktiv und es gilt die Kaskadenungleichung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \left\| \prod_{k=1}^n x_k \cdot y_k \right\|_\alpha & \leq & \displaystyle \left\| x_k \right\|_{(\alpha , 1)} \cdot \left\| y_k \right\|_{(\alpha , 1)} \cdot \left\| \prod_{k=2}^n x_k \cdot y_k \right\|_{(\alpha , 1)} \\ & \leq & \displaystyle \prod_{k=1}^2 \left( \left\| x_k \right\|_{(\alpha , 2)} \cdot \left\| y_k \right\|_{(\alpha , 2)} \right) \cdot \left\| \prod_{k=3}^n x_k \cdot y_k \right\|_{(\alpha , 2)} \\ & \leq & \displaystyle \prod_{k=1}^n \left( \left\| x_k \right\|_{(\alpha , k )} \cdot \left\| y_k \right\|_{(\alpha , k )} \right) \end{array} </math> == Kaskadenungleichung für Summen und Produkte == Verbinden Sie die Kaskadenungleichung für Prodkukte mit der Kaskadenungleichung für Summen. [[Datei:Cascading sum gaugefunctional.svg|400px|alternativtext=Kaskadierende Summe mit Gaugefunktionalen]] == Korrolar - Kaskadensequenz == Sei <math> (A , \| \cdot \|_{\mathcal{A}} ) </math> eine [[Unital positiv|unital positive]] topologische Algebra mit dem basiserzeugenden <math>p</math>-Gaugefunktionalsystem <math> \| \cdot \|_{\mathcal{A}} </math>, dann gibt es für alle <math> \alpha \in {\mathcal{A}}</math> eine [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/isotone Stetigkeitssequenz|isotone Stetigkeitssequenz]] <math display="inline"> \left( \left\| \cdot \right\|_{(\alpha ,m)} \right)_{m \in \mathbb{N}_0} </math>, die ,mit <math>\|\cdot \|_{(\alpha,0)} := \|\cdot \|_{\alpha}</math> folgende Eigenschaften besitzt: * (K1) <math display="inline"> \left\| \cdot \right\|_{(\alpha , k )} \leq \left\| \cdot \right\|_{(\alpha , k+1 )} </math> für <math> k\in \{ 1, \ldots , n-1 \} </math> * (K2) <math display="inline"> \displaystyle \left\| \sum_{k=1}^n x_k + y_k \right\|_{(\alpha,m)} \leq \sum_{k=1}^n \left( \left\| x_k \right\|_{(\alpha , m+k )} + \left\| y_k \right\|_{(\alpha , m+k )} \right) </math> * (K3) <math display="inline"> \displaystyle \left\| \prod_{k=1}^n x_k \cdot y_k \right\|_{ (\alpha,m) } \leq \prod_{k=1}^n \left( \left\| x_k \right\|_{(\alpha , m+k )} \cdot \left\| y_k \right\|_{(\alpha , m+k )} \right) </math> == Beweisaufgabe für Studierende == Beweisen Sie die obige Abschätzung im Korrolar, indem Sie die induktive Definition im Lemma über Kaskadenprodukte mit dem [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Lemma_-_Kaskadensummen#Lemma_Kaskadensumme|Lemma über Kaskadensummen]] verbinden und die induktive Definition für beide Kaskadenungleichungen vornehmen. == Siehe auch == * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Lemma - Kaskadensummen|Lemma - Kaskadensummen]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Lemma%20-%20Kaskadenprodukte%20&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Lemma%20-%20Kaskadenprodukte%20&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Lemma%20-%20Kaskadenprodukte%20 https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Lemma%20-%20Kaskadenprodukte%20] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Lemma%20-%20Kaskadenprodukte%20 Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Lemma%20-%20Kaskadenprodukte%20 * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Lemma%20-%20Kaskadenprodukte%20&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] p5ckdas3ig4phgyymrxkrkh62liy6sp 1118784 1118783 2026-11-03T12:40:05Z Bert Niehaus 20843 /* Kaskadenungleichung für Summen und Produkte */ 1118784 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In Analogie zum [[Lemma über Kaskadensummen]] kann man diese Eigenschaft mit der Stetigkeit der Multiplikation auch auf Produkte in topologischen Algebren übertragen (siehe auch [[Topologisierungslemma für Algebren]]). <span id="Lemma_Kaskadenprodukte"></span> == Lemma - Kaskadenprodukte == Sei <math> (A , \| \cdot \|_{\mathcal{A}} ) </math> eine [[Unital positiv|unital positive]] topologische Algebra mit dem basiserzeugenden <math>p</math>-Gaugefunktionalsystem <math> \| \cdot \|_{\mathcal{A}} </math>, dann gibt es für alle <math> \alpha \in {\mathcal{A}}</math> eine isotone Stetigkeitssequenz <math display="inline"> \left( \left\| \cdot \right\|_{(\alpha ,n)} \right)_{n \in \mathbb{N}_0} </math>, die folgende Eigenschaften besitzt: * (KM1) <math display="inline"> \left\| \cdot \right\|_{(\alpha , k )} \leq \left\| \cdot \right\|_{(\alpha , k+1 )} </math> für <math> k\in \{ 1, \ldots , n-1 \} </math> mit <math> \left\| \cdot \right\|_{(\alpha , 0 )} := \left\| \cdot \right\|_{\alpha} </math> * (KM2) <math display="inline"> \displaystyle \left\| \prod_{k=1}^n x_k \cdot y_k \right\|_\alpha \leq \prod_{k=1}^n \left( \left\| x_k \right\|_{(\alpha , k )} \cdot \left\| y_k \right\|_{(\alpha , k )} \right) </math> == Beweis - Kaskadensummen == Für den Beweis verwendet man Ungleichungen für die Stetigkeit der Multiplikation für ein [[Basiserzeugendes Gaugefunktionalsystem|basiserzeugendes Gaugefunktionalsystem]] aus dem [[Topologisierungslemma für Algebren]]. Der Beweis erfolgt in 3 Teilen * [[Stetigkeitssequenz|Stetigkeitssequenz]] wird induktiv definiert und man setzt <math> \left\| \cdot \right\|_{(\alpha , 0 )} := \left\| \cdot \right\|_{\alpha} </math>. * (K1) Isotonie der Stetigkeitssequenzen * (K2) Beweis der Kaskadenungleichung der Multiplkation === Beweis 1 - Stetigkeit der Multiplikation === Mit der [[Stetigkeitssequenz|Stetigkeitssequenzen]] kann man analog zu den [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Lemma - Kaskadensummen|Kaskadensummen]] über die Stetigkeit der Multiplikation erzeugen, d.h. es gibt zu jedem <math>p</math>-Gaugefunktional <math>\|\cdot \|_\alpha</math> ein <math>\|\cdot \|_{\beta}</math>, ein <math>M_{\beta} \geq 1 </math> mit :<math>\| x \cdot y \|_\alpha \leq M_{\beta_1} \cdot \| x \|_{\beta_1} \cdot \| y \|_{\beta_1} </math> Für die Stetigkeitskonstanten <math>M_{\beta_1} </math> der Multiplkation bei einem basiserzeugenden <math>p</math>-Gaugefunktional gilt zunächst einmal <math>M_{\beta_1} > 0 </math>. Ohne Einschränkung kann aber <math>M_{\beta_1} \geq 1 </math> gewählt werden. === Beweis 2 - Stetigkeit der Multiplikation === Die induktive Definition der [[Stetigkeitssequenz|Stetigkeitssequenz]] kann erfolgt pro Index <math> k\in \mathbb{N}</math> über zweifach über die Stetigkeit der Multiplikation erzeugen und zu jedem <math>p</math>-Gaugefunktional <math>\|\cdot \|_\alpha</math> gibt es ein <math>p</math>-Gaugefunktional <math>\|\cdot \|_{\beta_1}</math> und ein <math>M_{\beta_1} \geq \max \{ 1, \| e_{_A} \|_{\beta_1} \}</math> mit :<math> \| x \cdot y \|_\alpha \leq M_{\beta_1} \cdot \| x \|_{\beta_1} \cdot \| y \|_{\beta_1} \leq M_{\beta_1} \cdot \| x \|_{\beta_1} \cdot \underbrace{M_{\beta_1}}_{\geq 1} \cdot \| y \|_{\beta_1} </math> für alle <math> x,y \in A</math>. Zu <math>\beta_1 \in \mathcal{A}</math> gilt es wieder ein <math>p</math>-Gaugefunktional <math>\|\cdot \|_{\gamma_1}</math> mit :<math>\| x \cdot y \|_{\beta_1} \leq M_{\gamma_1} \cdot \| x \|_{\gamma_1} \cdot \| y \|_{\gamma_1} </math> für alle <math> x,y \in A</math> und <math>M_{\gamma_1} \geq \max \left\{ \| e_{_A} \|_{\beta_1}, \| e_{_A} \|_{\gamma_1} , M_{\beta_1} , 1 \right\}</math>. === Beweis 3 - Definition des p-Gaugefunktionals === Man kann ohne Einschränkung <math>M_{\gamma_1} \geq \max \left\{ \| e_{_A} \|_{\beta_1}, \| e_{_A} \|_{\gamma_1} , M_{\beta_1} , 1 \right\}</math> wählen und definiert nun das p-Gaugefunktional als :<math> \| x \|_{(\alpha,1)} := {M_{\beta_1}}^2 \cdot {M_{\gamma_1}}^2 \cdot \| x \|_{\gamma_1} </math> für alle <math>x \in A </math>. === Beweis 3 - Neutrales Element der Multiplikation === Ohne Einschränkung sei ferner <math> M_{\beta_1} \geq \underbrace{\| e_A \|_{\beta_1}}_{>0}</math> gewählt werden und man erhält: :<math> \begin{array}{rcl} \| x \|_\alpha & \leq & M_{\beta_1} \cdot \| x \|_{\beta_1} \cdot \underbrace{\| e_{_A} \|_{\beta_1}}_{\leq M_{\beta_1}} \leq {M_{\beta_1}}^2 \cdot M_{\gamma_1} \cdot \| x \|_{\beta_1} \\ & \leq & {M_{\beta_1}}^2 \cdot M_{\gamma_1} \cdot \| x \|_{\gamma_1} \cdot \underbrace{\| e_{_A} \|_{\gamma_1}}_{\leq M_{\gamma_1}} = \left\| x \right\|_{(\alpha , 1)} \\ \end{array} </math> Mit der Definition von <math> \left\| \cdot \right\|_{(\alpha , 1)} := {M_{\beta_1}}^2 \cdot {M_{\gamma_1}}^2 \cdot \| \cdot \|_{\gamma_1} </math> gilt das letzte Gleichheitszeichen und die Isotonie. === Beweis 4 - Induktive Definition der Stetigkeitssequenz === Man wendet nun Definition <math>\left\| \cdot \right\|_{(\alpha , 1)} </math> auf das Produkt an und man erhält die folgende Ungleichung gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \left\| \displaystyle \prod_{i=1}^n x_i \cdot y_i \right\|_{\alpha} & \leq & M_{\beta_k} \cdot \underbrace{ \| x_1\cdot y_1\|_{\beta_1} }_{ M_{\gamma_1} \cdot \| x_1\|_{\gamma_1} \cdot \| y_1\|_{\gamma_1} } \cdot \underbrace{ \left\| \displaystyle \prod_{i=2}^n x_i \cdot y_i \right\|_{\beta_1} }_{ M_{\gamma_1} \cdot \| x_2\cdot y_2 \|_{\gamma_1} \cdot \left\| \prod_{i=3}^n x_i \cdot y_i \right\|_{\gamma_1} } \\ & \leq & \| x_1\|_{(\alpha,1)} \cdot \| y_1\|_{(\alpha,1)} \cdot \| x_2 \cdot y_2\|_{(\alpha,1)} \cdot \left\| \displaystyle \prod_{i=3}^n x_i \cdot y_i \right\|_{(\alpha,1)} \\ \end{array} </math> === Beweis 5 - Stetigkeit der Multiplikation === Sei nun <math>\left\| \cdot \right\|_{(\alpha , k)} </math> gegeben. Mit der Stetigkeit der Multiplikation kann man wieder zu diesem <math>p</math>-Gaugefunktional <math>\left\| \cdot \right\|_{(\alpha , k)} </math> wieder ein <math>\|\cdot \|_{\beta_k}</math> mit einer Konstante <math>M_{\beta_k} \geq \max\{ 1, \| e_{_A} \|_{\beta_k} \} </math> finden, für das mit <math>\beta_{k} \in \mathcal{A} </math> für alle <math> x,y \in A</math> gilt: :<math> \left\| x \cdot y \right\|_{(\alpha , k)} \leq M_{\beta_k} \cdot \| x \|_{\beta_k} \cdot \| y \|_{\beta_k} </math> Man definiert nun <math> \left\| x \right\|_{(\alpha , k+1)} := {M_{\beta_k}}^2 \cdot \|x \|_{\beta_k} </math> für alle <math>x \in A</math>. === Beweis 5 - Stetigkeit der Multiplikation === Mit der Wahl von <math>M_{\beta_k} \geq 1 </math> folgt u.a. <math>{M_{\beta_k}}^2 \geq M_{\beta_k} \geq 1 </math> und man kann das Produkt wie folgt abschätzen: :<math> \begin{array}{rcl} \left\| \displaystyle \prod_{i=1}^n x_i \cdot y_i \right\|_{\alpha} \!\!\!\!\! & \leq & \displaystyle \prod_{i=1}^k \left( \| x_i\|_{(\alpha , i)} \cdot \|y_i\|_{(\alpha , i)} \right) \cdot \\ & & \cdot \, \underbrace{ \| x_{k+1} \cdot y_{k+1} \|_{(\alpha , k)} }_{ \leq M_{\beta_k} \cdot \| x_{k+1} \|_{\beta_k} \cdot \| y_{k+1} \|_{\beta_k} } \cdot \left\| \displaystyle \prod_{i=k+2}^n x_i \cdot y_i \right\|_{(\alpha,k)} \\ & \leq & \displaystyle \prod_{i=1}^{k+1} \left( \| x_i\|_{(\alpha , i)} \cdot \|y_i\|_{(\alpha , i)} \right) \cdot \\ & & \cdot \, M_{\beta_k} \cdot \| x_{k+2} \cdot y_{k+2} \|_{\beta_k} \cdot \left\| \displaystyle \prod_{i=k+3}^n x_i \cdot y_i \right\|_{\beta_k} \\ \end{array} </math> === Beweis 6 - Stetigkeit der Multiplikation === Durch eine weitere Abschätzung <math>{M_{\beta_k}}^2 \geq M_{\beta_k} \geq 1 </math> und der Definition von <math>\|\cdot \|_{(\alpha,k)}</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \left\| \displaystyle \prod_{i=1}^n x_i \cdot y_i \right\|_{\alpha} \!\!\!\!\! & \leq & \displaystyle \prod_{i=1}^{k+1} \left( \| x_i\|_{(\alpha , i)} \cdot \|y_i\|_{(\alpha , i)} \right) \cdot \\ & & \cdot \, M_{\beta_k} \cdot \| x_{k+2} \cdot y_{k+2} \|_{\beta_k} \cdot \left\| \displaystyle \prod_{i=k+3}^n x_i \cdot y_i \right\|_{\beta_k} \\ & \leq & \displaystyle \prod_{i=1}^{k+1} \left( \| x_i\|_{(\alpha , i)} \cdot \|y_i\|_{(\alpha , i)} \right) \cdot \\ & & \cdot \, \| x_{k+2} \cdot y_{k+2} \|_{(\alpha,k+1)} \cdot \left\| \displaystyle \prod_{i=k+3}^n x_i \cdot y_i \right\|_{(\alpha,k+1)} \\ \end{array} </math> === Beweis 8 - (K1) - Isotonie der Stetigkeitssequenz === Die Stetigkeitssequenz von Gaugefunktionalen ist isoton (d.h. <math> \| \cdot \|_{(\alpha , k)} \leq \| \cdot \|_{(\alpha , k+1)} </math>), denn für alle <math> x \in A</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \| x \|_{(\alpha , k)} & \leq & M_{\beta_k} \cdot \| x \|_{\beta_k} \cdot \underbrace{ \| e_A \|_{\beta_k} }_{\leq M_{\beta_k}} \\ & \leq & \underbrace{ {M_{\beta_k}}^2 \cdot \| x \|_{\gamma_k} }_{= \| x \|_{(\alpha, k+1)}} = \| x \|_{(\alpha, k+1)} \end{array} </math> === Beweis 9 - (K2) - Kaskadenungleichung === Insgesamt erhält man die Stetigkeitssequenz die Stetigkeitssequenz für beliebig große <math>n\in \mathbb{N}</math> induktiv und es gilt die Kaskadenungleichung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \left\| \prod_{k=1}^n x_k \cdot y_k \right\|_\alpha & \leq & \displaystyle \left\| x_k \right\|_{(\alpha , 1)} \cdot \left\| y_k \right\|_{(\alpha , 1)} \cdot \left\| \prod_{k=2}^n x_k \cdot y_k \right\|_{(\alpha , 1)} \\ & \leq & \displaystyle \prod_{k=1}^2 \left( \left\| x_k \right\|_{(\alpha , 2)} \cdot \left\| y_k \right\|_{(\alpha , 2)} \right) \cdot \left\| \prod_{k=3}^n x_k \cdot y_k \right\|_{(\alpha , 2)} \\ & \leq & \displaystyle \prod_{k=1}^n \left( \left\| x_k \right\|_{(\alpha , k )} \cdot \left\| y_k \right\|_{(\alpha , k )} \right) \end{array} </math> == Kaskadenungleichung für Summen und Produkte == Verbinden Sie die Kaskadenungleichung für Prodkukte mit der Kaskadenungleichung für Summen. [[Datei:Cascading sum gaugefunctional.svg|400px|alternativtext=Kaskadierende Summe mit Gaugefunktionalen]] <span id="Korrolar_Summen_Produkte"></span> == Korrolar - Kaskadensequenz == Sei <math> (A , \| \cdot \|_{\mathcal{A}} ) </math> eine [[Unital positiv|unital positive]] topologische Algebra mit dem basiserzeugenden <math>p</math>-Gaugefunktionalsystem <math> \| \cdot \|_{\mathcal{A}} </math>, dann gibt es für alle <math> \alpha \in {\mathcal{A}}</math> eine [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/isotone Stetigkeitssequenz|isotone Stetigkeitssequenz]] <math display="inline"> \left( \left\| \cdot \right\|_{(\alpha ,m)} \right)_{m \in \mathbb{N}_0} </math>, die ,mit <math>\|\cdot \|_{(\alpha,0)} := \|\cdot \|_{\alpha}</math> folgende Eigenschaften besitzt: * (K1) <math display="inline"> \left\| \cdot \right\|_{(\alpha , k )} \leq \left\| \cdot \right\|_{(\alpha , k+1 )} </math> für <math> k\in \{ 1, \ldots , n-1 \} </math> * (K2) <math display="inline"> \displaystyle \left\| \sum_{k=1}^n x_k + y_k \right\|_{(\alpha,m)} \leq \sum_{k=1}^n \left( \left\| x_k \right\|_{(\alpha , m+k )} + \left\| y_k \right\|_{(\alpha , m+k )} \right) </math> * (K3) <math display="inline"> \displaystyle \left\| \prod_{k=1}^n x_k \cdot y_k \right\|_{ (\alpha,m) } \leq \prod_{k=1}^n \left( \left\| x_k \right\|_{(\alpha , m+k )} \cdot \left\| y_k \right\|_{(\alpha , m+k )} \right) </math> == Beweisaufgabe für Studierende == Beweisen Sie die obige Abschätzung im Korrolar, indem Sie die induktive Definition im Lemma über Kaskadenprodukte mit dem [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Lemma_-_Kaskadensummen#Lemma_Kaskadensumme|Lemma über Kaskadensummen]] verbinden und die induktive Definition für beide Kaskadenungleichungen vornehmen. == Siehe auch == * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Lemma - Kaskadensummen|Lemma - Kaskadensummen]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Lemma%20-%20Kaskadenprodukte%20&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Lemma%20-%20Kaskadenprodukte%20&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Lemma%20-%20Kaskadenprodukte%20 https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Lemma%20-%20Kaskadenprodukte%20] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Lemma%20-%20Kaskadenprodukte%20 Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Lemma%20-%20Kaskadenprodukte%20 * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Lemma%20-%20Kaskadenprodukte%20&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] qkl7h98skwyuc8ess48d4y6x3g67usg 1118785 1118784 2026-11-03T12:41:22Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1118785 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In Analogie zum [[Lemma über Kaskadensummen]] kann man diese Eigenschaft mit der Stetigkeit der Multiplikation auch auf Produkte in topologischen Algebren übertragen (siehe auch [[Topologisierungslemma für Algebren]]). <span id="Lemma_Kaskadenprodukte"></span> == Lemma - Kaskadenprodukte == Sei <math> (A , \| \cdot \|_{\mathcal{A}} ) </math> eine [[Unital positiv|unital positive]] topologische Algebra mit dem basiserzeugenden <math>p</math>-Gaugefunktionalsystem <math> \| \cdot \|_{\mathcal{A}} </math>, dann gibt es für alle <math> \alpha \in {\mathcal{A}}</math> eine isotone Stetigkeitssequenz <math display="inline"> \left( \left\| \cdot \right\|_{(\alpha ,n)} \right)_{n \in \mathbb{N}_0} </math>, die folgende Eigenschaften besitzt: * (KM1) <math display="inline"> \left\| \cdot \right\|_{(\alpha , k )} \leq \left\| \cdot \right\|_{(\alpha , k+1 )} </math> für <math> k\in \{ 1, \ldots , n-1 \} </math> mit <math> \left\| \cdot \right\|_{(\alpha , 0 )} := \left\| \cdot \right\|_{\alpha} </math> * (KM2) <math display="inline"> \displaystyle \left\| \prod_{k=1}^n x_k \cdot y_k \right\|_\alpha \leq \prod_{k=1}^n \left( \left\| x_k \right\|_{(\alpha , k )} \cdot \left\| y_k \right\|_{(\alpha , k )} \right) </math> == Beweis - Kaskadensummen == Für den Beweis verwendet man Ungleichungen für die Stetigkeit der Multiplikation für ein [[Basiserzeugendes Gaugefunktionalsystem|basiserzeugendes Gaugefunktionalsystem]] aus dem [[Topologisierungslemma für Algebren]]. Der Beweis erfolgt in 3 Teilen * [[Stetigkeitssequenz|Stetigkeitssequenz]] wird induktiv definiert und man setzt <math> \left\| \cdot \right\|_{(\alpha , 0 )} := \left\| \cdot \right\|_{\alpha} </math>. * (K1) Isotonie der Stetigkeitssequenzen * (K2) Beweis der Kaskadenungleichung der Multiplkation === Beweis 1 - Stetigkeit der Multiplikation === Mit der [[Stetigkeitssequenz|Stetigkeitssequenzen]] kann man analog zu den [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Lemma - Kaskadensummen|Kaskadensummen]] über die Stetigkeit der Multiplikation erzeugen, d.h. es gibt zu jedem <math>p</math>-Gaugefunktional <math>\|\cdot \|_\alpha</math> ein <math>\|\cdot \|_{\beta}</math>, ein <math>M_{\beta} \geq 1 </math> mit :<math>\| x \cdot y \|_\alpha \leq M_{\beta_1} \cdot \| x \|_{\beta_1} \cdot \| y \|_{\beta_1} </math> Für die Stetigkeitskonstanten <math>M_{\beta_1} </math> der Multiplkation bei einem basiserzeugenden <math>p</math>-Gaugefunktional gilt zunächst einmal <math>M_{\beta_1} > 0 </math>. Ohne Einschränkung kann aber <math>M_{\beta_1} \geq 1 </math> gewählt werden. === Beweis 2 - Stetigkeit der Multiplikation === Die induktive Definition der [[Stetigkeitssequenz|Stetigkeitssequenz]] kann erfolgt pro Index <math> k\in \mathbb{N}</math> über zweifach über die Stetigkeit der Multiplikation erzeugen und zu jedem <math>p</math>-Gaugefunktional <math>\|\cdot \|_\alpha</math> gibt es ein <math>p</math>-Gaugefunktional <math>\|\cdot \|_{\beta_1}</math> und ein <math>M_{\beta_1} \geq \max \{ 1, \| e_{_A} \|_{\beta_1} \}</math> mit :<math> \| x \cdot y \|_\alpha \leq M_{\beta_1} \cdot \| x \|_{\beta_1} \cdot \| y \|_{\beta_1} \leq M_{\beta_1} \cdot \| x \|_{\beta_1} \cdot \underbrace{M_{\beta_1}}_{\geq 1} \cdot \| y \|_{\beta_1} </math> für alle <math> x,y \in A</math>. Zu <math>\beta_1 \in \mathcal{A}</math> gilt es wieder ein <math>p</math>-Gaugefunktional <math>\|\cdot \|_{\gamma_1}</math> mit :<math>\| x \cdot y \|_{\beta_1} \leq M_{\gamma_1} \cdot \| x \|_{\gamma_1} \cdot \| y \|_{\gamma_1} </math> für alle <math> x,y \in A</math> und <math>M_{\gamma_1} \geq \max \left\{ \| e_{_A} \|_{\beta_1}, \| e_{_A} \|_{\gamma_1} , M_{\beta_1} , 1 \right\}</math>. === Beweis 3 - Definition des p-Gaugefunktionals === Man kann ohne Einschränkung <math>M_{\gamma_1} \geq \max \left\{ \| e_{_A} \|_{\beta_1}, \| e_{_A} \|_{\gamma_1} , M_{\beta_1} , 1 \right\}</math> wählen und definiert nun das p-Gaugefunktional als :<math> \| x \|_{(\alpha,1)} := {M_{\beta_1}}^2 \cdot {M_{\gamma_1}}^2 \cdot \| x \|_{\gamma_1} </math> für alle <math>x \in A </math>. === Beweis 3 - Neutrales Element der Multiplikation === Ohne Einschränkung sei ferner <math> M_{\beta_1} \geq \underbrace{\| e_A \|_{\beta_1}}_{>0}</math> gewählt werden und man erhält: :<math> \begin{array}{rcl} \| x \|_\alpha & \leq & M_{\beta_1} \cdot \| x \|_{\beta_1} \cdot \underbrace{\| e_{_A} \|_{\beta_1}}_{\leq M_{\beta_1}} \leq {M_{\beta_1}}^2 \cdot M_{\gamma_1} \cdot \| x \|_{\beta_1} \\ & \leq & {M_{\beta_1}}^2 \cdot M_{\gamma_1} \cdot \| x \|_{\gamma_1} \cdot \underbrace{\| e_{_A} \|_{\gamma_1}}_{\leq M_{\gamma_1}} = \left\| x \right\|_{(\alpha , 1)} \\ \end{array} </math> Mit der Definition von <math> \left\| \cdot \right\|_{(\alpha , 1)} := {M_{\beta_1}}^2 \cdot {M_{\gamma_1}}^2 \cdot \| \cdot \|_{\gamma_1} </math> gilt das letzte Gleichheitszeichen und die Isotonie. === Beweis 4 - Induktive Definition der Stetigkeitssequenz === Man wendet nun Definition <math>\left\| \cdot \right\|_{(\alpha , 1)} </math> auf das Produkt an und man erhält die folgende Ungleichung gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \left\| \displaystyle \prod_{i=1}^n x_i \cdot y_i \right\|_{\alpha} & \leq & M_{\beta_k} \cdot \underbrace{ \| x_1\cdot y_1\|_{\beta_1} }_{ M_{\gamma_1} \cdot \| x_1\|_{\gamma_1} \cdot \| y_1\|_{\gamma_1} } \cdot \underbrace{ \left\| \displaystyle \prod_{i=2}^n x_i \cdot y_i \right\|_{\beta_1} }_{ M_{\gamma_1} \cdot \| x_2\cdot y_2 \|_{\gamma_1} \cdot \left\| \prod_{i=3}^n x_i \cdot y_i \right\|_{\gamma_1} } \\ & \leq & \| x_1\|_{(\alpha,1)} \cdot \| y_1\|_{(\alpha,1)} \cdot \| x_2 \cdot y_2\|_{(\alpha,1)} \cdot \left\| \displaystyle \prod_{i=3}^n x_i \cdot y_i \right\|_{(\alpha,1)} \\ \end{array} </math> === Beweis 5 - Stetigkeit der Multiplikation === Sei nun <math>\left\| \cdot \right\|_{(\alpha , k)} </math> gegeben. Mit der Stetigkeit der Multiplikation kann man wieder zu diesem <math>p</math>-Gaugefunktional <math>\left\| \cdot \right\|_{(\alpha , k)} </math> wieder ein <math>\|\cdot \|_{\beta_k}</math> mit einer Konstante <math>M_{\beta_k} \geq \max\{ 1, \| e_{_A} \|_{\beta_k} \} </math> finden, für das mit <math>\beta_{k} \in \mathcal{A} </math> für alle <math> x,y \in A</math> gilt: :<math> \left\| x \cdot y \right\|_{(\alpha , k)} \leq M_{\beta_k} \cdot \| x \|_{\beta_k} \cdot \| y \|_{\beta_k} </math> Man definiert nun <math> \left\| x \right\|_{(\alpha , k+1)} := {M_{\beta_k}}^2 \cdot \|x \|_{\beta_k} </math> für alle <math>x \in A</math>. === Beweis 5 - Stetigkeit der Multiplikation === Mit der Wahl von <math>M_{\beta_k} \geq 1 </math> folgt u.a. <math>{M_{\beta_k}}^2 \geq M_{\beta_k} \geq 1 </math> und man kann das Produkt wie folgt abschätzen: :<math> \begin{array}{rcl} \left\| \displaystyle \prod_{i=1}^n x_i \cdot y_i \right\|_{\alpha} \!\!\!\!\! & \leq & \displaystyle \prod_{i=1}^k \left( \| x_i\|_{(\alpha , i)} \cdot \|y_i\|_{(\alpha , i)} \right) \cdot \\ & & \cdot \, \underbrace{ \| x_{k+1} \cdot y_{k+1} \|_{(\alpha , k)} }_{ \leq M_{\beta_k} \cdot \| x_{k+1} \|_{\beta_k} \cdot \| y_{k+1} \|_{\beta_k} } \cdot \left\| \displaystyle \prod_{i=k+2}^n x_i \cdot y_i \right\|_{(\alpha,k)} \\ & \leq & \displaystyle \prod_{i=1}^{k+1} \left( \| x_i\|_{(\alpha , i)} \cdot \|y_i\|_{(\alpha , i)} \right) \cdot \\ & & \cdot \, M_{\beta_k} \cdot \| x_{k+2} \cdot y_{k+2} \|_{\beta_k} \cdot \left\| \displaystyle \prod_{i=k+3}^n x_i \cdot y_i \right\|_{\beta_k} \\ \end{array} </math> === Beweis 6 - Stetigkeit der Multiplikation === Durch eine weitere Abschätzung <math>{M_{\beta_k}}^2 \geq M_{\beta_k} \geq 1 </math> und der Definition von <math>\|\cdot \|_{(\alpha,k)}</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \left\| \displaystyle \prod_{i=1}^n x_i \cdot y_i \right\|_{\alpha} \!\!\!\!\! & \leq & \displaystyle \prod_{i=1}^{k+1} \left( \| x_i\|_{(\alpha , i)} \cdot \|y_i\|_{(\alpha , i)} \right) \cdot \\ & & \cdot \, M_{\beta_k} \cdot \| x_{k+2} \cdot y_{k+2} \|_{\beta_k} \cdot \left\| \displaystyle \prod_{i=k+3}^n x_i \cdot y_i \right\|_{\beta_k} \\ & \leq & \displaystyle \prod_{i=1}^{k+1} \left( \| x_i\|_{(\alpha , i)} \cdot \|y_i\|_{(\alpha , i)} \right) \cdot \\ & & \cdot \, \| x_{k+2} \cdot y_{k+2} \|_{(\alpha,k+1)} \cdot \left\| \displaystyle \prod_{i=k+3}^n x_i \cdot y_i \right\|_{(\alpha,k+1)} \\ \end{array} </math> === Beweis 8 - (K1) - Isotonie der Stetigkeitssequenz === Die Stetigkeitssequenz von Gaugefunktionalen ist isoton (d.h. <math> \| \cdot \|_{(\alpha , k)} \leq \| \cdot \|_{(\alpha , k+1)} </math>), denn für alle <math> x \in A</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \| x \|_{(\alpha , k)} & \leq & M_{\beta_k} \cdot \| x \|_{\beta_k} \cdot \underbrace{ \| e_A \|_{\beta_k} }_{\leq M_{\beta_k}} \\ & \leq & \underbrace{ {M_{\beta_k}}^2 \cdot \| x \|_{\gamma_k} }_{= \| x \|_{(\alpha, k+1)}} = \| x \|_{(\alpha, k+1)} \end{array} </math> === Beweis 9 - (K2) - Kaskadenungleichung === Insgesamt erhält man die Stetigkeitssequenz die Stetigkeitssequenz für beliebig große <math>n\in \mathbb{N}</math> induktiv und es gilt die Kaskadenungleichung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \left\| \prod_{k=1}^n x_k \cdot y_k \right\|_\alpha & \leq & \displaystyle \left\| x_k \right\|_{(\alpha , 1)} \cdot \left\| y_k \right\|_{(\alpha , 1)} \cdot \left\| \prod_{k=2}^n x_k \cdot y_k \right\|_{(\alpha , 1)} \\ & \leq & \displaystyle \prod_{k=1}^2 \left( \left\| x_k \right\|_{(\alpha , 2)} \cdot \left\| y_k \right\|_{(\alpha , 2)} \right) \cdot \left\| \prod_{k=3}^n x_k \cdot y_k \right\|_{(\alpha , 2)} \\ & \leq & \displaystyle \prod_{k=1}^n \left( \left\| x_k \right\|_{(\alpha , k )} \cdot \left\| y_k \right\|_{(\alpha , k )} \right) \end{array} </math> == Kaskadenungleichung für Summen und Produkte == Verbinden Sie die Kaskadenungleichung für Prodkukte mit der Kaskadenungleichung für Summen. [[Datei:Cascading sum gaugefunctional.svg|400px|alternativtext=Kaskadierende Summe mit Gaugefunktionalen]] <span id="Korrolar_Summen_Produkte"></span> == Korrolar - Kaskadensequenz == Sei <math> (A , \| \cdot \|_{\mathcal{A}} ) </math> eine [[Unital positiv|unital positive]] topologische Algebra mit dem basiserzeugenden <math>p</math>-Gaugefunktionalsystem <math> \| \cdot \|_{\mathcal{A}} </math>, dann gibt es für alle <math> \alpha \in {\mathcal{A}}</math> eine [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/isotone Stetigkeitssequenz|isotone Stetigkeitssequenz]] <math display="inline"> \left( \left\| \cdot \right\|_{(\alpha ,m)} \right)_{m \in \mathbb{N}_0} </math>, die ,mit <math>\|\cdot \|_{(\alpha,0)} := \|\cdot \|_{\alpha}</math> folgende Eigenschaften besitzt: * (K1) <math display="inline"> \left\| \cdot \right\|_{(\alpha , k )} \leq \left\| \cdot \right\|_{(\alpha , k+1 )} </math> für <math> k\in \{ 1, \ldots , n-1 \} </math> * (K2) <math display="inline"> \displaystyle \left\| \sum_{k=1}^n x_k + y_k \right\|_{(\alpha,m)} \leq \sum_{k=1}^n \left( \left\| x_k \right\|_{(\alpha , m+k )} + \left\| y_k \right\|_{(\alpha , m+k )} \right) </math> * (K3) <math display="inline"> \displaystyle \left\| \prod_{k=1}^n x_k \cdot y_k \right\|_{ (\alpha,m) } \leq \prod_{k=1}^n \left( \left\| x_k \right\|_{(\alpha , m+k )} \cdot \left\| y_k \right\|_{(\alpha , m+k )} \right) </math> == Beweisaufgabe für Studierende == Beweisen Sie die obige Abschätzung im Korrolar, indem Sie die induktive Definition im Lemma über Kaskadenprodukte mit dem [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Lemma_-_Kaskadensummen#Lemma_Kaskadensumme|Lemma über Kaskadensummen]] verbinden und die induktive Definition für beide Kaskadenungleichungen vornehmen. == Siehe auch == * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Lemma - Kaskadensummen|Lemma - Kaskadensummen]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Lemma - Kaskadenprodukte#Korrolar_Summen_Produkte|Korrolar_Summen_Produkte|Korrolar - Summen - Produkte]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Lemma%20-%20Kaskadenprodukte%20&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Lemma%20-%20Kaskadenprodukte%20&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Lemma%20-%20Kaskadenprodukte%20 https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Lemma%20-%20Kaskadenprodukte%20] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Lemma%20-%20Kaskadenprodukte%20 Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Lemma%20-%20Kaskadenprodukte%20 * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Lemma%20-%20Kaskadenprodukte%20&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] t7utfkix1bv24xj9lo0ypxg8y4idapm 1118786 1118785 2026-11-03T12:41:54Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1118786 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In Analogie zum [[Lemma über Kaskadensummen]] kann man diese Eigenschaft mit der Stetigkeit der Multiplikation auch auf Produkte in topologischen Algebren übertragen (siehe auch [[Topologisierungslemma für Algebren]]). <span id="Lemma_Kaskadenprodukte"></span> == Lemma - Kaskadenprodukte == Sei <math> (A , \| \cdot \|_{\mathcal{A}} ) </math> eine [[Unital positiv|unital positive]] topologische Algebra mit dem basiserzeugenden <math>p</math>-Gaugefunktionalsystem <math> \| \cdot \|_{\mathcal{A}} </math>, dann gibt es für alle <math> \alpha \in {\mathcal{A}}</math> eine isotone Stetigkeitssequenz <math display="inline"> \left( \left\| \cdot \right\|_{(\alpha ,n)} \right)_{n \in \mathbb{N}_0} </math>, die folgende Eigenschaften besitzt: * (KM1) <math display="inline"> \left\| \cdot \right\|_{(\alpha , k )} \leq \left\| \cdot \right\|_{(\alpha , k+1 )} </math> für <math> k\in \{ 1, \ldots , n-1 \} </math> mit <math> \left\| \cdot \right\|_{(\alpha , 0 )} := \left\| \cdot \right\|_{\alpha} </math> * (KM2) <math display="inline"> \displaystyle \left\| \prod_{k=1}^n x_k \cdot y_k \right\|_\alpha \leq \prod_{k=1}^n \left( \left\| x_k \right\|_{(\alpha , k )} \cdot \left\| y_k \right\|_{(\alpha , k )} \right) </math> == Beweis - Kaskadensummen == Für den Beweis verwendet man Ungleichungen für die Stetigkeit der Multiplikation für ein [[Basiserzeugendes Gaugefunktionalsystem|basiserzeugendes Gaugefunktionalsystem]] aus dem [[Topologisierungslemma für Algebren]]. Der Beweis erfolgt in 3 Teilen * [[Stetigkeitssequenz|Stetigkeitssequenz]] wird induktiv definiert und man setzt <math> \left\| \cdot \right\|_{(\alpha , 0 )} := \left\| \cdot \right\|_{\alpha} </math>. * (K1) Isotonie der Stetigkeitssequenzen * (K2) Beweis der Kaskadenungleichung der Multiplkation === Beweis 1 - Stetigkeit der Multiplikation === Mit der [[Stetigkeitssequenz|Stetigkeitssequenzen]] kann man analog zu den [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Lemma - Kaskadensummen|Kaskadensummen]] über die Stetigkeit der Multiplikation erzeugen, d.h. es gibt zu jedem <math>p</math>-Gaugefunktional <math>\|\cdot \|_\alpha</math> ein <math>\|\cdot \|_{\beta}</math>, ein <math>M_{\beta} \geq 1 </math> mit :<math>\| x \cdot y \|_\alpha \leq M_{\beta_1} \cdot \| x \|_{\beta_1} \cdot \| y \|_{\beta_1} </math> Für die Stetigkeitskonstanten <math>M_{\beta_1} </math> der Multiplkation bei einem basiserzeugenden <math>p</math>-Gaugefunktional gilt zunächst einmal <math>M_{\beta_1} > 0 </math>. Ohne Einschränkung kann aber <math>M_{\beta_1} \geq 1 </math> gewählt werden. === Beweis 2 - Stetigkeit der Multiplikation === Die induktive Definition der [[Stetigkeitssequenz|Stetigkeitssequenz]] kann erfolgt pro Index <math> k\in \mathbb{N}</math> über zweifach über die Stetigkeit der Multiplikation erzeugen und zu jedem <math>p</math>-Gaugefunktional <math>\|\cdot \|_\alpha</math> gibt es ein <math>p</math>-Gaugefunktional <math>\|\cdot \|_{\beta_1}</math> und ein <math>M_{\beta_1} \geq \max \{ 1, \| e_{_A} \|_{\beta_1} \}</math> mit :<math> \| x \cdot y \|_\alpha \leq M_{\beta_1} \cdot \| x \|_{\beta_1} \cdot \| y \|_{\beta_1} \leq M_{\beta_1} \cdot \| x \|_{\beta_1} \cdot \underbrace{M_{\beta_1}}_{\geq 1} \cdot \| y \|_{\beta_1} </math> für alle <math> x,y \in A</math>. Zu <math>\beta_1 \in \mathcal{A}</math> gilt es wieder ein <math>p</math>-Gaugefunktional <math>\|\cdot \|_{\gamma_1}</math> mit :<math>\| x \cdot y \|_{\beta_1} \leq M_{\gamma_1} \cdot \| x \|_{\gamma_1} \cdot \| y \|_{\gamma_1} </math> für alle <math> x,y \in A</math> und <math>M_{\gamma_1} \geq \max \left\{ \| e_{_A} \|_{\beta_1}, \| e_{_A} \|_{\gamma_1} , M_{\beta_1} , 1 \right\}</math>. === Beweis 3 - Definition des p-Gaugefunktionals === Man kann ohne Einschränkung <math>M_{\gamma_1} \geq \max \left\{ \| e_{_A} \|_{\beta_1}, \| e_{_A} \|_{\gamma_1} , M_{\beta_1} , 1 \right\}</math> wählen und definiert nun das p-Gaugefunktional als :<math> \| x \|_{(\alpha,1)} := {M_{\beta_1}}^2 \cdot {M_{\gamma_1}}^2 \cdot \| x \|_{\gamma_1} </math> für alle <math>x \in A </math>. === Beweis 3 - Neutrales Element der Multiplikation === Ohne Einschränkung sei ferner <math> M_{\beta_1} \geq \underbrace{\| e_A \|_{\beta_1}}_{>0}</math> gewählt werden und man erhält: :<math> \begin{array}{rcl} \| x \|_\alpha & \leq & M_{\beta_1} \cdot \| x \|_{\beta_1} \cdot \underbrace{\| e_{_A} \|_{\beta_1}}_{\leq M_{\beta_1}} \leq {M_{\beta_1}}^2 \cdot M_{\gamma_1} \cdot \| x \|_{\beta_1} \\ & \leq & {M_{\beta_1}}^2 \cdot M_{\gamma_1} \cdot \| x \|_{\gamma_1} \cdot \underbrace{\| e_{_A} \|_{\gamma_1}}_{\leq M_{\gamma_1}} = \left\| x \right\|_{(\alpha , 1)} \\ \end{array} </math> Mit der Definition von <math> \left\| \cdot \right\|_{(\alpha , 1)} := {M_{\beta_1}}^2 \cdot {M_{\gamma_1}}^2 \cdot \| \cdot \|_{\gamma_1} </math> gilt das letzte Gleichheitszeichen und die Isotonie. === Beweis 4 - Induktive Definition der Stetigkeitssequenz === Man wendet nun Definition <math>\left\| \cdot \right\|_{(\alpha , 1)} </math> auf das Produkt an und man erhält die folgende Ungleichung gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \left\| \displaystyle \prod_{i=1}^n x_i \cdot y_i \right\|_{\alpha} & \leq & M_{\beta_k} \cdot \underbrace{ \| x_1\cdot y_1\|_{\beta_1} }_{ M_{\gamma_1} \cdot \| x_1\|_{\gamma_1} \cdot \| y_1\|_{\gamma_1} } \cdot \underbrace{ \left\| \displaystyle \prod_{i=2}^n x_i \cdot y_i \right\|_{\beta_1} }_{ M_{\gamma_1} \cdot \| x_2\cdot y_2 \|_{\gamma_1} \cdot \left\| \prod_{i=3}^n x_i \cdot y_i \right\|_{\gamma_1} } \\ & \leq & \| x_1\|_{(\alpha,1)} \cdot \| y_1\|_{(\alpha,1)} \cdot \| x_2 \cdot y_2\|_{(\alpha,1)} \cdot \left\| \displaystyle \prod_{i=3}^n x_i \cdot y_i \right\|_{(\alpha,1)} \\ \end{array} </math> === Beweis 5 - Stetigkeit der Multiplikation === Sei nun <math>\left\| \cdot \right\|_{(\alpha , k)} </math> gegeben. Mit der Stetigkeit der Multiplikation kann man wieder zu diesem <math>p</math>-Gaugefunktional <math>\left\| \cdot \right\|_{(\alpha , k)} </math> wieder ein <math>\|\cdot \|_{\beta_k}</math> mit einer Konstante <math>M_{\beta_k} \geq \max\{ 1, \| e_{_A} \|_{\beta_k} \} </math> finden, für das mit <math>\beta_{k} \in \mathcal{A} </math> für alle <math> x,y \in A</math> gilt: :<math> \left\| x \cdot y \right\|_{(\alpha , k)} \leq M_{\beta_k} \cdot \| x \|_{\beta_k} \cdot \| y \|_{\beta_k} </math> Man definiert nun <math> \left\| x \right\|_{(\alpha , k+1)} := {M_{\beta_k}}^2 \cdot \|x \|_{\beta_k} </math> für alle <math>x \in A</math>. === Beweis 5 - Stetigkeit der Multiplikation === Mit der Wahl von <math>M_{\beta_k} \geq 1 </math> folgt u.a. <math>{M_{\beta_k}}^2 \geq M_{\beta_k} \geq 1 </math> und man kann das Produkt wie folgt abschätzen: :<math> \begin{array}{rcl} \left\| \displaystyle \prod_{i=1}^n x_i \cdot y_i \right\|_{\alpha} \!\!\!\!\! & \leq & \displaystyle \prod_{i=1}^k \left( \| x_i\|_{(\alpha , i)} \cdot \|y_i\|_{(\alpha , i)} \right) \cdot \\ & & \cdot \, \underbrace{ \| x_{k+1} \cdot y_{k+1} \|_{(\alpha , k)} }_{ \leq M_{\beta_k} \cdot \| x_{k+1} \|_{\beta_k} \cdot \| y_{k+1} \|_{\beta_k} } \cdot \left\| \displaystyle \prod_{i=k+2}^n x_i \cdot y_i \right\|_{(\alpha,k)} \\ & \leq & \displaystyle \prod_{i=1}^{k+1} \left( \| x_i\|_{(\alpha , i)} \cdot \|y_i\|_{(\alpha , i)} \right) \cdot \\ & & \cdot \, M_{\beta_k} \cdot \| x_{k+2} \cdot y_{k+2} \|_{\beta_k} \cdot \left\| \displaystyle \prod_{i=k+3}^n x_i \cdot y_i \right\|_{\beta_k} \\ \end{array} </math> === Beweis 6 - Stetigkeit der Multiplikation === Durch eine weitere Abschätzung <math>{M_{\beta_k}}^2 \geq M_{\beta_k} \geq 1 </math> und der Definition von <math>\|\cdot \|_{(\alpha,k)}</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \left\| \displaystyle \prod_{i=1}^n x_i \cdot y_i \right\|_{\alpha} \!\!\!\!\! & \leq & \displaystyle \prod_{i=1}^{k+1} \left( \| x_i\|_{(\alpha , i)} \cdot \|y_i\|_{(\alpha , i)} \right) \cdot \\ & & \cdot \, M_{\beta_k} \cdot \| x_{k+2} \cdot y_{k+2} \|_{\beta_k} \cdot \left\| \displaystyle \prod_{i=k+3}^n x_i \cdot y_i \right\|_{\beta_k} \\ & \leq & \displaystyle \prod_{i=1}^{k+1} \left( \| x_i\|_{(\alpha , i)} \cdot \|y_i\|_{(\alpha , i)} \right) \cdot \\ & & \cdot \, \| x_{k+2} \cdot y_{k+2} \|_{(\alpha,k+1)} \cdot \left\| \displaystyle \prod_{i=k+3}^n x_i \cdot y_i \right\|_{(\alpha,k+1)} \\ \end{array} </math> === Beweis 8 - (K1) - Isotonie der Stetigkeitssequenz === Die Stetigkeitssequenz von Gaugefunktionalen ist isoton (d.h. <math> \| \cdot \|_{(\alpha , k)} \leq \| \cdot \|_{(\alpha , k+1)} </math>), denn für alle <math> x \in A</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \| x \|_{(\alpha , k)} & \leq & M_{\beta_k} \cdot \| x \|_{\beta_k} \cdot \underbrace{ \| e_A \|_{\beta_k} }_{\leq M_{\beta_k}} \\ & \leq & \underbrace{ {M_{\beta_k}}^2 \cdot \| x \|_{\gamma_k} }_{= \| x \|_{(\alpha, k+1)}} = \| x \|_{(\alpha, k+1)} \end{array} </math> === Beweis 9 - (K2) - Kaskadenungleichung === Insgesamt erhält man die Stetigkeitssequenz die Stetigkeitssequenz für beliebig große <math>n\in \mathbb{N}</math> induktiv und es gilt die Kaskadenungleichung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \left\| \prod_{k=1}^n x_k \cdot y_k \right\|_\alpha & \leq & \displaystyle \left\| x_k \right\|_{(\alpha , 1)} \cdot \left\| y_k \right\|_{(\alpha , 1)} \cdot \left\| \prod_{k=2}^n x_k \cdot y_k \right\|_{(\alpha , 1)} \\ & \leq & \displaystyle \prod_{k=1}^2 \left( \left\| x_k \right\|_{(\alpha , 2)} \cdot \left\| y_k \right\|_{(\alpha , 2)} \right) \cdot \left\| \prod_{k=3}^n x_k \cdot y_k \right\|_{(\alpha , 2)} \\ & \leq & \displaystyle \prod_{k=1}^n \left( \left\| x_k \right\|_{(\alpha , k )} \cdot \left\| y_k \right\|_{(\alpha , k )} \right) \end{array} </math> == Kaskadenungleichung für Summen und Produkte == Verbinden Sie die Kaskadenungleichung für Prodkukte mit der Kaskadenungleichung für Summen. [[Datei:Cascading sum gaugefunctional.svg|400px|alternativtext=Kaskadierende Summe mit Gaugefunktionalen]] <span id="Korrolar_Summen_Produkte"></span> == Korrolar - Kaskadensequenz == Sei <math> (A , \| \cdot \|_{\mathcal{A}} ) </math> eine [[Unital positiv|unital positive]] topologische Algebra mit dem basiserzeugenden <math>p</math>-Gaugefunktionalsystem <math> \| \cdot \|_{\mathcal{A}} </math>, dann gibt es für alle <math> \alpha \in {\mathcal{A}}</math> eine [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/isotone Stetigkeitssequenz|isotone Stetigkeitssequenz]] <math display="inline"> \left( \left\| \cdot \right\|_{(\alpha ,m)} \right)_{m \in \mathbb{N}_0} </math>, die ,mit <math>\|\cdot \|_{(\alpha,0)} := \|\cdot \|_{\alpha}</math> folgende Eigenschaften besitzt: * (K1) <math display="inline"> \left\| \cdot \right\|_{(\alpha , k )} \leq \left\| \cdot \right\|_{(\alpha , k+1 )} </math> für <math> k\in \{ 1, \ldots , n-1 \} </math> * (K2) <math display="inline"> \displaystyle \left\| \sum_{k=1}^n x_k + y_k \right\|_{(\alpha,m)} \leq \sum_{k=1}^n \left( \left\| x_k \right\|_{(\alpha , m+k )} + \left\| y_k \right\|_{(\alpha , m+k )} \right) </math> * (K3) <math display="inline"> \displaystyle \left\| \prod_{k=1}^n x_k \cdot y_k \right\|_{ (\alpha,m) } \leq \prod_{k=1}^n \left( \left\| x_k \right\|_{(\alpha , m+k )} \cdot \left\| y_k \right\|_{(\alpha , m+k )} \right) </math> == Beweisaufgabe für Studierende == Beweisen Sie die obige Abschätzung im Korrolar, indem Sie die induktive Definition im Lemma über Kaskadenprodukte mit dem [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Lemma_-_Kaskadensummen#Lemma_Kaskadensumme|Lemma über Kaskadensummen]] verbinden und die induktive Definition für beide Kaskadenungleichungen vornehmen. == Siehe auch == * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Lemma - Kaskadensummen|Lemma - Kaskadensummen]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Lemma - Kaskadenprodukte#Korrolar_Summen_Produkte|Korrolar - Summen - Produkte]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Lemma%20-%20Kaskadenprodukte%20&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Lemma%20-%20Kaskadenprodukte%20&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Lemma%20-%20Kaskadenprodukte%20 https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Lemma%20-%20Kaskadenprodukte%20] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Lemma%20-%20Kaskadenprodukte%20 Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Lemma%20-%20Kaskadenprodukte%20 * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Lemma%20-%20Kaskadenprodukte%20&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] sc909jpwxh4r88bk1j1gdzhhw2e4j13 106 131697 1118776 1118775 2026-11-03T12:25:09Z Bert Niehaus 20843 /* Beweis */ 1118776 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/T-Regularit%C3%A4tskriterium&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. == Zielsetzung == Diese Lerneinheit in der Wikiversity hat das Ziel, die <math>\mathcal{T}</math>-Regularität eines Elementes <math>z \in A</math> für eine beliebige topologische Algebra zu charakterisieren. == Zielgruppe == Die Zielgruppe der Lerneinheit sind Studierende der Mathematik. Die [[Wiki2Reveal]]-Folien im Kurs dienen dazu, dass Lehrende bei Bedarf direkt die Folien in Lehrveranstaltungen einsetzen können, bzw. Studierende mit den Folien mathematische Sachverhalte vorstellen können, die zur Lösung einer Aufgabe verwendet werden könnten. Die Folien können bei Eingabe mit einem digitalen Stift im Browser annotiert werden, d.h. man im Browser direkt mit einem Stift auf die Folien schreiben. == T-Regularitätskriterium == Im Folgenden werden wir die Übertragungsmöglichkeiten von pseudokonvexen Algebren auf beliebige topologische Algebren. Da die Cauchymultiplikation aber nur stetig in der Partialsummentopologie von <math display="inline"> \left| \! \left\| \cdot \right\| \! \right| _{{\mathcal{A}} \times \N_0}</math> auf <math display="inline">A[t]</math> ist, kann noch keine Charakterisierung der <math>\mathcal{T}</math>-regulären Elemente in Anlehnung an die <math display="inline">{\mathcal{PC}} </math>-regulären Elemente angegeben werden. === Bemerkung zu den Herausforderungen === Im Anschluß an den Beweis des Satzes wird erläutert, an welchen Stellen die Herausforderungen für ein Charakterisierung der <math>\mathcal{T}</math>-regulären Elemente liegen. == Satz == Sei <math display="inline">\left( A,\left\| \cdot \right\| _{\mathcal{A}} \right)\in {\mathcal{T}} _e</math> mit <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{\mathcal{A}} </math> als gerichtetes <math display="inline">{\mathcal{T}} </math>-System (aus Gaugefunktionalen). ==== Voraussetzungen - Topologisierung ==== Für jedes <math display="inline">\alpha\in {\mathcal{A}} </math> sei eine Folge <math display="inline">\left(\left\| \cdot \right\| _{(\alpha,k)}\right)_{k\in \N}</math> von Gaugefunktionalen mit Konstanten <math display="inline">D_k(\alpha)>0</math> und ein <math display="inline">\beta\in {\mathcal{A}} </math> gegeben, mit * <math display="inline"> \left\| x \right\| _\alpha\leq \left\| x \right\| _{(\alpha,k)} \leq D_k(\alpha) \cdot \left\| x \right\| _\beta </math> für alle <math display="inline">x\in A</math> und <math display="inline">k\in \N_0</math>, * <math display="inline"> \left\| x \right\| _{(\alpha,k)}\leq \left\| zx \right\| _{(\alpha,k+1)} </math> für alle <math display="inline"> x\in A </math>, <math display="inline"> k\in \N_0 </math> und <math display="inline"> \left\| \cdot \right\| _{(\alpha,0)}:= \left\| \cdot \right\| _\alpha </math>. ==== Aussage - Topologisierung ==== Dann existiert ein <math display="inline"> {\mathcal{T}} </math>-System <math display="inline"> \left| \! \left\| \cdot \right\| \! \right| _{{\mathcal{A}} \times \N_0}</math> auf <math display="inline">A[t]</math>, dass die Cauchymultiplikation mit <math display="inline"> \left| \! \left\| \cdot \right\| \! \right| _{{\mathcal{A}} \times \N_0}^{\downarrow \N} </math> stetig ist und die Relativtopologie der Quotientengaugefunktionale :<math display="block"> \left\| [x] \right\|_{(\alpha,n)} := \inf _{q\in A[t]} \left| \! \left\| x+(zt-e)q(t) \right\| \! \right| _{(\alpha,n+1)} \geq \left\| x \right\| ^{(\alpha)}_n \mbox{ für alle } x\in A </math> auf <math display="inline">A[t]/I</math> mit <math display="inline">I:=\overline{(z\cdot t-e)\cdot A[t]}</math> mit der von <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{\mathcal{A}} </math> erzeugten Ausgangstopologie übereinstimmt. == Beweis == Man definiert mit den oben genannten Eigenschaften (1) und (2) und der Stetigkeit der Addition eine Abbildung :<math display="block"> \begin{array}{rrcl} \widetilde{\cdot} : & {\mathcal{A}} \times \N_0 & \longrightarrow & {\mathcal{A}} \times \mathbb{N}_0 \\ & (\alpha,k) & \longmapsto & \widetilde{(\alpha,k)} \end{array} </math> === Schritt 1 - Eigenschaften der Indexabbildung === Für die obige Indexabbildung <math>\widetilde{\cdot}</math> gilt: * <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{(\alpha,k)}\in \left\| \cdot \right\| _{\mathcal{A}} </math> für alle <math display="inline">\alpha\in {\mathcal{A}} </math> und <math display="inline">k\in \N_0</math>. * <math display="inline">\left\| x \right\| _{(\alpha,k)} \leq \left\| zx \right\| _{\widetilde{(\alpha,k)}}</math> für alle <math display="inline">x\in A</math>, <math display="inline">\alpha\in {\mathcal{A}} </math> und <math display="inline">k\in \N_0</math>. * <math display="inline">\displaystyle \left\| \sum_{j=1}^{k} x_j \right\| _{(\alpha,k)} \leq \sum_{j=1}^{k} \left\| x_j \right\| _{\widetilde{(\alpha,k)}} </math> für alle <math display="inline">x_j\in A</math>, <math display="inline">\alpha\in {\mathcal{A}} </math> und <math display="inline">k\in \mathbb{N}_0</math>. === Schritt 2 - Anwendung - Stetigkeitslemma === Dann gibt es wegen Lemma LemDomSeq eine <math display="inline">M_{\mathcal{T}} </math>-Sequenz <math display="inline"> \left( \left\| \cdot \right\| ^{(\alpha)}_n \right)_{n\in \N_0} </math> mit * <math display="inline">\left\| \cdot \right\| ^{(\alpha)}_n \leq \left\| \cdot \right\| ^{(\alpha)}_{n+1}</math> für alle <math display="inline">\alpha\in {\mathcal{A}} </math> und <math display="inline">n\in \N_0</math>. * <math display="inline">\displaystyle \left\| \sum_{j=1}^{n} x_j \right\| _n^{(\alpha)} \leq \sum_{j=1}^{k} \left\| x_j \right\| _{n+1}^{(\alpha)} </math> für alle <math display="inline">x_j\in A</math>, <math display="inline">\alpha\in {\mathcal{A}} </math> und <math display="inline">n\in \N_0</math>. * <math display="inline">\left\| xy \right\| ^{(\alpha)}_n \leq \left\| x \right\| ^{(\alpha)}_{n+1} \cdot \left\| y \right\| ^{(\alpha)}_{n+1}</math> für alle <math display="inline">x,y\in A</math> * <math display="inline">\left\| x \right\| ^{(\alpha)}_n \leq \left\| zx \right\| ^{(\alpha)}_{n+1}</math>. === Schritt 3 - Polynomisierung der Polynomalgebra === Anschließend definiert man die Gaugefunktionale auf <math display="inline">A[t]</math> durch :<math display="block"> \left| \! \left\| p \right\| \! \right| _{(\alpha,n)} := \sum_{k=0}^{\infty} \left\| p_k \right\| ^{(\alpha)}_{n+2k}, </math> === Schritt 4 - Stetigkeit der Addition === Die Addition auf der Polynomalgebra ist stetig, denn man erhält für alle Polynome <math display="inline">p,q\in A[t]</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \left| \! \left\| p+q \right\| \! \right| _{(\alpha,n)} &\leq & \left| \! \left\| p \right\| \! \right| _{(\alpha,n+1)} + \left| \! \left\| q \right\| \! \right| _{(\alpha,n+1)}, \end{array} </math> <math> \begin{array}{rcl} \mbox{ sowie }\\ & & \\ \left| \! \left\| pq \right\| \! \right| ^{\downarrow m}_{(\alpha,n)} &=& \sum_{k=0}^{m} \left\| \sum_{j=0}^{k}p_jq_{k-j} \right\| ^{(\alpha)}_{n+2k}\\ &\leq & \sum_{k=0}^{m} \sum_{j=0}^{k}\left\| p_jq_{k-j} \right\| ^{(\alpha)}_{n+2k+1}\\ &\leq & \sum_{k=0}^{m} \sum_{j=0}^{k}\left\| p_j \right\| ^{(\alpha)}_{n+2k+2} \cdot \left\| q_{k-j} \right\| ^{(\alpha)}_{n+2k+2}\\ &\leq & \sum_{k=0}^{m} \sum_{j=0}^{k}\left\| p_j \right\| ^{(\alpha)}_{n+2m+2} \cdot \left\| q_{k-j} \right\| ^{(\alpha)}_{n+2m+2}\\ &\leq & \left( \sum_{j=0}^{m}\left\| p_j \right\| ^{(\alpha)}_{n+2(m+1)} \right) \cdot \left( \sum_{j=0}^{m}\left\| q_j \right\| ^{(\alpha)}_{n+2(m+1)} \right) \\ &\leq & \left( \sum_{j=0}^{m}\left\| p_j \right\| ^{(\alpha)}_{n+2(m+1)+2j} \right) \cdot \left( \sum_{j=0}^{m}\left\| q_j \right\| ^{(\alpha)}_{n+2(m+1)+2j} \right) \\ &=& \left| \! \left\| p \right\| \! \right| ^{\downarrow m}_{(\alpha,n+2(m+1))} \cdot \left| \! \left\| q \right\| \! \right| ^{\downarrow m}_{(\alpha,n+2(m+1))} \ . \\ \end{array} </math> Mit <math display="inline"> \left\| x \right\| ^{(\alpha)}_{n} = \left\| (x-y)+y \right\| ^{(\alpha)}_{n} \leq \left\| x-y \right\| ^{(\alpha)}_{n+1} + \left\| y \right\| ^{(\alpha)}_{n+1}</math> gilt auch\\ <math display="inline">\left\| x \right\| ^{(\alpha)}_{n} - \left\| y \right\| ^{(\alpha)}_{n+1} \leq \left\| x-y \right\| ^{(\alpha)}_{n+1}</math> und man schätzt die Quotientengaugefunktionale mit folgender Ungleichungskette für <math display="inline">n>0</math> nach unten ab. :<math> \begin{array}{rcl} \left| \! \left\| x-(zt-e)q(t) \right\| \! \right| _{(\alpha,n)} &=& \left\| x-q_o \right\| ^{(\alpha)}_n + \sum_{k=1}^{\infty} \left\| zq_{k-1}-q_k \right\| ^{(\alpha)}_{n+2k} \\ &\geq& \left\| x-q_o \right\| ^{(\alpha)}_n + \sum_{k=1}^{\infty} \left\| zq_{k-1} \right\| ^{(\alpha)}_{n+2k-1} - \left\| q_k \right\| ^{(\alpha)}_{n+2k} \\ &\geq& \left\| x-q_o \right\| ^{(\alpha)}_n + \sum_{k=1}^{\infty} \left\| q_{k-1} \right\| ^{(\alpha)}_{n+2k-2} - \left\| q_k \right\| ^{(\alpha)}_{n+2k} \\ &=& \left\| x-q_o \right\| ^{(\alpha)}_n + \left\| q_o \right\| ^{(\alpha)}_n\\ &\geq& \left\| x-q_o+q_o \right\| ^{(\alpha)}_{n-1} = \left\| x \right\| ^{(\alpha)}_{n-1} \end{array} </math> Insgesamt ergibt sich <math display="inline"> \left\| [x] \right\|_{(\alpha,n+1)} \geq \left\| x \right\| ^{(\alpha)}_{n}</math> für alle <math display="inline">n\in \N_0</math> und <math display="inline">x\in A</math>. <math> \Box </math> === Zur Lösung der Charakterisierung der T-regulären Elemente === Der Versuch, den allgemeinen topologischen Fall mit einer ähnlichen Beweisstruktur wie beim pseudokonvexen Charakterisierungsatz zu lösen, ist bei den verschiedensten Lösungsansätzen an der Beschränkung der Gaugefunktionale gescheitert. * Beschränkung nach "`oben"', d.h. die Cauchymultiplikation ist nicht stetig auf <math display="inline">A[t]</math>. * Beschränkung nach "`unten"', d.h. die Homöomorphie der Einbettung von <math display="inline">A</math> in die gesuchte Algebraerweiterung <math display="inline">B</math> ist nicht erfüllt. Die Übertragungsmöglichkeiten, die in dem Satz zur <math>\mathcal{T}</math>-Regularität formuliert sind, liefern kein zufriedenstellendes Ergebnis. Die Schwierigkeit liegt in der Formulierung des topologischen Invertierbarkeitskriteriums allein über die gegebenen Gaugefunktionale <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{\mathcal{A}}</math> auf <math display="inline">A</math>. Für Teilklassen <math display="inline">{\mathcal{K}}</math> von <math display="inline">{\mathcal{PC}}</math> war dies möglich, denn in den bisher bekannten Beweisen konnten die Eigenschaften von <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{\mathcal{A}}</math> in Bezug auf das <math display="inline">{\mathcal{K}}</math>-reguläre Element <math display="inline">z\in A</math> auf die Polynomalgebra <math display="inline">A[t]</math> durch die im folgenden definierten <math display="inline">{\mathcal{K}}</math>-Funktionale übertragen werden. :<math display="block"> \left| \! \left\| p \right\| \! \right| _\alpha := \sum_{k=0}^{\infty} C_k(\alpha) \cdot \left\| p_k \right\| _{(\alpha,k)} (*) </math> mit <math display="inline">\displaystyle p(t)=\sum_{k=0}^{\infty} p_k\cdot t^k \in A[t]</math>, <math display="inline">C_k(\alpha)>0</math>, <math display="inline">\alpha\in {\mathcal{A}}</math> und <math display="inline">k\in \N_0</math>. Die Festlegung, dass die Gaugefunktionale die obige Form <math display="inline">(*)</math> auf <math display="inline">A[t]</math> besitzen, ist jedoch für den allgemeinen Fall <math display="inline"> \mathcal{T} </math> eine zu starke Einschränkung. Der Ausweg aus den unter <math display="inline">(i)</math> und <math display="inline">(ii)</math> genannten Schwierigkeiten ist die Formulierung des <math display="inline"> \mathcal{T} </math>-Regularitätskriteriums für die Polynomalgebra <math display="inline">A[t]</math>. Für den Satz zur <math>\mathcal{T}</math>-Regularität müssen wieder zwei Implikation bewiesen werden: * Für die <math display="inline"> \mathcal{T} </math>-Regularität eines Elementes <math display="inline">z\in A</math> ist es notwendig, dass die Polynomalgebra <math display="inline">A[t]</math> (Cauchymultiplikation auf <math display="inline">A[t]</math>) mit einer Topologie versehen werden kann, die <math display="inline">A[t]</math> zu einer topologischen Algebra macht. Den Zusammenhang zur Ausgangstopologie auf <math display="inline">A</math> beschreiben zwei Bedingungen über das topologieerzeugende Gaugefunktionalsystem <math display="inline"> \left| \! \left\| \cdot \right\| \! \right| _{\widetilde{\mathcal{A}}}</math> auf <math display="inline">A[t]</math> und das gegebene System <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{\mathcal{A}}</math> auf <math display="inline">A</math>. Wie bei dem <math display="inline">{\mathcal{PC}}</math>-Regularitätskriterium in Satz <math>\mathcal{B}</math>-Regularität besitzt auch hier wieder eine Bedingung rein topologische Bedeutung, während die andere die gewünschten algebraischen Konsequenzen nach sich zieht. * Dieses unter a) beschriebene Kriterium ist aber auch hinreichend für die <math display="inline"> \mathcal{T} </math>-Regularität, denn mit diesem Kriterium kann eine <math display="inline"> \mathcal{T} </math>-Erweiterung <math display="inline">B</math> von <math display="inline">A</math> konstruiert werden, in der <math display="inline">z</math> invertierbar ist. <math display="inline">B</math> ist wie bei allen anderen Regularitätsbeweisen eine Quotientenalgebra <math display="inline">A[t]/I</math>, wobei in diesem Fall <math display="inline">I</math> {\em nicht} als abgeschlossenes Hauptideal <math display="inline">\overline{(z\cdot t-e)\cdot A[t]}</math> gewählt wird, sondern als Kern des Systems <math display="inline"> \left| \! \left\| \cdot \right\| \! \right| _{\widetilde{\mathcal{A}}}^*</math> mit :<math display="block"> \left| \! \left\| p \right\| \! \right| _\beta^*:= \inf_{q\in A[t]} \left| \! \left\| p+(z\cdot t-e)\cdot q(t) \right\| \! \right| _\beta. </math> Kern eines System <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{\mathcal{A}}</math> von <math display="inline">{\mathcal{K}}</math>-Funktionalen auf <math display="inline">A</math> bedeutet: :<math display="block"> {\mathrm{ \, Kern}} (A , \left\| \cdot \right\| _{\mathcal{A}} ) := \left\{ x\in A : \left\| x \right\| _\alpha=0 \mbox{ für alle }\alpha\in {\mathcal{A}}\right\}. </math> Für Hausdorffräume <math display="inline">\left( A , \left\| \cdot \right\| _{\mathcal{A}} \right)</math> gilt <math display="inline"> {\mathrm{ \, Kern}} (A , \left\| \cdot \right\| _{\mathcal{A}} ) = \{0\}</math>. <math display="inline">I</math> enthält dabei das oben angegebene Hauptideal. Es ist aber auch möglich, dass das Hauptideal eine echte Teilmenge von <math display="inline">I</math> ist. Zunächst müssen noch zwei Aussagen bewiesen werden, die für die Topologisierung der gesuchten Algebraerweiterung von Bedeutung sind. == Lemma: == Sei <math display="inline">\left( A,\left\| \cdot \right\| _{{\mathcal{A}}} \right)\in {\mathcal{K}}</math> eine topologische Algebra der Klasse <math display="inline">{\mathcal{K}}</math> und <math display="inline">I\subset A</math> sei ein abgeschlossenes Ideal in <math display="inline">A</math>. Dann ist <math display="inline">A/I</math> mit <math display="inline">[x]:=x+I</math> als Äquivalenzklasse von <math display="inline">x</math> und dem Quotientensystem <math display="inline"> \left| \! \left\| \,\cdot\, \right\| \! \right| _{{\mathcal{A}}}</math> der <math display="inline">{\mathcal{K}}</math>-Funktionale :<math display="block"> \left| \! \left\| \,[x]\, \right\| \! \right| _{\alpha} := \inf_{q\in I} \left\| x+q \right\| _{\alpha} \mbox{ für alle } x\in A </math> eine topologische <math display="inline">{\mathcal{K}}</math>-Algebra. == Beweis == Man betrachtet nur den Fall <math display="inline">{\mathcal{K}}={\mathcal{PC}}</math> mit <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{{\mathcal{A}}\times \N}</math> als <math display="inline">p</math>-Halbnormensystem. Für alle anderen Klassen verläuft der Beweis analog, denn die "`<math display="inline">\leq </math>"'-Abschätzung für <math display="inline">{\mathcal{K}}</math>-Funktionale auf <math display="inline">A</math> bleibt auch auf <math display="inline">A/I</math> gültig (sogar mit den gleichen Stetigkeitskonstanten der Addition bei Quasinormen). :<math> \begin{array}{rcl} \left| \! \left\| [x_1+x_2] \right\| \! \right| _{\alpha} &=& \inf_{q\in I} \left\| x_1+x_2+q \right\| _\alpha\\ &=& \inf_{q_1,q_2\in I} \| x_1+x_2+ \underbrace{(q_1+q_2)}_{\in I} \| _\alpha\\ &\leq & \inf_{q_1,q_2\in I} \left\| x_1+ q_1 \right\| _\alpha + \left\| x_2+ q_2 \right\| _\alpha \\ &=& \inf_{q_1\in I} \left\| x_1+q_1 \right\| _\alpha + \inf_{q_2\in I} \left\| x_2+q_2 \right\| _\alpha \\ &=& \left| \! \left\| \,[x_1]\, \right\| \! \right| _\alpha + \left| \! \left\| \,[x_2]\, \right\| \! \right| _\alpha \end{array} </math> Analog erhält man für die Multiplikation mit <math display="inline">\left\| xy \right\| _\alpha \leq \left\| x \right\| _\beta \cdot \left\| y \right\| _\beta</math> für alle <math display="inline">x,y\in A</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \left| \! \left\| \,[x_1 x_2]\, \right\| \! \right| _\alpha &=& \inf_{q\in I} \left\| x_1 x_2+q \right\| _\alpha\\ &\leq & \inf_{q_1,q_2\in I} \| x_1 x_2+ (\underbrace{q_1q_2 + x_1q_2 + q_1x_2} _{\in I}) \|_\alpha\\ &\leq & \inf_{q_1,q_2\in I} \left\| (x_1+ q_1)\cdot (x_2+q_2) \right\| _\alpha \\ &\leq & \inf_{q_1,q_2\in I} \left\| x_1+ q_1 \right\| _\beta \cdot \left\| x_2+ q_2 \right\| _\beta \\ &=& \inf_{q_1\in I} \left\| x_1+q_1 \right\| _\beta \cdot \inf_{q_2\in I} \left\| x_2+q_2 \right\| _\beta \\ &=& \left| \! \left\| \,[x_1]\, \right\| \! \right| _\beta \cdot \left| \! \left\| \,[x_2]\, \right\| \! \right| _\beta . \end{array} </math> Da <math display="inline">I</math> abgeschlossen ist, ist auch <math display="inline">A/I</math> Hausdorff'sch.<math> \Box </math> == Lemma: == Sei <math display="inline">\left( A , \left\| \cdot \right\| _{\mathcal{A}} \right) \in {\mathcal{K}}(\mathbb{K})</math> nicht notwendig Hausdorffsch, dann ist <math display="inline">B:=A/I</math> mit :<math display="block"> I := {\mathrm{ \, Kern}} (A , \left\| \cdot \right\| _{\mathcal{A}} ) := \left\{ x\in A : \left\| x \right\| _\alpha=0 \mbox{ für alle }\alpha\in {\mathcal{A}}\right\} </math> und den von <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{\mathcal{A}}</math> auf <math display="inline">B</math> induzierten Quotienten-<math display="inline">{\mathcal{K}}</math>-Funktionalen eine Hausdorffsche Algebra der Klasse <math display="inline">{\mathcal{K}}(\mathbb{K})</math>. == Beweis == Sei <math display="inline">A</math> eine beliebige topologische Algebra mit Gaugefunktionalsystem <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{\mathcal{A}}</math>. Die Beweise für spezielle <math display="inline">{\mathcal{K}}</math>-Algebren laufen unter Ausnutzung der Eigenschaften von <math display="inline">{\mathcal{K}}</math>-Funktionalen analog. Sei <math display="inline">x,y\in I</math>, <math display="inline">z\in A</math> und <math display="inline">\lambda \in \mathbb{K}</math>, dann gibt es zu jedem <math display="inline">\alpha\in {\mathcal{A}}</math> mit der Stetigkeit der Addition bzw. Multiplikation ein <math display="inline">\widetilde{\alpha}\in {\mathcal{A}}</math> bzw. <math display="inline">\widehat{\alpha}\in {\mathcal{A}}</math> mit * <math display="inline"> \left\| \lambda \cdot x \right\| _\alpha = \lambda \cdot \underbrace{\left\| x \right\| _\alpha}_{=0} =0 </math> <math display="inline">\Longrightarrow</math> <math display="inline">\lambda \cdot x\in I</math>\\ * <math display="inline"> \left\| x+y \right\| _\alpha \leq \underbrace{\left\| x \right\| _{\widetilde{\alpha}}}_{=0} + \underbrace{\left\| y \right\| _{\widetilde{\alpha}}}_{=0} =0</math> <math display="inline">\Longrightarrow</math> <math display="inline">x+y\in I</math> \\ * <math display="inline"> \left\| z\cdot x \right\| _\alpha \leq \left\| z \right\| _{\widehat{\alpha}} \cdot \underbrace{\left\| x \right\| _{\widehat{\alpha}}}_{=0} =0</math> <math display="inline">\Longrightarrow</math> <math display="inline">z\cdot x\in I</math>\\ Ferner ist <math display="inline">I</math> abgeschlossen, denn für ein Netz <math display="inline">(x_\eta)_\eta</math> aus <math display="inline">I</math>, das gegen <math display="inline">x_o</math> konvergiert, gilt die folgende Abschätzung. Dabei wird <math display="inline">\widetilde{\alpha}</math> wie oben mit der Stetigkeit der Addition zu <math display="inline">\alpha</math> gewählt. :<math display="block"> \left\| x_o \right\| _\alpha = \left\| x_o \right\| _\alpha - \underbrace{\left\| x_\eta \right\| _{\widetilde{\alpha}}}_{=0} \leq \left\| x_o-x_\eta \right\| _{\widetilde{\alpha}} {_{\stackrel{\displaystyle \longrightarrow}{\scriptstyle \eta}}} 0 </math> Damit folgt <math display="inline">\left\| x_o \right\| _\alpha = 0</math> und mit <math display="inline">\alpha\in {\mathcal{A}}</math> beliebig erhält man <math display="inline">x_o\in I</math>. Die Behauptung liefert nun die Anwendung von Lemma QuoAlg , da <math display="inline">I</math> ein abgeschlossenes Ideal in <math display="inline">A</math> bildet. <math> \Box </math> Der folgende Hauptsatz, der zunächst nur als Lösung der Charakterisierung der <math display="inline"> \mathcal{T}^k</math>-regulären Elemente entwickelt wurde, hat sich bei näherer Untersuchung als entscheidendes Kriterium herausgestellt, die Invertierbarkeit in einer bestimmten <math display="inline">{\mathcal{K}}</math>-Erweiterung einer gegebenen Algebra durch zwei topologische Bedingungen äquivalent zu beschreiben.\\ == Hauptsatz == Sei <math display="inline">\left( A , \left\| \cdot \right\| _{\mathcal{A}} \right) \in {\mathcal{K}}_e^k</math>. Ein Element <math display="inline">z\in A</math> ist genau dann <math display="inline">{\mathcal{K}}^k</math>-regulär, wenn ein <math display="inline">{\mathcal{K}}</math>-Funktionalsystem <math display="inline"> \left| \! \left\| \cdot \right\| \! \right| _{\widetilde{\mathcal{A}}}</math> auf <math display="inline">A[t]</math> existiert, das <math display="inline">A[t]</math> zu einer nicht notwendig Hausdorff'schen <math display="inline">{\mathcal{K}}</math>-Algebra macht und das folgende zwei Bedingungen erfüllt: * Zu jedem <math display="inline">\mu\in {\widetilde{\mathcal{A}}}</math> existiert ein <math display="inline">\alpha\in {\mathcal{A}}</math> und ein <math display="inline">C_\mu>0</math>, so dass \\ <math display="inline"> \left| \! \left\| x \right\| \! \right| _\mu \leq C_\mu\cdot \left\| x \right\| _\alpha</math> für alle <math display="inline">x\in A</math> gilt. * Zu jedem <math display="inline">\alpha\in {\mathcal{A}}</math> existiert ein <math display="inline">\mu\in {\widetilde{\mathcal{A}}}</math> und ein <math display="inline">C_\alpha>0</math>, so dass :<math display="block"> \left\| x \right\| _\alpha \leq C_\alpha\cdot \left| \! \left\| x+(z\cdot t-e)\cdot q(t) \right\| \! \right| _\mu </math> für alle <math display="inline">x\in A</math> und <math display="inline">q\in A[t]</math> gilt. == Beweis == "`<math display="inline">\Longrightarrow</math>"' Da jedes <math display="inline">{\mathcal{K}}</math>-Funktional bei Ersetzung von <math display="inline">p</math>-Halbnormen und Quasihalbnormen\footnote{siehe Abschnitt SECpN-QN über den Zusammenhang von <math display="inline">p</math>-Normen und Quasinormen.} auch ein Gaugefunktional ist, werden in diesem klassenunabhängigen Beweis lediglich Gaugefunktionaleigenschaften in Zusammenhang mit den stetigen Algebraoperationen verwendet. Haben die Gaugefunktionale zusätzliche Eigenschaften, wie zum Beispiel Halbnormen, so vereinfacht sich der Beweis an einigen Stellen und die Aussage bleibt für eine eingeschränkte Algebrenklasse <math display="inline">{\mathcal{K}}</math> ebenfalls gültig. Dies liegt unter anderem an der Tatsache, dass Einschränkungen von <math display="inline">{\mathcal{K}}</math>-Funktionalen auf Teilalgebren wieder <math display="inline">{\mathcal{K}}</math>-Funktionale sind. Sei <math display="inline">z\in A\in {\mathcal{K}}_e^k</math> ein <math display="inline">{\mathcal{K}}^k</math>-reguläres Element, dann gibt es eine <math display="inline">{\mathcal{K}}^k</math>-Erweiterung <math display="inline">B</math> von <math display="inline">A</math>, in der <math display="inline">z</math> invertierbar ist. Sei <math display="inline">b\in B</math> das Inverse zu <math display="inline">z</math> und <math display="inline"> \left| \! \left\| \cdot \right\| \! \right| _{\widetilde{\mathcal{A}}}</math> das Gaugefunktionalsystem auf <math display="inline">B</math>. Die von <math display="inline">A</math> und <math display="inline">b</math> erzeugte Teilalgebra <math display="inline">A_b</math> von <math display="inline">B</math> hat die Gestalt :<math display="block"> A_b:= \left\{ \sum_{k=0}^{n} a_k \cdot b^k \, : \, a_k\in A \mbox{ und } n\in \N_0 \right\}. </math> Man wählt <math display="inline"> \left| \! \left\| \cdot \right\| \! \right| _{\widetilde{\mathcal{A}}}</math> als gesuchtes Gaugefunktionalsystem auf <math display="inline">A[t]</math> mit folgender Identifikation mit Elementen aus <math display="inline">A_b</math>. Sei <math display="inline">p(t):= \sum_{k=0}^{n} p_k\cdot t^k \in A[t]</math>, dann definiert man :<math display="block"> \left| \! \left\| p \right\| \! \right| _\mu := \bigg| \!\bigg|\!\bigg| \underbrace{\sum_{k=0}^{n} p_k\cdot b^k}_{\in B} \bigg| \!\bigg|\!\bigg|_\mu \mbox{ für alle } \mu\in {\widetilde{\mathcal{A}}} \mbox{ und } p\in A[t]. </math> Man sieht an dieser Stelle, dass <math display="inline"> \left| \! \left\| \cdot \right\| \! \right| _{\widetilde{\mathcal{A}}}</math> auf <math display="inline">A[t]</math> keine Hausdorfftopologie erzeugt, denn beispielsweise gilt für das von <math display="inline">0</math> verschiedene Polynom <math display="inline">q(t):=2e-z\cdot t -z^2\cdot t^2</math> gerade <math display="inline"> \left| \! \left\| q \right\| \! \right| _\mu=0</math> für alle <math display="inline">\mu\in {\widetilde{\mathcal{A}}}</math>, da <math display="inline">q(b)=2e-z\cdot b-z^2\cdot b^2=0</math>. Die Cauchymultiplikation auf <math display="inline">A[t]</math> und die Multiplikation auf <math display="inline">A_b</math> sind topologisch und algebraisch miteinander verträglich. Damit ergibt sich insbesondere die Stetigkeit der Cauchymultiplikation über die Stetigkeit der Multiplikation auf <math display="inline">B</math>. Sei <math display="inline">\nu\in {\widetilde{\mathcal{A}}}</math> zu einem gegebenen <math display="inline">\mu\in{\widetilde{\mathcal{A}}}</math> so gewählt, dass für alle <math display="inline">x,y\in B</math> die Ungleichung <math display="inline"> \left| \! \left\| x\cdot y \right\| \! \right| _\mu\leq \left| \! \left\| x \right\| \! \right| _\nu \cdot \left| \! \left\| y \right\| \! \right| _\nu </math> gilt, dann erhält man für alle <math display="inline">p,q\in A[t]</math> die Abschätzung :<math display="block"> \left| \! \left\| p\cdot q \right\| \! \right| _\mu = \left| \! \left\| (p\cdot q)(b) \right\| \! \right|_\mu = \left| \! \left\| p(b)\cdot q(b) \right\| \! \right| _\mu \leq \left| \! \left\| p(b) \right\| \! \right| _\nu \cdot \left| \! \left\| q(b) \right\| \! \right| _\nu = \left| \! \left\| p \right\| \! \right| _\nu\cdot \left| \! \left\| q \right\| \! \right| _\nu, </math> also die Stetigkeit der Cauchymultiplaktion auf <math display="inline">A[t]</math>. In ähnlicher Weise folgt die Stetigkeit der Addition auf <math display="inline">A[t]</math> über die von <math display="inline">B</math> auf <math display="inline">A_b</math> eingeschränkten Gaugefunktionale. <math display="inline">A[t]</math> wird also über die Teilalgebra <math display="inline">A_b</math> von <math display="inline">B</math> topologisiert. Mit der Homöomorphie der Einbettung von <math display="inline">A</math> in <math display="inline">B</math> erhält man einerseits durch die Stetigkeit der Abbildung <math display="inline">\tau</math> die Bedingung {\it (HS 1)} unmittelbar und andererseits gibt es durch die Stetigkeit der Umkehrabbildung <math display="inline">\tau^{-1}</math> zu jedem <math display="inline">\alpha \in {\mathcal{A}}</math> ein <math display="inline">\mu\in {\widetilde{\mathcal{A}}}</math> und ein <math display="inline">C_\alpha>0</math> mit ==== Abschätzung der Gaugefunktionale nach unten ==== :<math display="block"> \left\| x \right\| _\alpha \leq C_\alpha\cdot \left| \! \left\| x \right\| \! \right| _\mu \mbox{ für alle } x\in A. (*) </math> Die zweite Ungleichung der Behauptung ergibt sich mit <math display="inline">(*)</math>, denn es gilt :<math display="block"> \left| \! \left\| x+(z\cdot t-e)\cdot q(t) \right\| \! \right|_\mu = | \! |\! | x+(\underbrace{z\cdot b-e}_{=0} )\cdot q(b) | \! |\! |_\mu = \left| \! \left\| x \right\| \! \right| _\mu \geq \frac{1}{C_\alpha} \left\| x \right\|_\alpha . </math> === Beweisrichtung von dem Gaugefunktionalsystem zur Algebraerweiterung === "<math display="inline">\Longleftarrow</math>" Sei nun umgekehrt <math display="inline">A[t]</math> eine nicht notwendig Hausdorff'sche topologische Algebra mit Gaugefunktionalsystem <math display="inline"> \left| \! \left\| \cdot \right\| \! \right| _{\widetilde{\mathcal{A}}}</math>, das die Bedingung (HS 1) und (HS 2) aus der Behauptung des Satzes erfüllt. Man definiert auf <math display="inline">A[t]</math> ein weiteres Gaugefunktionalsystem <math display="inline"> \left| \! \left\| \cdot \right\| \! \right| _{\widetilde{\mathcal{A}}}^*</math>. Für <math display="inline">p\in A[t]</math> setzt man: :<math display="block"> \left| \! \left\| p \right\| \! \right| ^*_\mu := \inf_{q\in A[t]} \left| \! \left\| p(t)+ (z\cdot t-e)\cdot q(t) \right\| \! \right| _\mu. </math> ==== Übergang zur Quotientenalgebra ==== Die gesuchte Algebra, in der <math display="inline">z</math> invertierbar ist, ist die Quotientenalgebra <math display="inline">B:=A/I</math>, wobei <math display="inline">I</math> als Kern des Systems <math display="inline"> \left| \! \left\| \cdot \right\| \! \right| _{\widetilde{\mathcal{A}}}^*</math> gewählt wird. Da auch das System <math display="inline"> \left| \! \left\| \cdot \right\| \! \right| _{\widetilde{\mathcal{A}}}^*</math> die Algebra <math display="inline">A[t]</math> zu einer topologischen Algebra macht, liefert die Anwendung von Lemma QuoKern , dass <math display="inline">B</math> eine Hausdorff'sche topologische Algebra ist. Der Algebrahomomorphismus <math display="inline">\tau: A\longrightarrow B</math> mit <math display="inline">x\longmapsto [x]:=x+I</math>, der <math display="inline">x</math> mit dem konstanten Polynom mit Wert <math display="inline">x</math> identifiziert und dann diesem Polynom seine Äquivalenzklasse in <math display="inline">B</math> zuordnet, ist der gesuchte Algebraisomorphismus von <math display="inline">A</math> nach <math display="inline">\tau(A)\subset B</math>, wenn man die Homöomorphie von <math display="inline">A</math> und <math display="inline">\tau(A)</math> gezeigt hat (siehe dazu einleitende Bemerkungen zu den K-singulären Elementen). Durch Bedingung (HS 2) aus der Behauptung folgt insbesondere, dass zu jedem <math display="inline">\alpha \in {\mathcal{A}}</math> ein <math display="inline">\mu\in {\widetilde{\mathcal{A}}}</math> und ein <math display="inline">C_\alpha>0</math> existieren mit :<math display="block"> \left\| x \right\| _{\alpha} \leq C_\alpha \cdot \left| \! \left\| x \right\| \! \right| _{\mu}^{*} \mbox{für alle } x\in {\mathcal{A}}. </math> ==== Stetigkeit der Addition ==== Wählt man zu dem <math display="inline">\mu\in {\widetilde{\mathcal{A}}}</math> ein <math display="inline">\widetilde{\mu}\in {\widetilde{\mathcal{A}}}</math> mit :<math display="block"> \left| \! \left\| p+q \right\| \! \right| _{\mu}^{*} \leq \left| \! \left\| p \right\| \! \right| _{\widetilde{\mu}}^{*} + \left| \! \left\| q \right\| \! \right| _{\widetilde{\mu}}^{*} \mbox{ für alle } p,q\in A[t], </math> so erhält man für alle <math display="inline"> q\in I={\mathrm{ \, Kern}}\left( A[t], \left| \! \left\| \cdot \right\| \! \right|_{\widetilde{\mathcal{A}}}^{\ast}\right) </math>: :<math> \begin{array}{rcl} \frac{1}{C_\alpha}\cdot \left\| x \right\| _{\alpha} & \leq & \left| \! \left\| x \right\| \! \right| _{\mu}^{\ast} = \left| \! \left\| x \right\| \! \right| _{\mu}^{\ast} - \underbrace{ \left| \! \left\| q \right\| \! \right|_{\widetilde{\mu}}^{\ast} }_{=0} \leq \left| \! \left\| x-q \right\| \! \right| _{\widetilde{\mu}}^{\ast} \\ \Longrightarrow \frac{1}{C_\alpha}\cdot \left\| x \right\| _{\alpha} & \leq & \inf_{q\in I} \left| \! \left\| x-q \right\| \! \right|_{\widetilde{\mu}}^{\ast} = \left\| [x] \right\|_{\widetilde{\mu}} = \left\| x+I \right\|_{\widetilde{\mu}} \end{array} </math> für alle <math display="inline">x\in A</math>. ==== Quotientengaugefunktionalsystem ==== Dabei ist <math display="inline"> \left\| \cdot \right\|_{{\widetilde{\mathcal{A}}}}</math> das Quotientengaugefunktionalsystem auf <math display="inline"> B </math>. Damit ist die von <math display="inline">B</math> auf <math display="inline">\tau(A)</math> induzierte Relativtopologie feiner als die von <math display="inline">A</math> auf <math display="inline">\tau(A)</math> über <math display="inline">\tau</math> induzierte Topologie. Also ist der Homomorphismus <math display="inline">\tau</math> nach <math display="inline">B</math> injektiv und bijektiv von <math display="inline">A</math> auf <math display="inline">\tau(A)</math>, denn für alle <math display="inline">\alpha\in {\mathcal{A}}</math> gibt es aufgrund des oben erwähnten topologischen Zusammenhangs ein <math display="inline">\widetilde{\mu}\in {\widetilde{\mathcal{A}}}</math> mit :<math display="block"> \left\| x \right\| _\alpha \leq C_\alpha\cdot \left\| [x] \right\|_{\widetilde{\mu}} \mbox{ für alle } x \in A. </math> Sei nun <math display="inline">x_1\not= x_2</math>, dann existiert wegen der Hausdorffeigenschaft ein <math display="inline">\alpha\in {\mathcal{A}}</math> mit <math display="inline">\left\| x_1-x_2 \right\| _\alpha > 0</math>, so dass :<math display="block"> 0 < \left\| x_1-x_2 \right\| _\alpha \leq C_\alpha\cdot \left\| [x_1-x_2] \right\|_{\widetilde{\mu}} = \left\| [x_1]-[x_2] \right\|_{\widetilde{\mu}} </math> und damit <math display="inline">[x_1]\not= [x_2]</math> gilt. Zum Nachweis der Homöomorphie ist weiterhin die Stetigkeit der Umkehrabbildung zu zeigen. Diese ergibt sich aber unmittelbar aus Bedingung {\it (HS 1)}, denn wählt man zu jedem <math display="inline">\mu\in {\widetilde{\mathcal{A}}}</math> aus {\it (HS 1)} ein <math display="inline">\widetilde{\mu}\in {\widetilde{\mathcal{A}}}</math> mit :<math display="block"> \left| \! \left\| p+q \right\| \! \right| _{\mu}^{*} \leq \left| \! \left\| p \right\| \! \right| _{\widetilde{\mu}}^{*} + \left| \! \left\| q \right\| \! \right| _{\widetilde{\mu}}^{*} , \mbox{für alle } p,q\in A[t], </math> so kann man mit {\it (HS 2)} zu diesem <math display="inline">\widetilde{\mu}</math> ein <math display="inline">\alpha\in {\widetilde{\mathcal{A}}} </math> und ein <math display="inline">C_{\widetilde{\mu}}>0</math> finden mit <math display="inline">\left\| x \right\| _{\alpha} \geq \left| \! \left\| x \right\| \! \right| _{\widetilde{\mu}}</math> für alle <math display="inline">x\in A</math>. Insgesamt ergibt sich für alle <math display="inline">p\in I</math> und alle <math display="inline">x\in A</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \left| \! \left\| x+p \right\| \! \right| _{\mu}^{*} &\leq& \left| \! \left\| x \right\| \! \right| _{\widetilde{\mu}}^{*} + \underbrace{ \left| \! \left\| p \right\| \! \right| _{\widetilde{\mu}}^{*}}_{=0} = \inf_{\widehat{q}\in A[t]} \left| \! \left\| x+(z\cdot t - e)\cdot \widehat{q}(t) \right\| \! \right| _{\widetilde{\mu}}\\ &\leq& \left| \! \left\| x \right\| \! \right| _{\widetilde{\mu}}\leq C_{\widetilde{\mu}}\cdot \left\| x \right\| _{\alpha} . \end{array} </math> ==== Infimumbildung ==== Durch Infimumbildung über alle <math display="inline">p\in I</math> bleibt die Ungleichung für die Äquivalenzklasse <math display="inline">[x]</math> erhalten und es gilt :<math display="block"> \left\| [x] \right\|_{\mu} \leq \left| \! \left\| x+p \right\| \! \right| _{\mu}^{\ast} \leq C_{\widetilde{\mu}} \cdot \left\| x \right\| _{\alpha} \mbox{ für alle } x\in A. </math> Wegen <math display="inline">z\cdot t - e \in (z\cdot t-e) \cdot A[t] \subset I</math>, gilt <math display="inline">[0]=[z\cdot t-e]= [z]\cdot [t]-[e]</math> und aufgrund Kommutativität der Algebra <math display="inline">A</math> und <math display="inline">[e]=[z]\cdot [t]</math> erhält man <math display="inline">[z]\in \mathcal{G}_{ \mathcal{T}^{k}}(B)</math>. <math display="inline">\mbox{ }</math> <math> \Box </math> ==== Charakterisierung der T-regulären Elemente ==== Die Charakterisierung der <math display="inline"> \mathcal{T} ^k</math>-regulären Elemente ist damit eine unmittelbare Folgerung des Hauptsatzes, die in nachstehendem Korollar noch einmal formuliert wird. Die Konstanten <math display="inline">C_\alpha</math> bzw. <math display="inline">C_\mu</math> des Hauptsatzes, deren Verwendung für submultiplikative <math display="inline"> \mathcal{K} </math>-Funktionale notwendig ist, werden mit in die Definition der Gaugefunktionale übernommen. Dies vereinfacht die Formulierung der Aussage von Korollar zum Hauptsatz . == Korrollar: == Sei <math display="inline">\left( A , \left\| \cdot \right\| _{\mathcal{A}} \right) \in \mathcal{T}_e^k</math>. Ein Element <math display="inline">z\in A</math> ist genau dann <math display="inline"> \mathcal{T}^k</math>-regulär, wenn ein Gaugefunktionalsystem <math display="inline"> \left| \! \left\| \cdot \right\| \! \right| _{\widetilde{\mathcal{A}}}</math> auf <math display="inline">A[t]</math> existiert, das <math display="inline">A[t]</math> zu einer nicht notwendig Hausdorff'schen topologischen Algebra macht und das folgende zwei Bedingungen erfüllt: * Zu jedem <math display="inline">\mu\in {\widetilde{\mathcal{A}}}</math> existiert ein <math display="inline">\alpha\in {\mathcal{A}}</math> mit <math display="inline"> \left| \! \left\| x \right\| \! \right| _\mu \leq \left\| x \right\| _\alpha</math> für alle <math display="inline">x\in A</math>. * Zu jedem <math display="inline">\alpha\in {\mathcal{A}}</math> existiert ein <math display="inline">\mu\in {\widetilde{\mathcal{A}}}</math>, so dass :<math display="block"> \left\| x \right\| _\alpha \leq \left| \! \left\| x+(z\cdot t-e)\cdot q(t) \right\| \! \right| _\mu </math> für alle <math display="inline">x\in A</math> und <math display="inline">q\in A[t]</math> gilt. == Aufgaben für Studierende == === Siehe auch === * [[Wiki2Reveal]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/T-Regularit%C3%A4tskriterium&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/T-Regularit%C3%A4tskriterium&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/T-Regularit%C3%A4tskriterium https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/T-Regularit%C3%A4tskriterium] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/T-Regularit%C3%A4tskriterium Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/T-Regularit%C3%A4tskriterium * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/T-Regularit%C3%A4tskriterium&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] 37edodxh0azau1p81n49zn41shfo7qx 1118777 1118776 2026-11-03T12:26:09Z Bert Niehaus 20843 /* Schritt 2 - Anwendung - Stetigkeitslemma */ 1118777 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/T-Regularit%C3%A4tskriterium&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. == Zielsetzung == Diese Lerneinheit in der Wikiversity hat das Ziel, die <math>\mathcal{T}</math>-Regularität eines Elementes <math>z \in A</math> für eine beliebige topologische Algebra zu charakterisieren. == Zielgruppe == Die Zielgruppe der Lerneinheit sind Studierende der Mathematik. Die [[Wiki2Reveal]]-Folien im Kurs dienen dazu, dass Lehrende bei Bedarf direkt die Folien in Lehrveranstaltungen einsetzen können, bzw. Studierende mit den Folien mathematische Sachverhalte vorstellen können, die zur Lösung einer Aufgabe verwendet werden könnten. Die Folien können bei Eingabe mit einem digitalen Stift im Browser annotiert werden, d.h. man im Browser direkt mit einem Stift auf die Folien schreiben. == T-Regularitätskriterium == Im Folgenden werden wir die Übertragungsmöglichkeiten von pseudokonvexen Algebren auf beliebige topologische Algebren. Da die Cauchymultiplikation aber nur stetig in der Partialsummentopologie von <math display="inline"> \left| \! \left\| \cdot \right\| \! \right| _{{\mathcal{A}} \times \N_0}</math> auf <math display="inline">A[t]</math> ist, kann noch keine Charakterisierung der <math>\mathcal{T}</math>-regulären Elemente in Anlehnung an die <math display="inline">{\mathcal{PC}} </math>-regulären Elemente angegeben werden. === Bemerkung zu den Herausforderungen === Im Anschluß an den Beweis des Satzes wird erläutert, an welchen Stellen die Herausforderungen für ein Charakterisierung der <math>\mathcal{T}</math>-regulären Elemente liegen. == Satz == Sei <math display="inline">\left( A,\left\| \cdot \right\| _{\mathcal{A}} \right)\in {\mathcal{T}} _e</math> mit <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{\mathcal{A}} </math> als gerichtetes <math display="inline">{\mathcal{T}} </math>-System (aus Gaugefunktionalen). ==== Voraussetzungen - Topologisierung ==== Für jedes <math display="inline">\alpha\in {\mathcal{A}} </math> sei eine Folge <math display="inline">\left(\left\| \cdot \right\| _{(\alpha,k)}\right)_{k\in \N}</math> von Gaugefunktionalen mit Konstanten <math display="inline">D_k(\alpha)>0</math> und ein <math display="inline">\beta\in {\mathcal{A}} </math> gegeben, mit * <math display="inline"> \left\| x \right\| _\alpha\leq \left\| x \right\| _{(\alpha,k)} \leq D_k(\alpha) \cdot \left\| x \right\| _\beta </math> für alle <math display="inline">x\in A</math> und <math display="inline">k\in \N_0</math>, * <math display="inline"> \left\| x \right\| _{(\alpha,k)}\leq \left\| zx \right\| _{(\alpha,k+1)} </math> für alle <math display="inline"> x\in A </math>, <math display="inline"> k\in \N_0 </math> und <math display="inline"> \left\| \cdot \right\| _{(\alpha,0)}:= \left\| \cdot \right\| _\alpha </math>. ==== Aussage - Topologisierung ==== Dann existiert ein <math display="inline"> {\mathcal{T}} </math>-System <math display="inline"> \left| \! \left\| \cdot \right\| \! \right| _{{\mathcal{A}} \times \N_0}</math> auf <math display="inline">A[t]</math>, dass die Cauchymultiplikation mit <math display="inline"> \left| \! \left\| \cdot \right\| \! \right| _{{\mathcal{A}} \times \N_0}^{\downarrow \N} </math> stetig ist und die Relativtopologie der Quotientengaugefunktionale :<math display="block"> \left\| [x] \right\|_{(\alpha,n)} := \inf _{q\in A[t]} \left| \! \left\| x+(zt-e)q(t) \right\| \! \right| _{(\alpha,n+1)} \geq \left\| x \right\| ^{(\alpha)}_n \mbox{ für alle } x\in A </math> auf <math display="inline">A[t]/I</math> mit <math display="inline">I:=\overline{(z\cdot t-e)\cdot A[t]}</math> mit der von <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{\mathcal{A}} </math> erzeugten Ausgangstopologie übereinstimmt. == Beweis == Man definiert mit den oben genannten Eigenschaften (1) und (2) und der Stetigkeit der Addition eine Abbildung :<math display="block"> \begin{array}{rrcl} \widetilde{\cdot} : & {\mathcal{A}} \times \N_0 & \longrightarrow & {\mathcal{A}} \times \mathbb{N}_0 \\ & (\alpha,k) & \longmapsto & \widetilde{(\alpha,k)} \end{array} </math> === Schritt 1 - Eigenschaften der Indexabbildung === Für die obige Indexabbildung <math>\widetilde{\cdot}</math> gilt: * <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{(\alpha,k)}\in \left\| \cdot \right\| _{\mathcal{A}} </math> für alle <math display="inline">\alpha\in {\mathcal{A}} </math> und <math display="inline">k\in \N_0</math>. * <math display="inline">\left\| x \right\| _{(\alpha,k)} \leq \left\| zx \right\| _{\widetilde{(\alpha,k)}}</math> für alle <math display="inline">x\in A</math>, <math display="inline">\alpha\in {\mathcal{A}} </math> und <math display="inline">k\in \N_0</math>. * <math display="inline">\displaystyle \left\| \sum_{j=1}^{k} x_j \right\| _{(\alpha,k)} \leq \sum_{j=1}^{k} \left\| x_j \right\| _{\widetilde{(\alpha,k)}} </math> für alle <math display="inline">x_j\in A</math>, <math display="inline">\alpha\in {\mathcal{A}} </math> und <math display="inline">k\in \mathbb{N}_0</math>. === Schritt 2 - Anwendung - Stetigkeitslemma === Dann gibt es wegen Lemma LemDomSeq eine <math display="inline">M_{\mathcal{T}} </math>-Sequenz <math display="inline"> \left( \left\| \cdot \right\| ^{(\alpha)}_n \right)_{n\in \N_0} </math> mit * <math display="inline">\left\| \cdot \right\| ^{(\alpha)}_n \leq \left\| \cdot \right\| ^{(\alpha)}_{n+1}</math> für alle <math display="inline">\alpha\in {\mathcal{A}} </math> und <math display="inline">n\in \N_0</math>. * <math display="inline">\displaystyle \left\| \sum_{j=1}^{n} x_j \right\| _n^{(\alpha)} \leq \sum_{j=1}^{n} \left\| x_j \right\| _{n+1}^{(\alpha)} </math> für alle <math display="inline">x_j\in A</math>, <math display="inline">\alpha\in {\mathcal{A}} </math> und <math display="inline">n\in \N_0</math>. * <math display="inline">\left\| xy \right\| ^{(\alpha)}_n \leq \left\| x \right\| ^{(\alpha)}_{n+1} \cdot \left\| y \right\| ^{(\alpha)}_{n+1}</math> für alle <math display="inline">x,y\in A</math> * <math display="inline">\left\| x \right\| ^{(\alpha)}_n \leq \left\| zx \right\| ^{(\alpha)}_{n+1}</math>. === Schritt 3 - Polynomisierung der Polynomalgebra === Anschließend definiert man die Gaugefunktionale auf <math display="inline">A[t]</math> durch :<math display="block"> \left| \! \left\| p \right\| \! \right| _{(\alpha,n)} := \sum_{k=0}^{\infty} \left\| p_k \right\| ^{(\alpha)}_{n+2k}, </math> === Schritt 4 - Stetigkeit der Addition === Die Addition auf der Polynomalgebra ist stetig, denn man erhält für alle Polynome <math display="inline">p,q\in A[t]</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \left| \! \left\| p+q \right\| \! \right| _{(\alpha,n)} &\leq & \left| \! \left\| p \right\| \! \right| _{(\alpha,n+1)} + \left| \! \left\| q \right\| \! \right| _{(\alpha,n+1)}, \end{array} </math> <math> \begin{array}{rcl} \mbox{ sowie }\\ & & \\ \left| \! \left\| pq \right\| \! \right| ^{\downarrow m}_{(\alpha,n)} &=& \sum_{k=0}^{m} \left\| \sum_{j=0}^{k}p_jq_{k-j} \right\| ^{(\alpha)}_{n+2k}\\ &\leq & \sum_{k=0}^{m} \sum_{j=0}^{k}\left\| p_jq_{k-j} \right\| ^{(\alpha)}_{n+2k+1}\\ &\leq & \sum_{k=0}^{m} \sum_{j=0}^{k}\left\| p_j \right\| ^{(\alpha)}_{n+2k+2} \cdot \left\| q_{k-j} \right\| ^{(\alpha)}_{n+2k+2}\\ &\leq & \sum_{k=0}^{m} \sum_{j=0}^{k}\left\| p_j \right\| ^{(\alpha)}_{n+2m+2} \cdot \left\| q_{k-j} \right\| ^{(\alpha)}_{n+2m+2}\\ &\leq & \left( \sum_{j=0}^{m}\left\| p_j \right\| ^{(\alpha)}_{n+2(m+1)} \right) \cdot \left( \sum_{j=0}^{m}\left\| q_j \right\| ^{(\alpha)}_{n+2(m+1)} \right) \\ &\leq & \left( \sum_{j=0}^{m}\left\| p_j \right\| ^{(\alpha)}_{n+2(m+1)+2j} \right) \cdot \left( \sum_{j=0}^{m}\left\| q_j \right\| ^{(\alpha)}_{n+2(m+1)+2j} \right) \\ &=& \left| \! \left\| p \right\| \! \right| ^{\downarrow m}_{(\alpha,n+2(m+1))} \cdot \left| \! \left\| q \right\| \! \right| ^{\downarrow m}_{(\alpha,n+2(m+1))} \ . \\ \end{array} </math> Mit <math display="inline"> \left\| x \right\| ^{(\alpha)}_{n} = \left\| (x-y)+y \right\| ^{(\alpha)}_{n} \leq \left\| x-y \right\| ^{(\alpha)}_{n+1} + \left\| y \right\| ^{(\alpha)}_{n+1}</math> gilt auch\\ <math display="inline">\left\| x \right\| ^{(\alpha)}_{n} - \left\| y \right\| ^{(\alpha)}_{n+1} \leq \left\| x-y \right\| ^{(\alpha)}_{n+1}</math> und man schätzt die Quotientengaugefunktionale mit folgender Ungleichungskette für <math display="inline">n>0</math> nach unten ab. :<math> \begin{array}{rcl} \left| \! \left\| x-(zt-e)q(t) \right\| \! \right| _{(\alpha,n)} &=& \left\| x-q_o \right\| ^{(\alpha)}_n + \sum_{k=1}^{\infty} \left\| zq_{k-1}-q_k \right\| ^{(\alpha)}_{n+2k} \\ &\geq& \left\| x-q_o \right\| ^{(\alpha)}_n + \sum_{k=1}^{\infty} \left\| zq_{k-1} \right\| ^{(\alpha)}_{n+2k-1} - \left\| q_k \right\| ^{(\alpha)}_{n+2k} \\ &\geq& \left\| x-q_o \right\| ^{(\alpha)}_n + \sum_{k=1}^{\infty} \left\| q_{k-1} \right\| ^{(\alpha)}_{n+2k-2} - \left\| q_k \right\| ^{(\alpha)}_{n+2k} \\ &=& \left\| x-q_o \right\| ^{(\alpha)}_n + \left\| q_o \right\| ^{(\alpha)}_n\\ &\geq& \left\| x-q_o+q_o \right\| ^{(\alpha)}_{n-1} = \left\| x \right\| ^{(\alpha)}_{n-1} \end{array} </math> Insgesamt ergibt sich <math display="inline"> \left\| [x] \right\|_{(\alpha,n+1)} \geq \left\| x \right\| ^{(\alpha)}_{n}</math> für alle <math display="inline">n\in \N_0</math> und <math display="inline">x\in A</math>. <math> \Box </math> === Zur Lösung der Charakterisierung der T-regulären Elemente === Der Versuch, den allgemeinen topologischen Fall mit einer ähnlichen Beweisstruktur wie beim pseudokonvexen Charakterisierungsatz zu lösen, ist bei den verschiedensten Lösungsansätzen an der Beschränkung der Gaugefunktionale gescheitert. * Beschränkung nach "`oben"', d.h. die Cauchymultiplikation ist nicht stetig auf <math display="inline">A[t]</math>. * Beschränkung nach "`unten"', d.h. die Homöomorphie der Einbettung von <math display="inline">A</math> in die gesuchte Algebraerweiterung <math display="inline">B</math> ist nicht erfüllt. Die Übertragungsmöglichkeiten, die in dem Satz zur <math>\mathcal{T}</math>-Regularität formuliert sind, liefern kein zufriedenstellendes Ergebnis. Die Schwierigkeit liegt in der Formulierung des topologischen Invertierbarkeitskriteriums allein über die gegebenen Gaugefunktionale <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{\mathcal{A}}</math> auf <math display="inline">A</math>. Für Teilklassen <math display="inline">{\mathcal{K}}</math> von <math display="inline">{\mathcal{PC}}</math> war dies möglich, denn in den bisher bekannten Beweisen konnten die Eigenschaften von <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{\mathcal{A}}</math> in Bezug auf das <math display="inline">{\mathcal{K}}</math>-reguläre Element <math display="inline">z\in A</math> auf die Polynomalgebra <math display="inline">A[t]</math> durch die im folgenden definierten <math display="inline">{\mathcal{K}}</math>-Funktionale übertragen werden. :<math display="block"> \left| \! \left\| p \right\| \! \right| _\alpha := \sum_{k=0}^{\infty} C_k(\alpha) \cdot \left\| p_k \right\| _{(\alpha,k)} (*) </math> mit <math display="inline">\displaystyle p(t)=\sum_{k=0}^{\infty} p_k\cdot t^k \in A[t]</math>, <math display="inline">C_k(\alpha)>0</math>, <math display="inline">\alpha\in {\mathcal{A}}</math> und <math display="inline">k\in \N_0</math>. Die Festlegung, dass die Gaugefunktionale die obige Form <math display="inline">(*)</math> auf <math display="inline">A[t]</math> besitzen, ist jedoch für den allgemeinen Fall <math display="inline"> \mathcal{T} </math> eine zu starke Einschränkung. Der Ausweg aus den unter <math display="inline">(i)</math> und <math display="inline">(ii)</math> genannten Schwierigkeiten ist die Formulierung des <math display="inline"> \mathcal{T} </math>-Regularitätskriteriums für die Polynomalgebra <math display="inline">A[t]</math>. Für den Satz zur <math>\mathcal{T}</math>-Regularität müssen wieder zwei Implikation bewiesen werden: * Für die <math display="inline"> \mathcal{T} </math>-Regularität eines Elementes <math display="inline">z\in A</math> ist es notwendig, dass die Polynomalgebra <math display="inline">A[t]</math> (Cauchymultiplikation auf <math display="inline">A[t]</math>) mit einer Topologie versehen werden kann, die <math display="inline">A[t]</math> zu einer topologischen Algebra macht. Den Zusammenhang zur Ausgangstopologie auf <math display="inline">A</math> beschreiben zwei Bedingungen über das topologieerzeugende Gaugefunktionalsystem <math display="inline"> \left| \! \left\| \cdot \right\| \! \right| _{\widetilde{\mathcal{A}}}</math> auf <math display="inline">A[t]</math> und das gegebene System <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{\mathcal{A}}</math> auf <math display="inline">A</math>. Wie bei dem <math display="inline">{\mathcal{PC}}</math>-Regularitätskriterium in Satz <math>\mathcal{B}</math>-Regularität besitzt auch hier wieder eine Bedingung rein topologische Bedeutung, während die andere die gewünschten algebraischen Konsequenzen nach sich zieht. * Dieses unter a) beschriebene Kriterium ist aber auch hinreichend für die <math display="inline"> \mathcal{T} </math>-Regularität, denn mit diesem Kriterium kann eine <math display="inline"> \mathcal{T} </math>-Erweiterung <math display="inline">B</math> von <math display="inline">A</math> konstruiert werden, in der <math display="inline">z</math> invertierbar ist. <math display="inline">B</math> ist wie bei allen anderen Regularitätsbeweisen eine Quotientenalgebra <math display="inline">A[t]/I</math>, wobei in diesem Fall <math display="inline">I</math> {\em nicht} als abgeschlossenes Hauptideal <math display="inline">\overline{(z\cdot t-e)\cdot A[t]}</math> gewählt wird, sondern als Kern des Systems <math display="inline"> \left| \! \left\| \cdot \right\| \! \right| _{\widetilde{\mathcal{A}}}^*</math> mit :<math display="block"> \left| \! \left\| p \right\| \! \right| _\beta^*:= \inf_{q\in A[t]} \left| \! \left\| p+(z\cdot t-e)\cdot q(t) \right\| \! \right| _\beta. </math> Kern eines System <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{\mathcal{A}}</math> von <math display="inline">{\mathcal{K}}</math>-Funktionalen auf <math display="inline">A</math> bedeutet: :<math display="block"> {\mathrm{ \, Kern}} (A , \left\| \cdot \right\| _{\mathcal{A}} ) := \left\{ x\in A : \left\| x \right\| _\alpha=0 \mbox{ für alle }\alpha\in {\mathcal{A}}\right\}. </math> Für Hausdorffräume <math display="inline">\left( A , \left\| \cdot \right\| _{\mathcal{A}} \right)</math> gilt <math display="inline"> {\mathrm{ \, Kern}} (A , \left\| \cdot \right\| _{\mathcal{A}} ) = \{0\}</math>. <math display="inline">I</math> enthält dabei das oben angegebene Hauptideal. Es ist aber auch möglich, dass das Hauptideal eine echte Teilmenge von <math display="inline">I</math> ist. Zunächst müssen noch zwei Aussagen bewiesen werden, die für die Topologisierung der gesuchten Algebraerweiterung von Bedeutung sind. == Lemma: == Sei <math display="inline">\left( A,\left\| \cdot \right\| _{{\mathcal{A}}} \right)\in {\mathcal{K}}</math> eine topologische Algebra der Klasse <math display="inline">{\mathcal{K}}</math> und <math display="inline">I\subset A</math> sei ein abgeschlossenes Ideal in <math display="inline">A</math>. Dann ist <math display="inline">A/I</math> mit <math display="inline">[x]:=x+I</math> als Äquivalenzklasse von <math display="inline">x</math> und dem Quotientensystem <math display="inline"> \left| \! \left\| \,\cdot\, \right\| \! \right| _{{\mathcal{A}}}</math> der <math display="inline">{\mathcal{K}}</math>-Funktionale :<math display="block"> \left| \! \left\| \,[x]\, \right\| \! \right| _{\alpha} := \inf_{q\in I} \left\| x+q \right\| _{\alpha} \mbox{ für alle } x\in A </math> eine topologische <math display="inline">{\mathcal{K}}</math>-Algebra. == Beweis == Man betrachtet nur den Fall <math display="inline">{\mathcal{K}}={\mathcal{PC}}</math> mit <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{{\mathcal{A}}\times \N}</math> als <math display="inline">p</math>-Halbnormensystem. Für alle anderen Klassen verläuft der Beweis analog, denn die "`<math display="inline">\leq </math>"'-Abschätzung für <math display="inline">{\mathcal{K}}</math>-Funktionale auf <math display="inline">A</math> bleibt auch auf <math display="inline">A/I</math> gültig (sogar mit den gleichen Stetigkeitskonstanten der Addition bei Quasinormen). :<math> \begin{array}{rcl} \left| \! \left\| [x_1+x_2] \right\| \! \right| _{\alpha} &=& \inf_{q\in I} \left\| x_1+x_2+q \right\| _\alpha\\ &=& \inf_{q_1,q_2\in I} \| x_1+x_2+ \underbrace{(q_1+q_2)}_{\in I} \| _\alpha\\ &\leq & \inf_{q_1,q_2\in I} \left\| x_1+ q_1 \right\| _\alpha + \left\| x_2+ q_2 \right\| _\alpha \\ &=& \inf_{q_1\in I} \left\| x_1+q_1 \right\| _\alpha + \inf_{q_2\in I} \left\| x_2+q_2 \right\| _\alpha \\ &=& \left| \! \left\| \,[x_1]\, \right\| \! \right| _\alpha + \left| \! \left\| \,[x_2]\, \right\| \! \right| _\alpha \end{array} </math> Analog erhält man für die Multiplikation mit <math display="inline">\left\| xy \right\| _\alpha \leq \left\| x \right\| _\beta \cdot \left\| y \right\| _\beta</math> für alle <math display="inline">x,y\in A</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \left| \! \left\| \,[x_1 x_2]\, \right\| \! \right| _\alpha &=& \inf_{q\in I} \left\| x_1 x_2+q \right\| _\alpha\\ &\leq & \inf_{q_1,q_2\in I} \| x_1 x_2+ (\underbrace{q_1q_2 + x_1q_2 + q_1x_2} _{\in I}) \|_\alpha\\ &\leq & \inf_{q_1,q_2\in I} \left\| (x_1+ q_1)\cdot (x_2+q_2) \right\| _\alpha \\ &\leq & \inf_{q_1,q_2\in I} \left\| x_1+ q_1 \right\| _\beta \cdot \left\| x_2+ q_2 \right\| _\beta \\ &=& \inf_{q_1\in I} \left\| x_1+q_1 \right\| _\beta \cdot \inf_{q_2\in I} \left\| x_2+q_2 \right\| _\beta \\ &=& \left| \! \left\| \,[x_1]\, \right\| \! \right| _\beta \cdot \left| \! \left\| \,[x_2]\, \right\| \! \right| _\beta . \end{array} </math> Da <math display="inline">I</math> abgeschlossen ist, ist auch <math display="inline">A/I</math> Hausdorff'sch.<math> \Box </math> == Lemma: == Sei <math display="inline">\left( A , \left\| \cdot \right\| _{\mathcal{A}} \right) \in {\mathcal{K}}(\mathbb{K})</math> nicht notwendig Hausdorffsch, dann ist <math display="inline">B:=A/I</math> mit :<math display="block"> I := {\mathrm{ \, Kern}} (A , \left\| \cdot \right\| _{\mathcal{A}} ) := \left\{ x\in A : \left\| x \right\| _\alpha=0 \mbox{ für alle }\alpha\in {\mathcal{A}}\right\} </math> und den von <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{\mathcal{A}}</math> auf <math display="inline">B</math> induzierten Quotienten-<math display="inline">{\mathcal{K}}</math>-Funktionalen eine Hausdorffsche Algebra der Klasse <math display="inline">{\mathcal{K}}(\mathbb{K})</math>. == Beweis == Sei <math display="inline">A</math> eine beliebige topologische Algebra mit Gaugefunktionalsystem <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{\mathcal{A}}</math>. Die Beweise für spezielle <math display="inline">{\mathcal{K}}</math>-Algebren laufen unter Ausnutzung der Eigenschaften von <math display="inline">{\mathcal{K}}</math>-Funktionalen analog. Sei <math display="inline">x,y\in I</math>, <math display="inline">z\in A</math> und <math display="inline">\lambda \in \mathbb{K}</math>, dann gibt es zu jedem <math display="inline">\alpha\in {\mathcal{A}}</math> mit der Stetigkeit der Addition bzw. Multiplikation ein <math display="inline">\widetilde{\alpha}\in {\mathcal{A}}</math> bzw. <math display="inline">\widehat{\alpha}\in {\mathcal{A}}</math> mit * <math display="inline"> \left\| \lambda \cdot x \right\| _\alpha = \lambda \cdot \underbrace{\left\| x \right\| _\alpha}_{=0} =0 </math> <math display="inline">\Longrightarrow</math> <math display="inline">\lambda \cdot x\in I</math>\\ * <math display="inline"> \left\| x+y \right\| _\alpha \leq \underbrace{\left\| x \right\| _{\widetilde{\alpha}}}_{=0} + \underbrace{\left\| y \right\| _{\widetilde{\alpha}}}_{=0} =0</math> <math display="inline">\Longrightarrow</math> <math display="inline">x+y\in I</math> \\ * <math display="inline"> \left\| z\cdot x \right\| _\alpha \leq \left\| z \right\| _{\widehat{\alpha}} \cdot \underbrace{\left\| x \right\| _{\widehat{\alpha}}}_{=0} =0</math> <math display="inline">\Longrightarrow</math> <math display="inline">z\cdot x\in I</math>\\ Ferner ist <math display="inline">I</math> abgeschlossen, denn für ein Netz <math display="inline">(x_\eta)_\eta</math> aus <math display="inline">I</math>, das gegen <math display="inline">x_o</math> konvergiert, gilt die folgende Abschätzung. Dabei wird <math display="inline">\widetilde{\alpha}</math> wie oben mit der Stetigkeit der Addition zu <math display="inline">\alpha</math> gewählt. :<math display="block"> \left\| x_o \right\| _\alpha = \left\| x_o \right\| _\alpha - \underbrace{\left\| x_\eta \right\| _{\widetilde{\alpha}}}_{=0} \leq \left\| x_o-x_\eta \right\| _{\widetilde{\alpha}} {_{\stackrel{\displaystyle \longrightarrow}{\scriptstyle \eta}}} 0 </math> Damit folgt <math display="inline">\left\| x_o \right\| _\alpha = 0</math> und mit <math display="inline">\alpha\in {\mathcal{A}}</math> beliebig erhält man <math display="inline">x_o\in I</math>. Die Behauptung liefert nun die Anwendung von Lemma QuoAlg , da <math display="inline">I</math> ein abgeschlossenes Ideal in <math display="inline">A</math> bildet. <math> \Box </math> Der folgende Hauptsatz, der zunächst nur als Lösung der Charakterisierung der <math display="inline"> \mathcal{T}^k</math>-regulären Elemente entwickelt wurde, hat sich bei näherer Untersuchung als entscheidendes Kriterium herausgestellt, die Invertierbarkeit in einer bestimmten <math display="inline">{\mathcal{K}}</math>-Erweiterung einer gegebenen Algebra durch zwei topologische Bedingungen äquivalent zu beschreiben.\\ == Hauptsatz == Sei <math display="inline">\left( A , \left\| \cdot \right\| _{\mathcal{A}} \right) \in {\mathcal{K}}_e^k</math>. Ein Element <math display="inline">z\in A</math> ist genau dann <math display="inline">{\mathcal{K}}^k</math>-regulär, wenn ein <math display="inline">{\mathcal{K}}</math>-Funktionalsystem <math display="inline"> \left| \! \left\| \cdot \right\| \! \right| _{\widetilde{\mathcal{A}}}</math> auf <math display="inline">A[t]</math> existiert, das <math display="inline">A[t]</math> zu einer nicht notwendig Hausdorff'schen <math display="inline">{\mathcal{K}}</math>-Algebra macht und das folgende zwei Bedingungen erfüllt: * Zu jedem <math display="inline">\mu\in {\widetilde{\mathcal{A}}}</math> existiert ein <math display="inline">\alpha\in {\mathcal{A}}</math> und ein <math display="inline">C_\mu>0</math>, so dass \\ <math display="inline"> \left| \! \left\| x \right\| \! \right| _\mu \leq C_\mu\cdot \left\| x \right\| _\alpha</math> für alle <math display="inline">x\in A</math> gilt. * Zu jedem <math display="inline">\alpha\in {\mathcal{A}}</math> existiert ein <math display="inline">\mu\in {\widetilde{\mathcal{A}}}</math> und ein <math display="inline">C_\alpha>0</math>, so dass :<math display="block"> \left\| x \right\| _\alpha \leq C_\alpha\cdot \left| \! \left\| x+(z\cdot t-e)\cdot q(t) \right\| \! \right| _\mu </math> für alle <math display="inline">x\in A</math> und <math display="inline">q\in A[t]</math> gilt. == Beweis == "`<math display="inline">\Longrightarrow</math>"' Da jedes <math display="inline">{\mathcal{K}}</math>-Funktional bei Ersetzung von <math display="inline">p</math>-Halbnormen und Quasihalbnormen\footnote{siehe Abschnitt SECpN-QN über den Zusammenhang von <math display="inline">p</math>-Normen und Quasinormen.} auch ein Gaugefunktional ist, werden in diesem klassenunabhängigen Beweis lediglich Gaugefunktionaleigenschaften in Zusammenhang mit den stetigen Algebraoperationen verwendet. Haben die Gaugefunktionale zusätzliche Eigenschaften, wie zum Beispiel Halbnormen, so vereinfacht sich der Beweis an einigen Stellen und die Aussage bleibt für eine eingeschränkte Algebrenklasse <math display="inline">{\mathcal{K}}</math> ebenfalls gültig. Dies liegt unter anderem an der Tatsache, dass Einschränkungen von <math display="inline">{\mathcal{K}}</math>-Funktionalen auf Teilalgebren wieder <math display="inline">{\mathcal{K}}</math>-Funktionale sind. Sei <math display="inline">z\in A\in {\mathcal{K}}_e^k</math> ein <math display="inline">{\mathcal{K}}^k</math>-reguläres Element, dann gibt es eine <math display="inline">{\mathcal{K}}^k</math>-Erweiterung <math display="inline">B</math> von <math display="inline">A</math>, in der <math display="inline">z</math> invertierbar ist. Sei <math display="inline">b\in B</math> das Inverse zu <math display="inline">z</math> und <math display="inline"> \left| \! \left\| \cdot \right\| \! \right| _{\widetilde{\mathcal{A}}}</math> das Gaugefunktionalsystem auf <math display="inline">B</math>. Die von <math display="inline">A</math> und <math display="inline">b</math> erzeugte Teilalgebra <math display="inline">A_b</math> von <math display="inline">B</math> hat die Gestalt :<math display="block"> A_b:= \left\{ \sum_{k=0}^{n} a_k \cdot b^k \, : \, a_k\in A \mbox{ und } n\in \N_0 \right\}. </math> Man wählt <math display="inline"> \left| \! \left\| \cdot \right\| \! \right| _{\widetilde{\mathcal{A}}}</math> als gesuchtes Gaugefunktionalsystem auf <math display="inline">A[t]</math> mit folgender Identifikation mit Elementen aus <math display="inline">A_b</math>. Sei <math display="inline">p(t):= \sum_{k=0}^{n} p_k\cdot t^k \in A[t]</math>, dann definiert man :<math display="block"> \left| \! \left\| p \right\| \! \right| _\mu := \bigg| \!\bigg|\!\bigg| \underbrace{\sum_{k=0}^{n} p_k\cdot b^k}_{\in B} \bigg| \!\bigg|\!\bigg|_\mu \mbox{ für alle } \mu\in {\widetilde{\mathcal{A}}} \mbox{ und } p\in A[t]. </math> Man sieht an dieser Stelle, dass <math display="inline"> \left| \! \left\| \cdot \right\| \! \right| _{\widetilde{\mathcal{A}}}</math> auf <math display="inline">A[t]</math> keine Hausdorfftopologie erzeugt, denn beispielsweise gilt für das von <math display="inline">0</math> verschiedene Polynom <math display="inline">q(t):=2e-z\cdot t -z^2\cdot t^2</math> gerade <math display="inline"> \left| \! \left\| q \right\| \! \right| _\mu=0</math> für alle <math display="inline">\mu\in {\widetilde{\mathcal{A}}}</math>, da <math display="inline">q(b)=2e-z\cdot b-z^2\cdot b^2=0</math>. Die Cauchymultiplikation auf <math display="inline">A[t]</math> und die Multiplikation auf <math display="inline">A_b</math> sind topologisch und algebraisch miteinander verträglich. Damit ergibt sich insbesondere die Stetigkeit der Cauchymultiplikation über die Stetigkeit der Multiplikation auf <math display="inline">B</math>. Sei <math display="inline">\nu\in {\widetilde{\mathcal{A}}}</math> zu einem gegebenen <math display="inline">\mu\in{\widetilde{\mathcal{A}}}</math> so gewählt, dass für alle <math display="inline">x,y\in B</math> die Ungleichung <math display="inline"> \left| \! \left\| x\cdot y \right\| \! \right| _\mu\leq \left| \! \left\| x \right\| \! \right| _\nu \cdot \left| \! \left\| y \right\| \! \right| _\nu </math> gilt, dann erhält man für alle <math display="inline">p,q\in A[t]</math> die Abschätzung :<math display="block"> \left| \! \left\| p\cdot q \right\| \! \right| _\mu = \left| \! \left\| (p\cdot q)(b) \right\| \! \right|_\mu = \left| \! \left\| p(b)\cdot q(b) \right\| \! \right| _\mu \leq \left| \! \left\| p(b) \right\| \! \right| _\nu \cdot \left| \! \left\| q(b) \right\| \! \right| _\nu = \left| \! \left\| p \right\| \! \right| _\nu\cdot \left| \! \left\| q \right\| \! \right| _\nu, </math> also die Stetigkeit der Cauchymultiplaktion auf <math display="inline">A[t]</math>. In ähnlicher Weise folgt die Stetigkeit der Addition auf <math display="inline">A[t]</math> über die von <math display="inline">B</math> auf <math display="inline">A_b</math> eingeschränkten Gaugefunktionale. <math display="inline">A[t]</math> wird also über die Teilalgebra <math display="inline">A_b</math> von <math display="inline">B</math> topologisiert. Mit der Homöomorphie der Einbettung von <math display="inline">A</math> in <math display="inline">B</math> erhält man einerseits durch die Stetigkeit der Abbildung <math display="inline">\tau</math> die Bedingung {\it (HS 1)} unmittelbar und andererseits gibt es durch die Stetigkeit der Umkehrabbildung <math display="inline">\tau^{-1}</math> zu jedem <math display="inline">\alpha \in {\mathcal{A}}</math> ein <math display="inline">\mu\in {\widetilde{\mathcal{A}}}</math> und ein <math display="inline">C_\alpha>0</math> mit ==== Abschätzung der Gaugefunktionale nach unten ==== :<math display="block"> \left\| x \right\| _\alpha \leq C_\alpha\cdot \left| \! \left\| x \right\| \! \right| _\mu \mbox{ für alle } x\in A. (*) </math> Die zweite Ungleichung der Behauptung ergibt sich mit <math display="inline">(*)</math>, denn es gilt :<math display="block"> \left| \! \left\| x+(z\cdot t-e)\cdot q(t) \right\| \! \right|_\mu = | \! |\! | x+(\underbrace{z\cdot b-e}_{=0} )\cdot q(b) | \! |\! |_\mu = \left| \! \left\| x \right\| \! \right| _\mu \geq \frac{1}{C_\alpha} \left\| x \right\|_\alpha . </math> === Beweisrichtung von dem Gaugefunktionalsystem zur Algebraerweiterung === "<math display="inline">\Longleftarrow</math>" Sei nun umgekehrt <math display="inline">A[t]</math> eine nicht notwendig Hausdorff'sche topologische Algebra mit Gaugefunktionalsystem <math display="inline"> \left| \! \left\| \cdot \right\| \! \right| _{\widetilde{\mathcal{A}}}</math>, das die Bedingung (HS 1) und (HS 2) aus der Behauptung des Satzes erfüllt. Man definiert auf <math display="inline">A[t]</math> ein weiteres Gaugefunktionalsystem <math display="inline"> \left| \! \left\| \cdot \right\| \! \right| _{\widetilde{\mathcal{A}}}^*</math>. Für <math display="inline">p\in A[t]</math> setzt man: :<math display="block"> \left| \! \left\| p \right\| \! \right| ^*_\mu := \inf_{q\in A[t]} \left| \! \left\| p(t)+ (z\cdot t-e)\cdot q(t) \right\| \! \right| _\mu. </math> ==== Übergang zur Quotientenalgebra ==== Die gesuchte Algebra, in der <math display="inline">z</math> invertierbar ist, ist die Quotientenalgebra <math display="inline">B:=A/I</math>, wobei <math display="inline">I</math> als Kern des Systems <math display="inline"> \left| \! \left\| \cdot \right\| \! \right| _{\widetilde{\mathcal{A}}}^*</math> gewählt wird. Da auch das System <math display="inline"> \left| \! \left\| \cdot \right\| \! \right| _{\widetilde{\mathcal{A}}}^*</math> die Algebra <math display="inline">A[t]</math> zu einer topologischen Algebra macht, liefert die Anwendung von Lemma QuoKern , dass <math display="inline">B</math> eine Hausdorff'sche topologische Algebra ist. Der Algebrahomomorphismus <math display="inline">\tau: A\longrightarrow B</math> mit <math display="inline">x\longmapsto [x]:=x+I</math>, der <math display="inline">x</math> mit dem konstanten Polynom mit Wert <math display="inline">x</math> identifiziert und dann diesem Polynom seine Äquivalenzklasse in <math display="inline">B</math> zuordnet, ist der gesuchte Algebraisomorphismus von <math display="inline">A</math> nach <math display="inline">\tau(A)\subset B</math>, wenn man die Homöomorphie von <math display="inline">A</math> und <math display="inline">\tau(A)</math> gezeigt hat (siehe dazu einleitende Bemerkungen zu den K-singulären Elementen). Durch Bedingung (HS 2) aus der Behauptung folgt insbesondere, dass zu jedem <math display="inline">\alpha \in {\mathcal{A}}</math> ein <math display="inline">\mu\in {\widetilde{\mathcal{A}}}</math> und ein <math display="inline">C_\alpha>0</math> existieren mit :<math display="block"> \left\| x \right\| _{\alpha} \leq C_\alpha \cdot \left| \! \left\| x \right\| \! \right| _{\mu}^{*} \mbox{für alle } x\in {\mathcal{A}}. </math> ==== Stetigkeit der Addition ==== Wählt man zu dem <math display="inline">\mu\in {\widetilde{\mathcal{A}}}</math> ein <math display="inline">\widetilde{\mu}\in {\widetilde{\mathcal{A}}}</math> mit :<math display="block"> \left| \! \left\| p+q \right\| \! \right| _{\mu}^{*} \leq \left| \! \left\| p \right\| \! \right| _{\widetilde{\mu}}^{*} + \left| \! \left\| q \right\| \! \right| _{\widetilde{\mu}}^{*} \mbox{ für alle } p,q\in A[t], </math> so erhält man für alle <math display="inline"> q\in I={\mathrm{ \, Kern}}\left( A[t], \left| \! \left\| \cdot \right\| \! \right|_{\widetilde{\mathcal{A}}}^{\ast}\right) </math>: :<math> \begin{array}{rcl} \frac{1}{C_\alpha}\cdot \left\| x \right\| _{\alpha} & \leq & \left| \! \left\| x \right\| \! \right| _{\mu}^{\ast} = \left| \! \left\| x \right\| \! \right| _{\mu}^{\ast} - \underbrace{ \left| \! \left\| q \right\| \! \right|_{\widetilde{\mu}}^{\ast} }_{=0} \leq \left| \! \left\| x-q \right\| \! \right| _{\widetilde{\mu}}^{\ast} \\ \Longrightarrow \frac{1}{C_\alpha}\cdot \left\| x \right\| _{\alpha} & \leq & \inf_{q\in I} \left| \! \left\| x-q \right\| \! \right|_{\widetilde{\mu}}^{\ast} = \left\| [x] \right\|_{\widetilde{\mu}} = \left\| x+I \right\|_{\widetilde{\mu}} \end{array} </math> für alle <math display="inline">x\in A</math>. ==== Quotientengaugefunktionalsystem ==== Dabei ist <math display="inline"> \left\| \cdot \right\|_{{\widetilde{\mathcal{A}}}}</math> das Quotientengaugefunktionalsystem auf <math display="inline"> B </math>. Damit ist die von <math display="inline">B</math> auf <math display="inline">\tau(A)</math> induzierte Relativtopologie feiner als die von <math display="inline">A</math> auf <math display="inline">\tau(A)</math> über <math display="inline">\tau</math> induzierte Topologie. Also ist der Homomorphismus <math display="inline">\tau</math> nach <math display="inline">B</math> injektiv und bijektiv von <math display="inline">A</math> auf <math display="inline">\tau(A)</math>, denn für alle <math display="inline">\alpha\in {\mathcal{A}}</math> gibt es aufgrund des oben erwähnten topologischen Zusammenhangs ein <math display="inline">\widetilde{\mu}\in {\widetilde{\mathcal{A}}}</math> mit :<math display="block"> \left\| x \right\| _\alpha \leq C_\alpha\cdot \left\| [x] \right\|_{\widetilde{\mu}} \mbox{ für alle } x \in A. </math> Sei nun <math display="inline">x_1\not= x_2</math>, dann existiert wegen der Hausdorffeigenschaft ein <math display="inline">\alpha\in {\mathcal{A}}</math> mit <math display="inline">\left\| x_1-x_2 \right\| _\alpha > 0</math>, so dass :<math display="block"> 0 < \left\| x_1-x_2 \right\| _\alpha \leq C_\alpha\cdot \left\| [x_1-x_2] \right\|_{\widetilde{\mu}} = \left\| [x_1]-[x_2] \right\|_{\widetilde{\mu}} </math> und damit <math display="inline">[x_1]\not= [x_2]</math> gilt. Zum Nachweis der Homöomorphie ist weiterhin die Stetigkeit der Umkehrabbildung zu zeigen. Diese ergibt sich aber unmittelbar aus Bedingung {\it (HS 1)}, denn wählt man zu jedem <math display="inline">\mu\in {\widetilde{\mathcal{A}}}</math> aus {\it (HS 1)} ein <math display="inline">\widetilde{\mu}\in {\widetilde{\mathcal{A}}}</math> mit :<math display="block"> \left| \! \left\| p+q \right\| \! \right| _{\mu}^{*} \leq \left| \! \left\| p \right\| \! \right| _{\widetilde{\mu}}^{*} + \left| \! \left\| q \right\| \! \right| _{\widetilde{\mu}}^{*} , \mbox{für alle } p,q\in A[t], </math> so kann man mit {\it (HS 2)} zu diesem <math display="inline">\widetilde{\mu}</math> ein <math display="inline">\alpha\in {\widetilde{\mathcal{A}}} </math> und ein <math display="inline">C_{\widetilde{\mu}}>0</math> finden mit <math display="inline">\left\| x \right\| _{\alpha} \geq \left| \! \left\| x \right\| \! \right| _{\widetilde{\mu}}</math> für alle <math display="inline">x\in A</math>. Insgesamt ergibt sich für alle <math display="inline">p\in I</math> und alle <math display="inline">x\in A</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \left| \! \left\| x+p \right\| \! \right| _{\mu}^{*} &\leq& \left| \! \left\| x \right\| \! \right| _{\widetilde{\mu}}^{*} + \underbrace{ \left| \! \left\| p \right\| \! \right| _{\widetilde{\mu}}^{*}}_{=0} = \inf_{\widehat{q}\in A[t]} \left| \! \left\| x+(z\cdot t - e)\cdot \widehat{q}(t) \right\| \! \right| _{\widetilde{\mu}}\\ &\leq& \left| \! \left\| x \right\| \! \right| _{\widetilde{\mu}}\leq C_{\widetilde{\mu}}\cdot \left\| x \right\| _{\alpha} . \end{array} </math> ==== Infimumbildung ==== Durch Infimumbildung über alle <math display="inline">p\in I</math> bleibt die Ungleichung für die Äquivalenzklasse <math display="inline">[x]</math> erhalten und es gilt :<math display="block"> \left\| [x] \right\|_{\mu} \leq \left| \! \left\| x+p \right\| \! \right| _{\mu}^{\ast} \leq C_{\widetilde{\mu}} \cdot \left\| x \right\| _{\alpha} \mbox{ für alle } x\in A. </math> Wegen <math display="inline">z\cdot t - e \in (z\cdot t-e) \cdot A[t] \subset I</math>, gilt <math display="inline">[0]=[z\cdot t-e]= [z]\cdot [t]-[e]</math> und aufgrund Kommutativität der Algebra <math display="inline">A</math> und <math display="inline">[e]=[z]\cdot [t]</math> erhält man <math display="inline">[z]\in \mathcal{G}_{ \mathcal{T}^{k}}(B)</math>. <math display="inline">\mbox{ }</math> <math> \Box </math> ==== Charakterisierung der T-regulären Elemente ==== Die Charakterisierung der <math display="inline"> \mathcal{T} ^k</math>-regulären Elemente ist damit eine unmittelbare Folgerung des Hauptsatzes, die in nachstehendem Korollar noch einmal formuliert wird. Die Konstanten <math display="inline">C_\alpha</math> bzw. <math display="inline">C_\mu</math> des Hauptsatzes, deren Verwendung für submultiplikative <math display="inline"> \mathcal{K} </math>-Funktionale notwendig ist, werden mit in die Definition der Gaugefunktionale übernommen. Dies vereinfacht die Formulierung der Aussage von Korollar zum Hauptsatz . == Korrollar: == Sei <math display="inline">\left( A , \left\| \cdot \right\| _{\mathcal{A}} \right) \in \mathcal{T}_e^k</math>. Ein Element <math display="inline">z\in A</math> ist genau dann <math display="inline"> \mathcal{T}^k</math>-regulär, wenn ein Gaugefunktionalsystem <math display="inline"> \left| \! \left\| \cdot \right\| \! \right| _{\widetilde{\mathcal{A}}}</math> auf <math display="inline">A[t]</math> existiert, das <math display="inline">A[t]</math> zu einer nicht notwendig Hausdorff'schen topologischen Algebra macht und das folgende zwei Bedingungen erfüllt: * Zu jedem <math display="inline">\mu\in {\widetilde{\mathcal{A}}}</math> existiert ein <math display="inline">\alpha\in {\mathcal{A}}</math> mit <math display="inline"> \left| \! \left\| x \right\| \! \right| _\mu \leq \left\| x \right\| _\alpha</math> für alle <math display="inline">x\in A</math>. * Zu jedem <math display="inline">\alpha\in {\mathcal{A}}</math> existiert ein <math display="inline">\mu\in {\widetilde{\mathcal{A}}}</math>, so dass :<math display="block"> \left\| x \right\| _\alpha \leq \left| \! \left\| x+(z\cdot t-e)\cdot q(t) \right\| \! \right| _\mu </math> für alle <math display="inline">x\in A</math> und <math display="inline">q\in A[t]</math> gilt. == Aufgaben für Studierende == === Siehe auch === * [[Wiki2Reveal]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/T-Regularit%C3%A4tskriterium&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/T-Regularit%C3%A4tskriterium&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/T-Regularit%C3%A4tskriterium https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/T-Regularit%C3%A4tskriterium] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/T-Regularit%C3%A4tskriterium Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/T-Regularit%C3%A4tskriterium * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/T-Regularit%C3%A4tskriterium&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] 6uifwg5lnggj1yipe1vrnqgf0felf4u 1118778 1118777 2026-11-03T12:26:57Z Bert Niehaus 20843 /* Schritt 2 - Anwendung - Stetigkeitslemma */ 1118778 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/T-Regularit%C3%A4tskriterium&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. == Zielsetzung == Diese Lerneinheit in der Wikiversity hat das Ziel, die <math>\mathcal{T}</math>-Regularität eines Elementes <math>z \in A</math> für eine beliebige topologische Algebra zu charakterisieren. == Zielgruppe == Die Zielgruppe der Lerneinheit sind Studierende der Mathematik. Die [[Wiki2Reveal]]-Folien im Kurs dienen dazu, dass Lehrende bei Bedarf direkt die Folien in Lehrveranstaltungen einsetzen können, bzw. Studierende mit den Folien mathematische Sachverhalte vorstellen können, die zur Lösung einer Aufgabe verwendet werden könnten. Die Folien können bei Eingabe mit einem digitalen Stift im Browser annotiert werden, d.h. man im Browser direkt mit einem Stift auf die Folien schreiben. == T-Regularitätskriterium == Im Folgenden werden wir die Übertragungsmöglichkeiten von pseudokonvexen Algebren auf beliebige topologische Algebren. Da die Cauchymultiplikation aber nur stetig in der Partialsummentopologie von <math display="inline"> \left| \! \left\| \cdot \right\| \! \right| _{{\mathcal{A}} \times \N_0}</math> auf <math display="inline">A[t]</math> ist, kann noch keine Charakterisierung der <math>\mathcal{T}</math>-regulären Elemente in Anlehnung an die <math display="inline">{\mathcal{PC}} </math>-regulären Elemente angegeben werden. === Bemerkung zu den Herausforderungen === Im Anschluß an den Beweis des Satzes wird erläutert, an welchen Stellen die Herausforderungen für ein Charakterisierung der <math>\mathcal{T}</math>-regulären Elemente liegen. == Satz == Sei <math display="inline">\left( A,\left\| \cdot \right\| _{\mathcal{A}} \right)\in {\mathcal{T}} _e</math> mit <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{\mathcal{A}} </math> als gerichtetes <math display="inline">{\mathcal{T}} </math>-System (aus Gaugefunktionalen). ==== Voraussetzungen - Topologisierung ==== Für jedes <math display="inline">\alpha\in {\mathcal{A}} </math> sei eine Folge <math display="inline">\left(\left\| \cdot \right\| _{(\alpha,k)}\right)_{k\in \N}</math> von Gaugefunktionalen mit Konstanten <math display="inline">D_k(\alpha)>0</math> und ein <math display="inline">\beta\in {\mathcal{A}} </math> gegeben, mit * <math display="inline"> \left\| x \right\| _\alpha\leq \left\| x \right\| _{(\alpha,k)} \leq D_k(\alpha) \cdot \left\| x \right\| _\beta </math> für alle <math display="inline">x\in A</math> und <math display="inline">k\in \N_0</math>, * <math display="inline"> \left\| x \right\| _{(\alpha,k)}\leq \left\| zx \right\| _{(\alpha,k+1)} </math> für alle <math display="inline"> x\in A </math>, <math display="inline"> k\in \N_0 </math> und <math display="inline"> \left\| \cdot \right\| _{(\alpha,0)}:= \left\| \cdot \right\| _\alpha </math>. ==== Aussage - Topologisierung ==== Dann existiert ein <math display="inline"> {\mathcal{T}} </math>-System <math display="inline"> \left| \! \left\| \cdot \right\| \! \right| _{{\mathcal{A}} \times \N_0}</math> auf <math display="inline">A[t]</math>, dass die Cauchymultiplikation mit <math display="inline"> \left| \! \left\| \cdot \right\| \! \right| _{{\mathcal{A}} \times \N_0}^{\downarrow \N} </math> stetig ist und die Relativtopologie der Quotientengaugefunktionale :<math display="block"> \left\| [x] \right\|_{(\alpha,n)} := \inf _{q\in A[t]} \left| \! \left\| x+(zt-e)q(t) \right\| \! \right| _{(\alpha,n+1)} \geq \left\| x \right\| ^{(\alpha)}_n \mbox{ für alle } x\in A </math> auf <math display="inline">A[t]/I</math> mit <math display="inline">I:=\overline{(z\cdot t-e)\cdot A[t]}</math> mit der von <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{\mathcal{A}} </math> erzeugten Ausgangstopologie übereinstimmt. == Beweis == Man definiert mit den oben genannten Eigenschaften (1) und (2) und der Stetigkeit der Addition eine Abbildung :<math display="block"> \begin{array}{rrcl} \widetilde{\cdot} : & {\mathcal{A}} \times \N_0 & \longrightarrow & {\mathcal{A}} \times \mathbb{N}_0 \\ & (\alpha,k) & \longmapsto & \widetilde{(\alpha,k)} \end{array} </math> === Schritt 1 - Eigenschaften der Indexabbildung === Für die obige Indexabbildung <math>\widetilde{\cdot}</math> gilt: * <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{(\alpha,k)}\in \left\| \cdot \right\| _{\mathcal{A}} </math> für alle <math display="inline">\alpha\in {\mathcal{A}} </math> und <math display="inline">k\in \N_0</math>. * <math display="inline">\left\| x \right\| _{(\alpha,k)} \leq \left\| zx \right\| _{\widetilde{(\alpha,k)}}</math> für alle <math display="inline">x\in A</math>, <math display="inline">\alpha\in {\mathcal{A}} </math> und <math display="inline">k\in \N_0</math>. * <math display="inline">\displaystyle \left\| \sum_{j=1}^{k} x_j \right\| _{(\alpha,k)} \leq \sum_{j=1}^{k} \left\| x_j \right\| _{\widetilde{(\alpha,k)}} </math> für alle <math display="inline">x_j\in A</math>, <math display="inline">\alpha\in {\mathcal{A}} </math> und <math display="inline">k\in \mathbb{N}_0</math>. === Schritt 2 - Anwendung - Stetigkeitslemma === Dann gibt es wegen Lemma LemDomSeq eine <math display="inline">M_{\mathcal{T}} </math>-Sequenz <math display="inline"> \left( \left\| \cdot \right\| ^{(\alpha)}_n \right)_{n\in \N_0} </math> mit * <math display="inline">\left\| \cdot \right\| ^{(\alpha)}_n \leq \left\| \cdot \right\| ^{(\alpha)}_{n+1}</math> für alle <math display="inline">\alpha\in {\mathcal{A}} </math> und <math display="inline">n\in \N_0</math>. * <math display="inline">\displaystyle \left\| \sum_{j=1}^{n} x_j \right\| _n^{(\alpha)} \leq \sum_{j=1}^{n} \left\| x_j \right\| _{n+1}^{(\alpha)} </math> für alle <math display="inline">x_j\in A</math>, <math display="inline">\alpha\in {\mathcal{A}} </math> und <math display="inline">n\in \N_0</math>. * <math display="inline">\left\| xy \right\| ^{(\alpha)}_n \leq \left\| x \right\| ^{(\alpha)}_{n+1} \cdot \left\| y \right\| ^{(\alpha)}_{n+1}</math> für alle <math display="inline">x,y\in A</math> * <math display="inline">\left\| x \right\| ^{(\alpha)}_n \leq \left\| zx \right\| ^{(\alpha)}_{n+1}</math>. === Schritt 3 - Polynomisierung der Polynomalgebra === Anschließend definiert man die Gaugefunktionale auf <math display="inline">A[t]</math> durch :<math display="block"> \left| \! \left\| p \right\| \! \right| _{(\alpha,n)} := \sum_{k=0}^{\infty} \left\| p_k \right\| ^{(\alpha)}_{n+2k}, </math> === Schritt 4 - Stetigkeit der Addition === Die Addition auf der Polynomalgebra ist stetig, denn man erhält für alle Polynome <math display="inline">p,q\in A[t]</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \left| \! \left\| p+q \right\| \! \right| _{(\alpha,n)} &\leq & \left| \! \left\| p \right\| \! \right| _{(\alpha,n+1)} + \left| \! \left\| q \right\| \! \right| _{(\alpha,n+1)}, \end{array} </math> <math> \begin{array}{rcl} \mbox{ sowie }\\ & & \\ \left| \! \left\| pq \right\| \! \right| ^{\downarrow m}_{(\alpha,n)} &=& \sum_{k=0}^{m} \left\| \sum_{j=0}^{k}p_jq_{k-j} \right\| ^{(\alpha)}_{n+2k}\\ &\leq & \sum_{k=0}^{m} \sum_{j=0}^{k}\left\| p_jq_{k-j} \right\| ^{(\alpha)}_{n+2k+1}\\ &\leq & \sum_{k=0}^{m} \sum_{j=0}^{k}\left\| p_j \right\| ^{(\alpha)}_{n+2k+2} \cdot \left\| q_{k-j} \right\| ^{(\alpha)}_{n+2k+2}\\ &\leq & \sum_{k=0}^{m} \sum_{j=0}^{k}\left\| p_j \right\| ^{(\alpha)}_{n+2m+2} \cdot \left\| q_{k-j} \right\| ^{(\alpha)}_{n+2m+2}\\ &\leq & \left( \sum_{j=0}^{m}\left\| p_j \right\| ^{(\alpha)}_{n+2(m+1)} \right) \cdot \left( \sum_{j=0}^{m}\left\| q_j \right\| ^{(\alpha)}_{n+2(m+1)} \right) \\ &\leq & \left( \sum_{j=0}^{m}\left\| p_j \right\| ^{(\alpha)}_{n+2(m+1)+2j} \right) \cdot \left( \sum_{j=0}^{m}\left\| q_j \right\| ^{(\alpha)}_{n+2(m+1)+2j} \right) \\ &=& \left| \! \left\| p \right\| \! \right| ^{\downarrow m}_{(\alpha,n+2(m+1))} \cdot \left| \! \left\| q \right\| \! \right| ^{\downarrow m}_{(\alpha,n+2(m+1))} \ . \\ \end{array} </math> Mit <math display="inline"> \left\| x \right\| ^{(\alpha)}_{n} = \left\| (x-y)+y \right\| ^{(\alpha)}_{n} \leq \left\| x-y \right\| ^{(\alpha)}_{n+1} + \left\| y \right\| ^{(\alpha)}_{n+1}</math> gilt auch\\ <math display="inline">\left\| x \right\| ^{(\alpha)}_{n} - \left\| y \right\| ^{(\alpha)}_{n+1} \leq \left\| x-y \right\| ^{(\alpha)}_{n+1}</math> und man schätzt die Quotientengaugefunktionale mit folgender Ungleichungskette für <math display="inline">n>0</math> nach unten ab. :<math> \begin{array}{rcl} \left| \! \left\| x-(zt-e)q(t) \right\| \! \right| _{(\alpha,n)} &=& \left\| x-q_o \right\| ^{(\alpha)}_n + \sum_{k=1}^{\infty} \left\| zq_{k-1}-q_k \right\| ^{(\alpha)}_{n+2k} \\ &\geq& \left\| x-q_o \right\| ^{(\alpha)}_n + \sum_{k=1}^{\infty} \left\| zq_{k-1} \right\| ^{(\alpha)}_{n+2k-1} - \left\| q_k \right\| ^{(\alpha)}_{n+2k} \\ &\geq& \left\| x-q_o \right\| ^{(\alpha)}_n + \sum_{k=1}^{\infty} \left\| q_{k-1} \right\| ^{(\alpha)}_{n+2k-2} - \left\| q_k \right\| ^{(\alpha)}_{n+2k} \\ &=& \left\| x-q_o \right\| ^{(\alpha)}_n + \left\| q_o \right\| ^{(\alpha)}_n\\ &\geq& \left\| x-q_o+q_o \right\| ^{(\alpha)}_{n-1} = \left\| x \right\| ^{(\alpha)}_{n-1} \end{array} </math> Insgesamt ergibt sich <math display="inline"> \left\| [x] \right\|_{(\alpha,n+1)} \geq \left\| x \right\| ^{(\alpha)}_{n}</math> für alle <math display="inline">n\in \N_0</math> und <math display="inline">x\in A</math>. <math> \Box </math> === Zur Lösung der Charakterisierung der T-regulären Elemente === Der Versuch, den allgemeinen topologischen Fall mit einer ähnlichen Beweisstruktur wie beim pseudokonvexen Charakterisierungsatz zu lösen, ist bei den verschiedensten Lösungsansätzen an der Beschränkung der Gaugefunktionale gescheitert. * Beschränkung nach "`oben"', d.h. die Cauchymultiplikation ist nicht stetig auf <math display="inline">A[t]</math>. * Beschränkung nach "`unten"', d.h. die Homöomorphie der Einbettung von <math display="inline">A</math> in die gesuchte Algebraerweiterung <math display="inline">B</math> ist nicht erfüllt. Die Übertragungsmöglichkeiten, die in dem Satz zur <math>\mathcal{T}</math>-Regularität formuliert sind, liefern kein zufriedenstellendes Ergebnis. Die Schwierigkeit liegt in der Formulierung des topologischen Invertierbarkeitskriteriums allein über die gegebenen Gaugefunktionale <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{\mathcal{A}}</math> auf <math display="inline">A</math>. Für Teilklassen <math display="inline">{\mathcal{K}}</math> von <math display="inline">{\mathcal{PC}}</math> war dies möglich, denn in den bisher bekannten Beweisen konnten die Eigenschaften von <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{\mathcal{A}}</math> in Bezug auf das <math display="inline">{\mathcal{K}}</math>-reguläre Element <math display="inline">z\in A</math> auf die Polynomalgebra <math display="inline">A[t]</math> durch die im folgenden definierten <math display="inline">{\mathcal{K}}</math>-Funktionale übertragen werden. :<math display="block"> \left| \! \left\| p \right\| \! \right| _\alpha := \sum_{k=0}^{\infty} C_k(\alpha) \cdot \left\| p_k \right\| _{(\alpha,k)} (*) </math> mit <math display="inline">\displaystyle p(t)=\sum_{k=0}^{\infty} p_k\cdot t^k \in A[t]</math>, <math display="inline">C_k(\alpha)>0</math>, <math display="inline">\alpha\in {\mathcal{A}}</math> und <math display="inline">k\in \N_0</math>. Die Festlegung, dass die Gaugefunktionale die obige Form <math display="inline">(*)</math> auf <math display="inline">A[t]</math> besitzen, ist jedoch für den allgemeinen Fall <math display="inline"> \mathcal{T} </math> eine zu starke Einschränkung. Der Ausweg aus den unter <math display="inline">(i)</math> und <math display="inline">(ii)</math> genannten Schwierigkeiten ist die Formulierung des <math display="inline"> \mathcal{T} </math>-Regularitätskriteriums für die Polynomalgebra <math display="inline">A[t]</math>. Für den Satz zur <math>\mathcal{T}</math>-Regularität müssen wieder zwei Implikation bewiesen werden: * Für die <math display="inline"> \mathcal{T} </math>-Regularität eines Elementes <math display="inline">z\in A</math> ist es notwendig, dass die Polynomalgebra <math display="inline">A[t]</math> (Cauchymultiplikation auf <math display="inline">A[t]</math>) mit einer Topologie versehen werden kann, die <math display="inline">A[t]</math> zu einer topologischen Algebra macht. Den Zusammenhang zur Ausgangstopologie auf <math display="inline">A</math> beschreiben zwei Bedingungen über das topologieerzeugende Gaugefunktionalsystem <math display="inline"> \left| \! \left\| \cdot \right\| \! \right| _{\widetilde{\mathcal{A}}}</math> auf <math display="inline">A[t]</math> und das gegebene System <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{\mathcal{A}}</math> auf <math display="inline">A</math>. Wie bei dem <math display="inline">{\mathcal{PC}}</math>-Regularitätskriterium in Satz <math>\mathcal{B}</math>-Regularität besitzt auch hier wieder eine Bedingung rein topologische Bedeutung, während die andere die gewünschten algebraischen Konsequenzen nach sich zieht. * Dieses unter a) beschriebene Kriterium ist aber auch hinreichend für die <math display="inline"> \mathcal{T} </math>-Regularität, denn mit diesem Kriterium kann eine <math display="inline"> \mathcal{T} </math>-Erweiterung <math display="inline">B</math> von <math display="inline">A</math> konstruiert werden, in der <math display="inline">z</math> invertierbar ist. <math display="inline">B</math> ist wie bei allen anderen Regularitätsbeweisen eine Quotientenalgebra <math display="inline">A[t]/I</math>, wobei in diesem Fall <math display="inline">I</math> {\em nicht} als abgeschlossenes Hauptideal <math display="inline">\overline{(z\cdot t-e)\cdot A[t]}</math> gewählt wird, sondern als Kern des Systems <math display="inline"> \left| \! \left\| \cdot \right\| \! \right| _{\widetilde{\mathcal{A}}}^*</math> mit :<math display="block"> \left| \! \left\| p \right\| \! \right| _\beta^*:= \inf_{q\in A[t]} \left| \! \left\| p+(z\cdot t-e)\cdot q(t) \right\| \! \right| _\beta. </math> Kern eines System <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{\mathcal{A}}</math> von <math display="inline">{\mathcal{K}}</math>-Funktionalen auf <math display="inline">A</math> bedeutet: :<math display="block"> {\mathrm{ \, Kern}} (A , \left\| \cdot \right\| _{\mathcal{A}} ) := \left\{ x\in A : \left\| x \right\| _\alpha=0 \mbox{ für alle }\alpha\in {\mathcal{A}}\right\}. </math> Für Hausdorffräume <math display="inline">\left( A , \left\| \cdot \right\| _{\mathcal{A}} \right)</math> gilt <math display="inline"> {\mathrm{ \, Kern}} (A , \left\| \cdot \right\| _{\mathcal{A}} ) = \{0\}</math>. <math display="inline">I</math> enthält dabei das oben angegebene Hauptideal. Es ist aber auch möglich, dass das Hauptideal eine echte Teilmenge von <math display="inline">I</math> ist. Zunächst müssen noch zwei Aussagen bewiesen werden, die für die Topologisierung der gesuchten Algebraerweiterung von Bedeutung sind. == Lemma: == Sei <math display="inline">\left( A,\left\| \cdot \right\| _{{\mathcal{A}}} \right)\in {\mathcal{K}}</math> eine topologische Algebra der Klasse <math display="inline">{\mathcal{K}}</math> und <math display="inline">I\subset A</math> sei ein abgeschlossenes Ideal in <math display="inline">A</math>. Dann ist <math display="inline">A/I</math> mit <math display="inline">[x]:=x+I</math> als Äquivalenzklasse von <math display="inline">x</math> und dem Quotientensystem <math display="inline"> \left| \! \left\| \,\cdot\, \right\| \! \right| _{{\mathcal{A}}}</math> der <math display="inline">{\mathcal{K}}</math>-Funktionale :<math display="block"> \left| \! \left\| \,[x]\, \right\| \! \right| _{\alpha} := \inf_{q\in I} \left\| x+q \right\| _{\alpha} \mbox{ für alle } x\in A </math> eine topologische <math display="inline">{\mathcal{K}}</math>-Algebra. == Beweis == Man betrachtet nur den Fall <math display="inline">{\mathcal{K}}={\mathcal{PC}}</math> mit <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{{\mathcal{A}}\times \N}</math> als <math display="inline">p</math>-Halbnormensystem. Für alle anderen Klassen verläuft der Beweis analog, denn die "`<math display="inline">\leq </math>"'-Abschätzung für <math display="inline">{\mathcal{K}}</math>-Funktionale auf <math display="inline">A</math> bleibt auch auf <math display="inline">A/I</math> gültig (sogar mit den gleichen Stetigkeitskonstanten der Addition bei Quasinormen). :<math> \begin{array}{rcl} \left| \! \left\| [x_1+x_2] \right\| \! \right| _{\alpha} &=& \inf_{q\in I} \left\| x_1+x_2+q \right\| _\alpha\\ &=& \inf_{q_1,q_2\in I} \| x_1+x_2+ \underbrace{(q_1+q_2)}_{\in I} \| _\alpha\\ &\leq & \inf_{q_1,q_2\in I} \left\| x_1+ q_1 \right\| _\alpha + \left\| x_2+ q_2 \right\| _\alpha \\ &=& \inf_{q_1\in I} \left\| x_1+q_1 \right\| _\alpha + \inf_{q_2\in I} \left\| x_2+q_2 \right\| _\alpha \\ &=& \left| \! \left\| \,[x_1]\, \right\| \! \right| _\alpha + \left| \! \left\| \,[x_2]\, \right\| \! \right| _\alpha \end{array} </math> Analog erhält man für die Multiplikation mit <math display="inline">\left\| xy \right\| _\alpha \leq \left\| x \right\| _\beta \cdot \left\| y \right\| _\beta</math> für alle <math display="inline">x,y\in A</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \left| \! \left\| \,[x_1 x_2]\, \right\| \! \right| _\alpha &=& \inf_{q\in I} \left\| x_1 x_2+q \right\| _\alpha\\ &\leq & \inf_{q_1,q_2\in I} \| x_1 x_2+ (\underbrace{q_1q_2 + x_1q_2 + q_1x_2} _{\in I}) \|_\alpha\\ &\leq & \inf_{q_1,q_2\in I} \left\| (x_1+ q_1)\cdot (x_2+q_2) \right\| _\alpha \\ &\leq & \inf_{q_1,q_2\in I} \left\| x_1+ q_1 \right\| _\beta \cdot \left\| x_2+ q_2 \right\| _\beta \\ &=& \inf_{q_1\in I} \left\| x_1+q_1 \right\| _\beta \cdot \inf_{q_2\in I} \left\| x_2+q_2 \right\| _\beta \\ &=& \left| \! \left\| \,[x_1]\, \right\| \! \right| _\beta \cdot \left| \! \left\| \,[x_2]\, \right\| \! \right| _\beta . \end{array} </math> Da <math display="inline">I</math> abgeschlossen ist, ist auch <math display="inline">A/I</math> Hausdorff'sch.<math> \Box </math> == Lemma: == Sei <math display="inline">\left( A , \left\| \cdot \right\| _{\mathcal{A}} \right) \in {\mathcal{K}}(\mathbb{K})</math> nicht notwendig Hausdorffsch, dann ist <math display="inline">B:=A/I</math> mit :<math display="block"> I := {\mathrm{ \, Kern}} (A , \left\| \cdot \right\| _{\mathcal{A}} ) := \left\{ x\in A : \left\| x \right\| _\alpha=0 \mbox{ für alle }\alpha\in {\mathcal{A}}\right\} </math> und den von <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{\mathcal{A}}</math> auf <math display="inline">B</math> induzierten Quotienten-<math display="inline">{\mathcal{K}}</math>-Funktionalen eine Hausdorffsche Algebra der Klasse <math display="inline">{\mathcal{K}}(\mathbb{K})</math>. == Beweis == Sei <math display="inline">A</math> eine beliebige topologische Algebra mit Gaugefunktionalsystem <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{\mathcal{A}}</math>. Die Beweise für spezielle <math display="inline">{\mathcal{K}}</math>-Algebren laufen unter Ausnutzung der Eigenschaften von <math display="inline">{\mathcal{K}}</math>-Funktionalen analog. Sei <math display="inline">x,y\in I</math>, <math display="inline">z\in A</math> und <math display="inline">\lambda \in \mathbb{K}</math>, dann gibt es zu jedem <math display="inline">\alpha\in {\mathcal{A}}</math> mit der Stetigkeit der Addition bzw. Multiplikation ein <math display="inline">\widetilde{\alpha}\in {\mathcal{A}}</math> bzw. <math display="inline">\widehat{\alpha}\in {\mathcal{A}}</math> mit * <math display="inline"> \left\| \lambda \cdot x \right\| _\alpha = \lambda \cdot \underbrace{\left\| x \right\| _\alpha}_{=0} =0 </math> <math display="inline">\Longrightarrow</math> <math display="inline">\lambda \cdot x\in I</math>\\ * <math display="inline"> \left\| x+y \right\| _\alpha \leq \underbrace{\left\| x \right\| _{\widetilde{\alpha}}}_{=0} + \underbrace{\left\| y \right\| _{\widetilde{\alpha}}}_{=0} =0</math> <math display="inline">\Longrightarrow</math> <math display="inline">x+y\in I</math> \\ * <math display="inline"> \left\| z\cdot x \right\| _\alpha \leq \left\| z \right\| _{\widehat{\alpha}} \cdot \underbrace{\left\| x \right\| _{\widehat{\alpha}}}_{=0} =0</math> <math display="inline">\Longrightarrow</math> <math display="inline">z\cdot x\in I</math>\\ Ferner ist <math display="inline">I</math> abgeschlossen, denn für ein Netz <math display="inline">(x_\eta)_\eta</math> aus <math display="inline">I</math>, das gegen <math display="inline">x_o</math> konvergiert, gilt die folgende Abschätzung. Dabei wird <math display="inline">\widetilde{\alpha}</math> wie oben mit der Stetigkeit der Addition zu <math display="inline">\alpha</math> gewählt. :<math display="block"> \left\| x_o \right\| _\alpha = \left\| x_o \right\| _\alpha - \underbrace{\left\| x_\eta \right\| _{\widetilde{\alpha}}}_{=0} \leq \left\| x_o-x_\eta \right\| _{\widetilde{\alpha}} {_{\stackrel{\displaystyle \longrightarrow}{\scriptstyle \eta}}} 0 </math> Damit folgt <math display="inline">\left\| x_o \right\| _\alpha = 0</math> und mit <math display="inline">\alpha\in {\mathcal{A}}</math> beliebig erhält man <math display="inline">x_o\in I</math>. Die Behauptung liefert nun die Anwendung von Lemma QuoAlg , da <math display="inline">I</math> ein abgeschlossenes Ideal in <math display="inline">A</math> bildet. <math> \Box </math> Der folgende Hauptsatz, der zunächst nur als Lösung der Charakterisierung der <math display="inline"> \mathcal{T}^k</math>-regulären Elemente entwickelt wurde, hat sich bei näherer Untersuchung als entscheidendes Kriterium herausgestellt, die Invertierbarkeit in einer bestimmten <math display="inline">{\mathcal{K}}</math>-Erweiterung einer gegebenen Algebra durch zwei topologische Bedingungen äquivalent zu beschreiben.\\ == Hauptsatz == Sei <math display="inline">\left( A , \left\| \cdot \right\| _{\mathcal{A}} \right) \in {\mathcal{K}}_e^k</math>. Ein Element <math display="inline">z\in A</math> ist genau dann <math display="inline">{\mathcal{K}}^k</math>-regulär, wenn ein <math display="inline">{\mathcal{K}}</math>-Funktionalsystem <math display="inline"> \left| \! \left\| \cdot \right\| \! \right| _{\widetilde{\mathcal{A}}}</math> auf <math display="inline">A[t]</math> existiert, das <math display="inline">A[t]</math> zu einer nicht notwendig Hausdorff'schen <math display="inline">{\mathcal{K}}</math>-Algebra macht und das folgende zwei Bedingungen erfüllt: * Zu jedem <math display="inline">\mu\in {\widetilde{\mathcal{A}}}</math> existiert ein <math display="inline">\alpha\in {\mathcal{A}}</math> und ein <math display="inline">C_\mu>0</math>, so dass \\ <math display="inline"> \left| \! \left\| x \right\| \! \right| _\mu \leq C_\mu\cdot \left\| x \right\| _\alpha</math> für alle <math display="inline">x\in A</math> gilt. * Zu jedem <math display="inline">\alpha\in {\mathcal{A}}</math> existiert ein <math display="inline">\mu\in {\widetilde{\mathcal{A}}}</math> und ein <math display="inline">C_\alpha>0</math>, so dass :<math display="block"> \left\| x \right\| _\alpha \leq C_\alpha\cdot \left| \! \left\| x+(z\cdot t-e)\cdot q(t) \right\| \! \right| _\mu </math> für alle <math display="inline">x\in A</math> und <math display="inline">q\in A[t]</math> gilt. == Beweis == "`<math display="inline">\Longrightarrow</math>"' Da jedes <math display="inline">{\mathcal{K}}</math>-Funktional bei Ersetzung von <math display="inline">p</math>-Halbnormen und Quasihalbnormen\footnote{siehe Abschnitt SECpN-QN über den Zusammenhang von <math display="inline">p</math>-Normen und Quasinormen.} auch ein Gaugefunktional ist, werden in diesem klassenunabhängigen Beweis lediglich Gaugefunktionaleigenschaften in Zusammenhang mit den stetigen Algebraoperationen verwendet. Haben die Gaugefunktionale zusätzliche Eigenschaften, wie zum Beispiel Halbnormen, so vereinfacht sich der Beweis an einigen Stellen und die Aussage bleibt für eine eingeschränkte Algebrenklasse <math display="inline">{\mathcal{K}}</math> ebenfalls gültig. Dies liegt unter anderem an der Tatsache, dass Einschränkungen von <math display="inline">{\mathcal{K}}</math>-Funktionalen auf Teilalgebren wieder <math display="inline">{\mathcal{K}}</math>-Funktionale sind. Sei <math display="inline">z\in A\in {\mathcal{K}}_e^k</math> ein <math display="inline">{\mathcal{K}}^k</math>-reguläres Element, dann gibt es eine <math display="inline">{\mathcal{K}}^k</math>-Erweiterung <math display="inline">B</math> von <math display="inline">A</math>, in der <math display="inline">z</math> invertierbar ist. Sei <math display="inline">b\in B</math> das Inverse zu <math display="inline">z</math> und <math display="inline"> \left| \! \left\| \cdot \right\| \! \right| _{\widetilde{\mathcal{A}}}</math> das Gaugefunktionalsystem auf <math display="inline">B</math>. Die von <math display="inline">A</math> und <math display="inline">b</math> erzeugte Teilalgebra <math display="inline">A_b</math> von <math display="inline">B</math> hat die Gestalt :<math display="block"> A_b:= \left\{ \sum_{k=0}^{n} a_k \cdot b^k \, : \, a_k\in A \mbox{ und } n\in \N_0 \right\}. </math> Man wählt <math display="inline"> \left| \! \left\| \cdot \right\| \! \right| _{\widetilde{\mathcal{A}}}</math> als gesuchtes Gaugefunktionalsystem auf <math display="inline">A[t]</math> mit folgender Identifikation mit Elementen aus <math display="inline">A_b</math>. Sei <math display="inline">p(t):= \sum_{k=0}^{n} p_k\cdot t^k \in A[t]</math>, dann definiert man :<math display="block"> \left| \! \left\| p \right\| \! \right| _\mu := \bigg| \!\bigg|\!\bigg| \underbrace{\sum_{k=0}^{n} p_k\cdot b^k}_{\in B} \bigg| \!\bigg|\!\bigg|_\mu \mbox{ für alle } \mu\in {\widetilde{\mathcal{A}}} \mbox{ und } p\in A[t]. </math> Man sieht an dieser Stelle, dass <math display="inline"> \left| \! \left\| \cdot \right\| \! \right| _{\widetilde{\mathcal{A}}}</math> auf <math display="inline">A[t]</math> keine Hausdorfftopologie erzeugt, denn beispielsweise gilt für das von <math display="inline">0</math> verschiedene Polynom <math display="inline">q(t):=2e-z\cdot t -z^2\cdot t^2</math> gerade <math display="inline"> \left| \! \left\| q \right\| \! \right| _\mu=0</math> für alle <math display="inline">\mu\in {\widetilde{\mathcal{A}}}</math>, da <math display="inline">q(b)=2e-z\cdot b-z^2\cdot b^2=0</math>. Die Cauchymultiplikation auf <math display="inline">A[t]</math> und die Multiplikation auf <math display="inline">A_b</math> sind topologisch und algebraisch miteinander verträglich. Damit ergibt sich insbesondere die Stetigkeit der Cauchymultiplikation über die Stetigkeit der Multiplikation auf <math display="inline">B</math>. Sei <math display="inline">\nu\in {\widetilde{\mathcal{A}}}</math> zu einem gegebenen <math display="inline">\mu\in{\widetilde{\mathcal{A}}}</math> so gewählt, dass für alle <math display="inline">x,y\in B</math> die Ungleichung <math display="inline"> \left| \! \left\| x\cdot y \right\| \! \right| _\mu\leq \left| \! \left\| x \right\| \! \right| _\nu \cdot \left| \! \left\| y \right\| \! \right| _\nu </math> gilt, dann erhält man für alle <math display="inline">p,q\in A[t]</math> die Abschätzung :<math display="block"> \left| \! \left\| p\cdot q \right\| \! \right| _\mu = \left| \! \left\| (p\cdot q)(b) \right\| \! \right|_\mu = \left| \! \left\| p(b)\cdot q(b) \right\| \! \right| _\mu \leq \left| \! \left\| p(b) \right\| \! \right| _\nu \cdot \left| \! \left\| q(b) \right\| \! \right| _\nu = \left| \! \left\| p \right\| \! \right| _\nu\cdot \left| \! \left\| q \right\| \! \right| _\nu, </math> also die Stetigkeit der Cauchymultiplaktion auf <math display="inline">A[t]</math>. In ähnlicher Weise folgt die Stetigkeit der Addition auf <math display="inline">A[t]</math> über die von <math display="inline">B</math> auf <math display="inline">A_b</math> eingeschränkten Gaugefunktionale. <math display="inline">A[t]</math> wird also über die Teilalgebra <math display="inline">A_b</math> von <math display="inline">B</math> topologisiert. Mit der Homöomorphie der Einbettung von <math display="inline">A</math> in <math display="inline">B</math> erhält man einerseits durch die Stetigkeit der Abbildung <math display="inline">\tau</math> die Bedingung {\it (HS 1)} unmittelbar und andererseits gibt es durch die Stetigkeit der Umkehrabbildung <math display="inline">\tau^{-1}</math> zu jedem <math display="inline">\alpha \in {\mathcal{A}}</math> ein <math display="inline">\mu\in {\widetilde{\mathcal{A}}}</math> und ein <math display="inline">C_\alpha>0</math> mit ==== Abschätzung der Gaugefunktionale nach unten ==== :<math display="block"> \left\| x \right\| _\alpha \leq C_\alpha\cdot \left| \! \left\| x \right\| \! \right| _\mu \mbox{ für alle } x\in A. (*) </math> Die zweite Ungleichung der Behauptung ergibt sich mit <math display="inline">(*)</math>, denn es gilt :<math display="block"> \left| \! \left\| x+(z\cdot t-e)\cdot q(t) \right\| \! \right|_\mu = | \! |\! | x+(\underbrace{z\cdot b-e}_{=0} )\cdot q(b) | \! |\! |_\mu = \left| \! \left\| x \right\| \! \right| _\mu \geq \frac{1}{C_\alpha} \left\| x \right\|_\alpha . </math> === Beweisrichtung von dem Gaugefunktionalsystem zur Algebraerweiterung === "<math display="inline">\Longleftarrow</math>" Sei nun umgekehrt <math display="inline">A[t]</math> eine nicht notwendig Hausdorff'sche topologische Algebra mit Gaugefunktionalsystem <math display="inline"> \left| \! \left\| \cdot \right\| \! \right| _{\widetilde{\mathcal{A}}}</math>, das die Bedingung (HS 1) und (HS 2) aus der Behauptung des Satzes erfüllt. Man definiert auf <math display="inline">A[t]</math> ein weiteres Gaugefunktionalsystem <math display="inline"> \left| \! \left\| \cdot \right\| \! \right| _{\widetilde{\mathcal{A}}}^*</math>. Für <math display="inline">p\in A[t]</math> setzt man: :<math display="block"> \left| \! \left\| p \right\| \! \right| ^*_\mu := \inf_{q\in A[t]} \left| \! \left\| p(t)+ (z\cdot t-e)\cdot q(t) \right\| \! \right| _\mu. </math> ==== Übergang zur Quotientenalgebra ==== Die gesuchte Algebra, in der <math display="inline">z</math> invertierbar ist, ist die Quotientenalgebra <math display="inline">B:=A/I</math>, wobei <math display="inline">I</math> als Kern des Systems <math display="inline"> \left| \! \left\| \cdot \right\| \! \right| _{\widetilde{\mathcal{A}}}^*</math> gewählt wird. Da auch das System <math display="inline"> \left| \! \left\| \cdot \right\| \! \right| _{\widetilde{\mathcal{A}}}^*</math> die Algebra <math display="inline">A[t]</math> zu einer topologischen Algebra macht, liefert die Anwendung von Lemma QuoKern , dass <math display="inline">B</math> eine Hausdorff'sche topologische Algebra ist. Der Algebrahomomorphismus <math display="inline">\tau: A\longrightarrow B</math> mit <math display="inline">x\longmapsto [x]:=x+I</math>, der <math display="inline">x</math> mit dem konstanten Polynom mit Wert <math display="inline">x</math> identifiziert und dann diesem Polynom seine Äquivalenzklasse in <math display="inline">B</math> zuordnet, ist der gesuchte Algebraisomorphismus von <math display="inline">A</math> nach <math display="inline">\tau(A)\subset B</math>, wenn man die Homöomorphie von <math display="inline">A</math> und <math display="inline">\tau(A)</math> gezeigt hat (siehe dazu einleitende Bemerkungen zu den K-singulären Elementen). Durch Bedingung (HS 2) aus der Behauptung folgt insbesondere, dass zu jedem <math display="inline">\alpha \in {\mathcal{A}}</math> ein <math display="inline">\mu\in {\widetilde{\mathcal{A}}}</math> und ein <math display="inline">C_\alpha>0</math> existieren mit :<math display="block"> \left\| x \right\| _{\alpha} \leq C_\alpha \cdot \left| \! \left\| x \right\| \! \right| _{\mu}^{*} \mbox{für alle } x\in {\mathcal{A}}. </math> ==== Stetigkeit der Addition ==== Wählt man zu dem <math display="inline">\mu\in {\widetilde{\mathcal{A}}}</math> ein <math display="inline">\widetilde{\mu}\in {\widetilde{\mathcal{A}}}</math> mit :<math display="block"> \left| \! \left\| p+q \right\| \! \right| _{\mu}^{*} \leq \left| \! \left\| p \right\| \! \right| _{\widetilde{\mu}}^{*} + \left| \! \left\| q \right\| \! \right| _{\widetilde{\mu}}^{*} \mbox{ für alle } p,q\in A[t], </math> so erhält man für alle <math display="inline"> q\in I={\mathrm{ \, Kern}}\left( A[t], \left| \! \left\| \cdot \right\| \! \right|_{\widetilde{\mathcal{A}}}^{\ast}\right) </math>: :<math> \begin{array}{rcl} \frac{1}{C_\alpha}\cdot \left\| x \right\| _{\alpha} & \leq & \left| \! \left\| x \right\| \! \right| _{\mu}^{\ast} = \left| \! \left\| x \right\| \! \right| _{\mu}^{\ast} - \underbrace{ \left| \! \left\| q \right\| \! \right|_{\widetilde{\mu}}^{\ast} }_{=0} \leq \left| \! \left\| x-q \right\| \! \right| _{\widetilde{\mu}}^{\ast} \\ \Longrightarrow \frac{1}{C_\alpha}\cdot \left\| x \right\| _{\alpha} & \leq & \inf_{q\in I} \left| \! \left\| x-q \right\| \! \right|_{\widetilde{\mu}}^{\ast} = \left\| [x] \right\|_{\widetilde{\mu}} = \left\| x+I \right\|_{\widetilde{\mu}} \end{array} </math> für alle <math display="inline">x\in A</math>. ==== Quotientengaugefunktionalsystem ==== Dabei ist <math display="inline"> \left\| \cdot \right\|_{{\widetilde{\mathcal{A}}}}</math> das Quotientengaugefunktionalsystem auf <math display="inline"> B </math>. Damit ist die von <math display="inline">B</math> auf <math display="inline">\tau(A)</math> induzierte Relativtopologie feiner als die von <math display="inline">A</math> auf <math display="inline">\tau(A)</math> über <math display="inline">\tau</math> induzierte Topologie. Also ist der Homomorphismus <math display="inline">\tau</math> nach <math display="inline">B</math> injektiv und bijektiv von <math display="inline">A</math> auf <math display="inline">\tau(A)</math>, denn für alle <math display="inline">\alpha\in {\mathcal{A}}</math> gibt es aufgrund des oben erwähnten topologischen Zusammenhangs ein <math display="inline">\widetilde{\mu}\in {\widetilde{\mathcal{A}}}</math> mit :<math display="block"> \left\| x \right\| _\alpha \leq C_\alpha\cdot \left\| [x] \right\|_{\widetilde{\mu}} \mbox{ für alle } x \in A. </math> Sei nun <math display="inline">x_1\not= x_2</math>, dann existiert wegen der Hausdorffeigenschaft ein <math display="inline">\alpha\in {\mathcal{A}}</math> mit <math display="inline">\left\| x_1-x_2 \right\| _\alpha > 0</math>, so dass :<math display="block"> 0 < \left\| x_1-x_2 \right\| _\alpha \leq C_\alpha\cdot \left\| [x_1-x_2] \right\|_{\widetilde{\mu}} = \left\| [x_1]-[x_2] \right\|_{\widetilde{\mu}} </math> und damit <math display="inline">[x_1]\not= [x_2]</math> gilt. Zum Nachweis der Homöomorphie ist weiterhin die Stetigkeit der Umkehrabbildung zu zeigen. Diese ergibt sich aber unmittelbar aus Bedingung {\it (HS 1)}, denn wählt man zu jedem <math display="inline">\mu\in {\widetilde{\mathcal{A}}}</math> aus {\it (HS 1)} ein <math display="inline">\widetilde{\mu}\in {\widetilde{\mathcal{A}}}</math> mit :<math display="block"> \left| \! \left\| p+q \right\| \! \right| _{\mu}^{*} \leq \left| \! \left\| p \right\| \! \right| _{\widetilde{\mu}}^{*} + \left| \! \left\| q \right\| \! \right| _{\widetilde{\mu}}^{*} , \mbox{für alle } p,q\in A[t], </math> so kann man mit {\it (HS 2)} zu diesem <math display="inline">\widetilde{\mu}</math> ein <math display="inline">\alpha\in {\widetilde{\mathcal{A}}} </math> und ein <math display="inline">C_{\widetilde{\mu}}>0</math> finden mit <math display="inline">\left\| x \right\| _{\alpha} \geq \left| \! \left\| x \right\| \! \right| _{\widetilde{\mu}}</math> für alle <math display="inline">x\in A</math>. Insgesamt ergibt sich für alle <math display="inline">p\in I</math> und alle <math display="inline">x\in A</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \left| \! \left\| x+p \right\| \! \right| _{\mu}^{*} &\leq& \left| \! \left\| x \right\| \! \right| _{\widetilde{\mu}}^{*} + \underbrace{ \left| \! \left\| p \right\| \! \right| _{\widetilde{\mu}}^{*}}_{=0} = \inf_{\widehat{q}\in A[t]} \left| \! \left\| x+(z\cdot t - e)\cdot \widehat{q}(t) \right\| \! \right| _{\widetilde{\mu}}\\ &\leq& \left| \! \left\| x \right\| \! \right| _{\widetilde{\mu}}\leq C_{\widetilde{\mu}}\cdot \left\| x \right\| _{\alpha} . \end{array} </math> ==== Infimumbildung ==== Durch Infimumbildung über alle <math display="inline">p\in I</math> bleibt die Ungleichung für die Äquivalenzklasse <math display="inline">[x]</math> erhalten und es gilt :<math display="block"> \left\| [x] \right\|_{\mu} \leq \left| \! \left\| x+p \right\| \! \right| _{\mu}^{\ast} \leq C_{\widetilde{\mu}} \cdot \left\| x \right\| _{\alpha} \mbox{ für alle } x\in A. </math> Wegen <math display="inline">z\cdot t - e \in (z\cdot t-e) \cdot A[t] \subset I</math>, gilt <math display="inline">[0]=[z\cdot t-e]= [z]\cdot [t]-[e]</math> und aufgrund Kommutativität der Algebra <math display="inline">A</math> und <math display="inline">[e]=[z]\cdot [t]</math> erhält man <math display="inline">[z]\in \mathcal{G}_{ \mathcal{T}^{k}}(B)</math>. <math display="inline">\mbox{ }</math> <math> \Box </math> ==== Charakterisierung der T-regulären Elemente ==== Die Charakterisierung der <math display="inline"> \mathcal{T} ^k</math>-regulären Elemente ist damit eine unmittelbare Folgerung des Hauptsatzes, die in nachstehendem Korollar noch einmal formuliert wird. Die Konstanten <math display="inline">C_\alpha</math> bzw. <math display="inline">C_\mu</math> des Hauptsatzes, deren Verwendung für submultiplikative <math display="inline"> \mathcal{K} </math>-Funktionale notwendig ist, werden mit in die Definition der Gaugefunktionale übernommen. Dies vereinfacht die Formulierung der Aussage von Korollar zum Hauptsatz . == Korrollar: == Sei <math display="inline">\left( A , \left\| \cdot \right\| _{\mathcal{A}} \right) \in \mathcal{T}_e^k</math>. Ein Element <math display="inline">z\in A</math> ist genau dann <math display="inline"> \mathcal{T}^k</math>-regulär, wenn ein Gaugefunktionalsystem <math display="inline"> \left| \! \left\| \cdot \right\| \! \right| _{\widetilde{\mathcal{A}}}</math> auf <math display="inline">A[t]</math> existiert, das <math display="inline">A[t]</math> zu einer nicht notwendig Hausdorff'schen topologischen Algebra macht und das folgende zwei Bedingungen erfüllt: * Zu jedem <math display="inline">\mu\in {\widetilde{\mathcal{A}}}</math> existiert ein <math display="inline">\alpha\in {\mathcal{A}}</math> mit <math display="inline"> \left| \! \left\| x \right\| \! \right| _\mu \leq \left\| x \right\| _\alpha</math> für alle <math display="inline">x\in A</math>. * Zu jedem <math display="inline">\alpha\in {\mathcal{A}}</math> existiert ein <math display="inline">\mu\in {\widetilde{\mathcal{A}}}</math>, so dass :<math display="block"> \left\| x \right\| _\alpha \leq \left| \! \left\| x+(z\cdot t-e)\cdot q(t) \right\| \! \right| _\mu </math> für alle <math display="inline">x\in A</math> und <math display="inline">q\in A[t]</math> gilt. == Aufgaben für Studierende == === Siehe auch === * [[Wiki2Reveal]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/T-Regularit%C3%A4tskriterium&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/T-Regularit%C3%A4tskriterium&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/T-Regularit%C3%A4tskriterium https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/T-Regularit%C3%A4tskriterium] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/T-Regularit%C3%A4tskriterium Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/T-Regularit%C3%A4tskriterium * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/T-Regularit%C3%A4tskriterium&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] swbx53a8ygfj14nwm0n49ifjh8xmm1e 1118780 1118778 2026-11-03T12:31:33Z Bert Niehaus 20843 /* Schritt 2 - Anwendung - Stetigkeitslemma */ 1118780 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/T-Regularit%C3%A4tskriterium&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. == Zielsetzung == Diese Lerneinheit in der Wikiversity hat das Ziel, die <math>\mathcal{T}</math>-Regularität eines Elementes <math>z \in A</math> für eine beliebige topologische Algebra zu charakterisieren. == Zielgruppe == Die Zielgruppe der Lerneinheit sind Studierende der Mathematik. Die [[Wiki2Reveal]]-Folien im Kurs dienen dazu, dass Lehrende bei Bedarf direkt die Folien in Lehrveranstaltungen einsetzen können, bzw. Studierende mit den Folien mathematische Sachverhalte vorstellen können, die zur Lösung einer Aufgabe verwendet werden könnten. Die Folien können bei Eingabe mit einem digitalen Stift im Browser annotiert werden, d.h. man im Browser direkt mit einem Stift auf die Folien schreiben. == T-Regularitätskriterium == Im Folgenden werden wir die Übertragungsmöglichkeiten von pseudokonvexen Algebren auf beliebige topologische Algebren. Da die Cauchymultiplikation aber nur stetig in der Partialsummentopologie von <math display="inline"> \left| \! \left\| \cdot \right\| \! \right| _{{\mathcal{A}} \times \N_0}</math> auf <math display="inline">A[t]</math> ist, kann noch keine Charakterisierung der <math>\mathcal{T}</math>-regulären Elemente in Anlehnung an die <math display="inline">{\mathcal{PC}} </math>-regulären Elemente angegeben werden. === Bemerkung zu den Herausforderungen === Im Anschluß an den Beweis des Satzes wird erläutert, an welchen Stellen die Herausforderungen für ein Charakterisierung der <math>\mathcal{T}</math>-regulären Elemente liegen. == Satz == Sei <math display="inline">\left( A,\left\| \cdot \right\| _{\mathcal{A}} \right)\in {\mathcal{T}} _e</math> mit <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{\mathcal{A}} </math> als gerichtetes <math display="inline">{\mathcal{T}} </math>-System (aus Gaugefunktionalen). ==== Voraussetzungen - Topologisierung ==== Für jedes <math display="inline">\alpha\in {\mathcal{A}} </math> sei eine Folge <math display="inline">\left(\left\| \cdot \right\| _{(\alpha,k)}\right)_{k\in \N}</math> von Gaugefunktionalen mit Konstanten <math display="inline">D_k(\alpha)>0</math> und ein <math display="inline">\beta\in {\mathcal{A}} </math> gegeben, mit * <math display="inline"> \left\| x \right\| _\alpha\leq \left\| x \right\| _{(\alpha,k)} \leq D_k(\alpha) \cdot \left\| x \right\| _\beta </math> für alle <math display="inline">x\in A</math> und <math display="inline">k\in \N_0</math>, * <math display="inline"> \left\| x \right\| _{(\alpha,k)}\leq \left\| zx \right\| _{(\alpha,k+1)} </math> für alle <math display="inline"> x\in A </math>, <math display="inline"> k\in \N_0 </math> und <math display="inline"> \left\| \cdot \right\| _{(\alpha,0)}:= \left\| \cdot \right\| _\alpha </math>. ==== Aussage - Topologisierung ==== Dann existiert ein <math display="inline"> {\mathcal{T}} </math>-System <math display="inline"> \left| \! \left\| \cdot \right\| \! \right| _{{\mathcal{A}} \times \N_0}</math> auf <math display="inline">A[t]</math>, dass die Cauchymultiplikation mit <math display="inline"> \left| \! \left\| \cdot \right\| \! \right| _{{\mathcal{A}} \times \N_0}^{\downarrow \N} </math> stetig ist und die Relativtopologie der Quotientengaugefunktionale :<math display="block"> \left\| [x] \right\|_{(\alpha,n)} := \inf _{q\in A[t]} \left| \! \left\| x+(zt-e)q(t) \right\| \! \right| _{(\alpha,n+1)} \geq \left\| x \right\| ^{(\alpha)}_n \mbox{ für alle } x\in A </math> auf <math display="inline">A[t]/I</math> mit <math display="inline">I:=\overline{(z\cdot t-e)\cdot A[t]}</math> mit der von <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{\mathcal{A}} </math> erzeugten Ausgangstopologie übereinstimmt. == Beweis == Man definiert mit den oben genannten Eigenschaften (1) und (2) und der Stetigkeit der Addition eine Abbildung :<math display="block"> \begin{array}{rrcl} \widetilde{\cdot} : & {\mathcal{A}} \times \N_0 & \longrightarrow & {\mathcal{A}} \times \mathbb{N}_0 \\ & (\alpha,k) & \longmapsto & \widetilde{(\alpha,k)} \end{array} </math> === Schritt 1 - Eigenschaften der Indexabbildung === Für die obige Indexabbildung <math>\widetilde{\cdot}</math> gilt: * <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{(\alpha,k)}\in \left\| \cdot \right\| _{\mathcal{A}} </math> für alle <math display="inline">\alpha\in {\mathcal{A}} </math> und <math display="inline">k\in \N_0</math>. * <math display="inline">\left\| x \right\| _{(\alpha,k)} \leq \left\| zx \right\| _{\widetilde{(\alpha,k)}}</math> für alle <math display="inline">x\in A</math>, <math display="inline">\alpha\in {\mathcal{A}} </math> und <math display="inline">k\in \N_0</math>. * <math display="inline">\displaystyle \left\| \sum_{j=1}^{k} x_j \right\| _{(\alpha,k)} \leq \sum_{j=1}^{k} \left\| x_j \right\| _{\widetilde{(\alpha,k)}} </math> für alle <math display="inline">x_j\in A</math>, <math display="inline">\alpha\in {\mathcal{A}} </math> und <math display="inline">k\in \mathbb{N}_0</math>. === Schritt 2 - Anwendung - Stetigkeitslemma === Dann gibt es mit [[Lemma über Kaskadensumme]] und dem [[Lemma über Kaskadenprodukte]] eine <math display="inline">M_{\mathcal{T}} </math>-Sequenz <math display="inline"> \left( \left\| \cdot \right\| ^{(\alpha)}_n \right)_{n\in \N_0} </math> mit * <math display="inline">\left\| \cdot \right\| ^{(\alpha)}_n \leq \left\| \cdot \right\| ^{(\alpha)}_{n+1}</math> für alle <math display="inline">\alpha\in {\mathcal{A}} </math> und <math display="inline">n\in \N_0</math>. * <math display="inline">\displaystyle \left\| \sum_{j=1}^{n} x_j \right\| _n^{(\alpha)} \leq \sum_{j=1}^{n} \left\| x_j \right\| _{n+1}^{(\alpha)} </math> für alle <math display="inline">x_j\in A</math>, <math display="inline">\alpha\in {\mathcal{A}} </math> und <math display="inline">n\in \N_0</math>. * <math display="inline">\left\| xy \right\| ^{(\alpha)}_n \leq \left\| x \right\| ^{(\alpha)}_{n+1} \cdot \left\| y \right\| ^{(\alpha)}_{n+1}</math> für alle <math display="inline">x,y\in A</math> * <math display="inline">\left\| x \right\| ^{(\alpha)}_n \leq \left\| zx \right\| ^{(\alpha)}_{n+1}</math>. === Schritt 3 - Polynomisierung der Polynomalgebra === Anschließend definiert man die Gaugefunktionale auf <math display="inline">A[t]</math> durch :<math display="block"> \left| \! \left\| p \right\| \! \right| _{(\alpha,n)} := \sum_{k=0}^{\infty} \left\| p_k \right\| ^{(\alpha)}_{n+2k}, </math> === Schritt 4 - Stetigkeit der Addition === Die Addition auf der Polynomalgebra ist stetig, denn man erhält für alle Polynome <math display="inline">p,q\in A[t]</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \left| \! \left\| p+q \right\| \! \right| _{(\alpha,n)} &\leq & \left| \! \left\| p \right\| \! \right| _{(\alpha,n+1)} + \left| \! \left\| q \right\| \! \right| _{(\alpha,n+1)}, \end{array} </math> <math> \begin{array}{rcl} \mbox{ sowie }\\ & & \\ \left| \! \left\| pq \right\| \! \right| ^{\downarrow m}_{(\alpha,n)} &=& \sum_{k=0}^{m} \left\| \sum_{j=0}^{k}p_jq_{k-j} \right\| ^{(\alpha)}_{n+2k}\\ &\leq & \sum_{k=0}^{m} \sum_{j=0}^{k}\left\| p_jq_{k-j} \right\| ^{(\alpha)}_{n+2k+1}\\ &\leq & \sum_{k=0}^{m} \sum_{j=0}^{k}\left\| p_j \right\| ^{(\alpha)}_{n+2k+2} \cdot \left\| q_{k-j} \right\| ^{(\alpha)}_{n+2k+2}\\ &\leq & \sum_{k=0}^{m} \sum_{j=0}^{k}\left\| p_j \right\| ^{(\alpha)}_{n+2m+2} \cdot \left\| q_{k-j} \right\| ^{(\alpha)}_{n+2m+2}\\ &\leq & \left( \sum_{j=0}^{m}\left\| p_j \right\| ^{(\alpha)}_{n+2(m+1)} \right) \cdot \left( \sum_{j=0}^{m}\left\| q_j \right\| ^{(\alpha)}_{n+2(m+1)} \right) \\ &\leq & \left( \sum_{j=0}^{m}\left\| p_j \right\| ^{(\alpha)}_{n+2(m+1)+2j} \right) \cdot \left( \sum_{j=0}^{m}\left\| q_j \right\| ^{(\alpha)}_{n+2(m+1)+2j} \right) \\ &=& \left| \! \left\| p \right\| \! \right| ^{\downarrow m}_{(\alpha,n+2(m+1))} \cdot \left| \! \left\| q \right\| \! \right| ^{\downarrow m}_{(\alpha,n+2(m+1))} \ . \\ \end{array} </math> Mit <math display="inline"> \left\| x \right\| ^{(\alpha)}_{n} = \left\| (x-y)+y \right\| ^{(\alpha)}_{n} \leq \left\| x-y \right\| ^{(\alpha)}_{n+1} + \left\| y \right\| ^{(\alpha)}_{n+1}</math> gilt auch\\ <math display="inline">\left\| x \right\| ^{(\alpha)}_{n} - \left\| y \right\| ^{(\alpha)}_{n+1} \leq \left\| x-y \right\| ^{(\alpha)}_{n+1}</math> und man schätzt die Quotientengaugefunktionale mit folgender Ungleichungskette für <math display="inline">n>0</math> nach unten ab. :<math> \begin{array}{rcl} \left| \! \left\| x-(zt-e)q(t) \right\| \! \right| _{(\alpha,n)} &=& \left\| x-q_o \right\| ^{(\alpha)}_n + \sum_{k=1}^{\infty} \left\| zq_{k-1}-q_k \right\| ^{(\alpha)}_{n+2k} \\ &\geq& \left\| x-q_o \right\| ^{(\alpha)}_n + \sum_{k=1}^{\infty} \left\| zq_{k-1} \right\| ^{(\alpha)}_{n+2k-1} - \left\| q_k \right\| ^{(\alpha)}_{n+2k} \\ &\geq& \left\| x-q_o \right\| ^{(\alpha)}_n + \sum_{k=1}^{\infty} \left\| q_{k-1} \right\| ^{(\alpha)}_{n+2k-2} - \left\| q_k \right\| ^{(\alpha)}_{n+2k} \\ &=& \left\| x-q_o \right\| ^{(\alpha)}_n + \left\| q_o \right\| ^{(\alpha)}_n\\ &\geq& \left\| x-q_o+q_o \right\| ^{(\alpha)}_{n-1} = \left\| x \right\| ^{(\alpha)}_{n-1} \end{array} </math> Insgesamt ergibt sich <math display="inline"> \left\| [x] \right\|_{(\alpha,n+1)} \geq \left\| x \right\| ^{(\alpha)}_{n}</math> für alle <math display="inline">n\in \N_0</math> und <math display="inline">x\in A</math>. <math> \Box </math> === Zur Lösung der Charakterisierung der T-regulären Elemente === Der Versuch, den allgemeinen topologischen Fall mit einer ähnlichen Beweisstruktur wie beim pseudokonvexen Charakterisierungsatz zu lösen, ist bei den verschiedensten Lösungsansätzen an der Beschränkung der Gaugefunktionale gescheitert. * Beschränkung nach "`oben"', d.h. die Cauchymultiplikation ist nicht stetig auf <math display="inline">A[t]</math>. * Beschränkung nach "`unten"', d.h. die Homöomorphie der Einbettung von <math display="inline">A</math> in die gesuchte Algebraerweiterung <math display="inline">B</math> ist nicht erfüllt. Die Übertragungsmöglichkeiten, die in dem Satz zur <math>\mathcal{T}</math>-Regularität formuliert sind, liefern kein zufriedenstellendes Ergebnis. Die Schwierigkeit liegt in der Formulierung des topologischen Invertierbarkeitskriteriums allein über die gegebenen Gaugefunktionale <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{\mathcal{A}}</math> auf <math display="inline">A</math>. Für Teilklassen <math display="inline">{\mathcal{K}}</math> von <math display="inline">{\mathcal{PC}}</math> war dies möglich, denn in den bisher bekannten Beweisen konnten die Eigenschaften von <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{\mathcal{A}}</math> in Bezug auf das <math display="inline">{\mathcal{K}}</math>-reguläre Element <math display="inline">z\in A</math> auf die Polynomalgebra <math display="inline">A[t]</math> durch die im folgenden definierten <math display="inline">{\mathcal{K}}</math>-Funktionale übertragen werden. :<math display="block"> \left| \! \left\| p \right\| \! \right| _\alpha := \sum_{k=0}^{\infty} C_k(\alpha) \cdot \left\| p_k \right\| _{(\alpha,k)} (*) </math> mit <math display="inline">\displaystyle p(t)=\sum_{k=0}^{\infty} p_k\cdot t^k \in A[t]</math>, <math display="inline">C_k(\alpha)>0</math>, <math display="inline">\alpha\in {\mathcal{A}}</math> und <math display="inline">k\in \N_0</math>. Die Festlegung, dass die Gaugefunktionale die obige Form <math display="inline">(*)</math> auf <math display="inline">A[t]</math> besitzen, ist jedoch für den allgemeinen Fall <math display="inline"> \mathcal{T} </math> eine zu starke Einschränkung. Der Ausweg aus den unter <math display="inline">(i)</math> und <math display="inline">(ii)</math> genannten Schwierigkeiten ist die Formulierung des <math display="inline"> \mathcal{T} </math>-Regularitätskriteriums für die Polynomalgebra <math display="inline">A[t]</math>. Für den Satz zur <math>\mathcal{T}</math>-Regularität müssen wieder zwei Implikation bewiesen werden: * Für die <math display="inline"> \mathcal{T} </math>-Regularität eines Elementes <math display="inline">z\in A</math> ist es notwendig, dass die Polynomalgebra <math display="inline">A[t]</math> (Cauchymultiplikation auf <math display="inline">A[t]</math>) mit einer Topologie versehen werden kann, die <math display="inline">A[t]</math> zu einer topologischen Algebra macht. Den Zusammenhang zur Ausgangstopologie auf <math display="inline">A</math> beschreiben zwei Bedingungen über das topologieerzeugende Gaugefunktionalsystem <math display="inline"> \left| \! \left\| \cdot \right\| \! \right| _{\widetilde{\mathcal{A}}}</math> auf <math display="inline">A[t]</math> und das gegebene System <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{\mathcal{A}}</math> auf <math display="inline">A</math>. Wie bei dem <math display="inline">{\mathcal{PC}}</math>-Regularitätskriterium in Satz <math>\mathcal{B}</math>-Regularität besitzt auch hier wieder eine Bedingung rein topologische Bedeutung, während die andere die gewünschten algebraischen Konsequenzen nach sich zieht. * Dieses unter a) beschriebene Kriterium ist aber auch hinreichend für die <math display="inline"> \mathcal{T} </math>-Regularität, denn mit diesem Kriterium kann eine <math display="inline"> \mathcal{T} </math>-Erweiterung <math display="inline">B</math> von <math display="inline">A</math> konstruiert werden, in der <math display="inline">z</math> invertierbar ist. <math display="inline">B</math> ist wie bei allen anderen Regularitätsbeweisen eine Quotientenalgebra <math display="inline">A[t]/I</math>, wobei in diesem Fall <math display="inline">I</math> {\em nicht} als abgeschlossenes Hauptideal <math display="inline">\overline{(z\cdot t-e)\cdot A[t]}</math> gewählt wird, sondern als Kern des Systems <math display="inline"> \left| \! \left\| \cdot \right\| \! \right| _{\widetilde{\mathcal{A}}}^*</math> mit :<math display="block"> \left| \! \left\| p \right\| \! \right| _\beta^*:= \inf_{q\in A[t]} \left| \! \left\| p+(z\cdot t-e)\cdot q(t) \right\| \! \right| _\beta. </math> Kern eines System <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{\mathcal{A}}</math> von <math display="inline">{\mathcal{K}}</math>-Funktionalen auf <math display="inline">A</math> bedeutet: :<math display="block"> {\mathrm{ \, Kern}} (A , \left\| \cdot \right\| _{\mathcal{A}} ) := \left\{ x\in A : \left\| x \right\| _\alpha=0 \mbox{ für alle }\alpha\in {\mathcal{A}}\right\}. </math> Für Hausdorffräume <math display="inline">\left( A , \left\| \cdot \right\| _{\mathcal{A}} \right)</math> gilt <math display="inline"> {\mathrm{ \, Kern}} (A , \left\| \cdot \right\| _{\mathcal{A}} ) = \{0\}</math>. <math display="inline">I</math> enthält dabei das oben angegebene Hauptideal. Es ist aber auch möglich, dass das Hauptideal eine echte Teilmenge von <math display="inline">I</math> ist. Zunächst müssen noch zwei Aussagen bewiesen werden, die für die Topologisierung der gesuchten Algebraerweiterung von Bedeutung sind. == Lemma: == Sei <math display="inline">\left( A,\left\| \cdot \right\| _{{\mathcal{A}}} \right)\in {\mathcal{K}}</math> eine topologische Algebra der Klasse <math display="inline">{\mathcal{K}}</math> und <math display="inline">I\subset A</math> sei ein abgeschlossenes Ideal in <math display="inline">A</math>. Dann ist <math display="inline">A/I</math> mit <math display="inline">[x]:=x+I</math> als Äquivalenzklasse von <math display="inline">x</math> und dem Quotientensystem <math display="inline"> \left| \! \left\| \,\cdot\, \right\| \! \right| _{{\mathcal{A}}}</math> der <math display="inline">{\mathcal{K}}</math>-Funktionale :<math display="block"> \left| \! \left\| \,[x]\, \right\| \! \right| _{\alpha} := \inf_{q\in I} \left\| x+q \right\| _{\alpha} \mbox{ für alle } x\in A </math> eine topologische <math display="inline">{\mathcal{K}}</math>-Algebra. == Beweis == Man betrachtet nur den Fall <math display="inline">{\mathcal{K}}={\mathcal{PC}}</math> mit <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{{\mathcal{A}}\times \N}</math> als <math display="inline">p</math>-Halbnormensystem. Für alle anderen Klassen verläuft der Beweis analog, denn die "`<math display="inline">\leq </math>"'-Abschätzung für <math display="inline">{\mathcal{K}}</math>-Funktionale auf <math display="inline">A</math> bleibt auch auf <math display="inline">A/I</math> gültig (sogar mit den gleichen Stetigkeitskonstanten der Addition bei Quasinormen). :<math> \begin{array}{rcl} \left| \! \left\| [x_1+x_2] \right\| \! \right| _{\alpha} &=& \inf_{q\in I} \left\| x_1+x_2+q \right\| _\alpha\\ &=& \inf_{q_1,q_2\in I} \| x_1+x_2+ \underbrace{(q_1+q_2)}_{\in I} \| _\alpha\\ &\leq & \inf_{q_1,q_2\in I} \left\| x_1+ q_1 \right\| _\alpha + \left\| x_2+ q_2 \right\| _\alpha \\ &=& \inf_{q_1\in I} \left\| x_1+q_1 \right\| _\alpha + \inf_{q_2\in I} \left\| x_2+q_2 \right\| _\alpha \\ &=& \left| \! \left\| \,[x_1]\, \right\| \! \right| _\alpha + \left| \! \left\| \,[x_2]\, \right\| \! \right| _\alpha \end{array} </math> Analog erhält man für die Multiplikation mit <math display="inline">\left\| xy \right\| _\alpha \leq \left\| x \right\| _\beta \cdot \left\| y \right\| _\beta</math> für alle <math display="inline">x,y\in A</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \left| \! \left\| \,[x_1 x_2]\, \right\| \! \right| _\alpha &=& \inf_{q\in I} \left\| x_1 x_2+q \right\| _\alpha\\ &\leq & \inf_{q_1,q_2\in I} \| x_1 x_2+ (\underbrace{q_1q_2 + x_1q_2 + q_1x_2} _{\in I}) \|_\alpha\\ &\leq & \inf_{q_1,q_2\in I} \left\| (x_1+ q_1)\cdot (x_2+q_2) \right\| _\alpha \\ &\leq & \inf_{q_1,q_2\in I} \left\| x_1+ q_1 \right\| _\beta \cdot \left\| x_2+ q_2 \right\| _\beta \\ &=& \inf_{q_1\in I} \left\| x_1+q_1 \right\| _\beta \cdot \inf_{q_2\in I} \left\| x_2+q_2 \right\| _\beta \\ &=& \left| \! \left\| \,[x_1]\, \right\| \! \right| _\beta \cdot \left| \! \left\| \,[x_2]\, \right\| \! \right| _\beta . \end{array} </math> Da <math display="inline">I</math> abgeschlossen ist, ist auch <math display="inline">A/I</math> Hausdorff'sch.<math> \Box </math> == Lemma: == Sei <math display="inline">\left( A , \left\| \cdot \right\| _{\mathcal{A}} \right) \in {\mathcal{K}}(\mathbb{K})</math> nicht notwendig Hausdorffsch, dann ist <math display="inline">B:=A/I</math> mit :<math display="block"> I := {\mathrm{ \, Kern}} (A , \left\| \cdot \right\| _{\mathcal{A}} ) := \left\{ x\in A : \left\| x \right\| _\alpha=0 \mbox{ für alle }\alpha\in {\mathcal{A}}\right\} </math> und den von <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{\mathcal{A}}</math> auf <math display="inline">B</math> induzierten Quotienten-<math display="inline">{\mathcal{K}}</math>-Funktionalen eine Hausdorffsche Algebra der Klasse <math display="inline">{\mathcal{K}}(\mathbb{K})</math>. == Beweis == Sei <math display="inline">A</math> eine beliebige topologische Algebra mit Gaugefunktionalsystem <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{\mathcal{A}}</math>. Die Beweise für spezielle <math display="inline">{\mathcal{K}}</math>-Algebren laufen unter Ausnutzung der Eigenschaften von <math display="inline">{\mathcal{K}}</math>-Funktionalen analog. Sei <math display="inline">x,y\in I</math>, <math display="inline">z\in A</math> und <math display="inline">\lambda \in \mathbb{K}</math>, dann gibt es zu jedem <math display="inline">\alpha\in {\mathcal{A}}</math> mit der Stetigkeit der Addition bzw. Multiplikation ein <math display="inline">\widetilde{\alpha}\in {\mathcal{A}}</math> bzw. <math display="inline">\widehat{\alpha}\in {\mathcal{A}}</math> mit * <math display="inline"> \left\| \lambda \cdot x \right\| _\alpha = \lambda \cdot \underbrace{\left\| x \right\| _\alpha}_{=0} =0 </math> <math display="inline">\Longrightarrow</math> <math display="inline">\lambda \cdot x\in I</math>\\ * <math display="inline"> \left\| x+y \right\| _\alpha \leq \underbrace{\left\| x \right\| _{\widetilde{\alpha}}}_{=0} + \underbrace{\left\| y \right\| _{\widetilde{\alpha}}}_{=0} =0</math> <math display="inline">\Longrightarrow</math> <math display="inline">x+y\in I</math> \\ * <math display="inline"> \left\| z\cdot x \right\| _\alpha \leq \left\| z \right\| _{\widehat{\alpha}} \cdot \underbrace{\left\| x \right\| _{\widehat{\alpha}}}_{=0} =0</math> <math display="inline">\Longrightarrow</math> <math display="inline">z\cdot x\in I</math>\\ Ferner ist <math display="inline">I</math> abgeschlossen, denn für ein Netz <math display="inline">(x_\eta)_\eta</math> aus <math display="inline">I</math>, das gegen <math display="inline">x_o</math> konvergiert, gilt die folgende Abschätzung. Dabei wird <math display="inline">\widetilde{\alpha}</math> wie oben mit der Stetigkeit der Addition zu <math display="inline">\alpha</math> gewählt. :<math display="block"> \left\| x_o \right\| _\alpha = \left\| x_o \right\| _\alpha - \underbrace{\left\| x_\eta \right\| _{\widetilde{\alpha}}}_{=0} \leq \left\| x_o-x_\eta \right\| _{\widetilde{\alpha}} {_{\stackrel{\displaystyle \longrightarrow}{\scriptstyle \eta}}} 0 </math> Damit folgt <math display="inline">\left\| x_o \right\| _\alpha = 0</math> und mit <math display="inline">\alpha\in {\mathcal{A}}</math> beliebig erhält man <math display="inline">x_o\in I</math>. Die Behauptung liefert nun die Anwendung von Lemma QuoAlg , da <math display="inline">I</math> ein abgeschlossenes Ideal in <math display="inline">A</math> bildet. <math> \Box </math> Der folgende Hauptsatz, der zunächst nur als Lösung der Charakterisierung der <math display="inline"> \mathcal{T}^k</math>-regulären Elemente entwickelt wurde, hat sich bei näherer Untersuchung als entscheidendes Kriterium herausgestellt, die Invertierbarkeit in einer bestimmten <math display="inline">{\mathcal{K}}</math>-Erweiterung einer gegebenen Algebra durch zwei topologische Bedingungen äquivalent zu beschreiben.\\ == Hauptsatz == Sei <math display="inline">\left( A , \left\| \cdot \right\| _{\mathcal{A}} \right) \in {\mathcal{K}}_e^k</math>. Ein Element <math display="inline">z\in A</math> ist genau dann <math display="inline">{\mathcal{K}}^k</math>-regulär, wenn ein <math display="inline">{\mathcal{K}}</math>-Funktionalsystem <math display="inline"> \left| \! \left\| \cdot \right\| \! \right| _{\widetilde{\mathcal{A}}}</math> auf <math display="inline">A[t]</math> existiert, das <math display="inline">A[t]</math> zu einer nicht notwendig Hausdorff'schen <math display="inline">{\mathcal{K}}</math>-Algebra macht und das folgende zwei Bedingungen erfüllt: * Zu jedem <math display="inline">\mu\in {\widetilde{\mathcal{A}}}</math> existiert ein <math display="inline">\alpha\in {\mathcal{A}}</math> und ein <math display="inline">C_\mu>0</math>, so dass \\ <math display="inline"> \left| \! \left\| x \right\| \! \right| _\mu \leq C_\mu\cdot \left\| x \right\| _\alpha</math> für alle <math display="inline">x\in A</math> gilt. * Zu jedem <math display="inline">\alpha\in {\mathcal{A}}</math> existiert ein <math display="inline">\mu\in {\widetilde{\mathcal{A}}}</math> und ein <math display="inline">C_\alpha>0</math>, so dass :<math display="block"> \left\| x \right\| _\alpha \leq C_\alpha\cdot \left| \! \left\| x+(z\cdot t-e)\cdot q(t) \right\| \! \right| _\mu </math> für alle <math display="inline">x\in A</math> und <math display="inline">q\in A[t]</math> gilt. == Beweis == "`<math display="inline">\Longrightarrow</math>"' Da jedes <math display="inline">{\mathcal{K}}</math>-Funktional bei Ersetzung von <math display="inline">p</math>-Halbnormen und Quasihalbnormen\footnote{siehe Abschnitt SECpN-QN über den Zusammenhang von <math display="inline">p</math>-Normen und Quasinormen.} auch ein Gaugefunktional ist, werden in diesem klassenunabhängigen Beweis lediglich Gaugefunktionaleigenschaften in Zusammenhang mit den stetigen Algebraoperationen verwendet. Haben die Gaugefunktionale zusätzliche Eigenschaften, wie zum Beispiel Halbnormen, so vereinfacht sich der Beweis an einigen Stellen und die Aussage bleibt für eine eingeschränkte Algebrenklasse <math display="inline">{\mathcal{K}}</math> ebenfalls gültig. Dies liegt unter anderem an der Tatsache, dass Einschränkungen von <math display="inline">{\mathcal{K}}</math>-Funktionalen auf Teilalgebren wieder <math display="inline">{\mathcal{K}}</math>-Funktionale sind. Sei <math display="inline">z\in A\in {\mathcal{K}}_e^k</math> ein <math display="inline">{\mathcal{K}}^k</math>-reguläres Element, dann gibt es eine <math display="inline">{\mathcal{K}}^k</math>-Erweiterung <math display="inline">B</math> von <math display="inline">A</math>, in der <math display="inline">z</math> invertierbar ist. Sei <math display="inline">b\in B</math> das Inverse zu <math display="inline">z</math> und <math display="inline"> \left| \! \left\| \cdot \right\| \! \right| _{\widetilde{\mathcal{A}}}</math> das Gaugefunktionalsystem auf <math display="inline">B</math>. Die von <math display="inline">A</math> und <math display="inline">b</math> erzeugte Teilalgebra <math display="inline">A_b</math> von <math display="inline">B</math> hat die Gestalt :<math display="block"> A_b:= \left\{ \sum_{k=0}^{n} a_k \cdot b^k \, : \, a_k\in A \mbox{ und } n\in \N_0 \right\}. </math> Man wählt <math display="inline"> \left| \! \left\| \cdot \right\| \! \right| _{\widetilde{\mathcal{A}}}</math> als gesuchtes Gaugefunktionalsystem auf <math display="inline">A[t]</math> mit folgender Identifikation mit Elementen aus <math display="inline">A_b</math>. Sei <math display="inline">p(t):= \sum_{k=0}^{n} p_k\cdot t^k \in A[t]</math>, dann definiert man :<math display="block"> \left| \! \left\| p \right\| \! \right| _\mu := \bigg| \!\bigg|\!\bigg| \underbrace{\sum_{k=0}^{n} p_k\cdot b^k}_{\in B} \bigg| \!\bigg|\!\bigg|_\mu \mbox{ für alle } \mu\in {\widetilde{\mathcal{A}}} \mbox{ und } p\in A[t]. </math> Man sieht an dieser Stelle, dass <math display="inline"> \left| \! \left\| \cdot \right\| \! \right| _{\widetilde{\mathcal{A}}}</math> auf <math display="inline">A[t]</math> keine Hausdorfftopologie erzeugt, denn beispielsweise gilt für das von <math display="inline">0</math> verschiedene Polynom <math display="inline">q(t):=2e-z\cdot t -z^2\cdot t^2</math> gerade <math display="inline"> \left| \! \left\| q \right\| \! \right| _\mu=0</math> für alle <math display="inline">\mu\in {\widetilde{\mathcal{A}}}</math>, da <math display="inline">q(b)=2e-z\cdot b-z^2\cdot b^2=0</math>. Die Cauchymultiplikation auf <math display="inline">A[t]</math> und die Multiplikation auf <math display="inline">A_b</math> sind topologisch und algebraisch miteinander verträglich. Damit ergibt sich insbesondere die Stetigkeit der Cauchymultiplikation über die Stetigkeit der Multiplikation auf <math display="inline">B</math>. Sei <math display="inline">\nu\in {\widetilde{\mathcal{A}}}</math> zu einem gegebenen <math display="inline">\mu\in{\widetilde{\mathcal{A}}}</math> so gewählt, dass für alle <math display="inline">x,y\in B</math> die Ungleichung <math display="inline"> \left| \! \left\| x\cdot y \right\| \! \right| _\mu\leq \left| \! \left\| x \right\| \! \right| _\nu \cdot \left| \! \left\| y \right\| \! \right| _\nu </math> gilt, dann erhält man für alle <math display="inline">p,q\in A[t]</math> die Abschätzung :<math display="block"> \left| \! \left\| p\cdot q \right\| \! \right| _\mu = \left| \! \left\| (p\cdot q)(b) \right\| \! \right|_\mu = \left| \! \left\| p(b)\cdot q(b) \right\| \! \right| _\mu \leq \left| \! \left\| p(b) \right\| \! \right| _\nu \cdot \left| \! \left\| q(b) \right\| \! \right| _\nu = \left| \! \left\| p \right\| \! \right| _\nu\cdot \left| \! \left\| q \right\| \! \right| _\nu, </math> also die Stetigkeit der Cauchymultiplaktion auf <math display="inline">A[t]</math>. In ähnlicher Weise folgt die Stetigkeit der Addition auf <math display="inline">A[t]</math> über die von <math display="inline">B</math> auf <math display="inline">A_b</math> eingeschränkten Gaugefunktionale. <math display="inline">A[t]</math> wird also über die Teilalgebra <math display="inline">A_b</math> von <math display="inline">B</math> topologisiert. Mit der Homöomorphie der Einbettung von <math display="inline">A</math> in <math display="inline">B</math> erhält man einerseits durch die Stetigkeit der Abbildung <math display="inline">\tau</math> die Bedingung {\it (HS 1)} unmittelbar und andererseits gibt es durch die Stetigkeit der Umkehrabbildung <math display="inline">\tau^{-1}</math> zu jedem <math display="inline">\alpha \in {\mathcal{A}}</math> ein <math display="inline">\mu\in {\widetilde{\mathcal{A}}}</math> und ein <math display="inline">C_\alpha>0</math> mit ==== Abschätzung der Gaugefunktionale nach unten ==== :<math display="block"> \left\| x \right\| _\alpha \leq C_\alpha\cdot \left| \! \left\| x \right\| \! \right| _\mu \mbox{ für alle } x\in A. (*) </math> Die zweite Ungleichung der Behauptung ergibt sich mit <math display="inline">(*)</math>, denn es gilt :<math display="block"> \left| \! \left\| x+(z\cdot t-e)\cdot q(t) \right\| \! \right|_\mu = | \! |\! | x+(\underbrace{z\cdot b-e}_{=0} )\cdot q(b) | \! |\! |_\mu = \left| \! \left\| x \right\| \! \right| _\mu \geq \frac{1}{C_\alpha} \left\| x \right\|_\alpha . </math> === Beweisrichtung von dem Gaugefunktionalsystem zur Algebraerweiterung === "<math display="inline">\Longleftarrow</math>" Sei nun umgekehrt <math display="inline">A[t]</math> eine nicht notwendig Hausdorff'sche topologische Algebra mit Gaugefunktionalsystem <math display="inline"> \left| \! \left\| \cdot \right\| \! \right| _{\widetilde{\mathcal{A}}}</math>, das die Bedingung (HS 1) und (HS 2) aus der Behauptung des Satzes erfüllt. Man definiert auf <math display="inline">A[t]</math> ein weiteres Gaugefunktionalsystem <math display="inline"> \left| \! \left\| \cdot \right\| \! \right| _{\widetilde{\mathcal{A}}}^*</math>. Für <math display="inline">p\in A[t]</math> setzt man: :<math display="block"> \left| \! \left\| p \right\| \! \right| ^*_\mu := \inf_{q\in A[t]} \left| \! \left\| p(t)+ (z\cdot t-e)\cdot q(t) \right\| \! \right| _\mu. </math> ==== Übergang zur Quotientenalgebra ==== Die gesuchte Algebra, in der <math display="inline">z</math> invertierbar ist, ist die Quotientenalgebra <math display="inline">B:=A/I</math>, wobei <math display="inline">I</math> als Kern des Systems <math display="inline"> \left| \! \left\| \cdot \right\| \! \right| _{\widetilde{\mathcal{A}}}^*</math> gewählt wird. Da auch das System <math display="inline"> \left| \! \left\| \cdot \right\| \! \right| _{\widetilde{\mathcal{A}}}^*</math> die Algebra <math display="inline">A[t]</math> zu einer topologischen Algebra macht, liefert die Anwendung von Lemma QuoKern , dass <math display="inline">B</math> eine Hausdorff'sche topologische Algebra ist. Der Algebrahomomorphismus <math display="inline">\tau: A\longrightarrow B</math> mit <math display="inline">x\longmapsto [x]:=x+I</math>, der <math display="inline">x</math> mit dem konstanten Polynom mit Wert <math display="inline">x</math> identifiziert und dann diesem Polynom seine Äquivalenzklasse in <math display="inline">B</math> zuordnet, ist der gesuchte Algebraisomorphismus von <math display="inline">A</math> nach <math display="inline">\tau(A)\subset B</math>, wenn man die Homöomorphie von <math display="inline">A</math> und <math display="inline">\tau(A)</math> gezeigt hat (siehe dazu einleitende Bemerkungen zu den K-singulären Elementen). Durch Bedingung (HS 2) aus der Behauptung folgt insbesondere, dass zu jedem <math display="inline">\alpha \in {\mathcal{A}}</math> ein <math display="inline">\mu\in {\widetilde{\mathcal{A}}}</math> und ein <math display="inline">C_\alpha>0</math> existieren mit :<math display="block"> \left\| x \right\| _{\alpha} \leq C_\alpha \cdot \left| \! \left\| x \right\| \! \right| _{\mu}^{*} \mbox{für alle } x\in {\mathcal{A}}. </math> ==== Stetigkeit der Addition ==== Wählt man zu dem <math display="inline">\mu\in {\widetilde{\mathcal{A}}}</math> ein <math display="inline">\widetilde{\mu}\in {\widetilde{\mathcal{A}}}</math> mit :<math display="block"> \left| \! \left\| p+q \right\| \! \right| _{\mu}^{*} \leq \left| \! \left\| p \right\| \! \right| _{\widetilde{\mu}}^{*} + \left| \! \left\| q \right\| \! \right| _{\widetilde{\mu}}^{*} \mbox{ für alle } p,q\in A[t], </math> so erhält man für alle <math display="inline"> q\in I={\mathrm{ \, Kern}}\left( A[t], \left| \! \left\| \cdot \right\| \! \right|_{\widetilde{\mathcal{A}}}^{\ast}\right) </math>: :<math> \begin{array}{rcl} \frac{1}{C_\alpha}\cdot \left\| x \right\| _{\alpha} & \leq & \left| \! \left\| x \right\| \! \right| _{\mu}^{\ast} = \left| \! \left\| x \right\| \! \right| _{\mu}^{\ast} - \underbrace{ \left| \! \left\| q \right\| \! \right|_{\widetilde{\mu}}^{\ast} }_{=0} \leq \left| \! \left\| x-q \right\| \! \right| _{\widetilde{\mu}}^{\ast} \\ \Longrightarrow \frac{1}{C_\alpha}\cdot \left\| x \right\| _{\alpha} & \leq & \inf_{q\in I} \left| \! \left\| x-q \right\| \! \right|_{\widetilde{\mu}}^{\ast} = \left\| [x] \right\|_{\widetilde{\mu}} = \left\| x+I \right\|_{\widetilde{\mu}} \end{array} </math> für alle <math display="inline">x\in A</math>. ==== Quotientengaugefunktionalsystem ==== Dabei ist <math display="inline"> \left\| \cdot \right\|_{{\widetilde{\mathcal{A}}}}</math> das Quotientengaugefunktionalsystem auf <math display="inline"> B </math>. Damit ist die von <math display="inline">B</math> auf <math display="inline">\tau(A)</math> induzierte Relativtopologie feiner als die von <math display="inline">A</math> auf <math display="inline">\tau(A)</math> über <math display="inline">\tau</math> induzierte Topologie. Also ist der Homomorphismus <math display="inline">\tau</math> nach <math display="inline">B</math> injektiv und bijektiv von <math display="inline">A</math> auf <math display="inline">\tau(A)</math>, denn für alle <math display="inline">\alpha\in {\mathcal{A}}</math> gibt es aufgrund des oben erwähnten topologischen Zusammenhangs ein <math display="inline">\widetilde{\mu}\in {\widetilde{\mathcal{A}}}</math> mit :<math display="block"> \left\| x \right\| _\alpha \leq C_\alpha\cdot \left\| [x] \right\|_{\widetilde{\mu}} \mbox{ für alle } x \in A. </math> Sei nun <math display="inline">x_1\not= x_2</math>, dann existiert wegen der Hausdorffeigenschaft ein <math display="inline">\alpha\in {\mathcal{A}}</math> mit <math display="inline">\left\| x_1-x_2 \right\| _\alpha > 0</math>, so dass :<math display="block"> 0 < \left\| x_1-x_2 \right\| _\alpha \leq C_\alpha\cdot \left\| [x_1-x_2] \right\|_{\widetilde{\mu}} = \left\| [x_1]-[x_2] \right\|_{\widetilde{\mu}} </math> und damit <math display="inline">[x_1]\not= [x_2]</math> gilt. Zum Nachweis der Homöomorphie ist weiterhin die Stetigkeit der Umkehrabbildung zu zeigen. Diese ergibt sich aber unmittelbar aus Bedingung {\it (HS 1)}, denn wählt man zu jedem <math display="inline">\mu\in {\widetilde{\mathcal{A}}}</math> aus {\it (HS 1)} ein <math display="inline">\widetilde{\mu}\in {\widetilde{\mathcal{A}}}</math> mit :<math display="block"> \left| \! \left\| p+q \right\| \! \right| _{\mu}^{*} \leq \left| \! \left\| p \right\| \! \right| _{\widetilde{\mu}}^{*} + \left| \! \left\| q \right\| \! \right| _{\widetilde{\mu}}^{*} , \mbox{für alle } p,q\in A[t], </math> so kann man mit {\it (HS 2)} zu diesem <math display="inline">\widetilde{\mu}</math> ein <math display="inline">\alpha\in {\widetilde{\mathcal{A}}} </math> und ein <math display="inline">C_{\widetilde{\mu}}>0</math> finden mit <math display="inline">\left\| x \right\| _{\alpha} \geq \left| \! \left\| x \right\| \! \right| _{\widetilde{\mu}}</math> für alle <math display="inline">x\in A</math>. Insgesamt ergibt sich für alle <math display="inline">p\in I</math> und alle <math display="inline">x\in A</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \left| \! \left\| x+p \right\| \! \right| _{\mu}^{*} &\leq& \left| \! \left\| x \right\| \! \right| _{\widetilde{\mu}}^{*} + \underbrace{ \left| \! \left\| p \right\| \! \right| _{\widetilde{\mu}}^{*}}_{=0} = \inf_{\widehat{q}\in A[t]} \left| \! \left\| x+(z\cdot t - e)\cdot \widehat{q}(t) \right\| \! \right| _{\widetilde{\mu}}\\ &\leq& \left| \! \left\| x \right\| \! \right| _{\widetilde{\mu}}\leq C_{\widetilde{\mu}}\cdot \left\| x \right\| _{\alpha} . \end{array} </math> ==== Infimumbildung ==== Durch Infimumbildung über alle <math display="inline">p\in I</math> bleibt die Ungleichung für die Äquivalenzklasse <math display="inline">[x]</math> erhalten und es gilt :<math display="block"> \left\| [x] \right\|_{\mu} \leq \left| \! \left\| x+p \right\| \! \right| _{\mu}^{\ast} \leq C_{\widetilde{\mu}} \cdot \left\| x \right\| _{\alpha} \mbox{ für alle } x\in A. </math> Wegen <math display="inline">z\cdot t - e \in (z\cdot t-e) \cdot A[t] \subset I</math>, gilt <math display="inline">[0]=[z\cdot t-e]= [z]\cdot [t]-[e]</math> und aufgrund Kommutativität der Algebra <math display="inline">A</math> und <math display="inline">[e]=[z]\cdot [t]</math> erhält man <math display="inline">[z]\in \mathcal{G}_{ \mathcal{T}^{k}}(B)</math>. <math display="inline">\mbox{ }</math> <math> \Box </math> ==== Charakterisierung der T-regulären Elemente ==== Die Charakterisierung der <math display="inline"> \mathcal{T} ^k</math>-regulären Elemente ist damit eine unmittelbare Folgerung des Hauptsatzes, die in nachstehendem Korollar noch einmal formuliert wird. Die Konstanten <math display="inline">C_\alpha</math> bzw. <math display="inline">C_\mu</math> des Hauptsatzes, deren Verwendung für submultiplikative <math display="inline"> \mathcal{K} </math>-Funktionale notwendig ist, werden mit in die Definition der Gaugefunktionale übernommen. Dies vereinfacht die Formulierung der Aussage von Korollar zum Hauptsatz . == Korrollar: == Sei <math display="inline">\left( A , \left\| \cdot \right\| _{\mathcal{A}} \right) \in \mathcal{T}_e^k</math>. Ein Element <math display="inline">z\in A</math> ist genau dann <math display="inline"> \mathcal{T}^k</math>-regulär, wenn ein Gaugefunktionalsystem <math display="inline"> \left| \! \left\| \cdot \right\| \! \right| _{\widetilde{\mathcal{A}}}</math> auf <math display="inline">A[t]</math> existiert, das <math display="inline">A[t]</math> zu einer nicht notwendig Hausdorff'schen topologischen Algebra macht und das folgende zwei Bedingungen erfüllt: * Zu jedem <math display="inline">\mu\in {\widetilde{\mathcal{A}}}</math> existiert ein <math display="inline">\alpha\in {\mathcal{A}}</math> mit <math display="inline"> \left| \! \left\| x \right\| \! \right| _\mu \leq \left\| x \right\| _\alpha</math> für alle <math display="inline">x\in A</math>. * Zu jedem <math display="inline">\alpha\in {\mathcal{A}}</math> existiert ein <math display="inline">\mu\in {\widetilde{\mathcal{A}}}</math>, so dass :<math display="block"> \left\| x \right\| _\alpha \leq \left| \! \left\| x+(z\cdot t-e)\cdot q(t) \right\| \! \right| _\mu </math> für alle <math display="inline">x\in A</math> und <math display="inline">q\in A[t]</math> gilt. == Aufgaben für Studierende == === Siehe auch === * [[Wiki2Reveal]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/T-Regularit%C3%A4tskriterium&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/T-Regularit%C3%A4tskriterium&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/T-Regularit%C3%A4tskriterium https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/T-Regularit%C3%A4tskriterium] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/T-Regularit%C3%A4tskriterium Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/T-Regularit%C3%A4tskriterium * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/T-Regularit%C3%A4tskriterium&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] l21lsofxwtdtn02v11iered78kzk4z0 0 159653 1118796 1118057 2026-11-03T14:04:52Z ~2026-47548-34 41860 /* Bemerkung - Zeitliches wegabhängiges Wegintegral */ 1118796 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Das '''Kurven-''', '''Linien-''', '''Weg-''' oder '''Konturintegral''' erweitert den gewöhnlichen Integralbegriff für die [[w:de:Integralrechnung|Integration]] in der komplexen Ebene ([[w:de:Funktionentheorie|Funktionentheorie]]) oder im mehrdimensionalen Raum ([[w:de:Vektoranalysis|Vektoranalysis]]). Den [[w:de:Weg (Mathematik)|Weg]], die Linie oder die [[w:de:Kurve (Mathematik)|Kurve]], über die integriert wird, nennt man den '''Integrationsweg'''. Wegintegrale über [[w:de:Kurve (Mathematik)#Geschlossene Kurven|''geschlossene'' Kurven]] werden auch als '''Ringintegral''', '''Umlaufintegral'''<ref> Klaus Knothe, Heribert Wessels: Finite Elemente. Eine Einführung für Ingenieure. 3. Auflage. 1999, ISBN 3-540-64491-1, S. 524.</ref> oder '''Zirkulation''' bezeichnet und mit dem Symbol <math>\textstyle \oint</math> geschrieben. == Reelle Wegintegrale == Gegeben ist ein Weg <math>\gamma\colon[a,b]\to\mathbb{R}^n</math>, der von einem Intervall (z.B. interpretiert als Zeitintervall) in den Vektorraum <math>\mathbb{R}^n</math> abbildet. <math>\gamma(t) \in \mathbb{R}^n </math> gibt dabei den Ort an, an dem man sich beim Wert <math>t\in [a,b]</math> befindet. Dabei unterscheidet man * zeitliche und wegabhängige Wegintegrale * Wegintegral erster Art und * Wegintegral zweiter Art. == Zeitliche wegabhängige Wegintegral == Zeitliche wegabhängige Integrale kommen z.B. im Bereich des [[Risikomanagement|Risikomanagements]] zum Einsatz, wenn man auf unterschiedlichen Wegen <math>\gamma_n:[a,b]\to \mathbb{R}^n</math> zwischen einem Punkt <math>\gamma_n(a)= z_a \in \mathbb{R}^n</math> und einem Punkt <math>\gamma_n(b)=z_b \in \mathbb{R}^n</math> unterschiedlich stark einem Risiko ausgesetzt ist. Dies können z.B. eine Exposition mit schädlicher Strahlung oder mit toxischen Substanzen sein. Ein längerer Weg <math>\gamma_1</math> im Vergleich zu <math>\gamma_2</math> könnte dann zu einem geringeren Risiko führen. === Risikofunktion im Raum === Eine Risikofunktion ist dann z.B. einen Abbildung <math>f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}</math>, die jedem Ort <math>z\in \mathbb{R}^n</math> ein Risiko <math>f(z) \in \mathbb{R} </math> zuordnet. Wenn der Weg näher an einer Strahlungsquelle vorbeiführt, so wird man ggf. stärker mit radioaktiver Strahlung exponiert. === Definition - Zeitliches wegabhängiges Wegintegral === Sei <math>U\subseteq \mathbb{R}^n</math> eine offene [[w:de:wegzusammenhängend|wegzusammenhängende Menge]] und <math>f:U \to \mathbb{R}</math> eine integriebare Abbildung, die jedem Ort <math>z\in \mathbb{R}^n</math> einen Funktionswert <math>f(z) \in \mathbb{R} </math> zuordnet. Das zeitliche wegabhängige Wegintegral über einen Weg <math>\gamma:[a,b]\to U</math> ist dann wie folgt definiert: :<math> \int\limits_{\gamma,R} \! f(z) \,\mathrm{d} z := \int\limits_a^b \! f(\gamma(t)) \, \mathrm{d} t.</math> === Bemerkung - Zeitliches wegabhängiges Wegintegral === Selbst wenn der Anfangspunkt <math>\gamma_1(a)=\gamma_2(a)</math> und der Endpunkt <math>\gamma_1(b)=\gamma_2(b)</math> von verschiedenen Wegen unterschiedlichen Wegen <math>\gamma_1:[a,b]\to U</math> und <math>\gamma_2:[a,b]\to U</math> übereinstimmen, können sich die zeitlichen wegabhängigen Wegintegrale unterscheiden. Dies ist bei Integrationwegen in der Funktionentheorie nicht der Fall, denn dort sind für holomorphe Funktionen <math>f</math> auf konvexen Gebieten z.B. die Wegintegrale wegunabhängig und hängen nur von Anfangspunkt <math>z_a=\gamma(a)</math> und Endpunkt <math>z_b=\gamma(b)</math> abhängig. === Bemerkung - Substitutionsregel === Die Verwendung der Abeitung <math>\gamma{\,}'(t)</math> in der Definition eines Wegintegrals bezieht sich auf die Substitutionsregel, die bei einer existierenden Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> unmittelbar die Wegunabhängigkeit liefert. :<math>\int\limits_{a}^{b} f(\gamma(x)) \cdot \gamma{\,}'(t)\,\mathrm{d}t = \int\limits_{\gamma(a)}^{\gamma(b)} f(z)\,\mathrm{d}z \, = \, F(\gamma(b))- F(\gamma(a))</math> === Aufgabe - Wegunabhängigkeit - Wegabhängigkeit === Begründen Sie, warum die obige Gleichung zur Substitutionsregel die Wegunabhängigkeit für das Wegintegral liefert. Erläutern Sie, warum ein Wegintegral, dass die aggregierten Risiken auf dem Weg <math>\gamma </math> berechnet im Anwendungskontext in der Regel wegabhängig sein muss, d.h. mit <math>\gamma_1 : [a,b] \to \mathbb{R}^n </math>, <math>\gamma_2 : [a,b] \to \mathbb{R}^n </math>, <math>\gamma_1(a)= \gamma_2(a)</math> und <math>\gamma_1(b)= \gamma_2(b)</math> gilt nicht notwendig: :<math> \int_{\gamma_1,R} f(z)\, dz = \int_{\gamma_2,R} f(z)\, dz </math> == Wegintegral erster Art == [[Datei:Line integral of scalar field.gif|mini|Illustration eines Kurvenintegrals erster Art über ein Skalarfeld]] Das Wegintegral einer stetigen [[w:de:Funktion (Mathematik)|Funktion]] : <math>f\colon\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}</math> entlang eines stückweise stetig differenzierbaren [[w:de:Weg (Mathematik)|Weges]] <math>\gamma\colon[a,b]\to\mathbb{R}^n</math> ist definiert als :<math>\int\limits_\gamma \! f \,\mathrm{d} s := \int\limits_a^b \! f(\gamma(t)) \cdot \| {\gamma \,}'(t) \|_2 \,\mathrm{d} t.</math> === Ableitung des Weges === Dabei bezeichnet <math>{\gamma \,}'</math> die Ableitung von <math>\gamma</math> nach <math>t</math> und <math>\gamma(t)\in \mathbb{R}^n</math> und <math>{\gamma \,}'(t)\in \mathbb{R}^n</math> sind Vektoren. Der Ableitungsvektor <math>{\gamma \,}'(t)\in \mathbb{R}^n</math> gibt dabei das Veränderungsverhalten in jeder Komponentenfunktion von <math>\gamma =(\gamma_1 ,\dots ,\gamma_n)</math> an (siehe auch [[Maxima CAS/Ableitung eines Weges|Ableitung des Weges in Maxima]]) === Bemerkung - Komponentenfunktionen === Die Komponentenfunktionen <math>\gamma_i : [a,b] \to \mathbb{R} </math> sind Abbildungen, für die man die Ableitung getrennt für jede Komponente mit dem Wissen aus der reellen Analysis berechnen kann. === Beispiel für einen Weg und dessen Ableitung === Als differnzierbaren Weg wird zuerst <math>\gamma</math> definiert mit :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma: & [0 ,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{R}^2 \\ & t & \mapsto & \gamma \left( t \right) = \begin{pmatrix} 5 \cdot \cos(t) \\ 3 \cdot \sin(t) \end{pmatrix} \end{array} </math> Die Spur des Weges bildet eine Ellipse mit den Halbachsen 5 und 3. ==== Ableitung des Weges im zweidimensionalen Raum ==== Die Ableitung <math>{\gamma \,}'</math> des Weges <math> \gamma </math> ergibt sich unmittelbar aus der Ableitung der Komponentenfunktionen :<math> \begin{array}{rrcl} {\gamma \,}': & [0 ,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{R}^2 \\ & t & \mapsto & {\gamma }' \left( t \right) = \begin{pmatrix} - 5 \cdot \sin(t) \\ 3 \cdot \cos(t) \end{pmatrix} \end{array} </math> === Beispiel - Ableitung des Weges im dreidimensionalen Raum === Nun sei <math>\gamma(t)= (\cos(t),\sin(t),t) \in \mathbb{R}^3</math> und <math>{\gamma \,}'(t) = (- \sin(t),\cos(t), 1)\in \mathbb{R}^3</math> ein Vektor. Der Ableitungsvektor <math>{\gamma \,}'(t)\in \mathbb{R}^3</math> gibt dabei das Veränderungsverhalten in jeder Komponentenfunktion von <math>\gamma =(\gamma_1 ,\gamma_2,\gamma_3)</math> an. == Aufgabe == Zeichnen Sie die Spur des Weges im <math>\mathbb{R}^2</math> (Ellipse) und plotten Sie mit [[CAS4Wiki]]-Plots * die Spur des Weges im <math>\mathbb{R}^2 </math> und * den Graph der Weges im <math>\mathbb{R}^3 </math>. === Vektorlänge des Ableitungsvektors des Weges === <math>\|{\gamma \,}'(t)\|_2</math> gibt die [[w:de:euklidische Norm|euklidische Norm]] des Vektors <math>{\gamma\,}'(t)\in \mathbb{R}^n </math> an. === Bildmenge des Weges - Spur === Die [[w:de:Bildmenge|Bildmenge]] <math>\mbox{Spur}(\gamma) := \gamma([a,b])</math> einer stückweise [[w:de:glatte Kurve|glatte Kurve]] in <math>\mathbb{R}^n</math> darf man nicht mit dem Graphen eines Kurve <math>Graph(\gamma)</math> verwechseln, der eine Teilmenge vom <math>[a,b] \times \mathbb{R}^n </math> ist. === Anmerkungen === * Ein Beispiel für eine solche Funktion <math>f</math> ist ein [[w:de:Skalarfeld|Skalarfeld]] mit [[w:de:Kartesisches Koordinatensystem|kartesischen Koordinaten]]. * Ein Weg <math>\gamma</math> kann eine Kurve <math>\mathcal C</math> entweder als Ganzes oder auch nur in Abschnitten mehrfach durchlaufen. * Für <math>f \equiv 1</math> ergibt das Wegintegral erster Art die Länge des Weges <math>\gamma</math>. * Der Weg <math>\gamma</math> bildet u.&nbsp;a. <math>a \in \mathbb{R}</math> auf den Anfangspunkt der Kurve ab und <math>b \in \mathbb{R}</math> auf deren Endpunkt. * <math>t \in [a,b]</math> ist ein Element der Definitionsmenge von <math>\gamma</math> und steht allgemein ''nicht'' für die Zeit. <math>\mathrm dt</math> ist das zugehörige [[w:de:Differential (Mathematik)|Differential]]. == Wegintegral zweiter Art == [[Datei:Line integral of vector field.gif|mini|Illustration eines Kurvenintegrals zweiter Art über ein Vektorfeld]] Das Wegintegral über ein stetiges [[w:de:Vektorfeld|Vektorfeld]] : <math>\mathbf f\colon\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n</math> mit einer ebenfalls so parametrisierten Kurve ist definiert als das Integral über das [[w:de:Skalarprodukt|Skalarprodukt]] aus <math> \mathbf{f} \circ \gamma</math> und <math>\dot\gamma</math>: : <math>\int\limits_\gamma \! \mathbf{f}(\mathbf{x}) \cdot \mathrm{d} \mathbf{x} := \int\limits_a^b \! \langle \mathbf{f}(\gamma(t)) , {{\gamma}\,}'(t) \rangle \,\mathrm{d} t</math> === Einfluss der Parametrisierung === Sind <math>\gamma\colon[a,b]\to\mathbb{R}^n</math> und <math>\eta\colon[c,d]\to\mathbb R^n</math> ''einfache'' (d.&nbsp;h., <math>\gamma_{|(a,b)}</math> und <math>\eta_{|(c,d)}</math> sind [[w:de:Injektivität|injektiv]]) Wege mit <math>\gamma(a)=\eta(c)</math> und <math>\gamma(b)=\eta(d)</math> und demselben [[w:de:Bild (Mathematik)|Bild]], parametrisieren sie also dieselbe Kurve in derselben Richtung und durchlaufen sie die Kurve (bis auf Doppelpunkte) genau einmal, so stimmen die Integrale entlang <math>\gamma</math> und <math>\eta</math> überein. Dies rechtfertigt den Namen ''Kurvenintegral''; ist die Integrationsrichtung aus dem Kontext ersichtlich oder irrelevant, kann der Weg in der Notation unterdrückt werden. === Kurvenintegrale === Da eine Kurve <math>\mathcal C</math> das Bild eines Weges <math>\gamma</math> ist, entsprechen die Definitionen der Kurvenintegrale im Wesentlichen den Wegintegralen. ==== Kurvenintegral 1. Art ==== : <math>\int\limits_{\mathcal C} \! f \,\mathrm{d} s := \int\limits_a^b \! f(\gamma(t)) \cdot \| {{\gamma}\,}'(t) \|_2 \, \mathrm{d} t</math> ==== Kurvenintegral 2. Art ==== : <math>\int\limits_\mathcal C \mathbf{f}(\mathbf{x})\cdot\mathrm d\mathbf{x} := \int\limits_a^b \langle \mathbf{f}(\gamma(t)) , {{\gamma}\,}'(t) \rangle \,\mathrm dt</math> ==== Länge einer Kurve ==== Ein Spezialfall ist wieder die Länge der durch <math>\gamma</math> parametrisierten Kurve <math>\mathcal C</math>: : <math>\mathrm{L\ddot ange\ von\ }\mathcal C = \int\limits_{\mathcal C} 1 \, \mathrm{d}s = \int\limits_a^b\| {\gamma\,}'(t) \|_2\,\mathrm dt</math> === Wegelement und Längenelement === Der in den Kurvenintegralen erster Art auftretende Ausdruck : <math>\mathrm ds= \|{\gamma\,}'(t)\|_2 \, \mathrm dt</math> heißt ''skalares Wegelement'' oder ''Längenelement''. Der in den Kurvenintegralen zweiter Art auftretende Ausdruck :<math>\mathrm d\mathbf{x} = {\gamma\,}' (t)\,\mathrm dt</math> heißt ''vektorielles Wegelement''. === Rechenregeln === Seien <math>\int\limits_\gamma \mathbf{f}(\mathbf{x})</math>, <math>\int\limits_\gamma \mathbf{g}(\mathbf{x})</math> Kurvenintegrale gleicher Art (also entweder beide erster oder beide zweiter Art), sei das Urbild der beiden Funktionen <math>\mathbf{f}</math> und <math>\mathbf{g}</math> von gleicher Dimension und sei <math>\gamma\colon[a,b]\to\mathbb R^n</math>. Dann gelten für <math>\alpha</math>, <math>\beta\in \mathbb R</math> und <math>c\in\mathbb [a, b]</math> die folgenden Rechenregeln: * <math>\alpha\int\limits_\gamma \mathbf{f}(\mathbf{x}) + \beta\int\limits_\gamma \mathbf{g}(\mathbf{x}) = \int\limits_\gamma (\alpha\mathbf{f}(\mathbf{x}) + \beta\mathbf{g}(\mathbf{x}))</math> &nbsp;&nbsp;&nbsp;(Linearität) * <math>\int\limits_\gamma \mathbf{f}(\mathbf{x}) = \int\limits_{\gamma|_{[a, c]}} \mathbf{f}(\mathbf{x}) + \int\limits_{\gamma|_{[c, b]}} \mathbf{f}(\mathbf{x})</math> &nbsp;&nbsp;&nbsp;(Zerlegungsadditivität) == Notation für Kurvenintegrale von geschlossenen Kurven == Ist <math>\gamma</math> ein geschlossener Weg, so schreibt man : statt <math>\displaystyle\int\limits_\gamma</math> auch <math>\displaystyle\oint\limits_\gamma</math> und analog für geschlossene Kurven <math>\mathcal C</math> : statt <math>\displaystyle \int\limits_\mathcal C</math> auch <math>\displaystyle\oint\limits_\mathcal C</math>. Mit dem Kreis im Integral möchte man deutlich machen, dass <math>\gamma</math> geschlossen ist. Der einzige Unterschied liegt hierbei in der Notation. == Beispiele == * Ist <math>\mathcal C</math> der [[w:de:Funktionsgraph|Graph]] einer Funktion <math>f\colon[a,b]\to\mathbb R</math>, so wird diese Kurve durch den Weg :: <math>\gamma\colon[a,b]\to\mathbb R^2,\quad t\mapsto(t,f(t))</math> : parametrisiert. Wegen :: <math>\|\dot\gamma(t)\|_2=\sqrt{1+f'(t)^2}</math> : ist die Länge der Kurve gleich :: <math>\int\limits_\mathcal C\mathrm ds = \int\limits_a^b\sqrt{1+f'(t)^2}\,\mathrm dt.</math> * Eine [[w:de:Ellipse|Ellipse]] mit großer Halbachse <math>a</math> und kleiner Halbachse <math>b</math> wird durch <math>(a\cos t, \, b\sin t)</math> für <math>t\in[0,2\pi]</math> parametrisiert. Ihr Umfang ist also :: <math>\int\limits_0^{2\pi}\sqrt{a^2\sin^2t+b^2\cos^2t}\,\mathrm dt = 4a\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{1-\varepsilon^2\cos^2t}\;\mathrm dt</math>. : Dabei bezeichnet <math>\varepsilon</math> die [[w:de:Exzentrizität (Mathematik)|numerische Exzentrizität]] <math>\sqrt{1-b^2/a^2}</math> der Ellipse. Das Integral auf der rechten Seite wird aufgrund dieses Zusammenhanges als [[w:de:elliptisches Integral|elliptisches Integral]] bezeichnet. == Wegunabhängigkeit == Ist ein Vektorfeld <math>\mathbf{F}</math> ein ''[[w:de:Gradientenfeld|Gradientenfeld]]'', d.&nbsp;h., <math>\mathbf{F}</math> ist der [[w:de:Gradient (Mathematik)|Gradient]] eines skalaren Feldes <math>V</math>, mit : <math>\mathbf{\nabla} V = \mathbf{F}</math>, so gilt für die [[w:de:Differentialrechnung|Ableitung]] der [[w:de:Komposition (Mathematik)|Verkettung]] von <math>V</math> und <math>\mathbf{r}(t)</math> : <math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dt} V(\mathbf{r}(t)) = \mathbf{\nabla} V(\mathbf{r}(t)) \cdot \dot{\mathbf{r}}(t) = \mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) \cdot \dot{\mathbf{r}}(t)</math>, was gerade dem Integranden des Wegintegrals über <math>\mathbf{F}</math> auf <math>\mathbf{r}(t)</math> entspricht. === Abhängigkeit von Integralgrenzen 1 === Daraus folgt für eine gegebene Kurve <math>\mathcal S</math> : <math>\int\limits_{\mathcal S} \mathbf{F}(\mathbf{x})\cdot\,\mathrm d\mathbf{x} = \int\limits_a^b \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot \dot{\mathbf{r}}(t)\,\mathrm dt = \int\limits_a^b \frac{\mathrm d}{\mathrm dt} V(\mathbf{r}(t)) \,\mathrm dt = V(\mathbf{r}(b)) - V(\mathbf{r}(a)).</math> [[Datei:Konservative Kraft Wege.svg|mini|200px|Zwei beliebige Kurven <math>\mathcal S1</math> und <math>\mathcal S2</math> in einem Gradientenfeld]] === Abhängigkeit von Integralgrenzen 2 === Dies bedeutet, dass das Integral von <math>\mathbf{F}</math> über <math>\mathcal S</math> ausschließlich von den Punkten <math>\mathbf{r}(b)</math> und <math>\mathbf{r}(a)</math> abhängt und der Weg dazwischen irrelevant für das Ergebnis ist. Aus diesem Grund wird das Integral eines Gradientenfeldes als „wegunabhängig“ bezeichnet. === Bemerkung - geschlossene Wege - Ringintegral === Insbesondere gilt für das Ringintegral über die geschlossene Kurve <math>\mathcal S</math> mit zwei beliebigen Wegen <math>\mathcal S_1</math> und <math>\mathcal S_2</math>: : <math>\oint\limits_{\mathcal S} \mathbf{F}(\mathbf{x})\, \mathrm d\mathbf{x} = \int\limits_{1,\mathcal{S}_1}^2 \mathbf{F}(\mathbf{x})\, \mathrm d\mathbf{x} + \int\limits_{2,\mathcal{S}_2}^1 \mathbf{F}(\mathbf{x})\, \mathrm d\mathbf{x} = 0</math> === Anwendung in der Physik === Dies ist insbesondere in der [[w:de:Physik|Physik]] von großer Bedeutung, da beispielsweise die [[w:de:Gravitation|Gravitation]] diese Eigenschaften besitzt. Da die Energie in diesen Kraftfeldern stets eine Erhaltungsgröße ist, werden sie in der Physik als [[w:de:konservative Kraft|konservative Kraft]]felder bezeichnet. === Skalare Felder - Potentielle Energie === Das skalare Feld <math>V</math> ist dabei das [[w:de:Skalarpotential|Potential]] oder die [[w:de:potentielle Energie|potentielle Energie]]. Konservative Kraftfelder erhalten die mechanische Energie, d.&nbsp;i. die Summe aus [[w:de:Kinetische Energie|kinetischer Energie]] und potentieller Energie. Gemäß dem obigen Integral wird auf einer geschlossenen Kurve insgesamt eine Arbeit von 0&nbsp;J aufgebracht. === Umlaufzahl - Windungszahl === Wegunabhängigkeit lässt sich auch mit Hilfe der [[w:de:Integrabilitätsbedingung|Integrabilitätsbedingung]] zeigen. [[Datei:Windungszahl5.png|mini|400px|Die Kurve <math>\gamma</math> umläuft das Zentrum <math>z_0</math> zweimal]] Ist das Vektorfeld nur in einer (kleinen) Umgebung <math>U</math> eines Punktes nicht als Gradientenfeld darstellbar, so ist das geschlossene Wegintegral von Kurven außerhalb von <math>U</math> proportional zur Windungszahl um diesen Punkt und ansonsten unabhängig vom genauen Verlauf der Kurve (siehe [[w:de:Algebraische Topologie#Methodik|Algebraische Topologie: Methodik]]). === Bemerkung - Komplexe Wegintegrale === Ersetzt man <math>\mathbb{R}^n </math> durch <math>\mathbb{C} </math> behandelt man [[Wegintegral|komplexe Wegintegrale]], die in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] behandelt werden. == Literatur == * [[w:de:Harro Heuser|Harro Heuser]]: ''Lehrbuch der Analysis – Teil 2''. 1981, 5. Auflage, Teubner 1990, ISBN 3-519-42222-0. S. 369, Satz 180.1; S. 391, Satz 184.1; S. 393, Satz 185.1. == Einzelnachweise == <references /> [[Kategorie:Integralbegriff]] [[Kategorie:Funktionentheorie]] [[Kategorie:Vektoranalysis]] == Siehe auch == * [[Definition Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/reelle Integrale als Spezialfall von Wegintegralen|reelle Integrale als Spezialfall von Wegintegralen]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurvenintegral https://de.wikiversity.org/wiki/Kurvenintegral] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurvenintegral Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurvenintegral * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurvenintegral Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurvenintegral Kurvenintegral] https://de.wikipedia.org/wiki/Kurvenintegral * Datum: 20.10.2024 * [https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity <noniclude>[[en:Line integral]]</noinclude> [[Category:Wiki2Reveal]] h696y9nl3ewc7byy2psznsj8fqwcp00 106 167482 1118806 1118435 2026-11-03T18:39:15Z Paul Sutermeister 37610 1118806 wikitext text/x-wiki = Theorie = Die indirekte Rede wird im Deutschen verwendet, um Aussagen, Gedanken oder Fragen einer anderen Person wiederzugeben – ohne wörtlich zu zitieren. Die indirekte Rede steht im '''[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Modus#Konjunktiv (Möglichkeitsform)|Konjunktiv]]'''. {| class="wikitable" |- | '''Direkte Rede''' || Kim sagt: „Ich bin krank.“ || Mit Anführungszeichen, wortwörtlich. |- | '''Indirekte Rede''' || Kim sagt, '''er sei krank'''. || Ohne Anführungszeichen, mit Konjunktiv. |} Typische Verben der indirekten Rede sind: ''sagen'', ''meinen'', ''erklären'', ''berichten'', ''behaupten'', ''fragen'', ''antworten'', ''versprechen''. '''Beispiele:''' {| class="wikitable" ! Infinitiv !! Konjunktiv I (3. Pers. Sg.) !! Beispiel in indirekter Rede |- | '''sein''' || er '''sei''' || Er sagt, er '''sei''' müde. |- | '''haben''' || er '''habe''' || Sie meint, sie '''habe''' keine Zeit. |- | '''gehen''' || er '''gehe''' || Der Lehrer sagt, der Schüler '''gehe''' nach Hause. |- | '''kommen''' || er '''komme''' || Sie erzählt, er '''komme''' später. |- | '''machen''' || er '''mache''' || Er behauptet, er '''mache''' alles richtig. |} == Wenn Konjunktiv I = Indikativ → Konjunktiv II benutzen == Wenn der Konjunktiv I '''gleich aussieht wie der Indikativ''', nimm den '''Konjunktiv II''', damit man den Unterschied '''sehen kann'''. : Er sagt, er '''komme''' morgen. ✅ : Aber: Er behauptet, ich '''arbeite''' langsam. ❌ (gleich wie Indikativ: „ich arbeite“) : '''Lösung:''' Er behauptet, ich '''würde''' langsam arbeiten. ✅ (Oder mit Konjunktiv II: Ich '''arbeitete''' langsam.) ⚠️ '''Für die indirekte Rede gilt: Wenn der Konjunktiv I anders aussieht als der Konjunktiv II, muss Konjunktiv I genommen werden!''' == Indirekte Fragen == : Sie fragt: „Wann kommst du?“ → Sie fragt, '''wann ich komme'''. : Er will wissen: „Hast du Hunger?“ → Er will wissen, '''ob ich Hunger habe'''. == Beispieltext == ; Direkte Rede: : Der Lehrer sagt: „Morgen schreiben wir einen Test.“ ; Indirekte Rede: : Der Lehrer sagt, '''wir schrieben''' morgen einen Test. : (alternativ: '''wir würden morgen einen Test schreiben'''.) = Übungen = == Gegenwart (in der Regel Konjunktiv I, aber wenn Konjunktiv I gleich aussieht wie Präsens, dann Konjunktiv II) == Forme die direkte Rede in die indirekte Rede um. <quiz display="simple"> { Lisa sagt: „Ich gehe heute ins Kino.“ | type="{}" } Lisa sagt, { sie gehe } heute ins Kino. { Peter meint: „Ich habe keine Zeit.“ | type="{}" } Peter meint, { er habe } keine Zeit. { Die Lehrerin erklärt: „Die Schüler schreiben morgen einen Test.“ | type="{}" } Die Lehrerin erklärt, { die Schüler schrieben } morgen einen Test. { Anna sagt: „Ich komme später.“ | type="{}" } Anna sagt, { sie komme } später. { Der Direktor sagt: „Die Schule bleibt geöffnet.“ | type="{}" } Der Direktor sagt, die Schule { bleibe } geöffnet. { Max erzählt: „Ich esse gern Pizza.“ | type="{}" } Max erzählt, { er esse } gern Pizza. { Julia sagt: „Ich wohne in Zürich.“ | type="{}" } Julia sagt, { sie wohne } in Zürich. { Die Ärztin erklärt dem Patienten: „Sie brauchen mehr Bewegung.“ | type="{}" } Die Ärztin erklärt dem Patienten, { er brauche } mehr Bewegung. { Der Vater meint: „Ich bin müde.“ | type="{}" } Der Vater meint, { er sei } müde. { Eva sagt: „Ich spiele Klavier.“ | type="{}" } Eva sagt, { sie spiele } Klavier. </quiz> == Vergangenheit == Ob Präteritum oder Perfekt: In der indirekten Rede steht immer : '''''habe / sei''' + '''Partizip II''''' === Beispiele === * «Ich kochte Kaffee.» / «Ich habe Kaffee gekocht.» *: → Sabine sagte, sie '''habe''' Kaffee '''gekocht'''. * «Ich ging nach Hause.» *: → Maria sagte, sie '''sei''' nach Hause '''gegangen'''. === Achtung === # '''Pronomen anpassen:''' ich → sie, mein → ihr # ''sie habe'' ist nicht dasselbe wie ''sie hat'': Nur ''habe'' ist korrekt. # '''Modalverben''' (müssen, können …): Statt des Partizips steht der Infinitiv. #: «Ich musste früher aufstehen.» #: → Maria sagte, sie '''habe''' früher '''aufstehen müssen'''. # '''Ersatzform:''' Klingt der Konjunktiv gleich wie die normale Form (z. B. ''sie haben''), nimmt man ''hätten / wären'': #: → Sie sagten, sie '''hätten''' Kaffee gekocht. == Übungen == Forme die direkte Rede in die indirekte Rede um. Achte auf die Zeitformen. <quiz display="simple"> { Er sagte: „Ich habe gestern gearbeitet.“ | type="{}" } Er sagte, { er habe } gestern gearbeitet. { Sie meinte: „Ich war in den Ferien.“ | type="{}" } Sie meinte, { sie sei in den Ferien gewesen }. { Paul erklärte: „Ich konnte nicht kommen.“ | type="{}" } Paul erklärte, { er habe nicht kommen können }. { Maria sagte: „Ich musste früh aufstehen.“ | type="{}" } Maria sagte, { sie habe früh aufstehen müssen }. { Der Lehrer erzählte: „Die Schüler hatten viele Hausaufgaben.“ | type="{}" } Der Lehrer erzählte, die Schüler { hätten viele Hausaufgaben gehabt }. { Sabine sagte: „Ich habe Kaffee gekocht.“ | type="{}" } Sabine sagte, { sie habe Kaffee gekocht }. { Der Nachbar berichtete mir: „Ich sah dich gestern.“ | type="{}" } Der Nachbar berichtete mir, { er habe mich gestern gesehen }. { Jonas erklärte: „Ich bin zu spät gekommen.“ | type="{}" } Jonas erklärte, { er sei zu spät gekommen }. { Die Chefin behauptete: „Ich hatte gestern ein Meeting.“ | type="{}" } Die Chefin behauptete, { sie habe gestern ein Meeting gehabt }. { Tom meinte: „Ich habe gut geschlafen.“ | type="{}" } Tom meinte, { er habe gut geschlafen }. </quiz> == Zukunft == Forme die direkte Rede in die indirekte Rede um. Verwende den Konjunktiv I der Zukunft. <quiz display="simple"> { Sie sagt: „Ich werde morgen verreisen.“ | type="{}" } Sie sagt, { sie werde morgen verreisen }. { Er rief ihr: „Ich werde dir helfen.“ | type="{}" } Er rief ihr, { er werde ihr helfen }. { Der Lehrer erklärt uns: „Wir werden nächste Woche ein Projekt beginnen.“ | type="{}" } Der Lehrer erklärt uns, { wir würden } nächste Woche ein Projekt beginnen. { Anna kündigt an: „Ich werde pünktlich kommen.“ | type="{}" } Anna kündigt an, { sie werde pünktlich kommen }. { Der Arzt sagt euch: „Ich werde Ihnen das Rezept schicken.“ | type="{}" } Der Arzt sagt euch, { er werde euch das Rezept schicken }. { Der Trainer behauptet von seiner Mannschaft: „Wir werden das Spiel gewinnen.“ | type="{}" } Der Trainer behauptet von seiner Mannschaft, { sie werde das Spiel gewinnen }. { Die Mutter sagt: „Ich werde kochen.“ | type="{}" } Die Mutter sagt, { sie werde kochen }. { Paul erklärt: „Ich werde nach Bern ziehen.“ | type="{}" } Paul erklärt, { er werde nach Bern ziehen }. { Sie sagt: „Ich werde es versuchen.“ | type="{}" } Sie sagt, { sie werde es versuchen }. { Der Mechaniker sagt: „Ich werde das Auto reparieren.“ | type="{}" } Der Mechaniker sagt, { er werde das Auto reparieren }. </quiz> == Fragen == Forme die Fragen in indirekte Rede um. Verwende „ob“ oder Fragewörter. <quiz display="simple"> { Er fragte dich: „Hast du die Hausaufgaben gemacht?“ | type="{}" } Er fragte dich, ob { du die Hausaufgaben gemacht habest }. { Sie fragte ihn: „Wo wohnst du?“ | type="{}" } Sie fragte ihn, wo { er wohne }. { Der Lehrer fragte uns: „Könnt ihr mir folgen?“ | type="{}" } Der Lehrer fragte uns, { ob wir ihm folgten|ob wir ihm folgen könnten }. { Maria wollte von mir wissen: „Wann kommst du?“ | type="{}" } Maria wollte wissen, { wann ich käme }. { Peter fragte sie: „Warum bist du traurig?“ | type="{}" } Peter fragte sie, { warum sie traurig sei }. { Der Reporter fragte: „Wie lange dauert das?“ | type="{}" } Der Reporter fragte, { wie lange das dauere }. { Sie fragte ihn: „Kannst du mir helfen?“ | type="{}" } Sie fragte, { ob er ihr helfen könne }. { Er fragte dich: „Geht es dir gut?“ | type="{}" } Er fragte, { ob es dir gut gehe }. { Die Mutter fragte dich: „Wo warst du?“ | type="{}" } Die Mutter fragte, { wo du gewesen seist }. { Die Chefin fragte euch: „Habt ihr das Dokument schon gelesen?“ | type="{}" } Die Chefin fragte, { ob ihr das Dokument schon gelesen habet }. </quiz> == Befehle/Aufforderungen == Forme die Sätze in indirekte Rede um. <quiz display="simple"> { Die Mutter sagt ihm: „Mach deine Hausaufgaben!“ | type="{}" } Die Mutter sagt, er solle { seine Hausaufgaben } machen. { Der Lehrer sagt euch: „Hört gut zu!“ | type="{}" } Der Lehrer sagt, ihr { sollet gut } zuhören. { Der Arzt sagt Ihnen: „Nehmen Sie diese Tabletten!“ | type="{}" } Der Arzt sagt, Sie { sollten } diese Tabletten nehmen. { Der Vater sagt dir: „Sei ruhig!“ | type="{}" } Der Vater sagt, { du sollest } ruhig sein. { Die Chefin sagt mir: „Rufen Sie mich morgen an!“ | type="{}" } Die Chefin sagt, { ich solle sie } morgen anrufen. { Der Trainer sagt uns: „Lauft schneller!“ | type="{}" } Der Trainer sagt, { wir sollten } schneller laufen. { Sie sagt ihr: „Vergiss deinen Regenschirm nicht!“ | type="{}" } Sie sagt, { sie solle ihren } Regenschirm nicht vergessen. { Der Polizist sagt ihnen: „Bleiben Sie stehen!“ | type="{}" } Der Polizist sagt, { sie sollten } stehenbleiben. { Er sagt dir: „Komm sofort her!“ | type="{}" } Er sagt, { du sollest sofort herkommen }. { Er sagt mir: „Komm sofort her!“ | type="{}" } Er sagt, { ich solle sofort herkommen }. { Die Lehrerin sagt euch: „Schreibt euren Namen auf das Blatt!“ | type="{}" } Die Lehrerin sagt, { ihr sollet euren Namen } auf das Blatt schreiben. </quiz> == Gemischte Zeitformen == Forme die direkte Rede in indirekte Rede um. Achte auf die korrekte Zeitform. <quiz display="simple"> { Er sagt: „Ich habe das Buch gelesen.“ | type="{}" } Er sagt, { er habe } das Buch gelesen. { Sie sagt: „Ich werde morgen kommen.“ | type="{}" } Sie sagt, { sie werde morgen kommen }. { Paul meinte: „Ich war krank.“ | type="{}" } Paul meinte, { er sei } krank gewesen . { Maria erklärte: „Ich hätte gern mehr Zeit.“ | type="{}" } Maria erklärte, { sie habe } gern mehr Zeit. { Der Lehrer sagte: „Ich bin zufrieden.“ | type="{}" } Der Lehrer sagte, { er sei zufrieden }. { Der Arzt meinte: „Ich habe keine Termine frei.“ | type="{}" } Der Arzt meinte, { er habe } keine Termine frei. { Sie erklärte: „Ich warte schon lange.“ | type="{}" } Sie erklärte, { sie warte } schon lange. { Tom sagte mir: „Ich könnte dir helfen.“ | type="{}" } Tom sagte, { er könne mir } helfen. { Er meinte: „Ich bin gestern angekommen.“ | type="{}" } Er meinte, { er sei } gestern angekommen. { Sie sagte: „Ich hätte kommen sollen.“ | type="{}" } Sie sagte, { sie habe|sie hätte } kommen sollen.“ </quiz> == Dialoge == Setze die folgenden kurzen Dialoge in die indirekte Rede um. <quiz display="simple"> { Lehrer: „Habt ihr die Hausaufgaben gemacht?“ – Schüler: „Wir hatten keine Zeit.“ | type="{}" } Der Lehrer fragte, ob sie die Hausaufgaben gemacht { hätten }. – Die Schüler antworteten, sie { hätten } keine Zeit gehabt. { Mutter: „Wann kommst du nach Hause?“ – Sohn: „Ich weiß es noch nicht.“ | type="{}" } Die Mutter fragte, wann { er nach Hause komme|der Sohn nach Hause komme }. – Der Sohn antwortete, { er wüsse es } noch nicht. { Arzt: „Wie fühlen Sie sich?“ – Patient: „Ich bin müde.“ | type="{}" } Der Arzt fragte, { wie er sich fühle|wie der Patient sich fühle }. – Der Patient antwortete, { er sei } müde. { Chefin: „Haben Sie den Bericht fertig?“ – Mitarbeiter: „Noch nicht, ich arbeite daran.“ | type="{}" } Die Chefin fragte, { ob er den Bericht fertig habe|ob der Mitarbeiter den Bericht fertig habe }. – Der Mitarbeiter antwortete, { er arbeite } noch daran. { Polizist: „Haben Sie den Unfall gesehen?“ – Zeugin: „Ich war dabei.“ | type="{}" } Die Polizistin fragte, { ob sie den Unfall gesehen habe|ob die Zeugin den Unfall gesehen habe }. – Die Zeugin antwortete, { sie sei dabei gewesen }. { Verkäuferin: „Kann ich Ihnen helfen?“ – Kunde: „Ich suche eine Jacke.“ | type="{}" } Die Verkäuferin fragte, { ob sie helfen könne }. – Der Kunde antwortete, { er suche } eine Jacke. { Lehrer: „Was ist die Hauptstadt von Frankreich?“ – Schüler: „Das ist Paris.“ | type="{}" } Der Lehrer fragte, { was die Hauptstadt von Frankreich sei }. – Der Schüler antwortete, { das sei Paris }. { Freundin: „Willst du mitkommen?“ – Kim: „Ich habe keine Lust.“ | type="{}" } Die Freundin fragte, { ob sie mitkommen wolle|ob er mitkommen wolle|ob Kim mitkommen wolle }. – Kim antwortete, { sie habe|er habe } keine Lust }. { Trainerin: „Warum bist du zu spät?“ – Spielerin: „Der Bus hatte Verspätung.“ | type="{}" } Die Trainerin fragte, { warum sie zu spät sei|warum die Spielerin zu spät sei }. – Die Spielerin antwortete, der Bus { habe Verspätung gehabt }. { Mutter: „Hast du dein Zimmer aufgeräumt?“ – Kind: „Ich habe es noch nicht aufgeräumt.“ | type="{}" } Die Mutter fragte, { ob das Kind sein Zimmer aufgeräumt habe }. – Das Kind antwortete, { es habe es noch nicht aufgeräumt }. </quiz> == Konjunktiv I oder II? == Setze die Sätze in die indirekte Rede. Verwende den richtigen Konjunktiv (I oder II). <quiz display="simple"> { Er sagt: „Ich bin müde.“ | type="{}" } Er sagt, er { sei } müde. (Das ist Konjunktiv { I|1 }.) { Sie sagt: „Ich bin glücklich.“ | type="{}" } Sie sagt, { sie sei } glücklich. (Das ist Konjunktiv { I|1 }.) { Die Lehrer meinen: „Wir haben alles erklärt.“ | type="{}" } Die Lehrer meinen, { sie hätten } alles erklärt. (Das ist Konjunktiv { II|2 }.) { Peter sagt mir: „Du weisst es nicht.“ | type="{}" } Peter sagt mir, { ich wisse } es nicht. (Das ist Konjunktiv { I|1 }.) { Anna sagt dir: „Du bist krank.“ | type="{}" } Anna sagt, { du seist } krank. (Das ist Konjunktiv { I|1 }.) { Der Chef sagte uns: „Ihr wartet auf das Ergebnis.“ | type="{}" } Der Chef sagte, { wir warteten auf das Ergebnis|wir würden auf das Ergebnis warten }.“ (Das ist Konjunktiv { II|2 }.) { Sie sagten: „Wir hätte gern Urlaub.“ | type="{}" } Sie sagten, { sie hätten gern Urlaub }. (Das ist Konjunktiv { II|2 }.) { Tom sagt: „Ich wäre lieber zu Hause.“ | type="{}" } Tom sagt, { er wäre lieber zu Hause }. (Das ist Konjunktiv { II|2 }.) { Die Ärztin sagt: „Ich habe keine Zeit.“ | type="{}" } Die Ärztin sagt, { sie habe keine Zeit }. (Das ist Konjunktiv { I|1 }.) { Er behauptete von mir: „Du warst schon dort.“ | type="{}" } Er behauptete, { ich sei } schon dort gewesen. (Das ist Konjunktiv { I|1 }.) </quiz> == Kombination mit Nebensätzen == Forme die folgenden komplexen Sätze in indirekte Rede. <quiz display="simple"> { Sie sagte: „Ich komme, wenn ich Zeit habe.“ | type="{}" } Sie sagte, { sie komme, wenn sie Zeit habe }. { Er erklärte: „Ich bleibe zu Hause, weil ich müde bin.“ | type="{}" } Er erklärte, { er bleibe zu Hause, weil er müde sei }. { Maria meinte: „Ich glaube, dass er recht hat.“ | type="{}" } Maria meinte, { sie glaube, er habe recht }. { Der Lehrer sagte uns: „Ich hoffe, ihr versteht den Text.“ | type="{}" } Der Lehrer sagte, { er hoffe, wir verständen|er hoffe, wir verstünden } den Text. { Die Chefin erklärte: „Ich bin zufrieden, obwohl es schwierig war.“ | type="{}" } Die Chefin erklärte, { sie sei } zufrieden, obwohl es schwierig { gewesen sei }. { Der Arzt sagte dir: „Ich denke, Sie sind gesund.“ | type="{}" } Der Arzt sagte, { er denke, du seist|er denke, du seiest } gesund. { Peter meinte zu euch: „Ich glaube, ihr lügt.“ | type="{}" } Peter meinte, er { glaube, ihr lüget }. { Anna sagte: „Ich komme nicht, weil ich krank bin.“ | type="{}" } Anna sagte, { sie komme nicht, weil sie krank sei }. { Der Trainer erklärte uns: „Wir hoffen, wir gewinnen.“ | type="{}" } Der Trainer erklärte, { wir hofften, wir gewännen|wir hofften, wir gewönnen|wir würden hoffen, wir würden gewinnen|wir hofften, wir würden gewinnen|wir würden hoffen, wir gewännen|wir würden hoffen, wir gewönnen }. { Der Vater meinte zu dir: „Du bleibst hier, bis es aufhört zu regnen.“ | type="{}" } Der Vater meinte, { du bleibest hier, bis es aufhöre } zu regnen. </quiz> == Freie Umwandlung == Schreibe die folgenden kurzen Mitteilungen in indirekte Rede um. <quiz display="simple"> { Die Mitarbeiterin liess verlauten: „Ich kann heute nicht kommen.“ | type="{}" } Die Mitarbeiterin liess verlauten, { sie könne heute nicht kommen }. { Sie schrien: „Wir haben das Problem gelöst.“ | type="{}" } Sie schrien, { sie hätten das Problem gelöst }. { Der Wetterfrosch meldete: „Morgen wird es regnen.“ | type="{}" } Der Wetterfrosch meldete, { morgen werde es regnen }. { Die Kollegen polterten: „Wir haben Hunger.“ | type="{}" } Die Kollegen polterten, { sie hätten Hunger }. { Die Frau schrieb: „Ich fahre nächste Woche nach Italien.“ | type="{}" } Die Frau schrieb, { sie fahre nächste Woche nach Italien }. { Du sagst: „Ich habe keine Lust.“ | type="{}" } Du sagst, { du habest keine Lust }. { Sie teilte mit: „Ich bin gerade beschäftigt.“ | type="{}" } Sie teilte mit, { sie sei gerade beschäftigt }. { Sie behaupteten: „Wir haben gewonnen!“ | type="{}" } Sie behaupteten, { sie hätten gewonnen }. { „Ich muss früh aufstehen.“ | type="{}" } { Er müsse früh aufstehen }. { „Ich werde dich anrufen.“ | type="{}" } { Er werde sie anrufen }. </quiz> [[Kategorie:Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)]] 81ndjhnrhk2o1yuskejxxxjv1tmogmy 106 167788 1118854 1075460 2026-11-04T11:57:30Z Paul Sutermeister 37610 1118854 wikitext text/x-wiki {{:SCLO/ Vorlage: Klappbox | Titel= Warum heisst das '''Register «Sendungen»''' nicht Register «Serie»? | Inhalt= Das Register '''Sendungen''' heisst so, obwohl Word hier nichts verschickt (das mache ich ja mit Outlook). Tatsächlich erstellt man in diesem Register '''[[:w:Serienbrief|Serienbriefe]], Serienetiketten und Seriendrucke''': Eine Vorlage wird mit vielen Datensätzen vervielfacht. Fachlich wäre der Name '''Serie''' präziser, Microsoft verwendet jedoch den Alltagsbegriff '''Sendungen''' für die Arbeit mit Massendokumenten. }} <div style=" border-left:6px solid #ffb703; background:#fff7e6; padding:0.9em; margin:1em 0; border-radius:8px; box-shadow:0 2px 6px rgba(0,0,0,0.08); "> = E - Eine Serie machen = ==Vorbereitung== * '''Hauptdokument vorbereiten:''' Ein Dokument als '''Hauptdokument''' für die Seriendruckfunktion vorbereiten (z. B. Serienbrief oder Etikettenlayout) * '''Datenquelle auswählen:''' Eine '''Adressliste oder andere Datenquelle''' für den Seriendruck auswählen (z. B. Excel-Liste, Word-Tabelle, Outlook-Kontakte) * '''Datenfelder einfügen:''' '''Datenfelder''' in das Hauptdokument einfügen: ** für Briefe ** für Etiketten ==Ausgabe== * '''Zusammenführen:''' Hauptdokument und Adressliste '''zu einer neuen Datei zusammenführen''' * '''Drucken:''' Das '''Seriendruckergebnis ausgeben''': * Briefe drucken * Etiketten drucken </div> = Seriendruck – wozu eigentlich? = Auf dieser Seite finden Sie Schritt für Schritt heraus, '''warum''' es in Word den Seriendruck gibt. Sie brauchen dafür kein Vorwissen. Lesen Sie jeweils den kurzen Text und beantworten Sie dann die Fragen. Jeder Schritt baut auf dem vorherigen auf. == Schritt 1: Ein einziger Brief == Ihre Firma lädt eine Kundin, Frau Meier, zu einem Apéro ein. Sie schreiben den Brief in Word, setzen oben die Adresse ein, schreiben „Sehr geehrte Frau Meier“ und drucken ihn aus. <quiz display=simple> {Wie aufwendig ist es, '''einen''' solchen Brief zu schreiben? |type="()"} + Kein Problem – das geht schnell von Hand. - Das ist ohne Spezialfunktion in Word unmöglich. - Dafür braucht man zwingend eine Programmiererin. {Braucht es für diesen einen Brief einen Seriendruck? |type="()"} - Ja, jeder Brief muss mit Seriendruck erstellt werden. + Nein, für einen einzelnen Brief lohnt sich das nicht. </quiz> == Schritt 2: Plötzlich sind es 300 Briefe == Ihr Chef sagt: „Wir laden nicht nur Frau Meier ein, sondern '''alle 300 Kundinnen und Kunden'''.“ Der Text der Einladung ist für alle genau gleich: Datum, Ort, Programm. <quiz display=simple> {Was ist in den 300 Briefen '''für alle gleich'''? (Mehrere Antworten möglich) |type="[]"} + Der Einladungstext + Datum und Ort des Apéros - Der Name der Empfängerin oder des Empfängers - Die Postadresse + Der Briefkopf mit dem Firmenlogo {Was ist in jedem Brief '''anders'''? (Mehrere Antworten möglich) |type="[]"} + Name + Strasse und Hausnummer + PLZ und Ort + Die Anrede („Sehr geehrte Frau …“ / „Sehr geehrter Herr …“) - Das Programm des Apéros </quiz> == Schritt 3: Von Hand? == Stellen Sie sich vor, Sie machen die 300 Briefe von Hand: Brief kopieren, Adresse überschreiben, Anrede anpassen, drucken – und das 300-mal. <quiz display=simple> {Wenn ein Brief 2 Minuten dauert: Wie lange brauchen Sie für 300 Briefe ungefähr? |type="()"} - Etwa 20 Minuten - Etwa 1 Stunde + Etwa 10 Stunden - Etwa 3 Tage am Stück ohne Pause {Was kann beim Abtippen von 300 Adressen leicht passieren? (Mehrere Antworten möglich) |type="[]"} + Tippfehler im Namen + Eine Person wird vergessen + Eine Person erhält zwei Briefe + Falsche Anrede (z. B. „Sehr geehrter Herr Meier“ statt „Sehr geehrte Frau Meier“) - Der Drucker druckt automatisch die richtige Adresse {Wie wirkt ein Brief mit falsch geschriebenem Namen auf die Kundin? |type="()"} - Das fällt niemandem auf. + Unprofessionell – die Kundin fühlt sich nicht ernst genommen. - Das wirkt besonders persönlich. </quiz> == Schritt 4: Die Adressen gibt es schon == In fast jeder Firma sind die Kundendaten bereits irgendwo gespeichert – zum Beispiel in einer Excel-Tabelle: eine Zeile pro Kunde, eine Spalte für Vorname, Name, Strasse, PLZ, Ort, Anrede. <quiz display=simple> {Wo können Adressen in einer Firma typischerweise schon gespeichert sein? (Mehrere Antworten möglich) |type="[]"} + In einer Excel-Tabelle + In den Kontakten von Outlook + In einer Kundendatenbank oder einem Firmenprogramm - Nur im Kopf der Chefin {Ist es sinnvoll, Adressen, die schon in Excel stehen, noch einmal von Hand in Word abzutippen? |type="()"} - Ja, doppelt hält besser. + Nein – das ist doppelte Arbeit und eine Fehlerquelle. </quiz> == Schritt 5: Die Idee des Seriendrucks == Jetzt kommt die Idee: Man trennt den Brief in zwei Teile. * Das '''Hauptdokument''': der Text, der für alle gleich ist. An den Stellen, wo etwas Persönliches hingehört, steht ein '''Platzhalter''' (Seriendruckfeld), z. B. «Name». * Die '''Datenquelle''': die Liste mit den Adressen, z. B. die Excel-Tabelle. Word setzt dann für jede Zeile der Liste die Daten in die Platzhalter ein – und erzeugt so automatisch einen Brief pro Person. <quiz display=simple> {Was gehört ins '''Hauptdokument'''? |type="()"} + Der Text, der für alle gleich ist, plus Platzhalter - Alle 300 Adressen untereinander - Nur das Logo {Was gehört in die '''Datenquelle'''? |type="()"} - Der Einladungstext + Die Liste mit den Angaben, die sich von Brief zu Brief ändern - Die Schriftart des Briefs {Wofür steht ein Platzhalter wie «Ort» im Hauptdokument? |type="()"} + Dort setzt Word bei jedem Brief den Ort aus der Liste ein. - Dort muss man später von Hand den Ort hineinschreiben. - Das Wort «Ort» wird genau so ausgedruckt. {Wie viele Briefe entstehen, wenn die Datenquelle 300 Zeilen (Personen) hat? |type="()"} - 1 - 2 + 300 - So viele, wie das Hauptdokument Seiten hat </quiz> == Schritt 6: Nicht nur Briefe == Das gleiche Prinzip – '''gleiche Vorlage + wechselnde Daten''' – funktioniert nicht nur für Briefe. <quiz display=simple> {Wofür kann man den Seriendruck noch brauchen? (Mehrere Antworten möglich) |type="[]"} + Adressetiketten für Couverts + Namensschilder für einen Anlass + Persönliche E-Mails an viele Empfänger + Briefumschläge direkt bedrucken - Ein einzelnes Foto bearbeiten {Sie müssen 300 Couverts beschriften. Was ist am sinnvollsten? |type="()"} - Alle 300 Couverts von Hand anschreiben + Serienetiketten drucken und aufkleben - Nur jedes zehnte Couvert anschreiben </quiz> == Schritt 7: Beispiele aus dem kaufmännischen Alltag == <quiz display=simple> {In welchen Situationen ist ein Seriendruck im Büro sinnvoll? (Mehrere Antworten möglich) |type="[]"} + Einladung zur Generalversammlung an alle Mitglieder + Mahnungen an alle Kunden, die noch nicht bezahlt haben + Weihnachtskarten an alle Geschäftspartner + Teilnahmebestätigungen für alle Kursteilnehmenden - Ein Kündigungsschreiben an einen einzigen Vermieter {Die Liste der Kunden ändert sich: 20 neue Kunden kommen dazu. Was ist der Vorteil beim Seriendruck? |type="()"} + Man ergänzt nur die Liste – das Hauptdokument bleibt gleich und kann wieder verwendet werden. - Man muss alles komplett neu schreiben. - Neue Kunden können nicht mehr hinzugefügt werden. </quiz> == Schritt 8: Wann lohnt es sich – und wann nicht? == <quiz display=simple> {Wann lohnt sich ein Seriendruck '''am meisten'''? |type="()"} - Bei einem einzigen Brief + Wenn viele ähnliche Dokumente mit unterschiedlichen Angaben nötig sind - Wenn jeder Brief einen völlig anderen Text hat {Jeder Brief hat einen komplett unterschiedlichen, individuellen Text. Hilft der Seriendruck? |type="()"} - Ja, gerade dann ist er ideal. + Kaum – der Seriendruck lebt davon, dass der Grundtext für alle gleich ist. </quiz> == Schritt 9: Zusammenfassung == <quiz display=simple> {Welche Aussagen beschreiben den Sinn des Seriendrucks richtig? (Mehrere Antworten möglich) |type="[]"} + Er spart viel Zeit bei vielen gleichartigen Dokumenten. + Er vermindert Tipp- und Abschreibfehler. + Er nutzt Daten, die bereits vorhanden sind (z. B. in Excel). + Jede Person erhält trotzdem ein persönliches Dokument. - Er ersetzt das Schreiben eines guten Textes. - Er ist nur für Druckereien gedacht. {Ergänzen Sie den Merksatz: Seriendruck = ein gleiches … + eine Liste mit wechselnden Daten. |type="()"} + Hauptdokument - Foto - Inhaltsverzeichnis </quiz> '''Merksatz:''' ''Was für alle gleich ist, schreibe ich einmal. Was sich ändert, holt Word aus der Liste.'' = Übung = === Excel-Tabelle erstellen === Öffnen Sie '''Excel'''. Kopieren Sie die Tabelle in Excel: {| class="wikitable" ! Anrede ! Vorname ! Name ! Strasse ! Postleitzahl ! Ort |- | Frau | Beyoncé | Knowles | Music Street 10 | 10000 | New York |- | Frau | Angela | Merkel | Berlin Lane 5 | 10115 | Berlin |- | Herr | Jackie | Chan | Action Road 88 | 999077 | Hongkong |} === Excel-Datei speichern === Speichern Sie die Datei: # Klicken Sie oben links auf '''Datei'''. # Wählen Sie '''Speichern unter'''. # Speichern Sie die Datei als: '''Adressen.xlsx''' === Serienbrief mit Word erstellen === Öffnen Sie '''Word'''. ====Neues Dokument==== * Öffnen Sie ein '''leeres Dokument'''. ====Serienbrief starten==== # Klicken Sie auf '''Sendungen''' (oben im Menü). # Klicken Sie auf '''Seriendruck starten'''. # Wählen Sie '''Briefe'''. ====Excel-Datei verbinden==== # Klicken Sie auf '''Empfänger auswählen'''. # Wählen Sie '''Vorhandene Liste verwenden'''. # Wählen Sie die Datei '''Adressen.xlsx'''. # Wählen Sie das Tabellenblatt '''Tabelle1'''. ====Serienfelder einfügen==== Schreiben Sie folgenden Text in das Dokument: <pre> Guten Tag «Anrede» «Name» Vielen Dank für Ihre Teilnahme am Kurs. Freundliche Grüsse </pre> Ersetzen Sie «Anrede» und «Name» durch Seriendruckfelder: * Klicken Sie auf '''Seriendruckfeld einfügen'''. * Wählen Sie '''Anrede'''. * Wählen Sie '''Name'''. ==== Vorschau ==== * Klicken Sie auf '''Vorschau Ergebnisse'''. * Sie sehen jetzt, wie der Brief für jede Person aussieht. ==== Briefe fertigstellen ==== # Klicken Sie auf '''Fertig stellen und zusammenführen'''. # Wählen Sie '''Dokumente drucken''' oder '''Einzelne Dokumente bearbeiten'''. [[Kategorie:Kurs:Textverarbeitung]] 4kenrpitbfxfy66btihlby1bp9jr5wu 106 171024 1118835 1118728 2026-11-04T10:22:16Z Bocardodarapti 2041 1118835 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2026-2027)/Vorlesungsgestaltung|8| {{Zwischenüberschrift|Universelle Eigenschaft der Monoidringe}} {{inputfaktbeweis|Kommutative Monoidringe/Universelle Eigenschaft für R-Algebren mit Monoidabbildung/Fakt|Satz|}} Die folgende Aussage bedeutet, in Zusammenhang mit {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Monoidring/Funktorialität/Abbildungseigenschaften/Aufgabe |Nr= |SZ=, }} dass bei fixiertem Grundring {{math|term= R |SZ=}} die Zuordnung, die einem Monoid {{math|term= M |SZ=}} den Monoidring {{math|term= R[M] |SZ=}} zuordnet, ein {{Stichwort|Funktor|SZ=}} ist. {{inputfaktbeweis |Kommutative Monoidringe/Funktorialität im Monoid/Fakt|Korollar||}} {{inputbemerkung |Kommutative Monoidringe/Universelle Eigenschaft für R-Algebren mit Monoidabbildung/Polynomring als Spezialfall/Bemerkung||}} {{inputfaktbeweis |Kommutative Monoidringe/Funktorialität im Monoid/Surjektivität/Fakt|Lemma|}} {{inputfaktbeweis |Kommutative Monoidringe/Erzeugendensystem für Monoid und Polynomring/Fakt|Korollar||}} {{Zwischenüberschrift|Monoidring und binomiales Ideal}} Ein endlich erzeugtes Monoid {{math|term= M |SZ=}} besitzt eine Darstellung {{ Relationskette | M || \N^n/ \sim || || || |SZ= }} mit einer mit der Addition verträglichen Äquivalenzrelation auf {{math|term= \N^n |SZ=.}} Wenn auf {{math|term= \N^n |SZ=}} eine Wohlordnung definiert ist, so besitzt jedes Element in {{math|term= M |SZ=}} einen eindeutig bestimmten minimalen Repräsentanten aus {{math|term= \N^n |SZ=.}} {{ inputfaktbeweis |Monoidring/Erzeuger und Relationen/Ideal/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktbeweis |Monoidring/Kürzbar/Erzeuger und Relationen/Ideal/Fakt|Korollar|| }} {{ inputfaktbeweis |Kommutatives Monoid/In Gitter/Spitz/Nullpunkt singulär/Fakt|Lemma|| }} {{Zwischenüberschrift|Graduierungen}} Eine weitere Möglichkeit, Monoidringe zu erhalten, ergibt sich über Graduierungen. {{ inputdefinition |Graduierte Algebra/Ring/Gruppe beliebig/Definition|| }} Auf dem Polynomring {{mathl|term= R[ X_1 {{kommadots|}} X_r ] |SZ=}} ist vor allem die Graduierung mit Werten in {{math|term= \Z |SZ=}} wichtig, bei der jede Variable den Grad {{math|term= 1 |SZ=}} besitzt. Der Grad eines Monomes ist dann einfach die Summe der einzelnen Exponenten. Man spricht von der {{Stichwort|Standardgraduierung|msw=|SZ=.}} Die Graduierung des Polynomringes mit Werten in {{mathl|term= \Z^r |SZ=,}} bei der die Variable {{math|term= X_i |SZ=}} den Standardvektor {{math|term= e_i |SZ=}} als Grad {{ Zusatz/Klammer |text=Gradtupel| |ISZ=|ESZ= }} bekommt, heißt {{Stichwort|feine Graduierung|msw=|SZ=.}} Viele Graduierungen entstehen durch eine Vergröberung der feien Graduierung, also durch einen {{ Zusatz/Klammer |text=surjektiven| |ISZ=|ESZ= }} Gruppenhomomorphismus {{ Abbildung |name= |\Z^r|D || |SZ=. }} {{ inputfaktbeweis |Polynomring/Graduierung/Neutrale Stufe/Monoidring/Fakt|Lemma|| }} {{ inputbeispiel |Monoidring/Veronesering/Dimension 2 Grad k/Graduierung/Beispiel|| }} }} 7m7ms4jqsziec3g72qr6c7dqkvpze2d 1118836 1118835 2026-11-04T10:25:40Z Bocardodarapti 2041 1118836 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2026-2027)/Vorlesungsgestaltung|8| {{Zwischenüberschrift|Universelle Eigenschaft der Monoidringe}} {{inputfaktbeweis|Kommutative Monoidringe/Universelle Eigenschaft für R-Algebren mit Monoidabbildung/Fakt|Satz|}} Die folgende Aussage bedeutet, in Zusammenhang mit {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Monoidring/Funktorialität/Abbildungseigenschaften/Aufgabe |Nr= |SZ=, }} dass bei fixiertem Grundring {{math|term= R |SZ=}} die Zuordnung, die einem Monoid {{math|term= M |SZ=}} den Monoidring {{math|term= R[M] |SZ=}} zuordnet, ein {{Stichwort|Funktor|SZ=}} ist. {{inputfaktbeweis |Kommutative Monoidringe/Funktorialität im Monoid/Fakt|Korollar||}} {{inputbemerkung |Kommutative Monoidringe/Universelle Eigenschaft für R-Algebren mit Monoidabbildung/Polynomring als Spezialfall/Bemerkung||}} {{inputfaktbeweis |Kommutative Monoidringe/Funktorialität im Monoid/Surjektivität/Fakt|Lemma|}} {{inputfaktbeweis |Kommutative Monoidringe/Erzeugendensystem für Monoid und Polynomring/Fakt|Korollar||}} {{Zwischenüberschrift|Monoidring und binomiales Ideal}} Ein endlich erzeugtes Monoid {{math|term= M |SZ=}} besitzt eine Darstellung {{ Relationskette | M || \N^n/ \sim || || || |SZ= }} mit einer mit der Addition verträglichen Äquivalenzrelation auf {{math|term= \N^n |SZ=.}} Wenn auf {{math|term= \N^n |SZ=}} eine Wohlordnung definiert ist, so besitzt jedes Element in {{math|term= M |SZ=}} einen eindeutig bestimmten minimalen Repräsentanten aus {{math|term= \N^n |SZ=.}} Entsprechend kann man jedes Element aus dem Monoidring {{mathl|term= R[M] |SZ=}} eindeutig als eine Linearkombination mit solchen minimalen Repräsentanten schreiben. {{ inputfaktbeweis |Monoidring/Erzeuger und Relationen/Ideal/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktbeweis |Monoidring/Kürzbar/Erzeuger und Relationen/Ideal/Fakt|Korollar|| }} {{ inputfaktbeweis |Kommutatives Monoid/In Gitter/Spitz/Nullpunkt singulär/Fakt|Lemma|| }} {{Zwischenüberschrift|Graduierungen}} Eine weitere Möglichkeit, Monoidringe zu erhalten, ergibt sich über Graduierungen. {{ inputdefinition |Graduierte Algebra/Ring/Gruppe beliebig/Definition|| }} Auf dem Polynomring {{mathl|term= R[ X_1 {{kommadots|}} X_r ] |SZ=}} ist vor allem die Graduierung mit Werten in {{math|term= \Z |SZ=}} wichtig, bei der jede Variable den Grad {{math|term= 1 |SZ=}} besitzt. Der Grad eines Monomes ist dann einfach die Summe der einzelnen Exponenten. Man spricht von der {{Stichwort|Standardgraduierung|msw=|SZ=.}} Die Graduierung des Polynomringes mit Werten in {{mathl|term= \Z^r |SZ=,}} bei der die Variable {{math|term= X_i |SZ=}} den Standardvektor {{math|term= e_i |SZ=}} als Grad {{ Zusatz/Klammer |text=Gradtupel| |ISZ=|ESZ= }} bekommt, heißt {{Stichwort|feine Graduierung|msw=|SZ=.}} Viele Graduierungen entstehen durch eine Vergröberung der feien Graduierung, also durch einen {{ Zusatz/Klammer |text=surjektiven| |ISZ=|ESZ= }} Gruppenhomomorphismus {{ Abbildung |name= |\Z^r|D || |SZ=. }} {{ inputfaktbeweis |Polynomring/Graduierung/Neutrale Stufe/Monoidring/Fakt|Lemma|| }} {{ inputbeispiel |Monoidring/Veronesering/Dimension 2 Grad k/Graduierung/Beispiel|| }} }} 42rkydzjkgoy7pl9a5avhd1rnu9fjxd 106 171025 1118820 1118683 2026-11-04T07:29:07Z Bocardodarapti 2041 1118820 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2026-2027)/Vorlesungsgestaltung|9| In den folgenden drei Vorlesungen möchten wir die endlichen Untergruppen {{ Relationskette | G | \subseteq | {{op:SLG| 2 | {{CC}} }} || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=bis auf Konjugation| |ISZ=|ESZ= }} und die zugehörigen Invariantenringe {{mathl|term= K[U,V]^G |SZ=}} bestimmen. Es wird sich herausstellen, dass es hierzu eine überschaubare Klassifikation gibt, nämlich die ADE-Klassifikation. Die auftretenden Invariantenringe bzw. ihre Spektren {{ Zusatz/Klammer |text=also die Bahnenräume| |ISZ=|ESZ= }} nennt man {{Stichwort|ADE-Singularitäten|SZ=.}} Die anvisierte Klassifikation beruht auf der Klassifikation der endlichen Bewegungsgruppen im {{math|term= \R^3 |SZ=.}} Die ADE-Singularitäten treten in vielen verschiedenen Kontexten immer wieder auf. {{Zwischenüberschrift|Gruppenoperationen}} {{:Gruppenoperation/Kurzeinführung/Textabschnitt|}} {{Zwischenüberschrift|Lineare Gruppenoperationen auf dem {{math|term= K^d |SZ=}} }} {{:Lineare Gruppenoperation/Polynomring/Einführung/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|Invariantenringe}} {{:Gruppenoperation/Kommutativer Ring/Invariantenring/Einführung/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|Graduierungen und Gruppenoperationen}} Zur Graduierung durch die Gruppe {{math|term= D |SZ=}} gehört eine Gruppenoperation der dualen Gruppe {{mathl|term= {{op:Charakterdual| G |}} |SZ=.}} {{ inputdefinition |Gruppe/Charaktergruppe in Körper/Definition|| }} Die Aussagekraft der Charaktergruppe hängt wesentlich davon ab, wie viele Einheitswurzeln der Körper besitzt. Bei {{math|term= D |SZ=}} endlich und {{ Relationskette | K || {{CC}} || || || |SZ= }} sind {{math|term= D |SZ=}} und {{mathl|term= {{op:Charakterdual| G |}} |SZ=}} zueinander isomorph, aber nicht kanonisch. Viele Monoidringe {{ Zusatz/Klammer |text=nämlich die torisch-normalen| |ISZ=|ESZ= }} kann man als Invariantenring zu einer Gruppenoperation {{ Zusatz/Klammer |text=einer endlichen oder unendlichen Gruppenoperation| |ISZ=|ESZ= }} auf dem Polynomring erhalten, sodass wir direkt ein Vielzahl an Invariantenringen zur Verfügung haben. {{ inputfaktbeweis |Graduierter Ring/Körper/Endliche Gruppe/Einheitswurzeln/Invariantenring/Fakt|Lemma|| }} Insbesondere folgt daraus in Verbindung mit {{ Faktlink |Faktseitenname= Polynomring/Graduierung/Neutrale Stufe/Monoidring/Fakt |Nr= |SZ=, }} dass sich viele Monoidringe als Invariantenringe realisieren lassen. {{ inputbeispiel |Einheitswurzel/xy-z^n/Graduierung/Beispiel|| }} }} 9qrfqa2z23otzgnh4gkuqa3sn3r9ipl 1118821 1118820 2026-11-04T07:30:52Z Bocardodarapti 2041 1118821 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2026-2027)/Vorlesungsgestaltung|9| In den folgenden drei Vorlesungen möchten wir die endlichen Untergruppen {{ Relationskette | G | \subseteq | {{op:SLG| 2 | {{CC}} }} || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=bis auf Konjugation| |ISZ=|ESZ= }} und die zugehörigen Invariantenringe {{mathl|term= K[U,V]^G |SZ=}} bestimmen. Es wird sich herausstellen, dass es hierzu eine überschaubare Klassifikation gibt, nämlich die ADE-Klassifikation. Die auftretenden Invariantenringe bzw. ihre Spektren {{ Zusatz/Klammer |text=also die Bahnenräume| |ISZ=|ESZ= }} nennt man {{Stichwort|ADE-Singularitäten|SZ=.}} Die anvisierte Klassifikation beruht auf der Klassifikation der endlichen Bewegungsgruppen im {{math|term= \R^3 |SZ=.}} Die ADE-Singularitäten treten in vielen verschiedenen Kontexten immer wieder auf. {{Zwischenüberschrift|Gruppenoperationen}} {{:Gruppenoperation/Kurzeinführung/Textabschnitt|}} {{Zwischenüberschrift|Lineare Gruppenoperationen auf dem {{math|term= K^d |SZ=}} }} {{:Lineare Gruppenoperation/Polynomring/Einführung/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|Invariantenringe}} {{:Gruppenoperation/Kommutativer Ring/Invariantenring/Einführung/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|Graduierungen und Gruppenoperationen}} Zur Graduierung durch die Gruppe {{math|term= D |SZ=}} gehört eine Gruppenoperation der dualen Gruppe {{mathl|term= {{op:Charakterdual| G |}} |SZ=.}} {{ inputdefinition |Gruppe/Charaktergruppe in Körper/Definition|| }} Die Aussagekraft der Charaktergruppe hängt wesentlich davon ab, wie viele Einheitswurzeln der Körper besitzt. Bei {{math|term= D |SZ=}} endlich und {{ Relationskette | K || {{CC}} || || || |SZ= }} sind {{math|term= D |SZ=}} und {{mathl|term= {{op:Charakterdual| G |}} |SZ=}} zueinander isomorph, aber nicht kanonisch. Viele Monoidringe {{ Zusatz/Klammer |text=nämlich die torisch-normalen| |ISZ=|ESZ= }} kann man als Invariantenring zu einer Gruppenoperation {{ Zusatz/Klammer |text=einer endlichen oder unendlichen Gruppenoperation| |ISZ=|ESZ= }} auf dem Polynomring erhalten, sodass wir direkt ein Vielzahl an Invariantenringen zur Verfügung haben. {{ inputfaktbeweisaufgabe |Graduierte Algebra/Körper/Charakter definiert Automorphismus/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktbeweis |Graduierter Ring/Körper/Endliche Gruppe/Einheitswurzeln/Invariantenring/Fakt|Lemma|| }} Insbesondere folgt daraus in Verbindung mit {{ Faktlink |Faktseitenname= Polynomring/Graduierung/Neutrale Stufe/Monoidring/Fakt |Nr= |SZ=, }} dass sich viele Monoidringe als Invariantenringe realisieren lassen. {{ inputbeispiel |Einheitswurzel/xy-z^n/Graduierung/Beispiel|| }} }} dbex69b6pqskqhhvcn01hbfgn4fk77d 106 171054 1118792 1118403 2026-11-03T12:46:21Z Bocardodarapti 2041 1118792 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2026-2027)/Arbeitsblattgestaltung|7| {{ inputaufgabe |Kommutatives Monoid/Monoidhomomorphismus/Verträgliche Äquivalenzrelation/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutative Gruppe/Verträgliche Äquivalenzrelation/Untergruppe/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutatives Monoid/Relation/Kleinste verträgliche Äquivalenzrelation/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutatives Monoid/Eine Relation/Kleinste verträgliche Äquivalenzrelation/Explizit/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutatives Monoid/Verträgliche Äquivalenzrelation/Monoidstruktur/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Monoid/N^2 modulo 2e ist 4f/Untermonoidrealisierung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Y^2-X^4/Monoidring/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{inputaufgabe |Monoidring/Obermonoid/Endlicher Abschluss/ist Monoid/Aufgabe|}} {{ inputaufgabe |Untermonoid/N^2/Nicht endlich erzeugt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Z^2/Gruppenring/Rechenbeispiel/1/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Z mod 5/Gruppenring/Rechenbeispiel/1/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Monoidring/Assoziativ und distributiv/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Monoidring/Idempotentes Element/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Endliche kommutative Gruppe/Monoidring/Idempotente Elemente/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Gruppenring/Endlich erzeugte kommutative Gruppe/Glatt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Standardkegel/C/Monoidring/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Whitney Regenschirm/X^2Y-Z^2/Singulärer Ort/Beispiel/Monoidring/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Die invertierbaren Elemente in einem Monoid nennt man auch Einheiten des Monoids. Sie bilden die Einheitengruppe des Monoids. {{ inputaufgabe |Monoid/Einheit/Ring/Umkehrung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{:Kommutatives Monoid/Spitz/Definition|}} {{ inputaufgabe |Normales Monoid/Beschreibende Halbräume/2 und 3-dimensional/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{inputaufgabe |Kommutatives Monoid/Ideal auf Monoidebene/Ergibt Ideal in R M/Aufgabe|| }} Die folgenden Aufgaben haben mit der Differenzengruppe eines Monoids zu tun. {{ inputaufgabe |Kommutative Monoidtheorie/Differenzengruppe/Gruppe/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{inputaufgabe |Monoid/Zugehörige Differenzengruppe/Universelle Eigenschaft/Aufgabe| }} {{inputaufgabe |Monoid/Zugehörige Differenzengruppe/Charakterisierungen Kürzungsregel/Aufgabe| }} Die folgenden Aufgaben besprechen Monoidringe zu Monoiden, die nicht endlich erzeugt sind. {{ inputaufgabe |Monoidring/Q geq 0/Rechnungsbeispiel/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Monoidring/Q geq 0/Polynom in Wurzel/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Monoidring/Q geq 0/Keine irreduzible Zerlegung von X/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Monoidring/Q geq 0/Über R/Zerlegung von X^2+1/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Monoidring/Q geq 0/Über C/Keine irreduziblen Elemente/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Monoidring/Q geq 0/Über K/Teiler von X/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Monoidring/Q/Über K/Einheiten/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} }} etvk11w2cebw1dg3h65ld1lvrg2y4wm 106 171055 1118789 1118372 2026-11-03T12:43:10Z Bocardodarapti 2041 1118789 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2026-2027)/Arbeitsblattgestaltung|8| {{ inputaufgabe |Monoidring/Funktorialität/Abbildungseigenschaften/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{inputaufgabe |Kommutative Monoidringe/Zu Z^n ist Laurentring/Beweis mit universeller Eigenschaft/Aufgabe||}} {{ inputaufgabe |Monoidring/Nenneraufnahme/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{inputaufgabe |Monoidring/Homomorphismus/Endlich Charakterisierung/Aufgabe|}} Die folgenden Aufgaben besprechen Monoidringe zu Monoiden, die nicht endlich erzeugt sind. {{ inputaufgabe |Monoidring/Q geq 0/Rechnungsbeispiel/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Monoidring/Q geq 0/Polynom in Wurzel/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Monoidring/Q geq 0/Keine irreduzible Zerlegung von X/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Monoidring/Q geq 0/Über R/Zerlegung von X^2+1/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Monoidring/Q geq 0/Über C/Keine irreduziblen Elemente/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Monoidring/Q geq 0/Über K/Teiler von X/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Monoidring/Q/Über K/Einheiten/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{:Kommutative Monoidringe/R-wertige Punkte/Bemerkung}} Die folgenden Aufgaben beschäftigen sich mit dem {{math|term= K |SZ=-}}Spektrum eines kommutativen Monoids {{math|term= M |SZ=,}} also der Menge aller Monoidhomomorphismen von {{math|term= M |SZ=}} nach {{math|term= K |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=mit der multiplikativen Struktur| |ISZ=|ESZ=. }} {{ inputaufgabe |Kommutatives Monoid/ef ist 5g/K-Spektrum/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Endliches kommutatives Monoid/K-Spektrum/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{inputaufgabe |Monoidring/N^2 nach Z/e_1,e_2 nach 1,-1/Interpretiere/Aufgabe|}} {{inputaufgabe |Monoidring/Zyklische Gruppe/Grundlegende Eigenschaften/Aufgabe|}} {{inputaufgabe |Monoidringe/Funktorialität/K-Spektrum/Aufgabe|}} {{inputaufgabe |Monoidring/Rationale und reelle Zahlen als Monoid/Monoidhomomorphismen/Aufgabe|}} {{inputaufgabe |Monoidring/Abbildung durch Matrix über N zwischen N^r und N^s/Aufgabe||zusatz=Wie sieht die zugehörige Spektrumsabbildung aus?}} {{ inputaufgabe |Monoidring/Abbildung durch quadratische Matrix über N/Determinante und generisch surjektiv/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{inputaufgabe |Monoidring/Faser über 1 als Monoidring/Aufgabe|| |zusatz1=&nbsp; {{ Zusatz/Klammer |text=das ist der Punkt, der der konstanten Abbildung {{math|term= M \mapsto 1 |SZ=}} entspricht| |ISZ=|ESZ= }}|}} {{inputaufgabe |Kommutatives Monoid/M und N/Beschreibung der Produktmorphismen/Aufgabe||}} {{ inputaufgabe |Polynomring/Graduierung/Z mod 5/123/Neutrale Stufe/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kegel/(2,5) und (3,2)/Monoidring und neutrale Stufe/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{:Graduierter kommutativer Ring/Homogenes Ideal/Definition|}} {{ inputaufgabe |Graduierter kommutativer Ring/Homogenes Ideal/Restklassenring/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Homogenes Polynom/Darstellung mit formalen partiellen Ableitungen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Gerade und ungerade Funktionen/Stetig/Z mod 2 Algebra/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Polynomring in zwei Variablen/Z-Graduierung aus feiner Graduierung/Invariantenring/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} }} 5n7mw7oqi10y8he52r5wu7jz96vzpye 1118791 1118789 2026-11-03T12:46:03Z Bocardodarapti 2041 1118791 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2026-2027)/Arbeitsblattgestaltung|8| {{ inputaufgabe |Monoidring/Funktorialität/Abbildungseigenschaften/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{inputaufgabe |Kommutative Monoidringe/Zu Z^n ist Laurentring/Beweis mit universeller Eigenschaft/Aufgabe||}} {{ inputaufgabe |Monoidring/Nenneraufnahme/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{inputaufgabe |Monoidring/Homomorphismus/Endlich Charakterisierung/Aufgabe|}} {{:Kommutative Monoidringe/R-wertige Punkte/Bemerkung}} Die folgenden Aufgaben beschäftigen sich mit dem {{math|term= K |SZ=-}}Spektrum eines kommutativen Monoids {{math|term= M |SZ=,}} also der Menge aller Monoidhomomorphismen von {{math|term= M |SZ=}} nach {{math|term= K |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=mit der multiplikativen Struktur| |ISZ=|ESZ=. }} {{ inputaufgabe |Kommutatives Monoid/ef ist 5g/K-Spektrum/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Endliches kommutatives Monoid/K-Spektrum/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{inputaufgabe |Monoidring/N^2 nach Z/e_1,e_2 nach 1,-1/Interpretiere/Aufgabe|}} {{inputaufgabe |Monoidring/Zyklische Gruppe/Grundlegende Eigenschaften/Aufgabe|}} {{inputaufgabe |Monoidringe/Funktorialität/K-Spektrum/Aufgabe|}} {{inputaufgabe |Monoidring/Rationale und reelle Zahlen als Monoid/Monoidhomomorphismen/Aufgabe|}} {{inputaufgabe |Monoidring/Abbildung durch Matrix über N zwischen N^r und N^s/Aufgabe||zusatz=Wie sieht die zugehörige Spektrumsabbildung aus?}} {{ inputaufgabe |Monoidring/Abbildung durch quadratische Matrix über N/Determinante und generisch surjektiv/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{inputaufgabe |Monoidring/Faser über 1 als Monoidring/Aufgabe|| |zusatz1=&nbsp; {{ Zusatz/Klammer |text=das ist der Punkt, der der konstanten Abbildung {{math|term= M \mapsto 1 |SZ=}} entspricht| |ISZ=|ESZ= }}|}} {{inputaufgabe |Kommutatives Monoid/M und N/Beschreibung der Produktmorphismen/Aufgabe||}} {{ inputaufgabe |Polynomring/Graduierung/Z mod 5/123/Neutrale Stufe/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kegel/(2,5) und (3,2)/Monoidring und neutrale Stufe/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{:Graduierter kommutativer Ring/Homogenes Ideal/Definition|}} {{ inputaufgabe |Graduierter kommutativer Ring/Homogenes Ideal/Restklassenring/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Homogenes Polynom/Darstellung mit formalen partiellen Ableitungen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Gerade und ungerade Funktionen/Stetig/Z mod 2 Algebra/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Polynomring in zwei Variablen/Z-Graduierung aus feiner Graduierung/Invariantenring/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} }} 9mxf4ky443l7n3yndo1r34t4r9k3uym 1118793 1118791 2026-11-03T12:48:17Z Bocardodarapti 2041 1118793 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2026-2027)/Arbeitsblattgestaltung|8| {{ inputaufgabe |Monoidring/Funktorialität/Abbildungseigenschaften/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{inputaufgabe |Kommutative Monoidringe/Zu Z^n ist Laurentring/Beweis mit universeller Eigenschaft/Aufgabe||}} {{ inputaufgabe |Monoidring/Nenneraufnahme/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{inputaufgabe |Monoidring/Homomorphismus/Endlich Charakterisierung/Aufgabe|}} {{:Kommutative Monoidringe/R-wertige Punkte/Bemerkung}} Die folgenden Aufgaben beschäftigen sich mit dem {{math|term= K |SZ=-}}Spektrum eines kommutativen Monoids {{math|term= M |SZ=,}} also der Menge aller Monoidhomomorphismen von {{math|term= M |SZ=}} nach {{math|term= K |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=mit der multiplikativen Struktur| |ISZ=|ESZ=. }} {{ inputaufgabe |Kommutatives Monoid/ef ist 5g/K-Spektrum/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Endliches kommutatives Monoid/K-Spektrum/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{inputaufgabe |Monoidring/N^2 nach Z/e_1,e_2 nach 1,-1/Interpretiere/Aufgabe|}} {{inputaufgabe |Monoidring/Zyklische Gruppe/Grundlegende Eigenschaften/Aufgabe|}} {{inputaufgabe |Monoidringe/Funktorialität/K-Spektrum/Aufgabe|}} {{inputaufgabe |Monoidring/Rationale und reelle Zahlen als Monoid/Monoidhomomorphismen/Aufgabe|}} {{inputaufgabe |Monoidring/Abbildung durch Matrix über N zwischen N^r und N^s/Aufgabe||zusatz=Wie sieht die zugehörige Spektrumsabbildung aus?}} {{ inputaufgabe |Monoidring/Abbildung durch quadratische Matrix über N/Determinante und generisch surjektiv/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{inputaufgabe |Monoidring/Faser über 1 als Monoidring/Aufgabe|| |zusatz1=&nbsp; {{ Zusatz/Klammer |text=das ist der Punkt, der der konstanten Abbildung {{math|term= M \mapsto 1 |SZ=}} entspricht| |ISZ=|ESZ= }}|}} {{inputaufgabe |Kommutatives Monoid/M und N/Beschreibung der Produktmorphismen/Aufgabe||}} {{ inputaufgabe |Polynomring/Graduierung/Z mod 5/123/Neutrale Stufe/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kegel/(2,5) und (3,2)/Monoidring und neutrale Stufe/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{:Graduierter kommutativer Ring/Homogenes Ideal/Definition|}} {{ inputaufgabe |Graduierter kommutativer Ring/Homogenes Ideal/Restklassenring/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Homogenes Polynom/Darstellung mit formalen partiellen Ableitungen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Gerade und ungerade Funktionen/Stetig/Z mod 2 Algebra/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Polynomring in zwei Variablen/Z-Graduierung aus feiner Graduierung/Invariantenring/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Feine Graduierung/KUV/Z mod 3/Beispiele/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} }} ideo2o9xjrf1gcshs9pxpzucelvaxlj 106 171056 1118790 1118408 2026-11-03T12:43:17Z Bocardodarapti 2041 1118790 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2026-2027)/Arbeitsblattgestaltung|9| {{ inputaufgabe |Gruppenoperation/Gruppenhomomorphismus in Automorphismengruppe/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Gruppenoperation/Bahn/Äquivalenzrelation/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Komplexe Zahlen/Einheitswurzeln/Operation/Bahnen und Isotropiegruppen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Gruppenoperation/Kommutativer Ring/Einheiten/Körper/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Reine quadratische Algebra/Gruppenoperation/Invariantenring/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Gruppenoperation auf Ring/Invariantes Ideal/Beziehungen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Unendlicher Körper/Endliche lineare Gruppe/Bahnen/Offene Menge/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ Aufgabelink |Präwort=Gemäß||Aufgabeseitenname= Gruppenoperation/Gruppenhomomorphismus in Automorphismengruppe/Fakt/Beweis/Aufgabe |Nr= |SZ= }} ergibt eine Gruppenoperation für jedes {{ Relationskette | g | \in | G || || || |SZ= }} eine Bijektion {{mathl|term=x \mapsto gx|SZ=}} auf {{math|term=M|SZ=.}} Wenn {{math|term=M|SZ=}} zusätzliche Strukturen besitzt, so verlangt man häufig, dass diese Bijektionen diese Strukturen respektieren, also beispielsweise linear oder stetig sind. Man spricht dann von einer linearen oder von einer stetigen Operation oder sagt, dass die Gruppe als Gruppe von Automorphismen oder als Gruppe von Homöomorphismen operiert. {{ inputaufgabe |Topologischer Raum/Gruppenoperation/Ring der stetigen reellwertigen Funktionen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Stetige Funktion/C nach C/Respektiert alle Einheitswurzeln/S^1/Durch Betrag/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Quadratisches Polynom/Diskriminante/Verträglich mit Operation/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{inputaufgabe |Gruppenring/Modul und Gruppendarstellung/Aufgabe||zusatz= Bemerkung: {{math|term= \rho |SZ=}} heißt dann eine {{Stichwort|Darstellung}} von {{math|term= G |SZ=.}} Solche Darstellungen sind oft einfacher zu handhaben als {{math|term= G |SZ=}} und man kann mit Hilfe von {{math|term= \rho |SZ=}} oft hilfreiche Erkenntnisse über {{math|term= G |SZ=}} selbst gewinnen.}} In den meisten der folgenden Aufgaben kann man statt mit einem Grundkörper mit einem beliebigen kommutativen Grundring arbeiten. Vor der nächsten Aufgabe erwähnen wir die folgende Definition. {{:Graduierte kommutative Algebra/Homogener Automorphismus/Definition}} {{ inputaufgabe |Graduierte kommutative Algebra/Charakter/Definiert homogenen Automorphismus/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutativer Ring/2 Einheit/Z mod 2 Operation/Graduierung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Graduierte Körpererweiterung/Homogener Automorphismus/Von Charakter/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Polynomring/Graduierung/Neutrale Stufe/Monoidring/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} }} nh1v2aftfw6egieui09yhmpbk5q7p30 1118794 1118790 2026-11-03T12:50:49Z Bocardodarapti 2041 1118794 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2026-2027)/Arbeitsblattgestaltung|9| {{ inputaufgabe |Gruppenoperation/Gruppenhomomorphismus in Automorphismengruppe/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Gruppenoperation/Bahn/Äquivalenzrelation/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Komplexe Zahlen/Einheitswurzeln/Operation/Bahnen und Isotropiegruppen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Gruppenoperation/Kommutativer Ring/Einheiten/Körper/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Reine quadratische Algebra/Gruppenoperation/Invariantenring/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Gruppenoperation auf Ring/Invariantes Ideal/Beziehungen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Unendlicher Körper/Endliche lineare Gruppe/Bahnen/Offene Menge/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ Aufgabelink |Präwort=Gemäß||Aufgabeseitenname= Gruppenoperation/Gruppenhomomorphismus in Automorphismengruppe/Fakt/Beweis/Aufgabe |Nr= |SZ= }} ergibt eine Gruppenoperation für jedes {{ Relationskette | g | \in | G || || || |SZ= }} eine Bijektion {{mathl|term=x \mapsto gx|SZ=}} auf {{math|term=M|SZ=.}} Wenn {{math|term=M|SZ=}} zusätzliche Strukturen besitzt, so verlangt man häufig, dass diese Bijektionen diese Strukturen respektieren, also beispielsweise linear oder stetig sind. Man spricht dann von einer linearen oder von einer stetigen Operation oder sagt, dass die Gruppe als Gruppe von Automorphismen oder als Gruppe von Homöomorphismen operiert. {{ inputaufgabe |Topologischer Raum/Gruppenoperation/Ring der stetigen reellwertigen Funktionen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Stetige Funktion/C nach C/Respektiert alle Einheitswurzeln/S^1/Durch Betrag/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Quadratisches Polynom/Diskriminante/Verträglich mit Operation/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{inputaufgabe |Gruppenring/Modul und Gruppendarstellung/Aufgabe||zusatz= Bemerkung: {{math|term= \rho |SZ=}} heißt dann eine {{Stichwort|Darstellung}} von {{math|term= G |SZ=.}} Solche Darstellungen sind oft einfacher zu handhaben als {{math|term= G |SZ=}} und man kann mit Hilfe von {{math|term= \rho |SZ=}} oft hilfreiche Erkenntnisse über {{math|term= G |SZ=}} selbst gewinnen.}} In den meisten der folgenden Aufgaben kann man statt mit einem Grundkörper mit einem beliebigen kommutativen Grundring arbeiten. Vor der nächsten Aufgabe erwähnen wir die folgende Definition. {{:Graduierte kommutative Algebra/Homogener Automorphismus/Definition}} {{ inputaufgabe |Graduierte kommutative Algebra/Charakter/Definiert homogenen Automorphismus/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutativer Ring/2 Einheit/Z mod 2 Operation/Graduierung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Graduierte Körpererweiterung/Homogener Automorphismus/Von Charakter/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Polynomring/Graduierung/Neutrale Stufe/Monoidring/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Polynomring/D-graduiert/D endlich/Isotropiegruppe/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} }} qv2dduzw59pi4idr8sdcy78h1wvj7kc 1118815 1118794 2026-11-04T07:19:16Z Bocardodarapti 2041 1118815 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2026-2027)/Arbeitsblattgestaltung|9| {{ inputaufgabe |Gruppenoperation/Gruppenhomomorphismus in Automorphismengruppe/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Gruppenoperation/Bahn/Äquivalenzrelation/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Komplexe Zahlen/Einheitswurzeln/Operation/Bahnen und Isotropiegruppen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Gruppenoperation/Kommutativer Ring/Einheiten/Körper/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Reine quadratische Algebra/Gruppenoperation/Invariantenring/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Gruppenoperation auf Ring/Invariantes Ideal/Beziehungen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Unendlicher Körper/Endliche lineare Gruppe/Bahnen/Offene Menge/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ Aufgabelink |Präwort=Gemäß||Aufgabeseitenname= Gruppenoperation/Gruppenhomomorphismus in Automorphismengruppe/Fakt/Beweis/Aufgabe |Nr= |SZ= }} ergibt eine Gruppenoperation für jedes {{ Relationskette | g | \in | G || || || |SZ= }} eine Bijektion {{mathl|term=x \mapsto gx|SZ=}} auf {{math|term=M|SZ=.}} Wenn {{math|term=M|SZ=}} zusätzliche Strukturen besitzt, so verlangt man häufig, dass diese Bijektionen diese Strukturen respektieren, also beispielsweise linear oder stetig sind. Man spricht dann von einer linearen oder von einer stetigen Operation oder sagt, dass die Gruppe als Gruppe von Automorphismen oder als Gruppe von Homöomorphismen operiert. {{ inputaufgabe |Topologischer Raum/Gruppenoperation/Ring der stetigen reellwertigen Funktionen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Stetige Funktion/C nach C/Respektiert alle Einheitswurzeln/S^1/Durch Betrag/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Quadratisches Polynom/Diskriminante/Verträglich mit Operation/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{inputaufgabe |Gruppenring/Modul und Gruppendarstellung/Aufgabe||zusatz= Bemerkung: {{math|term= \rho |SZ=}} heißt dann eine {{Stichwort|Darstellung}} von {{math|term= G |SZ=.}} Solche Darstellungen sind oft einfacher zu handhaben als {{math|term= G |SZ=}} und man kann mit Hilfe von {{math|term= \rho |SZ=}} oft hilfreiche Erkenntnisse über {{math|term= G |SZ=}} selbst gewinnen.}} {{ inputaufgabe |Graduierte Algebra/Körper/Charakter definiert Automorphismus/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} In den meisten der folgenden Aufgaben kann man statt mit einem Grundkörper mit einem beliebigen kommutativen Grundring arbeiten. 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Man spricht dann von einer linearen oder von einer stetigen Operation oder sagt, dass die Gruppe als Gruppe von Automorphismen oder als Gruppe von Homöomorphismen operiert. {{ inputaufgabe |Topologischer Raum/Gruppenoperation/Ring der stetigen reellwertigen Funktionen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Stetige Funktion/C nach C/Respektiert alle Einheitswurzeln/S^1/Durch Betrag/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Quadratisches Polynom/Diskriminante/Verträglich mit Operation/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{inputaufgabe |Gruppenring/Modul und Gruppendarstellung/Aufgabe||zusatz= Bemerkung: {{math|term= \rho |SZ=}} heißt dann eine {{Stichwort|Darstellung}} von {{math|term= G |SZ=.}} Solche Darstellungen sind oft einfacher zu handhaben als {{math|term= G |SZ=}} und man kann mit Hilfe von {{math|term= \rho |SZ=}} oft hilfreiche Erkenntnisse über {{math|term= G |SZ=}} selbst gewinnen.}} {{ inputaufgabe |Graduierte Algebra/Körper/Charakter definiert Automorphismus/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} In den meisten der folgenden Aufgaben kann man statt mit einem Grundkörper mit einem beliebigen kommutativen Grundring arbeiten. 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August 2021 über die berufliche Grundbildung für Kauffrau/Kaufmann mit eidgenössischem Fähigkeitszeugnis (EFZ)'']</ref> = Grundlegendes = * KGRÖSSTE, KKLEINSTE, RANG.GLEICH, MEDIAN, STABW.N * ZÄHLENWENN / SUMMEWENN * [[Kurs:Tabellenkalkulation/Teilergebnis|Teilergebnis]] * [[Kurs:Tabellenkalkulation/Pivot|Pivot-Tabellen]] = Einzelnachweise = <references/> [[Kategorie:Kurs:Kaufleute EFZ/HKB E]] br6v1s9v4rx7sncbkueywsrrxrtvlzy 106 172717 1118850 1115088 2026-11-04T11:35:17Z Bert Niehaus 20843 /* Definition - Argumentfunktion */ 1118850 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Es gibt mehrere Möglichkeiten der Darstellung von komplexen Zahlen: * Darstellung in kartesischen Koordinaten <math>(z_1,z_2)\in \mathbb{R}^2</math>, gelegentlich auch ''algebraische Form'' genannt,<ref name="bronstein34">Bronstein, Semendjajew et al., S. 34</ref> als Summe des reellen <math>a</math> und des rein imaginären Anteils <math>b</math> mit folgenden Schreibweisen, also<ref>Eberhard Freitag, Rolf Busam: ''Funktionentheorie 1''. 4. 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Conway: ''Functions of One Complex Variable I'', Second Edition, Springer, S. 4. <math>z = r\, \operatorname{cis}\varphi </math></ref>. === Winkel bzw. Phasenfaktor === Hierbei wird der Faktor <math>\mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}</math> als '''Phasenfaktor''' und der Winkel <math>\varphi </math> auch als ''Argument'' <math>\varphi = \arg(z) </math> der komplexen Zahl (in Polardarstellung) bezeichnet. Hintergrund dieser Darstellung ist die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]], die über die komplexen Zahlen einen fundamentalen Zusammenhang zwischen der natürlichen Exponentialfunktion und den trigonometrischen Funktionen herstellt. Alle oberen Schreibweisen stellen demnach exakt die gleiche komplexe Zahl dar. Es ist zu beachten, dass die komplexe Zahl <math>z=0</math> kein Argument besitzt, weshalb hier keine Darstellung in Polarkoordinaten im oberen Sinne möglich ist. === Umwandlung von Koordinatendarstellung === Eine Umwandlung von kartesischer Form in Polarform ist für die Argumentfunktion <math>\mathbb{arg}(z)</math> nur für <math>z\not= 0</math> eindeutig für <math>\varphi \in (-\pi,+\pi]</math> möglich. == Definition - Argumentfunktion == Sei <math> z\not= 0</math> mittels <math>z = z_1 + z_2\,\mathrm{i} = |z|{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\varphi}</math> und : <math>\varphi = \arg (z_1+z_2\,\mathrm{i}) = \operatorname{arctan2}(z_1,\,z_2) = \begin{cases} 2 \cdot \arctan \dfrac{z_2}{\sqrt{z_1^2 \!+\! z_2^2} + z_1} &\text{falls } z_2 \neq 0 \text{ oder } z_1 > 0, \\ \pi &\text{falls } z_2 = 0 \text{ und } z_1 < 0 \end{cases}</math> möglich. === Halbwinkelformel === Setzt man <math>\ \varphi = \mathrm{arg}(z)</math>, erhält man für trigonometrischen Funktionen <math>\sin(\varphi) \!=\! \tfrac{z_2}{\sqrt{z_1^2+z_2^2}} = \tfrac{z_2}{|z|}\ </math> und <math>\ \cos(\varphi) \!=\! \tfrac{z_1}{\sqrt{z_1^2+z_2^2}} = \tfrac{z_1}{|z|}</math>, so ist die Gleichheit zur [[w:de:arctan2|arctan2]]-Funktion eine Konsequenz aus der [[w:de:Formelsammlung Trigonometrie#Halbwinkelformeln|Halbwinkelformel]], falls <math>z_2 \neq 0 </math> oder <math> z_1 > 0 </math>. : <math>\tan \left( \frac{\varphi}{2} \right) = \frac{\sin(\varphi)}{1 + \cos(\varphi)} = \frac{\tfrac{z_2}{|z|}}{1+\tfrac{z_1}{|z|}}= \frac{z_2}{|z| + z_1} </math> === Bemerkung - Winkelbereich === Die linke Seite lässt sich im „vollen Winkelbereich des Hauptarguments“ <math>-\pi < \varphi < \pi</math> unter Anwendung des Arkustangens zu <math>\tfrac{\varphi}{2}</math> umformen. Ist hingegen <math>- \tfrac{\pi}{2} < \varphi < \tfrac{\pi}{2}</math>, also <math>z</math> auf der rechten Halbebene, so kann die Gleichung <math>\tan \varphi = \tfrac{b}{a}</math> vereinfachend auch zu <math>\,\varphi = \arg z = \arctan \tfrac{b}{a} </math> aufgelöst werden. == Quellennachweis == <references/> == Siehe auch == * [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] * [[Logarithmus]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] ivsovztb7g4bl1lquqitd9oypbn0h96 1118851 1118850 2026-11-04T11:36:55Z Bert Niehaus 20843 /* Definition - Argumentfunktion */ 1118851 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Es gibt mehrere Möglichkeiten der Darstellung von komplexen Zahlen: * Darstellung in kartesischen Koordinaten <math>(z_1,z_2)\in \mathbb{R}^2</math>, gelegentlich auch ''algebraische Form'' genannt,<ref name="bronstein34">Bronstein, Semendjajew et al., S. 34</ref> als Summe des reellen <math>a</math> und des rein imaginären Anteils <math>b</math> mit folgenden Schreibweisen, also<ref>Eberhard Freitag, Rolf Busam: ''Funktionentheorie 1''. 4. 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Conway: ''Functions of One Complex Variable I'', Second Edition, Springer, S. 4. <math>z = r\, \operatorname{cis}\varphi </math></ref>. === Winkel bzw. Phasenfaktor === Hierbei wird der Faktor <math>\mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}</math> als '''Phasenfaktor''' und der Winkel <math>\varphi </math> auch als ''Argument'' <math>\varphi = \arg(z) </math> der komplexen Zahl (in Polardarstellung) bezeichnet. Hintergrund dieser Darstellung ist die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]], die über die komplexen Zahlen einen fundamentalen Zusammenhang zwischen der natürlichen Exponentialfunktion und den trigonometrischen Funktionen herstellt. Alle oberen Schreibweisen stellen demnach exakt die gleiche komplexe Zahl dar. Es ist zu beachten, dass die komplexe Zahl <math>z=0</math> kein Argument besitzt, weshalb hier keine Darstellung in Polarkoordinaten im oberen Sinne möglich ist. === Umwandlung von Koordinatendarstellung === Eine Umwandlung von kartesischer Form in Polarform ist für die Argumentfunktion <math>\mathbb{arg}(z)</math> nur für <math>z\not= 0</math> eindeutig für <math>\varphi \in (-\pi,+\pi]</math> möglich. == Definition - Argumentfunktion == Sei <math> z\not= 0</math> mittels <math>z = z_1 + z_2\,\mathrm{i} = |z|{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\varphi}</math> und : <math>\varphi = \arg (z_1+z_2\,\mathrm{i}) = \operatorname{arctan2}(z_1,\,z_2) </math> möglich. === Definition von arctan2 === Die Funktion <math>arctan2</math> ist dabei wie folgt definiert: :<math> \operatorname{arctan2}(z_1,\,z_2) = \begin{cases} 2 \cdot \arctan \dfrac{z_2}{\sqrt{z_1^2 \!+\! z_2^2} + z_1} &\text{falls } z_2 \neq 0 \text{ oder } z_1 > 0, \\ \pi &\text{falls } z_2 = 0 \text{ und } z_1 < 0 \end{cases} </math> === Halbwinkelformel === Setzt man <math>\ \varphi = \mathrm{arg}(z)</math>, erhält man für trigonometrischen Funktionen <math>\sin(\varphi) \!=\! \tfrac{z_2}{\sqrt{z_1^2+z_2^2}} = \tfrac{z_2}{|z|}\ </math> und <math>\ \cos(\varphi) \!=\! \tfrac{z_1}{\sqrt{z_1^2+z_2^2}} = \tfrac{z_1}{|z|}</math>, so ist die Gleichheit zur [[w:de:arctan2|arctan2]]-Funktion eine Konsequenz aus der [[w:de:Formelsammlung Trigonometrie#Halbwinkelformeln|Halbwinkelformel]], falls <math>z_2 \neq 0 </math> oder <math> z_1 > 0 </math>. : <math>\tan \left( \frac{\varphi}{2} \right) = \frac{\sin(\varphi)}{1 + \cos(\varphi)} = \frac{\tfrac{z_2}{|z|}}{1+\tfrac{z_1}{|z|}}= \frac{z_2}{|z| + z_1} </math> === Bemerkung - Winkelbereich === Die linke Seite lässt sich im „vollen Winkelbereich des Hauptarguments“ <math>-\pi < \varphi < \pi</math> unter Anwendung des Arkustangens zu <math>\tfrac{\varphi}{2}</math> umformen. Ist hingegen <math>- \tfrac{\pi}{2} < \varphi < \tfrac{\pi}{2}</math>, also <math>z</math> auf der rechten Halbebene, so kann die Gleichung <math>\tan \varphi = \tfrac{b}{a}</math> vereinfachend auch zu <math>\,\varphi = \arg z = \arctan \tfrac{b}{a} </math> aufgelöst werden. == Quellennachweis == <references/> == Siehe auch == * [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] * [[Logarithmus]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] dcqz3lxf9wzhe8czra71djhgimt3sjn 1118852 1118851 2026-11-04T11:51:53Z Bert Niehaus 20843 /* Definition von arctan2 */ 1118852 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Es gibt mehrere Möglichkeiten der Darstellung von komplexen Zahlen: * Darstellung in kartesischen Koordinaten <math>(z_1,z_2)\in \mathbb{R}^2</math>, gelegentlich auch ''algebraische Form'' genannt,<ref name="bronstein34">Bronstein, Semendjajew et al., S. 34</ref> als Summe des reellen <math>a</math> und des rein imaginären Anteils <math>b</math> mit folgenden Schreibweisen, also<ref>Eberhard Freitag, Rolf Busam: ''Funktionentheorie 1''. 4. Auflage. Springer, S. 4.</ref> :: <math>z = z_1 + z_2\,\mathrm{i}</math> oder auch <math>z = z_1 + \mathrm{i}\,z_2\ </math>. * Darstellung in [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinaten]] bzw. in '''Polardarstellung''' <math>(r,\varphi)</math> als Produkt des absoluten Betrages <math>r=|z|</math> gedreht um den Winkel <math>\varphi = \mathrm{arg}(z)</math>. === Schreibweisen === Die Polarkoordinatendarstellung hat dabei die folgenden Schreibweisen: * <math>z = r\, \underbrace{\big( \cos(\varphi) + \mathrm{i}\,\sin(\varphi)\big)}_{=e^{i\phi}}</math>, * <math>z = r\; \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi} </math> mit <math>r\geq 0</math>. * <math>z = r\; \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi} = e^{\ln(r)+i\, \varphi} </math> für <math>z\not= 0</math> und <math>r > 0</math>. In der dritten Darstellung tritt im Exponenten der reelle [[Logarithmus]] mit <math>\ln(r)</math> und <math> r > 0 </math> auf (siehe auch weitere Schreibweise<ref>John B. Conway: ''Functions of One Complex Variable I'', Second Edition, Springer, S. 4. <math>z = r\, \operatorname{cis}\varphi </math></ref>. === Winkel bzw. Phasenfaktor === Hierbei wird der Faktor <math>\mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}</math> als '''Phasenfaktor''' und der Winkel <math>\varphi </math> auch als ''Argument'' <math>\varphi = \arg(z) </math> der komplexen Zahl (in Polardarstellung) bezeichnet. Hintergrund dieser Darstellung ist die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]], die über die komplexen Zahlen einen fundamentalen Zusammenhang zwischen der natürlichen Exponentialfunktion und den trigonometrischen Funktionen herstellt. Alle oberen Schreibweisen stellen demnach exakt die gleiche komplexe Zahl dar. Es ist zu beachten, dass die komplexe Zahl <math>z=0</math> kein Argument besitzt, weshalb hier keine Darstellung in Polarkoordinaten im oberen Sinne möglich ist. === Umwandlung von Koordinatendarstellung === Eine Umwandlung von kartesischer Form in Polarform ist für die Argumentfunktion <math>\mathbb{arg}(z)</math> nur für <math>z\not= 0</math> eindeutig für <math>\varphi \in (-\pi,+\pi]</math> möglich. == Definition - Argumentfunktion == Sei <math> z\not= 0</math> mittels <math>z = z_1 + z_2\,\mathrm{i} = |z|{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\varphi}</math> und : <math>\varphi = \arg (z_1+z_2\,\mathrm{i}) = \operatorname{arctan2}(z_1,\,z_2) </math> möglich. === Definition von arctan2 === Die Funktion <math>\operatorname{arctan2}</math> ist dabei wie folgt definiert: :<math> \operatorname{arctan2}(z_1,\,z_2) = \begin{cases} \arctan\left(\tfrac{z_2}{z_1}\right) & z_1 > 0 \\ \arctan\left(\tfrac{z_2}{z_1}\right) + \pi & z_1 < 0 \wedge z_2 > 0, \\ \arctan\left(\tfrac{z_2}{z_1}\right) - \pi & z_1 > 0 , \\ -\pi & z_1 < 0 \wedge z_2 = 0 \end{cases} </math> === Halbwinkelformel === Setzt man <math>\ \varphi = \mathrm{arg}(z)</math>, erhält man für trigonometrischen Funktionen <math>\sin(\varphi) \!=\! \tfrac{z_2}{\sqrt{z_1^2+z_2^2}} = \tfrac{z_2}{|z|}\ </math> und <math>\ \cos(\varphi) \!=\! \tfrac{z_1}{\sqrt{z_1^2+z_2^2}} = \tfrac{z_1}{|z|}</math>, so ist die Gleichheit zur [[w:de:arctan2|arctan2]]-Funktion eine Konsequenz aus der [[w:de:Formelsammlung Trigonometrie#Halbwinkelformeln|Halbwinkelformel]], falls <math>z_2 \neq 0 </math> oder <math> z_1 > 0 </math>. : <math>\tan \left( \frac{\varphi}{2} \right) = \frac{\sin(\varphi)}{1 + \cos(\varphi)} = \frac{\tfrac{z_2}{|z|}}{1+\tfrac{z_1}{|z|}}= \frac{z_2}{|z| + z_1} </math> === Bemerkung - Winkelbereich === Die linke Seite lässt sich im „vollen Winkelbereich des Hauptarguments“ <math>-\pi < \varphi < \pi</math> unter Anwendung des Arkustangens zu <math>\tfrac{\varphi}{2}</math> umformen. Ist hingegen <math>- \tfrac{\pi}{2} < \varphi < \tfrac{\pi}{2}</math>, also <math>z</math> auf der rechten Halbebene, so kann die Gleichung <math>\tan \varphi = \tfrac{b}{a}</math> vereinfachend auch zu <math>\,\varphi = \arg z = \arctan \tfrac{b}{a} </math> aufgelöst werden. == Quellennachweis == <references/> == Siehe auch == * [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] * [[Logarithmus]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] ppa9hgcpxajz1palyvcavc36mm6hxmc 1118853 1118852 2026-11-04T11:57:29Z Bert Niehaus 20843 /* Definition von arctan2 */ 1118853 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Es gibt mehrere Möglichkeiten der Darstellung von komplexen Zahlen: * Darstellung in kartesischen Koordinaten <math>(z_1,z_2)\in \mathbb{R}^2</math>, gelegentlich auch ''algebraische Form'' genannt,<ref name="bronstein34">Bronstein, Semendjajew et al., S. 34</ref> als Summe des reellen <math>a</math> und des rein imaginären Anteils <math>b</math> mit folgenden Schreibweisen, also<ref>Eberhard Freitag, Rolf Busam: ''Funktionentheorie 1''. 4. Auflage. Springer, S. 4.</ref> :: <math>z = z_1 + z_2\,\mathrm{i}</math> oder auch <math>z = z_1 + \mathrm{i}\,z_2\ </math>. * Darstellung in [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinaten]] bzw. in '''Polardarstellung''' <math>(r,\varphi)</math> als Produkt des absoluten Betrages <math>r=|z|</math> gedreht um den Winkel <math>\varphi = \mathrm{arg}(z)</math>. === Schreibweisen === Die Polarkoordinatendarstellung hat dabei die folgenden Schreibweisen: * <math>z = r\, \underbrace{\big( \cos(\varphi) + \mathrm{i}\,\sin(\varphi)\big)}_{=e^{i\phi}}</math>, * <math>z = r\; \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi} </math> mit <math>r\geq 0</math>. * <math>z = r\; \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi} = e^{\ln(r)+i\, \varphi} </math> für <math>z\not= 0</math> und <math>r > 0</math>. In der dritten Darstellung tritt im Exponenten der reelle [[Logarithmus]] mit <math>\ln(r)</math> und <math> r > 0 </math> auf (siehe auch weitere Schreibweise<ref>John B. Conway: ''Functions of One Complex Variable I'', Second Edition, Springer, S. 4. <math>z = r\, \operatorname{cis}\varphi </math></ref>. === Winkel bzw. Phasenfaktor === Hierbei wird der Faktor <math>\mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}</math> als '''Phasenfaktor''' und der Winkel <math>\varphi </math> auch als ''Argument'' <math>\varphi = \arg(z) </math> der komplexen Zahl (in Polardarstellung) bezeichnet. Hintergrund dieser Darstellung ist die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]], die über die komplexen Zahlen einen fundamentalen Zusammenhang zwischen der natürlichen Exponentialfunktion und den trigonometrischen Funktionen herstellt. Alle oberen Schreibweisen stellen demnach exakt die gleiche komplexe Zahl dar. Es ist zu beachten, dass die komplexe Zahl <math>z=0</math> kein Argument besitzt, weshalb hier keine Darstellung in Polarkoordinaten im oberen Sinne möglich ist. === Umwandlung von Koordinatendarstellung === Eine Umwandlung von kartesischer Form in Polarform ist für die Argumentfunktion <math>\mathbb{arg}(z)</math> nur für <math>z\not= 0</math> eindeutig für <math>\varphi \in (-\pi,+\pi]</math> möglich. == Definition - Argumentfunktion == Sei <math> z\not= 0</math> mittels <math>z = z_1 + z_2\,\mathrm{i} = |z|{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\varphi}</math> und : <math>\varphi = \arg (z_1+z_2\,\mathrm{i}) = \operatorname{arctan2}(z_1,\,z_2) </math> möglich. === Definition von arctan2 === Die Funktion <math>\operatorname{arctan2}</math> ist dabei wie folgt definiert: :<math> \operatorname{arctan2}(z_1,\,z_2) = \begin{cases} \arctan\left(\tfrac{z_2}{z_1}\right) & z_1 > 0 \\ \arctan\left(\tfrac{z_2}{z_1}\right) + \pi & z_1 < 0 \wedge z_2 > 0, \\ \arctan\left(\tfrac{z_2}{z_1}\right) - \pi & z_1 > 0 , \\ -\pi & z_1 < 0 \wedge z_2 \neq 0\\ \operatorname{sgn}(z_2)\cdot \tfrac{\pi}{2} \end{cases} </math> === Signum-Funktion - Vorzeichenfunktion === Die Vorzeichenfunktion in der <math>arctan2</math>-Funktion ist dabei wie folgt definiert: : <math>\sgn(x):= \begin{cases} +1, & \; \text{falls} \quad x>0, \\ \;\;\,0, & \; \text{falls} \quad x=0, \\ -1, & \; \text{falls} \quad x<0. \\ \end{cases} </math> === Halbwinkelformel === Setzt man <math>\ \varphi = \mathrm{arg}(z)</math>, erhält man für trigonometrischen Funktionen <math>\sin(\varphi) \!=\! \tfrac{z_2}{\sqrt{z_1^2+z_2^2}} = \tfrac{z_2}{|z|}\ </math> und <math>\ \cos(\varphi) \!=\! \tfrac{z_1}{\sqrt{z_1^2+z_2^2}} = \tfrac{z_1}{|z|}</math>, so ist die Gleichheit zur [[w:de:arctan2|arctan2]]-Funktion eine Konsequenz aus der [[w:de:Formelsammlung Trigonometrie#Halbwinkelformeln|Halbwinkelformel]], falls <math>z_2 \neq 0 </math> oder <math> z_1 > 0 </math>. : <math>\tan \left( \frac{\varphi}{2} \right) = \frac{\sin(\varphi)}{1 + \cos(\varphi)} = \frac{\tfrac{z_2}{|z|}}{1+\tfrac{z_1}{|z|}}= \frac{z_2}{|z| + z_1} </math> === Bemerkung - Winkelbereich === Die linke Seite lässt sich im „vollen Winkelbereich des Hauptarguments“ <math>-\pi < \varphi < \pi</math> unter Anwendung des Arkustangens zu <math>\tfrac{\varphi}{2}</math> umformen. Ist hingegen <math>- \tfrac{\pi}{2} < \varphi < \tfrac{\pi}{2}</math>, also <math>z</math> auf der rechten Halbebene, so kann die Gleichung <math>\tan \varphi = \tfrac{b}{a}</math> vereinfachend auch zu <math>\,\varphi = \arg z = \arctan \tfrac{b}{a} </math> aufgelöst werden. == Quellennachweis == <references/> == Siehe auch == * [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] * [[Logarithmus]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] cee3o388q38sxlvjv1asul5ac7b5ydj 106 172769 1118834 1118725 2026-11-04T10:05:18Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1118834 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Beispiel|9|10|Kurs=|}} a9ebd81k96rlmytwy7iuf8nq30mbrei 106 172771 1118833 1118724 2026-11-04T10:05:08Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1118833 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Lemma|9|9|Kurs=|}} n3dhbsyy2vnefzw57ff56ns3fmt2o08 106 172905 1118823 1115508 2026-11-04T07:32:19Z Bocardodarapti 2041 1118823 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Lemma|9|||}} o5buvqpyyola7jgjfqyf72qn4g4u6m4 1118832 1118823 2026-11-04T10:04:58Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1118832 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Lemma|9|8|Kurs=|}} cmpxzma51x7h349p5qoqpqgsl3ysk0j 106 173022 1118816 1117036 2026-11-04T07:19:17Z Bert Niehaus 20843 /* Rechenregeln für Äquivalenzklassen */ 1118816 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Lerneinheit zu [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmen]] beschäftigt sich Äquivalenzklassen, deren Struktur und Rechenregeln, die durch den Zusammenhang mit der Exponentialfunktion und deren imaginärer <math>2\pi i</math>-Periodizität entsteht. Die Äquivalenzklassen helfen dabei, [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen#Rechenregeln|Rechenregeln]] aus den reellen Zahl für den [[Logarithmus]] auf den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexen Logarithmus]] bzw. deren Zweige zu übertragen. Die [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus]] spielt dabei bijektive Abbildungen eine besondere Rolle. === Periodizität der Exponentialfunktion === Der komplexe Logarithmus kann nicht eindeutig als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion <math> \exp: \mathbb{C} \to \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> festgelegt werden, da u.a. die Exponentialfunktion nicht injektiv ist und ein [[Zweig des Logarithmus]] von der Wahl des [[einfach zusammenhängend]]en Gebietes abhängt, auf dem der Logarithmus definiert ist. Es gilt für [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]]: :<math> \exp(w + 2\pi i) = \exp(w) = z\quad \text{für alle } w \in \mathbb{C} </math> Daher gibt es unendlich viele komplexe Zahlen <math> w </math>, die auf dieselbe Zahl <math> z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> abgebildet werden. Diese Mehrdeutigkeit ist die Motivation, um Äquivalenzklassen zu bilden. === Behandelt Aspekte in der Lerneinheit === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen#logmod_Aequivalenzlemma|LogMod-Äquivalenzklassenlemma]]:''' Beziehung Exponentialfunktion und Zweigen des Logarithmus * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen#Repraesentantenunabhaengigkeit|Repräsentantenunabhängigkeit]]''' für die Addition von [[logmod-Äquivalenzklassen]] == Äquivalenzklassen des Logarithmus == Um Äquivalenzklassen zu bilden, benötigt man eine Äquivalenzrelation als Teilmenge von <math>\mathbb{C}\times \mathbb{C} </math>, die zwei Elemente <math> w_1, w_2 \in \mathbb{C} </math>, wenn deren Differenz ein ganzzahliges Vielfaches von <math>2\pi i</math> ist. === Definition - logmod-Äquivalenzrelation === Zwei komplexe Zahlen <math> w_1, w_2 \in \mathbb{C} </math> heißen logmod-äquivalent modulo <math> 2\pi i </math>, wenn gilt: :<math> w_1 - w_2 \in 2\pi i \cdot \mathbb{Z} := \{w\in \mathbb{C} \, : \, w=2\pi i \cdot k \mbox{ und } k\in \mathbb{Z} \} </math> Formal notiert man diese Äquivalenz wie folgt: :<math> w_1 \equiv w_2 \ \mathrm{logmod}\ {2\pi i} </math> ==== Aufgabe für Studierende ==== Zeigen Sie, dass diese Relation eine ''Äquivalenzrelation'' ist, d.h. die [[logmod-Funktion|logmod-Relation]] ist [[w:de:Äquivalenzrelation|reflexiv, symmetrisch und transitiv]]. === Definition - logmod-Äquivalenzklasse === Für eine komplexe Zahl <math> w \in \mathbb{C} </math> ist die Äquivalenzklasse definiert als: :<math> [w]_0 := \{ w + 2\pi i k \mid k \in \mathbb{Z} \} </math> ==== Bezeichnung - Äquivalenzklassenindex==== Die Indexierung mit <math> _0 </math> deutet an, dass dies diese Äquivalenzklasse ohne Logarithmierung in <math>\mathbb{C}</math> gebildet wurde. Bildet man rekursiv höhere Logarithmen als Verkettung entstehen Äquivalenzklassen <math>[w]_n</math>, wobei <math>n</math>-fach rekursiv der Logarithmus verkettet wird, falls dieser existiert. == Verbindung mit der Exponentialfunktion == Da die Exponentialfunktion im Imaginärteil des Arguments eine Periodizität von <math>2\pi i</math> besitzt, entsprechen Äquivalenzklassen <math>[w]_0</math> entsprechen einem Bildpunkt <math>z=e^w</math>. Dieser Verbindung zwischen Exponentialfunktion und Logarithmus wird durch das LogMod-Äquivalenzklassenlemma festgehalten. <span id="logmod_Aequivalenzlemma"></span> === LogMod-Äquivalenzklassenlemma === Sei <math>w\in\mathbb{C} \setminus \{0\} </math> mit <math>\mathrm{logmod}(w) = 0</math> gegeben. Für eine feste komplexe Zahl <math> z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> gilt folgende Äquivalenzaussage: :<math> \exp(\widehat{w}) = z \quad \text{für alle } \widehat{w} \in [w]_0 </math> genau dann, wenn <math> \exp(w) = z </math>. === Beweis - LogMod-Äquivalenzlemma === Für <math> w\in \mathbb{D}_1 := \mathbb{R}\times i\cdot [0,2\pi)</math> gelte <math>\exp(w)=z</math>. Das LogMod-Äquivalenzlemma ist eine Äquivalenzaussage. Daher werden zwei Beweisrichtungen gezeigt: \mbox{} <math display="block"> \begin{array}{llcl} \mbox{ (LML1) } & \exp(\widehat{w}) = z & \quad \Longrightarrow \quad & \widehat{w} \in [w]_0 \\ \mbox{ (LML2) } & \widehat{w} \in [w]_0 & \quad \Longrightarrow \quad & \exp(\widehat{w}) = z \\ \end{array} </math> ==== Schritt 1 - Beweisrichtung LML1 ==== Sei <math> \widehat{w} \in \mathbb{C} </math> mit <math> \exp(\widehat{w}) = z </math> beliebig gewählt. Dann gilt mit der Voraussetzung <math> \exp(w) = z \not= 0</math> und Potenzgesetzen: :<math> 1 = \frac{z}{z} = \frac{\widehat{w}}{\exp(\exp(w))} = \exp(\widehat{w}-w) </math> Die Gleichung <math>1 = \exp(\widehat{w}-w)</math> gilt genau dann, wenn <math> w-\widehat{w} = 2\pi i \cdot k</math> mit <math>k \in \mathbb{Z}</math>. ==== Schritt 2 - Beweisrichtung LML1 ==== Damit gilt auch <math> w = \widehat{w} + 2\pi i \cdot k </math>. Die ganze Zahl <math> k\in \mathbb{Z} </math> ist durch die [[logmod-Funktion]] und es gilt <math>k= \mathrm{logmod}(\widehat{w})</math>, da <math> w\in \mathbb{D}_1 = \mathbb{R} + i\cdot [0,2\pi) </math> nach Voraussetzung gilt und man erhält <math>\widehat{w} \in [w]_0</math>. ==== Schritt 3 - Äquivalenzklasse gegeben LML2 ==== Sei umgekehrt <math>\widehat{w} \in [w]_0</math> gegeben. Dann gibt es nach Definition der Äquivalenzklasse ein <math> k := logmod(\widehat{w})\in \mathbb{Z} </math> mit der Eigenschaft <math>\widehat{w}:= w + 2\pi i k</math>. Nun wen man diese Darstellung von <math>\widehat{w}</math> auf die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] an und verwendet Periodizität <math>\exp</math> bzgl. <math>2\pi i</math> und erhält: :<math> \exp(\widehat{w}) = \exp(w + 2\pi i k) = \exp(w) \cdot \exp(2\pi i k) = z \cdot 1 = z </math> ==== Schritt 4 - LML2 ==== Da <math>\widehat{w} \in [w]_0</math> beliebig gewählt wurde, gilt für alle <math> \widehat{w} \in [w]_0 </math> die Eigenschaft <math> \exp(\widehat{w}) = z </math> und zusammen mit LML1 gilt die Äquivalenzaussage aus dem Lemma <math>\quad \Box</math>. === Folgerung - LogMod-Äquivalenzklassenlemma ==== Fasst man zu einem gegebenen <math>z\in \mathbb{C}\setminus\{0\}</math> die Menge alle komplexen Zahlen <math> \widehat{w} \in \mathbb{C} </math> zu einer Menge zusammen, die die Eigenschaft <math> \exp(\widehat{w}) = z </math> erfüllen, so erhält man die Äquivalenzklasse <math> [w]_0 </math>, wobei <math> w </math> eine beliebige Lösung von <math> \exp(w) = z </math> ist. ==== Bemerkung - LogMod-Äquivalenzklassenlemma ==== Für die Äquivalenzklassenanalyse spielt das Repräsentatensystem <math>\mathbb{D}_1= \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi)</math> eine besondere Rolle. DasRepräsentatensystem <math>\mathbb{D}_1</math> entsteht durch [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus|algebraische Vervollständigkeit]] des [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweiges]] des [[Logarithmus]]. == Äquivalenzklassenaddition == Um die aus der reellen Analysis bekannten Rechenregeln auf Logarithmen in den komplexen Zahlen verwenden zu können werden Äquivalenzklassen verwendet. Die Struktur und Gültigkeit der Rechenregeln wird in diesem Teil der Lerneinheit genauer untersucht. === komplexe Logarithmus als Lösungsmenge === Der komplexe Äquivalenzklassen-Logarithmus von <math> z </math> bildet nicht auf ein Element in <math>\mathbb{C}</math> ab, sondern auf ein Teilmenge von <math>\mathbb{C}</math>. Dies führt im weiteren Verlauf der Lehrveranstaltung zum Begriff des [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarithmus]]. Sei <math>w \in \mathbb{C}</math> beliebig gewählt, dann definiert man <math>w_0 := w - \mathrm{logmod}(w)\cdot 2\pi i \in \mathbb{D}_1</math> als Repräsentant der [[logmod-Äquivalenzklassen|Äquivalenzklasse]] <math> [w]_0</math>. :<math> \mathrm{lnr}_1(z) := \{ w \in \mathbb{C} \mid \exp(w) = z \} = [w]_0 </math> für ein beliebiges <math> w_0 \in \mathbb{D}_1 := \mathbb{R}+ i\cdot [0,2\pi)</math> mit <math> \exp(w_0) = z </math>. ==== Beispiel 1 - Neutrales Element für Äquivalenklassenaddition ==== Algebraisch wird später <math>\mathbb{D}_1</math> mit einer inneren Verknüpfung <math>\oplus</math> zu einer kommunitative Gruppe. Daher wird das [[w:de:neutrales Element|neutrale Element]] von <math>\oplus</math> als Beispieläquivalenzklasse genannt und in Beziehung zum Logarithmus gesetzt. Für <math> z = 1 </math> ist der komplexe rekursive Logarithmus :<math> \mathrm{lnr}_1(1) = \{ 2\pi i k \, : \, k \in \mathbb{Z} \} = [0]_0 </math> ==== Beispiel 2 - Logarithmus der imaginären Einheit ==== Da zunächst die [[rekursiver Logarithmus|rekursive komplexe Logarithmen]] von elementaren komplexen Zahlen genannt. Wählt man <math> z = i </math> so gilt <math> \exp\left(i \tfrac{\pi}{2}\right) = i </math> und <math>i\tfrac{\pi}{2} \in \mathbb{D}_1</math>. Bildet man nun den von [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarithmus]] von <math> z = i </math> erhält man: :<math> \mathrm{lnr}_1(i) = \left\{ i \left( \frac{\pi}{2} + 2\pi k \right) \mid k \in \mathbb{Z} \right\} = \left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0 </math> ==== Beispiel 3 - rekursiver Logarithmus von -1 ==== Ablschießend wird auch noch der [[rekursiver Logarithmus|rekursive komplexe Logarithmen]] von <math> z = -1 </math> genannt. Wegen <math> \exp\left(i \pi \right) = -1 </math> und <math>i \pi \in \mathbb{D}_1=\mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi) </math> erhält man: :<math> \mathrm{lnr}_1(-1) = \left\{ i \left( \pi + 2\pi k \right) \mid k \in \mathbb{Z} \right\} = \left[ i \pi \right]_0 </math> === Repräsentantensystem === Um einen eindeutigen Funktionswert als Äquivalenzklasse zu erhalten, wählt man eine spezielles Repräsentantensystem <math>\mathbb{D}_1:= \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi) \subset \mathbb{C}</math> um alle Äquivalenzklassen darstellen zu können. Dabei wird die [[logmod-Funktion]] verwendet, um für eine beliebige komplexe Zahl <math>w\in \mathbb{C}</math> die zugehörigen Repräsentanten <math>w_0 \in\mathbb{D}_1</math> über <math> w_0 = w - 2\pi i \cdot \mathrm{logmod}(w)</math> zu bestimmen. <span id="Definition"> === Definition - logmod-Äquivalenzklassenaddition === Für <math> z_1,z_2 \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> und <math>w_1,w_2 \in\mathbb{D}_1</math> gelte <math>\exp(z_1)=w_1</math> und <math>\exp(z_2)=w_2</math>. Man definiert nun die Äquivalenzklassenaddition <math>(\mathbb{D}_1,\oplus)</math> wie folgt. :<math> [w_1]_0 \oplus [w_2]_0 := [w_1 + w_2]_0 </math> ==== Bemerkung - Repräsentant der Äquivalenzklasse ==== Der Repräsentant <math>w_1 + w_2 </math> der Äquivalenzklasse wobei <math>[w_1 + w_2]_0 </math> liegt nicht notwendigerweise auch in <math>\mathbb{D}_1</math>, was das folgende Beispiel zeigt. ==== Beispiel - Repräsentant bei additiver Verknüpfung ==== Wählt man <math> z_1 = z_2 = -i </math>, so erhält man <math> w_1 = w_2 = \tfrac{3}{2}\pi i \in \mathbb{D}_1 </math> und es gilt <math> w_1 + w_2 = 3\pi i \notin \mathbb{D}_1 </math>. Möchte man den zugehörigen Repräsentanten aus <math>\mathbb{D}_1 </math> bestimmen, verwendet man wieder die [[logmod-Funktion]]: :<math> [w_1]_0 \oplus [w_2]_0 = [w_1 + w_2]_0 = [w]_0 </math> mit <math> w = w_1+w_2 - 2\pi i \cdot \mathrm{logmod}(w_1+w_2)</math> ==== Bemerkung - Notation ==== Für die Addition <math>\oplus</math> der [[logmod-Äquivalenzklassen]] wird zur Abgrenzung zu additiven Verknüpfung in <math>+</math> in <math>\mathbb{C}</math> das Symbol <math>\oplus</math> verwendet. :<math> \left[ 1+\frac{3}{2}\pi i \right]_0 \oplus \left[5+\frac{1}{2}\pi i \right]_0 = \left[ \left(1+\frac{3}{2}\pi i\right) + \left(5+\frac{1}{2}\pi i\right) \right]_0 = [6+2\pi i]_0 = [6]_0 </math> Im linken Term werden zwei Äquivalenzklassen addiert (daher <math>\oplus</math>) und in den beiden rechten Termen ist das Standardaddition in den komplexen Zahlen. == Rechenregeln für Äquivalenzklassen == Zunächst einmal muss man kurz die Repräsentantenunabhängigkeit der Äquivalenzklassenaddition auf <math>[\mathbb{D}_1]_0</math> überprüfen. Dabei ist <math>\oplus</math> eine innere Verknüpfung auf <math>[\mathbb{D}_1]_0</math> der Form: :<math> \begin{array}{rrcl} f: & [\mathbb{D}_1]_0 \times [\mathbb{D}_1]_0 & \rightarrow & [\mathbb{D}_1]_0\\ & \left( [w_1]_0,[w_2]_0 \right) & \mapsto & [w_1]_0 \oplus [w_2]_0 = [w_1+w_2]_0 = \\ & & & \bigg[\, \underbrace{w_1+w_2 - \mathrm{logmod}(w_1+w_2) \cdot 2\pi i}_{\in \mathbb{D}_1}\,\bigg]_0 \end{array} </math> Dabei beschreibt <math>[\mathbb{D}_1]_0 = \{ [w]_0 \, \colon \, w\in \mathbb{D}_1 \}</math> die Menge aller [[logmod-Äquivalenzklassen]] mit dem Repräsentantensystem <math>\mathbb{D}_1=\mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi)</math>. <hr> <span id="Repraesentantenunabhaengigkeit"></span> === Lemma zur Repräsentantenunabhängigkeit === Die innere additive Verknüpfung <math> ([\mathbb{D}_1]_0 , \oplus)</math> auf den [[logmod-Äquivalenzklassen]] ist repräsentantenunabhängig. === Beweis - Lemma zur Repräsentantenunabhängigkeit === Die Beweisidee der Repräsentantenunabhängigkeit beruht auf der Auswahl von zwei beliebigen unterschiedlichen Repräsentanten <math>w_1</math> und <math>\widehat{w_1}</math> bzw. <math>w_2</math> und <math>\widehat{w_2}</math> und man zeigt dann die Addition mit <math>\oplus</math> für die [[logmod-Äquivalenzklassen]] die gleiche Äquivalenzklasse <math>[w_1+w_2]_0=[\widehat{w_1}+\widehat{w_2}]_0</math> liefert. ==== Beweisschritt 1 - Wahl der Repräsentanten ==== Seien <math>w_1,w_2 \in \mathbb{D}_1</math> und <math>k_1, k_2 \in \mathbb{Z}</math> beliebig gewählt, dann sind <math>\widehat{w_1}=2\pi i\cdot k_1 </math> und <math>\widehat{w_2}=2\pi i\cdot k_2 </math> weitere Repräsentanten der [[logmod-Äquivalenzklassen]] <math>[w_1]_0,[w_2]_0 \in [\mathbb{D}_1]_0</math> und es gilt: :<math> [w_1]_0 = [\widehat{w_1}]_0 \quad [w_2]_0 = [\widehat{w_2}]_0 </math> ==== Beweisschritt 2 - Definition der Addition anwenden ==== Nach Definition der Addition von [[logmod-Äquivalenzklassen]] gilt: :<math> \begin{array}{rcl} [\widehat{w_1}]_0 \oplus [\widehat{w_2}]_0 & = & [\widehat{w_1} + \widehat{w_2}]_0 \\ & = & [w_1+w_2+ (k_1+k_2)\cdot 2\pi i]_0 = [w_1+w_2]_0 \\ & = & [w_2]_0 \oplus [w_2]_0 \\ \end{array} </math> Damit ist die Addition von [[logmod-Äquivalenzklassen]] repräsentantenunabhängig. <math>\quad \Box</math> ==== Bemerkung - Exponentialfunktion und Zweige des Logarithmus ==== Sei <math>G\subset \mathbb{C}</math> ein [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängendes]] [[Gebiet (Mathematik)| Gebiet]] mit <math>0\notin G</math> und <math>w_0\in \mathbb{D}_1</math> und <math> \exp(w_0)=z_0</math> für ein mit <math>z_0 \in G \subset \mathbb{C}\setminus \{0\}</math>. Durch die Festlegung von <math>\log_G(z_0)=w_0</math> ist der Zweig <math>\log_{G}</math> als [[generalisierter Logarithmus]] bereits auf ganz <math>G</math> definiert (siehe [[Identitätssatz]] und <math>\exp(\log_G(z)) = z</math>). Bei der [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus|algebraischen Vervollständigung des Zweiges eines Logarithmus]] verliert man die Eigenschaft der [[holomorphe Funktion|Holomorphie]] und sogar der [[Stetigkeit]]. Sei Man muss daher [[Zweige des Logarithmus]] von der Definition eine [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarthmus]] trennen. * <math> \exp(\log_G(z)) = z </math> für alle <math> z \in G \subset \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> * <math> \log_G(\exp(w)) = z+2\pi i \cdot k </math> für <math> w \in \mathbb{C} </math> und ein existierendes <math>k\in \mathbb{Z} </math> für <math>w</math>. ==== Äquivalenzklassen als Wertebereich ==== Der rekursive Logarithmus <math> \mathrm{lnr}_1(z) = [w]_0</math> liefert als Funktionswert '''keine Zahl''', sondern eine '''Äquivalenzklasse'''. Diese ist selbst ein Element der [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelschen Sigma-Algebra]] <math>\mathcal{B}(\mathbb{C})</math> als abzählbare Vereingigung von Einpunktmenge der Form <math>w+k\cdot 2\pi i</math> mit <math>k\in \mathbb{Z} </math> . === Multiplikation von Äquivalenzklassen === Für <math> z_1, z_2 \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> und <math>w_1,w_2 \in \mathbb{D}_1</math> gelte <math>\exp(w_1)=z_1</math> und <math>\exp(w_2)=z_2</math>. Ferner werden zwei beliebige weitere Repräsentanten <math>\widehat{w_1}=w_1 + 2\pi i\cdot k_1 </math> und <math>\widehat{w_2}=w_2 + 2\pi i\cdot k_2 </math> mit <math>k_1, k_2 \in \mathbb{Z}</math> der [[logmod-Äquivalenzklassen]] <math>[w_1]_0,[w_2]_0 \in [\mathbb{D}_1]_0</math> gewählt. Es gilt damit: :<math> [w_1]_0 = [\widehat{w_1}]_0 \quad [w_2]_0 = [\widehat{w_2}]_0 </math>: Man untersucht nun die Multiplikation bzgl. der [[logmod-Äquivalenzklassen]]. === Multiplikation und Exponentialfunktion === Es gilt nach Voraussetzung <math>\exp(w_1)= \exp(\widehat{w_1})</math> und <math>\exp(w_2)= \exp(\widehat{w_2})</math> wegen imaginäre Periodizität bzgl. <math>2\pi i</math>. Man erhält daher folgende Gleichung: :<math> \exp(w_1+w_2) = \underbrace{\exp(w_1)}_{=z_1} \cdot \underbrace{\exp(w_2)}_{=z_2}= \underbrace{\exp(\widehat{w_1})}_{=z_1} \cdot \underbrace{\exp(\widehat{w_2})}_{=z_2} = \exp(\widehat{w_1}+\widehat{w_2}) </math> Dabei wurde <math>w_1 = \log_G(z_1)</math> und <math>w_2 = \log_G(z_2)</math> über einen [[generalisierter Logarithmus|generalisierten Logarithmus]] <math>\log_G</math> auf einem [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebiet <math>G</math> mit <math>0\notin G</math> bestimmt. ==== Anwendung auf den generalisierte Logarithmus ==== Mit den Vorüberlegungen bzgl. Exponentialfunktion gilt für den [[generalisierter Logarithmus|generalisierten Logarithmus]] <math>\log_G</math> folgende Eigenschaft mit geeignet gewähltem <math>k\in \mathbb{Z}</math>: :<math> \log_G(z_1 \cdot z_2) = \log_G(z_1) + \log_G(z_2) + k\cdot 2\pi i </math> Dabei kann <math>k\in \mathbb{Z}</math> über die [[logmod-Funktion]] mit <math>k=\mathrm{logmod}(z_1 \cdot z_2)</math> bestimmt werden. ==== Anwendung auf logmod-Äquivalenklassen ==== Da für die Summe zweier Äquivalenzklassen folgende Eigenschaft gilt, erhält man für <math>\exp(w) = z_1\cdot z_2</math> die [[logmod-Äquivalenzklassen]]gleichung: :<math> [w_1]_0 + [w_2]_0 = [w_1 + w_2]_0 = [w]_0 </math> Der [[rekursiver Logarithmus|rekursive Logarithmus]] erfüllt die Rechengesetze analog zu den [[Logarithmus|Logarithmusgesetzen]] in <math>\mathbb{R}</math>. :<math> \underbrace{\mathrm{lnr}_1(z_1\cdot z_2)}_{=[w]_0} = \underbrace{\mathrm{lnr}_1(z_1)}_{=[w_1]_0} + \underbrace{\mathrm{lnr}_1(z_2)}_{=[w_2]_0} = [w_1 + w_2]_0 </math> ==== Beispiel - Multiplikation der Log-Argumente==== Wählt man <math> z_1 = i = z_2 </math> so gilt <math> z_1 \cdot z_2 = -1 </math>. Für den [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarithmus]] gilt dann: :<math> \mathrm{lnr_1}(i) = \left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0 \quad \mathrm{lnr_1}(-1)=\mathrm{lnr_1}(i\cdot i) = \underbrace{\mathrm{lnr_1}(i)}_{=\left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0} + \underbrace{\mathrm{lnr_1}(i)}_{=\left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0} = [i\pi]_0 </math> === Potenzen und Logarithmus === Um Potenzen mit komplexen Exponenten definieren zu können, verwendet man Vorüberlegungen aus den reellen Zahlen (siehe [[w:de:Potenzfunktion|Potenzfunktion]]). Mit <math>x\mathbb{R}^+</math> gilt für <math>w=\ln(x)</math> für <math>x > 0 </math> und <math>a\in \mathbb{R}</math> die Gleichung: :<math> x^a = \exp(w\cdot a) = \exp(\underbrace{\ln(x)}_{\in \mathbb{R}^+} \cdot a) </math> In komplexen Zahlen ist der [[Logarithmus]] nicht eindeutig festgelegt. Ist <math>\log_G\ast</math> als [[Zweig des Logarithmus]] für das Potenzieren festgelegt, kann man die Potenzfunktion für <math> z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> mit beliebgigen <math>a\in \mathbb{C}</math> definieren. Die Zweige unterscheiden sich um Vielfache von <math>2\pi i</math>. ==== Zweig des Logarithmus und Potenzfunktionen ==== Ist ein [[Zweig des Logarithmus]] <math>\log_G</math> auf einem [[einfach zusammenhängend]]em Gebiet gegeben, so definiert man für <math>z\in G</math> und <math>\log_G(z)=w</math>: :<math> z^a := \exp(w\cdot a) = \exp(\log_G(z) \cdot a) </math> Für andere [[Zweige des Logarithmus]] <math>\log_{\widehat{G}}</math> gibt es für <math>z\in \widehat{G}</math> ein ganze Zahl <math>k_z\in \mathbb{Z} </math> mit: :<math> \log_G(z) = w = \log_{\widehat{G}}(z) +2\pi i \cdot k_z </math> ==== Zweig des Logarithmus und expotenzfunktionen ==== Ist ein [[Zweig des Logarithmus]] <math>\log_G</math> auf einem [[einfach zusammenhängend]]em Gebiet gegeben, so definiert man für <math>z\in G</math> und <math>\log_G(z)=w</math>: :<math> z^a := \exp(w\cdot a) = \exp(\log_G(z) \cdot a) </math> Für andere [[Zweige des Logarithmus]] <math>\log_{\widehat{G}}</math> gibt es für <math>z\in \widehat{G}</math> ein ganze Zahl <math>k_z\in \mathbb{Z} </math> mit: :<math> \log_G(z) = w = \log_{\widehat{G}}(z) +2\pi i \cdot k_z </math> ==== Vergleich von Zweigen des Logarithmus ==== Wählt man für <math>G</math> den [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweig des Logarithmus]] mit <math> z \in G:= \mathbb{C} \setminus \mathbb{R}_0^{+} </math> und <math>a\in \mathbb{C}</math>. Werden <math>w, w_a \in \mathbb{D}_1 = \mathbb{R}+i\cdot[0,2\pi)</math> mit der Eigenschaft <math>\exp(w)=z</math> und <math>\exp(w_a)=z^a = \exp(w\cdot a)</math> zusammen mit zwei beliebigen weitere Repräsentanten <math>\widehat{w}=w + 2\pi i\cdot k </math> und <math>\widehat{w_a}=w_a + 2\pi i\cdot k_a </math> gewählt, so kann man mit <math>k, k_a \in \mathbb{Z}</math> die Beziehung zwischen den [[logmod-Äquivalenzklassen]] <math>[w]_0,[w_a]_0 \in [\mathbb{D}_1]_0</math> darstellen: :<math> \mathrm{lnr_1}(z^a) = [w_a]_0 = [w\cdot a]_0 =[w\cdot a + 2\pi i \cdot k ]_0 = [\widehat{w_a}]_0 </math> Dabei liefert der [[rekursiver Logarithmus|rekursive Logarithmus]] im Wertebereich eine [[logmod-Äquivalenzklassen|logmod-Äquivalenzklasse]] und keine Zahl aus <math>\mathbb{C}</math> (siehe auch [[komplexe Potenzfunktionen]]). ==== Darstellung als Äquivalenzklassen ==== Gilt <math>\log_\widehat{G}(z)=w</math> und <math>z^a:= \exp\big(\, \underbrace{\log_\widehat{G}(z)\cdot a}_{=w_a}\, \big) = \exp(w\cdot a)</math> für andere [[Zweige des Logarithmus]], so erhält unterscheiden sich die [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmen]] auch wieder nur um Vielfach von <math>2\pi i</math> und man kann in der Äquivalenzklassen-Sicht folgende Definition der Multiplikation eine [[logmod-Äquivalenzklassen|logmod-Äquivalenzklasse]] mit einer Zahl definieren: :<math> a \cdot [w]_0 := [a\cdot w]_0 </math> ==== Beispiel - Produkt von Äquivalenzklassen mit komplexer Zahl ==== Als Beispiel wird dazu <math> z = i </math>, <math> a = 2 </math> gewählt und man bestimmt die Logarithmen für den [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus|algebraisch vervollständigten]] [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptteil]] <math>\log_G^\ast</math> von <math>\log_G</math> mit Werten in <math> \mathbb{D}_1 = \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi)</math>. Die zugehörigen Logarithmen sind dann :<math> w:=log_G(i) = \log_G^\ast(i) = i \tfrac{\pi}{2} \quad \log_G^\ast(z^a) = \log_G^\ast(-1) = \log_G(-1) = \pi i </math> und es gilt <math> w=\log_G^*(i)</math>, <math> z^a = e^{w\cdot a} = e^{i \tfrac{\pi}{2} \cdot 2} = e^{i\pi} = -1 </math> und <math> z^a = -1 </math> so :<math> a \cdot [w]_0 = 2 \cdot [i \pi/2]_0 = [i\pi]_0 = [a \cdot w]_0 </math> ==== Exponentialfunktion und Eulersche Formel ==== Stell man <math>a=a_1+ia_2\in \mathbb{C}</math> dar und wendet man die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] an, gilt die folgende Eigenschaft mit <math>w=w_1+iw_2\in \mathbb{C}</math> und <math> z = e^{\log_G(z)}</math>: :<math> z^a := e^{\log_G(z)\cdot a} = e^{\overbrace{(w_1+iw_2)}^{=w}\cdot \overbrace{(a_1+i\cdot a_2)}^{=a}} = e^{(w_1a_1-w_2a_2) + i\cdot (w_2a_1+w_1a_2)} </math> Durch Anwendung der [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] auf den rechten Term erhält man: :<math> z^a = \underbrace{e^{w_1a_1-w_2a_2}}_{=|z^a|} \cdot \big( \cos(w_2a_1+w_1a_2)+ i\cdot \sin(w_2a_1+w_1a_2) \big) </math> === Addition von Logarithmen === Für die [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus]] <math>\log^\ast_{_G}</math> vom [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativer Hauptzweig des Logarithmus]] gelten die folgenden Eigenschaften: :<math> \log^\ast_{_G}(z_1) + \log^\ast_{_G}(z_2) - 2\pi i\cdot \mathrm{logmod} \big(\log^\ast_{_G}(z_1) + \log^\ast_{_G}(z_2)\big) = \log^\ast_{_G}(z_1 \cdot z_2) </math> Ohne die Anwendung der [[logmod-Funktion]] ist die obige Gleichung nicht immer wahr, denn die Summe der Imaginäreteile <math>\log^\ast_{_G}(z_1) + \log^\ast_{_G}(z_2)</math> kann im Imaginärteil größer als <math>2\pi</math> werden. Bezogen auf die [[logmod-Äquivalenzklassen]] ist die Aussage aber richtig, das sich Repräsentaten von Restklassen um Vielfach von <math>2\pi i </math> im Imaginärteil unterscheiden können. == Übungsaufgaben für Studierende == * Zeigen Sie, dass <math> \log(-1) = [i\pi]_0 </math> gilt. * Berechnen Sie <math> \log_{G}^\ast(i) + \log_{G}^\ast(i) </math> für den [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus|algebraisch vervollständigten]] [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweig des Logarithmus]] und vergleiche mit <math> \log(-1) </math>. * Zeige Sie, dass <math> \log_{G}^\ast(z^2) = 2 \cdot \log(z) </math> in der [[logmod-Äquivalenzklassen]] gilt. * Warum ist <math> \log_{G}^\ast(z_1 z_2) = \log_{G}^\ast(z_1) + \log_{G}^\ast(z_2) </math> '''nicht''' immer wahr? Geben Sie zwei komplexe Zahlen <math>z_1,z_2\in \mathbb{C}</math> an, für die die obige Gleichung nicht gilt. * In der reellen Analysis sind Potenzfunktion mit negativer Basis nicht definiert. Verwenden Sie [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweig des Logarithmus]] und berechnen Sie <math>(-8)^{2+\pi i}</math>. == Siehe auch == * [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus]] * [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexer Logarithmus]] * [[logmod-Äquivalenzklassen]] * [[logmod-Funktion]] * [[negativer Hauptzweig des Logarithmus]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/%C3%84quivalenzklassen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%C3%84quivalenzklassen%20des%20Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/%C3%84quivalenzklassen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%C3%84quivalenzklassen%20des%20Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/%C3%84quivalenzklassen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/%C3%84quivalenzklassen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/%C3%84quivalenzklassen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/%C3%84quivalenzklassen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/%C3%84quivalenzklassen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%C3%84quivalenzklassen%20des%20Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] f06cr34gp3no12w0oxarl1me2tiw69u 1118818 1118816 2026-11-04T07:22:19Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1118818 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Lerneinheit zu [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmen]] beschäftigt sich Äquivalenzklassen, deren Struktur und Rechenregeln, die durch den Zusammenhang mit der Exponentialfunktion und deren imaginärer <math>2\pi i</math>-Periodizität entsteht. Die Äquivalenzklassen helfen dabei, [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen#Rechenregeln|Rechenregeln]] aus den reellen Zahl für den [[Logarithmus]] auf den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexen Logarithmus]] bzw. deren Zweige zu übertragen. Die [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus]] spielt dabei bijektive Abbildungen eine besondere Rolle. === Periodizität der Exponentialfunktion === Der komplexe Logarithmus kann nicht eindeutig als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion <math> \exp: \mathbb{C} \to \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> festgelegt werden, da u.a. die Exponentialfunktion nicht injektiv ist und ein [[Zweig des Logarithmus]] von der Wahl des [[einfach zusammenhängend]]en Gebietes abhängt, auf dem der Logarithmus definiert ist. Es gilt für [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]]: :<math> \exp(w + 2\pi i) = \exp(w) = z\quad \text{für alle } w \in \mathbb{C} </math> Daher gibt es unendlich viele komplexe Zahlen <math> w </math>, die auf dieselbe Zahl <math> z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> abgebildet werden. Diese Mehrdeutigkeit ist die Motivation, um Äquivalenzklassen zu bilden. === Behandelt Aspekte in der Lerneinheit === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen#logmod_Aequivalenzlemma|LogMod-Äquivalenzklassenlemma]]:''' Beziehung Exponentialfunktion und Zweigen des Logarithmus * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen#Repraesentantenunabhaengigkeit|Repräsentantenunabhängigkeit]]''' für die Addition von [[logmod-Äquivalenzklassen]] == Äquivalenzklassen des Logarithmus == Um Äquivalenzklassen zu bilden, benötigt man eine Äquivalenzrelation als Teilmenge von <math>\mathbb{C}\times \mathbb{C} </math>, die zwei Elemente <math> w_1, w_2 \in \mathbb{C} </math>, wenn deren Differenz ein ganzzahliges Vielfaches von <math>2\pi i</math> ist. === Definition - logmod-Äquivalenzrelation === Zwei komplexe Zahlen <math> w_1, w_2 \in \mathbb{C} </math> heißen logmod-äquivalent modulo <math> 2\pi i </math>, wenn gilt: :<math> w_1 - w_2 \in 2\pi i \cdot \mathbb{Z} := \{w\in \mathbb{C} \, : \, w=2\pi i \cdot k \mbox{ und } k\in \mathbb{Z} \} </math> Formal notiert man diese Äquivalenz wie folgt: :<math> w_1 \equiv w_2 \ \mathrm{logmod}\ {2\pi i} </math> ==== Aufgabe für Studierende ==== Zeigen Sie, dass diese Relation eine ''Äquivalenzrelation'' ist, d.h. die [[logmod-Funktion|logmod-Relation]] ist [[w:de:Äquivalenzrelation|reflexiv, symmetrisch und transitiv]]. === Definition - logmod-Äquivalenzklasse === Für eine komplexe Zahl <math> w \in \mathbb{C} </math> ist die Äquivalenzklasse definiert als: :<math> [w]_0 := \{ w + 2\pi i k \mid k \in \mathbb{Z} \} </math> ==== Bezeichnung - Äquivalenzklassenindex==== Die Indexierung mit <math> _0 </math> deutet an, dass dies diese Äquivalenzklasse ohne Logarithmierung in <math>\mathbb{C}</math> gebildet wurde. Bildet man rekursiv höhere Logarithmen als Verkettung entstehen Äquivalenzklassen <math>[w]_n</math>, wobei <math>n</math>-fach rekursiv der Logarithmus verkettet wird, falls dieser existiert. == Verbindung mit der Exponentialfunktion == Da die Exponentialfunktion im Imaginärteil des Arguments eine Periodizität von <math>2\pi i</math> besitzt, entsprechen Äquivalenzklassen <math>[w]_0</math> entsprechen einem Bildpunkt <math>z=e^w</math>. Dieser Verbindung zwischen Exponentialfunktion und Logarithmus wird durch das LogMod-Äquivalenzklassenlemma festgehalten. <span id="logmod_Aequivalenzlemma"></span> === LogMod-Äquivalenzklassenlemma === Sei <math>w\in\mathbb{C} \setminus \{0\} </math> mit <math>\mathrm{logmod}(w) = 0</math> gegeben. Für eine feste komplexe Zahl <math> z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> gilt folgende Äquivalenzaussage: :<math> \exp(\widehat{w}) = z \quad \text{für alle } \widehat{w} \in [w]_0 </math> genau dann, wenn <math> \exp(w) = z </math>. === Beweis - LogMod-Äquivalenzlemma === Für <math> w\in \mathbb{D}_1 := \mathbb{R}\times i\cdot [0,2\pi)</math> gelte <math>\exp(w)=z</math>. Das LogMod-Äquivalenzlemma ist eine Äquivalenzaussage. Daher werden zwei Beweisrichtungen gezeigt: \mbox{} <math display="block"> \begin{array}{llcl} \mbox{ (LML1) } & \exp(\widehat{w}) = z & \quad \Longrightarrow \quad & \widehat{w} \in [w]_0 \\ \mbox{ (LML2) } & \widehat{w} \in [w]_0 & \quad \Longrightarrow \quad & \exp(\widehat{w}) = z \\ \end{array} </math> ==== Schritt 1 - Beweisrichtung LML1 ==== Sei <math> \widehat{w} \in \mathbb{C} </math> mit <math> \exp(\widehat{w}) = z </math> beliebig gewählt. Dann gilt mit der Voraussetzung <math> \exp(w) = z \not= 0</math> und Potenzgesetzen: :<math> 1 = \frac{z}{z} = \frac{\widehat{w}}{\exp(\exp(w))} = \exp(\widehat{w}-w) </math> Die Gleichung <math>1 = \exp(\widehat{w}-w)</math> gilt genau dann, wenn <math> w-\widehat{w} = 2\pi i \cdot k</math> mit <math>k \in \mathbb{Z}</math>. ==== Schritt 2 - Beweisrichtung LML1 ==== Damit gilt auch <math> w = \widehat{w} + 2\pi i \cdot k </math>. Die ganze Zahl <math> k\in \mathbb{Z} </math> ist durch die [[logmod-Funktion]] und es gilt <math>k= \mathrm{logmod}(\widehat{w})</math>, da <math> w\in \mathbb{D}_1 = \mathbb{R} + i\cdot [0,2\pi) </math> nach Voraussetzung gilt und man erhält <math>\widehat{w} \in [w]_0</math>. ==== Schritt 3 - Äquivalenzklasse gegeben LML2 ==== Sei umgekehrt <math>\widehat{w} \in [w]_0</math> gegeben. Dann gibt es nach Definition der Äquivalenzklasse ein <math> k := logmod(\widehat{w})\in \mathbb{Z} </math> mit der Eigenschaft <math>\widehat{w}:= w + 2\pi i k</math>. Nun wen man diese Darstellung von <math>\widehat{w}</math> auf die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] an und verwendet Periodizität <math>\exp</math> bzgl. <math>2\pi i</math> und erhält: :<math> \exp(\widehat{w}) = \exp(w + 2\pi i k) = \exp(w) \cdot \exp(2\pi i k) = z \cdot 1 = z </math> ==== Schritt 4 - LML2 ==== Da <math>\widehat{w} \in [w]_0</math> beliebig gewählt wurde, gilt für alle <math> \widehat{w} \in [w]_0 </math> die Eigenschaft <math> \exp(\widehat{w}) = z </math> und zusammen mit LML1 gilt die Äquivalenzaussage aus dem Lemma <math>\quad \Box</math>. === Folgerung - LogMod-Äquivalenzklassenlemma ==== Fasst man zu einem gegebenen <math>z\in \mathbb{C}\setminus\{0\}</math> die Menge alle komplexen Zahlen <math> \widehat{w} \in \mathbb{C} </math> zu einer Menge zusammen, die die Eigenschaft <math> \exp(\widehat{w}) = z </math> erfüllen, so erhält man die Äquivalenzklasse <math> [w]_0 </math>, wobei <math> w </math> eine beliebige Lösung von <math> \exp(w) = z </math> ist. ==== Bemerkung - LogMod-Äquivalenzklassenlemma ==== Für die Äquivalenzklassenanalyse spielt das Repräsentatensystem <math>\mathbb{D}_1= \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi)</math> eine besondere Rolle. DasRepräsentatensystem <math>\mathbb{D}_1</math> entsteht durch [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus|algebraische Vervollständigkeit]] des [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweiges]] des [[Logarithmus]]. == Äquivalenzklassenaddition == Um die aus der reellen Analysis bekannten Rechenregeln auf Logarithmen in den komplexen Zahlen verwenden zu können werden Äquivalenzklassen verwendet. Die Struktur und Gültigkeit der Rechenregeln wird in diesem Teil der Lerneinheit genauer untersucht. === komplexe Logarithmus als Lösungsmenge === Der komplexe Äquivalenzklassen-Logarithmus von <math> z </math> bildet nicht auf ein Element in <math>\mathbb{C}</math> ab, sondern auf ein Teilmenge von <math>\mathbb{C}</math>. Dies führt im weiteren Verlauf der Lehrveranstaltung zum Begriff des [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarithmus]]. Sei <math>w \in \mathbb{C}</math> beliebig gewählt, dann definiert man <math>w_0 := w - \mathrm{logmod}(w)\cdot 2\pi i \in \mathbb{D}_1</math> als Repräsentant der [[logmod-Äquivalenzklassen|Äquivalenzklasse]] <math> [w]_0</math>. :<math> \mathrm{lnr}_1(z) := \{ w \in \mathbb{C} \mid \exp(w) = z \} = [w]_0 </math> für ein beliebiges <math> w_0 \in \mathbb{D}_1 := \mathbb{R}+ i\cdot [0,2\pi)</math> mit <math> \exp(w_0) = z </math>. ==== Beispiel 1 - Neutrales Element für Äquivalenklassenaddition ==== Algebraisch wird später <math>\mathbb{D}_1</math> mit einer inneren Verknüpfung <math>\oplus</math> zu einer kommunitative Gruppe. Daher wird das [[w:de:neutrales Element|neutrale Element]] von <math>\oplus</math> als Beispieläquivalenzklasse genannt und in Beziehung zum Logarithmus gesetzt. Für <math> z = 1 </math> ist der komplexe rekursive Logarithmus :<math> \mathrm{lnr}_1(1) = \{ 2\pi i k \, : \, k \in \mathbb{Z} \} = [0]_0 </math> ==== Beispiel 2 - Logarithmus der imaginären Einheit ==== Da zunächst die [[rekursiver Logarithmus|rekursive komplexe Logarithmen]] von elementaren komplexen Zahlen genannt. Wählt man <math> z = i </math> so gilt <math> \exp\left(i \tfrac{\pi}{2}\right) = i </math> und <math>i\tfrac{\pi}{2} \in \mathbb{D}_1</math>. Bildet man nun den von [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarithmus]] von <math> z = i </math> erhält man: :<math> \mathrm{lnr}_1(i) = \left\{ i \left( \frac{\pi}{2} + 2\pi k \right) \mid k \in \mathbb{Z} \right\} = \left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0 </math> ==== Beispiel 3 - rekursiver Logarithmus von -1 ==== Ablschießend wird auch noch der [[rekursiver Logarithmus|rekursive komplexe Logarithmen]] von <math> z = -1 </math> genannt. Wegen <math> \exp\left(i \pi \right) = -1 </math> und <math>i \pi \in \mathbb{D}_1=\mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi) </math> erhält man: :<math> \mathrm{lnr}_1(-1) = \left\{ i \left( \pi + 2\pi k \right) \mid k \in \mathbb{Z} \right\} = \left[ i \pi \right]_0 </math> === Repräsentantensystem === Um einen eindeutigen Funktionswert als Äquivalenzklasse zu erhalten, wählt man eine spezielles Repräsentantensystem <math>\mathbb{D}_1:= \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi) \subset \mathbb{C}</math> um alle Äquivalenzklassen darstellen zu können. Dabei wird die [[logmod-Funktion]] verwendet, um für eine beliebige komplexe Zahl <math>w\in \mathbb{C}</math> die zugehörigen Repräsentanten <math>w_0 \in\mathbb{D}_1</math> über <math> w_0 = w - 2\pi i \cdot \mathrm{logmod}(w)</math> zu bestimmen. <span id="Definition"> === Definition - logmod-Äquivalenzklassenaddition === Für <math> z_1,z_2 \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> und <math>w_1,w_2 \in\mathbb{D}_1</math> gelte <math>\exp(z_1)=w_1</math> und <math>\exp(z_2)=w_2</math>. Man definiert nun die Äquivalenzklassenaddition <math>(\mathbb{D}_1,\oplus)</math> wie folgt. :<math> [w_1]_0 \oplus [w_2]_0 := [w_1 + w_2]_0 </math> ==== Bemerkung - Repräsentant der Äquivalenzklasse ==== Der Repräsentant <math>w_1 + w_2 </math> der Äquivalenzklasse wobei <math>[w_1 + w_2]_0 </math> liegt nicht notwendigerweise auch in <math>\mathbb{D}_1</math>, was das folgende Beispiel zeigt. ==== Beispiel - Repräsentant bei additiver Verknüpfung ==== Wählt man <math> z_1 = z_2 = -i </math>, so erhält man <math> w_1 = w_2 = \tfrac{3}{2}\pi i \in \mathbb{D}_1 </math> und es gilt <math> w_1 + w_2 = 3\pi i \notin \mathbb{D}_1 </math>. Möchte man den zugehörigen Repräsentanten aus <math>\mathbb{D}_1 </math> bestimmen, verwendet man wieder die [[logmod-Funktion]]: :<math> [w_1]_0 \oplus [w_2]_0 = [w_1 + w_2]_0 = [w]_0 </math> mit <math> w = w_1+w_2 - 2\pi i \cdot \mathrm{logmod}(w_1+w_2)</math> ==== Bemerkung - Notation ==== Für die Addition <math>\oplus</math> der [[logmod-Äquivalenzklassen]] wird zur Abgrenzung zu additiven Verknüpfung in <math>+</math> in <math>\mathbb{C}</math> das Symbol <math>\oplus</math> verwendet. :<math> \left[ 1+\frac{3}{2}\pi i \right]_0 \oplus \left[5+\frac{1}{2}\pi i \right]_0 = \left[ \left(1+\frac{3}{2}\pi i\right) + \left(5+\frac{1}{2}\pi i\right) \right]_0 = [6+2\pi i]_0 = [6]_0 </math> Im linken Term werden zwei Äquivalenzklassen addiert (daher <math>\oplus</math>) und in den beiden rechten Termen ist das Standardaddition in den komplexen Zahlen. == Rechenregeln für Äquivalenzklassen == Zunächst einmal muss man kurz die Repräsentantenunabhängigkeit der Äquivalenzklassenaddition auf <math>[\mathbb{D}_1]_0</math> überprüfen. Dabei ist <math>\oplus</math> eine innere Verknüpfung auf <math>[\mathbb{D}_1]_0</math> der Form: :<math> \begin{array}{rrcl} f: & [\mathbb{D}_1]_0 \times [\mathbb{D}_1]_0 & \rightarrow & [\mathbb{D}_1]_0\\ & \left( [w_1]_0,[w_2]_0 \right) & \mapsto & [w_1]_0 \oplus [w_2]_0 = [w_1+w_2]_0 = \\ & & & \bigg[\, \underbrace{w_1+w_2 - \mathrm{logmod}(w_1+w_2) \cdot 2\pi i}_{\in \mathbb{D}_1}\,\bigg]_0 \end{array} </math> Dabei beschreibt <math>[\mathbb{D}_1]_0 = \{ [w]_0 \, \colon \, w\in \mathbb{D}_1 \}</math> die Menge aller [[logmod-Äquivalenzklassen]] mit dem Repräsentantensystem <math>\mathbb{D}_1=\mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi)</math>. <hr> <span id="Repraesentantenunabhaengigkeit"></span> === Lemma zur Repräsentantenunabhängigkeit === Die innere additive Verknüpfung <math> ([\mathbb{D}_1]_0 , \oplus)</math> auf den [[logmod-Äquivalenzklassen]] ist repräsentantenunabhängig. === Beweis - Lemma zur Repräsentantenunabhängigkeit === Die Beweisidee der Repräsentantenunabhängigkeit beruht auf der Auswahl von zwei beliebigen unterschiedlichen Repräsentanten <math>w_1</math> und <math>\widehat{w_1}</math> bzw. <math>w_2</math> und <math>\widehat{w_2}</math> und man zeigt dann die Addition mit <math>\oplus</math> für die [[logmod-Äquivalenzklassen]] die gleiche Äquivalenzklasse <math>[w_1+w_2]_0=[\widehat{w_1}+\widehat{w_2}]_0</math> liefert. ==== Beweisschritt 1 - Wahl der Repräsentanten ==== Seien <math>w_1,w_2 \in \mathbb{D}_1</math> und <math>k_1, k_2 \in \mathbb{Z}</math> beliebig gewählt, dann sind <math>\widehat{w_1}=2\pi i\cdot k_1 </math> und <math>\widehat{w_2}=2\pi i\cdot k_2 </math> weitere Repräsentanten der [[logmod-Äquivalenzklassen]] <math>[w_1]_0,[w_2]_0 \in [\mathbb{D}_1]_0</math> und es gilt: :<math> [w_1]_0 = [\widehat{w_1}]_0 \quad [w_2]_0 = [\widehat{w_2}]_0 </math> ==== Beweisschritt 2 - Definition der Addition anwenden ==== Nach Definition der Addition von [[logmod-Äquivalenzklassen]] gilt: :<math> \begin{array}{rcl} [\widehat{w_1}]_0 \oplus [\widehat{w_2}]_0 & = & [\widehat{w_1} + \widehat{w_2}]_0 \\ & = & [w_1+w_2+ (k_1+k_2)\cdot 2\pi i]_0 = [w_1+w_2]_0 \\ & = & [w_2]_0 \oplus [w_2]_0 \\ \end{array} </math> Damit ist die Addition von [[logmod-Äquivalenzklassen]] repräsentantenunabhängig. <math>\quad \Box</math> ==== Bemerkung - Exponentialfunktion und Zweige des Logarithmus ==== Sei <math>G\subset \mathbb{C}</math> ein [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängendes]] [[Gebiet (Mathematik)| Gebiet]] mit <math>0\notin G</math> und <math>w_0\in \mathbb{D}_1</math> und <math> \exp(w_0)=z_0</math> für ein mit <math>z_0 \in G \subset \mathbb{C}\setminus \{0\}</math>. Durch die Festlegung von <math>\log_G(z_0)=w_0</math> ist der Zweig <math>\log_{G}</math> als [[generalisierter Logarithmus]] bereits auf ganz <math>G</math> definiert (siehe [[Identitätssatz]] und <math>\exp(\log_G(z)) = z</math>). Bei der [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus|algebraischen Vervollständigung des Zweiges eines Logarithmus]] verliert man die Eigenschaft der [[holomorphe Funktion|Holomorphie]] und sogar der [[Stetigkeit]]. Sei Man muss daher [[Zweige des Logarithmus]] von der Definition eine [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarthmus]] trennen. * <math> \exp(\log_G(z)) = z </math> für alle <math> z \in G \subset \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> * <math> \log_G(\exp(w)) = z+2\pi i \cdot k </math> für <math> w \in \mathbb{C} </math> und ein existierendes <math>k\in \mathbb{Z} </math> für <math>w</math>. ==== Äquivalenzklassen als Wertebereich ==== Der rekursive Logarithmus <math> \mathrm{lnr}_1(z) = [w]_0</math> liefert als Funktionswert '''keine Zahl''', sondern eine '''Äquivalenzklasse'''. Diese ist selbst ein Element der [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelschen Sigma-Algebra]] <math>\mathcal{B}(\mathbb{C})</math> als abzählbare Vereingigung von Einpunktmenge der Form <math>w+k\cdot 2\pi i</math> mit <math>k\in \mathbb{Z} </math> . === Multiplikation von Äquivalenzklassen === Für <math> z_1, z_2 \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> und <math>w_1,w_2 \in \mathbb{D}_1</math> gelte <math>\exp(w_1)=z_1</math> und <math>\exp(w_2)=z_2</math>. Ferner werden zwei beliebige weitere Repräsentanten <math>\widehat{w_1}=w_1 + 2\pi i\cdot k_1 </math> und <math>\widehat{w_2}=w_2 + 2\pi i\cdot k_2 </math> mit <math>k_1, k_2 \in \mathbb{Z}</math> der [[logmod-Äquivalenzklassen]] <math>[w_1]_0,[w_2]_0 \in [\mathbb{D}_1]_0</math> gewählt. Es gilt damit: :<math> [w_1]_0 = [\widehat{w_1}]_0 \quad [w_2]_0 = [\widehat{w_2}]_0 </math>: Man untersucht nun die Multiplikation bzgl. der [[logmod-Äquivalenzklassen]]. === Multiplikation und Exponentialfunktion === Es gilt nach Voraussetzung <math>\exp(w_1)= \exp(\widehat{w_1})</math> und <math>\exp(w_2)= \exp(\widehat{w_2})</math> wegen imaginäre Periodizität bzgl. <math>2\pi i</math>. Man erhält daher folgende Gleichung: :<math> \exp(w_1+w_2) = \underbrace{\exp(w_1)}_{=z_1} \cdot \underbrace{\exp(w_2)}_{=z_2}= \underbrace{\exp(\widehat{w_1})}_{=z_1} \cdot \underbrace{\exp(\widehat{w_2})}_{=z_2} = \exp(\widehat{w_1}+\widehat{w_2}) </math> Dabei wurde <math>w_1 = \log_G(z_1)</math> und <math>w_2 = \log_G(z_2)</math> über einen [[generalisierter Logarithmus|generalisierten Logarithmus]] <math>\log_G</math> auf einem [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebiet <math>G</math> mit <math>0\notin G</math> bestimmt. ==== Anwendung auf den generalisierte Logarithmus ==== Mit den Vorüberlegungen bzgl. Exponentialfunktion gilt für den [[generalisierter Logarithmus|generalisierten Logarithmus]] <math>\log_G</math> folgende Eigenschaft mit geeignet gewähltem <math>k\in \mathbb{Z}</math>: :<math> \log_G(z_1 \cdot z_2) = \log_G(z_1) + \log_G(z_2) + k\cdot 2\pi i </math> Dabei kann <math>k\in \mathbb{Z}</math> über die [[logmod-Funktion]] mit <math>k=\mathrm{logmod}(z_1 \cdot z_2)</math> bestimmt werden. ==== Anwendung auf logmod-Äquivalenklassen ==== Da für die Summe zweier Äquivalenzklassen folgende Eigenschaft gilt, erhält man für <math>\exp(w) = z_1\cdot z_2</math> die [[logmod-Äquivalenzklassen]]gleichung: :<math> [w_1]_0 + [w_2]_0 = [w_1 + w_2]_0 = [w]_0 </math> Der [[rekursiver Logarithmus|rekursive Logarithmus]] erfüllt die Rechengesetze analog zu den [[Logarithmus|Logarithmusgesetzen]] in <math>\mathbb{R}</math>. :<math> \underbrace{\mathrm{lnr}_1(z_1\cdot z_2)}_{=[w]_0} = \underbrace{\mathrm{lnr}_1(z_1)}_{=[w_1]_0} + \underbrace{\mathrm{lnr}_1(z_2)}_{=[w_2]_0} = [w_1 + w_2]_0 </math> ==== Beispiel - Multiplikation der Log-Argumente==== Wählt man <math> z_1 = i = z_2 </math> so gilt <math> z_1 \cdot z_2 = -1 </math>. Für den [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarithmus]] gilt dann: :<math> \mathrm{lnr_1}(i) = \left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0 \quad \mathrm{lnr_1}(-1)=\mathrm{lnr_1}(i\cdot i) = \underbrace{\mathrm{lnr_1}(i)}_{=\left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0} + \underbrace{\mathrm{lnr_1}(i)}_{=\left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0} = [i\pi]_0 </math> === Potenzen und Logarithmus === Um Potenzen mit komplexen Exponenten definieren zu können, verwendet man Vorüberlegungen aus den reellen Zahlen (siehe [[w:de:Potenzfunktion|Potenzfunktion]]). Mit <math>x\mathbb{R}^+</math> gilt für <math>w=\ln(x)</math> für <math>x > 0 </math> und <math>a\in \mathbb{R}</math> die Gleichung: :<math> x^a = \exp(w\cdot a) = \exp(\underbrace{\ln(x)}_{\in \mathbb{R}^+} \cdot a) </math> In komplexen Zahlen ist der [[Logarithmus]] nicht eindeutig festgelegt. Ist <math>\log_G\ast</math> als [[Zweig des Logarithmus]] für das Potenzieren festgelegt, kann man die Potenzfunktion für <math> z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> mit beliebgigen <math>a\in \mathbb{C}</math> definieren. Die Zweige unterscheiden sich um Vielfache von <math>2\pi i</math>. ==== Zweig des Logarithmus und Potenzfunktionen ==== Ist ein [[Zweig des Logarithmus]] <math>\log_G</math> auf einem [[einfach zusammenhängend]]em Gebiet gegeben, so definiert man für <math>z\in G</math> und <math>\log_G(z)=w</math>: :<math> z^a := \exp(w\cdot a) = \exp(\log_G(z) \cdot a) </math> Für andere [[Zweige des Logarithmus]] <math>\log_{\widehat{G}}</math> gibt es für <math>z\in \widehat{G}</math> ein ganze Zahl <math>k_z\in \mathbb{Z} </math> mit: :<math> \log_G(z) = w = \log_{\widehat{G}}(z) +2\pi i \cdot k_z </math> ==== Zweig des Logarithmus und expotenzfunktionen ==== Ist ein [[Zweig des Logarithmus]] <math>\log_G</math> auf einem [[einfach zusammenhängend]]em Gebiet gegeben, so definiert man für <math>z\in G</math> und <math>\log_G(z)=w</math>: :<math> z^a := \exp(w\cdot a) = \exp(\log_G(z) \cdot a) </math> Für andere [[Zweige des Logarithmus]] <math>\log_{\widehat{G}}</math> gibt es für <math>z\in \widehat{G}</math> ein ganze Zahl <math>k_z\in \mathbb{Z} </math> mit: :<math> \log_G(z) = w = \log_{\widehat{G}}(z) +2\pi i \cdot k_z </math> ==== Vergleich von Zweigen des Logarithmus ==== Wählt man für <math>G</math> den [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweig des Logarithmus]] mit <math> z \in G:= \mathbb{C} \setminus \mathbb{R}_0^{+} </math> und <math>a\in \mathbb{C}</math>. Werden <math>w, w_a \in \mathbb{D}_1 = \mathbb{R}+i\cdot[0,2\pi)</math> mit der Eigenschaft <math>\exp(w)=z</math> und <math>\exp(w_a)=z^a = \exp(w\cdot a)</math> zusammen mit zwei beliebigen weitere Repräsentanten <math>\widehat{w}=w + 2\pi i\cdot k </math> und <math>\widehat{w_a}=w_a + 2\pi i\cdot k_a </math> gewählt, so kann man mit <math>k, k_a \in \mathbb{Z}</math> die Beziehung zwischen den [[logmod-Äquivalenzklassen]] <math>[w]_0,[w_a]_0 \in [\mathbb{D}_1]_0</math> darstellen: :<math> \mathrm{lnr_1}(z^a) = [w_a]_0 = [w\cdot a]_0 =[w\cdot a + 2\pi i \cdot k ]_0 = [\widehat{w_a}]_0 </math> Dabei liefert der [[rekursiver Logarithmus|rekursive Logarithmus]] im Wertebereich eine [[logmod-Äquivalenzklassen|logmod-Äquivalenzklasse]] und keine Zahl aus <math>\mathbb{C}</math> (siehe auch [[komplexe Potenzfunktionen]]). ==== Darstellung als Äquivalenzklassen ==== Gilt <math>\log_\widehat{G}(z)=w</math> und <math>z^a:= \exp\big(\, \underbrace{\log_\widehat{G}(z)\cdot a}_{=w_a}\, \big) = \exp(w\cdot a)</math> für andere [[Zweige des Logarithmus]], so erhält unterscheiden sich die [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmen]] auch wieder nur um Vielfach von <math>2\pi i</math> und man kann in der Äquivalenzklassen-Sicht folgende Definition der Multiplikation eine [[logmod-Äquivalenzklassen|logmod-Äquivalenzklasse]] mit einer Zahl definieren: :<math> a \cdot [w]_0 := [a\cdot w]_0 </math> ==== Beispiel - Produkt von Äquivalenzklassen mit komplexer Zahl ==== Als Beispiel wird dazu <math> z = i </math>, <math> a = 2 </math> gewählt und man bestimmt die Logarithmen für den [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus|algebraisch vervollständigten]] [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptteil]] <math>\log_G^\ast</math> von <math>\log_G</math> mit Werten in <math> \mathbb{D}_1 = \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi)</math>. Die zugehörigen Logarithmen sind dann :<math> w:=log_G(i) = \log_G^\ast(i) = i \tfrac{\pi}{2} \quad \log_G^\ast(z^a) = \log_G^\ast(-1) = \log_G(-1) = \pi i </math> und es gilt <math> w=\log_G^*(i)</math>, <math> z^a = e^{w\cdot a} = e^{i \tfrac{\pi}{2} \cdot 2} = e^{i\pi} = -1 </math> und <math> z^a = -1 </math> so :<math> a \cdot [w]_0 = 2 \cdot [i \pi/2]_0 = [i\pi]_0 = [a \cdot w]_0 </math> ==== Exponentialfunktion und Eulersche Formel ==== Stell man <math>a=a_1+ia_2\in \mathbb{C}</math> dar und wendet man die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] an, gilt die folgende Eigenschaft mit <math>w=w_1+iw_2\in \mathbb{C}</math> und <math> z = e^{\log_G(z)}</math>: :<math> z^a := e^{\log_G(z)\cdot a} = e^{\overbrace{(w_1+iw_2)}^{=w}\cdot \overbrace{(a_1+i\cdot a_2)}^{=a}} = e^{(w_1a_1-w_2a_2) + i\cdot (w_2a_1+w_1a_2)} </math> Durch Anwendung der [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] auf den rechten Term erhält man: :<math> z^a = \underbrace{e^{w_1a_1-w_2a_2}}_{=|z^a|} \cdot \big( \cos(w_2a_1+w_1a_2)+ i\cdot \sin(w_2a_1+w_1a_2) \big) </math> === Addition von Logarithmen === Für die [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus]] <math>\log^\ast_{_G}</math> vom [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativer Hauptzweig des Logarithmus]] gelten die folgenden Eigenschaften: :<math> \log^\ast_{_G}(z_1) + \log^\ast_{_G}(z_2) - 2\pi i\cdot \mathrm{logmod} \big(\log^\ast_{_G}(z_1) + \log^\ast_{_G}(z_2)\big) = \log^\ast_{_G}(z_1 \cdot z_2) </math> Ohne die Anwendung der [[logmod-Funktion]] ist die obige Gleichung nicht immer wahr, denn die Summe der Imaginäreteile <math>\log^\ast_{_G}(z_1) + \log^\ast_{_G}(z_2)</math> kann im Imaginärteil größer als <math>2\pi</math> werden. Bezogen auf die [[logmod-Äquivalenzklassen]] ist die Aussage aber richtig, das sich Repräsentaten von Restklassen um Vielfach von <math>2\pi i </math> im Imaginärteil unterscheiden können. == Übungsaufgaben für Studierende == * Zeigen Sie, dass <math> \log(-1) = [i\pi]_0 </math> gilt. * Berechnen Sie <math> \log_{G}^\ast(i) + \log_{G}^\ast(i) </math> für den [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus|algebraisch vervollständigten]] [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweig des Logarithmus]] und vergleiche mit <math> \log(-1) </math>. * Zeige Sie, dass <math> \log_{G}^\ast(z^2) = 2 \cdot \log(z) </math> in der [[logmod-Äquivalenzklassen]] gilt. * Warum ist <math> \log_{G}^\ast(z_1 z_2) = \log_{G}^\ast(z_1) + \log_{G}^\ast(z_2) </math> '''nicht''' immer wahr? Geben Sie zwei komplexe Zahlen <math>z_1,z_2\in \mathbb{C}</math> an, für die die obige Gleichung nicht gilt. * In der reellen Analysis sind Potenzfunktion mit negativer Basis nicht definiert. Verwenden Sie [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweig des Logarithmus]] und berechnen Sie <math>(-8)^{2+\pi i}</math>. == Siehe auch == * [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus]] * [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexer Logarithmus]] * [[w:de:Lambertsche W-Funktion|Lambertsche W-Funktion]] * [[logmod-Äquivalenzklassen]] * [[logmod-Funktion]] * [[negativer Hauptzweig des Logarithmus]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/%C3%84quivalenzklassen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%C3%84quivalenzklassen%20des%20Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/%C3%84quivalenzklassen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%C3%84quivalenzklassen%20des%20Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/%C3%84quivalenzklassen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/%C3%84quivalenzklassen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/%C3%84quivalenzklassen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/%C3%84quivalenzklassen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/%C3%84quivalenzklassen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%C3%84quivalenzklassen%20des%20Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] n0iahz90xzxbh6siqkasgcl485zoqmr 1118819 1118818 2026-11-04T07:25:23Z Bert Niehaus 20843 /* Übungsaufgaben für Studierende */ 1118819 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Lerneinheit zu [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmen]] beschäftigt sich Äquivalenzklassen, deren Struktur und Rechenregeln, die durch den Zusammenhang mit der Exponentialfunktion und deren imaginärer <math>2\pi i</math>-Periodizität entsteht. Die Äquivalenzklassen helfen dabei, [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen#Rechenregeln|Rechenregeln]] aus den reellen Zahl für den [[Logarithmus]] auf den [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexen Logarithmus]] bzw. deren Zweige zu übertragen. Die [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus]] spielt dabei bijektive Abbildungen eine besondere Rolle. === Periodizität der Exponentialfunktion === Der komplexe Logarithmus kann nicht eindeutig als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion <math> \exp: \mathbb{C} \to \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> festgelegt werden, da u.a. die Exponentialfunktion nicht injektiv ist und ein [[Zweig des Logarithmus]] von der Wahl des [[einfach zusammenhängend]]en Gebietes abhängt, auf dem der Logarithmus definiert ist. Es gilt für [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]]: :<math> \exp(w + 2\pi i) = \exp(w) = z\quad \text{für alle } w \in \mathbb{C} </math> Daher gibt es unendlich viele komplexe Zahlen <math> w </math>, die auf dieselbe Zahl <math> z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> abgebildet werden. Diese Mehrdeutigkeit ist die Motivation, um Äquivalenzklassen zu bilden. === Behandelt Aspekte in der Lerneinheit === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen#logmod_Aequivalenzlemma|LogMod-Äquivalenzklassenlemma]]:''' Beziehung Exponentialfunktion und Zweigen des Logarithmus * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen#Repraesentantenunabhaengigkeit|Repräsentantenunabhängigkeit]]''' für die Addition von [[logmod-Äquivalenzklassen]] == Äquivalenzklassen des Logarithmus == Um Äquivalenzklassen zu bilden, benötigt man eine Äquivalenzrelation als Teilmenge von <math>\mathbb{C}\times \mathbb{C} </math>, die zwei Elemente <math> w_1, w_2 \in \mathbb{C} </math>, wenn deren Differenz ein ganzzahliges Vielfaches von <math>2\pi i</math> ist. === Definition - logmod-Äquivalenzrelation === Zwei komplexe Zahlen <math> w_1, w_2 \in \mathbb{C} </math> heißen logmod-äquivalent modulo <math> 2\pi i </math>, wenn gilt: :<math> w_1 - w_2 \in 2\pi i \cdot \mathbb{Z} := \{w\in \mathbb{C} \, : \, w=2\pi i \cdot k \mbox{ und } k\in \mathbb{Z} \} </math> Formal notiert man diese Äquivalenz wie folgt: :<math> w_1 \equiv w_2 \ \mathrm{logmod}\ {2\pi i} </math> ==== Aufgabe für Studierende ==== Zeigen Sie, dass diese Relation eine ''Äquivalenzrelation'' ist, d.h. die [[logmod-Funktion|logmod-Relation]] ist [[w:de:Äquivalenzrelation|reflexiv, symmetrisch und transitiv]]. === Definition - logmod-Äquivalenzklasse === Für eine komplexe Zahl <math> w \in \mathbb{C} </math> ist die Äquivalenzklasse definiert als: :<math> [w]_0 := \{ w + 2\pi i k \mid k \in \mathbb{Z} \} </math> ==== Bezeichnung - Äquivalenzklassenindex==== Die Indexierung mit <math> _0 </math> deutet an, dass dies diese Äquivalenzklasse ohne Logarithmierung in <math>\mathbb{C}</math> gebildet wurde. Bildet man rekursiv höhere Logarithmen als Verkettung entstehen Äquivalenzklassen <math>[w]_n</math>, wobei <math>n</math>-fach rekursiv der Logarithmus verkettet wird, falls dieser existiert. == Verbindung mit der Exponentialfunktion == Da die Exponentialfunktion im Imaginärteil des Arguments eine Periodizität von <math>2\pi i</math> besitzt, entsprechen Äquivalenzklassen <math>[w]_0</math> entsprechen einem Bildpunkt <math>z=e^w</math>. Dieser Verbindung zwischen Exponentialfunktion und Logarithmus wird durch das LogMod-Äquivalenzklassenlemma festgehalten. <span id="logmod_Aequivalenzlemma"></span> === LogMod-Äquivalenzklassenlemma === Sei <math>w\in\mathbb{C} \setminus \{0\} </math> mit <math>\mathrm{logmod}(w) = 0</math> gegeben. Für eine feste komplexe Zahl <math> z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> gilt folgende Äquivalenzaussage: :<math> \exp(\widehat{w}) = z \quad \text{für alle } \widehat{w} \in [w]_0 </math> genau dann, wenn <math> \exp(w) = z </math>. === Beweis - LogMod-Äquivalenzlemma === Für <math> w\in \mathbb{D}_1 := \mathbb{R}\times i\cdot [0,2\pi)</math> gelte <math>\exp(w)=z</math>. Das LogMod-Äquivalenzlemma ist eine Äquivalenzaussage. Daher werden zwei Beweisrichtungen gezeigt: \mbox{} <math display="block"> \begin{array}{llcl} \mbox{ (LML1) } & \exp(\widehat{w}) = z & \quad \Longrightarrow \quad & \widehat{w} \in [w]_0 \\ \mbox{ (LML2) } & \widehat{w} \in [w]_0 & \quad \Longrightarrow \quad & \exp(\widehat{w}) = z \\ \end{array} </math> ==== Schritt 1 - Beweisrichtung LML1 ==== Sei <math> \widehat{w} \in \mathbb{C} </math> mit <math> \exp(\widehat{w}) = z </math> beliebig gewählt. Dann gilt mit der Voraussetzung <math> \exp(w) = z \not= 0</math> und Potenzgesetzen: :<math> 1 = \frac{z}{z} = \frac{\widehat{w}}{\exp(\exp(w))} = \exp(\widehat{w}-w) </math> Die Gleichung <math>1 = \exp(\widehat{w}-w)</math> gilt genau dann, wenn <math> w-\widehat{w} = 2\pi i \cdot k</math> mit <math>k \in \mathbb{Z}</math>. ==== Schritt 2 - Beweisrichtung LML1 ==== Damit gilt auch <math> w = \widehat{w} + 2\pi i \cdot k </math>. Die ganze Zahl <math> k\in \mathbb{Z} </math> ist durch die [[logmod-Funktion]] und es gilt <math>k= \mathrm{logmod}(\widehat{w})</math>, da <math> w\in \mathbb{D}_1 = \mathbb{R} + i\cdot [0,2\pi) </math> nach Voraussetzung gilt und man erhält <math>\widehat{w} \in [w]_0</math>. ==== Schritt 3 - Äquivalenzklasse gegeben LML2 ==== Sei umgekehrt <math>\widehat{w} \in [w]_0</math> gegeben. Dann gibt es nach Definition der Äquivalenzklasse ein <math> k := logmod(\widehat{w})\in \mathbb{Z} </math> mit der Eigenschaft <math>\widehat{w}:= w + 2\pi i k</math>. Nun wen man diese Darstellung von <math>\widehat{w}</math> auf die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] an und verwendet Periodizität <math>\exp</math> bzgl. <math>2\pi i</math> und erhält: :<math> \exp(\widehat{w}) = \exp(w + 2\pi i k) = \exp(w) \cdot \exp(2\pi i k) = z \cdot 1 = z </math> ==== Schritt 4 - LML2 ==== Da <math>\widehat{w} \in [w]_0</math> beliebig gewählt wurde, gilt für alle <math> \widehat{w} \in [w]_0 </math> die Eigenschaft <math> \exp(\widehat{w}) = z </math> und zusammen mit LML1 gilt die Äquivalenzaussage aus dem Lemma <math>\quad \Box</math>. === Folgerung - LogMod-Äquivalenzklassenlemma ==== Fasst man zu einem gegebenen <math>z\in \mathbb{C}\setminus\{0\}</math> die Menge alle komplexen Zahlen <math> \widehat{w} \in \mathbb{C} </math> zu einer Menge zusammen, die die Eigenschaft <math> \exp(\widehat{w}) = z </math> erfüllen, so erhält man die Äquivalenzklasse <math> [w]_0 </math>, wobei <math> w </math> eine beliebige Lösung von <math> \exp(w) = z </math> ist. ==== Bemerkung - LogMod-Äquivalenzklassenlemma ==== Für die Äquivalenzklassenanalyse spielt das Repräsentatensystem <math>\mathbb{D}_1= \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi)</math> eine besondere Rolle. DasRepräsentatensystem <math>\mathbb{D}_1</math> entsteht durch [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus|algebraische Vervollständigkeit]] des [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweiges]] des [[Logarithmus]]. == Äquivalenzklassenaddition == Um die aus der reellen Analysis bekannten Rechenregeln auf Logarithmen in den komplexen Zahlen verwenden zu können werden Äquivalenzklassen verwendet. Die Struktur und Gültigkeit der Rechenregeln wird in diesem Teil der Lerneinheit genauer untersucht. === komplexe Logarithmus als Lösungsmenge === Der komplexe Äquivalenzklassen-Logarithmus von <math> z </math> bildet nicht auf ein Element in <math>\mathbb{C}</math> ab, sondern auf ein Teilmenge von <math>\mathbb{C}</math>. Dies führt im weiteren Verlauf der Lehrveranstaltung zum Begriff des [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarithmus]]. Sei <math>w \in \mathbb{C}</math> beliebig gewählt, dann definiert man <math>w_0 := w - \mathrm{logmod}(w)\cdot 2\pi i \in \mathbb{D}_1</math> als Repräsentant der [[logmod-Äquivalenzklassen|Äquivalenzklasse]] <math> [w]_0</math>. :<math> \mathrm{lnr}_1(z) := \{ w \in \mathbb{C} \mid \exp(w) = z \} = [w]_0 </math> für ein beliebiges <math> w_0 \in \mathbb{D}_1 := \mathbb{R}+ i\cdot [0,2\pi)</math> mit <math> \exp(w_0) = z </math>. ==== Beispiel 1 - Neutrales Element für Äquivalenklassenaddition ==== Algebraisch wird später <math>\mathbb{D}_1</math> mit einer inneren Verknüpfung <math>\oplus</math> zu einer kommunitative Gruppe. Daher wird das [[w:de:neutrales Element|neutrale Element]] von <math>\oplus</math> als Beispieläquivalenzklasse genannt und in Beziehung zum Logarithmus gesetzt. Für <math> z = 1 </math> ist der komplexe rekursive Logarithmus :<math> \mathrm{lnr}_1(1) = \{ 2\pi i k \, : \, k \in \mathbb{Z} \} = [0]_0 </math> ==== Beispiel 2 - Logarithmus der imaginären Einheit ==== Da zunächst die [[rekursiver Logarithmus|rekursive komplexe Logarithmen]] von elementaren komplexen Zahlen genannt. Wählt man <math> z = i </math> so gilt <math> \exp\left(i \tfrac{\pi}{2}\right) = i </math> und <math>i\tfrac{\pi}{2} \in \mathbb{D}_1</math>. Bildet man nun den von [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarithmus]] von <math> z = i </math> erhält man: :<math> \mathrm{lnr}_1(i) = \left\{ i \left( \frac{\pi}{2} + 2\pi k \right) \mid k \in \mathbb{Z} \right\} = \left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0 </math> ==== Beispiel 3 - rekursiver Logarithmus von -1 ==== Ablschießend wird auch noch der [[rekursiver Logarithmus|rekursive komplexe Logarithmen]] von <math> z = -1 </math> genannt. Wegen <math> \exp\left(i \pi \right) = -1 </math> und <math>i \pi \in \mathbb{D}_1=\mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi) </math> erhält man: :<math> \mathrm{lnr}_1(-1) = \left\{ i \left( \pi + 2\pi k \right) \mid k \in \mathbb{Z} \right\} = \left[ i \pi \right]_0 </math> === Repräsentantensystem === Um einen eindeutigen Funktionswert als Äquivalenzklasse zu erhalten, wählt man eine spezielles Repräsentantensystem <math>\mathbb{D}_1:= \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi) \subset \mathbb{C}</math> um alle Äquivalenzklassen darstellen zu können. Dabei wird die [[logmod-Funktion]] verwendet, um für eine beliebige komplexe Zahl <math>w\in \mathbb{C}</math> die zugehörigen Repräsentanten <math>w_0 \in\mathbb{D}_1</math> über <math> w_0 = w - 2\pi i \cdot \mathrm{logmod}(w)</math> zu bestimmen. <span id="Definition"> === Definition - logmod-Äquivalenzklassenaddition === Für <math> z_1,z_2 \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> und <math>w_1,w_2 \in\mathbb{D}_1</math> gelte <math>\exp(z_1)=w_1</math> und <math>\exp(z_2)=w_2</math>. Man definiert nun die Äquivalenzklassenaddition <math>(\mathbb{D}_1,\oplus)</math> wie folgt. :<math> [w_1]_0 \oplus [w_2]_0 := [w_1 + w_2]_0 </math> ==== Bemerkung - Repräsentant der Äquivalenzklasse ==== Der Repräsentant <math>w_1 + w_2 </math> der Äquivalenzklasse wobei <math>[w_1 + w_2]_0 </math> liegt nicht notwendigerweise auch in <math>\mathbb{D}_1</math>, was das folgende Beispiel zeigt. ==== Beispiel - Repräsentant bei additiver Verknüpfung ==== Wählt man <math> z_1 = z_2 = -i </math>, so erhält man <math> w_1 = w_2 = \tfrac{3}{2}\pi i \in \mathbb{D}_1 </math> und es gilt <math> w_1 + w_2 = 3\pi i \notin \mathbb{D}_1 </math>. Möchte man den zugehörigen Repräsentanten aus <math>\mathbb{D}_1 </math> bestimmen, verwendet man wieder die [[logmod-Funktion]]: :<math> [w_1]_0 \oplus [w_2]_0 = [w_1 + w_2]_0 = [w]_0 </math> mit <math> w = w_1+w_2 - 2\pi i \cdot \mathrm{logmod}(w_1+w_2)</math> ==== Bemerkung - Notation ==== Für die Addition <math>\oplus</math> der [[logmod-Äquivalenzklassen]] wird zur Abgrenzung zu additiven Verknüpfung in <math>+</math> in <math>\mathbb{C}</math> das Symbol <math>\oplus</math> verwendet. :<math> \left[ 1+\frac{3}{2}\pi i \right]_0 \oplus \left[5+\frac{1}{2}\pi i \right]_0 = \left[ \left(1+\frac{3}{2}\pi i\right) + \left(5+\frac{1}{2}\pi i\right) \right]_0 = [6+2\pi i]_0 = [6]_0 </math> Im linken Term werden zwei Äquivalenzklassen addiert (daher <math>\oplus</math>) und in den beiden rechten Termen ist das Standardaddition in den komplexen Zahlen. == Rechenregeln für Äquivalenzklassen == Zunächst einmal muss man kurz die Repräsentantenunabhängigkeit der Äquivalenzklassenaddition auf <math>[\mathbb{D}_1]_0</math> überprüfen. Dabei ist <math>\oplus</math> eine innere Verknüpfung auf <math>[\mathbb{D}_1]_0</math> der Form: :<math> \begin{array}{rrcl} f: & [\mathbb{D}_1]_0 \times [\mathbb{D}_1]_0 & \rightarrow & [\mathbb{D}_1]_0\\ & \left( [w_1]_0,[w_2]_0 \right) & \mapsto & [w_1]_0 \oplus [w_2]_0 = [w_1+w_2]_0 = \\ & & & \bigg[\, \underbrace{w_1+w_2 - \mathrm{logmod}(w_1+w_2) \cdot 2\pi i}_{\in \mathbb{D}_1}\,\bigg]_0 \end{array} </math> Dabei beschreibt <math>[\mathbb{D}_1]_0 = \{ [w]_0 \, \colon \, w\in \mathbb{D}_1 \}</math> die Menge aller [[logmod-Äquivalenzklassen]] mit dem Repräsentantensystem <math>\mathbb{D}_1=\mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi)</math>. <hr> <span id="Repraesentantenunabhaengigkeit"></span> === Lemma zur Repräsentantenunabhängigkeit === Die innere additive Verknüpfung <math> ([\mathbb{D}_1]_0 , \oplus)</math> auf den [[logmod-Äquivalenzklassen]] ist repräsentantenunabhängig. === Beweis - Lemma zur Repräsentantenunabhängigkeit === Die Beweisidee der Repräsentantenunabhängigkeit beruht auf der Auswahl von zwei beliebigen unterschiedlichen Repräsentanten <math>w_1</math> und <math>\widehat{w_1}</math> bzw. <math>w_2</math> und <math>\widehat{w_2}</math> und man zeigt dann die Addition mit <math>\oplus</math> für die [[logmod-Äquivalenzklassen]] die gleiche Äquivalenzklasse <math>[w_1+w_2]_0=[\widehat{w_1}+\widehat{w_2}]_0</math> liefert. ==== Beweisschritt 1 - Wahl der Repräsentanten ==== Seien <math>w_1,w_2 \in \mathbb{D}_1</math> und <math>k_1, k_2 \in \mathbb{Z}</math> beliebig gewählt, dann sind <math>\widehat{w_1}=2\pi i\cdot k_1 </math> und <math>\widehat{w_2}=2\pi i\cdot k_2 </math> weitere Repräsentanten der [[logmod-Äquivalenzklassen]] <math>[w_1]_0,[w_2]_0 \in [\mathbb{D}_1]_0</math> und es gilt: :<math> [w_1]_0 = [\widehat{w_1}]_0 \quad [w_2]_0 = [\widehat{w_2}]_0 </math> ==== Beweisschritt 2 - Definition der Addition anwenden ==== Nach Definition der Addition von [[logmod-Äquivalenzklassen]] gilt: :<math> \begin{array}{rcl} [\widehat{w_1}]_0 \oplus [\widehat{w_2}]_0 & = & [\widehat{w_1} + \widehat{w_2}]_0 \\ & = & [w_1+w_2+ (k_1+k_2)\cdot 2\pi i]_0 = [w_1+w_2]_0 \\ & = & [w_2]_0 \oplus [w_2]_0 \\ \end{array} </math> Damit ist die Addition von [[logmod-Äquivalenzklassen]] repräsentantenunabhängig. <math>\quad \Box</math> ==== Bemerkung - Exponentialfunktion und Zweige des Logarithmus ==== Sei <math>G\subset \mathbb{C}</math> ein [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängendes]] [[Gebiet (Mathematik)| Gebiet]] mit <math>0\notin G</math> und <math>w_0\in \mathbb{D}_1</math> und <math> \exp(w_0)=z_0</math> für ein mit <math>z_0 \in G \subset \mathbb{C}\setminus \{0\}</math>. Durch die Festlegung von <math>\log_G(z_0)=w_0</math> ist der Zweig <math>\log_{G}</math> als [[generalisierter Logarithmus]] bereits auf ganz <math>G</math> definiert (siehe [[Identitätssatz]] und <math>\exp(\log_G(z)) = z</math>). Bei der [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus|algebraischen Vervollständigung des Zweiges eines Logarithmus]] verliert man die Eigenschaft der [[holomorphe Funktion|Holomorphie]] und sogar der [[Stetigkeit]]. Sei Man muss daher [[Zweige des Logarithmus]] von der Definition eine [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarthmus]] trennen. * <math> \exp(\log_G(z)) = z </math> für alle <math> z \in G \subset \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> * <math> \log_G(\exp(w)) = z+2\pi i \cdot k </math> für <math> w \in \mathbb{C} </math> und ein existierendes <math>k\in \mathbb{Z} </math> für <math>w</math>. ==== Äquivalenzklassen als Wertebereich ==== Der rekursive Logarithmus <math> \mathrm{lnr}_1(z) = [w]_0</math> liefert als Funktionswert '''keine Zahl''', sondern eine '''Äquivalenzklasse'''. Diese ist selbst ein Element der [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelschen Sigma-Algebra]] <math>\mathcal{B}(\mathbb{C})</math> als abzählbare Vereingigung von Einpunktmenge der Form <math>w+k\cdot 2\pi i</math> mit <math>k\in \mathbb{Z} </math> . === Multiplikation von Äquivalenzklassen === Für <math> z_1, z_2 \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> und <math>w_1,w_2 \in \mathbb{D}_1</math> gelte <math>\exp(w_1)=z_1</math> und <math>\exp(w_2)=z_2</math>. Ferner werden zwei beliebige weitere Repräsentanten <math>\widehat{w_1}=w_1 + 2\pi i\cdot k_1 </math> und <math>\widehat{w_2}=w_2 + 2\pi i\cdot k_2 </math> mit <math>k_1, k_2 \in \mathbb{Z}</math> der [[logmod-Äquivalenzklassen]] <math>[w_1]_0,[w_2]_0 \in [\mathbb{D}_1]_0</math> gewählt. Es gilt damit: :<math> [w_1]_0 = [\widehat{w_1}]_0 \quad [w_2]_0 = [\widehat{w_2}]_0 </math>: Man untersucht nun die Multiplikation bzgl. der [[logmod-Äquivalenzklassen]]. === Multiplikation und Exponentialfunktion === Es gilt nach Voraussetzung <math>\exp(w_1)= \exp(\widehat{w_1})</math> und <math>\exp(w_2)= \exp(\widehat{w_2})</math> wegen imaginäre Periodizität bzgl. <math>2\pi i</math>. Man erhält daher folgende Gleichung: :<math> \exp(w_1+w_2) = \underbrace{\exp(w_1)}_{=z_1} \cdot \underbrace{\exp(w_2)}_{=z_2}= \underbrace{\exp(\widehat{w_1})}_{=z_1} \cdot \underbrace{\exp(\widehat{w_2})}_{=z_2} = \exp(\widehat{w_1}+\widehat{w_2}) </math> Dabei wurde <math>w_1 = \log_G(z_1)</math> und <math>w_2 = \log_G(z_2)</math> über einen [[generalisierter Logarithmus|generalisierten Logarithmus]] <math>\log_G</math> auf einem [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebiet <math>G</math> mit <math>0\notin G</math> bestimmt. ==== Anwendung auf den generalisierte Logarithmus ==== Mit den Vorüberlegungen bzgl. Exponentialfunktion gilt für den [[generalisierter Logarithmus|generalisierten Logarithmus]] <math>\log_G</math> folgende Eigenschaft mit geeignet gewähltem <math>k\in \mathbb{Z}</math>: :<math> \log_G(z_1 \cdot z_2) = \log_G(z_1) + \log_G(z_2) + k\cdot 2\pi i </math> Dabei kann <math>k\in \mathbb{Z}</math> über die [[logmod-Funktion]] mit <math>k=\mathrm{logmod}(z_1 \cdot z_2)</math> bestimmt werden. ==== Anwendung auf logmod-Äquivalenklassen ==== Da für die Summe zweier Äquivalenzklassen folgende Eigenschaft gilt, erhält man für <math>\exp(w) = z_1\cdot z_2</math> die [[logmod-Äquivalenzklassen]]gleichung: :<math> [w_1]_0 + [w_2]_0 = [w_1 + w_2]_0 = [w]_0 </math> Der [[rekursiver Logarithmus|rekursive Logarithmus]] erfüllt die Rechengesetze analog zu den [[Logarithmus|Logarithmusgesetzen]] in <math>\mathbb{R}</math>. :<math> \underbrace{\mathrm{lnr}_1(z_1\cdot z_2)}_{=[w]_0} = \underbrace{\mathrm{lnr}_1(z_1)}_{=[w_1]_0} + \underbrace{\mathrm{lnr}_1(z_2)}_{=[w_2]_0} = [w_1 + w_2]_0 </math> ==== Beispiel - Multiplikation der Log-Argumente==== Wählt man <math> z_1 = i = z_2 </math> so gilt <math> z_1 \cdot z_2 = -1 </math>. Für den [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarithmus]] gilt dann: :<math> \mathrm{lnr_1}(i) = \left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0 \quad \mathrm{lnr_1}(-1)=\mathrm{lnr_1}(i\cdot i) = \underbrace{\mathrm{lnr_1}(i)}_{=\left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0} + \underbrace{\mathrm{lnr_1}(i)}_{=\left[ i \frac{\pi}{2} \right]_0} = [i\pi]_0 </math> === Potenzen und Logarithmus === Um Potenzen mit komplexen Exponenten definieren zu können, verwendet man Vorüberlegungen aus den reellen Zahlen (siehe [[w:de:Potenzfunktion|Potenzfunktion]]). Mit <math>x\mathbb{R}^+</math> gilt für <math>w=\ln(x)</math> für <math>x > 0 </math> und <math>a\in \mathbb{R}</math> die Gleichung: :<math> x^a = \exp(w\cdot a) = \exp(\underbrace{\ln(x)}_{\in \mathbb{R}^+} \cdot a) </math> In komplexen Zahlen ist der [[Logarithmus]] nicht eindeutig festgelegt. Ist <math>\log_G\ast</math> als [[Zweig des Logarithmus]] für das Potenzieren festgelegt, kann man die Potenzfunktion für <math> z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> mit beliebgigen <math>a\in \mathbb{C}</math> definieren. Die Zweige unterscheiden sich um Vielfache von <math>2\pi i</math>. ==== Zweig des Logarithmus und Potenzfunktionen ==== Ist ein [[Zweig des Logarithmus]] <math>\log_G</math> auf einem [[einfach zusammenhängend]]em Gebiet gegeben, so definiert man für <math>z\in G</math> und <math>\log_G(z)=w</math>: :<math> z^a := \exp(w\cdot a) = \exp(\log_G(z) \cdot a) </math> Für andere [[Zweige des Logarithmus]] <math>\log_{\widehat{G}}</math> gibt es für <math>z\in \widehat{G}</math> ein ganze Zahl <math>k_z\in \mathbb{Z} </math> mit: :<math> \log_G(z) = w = \log_{\widehat{G}}(z) +2\pi i \cdot k_z </math> ==== Zweig des Logarithmus und expotenzfunktionen ==== Ist ein [[Zweig des Logarithmus]] <math>\log_G</math> auf einem [[einfach zusammenhängend]]em Gebiet gegeben, so definiert man für <math>z\in G</math> und <math>\log_G(z)=w</math>: :<math> z^a := \exp(w\cdot a) = \exp(\log_G(z) \cdot a) </math> Für andere [[Zweige des Logarithmus]] <math>\log_{\widehat{G}}</math> gibt es für <math>z\in \widehat{G}</math> ein ganze Zahl <math>k_z\in \mathbb{Z} </math> mit: :<math> \log_G(z) = w = \log_{\widehat{G}}(z) +2\pi i \cdot k_z </math> ==== Vergleich von Zweigen des Logarithmus ==== Wählt man für <math>G</math> den [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweig des Logarithmus]] mit <math> z \in G:= \mathbb{C} \setminus \mathbb{R}_0^{+} </math> und <math>a\in \mathbb{C}</math>. Werden <math>w, w_a \in \mathbb{D}_1 = \mathbb{R}+i\cdot[0,2\pi)</math> mit der Eigenschaft <math>\exp(w)=z</math> und <math>\exp(w_a)=z^a = \exp(w\cdot a)</math> zusammen mit zwei beliebigen weitere Repräsentanten <math>\widehat{w}=w + 2\pi i\cdot k </math> und <math>\widehat{w_a}=w_a + 2\pi i\cdot k_a </math> gewählt, so kann man mit <math>k, k_a \in \mathbb{Z}</math> die Beziehung zwischen den [[logmod-Äquivalenzklassen]] <math>[w]_0,[w_a]_0 \in [\mathbb{D}_1]_0</math> darstellen: :<math> \mathrm{lnr_1}(z^a) = [w_a]_0 = [w\cdot a]_0 =[w\cdot a + 2\pi i \cdot k ]_0 = [\widehat{w_a}]_0 </math> Dabei liefert der [[rekursiver Logarithmus|rekursive Logarithmus]] im Wertebereich eine [[logmod-Äquivalenzklassen|logmod-Äquivalenzklasse]] und keine Zahl aus <math>\mathbb{C}</math> (siehe auch [[komplexe Potenzfunktionen]]). ==== Darstellung als Äquivalenzklassen ==== Gilt <math>\log_\widehat{G}(z)=w</math> und <math>z^a:= \exp\big(\, \underbrace{\log_\widehat{G}(z)\cdot a}_{=w_a}\, \big) = \exp(w\cdot a)</math> für andere [[Zweige des Logarithmus]], so erhält unterscheiden sich die [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmen]] auch wieder nur um Vielfach von <math>2\pi i</math> und man kann in der Äquivalenzklassen-Sicht folgende Definition der Multiplikation eine [[logmod-Äquivalenzklassen|logmod-Äquivalenzklasse]] mit einer Zahl definieren: :<math> a \cdot [w]_0 := [a\cdot w]_0 </math> ==== Beispiel - Produkt von Äquivalenzklassen mit komplexer Zahl ==== Als Beispiel wird dazu <math> z = i </math>, <math> a = 2 </math> gewählt und man bestimmt die Logarithmen für den [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus|algebraisch vervollständigten]] [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptteil]] <math>\log_G^\ast</math> von <math>\log_G</math> mit Werten in <math> \mathbb{D}_1 = \mathbb{R}+i\cdot [0,2\pi)</math>. Die zugehörigen Logarithmen sind dann :<math> w:=log_G(i) = \log_G^\ast(i) = i \tfrac{\pi}{2} \quad \log_G^\ast(z^a) = \log_G^\ast(-1) = \log_G(-1) = \pi i </math> und es gilt <math> w=\log_G^*(i)</math>, <math> z^a = e^{w\cdot a} = e^{i \tfrac{\pi}{2} \cdot 2} = e^{i\pi} = -1 </math> und <math> z^a = -1 </math> so :<math> a \cdot [w]_0 = 2 \cdot [i \pi/2]_0 = [i\pi]_0 = [a \cdot w]_0 </math> ==== Exponentialfunktion und Eulersche Formel ==== Stell man <math>a=a_1+ia_2\in \mathbb{C}</math> dar und wendet man die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] an, gilt die folgende Eigenschaft mit <math>w=w_1+iw_2\in \mathbb{C}</math> und <math> z = e^{\log_G(z)}</math>: :<math> z^a := e^{\log_G(z)\cdot a} = e^{\overbrace{(w_1+iw_2)}^{=w}\cdot \overbrace{(a_1+i\cdot a_2)}^{=a}} = e^{(w_1a_1-w_2a_2) + i\cdot (w_2a_1+w_1a_2)} </math> Durch Anwendung der [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] auf den rechten Term erhält man: :<math> z^a = \underbrace{e^{w_1a_1-w_2a_2}}_{=|z^a|} \cdot \big( \cos(w_2a_1+w_1a_2)+ i\cdot \sin(w_2a_1+w_1a_2) \big) </math> === Addition von Logarithmen === Für die [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus]] <math>\log^\ast_{_G}</math> vom [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativer Hauptzweig des Logarithmus]] gelten die folgenden Eigenschaften: :<math> \log^\ast_{_G}(z_1) + \log^\ast_{_G}(z_2) - 2\pi i\cdot \mathrm{logmod} \big(\log^\ast_{_G}(z_1) + \log^\ast_{_G}(z_2)\big) = \log^\ast_{_G}(z_1 \cdot z_2) </math> Ohne die Anwendung der [[logmod-Funktion]] ist die obige Gleichung nicht immer wahr, denn die Summe der Imaginäreteile <math>\log^\ast_{_G}(z_1) + \log^\ast_{_G}(z_2)</math> kann im Imaginärteil größer als <math>2\pi</math> werden. Bezogen auf die [[logmod-Äquivalenzklassen]] ist die Aussage aber richtig, das sich Repräsentaten von Restklassen um Vielfach von <math>2\pi i </math> im Imaginärteil unterscheiden können. == Übungsaufgaben für Studierende == * Zeigen Sie, dass <math> \log(-1) = [i\pi]_0 </math> gilt. * Berechnen Sie <math> \log_{G}^\ast(i) + \log_{G}^\ast(i) </math> für den [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus|algebraisch vervollständigten]] [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweig des Logarithmus]] und vergleiche mit <math> \log(-1) </math>. * Zeige Sie, dass <math> \log_{G}^\ast(z^2) = 2 \cdot \log(z) </math> in der [[logmod-Äquivalenzklassen]] gilt. * Warum ist <math> \log_{G}^\ast(z_1 z_2) = \log_{G}^\ast(z_1) + \log_{G}^\ast(z_2) </math> '''nicht''' immer wahr? Geben Sie zwei komplexe Zahlen <math>z_1,z_2\in \mathbb{C}</math> an, für die die obige Gleichung nicht gilt. * In der reellen Analysis sind Potenzfunktion mit negativer Basis nicht definiert. Verwenden Sie [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweig des Logarithmus]] und berechnen Sie <math>(-8)^{2+\pi i}</math>. === Vertiefende Aufgabe - Fortgeschrittene === Untersuchen Sie die Definition der [[w:de:Lambertsche W-Funktion|Lambertsche W-Funktion]] und stellen Sie die Definition, Graph und Anwendungsgebiete der W-Funktion in den Übungen zunächst allgemein dar und gehen Sie dann auf den Zusammenhang zur [[Exponentialfunktion]] und dem [[komplexer Logarithmus|Logarithmus]] ein. == Siehe auch == * [[algebraische Vollständigkeit des Logarithmus]] * [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexer Logarithmus]] * [[w:de:Lambertsche W-Funktion|Lambertsche W-Funktion]] * [[logmod-Äquivalenzklassen]] * [[logmod-Funktion]] * [[negativer Hauptzweig des Logarithmus]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/%C3%84quivalenzklassen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%C3%84quivalenzklassen%20des%20Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/%C3%84quivalenzklassen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%C3%84quivalenzklassen%20des%20Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/%C3%84quivalenzklassen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/%C3%84quivalenzklassen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/%C3%84quivalenzklassen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/%C3%84quivalenzklassen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/%C3%84quivalenzklassen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%C3%84quivalenzklassen%20des%20Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] qrvc8ltx1lnv3yyftw7x0w4cp2q39qk 0 173216 1118808 1117299 2026-11-03T22:49:22Z Frafugaro 42017 1118808 wikitext text/x-wiki == Einführung und Physikalische Grundprinzipien == Die Bildgebung in der Magnetresonanztomographie (MRT) basiert auf der Wechselwirkung zwischen den magnetischen Momenten der Wasserstoffatomkerne (¹H) in biologischen Geweben und einem Hauptmagnetfeld (B₀). Im thermischen Gleichgewicht richten sich die Kernmagnetisierungsvektoren parallel oder antiparallel zum B₀-Feld aus und erzeugen einen makroskopischen longitudinalen Magnetisierungsvektor (M_z). Die Anwendung eines Radiofrequenzpulses (RF) mit der Larmor-Resonanzfrequenz (&omega;₀ = &gamma; B₀) klappt den Vektor M_z in die transversale Ebene (M_xy) um. Nach dem Ende des RF-Pulses kehrt das System über zwei getrennte physikalische Relaxationsprozesse in seinen Gleichgewichtszustand zurück: - '''Longitudinale Relaxation (T1):''' auch als Spin-Gitter-Relaxation bezeichnet, beschreibt den Wiederaufbau der Magnetisierung entlang der z-Achse. - '''Transversale Relaxation (T2):''' auch als Spin-Spin-Relaxation bezeichnet, beschreibt den Zerfall der Magnetisierung in der transversalen Ebene aufgrund der Dephasierung der magnetischen Momente. - '''Effektive Transversale Relaxation (T2*):''' umfasst sowohl intrinsische Spin-Spin-Wechselwirkungen als auch makroskopische Feld- und Suszeptibilitätsinhomogenitäten des B₀-Feldes. == Akquisitionsparameter und Kontraststeuerung == Der Bediener und die Radiologietechnologin / der Radiologietechnologe (MTRA / TSRM) passen spezifische Sequenzparameter an, um den Kontrast zwischen Geweben mit unterschiedlichen Relaxationszeiten und Protonendichte (PD) zu steuern: === Repetitionszeit (TR) === Die Repetitionszeit ist das Zeitintervall zwischen zwei aufeinanderfolgenden RF-Anregungspulsen, die auf dieselbe Schicht angewendet werden. - Ein '''kurzes TR''' (< 800 ms bei Spin Echo) verhindert die vollständige Erholung der longitudinalen Magnetisierung von Geweben mit langem T1 (z. B. Liquor), wodurch T1-Unterschiede zwischen Geweben betont werden (T1-Wichtung). - Ein '''langes TR''' (> 2000 ms) ermöglicht eine nahezu vollständige Erholung der longitudinalen Magnetisierung aller Gewebe und hebt den T1-Effekt auf (erforderlich für T2- und Protonendichte-Wichtungen). === Echozeit (TE) === Die Echozeit definiert das Intervall zwischen dem RF-Anregungspuls und der Messung des in der Empfangsspule induzierten Signals. - Ein '''kurzes TE''' (< 20 ms) minimiert den Zerfall der transversalen Magnetisierung und reduziert den T2-Effekt. - Ein '''langes TE''' (> 80 ms) führt zu einer ausgeprägten Dephasierung der Spins und differenziert Gewebe mit kurzem T2 deutlich von solchen mit langem T2 (T2-Wichtung). === Flipwinkel (Flip Angle - &alpha;) === Bei Gradientenecho-Sequenzen (GRE) erhält die Verwendung von Flipwinkeln unter 90° einen Teil der longitudinalen Restmagnetisierung aufrecht. Dies ermöglicht die Nutzung sehr kurzer TR-Zeiten ohne vollständige Signalabsättigung (Ernst-Winkel). === Matrix, Schichtdicke und Voxel === Die räumliche Auflösung und die Signalqualität hängen vom Voxelvolumen (V) ab, das wie folgt definiert ist: <math>V = \frac{\text{FOV}_x}{N_x} \times \frac{\text{FOV}_y}{N_y} \times \text{Schichtdicke}</math> wobei FOV das Sichtfeld (Field of View) darstellt, während N_x und N_y die Anzahl der Matrixpunkte und -schritte entlang der Frequenz- und Phasenkodierachsen angeben. == Quantitative Beurteilung der Bildqualität == === Signal-Rausch-Verhältnis (SNR) === Das Signal-Rausch-Verhältnis ist der fundamentale Parameter zur Quantifizierung der Bildtreue. Das Signal S steigt proportional zum Voxelvolumen und zur Quadratwurzel der Gesamtmesszeit: <math>\text{SNR} \propto V \cdot \sqrt{\frac{N_y \cdot N_{\text{avg}}}{\text{BW}_{\text{px}}}}</math> wobei N_avg die Anzahl der Mittelungen (NEX/NSA) darstellt und BW_px die Empfangsbandbreite pro Pixel angibt. === Kontrast-Rausch-Verhältnis (CNR) === Das Kontrast-Rausch-Verhältnis beschreibt die Fähigkeit des Bildes, zwei benachbarte Strukturen (A und B) zu unterscheiden: <math>\text{CNR} = \frac{|S_A - S_B|}{\sigma_{\text{Rauschen}}}</math> wobei S_A und S_B die Signalintensitäten der beiden Gewebe darstellen und &sigma;_Rauschen die Standardabweichung des Hintergrundrauschens ist. == Virtuelles Labor und Interaktive Übungen == Um das komplexe und nichtlineare Zusammenspiel zwischen physikalischen, geometrischen und Abtastparametern in der MRT praktisch zu verstehen, wird eine simulierte Analyse mithilfe analytischer Modelle der Bloch-Gleichungen eingesetzt. === Simulationswerkzeuge === - '''[https://simrmportal.vercel.app/ SIMRM Portal]''' <ref>Fugaro, F. (2026). ''SIMRM: Magnetresonanztomographie-Sequenz- und Parametersimulator''. [https://simrmportal.vercel.app/ https://simrmportal.vercel.app/]</ref><ref>Fugaro, F. (2026). ''SIMRM: 2D and 3D Magnetic Resonance Imaging Sequence Simulator for Interactive Education and Learning'' (Version 1.0). Zenodo. https://doi.org/10.5281/zenodo.23599806</ref>: ein interaktiver webbasierter Simulator, der als didaktische Unterstützung zur Untersuchung und Optimierung von Sequenzparametern entwickelt wurde. Der Zugang zur Plattform ist nach Registrierung für Studierende sowie Fachpersonal vollständig kostenlos. ==== Anwendungsbereich und Funktionen ==== Der Simulator ermöglicht die numerische Modellierung der Auswirkungen technischer Variationen (TR, TE, TI, Flipwinkel, Matrix, FOV, Schichtdicke, Mittelungen und Bandbreite) auf 2D- und 3D-Sequenzen. Zu den wichtigsten didaktischen Funktionen gehören: - '''Echtzeit-Kontrastsimulation:''' Unmittelbare visuelle Darstellung von Wichtungsänderungen (T1, T2, PD) auf synthetischen anatomischen Karten bei Parameteranpassungen. - '''Quantitative Indikatorenschätzung:''' Sofortige analytische Berechnung des Signal-Rausch-Verhältnisses (geschätztes SNR), der Messzeit (TA), der räumlichen Auflösung, des Echoabstands (Echo Spacing) und der Energieabgabe (SAR). - '''Modellierung Technologischer Einschränkungen:''' Bewertung der Auswirkungen der Bandbreite pro Pixel, des ETL-Faktors und der Beschleunigungsfaktoren auf die Abtastung und Voxelgeometrie. ==== Betriebsgrenzen und Haftungsausschluss ==== Der Simulator ist ausschließlich für didaktische, Studien- und theoretische Forschungszwecke bestimmt. Die Software arbeitet mit idealen analytischen Modellen und bildet weder reale Hardware noch Feldungenauigkeiten oder komplexe Scanner-Artefakte ab. Die generierten Daten (einschließlich SAR, geschätztem SNR und TA) sind algorithmische Simulationen und dürfen keinesfalls für die klinische Planung oder Diagnostik an realen Patienten verwendet werden. == Didaktische Hinweise und Geführte Übungen == 1. '''T1- vs. T2-Analyse:''' Stellen Sie eine Spin-Echo-Sequenz mit TR = 500 ms und TE = 10 ms ein, um die Hyperintensität von Fettgewebe im Vergleich zu Wasser zu beurteilen. Erhöhen Sie anschließend das TE auf 100 ms und das TR auf 3000 ms, um die Kontrastumkehr des Liquors (CSF) zu beobachten. 2. '''SNR-Optimierung:''' Analysieren Sie die Auswirkung der Halbierung der Bandbreite pro Pixel (BW_px) auf den Rauschpegel und das Auftreten von Chemischen-Verschiebungs-Artefakten (Chemical Shift). == Einzelnachweise == <references /> [[Kategorie:Medizin]] [[Kategorie:Medizinische Physik]] [[Kategorie:Magnetresonanztomographie]] eywi219kins08dryf77wythf726xueo 106 173221 1118811 1118708 2026-11-04T07:14:36Z Bert Niehaus 20843 /* Anwendungsbeispiele */ 1118811 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Auf einer unitalen [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>(A,\mathcal{T}_{\!\!\!\!A})</math> mit Einselement <math>e_{\!\!_A}\in A</math> und Nullvektor <math>0_{\!\!_A}\in A</math> kann man eine [[Polynomalgebra]] <math>(A[t],\mathcal{T}_{\!\!\!\!A[t]})</math> definieren. Ziel dieser Lerneinheit ist es, die Transformation von einem [[polynomiales Nullstellenproblem|polynomialen Nullstellenproblem]] <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math> in eine [[polynomiales Inversenproblem]] <math>p(z)\cdot z^m = e_{\!\!_A}</math> zu untersuchen. Die in Beispiel verwendeten [[Nullteiler]] in einer [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Nullstellen-Inversen-Transformation#BeispielNT|Matrixalgebra]] sind eine Spezialfall von [[topologischer Nullteiler|topologischen Nullteilern]]. === Bemerkung - Polynomalgebra und Auswertung in A === Bei der Betrachtung von Polynomalgebren muss man das Polynom als Vektor <math>q\in A[t]</math> der Polynomalgebra <math>A[t]</math> von der Auswertung des Polynoms an einer Stelle in <math>z\in A</math> unterscheiden. Die Auswertung <math>q(z)</math> eines Polynoms <math>q\in A[t]</math> an der Stelle <math>z\in A</math> ist nämlich ein Element von <math>A</math> und <math>q(z)\in A</math> als endliche Verknüpfungen von wohldefinierten Operationen in dem Algebra <math>A</math> (z.B. <math>a\cdot z^3 = a\cdot z\cdot z\cdot z\in A</math> und für <math>w_1,w_2\in A</math> gilt <math>w_1+w_2\in A</math>). Die Notation <math>q(z)\in A[t]</math> ist daher formal '''nicht korrekt''', sondern für <math>z\in A</math> gilt <math>q(z)\in A</math>. <span id="DefNullstellenProblem"></span> === Definition - Polynomiales Nullstellenproblem === Sei <math>(A,\mathcal{T}_{\!\!\!\!A})</math> eine [[topologische Algebra]] Nullvektor <math> 0_{\!\!_A}\in A</math> und <math>(A[t],\mathcal{T}_{\!\!\!\!A[z]})</math> eine [[Polynomalgebra]] mit Koeffizienten aus <math>A</math> und [[topologischer Raum|Topologie]] <math>\mathcal{T}_{\!\!\!\!A[z]}</math>. Ein polynomiales Nullstellenproblem vom Grad <math>n\in\mathbb{N}</math> ist die Untersuchung der Lösbarkeit bzw. der Lösungen der Gleichung <math>q(z)=\sum_{k=0}^{n} q_k\cdot z^k=0_{\!\!_A}</math> mit <math>q_0\neq 0_{\!\! A}</math>, <math>z\in A</math> und <math>q\in A[t]</math>. ==== Beispiel - Nullstellenproblem ==== In den komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> gibt des [[Fundamentalsatz der Algebra]], der besagt, dass jedes nicht-konstante Polynom <math>q\in \mathbb{C}[t]</math> mindestens eine Nullstelle <math>z_0\in \mathbb{C}</math>, d.h. <math>q(z_0)=0</math>. Die Nullstellen von Polynomen <math>q\in \mathbb{C}[t]</math> mit <math>q(z):=\sum_{k=m}^n q_k\cdot z^k</math> mit <math>m \geq 1</math> kann man zunächst einmal als Produkt eines Polynoms <math>\widetilde{q\,}(t) := \sum_{k=0}^{n-m} q_{k+m}\cdot z^k</math> und <math>z^m</math>. Die Exponent <math>m\in \mathbb{N}</math> kann bei einem nicht-konstanten Polynom <math>q\in \mathbb{C}[t]</math> so gewählt werden, dass <math>\widetilde{q\,}_0=q_{m}\neq 0</math> gilt. In einem solchen Fall ist das Nullstellenproblem direkt lösbar, wobei <math>z_0:=0\in\mathbb{C}</math> eine Nullstelle der Ordnung <math>m</math> ist. <span id="DefInversenProblem"></span> === Definition - Polynomiales Inversenproblem === Sei <math>(A,\mathcal{T}_{\!\!\!\!A})</math> eine unitale [[topologische Algebra]] mit Einselement <math>e_{\!\!_A}\in A</math> des Multiplikation und <math>(A[t],\mathcal{T}_{\!\!\!\!A[z]})</math> eine [[Polynomalgebra]] mit Koeffizienten aus <math>A</math> und [[topologischer Raum|Topologie]] <math>\mathcal{T}_{\!\!\!\!A[t]}</math>. Ein polynomiales Inversenproblem ist die Untersuchung der Lösbarkeit bzw. der Lösungen der Gleichung <math>p(z)\cdot z^m=e_{\!\!_A}</math> mit <math> z\in A</math>, <math>m\in \mathbb{N}_0</math> für ein gegebenes Polynom <math>q\in A[t]</math>. ==== Bemerkung - Transformationsrichtung ==== Jedes [[polynomiales Inversenproblem|polynomiale Inversenproblem]] lässt sich durch Ausmultiplizieren des Terms <math></math> und Subtraktion des neutralen Elementes der Multiplikation in ein [[polynomiales Nullstellenproblem]] transformieren. Die Umkehrung betrachtet das [[Lemma zur Nullstellen-Inversen-Transformation]]. ==== Beispiel - Polynomiale Transformation in ein Inversenproblem ==== Man möchte eine Nullstelle <math>z_0\in \mathbb{C}</math> von dem folgenden Polynom <math>q\in \mathbb{C}[t]</math> bestimmen: :<math> q(z) = 3\cdot z^7 -4\cdot z^4- 10\cdot z^3+9 </math> Das zugehörige [[polynomiales Nullstellenproblem|Nullstellenproblem]] lautet <math>q(z)=0</math> und ein Ersatzpolynom <math>\widetilde{q\,}</math> wird bestimmt, das die gleichen Nullstellen wie <math>q\in \mathbb{C}[t] </math> besitzt. Das Inversenproblem lautet dann: :<math> \widetilde{q\,}(z)\cdot z^3 = 1 \quad \quad \widetilde{q\,}^{(1)}(z) = -\tfrac{3}{9}\cdot z^4 +\tfrac{4}{9}\cdot z^1 + \tfrac{10}{9} </math> Die Potenz <math>m</math> maximiert man in der Regel so, bis <math>\widetilde{q\,}_0 \neq 0</math> gilt. == Lemma zur Nullstellen-Inversen-Transformation == Sei <math>(A,\mathcal{T}_{\!\!\!\!A})</math> eine unitale [[topologische Algebra]] mit Nullvektor <math>0_{\!\!_A}\in A</math>, Einselement <math>e_{\!\!_A}\in A</math> der Multiplikation und <math>(A[t],\mathcal{T}_{\!\!\!\!A[t]})</math> eine [[Polynomalgebra]] mit Koeffizienten aus <math>A</math> und [[topologischer Raum|Topologie]] <math>\mathcal{T}_{\!\!\!\!A[t]}</math>. Sei <math>q(z)=\sum_{k=0}^{n} q_k\cdot z^k=0_{\!\!_A}</math> mit <math>q_0\in \mathcal{G}(A)</math>, <math>z\in A</math> und <math>q\in A[t]</math>, dann lässt sich ein lösbares Nullstellenproblem <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math> in ein Inversenproblem <math> p(z)\cdot z^m = e_{\!\!_A}</math> mit <math>p(z) = \sum_{k=0}^{n-m} \underbrace{-q_0^{-1}\cdot q_{k-m}}_{=p_{k}} \cdot z^k </math> transformieren. == Beweis - Nullstellen-Inversen-Transformation == Aus <math>q_0\in \mathcal{G}(A)</math> folgt unmittelbar <math>q_0\neq 0_{\!\!_A}</math>, da der Nullvektor kein multiplikatives Inverses besitzt. In den nächsten Schritt wird eine Fallunterscheidung vorgenommen. === Schritt 1 - Grad(p) 0 === Wenn der Grad von <math>q</math> eine Konstante mit <math>q_0\neq 0 </math> ist. Ferner bistzt <math>q_0</math> wegen <math>q_0\in \mathcal{G}(A)</math> ein multiplikatives Inverses <math>q_0^{-1}\in A</math> von <math>q_0</math> und es gilt die folgende Gleichung: :<math> q_0\cdot q_0^{-1} = q_0^{-1}\cdot q_0 = e_{\!\!_A} \ \Longrightarrow \ q_0 \neq 0_{\!\!_A} </math> Wegen <math>q_0\in \mathcal{G}(A)</math> ist die Gleichung <math>0_{\!\!_A} \neq q_0 =q(z) = 0_{\!\!_A}</math> ist damit unlösbar und es gibt '''kein lösbares''' Nullstellenproblem <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math>. === Schritt 2 - Normalisierung des Nullstellenproblems === Mit der Existenz eines multiplikativen inversen Elementes <math>q_0^{-1}\in A</math> zu Konstant <math>q_0</math> gilt die Gleichung :<math> q_0\cdot q_0^{-1} = q_0^{-1}\cdot q_0 = e_{\!\!_A} </math> und man kann die Nullstellengleichung mit dem Element <math>-q_0^{-1}\in A</math> multiplizieren. Man erhält dann: :<math> 0_{\!\!_A} = -q_0^{-1}\cdot 0_{\!\!_A} = -q_0^{-1}\cdot q(z) = -\underbrace{q_0^{-1}\cdot q_0}_{=e_{\!\!_A}} + \sum_{k=1}^n -q_0^{-1}\cdot q_k \cdot z^k =: \widetilde{q\,}(z) </math> === Schritt 3 - Addition des neutralen Elements und Distributivegesetz === Man erhält durch Addition des neutralen Elements <math>e_{\!\!_A} </math> die Gleichung: :<math> e_{\!\!_A} = \widetilde{q\,}(z) + e_{\!\!_A} = \sum_{k=1}^n \underbrace{-q_0^{-1}\cdot q_k}_{=\widetilde{q\,}_k} \cdot z^k </math> Per Distributivgesetz kann man mindestens für <math>m=1</math> ein <math>z^m</math> ausklammern und es gilt: :<math> e_{\!\!_A} = \widetilde{q\,}(z) + e_{\!\!_A} = \bigg( \underbrace{\sum_{k=m}^n \underbrace{-q_0^{-1}\cdot q_k}_{=\widetilde{q\,}_k} \cdot z^{k-m} \bigg)}_{=:p(z)} \cdot z^{m} = p(z)\cdot z^{m} </math> === Schritt 4 - Darstellung als Inversenproblem === Insgesamt lässt sich damit jedes lösbare polynomiale Nullstellenproblem <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math> in ein polynomiales Inversenproblem <math>p(z)\cdot z^m = e_{\!\!_A}</math> überführen. === Schritt 5 - Lösungsmenge und Transformation === Im Allgemeinen verändert sich die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}:=\{z\in A\, : \, q(z)=c_0 \}</math> bei einer polynomialen Gleichung <math>q(z)=c_0\in A</math> bei folgenden Operationen nicht: * '''(AddL)''' Addition einer Konstanten <math> c \in A</math> auf beiden Gleichungsseiten mit <math>q(z)+c=c_0+c</math> und * '''(SMultL)''' Multiplikation mit einem Skalar <math>\lambda \in \mathbb{C}\setminus \{0\} </math> mit <math>\lambda\cdot q(z)=\lambda\cdot c_0\in A</math> Die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}:=\{z\in A\, : \, q(z)=c_0 \}</math> kann sich aber bei der Multiplikation mit einem Element <math>c\in A\setminus \{0_{\!\!_A}\}</math> aus der Algebra verändern (siehe Beispiel - [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Nullstellen-Inversen-Transformation#Loesungsmenge|Veränderung der Lösungsmenge]]) ==== Schritt 5.1 - Multiplikation mit invertierbaren Elementen ==== Es bleibt also zu zeigen, dass sich die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}:=\{z\in A\, : \, q(z)=0_{\!\!_A} \}</math> des polynomiale Nullstellenproblem <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math> nicht von der Lösungsmenge <math>\widehat{\mathbb{L}}:=\{z\in A\, : \, p(z)\cdot z^m =e_{\!\!_A} \}</math> des polynomiales Inversenproblem <math>p(z)\cdot z^m = e_{\!\!_A}</math> unterscheidet. ==== Schritt 5.2 - Multiplikation mit invertierbaren Elementen ==== Es gilt immer, dass für beliebige polynomiale Terme aus <math>q(z)=c_0</math> und beliebige <math>c\in A</math> auch <math>c\cdot q(z)=c \cdot c_0</math> gilt. Dies gilt als insbesondere für <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math> und <math>c:=q_0^{-1}</math>. Danach kann mit der Regel ''(AddL)'' aus Schritt 5 das neutrale Element der Multiplkation auf beiden Seiten addieren. Damit folgt aus <math>z\in\mathbb{L}</math>, dass auch <math>z\in \widehat{\mathbb{L}}</math> gilt und man erhält man die folgende Teilmengenbeziehung: :<math> \underbrace{\big\{z\in A\, : \, q(z)=0_{\!\!_A} \big\}}_{=\mathbb{L}} \ \subseteq \ \underbrace{\big\{z\in A\, : \, p(z)\cdot z^m =e_{\!\!_A} \big\}}_{=\widehat{\mathbb{L}}} </math> ==== Schritt 5.3 - Koeffizientendefinition des Polynoms nutzen ==== Sei nun <math>z\in \widehat{\mathbb{L}}</math> mit <math>p(z)\cdot z^m =e_{\!\!_A}</math> beliebig gewählt. Dabei gilt folgende Gleichung: :<math> 0_{\!\!_A} = p(z)\cdot z^m - e_{\!\!_A} =p(z)\cdot z^m -q_0^{-1}\cdot q_0 </math> Dabei ist <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math> das lösbare Nullstellenproblem, deren Koeffizienten für <math>p(z) = \sum_{k=0}^{n-m} \underbrace{-q_0^{-1}\cdot q_{k+m}}_{=p_{k}} \cdot z^k </math> verwendet werden. ==== Schritt 5.4 - Invertierbarkeit der Konstanten nutzen ==== Da <math>q_0\in \mathcal{G}(A)</math> ein multiplikatives Inverses Element besitzt, gilt auch <math>-q_0\in \mathcal{G}(A)</math>. Wählt man nun eine beliebige Lösung <math>z\in \widehat{\mathbb{L}}</math> der der Gleichung <math> 0_{\!\!_A} = p(z)\cdot z^m - e_{\!\!_A} </math>. Durch Multiplikation der Gleichung mit <math>-q_0</math> bleibt <math>z\in \widehat{\mathbb{L}}</math> weiterhin Lösung der Gleichung. ==== Schritt 5.5 - Multiplikation mit invertierbaren Elementen ==== Durch Einsetzen erhält man :<math> -q_0\cdot 0_{\!\!_A} = -q_0\cdot \big( p(z)\cdot z^m - e_{\!\!_A} \big) =-q_0\cdot p(z)\cdot z^m + q_0 </math> und zusammen mit der Definition von <math>p</math> das polynomiale Nullstellenproblem <math>q(z)=0_{\!\!_A} </math>: :<math> -q_0\cdot p(z) \cdot z^m + q_0= \underbrace{\left( \sum_{k=0}^{n-m} \underbrace{-q_0\cdot (-q_0^{-1})\cdot q_{k+m}}_{=q_{k+m}} \cdot z^{k+m} \right) + q_0}_{ = q(z)} </math> ==== Schritt 5.6 - Übereinstimmung der Lösungsmengen ==== Damit gilt auch die umgekehrte Inklusion <math> \mathbb{L} \ \supseteq \ \widehat{\mathbb{L}} </math> und mit Schritt 5.3 zusammen erhält man: :<math> \mathbb{L} \ = \ \widehat{\mathbb{L}} </math> Insgesamt stimmen also die Lösungsmengen für das Nullstellenproblem <math> \mathbb{L} </math> und die Lösungsmenge für das Inversenproblem <math>\widehat{\mathbb{L}}</math> überein. <math>\quad \Box</math> <span id="Loesungsmenge"></span> == Beispiel - Veränderung der Lösungsmenge durch Multiplikation == Das Beispiel behandelt ein Nullstellenproblem <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math> vom Grad 1 und es wird gezeigt, dass sich durch Multiplikation der Gleichung mit einem Element <math>a\in A\setminus \{0_{\!\!_A} \}</math> die Lösungsmenge von <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math> zu <math>a\cdot q(z)=a\cdot 0_{\!\!_A} = 0_{\!\!_A}</math> verändert. === Teilaspekte === Insgesamt werden dabei in einer Algebra <math>A</math> der quadratischen <math>2\times 2</math>-Matrizen * Nullteiler betrachtet, * Lösungsmenge von <math> q(z)= q_1 \cdot z = 0_{\!\!_A} </math> * Lösungsmenge von <math> a \cdot q_1 \cdot z = 0_{\!\!_A} </math> === Verknüfungen in der Algebra === Bzgl. der Algebra <math>A</math> betrachtet man die ''Polynomalgebra'' <math> A[t] </math>, wobei die Polynome <math>p\in A </math> Koeffizienten aus der Algebra der <math> 2 \times 2 </math>-Matrizen über den komplexen Zahlen <math> \mathbb{C} </math> besitzen. Die Addition der Matrizen erfolgt komponentenweise und die Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar <math>\lambda \in \mathbb{C}</math> wird analog zum Vektorraum <math>\mathbb{C}^n</math> komponentweise gestreckt. Die Multiplikation in <math>A</math> ist die Matrixmultiplikation als innere Verknüpfung. Die Multiplikation ist nicht kommutativ. === Matrizenalgebra === Die Algebra <math>A</math> besteht aus quadratischen Matrizen, damit die Matrixmultiplikation eine innere Verknüpfung in der :<math> A = Mat(2\times 2 , \mathbb{C}) = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \mid a,b,c,d \in \mathbb{C} \right\} </math> ==== Addition - Matrixalgebra ==== Die Addition und Multiplikation in <math> A[t] </math> sind wie folgt definiert: :<math> \begin{pmatrix} a_1 & b_1 \\ c_1 & d_1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a_2 & b_2 \\ c_2 & d_2 \end{pmatrix} := \begin{pmatrix} a_1+a_2 & b_1+b_2 \\ c_1+c_2 & d_1+d_2 \end{pmatrix} </math> ==== Multiplikation mit Skalar - Matrixalgebra ==== Multiplikation mit einem Skalar <math> \lambda \in \mathbb{C}</math> erfolgt komponentenweise: :<math> \lambda \cdot \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} := \begin{pmatrix} \lambda \cdot a & \lambda \cdot b \\ \lambda \cdot c & \lambda \cdot d \end{pmatrix} </math> ==== Multiplikation in der Matrixalgebra ==== Matrixmultiplikation ist die innere Verknüpfung der Form: :<math> \begin{array}{rccl} \cdot : & A \times A & \rightarrow & A \\ & \left( \begin{pmatrix} a_1 & b_1 \\ c_1 & d_1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} a_2 & b_2 \\ c_2 & d_2 \end{pmatrix} \right) & \mapsto & \begin{pmatrix} a_1a_2 + b_1c_2 & a_1b_2+b_1d_2 \\ c_1a_2+d_1c_2 & c_1b_2+d_1d_2 \end{pmatrix} \end{array} </math> === Polynomalgebra mit Matrizenal als Koeffizienten === Die Polynomalgebra <math> A[t] </math> besteht aus Polynomen der Form: :<math> q(t) = \sum_{k=0}^n q_k\cdot t^k, \quad \text{mit } q_k \in A </math> Die Multiplikation von Polynomen ist die Cauchy-Multiplikation in der [[Polynomalgebra]], wobei die Verknüfungen mit den Koeffizienten bereits über die Matrizenalgebra definert sind (siehe [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Nullstellen-Inversen-Transformation#Matrizenalgebra|Matrizenalgebra]]) ==== Aufgabe für Studierende ==== Verwenden Sie Ihre Vorwissen aus der Linearen Algebra und dem [[w:de:Satz_von_Cayley-Hamilton|Satz von Caley-Hamilton]]. Erläutern Sie, welche Polynome verwendet werden, bei denen man Matrizen <math>x\in A</math> als Argumente für <math>p(x)</math> verwendet werden (siehe [[w:de:charakteristisches Polynom|charakteristische Polynom]]). Welche Unterschiede bestehen zu der hier verwendeten Polynomalgebra? <span id="BeispielNT"></span> === Schritt 1 - Konstruktion von Nullteilern === In <math> Mat(2\times 2, \mathbb{C}) </math> gibt es '''Nullteiler''', d.h. Matrizen <math> a, q_1 \neq 0_{\!\!_A} </math>, sodass <math> a\cdot q_1 = 0_{\!\!_A} </math>, aber <math> q_1 \neq 0_{\!\!_A} </math>, <math> a \neq 0_{\!\!_A} </math>. In diesem Beispiel wählt man die folgenden Matrizen: :<math> q_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad a = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} </math> === Schritt 2 - Nullteilereigenschaft === Mit der Definition der obigen Matrizen gilt dann mit der Definition der Matrixmultiplikation: :<math> q_1 \cdot a = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = 0_{\!\!_A} </math> Die Nullteilereigenschaft kommutiert in diesem Fall :<math> a \cdot q_1 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = 0_{\!\!_A} </math> Also: <math> q_1 \cdot a = 0_{\!\!_A} </math> und <math> a \cdot q_1 = 0_{\!\!_A} </math>. In diesem Fall '''kommutiert''' die Multiplikation bzgl. [[Nullteiler|Linksnullteiler]] mit seinem "komplementären" [[Nullteiler|Rechtsnullteiler]]. === Schritt 3 - Anzahl komplementärer Nullteiler === Ein komplementärer [[Nullteiler|Rechtsnullteiler]] <math>a</math> zu ein [[Nullteiler|Linksnullteiler]] <math>q_0</math> ist nicht eindeutig bestimmt. :<math> q_1 \cdot b = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 4 & 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = 0_{\!\!_A} </math> Allgemein sind die folgenden Matrizen komplementäre Rechtsnullteiler zu <math>q_1</math>: :<math> b = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ b_1 & b_2 \end{pmatrix} \neq 0_{\!\!_A} </math> === Schritt 2 - Nicht-kommutative Nullteiler === Wählt man nun für die Matrix <math>a\in A</math> eine: :<math> q_1 = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad a = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} </math> ==== Schritt 2.1 - Berechnung der Matrixmultiplikation ==== Berechne Nullteilereigenschaft: :<math> a \cdot q_1 = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = 0_{\!\!_A} </math> Vertauscht man die beiden Faktoren erhält man die folgende Matrix: :<math> q_1 \cdot a = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 6 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \neq 0_A </math> ==== Schritt 2.2 - Nullteilereigenschaft - Faktorentausch ==== Also gilt mit Schritt 2.1, dass <math> a \cdot q_1 = 0_{\!\!_A} </math> erfüllt ist, aber nach Faktorentausch das Produkt <math> q_1 \cdot a \neq 0_{\!\!_A} </math> keine [[Nullteiler|Nullteilereigenschaft]] zeigt. Die [[Nullteiler|Nullteilereigenschaft]] ist nicht notwendigerweise kommutativ. ==== Bemerkung 2.3 - Bezeichnung Nullteiler ==== Die Unterschiede zeigen sich auch in der Bezeichnung, denn in Schritt 2.1 ist <math> q_1 </math> ein '''rechter Nullteiler''' von <math> a </math>, aber <math> a </math> ist '''kein linker Nullteiler''' von <math> q_1 </math>, da <math> q_1 \cdot a \neq 0 </math> gilt. === Schritt 3 - Polynom 1. Grades === Man betrachtet nun eine Nullstellenproblem mit einem einfachen Polynom vom Grad 1. Dieses Beispiel wurde gewählt, damit man die Veränderung der Lösungen bei Multiplikation einer Gleichung mit einem von <math>0_{\!\!_A}</math> verschiedenen Faktor <math>a\in A \subset A[t]</math> zu untersuchen. Dabei wird <math>A \subset A[t]</math> aufgefasst, wobei ein Element <math>a\in A </math> als konstantes Polynom in <math>A[t]</math> aufgefasst wird. ==== Schritt 3.1 - Formulierung des Nullstellenproblems ==== Sei <math> q(t) = q_1 \cdot t \in A[t] </math> ein Polynom vom Grad 1 mit dem Koeffizient <math> q_1 \in A</math> aus das Algebra der <math>2\times 2</math>-Matrizen. Das Nullstellenproblem wird durch die folgende einfache Gleichung formuliert: :<math> q(t)=q_1 \cdot t = 0_{\!\!_A} </math> ==== Schritt 3.2 - Lösungsmenge des Nullstellenproblems ==== Die Lösungsmenge der Gleichung <math> p_1 \cdot t = 0_{\!\!_A} </math> ist nun eine Teilmenge der Matrizenalgebra <math>A</math>, weil man <math> t\in A</math>, die die obige Gleichung lösen. Man wählt nun für die Gleichung die folgende Variablendefinitionen aus Schritt 2.2 : :<math> q_1 = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad \mathbb{L} = \{t\in A \ : \ q_1 \cdot t = 0_{\!\!_A} \} </math> Dabei ist <math>0_{\!\!_A}</math> die quadratische Nullmatrix aus <math>A</math> und auch <math>p_1</math> und <math>t</math> sind ebenfalls quadratische <math>2\times 2</math>-Matrizen. ==== Augabe 3.3 - Lösungsmenge bestimmen ==== Bestimmen Sie die Lösungsmenge des Nullstellenproblems aus Schritt 3.2 mit algebraischen Umformungen: :<math> t = \begin{pmatrix} t_1 & t_2 \\ t_3 & t_4 \end{pmatrix} \in A </math> ==== Schritt 3.4 - Multiplikation des Nullstellenproblems mit Faktor==== Als Faktor wählt man nun die folgende Matrix aus <math>A</math>: :<math> a = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} , \quad \widetilde{\mathbb{L}} = \{t\in A \ : \ a\cdot q_1 \cdot t = a\cdot 0_{\!\!_A} = 0_{\!\!_A} \} </math> === Schritt 4 - Formale Variablen === Die Polynome <math> q_1 \cdot t = 0_{\!\!_A}</math> bzw. <math> a\cdot q_1 \cdot t = a\cdot 0_{\!\!_A}</math> besitzt mit <math>t</math> eigentlich eine formale Variable ist. Das Polynom wird in obigen Beispiel mit <math>t\in A</math> ausgewertet. Möglich ist aber auch, dass die formale Variable mit Skalaren <math>t\in \mathbb{C}</math> ausgewertet wird. Die erfolgt z.B. bei [[Konvexkombination]]en mit <math>t\in [0,1]</math> oder allgemeiner <math>t\in \mathbb{C}</math>, wobei die Koeffizienten <math>p_k</math> des Polynoms wieder <math>2\times 2</math>-Matrizen sind. <math>p(t)\in A</math> ist dann wieder <math>2\times 2</math>-Matrix, die als Linearkombination der Matrizen polynomial berechnet wird. ==== Bemerkung 4.1 - Lösungsmenge ==== Die konkrete Bindung der formalen Variable <math>t</math> bestimmt auch die Grundmenge aus der die Lösungsmenge stammt. In dem hier gewählt Beispiel sucht man nach Matrizen <math>t\in A</math>, die eine Gleichung <math> q(t) = 0_{\!\!_A} </math> zu einer wahren Aussage machen. Damit ist die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}</math> der Gleichung für Polynome <math>q\in A[t] </math> eine Teilmenge von <math>A</math>. ==== Schritt 4.2 - Unterschiede in der Lösungsmenge ==== Aus der reellen und komplexen Analysis ist man gewohnt, Gleichungen mit von 0 verschiedenen Faktoren <math>a\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> zu multiplizieren, da diese Umformung in <math>\mathbb{C}</math> bzw. <math>\mathbb{R}</math> eine Äquivalenzumformung darstellt und damit die Lösungs einer Gleichung nicht verändert. In dem hier gewählten Bespiel ist das '''nicht der Fall''', da <math> q_1 \neq 0_{\!\!_A} </math> zwar nicht der Nullvektor ist, aber algebraisch die [[Nullteiler|Nullteilereigenschaft]] besitzt und damit Lösungsmenge hier verändert. === Schritt 4.3 - Bestimmung der Lösungsmengen === Man betrachtet die beiden folgenden Gleichungen in der Algebra <math> A </math>: * '''(L1)''' <math> q_1 \cdot t = 0_{\!\!_A} </math> für <math> t \in A </math> * '''(L2)''' <math> a \cdot q_1 \cdot t = 0_{\!\!_A} </math> für <math> t \in A </math> mit <math> p_1 </math> und <math> a </math> wie oben gewählt. ==== Schritt 4.3.1 - Lösungsmenge von Gleichung L1 ==== Man setzt zu dem gegebenen <math>q_1</math> die formale Variable <math>t</math> als beliebige <math>2\times 2</math>-Matrix mit den Einträgen <math>t_1,t_2,t_3,t_4\in \mathbb{C}</math>: :<math> q_1 = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad t = \begin{pmatrix} t_1 & t_2 \\ t_3 & t_4 \end{pmatrix} \in A </math> Dann liefert das Matrixprodukt mit <math>t\in A</math>: :<math> q_1 \cdot t = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} t_1 & t_2 \\ t_3 & t_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} t_1 & t_2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = 0_{\!\!_A} </math> ==== Schritt 4.3.2 - Nullteilereigenschaft für L1 ==== Damit das Matrixprodukt aus Schritt 4.3.1 die Nullmatrix <math> 0_{\!\!_A} </math> ergibt, muss <math>t_1=0</math> und <math>t_2=0</math> erfüllt sein. Damit besteht die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}_1</math> aus rechten komplementären [[Nullteiler|Nullteilern]] zu <math>q_1</math> und der und zumindest für eine der beiden Variable Nullmatrix <math> 0_{\!\!_A} </math>. Damit ist <math>\mathbb{L}</math> wie folgt definiert: :<math>\mathbb{L} := \left\{ \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ t_3 & t_4 \end{pmatrix} \ : \ t_1,t_2\in \mathbb{C} \right\} =\{ t\in A \ : \ q_1 \cdot t = 0_{\!\!_A} \} </math> ==== Schritt 4.3.3 - Lösungsmenge von Gleichung L2 ==== Man betrachtet nun die folgende Gleichung (L2) <math> a \cdot q_1 \cdot t = 0_{\!\!_A} </math> und sucht nach Lösungen <math> t \in A </math>, die die Gleichung <math> a\cdot (q_1 \cdot t) = a\cdot 0_{\!\!_A} = 0_{\!\!_A} </math> zu einer wahren Aussage machen. Dabei setzt man: :<math> a:=\begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \neq 0_{\!\!_A} </math> ==== Schritt 4.3.4 - Nullteilereigenschaft und Assoziativität bzgl L2 ==== Nach der [[Nullteiler|Nullteilereigenschaft]] bzgl. <math>q_1</math> und <math>a</math> (siehe Schritt 3) gilt mit der Assoziativität der Multiplikation in der topologischen Algebra folgende Gleichung: :<math> a\cdot (q_1 \cdot t) = \underbrace{(a\cdot q_1)}_{= 0_{\!\!_A} } \cdot t = 0_{\!\!_A} \cdot t = 0_{\!\!_A} </math> Diese Gleichung ist im Gegensatz zur Gleichung <math>q_1 \cdot t = 0_{\!\!_A} </math> für alle Matrizen <math>t\in A</math> lösbar und die Lösungsmenge <math>\widehat{\mathbb{L}} = A \neq \mathbb{L}</math>. Die Lösungsmenge der Gleichung <math> q_1 \cdot t = 0_{\!\!_A} </math> und <math> a \cdot q_1 \cdot t = 0_{\!\!_A} </math> stimmen also nicht überein. ==== Schritt 4.3.5 - Beispiel Einheitsmatrix ==== An einem Gegenbeispiel <math>t=e\in A</math>, nämlich der Einheitsmatrix aus <math>A</math>, kann man direkt sehen, dass die Lösungsmengen <math>\widehat{\mathbb{L}}</math> und <math>\mathbb{L}</math> verschieden sind, denn es gilt: :<math> e = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \quad \quad q_1 \cdot t = q_1 \neq 0_{\!\!_A} </math> und damit gilt <math>e\notin \mathbb{L}</math>. Aber <math>e\in \widehat{\mathbb{L}}</math> liegt in der zweiten Lösungsmenge mit :<math> a\cdot (q_1 \cdot e) = \underbrace{(a\cdot q_1)}_{= 0_{\!\!_A}} \cdot e = 0_{\!\!_A} \cdot e = 0_{\!\!_A} </math> === Schritt 4.4 - Lösungsmengen === Insgesamt wurde gezeigt, dass sich die Lösungsmengen bei der Multiplikation mit einem Element <math>a\neq 0_{\!\!_A}</math> die Lösungsmenge einer Gleichung verändern können. Ist <math>a</math> allerdings invertierbar, dann kann man (wie im obigen Lemma verwendet) Gleichung mit <math>a</math> multiplizieren, ohne dass sich die Lösungsmenge verändert. == Anwendungsbeispiele == In den reellen und komplexen Zahlen lassen sich mit der Aussage des Lemmas alle lösbaren polynomialen Nullstellenprobleme <math>q(z)=0</math> mit <math>q_0\neq 0</math> in ein polynomiales Inversenproblem <math>p(z)\cdot z^m = 1</math> überführen. Dies liegt an der Eigenschaft, dass <math>(\mathbb{R}\!\setminus \!\{0\},\cdot)</math> bzw. <math>(\mathbb{C}\!\setminus \!\{0\},\cdot)</math> eine multiplikative Gruppe ist und damit ein Element <math>q_0\neq 0</math> auch invertierbar ist. Es gilt also <math>q_0\in \mathcal{G}(\mathbb{R})</math> bzw. <math>q_0\in \mathcal{G}(\mathbb{C})</math>. === Bemerkung - Invertierbarkeit in topologischen Algebren === Die Eigenschaft, dass ein Element <math>q_0\neq 0</math> aus einer Algebra <math>A</math> auch invertierbar ist (also <math>q_0\in \mathcal{G}(A)</math>), gilt in beliebigen [[topologische Algebra|topologischen Algebren]] nicht. Algebraische Eigenschaften (wie z.B. ein [[Nullteiler]] zu sein) oder auch topologische Eigenschaften (z.B. wenn <math>q_0\in \mathcal{TNT}(A)</math> ein [[topoligischer Nullteiler]] ist), verhindern, dass ein Element nicht nur in <math>A</math> sondern sogar in jeder [[Algebraerweiterung]] <math>B</math> von <math>A</math> nicht invertierbar sein kann. == Siehe auch == * [[Konvexkombination]] * [[Nullteiler]] * [[topologische Algebra]] * [[topologische Nullteiler]] * [[Topologischer Raum]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Nullstellen-Inversen-Transformation&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Nullstellen-Inversen-Transformation&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Nullstellen-Inversen-Transformation&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Nullstellen-Inversen-Transformation&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Nullstellen-Inversen-Transformation https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Nullstellen-Inversen-Transformation] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Nullstellen-Inversen-Transformation Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Nullstellen-Inversen-Transformation * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Nullstellen-Inversen-Transformation&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Nullstellen-Inversen-Transformation&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] qdojghz6hepd51dmw8qa27qof0stixw 1118812 1118811 2026-11-04T07:15:08Z Bert Niehaus 20843 /* Bemerkung - Invertierbarkeit in topologischen Algebren */ Typo fixed 1118812 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Auf einer unitalen [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>(A,\mathcal{T}_{\!\!\!\!A})</math> mit Einselement <math>e_{\!\!_A}\in A</math> und Nullvektor <math>0_{\!\!_A}\in A</math> kann man eine [[Polynomalgebra]] <math>(A[t],\mathcal{T}_{\!\!\!\!A[t]})</math> definieren. Ziel dieser Lerneinheit ist es, die Transformation von einem [[polynomiales Nullstellenproblem|polynomialen Nullstellenproblem]] <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math> in eine [[polynomiales Inversenproblem]] <math>p(z)\cdot z^m = e_{\!\!_A}</math> zu untersuchen. Die in Beispiel verwendeten [[Nullteiler]] in einer [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Nullstellen-Inversen-Transformation#BeispielNT|Matrixalgebra]] sind eine Spezialfall von [[topologischer Nullteiler|topologischen Nullteilern]]. === Bemerkung - Polynomalgebra und Auswertung in A === Bei der Betrachtung von Polynomalgebren muss man das Polynom als Vektor <math>q\in A[t]</math> der Polynomalgebra <math>A[t]</math> von der Auswertung des Polynoms an einer Stelle in <math>z\in A</math> unterscheiden. Die Auswertung <math>q(z)</math> eines Polynoms <math>q\in A[t]</math> an der Stelle <math>z\in A</math> ist nämlich ein Element von <math>A</math> und <math>q(z)\in A</math> als endliche Verknüpfungen von wohldefinierten Operationen in dem Algebra <math>A</math> (z.B. <math>a\cdot z^3 = a\cdot z\cdot z\cdot z\in A</math> und für <math>w_1,w_2\in A</math> gilt <math>w_1+w_2\in A</math>). Die Notation <math>q(z)\in A[t]</math> ist daher formal '''nicht korrekt''', sondern für <math>z\in A</math> gilt <math>q(z)\in A</math>. <span id="DefNullstellenProblem"></span> === Definition - Polynomiales Nullstellenproblem === Sei <math>(A,\mathcal{T}_{\!\!\!\!A})</math> eine [[topologische Algebra]] Nullvektor <math> 0_{\!\!_A}\in A</math> und <math>(A[t],\mathcal{T}_{\!\!\!\!A[z]})</math> eine [[Polynomalgebra]] mit Koeffizienten aus <math>A</math> und [[topologischer Raum|Topologie]] <math>\mathcal{T}_{\!\!\!\!A[z]}</math>. Ein polynomiales Nullstellenproblem vom Grad <math>n\in\mathbb{N}</math> ist die Untersuchung der Lösbarkeit bzw. der Lösungen der Gleichung <math>q(z)=\sum_{k=0}^{n} q_k\cdot z^k=0_{\!\!_A}</math> mit <math>q_0\neq 0_{\!\! A}</math>, <math>z\in A</math> und <math>q\in A[t]</math>. ==== Beispiel - Nullstellenproblem ==== In den komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> gibt des [[Fundamentalsatz der Algebra]], der besagt, dass jedes nicht-konstante Polynom <math>q\in \mathbb{C}[t]</math> mindestens eine Nullstelle <math>z_0\in \mathbb{C}</math>, d.h. <math>q(z_0)=0</math>. Die Nullstellen von Polynomen <math>q\in \mathbb{C}[t]</math> mit <math>q(z):=\sum_{k=m}^n q_k\cdot z^k</math> mit <math>m \geq 1</math> kann man zunächst einmal als Produkt eines Polynoms <math>\widetilde{q\,}(t) := \sum_{k=0}^{n-m} q_{k+m}\cdot z^k</math> und <math>z^m</math>. Die Exponent <math>m\in \mathbb{N}</math> kann bei einem nicht-konstanten Polynom <math>q\in \mathbb{C}[t]</math> so gewählt werden, dass <math>\widetilde{q\,}_0=q_{m}\neq 0</math> gilt. In einem solchen Fall ist das Nullstellenproblem direkt lösbar, wobei <math>z_0:=0\in\mathbb{C}</math> eine Nullstelle der Ordnung <math>m</math> ist. <span id="DefInversenProblem"></span> === Definition - Polynomiales Inversenproblem === Sei <math>(A,\mathcal{T}_{\!\!\!\!A})</math> eine unitale [[topologische Algebra]] mit Einselement <math>e_{\!\!_A}\in A</math> des Multiplikation und <math>(A[t],\mathcal{T}_{\!\!\!\!A[z]})</math> eine [[Polynomalgebra]] mit Koeffizienten aus <math>A</math> und [[topologischer Raum|Topologie]] <math>\mathcal{T}_{\!\!\!\!A[t]}</math>. Ein polynomiales Inversenproblem ist die Untersuchung der Lösbarkeit bzw. der Lösungen der Gleichung <math>p(z)\cdot z^m=e_{\!\!_A}</math> mit <math> z\in A</math>, <math>m\in \mathbb{N}_0</math> für ein gegebenes Polynom <math>q\in A[t]</math>. ==== Bemerkung - Transformationsrichtung ==== Jedes [[polynomiales Inversenproblem|polynomiale Inversenproblem]] lässt sich durch Ausmultiplizieren des Terms <math></math> und Subtraktion des neutralen Elementes der Multiplikation in ein [[polynomiales Nullstellenproblem]] transformieren. Die Umkehrung betrachtet das [[Lemma zur Nullstellen-Inversen-Transformation]]. ==== Beispiel - Polynomiale Transformation in ein Inversenproblem ==== Man möchte eine Nullstelle <math>z_0\in \mathbb{C}</math> von dem folgenden Polynom <math>q\in \mathbb{C}[t]</math> bestimmen: :<math> q(z) = 3\cdot z^7 -4\cdot z^4- 10\cdot z^3+9 </math> Das zugehörige [[polynomiales Nullstellenproblem|Nullstellenproblem]] lautet <math>q(z)=0</math> und ein Ersatzpolynom <math>\widetilde{q\,}</math> wird bestimmt, das die gleichen Nullstellen wie <math>q\in \mathbb{C}[t] </math> besitzt. Das Inversenproblem lautet dann: :<math> \widetilde{q\,}(z)\cdot z^3 = 1 \quad \quad \widetilde{q\,}^{(1)}(z) = -\tfrac{3}{9}\cdot z^4 +\tfrac{4}{9}\cdot z^1 + \tfrac{10}{9} </math> Die Potenz <math>m</math> maximiert man in der Regel so, bis <math>\widetilde{q\,}_0 \neq 0</math> gilt. == Lemma zur Nullstellen-Inversen-Transformation == Sei <math>(A,\mathcal{T}_{\!\!\!\!A})</math> eine unitale [[topologische Algebra]] mit Nullvektor <math>0_{\!\!_A}\in A</math>, Einselement <math>e_{\!\!_A}\in A</math> der Multiplikation und <math>(A[t],\mathcal{T}_{\!\!\!\!A[t]})</math> eine [[Polynomalgebra]] mit Koeffizienten aus <math>A</math> und [[topologischer Raum|Topologie]] <math>\mathcal{T}_{\!\!\!\!A[t]}</math>. Sei <math>q(z)=\sum_{k=0}^{n} q_k\cdot z^k=0_{\!\!_A}</math> mit <math>q_0\in \mathcal{G}(A)</math>, <math>z\in A</math> und <math>q\in A[t]</math>, dann lässt sich ein lösbares Nullstellenproblem <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math> in ein Inversenproblem <math> p(z)\cdot z^m = e_{\!\!_A}</math> mit <math>p(z) = \sum_{k=0}^{n-m} \underbrace{-q_0^{-1}\cdot q_{k-m}}_{=p_{k}} \cdot z^k </math> transformieren. == Beweis - Nullstellen-Inversen-Transformation == Aus <math>q_0\in \mathcal{G}(A)</math> folgt unmittelbar <math>q_0\neq 0_{\!\!_A}</math>, da der Nullvektor kein multiplikatives Inverses besitzt. In den nächsten Schritt wird eine Fallunterscheidung vorgenommen. === Schritt 1 - Grad(p) 0 === Wenn der Grad von <math>q</math> eine Konstante mit <math>q_0\neq 0 </math> ist. Ferner bistzt <math>q_0</math> wegen <math>q_0\in \mathcal{G}(A)</math> ein multiplikatives Inverses <math>q_0^{-1}\in A</math> von <math>q_0</math> und es gilt die folgende Gleichung: :<math> q_0\cdot q_0^{-1} = q_0^{-1}\cdot q_0 = e_{\!\!_A} \ \Longrightarrow \ q_0 \neq 0_{\!\!_A} </math> Wegen <math>q_0\in \mathcal{G}(A)</math> ist die Gleichung <math>0_{\!\!_A} \neq q_0 =q(z) = 0_{\!\!_A}</math> ist damit unlösbar und es gibt '''kein lösbares''' Nullstellenproblem <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math>. === Schritt 2 - Normalisierung des Nullstellenproblems === Mit der Existenz eines multiplikativen inversen Elementes <math>q_0^{-1}\in A</math> zu Konstant <math>q_0</math> gilt die Gleichung :<math> q_0\cdot q_0^{-1} = q_0^{-1}\cdot q_0 = e_{\!\!_A} </math> und man kann die Nullstellengleichung mit dem Element <math>-q_0^{-1}\in A</math> multiplizieren. Man erhält dann: :<math> 0_{\!\!_A} = -q_0^{-1}\cdot 0_{\!\!_A} = -q_0^{-1}\cdot q(z) = -\underbrace{q_0^{-1}\cdot q_0}_{=e_{\!\!_A}} + \sum_{k=1}^n -q_0^{-1}\cdot q_k \cdot z^k =: \widetilde{q\,}(z) </math> === Schritt 3 - Addition des neutralen Elements und Distributivegesetz === Man erhält durch Addition des neutralen Elements <math>e_{\!\!_A} </math> die Gleichung: :<math> e_{\!\!_A} = \widetilde{q\,}(z) + e_{\!\!_A} = \sum_{k=1}^n \underbrace{-q_0^{-1}\cdot q_k}_{=\widetilde{q\,}_k} \cdot z^k </math> Per Distributivgesetz kann man mindestens für <math>m=1</math> ein <math>z^m</math> ausklammern und es gilt: :<math> e_{\!\!_A} = \widetilde{q\,}(z) + e_{\!\!_A} = \bigg( \underbrace{\sum_{k=m}^n \underbrace{-q_0^{-1}\cdot q_k}_{=\widetilde{q\,}_k} \cdot z^{k-m} \bigg)}_{=:p(z)} \cdot z^{m} = p(z)\cdot z^{m} </math> === Schritt 4 - Darstellung als Inversenproblem === Insgesamt lässt sich damit jedes lösbare polynomiale Nullstellenproblem <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math> in ein polynomiales Inversenproblem <math>p(z)\cdot z^m = e_{\!\!_A}</math> überführen. === Schritt 5 - Lösungsmenge und Transformation === Im Allgemeinen verändert sich die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}:=\{z\in A\, : \, q(z)=c_0 \}</math> bei einer polynomialen Gleichung <math>q(z)=c_0\in A</math> bei folgenden Operationen nicht: * '''(AddL)''' Addition einer Konstanten <math> c \in A</math> auf beiden Gleichungsseiten mit <math>q(z)+c=c_0+c</math> und * '''(SMultL)''' Multiplikation mit einem Skalar <math>\lambda \in \mathbb{C}\setminus \{0\} </math> mit <math>\lambda\cdot q(z)=\lambda\cdot c_0\in A</math> Die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}:=\{z\in A\, : \, q(z)=c_0 \}</math> kann sich aber bei der Multiplikation mit einem Element <math>c\in A\setminus \{0_{\!\!_A}\}</math> aus der Algebra verändern (siehe Beispiel - [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Nullstellen-Inversen-Transformation#Loesungsmenge|Veränderung der Lösungsmenge]]) ==== Schritt 5.1 - Multiplikation mit invertierbaren Elementen ==== Es bleibt also zu zeigen, dass sich die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}:=\{z\in A\, : \, q(z)=0_{\!\!_A} \}</math> des polynomiale Nullstellenproblem <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math> nicht von der Lösungsmenge <math>\widehat{\mathbb{L}}:=\{z\in A\, : \, p(z)\cdot z^m =e_{\!\!_A} \}</math> des polynomiales Inversenproblem <math>p(z)\cdot z^m = e_{\!\!_A}</math> unterscheidet. ==== Schritt 5.2 - Multiplikation mit invertierbaren Elementen ==== Es gilt immer, dass für beliebige polynomiale Terme aus <math>q(z)=c_0</math> und beliebige <math>c\in A</math> auch <math>c\cdot q(z)=c \cdot c_0</math> gilt. Dies gilt als insbesondere für <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math> und <math>c:=q_0^{-1}</math>. Danach kann mit der Regel ''(AddL)'' aus Schritt 5 das neutrale Element der Multiplkation auf beiden Seiten addieren. Damit folgt aus <math>z\in\mathbb{L}</math>, dass auch <math>z\in \widehat{\mathbb{L}}</math> gilt und man erhält man die folgende Teilmengenbeziehung: :<math> \underbrace{\big\{z\in A\, : \, q(z)=0_{\!\!_A} \big\}}_{=\mathbb{L}} \ \subseteq \ \underbrace{\big\{z\in A\, : \, p(z)\cdot z^m =e_{\!\!_A} \big\}}_{=\widehat{\mathbb{L}}} </math> ==== Schritt 5.3 - Koeffizientendefinition des Polynoms nutzen ==== Sei nun <math>z\in \widehat{\mathbb{L}}</math> mit <math>p(z)\cdot z^m =e_{\!\!_A}</math> beliebig gewählt. Dabei gilt folgende Gleichung: :<math> 0_{\!\!_A} = p(z)\cdot z^m - e_{\!\!_A} =p(z)\cdot z^m -q_0^{-1}\cdot q_0 </math> Dabei ist <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math> das lösbare Nullstellenproblem, deren Koeffizienten für <math>p(z) = \sum_{k=0}^{n-m} \underbrace{-q_0^{-1}\cdot q_{k+m}}_{=p_{k}} \cdot z^k </math> verwendet werden. ==== Schritt 5.4 - Invertierbarkeit der Konstanten nutzen ==== Da <math>q_0\in \mathcal{G}(A)</math> ein multiplikatives Inverses Element besitzt, gilt auch <math>-q_0\in \mathcal{G}(A)</math>. Wählt man nun eine beliebige Lösung <math>z\in \widehat{\mathbb{L}}</math> der der Gleichung <math> 0_{\!\!_A} = p(z)\cdot z^m - e_{\!\!_A} </math>. Durch Multiplikation der Gleichung mit <math>-q_0</math> bleibt <math>z\in \widehat{\mathbb{L}}</math> weiterhin Lösung der Gleichung. ==== Schritt 5.5 - Multiplikation mit invertierbaren Elementen ==== Durch Einsetzen erhält man :<math> -q_0\cdot 0_{\!\!_A} = -q_0\cdot \big( p(z)\cdot z^m - e_{\!\!_A} \big) =-q_0\cdot p(z)\cdot z^m + q_0 </math> und zusammen mit der Definition von <math>p</math> das polynomiale Nullstellenproblem <math>q(z)=0_{\!\!_A} </math>: :<math> -q_0\cdot p(z) \cdot z^m + q_0= \underbrace{\left( \sum_{k=0}^{n-m} \underbrace{-q_0\cdot (-q_0^{-1})\cdot q_{k+m}}_{=q_{k+m}} \cdot z^{k+m} \right) + q_0}_{ = q(z)} </math> ==== Schritt 5.6 - Übereinstimmung der Lösungsmengen ==== Damit gilt auch die umgekehrte Inklusion <math> \mathbb{L} \ \supseteq \ \widehat{\mathbb{L}} </math> und mit Schritt 5.3 zusammen erhält man: :<math> \mathbb{L} \ = \ \widehat{\mathbb{L}} </math> Insgesamt stimmen also die Lösungsmengen für das Nullstellenproblem <math> \mathbb{L} </math> und die Lösungsmenge für das Inversenproblem <math>\widehat{\mathbb{L}}</math> überein. <math>\quad \Box</math> <span id="Loesungsmenge"></span> == Beispiel - Veränderung der Lösungsmenge durch Multiplikation == Das Beispiel behandelt ein Nullstellenproblem <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math> vom Grad 1 und es wird gezeigt, dass sich durch Multiplikation der Gleichung mit einem Element <math>a\in A\setminus \{0_{\!\!_A} \}</math> die Lösungsmenge von <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math> zu <math>a\cdot q(z)=a\cdot 0_{\!\!_A} = 0_{\!\!_A}</math> verändert. === Teilaspekte === Insgesamt werden dabei in einer Algebra <math>A</math> der quadratischen <math>2\times 2</math>-Matrizen * Nullteiler betrachtet, * Lösungsmenge von <math> q(z)= q_1 \cdot z = 0_{\!\!_A} </math> * Lösungsmenge von <math> a \cdot q_1 \cdot z = 0_{\!\!_A} </math> === Verknüfungen in der Algebra === Bzgl. der Algebra <math>A</math> betrachtet man die ''Polynomalgebra'' <math> A[t] </math>, wobei die Polynome <math>p\in A </math> Koeffizienten aus der Algebra der <math> 2 \times 2 </math>-Matrizen über den komplexen Zahlen <math> \mathbb{C} </math> besitzen. Die Addition der Matrizen erfolgt komponentenweise und die Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar <math>\lambda \in \mathbb{C}</math> wird analog zum Vektorraum <math>\mathbb{C}^n</math> komponentweise gestreckt. Die Multiplikation in <math>A</math> ist die Matrixmultiplikation als innere Verknüpfung. Die Multiplikation ist nicht kommutativ. === Matrizenalgebra === Die Algebra <math>A</math> besteht aus quadratischen Matrizen, damit die Matrixmultiplikation eine innere Verknüpfung in der :<math> A = Mat(2\times 2 , \mathbb{C}) = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \mid a,b,c,d \in \mathbb{C} \right\} </math> ==== Addition - Matrixalgebra ==== Die Addition und Multiplikation in <math> A[t] </math> sind wie folgt definiert: :<math> \begin{pmatrix} a_1 & b_1 \\ c_1 & d_1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a_2 & b_2 \\ c_2 & d_2 \end{pmatrix} := \begin{pmatrix} a_1+a_2 & b_1+b_2 \\ c_1+c_2 & d_1+d_2 \end{pmatrix} </math> ==== Multiplikation mit Skalar - Matrixalgebra ==== Multiplikation mit einem Skalar <math> \lambda \in \mathbb{C}</math> erfolgt komponentenweise: :<math> \lambda \cdot \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} := \begin{pmatrix} \lambda \cdot a & \lambda \cdot b \\ \lambda \cdot c & \lambda \cdot d \end{pmatrix} </math> ==== Multiplikation in der Matrixalgebra ==== Matrixmultiplikation ist die innere Verknüpfung der Form: :<math> \begin{array}{rccl} \cdot : & A \times A & \rightarrow & A \\ & \left( \begin{pmatrix} a_1 & b_1 \\ c_1 & d_1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} a_2 & b_2 \\ c_2 & d_2 \end{pmatrix} \right) & \mapsto & \begin{pmatrix} a_1a_2 + b_1c_2 & a_1b_2+b_1d_2 \\ c_1a_2+d_1c_2 & c_1b_2+d_1d_2 \end{pmatrix} \end{array} </math> === Polynomalgebra mit Matrizenal als Koeffizienten === Die Polynomalgebra <math> A[t] </math> besteht aus Polynomen der Form: :<math> q(t) = \sum_{k=0}^n q_k\cdot t^k, \quad \text{mit } q_k \in A </math> Die Multiplikation von Polynomen ist die Cauchy-Multiplikation in der [[Polynomalgebra]], wobei die Verknüfungen mit den Koeffizienten bereits über die Matrizenalgebra definert sind (siehe [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Nullstellen-Inversen-Transformation#Matrizenalgebra|Matrizenalgebra]]) ==== Aufgabe für Studierende ==== Verwenden Sie Ihre Vorwissen aus der Linearen Algebra und dem [[w:de:Satz_von_Cayley-Hamilton|Satz von Caley-Hamilton]]. Erläutern Sie, welche Polynome verwendet werden, bei denen man Matrizen <math>x\in A</math> als Argumente für <math>p(x)</math> verwendet werden (siehe [[w:de:charakteristisches Polynom|charakteristische Polynom]]). Welche Unterschiede bestehen zu der hier verwendeten Polynomalgebra? <span id="BeispielNT"></span> === Schritt 1 - Konstruktion von Nullteilern === In <math> Mat(2\times 2, \mathbb{C}) </math> gibt es '''Nullteiler''', d.h. Matrizen <math> a, q_1 \neq 0_{\!\!_A} </math>, sodass <math> a\cdot q_1 = 0_{\!\!_A} </math>, aber <math> q_1 \neq 0_{\!\!_A} </math>, <math> a \neq 0_{\!\!_A} </math>. In diesem Beispiel wählt man die folgenden Matrizen: :<math> q_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad a = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} </math> === Schritt 2 - Nullteilereigenschaft === Mit der Definition der obigen Matrizen gilt dann mit der Definition der Matrixmultiplikation: :<math> q_1 \cdot a = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = 0_{\!\!_A} </math> Die Nullteilereigenschaft kommutiert in diesem Fall :<math> a \cdot q_1 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = 0_{\!\!_A} </math> Also: <math> q_1 \cdot a = 0_{\!\!_A} </math> und <math> a \cdot q_1 = 0_{\!\!_A} </math>. In diesem Fall '''kommutiert''' die Multiplikation bzgl. [[Nullteiler|Linksnullteiler]] mit seinem "komplementären" [[Nullteiler|Rechtsnullteiler]]. === Schritt 3 - Anzahl komplementärer Nullteiler === Ein komplementärer [[Nullteiler|Rechtsnullteiler]] <math>a</math> zu ein [[Nullteiler|Linksnullteiler]] <math>q_0</math> ist nicht eindeutig bestimmt. :<math> q_1 \cdot b = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 4 & 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = 0_{\!\!_A} </math> Allgemein sind die folgenden Matrizen komplementäre Rechtsnullteiler zu <math>q_1</math>: :<math> b = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ b_1 & b_2 \end{pmatrix} \neq 0_{\!\!_A} </math> === Schritt 2 - Nicht-kommutative Nullteiler === Wählt man nun für die Matrix <math>a\in A</math> eine: :<math> q_1 = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad a = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} </math> ==== Schritt 2.1 - Berechnung der Matrixmultiplikation ==== Berechne Nullteilereigenschaft: :<math> a \cdot q_1 = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = 0_{\!\!_A} </math> Vertauscht man die beiden Faktoren erhält man die folgende Matrix: :<math> q_1 \cdot a = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 6 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \neq 0_A </math> ==== Schritt 2.2 - Nullteilereigenschaft - Faktorentausch ==== Also gilt mit Schritt 2.1, dass <math> a \cdot q_1 = 0_{\!\!_A} </math> erfüllt ist, aber nach Faktorentausch das Produkt <math> q_1 \cdot a \neq 0_{\!\!_A} </math> keine [[Nullteiler|Nullteilereigenschaft]] zeigt. Die [[Nullteiler|Nullteilereigenschaft]] ist nicht notwendigerweise kommutativ. ==== Bemerkung 2.3 - Bezeichnung Nullteiler ==== Die Unterschiede zeigen sich auch in der Bezeichnung, denn in Schritt 2.1 ist <math> q_1 </math> ein '''rechter Nullteiler''' von <math> a </math>, aber <math> a </math> ist '''kein linker Nullteiler''' von <math> q_1 </math>, da <math> q_1 \cdot a \neq 0 </math> gilt. === Schritt 3 - Polynom 1. Grades === Man betrachtet nun eine Nullstellenproblem mit einem einfachen Polynom vom Grad 1. Dieses Beispiel wurde gewählt, damit man die Veränderung der Lösungen bei Multiplikation einer Gleichung mit einem von <math>0_{\!\!_A}</math> verschiedenen Faktor <math>a\in A \subset A[t]</math> zu untersuchen. Dabei wird <math>A \subset A[t]</math> aufgefasst, wobei ein Element <math>a\in A </math> als konstantes Polynom in <math>A[t]</math> aufgefasst wird. ==== Schritt 3.1 - Formulierung des Nullstellenproblems ==== Sei <math> q(t) = q_1 \cdot t \in A[t] </math> ein Polynom vom Grad 1 mit dem Koeffizient <math> q_1 \in A</math> aus das Algebra der <math>2\times 2</math>-Matrizen. Das Nullstellenproblem wird durch die folgende einfache Gleichung formuliert: :<math> q(t)=q_1 \cdot t = 0_{\!\!_A} </math> ==== Schritt 3.2 - Lösungsmenge des Nullstellenproblems ==== Die Lösungsmenge der Gleichung <math> p_1 \cdot t = 0_{\!\!_A} </math> ist nun eine Teilmenge der Matrizenalgebra <math>A</math>, weil man <math> t\in A</math>, die die obige Gleichung lösen. Man wählt nun für die Gleichung die folgende Variablendefinitionen aus Schritt 2.2 : :<math> q_1 = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad \mathbb{L} = \{t\in A \ : \ q_1 \cdot t = 0_{\!\!_A} \} </math> Dabei ist <math>0_{\!\!_A}</math> die quadratische Nullmatrix aus <math>A</math> und auch <math>p_1</math> und <math>t</math> sind ebenfalls quadratische <math>2\times 2</math>-Matrizen. ==== Augabe 3.3 - Lösungsmenge bestimmen ==== Bestimmen Sie die Lösungsmenge des Nullstellenproblems aus Schritt 3.2 mit algebraischen Umformungen: :<math> t = \begin{pmatrix} t_1 & t_2 \\ t_3 & t_4 \end{pmatrix} \in A </math> ==== Schritt 3.4 - Multiplikation des Nullstellenproblems mit Faktor==== Als Faktor wählt man nun die folgende Matrix aus <math>A</math>: :<math> a = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} , \quad \widetilde{\mathbb{L}} = \{t\in A \ : \ a\cdot q_1 \cdot t = a\cdot 0_{\!\!_A} = 0_{\!\!_A} \} </math> === Schritt 4 - Formale Variablen === Die Polynome <math> q_1 \cdot t = 0_{\!\!_A}</math> bzw. <math> a\cdot q_1 \cdot t = a\cdot 0_{\!\!_A}</math> besitzt mit <math>t</math> eigentlich eine formale Variable ist. Das Polynom wird in obigen Beispiel mit <math>t\in A</math> ausgewertet. Möglich ist aber auch, dass die formale Variable mit Skalaren <math>t\in \mathbb{C}</math> ausgewertet wird. Die erfolgt z.B. bei [[Konvexkombination]]en mit <math>t\in [0,1]</math> oder allgemeiner <math>t\in \mathbb{C}</math>, wobei die Koeffizienten <math>p_k</math> des Polynoms wieder <math>2\times 2</math>-Matrizen sind. <math>p(t)\in A</math> ist dann wieder <math>2\times 2</math>-Matrix, die als Linearkombination der Matrizen polynomial berechnet wird. ==== Bemerkung 4.1 - Lösungsmenge ==== Die konkrete Bindung der formalen Variable <math>t</math> bestimmt auch die Grundmenge aus der die Lösungsmenge stammt. In dem hier gewählt Beispiel sucht man nach Matrizen <math>t\in A</math>, die eine Gleichung <math> q(t) = 0_{\!\!_A} </math> zu einer wahren Aussage machen. Damit ist die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}</math> der Gleichung für Polynome <math>q\in A[t] </math> eine Teilmenge von <math>A</math>. ==== Schritt 4.2 - Unterschiede in der Lösungsmenge ==== Aus der reellen und komplexen Analysis ist man gewohnt, Gleichungen mit von 0 verschiedenen Faktoren <math>a\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> zu multiplizieren, da diese Umformung in <math>\mathbb{C}</math> bzw. <math>\mathbb{R}</math> eine Äquivalenzumformung darstellt und damit die Lösungs einer Gleichung nicht verändert. In dem hier gewählten Bespiel ist das '''nicht der Fall''', da <math> q_1 \neq 0_{\!\!_A} </math> zwar nicht der Nullvektor ist, aber algebraisch die [[Nullteiler|Nullteilereigenschaft]] besitzt und damit Lösungsmenge hier verändert. === Schritt 4.3 - Bestimmung der Lösungsmengen === Man betrachtet die beiden folgenden Gleichungen in der Algebra <math> A </math>: * '''(L1)''' <math> q_1 \cdot t = 0_{\!\!_A} </math> für <math> t \in A </math> * '''(L2)''' <math> a \cdot q_1 \cdot t = 0_{\!\!_A} </math> für <math> t \in A </math> mit <math> p_1 </math> und <math> a </math> wie oben gewählt. ==== Schritt 4.3.1 - Lösungsmenge von Gleichung L1 ==== Man setzt zu dem gegebenen <math>q_1</math> die formale Variable <math>t</math> als beliebige <math>2\times 2</math>-Matrix mit den Einträgen <math>t_1,t_2,t_3,t_4\in \mathbb{C}</math>: :<math> q_1 = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad t = \begin{pmatrix} t_1 & t_2 \\ t_3 & t_4 \end{pmatrix} \in A </math> Dann liefert das Matrixprodukt mit <math>t\in A</math>: :<math> q_1 \cdot t = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} t_1 & t_2 \\ t_3 & t_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} t_1 & t_2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = 0_{\!\!_A} </math> ==== Schritt 4.3.2 - Nullteilereigenschaft für L1 ==== Damit das Matrixprodukt aus Schritt 4.3.1 die Nullmatrix <math> 0_{\!\!_A} </math> ergibt, muss <math>t_1=0</math> und <math>t_2=0</math> erfüllt sein. Damit besteht die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}_1</math> aus rechten komplementären [[Nullteiler|Nullteilern]] zu <math>q_1</math> und der und zumindest für eine der beiden Variable Nullmatrix <math> 0_{\!\!_A} </math>. Damit ist <math>\mathbb{L}</math> wie folgt definiert: :<math>\mathbb{L} := \left\{ \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ t_3 & t_4 \end{pmatrix} \ : \ t_1,t_2\in \mathbb{C} \right\} =\{ t\in A \ : \ q_1 \cdot t = 0_{\!\!_A} \} </math> ==== Schritt 4.3.3 - Lösungsmenge von Gleichung L2 ==== Man betrachtet nun die folgende Gleichung (L2) <math> a \cdot q_1 \cdot t = 0_{\!\!_A} </math> und sucht nach Lösungen <math> t \in A </math>, die die Gleichung <math> a\cdot (q_1 \cdot t) = a\cdot 0_{\!\!_A} = 0_{\!\!_A} </math> zu einer wahren Aussage machen. Dabei setzt man: :<math> a:=\begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \neq 0_{\!\!_A} </math> ==== Schritt 4.3.4 - Nullteilereigenschaft und Assoziativität bzgl L2 ==== Nach der [[Nullteiler|Nullteilereigenschaft]] bzgl. <math>q_1</math> und <math>a</math> (siehe Schritt 3) gilt mit der Assoziativität der Multiplikation in der topologischen Algebra folgende Gleichung: :<math> a\cdot (q_1 \cdot t) = \underbrace{(a\cdot q_1)}_{= 0_{\!\!_A} } \cdot t = 0_{\!\!_A} \cdot t = 0_{\!\!_A} </math> Diese Gleichung ist im Gegensatz zur Gleichung <math>q_1 \cdot t = 0_{\!\!_A} </math> für alle Matrizen <math>t\in A</math> lösbar und die Lösungsmenge <math>\widehat{\mathbb{L}} = A \neq \mathbb{L}</math>. Die Lösungsmenge der Gleichung <math> q_1 \cdot t = 0_{\!\!_A} </math> und <math> a \cdot q_1 \cdot t = 0_{\!\!_A} </math> stimmen also nicht überein. ==== Schritt 4.3.5 - Beispiel Einheitsmatrix ==== An einem Gegenbeispiel <math>t=e\in A</math>, nämlich der Einheitsmatrix aus <math>A</math>, kann man direkt sehen, dass die Lösungsmengen <math>\widehat{\mathbb{L}}</math> und <math>\mathbb{L}</math> verschieden sind, denn es gilt: :<math> e = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \quad \quad q_1 \cdot t = q_1 \neq 0_{\!\!_A} </math> und damit gilt <math>e\notin \mathbb{L}</math>. Aber <math>e\in \widehat{\mathbb{L}}</math> liegt in der zweiten Lösungsmenge mit :<math> a\cdot (q_1 \cdot e) = \underbrace{(a\cdot q_1)}_{= 0_{\!\!_A}} \cdot e = 0_{\!\!_A} \cdot e = 0_{\!\!_A} </math> === Schritt 4.4 - Lösungsmengen === Insgesamt wurde gezeigt, dass sich die Lösungsmengen bei der Multiplikation mit einem Element <math>a\neq 0_{\!\!_A}</math> die Lösungsmenge einer Gleichung verändern können. Ist <math>a</math> allerdings invertierbar, dann kann man (wie im obigen Lemma verwendet) Gleichung mit <math>a</math> multiplizieren, ohne dass sich die Lösungsmenge verändert. == Anwendungsbeispiele == In den reellen und komplexen Zahlen lassen sich mit der Aussage des Lemmas alle lösbaren polynomialen Nullstellenprobleme <math>q(z)=0</math> mit <math>q_0\neq 0</math> in ein polynomiales Inversenproblem <math>p(z)\cdot z^m = 1</math> überführen. Dies liegt an der Eigenschaft, dass <math>(\mathbb{R}\!\setminus \!\{0\},\cdot)</math> bzw. <math>(\mathbb{C}\!\setminus \!\{0\},\cdot)</math> eine multiplikative Gruppe ist und damit ein Element <math>q_0\neq 0</math> auch invertierbar ist. Es gilt also <math>q_0\in \mathcal{G}(\mathbb{R})</math> bzw. <math>q_0\in \mathcal{G}(\mathbb{C})</math>. === Bemerkung - Invertierbarkeit in topologischen Algebren === Die Eigenschaft, dass ein Element <math>q_0\neq 0</math> aus einer Algebra <math>A</math> auch invertierbar ist (also <math>q_0\in \mathcal{G}(A)</math>), gilt in beliebigen [[topologische Algebra|topologischen Algebren]] nicht. Algebraische Eigenschaften (wie z.B. ein [[Nullteiler]] zu sein) oder auch topologische Eigenschaften (z.B. wenn <math>q_0\in \mathcal{TNT}(A)</math> ein [[topologischer Nullteiler]] ist), verhindern, dass ein Element nicht nur in <math>A</math> sondern sogar in jeder [[Algebraerweiterung]] <math>B</math> von <math>A</math> nicht invertierbar sein kann. == Siehe auch == * [[Konvexkombination]] * [[Nullteiler]] * [[topologische Algebra]] * [[topologische Nullteiler]] * [[Topologischer Raum]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Nullstellen-Inversen-Transformation&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Nullstellen-Inversen-Transformation&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Nullstellen-Inversen-Transformation&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Nullstellen-Inversen-Transformation&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Nullstellen-Inversen-Transformation https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Nullstellen-Inversen-Transformation] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Nullstellen-Inversen-Transformation Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Nullstellen-Inversen-Transformation * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Nullstellen-Inversen-Transformation&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Nullstellen-Inversen-Transformation&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] ocmgwt80dwk3jer6fw57xc9zuw0me4b 1118813 1118812 2026-11-04T07:16:21Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1118813 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Auf einer unitalen [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>(A,\mathcal{T}_{\!\!\!\!A})</math> mit Einselement <math>e_{\!\!_A}\in A</math> und Nullvektor <math>0_{\!\!_A}\in A</math> kann man eine [[Polynomalgebra]] <math>(A[t],\mathcal{T}_{\!\!\!\!A[t]})</math> definieren. Ziel dieser Lerneinheit ist es, die Transformation von einem [[polynomiales Nullstellenproblem|polynomialen Nullstellenproblem]] <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math> in eine [[polynomiales Inversenproblem]] <math>p(z)\cdot z^m = e_{\!\!_A}</math> zu untersuchen. Die in Beispiel verwendeten [[Nullteiler]] in einer [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Nullstellen-Inversen-Transformation#BeispielNT|Matrixalgebra]] sind eine Spezialfall von [[topologischer Nullteiler|topologischen Nullteilern]]. === Bemerkung - Polynomalgebra und Auswertung in A === Bei der Betrachtung von Polynomalgebren muss man das Polynom als Vektor <math>q\in A[t]</math> der Polynomalgebra <math>A[t]</math> von der Auswertung des Polynoms an einer Stelle in <math>z\in A</math> unterscheiden. Die Auswertung <math>q(z)</math> eines Polynoms <math>q\in A[t]</math> an der Stelle <math>z\in A</math> ist nämlich ein Element von <math>A</math> und <math>q(z)\in A</math> als endliche Verknüpfungen von wohldefinierten Operationen in dem Algebra <math>A</math> (z.B. <math>a\cdot z^3 = a\cdot z\cdot z\cdot z\in A</math> und für <math>w_1,w_2\in A</math> gilt <math>w_1+w_2\in A</math>). Die Notation <math>q(z)\in A[t]</math> ist daher formal '''nicht korrekt''', sondern für <math>z\in A</math> gilt <math>q(z)\in A</math>. <span id="DefNullstellenProblem"></span> === Definition - Polynomiales Nullstellenproblem === Sei <math>(A,\mathcal{T}_{\!\!\!\!A})</math> eine [[topologische Algebra]] Nullvektor <math> 0_{\!\!_A}\in A</math> und <math>(A[t],\mathcal{T}_{\!\!\!\!A[z]})</math> eine [[Polynomalgebra]] mit Koeffizienten aus <math>A</math> und [[topologischer Raum|Topologie]] <math>\mathcal{T}_{\!\!\!\!A[z]}</math>. Ein polynomiales Nullstellenproblem vom Grad <math>n\in\mathbb{N}</math> ist die Untersuchung der Lösbarkeit bzw. der Lösungen der Gleichung <math>q(z)=\sum_{k=0}^{n} q_k\cdot z^k=0_{\!\!_A}</math> mit <math>q_0\neq 0_{\!\! A}</math>, <math>z\in A</math> und <math>q\in A[t]</math>. ==== Beispiel - Nullstellenproblem ==== In den komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> gibt des [[Fundamentalsatz der Algebra]], der besagt, dass jedes nicht-konstante Polynom <math>q\in \mathbb{C}[t]</math> mindestens eine Nullstelle <math>z_0\in \mathbb{C}</math>, d.h. <math>q(z_0)=0</math>. Die Nullstellen von Polynomen <math>q\in \mathbb{C}[t]</math> mit <math>q(z):=\sum_{k=m}^n q_k\cdot z^k</math> mit <math>m \geq 1</math> kann man zunächst einmal als Produkt eines Polynoms <math>\widetilde{q\,}(t) := \sum_{k=0}^{n-m} q_{k+m}\cdot z^k</math> und <math>z^m</math>. Die Exponent <math>m\in \mathbb{N}</math> kann bei einem nicht-konstanten Polynom <math>q\in \mathbb{C}[t]</math> so gewählt werden, dass <math>\widetilde{q\,}_0=q_{m}\neq 0</math> gilt. In einem solchen Fall ist das Nullstellenproblem direkt lösbar, wobei <math>z_0:=0\in\mathbb{C}</math> eine Nullstelle der Ordnung <math>m</math> ist. <span id="DefInversenProblem"></span> === Definition - Polynomiales Inversenproblem === Sei <math>(A,\mathcal{T}_{\!\!\!\!A})</math> eine unitale [[topologische Algebra]] mit Einselement <math>e_{\!\!_A}\in A</math> des Multiplikation und <math>(A[t],\mathcal{T}_{\!\!\!\!A[z]})</math> eine [[Polynomalgebra]] mit Koeffizienten aus <math>A</math> und [[topologischer Raum|Topologie]] <math>\mathcal{T}_{\!\!\!\!A[t]}</math>. Ein polynomiales Inversenproblem ist die Untersuchung der Lösbarkeit bzw. der Lösungen der Gleichung <math>p(z)\cdot z^m=e_{\!\!_A}</math> mit <math> z\in A</math>, <math>m\in \mathbb{N}_0</math> für ein gegebenes Polynom <math>q\in A[t]</math>. ==== Bemerkung - Transformationsrichtung ==== Jedes [[polynomiales Inversenproblem|polynomiale Inversenproblem]] lässt sich durch Ausmultiplizieren des Terms <math></math> und Subtraktion des neutralen Elementes der Multiplikation in ein [[polynomiales Nullstellenproblem]] transformieren. Die Umkehrung betrachtet das [[Lemma zur Nullstellen-Inversen-Transformation]]. ==== Beispiel - Polynomiale Transformation in ein Inversenproblem ==== Man möchte eine Nullstelle <math>z_0\in \mathbb{C}</math> von dem folgenden Polynom <math>q\in \mathbb{C}[t]</math> bestimmen: :<math> q(z) = 3\cdot z^7 -4\cdot z^4- 10\cdot z^3+9 </math> Das zugehörige [[polynomiales Nullstellenproblem|Nullstellenproblem]] lautet <math>q(z)=0</math> und ein Ersatzpolynom <math>\widetilde{q\,}</math> wird bestimmt, das die gleichen Nullstellen wie <math>q\in \mathbb{C}[t] </math> besitzt. Das Inversenproblem lautet dann: :<math> \widetilde{q\,}(z)\cdot z^3 = 1 \quad \quad \widetilde{q\,}^{(1)}(z) = -\tfrac{3}{9}\cdot z^4 +\tfrac{4}{9}\cdot z^1 + \tfrac{10}{9} </math> Die Potenz <math>m</math> maximiert man in der Regel so, bis <math>\widetilde{q\,}_0 \neq 0</math> gilt. == Lemma zur Nullstellen-Inversen-Transformation == Sei <math>(A,\mathcal{T}_{\!\!\!\!A})</math> eine unitale [[topologische Algebra]] mit Nullvektor <math>0_{\!\!_A}\in A</math>, Einselement <math>e_{\!\!_A}\in A</math> der Multiplikation und <math>(A[t],\mathcal{T}_{\!\!\!\!A[t]})</math> eine [[Polynomalgebra]] mit Koeffizienten aus <math>A</math> und [[topologischer Raum|Topologie]] <math>\mathcal{T}_{\!\!\!\!A[t]}</math>. Sei <math>q(z)=\sum_{k=0}^{n} q_k\cdot z^k=0_{\!\!_A}</math> mit <math>q_0\in \mathcal{G}(A)</math>, <math>z\in A</math> und <math>q\in A[t]</math>, dann lässt sich ein lösbares Nullstellenproblem <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math> in ein Inversenproblem <math> p(z)\cdot z^m = e_{\!\!_A}</math> mit <math>p(z) = \sum_{k=0}^{n-m} \underbrace{-q_0^{-1}\cdot q_{k-m}}_{=p_{k}} \cdot z^k </math> transformieren. == Beweis - Nullstellen-Inversen-Transformation == Aus <math>q_0\in \mathcal{G}(A)</math> folgt unmittelbar <math>q_0\neq 0_{\!\!_A}</math>, da der Nullvektor kein multiplikatives Inverses besitzt. In den nächsten Schritt wird eine Fallunterscheidung vorgenommen. === Schritt 1 - Grad(p) 0 === Wenn der Grad von <math>q</math> eine Konstante mit <math>q_0\neq 0 </math> ist. Ferner bistzt <math>q_0</math> wegen <math>q_0\in \mathcal{G}(A)</math> ein multiplikatives Inverses <math>q_0^{-1}\in A</math> von <math>q_0</math> und es gilt die folgende Gleichung: :<math> q_0\cdot q_0^{-1} = q_0^{-1}\cdot q_0 = e_{\!\!_A} \ \Longrightarrow \ q_0 \neq 0_{\!\!_A} </math> Wegen <math>q_0\in \mathcal{G}(A)</math> ist die Gleichung <math>0_{\!\!_A} \neq q_0 =q(z) = 0_{\!\!_A}</math> ist damit unlösbar und es gibt '''kein lösbares''' Nullstellenproblem <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math>. === Schritt 2 - Normalisierung des Nullstellenproblems === Mit der Existenz eines multiplikativen inversen Elementes <math>q_0^{-1}\in A</math> zu Konstant <math>q_0</math> gilt die Gleichung :<math> q_0\cdot q_0^{-1} = q_0^{-1}\cdot q_0 = e_{\!\!_A} </math> und man kann die Nullstellengleichung mit dem Element <math>-q_0^{-1}\in A</math> multiplizieren. Man erhält dann: :<math> 0_{\!\!_A} = -q_0^{-1}\cdot 0_{\!\!_A} = -q_0^{-1}\cdot q(z) = -\underbrace{q_0^{-1}\cdot q_0}_{=e_{\!\!_A}} + \sum_{k=1}^n -q_0^{-1}\cdot q_k \cdot z^k =: \widetilde{q\,}(z) </math> === Schritt 3 - Addition des neutralen Elements und Distributivegesetz === Man erhält durch Addition des neutralen Elements <math>e_{\!\!_A} </math> die Gleichung: :<math> e_{\!\!_A} = \widetilde{q\,}(z) + e_{\!\!_A} = \sum_{k=1}^n \underbrace{-q_0^{-1}\cdot q_k}_{=\widetilde{q\,}_k} \cdot z^k </math> Per Distributivgesetz kann man mindestens für <math>m=1</math> ein <math>z^m</math> ausklammern und es gilt: :<math> e_{\!\!_A} = \widetilde{q\,}(z) + e_{\!\!_A} = \bigg( \underbrace{\sum_{k=m}^n \underbrace{-q_0^{-1}\cdot q_k}_{=\widetilde{q\,}_k} \cdot z^{k-m} \bigg)}_{=:p(z)} \cdot z^{m} = p(z)\cdot z^{m} </math> === Schritt 4 - Darstellung als Inversenproblem === Insgesamt lässt sich damit jedes lösbare polynomiale Nullstellenproblem <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math> in ein polynomiales Inversenproblem <math>p(z)\cdot z^m = e_{\!\!_A}</math> überführen. === Schritt 5 - Lösungsmenge und Transformation === Im Allgemeinen verändert sich die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}:=\{z\in A\, : \, q(z)=c_0 \}</math> bei einer polynomialen Gleichung <math>q(z)=c_0\in A</math> bei folgenden Operationen nicht: * '''(AddL)''' Addition einer Konstanten <math> c \in A</math> auf beiden Gleichungsseiten mit <math>q(z)+c=c_0+c</math> und * '''(SMultL)''' Multiplikation mit einem Skalar <math>\lambda \in \mathbb{C}\setminus \{0\} </math> mit <math>\lambda\cdot q(z)=\lambda\cdot c_0\in A</math> Die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}:=\{z\in A\, : \, q(z)=c_0 \}</math> kann sich aber bei der Multiplikation mit einem Element <math>c\in A\setminus \{0_{\!\!_A}\}</math> aus der Algebra verändern (siehe Beispiel - [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Nullstellen-Inversen-Transformation#Loesungsmenge|Veränderung der Lösungsmenge]]) ==== Schritt 5.1 - Multiplikation mit invertierbaren Elementen ==== Es bleibt also zu zeigen, dass sich die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}:=\{z\in A\, : \, q(z)=0_{\!\!_A} \}</math> des polynomiale Nullstellenproblem <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math> nicht von der Lösungsmenge <math>\widehat{\mathbb{L}}:=\{z\in A\, : \, p(z)\cdot z^m =e_{\!\!_A} \}</math> des polynomiales Inversenproblem <math>p(z)\cdot z^m = e_{\!\!_A}</math> unterscheidet. ==== Schritt 5.2 - Multiplikation mit invertierbaren Elementen ==== Es gilt immer, dass für beliebige polynomiale Terme aus <math>q(z)=c_0</math> und beliebige <math>c\in A</math> auch <math>c\cdot q(z)=c \cdot c_0</math> gilt. Dies gilt als insbesondere für <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math> und <math>c:=q_0^{-1}</math>. Danach kann mit der Regel ''(AddL)'' aus Schritt 5 das neutrale Element der Multiplkation auf beiden Seiten addieren. Damit folgt aus <math>z\in\mathbb{L}</math>, dass auch <math>z\in \widehat{\mathbb{L}}</math> gilt und man erhält man die folgende Teilmengenbeziehung: :<math> \underbrace{\big\{z\in A\, : \, q(z)=0_{\!\!_A} \big\}}_{=\mathbb{L}} \ \subseteq \ \underbrace{\big\{z\in A\, : \, p(z)\cdot z^m =e_{\!\!_A} \big\}}_{=\widehat{\mathbb{L}}} </math> ==== Schritt 5.3 - Koeffizientendefinition des Polynoms nutzen ==== Sei nun <math>z\in \widehat{\mathbb{L}}</math> mit <math>p(z)\cdot z^m =e_{\!\!_A}</math> beliebig gewählt. Dabei gilt folgende Gleichung: :<math> 0_{\!\!_A} = p(z)\cdot z^m - e_{\!\!_A} =p(z)\cdot z^m -q_0^{-1}\cdot q_0 </math> Dabei ist <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math> das lösbare Nullstellenproblem, deren Koeffizienten für <math>p(z) = \sum_{k=0}^{n-m} \underbrace{-q_0^{-1}\cdot q_{k+m}}_{=p_{k}} \cdot z^k </math> verwendet werden. ==== Schritt 5.4 - Invertierbarkeit der Konstanten nutzen ==== Da <math>q_0\in \mathcal{G}(A)</math> ein multiplikatives Inverses Element besitzt, gilt auch <math>-q_0\in \mathcal{G}(A)</math>. Wählt man nun eine beliebige Lösung <math>z\in \widehat{\mathbb{L}}</math> der der Gleichung <math> 0_{\!\!_A} = p(z)\cdot z^m - e_{\!\!_A} </math>. Durch Multiplikation der Gleichung mit <math>-q_0</math> bleibt <math>z\in \widehat{\mathbb{L}}</math> weiterhin Lösung der Gleichung. ==== Schritt 5.5 - Multiplikation mit invertierbaren Elementen ==== Durch Einsetzen erhält man :<math> -q_0\cdot 0_{\!\!_A} = -q_0\cdot \big( p(z)\cdot z^m - e_{\!\!_A} \big) =-q_0\cdot p(z)\cdot z^m + q_0 </math> und zusammen mit der Definition von <math>p</math> das polynomiale Nullstellenproblem <math>q(z)=0_{\!\!_A} </math>: :<math> -q_0\cdot p(z) \cdot z^m + q_0= \underbrace{\left( \sum_{k=0}^{n-m} \underbrace{-q_0\cdot (-q_0^{-1})\cdot q_{k+m}}_{=q_{k+m}} \cdot z^{k+m} \right) + q_0}_{ = q(z)} </math> ==== Schritt 5.6 - Übereinstimmung der Lösungsmengen ==== Damit gilt auch die umgekehrte Inklusion <math> \mathbb{L} \ \supseteq \ \widehat{\mathbb{L}} </math> und mit Schritt 5.3 zusammen erhält man: :<math> \mathbb{L} \ = \ \widehat{\mathbb{L}} </math> Insgesamt stimmen also die Lösungsmengen für das Nullstellenproblem <math> \mathbb{L} </math> und die Lösungsmenge für das Inversenproblem <math>\widehat{\mathbb{L}}</math> überein. <math>\quad \Box</math> <span id="Loesungsmenge"></span> == Beispiel - Veränderung der Lösungsmenge durch Multiplikation == Das Beispiel behandelt ein Nullstellenproblem <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math> vom Grad 1 und es wird gezeigt, dass sich durch Multiplikation der Gleichung mit einem Element <math>a\in A\setminus \{0_{\!\!_A} \}</math> die Lösungsmenge von <math>q(z)=0_{\!\!_A}</math> zu <math>a\cdot q(z)=a\cdot 0_{\!\!_A} = 0_{\!\!_A}</math> verändert. === Teilaspekte === Insgesamt werden dabei in einer Algebra <math>A</math> der quadratischen <math>2\times 2</math>-Matrizen * Nullteiler betrachtet, * Lösungsmenge von <math> q(z)= q_1 \cdot z = 0_{\!\!_A} </math> * Lösungsmenge von <math> a \cdot q_1 \cdot z = 0_{\!\!_A} </math> === Verknüfungen in der Algebra === Bzgl. der Algebra <math>A</math> betrachtet man die ''Polynomalgebra'' <math> A[t] </math>, wobei die Polynome <math>p\in A </math> Koeffizienten aus der Algebra der <math> 2 \times 2 </math>-Matrizen über den komplexen Zahlen <math> \mathbb{C} </math> besitzen. Die Addition der Matrizen erfolgt komponentenweise und die Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar <math>\lambda \in \mathbb{C}</math> wird analog zum Vektorraum <math>\mathbb{C}^n</math> komponentweise gestreckt. Die Multiplikation in <math>A</math> ist die Matrixmultiplikation als innere Verknüpfung. Die Multiplikation ist nicht kommutativ. === Matrizenalgebra === Die Algebra <math>A</math> besteht aus quadratischen Matrizen, damit die Matrixmultiplikation eine innere Verknüpfung in der :<math> A = Mat(2\times 2 , \mathbb{C}) = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \mid a,b,c,d \in \mathbb{C} \right\} </math> ==== Addition - Matrixalgebra ==== Die Addition und Multiplikation in <math> A[t] </math> sind wie folgt definiert: :<math> \begin{pmatrix} a_1 & b_1 \\ c_1 & d_1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a_2 & b_2 \\ c_2 & d_2 \end{pmatrix} := \begin{pmatrix} a_1+a_2 & b_1+b_2 \\ c_1+c_2 & d_1+d_2 \end{pmatrix} </math> ==== Multiplikation mit Skalar - Matrixalgebra ==== Multiplikation mit einem Skalar <math> \lambda \in \mathbb{C}</math> erfolgt komponentenweise: :<math> \lambda \cdot \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} := \begin{pmatrix} \lambda \cdot a & \lambda \cdot b \\ \lambda \cdot c & \lambda \cdot d \end{pmatrix} </math> ==== Multiplikation in der Matrixalgebra ==== Matrixmultiplikation ist die innere Verknüpfung der Form: :<math> \begin{array}{rccl} \cdot : & A \times A & \rightarrow & A \\ & \left( \begin{pmatrix} a_1 & b_1 \\ c_1 & d_1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} a_2 & b_2 \\ c_2 & d_2 \end{pmatrix} \right) & \mapsto & \begin{pmatrix} a_1a_2 + b_1c_2 & a_1b_2+b_1d_2 \\ c_1a_2+d_1c_2 & c_1b_2+d_1d_2 \end{pmatrix} \end{array} </math> === Polynomalgebra mit Matrizenal als Koeffizienten === Die Polynomalgebra <math> A[t] </math> besteht aus Polynomen der Form: :<math> q(t) = \sum_{k=0}^n q_k\cdot t^k, \quad \text{mit } q_k \in A </math> Die Multiplikation von Polynomen ist die Cauchy-Multiplikation in der [[Polynomalgebra]], wobei die Verknüfungen mit den Koeffizienten bereits über die Matrizenalgebra definert sind (siehe [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Nullstellen-Inversen-Transformation#Matrizenalgebra|Matrizenalgebra]]) ==== Aufgabe für Studierende ==== Verwenden Sie Ihre Vorwissen aus der Linearen Algebra und dem [[w:de:Satz_von_Cayley-Hamilton|Satz von Caley-Hamilton]]. Erläutern Sie, welche Polynome verwendet werden, bei denen man Matrizen <math>x\in A</math> als Argumente für <math>p(x)</math> verwendet werden (siehe [[w:de:charakteristisches Polynom|charakteristische Polynom]]). Welche Unterschiede bestehen zu der hier verwendeten Polynomalgebra? <span id="BeispielNT"></span> === Schritt 1 - Konstruktion von Nullteilern === In <math> Mat(2\times 2, \mathbb{C}) </math> gibt es '''Nullteiler''', d.h. Matrizen <math> a, q_1 \neq 0_{\!\!_A} </math>, sodass <math> a\cdot q_1 = 0_{\!\!_A} </math>, aber <math> q_1 \neq 0_{\!\!_A} </math>, <math> a \neq 0_{\!\!_A} </math>. In diesem Beispiel wählt man die folgenden Matrizen: :<math> q_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad a = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} </math> === Schritt 2 - Nullteilereigenschaft === Mit der Definition der obigen Matrizen gilt dann mit der Definition der Matrixmultiplikation: :<math> q_1 \cdot a = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = 0_{\!\!_A} </math> Die Nullteilereigenschaft kommutiert in diesem Fall :<math> a \cdot q_1 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = 0_{\!\!_A} </math> Also: <math> q_1 \cdot a = 0_{\!\!_A} </math> und <math> a \cdot q_1 = 0_{\!\!_A} </math>. In diesem Fall '''kommutiert''' die Multiplikation bzgl. [[Nullteiler|Linksnullteiler]] mit seinem "komplementären" [[Nullteiler|Rechtsnullteiler]]. === Schritt 3 - Anzahl komplementärer Nullteiler === Ein komplementärer [[Nullteiler|Rechtsnullteiler]] <math>a</math> zu ein [[Nullteiler|Linksnullteiler]] <math>q_0</math> ist nicht eindeutig bestimmt. :<math> q_1 \cdot b = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 4 & 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = 0_{\!\!_A} </math> Allgemein sind die folgenden Matrizen komplementäre Rechtsnullteiler zu <math>q_1</math>: :<math> b = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ b_1 & b_2 \end{pmatrix} \neq 0_{\!\!_A} </math> === Schritt 2 - Nicht-kommutative Nullteiler === Wählt man nun für die Matrix <math>a\in A</math> eine: :<math> q_1 = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad a = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} </math> ==== Schritt 2.1 - Berechnung der Matrixmultiplikation ==== Berechne Nullteilereigenschaft: :<math> a \cdot q_1 = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = 0_{\!\!_A} </math> Vertauscht man die beiden Faktoren erhält man die folgende Matrix: :<math> q_1 \cdot a = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 6 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \neq 0_A </math> ==== Schritt 2.2 - Nullteilereigenschaft - Faktorentausch ==== Also gilt mit Schritt 2.1, dass <math> a \cdot q_1 = 0_{\!\!_A} </math> erfüllt ist, aber nach Faktorentausch das Produkt <math> q_1 \cdot a \neq 0_{\!\!_A} </math> keine [[Nullteiler|Nullteilereigenschaft]] zeigt. Die [[Nullteiler|Nullteilereigenschaft]] ist nicht notwendigerweise kommutativ. ==== Bemerkung 2.3 - Bezeichnung Nullteiler ==== Die Unterschiede zeigen sich auch in der Bezeichnung, denn in Schritt 2.1 ist <math> q_1 </math> ein '''rechter Nullteiler''' von <math> a </math>, aber <math> a </math> ist '''kein linker Nullteiler''' von <math> q_1 </math>, da <math> q_1 \cdot a \neq 0 </math> gilt. === Schritt 3 - Polynom 1. Grades === Man betrachtet nun eine Nullstellenproblem mit einem einfachen Polynom vom Grad 1. Dieses Beispiel wurde gewählt, damit man die Veränderung der Lösungen bei Multiplikation einer Gleichung mit einem von <math>0_{\!\!_A}</math> verschiedenen Faktor <math>a\in A \subset A[t]</math> zu untersuchen. Dabei wird <math>A \subset A[t]</math> aufgefasst, wobei ein Element <math>a\in A </math> als konstantes Polynom in <math>A[t]</math> aufgefasst wird. ==== Schritt 3.1 - Formulierung des Nullstellenproblems ==== Sei <math> q(t) = q_1 \cdot t \in A[t] </math> ein Polynom vom Grad 1 mit dem Koeffizient <math> q_1 \in A</math> aus das Algebra der <math>2\times 2</math>-Matrizen. Das Nullstellenproblem wird durch die folgende einfache Gleichung formuliert: :<math> q(t)=q_1 \cdot t = 0_{\!\!_A} </math> ==== Schritt 3.2 - Lösungsmenge des Nullstellenproblems ==== Die Lösungsmenge der Gleichung <math> p_1 \cdot t = 0_{\!\!_A} </math> ist nun eine Teilmenge der Matrizenalgebra <math>A</math>, weil man <math> t\in A</math>, die die obige Gleichung lösen. Man wählt nun für die Gleichung die folgende Variablendefinitionen aus Schritt 2.2 : :<math> q_1 = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad \mathbb{L} = \{t\in A \ : \ q_1 \cdot t = 0_{\!\!_A} \} </math> Dabei ist <math>0_{\!\!_A}</math> die quadratische Nullmatrix aus <math>A</math> und auch <math>p_1</math> und <math>t</math> sind ebenfalls quadratische <math>2\times 2</math>-Matrizen. ==== Augabe 3.3 - Lösungsmenge bestimmen ==== Bestimmen Sie die Lösungsmenge des Nullstellenproblems aus Schritt 3.2 mit algebraischen Umformungen: :<math> t = \begin{pmatrix} t_1 & t_2 \\ t_3 & t_4 \end{pmatrix} \in A </math> ==== Schritt 3.4 - Multiplikation des Nullstellenproblems mit Faktor==== Als Faktor wählt man nun die folgende Matrix aus <math>A</math>: :<math> a = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} , \quad \widetilde{\mathbb{L}} = \{t\in A \ : \ a\cdot q_1 \cdot t = a\cdot 0_{\!\!_A} = 0_{\!\!_A} \} </math> === Schritt 4 - Formale Variablen === Die Polynome <math> q_1 \cdot t = 0_{\!\!_A}</math> bzw. <math> a\cdot q_1 \cdot t = a\cdot 0_{\!\!_A}</math> besitzt mit <math>t</math> eigentlich eine formale Variable ist. Das Polynom wird in obigen Beispiel mit <math>t\in A</math> ausgewertet. Möglich ist aber auch, dass die formale Variable mit Skalaren <math>t\in \mathbb{C}</math> ausgewertet wird. Die erfolgt z.B. bei [[Konvexkombination]]en mit <math>t\in [0,1]</math> oder allgemeiner <math>t\in \mathbb{C}</math>, wobei die Koeffizienten <math>p_k</math> des Polynoms wieder <math>2\times 2</math>-Matrizen sind. <math>p(t)\in A</math> ist dann wieder <math>2\times 2</math>-Matrix, die als Linearkombination der Matrizen polynomial berechnet wird. ==== Bemerkung 4.1 - Lösungsmenge ==== Die konkrete Bindung der formalen Variable <math>t</math> bestimmt auch die Grundmenge aus der die Lösungsmenge stammt. In dem hier gewählt Beispiel sucht man nach Matrizen <math>t\in A</math>, die eine Gleichung <math> q(t) = 0_{\!\!_A} </math> zu einer wahren Aussage machen. Damit ist die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}</math> der Gleichung für Polynome <math>q\in A[t] </math> eine Teilmenge von <math>A</math>. ==== Schritt 4.2 - Unterschiede in der Lösungsmenge ==== Aus der reellen und komplexen Analysis ist man gewohnt, Gleichungen mit von 0 verschiedenen Faktoren <math>a\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> zu multiplizieren, da diese Umformung in <math>\mathbb{C}</math> bzw. <math>\mathbb{R}</math> eine Äquivalenzumformung darstellt und damit die Lösungs einer Gleichung nicht verändert. In dem hier gewählten Bespiel ist das '''nicht der Fall''', da <math> q_1 \neq 0_{\!\!_A} </math> zwar nicht der Nullvektor ist, aber algebraisch die [[Nullteiler|Nullteilereigenschaft]] besitzt und damit Lösungsmenge hier verändert. === Schritt 4.3 - Bestimmung der Lösungsmengen === Man betrachtet die beiden folgenden Gleichungen in der Algebra <math> A </math>: * '''(L1)''' <math> q_1 \cdot t = 0_{\!\!_A} </math> für <math> t \in A </math> * '''(L2)''' <math> a \cdot q_1 \cdot t = 0_{\!\!_A} </math> für <math> t \in A </math> mit <math> p_1 </math> und <math> a </math> wie oben gewählt. ==== Schritt 4.3.1 - Lösungsmenge von Gleichung L1 ==== Man setzt zu dem gegebenen <math>q_1</math> die formale Variable <math>t</math> als beliebige <math>2\times 2</math>-Matrix mit den Einträgen <math>t_1,t_2,t_3,t_4\in \mathbb{C}</math>: :<math> q_1 = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad t = \begin{pmatrix} t_1 & t_2 \\ t_3 & t_4 \end{pmatrix} \in A </math> Dann liefert das Matrixprodukt mit <math>t\in A</math>: :<math> q_1 \cdot t = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} t_1 & t_2 \\ t_3 & t_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} t_1 & t_2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = 0_{\!\!_A} </math> ==== Schritt 4.3.2 - Nullteilereigenschaft für L1 ==== Damit das Matrixprodukt aus Schritt 4.3.1 die Nullmatrix <math> 0_{\!\!_A} </math> ergibt, muss <math>t_1=0</math> und <math>t_2=0</math> erfüllt sein. Damit besteht die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}_1</math> aus rechten komplementären [[Nullteiler|Nullteilern]] zu <math>q_1</math> und der und zumindest für eine der beiden Variable Nullmatrix <math> 0_{\!\!_A} </math>. Damit ist <math>\mathbb{L}</math> wie folgt definiert: :<math>\mathbb{L} := \left\{ \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ t_3 & t_4 \end{pmatrix} \ : \ t_1,t_2\in \mathbb{C} \right\} =\{ t\in A \ : \ q_1 \cdot t = 0_{\!\!_A} \} </math> ==== Schritt 4.3.3 - Lösungsmenge von Gleichung L2 ==== Man betrachtet nun die folgende Gleichung (L2) <math> a \cdot q_1 \cdot t = 0_{\!\!_A} </math> und sucht nach Lösungen <math> t \in A </math>, die die Gleichung <math> a\cdot (q_1 \cdot t) = a\cdot 0_{\!\!_A} = 0_{\!\!_A} </math> zu einer wahren Aussage machen. Dabei setzt man: :<math> a:=\begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \neq 0_{\!\!_A} </math> ==== Schritt 4.3.4 - Nullteilereigenschaft und Assoziativität bzgl L2 ==== Nach der [[Nullteiler|Nullteilereigenschaft]] bzgl. <math>q_1</math> und <math>a</math> (siehe Schritt 3) gilt mit der Assoziativität der Multiplikation in der topologischen Algebra folgende Gleichung: :<math> a\cdot (q_1 \cdot t) = \underbrace{(a\cdot q_1)}_{= 0_{\!\!_A} } \cdot t = 0_{\!\!_A} \cdot t = 0_{\!\!_A} </math> Diese Gleichung ist im Gegensatz zur Gleichung <math>q_1 \cdot t = 0_{\!\!_A} </math> für alle Matrizen <math>t\in A</math> lösbar und die Lösungsmenge <math>\widehat{\mathbb{L}} = A \neq \mathbb{L}</math>. Die Lösungsmenge der Gleichung <math> q_1 \cdot t = 0_{\!\!_A} </math> und <math> a \cdot q_1 \cdot t = 0_{\!\!_A} </math> stimmen also nicht überein. ==== Schritt 4.3.5 - Beispiel Einheitsmatrix ==== An einem Gegenbeispiel <math>t=e\in A</math>, nämlich der Einheitsmatrix aus <math>A</math>, kann man direkt sehen, dass die Lösungsmengen <math>\widehat{\mathbb{L}}</math> und <math>\mathbb{L}</math> verschieden sind, denn es gilt: :<math> e = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \quad \quad q_1 \cdot t = q_1 \neq 0_{\!\!_A} </math> und damit gilt <math>e\notin \mathbb{L}</math>. Aber <math>e\in \widehat{\mathbb{L}}</math> liegt in der zweiten Lösungsmenge mit :<math> a\cdot (q_1 \cdot e) = \underbrace{(a\cdot q_1)}_{= 0_{\!\!_A}} \cdot e = 0_{\!\!_A} \cdot e = 0_{\!\!_A} </math> === Schritt 4.4 - Lösungsmengen === Insgesamt wurde gezeigt, dass sich die Lösungsmengen bei der Multiplikation mit einem Element <math>a\neq 0_{\!\!_A}</math> die Lösungsmenge einer Gleichung verändern können. Ist <math>a</math> allerdings invertierbar, dann kann man (wie im obigen Lemma verwendet) Gleichung mit <math>a</math> multiplizieren, ohne dass sich die Lösungsmenge verändert. == Anwendungsbeispiele == In den reellen und komplexen Zahlen lassen sich mit der Aussage des Lemmas alle lösbaren polynomialen Nullstellenprobleme <math>q(z)=0</math> mit <math>q_0\neq 0</math> in ein polynomiales Inversenproblem <math>p(z)\cdot z^m = 1</math> überführen. Dies liegt an der Eigenschaft, dass <math>(\mathbb{R}\!\setminus \!\{0\},\cdot)</math> bzw. <math>(\mathbb{C}\!\setminus \!\{0\},\cdot)</math> eine multiplikative Gruppe ist und damit ein Element <math>q_0\neq 0</math> auch invertierbar ist. Es gilt also <math>q_0\in \mathcal{G}(\mathbb{R})</math> bzw. <math>q_0\in \mathcal{G}(\mathbb{C})</math>. === Bemerkung - Invertierbarkeit in topologischen Algebren === Die Eigenschaft, dass ein Element <math>q_0\neq 0</math> aus einer Algebra <math>A</math> auch invertierbar ist (also <math>q_0\in \mathcal{G}(A)</math>), gilt in beliebigen [[topologische Algebra|topologischen Algebren]] nicht. Algebraische Eigenschaften (wie z.B. ein [[Nullteiler]] zu sein) oder auch topologische Eigenschaften (z.B. wenn <math>q_0\in \mathcal{TNT}(A)</math> ein [[topologischer Nullteiler]] ist), verhindern, dass ein Element nicht nur in <math>A</math> sondern sogar in jeder [[Algebraerweiterung]] <math>B</math> von <math>A</math> nicht invertierbar sein kann. == Siehe auch == * [[Konvexkombination]] * [[Nullteiler]] * [[topologische Algebra]] * [[topologische Nullteiler]] * [[Topologischer Raum]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionalanalysis]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Nullstellen-Inversen-Transformation&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Nullstellen-Inversen-Transformation&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Nullstellen-Inversen-Transformation&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Nullstellen-Inversen-Transformation&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Nullstellen-Inversen-Transformation https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Nullstellen-Inversen-Transformation] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Nullstellen-Inversen-Transformation Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Nullstellen-Inversen-Transformation * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Nullstellen-Inversen-Transformation&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Nullstellen-Inversen-Transformation&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 8nrf0ok2h7ge8sim521ysk96hlxsilg 106 173288 1118842 1118428 2026-11-04T10:57:48Z ~2026-58656-88 42065 1118842 wikitext text/x-wiki Marketing & Verkauf: Lilienriecher Finanzen & Controlling: BVBLover09 bin für die Finanzen und das Controlling zuständig, weil ich bei Zahlen und Finanzen so leidenschaftlich bin wie die Gelbe Wand bei Heimspielen. Personal & Beschaffung: Onkel Jafar (Barca>Real) Management & IT: Mansir abdu ikeg1k5jqbxlqz1ua6vr4w2r39w07lm 106 173348 1118797 1118443 2026-11-03T15:10:12Z Bert Niehaus 20843 /* Beispiele - rlog-Berechnung */ 1118797 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird in Verwendung einer speziellen Funktion <math>rlog(z)</math> („recursive logarithm“) eingeführt, die zählt, wie oft man der rekursiv einen Logarithmus-Zweig auf ein gegebenes <math>z\in \mathbb{C}</math> anwenden kann, bis der Wert 0 erreicht wird. Diese Funktion ist nicht die übliche komplexwertige Logarithmusfunktion, sondern eine abstrakte, diskrete Zählfunktion, die die rekursive Tiefe des Logarithmus in Bezug mit Werten in <math>\mathbb{N}_0 \cup \{+\infty\}</math> beschreibt. === Ziel der Lerneinheit === * Einführung in die Funktion <math> \mathrm{rlog}: \mathbb{C} \to \mathbb{N}_0 \cup \{+\infty\} </math> * Verständnis der rekursiven Anwendung eines Logarithmus-Zweigs auf eine komplexe Zahl * Bestimmung der rekursiven Tiefe, bis der Logarithmus 0 wird und der Abhängigkeit von der betragsmäßigen Größe der Zahl <math>|z| > 1 </math> * Beweis, dass <math> \mathrm{rlog}(z) = +\infty </math> für bestimmte <math> z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> gilt. === Vorüberlegungen rlog-Funktion === Für die <math>0\in \mathbb{C} </math> ist kein Zweig des Logarithmus definiert. Eine rekursive Anwendung des Logarithmus also terminiert, wenn man den Logarithmus von 1 bildet. Für die Definition der <math>rlog</math>-Funktion muss man allerdings noch einige Vorüberlegungen anstellen, da mit der Wahl des Gebietes <math>G</math>, der imaginären Periodizitätskonstante <math>2\pi k</math> mit <math>k\in \mathbb{Z}</math> und der [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus]] eine Vielzahl von Zweigen möglich sind. === Algebraisch vervollständigter Logarithmus === Für die Definition eines Zweiges des komplexen Logarithmus gibt es unterschiedliche Möglichkeiten in Abhängigkeit und des [[einfach zusammenhängend]]en [[Gebiet (Mathematik)|Gebietes]] <math>G\setminus \{0\} </math>, dass für <math> z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus|algebraisch vervollständigt]] wird. Für die algebraische Vervollständigung des Logarithmus verlangt man ferner, dass <math>\log_G^\ast(1)=0</math> ist. Im Allgemeinen muss 1 nicht notwendigerweise im Definitionsbereich des Zweiges liegen. Dies ist z.B. beim [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweig]] des [[komplexer Logarithmus|komplexen Logarthmus der Fall]], weil dort die positive reelle Achse mit 0 aus dem Definitionsbereich entfernt wurde. === Argumentfunktion in Abhängigkeit vom Gebiet === Die Argumentfunktion <math>\arg_{_G}</math> erhält im Folgenden den Index <math>G</math>, weil auch diese von dem gewählten [[einfach zusammenhängend]]en Gebiet <math>G</math> abhängt. Im folgende Beispiel wird der :<math> \log_{_G}(z) = \ln|z| + i \cdot \arg_{_G}(z) + 2\pi i k, \quad k \in \mathbb{Z} </math> Die Argumentfunktion <math>\arg_{_G}</math> soll dabei stetig auf <math>G</math> sein. === Argumentfunktion und geometrische Form vom Gebiet === Bei einer geschlitzten Ebene (z.B. beim [[Hauptzweig des Logarithmus]]) nimmt eine wie obige Argumentfunktion <math>\arg_{_G}</math> nur Werte von aus einem Intervall <math> (-\pi, \pi) </math> <math>(c,c+2\pi] </math>. Ändert man die geometrische Form des Gebietes <math>G</math> beispielsweise von einer geschlitzten <math>G</math> Ebene für den [[Hauptzweig des Logarithmus]] zu ein Gebiet <math>\widetilde{G}</math> über, beim die Bildpunkte der [[w:de:archimedischen Spirale|archimedische Spirale]] entfernt wurden, dann ist der reellwertige Bildbereich für die zugehörige Argumentfunktion <math>\arg_{_\widetilde{G}}</math> des [[Zweige des Logarithmus|Zweiges des Logarthmus]] nicht mehr reellwertig beschränkt. === Aufgabe - Unbeschränktheit der Argumentfunktion === * Zeigen Sie, dass die reellwertige Argumentfunktion <math>\arg_{_\widetilde{G}}</math> für das archimedische Spiralgebiet <math>\widetilde{G}</math> in <math>\mathbb{C}</math> [[einfach zusammenhängend]] ist. * Zeigen Sie, dass die Argumentfunktion des archimedischen Spiralgebietes <math>\widetilde{G}</math> unbeschränkt ist. '''Hinweis:''' Für den Nachweis "einfachen zusammenhängend" unterscheiden Sie zwischen Bildpunkte mit <math>|z|\leq 1 </math> und <math>|z| > 1 </math>. Erzeugen Sie Wege zwischen zwei beliebigen Punkten <math>z_1,z_2 \in \widetilde{G}</math> über die Definition des Weges <math>\widetilde{\gamma\,}:[0,+\infty) \to \mathbb{C}</math> mit <math>\widetilde{\gamma\,}(t):=t\cdot e^{it}</math>. === Imaginäre Periodizitätskonstante === Die imaginäre Periodizitätskonstante <math>2\pi i k </math> mit <math> k \in \mathbb{Z}</math> aus der obigen Definition ist für beliebige [[Zweige des Logarithmus]]. (z. B. der Hauptzweig <math> \log^*_G </math>) wählt eine spezifische Argument-Branch, z. B. <math> \arg(z) \in (-\pi, \pi] </math>. === Algebraische Vervollständigung === Man betrachtet die Definition der <math>rlog</math>-Funktion eine feste Wahl eines Zweigs und [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus|vervollständigt diesen algebraisch]], damit dieser auf ganz <math>\mathbb{C}\setminus \{0\}</math>. Man verlangt für die [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus]] wie beim reellen Logarthmus, dass <math>\log_{_G}(1)=0</math> erfüllt ist. Die muss im allgemeinen Fall eigentlich nicht gelten, da auch <math>\log_{_G}(1)=0+2\pi k</math> mit <math>k\in \mathbb{Z}</math> und der Gleichung <math>e^{2\pi k}=1</math> möglich werden. Diese führt auch zu einer eindeutigen maginären Periodizitätskonstante <math>k</math> für die algebraische Vervollständigung des Zweiges. :<math> \log^\ast_G: \mathbb{C} \setminus \{0\} \to \mathbb{C}, \quad z \mapsto \ln|z| + i \arg_{_G}(z) </math> === Normalisierung und Surjektivität === Diese [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus|algebraisch vervollständigten Zweige des Logarithmus]] sind '''nicht surjektiv''' auf <math> \mathbb{C} </math>, aber liefert einen Logarithmus für alle <math> z \neq 0 </math>. Die Normalisierung <math>\log^*_G(1)=0</math> wird in Analogie zum reellen Logarithmus gewählt. Nun kann man die <math>rlog</math>-Funktion definieren, da diese angibt, wie oft eine rekursive Anwendung eines algebraisch vervollständigten Zweiges des Logarithmus <math>\log^*_G</math> mit <math>\log^*_G(1)=0</math> möglich ist. ==Definition rlog-Funktion == Sei <math> \log^*_G: \mathbb{C} \setminus \{0\} \to \mathbb{C} </math> ein fest gewählter Zweig des komplexen Logarithmus mit normalisierter algebraischer Vervollständigung auf <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> (d.h. <math>\log^*_G(1)=0</math>). Die Funktion <math> \mathrm{rlog}: \mathbb{C} \setminus \{0\} \to \mathbb{N} \cup \{+\infty\} </math> ist wie folgt definiert durch: :<math> \mathrm{rlog}(z) = \begin{cases} 0, & \text{falls } z = 0 \\ n , & \text{falls } z_n\neq 0 \text{ und } \log^*_G(z_{n}) = 0 \\ +\infty, & \text{falls } z_n\neq 0 \text{ für alle } n\in \mathbb{N} \end{cases} </math> Dabei sei <math>z_0:=z</math> und <math>z_{n+1}:=\log^*_G(z_n)</math> definiert, falls <math>\log^*_G(z_{n-1}) \neq 0 </math> und <math>\log^*_G(z_{n}) = 0 </math>. === Bemerkung - Endlichkeit des rlog-Wertes === Die Funktion liefert nur einen endlichen Wert als natürliche Zahl <math>n</math>, wenn man nach <math>n</math> rekursiven Anwendung <math>z:=z_0</math> und <math>z_{n+1}:=\log^*_G(z_n)</math> die Werte <math>\log^*_G(z_{n-1}) \neq 0 </math> und <math>\log^*_G(z_{n}) = 0 </math> gelten. Es ist möglich, dass jede weitere Iteration immer noch in <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> bleibt. Dann ist der Fall <math>\log^*_G(z) = +\infty </math> möglich. Diese Aspekt wird in dieser Lerneinheit weiter untersucht, da man in einem solchen Fall für algebraische Fragen immer von der Existenz einer weiteren rekursiven Anwendung des Logarithmus ausgehen kann. === Bemerkung - rekursive Definition von rlog === Eine rekursive Definition der rlog-Funktion mit <math>rlog(0):=0</math> ist und für <math>z\neq 0</math> setzt man: :<math> \mathrm{rlog}(z) := 1 + \mathrm{rlog}(\log^*_G(z)), \text{ falls } \log^*_G(z_n) \neq 0 </math> Der Fall <math></math> tritt auch, wenn für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> gilt: :<math> \underbrace{\log^*_G \circ \ldots \circ \log^*_G}_{n \mbox{-fach}}(z) \neq 0 </math> == Beispiele - rlog-Berechnung == Im folgenden wird die [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus|algebraische Vervollständigung]] für den [[negativer Hauptzweig des Logarithmus]] <math>\log_G^\ast : \mathbb{C}\setminus \{0\} \to \mathbb{C}</math> mit <math>\log_G^\ast (\mathbb{C}\setminus \{0\} ) = \mathbb{D_1}:= \mathbb{R} + i\cdot [0,2\pi) </math> verwendet. Die Abbildung <math>\log_G^\ast : \mathbb{C}\setminus \{0\} \to \mathbb{D}_1</math> ist bijektiv. === Beispiel 1 - rlog der Eulersche Zahl === Betrachte man den negativen algebraisch vervollständigten Hauptzweig, so erhält man für * <math> \log^\ast_G(e) = \ln(|e|) + i \underbrace{\arg_G^\ast(e)}_{=0} = 1 + i \cdot 0 = 1 </math> * <math> \log^*_G(1) = \ln(1) + i \cdot 0 = 0 </math> Also gilt <math> \mathrm{rlog}(e) = 1 + \mathrm{rlog}(1) = 1 + 1 = 2 </math> und man kann auf <math>e</math> zweimal rekursiv den Logarithmus anwenden. === Beispiel 2 - exp(e) === Da <math>exp(e)=e^e\in \mathbb{R}</math> gilt: * <math> \log^*_G(e^e) = \ln(e^e) = e </math> * <math> \log^*_G(e) = 1 </math> * <math> \log^*_G(1) = 0 </math> Also gilt <math> \mathrm{rlog}(e^e) = 1 + \mathrm{rlog}(e) = 1 + 2 = 3 </math> zusammen mit Beispiel 1. === Beispiel 3: <math> z = e^{e^e} </math> === Für weitere rekursive Anwendungen der Exponentialfunktion erhält man analog * <math> \log^*_G(z) = e^e </math> * <math> \log^*_G(e^e) = e </math> * <math> \log^*_G(e) = 1 </math> * <math> \log^*_G(1) = 0 </math> Also <math> \mathrm{rlog}(z) = 1 + 3 = 4 </math> == Siehe auch == * [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus]] * [[negativer Hauptzweig des Logarithmus]] rbv4nb9pgs423cplm14uqekvv9sz7as 1118798 1118797 2026-11-03T15:27:42Z Bert Niehaus 20843 /* Beispiel 3: z = e^{e^e} */ 1118798 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird in Verwendung einer speziellen Funktion <math>rlog(z)</math> („recursive logarithm“) eingeführt, die zählt, wie oft man der rekursiv einen Logarithmus-Zweig auf ein gegebenes <math>z\in \mathbb{C}</math> anwenden kann, bis der Wert 0 erreicht wird. Diese Funktion ist nicht die übliche komplexwertige Logarithmusfunktion, sondern eine abstrakte, diskrete Zählfunktion, die die rekursive Tiefe des Logarithmus in Bezug mit Werten in <math>\mathbb{N}_0 \cup \{+\infty\}</math> beschreibt. === Ziel der Lerneinheit === * Einführung in die Funktion <math> \mathrm{rlog}: \mathbb{C} \to \mathbb{N}_0 \cup \{+\infty\} </math> * Verständnis der rekursiven Anwendung eines Logarithmus-Zweigs auf eine komplexe Zahl * Bestimmung der rekursiven Tiefe, bis der Logarithmus 0 wird und der Abhängigkeit von der betragsmäßigen Größe der Zahl <math>|z| > 1 </math> * Beweis, dass <math> \mathrm{rlog}(z) = +\infty </math> für bestimmte <math> z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> gilt. === Vorüberlegungen rlog-Funktion === Für die <math>0\in \mathbb{C} </math> ist kein Zweig des Logarithmus definiert. Eine rekursive Anwendung des Logarithmus also terminiert, wenn man den Logarithmus von 1 bildet. Für die Definition der <math>rlog</math>-Funktion muss man allerdings noch einige Vorüberlegungen anstellen, da mit der Wahl des Gebietes <math>G</math>, der imaginären Periodizitätskonstante <math>2\pi k</math> mit <math>k\in \mathbb{Z}</math> und der [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus]] eine Vielzahl von Zweigen möglich sind. === Algebraisch vervollständigter Logarithmus === Für die Definition eines Zweiges des komplexen Logarithmus gibt es unterschiedliche Möglichkeiten in Abhängigkeit und des [[einfach zusammenhängend]]en [[Gebiet (Mathematik)|Gebietes]] <math>G\setminus \{0\} </math>, dass für <math> z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus|algebraisch vervollständigt]] wird. Für die algebraische Vervollständigung des Logarithmus verlangt man ferner, dass <math>\log_G^\ast(1)=0</math> ist. Im Allgemeinen muss 1 nicht notwendigerweise im Definitionsbereich des Zweiges liegen. Dies ist z.B. beim [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweig]] des [[komplexer Logarithmus|komplexen Logarthmus der Fall]], weil dort die positive reelle Achse mit 0 aus dem Definitionsbereich entfernt wurde. === Argumentfunktion in Abhängigkeit vom Gebiet === Die Argumentfunktion <math>\arg_{_G}</math> erhält im Folgenden den Index <math>G</math>, weil auch diese von dem gewählten [[einfach zusammenhängend]]en Gebiet <math>G</math> abhängt. Im folgende Beispiel wird der :<math> \log_{_G}(z) = \ln|z| + i \cdot \arg_{_G}(z) + 2\pi i k, \quad k \in \mathbb{Z} </math> Die Argumentfunktion <math>\arg_{_G}</math> soll dabei stetig auf <math>G</math> sein. === Argumentfunktion und geometrische Form vom Gebiet === Bei einer geschlitzten Ebene (z.B. beim [[Hauptzweig des Logarithmus]]) nimmt eine wie obige Argumentfunktion <math>\arg_{_G}</math> nur Werte von aus einem Intervall <math> (-\pi, \pi) </math> <math>(c,c+2\pi] </math>. Ändert man die geometrische Form des Gebietes <math>G</math> beispielsweise von einer geschlitzten <math>G</math> Ebene für den [[Hauptzweig des Logarithmus]] zu ein Gebiet <math>\widetilde{G}</math> über, beim die Bildpunkte der [[w:de:archimedischen Spirale|archimedische Spirale]] entfernt wurden, dann ist der reellwertige Bildbereich für die zugehörige Argumentfunktion <math>\arg_{_\widetilde{G}}</math> des [[Zweige des Logarithmus|Zweiges des Logarthmus]] nicht mehr reellwertig beschränkt. === Aufgabe - Unbeschränktheit der Argumentfunktion === * Zeigen Sie, dass die reellwertige Argumentfunktion <math>\arg_{_\widetilde{G}}</math> für das archimedische Spiralgebiet <math>\widetilde{G}</math> in <math>\mathbb{C}</math> [[einfach zusammenhängend]] ist. * Zeigen Sie, dass die Argumentfunktion des archimedischen Spiralgebietes <math>\widetilde{G}</math> unbeschränkt ist. '''Hinweis:''' Für den Nachweis "einfachen zusammenhängend" unterscheiden Sie zwischen Bildpunkte mit <math>|z|\leq 1 </math> und <math>|z| > 1 </math>. Erzeugen Sie Wege zwischen zwei beliebigen Punkten <math>z_1,z_2 \in \widetilde{G}</math> über die Definition des Weges <math>\widetilde{\gamma\,}:[0,+\infty) \to \mathbb{C}</math> mit <math>\widetilde{\gamma\,}(t):=t\cdot e^{it}</math>. === Imaginäre Periodizitätskonstante === Die imaginäre Periodizitätskonstante <math>2\pi i k </math> mit <math> k \in \mathbb{Z}</math> aus der obigen Definition ist für beliebige [[Zweige des Logarithmus]]. (z. B. der Hauptzweig <math> \log^*_G </math>) wählt eine spezifische Argument-Branch, z. B. <math> \arg(z) \in (-\pi, \pi] </math>. === Algebraische Vervollständigung === Man betrachtet die Definition der <math>rlog</math>-Funktion eine feste Wahl eines Zweigs und [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus|vervollständigt diesen algebraisch]], damit dieser auf ganz <math>\mathbb{C}\setminus \{0\}</math>. Man verlangt für die [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus]] wie beim reellen Logarthmus, dass <math>\log_{_G}(1)=0</math> erfüllt ist. Die muss im allgemeinen Fall eigentlich nicht gelten, da auch <math>\log_{_G}(1)=0+2\pi k</math> mit <math>k\in \mathbb{Z}</math> und der Gleichung <math>e^{2\pi k}=1</math> möglich werden. Diese führt auch zu einer eindeutigen maginären Periodizitätskonstante <math>k</math> für die algebraische Vervollständigung des Zweiges. :<math> \log^\ast_G: \mathbb{C} \setminus \{0\} \to \mathbb{C}, \quad z \mapsto \ln|z| + i \arg_{_G}(z) </math> === Normalisierung und Surjektivität === Diese [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus|algebraisch vervollständigten Zweige des Logarithmus]] sind '''nicht surjektiv''' auf <math> \mathbb{C} </math>, aber liefert einen Logarithmus für alle <math> z \neq 0 </math>. Die Normalisierung <math>\log^*_G(1)=0</math> wird in Analogie zum reellen Logarithmus gewählt. Nun kann man die <math>rlog</math>-Funktion definieren, da diese angibt, wie oft eine rekursive Anwendung eines algebraisch vervollständigten Zweiges des Logarithmus <math>\log^*_G</math> mit <math>\log^*_G(1)=0</math> möglich ist. ==Definition rlog-Funktion == Sei <math> \log^*_G: \mathbb{C} \setminus \{0\} \to \mathbb{C} </math> ein fest gewählter Zweig des komplexen Logarithmus mit normalisierter algebraischer Vervollständigung auf <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> (d.h. <math>\log^*_G(1)=0</math>). Die Funktion <math> \mathrm{rlog}: \mathbb{C} \setminus \{0\} \to \mathbb{N} \cup \{+\infty\} </math> ist wie folgt definiert durch: :<math> \mathrm{rlog}(z) = \begin{cases} 0, & \text{falls } z = 0 \\ n , & \text{falls } z_n\neq 0 \text{ und } \log^*_G(z_{n}) = 0 \\ +\infty, & \text{falls } z_n\neq 0 \text{ für alle } n\in \mathbb{N} \end{cases} </math> Dabei sei <math>z_0:=z</math> und <math>z_{n+1}:=\log^*_G(z_n)</math> definiert, falls <math>\log^*_G(z_{n-1}) \neq 0 </math> und <math>\log^*_G(z_{n}) = 0 </math>. === Bemerkung - Endlichkeit des rlog-Wertes === Die Funktion liefert nur einen endlichen Wert als natürliche Zahl <math>n</math>, wenn man nach <math>n</math> rekursiven Anwendung <math>z:=z_0</math> und <math>z_{n+1}:=\log^*_G(z_n)</math> die Werte <math>\log^*_G(z_{n-1}) \neq 0 </math> und <math>\log^*_G(z_{n}) = 0 </math> gelten. Es ist möglich, dass jede weitere Iteration immer noch in <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> bleibt. Dann ist der Fall <math>\log^*_G(z) = +\infty </math> möglich. Diese Aspekt wird in dieser Lerneinheit weiter untersucht, da man in einem solchen Fall für algebraische Fragen immer von der Existenz einer weiteren rekursiven Anwendung des Logarithmus ausgehen kann. === Bemerkung - rekursive Definition von rlog === Eine rekursive Definition der rlog-Funktion mit <math>rlog(0):=0</math> ist und für <math>z\neq 0</math> setzt man: :<math> \mathrm{rlog}(z) := 1 + \mathrm{rlog}(\log^*_G(z)), \text{ falls } \log^*_G(z_n) \neq 0 </math> Der Fall <math></math> tritt auch, wenn für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> gilt: :<math> \underbrace{\log^*_G \circ \ldots \circ \log^*_G}_{n \mbox{-fach}}(z) \neq 0 </math> == Beispiele - rlog-Berechnung == Im folgenden wird die [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus|algebraische Vervollständigung]] für den [[negativer Hauptzweig des Logarithmus]] <math>\log_G^\ast : \mathbb{C}\setminus \{0\} \to \mathbb{C}</math> mit <math>\log_G^\ast (\mathbb{C}\setminus \{0\} ) = \mathbb{D_1}:= \mathbb{R} + i\cdot [0,2\pi) </math> verwendet. Die Abbildung <math>\log_G^\ast : \mathbb{C}\setminus \{0\} \to \mathbb{D}_1</math> ist bijektiv. === Beispiel 1 - rlog der Eulersche Zahl === Betrachte man den negativen algebraisch vervollständigten Hauptzweig, so erhält man für * <math> \log^\ast_G(e) = \ln(|e|) + i \underbrace{\arg_G^\ast(e)}_{=0} = 1 + i \cdot 0 = 1 </math> * <math> \log^*_G(1) = \ln(1) + i \cdot 0 = 0 </math> Also gilt <math> \mathrm{rlog}(e) = 1 + \mathrm{rlog}(1) = 1 + 1 = 2 </math> und man kann auf <math>e</math> zweimal rekursiv den Logarithmus anwenden. === Beispiel 2 - exp(e) === Da <math>exp(e)=e^e\in \mathbb{R}</math> gilt: * <math> \log^*_G(e^e) = \ln(e^e) = e </math> * <math> \log^*_G(e) = 1 </math> * <math> \log^*_G(1) = 0 </math> Also gilt <math> \mathrm{rlog}(e^e) = 1 + \mathrm{rlog}(e) = 1 + 2 = 3 </math> zusammen mit Beispiel 1. === Beispiel 3 - exp(exp(e)) === Für weitere rekursive Anwendungen der Exponentialfunktion mit <math> z = e^{e^e} </math> erhält man analog: * <math> \log^*_G(z) = e^e \quad </math> 1. Anwendung von <math>\log^*_G</math> * <math> \log^*_G(e^e) = e \quad </math> 2. Anwendung von <math>\log^*_G</math> * <math> \log^*_G(e) = 1 \quad </math> 3. Anwendung von <math>\log^*_G</math> * <math> \log^*_G(1) = 0 \quad </math> 4. Anwendung von <math>\log^*_G</math> terminiert Also <math> \mathrm{rlog}(z) = 1 + 3 = 4 </math> == Siehe auch == * [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus]] * [[negativer Hauptzweig des Logarithmus]] 3b0bfv5bviansk64zu4cxxqsrvfsgxu 1118799 1118798 2026-11-03T15:29:16Z Bert Niehaus 20843 /* Beispiel 2 - exp(e) */ 1118799 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird in Verwendung einer speziellen Funktion <math>rlog(z)</math> („recursive logarithm“) eingeführt, die zählt, wie oft man der rekursiv einen Logarithmus-Zweig auf ein gegebenes <math>z\in \mathbb{C}</math> anwenden kann, bis der Wert 0 erreicht wird. Diese Funktion ist nicht die übliche komplexwertige Logarithmusfunktion, sondern eine abstrakte, diskrete Zählfunktion, die die rekursive Tiefe des Logarithmus in Bezug mit Werten in <math>\mathbb{N}_0 \cup \{+\infty\}</math> beschreibt. === Ziel der Lerneinheit === * Einführung in die Funktion <math> \mathrm{rlog}: \mathbb{C} \to \mathbb{N}_0 \cup \{+\infty\} </math> * Verständnis der rekursiven Anwendung eines Logarithmus-Zweigs auf eine komplexe Zahl * Bestimmung der rekursiven Tiefe, bis der Logarithmus 0 wird und der Abhängigkeit von der betragsmäßigen Größe der Zahl <math>|z| > 1 </math> * Beweis, dass <math> \mathrm{rlog}(z) = +\infty </math> für bestimmte <math> z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> gilt. === Vorüberlegungen rlog-Funktion === Für die <math>0\in \mathbb{C} </math> ist kein Zweig des Logarithmus definiert. Eine rekursive Anwendung des Logarithmus also terminiert, wenn man den Logarithmus von 1 bildet. Für die Definition der <math>rlog</math>-Funktion muss man allerdings noch einige Vorüberlegungen anstellen, da mit der Wahl des Gebietes <math>G</math>, der imaginären Periodizitätskonstante <math>2\pi k</math> mit <math>k\in \mathbb{Z}</math> und der [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus]] eine Vielzahl von Zweigen möglich sind. === Algebraisch vervollständigter Logarithmus === Für die Definition eines Zweiges des komplexen Logarithmus gibt es unterschiedliche Möglichkeiten in Abhängigkeit und des [[einfach zusammenhängend]]en [[Gebiet (Mathematik)|Gebietes]] <math>G\setminus \{0\} </math>, dass für <math> z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus|algebraisch vervollständigt]] wird. Für die algebraische Vervollständigung des Logarithmus verlangt man ferner, dass <math>\log_G^\ast(1)=0</math> ist. Im Allgemeinen muss 1 nicht notwendigerweise im Definitionsbereich des Zweiges liegen. Dies ist z.B. beim [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweig]] des [[komplexer Logarithmus|komplexen Logarthmus der Fall]], weil dort die positive reelle Achse mit 0 aus dem Definitionsbereich entfernt wurde. === Argumentfunktion in Abhängigkeit vom Gebiet === Die Argumentfunktion <math>\arg_{_G}</math> erhält im Folgenden den Index <math>G</math>, weil auch diese von dem gewählten [[einfach zusammenhängend]]en Gebiet <math>G</math> abhängt. Im folgende Beispiel wird der :<math> \log_{_G}(z) = \ln|z| + i \cdot \arg_{_G}(z) + 2\pi i k, \quad k \in \mathbb{Z} </math> Die Argumentfunktion <math>\arg_{_G}</math> soll dabei stetig auf <math>G</math> sein. === Argumentfunktion und geometrische Form vom Gebiet === Bei einer geschlitzten Ebene (z.B. beim [[Hauptzweig des Logarithmus]]) nimmt eine wie obige Argumentfunktion <math>\arg_{_G}</math> nur Werte von aus einem Intervall <math> (-\pi, \pi) </math> <math>(c,c+2\pi] </math>. Ändert man die geometrische Form des Gebietes <math>G</math> beispielsweise von einer geschlitzten <math>G</math> Ebene für den [[Hauptzweig des Logarithmus]] zu ein Gebiet <math>\widetilde{G}</math> über, beim die Bildpunkte der [[w:de:archimedischen Spirale|archimedische Spirale]] entfernt wurden, dann ist der reellwertige Bildbereich für die zugehörige Argumentfunktion <math>\arg_{_\widetilde{G}}</math> des [[Zweige des Logarithmus|Zweiges des Logarthmus]] nicht mehr reellwertig beschränkt. === Aufgabe - Unbeschränktheit der Argumentfunktion === * Zeigen Sie, dass die reellwertige Argumentfunktion <math>\arg_{_\widetilde{G}}</math> für das archimedische Spiralgebiet <math>\widetilde{G}</math> in <math>\mathbb{C}</math> [[einfach zusammenhängend]] ist. * Zeigen Sie, dass die Argumentfunktion des archimedischen Spiralgebietes <math>\widetilde{G}</math> unbeschränkt ist. '''Hinweis:''' Für den Nachweis "einfachen zusammenhängend" unterscheiden Sie zwischen Bildpunkte mit <math>|z|\leq 1 </math> und <math>|z| > 1 </math>. Erzeugen Sie Wege zwischen zwei beliebigen Punkten <math>z_1,z_2 \in \widetilde{G}</math> über die Definition des Weges <math>\widetilde{\gamma\,}:[0,+\infty) \to \mathbb{C}</math> mit <math>\widetilde{\gamma\,}(t):=t\cdot e^{it}</math>. === Imaginäre Periodizitätskonstante === Die imaginäre Periodizitätskonstante <math>2\pi i k </math> mit <math> k \in \mathbb{Z}</math> aus der obigen Definition ist für beliebige [[Zweige des Logarithmus]]. (z. B. der Hauptzweig <math> \log^*_G </math>) wählt eine spezifische Argument-Branch, z. B. <math> \arg(z) \in (-\pi, \pi] </math>. === Algebraische Vervollständigung === Man betrachtet die Definition der <math>rlog</math>-Funktion eine feste Wahl eines Zweigs und [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus|vervollständigt diesen algebraisch]], damit dieser auf ganz <math>\mathbb{C}\setminus \{0\}</math>. Man verlangt für die [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus]] wie beim reellen Logarthmus, dass <math>\log_{_G}(1)=0</math> erfüllt ist. Die muss im allgemeinen Fall eigentlich nicht gelten, da auch <math>\log_{_G}(1)=0+2\pi k</math> mit <math>k\in \mathbb{Z}</math> und der Gleichung <math>e^{2\pi k}=1</math> möglich werden. Diese führt auch zu einer eindeutigen maginären Periodizitätskonstante <math>k</math> für die algebraische Vervollständigung des Zweiges. :<math> \log^\ast_G: \mathbb{C} \setminus \{0\} \to \mathbb{C}, \quad z \mapsto \ln|z| + i \arg_{_G}(z) </math> === Normalisierung und Surjektivität === Diese [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus|algebraisch vervollständigten Zweige des Logarithmus]] sind '''nicht surjektiv''' auf <math> \mathbb{C} </math>, aber liefert einen Logarithmus für alle <math> z \neq 0 </math>. Die Normalisierung <math>\log^*_G(1)=0</math> wird in Analogie zum reellen Logarithmus gewählt. Nun kann man die <math>rlog</math>-Funktion definieren, da diese angibt, wie oft eine rekursive Anwendung eines algebraisch vervollständigten Zweiges des Logarithmus <math>\log^*_G</math> mit <math>\log^*_G(1)=0</math> möglich ist. ==Definition rlog-Funktion == Sei <math> \log^*_G: \mathbb{C} \setminus \{0\} \to \mathbb{C} </math> ein fest gewählter Zweig des komplexen Logarithmus mit normalisierter algebraischer Vervollständigung auf <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> (d.h. <math>\log^*_G(1)=0</math>). Die Funktion <math> \mathrm{rlog}: \mathbb{C} \setminus \{0\} \to \mathbb{N} \cup \{+\infty\} </math> ist wie folgt definiert durch: :<math> \mathrm{rlog}(z) = \begin{cases} 0, & \text{falls } z = 0 \\ n , & \text{falls } z_n\neq 0 \text{ und } \log^*_G(z_{n}) = 0 \\ +\infty, & \text{falls } z_n\neq 0 \text{ für alle } n\in \mathbb{N} \end{cases} </math> Dabei sei <math>z_0:=z</math> und <math>z_{n+1}:=\log^*_G(z_n)</math> definiert, falls <math>\log^*_G(z_{n-1}) \neq 0 </math> und <math>\log^*_G(z_{n}) = 0 </math>. === Bemerkung - Endlichkeit des rlog-Wertes === Die Funktion liefert nur einen endlichen Wert als natürliche Zahl <math>n</math>, wenn man nach <math>n</math> rekursiven Anwendung <math>z:=z_0</math> und <math>z_{n+1}:=\log^*_G(z_n)</math> die Werte <math>\log^*_G(z_{n-1}) \neq 0 </math> und <math>\log^*_G(z_{n}) = 0 </math> gelten. Es ist möglich, dass jede weitere Iteration immer noch in <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> bleibt. Dann ist der Fall <math>\log^*_G(z) = +\infty </math> möglich. Diese Aspekt wird in dieser Lerneinheit weiter untersucht, da man in einem solchen Fall für algebraische Fragen immer von der Existenz einer weiteren rekursiven Anwendung des Logarithmus ausgehen kann. === Bemerkung - rekursive Definition von rlog === Eine rekursive Definition der rlog-Funktion mit <math>rlog(0):=0</math> ist und für <math>z\neq 0</math> setzt man: :<math> \mathrm{rlog}(z) := 1 + \mathrm{rlog}(\log^*_G(z)), \text{ falls } \log^*_G(z_n) \neq 0 </math> Der Fall <math></math> tritt auch, wenn für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> gilt: :<math> \underbrace{\log^*_G \circ \ldots \circ \log^*_G}_{n \mbox{-fach}}(z) \neq 0 </math> == Beispiele - rlog-Berechnung == Im folgenden wird die [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus|algebraische Vervollständigung]] für den [[negativer Hauptzweig des Logarithmus]] <math>\log_G^\ast : \mathbb{C}\setminus \{0\} \to \mathbb{C}</math> mit <math>\log_G^\ast (\mathbb{C}\setminus \{0\} ) = \mathbb{D_1}:= \mathbb{R} + i\cdot [0,2\pi) </math> verwendet. Die Abbildung <math>\log_G^\ast : \mathbb{C}\setminus \{0\} \to \mathbb{D}_1</math> ist bijektiv. === Beispiel 1 - rlog der Eulersche Zahl === Betrachte man den negativen algebraisch vervollständigten Hauptzweig, so erhält man für * <math> \log^\ast_G(e) = \ln(|e|) + i \underbrace{\arg_G^\ast(e)}_{=0} = 1 + i \cdot 0 = 1 </math> * <math> \log^*_G(1) = \ln(1) + i \cdot 0 = 0 </math> Also gilt <math> \mathrm{rlog}(e) = 1 + \mathrm{rlog}(1) = 1 + 1 = 2 </math> und man kann auf <math>e</math> zweimal rekursiv den Logarithmus anwenden. === Beispiel 2 - exp(e) === Da <math>exp(e)=e^e\in \mathbb{R}</math> gilt für die algebraische Vervollständigung des [[negativer Hauptzweig|negativen Hauptzweigs]]: * <math> \log^*_G(e^e) = \ln(e^e) = e </math> * <math> \log^*_G(e) = 1 </math> * <math> \log^*_G(1) = 0 </math> Also gilt <math> \mathrm{rlog}(e^e) = 1 + \mathrm{rlog}(e) = 1 + 2 = 3 </math> zusammen mit Beispiel 1. === Beispiel 3 - exp(exp(e)) === Für weitere rekursive Anwendungen der Exponentialfunktion mit <math> z = e^{e^e} </math> erhält man analog: * <math> \log^*_G(z) = e^e \quad </math> 1. Anwendung von <math>\log^*_G</math> * <math> \log^*_G(e^e) = e \quad </math> 2. Anwendung von <math>\log^*_G</math> * <math> \log^*_G(e) = 1 \quad </math> 3. Anwendung von <math>\log^*_G</math> * <math> \log^*_G(1) = 0 \quad </math> 4. Anwendung von <math>\log^*_G</math> terminiert Also <math> \mathrm{rlog}(z) = 1 + 3 = 4 </math> == Siehe auch == * [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus]] * [[negativer Hauptzweig des Logarithmus]] 8aie3b2kkul4dk2b75xu7qm4ur25c1o 1118800 1118799 2026-11-03T15:32:15Z Bert Niehaus 20843 /* Beispiel 2 - exp(e) */ 1118800 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird in Verwendung einer speziellen Funktion <math>rlog(z)</math> („recursive logarithm“) eingeführt, die zählt, wie oft man der rekursiv einen Logarithmus-Zweig auf ein gegebenes <math>z\in \mathbb{C}</math> anwenden kann, bis der Wert 0 erreicht wird. Diese Funktion ist nicht die übliche komplexwertige Logarithmusfunktion, sondern eine abstrakte, diskrete Zählfunktion, die die rekursive Tiefe des Logarithmus in Bezug mit Werten in <math>\mathbb{N}_0 \cup \{+\infty\}</math> beschreibt. === Ziel der Lerneinheit === * Einführung in die Funktion <math> \mathrm{rlog}: \mathbb{C} \to \mathbb{N}_0 \cup \{+\infty\} </math> * Verständnis der rekursiven Anwendung eines Logarithmus-Zweigs auf eine komplexe Zahl * Bestimmung der rekursiven Tiefe, bis der Logarithmus 0 wird und der Abhängigkeit von der betragsmäßigen Größe der Zahl <math>|z| > 1 </math> * Beweis, dass <math> \mathrm{rlog}(z) = +\infty </math> für bestimmte <math> z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> gilt. === Vorüberlegungen rlog-Funktion === Für die <math>0\in \mathbb{C} </math> ist kein Zweig des Logarithmus definiert. Eine rekursive Anwendung des Logarithmus also terminiert, wenn man den Logarithmus von 1 bildet. Für die Definition der <math>rlog</math>-Funktion muss man allerdings noch einige Vorüberlegungen anstellen, da mit der Wahl des Gebietes <math>G</math>, der imaginären Periodizitätskonstante <math>2\pi k</math> mit <math>k\in \mathbb{Z}</math> und der [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus]] eine Vielzahl von Zweigen möglich sind. === Algebraisch vervollständigter Logarithmus === Für die Definition eines Zweiges des komplexen Logarithmus gibt es unterschiedliche Möglichkeiten in Abhängigkeit und des [[einfach zusammenhängend]]en [[Gebiet (Mathematik)|Gebietes]] <math>G\setminus \{0\} </math>, dass für <math> z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus|algebraisch vervollständigt]] wird. Für die algebraische Vervollständigung des Logarithmus verlangt man ferner, dass <math>\log_G^\ast(1)=0</math> ist. Im Allgemeinen muss 1 nicht notwendigerweise im Definitionsbereich des Zweiges liegen. Dies ist z.B. beim [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweig]] des [[komplexer Logarithmus|komplexen Logarthmus der Fall]], weil dort die positive reelle Achse mit 0 aus dem Definitionsbereich entfernt wurde. === Argumentfunktion in Abhängigkeit vom Gebiet === Die Argumentfunktion <math>\arg_{_G}</math> erhält im Folgenden den Index <math>G</math>, weil auch diese von dem gewählten [[einfach zusammenhängend]]en Gebiet <math>G</math> abhängt. Im folgende Beispiel wird der :<math> \log_{_G}(z) = \ln|z| + i \cdot \arg_{_G}(z) + 2\pi i k, \quad k \in \mathbb{Z} </math> Die Argumentfunktion <math>\arg_{_G}</math> soll dabei stetig auf <math>G</math> sein. === Argumentfunktion und geometrische Form vom Gebiet === Bei einer geschlitzten Ebene (z.B. beim [[Hauptzweig des Logarithmus]]) nimmt eine wie obige Argumentfunktion <math>\arg_{_G}</math> nur Werte von aus einem Intervall <math> (-\pi, \pi) </math> <math>(c,c+2\pi] </math>. Ändert man die geometrische Form des Gebietes <math>G</math> beispielsweise von einer geschlitzten <math>G</math> Ebene für den [[Hauptzweig des Logarithmus]] zu ein Gebiet <math>\widetilde{G}</math> über, beim die Bildpunkte der [[w:de:archimedischen Spirale|archimedische Spirale]] entfernt wurden, dann ist der reellwertige Bildbereich für die zugehörige Argumentfunktion <math>\arg_{_\widetilde{G}}</math> des [[Zweige des Logarithmus|Zweiges des Logarthmus]] nicht mehr reellwertig beschränkt. === Aufgabe - Unbeschränktheit der Argumentfunktion === * Zeigen Sie, dass die reellwertige Argumentfunktion <math>\arg_{_\widetilde{G}}</math> für das archimedische Spiralgebiet <math>\widetilde{G}</math> in <math>\mathbb{C}</math> [[einfach zusammenhängend]] ist. * Zeigen Sie, dass die Argumentfunktion des archimedischen Spiralgebietes <math>\widetilde{G}</math> unbeschränkt ist. '''Hinweis:''' Für den Nachweis "einfachen zusammenhängend" unterscheiden Sie zwischen Bildpunkte mit <math>|z|\leq 1 </math> und <math>|z| > 1 </math>. Erzeugen Sie Wege zwischen zwei beliebigen Punkten <math>z_1,z_2 \in \widetilde{G}</math> über die Definition des Weges <math>\widetilde{\gamma\,}:[0,+\infty) \to \mathbb{C}</math> mit <math>\widetilde{\gamma\,}(t):=t\cdot e^{it}</math>. === Imaginäre Periodizitätskonstante === Die imaginäre Periodizitätskonstante <math>2\pi i k </math> mit <math> k \in \mathbb{Z}</math> aus der obigen Definition ist für beliebige [[Zweige des Logarithmus]]. (z. B. der Hauptzweig <math> \log^*_G </math>) wählt eine spezifische Argument-Branch, z. B. <math> \arg(z) \in (-\pi, \pi] </math>. === Algebraische Vervollständigung === Man betrachtet die Definition der <math>rlog</math>-Funktion eine feste Wahl eines Zweigs und [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus|vervollständigt diesen algebraisch]], damit dieser auf ganz <math>\mathbb{C}\setminus \{0\}</math>. Man verlangt für die [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus]] wie beim reellen Logarthmus, dass <math>\log_{_G}(1)=0</math> erfüllt ist. Die muss im allgemeinen Fall eigentlich nicht gelten, da auch <math>\log_{_G}(1)=0+2\pi k</math> mit <math>k\in \mathbb{Z}</math> und der Gleichung <math>e^{2\pi k}=1</math> möglich werden. Diese führt auch zu einer eindeutigen maginären Periodizitätskonstante <math>k</math> für die algebraische Vervollständigung des Zweiges. :<math> \log^\ast_G: \mathbb{C} \setminus \{0\} \to \mathbb{C}, \quad z \mapsto \ln|z| + i \arg_{_G}(z) </math> === Normalisierung und Surjektivität === Diese [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus|algebraisch vervollständigten Zweige des Logarithmus]] sind '''nicht surjektiv''' auf <math> \mathbb{C} </math>, aber liefert einen Logarithmus für alle <math> z \neq 0 </math>. Die Normalisierung <math>\log^*_G(1)=0</math> wird in Analogie zum reellen Logarithmus gewählt. Nun kann man die <math>rlog</math>-Funktion definieren, da diese angibt, wie oft eine rekursive Anwendung eines algebraisch vervollständigten Zweiges des Logarithmus <math>\log^*_G</math> mit <math>\log^*_G(1)=0</math> möglich ist. ==Definition rlog-Funktion == Sei <math> \log^*_G: \mathbb{C} \setminus \{0\} \to \mathbb{C} </math> ein fest gewählter Zweig des komplexen Logarithmus mit normalisierter algebraischer Vervollständigung auf <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> (d.h. <math>\log^*_G(1)=0</math>). Die Funktion <math> \mathrm{rlog}: \mathbb{C} \setminus \{0\} \to \mathbb{N} \cup \{+\infty\} </math> ist wie folgt definiert durch: :<math> \mathrm{rlog}(z) = \begin{cases} 0, & \text{falls } z = 0 \\ n , & \text{falls } z_n\neq 0 \text{ und } \log^*_G(z_{n}) = 0 \\ +\infty, & \text{falls } z_n\neq 0 \text{ für alle } n\in \mathbb{N} \end{cases} </math> Dabei sei <math>z_0:=z</math> und <math>z_{n+1}:=\log^*_G(z_n)</math> definiert, falls <math>\log^*_G(z_{n-1}) \neq 0 </math> und <math>\log^*_G(z_{n}) = 0 </math>. === Bemerkung - Endlichkeit des rlog-Wertes === Die Funktion liefert nur einen endlichen Wert als natürliche Zahl <math>n</math>, wenn man nach <math>n</math> rekursiven Anwendung <math>z:=z_0</math> und <math>z_{n+1}:=\log^*_G(z_n)</math> die Werte <math>\log^*_G(z_{n-1}) \neq 0 </math> und <math>\log^*_G(z_{n}) = 0 </math> gelten. Es ist möglich, dass jede weitere Iteration immer noch in <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> bleibt. Dann ist der Fall <math>\log^*_G(z) = +\infty </math> möglich. Diese Aspekt wird in dieser Lerneinheit weiter untersucht, da man in einem solchen Fall für algebraische Fragen immer von der Existenz einer weiteren rekursiven Anwendung des Logarithmus ausgehen kann. === Bemerkung - rekursive Definition von rlog === Eine rekursive Definition der rlog-Funktion mit <math>rlog(0):=0</math> ist und für <math>z\neq 0</math> setzt man: :<math> \mathrm{rlog}(z) := 1 + \mathrm{rlog}(\log^*_G(z)), \text{ falls } \log^*_G(z_n) \neq 0 </math> Der Fall <math></math> tritt auch, wenn für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> gilt: :<math> \underbrace{\log^*_G \circ \ldots \circ \log^*_G}_{n \mbox{-fach}}(z) \neq 0 </math> == Beispiele - rlog-Berechnung == Im folgenden wird die [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus|algebraische Vervollständigung]] für den [[negativer Hauptzweig des Logarithmus]] <math>\log_G^\ast : \mathbb{C}\setminus \{0\} \to \mathbb{C}</math> mit <math>\log_G^\ast (\mathbb{C}\setminus \{0\} ) = \mathbb{D_1}:= \mathbb{R} + i\cdot [0,2\pi) </math> verwendet. Die Abbildung <math>\log_G^\ast : \mathbb{C}\setminus \{0\} \to \mathbb{D}_1</math> ist bijektiv. === Beispiel 1 - rlog der Eulersche Zahl === Betrachte man den negativen algebraisch vervollständigten Hauptzweig, so erhält man für * <math> \log^\ast_G(e) = \ln(|e|) + i \underbrace{\arg_G^\ast(e)}_{=0} = 1 + i \cdot 0 = 1 </math> * <math> \log^*_G(1) = \ln(1) + i \cdot 0 = 0 </math> Also gilt <math> \mathrm{rlog}(e) = 1 + \mathrm{rlog}(1) = 1 + 1 = 2 </math> und man kann auf <math>e</math> zweimal rekursiv den Logarithmus anwenden. === Beispiel 2 - exp(e) === Da <math>exp(e)=e^e</math> eine reelle Zahl ist, gilt für die algebraische Vervollständigung des [[negativer Hauptzweig|negativen Hauptzweigs]] die reine Anwendung der natürlichen Logarithmus <math>\ln(z)</math> auf <math>z=e^e</math>: * <math> \log^*_G(e^e) = \ln(e^e) = e </math> * <math> \log^*_G(e) = 1 </math> * <math> \log^*_G(1) = 0 </math> Also gilt <math> \mathrm{rlog}(e^e) = 1 + \mathrm{rlog}(e) = 1 + 2 = 3 </math> zusammen mit Beispiel 1. Nach 3 rekursiven Anwendungen terminiert die Iteration. === Beispiel 3 - exp(exp(e)) === Für weitere rekursive Anwendungen der Exponentialfunktion mit <math> z = e^{e^e} </math> erhält man analog: * <math> \log^*_G(z) = e^e \quad </math> 1. Anwendung von <math>\log^*_G</math> * <math> \log^*_G(e^e) = e \quad </math> 2. Anwendung von <math>\log^*_G</math> * <math> \log^*_G(e) = 1 \quad </math> 3. Anwendung von <math>\log^*_G</math> * <math> \log^*_G(1) = 0 \quad </math> 4. Anwendung von <math>\log^*_G</math> terminiert Also <math> \mathrm{rlog}(z) = 1 + 3 = 4 </math> == Siehe auch == * [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus]] * [[negativer Hauptzweig des Logarithmus]] 09ygmoeg7bhhdnjxdjzqalawpg803xa 1118801 1118800 2026-11-03T15:40:34Z Bert Niehaus 20843 /* Beispiel 3 - exp(exp(e)) */ 1118801 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird in Verwendung einer speziellen Funktion <math>rlog(z)</math> („recursive logarithm“) eingeführt, die zählt, wie oft man der rekursiv einen Logarithmus-Zweig auf ein gegebenes <math>z\in \mathbb{C}</math> anwenden kann, bis der Wert 0 erreicht wird. Diese Funktion ist nicht die übliche komplexwertige Logarithmusfunktion, sondern eine abstrakte, diskrete Zählfunktion, die die rekursive Tiefe des Logarithmus in Bezug mit Werten in <math>\mathbb{N}_0 \cup \{+\infty\}</math> beschreibt. === Ziel der Lerneinheit === * Einführung in die Funktion <math> \mathrm{rlog}: \mathbb{C} \to \mathbb{N}_0 \cup \{+\infty\} </math> * Verständnis der rekursiven Anwendung eines Logarithmus-Zweigs auf eine komplexe Zahl * Bestimmung der rekursiven Tiefe, bis der Logarithmus 0 wird und der Abhängigkeit von der betragsmäßigen Größe der Zahl <math>|z| > 1 </math> * Beweis, dass <math> \mathrm{rlog}(z) = +\infty </math> für bestimmte <math> z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> gilt. === Vorüberlegungen rlog-Funktion === Für die <math>0\in \mathbb{C} </math> ist kein Zweig des Logarithmus definiert. Eine rekursive Anwendung des Logarithmus also terminiert, wenn man den Logarithmus von 1 bildet. Für die Definition der <math>rlog</math>-Funktion muss man allerdings noch einige Vorüberlegungen anstellen, da mit der Wahl des Gebietes <math>G</math>, der imaginären Periodizitätskonstante <math>2\pi k</math> mit <math>k\in \mathbb{Z}</math> und der [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus]] eine Vielzahl von Zweigen möglich sind. === Algebraisch vervollständigter Logarithmus === Für die Definition eines Zweiges des komplexen Logarithmus gibt es unterschiedliche Möglichkeiten in Abhängigkeit und des [[einfach zusammenhängend]]en [[Gebiet (Mathematik)|Gebietes]] <math>G\setminus \{0\} </math>, dass für <math> z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus|algebraisch vervollständigt]] wird. Für die algebraische Vervollständigung des Logarithmus verlangt man ferner, dass <math>\log_G^\ast(1)=0</math> ist. Im Allgemeinen muss 1 nicht notwendigerweise im Definitionsbereich des Zweiges liegen. Dies ist z.B. beim [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweig]] des [[komplexer Logarithmus|komplexen Logarthmus der Fall]], weil dort die positive reelle Achse mit 0 aus dem Definitionsbereich entfernt wurde. === Argumentfunktion in Abhängigkeit vom Gebiet === Die Argumentfunktion <math>\arg_{_G}</math> erhält im Folgenden den Index <math>G</math>, weil auch diese von dem gewählten [[einfach zusammenhängend]]en Gebiet <math>G</math> abhängt. Im folgende Beispiel wird der :<math> \log_{_G}(z) = \ln|z| + i \cdot \arg_{_G}(z) + 2\pi i k, \quad k \in \mathbb{Z} </math> Die Argumentfunktion <math>\arg_{_G}</math> soll dabei stetig auf <math>G</math> sein. === Argumentfunktion und geometrische Form vom Gebiet === Bei einer geschlitzten Ebene (z.B. beim [[Hauptzweig des Logarithmus]]) nimmt eine wie obige Argumentfunktion <math>\arg_{_G}</math> nur Werte von aus einem Intervall <math> (-\pi, \pi) </math> <math>(c,c+2\pi] </math>. Ändert man die geometrische Form des Gebietes <math>G</math> beispielsweise von einer geschlitzten <math>G</math> Ebene für den [[Hauptzweig des Logarithmus]] zu ein Gebiet <math>\widetilde{G}</math> über, beim die Bildpunkte der [[w:de:archimedischen Spirale|archimedische Spirale]] entfernt wurden, dann ist der reellwertige Bildbereich für die zugehörige Argumentfunktion <math>\arg_{_\widetilde{G}}</math> des [[Zweige des Logarithmus|Zweiges des Logarthmus]] nicht mehr reellwertig beschränkt. === Aufgabe - Unbeschränktheit der Argumentfunktion === * Zeigen Sie, dass die reellwertige Argumentfunktion <math>\arg_{_\widetilde{G}}</math> für das archimedische Spiralgebiet <math>\widetilde{G}</math> in <math>\mathbb{C}</math> [[einfach zusammenhängend]] ist. * Zeigen Sie, dass die Argumentfunktion des archimedischen Spiralgebietes <math>\widetilde{G}</math> unbeschränkt ist. '''Hinweis:''' Für den Nachweis "einfachen zusammenhängend" unterscheiden Sie zwischen Bildpunkte mit <math>|z|\leq 1 </math> und <math>|z| > 1 </math>. Erzeugen Sie Wege zwischen zwei beliebigen Punkten <math>z_1,z_2 \in \widetilde{G}</math> über die Definition des Weges <math>\widetilde{\gamma\,}:[0,+\infty) \to \mathbb{C}</math> mit <math>\widetilde{\gamma\,}(t):=t\cdot e^{it}</math>. === Imaginäre Periodizitätskonstante === Die imaginäre Periodizitätskonstante <math>2\pi i k </math> mit <math> k \in \mathbb{Z}</math> aus der obigen Definition ist für beliebige [[Zweige des Logarithmus]]. (z. B. der Hauptzweig <math> \log^*_G </math>) wählt eine spezifische Argument-Branch, z. B. <math> \arg(z) \in (-\pi, \pi] </math>. === Algebraische Vervollständigung === Man betrachtet die Definition der <math>rlog</math>-Funktion eine feste Wahl eines Zweigs und [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus|vervollständigt diesen algebraisch]], damit dieser auf ganz <math>\mathbb{C}\setminus \{0\}</math>. Man verlangt für die [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus]] wie beim reellen Logarthmus, dass <math>\log_{_G}(1)=0</math> erfüllt ist. Die muss im allgemeinen Fall eigentlich nicht gelten, da auch <math>\log_{_G}(1)=0+2\pi k</math> mit <math>k\in \mathbb{Z}</math> und der Gleichung <math>e^{2\pi k}=1</math> möglich werden. Diese führt auch zu einer eindeutigen maginären Periodizitätskonstante <math>k</math> für die algebraische Vervollständigung des Zweiges. :<math> \log^\ast_G: \mathbb{C} \setminus \{0\} \to \mathbb{C}, \quad z \mapsto \ln|z| + i \arg_{_G}(z) </math> === Normalisierung und Surjektivität === Diese [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus|algebraisch vervollständigten Zweige des Logarithmus]] sind '''nicht surjektiv''' auf <math> \mathbb{C} </math>, aber liefert einen Logarithmus für alle <math> z \neq 0 </math>. Die Normalisierung <math>\log^*_G(1)=0</math> wird in Analogie zum reellen Logarithmus gewählt. Nun kann man die <math>rlog</math>-Funktion definieren, da diese angibt, wie oft eine rekursive Anwendung eines algebraisch vervollständigten Zweiges des Logarithmus <math>\log^*_G</math> mit <math>\log^*_G(1)=0</math> möglich ist. ==Definition rlog-Funktion == Sei <math> \log^*_G: \mathbb{C} \setminus \{0\} \to \mathbb{C} </math> ein fest gewählter Zweig des komplexen Logarithmus mit normalisierter algebraischer Vervollständigung auf <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> (d.h. <math>\log^*_G(1)=0</math>). Die Funktion <math> \mathrm{rlog}: \mathbb{C} \setminus \{0\} \to \mathbb{N} \cup \{+\infty\} </math> ist wie folgt definiert durch: :<math> \mathrm{rlog}(z) = \begin{cases} 0, & \text{falls } z = 0 \\ n , & \text{falls } z_n\neq 0 \text{ und } \log^*_G(z_{n}) = 0 \\ +\infty, & \text{falls } z_n\neq 0 \text{ für alle } n\in \mathbb{N} \end{cases} </math> Dabei sei <math>z_0:=z</math> und <math>z_{n+1}:=\log^*_G(z_n)</math> definiert, falls <math>\log^*_G(z_{n-1}) \neq 0 </math> und <math>\log^*_G(z_{n}) = 0 </math>. === Bemerkung - Endlichkeit des rlog-Wertes === Die Funktion liefert nur einen endlichen Wert als natürliche Zahl <math>n</math>, wenn man nach <math>n</math> rekursiven Anwendung <math>z:=z_0</math> und <math>z_{n+1}:=\log^*_G(z_n)</math> die Werte <math>\log^*_G(z_{n-1}) \neq 0 </math> und <math>\log^*_G(z_{n}) = 0 </math> gelten. Es ist möglich, dass jede weitere Iteration immer noch in <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> bleibt. Dann ist der Fall <math>\log^*_G(z) = +\infty </math> möglich. Diese Aspekt wird in dieser Lerneinheit weiter untersucht, da man in einem solchen Fall für algebraische Fragen immer von der Existenz einer weiteren rekursiven Anwendung des Logarithmus ausgehen kann. === Bemerkung - rekursive Definition von rlog === Eine rekursive Definition der rlog-Funktion mit <math>rlog(0):=0</math> ist und für <math>z\neq 0</math> setzt man: :<math> \mathrm{rlog}(z) := 1 + \mathrm{rlog}(\log^*_G(z)), \text{ falls } \log^*_G(z_n) \neq 0 </math> Der Fall <math></math> tritt auch, wenn für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> gilt: :<math> \underbrace{\log^*_G \circ \ldots \circ \log^*_G}_{n \mbox{-fach}}(z) \neq 0 </math> == Beispiele - rlog-Berechnung == Im folgenden wird die [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus|algebraische Vervollständigung]] für den [[negativer Hauptzweig des Logarithmus]] <math>\log_G^\ast : \mathbb{C}\setminus \{0\} \to \mathbb{C}</math> mit <math>\log_G^\ast (\mathbb{C}\setminus \{0\} ) = \mathbb{D_1}:= \mathbb{R} + i\cdot [0,2\pi) </math> verwendet. Die Abbildung <math>\log_G^\ast : \mathbb{C}\setminus \{0\} \to \mathbb{D}_1</math> ist bijektiv. === Beispiel 1 - rlog der Eulersche Zahl === Betrachte man den negativen algebraisch vervollständigten Hauptzweig, so erhält man für * <math> \log^\ast_G(e) = \ln(|e|) + i \underbrace{\arg_G^\ast(e)}_{=0} = 1 + i \cdot 0 = 1 </math> * <math> \log^*_G(1) = \ln(1) + i \cdot 0 = 0 </math> Also gilt <math> \mathrm{rlog}(e) = 1 + \mathrm{rlog}(1) = 1 + 1 = 2 </math> und man kann auf <math>e</math> zweimal rekursiv den Logarithmus anwenden. === Beispiel 2 - exp(e) === Da <math>exp(e)=e^e</math> eine reelle Zahl ist, gilt für die algebraische Vervollständigung des [[negativer Hauptzweig|negativen Hauptzweigs]] die reine Anwendung der natürlichen Logarithmus <math>\ln(z)</math> auf <math>z=e^e</math>: * <math> \log^*_G(e^e) = \ln(e^e) = e </math> * <math> \log^*_G(e) = 1 </math> * <math> \log^*_G(1) = 0 </math> Also gilt <math> \mathrm{rlog}(e^e) = 1 + \mathrm{rlog}(e) = 1 + 2 = 3 </math> zusammen mit Beispiel 1. Nach 3 rekursiven Anwendungen terminiert die Iteration. === Beispiel 3 - exp(exp(e)) === Für weitere rekursive Anwendungen der Exponentialfunktion mit <math> z = e^{e^e} </math> erhält man analog: * <math> \log^\ast_G(z) = e^e \quad </math> 1. Anwendung von <math>\log^*_G</math> * <math> \log^\ast_G(e^e) = e \quad </math> 2. Anwendung von <math>\log^*_G</math> * <math> \log^\ast_G(e) = 1 \quad </math> 3. Anwendung von <math>\log^*_G</math> * <math> \log^\ast_G(1) = 0 \quad </math> 4. Anwendung von <math>\log^\ast_G</math> terminiert Also gilt <math> \mathrm{rlog}_G^\ast(z) = 1 + 3 = 4 </math> und Iteration der rekursiven Anwendung endet nach 4 Schritten. === Beispiel 4 - Imaginärteil von 0 verschieden === Bisher wurde in den Beispielen 1-3 die <math>rlog</math>-Funktion nur auf reelle Zahlen <math>\mathrm{rlog}_G^\ast(z)</math> betrachtet. Sei nun <math>z=i \cdot e</math>: :<math> \log^\ast_G(z) = \ln(|e\cdot i|) + \arg_G^\ast(e\cdot i) = \ln(e) + \arg_G^\ast(i) = 1 + i\tfrac{\pi}{2} </math> == Siehe auch == * [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus]] * [[negativer Hauptzweig des Logarithmus]] 4b7kph5qcplqbo3gkhy4hfea3wxlqnn 1118802 1118801 2026-11-03T15:55:14Z Bert Niehaus 20843 /* Beispiel 4 - Imaginärteil von 0 verschieden */ 1118802 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird in Verwendung einer speziellen Funktion <math>rlog(z)</math> („recursive logarithm“) eingeführt, die zählt, wie oft man der rekursiv einen Logarithmus-Zweig auf ein gegebenes <math>z\in \mathbb{C}</math> anwenden kann, bis der Wert 0 erreicht wird. Diese Funktion ist nicht die übliche komplexwertige Logarithmusfunktion, sondern eine abstrakte, diskrete Zählfunktion, die die rekursive Tiefe des Logarithmus in Bezug mit Werten in <math>\mathbb{N}_0 \cup \{+\infty\}</math> beschreibt. === Ziel der Lerneinheit === * Einführung in die Funktion <math> \mathrm{rlog}: \mathbb{C} \to \mathbb{N}_0 \cup \{+\infty\} </math> * Verständnis der rekursiven Anwendung eines Logarithmus-Zweigs auf eine komplexe Zahl * Bestimmung der rekursiven Tiefe, bis der Logarithmus 0 wird und der Abhängigkeit von der betragsmäßigen Größe der Zahl <math>|z| > 1 </math> * Beweis, dass <math> \mathrm{rlog}(z) = +\infty </math> für bestimmte <math> z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> gilt. === Vorüberlegungen rlog-Funktion === Für die <math>0\in \mathbb{C} </math> ist kein Zweig des Logarithmus definiert. Eine rekursive Anwendung des Logarithmus also terminiert, wenn man den Logarithmus von 1 bildet. Für die Definition der <math>rlog</math>-Funktion muss man allerdings noch einige Vorüberlegungen anstellen, da mit der Wahl des Gebietes <math>G</math>, der imaginären Periodizitätskonstante <math>2\pi k</math> mit <math>k\in \mathbb{Z}</math> und der [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus]] eine Vielzahl von Zweigen möglich sind. === Algebraisch vervollständigter Logarithmus === Für die Definition eines Zweiges des komplexen Logarithmus gibt es unterschiedliche Möglichkeiten in Abhängigkeit und des [[einfach zusammenhängend]]en [[Gebiet (Mathematik)|Gebietes]] <math>G\setminus \{0\} </math>, dass für <math> z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus|algebraisch vervollständigt]] wird. Für die algebraische Vervollständigung des Logarithmus verlangt man ferner, dass <math>\log_G^\ast(1)=0</math> ist. Im Allgemeinen muss 1 nicht notwendigerweise im Definitionsbereich des Zweiges liegen. Dies ist z.B. beim [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweig]] des [[komplexer Logarithmus|komplexen Logarthmus der Fall]], weil dort die positive reelle Achse mit 0 aus dem Definitionsbereich entfernt wurde. === Argumentfunktion in Abhängigkeit vom Gebiet === Die Argumentfunktion <math>\arg_{_G}</math> erhält im Folgenden den Index <math>G</math>, weil auch diese von dem gewählten [[einfach zusammenhängend]]en Gebiet <math>G</math> abhängt. Im folgende Beispiel wird der :<math> \log_{_G}(z) = \ln|z| + i \cdot \arg_{_G}(z) + 2\pi i k, \quad k \in \mathbb{Z} </math> Die Argumentfunktion <math>\arg_{_G}</math> soll dabei stetig auf <math>G</math> sein. === Argumentfunktion und geometrische Form vom Gebiet === Bei einer geschlitzten Ebene (z.B. beim [[Hauptzweig des Logarithmus]]) nimmt eine wie obige Argumentfunktion <math>\arg_{_G}</math> nur Werte von aus einem Intervall <math> (-\pi, \pi) </math> <math>(c,c+2\pi] </math>. Ändert man die geometrische Form des Gebietes <math>G</math> beispielsweise von einer geschlitzten <math>G</math> Ebene für den [[Hauptzweig des Logarithmus]] zu ein Gebiet <math>\widetilde{G}</math> über, beim die Bildpunkte der [[w:de:archimedischen Spirale|archimedische Spirale]] entfernt wurden, dann ist der reellwertige Bildbereich für die zugehörige Argumentfunktion <math>\arg_{_\widetilde{G}}</math> des [[Zweige des Logarithmus|Zweiges des Logarthmus]] nicht mehr reellwertig beschränkt. === Aufgabe - Unbeschränktheit der Argumentfunktion === * Zeigen Sie, dass die reellwertige Argumentfunktion <math>\arg_{_\widetilde{G}}</math> für das archimedische Spiralgebiet <math>\widetilde{G}</math> in <math>\mathbb{C}</math> [[einfach zusammenhängend]] ist. * Zeigen Sie, dass die Argumentfunktion des archimedischen Spiralgebietes <math>\widetilde{G}</math> unbeschränkt ist. '''Hinweis:''' Für den Nachweis "einfachen zusammenhängend" unterscheiden Sie zwischen Bildpunkte mit <math>|z|\leq 1 </math> und <math>|z| > 1 </math>. Erzeugen Sie Wege zwischen zwei beliebigen Punkten <math>z_1,z_2 \in \widetilde{G}</math> über die Definition des Weges <math>\widetilde{\gamma\,}:[0,+\infty) \to \mathbb{C}</math> mit <math>\widetilde{\gamma\,}(t):=t\cdot e^{it}</math>. === Imaginäre Periodizitätskonstante === Die imaginäre Periodizitätskonstante <math>2\pi i k </math> mit <math> k \in \mathbb{Z}</math> aus der obigen Definition ist für beliebige [[Zweige des Logarithmus]]. (z. B. der Hauptzweig <math> \log^*_G </math>) wählt eine spezifische Argument-Branch, z. B. <math> \arg(z) \in (-\pi, \pi] </math>. === Algebraische Vervollständigung === Man betrachtet die Definition der <math>rlog</math>-Funktion eine feste Wahl eines Zweigs und [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus|vervollständigt diesen algebraisch]], damit dieser auf ganz <math>\mathbb{C}\setminus \{0\}</math>. Man verlangt für die [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus]] wie beim reellen Logarthmus, dass <math>\log_{_G}(1)=0</math> erfüllt ist. Die muss im allgemeinen Fall eigentlich nicht gelten, da auch <math>\log_{_G}(1)=0+2\pi k</math> mit <math>k\in \mathbb{Z}</math> und der Gleichung <math>e^{2\pi k}=1</math> möglich werden. Diese führt auch zu einer eindeutigen maginären Periodizitätskonstante <math>k</math> für die algebraische Vervollständigung des Zweiges. :<math> \log^\ast_G: \mathbb{C} \setminus \{0\} \to \mathbb{C}, \quad z \mapsto \ln|z| + i \arg_{_G}(z) </math> === Normalisierung und Surjektivität === Diese [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus|algebraisch vervollständigten Zweige des Logarithmus]] sind '''nicht surjektiv''' auf <math> \mathbb{C} </math>, aber liefert einen Logarithmus für alle <math> z \neq 0 </math>. Die Normalisierung <math>\log^*_G(1)=0</math> wird in Analogie zum reellen Logarithmus gewählt. Nun kann man die <math>rlog</math>-Funktion definieren, da diese angibt, wie oft eine rekursive Anwendung eines algebraisch vervollständigten Zweiges des Logarithmus <math>\log^*_G</math> mit <math>\log^*_G(1)=0</math> möglich ist. ==Definition rlog-Funktion == Sei <math> \log^*_G: \mathbb{C} \setminus \{0\} \to \mathbb{C} </math> ein fest gewählter Zweig des komplexen Logarithmus mit normalisierter algebraischer Vervollständigung auf <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> (d.h. <math>\log^*_G(1)=0</math>). Die Funktion <math> \mathrm{rlog}: \mathbb{C} \setminus \{0\} \to \mathbb{N} \cup \{+\infty\} </math> ist wie folgt definiert durch: :<math> \mathrm{rlog}(z) = \begin{cases} 0, & \text{falls } z = 0 \\ n , & \text{falls } z_n\neq 0 \text{ und } \log^*_G(z_{n}) = 0 \\ +\infty, & \text{falls } z_n\neq 0 \text{ für alle } n\in \mathbb{N} \end{cases} </math> Dabei sei <math>z_0:=z</math> und <math>z_{n+1}:=\log^*_G(z_n)</math> definiert, falls <math>\log^*_G(z_{n-1}) \neq 0 </math> und <math>\log^*_G(z_{n}) = 0 </math>. === Bemerkung - Endlichkeit des rlog-Wertes === Die Funktion liefert nur einen endlichen Wert als natürliche Zahl <math>n</math>, wenn man nach <math>n</math> rekursiven Anwendung <math>z:=z_0</math> und <math>z_{n+1}:=\log^*_G(z_n)</math> die Werte <math>\log^*_G(z_{n-1}) \neq 0 </math> und <math>\log^*_G(z_{n}) = 0 </math> gelten. Es ist möglich, dass jede weitere Iteration immer noch in <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> bleibt. Dann ist der Fall <math>\log^*_G(z) = +\infty </math> möglich. Diese Aspekt wird in dieser Lerneinheit weiter untersucht, da man in einem solchen Fall für algebraische Fragen immer von der Existenz einer weiteren rekursiven Anwendung des Logarithmus ausgehen kann. === Bemerkung - rekursive Definition von rlog === Eine rekursive Definition der rlog-Funktion mit <math>rlog(0):=0</math> ist und für <math>z\neq 0</math> setzt man: :<math> \mathrm{rlog}(z) := 1 + \mathrm{rlog}(\log^*_G(z)), \text{ falls } \log^*_G(z_n) \neq 0 </math> Der Fall <math></math> tritt auch, wenn für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> gilt: :<math> \underbrace{\log^*_G \circ \ldots \circ \log^*_G}_{n \mbox{-fach}}(z) \neq 0 </math> == Beispiele - rlog-Berechnung == Im folgenden wird die [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus|algebraische Vervollständigung]] für den [[negativer Hauptzweig des Logarithmus]] <math>\log_G^\ast : \mathbb{C}\setminus \{0\} \to \mathbb{C}</math> mit <math>\log_G^\ast (\mathbb{C}\setminus \{0\} ) = \mathbb{D_1}:= \mathbb{R} + i\cdot [0,2\pi) </math> verwendet. Die Abbildung <math>\log_G^\ast : \mathbb{C}\setminus \{0\} \to \mathbb{D}_1</math> ist bijektiv. === Beispiel 1 - rlog der Eulersche Zahl === Betrachte man den negativen algebraisch vervollständigten Hauptzweig, so erhält man für * <math> \log^\ast_G(e) = \ln(|e|) + i \underbrace{\arg_G^\ast(e)}_{=0} = 1 + i \cdot 0 = 1 </math> * <math> \log^*_G(1) = \ln(1) + i \cdot 0 = 0 </math> Also gilt <math> \mathrm{rlog}(e) = 1 + \mathrm{rlog}(1) = 1 + 1 = 2 </math> und man kann auf <math>e</math> zweimal rekursiv den Logarithmus anwenden. === Beispiel 2 - exp(e) === Da <math>exp(e)=e^e</math> eine reelle Zahl ist, gilt für die algebraische Vervollständigung des [[negativer Hauptzweig|negativen Hauptzweigs]] die reine Anwendung der natürlichen Logarithmus <math>\ln(z)</math> auf <math>z=e^e</math>: * <math> \log^*_G(e^e) = \ln(e^e) = e </math> * <math> \log^*_G(e) = 1 </math> * <math> \log^*_G(1) = 0 </math> Also gilt <math> \mathrm{rlog}(e^e) = 1 + \mathrm{rlog}(e) = 1 + 2 = 3 </math> zusammen mit Beispiel 1. Nach 3 rekursiven Anwendungen terminiert die Iteration. === Beispiel 3 - exp(exp(e)) === Für weitere rekursive Anwendungen der Exponentialfunktion mit <math> z = e^{e^e} </math> erhält man analog: * <math> \log^\ast_G(z) = e^e \quad </math> 1. Anwendung von <math>\log^*_G</math> * <math> \log^\ast_G(e^e) = e \quad </math> 2. Anwendung von <math>\log^*_G</math> * <math> \log^\ast_G(e) = 1 \quad </math> 3. Anwendung von <math>\log^*_G</math> * <math> \log^\ast_G(1) = 0 \quad </math> 4. Anwendung von <math>\log^\ast_G</math> terminiert Also gilt <math> \mathrm{rlog}_G^\ast(z) = 1 + 3 = 4 </math> und Iteration der rekursiven Anwendung endet nach 4 Schritten. === Beispiel 4 - Imaginärteil von 0 verschieden === Bisher wurde in den Beispielen 1-3 die <math>rlog</math>-Funktion nur auf reelle Zahlen <math>\mathrm{rlog}_G^\ast(z)</math> betrachtet. Sei nun <math>z=i \cdot e</math> und man betrachtet nun die Iterationsschritte der rekursiven Anwendung: ==== 1. rekursive Anwendung der Logarithmus ==== Da die Argumentsfunktion für ein <math>z=i\cdot e </math> angewendet wird, gilt für die Argumentfunktion <math>\arg_G^\ast(i\cdot e) = \arg_G^\ast(i) = \tfrac{\pi}{2}</math> und man erhält: :<math> \log^\ast_G(z) = \ln(|e\cdot i|) + \arg_G^\ast(e\cdot i) = \ln(e) + i\cdot \arg_G^\ast(i) = 1 + i\tfrac{\pi}{2} =: z_1 </math> ==== 2. rekursive Anwendung der Logarithmus ==== Da die Argumentsfunktion für ein <math>z_1= 1 + i\tfrac{\pi}{2} </math> angewendet wird, gilt für die Argumentfunktion <math>0 < \arg_G^\ast(z_1) < \tfrac{\pi}{2} </math> und mit <math>|z_1| > 1</math> man erhält auch <math>ln(|z_1|) \approx 0.6217 > 0</math>: :<math> \log^\ast_G(z_1) = \underbrace{\ln\left(\left|1+i\tfrac{\pi}{2}\right|\right)}_{\approx 0.621702675444} + \arg_G^\ast(e\cdot i) = \ln(e) + i\cdot \arg_G^\ast(i) = 1 + i\tfrac{\pi}{2} =: z_1 </math> == Siehe auch == * [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus]] * [[negativer Hauptzweig des Logarithmus]] 9z5e54yq0d53ftajsmqev823n5n4qbg 1118803 1118802 2026-11-03T15:55:50Z Bert Niehaus 20843 /* 2. rekursive Anwendung der Logarithmus */ 1118803 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird in Verwendung einer speziellen Funktion <math>rlog(z)</math> („recursive logarithm“) eingeführt, die zählt, wie oft man der rekursiv einen Logarithmus-Zweig auf ein gegebenes <math>z\in \mathbb{C}</math> anwenden kann, bis der Wert 0 erreicht wird. Diese Funktion ist nicht die übliche komplexwertige Logarithmusfunktion, sondern eine abstrakte, diskrete Zählfunktion, die die rekursive Tiefe des Logarithmus in Bezug mit Werten in <math>\mathbb{N}_0 \cup \{+\infty\}</math> beschreibt. === Ziel der Lerneinheit === * Einführung in die Funktion <math> \mathrm{rlog}: \mathbb{C} \to \mathbb{N}_0 \cup \{+\infty\} </math> * Verständnis der rekursiven Anwendung eines Logarithmus-Zweigs auf eine komplexe Zahl * Bestimmung der rekursiven Tiefe, bis der Logarithmus 0 wird und der Abhängigkeit von der betragsmäßigen Größe der Zahl <math>|z| > 1 </math> * Beweis, dass <math> \mathrm{rlog}(z) = +\infty </math> für bestimmte <math> z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> gilt. === Vorüberlegungen rlog-Funktion === Für die <math>0\in \mathbb{C} </math> ist kein Zweig des Logarithmus definiert. Eine rekursive Anwendung des Logarithmus also terminiert, wenn man den Logarithmus von 1 bildet. Für die Definition der <math>rlog</math>-Funktion muss man allerdings noch einige Vorüberlegungen anstellen, da mit der Wahl des Gebietes <math>G</math>, der imaginären Periodizitätskonstante <math>2\pi k</math> mit <math>k\in \mathbb{Z}</math> und der [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus]] eine Vielzahl von Zweigen möglich sind. === Algebraisch vervollständigter Logarithmus === Für die Definition eines Zweiges des komplexen Logarithmus gibt es unterschiedliche Möglichkeiten in Abhängigkeit und des [[einfach zusammenhängend]]en [[Gebiet (Mathematik)|Gebietes]] <math>G\setminus \{0\} </math>, dass für <math> z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus|algebraisch vervollständigt]] wird. Für die algebraische Vervollständigung des Logarithmus verlangt man ferner, dass <math>\log_G^\ast(1)=0</math> ist. Im Allgemeinen muss 1 nicht notwendigerweise im Definitionsbereich des Zweiges liegen. Dies ist z.B. beim [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweig]] des [[komplexer Logarithmus|komplexen Logarthmus der Fall]], weil dort die positive reelle Achse mit 0 aus dem Definitionsbereich entfernt wurde. === Argumentfunktion in Abhängigkeit vom Gebiet === Die Argumentfunktion <math>\arg_{_G}</math> erhält im Folgenden den Index <math>G</math>, weil auch diese von dem gewählten [[einfach zusammenhängend]]en Gebiet <math>G</math> abhängt. Im folgende Beispiel wird der :<math> \log_{_G}(z) = \ln|z| + i \cdot \arg_{_G}(z) + 2\pi i k, \quad k \in \mathbb{Z} </math> Die Argumentfunktion <math>\arg_{_G}</math> soll dabei stetig auf <math>G</math> sein. === Argumentfunktion und geometrische Form vom Gebiet === Bei einer geschlitzten Ebene (z.B. beim [[Hauptzweig des Logarithmus]]) nimmt eine wie obige Argumentfunktion <math>\arg_{_G}</math> nur Werte von aus einem Intervall <math> (-\pi, \pi) </math> <math>(c,c+2\pi] </math>. Ändert man die geometrische Form des Gebietes <math>G</math> beispielsweise von einer geschlitzten <math>G</math> Ebene für den [[Hauptzweig des Logarithmus]] zu ein Gebiet <math>\widetilde{G}</math> über, beim die Bildpunkte der [[w:de:archimedischen Spirale|archimedische Spirale]] entfernt wurden, dann ist der reellwertige Bildbereich für die zugehörige Argumentfunktion <math>\arg_{_\widetilde{G}}</math> des [[Zweige des Logarithmus|Zweiges des Logarthmus]] nicht mehr reellwertig beschränkt. === Aufgabe - Unbeschränktheit der Argumentfunktion === * Zeigen Sie, dass die reellwertige Argumentfunktion <math>\arg_{_\widetilde{G}}</math> für das archimedische Spiralgebiet <math>\widetilde{G}</math> in <math>\mathbb{C}</math> [[einfach zusammenhängend]] ist. * Zeigen Sie, dass die Argumentfunktion des archimedischen Spiralgebietes <math>\widetilde{G}</math> unbeschränkt ist. '''Hinweis:''' Für den Nachweis "einfachen zusammenhängend" unterscheiden Sie zwischen Bildpunkte mit <math>|z|\leq 1 </math> und <math>|z| > 1 </math>. Erzeugen Sie Wege zwischen zwei beliebigen Punkten <math>z_1,z_2 \in \widetilde{G}</math> über die Definition des Weges <math>\widetilde{\gamma\,}:[0,+\infty) \to \mathbb{C}</math> mit <math>\widetilde{\gamma\,}(t):=t\cdot e^{it}</math>. === Imaginäre Periodizitätskonstante === Die imaginäre Periodizitätskonstante <math>2\pi i k </math> mit <math> k \in \mathbb{Z}</math> aus der obigen Definition ist für beliebige [[Zweige des Logarithmus]]. (z. B. der Hauptzweig <math> \log^*_G </math>) wählt eine spezifische Argument-Branch, z. B. <math> \arg(z) \in (-\pi, \pi] </math>. === Algebraische Vervollständigung === Man betrachtet die Definition der <math>rlog</math>-Funktion eine feste Wahl eines Zweigs und [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus|vervollständigt diesen algebraisch]], damit dieser auf ganz <math>\mathbb{C}\setminus \{0\}</math>. Man verlangt für die [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus]] wie beim reellen Logarthmus, dass <math>\log_{_G}(1)=0</math> erfüllt ist. Die muss im allgemeinen Fall eigentlich nicht gelten, da auch <math>\log_{_G}(1)=0+2\pi k</math> mit <math>k\in \mathbb{Z}</math> und der Gleichung <math>e^{2\pi k}=1</math> möglich werden. Diese führt auch zu einer eindeutigen maginären Periodizitätskonstante <math>k</math> für die algebraische Vervollständigung des Zweiges. :<math> \log^\ast_G: \mathbb{C} \setminus \{0\} \to \mathbb{C}, \quad z \mapsto \ln|z| + i \arg_{_G}(z) </math> === Normalisierung und Surjektivität === Diese [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus|algebraisch vervollständigten Zweige des Logarithmus]] sind '''nicht surjektiv''' auf <math> \mathbb{C} </math>, aber liefert einen Logarithmus für alle <math> z \neq 0 </math>. Die Normalisierung <math>\log^*_G(1)=0</math> wird in Analogie zum reellen Logarithmus gewählt. Nun kann man die <math>rlog</math>-Funktion definieren, da diese angibt, wie oft eine rekursive Anwendung eines algebraisch vervollständigten Zweiges des Logarithmus <math>\log^*_G</math> mit <math>\log^*_G(1)=0</math> möglich ist. ==Definition rlog-Funktion == Sei <math> \log^*_G: \mathbb{C} \setminus \{0\} \to \mathbb{C} </math> ein fest gewählter Zweig des komplexen Logarithmus mit normalisierter algebraischer Vervollständigung auf <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> (d.h. <math>\log^*_G(1)=0</math>). Die Funktion <math> \mathrm{rlog}: \mathbb{C} \setminus \{0\} \to \mathbb{N} \cup \{+\infty\} </math> ist wie folgt definiert durch: :<math> \mathrm{rlog}(z) = \begin{cases} 0, & \text{falls } z = 0 \\ n , & \text{falls } z_n\neq 0 \text{ und } \log^*_G(z_{n}) = 0 \\ +\infty, & \text{falls } z_n\neq 0 \text{ für alle } n\in \mathbb{N} \end{cases} </math> Dabei sei <math>z_0:=z</math> und <math>z_{n+1}:=\log^*_G(z_n)</math> definiert, falls <math>\log^*_G(z_{n-1}) \neq 0 </math> und <math>\log^*_G(z_{n}) = 0 </math>. === Bemerkung - Endlichkeit des rlog-Wertes === Die Funktion liefert nur einen endlichen Wert als natürliche Zahl <math>n</math>, wenn man nach <math>n</math> rekursiven Anwendung <math>z:=z_0</math> und <math>z_{n+1}:=\log^*_G(z_n)</math> die Werte <math>\log^*_G(z_{n-1}) \neq 0 </math> und <math>\log^*_G(z_{n}) = 0 </math> gelten. Es ist möglich, dass jede weitere Iteration immer noch in <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> bleibt. Dann ist der Fall <math>\log^*_G(z) = +\infty </math> möglich. Diese Aspekt wird in dieser Lerneinheit weiter untersucht, da man in einem solchen Fall für algebraische Fragen immer von der Existenz einer weiteren rekursiven Anwendung des Logarithmus ausgehen kann. === Bemerkung - rekursive Definition von rlog === Eine rekursive Definition der rlog-Funktion mit <math>rlog(0):=0</math> ist und für <math>z\neq 0</math> setzt man: :<math> \mathrm{rlog}(z) := 1 + \mathrm{rlog}(\log^*_G(z)), \text{ falls } \log^*_G(z_n) \neq 0 </math> Der Fall <math></math> tritt auch, wenn für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> gilt: :<math> \underbrace{\log^*_G \circ \ldots \circ \log^*_G}_{n \mbox{-fach}}(z) \neq 0 </math> == Beispiele - rlog-Berechnung == Im folgenden wird die [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus|algebraische Vervollständigung]] für den [[negativer Hauptzweig des Logarithmus]] <math>\log_G^\ast : \mathbb{C}\setminus \{0\} \to \mathbb{C}</math> mit <math>\log_G^\ast (\mathbb{C}\setminus \{0\} ) = \mathbb{D_1}:= \mathbb{R} + i\cdot [0,2\pi) </math> verwendet. Die Abbildung <math>\log_G^\ast : \mathbb{C}\setminus \{0\} \to \mathbb{D}_1</math> ist bijektiv. === Beispiel 1 - rlog der Eulersche Zahl === Betrachte man den negativen algebraisch vervollständigten Hauptzweig, so erhält man für * <math> \log^\ast_G(e) = \ln(|e|) + i \underbrace{\arg_G^\ast(e)}_{=0} = 1 + i \cdot 0 = 1 </math> * <math> \log^*_G(1) = \ln(1) + i \cdot 0 = 0 </math> Also gilt <math> \mathrm{rlog}(e) = 1 + \mathrm{rlog}(1) = 1 + 1 = 2 </math> und man kann auf <math>e</math> zweimal rekursiv den Logarithmus anwenden. === Beispiel 2 - exp(e) === Da <math>exp(e)=e^e</math> eine reelle Zahl ist, gilt für die algebraische Vervollständigung des [[negativer Hauptzweig|negativen Hauptzweigs]] die reine Anwendung der natürlichen Logarithmus <math>\ln(z)</math> auf <math>z=e^e</math>: * <math> \log^*_G(e^e) = \ln(e^e) = e </math> * <math> \log^*_G(e) = 1 </math> * <math> \log^*_G(1) = 0 </math> Also gilt <math> \mathrm{rlog}(e^e) = 1 + \mathrm{rlog}(e) = 1 + 2 = 3 </math> zusammen mit Beispiel 1. Nach 3 rekursiven Anwendungen terminiert die Iteration. === Beispiel 3 - exp(exp(e)) === Für weitere rekursive Anwendungen der Exponentialfunktion mit <math> z = e^{e^e} </math> erhält man analog: * <math> \log^\ast_G(z) = e^e \quad </math> 1. Anwendung von <math>\log^*_G</math> * <math> \log^\ast_G(e^e) = e \quad </math> 2. Anwendung von <math>\log^*_G</math> * <math> \log^\ast_G(e) = 1 \quad </math> 3. Anwendung von <math>\log^*_G</math> * <math> \log^\ast_G(1) = 0 \quad </math> 4. Anwendung von <math>\log^\ast_G</math> terminiert Also gilt <math> \mathrm{rlog}_G^\ast(z) = 1 + 3 = 4 </math> und Iteration der rekursiven Anwendung endet nach 4 Schritten. === Beispiel 4 - Imaginärteil von 0 verschieden === Bisher wurde in den Beispielen 1-3 die <math>rlog</math>-Funktion nur auf reelle Zahlen <math>\mathrm{rlog}_G^\ast(z)</math> betrachtet. Sei nun <math>z=i \cdot e</math> und man betrachtet nun die Iterationsschritte der rekursiven Anwendung: ==== 1. rekursive Anwendung der Logarithmus ==== Da die Argumentsfunktion für ein <math>z=i\cdot e </math> angewendet wird, gilt für die Argumentfunktion <math>\arg_G^\ast(i\cdot e) = \arg_G^\ast(i) = \tfrac{\pi}{2}</math> und man erhält: :<math> \log^\ast_G(z) = \ln(|e\cdot i|) + \arg_G^\ast(e\cdot i) = \ln(e) + i\cdot \arg_G^\ast(i) = 1 + i\tfrac{\pi}{2} =: z_1 </math> ==== 2. rekursive Anwendung der Logarithmus ==== Da die Argumentsfunktion für ein <math>z_1= 1 + i\tfrac{\pi}{2} </math> angewendet wird, gilt für die Argumentfunktion <math>0 < \arg_G^\ast(z_1) < \tfrac{\pi}{2} </math> und mit <math>|z_1| > 1</math> man erhält auch <math>ln(|z_1|) \approx 0.6217 > 0</math>: :<math> \log^\ast_G(z_1) = \underbrace{\ln\left(\left|1+i\tfrac{\pi}{2}\right|\right)}_{\approx 0.621702675444} + \arg_G^\ast\left(1+i\tfrac{\pi}{2}\right) = \ln(e) + i\cdot \arg_G^\ast(i) = 1 + i\tfrac{\pi}{2} =: z_1 </math> == Siehe auch == * [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus]] * [[negativer Hauptzweig des Logarithmus]] mm44tk6ppb483u12g49adb5js02ioec 1118843 1118803 2026-11-04T11:19:28Z Bert Niehaus 20843 /* 2. rekursive Anwendung der Logarithmus */ 1118843 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird in Verwendung einer speziellen Funktion <math>rlog(z)</math> („recursive logarithm“) eingeführt, die zählt, wie oft man der rekursiv einen Logarithmus-Zweig auf ein gegebenes <math>z\in \mathbb{C}</math> anwenden kann, bis der Wert 0 erreicht wird. Diese Funktion ist nicht die übliche komplexwertige Logarithmusfunktion, sondern eine abstrakte, diskrete Zählfunktion, die die rekursive Tiefe des Logarithmus in Bezug mit Werten in <math>\mathbb{N}_0 \cup \{+\infty\}</math> beschreibt. === Ziel der Lerneinheit === * Einführung in die Funktion <math> \mathrm{rlog}: \mathbb{C} \to \mathbb{N}_0 \cup \{+\infty\} </math> * Verständnis der rekursiven Anwendung eines Logarithmus-Zweigs auf eine komplexe Zahl * Bestimmung der rekursiven Tiefe, bis der Logarithmus 0 wird und der Abhängigkeit von der betragsmäßigen Größe der Zahl <math>|z| > 1 </math> * Beweis, dass <math> \mathrm{rlog}(z) = +\infty </math> für bestimmte <math> z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> gilt. === Vorüberlegungen rlog-Funktion === Für die <math>0\in \mathbb{C} </math> ist kein Zweig des Logarithmus definiert. Eine rekursive Anwendung des Logarithmus also terminiert, wenn man den Logarithmus von 1 bildet. Für die Definition der <math>rlog</math>-Funktion muss man allerdings noch einige Vorüberlegungen anstellen, da mit der Wahl des Gebietes <math>G</math>, der imaginären Periodizitätskonstante <math>2\pi k</math> mit <math>k\in \mathbb{Z}</math> und der [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus]] eine Vielzahl von Zweigen möglich sind. === Algebraisch vervollständigter Logarithmus === Für die Definition eines Zweiges des komplexen Logarithmus gibt es unterschiedliche Möglichkeiten in Abhängigkeit und des [[einfach zusammenhängend]]en [[Gebiet (Mathematik)|Gebietes]] <math>G\setminus \{0\} </math>, dass für <math> z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus|algebraisch vervollständigt]] wird. Für die algebraische Vervollständigung des Logarithmus verlangt man ferner, dass <math>\log_G^\ast(1)=0</math> ist. Im Allgemeinen muss 1 nicht notwendigerweise im Definitionsbereich des Zweiges liegen. Dies ist z.B. beim [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweig]] des [[komplexer Logarithmus|komplexen Logarthmus der Fall]], weil dort die positive reelle Achse mit 0 aus dem Definitionsbereich entfernt wurde. === Argumentfunktion in Abhängigkeit vom Gebiet === Die Argumentfunktion <math>\arg_{_G}</math> erhält im Folgenden den Index <math>G</math>, weil auch diese von dem gewählten [[einfach zusammenhängend]]en Gebiet <math>G</math> abhängt. Im folgende Beispiel wird der :<math> \log_{_G}(z) = \ln|z| + i \cdot \arg_{_G}(z) + 2\pi i k, \quad k \in \mathbb{Z} </math> Die Argumentfunktion <math>\arg_{_G}</math> soll dabei stetig auf <math>G</math> sein. === Argumentfunktion und geometrische Form vom Gebiet === Bei einer geschlitzten Ebene (z.B. beim [[Hauptzweig des Logarithmus]]) nimmt eine wie obige Argumentfunktion <math>\arg_{_G}</math> nur Werte von aus einem Intervall <math> (-\pi, \pi) </math> <math>(c,c+2\pi] </math>. Ändert man die geometrische Form des Gebietes <math>G</math> beispielsweise von einer geschlitzten <math>G</math> Ebene für den [[Hauptzweig des Logarithmus]] zu ein Gebiet <math>\widetilde{G}</math> über, beim die Bildpunkte der [[w:de:archimedischen Spirale|archimedische Spirale]] entfernt wurden, dann ist der reellwertige Bildbereich für die zugehörige Argumentfunktion <math>\arg_{_\widetilde{G}}</math> des [[Zweige des Logarithmus|Zweiges des Logarthmus]] nicht mehr reellwertig beschränkt. === Aufgabe - Unbeschränktheit der Argumentfunktion === * Zeigen Sie, dass die reellwertige Argumentfunktion <math>\arg_{_\widetilde{G}}</math> für das archimedische Spiralgebiet <math>\widetilde{G}</math> in <math>\mathbb{C}</math> [[einfach zusammenhängend]] ist. * Zeigen Sie, dass die Argumentfunktion des archimedischen Spiralgebietes <math>\widetilde{G}</math> unbeschränkt ist. '''Hinweis:''' Für den Nachweis "einfachen zusammenhängend" unterscheiden Sie zwischen Bildpunkte mit <math>|z|\leq 1 </math> und <math>|z| > 1 </math>. Erzeugen Sie Wege zwischen zwei beliebigen Punkten <math>z_1,z_2 \in \widetilde{G}</math> über die Definition des Weges <math>\widetilde{\gamma\,}:[0,+\infty) \to \mathbb{C}</math> mit <math>\widetilde{\gamma\,}(t):=t\cdot e^{it}</math>. === Imaginäre Periodizitätskonstante === Die imaginäre Periodizitätskonstante <math>2\pi i k </math> mit <math> k \in \mathbb{Z}</math> aus der obigen Definition ist für beliebige [[Zweige des Logarithmus]]. (z. B. der Hauptzweig <math> \log^*_G </math>) wählt eine spezifische Argument-Branch, z. B. <math> \arg(z) \in (-\pi, \pi] </math>. === Algebraische Vervollständigung === Man betrachtet die Definition der <math>rlog</math>-Funktion eine feste Wahl eines Zweigs und [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus|vervollständigt diesen algebraisch]], damit dieser auf ganz <math>\mathbb{C}\setminus \{0\}</math>. Man verlangt für die [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus]] wie beim reellen Logarthmus, dass <math>\log_{_G}(1)=0</math> erfüllt ist. Die muss im allgemeinen Fall eigentlich nicht gelten, da auch <math>\log_{_G}(1)=0+2\pi k</math> mit <math>k\in \mathbb{Z}</math> und der Gleichung <math>e^{2\pi k}=1</math> möglich werden. Diese führt auch zu einer eindeutigen maginären Periodizitätskonstante <math>k</math> für die algebraische Vervollständigung des Zweiges. :<math> \log^\ast_G: \mathbb{C} \setminus \{0\} \to \mathbb{C}, \quad z \mapsto \ln|z| + i \arg_{_G}(z) </math> === Normalisierung und Surjektivität === Diese [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus|algebraisch vervollständigten Zweige des Logarithmus]] sind '''nicht surjektiv''' auf <math> \mathbb{C} </math>, aber liefert einen Logarithmus für alle <math> z \neq 0 </math>. Die Normalisierung <math>\log^*_G(1)=0</math> wird in Analogie zum reellen Logarithmus gewählt. Nun kann man die <math>rlog</math>-Funktion definieren, da diese angibt, wie oft eine rekursive Anwendung eines algebraisch vervollständigten Zweiges des Logarithmus <math>\log^*_G</math> mit <math>\log^*_G(1)=0</math> möglich ist. ==Definition rlog-Funktion == Sei <math> \log^*_G: \mathbb{C} \setminus \{0\} \to \mathbb{C} </math> ein fest gewählter Zweig des komplexen Logarithmus mit normalisierter algebraischer Vervollständigung auf <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> (d.h. <math>\log^*_G(1)=0</math>). Die Funktion <math> \mathrm{rlog}: \mathbb{C} \setminus \{0\} \to \mathbb{N} \cup \{+\infty\} </math> ist wie folgt definiert durch: :<math> \mathrm{rlog}(z) = \begin{cases} 0, & \text{falls } z = 0 \\ n , & \text{falls } z_n\neq 0 \text{ und } \log^*_G(z_{n}) = 0 \\ +\infty, & \text{falls } z_n\neq 0 \text{ für alle } n\in \mathbb{N} \end{cases} </math> Dabei sei <math>z_0:=z</math> und <math>z_{n+1}:=\log^*_G(z_n)</math> definiert, falls <math>\log^*_G(z_{n-1}) \neq 0 </math> und <math>\log^*_G(z_{n}) = 0 </math>. === Bemerkung - Endlichkeit des rlog-Wertes === Die Funktion liefert nur einen endlichen Wert als natürliche Zahl <math>n</math>, wenn man nach <math>n</math> rekursiven Anwendung <math>z:=z_0</math> und <math>z_{n+1}:=\log^*_G(z_n)</math> die Werte <math>\log^*_G(z_{n-1}) \neq 0 </math> und <math>\log^*_G(z_{n}) = 0 </math> gelten. Es ist möglich, dass jede weitere Iteration immer noch in <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> bleibt. Dann ist der Fall <math>\log^*_G(z) = +\infty </math> möglich. Diese Aspekt wird in dieser Lerneinheit weiter untersucht, da man in einem solchen Fall für algebraische Fragen immer von der Existenz einer weiteren rekursiven Anwendung des Logarithmus ausgehen kann. === Bemerkung - rekursive Definition von rlog === Eine rekursive Definition der rlog-Funktion mit <math>rlog(0):=0</math> ist und für <math>z\neq 0</math> setzt man: :<math> \mathrm{rlog}(z) := 1 + \mathrm{rlog}(\log^*_G(z)), \text{ falls } \log^*_G(z_n) \neq 0 </math> Der Fall <math></math> tritt auch, wenn für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> gilt: :<math> \underbrace{\log^*_G \circ \ldots \circ \log^*_G}_{n \mbox{-fach}}(z) \neq 0 </math> == Beispiele - rlog-Berechnung == Im folgenden wird die [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus|algebraische Vervollständigung]] für den [[negativer Hauptzweig des Logarithmus]] <math>\log_G^\ast : \mathbb{C}\setminus \{0\} \to \mathbb{C}</math> mit <math>\log_G^\ast (\mathbb{C}\setminus \{0\} ) = \mathbb{D_1}:= \mathbb{R} + i\cdot [0,2\pi) </math> verwendet. Die Abbildung <math>\log_G^\ast : \mathbb{C}\setminus \{0\} \to \mathbb{D}_1</math> ist bijektiv. === Beispiel 1 - rlog der Eulersche Zahl === Betrachte man den negativen algebraisch vervollständigten Hauptzweig, so erhält man für * <math> \log^\ast_G(e) = \ln(|e|) + i \underbrace{\arg_G^\ast(e)}_{=0} = 1 + i \cdot 0 = 1 </math> * <math> \log^*_G(1) = \ln(1) + i \cdot 0 = 0 </math> Also gilt <math> \mathrm{rlog}(e) = 1 + \mathrm{rlog}(1) = 1 + 1 = 2 </math> und man kann auf <math>e</math> zweimal rekursiv den Logarithmus anwenden. === Beispiel 2 - exp(e) === Da <math>exp(e)=e^e</math> eine reelle Zahl ist, gilt für die algebraische Vervollständigung des [[negativer Hauptzweig|negativen Hauptzweigs]] die reine Anwendung der natürlichen Logarithmus <math>\ln(z)</math> auf <math>z=e^e</math>: * <math> \log^*_G(e^e) = \ln(e^e) = e </math> * <math> \log^*_G(e) = 1 </math> * <math> \log^*_G(1) = 0 </math> Also gilt <math> \mathrm{rlog}(e^e) = 1 + \mathrm{rlog}(e) = 1 + 2 = 3 </math> zusammen mit Beispiel 1. Nach 3 rekursiven Anwendungen terminiert die Iteration. === Beispiel 3 - exp(exp(e)) === Für weitere rekursive Anwendungen der Exponentialfunktion mit <math> z = e^{e^e} </math> erhält man analog: * <math> \log^\ast_G(z) = e^e \quad </math> 1. Anwendung von <math>\log^*_G</math> * <math> \log^\ast_G(e^e) = e \quad </math> 2. Anwendung von <math>\log^*_G</math> * <math> \log^\ast_G(e) = 1 \quad </math> 3. Anwendung von <math>\log^*_G</math> * <math> \log^\ast_G(1) = 0 \quad </math> 4. Anwendung von <math>\log^\ast_G</math> terminiert Also gilt <math> \mathrm{rlog}_G^\ast(z) = 1 + 3 = 4 </math> und Iteration der rekursiven Anwendung endet nach 4 Schritten. === Beispiel 4 - Imaginärteil von 0 verschieden === Bisher wurde in den Beispielen 1-3 die <math>rlog</math>-Funktion nur auf reelle Zahlen <math>\mathrm{rlog}_G^\ast(z)</math> betrachtet. Sei nun <math>z=i \cdot e</math> und man betrachtet nun die Iterationsschritte der rekursiven Anwendung: ==== 1. rekursive Anwendung der Logarithmus ==== Da die Argumentsfunktion für ein <math>z=i\cdot e </math> angewendet wird, gilt für die Argumentfunktion <math>\arg_G^\ast(i\cdot e) = \arg_G^\ast(i) = \tfrac{\pi}{2}</math> und man erhält: :<math> \log^\ast_G(z) = \ln(|e\cdot i|) + \arg_G^\ast(e\cdot i) = \ln(e) + i\cdot \arg_G^\ast(i) = 1 + i\tfrac{\pi}{2} =: z_1 </math> ==== 2. rekursive Anwendung der Logarithmus ==== Da die Argumentsfunktion für ein <math>z_1= 1 + i\tfrac{\pi}{2} </math> angewendet wird, gilt für die Argumentfunktion <math>0 < \arg_G^\ast(z_1) < \tfrac{\pi}{2} </math> und mit <math>|z_1| > 1</math> man erhält auch <math>ln(|z_1|) \approx 0.6217 > 0</math>: :<math> \log^\ast_G(z_1) = \underbrace{\ln\left(\left|1+i\tfrac{\pi}{2}\right|\right)}_{\approx 0.6217} + i\cdot \underbrace{\arg_G^\ast\left(1+i\tfrac{\pi}{2}\right)}_{\in \left(0,\tfrac{\pi}{2}\right)} = \ln(e) + i\cdot \arg_G^\ast(i) = 1 + i\tfrac{\pi}{2} =: z_1 </math> == Siehe auch == * [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus]] * [[negativer Hauptzweig des Logarithmus]] 04kf9jknq6mbmtiutnjzds01ifalj7w 1118844 1118843 2026-11-04T11:20:10Z Bert Niehaus 20843 /* 2. rekursive Anwendung der Logarithmus */ 1118844 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird in Verwendung einer speziellen Funktion <math>rlog(z)</math> („recursive logarithm“) eingeführt, die zählt, wie oft man der rekursiv einen Logarithmus-Zweig auf ein gegebenes <math>z\in \mathbb{C}</math> anwenden kann, bis der Wert 0 erreicht wird. Diese Funktion ist nicht die übliche komplexwertige Logarithmusfunktion, sondern eine abstrakte, diskrete Zählfunktion, die die rekursive Tiefe des Logarithmus in Bezug mit Werten in <math>\mathbb{N}_0 \cup \{+\infty\}</math> beschreibt. === Ziel der Lerneinheit === * Einführung in die Funktion <math> \mathrm{rlog}: \mathbb{C} \to \mathbb{N}_0 \cup \{+\infty\} </math> * Verständnis der rekursiven Anwendung eines Logarithmus-Zweigs auf eine komplexe Zahl * Bestimmung der rekursiven Tiefe, bis der Logarithmus 0 wird und der Abhängigkeit von der betragsmäßigen Größe der Zahl <math>|z| > 1 </math> * Beweis, dass <math> \mathrm{rlog}(z) = +\infty </math> für bestimmte <math> z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> gilt. === Vorüberlegungen rlog-Funktion === Für die <math>0\in \mathbb{C} </math> ist kein Zweig des Logarithmus definiert. Eine rekursive Anwendung des Logarithmus also terminiert, wenn man den Logarithmus von 1 bildet. Für die Definition der <math>rlog</math>-Funktion muss man allerdings noch einige Vorüberlegungen anstellen, da mit der Wahl des Gebietes <math>G</math>, der imaginären Periodizitätskonstante <math>2\pi k</math> mit <math>k\in \mathbb{Z}</math> und der [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus]] eine Vielzahl von Zweigen möglich sind. === Algebraisch vervollständigter Logarithmus === Für die Definition eines Zweiges des komplexen Logarithmus gibt es unterschiedliche Möglichkeiten in Abhängigkeit und des [[einfach zusammenhängend]]en [[Gebiet (Mathematik)|Gebietes]] <math>G\setminus \{0\} </math>, dass für <math> z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus|algebraisch vervollständigt]] wird. Für die algebraische Vervollständigung des Logarithmus verlangt man ferner, dass <math>\log_G^\ast(1)=0</math> ist. Im Allgemeinen muss 1 nicht notwendigerweise im Definitionsbereich des Zweiges liegen. Dies ist z.B. beim [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweig]] des [[komplexer Logarithmus|komplexen Logarthmus der Fall]], weil dort die positive reelle Achse mit 0 aus dem Definitionsbereich entfernt wurde. === Argumentfunktion in Abhängigkeit vom Gebiet === Die Argumentfunktion <math>\arg_{_G}</math> erhält im Folgenden den Index <math>G</math>, weil auch diese von dem gewählten [[einfach zusammenhängend]]en Gebiet <math>G</math> abhängt. Im folgende Beispiel wird der :<math> \log_{_G}(z) = \ln|z| + i \cdot \arg_{_G}(z) + 2\pi i k, \quad k \in \mathbb{Z} </math> Die Argumentfunktion <math>\arg_{_G}</math> soll dabei stetig auf <math>G</math> sein. === Argumentfunktion und geometrische Form vom Gebiet === Bei einer geschlitzten Ebene (z.B. beim [[Hauptzweig des Logarithmus]]) nimmt eine wie obige Argumentfunktion <math>\arg_{_G}</math> nur Werte von aus einem Intervall <math> (-\pi, \pi) </math> <math>(c,c+2\pi] </math>. Ändert man die geometrische Form des Gebietes <math>G</math> beispielsweise von einer geschlitzten <math>G</math> Ebene für den [[Hauptzweig des Logarithmus]] zu ein Gebiet <math>\widetilde{G}</math> über, beim die Bildpunkte der [[w:de:archimedischen Spirale|archimedische Spirale]] entfernt wurden, dann ist der reellwertige Bildbereich für die zugehörige Argumentfunktion <math>\arg_{_\widetilde{G}}</math> des [[Zweige des Logarithmus|Zweiges des Logarthmus]] nicht mehr reellwertig beschränkt. === Aufgabe - Unbeschränktheit der Argumentfunktion === * Zeigen Sie, dass die reellwertige Argumentfunktion <math>\arg_{_\widetilde{G}}</math> für das archimedische Spiralgebiet <math>\widetilde{G}</math> in <math>\mathbb{C}</math> [[einfach zusammenhängend]] ist. * Zeigen Sie, dass die Argumentfunktion des archimedischen Spiralgebietes <math>\widetilde{G}</math> unbeschränkt ist. '''Hinweis:''' Für den Nachweis "einfachen zusammenhängend" unterscheiden Sie zwischen Bildpunkte mit <math>|z|\leq 1 </math> und <math>|z| > 1 </math>. Erzeugen Sie Wege zwischen zwei beliebigen Punkten <math>z_1,z_2 \in \widetilde{G}</math> über die Definition des Weges <math>\widetilde{\gamma\,}:[0,+\infty) \to \mathbb{C}</math> mit <math>\widetilde{\gamma\,}(t):=t\cdot e^{it}</math>. === Imaginäre Periodizitätskonstante === Die imaginäre Periodizitätskonstante <math>2\pi i k </math> mit <math> k \in \mathbb{Z}</math> aus der obigen Definition ist für beliebige [[Zweige des Logarithmus]]. (z. B. der Hauptzweig <math> \log^*_G </math>) wählt eine spezifische Argument-Branch, z. B. <math> \arg(z) \in (-\pi, \pi] </math>. === Algebraische Vervollständigung === Man betrachtet die Definition der <math>rlog</math>-Funktion eine feste Wahl eines Zweigs und [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus|vervollständigt diesen algebraisch]], damit dieser auf ganz <math>\mathbb{C}\setminus \{0\}</math>. Man verlangt für die [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus]] wie beim reellen Logarthmus, dass <math>\log_{_G}(1)=0</math> erfüllt ist. Die muss im allgemeinen Fall eigentlich nicht gelten, da auch <math>\log_{_G}(1)=0+2\pi k</math> mit <math>k\in \mathbb{Z}</math> und der Gleichung <math>e^{2\pi k}=1</math> möglich werden. Diese führt auch zu einer eindeutigen maginären Periodizitätskonstante <math>k</math> für die algebraische Vervollständigung des Zweiges. :<math> \log^\ast_G: \mathbb{C} \setminus \{0\} \to \mathbb{C}, \quad z \mapsto \ln|z| + i \arg_{_G}(z) </math> === Normalisierung und Surjektivität === Diese [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus|algebraisch vervollständigten Zweige des Logarithmus]] sind '''nicht surjektiv''' auf <math> \mathbb{C} </math>, aber liefert einen Logarithmus für alle <math> z \neq 0 </math>. Die Normalisierung <math>\log^*_G(1)=0</math> wird in Analogie zum reellen Logarithmus gewählt. Nun kann man die <math>rlog</math>-Funktion definieren, da diese angibt, wie oft eine rekursive Anwendung eines algebraisch vervollständigten Zweiges des Logarithmus <math>\log^*_G</math> mit <math>\log^*_G(1)=0</math> möglich ist. ==Definition rlog-Funktion == Sei <math> \log^*_G: \mathbb{C} \setminus \{0\} \to \mathbb{C} </math> ein fest gewählter Zweig des komplexen Logarithmus mit normalisierter algebraischer Vervollständigung auf <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> (d.h. <math>\log^*_G(1)=0</math>). Die Funktion <math> \mathrm{rlog}: \mathbb{C} \setminus \{0\} \to \mathbb{N} \cup \{+\infty\} </math> ist wie folgt definiert durch: :<math> \mathrm{rlog}(z) = \begin{cases} 0, & \text{falls } z = 0 \\ n , & \text{falls } z_n\neq 0 \text{ und } \log^*_G(z_{n}) = 0 \\ +\infty, & \text{falls } z_n\neq 0 \text{ für alle } n\in \mathbb{N} \end{cases} </math> Dabei sei <math>z_0:=z</math> und <math>z_{n+1}:=\log^*_G(z_n)</math> definiert, falls <math>\log^*_G(z_{n-1}) \neq 0 </math> und <math>\log^*_G(z_{n}) = 0 </math>. === Bemerkung - Endlichkeit des rlog-Wertes === Die Funktion liefert nur einen endlichen Wert als natürliche Zahl <math>n</math>, wenn man nach <math>n</math> rekursiven Anwendung <math>z:=z_0</math> und <math>z_{n+1}:=\log^*_G(z_n)</math> die Werte <math>\log^*_G(z_{n-1}) \neq 0 </math> und <math>\log^*_G(z_{n}) = 0 </math> gelten. Es ist möglich, dass jede weitere Iteration immer noch in <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> bleibt. Dann ist der Fall <math>\log^*_G(z) = +\infty </math> möglich. Diese Aspekt wird in dieser Lerneinheit weiter untersucht, da man in einem solchen Fall für algebraische Fragen immer von der Existenz einer weiteren rekursiven Anwendung des Logarithmus ausgehen kann. === Bemerkung - rekursive Definition von rlog === Eine rekursive Definition der rlog-Funktion mit <math>rlog(0):=0</math> ist und für <math>z\neq 0</math> setzt man: :<math> \mathrm{rlog}(z) := 1 + \mathrm{rlog}(\log^*_G(z)), \text{ falls } \log^*_G(z_n) \neq 0 </math> Der Fall <math></math> tritt auch, wenn für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> gilt: :<math> \underbrace{\log^*_G \circ \ldots \circ \log^*_G}_{n \mbox{-fach}}(z) \neq 0 </math> == Beispiele - rlog-Berechnung == Im folgenden wird die [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus|algebraische Vervollständigung]] für den [[negativer Hauptzweig des Logarithmus]] <math>\log_G^\ast : \mathbb{C}\setminus \{0\} \to \mathbb{C}</math> mit <math>\log_G^\ast (\mathbb{C}\setminus \{0\} ) = \mathbb{D_1}:= \mathbb{R} + i\cdot [0,2\pi) </math> verwendet. Die Abbildung <math>\log_G^\ast : \mathbb{C}\setminus \{0\} \to \mathbb{D}_1</math> ist bijektiv. === Beispiel 1 - rlog der Eulersche Zahl === Betrachte man den negativen algebraisch vervollständigten Hauptzweig, so erhält man für * <math> \log^\ast_G(e) = \ln(|e|) + i \underbrace{\arg_G^\ast(e)}_{=0} = 1 + i \cdot 0 = 1 </math> * <math> \log^*_G(1) = \ln(1) + i \cdot 0 = 0 </math> Also gilt <math> \mathrm{rlog}(e) = 1 + \mathrm{rlog}(1) = 1 + 1 = 2 </math> und man kann auf <math>e</math> zweimal rekursiv den Logarithmus anwenden. === Beispiel 2 - exp(e) === Da <math>exp(e)=e^e</math> eine reelle Zahl ist, gilt für die algebraische Vervollständigung des [[negativer Hauptzweig|negativen Hauptzweigs]] die reine Anwendung der natürlichen Logarithmus <math>\ln(z)</math> auf <math>z=e^e</math>: * <math> \log^*_G(e^e) = \ln(e^e) = e </math> * <math> \log^*_G(e) = 1 </math> * <math> \log^*_G(1) = 0 </math> Also gilt <math> \mathrm{rlog}(e^e) = 1 + \mathrm{rlog}(e) = 1 + 2 = 3 </math> zusammen mit Beispiel 1. Nach 3 rekursiven Anwendungen terminiert die Iteration. === Beispiel 3 - exp(exp(e)) === Für weitere rekursive Anwendungen der Exponentialfunktion mit <math> z = e^{e^e} </math> erhält man analog: * <math> \log^\ast_G(z) = e^e \quad </math> 1. Anwendung von <math>\log^*_G</math> * <math> \log^\ast_G(e^e) = e \quad </math> 2. Anwendung von <math>\log^*_G</math> * <math> \log^\ast_G(e) = 1 \quad </math> 3. Anwendung von <math>\log^*_G</math> * <math> \log^\ast_G(1) = 0 \quad </math> 4. Anwendung von <math>\log^\ast_G</math> terminiert Also gilt <math> \mathrm{rlog}_G^\ast(z) = 1 + 3 = 4 </math> und Iteration der rekursiven Anwendung endet nach 4 Schritten. === Beispiel 4 - Imaginärteil von 0 verschieden === Bisher wurde in den Beispielen 1-3 die <math>rlog</math>-Funktion nur auf reelle Zahlen <math>\mathrm{rlog}_G^\ast(z)</math> betrachtet. Sei nun <math>z=i \cdot e</math> und man betrachtet nun die Iterationsschritte der rekursiven Anwendung: ==== 1. rekursive Anwendung der Logarithmus ==== Da die Argumentsfunktion für ein <math>z=i\cdot e </math> angewendet wird, gilt für die Argumentfunktion <math>\arg_G^\ast(i\cdot e) = \arg_G^\ast(i) = \tfrac{\pi}{2}</math> und man erhält: :<math> \log^\ast_G(z) = \ln(|e\cdot i|) + \arg_G^\ast(e\cdot i) = \ln(e) + i\cdot \arg_G^\ast(i) = 1 + i\tfrac{\pi}{2} =: z_1 </math> ==== 2. rekursive Anwendung der Logarithmus ==== Da die Argumentsfunktion für ein <math>z_1= 1 + i\tfrac{\pi}{2} </math> angewendet wird, gilt für die Argumentfunktion <math>0 < \arg_G^\ast(z_1) < \tfrac{\pi}{2} </math> und mit <math>|z_1| > 1</math> man erhält auch <math>ln(|z_1|) \approx 0.6217 > 0</math>: :<math> \log^\ast_G(z_1) = \underbrace{\ln\left(\left|1+i\tfrac{\pi}{2}\right|\right)}_{\approx 0.6217} + i\cdot \underbrace{\arg_G^\ast\left(1+i\tfrac{\pi}{2}\right)}_{\in \left(0,\pi\right)} = \ln(e) + i\cdot \arg_G^\ast(i) = 1 + i\tfrac{\pi}{2} =: z_1 </math> == Siehe auch == * [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus]] * [[negativer Hauptzweig des Logarithmus]] snvc3gnhjwrzenfggjlc61zwtxhgpp6 1118845 1118844 2026-11-04T11:21:06Z Bert Niehaus 20843 /* 2. rekursive Anwendung der Logarithmus */ 1118845 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird in Verwendung einer speziellen Funktion <math>rlog(z)</math> („recursive logarithm“) eingeführt, die zählt, wie oft man der rekursiv einen Logarithmus-Zweig auf ein gegebenes <math>z\in \mathbb{C}</math> anwenden kann, bis der Wert 0 erreicht wird. Diese Funktion ist nicht die übliche komplexwertige Logarithmusfunktion, sondern eine abstrakte, diskrete Zählfunktion, die die rekursive Tiefe des Logarithmus in Bezug mit Werten in <math>\mathbb{N}_0 \cup \{+\infty\}</math> beschreibt. === Ziel der Lerneinheit === * Einführung in die Funktion <math> \mathrm{rlog}: \mathbb{C} \to \mathbb{N}_0 \cup \{+\infty\} </math> * Verständnis der rekursiven Anwendung eines Logarithmus-Zweigs auf eine komplexe Zahl * Bestimmung der rekursiven Tiefe, bis der Logarithmus 0 wird und der Abhängigkeit von der betragsmäßigen Größe der Zahl <math>|z| > 1 </math> * Beweis, dass <math> \mathrm{rlog}(z) = +\infty </math> für bestimmte <math> z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> gilt. === Vorüberlegungen rlog-Funktion === Für die <math>0\in \mathbb{C} </math> ist kein Zweig des Logarithmus definiert. Eine rekursive Anwendung des Logarithmus also terminiert, wenn man den Logarithmus von 1 bildet. Für die Definition der <math>rlog</math>-Funktion muss man allerdings noch einige Vorüberlegungen anstellen, da mit der Wahl des Gebietes <math>G</math>, der imaginären Periodizitätskonstante <math>2\pi k</math> mit <math>k\in \mathbb{Z}</math> und der [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus]] eine Vielzahl von Zweigen möglich sind. === Algebraisch vervollständigter Logarithmus === Für die Definition eines Zweiges des komplexen Logarithmus gibt es unterschiedliche Möglichkeiten in Abhängigkeit und des [[einfach zusammenhängend]]en [[Gebiet (Mathematik)|Gebietes]] <math>G\setminus \{0\} </math>, dass für <math> z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus|algebraisch vervollständigt]] wird. Für die algebraische Vervollständigung des Logarithmus verlangt man ferner, dass <math>\log_G^\ast(1)=0</math> ist. Im Allgemeinen muss 1 nicht notwendigerweise im Definitionsbereich des Zweiges liegen. Dies ist z.B. beim [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweig]] des [[komplexer Logarithmus|komplexen Logarthmus der Fall]], weil dort die positive reelle Achse mit 0 aus dem Definitionsbereich entfernt wurde. === Argumentfunktion in Abhängigkeit vom Gebiet === Die Argumentfunktion <math>\arg_{_G}</math> erhält im Folgenden den Index <math>G</math>, weil auch diese von dem gewählten [[einfach zusammenhängend]]en Gebiet <math>G</math> abhängt. Im folgende Beispiel wird der :<math> \log_{_G}(z) = \ln|z| + i \cdot \arg_{_G}(z) + 2\pi i k, \quad k \in \mathbb{Z} </math> Die Argumentfunktion <math>\arg_{_G}</math> soll dabei stetig auf <math>G</math> sein. === Argumentfunktion und geometrische Form vom Gebiet === Bei einer geschlitzten Ebene (z.B. beim [[Hauptzweig des Logarithmus]]) nimmt eine wie obige Argumentfunktion <math>\arg_{_G}</math> nur Werte von aus einem Intervall <math> (-\pi, \pi) </math> <math>(c,c+2\pi] </math>. Ändert man die geometrische Form des Gebietes <math>G</math> beispielsweise von einer geschlitzten <math>G</math> Ebene für den [[Hauptzweig des Logarithmus]] zu ein Gebiet <math>\widetilde{G}</math> über, beim die Bildpunkte der [[w:de:archimedischen Spirale|archimedische Spirale]] entfernt wurden, dann ist der reellwertige Bildbereich für die zugehörige Argumentfunktion <math>\arg_{_\widetilde{G}}</math> des [[Zweige des Logarithmus|Zweiges des Logarthmus]] nicht mehr reellwertig beschränkt. === Aufgabe - Unbeschränktheit der Argumentfunktion === * Zeigen Sie, dass die reellwertige Argumentfunktion <math>\arg_{_\widetilde{G}}</math> für das archimedische Spiralgebiet <math>\widetilde{G}</math> in <math>\mathbb{C}</math> [[einfach zusammenhängend]] ist. * Zeigen Sie, dass die Argumentfunktion des archimedischen Spiralgebietes <math>\widetilde{G}</math> unbeschränkt ist. '''Hinweis:''' Für den Nachweis "einfachen zusammenhängend" unterscheiden Sie zwischen Bildpunkte mit <math>|z|\leq 1 </math> und <math>|z| > 1 </math>. Erzeugen Sie Wege zwischen zwei beliebigen Punkten <math>z_1,z_2 \in \widetilde{G}</math> über die Definition des Weges <math>\widetilde{\gamma\,}:[0,+\infty) \to \mathbb{C}</math> mit <math>\widetilde{\gamma\,}(t):=t\cdot e^{it}</math>. === Imaginäre Periodizitätskonstante === Die imaginäre Periodizitätskonstante <math>2\pi i k </math> mit <math> k \in \mathbb{Z}</math> aus der obigen Definition ist für beliebige [[Zweige des Logarithmus]]. (z. B. der Hauptzweig <math> \log^*_G </math>) wählt eine spezifische Argument-Branch, z. B. <math> \arg(z) \in (-\pi, \pi] </math>. === Algebraische Vervollständigung === Man betrachtet die Definition der <math>rlog</math>-Funktion eine feste Wahl eines Zweigs und [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus|vervollständigt diesen algebraisch]], damit dieser auf ganz <math>\mathbb{C}\setminus \{0\}</math>. Man verlangt für die [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus]] wie beim reellen Logarthmus, dass <math>\log_{_G}(1)=0</math> erfüllt ist. Die muss im allgemeinen Fall eigentlich nicht gelten, da auch <math>\log_{_G}(1)=0+2\pi k</math> mit <math>k\in \mathbb{Z}</math> und der Gleichung <math>e^{2\pi k}=1</math> möglich werden. Diese führt auch zu einer eindeutigen maginären Periodizitätskonstante <math>k</math> für die algebraische Vervollständigung des Zweiges. :<math> \log^\ast_G: \mathbb{C} \setminus \{0\} \to \mathbb{C}, \quad z \mapsto \ln|z| + i \arg_{_G}(z) </math> === Normalisierung und Surjektivität === Diese [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus|algebraisch vervollständigten Zweige des Logarithmus]] sind '''nicht surjektiv''' auf <math> \mathbb{C} </math>, aber liefert einen Logarithmus für alle <math> z \neq 0 </math>. Die Normalisierung <math>\log^*_G(1)=0</math> wird in Analogie zum reellen Logarithmus gewählt. Nun kann man die <math>rlog</math>-Funktion definieren, da diese angibt, wie oft eine rekursive Anwendung eines algebraisch vervollständigten Zweiges des Logarithmus <math>\log^*_G</math> mit <math>\log^*_G(1)=0</math> möglich ist. ==Definition rlog-Funktion == Sei <math> \log^*_G: \mathbb{C} \setminus \{0\} \to \mathbb{C} </math> ein fest gewählter Zweig des komplexen Logarithmus mit normalisierter algebraischer Vervollständigung auf <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> (d.h. <math>\log^*_G(1)=0</math>). Die Funktion <math> \mathrm{rlog}: \mathbb{C} \setminus \{0\} \to \mathbb{N} \cup \{+\infty\} </math> ist wie folgt definiert durch: :<math> \mathrm{rlog}(z) = \begin{cases} 0, & \text{falls } z = 0 \\ n , & \text{falls } z_n\neq 0 \text{ und } \log^*_G(z_{n}) = 0 \\ +\infty, & \text{falls } z_n\neq 0 \text{ für alle } n\in \mathbb{N} \end{cases} </math> Dabei sei <math>z_0:=z</math> und <math>z_{n+1}:=\log^*_G(z_n)</math> definiert, falls <math>\log^*_G(z_{n-1}) \neq 0 </math> und <math>\log^*_G(z_{n}) = 0 </math>. === Bemerkung - Endlichkeit des rlog-Wertes === Die Funktion liefert nur einen endlichen Wert als natürliche Zahl <math>n</math>, wenn man nach <math>n</math> rekursiven Anwendung <math>z:=z_0</math> und <math>z_{n+1}:=\log^*_G(z_n)</math> die Werte <math>\log^*_G(z_{n-1}) \neq 0 </math> und <math>\log^*_G(z_{n}) = 0 </math> gelten. Es ist möglich, dass jede weitere Iteration immer noch in <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> bleibt. Dann ist der Fall <math>\log^*_G(z) = +\infty </math> möglich. Diese Aspekt wird in dieser Lerneinheit weiter untersucht, da man in einem solchen Fall für algebraische Fragen immer von der Existenz einer weiteren rekursiven Anwendung des Logarithmus ausgehen kann. === Bemerkung - rekursive Definition von rlog === Eine rekursive Definition der rlog-Funktion mit <math>rlog(0):=0</math> ist und für <math>z\neq 0</math> setzt man: :<math> \mathrm{rlog}(z) := 1 + \mathrm{rlog}(\log^*_G(z)), \text{ falls } \log^*_G(z_n) \neq 0 </math> Der Fall <math></math> tritt auch, wenn für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> gilt: :<math> \underbrace{\log^*_G \circ \ldots \circ \log^*_G}_{n \mbox{-fach}}(z) \neq 0 </math> == Beispiele - rlog-Berechnung == Im folgenden wird die [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus|algebraische Vervollständigung]] für den [[negativer Hauptzweig des Logarithmus]] <math>\log_G^\ast : \mathbb{C}\setminus \{0\} \to \mathbb{C}</math> mit <math>\log_G^\ast (\mathbb{C}\setminus \{0\} ) = \mathbb{D_1}:= \mathbb{R} + i\cdot [0,2\pi) </math> verwendet. Die Abbildung <math>\log_G^\ast : \mathbb{C}\setminus \{0\} \to \mathbb{D}_1</math> ist bijektiv. === Beispiel 1 - rlog der Eulersche Zahl === Betrachte man den negativen algebraisch vervollständigten Hauptzweig, so erhält man für * <math> \log^\ast_G(e) = \ln(|e|) + i \underbrace{\arg_G^\ast(e)}_{=0} = 1 + i \cdot 0 = 1 </math> * <math> \log^*_G(1) = \ln(1) + i \cdot 0 = 0 </math> Also gilt <math> \mathrm{rlog}(e) = 1 + \mathrm{rlog}(1) = 1 + 1 = 2 </math> und man kann auf <math>e</math> zweimal rekursiv den Logarithmus anwenden. === Beispiel 2 - exp(e) === Da <math>exp(e)=e^e</math> eine reelle Zahl ist, gilt für die algebraische Vervollständigung des [[negativer Hauptzweig|negativen Hauptzweigs]] die reine Anwendung der natürlichen Logarithmus <math>\ln(z)</math> auf <math>z=e^e</math>: * <math> \log^*_G(e^e) = \ln(e^e) = e </math> * <math> \log^*_G(e) = 1 </math> * <math> \log^*_G(1) = 0 </math> Also gilt <math> \mathrm{rlog}(e^e) = 1 + \mathrm{rlog}(e) = 1 + 2 = 3 </math> zusammen mit Beispiel 1. Nach 3 rekursiven Anwendungen terminiert die Iteration. === Beispiel 3 - exp(exp(e)) === Für weitere rekursive Anwendungen der Exponentialfunktion mit <math> z = e^{e^e} </math> erhält man analog: * <math> \log^\ast_G(z) = e^e \quad </math> 1. Anwendung von <math>\log^*_G</math> * <math> \log^\ast_G(e^e) = e \quad </math> 2. Anwendung von <math>\log^*_G</math> * <math> \log^\ast_G(e) = 1 \quad </math> 3. Anwendung von <math>\log^*_G</math> * <math> \log^\ast_G(1) = 0 \quad </math> 4. Anwendung von <math>\log^\ast_G</math> terminiert Also gilt <math> \mathrm{rlog}_G^\ast(z) = 1 + 3 = 4 </math> und Iteration der rekursiven Anwendung endet nach 4 Schritten. === Beispiel 4 - Imaginärteil von 0 verschieden === Bisher wurde in den Beispielen 1-3 die <math>rlog</math>-Funktion nur auf reelle Zahlen <math>\mathrm{rlog}_G^\ast(z)</math> betrachtet. Sei nun <math>z=i \cdot e</math> und man betrachtet nun die Iterationsschritte der rekursiven Anwendung: ==== 1. rekursive Anwendung der Logarithmus ==== Da die Argumentsfunktion für ein <math>z=i\cdot e </math> angewendet wird, gilt für die Argumentfunktion <math>\arg_G^\ast(i\cdot e) = \arg_G^\ast(i) = \tfrac{\pi}{2}</math> und man erhält: :<math> \log^\ast_G(z) = \ln(|e\cdot i|) + \arg_G^\ast(e\cdot i) = \ln(e) + i\cdot \arg_G^\ast(i) = 1 + i\tfrac{\pi}{2} =: z_1 </math> ==== 2. rekursive Anwendung der Logarithmus ==== Da die Argumentsfunktion für ein <math>z_1= 1 + i\tfrac{\pi}{2} </math> angewendet wird, gilt für die Argumentfunktion <math>0 < \arg_G^\ast(z_1) < \pi </math> und mit <math>|z_1| > 1</math> man erhält auch <math>ln(|z_1|) \approx 0.6217 > 0</math>: :<math> \log^\ast_G(z_1) = \underbrace{\ln\left(\left|1+i\tfrac{\pi}{2}\right|\right)}_{\approx 0.6217} + i\cdot \underbrace{\arg_G^\ast\left(1+i\tfrac{\pi}{2}\right)}_{\in \left(0,\pi\right)} = \ln(e) + i\cdot \arg_G^\ast(i) = 1 + i\tfrac{\pi}{2} =: z_1 </math> == Siehe auch == * [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus]] * [[negativer Hauptzweig des Logarithmus]] h1fbc5ewptsqm0c53ow3gppdwcn8763 1118846 1118845 2026-11-04T11:21:39Z Bert Niehaus 20843 /* 2. rekursive Anwendung der Logarithmus */ 1118846 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird in Verwendung einer speziellen Funktion <math>rlog(z)</math> („recursive logarithm“) eingeführt, die zählt, wie oft man der rekursiv einen Logarithmus-Zweig auf ein gegebenes <math>z\in \mathbb{C}</math> anwenden kann, bis der Wert 0 erreicht wird. Diese Funktion ist nicht die übliche komplexwertige Logarithmusfunktion, sondern eine abstrakte, diskrete Zählfunktion, die die rekursive Tiefe des Logarithmus in Bezug mit Werten in <math>\mathbb{N}_0 \cup \{+\infty\}</math> beschreibt. === Ziel der Lerneinheit === * Einführung in die Funktion <math> \mathrm{rlog}: \mathbb{C} \to \mathbb{N}_0 \cup \{+\infty\} </math> * Verständnis der rekursiven Anwendung eines Logarithmus-Zweigs auf eine komplexe Zahl * Bestimmung der rekursiven Tiefe, bis der Logarithmus 0 wird und der Abhängigkeit von der betragsmäßigen Größe der Zahl <math>|z| > 1 </math> * Beweis, dass <math> \mathrm{rlog}(z) = +\infty </math> für bestimmte <math> z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> gilt. === Vorüberlegungen rlog-Funktion === Für die <math>0\in \mathbb{C} </math> ist kein Zweig des Logarithmus definiert. Eine rekursive Anwendung des Logarithmus also terminiert, wenn man den Logarithmus von 1 bildet. Für die Definition der <math>rlog</math>-Funktion muss man allerdings noch einige Vorüberlegungen anstellen, da mit der Wahl des Gebietes <math>G</math>, der imaginären Periodizitätskonstante <math>2\pi k</math> mit <math>k\in \mathbb{Z}</math> und der [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus]] eine Vielzahl von Zweigen möglich sind. === Algebraisch vervollständigter Logarithmus === Für die Definition eines Zweiges des komplexen Logarithmus gibt es unterschiedliche Möglichkeiten in Abhängigkeit und des [[einfach zusammenhängend]]en [[Gebiet (Mathematik)|Gebietes]] <math>G\setminus \{0\} </math>, dass für <math> z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus|algebraisch vervollständigt]] wird. Für die algebraische Vervollständigung des Logarithmus verlangt man ferner, dass <math>\log_G^\ast(1)=0</math> ist. Im Allgemeinen muss 1 nicht notwendigerweise im Definitionsbereich des Zweiges liegen. Dies ist z.B. beim [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweig]] des [[komplexer Logarithmus|komplexen Logarthmus der Fall]], weil dort die positive reelle Achse mit 0 aus dem Definitionsbereich entfernt wurde. === Argumentfunktion in Abhängigkeit vom Gebiet === Die Argumentfunktion <math>\arg_{_G}</math> erhält im Folgenden den Index <math>G</math>, weil auch diese von dem gewählten [[einfach zusammenhängend]]en Gebiet <math>G</math> abhängt. Im folgende Beispiel wird der :<math> \log_{_G}(z) = \ln|z| + i \cdot \arg_{_G}(z) + 2\pi i k, \quad k \in \mathbb{Z} </math> Die Argumentfunktion <math>\arg_{_G}</math> soll dabei stetig auf <math>G</math> sein. === Argumentfunktion und geometrische Form vom Gebiet === Bei einer geschlitzten Ebene (z.B. beim [[Hauptzweig des Logarithmus]]) nimmt eine wie obige Argumentfunktion <math>\arg_{_G}</math> nur Werte von aus einem Intervall <math> (-\pi, \pi) </math> <math>(c,c+2\pi] </math>. Ändert man die geometrische Form des Gebietes <math>G</math> beispielsweise von einer geschlitzten <math>G</math> Ebene für den [[Hauptzweig des Logarithmus]] zu ein Gebiet <math>\widetilde{G}</math> über, beim die Bildpunkte der [[w:de:archimedischen Spirale|archimedische Spirale]] entfernt wurden, dann ist der reellwertige Bildbereich für die zugehörige Argumentfunktion <math>\arg_{_\widetilde{G}}</math> des [[Zweige des Logarithmus|Zweiges des Logarthmus]] nicht mehr reellwertig beschränkt. === Aufgabe - Unbeschränktheit der Argumentfunktion === * Zeigen Sie, dass die reellwertige Argumentfunktion <math>\arg_{_\widetilde{G}}</math> für das archimedische Spiralgebiet <math>\widetilde{G}</math> in <math>\mathbb{C}</math> [[einfach zusammenhängend]] ist. * Zeigen Sie, dass die Argumentfunktion des archimedischen Spiralgebietes <math>\widetilde{G}</math> unbeschränkt ist. '''Hinweis:''' Für den Nachweis "einfachen zusammenhängend" unterscheiden Sie zwischen Bildpunkte mit <math>|z|\leq 1 </math> und <math>|z| > 1 </math>. Erzeugen Sie Wege zwischen zwei beliebigen Punkten <math>z_1,z_2 \in \widetilde{G}</math> über die Definition des Weges <math>\widetilde{\gamma\,}:[0,+\infty) \to \mathbb{C}</math> mit <math>\widetilde{\gamma\,}(t):=t\cdot e^{it}</math>. === Imaginäre Periodizitätskonstante === Die imaginäre Periodizitätskonstante <math>2\pi i k </math> mit <math> k \in \mathbb{Z}</math> aus der obigen Definition ist für beliebige [[Zweige des Logarithmus]]. (z. B. der Hauptzweig <math> \log^*_G </math>) wählt eine spezifische Argument-Branch, z. B. <math> \arg(z) \in (-\pi, \pi] </math>. === Algebraische Vervollständigung === Man betrachtet die Definition der <math>rlog</math>-Funktion eine feste Wahl eines Zweigs und [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus|vervollständigt diesen algebraisch]], damit dieser auf ganz <math>\mathbb{C}\setminus \{0\}</math>. Man verlangt für die [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus]] wie beim reellen Logarthmus, dass <math>\log_{_G}(1)=0</math> erfüllt ist. Die muss im allgemeinen Fall eigentlich nicht gelten, da auch <math>\log_{_G}(1)=0+2\pi k</math> mit <math>k\in \mathbb{Z}</math> und der Gleichung <math>e^{2\pi k}=1</math> möglich werden. Diese führt auch zu einer eindeutigen maginären Periodizitätskonstante <math>k</math> für die algebraische Vervollständigung des Zweiges. :<math> \log^\ast_G: \mathbb{C} \setminus \{0\} \to \mathbb{C}, \quad z \mapsto \ln|z| + i \arg_{_G}(z) </math> === Normalisierung und Surjektivität === Diese [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus|algebraisch vervollständigten Zweige des Logarithmus]] sind '''nicht surjektiv''' auf <math> \mathbb{C} </math>, aber liefert einen Logarithmus für alle <math> z \neq 0 </math>. Die Normalisierung <math>\log^*_G(1)=0</math> wird in Analogie zum reellen Logarithmus gewählt. Nun kann man die <math>rlog</math>-Funktion definieren, da diese angibt, wie oft eine rekursive Anwendung eines algebraisch vervollständigten Zweiges des Logarithmus <math>\log^*_G</math> mit <math>\log^*_G(1)=0</math> möglich ist. ==Definition rlog-Funktion == Sei <math> \log^*_G: \mathbb{C} \setminus \{0\} \to \mathbb{C} </math> ein fest gewählter Zweig des komplexen Logarithmus mit normalisierter algebraischer Vervollständigung auf <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> (d.h. <math>\log^*_G(1)=0</math>). Die Funktion <math> \mathrm{rlog}: \mathbb{C} \setminus \{0\} \to \mathbb{N} \cup \{+\infty\} </math> ist wie folgt definiert durch: :<math> \mathrm{rlog}(z) = \begin{cases} 0, & \text{falls } z = 0 \\ n , & \text{falls } z_n\neq 0 \text{ und } \log^*_G(z_{n}) = 0 \\ +\infty, & \text{falls } z_n\neq 0 \text{ für alle } n\in \mathbb{N} \end{cases} </math> Dabei sei <math>z_0:=z</math> und <math>z_{n+1}:=\log^*_G(z_n)</math> definiert, falls <math>\log^*_G(z_{n-1}) \neq 0 </math> und <math>\log^*_G(z_{n}) = 0 </math>. === Bemerkung - Endlichkeit des rlog-Wertes === Die Funktion liefert nur einen endlichen Wert als natürliche Zahl <math>n</math>, wenn man nach <math>n</math> rekursiven Anwendung <math>z:=z_0</math> und <math>z_{n+1}:=\log^*_G(z_n)</math> die Werte <math>\log^*_G(z_{n-1}) \neq 0 </math> und <math>\log^*_G(z_{n}) = 0 </math> gelten. Es ist möglich, dass jede weitere Iteration immer noch in <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> bleibt. Dann ist der Fall <math>\log^*_G(z) = +\infty </math> möglich. Diese Aspekt wird in dieser Lerneinheit weiter untersucht, da man in einem solchen Fall für algebraische Fragen immer von der Existenz einer weiteren rekursiven Anwendung des Logarithmus ausgehen kann. === Bemerkung - rekursive Definition von rlog === Eine rekursive Definition der rlog-Funktion mit <math>rlog(0):=0</math> ist und für <math>z\neq 0</math> setzt man: :<math> \mathrm{rlog}(z) := 1 + \mathrm{rlog}(\log^*_G(z)), \text{ falls } \log^*_G(z_n) \neq 0 </math> Der Fall <math></math> tritt auch, wenn für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> gilt: :<math> \underbrace{\log^*_G \circ \ldots \circ \log^*_G}_{n \mbox{-fach}}(z) \neq 0 </math> == Beispiele - rlog-Berechnung == Im folgenden wird die [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus|algebraische Vervollständigung]] für den [[negativer Hauptzweig des Logarithmus]] <math>\log_G^\ast : \mathbb{C}\setminus \{0\} \to \mathbb{C}</math> mit <math>\log_G^\ast (\mathbb{C}\setminus \{0\} ) = \mathbb{D_1}:= \mathbb{R} + i\cdot [0,2\pi) </math> verwendet. Die Abbildung <math>\log_G^\ast : \mathbb{C}\setminus \{0\} \to \mathbb{D}_1</math> ist bijektiv. === Beispiel 1 - rlog der Eulersche Zahl === Betrachte man den negativen algebraisch vervollständigten Hauptzweig, so erhält man für * <math> \log^\ast_G(e) = \ln(|e|) + i \underbrace{\arg_G^\ast(e)}_{=0} = 1 + i \cdot 0 = 1 </math> * <math> \log^*_G(1) = \ln(1) + i \cdot 0 = 0 </math> Also gilt <math> \mathrm{rlog}(e) = 1 + \mathrm{rlog}(1) = 1 + 1 = 2 </math> und man kann auf <math>e</math> zweimal rekursiv den Logarithmus anwenden. === Beispiel 2 - exp(e) === Da <math>exp(e)=e^e</math> eine reelle Zahl ist, gilt für die algebraische Vervollständigung des [[negativer Hauptzweig|negativen Hauptzweigs]] die reine Anwendung der natürlichen Logarithmus <math>\ln(z)</math> auf <math>z=e^e</math>: * <math> \log^*_G(e^e) = \ln(e^e) = e </math> * <math> \log^*_G(e) = 1 </math> * <math> \log^*_G(1) = 0 </math> Also gilt <math> \mathrm{rlog}(e^e) = 1 + \mathrm{rlog}(e) = 1 + 2 = 3 </math> zusammen mit Beispiel 1. Nach 3 rekursiven Anwendungen terminiert die Iteration. === Beispiel 3 - exp(exp(e)) === Für weitere rekursive Anwendungen der Exponentialfunktion mit <math> z = e^{e^e} </math> erhält man analog: * <math> \log^\ast_G(z) = e^e \quad </math> 1. Anwendung von <math>\log^*_G</math> * <math> \log^\ast_G(e^e) = e \quad </math> 2. Anwendung von <math>\log^*_G</math> * <math> \log^\ast_G(e) = 1 \quad </math> 3. Anwendung von <math>\log^*_G</math> * <math> \log^\ast_G(1) = 0 \quad </math> 4. Anwendung von <math>\log^\ast_G</math> terminiert Also gilt <math> \mathrm{rlog}_G^\ast(z) = 1 + 3 = 4 </math> und Iteration der rekursiven Anwendung endet nach 4 Schritten. === Beispiel 4 - Imaginärteil von 0 verschieden === Bisher wurde in den Beispielen 1-3 die <math>rlog</math>-Funktion nur auf reelle Zahlen <math>\mathrm{rlog}_G^\ast(z)</math> betrachtet. Sei nun <math>z=i \cdot e</math> und man betrachtet nun die Iterationsschritte der rekursiven Anwendung: ==== 1. rekursive Anwendung der Logarithmus ==== Da die Argumentsfunktion für ein <math>z=i\cdot e </math> angewendet wird, gilt für die Argumentfunktion <math>\arg_G^\ast(i\cdot e) = \arg_G^\ast(i) = \tfrac{\pi}{2}</math> und man erhält: :<math> \log^\ast_G(z) = \ln(|e\cdot i|) + \arg_G^\ast(e\cdot i) = \ln(e) + i\cdot \arg_G^\ast(i) = 1 + i\tfrac{\pi}{2} =: z_1 </math> ==== 2. rekursive Anwendung der Logarithmus ==== Da die Argumentsfunktion für ein <math>z_1= 1 + i\tfrac{\pi}{2} </math> angewendet wird, gilt für die Argumentfunktion <math>0 < \arg_G^\ast(z_1) < \pi </math> und mit <math>|z_1| > 1</math> man erhält auch <math>ln(|z_1|) \approx 0.6217 > 0</math>: :<math> \log^\ast_G(z_1) = \underbrace{\ln\left(\left|1+i\tfrac{\pi}{2}\right|\right)}_{\approx 0.6217} + i\cdot \underbrace{\arg_G^\ast\left(1+i\tfrac{\pi}{2}\right)}_{=\tfrac{\pi}{2}\in \left(0,\pi\right)} = \ln(e) + i\cdot \arg_G^\ast(i) = 1 + i\tfrac{\pi}{2} =: z_1 </math> == Siehe auch == * [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus]] * [[negativer Hauptzweig des Logarithmus]] sd31x5bdmj9ymp1zot8fd1a8sgibj74 1118847 1118846 2026-11-04T11:26:21Z Bert Niehaus 20843 /* 2. rekursive Anwendung der Logarithmus */ 1118847 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird in Verwendung einer speziellen Funktion <math>rlog(z)</math> („recursive logarithm“) eingeführt, die zählt, wie oft man der rekursiv einen Logarithmus-Zweig auf ein gegebenes <math>z\in \mathbb{C}</math> anwenden kann, bis der Wert 0 erreicht wird. Diese Funktion ist nicht die übliche komplexwertige Logarithmusfunktion, sondern eine abstrakte, diskrete Zählfunktion, die die rekursive Tiefe des Logarithmus in Bezug mit Werten in <math>\mathbb{N}_0 \cup \{+\infty\}</math> beschreibt. === Ziel der Lerneinheit === * Einführung in die Funktion <math> \mathrm{rlog}: \mathbb{C} \to \mathbb{N}_0 \cup \{+\infty\} </math> * Verständnis der rekursiven Anwendung eines Logarithmus-Zweigs auf eine komplexe Zahl * Bestimmung der rekursiven Tiefe, bis der Logarithmus 0 wird und der Abhängigkeit von der betragsmäßigen Größe der Zahl <math>|z| > 1 </math> * Beweis, dass <math> \mathrm{rlog}(z) = +\infty </math> für bestimmte <math> z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> gilt. === Vorüberlegungen rlog-Funktion === Für die <math>0\in \mathbb{C} </math> ist kein Zweig des Logarithmus definiert. Eine rekursive Anwendung des Logarithmus also terminiert, wenn man den Logarithmus von 1 bildet. Für die Definition der <math>rlog</math>-Funktion muss man allerdings noch einige Vorüberlegungen anstellen, da mit der Wahl des Gebietes <math>G</math>, der imaginären Periodizitätskonstante <math>2\pi k</math> mit <math>k\in \mathbb{Z}</math> und der [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus]] eine Vielzahl von Zweigen möglich sind. === Algebraisch vervollständigter Logarithmus === Für die Definition eines Zweiges des komplexen Logarithmus gibt es unterschiedliche Möglichkeiten in Abhängigkeit und des [[einfach zusammenhängend]]en [[Gebiet (Mathematik)|Gebietes]] <math>G\setminus \{0\} </math>, dass für <math> z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus|algebraisch vervollständigt]] wird. Für die algebraische Vervollständigung des Logarithmus verlangt man ferner, dass <math>\log_G^\ast(1)=0</math> ist. Im Allgemeinen muss 1 nicht notwendigerweise im Definitionsbereich des Zweiges liegen. Dies ist z.B. beim [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweig]] des [[komplexer Logarithmus|komplexen Logarthmus der Fall]], weil dort die positive reelle Achse mit 0 aus dem Definitionsbereich entfernt wurde. === Argumentfunktion in Abhängigkeit vom Gebiet === Die Argumentfunktion <math>\arg_{_G}</math> erhält im Folgenden den Index <math>G</math>, weil auch diese von dem gewählten [[einfach zusammenhängend]]en Gebiet <math>G</math> abhängt. Im folgende Beispiel wird der :<math> \log_{_G}(z) = \ln|z| + i \cdot \arg_{_G}(z) + 2\pi i k, \quad k \in \mathbb{Z} </math> Die Argumentfunktion <math>\arg_{_G}</math> soll dabei stetig auf <math>G</math> sein. === Argumentfunktion und geometrische Form vom Gebiet === Bei einer geschlitzten Ebene (z.B. beim [[Hauptzweig des Logarithmus]]) nimmt eine wie obige Argumentfunktion <math>\arg_{_G}</math> nur Werte von aus einem Intervall <math> (-\pi, \pi) </math> <math>(c,c+2\pi] </math>. Ändert man die geometrische Form des Gebietes <math>G</math> beispielsweise von einer geschlitzten <math>G</math> Ebene für den [[Hauptzweig des Logarithmus]] zu ein Gebiet <math>\widetilde{G}</math> über, beim die Bildpunkte der [[w:de:archimedischen Spirale|archimedische Spirale]] entfernt wurden, dann ist der reellwertige Bildbereich für die zugehörige Argumentfunktion <math>\arg_{_\widetilde{G}}</math> des [[Zweige des Logarithmus|Zweiges des Logarthmus]] nicht mehr reellwertig beschränkt. === Aufgabe - Unbeschränktheit der Argumentfunktion === * Zeigen Sie, dass die reellwertige Argumentfunktion <math>\arg_{_\widetilde{G}}</math> für das archimedische Spiralgebiet <math>\widetilde{G}</math> in <math>\mathbb{C}</math> [[einfach zusammenhängend]] ist. * Zeigen Sie, dass die Argumentfunktion des archimedischen Spiralgebietes <math>\widetilde{G}</math> unbeschränkt ist. '''Hinweis:''' Für den Nachweis "einfachen zusammenhängend" unterscheiden Sie zwischen Bildpunkte mit <math>|z|\leq 1 </math> und <math>|z| > 1 </math>. Erzeugen Sie Wege zwischen zwei beliebigen Punkten <math>z_1,z_2 \in \widetilde{G}</math> über die Definition des Weges <math>\widetilde{\gamma\,}:[0,+\infty) \to \mathbb{C}</math> mit <math>\widetilde{\gamma\,}(t):=t\cdot e^{it}</math>. === Imaginäre Periodizitätskonstante === Die imaginäre Periodizitätskonstante <math>2\pi i k </math> mit <math> k \in \mathbb{Z}</math> aus der obigen Definition ist für beliebige [[Zweige des Logarithmus]]. (z. B. der Hauptzweig <math> \log^*_G </math>) wählt eine spezifische Argument-Branch, z. B. <math> \arg(z) \in (-\pi, \pi] </math>. === Algebraische Vervollständigung === Man betrachtet die Definition der <math>rlog</math>-Funktion eine feste Wahl eines Zweigs und [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus|vervollständigt diesen algebraisch]], damit dieser auf ganz <math>\mathbb{C}\setminus \{0\}</math>. Man verlangt für die [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus]] wie beim reellen Logarthmus, dass <math>\log_{_G}(1)=0</math> erfüllt ist. Die muss im allgemeinen Fall eigentlich nicht gelten, da auch <math>\log_{_G}(1)=0+2\pi k</math> mit <math>k\in \mathbb{Z}</math> und der Gleichung <math>e^{2\pi k}=1</math> möglich werden. Diese führt auch zu einer eindeutigen maginären Periodizitätskonstante <math>k</math> für die algebraische Vervollständigung des Zweiges. :<math> \log^\ast_G: \mathbb{C} \setminus \{0\} \to \mathbb{C}, \quad z \mapsto \ln|z| + i \arg_{_G}(z) </math> === Normalisierung und Surjektivität === Diese [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus|algebraisch vervollständigten Zweige des Logarithmus]] sind '''nicht surjektiv''' auf <math> \mathbb{C} </math>, aber liefert einen Logarithmus für alle <math> z \neq 0 </math>. Die Normalisierung <math>\log^*_G(1)=0</math> wird in Analogie zum reellen Logarithmus gewählt. Nun kann man die <math>rlog</math>-Funktion definieren, da diese angibt, wie oft eine rekursive Anwendung eines algebraisch vervollständigten Zweiges des Logarithmus <math>\log^*_G</math> mit <math>\log^*_G(1)=0</math> möglich ist. ==Definition rlog-Funktion == Sei <math> \log^*_G: \mathbb{C} \setminus \{0\} \to \mathbb{C} </math> ein fest gewählter Zweig des komplexen Logarithmus mit normalisierter algebraischer Vervollständigung auf <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> (d.h. <math>\log^*_G(1)=0</math>). Die Funktion <math> \mathrm{rlog}: \mathbb{C} \setminus \{0\} \to \mathbb{N} \cup \{+\infty\} </math> ist wie folgt definiert durch: :<math> \mathrm{rlog}(z) = \begin{cases} 0, & \text{falls } z = 0 \\ n , & \text{falls } z_n\neq 0 \text{ und } \log^*_G(z_{n}) = 0 \\ +\infty, & \text{falls } z_n\neq 0 \text{ für alle } n\in \mathbb{N} \end{cases} </math> Dabei sei <math>z_0:=z</math> und <math>z_{n+1}:=\log^*_G(z_n)</math> definiert, falls <math>\log^*_G(z_{n-1}) \neq 0 </math> und <math>\log^*_G(z_{n}) = 0 </math>. === Bemerkung - Endlichkeit des rlog-Wertes === Die Funktion liefert nur einen endlichen Wert als natürliche Zahl <math>n</math>, wenn man nach <math>n</math> rekursiven Anwendung <math>z:=z_0</math> und <math>z_{n+1}:=\log^*_G(z_n)</math> die Werte <math>\log^*_G(z_{n-1}) \neq 0 </math> und <math>\log^*_G(z_{n}) = 0 </math> gelten. Es ist möglich, dass jede weitere Iteration immer noch in <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> bleibt. Dann ist der Fall <math>\log^*_G(z) = +\infty </math> möglich. Diese Aspekt wird in dieser Lerneinheit weiter untersucht, da man in einem solchen Fall für algebraische Fragen immer von der Existenz einer weiteren rekursiven Anwendung des Logarithmus ausgehen kann. === Bemerkung - rekursive Definition von rlog === Eine rekursive Definition der rlog-Funktion mit <math>rlog(0):=0</math> ist und für <math>z\neq 0</math> setzt man: :<math> \mathrm{rlog}(z) := 1 + \mathrm{rlog}(\log^*_G(z)), \text{ falls } \log^*_G(z_n) \neq 0 </math> Der Fall <math></math> tritt auch, wenn für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> gilt: :<math> \underbrace{\log^*_G \circ \ldots \circ \log^*_G}_{n \mbox{-fach}}(z) \neq 0 </math> == Beispiele - rlog-Berechnung == Im folgenden wird die [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus|algebraische Vervollständigung]] für den [[negativer Hauptzweig des Logarithmus]] <math>\log_G^\ast : \mathbb{C}\setminus \{0\} \to \mathbb{C}</math> mit <math>\log_G^\ast (\mathbb{C}\setminus \{0\} ) = \mathbb{D_1}:= \mathbb{R} + i\cdot [0,2\pi) </math> verwendet. Die Abbildung <math>\log_G^\ast : \mathbb{C}\setminus \{0\} \to \mathbb{D}_1</math> ist bijektiv. === Beispiel 1 - rlog der Eulersche Zahl === Betrachte man den negativen algebraisch vervollständigten Hauptzweig, so erhält man für * <math> \log^\ast_G(e) = \ln(|e|) + i \underbrace{\arg_G^\ast(e)}_{=0} = 1 + i \cdot 0 = 1 </math> * <math> \log^*_G(1) = \ln(1) + i \cdot 0 = 0 </math> Also gilt <math> \mathrm{rlog}(e) = 1 + \mathrm{rlog}(1) = 1 + 1 = 2 </math> und man kann auf <math>e</math> zweimal rekursiv den Logarithmus anwenden. === Beispiel 2 - exp(e) === Da <math>exp(e)=e^e</math> eine reelle Zahl ist, gilt für die algebraische Vervollständigung des [[negativer Hauptzweig|negativen Hauptzweigs]] die reine Anwendung der natürlichen Logarithmus <math>\ln(z)</math> auf <math>z=e^e</math>: * <math> \log^*_G(e^e) = \ln(e^e) = e </math> * <math> \log^*_G(e) = 1 </math> * <math> \log^*_G(1) = 0 </math> Also gilt <math> \mathrm{rlog}(e^e) = 1 + \mathrm{rlog}(e) = 1 + 2 = 3 </math> zusammen mit Beispiel 1. Nach 3 rekursiven Anwendungen terminiert die Iteration. === Beispiel 3 - exp(exp(e)) === Für weitere rekursive Anwendungen der Exponentialfunktion mit <math> z = e^{e^e} </math> erhält man analog: * <math> \log^\ast_G(z) = e^e \quad </math> 1. Anwendung von <math>\log^*_G</math> * <math> \log^\ast_G(e^e) = e \quad </math> 2. Anwendung von <math>\log^*_G</math> * <math> \log^\ast_G(e) = 1 \quad </math> 3. Anwendung von <math>\log^*_G</math> * <math> \log^\ast_G(1) = 0 \quad </math> 4. Anwendung von <math>\log^\ast_G</math> terminiert Also gilt <math> \mathrm{rlog}_G^\ast(z) = 1 + 3 = 4 </math> und Iteration der rekursiven Anwendung endet nach 4 Schritten. === Beispiel 4 - Imaginärteil von 0 verschieden === Bisher wurde in den Beispielen 1-3 die <math>rlog</math>-Funktion nur auf reelle Zahlen <math>\mathrm{rlog}_G^\ast(z)</math> betrachtet. Sei nun <math>z=i \cdot e</math> und man betrachtet nun die Iterationsschritte der rekursiven Anwendung: ==== 1. rekursive Anwendung der Logarithmus ==== Da die Argumentsfunktion für ein <math>z=i\cdot e </math> angewendet wird, gilt für die Argumentfunktion <math>\arg_G^\ast(i\cdot e) = \arg_G^\ast(i) = \tfrac{\pi}{2}</math> und man erhält: :<math> \log^\ast_G(z) = \ln(|e\cdot i|) + \arg_G^\ast(e\cdot i) = \ln(e) + i\cdot \arg_G^\ast(i) = 1 + i\tfrac{\pi}{2} =: z_1 </math> ==== 2. rekursive Anwendung der Logarithmus ==== Da die Argumentsfunktion für ein <math>z_1= 1 + i\tfrac{\pi}{2} </math> angewendet wird, gilt für die Argumentfunktion <math>0 < \arg_G^\ast(z_1) < \pi </math> und mit <math>|z_1| > 1</math> man erhält auch <math>ln(|z_1|) \approx 0.6217 > 0</math>: :<math> \log^\ast_G(z_1) = \underbrace{\ln\left(\left|1+i\tfrac{\pi}{2}\right|\right)}_{\approx 0.6217} + i\cdot \underbrace{\arg_G^\ast\left(1+i\tfrac{\pi}{2}\right)}_{=\tfrac{\pi}{2}} = \underbrace{\ln(e)}_{\in\mathbb{R}} + i\cdot \underbrace{\arg_G^\ast(i)}_{\in \left(0,\pi\right)} = 1 + i\tfrac{\pi}{2} =: z_1 </math> == Siehe auch == * [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus]] * [[negativer Hauptzweig des Logarithmus]] pmkll0478cfy5c34uv2b7t28d9l40pe 1118848 1118847 2026-11-04T11:26:52Z Bert Niehaus 20843 /* 2. rekursive Anwendung der Logarithmus */ 1118848 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird in Verwendung einer speziellen Funktion <math>rlog(z)</math> („recursive logarithm“) eingeführt, die zählt, wie oft man der rekursiv einen Logarithmus-Zweig auf ein gegebenes <math>z\in \mathbb{C}</math> anwenden kann, bis der Wert 0 erreicht wird. Diese Funktion ist nicht die übliche komplexwertige Logarithmusfunktion, sondern eine abstrakte, diskrete Zählfunktion, die die rekursive Tiefe des Logarithmus in Bezug mit Werten in <math>\mathbb{N}_0 \cup \{+\infty\}</math> beschreibt. === Ziel der Lerneinheit === * Einführung in die Funktion <math> \mathrm{rlog}: \mathbb{C} \to \mathbb{N}_0 \cup \{+\infty\} </math> * Verständnis der rekursiven Anwendung eines Logarithmus-Zweigs auf eine komplexe Zahl * Bestimmung der rekursiven Tiefe, bis der Logarithmus 0 wird und der Abhängigkeit von der betragsmäßigen Größe der Zahl <math>|z| > 1 </math> * Beweis, dass <math> \mathrm{rlog}(z) = +\infty </math> für bestimmte <math> z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> gilt. === Vorüberlegungen rlog-Funktion === Für die <math>0\in \mathbb{C} </math> ist kein Zweig des Logarithmus definiert. Eine rekursive Anwendung des Logarithmus also terminiert, wenn man den Logarithmus von 1 bildet. Für die Definition der <math>rlog</math>-Funktion muss man allerdings noch einige Vorüberlegungen anstellen, da mit der Wahl des Gebietes <math>G</math>, der imaginären Periodizitätskonstante <math>2\pi k</math> mit <math>k\in \mathbb{Z}</math> und der [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus]] eine Vielzahl von Zweigen möglich sind. === Algebraisch vervollständigter Logarithmus === Für die Definition eines Zweiges des komplexen Logarithmus gibt es unterschiedliche Möglichkeiten in Abhängigkeit und des [[einfach zusammenhängend]]en [[Gebiet (Mathematik)|Gebietes]] <math>G\setminus \{0\} </math>, dass für <math> z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus|algebraisch vervollständigt]] wird. Für die algebraische Vervollständigung des Logarithmus verlangt man ferner, dass <math>\log_G^\ast(1)=0</math> ist. Im Allgemeinen muss 1 nicht notwendigerweise im Definitionsbereich des Zweiges liegen. Dies ist z.B. beim [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweig]] des [[komplexer Logarithmus|komplexen Logarthmus der Fall]], weil dort die positive reelle Achse mit 0 aus dem Definitionsbereich entfernt wurde. === Argumentfunktion in Abhängigkeit vom Gebiet === Die Argumentfunktion <math>\arg_{_G}</math> erhält im Folgenden den Index <math>G</math>, weil auch diese von dem gewählten [[einfach zusammenhängend]]en Gebiet <math>G</math> abhängt. Im folgende Beispiel wird der :<math> \log_{_G}(z) = \ln|z| + i \cdot \arg_{_G}(z) + 2\pi i k, \quad k \in \mathbb{Z} </math> Die Argumentfunktion <math>\arg_{_G}</math> soll dabei stetig auf <math>G</math> sein. === Argumentfunktion und geometrische Form vom Gebiet === Bei einer geschlitzten Ebene (z.B. beim [[Hauptzweig des Logarithmus]]) nimmt eine wie obige Argumentfunktion <math>\arg_{_G}</math> nur Werte von aus einem Intervall <math> (-\pi, \pi) </math> <math>(c,c+2\pi] </math>. Ändert man die geometrische Form des Gebietes <math>G</math> beispielsweise von einer geschlitzten <math>G</math> Ebene für den [[Hauptzweig des Logarithmus]] zu ein Gebiet <math>\widetilde{G}</math> über, beim die Bildpunkte der [[w:de:archimedischen Spirale|archimedische Spirale]] entfernt wurden, dann ist der reellwertige Bildbereich für die zugehörige Argumentfunktion <math>\arg_{_\widetilde{G}}</math> des [[Zweige des Logarithmus|Zweiges des Logarthmus]] nicht mehr reellwertig beschränkt. === Aufgabe - Unbeschränktheit der Argumentfunktion === * Zeigen Sie, dass die reellwertige Argumentfunktion <math>\arg_{_\widetilde{G}}</math> für das archimedische Spiralgebiet <math>\widetilde{G}</math> in <math>\mathbb{C}</math> [[einfach zusammenhängend]] ist. * Zeigen Sie, dass die Argumentfunktion des archimedischen Spiralgebietes <math>\widetilde{G}</math> unbeschränkt ist. '''Hinweis:''' Für den Nachweis "einfachen zusammenhängend" unterscheiden Sie zwischen Bildpunkte mit <math>|z|\leq 1 </math> und <math>|z| > 1 </math>. Erzeugen Sie Wege zwischen zwei beliebigen Punkten <math>z_1,z_2 \in \widetilde{G}</math> über die Definition des Weges <math>\widetilde{\gamma\,}:[0,+\infty) \to \mathbb{C}</math> mit <math>\widetilde{\gamma\,}(t):=t\cdot e^{it}</math>. === Imaginäre Periodizitätskonstante === Die imaginäre Periodizitätskonstante <math>2\pi i k </math> mit <math> k \in \mathbb{Z}</math> aus der obigen Definition ist für beliebige [[Zweige des Logarithmus]]. (z. B. der Hauptzweig <math> \log^*_G </math>) wählt eine spezifische Argument-Branch, z. B. <math> \arg(z) \in (-\pi, \pi] </math>. === Algebraische Vervollständigung === Man betrachtet die Definition der <math>rlog</math>-Funktion eine feste Wahl eines Zweigs und [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus|vervollständigt diesen algebraisch]], damit dieser auf ganz <math>\mathbb{C}\setminus \{0\}</math>. Man verlangt für die [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus]] wie beim reellen Logarthmus, dass <math>\log_{_G}(1)=0</math> erfüllt ist. Die muss im allgemeinen Fall eigentlich nicht gelten, da auch <math>\log_{_G}(1)=0+2\pi k</math> mit <math>k\in \mathbb{Z}</math> und der Gleichung <math>e^{2\pi k}=1</math> möglich werden. Diese führt auch zu einer eindeutigen maginären Periodizitätskonstante <math>k</math> für die algebraische Vervollständigung des Zweiges. :<math> \log^\ast_G: \mathbb{C} \setminus \{0\} \to \mathbb{C}, \quad z \mapsto \ln|z| + i \arg_{_G}(z) </math> === Normalisierung und Surjektivität === Diese [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus|algebraisch vervollständigten Zweige des Logarithmus]] sind '''nicht surjektiv''' auf <math> \mathbb{C} </math>, aber liefert einen Logarithmus für alle <math> z \neq 0 </math>. Die Normalisierung <math>\log^*_G(1)=0</math> wird in Analogie zum reellen Logarithmus gewählt. Nun kann man die <math>rlog</math>-Funktion definieren, da diese angibt, wie oft eine rekursive Anwendung eines algebraisch vervollständigten Zweiges des Logarithmus <math>\log^*_G</math> mit <math>\log^*_G(1)=0</math> möglich ist. ==Definition rlog-Funktion == Sei <math> \log^*_G: \mathbb{C} \setminus \{0\} \to \mathbb{C} </math> ein fest gewählter Zweig des komplexen Logarithmus mit normalisierter algebraischer Vervollständigung auf <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> (d.h. <math>\log^*_G(1)=0</math>). Die Funktion <math> \mathrm{rlog}: \mathbb{C} \setminus \{0\} \to \mathbb{N} \cup \{+\infty\} </math> ist wie folgt definiert durch: :<math> \mathrm{rlog}(z) = \begin{cases} 0, & \text{falls } z = 0 \\ n , & \text{falls } z_n\neq 0 \text{ und } \log^*_G(z_{n}) = 0 \\ +\infty, & \text{falls } z_n\neq 0 \text{ für alle } n\in \mathbb{N} \end{cases} </math> Dabei sei <math>z_0:=z</math> und <math>z_{n+1}:=\log^*_G(z_n)</math> definiert, falls <math>\log^*_G(z_{n-1}) \neq 0 </math> und <math>\log^*_G(z_{n}) = 0 </math>. === Bemerkung - Endlichkeit des rlog-Wertes === Die Funktion liefert nur einen endlichen Wert als natürliche Zahl <math>n</math>, wenn man nach <math>n</math> rekursiven Anwendung <math>z:=z_0</math> und <math>z_{n+1}:=\log^*_G(z_n)</math> die Werte <math>\log^*_G(z_{n-1}) \neq 0 </math> und <math>\log^*_G(z_{n}) = 0 </math> gelten. Es ist möglich, dass jede weitere Iteration immer noch in <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> bleibt. Dann ist der Fall <math>\log^*_G(z) = +\infty </math> möglich. Diese Aspekt wird in dieser Lerneinheit weiter untersucht, da man in einem solchen Fall für algebraische Fragen immer von der Existenz einer weiteren rekursiven Anwendung des Logarithmus ausgehen kann. === Bemerkung - rekursive Definition von rlog === Eine rekursive Definition der rlog-Funktion mit <math>rlog(0):=0</math> ist und für <math>z\neq 0</math> setzt man: :<math> \mathrm{rlog}(z) := 1 + \mathrm{rlog}(\log^*_G(z)), \text{ falls } \log^*_G(z_n) \neq 0 </math> Der Fall <math></math> tritt auch, wenn für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> gilt: :<math> \underbrace{\log^*_G \circ \ldots \circ \log^*_G}_{n \mbox{-fach}}(z) \neq 0 </math> == Beispiele - rlog-Berechnung == Im folgenden wird die [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus|algebraische Vervollständigung]] für den [[negativer Hauptzweig des Logarithmus]] <math>\log_G^\ast : \mathbb{C}\setminus \{0\} \to \mathbb{C}</math> mit <math>\log_G^\ast (\mathbb{C}\setminus \{0\} ) = \mathbb{D_1}:= \mathbb{R} + i\cdot [0,2\pi) </math> verwendet. Die Abbildung <math>\log_G^\ast : \mathbb{C}\setminus \{0\} \to \mathbb{D}_1</math> ist bijektiv. === Beispiel 1 - rlog der Eulersche Zahl === Betrachte man den negativen algebraisch vervollständigten Hauptzweig, so erhält man für * <math> \log^\ast_G(e) = \ln(|e|) + i \underbrace{\arg_G^\ast(e)}_{=0} = 1 + i \cdot 0 = 1 </math> * <math> \log^*_G(1) = \ln(1) + i \cdot 0 = 0 </math> Also gilt <math> \mathrm{rlog}(e) = 1 + \mathrm{rlog}(1) = 1 + 1 = 2 </math> und man kann auf <math>e</math> zweimal rekursiv den Logarithmus anwenden. === Beispiel 2 - exp(e) === Da <math>exp(e)=e^e</math> eine reelle Zahl ist, gilt für die algebraische Vervollständigung des [[negativer Hauptzweig|negativen Hauptzweigs]] die reine Anwendung der natürlichen Logarithmus <math>\ln(z)</math> auf <math>z=e^e</math>: * <math> \log^*_G(e^e) = \ln(e^e) = e </math> * <math> \log^*_G(e) = 1 </math> * <math> \log^*_G(1) = 0 </math> Also gilt <math> \mathrm{rlog}(e^e) = 1 + \mathrm{rlog}(e) = 1 + 2 = 3 </math> zusammen mit Beispiel 1. Nach 3 rekursiven Anwendungen terminiert die Iteration. === Beispiel 3 - exp(exp(e)) === Für weitere rekursive Anwendungen der Exponentialfunktion mit <math> z = e^{e^e} </math> erhält man analog: * <math> \log^\ast_G(z) = e^e \quad </math> 1. Anwendung von <math>\log^*_G</math> * <math> \log^\ast_G(e^e) = e \quad </math> 2. Anwendung von <math>\log^*_G</math> * <math> \log^\ast_G(e) = 1 \quad </math> 3. Anwendung von <math>\log^*_G</math> * <math> \log^\ast_G(1) = 0 \quad </math> 4. Anwendung von <math>\log^\ast_G</math> terminiert Also gilt <math> \mathrm{rlog}_G^\ast(z) = 1 + 3 = 4 </math> und Iteration der rekursiven Anwendung endet nach 4 Schritten. === Beispiel 4 - Imaginärteil von 0 verschieden === Bisher wurde in den Beispielen 1-3 die <math>rlog</math>-Funktion nur auf reelle Zahlen <math>\mathrm{rlog}_G^\ast(z)</math> betrachtet. Sei nun <math>z=i \cdot e</math> und man betrachtet nun die Iterationsschritte der rekursiven Anwendung: ==== 1. rekursive Anwendung der Logarithmus ==== Da die Argumentsfunktion für ein <math>z=i\cdot e </math> angewendet wird, gilt für die Argumentfunktion <math>\arg_G^\ast(i\cdot e) = \arg_G^\ast(i) = \tfrac{\pi}{2}</math> und man erhält: :<math> \log^\ast_G(z) = \ln(|e\cdot i|) + \arg_G^\ast(e\cdot i) = \ln(e) + i\cdot \arg_G^\ast(i) = 1 + i\tfrac{\pi}{2} =: z_1 </math> ==== 2. rekursive Anwendung der Logarithmus ==== Da die Argumentsfunktion für ein <math>z_1= 1 + i\tfrac{\pi}{2} </math> angewendet wird, gilt für die Argumentfunktion <math>0 < \arg_G^\ast(z_1) < \pi </math> und mit <math>|z_1| > 1</math> man erhält auch <math>\ln(|z_1|) \approx 0.6217 > 0</math>: :<math> \log^\ast_G(z_1) = \underbrace{\ln\left(\left|1+i\tfrac{\pi}{2}\right|\right)}_{\approx 0.6217} + i\cdot \underbrace{\arg_G^\ast\left(1+i\tfrac{\pi}{2}\right)}_{=\tfrac{\pi}{2}} = \underbrace{\ln(e)}_{\in\mathbb{R}} + i\cdot \underbrace{\arg_G^\ast(i)}_{\in \left(0,\pi\right)} = 1 + i\tfrac{\pi}{2} =: z_1 </math> == Siehe auch == * [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus]] * [[negativer Hauptzweig des Logarithmus]] jqg2vzhfotbq03hlu7kc32ml3zsofos 1118849 1118848 2026-11-04T11:31:40Z Bert Niehaus 20843 /* Algebraische Vervollständigung */ 1118849 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird in Verwendung einer speziellen Funktion <math>rlog(z)</math> („recursive logarithm“) eingeführt, die zählt, wie oft man der rekursiv einen Logarithmus-Zweig auf ein gegebenes <math>z\in \mathbb{C}</math> anwenden kann, bis der Wert 0 erreicht wird. Diese Funktion ist nicht die übliche komplexwertige Logarithmusfunktion, sondern eine abstrakte, diskrete Zählfunktion, die die rekursive Tiefe des Logarithmus in Bezug mit Werten in <math>\mathbb{N}_0 \cup \{+\infty\}</math> beschreibt. === Ziel der Lerneinheit === * Einführung in die Funktion <math> \mathrm{rlog}: \mathbb{C} \to \mathbb{N}_0 \cup \{+\infty\} </math> * Verständnis der rekursiven Anwendung eines Logarithmus-Zweigs auf eine komplexe Zahl * Bestimmung der rekursiven Tiefe, bis der Logarithmus 0 wird und der Abhängigkeit von der betragsmäßigen Größe der Zahl <math>|z| > 1 </math> * Beweis, dass <math> \mathrm{rlog}(z) = +\infty </math> für bestimmte <math> z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> gilt. === Vorüberlegungen rlog-Funktion === Für die <math>0\in \mathbb{C} </math> ist kein Zweig des Logarithmus definiert. Eine rekursive Anwendung des Logarithmus also terminiert, wenn man den Logarithmus von 1 bildet. Für die Definition der <math>rlog</math>-Funktion muss man allerdings noch einige Vorüberlegungen anstellen, da mit der Wahl des Gebietes <math>G</math>, der imaginären Periodizitätskonstante <math>2\pi k</math> mit <math>k\in \mathbb{Z}</math> und der [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus]] eine Vielzahl von Zweigen möglich sind. === Algebraisch vervollständigter Logarithmus === Für die Definition eines Zweiges des komplexen Logarithmus gibt es unterschiedliche Möglichkeiten in Abhängigkeit und des [[einfach zusammenhängend]]en [[Gebiet (Mathematik)|Gebietes]] <math>G\setminus \{0\} </math>, dass für <math> z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus|algebraisch vervollständigt]] wird. Für die algebraische Vervollständigung des Logarithmus verlangt man ferner, dass <math>\log_G^\ast(1)=0</math> ist. Im Allgemeinen muss 1 nicht notwendigerweise im Definitionsbereich des Zweiges liegen. Dies ist z.B. beim [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweig]] des [[komplexer Logarithmus|komplexen Logarthmus der Fall]], weil dort die positive reelle Achse mit 0 aus dem Definitionsbereich entfernt wurde. === Argumentfunktion in Abhängigkeit vom Gebiet === Die Argumentfunktion <math>\arg_{_G}</math> erhält im Folgenden den Index <math>G</math>, weil auch diese von dem gewählten [[einfach zusammenhängend]]en Gebiet <math>G</math> abhängt. Im folgende Beispiel wird der :<math> \log_{_G}(z) = \ln|z| + i \cdot \arg_{_G}(z) + 2\pi i k, \quad k \in \mathbb{Z} </math> Die Argumentfunktion <math>\arg_{_G}</math> soll dabei stetig auf <math>G</math> sein. === Argumentfunktion und geometrische Form vom Gebiet === Bei einer geschlitzten Ebene (z.B. beim [[Hauptzweig des Logarithmus]]) nimmt eine wie obige Argumentfunktion <math>\arg_{_G}</math> nur Werte von aus einem Intervall <math> (-\pi, \pi) </math> <math>(c,c+2\pi] </math>. Ändert man die geometrische Form des Gebietes <math>G</math> beispielsweise von einer geschlitzten <math>G</math> Ebene für den [[Hauptzweig des Logarithmus]] zu ein Gebiet <math>\widetilde{G}</math> über, beim die Bildpunkte der [[w:de:archimedischen Spirale|archimedische Spirale]] entfernt wurden, dann ist der reellwertige Bildbereich für die zugehörige Argumentfunktion <math>\arg_{_\widetilde{G}}</math> des [[Zweige des Logarithmus|Zweiges des Logarthmus]] nicht mehr reellwertig beschränkt. === Aufgabe - Unbeschränktheit der Argumentfunktion === * Zeigen Sie, dass die reellwertige Argumentfunktion <math>\arg_{_\widetilde{G}}</math> für das archimedische Spiralgebiet <math>\widetilde{G}</math> in <math>\mathbb{C}</math> [[einfach zusammenhängend]] ist. * Zeigen Sie, dass die Argumentfunktion des archimedischen Spiralgebietes <math>\widetilde{G}</math> unbeschränkt ist. '''Hinweis:''' Für den Nachweis "einfachen zusammenhängend" unterscheiden Sie zwischen Bildpunkte mit <math>|z|\leq 1 </math> und <math>|z| > 1 </math>. Erzeugen Sie Wege zwischen zwei beliebigen Punkten <math>z_1,z_2 \in \widetilde{G}</math> über die Definition des Weges <math>\widetilde{\gamma\,}:[0,+\infty) \to \mathbb{C}</math> mit <math>\widetilde{\gamma\,}(t):=t\cdot e^{it}</math>. === Imaginäre Periodizitätskonstante === Die imaginäre Periodizitätskonstante <math>2\pi i k </math> mit <math> k \in \mathbb{Z}</math> aus der obigen Definition ist für beliebige [[Zweige des Logarithmus]]. (z. B. der Hauptzweig <math> \log^*_G </math>) wählt eine spezifische Argument-Branch, z. B. <math> \arg(z) \in (-\pi, \pi] </math>. === Algebraische Vervollständigung === Man betrachtet die Definition der <math>rlog</math>-Funktion eine feste Wahl eines Zweigs und [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus|vervollständigt diesen algebraisch]], damit dieser auf ganz <math>\mathbb{C}\setminus \{0\}</math>. Man verlangt für die [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus]] wie beim reellen Logarthmus, dass <math>\log_{_G}(1)=0</math> erfüllt ist. Die muss im allgemeinen Fall eigentlich nicht gelten, da auch <math>\log_{_G}(1)=0+2\pi k</math> mit <math>k\in \mathbb{Z}</math> und der Gleichung <math>e^{2\pi k}=1</math> möglich werden. Diese führt auch zu einer eindeutigen maginären Periodizitätskonstante <math>k</math> für die algebraische Vervollständigung des Zweiges. :<math> \log^\ast_G: \mathbb{C} \setminus \{0\} \to \mathbb{C}, \quad z \mapsto \ln|z| + i \arg^\ast_{_G}(z) </math> === Normalisierung und Surjektivität === Diese [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus|algebraisch vervollständigten Zweige des Logarithmus]] sind '''nicht surjektiv''' auf <math> \mathbb{C} </math>, aber liefert einen Logarithmus für alle <math> z \neq 0 </math>. Die Normalisierung <math>\log^*_G(1)=0</math> wird in Analogie zum reellen Logarithmus gewählt. Nun kann man die <math>rlog</math>-Funktion definieren, da diese angibt, wie oft eine rekursive Anwendung eines algebraisch vervollständigten Zweiges des Logarithmus <math>\log^*_G</math> mit <math>\log^*_G(1)=0</math> möglich ist. ==Definition rlog-Funktion == Sei <math> \log^*_G: \mathbb{C} \setminus \{0\} \to \mathbb{C} </math> ein fest gewählter Zweig des komplexen Logarithmus mit normalisierter algebraischer Vervollständigung auf <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> (d.h. <math>\log^*_G(1)=0</math>). Die Funktion <math> \mathrm{rlog}: \mathbb{C} \setminus \{0\} \to \mathbb{N} \cup \{+\infty\} </math> ist wie folgt definiert durch: :<math> \mathrm{rlog}(z) = \begin{cases} 0, & \text{falls } z = 0 \\ n , & \text{falls } z_n\neq 0 \text{ und } \log^*_G(z_{n}) = 0 \\ +\infty, & \text{falls } z_n\neq 0 \text{ für alle } n\in \mathbb{N} \end{cases} </math> Dabei sei <math>z_0:=z</math> und <math>z_{n+1}:=\log^*_G(z_n)</math> definiert, falls <math>\log^*_G(z_{n-1}) \neq 0 </math> und <math>\log^*_G(z_{n}) = 0 </math>. === Bemerkung - Endlichkeit des rlog-Wertes === Die Funktion liefert nur einen endlichen Wert als natürliche Zahl <math>n</math>, wenn man nach <math>n</math> rekursiven Anwendung <math>z:=z_0</math> und <math>z_{n+1}:=\log^*_G(z_n)</math> die Werte <math>\log^*_G(z_{n-1}) \neq 0 </math> und <math>\log^*_G(z_{n}) = 0 </math> gelten. Es ist möglich, dass jede weitere Iteration immer noch in <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> bleibt. Dann ist der Fall <math>\log^*_G(z) = +\infty </math> möglich. Diese Aspekt wird in dieser Lerneinheit weiter untersucht, da man in einem solchen Fall für algebraische Fragen immer von der Existenz einer weiteren rekursiven Anwendung des Logarithmus ausgehen kann. === Bemerkung - rekursive Definition von rlog === Eine rekursive Definition der rlog-Funktion mit <math>rlog(0):=0</math> ist und für <math>z\neq 0</math> setzt man: :<math> \mathrm{rlog}(z) := 1 + \mathrm{rlog}(\log^*_G(z)), \text{ falls } \log^*_G(z_n) \neq 0 </math> Der Fall <math></math> tritt auch, wenn für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> gilt: :<math> \underbrace{\log^*_G \circ \ldots \circ \log^*_G}_{n \mbox{-fach}}(z) \neq 0 </math> == Beispiele - rlog-Berechnung == Im folgenden wird die [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus|algebraische Vervollständigung]] für den [[negativer Hauptzweig des Logarithmus]] <math>\log_G^\ast : \mathbb{C}\setminus \{0\} \to \mathbb{C}</math> mit <math>\log_G^\ast (\mathbb{C}\setminus \{0\} ) = \mathbb{D_1}:= \mathbb{R} + i\cdot [0,2\pi) </math> verwendet. Die Abbildung <math>\log_G^\ast : \mathbb{C}\setminus \{0\} \to \mathbb{D}_1</math> ist bijektiv. === Beispiel 1 - rlog der Eulersche Zahl === Betrachte man den negativen algebraisch vervollständigten Hauptzweig, so erhält man für * <math> \log^\ast_G(e) = \ln(|e|) + i \underbrace{\arg_G^\ast(e)}_{=0} = 1 + i \cdot 0 = 1 </math> * <math> \log^*_G(1) = \ln(1) + i \cdot 0 = 0 </math> Also gilt <math> \mathrm{rlog}(e) = 1 + \mathrm{rlog}(1) = 1 + 1 = 2 </math> und man kann auf <math>e</math> zweimal rekursiv den Logarithmus anwenden. === Beispiel 2 - exp(e) === Da <math>exp(e)=e^e</math> eine reelle Zahl ist, gilt für die algebraische Vervollständigung des [[negativer Hauptzweig|negativen Hauptzweigs]] die reine Anwendung der natürlichen Logarithmus <math>\ln(z)</math> auf <math>z=e^e</math>: * <math> \log^*_G(e^e) = \ln(e^e) = e </math> * <math> \log^*_G(e) = 1 </math> * <math> \log^*_G(1) = 0 </math> Also gilt <math> \mathrm{rlog}(e^e) = 1 + \mathrm{rlog}(e) = 1 + 2 = 3 </math> zusammen mit Beispiel 1. Nach 3 rekursiven Anwendungen terminiert die Iteration. === Beispiel 3 - exp(exp(e)) === Für weitere rekursive Anwendungen der Exponentialfunktion mit <math> z = e^{e^e} </math> erhält man analog: * <math> \log^\ast_G(z) = e^e \quad </math> 1. Anwendung von <math>\log^*_G</math> * <math> \log^\ast_G(e^e) = e \quad </math> 2. Anwendung von <math>\log^*_G</math> * <math> \log^\ast_G(e) = 1 \quad </math> 3. Anwendung von <math>\log^*_G</math> * <math> \log^\ast_G(1) = 0 \quad </math> 4. Anwendung von <math>\log^\ast_G</math> terminiert Also gilt <math> \mathrm{rlog}_G^\ast(z) = 1 + 3 = 4 </math> und Iteration der rekursiven Anwendung endet nach 4 Schritten. === Beispiel 4 - Imaginärteil von 0 verschieden === Bisher wurde in den Beispielen 1-3 die <math>rlog</math>-Funktion nur auf reelle Zahlen <math>\mathrm{rlog}_G^\ast(z)</math> betrachtet. Sei nun <math>z=i \cdot e</math> und man betrachtet nun die Iterationsschritte der rekursiven Anwendung: ==== 1. rekursive Anwendung der Logarithmus ==== Da die Argumentsfunktion für ein <math>z=i\cdot e </math> angewendet wird, gilt für die Argumentfunktion <math>\arg_G^\ast(i\cdot e) = \arg_G^\ast(i) = \tfrac{\pi}{2}</math> und man erhält: :<math> \log^\ast_G(z) = \ln(|e\cdot i|) + \arg_G^\ast(e\cdot i) = \ln(e) + i\cdot \arg_G^\ast(i) = 1 + i\tfrac{\pi}{2} =: z_1 </math> ==== 2. rekursive Anwendung der Logarithmus ==== Da die Argumentsfunktion für ein <math>z_1= 1 + i\tfrac{\pi}{2} </math> angewendet wird, gilt für die Argumentfunktion <math>0 < \arg_G^\ast(z_1) < \pi </math> und mit <math>|z_1| > 1</math> man erhält auch <math>\ln(|z_1|) \approx 0.6217 > 0</math>: :<math> \log^\ast_G(z_1) = \underbrace{\ln\left(\left|1+i\tfrac{\pi}{2}\right|\right)}_{\approx 0.6217} + i\cdot \underbrace{\arg_G^\ast\left(1+i\tfrac{\pi}{2}\right)}_{=\tfrac{\pi}{2}} = \underbrace{\ln(e)}_{\in\mathbb{R}} + i\cdot \underbrace{\arg_G^\ast(i)}_{\in \left(0,\pi\right)} = 1 + i\tfrac{\pi}{2} =: z_1 </math> == Siehe auch == * [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus]] * [[negativer Hauptzweig des Logarithmus]] c9yvdid8l7449k4qmq5c9x32pg2c5k4 0 173370 1118837 1118363 2026-11-04T10:27:41Z Bocardodarapti 2041 1118837 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es sei {{ Relationskette | M | \subseteq | \Z^d || || || |SZ= }} ein endlich erzeugtes kommutatives Monoid, das {{ Definitionslink |Prämath= |spitz| |Kontext=Monoid| |SZ= }} sei und wobei {{math|term= \Z^d |SZ=}} das {{ Definitionslink |Prämath= |Differenzengitter| |Kontext=| |SZ= }} von {{math|term= M |SZ=}} sei. |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung= Dann ist der Monoidring {{math|term= K[M] |SZ=}} im Nullpunkt genau dann glatt, wenn {{ Relationskette | M | \cong | \N^d || || || |SZ= }} ist. |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der kommutativen Monoidringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} dj5r80evctzesglekrweiws5fxmsi5t 0 173371 1118840 1118364 2026-11-04T10:37:25Z Bocardodarapti 2041 1118840 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Aufgrund der Voraussetzung ist die Dimension des Monoidringes gleich {{math|term= d |SZ=.}} Bei {{ Relationskette/display | M | \cong| \N^d || || || |SZ= }} ist der zugehörige Monoidring der Polynomring in {{math|term= d |SZ=}} Variablen, dessen Nullstellengebilde in jedem Punkt glatt ist. Es sei also {{math|term= M |SZ=}} nicht isomorph zu {{math|term= \N^d |SZ=.}} Da das Differenzengitter von {{math|term= M |SZ=}} gleich {{math|term= \Z^d |SZ=}} ist, wird {{math|term= M |SZ=}} von zumindest {{mathl|term= d+1 |SZ=}} Erzeugern erzeugt, da {{math|term= d |SZ=}} Erzeuger im {{math|term= \R^d |SZ=}} linear unabhängig wären und dann das erzeugte Untermonoid gleich {{math|term= \N^d |SZ=}} wäre. Es sei {{math|term= n |SZ=}} die Anzahl eines minimlaen Monoiderzeugendensystems für {{math|term= M |SZ=.}} Es gibt dann einen surjektiven Monoidhomomorphismus {{ Abbildung/display |name= |\N^n | M || |SZ= }} und den zugehörigen surjektiven {{math|term= K |SZ=-}}Algebrahomomorphismus {{ Abbildung/display |name= |K[X_1 {{kommadots}} X_n ] | K[M] || |SZ= }} im Sinne von {{ Faktlink |Faktseitenname= Kommutative Monoidringe/Erzeugendensystem für Monoid und Polynomring/Fakt |Nr= |SZ=. }} Nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Monoidring/Erzeuger und Relationen/Ideal/Fakt |Nr= |SZ= }} wird der Kern dieser Abbildung durch binomiale Polynome erzeugt, die direkt vom Monoid herkommen. Über diese binomialen Gleichungen wird der Monoidring geometrisch im {{math|term= K^n |SZ=}} realisiert. Aufgrund der Voraussetzung gibt es zumindest eine binomiale Gleichung, und wegen der Spitzheit ist der Nullpunkt, bei dem alle Erzeuger auf {{math|term= 0 |SZ=}} abgebildet werden, ein Punkt des geometrischen Gebildes. {{parskip}} Wir betrachten eine binomiale Gleichung {{ Relationskette/display | X^\nu || X^\mu || || || |SZ=. }} Da das Monoid ein Untermonoid des Differenzengitters ist, können wir wie in {{ Faktlink |Faktseitenname= Monoidring/Kürzbar/Erzeuger und Relationen/Ideal/Fakt |Nr= |SZ= }} kürzen, d.h. wir können davon ausgehen, dass links und rechts nur verschiedene Variablen vorkommen. Ferner wissen wir, dass auf keiner Seite eine Variable isoliert {{ Zusatz/Klammer |text=in der ersten Potenz| |ISZ=|ESZ= }} stehen kann, da andernfalls diese Variable bzw. der zugrunde liegende Monoiderzeuger überflüssig wäre. In der Zeile in der Jacobimatrix zu dieser binomialen Gleichung steht also zumindest eine Variable oder einfach {{math|term= 0 |SZ=.}} In jedem Fall ergibt sich im Nullpunkt die Nullmatrix und daher ist der Rang im Nullpunkt gleich {{math|term= 0 |SZ=,}} und die Summe aus Dimension und Rang in diesem Punkt ist kleiner {{math|term= n |SZ=.}} Es liegt also ein sungulärer Punkt vor. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} qqp0afmcrb8aph37iyl0zaz20mfgsks 0 173407 1118781 1118701 2026-11-03T12:33:19Z Bocardodarapti 2041 1118781 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= {{bildskip|}} {{ inputbild |VeroneseDim2Grad3|svg|230px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer=Bocardodarapti |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} Wir betrachten den Monoidhomomorphismus {{ Abbildung/display |name= \delta | \N^d | {{op:Zmod| k |}} || |SZ=, }} bei dem jeder Standardvektor {{math|term= e_i |SZ=}} auf {{math|term= 1 |SZ=}} abgebildet wird. Dies entspricht der {{ Definitionslink |Prämath= |Graduierung| |Kontext=| |SZ= }} auf dem Polynomring {{ Relationskette/display | K[X_1 {{kommadots|}} X_d] | \cong | K[\N^d] || || || |SZ=, }} bei der jede Variable den Grad {{math|term= 1 |SZ=}} in {{mathl|term= {{op:Zmod| k |}} |SZ=}} bekommt. Ein Monom besitzt genau dann den Grad {{math|term= 0 |SZ=}} unter dieser Graduierung, wenn die Summe der Exponenten ein Vielfaches von {{math|term= k |SZ=}} ist. Im Sinne von {{ Faktlink |Faktseitenname= Polynomring/Graduierung/Neutrale Stufe/Monoidring/Fakt |Nr= |SZ= }} ist der Ring der nullten Stufe gleich dem Monoidring zum Monoid {{ Relationskette/display | M || {{Mengebed| \nu \in \N^d | \delta (\nu) {{=}} 0 }} || || || |SZ=. }} Dieser Monoidring wird von {{math|term= X^\nu |SZ=}} mit {{ Relationskette | \sum \nu_i || k || || || |SZ= }} erzeugt. Bei {{ Relationskette | d || 2 || || || |SZ= }} sind das die Monome {{mathl|term= X_1^k, X_1^{k-1}X_2 {{kommadots}} X_2^k |SZ=.}} Dieses Monoid entspricht der in {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Monoidring/Veronesering/Dimension 2 Grad k/Beispiel |Nr= |SZ= }} beschriebenen Situation. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Veronese-Monoidringe |Kategorie2=Theorie der Polynomringe in zwei Variablen über einem Körper |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} rifr386pmoclz2fodpi7y4c75dvleoj 0 173418 1118795 2026-11-03T13:13:07Z Bert Niehaus 20843 Weiterleitung nach [[Wahrscheinlichkeitsraum#messbare Menge]] erstellt 1118795 wikitext text/x-wiki #REDIRECT[[Wahrscheinlichkeitsraum#messbare_Menge]] 61iz4wd8819q97jf152pzs66ttkkcrc 2 173419 1118809 2026-11-04T01:56:54Z Nicht migrantische Unruhestifterin 42063 /* */ Meine Seite 1118809 wikitext text/x-wiki <big><big><big><big><big><big><big><big><big><big><big><big><big><big><big><big><big><big>🖕</big></big></big></big></big></big></big></big></big></big></big></big></big></big></big></big></big></big> evnwryxil2uuwn6zhcdnv405xbxzgsw 106 173420 1118810 2026-11-04T05:40:46Z Paul Sutermeister 37610 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1118810 wikitext text/x-wiki __NOTOC__ = Teilergebnisse in Excel – Schritt für Schritt = Auf dieser Seite lernen Sie '''ganz langsam''', was ''Teilergebnisse'' sind und wie man sie in Excel macht. Sie brauchen kein Vorwissen. Lesen Sie immer einen kurzen Abschnitt und lösen Sie danach das kleine Quiz. Erst wenn alles grün ist, gehen Sie weiter. == Schritt 1: Was ist eine Summe? == Eine '''Summe''' ist das Ergebnis, wenn man Zahlen zusammenzählt. Beispiel: Sie kaufen ein Brot für 4 Franken und Milch für 2 Franken. Zusammen bezahlen Sie 6 Franken. 6 ist die Summe. <quiz display=simple> { Sie kaufen Äpfel für 3 Franken und Käse für 7 Franken. Wie viel bezahlen Sie zusammen? |type="()"} - 4 Franken || Das ist die Differenz (7 − 3). Wir wollen aber zusammenzählen. + 10 Franken || Richtig! 3 + 7 = 10. Das ist die Summe. - 21 Franken || Das wäre 3 × 7. Bei einer Summe wird addiert, nicht multipliziert. { Welches Wort bedeutet «alles zusammenzählen»? |type="()"} + Summe || Genau. - Durchschnitt || Der Durchschnitt (Mittelwert) ist etwas anderes. - Tabelle || Eine Tabelle ist der Ort, wo die Zahlen stehen – nicht das Zusammenzählen. </quiz> == Schritt 2: Gesamtsumme und Teilsumme == Stellen Sie sich vor, Sie gehen in '''zwei Läden''' einkaufen: {| class="wikitable" ! Laden !! Artikel !! Preis |- | Migros || Brot || 4 |- | Migros || Milch || 2 |- | Coop || Käse || 7 |- | Coop || Äpfel || 3 |} * Wie viel haben Sie '''insgesamt''' ausgegeben? 4 + 2 + 7 + 3 = '''16'''. Das ist die '''Gesamtsumme'''. * Wie viel haben Sie '''nur in der Migros''' ausgegeben? 4 + 2 = '''6'''. Das ist eine '''Teilsumme''' (ein ''Teilergebnis''). * Wie viel '''nur im Coop'''? 7 + 3 = '''10'''. Das ist auch ein Teilergebnis. '''Merksatz:''' Ein Teilergebnis ist die Summe von '''einem Teil''' der Daten – zum Beispiel von einer Gruppe. <quiz display=simple> { Wie viel wurde im Coop ausgegeben? |type="{}"} { 10 _3 } Franken { Was ist ein Teilergebnis? |type="()"} - Die Summe von allen Zahlen || Das ist die Gesamtsumme. + Die Summe von einer Gruppe, z. B. nur einem Laden || Richtig! «Teil» = nur ein Teil der Daten. - Eine halbe Zahl || Nein, «Teil» bedeutet hier: ein Teil der Liste. { Was ist grösser? |type="()"} - Das Teilergebnis «Migros» + Die Gesamtsumme || Richtig. Die Gesamtsumme enthält alle Teile – sie ist mindestens so gross wie jedes Teilergebnis. - Beide sind immer gleich gross { Was stimmt? (Mehrere Antworten möglich) |type="[]"} + Teilergebnis Migros + Teilergebnis Coop = Gesamtsumme || Ja: 6 + 10 = 16. - Das Teilergebnis ist immer die grösste Zahl der Liste + Es gibt so viele Teilergebnisse, wie es Gruppen gibt || Ja: 2 Läden → 2 Teilergebnisse. </quiz> == Schritt 3: Wozu braucht man das? == In einer Firma gibt es oft sehr lange Listen – mit hunderten Zeilen. Die Chefin fragt dann zum Beispiel: * «Wie viel Umsatz hat '''jede Filiale''' gemacht?» * «Wie viel hat '''jede Verkäuferin''' verkauft?» * «Wie viel haben wir '''pro Monat''' verdient?» Von Hand zusammenzählen dauert lange und man macht Fehler. Excel kann diese Teilergebnisse '''automatisch''' berechnen. <quiz display=simple> { Welche Frage kann man gut mit Teilergebnissen beantworten? |type="()"} + Wie viel Umsatz hat jede Filiale gemacht? || Richtig! «Jede Filiale» = Gruppen bilden = Teilergebnisse. - Wie heisst die Chefin? - Welche Farbe hat das Logo? { Woran erkennen Sie eine Teilergebnis-Frage? Oft steht darin das Wort … |type="()"} - «insgesamt» || «Insgesamt» deutet auf die Gesamtsumme hin. + «pro» oder «jede/jeder» || Genau: pro Filiale, pro Monat, jede Verkäuferin … - «vielleicht» </quiz> == Schritt 4: Unsere Übungsliste == Ab jetzt arbeiten wir mit dieser Liste eines Velogeschäfts mit zwei Filialen: {| class="wikitable" ! !! A !! B !! C |- ! 1 | '''Filiale''' || '''Monat''' || '''Umsatz''' |- ! 2 | Aarau || Januar || 300 |- ! 3 | Olten || Januar || 200 |- ! 4 | Aarau || Februar || 400 |- ! 5 | Olten || Februar || 100 |- ! 6 | Aarau || März || 200 |- ! 7 | Olten || März || 300 |} <quiz display=simple> { Wie gross ist der Umsatz von Aarau insgesamt (alle drei Monate)? |type="{}"} { 900 _4 } { Wie gross ist der Umsatz von Olten insgesamt? |type="{}"} { 600 _4 } { Wie gross ist die Gesamtsumme (beide Filialen)? |type="{}"} { 1500 _5 } { Was sind in dieser Liste die Gruppen? |type="()"} + Die Filialen Aarau und Olten || Richtig. Wir wollen den Umsatz «pro Filiale». - Die Zahlen 300, 200, 400 … || Das sind die Werte, die zusammengezählt werden – nicht die Gruppen. - Die Spaltenbuchstaben A, B, C </quiz> == Schritt 5: Ganz wichtig – zuerst sortieren! == Schauen Sie die Liste noch einmal an: Aarau und Olten sind '''gemischt'''. Excel macht ein Teilergebnis '''jedes Mal, wenn sich der Name ändert'''. Wenn die Liste gemischt ist, passiert Folgendes: * Aarau → Teilergebnis * Olten → Teilergebnis * Aarau → Teilergebnis * Olten → Teilergebnis * … und so weiter. Das ergibt '''6 kleine Teilergebnisse''' statt 2. Falsch! Darum müssen Sie die Liste '''zuerst nach der Gruppe sortieren''' – hier nach der Spalte «Filiale». '''So sortieren Sie:''' # Klicken Sie in eine Zelle der Spalte «Filiale» (z. B. A2). # Menü '''Daten''' → '''A→Z''' (Aufsteigend sortieren). Nach dem Sortieren sieht die Liste so aus: {| class="wikitable" ! !! A !! B !! C |- ! 1 | '''Filiale''' || '''Monat''' || '''Umsatz''' |- ! 2 | Aarau || Januar || 300 |- ! 3 | Aarau || Februar || 400 |- ! 4 | Aarau || März || 200 |- ! 5 | Olten || Januar || 200 |- ! 6 | Olten || Februar || 100 |- ! 7 | Olten || März || 300 |} Jetzt stehen alle Aarau-Zeilen zusammen und alle Olten-Zeilen zusammen. Perfekt! <quiz display=simple> { Was müssen Sie tun, '''bevor''' Sie Teilergebnisse einfügen? |type="()"} - Die Spalte «Umsatz» löschen + Die Liste nach der Gruppe sortieren || Richtig! Ohne Sortieren gibt es zu viele, falsche Teilergebnisse. - Die Datei speichern || Speichern ist nie schlecht – aber das ist nicht der wichtige Schritt hier. { Nach welcher Spalte sortieren Sie in unserem Beispiel? |type="()"} + Filiale || Genau. Wir wollen Teilergebnisse pro Filiale – also sortieren wir nach Filiale. - Monat || Dann würden die Monate zusammenstehen. Das wäre richtig, wenn wir Teilergebnisse pro Monat wollten. - Umsatz || Nach Zahlen sortieren bringt die Filialen nicht zusammen. { Die Liste ist nicht sortiert (Aarau, Olten, Aarau, Olten, Aarau, Olten). Wie viele Teilergebnisse macht Excel? |type="()"} - 2 - 3 + 6 || Richtig – bei jedem Namenswechsel ein neues. Darum: zuerst sortieren! { Sie wollen Teilergebnisse '''pro Monat'''. Nach welcher Spalte sortieren Sie? |type="()"} - Filiale + Monat || Richtig! Merken Sie sich: Sortieren nach der Spalte, nach der Sie gruppieren wollen. - Umsatz </quiz> == Schritt 6: Das Fenster «Teilergebnis» öffnen == Die Liste ist sortiert. Jetzt kommt das eigentliche Teilergebnis. # Klicken Sie irgendwo in die Liste (z. B. in Zelle A2). # Menü '''Daten''' → Gruppe '''Gliederung''' → '''Teilergebnis'''. # Es öffnet sich ein kleines Fenster. In diesem Fenster gibt es '''drei wichtige Fragen''': {| class="wikitable" ! Im Fenster steht … !! Das bedeutet … !! In unserem Beispiel wählen Sie … |- | '''Gruppieren nach''' || Welche Spalte enthält die Gruppen? || Filiale |- | '''Unter Verwendung von''' || Was soll gerechnet werden? || Summe |- | '''Teilergebnis addieren zu''' || Welche Zahlen sollen gerechnet werden? || ☑ Umsatz |} Dann klicken Sie auf '''OK'''. <quiz display=simple> { Wo finden Sie den Befehl «Teilergebnis»? |type="()"} - Start → Schriftart + Daten → Gliederung → Teilergebnis || Richtig. - Einfügen → Diagramm { Bei «Gruppieren nach» wählen Sie … |type="()"} + Filiale || Richtig: Die Gruppen sind die Filialen. - Umsatz || Umsatz ist die Spalte mit den Zahlen, die gerechnet werden. Die gehört zu «Teilergebnis addieren zu». - Summe || «Summe» gehört zu «Unter Verwendung von». { Bei «Unter Verwendung von» wählen Sie … |type="()"} - Filiale + Summe || Richtig: Wir wollen zusammenzählen. - Umsatz { Bei «Teilergebnis addieren zu» setzen Sie ein Häkchen bei … |type="()"} - Filiale - Monat + Umsatz || Richtig: Nur die Spalte Umsatz enthält Zahlen, die zusammengezählt werden sollen. { Ordnen Sie zu: Welche Frage stellt «Gruppieren nach»? |type="()"} + «Welche Gruppen gibt es?» - «Was soll gerechnet werden?» - «Welche Zahlen sollen gerechnet werden?» </quiz> == Schritt 7: Das Resultat verstehen == Nach dem Klick auf OK fügt Excel '''neue Zeilen''' ein. Die Liste sieht jetzt so aus: {| class="wikitable" ! !! A !! B !! C |- ! 1 | '''Filiale''' || '''Monat''' || '''Umsatz''' |- ! 2 | Aarau || Januar || 300 |- ! 3 | Aarau || Februar || 400 |- ! 4 | Aarau || März || 200 |- ! 5 | '''Aarau Ergebnis''' || || '''900''' |- ! 6 | Olten || Januar || 200 |- ! 7 | Olten || Februar || 100 |- ! 8 | Olten || März || 300 |- ! 9 | '''Olten Ergebnis''' || || '''600''' |- ! 10 | '''Gesamtergebnis''' || || '''1500''' |} Excel hat also selbstständig: * nach jeder Gruppe eine Zeile «… Ergebnis» eingefügt, * ganz unten eine Zeile «Gesamtergebnis» eingefügt. <quiz display=simple> { Wie viele Zeilen hat Excel neu eingefügt? |type="()"} - 1 - 2 + 3 || Richtig: Aarau Ergebnis, Olten Ergebnis und Gesamtergebnis. - 6 { Was steht in der Zeile «Olten Ergebnis»? |type="{}"} { 600 _4 } { Wo steht das Gesamtergebnis? |type="()"} - Ganz oben + Ganz unten || Richtig. - Zwischen Aarau und Olten { Was stimmt? (Mehrere Antworten möglich) |type="[]"} + 900 + 600 = 1500 || Ja: Die Teilergebnisse zusammen ergeben das Gesamtergebnis. - Excel hat die Monate zusammengezählt || Nein, wir haben nach Filiale gruppiert. + Die Originaldaten (z. B. Aarau, Januar, 300) sind noch da || Ja: Excel fügt nur Zeilen hinzu, es löscht nichts. </quiz> == Schritt 8: Die Knöpfe 1, 2, 3 am linken Rand == Links neben den Zeilennummern erscheinen jetzt kleine Knöpfe: '''1''', '''2''', '''3''' sowie '''+''' und '''−'''. Damit können Sie die Liste '''zuklappen''' und '''aufklappen''' – wie eine Schublade. {| class="wikitable" ! Knopf !! Was sehen Sie? |- | '''1''' || Nur das Gesamtergebnis (1500) |- | '''2''' || Die Teilergebnisse und das Gesamtergebnis (900, 600, 1500) |- | '''3''' || Alles: alle Einzelzeilen, Teilergebnisse und Gesamtergebnis |- | '''−''' || Eine Gruppe zuklappen |- | '''+''' || Eine Gruppe wieder aufklappen |} '''Wichtig:''' Beim Zuklappen werden die Zeilen nur '''versteckt''', nicht gelöscht. <quiz display=simple> { Die Chefin will nur wissen: «Wie viel hat jede Filiale gemacht?» Welchen Knopf klicken Sie? |type="()"} - 1 + 2 || Richtig: Ebene 2 zeigt die Teilergebnisse pro Filiale. - 3 || Ebene 3 zeigt alle Einzelzeilen – zu viel Information für diese Frage. { Sie wollen nur die eine Zahl sehen: den Umsatz insgesamt. Welcher Knopf? |type="()"} + 1 || Richtig. - 2 - 3 { Sie klicken auf 1. Sind die Einzelzeilen jetzt gelöscht? |type="()"} - Ja, sie sind weg + Nein, sie sind nur versteckt || Richtig! Mit Knopf 3 kommen sie wieder. { Mit welchem Zeichen klappen Sie eine einzelne Gruppe wieder auf? |type="()"} + + - − - 1 </quiz> == Schritt 9: Was steht eigentlich in der Zelle? Die Funktion TEILERGEBNIS == Klicken Sie auf die Zelle mit 900 (Zeile 5). Oben in der Bearbeitungsleiste sehen Sie: <code>=TEILERGEBNIS(9;C2:C4)</code> Was bedeutet das? * '''TEILERGEBNIS''' – der Name der Funktion. * '''9''' – eine Code-Zahl. 9 bedeutet: '''Summe'''. * '''C2:C4''' – die Zellen, die zusammengezählt werden (die drei Aarau-Umsätze). Ein paar weitere Code-Zahlen: {| class="wikitable" ! Code !! Bedeutung |- | 1 || Mittelwert (Durchschnitt) |- | 2 || Anzahl (wie viele Zahlen) |- | 4 || Maximum (grösste Zahl) |- | 5 || Minimum (kleinste Zahl) |- | 9 || Summe |} <quiz display=simple> { Was bedeutet die 9 in <code>=TEILERGEBNIS(9;C2:C4)</code>? |type="()"} - Es gibt 9 Zeilen + Summe || Richtig: Code 9 = Summe. - Neun Franken { Welche Zellen werden in <code>=TEILERGEBNIS(9;C6:C8)</code> zusammengezählt? |type="()"} - Die Aarau-Umsätze + Die Olten-Umsätze || Richtig: Zeilen 6 bis 8 sind die Olten-Zeilen. - Alle Umsätze { Sie wollen nicht die Summe, sondern den '''Durchschnitt''' pro Filiale. Welche Code-Zahl braucht es? |type="{}"} { 1 _2 } { Welche Formel zählt die Aarau-Umsätze zusammen? |type="()"} + =TEILERGEBNIS(9;C2:C4) - =TEILERGEBNIS(4;C2:C4) || Code 4 ist das Maximum, nicht die Summe. - =TEILERGEBNIS(9;A2:A4) || In Spalte A stehen die Filialnamen, keine Zahlen. </quiz> == Schritt 10: Warum nicht einfach SUMME? Der Trick beim Gesamtergebnis == Im Gesamtergebnis (Zeile 10) steht: <code>=TEILERGEBNIS(9;C2:C9)</code> Moment! Der Bereich C2:C9 enthält auch die Zellen '''C5 (900)''' und '''C9 (600)''' – also die Teilergebnisse! Wird dann nicht doppelt gezählt? '''Nein!''' Das ist der grosse Vorteil von TEILERGEBNIS: Die Funktion '''überspringt andere Teilergebnisse automatisch'''. Sie zählt nur die echten Daten. Mit der normalen Funktion SUMME wäre es falsch: {| class="wikitable" ! Formel !! Rechnung !! Resultat |- | <code>=TEILERGEBNIS(9;C2:C9)</code> || 300+400+200+200+100+300 || '''1500''' ✔ |- | <code>=SUMME(C2:C9)</code> || 300+400+200+'''900'''+200+100+300+'''600''' || '''3000''' ✘ |} <quiz display=simple> { Was rechnet <code>=SUMME(C2:C9)</code> in unserer Liste? |type="{}"} { 3000 _5 } { Warum ist 3000 falsch? |type="()"} - Weil Excel sich verrechnet hat + Weil die Teilergebnisse 900 und 600 noch einmal dazugezählt wurden || Richtig: Es wurde doppelt gezählt. - Weil die Monate fehlen { Was macht TEILERGEBNIS mit anderen Teilergebnissen im Bereich? |type="()"} - Es zählt sie doppelt + Es überspringt sie || Richtig! Darum stimmt das Gesamtergebnis. - Es löscht sie </quiz> == Schritt 11: Teilergebnisse wieder entfernen == Sie wollen die Liste wieder wie vorher? # Klicken Sie in die Liste. # Menü '''Daten''' → '''Teilergebnis'''. # Im Fenster unten links auf '''Alle entfernen''' klicken. Die eingefügten Ergebniszeilen verschwinden. Ihre Originaldaten bleiben. <quiz display=simple> { Wie entfernen Sie die Teilergebnisse richtig? |type="()"} - Die Ergebniszeilen von Hand löschen || Das geht zwar, ist aber mühsam und die Knöpfe 1–2–3 bleiben. Besser: «Alle entfernen». + Daten → Teilergebnis → Alle entfernen || Richtig. - Die Datei schliessen { Werden beim Entfernen auch die Originaldaten (z. B. Aarau, Januar, 300) gelöscht? |type="()"} - Ja + Nein || Richtig: Nur die Ergebniszeilen verschwinden. </quiz> == Schritt 12: Die Reihenfolge – alles zusammen == Bringen Sie die Schritte in Gedanken in die richtige Reihenfolge: # Liste nach der Gruppe '''sortieren''' # In die Liste klicken # '''Daten → Teilergebnis''' # Gruppieren nach / Unter Verwendung von / Addieren zu ausfüllen # '''OK''' # Mit den Knöpfen '''1, 2, 3''' die Ansicht wählen <quiz display=simple> { Was ist der '''erste''' Schritt? |type="()"} - Daten → Teilergebnis + Die Liste sortieren || Richtig – das ist der Schritt, den viele vergessen! - Auf OK klicken { Was kommt direkt '''nach''' dem Öffnen des Fensters «Teilergebnis»? |type="()"} - Sortieren + Die drei Felder ausfüllen || Richtig: Gruppieren nach, Unter Verwendung von, Teilergebnis addieren zu. - Alle entfernen </quiz> == Schlussquiz: Können Sie es jetzt? == Eine neue Liste: {| class="wikitable" ! Verkäuferin !! Produkt !! Anzahl |- | Lea || Helm || 5 |- | Nina || Helm || 2 |- | Lea || Schloss || 3 |- | Nina || Schloss || 6 |} Die Frage der Chefin: «Wie viele Artikel hat '''jede Verkäuferin''' verkauft?» <quiz display=simple> { Nach welcher Spalte sortieren Sie zuerst? |type="()"} + Verkäuferin || Richtig: «jede Verkäuferin» = Gruppe. - Produkt - Anzahl { Was wählen Sie bei «Gruppieren nach»? |type="()"} + Verkäuferin - Anzahl - Summe { Was wählen Sie bei «Unter Verwendung von»? |type="()"} - Maximum + Summe || Richtig: Wir wollen die Artikel zusammenzählen. - Mittelwert { Bei welcher Spalte setzen Sie das Häkchen unter «Teilergebnis addieren zu»? |type="()"} - Verkäuferin - Produkt + Anzahl { Wie gross ist das Teilergebnis von Lea? |type="{}"} { 8 _3 } { Wie gross ist das Teilergebnis von Nina? |type="{}"} { 8 _3 } { Wie gross ist das Gesamtergebnis? |type="{}"} { 16 _3 } { Die Chefin will nun wissen: «Wie viele Artikel '''pro Produkt'''?» Was müssen Sie ändern? (Mehrere Antworten möglich) |type="[]"} + Zuerst die alten Teilergebnisse entfernen || Ja, sonst wird es unübersichtlich. + Neu nach der Spalte «Produkt» sortieren || Ja: neue Gruppe = neu sortieren. + Bei «Gruppieren nach» jetzt «Produkt» wählen || Genau. - Bei «Unter Verwendung von» jetzt «Produkt» wählen || Nein, dort bleibt «Summe». </quiz> == Merkblatt == * '''Teilergebnis''' = Summe (oder Anzahl, Mittelwert …) von '''einer Gruppe'''. * '''Immer zuerst sortieren''' – nach der Spalte, nach der Sie gruppieren. * Befehl: '''Daten → Gliederung → Teilergebnis'''. * Drei Fragen: '''Gruppieren nach''' (die Gruppen) – '''Unter Verwendung von''' (die Rechenart) – '''Teilergebnis addieren zu''' (die Zahlenspalte). * Knöpfe '''1 – 2 – 3''': nur Gesamt – Teilergebnisse – alles. * Die Funktion '''TEILERGEBNIS''' überspringt andere Teilergebnisse → kein Doppelzählen. * Entfernen: '''Daten → Teilergebnis → Alle entfernen'''. [[Kategorie:Kurs:Tabellenkalkulation]] 6fy222ivw1384cfe9lb66s69cklzebq 1118826 1118810 2026-11-04T09:14:05Z Paul Sutermeister 37610 1118826 wikitext text/x-wiki = Teilergebnisse in Excel – Schritt für Schritt = Auf dieser Seite lernen Sie '''ganz langsam''', was ''Teilergebnisse'' sind und wie man sie in Excel macht. Sie brauchen kein Vorwissen. Lesen Sie immer einen kurzen Abschnitt und lösen Sie danach das kleine Quiz. Erst wenn alles grün ist, gehen Sie weiter. == Schritt 1: Was ist eine Summe? == Eine '''Summe''' ist das Ergebnis, wenn man Zahlen zusammenzählt. Beispiel: Sie kaufen ein Brot für 4 Franken und Milch für 2 Franken. Zusammen bezahlen Sie 6 Franken. 6 ist die Summe. <quiz display=simple> { Sie kaufen Äpfel für 3 Franken und Käse für 7 Franken. Wie viel bezahlen Sie zusammen? |type="()"} - 4 Franken || Das ist die Differenz (7 − 3). Wir wollen aber zusammenzählen. + 10 Franken || Richtig! 3 + 7 = 10. Das ist die Summe. - 21 Franken || Das wäre 3 × 7. Bei einer Summe wird addiert, nicht multipliziert. { Welches Wort bedeutet «alles zusammenzählen»? |type="()"} + Summe || Genau. - Durchschnitt || Der Durchschnitt (Mittelwert) ist etwas anderes. - Tabelle || Eine Tabelle ist der Ort, wo die Zahlen stehen – nicht das Zusammenzählen. </quiz> == Schritt 2: Gesamtsumme und Teilsumme == Stellen Sie sich vor, Sie gehen in '''zwei Läden''' einkaufen: {| class="wikitable" ! Laden !! Artikel !! Preis |- | Migros || Brot || 4 |- | Migros || Milch || 2 |- | Coop || Käse || 7 |- | Coop || Äpfel || 3 |} * Wie viel haben Sie '''insgesamt''' ausgegeben? 4 + 2 + 7 + 3 = '''16'''. Das ist die '''Gesamtsumme'''. * Wie viel haben Sie '''nur in der Migros''' ausgegeben? 4 + 2 = '''6'''. Das ist eine '''Teilsumme''' (ein ''Teilergebnis''). * Wie viel '''nur im Coop'''? 7 + 3 = '''10'''. Das ist auch ein Teilergebnis. '''Merksatz:''' Ein Teilergebnis ist die Summe von '''einem Teil''' der Daten – zum Beispiel von einer Gruppe. <quiz display=simple> { Wie viel wurde im Coop ausgegeben? |type="{}"} { 10 _3 } Franken { Was ist ein Teilergebnis? |type="()"} - Die Summe von allen Zahlen || Das ist die Gesamtsumme. + Die Summe von einer Gruppe, z. B. nur einem Laden || Richtig! «Teil» = nur ein Teil der Daten. - Eine halbe Zahl || Nein, «Teil» bedeutet hier: ein Teil der Liste. { Was ist grösser? |type="()"} - Das Teilergebnis «Migros» + Die Gesamtsumme || Richtig. Die Gesamtsumme enthält alle Teile – sie ist mindestens so gross wie jedes Teilergebnis. - Beide sind immer gleich gross { Was stimmt? (Mehrere Antworten möglich) |type="[]"} + Teilergebnis Migros + Teilergebnis Coop = Gesamtsumme || Ja: 6 + 10 = 16. - Das Teilergebnis ist immer die grösste Zahl der Liste + Es gibt so viele Teilergebnisse, wie es Gruppen gibt || Ja: 2 Läden → 2 Teilergebnisse. </quiz> == Schritt 3: Wozu braucht man das? == In einer Firma gibt es oft sehr lange Listen – mit hunderten Zeilen. Die Chefin fragt dann zum Beispiel: * «Wie viel Umsatz hat '''jede Filiale''' gemacht?» * «Wie viel hat '''jede Verkäuferin''' verkauft?» * «Wie viel haben wir '''pro Monat''' verdient?» Von Hand zusammenzählen dauert lange und man macht Fehler. Excel kann diese Teilergebnisse '''automatisch''' berechnen. <quiz display=simple> { Welche Frage kann man gut mit Teilergebnissen beantworten? |type="()"} + Wie viel Umsatz hat jede Filiale gemacht? || Richtig! «Jede Filiale» = Gruppen bilden = Teilergebnisse. - Wie heisst die Chefin? - Welche Farbe hat das Logo? { Woran erkennen Sie eine Teilergebnis-Frage? Oft steht darin das Wort … |type="()"} - «insgesamt» || «Insgesamt» deutet auf die Gesamtsumme hin. + «pro» oder «jede/jeder» || Genau: pro Filiale, pro Monat, jede Verkäuferin … - «vielleicht» </quiz> == Schritt 4: Unsere Übungsliste == Ab jetzt arbeiten wir mit dieser Liste eines Velogeschäfts mit zwei Filialen: {| class="wikitable" ! !! A !! B !! C |- ! 1 | '''Filiale''' || '''Monat''' || '''Umsatz''' |- ! 2 | Aarau || Januar || 300 |- ! 3 | Olten || Januar || 200 |- ! 4 | Aarau || Februar || 400 |- ! 5 | Olten || Februar || 100 |- ! 6 | Aarau || März || 200 |- ! 7 | Olten || März || 300 |} <quiz display=simple> { Wie gross ist der Umsatz von Aarau insgesamt (alle drei Monate)? |type="{}"} { 900 _4 } { Wie gross ist der Umsatz von Olten insgesamt? |type="{}"} { 600 _4 } { Wie gross ist die Gesamtsumme (beide Filialen)? |type="{}"} { 1500 _5 } { Was sind in dieser Liste die Gruppen? |type="()"} + Die Filialen Aarau und Olten || Richtig. Wir wollen den Umsatz «pro Filiale». - Die Zahlen 300, 200, 400 … || Das sind die Werte, die zusammengezählt werden – nicht die Gruppen. - Die Spaltenbuchstaben A, B, C </quiz> == Schritt 5: Ganz wichtig – zuerst sortieren! == Schauen Sie die Liste noch einmal an: Aarau und Olten sind '''gemischt'''. Excel macht ein Teilergebnis '''jedes Mal, wenn sich der Name ändert'''. Wenn die Liste gemischt ist, passiert Folgendes: * Aarau → Teilergebnis * Olten → Teilergebnis * Aarau → Teilergebnis * Olten → Teilergebnis * … und so weiter. Das ergibt '''6 kleine Teilergebnisse''' statt 2. Falsch! Darum müssen Sie die Liste '''zuerst nach der Gruppe sortieren''' – hier nach der Spalte «Filiale». '''So sortieren Sie:''' # Klicken Sie in eine Zelle der Spalte «Filiale» (z. B. A2). # Menü '''Daten''' → '''A→Z''' (Aufsteigend sortieren). Nach dem Sortieren sieht die Liste so aus: {| class="wikitable" ! !! A !! B !! C |- ! 1 | '''Filiale''' || '''Monat''' || '''Umsatz''' |- ! 2 | Aarau || Januar || 300 |- ! 3 | Aarau || Februar || 400 |- ! 4 | Aarau || März || 200 |- ! 5 | Olten || Januar || 200 |- ! 6 | Olten || Februar || 100 |- ! 7 | Olten || März || 300 |} Jetzt stehen alle Aarau-Zeilen zusammen und alle Olten-Zeilen zusammen. Perfekt! <quiz display=simple> { Was müssen Sie tun, '''bevor''' Sie Teilergebnisse einfügen? |type="()"} - Die Spalte «Umsatz» löschen + Die Liste nach der Gruppe sortieren || Richtig! Ohne Sortieren gibt es zu viele, falsche Teilergebnisse. - Die Datei speichern || Speichern ist nie schlecht – aber das ist nicht der wichtige Schritt hier. { Nach welcher Spalte sortieren Sie in unserem Beispiel? |type="()"} + Filiale || Genau. Wir wollen Teilergebnisse pro Filiale – also sortieren wir nach Filiale. - Monat || Dann würden die Monate zusammenstehen. Das wäre richtig, wenn wir Teilergebnisse pro Monat wollten. - Umsatz || Nach Zahlen sortieren bringt die Filialen nicht zusammen. { Die Liste ist nicht sortiert (Aarau, Olten, Aarau, Olten, Aarau, Olten). Wie viele Teilergebnisse macht Excel? |type="()"} - 2 - 3 + 6 || Richtig – bei jedem Namenswechsel ein neues. Darum: zuerst sortieren! { Sie wollen Teilergebnisse '''pro Monat'''. Nach welcher Spalte sortieren Sie? |type="()"} - Filiale + Monat || Richtig! Merken Sie sich: Sortieren nach der Spalte, nach der Sie gruppieren wollen. - Umsatz </quiz> == Schritt 6: Das Fenster «Teilergebnis» öffnen == Die Liste ist sortiert. Jetzt kommt das eigentliche Teilergebnis. # Klicken Sie irgendwo in die Liste (z. B. in Zelle A2). # Menü '''Daten''' → Gruppe '''Gliederung''' → '''Teilergebnis'''. # Es öffnet sich ein kleines Fenster. In diesem Fenster gibt es '''drei wichtige Fragen''': {| class="wikitable" ! Im Fenster steht … !! Das bedeutet … !! In unserem Beispiel wählen Sie … |- | '''Gruppieren nach''' || Welche Spalte enthält die Gruppen? || Filiale |- | '''Unter Verwendung von''' || Was soll gerechnet werden? || Summe |- | '''Teilergebnis addieren zu''' || Welche Zahlen sollen gerechnet werden? || ☑ Umsatz |} Dann klicken Sie auf '''OK'''. <quiz display=simple> { Wo finden Sie den Befehl «Teilergebnis»? |type="()"} - Start → Schriftart + Daten → Gliederung → Teilergebnis || Richtig. - Einfügen → Diagramm { Bei «Gruppieren nach» wählen Sie … |type="()"} + Filiale || Richtig: Die Gruppen sind die Filialen. - Umsatz || Umsatz ist die Spalte mit den Zahlen, die gerechnet werden. Die gehört zu «Teilergebnis addieren zu». - Summe || «Summe» gehört zu «Unter Verwendung von». { Bei «Unter Verwendung von» wählen Sie … |type="()"} - Filiale + Summe || Richtig: Wir wollen zusammenzählen. - Umsatz { Bei «Teilergebnis addieren zu» setzen Sie ein Häkchen bei … |type="()"} - Filiale - Monat + Umsatz || Richtig: Nur die Spalte Umsatz enthält Zahlen, die zusammengezählt werden sollen. { Ordnen Sie zu: Welche Frage stellt «Gruppieren nach»? |type="()"} + «Welche Gruppen gibt es?» - «Was soll gerechnet werden?» - «Welche Zahlen sollen gerechnet werden?» </quiz> == Schritt 7: Das Resultat verstehen == Nach dem Klick auf OK fügt Excel '''neue Zeilen''' ein. Die Liste sieht jetzt so aus: {| class="wikitable" ! !! A !! B !! C |- ! 1 | '''Filiale''' || '''Monat''' || '''Umsatz''' |- ! 2 | Aarau || Januar || 300 |- ! 3 | Aarau || Februar || 400 |- ! 4 | Aarau || März || 200 |- ! 5 | '''Aarau Ergebnis''' || || '''900''' |- ! 6 | Olten || Januar || 200 |- ! 7 | Olten || Februar || 100 |- ! 8 | Olten || März || 300 |- ! 9 | '''Olten Ergebnis''' || || '''600''' |- ! 10 | '''Gesamtergebnis''' || || '''1500''' |} Excel hat also selbstständig: * nach jeder Gruppe eine Zeile «… Ergebnis» eingefügt, * ganz unten eine Zeile «Gesamtergebnis» eingefügt. <quiz display=simple> { Wie viele Zeilen hat Excel neu eingefügt? |type="()"} - 1 - 2 + 3 || Richtig: Aarau Ergebnis, Olten Ergebnis und Gesamtergebnis. - 6 { Was steht in der Zeile «Olten Ergebnis»? |type="{}"} { 600 _4 } { Wo steht das Gesamtergebnis? |type="()"} - Ganz oben + Ganz unten || Richtig. - Zwischen Aarau und Olten { Was stimmt? (Mehrere Antworten möglich) |type="[]"} + 900 + 600 = 1500 || Ja: Die Teilergebnisse zusammen ergeben das Gesamtergebnis. - Excel hat die Monate zusammengezählt || Nein, wir haben nach Filiale gruppiert. + Die Originaldaten (z. B. Aarau, Januar, 300) sind noch da || Ja: Excel fügt nur Zeilen hinzu, es löscht nichts. </quiz> == Schritt 8: Die Knöpfe 1, 2, 3 am linken Rand == Links neben den Zeilennummern erscheinen jetzt kleine Knöpfe: '''1''', '''2''', '''3''' sowie '''+''' und '''−'''. Damit können Sie die Liste '''zuklappen''' und '''aufklappen''' – wie eine Schublade. {| class="wikitable" ! Knopf !! Was sehen Sie? |- | '''1''' || Nur das Gesamtergebnis (1500) |- | '''2''' || Die Teilergebnisse und das Gesamtergebnis (900, 600, 1500) |- | '''3''' || Alles: alle Einzelzeilen, Teilergebnisse und Gesamtergebnis |- | '''−''' || Eine Gruppe zuklappen |- | '''+''' || Eine Gruppe wieder aufklappen |} '''Wichtig:''' Beim Zuklappen werden die Zeilen nur '''versteckt''', nicht gelöscht. <quiz display=simple> { Die Chefin will nur wissen: «Wie viel hat jede Filiale gemacht?» Welchen Knopf klicken Sie? |type="()"} - 1 + 2 || Richtig: Ebene 2 zeigt die Teilergebnisse pro Filiale. - 3 || Ebene 3 zeigt alle Einzelzeilen – zu viel Information für diese Frage. { Sie wollen nur die eine Zahl sehen: den Umsatz insgesamt. Welcher Knopf? |type="()"} + 1 || Richtig. - 2 - 3 { Sie klicken auf 1. Sind die Einzelzeilen jetzt gelöscht? |type="()"} - Ja, sie sind weg + Nein, sie sind nur versteckt || Richtig! Mit Knopf 3 kommen sie wieder. { Mit welchem Zeichen klappen Sie eine einzelne Gruppe wieder auf? |type="()"} + + - − - 1 </quiz> == Schritt 9: Was steht eigentlich in der Zelle? Die Funktion TEILERGEBNIS == Klicken Sie auf die Zelle mit 900 (Zeile 5). Oben in der Bearbeitungsleiste sehen Sie: <code>=TEILERGEBNIS(9;C2:C4)</code> Was bedeutet das? * '''TEILERGEBNIS''' – der Name der Funktion. * '''9''' – eine Code-Zahl. 9 bedeutet: '''Summe'''. * '''C2:C4''' – die Zellen, die zusammengezählt werden (die drei Aarau-Umsätze). Ein paar weitere Code-Zahlen: {| class="wikitable" ! Code !! Bedeutung |- | 1 || Mittelwert (Durchschnitt) |- | 2 || Anzahl (wie viele Zahlen) |- | 4 || Maximum (grösste Zahl) |- | 5 || Minimum (kleinste Zahl) |- | 9 || Summe |} <quiz display=simple> { Was bedeutet die 9 in <code>=TEILERGEBNIS(9;C2:C4)</code>? |type="()"} - Es gibt 9 Zeilen + Summe || Richtig: Code 9 = Summe. - Neun Franken { Welche Zellen werden in <code>=TEILERGEBNIS(9;C6:C8)</code> zusammengezählt? |type="()"} - Die Aarau-Umsätze + Die Olten-Umsätze || Richtig: Zeilen 6 bis 8 sind die Olten-Zeilen. - Alle Umsätze { Sie wollen nicht die Summe, sondern den '''Durchschnitt''' pro Filiale. Welche Code-Zahl braucht es? |type="{}"} { 1 _2 } { Welche Formel zählt die Aarau-Umsätze zusammen? |type="()"} + =TEILERGEBNIS(9;C2:C4) - =TEILERGEBNIS(4;C2:C4) || Code 4 ist das Maximum, nicht die Summe. - =TEILERGEBNIS(9;A2:A4) || In Spalte A stehen die Filialnamen, keine Zahlen. </quiz> == Schritt 10: Warum nicht einfach SUMME? Der Trick beim Gesamtergebnis == Im Gesamtergebnis (Zeile 10) steht: <code>=TEILERGEBNIS(9;C2:C9)</code> Moment! Der Bereich C2:C9 enthält auch die Zellen '''C5 (900)''' und '''C9 (600)''' – also die Teilergebnisse! Wird dann nicht doppelt gezählt? '''Nein!''' Das ist der grosse Vorteil von TEILERGEBNIS: Die Funktion '''überspringt andere Teilergebnisse automatisch'''. Sie zählt nur die echten Daten. Mit der normalen Funktion SUMME wäre es falsch: {| class="wikitable" ! Formel !! Rechnung !! Resultat |- | <code>=TEILERGEBNIS(9;C2:C9)</code> || 300+400+200+200+100+300 || '''1500''' ✔ |- | <code>=SUMME(C2:C9)</code> || 300+400+200+'''900'''+200+100+300+'''600''' || '''3000''' ✘ |} <quiz display=simple> { Was rechnet <code>=SUMME(C2:C9)</code> in unserer Liste? |type="{}"} { 3000 _5 } { Warum ist 3000 falsch? |type="()"} - Weil Excel sich verrechnet hat + Weil die Teilergebnisse 900 und 600 noch einmal dazugezählt wurden || Richtig: Es wurde doppelt gezählt. - Weil die Monate fehlen { Was macht TEILERGEBNIS mit anderen Teilergebnissen im Bereich? |type="()"} - Es zählt sie doppelt + Es überspringt sie || Richtig! Darum stimmt das Gesamtergebnis. - Es löscht sie </quiz> == Schritt 11: Teilergebnisse wieder entfernen == Sie wollen die Liste wieder wie vorher? # Klicken Sie in die Liste. # Menü '''Daten''' → '''Teilergebnis'''. # Im Fenster unten links auf '''Alle entfernen''' klicken. Die eingefügten Ergebniszeilen verschwinden. Ihre Originaldaten bleiben. <quiz display=simple> { Wie entfernen Sie die Teilergebnisse richtig? |type="()"} - Die Ergebniszeilen von Hand löschen || Das geht zwar, ist aber mühsam und die Knöpfe 1–2–3 bleiben. Besser: «Alle entfernen». + Daten → Teilergebnis → Alle entfernen || Richtig. - Die Datei schliessen { Werden beim Entfernen auch die Originaldaten (z. B. Aarau, Januar, 300) gelöscht? |type="()"} - Ja + Nein || Richtig: Nur die Ergebniszeilen verschwinden. </quiz> == Schritt 12: Die Reihenfolge – alles zusammen == Bringen Sie die Schritte in Gedanken in die richtige Reihenfolge: # Liste nach der Gruppe '''sortieren''' # In die Liste klicken # '''Daten → Teilergebnis''' # Gruppieren nach / Unter Verwendung von / Addieren zu ausfüllen # '''OK''' # Mit den Knöpfen '''1, 2, 3''' die Ansicht wählen <quiz display=simple> { Was ist der '''erste''' Schritt? |type="()"} - Daten → Teilergebnis + Die Liste sortieren || Richtig – das ist der Schritt, den viele vergessen! - Auf OK klicken { Was kommt direkt '''nach''' dem Öffnen des Fensters «Teilergebnis»? |type="()"} - Sortieren + Die drei Felder ausfüllen || Richtig: Gruppieren nach, Unter Verwendung von, Teilergebnis addieren zu. - Alle entfernen </quiz> == Schlussquiz: Können Sie es jetzt? == Eine neue Liste: {| class="wikitable" ! Verkäuferin !! Produkt !! Anzahl |- | Lea || Helm || 5 |- | Nina || Helm || 2 |- | Lea || Schloss || 3 |- | Nina || Schloss || 6 |} Die Frage der Chefin: «Wie viele Artikel hat '''jede Verkäuferin''' verkauft?» <quiz display=simple> { Nach welcher Spalte sortieren Sie zuerst? |type="()"} + Verkäuferin || Richtig: «jede Verkäuferin» = Gruppe. - Produkt - Anzahl { Was wählen Sie bei «Gruppieren nach»? |type="()"} + Verkäuferin - Anzahl - Summe { Was wählen Sie bei «Unter Verwendung von»? |type="()"} - Maximum + Summe || Richtig: Wir wollen die Artikel zusammenzählen. - Mittelwert { Bei welcher Spalte setzen Sie das Häkchen unter «Teilergebnis addieren zu»? |type="()"} - Verkäuferin - Produkt + Anzahl { Wie gross ist das Teilergebnis von Lea? |type="{}"} { 8 _3 } { Wie gross ist das Teilergebnis von Nina? |type="{}"} { 8 _3 } { Wie gross ist das Gesamtergebnis? |type="{}"} { 16 _3 } { Die Chefin will nun wissen: «Wie viele Artikel '''pro Produkt'''?» Was müssen Sie ändern? (Mehrere Antworten möglich) |type="[]"} + Zuerst die alten Teilergebnisse entfernen || Ja, sonst wird es unübersichtlich. + Neu nach der Spalte «Produkt» sortieren || Ja: neue Gruppe = neu sortieren. + Bei «Gruppieren nach» jetzt «Produkt» wählen || Genau. - Bei «Unter Verwendung von» jetzt «Produkt» wählen || Nein, dort bleibt «Summe». </quiz> == Merkblatt == * '''Teilergebnis''' = Summe (oder Anzahl, Mittelwert …) von '''einer Gruppe'''. * '''Immer zuerst sortieren''' – nach der Spalte, nach der Sie gruppieren. * Befehl: '''Daten → Gliederung → Teilergebnis'''. * Drei Fragen: '''Gruppieren nach''' (die Gruppen) – '''Unter Verwendung von''' (die Rechenart) – '''Teilergebnis addieren zu''' (die Zahlenspalte). * Knöpfe '''1 – 2 – 3''': nur Gesamt – Teilergebnisse – alles. * Die Funktion '''TEILERGEBNIS''' überspringt andere Teilergebnisse → kein Doppelzählen. * Entfernen: '''Daten → Teilergebnis → Alle entfernen'''. [[Kategorie:Kurs:Tabellenkalkulation]] l9hrvkz3w4h9mrzhyoyyk0cy64gzmpk 106 173421 1118822 2026-11-04T07:31:46Z Paul Sutermeister 37610 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1118822 wikitext text/x-wiki __NOTOC__ = Pivot in Excel – Schritt für Schritt = Auf dieser Seite lernen Sie langsam und Schritt für Schritt, was eine '''PivotTable''' (Pivot-Tabelle) und ein '''PivotChart''' (Pivot-Diagramm) sind. Sie brauchen kein Vorwissen. Nach jedem Schritt gibt es ein kurzes Quiz. == Schritt 1: Das Problem – eine lange Liste == Stellen Sie sich vor: Sie arbeiten in einem kleinen Velo-Geschäft. Jeder Verkauf wird in Excel in eine Zeile geschrieben. Nach einem Jahr hat die Liste '''2000 Zeilen'''. Ein kleiner Ausschnitt: {| class="wikitable" ! Datum !! Verkäufer !! Produkt !! Filiale !! Betrag (CHF) |- | 03.01. || Anna || Velo || Olten || 900 |- | 03.01. || Marco || Helm || Aarau || 80 |- | 04.01. || Anna || Helm || Olten || 80 |- | 05.01. || Marco || Velo || Aarau || 1200 |- | 05.01. || Lea || Schloss || Olten || 40 |- | … || … || … || … || … |} Die Chefin fragt: '''„Wie viel hat jeder Verkäufer insgesamt verkauft?“''' Von Hand zusammenzählen? Bei 2000 Zeilen dauert das Stunden – und man macht Fehler. '''Merke:''' Eine lange Liste enthält viele Informationen, aber man sieht sie nicht auf einen Blick. <quiz display=simple> {Was ist das Problem bei einer Liste mit 2000 Verkäufen? |type="()"} - Excel kann keine 2000 Zeilen speichern. || Falsch. Excel kann über eine Million Zeilen speichern. + Man sieht die wichtigen Zahlen nicht auf einen Blick. || Richtig! Die Daten sind da, aber nicht übersichtlich. - Die Liste ist zu farbig. || Nein, um Farben geht es hier nicht. </quiz> == Schritt 2: Was ist eine PivotTable? == Eine '''PivotTable''' ist eine '''Zusammenfassung''' einer langen Liste. Excel zählt und rechnet für Sie zusammen – mit ein paar Mausklicks, ohne Formeln. Aus der langen Liste wird zum Beispiel diese kurze Tabelle: {| class="wikitable" ! Verkäufer !! Summe Betrag (CHF) |- | Anna || 45'300 |- | Lea || 28'900 |- | Marco || 51'700 |- | '''Gesamtergebnis''' || '''125'900''' |} Die Frage der Chefin ist beantwortet – in wenigen Sekunden. '''Wichtig:''' Die PivotTable verändert Ihre Originalliste '''nicht'''. Sie ist eine neue, separate Tabelle. <quiz display=simple> {Was macht eine PivotTable? |type="()"} - Sie löscht doppelte Zeilen. || Nein, das macht die Funktion „Duplikate entfernen“. + Sie fasst eine lange Liste übersichtlich zusammen. || Richtig! - Sie macht die Schrift grösser. || Nein. {Wird die Originalliste durch die PivotTable verändert? |type="()"} - Ja, die Originalliste wird umsortiert. || Falsch. + Nein, die Originalliste bleibt gleich. || Richtig! Die PivotTable ist eine eigene Tabelle. {Braucht man für eine PivotTable komplizierte Formeln? |type="()"} - Ja, man muss SUMMEWENN schreiben können. || Nein, das braucht es nicht. + Nein, es geht mit Mausklicks. || Richtig! Das ist ein grosser Vorteil. </quiz> == Schritt 3: Was bedeutet das Wort „Pivot“? == „Pivot“ ist Englisch und bedeutet '''Drehpunkt''' oder '''drehen'''. Man kann die Tabelle „drehen“: Man schaut die gleichen Daten aus einem '''anderen Blickwinkel''' an. * Heute fragt die Chefin: „Wie viel hat '''jeder Verkäufer''' verkauft?“ * Morgen fragt sie: „Wie viel hat '''jede Filiale''' verkauft?“ * Übermorgen: „Welches '''Produkt''' verkauft sich am besten?“ Mit einer PivotTable beantworten Sie alle drei Fragen mit derselben Liste. Sie ziehen nur ein anderes Feld an eine andere Stelle. '''Merke:''' Pivot = die Daten drehen und von verschiedenen Seiten anschauen. <quiz display=simple> {Was bedeutet das englische Wort „Pivot“? |type="()"} - Liste || Nein. + Drehpunkt / drehen || Richtig! - Rechnen || Nein. {Warum heisst es „Pivot“-Tabelle? |type="()"} + Weil man die Daten aus verschiedenen Blickwinkeln anschauen („drehen“) kann. || Genau! - Weil sich die Tabelle auf dem Bildschirm dreht. || Nein, das ist nur bildlich gemeint. - Weil sie von einer Firma namens Pivot erfunden wurde. || Nein. </quiz> == Schritt 4: Die Voraussetzung – eine saubere Liste == Damit eine PivotTable funktioniert, muss die Liste sauber sein: # In der '''ersten Zeile''' stehen die '''Überschriften''' (z. B. Datum, Verkäufer, Produkt …). # Jede Spalte hat '''eine eigene Überschrift'''. # Es gibt '''keine leeren Zeilen''' mitten in der Liste. # '''Eine Zeile = ein Datensatz''' (z. B. ein Verkauf). <quiz display=simple> {Was muss in der ersten Zeile der Liste stehen? |type="()"} - Das Gesamtergebnis || Nein. + Die Überschriften der Spalten || Richtig! - Nichts, sie muss leer sein. || Nein. {Welche Aussagen stimmen? (Mehrere Antworten möglich) |type="[]"} + Jede Spalte braucht eine Überschrift. || Richtig. - Leere Zeilen mitten in der Liste sind kein Problem. || Falsch. Leere Zeilen stören. + Eine Zeile steht für einen Datensatz, z. B. einen Verkauf. || Richtig. </quiz> == Schritt 5: Eine PivotTable erstellen == So geht es: # Klicken Sie in '''eine beliebige Zelle''' Ihrer Liste. # Wählen Sie oben im Menüband '''Einfügen → PivotTable'''. # Excel erkennt den Bereich meistens automatisch. Wählen Sie '''„Neues Arbeitsblatt“'''. # Klicken Sie auf '''OK'''. Jetzt sehen Sie links eine leere PivotTable und rechts eine Liste mit Ihren Spaltenüberschriften. Diese Liste heisst '''PivotTable-Felder'''. <quiz display=simple> {Wo finden Sie den Befehl PivotTable? |type="()"} - Start → PivotTable || Nein, nicht im Register Start. + Einfügen → PivotTable || Richtig! - Datei → Speichern || Nein. {Was steht in der Liste „PivotTable-Felder“? |type="()"} + Die Überschriften Ihrer Spalten || Richtig! Zum Beispiel Verkäufer, Produkt, Betrag. - Alle 2000 Zeilen || Nein. - Die Formeln von Excel || Nein. </quiz> == Schritt 6: Die vier Bereiche == Unter den Feldern sehen Sie vier Bereiche. Dorthin '''ziehen''' Sie die Felder mit der Maus: {| class="wikitable" ! Bereich !! Was passiert? !! Beispiel |- | '''Zeilen''' || Die Einträge erscheinen untereinander || Verkäufer |- | '''Spalten''' || Die Einträge erscheinen nebeneinander || Filiale |- | '''Werte''' || Hier wird gerechnet (meist Summe) || Betrag |- | '''Filter''' || Nur bestimmte Daten anzeigen || nur Produkt „Velo“ |} '''Beispiel:''' Sie ziehen ''Verkäufer'' in '''Zeilen''' und ''Betrag'' in '''Werte'''. Schon sehen Sie die Summe pro Verkäufer. Ziehen Sie zusätzlich ''Filiale'' in '''Spalten''', sehen Sie: {| class="wikitable" ! Verkäufer !! Aarau !! Olten !! Gesamtergebnis |- | Anna || 0 || 45'300 || 45'300 |- | Lea || 4'100 || 24'800 || 28'900 |- | Marco || 51'700 || 0 || 51'700 |} <quiz display=simple> {In welchen Bereich ziehen Sie das Feld „Betrag“, damit Excel zusammenzählt? |type="()"} - Zeilen || Nein. - Filter || Nein. + Werte || Richtig! Im Bereich Werte wird gerechnet. {Sie möchten die Verkäufer untereinander sehen. Wohin ziehen Sie „Verkäufer“? |type="()"} + Zeilen || Richtig! - Werte || Nein, dann würde Excel die Verkäufer zählen. - Spalten || Dann stünden sie nebeneinander. {Sie möchten nur die Velo-Verkäufe sehen. Welchen Bereich brauchen Sie? |type="()"} - Werte || Nein. + Filter || Richtig! - Zeilen || Nein. </quiz> == Schritt 7: Drehen – andere Fragen beantworten == Jetzt kommt das „Pivot“: Ziehen Sie ''Verkäufer'' aus den Zeilen hinaus und ziehen Sie stattdessen ''Produkt'' in die Zeilen. Sofort sehen Sie den Umsatz pro Produkt – ohne neue Tabelle, ohne neue Formel. '''Tipp:''' Sie können nichts kaputt machen. Ziehen Sie einfach Felder hin und her und schauen Sie, was passiert. <quiz display=simple> {Sie möchten statt dem Umsatz pro Verkäufer den Umsatz pro Produkt sehen. Was tun Sie? |type="()"} - Eine ganz neue Liste schreiben || Nein, das ist nicht nötig. + Das Feld „Produkt“ statt „Verkäufer“ in die Zeilen ziehen || Richtig! Das ist das „Drehen“. - Alle Zahlen von Hand neu eintippen || Nein. {Können Sie durch das Verschieben der Felder Ihre Originaldaten zerstören? |type="()"} - Ja, die Daten gehen verloren. || Nein, keine Sorge. + Nein, die Originaldaten bleiben unverändert. || Richtig! Probieren ist erlaubt. </quiz> == Schritt 8: Aktualisieren == Achtung: Wenn Sie in der Originalliste '''neue Verkäufe''' eintragen oder Zahlen ändern, passt sich die PivotTable '''nicht automatisch''' an. So aktualisieren Sie: * Rechtsklick in die PivotTable → '''Aktualisieren''' <quiz display=simple> {Sie tragen in der Liste einen neuen Verkauf ein. Was müssen Sie in der PivotTable tun? |type="()"} - Nichts, alles geht automatisch. || Leider nein. + Rechtsklick → Aktualisieren || Richtig! - Die PivotTable löschen und Excel neu starten || Das ist nicht nötig. </quiz> == Schritt 9: Was ist ein PivotChart? == Ein '''PivotChart''' ist ein '''Diagramm''', das direkt auf einer PivotTable aufbaut. * PivotTable = Zahlen in einer Tabelle * PivotChart = die gleichen Zahlen als Bild (z. B. Säulen- oder Kreisdiagramm) So geht es: # Klicken Sie in die PivotTable. # Wählen Sie '''PivotTable-Analyse → PivotChart''' (oder '''Einfügen → PivotChart'''). # Wählen Sie z. B. '''Säulendiagramm''' und klicken Sie auf '''OK'''. Der Vorteil: Wenn Sie die PivotTable drehen oder filtern, '''ändert sich das Diagramm automatisch mit'''. <quiz display=simple> {Was ist ein PivotChart? |type="()"} - Eine zweite Liste mit Rohdaten || Nein. + Ein Diagramm, das auf einer PivotTable aufbaut || Richtig! - Eine Formel || Nein. {Sie ändern die PivotTable (z. B. Produkt statt Verkäufer). Was passiert mit dem PivotChart? |type="()"} + Es passt sich automatisch an. || Richtig! Tabelle und Diagramm gehören zusammen. - Es bleibt gleich. || Nein. - Es wird gelöscht. || Nein. </quiz> == Schritt 10: Braucht es das überhaupt? == '''Kurze Antwort:''' Bei kleinen Listen nicht unbedingt. Bei grossen Listen ist es sehr nützlich. '''Wann lohnt sich eine PivotTable?''' * Die Liste ist lang (viele Zeilen). * Sie wollen schnell Summen, Anzahl oder Durchschnitte sehen. * Sie wollen die gleichen Daten aus mehreren Blickwinkeln anschauen. * Sie müssen einen Bericht oder eine Übersicht für die Chefin machen. '''Wann braucht es keine PivotTable?''' * Die Liste hat nur 10 Zeilen – dann sieht man alles auch so. * Sie brauchen nur eine einzige Summe – dann reicht =SUMME(). '''Beispiele aus dem Büroalltag:''' * Umsatz pro Monat, pro Kunde, pro Region * Anzahl Bestellungen pro Produkt * Ausgaben pro Kostenstelle * Absenzen pro Mitarbeitenden <quiz display=simple> {Wann lohnt sich eine PivotTable besonders? |type="()"} - Bei einer Liste mit 5 Zeilen || Da sieht man alles auch ohne PivotTable. + Bei einer langen Liste, die man von mehreren Seiten auswerten will || Richtig! - Wenn man einen Brief schreiben will || Dafür nimmt man Word. {Welche Beispiele passen gut zu einer PivotTable? (Mehrere Antworten möglich) |type="[]"} + Umsatz pro Monat auswerten || Richtig. + Anzahl Bestellungen pro Produkt zählen || Richtig. - Ein Geburtstagsgedicht schreiben || Nein. + Ausgaben pro Kostenstelle zusammenfassen || Richtig. </quiz> == Abschlussquiz: Alles zusammen == <quiz display=simple> {Ordnen Sie zu: Was gehört wozu? |type="()"} - PivotTable = Diagramm, PivotChart = Tabelle || Vertauscht. + PivotTable = zusammenfassende Tabelle, PivotChart = Diagramm dazu || Richtig! {Bringen Sie die Schritte in die richtige Reihenfolge. Was kommt zuerst? |type="()"} + In die Liste klicken → Einfügen → PivotTable → Felder in Bereiche ziehen || Richtig! - Felder ziehen → Einfügen → PivotTable → in die Liste klicken || Falsche Reihenfolge. - PivotChart erstellen → Liste schreiben → PivotTable || Falsche Reihenfolge. {Welche vier Bereiche gibt es in den PivotTable-Feldern? (Mehrere Antworten möglich) |type="[]"} + Zeilen + Spalten + Werte + Filter - Formeln || Diesen Bereich gibt es nicht. - Farben || Diesen Bereich gibt es nicht. {Lückentext: Füllen Sie die Lücken aus. |type="{}"} „Pivot“ heisst auf Deutsch { Drehpunkt|drehen|Drehen (i) }. Damit Excel zusammenzählt, zieht man den Betrag in den Bereich { Werte (i) }. Nach neuen Daten muss man die PivotTable { aktualisieren (i) }. {Richtig oder falsch: Eine PivotTable verändert die Originaldaten. |type="()"} - richtig || Falsch! Die Originaldaten bleiben unverändert. + falsch || Genau! Die PivotTable ist eine separate Auswertung. </quiz> == Zusammenfassung == * Eine '''PivotTable''' fasst eine lange Liste mit wenigen Klicks zusammen. * '''Pivot''' heisst „drehen“: Man schaut die gleichen Daten aus verschiedenen Blickwinkeln an. * Es gibt vier Bereiche: '''Zeilen, Spalten, Werte, Filter'''. * Die Originaldaten bleiben '''unverändert'''. * Nach Änderungen: '''Rechtsklick → Aktualisieren'''. * Ein '''PivotChart''' ist das passende Diagramm zur PivotTable und ändert sich automatisch mit. * Sinnvoll vor allem bei '''grossen Listen''' und für '''Berichte'''. [[Kategorie:Kurs:Tabellenkalkulation]] qmkrx21mukvl2j691d7t285oeuba77f 1118824 1118822 2026-11-04T07:54:47Z Paul Sutermeister 37610 1118824 wikitext text/x-wiki __NOTOC__ = Pivot in Excel – Schritt für Schritt = Auf dieser Seite lernen Sie langsam und Schritt für Schritt, was eine '''PivotTable''' (Pivot-Tabelle) und ein '''PivotChart''' (Pivot-Diagramm) sind. Sie brauchen kein Vorwissen. Nach jedem Schritt gibt es ein kurzes Quiz. == Schritt 1: Das Problem – eine lange Liste == Stellen Sie sich vor: Sie arbeiten in einem kleinen Velo-Geschäft. Jeder Verkauf wird in Excel in eine Zeile geschrieben. Nach einem Jahr hat die Liste '''2000 Zeilen'''. Ein kleiner Ausschnitt: {| class="wikitable" ! Datum !! Verkäufer !! Produkt !! Filiale !! Betrag (CHF) |- | 03.01. || Anna || Velo || Olten || 900 |- | 03.01. || Marco || Helm || Aarau || 80 |- | 04.01. || Anna || Helm || Olten || 80 |- | 05.01. || Marco || Velo || Aarau || 1200 |- | 05.01. || Lea || Schloss || Olten || 40 |- | … || … || … || … || … |} Die Chefin fragt: '''„Wie viel hat jeder Verkäufer insgesamt verkauft?“''' Von Hand zusammenzählen? Bei 2000 Zeilen dauert das Stunden – und man macht Fehler. '''Merke:''' Eine lange Liste enthält viele Informationen, aber man sieht sie nicht auf einen Blick. <quiz display=simple> {Was ist das Problem bei einer Liste mit 2000 Verkäufen? |type="()"} - Excel kann keine 2000 Zeilen speichern. + Man sieht die wichtigen Zahlen nicht auf einen Blick. - Die Liste ist zu farbig. </quiz> == Schritt 2: Was ist eine PivotTable? == Eine '''PivotTable''' ist eine '''Zusammenfassung''' einer langen Liste. Excel zählt und rechnet für Sie zusammen – mit ein paar Mausklicks, ohne Formeln. Aus der langen Liste wird zum Beispiel diese kurze Tabelle: {| class="wikitable" ! Verkäufer !! Summe Betrag (CHF) |- | Anna || 45'300 |- | Lea || 28'900 |- | Marco || 51'700 |- | '''Gesamtergebnis''' || '''125'900''' |} Die Frage der Chefin ist beantwortet – in wenigen Sekunden. '''Wichtig:''' Die PivotTable verändert Ihre Originalliste '''nicht'''. Sie ist eine neue, separate Tabelle. <quiz display=simple> {Was macht eine PivotTable? |type="()"} - Sie löscht doppelte Zeilen. + Sie fasst eine lange Liste übersichtlich zusammen. - Sie macht die Schrift grösser. {Wird die Originalliste durch die PivotTable verändert? |type="()"} - Ja, die Originalliste wird umsortiert. + Nein, die Originalliste bleibt gleich. {Braucht man für eine PivotTable komplizierte Formeln? |type="()"} - Ja, man muss SUMMEWENN schreiben können. + Nein, es geht mit Mausklicks. </quiz> == Schritt 3: Was bedeutet das Wort „Pivot“? == „Pivot“ ist Englisch und bedeutet '''Drehpunkt''' oder '''drehen'''. Man kann die Tabelle „drehen“: Man schaut die gleichen Daten aus einem '''anderen Blickwinkel''' an. * Heute fragt die Chefin: „Wie viel hat '''jeder Verkäufer''' verkauft?“ * Morgen fragt sie: „Wie viel hat '''jede Filiale''' verkauft?“ * Übermorgen: „Welches '''Produkt''' verkauft sich am besten?“ Mit einer PivotTable beantworten Sie alle drei Fragen mit derselben Liste. Sie ziehen nur ein anderes Feld an eine andere Stelle. '''Merke:''' Pivot = die Daten drehen und von verschiedenen Seiten anschauen. <quiz display=simple> {Was bedeutet das englische Wort „Pivot“? |type="()"} - Liste + Drehpunkt / drehen - Rechnen {Warum heisst es „Pivot“-Tabelle? |type="()"} + Weil man die Daten aus verschiedenen Blickwinkeln anschauen („drehen“) kann. - Weil sich die Tabelle auf dem Bildschirm dreht. - Weil sie von einer Firma namens Pivot erfunden wurde. </quiz> == Schritt 4: Die Voraussetzung – eine saubere Liste == Damit eine PivotTable funktioniert, muss die Liste sauber sein: # In der '''ersten Zeile''' stehen die '''Überschriften''' (z. B. Datum, Verkäufer, Produkt …). # Jede Spalte hat '''eine eigene Überschrift'''. # Es gibt '''keine leeren Zeilen''' mitten in der Liste. # '''Eine Zeile = ein Datensatz''' (z. B. ein Verkauf). <quiz display=simple> {Was muss in der ersten Zeile der Liste stehen? |type="()"} - Das Gesamtergebnis + Die Überschriften der Spalten - Nichts, sie muss leer sein. {Welche Aussagen stimmen? (Mehrere Antworten möglich) |type="[]"} + Jede Spalte braucht eine Überschrift. - Leere Zeilen mitten in der Liste sind kein Problem. + Eine Zeile steht für einen Datensatz, z. B. einen Verkauf. </quiz> == Schritt 5: Eine PivotTable erstellen == So geht es: # Klicken Sie in '''eine beliebige Zelle''' Ihrer Liste. # Wählen Sie oben im Menüband '''Einfügen → PivotTable'''. # Excel erkennt den Bereich meistens automatisch. Wählen Sie '''„Neues Arbeitsblatt“'''. # Klicken Sie auf '''OK'''. Jetzt sehen Sie links eine leere PivotTable und rechts eine Liste mit Ihren Spaltenüberschriften. Diese Liste heisst '''PivotTable-Felder'''. <quiz display=simple> {Wo finden Sie den Befehl PivotTable? |type="()"} - Start → PivotTable + Einfügen → PivotTable - Datei → Speichern {Was steht in der Liste „PivotTable-Felder“? |type="()"} + Die Überschriften Ihrer Spalten - Alle 2000 Zeilen - Die Formeln von Excel </quiz> == Schritt 6: Die vier Bereiche == Unter den Feldern sehen Sie vier Bereiche. Dorthin '''ziehen''' Sie die Felder mit der Maus: {| class="wikitable" ! Bereich !! Was passiert? !! Beispiel |- | '''Zeilen''' || Die Einträge erscheinen untereinander || Verkäufer |- | '''Spalten''' || Die Einträge erscheinen nebeneinander || Filiale |- | '''Werte''' || Hier wird gerechnet (meist Summe) || Betrag |- | '''Filter''' || Nur bestimmte Daten anzeigen || nur Produkt „Velo“ |} '''Beispiel:''' Sie ziehen ''Verkäufer'' in '''Zeilen''' und ''Betrag'' in '''Werte'''. Schon sehen Sie die Summe pro Verkäufer. Ziehen Sie zusätzlich ''Filiale'' in '''Spalten''', sehen Sie: {| class="wikitable" ! Verkäufer !! Aarau !! Olten !! Gesamtergebnis |- | Anna || 0 || 45'300 || 45'300 |- | Lea || 4'100 || 24'800 || 28'900 |- | Marco || 51'700 || 0 || 51'700 |} <quiz display=simple> {In welchen Bereich ziehen Sie das Feld „Betrag“, damit Excel zusammenzählt? |type="()"} - Zeilen - Filter + Werte {Sie möchten die Verkäufer untereinander sehen. Wohin ziehen Sie „Verkäufer“? |type="()"} + Zeilen - Werte - Spalten {Sie möchten nur die Velo-Verkäufe sehen. Welchen Bereich brauchen Sie? |type="()"} - Werte + Filter - Zeilen </quiz> == Schritt 7: Drehen – andere Fragen beantworten == Jetzt kommt das „Pivot“: Ziehen Sie ''Verkäufer'' aus den Zeilen hinaus und ziehen Sie stattdessen ''Produkt'' in die Zeilen. Sofort sehen Sie den Umsatz pro Produkt – ohne neue Tabelle, ohne neue Formel. '''Tipp:''' Sie können nichts kaputt machen. Ziehen Sie einfach Felder hin und her und schauen Sie, was passiert. <quiz display=simple> {Sie möchten statt dem Umsatz pro Verkäufer den Umsatz pro Produkt sehen. Was tun Sie? |type="()"} - Eine ganz neue Liste schreiben + Das Feld „Produkt“ statt „Verkäufer“ in die Zeilen ziehen - Alle Zahlen von Hand neu eintippen {Können Sie durch das Verschieben der Felder Ihre Originaldaten zerstören? |type="()"} - Ja, die Daten gehen verloren. + Nein, die Originaldaten bleiben unverändert. </quiz> == Schritt 8: Aktualisieren == Achtung: Wenn Sie in der Originalliste '''neue Verkäufe''' eintragen oder Zahlen ändern, passt sich die PivotTable '''nicht automatisch''' an. So aktualisieren Sie: * Rechtsklick in die PivotTable → '''Aktualisieren''' <quiz display=simple> {Sie tragen in der Liste einen neuen Verkauf ein. Was müssen Sie in der PivotTable tun? |type="()"} - Nichts, alles geht automatisch. + Rechtsklick → Aktualisieren - Die PivotTable löschen und Excel neu starten </quiz> == Schritt 9: Was ist ein PivotChart? == Ein '''PivotChart''' ist ein '''Diagramm''', das direkt auf einer PivotTable aufbaut. * PivotTable = Zahlen in einer Tabelle * PivotChart = die gleichen Zahlen als Bild (z. B. Säulen- oder Kreisdiagramm) So geht es: # Klicken Sie in die PivotTable. # Wählen Sie '''PivotTable-Analyse → PivotChart''' (oder '''Einfügen → PivotChart'''). # Wählen Sie z. B. '''Säulendiagramm''' und klicken Sie auf '''OK'''. Der Vorteil: Wenn Sie die PivotTable drehen oder filtern, '''ändert sich das Diagramm automatisch mit'''. <quiz display=simple> {Was ist ein PivotChart? |type="()"} - Eine zweite Liste mit Rohdaten + Ein Diagramm, das auf einer PivotTable aufbaut - Eine Formel {Sie ändern die PivotTable (z. B. Produkt statt Verkäufer). Was passiert mit dem PivotChart? |type="()"} + Es passt sich automatisch an. - Es bleibt gleich. - Es wird gelöscht. </quiz> == Schritt 10: Braucht es das überhaupt? == '''Kurze Antwort:''' Bei kleinen Listen nicht unbedingt. Bei grossen Listen ist es sehr nützlich. '''Wann lohnt sich eine PivotTable?''' * Die Liste ist lang (viele Zeilen). * Sie wollen schnell Summen, Anzahl oder Durchschnitte sehen. * Sie wollen die gleichen Daten aus mehreren Blickwinkeln anschauen. * Sie müssen einen Bericht oder eine Übersicht für die Chefin machen. '''Wann braucht es keine PivotTable?''' * Die Liste hat nur 10 Zeilen – dann sieht man alles auch so. * Sie brauchen nur eine einzige Summe – dann reicht =SUMME(). '''Beispiele aus dem Büroalltag:''' * Umsatz pro Monat, pro Kunde, pro Region * Anzahl Bestellungen pro Produkt * Ausgaben pro Kostenstelle * Absenzen pro Mitarbeitenden <quiz display=simple> {Wann lohnt sich eine PivotTable besonders? |type="()"} - Bei einer Liste mit 5 Zeilen + Bei einer langen Liste, die man von mehreren Seiten auswerten will - Wenn man einen Brief schreiben will {Welche Beispiele passen gut zu einer PivotTable? (Mehrere Antworten möglich) |type="[]"} + Umsatz pro Monat auswerten + Anzahl Bestellungen pro Produkt zählen - Ein Geburtstagsgedicht schreiben + Ausgaben pro Kostenstelle zusammenfassen </quiz> == Abschlussquiz: Alles zusammen == <quiz display=simple> {Ordnen Sie zu: Was gehört wozu? |type="()"} - PivotTable = Diagramm, PivotChart = Tabelle + PivotTable = zusammenfassende Tabelle, PivotChart = Diagramm dazu {Bringen Sie die Schritte in die richtige Reihenfolge. Was kommt zuerst? |type="()"} + In die Liste klicken → Einfügen → PivotTable → Felder in Bereiche ziehen - Felder ziehen → Einfügen → PivotTable → in die Liste klicken - PivotChart erstellen → Liste schreiben → PivotTable {Welche vier Bereiche gibt es in den PivotTable-Feldern? (Mehrere Antworten möglich) |type="[]"} + Zeilen + Spalten + Werte + Filter - Formeln - Farben {Lückentext: Füllen Sie die Lücken aus. |type="{}"} „Pivot“ heisst auf Deutsch { Drehpunkt|drehen|Drehen (i) }. Damit Excel zusammenzählt, zieht man den Betrag in den Bereich { Werte (i) }. Nach neuen Daten muss man die PivotTable { aktualisieren (i) }. {Richtig oder falsch: Eine PivotTable verändert die Originaldaten. |type="()"} - richtig + falsch </quiz> == Zusammenfassung == * Eine '''PivotTable''' fasst eine lange Liste mit wenigen Klicks zusammen. * '''Pivot''' heisst „drehen“: Man schaut die gleichen Daten aus verschiedenen Blickwinkeln an. * Es gibt vier Bereiche: '''Zeilen, Spalten, Werte, Filter'''. * Die Originaldaten bleiben '''unverändert'''. * Nach Änderungen: '''Rechtsklick → Aktualisieren'''. * Ein '''PivotChart''' ist das passende Diagramm zur PivotTable und ändert sich automatisch mit. * Sinnvoll vor allem bei '''grossen Listen''' und für '''Berichte'''. [[Kategorie:Kurs:Tabellenkalkulation]] srqjinr35cvbxhdwyerkktwfrczen1l 106 173422 1118831 2026-11-04T10:04:48Z Arbota 36910 Bot: Referenzseite erstellt. 1118831 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Aufgabe|9|12|Kurs=|}} ox6ykqjtjs2998fh3clbayyq58zjsr4