Wikiversity dewikiversity https://de.wikiversity.org/wiki/Hauptseite MediaWiki 1.48.0-wmf.3 first-letter Medium Spezial Diskussion Benutzer Benutzer Diskussion Wikiversity Wikiversity Diskussion Datei Datei Diskussion MediaWiki MediaWiki Diskussion Vorlage Vorlage Diskussion Hilfe Hilfe Diskussion Kategorie Kategorie Diskussion Kurs Kurs Diskussion Projekt Projekt Diskussion TimedText TimedText talk Modul Modul Diskussion Veranstaltung Veranstaltung Diskussion 0 10658 1118886 1104849 2026-11-05T07:05:10Z Bocardodarapti 2041 1118886 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Eine Menge {{math|term= N |SZ=}} mit einem ausgezeichneten Element {{ Relationskette | 0 | \in | N || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=die {{Stichwort|Null|SZ=}} | |SZ= }} und einer {{ Zusatz/Klammer |text=Nachfolger| |ISZ=|ESZ=- }}Abbildung {{ Abbildung/display |name=' | N|N | n |n' |SZ=, }} heißt {{Definitionswort|natürliche Zahlen|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder {{Stichwort|Dedekind-Peano-Modell|SZ=}} für die natürlichen Zahlen| |ESZ=, }} wenn die folgenden {{Definitionswort/enp|Dedekind-Peano-Axiome|SZ=}} erfüllt sind. {{ Aufzählung3 |Das Element {{math|term= 0 |SZ=}} ist kein Nachfolger {{ Zusatz/Klammer |text=die Null liegt also nicht im Bild der Nachfolgerabbildung| |SZ=. }} |Jedes {{ Relationskette |n | \in | N || || || |SZ= }} ist Nachfolger höchstens eines Elementes {{ Zusatz/Klammer |text=d.h. die Nachfolgerabbildung ist injektiv| |SZ=. }} |Für jede Teilmenge {{ Relationskette |T | \subseteq | N || || || |SZ= }} gilt: Wenn die beiden Eigenschaften {{ Auflistung2 |{{ Relationskette | 0 | \in | T || || || |SZ=, }} |mit jedem Element {{ Relationskette |n | \in | T || || || |SZ= }} ist auch {{ Relationskette | n' | \in | T || || || |SZ=, }}}} gelten, so ist {{ Relationskette |T || N || || || |SZ=. }} }} |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Dedekind-Peano-Axiome |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Dedekind-Peano-Axiome |Definitionswort2= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} je7h9ax92h5eqg9ww5ryl4o5ho8cdeh 106 12769 1118866 1118814 2026-11-04T12:45:30Z Bert Niehaus 20843 /* Polynomialer Nullstellensatz */ 1118866 wikitext text/x-wiki {{Fachbereich|Mathematik}} [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|146px|mini|Kurs enthält [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] Audio-Folien]] [[Datei:Mapping f z equal 1 over z.gif|mini|Bewegung von Bildpunkten einer Funktion <math>f</math>. Dabei ist <math>z</math> in blauer Farbe und <math>f(z)= \frac{1}{z}</math> in roter Farbe markiert. <math>z</math> bewegt sich auf der Spur von <math>\gamma(t)=t\cdot e^{it}</math>.]] [[File:Image of path 1 over z.webm|thumb|Bild einer Kurve in den komplexen Zahlen von der Funktion <math>f(z)=\frac{1}{z}</math>]] == Inhalte == In dem Kurs Funktionentheorie<ref>Fischer, W., & Lieb, I. (2013). Funktionentheorie. Springer-Verlag.</ref><ref>H. Leutwiler (1997) Skript zur Vorlesung Funktionentheorie, Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg - URL: https://www.math.fau.de/wp-content/uploads/2019/04/Leutwiler_funktionen.pdf</ref> werden folgende Themen behandelt. Die Themen sind jeweils mit Wikipediainhalten verlinkt und zusätzlich mit einem ''Wikibuch-Link'' versehen, mit dem man sich maßgeschneidert für das eigene Vorwissen ein Buch als PDF-Dateien zu dem Oberthema generieren kann. Als angemeldeter Benutzer kann man die Literaturzusammenstellung auch abspeichern und nach eigenem Lernfortschritt weiter anpassen. <math>(\ast)</math>-Kapitel sind optional. == Funktionentheorie - Teil 1 == === Grundlagen === * '''[[/Lernvoraussetzungen/|Lernvoraussetzungen aus der Analysis]]''' * '''[[Unterschiede - Konvergenzbegriffe]]''' - ohne stochastische Konvergenz * '''[[Komplexe Zahl|Komplexe Zahlen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** Wikiversity: [[Komplexe_Zahlen/Definition|Definition]] - [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Spezial:Buch&bookcmd=book_creator&referer=Komplexe+Zahl Wikibuch] ** [[Komplexe Zahl#Orbitdarstellung|Orbitdarstellung von Operationen in komplexen Zahlen]] ** [[w:Satz von Heine-Borel|Kompaktheitssatz von Heine-Borel]] ** [[w:Komplexe_Zahl#Komplexe_Zahlenebene|geometrische Einführung]] ** [[Komplexe_Zahl#Rechenregeln|Operationen und Regeln]] ** [[w:Riemannsche_Zahlenkugel|Riemannsche Zahlenkugel]] - komplexe Zahlen <math>\mathbb{C}</math> auf einer Kugeloberfläche. ** [[w:Stereografische_Projektion|stereografische Projektion]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Komplexe Zahlen als Matrizen|Komplexe Zahlen als Matrizen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzen und Wurzeln|Potenzen und Wurzeln]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzen%20und%20Wurzeln&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzen%20und%20Wurzeln&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Graph einer Funktion|Graph einer Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Graph%20einer%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Graph%20einer%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Analysis I/Kapitel III: Die elementaren Funktionen|Elementare Funktionen]]''' auf den komplexen Zahlen * '''[[Weg-Zeit-Risikointegral|Weg-Zeit-Risikointegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg-Zeit-Risikointegral&author=%20%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie&coursetitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] andere Formen von Wegintegralen * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS - Rechnen mit komplexen Zahlen]] === Topologische Grundlagen === * '''[[/Folgen und Reihen/|Konvergenz von Folgen und Reihen in den komplexen Zahlen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&shorttitle=Konvergenz%20von%20Folgen%20und%20Reihen&title=Kurs:Funktionentheorie/Folgen%20und%20Reihen&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe|Potenzreihe]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzreihe&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologische Algebra|Topologische Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologische%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Topologische%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Normen, Metriken, Topologie]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Normen%2C+Metriken%2C+Topologie&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Normierter Raum]] ** [[Metrischer Raum]] ** [[Topologischer Raum]] - Wikiversity: [[Topologie/Grundbegriffe/Topologie/Definition|Definition Topologie]] ** [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * '''[[/einfach zusammenhängend/]]''' * '''[[/Gebiet/]]''' === Komplexe Differenzierbarkeit === * '''[[Holomorphe Funktion|Holomorphe Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Holomorphe_Funktion|Komplexe Differenzierbarkeit und Holomorphie]] ** [[/Partielle Ableitungen/]] * '''[[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[/Anwendungen CR-DG/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Anwendungen_CR-DG&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalkül|Wirtinger-Kalkül]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalk%C3%BCl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wirtinger-Kalk%C3%BCl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Kurven und Wegintegrale === * '''[[Kurvenintegral|Kurvenintegral im <math> \mathbb{R}^n </math>]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurven|Kurven]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurven&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurven&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' * '''[[Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare Kurve|rektifizierbare Kurve]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare%20Kurve&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=rektifizierbare%20Kurve&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Integralrechnung|Wikipedia: Integralrechnung]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Weg, Spur, Gebiet|Weg, Gebiet, geschlossener Weg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Weg,_Spur,_Gebiet&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Weg,%20Spur,%20Gebiet&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Wegintegral|Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Kurvenintegral#Kurvenintegrale|Wikpedia:Kurvenintegral allgemein]] ** [[w:de:stetige Funktion|Stetigkeit]] und [[w:de:Grenzwert_(Folge)|Grenzwerte]], ** [[Kurs:Funktionentheorie/Integration durch Substitution|Integration durch Substitution]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integration%20durch%20Substitution&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integration%20durch%20Substitution&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/reelle Integrale als Spezialfall von Wegintegralen/]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral ohne Wegableitung|Wegintegral ohne Wegableitung]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral%20ohne%20Wegableitung&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegintegral%20ohne%20Wegableitung&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Weg-Zeit-Risikointegral]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Kurve|Spur, Graph]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Spur&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurve&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale|Mittelwertsatz für Wegintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Holomorphie === * '''[[Holomorphie|Holomorphie]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphie&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphie/Kriterien|Kriterien]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie/Kriterien&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kriterien&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Holomorphe_Funktion#.C3.84quivalente_Eigenschaften_holomorpher_Funktionen_einer_Variablen|Wikipedia: Holomorphiekriterien]] ** [[/Unterschiede zur reellen Differenzierbarkeit/]] ** [[w:Konforme_Abbildung|konforme Abbildungen]]<math>(\ast)</math>, * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen|Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral|Eigenschaften von Kurvenintegralen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg|Integrationsweg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integrationsweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Stammfunktionen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/sternförmig|sternförmig]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/sternf%C3%B6rmig&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=sternf%C3%B6rmig&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/stetige Funktion mit Stammfunktion|stetige Funktion mit Stammfunktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Wegunabhängigkeit|Wegunabhängigkeit]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Wegunabh%C3%A4ngigkeit&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegunabh%C3%A4ngigkeit&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion als Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20als%20Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20als%20Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma|Approximationslemma]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationslemma&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion - geschlossene Wege|Stammfunktion - geschlossene Wege]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] <span id="CIS-CIF"></span> === Cauchy-Integralsatz CIS === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat (Details)]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes#Korrollar_von_Goursat|Goursat mit Ausnahme eines Punkte - Umkreis des Dreiecks]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz|Cauchy-Integralsatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Integralsatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete/]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für sternförmige Gebiete/]] ** [[/einfach zusammenhängend/]] * '''[[Satz von Morera|Satz von Morera]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Morera&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Morera&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Holomorphie/Kriterien|Holomorphiekriterien]] === Cauchy-Integralformel CIF === * '''[[/Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben/]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Cauchy-Integralformel%20für%20Kreisscheiben&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lokale Entwicklung in Potenzreihen|Lokale Entwicklung in Potenzreihen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Abelsches Lemma/]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen|1/z und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiele%20f%C3%BCr%20Potenzreihenentwicklungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen/Cauchy-Dichte|Cauchy-Dichte und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] ** [[Fehlerfunktion|Fehlerfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fehlerfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fehlerfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Satz über lokale Stammfunktionen|Satz über lokale Stammfunktionen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs: Funktionentheorie/Identitätssatz|Identitätssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/Identit%C3%A4tssatz&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Differentialgleichung - Exponentialfunktion/|Differentialgleichung für Exponentialfunktion]] - Anwendung Identitätssatz ** [[Kurs:Stochastik/Normalverteilung#Funktionentheorie|Verteilungsfunktion der Normalverteilung]] - Anwendung Identitätssatz ** [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz von Liouville|Satz von Liouville]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20von%20Liouville&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Liouville&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatz der Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz%20der%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fundamentalsatz%20der%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Komplexe Nullstellen reeller Polynome/]] ** [[/Cauchy-Schranke für Nullstellen/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen|Cauchy-Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip|Maximumprinzip]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Maximumprinzip&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphiekriterien]]''' === Polynomialer Nullstellensatz === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Argumentfunktion|Argumentfunktion und Polarkoordinatendarstellung]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/algebraische Vervollständigung|algebraische Vervollständigung]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/generalisiert|generalisierter Logarithmus]] auf beliebigen [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] [[Gebiet (Mathematik)|Gebieten]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige|Zweige des Logarithmus]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zweige%20des%20Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#Hauptzweig|Hauptzweig des Logarithmus]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#negativer_Hauptzweig|negativer Hauptzweig des Logarithmus]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#imaginaerer_Hauptzweig|imaginärer Hauptzweig des Logarithmus]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#negativer_imaginaerer_Hauptzweig|negativer imaginärer Hauptzweig des Logarithmus]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/logmod|logmod-Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/logmod&author=Logarithmus&language=de&audioslide=yes&shorttitle=logmod-Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] und Periodizität der Exponentionalfunktion, * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen|Äquivalenzklassen des Logarithmus]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/%C3%84quivalenzklassen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%C3%84quivalenzklassen%20des%20Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen/Topologie|Topologisierung des Äquivalenzklassenraumes]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Potenzfunktionen|Potenzfunktionen]] <math>z^n</math> * [[Kurs:Funktionentheorie/exponentielle unktionen|exponentielle Funktionen]] <math>a^z</math> * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/rlog|rlog-Funktion]] beschreibt wie oft kann man einen Logarithmus als Verkettung "rekursiv" anwenden kann. * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/rekursiver Logarithmus|rekursiver Logarithmus]] als Mehrfachverkettung des Logarithmus mit sich selbst. * [[/Eulersche Nullstellen/]] * [[Identitätssatz für Logarithmen]] * [[Polynomialer Nullstellensatz]] == Funktionentheorie - Teil 2 (*) == In diesem Teil der Lehrveranstaltung wird ein Zusammenhang zwischen Geometrie, Integrationstheorie mit messbaren Mengen hergestellt und die Verbindung zu Wegintegralen behandelt. <span id="Flaechenintegrale"></span> === Stammfunktionen und messbare Mengen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz über lokale Stammfunktionen|Satz über lokale Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz für Stammfunktionen|Differenzsatz für Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz%20f%C3%BCr%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale|Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Definition Flächenintegrale]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Complex%20Analysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Stammfunktionen höherer Ordnung]] ** [[orientierte Fläche]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktion und Unterschied zur Stammfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenstammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral%20%C3%BCber%20Real-%20und%20Imagin%C3%A4rteil&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral%20und%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Rechteckintegrale=== * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orientierung für Rechteckintegrale]] ** [[Lemma für Rechteckintegrale|Lemma - Rechteckintegrale über Flächenstammfunktionen]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale|Darstellungslemma für Rechteckintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Dreiecksintegrale=== Nach dem [[Lemma von Goursat]] ist Wegintegral über den Dreiecksrand 0. Bei Flächenintegralen werden Randintegrale für den Dreieckrand betrachtet, die nicht geschlossen sind. * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orientierung für Dreiecksintegrale]] ** [[Randwegintegral für Dreiecke]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz_für_Dreiecke#Korollar1|Korollar 1 - Invarianz Eckpunktwahl]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz_für_Dreiecke#Korollar2|Korollar 2 - Rechenregeln Randintegrale]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale|Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Dreiecksintegrale|Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Kette von orientierten Flächen/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz für Dreiecke|Approximationssatz für Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Integrale über Polygone === In diesem Abschnitt werden Randintegrale über Vielecke zusammen mit der Berechnung behandelt. * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Vierecke|Flächenintegrale über Vierecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Vierecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz für Polygone|Eckenreduktionssatz für Polygone]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/alternierender Randweg|alternierender Randweg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/alternierender%20Randweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=alternierender%20Randweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Vielecke|Flächenintegrale über Vielecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Vielecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Integrale über Kreisscheiben und Ellipsen === * [[/holomophe Integrationswege/]] * [[/Flächenintegrale über Kreisscheiben/]] * [[/Randwegtransformation für Kreisscheiben/]] * [[/Flächenintegrale über Ellipsen/]] * [[/Flächenintegrale - berandete Wegintegrale/]] * [[/Fubini und Cavalierisches Prinzip/]] == Funktionentheorie - Teil 3 == In diesem Teil der Lehrveranstaltung wird der Begriff der Taylorreihe zum Begriff der [[Laurent-Reihe]] verallgemeinert (analog zur Erweiterung der ganzen Zahlen in Stellenwertsystem um Nachkommastelle, die hier den Potenzen <math>(z-z_o)^{-n}</math> mit <math>n\in\mathbb{N}</math> entsprechen). Ferner werden Cauchy-Integralformel und Cauchy-Integralsatz von geschlossenen Weg auf Zyklen verallgemeinert. <span id="LaurentCISCIF"></span> === Von Taylorreihen zu Laurentreihen und Residuen === * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kette&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kette&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl|Umlaufzahl]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Umlaufzahl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Zyklus|Zyklus]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Zyklus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zyklus&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Laurent-Reihe|Von Taylor-Reihen zu Laurent-Reihen]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Laurent-Reihe&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[b-adische Stellenwertsysteme|b-adische Stellenwertsysteme - Exkurs bzgl. Laurent-Reihen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=b-adische%20Stellenwertsystem&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispielrechnung mit Laurentreihen|Beispielrechnung mit Laurentreihen]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/kreisförmige Konvergenzbereiche|kreisförmige Konvergenzbereiche]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] - Abelsches Lemma === Cauchy-Integralformel und Cauchy-Integralsatz für Zyklen === <span id="CIS-CIF"></span> Die Aussagen des [[Cauchy-Integralsatz|CIS]] und [[Cauchy-Integralformel|CIF]] für konvexe bzw. sternförmige Gebiete werden auf [[nullhomolog|nullhomologe]] [[Zyklus|Zyklen]] verallgemeinert. Es wird CIS-NZ wird aus CIF-NZ gefolgert. * '''[[Integralformel von Cauchy|Cauchy Integralformel für Zyklen]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben/]] * '''[[Integralsatz von Cauchy#Zyklen|Cauchyscher Integralsatz für Zyklen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete|Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Satz von der Gebietstreue === Bilder von Gebieten sind unter holomorphen Funktionen wieder Gebiete. * '''[[Kurs: Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue|Satz von der Gebietstreue]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/Satz%20von%20der%20Gebietstreue&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20der%20Gebietstreue&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] (Open Mapping Theorem) * [[Kurs:Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue/Anwendungen|Anwendungen des Satzes von der Gebietstreue]] === Singularität und Residuen === * '''[[/Singularitäten/]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Singularitäten&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Riemannscher Hebbarkeitssatz|Riemannscher Hebbarkeitssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiel - wesentliche Singularität|Beispiel - exp(1/z) - wesentliche Singularität]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiel_-_wesentliche_Singularität/z)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuum|Residuum]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuum&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung|Entwicklung in Laurentreihen]], * [[Kurs:Funktionentheorie/isolierte Singularität|isolierte Singularitäten]], * [[Kurs:Funktionentheorie/Zerlegungssatz|Zerlegungssatz]], * '''[[Satz von Casorati-Weierstraß|Satz von Casorati-Weierstraß]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuensatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale|Beispielintegrale - Anwendung Residuensatz]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispielintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Reelle Integrale mit Residuensatz|Reelle Integrale mit Residuensatz]], ** [[/Flächenintegrale und Residuen/]] * '''[[/Null- und Polstellen zählendes Integral/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Null-%20und%20Polstellen%20z%C3%A4hlendes%20Integral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Satz von Rouché]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz+von+Rouché&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[meromorphe Funktion|meromorphe Funktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=meromorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=meromorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] <span id="Vektorfeld"></span> * '''[[Kurs: Funktionentheorie/holomorphe Funktionen als Vektorfelder|holomorphe Funktionen als Vektorfelder]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Wege in Vektorfeldern|holomorphe Wege in Vektorfeldern]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Wege als Lösungen von Differentialgleichungen/]] === Integralkorrespondenzsatz (*) === Mit dem Integralkorrespondenzsatz wird ein Zusammenhang zwischen Standardintegralen mit Wegableitung <math>\gamma{\,}'</math> und [[Weg-Zeit-Risikointegral|Weg-Zeit-Integralen]] ohne Wegableitung hergestellt. * [[Kurs:Funktionentheorie/Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege|Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege]] * [[/Injektivitätslemma für Wege/]] * [[/Spurüberdeckungslemma/]] * [[/Integralkorrespondenzsatz/]] <span id="Hilbertraum"></span> == Holormorphe Funktionen als Hilbertraum == In diesem optionalen Teil der Lehrveranstaltung wird ein Wegintegral als [[Skalarprodukt]] auf einem Teilraum von [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktionen]] interpretiert und genauer untersucht. Dabei werden Anforderungen an den [[Integrationsweg]] <math>\gamma</math> definiert, damit das zugehörige Wegintegral ein [[Skalarprodukt]] auf einem [[Funktionenraum]] definiert. Damit erhalten diese holomorphen Funktionen eine geometrische Hilbertraumstruktur, in der der [[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras]] oder der [[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Thales|Satz des Thales[[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Thales|Funktionalanalysis/Satz des Thales]] gilt. * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Funktionenraum als Hilbertraum|Funktionenraum als Hilbertraum]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Funktionenraum%20als%20Hilbertraum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Funktionraum%20als%20Hilbertraum&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orthogonalprojektion]] ** [[Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches_Orthonormalisierungsverfahren|Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Hilbertraum&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20des%20Pythagoras&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Thales|Satz des Thales]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Thales&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20des%20Thales&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Semi-Skalarprodukt|Semi-Skalarprodukte für holomophe Funktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Semi-Skalarprodukt|Semi-Skalarprodukt]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Semi-Skalarprodukt#unvollstaendig|unvollständiger Semihilbertraum als Funktionenraum]] ** [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Semi-Skalarprodukt#Semihilbert-Stetigkeitssatz|Semihilbert-Stetigkeitssatz für Maße auf Funktionenräumen]] ** [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Semi-Skalarprodukt#Buchstabenerkennung|Buchstabenerkennung mit Semiskalarprodukten]] ** [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Semi-Skalarprodukt#Nachhaltigkeit|Nachhaltigkeit und Semiskalarprodukte]] === Riemannscher Abbildungssatz - Automorphismen === * '''[[Riemannscher Abbildungssatz|Riemannscher Abbildungssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Riemannscher%20Abbildungssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannscher%20Abbildungssatz&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Schwarz|Lemma von Schwarz]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Automorphismen_der_Einheitskreisscheibe|<math>\mathrm{Aut}(\mathbb D)</math>]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Harmonische_Funktion|analytische und harmonische Funktionen]] * Lösung durch konforme Verpflanzung, Beispiele (ebene stationäre Strömungen in Flüssigkeiten, ebene elektrostatische Felder) * [[Kurs:Analysis III/Kapitel IV: Verallgemeinerte analytische Funktionen|Verallgemeinerte analytische Funktionen]] == Übungen == * Übungen zur [[Kurs:Funktionentheorie/Übungen|Einführung in die Funktionentheorie]] * [[/Quiz/|Beispiel für ein Quiz in der Funktionentheorie]] * [[Videokonferenz/Gruppenarbeit|Gruppenarbeit in Breakouträumen mit Videokonferenzen]] == Softwarenutzung == Ferner wird in Anlehnung an den [[v:en:Open Community Approach|Open Community Approach]] folgende Open Source verwendet: * [[Maxima CAS]] - ComputerAlgebraSystem * [[Maxima CAS/Komplexe Zahlen|komplexe Zahlen in Maxima CAS]] == Vorlesungsfolien aus Wikiversity-Inhalten == Mit [[PanDocElectron-Presentation|PanDocElectron]] kann man direkt aus Wikiversity-Inhalten Vorlesungsfolien erstellen, die man mit man einem Tablet auch annotieren kann. == Handschriftliche Notitzen == * Im Ausbildungskontext haben die individuellen handschriftlichen Annotation eine wesentliche Bedeutung, da der individuelle Erkenntnisgewinn oder auch aktuelle Probleme beim Verständnis der Beweislogik für eine weitere Betrachtung der mathematischen Theorie gekennzeichnet werden kann. Auch in [[Videokonferenz|Videokonferenzen]] kann das Arbeiten an gemeinsam entwickelten Skizzen oder die gemeinsame Annotation von PDF-Dokumenten eine wichtig Rolle für einen kollaborativen Lernprozess sein. Tablets oder Convertible mit Stifteingabe erlauben ** eine digitale Annotation von PDF-Dokumenten z.B. PDF-Export aus Wikiversity für das eigene Dokumentenportfolio zu einer Lehrveranstaltung oder ** die kollaborative Entwicklung von Beweisideen in OpenSource-Videokonferenzsystemen. ** Mit der [https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases OpenSource-Software Xournal]<ref>Xournal (2020) OpenSource digitale Schreibumgebung und Annotationssoftware für PDF-Dokumente - Github: https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases (retrieverd 2020/04/20) </ref> können Sie diese Annotation von PDF-Dokumenten unter Linux, Windows und MacOSX nutzen ([https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases Download GitHub]) und ** für kollaboratives Arbeiten an Beweisideen kann z.B. auch in der [[w:de:BigBlueButton|Open-Source-Videokonferenzsoftware BigBlueButton]] einsetzen. == Siehe auch == * [[CAS4Wiki]] * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS]] * [[Hilfe:Quiz|Quiz für Vorlesungsinhalte]] * [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * [[Konvexkombination]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Videokonferenz/mündliche Prüfung]] === Kurse === * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)]] * [[Objektorientierte Mathematische Modellbildung]] * [[Kurs:Stochastik]] [[Kategorie:Mathematik]] == Literatur == [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis]]</noinclude> qlldxy8bjlddt9kq1pvscx8zk8a1a7e 1118867 1118866 2026-11-04T15:36:49Z Bert Niehaus 20843 /* Komplexe Differenzierbarkeit */ 1118867 wikitext text/x-wiki {{Fachbereich|Mathematik}} [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|146px|mini|Kurs enthält [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] Audio-Folien]] [[Datei:Mapping f z equal 1 over z.gif|mini|Bewegung von Bildpunkten einer Funktion <math>f</math>. Dabei ist <math>z</math> in blauer Farbe und <math>f(z)= \frac{1}{z}</math> in roter Farbe markiert. <math>z</math> bewegt sich auf der Spur von <math>\gamma(t)=t\cdot e^{it}</math>.]] [[File:Image of path 1 over z.webm|thumb|Bild einer Kurve in den komplexen Zahlen von der Funktion <math>f(z)=\frac{1}{z}</math>]] == Inhalte == In dem Kurs Funktionentheorie<ref>Fischer, W., & Lieb, I. (2013). Funktionentheorie. Springer-Verlag.</ref><ref>H. Leutwiler (1997) Skript zur Vorlesung Funktionentheorie, Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg - URL: https://www.math.fau.de/wp-content/uploads/2019/04/Leutwiler_funktionen.pdf</ref> werden folgende Themen behandelt. Die Themen sind jeweils mit Wikipediainhalten verlinkt und zusätzlich mit einem ''Wikibuch-Link'' versehen, mit dem man sich maßgeschneidert für das eigene Vorwissen ein Buch als PDF-Dateien zu dem Oberthema generieren kann. Als angemeldeter Benutzer kann man die Literaturzusammenstellung auch abspeichern und nach eigenem Lernfortschritt weiter anpassen. <math>(\ast)</math>-Kapitel sind optional. == Funktionentheorie - Teil 1 == === Grundlagen === * '''[[/Lernvoraussetzungen/|Lernvoraussetzungen aus der Analysis]]''' * '''[[Unterschiede - Konvergenzbegriffe]]''' - ohne stochastische Konvergenz * '''[[Komplexe Zahl|Komplexe Zahlen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** Wikiversity: [[Komplexe_Zahlen/Definition|Definition]] - [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Spezial:Buch&bookcmd=book_creator&referer=Komplexe+Zahl Wikibuch] ** [[Komplexe Zahl#Orbitdarstellung|Orbitdarstellung von Operationen in komplexen Zahlen]] ** [[w:Satz von Heine-Borel|Kompaktheitssatz von Heine-Borel]] ** [[w:Komplexe_Zahl#Komplexe_Zahlenebene|geometrische Einführung]] ** [[Komplexe_Zahl#Rechenregeln|Operationen und Regeln]] ** [[w:Riemannsche_Zahlenkugel|Riemannsche Zahlenkugel]] - komplexe Zahlen <math>\mathbb{C}</math> auf einer Kugeloberfläche. ** [[w:Stereografische_Projektion|stereografische Projektion]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Komplexe Zahlen als Matrizen|Komplexe Zahlen als Matrizen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzen und Wurzeln|Potenzen und Wurzeln]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzen%20und%20Wurzeln&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzen%20und%20Wurzeln&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Graph einer Funktion|Graph einer Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Graph%20einer%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Graph%20einer%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Analysis I/Kapitel III: Die elementaren Funktionen|Elementare Funktionen]]''' auf den komplexen Zahlen * '''[[Weg-Zeit-Risikointegral|Weg-Zeit-Risikointegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg-Zeit-Risikointegral&author=%20%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie&coursetitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] andere Formen von Wegintegralen * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS - Rechnen mit komplexen Zahlen]] === Topologische Grundlagen === * '''[[/Folgen und Reihen/|Konvergenz von Folgen und Reihen in den komplexen Zahlen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&shorttitle=Konvergenz%20von%20Folgen%20und%20Reihen&title=Kurs:Funktionentheorie/Folgen%20und%20Reihen&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe|Potenzreihe]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzreihe&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologische Algebra|Topologische Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologische%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Topologische%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Normen, Metriken, Topologie]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Normen%2C+Metriken%2C+Topologie&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Normierter Raum]] ** [[Metrischer Raum]] ** [[Topologischer Raum]] - Wikiversity: [[Topologie/Grundbegriffe/Topologie/Definition|Definition Topologie]] ** [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * '''[[/einfach zusammenhängend/]]''' * '''[[/Gebiet/]]''' === Komplexe Differenzierbarkeit === * '''[[Holomorphe Funktion|Holomorphe Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Holomorphe_Funktion|Komplexe Differenzierbarkeit und Holomorphie]] ** [[/Partielle Ableitungen/]] * '''[[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[/Anwendungen CR-DG/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Anwendungen_CR-DG&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalkül|Wirtinger-Kalkül]]''' (*) - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalk%C3%BCl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wirtinger-Kalk%C3%BCl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Kurven und Wegintegrale === * '''[[Kurvenintegral|Kurvenintegral im <math> \mathbb{R}^n </math>]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurven|Kurven]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurven&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurven&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' * '''[[Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare Kurve|rektifizierbare Kurve]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare%20Kurve&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=rektifizierbare%20Kurve&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Integralrechnung|Wikipedia: Integralrechnung]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Weg, Spur, Gebiet|Weg, Gebiet, geschlossener Weg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Weg,_Spur,_Gebiet&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Weg,%20Spur,%20Gebiet&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Wegintegral|Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Kurvenintegral#Kurvenintegrale|Wikpedia:Kurvenintegral allgemein]] ** [[w:de:stetige Funktion|Stetigkeit]] und [[w:de:Grenzwert_(Folge)|Grenzwerte]], ** [[Kurs:Funktionentheorie/Integration durch Substitution|Integration durch Substitution]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integration%20durch%20Substitution&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integration%20durch%20Substitution&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/reelle Integrale als Spezialfall von Wegintegralen/]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral ohne Wegableitung|Wegintegral ohne Wegableitung]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral%20ohne%20Wegableitung&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegintegral%20ohne%20Wegableitung&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Weg-Zeit-Risikointegral]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Kurve|Spur, Graph]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Spur&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurve&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale|Mittelwertsatz für Wegintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Holomorphie === * '''[[Holomorphie|Holomorphie]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphie&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphie/Kriterien|Kriterien]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie/Kriterien&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kriterien&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Holomorphe_Funktion#.C3.84quivalente_Eigenschaften_holomorpher_Funktionen_einer_Variablen|Wikipedia: Holomorphiekriterien]] ** [[/Unterschiede zur reellen Differenzierbarkeit/]] ** [[w:Konforme_Abbildung|konforme Abbildungen]]<math>(\ast)</math>, * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen|Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral|Eigenschaften von Kurvenintegralen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg|Integrationsweg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integrationsweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Stammfunktionen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/sternförmig|sternförmig]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/sternf%C3%B6rmig&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=sternf%C3%B6rmig&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/stetige Funktion mit Stammfunktion|stetige Funktion mit Stammfunktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Wegunabhängigkeit|Wegunabhängigkeit]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Wegunabh%C3%A4ngigkeit&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegunabh%C3%A4ngigkeit&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion als Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20als%20Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20als%20Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma|Approximationslemma]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationslemma&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion - geschlossene Wege|Stammfunktion - geschlossene Wege]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] <span id="CIS-CIF"></span> === Cauchy-Integralsatz CIS === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat (Details)]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes#Korrollar_von_Goursat|Goursat mit Ausnahme eines Punkte - Umkreis des Dreiecks]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz|Cauchy-Integralsatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Integralsatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete/]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für sternförmige Gebiete/]] ** [[/einfach zusammenhängend/]] * '''[[Satz von Morera|Satz von Morera]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Morera&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Morera&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Holomorphie/Kriterien|Holomorphiekriterien]] === Cauchy-Integralformel CIF === * '''[[/Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben/]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Cauchy-Integralformel%20für%20Kreisscheiben&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lokale Entwicklung in Potenzreihen|Lokale Entwicklung in Potenzreihen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Abelsches Lemma/]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen|1/z und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiele%20f%C3%BCr%20Potenzreihenentwicklungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen/Cauchy-Dichte|Cauchy-Dichte und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] ** [[Fehlerfunktion|Fehlerfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fehlerfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fehlerfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Satz über lokale Stammfunktionen|Satz über lokale Stammfunktionen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs: Funktionentheorie/Identitätssatz|Identitätssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/Identit%C3%A4tssatz&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Differentialgleichung - Exponentialfunktion/|Differentialgleichung für Exponentialfunktion]] - Anwendung Identitätssatz ** [[Kurs:Stochastik/Normalverteilung#Funktionentheorie|Verteilungsfunktion der Normalverteilung]] - Anwendung Identitätssatz ** [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz von Liouville|Satz von Liouville]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20von%20Liouville&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Liouville&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatz der Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz%20der%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fundamentalsatz%20der%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Komplexe Nullstellen reeller Polynome/]] ** [[/Cauchy-Schranke für Nullstellen/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen|Cauchy-Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip|Maximumprinzip]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Maximumprinzip&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphiekriterien]]''' === Polynomialer Nullstellensatz === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Argumentfunktion|Argumentfunktion und Polarkoordinatendarstellung]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/algebraische Vervollständigung|algebraische Vervollständigung]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/generalisiert|generalisierter Logarithmus]] auf beliebigen [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] [[Gebiet (Mathematik)|Gebieten]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige|Zweige des Logarithmus]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zweige%20des%20Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#Hauptzweig|Hauptzweig des Logarithmus]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#negativer_Hauptzweig|negativer Hauptzweig des Logarithmus]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#imaginaerer_Hauptzweig|imaginärer Hauptzweig des Logarithmus]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#negativer_imaginaerer_Hauptzweig|negativer imaginärer Hauptzweig des Logarithmus]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/logmod|logmod-Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/logmod&author=Logarithmus&language=de&audioslide=yes&shorttitle=logmod-Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] und Periodizität der Exponentionalfunktion, * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen|Äquivalenzklassen des Logarithmus]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/%C3%84quivalenzklassen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%C3%84quivalenzklassen%20des%20Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen/Topologie|Topologisierung des Äquivalenzklassenraumes]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Potenzfunktionen|Potenzfunktionen]] <math>z^n</math> * [[Kurs:Funktionentheorie/exponentielle unktionen|exponentielle Funktionen]] <math>a^z</math> * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/rlog|rlog-Funktion]] beschreibt wie oft kann man einen Logarithmus als Verkettung "rekursiv" anwenden kann. * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/rekursiver Logarithmus|rekursiver Logarithmus]] als Mehrfachverkettung des Logarithmus mit sich selbst. * [[/Eulersche Nullstellen/]] * [[Identitätssatz für Logarithmen]] * [[Polynomialer Nullstellensatz]] == Funktionentheorie - Teil 2 (*) == In diesem Teil der Lehrveranstaltung wird ein Zusammenhang zwischen Geometrie, Integrationstheorie mit messbaren Mengen hergestellt und die Verbindung zu Wegintegralen behandelt. <span id="Flaechenintegrale"></span> === Stammfunktionen und messbare Mengen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz über lokale Stammfunktionen|Satz über lokale Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz für Stammfunktionen|Differenzsatz für Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz%20f%C3%BCr%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale|Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Definition Flächenintegrale]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Complex%20Analysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Stammfunktionen höherer Ordnung]] ** [[orientierte Fläche]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktion und Unterschied zur Stammfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenstammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral%20%C3%BCber%20Real-%20und%20Imagin%C3%A4rteil&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral%20und%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Rechteckintegrale=== * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orientierung für Rechteckintegrale]] ** [[Lemma für Rechteckintegrale|Lemma - Rechteckintegrale über Flächenstammfunktionen]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale|Darstellungslemma für Rechteckintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Dreiecksintegrale=== Nach dem [[Lemma von Goursat]] ist Wegintegral über den Dreiecksrand 0. Bei Flächenintegralen werden Randintegrale für den Dreieckrand betrachtet, die nicht geschlossen sind. * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orientierung für Dreiecksintegrale]] ** [[Randwegintegral für Dreiecke]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz_für_Dreiecke#Korollar1|Korollar 1 - Invarianz Eckpunktwahl]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz_für_Dreiecke#Korollar2|Korollar 2 - Rechenregeln Randintegrale]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale|Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Dreiecksintegrale|Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Kette von orientierten Flächen/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz für Dreiecke|Approximationssatz für Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Integrale über Polygone === In diesem Abschnitt werden Randintegrale über Vielecke zusammen mit der Berechnung behandelt. * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Vierecke|Flächenintegrale über Vierecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Vierecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz für Polygone|Eckenreduktionssatz für Polygone]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/alternierender Randweg|alternierender Randweg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/alternierender%20Randweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=alternierender%20Randweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Vielecke|Flächenintegrale über Vielecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Vielecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Integrale über Kreisscheiben und Ellipsen === * [[/holomophe Integrationswege/]] * [[/Flächenintegrale über Kreisscheiben/]] * [[/Randwegtransformation für Kreisscheiben/]] * [[/Flächenintegrale über Ellipsen/]] * [[/Flächenintegrale - berandete Wegintegrale/]] * [[/Fubini und Cavalierisches Prinzip/]] == Funktionentheorie - Teil 3 == In diesem Teil der Lehrveranstaltung wird der Begriff der Taylorreihe zum Begriff der [[Laurent-Reihe]] verallgemeinert (analog zur Erweiterung der ganzen Zahlen in Stellenwertsystem um Nachkommastelle, die hier den Potenzen <math>(z-z_o)^{-n}</math> mit <math>n\in\mathbb{N}</math> entsprechen). Ferner werden Cauchy-Integralformel und Cauchy-Integralsatz von geschlossenen Weg auf Zyklen verallgemeinert. <span id="LaurentCISCIF"></span> === Von Taylorreihen zu Laurentreihen und Residuen === * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kette&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kette&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl|Umlaufzahl]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Umlaufzahl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Zyklus|Zyklus]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Zyklus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zyklus&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Laurent-Reihe|Von Taylor-Reihen zu Laurent-Reihen]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Laurent-Reihe&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[b-adische Stellenwertsysteme|b-adische Stellenwertsysteme - Exkurs bzgl. Laurent-Reihen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=b-adische%20Stellenwertsystem&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispielrechnung mit Laurentreihen|Beispielrechnung mit Laurentreihen]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/kreisförmige Konvergenzbereiche|kreisförmige Konvergenzbereiche]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] - Abelsches Lemma === Cauchy-Integralformel und Cauchy-Integralsatz für Zyklen === <span id="CIS-CIF"></span> Die Aussagen des [[Cauchy-Integralsatz|CIS]] und [[Cauchy-Integralformel|CIF]] für konvexe bzw. sternförmige Gebiete werden auf [[nullhomolog|nullhomologe]] [[Zyklus|Zyklen]] verallgemeinert. Es wird CIS-NZ wird aus CIF-NZ gefolgert. * '''[[Integralformel von Cauchy|Cauchy Integralformel für Zyklen]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben/]] * '''[[Integralsatz von Cauchy#Zyklen|Cauchyscher Integralsatz für Zyklen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete|Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Satz von der Gebietstreue === Bilder von Gebieten sind unter holomorphen Funktionen wieder Gebiete. * '''[[Kurs: Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue|Satz von der Gebietstreue]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/Satz%20von%20der%20Gebietstreue&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20der%20Gebietstreue&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] (Open Mapping Theorem) * [[Kurs:Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue/Anwendungen|Anwendungen des Satzes von der Gebietstreue]] === Singularität und Residuen === * '''[[/Singularitäten/]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Singularitäten&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Riemannscher Hebbarkeitssatz|Riemannscher Hebbarkeitssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiel - wesentliche Singularität|Beispiel - exp(1/z) - wesentliche Singularität]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiel_-_wesentliche_Singularität/z)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuum|Residuum]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuum&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung|Entwicklung in Laurentreihen]], * [[Kurs:Funktionentheorie/isolierte Singularität|isolierte Singularitäten]], * [[Kurs:Funktionentheorie/Zerlegungssatz|Zerlegungssatz]], * '''[[Satz von Casorati-Weierstraß|Satz von Casorati-Weierstraß]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuensatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale|Beispielintegrale - Anwendung Residuensatz]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispielintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Reelle Integrale mit Residuensatz|Reelle Integrale mit Residuensatz]], ** [[/Flächenintegrale und Residuen/]] * '''[[/Null- und Polstellen zählendes Integral/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Null-%20und%20Polstellen%20z%C3%A4hlendes%20Integral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Satz von Rouché]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz+von+Rouché&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[meromorphe Funktion|meromorphe Funktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=meromorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=meromorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] <span id="Vektorfeld"></span> * '''[[Kurs: Funktionentheorie/holomorphe Funktionen als Vektorfelder|holomorphe Funktionen als Vektorfelder]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Wege in Vektorfeldern|holomorphe Wege in Vektorfeldern]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Wege als Lösungen von Differentialgleichungen/]] === Integralkorrespondenzsatz (*) === Mit dem Integralkorrespondenzsatz wird ein Zusammenhang zwischen Standardintegralen mit Wegableitung <math>\gamma{\,}'</math> und [[Weg-Zeit-Risikointegral|Weg-Zeit-Integralen]] ohne Wegableitung hergestellt. * [[Kurs:Funktionentheorie/Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege|Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege]] * [[/Injektivitätslemma für Wege/]] * [[/Spurüberdeckungslemma/]] * [[/Integralkorrespondenzsatz/]] <span id="Hilbertraum"></span> == Holormorphe Funktionen als Hilbertraum == In diesem optionalen Teil der Lehrveranstaltung wird ein Wegintegral als [[Skalarprodukt]] auf einem Teilraum von [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktionen]] interpretiert und genauer untersucht. Dabei werden Anforderungen an den [[Integrationsweg]] <math>\gamma</math> definiert, damit das zugehörige Wegintegral ein [[Skalarprodukt]] auf einem [[Funktionenraum]] definiert. Damit erhalten diese holomorphen Funktionen eine geometrische Hilbertraumstruktur, in der der [[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras]] oder der [[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Thales|Satz des Thales[[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Thales|Funktionalanalysis/Satz des Thales]] gilt. * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Funktionenraum als Hilbertraum|Funktionenraum als Hilbertraum]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Funktionenraum%20als%20Hilbertraum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Funktionraum%20als%20Hilbertraum&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orthogonalprojektion]] ** [[Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches_Orthonormalisierungsverfahren|Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Hilbertraum&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20des%20Pythagoras&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Thales|Satz des Thales]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Thales&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20des%20Thales&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Semi-Skalarprodukt|Semi-Skalarprodukte für holomophe Funktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Semi-Skalarprodukt|Semi-Skalarprodukt]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Semi-Skalarprodukt#unvollstaendig|unvollständiger Semihilbertraum als Funktionenraum]] ** [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Semi-Skalarprodukt#Semihilbert-Stetigkeitssatz|Semihilbert-Stetigkeitssatz für Maße auf Funktionenräumen]] ** [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Semi-Skalarprodukt#Buchstabenerkennung|Buchstabenerkennung mit Semiskalarprodukten]] ** [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Semi-Skalarprodukt#Nachhaltigkeit|Nachhaltigkeit und Semiskalarprodukte]] === Riemannscher Abbildungssatz - Automorphismen === * '''[[Riemannscher Abbildungssatz|Riemannscher Abbildungssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Riemannscher%20Abbildungssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannscher%20Abbildungssatz&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Schwarz|Lemma von Schwarz]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Automorphismen_der_Einheitskreisscheibe|<math>\mathrm{Aut}(\mathbb D)</math>]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Harmonische_Funktion|analytische und harmonische Funktionen]] * Lösung durch konforme Verpflanzung, Beispiele (ebene stationäre Strömungen in Flüssigkeiten, ebene elektrostatische Felder) * [[Kurs:Analysis III/Kapitel IV: Verallgemeinerte analytische Funktionen|Verallgemeinerte analytische Funktionen]] == Übungen == * Übungen zur [[Kurs:Funktionentheorie/Übungen|Einführung in die Funktionentheorie]] * [[/Quiz/|Beispiel für ein Quiz in der Funktionentheorie]] * [[Videokonferenz/Gruppenarbeit|Gruppenarbeit in Breakouträumen mit Videokonferenzen]] == Softwarenutzung == Ferner wird in Anlehnung an den [[v:en:Open Community Approach|Open Community Approach]] folgende Open Source verwendet: * [[Maxima CAS]] - ComputerAlgebraSystem * [[Maxima CAS/Komplexe Zahlen|komplexe Zahlen in Maxima CAS]] == Vorlesungsfolien aus Wikiversity-Inhalten == Mit [[PanDocElectron-Presentation|PanDocElectron]] kann man direkt aus Wikiversity-Inhalten Vorlesungsfolien erstellen, die man mit man einem Tablet auch annotieren kann. == Handschriftliche Notitzen == * Im Ausbildungskontext haben die individuellen handschriftlichen Annotation eine wesentliche Bedeutung, da der individuelle Erkenntnisgewinn oder auch aktuelle Probleme beim Verständnis der Beweislogik für eine weitere Betrachtung der mathematischen Theorie gekennzeichnet werden kann. Auch in [[Videokonferenz|Videokonferenzen]] kann das Arbeiten an gemeinsam entwickelten Skizzen oder die gemeinsame Annotation von PDF-Dokumenten eine wichtig Rolle für einen kollaborativen Lernprozess sein. Tablets oder Convertible mit Stifteingabe erlauben ** eine digitale Annotation von PDF-Dokumenten z.B. PDF-Export aus Wikiversity für das eigene Dokumentenportfolio zu einer Lehrveranstaltung oder ** die kollaborative Entwicklung von Beweisideen in OpenSource-Videokonferenzsystemen. ** Mit der [https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases OpenSource-Software Xournal]<ref>Xournal (2020) OpenSource digitale Schreibumgebung und Annotationssoftware für PDF-Dokumente - Github: https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases (retrieverd 2020/04/20) </ref> können Sie diese Annotation von PDF-Dokumenten unter Linux, Windows und MacOSX nutzen ([https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases Download GitHub]) und ** für kollaboratives Arbeiten an Beweisideen kann z.B. auch in der [[w:de:BigBlueButton|Open-Source-Videokonferenzsoftware BigBlueButton]] einsetzen. == Siehe auch == * [[CAS4Wiki]] * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS]] * [[Hilfe:Quiz|Quiz für Vorlesungsinhalte]] * [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * [[Konvexkombination]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Videokonferenz/mündliche Prüfung]] === Kurse === * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)]] * [[Objektorientierte Mathematische Modellbildung]] * [[Kurs:Stochastik]] [[Kategorie:Mathematik]] == Literatur == [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis]]</noinclude> 7j5r9o6267g6k9i1m4h0njtnitvyjh4 0 64429 1118864 1099434 2026-11-04T12:41:14Z Ladsgroup 15455 ([[c:GR|GR]]) [[File:Trigonom1.png]] → [[File:Trigonom1.png]] File:Trigonom1.svg 1118864 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Ordne{{n Sie}} die folgenden Funktionen den Bildern zu {{ Zusatz/Klammer |text=man schreibe{{n Sie}} ohne Begründung hinter den Funktionsausdruck den Buchstaben des zugehörigen Bildes; nur für vollständig richtige Antworten gibt es Punkte| |ISZ=|ESZ=. }} {{ Aufzählung6 | {{ Math/display|term= {{op:Bruch| 1 | 3}} {{op:sin(| {{op:Bruch| 1 | 2}} x +1 |}} -1 |SZ=, }} | {{ Math/display|term= {{op:Bruch| 1 | 3}} {{op:sin(| {{op:Bruch| 1 | 2}} x -1 |}} -1 |SZ=, }} | {{ Math/display|term= {{op:Bruch| 1 | 2}} {{op:sin(| {{op:Bruch| 1 | 3}} x +1 |}} -1 |SZ=, }} | {{ Math/display|term= {{op:Bruch| 1 | 3}} {{op:sin(| {{op:Bruch| 1 | 2}} x +1 |}} +1 |SZ=, }} | {{ Math/display|term= {{op:Bruch| 1 | 3}} {{op:sin(| 2 x +1 |}} -1 |SZ=, }} | {{ Math/display|term= {{op:Bruch| 1 | 3}} {{op:sin(| {{op:Bruch| 1 | 2}} x + {{op:Bruch| \pi| 2}} |}} -1 |SZ=. }} }} <gallery widths="160px" heights="160px" > Image:trigonom2.png|a) Image:Trigonom1.png|b) Image:trigonom3.png|c) </gallery> <gallery widths="160px" heights="160px" > Image:trigonom4.png|d) Image:trigo5.png|e) Image:trigo6.png|f) </gallery> |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen trigonometrischen Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} oscyhr62u5wd8jdwb98p98gsk50k35e 1118865 1118864 2026-11-04T12:42:30Z Ladsgroup 15455 1118865 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Ordne{{n Sie}} die folgenden Funktionen den Bildern zu {{ Zusatz/Klammer |text=man schreibe{{n Sie}} ohne Begründung hinter den Funktionsausdruck den Buchstaben des zugehörigen Bildes; 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In dieser Lernressource wird der Begriff der Cauchy-Folge im Kontext von normierten Räumen behandelt, auf denen zusätzliche ein Multiplikation existiert. == Grenzwert einer Cauchy-Folge == Der [[w:de:Grenzwert (Folge)|Grenzwert]] einer Cauchy-Folge [[w:de:Reelle Zahl|reeller Zahlen]] ist immer eine reelle Zahl. Der Grenzwert einer Cauchy-Folge [[w:de:Rationale Zahl|rationaler Zahlen]] kann auch eine [[w:de:irrationale Zahl|irrationale Zahl]] sein. Allgemein konvergieren genau dann alle Cauchy-Folgen von Elementen eines [[w:de:Metrischer Raum|metrischen Raums]], falls der Raum [[w:de:Vollständiger Raum|vollständig]] ist. Jeder unvollständige metrische Raum kann durch die Bildung von [[w:de:Äquivalenzklasse|Äquivalenzklassen]] von Cauchy-Folgen [[Vollständigkeit|vervollständigt]] werden. == Definition Cauchy-Folgen == Cauchy-Folgen können allgemeiner (z.B. in beliebigen metrischen Räumen) definiert werden. Zunächst betrachten wir Cauchy-Folgen in Zahlenräume. === Definition - Cauchy-Folge von Zahlen === Eine Folge <math>(a_i)_{i\in \mathbb{N}}</math> [[w:de:Rationale Zahl|rationaler]] oder [[w:de:Reelle Zahl|reeller]] Zahlen heißt Cauchy-Folge oder Fundamentalfolge, wenn es zu jedem <math>\varepsilon>0</math> einen Index <math>N</math> gibt, so dass ab diesem Index alle Folgenglieder weniger als <math>\varepsilon</math> voneinander entfernt sind. Formal lässt sich diese Bedingung als :<math>\forall_{ \varepsilon > 0 } \quad \exists_{ N_\varepsilon \in \mathbb{N} } \quad \forall_{ m,n \ge N_\varepsilon} \, \colon \, \quad \left|a_m-a_n \right| < \varepsilon </math> schreiben, wobei <math>| \cdot |</math> den [[w:de:Betragsfunktion|Betrag]] einer Zahl darstellt. ==== Anmerkungen ==== * In der Definition kann <math>\ge N_\varepsilon </math> auch durch <math> > N_\varepsilon </math> und <math> < \varepsilon</math> auch durch <math>\le \varepsilon</math> ersetzt werden. * Äquivalent zu dieser Definition kann man auch fordern, dass es zu jeder noch so kleinen positiven Zahl <math>\varepsilon</math> ein [[w:de:Intervall (Mathematik)|Intervall]] der Länge <math>2\varepsilon</math> gibt, in dem [[w:de:fast alle|fast alle]] Folgenglieder liegen. * Diese Definition entspricht weitgehend der Definition für [[w:de:Grenzwert (Folge)|konvergente]] Folgen, ohne jedoch den Begriff des Grenzwertes einer Folge zu benutzen. Cauchy-Folgen wurden daher früher auch als „in sich konvergente Folgen“ oder „konzentrierte Folgen“ bezeichnet. === Beispiel 1 - Cauchy-Folge === Die Folge <math>a_i = \tfrac{1}{i}</math> ist eine Cauchy-Folge. Man kann nämlich zu einem beliebig vorgegebenen <math>\varepsilon>0</math> ein <math>N</math> so wählen, dass <math>N>\tfrac{1}{\varepsilon}</math> erfüllt ist. Sind nun <math>n\geq m>N</math> beliebig gewählt, dann gilt ::<math>| a_m - a_n | = \left|\frac{1}{m} - \frac{1}{n}\right| = \left|\frac{n-m}{mn}\right| < \frac{n}{mn} = \frac{1}{m} < \frac{1}{N} < \varepsilon</math>. === Beispiel 2 - Keine Cauchy-Folge === Die Folge <math>a_i = i</math> ist keine Cauchy-Folge. Sei dazu <math>\varepsilon=\tfrac12</math> gewählt und <math>N</math> eine beliebige natürliche Zahl. Dann kann man <math>n=N+1</math> und <math>m=n+1</math> wählen und es gilt immer<ref>Um einen Gegenbeweis zu führen, muss man die Definition umkehren: <math>\exists \varepsilon>0 ~ \forall N\in \mathbb{N} ~ \exists m,n \ge N \colon \left|a_m-a_n \right|\geq\varepsilon</math>.</ref> ::<math>| a_m - a_n | = | m - n | = 1 \geq \varepsilon</math>. == Vollständigkeit und rationale Zahlen == Wir betrachten die Menge der rationalen Zahlen <math>\mathbb{Q} \subset \mathbb{R}</math> und erzeugen eine Cauchy-Folge in <math>(a_i)_{i \in \mathbb{N}} \in \mathbb{Q}^\mathbb{N}</math>, die ein Cauchy-Folge in <math>\mathbb{Q}</math> ist, aber keinen Grenzwert in <math>\mathbb{Q}</math> besitzt. === Konstruktion der Cauchy-Folge === Um eine solche Cauchy-Folge in den rationalen Zahlen zu erzeugen, nimmt man einen Startwert <math>a_1 \in \mathbb{Q}^{+}</math>. Die weiteren Folgenglieder werden induktiv durch innere Verknüpfungen in dem Körper <math>(\mathbb{Q},+,cdot)</math> gebildet. :<math>a_1:=1,\quad a_{i+1}:=\frac{a_i}{2} + \frac{1}{a_i}</math>. === Heron-Verfahren === In diesem Beispiel wird also die Folge rationaler Zahlen [[w:de:Heron-Verfahren|Heron-Verfahren]] generiert, das für beliebige <math>x\in \mathbb{Q}^+</math> eine Folge <math>(a_i)_{i \in \mathbb{N}} \in \mathbb{Q}^\mathbb{N}</math> generiert, die allgemein mit gegen <math>\sqrt{x} \in\mathbb{R}</math> konvergiert. :<math>a_1:=1,\quad a_{i+1}:=\frac{a_i}{x} + \frac{1}{a_i}</math>. === Irrationale Zahlen === Ist <math>\sqrt{x} \in\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}</math> eine irrationale Zahl (wie z.B. <math>\sqrt{2} </math>, so konvergiert die Folge nicht in <math>\mathbb{Q}</math>. Die Konvergenz gegen <math>\sqrt{x} </math> für <math>x > 0</math> ist dabei unabhängig von Startwert. Dieser kann beliebig für <math>a_1 > 0 </math> gewählt werden. === Aufgabe - Konvergenz Heron-Verfahren === Gegen welchen Grenzwert konvergiert das [[w:de:Heron-Verfahren|Heron-Verfahren]], wenn <math>a_1 < 0 </math> gewählt wird? Beweisen Sie die Aussage. === Grenzwert der Folge === Diese Folge <math>(a_i)_{i \in \mathbb{N}} \in \mathbb{Q}\mathbb{N}</math> ist eine Cauchy-Folge, sie besitzt aber als Grenzwert die [[w:de:irrationale Zahlen|irrationale Zahl]] <math>\sqrt{2}</math> und konvergiert daher innerhalb der Menge der rationalen Zahlen nicht. === Vollständigkeit === Die Problematik der [[Vollständigkeit]], dass in der Menge der rationalen Zahlen <math>\mathbb{Q}</math> viele Grenzwerte von Cauchy-Folgen nicht enthalten sind, führte zu der Idee der [[w:de:Reelle Zahl#Konstruktion der reellen aus den rationalen Zahlen|Vervollständigung]] des Zahlenbereichs auf die Menge <math>\mathbb{R}</math> der reellen Zahlen. <span id="Norm"></span> == Cauchy-Folgen in normierten Räumen == In normierten Räumen übernimmt ein Norm die Aufgabe des Betrages in Zahlenräumen. === Definition - Cauchy-Folge in normierten Räumen === Spezieller definiert man den Begriff der Cauchy-Folge für [[Kurs:Funktionalanalysis/Topologie|normierten Räume]] <math>(X,\|\cdot \|)</math>, also beliebige [[w:de:Menge (Mathematik)|Mengen]] <math>X</math>, auf denen eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Topologie|Norm]] <math> \|\cdot \| </math> gegeben ist. Eine Folge <math>(x_i)_{i\in \mathbb{N}}</math> von Elementen in <math>X</math> heißt dann Cauchy-Folge in <math>(X,\|\cdot \|)</math>, wenn :<math>\forall \varepsilon>0 \quad \exists n_\varepsilon \in\mathbb{N} \quad \forall m,n \geq n_\varepsilon \colon \quad \| x_m - x_n \| < \varepsilon</math> === Bemerkung === Dies ist ein Spezialfall der Cauchy-Folge in metrischen Räumen, denn jeder normierte Raum <math>(X,\|\cdot \|)</math> ist mit folgender Metrik <math>d: X\times X \to \mathbb{R}^{+}</math> auch ein metrischer Raum <math>(X,d)</math>: : <math>d(x,y):= \|x-y\|</math> <span id="Metrik"></span> == Cauchy-Folgen in metrischen Räumen == In metrischen Räumen gibt es ein Metrik <math> d: X \times X \to \mathbb{R}_0^{+}</math>, die im Vergleich zum Betrag <math>|\cdot|</math>, den Abstand zwischen zwei Elementen aus dem Grundraum messen kann. Dabei entspricht in Zahlenräumen <math>d(x,y)=|x-y|</math>. === Definition - Cauchy-Folge in metrischen Räumen === Allgemeiner definiert man den Begriff der Cauchy-Folge für [[w:de:metrischer Raum|metrische Räume]] <math>(X,d)</math>, also beliebige [[w:de:Menge (Mathematik)|Mengen]] <math>X</math>, auf denen eine [[w:de:Metrischer Raum|Metrik]] <math>d</math> gegeben ist. Eine Folge <math>(x_i)_{i\in \mathbb{N}}</math> von Elementen in <math>X</math> heißt dann Cauchy-Folge, wenn :<math>\forall \varepsilon>0 \quad \exists N\in\mathbb{N} \quad \forall m,n \geq N \colon \quad d(x_m, x_n) < \varepsilon</math> gilt.<ref name="werner2">{{Literatur|Autor=[[w:de:Dirk Werner (Mathematiker)|Dirk Werner]]|Titel=Funktionalanalysis|Jahr=2005|Seiten=2}}</ref> === Bemerkung - Cauchy-Folgen in metrischen Räumen === Damit gibt es zu jedem reellen <math>\varepsilon > 0</math> einen Index <math>N</math>, so dass für alle natürlichen Zahlen <math>m,n \geq N</math> der Abstand der entsprechenden Folgenglieder <math>d(x_m, x_n) < \varepsilon</math> ist. === Äquivalente Formulierung === Eine dazu äquivalente geometrische Formulierung ist: Für jedes <math>\varepsilon > 0</math> gibt es einen Punkt <math>a</math> und einen Index <math>N</math>, so dass alle Folgenglieder ab <math>x_N</math> in der [[w:de:Offene Kugel#Offene Kugel|offenen Kugel]] <math>B_\varepsilon(a)</math> um den Punkt <math>a</math> mit Radius <math>\varepsilon</math> liegen. Diese Version unterscheidet sich nur dadurch von der Konvergenzdefinition, dass hier der Mittelpunkt <math>a</math> vom Radius <math>\varepsilon</math> abhängen darf, während bei der Konvergenz der Grenzwert <math>a</math> von <math>\varepsilon</math> unabhängig sein muss. === Konvergente Folge sind Cauchy-Folgen in metrischen Räumen === Jede konvergente Folge in einem metrischen Raum ist auch eine Cauchy-Folge. Konvergiert nämlich eine Folge <math>(x_i)_{i \in \mathbb{N}}</math> gegen einen Grenzwert <math>x \in X</math>, dann gibt es zu jedem <math>\varepsilon > 0</math> einen Index <math>n_\varepsilon \in \mathbb{N}</math>, sodass <math>d(x,x_n) < \tfrac{\varepsilon}2</math> für alle <math>n \geq n_\varepsilon</math> gilt. Mit der [[w:de:Dreiecksungleichung|Dreiecksungleichung]] für metrische Räume folgt dann für alle <math>m,n \geq n_\varepsilon</math> :<math>d(x_m,x_n) \leq d(x_m,x) + d(x,x_n) < \tfrac{\varepsilon}2 + \tfrac{\varepsilon}2 = \varepsilon</math> und die Folge ist somit eine Cauchy-Folge. === Betrachtung der Umkehrung === Die umgekehrte Richtung muss jedoch nicht notwendigerweise wahr sein, was letztendlich zur Einführung von [[w:de:Vollständiger Raum|vollständigen Räumen]] führte (siehe rationale Zahlen als Teilmenge der reellen Zahlen. In einem vollständigen Raum besitzt definitionsgemäß jede Cauchy-Folge einen Grenzwert und der Begriff der konvergenten Folge fällt mit dem Begriff der Cauchy-Folge zusammen. === Vervollständigung von metrischen Räumen=== Jeder unvollständige metrische Raum kann jedoch durch die Bildung von [[w:de:Äquivalenzklasse|Äquivalenzklasse]]n von Cauchy-Folgen [[w:de:Vervollständigung (metrischer Raum)|vervollständigt]] werden. Dabei werden zwei Cauchy-Folgen <math>(x_i)_{i\in \N}</math> und <math>(y_i)_{i\in \N}</math> von Elementen in <math>X</math> als äquivalent angesehen, wenn :<math>\forall \varepsilon>0 \quad \exists n_\varepsilon \in\N \quad \forall m,n \geq n_\varepsilon \colon \quad d(x_m, y_n) < \varepsilon</math> oder äquivalent dazu <math>\lim_{m,n\in\N} d(x_m,y_n) = 0</math>. Liegt der Grenzwert einer der beiden Folgen in <math>X</math>, dann auch der der anderen, und die beiden Grenzwerte sind gleich. Die Äquivalenzklassen der Cauchy-Folgen bilden die Vervollständigung <math>\overline{X}</math> des Grundraumes <math>X</math>. == Aufgaben für Lernende == In den folgenden Aufgaben werden Cauchyfolgen in normierten Räumen betrachtet, die über die grundlegenden Vektorräume <math>\mathbb{Q}^n,\, \mathbb{R}^n,\, \mathbb{C}^n</math> mit <math>n\in \mathbb{N}</math> hinausgehen === Cauchy-Folgen in Funktionenräumen=== Sei <math>V:=\mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> die Menge der stetigen (engl. continuous) Funktionen von dem Intervall <math>[a,b]</math> in den Körper <math>\mathbb{R}</math> als Wertebereich. Ferner sei die folgende Norm auf <math>V</math> gegeben: ::<math>\|\cdot \|: V \to \mathbb{R}^+_0 \quad \mbox{ mit } \quad f\mapsto \|f\|:= \int_{a}^{b} |f(x)| \, dx</math> :Zeigen Sie, dass der folgende Funktionenraum der stetigen Funktionen mit der folgenden Norm nicht vollständig ist. ==== Hinweis 1: Definition der Funktionenfolge==== Verwenden Sie die folgende Funktionenfolge mit <math>[a,b]:=[0,2]</math> ::<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & f_n(x) = \left\{\begin{array}{lcl} 0 & \mbox{ für } & x \in \left[0,1-\frac{1}{n}\right] \\ \quad n\cdot x + (1-n) & \mbox{ für } & x \in \left]1-\frac{1}{n},1\right] \\ -n\cdot x + (1+n) & \mbox{ für } & x \in \left]1,1+\frac{1}{n}\right[ \\ 0 & \mbox{ für } & x \in \left[1+\frac{1}{n},2\right] \\ \end{array}\right. \\ \end{array} </math> ==== Hinweis 2: Abschätzung der Integralnorm ==== Skizzieren Sie die Funktionen <math>f_1,f_2</math> und <math>f_3</math>. Für den Beweis, dass <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}\in V^{\mathbb{N}}</math> eine Cauchy-Folge in <math>V</math> ist, sollten Sie die Integralnorm <math>\|f_n -f_m \|:= \int_{a}^{b} |f_n(x)-f_m(x)| \, dx </math> nach oben gegen einen Rechteckflächeninhalt abschätzen, wobei die Höhe des Rechtecks eine obere Schranke für den maximale Funktionswert auf dem bertrachteten Intervall darstellt. ==== Hinweis 3: Grenzfunktion der Funktionenfolge ==== Betrachten Sie ferner die folgende Abbildung <math>f_0</math> und zeigen Sie, dass die Folge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}\in V^{\mathbb{N}}</math> punktweise gegen <math>f_0</math> konvergiert: ::<math> \begin{array}{rcl} f_0: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & f_0(x) = \left\{\begin{array}{lcl} 0 & \mbox{ für } & x \in \left[0,2\right] \setminus \{1\} \\ 1 & \mbox{ für } & x = 1 \end{array}\right. \\ \end{array} </math> === Polynom-Vektoräume mit Koeffizienten aus normierten Räumen=== Sei <math>(V,\|\cdot \|)</math> auf einem <math>\mathbb{K}</math>-Vektorraum <math>V</math> gegeben. Wir definieren nun den Vektorraum <math>V[x]</math> der Polynome mit Koeffizienten aus <math>V</math> und eine Norm [[Kurs:Funktionalanalysis/Topologie|Norm]] <math> \|\cdot \|_{V[x]} </math>, die <math>(V[x],\|\cdot \|_{V[x]})</math> zu einem normierten Raum macht. Definieren Sie eine Cauchy-Folge <math>(p^{(i)})_{i\in \mathbb{N}}</math> von [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra|Polynomen]] in <math>V[x]</math>, die nicht konvergent ist. ::<math> \begin{array}{rcl} p^{(i)}: \mathbb{R} & \to & V \\ x & \mapsto & p^{(i)}(x) = \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} p^{(i)}_n \cdot x^n \mbox{ mit } (p^{(i)})_{n\in \mathbb{N}_0} \in c_{oo}(V). \\ \end{array} </math> == Notation == Sei <math>(V,\|\cdot \|)</math> ein normierter Raum. * <math>c_{oo}(V)\in V^{\mathbb{N}}</math> ist die Menge der Folgen in dem Vektorraum <math>V</math>, bei der ab einer Indexschranke alle Folgenglieder gleich dem Nullvektor aus <math>V</math>. * <math>c_{o}(V)\in V^{\mathbb{N}}</math> ist die Menge der Nullfolgen in einem normierten Vektorraum <math>(V,\|\cdot \|)</math>. * <math>c(V)\in V^{\mathbb{N}}</math> ist die Menge der konvergenten Folgen in einem normierten Vektorraum <math>(V,\|\cdot \|)</math>. Analog kann man diese Notation auf metrische Räume <math>(V,d)</math> mit einer Metrik <math>d:V \times V \rightarrow \mathbb{R}^+_o</math> übertragen. <span id="Cauchy-Netz"></span> == Cauchy-Netz in topologischen Vektorräumen == Sei <math> (V,\|\cdot \|_\mathcal{A} ) </math> ein [[topologischer Vektorraum]] mit einem [[Gaugefunktional|Gaugefunktionalsystem]] <math> \|\cdot \|_\mathcal{A} </math>. Ein [[Netze (Mathematik)|Netz]] <math>(a_i)_{i\in I}</math> ist ein [[w:de:Cauchy-Netz|Cauchy-Netz]] in <math> (V,\|\cdot \|_\mathcal{A} ) </math>, wenn gilt: :<math> \forall_{\varepsilon >0, \, \alpha \in \mathcal{A} } \, \exist_{ i_{(\varepsilon,\alpha)} \in I } \, \forall_{ i,j \, \succcurlyeq \, i_{(\varepsilon ,\alpha)} }: \, \| a_i - a_j \|_\alpha < \varepsilon . </math> Dabei definiert <math>\succcurlyeq</math> eine [[partielle Ordnung]] auf der Indexmenge <math>I</math>. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis/Vektorräume|Übersicht über die Vektorräume aus dem Kurs]] * [[w:de:Cauchy-Kriterium|Cauchy-Kriterium]] * [[Cauchy-Netze]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Topologie|Topologie]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra|Polynomalgebra]] * [[Vollständigkeit]] * [[Vervollständigungssatz für metrische Räume]] * [[Vervollständigungssatz für topologische Algebren]] * [[Vervollständigungssatz für topologische Vektorräume]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionalanalysis]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] == Literatur == * [[w:de:Konrad Königsberger|Konrad Königsberger]]: ''Analysis 1''. Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-41282-4 * [[w:de:Konrad Königsberger|Konrad Königsberger]]: ''Analysis 2.'' Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg, 2000, ISBN 3-540-43580-8 * [[w:de:Otto Forster|Otto Forster]]: ''Analysis 1. Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen.'' Vieweg-Verlag, 8. Aufl. 2006, ISBN 3-528-67224-2 == Einzelnachweise und Anmerkungen == <references /> [[Kategorie:Folgen und Reihen]] [[Kategorie:Funktionalanalysis]] == Seiteninformation == Diese Lernressource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionalanalysis Kurs:Funktionalanalysis]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Cauchy-Folge Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Cauchy-Folge Cauchy-Folge] https://de.wikipedia.org/wiki/Cauchy-Folge * Datum: 3.12.2020 - [https://de.wikipedia.org/w/index.php?action=history&title=Cauchy-Folge Versionsgeschichte Wikipedia] * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity?lang=de&domain=wikipedia&title=Cauchy-Folge Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] 8j2dk9xqg7zzu6u0m4xzwvp2huhc4hr 1118890 1118889 2026-11-05T07:52:06Z Bert Niehaus 20843 /* Einführung */ 1118890 wikitext text/x-wiki == Einführung == Eine '''Cauchy-Folge''' ist in der [[w:de:Mathematik|Mathematik]] eine [[w:de:Folge (Mathematik)|Folge]], bei der der Abstand der Folgenglieder im Verlauf der Folge beliebig klein wird. Diese Konzept kann man [[Cauchy-Netze]] in [[topologischer Vektorraum|topologischen Vektorräumen]] verallgemeinern. Noch allgemeiner in beliebigen topologischen Strukturen sind [[w:de:uniformer Raum|uniforme Räume]], in den Nachbarschaften von Punkten durch Mengensysteme beschreibt. === Abbildung 1 - Cauchy-Folge === [[Datei:Cauchy sequence illustration.svg|450px|Beispiel einer Cauchy-Folge: der Abstand der Folgenglieder wird im Verlauf der Folge beliebig klein.]] === Abbildung 2 - Keine Cauchy-Folge === [[Datei:Cauchy sequence illustration2.svg|450px|Beispiel einer Folge, die keine Cauchy-Folge ist: der Abstand der Folgenglieder wird im Verlauf der Folge nicht beliebig klein.]] Beispiel einer Folge, die keine Cauchy-Folge ist: der Abstand zwei Folgenglieder oberhalb einer Indexschranke <math>n_\varepsilon \in \mathbb{N} </math> wird im Verlauf der Folge nicht beliebig klein, d.h. <math> |X_n-X_m|< \varepsilon </math> für <math>n,m \geq n_\varepsilon </math>. == Geschichte == Cauchy-Folgen sind nach dem französischen Mathematiker [[w:de:Augustin-Louis Cauchy|Augustin-Louis Cauchy]] benannt und von grundlegender Bedeutung für den Aufbau der [[w:de:Analysis|Analysis]]. In dieser Lernressource wird der Begriff der Cauchy-Folge im Kontext von normierten Räumen behandelt, auf denen zusätzliche ein Multiplikation existiert. == Grenzwert einer Cauchy-Folge == Der [[w:de:Grenzwert (Folge)|Grenzwert]] einer Cauchy-Folge [[w:de:Reelle Zahl|reeller Zahlen]] ist immer eine reelle Zahl. Der Grenzwert einer Cauchy-Folge [[w:de:Rationale Zahl|rationaler Zahlen]] kann auch eine [[w:de:irrationale Zahl|irrationale Zahl]] sein. Allgemein konvergieren genau dann alle Cauchy-Folgen von Elementen eines [[w:de:Metrischer Raum|metrischen Raums]], falls der Raum [[w:de:Vollständiger Raum|vollständig]] ist. Jeder unvollständige metrische Raum kann durch die Bildung von [[w:de:Äquivalenzklasse|Äquivalenzklassen]] von Cauchy-Folgen [[Vollständigkeit|vervollständigt]] werden. == Definition Cauchy-Folgen == Cauchy-Folgen können allgemeiner (z.B. in beliebigen metrischen Räumen) definiert werden. Zunächst betrachten wir Cauchy-Folgen in Zahlenräume. === Definition - Cauchy-Folge von Zahlen === Eine Folge <math>(a_i)_{i\in \mathbb{N}}</math> [[w:de:Rationale Zahl|rationaler]] oder [[w:de:Reelle Zahl|reeller]] Zahlen heißt Cauchy-Folge oder Fundamentalfolge, wenn es zu jedem <math>\varepsilon>0</math> einen Index <math>N</math> gibt, so dass ab diesem Index alle Folgenglieder weniger als <math>\varepsilon</math> voneinander entfernt sind. Formal lässt sich diese Bedingung als :<math>\forall_{ \varepsilon > 0 } \quad \exists_{ N_\varepsilon \in \mathbb{N} } \quad \forall_{ m,n \ge N_\varepsilon} \, \colon \, \quad \left|a_m-a_n \right| < \varepsilon </math> schreiben, wobei <math>| \cdot |</math> den [[w:de:Betragsfunktion|Betrag]] einer Zahl darstellt. ==== Anmerkungen ==== * In der Definition kann <math>\ge N_\varepsilon </math> auch durch <math> > N_\varepsilon </math> und <math> < \varepsilon</math> auch durch <math>\le \varepsilon</math> ersetzt werden. * Äquivalent zu dieser Definition kann man auch fordern, dass es zu jeder noch so kleinen positiven Zahl <math>\varepsilon</math> ein [[w:de:Intervall (Mathematik)|Intervall]] der Länge <math>2\varepsilon</math> gibt, in dem [[w:de:fast alle|fast alle]] Folgenglieder liegen. * Diese Definition entspricht weitgehend der Definition für [[w:de:Grenzwert (Folge)|konvergente]] Folgen, ohne jedoch den Begriff des Grenzwertes einer Folge zu benutzen. Cauchy-Folgen wurden daher früher auch als „in sich konvergente Folgen“ oder „konzentrierte Folgen“ bezeichnet. === Beispiel 1 - Cauchy-Folge === Die Folge <math>a_i = \tfrac{1}{i}</math> ist eine Cauchy-Folge. Man kann nämlich zu einem beliebig vorgegebenen <math>\varepsilon>0</math> ein <math>N</math> so wählen, dass <math>N>\tfrac{1}{\varepsilon}</math> erfüllt ist. Sind nun <math>n\geq m>N</math> beliebig gewählt, dann gilt ::<math>| a_m - a_n | = \left|\frac{1}{m} - \frac{1}{n}\right| = \left|\frac{n-m}{mn}\right| < \frac{n}{mn} = \frac{1}{m} < \frac{1}{N} < \varepsilon</math>. === Beispiel 2 - Keine Cauchy-Folge === Die Folge <math>a_i = i</math> ist keine Cauchy-Folge. Sei dazu <math>\varepsilon=\tfrac12</math> gewählt und <math>N</math> eine beliebige natürliche Zahl. Dann kann man <math>n=N+1</math> und <math>m=n+1</math> wählen und es gilt immer<ref>Um einen Gegenbeweis zu führen, muss man die Definition umkehren: <math>\exists \varepsilon>0 ~ \forall N\in \mathbb{N} ~ \exists m,n \ge N \colon \left|a_m-a_n \right|\geq\varepsilon</math>.</ref> ::<math>| a_m - a_n | = | m - n | = 1 \geq \varepsilon</math>. == Vollständigkeit und rationale Zahlen == Wir betrachten die Menge der rationalen Zahlen <math>\mathbb{Q} \subset \mathbb{R}</math> und erzeugen eine Cauchy-Folge in <math>(a_i)_{i \in \mathbb{N}} \in \mathbb{Q}^\mathbb{N}</math>, die ein Cauchy-Folge in <math>\mathbb{Q}</math> ist, aber keinen Grenzwert in <math>\mathbb{Q}</math> besitzt. === Konstruktion der Cauchy-Folge === Um eine solche Cauchy-Folge in den rationalen Zahlen zu erzeugen, nimmt man einen Startwert <math>a_1 \in \mathbb{Q}^{+}</math>. Die weiteren Folgenglieder werden induktiv durch innere Verknüpfungen in dem Körper <math>(\mathbb{Q},+,cdot)</math> gebildet. :<math>a_1:=1,\quad a_{i+1}:=\frac{a_i}{2} + \frac{1}{a_i}</math>. === Heron-Verfahren === In diesem Beispiel wird also die Folge rationaler Zahlen [[w:de:Heron-Verfahren|Heron-Verfahren]] generiert, das für beliebige <math>x\in \mathbb{Q}^+</math> eine Folge <math>(a_i)_{i \in \mathbb{N}} \in \mathbb{Q}^\mathbb{N}</math> generiert, die allgemein mit gegen <math>\sqrt{x} \in\mathbb{R}</math> konvergiert. :<math>a_1:=1,\quad a_{i+1}:=\frac{a_i}{x} + \frac{1}{a_i}</math>. === Irrationale Zahlen === Ist <math>\sqrt{x} \in\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}</math> eine irrationale Zahl (wie z.B. <math>\sqrt{2} </math>, so konvergiert die Folge nicht in <math>\mathbb{Q}</math>. Die Konvergenz gegen <math>\sqrt{x} </math> für <math>x > 0</math> ist dabei unabhängig von Startwert. Dieser kann beliebig für <math>a_1 > 0 </math> gewählt werden. === Aufgabe - Konvergenz Heron-Verfahren === Gegen welchen Grenzwert konvergiert das [[w:de:Heron-Verfahren|Heron-Verfahren]], wenn <math>a_1 < 0 </math> gewählt wird? Beweisen Sie die Aussage. === Grenzwert der Folge === Diese Folge <math>(a_i)_{i \in \mathbb{N}} \in \mathbb{Q}\mathbb{N}</math> ist eine Cauchy-Folge, sie besitzt aber als Grenzwert die [[w:de:irrationale Zahlen|irrationale Zahl]] <math>\sqrt{2}</math> und konvergiert daher innerhalb der Menge der rationalen Zahlen nicht. === Vollständigkeit === Die Problematik der [[Vollständigkeit]], dass in der Menge der rationalen Zahlen <math>\mathbb{Q}</math> viele Grenzwerte von Cauchy-Folgen nicht enthalten sind, führte zu der Idee der [[w:de:Reelle Zahl#Konstruktion der reellen aus den rationalen Zahlen|Vervollständigung]] des Zahlenbereichs auf die Menge <math>\mathbb{R}</math> der reellen Zahlen. <span id="Norm"></span> == Cauchy-Folgen in normierten Räumen == In normierten Räumen übernimmt ein Norm die Aufgabe des Betrages in Zahlenräumen. === Definition - Cauchy-Folge in normierten Räumen === Spezieller definiert man den Begriff der Cauchy-Folge für [[Kurs:Funktionalanalysis/Topologie|normierten Räume]] <math>(X,\|\cdot \|)</math>, also beliebige [[w:de:Menge (Mathematik)|Mengen]] <math>X</math>, auf denen eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Topologie|Norm]] <math> \|\cdot \| </math> gegeben ist. Eine Folge <math>(x_i)_{i\in \mathbb{N}}</math> von Elementen in <math>X</math> heißt dann Cauchy-Folge in <math>(X,\|\cdot \|)</math>, wenn :<math>\forall \varepsilon>0 \quad \exists n_\varepsilon \in\mathbb{N} \quad \forall m,n \geq n_\varepsilon \colon \quad \| x_m - x_n \| < \varepsilon</math> === Bemerkung === Dies ist ein Spezialfall der Cauchy-Folge in metrischen Räumen, denn jeder normierte Raum <math>(X,\|\cdot \|)</math> ist mit folgender Metrik <math>d: X\times X \to \mathbb{R}^{+}</math> auch ein metrischer Raum <math>(X,d)</math>: : <math>d(x,y):= \|x-y\|</math> <span id="Metrik"></span> == Cauchy-Folgen in metrischen Räumen == In metrischen Räumen gibt es ein Metrik <math> d: X \times X \to \mathbb{R}_0^{+}</math>, die im Vergleich zum Betrag <math>|\cdot|</math>, den Abstand zwischen zwei Elementen aus dem Grundraum messen kann. Dabei entspricht in Zahlenräumen <math>d(x,y)=|x-y|</math>. === Definition - Cauchy-Folge in metrischen Räumen === Allgemeiner definiert man den Begriff der Cauchy-Folge für [[w:de:metrischer Raum|metrische Räume]] <math>(X,d)</math>, also beliebige [[w:de:Menge (Mathematik)|Mengen]] <math>X</math>, auf denen eine [[w:de:Metrischer Raum|Metrik]] <math>d</math> gegeben ist. Eine Folge <math>(x_i)_{i\in \mathbb{N}}</math> von Elementen in <math>X</math> heißt dann Cauchy-Folge, wenn :<math>\forall \varepsilon>0 \quad \exists N\in\mathbb{N} \quad \forall m,n \geq N \colon \quad d(x_m, x_n) < \varepsilon</math> gilt.<ref name="werner2">{{Literatur|Autor=[[w:de:Dirk Werner (Mathematiker)|Dirk Werner]]|Titel=Funktionalanalysis|Jahr=2005|Seiten=2}}</ref> === Bemerkung - Cauchy-Folgen in metrischen Räumen === Damit gibt es zu jedem reellen <math>\varepsilon > 0</math> einen Index <math>N</math>, so dass für alle natürlichen Zahlen <math>m,n \geq N</math> der Abstand der entsprechenden Folgenglieder <math>d(x_m, x_n) < \varepsilon</math> ist. === Äquivalente Formulierung === Eine dazu äquivalente geometrische Formulierung ist: Für jedes <math>\varepsilon > 0</math> gibt es einen Punkt <math>a</math> und einen Index <math>N</math>, so dass alle Folgenglieder ab <math>x_N</math> in der [[w:de:Offene Kugel#Offene Kugel|offenen Kugel]] <math>B_\varepsilon(a)</math> um den Punkt <math>a</math> mit Radius <math>\varepsilon</math> liegen. Diese Version unterscheidet sich nur dadurch von der Konvergenzdefinition, dass hier der Mittelpunkt <math>a</math> vom Radius <math>\varepsilon</math> abhängen darf, während bei der Konvergenz der Grenzwert <math>a</math> von <math>\varepsilon</math> unabhängig sein muss. === Konvergente Folge sind Cauchy-Folgen in metrischen Räumen === Jede konvergente Folge in einem metrischen Raum ist auch eine Cauchy-Folge. Konvergiert nämlich eine Folge <math>(x_i)_{i \in \mathbb{N}}</math> gegen einen Grenzwert <math>x \in X</math>, dann gibt es zu jedem <math>\varepsilon > 0</math> einen Index <math>n_\varepsilon \in \mathbb{N}</math>, sodass <math>d(x,x_n) < \tfrac{\varepsilon}2</math> für alle <math>n \geq n_\varepsilon</math> gilt. Mit der [[w:de:Dreiecksungleichung|Dreiecksungleichung]] für metrische Räume folgt dann für alle <math>m,n \geq n_\varepsilon</math> :<math>d(x_m,x_n) \leq d(x_m,x) + d(x,x_n) < \tfrac{\varepsilon}2 + \tfrac{\varepsilon}2 = \varepsilon</math> und die Folge ist somit eine Cauchy-Folge. === Betrachtung der Umkehrung === Die umgekehrte Richtung muss jedoch nicht notwendigerweise wahr sein, was letztendlich zur Einführung von [[w:de:Vollständiger Raum|vollständigen Räumen]] führte (siehe rationale Zahlen als Teilmenge der reellen Zahlen. In einem vollständigen Raum besitzt definitionsgemäß jede Cauchy-Folge einen Grenzwert und der Begriff der konvergenten Folge fällt mit dem Begriff der Cauchy-Folge zusammen. === Vervollständigung von metrischen Räumen=== Jeder unvollständige metrische Raum kann jedoch durch die Bildung von [[w:de:Äquivalenzklasse|Äquivalenzklasse]]n von Cauchy-Folgen [[w:de:Vervollständigung (metrischer Raum)|vervollständigt]] werden. Dabei werden zwei Cauchy-Folgen <math>(x_i)_{i\in \N}</math> und <math>(y_i)_{i\in \N}</math> von Elementen in <math>X</math> als äquivalent angesehen, wenn :<math>\forall \varepsilon>0 \quad \exists n_\varepsilon \in\N \quad \forall m,n \geq n_\varepsilon \colon \quad d(x_m, y_n) < \varepsilon</math> oder äquivalent dazu <math>\lim_{m,n\in\N} d(x_m,y_n) = 0</math>. Liegt der Grenzwert einer der beiden Folgen in <math>X</math>, dann auch der der anderen, und die beiden Grenzwerte sind gleich. Die Äquivalenzklassen der Cauchy-Folgen bilden die Vervollständigung <math>\overline{X}</math> des Grundraumes <math>X</math>. == Aufgaben für Lernende == In den folgenden Aufgaben werden Cauchyfolgen in normierten Räumen betrachtet, die über die grundlegenden Vektorräume <math>\mathbb{Q}^n,\, \mathbb{R}^n,\, \mathbb{C}^n</math> mit <math>n\in \mathbb{N}</math> hinausgehen === Cauchy-Folgen in Funktionenräumen=== Sei <math>V:=\mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> die Menge der stetigen (engl. continuous) Funktionen von dem Intervall <math>[a,b]</math> in den Körper <math>\mathbb{R}</math> als Wertebereich. Ferner sei die folgende Norm auf <math>V</math> gegeben: ::<math>\|\cdot \|: V \to \mathbb{R}^+_0 \quad \mbox{ mit } \quad f\mapsto \|f\|:= \int_{a}^{b} |f(x)| \, dx</math> :Zeigen Sie, dass der folgende Funktionenraum der stetigen Funktionen mit der folgenden Norm nicht vollständig ist. ==== Hinweis 1: Definition der Funktionenfolge==== Verwenden Sie die folgende Funktionenfolge mit <math>[a,b]:=[0,2]</math> ::<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & f_n(x) = \left\{\begin{array}{lcl} 0 & \mbox{ für } & x \in \left[0,1-\frac{1}{n}\right] \\ \quad n\cdot x + (1-n) & \mbox{ für } & x \in \left]1-\frac{1}{n},1\right] \\ -n\cdot x + (1+n) & \mbox{ für } & x \in \left]1,1+\frac{1}{n}\right[ \\ 0 & \mbox{ für } & x \in \left[1+\frac{1}{n},2\right] \\ \end{array}\right. \\ \end{array} </math> ==== Hinweis 2: Abschätzung der Integralnorm ==== Skizzieren Sie die Funktionen <math>f_1,f_2</math> und <math>f_3</math>. Für den Beweis, dass <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}\in V^{\mathbb{N}}</math> eine Cauchy-Folge in <math>V</math> ist, sollten Sie die Integralnorm <math>\|f_n -f_m \|:= \int_{a}^{b} |f_n(x)-f_m(x)| \, dx </math> nach oben gegen einen Rechteckflächeninhalt abschätzen, wobei die Höhe des Rechtecks eine obere Schranke für den maximale Funktionswert auf dem bertrachteten Intervall darstellt. ==== Hinweis 3: Grenzfunktion der Funktionenfolge ==== Betrachten Sie ferner die folgende Abbildung <math>f_0</math> und zeigen Sie, dass die Folge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}\in V^{\mathbb{N}}</math> punktweise gegen <math>f_0</math> konvergiert: ::<math> \begin{array}{rcl} f_0: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & f_0(x) = \left\{\begin{array}{lcl} 0 & \mbox{ für } & x \in \left[0,2\right] \setminus \{1\} \\ 1 & \mbox{ für } & x = 1 \end{array}\right. \\ \end{array} </math> === Polynom-Vektoräume mit Koeffizienten aus normierten Räumen=== Sei <math>(V,\|\cdot \|)</math> auf einem <math>\mathbb{K}</math>-Vektorraum <math>V</math> gegeben. Wir definieren nun den Vektorraum <math>V[x]</math> der Polynome mit Koeffizienten aus <math>V</math> und eine Norm [[Kurs:Funktionalanalysis/Topologie|Norm]] <math> \|\cdot \|_{V[x]} </math>, die <math>(V[x],\|\cdot \|_{V[x]})</math> zu einem normierten Raum macht. Definieren Sie eine Cauchy-Folge <math>(p^{(i)})_{i\in \mathbb{N}}</math> von [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra|Polynomen]] in <math>V[x]</math>, die nicht konvergent ist. ::<math> \begin{array}{rcl} p^{(i)}: \mathbb{R} & \to & V \\ x & \mapsto & p^{(i)}(x) = \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} p^{(i)}_n \cdot x^n \mbox{ mit } (p^{(i)})_{n\in \mathbb{N}_0} \in c_{oo}(V). \\ \end{array} </math> == Notation == Sei <math>(V,\|\cdot \|)</math> ein normierter Raum. * <math>c_{oo}(V)\in V^{\mathbb{N}}</math> ist die Menge der Folgen in dem Vektorraum <math>V</math>, bei der ab einer Indexschranke alle Folgenglieder gleich dem Nullvektor aus <math>V</math>. * <math>c_{o}(V)\in V^{\mathbb{N}}</math> ist die Menge der Nullfolgen in einem normierten Vektorraum <math>(V,\|\cdot \|)</math>. * <math>c(V)\in V^{\mathbb{N}}</math> ist die Menge der konvergenten Folgen in einem normierten Vektorraum <math>(V,\|\cdot \|)</math>. Analog kann man diese Notation auf metrische Räume <math>(V,d)</math> mit einer Metrik <math>d:V \times V \rightarrow \mathbb{R}^+_o</math> übertragen. <span id="Cauchy-Netz"></span> == Cauchy-Netz in topologischen Vektorräumen == Sei <math> (V,\|\cdot \|_\mathcal{A} ) </math> ein [[topologischer Vektorraum]] mit einem [[Gaugefunktional|Gaugefunktionalsystem]] <math> \|\cdot \|_\mathcal{A} </math>. Ein [[Netze (Mathematik)|Netz]] <math>(a_i)_{i\in I}</math> ist ein [[w:de:Cauchy-Netz|Cauchy-Netz]] in <math> (V,\|\cdot \|_\mathcal{A} ) </math>, wenn gilt: :<math> \forall_{\varepsilon >0, \, \alpha \in \mathcal{A} } \, \exist_{ i_{(\varepsilon,\alpha)} \in I } \, \forall_{ i,j \, \succcurlyeq \, i_{(\varepsilon ,\alpha)} }: \, \| a_i - a_j \|_\alpha < \varepsilon . </math> Dabei definiert <math>\succcurlyeq</math> eine [[partielle Ordnung]] auf der Indexmenge <math>I</math>. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis/Vektorräume|Übersicht über die Vektorräume aus dem Kurs]] * [[w:de:Cauchy-Kriterium|Cauchy-Kriterium]] * [[Cauchy-Netze]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Topologie|Topologie]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra|Polynomalgebra]] * [[Vollständigkeit]] * [[Vervollständigungssatz für metrische Räume]] * [[Vervollständigungssatz für topologische Algebren]] * [[Vervollständigungssatz für topologische Vektorräume]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionalanalysis]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] == Literatur == * [[w:de:Konrad Königsberger|Konrad Königsberger]]: ''Analysis 1''. Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-41282-4 * [[w:de:Konrad Königsberger|Konrad Königsberger]]: ''Analysis 2.'' Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg, 2000, ISBN 3-540-43580-8 * [[w:de:Otto Forster|Otto Forster]]: ''Analysis 1. Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen.'' Vieweg-Verlag, 8. Aufl. 2006, ISBN 3-528-67224-2 == Einzelnachweise und Anmerkungen == <references /> [[Kategorie:Folgen und Reihen]] [[Kategorie:Funktionalanalysis]] == Seiteninformation == Diese Lernressource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionalanalysis Kurs:Funktionalanalysis]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Cauchy-Folge Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Cauchy-Folge Cauchy-Folge] https://de.wikipedia.org/wiki/Cauchy-Folge * Datum: 3.12.2020 - [https://de.wikipedia.org/w/index.php?action=history&title=Cauchy-Folge Versionsgeschichte Wikipedia] * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity?lang=de&domain=wikipedia&title=Cauchy-Folge Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] 03zsj6h38atpwx98tuoav9jyq505jlj 1118891 1118890 2026-11-05T07:52:32Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1118891 wikitext text/x-wiki == Einführung == Eine '''Cauchy-Folge''' ist in der [[w:de:Mathematik|Mathematik]] eine [[w:de:Folge (Mathematik)|Folge]], bei der der Abstand der Folgenglieder im Verlauf der Folge beliebig klein wird. Diese Konzept kann man [[Cauchy-Netze]] in [[topologischer Vektorraum|topologischen Vektorräumen]] verallgemeinern. Noch allgemeiner in beliebigen topologischen Strukturen sind [[w:de:uniformer Raum|uniforme Räume]], in den Nachbarschaften von Punkten durch Mengensysteme beschreibt. === Abbildung 1 - Cauchy-Folge === [[Datei:Cauchy sequence illustration.svg|450px|Beispiel einer Cauchy-Folge: der Abstand der Folgenglieder wird im Verlauf der Folge beliebig klein.]] === Abbildung 2 - Keine Cauchy-Folge === [[Datei:Cauchy sequence illustration2.svg|450px|Beispiel einer Folge, die keine Cauchy-Folge ist: der Abstand der Folgenglieder wird im Verlauf der Folge nicht beliebig klein.]] Beispiel einer Folge, die keine Cauchy-Folge ist: der Abstand zwei Folgenglieder oberhalb einer Indexschranke <math>n_\varepsilon \in \mathbb{N} </math> wird im Verlauf der Folge nicht beliebig klein, d.h. <math> |X_n-X_m|< \varepsilon </math> für <math>n,m \geq n_\varepsilon </math>. == Geschichte == Cauchy-Folgen sind nach dem französischen Mathematiker [[w:de:Augustin-Louis Cauchy|Augustin-Louis Cauchy]] benannt und von grundlegender Bedeutung für den Aufbau der [[w:de:Analysis|Analysis]]. In dieser Lernressource wird der Begriff der Cauchy-Folge im Kontext von normierten Räumen behandelt, auf denen zusätzliche ein Multiplikation existiert. == Grenzwert einer Cauchy-Folge == Der [[w:de:Grenzwert (Folge)|Grenzwert]] einer Cauchy-Folge [[w:de:Reelle Zahl|reeller Zahlen]] ist immer eine reelle Zahl. Der Grenzwert einer Cauchy-Folge [[w:de:Rationale Zahl|rationaler Zahlen]] kann auch eine [[w:de:irrationale Zahl|irrationale Zahl]] sein. Allgemein konvergieren genau dann alle Cauchy-Folgen von Elementen eines [[w:de:Metrischer Raum|metrischen Raums]], falls der Raum [[w:de:Vollständiger Raum|vollständig]] ist. Jeder unvollständige metrische Raum kann durch die Bildung von [[w:de:Äquivalenzklasse|Äquivalenzklassen]] von Cauchy-Folgen [[Vollständigkeit|vervollständigt]] werden. == Definition Cauchy-Folgen == Cauchy-Folgen können allgemeiner (z.B. in beliebigen metrischen Räumen) definiert werden. Zunächst betrachten wir Cauchy-Folgen in Zahlenräume. === Definition - Cauchy-Folge von Zahlen === Eine Folge <math>(a_i)_{i\in \mathbb{N}}</math> [[w:de:Rationale Zahl|rationaler]] oder [[w:de:Reelle Zahl|reeller]] Zahlen heißt Cauchy-Folge oder Fundamentalfolge, wenn es zu jedem <math>\varepsilon>0</math> einen Index <math>N</math> gibt, so dass ab diesem Index alle Folgenglieder weniger als <math>\varepsilon</math> voneinander entfernt sind. Formal lässt sich diese Bedingung als :<math>\forall_{ \varepsilon > 0 } \quad \exists_{ N_\varepsilon \in \mathbb{N} } \quad \forall_{ m,n \ge N_\varepsilon} \, \colon \, \quad \left|a_m-a_n \right| < \varepsilon </math> schreiben, wobei <math>| \cdot |</math> den [[w:de:Betragsfunktion|Betrag]] einer Zahl darstellt. ==== Anmerkungen ==== * In der Definition kann <math>\ge N_\varepsilon </math> auch durch <math> > N_\varepsilon </math> und <math> < \varepsilon</math> auch durch <math>\le \varepsilon</math> ersetzt werden. * Äquivalent zu dieser Definition kann man auch fordern, dass es zu jeder noch so kleinen positiven Zahl <math>\varepsilon</math> ein [[w:de:Intervall (Mathematik)|Intervall]] der Länge <math>2\varepsilon</math> gibt, in dem [[w:de:fast alle|fast alle]] Folgenglieder liegen. * Diese Definition entspricht weitgehend der Definition für [[w:de:Grenzwert (Folge)|konvergente]] Folgen, ohne jedoch den Begriff des Grenzwertes einer Folge zu benutzen. Cauchy-Folgen wurden daher früher auch als „in sich konvergente Folgen“ oder „konzentrierte Folgen“ bezeichnet. === Beispiel 1 - Cauchy-Folge === Die Folge <math>a_i = \tfrac{1}{i}</math> ist eine Cauchy-Folge. Man kann nämlich zu einem beliebig vorgegebenen <math>\varepsilon>0</math> ein <math>N</math> so wählen, dass <math>N>\tfrac{1}{\varepsilon}</math> erfüllt ist. Sind nun <math>n\geq m>N</math> beliebig gewählt, dann gilt ::<math>| a_m - a_n | = \left|\frac{1}{m} - \frac{1}{n}\right| = \left|\frac{n-m}{mn}\right| < \frac{n}{mn} = \frac{1}{m} < \frac{1}{N} < \varepsilon</math>. === Beispiel 2 - Keine Cauchy-Folge === Die Folge <math>a_i = i</math> ist keine Cauchy-Folge. Sei dazu <math>\varepsilon=\tfrac12</math> gewählt und <math>N</math> eine beliebige natürliche Zahl. Dann kann man <math>n=N+1</math> und <math>m=n+1</math> wählen und es gilt immer<ref>Um einen Gegenbeweis zu führen, muss man die Definition umkehren: <math>\exists \varepsilon>0 ~ \forall N\in \mathbb{N} ~ \exists m,n \ge N \colon \left|a_m-a_n \right|\geq\varepsilon</math>.</ref> ::<math>| a_m - a_n | = | m - n | = 1 \geq \varepsilon</math>. == Vollständigkeit und rationale Zahlen == Wir betrachten die Menge der rationalen Zahlen <math>\mathbb{Q} \subset \mathbb{R}</math> und erzeugen eine Cauchy-Folge in <math>(a_i)_{i \in \mathbb{N}} \in \mathbb{Q}^\mathbb{N}</math>, die ein Cauchy-Folge in <math>\mathbb{Q}</math> ist, aber keinen Grenzwert in <math>\mathbb{Q}</math> besitzt. === Konstruktion der Cauchy-Folge === Um eine solche Cauchy-Folge in den rationalen Zahlen zu erzeugen, nimmt man einen Startwert <math>a_1 \in \mathbb{Q}^{+}</math>. Die weiteren Folgenglieder werden induktiv durch innere Verknüpfungen in dem Körper <math>(\mathbb{Q},+,cdot)</math> gebildet. :<math>a_1:=1,\quad a_{i+1}:=\frac{a_i}{2} + \frac{1}{a_i}</math>. === Heron-Verfahren === In diesem Beispiel wird also die Folge rationaler Zahlen [[w:de:Heron-Verfahren|Heron-Verfahren]] generiert, das für beliebige <math>x\in \mathbb{Q}^+</math> eine Folge <math>(a_i)_{i \in \mathbb{N}} \in \mathbb{Q}^\mathbb{N}</math> generiert, die allgemein mit gegen <math>\sqrt{x} \in\mathbb{R}</math> konvergiert. :<math>a_1:=1,\quad a_{i+1}:=\frac{a_i}{x} + \frac{1}{a_i}</math>. === Irrationale Zahlen === Ist <math>\sqrt{x} \in\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}</math> eine irrationale Zahl (wie z.B. <math>\sqrt{2} </math>, so konvergiert die Folge nicht in <math>\mathbb{Q}</math>. Die Konvergenz gegen <math>\sqrt{x} </math> für <math>x > 0</math> ist dabei unabhängig von Startwert. Dieser kann beliebig für <math>a_1 > 0 </math> gewählt werden. === Aufgabe - Konvergenz Heron-Verfahren === Gegen welchen Grenzwert konvergiert das [[w:de:Heron-Verfahren|Heron-Verfahren]], wenn <math>a_1 < 0 </math> gewählt wird? Beweisen Sie die Aussage. === Grenzwert der Folge === Diese Folge <math>(a_i)_{i \in \mathbb{N}} \in \mathbb{Q}\mathbb{N}</math> ist eine Cauchy-Folge, sie besitzt aber als Grenzwert die [[w:de:irrationale Zahlen|irrationale Zahl]] <math>\sqrt{2}</math> und konvergiert daher innerhalb der Menge der rationalen Zahlen nicht. === Vollständigkeit === Die Problematik der [[Vollständigkeit]], dass in der Menge der rationalen Zahlen <math>\mathbb{Q}</math> viele Grenzwerte von Cauchy-Folgen nicht enthalten sind, führte zu der Idee der [[w:de:Reelle Zahl#Konstruktion der reellen aus den rationalen Zahlen|Vervollständigung]] des Zahlenbereichs auf die Menge <math>\mathbb{R}</math> der reellen Zahlen. <span id="Norm"></span> == Cauchy-Folgen in normierten Räumen == In normierten Räumen übernimmt ein Norm die Aufgabe des Betrages in Zahlenräumen. === Definition - Cauchy-Folge in normierten Räumen === Spezieller definiert man den Begriff der Cauchy-Folge für [[Kurs:Funktionalanalysis/Topologie|normierten Räume]] <math>(X,\|\cdot \|)</math>, also beliebige [[w:de:Menge (Mathematik)|Mengen]] <math>X</math>, auf denen eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Topologie|Norm]] <math> \|\cdot \| </math> gegeben ist. Eine Folge <math>(x_i)_{i\in \mathbb{N}}</math> von Elementen in <math>X</math> heißt dann Cauchy-Folge in <math>(X,\|\cdot \|)</math>, wenn :<math>\forall \varepsilon>0 \quad \exists n_\varepsilon \in\mathbb{N} \quad \forall m,n \geq n_\varepsilon \colon \quad \| x_m - x_n \| < \varepsilon</math> === Bemerkung === Dies ist ein Spezialfall der Cauchy-Folge in metrischen Räumen, denn jeder normierte Raum <math>(X,\|\cdot \|)</math> ist mit folgender Metrik <math>d: X\times X \to \mathbb{R}^{+}</math> auch ein metrischer Raum <math>(X,d)</math>: : <math>d(x,y):= \|x-y\|</math> <span id="Metrik"></span> == Cauchy-Folgen in metrischen Räumen == In metrischen Räumen gibt es ein Metrik <math> d: X \times X \to \mathbb{R}_0^{+}</math>, die im Vergleich zum Betrag <math>|\cdot|</math>, den Abstand zwischen zwei Elementen aus dem Grundraum messen kann. Dabei entspricht in Zahlenräumen <math>d(x,y)=|x-y|</math>. === Definition - Cauchy-Folge in metrischen Räumen === Allgemeiner definiert man den Begriff der Cauchy-Folge für [[w:de:metrischer Raum|metrische Räume]] <math>(X,d)</math>, also beliebige [[w:de:Menge (Mathematik)|Mengen]] <math>X</math>, auf denen eine [[w:de:Metrischer Raum|Metrik]] <math>d</math> gegeben ist. Eine Folge <math>(x_i)_{i\in \mathbb{N}}</math> von Elementen in <math>X</math> heißt dann Cauchy-Folge, wenn :<math>\forall \varepsilon>0 \quad \exists N\in\mathbb{N} \quad \forall m,n \geq N \colon \quad d(x_m, x_n) < \varepsilon</math> gilt.<ref name="werner2">{{Literatur|Autor=[[w:de:Dirk Werner (Mathematiker)|Dirk Werner]]|Titel=Funktionalanalysis|Jahr=2005|Seiten=2}}</ref> === Bemerkung - Cauchy-Folgen in metrischen Räumen === Damit gibt es zu jedem reellen <math>\varepsilon > 0</math> einen Index <math>N</math>, so dass für alle natürlichen Zahlen <math>m,n \geq N</math> der Abstand der entsprechenden Folgenglieder <math>d(x_m, x_n) < \varepsilon</math> ist. === Äquivalente Formulierung === Eine dazu äquivalente geometrische Formulierung ist: Für jedes <math>\varepsilon > 0</math> gibt es einen Punkt <math>a</math> und einen Index <math>N</math>, so dass alle Folgenglieder ab <math>x_N</math> in der [[w:de:Offene Kugel#Offene Kugel|offenen Kugel]] <math>B_\varepsilon(a)</math> um den Punkt <math>a</math> mit Radius <math>\varepsilon</math> liegen. Diese Version unterscheidet sich nur dadurch von der Konvergenzdefinition, dass hier der Mittelpunkt <math>a</math> vom Radius <math>\varepsilon</math> abhängen darf, während bei der Konvergenz der Grenzwert <math>a</math> von <math>\varepsilon</math> unabhängig sein muss. === Konvergente Folge sind Cauchy-Folgen in metrischen Räumen === Jede konvergente Folge in einem metrischen Raum ist auch eine Cauchy-Folge. Konvergiert nämlich eine Folge <math>(x_i)_{i \in \mathbb{N}}</math> gegen einen Grenzwert <math>x \in X</math>, dann gibt es zu jedem <math>\varepsilon > 0</math> einen Index <math>n_\varepsilon \in \mathbb{N}</math>, sodass <math>d(x,x_n) < \tfrac{\varepsilon}2</math> für alle <math>n \geq n_\varepsilon</math> gilt. Mit der [[w:de:Dreiecksungleichung|Dreiecksungleichung]] für metrische Räume folgt dann für alle <math>m,n \geq n_\varepsilon</math> :<math>d(x_m,x_n) \leq d(x_m,x) + d(x,x_n) < \tfrac{\varepsilon}2 + \tfrac{\varepsilon}2 = \varepsilon</math> und die Folge ist somit eine Cauchy-Folge. === Betrachtung der Umkehrung === Die umgekehrte Richtung muss jedoch nicht notwendigerweise wahr sein, was letztendlich zur Einführung von [[w:de:Vollständiger Raum|vollständigen Räumen]] führte (siehe rationale Zahlen als Teilmenge der reellen Zahlen. In einem vollständigen Raum besitzt definitionsgemäß jede Cauchy-Folge einen Grenzwert und der Begriff der konvergenten Folge fällt mit dem Begriff der Cauchy-Folge zusammen. === Vervollständigung von metrischen Räumen=== Jeder unvollständige metrische Raum kann jedoch durch die Bildung von [[w:de:Äquivalenzklasse|Äquivalenzklasse]]n von Cauchy-Folgen [[w:de:Vervollständigung (metrischer Raum)|vervollständigt]] werden. Dabei werden zwei Cauchy-Folgen <math>(x_i)_{i\in \N}</math> und <math>(y_i)_{i\in \N}</math> von Elementen in <math>X</math> als äquivalent angesehen, wenn :<math>\forall \varepsilon>0 \quad \exists n_\varepsilon \in\N \quad \forall m,n \geq n_\varepsilon \colon \quad d(x_m, y_n) < \varepsilon</math> oder äquivalent dazu <math>\lim_{m,n\in\N} d(x_m,y_n) = 0</math>. Liegt der Grenzwert einer der beiden Folgen in <math>X</math>, dann auch der der anderen, und die beiden Grenzwerte sind gleich. Die Äquivalenzklassen der Cauchy-Folgen bilden die Vervollständigung <math>\overline{X}</math> des Grundraumes <math>X</math>. == Aufgaben für Lernende == In den folgenden Aufgaben werden Cauchyfolgen in normierten Räumen betrachtet, die über die grundlegenden Vektorräume <math>\mathbb{Q}^n,\, \mathbb{R}^n,\, \mathbb{C}^n</math> mit <math>n\in \mathbb{N}</math> hinausgehen === Cauchy-Folgen in Funktionenräumen=== Sei <math>V:=\mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> die Menge der stetigen (engl. continuous) Funktionen von dem Intervall <math>[a,b]</math> in den Körper <math>\mathbb{R}</math> als Wertebereich. Ferner sei die folgende Norm auf <math>V</math> gegeben: ::<math>\|\cdot \|: V \to \mathbb{R}^+_0 \quad \mbox{ mit } \quad f\mapsto \|f\|:= \int_{a}^{b} |f(x)| \, dx</math> :Zeigen Sie, dass der folgende Funktionenraum der stetigen Funktionen mit der folgenden Norm nicht vollständig ist. ==== Hinweis 1: Definition der Funktionenfolge==== Verwenden Sie die folgende Funktionenfolge mit <math>[a,b]:=[0,2]</math> ::<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & f_n(x) = \left\{\begin{array}{lcl} 0 & \mbox{ für } & x \in \left[0,1-\frac{1}{n}\right] \\ \quad n\cdot x + (1-n) & \mbox{ für } & x \in \left]1-\frac{1}{n},1\right] \\ -n\cdot x + (1+n) & \mbox{ für } & x \in \left]1,1+\frac{1}{n}\right[ \\ 0 & \mbox{ für } & x \in \left[1+\frac{1}{n},2\right] \\ \end{array}\right. \\ \end{array} </math> ==== Hinweis 2: Abschätzung der Integralnorm ==== Skizzieren Sie die Funktionen <math>f_1,f_2</math> und <math>f_3</math>. Für den Beweis, dass <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}\in V^{\mathbb{N}}</math> eine Cauchy-Folge in <math>V</math> ist, sollten Sie die Integralnorm <math>\|f_n -f_m \|:= \int_{a}^{b} |f_n(x)-f_m(x)| \, dx </math> nach oben gegen einen Rechteckflächeninhalt abschätzen, wobei die Höhe des Rechtecks eine obere Schranke für den maximale Funktionswert auf dem bertrachteten Intervall darstellt. ==== Hinweis 3: Grenzfunktion der Funktionenfolge ==== Betrachten Sie ferner die folgende Abbildung <math>f_0</math> und zeigen Sie, dass die Folge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}\in V^{\mathbb{N}}</math> punktweise gegen <math>f_0</math> konvergiert: ::<math> \begin{array}{rcl} f_0: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & f_0(x) = \left\{\begin{array}{lcl} 0 & \mbox{ für } & x \in \left[0,2\right] \setminus \{1\} \\ 1 & \mbox{ für } & x = 1 \end{array}\right. \\ \end{array} </math> === Polynom-Vektoräume mit Koeffizienten aus normierten Räumen=== Sei <math>(V,\|\cdot \|)</math> auf einem <math>\mathbb{K}</math>-Vektorraum <math>V</math> gegeben. Wir definieren nun den Vektorraum <math>V[x]</math> der Polynome mit Koeffizienten aus <math>V</math> und eine Norm [[Kurs:Funktionalanalysis/Topologie|Norm]] <math> \|\cdot \|_{V[x]} </math>, die <math>(V[x],\|\cdot \|_{V[x]})</math> zu einem normierten Raum macht. Definieren Sie eine Cauchy-Folge <math>(p^{(i)})_{i\in \mathbb{N}}</math> von [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra|Polynomen]] in <math>V[x]</math>, die nicht konvergent ist. ::<math> \begin{array}{rcl} p^{(i)}: \mathbb{R} & \to & V \\ x & \mapsto & p^{(i)}(x) = \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} p^{(i)}_n \cdot x^n \mbox{ mit } (p^{(i)})_{n\in \mathbb{N}_0} \in c_{oo}(V). \\ \end{array} </math> == Notation == Sei <math>(V,\|\cdot \|)</math> ein normierter Raum. * <math>c_{oo}(V)\in V^{\mathbb{N}}</math> ist die Menge der Folgen in dem Vektorraum <math>V</math>, bei der ab einer Indexschranke alle Folgenglieder gleich dem Nullvektor aus <math>V</math>. * <math>c_{o}(V)\in V^{\mathbb{N}}</math> ist die Menge der Nullfolgen in einem normierten Vektorraum <math>(V,\|\cdot \|)</math>. * <math>c(V)\in V^{\mathbb{N}}</math> ist die Menge der konvergenten Folgen in einem normierten Vektorraum <math>(V,\|\cdot \|)</math>. Analog kann man diese Notation auf metrische Räume <math>(V,d)</math> mit einer Metrik <math>d:V \times V \rightarrow \mathbb{R}^+_o</math> übertragen. <span id="Cauchy-Netz"></span> == Cauchy-Netz in topologischen Vektorräumen == Sei <math> (V,\|\cdot \|_\mathcal{A} ) </math> ein [[topologischer Vektorraum]] mit einem [[Gaugefunktional|Gaugefunktionalsystem]] <math> \|\cdot \|_\mathcal{A} </math>. Ein [[Netze (Mathematik)|Netz]] <math>(a_i)_{i\in I}</math> ist ein [[w:de:Cauchy-Netz|Cauchy-Netz]] in <math> (V,\|\cdot \|_\mathcal{A} ) </math>, wenn gilt: :<math> \forall_{\varepsilon >0, \, \alpha \in \mathcal{A} } \, \exist_{ i_{(\varepsilon,\alpha)} \in I } \, \forall_{ i,j \, \succcurlyeq \, i_{(\varepsilon ,\alpha)} }: \, \| a_i - a_j \|_\alpha < \varepsilon . </math> Dabei definiert <math>\succcurlyeq</math> eine [[partielle Ordnung]] auf der Indexmenge <math>I</math>. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis/Vektorräume|Übersicht über die Vektorräume aus dem Kurs]] * [[w:de:Cauchy-Kriterium|Cauchy-Kriterium]] * [[Cauchy-Netze]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Topologie|Topologie]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra|Polynomalgebra]] * [[w:de:uniformer Raum|uniforme Räume]] * [[Vollständigkeit]] * [[Vervollständigungssatz für metrische Räume]] * [[Vervollständigungssatz für topologische Algebren]] * [[Vervollständigungssatz für topologische Vektorräume]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionalanalysis]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] == Literatur == * [[w:de:Konrad Königsberger|Konrad Königsberger]]: ''Analysis 1''. Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-41282-4 * [[w:de:Konrad Königsberger|Konrad Königsberger]]: ''Analysis 2.'' Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg, 2000, ISBN 3-540-43580-8 * [[w:de:Otto Forster|Otto Forster]]: ''Analysis 1. Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen.'' Vieweg-Verlag, 8. Aufl. 2006, ISBN 3-528-67224-2 == Einzelnachweise und Anmerkungen == <references /> [[Kategorie:Folgen und Reihen]] [[Kategorie:Funktionalanalysis]] == Seiteninformation == Diese Lernressource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionalanalysis Kurs:Funktionalanalysis]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Cauchy-Folge Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Cauchy-Folge Cauchy-Folge] https://de.wikipedia.org/wiki/Cauchy-Folge * Datum: 3.12.2020 - [https://de.wikipedia.org/w/index.php?action=history&title=Cauchy-Folge Versionsgeschichte Wikipedia] * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity?lang=de&domain=wikipedia&title=Cauchy-Folge Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] 4gqw6xa7slzl4nj83h21r4bogbeycib 1118892 1118891 2026-11-05T07:53:30Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1118892 wikitext text/x-wiki == Einführung == Eine '''Cauchy-Folge''' ist in der [[w:de:Mathematik|Mathematik]] eine [[w:de:Folge (Mathematik)|Folge]], bei der der Abstand der Folgenglieder im Verlauf der Folge beliebig klein wird. Diese Konzept kann man [[Cauchy-Netze]] in [[topologischer Vektorraum|topologischen Vektorräumen]] verallgemeinern. Noch allgemeiner in beliebigen topologischen Strukturen sind [[w:de:uniformer Raum|uniforme Räume]], in den Nachbarschaften von Punkten durch Mengensysteme beschreibt. === Abbildung 1 - Cauchy-Folge === [[Datei:Cauchy sequence illustration.svg|450px|Beispiel einer Cauchy-Folge: der Abstand der Folgenglieder wird im Verlauf der Folge beliebig klein.]] === Abbildung 2 - Keine Cauchy-Folge === [[Datei:Cauchy sequence illustration2.svg|450px|Beispiel einer Folge, die keine Cauchy-Folge ist: der Abstand der Folgenglieder wird im Verlauf der Folge nicht beliebig klein.]] Beispiel einer Folge, die keine Cauchy-Folge ist: der Abstand zwei Folgenglieder oberhalb einer Indexschranke <math>n_\varepsilon \in \mathbb{N} </math> wird im Verlauf der Folge nicht beliebig klein, d.h. <math> |X_n-X_m|< \varepsilon </math> für <math>n,m \geq n_\varepsilon </math>. == Geschichte == Cauchy-Folgen sind nach dem französischen Mathematiker [[w:de:Augustin-Louis Cauchy|Augustin-Louis Cauchy]] benannt und von grundlegender Bedeutung für den Aufbau der [[w:de:Analysis|Analysis]]. In dieser Lernressource wird der Begriff der Cauchy-Folge im Kontext von normierten Räumen behandelt, auf denen zusätzliche ein Multiplikation existiert. == Grenzwert einer Cauchy-Folge == Der [[w:de:Grenzwert (Folge)|Grenzwert]] einer Cauchy-Folge [[w:de:Reelle Zahl|reeller Zahlen]] ist immer eine reelle Zahl. Der Grenzwert einer Cauchy-Folge [[w:de:Rationale Zahl|rationaler Zahlen]] kann auch eine [[w:de:irrationale Zahl|irrationale Zahl]] sein. Allgemein konvergieren genau dann alle Cauchy-Folgen von Elementen eines [[w:de:Metrischer Raum|metrischen Raums]], falls der Raum [[w:de:Vollständiger Raum|vollständig]] ist. Jeder unvollständige metrische Raum kann durch die Bildung von [[w:de:Äquivalenzklasse|Äquivalenzklassen]] von Cauchy-Folgen [[Vollständigkeit|vervollständigt]] werden. == Definition Cauchy-Folgen == Cauchy-Folgen können allgemeiner (z.B. in beliebigen metrischen Räumen) definiert werden. Zunächst betrachten wir Cauchy-Folgen in Zahlenräume. === Definition - Cauchy-Folge von Zahlen === Eine Folge <math>(a_i)_{i\in \mathbb{N}}</math> [[w:de:Rationale Zahl|rationaler]] oder [[w:de:Reelle Zahl|reeller]] Zahlen heißt Cauchy-Folge oder Fundamentalfolge, wenn es zu jedem <math>\varepsilon>0</math> einen Index <math>N</math> gibt, so dass ab diesem Index alle Folgenglieder weniger als <math>\varepsilon</math> voneinander entfernt sind. Formal lässt sich diese Bedingung als :<math>\forall_{ \varepsilon > 0 } \quad \exists_{ N_\varepsilon \in \mathbb{N} } \quad \forall_{ m,n \ge N_\varepsilon} \, \colon \, \quad \left|a_m-a_n \right| < \varepsilon </math> schreiben, wobei <math>| \cdot |</math> den [[w:de:Betragsfunktion|Betrag]] einer Zahl darstellt. ==== Anmerkungen ==== * In der Definition kann <math>\ge N_\varepsilon </math> auch durch <math> > N_\varepsilon </math> und <math> < \varepsilon</math> auch durch <math>\le \varepsilon</math> ersetzt werden. * Äquivalent zu dieser Definition kann man auch fordern, dass es zu jeder noch so kleinen positiven Zahl <math>\varepsilon</math> ein [[w:de:Intervall (Mathematik)|Intervall]] der Länge <math>2\varepsilon</math> gibt, in dem [[w:de:fast alle|fast alle]] Folgenglieder liegen. * Diese Definition entspricht weitgehend der Definition für [[w:de:Grenzwert (Folge)|konvergente]] Folgen, ohne jedoch den Begriff des Grenzwertes einer Folge zu benutzen. Cauchy-Folgen wurden daher früher auch als „in sich konvergente Folgen“ oder „konzentrierte Folgen“ bezeichnet. === Beispiel 1 - Cauchy-Folge === Die Folge <math>a_i = \tfrac{1}{i}</math> ist eine Cauchy-Folge. Man kann nämlich zu einem beliebig vorgegebenen <math>\varepsilon>0</math> ein <math>N</math> so wählen, dass <math>N>\tfrac{1}{\varepsilon}</math> erfüllt ist. Sind nun <math>n\geq m>N</math> beliebig gewählt, dann gilt ::<math>| a_m - a_n | = \left|\frac{1}{m} - \frac{1}{n}\right| = \left|\frac{n-m}{mn}\right| < \frac{n}{mn} = \frac{1}{m} < \frac{1}{N} < \varepsilon</math>. === Beispiel 2 - Keine Cauchy-Folge === Die Folge <math>a_i = i</math> ist keine Cauchy-Folge. Sei dazu <math>\varepsilon=\tfrac12</math> gewählt und <math>N</math> eine beliebige natürliche Zahl. Dann kann man <math>n=N+1</math> und <math>m=n+1</math> wählen und es gilt immer<ref>Um einen Gegenbeweis zu führen, muss man die Definition umkehren: <math>\exists \varepsilon>0 ~ \forall N\in \mathbb{N} ~ \exists m,n \ge N \colon \left|a_m-a_n \right|\geq\varepsilon</math>.</ref> ::<math>| a_m - a_n | = | m - n | = 1 \geq \varepsilon</math>. == Vollständigkeit und rationale Zahlen == Wir betrachten die Menge der rationalen Zahlen <math>\mathbb{Q} \subset \mathbb{R}</math> und erzeugen eine Cauchy-Folge in <math>(a_i)_{i \in \mathbb{N}} \in \mathbb{Q}^\mathbb{N}</math>, die ein Cauchy-Folge in <math>\mathbb{Q}</math> ist, aber keinen Grenzwert in <math>\mathbb{Q}</math> besitzt. === Konstruktion der Cauchy-Folge === Um eine solche Cauchy-Folge in den rationalen Zahlen zu erzeugen, nimmt man einen Startwert <math>a_1 \in \mathbb{Q}^{+}</math>. Die weiteren Folgenglieder werden induktiv durch innere Verknüpfungen in dem Körper <math>(\mathbb{Q},+,cdot)</math> gebildet. :<math>a_1:=1,\quad a_{i+1}:=\frac{a_i}{2} + \frac{1}{a_i}</math>. === Heron-Verfahren === In diesem Beispiel wird also die Folge rationaler Zahlen [[w:de:Heron-Verfahren|Heron-Verfahren]] generiert, das für beliebige <math>x\in \mathbb{Q}^+</math> eine Folge <math>(a_i)_{i \in \mathbb{N}} \in \mathbb{Q}^\mathbb{N}</math> generiert, die allgemein mit gegen <math>\sqrt{x} \in\mathbb{R}</math> konvergiert. :<math>a_1:=1,\quad a_{i+1}:=\frac{a_i}{x} + \frac{1}{a_i}</math>. === Irrationale Zahlen === Ist <math>\sqrt{x} \in\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}</math> eine irrationale Zahl (wie z.B. <math>\sqrt{2} </math>, so konvergiert die Folge nicht in <math>\mathbb{Q}</math>. Die Konvergenz gegen <math>\sqrt{x} </math> für <math>x > 0</math> ist dabei unabhängig von Startwert. Dieser kann beliebig für <math>a_1 > 0 </math> gewählt werden. === Aufgabe - Konvergenz Heron-Verfahren === Gegen welchen Grenzwert konvergiert das [[w:de:Heron-Verfahren|Heron-Verfahren]], wenn <math>a_1 < 0 </math> gewählt wird? Beweisen Sie die Aussage. === Grenzwert der Folge === Diese Folge <math>(a_i)_{i \in \mathbb{N}} \in \mathbb{Q}\mathbb{N}</math> ist eine Cauchy-Folge, sie besitzt aber als Grenzwert die [[w:de:irrationale Zahlen|irrationale Zahl]] <math>\sqrt{2}</math> und konvergiert daher innerhalb der Menge der rationalen Zahlen nicht. === Vollständigkeit === Die Problematik der [[Vollständigkeit]], dass in der Menge der rationalen Zahlen <math>\mathbb{Q}</math> viele Grenzwerte von Cauchy-Folgen nicht enthalten sind, führte zu der Idee der [[w:de:Reelle Zahl#Konstruktion der reellen aus den rationalen Zahlen|Vervollständigung]] des Zahlenbereichs auf die Menge <math>\mathbb{R}</math> der reellen Zahlen. <span id="Norm"></span> == Cauchy-Folgen in normierten Räumen == In normierten Räumen übernimmt ein Norm die Aufgabe des Betrages in Zahlenräumen. === Definition - Cauchy-Folge in normierten Räumen === Spezieller definiert man den Begriff der Cauchy-Folge für [[Kurs:Funktionalanalysis/Topologie|normierten Räume]] <math>(X,\|\cdot \|)</math>, also beliebige [[w:de:Menge (Mathematik)|Mengen]] <math>X</math>, auf denen eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Topologie|Norm]] <math> \|\cdot \| </math> gegeben ist. Eine Folge <math>(x_i)_{i\in \mathbb{N}}</math> von Elementen in <math>X</math> heißt dann Cauchy-Folge in <math>(X,\|\cdot \|)</math>, wenn :<math>\forall \varepsilon>0 \quad \exists n_\varepsilon \in\mathbb{N} \quad \forall m,n \geq n_\varepsilon \colon \quad \| x_m - x_n \| < \varepsilon</math> === Bemerkung === Dies ist ein Spezialfall der Cauchy-Folge in metrischen Räumen, denn jeder normierte Raum <math>(X,\|\cdot \|)</math> ist mit folgender Metrik <math>d: X\times X \to \mathbb{R}^{+}</math> auch ein metrischer Raum <math>(X,d)</math>: : <math>d(x,y):= \|x-y\|</math> <span id="Metrik"></span> == Cauchy-Folgen in metrischen Räumen == In metrischen Räumen gibt es ein Metrik <math> d: X \times X \to \mathbb{R}_0^{+}</math>, die im Vergleich zum Betrag <math>|\cdot|</math>, den Abstand zwischen zwei Elementen aus dem Grundraum messen kann. Dabei entspricht in Zahlenräumen <math>d(x,y)=|x-y|</math>. === Definition - Cauchy-Folge in metrischen Räumen === Allgemeiner definiert man den Begriff der Cauchy-Folge für [[w:de:metrischer Raum|metrische Räume]] <math>(X,d)</math>, also beliebige [[w:de:Menge (Mathematik)|Mengen]] <math>X</math>, auf denen eine [[w:de:Metrischer Raum|Metrik]] <math>d</math> gegeben ist. Eine Folge <math>(x_i)_{i\in \mathbb{N}}</math> von Elementen in <math>X</math> heißt dann Cauchy-Folge, wenn :<math>\forall \varepsilon>0 \quad \exists N\in\mathbb{N} \quad \forall m,n \geq N \colon \quad d(x_m, x_n) < \varepsilon</math> gilt.<ref name="werner2">{{Literatur|Autor=[[w:de:Dirk Werner (Mathematiker)|Dirk Werner]]|Titel=Funktionalanalysis|Jahr=2005|Seiten=2}}</ref> === Bemerkung - Cauchy-Folgen in metrischen Räumen === Damit gibt es zu jedem reellen <math>\varepsilon > 0</math> einen Index <math>N</math>, so dass für alle natürlichen Zahlen <math>m,n \geq N</math> der Abstand der entsprechenden Folgenglieder <math>d(x_m, x_n) < \varepsilon</math> ist. === Äquivalente Formulierung === Eine dazu äquivalente geometrische Formulierung ist: Für jedes <math>\varepsilon > 0</math> gibt es einen Punkt <math>a</math> und einen Index <math>N</math>, so dass alle Folgenglieder ab <math>x_N</math> in der [[w:de:Offene Kugel#Offene Kugel|offenen Kugel]] <math>B_\varepsilon(a)</math> um den Punkt <math>a</math> mit Radius <math>\varepsilon</math> liegen. Diese Version unterscheidet sich nur dadurch von der Konvergenzdefinition, dass hier der Mittelpunkt <math>a</math> vom Radius <math>\varepsilon</math> abhängen darf, während bei der Konvergenz der Grenzwert <math>a</math> von <math>\varepsilon</math> unabhängig sein muss. === Konvergente Folge sind Cauchy-Folgen in metrischen Räumen === Jede konvergente Folge in einem metrischen Raum ist auch eine Cauchy-Folge. Konvergiert nämlich eine Folge <math>(x_i)_{i \in \mathbb{N}}</math> gegen einen Grenzwert <math>x \in X</math>, dann gibt es zu jedem <math>\varepsilon > 0</math> einen Index <math>n_\varepsilon \in \mathbb{N}</math>, sodass <math>d(x,x_n) < \tfrac{\varepsilon}2</math> für alle <math>n \geq n_\varepsilon</math> gilt. Mit der [[w:de:Dreiecksungleichung|Dreiecksungleichung]] für metrische Räume folgt dann für alle <math>m,n \geq n_\varepsilon</math> :<math>d(x_m,x_n) \leq d(x_m,x) + d(x,x_n) < \tfrac{\varepsilon}2 + \tfrac{\varepsilon}2 = \varepsilon</math> und die Folge ist somit eine Cauchy-Folge. === Betrachtung der Umkehrung === Die umgekehrte Richtung muss jedoch nicht notwendigerweise wahr sein, was letztendlich zur Einführung von [[w:de:Vollständiger Raum|vollständigen Räumen]] führte (siehe rationale Zahlen als Teilmenge der reellen Zahlen. In einem vollständigen Raum besitzt definitionsgemäß jede Cauchy-Folge einen Grenzwert und der Begriff der konvergenten Folge fällt mit dem Begriff der Cauchy-Folge zusammen. === Vervollständigung von metrischen Räumen=== Jeder unvollständige metrische Raum kann jedoch durch die Bildung von [[w:de:Äquivalenzklasse|Äquivalenzklasse]]n von Cauchy-Folgen [[w:de:Vervollständigung (metrischer Raum)|vervollständigt]] werden. Dabei werden zwei Cauchy-Folgen <math>(x_i)_{i\in \N}</math> und <math>(y_i)_{i\in \N}</math> von Elementen in <math>X</math> als äquivalent angesehen, wenn :<math>\forall \varepsilon>0 \quad \exists n_\varepsilon \in\N \quad \forall m,n \geq n_\varepsilon \colon \quad d(x_m, y_n) < \varepsilon</math> oder äquivalent dazu <math>\lim_{m,n\in\N} d(x_m,y_n) = 0</math>. Liegt der Grenzwert einer der beiden Folgen in <math>X</math>, dann auch der der anderen, und die beiden Grenzwerte sind gleich. Die Äquivalenzklassen der Cauchy-Folgen bilden die Vervollständigung <math>\overline{X}</math> des Grundraumes <math>X</math>. == Aufgaben für Lernende == In den folgenden Aufgaben werden Cauchyfolgen in normierten Räumen betrachtet, die über die grundlegenden Vektorräume <math>\mathbb{Q}^n,\, \mathbb{R}^n,\, \mathbb{C}^n</math> mit <math>n\in \mathbb{N}</math> hinausgehen === Cauchy-Folgen in Funktionenräumen=== Sei <math>V:=\mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> die Menge der stetigen (engl. continuous) Funktionen von dem Intervall <math>[a,b]</math> in den Körper <math>\mathbb{R}</math> als Wertebereich. Ferner sei die folgende Norm auf <math>V</math> gegeben: ::<math>\|\cdot \|: V \to \mathbb{R}^+_0 \quad \mbox{ mit } \quad f\mapsto \|f\|:= \int_{a}^{b} |f(x)| \, dx</math> :Zeigen Sie, dass der folgende Funktionenraum der stetigen Funktionen mit der folgenden Norm nicht vollständig ist. ==== Hinweis 1: Definition der Funktionenfolge==== Verwenden Sie die folgende Funktionenfolge mit <math>[a,b]:=[0,2]</math> ::<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & f_n(x) = \left\{\begin{array}{lcl} 0 & \mbox{ für } & x \in \left[0,1-\frac{1}{n}\right] \\ \quad n\cdot x + (1-n) & \mbox{ für } & x \in \left]1-\frac{1}{n},1\right] \\ -n\cdot x + (1+n) & \mbox{ für } & x \in \left]1,1+\frac{1}{n}\right[ \\ 0 & \mbox{ für } & x \in \left[1+\frac{1}{n},2\right] \\ \end{array}\right. \\ \end{array} </math> ==== Hinweis 2: Abschätzung der Integralnorm ==== Skizzieren Sie die Funktionen <math>f_1,f_2</math> und <math>f_3</math>. Für den Beweis, dass <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}\in V^{\mathbb{N}}</math> eine Cauchy-Folge in <math>V</math> ist, sollten Sie die Integralnorm <math>\|f_n -f_m \|:= \int_{a}^{b} |f_n(x)-f_m(x)| \, dx </math> nach oben gegen einen Rechteckflächeninhalt abschätzen, wobei die Höhe des Rechtecks eine obere Schranke für den maximale Funktionswert auf dem bertrachteten Intervall darstellt. ==== Hinweis 3: Grenzfunktion der Funktionenfolge ==== Betrachten Sie ferner die folgende Abbildung <math>f_0</math> und zeigen Sie, dass die Folge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}\in V^{\mathbb{N}}</math> punktweise gegen <math>f_0</math> konvergiert: ::<math> \begin{array}{rcl} f_0: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & f_0(x) = \left\{\begin{array}{lcl} 0 & \mbox{ für } & x \in \left[0,2\right] \setminus \{1\} \\ 1 & \mbox{ für } & x = 1 \end{array}\right. \\ \end{array} </math> === Polynom-Vektoräume mit Koeffizienten aus normierten Räumen=== Sei <math>(V,\|\cdot \|)</math> auf einem <math>\mathbb{K}</math>-Vektorraum <math>V</math> gegeben. Wir definieren nun den Vektorraum <math>V[x]</math> der Polynome mit Koeffizienten aus <math>V</math> und eine Norm [[Kurs:Funktionalanalysis/Topologie|Norm]] <math> \|\cdot \|_{V[x]} </math>, die <math>(V[x],\|\cdot \|_{V[x]})</math> zu einem normierten Raum macht. Definieren Sie eine Cauchy-Folge <math>(p^{(i)})_{i\in \mathbb{N}}</math> von [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra|Polynomen]] in <math>V[x]</math>, die nicht konvergent ist. ::<math> \begin{array}{rcl} p^{(i)}: \mathbb{R} & \to & V \\ x & \mapsto & p^{(i)}(x) = \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} p^{(i)}_n \cdot x^n \mbox{ mit } (p^{(i)})_{n\in \mathbb{N}_0} \in c_{oo}(V). \\ \end{array} </math> == Notation == Sei <math>(V,\|\cdot \|)</math> ein normierter Raum. * <math>c_{oo}(V)\in V^{\mathbb{N}}</math> ist die Menge der Folgen in dem Vektorraum <math>V</math>, bei der ab einer Indexschranke alle Folgenglieder gleich dem Nullvektor aus <math>V</math>. * <math>c_{o}(V)\in V^{\mathbb{N}}</math> ist die Menge der Nullfolgen in einem normierten Vektorraum <math>(V,\|\cdot \|)</math>. * <math>c(V)\in V^{\mathbb{N}}</math> ist die Menge der konvergenten Folgen in einem normierten Vektorraum <math>(V,\|\cdot \|)</math>. Analog kann man diese Notation auf metrische Räume <math>(V,d)</math> mit einer Metrik <math>d:V \times V \rightarrow \mathbb{R}^+_o</math> übertragen. <span id="Cauchy-Netz"></span> == Cauchy-Netz in topologischen Vektorräumen == Sei <math> (V,\|\cdot \|_\mathcal{A} ) </math> ein [[topologischer Vektorraum]] mit einem [[Gaugefunktional|Gaugefunktionalsystem]] <math> \|\cdot \|_\mathcal{A} </math>. Ein [[Netze (Mathematik)|Netz]] <math>(a_i)_{i\in I}</math> ist ein [[w:de:Cauchy-Netz|Cauchy-Netz]] in <math> (V,\|\cdot \|_\mathcal{A} ) </math>, wenn gilt: :<math> \forall_{\varepsilon >0, \, \alpha \in \mathcal{A} } \, \exist_{ i_{(\varepsilon,\alpha)} \in I } \, \forall_{ i,j \, \succcurlyeq \, i_{(\varepsilon ,\alpha)} }: \, \| a_i - a_j \|_\alpha < \varepsilon . </math> Dabei definiert <math>\succcurlyeq</math> eine [[partielle Ordnung]] auf der Indexmenge <math>I</math>. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis/Vektorräume|Übersicht über die Vektorräume aus dem Kurs]] * [[w:de:Cauchy-Kriterium|Cauchy-Kriterium]] * [[Cauchy-Netze]] * [[Exponentialfunktion|Exponentialfunktion in topologischen Algebren]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra|Polynomalgebra]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Topologie|Topologie]] * [[w:de:uniformer Raum|uniforme Räume]] * [[Vollständigkeit]] * [[Vervollständigungssatz für metrische Räume]] * [[Vervollständigungssatz für topologische Algebren]] * [[Vervollständigungssatz für topologische Vektorräume]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionalanalysis]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] == Literatur == * [[w:de:Konrad Königsberger|Konrad Königsberger]]: ''Analysis 1''. Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-41282-4 * [[w:de:Konrad Königsberger|Konrad Königsberger]]: ''Analysis 2.'' Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg, 2000, ISBN 3-540-43580-8 * [[w:de:Otto Forster|Otto Forster]]: ''Analysis 1. Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen.'' Vieweg-Verlag, 8. Aufl. 2006, ISBN 3-528-67224-2 == Einzelnachweise und Anmerkungen == <references /> [[Kategorie:Folgen und Reihen]] [[Kategorie:Funktionalanalysis]] == Seiteninformation == Diese Lernressource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionalanalysis Kurs:Funktionalanalysis]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Cauchy-Folge Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Cauchy-Folge Cauchy-Folge] https://de.wikipedia.org/wiki/Cauchy-Folge * Datum: 3.12.2020 - [https://de.wikipedia.org/w/index.php?action=history&title=Cauchy-Folge Versionsgeschichte Wikipedia] * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity?lang=de&domain=wikipedia&title=Cauchy-Folge Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] rlpu3gaf2xeqw0yy6aionjotc7rxu9u 106 129960 1118868 1118709 2026-11-04T16:25:20Z Bert Niehaus 20843 /* Kapitel 1: Grundlagen */ 1118868 wikitext text/x-wiki {{Fachbereich|Mathematik}} [[Datei:Algebra extension.svg|mini|Algebraerweiterung <math>B</math> von <math>A</math>, die ein inverses Element <math>b=z^{-1}\in B</math> zu einem gegeben <math>z\in A</math> enthält]] Der Kurs behandelt ein grundlegendes Konzept, mathematische Eigenschaften in Erweiterungen einer Grundmenge zu betrachten. Dabei erweitern man eine Grundmenge <math>A</math> zu einer Erweiterung <math>B</math> mit <math>A\subset B</math> und überprüft dabei eine Eigenschaft eines Elementes <math>z\in A</math> in der Erweiterung <math>z\in B</math>. In diesem Kurs behandelt wir die multiplikative Invertierbarkeit als mathematische Eigenschaft und betrachten u.a. topologische Eigenschaften, die ein Invertierbarkeit eines Elementes <math>z\in A</math> in einer Erweiterung <math>B</math> ermöglichen, d.h. :<math>\exists_{z^{-1} \in B}: \, z \cdot z^{-1} = z^{-1} \cdot z = e</math> erfüllt ist und <math>e\in A</math> das Einselement der Multiplikation ist. Im Wesentlichen geht es dabei um topologische Eigenschaften des Elementes <math>z\in A</math>, dass entweder eine Invertierbarkeit in einer bestimmten Erweiterung <math>B</math> von <math>A</math> ermöglicht bzw. in beliebigen Erweiterungen <math>B</math> von <math>A</math> nie ein inverses Element besitzt, d.h. permanent singulär ist. Der [[w:de:Nullvektor|Nullvektor]] <math>0_{_A}</math> oder [[w:de:Nullteiler|Nullteiler]] können aus algebraischen Gründen auch in Algebraerweiterungen <math>B</math> nicht invertiert werden. Es gibt auch topologische Eigenschaften (wie z.B. [[w:de:topologischer Nullteiler|topologischer Nullteiler]]), die eine Invertierbarkeit in Algebraerweiterung <math>B</math> unmöglich machen. Die Grundmengen mit einer multiplikativen Verknüpfung sind hier [[/topologische Algebra/|topologische Algebren]], bei denen die Verknüpfungen * (TA1) Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar als äußere Verknüpfung, * (TA2) Addition von Vektoren im Vektoraum als innere Verknüpfung und * (TA3) Multiplikation von zwei Vektoren als innere Verknüpfung jeweils stetig sind. Dabei wird ein Vektorraum mit den Eigenschaften (TA1) und (TA2) als ein topologischer Vektorraum bezeichnet. Gibt es zusätzlich eine Multiplikation ist zusätzlich diese multiplikative innere Verknüpfung stetig (TA3) dann nennt man den Vektorraum eine [[/topologische Algebra/|topologische Algebra]]. == Inhalte == ===Kapitel 0 === Das '''Kapitel 0''' enthält die Voraussetzungen und grundlegende Resultate, die für den Kurs wesentlich sind. * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Mengenlehre|Mengenlehre]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Mengenlehre&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Folien]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Komplexe Zahl|Komplexe Zahlen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Graph einer Funktion]]''' * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Topologie|Topologie]]''' * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Umgebung|Umgebung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Umgebung&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Umgebung&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Vektorräume|Vektorräume]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Vektorr%C3%A4ume&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Absolute Homogenität|Absolute Homogenität]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Absolute%20Homogenit%C3%A4t&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Absolute%20Homogenit%C3%A4t&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Normen, Metriken, Topologie]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?language=de&domain=wikiversity&title=Normen,%20Metriken,%20Topologie&author=Funktionalanalysis&audioslide=yes Folien]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Netze (Mathematik)|Netze]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?language=de&domain=wikiversity&title=Netze_(Mathematik)&author=Funktionalanalysis&audioslide=yes Folien]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Topologische Algebra/Konvergenz gegen Unendlich|Konvergenz gegen Unendlich]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Topologische%20Algebra/Konvergenz%20gegen%20Unendlich&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Konvergenz%20gegen%20Unendlich&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Lineare Abbildung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?language=de&domain=wikiversity&title=Lineare_Abbildun&author=Funktionalanalysis&audioslide=yes Folien]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Stetigkeitssatz_f%C3%BCr_lineare_Abbildungen&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen#Cauchy-Folgen_in_metrischen_Räumen|Cauchy-Folgen in metrischen Räumen]]''' * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen#Cauchy-Netz_in_topologischen_Vektorräumen|Cauchy-Netze in topologischen Vektorräumen]]''' * '''[[Vollständigkeit|Vollständigkeit]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Vollst%C3%A4ndigkeit&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Banachalgebra|Banachalgebra]]''' * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Faltung|Faltung als Multiplikation in einer Banachalgebra]] <!-- * '''[[Normenäquivalenzsatz]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Normen%C3%A4quivalenzsatz&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Lemma von Riesz]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Lemma_von_Riesz&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kompaktheitssatz von Riesz]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kompaktheitssatz%20von%20Riesz&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] --> * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Quotientenraum|Quotientenraum]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Quotientenraum&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Ideal_(Algebra)|Ideal (Algebra)]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Ideale_(Algebra)&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Kapitel 1: Grundlagen === * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Einführung|Einführung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Einf%C3%BChrung&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologische Algebra|Topologische Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologische%20Algebra&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Kreisförmige Mengen|Kreisförmige Mengen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Kreisf%C3%B6rmige%20Mengen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Minkowski-Funktionale|Absorbierende Mengen und Minkowski-Funktionale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Minkowski-Funktionale&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Gaugefunktionale|Gaugefunktionale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Gaugefunktionale&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Basiserzeugendes Gaugefunktionalsystem|Basiserzeugendes Gaugefunktionalsystem]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Basiserzeugendes%20Gaugefunktionalsystem&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Konvexe Mengen und Dreiecksungleichung|Konvexe Mengen und Dreiecksungleichung]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologisierungslemma für Algebren|Topologisierungslemma für Algebren]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologisierungslemma%20f%C3%BCr%20Algebren&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Korrespondenz-Lemma für p-Halbnormen|Korrespondenz-Lemma für p-Halbnormen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Korrespondenz-Lemma%20f%C3%BCr%20p-Halbnormen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/pseudokonvex - konvex/]] ** [[p-konvexe_Subadditivität#Lemma_-_Subadditivität_p-Konvexität|p-konvexe Subadditivität]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=p-konvexe%20Subadditivit%C3%A4t&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=p-konvexe%20Subadditivit%C3%A4t&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Stetigkeitskonstante der Addition#Stetigkeitskonstante_der_Addition|Stetigkeitskonstante der Addition]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Stetigkeitskonstante%20der%20Addition&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stetigkeitskonstante%20der%20Addition&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Algebraerweiterung|Algebraerweiterung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Algebraerweiterung&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Zahlbereichserweiterung|Zahlbereichserweiterung]] - Analogie zur Algebraerweiterung - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Zahlbereichserweiterung&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Erweiterung%20der%20Zahlbereiche&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra|Polynomnalgebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Potenzreihenalgebra|Potenzreihenalgebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Potenzreihenalgebra&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Stetigkeitssequenzen|Stetigkeitssequenzen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Stetigkeitssequenzen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Nullstellen-Inversen-Transformation|Nullstellen-Inversen-Transformation]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Nullstellen-Inversen-Transformation&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Nullstellen-Inversen-Transformation&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Exponentialfunktion]] === Kapitel 2: K-singuläre Elemente === Zunächst sollen topologische Kriterien behandelt werden, die dafür sorgen, dass ein Elemen permanent singulär in jeder Algebraerweiterung der Klasse <math>\mathcal{K}</math>. Wenn die Negation der topologischen Eigenschaft dazu führt, dass das Element ein inverses Element in einer Algebraerweiterung der Klasse <math>\mathcal{K}</math> besitzt, entsteht ein topoligisches Invertierbarkeitskriterien. * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Algebraische Eigenschaften - permament singulär|Algebraische Eigenschaften - permament singulär]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Algebraische%20Eigenschaften%20-%20permament%20singul%C3%A4r&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologische Nullteiler|Topologische Nullteiler]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologische%20Nullteiler&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/TNT-Kriterium für Gaugefunktionale|TNT-Kriterium für Gaugefunktionale]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/TNT-Kriterium%20f%C3%BCr%20Gaugefunktionale&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Multiplikative topologische Nullteiler|Multiplikative topologische Nullteiler]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Multiplikative%20topologische%20Nullteiler&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Kleine Potenzen|Kleine Potenzen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Kleine%20Potenzen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologisch kleine Potenzen|Topologisch kleine Potenzen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologisch%20kleine%20Potenzen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Satz - TKP und Gaugefunktionale|Satz - TKP und Gaugefunktionale]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Satz%20-%20TKP%20und%20Gaugefunktionale&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Satz - KP-TNT-Summen|Satz - KP-TNT-Summen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Satz%20-%20KP-TNT-Summen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Satz - Stetigkeitssequenzen K-Regularität|Satz - Stetigkeitssequenzen K-Regularität]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Satz%20-%20Stetigkeitssequenzen%20K-Regularit%C3%A4t&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Kapitel 3: K-reguläre Elemente === In diesem Kapitel werden mit den gegebenen topologischen Kriterien Algebraerweiterungen Algebraerweiterung der Klasse <math>\mathcal{K}</math> konstruiert, in denen ein gegebenes <math>\mathcal{K}</math>-reguläres Element invertierbar ist. * '''[[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Eigenschaften K-Regularität|Eigenschaften K-Regularität]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Eigenschaften%20K-Regularit%C3%A4t&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Konstruktion des Algebraisomorphismus|Konstruktion des Algebraisomorphismus]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Konstruktion%20des%20Algebraisomorphismus&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[/Algebraklassen/]]''' === (3.1) Normierte und lokalbeschränkte Algebren === * [[Norm (Mathematik)]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Normalisierte Norm|Normalisierte Norm]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Normalisierte%20Norm&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Normalisierte%20Norm&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Inverse und geometrische Reihen|Inverse und geometrische Reihen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Inverse%20und%20geometrische%20Reihen&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/B-Regularität|B-Regularität]]''' - Banachalgebren ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/B-Regularit%C3%A4t&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/B-Regularität/Von Äquivalenzklassen zum Ideal|Von Äquivalenzklassen zum Ideal]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/B-Regularit%C3%A4t/Von%20%C3%84quivalenzklassen%20zum%20Ideal&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Von%20%C3%84quivalenzklassen%20zum%20Ideal&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/B-Regularität/Stetigkeit Cauchy-Produkt|Normeigenschaften Stetigkeit - Cauchy-Produkt in Banachalgebren]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/B-Regularit%C3%A4t/Stetigkeit%20Cauchy-Produkt&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Konstruktion des Algebraisomorphismus|Konstruktion des Algebraisomorphismus]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Konstruktion%20des%20Algebraisomorphismus&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/P-Regularität|P-Regularität]]''' - lokal beschränkte Algebren ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/P-Regularit%C3%A4t&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[lokal beschränkt]] ** [[Dreiecksungleichung p-Konvexität]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Beispiel p-nomierbarer Raum|Beispiel p-nomierbarer Raum]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/p-konvexe Hülle|absolut p-konvexe Hülle]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/p-konvexe%20H%C3%BClle&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Satz - Quasinormierbarkeit|Satz - Quasinormierbarkeit]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Satz%20-%20Quasinormierbarkeit&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Satz p-Normierbarkeit|Satz p-Normierbarkeit]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Satz%20p-Normierbarkeit&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Satz - Konkavitätsmodul|Satz - Konkavitätsmodul]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Satz%20-%20Konkavit%C3%A4tsmodul&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Konstruktion des Algebraisomorphismus|Konstruktion des Algebraisomorphismus]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Konstruktion%20des%20Algebraisomorphismus&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/P-Regularität über p-Normen|P-Regularität über p-Normen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/P-Regularit%C3%A4t%20%C3%BCber%20p-Normen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/P-Regularität über Quasinormen|P-Regularität über Quasinormen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/P-Regularit%C3%A4t%20%C3%BCber%20Quasinormen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/P-Algebra - Beispiel|P-Algebra - Beispiel]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/P-Algebra%20-%20Beispiel&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === (3.2) Multiplikative toplogische Algebren === * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/MLC-Regularität|MLC-Regularität]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/MLC-Regularit%C3%A4t&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[lokalkonvex]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Multiplikative topologische Nullteiler|Multiplikative topologische Nullteiler]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Multiplikative%20topologische%20Nullteiler&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/MLC-Stetigkeit - Cauchyprodukt|MLC-Stetigkeit - Cauchyprodukt]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/MLC-Stetigkeit%20-%20Cauchyprodukt&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Konstruktion des Algebraisomorphismus für submultiplikative p-Halbnormen|Konstruktion des Algebraisomorphismus submultiplikative Halbnormen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Konstruktion%20des%20Algebraisomorphismus&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/MPC-Regularität|MPC-Regularität]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/MPC-Regularit%C3%A4t&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[pseudokonvex]] ** [[pseudokonvexe Subadditivität]] ** [[Kurs:Funktionalanalysis/Quotientenraum|Quotientenraum]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Quotientenraum&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Multiplikative topologische Nullteiler|Multiplikative topologische Nullteiler]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Multiplikative%20topologische%20Nullteiler&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Konstruktion des Algebraisomorphismus für submultiplikative p-Halbnormen|Konstruktion des Algebraisomorphismus für submultiplikative p-Halbnormen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Konstruktion%20des%20Algebraisomorphismus&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/MPC-Stetigkeit - Cauchyprodukt|MPC-Stetigkeit - Cauchyprodukt]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/MPC-Stetigkeit%20-%20Cauchyprodukt&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === (3.3) Lokalkonvexe und pseudokonvexe Algebren === * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/LC-Regularität|LC-Regularität]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/LC-Regularit%C3%A4t&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[lokalkonvex]] ** [[/Beispiele lokalkonvexer Raum/]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/LC-Stetigkeit Cauchy-Produkt|LC-Stetigkeit Cauchy-Produkt]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/LC-Stetigkeit%20Cauchy-Produkt&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Topologisch_große_Potenzen#Korrollar:_LC-Regularitätskriterium|LC-Regularitätskriterium für Halbnormensysteme]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Konstruktion des Algebraisomorphismus|Konstruktion des Algebraisomorphismus]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Konstruktion%20des%20Algebraisomorphismus&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/PC-Regularität|PC-Regularität]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/PC-Regularit%C3%A4t&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Pseudokonvex|pseudokonvex]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Pseudokonvex&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Pseudokonvex&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[pseudokonvexe Subadditivität]] ** [[Stetigkeitskonstante der Addition]] ** [[/Beispiele pseudokonvexer Raum/]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Konstruktion des Algebraisomorphismus|Konstruktion des Algebraisomorphismus]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Konstruktion%20des%20Algebraisomorphismus&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologisch große Potenzen|Topologisch große Potenzen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologisch%20gro%C3%9Fe%20Potenzen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Topologisch_große_Potenzen#PC-Regularitätskriterium|PC-Regularitätskriterium für Quasihalbnormensysteme]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Koeffizientenlemma der Cauchy-Multiplikation|Koeffizientenlemma der Cauchy-Multiplikation]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Koeffizientenlemma%20der%20Cauchy-Multiplikation&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/PC-Stetigkeit Cauchy-Produkt|PC-Stetigkeit Cauchy-Produkt]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/PC-Stetigkeit%20Cauchy-Produkt&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/PC-Homöomorphie - Algebraisomorphismus|PC-Homöomorphie - Algebraisomorphismus]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/PC-Hom%C3%B6omorphie%20-%20Algebraisomorphismus&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === (3.4) Topologische Algebren === * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologische Algebra|Topologische Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologische%20Algebra&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Topologische%20Algebra&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Beispiel - T-Algebra|Beispiel - T-Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20-%20T-Algebra&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispiel%20-%20T-Algebra&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[pseudokonvexe Subadditivität]] ** [[pseudokonvex]] ** [[Stetigkeitskonstante der Addition]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Normalisiertes Gaugefunktionalsystem|Normalisiertes Gaugefunktionalsystem]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Normalisiertes%20Gaugefunktionalsystem&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Normalisiertes%20Gaugefunktionalsystem&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/T-Regularität|T-Regularität]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/T-Regularit%C3%A4t&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologisierungslemma für Algebren|Topologisierungslemma für Algebren]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologisierungslemma%20f%C3%BCr%20Algebren&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Konstruktion des Algebraisomorphismus|Konstruktion des Algebraisomorphismus]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Konstruktion%20des%20Algebraisomorphismus&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologisch große Potenzen|Topologisch große Potenzen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologisch%20gro%C3%9Fe%20Potenzen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Lemma - Kaskadensummen |Lemma - Kaskadensummen ]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Lemma%20-%20Kaskadensummen%20&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Lemma - Kaskadenprodukte |Lemma - Kaskadenprodukte ]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Lemma%20-%20Kaskadenprodukte%20&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Kaskadenabschätzung Cauchy-Produkt - T-Regularität|Kaskadenabschätzung Cauchy-Produkt - T-Regularität]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Stetigkeit%20-%20Cauchymultiplikation%20-%20T-Regularit%C3%A4t&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/T-Stetigkeit Cauchy-Produkt|T-Stetigkeit Cauchy-Produkt]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/T-Stetigkeit%20Cauchy-Produkt&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/T-Regularitätskriterium|T-Regularitätskriterium]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/T-Regularit%C3%A4tskriterium&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Hauptsatz über K-reguläre Elemente|Hauptsatz über K-reguläre Elemente]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Hauptsatz%20%C3%BCber%20K-regul%C3%A4re%20Elemente&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Kapitel 4: Lösbarkeit von Gleichungen === In diesem Kapitel wird die Invertierbarkeit <math>z \cdot x = x \cdot z = e</math> mit <math>x=z^{-1}</math> als speziellen Fall der Lösbarkeit einer Gleichung <math>z_1 \cdot x = z_2</math> mit <math>z_1,z_2 \in A</math> betrachtet. Hier wird in einer Algebraerweiterung <math>B</math> von <math>A</math> nach einer Lösung <math>x\in B</math> gesucht, die die Gleichung <math>z_1 \cdot x = z_2</math> löst. Im Kern geht es auch hier um die Frage, welche topologischen Eigenschaften verhindern eine Lösbarkeit und welche Eigenschaften erlauben die Lösbarkeit der Gleichung in einer Algebraerweiterung <math>B</math> von <math>A</math>, * [[/Lösbarkeit in Banachalgebren/]] == Nutzung der Materialien für Lehrveranstaltungen == Die Vorlesung wird in einem PanDoc-Folien-Format ([[PanDocElectron-Presentation|PanDocElectron-SLIDE]]) in Wikiversity bereitgestellt, das mit dem Werkzeug [[Wiki2Reveal]] in annotierbare Folien übertragen wird bzw. mit [http://niebert.github.io/PanDocElectron PanDocElectron] die online verfügbare Wikiversity-Quelle lädt und in offline nutzbare Präsentationfolien umwandeln kann. Mit [[Wiki2Reveal]] können Sie auch direkt aus den Wikiversity-Artikeln ein [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal RevealJS- oder DZSlides-Präsentation erstellen]. == Ursprung der Materialen == Im Sinne der OER ([[Open Educational Resources]]) sollten die Vorlesungsinhalten zur freien Verfügungen gestellt werden. Anfänglich wurden die Vorlesungsinhalte entlang eines Skriptes in Wikiversity abgebildet. Eine direkte Nutzung in Lehrveranstaltung aus Folien erfordert eine Anpassung der Inhalten und eine Segmentierung der Inhalte in Unterabschnitte, die als Folien dargestellt werden. Entsprechend von Rückfragen und Anmerkungen in Vorlesungen wurden in erstellten Foliensätze mit zusätzlichen Begründung ergänzt, damit eine bessere eigenständige Nacharbeit der Vorlesungsinhalte möglich wird. === PDF-Export und digitale handschriftliche Annotation === Ein PDF-Export ist standardmäßig als PDF in Wikiveristy möglich. Studierende können die PDF exportieren und in der OpenSource-Software [[w:de:Xournal|Xournal]] auf Linux, Windows oder Mac editieren und eigene handschriftliche Anmerkungen digital ergänzen. === PanDoc-Electron === Mit Pandoc-Electron kann man aus Wiki-Inhalten Präsentation oder LibreOffice-Dokumenten exportiert werden, die dann weiter mit individuellen Anmerkungen versehen werden können. Die Wartung und Update der Inhalte in einem Repository ist allerdings sehr aufwändig, weil an mehreren Stellen bei Verbesserungen eine Aktualisierung der Inhalte vorgenommen werden muss. Daher wurde für die Vorlesungsfolien [[Wiki2Reveal]]-Artikel entwickelt, die es ermöglichen, direkt aus den Wikiversityinhalten Vorlesungsfolien zu generieren und dies auch online im eigenen Browser zu annotieren (d.h. man kann die Folien z.B. beschriften). Die Abschnitte in den Artikeln sind in der Regel mit sehr wenig Text versehen, damit bei der dynmaischen Erzeugung der Folien der Inhalt eines einzelnen Abschnittes auf eine Folie passt. Alle Folienseiten in Wikiversity haben daher am Ende der Seiten einen Hinweis ''[[PanDocElectron-Presentation|PanDocElectron-SLIDE]]'' und sind der [[Wiki2Reveal]]-Kategorie zugeordnet. Wenn Sie diese Seiten editieren, achten Sie bitte darauf, dass die Folien nicht zu voll werden. Ausführlichere Texte zu den Slides werden in der Regel in eigenen Artikeln erstellt. Falls sich die Erläuterungsseiten explizit auf eine Folien beziehen, erhält die Erläuterungsseite eine Markierung ''[[PanDocElectron-Presentation|PanDocElectron-TEXT]]'' und SLIDE- bzw. TEXT-Version verweisen wechselseitig aufeinander. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Einführung&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal für Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien] * [[Hilfe:Quiz|Hilfe: Erstellung Quiz für Vorlesungsinhalte]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] == Wiki-Bücher == * [[b:en:Functional_Analysis|Wikibook: Functional Analysis]] [[Kategorie:Wiki2Reveal]] [[Category:Funktionalanalysis]] [[Kategorie:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] <noinclude>[[en:Inverse-producing extensions of Topological Algebras]]</noinclude> 46p26b2ceoccukderhqbxu5vaplgpyg 106 129983 1118921 1116630 2026-11-05T10:41:10Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1118921 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Ein topologische Algebra <math>A</math> ist zunächst einmal eine [[topologischer Vektorraum]], der zusätzliche innere Verknüpfung <math>\cdot : A \times A \to A</math> als Multiplikation auf <math>A</math>, auf der alle Verknüfungen stetig sind. Daher wird zunächst der Begriff topologischer Vektorraum definiert. == Definition: Topologischer Vektorraum == Ein topologischer [[w:de:Vektorraum#Definition|Vektorraum]] <math display="inline">(V,\mathcal{T})</math> über <math>\mathbb{K}</math> ist ein Vektorraum über dem Körper <math>\mathbb{K}</math>, der eine [[Normen, Metriken, Topologie#Topologie|Topologie]] <math>\mathcal{T}</math> besitzt, mit der die skalare Multiplikation und die Addition stetige Abbildungen sind. :<math> \begin{array}{rcl} \cdot : \mathbb{K} \times V &\longrightarrow & V \quad (\lambda,v) \longmapsto \lambda \cdot v \\ + : V \times V &\longrightarrow & V \quad (v,w) \longmapsto v+w \end{array} </math> Im Folgenden soll für alle topologischen Vektorräume die [[Hausdorff-Raum|Hausdorffeigenschaft]] vorausgesetzt sein. === Klassen von topologischen Vektorräumen === * <math>\mathcal{N}</math> [[Norm (Mathematik)|normierter Vektorraum]] * <math>\mathcal{P}</math> [[lokal beschränkt|lokal beschränkter Vektorraum]] * <math>\mathcal{LC}</math> [[lokalkonvex|lokalkonvexer Vektorraum]] * <math>\mathcal{PC}</math> [[pseudokonvex|pseudokonvexer Vektorraum]] * <math>\mathcal{MLC}</math> [[lokalkonvex|multiplikativer lokalkonvexer Vektorraum]] * <math>\mathcal{MPC}</math> [[pseudokonvex|multiplikativer pseudokonvexer Vektorraum]] === Wege in topologischen Vektorräumen === [[Stetigkeit|Stetige Abbildungen]] <math>\gamma:[a,b] \to V</math> von einem Intervall in den Vektorraum <math>V</math> nennt man [[Topologischer Vektorraum/Weg|Wege]], über die man auch in allgemeiner Form [[Wegintegral|Wegintegrale]] berechnen kann (siehe [[Topologischer Vektorraum/Weg|Wege in topologischen Vektorräumen]]). == Definition: Umgebungen== Sei <math>(X,\mathcal{T})</math> ein topologischer Raum mit einer Topologie <math>\mathcal{T}</math> als System von offenen Mengen <math>\mathcal{T}\subset \wp(X)</math> und <math>a\in X</math>, dann bezeichnet * <math>\mathfrak{U}_{\mathcal{T}} (a) := \left\{ U \subseteq X \, : \, \exists_{U_o \in \mathcal{T}} :\, a \in U_o \subseteq U \right\}</math> die Menge aller Umgebungen vom Punkt <math>a</math>, * <math>\stackrel{o}{\mathfrak{U}}_{\mathcal{T}} (a):= \mathfrak{U}_{\mathcal{T}} (a) \cap \mathcal{T}</math> die Menge aller offenen Umgebungen vom Punkt <math>a</math>, * <math>\overline{\mathfrak{U}}_{\mathcal{T}} (a) := \left\{ \overline{U} \, : \, U \in \mathfrak{U}_{\mathcal{T}} (a) \right\}</math> die Menge aller abgeschlossenen Umgebungen von Punkt <math>a</math> === Bemerkung: Indizierung mit der Topologie === Falls keine Missverständnisse über den zugrundeliegenden topologischen Raum auftreten können, wird der Index <math>\mathcal{T}</math> als Bezeichnung der verwendeten Topologie nicht mit angegeben. === Bemerkung: Analogie zur Epsilonumgebung === Bei Konvergenzaussagen in den reellen Zahlen betrachtet man in der Regel nur <math>\varepsilon</math>-Umgebungen. Dabei müssten man in eigentlich in topologischen Räumen für beliebige Umgebungen aus <math>U \in \mathfrak{U}_{\mathcal{T}} (a)</math> eine Indexschranke <math>i_U\in I</math> eines Netzes <math>(x_i)_{i\in I}</math> finden, ab der alle <math>x_i \in U</math> liegen mit <math>i \geq i_U</math>. Da die <math>\varepsilon</math>-Umgebungen allerdings eine Umgebungsbasis darstellen, braucht man nach der Konvergenzdefinition die Eigenschaft nur für alle <math>\varepsilon > 0</math> zu zeigen. == Konvergenz in topologischen Räumen == Sei <math>(X,\mathcal{T})</math> ein topologischer Raum, <math>a\in X</math>, <math>I</math> eine Indexmenge (partielle Ordnung) und <math>(x_{i})_{i\in I}\in X^{I}</math> ein Netz. Die [[Konvergenz (Mathematik)|Konvergenz]] von <math>(x_{i})_{i\in I}\in X^{I}</math> gegen <math>a\in X</math> wird dann wie folgt definiert: :<math display="block"> \begin{array}{rcl} \displaystyle{\stackrel{\mathcal{T}}{\lim_{i\in I}} \, x_i = a } & :\Longleftrightarrow & \underset{U \in \mathfrak{U}_{\mathcal{T}} (a)}{\forall} \,\,\,\, \underset{i_U \in I}{\exists} \,\,\,\, \underset{i \succcurlyeq i_U}{\forall} \,\,\,\, x_i \in U \\ \end{array} </math>. (dabei ist "<math>\preccurlyeq</math>" für <math>I</math> die partiellle Ordnung auf der Indexmenge <math>I</math>). === Konvergenz über Gaugefunktionalsysteme === Sei <math>(V,\|\cdot \|_\mathcal{A})</math> ein topologischer Raum mit, <math>v_o\in V</math>, <math>I</math> eine Indexmenge (partielle Ordnung) und <math>(v_{i})_{i\in I}\in V^{I}</math> ein Netz. Die Konvergenz von <math>(v_{i})_{i\in I}\in V^{I}</math> gegen <math>v_o\in V</math> wird dann wie folgt definiert: :<math display="block"> \begin{array}{rcl} \displaystyle{\stackrel{,\|\cdot \|_\mathcal{A}}{\lim_{i\in I}} \, v_i = v_o } & :\Longleftrightarrow & \underset{\alpha \in \mathcal{A}}{\forall} \,\,\,\, \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\,\,\, \underset{i_{(\alpha,\varepsilon)} \in I}{\exists} \,\,\,\, \underset{i \succcurlyeq i_{(\alpha,\varepsilon)} }{\forall} \,\,\,\, \| x_i - v_o \| < \varepsilon \\ \end{array} </math>. (dabei ist "<math>\preccurlyeq</math>" für <math>I</math> die partiellle Ordnung auf der Indexmenge <math>I</math>). == Definiton: Umgebungsbasis == Sei <math>(X,\mathcal{T})</math> ein topologischer Raum, <math>a\in X</math> und <math>\mathfrak{U}_{\mathcal{T}} (a) </math> die Menge aller Umgebungen von <math>a\in X</math>. <math>\mathfrak{B}_{\mathcal{T}} (a) </math> heißt Umgebungsbasis von <math>\mathfrak{U}_{\mathcal{T}} (a) </math>, wenn es zu jedem :<math>\mathfrak{B}_{\mathcal{T}} (a) \subseteq \mathfrak{U}_{\mathcal{T}} (a) \wedge \forall_{U\in \mathfrak{U}_{\mathcal{T}} (a)} \exists_{B \in \mathfrak{B}_{\mathcal{T}} (a)}: \, B \subseteq U</math> === Bemerkung: Epsilonkugeln in normierten Räumen === Sei <math>(V,\| \cdot \|)</math> ein [[Normen, Metriken, Topologie|normierter Raum]], dann bilden die <math>\varepsilon</math>-Kugeln :<math>B_\varepsilon^{\| \cdot \|}(a) := \left\{v\in V\, ; \, \|v-a\| < \varepsilon \right\}</math> eine Umgebungsbasis von <math>\mathfrak{B}_{\mathcal{T}} (a) </math> der Menge aller Umgebungen von <math>\mathfrak{U}_{\mathcal{T}} (a) </math> von <math>a\in V</math>. === Aufgabe 1 === Sei <math>(X,\mathcal{T})</math> ein [[Normen,_Metriken,_Topologie#Definition_-_Topologie|toplogischer Raum]] mit der chaotischen Topologie <math>\mathcal{T}:= \{\emptyset, X\}</math>. * Bestimmen Sie <math>\mathfrak{U}_{\mathcal{T}} (a) </math> für ein beliebiges <math>a \in X</math>. * Zeigen Sie, dass jede Folge <math>(x_{n})_{n\in \mathbb{N}}\in X^{\mathbb{N}}</math> in <math>(X,\mathcal{T})</math> gegen einen beliebigen Grenzwert <math>a \in X</math> konvergiert. === Aufgabe 2 === Sei <math>(X,d)</math> ein metrischer Raum mit der diskreten Topologie, die durch die Metrik: :<math>d(x,y):= \left\{\begin{array}{lcl} 0 & \mbox{ für } & x = y \\ 1 & \mbox{ für } & x \not= y \\ \end{array}\right.</math>. * Bestimmen Sie <math>\mathfrak{U}_{\mathcal{T}} (a) </math> für ein beliebiges <math>a \in X</math>. * Aus wie vielen Mengen besteht <math>\mathfrak{B}_{\mathcal{T}} (a) </math> minimal für ein beliebiges <math>a \in X</math>? * Geben Sie alle Folgen <math>(x_{n})_{n\in \mathbb{N}}\in X^{\mathbb{N}}</math> in <math>(X,d)</math> formal an, die gegen einen Grenzwert <math>a \in X</math> konvergieren! == Definition: Offene Mengen == Sei <math>(X,\mathcal{T})</math> ein [[Normen, Metriken, Topologie|topologischer Raum]] und <math>\mathcal{T}\subseteq \wp(X)</math> ist das System der offenen Mengen, d.h.: :<math> U\subseteq X \mbox{ offen } :\Longleftrightarrow U \in \mathcal{T}</math> == Aufgabe == Sei <math>(\mathbb{R},\mathcal{T})</math> ein [[Normen, Metriken, Topologie|topologischer Raum]] auf der Grundmenge der reellen Zahlen. Die Topologie entspricht aber nicht der euklischen Topologie über den Betrag <math>|\cdot |</math>, sondern die offenen Mengen sind wie folgt definiert. :<math> U \in \mathcal{T} \mbox{ offen } :\Longleftrightarrow U=\emptyset \mbox{ oder } U\subseteq \mathbb{R} \, \mbox{ mit } \, U^c \mbox{ abzählbar}</math> * Zeigen Sie, dass <math>(\mathbb{R},\mathcal{T})</math> die Eigenschaften eines [[Normen, Metriken, Topologie|topologischen Raumes]] (T1), (T2), (T3) erfüllt. * Zeigen Sie, dass die Folge <math>\left( \frac{1}{n} \right)_{n\in\mathbb{N}}</math> in dem topologischen Raum <math>(\mathbb{R},\mathcal{T})</math> nicht gegen <math>0</math> konvergiert. Dabei ist <math> U^c := \mathbb{R}\setminus U</math> das Komplement von <math>U</math> in <math>\mathbb{R}</math>. == Bemerkung: offen - abgeschlossen == Durch das System der offenen Mengen in einer Topologie <math>\mathcal{T}\subseteq \wp(X)</math> sind auch zugleich die abgeschlossenen Mengen der Topologie definiert als deren Komplemente. == Definition: Abgeschlossene Mengen == Sei <math>(X,\mathcal{T})</math> ein [[Normen, Metriken, Topologie|topologischer Raum]] und <math>\mathcal{T}\subseteq \wp (X)</math> ist das System der offenen Mengen. :<math> M \subseteq X \mbox{ abgeschlossen } :\Longleftrightarrow \exists_{U \in \mathcal{T}} : \, M = U^c := X\setminus U</math> == Definition: Offener Kern == Sei <math>(V,\mathcal{T})</math> ein topologischer Raum und <math>M\subset V</math>, dann ist der offene Kern <math>\stackrel{\circ}{M}</math> von <math>M</math> die Vereinigung aller offenen Teilmengen von <math>M</math>. :<math display="block"> \stackrel{\circ}{M} := \bigcup_{U \in \mathcal{T}, U\subseteq M} U </math> == Definition: Abgeschlossene Hülle == Sei <math>(X,\mathcal{T})</math> ein topologischer Raum. Die abgeschlossene Hülle <math>\overline{M}</math> von <math>M</math> ist der Schnitt über alle abgeschlossenen Teilmengen von <math>W= U^c</math>, die <math>M</math> enthalten und <math>U</math> offen ist. :<math display="block"> \overline{M} := \bigcap_{U \in \mathcal{T}, U^c := X\setminus U \supseteq M} U^c </math> == Definition: Rand einer Menge == Der topologische Rand <math>\partial M</math> von <math>M</math> ist wie folgt definiert: : <math display="block">\partial M := \overline{M} \backslash \stackrel{\circ}{M}</math> == Bemerkung: Folgen und Netze == In metrischen Räumen kann man noch mit den natürlichen Zahlen als abzählbare Indexmengen arbeiten. In beliebigen topologischen Räumen muss man den Begriff der Folge auf den Begriff der Netze verallgemeinern. == Netze und Konvergenz == Sei <math>T</math> ein topologischer Raum und <math>I</math> eine Indexmenge (mit partieller Ordnung), dann bezeichnet <math>T^I</math> die Menge aller mit <math>I</math> indizierten Familien in <math>T</math>: :<math display="block"> T^I :=\{(t_i)_{i\in I}:t_i\in T \mbox{ für alle }i\in I\} </math> Siehe dazu auch [[Netze (Mathematik)|Netze]], [[Konvergenz (Mathematik)|Konvergenz]] und [[Konvergenz gegen Unendlich]]. == Definition: endliche Folgen == Sei <math>V</math> ein Vektorraum, dann bezeichnet <math>c_{oo}(V)</math> die Menge aller endlichen Folgen mit Elementen in <math>V</math>: :<math display="block"> c_{oo}(V):=\left\{ (v_n)_{n\in \mathbb{N}_0} \in V^{\mathbb{N}_0}: \exists_{\displaystyle N\in \mathbb{N}_0} \forall_{\displaystyle n\geq N} : \, v_n=0_{_V} \right\}. </math> Dabei ist <math>0_{_V}\in V</math> der [[w:de:Nullvektor|Nullvektor]] in <math>V</math>. Der Nullvektor in <math>c_{oo}(V)</math> ist <math>0_{oo}:= (0_{_V})_{n\in \mathbb{N}_0} \in V^{\mathbb{N}_0}</math>. == Definition: Algebra == Eine Algebra <math>A</math> über dem Körper <math>\mathbb{K}</math> ist ein Vektorraum über <math>\mathbb{K}</math>, in dem eine Multiplikation als innere Verknüpfung :<math display="block"> \cdot : A \times A \longrightarrow A \quad (v,w) \longmapsto v\cdot w </math> definiert ist, bei der für alle <math>x,y,z\in A</math> und <math>\lambda \in \mathbb{K}</math> folgende Eigenschaften erfüllt sind: :<math> \begin{array}{rcl} x\cdot (y\cdot z) &=& (x\cdot y)\cdot z\\ x\cdot (y+z) &=& x\cdot y + x \cdot z \\ (x+y)\cdot z &=& x\cdot z + y\cdot z \\ \lambda \cdot (x\cdot y) &=& (\lambda \cdot x)\cdot y = x\cdot (\lambda \cdot y) \end{array} </math> == Definition: Topologische Algebra == Eine topologische Algebra <math>(A,\mathcal{T}_A)</math> über dem Körper <math>\mathbb{K}</math> ist ein [[topologischer Vektorraum|topologischer Vektorraum]] <math>(A,\mathcal{T}_A)</math> über <math>\mathbb{K}</math>, bei dem auch die Multiplikation :<math display="block"> \cdot : A \times A \longrightarrow A \quad (v,w) \longmapsto v\cdot w </math> eine [[Stetigkeit|stetige]] innere Verknüfung ist. === Stetigkeit der Multiplikation === [[Stetigkeit]] der Multiplikation bedeutet dabei: :<math display="block"> \forall_{\displaystyle U\in \mathfrak{U}\, (0)} \exists_{\displaystyle V\in \mathfrak{U}\, (0)} : V\cdot V = V^2 \subset U </math> === Multiplikative Topologie - Stetigkeit === Die [[Normen, Metriken, Topologie#Topologie|Topologie]] nennt man multiplikativ, falls gilt: :<math display="block"> \forall_{\displaystyle U\in \mathfrak{U}\, (0)} \exists_{\displaystyle V\in \mathfrak{U}\, (0)} : V^2 \subset V \subset U </math> === Bemerkung: Multiplikative Topologie - Gaugefunktionale === Bei der Beschreibung der Topologie zeigt das [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Topologisierungslemma für Algebren|Topologisierungslemma für Algebren]], dass sich die [[Normen, Metriken, Topologie|Topologie]] auch durch ein System von [[Gaugefunktional|Gaugefunktionalen]] erzeugt werden kann. Bei multiplikativen Topologien kann man die Topologie [[Gaugefunktional/submultiplikativ|submultiplikativen]] Gaugefunktionalen erzeugen, sodass für alle Gaugefunktionale <math>\|\cdot\|_\alpha </math> mit <math>\alpha \in \mathcal{A}</math> und alle <math>x,y \in A</math> gilt: :<math> \|x\cdot y\|_\alpha \leq \|x\|_\alpha \cdot \|y\|_\alpha </math> :<math> </math> == Unitale Algebra == Für eine unitale Algebra <math>A</math> gibt es ein neutrales Element <math>e\in A</math> der Multiplikation :<math display="block"> \cdot : A \times A \longrightarrow A \quad (v,w) \longmapsto v\cdot w </math> Für unitale topologische Algebren gibt eine weitere notwendige Bedingung an die Topologie, damit zumindest der Nullvektor <math>0_{_A}\in A</math> und das neutrale Element der Multiplikation getrennt werden können. Dies wird durch die folgenden Definition präzisiert. === Definition - Unitale Algebra === Die Algebra <math>A</math> heißt ''unital'', falls diese ein neutrales Element <math>e\in A</math> der Multiplikation besitzt. <span id="unitale_topologische_Algebra"></span> === Definition - Unitale topologische Algebra === Die topologische Algebra <math>(A,\mathcal{T})</math> heißt ''unital'', falls diese ein neutrales Element <math>e\in A</math> der Multiplikation besitzt und eine [[Nullumgebung]] <math>U\in \mathcal{T}</math> mit <math> e\notin U</math> existiert. ==== Bemerkung - Topologische Trennung von Nullvektor und Einselement ==== Die Bedingung mit der Nullumgebung liefert, dass man den Nullvektor <math>0_{_A}</math> als neutrales Element der Addition und das Einselement <math>e</math> als neutrales Element der Multiplikation topologisch trennen kann. Die [[topologische Algebra]] insgesamt muss dabei nicht notwendig eine [[Hausdorff-Raum]] sein. === Definition - reguläre / singuläre Elemente === Sei <math>A</math> eine unitale Algebra mit dem neutralen Element <math>e\in A</math> der Multiplikation. Ein Element <math>z\in A</math> heißt ''invertierbar/regulär'', wenn es ein Element <math>\widehat{z\,}\in A</math> gibt mit: :<math> e = z\cdot \widehat{z\,} = \widehat{z\,}\cdot z </math> Bei Existenz des multiplikativen Inversern wird diese i.d.R. mit <math>z^{-1}</math> bezeichnet. Die Menge aller invertierbaren (regulären) Elemente wird mit <math>{\mathcal{G}} (A)</math> bezeichnet. Nicht-invertierbare Elemente heißen singulär. === Definition - Potenzen von Elemente === Sei <math>A</math> eine unitale Algebra mit dem neutralen Element <math>e\in A</math> der Multiplikation. Potenzen werden auf der Algebra <math>A</math> induktiv definiert mit :<math>\underset{x\in A}{\forall} \,\,\,\,\, x^0:=e \,\,\,\,\, \wedge \,\,\,\,\, x^{n+1} := x^{n} \cdot x</math> === Definition - Polynome in A === Sei <math>A</math> eine unitale Algebra mit dem neutralen Element <math>e\in A</math>. Ein Polynom <math>p</math> auf <math>A</math> mit Koeffizienten in <math>A</math> ist für <math>p_0,\ldots , p_n \in A</math> eine Abbildung: :<math> \begin{array}{rrcl} p: & A & \rightarrow & A \\ & x & \mapsto & p(x) = \displaystyle \sum_{k=0}^n p_k \cdot x^k \end{array} </math> Die Menge aller Polynome mit Argument <math>x \in A</math> und Koeffizienten <math>p_k</math> in <math>A</math> wird mit <math>A[x]</math> bezeichnet. === Definition - Unitale topologische Algebra === Auf [[topologische Algebra|topologischen Algebren]] <math>(A,\mathcal{T})</math> mit einem Einselement <math>e\in A</math> als neutrales Element der Multiplikation heißt ''unitale topologische Algebra'', wenn es eine Nullumgebung <math>U\in \mathfrak{U}_{\mathcal{T}}(0_{_A})</math>, mit <math>e\notin U</math>. ==== Bemerkung - Trennung von Nullvektor und Einselement ==== In [[topologische Algebra|topologischen Algebren]] <math>(A,\mathcal{T})</math> die zugleich auch ein [[Hausdorff-Raum]] ist, gilt die gefordert [[w:de:Trennungsaxiom|Trennungseigenschaft]] (<math>T_1</math>) in natürlicher Weise. Für eine topologische Algebra verlangt man aber nicht notwendigerweise bestimmt Trennungseigenschaften für den gesamten Raum, sondern nur für das Einselement <math>e</math> und den Nullvektor <math>0_{_A}\in A</math>. === Unitale topologische Algebra - Gaugefunktionalsystem === Gibt es auf [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>(A,\mathcal{T})</math> ein Gaugefunktionalsystem bzw. <math>p</math>-Gaugefunktionalsystem :<math> \left\| \cdot \right\| _I :=\left\{ \left\| \cdot \right\| _\alpha :\alpha \in I\right\}. </math> den Nullvektor <math>0_{_A} \in A</math> und das Einselement <math>e\in A</math> trennen können, d.h. man muss einen <math>\alpha_e \in I</math> finden, für <math>\| e\|_{\alpha_e} > 0</math>. === LC-Algebra === Eine topologische Algebra heißt [[lokalkonvex]] bzw. <math>\mathcal{LC}</math>, wenn die Topologie <math>\mathcal{T}</math> durch ein [[Halbnorm|Halbnormensystem]] erzeugt wird. === PC-Algebra === Eine topologische Algebra heißt [[pseudokonvex]] bzw. <math>\mathcal{PC}</math>, wenn die Topologie <math>\mathcal{T}</math> durch ein [[Gaugefunktional/submultiplikativ|submultiplikatives]] [[p-Halbnorm|p-Halbnormensystem]] erzeugt wird. === MLC-Algebra === Eine topologische Algebra heißt ''multiplikativ lokalkonvex'' bzw. <math>\mathcal{MLC}</math>, wenn die Topologie <math>\mathcal{T}</math> durch ein [[Gaugefunktional/submultiplikativ|submultiplikatives]] [[Halbnorm|Halbnormensystem]] erzeugt wird. === MPC-Algebra === Eine topologische Algebra heißt ''multiplikativ pseudokonvex'' bzw. <math>\mathcal{MPC}</math>, wenn die Topologie <math>\mathcal{T}</math> durch ein [[Gaugefunktional/submultiplikativ|submultiplikatives]] [[p-Halbnorm|p-Halbnormensystem]] erzeugt wird. === Aufgabe: Matrixalgebren === Betrachten Sie die Menge <math>V</math> der quadratischen <math>2\times 2</math>-Matrizen mit der Matrixmultiplikation und der Maxmimumsnorm der Komponenten der Matrix. Versuchen Sie einzelne Eigenschaften einer Algebra nachzuweisen (<math>V</math> ist eine nicht kommunitative unitale Algebra). Für den Nachweis, dass <math>V</math> mit der Matrixmultiplkation auch eine topologische Algebra ist, siehe [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologisierungslemma für Algebren|Topologisierungslemma für Algebren]]. === Faltung auf dem Funktionenraum === Siehe auch die [[Kurs:Funktionalanalysis/Faltung|Faltung von Funktionen]] als Multiplikation auf eine Funktionenraum als topologischem Vektorraum. == Definition: Mengen und Verknüpfungen == Sei <math>(A,\mathcal{T})</math> eine topologische Algebra über dem Körper <math>\mathbb{K}</math>, <math>\Lambda\subset \mathbb{K}</math> und <math>M_1,M_2</math> Teilmengen von <math>A</math>, dann definiert man :<math> \begin{array}{rcl} M_1 \times M_2 &:=& \{ (m_1,m_2) \in A \times A \,:\, m_1\in M_1 \wedge m_2 \in M_2\} \\ M_1+ M_2 &:=& \{ m_1+m_2 \,:\, m_1\in M_1 \wedge m_2 \in M_2\} \\ M_1\cdot M_2 &:=& \{m_1\cdot m_2 \,:\, m_1\in M_1 \wedge m_2 \in M_2\}\\ \Lambda \cdot M_1 &.=& \{\lambda\cdot m_1 \,:\, m_1\in M_1 \wedge \lambda \in \Lambda\}. \\ \end{array} </math> === Aufgaben === Zeichnen Sie die folgenden Menge <math>M_k</math> der Vektor als Punktmengen im kartesischen Koordinatensystem <math>\mathbb{R}^2</math> mit <math>M_1 := \left\{ \begin{pmatrix} 1\\ 2\end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix} \right\}</math> und <math>M_2 := \left\{ \begin{pmatrix} 3\\ 2\end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix} \right\}</math> und den folgenden Intervallen <math>[a,b] \in \mathbb{R}</math>: * <math>[1,4] \times [2,3]</math> * <math> M_1+ M_2 </math> * <math> [1,2] \cdot M_1</math> == Potenzreihen == Sei <math>(A,\mathcal{T})</math> eine topologische Algebra mit Topologie <math>\mathcal{T}</math> mit einem neutralen Element der Multiplikation <math>e\in A</math>. === Potenzen === Da eine innere multiplikative Verknüpfung <math>\cdot: V \times V \to V </math> existiert, kann man Potenzen induktiv definieren: * <math> z^0 := e </math> für alle <math> z \in A</math> * <math> z^{n+1} := z^n \cdot z </math> für alle <math> z \in A</math>. Insbesondere gilt dann <math>z^1 = z</math> für alle <math> z \in A</math>. === Polynome in A === Zusammen mit der Addition als innere Verknüpfung in <math>A</math> kann man Polynome <math>p</math> mit Koeffizienten in <math>A</math> definieren: :<math> p^{(n)}(z) := \sum_{k=0}^n p_k \cdot (z-z_o)^k </math> Das Polynom als Abbildung <math>p^{(n)}:A \to A</math> ist eine stetige Abbildung in der Algebra <math>A</math>, da die algebraischen Verknüpfungen auf einer topologischen Algebra selbst stetig sind. === Polynomalgebra mit Koeffizienten in A === Sei <math>(A,\mathcal{T})</math> eine topologische Algebra mit Topologie <math>\mathcal{T}</math> mit einem neutralen Element der Multiplikation <math>e\in A</math>, dann wird die Menge der Polynome mit Koeffizienten in <math>A</math> mit <math>A[z]</math> bezeichnet. Mit dem Cauchy-Produkt bildet <math>A[z]</math> eine [[Polynomalgebra]]. === Potenzreihe - Folge von Partialsummen 1 === Betrachtet man die Polynome :<math> p^{(n)}(z) := \sum_{k=0}^n p_k \cdot (z-z_o)^k </math> als Partialsumme einer Potenzreihe, so kann man untersuchen, ob für ein festes Element <math>z\in A</math> die Folge <math>(p^{(n)}(z))_{n\in \mathbb{N}} \in A^{\mathbb{N}} </math> in der auf <math>A</math> gegebenen Topologie <math>\mathcal{T}</math> konvergiert. === Potenzreihe - Folge von Partialsummen 2 === Liegt Konvergenz für <math>z\in A</math> vor, so kann man den Wert der Potenzreihe wie folgt definieren: :<math> p(z) := \sum_{k=0}^\infty p_k \cdot (z-z_o)^k = \lim_{n\to \infty} \underbrace{\sum_{k=0}^n p_k \cdot (z-z_o)^k}_{=p^{(n)}(z)} </math> === Potenzreihenalgebra mit Koeffizienten in A === Sei <math>(A,\mathcal{T})</math> eine topologische Algebra mit Topologie <math>\mathcal{T}</math> mit einem neutralen Element der Multiplikation <math>e\in A</math>, dann wird die Menge der Potenzreihen mit <math>\overline{A[z]}</math> bezeichnet. Mit dem Cauchy-Produkt bildet <math>\overline{A[z]}</math> eine [[Potenzreihenalgebra]]. == Siehe auch == * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Algebraerweiterung|Algebraerweiterung]] * [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Basiserzeugendes_Gaugefunktionalsystem|Basiserzeugendes Gaugefunktionalsystem]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Vektorräume|Beispiele für Vektorräume]] * [[Gaugefunktional]] * [[Gaugefunktional/submultiplikativ|submultiplikatives Gaugefunktional]] * [[w:de:Hausdorff-Raum|Hausdorffeigenschaft]] * [[lokalkonvex|Lokalkonvexe Vektorräume]] * [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Kaskadenabschätzung_Cauchy-Produkt_-_T-Regularität#Kaskadenlemma_-_Cauchy-Produkt|Lemma - Kaskadensummen Gaugefunktionale]] * [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Minkowski-Funktionale|Minkowski-Funktionale]] * [[Netze (Mathematik)]] * [[Norm (Mathematik)|normierter Vektorraum]] * [[Normen, Metriken, Topologie]] * [[pseudokonvex|Pseudokonvexe Vektorräume]] * [[Polynomalgebra]] * [[Potenzreihenalgebra]] * [[Gaugefunktional/submultiplikativ|submultiplikative Gaugefunktionale]] * [[Normen,_Metriken,_Topologie#Topologie|Topologischer Raum]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologisierungslemma für Algebren|Topologisierungslemma für Algebren]] * [[topologische Algebra]] * [[Topologischer Vektorraum]] * [[unitales Topologisierungslemma]] * [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] * [[Topologischer Vektorraum/Weg|Wege in topologischen Vektorräumen]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionalanalysis]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologische%20Algebra&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologische%20Algebra&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologische%20Algebra https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologische%20Algebra] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologische%20Algebra Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologische%20Algebra * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologische%20Algebra&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] [[Category:Funktionalanalysis]] [[Category:Analytische Funktion]] [[Kategorie:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] <noinclude> [[en:Inverse-producing_extensions_of_Topological_Algebras/topological_algebra]] </noinclude> ppm4nz6drei63f7ugrd16vgv5y0lpai 106 130079 1118910 1114827 2026-11-05T09:34:56Z Bert Niehaus 20843 /* Definition: unital positiv */ 1118910 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In reellen Zahlen gibt es den Betrag, um z.B. Konvergenz im Raum ausdrücken zu können. Mit dem Betrag kann man <math>\varepsilon</math>-Umgebungen definieren und die Folgenkonvergenz wird über diese <math>\varepsilon</math>-Umgebungen definiert. Ferner werden zu kreisförmigen Nullumgebungen <math>U</math> Minkowski-Funktionale definiert, in Abhängigkeit von topologischen Eigenschaften der Menge bestimmte Eigenschaften der Minkowski-Funktionale liefert. === Konvergenz in den reellen Zahlen === Die reellen Zahlen mit dem Betrag <math>(\mathbb{R},|\cdot |)</math> ist ein normierter Raum und <math>(v_n)_{n\in\mathbb{N}} \in \mathbb{R}^{\mathbb{N}}</math> eine Folge in <math>\mathbb{R}</math> und <math>v_o \in \mathbb{R}</math>: :<math> \lim_{n \to \infty} v_n = v_o \ :\Longleftrightarrow \ \forall_{\epsilon > 0} \exists_{n_\epsilon \in \mathbb{N}} \forall_{n \geq n_\epsilon} \ : \ |v_n - v_o | < \epsilon </math> === Konvergenz in normierten Räumen === Analog definiert man die Konvergenz in normierten Räumen <math>(V,\|\cdot \|)</math> <math>(v_n)_{n\in\mathbb{N}} \in V^{\mathbb{N}}</math> eine Folge in <math>V</math> und <math>v_o \in V</math>: :<math> \lim_{n \to \infty}^{\|\cdot\|} v_n = v_o \ :\Longleftrightarrow \ \forall_{\epsilon > 0} \exists_{n_\epsilon \in \mathbb{N}} \forall_{n \geq n_\epsilon} \ : \ \|v_n - v_o\| < \epsilon </math> [[Datei:Audio15 def konvergenz norm.ogg|mini|audio15_def_konvergenz_norm.ogg]] === Epsilonumgebungen === Die Betrag bzw. allgemeiner die Norm wird in <math>(V,\|\cdot \|)</math> auch zur Definition der <math>\varepsilon</math>-Umgebungen verwendet. :<math>B_\varepsilon^{\|\cdot\|}(a):= \left\{ x\in V \, : \, \|x-a\| < \varepsilon \right\}</math> Diese topologieerzeugenden Funktionale (Gaugefunktionale) werden für die Definition der Algebraerweiterungen benötigt, in den ein gegebenes <math>z</math> ein inverses Element besitzt. Die Topologisierung der Potenzreihenalgebra erfolgt später mit Gaugefunktionalen (z.B. Halbnormen, <math>p</math>-Halbnormen, ...) === Absorbierende Mengen === Die Gaugefunktionale werden über kreisförmige absorbierende Nullumgebungen definiert, für die dann das zugehörige Minkowskifunktional das zugehörige Gaugefunktional erzeugt. Die Grundlagen liefert die folgende Abschnitte. == Folien zu Gaugefunktionalen == * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Kreisförmige Mengen|Kreisförmige Mengen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Kreisf%C3%B6rmige%20Mengen&author=Gaugefunktional&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kreisf%C3%B6rmige%20Mengen&coursetitle=Gaugefunktional Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Minkowski-Funktionale|Minkowski-Funktionale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Minkowski-Funktionale&author=Gaugefunktional&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Minkowski-Funktionale&coursetitle=Gaugefunktional Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Gaugefunktional/Schnittmengenlemma|Schnittmengenlemma]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Gaugefunktional/Schnittmengenlemma&author=Gaugefunktional&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Schnittmengenlemma&coursetitle=Gaugefunktional Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] == Einführung Gaugefunktionale == Bei der Verwendung von Gaugefunktionalen werden die definierenden Eigenschaften einer Norm weiter verallgemeinert, um in analoger Weise topologieerzeugende Funktionale in beliebigen topologischen Algebren verwenden zu können. Dadurch wird es nicht mehr notwendig sein, z.B. Stetigkeit über die offene Mengen aus der Topologie zu beschreiben (siehe auch [[Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen|Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]]). <span id="p-homogen"></span> <span id="p-homogen"></span> === Definition: p-homogen === Sei <math display="inline">V</math> ein Vektorraum über <math display="inline">\mathbb{K}</math>. Ein Funktional <math display="inline">f:V\longrightarrow \mathbb{K}</math> heißt <math display="inline">p</math>-homogen, falls es ein <math display="inline">p\in \mathbb{K}</math> mit <math display="inline">0<p\leq 1</math> gibt, für das gilt: :<math display="block"> \forall_{\displaystyle x\in V,\lambda\in \mathbb{K}} : f(\lambda\cdot x)=|\lambda|^p\cdot f(x) </math> Ist <math display="inline">p=1</math>, so heißt <math display="inline">f</math> homogen. <math display="inline">f</math> heißt nicht-negativ, falls für alle <math display="inline">x\in V</math> gilt <math display="inline">f(x)\geq 0</math>. === Definition: p-Gaugefunktional === Sei <math display="inline">V</math> ein Vektorraum über <math display="inline">\mathbb{K}</math>. Ein nicht-negatives, <math display="inline">p</math>-homogenes Funktional <math display="inline">f:V\longrightarrow \mathbb{K}</math> heißt <math display="inline">p</math>-Gaugefunktional auf <math display="inline">V</math> und für <math display="inline">p=1</math> Gaugefunktional. === Beispiel: p-Gaugefunktional === Sei <math>0 < p \leq 1</math> und <math>V_p:=\left\{(x_n)_{n\in \mathbb{N}} \in \mathbb{R}^{\mathbb{N}} \, : \,\sum_{n=1}^{\infty} |x_n|^p < \infty \mbox{ mit } x=(x_n)_{n\in \mathbb{N}} \right\}</math>, dann ist <math> \|x\|_p := \sum_{n=1}^{\infty} |x_n|^p </math> ein <math>p</math>-Gaugefunktional auf <math>V</math>. === Aufgabe: p-Gaugefunktional === Gegeben ist der Vektorraum <math>V_p</math> und das <math>p</math>-Gaugefunktional <math> \|x\|_p := \sum_{n=1}^{\infty} |x_n|^p </math>. Zeigen Sie, dass <math>\left( \frac{1}{n^2}\right)_{n\in \mathbb{N}}\in V_1</math> aber <math>\left( \frac{1}{n^2}\right)_{n\in \mathbb{N}}\notin V_{\frac{1}{2}}</math>. Welche Mengeninklusion gilt allgemein für <math>V_p</math> und <math>V_q</math> mit <math>p < q</math> und <math> p,q \in (0,1]</math>? === Bemerkung === Die <math>p</math>-Homogenität hat einerseits eine engen Zusammenhang zur Stetigkeit der Multiplikation mit Skalaren und das <math>p \in (0,1]</math> bestimmt den Zusammenhang mit eine [[Quasihalbnorm|Quasihalbnorm]]. <span id="Gaugefunktionalsystem"></span> === Definition: p-Gaugefunktionalsystem === Sei <math display="inline">V</math> ein Vektorraum über <math display="inline">\mathbb{K}</math>, <math display="inline">I</math> eine Indexmenge und für alle <math display="inline">\alpha\in I</math> sei <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _\alpha</math> ein <math display="inline">p</math>-Gaugefunktional auf <math display="inline">V</math>. Dann wird mit <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _I</math> die Menge aller <math display="inline">p</math>-Gaugefunktionale mit Indizes aus <math display="inline">I</math> bezeichnet, d.h. :<math> \left\| \cdot \right\| _I :=\left\{ \left\| \cdot \right\| _\alpha :\alpha \in I\right\}. </math> <math display="inline">\left\| \cdot \right\|_I</math> heißt System von <math>p</math>-Gaugefunktionalen. Ist <math>p=1</math> nennt man <math display="inline">\left\| \cdot \right\|_I</math> Gaugefunktionalsystem. === Bemerkung - Unitale topologische Algebren === Auf [[topologische Algebra|topologischen Algebren]] <math>(A,\mathcal{T})</math> mit einem Einselement <math>e\in A</math> als neutrales Element der Multiplikation, muss man mit dem Gaugefunktionalsystem bzw. <math>p</math>-Gaugefunktionalsystem :<math> \left\| \cdot \right\| _I :=\left\{ \left\| \cdot \right\| _\alpha :\alpha \in I\right\}. </math> den Nullvektor <math>0_{_A} \in A</math> und das Einselement <math>e\in A</math> trennen können, d.h. man muss einen <math>\alpha_e \in I</math> finden, für <math>\| e\|_{\alpha_e} > 0</math>. === Definition: Äquivalenz von p-Gaugefunktionalsystemen === Sei <math display="inline">V</math> ein Vektorraum über <math display="inline">\mathbb{K}</math> und <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{I_1}</math>, <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{I_2}</math> zwei <math>p</math>-Gaugefunktionalsysteme auf <math>V</math>. Die <math>p</math>-Gaugefunktionalsysteme <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{I_1}</math> und <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{I_2}</math> heißen ''äquivalent'', wenn folgende beiden Bedingungen gelten: * (EQ1) <math> \forall_{\alpha \in I_1} \exists_{\beta \in I_2, C_\beta >0} \forall_{v \in V}: \, \, \| v \|_{\alpha} \leq C_{\beta} \cdot \| v \|_{\beta} </math> * (EQ2) <math> \forall_{\beta \in I_2} \exists_{\alpha \in I_1, C_\alpha >0} \forall_{v \in V}: \, \, \| v \|_{\beta} \leq C_{\alpha} \cdot \| v \|_{\alpha} </math> === Beispiel - p-Gaugefunktionalsystem === Sei <math>p > 0</math> und <math>V := \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> die Menge der stetigen Funktion von <math>\mathbb{R}</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Die Menge der <math>p</math>-Gaugefunktional wird mit <math>\alpha \in I := \mathbb{R}^{+}</math> wie folgt definiert: :<math> \left\| \cdot \right\| _I :=\left\{ \left\| \cdot \right\| _\alpha :\alpha \in I\right\}. </math> mit :<math> \left\| f \right\| _\alpha := \int_{-\alpha}^{+\alpha} \left| f(x) \right|^p d\,x </math> === Definition: Basiserzeugendes p-Gaugefunktionalsystem === Sei <math display="inline">(V,\mathcal{T})</math> ein topologischer Vektorraum mit dem System von offenen Mengen <math>\mathcal{T}</math> auf <math>V</math>. Ferner sei <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _I</math> eine Menge von <math display="inline">p</math>-Gaugefunktionalen auf <math display="inline">V</math>. Das <math>p</math>-Gaugefunktionalsystem heißt ''basiserzeugend'' für <math>\mathcal{T}</math>, wenn gilt: * (BE1) <math>\forall_{ x_o \in V} \forall_{\alpha \in I} \forall_{\varepsilon >0} : \, B_\varepsilon^{\alpha}(x_o):= \left\{ x \in V \, : \, \left\| x - x_o \right\|_\alpha < \varepsilon \right\} \in \mathcal{T} </math> * (BE2) <math> {\forall}_{ U\in \mathcal{T}} \forall_{ x_o \in U} \exists_{\alpha \in I, \varepsilon >0} : \, B_\varepsilon^{\alpha}(x_o):= \left\{ x \in V \, : \, \left\| x - x_o \right\|_\alpha < \varepsilon \right\} \subseteq U </math> === Bemerkung: Basiserzeugendes p-Gaugefunktionalsystem === * (BE1) bedeutet dabei, dass die <math>\varepsilon</math>-Kugeln <math> B_\varepsilon^{\alpha}(v_o)</math> selbst offene Mengen sind. * Mit (BE2) lässt sich jede offene Menge <math>U</math> aus der Topologie <math>\mathcal{T}</math> als Vereinigung von <math>\varepsilon</math>-Kugeln darstellen. Da beliebige Vereinigungen von offenen Mengen in einem topologischen Raum nach [[Normen, Metriken, Topologie|Axiom (T3)]] auch wieder offen sein müssen, ist damit die Vereinigung von <math>\varepsilon</math>-Kugeln <math> B_\varepsilon^{\alpha}(v_o)</math> mit <math>\alpha \in I</math>, <math>v_o\in V</math> und <math>\varepsilon >0</math> selbst wieder offen. === Definition: Subbasiserzeugendes p-Gaugefunktionalsystem === Sei <math display="inline">(V,\mathcal{T})</math> ein topologischer Vektorraum mit dem System von offenen Mengen <math>\mathcal{T}</math> auf <math>V</math>. Ferner sei <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _I</math> eine Menge von <math display="inline">p</math>-Gaugefunktionalen auf <math display="inline">V</math>. Das <math>p</math>-Gaugefunktionalsystem heißt ''subbasiserzeugend'' für <math>\mathcal{T}</math>, wenn gilt mit <math>\, B_\varepsilon^{\alpha}(v_o):= \left\{ v \in V \, : \, \left\| x - x_o \right\|_\alpha < \varepsilon \right\} </math>: * (SE1) <math>\forall_{ v_o \in V} \forall_{\alpha \in I} \forall_{\varepsilon >0} : \, \, B_\varepsilon^{\alpha}(v_o) \in \mathcal{T} </math> * (SE2) <math> {\forall}_{ U\in \mathcal{T}} \forall_{ v_o \in U} \exists_{n\in \mathbb{N}} \exists_{\alpha_1 , \ldots , \alpha_n \in I, \varepsilon >0} : \, B_\varepsilon^{(\alpha_1 , \ldots , \alpha_n)}(v_o) \subseteq U </math> mit :<math> B_\varepsilon^{(\alpha_1 , \ldots , \alpha_n)}(v_o):= \left\{ v \in V \, : \, \left\| x - x_o \right\|_{\alpha_k} < \varepsilon \mbox{ für alle } k\in \{1,\ldots ,n\}\right\} </math> === Bemerkung: Unterschied topologieerzeugend - subbasiserzeugend === Bei einem topologieerzeugenden <math>p</math>-Gaugefunktionalsystem vereinfacht (T2) man die Handhanbung von endlichen Schnitten offener Mengen in einer Topologie. (S2) muss daher endliche Schnitte der von Umgebungen berücksichtigen, indem man den Schnitt <math>\varepsilon</math>-Kugeln <math>B_{\varepsilon_1}^{\alpha_1}, \ldots , B_{\varepsilon_n}^{\alpha_n}</math> durch die Bedingung :<math> \left\| x - x_o \right\|_{\alpha_k} < \varepsilon_k \mbox{ für alle } k\in \{1,\ldots ,n\} </math> mit <math>\varepsilon := \min\{ \varepsilon_k > 0 \, : \, k \in \,\{1,\ldots ,n \}\, \}</math> verlangt. === Definition: unital positiv === Sei <math display="inline">(A,\left\| \cdot \right\| _{I})</math> eine unitale topologische Algebra über <math display="inline">\mathbb{K}</math> mit dem Einselement der Multiplikation <math display="inline">e_{\!\!_A} \in A</math>. Das <math>p</math>-Gaugefunktionalsystem <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{I}</math> heißt ''unital positiv'' genau dann, wenn für alle <math display="inline">\alpha\in I</math> die Bedingung <math display="inline">\left\| e_{\!\!_A} \right\| _\alpha > 0</math>. === Bemerkung - unital positiv === Man kann immer ein äquivalentes Gaugefunktionalsystem für eine [[topologische Algebra]] finden, das unital positiv ist, da topologische Algebra zwar nicht notwendig ein [[Hausdorff-Raum]] sein muss, aber zumindest das Einselement <math>e_{\!\!_A}</math> und den Nullvektor <math>0_{\!\!_A}</math> topologische durch eine Nullumgebung nach Definition trennen muss. === Bemerkung: unital positives äquivalentes Gaugefunktionalsystem === Man kann ein <math display="inline">p</math>-Gaugefunktionalsystem auf einer topologischen Algebra durch eine äquivalentes unital positives <math display="inline">p</math>-Gaugefunktionalsystem ersetzen, indem man die Trennungseigenschaft eines Hausdorffraumes dazu verwendet, Minkowkifunktionale von kreisförmigen Nullumgebungen verwendet, die das Einselement nicht enthalten. Dann erhält man unmittelbar sogar <math display="inline">\left\| e_A \right\| _\alpha \geq 1</math>, wenn <math> e_A \notin U_\alpha </math> und <math display="inline">\left\| x \right\| _\alpha := p_{U_\alpha}(x)</math> als [[Minkowski-Funktional]] der absorbiernden Nullumgebung <math> U_\alpha </math> verwendet wird. === Bemerkung: p-Norm und Norm === Der Begriff der Norm ist ein Spezialfall einer <math>p</math>-Norm mit <math>p=1</math>, die im folgenden definiert wird. === Definition: Norm === Sei <math display="inline">V</math> ein topologischer Vektorraum über dem Körper <math display="inline">\mathbb{K}</math>. Ein Funktional <math display="inline">\left\| \cdot \right\| : V\longrightarrow \mathbb{K}</math> heißt Norm auf <math display="inline">V</math>, falls <math display="inline">\left\| \cdot \right\| </math> folgende Bedingungen erfüllt: * (N1) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle x\in V} : \left\| x \right\| \geq 0</math> * (N2) <math display="inline">\displaystyle \left\| x \right\| = 0 \Longrightarrow x=0 </math> * (N3) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle x\in V,\lambda\in \mathbb{K}} : \left\| \lambda\cdot x \right\| = |\lambda|\cdot \left\| x \right\| </math> * (N4) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle x,y\in V} : \left\| x+y \right\| \leq \left\| x \right\| + \left\| y \right\| </math> === Definition: Halbnorm === Sei <math display="inline">V</math> ein topologischer Vektorraum über dem Körper <math display="inline">\mathbb{K}</math>. Ein Funktional <math display="inline">\left\| \cdot \right\| : V\longrightarrow \mathbb{K}</math> heißt Halbnorm auf <math display="inline">V</math>, falls <math display="inline">\left\| \cdot \right\| </math> folgende Bedingungen erfüllt: * (H1) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle x\in V} : \left\| x \right\| \geq 0</math> * (H2) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle x\in V,\lambda\in \mathbb{K}} : \left\| \lambda\cdot x \right\| = |\lambda|\cdot \left\| x \right\| </math> * (H3) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle x,y\in V} : \left\| x+y \right\| \leq \left\| x \right\| + \left\| y \right\| </math> === Bemerkung: Halbnorm - Norm === Falls (N2) in der Definition der Norm nicht gilt, erhält man eine <math display="inline">\left\| \cdot \right\| </math> Halbnorm. (N2) sorgt für die Hausdorfeigenschaft in dem topologischen Vektorraum. Man kann mit der Norm die Punkte trennen, d.h. mit der Norm man messen, ob zwei Vektoren <math>v_1,v_2 \in V </math> sich unterscheiden, d.h. <math>v_1\not= v_2</math> bzw. <math>v_1 - v_2 \not= 0_V</math> gilt. === Multiplikativ konvex - Submultiplikativität der Halbnorm === Ein Halbnorm ist submultiplikativ mit einer Stetigkeitskonstante <math> C > 0 </math>, wenn für alle <math> v_1,v_2 \in V </math> gilt: :<math> \left\| v_1 \cdot v_2 \right\| \leq C \cdot \left\| v_1 \right\| \cdot \left\| v_2 \right\|</math> <math>C</math> nennt man Stetigkeitskonstante der Multiplikation. Man kann die Halbnorm <math display="inline">\left\| \cdot \right\| </math> durch eine äquivalente Halbnorm <math display="inline">\left\| \cdot \right\|_1 </math>ersetzen, für die <math>C = 1</math> ist (siehe [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/MLC-Regularität|MLC-Regularität]]). == Lemma: Stetigkeitskonstante und Submultiplikativität == Sei <math> (A , \| \cdot \|_{\mathcal{A}} ) </math> eine lokalkonvexe topologische Algebra mit dem basiserzeugenden Halbnormensystem <math> \| \cdot \|_{\mathcal{A}} </math> und eine submultiplikative Halbnorm mit Stetigkeitskonstante <math> C > 0 </math> und <math> v_1,v_2 \in V </math> gegeben mit: :<math> \left\| v_1 \cdot v_2 \right\|_\alpha \leq C \cdot \left\| v_1 \right\|_\alpha \cdot \left\| v_2 \right\|_\alpha ,</math> dann gibt es eine äquivalente Halbnorm <math> \| \cdot \|_{\beta} </math> mit :<math> \left\| v_1 \cdot v_2 \right\|_\beta \leq \left\| v_1 \right\|_\beta \cdot \left\| v_2 \right\|_\beta ,</math> == Beweis: Stetigkeitskonstante und Submultiplikativität == Ist <math> 0 < C \leq 1 </math> erhält die Submultiplikativität direkt mit :<math> \left\| v_1 \cdot v_2 \right\|_\alpha \leq C \cdot \left\| v_1 \right\|_\alpha \cdot \left\| v_2 \right\|_\alpha \leq \left\| v_1 \right\|_\alpha \cdot \left\| v_2 \right\|_\alpha </math> === Beweis: Definition der Halbnorm === Gilt nun <math> C > 1 </math>, so definiert man für alle <math> v \in A </math>: :<math> \left\| v \right\|_\beta := C \cdot \left\| v \right\|_\alpha </math> und man erhält die Submultiplikativität über: :<math> \left\| v_1 \cdot v_2 \right\|_\beta \leq C \cdot \left\| v_1 \cdot v_2 \right\|_\alpha \leq C^2 \cdot \left\| v_2 \right\|_\alpha \cdot \left\| v_2 \right\|_\alpha = \left\| v_1 \right\|_\beta \cdot \left\| v_2 \right\|_\beta </math> === Beweis: Äquivalenz der Halbnormen === Die Äquivalenz der Halbnormen erhält man unmittelbar aus der Definition mit <math> C > 1</math>, denn es gilt: :<math> C \cdot \left\| v \right\|_\alpha = \left\| v \right\|_\beta </math> === Bemerkung: Submultiplikativität === Ist eine [[topologische Algebra]] ein [[Normen, Metriken, Topologie|normierter Raum]], so kann man im Allgemeinen nur sagen, dass die Submultiplikativität der Halbnorm mit einer bestimmten Stetigkeitskonstante der Multiplikation erfüllt, da die <math>\varepsilon</math>-Kugeln um den Nullvektor eine Nullumgebungsbasis erzeugen. Das Lemma zeigt, dass man ohne Einschränkung eine Halbnorm mit Stetigkeitskonstante auch durch eine äquivalente submultiplikative Halbnorm ersetzen kann. Das Vorgehen kann man analog für lokalbeschränkte Räume übernehmen. == Definition: p-Norm == Sei <math display="inline">V</math> ein [[topologischer Vektorraum|Vektorraum]] über dem Körper <math display="inline">\mathbb{K}</math> und <math>0 < p \leq 1</math>. Ein Funktional <math display="inline">\left\| \cdot \right\| : V\longrightarrow \mathbb{K}</math> heißt <math display="inline">p</math>-Norm auf <math display="inline">V</math>, falls <math display="inline">\left\| \cdot \right\| </math> folgende Bedingungen erfüllt: * (PN1) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle x\in V} : \left\| x \right\| \geq 0</math> * (PN2) <math display="inline">\displaystyle \left\| x \right\| = 0 \Longrightarrow x=0 </math> * (PN3) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle x\in V,\lambda\in \mathbb{K}} : \left\| \lambda\cdot x \right\| = |\lambda|^p\cdot \left\| x \right\| </math> * (PN4) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle x,y\in V} : \left\| x+y \right\| \leq \left\| x \right\| + \left\| y \right\| </math> === Pseudokonvexe Einheitkreise === Einheitskreise für ausgewählten <math>p</math>-Normen mit <math> \|(x,y)\| = x^p +y^p </math>. [[Datei:Unit Circle of Lp-norm, in R2 space.png|450px|Einheitskreise für ausgewählte Normen bzw. Quasinormen.]] Für <math>p\geq 1</math> sind die Einheitskreisscheiben <math>B_1^{\|\cdot \|}(0,0) := \{ (x,y)\in \mathbb{R}^2 \, \colon \, \|(x,y)\| < 1 \} </math> [[Konvexkombination|konvex]]. Für alle <math>0 < p < 1</math> ist die Einheitskreisscheibe nicht konvex. === Bemerkung - Konkavitätsexponent === Für <math>p \geq 1</math> kann man ein <math>p</math>-[[lokal beschränkt|Norm]] auch zu einer Norm machen, indem man die Norm <math> \left\| \cdot \right\|_\ast</math> wie folgt definert: :<math> \left\| x \right\|_{\ast} := \left\| x \right\|^{\frac{1}{p}} </math> === Beispiel - Folgenräume 1 === Sei <math> p \in \mathbb{R} </math> mit <math> 0 < p < 1 </math> und betrachtet man die Mengen der <math>p</math>-summierbaren Reihen <math> a:= (a_n)_{n\in\mathbb{N}} </math> in den reellen Zahlen. :<math>\ell_p(\mathbb{R}):=\left\{ (a_n)_{n\in\mathbb{N}} \ : \ \| a \|_p := \sum_{n=1}^\infty |a_n|^p < \infty \right\} </math> <math>\| \cdot \|_p </math> ist eine <math>p</math>-Norm auf dem <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraum <math>\ell_p(\mathbb{R})</math>. === Beispiel - Folgenräume 2 === Sei <math> (p_n)_{n\in \mathbb{N}} \in c_o(\mathbb{R}) </math> eine streng monoton fallende Nullfolge mit <math> 0 < p_n < 1 </math> und betrachtet man die Mengen der <math>(p_n)_{n\in \mathbb{N}}</math>-summierbaren Reihen <math> a:= (a_n)_{n\in\mathbb{N}} </math> in den reellen Zahlen. :<math>\ell (\mathbb{R},(p_n)_{n\in \mathbb{N}} ):=\left\{ (a_n)_{n\in\mathbb{N}} \ : \ \| a \|_{_{(p_n)}} := \sum_{n=1}^\infty |a_n|^{p_n} < \infty \right\} </math> <math>\| a \|_{p_k} = \sum_{n=1}^\infty |a_n|^{p_k} </math> ist mit festem <math>k\in \mathbb{N}</math> ein <math>p</math>-[[Gaugefunktional]] auf dem <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraum <math>\ell(\mathbb{R},(p_n)_{n\in \mathbb{N}})</math>. === Aufgabe - Folgenräume 2 === Überprüfen Sie, ob <math>\ell(\mathbb{R},(p_n)_{n\in \mathbb{N}})</math> ein topologischer Vektorraum mit dem <math>p</math>-Gaugefunktionalsystem <math> \left( \|\cdot \|_{p_k} \right)_{n\in \mathbb{N}}</math> ist! === Definition: p-Normierbarkeit === Sei <math display="inline">(V,\mathcal{T})</math> heißt <math display="inline">p</math>-normierbar oder [[lokal beschränkt]] mit der Konkavitätskonstante <math>p</math>, falls eine <math display="inline">p</math>-Norm :<math display="inline">\left\| \cdot \right\| : V\longrightarrow \mathbb{K}</math>, existiert, die die Topologie auf <math display="inline">V</math> erzeugt (formal <math display="inline">(V,\left\| \cdot \right\|) \in \mathcal{P}</math>). === Definition: p-Halbnorm === Sei <math display="inline">V</math> ein topologischer Vektorraum über dem Körper <math display="inline">\mathbb{K}</math> und <math>0 < p \leq 1</math>. Ein Funktional <math display="inline">\left\| \cdot \right\| : V\longrightarrow \mathbb{K}</math> heißt <math>p</math>-Halbnorm auf <math display="inline">V</math> mit <math display="inline">p</math> als [[Konkavitätsmodul|Konkavitätsexponent]], falls <math display="inline">\left\| \cdot \right\| </math> folgende Bedingungen erfüllt: * (PH1) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle x\in V} : \left\| x \right\| \geq 0</math> * (PH2) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle x\in V,\lambda\in \mathbb{K}} : \left\| \lambda\cdot x \right\| = |\lambda|^p \cdot \left\| x \right\| </math> * (PH3) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle x,y\in V} : \left\| x+y \right\| \leq \left\| x \right\| + \left\| y \right\| </math> === Bemerkung: p-Norm - p-Halbnorm === Falls (PN2) in der Definition der <math>p</math>-Norm nicht gilt, heißt <math display="inline">\left\| \cdot \right\| </math> <math display="inline">p</math>-Halbnorm mit <math display="inline">p</math> als Konkavitätskonstante. Analog zur Halbnorm kann eine einzelne <math display="inline">p</math>-Halbnorm nicht die Punkte im topologischen Vektorraum trennen ([[Hausdorff-Raum|Hausdorffeigenschaft T2]]). === Multiplikativ pseudokonvex - Submultiplikativität der p-Halbnorm === Ein <math>p</math>-Halbnorm ist submultiplikativ mit einer Stetigkeitskonstante <math> C > 0 </math>, wenn für alle <math> v_1,v_2 \in V </math> gilt: :<math> \left\| v_1 \cdot v_2 \right\| \leq C \cdot \left\| v_1 \right\| \cdot \left\| v_2 \right\|</math> <math>C</math> nennt man Stetigkeitskonstante der Multiplikation. Man kann die<math>p</math>- Halbnorm <math display="inline">\left\| \cdot \right\| </math> durch eine äquivalente <math>p</math>-Halbnorm <math display="inline">\left\| \cdot \right\|_1 </math>ersetzen, für die <math>C = 1</math> ist (siehe [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/MLC-Regularität|MPC-Regularität]]). === Definition: pseudokonvexer Vektorraum === Sei <math display="inline">(V,\mathcal{T})</math> heißt pseudokonvex, falls die Topologie <math display="inline">\mathcal{T}</math> durch ein System <math display="inline">\left\| \cdot \right\|_{\mathcal{A}}</math> von <math display="inline">p</math>-Halbnormen erzeugt wird, das die folgenden Eigenschaften besitzt. :<math display="inline">\left\| \cdot \right\|_{\alpha} : V\longrightarrow \mathbb{K} \mbox{ ist } p_{\alpha}\mbox{-homogen mit } \alpha \in \mathcal{A} \mbox{ und } p_{\alpha} \in (0,1]</math>, Formal notiert man <math display="inline">(V,\left\| \cdot \right\|_{\mathcal{A}}) \in \mathcal{PC}</math>. === Bemerkung: topologieerzeugende p-Norm === Eine <math display="inline">p</math>-Norm ist topologieerzeugend für die Topologie <math display="inline">\mathcal{T}\subseteq \wp(V) </math>, wenn die folgende Bedingung gilt: :<math>{\forall}_{ U\in \mathcal{T}} \forall_{ v_o \in U} \exists_{\varepsilon >0} : \, B_\varepsilon^{\left\| \cdot \right\| }(v_o):= \left\{ v \in V \, : \, \left\| x - x_o \right\| < \varepsilon \right\} </math> Die <math display="inline">\varepsilon</math>-Kugeln werden im weiteren Verlauf für die Charakterisierung der Stetigkeit verwendet. === Definition: Epsilonkugeln von p-Gaugefunktionalen=== Sei <math>V</math> ein Vektorraum und <math display="inline">\left\| \cdot \right\|_\alpha</math> ein <math>p</math>-Gaugefunktional auf <math display="inline">V</math>, dann ist die <math display="inline">\varepsilon</math>-Kugel von <math display="inline">\left\| \cdot \right\|_\alpha</math> mit <math display="inline">\varepsilon>0</math> um einen Punkt <math display="inline">v\in V</math> (Bezeichnung: <math display="inline">{\mathrm B}_\varepsilon^\alpha(v)</math>) wie folgt definiert: :<math> {\mathrm B}_\varepsilon^\alpha (v):= \{z\in V \,:\, \left\| z-v \right\| _\alpha<\varepsilon \} </math> === Definition: Quasinorm === Sei <math display="inline">V</math> ein topologischer Vektorraum über dem Körper <math display="inline">\mathbb{K}</math>. Ein Funktional :<math>\left\| \cdot \right\| : V\longrightarrow \mathbb{K}</math> heißt Quasinorm auf <math display="inline">V</math>, falls <math>\left\| \cdot \right\| </math> folgende Bedingungen erfüllt: * (QN1) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle x\in V} : \left\| x \right\| \geq 0</math> * (QN2) <math display="inline">\displaystyle \left\| x \right\| = 0 \Longrightarrow x=0 </math> * (QN3) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle x\in V,\lambda\in \mathbb{K}} : \left\| \lambda\cdot x \right\| = |\lambda|\cdot \left\| x \right\| </math> * (QN4) <math display="inline">\displaystyle \exists_{\displaystyle K>0} \forall_{\displaystyle x,y\in V} : \left\| x+y \right\| \leq K\cdot \left(\left\| x \right\| + \left\| y \right\| \right) </math> === Definition: Quasihalbnorm === Ein Funktional <math>\left\| \cdot \right\| : V\longrightarrow \mathbb{K} </math> auf einem Vektorraum <math display="inline">V</math> über dem Körper <math>\mathbb{K}</math> heißt Quasihalbnorm mit Stetigkeitskonstante der Addition <math>K \geq 1</math>, falls <math>\left\| \cdot \right\| </math> die folgende Bedingungen erfüllt: * (QH1) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle x\in V} : \left\| x \right\| \geq 0</math> * (QH2) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle x\in V,\lambda\in \mathbb{K}} : \left\| \lambda\cdot x \right\| = |\lambda|\cdot \left\| x \right\| </math> * (QH3) <math display="inline">\displaystyle \exists_{\displaystyle K>0} \forall_{\displaystyle x,y\in V} : \left\| x+y \right\| \leq K\cdot \left(\left\| x \right\| + \left\| y \right\| \right) </math> === Bemerkung: Quasinorm - Quasihalbnorm === Analog zu Halbnormen und Normen bzw. <math>p</math>-Normen und <math>p</math>-[[p-Halbnorm|Halbnormen]] wird eine Quasinorm zu einer Quasihalbnorm <math display="inline">\left\| \cdot \right\| </math> mit Stetigkeitskonstante <math display="inline">K</math> der Addition, falls (QN2) nicht mehr gilt. === Bemerkung: Stetigkeitskonstante === Die Stetigkeitskonstante hängt mit der [[p-Norm|Konkavitätskonstante einer <math>p</math>-Norm bzw. <math>p</math>-Halbnorm]] zusammen. Dies zeigt das [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Korrespondenz-Lemma für p-Halbnormen|Korrespondenzlemma für <math>p</math>-Halbnormen]] == Konvergenz über Netze == Sei <math>(X ,\mathcal{T})</math> eine [[Normen, Metriken, Topologie|topologischer Raum]], <math>x_0 \in X</math> und <math>(x_i)_{i \in I}\in X_I</math> ein Netz in <math>X</math> mit einer Indexmenge <math>I</math>, die nach oben gerichtet ist und eine partielle Ordnung besitzt. Die Konvergenz über [[Netze - Topologie|Netze]] wird wie folgt definiert: :<math> \stackrel{\mathcal{T}}{\lim_{i\to \infty}} x_i \, :\Longleftrightarrow \, (x_i)_{i\in I} \stackrel{\mathcal{T}}{\longrightarrow} x_0 \, :\Longleftrightarrow \, \forall_{U \in \mathfrak{U}_{\mathcal{T}}(x_0)} \exists_{i_U \in I} \forall_{i \geq i_U}: \, x_i \in U </math> == Definition: Algebrenklassen == Die Unterscheidung nach Algebrenklassen ist für die Untersuchung von permanent singulären Elemente wesentlich, da die Invertierbarkeit in einer Algebraerweiterung von der Klasse <math>\mathcal{K}</math> abhängt. === Notation 1: Algebrenklassen === Sei <math display="inline">\mathcal{K}</math> eine Klasse topologischer Algebren und <math display="inline">\mathbb{K}</math> ein Körper, dann werden mit folgenden Symbolen Teilklassen topologischer Algebren bezeichnet: * <math display="inline">\mathcal{K}_e</math> Klasse der unitalen Algebren in <math display="inline">\mathcal{K}</math>; * <math display="inline">\mathcal{K}^k</math> Klasse der kommutativen Algebren in <math display="inline">\mathcal{K}</math>, ''"kommutativ"'' bezieht sich auf die Multiplikation in den Algebren. * <math display="inline">\mathcal{K}(\mathbb{K})</math> Klasse der topologischen Algebren über <math display="inline">\mathbb{K}</math> in <math display="inline">\mathcal{K}</math>; === Notation 2: Algebrenklassen === * <math display="inline">{\mathcal{T}} </math> Klasse aller topologischen Algebren; * <math display="inline">{\mathcal{B}} </math> Klasse aller Banachalgebren (vollständig, normiert); * <math display="inline">{\mathcal{LC}}</math> Klasse der lokalkonvexen Algebren; d.h. Topologie durch ein System von Halbnormen erzeugt; * <math display="inline">{\mathcal{MLC}}</math> Klasse der multiplikativ lokalkonvexen Algebren; === Notation 3: Algebrenklassen === * <math display="inline">{\mathcal{P}}</math> Klasse der <math display="inline">p</math>-normierbaren Algebren bzw. lokal beschränkten Algebren; * <math display="inline">{\mathcal{PC}}</math> Klasse der pseudokonvexen Algebren; & d.h. Topologie durch ein System von <math display="inline">p</math>-Halbnormen erzeugt; * <math display="inline">{\mathcal{MPC}}</math> Klasse der multiplikativ pseudokonvexen Algebren. == Bemerkung: Pseudokonvexe Räume == Für pseudokonvexe Algebren kann das <math display="inline">{\mathcal{PC}}</math>-System auch aus den entsprechenden Quasihalbnormen bestehen. Mit dem [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Korrespondenz-Lemma_für_p-Halbnormen|Korrespondenzsatz für <math>p</math>-Halbnormen]] wird der Zusammenhang von <math display="inline">p</math>-Halbnormen und Quasihalbnormen erläutert. Ferner müssen nicht alle <math display="inline">p</math>-Halbnormen <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _\alpha</math> die gleiche Konkavitätskonstante (siehe Definition [[Gaugefunktional]]) <math display="inline">0<p_\alpha\leq 1</math> besitzen, d.h. für <math display="inline">p_\alpha</math> gilt :<math display="block"> |\lambda|^{p_\alpha} \cdot \left\| x \right\| _\alpha = \left\| \lambda\cdot x \right\| _\alpha \mbox{ für alle } x\in A \mbox{ und } \lambda\in \mathbb{K}. </math> == Aufgabe 1: Norm == Zeichnen Sie die <math>\varepsilon</math>-Kugel in <math>V:=\mathbb{R}^2</math> mit <math>p\geq 1 </math> und :<math> \begin{array}{rrcl} \left\|\cdot \right\|_p : & \mathbb{R}^2 & \rightarrow & \mathbb{R}_o^{+} \\ & x & \mapsto & \left\| \left( \begin{array}{c} x_1\\x_2 \end{array} \right) \right\|_p := \sqrt[p]{|x_1|^p + |x_2|^p} \end{array} </math> Zeichnen Sie den Rand der <math>\varepsilon</math>-Kugeln <math>B_{\varepsilon}^{\left\| \cdot \right\|_p }\left( x \right)</math> bzgl. der Norm <math>\left\| \cdot \right\|_p </math> mit * <math>p= 1</math> <math>\varepsilon = 1</math> und <math>x= \left( \begin{array}{c} x_1\\x_2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0\\0 \end{array} \right)</math> * <math>p=3</math> <math>\varepsilon = 1</math> und <math>x= \left( \begin{array}{c} x_1\\x_2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0\\0 \end{array} \right)</math> == Aufgabe 2: p-Norm == Zeichnen Sie die <math>\varepsilon</math>-Kugel in <math>V:=\mathbb{R}^2</math> mit <math>p\leq 1 </math> und :<math> \begin{array}{rrcl} \left\|\cdot \right\|_p : & \mathbb{R}^2 & \rightarrow & \mathbb{R}_o^{+} \\ & x & \mapsto & \left\| \left( \begin{array}{c} x_1\\x_2 \end{array} \right) \right\|_p := |x_1|^p + |x_2|^p \end{array} </math> Zeichnen Sie den Rand der <math>\varepsilon</math>-Kugeln <math>B_{\varepsilon}^{\left\| \cdot \right\|_p }\left( x \right)</math> bzgl. der Norm <math>\left\| \cdot \right\|_p </math> mit * <math>p= \frac{1}{4}</math> <math>\varepsilon = 1</math> und <math>x= \left( \begin{array}{c} x_1\\x_2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0\\0 \end{array} \right)</math> * <math>p= \frac{1}{2}</math> <math>\varepsilon = 1</math> und <math>x= \left( \begin{array}{c} x_1\\x_2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0\\0 \end{array} \right)</math> == Siehe auch == * [[Gaugefunktionalsystem]] * [[Hausdorff-Raum]] * [[Kreisschnittdurchmesser]] * [[Netze (Mathematik)]] * [[Normen, Metriken, Topologie]] * [[Norm (Mathematik)]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Korrespondenz-Lemma für p-Halbnormen|Korrespondenzlemma für <math>p</math>-Halbnormen]] * [[Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]] * [[Stetigkeitssequenz]] * [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/MLC-Regularität|MLC-Regularität]] * [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/MPC-Regularität|MPC-Regularität]] * [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/LC-Regularität|LC-Regularität]] * [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/PC-Regularität|PC-Regularität]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Gaugefunktionale&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Gaugefunktionale&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] 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[[]] --> [[Category:Pseudokonvexer Raum]] [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude> [[en:Inverse-producing extensions of Topological Algebras/Gauge functionals]] </noinclude> ix7ydvr35xpjn115nieikjvh1tehoqg 1118911 1118910 2026-11-05T10:16:30Z Bert Niehaus 20843 /* Bemerkung: unital positives äquivalentes Gaugefunktionalsystem */ 1118911 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In reellen Zahlen gibt es den Betrag, um z.B. Konvergenz im Raum ausdrücken zu können. Mit dem Betrag kann man <math>\varepsilon</math>-Umgebungen definieren und die Folgenkonvergenz wird über diese <math>\varepsilon</math>-Umgebungen definiert. Ferner werden zu kreisförmigen Nullumgebungen <math>U</math> Minkowski-Funktionale definiert, in Abhängigkeit von topologischen Eigenschaften der Menge bestimmte Eigenschaften der Minkowski-Funktionale liefert. === Konvergenz in den reellen Zahlen === Die reellen Zahlen mit dem Betrag <math>(\mathbb{R},|\cdot |)</math> ist ein normierter Raum und <math>(v_n)_{n\in\mathbb{N}} \in \mathbb{R}^{\mathbb{N}}</math> eine Folge in <math>\mathbb{R}</math> und <math>v_o \in \mathbb{R}</math>: :<math> \lim_{n \to \infty} v_n = v_o \ :\Longleftrightarrow \ \forall_{\epsilon > 0} \exists_{n_\epsilon \in \mathbb{N}} \forall_{n \geq n_\epsilon} \ : \ |v_n - v_o | < \epsilon </math> === Konvergenz in normierten Räumen === Analog definiert man die Konvergenz in normierten Räumen <math>(V,\|\cdot \|)</math> <math>(v_n)_{n\in\mathbb{N}} \in V^{\mathbb{N}}</math> eine Folge in <math>V</math> und <math>v_o \in V</math>: :<math> \lim_{n \to \infty}^{\|\cdot\|} v_n = v_o \ :\Longleftrightarrow \ \forall_{\epsilon > 0} \exists_{n_\epsilon \in \mathbb{N}} \forall_{n \geq n_\epsilon} \ : \ \|v_n - v_o\| < \epsilon </math> [[Datei:Audio15 def konvergenz norm.ogg|mini|audio15_def_konvergenz_norm.ogg]] === Epsilonumgebungen === Die Betrag bzw. allgemeiner die Norm wird in <math>(V,\|\cdot \|)</math> auch zur Definition der <math>\varepsilon</math>-Umgebungen verwendet. :<math>B_\varepsilon^{\|\cdot\|}(a):= \left\{ x\in V \, : \, \|x-a\| < \varepsilon \right\}</math> Diese topologieerzeugenden Funktionale (Gaugefunktionale) werden für die Definition der Algebraerweiterungen benötigt, in den ein gegebenes <math>z</math> ein inverses Element besitzt. Die Topologisierung der Potenzreihenalgebra erfolgt später mit Gaugefunktionalen (z.B. Halbnormen, <math>p</math>-Halbnormen, ...) === Absorbierende Mengen === Die Gaugefunktionale werden über kreisförmige absorbierende Nullumgebungen definiert, für die dann das zugehörige Minkowskifunktional das zugehörige Gaugefunktional erzeugt. Die Grundlagen liefert die folgende Abschnitte. == Folien zu Gaugefunktionalen == * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Kreisförmige Mengen|Kreisförmige Mengen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Kreisf%C3%B6rmige%20Mengen&author=Gaugefunktional&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kreisf%C3%B6rmige%20Mengen&coursetitle=Gaugefunktional Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Minkowski-Funktionale|Minkowski-Funktionale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Minkowski-Funktionale&author=Gaugefunktional&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Minkowski-Funktionale&coursetitle=Gaugefunktional Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Gaugefunktional/Schnittmengenlemma|Schnittmengenlemma]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Gaugefunktional/Schnittmengenlemma&author=Gaugefunktional&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Schnittmengenlemma&coursetitle=Gaugefunktional Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] == Einführung Gaugefunktionale == Bei der Verwendung von Gaugefunktionalen werden die definierenden Eigenschaften einer Norm weiter verallgemeinert, um in analoger Weise topologieerzeugende Funktionale in beliebigen topologischen Algebren verwenden zu können. Dadurch wird es nicht mehr notwendig sein, z.B. Stetigkeit über die offene Mengen aus der Topologie zu beschreiben (siehe auch [[Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen|Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]]). <span id="p-homogen"></span> <span id="p-homogen"></span> === Definition: p-homogen === Sei <math display="inline">V</math> ein Vektorraum über <math display="inline">\mathbb{K}</math>. Ein Funktional <math display="inline">f:V\longrightarrow \mathbb{K}</math> heißt <math display="inline">p</math>-homogen, falls es ein <math display="inline">p\in \mathbb{K}</math> mit <math display="inline">0<p\leq 1</math> gibt, für das gilt: :<math display="block"> \forall_{\displaystyle x\in V,\lambda\in \mathbb{K}} : f(\lambda\cdot x)=|\lambda|^p\cdot f(x) </math> Ist <math display="inline">p=1</math>, so heißt <math display="inline">f</math> homogen. <math display="inline">f</math> heißt nicht-negativ, falls für alle <math display="inline">x\in V</math> gilt <math display="inline">f(x)\geq 0</math>. === Definition: p-Gaugefunktional === Sei <math display="inline">V</math> ein Vektorraum über <math display="inline">\mathbb{K}</math>. Ein nicht-negatives, <math display="inline">p</math>-homogenes Funktional <math display="inline">f:V\longrightarrow \mathbb{K}</math> heißt <math display="inline">p</math>-Gaugefunktional auf <math display="inline">V</math> und für <math display="inline">p=1</math> Gaugefunktional. === Beispiel: p-Gaugefunktional === Sei <math>0 < p \leq 1</math> und <math>V_p:=\left\{(x_n)_{n\in \mathbb{N}} \in \mathbb{R}^{\mathbb{N}} \, : \,\sum_{n=1}^{\infty} |x_n|^p < \infty \mbox{ mit } x=(x_n)_{n\in \mathbb{N}} \right\}</math>, dann ist <math> \|x\|_p := \sum_{n=1}^{\infty} |x_n|^p </math> ein <math>p</math>-Gaugefunktional auf <math>V</math>. === Aufgabe: p-Gaugefunktional === Gegeben ist der Vektorraum <math>V_p</math> und das <math>p</math>-Gaugefunktional <math> \|x\|_p := \sum_{n=1}^{\infty} |x_n|^p </math>. Zeigen Sie, dass <math>\left( \frac{1}{n^2}\right)_{n\in \mathbb{N}}\in V_1</math> aber <math>\left( \frac{1}{n^2}\right)_{n\in \mathbb{N}}\notin V_{\frac{1}{2}}</math>. Welche Mengeninklusion gilt allgemein für <math>V_p</math> und <math>V_q</math> mit <math>p < q</math> und <math> p,q \in (0,1]</math>? === Bemerkung === Die <math>p</math>-Homogenität hat einerseits eine engen Zusammenhang zur Stetigkeit der Multiplikation mit Skalaren und das <math>p \in (0,1]</math> bestimmt den Zusammenhang mit eine [[Quasihalbnorm|Quasihalbnorm]]. <span id="Gaugefunktionalsystem"></span> === Definition: p-Gaugefunktionalsystem === Sei <math display="inline">V</math> ein Vektorraum über <math display="inline">\mathbb{K}</math>, <math display="inline">I</math> eine Indexmenge und für alle <math display="inline">\alpha\in I</math> sei <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _\alpha</math> ein <math display="inline">p</math>-Gaugefunktional auf <math display="inline">V</math>. Dann wird mit <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _I</math> die Menge aller <math display="inline">p</math>-Gaugefunktionale mit Indizes aus <math display="inline">I</math> bezeichnet, d.h. :<math> \left\| \cdot \right\| _I :=\left\{ \left\| \cdot \right\| _\alpha :\alpha \in I\right\}. </math> <math display="inline">\left\| \cdot \right\|_I</math> heißt System von <math>p</math>-Gaugefunktionalen. Ist <math>p=1</math> nennt man <math display="inline">\left\| \cdot \right\|_I</math> Gaugefunktionalsystem. === Bemerkung - Unitale topologische Algebren === Auf [[topologische Algebra|topologischen Algebren]] <math>(A,\mathcal{T})</math> mit einem Einselement <math>e\in A</math> als neutrales Element der Multiplikation, muss man mit dem Gaugefunktionalsystem bzw. <math>p</math>-Gaugefunktionalsystem :<math> \left\| \cdot \right\| _I :=\left\{ \left\| \cdot \right\| _\alpha :\alpha \in I\right\}. </math> den Nullvektor <math>0_{_A} \in A</math> und das Einselement <math>e\in A</math> trennen können, d.h. man muss einen <math>\alpha_e \in I</math> finden, für <math>\| e\|_{\alpha_e} > 0</math>. === Definition: Äquivalenz von p-Gaugefunktionalsystemen === Sei <math display="inline">V</math> ein Vektorraum über <math display="inline">\mathbb{K}</math> und <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{I_1}</math>, <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{I_2}</math> zwei <math>p</math>-Gaugefunktionalsysteme auf <math>V</math>. Die <math>p</math>-Gaugefunktionalsysteme <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{I_1}</math> und <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{I_2}</math> heißen ''äquivalent'', wenn folgende beiden Bedingungen gelten: * (EQ1) <math> \forall_{\alpha \in I_1} \exists_{\beta \in I_2, C_\beta >0} \forall_{v \in V}: \, \, \| v \|_{\alpha} \leq C_{\beta} \cdot \| v \|_{\beta} </math> * (EQ2) <math> \forall_{\beta \in I_2} \exists_{\alpha \in I_1, C_\alpha >0} \forall_{v \in V}: \, \, \| v \|_{\beta} \leq C_{\alpha} \cdot \| v \|_{\alpha} </math> === Beispiel - p-Gaugefunktionalsystem === Sei <math>p > 0</math> und <math>V := \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> die Menge der stetigen Funktion von <math>\mathbb{R}</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Die Menge der <math>p</math>-Gaugefunktional wird mit <math>\alpha \in I := \mathbb{R}^{+}</math> wie folgt definiert: :<math> \left\| \cdot \right\| _I :=\left\{ \left\| \cdot \right\| _\alpha :\alpha \in I\right\}. </math> mit :<math> \left\| f \right\| _\alpha := \int_{-\alpha}^{+\alpha} \left| f(x) \right|^p d\,x </math> === Definition: Basiserzeugendes p-Gaugefunktionalsystem === Sei <math display="inline">(V,\mathcal{T})</math> ein topologischer Vektorraum mit dem System von offenen Mengen <math>\mathcal{T}</math> auf <math>V</math>. Ferner sei <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _I</math> eine Menge von <math display="inline">p</math>-Gaugefunktionalen auf <math display="inline">V</math>. Das <math>p</math>-Gaugefunktionalsystem heißt ''basiserzeugend'' für <math>\mathcal{T}</math>, wenn gilt: * (BE1) <math>\forall_{ x_o \in V} \forall_{\alpha \in I} \forall_{\varepsilon >0} : \, B_\varepsilon^{\alpha}(x_o):= \left\{ x \in V \, : \, \left\| x - x_o \right\|_\alpha < \varepsilon \right\} \in \mathcal{T} </math> * (BE2) <math> {\forall}_{ U\in \mathcal{T}} \forall_{ x_o \in U} \exists_{\alpha \in I, \varepsilon >0} : \, B_\varepsilon^{\alpha}(x_o):= \left\{ x \in V \, : \, \left\| x - x_o \right\|_\alpha < \varepsilon \right\} \subseteq U </math> === Bemerkung: Basiserzeugendes p-Gaugefunktionalsystem === * (BE1) bedeutet dabei, dass die <math>\varepsilon</math>-Kugeln <math> B_\varepsilon^{\alpha}(v_o)</math> selbst offene Mengen sind. * Mit (BE2) lässt sich jede offene Menge <math>U</math> aus der Topologie <math>\mathcal{T}</math> als Vereinigung von <math>\varepsilon</math>-Kugeln darstellen. Da beliebige Vereinigungen von offenen Mengen in einem topologischen Raum nach [[Normen, Metriken, Topologie|Axiom (T3)]] auch wieder offen sein müssen, ist damit die Vereinigung von <math>\varepsilon</math>-Kugeln <math> B_\varepsilon^{\alpha}(v_o)</math> mit <math>\alpha \in I</math>, <math>v_o\in V</math> und <math>\varepsilon >0</math> selbst wieder offen. === Definition: Subbasiserzeugendes p-Gaugefunktionalsystem === Sei <math display="inline">(V,\mathcal{T})</math> ein topologischer Vektorraum mit dem System von offenen Mengen <math>\mathcal{T}</math> auf <math>V</math>. Ferner sei <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _I</math> eine Menge von <math display="inline">p</math>-Gaugefunktionalen auf <math display="inline">V</math>. Das <math>p</math>-Gaugefunktionalsystem heißt ''subbasiserzeugend'' für <math>\mathcal{T}</math>, wenn gilt mit <math>\, B_\varepsilon^{\alpha}(v_o):= \left\{ v \in V \, : \, \left\| x - x_o \right\|_\alpha < \varepsilon \right\} </math>: * (SE1) <math>\forall_{ v_o \in V} \forall_{\alpha \in I} \forall_{\varepsilon >0} : \, \, B_\varepsilon^{\alpha}(v_o) \in \mathcal{T} </math> * (SE2) <math> {\forall}_{ U\in \mathcal{T}} \forall_{ v_o \in U} \exists_{n\in \mathbb{N}} \exists_{\alpha_1 , \ldots , \alpha_n \in I, \varepsilon >0} : \, B_\varepsilon^{(\alpha_1 , \ldots , \alpha_n)}(v_o) \subseteq U </math> mit :<math> B_\varepsilon^{(\alpha_1 , \ldots , \alpha_n)}(v_o):= \left\{ v \in V \, : \, \left\| x - x_o \right\|_{\alpha_k} < \varepsilon \mbox{ für alle } k\in \{1,\ldots ,n\}\right\} </math> === Bemerkung: Unterschied topologieerzeugend - subbasiserzeugend === Bei einem topologieerzeugenden <math>p</math>-Gaugefunktionalsystem vereinfacht (T2) man die Handhanbung von endlichen Schnitten offener Mengen in einer Topologie. (S2) muss daher endliche Schnitte der von Umgebungen berücksichtigen, indem man den Schnitt <math>\varepsilon</math>-Kugeln <math>B_{\varepsilon_1}^{\alpha_1}, \ldots , B_{\varepsilon_n}^{\alpha_n}</math> durch die Bedingung :<math> \left\| x - x_o \right\|_{\alpha_k} < \varepsilon_k \mbox{ für alle } k\in \{1,\ldots ,n\} </math> mit <math>\varepsilon := \min\{ \varepsilon_k > 0 \, : \, k \in \,\{1,\ldots ,n \}\, \}</math> verlangt. === Definition: unital positiv === Sei <math display="inline">(A,\left\| \cdot \right\| _{I})</math> eine unitale topologische Algebra über <math display="inline">\mathbb{K}</math> mit dem Einselement der Multiplikation <math display="inline">e_{\!\!_A} \in A</math>. Das <math>p</math>-Gaugefunktionalsystem <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{I}</math> heißt ''unital positiv'' genau dann, wenn für alle <math display="inline">\alpha\in I</math> die Bedingung <math display="inline">\left\| e_{\!\!_A} \right\| _\alpha > 0</math>. === Bemerkung - unital positiv === Man kann immer ein äquivalentes Gaugefunktionalsystem für eine [[topologische Algebra]] finden, das unital positiv ist, da topologische Algebra zwar nicht notwendig ein [[Hausdorff-Raum]] sein muss, aber zumindest das Einselement <math>e_{\!\!_A}</math> und den Nullvektor <math>0_{\!\!_A}</math> topologische durch eine Nullumgebung nach Definition trennen muss. === Bemerkung: unital positives äquivalentes Gaugefunktionalsystem === Man kann ein <math display="inline">p</math>-Gaugefunktionalsystem auf einer topologischen Algebra durch eine äquivalentes unital positives <math display="inline">p</math>-Gaugefunktionalsystem ersetzen, indem man die Trennungseigenschaft eines Hausdorffraumes dazu verwendet, Minkowkifunktionale von kreisförmigen Nullumgebungen verwendet, die das Einselement nicht enthalten. Dann erhält man unmittelbar sogar <math display="inline">\left\| e_A \right\| _\alpha \geq 1</math>, wenn <math> e_A \notin U_\alpha </math> und <math display="inline">\left\| x \right\| _\alpha := p_{\!_{U_\alpha}}(x)</math> als [[Minkowski-Funktional]] der absorbiernden Nullumgebung <math> U_\alpha </math> verwendet wird. === Bemerkung: p-Norm und Norm === Der Begriff der Norm ist ein Spezialfall einer <math>p</math>-Norm mit <math>p=1</math>, die im folgenden definiert wird. === Definition: Norm === Sei <math display="inline">V</math> ein topologischer Vektorraum über dem Körper <math display="inline">\mathbb{K}</math>. Ein Funktional <math display="inline">\left\| \cdot \right\| : V\longrightarrow \mathbb{K}</math> heißt Norm auf <math display="inline">V</math>, falls <math display="inline">\left\| \cdot \right\| </math> folgende Bedingungen erfüllt: * (N1) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle x\in V} : \left\| x \right\| \geq 0</math> * (N2) <math display="inline">\displaystyle \left\| x \right\| = 0 \Longrightarrow x=0 </math> * (N3) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle x\in V,\lambda\in \mathbb{K}} : \left\| \lambda\cdot x \right\| = |\lambda|\cdot \left\| x \right\| </math> * (N4) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle x,y\in V} : \left\| x+y \right\| \leq \left\| x \right\| + \left\| y \right\| </math> === Definition: Halbnorm === Sei <math display="inline">V</math> ein topologischer Vektorraum über dem Körper <math display="inline">\mathbb{K}</math>. Ein Funktional <math display="inline">\left\| \cdot \right\| : V\longrightarrow \mathbb{K}</math> heißt Halbnorm auf <math display="inline">V</math>, falls <math display="inline">\left\| \cdot \right\| </math> folgende Bedingungen erfüllt: * (H1) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle x\in V} : \left\| x \right\| \geq 0</math> * (H2) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle x\in V,\lambda\in \mathbb{K}} : \left\| \lambda\cdot x \right\| = |\lambda|\cdot \left\| x \right\| </math> * (H3) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle x,y\in V} : \left\| x+y \right\| \leq \left\| x \right\| + \left\| y \right\| </math> === Bemerkung: Halbnorm - Norm === Falls (N2) in der Definition der Norm nicht gilt, erhält man eine <math display="inline">\left\| \cdot \right\| </math> Halbnorm. (N2) sorgt für die Hausdorfeigenschaft in dem topologischen Vektorraum. Man kann mit der Norm die Punkte trennen, d.h. mit der Norm man messen, ob zwei Vektoren <math>v_1,v_2 \in V </math> sich unterscheiden, d.h. <math>v_1\not= v_2</math> bzw. <math>v_1 - v_2 \not= 0_V</math> gilt. === Multiplikativ konvex - Submultiplikativität der Halbnorm === Ein Halbnorm ist submultiplikativ mit einer Stetigkeitskonstante <math> C > 0 </math>, wenn für alle <math> v_1,v_2 \in V </math> gilt: :<math> \left\| v_1 \cdot v_2 \right\| \leq C \cdot \left\| v_1 \right\| \cdot \left\| v_2 \right\|</math> <math>C</math> nennt man Stetigkeitskonstante der Multiplikation. Man kann die Halbnorm <math display="inline">\left\| \cdot \right\| </math> durch eine äquivalente Halbnorm <math display="inline">\left\| \cdot \right\|_1 </math>ersetzen, für die <math>C = 1</math> ist (siehe [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/MLC-Regularität|MLC-Regularität]]). == Lemma: Stetigkeitskonstante und Submultiplikativität == Sei <math> (A , \| \cdot \|_{\mathcal{A}} ) </math> eine lokalkonvexe topologische Algebra mit dem basiserzeugenden Halbnormensystem <math> \| \cdot \|_{\mathcal{A}} </math> und eine submultiplikative Halbnorm mit Stetigkeitskonstante <math> C > 0 </math> und <math> v_1,v_2 \in V </math> gegeben mit: :<math> \left\| v_1 \cdot v_2 \right\|_\alpha \leq C \cdot \left\| v_1 \right\|_\alpha \cdot \left\| v_2 \right\|_\alpha ,</math> dann gibt es eine äquivalente Halbnorm <math> \| \cdot \|_{\beta} </math> mit :<math> \left\| v_1 \cdot v_2 \right\|_\beta \leq \left\| v_1 \right\|_\beta \cdot \left\| v_2 \right\|_\beta ,</math> == Beweis: Stetigkeitskonstante und Submultiplikativität == Ist <math> 0 < C \leq 1 </math> erhält die Submultiplikativität direkt mit :<math> \left\| v_1 \cdot v_2 \right\|_\alpha \leq C \cdot \left\| v_1 \right\|_\alpha \cdot \left\| v_2 \right\|_\alpha \leq \left\| v_1 \right\|_\alpha \cdot \left\| v_2 \right\|_\alpha </math> === Beweis: Definition der Halbnorm === Gilt nun <math> C > 1 </math>, so definiert man für alle <math> v \in A </math>: :<math> \left\| v \right\|_\beta := C \cdot \left\| v \right\|_\alpha </math> und man erhält die Submultiplikativität über: :<math> \left\| v_1 \cdot v_2 \right\|_\beta \leq C \cdot \left\| v_1 \cdot v_2 \right\|_\alpha \leq C^2 \cdot \left\| v_2 \right\|_\alpha \cdot \left\| v_2 \right\|_\alpha = \left\| v_1 \right\|_\beta \cdot \left\| v_2 \right\|_\beta </math> === Beweis: Äquivalenz der Halbnormen === Die Äquivalenz der Halbnormen erhält man unmittelbar aus der Definition mit <math> C > 1</math>, denn es gilt: :<math> C \cdot \left\| v \right\|_\alpha = \left\| v \right\|_\beta </math> === Bemerkung: Submultiplikativität === Ist eine [[topologische Algebra]] ein [[Normen, Metriken, Topologie|normierter Raum]], so kann man im Allgemeinen nur sagen, dass die Submultiplikativität der Halbnorm mit einer bestimmten Stetigkeitskonstante der Multiplikation erfüllt, da die <math>\varepsilon</math>-Kugeln um den Nullvektor eine Nullumgebungsbasis erzeugen. Das Lemma zeigt, dass man ohne Einschränkung eine Halbnorm mit Stetigkeitskonstante auch durch eine äquivalente submultiplikative Halbnorm ersetzen kann. Das Vorgehen kann man analog für lokalbeschränkte Räume übernehmen. == Definition: p-Norm == Sei <math display="inline">V</math> ein [[topologischer Vektorraum|Vektorraum]] über dem Körper <math display="inline">\mathbb{K}</math> und <math>0 < p \leq 1</math>. Ein Funktional <math display="inline">\left\| \cdot \right\| : V\longrightarrow \mathbb{K}</math> heißt <math display="inline">p</math>-Norm auf <math display="inline">V</math>, falls <math display="inline">\left\| \cdot \right\| </math> folgende Bedingungen erfüllt: * (PN1) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle x\in V} : \left\| x \right\| \geq 0</math> * (PN2) <math display="inline">\displaystyle \left\| x \right\| = 0 \Longrightarrow x=0 </math> * (PN3) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle x\in V,\lambda\in \mathbb{K}} : \left\| \lambda\cdot x \right\| = |\lambda|^p\cdot \left\| x \right\| </math> * (PN4) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle x,y\in V} : \left\| x+y \right\| \leq \left\| x \right\| + \left\| y \right\| </math> === Pseudokonvexe Einheitkreise === Einheitskreise für ausgewählten <math>p</math>-Normen mit <math> \|(x,y)\| = x^p +y^p </math>. [[Datei:Unit Circle of Lp-norm, in R2 space.png|450px|Einheitskreise für ausgewählte Normen bzw. Quasinormen.]] Für <math>p\geq 1</math> sind die Einheitskreisscheiben <math>B_1^{\|\cdot \|}(0,0) := \{ (x,y)\in \mathbb{R}^2 \, \colon \, \|(x,y)\| < 1 \} </math> [[Konvexkombination|konvex]]. Für alle <math>0 < p < 1</math> ist die Einheitskreisscheibe nicht konvex. === Bemerkung - Konkavitätsexponent === Für <math>p \geq 1</math> kann man ein <math>p</math>-[[lokal beschränkt|Norm]] auch zu einer Norm machen, indem man die Norm <math> \left\| \cdot \right\|_\ast</math> wie folgt definert: :<math> \left\| x \right\|_{\ast} := \left\| x \right\|^{\frac{1}{p}} </math> === Beispiel - Folgenräume 1 === Sei <math> p \in \mathbb{R} </math> mit <math> 0 < p < 1 </math> und betrachtet man die Mengen der <math>p</math>-summierbaren Reihen <math> a:= (a_n)_{n\in\mathbb{N}} </math> in den reellen Zahlen. :<math>\ell_p(\mathbb{R}):=\left\{ (a_n)_{n\in\mathbb{N}} \ : \ \| a \|_p := \sum_{n=1}^\infty |a_n|^p < \infty \right\} </math> <math>\| \cdot \|_p </math> ist eine <math>p</math>-Norm auf dem <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraum <math>\ell_p(\mathbb{R})</math>. === Beispiel - Folgenräume 2 === Sei <math> (p_n)_{n\in \mathbb{N}} \in c_o(\mathbb{R}) </math> eine streng monoton fallende Nullfolge mit <math> 0 < p_n < 1 </math> und betrachtet man die Mengen der <math>(p_n)_{n\in \mathbb{N}}</math>-summierbaren Reihen <math> a:= (a_n)_{n\in\mathbb{N}} </math> in den reellen Zahlen. :<math>\ell (\mathbb{R},(p_n)_{n\in \mathbb{N}} ):=\left\{ (a_n)_{n\in\mathbb{N}} \ : \ \| a \|_{_{(p_n)}} := \sum_{n=1}^\infty |a_n|^{p_n} < \infty \right\} </math> <math>\| a \|_{p_k} = \sum_{n=1}^\infty |a_n|^{p_k} </math> ist mit festem <math>k\in \mathbb{N}</math> ein <math>p</math>-[[Gaugefunktional]] auf dem <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraum <math>\ell(\mathbb{R},(p_n)_{n\in \mathbb{N}})</math>. === Aufgabe - Folgenräume 2 === Überprüfen Sie, ob <math>\ell(\mathbb{R},(p_n)_{n\in \mathbb{N}})</math> ein topologischer Vektorraum mit dem <math>p</math>-Gaugefunktionalsystem <math> \left( \|\cdot \|_{p_k} \right)_{n\in \mathbb{N}}</math> ist! === Definition: p-Normierbarkeit === Sei <math display="inline">(V,\mathcal{T})</math> heißt <math display="inline">p</math>-normierbar oder [[lokal beschränkt]] mit der Konkavitätskonstante <math>p</math>, falls eine <math display="inline">p</math>-Norm :<math display="inline">\left\| \cdot \right\| : V\longrightarrow \mathbb{K}</math>, existiert, die die Topologie auf <math display="inline">V</math> erzeugt (formal <math display="inline">(V,\left\| \cdot \right\|) \in \mathcal{P}</math>). === Definition: p-Halbnorm === Sei <math display="inline">V</math> ein topologischer Vektorraum über dem Körper <math display="inline">\mathbb{K}</math> und <math>0 < p \leq 1</math>. Ein Funktional <math display="inline">\left\| \cdot \right\| : V\longrightarrow \mathbb{K}</math> heißt <math>p</math>-Halbnorm auf <math display="inline">V</math> mit <math display="inline">p</math> als [[Konkavitätsmodul|Konkavitätsexponent]], falls <math display="inline">\left\| \cdot \right\| </math> folgende Bedingungen erfüllt: * (PH1) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle x\in V} : \left\| x \right\| \geq 0</math> * (PH2) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle x\in V,\lambda\in \mathbb{K}} : \left\| \lambda\cdot x \right\| = |\lambda|^p \cdot \left\| x \right\| </math> * (PH3) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle x,y\in V} : \left\| x+y \right\| \leq \left\| x \right\| + \left\| y \right\| </math> === Bemerkung: p-Norm - p-Halbnorm === Falls (PN2) in der Definition der <math>p</math>-Norm nicht gilt, heißt <math display="inline">\left\| \cdot \right\| </math> <math display="inline">p</math>-Halbnorm mit <math display="inline">p</math> als Konkavitätskonstante. Analog zur Halbnorm kann eine einzelne <math display="inline">p</math>-Halbnorm nicht die Punkte im topologischen Vektorraum trennen ([[Hausdorff-Raum|Hausdorffeigenschaft T2]]). === Multiplikativ pseudokonvex - Submultiplikativität der p-Halbnorm === Ein <math>p</math>-Halbnorm ist submultiplikativ mit einer Stetigkeitskonstante <math> C > 0 </math>, wenn für alle <math> v_1,v_2 \in V </math> gilt: :<math> \left\| v_1 \cdot v_2 \right\| \leq C \cdot \left\| v_1 \right\| \cdot \left\| v_2 \right\|</math> <math>C</math> nennt man Stetigkeitskonstante der Multiplikation. Man kann die<math>p</math>- Halbnorm <math display="inline">\left\| \cdot \right\| </math> durch eine äquivalente <math>p</math>-Halbnorm <math display="inline">\left\| \cdot \right\|_1 </math>ersetzen, für die <math>C = 1</math> ist (siehe [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/MLC-Regularität|MPC-Regularität]]). === Definition: pseudokonvexer Vektorraum === Sei <math display="inline">(V,\mathcal{T})</math> heißt pseudokonvex, falls die Topologie <math display="inline">\mathcal{T}</math> durch ein System <math display="inline">\left\| \cdot \right\|_{\mathcal{A}}</math> von <math display="inline">p</math>-Halbnormen erzeugt wird, das die folgenden Eigenschaften besitzt. :<math display="inline">\left\| \cdot \right\|_{\alpha} : V\longrightarrow \mathbb{K} \mbox{ ist } p_{\alpha}\mbox{-homogen mit } \alpha \in \mathcal{A} \mbox{ und } p_{\alpha} \in (0,1]</math>, Formal notiert man <math display="inline">(V,\left\| \cdot \right\|_{\mathcal{A}}) \in \mathcal{PC}</math>. === Bemerkung: topologieerzeugende p-Norm === Eine <math display="inline">p</math>-Norm ist topologieerzeugend für die Topologie <math display="inline">\mathcal{T}\subseteq \wp(V) </math>, wenn die folgende Bedingung gilt: :<math>{\forall}_{ U\in \mathcal{T}} \forall_{ v_o \in U} \exists_{\varepsilon >0} : \, B_\varepsilon^{\left\| \cdot \right\| }(v_o):= \left\{ v \in V \, : \, \left\| x - x_o \right\| < \varepsilon \right\} </math> Die <math display="inline">\varepsilon</math>-Kugeln werden im weiteren Verlauf für die Charakterisierung der Stetigkeit verwendet. === Definition: Epsilonkugeln von p-Gaugefunktionalen=== Sei <math>V</math> ein Vektorraum und <math display="inline">\left\| \cdot \right\|_\alpha</math> ein <math>p</math>-Gaugefunktional auf <math display="inline">V</math>, dann ist die <math display="inline">\varepsilon</math>-Kugel von <math display="inline">\left\| \cdot \right\|_\alpha</math> mit <math display="inline">\varepsilon>0</math> um einen Punkt <math display="inline">v\in V</math> (Bezeichnung: <math display="inline">{\mathrm B}_\varepsilon^\alpha(v)</math>) wie folgt definiert: :<math> {\mathrm B}_\varepsilon^\alpha (v):= \{z\in V \,:\, \left\| z-v \right\| _\alpha<\varepsilon \} </math> === Definition: Quasinorm === Sei <math display="inline">V</math> ein topologischer Vektorraum über dem Körper <math display="inline">\mathbb{K}</math>. Ein Funktional :<math>\left\| \cdot \right\| : V\longrightarrow \mathbb{K}</math> heißt Quasinorm auf <math display="inline">V</math>, falls <math>\left\| \cdot \right\| </math> folgende Bedingungen erfüllt: * (QN1) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle x\in V} : \left\| x \right\| \geq 0</math> * (QN2) <math display="inline">\displaystyle \left\| x \right\| = 0 \Longrightarrow x=0 </math> * (QN3) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle x\in V,\lambda\in \mathbb{K}} : \left\| \lambda\cdot x \right\| = |\lambda|\cdot \left\| x \right\| </math> * (QN4) <math display="inline">\displaystyle \exists_{\displaystyle K>0} \forall_{\displaystyle x,y\in V} : \left\| x+y \right\| \leq K\cdot \left(\left\| x \right\| + \left\| y \right\| \right) </math> === Definition: Quasihalbnorm === Ein Funktional <math>\left\| \cdot \right\| : V\longrightarrow \mathbb{K} </math> auf einem Vektorraum <math display="inline">V</math> über dem Körper <math>\mathbb{K}</math> heißt Quasihalbnorm mit Stetigkeitskonstante der Addition <math>K \geq 1</math>, falls <math>\left\| \cdot \right\| </math> die folgende Bedingungen erfüllt: * (QH1) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle x\in V} : \left\| x \right\| \geq 0</math> * (QH2) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle x\in V,\lambda\in \mathbb{K}} : \left\| \lambda\cdot x \right\| = |\lambda|\cdot \left\| x \right\| </math> * (QH3) <math display="inline">\displaystyle \exists_{\displaystyle K>0} \forall_{\displaystyle x,y\in V} : \left\| x+y \right\| \leq K\cdot \left(\left\| x \right\| + \left\| y \right\| \right) </math> === Bemerkung: Quasinorm - Quasihalbnorm === Analog zu Halbnormen und Normen bzw. <math>p</math>-Normen und <math>p</math>-[[p-Halbnorm|Halbnormen]] wird eine Quasinorm zu einer Quasihalbnorm <math display="inline">\left\| \cdot \right\| </math> mit Stetigkeitskonstante <math display="inline">K</math> der Addition, falls (QN2) nicht mehr gilt. === Bemerkung: Stetigkeitskonstante === Die Stetigkeitskonstante hängt mit der [[p-Norm|Konkavitätskonstante einer <math>p</math>-Norm bzw. <math>p</math>-Halbnorm]] zusammen. Dies zeigt das [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Korrespondenz-Lemma für p-Halbnormen|Korrespondenzlemma für <math>p</math>-Halbnormen]] == Konvergenz über Netze == Sei <math>(X ,\mathcal{T})</math> eine [[Normen, Metriken, Topologie|topologischer Raum]], <math>x_0 \in X</math> und <math>(x_i)_{i \in I}\in X_I</math> ein Netz in <math>X</math> mit einer Indexmenge <math>I</math>, die nach oben gerichtet ist und eine partielle Ordnung besitzt. Die Konvergenz über [[Netze - Topologie|Netze]] wird wie folgt definiert: :<math> \stackrel{\mathcal{T}}{\lim_{i\to \infty}} x_i \, :\Longleftrightarrow \, (x_i)_{i\in I} \stackrel{\mathcal{T}}{\longrightarrow} x_0 \, :\Longleftrightarrow \, \forall_{U \in \mathfrak{U}_{\mathcal{T}}(x_0)} \exists_{i_U \in I} \forall_{i \geq i_U}: \, x_i \in U </math> == Definition: Algebrenklassen == Die Unterscheidung nach Algebrenklassen ist für die Untersuchung von permanent singulären Elemente wesentlich, da die Invertierbarkeit in einer Algebraerweiterung von der Klasse <math>\mathcal{K}</math> abhängt. === Notation 1: Algebrenklassen === Sei <math display="inline">\mathcal{K}</math> eine Klasse topologischer Algebren und <math display="inline">\mathbb{K}</math> ein Körper, dann werden mit folgenden Symbolen Teilklassen topologischer Algebren bezeichnet: * <math display="inline">\mathcal{K}_e</math> Klasse der unitalen Algebren in <math display="inline">\mathcal{K}</math>; * <math display="inline">\mathcal{K}^k</math> Klasse der kommutativen Algebren in <math display="inline">\mathcal{K}</math>, ''"kommutativ"'' bezieht sich auf die Multiplikation in den Algebren. * <math display="inline">\mathcal{K}(\mathbb{K})</math> Klasse der topologischen Algebren über <math display="inline">\mathbb{K}</math> in <math display="inline">\mathcal{K}</math>; === Notation 2: Algebrenklassen === * <math display="inline">{\mathcal{T}} </math> Klasse aller topologischen Algebren; * <math display="inline">{\mathcal{B}} </math> Klasse aller Banachalgebren (vollständig, normiert); * <math display="inline">{\mathcal{LC}}</math> Klasse der lokalkonvexen Algebren; d.h. Topologie durch ein System von Halbnormen erzeugt; * <math display="inline">{\mathcal{MLC}}</math> Klasse der multiplikativ lokalkonvexen Algebren; === Notation 3: Algebrenklassen === * <math display="inline">{\mathcal{P}}</math> Klasse der <math display="inline">p</math>-normierbaren Algebren bzw. lokal beschränkten Algebren; * <math display="inline">{\mathcal{PC}}</math> Klasse der pseudokonvexen Algebren; & d.h. Topologie durch ein System von <math display="inline">p</math>-Halbnormen erzeugt; * <math display="inline">{\mathcal{MPC}}</math> Klasse der multiplikativ pseudokonvexen Algebren. == Bemerkung: Pseudokonvexe Räume == Für pseudokonvexe Algebren kann das <math display="inline">{\mathcal{PC}}</math>-System auch aus den entsprechenden Quasihalbnormen bestehen. Mit dem [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Korrespondenz-Lemma_für_p-Halbnormen|Korrespondenzsatz für <math>p</math>-Halbnormen]] wird der Zusammenhang von <math display="inline">p</math>-Halbnormen und Quasihalbnormen erläutert. Ferner müssen nicht alle <math display="inline">p</math>-Halbnormen <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _\alpha</math> die gleiche Konkavitätskonstante (siehe Definition [[Gaugefunktional]]) <math display="inline">0<p_\alpha\leq 1</math> besitzen, d.h. für <math display="inline">p_\alpha</math> gilt :<math display="block"> |\lambda|^{p_\alpha} \cdot \left\| x \right\| _\alpha = \left\| \lambda\cdot x \right\| _\alpha \mbox{ für alle } x\in A \mbox{ und } \lambda\in \mathbb{K}. </math> == Aufgabe 1: Norm == Zeichnen Sie die <math>\varepsilon</math>-Kugel in <math>V:=\mathbb{R}^2</math> mit <math>p\geq 1 </math> und :<math> \begin{array}{rrcl} \left\|\cdot \right\|_p : & \mathbb{R}^2 & \rightarrow & \mathbb{R}_o^{+} \\ & x & \mapsto & \left\| \left( \begin{array}{c} x_1\\x_2 \end{array} \right) \right\|_p := \sqrt[p]{|x_1|^p + |x_2|^p} \end{array} </math> Zeichnen Sie den Rand der <math>\varepsilon</math>-Kugeln <math>B_{\varepsilon}^{\left\| \cdot \right\|_p }\left( x \right)</math> bzgl. der Norm <math>\left\| \cdot \right\|_p </math> mit * <math>p= 1</math> <math>\varepsilon = 1</math> und <math>x= \left( \begin{array}{c} x_1\\x_2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0\\0 \end{array} \right)</math> * <math>p=3</math> <math>\varepsilon = 1</math> und <math>x= \left( \begin{array}{c} x_1\\x_2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0\\0 \end{array} \right)</math> == Aufgabe 2: p-Norm == Zeichnen Sie die <math>\varepsilon</math>-Kugel in <math>V:=\mathbb{R}^2</math> mit <math>p\leq 1 </math> und :<math> \begin{array}{rrcl} \left\|\cdot \right\|_p : & \mathbb{R}^2 & \rightarrow & \mathbb{R}_o^{+} \\ & x & \mapsto & \left\| \left( \begin{array}{c} x_1\\x_2 \end{array} \right) \right\|_p := |x_1|^p + |x_2|^p \end{array} </math> Zeichnen Sie den Rand der <math>\varepsilon</math>-Kugeln <math>B_{\varepsilon}^{\left\| \cdot \right\|_p }\left( x \right)</math> bzgl. der Norm <math>\left\| \cdot \right\|_p </math> mit * <math>p= \frac{1}{4}</math> <math>\varepsilon = 1</math> und <math>x= \left( \begin{array}{c} x_1\\x_2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0\\0 \end{array} \right)</math> * <math>p= \frac{1}{2}</math> <math>\varepsilon = 1</math> und <math>x= \left( \begin{array}{c} x_1\\x_2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0\\0 \end{array} \right)</math> == Siehe auch == * [[Gaugefunktionalsystem]] * [[Hausdorff-Raum]] * [[Kreisschnittdurchmesser]] * [[Netze (Mathematik)]] * [[Normen, Metriken, Topologie]] * [[Norm (Mathematik)]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Korrespondenz-Lemma für p-Halbnormen|Korrespondenzlemma für <math>p</math>-Halbnormen]] * [[Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]] * [[Stetigkeitssequenz]] * [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/MLC-Regularität|MLC-Regularität]] * [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/MPC-Regularität|MPC-Regularität]] * [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/LC-Regularität|LC-Regularität]] * [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/PC-Regularität|PC-Regularität]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Gaugefunktionale&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Gaugefunktionale&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] 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[[]] --> [[Category:Pseudokonvexer Raum]] [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude> [[en:Inverse-producing extensions of Topological Algebras/Gauge functionals]] </noinclude> 3avrapm2tzrkzwd73x0pgg93cdm4wiw 1118912 1118911 2026-11-05T10:16:51Z Bert Niehaus 20843 /* Bemerkung: unital positives äquivalentes Gaugefunktionalsystem */ 1118912 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In reellen Zahlen gibt es den Betrag, um z.B. Konvergenz im Raum ausdrücken zu können. Mit dem Betrag kann man <math>\varepsilon</math>-Umgebungen definieren und die Folgenkonvergenz wird über diese <math>\varepsilon</math>-Umgebungen definiert. Ferner werden zu kreisförmigen Nullumgebungen <math>U</math> Minkowski-Funktionale definiert, in Abhängigkeit von topologischen Eigenschaften der Menge bestimmte Eigenschaften der Minkowski-Funktionale liefert. === Konvergenz in den reellen Zahlen === Die reellen Zahlen mit dem Betrag <math>(\mathbb{R},|\cdot |)</math> ist ein normierter Raum und <math>(v_n)_{n\in\mathbb{N}} \in \mathbb{R}^{\mathbb{N}}</math> eine Folge in <math>\mathbb{R}</math> und <math>v_o \in \mathbb{R}</math>: :<math> \lim_{n \to \infty} v_n = v_o \ :\Longleftrightarrow \ \forall_{\epsilon > 0} \exists_{n_\epsilon \in \mathbb{N}} \forall_{n \geq n_\epsilon} \ : \ |v_n - v_o | < \epsilon </math> === Konvergenz in normierten Räumen === Analog definiert man die Konvergenz in normierten Räumen <math>(V,\|\cdot \|)</math> <math>(v_n)_{n\in\mathbb{N}} \in V^{\mathbb{N}}</math> eine Folge in <math>V</math> und <math>v_o \in V</math>: :<math> \lim_{n \to \infty}^{\|\cdot\|} v_n = v_o \ :\Longleftrightarrow \ \forall_{\epsilon > 0} \exists_{n_\epsilon \in \mathbb{N}} \forall_{n \geq n_\epsilon} \ : \ \|v_n - v_o\| < \epsilon </math> [[Datei:Audio15 def konvergenz norm.ogg|mini|audio15_def_konvergenz_norm.ogg]] === Epsilonumgebungen === Die Betrag bzw. allgemeiner die Norm wird in <math>(V,\|\cdot \|)</math> auch zur Definition der <math>\varepsilon</math>-Umgebungen verwendet. :<math>B_\varepsilon^{\|\cdot\|}(a):= \left\{ x\in V \, : \, \|x-a\| < \varepsilon \right\}</math> Diese topologieerzeugenden Funktionale (Gaugefunktionale) werden für die Definition der Algebraerweiterungen benötigt, in den ein gegebenes <math>z</math> ein inverses Element besitzt. Die Topologisierung der Potenzreihenalgebra erfolgt später mit Gaugefunktionalen (z.B. Halbnormen, <math>p</math>-Halbnormen, ...) === Absorbierende Mengen === Die Gaugefunktionale werden über kreisförmige absorbierende Nullumgebungen definiert, für die dann das zugehörige Minkowskifunktional das zugehörige Gaugefunktional erzeugt. Die Grundlagen liefert die folgende Abschnitte. == Folien zu Gaugefunktionalen == * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Kreisförmige Mengen|Kreisförmige Mengen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Kreisf%C3%B6rmige%20Mengen&author=Gaugefunktional&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kreisf%C3%B6rmige%20Mengen&coursetitle=Gaugefunktional Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Minkowski-Funktionale|Minkowski-Funktionale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Minkowski-Funktionale&author=Gaugefunktional&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Minkowski-Funktionale&coursetitle=Gaugefunktional Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Gaugefunktional/Schnittmengenlemma|Schnittmengenlemma]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Gaugefunktional/Schnittmengenlemma&author=Gaugefunktional&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Schnittmengenlemma&coursetitle=Gaugefunktional Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] == Einführung Gaugefunktionale == Bei der Verwendung von Gaugefunktionalen werden die definierenden Eigenschaften einer Norm weiter verallgemeinert, um in analoger Weise topologieerzeugende Funktionale in beliebigen topologischen Algebren verwenden zu können. Dadurch wird es nicht mehr notwendig sein, z.B. Stetigkeit über die offene Mengen aus der Topologie zu beschreiben (siehe auch [[Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen|Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]]). <span id="p-homogen"></span> <span id="p-homogen"></span> === Definition: p-homogen === Sei <math display="inline">V</math> ein Vektorraum über <math display="inline">\mathbb{K}</math>. Ein Funktional <math display="inline">f:V\longrightarrow \mathbb{K}</math> heißt <math display="inline">p</math>-homogen, falls es ein <math display="inline">p\in \mathbb{K}</math> mit <math display="inline">0<p\leq 1</math> gibt, für das gilt: :<math display="block"> \forall_{\displaystyle x\in V,\lambda\in \mathbb{K}} : f(\lambda\cdot x)=|\lambda|^p\cdot f(x) </math> Ist <math display="inline">p=1</math>, so heißt <math display="inline">f</math> homogen. <math display="inline">f</math> heißt nicht-negativ, falls für alle <math display="inline">x\in V</math> gilt <math display="inline">f(x)\geq 0</math>. === Definition: p-Gaugefunktional === Sei <math display="inline">V</math> ein Vektorraum über <math display="inline">\mathbb{K}</math>. Ein nicht-negatives, <math display="inline">p</math>-homogenes Funktional <math display="inline">f:V\longrightarrow \mathbb{K}</math> heißt <math display="inline">p</math>-Gaugefunktional auf <math display="inline">V</math> und für <math display="inline">p=1</math> Gaugefunktional. === Beispiel: p-Gaugefunktional === Sei <math>0 < p \leq 1</math> und <math>V_p:=\left\{(x_n)_{n\in \mathbb{N}} \in \mathbb{R}^{\mathbb{N}} \, : \,\sum_{n=1}^{\infty} |x_n|^p < \infty \mbox{ mit } x=(x_n)_{n\in \mathbb{N}} \right\}</math>, dann ist <math> \|x\|_p := \sum_{n=1}^{\infty} |x_n|^p </math> ein <math>p</math>-Gaugefunktional auf <math>V</math>. === Aufgabe: p-Gaugefunktional === Gegeben ist der Vektorraum <math>V_p</math> und das <math>p</math>-Gaugefunktional <math> \|x\|_p := \sum_{n=1}^{\infty} |x_n|^p </math>. Zeigen Sie, dass <math>\left( \frac{1}{n^2}\right)_{n\in \mathbb{N}}\in V_1</math> aber <math>\left( \frac{1}{n^2}\right)_{n\in \mathbb{N}}\notin V_{\frac{1}{2}}</math>. Welche Mengeninklusion gilt allgemein für <math>V_p</math> und <math>V_q</math> mit <math>p < q</math> und <math> p,q \in (0,1]</math>? === Bemerkung === Die <math>p</math>-Homogenität hat einerseits eine engen Zusammenhang zur Stetigkeit der Multiplikation mit Skalaren und das <math>p \in (0,1]</math> bestimmt den Zusammenhang mit eine [[Quasihalbnorm|Quasihalbnorm]]. <span id="Gaugefunktionalsystem"></span> === Definition: p-Gaugefunktionalsystem === Sei <math display="inline">V</math> ein Vektorraum über <math display="inline">\mathbb{K}</math>, <math display="inline">I</math> eine Indexmenge und für alle <math display="inline">\alpha\in I</math> sei <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _\alpha</math> ein <math display="inline">p</math>-Gaugefunktional auf <math display="inline">V</math>. Dann wird mit <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _I</math> die Menge aller <math display="inline">p</math>-Gaugefunktionale mit Indizes aus <math display="inline">I</math> bezeichnet, d.h. :<math> \left\| \cdot \right\| _I :=\left\{ \left\| \cdot \right\| _\alpha :\alpha \in I\right\}. </math> <math display="inline">\left\| \cdot \right\|_I</math> heißt System von <math>p</math>-Gaugefunktionalen. Ist <math>p=1</math> nennt man <math display="inline">\left\| \cdot \right\|_I</math> Gaugefunktionalsystem. === Bemerkung - Unitale topologische Algebren === Auf [[topologische Algebra|topologischen Algebren]] <math>(A,\mathcal{T})</math> mit einem Einselement <math>e\in A</math> als neutrales Element der Multiplikation, muss man mit dem Gaugefunktionalsystem bzw. <math>p</math>-Gaugefunktionalsystem :<math> \left\| \cdot \right\| _I :=\left\{ \left\| \cdot \right\| _\alpha :\alpha \in I\right\}. </math> den Nullvektor <math>0_{_A} \in A</math> und das Einselement <math>e\in A</math> trennen können, d.h. man muss einen <math>\alpha_e \in I</math> finden, für <math>\| e\|_{\alpha_e} > 0</math>. === Definition: Äquivalenz von p-Gaugefunktionalsystemen === Sei <math display="inline">V</math> ein Vektorraum über <math display="inline">\mathbb{K}</math> und <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{I_1}</math>, <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{I_2}</math> zwei <math>p</math>-Gaugefunktionalsysteme auf <math>V</math>. Die <math>p</math>-Gaugefunktionalsysteme <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{I_1}</math> und <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{I_2}</math> heißen ''äquivalent'', wenn folgende beiden Bedingungen gelten: * (EQ1) <math> \forall_{\alpha \in I_1} \exists_{\beta \in I_2, C_\beta >0} \forall_{v \in V}: \, \, \| v \|_{\alpha} \leq C_{\beta} \cdot \| v \|_{\beta} </math> * (EQ2) <math> \forall_{\beta \in I_2} \exists_{\alpha \in I_1, C_\alpha >0} \forall_{v \in V}: \, \, \| v \|_{\beta} \leq C_{\alpha} \cdot \| v \|_{\alpha} </math> === Beispiel - p-Gaugefunktionalsystem === Sei <math>p > 0</math> und <math>V := \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> die Menge der stetigen Funktion von <math>\mathbb{R}</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Die Menge der <math>p</math>-Gaugefunktional wird mit <math>\alpha \in I := \mathbb{R}^{+}</math> wie folgt definiert: :<math> \left\| \cdot \right\| _I :=\left\{ \left\| \cdot \right\| _\alpha :\alpha \in I\right\}. </math> mit :<math> \left\| f \right\| _\alpha := \int_{-\alpha}^{+\alpha} \left| f(x) \right|^p d\,x </math> === Definition: Basiserzeugendes p-Gaugefunktionalsystem === Sei <math display="inline">(V,\mathcal{T})</math> ein topologischer Vektorraum mit dem System von offenen Mengen <math>\mathcal{T}</math> auf <math>V</math>. Ferner sei <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _I</math> eine Menge von <math display="inline">p</math>-Gaugefunktionalen auf <math display="inline">V</math>. Das <math>p</math>-Gaugefunktionalsystem heißt ''basiserzeugend'' für <math>\mathcal{T}</math>, wenn gilt: * (BE1) <math>\forall_{ x_o \in V} \forall_{\alpha \in I} \forall_{\varepsilon >0} : \, B_\varepsilon^{\alpha}(x_o):= \left\{ x \in V \, : \, \left\| x - x_o \right\|_\alpha < \varepsilon \right\} \in \mathcal{T} </math> * (BE2) <math> {\forall}_{ U\in \mathcal{T}} \forall_{ x_o \in U} \exists_{\alpha \in I, \varepsilon >0} : \, B_\varepsilon^{\alpha}(x_o):= \left\{ x \in V \, : \, \left\| x - x_o \right\|_\alpha < \varepsilon \right\} \subseteq U </math> === Bemerkung: Basiserzeugendes p-Gaugefunktionalsystem === * (BE1) bedeutet dabei, dass die <math>\varepsilon</math>-Kugeln <math> B_\varepsilon^{\alpha}(v_o)</math> selbst offene Mengen sind. * Mit (BE2) lässt sich jede offene Menge <math>U</math> aus der Topologie <math>\mathcal{T}</math> als Vereinigung von <math>\varepsilon</math>-Kugeln darstellen. Da beliebige Vereinigungen von offenen Mengen in einem topologischen Raum nach [[Normen, Metriken, Topologie|Axiom (T3)]] auch wieder offen sein müssen, ist damit die Vereinigung von <math>\varepsilon</math>-Kugeln <math> B_\varepsilon^{\alpha}(v_o)</math> mit <math>\alpha \in I</math>, <math>v_o\in V</math> und <math>\varepsilon >0</math> selbst wieder offen. === Definition: Subbasiserzeugendes p-Gaugefunktionalsystem === Sei <math display="inline">(V,\mathcal{T})</math> ein topologischer Vektorraum mit dem System von offenen Mengen <math>\mathcal{T}</math> auf <math>V</math>. Ferner sei <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _I</math> eine Menge von <math display="inline">p</math>-Gaugefunktionalen auf <math display="inline">V</math>. Das <math>p</math>-Gaugefunktionalsystem heißt ''subbasiserzeugend'' für <math>\mathcal{T}</math>, wenn gilt mit <math>\, B_\varepsilon^{\alpha}(v_o):= \left\{ v \in V \, : \, \left\| x - x_o \right\|_\alpha < \varepsilon \right\} </math>: * (SE1) <math>\forall_{ v_o \in V} \forall_{\alpha \in I} \forall_{\varepsilon >0} : \, \, B_\varepsilon^{\alpha}(v_o) \in \mathcal{T} </math> * (SE2) <math> {\forall}_{ U\in \mathcal{T}} \forall_{ v_o \in U} \exists_{n\in \mathbb{N}} \exists_{\alpha_1 , \ldots , \alpha_n \in I, \varepsilon >0} : \, B_\varepsilon^{(\alpha_1 , \ldots , \alpha_n)}(v_o) \subseteq U </math> mit :<math> B_\varepsilon^{(\alpha_1 , \ldots , \alpha_n)}(v_o):= \left\{ v \in V \, : \, \left\| x - x_o \right\|_{\alpha_k} < \varepsilon \mbox{ für alle } k\in \{1,\ldots ,n\}\right\} </math> === Bemerkung: Unterschied topologieerzeugend - subbasiserzeugend === Bei einem topologieerzeugenden <math>p</math>-Gaugefunktionalsystem vereinfacht (T2) man die Handhanbung von endlichen Schnitten offener Mengen in einer Topologie. (S2) muss daher endliche Schnitte der von Umgebungen berücksichtigen, indem man den Schnitt <math>\varepsilon</math>-Kugeln <math>B_{\varepsilon_1}^{\alpha_1}, \ldots , B_{\varepsilon_n}^{\alpha_n}</math> durch die Bedingung :<math> \left\| x - x_o \right\|_{\alpha_k} < \varepsilon_k \mbox{ für alle } k\in \{1,\ldots ,n\} </math> mit <math>\varepsilon := \min\{ \varepsilon_k > 0 \, : \, k \in \,\{1,\ldots ,n \}\, \}</math> verlangt. === Definition: unital positiv === Sei <math display="inline">(A,\left\| \cdot \right\| _{I})</math> eine unitale topologische Algebra über <math display="inline">\mathbb{K}</math> mit dem Einselement der Multiplikation <math display="inline">e_{\!\!_A} \in A</math>. Das <math>p</math>-Gaugefunktionalsystem <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{I}</math> heißt ''unital positiv'' genau dann, wenn für alle <math display="inline">\alpha\in I</math> die Bedingung <math display="inline">\left\| e_{\!\!_A} \right\| _\alpha > 0</math>. === Bemerkung - unital positiv === Man kann immer ein äquivalentes Gaugefunktionalsystem für eine [[topologische Algebra]] finden, das unital positiv ist, da topologische Algebra zwar nicht notwendig ein [[Hausdorff-Raum]] sein muss, aber zumindest das Einselement <math>e_{\!\!_A}</math> und den Nullvektor <math>0_{\!\!_A}</math> topologische durch eine Nullumgebung nach Definition trennen muss. === Bemerkung: unital positives äquivalentes Gaugefunktionalsystem === Man kann ein <math display="inline">p</math>-Gaugefunktionalsystem auf einer topologischen Algebra durch eine äquivalentes unital positives <math display="inline">p</math>-Gaugefunktionalsystem ersetzen, indem man die Trennungseigenschaft eines Hausdorffraumes dazu verwendet, Minkowkifunktionale von kreisförmigen Nullumgebungen verwendet, die das Einselement nicht enthalten. Dann erhält man unmittelbar sogar <math display="inline">\left\| e_A \right\| _\alpha \geq 1</math>, wenn <math> e_{\!\!_A} \notin U_\alpha </math> und <math display="inline">\left\| x \right\| _\alpha := p_{\!_{U_\alpha}}(x)</math> als [[Minkowski-Funktional]] der absorbiernden Nullumgebung <math> U_\alpha </math> verwendet wird. === Bemerkung: p-Norm und Norm === Der Begriff der Norm ist ein Spezialfall einer <math>p</math>-Norm mit <math>p=1</math>, die im folgenden definiert wird. === Definition: Norm === Sei <math display="inline">V</math> ein topologischer Vektorraum über dem Körper <math display="inline">\mathbb{K}</math>. Ein Funktional <math display="inline">\left\| \cdot \right\| : V\longrightarrow \mathbb{K}</math> heißt Norm auf <math display="inline">V</math>, falls <math display="inline">\left\| \cdot \right\| </math> folgende Bedingungen erfüllt: * (N1) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle x\in V} : \left\| x \right\| \geq 0</math> * (N2) <math display="inline">\displaystyle \left\| x \right\| = 0 \Longrightarrow x=0 </math> * (N3) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle x\in V,\lambda\in \mathbb{K}} : \left\| \lambda\cdot x \right\| = |\lambda|\cdot \left\| x \right\| </math> * (N4) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle x,y\in V} : \left\| x+y \right\| \leq \left\| x \right\| + \left\| y \right\| </math> === Definition: Halbnorm === Sei <math display="inline">V</math> ein topologischer Vektorraum über dem Körper <math display="inline">\mathbb{K}</math>. Ein Funktional <math display="inline">\left\| \cdot \right\| : V\longrightarrow \mathbb{K}</math> heißt Halbnorm auf <math display="inline">V</math>, falls <math display="inline">\left\| \cdot \right\| </math> folgende Bedingungen erfüllt: * (H1) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle x\in V} : \left\| x \right\| \geq 0</math> * (H2) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle x\in V,\lambda\in \mathbb{K}} : \left\| \lambda\cdot x \right\| = |\lambda|\cdot \left\| x \right\| </math> * (H3) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle x,y\in V} : \left\| x+y \right\| \leq \left\| x \right\| + \left\| y \right\| </math> === Bemerkung: Halbnorm - Norm === Falls (N2) in der Definition der Norm nicht gilt, erhält man eine <math display="inline">\left\| \cdot \right\| </math> Halbnorm. (N2) sorgt für die Hausdorfeigenschaft in dem topologischen Vektorraum. Man kann mit der Norm die Punkte trennen, d.h. mit der Norm man messen, ob zwei Vektoren <math>v_1,v_2 \in V </math> sich unterscheiden, d.h. <math>v_1\not= v_2</math> bzw. <math>v_1 - v_2 \not= 0_V</math> gilt. === Multiplikativ konvex - Submultiplikativität der Halbnorm === Ein Halbnorm ist submultiplikativ mit einer Stetigkeitskonstante <math> C > 0 </math>, wenn für alle <math> v_1,v_2 \in V </math> gilt: :<math> \left\| v_1 \cdot v_2 \right\| \leq C \cdot \left\| v_1 \right\| \cdot \left\| v_2 \right\|</math> <math>C</math> nennt man Stetigkeitskonstante der Multiplikation. Man kann die Halbnorm <math display="inline">\left\| \cdot \right\| </math> durch eine äquivalente Halbnorm <math display="inline">\left\| \cdot \right\|_1 </math>ersetzen, für die <math>C = 1</math> ist (siehe [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/MLC-Regularität|MLC-Regularität]]). == Lemma: Stetigkeitskonstante und Submultiplikativität == Sei <math> (A , \| \cdot \|_{\mathcal{A}} ) </math> eine lokalkonvexe topologische Algebra mit dem basiserzeugenden Halbnormensystem <math> \| \cdot \|_{\mathcal{A}} </math> und eine submultiplikative Halbnorm mit Stetigkeitskonstante <math> C > 0 </math> und <math> v_1,v_2 \in V </math> gegeben mit: :<math> \left\| v_1 \cdot v_2 \right\|_\alpha \leq C \cdot \left\| v_1 \right\|_\alpha \cdot \left\| v_2 \right\|_\alpha ,</math> dann gibt es eine äquivalente Halbnorm <math> \| \cdot \|_{\beta} </math> mit :<math> \left\| v_1 \cdot v_2 \right\|_\beta \leq \left\| v_1 \right\|_\beta \cdot \left\| v_2 \right\|_\beta ,</math> == Beweis: Stetigkeitskonstante und Submultiplikativität == Ist <math> 0 < C \leq 1 </math> erhält die Submultiplikativität direkt mit :<math> \left\| v_1 \cdot v_2 \right\|_\alpha \leq C \cdot \left\| v_1 \right\|_\alpha \cdot \left\| v_2 \right\|_\alpha \leq \left\| v_1 \right\|_\alpha \cdot \left\| v_2 \right\|_\alpha </math> === Beweis: Definition der Halbnorm === Gilt nun <math> C > 1 </math>, so definiert man für alle <math> v \in A </math>: :<math> \left\| v \right\|_\beta := C \cdot \left\| v \right\|_\alpha </math> und man erhält die Submultiplikativität über: :<math> \left\| v_1 \cdot v_2 \right\|_\beta \leq C \cdot \left\| v_1 \cdot v_2 \right\|_\alpha \leq C^2 \cdot \left\| v_2 \right\|_\alpha \cdot \left\| v_2 \right\|_\alpha = \left\| v_1 \right\|_\beta \cdot \left\| v_2 \right\|_\beta </math> === Beweis: Äquivalenz der Halbnormen === Die Äquivalenz der Halbnormen erhält man unmittelbar aus der Definition mit <math> C > 1</math>, denn es gilt: :<math> C \cdot \left\| v \right\|_\alpha = \left\| v \right\|_\beta </math> === Bemerkung: Submultiplikativität === Ist eine [[topologische Algebra]] ein [[Normen, Metriken, Topologie|normierter Raum]], so kann man im Allgemeinen nur sagen, dass die Submultiplikativität der Halbnorm mit einer bestimmten Stetigkeitskonstante der Multiplikation erfüllt, da die <math>\varepsilon</math>-Kugeln um den Nullvektor eine Nullumgebungsbasis erzeugen. Das Lemma zeigt, dass man ohne Einschränkung eine Halbnorm mit Stetigkeitskonstante auch durch eine äquivalente submultiplikative Halbnorm ersetzen kann. Das Vorgehen kann man analog für lokalbeschränkte Räume übernehmen. == Definition: p-Norm == Sei <math display="inline">V</math> ein [[topologischer Vektorraum|Vektorraum]] über dem Körper <math display="inline">\mathbb{K}</math> und <math>0 < p \leq 1</math>. Ein Funktional <math display="inline">\left\| \cdot \right\| : V\longrightarrow \mathbb{K}</math> heißt <math display="inline">p</math>-Norm auf <math display="inline">V</math>, falls <math display="inline">\left\| \cdot \right\| </math> folgende Bedingungen erfüllt: * (PN1) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle x\in V} : \left\| x \right\| \geq 0</math> * (PN2) <math display="inline">\displaystyle \left\| x \right\| = 0 \Longrightarrow x=0 </math> * (PN3) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle x\in V,\lambda\in \mathbb{K}} : \left\| \lambda\cdot x \right\| = |\lambda|^p\cdot \left\| x \right\| </math> * (PN4) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle x,y\in V} : \left\| x+y \right\| \leq \left\| x \right\| + \left\| y \right\| </math> === Pseudokonvexe Einheitkreise === Einheitskreise für ausgewählten <math>p</math>-Normen mit <math> \|(x,y)\| = x^p +y^p </math>. [[Datei:Unit Circle of Lp-norm, in R2 space.png|450px|Einheitskreise für ausgewählte Normen bzw. Quasinormen.]] Für <math>p\geq 1</math> sind die Einheitskreisscheiben <math>B_1^{\|\cdot \|}(0,0) := \{ (x,y)\in \mathbb{R}^2 \, \colon \, \|(x,y)\| < 1 \} </math> [[Konvexkombination|konvex]]. Für alle <math>0 < p < 1</math> ist die Einheitskreisscheibe nicht konvex. === Bemerkung - Konkavitätsexponent === Für <math>p \geq 1</math> kann man ein <math>p</math>-[[lokal beschränkt|Norm]] auch zu einer Norm machen, indem man die Norm <math> \left\| \cdot \right\|_\ast</math> wie folgt definert: :<math> \left\| x \right\|_{\ast} := \left\| x \right\|^{\frac{1}{p}} </math> === Beispiel - Folgenräume 1 === Sei <math> p \in \mathbb{R} </math> mit <math> 0 < p < 1 </math> und betrachtet man die Mengen der <math>p</math>-summierbaren Reihen <math> a:= (a_n)_{n\in\mathbb{N}} </math> in den reellen Zahlen. :<math>\ell_p(\mathbb{R}):=\left\{ (a_n)_{n\in\mathbb{N}} \ : \ \| a \|_p := \sum_{n=1}^\infty |a_n|^p < \infty \right\} </math> <math>\| \cdot \|_p </math> ist eine <math>p</math>-Norm auf dem <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraum <math>\ell_p(\mathbb{R})</math>. === Beispiel - Folgenräume 2 === Sei <math> (p_n)_{n\in \mathbb{N}} \in c_o(\mathbb{R}) </math> eine streng monoton fallende Nullfolge mit <math> 0 < p_n < 1 </math> und betrachtet man die Mengen der <math>(p_n)_{n\in \mathbb{N}}</math>-summierbaren Reihen <math> a:= (a_n)_{n\in\mathbb{N}} </math> in den reellen Zahlen. :<math>\ell (\mathbb{R},(p_n)_{n\in \mathbb{N}} ):=\left\{ (a_n)_{n\in\mathbb{N}} \ : \ \| a \|_{_{(p_n)}} := \sum_{n=1}^\infty |a_n|^{p_n} < \infty \right\} </math> <math>\| a \|_{p_k} = \sum_{n=1}^\infty |a_n|^{p_k} </math> ist mit festem <math>k\in \mathbb{N}</math> ein <math>p</math>-[[Gaugefunktional]] auf dem <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraum <math>\ell(\mathbb{R},(p_n)_{n\in \mathbb{N}})</math>. === Aufgabe - Folgenräume 2 === Überprüfen Sie, ob <math>\ell(\mathbb{R},(p_n)_{n\in \mathbb{N}})</math> ein topologischer Vektorraum mit dem <math>p</math>-Gaugefunktionalsystem <math> \left( \|\cdot \|_{p_k} \right)_{n\in \mathbb{N}}</math> ist! === Definition: p-Normierbarkeit === Sei <math display="inline">(V,\mathcal{T})</math> heißt <math display="inline">p</math>-normierbar oder [[lokal beschränkt]] mit der Konkavitätskonstante <math>p</math>, falls eine <math display="inline">p</math>-Norm :<math display="inline">\left\| \cdot \right\| : V\longrightarrow \mathbb{K}</math>, existiert, die die Topologie auf <math display="inline">V</math> erzeugt (formal <math display="inline">(V,\left\| \cdot \right\|) \in \mathcal{P}</math>). === Definition: p-Halbnorm === Sei <math display="inline">V</math> ein topologischer Vektorraum über dem Körper <math display="inline">\mathbb{K}</math> und <math>0 < p \leq 1</math>. Ein Funktional <math display="inline">\left\| \cdot \right\| : V\longrightarrow \mathbb{K}</math> heißt <math>p</math>-Halbnorm auf <math display="inline">V</math> mit <math display="inline">p</math> als [[Konkavitätsmodul|Konkavitätsexponent]], falls <math display="inline">\left\| \cdot \right\| </math> folgende Bedingungen erfüllt: * (PH1) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle x\in V} : \left\| x \right\| \geq 0</math> * (PH2) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle x\in V,\lambda\in \mathbb{K}} : \left\| \lambda\cdot x \right\| = |\lambda|^p \cdot \left\| x \right\| </math> * (PH3) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle x,y\in V} : \left\| x+y \right\| \leq \left\| x \right\| + \left\| y \right\| </math> === Bemerkung: p-Norm - p-Halbnorm === Falls (PN2) in der Definition der <math>p</math>-Norm nicht gilt, heißt <math display="inline">\left\| \cdot \right\| </math> <math display="inline">p</math>-Halbnorm mit <math display="inline">p</math> als Konkavitätskonstante. Analog zur Halbnorm kann eine einzelne <math display="inline">p</math>-Halbnorm nicht die Punkte im topologischen Vektorraum trennen ([[Hausdorff-Raum|Hausdorffeigenschaft T2]]). === Multiplikativ pseudokonvex - Submultiplikativität der p-Halbnorm === Ein <math>p</math>-Halbnorm ist submultiplikativ mit einer Stetigkeitskonstante <math> C > 0 </math>, wenn für alle <math> v_1,v_2 \in V </math> gilt: :<math> \left\| v_1 \cdot v_2 \right\| \leq C \cdot \left\| v_1 \right\| \cdot \left\| v_2 \right\|</math> <math>C</math> nennt man Stetigkeitskonstante der Multiplikation. Man kann die<math>p</math>- Halbnorm <math display="inline">\left\| \cdot \right\| </math> durch eine äquivalente <math>p</math>-Halbnorm <math display="inline">\left\| \cdot \right\|_1 </math>ersetzen, für die <math>C = 1</math> ist (siehe [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/MLC-Regularität|MPC-Regularität]]). === Definition: pseudokonvexer Vektorraum === Sei <math display="inline">(V,\mathcal{T})</math> heißt pseudokonvex, falls die Topologie <math display="inline">\mathcal{T}</math> durch ein System <math display="inline">\left\| \cdot \right\|_{\mathcal{A}}</math> von <math display="inline">p</math>-Halbnormen erzeugt wird, das die folgenden Eigenschaften besitzt. :<math display="inline">\left\| \cdot \right\|_{\alpha} : V\longrightarrow \mathbb{K} \mbox{ ist } p_{\alpha}\mbox{-homogen mit } \alpha \in \mathcal{A} \mbox{ und } p_{\alpha} \in (0,1]</math>, Formal notiert man <math display="inline">(V,\left\| \cdot \right\|_{\mathcal{A}}) \in \mathcal{PC}</math>. === Bemerkung: topologieerzeugende p-Norm === Eine <math display="inline">p</math>-Norm ist topologieerzeugend für die Topologie <math display="inline">\mathcal{T}\subseteq \wp(V) </math>, wenn die folgende Bedingung gilt: :<math>{\forall}_{ U\in \mathcal{T}} \forall_{ v_o \in U} \exists_{\varepsilon >0} : \, B_\varepsilon^{\left\| \cdot \right\| }(v_o):= \left\{ v \in V \, : \, \left\| x - x_o \right\| < \varepsilon \right\} </math> Die <math display="inline">\varepsilon</math>-Kugeln werden im weiteren Verlauf für die Charakterisierung der Stetigkeit verwendet. === Definition: Epsilonkugeln von p-Gaugefunktionalen=== Sei <math>V</math> ein Vektorraum und <math display="inline">\left\| \cdot \right\|_\alpha</math> ein <math>p</math>-Gaugefunktional auf <math display="inline">V</math>, dann ist die <math display="inline">\varepsilon</math>-Kugel von <math display="inline">\left\| \cdot \right\|_\alpha</math> mit <math display="inline">\varepsilon>0</math> um einen Punkt <math display="inline">v\in V</math> (Bezeichnung: <math display="inline">{\mathrm B}_\varepsilon^\alpha(v)</math>) wie folgt definiert: :<math> {\mathrm B}_\varepsilon^\alpha (v):= \{z\in V \,:\, \left\| z-v \right\| _\alpha<\varepsilon \} </math> === Definition: Quasinorm === Sei <math display="inline">V</math> ein topologischer Vektorraum über dem Körper <math display="inline">\mathbb{K}</math>. Ein Funktional :<math>\left\| \cdot \right\| : V\longrightarrow \mathbb{K}</math> heißt Quasinorm auf <math display="inline">V</math>, falls <math>\left\| \cdot \right\| </math> folgende Bedingungen erfüllt: * (QN1) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle x\in V} : \left\| x \right\| \geq 0</math> * (QN2) <math display="inline">\displaystyle \left\| x \right\| = 0 \Longrightarrow x=0 </math> * (QN3) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle x\in V,\lambda\in \mathbb{K}} : \left\| \lambda\cdot x \right\| = |\lambda|\cdot \left\| x \right\| </math> * (QN4) <math display="inline">\displaystyle \exists_{\displaystyle K>0} \forall_{\displaystyle x,y\in V} : \left\| x+y \right\| \leq K\cdot \left(\left\| x \right\| + \left\| y \right\| \right) </math> === Definition: Quasihalbnorm === Ein Funktional <math>\left\| \cdot \right\| : V\longrightarrow \mathbb{K} </math> auf einem Vektorraum <math display="inline">V</math> über dem Körper <math>\mathbb{K}</math> heißt Quasihalbnorm mit Stetigkeitskonstante der Addition <math>K \geq 1</math>, falls <math>\left\| \cdot \right\| </math> die folgende Bedingungen erfüllt: * (QH1) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle x\in V} : \left\| x \right\| \geq 0</math> * (QH2) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle x\in V,\lambda\in \mathbb{K}} : \left\| \lambda\cdot x \right\| = |\lambda|\cdot \left\| x \right\| </math> * (QH3) <math display="inline">\displaystyle \exists_{\displaystyle K>0} \forall_{\displaystyle x,y\in V} : \left\| x+y \right\| \leq K\cdot \left(\left\| x \right\| + \left\| y \right\| \right) </math> === Bemerkung: Quasinorm - Quasihalbnorm === Analog zu Halbnormen und Normen bzw. <math>p</math>-Normen und <math>p</math>-[[p-Halbnorm|Halbnormen]] wird eine Quasinorm zu einer Quasihalbnorm <math display="inline">\left\| \cdot \right\| </math> mit Stetigkeitskonstante <math display="inline">K</math> der Addition, falls (QN2) nicht mehr gilt. === Bemerkung: Stetigkeitskonstante === Die Stetigkeitskonstante hängt mit der [[p-Norm|Konkavitätskonstante einer <math>p</math>-Norm bzw. <math>p</math>-Halbnorm]] zusammen. Dies zeigt das [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Korrespondenz-Lemma für p-Halbnormen|Korrespondenzlemma für <math>p</math>-Halbnormen]] == Konvergenz über Netze == Sei <math>(X ,\mathcal{T})</math> eine [[Normen, Metriken, Topologie|topologischer Raum]], <math>x_0 \in X</math> und <math>(x_i)_{i \in I}\in X_I</math> ein Netz in <math>X</math> mit einer Indexmenge <math>I</math>, die nach oben gerichtet ist und eine partielle Ordnung besitzt. Die Konvergenz über [[Netze - Topologie|Netze]] wird wie folgt definiert: :<math> \stackrel{\mathcal{T}}{\lim_{i\to \infty}} x_i \, :\Longleftrightarrow \, (x_i)_{i\in I} \stackrel{\mathcal{T}}{\longrightarrow} x_0 \, :\Longleftrightarrow \, \forall_{U \in \mathfrak{U}_{\mathcal{T}}(x_0)} \exists_{i_U \in I} \forall_{i \geq i_U}: \, x_i \in U </math> == Definition: Algebrenklassen == Die Unterscheidung nach Algebrenklassen ist für die Untersuchung von permanent singulären Elemente wesentlich, da die Invertierbarkeit in einer Algebraerweiterung von der Klasse <math>\mathcal{K}</math> abhängt. === Notation 1: Algebrenklassen === Sei <math display="inline">\mathcal{K}</math> eine Klasse topologischer Algebren und <math display="inline">\mathbb{K}</math> ein Körper, dann werden mit folgenden Symbolen Teilklassen topologischer Algebren bezeichnet: * <math display="inline">\mathcal{K}_e</math> Klasse der unitalen Algebren in <math display="inline">\mathcal{K}</math>; * <math display="inline">\mathcal{K}^k</math> Klasse der kommutativen Algebren in <math display="inline">\mathcal{K}</math>, ''"kommutativ"'' bezieht sich auf die Multiplikation in den Algebren. * <math display="inline">\mathcal{K}(\mathbb{K})</math> Klasse der topologischen Algebren über <math display="inline">\mathbb{K}</math> in <math display="inline">\mathcal{K}</math>; === Notation 2: Algebrenklassen === * <math display="inline">{\mathcal{T}} </math> Klasse aller topologischen Algebren; * <math display="inline">{\mathcal{B}} </math> Klasse aller Banachalgebren (vollständig, normiert); * <math display="inline">{\mathcal{LC}}</math> Klasse der lokalkonvexen Algebren; d.h. Topologie durch ein System von Halbnormen erzeugt; * <math display="inline">{\mathcal{MLC}}</math> Klasse der multiplikativ lokalkonvexen Algebren; === Notation 3: Algebrenklassen === * <math display="inline">{\mathcal{P}}</math> Klasse der <math display="inline">p</math>-normierbaren Algebren bzw. lokal beschränkten Algebren; * <math display="inline">{\mathcal{PC}}</math> Klasse der pseudokonvexen Algebren; & d.h. Topologie durch ein System von <math display="inline">p</math>-Halbnormen erzeugt; * <math display="inline">{\mathcal{MPC}}</math> Klasse der multiplikativ pseudokonvexen Algebren. == Bemerkung: Pseudokonvexe Räume == Für pseudokonvexe Algebren kann das <math display="inline">{\mathcal{PC}}</math>-System auch aus den entsprechenden Quasihalbnormen bestehen. Mit dem [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Korrespondenz-Lemma_für_p-Halbnormen|Korrespondenzsatz für <math>p</math>-Halbnormen]] wird der Zusammenhang von <math display="inline">p</math>-Halbnormen und Quasihalbnormen erläutert. Ferner müssen nicht alle <math display="inline">p</math>-Halbnormen <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _\alpha</math> die gleiche Konkavitätskonstante (siehe Definition [[Gaugefunktional]]) <math display="inline">0<p_\alpha\leq 1</math> besitzen, d.h. für <math display="inline">p_\alpha</math> gilt :<math display="block"> |\lambda|^{p_\alpha} \cdot \left\| x \right\| _\alpha = \left\| \lambda\cdot x \right\| _\alpha \mbox{ für alle } x\in A \mbox{ und } \lambda\in \mathbb{K}. </math> == Aufgabe 1: Norm == Zeichnen Sie die <math>\varepsilon</math>-Kugel in <math>V:=\mathbb{R}^2</math> mit <math>p\geq 1 </math> und :<math> \begin{array}{rrcl} \left\|\cdot \right\|_p : & \mathbb{R}^2 & \rightarrow & \mathbb{R}_o^{+} \\ & x & \mapsto & \left\| \left( \begin{array}{c} x_1\\x_2 \end{array} \right) \right\|_p := \sqrt[p]{|x_1|^p + |x_2|^p} \end{array} </math> Zeichnen Sie den Rand der <math>\varepsilon</math>-Kugeln <math>B_{\varepsilon}^{\left\| \cdot \right\|_p }\left( x \right)</math> bzgl. der Norm <math>\left\| \cdot \right\|_p </math> mit * <math>p= 1</math> <math>\varepsilon = 1</math> und <math>x= \left( \begin{array}{c} x_1\\x_2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0\\0 \end{array} \right)</math> * <math>p=3</math> <math>\varepsilon = 1</math> und <math>x= \left( \begin{array}{c} x_1\\x_2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0\\0 \end{array} \right)</math> == Aufgabe 2: p-Norm == Zeichnen Sie die <math>\varepsilon</math>-Kugel in <math>V:=\mathbb{R}^2</math> mit <math>p\leq 1 </math> und :<math> \begin{array}{rrcl} \left\|\cdot \right\|_p : & \mathbb{R}^2 & \rightarrow & \mathbb{R}_o^{+} \\ & x & \mapsto & \left\| \left( \begin{array}{c} x_1\\x_2 \end{array} \right) \right\|_p := |x_1|^p + |x_2|^p \end{array} </math> Zeichnen Sie den Rand der <math>\varepsilon</math>-Kugeln <math>B_{\varepsilon}^{\left\| \cdot \right\|_p }\left( x \right)</math> bzgl. der Norm <math>\left\| \cdot \right\|_p </math> mit * <math>p= \frac{1}{4}</math> <math>\varepsilon = 1</math> und <math>x= \left( \begin{array}{c} x_1\\x_2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0\\0 \end{array} \right)</math> * <math>p= \frac{1}{2}</math> <math>\varepsilon = 1</math> und <math>x= \left( \begin{array}{c} x_1\\x_2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0\\0 \end{array} \right)</math> == Siehe auch == * [[Gaugefunktionalsystem]] * [[Hausdorff-Raum]] * [[Kreisschnittdurchmesser]] * [[Netze (Mathematik)]] * [[Normen, Metriken, Topologie]] * [[Norm (Mathematik)]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Korrespondenz-Lemma für p-Halbnormen|Korrespondenzlemma für <math>p</math>-Halbnormen]] * [[Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]] * [[Stetigkeitssequenz]] * [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/MLC-Regularität|MLC-Regularität]] * [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/MPC-Regularität|MPC-Regularität]] * [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/LC-Regularität|LC-Regularität]] * [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/PC-Regularität|PC-Regularität]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Gaugefunktionale&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Gaugefunktionale&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] 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[[]] --> [[Category:Pseudokonvexer Raum]] [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude> [[en:Inverse-producing extensions of Topological Algebras/Gauge functionals]] </noinclude> 1npo38asywuogm0v80dess7iliz9qf4 1118913 1118912 2026-11-05T10:17:17Z Bert Niehaus 20843 /* Bemerkung: unital positives äquivalentes Gaugefunktionalsystem */ 1118913 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In reellen Zahlen gibt es den Betrag, um z.B. Konvergenz im Raum ausdrücken zu können. Mit dem Betrag kann man <math>\varepsilon</math>-Umgebungen definieren und die Folgenkonvergenz wird über diese <math>\varepsilon</math>-Umgebungen definiert. Ferner werden zu kreisförmigen Nullumgebungen <math>U</math> Minkowski-Funktionale definiert, in Abhängigkeit von topologischen Eigenschaften der Menge bestimmte Eigenschaften der Minkowski-Funktionale liefert. === Konvergenz in den reellen Zahlen === Die reellen Zahlen mit dem Betrag <math>(\mathbb{R},|\cdot |)</math> ist ein normierter Raum und <math>(v_n)_{n\in\mathbb{N}} \in \mathbb{R}^{\mathbb{N}}</math> eine Folge in <math>\mathbb{R}</math> und <math>v_o \in \mathbb{R}</math>: :<math> \lim_{n \to \infty} v_n = v_o \ :\Longleftrightarrow \ \forall_{\epsilon > 0} \exists_{n_\epsilon \in \mathbb{N}} \forall_{n \geq n_\epsilon} \ : \ |v_n - v_o | < \epsilon </math> === Konvergenz in normierten Räumen === Analog definiert man die Konvergenz in normierten Räumen <math>(V,\|\cdot \|)</math> <math>(v_n)_{n\in\mathbb{N}} \in V^{\mathbb{N}}</math> eine Folge in <math>V</math> und <math>v_o \in V</math>: :<math> \lim_{n \to \infty}^{\|\cdot\|} v_n = v_o \ :\Longleftrightarrow \ \forall_{\epsilon > 0} \exists_{n_\epsilon \in \mathbb{N}} \forall_{n \geq n_\epsilon} \ : \ \|v_n - v_o\| < \epsilon </math> [[Datei:Audio15 def konvergenz norm.ogg|mini|audio15_def_konvergenz_norm.ogg]] === Epsilonumgebungen === Die Betrag bzw. allgemeiner die Norm wird in <math>(V,\|\cdot \|)</math> auch zur Definition der <math>\varepsilon</math>-Umgebungen verwendet. :<math>B_\varepsilon^{\|\cdot\|}(a):= \left\{ x\in V \, : \, \|x-a\| < \varepsilon \right\}</math> Diese topologieerzeugenden Funktionale (Gaugefunktionale) werden für die Definition der Algebraerweiterungen benötigt, in den ein gegebenes <math>z</math> ein inverses Element besitzt. Die Topologisierung der Potenzreihenalgebra erfolgt später mit Gaugefunktionalen (z.B. Halbnormen, <math>p</math>-Halbnormen, ...) === Absorbierende Mengen === Die Gaugefunktionale werden über kreisförmige absorbierende Nullumgebungen definiert, für die dann das zugehörige Minkowskifunktional das zugehörige Gaugefunktional erzeugt. Die Grundlagen liefert die folgende Abschnitte. == Folien zu Gaugefunktionalen == * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Kreisförmige Mengen|Kreisförmige Mengen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Kreisf%C3%B6rmige%20Mengen&author=Gaugefunktional&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kreisf%C3%B6rmige%20Mengen&coursetitle=Gaugefunktional Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Minkowski-Funktionale|Minkowski-Funktionale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Minkowski-Funktionale&author=Gaugefunktional&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Minkowski-Funktionale&coursetitle=Gaugefunktional Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Gaugefunktional/Schnittmengenlemma|Schnittmengenlemma]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Gaugefunktional/Schnittmengenlemma&author=Gaugefunktional&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Schnittmengenlemma&coursetitle=Gaugefunktional Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] == Einführung Gaugefunktionale == Bei der Verwendung von Gaugefunktionalen werden die definierenden Eigenschaften einer Norm weiter verallgemeinert, um in analoger Weise topologieerzeugende Funktionale in beliebigen topologischen Algebren verwenden zu können. Dadurch wird es nicht mehr notwendig sein, z.B. Stetigkeit über die offene Mengen aus der Topologie zu beschreiben (siehe auch [[Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen|Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]]). <span id="p-homogen"></span> <span id="p-homogen"></span> === Definition: p-homogen === Sei <math display="inline">V</math> ein Vektorraum über <math display="inline">\mathbb{K}</math>. Ein Funktional <math display="inline">f:V\longrightarrow \mathbb{K}</math> heißt <math display="inline">p</math>-homogen, falls es ein <math display="inline">p\in \mathbb{K}</math> mit <math display="inline">0<p\leq 1</math> gibt, für das gilt: :<math display="block"> \forall_{\displaystyle x\in V,\lambda\in \mathbb{K}} : f(\lambda\cdot x)=|\lambda|^p\cdot f(x) </math> Ist <math display="inline">p=1</math>, so heißt <math display="inline">f</math> homogen. <math display="inline">f</math> heißt nicht-negativ, falls für alle <math display="inline">x\in V</math> gilt <math display="inline">f(x)\geq 0</math>. === Definition: p-Gaugefunktional === Sei <math display="inline">V</math> ein Vektorraum über <math display="inline">\mathbb{K}</math>. Ein nicht-negatives, <math display="inline">p</math>-homogenes Funktional <math display="inline">f:V\longrightarrow \mathbb{K}</math> heißt <math display="inline">p</math>-Gaugefunktional auf <math display="inline">V</math> und für <math display="inline">p=1</math> Gaugefunktional. === Beispiel: p-Gaugefunktional === Sei <math>0 < p \leq 1</math> und <math>V_p:=\left\{(x_n)_{n\in \mathbb{N}} \in \mathbb{R}^{\mathbb{N}} \, : \,\sum_{n=1}^{\infty} |x_n|^p < \infty \mbox{ mit } x=(x_n)_{n\in \mathbb{N}} \right\}</math>, dann ist <math> \|x\|_p := \sum_{n=1}^{\infty} |x_n|^p </math> ein <math>p</math>-Gaugefunktional auf <math>V</math>. === Aufgabe: p-Gaugefunktional === Gegeben ist der Vektorraum <math>V_p</math> und das <math>p</math>-Gaugefunktional <math> \|x\|_p := \sum_{n=1}^{\infty} |x_n|^p </math>. Zeigen Sie, dass <math>\left( \frac{1}{n^2}\right)_{n\in \mathbb{N}}\in V_1</math> aber <math>\left( \frac{1}{n^2}\right)_{n\in \mathbb{N}}\notin V_{\frac{1}{2}}</math>. Welche Mengeninklusion gilt allgemein für <math>V_p</math> und <math>V_q</math> mit <math>p < q</math> und <math> p,q \in (0,1]</math>? === Bemerkung === Die <math>p</math>-Homogenität hat einerseits eine engen Zusammenhang zur Stetigkeit der Multiplikation mit Skalaren und das <math>p \in (0,1]</math> bestimmt den Zusammenhang mit eine [[Quasihalbnorm|Quasihalbnorm]]. <span id="Gaugefunktionalsystem"></span> === Definition: p-Gaugefunktionalsystem === Sei <math display="inline">V</math> ein Vektorraum über <math display="inline">\mathbb{K}</math>, <math display="inline">I</math> eine Indexmenge und für alle <math display="inline">\alpha\in I</math> sei <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _\alpha</math> ein <math display="inline">p</math>-Gaugefunktional auf <math display="inline">V</math>. Dann wird mit <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _I</math> die Menge aller <math display="inline">p</math>-Gaugefunktionale mit Indizes aus <math display="inline">I</math> bezeichnet, d.h. :<math> \left\| \cdot \right\| _I :=\left\{ \left\| \cdot \right\| _\alpha :\alpha \in I\right\}. </math> <math display="inline">\left\| \cdot \right\|_I</math> heißt System von <math>p</math>-Gaugefunktionalen. Ist <math>p=1</math> nennt man <math display="inline">\left\| \cdot \right\|_I</math> Gaugefunktionalsystem. === Bemerkung - Unitale topologische Algebren === Auf [[topologische Algebra|topologischen Algebren]] <math>(A,\mathcal{T})</math> mit einem Einselement <math>e\in A</math> als neutrales Element der Multiplikation, muss man mit dem Gaugefunktionalsystem bzw. <math>p</math>-Gaugefunktionalsystem :<math> \left\| \cdot \right\| _I :=\left\{ \left\| \cdot \right\| _\alpha :\alpha \in I\right\}. </math> den Nullvektor <math>0_{_A} \in A</math> und das Einselement <math>e\in A</math> trennen können, d.h. man muss einen <math>\alpha_e \in I</math> finden, für <math>\| e\|_{\alpha_e} > 0</math>. === Definition: Äquivalenz von p-Gaugefunktionalsystemen === Sei <math display="inline">V</math> ein Vektorraum über <math display="inline">\mathbb{K}</math> und <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{I_1}</math>, <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{I_2}</math> zwei <math>p</math>-Gaugefunktionalsysteme auf <math>V</math>. Die <math>p</math>-Gaugefunktionalsysteme <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{I_1}</math> und <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{I_2}</math> heißen ''äquivalent'', wenn folgende beiden Bedingungen gelten: * (EQ1) <math> \forall_{\alpha \in I_1} \exists_{\beta \in I_2, C_\beta >0} \forall_{v \in V}: \, \, \| v \|_{\alpha} \leq C_{\beta} \cdot \| v \|_{\beta} </math> * (EQ2) <math> \forall_{\beta \in I_2} \exists_{\alpha \in I_1, C_\alpha >0} \forall_{v \in V}: \, \, \| v \|_{\beta} \leq C_{\alpha} \cdot \| v \|_{\alpha} </math> === Beispiel - p-Gaugefunktionalsystem === Sei <math>p > 0</math> und <math>V := \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> die Menge der stetigen Funktion von <math>\mathbb{R}</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Die Menge der <math>p</math>-Gaugefunktional wird mit <math>\alpha \in I := \mathbb{R}^{+}</math> wie folgt definiert: :<math> \left\| \cdot \right\| _I :=\left\{ \left\| \cdot \right\| _\alpha :\alpha \in I\right\}. </math> mit :<math> \left\| f \right\| _\alpha := \int_{-\alpha}^{+\alpha} \left| f(x) \right|^p d\,x </math> === Definition: Basiserzeugendes p-Gaugefunktionalsystem === Sei <math display="inline">(V,\mathcal{T})</math> ein topologischer Vektorraum mit dem System von offenen Mengen <math>\mathcal{T}</math> auf <math>V</math>. Ferner sei <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _I</math> eine Menge von <math display="inline">p</math>-Gaugefunktionalen auf <math display="inline">V</math>. Das <math>p</math>-Gaugefunktionalsystem heißt ''basiserzeugend'' für <math>\mathcal{T}</math>, wenn gilt: * (BE1) <math>\forall_{ x_o \in V} \forall_{\alpha \in I} \forall_{\varepsilon >0} : \, B_\varepsilon^{\alpha}(x_o):= \left\{ x \in V \, : \, \left\| x - x_o \right\|_\alpha < \varepsilon \right\} \in \mathcal{T} </math> * (BE2) <math> {\forall}_{ U\in \mathcal{T}} \forall_{ x_o \in U} \exists_{\alpha \in I, \varepsilon >0} : \, B_\varepsilon^{\alpha}(x_o):= \left\{ x \in V \, : \, \left\| x - x_o \right\|_\alpha < \varepsilon \right\} \subseteq U </math> === Bemerkung: Basiserzeugendes p-Gaugefunktionalsystem === * (BE1) bedeutet dabei, dass die <math>\varepsilon</math>-Kugeln <math> B_\varepsilon^{\alpha}(v_o)</math> selbst offene Mengen sind. * Mit (BE2) lässt sich jede offene Menge <math>U</math> aus der Topologie <math>\mathcal{T}</math> als Vereinigung von <math>\varepsilon</math>-Kugeln darstellen. Da beliebige Vereinigungen von offenen Mengen in einem topologischen Raum nach [[Normen, Metriken, Topologie|Axiom (T3)]] auch wieder offen sein müssen, ist damit die Vereinigung von <math>\varepsilon</math>-Kugeln <math> B_\varepsilon^{\alpha}(v_o)</math> mit <math>\alpha \in I</math>, <math>v_o\in V</math> und <math>\varepsilon >0</math> selbst wieder offen. === Definition: Subbasiserzeugendes p-Gaugefunktionalsystem === Sei <math display="inline">(V,\mathcal{T})</math> ein topologischer Vektorraum mit dem System von offenen Mengen <math>\mathcal{T}</math> auf <math>V</math>. Ferner sei <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _I</math> eine Menge von <math display="inline">p</math>-Gaugefunktionalen auf <math display="inline">V</math>. Das <math>p</math>-Gaugefunktionalsystem heißt ''subbasiserzeugend'' für <math>\mathcal{T}</math>, wenn gilt mit <math>\, B_\varepsilon^{\alpha}(v_o):= \left\{ v \in V \, : \, \left\| x - x_o \right\|_\alpha < \varepsilon \right\} </math>: * (SE1) <math>\forall_{ v_o \in V} \forall_{\alpha \in I} \forall_{\varepsilon >0} : \, \, B_\varepsilon^{\alpha}(v_o) \in \mathcal{T} </math> * (SE2) <math> {\forall}_{ U\in \mathcal{T}} \forall_{ v_o \in U} \exists_{n\in \mathbb{N}} \exists_{\alpha_1 , \ldots , \alpha_n \in I, \varepsilon >0} : \, B_\varepsilon^{(\alpha_1 , \ldots , \alpha_n)}(v_o) \subseteq U </math> mit :<math> B_\varepsilon^{(\alpha_1 , \ldots , \alpha_n)}(v_o):= \left\{ v \in V \, : \, \left\| x - x_o \right\|_{\alpha_k} < \varepsilon \mbox{ für alle } k\in \{1,\ldots ,n\}\right\} </math> === Bemerkung: Unterschied topologieerzeugend - subbasiserzeugend === Bei einem topologieerzeugenden <math>p</math>-Gaugefunktionalsystem vereinfacht (T2) man die Handhanbung von endlichen Schnitten offener Mengen in einer Topologie. (S2) muss daher endliche Schnitte der von Umgebungen berücksichtigen, indem man den Schnitt <math>\varepsilon</math>-Kugeln <math>B_{\varepsilon_1}^{\alpha_1}, \ldots , B_{\varepsilon_n}^{\alpha_n}</math> durch die Bedingung :<math> \left\| x - x_o \right\|_{\alpha_k} < \varepsilon_k \mbox{ für alle } k\in \{1,\ldots ,n\} </math> mit <math>\varepsilon := \min\{ \varepsilon_k > 0 \, : \, k \in \,\{1,\ldots ,n \}\, \}</math> verlangt. === Definition: unital positiv === Sei <math display="inline">(A,\left\| \cdot \right\| _{I})</math> eine unitale topologische Algebra über <math display="inline">\mathbb{K}</math> mit dem Einselement der Multiplikation <math display="inline">e_{\!\!_A} \in A</math>. Das <math>p</math>-Gaugefunktionalsystem <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{I}</math> heißt ''unital positiv'' genau dann, wenn für alle <math display="inline">\alpha\in I</math> die Bedingung <math display="inline">\left\| e_{\!\!_A} \right\| _\alpha > 0</math>. === Bemerkung - unital positiv === Man kann immer ein äquivalentes Gaugefunktionalsystem für eine [[topologische Algebra]] finden, das unital positiv ist, da topologische Algebra zwar nicht notwendig ein [[Hausdorff-Raum]] sein muss, aber zumindest das Einselement <math>e_{\!\!_A}</math> und den Nullvektor <math>0_{\!\!_A}</math> topologische durch eine Nullumgebung nach Definition trennen muss. === Bemerkung: unital positives äquivalentes Gaugefunktionalsystem === Man kann ein <math display="inline">p</math>-Gaugefunktionalsystem auf einer topologischen Algebra durch eine äquivalentes unital positives <math display="inline">p</math>-Gaugefunktionalsystem ersetzen, indem man die Trennungseigenschaft eines Hausdorffraumes dazu verwendet, Minkowkifunktionale von kreisförmigen Nullumgebungen verwendet, die das Einselement nicht enthalten. Dann erhält man unmittelbar sogar <math display="inline">\left\| e_{\!\!_A} \right\| _\alpha \geq 1</math>, wenn <math> e_{\!\!_A} \notin U_\alpha </math> und <math display="inline">\left\| x \right\| _\alpha := p_{\!_{U_\alpha}}(x)</math> als [[Minkowski-Funktional]] der absorbiernden Nullumgebung <math> U_\alpha </math> verwendet wird. === Bemerkung: p-Norm und Norm === Der Begriff der Norm ist ein Spezialfall einer <math>p</math>-Norm mit <math>p=1</math>, die im folgenden definiert wird. === Definition: Norm === Sei <math display="inline">V</math> ein topologischer Vektorraum über dem Körper <math display="inline">\mathbb{K}</math>. Ein Funktional <math display="inline">\left\| \cdot \right\| : V\longrightarrow \mathbb{K}</math> heißt Norm auf <math display="inline">V</math>, falls <math display="inline">\left\| \cdot \right\| </math> folgende Bedingungen erfüllt: * (N1) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle x\in V} : \left\| x \right\| \geq 0</math> * (N2) <math display="inline">\displaystyle \left\| x \right\| = 0 \Longrightarrow x=0 </math> * (N3) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle x\in V,\lambda\in \mathbb{K}} : \left\| \lambda\cdot x \right\| = |\lambda|\cdot \left\| x \right\| </math> * (N4) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle x,y\in V} : \left\| x+y \right\| \leq \left\| x \right\| + \left\| y \right\| </math> === Definition: Halbnorm === Sei <math display="inline">V</math> ein topologischer Vektorraum über dem Körper <math display="inline">\mathbb{K}</math>. Ein Funktional <math display="inline">\left\| \cdot \right\| : V\longrightarrow \mathbb{K}</math> heißt Halbnorm auf <math display="inline">V</math>, falls <math display="inline">\left\| \cdot \right\| </math> folgende Bedingungen erfüllt: * (H1) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle x\in V} : \left\| x \right\| \geq 0</math> * (H2) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle x\in V,\lambda\in \mathbb{K}} : \left\| \lambda\cdot x \right\| = |\lambda|\cdot \left\| x \right\| </math> * (H3) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle x,y\in V} : \left\| x+y \right\| \leq \left\| x \right\| + \left\| y \right\| </math> === Bemerkung: Halbnorm - Norm === Falls (N2) in der Definition der Norm nicht gilt, erhält man eine <math display="inline">\left\| \cdot \right\| </math> Halbnorm. (N2) sorgt für die Hausdorfeigenschaft in dem topologischen Vektorraum. Man kann mit der Norm die Punkte trennen, d.h. mit der Norm man messen, ob zwei Vektoren <math>v_1,v_2 \in V </math> sich unterscheiden, d.h. <math>v_1\not= v_2</math> bzw. <math>v_1 - v_2 \not= 0_V</math> gilt. === Multiplikativ konvex - Submultiplikativität der Halbnorm === Ein Halbnorm ist submultiplikativ mit einer Stetigkeitskonstante <math> C > 0 </math>, wenn für alle <math> v_1,v_2 \in V </math> gilt: :<math> \left\| v_1 \cdot v_2 \right\| \leq C \cdot \left\| v_1 \right\| \cdot \left\| v_2 \right\|</math> <math>C</math> nennt man Stetigkeitskonstante der Multiplikation. Man kann die Halbnorm <math display="inline">\left\| \cdot \right\| </math> durch eine äquivalente Halbnorm <math display="inline">\left\| \cdot \right\|_1 </math>ersetzen, für die <math>C = 1</math> ist (siehe [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/MLC-Regularität|MLC-Regularität]]). == Lemma: Stetigkeitskonstante und Submultiplikativität == Sei <math> (A , \| \cdot \|_{\mathcal{A}} ) </math> eine lokalkonvexe topologische Algebra mit dem basiserzeugenden Halbnormensystem <math> \| \cdot \|_{\mathcal{A}} </math> und eine submultiplikative Halbnorm mit Stetigkeitskonstante <math> C > 0 </math> und <math> v_1,v_2 \in V </math> gegeben mit: :<math> \left\| v_1 \cdot v_2 \right\|_\alpha \leq C \cdot \left\| v_1 \right\|_\alpha \cdot \left\| v_2 \right\|_\alpha ,</math> dann gibt es eine äquivalente Halbnorm <math> \| \cdot \|_{\beta} </math> mit :<math> \left\| v_1 \cdot v_2 \right\|_\beta \leq \left\| v_1 \right\|_\beta \cdot \left\| v_2 \right\|_\beta ,</math> == Beweis: Stetigkeitskonstante und Submultiplikativität == Ist <math> 0 < C \leq 1 </math> erhält die Submultiplikativität direkt mit :<math> \left\| v_1 \cdot v_2 \right\|_\alpha \leq C \cdot \left\| v_1 \right\|_\alpha \cdot \left\| v_2 \right\|_\alpha \leq \left\| v_1 \right\|_\alpha \cdot \left\| v_2 \right\|_\alpha </math> === Beweis: Definition der Halbnorm === Gilt nun <math> C > 1 </math>, so definiert man für alle <math> v \in A </math>: :<math> \left\| v \right\|_\beta := C \cdot \left\| v \right\|_\alpha </math> und man erhält die Submultiplikativität über: :<math> \left\| v_1 \cdot v_2 \right\|_\beta \leq C \cdot \left\| v_1 \cdot v_2 \right\|_\alpha \leq C^2 \cdot \left\| v_2 \right\|_\alpha \cdot \left\| v_2 \right\|_\alpha = \left\| v_1 \right\|_\beta \cdot \left\| v_2 \right\|_\beta </math> === Beweis: Äquivalenz der Halbnormen === Die Äquivalenz der Halbnormen erhält man unmittelbar aus der Definition mit <math> C > 1</math>, denn es gilt: :<math> C \cdot \left\| v \right\|_\alpha = \left\| v \right\|_\beta </math> === Bemerkung: Submultiplikativität === Ist eine [[topologische Algebra]] ein [[Normen, Metriken, Topologie|normierter Raum]], so kann man im Allgemeinen nur sagen, dass die Submultiplikativität der Halbnorm mit einer bestimmten Stetigkeitskonstante der Multiplikation erfüllt, da die <math>\varepsilon</math>-Kugeln um den Nullvektor eine Nullumgebungsbasis erzeugen. Das Lemma zeigt, dass man ohne Einschränkung eine Halbnorm mit Stetigkeitskonstante auch durch eine äquivalente submultiplikative Halbnorm ersetzen kann. Das Vorgehen kann man analog für lokalbeschränkte Räume übernehmen. == Definition: p-Norm == Sei <math display="inline">V</math> ein [[topologischer Vektorraum|Vektorraum]] über dem Körper <math display="inline">\mathbb{K}</math> und <math>0 < p \leq 1</math>. Ein Funktional <math display="inline">\left\| \cdot \right\| : V\longrightarrow \mathbb{K}</math> heißt <math display="inline">p</math>-Norm auf <math display="inline">V</math>, falls <math display="inline">\left\| \cdot \right\| </math> folgende Bedingungen erfüllt: * (PN1) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle x\in V} : \left\| x \right\| \geq 0</math> * (PN2) <math display="inline">\displaystyle \left\| x \right\| = 0 \Longrightarrow x=0 </math> * (PN3) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle x\in V,\lambda\in \mathbb{K}} : \left\| \lambda\cdot x \right\| = |\lambda|^p\cdot \left\| x \right\| </math> * (PN4) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle x,y\in V} : \left\| x+y \right\| \leq \left\| x \right\| + \left\| y \right\| </math> === Pseudokonvexe Einheitkreise === Einheitskreise für ausgewählten <math>p</math>-Normen mit <math> \|(x,y)\| = x^p +y^p </math>. [[Datei:Unit Circle of Lp-norm, in R2 space.png|450px|Einheitskreise für ausgewählte Normen bzw. Quasinormen.]] Für <math>p\geq 1</math> sind die Einheitskreisscheiben <math>B_1^{\|\cdot \|}(0,0) := \{ (x,y)\in \mathbb{R}^2 \, \colon \, \|(x,y)\| < 1 \} </math> [[Konvexkombination|konvex]]. Für alle <math>0 < p < 1</math> ist die Einheitskreisscheibe nicht konvex. === Bemerkung - Konkavitätsexponent === Für <math>p \geq 1</math> kann man ein <math>p</math>-[[lokal beschränkt|Norm]] auch zu einer Norm machen, indem man die Norm <math> \left\| \cdot \right\|_\ast</math> wie folgt definert: :<math> \left\| x \right\|_{\ast} := \left\| x \right\|^{\frac{1}{p}} </math> === Beispiel - Folgenräume 1 === Sei <math> p \in \mathbb{R} </math> mit <math> 0 < p < 1 </math> und betrachtet man die Mengen der <math>p</math>-summierbaren Reihen <math> a:= (a_n)_{n\in\mathbb{N}} </math> in den reellen Zahlen. :<math>\ell_p(\mathbb{R}):=\left\{ (a_n)_{n\in\mathbb{N}} \ : \ \| a \|_p := \sum_{n=1}^\infty |a_n|^p < \infty \right\} </math> <math>\| \cdot \|_p </math> ist eine <math>p</math>-Norm auf dem <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraum <math>\ell_p(\mathbb{R})</math>. === Beispiel - Folgenräume 2 === Sei <math> (p_n)_{n\in \mathbb{N}} \in c_o(\mathbb{R}) </math> eine streng monoton fallende Nullfolge mit <math> 0 < p_n < 1 </math> und betrachtet man die Mengen der <math>(p_n)_{n\in \mathbb{N}}</math>-summierbaren Reihen <math> a:= (a_n)_{n\in\mathbb{N}} </math> in den reellen Zahlen. :<math>\ell (\mathbb{R},(p_n)_{n\in \mathbb{N}} ):=\left\{ (a_n)_{n\in\mathbb{N}} \ : \ \| a \|_{_{(p_n)}} := \sum_{n=1}^\infty |a_n|^{p_n} < \infty \right\} </math> <math>\| a \|_{p_k} = \sum_{n=1}^\infty |a_n|^{p_k} </math> ist mit festem <math>k\in \mathbb{N}</math> ein <math>p</math>-[[Gaugefunktional]] auf dem <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraum <math>\ell(\mathbb{R},(p_n)_{n\in \mathbb{N}})</math>. === Aufgabe - Folgenräume 2 === Überprüfen Sie, ob <math>\ell(\mathbb{R},(p_n)_{n\in \mathbb{N}})</math> ein topologischer Vektorraum mit dem <math>p</math>-Gaugefunktionalsystem <math> \left( \|\cdot \|_{p_k} \right)_{n\in \mathbb{N}}</math> ist! === Definition: p-Normierbarkeit === Sei <math display="inline">(V,\mathcal{T})</math> heißt <math display="inline">p</math>-normierbar oder [[lokal beschränkt]] mit der Konkavitätskonstante <math>p</math>, falls eine <math display="inline">p</math>-Norm :<math display="inline">\left\| \cdot \right\| : V\longrightarrow \mathbb{K}</math>, existiert, die die Topologie auf <math display="inline">V</math> erzeugt (formal <math display="inline">(V,\left\| \cdot \right\|) \in \mathcal{P}</math>). === Definition: p-Halbnorm === Sei <math display="inline">V</math> ein topologischer Vektorraum über dem Körper <math display="inline">\mathbb{K}</math> und <math>0 < p \leq 1</math>. Ein Funktional <math display="inline">\left\| \cdot \right\| : V\longrightarrow \mathbb{K}</math> heißt <math>p</math>-Halbnorm auf <math display="inline">V</math> mit <math display="inline">p</math> als [[Konkavitätsmodul|Konkavitätsexponent]], falls <math display="inline">\left\| \cdot \right\| </math> folgende Bedingungen erfüllt: * (PH1) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle x\in V} : \left\| x \right\| \geq 0</math> * (PH2) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle x\in V,\lambda\in \mathbb{K}} : \left\| \lambda\cdot x \right\| = |\lambda|^p \cdot \left\| x \right\| </math> * (PH3) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle x,y\in V} : \left\| x+y \right\| \leq \left\| x \right\| + \left\| y \right\| </math> === Bemerkung: p-Norm - p-Halbnorm === Falls (PN2) in der Definition der <math>p</math>-Norm nicht gilt, heißt <math display="inline">\left\| \cdot \right\| </math> <math display="inline">p</math>-Halbnorm mit <math display="inline">p</math> als Konkavitätskonstante. Analog zur Halbnorm kann eine einzelne <math display="inline">p</math>-Halbnorm nicht die Punkte im topologischen Vektorraum trennen ([[Hausdorff-Raum|Hausdorffeigenschaft T2]]). === Multiplikativ pseudokonvex - Submultiplikativität der p-Halbnorm === Ein <math>p</math>-Halbnorm ist submultiplikativ mit einer Stetigkeitskonstante <math> C > 0 </math>, wenn für alle <math> v_1,v_2 \in V </math> gilt: :<math> \left\| v_1 \cdot v_2 \right\| \leq C \cdot \left\| v_1 \right\| \cdot \left\| v_2 \right\|</math> <math>C</math> nennt man Stetigkeitskonstante der Multiplikation. Man kann die<math>p</math>- Halbnorm <math display="inline">\left\| \cdot \right\| </math> durch eine äquivalente <math>p</math>-Halbnorm <math display="inline">\left\| \cdot \right\|_1 </math>ersetzen, für die <math>C = 1</math> ist (siehe [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/MLC-Regularität|MPC-Regularität]]). === Definition: pseudokonvexer Vektorraum === Sei <math display="inline">(V,\mathcal{T})</math> heißt pseudokonvex, falls die Topologie <math display="inline">\mathcal{T}</math> durch ein System <math display="inline">\left\| \cdot \right\|_{\mathcal{A}}</math> von <math display="inline">p</math>-Halbnormen erzeugt wird, das die folgenden Eigenschaften besitzt. :<math display="inline">\left\| \cdot \right\|_{\alpha} : V\longrightarrow \mathbb{K} \mbox{ ist } p_{\alpha}\mbox{-homogen mit } \alpha \in \mathcal{A} \mbox{ und } p_{\alpha} \in (0,1]</math>, Formal notiert man <math display="inline">(V,\left\| \cdot \right\|_{\mathcal{A}}) \in \mathcal{PC}</math>. === Bemerkung: topologieerzeugende p-Norm === Eine <math display="inline">p</math>-Norm ist topologieerzeugend für die Topologie <math display="inline">\mathcal{T}\subseteq \wp(V) </math>, wenn die folgende Bedingung gilt: :<math>{\forall}_{ U\in \mathcal{T}} \forall_{ v_o \in U} \exists_{\varepsilon >0} : \, B_\varepsilon^{\left\| \cdot \right\| }(v_o):= \left\{ v \in V \, : \, \left\| x - x_o \right\| < \varepsilon \right\} </math> Die <math display="inline">\varepsilon</math>-Kugeln werden im weiteren Verlauf für die Charakterisierung der Stetigkeit verwendet. === Definition: Epsilonkugeln von p-Gaugefunktionalen=== Sei <math>V</math> ein Vektorraum und <math display="inline">\left\| \cdot \right\|_\alpha</math> ein <math>p</math>-Gaugefunktional auf <math display="inline">V</math>, dann ist die <math display="inline">\varepsilon</math>-Kugel von <math display="inline">\left\| \cdot \right\|_\alpha</math> mit <math display="inline">\varepsilon>0</math> um einen Punkt <math display="inline">v\in V</math> (Bezeichnung: <math display="inline">{\mathrm B}_\varepsilon^\alpha(v)</math>) wie folgt definiert: :<math> {\mathrm B}_\varepsilon^\alpha (v):= \{z\in V \,:\, \left\| z-v \right\| _\alpha<\varepsilon \} </math> === Definition: Quasinorm === Sei <math display="inline">V</math> ein topologischer Vektorraum über dem Körper <math display="inline">\mathbb{K}</math>. Ein Funktional :<math>\left\| \cdot \right\| : V\longrightarrow \mathbb{K}</math> heißt Quasinorm auf <math display="inline">V</math>, falls <math>\left\| \cdot \right\| </math> folgende Bedingungen erfüllt: * (QN1) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle x\in V} : \left\| x \right\| \geq 0</math> * (QN2) <math display="inline">\displaystyle \left\| x \right\| = 0 \Longrightarrow x=0 </math> * (QN3) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle x\in V,\lambda\in \mathbb{K}} : \left\| \lambda\cdot x \right\| = |\lambda|\cdot \left\| x \right\| </math> * (QN4) <math display="inline">\displaystyle \exists_{\displaystyle K>0} \forall_{\displaystyle x,y\in V} : \left\| x+y \right\| \leq K\cdot \left(\left\| x \right\| + \left\| y \right\| \right) </math> === Definition: Quasihalbnorm === Ein Funktional <math>\left\| \cdot \right\| : V\longrightarrow \mathbb{K} </math> auf einem Vektorraum <math display="inline">V</math> über dem Körper <math>\mathbb{K}</math> heißt Quasihalbnorm mit Stetigkeitskonstante der Addition <math>K \geq 1</math>, falls <math>\left\| \cdot \right\| </math> die folgende Bedingungen erfüllt: * (QH1) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle x\in V} : \left\| x \right\| \geq 0</math> * (QH2) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle x\in V,\lambda\in \mathbb{K}} : \left\| \lambda\cdot x \right\| = |\lambda|\cdot \left\| x \right\| </math> * (QH3) <math display="inline">\displaystyle \exists_{\displaystyle K>0} \forall_{\displaystyle x,y\in V} : \left\| x+y \right\| \leq K\cdot \left(\left\| x \right\| + \left\| y \right\| \right) </math> === Bemerkung: Quasinorm - Quasihalbnorm === Analog zu Halbnormen und Normen bzw. <math>p</math>-Normen und <math>p</math>-[[p-Halbnorm|Halbnormen]] wird eine Quasinorm zu einer Quasihalbnorm <math display="inline">\left\| \cdot \right\| </math> mit Stetigkeitskonstante <math display="inline">K</math> der Addition, falls (QN2) nicht mehr gilt. === Bemerkung: Stetigkeitskonstante === Die Stetigkeitskonstante hängt mit der [[p-Norm|Konkavitätskonstante einer <math>p</math>-Norm bzw. <math>p</math>-Halbnorm]] zusammen. Dies zeigt das [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Korrespondenz-Lemma für p-Halbnormen|Korrespondenzlemma für <math>p</math>-Halbnormen]] == Konvergenz über Netze == Sei <math>(X ,\mathcal{T})</math> eine [[Normen, Metriken, Topologie|topologischer Raum]], <math>x_0 \in X</math> und <math>(x_i)_{i \in I}\in X_I</math> ein Netz in <math>X</math> mit einer Indexmenge <math>I</math>, die nach oben gerichtet ist und eine partielle Ordnung besitzt. Die Konvergenz über [[Netze - Topologie|Netze]] wird wie folgt definiert: :<math> \stackrel{\mathcal{T}}{\lim_{i\to \infty}} x_i \, :\Longleftrightarrow \, (x_i)_{i\in I} \stackrel{\mathcal{T}}{\longrightarrow} x_0 \, :\Longleftrightarrow \, \forall_{U \in \mathfrak{U}_{\mathcal{T}}(x_0)} \exists_{i_U \in I} \forall_{i \geq i_U}: \, x_i \in U </math> == Definition: Algebrenklassen == Die Unterscheidung nach Algebrenklassen ist für die Untersuchung von permanent singulären Elemente wesentlich, da die Invertierbarkeit in einer Algebraerweiterung von der Klasse <math>\mathcal{K}</math> abhängt. === Notation 1: Algebrenklassen === Sei <math display="inline">\mathcal{K}</math> eine Klasse topologischer Algebren und <math display="inline">\mathbb{K}</math> ein Körper, dann werden mit folgenden Symbolen Teilklassen topologischer Algebren bezeichnet: * <math display="inline">\mathcal{K}_e</math> Klasse der unitalen Algebren in <math display="inline">\mathcal{K}</math>; * <math display="inline">\mathcal{K}^k</math> Klasse der kommutativen Algebren in <math display="inline">\mathcal{K}</math>, ''"kommutativ"'' bezieht sich auf die Multiplikation in den Algebren. * <math display="inline">\mathcal{K}(\mathbb{K})</math> Klasse der topologischen Algebren über <math display="inline">\mathbb{K}</math> in <math display="inline">\mathcal{K}</math>; === Notation 2: Algebrenklassen === * <math display="inline">{\mathcal{T}} </math> Klasse aller topologischen Algebren; * <math display="inline">{\mathcal{B}} </math> Klasse aller Banachalgebren (vollständig, normiert); * <math display="inline">{\mathcal{LC}}</math> Klasse der lokalkonvexen Algebren; d.h. Topologie durch ein System von Halbnormen erzeugt; * <math display="inline">{\mathcal{MLC}}</math> Klasse der multiplikativ lokalkonvexen Algebren; === Notation 3: Algebrenklassen === * <math display="inline">{\mathcal{P}}</math> Klasse der <math display="inline">p</math>-normierbaren Algebren bzw. lokal beschränkten Algebren; * <math display="inline">{\mathcal{PC}}</math> Klasse der pseudokonvexen Algebren; & d.h. Topologie durch ein System von <math display="inline">p</math>-Halbnormen erzeugt; * <math display="inline">{\mathcal{MPC}}</math> Klasse der multiplikativ pseudokonvexen Algebren. == Bemerkung: Pseudokonvexe Räume == Für pseudokonvexe Algebren kann das <math display="inline">{\mathcal{PC}}</math>-System auch aus den entsprechenden Quasihalbnormen bestehen. Mit dem [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Korrespondenz-Lemma_für_p-Halbnormen|Korrespondenzsatz für <math>p</math>-Halbnormen]] wird der Zusammenhang von <math display="inline">p</math>-Halbnormen und Quasihalbnormen erläutert. Ferner müssen nicht alle <math display="inline">p</math>-Halbnormen <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _\alpha</math> die gleiche Konkavitätskonstante (siehe Definition [[Gaugefunktional]]) <math display="inline">0<p_\alpha\leq 1</math> besitzen, d.h. für <math display="inline">p_\alpha</math> gilt :<math display="block"> |\lambda|^{p_\alpha} \cdot \left\| x \right\| _\alpha = \left\| \lambda\cdot x \right\| _\alpha \mbox{ für alle } x\in A \mbox{ und } \lambda\in \mathbb{K}. </math> == Aufgabe 1: Norm == Zeichnen Sie die <math>\varepsilon</math>-Kugel in <math>V:=\mathbb{R}^2</math> mit <math>p\geq 1 </math> und :<math> \begin{array}{rrcl} \left\|\cdot \right\|_p : & \mathbb{R}^2 & \rightarrow & \mathbb{R}_o^{+} \\ & x & \mapsto & \left\| \left( \begin{array}{c} x_1\\x_2 \end{array} \right) \right\|_p := \sqrt[p]{|x_1|^p + |x_2|^p} \end{array} </math> Zeichnen Sie den Rand der <math>\varepsilon</math>-Kugeln <math>B_{\varepsilon}^{\left\| \cdot \right\|_p }\left( x \right)</math> bzgl. der Norm <math>\left\| \cdot \right\|_p </math> mit * <math>p= 1</math> <math>\varepsilon = 1</math> und <math>x= \left( \begin{array}{c} x_1\\x_2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0\\0 \end{array} \right)</math> * <math>p=3</math> <math>\varepsilon = 1</math> und <math>x= \left( \begin{array}{c} x_1\\x_2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0\\0 \end{array} \right)</math> == Aufgabe 2: p-Norm == Zeichnen Sie die <math>\varepsilon</math>-Kugel in <math>V:=\mathbb{R}^2</math> mit <math>p\leq 1 </math> und :<math> \begin{array}{rrcl} \left\|\cdot \right\|_p : & \mathbb{R}^2 & \rightarrow & \mathbb{R}_o^{+} \\ & x & \mapsto & \left\| \left( \begin{array}{c} x_1\\x_2 \end{array} \right) \right\|_p := |x_1|^p + |x_2|^p \end{array} </math> Zeichnen Sie den Rand der <math>\varepsilon</math>-Kugeln <math>B_{\varepsilon}^{\left\| \cdot \right\|_p }\left( x \right)</math> bzgl. der Norm <math>\left\| \cdot \right\|_p </math> mit * <math>p= \frac{1}{4}</math> <math>\varepsilon = 1</math> und <math>x= \left( \begin{array}{c} x_1\\x_2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0\\0 \end{array} \right)</math> * <math>p= \frac{1}{2}</math> <math>\varepsilon = 1</math> und <math>x= \left( \begin{array}{c} x_1\\x_2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0\\0 \end{array} \right)</math> == Siehe auch == * [[Gaugefunktionalsystem]] * [[Hausdorff-Raum]] * [[Kreisschnittdurchmesser]] * [[Netze (Mathematik)]] * [[Normen, Metriken, Topologie]] * [[Norm (Mathematik)]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Korrespondenz-Lemma für p-Halbnormen|Korrespondenzlemma für <math>p</math>-Halbnormen]] * [[Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]] * [[Stetigkeitssequenz]] * [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/MLC-Regularität|MLC-Regularität]] * [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/MPC-Regularität|MPC-Regularität]] * [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/LC-Regularität|LC-Regularität]] * [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/PC-Regularität|PC-Regularität]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Gaugefunktionale&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Gaugefunktionale&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] 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[[]] --> [[Category:Pseudokonvexer Raum]] [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude> [[en:Inverse-producing extensions of Topological Algebras/Gauge functionals]] </noinclude> 76xy7a7h0bp228ew21xsbjg9lb2u57c 1118914 1118913 2026-11-05T10:17:40Z Bert Niehaus 20843 /* Bemerkung: Unterschied topologieerzeugend - subbasiserzeugend */ 1118914 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In reellen Zahlen gibt es den Betrag, um z.B. Konvergenz im Raum ausdrücken zu können. Mit dem Betrag kann man <math>\varepsilon</math>-Umgebungen definieren und die Folgenkonvergenz wird über diese <math>\varepsilon</math>-Umgebungen definiert. Ferner werden zu kreisförmigen Nullumgebungen <math>U</math> Minkowski-Funktionale definiert, in Abhängigkeit von topologischen Eigenschaften der Menge bestimmte Eigenschaften der Minkowski-Funktionale liefert. === Konvergenz in den reellen Zahlen === Die reellen Zahlen mit dem Betrag <math>(\mathbb{R},|\cdot |)</math> ist ein normierter Raum und <math>(v_n)_{n\in\mathbb{N}} \in \mathbb{R}^{\mathbb{N}}</math> eine Folge in <math>\mathbb{R}</math> und <math>v_o \in \mathbb{R}</math>: :<math> \lim_{n \to \infty} v_n = v_o \ :\Longleftrightarrow \ \forall_{\epsilon > 0} \exists_{n_\epsilon \in \mathbb{N}} \forall_{n \geq n_\epsilon} \ : \ |v_n - v_o | < \epsilon </math> === Konvergenz in normierten Räumen === Analog definiert man die Konvergenz in normierten Räumen <math>(V,\|\cdot \|)</math> <math>(v_n)_{n\in\mathbb{N}} \in V^{\mathbb{N}}</math> eine Folge in <math>V</math> und <math>v_o \in V</math>: :<math> \lim_{n \to \infty}^{\|\cdot\|} v_n = v_o \ :\Longleftrightarrow \ \forall_{\epsilon > 0} \exists_{n_\epsilon \in \mathbb{N}} \forall_{n \geq n_\epsilon} \ : \ \|v_n - v_o\| < \epsilon </math> [[Datei:Audio15 def konvergenz norm.ogg|mini|audio15_def_konvergenz_norm.ogg]] === Epsilonumgebungen === Die Betrag bzw. allgemeiner die Norm wird in <math>(V,\|\cdot \|)</math> auch zur Definition der <math>\varepsilon</math>-Umgebungen verwendet. :<math>B_\varepsilon^{\|\cdot\|}(a):= \left\{ x\in V \, : \, \|x-a\| < \varepsilon \right\}</math> Diese topologieerzeugenden Funktionale (Gaugefunktionale) werden für die Definition der Algebraerweiterungen benötigt, in den ein gegebenes <math>z</math> ein inverses Element besitzt. Die Topologisierung der Potenzreihenalgebra erfolgt später mit Gaugefunktionalen (z.B. Halbnormen, <math>p</math>-Halbnormen, ...) === Absorbierende Mengen === Die Gaugefunktionale werden über kreisförmige absorbierende Nullumgebungen definiert, für die dann das zugehörige Minkowskifunktional das zugehörige Gaugefunktional erzeugt. Die Grundlagen liefert die folgende Abschnitte. == Folien zu Gaugefunktionalen == * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Kreisförmige Mengen|Kreisförmige Mengen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Kreisf%C3%B6rmige%20Mengen&author=Gaugefunktional&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kreisf%C3%B6rmige%20Mengen&coursetitle=Gaugefunktional Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Minkowski-Funktionale|Minkowski-Funktionale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Minkowski-Funktionale&author=Gaugefunktional&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Minkowski-Funktionale&coursetitle=Gaugefunktional Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Gaugefunktional/Schnittmengenlemma|Schnittmengenlemma]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Gaugefunktional/Schnittmengenlemma&author=Gaugefunktional&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Schnittmengenlemma&coursetitle=Gaugefunktional Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] == Einführung Gaugefunktionale == Bei der Verwendung von Gaugefunktionalen werden die definierenden Eigenschaften einer Norm weiter verallgemeinert, um in analoger Weise topologieerzeugende Funktionale in beliebigen topologischen Algebren verwenden zu können. Dadurch wird es nicht mehr notwendig sein, z.B. Stetigkeit über die offene Mengen aus der Topologie zu beschreiben (siehe auch [[Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen|Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]]). <span id="p-homogen"></span> <span id="p-homogen"></span> === Definition: p-homogen === Sei <math display="inline">V</math> ein Vektorraum über <math display="inline">\mathbb{K}</math>. Ein Funktional <math display="inline">f:V\longrightarrow \mathbb{K}</math> heißt <math display="inline">p</math>-homogen, falls es ein <math display="inline">p\in \mathbb{K}</math> mit <math display="inline">0<p\leq 1</math> gibt, für das gilt: :<math display="block"> \forall_{\displaystyle x\in V,\lambda\in \mathbb{K}} : f(\lambda\cdot x)=|\lambda|^p\cdot f(x) </math> Ist <math display="inline">p=1</math>, so heißt <math display="inline">f</math> homogen. <math display="inline">f</math> heißt nicht-negativ, falls für alle <math display="inline">x\in V</math> gilt <math display="inline">f(x)\geq 0</math>. === Definition: p-Gaugefunktional === Sei <math display="inline">V</math> ein Vektorraum über <math display="inline">\mathbb{K}</math>. Ein nicht-negatives, <math display="inline">p</math>-homogenes Funktional <math display="inline">f:V\longrightarrow \mathbb{K}</math> heißt <math display="inline">p</math>-Gaugefunktional auf <math display="inline">V</math> und für <math display="inline">p=1</math> Gaugefunktional. === Beispiel: p-Gaugefunktional === Sei <math>0 < p \leq 1</math> und <math>V_p:=\left\{(x_n)_{n\in \mathbb{N}} \in \mathbb{R}^{\mathbb{N}} \, : \,\sum_{n=1}^{\infty} |x_n|^p < \infty \mbox{ mit } x=(x_n)_{n\in \mathbb{N}} \right\}</math>, dann ist <math> \|x\|_p := \sum_{n=1}^{\infty} |x_n|^p </math> ein <math>p</math>-Gaugefunktional auf <math>V</math>. === Aufgabe: p-Gaugefunktional === Gegeben ist der Vektorraum <math>V_p</math> und das <math>p</math>-Gaugefunktional <math> \|x\|_p := \sum_{n=1}^{\infty} |x_n|^p </math>. Zeigen Sie, dass <math>\left( \frac{1}{n^2}\right)_{n\in \mathbb{N}}\in V_1</math> aber <math>\left( \frac{1}{n^2}\right)_{n\in \mathbb{N}}\notin V_{\frac{1}{2}}</math>. Welche Mengeninklusion gilt allgemein für <math>V_p</math> und <math>V_q</math> mit <math>p < q</math> und <math> p,q \in (0,1]</math>? === Bemerkung === Die <math>p</math>-Homogenität hat einerseits eine engen Zusammenhang zur Stetigkeit der Multiplikation mit Skalaren und das <math>p \in (0,1]</math> bestimmt den Zusammenhang mit eine [[Quasihalbnorm|Quasihalbnorm]]. <span id="Gaugefunktionalsystem"></span> === Definition: p-Gaugefunktionalsystem === Sei <math display="inline">V</math> ein Vektorraum über <math display="inline">\mathbb{K}</math>, <math display="inline">I</math> eine Indexmenge und für alle <math display="inline">\alpha\in I</math> sei <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _\alpha</math> ein <math display="inline">p</math>-Gaugefunktional auf <math display="inline">V</math>. Dann wird mit <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _I</math> die Menge aller <math display="inline">p</math>-Gaugefunktionale mit Indizes aus <math display="inline">I</math> bezeichnet, d.h. :<math> \left\| \cdot \right\| _I :=\left\{ \left\| \cdot \right\| _\alpha :\alpha \in I\right\}. </math> <math display="inline">\left\| \cdot \right\|_I</math> heißt System von <math>p</math>-Gaugefunktionalen. Ist <math>p=1</math> nennt man <math display="inline">\left\| \cdot \right\|_I</math> Gaugefunktionalsystem. === Bemerkung - Unitale topologische Algebren === Auf [[topologische Algebra|topologischen Algebren]] <math>(A,\mathcal{T})</math> mit einem Einselement <math>e\in A</math> als neutrales Element der Multiplikation, muss man mit dem Gaugefunktionalsystem bzw. <math>p</math>-Gaugefunktionalsystem :<math> \left\| \cdot \right\| _I :=\left\{ \left\| \cdot \right\| _\alpha :\alpha \in I\right\}. </math> den Nullvektor <math>0_{_A} \in A</math> und das Einselement <math>e\in A</math> trennen können, d.h. man muss einen <math>\alpha_e \in I</math> finden, für <math>\| e\|_{\alpha_e} > 0</math>. === Definition: Äquivalenz von p-Gaugefunktionalsystemen === Sei <math display="inline">V</math> ein Vektorraum über <math display="inline">\mathbb{K}</math> und <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{I_1}</math>, <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{I_2}</math> zwei <math>p</math>-Gaugefunktionalsysteme auf <math>V</math>. Die <math>p</math>-Gaugefunktionalsysteme <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{I_1}</math> und <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{I_2}</math> heißen ''äquivalent'', wenn folgende beiden Bedingungen gelten: * (EQ1) <math> \forall_{\alpha \in I_1} \exists_{\beta \in I_2, C_\beta >0} \forall_{v \in V}: \, \, \| v \|_{\alpha} \leq C_{\beta} \cdot \| v \|_{\beta} </math> * (EQ2) <math> \forall_{\beta \in I_2} \exists_{\alpha \in I_1, C_\alpha >0} \forall_{v \in V}: \, \, \| v \|_{\beta} \leq C_{\alpha} \cdot \| v \|_{\alpha} </math> === Beispiel - p-Gaugefunktionalsystem === Sei <math>p > 0</math> und <math>V := \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> die Menge der stetigen Funktion von <math>\mathbb{R}</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Die Menge der <math>p</math>-Gaugefunktional wird mit <math>\alpha \in I := \mathbb{R}^{+}</math> wie folgt definiert: :<math> \left\| \cdot \right\| _I :=\left\{ \left\| \cdot \right\| _\alpha :\alpha \in I\right\}. </math> mit :<math> \left\| f \right\| _\alpha := \int_{-\alpha}^{+\alpha} \left| f(x) \right|^p d\,x </math> === Definition: Basiserzeugendes p-Gaugefunktionalsystem === Sei <math display="inline">(V,\mathcal{T})</math> ein topologischer Vektorraum mit dem System von offenen Mengen <math>\mathcal{T}</math> auf <math>V</math>. Ferner sei <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _I</math> eine Menge von <math display="inline">p</math>-Gaugefunktionalen auf <math display="inline">V</math>. Das <math>p</math>-Gaugefunktionalsystem heißt ''basiserzeugend'' für <math>\mathcal{T}</math>, wenn gilt: * (BE1) <math>\forall_{ x_o \in V} \forall_{\alpha \in I} \forall_{\varepsilon >0} : \, B_\varepsilon^{\alpha}(x_o):= \left\{ x \in V \, : \, \left\| x - x_o \right\|_\alpha < \varepsilon \right\} \in \mathcal{T} </math> * (BE2) <math> {\forall}_{ U\in \mathcal{T}} \forall_{ x_o \in U} \exists_{\alpha \in I, \varepsilon >0} : \, B_\varepsilon^{\alpha}(x_o):= \left\{ x \in V \, : \, \left\| x - x_o \right\|_\alpha < \varepsilon \right\} \subseteq U </math> === Bemerkung: Basiserzeugendes p-Gaugefunktionalsystem === * (BE1) bedeutet dabei, dass die <math>\varepsilon</math>-Kugeln <math> B_\varepsilon^{\alpha}(v_o)</math> selbst offene Mengen sind. * Mit (BE2) lässt sich jede offene Menge <math>U</math> aus der Topologie <math>\mathcal{T}</math> als Vereinigung von <math>\varepsilon</math>-Kugeln darstellen. Da beliebige Vereinigungen von offenen Mengen in einem topologischen Raum nach [[Normen, Metriken, Topologie|Axiom (T3)]] auch wieder offen sein müssen, ist damit die Vereinigung von <math>\varepsilon</math>-Kugeln <math> B_\varepsilon^{\alpha}(v_o)</math> mit <math>\alpha \in I</math>, <math>v_o\in V</math> und <math>\varepsilon >0</math> selbst wieder offen. === Definition: Subbasiserzeugendes p-Gaugefunktionalsystem === Sei <math display="inline">(V,\mathcal{T})</math> ein topologischer Vektorraum mit dem System von offenen Mengen <math>\mathcal{T}</math> auf <math>V</math>. Ferner sei <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _I</math> eine Menge von <math display="inline">p</math>-Gaugefunktionalen auf <math display="inline">V</math>. Das <math>p</math>-Gaugefunktionalsystem heißt ''subbasiserzeugend'' für <math>\mathcal{T}</math>, wenn gilt mit <math>\, B_\varepsilon^{\alpha}(v_o):= \left\{ v \in V \, : \, \left\| x - x_o \right\|_\alpha < \varepsilon \right\} </math>: * (SE1) <math>\forall_{ v_o \in V} \forall_{\alpha \in I} \forall_{\varepsilon >0} : \, \, B_\varepsilon^{\alpha}(v_o) \in \mathcal{T} </math> * (SE2) <math> {\forall}_{ U\in \mathcal{T}} \forall_{ v_o \in U} \exists_{n\in \mathbb{N}} \exists_{\alpha_1 , \ldots , \alpha_n \in I, \varepsilon >0} : \, B_\varepsilon^{(\alpha_1 , \ldots , \alpha_n)}(v_o) \subseteq U </math> mit :<math> B_\varepsilon^{(\alpha_1 , \ldots , \alpha_n)}(v_o):= \left\{ v \in V \, : \, \left\| x - x_o \right\|_{\alpha_k} < \varepsilon \mbox{ für alle } k\in \{1,\ldots ,n\}\right\} </math> === Bemerkung: Unterschied topologieerzeugend - subbasiserzeugend === Bei einem topologieerzeugenden <math>p</math>-Gaugefunktionalsystem vereinfacht (T2) man die Handhanbung von endlichen Schnitten offener Mengen in einer Topologie. (S2) muss daher endliche Schnitte der von Umgebungen berücksichtigen, indem man den Schnitt <math>\varepsilon</math>-Kugeln <math>B_{\varepsilon_1}^{\alpha_1}, \ldots , B_{\varepsilon_n}^{\alpha_n}</math> durch die Bedingung :<math> \left\| x - x_o \right\|_{\alpha_k} < \varepsilon_k \mbox{ für alle } k\in \{1,\ldots ,n\} </math> mit <math>\varepsilon := \min\{ \varepsilon_k > 0 \, : \, k \in \,\{1,\ldots ,n \}\, \}</math> verlangt. === Definition: unital positiv === Sei <math display="inline">(A,\left\| \cdot \right\| _{I})</math> eine unitale topologische Algebra über <math display="inline">\mathbb{K}</math> mit dem Einselement der Multiplikation <math display="inline">e_{\!\!_A} \in A</math>. Das <math>p</math>-Gaugefunktionalsystem <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{I}</math> heißt ''unital positiv'' genau dann, wenn für alle <math display="inline">\alpha\in I</math> die Bedingung <math display="inline">\left\| e_{\!\!_A} \right\| _\alpha > 0</math>. === Bemerkung - unital positiv === Man kann immer ein äquivalentes Gaugefunktionalsystem für eine [[topologische Algebra]] finden, das unital positiv ist, da topologische Algebra zwar nicht notwendig ein [[Hausdorff-Raum]] sein muss, aber zumindest das Einselement <math>e_{\!\!_A}</math> und den Nullvektor <math>0_{\!\!_A}</math> topologische durch eine Nullumgebung nach Definition trennen muss. === Bemerkung: unital positives äquivalentes Gaugefunktionalsystem === Man kann ein <math display="inline">p</math>-Gaugefunktionalsystem auf einer topologischen Algebra durch eine äquivalentes unital positives <math display="inline">p</math>-Gaugefunktionalsystem ersetzen, indem man die Trennungseigenschaft eines Hausdorffraumes dazu verwendet, Minkowkifunktionale von kreisförmigen Nullumgebungen verwendet, die das Einselement nicht enthalten. Dann erhält man unmittelbar sogar <math display="inline">\left\| e_{\!\!_A} \right\| _\alpha \geq 1</math>, wenn <math> e_{\!\!_A} \notin U_\alpha </math> und <math display="inline">\left\| x \right\| _\alpha := p_{\!_{U_\alpha}}(x)</math> als [[Minkowski-Funktional]] der absorbiernden Nullumgebung <math> U_\alpha </math> verwendet wird. === Bemerkung: p-Norm und Norm === Der Begriff der Norm ist ein Spezialfall einer <math>p</math>-Norm mit <math>p=1</math>, die im folgenden definiert wird. === Definition: Norm === Sei <math display="inline">V</math> ein topologischer Vektorraum über dem Körper <math display="inline">\mathbb{K}</math>. Ein Funktional <math display="inline">\left\| \cdot \right\| : V\longrightarrow \mathbb{K}</math> heißt Norm auf <math display="inline">V</math>, falls <math display="inline">\left\| \cdot \right\| </math> folgende Bedingungen erfüllt: * (N1) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle x\in V} : \left\| x \right\| \geq 0</math> * (N2) <math display="inline">\displaystyle \left\| x \right\| = 0 \Longrightarrow x=0 </math> * (N3) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle x\in V,\lambda\in \mathbb{K}} : \left\| \lambda\cdot x \right\| = |\lambda|\cdot \left\| x \right\| </math> * (N4) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle x,y\in V} : \left\| x+y \right\| \leq \left\| x \right\| + \left\| y \right\| </math> === Definition: Halbnorm === Sei <math display="inline">V</math> ein topologischer Vektorraum über dem Körper <math display="inline">\mathbb{K}</math>. Ein Funktional <math display="inline">\left\| \cdot \right\| : V\longrightarrow \mathbb{K}</math> heißt Halbnorm auf <math display="inline">V</math>, falls <math display="inline">\left\| \cdot \right\| </math> folgende Bedingungen erfüllt: * (H1) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle x\in V} : \left\| x \right\| \geq 0</math> * (H2) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle x\in V,\lambda\in \mathbb{K}} : \left\| \lambda\cdot x \right\| = |\lambda|\cdot \left\| x \right\| </math> * (H3) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle x,y\in V} : \left\| x+y \right\| \leq \left\| x \right\| + \left\| y \right\| </math> === Bemerkung: Halbnorm - Norm === Falls (N2) in der Definition der Norm nicht gilt, erhält man eine <math display="inline">\left\| \cdot \right\| </math> Halbnorm. (N2) sorgt für die Hausdorfeigenschaft in dem topologischen Vektorraum. Man kann mit der Norm die Punkte trennen, d.h. mit der Norm man messen, ob zwei Vektoren <math>v_1,v_2 \in V </math> sich unterscheiden, d.h. <math>v_1\not= v_2</math> bzw. <math>v_1 - v_2 \not= 0_V</math> gilt. === Multiplikativ konvex - Submultiplikativität der Halbnorm === Ein Halbnorm ist submultiplikativ mit einer Stetigkeitskonstante <math> C > 0 </math>, wenn für alle <math> v_1,v_2 \in V </math> gilt: :<math> \left\| v_1 \cdot v_2 \right\| \leq C \cdot \left\| v_1 \right\| \cdot \left\| v_2 \right\|</math> <math>C</math> nennt man Stetigkeitskonstante der Multiplikation. Man kann die Halbnorm <math display="inline">\left\| \cdot \right\| </math> durch eine äquivalente Halbnorm <math display="inline">\left\| \cdot \right\|_1 </math>ersetzen, für die <math>C = 1</math> ist (siehe [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/MLC-Regularität|MLC-Regularität]]). == Lemma: Stetigkeitskonstante und Submultiplikativität == Sei <math> (A , \| \cdot \|_{\mathcal{A}} ) </math> eine lokalkonvexe topologische Algebra mit dem basiserzeugenden Halbnormensystem <math> \| \cdot \|_{\mathcal{A}} </math> und eine submultiplikative Halbnorm mit Stetigkeitskonstante <math> C > 0 </math> und <math> v_1,v_2 \in V </math> gegeben mit: :<math> \left\| v_1 \cdot v_2 \right\|_\alpha \leq C \cdot \left\| v_1 \right\|_\alpha \cdot \left\| v_2 \right\|_\alpha ,</math> dann gibt es eine äquivalente Halbnorm <math> \| \cdot \|_{\beta} </math> mit :<math> \left\| v_1 \cdot v_2 \right\|_\beta \leq \left\| v_1 \right\|_\beta \cdot \left\| v_2 \right\|_\beta ,</math> == Beweis: Stetigkeitskonstante und Submultiplikativität == Ist <math> 0 < C \leq 1 </math> erhält die Submultiplikativität direkt mit :<math> \left\| v_1 \cdot v_2 \right\|_\alpha \leq C \cdot \left\| v_1 \right\|_\alpha \cdot \left\| v_2 \right\|_\alpha \leq \left\| v_1 \right\|_\alpha \cdot \left\| v_2 \right\|_\alpha </math> === Beweis: Definition der Halbnorm === Gilt nun <math> C > 1 </math>, so definiert man für alle <math> v \in A </math>: :<math> \left\| v \right\|_\beta := C \cdot \left\| v \right\|_\alpha </math> und man erhält die Submultiplikativität über: :<math> \left\| v_1 \cdot v_2 \right\|_\beta \leq C \cdot \left\| v_1 \cdot v_2 \right\|_\alpha \leq C^2 \cdot \left\| v_2 \right\|_\alpha \cdot \left\| v_2 \right\|_\alpha = \left\| v_1 \right\|_\beta \cdot \left\| v_2 \right\|_\beta </math> === Beweis: Äquivalenz der Halbnormen === Die Äquivalenz der Halbnormen erhält man unmittelbar aus der Definition mit <math> C > 1</math>, denn es gilt: :<math> C \cdot \left\| v \right\|_\alpha = \left\| v \right\|_\beta </math> === Bemerkung: Submultiplikativität === Ist eine [[topologische Algebra]] ein [[Normen, Metriken, Topologie|normierter Raum]], so kann man im Allgemeinen nur sagen, dass die Submultiplikativität der Halbnorm mit einer bestimmten Stetigkeitskonstante der Multiplikation erfüllt, da die <math>\varepsilon</math>-Kugeln um den Nullvektor eine Nullumgebungsbasis erzeugen. Das Lemma zeigt, dass man ohne Einschränkung eine Halbnorm mit Stetigkeitskonstante auch durch eine äquivalente submultiplikative Halbnorm ersetzen kann. Das Vorgehen kann man analog für lokalbeschränkte Räume übernehmen. == Definition: p-Norm == Sei <math display="inline">V</math> ein [[topologischer Vektorraum|Vektorraum]] über dem Körper <math display="inline">\mathbb{K}</math> und <math>0 < p \leq 1</math>. Ein Funktional <math display="inline">\left\| \cdot \right\| : V\longrightarrow \mathbb{K}</math> heißt <math display="inline">p</math>-Norm auf <math display="inline">V</math>, falls <math display="inline">\left\| \cdot \right\| </math> folgende Bedingungen erfüllt: * (PN1) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle x\in V} : \left\| x \right\| \geq 0</math> * (PN2) <math display="inline">\displaystyle \left\| x \right\| = 0 \Longrightarrow x=0 </math> * (PN3) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle x\in V,\lambda\in \mathbb{K}} : \left\| \lambda\cdot x \right\| = |\lambda|^p\cdot \left\| x \right\| </math> * (PN4) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle x,y\in V} : \left\| x+y \right\| \leq \left\| x \right\| + \left\| y \right\| </math> === Pseudokonvexe Einheitkreise === Einheitskreise für ausgewählten <math>p</math>-Normen mit <math> \|(x,y)\| = x^p +y^p </math>. [[Datei:Unit Circle of Lp-norm, in R2 space.png|450px|Einheitskreise für ausgewählte Normen bzw. Quasinormen.]] Für <math>p\geq 1</math> sind die Einheitskreisscheiben <math>B_1^{\|\cdot \|}(0,0) := \{ (x,y)\in \mathbb{R}^2 \, \colon \, \|(x,y)\| < 1 \} </math> [[Konvexkombination|konvex]]. Für alle <math>0 < p < 1</math> ist die Einheitskreisscheibe nicht konvex. === Bemerkung - Konkavitätsexponent === Für <math>p \geq 1</math> kann man ein <math>p</math>-[[lokal beschränkt|Norm]] auch zu einer Norm machen, indem man die Norm <math> \left\| \cdot \right\|_\ast</math> wie folgt definert: :<math> \left\| x \right\|_{\ast} := \left\| x \right\|^{\frac{1}{p}} </math> === Beispiel - Folgenräume 1 === Sei <math> p \in \mathbb{R} </math> mit <math> 0 < p < 1 </math> und betrachtet man die Mengen der <math>p</math>-summierbaren Reihen <math> a:= (a_n)_{n\in\mathbb{N}} </math> in den reellen Zahlen. :<math>\ell_p(\mathbb{R}):=\left\{ (a_n)_{n\in\mathbb{N}} \ : \ \| a \|_p := \sum_{n=1}^\infty |a_n|^p < \infty \right\} </math> <math>\| \cdot \|_p </math> ist eine <math>p</math>-Norm auf dem <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraum <math>\ell_p(\mathbb{R})</math>. === Beispiel - Folgenräume 2 === Sei <math> (p_n)_{n\in \mathbb{N}} \in c_o(\mathbb{R}) </math> eine streng monoton fallende Nullfolge mit <math> 0 < p_n < 1 </math> und betrachtet man die Mengen der <math>(p_n)_{n\in \mathbb{N}}</math>-summierbaren Reihen <math> a:= (a_n)_{n\in\mathbb{N}} </math> in den reellen Zahlen. :<math>\ell (\mathbb{R},(p_n)_{n\in \mathbb{N}} ):=\left\{ (a_n)_{n\in\mathbb{N}} \ : \ \| a \|_{_{(p_n)}} := \sum_{n=1}^\infty |a_n|^{p_n} < \infty \right\} </math> <math>\| a \|_{p_k} = \sum_{n=1}^\infty |a_n|^{p_k} </math> ist mit festem <math>k\in \mathbb{N}</math> ein <math>p</math>-[[Gaugefunktional]] auf dem <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraum <math>\ell(\mathbb{R},(p_n)_{n\in \mathbb{N}})</math>. === Aufgabe - Folgenräume 2 === Überprüfen Sie, ob <math>\ell(\mathbb{R},(p_n)_{n\in \mathbb{N}})</math> ein topologischer Vektorraum mit dem <math>p</math>-Gaugefunktionalsystem <math> \left( \|\cdot \|_{p_k} \right)_{n\in \mathbb{N}}</math> ist! === Definition: p-Normierbarkeit === Sei <math display="inline">(V,\mathcal{T})</math> heißt <math display="inline">p</math>-normierbar oder [[lokal beschränkt]] mit der Konkavitätskonstante <math>p</math>, falls eine <math display="inline">p</math>-Norm :<math display="inline">\left\| \cdot \right\| : V\longrightarrow \mathbb{K}</math>, existiert, die die Topologie auf <math display="inline">V</math> erzeugt (formal <math display="inline">(V,\left\| \cdot \right\|) \in \mathcal{P}</math>). === Definition: p-Halbnorm === Sei <math display="inline">V</math> ein topologischer Vektorraum über dem Körper <math display="inline">\mathbb{K}</math> und <math>0 < p \leq 1</math>. Ein Funktional <math display="inline">\left\| \cdot \right\| : V\longrightarrow \mathbb{K}</math> heißt <math>p</math>-Halbnorm auf <math display="inline">V</math> mit <math display="inline">p</math> als [[Konkavitätsmodul|Konkavitätsexponent]], falls <math display="inline">\left\| \cdot \right\| </math> folgende Bedingungen erfüllt: * (PH1) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle x\in V} : \left\| x \right\| \geq 0</math> * (PH2) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle x\in V,\lambda\in \mathbb{K}} : \left\| \lambda\cdot x \right\| = |\lambda|^p \cdot \left\| x \right\| </math> * (PH3) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle x,y\in V} : \left\| x+y \right\| \leq \left\| x \right\| + \left\| y \right\| </math> === Bemerkung: p-Norm - p-Halbnorm === Falls (PN2) in der Definition der <math>p</math>-Norm nicht gilt, heißt <math display="inline">\left\| \cdot \right\| </math> <math display="inline">p</math>-Halbnorm mit <math display="inline">p</math> als Konkavitätskonstante. Analog zur Halbnorm kann eine einzelne <math display="inline">p</math>-Halbnorm nicht die Punkte im topologischen Vektorraum trennen ([[Hausdorff-Raum|Hausdorffeigenschaft T2]]). === Multiplikativ pseudokonvex - Submultiplikativität der p-Halbnorm === Ein <math>p</math>-Halbnorm ist submultiplikativ mit einer Stetigkeitskonstante <math> C > 0 </math>, wenn für alle <math> v_1,v_2 \in V </math> gilt: :<math> \left\| v_1 \cdot v_2 \right\| \leq C \cdot \left\| v_1 \right\| \cdot \left\| v_2 \right\|</math> <math>C</math> nennt man Stetigkeitskonstante der Multiplikation. Man kann die<math>p</math>- Halbnorm <math display="inline">\left\| \cdot \right\| </math> durch eine äquivalente <math>p</math>-Halbnorm <math display="inline">\left\| \cdot \right\|_1 </math>ersetzen, für die <math>C = 1</math> ist (siehe [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/MLC-Regularität|MPC-Regularität]]). === Definition: pseudokonvexer Vektorraum === Sei <math display="inline">(V,\mathcal{T})</math> heißt pseudokonvex, falls die Topologie <math display="inline">\mathcal{T}</math> durch ein System <math display="inline">\left\| \cdot \right\|_{\mathcal{A}}</math> von <math display="inline">p</math>-Halbnormen erzeugt wird, das die folgenden Eigenschaften besitzt. :<math display="inline">\left\| \cdot \right\|_{\alpha} : V\longrightarrow \mathbb{K} \mbox{ ist } p_{\alpha}\mbox{-homogen mit } \alpha \in \mathcal{A} \mbox{ und } p_{\alpha} \in (0,1]</math>, Formal notiert man <math display="inline">(V,\left\| \cdot \right\|_{\mathcal{A}}) \in \mathcal{PC}</math>. === Bemerkung: topologieerzeugende p-Norm === Eine <math display="inline">p</math>-Norm ist topologieerzeugend für die Topologie <math display="inline">\mathcal{T}\subseteq \wp(V) </math>, wenn die folgende Bedingung gilt: :<math>{\forall}_{ U\in \mathcal{T}} \forall_{ v_o \in U} \exists_{\varepsilon >0} : \, B_\varepsilon^{\left\| \cdot \right\| }(v_o):= \left\{ v \in V \, : \, \left\| x - x_o \right\| < \varepsilon \right\} </math> Die <math display="inline">\varepsilon</math>-Kugeln werden im weiteren Verlauf für die Charakterisierung der Stetigkeit verwendet. === Definition: Epsilonkugeln von p-Gaugefunktionalen=== Sei <math>V</math> ein Vektorraum und <math display="inline">\left\| \cdot \right\|_\alpha</math> ein <math>p</math>-Gaugefunktional auf <math display="inline">V</math>, dann ist die <math display="inline">\varepsilon</math>-Kugel von <math display="inline">\left\| \cdot \right\|_\alpha</math> mit <math display="inline">\varepsilon>0</math> um einen Punkt <math display="inline">v\in V</math> (Bezeichnung: <math display="inline">{\mathrm B}_\varepsilon^\alpha(v)</math>) wie folgt definiert: :<math> {\mathrm B}_\varepsilon^\alpha (v):= \{z\in V \,:\, \left\| z-v \right\| _\alpha<\varepsilon \} </math> === Definition: Quasinorm === Sei <math display="inline">V</math> ein topologischer Vektorraum über dem Körper <math display="inline">\mathbb{K}</math>. Ein Funktional :<math>\left\| \cdot \right\| : V\longrightarrow \mathbb{K}</math> heißt Quasinorm auf <math display="inline">V</math>, falls <math>\left\| \cdot \right\| </math> folgende Bedingungen erfüllt: * (QN1) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle x\in V} : \left\| x \right\| \geq 0</math> * (QN2) <math display="inline">\displaystyle \left\| x \right\| = 0 \Longrightarrow x=0 </math> * (QN3) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle x\in V,\lambda\in \mathbb{K}} : \left\| \lambda\cdot x \right\| = |\lambda|\cdot \left\| x \right\| </math> * (QN4) <math display="inline">\displaystyle \exists_{\displaystyle K>0} \forall_{\displaystyle x,y\in V} : \left\| x+y \right\| \leq K\cdot \left(\left\| x \right\| + \left\| y \right\| \right) </math> === Definition: Quasihalbnorm === Ein Funktional <math>\left\| \cdot \right\| : V\longrightarrow \mathbb{K} </math> auf einem Vektorraum <math display="inline">V</math> über dem Körper <math>\mathbb{K}</math> heißt Quasihalbnorm mit Stetigkeitskonstante der Addition <math>K \geq 1</math>, falls <math>\left\| \cdot \right\| </math> die folgende Bedingungen erfüllt: * (QH1) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle x\in V} : \left\| x \right\| \geq 0</math> * (QH2) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle x\in V,\lambda\in \mathbb{K}} : \left\| \lambda\cdot x \right\| = |\lambda|\cdot \left\| x \right\| </math> * (QH3) <math display="inline">\displaystyle \exists_{\displaystyle K>0} \forall_{\displaystyle x,y\in V} : \left\| x+y \right\| \leq K\cdot \left(\left\| x \right\| + \left\| y \right\| \right) </math> === Bemerkung: Quasinorm - Quasihalbnorm === Analog zu Halbnormen und Normen bzw. <math>p</math>-Normen und <math>p</math>-[[p-Halbnorm|Halbnormen]] wird eine Quasinorm zu einer Quasihalbnorm <math display="inline">\left\| \cdot \right\| </math> mit Stetigkeitskonstante <math display="inline">K</math> der Addition, falls (QN2) nicht mehr gilt. === Bemerkung: Stetigkeitskonstante === Die Stetigkeitskonstante hängt mit der [[p-Norm|Konkavitätskonstante einer <math>p</math>-Norm bzw. <math>p</math>-Halbnorm]] zusammen. Dies zeigt das [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Korrespondenz-Lemma für p-Halbnormen|Korrespondenzlemma für <math>p</math>-Halbnormen]] == Konvergenz über Netze == Sei <math>(X ,\mathcal{T})</math> eine [[Normen, Metriken, Topologie|topologischer Raum]], <math>x_0 \in X</math> und <math>(x_i)_{i \in I}\in X_I</math> ein Netz in <math>X</math> mit einer Indexmenge <math>I</math>, die nach oben gerichtet ist und eine partielle Ordnung besitzt. Die Konvergenz über [[Netze - Topologie|Netze]] wird wie folgt definiert: :<math> \stackrel{\mathcal{T}}{\lim_{i\to \infty}} x_i \, :\Longleftrightarrow \, (x_i)_{i\in I} \stackrel{\mathcal{T}}{\longrightarrow} x_0 \, :\Longleftrightarrow \, \forall_{U \in \mathfrak{U}_{\mathcal{T}}(x_0)} \exists_{i_U \in I} \forall_{i \geq i_U}: \, x_i \in U </math> == Definition: Algebrenklassen == Die Unterscheidung nach Algebrenklassen ist für die Untersuchung von permanent singulären Elemente wesentlich, da die Invertierbarkeit in einer Algebraerweiterung von der Klasse <math>\mathcal{K}</math> abhängt. === Notation 1: Algebrenklassen === Sei <math display="inline">\mathcal{K}</math> eine Klasse topologischer Algebren und <math display="inline">\mathbb{K}</math> ein Körper, dann werden mit folgenden Symbolen Teilklassen topologischer Algebren bezeichnet: * <math display="inline">\mathcal{K}_e</math> Klasse der unitalen Algebren in <math display="inline">\mathcal{K}</math>; * <math display="inline">\mathcal{K}^k</math> Klasse der kommutativen Algebren in <math display="inline">\mathcal{K}</math>, ''"kommutativ"'' bezieht sich auf die Multiplikation in den Algebren. * <math display="inline">\mathcal{K}(\mathbb{K})</math> Klasse der topologischen Algebren über <math display="inline">\mathbb{K}</math> in <math display="inline">\mathcal{K}</math>; === Notation 2: Algebrenklassen === * <math display="inline">{\mathcal{T}} </math> Klasse aller topologischen Algebren; * <math display="inline">{\mathcal{B}} </math> Klasse aller Banachalgebren (vollständig, normiert); * <math display="inline">{\mathcal{LC}}</math> Klasse der lokalkonvexen Algebren; d.h. Topologie durch ein System von Halbnormen erzeugt; * <math display="inline">{\mathcal{MLC}}</math> Klasse der multiplikativ lokalkonvexen Algebren; === Notation 3: Algebrenklassen === * <math display="inline">{\mathcal{P}}</math> Klasse der <math display="inline">p</math>-normierbaren Algebren bzw. lokal beschränkten Algebren; * <math display="inline">{\mathcal{PC}}</math> Klasse der pseudokonvexen Algebren; & d.h. Topologie durch ein System von <math display="inline">p</math>-Halbnormen erzeugt; * <math display="inline">{\mathcal{MPC}}</math> Klasse der multiplikativ pseudokonvexen Algebren. == Bemerkung: Pseudokonvexe Räume == Für pseudokonvexe Algebren kann das <math display="inline">{\mathcal{PC}}</math>-System auch aus den entsprechenden Quasihalbnormen bestehen. Mit dem [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Korrespondenz-Lemma_für_p-Halbnormen|Korrespondenzsatz für <math>p</math>-Halbnormen]] wird der Zusammenhang von <math display="inline">p</math>-Halbnormen und Quasihalbnormen erläutert. Ferner müssen nicht alle <math display="inline">p</math>-Halbnormen <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _\alpha</math> die gleiche Konkavitätskonstante (siehe Definition [[Gaugefunktional]]) <math display="inline">0<p_\alpha\leq 1</math> besitzen, d.h. für <math display="inline">p_\alpha</math> gilt :<math display="block"> |\lambda|^{p_\alpha} \cdot \left\| x \right\| _\alpha = \left\| \lambda\cdot x \right\| _\alpha \mbox{ für alle } x\in A \mbox{ und } \lambda\in \mathbb{K}. </math> == Aufgabe 1: Norm == Zeichnen Sie die <math>\varepsilon</math>-Kugel in <math>V:=\mathbb{R}^2</math> mit <math>p\geq 1 </math> und :<math> \begin{array}{rrcl} \left\|\cdot \right\|_p : & \mathbb{R}^2 & \rightarrow & \mathbb{R}_o^{+} \\ & x & \mapsto & \left\| \left( \begin{array}{c} x_1\\x_2 \end{array} \right) \right\|_p := \sqrt[p]{|x_1|^p + |x_2|^p} \end{array} </math> Zeichnen Sie den Rand der <math>\varepsilon</math>-Kugeln <math>B_{\varepsilon}^{\left\| \cdot \right\|_p }\left( x \right)</math> bzgl. der Norm <math>\left\| \cdot \right\|_p </math> mit * <math>p= 1</math> <math>\varepsilon = 1</math> und <math>x= \left( \begin{array}{c} x_1\\x_2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0\\0 \end{array} \right)</math> * <math>p=3</math> <math>\varepsilon = 1</math> und <math>x= \left( \begin{array}{c} x_1\\x_2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0\\0 \end{array} \right)</math> == Aufgabe 2: p-Norm == Zeichnen Sie die <math>\varepsilon</math>-Kugel in <math>V:=\mathbb{R}^2</math> mit <math>p\leq 1 </math> und :<math> \begin{array}{rrcl} \left\|\cdot \right\|_p : & \mathbb{R}^2 & \rightarrow & \mathbb{R}_o^{+} \\ & x & \mapsto & \left\| \left( \begin{array}{c} x_1\\x_2 \end{array} \right) \right\|_p := |x_1|^p + |x_2|^p \end{array} </math> Zeichnen Sie den Rand der <math>\varepsilon</math>-Kugeln <math>B_{\varepsilon}^{\left\| \cdot \right\|_p }\left( x \right)</math> bzgl. der Norm <math>\left\| \cdot \right\|_p </math> mit * <math>p= \frac{1}{4}</math> <math>\varepsilon = 1</math> und <math>x= \left( \begin{array}{c} x_1\\x_2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0\\0 \end{array} \right)</math> * <math>p= \frac{1}{2}</math> <math>\varepsilon = 1</math> und <math>x= \left( \begin{array}{c} x_1\\x_2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0\\0 \end{array} \right)</math> == Siehe auch == * [[Gaugefunktionalsystem]] * [[Hausdorff-Raum]] * [[Kreisschnittdurchmesser]] * [[Netze (Mathematik)]] * [[Normen, Metriken, Topologie]] * [[Norm (Mathematik)]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Korrespondenz-Lemma für p-Halbnormen|Korrespondenzlemma für <math>p</math>-Halbnormen]] * [[Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]] * [[Stetigkeitssequenz]] * [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/MLC-Regularität|MLC-Regularität]] * [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/MPC-Regularität|MPC-Regularität]] * [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/LC-Regularität|LC-Regularität]] * [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/PC-Regularität|PC-Regularität]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Gaugefunktionale&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Gaugefunktionale&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] 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[[]] --> [[Category:Pseudokonvexer Raum]] [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude> [[en:Inverse-producing extensions of Topological Algebras/Gauge functionals]] </noinclude> n55y73t7gk2r1akqhozf5vlmlbx65zt 1118915 1118914 2026-11-05T10:18:03Z Bert Niehaus 20843 /* Definition: unital positiv */ 1118915 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In reellen Zahlen gibt es den Betrag, um z.B. Konvergenz im Raum ausdrücken zu können. Mit dem Betrag kann man <math>\varepsilon</math>-Umgebungen definieren und die Folgenkonvergenz wird über diese <math>\varepsilon</math>-Umgebungen definiert. Ferner werden zu kreisförmigen Nullumgebungen <math>U</math> Minkowski-Funktionale definiert, in Abhängigkeit von topologischen Eigenschaften der Menge bestimmte Eigenschaften der Minkowski-Funktionale liefert. === Konvergenz in den reellen Zahlen === Die reellen Zahlen mit dem Betrag <math>(\mathbb{R},|\cdot |)</math> ist ein normierter Raum und <math>(v_n)_{n\in\mathbb{N}} \in \mathbb{R}^{\mathbb{N}}</math> eine Folge in <math>\mathbb{R}</math> und <math>v_o \in \mathbb{R}</math>: :<math> \lim_{n \to \infty} v_n = v_o \ :\Longleftrightarrow \ \forall_{\epsilon > 0} \exists_{n_\epsilon \in \mathbb{N}} \forall_{n \geq n_\epsilon} \ : \ |v_n - v_o | < \epsilon </math> === Konvergenz in normierten Räumen === Analog definiert man die Konvergenz in normierten Räumen <math>(V,\|\cdot \|)</math> <math>(v_n)_{n\in\mathbb{N}} \in V^{\mathbb{N}}</math> eine Folge in <math>V</math> und <math>v_o \in V</math>: :<math> \lim_{n \to \infty}^{\|\cdot\|} v_n = v_o \ :\Longleftrightarrow \ \forall_{\epsilon > 0} \exists_{n_\epsilon \in \mathbb{N}} \forall_{n \geq n_\epsilon} \ : \ \|v_n - v_o\| < \epsilon </math> [[Datei:Audio15 def konvergenz norm.ogg|mini|audio15_def_konvergenz_norm.ogg]] === Epsilonumgebungen === Die Betrag bzw. allgemeiner die Norm wird in <math>(V,\|\cdot \|)</math> auch zur Definition der <math>\varepsilon</math>-Umgebungen verwendet. :<math>B_\varepsilon^{\|\cdot\|}(a):= \left\{ x\in V \, : \, \|x-a\| < \varepsilon \right\}</math> Diese topologieerzeugenden Funktionale (Gaugefunktionale) werden für die Definition der Algebraerweiterungen benötigt, in den ein gegebenes <math>z</math> ein inverses Element besitzt. Die Topologisierung der Potenzreihenalgebra erfolgt später mit Gaugefunktionalen (z.B. Halbnormen, <math>p</math>-Halbnormen, ...) === Absorbierende Mengen === Die Gaugefunktionale werden über kreisförmige absorbierende Nullumgebungen definiert, für die dann das zugehörige Minkowskifunktional das zugehörige Gaugefunktional erzeugt. Die Grundlagen liefert die folgende Abschnitte. == Folien zu Gaugefunktionalen == * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Kreisförmige Mengen|Kreisförmige Mengen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Kreisf%C3%B6rmige%20Mengen&author=Gaugefunktional&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kreisf%C3%B6rmige%20Mengen&coursetitle=Gaugefunktional Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Minkowski-Funktionale|Minkowski-Funktionale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Minkowski-Funktionale&author=Gaugefunktional&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Minkowski-Funktionale&coursetitle=Gaugefunktional Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Gaugefunktional/Schnittmengenlemma|Schnittmengenlemma]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Gaugefunktional/Schnittmengenlemma&author=Gaugefunktional&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Schnittmengenlemma&coursetitle=Gaugefunktional Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] == Einführung Gaugefunktionale == Bei der Verwendung von Gaugefunktionalen werden die definierenden Eigenschaften einer Norm weiter verallgemeinert, um in analoger Weise topologieerzeugende Funktionale in beliebigen topologischen Algebren verwenden zu können. Dadurch wird es nicht mehr notwendig sein, z.B. Stetigkeit über die offene Mengen aus der Topologie zu beschreiben (siehe auch [[Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen|Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]]). <span id="p-homogen"></span> <span id="p-homogen"></span> === Definition: p-homogen === Sei <math display="inline">V</math> ein Vektorraum über <math display="inline">\mathbb{K}</math>. Ein Funktional <math display="inline">f:V\longrightarrow \mathbb{K}</math> heißt <math display="inline">p</math>-homogen, falls es ein <math display="inline">p\in \mathbb{K}</math> mit <math display="inline">0<p\leq 1</math> gibt, für das gilt: :<math display="block"> \forall_{\displaystyle x\in V,\lambda\in \mathbb{K}} : f(\lambda\cdot x)=|\lambda|^p\cdot f(x) </math> Ist <math display="inline">p=1</math>, so heißt <math display="inline">f</math> homogen. <math display="inline">f</math> heißt nicht-negativ, falls für alle <math display="inline">x\in V</math> gilt <math display="inline">f(x)\geq 0</math>. === Definition: p-Gaugefunktional === Sei <math display="inline">V</math> ein Vektorraum über <math display="inline">\mathbb{K}</math>. Ein nicht-negatives, <math display="inline">p</math>-homogenes Funktional <math display="inline">f:V\longrightarrow \mathbb{K}</math> heißt <math display="inline">p</math>-Gaugefunktional auf <math display="inline">V</math> und für <math display="inline">p=1</math> Gaugefunktional. === Beispiel: p-Gaugefunktional === Sei <math>0 < p \leq 1</math> und <math>V_p:=\left\{(x_n)_{n\in \mathbb{N}} \in \mathbb{R}^{\mathbb{N}} \, : \,\sum_{n=1}^{\infty} |x_n|^p < \infty \mbox{ mit } x=(x_n)_{n\in \mathbb{N}} \right\}</math>, dann ist <math> \|x\|_p := \sum_{n=1}^{\infty} |x_n|^p </math> ein <math>p</math>-Gaugefunktional auf <math>V</math>. === Aufgabe: p-Gaugefunktional === Gegeben ist der Vektorraum <math>V_p</math> und das <math>p</math>-Gaugefunktional <math> \|x\|_p := \sum_{n=1}^{\infty} |x_n|^p </math>. Zeigen Sie, dass <math>\left( \frac{1}{n^2}\right)_{n\in \mathbb{N}}\in V_1</math> aber <math>\left( \frac{1}{n^2}\right)_{n\in \mathbb{N}}\notin V_{\frac{1}{2}}</math>. Welche Mengeninklusion gilt allgemein für <math>V_p</math> und <math>V_q</math> mit <math>p < q</math> und <math> p,q \in (0,1]</math>? === Bemerkung === Die <math>p</math>-Homogenität hat einerseits eine engen Zusammenhang zur Stetigkeit der Multiplikation mit Skalaren und das <math>p \in (0,1]</math> bestimmt den Zusammenhang mit eine [[Quasihalbnorm|Quasihalbnorm]]. <span id="Gaugefunktionalsystem"></span> === Definition: p-Gaugefunktionalsystem === Sei <math display="inline">V</math> ein Vektorraum über <math display="inline">\mathbb{K}</math>, <math display="inline">I</math> eine Indexmenge und für alle <math display="inline">\alpha\in I</math> sei <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _\alpha</math> ein <math display="inline">p</math>-Gaugefunktional auf <math display="inline">V</math>. Dann wird mit <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _I</math> die Menge aller <math display="inline">p</math>-Gaugefunktionale mit Indizes aus <math display="inline">I</math> bezeichnet, d.h. :<math> \left\| \cdot \right\| _I :=\left\{ \left\| \cdot \right\| _\alpha :\alpha \in I\right\}. </math> <math display="inline">\left\| \cdot \right\|_I</math> heißt System von <math>p</math>-Gaugefunktionalen. Ist <math>p=1</math> nennt man <math display="inline">\left\| \cdot \right\|_I</math> Gaugefunktionalsystem. === Bemerkung - Unitale topologische Algebren === Auf [[topologische Algebra|topologischen Algebren]] <math>(A,\mathcal{T})</math> mit einem Einselement <math>e\in A</math> als neutrales Element der Multiplikation, muss man mit dem Gaugefunktionalsystem bzw. <math>p</math>-Gaugefunktionalsystem :<math> \left\| \cdot \right\| _I :=\left\{ \left\| \cdot \right\| _\alpha :\alpha \in I\right\}. </math> den Nullvektor <math>0_{_A} \in A</math> und das Einselement <math>e\in A</math> trennen können, d.h. man muss einen <math>\alpha_e \in I</math> finden, für <math>\| e\|_{\alpha_e} > 0</math>. === Definition: Äquivalenz von p-Gaugefunktionalsystemen === Sei <math display="inline">V</math> ein Vektorraum über <math display="inline">\mathbb{K}</math> und <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{I_1}</math>, <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{I_2}</math> zwei <math>p</math>-Gaugefunktionalsysteme auf <math>V</math>. Die <math>p</math>-Gaugefunktionalsysteme <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{I_1}</math> und <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{I_2}</math> heißen ''äquivalent'', wenn folgende beiden Bedingungen gelten: * (EQ1) <math> \forall_{\alpha \in I_1} \exists_{\beta \in I_2, C_\beta >0} \forall_{v \in V}: \, \, \| v \|_{\alpha} \leq C_{\beta} \cdot \| v \|_{\beta} </math> * (EQ2) <math> \forall_{\beta \in I_2} \exists_{\alpha \in I_1, C_\alpha >0} \forall_{v \in V}: \, \, \| v \|_{\beta} \leq C_{\alpha} \cdot \| v \|_{\alpha} </math> === Beispiel - p-Gaugefunktionalsystem === Sei <math>p > 0</math> und <math>V := \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> die Menge der stetigen Funktion von <math>\mathbb{R}</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Die Menge der <math>p</math>-Gaugefunktional wird mit <math>\alpha \in I := \mathbb{R}^{+}</math> wie folgt definiert: :<math> \left\| \cdot \right\| _I :=\left\{ \left\| \cdot \right\| _\alpha :\alpha \in I\right\}. </math> mit :<math> \left\| f \right\| _\alpha := \int_{-\alpha}^{+\alpha} \left| f(x) \right|^p d\,x </math> === Definition: Basiserzeugendes p-Gaugefunktionalsystem === Sei <math display="inline">(V,\mathcal{T})</math> ein topologischer Vektorraum mit dem System von offenen Mengen <math>\mathcal{T}</math> auf <math>V</math>. Ferner sei <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _I</math> eine Menge von <math display="inline">p</math>-Gaugefunktionalen auf <math display="inline">V</math>. Das <math>p</math>-Gaugefunktionalsystem heißt ''basiserzeugend'' für <math>\mathcal{T}</math>, wenn gilt: * (BE1) <math>\forall_{ x_o \in V} \forall_{\alpha \in I} \forall_{\varepsilon >0} : \, B_\varepsilon^{\alpha}(x_o):= \left\{ x \in V \, : \, \left\| x - x_o \right\|_\alpha < \varepsilon \right\} \in \mathcal{T} </math> * (BE2) <math> {\forall}_{ U\in \mathcal{T}} \forall_{ x_o \in U} \exists_{\alpha \in I, \varepsilon >0} : \, B_\varepsilon^{\alpha}(x_o):= \left\{ x \in V \, : \, \left\| x - x_o \right\|_\alpha < \varepsilon \right\} \subseteq U </math> === Bemerkung: Basiserzeugendes p-Gaugefunktionalsystem === * (BE1) bedeutet dabei, dass die <math>\varepsilon</math>-Kugeln <math> B_\varepsilon^{\alpha}(v_o)</math> selbst offene Mengen sind. * Mit (BE2) lässt sich jede offene Menge <math>U</math> aus der Topologie <math>\mathcal{T}</math> als Vereinigung von <math>\varepsilon</math>-Kugeln darstellen. Da beliebige Vereinigungen von offenen Mengen in einem topologischen Raum nach [[Normen, Metriken, Topologie|Axiom (T3)]] auch wieder offen sein müssen, ist damit die Vereinigung von <math>\varepsilon</math>-Kugeln <math> B_\varepsilon^{\alpha}(v_o)</math> mit <math>\alpha \in I</math>, <math>v_o\in V</math> und <math>\varepsilon >0</math> selbst wieder offen. === Definition: Subbasiserzeugendes p-Gaugefunktionalsystem === Sei <math display="inline">(V,\mathcal{T})</math> ein topologischer Vektorraum mit dem System von offenen Mengen <math>\mathcal{T}</math> auf <math>V</math>. Ferner sei <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _I</math> eine Menge von <math display="inline">p</math>-Gaugefunktionalen auf <math display="inline">V</math>. Das <math>p</math>-Gaugefunktionalsystem heißt ''subbasiserzeugend'' für <math>\mathcal{T}</math>, wenn gilt mit <math>\, B_\varepsilon^{\alpha}(v_o):= \left\{ v \in V \, : \, \left\| x - x_o \right\|_\alpha < \varepsilon \right\} </math>: * (SE1) <math>\forall_{ v_o \in V} \forall_{\alpha \in I} \forall_{\varepsilon >0} : \, \, B_\varepsilon^{\alpha}(v_o) \in \mathcal{T} </math> * (SE2) <math> {\forall}_{ U\in \mathcal{T}} \forall_{ v_o \in U} \exists_{n\in \mathbb{N}} \exists_{\alpha_1 , \ldots , \alpha_n \in I, \varepsilon >0} : \, B_\varepsilon^{(\alpha_1 , \ldots , \alpha_n)}(v_o) \subseteq U </math> mit :<math> B_\varepsilon^{(\alpha_1 , \ldots , \alpha_n)}(v_o):= \left\{ v \in V \, : \, \left\| x - x_o \right\|_{\alpha_k} < \varepsilon \mbox{ für alle } k\in \{1,\ldots ,n\}\right\} </math> === Bemerkung: Unterschied topologieerzeugend - subbasiserzeugend === Bei einem topologieerzeugenden <math>p</math>-Gaugefunktionalsystem vereinfacht (T2) man die Handhanbung von endlichen Schnitten offener Mengen in einer Topologie. (S2) muss daher endliche Schnitte der von Umgebungen berücksichtigen, indem man den Schnitt <math>\varepsilon</math>-Kugeln <math>B_{\varepsilon_1}^{\alpha_1}, \ldots , B_{\varepsilon_n}^{\alpha_n}</math> durch die Bedingung :<math> \left\| x - x_o \right\|_{\alpha_k} < \varepsilon_k \mbox{ für alle } k\in \{1,\ldots ,n\} </math> mit <math>\varepsilon := \min\{ \varepsilon_k > 0 \, : \, k \in \,\{1,\ldots ,n \}\, \}</math> verlangt. === Definition: unital positiv === Sei <math display="inline">(A,\left\| \cdot \right\| _{I})</math> eine unitale topologische Algebra über <math display="inline">\mathbb{K}</math> mit dem Einselement der Multiplikation <math display="inline">e_{\!\!_A} \in A</math>. Das <math>p</math>-[[Gaugefunktionalsystem]] <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{I}</math> heißt ''unital positiv'' genau dann, wenn für alle <math display="inline">\alpha\in I</math> die Bedingung <math display="inline">\left\| e_{\!\!_A} \right\| _\alpha > 0</math>. === Bemerkung - unital positiv === Man kann immer ein äquivalentes Gaugefunktionalsystem für eine [[topologische Algebra]] finden, das unital positiv ist, da topologische Algebra zwar nicht notwendig ein [[Hausdorff-Raum]] sein muss, aber zumindest das Einselement <math>e_{\!\!_A}</math> und den Nullvektor <math>0_{\!\!_A}</math> topologische durch eine Nullumgebung nach Definition trennen muss. === Bemerkung: unital positives äquivalentes Gaugefunktionalsystem === Man kann ein <math display="inline">p</math>-Gaugefunktionalsystem auf einer topologischen Algebra durch eine äquivalentes unital positives <math display="inline">p</math>-Gaugefunktionalsystem ersetzen, indem man die Trennungseigenschaft eines Hausdorffraumes dazu verwendet, Minkowkifunktionale von kreisförmigen Nullumgebungen verwendet, die das Einselement nicht enthalten. Dann erhält man unmittelbar sogar <math display="inline">\left\| e_{\!\!_A} \right\| _\alpha \geq 1</math>, wenn <math> e_{\!\!_A} \notin U_\alpha </math> und <math display="inline">\left\| x \right\| _\alpha := p_{\!_{U_\alpha}}(x)</math> als [[Minkowski-Funktional]] der absorbiernden Nullumgebung <math> U_\alpha </math> verwendet wird. === Bemerkung: p-Norm und Norm === Der Begriff der Norm ist ein Spezialfall einer <math>p</math>-Norm mit <math>p=1</math>, die im folgenden definiert wird. === Definition: Norm === Sei <math display="inline">V</math> ein topologischer Vektorraum über dem Körper <math display="inline">\mathbb{K}</math>. Ein Funktional <math display="inline">\left\| \cdot \right\| : V\longrightarrow \mathbb{K}</math> heißt Norm auf <math display="inline">V</math>, falls <math display="inline">\left\| \cdot \right\| </math> folgende Bedingungen erfüllt: * (N1) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle x\in V} : \left\| x \right\| \geq 0</math> * (N2) <math display="inline">\displaystyle \left\| x \right\| = 0 \Longrightarrow x=0 </math> * (N3) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle x\in V,\lambda\in \mathbb{K}} : \left\| \lambda\cdot x \right\| = |\lambda|\cdot \left\| x \right\| </math> * (N4) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle x,y\in V} : \left\| x+y \right\| \leq \left\| x \right\| + \left\| y \right\| </math> === Definition: Halbnorm === Sei <math display="inline">V</math> ein topologischer Vektorraum über dem Körper <math display="inline">\mathbb{K}</math>. Ein Funktional <math display="inline">\left\| \cdot \right\| : V\longrightarrow \mathbb{K}</math> heißt Halbnorm auf <math display="inline">V</math>, falls <math display="inline">\left\| \cdot \right\| </math> folgende Bedingungen erfüllt: * (H1) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle x\in V} : \left\| x \right\| \geq 0</math> * (H2) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle x\in V,\lambda\in \mathbb{K}} : \left\| \lambda\cdot x \right\| = |\lambda|\cdot \left\| x \right\| </math> * (H3) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle x,y\in V} : \left\| x+y \right\| \leq \left\| x \right\| + \left\| y \right\| </math> === Bemerkung: Halbnorm - Norm === Falls (N2) in der Definition der Norm nicht gilt, erhält man eine <math display="inline">\left\| \cdot \right\| </math> Halbnorm. (N2) sorgt für die Hausdorfeigenschaft in dem topologischen Vektorraum. Man kann mit der Norm die Punkte trennen, d.h. mit der Norm man messen, ob zwei Vektoren <math>v_1,v_2 \in V </math> sich unterscheiden, d.h. <math>v_1\not= v_2</math> bzw. <math>v_1 - v_2 \not= 0_V</math> gilt. === Multiplikativ konvex - Submultiplikativität der Halbnorm === Ein Halbnorm ist submultiplikativ mit einer Stetigkeitskonstante <math> C > 0 </math>, wenn für alle <math> v_1,v_2 \in V </math> gilt: :<math> \left\| v_1 \cdot v_2 \right\| \leq C \cdot \left\| v_1 \right\| \cdot \left\| v_2 \right\|</math> <math>C</math> nennt man Stetigkeitskonstante der Multiplikation. Man kann die Halbnorm <math display="inline">\left\| \cdot \right\| </math> durch eine äquivalente Halbnorm <math display="inline">\left\| \cdot \right\|_1 </math>ersetzen, für die <math>C = 1</math> ist (siehe [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/MLC-Regularität|MLC-Regularität]]). == Lemma: Stetigkeitskonstante und Submultiplikativität == Sei <math> (A , \| \cdot \|_{\mathcal{A}} ) </math> eine lokalkonvexe topologische Algebra mit dem basiserzeugenden Halbnormensystem <math> \| \cdot \|_{\mathcal{A}} </math> und eine submultiplikative Halbnorm mit Stetigkeitskonstante <math> C > 0 </math> und <math> v_1,v_2 \in V </math> gegeben mit: :<math> \left\| v_1 \cdot v_2 \right\|_\alpha \leq C \cdot \left\| v_1 \right\|_\alpha \cdot \left\| v_2 \right\|_\alpha ,</math> dann gibt es eine äquivalente Halbnorm <math> \| \cdot \|_{\beta} </math> mit :<math> \left\| v_1 \cdot v_2 \right\|_\beta \leq \left\| v_1 \right\|_\beta \cdot \left\| v_2 \right\|_\beta ,</math> == Beweis: Stetigkeitskonstante und Submultiplikativität == Ist <math> 0 < C \leq 1 </math> erhält die Submultiplikativität direkt mit :<math> \left\| v_1 \cdot v_2 \right\|_\alpha \leq C \cdot \left\| v_1 \right\|_\alpha \cdot \left\| v_2 \right\|_\alpha \leq \left\| v_1 \right\|_\alpha \cdot \left\| v_2 \right\|_\alpha </math> === Beweis: Definition der Halbnorm === Gilt nun <math> C > 1 </math>, so definiert man für alle <math> v \in A </math>: :<math> \left\| v \right\|_\beta := C \cdot \left\| v \right\|_\alpha </math> und man erhält die Submultiplikativität über: :<math> \left\| v_1 \cdot v_2 \right\|_\beta \leq C \cdot \left\| v_1 \cdot v_2 \right\|_\alpha \leq C^2 \cdot \left\| v_2 \right\|_\alpha \cdot \left\| v_2 \right\|_\alpha = \left\| v_1 \right\|_\beta \cdot \left\| v_2 \right\|_\beta </math> === Beweis: Äquivalenz der Halbnormen === Die Äquivalenz der Halbnormen erhält man unmittelbar aus der Definition mit <math> C > 1</math>, denn es gilt: :<math> C \cdot \left\| v \right\|_\alpha = \left\| v \right\|_\beta </math> === Bemerkung: Submultiplikativität === Ist eine [[topologische Algebra]] ein [[Normen, Metriken, Topologie|normierter Raum]], so kann man im Allgemeinen nur sagen, dass die Submultiplikativität der Halbnorm mit einer bestimmten Stetigkeitskonstante der Multiplikation erfüllt, da die <math>\varepsilon</math>-Kugeln um den Nullvektor eine Nullumgebungsbasis erzeugen. Das Lemma zeigt, dass man ohne Einschränkung eine Halbnorm mit Stetigkeitskonstante auch durch eine äquivalente submultiplikative Halbnorm ersetzen kann. Das Vorgehen kann man analog für lokalbeschränkte Räume übernehmen. == Definition: p-Norm == Sei <math display="inline">V</math> ein [[topologischer Vektorraum|Vektorraum]] über dem Körper <math display="inline">\mathbb{K}</math> und <math>0 < p \leq 1</math>. Ein Funktional <math display="inline">\left\| \cdot \right\| : V\longrightarrow \mathbb{K}</math> heißt <math display="inline">p</math>-Norm auf <math display="inline">V</math>, falls <math display="inline">\left\| \cdot \right\| </math> folgende Bedingungen erfüllt: * (PN1) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle x\in V} : \left\| x \right\| \geq 0</math> * (PN2) <math display="inline">\displaystyle \left\| x \right\| = 0 \Longrightarrow x=0 </math> * (PN3) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle x\in V,\lambda\in \mathbb{K}} : \left\| \lambda\cdot x \right\| = |\lambda|^p\cdot \left\| x \right\| </math> * (PN4) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle x,y\in V} : \left\| x+y \right\| \leq \left\| x \right\| + \left\| y \right\| </math> === Pseudokonvexe Einheitkreise === Einheitskreise für ausgewählten <math>p</math>-Normen mit <math> \|(x,y)\| = x^p +y^p </math>. [[Datei:Unit Circle of Lp-norm, in R2 space.png|450px|Einheitskreise für ausgewählte Normen bzw. Quasinormen.]] Für <math>p\geq 1</math> sind die Einheitskreisscheiben <math>B_1^{\|\cdot \|}(0,0) := \{ (x,y)\in \mathbb{R}^2 \, \colon \, \|(x,y)\| < 1 \} </math> [[Konvexkombination|konvex]]. Für alle <math>0 < p < 1</math> ist die Einheitskreisscheibe nicht konvex. === Bemerkung - Konkavitätsexponent === Für <math>p \geq 1</math> kann man ein <math>p</math>-[[lokal beschränkt|Norm]] auch zu einer Norm machen, indem man die Norm <math> \left\| \cdot \right\|_\ast</math> wie folgt definert: :<math> \left\| x \right\|_{\ast} := \left\| x \right\|^{\frac{1}{p}} </math> === Beispiel - Folgenräume 1 === Sei <math> p \in \mathbb{R} </math> mit <math> 0 < p < 1 </math> und betrachtet man die Mengen der <math>p</math>-summierbaren Reihen <math> a:= (a_n)_{n\in\mathbb{N}} </math> in den reellen Zahlen. :<math>\ell_p(\mathbb{R}):=\left\{ (a_n)_{n\in\mathbb{N}} \ : \ \| a \|_p := \sum_{n=1}^\infty |a_n|^p < \infty \right\} </math> <math>\| \cdot \|_p </math> ist eine <math>p</math>-Norm auf dem <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraum <math>\ell_p(\mathbb{R})</math>. === Beispiel - Folgenräume 2 === Sei <math> (p_n)_{n\in \mathbb{N}} \in c_o(\mathbb{R}) </math> eine streng monoton fallende Nullfolge mit <math> 0 < p_n < 1 </math> und betrachtet man die Mengen der <math>(p_n)_{n\in \mathbb{N}}</math>-summierbaren Reihen <math> a:= (a_n)_{n\in\mathbb{N}} </math> in den reellen Zahlen. :<math>\ell (\mathbb{R},(p_n)_{n\in \mathbb{N}} ):=\left\{ (a_n)_{n\in\mathbb{N}} \ : \ \| a \|_{_{(p_n)}} := \sum_{n=1}^\infty |a_n|^{p_n} < \infty \right\} </math> <math>\| a \|_{p_k} = \sum_{n=1}^\infty |a_n|^{p_k} </math> ist mit festem <math>k\in \mathbb{N}</math> ein <math>p</math>-[[Gaugefunktional]] auf dem <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraum <math>\ell(\mathbb{R},(p_n)_{n\in \mathbb{N}})</math>. === Aufgabe - Folgenräume 2 === Überprüfen Sie, ob <math>\ell(\mathbb{R},(p_n)_{n\in \mathbb{N}})</math> ein topologischer Vektorraum mit dem <math>p</math>-Gaugefunktionalsystem <math> \left( \|\cdot \|_{p_k} \right)_{n\in \mathbb{N}}</math> ist! === Definition: p-Normierbarkeit === Sei <math display="inline">(V,\mathcal{T})</math> heißt <math display="inline">p</math>-normierbar oder [[lokal beschränkt]] mit der Konkavitätskonstante <math>p</math>, falls eine <math display="inline">p</math>-Norm :<math display="inline">\left\| \cdot \right\| : V\longrightarrow \mathbb{K}</math>, existiert, die die Topologie auf <math display="inline">V</math> erzeugt (formal <math display="inline">(V,\left\| \cdot \right\|) \in \mathcal{P}</math>). === Definition: p-Halbnorm === Sei <math display="inline">V</math> ein topologischer Vektorraum über dem Körper <math display="inline">\mathbb{K}</math> und <math>0 < p \leq 1</math>. Ein Funktional <math display="inline">\left\| \cdot \right\| : V\longrightarrow \mathbb{K}</math> heißt <math>p</math>-Halbnorm auf <math display="inline">V</math> mit <math display="inline">p</math> als [[Konkavitätsmodul|Konkavitätsexponent]], falls <math display="inline">\left\| \cdot \right\| </math> folgende Bedingungen erfüllt: * (PH1) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle x\in V} : \left\| x \right\| \geq 0</math> * (PH2) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle x\in V,\lambda\in \mathbb{K}} : \left\| \lambda\cdot x \right\| = |\lambda|^p \cdot \left\| x \right\| </math> * (PH3) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle x,y\in V} : \left\| x+y \right\| \leq \left\| x \right\| + \left\| y \right\| </math> === Bemerkung: p-Norm - p-Halbnorm === Falls (PN2) in der Definition der <math>p</math>-Norm nicht gilt, heißt <math display="inline">\left\| \cdot \right\| </math> <math display="inline">p</math>-Halbnorm mit <math display="inline">p</math> als Konkavitätskonstante. Analog zur Halbnorm kann eine einzelne <math display="inline">p</math>-Halbnorm nicht die Punkte im topologischen Vektorraum trennen ([[Hausdorff-Raum|Hausdorffeigenschaft T2]]). === Multiplikativ pseudokonvex - Submultiplikativität der p-Halbnorm === Ein <math>p</math>-Halbnorm ist submultiplikativ mit einer Stetigkeitskonstante <math> C > 0 </math>, wenn für alle <math> v_1,v_2 \in V </math> gilt: :<math> \left\| v_1 \cdot v_2 \right\| \leq C \cdot \left\| v_1 \right\| \cdot \left\| v_2 \right\|</math> <math>C</math> nennt man Stetigkeitskonstante der Multiplikation. Man kann die<math>p</math>- Halbnorm <math display="inline">\left\| \cdot \right\| </math> durch eine äquivalente <math>p</math>-Halbnorm <math display="inline">\left\| \cdot \right\|_1 </math>ersetzen, für die <math>C = 1</math> ist (siehe [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/MLC-Regularität|MPC-Regularität]]). === Definition: pseudokonvexer Vektorraum === Sei <math display="inline">(V,\mathcal{T})</math> heißt pseudokonvex, falls die Topologie <math display="inline">\mathcal{T}</math> durch ein System <math display="inline">\left\| \cdot \right\|_{\mathcal{A}}</math> von <math display="inline">p</math>-Halbnormen erzeugt wird, das die folgenden Eigenschaften besitzt. :<math display="inline">\left\| \cdot \right\|_{\alpha} : V\longrightarrow \mathbb{K} \mbox{ ist } p_{\alpha}\mbox{-homogen mit } \alpha \in \mathcal{A} \mbox{ und } p_{\alpha} \in (0,1]</math>, Formal notiert man <math display="inline">(V,\left\| \cdot \right\|_{\mathcal{A}}) \in \mathcal{PC}</math>. === Bemerkung: topologieerzeugende p-Norm === Eine <math display="inline">p</math>-Norm ist topologieerzeugend für die Topologie <math display="inline">\mathcal{T}\subseteq \wp(V) </math>, wenn die folgende Bedingung gilt: :<math>{\forall}_{ U\in \mathcal{T}} \forall_{ v_o \in U} \exists_{\varepsilon >0} : \, B_\varepsilon^{\left\| \cdot \right\| }(v_o):= \left\{ v \in V \, : \, \left\| x - x_o \right\| < \varepsilon \right\} </math> Die <math display="inline">\varepsilon</math>-Kugeln werden im weiteren Verlauf für die Charakterisierung der Stetigkeit verwendet. === Definition: Epsilonkugeln von p-Gaugefunktionalen=== Sei <math>V</math> ein Vektorraum und <math display="inline">\left\| \cdot \right\|_\alpha</math> ein <math>p</math>-Gaugefunktional auf <math display="inline">V</math>, dann ist die <math display="inline">\varepsilon</math>-Kugel von <math display="inline">\left\| \cdot \right\|_\alpha</math> mit <math display="inline">\varepsilon>0</math> um einen Punkt <math display="inline">v\in V</math> (Bezeichnung: <math display="inline">{\mathrm B}_\varepsilon^\alpha(v)</math>) wie folgt definiert: :<math> {\mathrm B}_\varepsilon^\alpha (v):= \{z\in V \,:\, \left\| z-v \right\| _\alpha<\varepsilon \} </math> === Definition: Quasinorm === Sei <math display="inline">V</math> ein topologischer Vektorraum über dem Körper <math display="inline">\mathbb{K}</math>. Ein Funktional :<math>\left\| \cdot \right\| : V\longrightarrow \mathbb{K}</math> heißt Quasinorm auf <math display="inline">V</math>, falls <math>\left\| \cdot \right\| </math> folgende Bedingungen erfüllt: * (QN1) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle x\in V} : \left\| x \right\| \geq 0</math> * (QN2) <math display="inline">\displaystyle \left\| x \right\| = 0 \Longrightarrow x=0 </math> * (QN3) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle x\in V,\lambda\in \mathbb{K}} : \left\| \lambda\cdot x \right\| = |\lambda|\cdot \left\| x \right\| </math> * (QN4) <math display="inline">\displaystyle \exists_{\displaystyle K>0} \forall_{\displaystyle x,y\in V} : \left\| x+y \right\| \leq K\cdot \left(\left\| x \right\| + \left\| y \right\| \right) </math> === Definition: Quasihalbnorm === Ein Funktional <math>\left\| \cdot \right\| : V\longrightarrow \mathbb{K} </math> auf einem Vektorraum <math display="inline">V</math> über dem Körper <math>\mathbb{K}</math> heißt Quasihalbnorm mit Stetigkeitskonstante der Addition <math>K \geq 1</math>, falls <math>\left\| \cdot \right\| </math> die folgende Bedingungen erfüllt: * (QH1) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle x\in V} : \left\| x \right\| \geq 0</math> * (QH2) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle x\in V,\lambda\in \mathbb{K}} : \left\| \lambda\cdot x \right\| = |\lambda|\cdot \left\| x \right\| </math> * (QH3) <math display="inline">\displaystyle \exists_{\displaystyle K>0} \forall_{\displaystyle x,y\in V} : \left\| x+y \right\| \leq K\cdot \left(\left\| x \right\| + \left\| y \right\| \right) </math> === Bemerkung: Quasinorm - Quasihalbnorm === Analog zu Halbnormen und Normen bzw. <math>p</math>-Normen und <math>p</math>-[[p-Halbnorm|Halbnormen]] wird eine Quasinorm zu einer Quasihalbnorm <math display="inline">\left\| \cdot \right\| </math> mit Stetigkeitskonstante <math display="inline">K</math> der Addition, falls (QN2) nicht mehr gilt. === Bemerkung: Stetigkeitskonstante === Die Stetigkeitskonstante hängt mit der [[p-Norm|Konkavitätskonstante einer <math>p</math>-Norm bzw. <math>p</math>-Halbnorm]] zusammen. Dies zeigt das [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Korrespondenz-Lemma für p-Halbnormen|Korrespondenzlemma für <math>p</math>-Halbnormen]] == Konvergenz über Netze == Sei <math>(X ,\mathcal{T})</math> eine [[Normen, Metriken, Topologie|topologischer Raum]], <math>x_0 \in X</math> und <math>(x_i)_{i \in I}\in X_I</math> ein Netz in <math>X</math> mit einer Indexmenge <math>I</math>, die nach oben gerichtet ist und eine partielle Ordnung besitzt. Die Konvergenz über [[Netze - Topologie|Netze]] wird wie folgt definiert: :<math> \stackrel{\mathcal{T}}{\lim_{i\to \infty}} x_i \, :\Longleftrightarrow \, (x_i)_{i\in I} \stackrel{\mathcal{T}}{\longrightarrow} x_0 \, :\Longleftrightarrow \, \forall_{U \in \mathfrak{U}_{\mathcal{T}}(x_0)} \exists_{i_U \in I} \forall_{i \geq i_U}: \, x_i \in U </math> == Definition: Algebrenklassen == Die Unterscheidung nach Algebrenklassen ist für die Untersuchung von permanent singulären Elemente wesentlich, da die Invertierbarkeit in einer Algebraerweiterung von der Klasse <math>\mathcal{K}</math> abhängt. === Notation 1: Algebrenklassen === Sei <math display="inline">\mathcal{K}</math> eine Klasse topologischer Algebren und <math display="inline">\mathbb{K}</math> ein Körper, dann werden mit folgenden Symbolen Teilklassen topologischer Algebren bezeichnet: * <math display="inline">\mathcal{K}_e</math> Klasse der unitalen Algebren in <math display="inline">\mathcal{K}</math>; * <math display="inline">\mathcal{K}^k</math> Klasse der kommutativen Algebren in <math display="inline">\mathcal{K}</math>, ''"kommutativ"'' bezieht sich auf die Multiplikation in den Algebren. * <math display="inline">\mathcal{K}(\mathbb{K})</math> Klasse der topologischen Algebren über <math display="inline">\mathbb{K}</math> in <math display="inline">\mathcal{K}</math>; === Notation 2: Algebrenklassen === * <math display="inline">{\mathcal{T}} </math> Klasse aller topologischen Algebren; * <math display="inline">{\mathcal{B}} </math> Klasse aller Banachalgebren (vollständig, normiert); * <math display="inline">{\mathcal{LC}}</math> Klasse der lokalkonvexen Algebren; d.h. Topologie durch ein System von Halbnormen erzeugt; * <math display="inline">{\mathcal{MLC}}</math> Klasse der multiplikativ lokalkonvexen Algebren; === Notation 3: Algebrenklassen === * <math display="inline">{\mathcal{P}}</math> Klasse der <math display="inline">p</math>-normierbaren Algebren bzw. lokal beschränkten Algebren; * <math display="inline">{\mathcal{PC}}</math> Klasse der pseudokonvexen Algebren; & d.h. Topologie durch ein System von <math display="inline">p</math>-Halbnormen erzeugt; * <math display="inline">{\mathcal{MPC}}</math> Klasse der multiplikativ pseudokonvexen Algebren. == Bemerkung: Pseudokonvexe Räume == Für pseudokonvexe Algebren kann das <math display="inline">{\mathcal{PC}}</math>-System auch aus den entsprechenden Quasihalbnormen bestehen. Mit dem [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Korrespondenz-Lemma_für_p-Halbnormen|Korrespondenzsatz für <math>p</math>-Halbnormen]] wird der Zusammenhang von <math display="inline">p</math>-Halbnormen und Quasihalbnormen erläutert. Ferner müssen nicht alle <math display="inline">p</math>-Halbnormen <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _\alpha</math> die gleiche Konkavitätskonstante (siehe Definition [[Gaugefunktional]]) <math display="inline">0<p_\alpha\leq 1</math> besitzen, d.h. für <math display="inline">p_\alpha</math> gilt :<math display="block"> |\lambda|^{p_\alpha} \cdot \left\| x \right\| _\alpha = \left\| \lambda\cdot x \right\| _\alpha \mbox{ für alle } x\in A \mbox{ und } \lambda\in \mathbb{K}. </math> == Aufgabe 1: Norm == Zeichnen Sie die <math>\varepsilon</math>-Kugel in <math>V:=\mathbb{R}^2</math> mit <math>p\geq 1 </math> und :<math> \begin{array}{rrcl} \left\|\cdot \right\|_p : & \mathbb{R}^2 & \rightarrow & \mathbb{R}_o^{+} \\ & x & \mapsto & \left\| \left( \begin{array}{c} x_1\\x_2 \end{array} \right) \right\|_p := \sqrt[p]{|x_1|^p + |x_2|^p} \end{array} </math> Zeichnen Sie den Rand der <math>\varepsilon</math>-Kugeln <math>B_{\varepsilon}^{\left\| \cdot \right\|_p }\left( x \right)</math> bzgl. der Norm <math>\left\| \cdot \right\|_p </math> mit * <math>p= 1</math> <math>\varepsilon = 1</math> und <math>x= \left( \begin{array}{c} x_1\\x_2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0\\0 \end{array} \right)</math> * <math>p=3</math> <math>\varepsilon = 1</math> und <math>x= \left( \begin{array}{c} x_1\\x_2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0\\0 \end{array} \right)</math> == Aufgabe 2: p-Norm == Zeichnen Sie die <math>\varepsilon</math>-Kugel in <math>V:=\mathbb{R}^2</math> mit <math>p\leq 1 </math> und :<math> \begin{array}{rrcl} \left\|\cdot \right\|_p : & \mathbb{R}^2 & \rightarrow & \mathbb{R}_o^{+} \\ & x & \mapsto & \left\| \left( \begin{array}{c} x_1\\x_2 \end{array} \right) \right\|_p := |x_1|^p + |x_2|^p \end{array} </math> Zeichnen Sie den Rand der <math>\varepsilon</math>-Kugeln <math>B_{\varepsilon}^{\left\| \cdot \right\|_p }\left( x \right)</math> bzgl. der Norm <math>\left\| \cdot \right\|_p </math> mit * <math>p= \frac{1}{4}</math> <math>\varepsilon = 1</math> und <math>x= \left( \begin{array}{c} x_1\\x_2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0\\0 \end{array} \right)</math> * <math>p= \frac{1}{2}</math> <math>\varepsilon = 1</math> und <math>x= \left( \begin{array}{c} x_1\\x_2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0\\0 \end{array} \right)</math> == Siehe auch == * [[Gaugefunktionalsystem]] * [[Hausdorff-Raum]] * [[Kreisschnittdurchmesser]] * [[Netze (Mathematik)]] * [[Normen, Metriken, Topologie]] * [[Norm (Mathematik)]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Korrespondenz-Lemma für p-Halbnormen|Korrespondenzlemma für <math>p</math>-Halbnormen]] * [[Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]] * [[Stetigkeitssequenz]] * [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/MLC-Regularität|MLC-Regularität]] * [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/MPC-Regularität|MPC-Regularität]] * [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/LC-Regularität|LC-Regularität]] * [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/PC-Regularität|PC-Regularität]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Gaugefunktionale&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Gaugefunktionale&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Gaugefunktionale https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Gaugefunktionale] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Gaugefunktionale Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Gaugefunktionale * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Gaugefunktionale&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Pseudokonvexer Raum]] [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude> [[en:Inverse-producing extensions of Topological Algebras/Gauge functionals]] </noinclude> ldeueo5347nntgowdbg606qs82oa9zc 106 130087 1118916 1068282 2026-11-05T10:19:19Z Bert Niehaus 20843 /* Topologisierungslemma für Algebren */ 1118916 wikitext text/x-wiki == Einführung == Das Topologisierungslemma für Algebren erlaubt die Beschreibung der Stetigkeit von den Verknüpfungen in einer topologischen Algebra über [[Gaugefunktional|Gaugefunktionale]]. Diese Lernressource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologisierungslemma%20f%C3%BCr%20Algebren&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. == Topologisierungslemma für Algebren == Sei <math display="inline">A</math> eine Algebra. <math display="inline">A</math> ist genau dann eine topologische Algebra <math display="inline">(A,\mathcal{T})</math>, die die [[Hausdorff-Raum|Hausdorfeigenschaft]] erfüllt, wenn die Topologie <math display="inline">\mathcal{T}</math> durch ein Gaugefunktionalsystem <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{{\mathcal{A}} }</math> mit den Eigenschaften (A1)-(A5) erzeugt werden kann. === Charakterisierende Eigenschaften (A1)-(A5) === * (A1) <math display="inline">\displaystyle \forall_{ \alpha\in {\mathcal{A}} ,x\in A} : \left\| x \right\| _\alpha \geq 0</math> * (A2) <math display="inline">\displaystyle \left( \forall_{ \alpha\in {\mathcal{A}} } : \left\| x \right\| _\alpha = 0 \right) \Longrightarrow x=0_A </math> * (A3) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\alpha\in {\mathcal{A}} ,x\in A,\lambda\in \mathbb{K}} : \left\| \lambda\cdot x \right\| _\alpha = |\lambda|\cdot \left\| x \right\| _\alpha </math> * (A4) <math display="inline">\displaystyle \forall_{ \alpha\in {\mathcal{A}} } \exists_{ \beta \in {\mathcal{A}} } \forall_{ x,y\in A } : \left\| x+y \right\| _\alpha \leq \left\| x \right\| _\beta +\left\| y \right\| _\beta </math> * (A5) <math display="inline">\displaystyle \forall_{ \alpha\in {\mathcal{A}} } \exists_{ \beta \in {\mathcal{A}} } \forall_{ x,y\in A } : \left\| x\cdot y \right\| _\alpha \leq \left\| x \right\| _\beta \cdot \left\| y \right\| _\beta </math> == Topologisierunglemma für Vektorräume == Sei <math display="inline">V</math> eine Vektorraum. <math display="inline">V</math> ist genau dann eine topologischer Vektorraum <math display="inline">(V,\mathcal{T})</math>, der die Hausdorfeigenschaft erfüllt, wenn die Topologie <math display="inline">\mathcal{T}</math> durch ein Gaugefunktionalsystem <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{{\mathcal{A}} }</math> mit den Eigenschaften (V1)-(V4) erzeugt werden kann. === Charakterisierende Eigenschaften (V1)-(V4) === * (V1) <math display="inline">\displaystyle \forall_{ \alpha\in {\mathcal{A}} ,x\in V} : \left\| x \right\| _\alpha \geq 0</math> * (V2) <math display="inline">\displaystyle \left( \forall_{ \alpha\in {\mathcal{A}} } : \left\| x \right\| _\alpha = 0 \right) \Longrightarrow x=0_V </math> * (V3) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\alpha\in {\mathcal{A}} ,x\in V,\lambda\in \mathbb{K}} : \left\| \lambda\cdot x \right\| _\alpha = |\lambda|\cdot \left\| x \right\| _\alpha </math> * (V4) <math display="inline">\displaystyle \forall_{ \alpha\in {\mathcal{A}} } \exists_{ \beta \in {\mathcal{A}} } \forall_{ x,y\in V } : \left\| x+y \right\| _\alpha \leq \left\| x \right\| _\beta +\left\| y \right\| _\beta </math> === Bemerkung - Topologisierunglemma für topologische Vektorräume === Den topologischen Vektorräumen <math display="inline">(V,\mathcal{T})</math> fehlt die stetige innere Verknüfung der Multiplikation <math> \cdot : V\times V \to V</math>. Daher erhält man für topologische Vektorräume nur vier charakterisierende Eigenschaften (V1)-(V4). Der Beweis der Eigenschaften erfolgt analog zu den Beweis für das Topologisierungslemma für topologische Algebren. === Hausdorff-Eigenschaft === Wenn die topologische Algebra die Hausdorfeigenschaft nicht erfüllt, gilt (A2) nicht und man kann zwei Punkte <math>x_1 \not= x_2</math> ebenfalls nicht durch das Gaugefunktionalsystem trennen. Wenn nicht anders angegeben, sind die topologischen Algebren Hausdorff'sch. === Bemerkung 1: Beweisstruktur === Für den Beweis muss man zwei Richtungen zeigen, * dass für eine topologische Algebra <math display="inline">(A,\mathcal{T})</math> ein System von Gaugefunktionalen <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{{\mathcal{A}} }</math> mit folgenden Eigenschaften (A1)-(A5) existiert und * umgekehrt erzeugt ein System <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{{\mathcal{A}} }</math> von Gaugefunktionalen mit (A1)-(A5) eine Topologie <math display="inline">\mathcal{T}</math> auf <math>A</math>, die <math display="inline">(A,\mathcal{T})</math> zu einer topologischen Algebra macht. === Bemerkung 2: Äquivalentes Gaugefunktionalsystem === Ohne Einschränkung verwenden wir ein Gaugefunktionalsystem, das bzgl. des Radius der <math>\varepsilon</math>-Kugeln vollständig erweitert ist. D.h. man erweitert das Gaugefunktionalsystem auch um äquivalente Gaugefunktional der Form <math>\| \cdot \|_{(\alpha,\varepsilon)}:=\varepsilon \cdot \| \cdot \|_{\alpha}</math>. Das erspart die Verwendung von Konstanten in dem folgenden Beweis. === Stetigkeit in einem Punkt === In dem Beweis geht ein, dass man bei linearen bzw. bilinearen Abbildung die Stetigkeit nur in einem Punkt (hier Nullvektor nachweisen muss, um die Stetigkeit auf dem ganzen Definitionsbereich der (bi-)linearen Abbildung nachzuweisen (siehe auch [[Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]]) == Beweisidee == Der folgende Beweis stellt für die Eigenschaften (A1)-(A5) die folgenden Beziehung zur Topologie und Mengen her. * (A1) <math display="inline">\left\| x \right\| _\alpha \geq 0</math> - Definition des Minkowski-Funktional für absorbierende Mengen * (A2) <math display="inline">\displaystyle \left( \forall_{\displaystyle \alpha\in {\mathcal{A}} } : \left\| x \right\| _\alpha = 0 \right) \Longrightarrow x=0_A </math> Hausdorff-Eigenschaft der Topologie * (A3) <math display="inline"> \left\| \lambda\cdot x \right\| _\alpha = |\lambda|\cdot \left\| x \right\| _\alpha</math> Stetigkeit der Multiplikation mit Skalaren * (A4) <math display="inline"> \left\| x+y \right\| _\alpha\leq \left\| x \right\| _\beta +\left\| y \right\| _\beta </math> Stetigkeit der Addition * (A5) <math display="inline"> \left\| x\cdot y \right\| _\alpha\leq \left\| x \right\| _\beta \cdot \left\| y \right\| _\beta </math> Stetigkeit der Multiplikation == Beweis == Topologische Vektorräume besitzen eine Nullumgebungsbasis <math display="inline">\{U_\alpha\}_{\alpha\in {\mathcal{A}} } </math> aus kreisförmigen Mengen. Man betrachtet dann als System der die [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Minkowski-Funktionale|Minkowski-Funktionale]] <math display="inline">\|\cdot \|_\alpha</math> mit <math>\alpha\in {\mathcal{A}} </math> dieser kreisförmigen Nullumgebungen <math display="inline">\{U_\alpha\}_{\alpha\in {\mathcal{A}} } </math>. Nur sind jeweils zwei Beweisrichtungen zu zeigen: * Eine topologische Algebra <math>(A\mathcal{T})</math> ist gegeben und die Eigenschaften (A1)-(A5) sind zu zeigen und umgekehrt * bei gegeben topologieerzeugenden [[Gaugefunktional|Gaugeunktionalen]] mit den Eigenschaften <math display="inline">(A1)-(A5)</math> für <math>\mathcal{T}</math> wird die Algebra zu einer topologischen Algebra. === Beweis (A1) Topologie gegeben === Eine topologische Algebra <math>(A,\mathcal{T})</math> ist gegeben und die Eigenschaften (A1) ist zu zeigen. ==== Beweis (A1.1) - Nicht-Negativität ==== Mit der kreisförmigen Nullumgebung <math display="inline">U_\alpha \in \mathfrak{U}_\mathcal{T}(0_A) </math> definiert man das Minkowskifunktional: :<math display="inline"> \|x\|_\alpha := \inf \{ \lambda > 0 \, : \, x \in \lambda \cdot U_\alpha \} </math>. ==== Beweis (A1.2) - Nicht-Negativität ==== Die Eigenschaft der Nichtnegativität folgt aus der Definition des [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Minkowski-Funktionale|Minkowski-Funktionals]], da ein Infimum über positive Zahlen gebildet wird, mit der eine absorbierende (kreisförmige) Menge <math display="inline">U_\alpha \in \mathfrak{U}_\mathcal{T}(0_A) </math> noch ein Element <math>x \in A</math> "einfängt" (<math display="inline">x \in \lambda \cdot U_\alpha</math>. Ein Infimum von positiven Zahlen ist zumindest nicht negativ (d.h. <math display="inline">0\leq \|x\|_\alpha \leq \lambda</math>). === Beweis (A1) Gaugefunktionalsystem gegeben === Ist umgekehrt auf einer Algebra ein topologieerzeugendes Gaugefunktionalsystem <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{{\mathcal{A}} }</math> gegeben, dass Eigenschaften <math>(A1)-(A5)</math>, dann gibt es eine Nullumgebungsbasis <math display="inline">\{U_\alpha\}_{\alpha\in {\mathcal{A}} } </math> aus kreisförmigen Mengen. ==== Beweis (A1.3) Gaugefunktionalsystem gegeben ==== Man definiert die Nullumgebungsbasis <math display="inline">\{\varepsilon \cdot U_\alpha\}_{\alpha\in {\mathcal{A}, \lambda >0} } </math> mit: :<math>U_{\alpha} := B_1^\alpha(0_A):= \left\{ x\in A \, : \, \left\| x \right\|_\alpha < 1 \right\}</math> Die Menge <math>U_{(\alpha , \varepsilon)} := \varepsilon\cdot U_\alpha \in \mathfrak{U}_{\mathcal{T}}(0_A)</math> ist eine Nullumgebung, weil <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{{\mathcal{A}} }</math> aus den [[Gaugefunktional|topologieerzeugenden Gaugefunktionalen]] der Topologie <math>\mathcal{T}</math> besteht. ==== Bemerkung (A1.4) Gaugefunktionalsystem gegeben ==== Man kann sich hier auf die 1-Umgebungen beschränken, weil das [[Gaugefunktional|Gaugefunktionalsystem]] bzgl. der <math>\varepsilon</math>-Radien ohne Einschränkung vervollständigt ist, d.h. es wurde ggf. um äquivalente Gaugefunktionale der Form <math>\| \cdot \|_{(\alpha,\varepsilon)}:=\varepsilon \cdot \| \cdot \|_{\alpha}</math> ggf. erweitert wurde. ==== Beweis (A1.5) Gaugefunktionalsystem gegeben - Nullumgebung kreiförmig ==== Ferner ist die Menge <math>U_\alpha \in \mathfrak{U}_{\mathcal{T}}(0_A)</math> [[kreisförmig]], weil mit <math>x \in U_\alpha</math>, <math>\lambda \in \mathbb{K}</math> und <math>|\lambda| \leq 1</math> mit (A3) gilt: :<math>\left\| \lambda \cdot x \right\|_{\alpha} \stackrel{(A3)}{=} |\lambda | \cdot \left\| x \right\|_{\alpha} \leq \left\| x \right\|_{\alpha}< 1</math> Also gilt mit <math>\left\| \lambda \cdot x \right\|_{\alpha} < 1</math> auch <math> \lambda \cdot x \in U_\alpha</math> und <math>U_\alpha</math> ist [[kreisförmig]]. ==== Beweis (A1.6) Gaugefunktionalsystem gegeben - Umgebungen von Vektoren ==== Für einen beliebigen Vektor <math>x_o\in A</math> definiert man die Umgebungbasis <math display="inline"> \{ B_\varepsilon^\alpha(x_o) \}_{\alpha\in {\mathcal{A}, \varepsilon >0, x_o \in A} } </math> wie folgt mit: :<math> B_\varepsilon^\alpha(x_o):= \left\{ x\in A \, : \, \left\| x - x_o \right\|_\alpha < \varepsilon \right\} </math> Die Menge <math> B_\varepsilon^\alpha(x_o) := U_\alpha \in \mathfrak{U}_{\mathcal{T}}(x)</math> ist eine Umgebung von <math>x_o</math>, weil <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{{\mathcal{A}} }</math> die [[Gaugefunktional|topologieerzeugend]] für <math>\mathcal{T}</math> ist. ==== Beweis (A1.7) Gaugefunktionalsystem gegeben ==== <math>\mathcal{T}</math> sei nun die kleinste Topologie, die von dem Mengensystem <math display="inline"> \{ B_\varepsilon^\alpha(x_o) \}_{ \alpha\in \mathcal{A}, \varepsilon > 0, x_o \in A} </math> erzeugt wird. Im weiteren Verlauf muss man nun nachweisen, dass die Multiplikation mit Skalaren, Addition und Multiplikation auf <math>(A,\mathcal{T})</math> stetig sind, wenn das Gaugefunktionalsystem gegeben ist. === Beweis (A2) Topologie gegeben === Eine topologische Algebra <math>(A,\mathcal{T})</math> ist gegeben und die '''Eigenschaft (A2)''' ist zu zeigen. ==== Beweis (A2.1) Hausdorff-Eigenschaft gegeben ==== Die topogische Algebra <math display="inline">(A,\mathcal{T})</math> nach Definition [[w:de:Hausdorffraum|Hausdorff'sch]]. Man betrachtet <math display="inline">x \in A</math> mit <math>x\not= 0_A</math>. Es gibt dann ein Umgebung <math>U_0 \in \mathfrak{U}_{\mathcal{T}}(0_A)</math> und <math>U_1 \in \mathfrak{U}_{\mathcal{T}}(x)</math> mit <math>U_0 \cap U_1 = \emptyset</math>. ==== Beweis (A2.2) Hausdorff-Eigenschaft gegeben ==== Da in einem topologischen Vektorraum (Algebra) eine Nullumgebungsbasis aus kreisförmigen Mengen <math display="inline">\{U_\alpha\}_{\alpha\in {\mathcal{A}} } </math> existiert, gibt es ein <math display="inline">\alpha\in {\mathcal{A}}</math> mit <math> U_\alpha \subseteq U_0 </math>. Da <math>U_0 \cap U_1 = \emptyset</math> und <math> x \in U_1</math> gilt, folgt <math> x \notin U_0</math> und damit über die Definition des [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Minkowski-Funktionale|Minkowski-Funktionals]] :<math display="inline">\|x\|_\alpha := \inf \{ \lambda > 0 \, : \, x \in \lambda \cdot U_\alpha \} \geq 1</math> und es gibt eine <math>\alpha \in{\mathcal{A}}</math> mit <math display="inline">\|x\|_\alpha \not= 0 </math> === Beweis (A2) Gaugefunktionalsystem gegeben === Ist umgekehrt auf einer Algebra ein topologieerzeugendes [[Gaugefunktional|Gaugefunktionalsystem]] <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{{\mathcal{A}} }</math> gegeben, dass Eigenschaften <math>(A1)-(A5)</math> erfüllt, dann ist die '''Hausdorff-Eigenschaft''' für die erzeugte Topologie <math>\mathcal{T}</math> zu zeigen. ==== Beweis (A2.3) Hausdorff-Eigenschaft nachweisen ==== Seien nun <math>x_1,x_2 \in A</math> mit <math> x_1\not= x_2 </math> beliebig gewählt. Nun verwendet man die topologieerzeugenden Gaugefunktionalen <math display="inline">\|\cdot\|_\alpha</math> mit <math>\alpha\in \mathcal{A}</math>, um zwei Umgebungen <math>U_1 \in \mathfrak{U}_{\mathcal{T}}(x_1)</math> und <math>U_2 \in \mathfrak{U}_{\mathcal{T}}(x_2)</math> zu erzeugen, für die <math>U_1 \cap U_2 = \emptyset</math> gilt. ==== Beweis (A2.4) Hausdorff-Eigenschaft - Kontraposition ==== Die Topologie der Algebra sei nun durch ein [[Gaugefunktional|Gaugefunktionalsystem]] mit den Eigenschaft (A1)-(A5) erzeugt. Man wendet nun Bedingung (A2) auf <math>x:=x_1-x_2</math> an: :<math display="inline">\displaystyle \left( \forall_{\displaystyle \alpha\in {\mathcal{A}} } : \left\| x \right\| _\alpha = 0 \right) \Longrightarrow x=0_A </math> Man erhält mit der Kontrapostion von (A2) für <math>x= x_1 - x_2 </math> ein <math>\alpha\in \mathcal{A}</math> mit <math>\left\| x_1 - x_2 \right\| _\alpha > 0 </math>, denn: :<math display="inline"> x\not= 0_A \Longrightarrow \displaystyle \left( \exists_{\displaystyle \alpha\in {\mathcal{A}} } : \left\| x \right\| _\alpha > 0 \right) </math> ==== Beweis (A2.5) Hausdorff-Eigenschaft nachweisen ==== Wir wenden nun die obige Kontraposition auf <math>x:= x_1 - x_2 \not=0 </math> an. Daher gibt es ein <math>\alpha \in \mathcal{A}</math> mit :<math> 0 < \lambda := \|x\|_\alpha = \| x_1 - x_2 \|_\alpha = |-1| \cdot \| x_1 - x_2 \|_\alpha = \| x_2 - x_1 \|_\alpha </math> Mit der Bedingung (A4) gibt es zu diesem <math>\alpha \in \mathcal{A}</math> ein <math>\beta \in \mathcal{A}</math> mit :<math>\displaystyle \forall_{\displaystyle x,y\in A} : \left\| x+y \right\| _\alpha\leq \left\| x \right\| _\beta +\left\| y \right\| _\beta </math> ==== Beweis (A2.6) Hausdorff-Eigenschaft - Definition der Umgebungen ==== Setzen nun mit <math>r := \frac{\lambda}{3}</math> die Umgebungen <math>U_1:=B_{r}^{\beta}(x_1)</math> und <math>U_2:=B_{r}^{\beta}(x_2)</math>. Wegen <math> \| x_1 - x_1 \|_\beta = 0 \le r </math> und <math> \| x_2 - x_2 \|_\beta = 0 \le r </math> gilt insbesondere <math>x_1 \in U_1</math> und <math>x_2\in U_2</math>. Um die Hausdorff-Eigenschaft nachzuweisen, ist nun noch <math> U_1 \cap U_2 = \emptyset</math> zu zeigen. ==== Beweis (A2.7) Hausdorff-Eigenschaft - Annahme - Schnitt nicht leer ==== Man nimmt nun an, dass der Schnitt <math>U_1 \cap U_2</math> nicht die leere Menge ist und damit ein <math>x_o \in U_1 \cap U_2 </math> existiert, für das gilt: :<math> \begin{array}{rcl} 0 & < & \lambda := \|x\|_\alpha = \| x_1 - x_2 \|_\alpha = \| (x_1 - x_0) + (x_0 - x_2) \|_\alpha \\ & \leq & \| x_1 - x_0 \|_\beta +\| x_0 - x_2 \|_\beta \leq \frac{\lambda}{3} + \frac{\lambda}{3} = \frac{2\cdot \lambda}{3} \end{array} </math> Widerspruch, wegen <math> 0 < \lambda < \frac{2}{3} \cdot \lambda</math>. Also gilt <math>U_1 \cap U_2 = \emptyset</math> und die Topologie der Algebra ist [[w:de:Hausdorffraum|Hausdorff'sch]]. ==== Bemerkung (A2.7) Hausdorff-Eigenschaft ==== Die Bedingung (A2) liefert also unter Ausnutzung der Bedingung (A4) die [[w:de:Hausdorffraum|Hausdorff-Eigenschaft]] der Algebra <math display="inline">A</math> . Ferner ist die [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologische_Algebra|topologische Algebra]] nach Voraussetzuung [[w:de:Hausdorffraum|Hausdorff'sch]]. Verlangt man die [[w:de:Hausdorffraum|Hausdorff-Eigenschaft]] nicht, entfällt beim Topologisierungslemma die Eigenschaft (A2). === Beweis (A3) Topologie gegeben === Eine topologische Algebra <math>(A,\mathcal{T})</math> ist gegeben und die Eigenschaften (A3) ist zu zeigen. ==== Beweis (A3.1) Stetigkeit der Multiplikation mit Skalaren gegeben ==== In einem topologischen Vektoraum <math>(A,\mathcal{T})</math> (und natürlich auch in einer topologischen Algebra) existiert eine Nullumgebungsbasis aus kreisförmigen Mengen. Betrachtet man die dazugehörigen [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Minkowski-Funktionale|Minkowski-Funktionale]], so sind diese bei kreisförmigen Mengen homogen (also [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Gaugefunktionale|Gaugefunktionale]]). Denn es gilt für beliebige <math>\varepsilon > 0</math>, <math> \lambda \in \mathbb{K}\setminus \{0\}</math> und der Kreisförmigkeit von <math>U_\alpha</math>: :<math> x \in (\|x\|_\alpha +\varepsilon) \cdot U_\alpha \, \Rightarrow \, \frac{|\lambda|}{\lambda} \cdot x \in (\|x\|_\alpha +\varepsilon) \cdot U_\alpha</math> Dies gilt wegen <math>\left| \frac{|\lambda|}{\lambda} \right| = 1 </math> ==== Beweis (A3.2) Stetigkeit der Multiplikation mit Skalaren gegeben ==== Ferner gilt für <math>\lambda \cdot x </math>, <math>\lambda \not=0</math> und <math> \lambda \cdot x \in (\|\lambda \cdot x\|_\alpha +\varepsilon) \cdot U_\alpha </math> :<math> \, |\lambda| \cdot x = \frac{|\lambda|}{\lambda}\cdot \lambda \cdot x \in (\|\lambda \cdot x\|_\alpha +\varepsilon) \cdot U_\alpha</math> Insgesamt erhält man für alle <math> x \in \left( \frac{\|\lambda \cdot x\|_\alpha +\varepsilon}{|\lambda|}\right) \cdot U_\alpha</math> und über Infimumbildung bzgl. <math>\varepsilon > 0</math> erhält man: <math>\|x\|_\alpha \leq \frac{\|\lambda \cdot x\|_\alpha}{|\lambda|}</math> bzw. <math>|\lambda| \cdot \|x\|_\alpha \leq \|\lambda \cdot x\|_\alpha</math>. ==== Beweis (A3.3) Stetigkeit der Multiplikation mit Skalaren gegeben ==== Die umgekehrte Ungleichung <math>|\lambda| \cdot \|x\|_\alpha \geq \|\lambda \cdot x\|_\alpha</math> erhält man mit der Kreisförmigkeit von <math>U_\alpha</math> und <math> \lambda \cdot x \in (\|\lambda \cdot x\|_\alpha +\varepsilon) \cdot U_\alpha </math>: :<math> |\lambda| \cdot \underbrace{\frac{\lambda}{|\lambda|} \cdot x}_{\in (\| x \|_\alpha +\varepsilon) \cdot U_\alpha} \in |\lambda| \cdot (\| x \|_\alpha +\varepsilon) \cdot U_\alpha</math> Also erhält man über die Infimumbildung von <math>\varepsilon > 0 </math> auch <math> \|\lambda \cdot x\|_\alpha \leq |\lambda| \cdot \| x \|_\alpha </math>. ==== Beweis (A3.4) Stetigkeit der Multiplikation mit Skalaren gegeben ==== Beweisschritt (A3.2) und (A3.3) zusammen liefert die Gleichheit <math>|\lambda| \cdot \|x\|_\alpha = \|\lambda \cdot x\|_\alpha</math>. === Beweis (A3) Gaugefunktionalsystem gegeben === Ist umgekehrt auf einer Algebra ein topologieerzeugendes [[Gaugefunktional|Gaugefunktionalsystem]] <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{{\mathcal{A}} }</math> gegeben, dass Eigenschaften <math>(A1)-(A5)</math> erfüllt, dann ist die Stetigkeit der Multiplikation mit Skalaren bzgl. <math>\mathcal{T}</math> zu zeigen. ==== Beweis (A3.5) Stetigkeit der Multiplikation mit Skalaren zeigen ==== Ist umgekehrt ein Nullfolge <math>(\lambda_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> und ein Netz <math>(x_i)_{i\in I}</math> gegeben, das in der Topologie <math>(A,\mathcal{T})</math> gegen den Nullvektor <math>0_A</math> konvergiert, so gilt: :<math> \displaystyle \forall_{\varepsilon > 0, \alpha \in \mathcal{A}} \exists_{n_\varepsilon \in \mathbb{N}, i_\alpha \in I} \forall_{n \geq n_\varepsilon, i \geq i_\alpha} \, : \, \, |\lambda_n | < \varepsilon \, \wedge x_i \in U_\alpha </math> Damit erhält man durch Anwendung von Bedingung (A3): :<math> \displaystyle \forall_{\varepsilon > 0, \alpha \in \mathcal{A}} \exists_{n_\varepsilon \in \mathbb{N}, i_\alpha \in I} \forall_{n \geq n_{\varepsilon}, i \geq i_\alpha} \, : \, \, \|\lambda_n \cdot x_i\|_\alpha \stackrel{(A3)}{=} |\lambda_n| \cdot \underbrace{\|x_i\|_\alpha}_{\leq 1} < \varepsilon \cdot 1 = \varepsilon </math> ==== Beweis (A3.6) Stetigkeit der Multiplikation mit Skalaren zeigen ==== Insgesamt konvergiert <math>(\lambda_n \cdot x_i)_{(n,i) \in \mathbb{N}\times I}</math> ebenfalls gegen den Nullvektor <math>0_A</math>, da für alle <math>U\in \mathfrak{U}_{\mathcal{T}}(0_A)</math> eine kreisförmige Nullumgebung <math>U_\alpha \subseteq U</math> existiert. Für diese kreisförmige Nullumgebung gibt es dann eine Indexschranke <math>i_\alpha \in I</math>, ab der alle <math> x_i \in U_\alpha \subseteq U </math> liegen mit <math>i \geq i_\alpha</math>. Für eine kreisförmige Nullumgebungsbasis aus <math>U_\alpha:= B_1^\alpha(0_A)</math> und <math>|\lambda_n| < 1 </math> liegt auch in <math>\lambda_n \cdot x_i \in U_\alpha \subset U</math> (d.h. <math> \lambda_n \cdot x_i \in U</math> mit <math>n > n_\varepsilon</math>. Die Indexschranke existiert wegen Konvergenz von <math>(\lambda_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> geben <math> 0 \in \mathbb{K}</math>. Insgesamt ist damit die Stetigkeit der Multiplikation mit Skalaren auf <math display="inline">A</math> gezeigt. === Beweis (A4) Topologie gegeben === Eine topologische Algebra <math>(A,\mathcal{T})</math> ist gegeben und die Eigenschaften (A4) ist zu zeigen. ==== Beweis (A4.1) Stetigkeit der Addition ==== Die Stetigkeit der Addition liefert: :<math display="block"> \forall_{\displaystyle U_{\alpha}\in \mathfrak{U} (0_A)} \exists_{\displaystyle U_\beta\in \mathfrak{U} (0_A)} : U_\beta + U_\beta \subset U_\alpha </math> Insbesondere gilt <math display="inline">U_\beta = U_\beta + \{0_A\} \subset U_\beta + U_\beta \subset U_\alpha</math>, weil <math>0_A \in U_\beta</math> gilt. Also erhält man mit <math display="inline">U_\beta \subset U_\alpha</math> für die entsprechenden Minkowskifunktionale auch <math display="inline">\left\| x \right\| _\alpha \leq \left\| x \right\| _\beta</math> für alle <math display="inline">x\in A</math>. D.h. man muss eine absorbierende Teilmenge <math display="inline">U_\beta</math> im Vergleich zu <math display="inline">U_\alpha</math> ggf. stärker aufblasen, um das entsprechende <math>x \in A</math> einzufangen. ==== Beweis (A4.2) Stetigkeit der Addition ==== Für <math display="inline">\left\| x \right\| _\beta = 0</math> und <math display="inline">\left\| y \right\| _\beta = 0</math> ist <math>x,y \in \lambda \cdot U_\beta</math> für alle <math>\lambda > 0</math>. Also sind insbesondere auch :<math>x+y \in \lambda \cdot U_\beta +\lambda \cdot U_\beta = \lambda \cdot (U_\beta + U_\beta) \subset \lambda \cdot U_\alpha</math> für alle <math>\lambda > 0</math>. Damit erhält man die gesuchte (Un-)Gleichung direkt mit :<math display="inline">\left\| x+y \right\|_\alpha = 0 = \underbrace{\left\| x \right\| _\beta}_{=0} + \underbrace{\left\| y \right\| _\beta}_{=0} </math> für alle <math>z\in A</math>. ==== Beweis (A4.3) Stetigkeit der Addition gegeben ==== Für <math display="inline">\left\| x \right\| _\beta \not= 0</math> und <math display="inline">\left\| y \right\| _\beta = 0</math> gilt, dass <math>y \in \lambda \cdot U_\beta</math> für alle <math>\lambda >0 </math>. Ferner gilt auch für alle <math>\varepsilon >0 </math> wegen Infimumsdefintion des Minkowski-Funktionals <math>x \in (\varepsilon + \|x\|_\beta )\cdot U_\beta</math>. ==== Beweis (A4.4) Stetigkeit der Addition gegeben ==== Man erhält die gesuchte Ungleichung mit <math>y \in \lambda \cdot U_\beta</math> für alle <math>\lambda >0 </math> :<math> \begin{array}{rcl} x+y & \in &(\varepsilon + \|x\|_\beta )\cdot U_\beta + (\underbrace{\varepsilon + \|x\|_\beta )}_{\lambda :=}\cdot U_\beta \\ & = & (\varepsilon + \|x\|_\beta )\cdot (U_\beta + U_\beta) \\ & \subseteq & (\varepsilon + \|x\|_\beta )\cdot U_\alpha \end{array} </math> für alle <math>\varepsilon >0 </math>. Also gilt auch <math>\left\| x + y \right\|_\alpha \leq \left\| x \right\| _\beta = \left\| x \right\| _\beta + \underbrace{\left\| y \right\| _\beta}_{=0} </math>. ==== Beweis (A4.5) Stetigkeit der Addition gegeben ==== Für <math display="inline">\left\| x \right\| _\beta = 0</math> oder <math display="inline">\left\| y \right\| _\beta \not= 0</math> erhält man die Aussage analog. ==== Beweis (A4.6) Stetigkeit der Addition ==== Seien nun <math display="inline">\left\| x \right\| _\beta\not=0</math> und <math display="inline">\left\| y \right\| _\beta\not= 0</math>. Nach Definition der [[Minkowski-Funktional|Minkowski-Funktionale]] für die Nullumgebungen <math display="inline">U_\alpha</math> und <math display="inline">U_\beta</math>, erhält man für jedes <math display="inline">\varepsilon > 0</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \frac{x}{\left\| x \right\| _\beta+\varepsilon} \in U_\beta \, \wedge \, \frac{y}{\left\| y \right\| _\beta+\varepsilon} \in U_\beta &\Longrightarrow& \frac{x}{\left\| x \right\| _\beta+\left\| y \right\| _\beta}, \frac{y}{\left\| x \right\| _\beta+\left\| y \right\| _\beta} \in U_\beta \\ & \Longrightarrow & \frac{x+y}{\left\| x \right\| _\beta+\left\| y \right\| _\beta} \in U_\beta + U_\beta \subset U_\alpha \\ &\Longrightarrow& \left\| \frac{x+y}{\left\| x \right\| _\beta+\left\| y \right\| _\beta} \right\| _\alpha \leq 1 \Longrightarrow \mbox{ Beh. (A4). } \end{array} </math> Dabei wird die Kreisförmigkeit bzw. Homogenität (A3) der [[Minkowski-Funktional|Minkowski-Funktionale]] aus den vorherigen Beweischritten verwendet. === Beweis (A4) Gaugefunktionalsystem gegeben === Ist umgekehrt auf einer Algebra ein topologieerzeugendes [[Gaugefunktional|Gaugefunktionalsystem]] <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{{\mathcal{A}} }</math> gegeben, dass Eigenschaften <math>(A1)-(A5)</math> erfüllt, dann ist die Stetigkeit der Addition bzgl. <math>\mathcal{T}</math> zu zeigen. ==== Beweis (A4.7) Addition - Topologisierung durch Gaugefunktionale ==== Wird umgekehrt die Topologie <math>\mathcal{T}</math> durch <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{\mathcal{A}} </math> erzeugt und gilt die Bedingung (A4), dann gilt: :<math display="block"> \forall_{\displaystyle \alpha\in {\mathcal{A}} } \exists {\beta \in {\mathcal{A}} } \forall_{\displaystyle x,y\in A} : \left\| x+y \right\| _\alpha\leq \left\| x \right\| _\beta +\left\| y \right\| _\beta, </math> ==== Beweis (A4.8) Addition - Topologisierung durch Gaugefunktionale ==== Dann ist die Addition auf <math display="inline">A</math> stetig, denn zu jeder Nullumgebung <math>U_\alpha</math> aus der kreisförmigen Nullumgebungsbasis mit <math>0 < \varepsilon < \frac{1}{2}</math>, <math display="inline">x,y\in {\rm B}^\beta_{\varepsilon}(0)=: U_\beta</math> und <math display="inline">{\rm B}^\alpha_1(0)=: U_\alpha</math> gilt: :<math display="block"> \left\| x+y \right\| _\alpha \leq \left\| x \right\| _\beta +\left\| y \right\| _\beta \leq \varepsilon + \varepsilon < \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 </math> Insgesamt gilt <math> x+y\in U_\alpha </math> und zu jeder kreisförmigen Nullumgebung <math>U_\alpha</math> gibt es <math>U_\beta \in \mathfrak{U}_{\mathcal{T}}(0_A)</math> mit <math>U_\beta + U_\beta \subseteq U_\alpha</math>. === Beweis (A5) Topologie gegeben === Eine topologische Algebra <math>(A,\mathcal{T})</math> ist gegeben und die Eigenschaften (A5) ist zu zeigen. ==== Beweis (A5.1) Multiplikation - Topologie gegeben ==== Mit der Stetigkeit der Multiplikation erhält man wie in <math display="inline">(A4)</math> erhält man :<math display="block"> \forall_{\displaystyle U_{\alpha}\in \mathfrak{U} (0)} \exists_{\displaystyle U_\beta\in \mathfrak{U} (0)} : U_\beta \cdot U_\beta = U_\beta^{^2} \subset U_\alpha </math> ==== Beweis (A5.2) Multiplikation - Topologie gegeben ==== Sei <math display="inline">\varepsilon >0</math> beliebig gewählt und die Behauptung <math display="inline">(A5)</math>, denn: :<math display="block"> \frac{x}{\left\| x \right\| _\beta+\varepsilon}\cdot \frac{y}{\left\| y \right\| _\beta+\varepsilon} \in U_\beta \cdot U_\beta = U_\beta^2 \subset U_\alpha </math> ==== Beweis (A5.3) Multiplikation - Topologie gegeben ==== Aus <math display="inline"> \frac{x}{\left\| x \right\| _\beta+\varepsilon}\cdot \frac{y}{\left\| y \right\| _\beta+\varepsilon} \in U_\alpha </math> folgt für alle <math display="inline">\varepsilon>0</math> unter Anwendung von Eigenschaft (A3), die mit obigen Beweisschritt für toplogische Algebren gilt auch: :<math display="block"> \begin{array}{rcl} \left\| \frac{x}{\left\| x \right\| _\beta+\varepsilon}\cdot \frac{y}{\left\| y \right\| _\beta+ \varepsilon } \right\| _\alpha & \leq & 1 \Longrightarrow \\ \left\| x\cdot y \right\| _\alpha & \leq & (\left\| x \right\| _\beta+\varepsilon ) \cdot (\left\| y \right\| _\beta+ \varepsilon) \end{array} </math> Da <math display="inline">\varepsilon>0</math> beliebig gewählt war, gilt auch <math display="inline">\left\| x\cdot y \right\| _\alpha\leq \left\| x \right\| _\beta\cdot \left\| y \right\| _\beta</math> für alle <math display="inline">x,y \in A</math>. === Beweis (A5) Gaugefunktionalsystem gegeben === Ist umgekehrt auf einer Algebra ein topologieerzeugendes [[Gaugefunktional|Gaugefunktionalsystem]] <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{{\mathcal{A}} }</math> gegeben, dass Eigenschaften <math>(A1)-(A5)</math> erfüllt, dann ist die Stetigkeit der Multiplikation bzgl. <math>\mathcal{T}</math> zu zeigen. ==== Beweis (A5.4) Multiplikation - Topologisierung durch Gaugefunktionale ==== Erfüllt das topologieerzeugendes [[Gaugefunktional|Gaugefunktionalsystem]] <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{{\mathcal{A}} }</math> die Bedingung (A5), so gilt: :<math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle \alpha\in {\mathcal{A}} } \exists {\beta \in {\mathcal{A}} } \forall_{\displaystyle x,y\in A} : \left\| x\cdot y \right\| _\alpha\leq \left\| x \right\| _\beta \cdot \left\| y \right\| _\beta </math> ==== Beweis (A5.5) Multiplikation - Topologisierung durch Gaugefunktionale ==== Dann erhalten wird umgekehrt mit der gleichen Definition von <math display="inline">U_\alpha</math> und <math display="inline">U_\beta</math> als offene Einheitskugeln <math>U_\alpha := B_1^\alpha (0_A)</math> und <math>U_\beta := B_\varepsilon^\beta (0_A)</math> mit <math>0 < \varepsilon < 1 </math> offene Nullumgebungen. Wir zeigen nun, dass alle <math> x, y \in U_\beta</math> das Produkt <math>x\cdot y \in U_\alpha</math> liegt. Wegen <math>\varepsilon < 1 </math> gilt insbesondere <math>U_\beta := B_\varepsilon^\beta (0_A) \subset B_1^\beta (0_A) =: U_\gamma</math> und damit ist <math>\|x\|_\beta \geq \|x\|_\gamma := p_{U_\gamma}(x)</math> (siehe Zusammenhang von Mengeninklusion und der <math>\leq</math>-Beziehung über [[Minkowski-Funktional|absorbierende Mengen]] und [[Gaugefunktional|Gaugefunktionale]]). ==== Beweis (A5.6) Nullumgebung - kreisförmige Nullumgebung ==== In der Rückrichtung von (A5) erhält man zu jeder Nullumgebung <math>U</math> eine kreiförmige Nullumgebung <math>U_\alpha</math> aus der Umgebungsbasis von kreisförmigen Mengen mit <math>U_\alpha \subset U</math>, die von einem Gaugefunktional <math>\|\cdot \|_\alpha</math> als Einheitskugel erzeugt wurde. Dies gilt, weil das Gaugefunktionalsystem <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{{\mathcal{A}} }</math> topologieerzeugend ist. Sei nun <math>x,y\in U_\beta</math> :<math> 1 > \varepsilon ^2 = \varepsilon \cdot \varepsilon \geq \|x\|_\beta \cdot \|y\|_\beta \stackrel{(A5)}{\geq} \|x\cdot y\|_\alpha</math> Man erhält also <math> \|x\cdot y\|_\alpha < 1</math> und damit <math> x\cdot y\in U_\alpha </math>. ==== Beweis (A5.7) Multiplikation - Topologisierung durch Gaugefunktionale ==== Die Stetigkeit der Multiplikation bei einer durch das System <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{\mathcal{A}} </math> erzeugten Topologie erhält man dann für eine beliebige Nullumgebung <math>U\in \mathfrak{U}_{\mathcal{T}}(0_A)</math> eine kreisförmige Nullumgebung <math>U_\alpha \subset U</math> und mit (A5) ein <math>U_\beta</math> mit :<math> U_\beta \cdot U_\beta = U_\beta^2 \subseteq U_\alpha \subseteq U </math> Damit die Multiplikation auf <math>(A,\mathcal{T})</math> stetig. === Beweisschritte (A1)-(A5) === Insgesamt wurde gezeigt, dass man bei topologischen Algebren <math>(A,\mathcal{T})</math> die Stetigkeit der Verknüpfungen auf der Algebra auch mit dem topologieerzeugenden [[Gaugefunktional|Gaugefunktionalsystem]] nachweisen kann bzw. für weiterführende Aussagen auf topologischen Algebren allein mit dem [[Gaugefunktional|Gaugefunktionalsystem]] arbeiten kann. <math>\Box</math> == Basiserzeugendes Topologisierungslemma == Sei <math display="inline">A</math> eine Algebra. <math display="inline">A</math> ist genau dann eine Hausdorff'sche topologische Algebra <math display="inline">(A,\mathcal{T})</math>, wenn die Topologie <math display="inline">\mathcal{T}</math> durch ein [[Basiserzeugendes Gaugefunktionalsystem|'''basiserzeugendes''']] [[Gaugefunktional|<math>p</math>-Gaugefunktionalsystem]] <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{{\mathcal{A}} }</math> mit (B1)-(B5) erzeugt werden kann: * (B1) <math display="inline">\displaystyle \forall_{ \alpha\in {\mathcal{A}} , x\in A} \, \left\| x \right\| _\alpha \geq 0</math> * (B2) <math display="inline">\displaystyle \left( \forall_{ \alpha\in {\mathcal{A}} } \, \left\| x \right\| _\alpha = 0 \right) \Longrightarrow x = 0_A </math> * (B3) <math display="inline">\displaystyle \forall_{ \alpha\in {\mathcal{A}} ,x\in A,\lambda\in \mathbb{K}} \, \left\| \lambda\cdot x \right\| _\alpha = |\lambda|^p \cdot \left\| x \right\| _\alpha</math> * (B4) <math display="inline">\displaystyle \forall_{ \alpha\in {\mathcal{A}} } \exists_{ \beta \in {\mathcal{A}} , K > 0 } \forall_{ x,y\in A} \, \left\| x+y \right\| _\alpha \leq K \cdot \left( \left\| x \right\| _\beta +\left\| y \right\| _\beta \right) </math> * (B5) <math display="inline">\displaystyle \forall_{ \alpha\in {\mathcal{A}} } \exists_{ \beta \in {\mathcal{A}} , M > 0 } \forall_{\displaystyle x,y\in A} \, \left\| x\cdot y \right\| _\alpha \leq M \cdot \left\| x \right\| _\beta \cdot \left\| y \right\| _\beta </math> === Bemerkung: Basiserzeugende Gaugefunktionalsystem === Ein [[Basiserzeugendes Gaugefunktionalsystem|basiserzeugendes Gaugefunktionalsystem]] hat die gleiche Funktion wie die Verwendung von <math>\varepsilon</math>-Umgebungen in der Analysis. Über die <math>\varepsilon</math>-Umgebungen in <math>\mathbb{R}</math> hat man eine Basis der Standardtopologie auf <math>\mathbb{R}</math> gegeben, über die man Konvergenz, Stetigkeit und andere topologische Eigenschaften ausdrücken kann. Dabei wurden ein analoges Vorgehen wie bei Gaugefunktionalen verwendet. :<math> x \in B_\varepsilon^{| \cdot |}(x_0) \Longleftrightarrow | x-x_0 | < \varepsilon \Longleftrightarrow x \in \, \, ]x_0 - \varepsilon,x_0 + \varepsilon [ </math> === Beweisaufgabe für Studierende === Zeigen Sie die obigen Eigenschaften (B1)-(B2) unter Verwendung der Eigenschaft des Gaugefunktionalsystems, basiserzeugend zu sein. Für jede Nullumgebung <math>U \in \mathfrak{U}_{\mathcal{T}}(0_A)</math> gibt es dann ein <math> \alpha \in \mathcal{A}</math> <math>\varepsilon > 0 </math> mit :<math> U \subseteq B_\varepsilon^{\alpha}(0_A) := \left\{ x \in A \, \colon \, \| x \|_\alpha < \varepsilon \right\} </math> == Aufgaben für Studierende == Sei <math>A:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> die Menge der stetigen Funktionen von <math>\mathbb{R}</math> nach <math>\mathbb{R}</math> mit der folgenden Addition und Multiplikation auf dem Vektorraum: * (Addition) <math>f,g \in A</math> definiert man <math>f+g</math> argumentweise <math>(f+g)(x):=f(x)+g(x)</math> für alle <math>x \in \mathbb{R}</math> * (Multiplikation) <math>f,g \in A</math> definiert man <math>f \cdot g</math> argumentweise <math>(f\cdot g)(x):=f(x)\cdot g(x)</math> für alle <math>x \in \mathbb{R}</math> Ferner definiert man ein Gaugefunktionalsystem <math>\|\cdot\|_{\mathcal{A}}</math> mit <math>\mathcal{A}:= \mathbb{R}</math> und <math>\|f\|_\alpha := |f(\alpha)|</math>. === Aufgabe 1 === Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot\|_{\mathcal{A}}</math> ein Halbnormensystem ist. === Aufgabe 2 === * Geben Sie ein <math>f \in A\setminus\{0_A\}</math> an, für das <math>\|f\|_\alpha = 0 </math> gilt für <math>\alpha = 2</math> und <math>\alpha = -2</math> an. * Geben Sie ein <math>g \in A\setminus\{0_A\}</math> an, für das <math>\|f\|_\alpha = 0 </math> gilt für <math>\alpha \in \mathbb{Z}</math> an. === Aufgabe 3 === Sei <math>K := \{ f\in A \, : \, f \mbox{ konstant } \} </math> die Menge der konstanten Funktionen in <math>A</math>, <math>K_{\varepsilon}^{\alpha} := \{ f\in K \, : \, \|f\|_\alpha < \varepsilon \wedge f \mbox{ konstant } \}</math> und <math>N_{\alpha} := \{ f\in K \, : \, \|f\|_\alpha = 0 \}</math>. Zeigen Sie, dass folgende Aussage gilt: :<math>B_{\varepsilon}^{\alpha}(f) := \{f\} + N_{\alpha} + K_{\varepsilon}^{\alpha}</math>. === Aufgabe 4 === Zeigen Sie, dass die Hausdorff-Eigenschaft (A2) in dieser topologischen Algebra gilt. Nehmen Sie an, dass <math>f,g \in A</math> mit <math>f\not= g</math> gilt und Sie damit ein <math>\alpha_o \in {\mathcal{A}}</math> finden können, in dem <math>f(\alpha_o)\not= g(\alpha_o)</math> gilt. Konstruktruieren mit den Gaugefunktionalen zwei Umgebungen <math>U_1 \in \mathfrak{U}_\mathcal{T}(f)</math> und <math>U_2 \in \mathfrak{U}_\mathcal{T}(g)</math> mit <math>U_1 \cap U_2 = \emptyset </math>. === Aufgabe 5 === Zeigen Sie, dass die Menge <math>N_{\alpha} := \{ f\in K \, : \, \|f\|_\alpha = 0 \}</math> ein [[Ideal (Algebra)|Ideal]] in [[Topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>A:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> ist. == Siehe auch == * [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Minkowski-Funktionale|Minkowski-Funktionale]] * [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Gaugefunktionale|Gaugefunktionale]] * [[Stetigkeitssequenz]] * [[Ideal (Algebra)]] * [[Topologische Algebra]] * [[Topologische Gruppe]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Konvergenz in Funktionenräumen|Konvergenz in Funktionenräumen]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologisierungslemma%20f%C3%BCr%20Algebren&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologisierungslemma%20f%C3%BCr%20Algebren&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologisierungslemma%20f%C3%BCr%20Algebren https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologisierungslemma%20f%C3%BCr%20Algebren] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologisierungslemma%20f%C3%BCr%20Algebren Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologisierungslemma%20f%C3%BCr%20Algebren * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologisierungslemma%20f%C3%BCr%20Algebren&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] [[Category:Funktionalanalysis]] <noinclude> [[en:Topologization Lemma for algebras]] </noinclude> q8rjg1s0yuvt5uojq9318ef215j8j41 1118917 1118916 2026-11-05T10:27:58Z Bert Niehaus 20843 /* Einführung */ 1118917 wikitext text/x-wiki == Einführung == Das Topologisierungslemma für Algebren erlaubt die Beschreibung der Stetigkeit von den Verknüpfungen in einer topologischen Algebra über [[Gaugefunktional|Gaugefunktionale]]. Diese Lernressource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologisierungslemma%20f%C3%BCr%20Algebren&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Hausdorf-Raum === In dem folgenden [[Topologisierungslemma für Algebren]] liefert die [[Hausdorff-Raum|Hausdorffeigenschaft]] ein gültiges Trennungsaxiom über die Eigenschaft (T2). Für unitale [[topologische Algebra|topologische Algebren]] <math>(A,\mathcal{T}_{\!\!\!\!_A})</math> mit der [[topologischer Vektorraum|Topologie]] <math>\mathcal{T}_{\!\!\!\!_A}</math> muss die topologische Algebra zumindest das Einselement <math>e_{\!\!_A}</math> und den Nullvektor <math>0_{\!\!_A}</math> durch eine Nullumgebung trennen können, d.h., es gibt eine Nullumgebung <math>U_0\in \mathcal{T}_{\!\!\!\!_A}</math> mit <math>e_{\!\!_A}\notin U_0</math>. Diese Eigenschaften ist bei [[Hausdorff-Raum|Hausdorff-Räumen]] immer gegeben. == Topologisierungslemma für Algebren == Sei <math display="inline">A</math> eine Algebra. <math display="inline">A</math> ist genau dann eine topologische Algebra <math display="inline">(A,\mathcal{T})</math>, die die [[Hausdorff-Raum|Hausdorfeigenschaft]] erfüllt, wenn die Topologie <math display="inline">\mathcal{T}</math> durch ein Gaugefunktionalsystem <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{{\mathcal{A}} }</math> mit den Eigenschaften (A1)-(A5) erzeugt werden kann. === Charakterisierende Eigenschaften (A1)-(A5) === * (A1) <math display="inline">\displaystyle \forall_{ \alpha\in {\mathcal{A}} ,x\in A} : \left\| x \right\| _\alpha \geq 0</math> * (A2) <math display="inline">\displaystyle \left( \forall_{ \alpha\in {\mathcal{A}} } : \left\| x \right\| _\alpha = 0 \right) \Longrightarrow x=0_A </math> * (A3) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\alpha\in {\mathcal{A}} ,x\in A,\lambda\in \mathbb{K}} : \left\| \lambda\cdot x \right\| _\alpha = |\lambda|\cdot \left\| x \right\| _\alpha </math> * (A4) <math display="inline">\displaystyle \forall_{ \alpha\in {\mathcal{A}} } \exists_{ \beta \in {\mathcal{A}} } \forall_{ x,y\in A } : \left\| x+y \right\| _\alpha \leq \left\| x \right\| _\beta +\left\| y \right\| _\beta </math> * (A5) <math display="inline">\displaystyle \forall_{ \alpha\in {\mathcal{A}} } \exists_{ \beta \in {\mathcal{A}} } \forall_{ x,y\in A } : \left\| x\cdot y \right\| _\alpha \leq \left\| x \right\| _\beta \cdot \left\| y \right\| _\beta </math> == Topologisierunglemma für Vektorräume == Sei <math display="inline">V</math> eine Vektorraum. <math display="inline">V</math> ist genau dann eine topologischer Vektorraum <math display="inline">(V,\mathcal{T})</math>, der die Hausdorfeigenschaft erfüllt, wenn die Topologie <math display="inline">\mathcal{T}</math> durch ein Gaugefunktionalsystem <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{{\mathcal{A}} }</math> mit den Eigenschaften (V1)-(V4) erzeugt werden kann. === Charakterisierende Eigenschaften (V1)-(V4) === * (V1) <math display="inline">\displaystyle \forall_{ \alpha\in {\mathcal{A}} ,x\in V} : \left\| x \right\| _\alpha \geq 0</math> * (V2) <math display="inline">\displaystyle \left( \forall_{ \alpha\in {\mathcal{A}} } : \left\| x \right\| _\alpha = 0 \right) \Longrightarrow x=0_V </math> * (V3) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\alpha\in {\mathcal{A}} ,x\in V,\lambda\in \mathbb{K}} : \left\| \lambda\cdot x \right\| _\alpha = |\lambda|\cdot \left\| x \right\| _\alpha </math> * (V4) <math display="inline">\displaystyle \forall_{ \alpha\in {\mathcal{A}} } \exists_{ \beta \in {\mathcal{A}} } \forall_{ x,y\in V } : \left\| x+y \right\| _\alpha \leq \left\| x \right\| _\beta +\left\| y \right\| _\beta </math> === Bemerkung - Topologisierunglemma für topologische Vektorräume === Den topologischen Vektorräumen <math display="inline">(V,\mathcal{T})</math> fehlt die stetige innere Verknüfung der Multiplikation <math> \cdot : V\times V \to V</math>. Daher erhält man für topologische Vektorräume nur vier charakterisierende Eigenschaften (V1)-(V4). Der Beweis der Eigenschaften erfolgt analog zu den Beweis für das Topologisierungslemma für topologische Algebren. === Hausdorff-Eigenschaft === Wenn die topologische Algebra die Hausdorfeigenschaft nicht erfüllt, gilt (A2) nicht und man kann zwei Punkte <math>x_1 \not= x_2</math> ebenfalls nicht durch das Gaugefunktionalsystem trennen. Wenn nicht anders angegeben, sind die topologischen Algebren Hausdorff'sch. === Bemerkung 1: Beweisstruktur === Für den Beweis muss man zwei Richtungen zeigen, * dass für eine topologische Algebra <math display="inline">(A,\mathcal{T})</math> ein System von Gaugefunktionalen <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{{\mathcal{A}} }</math> mit folgenden Eigenschaften (A1)-(A5) existiert und * umgekehrt erzeugt ein System <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{{\mathcal{A}} }</math> von Gaugefunktionalen mit (A1)-(A5) eine Topologie <math display="inline">\mathcal{T}</math> auf <math>A</math>, die <math display="inline">(A,\mathcal{T})</math> zu einer topologischen Algebra macht. === Bemerkung 2: Äquivalentes Gaugefunktionalsystem === Ohne Einschränkung verwenden wir ein Gaugefunktionalsystem, das bzgl. des Radius der <math>\varepsilon</math>-Kugeln vollständig erweitert ist. D.h. man erweitert das Gaugefunktionalsystem auch um äquivalente Gaugefunktional der Form <math>\| \cdot \|_{(\alpha,\varepsilon)}:=\varepsilon \cdot \| \cdot \|_{\alpha}</math>. Das erspart die Verwendung von Konstanten in dem folgenden Beweis. === Stetigkeit in einem Punkt === In dem Beweis geht ein, dass man bei linearen bzw. bilinearen Abbildung die Stetigkeit nur in einem Punkt (hier Nullvektor nachweisen muss, um die Stetigkeit auf dem ganzen Definitionsbereich der (bi-)linearen Abbildung nachzuweisen (siehe auch [[Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]]) == Beweisidee == Der folgende Beweis stellt für die Eigenschaften (A1)-(A5) die folgenden Beziehung zur Topologie und Mengen her. * (A1) <math display="inline">\left\| x \right\| _\alpha \geq 0</math> - Definition des Minkowski-Funktional für absorbierende Mengen * (A2) <math display="inline">\displaystyle \left( \forall_{\displaystyle \alpha\in {\mathcal{A}} } : \left\| x \right\| _\alpha = 0 \right) \Longrightarrow x=0_A </math> Hausdorff-Eigenschaft der Topologie * (A3) <math display="inline"> \left\| \lambda\cdot x \right\| _\alpha = |\lambda|\cdot \left\| x \right\| _\alpha</math> Stetigkeit der Multiplikation mit Skalaren * (A4) <math display="inline"> \left\| x+y \right\| _\alpha\leq \left\| x \right\| _\beta +\left\| y \right\| _\beta </math> Stetigkeit der Addition * (A5) <math display="inline"> \left\| x\cdot y \right\| _\alpha\leq \left\| x \right\| _\beta \cdot \left\| y \right\| _\beta </math> Stetigkeit der Multiplikation == Beweis == Topologische Vektorräume besitzen eine Nullumgebungsbasis <math display="inline">\{U_\alpha\}_{\alpha\in {\mathcal{A}} } </math> aus kreisförmigen Mengen. Man betrachtet dann als System der die [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Minkowski-Funktionale|Minkowski-Funktionale]] <math display="inline">\|\cdot \|_\alpha</math> mit <math>\alpha\in {\mathcal{A}} </math> dieser kreisförmigen Nullumgebungen <math display="inline">\{U_\alpha\}_{\alpha\in {\mathcal{A}} } </math>. Nur sind jeweils zwei Beweisrichtungen zu zeigen: * Eine topologische Algebra <math>(A\mathcal{T})</math> ist gegeben und die Eigenschaften (A1)-(A5) sind zu zeigen und umgekehrt * bei gegeben topologieerzeugenden [[Gaugefunktional|Gaugeunktionalen]] mit den Eigenschaften <math display="inline">(A1)-(A5)</math> für <math>\mathcal{T}</math> wird die Algebra zu einer topologischen Algebra. === Beweis (A1) Topologie gegeben === Eine topologische Algebra <math>(A,\mathcal{T})</math> ist gegeben und die Eigenschaften (A1) ist zu zeigen. ==== Beweis (A1.1) - Nicht-Negativität ==== Mit der kreisförmigen Nullumgebung <math display="inline">U_\alpha \in \mathfrak{U}_\mathcal{T}(0_A) </math> definiert man das Minkowskifunktional: :<math display="inline"> \|x\|_\alpha := \inf \{ \lambda > 0 \, : \, x \in \lambda \cdot U_\alpha \} </math>. ==== Beweis (A1.2) - Nicht-Negativität ==== Die Eigenschaft der Nichtnegativität folgt aus der Definition des [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Minkowski-Funktionale|Minkowski-Funktionals]], da ein Infimum über positive Zahlen gebildet wird, mit der eine absorbierende (kreisförmige) Menge <math display="inline">U_\alpha \in \mathfrak{U}_\mathcal{T}(0_A) </math> noch ein Element <math>x \in A</math> "einfängt" (<math display="inline">x \in \lambda \cdot U_\alpha</math>. Ein Infimum von positiven Zahlen ist zumindest nicht negativ (d.h. <math display="inline">0\leq \|x\|_\alpha \leq \lambda</math>). === Beweis (A1) Gaugefunktionalsystem gegeben === Ist umgekehrt auf einer Algebra ein topologieerzeugendes Gaugefunktionalsystem <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{{\mathcal{A}} }</math> gegeben, dass Eigenschaften <math>(A1)-(A5)</math>, dann gibt es eine Nullumgebungsbasis <math display="inline">\{U_\alpha\}_{\alpha\in {\mathcal{A}} } </math> aus kreisförmigen Mengen. ==== Beweis (A1.3) Gaugefunktionalsystem gegeben ==== Man definiert die Nullumgebungsbasis <math display="inline">\{\varepsilon \cdot U_\alpha\}_{\alpha\in {\mathcal{A}, \lambda >0} } </math> mit: :<math>U_{\alpha} := B_1^\alpha(0_A):= \left\{ x\in A \, : \, \left\| x \right\|_\alpha < 1 \right\}</math> Die Menge <math>U_{(\alpha , \varepsilon)} := \varepsilon\cdot U_\alpha \in \mathfrak{U}_{\mathcal{T}}(0_A)</math> ist eine Nullumgebung, weil <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{{\mathcal{A}} }</math> aus den [[Gaugefunktional|topologieerzeugenden Gaugefunktionalen]] der Topologie <math>\mathcal{T}</math> besteht. ==== Bemerkung (A1.4) Gaugefunktionalsystem gegeben ==== Man kann sich hier auf die 1-Umgebungen beschränken, weil das [[Gaugefunktional|Gaugefunktionalsystem]] bzgl. der <math>\varepsilon</math>-Radien ohne Einschränkung vervollständigt ist, d.h. es wurde ggf. um äquivalente Gaugefunktionale der Form <math>\| \cdot \|_{(\alpha,\varepsilon)}:=\varepsilon \cdot \| \cdot \|_{\alpha}</math> ggf. erweitert wurde. ==== Beweis (A1.5) Gaugefunktionalsystem gegeben - Nullumgebung kreiförmig ==== Ferner ist die Menge <math>U_\alpha \in \mathfrak{U}_{\mathcal{T}}(0_A)</math> [[kreisförmig]], weil mit <math>x \in U_\alpha</math>, <math>\lambda \in \mathbb{K}</math> und <math>|\lambda| \leq 1</math> mit (A3) gilt: :<math>\left\| \lambda \cdot x \right\|_{\alpha} \stackrel{(A3)}{=} |\lambda | \cdot \left\| x \right\|_{\alpha} \leq \left\| x \right\|_{\alpha}< 1</math> Also gilt mit <math>\left\| \lambda \cdot x \right\|_{\alpha} < 1</math> auch <math> \lambda \cdot x \in U_\alpha</math> und <math>U_\alpha</math> ist [[kreisförmig]]. ==== Beweis (A1.6) Gaugefunktionalsystem gegeben - Umgebungen von Vektoren ==== Für einen beliebigen Vektor <math>x_o\in A</math> definiert man die Umgebungbasis <math display="inline"> \{ B_\varepsilon^\alpha(x_o) \}_{\alpha\in {\mathcal{A}, \varepsilon >0, x_o \in A} } </math> wie folgt mit: :<math> B_\varepsilon^\alpha(x_o):= \left\{ x\in A \, : \, \left\| x - x_o \right\|_\alpha < \varepsilon \right\} </math> Die Menge <math> B_\varepsilon^\alpha(x_o) := U_\alpha \in \mathfrak{U}_{\mathcal{T}}(x)</math> ist eine Umgebung von <math>x_o</math>, weil <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{{\mathcal{A}} }</math> die [[Gaugefunktional|topologieerzeugend]] für <math>\mathcal{T}</math> ist. ==== Beweis (A1.7) Gaugefunktionalsystem gegeben ==== <math>\mathcal{T}</math> sei nun die kleinste Topologie, die von dem Mengensystem <math display="inline"> \{ B_\varepsilon^\alpha(x_o) \}_{ \alpha\in \mathcal{A}, \varepsilon > 0, x_o \in A} </math> erzeugt wird. Im weiteren Verlauf muss man nun nachweisen, dass die Multiplikation mit Skalaren, Addition und Multiplikation auf <math>(A,\mathcal{T})</math> stetig sind, wenn das Gaugefunktionalsystem gegeben ist. === Beweis (A2) Topologie gegeben === Eine topologische Algebra <math>(A,\mathcal{T})</math> ist gegeben und die '''Eigenschaft (A2)''' ist zu zeigen. ==== Beweis (A2.1) Hausdorff-Eigenschaft gegeben ==== Die topogische Algebra <math display="inline">(A,\mathcal{T})</math> nach Definition [[w:de:Hausdorffraum|Hausdorff'sch]]. Man betrachtet <math display="inline">x \in A</math> mit <math>x\not= 0_A</math>. Es gibt dann ein Umgebung <math>U_0 \in \mathfrak{U}_{\mathcal{T}}(0_A)</math> und <math>U_1 \in \mathfrak{U}_{\mathcal{T}}(x)</math> mit <math>U_0 \cap U_1 = \emptyset</math>. ==== Beweis (A2.2) Hausdorff-Eigenschaft gegeben ==== Da in einem topologischen Vektorraum (Algebra) eine Nullumgebungsbasis aus kreisförmigen Mengen <math display="inline">\{U_\alpha\}_{\alpha\in {\mathcal{A}} } </math> existiert, gibt es ein <math display="inline">\alpha\in {\mathcal{A}}</math> mit <math> U_\alpha \subseteq U_0 </math>. Da <math>U_0 \cap U_1 = \emptyset</math> und <math> x \in U_1</math> gilt, folgt <math> x \notin U_0</math> und damit über die Definition des [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Minkowski-Funktionale|Minkowski-Funktionals]] :<math display="inline">\|x\|_\alpha := \inf \{ \lambda > 0 \, : \, x \in \lambda \cdot U_\alpha \} \geq 1</math> und es gibt eine <math>\alpha \in{\mathcal{A}}</math> mit <math display="inline">\|x\|_\alpha \not= 0 </math> === Beweis (A2) Gaugefunktionalsystem gegeben === Ist umgekehrt auf einer Algebra ein topologieerzeugendes [[Gaugefunktional|Gaugefunktionalsystem]] <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{{\mathcal{A}} }</math> gegeben, dass Eigenschaften <math>(A1)-(A5)</math> erfüllt, dann ist die '''Hausdorff-Eigenschaft''' für die erzeugte Topologie <math>\mathcal{T}</math> zu zeigen. ==== Beweis (A2.3) Hausdorff-Eigenschaft nachweisen ==== Seien nun <math>x_1,x_2 \in A</math> mit <math> x_1\not= x_2 </math> beliebig gewählt. Nun verwendet man die topologieerzeugenden Gaugefunktionalen <math display="inline">\|\cdot\|_\alpha</math> mit <math>\alpha\in \mathcal{A}</math>, um zwei Umgebungen <math>U_1 \in \mathfrak{U}_{\mathcal{T}}(x_1)</math> und <math>U_2 \in \mathfrak{U}_{\mathcal{T}}(x_2)</math> zu erzeugen, für die <math>U_1 \cap U_2 = \emptyset</math> gilt. ==== Beweis (A2.4) Hausdorff-Eigenschaft - Kontraposition ==== Die Topologie der Algebra sei nun durch ein [[Gaugefunktional|Gaugefunktionalsystem]] mit den Eigenschaft (A1)-(A5) erzeugt. Man wendet nun Bedingung (A2) auf <math>x:=x_1-x_2</math> an: :<math display="inline">\displaystyle \left( \forall_{\displaystyle \alpha\in {\mathcal{A}} } : \left\| x \right\| _\alpha = 0 \right) \Longrightarrow x=0_A </math> Man erhält mit der Kontrapostion von (A2) für <math>x= x_1 - x_2 </math> ein <math>\alpha\in \mathcal{A}</math> mit <math>\left\| x_1 - x_2 \right\| _\alpha > 0 </math>, denn: :<math display="inline"> x\not= 0_A \Longrightarrow \displaystyle \left( \exists_{\displaystyle \alpha\in {\mathcal{A}} } : \left\| x \right\| _\alpha > 0 \right) </math> ==== Beweis (A2.5) Hausdorff-Eigenschaft nachweisen ==== Wir wenden nun die obige Kontraposition auf <math>x:= x_1 - x_2 \not=0 </math> an. Daher gibt es ein <math>\alpha \in \mathcal{A}</math> mit :<math> 0 < \lambda := \|x\|_\alpha = \| x_1 - x_2 \|_\alpha = |-1| \cdot \| x_1 - x_2 \|_\alpha = \| x_2 - x_1 \|_\alpha </math> Mit der Bedingung (A4) gibt es zu diesem <math>\alpha \in \mathcal{A}</math> ein <math>\beta \in \mathcal{A}</math> mit :<math>\displaystyle \forall_{\displaystyle x,y\in A} : \left\| x+y \right\| _\alpha\leq \left\| x \right\| _\beta +\left\| y \right\| _\beta </math> ==== Beweis (A2.6) Hausdorff-Eigenschaft - Definition der Umgebungen ==== Setzen nun mit <math>r := \frac{\lambda}{3}</math> die Umgebungen <math>U_1:=B_{r}^{\beta}(x_1)</math> und <math>U_2:=B_{r}^{\beta}(x_2)</math>. Wegen <math> \| x_1 - x_1 \|_\beta = 0 \le r </math> und <math> \| x_2 - x_2 \|_\beta = 0 \le r </math> gilt insbesondere <math>x_1 \in U_1</math> und <math>x_2\in U_2</math>. Um die Hausdorff-Eigenschaft nachzuweisen, ist nun noch <math> U_1 \cap U_2 = \emptyset</math> zu zeigen. ==== Beweis (A2.7) Hausdorff-Eigenschaft - Annahme - Schnitt nicht leer ==== Man nimmt nun an, dass der Schnitt <math>U_1 \cap U_2</math> nicht die leere Menge ist und damit ein <math>x_o \in U_1 \cap U_2 </math> existiert, für das gilt: :<math> \begin{array}{rcl} 0 & < & \lambda := \|x\|_\alpha = \| x_1 - x_2 \|_\alpha = \| (x_1 - x_0) + (x_0 - x_2) \|_\alpha \\ & \leq & \| x_1 - x_0 \|_\beta +\| x_0 - x_2 \|_\beta \leq \frac{\lambda}{3} + \frac{\lambda}{3} = \frac{2\cdot \lambda}{3} \end{array} </math> Widerspruch, wegen <math> 0 < \lambda < \frac{2}{3} \cdot \lambda</math>. Also gilt <math>U_1 \cap U_2 = \emptyset</math> und die Topologie der Algebra ist [[w:de:Hausdorffraum|Hausdorff'sch]]. ==== Bemerkung (A2.7) Hausdorff-Eigenschaft ==== Die Bedingung (A2) liefert also unter Ausnutzung der Bedingung (A4) die [[w:de:Hausdorffraum|Hausdorff-Eigenschaft]] der Algebra <math display="inline">A</math> . Ferner ist die [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologische_Algebra|topologische Algebra]] nach Voraussetzuung [[w:de:Hausdorffraum|Hausdorff'sch]]. Verlangt man die [[w:de:Hausdorffraum|Hausdorff-Eigenschaft]] nicht, entfällt beim Topologisierungslemma die Eigenschaft (A2). === Beweis (A3) Topologie gegeben === Eine topologische Algebra <math>(A,\mathcal{T})</math> ist gegeben und die Eigenschaften (A3) ist zu zeigen. ==== Beweis (A3.1) Stetigkeit der Multiplikation mit Skalaren gegeben ==== In einem topologischen Vektoraum <math>(A,\mathcal{T})</math> (und natürlich auch in einer topologischen Algebra) existiert eine Nullumgebungsbasis aus kreisförmigen Mengen. Betrachtet man die dazugehörigen [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Minkowski-Funktionale|Minkowski-Funktionale]], so sind diese bei kreisförmigen Mengen homogen (also [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Gaugefunktionale|Gaugefunktionale]]). Denn es gilt für beliebige <math>\varepsilon > 0</math>, <math> \lambda \in \mathbb{K}\setminus \{0\}</math> und der Kreisförmigkeit von <math>U_\alpha</math>: :<math> x \in (\|x\|_\alpha +\varepsilon) \cdot U_\alpha \, \Rightarrow \, \frac{|\lambda|}{\lambda} \cdot x \in (\|x\|_\alpha +\varepsilon) \cdot U_\alpha</math> Dies gilt wegen <math>\left| \frac{|\lambda|}{\lambda} \right| = 1 </math> ==== Beweis (A3.2) Stetigkeit der Multiplikation mit Skalaren gegeben ==== Ferner gilt für <math>\lambda \cdot x </math>, <math>\lambda \not=0</math> und <math> \lambda \cdot x \in (\|\lambda \cdot x\|_\alpha +\varepsilon) \cdot U_\alpha </math> :<math> \, |\lambda| \cdot x = \frac{|\lambda|}{\lambda}\cdot \lambda \cdot x \in (\|\lambda \cdot x\|_\alpha +\varepsilon) \cdot U_\alpha</math> Insgesamt erhält man für alle <math> x \in \left( \frac{\|\lambda \cdot x\|_\alpha +\varepsilon}{|\lambda|}\right) \cdot U_\alpha</math> und über Infimumbildung bzgl. <math>\varepsilon > 0</math> erhält man: <math>\|x\|_\alpha \leq \frac{\|\lambda \cdot x\|_\alpha}{|\lambda|}</math> bzw. <math>|\lambda| \cdot \|x\|_\alpha \leq \|\lambda \cdot x\|_\alpha</math>. ==== Beweis (A3.3) Stetigkeit der Multiplikation mit Skalaren gegeben ==== Die umgekehrte Ungleichung <math>|\lambda| \cdot \|x\|_\alpha \geq \|\lambda \cdot x\|_\alpha</math> erhält man mit der Kreisförmigkeit von <math>U_\alpha</math> und <math> \lambda \cdot x \in (\|\lambda \cdot x\|_\alpha +\varepsilon) \cdot U_\alpha </math>: :<math> |\lambda| \cdot \underbrace{\frac{\lambda}{|\lambda|} \cdot x}_{\in (\| x \|_\alpha +\varepsilon) \cdot U_\alpha} \in |\lambda| \cdot (\| x \|_\alpha +\varepsilon) \cdot U_\alpha</math> Also erhält man über die Infimumbildung von <math>\varepsilon > 0 </math> auch <math> \|\lambda \cdot x\|_\alpha \leq |\lambda| \cdot \| x \|_\alpha </math>. ==== Beweis (A3.4) Stetigkeit der Multiplikation mit Skalaren gegeben ==== Beweisschritt (A3.2) und (A3.3) zusammen liefert die Gleichheit <math>|\lambda| \cdot \|x\|_\alpha = \|\lambda \cdot x\|_\alpha</math>. === Beweis (A3) Gaugefunktionalsystem gegeben === Ist umgekehrt auf einer Algebra ein topologieerzeugendes [[Gaugefunktional|Gaugefunktionalsystem]] <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{{\mathcal{A}} }</math> gegeben, dass Eigenschaften <math>(A1)-(A5)</math> erfüllt, dann ist die Stetigkeit der Multiplikation mit Skalaren bzgl. <math>\mathcal{T}</math> zu zeigen. ==== Beweis (A3.5) Stetigkeit der Multiplikation mit Skalaren zeigen ==== Ist umgekehrt ein Nullfolge <math>(\lambda_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> und ein Netz <math>(x_i)_{i\in I}</math> gegeben, das in der Topologie <math>(A,\mathcal{T})</math> gegen den Nullvektor <math>0_A</math> konvergiert, so gilt: :<math> \displaystyle \forall_{\varepsilon > 0, \alpha \in \mathcal{A}} \exists_{n_\varepsilon \in \mathbb{N}, i_\alpha \in I} \forall_{n \geq n_\varepsilon, i \geq i_\alpha} \, : \, \, |\lambda_n | < \varepsilon \, \wedge x_i \in U_\alpha </math> Damit erhält man durch Anwendung von Bedingung (A3): :<math> \displaystyle \forall_{\varepsilon > 0, \alpha \in \mathcal{A}} \exists_{n_\varepsilon \in \mathbb{N}, i_\alpha \in I} \forall_{n \geq n_{\varepsilon}, i \geq i_\alpha} \, : \, \, \|\lambda_n \cdot x_i\|_\alpha \stackrel{(A3)}{=} |\lambda_n| \cdot \underbrace{\|x_i\|_\alpha}_{\leq 1} < \varepsilon \cdot 1 = \varepsilon </math> ==== Beweis (A3.6) Stetigkeit der Multiplikation mit Skalaren zeigen ==== Insgesamt konvergiert <math>(\lambda_n \cdot x_i)_{(n,i) \in \mathbb{N}\times I}</math> ebenfalls gegen den Nullvektor <math>0_A</math>, da für alle <math>U\in \mathfrak{U}_{\mathcal{T}}(0_A)</math> eine kreisförmige Nullumgebung <math>U_\alpha \subseteq U</math> existiert. Für diese kreisförmige Nullumgebung gibt es dann eine Indexschranke <math>i_\alpha \in I</math>, ab der alle <math> x_i \in U_\alpha \subseteq U </math> liegen mit <math>i \geq i_\alpha</math>. Für eine kreisförmige Nullumgebungsbasis aus <math>U_\alpha:= B_1^\alpha(0_A)</math> und <math>|\lambda_n| < 1 </math> liegt auch in <math>\lambda_n \cdot x_i \in U_\alpha \subset U</math> (d.h. <math> \lambda_n \cdot x_i \in U</math> mit <math>n > n_\varepsilon</math>. Die Indexschranke existiert wegen Konvergenz von <math>(\lambda_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> geben <math> 0 \in \mathbb{K}</math>. Insgesamt ist damit die Stetigkeit der Multiplikation mit Skalaren auf <math display="inline">A</math> gezeigt. === Beweis (A4) Topologie gegeben === Eine topologische Algebra <math>(A,\mathcal{T})</math> ist gegeben und die Eigenschaften (A4) ist zu zeigen. ==== Beweis (A4.1) Stetigkeit der Addition ==== Die Stetigkeit der Addition liefert: :<math display="block"> \forall_{\displaystyle U_{\alpha}\in \mathfrak{U} (0_A)} \exists_{\displaystyle U_\beta\in \mathfrak{U} (0_A)} : U_\beta + U_\beta \subset U_\alpha </math> Insbesondere gilt <math display="inline">U_\beta = U_\beta + \{0_A\} \subset U_\beta + U_\beta \subset U_\alpha</math>, weil <math>0_A \in U_\beta</math> gilt. Also erhält man mit <math display="inline">U_\beta \subset U_\alpha</math> für die entsprechenden Minkowskifunktionale auch <math display="inline">\left\| x \right\| _\alpha \leq \left\| x \right\| _\beta</math> für alle <math display="inline">x\in A</math>. D.h. man muss eine absorbierende Teilmenge <math display="inline">U_\beta</math> im Vergleich zu <math display="inline">U_\alpha</math> ggf. stärker aufblasen, um das entsprechende <math>x \in A</math> einzufangen. ==== Beweis (A4.2) Stetigkeit der Addition ==== Für <math display="inline">\left\| x \right\| _\beta = 0</math> und <math display="inline">\left\| y \right\| _\beta = 0</math> ist <math>x,y \in \lambda \cdot U_\beta</math> für alle <math>\lambda > 0</math>. Also sind insbesondere auch :<math>x+y \in \lambda \cdot U_\beta +\lambda \cdot U_\beta = \lambda \cdot (U_\beta + U_\beta) \subset \lambda \cdot U_\alpha</math> für alle <math>\lambda > 0</math>. Damit erhält man die gesuchte (Un-)Gleichung direkt mit :<math display="inline">\left\| x+y \right\|_\alpha = 0 = \underbrace{\left\| x \right\| _\beta}_{=0} + \underbrace{\left\| y \right\| _\beta}_{=0} </math> für alle <math>z\in A</math>. ==== Beweis (A4.3) Stetigkeit der Addition gegeben ==== Für <math display="inline">\left\| x \right\| _\beta \not= 0</math> und <math display="inline">\left\| y \right\| _\beta = 0</math> gilt, dass <math>y \in \lambda \cdot U_\beta</math> für alle <math>\lambda >0 </math>. Ferner gilt auch für alle <math>\varepsilon >0 </math> wegen Infimumsdefintion des Minkowski-Funktionals <math>x \in (\varepsilon + \|x\|_\beta )\cdot U_\beta</math>. ==== Beweis (A4.4) Stetigkeit der Addition gegeben ==== Man erhält die gesuchte Ungleichung mit <math>y \in \lambda \cdot U_\beta</math> für alle <math>\lambda >0 </math> :<math> \begin{array}{rcl} x+y & \in &(\varepsilon + \|x\|_\beta )\cdot U_\beta + (\underbrace{\varepsilon + \|x\|_\beta )}_{\lambda :=}\cdot U_\beta \\ & = & (\varepsilon + \|x\|_\beta )\cdot (U_\beta + U_\beta) \\ & \subseteq & (\varepsilon + \|x\|_\beta )\cdot U_\alpha \end{array} </math> für alle <math>\varepsilon >0 </math>. Also gilt auch <math>\left\| x + y \right\|_\alpha \leq \left\| x \right\| _\beta = \left\| x \right\| _\beta + \underbrace{\left\| y \right\| _\beta}_{=0} </math>. ==== Beweis (A4.5) Stetigkeit der Addition gegeben ==== Für <math display="inline">\left\| x \right\| _\beta = 0</math> oder <math display="inline">\left\| y \right\| _\beta \not= 0</math> erhält man die Aussage analog. ==== Beweis (A4.6) Stetigkeit der Addition ==== Seien nun <math display="inline">\left\| x \right\| _\beta\not=0</math> und <math display="inline">\left\| y \right\| _\beta\not= 0</math>. Nach Definition der [[Minkowski-Funktional|Minkowski-Funktionale]] für die Nullumgebungen <math display="inline">U_\alpha</math> und <math display="inline">U_\beta</math>, erhält man für jedes <math display="inline">\varepsilon > 0</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \frac{x}{\left\| x \right\| _\beta+\varepsilon} \in U_\beta \, \wedge \, \frac{y}{\left\| y \right\| _\beta+\varepsilon} \in U_\beta &\Longrightarrow& \frac{x}{\left\| x \right\| _\beta+\left\| y \right\| _\beta}, \frac{y}{\left\| x \right\| _\beta+\left\| y \right\| _\beta} \in U_\beta \\ & \Longrightarrow & \frac{x+y}{\left\| x \right\| _\beta+\left\| y \right\| _\beta} \in U_\beta + U_\beta \subset U_\alpha \\ &\Longrightarrow& \left\| \frac{x+y}{\left\| x \right\| _\beta+\left\| y \right\| _\beta} \right\| _\alpha \leq 1 \Longrightarrow \mbox{ Beh. (A4). } \end{array} </math> Dabei wird die Kreisförmigkeit bzw. Homogenität (A3) der [[Minkowski-Funktional|Minkowski-Funktionale]] aus den vorherigen Beweischritten verwendet. === Beweis (A4) Gaugefunktionalsystem gegeben === Ist umgekehrt auf einer Algebra ein topologieerzeugendes [[Gaugefunktional|Gaugefunktionalsystem]] <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{{\mathcal{A}} }</math> gegeben, dass Eigenschaften <math>(A1)-(A5)</math> erfüllt, dann ist die Stetigkeit der Addition bzgl. <math>\mathcal{T}</math> zu zeigen. ==== Beweis (A4.7) Addition - Topologisierung durch Gaugefunktionale ==== Wird umgekehrt die Topologie <math>\mathcal{T}</math> durch <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{\mathcal{A}} </math> erzeugt und gilt die Bedingung (A4), dann gilt: :<math display="block"> \forall_{\displaystyle \alpha\in {\mathcal{A}} } \exists {\beta \in {\mathcal{A}} } \forall_{\displaystyle x,y\in A} : \left\| x+y \right\| _\alpha\leq \left\| x \right\| _\beta +\left\| y \right\| _\beta, </math> ==== Beweis (A4.8) Addition - Topologisierung durch Gaugefunktionale ==== Dann ist die Addition auf <math display="inline">A</math> stetig, denn zu jeder Nullumgebung <math>U_\alpha</math> aus der kreisförmigen Nullumgebungsbasis mit <math>0 < \varepsilon < \frac{1}{2}</math>, <math display="inline">x,y\in {\rm B}^\beta_{\varepsilon}(0)=: U_\beta</math> und <math display="inline">{\rm B}^\alpha_1(0)=: U_\alpha</math> gilt: :<math display="block"> \left\| x+y \right\| _\alpha \leq \left\| x \right\| _\beta +\left\| y \right\| _\beta \leq \varepsilon + \varepsilon < \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 </math> Insgesamt gilt <math> x+y\in U_\alpha </math> und zu jeder kreisförmigen Nullumgebung <math>U_\alpha</math> gibt es <math>U_\beta \in \mathfrak{U}_{\mathcal{T}}(0_A)</math> mit <math>U_\beta + U_\beta \subseteq U_\alpha</math>. === Beweis (A5) Topologie gegeben === Eine topologische Algebra <math>(A,\mathcal{T})</math> ist gegeben und die Eigenschaften (A5) ist zu zeigen. ==== Beweis (A5.1) Multiplikation - Topologie gegeben ==== Mit der Stetigkeit der Multiplikation erhält man wie in <math display="inline">(A4)</math> erhält man :<math display="block"> \forall_{\displaystyle U_{\alpha}\in \mathfrak{U} (0)} \exists_{\displaystyle U_\beta\in \mathfrak{U} (0)} : U_\beta \cdot U_\beta = U_\beta^{^2} \subset U_\alpha </math> ==== Beweis (A5.2) Multiplikation - Topologie gegeben ==== Sei <math display="inline">\varepsilon >0</math> beliebig gewählt und die Behauptung <math display="inline">(A5)</math>, denn: :<math display="block"> \frac{x}{\left\| x \right\| _\beta+\varepsilon}\cdot \frac{y}{\left\| y \right\| _\beta+\varepsilon} \in U_\beta \cdot U_\beta = U_\beta^2 \subset U_\alpha </math> ==== Beweis (A5.3) Multiplikation - Topologie gegeben ==== Aus <math display="inline"> \frac{x}{\left\| x \right\| _\beta+\varepsilon}\cdot \frac{y}{\left\| y \right\| _\beta+\varepsilon} \in U_\alpha </math> folgt für alle <math display="inline">\varepsilon>0</math> unter Anwendung von Eigenschaft (A3), die mit obigen Beweisschritt für toplogische Algebren gilt auch: :<math display="block"> \begin{array}{rcl} \left\| \frac{x}{\left\| x \right\| _\beta+\varepsilon}\cdot \frac{y}{\left\| y \right\| _\beta+ \varepsilon } \right\| _\alpha & \leq & 1 \Longrightarrow \\ \left\| x\cdot y \right\| _\alpha & \leq & (\left\| x \right\| _\beta+\varepsilon ) \cdot (\left\| y \right\| _\beta+ \varepsilon) \end{array} </math> Da <math display="inline">\varepsilon>0</math> beliebig gewählt war, gilt auch <math display="inline">\left\| x\cdot y \right\| _\alpha\leq \left\| x \right\| _\beta\cdot \left\| y \right\| _\beta</math> für alle <math display="inline">x,y \in A</math>. === Beweis (A5) Gaugefunktionalsystem gegeben === Ist umgekehrt auf einer Algebra ein topologieerzeugendes [[Gaugefunktional|Gaugefunktionalsystem]] <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{{\mathcal{A}} }</math> gegeben, dass Eigenschaften <math>(A1)-(A5)</math> erfüllt, dann ist die Stetigkeit der Multiplikation bzgl. <math>\mathcal{T}</math> zu zeigen. ==== Beweis (A5.4) Multiplikation - Topologisierung durch Gaugefunktionale ==== Erfüllt das topologieerzeugendes [[Gaugefunktional|Gaugefunktionalsystem]] <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{{\mathcal{A}} }</math> die Bedingung (A5), so gilt: :<math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle \alpha\in {\mathcal{A}} } \exists {\beta \in {\mathcal{A}} } \forall_{\displaystyle x,y\in A} : \left\| x\cdot y \right\| _\alpha\leq \left\| x \right\| _\beta \cdot \left\| y \right\| _\beta </math> ==== Beweis (A5.5) Multiplikation - Topologisierung durch Gaugefunktionale ==== Dann erhalten wird umgekehrt mit der gleichen Definition von <math display="inline">U_\alpha</math> und <math display="inline">U_\beta</math> als offene Einheitskugeln <math>U_\alpha := B_1^\alpha (0_A)</math> und <math>U_\beta := B_\varepsilon^\beta (0_A)</math> mit <math>0 < \varepsilon < 1 </math> offene Nullumgebungen. Wir zeigen nun, dass alle <math> x, y \in U_\beta</math> das Produkt <math>x\cdot y \in U_\alpha</math> liegt. Wegen <math>\varepsilon < 1 </math> gilt insbesondere <math>U_\beta := B_\varepsilon^\beta (0_A) \subset B_1^\beta (0_A) =: U_\gamma</math> und damit ist <math>\|x\|_\beta \geq \|x\|_\gamma := p_{U_\gamma}(x)</math> (siehe Zusammenhang von Mengeninklusion und der <math>\leq</math>-Beziehung über [[Minkowski-Funktional|absorbierende Mengen]] und [[Gaugefunktional|Gaugefunktionale]]). ==== Beweis (A5.6) Nullumgebung - kreisförmige Nullumgebung ==== In der Rückrichtung von (A5) erhält man zu jeder Nullumgebung <math>U</math> eine kreiförmige Nullumgebung <math>U_\alpha</math> aus der Umgebungsbasis von kreisförmigen Mengen mit <math>U_\alpha \subset U</math>, die von einem Gaugefunktional <math>\|\cdot \|_\alpha</math> als Einheitskugel erzeugt wurde. Dies gilt, weil das Gaugefunktionalsystem <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{{\mathcal{A}} }</math> topologieerzeugend ist. Sei nun <math>x,y\in U_\beta</math> :<math> 1 > \varepsilon ^2 = \varepsilon \cdot \varepsilon \geq \|x\|_\beta \cdot \|y\|_\beta \stackrel{(A5)}{\geq} \|x\cdot y\|_\alpha</math> Man erhält also <math> \|x\cdot y\|_\alpha < 1</math> und damit <math> x\cdot y\in U_\alpha </math>. ==== Beweis (A5.7) Multiplikation - Topologisierung durch Gaugefunktionale ==== Die Stetigkeit der Multiplikation bei einer durch das System <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{\mathcal{A}} </math> erzeugten Topologie erhält man dann für eine beliebige Nullumgebung <math>U\in \mathfrak{U}_{\mathcal{T}}(0_A)</math> eine kreisförmige Nullumgebung <math>U_\alpha \subset U</math> und mit (A5) ein <math>U_\beta</math> mit :<math> U_\beta \cdot U_\beta = U_\beta^2 \subseteq U_\alpha \subseteq U </math> Damit die Multiplikation auf <math>(A,\mathcal{T})</math> stetig. === Beweisschritte (A1)-(A5) === Insgesamt wurde gezeigt, dass man bei topologischen Algebren <math>(A,\mathcal{T})</math> die Stetigkeit der Verknüpfungen auf der Algebra auch mit dem topologieerzeugenden [[Gaugefunktional|Gaugefunktionalsystem]] nachweisen kann bzw. für weiterführende Aussagen auf topologischen Algebren allein mit dem [[Gaugefunktional|Gaugefunktionalsystem]] arbeiten kann. <math>\Box</math> == Basiserzeugendes Topologisierungslemma == Sei <math display="inline">A</math> eine Algebra. <math display="inline">A</math> ist genau dann eine Hausdorff'sche topologische Algebra <math display="inline">(A,\mathcal{T})</math>, wenn die Topologie <math display="inline">\mathcal{T}</math> durch ein [[Basiserzeugendes Gaugefunktionalsystem|'''basiserzeugendes''']] [[Gaugefunktional|<math>p</math>-Gaugefunktionalsystem]] <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{{\mathcal{A}} }</math> mit (B1)-(B5) erzeugt werden kann: * (B1) <math display="inline">\displaystyle \forall_{ \alpha\in {\mathcal{A}} , x\in A} \, \left\| x \right\| _\alpha \geq 0</math> * (B2) <math display="inline">\displaystyle \left( \forall_{ \alpha\in {\mathcal{A}} } \, \left\| x \right\| _\alpha = 0 \right) \Longrightarrow x = 0_A </math> * (B3) <math display="inline">\displaystyle \forall_{ \alpha\in {\mathcal{A}} ,x\in A,\lambda\in \mathbb{K}} \, \left\| \lambda\cdot x \right\| _\alpha = |\lambda|^p \cdot \left\| x \right\| _\alpha</math> * (B4) <math display="inline">\displaystyle \forall_{ \alpha\in {\mathcal{A}} } \exists_{ \beta \in {\mathcal{A}} , K > 0 } \forall_{ x,y\in A} \, \left\| x+y \right\| _\alpha \leq K \cdot \left( \left\| x \right\| _\beta +\left\| y \right\| _\beta \right) </math> * (B5) <math display="inline">\displaystyle \forall_{ \alpha\in {\mathcal{A}} } \exists_{ \beta \in {\mathcal{A}} , M > 0 } \forall_{\displaystyle x,y\in A} \, \left\| x\cdot y \right\| _\alpha \leq M \cdot \left\| x \right\| _\beta \cdot \left\| y \right\| _\beta </math> === Bemerkung: Basiserzeugende Gaugefunktionalsystem === Ein [[Basiserzeugendes Gaugefunktionalsystem|basiserzeugendes Gaugefunktionalsystem]] hat die gleiche Funktion wie die Verwendung von <math>\varepsilon</math>-Umgebungen in der Analysis. Über die <math>\varepsilon</math>-Umgebungen in <math>\mathbb{R}</math> hat man eine Basis der Standardtopologie auf <math>\mathbb{R}</math> gegeben, über die man Konvergenz, Stetigkeit und andere topologische Eigenschaften ausdrücken kann. Dabei wurden ein analoges Vorgehen wie bei Gaugefunktionalen verwendet. :<math> x \in B_\varepsilon^{| \cdot |}(x_0) \Longleftrightarrow | x-x_0 | < \varepsilon \Longleftrightarrow x \in \, \, ]x_0 - \varepsilon,x_0 + \varepsilon [ </math> === Beweisaufgabe für Studierende === Zeigen Sie die obigen Eigenschaften (B1)-(B2) unter Verwendung der Eigenschaft des Gaugefunktionalsystems, basiserzeugend zu sein. Für jede Nullumgebung <math>U \in \mathfrak{U}_{\mathcal{T}}(0_A)</math> gibt es dann ein <math> \alpha \in \mathcal{A}</math> <math>\varepsilon > 0 </math> mit :<math> U \subseteq B_\varepsilon^{\alpha}(0_A) := \left\{ x \in A \, \colon \, \| x \|_\alpha < \varepsilon \right\} </math> == Aufgaben für Studierende == Sei <math>A:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> die Menge der stetigen Funktionen von <math>\mathbb{R}</math> nach <math>\mathbb{R}</math> mit der folgenden Addition und Multiplikation auf dem Vektorraum: * (Addition) <math>f,g \in A</math> definiert man <math>f+g</math> argumentweise <math>(f+g)(x):=f(x)+g(x)</math> für alle <math>x \in \mathbb{R}</math> * (Multiplikation) <math>f,g \in A</math> definiert man <math>f \cdot g</math> argumentweise <math>(f\cdot g)(x):=f(x)\cdot g(x)</math> für alle <math>x \in \mathbb{R}</math> Ferner definiert man ein Gaugefunktionalsystem <math>\|\cdot\|_{\mathcal{A}}</math> mit <math>\mathcal{A}:= \mathbb{R}</math> und <math>\|f\|_\alpha := |f(\alpha)|</math>. === Aufgabe 1 === Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot\|_{\mathcal{A}}</math> ein Halbnormensystem ist. === Aufgabe 2 === * Geben Sie ein <math>f \in A\setminus\{0_A\}</math> an, für das <math>\|f\|_\alpha = 0 </math> gilt für <math>\alpha = 2</math> und <math>\alpha = -2</math> an. * Geben Sie ein <math>g \in A\setminus\{0_A\}</math> an, für das <math>\|f\|_\alpha = 0 </math> gilt für <math>\alpha \in \mathbb{Z}</math> an. === Aufgabe 3 === Sei <math>K := \{ f\in A \, : \, f \mbox{ konstant } \} </math> die Menge der konstanten Funktionen in <math>A</math>, <math>K_{\varepsilon}^{\alpha} := \{ f\in K \, : \, \|f\|_\alpha < \varepsilon \wedge f \mbox{ konstant } \}</math> und <math>N_{\alpha} := \{ f\in K \, : \, \|f\|_\alpha = 0 \}</math>. Zeigen Sie, dass folgende Aussage gilt: :<math>B_{\varepsilon}^{\alpha}(f) := \{f\} + N_{\alpha} + K_{\varepsilon}^{\alpha}</math>. === Aufgabe 4 === Zeigen Sie, dass die Hausdorff-Eigenschaft (A2) in dieser topologischen Algebra gilt. Nehmen Sie an, dass <math>f,g \in A</math> mit <math>f\not= g</math> gilt und Sie damit ein <math>\alpha_o \in {\mathcal{A}}</math> finden können, in dem <math>f(\alpha_o)\not= g(\alpha_o)</math> gilt. Konstruktruieren mit den Gaugefunktionalen zwei Umgebungen <math>U_1 \in \mathfrak{U}_\mathcal{T}(f)</math> und <math>U_2 \in \mathfrak{U}_\mathcal{T}(g)</math> mit <math>U_1 \cap U_2 = \emptyset </math>. === Aufgabe 5 === Zeigen Sie, dass die Menge <math>N_{\alpha} := \{ f\in K \, : \, \|f\|_\alpha = 0 \}</math> ein [[Ideal (Algebra)|Ideal]] in [[Topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>A:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> ist. == Siehe auch == * [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Minkowski-Funktionale|Minkowski-Funktionale]] * [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Gaugefunktionale|Gaugefunktionale]] * [[Stetigkeitssequenz]] * [[Ideal (Algebra)]] * [[Topologische Algebra]] * [[Topologische Gruppe]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Konvergenz in Funktionenräumen|Konvergenz in Funktionenräumen]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologisierungslemma%20f%C3%BCr%20Algebren&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologisierungslemma%20f%C3%BCr%20Algebren&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologisierungslemma%20f%C3%BCr%20Algebren https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologisierungslemma%20f%C3%BCr%20Algebren] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologisierungslemma%20f%C3%BCr%20Algebren Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologisierungslemma%20f%C3%BCr%20Algebren * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologisierungslemma%20f%C3%BCr%20Algebren&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] [[Category:Funktionalanalysis]] <noinclude> [[en:Topologization Lemma for algebras]] </noinclude> 2tr3mzwcp42q13xb5tsuw7du6hu32sw 1118918 1118917 2026-11-05T10:33:58Z Bert Niehaus 20843 /* Hausdorff-Eigenschaft */ 1118918 wikitext text/x-wiki == Einführung == Das Topologisierungslemma für Algebren erlaubt die Beschreibung der Stetigkeit von den Verknüpfungen in einer topologischen Algebra über [[Gaugefunktional|Gaugefunktionale]]. Diese Lernressource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologisierungslemma%20f%C3%BCr%20Algebren&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Hausdorf-Raum === In dem folgenden [[Topologisierungslemma für Algebren]] liefert die [[Hausdorff-Raum|Hausdorffeigenschaft]] ein gültiges Trennungsaxiom über die Eigenschaft (T2). Für unitale [[topologische Algebra|topologische Algebren]] <math>(A,\mathcal{T}_{\!\!\!\!_A})</math> mit der [[topologischer Vektorraum|Topologie]] <math>\mathcal{T}_{\!\!\!\!_A}</math> muss die topologische Algebra zumindest das Einselement <math>e_{\!\!_A}</math> und den Nullvektor <math>0_{\!\!_A}</math> durch eine Nullumgebung trennen können, d.h., es gibt eine Nullumgebung <math>U_0\in \mathcal{T}_{\!\!\!\!_A}</math> mit <math>e_{\!\!_A}\notin U_0</math>. Diese Eigenschaften ist bei [[Hausdorff-Raum|Hausdorff-Räumen]] immer gegeben. == Topologisierungslemma für Algebren == Sei <math display="inline">A</math> eine Algebra. <math display="inline">A</math> ist genau dann eine topologische Algebra <math display="inline">(A,\mathcal{T})</math>, die die [[Hausdorff-Raum|Hausdorfeigenschaft]] erfüllt, wenn die Topologie <math display="inline">\mathcal{T}</math> durch ein Gaugefunktionalsystem <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{{\mathcal{A}} }</math> mit den Eigenschaften (A1)-(A5) erzeugt werden kann. === Charakterisierende Eigenschaften (A1)-(A5) === * (A1) <math display="inline">\displaystyle \forall_{ \alpha\in {\mathcal{A}} ,x\in A} : \left\| x \right\| _\alpha \geq 0</math> * (A2) <math display="inline">\displaystyle \left( \forall_{ \alpha\in {\mathcal{A}} } : \left\| x \right\| _\alpha = 0 \right) \Longrightarrow x=0_A </math> * (A3) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\alpha\in {\mathcal{A}} ,x\in A,\lambda\in \mathbb{K}} : \left\| \lambda\cdot x \right\| _\alpha = |\lambda|\cdot \left\| x \right\| _\alpha </math> * (A4) <math display="inline">\displaystyle \forall_{ \alpha\in {\mathcal{A}} } \exists_{ \beta \in {\mathcal{A}} } \forall_{ x,y\in A } : \left\| x+y \right\| _\alpha \leq \left\| x \right\| _\beta +\left\| y \right\| _\beta </math> * (A5) <math display="inline">\displaystyle \forall_{ \alpha\in {\mathcal{A}} } \exists_{ \beta \in {\mathcal{A}} } \forall_{ x,y\in A } : \left\| x\cdot y \right\| _\alpha \leq \left\| x \right\| _\beta \cdot \left\| y \right\| _\beta </math> == Topologisierunglemma für Vektorräume == Sei <math display="inline">V</math> eine Vektorraum. <math display="inline">V</math> ist genau dann eine topologischer Vektorraum <math display="inline">(V,\mathcal{T})</math>, der die Hausdorfeigenschaft erfüllt, wenn die Topologie <math display="inline">\mathcal{T}</math> durch ein Gaugefunktionalsystem <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{{\mathcal{A}} }</math> mit den Eigenschaften (V1)-(V4) erzeugt werden kann. === Charakterisierende Eigenschaften (V1)-(V4) === * (V1) <math display="inline">\displaystyle \forall_{ \alpha\in {\mathcal{A}} ,x\in V} : \left\| x \right\| _\alpha \geq 0</math> * (V2) <math display="inline">\displaystyle \left( \forall_{ \alpha\in {\mathcal{A}} } : \left\| x \right\| _\alpha = 0 \right) \Longrightarrow x=0_V </math> * (V3) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\alpha\in {\mathcal{A}} ,x\in V,\lambda\in \mathbb{K}} : \left\| \lambda\cdot x \right\| _\alpha = |\lambda|\cdot \left\| x \right\| _\alpha </math> * (V4) <math display="inline">\displaystyle \forall_{ \alpha\in {\mathcal{A}} } \exists_{ \beta \in {\mathcal{A}} } \forall_{ x,y\in V } : \left\| x+y \right\| _\alpha \leq \left\| x \right\| _\beta +\left\| y \right\| _\beta </math> === Bemerkung - Topologisierunglemma für topologische Vektorräume === Den topologischen Vektorräumen <math display="inline">(V,\mathcal{T})</math> fehlt die stetige innere Verknüfung der Multiplikation <math> \cdot : V\times V \to V</math>. Daher erhält man für topologische Vektorräume nur vier charakterisierende Eigenschaften (V1)-(V4). Der Beweis der Eigenschaften erfolgt analog zu den Beweis für das Topologisierungslemma für topologische Algebren. === Hausdorff-Eigenschaft === Wenn eine [[topologische Algebra|topologische Algebra]] oder ein [[topologischer Vektorraum]] die Hausdorfeigenschaft nicht erfüllt, gilt (A2) bzw. (V2) nicht und man kann zwei Punkte <math>x_1 \not= x_2</math> ebenfalls nicht mehr durch das Gaugefunktionalsystem trennen. Wenn nicht anders angegeben, sind die topologischen Algebren Hausdorff'sch. Für unitale [[topologische Algebra|topologische Algebra]] mit Einselement <math>e_{\!\!_A}</math> muss es zumindest, gibt es wenigstens ein unital positives und [[Gaugefunktionalsystem/normalisiert|normalisiertes Gaugefunktionalsystem]] <math>\|\cdot\|_\mathcal{A}</math>. === Bemerkung 1: Beweisstruktur === Für den Beweis muss man zwei Richtungen zeigen, * dass für eine topologische Algebra <math display="inline">(A,\mathcal{T})</math> ein System von Gaugefunktionalen <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{{\mathcal{A}} }</math> mit folgenden Eigenschaften (A1)-(A5) existiert und * umgekehrt erzeugt ein System <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{{\mathcal{A}} }</math> von Gaugefunktionalen mit (A1)-(A5) eine Topologie <math display="inline">\mathcal{T}</math> auf <math>A</math>, die <math display="inline">(A,\mathcal{T})</math> zu einer topologischen Algebra macht. === Bemerkung 2: Äquivalentes Gaugefunktionalsystem === Ohne Einschränkung verwenden wir ein Gaugefunktionalsystem, das bzgl. des Radius der <math>\varepsilon</math>-Kugeln vollständig erweitert ist. D.h. man erweitert das Gaugefunktionalsystem auch um äquivalente Gaugefunktional der Form <math>\| \cdot \|_{(\alpha,\varepsilon)}:=\varepsilon \cdot \| \cdot \|_{\alpha}</math>. Das erspart die Verwendung von Konstanten in dem folgenden Beweis. === Stetigkeit in einem Punkt === In dem Beweis geht ein, dass man bei linearen bzw. bilinearen Abbildung die Stetigkeit nur in einem Punkt (hier Nullvektor nachweisen muss, um die Stetigkeit auf dem ganzen Definitionsbereich der (bi-)linearen Abbildung nachzuweisen (siehe auch [[Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]]) == Beweisidee == Der folgende Beweis stellt für die Eigenschaften (A1)-(A5) die folgenden Beziehung zur Topologie und Mengen her. * (A1) <math display="inline">\left\| x \right\| _\alpha \geq 0</math> - Definition des Minkowski-Funktional für absorbierende Mengen * (A2) <math display="inline">\displaystyle \left( \forall_{\displaystyle \alpha\in {\mathcal{A}} } : \left\| x \right\| _\alpha = 0 \right) \Longrightarrow x=0_A </math> Hausdorff-Eigenschaft der Topologie * (A3) <math display="inline"> \left\| \lambda\cdot x \right\| _\alpha = |\lambda|\cdot \left\| x \right\| _\alpha</math> Stetigkeit der Multiplikation mit Skalaren * (A4) <math display="inline"> \left\| x+y \right\| _\alpha\leq \left\| x \right\| _\beta +\left\| y \right\| _\beta </math> Stetigkeit der Addition * (A5) <math display="inline"> \left\| x\cdot y \right\| _\alpha\leq \left\| x \right\| _\beta \cdot \left\| y \right\| _\beta </math> Stetigkeit der Multiplikation == Beweis == Topologische Vektorräume besitzen eine Nullumgebungsbasis <math display="inline">\{U_\alpha\}_{\alpha\in {\mathcal{A}} } </math> aus kreisförmigen Mengen. Man betrachtet dann als System der die [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Minkowski-Funktionale|Minkowski-Funktionale]] <math display="inline">\|\cdot \|_\alpha</math> mit <math>\alpha\in {\mathcal{A}} </math> dieser kreisförmigen Nullumgebungen <math display="inline">\{U_\alpha\}_{\alpha\in {\mathcal{A}} } </math>. Nur sind jeweils zwei Beweisrichtungen zu zeigen: * Eine topologische Algebra <math>(A\mathcal{T})</math> ist gegeben und die Eigenschaften (A1)-(A5) sind zu zeigen und umgekehrt * bei gegeben topologieerzeugenden [[Gaugefunktional|Gaugeunktionalen]] mit den Eigenschaften <math display="inline">(A1)-(A5)</math> für <math>\mathcal{T}</math> wird die Algebra zu einer topologischen Algebra. === Beweis (A1) Topologie gegeben === Eine topologische Algebra <math>(A,\mathcal{T})</math> ist gegeben und die Eigenschaften (A1) ist zu zeigen. ==== Beweis (A1.1) - Nicht-Negativität ==== Mit der kreisförmigen Nullumgebung <math display="inline">U_\alpha \in \mathfrak{U}_\mathcal{T}(0_A) </math> definiert man das Minkowskifunktional: :<math display="inline"> \|x\|_\alpha := \inf \{ \lambda > 0 \, : \, x \in \lambda \cdot U_\alpha \} </math>. ==== Beweis (A1.2) - Nicht-Negativität ==== Die Eigenschaft der Nichtnegativität folgt aus der Definition des [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Minkowski-Funktionale|Minkowski-Funktionals]], da ein Infimum über positive Zahlen gebildet wird, mit der eine absorbierende (kreisförmige) Menge <math display="inline">U_\alpha \in \mathfrak{U}_\mathcal{T}(0_A) </math> noch ein Element <math>x \in A</math> "einfängt" (<math display="inline">x \in \lambda \cdot U_\alpha</math>. Ein Infimum von positiven Zahlen ist zumindest nicht negativ (d.h. <math display="inline">0\leq \|x\|_\alpha \leq \lambda</math>). === Beweis (A1) Gaugefunktionalsystem gegeben === Ist umgekehrt auf einer Algebra ein topologieerzeugendes Gaugefunktionalsystem <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{{\mathcal{A}} }</math> gegeben, dass Eigenschaften <math>(A1)-(A5)</math>, dann gibt es eine Nullumgebungsbasis <math display="inline">\{U_\alpha\}_{\alpha\in {\mathcal{A}} } </math> aus kreisförmigen Mengen. ==== Beweis (A1.3) Gaugefunktionalsystem gegeben ==== Man definiert die Nullumgebungsbasis <math display="inline">\{\varepsilon \cdot U_\alpha\}_{\alpha\in {\mathcal{A}, \lambda >0} } </math> mit: :<math>U_{\alpha} := B_1^\alpha(0_A):= \left\{ x\in A \, : \, \left\| x \right\|_\alpha < 1 \right\}</math> Die Menge <math>U_{(\alpha , \varepsilon)} := \varepsilon\cdot U_\alpha \in \mathfrak{U}_{\mathcal{T}}(0_A)</math> ist eine Nullumgebung, weil <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{{\mathcal{A}} }</math> aus den [[Gaugefunktional|topologieerzeugenden Gaugefunktionalen]] der Topologie <math>\mathcal{T}</math> besteht. ==== Bemerkung (A1.4) Gaugefunktionalsystem gegeben ==== Man kann sich hier auf die 1-Umgebungen beschränken, weil das [[Gaugefunktional|Gaugefunktionalsystem]] bzgl. der <math>\varepsilon</math>-Radien ohne Einschränkung vervollständigt ist, d.h. es wurde ggf. um äquivalente Gaugefunktionale der Form <math>\| \cdot \|_{(\alpha,\varepsilon)}:=\varepsilon \cdot \| \cdot \|_{\alpha}</math> ggf. erweitert wurde. ==== Beweis (A1.5) Gaugefunktionalsystem gegeben - Nullumgebung kreiförmig ==== Ferner ist die Menge <math>U_\alpha \in \mathfrak{U}_{\mathcal{T}}(0_A)</math> [[kreisförmig]], weil mit <math>x \in U_\alpha</math>, <math>\lambda \in \mathbb{K}</math> und <math>|\lambda| \leq 1</math> mit (A3) gilt: :<math>\left\| \lambda \cdot x \right\|_{\alpha} \stackrel{(A3)}{=} |\lambda | \cdot \left\| x \right\|_{\alpha} \leq \left\| x \right\|_{\alpha}< 1</math> Also gilt mit <math>\left\| \lambda \cdot x \right\|_{\alpha} < 1</math> auch <math> \lambda \cdot x \in U_\alpha</math> und <math>U_\alpha</math> ist [[kreisförmig]]. ==== Beweis (A1.6) Gaugefunktionalsystem gegeben - Umgebungen von Vektoren ==== Für einen beliebigen Vektor <math>x_o\in A</math> definiert man die Umgebungbasis <math display="inline"> \{ B_\varepsilon^\alpha(x_o) \}_{\alpha\in {\mathcal{A}, \varepsilon >0, x_o \in A} } </math> wie folgt mit: :<math> B_\varepsilon^\alpha(x_o):= \left\{ x\in A \, : \, \left\| x - x_o \right\|_\alpha < \varepsilon \right\} </math> Die Menge <math> B_\varepsilon^\alpha(x_o) := U_\alpha \in \mathfrak{U}_{\mathcal{T}}(x)</math> ist eine Umgebung von <math>x_o</math>, weil <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{{\mathcal{A}} }</math> die [[Gaugefunktional|topologieerzeugend]] für <math>\mathcal{T}</math> ist. ==== Beweis (A1.7) Gaugefunktionalsystem gegeben ==== <math>\mathcal{T}</math> sei nun die kleinste Topologie, die von dem Mengensystem <math display="inline"> \{ B_\varepsilon^\alpha(x_o) \}_{ \alpha\in \mathcal{A}, \varepsilon > 0, x_o \in A} </math> erzeugt wird. Im weiteren Verlauf muss man nun nachweisen, dass die Multiplikation mit Skalaren, Addition und Multiplikation auf <math>(A,\mathcal{T})</math> stetig sind, wenn das Gaugefunktionalsystem gegeben ist. === Beweis (A2) Topologie gegeben === Eine topologische Algebra <math>(A,\mathcal{T})</math> ist gegeben und die '''Eigenschaft (A2)''' ist zu zeigen. ==== Beweis (A2.1) Hausdorff-Eigenschaft gegeben ==== Die topogische Algebra <math display="inline">(A,\mathcal{T})</math> nach Definition [[w:de:Hausdorffraum|Hausdorff'sch]]. Man betrachtet <math display="inline">x \in A</math> mit <math>x\not= 0_A</math>. Es gibt dann ein Umgebung <math>U_0 \in \mathfrak{U}_{\mathcal{T}}(0_A)</math> und <math>U_1 \in \mathfrak{U}_{\mathcal{T}}(x)</math> mit <math>U_0 \cap U_1 = \emptyset</math>. ==== Beweis (A2.2) Hausdorff-Eigenschaft gegeben ==== Da in einem topologischen Vektorraum (Algebra) eine Nullumgebungsbasis aus kreisförmigen Mengen <math display="inline">\{U_\alpha\}_{\alpha\in {\mathcal{A}} } </math> existiert, gibt es ein <math display="inline">\alpha\in {\mathcal{A}}</math> mit <math> U_\alpha \subseteq U_0 </math>. Da <math>U_0 \cap U_1 = \emptyset</math> und <math> x \in U_1</math> gilt, folgt <math> x \notin U_0</math> und damit über die Definition des [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Minkowski-Funktionale|Minkowski-Funktionals]] :<math display="inline">\|x\|_\alpha := \inf \{ \lambda > 0 \, : \, x \in \lambda \cdot U_\alpha \} \geq 1</math> und es gibt eine <math>\alpha \in{\mathcal{A}}</math> mit <math display="inline">\|x\|_\alpha \not= 0 </math> === Beweis (A2) Gaugefunktionalsystem gegeben === Ist umgekehrt auf einer Algebra ein topologieerzeugendes [[Gaugefunktional|Gaugefunktionalsystem]] <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{{\mathcal{A}} }</math> gegeben, dass Eigenschaften <math>(A1)-(A5)</math> erfüllt, dann ist die '''Hausdorff-Eigenschaft''' für die erzeugte Topologie <math>\mathcal{T}</math> zu zeigen. ==== Beweis (A2.3) Hausdorff-Eigenschaft nachweisen ==== Seien nun <math>x_1,x_2 \in A</math> mit <math> x_1\not= x_2 </math> beliebig gewählt. Nun verwendet man die topologieerzeugenden Gaugefunktionalen <math display="inline">\|\cdot\|_\alpha</math> mit <math>\alpha\in \mathcal{A}</math>, um zwei Umgebungen <math>U_1 \in \mathfrak{U}_{\mathcal{T}}(x_1)</math> und <math>U_2 \in \mathfrak{U}_{\mathcal{T}}(x_2)</math> zu erzeugen, für die <math>U_1 \cap U_2 = \emptyset</math> gilt. ==== Beweis (A2.4) Hausdorff-Eigenschaft - Kontraposition ==== Die Topologie der Algebra sei nun durch ein [[Gaugefunktional|Gaugefunktionalsystem]] mit den Eigenschaft (A1)-(A5) erzeugt. Man wendet nun Bedingung (A2) auf <math>x:=x_1-x_2</math> an: :<math display="inline">\displaystyle \left( \forall_{\displaystyle \alpha\in {\mathcal{A}} } : \left\| x \right\| _\alpha = 0 \right) \Longrightarrow x=0_A </math> Man erhält mit der Kontrapostion von (A2) für <math>x= x_1 - x_2 </math> ein <math>\alpha\in \mathcal{A}</math> mit <math>\left\| x_1 - x_2 \right\| _\alpha > 0 </math>, denn: :<math display="inline"> x\not= 0_A \Longrightarrow \displaystyle \left( \exists_{\displaystyle \alpha\in {\mathcal{A}} } : \left\| x \right\| _\alpha > 0 \right) </math> ==== Beweis (A2.5) Hausdorff-Eigenschaft nachweisen ==== Wir wenden nun die obige Kontraposition auf <math>x:= x_1 - x_2 \not=0 </math> an. Daher gibt es ein <math>\alpha \in \mathcal{A}</math> mit :<math> 0 < \lambda := \|x\|_\alpha = \| x_1 - x_2 \|_\alpha = |-1| \cdot \| x_1 - x_2 \|_\alpha = \| x_2 - x_1 \|_\alpha </math> Mit der Bedingung (A4) gibt es zu diesem <math>\alpha \in \mathcal{A}</math> ein <math>\beta \in \mathcal{A}</math> mit :<math>\displaystyle \forall_{\displaystyle x,y\in A} : \left\| x+y \right\| _\alpha\leq \left\| x \right\| _\beta +\left\| y \right\| _\beta </math> ==== Beweis (A2.6) Hausdorff-Eigenschaft - Definition der Umgebungen ==== Setzen nun mit <math>r := \frac{\lambda}{3}</math> die Umgebungen <math>U_1:=B_{r}^{\beta}(x_1)</math> und <math>U_2:=B_{r}^{\beta}(x_2)</math>. Wegen <math> \| x_1 - x_1 \|_\beta = 0 \le r </math> und <math> \| x_2 - x_2 \|_\beta = 0 \le r </math> gilt insbesondere <math>x_1 \in U_1</math> und <math>x_2\in U_2</math>. Um die Hausdorff-Eigenschaft nachzuweisen, ist nun noch <math> U_1 \cap U_2 = \emptyset</math> zu zeigen. ==== Beweis (A2.7) Hausdorff-Eigenschaft - Annahme - Schnitt nicht leer ==== Man nimmt nun an, dass der Schnitt <math>U_1 \cap U_2</math> nicht die leere Menge ist und damit ein <math>x_o \in U_1 \cap U_2 </math> existiert, für das gilt: :<math> \begin{array}{rcl} 0 & < & \lambda := \|x\|_\alpha = \| x_1 - x_2 \|_\alpha = \| (x_1 - x_0) + (x_0 - x_2) \|_\alpha \\ & \leq & \| x_1 - x_0 \|_\beta +\| x_0 - x_2 \|_\beta \leq \frac{\lambda}{3} + \frac{\lambda}{3} = \frac{2\cdot \lambda}{3} \end{array} </math> Widerspruch, wegen <math> 0 < \lambda < \frac{2}{3} \cdot \lambda</math>. Also gilt <math>U_1 \cap U_2 = \emptyset</math> und die Topologie der Algebra ist [[w:de:Hausdorffraum|Hausdorff'sch]]. ==== Bemerkung (A2.7) Hausdorff-Eigenschaft ==== Die Bedingung (A2) liefert also unter Ausnutzung der Bedingung (A4) die [[w:de:Hausdorffraum|Hausdorff-Eigenschaft]] der Algebra <math display="inline">A</math> . Ferner ist die [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologische_Algebra|topologische Algebra]] nach Voraussetzuung [[w:de:Hausdorffraum|Hausdorff'sch]]. Verlangt man die [[w:de:Hausdorffraum|Hausdorff-Eigenschaft]] nicht, entfällt beim Topologisierungslemma die Eigenschaft (A2). === Beweis (A3) Topologie gegeben === Eine topologische Algebra <math>(A,\mathcal{T})</math> ist gegeben und die Eigenschaften (A3) ist zu zeigen. ==== Beweis (A3.1) Stetigkeit der Multiplikation mit Skalaren gegeben ==== In einem topologischen Vektoraum <math>(A,\mathcal{T})</math> (und natürlich auch in einer topologischen Algebra) existiert eine Nullumgebungsbasis aus kreisförmigen Mengen. Betrachtet man die dazugehörigen [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Minkowski-Funktionale|Minkowski-Funktionale]], so sind diese bei kreisförmigen Mengen homogen (also [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Gaugefunktionale|Gaugefunktionale]]). Denn es gilt für beliebige <math>\varepsilon > 0</math>, <math> \lambda \in \mathbb{K}\setminus \{0\}</math> und der Kreisförmigkeit von <math>U_\alpha</math>: :<math> x \in (\|x\|_\alpha +\varepsilon) \cdot U_\alpha \, \Rightarrow \, \frac{|\lambda|}{\lambda} \cdot x \in (\|x\|_\alpha +\varepsilon) \cdot U_\alpha</math> Dies gilt wegen <math>\left| \frac{|\lambda|}{\lambda} \right| = 1 </math> ==== Beweis (A3.2) Stetigkeit der Multiplikation mit Skalaren gegeben ==== Ferner gilt für <math>\lambda \cdot x </math>, <math>\lambda \not=0</math> und <math> \lambda \cdot x \in (\|\lambda \cdot x\|_\alpha +\varepsilon) \cdot U_\alpha </math> :<math> \, |\lambda| \cdot x = \frac{|\lambda|}{\lambda}\cdot \lambda \cdot x \in (\|\lambda \cdot x\|_\alpha +\varepsilon) \cdot U_\alpha</math> Insgesamt erhält man für alle <math> x \in \left( \frac{\|\lambda \cdot x\|_\alpha +\varepsilon}{|\lambda|}\right) \cdot U_\alpha</math> und über Infimumbildung bzgl. <math>\varepsilon > 0</math> erhält man: <math>\|x\|_\alpha \leq \frac{\|\lambda \cdot x\|_\alpha}{|\lambda|}</math> bzw. <math>|\lambda| \cdot \|x\|_\alpha \leq \|\lambda \cdot x\|_\alpha</math>. ==== Beweis (A3.3) Stetigkeit der Multiplikation mit Skalaren gegeben ==== Die umgekehrte Ungleichung <math>|\lambda| \cdot \|x\|_\alpha \geq \|\lambda \cdot x\|_\alpha</math> erhält man mit der Kreisförmigkeit von <math>U_\alpha</math> und <math> \lambda \cdot x \in (\|\lambda \cdot x\|_\alpha +\varepsilon) \cdot U_\alpha </math>: :<math> |\lambda| \cdot \underbrace{\frac{\lambda}{|\lambda|} \cdot x}_{\in (\| x \|_\alpha +\varepsilon) \cdot U_\alpha} \in |\lambda| \cdot (\| x \|_\alpha +\varepsilon) \cdot U_\alpha</math> Also erhält man über die Infimumbildung von <math>\varepsilon > 0 </math> auch <math> \|\lambda \cdot x\|_\alpha \leq |\lambda| \cdot \| x \|_\alpha </math>. ==== Beweis (A3.4) Stetigkeit der Multiplikation mit Skalaren gegeben ==== Beweisschritt (A3.2) und (A3.3) zusammen liefert die Gleichheit <math>|\lambda| \cdot \|x\|_\alpha = \|\lambda \cdot x\|_\alpha</math>. === Beweis (A3) Gaugefunktionalsystem gegeben === Ist umgekehrt auf einer Algebra ein topologieerzeugendes [[Gaugefunktional|Gaugefunktionalsystem]] <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{{\mathcal{A}} }</math> gegeben, dass Eigenschaften <math>(A1)-(A5)</math> erfüllt, dann ist die Stetigkeit der Multiplikation mit Skalaren bzgl. <math>\mathcal{T}</math> zu zeigen. ==== Beweis (A3.5) Stetigkeit der Multiplikation mit Skalaren zeigen ==== Ist umgekehrt ein Nullfolge <math>(\lambda_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> und ein Netz <math>(x_i)_{i\in I}</math> gegeben, das in der Topologie <math>(A,\mathcal{T})</math> gegen den Nullvektor <math>0_A</math> konvergiert, so gilt: :<math> \displaystyle \forall_{\varepsilon > 0, \alpha \in \mathcal{A}} \exists_{n_\varepsilon \in \mathbb{N}, i_\alpha \in I} \forall_{n \geq n_\varepsilon, i \geq i_\alpha} \, : \, \, |\lambda_n | < \varepsilon \, \wedge x_i \in U_\alpha </math> Damit erhält man durch Anwendung von Bedingung (A3): :<math> \displaystyle \forall_{\varepsilon > 0, \alpha \in \mathcal{A}} \exists_{n_\varepsilon \in \mathbb{N}, i_\alpha \in I} \forall_{n \geq n_{\varepsilon}, i \geq i_\alpha} \, : \, \, \|\lambda_n \cdot x_i\|_\alpha \stackrel{(A3)}{=} |\lambda_n| \cdot \underbrace{\|x_i\|_\alpha}_{\leq 1} < \varepsilon \cdot 1 = \varepsilon </math> ==== Beweis (A3.6) Stetigkeit der Multiplikation mit Skalaren zeigen ==== Insgesamt konvergiert <math>(\lambda_n \cdot x_i)_{(n,i) \in \mathbb{N}\times I}</math> ebenfalls gegen den Nullvektor <math>0_A</math>, da für alle <math>U\in \mathfrak{U}_{\mathcal{T}}(0_A)</math> eine kreisförmige Nullumgebung <math>U_\alpha \subseteq U</math> existiert. Für diese kreisförmige Nullumgebung gibt es dann eine Indexschranke <math>i_\alpha \in I</math>, ab der alle <math> x_i \in U_\alpha \subseteq U </math> liegen mit <math>i \geq i_\alpha</math>. Für eine kreisförmige Nullumgebungsbasis aus <math>U_\alpha:= B_1^\alpha(0_A)</math> und <math>|\lambda_n| < 1 </math> liegt auch in <math>\lambda_n \cdot x_i \in U_\alpha \subset U</math> (d.h. <math> \lambda_n \cdot x_i \in U</math> mit <math>n > n_\varepsilon</math>. Die Indexschranke existiert wegen Konvergenz von <math>(\lambda_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> geben <math> 0 \in \mathbb{K}</math>. Insgesamt ist damit die Stetigkeit der Multiplikation mit Skalaren auf <math display="inline">A</math> gezeigt. === Beweis (A4) Topologie gegeben === Eine topologische Algebra <math>(A,\mathcal{T})</math> ist gegeben und die Eigenschaften (A4) ist zu zeigen. ==== Beweis (A4.1) Stetigkeit der Addition ==== Die Stetigkeit der Addition liefert: :<math display="block"> \forall_{\displaystyle U_{\alpha}\in \mathfrak{U} (0_A)} \exists_{\displaystyle U_\beta\in \mathfrak{U} (0_A)} : U_\beta + U_\beta \subset U_\alpha </math> Insbesondere gilt <math display="inline">U_\beta = U_\beta + \{0_A\} \subset U_\beta + U_\beta \subset U_\alpha</math>, weil <math>0_A \in U_\beta</math> gilt. Also erhält man mit <math display="inline">U_\beta \subset U_\alpha</math> für die entsprechenden Minkowskifunktionale auch <math display="inline">\left\| x \right\| _\alpha \leq \left\| x \right\| _\beta</math> für alle <math display="inline">x\in A</math>. D.h. man muss eine absorbierende Teilmenge <math display="inline">U_\beta</math> im Vergleich zu <math display="inline">U_\alpha</math> ggf. stärker aufblasen, um das entsprechende <math>x \in A</math> einzufangen. ==== Beweis (A4.2) Stetigkeit der Addition ==== Für <math display="inline">\left\| x \right\| _\beta = 0</math> und <math display="inline">\left\| y \right\| _\beta = 0</math> ist <math>x,y \in \lambda \cdot U_\beta</math> für alle <math>\lambda > 0</math>. Also sind insbesondere auch :<math>x+y \in \lambda \cdot U_\beta +\lambda \cdot U_\beta = \lambda \cdot (U_\beta + U_\beta) \subset \lambda \cdot U_\alpha</math> für alle <math>\lambda > 0</math>. Damit erhält man die gesuchte (Un-)Gleichung direkt mit :<math display="inline">\left\| x+y \right\|_\alpha = 0 = \underbrace{\left\| x \right\| _\beta}_{=0} + \underbrace{\left\| y \right\| _\beta}_{=0} </math> für alle <math>z\in A</math>. ==== Beweis (A4.3) Stetigkeit der Addition gegeben ==== Für <math display="inline">\left\| x \right\| _\beta \not= 0</math> und <math display="inline">\left\| y \right\| _\beta = 0</math> gilt, dass <math>y \in \lambda \cdot U_\beta</math> für alle <math>\lambda >0 </math>. Ferner gilt auch für alle <math>\varepsilon >0 </math> wegen Infimumsdefintion des Minkowski-Funktionals <math>x \in (\varepsilon + \|x\|_\beta )\cdot U_\beta</math>. ==== Beweis (A4.4) Stetigkeit der Addition gegeben ==== Man erhält die gesuchte Ungleichung mit <math>y \in \lambda \cdot U_\beta</math> für alle <math>\lambda >0 </math> :<math> \begin{array}{rcl} x+y & \in &(\varepsilon + \|x\|_\beta )\cdot U_\beta + (\underbrace{\varepsilon + \|x\|_\beta )}_{\lambda :=}\cdot U_\beta \\ & = & (\varepsilon + \|x\|_\beta )\cdot (U_\beta + U_\beta) \\ & \subseteq & (\varepsilon + \|x\|_\beta )\cdot U_\alpha \end{array} </math> für alle <math>\varepsilon >0 </math>. Also gilt auch <math>\left\| x + y \right\|_\alpha \leq \left\| x \right\| _\beta = \left\| x \right\| _\beta + \underbrace{\left\| y \right\| _\beta}_{=0} </math>. ==== Beweis (A4.5) Stetigkeit der Addition gegeben ==== Für <math display="inline">\left\| x \right\| _\beta = 0</math> oder <math display="inline">\left\| y \right\| _\beta \not= 0</math> erhält man die Aussage analog. ==== Beweis (A4.6) Stetigkeit der Addition ==== Seien nun <math display="inline">\left\| x \right\| _\beta\not=0</math> und <math display="inline">\left\| y \right\| _\beta\not= 0</math>. Nach Definition der [[Minkowski-Funktional|Minkowski-Funktionale]] für die Nullumgebungen <math display="inline">U_\alpha</math> und <math display="inline">U_\beta</math>, erhält man für jedes <math display="inline">\varepsilon > 0</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \frac{x}{\left\| x \right\| _\beta+\varepsilon} \in U_\beta \, \wedge \, \frac{y}{\left\| y \right\| _\beta+\varepsilon} \in U_\beta &\Longrightarrow& \frac{x}{\left\| x \right\| _\beta+\left\| y \right\| _\beta}, \frac{y}{\left\| x \right\| _\beta+\left\| y \right\| _\beta} \in U_\beta \\ & \Longrightarrow & \frac{x+y}{\left\| x \right\| _\beta+\left\| y \right\| _\beta} \in U_\beta + U_\beta \subset U_\alpha \\ &\Longrightarrow& \left\| \frac{x+y}{\left\| x \right\| _\beta+\left\| y \right\| _\beta} \right\| _\alpha \leq 1 \Longrightarrow \mbox{ Beh. (A4). } \end{array} </math> Dabei wird die Kreisförmigkeit bzw. Homogenität (A3) der [[Minkowski-Funktional|Minkowski-Funktionale]] aus den vorherigen Beweischritten verwendet. === Beweis (A4) Gaugefunktionalsystem gegeben === Ist umgekehrt auf einer Algebra ein topologieerzeugendes [[Gaugefunktional|Gaugefunktionalsystem]] <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{{\mathcal{A}} }</math> gegeben, dass Eigenschaften <math>(A1)-(A5)</math> erfüllt, dann ist die Stetigkeit der Addition bzgl. <math>\mathcal{T}</math> zu zeigen. ==== Beweis (A4.7) Addition - Topologisierung durch Gaugefunktionale ==== Wird umgekehrt die Topologie <math>\mathcal{T}</math> durch <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{\mathcal{A}} </math> erzeugt und gilt die Bedingung (A4), dann gilt: :<math display="block"> \forall_{\displaystyle \alpha\in {\mathcal{A}} } \exists {\beta \in {\mathcal{A}} } \forall_{\displaystyle x,y\in A} : \left\| x+y \right\| _\alpha\leq \left\| x \right\| _\beta +\left\| y \right\| _\beta, </math> ==== Beweis (A4.8) Addition - Topologisierung durch Gaugefunktionale ==== Dann ist die Addition auf <math display="inline">A</math> stetig, denn zu jeder Nullumgebung <math>U_\alpha</math> aus der kreisförmigen Nullumgebungsbasis mit <math>0 < \varepsilon < \frac{1}{2}</math>, <math display="inline">x,y\in {\rm B}^\beta_{\varepsilon}(0)=: U_\beta</math> und <math display="inline">{\rm B}^\alpha_1(0)=: U_\alpha</math> gilt: :<math display="block"> \left\| x+y \right\| _\alpha \leq \left\| x \right\| _\beta +\left\| y \right\| _\beta \leq \varepsilon + \varepsilon < \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 </math> Insgesamt gilt <math> x+y\in U_\alpha </math> und zu jeder kreisförmigen Nullumgebung <math>U_\alpha</math> gibt es <math>U_\beta \in \mathfrak{U}_{\mathcal{T}}(0_A)</math> mit <math>U_\beta + U_\beta \subseteq U_\alpha</math>. === Beweis (A5) Topologie gegeben === Eine topologische Algebra <math>(A,\mathcal{T})</math> ist gegeben und die Eigenschaften (A5) ist zu zeigen. ==== Beweis (A5.1) Multiplikation - Topologie gegeben ==== Mit der Stetigkeit der Multiplikation erhält man wie in <math display="inline">(A4)</math> erhält man :<math display="block"> \forall_{\displaystyle U_{\alpha}\in \mathfrak{U} (0)} \exists_{\displaystyle U_\beta\in \mathfrak{U} (0)} : U_\beta \cdot U_\beta = U_\beta^{^2} \subset U_\alpha </math> ==== Beweis (A5.2) Multiplikation - Topologie gegeben ==== Sei <math display="inline">\varepsilon >0</math> beliebig gewählt und die Behauptung <math display="inline">(A5)</math>, denn: :<math display="block"> \frac{x}{\left\| x \right\| _\beta+\varepsilon}\cdot \frac{y}{\left\| y \right\| _\beta+\varepsilon} \in U_\beta \cdot U_\beta = U_\beta^2 \subset U_\alpha </math> ==== Beweis (A5.3) Multiplikation - Topologie gegeben ==== Aus <math display="inline"> \frac{x}{\left\| x \right\| _\beta+\varepsilon}\cdot \frac{y}{\left\| y \right\| _\beta+\varepsilon} \in U_\alpha </math> folgt für alle <math display="inline">\varepsilon>0</math> unter Anwendung von Eigenschaft (A3), die mit obigen Beweisschritt für toplogische Algebren gilt auch: :<math display="block"> \begin{array}{rcl} \left\| \frac{x}{\left\| x \right\| _\beta+\varepsilon}\cdot \frac{y}{\left\| y \right\| _\beta+ \varepsilon } \right\| _\alpha & \leq & 1 \Longrightarrow \\ \left\| x\cdot y \right\| _\alpha & \leq & (\left\| x \right\| _\beta+\varepsilon ) \cdot (\left\| y \right\| _\beta+ \varepsilon) \end{array} </math> Da <math display="inline">\varepsilon>0</math> beliebig gewählt war, gilt auch <math display="inline">\left\| x\cdot y \right\| _\alpha\leq \left\| x \right\| _\beta\cdot \left\| y \right\| _\beta</math> für alle <math display="inline">x,y \in A</math>. === Beweis (A5) Gaugefunktionalsystem gegeben === Ist umgekehrt auf einer Algebra ein topologieerzeugendes [[Gaugefunktional|Gaugefunktionalsystem]] <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{{\mathcal{A}} }</math> gegeben, dass Eigenschaften <math>(A1)-(A5)</math> erfüllt, dann ist die Stetigkeit der Multiplikation bzgl. <math>\mathcal{T}</math> zu zeigen. ==== Beweis (A5.4) Multiplikation - Topologisierung durch Gaugefunktionale ==== Erfüllt das topologieerzeugendes [[Gaugefunktional|Gaugefunktionalsystem]] <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{{\mathcal{A}} }</math> die Bedingung (A5), so gilt: :<math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle \alpha\in {\mathcal{A}} } \exists {\beta \in {\mathcal{A}} } \forall_{\displaystyle x,y\in A} : \left\| x\cdot y \right\| _\alpha\leq \left\| x \right\| _\beta \cdot \left\| y \right\| _\beta </math> ==== Beweis (A5.5) Multiplikation - Topologisierung durch Gaugefunktionale ==== Dann erhalten wird umgekehrt mit der gleichen Definition von <math display="inline">U_\alpha</math> und <math display="inline">U_\beta</math> als offene Einheitskugeln <math>U_\alpha := B_1^\alpha (0_A)</math> und <math>U_\beta := B_\varepsilon^\beta (0_A)</math> mit <math>0 < \varepsilon < 1 </math> offene Nullumgebungen. Wir zeigen nun, dass alle <math> x, y \in U_\beta</math> das Produkt <math>x\cdot y \in U_\alpha</math> liegt. Wegen <math>\varepsilon < 1 </math> gilt insbesondere <math>U_\beta := B_\varepsilon^\beta (0_A) \subset B_1^\beta (0_A) =: U_\gamma</math> und damit ist <math>\|x\|_\beta \geq \|x\|_\gamma := p_{U_\gamma}(x)</math> (siehe Zusammenhang von Mengeninklusion und der <math>\leq</math>-Beziehung über [[Minkowski-Funktional|absorbierende Mengen]] und [[Gaugefunktional|Gaugefunktionale]]). ==== Beweis (A5.6) Nullumgebung - kreisförmige Nullumgebung ==== In der Rückrichtung von (A5) erhält man zu jeder Nullumgebung <math>U</math> eine kreiförmige Nullumgebung <math>U_\alpha</math> aus der Umgebungsbasis von kreisförmigen Mengen mit <math>U_\alpha \subset U</math>, die von einem Gaugefunktional <math>\|\cdot \|_\alpha</math> als Einheitskugel erzeugt wurde. Dies gilt, weil das Gaugefunktionalsystem <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{{\mathcal{A}} }</math> topologieerzeugend ist. Sei nun <math>x,y\in U_\beta</math> :<math> 1 > \varepsilon ^2 = \varepsilon \cdot \varepsilon \geq \|x\|_\beta \cdot \|y\|_\beta \stackrel{(A5)}{\geq} \|x\cdot y\|_\alpha</math> Man erhält also <math> \|x\cdot y\|_\alpha < 1</math> und damit <math> x\cdot y\in U_\alpha </math>. ==== Beweis (A5.7) Multiplikation - Topologisierung durch Gaugefunktionale ==== Die Stetigkeit der Multiplikation bei einer durch das System <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{\mathcal{A}} </math> erzeugten Topologie erhält man dann für eine beliebige Nullumgebung <math>U\in \mathfrak{U}_{\mathcal{T}}(0_A)</math> eine kreisförmige Nullumgebung <math>U_\alpha \subset U</math> und mit (A5) ein <math>U_\beta</math> mit :<math> U_\beta \cdot U_\beta = U_\beta^2 \subseteq U_\alpha \subseteq U </math> Damit die Multiplikation auf <math>(A,\mathcal{T})</math> stetig. === Beweisschritte (A1)-(A5) === Insgesamt wurde gezeigt, dass man bei topologischen Algebren <math>(A,\mathcal{T})</math> die Stetigkeit der Verknüpfungen auf der Algebra auch mit dem topologieerzeugenden [[Gaugefunktional|Gaugefunktionalsystem]] nachweisen kann bzw. für weiterführende Aussagen auf topologischen Algebren allein mit dem [[Gaugefunktional|Gaugefunktionalsystem]] arbeiten kann. <math>\Box</math> == Basiserzeugendes Topologisierungslemma == Sei <math display="inline">A</math> eine Algebra. <math display="inline">A</math> ist genau dann eine Hausdorff'sche topologische Algebra <math display="inline">(A,\mathcal{T})</math>, wenn die Topologie <math display="inline">\mathcal{T}</math> durch ein [[Basiserzeugendes Gaugefunktionalsystem|'''basiserzeugendes''']] [[Gaugefunktional|<math>p</math>-Gaugefunktionalsystem]] <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{{\mathcal{A}} }</math> mit (B1)-(B5) erzeugt werden kann: * (B1) <math display="inline">\displaystyle \forall_{ \alpha\in {\mathcal{A}} , x\in A} \, \left\| x \right\| _\alpha \geq 0</math> * (B2) <math display="inline">\displaystyle \left( \forall_{ \alpha\in {\mathcal{A}} } \, \left\| x \right\| _\alpha = 0 \right) \Longrightarrow x = 0_A </math> * (B3) <math display="inline">\displaystyle \forall_{ \alpha\in {\mathcal{A}} ,x\in A,\lambda\in \mathbb{K}} \, \left\| \lambda\cdot x \right\| _\alpha = |\lambda|^p \cdot \left\| x \right\| _\alpha</math> * (B4) <math display="inline">\displaystyle \forall_{ \alpha\in {\mathcal{A}} } \exists_{ \beta \in {\mathcal{A}} , K > 0 } \forall_{ x,y\in A} \, \left\| x+y \right\| _\alpha \leq K \cdot \left( \left\| x \right\| _\beta +\left\| y \right\| _\beta \right) </math> * (B5) <math display="inline">\displaystyle \forall_{ \alpha\in {\mathcal{A}} } \exists_{ \beta \in {\mathcal{A}} , M > 0 } \forall_{\displaystyle x,y\in A} \, \left\| x\cdot y \right\| _\alpha \leq M \cdot \left\| x \right\| _\beta \cdot \left\| y \right\| _\beta </math> === Bemerkung: Basiserzeugende Gaugefunktionalsystem === Ein [[Basiserzeugendes Gaugefunktionalsystem|basiserzeugendes Gaugefunktionalsystem]] hat die gleiche Funktion wie die Verwendung von <math>\varepsilon</math>-Umgebungen in der Analysis. Über die <math>\varepsilon</math>-Umgebungen in <math>\mathbb{R}</math> hat man eine Basis der Standardtopologie auf <math>\mathbb{R}</math> gegeben, über die man Konvergenz, Stetigkeit und andere topologische Eigenschaften ausdrücken kann. Dabei wurden ein analoges Vorgehen wie bei Gaugefunktionalen verwendet. :<math> x \in B_\varepsilon^{| \cdot |}(x_0) \Longleftrightarrow | x-x_0 | < \varepsilon \Longleftrightarrow x \in \, \, ]x_0 - \varepsilon,x_0 + \varepsilon [ </math> === Beweisaufgabe für Studierende === Zeigen Sie die obigen Eigenschaften (B1)-(B2) unter Verwendung der Eigenschaft des Gaugefunktionalsystems, basiserzeugend zu sein. Für jede Nullumgebung <math>U \in \mathfrak{U}_{\mathcal{T}}(0_A)</math> gibt es dann ein <math> \alpha \in \mathcal{A}</math> <math>\varepsilon > 0 </math> mit :<math> U \subseteq B_\varepsilon^{\alpha}(0_A) := \left\{ x \in A \, \colon \, \| x \|_\alpha < \varepsilon \right\} </math> == Aufgaben für Studierende == Sei <math>A:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> die Menge der stetigen Funktionen von <math>\mathbb{R}</math> nach <math>\mathbb{R}</math> mit der folgenden Addition und Multiplikation auf dem Vektorraum: * (Addition) <math>f,g \in A</math> definiert man <math>f+g</math> argumentweise <math>(f+g)(x):=f(x)+g(x)</math> für alle <math>x \in \mathbb{R}</math> * (Multiplikation) <math>f,g \in A</math> definiert man <math>f \cdot g</math> argumentweise <math>(f\cdot g)(x):=f(x)\cdot g(x)</math> für alle <math>x \in \mathbb{R}</math> Ferner definiert man ein Gaugefunktionalsystem <math>\|\cdot\|_{\mathcal{A}}</math> mit <math>\mathcal{A}:= \mathbb{R}</math> und <math>\|f\|_\alpha := |f(\alpha)|</math>. === Aufgabe 1 === Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot\|_{\mathcal{A}}</math> ein Halbnormensystem ist. === Aufgabe 2 === * Geben Sie ein <math>f \in A\setminus\{0_A\}</math> an, für das <math>\|f\|_\alpha = 0 </math> gilt für <math>\alpha = 2</math> und <math>\alpha = -2</math> an. * Geben Sie ein <math>g \in A\setminus\{0_A\}</math> an, für das <math>\|f\|_\alpha = 0 </math> gilt für <math>\alpha \in \mathbb{Z}</math> an. === Aufgabe 3 === Sei <math>K := \{ f\in A \, : \, f \mbox{ konstant } \} </math> die Menge der konstanten Funktionen in <math>A</math>, <math>K_{\varepsilon}^{\alpha} := \{ f\in K \, : \, \|f\|_\alpha < \varepsilon \wedge f \mbox{ konstant } \}</math> und <math>N_{\alpha} := \{ f\in K \, : \, \|f\|_\alpha = 0 \}</math>. Zeigen Sie, dass folgende Aussage gilt: :<math>B_{\varepsilon}^{\alpha}(f) := \{f\} + N_{\alpha} + K_{\varepsilon}^{\alpha}</math>. === Aufgabe 4 === Zeigen Sie, dass die Hausdorff-Eigenschaft (A2) in dieser topologischen Algebra gilt. Nehmen Sie an, dass <math>f,g \in A</math> mit <math>f\not= g</math> gilt und Sie damit ein <math>\alpha_o \in {\mathcal{A}}</math> finden können, in dem <math>f(\alpha_o)\not= g(\alpha_o)</math> gilt. Konstruktruieren mit den Gaugefunktionalen zwei Umgebungen <math>U_1 \in \mathfrak{U}_\mathcal{T}(f)</math> und <math>U_2 \in \mathfrak{U}_\mathcal{T}(g)</math> mit <math>U_1 \cap U_2 = \emptyset </math>. === Aufgabe 5 === Zeigen Sie, dass die Menge <math>N_{\alpha} := \{ f\in K \, : \, \|f\|_\alpha = 0 \}</math> ein [[Ideal (Algebra)|Ideal]] in [[Topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>A:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> ist. == Siehe auch == * [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Minkowski-Funktionale|Minkowski-Funktionale]] * [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Gaugefunktionale|Gaugefunktionale]] * [[Stetigkeitssequenz]] * [[Ideal (Algebra)]] * [[Topologische Algebra]] * [[Topologische Gruppe]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Konvergenz in Funktionenräumen|Konvergenz in Funktionenräumen]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologisierungslemma%20f%C3%BCr%20Algebren&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologisierungslemma%20f%C3%BCr%20Algebren&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologisierungslemma%20f%C3%BCr%20Algebren https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologisierungslemma%20f%C3%BCr%20Algebren] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologisierungslemma%20f%C3%BCr%20Algebren Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologisierungslemma%20f%C3%BCr%20Algebren * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologisierungslemma%20f%C3%BCr%20Algebren&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] [[Category:Funktionalanalysis]] <noinclude> [[en:Topologization Lemma for algebras]] </noinclude> haq5e2l6nhwn1nrl292zl0lrgfmqfg5 1118919 1118918 2026-11-05T10:39:25Z Bert Niehaus 20843 /* Hausdorff-Eigenschaft */ 1118919 wikitext text/x-wiki == Einführung == Das Topologisierungslemma für Algebren erlaubt die Beschreibung der Stetigkeit von den Verknüpfungen in einer topologischen Algebra über [[Gaugefunktional|Gaugefunktionale]]. Diese Lernressource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologisierungslemma%20f%C3%BCr%20Algebren&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Hausdorf-Raum === In dem folgenden [[Topologisierungslemma für Algebren]] liefert die [[Hausdorff-Raum|Hausdorffeigenschaft]] ein gültiges Trennungsaxiom über die Eigenschaft (T2). Für unitale [[topologische Algebra|topologische Algebren]] <math>(A,\mathcal{T}_{\!\!\!\!_A})</math> mit der [[topologischer Vektorraum|Topologie]] <math>\mathcal{T}_{\!\!\!\!_A}</math> muss die topologische Algebra zumindest das Einselement <math>e_{\!\!_A}</math> und den Nullvektor <math>0_{\!\!_A}</math> durch eine Nullumgebung trennen können, d.h., es gibt eine Nullumgebung <math>U_0\in \mathcal{T}_{\!\!\!\!_A}</math> mit <math>e_{\!\!_A}\notin U_0</math>. Diese Eigenschaften ist bei [[Hausdorff-Raum|Hausdorff-Räumen]] immer gegeben. == Topologisierungslemma für Algebren == Sei <math display="inline">A</math> eine Algebra. <math display="inline">A</math> ist genau dann eine topologische Algebra <math display="inline">(A,\mathcal{T})</math>, die die [[Hausdorff-Raum|Hausdorfeigenschaft]] erfüllt, wenn die Topologie <math display="inline">\mathcal{T}</math> durch ein Gaugefunktionalsystem <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{{\mathcal{A}} }</math> mit den Eigenschaften (A1)-(A5) erzeugt werden kann. === Charakterisierende Eigenschaften (A1)-(A5) === * (A1) <math display="inline">\displaystyle \forall_{ \alpha\in {\mathcal{A}} ,x\in A} : \left\| x \right\| _\alpha \geq 0</math> * (A2) <math display="inline">\displaystyle \left( \forall_{ \alpha\in {\mathcal{A}} } : \left\| x \right\| _\alpha = 0 \right) \Longrightarrow x=0_A </math> * (A3) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\alpha\in {\mathcal{A}} ,x\in A,\lambda\in \mathbb{K}} : \left\| \lambda\cdot x \right\| _\alpha = |\lambda|\cdot \left\| x \right\| _\alpha </math> * (A4) <math display="inline">\displaystyle \forall_{ \alpha\in {\mathcal{A}} } \exists_{ \beta \in {\mathcal{A}} } \forall_{ x,y\in A } : \left\| x+y \right\| _\alpha \leq \left\| x \right\| _\beta +\left\| y \right\| _\beta </math> * (A5) <math display="inline">\displaystyle \forall_{ \alpha\in {\mathcal{A}} } \exists_{ \beta \in {\mathcal{A}} } \forall_{ x,y\in A } : \left\| x\cdot y \right\| _\alpha \leq \left\| x \right\| _\beta \cdot \left\| y \right\| _\beta </math> == Topologisierunglemma für Vektorräume == Sei <math display="inline">V</math> eine Vektorraum. <math display="inline">V</math> ist genau dann eine topologischer Vektorraum <math display="inline">(V,\mathcal{T})</math>, der die Hausdorfeigenschaft erfüllt, wenn die Topologie <math display="inline">\mathcal{T}</math> durch ein Gaugefunktionalsystem <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{{\mathcal{A}} }</math> mit den Eigenschaften (V1)-(V4) erzeugt werden kann. === Charakterisierende Eigenschaften (V1)-(V4) === * (V1) <math display="inline">\displaystyle \forall_{ \alpha\in {\mathcal{A}} ,x\in V} : \left\| x \right\| _\alpha \geq 0</math> * (V2) <math display="inline">\displaystyle \left( \forall_{ \alpha\in {\mathcal{A}} } : \left\| x \right\| _\alpha = 0 \right) \Longrightarrow x=0_V </math> * (V3) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\alpha\in {\mathcal{A}} ,x\in V,\lambda\in \mathbb{K}} : \left\| \lambda\cdot x \right\| _\alpha = |\lambda|\cdot \left\| x \right\| _\alpha </math> * (V4) <math display="inline">\displaystyle \forall_{ \alpha\in {\mathcal{A}} } \exists_{ \beta \in {\mathcal{A}} } \forall_{ x,y\in V } : \left\| x+y \right\| _\alpha \leq \left\| x \right\| _\beta +\left\| y \right\| _\beta </math> === Bemerkung - Topologisierunglemma für topologische Vektorräume === Den topologischen Vektorräumen <math display="inline">(V,\mathcal{T})</math> fehlt die stetige innere Verknüfung der Multiplikation <math> \cdot : V\times V \to V</math>. Daher erhält man für topologische Vektorräume nur vier charakterisierende Eigenschaften (V1)-(V4). Der Beweis der Eigenschaften erfolgt analog zu den Beweis für das Topologisierungslemma für topologische Algebren. === Hausdorff-Eigenschaft === Wenn eine [[topologische Algebra|topologische Algebra]] oder ein [[topologischer Vektorraum]] die Hausdorfeigenschaft nicht erfüllt, gilt (A2) bzw. (V2) nicht und man kann zwei Punkte <math>x_1 \not= x_2</math> ebenfalls nicht mehr durch das Gaugefunktionalsystem trennen. Wenn nicht anders angegeben, sind die topologischen Algebren Hausdorff'sch. Für unitale [[topologische Algebra|topologische Algebra]] mit Einselement <math>e_{\!\!_A}</math> muss es zumindest, gibt es wenigstens ein unital positives und [[Gaugefunktionalsystem/normalisiert|normalisiertes Gaugefunktionalsystem]] <math>\|\cdot\|_\mathcal{A}</math>. == Topologisierungslemma für unitale Algebren == Sei <math display="inline">A</math> eine Algebra mit Einselement <math>e_{\!\!_A}</math>. <math display="inline">A</math> ist genau dann eine topologische Algebra <math display="inline">(A,\mathcal{T})</math>, dass Einselement <math>e_{\!\!_A}</math> und Nullvektor <math>0_{\!\!_A}</math>, wenn die Topologie <math display="inline">\mathcal{T}</math> durch ein normalisiertes Gaugefunktionalsystem <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{{\mathcal{A}} }</math> mit den Eigenschaften (U1)-(U5) erzeugt werden kann. === Charakterisierende Eigenschaften (U1)-(U5) === * (U1) <math display="inline">\displaystyle \forall_{ \alpha\in {\mathcal{A}} ,x\in A} : \left\| x \right\| _\alpha \geq 0</math> * (U2) <math display="inline">\displaystyle \forall_{ \alpha\in {\mathcal{A}} } : \left\| e_{\!\!_A} \right\| _\alpha = 1 </math> * (U3) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\alpha\in {\mathcal{A}} ,x\in A,\lambda\in \mathbb{K}} : \left\| \lambda\cdot x \right\| _\alpha = |\lambda|\cdot \left\| x \right\| _\alpha </math> * (U4) <math display="inline">\displaystyle \forall_{ \alpha\in {\mathcal{A}} } \exists_{ \beta \in {\mathcal{A}} } \forall_{ x,y\in A } : \left\| x+y \right\| _\alpha \leq \left\| x \right\| _\beta +\left\| y \right\| _\beta </math> * (U5) <math display="inline">\displaystyle \forall_{ \alpha\in {\mathcal{A}} } \exists_{ \beta \in {\mathcal{A}} } \forall_{ x,y\in A } : \left\| x\cdot y \right\| _\alpha \leq \left\| x \right\| _\beta \cdot \left\| y \right\| _\beta </math> === Bemerkung 1: Beweisstruktur === Für den Beweis muss man zwei Richtungen zeigen, * dass für eine topologische Algebra <math display="inline">(A,\mathcal{T})</math> ein System von Gaugefunktionalen <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{{\mathcal{A}} }</math> mit folgenden Eigenschaften (A1)-(A5) existiert und * umgekehrt erzeugt ein System <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{{\mathcal{A}} }</math> von Gaugefunktionalen mit (A1)-(A5) eine Topologie <math display="inline">\mathcal{T}</math> auf <math>A</math>, die <math display="inline">(A,\mathcal{T})</math> zu einer topologischen Algebra macht. === Bemerkung 2: Äquivalentes Gaugefunktionalsystem === Ohne Einschränkung verwenden wir ein Gaugefunktionalsystem, das bzgl. des Radius der <math>\varepsilon</math>-Kugeln vollständig erweitert ist. D.h. man erweitert das Gaugefunktionalsystem auch um äquivalente Gaugefunktional der Form <math>\| \cdot \|_{(\alpha,\varepsilon)}:=\varepsilon \cdot \| \cdot \|_{\alpha}</math>. Das erspart die Verwendung von Konstanten in dem folgenden Beweis. === Stetigkeit in einem Punkt === In dem Beweis geht ein, dass man bei linearen bzw. bilinearen Abbildung die Stetigkeit nur in einem Punkt (hier Nullvektor nachweisen muss, um die Stetigkeit auf dem ganzen Definitionsbereich der (bi-)linearen Abbildung nachzuweisen (siehe auch [[Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]]) == Beweisidee == Der folgende Beweis stellt für die Eigenschaften (A1)-(A5) die folgenden Beziehung zur Topologie und Mengen her. * (A1) <math display="inline">\left\| x \right\| _\alpha \geq 0</math> - Definition des Minkowski-Funktional für absorbierende Mengen * (A2) <math display="inline">\displaystyle \left( \forall_{\displaystyle \alpha\in {\mathcal{A}} } : \left\| x \right\| _\alpha = 0 \right) \Longrightarrow x=0_A </math> Hausdorff-Eigenschaft der Topologie * (A3) <math display="inline"> \left\| \lambda\cdot x \right\| _\alpha = |\lambda|\cdot \left\| x \right\| _\alpha</math> Stetigkeit der Multiplikation mit Skalaren * (A4) <math display="inline"> \left\| x+y \right\| _\alpha\leq \left\| x \right\| _\beta +\left\| y \right\| _\beta </math> Stetigkeit der Addition * (A5) <math display="inline"> \left\| x\cdot y \right\| _\alpha\leq \left\| x \right\| _\beta \cdot \left\| y \right\| _\beta </math> Stetigkeit der Multiplikation == Beweis == Topologische Vektorräume besitzen eine Nullumgebungsbasis <math display="inline">\{U_\alpha\}_{\alpha\in {\mathcal{A}} } </math> aus kreisförmigen Mengen. Man betrachtet dann als System der die [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Minkowski-Funktionale|Minkowski-Funktionale]] <math display="inline">\|\cdot \|_\alpha</math> mit <math>\alpha\in {\mathcal{A}} </math> dieser kreisförmigen Nullumgebungen <math display="inline">\{U_\alpha\}_{\alpha\in {\mathcal{A}} } </math>. Nur sind jeweils zwei Beweisrichtungen zu zeigen: * Eine topologische Algebra <math>(A\mathcal{T})</math> ist gegeben und die Eigenschaften (A1)-(A5) sind zu zeigen und umgekehrt * bei gegeben topologieerzeugenden [[Gaugefunktional|Gaugeunktionalen]] mit den Eigenschaften <math display="inline">(A1)-(A5)</math> für <math>\mathcal{T}</math> wird die Algebra zu einer topologischen Algebra. === Beweis (A1) Topologie gegeben === Eine topologische Algebra <math>(A,\mathcal{T})</math> ist gegeben und die Eigenschaften (A1) ist zu zeigen. ==== Beweis (A1.1) - Nicht-Negativität ==== Mit der kreisförmigen Nullumgebung <math display="inline">U_\alpha \in \mathfrak{U}_\mathcal{T}(0_A) </math> definiert man das Minkowskifunktional: :<math display="inline"> \|x\|_\alpha := \inf \{ \lambda > 0 \, : \, x \in \lambda \cdot U_\alpha \} </math>. ==== Beweis (A1.2) - Nicht-Negativität ==== Die Eigenschaft der Nichtnegativität folgt aus der Definition des [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Minkowski-Funktionale|Minkowski-Funktionals]], da ein Infimum über positive Zahlen gebildet wird, mit der eine absorbierende (kreisförmige) Menge <math display="inline">U_\alpha \in \mathfrak{U}_\mathcal{T}(0_A) </math> noch ein Element <math>x \in A</math> "einfängt" (<math display="inline">x \in \lambda \cdot U_\alpha</math>. Ein Infimum von positiven Zahlen ist zumindest nicht negativ (d.h. <math display="inline">0\leq \|x\|_\alpha \leq \lambda</math>). === Beweis (A1) Gaugefunktionalsystem gegeben === Ist umgekehrt auf einer Algebra ein topologieerzeugendes Gaugefunktionalsystem <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{{\mathcal{A}} }</math> gegeben, dass Eigenschaften <math>(A1)-(A5)</math>, dann gibt es eine Nullumgebungsbasis <math display="inline">\{U_\alpha\}_{\alpha\in {\mathcal{A}} } </math> aus kreisförmigen Mengen. ==== Beweis (A1.3) Gaugefunktionalsystem gegeben ==== Man definiert die Nullumgebungsbasis <math display="inline">\{\varepsilon \cdot U_\alpha\}_{\alpha\in {\mathcal{A}, \lambda >0} } </math> mit: :<math>U_{\alpha} := B_1^\alpha(0_A):= \left\{ x\in A \, : \, \left\| x \right\|_\alpha < 1 \right\}</math> Die Menge <math>U_{(\alpha , \varepsilon)} := \varepsilon\cdot U_\alpha \in \mathfrak{U}_{\mathcal{T}}(0_A)</math> ist eine Nullumgebung, weil <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{{\mathcal{A}} }</math> aus den [[Gaugefunktional|topologieerzeugenden Gaugefunktionalen]] der Topologie <math>\mathcal{T}</math> besteht. ==== Bemerkung (A1.4) Gaugefunktionalsystem gegeben ==== Man kann sich hier auf die 1-Umgebungen beschränken, weil das [[Gaugefunktional|Gaugefunktionalsystem]] bzgl. der <math>\varepsilon</math>-Radien ohne Einschränkung vervollständigt ist, d.h. es wurde ggf. um äquivalente Gaugefunktionale der Form <math>\| \cdot \|_{(\alpha,\varepsilon)}:=\varepsilon \cdot \| \cdot \|_{\alpha}</math> ggf. erweitert wurde. ==== Beweis (A1.5) Gaugefunktionalsystem gegeben - Nullumgebung kreiförmig ==== Ferner ist die Menge <math>U_\alpha \in \mathfrak{U}_{\mathcal{T}}(0_A)</math> [[kreisförmig]], weil mit <math>x \in U_\alpha</math>, <math>\lambda \in \mathbb{K}</math> und <math>|\lambda| \leq 1</math> mit (A3) gilt: :<math>\left\| \lambda \cdot x \right\|_{\alpha} \stackrel{(A3)}{=} |\lambda | \cdot \left\| x \right\|_{\alpha} \leq \left\| x \right\|_{\alpha}< 1</math> Also gilt mit <math>\left\| \lambda \cdot x \right\|_{\alpha} < 1</math> auch <math> \lambda \cdot x \in U_\alpha</math> und <math>U_\alpha</math> ist [[kreisförmig]]. ==== Beweis (A1.6) Gaugefunktionalsystem gegeben - Umgebungen von Vektoren ==== Für einen beliebigen Vektor <math>x_o\in A</math> definiert man die Umgebungbasis <math display="inline"> \{ B_\varepsilon^\alpha(x_o) \}_{\alpha\in {\mathcal{A}, \varepsilon >0, x_o \in A} } </math> wie folgt mit: :<math> B_\varepsilon^\alpha(x_o):= \left\{ x\in A \, : \, \left\| x - x_o \right\|_\alpha < \varepsilon \right\} </math> Die Menge <math> B_\varepsilon^\alpha(x_o) := U_\alpha \in \mathfrak{U}_{\mathcal{T}}(x)</math> ist eine Umgebung von <math>x_o</math>, weil <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{{\mathcal{A}} }</math> die [[Gaugefunktional|topologieerzeugend]] für <math>\mathcal{T}</math> ist. ==== Beweis (A1.7) Gaugefunktionalsystem gegeben ==== <math>\mathcal{T}</math> sei nun die kleinste Topologie, die von dem Mengensystem <math display="inline"> \{ B_\varepsilon^\alpha(x_o) \}_{ \alpha\in \mathcal{A}, \varepsilon > 0, x_o \in A} </math> erzeugt wird. Im weiteren Verlauf muss man nun nachweisen, dass die Multiplikation mit Skalaren, Addition und Multiplikation auf <math>(A,\mathcal{T})</math> stetig sind, wenn das Gaugefunktionalsystem gegeben ist. === Beweis (A2) Topologie gegeben === Eine topologische Algebra <math>(A,\mathcal{T})</math> ist gegeben und die '''Eigenschaft (A2)''' ist zu zeigen. ==== Beweis (A2.1) Hausdorff-Eigenschaft gegeben ==== Die topogische Algebra <math display="inline">(A,\mathcal{T})</math> nach Definition [[w:de:Hausdorffraum|Hausdorff'sch]]. Man betrachtet <math display="inline">x \in A</math> mit <math>x\not= 0_A</math>. Es gibt dann ein Umgebung <math>U_0 \in \mathfrak{U}_{\mathcal{T}}(0_A)</math> und <math>U_1 \in \mathfrak{U}_{\mathcal{T}}(x)</math> mit <math>U_0 \cap U_1 = \emptyset</math>. ==== Beweis (A2.2) Hausdorff-Eigenschaft gegeben ==== Da in einem topologischen Vektorraum (Algebra) eine Nullumgebungsbasis aus kreisförmigen Mengen <math display="inline">\{U_\alpha\}_{\alpha\in {\mathcal{A}} } </math> existiert, gibt es ein <math display="inline">\alpha\in {\mathcal{A}}</math> mit <math> U_\alpha \subseteq U_0 </math>. Da <math>U_0 \cap U_1 = \emptyset</math> und <math> x \in U_1</math> gilt, folgt <math> x \notin U_0</math> und damit über die Definition des [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Minkowski-Funktionale|Minkowski-Funktionals]] :<math display="inline">\|x\|_\alpha := \inf \{ \lambda > 0 \, : \, x \in \lambda \cdot U_\alpha \} \geq 1</math> und es gibt eine <math>\alpha \in{\mathcal{A}}</math> mit <math display="inline">\|x\|_\alpha \not= 0 </math> === Beweis (A2) Gaugefunktionalsystem gegeben === Ist umgekehrt auf einer Algebra ein topologieerzeugendes [[Gaugefunktional|Gaugefunktionalsystem]] <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{{\mathcal{A}} }</math> gegeben, dass Eigenschaften <math>(A1)-(A5)</math> erfüllt, dann ist die '''Hausdorff-Eigenschaft''' für die erzeugte Topologie <math>\mathcal{T}</math> zu zeigen. ==== Beweis (A2.3) Hausdorff-Eigenschaft nachweisen ==== Seien nun <math>x_1,x_2 \in A</math> mit <math> x_1\not= x_2 </math> beliebig gewählt. Nun verwendet man die topologieerzeugenden Gaugefunktionalen <math display="inline">\|\cdot\|_\alpha</math> mit <math>\alpha\in \mathcal{A}</math>, um zwei Umgebungen <math>U_1 \in \mathfrak{U}_{\mathcal{T}}(x_1)</math> und <math>U_2 \in \mathfrak{U}_{\mathcal{T}}(x_2)</math> zu erzeugen, für die <math>U_1 \cap U_2 = \emptyset</math> gilt. ==== Beweis (A2.4) Hausdorff-Eigenschaft - Kontraposition ==== Die Topologie der Algebra sei nun durch ein [[Gaugefunktional|Gaugefunktionalsystem]] mit den Eigenschaft (A1)-(A5) erzeugt. Man wendet nun Bedingung (A2) auf <math>x:=x_1-x_2</math> an: :<math display="inline">\displaystyle \left( \forall_{\displaystyle \alpha\in {\mathcal{A}} } : \left\| x \right\| _\alpha = 0 \right) \Longrightarrow x=0_A </math> Man erhält mit der Kontrapostion von (A2) für <math>x= x_1 - x_2 </math> ein <math>\alpha\in \mathcal{A}</math> mit <math>\left\| x_1 - x_2 \right\| _\alpha > 0 </math>, denn: :<math display="inline"> x\not= 0_A \Longrightarrow \displaystyle \left( \exists_{\displaystyle \alpha\in {\mathcal{A}} } : \left\| x \right\| _\alpha > 0 \right) </math> ==== Beweis (A2.5) Hausdorff-Eigenschaft nachweisen ==== Wir wenden nun die obige Kontraposition auf <math>x:= x_1 - x_2 \not=0 </math> an. Daher gibt es ein <math>\alpha \in \mathcal{A}</math> mit :<math> 0 < \lambda := \|x\|_\alpha = \| x_1 - x_2 \|_\alpha = |-1| \cdot \| x_1 - x_2 \|_\alpha = \| x_2 - x_1 \|_\alpha </math> Mit der Bedingung (A4) gibt es zu diesem <math>\alpha \in \mathcal{A}</math> ein <math>\beta \in \mathcal{A}</math> mit :<math>\displaystyle \forall_{\displaystyle x,y\in A} : \left\| x+y \right\| _\alpha\leq \left\| x \right\| _\beta +\left\| y \right\| _\beta </math> ==== Beweis (A2.6) Hausdorff-Eigenschaft - Definition der Umgebungen ==== Setzen nun mit <math>r := \frac{\lambda}{3}</math> die Umgebungen <math>U_1:=B_{r}^{\beta}(x_1)</math> und <math>U_2:=B_{r}^{\beta}(x_2)</math>. Wegen <math> \| x_1 - x_1 \|_\beta = 0 \le r </math> und <math> \| x_2 - x_2 \|_\beta = 0 \le r </math> gilt insbesondere <math>x_1 \in U_1</math> und <math>x_2\in U_2</math>. Um die Hausdorff-Eigenschaft nachzuweisen, ist nun noch <math> U_1 \cap U_2 = \emptyset</math> zu zeigen. ==== Beweis (A2.7) Hausdorff-Eigenschaft - Annahme - Schnitt nicht leer ==== Man nimmt nun an, dass der Schnitt <math>U_1 \cap U_2</math> nicht die leere Menge ist und damit ein <math>x_o \in U_1 \cap U_2 </math> existiert, für das gilt: :<math> \begin{array}{rcl} 0 & < & \lambda := \|x\|_\alpha = \| x_1 - x_2 \|_\alpha = \| (x_1 - x_0) + (x_0 - x_2) \|_\alpha \\ & \leq & \| x_1 - x_0 \|_\beta +\| x_0 - x_2 \|_\beta \leq \frac{\lambda}{3} + \frac{\lambda}{3} = \frac{2\cdot \lambda}{3} \end{array} </math> Widerspruch, wegen <math> 0 < \lambda < \frac{2}{3} \cdot \lambda</math>. Also gilt <math>U_1 \cap U_2 = \emptyset</math> und die Topologie der Algebra ist [[w:de:Hausdorffraum|Hausdorff'sch]]. ==== Bemerkung (A2.7) Hausdorff-Eigenschaft ==== Die Bedingung (A2) liefert also unter Ausnutzung der Bedingung (A4) die [[w:de:Hausdorffraum|Hausdorff-Eigenschaft]] der Algebra <math display="inline">A</math> . Ferner ist die [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologische_Algebra|topologische Algebra]] nach Voraussetzuung [[w:de:Hausdorffraum|Hausdorff'sch]]. Verlangt man die [[w:de:Hausdorffraum|Hausdorff-Eigenschaft]] nicht, entfällt beim Topologisierungslemma die Eigenschaft (A2). === Beweis (A3) Topologie gegeben === Eine topologische Algebra <math>(A,\mathcal{T})</math> ist gegeben und die Eigenschaften (A3) ist zu zeigen. ==== Beweis (A3.1) Stetigkeit der Multiplikation mit Skalaren gegeben ==== In einem topologischen Vektoraum <math>(A,\mathcal{T})</math> (und natürlich auch in einer topologischen Algebra) existiert eine Nullumgebungsbasis aus kreisförmigen Mengen. Betrachtet man die dazugehörigen [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Minkowski-Funktionale|Minkowski-Funktionale]], so sind diese bei kreisförmigen Mengen homogen (also [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Gaugefunktionale|Gaugefunktionale]]). Denn es gilt für beliebige <math>\varepsilon > 0</math>, <math> \lambda \in \mathbb{K}\setminus \{0\}</math> und der Kreisförmigkeit von <math>U_\alpha</math>: :<math> x \in (\|x\|_\alpha +\varepsilon) \cdot U_\alpha \, \Rightarrow \, \frac{|\lambda|}{\lambda} \cdot x \in (\|x\|_\alpha +\varepsilon) \cdot U_\alpha</math> Dies gilt wegen <math>\left| \frac{|\lambda|}{\lambda} \right| = 1 </math> ==== Beweis (A3.2) Stetigkeit der Multiplikation mit Skalaren gegeben ==== Ferner gilt für <math>\lambda \cdot x </math>, <math>\lambda \not=0</math> und <math> \lambda \cdot x \in (\|\lambda \cdot x\|_\alpha +\varepsilon) \cdot U_\alpha </math> :<math> \, |\lambda| \cdot x = \frac{|\lambda|}{\lambda}\cdot \lambda \cdot x \in (\|\lambda \cdot x\|_\alpha +\varepsilon) \cdot U_\alpha</math> Insgesamt erhält man für alle <math> x \in \left( \frac{\|\lambda \cdot x\|_\alpha +\varepsilon}{|\lambda|}\right) \cdot U_\alpha</math> und über Infimumbildung bzgl. <math>\varepsilon > 0</math> erhält man: <math>\|x\|_\alpha \leq \frac{\|\lambda \cdot x\|_\alpha}{|\lambda|}</math> bzw. <math>|\lambda| \cdot \|x\|_\alpha \leq \|\lambda \cdot x\|_\alpha</math>. ==== Beweis (A3.3) Stetigkeit der Multiplikation mit Skalaren gegeben ==== Die umgekehrte Ungleichung <math>|\lambda| \cdot \|x\|_\alpha \geq \|\lambda \cdot x\|_\alpha</math> erhält man mit der Kreisförmigkeit von <math>U_\alpha</math> und <math> \lambda \cdot x \in (\|\lambda \cdot x\|_\alpha +\varepsilon) \cdot U_\alpha </math>: :<math> |\lambda| \cdot \underbrace{\frac{\lambda}{|\lambda|} \cdot x}_{\in (\| x \|_\alpha +\varepsilon) \cdot U_\alpha} \in |\lambda| \cdot (\| x \|_\alpha +\varepsilon) \cdot U_\alpha</math> Also erhält man über die Infimumbildung von <math>\varepsilon > 0 </math> auch <math> \|\lambda \cdot x\|_\alpha \leq |\lambda| \cdot \| x \|_\alpha </math>. ==== Beweis (A3.4) Stetigkeit der Multiplikation mit Skalaren gegeben ==== Beweisschritt (A3.2) und (A3.3) zusammen liefert die Gleichheit <math>|\lambda| \cdot \|x\|_\alpha = \|\lambda \cdot x\|_\alpha</math>. === Beweis (A3) Gaugefunktionalsystem gegeben === Ist umgekehrt auf einer Algebra ein topologieerzeugendes [[Gaugefunktional|Gaugefunktionalsystem]] <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{{\mathcal{A}} }</math> gegeben, dass Eigenschaften <math>(A1)-(A5)</math> erfüllt, dann ist die Stetigkeit der Multiplikation mit Skalaren bzgl. <math>\mathcal{T}</math> zu zeigen. ==== Beweis (A3.5) Stetigkeit der Multiplikation mit Skalaren zeigen ==== Ist umgekehrt ein Nullfolge <math>(\lambda_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> und ein Netz <math>(x_i)_{i\in I}</math> gegeben, das in der Topologie <math>(A,\mathcal{T})</math> gegen den Nullvektor <math>0_A</math> konvergiert, so gilt: :<math> \displaystyle \forall_{\varepsilon > 0, \alpha \in \mathcal{A}} \exists_{n_\varepsilon \in \mathbb{N}, i_\alpha \in I} \forall_{n \geq n_\varepsilon, i \geq i_\alpha} \, : \, \, |\lambda_n | < \varepsilon \, \wedge x_i \in U_\alpha </math> Damit erhält man durch Anwendung von Bedingung (A3): :<math> \displaystyle \forall_{\varepsilon > 0, \alpha \in \mathcal{A}} \exists_{n_\varepsilon \in \mathbb{N}, i_\alpha \in I} \forall_{n \geq n_{\varepsilon}, i \geq i_\alpha} \, : \, \, \|\lambda_n \cdot x_i\|_\alpha \stackrel{(A3)}{=} |\lambda_n| \cdot \underbrace{\|x_i\|_\alpha}_{\leq 1} < \varepsilon \cdot 1 = \varepsilon </math> ==== Beweis (A3.6) Stetigkeit der Multiplikation mit Skalaren zeigen ==== Insgesamt konvergiert <math>(\lambda_n \cdot x_i)_{(n,i) \in \mathbb{N}\times I}</math> ebenfalls gegen den Nullvektor <math>0_A</math>, da für alle <math>U\in \mathfrak{U}_{\mathcal{T}}(0_A)</math> eine kreisförmige Nullumgebung <math>U_\alpha \subseteq U</math> existiert. Für diese kreisförmige Nullumgebung gibt es dann eine Indexschranke <math>i_\alpha \in I</math>, ab der alle <math> x_i \in U_\alpha \subseteq U </math> liegen mit <math>i \geq i_\alpha</math>. Für eine kreisförmige Nullumgebungsbasis aus <math>U_\alpha:= B_1^\alpha(0_A)</math> und <math>|\lambda_n| < 1 </math> liegt auch in <math>\lambda_n \cdot x_i \in U_\alpha \subset U</math> (d.h. <math> \lambda_n \cdot x_i \in U</math> mit <math>n > n_\varepsilon</math>. Die Indexschranke existiert wegen Konvergenz von <math>(\lambda_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> geben <math> 0 \in \mathbb{K}</math>. Insgesamt ist damit die Stetigkeit der Multiplikation mit Skalaren auf <math display="inline">A</math> gezeigt. === Beweis (A4) Topologie gegeben === Eine topologische Algebra <math>(A,\mathcal{T})</math> ist gegeben und die Eigenschaften (A4) ist zu zeigen. ==== Beweis (A4.1) Stetigkeit der Addition ==== Die Stetigkeit der Addition liefert: :<math display="block"> \forall_{\displaystyle U_{\alpha}\in \mathfrak{U} (0_A)} \exists_{\displaystyle U_\beta\in \mathfrak{U} (0_A)} : U_\beta + U_\beta \subset U_\alpha </math> Insbesondere gilt <math display="inline">U_\beta = U_\beta + \{0_A\} \subset U_\beta + U_\beta \subset U_\alpha</math>, weil <math>0_A \in U_\beta</math> gilt. Also erhält man mit <math display="inline">U_\beta \subset U_\alpha</math> für die entsprechenden Minkowskifunktionale auch <math display="inline">\left\| x \right\| _\alpha \leq \left\| x \right\| _\beta</math> für alle <math display="inline">x\in A</math>. D.h. man muss eine absorbierende Teilmenge <math display="inline">U_\beta</math> im Vergleich zu <math display="inline">U_\alpha</math> ggf. stärker aufblasen, um das entsprechende <math>x \in A</math> einzufangen. ==== Beweis (A4.2) Stetigkeit der Addition ==== Für <math display="inline">\left\| x \right\| _\beta = 0</math> und <math display="inline">\left\| y \right\| _\beta = 0</math> ist <math>x,y \in \lambda \cdot U_\beta</math> für alle <math>\lambda > 0</math>. Also sind insbesondere auch :<math>x+y \in \lambda \cdot U_\beta +\lambda \cdot U_\beta = \lambda \cdot (U_\beta + U_\beta) \subset \lambda \cdot U_\alpha</math> für alle <math>\lambda > 0</math>. Damit erhält man die gesuchte (Un-)Gleichung direkt mit :<math display="inline">\left\| x+y \right\|_\alpha = 0 = \underbrace{\left\| x \right\| _\beta}_{=0} + \underbrace{\left\| y \right\| _\beta}_{=0} </math> für alle <math>z\in A</math>. ==== Beweis (A4.3) Stetigkeit der Addition gegeben ==== Für <math display="inline">\left\| x \right\| _\beta \not= 0</math> und <math display="inline">\left\| y \right\| _\beta = 0</math> gilt, dass <math>y \in \lambda \cdot U_\beta</math> für alle <math>\lambda >0 </math>. Ferner gilt auch für alle <math>\varepsilon >0 </math> wegen Infimumsdefintion des Minkowski-Funktionals <math>x \in (\varepsilon + \|x\|_\beta )\cdot U_\beta</math>. ==== Beweis (A4.4) Stetigkeit der Addition gegeben ==== Man erhält die gesuchte Ungleichung mit <math>y \in \lambda \cdot U_\beta</math> für alle <math>\lambda >0 </math> :<math> \begin{array}{rcl} x+y & \in &(\varepsilon + \|x\|_\beta )\cdot U_\beta + (\underbrace{\varepsilon + \|x\|_\beta )}_{\lambda :=}\cdot U_\beta \\ & = & (\varepsilon + \|x\|_\beta )\cdot (U_\beta + U_\beta) \\ & \subseteq & (\varepsilon + \|x\|_\beta )\cdot U_\alpha \end{array} </math> für alle <math>\varepsilon >0 </math>. Also gilt auch <math>\left\| x + y \right\|_\alpha \leq \left\| x \right\| _\beta = \left\| x \right\| _\beta + \underbrace{\left\| y \right\| _\beta}_{=0} </math>. ==== Beweis (A4.5) Stetigkeit der Addition gegeben ==== Für <math display="inline">\left\| x \right\| _\beta = 0</math> oder <math display="inline">\left\| y \right\| _\beta \not= 0</math> erhält man die Aussage analog. ==== Beweis (A4.6) Stetigkeit der Addition ==== Seien nun <math display="inline">\left\| x \right\| _\beta\not=0</math> und <math display="inline">\left\| y \right\| _\beta\not= 0</math>. Nach Definition der [[Minkowski-Funktional|Minkowski-Funktionale]] für die Nullumgebungen <math display="inline">U_\alpha</math> und <math display="inline">U_\beta</math>, erhält man für jedes <math display="inline">\varepsilon > 0</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \frac{x}{\left\| x \right\| _\beta+\varepsilon} \in U_\beta \, \wedge \, \frac{y}{\left\| y \right\| _\beta+\varepsilon} \in U_\beta &\Longrightarrow& \frac{x}{\left\| x \right\| _\beta+\left\| y \right\| _\beta}, \frac{y}{\left\| x \right\| _\beta+\left\| y \right\| _\beta} \in U_\beta \\ & \Longrightarrow & \frac{x+y}{\left\| x \right\| _\beta+\left\| y \right\| _\beta} \in U_\beta + U_\beta \subset U_\alpha \\ &\Longrightarrow& \left\| \frac{x+y}{\left\| x \right\| _\beta+\left\| y \right\| _\beta} \right\| _\alpha \leq 1 \Longrightarrow \mbox{ Beh. (A4). } \end{array} </math> Dabei wird die Kreisförmigkeit bzw. Homogenität (A3) der [[Minkowski-Funktional|Minkowski-Funktionale]] aus den vorherigen Beweischritten verwendet. === Beweis (A4) Gaugefunktionalsystem gegeben === Ist umgekehrt auf einer Algebra ein topologieerzeugendes [[Gaugefunktional|Gaugefunktionalsystem]] <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{{\mathcal{A}} }</math> gegeben, dass Eigenschaften <math>(A1)-(A5)</math> erfüllt, dann ist die Stetigkeit der Addition bzgl. <math>\mathcal{T}</math> zu zeigen. ==== Beweis (A4.7) Addition - Topologisierung durch Gaugefunktionale ==== Wird umgekehrt die Topologie <math>\mathcal{T}</math> durch <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{\mathcal{A}} </math> erzeugt und gilt die Bedingung (A4), dann gilt: :<math display="block"> \forall_{\displaystyle \alpha\in {\mathcal{A}} } \exists {\beta \in {\mathcal{A}} } \forall_{\displaystyle x,y\in A} : \left\| x+y \right\| _\alpha\leq \left\| x \right\| _\beta +\left\| y \right\| _\beta, </math> ==== Beweis (A4.8) Addition - Topologisierung durch Gaugefunktionale ==== Dann ist die Addition auf <math display="inline">A</math> stetig, denn zu jeder Nullumgebung <math>U_\alpha</math> aus der kreisförmigen Nullumgebungsbasis mit <math>0 < \varepsilon < \frac{1}{2}</math>, <math display="inline">x,y\in {\rm B}^\beta_{\varepsilon}(0)=: U_\beta</math> und <math display="inline">{\rm B}^\alpha_1(0)=: U_\alpha</math> gilt: :<math display="block"> \left\| x+y \right\| _\alpha \leq \left\| x \right\| _\beta +\left\| y \right\| _\beta \leq \varepsilon + \varepsilon < \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 </math> Insgesamt gilt <math> x+y\in U_\alpha </math> und zu jeder kreisförmigen Nullumgebung <math>U_\alpha</math> gibt es <math>U_\beta \in \mathfrak{U}_{\mathcal{T}}(0_A)</math> mit <math>U_\beta + U_\beta \subseteq U_\alpha</math>. === Beweis (A5) Topologie gegeben === Eine topologische Algebra <math>(A,\mathcal{T})</math> ist gegeben und die Eigenschaften (A5) ist zu zeigen. ==== Beweis (A5.1) Multiplikation - Topologie gegeben ==== Mit der Stetigkeit der Multiplikation erhält man wie in <math display="inline">(A4)</math> erhält man :<math display="block"> \forall_{\displaystyle U_{\alpha}\in \mathfrak{U} (0)} \exists_{\displaystyle U_\beta\in \mathfrak{U} (0)} : U_\beta \cdot U_\beta = U_\beta^{^2} \subset U_\alpha </math> ==== Beweis (A5.2) Multiplikation - Topologie gegeben ==== Sei <math display="inline">\varepsilon >0</math> beliebig gewählt und die Behauptung <math display="inline">(A5)</math>, denn: :<math display="block"> \frac{x}{\left\| x \right\| _\beta+\varepsilon}\cdot \frac{y}{\left\| y \right\| _\beta+\varepsilon} \in U_\beta \cdot U_\beta = U_\beta^2 \subset U_\alpha </math> ==== Beweis (A5.3) Multiplikation - Topologie gegeben ==== Aus <math display="inline"> \frac{x}{\left\| x \right\| _\beta+\varepsilon}\cdot \frac{y}{\left\| y \right\| _\beta+\varepsilon} \in U_\alpha </math> folgt für alle <math display="inline">\varepsilon>0</math> unter Anwendung von Eigenschaft (A3), die mit obigen Beweisschritt für toplogische Algebren gilt auch: :<math display="block"> \begin{array}{rcl} \left\| \frac{x}{\left\| x \right\| _\beta+\varepsilon}\cdot \frac{y}{\left\| y \right\| _\beta+ \varepsilon } \right\| _\alpha & \leq & 1 \Longrightarrow \\ \left\| x\cdot y \right\| _\alpha & \leq & (\left\| x \right\| _\beta+\varepsilon ) \cdot (\left\| y \right\| _\beta+ \varepsilon) \end{array} </math> Da <math display="inline">\varepsilon>0</math> beliebig gewählt war, gilt auch <math display="inline">\left\| x\cdot y \right\| _\alpha\leq \left\| x \right\| _\beta\cdot \left\| y \right\| _\beta</math> für alle <math display="inline">x,y \in A</math>. === Beweis (A5) Gaugefunktionalsystem gegeben === Ist umgekehrt auf einer Algebra ein topologieerzeugendes [[Gaugefunktional|Gaugefunktionalsystem]] <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{{\mathcal{A}} }</math> gegeben, dass Eigenschaften <math>(A1)-(A5)</math> erfüllt, dann ist die Stetigkeit der Multiplikation bzgl. <math>\mathcal{T}</math> zu zeigen. ==== Beweis (A5.4) Multiplikation - Topologisierung durch Gaugefunktionale ==== Erfüllt das topologieerzeugendes [[Gaugefunktional|Gaugefunktionalsystem]] <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{{\mathcal{A}} }</math> die Bedingung (A5), so gilt: :<math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle \alpha\in {\mathcal{A}} } \exists {\beta \in {\mathcal{A}} } \forall_{\displaystyle x,y\in A} : \left\| x\cdot y \right\| _\alpha\leq \left\| x \right\| _\beta \cdot \left\| y \right\| _\beta </math> ==== Beweis (A5.5) Multiplikation - Topologisierung durch Gaugefunktionale ==== Dann erhalten wird umgekehrt mit der gleichen Definition von <math display="inline">U_\alpha</math> und <math display="inline">U_\beta</math> als offene Einheitskugeln <math>U_\alpha := B_1^\alpha (0_A)</math> und <math>U_\beta := B_\varepsilon^\beta (0_A)</math> mit <math>0 < \varepsilon < 1 </math> offene Nullumgebungen. Wir zeigen nun, dass alle <math> x, y \in U_\beta</math> das Produkt <math>x\cdot y \in U_\alpha</math> liegt. Wegen <math>\varepsilon < 1 </math> gilt insbesondere <math>U_\beta := B_\varepsilon^\beta (0_A) \subset B_1^\beta (0_A) =: U_\gamma</math> und damit ist <math>\|x\|_\beta \geq \|x\|_\gamma := p_{U_\gamma}(x)</math> (siehe Zusammenhang von Mengeninklusion und der <math>\leq</math>-Beziehung über [[Minkowski-Funktional|absorbierende Mengen]] und [[Gaugefunktional|Gaugefunktionale]]). ==== Beweis (A5.6) Nullumgebung - kreisförmige Nullumgebung ==== In der Rückrichtung von (A5) erhält man zu jeder Nullumgebung <math>U</math> eine kreiförmige Nullumgebung <math>U_\alpha</math> aus der Umgebungsbasis von kreisförmigen Mengen mit <math>U_\alpha \subset U</math>, die von einem Gaugefunktional <math>\|\cdot \|_\alpha</math> als Einheitskugel erzeugt wurde. Dies gilt, weil das Gaugefunktionalsystem <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{{\mathcal{A}} }</math> topologieerzeugend ist. Sei nun <math>x,y\in U_\beta</math> :<math> 1 > \varepsilon ^2 = \varepsilon \cdot \varepsilon \geq \|x\|_\beta \cdot \|y\|_\beta \stackrel{(A5)}{\geq} \|x\cdot y\|_\alpha</math> Man erhält also <math> \|x\cdot y\|_\alpha < 1</math> und damit <math> x\cdot y\in U_\alpha </math>. ==== Beweis (A5.7) Multiplikation - Topologisierung durch Gaugefunktionale ==== Die Stetigkeit der Multiplikation bei einer durch das System <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{\mathcal{A}} </math> erzeugten Topologie erhält man dann für eine beliebige Nullumgebung <math>U\in \mathfrak{U}_{\mathcal{T}}(0_A)</math> eine kreisförmige Nullumgebung <math>U_\alpha \subset U</math> und mit (A5) ein <math>U_\beta</math> mit :<math> U_\beta \cdot U_\beta = U_\beta^2 \subseteq U_\alpha \subseteq U </math> Damit die Multiplikation auf <math>(A,\mathcal{T})</math> stetig. === Beweisschritte (A1)-(A5) === Insgesamt wurde gezeigt, dass man bei topologischen Algebren <math>(A,\mathcal{T})</math> die Stetigkeit der Verknüpfungen auf der Algebra auch mit dem topologieerzeugenden [[Gaugefunktional|Gaugefunktionalsystem]] nachweisen kann bzw. für weiterführende Aussagen auf topologischen Algebren allein mit dem [[Gaugefunktional|Gaugefunktionalsystem]] arbeiten kann. <math>\Box</math> == Basiserzeugendes Topologisierungslemma == Sei <math display="inline">A</math> eine Algebra. <math display="inline">A</math> ist genau dann eine Hausdorff'sche topologische Algebra <math display="inline">(A,\mathcal{T})</math>, wenn die Topologie <math display="inline">\mathcal{T}</math> durch ein [[Basiserzeugendes Gaugefunktionalsystem|'''basiserzeugendes''']] [[Gaugefunktional|<math>p</math>-Gaugefunktionalsystem]] <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{{\mathcal{A}} }</math> mit (B1)-(B5) erzeugt werden kann: * (B1) <math display="inline">\displaystyle \forall_{ \alpha\in {\mathcal{A}} , x\in A} \, \left\| x \right\| _\alpha \geq 0</math> * (B2) <math display="inline">\displaystyle \left( \forall_{ \alpha\in {\mathcal{A}} } \, \left\| x \right\| _\alpha = 0 \right) \Longrightarrow x = 0_A </math> * (B3) <math display="inline">\displaystyle \forall_{ \alpha\in {\mathcal{A}} ,x\in A,\lambda\in \mathbb{K}} \, \left\| \lambda\cdot x \right\| _\alpha = |\lambda|^p \cdot \left\| x \right\| _\alpha</math> * (B4) <math display="inline">\displaystyle \forall_{ \alpha\in {\mathcal{A}} } \exists_{ \beta \in {\mathcal{A}} , K > 0 } \forall_{ x,y\in A} \, \left\| x+y \right\| _\alpha \leq K \cdot \left( \left\| x \right\| _\beta +\left\| y \right\| _\beta \right) </math> * (B5) <math display="inline">\displaystyle \forall_{ \alpha\in {\mathcal{A}} } \exists_{ \beta \in {\mathcal{A}} , M > 0 } \forall_{\displaystyle x,y\in A} \, \left\| x\cdot y \right\| _\alpha \leq M \cdot \left\| x \right\| _\beta \cdot \left\| y \right\| _\beta </math> === Bemerkung: Basiserzeugende Gaugefunktionalsystem === Ein [[Basiserzeugendes Gaugefunktionalsystem|basiserzeugendes Gaugefunktionalsystem]] hat die gleiche Funktion wie die Verwendung von <math>\varepsilon</math>-Umgebungen in der Analysis. Über die <math>\varepsilon</math>-Umgebungen in <math>\mathbb{R}</math> hat man eine Basis der Standardtopologie auf <math>\mathbb{R}</math> gegeben, über die man Konvergenz, Stetigkeit und andere topologische Eigenschaften ausdrücken kann. Dabei wurden ein analoges Vorgehen wie bei Gaugefunktionalen verwendet. :<math> x \in B_\varepsilon^{| \cdot |}(x_0) \Longleftrightarrow | x-x_0 | < \varepsilon \Longleftrightarrow x \in \, \, ]x_0 - \varepsilon,x_0 + \varepsilon [ </math> === Beweisaufgabe für Studierende === Zeigen Sie die obigen Eigenschaften (B1)-(B2) unter Verwendung der Eigenschaft des Gaugefunktionalsystems, basiserzeugend zu sein. Für jede Nullumgebung <math>U \in \mathfrak{U}_{\mathcal{T}}(0_A)</math> gibt es dann ein <math> \alpha \in \mathcal{A}</math> <math>\varepsilon > 0 </math> mit :<math> U \subseteq B_\varepsilon^{\alpha}(0_A) := \left\{ x \in A \, \colon \, \| x \|_\alpha < \varepsilon \right\} </math> == Aufgaben für Studierende == Sei <math>A:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> die Menge der stetigen Funktionen von <math>\mathbb{R}</math> nach <math>\mathbb{R}</math> mit der folgenden Addition und Multiplikation auf dem Vektorraum: * (Addition) <math>f,g \in A</math> definiert man <math>f+g</math> argumentweise <math>(f+g)(x):=f(x)+g(x)</math> für alle <math>x \in \mathbb{R}</math> * (Multiplikation) <math>f,g \in A</math> definiert man <math>f \cdot g</math> argumentweise <math>(f\cdot g)(x):=f(x)\cdot g(x)</math> für alle <math>x \in \mathbb{R}</math> Ferner definiert man ein Gaugefunktionalsystem <math>\|\cdot\|_{\mathcal{A}}</math> mit <math>\mathcal{A}:= \mathbb{R}</math> und <math>\|f\|_\alpha := |f(\alpha)|</math>. === Aufgabe 1 === Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot\|_{\mathcal{A}}</math> ein Halbnormensystem ist. === Aufgabe 2 === * Geben Sie ein <math>f \in A\setminus\{0_A\}</math> an, für das <math>\|f\|_\alpha = 0 </math> gilt für <math>\alpha = 2</math> und <math>\alpha = -2</math> an. * Geben Sie ein <math>g \in A\setminus\{0_A\}</math> an, für das <math>\|f\|_\alpha = 0 </math> gilt für <math>\alpha \in \mathbb{Z}</math> an. === Aufgabe 3 === Sei <math>K := \{ f\in A \, : \, f \mbox{ konstant } \} </math> die Menge der konstanten Funktionen in <math>A</math>, <math>K_{\varepsilon}^{\alpha} := \{ f\in K \, : \, \|f\|_\alpha < \varepsilon \wedge f \mbox{ konstant } \}</math> und <math>N_{\alpha} := \{ f\in K \, : \, \|f\|_\alpha = 0 \}</math>. Zeigen Sie, dass folgende Aussage gilt: :<math>B_{\varepsilon}^{\alpha}(f) := \{f\} + N_{\alpha} + K_{\varepsilon}^{\alpha}</math>. === Aufgabe 4 === Zeigen Sie, dass die Hausdorff-Eigenschaft (A2) in dieser topologischen Algebra gilt. Nehmen Sie an, dass <math>f,g \in A</math> mit <math>f\not= g</math> gilt und Sie damit ein <math>\alpha_o \in {\mathcal{A}}</math> finden können, in dem <math>f(\alpha_o)\not= g(\alpha_o)</math> gilt. Konstruktruieren mit den Gaugefunktionalen zwei Umgebungen <math>U_1 \in \mathfrak{U}_\mathcal{T}(f)</math> und <math>U_2 \in \mathfrak{U}_\mathcal{T}(g)</math> mit <math>U_1 \cap U_2 = \emptyset </math>. === Aufgabe 5 === Zeigen Sie, dass die Menge <math>N_{\alpha} := \{ f\in K \, : \, \|f\|_\alpha = 0 \}</math> ein [[Ideal (Algebra)|Ideal]] in [[Topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>A:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> ist. == Siehe auch == * [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Minkowski-Funktionale|Minkowski-Funktionale]] * [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Gaugefunktionale|Gaugefunktionale]] * [[Stetigkeitssequenz]] * [[Ideal (Algebra)]] * [[Topologische Algebra]] * [[Topologische Gruppe]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Konvergenz in Funktionenräumen|Konvergenz in Funktionenräumen]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologisierungslemma%20f%C3%BCr%20Algebren&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologisierungslemma%20f%C3%BCr%20Algebren&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologisierungslemma%20f%C3%BCr%20Algebren https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologisierungslemma%20f%C3%BCr%20Algebren] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologisierungslemma%20f%C3%BCr%20Algebren Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologisierungslemma%20f%C3%BCr%20Algebren * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologisierungslemma%20f%C3%BCr%20Algebren&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] [[Category:Funktionalanalysis]] <noinclude> [[en:Topologization Lemma for algebras]] </noinclude> l89zgn74atyh8c3s7ytlb87p21vltsa 1118920 1118919 2026-11-05T10:40:28Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1118920 wikitext text/x-wiki == Einführung == Das Topologisierungslemma für Algebren erlaubt die Beschreibung der Stetigkeit von den Verknüpfungen in einer topologischen Algebra über [[Gaugefunktional|Gaugefunktionale]]. Diese Lernressource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologisierungslemma%20f%C3%BCr%20Algebren&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Hausdorf-Raum === In dem folgenden [[Topologisierungslemma für Algebren]] liefert die [[Hausdorff-Raum|Hausdorffeigenschaft]] ein gültiges Trennungsaxiom über die Eigenschaft (T2). Für unitale [[topologische Algebra|topologische Algebren]] <math>(A,\mathcal{T}_{\!\!\!\!_A})</math> mit der [[topologischer Vektorraum|Topologie]] <math>\mathcal{T}_{\!\!\!\!_A}</math> muss die topologische Algebra zumindest das Einselement <math>e_{\!\!_A}</math> und den Nullvektor <math>0_{\!\!_A}</math> durch eine Nullumgebung trennen können, d.h., es gibt eine Nullumgebung <math>U_0\in \mathcal{T}_{\!\!\!\!_A}</math> mit <math>e_{\!\!_A}\notin U_0</math>. Diese Eigenschaften ist bei [[Hausdorff-Raum|Hausdorff-Räumen]] immer gegeben. == Topologisierungslemma für Algebren == Sei <math display="inline">A</math> eine Algebra. <math display="inline">A</math> ist genau dann eine topologische Algebra <math display="inline">(A,\mathcal{T})</math>, die die [[Hausdorff-Raum|Hausdorfeigenschaft]] erfüllt, wenn die Topologie <math display="inline">\mathcal{T}</math> durch ein Gaugefunktionalsystem <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{{\mathcal{A}} }</math> mit den Eigenschaften (A1)-(A5) erzeugt werden kann. === Charakterisierende Eigenschaften (A1)-(A5) === * (A1) <math display="inline">\displaystyle \forall_{ \alpha\in {\mathcal{A}} ,x\in A} : \left\| x \right\| _\alpha \geq 0</math> * (A2) <math display="inline">\displaystyle \left( \forall_{ \alpha\in {\mathcal{A}} } : \left\| x \right\| _\alpha = 0 \right) \Longrightarrow x=0_A </math> * (A3) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\alpha\in {\mathcal{A}} ,x\in A,\lambda\in \mathbb{K}} : \left\| \lambda\cdot x \right\| _\alpha = |\lambda|\cdot \left\| x \right\| _\alpha </math> * (A4) <math display="inline">\displaystyle \forall_{ \alpha\in {\mathcal{A}} } \exists_{ \beta \in {\mathcal{A}} } \forall_{ x,y\in A } : \left\| x+y \right\| _\alpha \leq \left\| x \right\| _\beta +\left\| y \right\| _\beta </math> * (A5) <math display="inline">\displaystyle \forall_{ \alpha\in {\mathcal{A}} } \exists_{ \beta \in {\mathcal{A}} } \forall_{ x,y\in A } : \left\| x\cdot y \right\| _\alpha \leq \left\| x \right\| _\beta \cdot \left\| y \right\| _\beta </math> == Topologisierunglemma für Vektorräume == Sei <math display="inline">V</math> eine Vektorraum. <math display="inline">V</math> ist genau dann eine topologischer Vektorraum <math display="inline">(V,\mathcal{T})</math>, der die Hausdorfeigenschaft erfüllt, wenn die Topologie <math display="inline">\mathcal{T}</math> durch ein Gaugefunktionalsystem <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{{\mathcal{A}} }</math> mit den Eigenschaften (V1)-(V4) erzeugt werden kann. === Charakterisierende Eigenschaften (V1)-(V4) === * (V1) <math display="inline">\displaystyle \forall_{ \alpha\in {\mathcal{A}} ,x\in V} : \left\| x \right\| _\alpha \geq 0</math> * (V2) <math display="inline">\displaystyle \left( \forall_{ \alpha\in {\mathcal{A}} } : \left\| x \right\| _\alpha = 0 \right) \Longrightarrow x=0_V </math> * (V3) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\alpha\in {\mathcal{A}} ,x\in V,\lambda\in \mathbb{K}} : \left\| \lambda\cdot x \right\| _\alpha = |\lambda|\cdot \left\| x \right\| _\alpha </math> * (V4) <math display="inline">\displaystyle \forall_{ \alpha\in {\mathcal{A}} } \exists_{ \beta \in {\mathcal{A}} } \forall_{ x,y\in V } : \left\| x+y \right\| _\alpha \leq \left\| x \right\| _\beta +\left\| y \right\| _\beta </math> === Bemerkung - Topologisierunglemma für topologische Vektorräume === Den topologischen Vektorräumen <math display="inline">(V,\mathcal{T})</math> fehlt die stetige innere Verknüfung der Multiplikation <math> \cdot : V\times V \to V</math>. Daher erhält man für topologische Vektorräume nur vier charakterisierende Eigenschaften (V1)-(V4). Der Beweis der Eigenschaften erfolgt analog zu den Beweis für das Topologisierungslemma für topologische Algebren. === Hausdorff-Eigenschaft === Wenn eine [[topologische Algebra|topologische Algebra]] oder ein [[topologischer Vektorraum]] die Hausdorfeigenschaft nicht erfüllt, gilt (A2) bzw. (V2) nicht und man kann zwei Punkte <math>x_1 \not= x_2</math> ebenfalls nicht mehr durch das Gaugefunktionalsystem trennen. Wenn nicht anders angegeben, sind die topologischen Algebren Hausdorff'sch. Für unitale [[topologische Algebra|topologische Algebra]] mit Einselement <math>e_{\!\!_A}</math> muss es zumindest, gibt es wenigstens ein unital positives und [[Gaugefunktionalsystem/normalisiert|normalisiertes Gaugefunktionalsystem]] <math>\|\cdot\|_\mathcal{A}</math>. == Topologisierungslemma für unitale Algebren == Sei <math display="inline">A</math> eine Algebra mit Einselement <math>e_{\!\!_A}</math>. <math display="inline">A</math> ist genau dann eine topologische Algebra <math display="inline">(A,\mathcal{T})</math>, dass Einselement <math>e_{\!\!_A}</math> und Nullvektor <math>0_{\!\!_A}</math>, wenn die Topologie <math display="inline">\mathcal{T}</math> durch ein normalisiertes Gaugefunktionalsystem <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{{\mathcal{A}} }</math> mit den Eigenschaften (U1)-(U5) erzeugt werden kann. === Charakterisierende Eigenschaften (U1)-(U5) === * (U1) <math display="inline">\displaystyle \forall_{ \alpha\in {\mathcal{A}} ,x\in A} : \left\| x \right\| _\alpha \geq 0</math> * (U2) <math display="inline">\displaystyle \forall_{ \alpha\in {\mathcal{A}} } : \left\| e_{\!\!_A} \right\| _\alpha = 1 </math> * (U3) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\alpha\in {\mathcal{A}} ,x\in A,\lambda\in \mathbb{K}} : \left\| \lambda\cdot x \right\| _\alpha = |\lambda|\cdot \left\| x \right\| _\alpha </math> * (U4) <math display="inline">\displaystyle \forall_{ \alpha\in {\mathcal{A}} } \exists_{ \beta \in {\mathcal{A}} } \forall_{ x,y\in A } : \left\| x+y \right\| _\alpha \leq \left\| x \right\| _\beta +\left\| y \right\| _\beta </math> * (U5) <math display="inline">\displaystyle \forall_{ \alpha\in {\mathcal{A}} } \exists_{ \beta \in {\mathcal{A}} } \forall_{ x,y\in A } : \left\| x\cdot y \right\| _\alpha \leq \left\| x \right\| _\beta \cdot \left\| y \right\| _\beta </math> === Bemerkung 1: Beweisstruktur === Für den Beweis muss man zwei Richtungen zeigen, * dass für eine topologische Algebra <math display="inline">(A,\mathcal{T})</math> ein System von Gaugefunktionalen <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{{\mathcal{A}} }</math> mit folgenden Eigenschaften (A1)-(A5) existiert und * umgekehrt erzeugt ein System <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{{\mathcal{A}} }</math> von Gaugefunktionalen mit (A1)-(A5) eine Topologie <math display="inline">\mathcal{T}</math> auf <math>A</math>, die <math display="inline">(A,\mathcal{T})</math> zu einer topologischen Algebra macht. === Bemerkung 2: Äquivalentes Gaugefunktionalsystem === Ohne Einschränkung verwenden wir ein Gaugefunktionalsystem, das bzgl. des Radius der <math>\varepsilon</math>-Kugeln vollständig erweitert ist. D.h. man erweitert das Gaugefunktionalsystem auch um äquivalente Gaugefunktional der Form <math>\| \cdot \|_{(\alpha,\varepsilon)}:=\varepsilon \cdot \| \cdot \|_{\alpha}</math>. Das erspart die Verwendung von Konstanten in dem folgenden Beweis. === Stetigkeit in einem Punkt === In dem Beweis geht ein, dass man bei linearen bzw. bilinearen Abbildung die Stetigkeit nur in einem Punkt (hier Nullvektor nachweisen muss, um die Stetigkeit auf dem ganzen Definitionsbereich der (bi-)linearen Abbildung nachzuweisen (siehe auch [[Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]]) == Beweisidee == Der folgende Beweis stellt für die Eigenschaften (A1)-(A5) die folgenden Beziehung zur Topologie und Mengen her. * (A1) <math display="inline">\left\| x \right\| _\alpha \geq 0</math> - Definition des Minkowski-Funktional für absorbierende Mengen * (A2) <math display="inline">\displaystyle \left( \forall_{\displaystyle \alpha\in {\mathcal{A}} } : \left\| x \right\| _\alpha = 0 \right) \Longrightarrow x=0_A </math> Hausdorff-Eigenschaft der Topologie * (A3) <math display="inline"> \left\| \lambda\cdot x \right\| _\alpha = |\lambda|\cdot \left\| x \right\| _\alpha</math> Stetigkeit der Multiplikation mit Skalaren * (A4) <math display="inline"> \left\| x+y \right\| _\alpha\leq \left\| x \right\| _\beta +\left\| y \right\| _\beta </math> Stetigkeit der Addition * (A5) <math display="inline"> \left\| x\cdot y \right\| _\alpha\leq \left\| x \right\| _\beta \cdot \left\| y \right\| _\beta </math> Stetigkeit der Multiplikation == Beweis == Topologische Vektorräume besitzen eine Nullumgebungsbasis <math display="inline">\{U_\alpha\}_{\alpha\in {\mathcal{A}} } </math> aus kreisförmigen Mengen. Man betrachtet dann als System der die [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Minkowski-Funktionale|Minkowski-Funktionale]] <math display="inline">\|\cdot \|_\alpha</math> mit <math>\alpha\in {\mathcal{A}} </math> dieser kreisförmigen Nullumgebungen <math display="inline">\{U_\alpha\}_{\alpha\in {\mathcal{A}} } </math>. Nur sind jeweils zwei Beweisrichtungen zu zeigen: * Eine topologische Algebra <math>(A\mathcal{T})</math> ist gegeben und die Eigenschaften (A1)-(A5) sind zu zeigen und umgekehrt * bei gegeben topologieerzeugenden [[Gaugefunktional|Gaugeunktionalen]] mit den Eigenschaften <math display="inline">(A1)-(A5)</math> für <math>\mathcal{T}</math> wird die Algebra zu einer topologischen Algebra. === Beweis (A1) Topologie gegeben === Eine topologische Algebra <math>(A,\mathcal{T})</math> ist gegeben und die Eigenschaften (A1) ist zu zeigen. ==== Beweis (A1.1) - Nicht-Negativität ==== Mit der kreisförmigen Nullumgebung <math display="inline">U_\alpha \in \mathfrak{U}_\mathcal{T}(0_A) </math> definiert man das Minkowskifunktional: :<math display="inline"> \|x\|_\alpha := \inf \{ \lambda > 0 \, : \, x \in \lambda \cdot U_\alpha \} </math>. ==== Beweis (A1.2) - Nicht-Negativität ==== Die Eigenschaft der Nichtnegativität folgt aus der Definition des [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Minkowski-Funktionale|Minkowski-Funktionals]], da ein Infimum über positive Zahlen gebildet wird, mit der eine absorbierende (kreisförmige) Menge <math display="inline">U_\alpha \in \mathfrak{U}_\mathcal{T}(0_A) </math> noch ein Element <math>x \in A</math> "einfängt" (<math display="inline">x \in \lambda \cdot U_\alpha</math>. Ein Infimum von positiven Zahlen ist zumindest nicht negativ (d.h. <math display="inline">0\leq \|x\|_\alpha \leq \lambda</math>). === Beweis (A1) Gaugefunktionalsystem gegeben === Ist umgekehrt auf einer Algebra ein topologieerzeugendes Gaugefunktionalsystem <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{{\mathcal{A}} }</math> gegeben, dass Eigenschaften <math>(A1)-(A5)</math>, dann gibt es eine Nullumgebungsbasis <math display="inline">\{U_\alpha\}_{\alpha\in {\mathcal{A}} } </math> aus kreisförmigen Mengen. ==== Beweis (A1.3) Gaugefunktionalsystem gegeben ==== Man definiert die Nullumgebungsbasis <math display="inline">\{\varepsilon \cdot U_\alpha\}_{\alpha\in {\mathcal{A}, \lambda >0} } </math> mit: :<math>U_{\alpha} := B_1^\alpha(0_A):= \left\{ x\in A \, : \, \left\| x \right\|_\alpha < 1 \right\}</math> Die Menge <math>U_{(\alpha , \varepsilon)} := \varepsilon\cdot U_\alpha \in \mathfrak{U}_{\mathcal{T}}(0_A)</math> ist eine Nullumgebung, weil <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{{\mathcal{A}} }</math> aus den [[Gaugefunktional|topologieerzeugenden Gaugefunktionalen]] der Topologie <math>\mathcal{T}</math> besteht. ==== Bemerkung (A1.4) Gaugefunktionalsystem gegeben ==== Man kann sich hier auf die 1-Umgebungen beschränken, weil das [[Gaugefunktional|Gaugefunktionalsystem]] bzgl. der <math>\varepsilon</math>-Radien ohne Einschränkung vervollständigt ist, d.h. es wurde ggf. um äquivalente Gaugefunktionale der Form <math>\| \cdot \|_{(\alpha,\varepsilon)}:=\varepsilon \cdot \| \cdot \|_{\alpha}</math> ggf. erweitert wurde. ==== Beweis (A1.5) Gaugefunktionalsystem gegeben - Nullumgebung kreiförmig ==== Ferner ist die Menge <math>U_\alpha \in \mathfrak{U}_{\mathcal{T}}(0_A)</math> [[kreisförmig]], weil mit <math>x \in U_\alpha</math>, <math>\lambda \in \mathbb{K}</math> und <math>|\lambda| \leq 1</math> mit (A3) gilt: :<math>\left\| \lambda \cdot x \right\|_{\alpha} \stackrel{(A3)}{=} |\lambda | \cdot \left\| x \right\|_{\alpha} \leq \left\| x \right\|_{\alpha}< 1</math> Also gilt mit <math>\left\| \lambda \cdot x \right\|_{\alpha} < 1</math> auch <math> \lambda \cdot x \in U_\alpha</math> und <math>U_\alpha</math> ist [[kreisförmig]]. ==== Beweis (A1.6) Gaugefunktionalsystem gegeben - Umgebungen von Vektoren ==== Für einen beliebigen Vektor <math>x_o\in A</math> definiert man die Umgebungbasis <math display="inline"> \{ B_\varepsilon^\alpha(x_o) \}_{\alpha\in {\mathcal{A}, \varepsilon >0, x_o \in A} } </math> wie folgt mit: :<math> B_\varepsilon^\alpha(x_o):= \left\{ x\in A \, : \, \left\| x - x_o \right\|_\alpha < \varepsilon \right\} </math> Die Menge <math> B_\varepsilon^\alpha(x_o) := U_\alpha \in \mathfrak{U}_{\mathcal{T}}(x)</math> ist eine Umgebung von <math>x_o</math>, weil <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{{\mathcal{A}} }</math> die [[Gaugefunktional|topologieerzeugend]] für <math>\mathcal{T}</math> ist. ==== Beweis (A1.7) Gaugefunktionalsystem gegeben ==== <math>\mathcal{T}</math> sei nun die kleinste Topologie, die von dem Mengensystem <math display="inline"> \{ B_\varepsilon^\alpha(x_o) \}_{ \alpha\in \mathcal{A}, \varepsilon > 0, x_o \in A} </math> erzeugt wird. Im weiteren Verlauf muss man nun nachweisen, dass die Multiplikation mit Skalaren, Addition und Multiplikation auf <math>(A,\mathcal{T})</math> stetig sind, wenn das Gaugefunktionalsystem gegeben ist. === Beweis (A2) Topologie gegeben === Eine topologische Algebra <math>(A,\mathcal{T})</math> ist gegeben und die '''Eigenschaft (A2)''' ist zu zeigen. ==== Beweis (A2.1) Hausdorff-Eigenschaft gegeben ==== Die topogische Algebra <math display="inline">(A,\mathcal{T})</math> nach Definition [[w:de:Hausdorffraum|Hausdorff'sch]]. Man betrachtet <math display="inline">x \in A</math> mit <math>x\not= 0_A</math>. Es gibt dann ein Umgebung <math>U_0 \in \mathfrak{U}_{\mathcal{T}}(0_A)</math> und <math>U_1 \in \mathfrak{U}_{\mathcal{T}}(x)</math> mit <math>U_0 \cap U_1 = \emptyset</math>. ==== Beweis (A2.2) Hausdorff-Eigenschaft gegeben ==== Da in einem topologischen Vektorraum (Algebra) eine Nullumgebungsbasis aus kreisförmigen Mengen <math display="inline">\{U_\alpha\}_{\alpha\in {\mathcal{A}} } </math> existiert, gibt es ein <math display="inline">\alpha\in {\mathcal{A}}</math> mit <math> U_\alpha \subseteq U_0 </math>. Da <math>U_0 \cap U_1 = \emptyset</math> und <math> x \in U_1</math> gilt, folgt <math> x \notin U_0</math> und damit über die Definition des [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Minkowski-Funktionale|Minkowski-Funktionals]] :<math display="inline">\|x\|_\alpha := \inf \{ \lambda > 0 \, : \, x \in \lambda \cdot U_\alpha \} \geq 1</math> und es gibt eine <math>\alpha \in{\mathcal{A}}</math> mit <math display="inline">\|x\|_\alpha \not= 0 </math> === Beweis (A2) Gaugefunktionalsystem gegeben === Ist umgekehrt auf einer Algebra ein topologieerzeugendes [[Gaugefunktional|Gaugefunktionalsystem]] <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{{\mathcal{A}} }</math> gegeben, dass Eigenschaften <math>(A1)-(A5)</math> erfüllt, dann ist die '''Hausdorff-Eigenschaft''' für die erzeugte Topologie <math>\mathcal{T}</math> zu zeigen. ==== Beweis (A2.3) Hausdorff-Eigenschaft nachweisen ==== Seien nun <math>x_1,x_2 \in A</math> mit <math> x_1\not= x_2 </math> beliebig gewählt. Nun verwendet man die topologieerzeugenden Gaugefunktionalen <math display="inline">\|\cdot\|_\alpha</math> mit <math>\alpha\in \mathcal{A}</math>, um zwei Umgebungen <math>U_1 \in \mathfrak{U}_{\mathcal{T}}(x_1)</math> und <math>U_2 \in \mathfrak{U}_{\mathcal{T}}(x_2)</math> zu erzeugen, für die <math>U_1 \cap U_2 = \emptyset</math> gilt. ==== Beweis (A2.4) Hausdorff-Eigenschaft - Kontraposition ==== Die Topologie der Algebra sei nun durch ein [[Gaugefunktional|Gaugefunktionalsystem]] mit den Eigenschaft (A1)-(A5) erzeugt. Man wendet nun Bedingung (A2) auf <math>x:=x_1-x_2</math> an: :<math display="inline">\displaystyle \left( \forall_{\displaystyle \alpha\in {\mathcal{A}} } : \left\| x \right\| _\alpha = 0 \right) \Longrightarrow x=0_A </math> Man erhält mit der Kontrapostion von (A2) für <math>x= x_1 - x_2 </math> ein <math>\alpha\in \mathcal{A}</math> mit <math>\left\| x_1 - x_2 \right\| _\alpha > 0 </math>, denn: :<math display="inline"> x\not= 0_A \Longrightarrow \displaystyle \left( \exists_{\displaystyle \alpha\in {\mathcal{A}} } : \left\| x \right\| _\alpha > 0 \right) </math> ==== Beweis (A2.5) Hausdorff-Eigenschaft nachweisen ==== Wir wenden nun die obige Kontraposition auf <math>x:= x_1 - x_2 \not=0 </math> an. Daher gibt es ein <math>\alpha \in \mathcal{A}</math> mit :<math> 0 < \lambda := \|x\|_\alpha = \| x_1 - x_2 \|_\alpha = |-1| \cdot \| x_1 - x_2 \|_\alpha = \| x_2 - x_1 \|_\alpha </math> Mit der Bedingung (A4) gibt es zu diesem <math>\alpha \in \mathcal{A}</math> ein <math>\beta \in \mathcal{A}</math> mit :<math>\displaystyle \forall_{\displaystyle x,y\in A} : \left\| x+y \right\| _\alpha\leq \left\| x \right\| _\beta +\left\| y \right\| _\beta </math> ==== Beweis (A2.6) Hausdorff-Eigenschaft - Definition der Umgebungen ==== Setzen nun mit <math>r := \frac{\lambda}{3}</math> die Umgebungen <math>U_1:=B_{r}^{\beta}(x_1)</math> und <math>U_2:=B_{r}^{\beta}(x_2)</math>. Wegen <math> \| x_1 - x_1 \|_\beta = 0 \le r </math> und <math> \| x_2 - x_2 \|_\beta = 0 \le r </math> gilt insbesondere <math>x_1 \in U_1</math> und <math>x_2\in U_2</math>. Um die Hausdorff-Eigenschaft nachzuweisen, ist nun noch <math> U_1 \cap U_2 = \emptyset</math> zu zeigen. ==== Beweis (A2.7) Hausdorff-Eigenschaft - Annahme - Schnitt nicht leer ==== Man nimmt nun an, dass der Schnitt <math>U_1 \cap U_2</math> nicht die leere Menge ist und damit ein <math>x_o \in U_1 \cap U_2 </math> existiert, für das gilt: :<math> \begin{array}{rcl} 0 & < & \lambda := \|x\|_\alpha = \| x_1 - x_2 \|_\alpha = \| (x_1 - x_0) + (x_0 - x_2) \|_\alpha \\ & \leq & \| x_1 - x_0 \|_\beta +\| x_0 - x_2 \|_\beta \leq \frac{\lambda}{3} + \frac{\lambda}{3} = \frac{2\cdot \lambda}{3} \end{array} </math> Widerspruch, wegen <math> 0 < \lambda < \frac{2}{3} \cdot \lambda</math>. Also gilt <math>U_1 \cap U_2 = \emptyset</math> und die Topologie der Algebra ist [[w:de:Hausdorffraum|Hausdorff'sch]]. ==== Bemerkung (A2.7) Hausdorff-Eigenschaft ==== Die Bedingung (A2) liefert also unter Ausnutzung der Bedingung (A4) die [[w:de:Hausdorffraum|Hausdorff-Eigenschaft]] der Algebra <math display="inline">A</math> . Ferner ist die [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologische_Algebra|topologische Algebra]] nach Voraussetzuung [[w:de:Hausdorffraum|Hausdorff'sch]]. Verlangt man die [[w:de:Hausdorffraum|Hausdorff-Eigenschaft]] nicht, entfällt beim Topologisierungslemma die Eigenschaft (A2). === Beweis (A3) Topologie gegeben === Eine topologische Algebra <math>(A,\mathcal{T})</math> ist gegeben und die Eigenschaften (A3) ist zu zeigen. ==== Beweis (A3.1) Stetigkeit der Multiplikation mit Skalaren gegeben ==== In einem topologischen Vektoraum <math>(A,\mathcal{T})</math> (und natürlich auch in einer topologischen Algebra) existiert eine Nullumgebungsbasis aus kreisförmigen Mengen. Betrachtet man die dazugehörigen [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Minkowski-Funktionale|Minkowski-Funktionale]], so sind diese bei kreisförmigen Mengen homogen (also [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Gaugefunktionale|Gaugefunktionale]]). Denn es gilt für beliebige <math>\varepsilon > 0</math>, <math> \lambda \in \mathbb{K}\setminus \{0\}</math> und der Kreisförmigkeit von <math>U_\alpha</math>: :<math> x \in (\|x\|_\alpha +\varepsilon) \cdot U_\alpha \, \Rightarrow \, \frac{|\lambda|}{\lambda} \cdot x \in (\|x\|_\alpha +\varepsilon) \cdot U_\alpha</math> Dies gilt wegen <math>\left| \frac{|\lambda|}{\lambda} \right| = 1 </math> ==== Beweis (A3.2) Stetigkeit der Multiplikation mit Skalaren gegeben ==== Ferner gilt für <math>\lambda \cdot x </math>, <math>\lambda \not=0</math> und <math> \lambda \cdot x \in (\|\lambda \cdot x\|_\alpha +\varepsilon) \cdot U_\alpha </math> :<math> \, |\lambda| \cdot x = \frac{|\lambda|}{\lambda}\cdot \lambda \cdot x \in (\|\lambda \cdot x\|_\alpha +\varepsilon) \cdot U_\alpha</math> Insgesamt erhält man für alle <math> x \in \left( \frac{\|\lambda \cdot x\|_\alpha +\varepsilon}{|\lambda|}\right) \cdot U_\alpha</math> und über Infimumbildung bzgl. <math>\varepsilon > 0</math> erhält man: <math>\|x\|_\alpha \leq \frac{\|\lambda \cdot x\|_\alpha}{|\lambda|}</math> bzw. <math>|\lambda| \cdot \|x\|_\alpha \leq \|\lambda \cdot x\|_\alpha</math>. ==== Beweis (A3.3) Stetigkeit der Multiplikation mit Skalaren gegeben ==== Die umgekehrte Ungleichung <math>|\lambda| \cdot \|x\|_\alpha \geq \|\lambda \cdot x\|_\alpha</math> erhält man mit der Kreisförmigkeit von <math>U_\alpha</math> und <math> \lambda \cdot x \in (\|\lambda \cdot x\|_\alpha +\varepsilon) \cdot U_\alpha </math>: :<math> |\lambda| \cdot \underbrace{\frac{\lambda}{|\lambda|} \cdot x}_{\in (\| x \|_\alpha +\varepsilon) \cdot U_\alpha} \in |\lambda| \cdot (\| x \|_\alpha +\varepsilon) \cdot U_\alpha</math> Also erhält man über die Infimumbildung von <math>\varepsilon > 0 </math> auch <math> \|\lambda \cdot x\|_\alpha \leq |\lambda| \cdot \| x \|_\alpha </math>. ==== Beweis (A3.4) Stetigkeit der Multiplikation mit Skalaren gegeben ==== Beweisschritt (A3.2) und (A3.3) zusammen liefert die Gleichheit <math>|\lambda| \cdot \|x\|_\alpha = \|\lambda \cdot x\|_\alpha</math>. === Beweis (A3) Gaugefunktionalsystem gegeben === Ist umgekehrt auf einer Algebra ein topologieerzeugendes [[Gaugefunktional|Gaugefunktionalsystem]] <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{{\mathcal{A}} }</math> gegeben, dass Eigenschaften <math>(A1)-(A5)</math> erfüllt, dann ist die Stetigkeit der Multiplikation mit Skalaren bzgl. <math>\mathcal{T}</math> zu zeigen. ==== Beweis (A3.5) Stetigkeit der Multiplikation mit Skalaren zeigen ==== Ist umgekehrt ein Nullfolge <math>(\lambda_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> und ein Netz <math>(x_i)_{i\in I}</math> gegeben, das in der Topologie <math>(A,\mathcal{T})</math> gegen den Nullvektor <math>0_A</math> konvergiert, so gilt: :<math> \displaystyle \forall_{\varepsilon > 0, \alpha \in \mathcal{A}} \exists_{n_\varepsilon \in \mathbb{N}, i_\alpha \in I} \forall_{n \geq n_\varepsilon, i \geq i_\alpha} \, : \, \, |\lambda_n | < \varepsilon \, \wedge x_i \in U_\alpha </math> Damit erhält man durch Anwendung von Bedingung (A3): :<math> \displaystyle \forall_{\varepsilon > 0, \alpha \in \mathcal{A}} \exists_{n_\varepsilon \in \mathbb{N}, i_\alpha \in I} \forall_{n \geq n_{\varepsilon}, i \geq i_\alpha} \, : \, \, \|\lambda_n \cdot x_i\|_\alpha \stackrel{(A3)}{=} |\lambda_n| \cdot \underbrace{\|x_i\|_\alpha}_{\leq 1} < \varepsilon \cdot 1 = \varepsilon </math> ==== Beweis (A3.6) Stetigkeit der Multiplikation mit Skalaren zeigen ==== Insgesamt konvergiert <math>(\lambda_n \cdot x_i)_{(n,i) \in \mathbb{N}\times I}</math> ebenfalls gegen den Nullvektor <math>0_A</math>, da für alle <math>U\in \mathfrak{U}_{\mathcal{T}}(0_A)</math> eine kreisförmige Nullumgebung <math>U_\alpha \subseteq U</math> existiert. Für diese kreisförmige Nullumgebung gibt es dann eine Indexschranke <math>i_\alpha \in I</math>, ab der alle <math> x_i \in U_\alpha \subseteq U </math> liegen mit <math>i \geq i_\alpha</math>. Für eine kreisförmige Nullumgebungsbasis aus <math>U_\alpha:= B_1^\alpha(0_A)</math> und <math>|\lambda_n| < 1 </math> liegt auch in <math>\lambda_n \cdot x_i \in U_\alpha \subset U</math> (d.h. <math> \lambda_n \cdot x_i \in U</math> mit <math>n > n_\varepsilon</math>. Die Indexschranke existiert wegen Konvergenz von <math>(\lambda_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> geben <math> 0 \in \mathbb{K}</math>. Insgesamt ist damit die Stetigkeit der Multiplikation mit Skalaren auf <math display="inline">A</math> gezeigt. === Beweis (A4) Topologie gegeben === Eine topologische Algebra <math>(A,\mathcal{T})</math> ist gegeben und die Eigenschaften (A4) ist zu zeigen. ==== Beweis (A4.1) Stetigkeit der Addition ==== Die Stetigkeit der Addition liefert: :<math display="block"> \forall_{\displaystyle U_{\alpha}\in \mathfrak{U} (0_A)} \exists_{\displaystyle U_\beta\in \mathfrak{U} (0_A)} : U_\beta + U_\beta \subset U_\alpha </math> Insbesondere gilt <math display="inline">U_\beta = U_\beta + \{0_A\} \subset U_\beta + U_\beta \subset U_\alpha</math>, weil <math>0_A \in U_\beta</math> gilt. Also erhält man mit <math display="inline">U_\beta \subset U_\alpha</math> für die entsprechenden Minkowskifunktionale auch <math display="inline">\left\| x \right\| _\alpha \leq \left\| x \right\| _\beta</math> für alle <math display="inline">x\in A</math>. D.h. man muss eine absorbierende Teilmenge <math display="inline">U_\beta</math> im Vergleich zu <math display="inline">U_\alpha</math> ggf. stärker aufblasen, um das entsprechende <math>x \in A</math> einzufangen. ==== Beweis (A4.2) Stetigkeit der Addition ==== Für <math display="inline">\left\| x \right\| _\beta = 0</math> und <math display="inline">\left\| y \right\| _\beta = 0</math> ist <math>x,y \in \lambda \cdot U_\beta</math> für alle <math>\lambda > 0</math>. Also sind insbesondere auch :<math>x+y \in \lambda \cdot U_\beta +\lambda \cdot U_\beta = \lambda \cdot (U_\beta + U_\beta) \subset \lambda \cdot U_\alpha</math> für alle <math>\lambda > 0</math>. Damit erhält man die gesuchte (Un-)Gleichung direkt mit :<math display="inline">\left\| x+y \right\|_\alpha = 0 = \underbrace{\left\| x \right\| _\beta}_{=0} + \underbrace{\left\| y \right\| _\beta}_{=0} </math> für alle <math>z\in A</math>. ==== Beweis (A4.3) Stetigkeit der Addition gegeben ==== Für <math display="inline">\left\| x \right\| _\beta \not= 0</math> und <math display="inline">\left\| y \right\| _\beta = 0</math> gilt, dass <math>y \in \lambda \cdot U_\beta</math> für alle <math>\lambda >0 </math>. Ferner gilt auch für alle <math>\varepsilon >0 </math> wegen Infimumsdefintion des Minkowski-Funktionals <math>x \in (\varepsilon + \|x\|_\beta )\cdot U_\beta</math>. ==== Beweis (A4.4) Stetigkeit der Addition gegeben ==== Man erhält die gesuchte Ungleichung mit <math>y \in \lambda \cdot U_\beta</math> für alle <math>\lambda >0 </math> :<math> \begin{array}{rcl} x+y & \in &(\varepsilon + \|x\|_\beta )\cdot U_\beta + (\underbrace{\varepsilon + \|x\|_\beta )}_{\lambda :=}\cdot U_\beta \\ & = & (\varepsilon + \|x\|_\beta )\cdot (U_\beta + U_\beta) \\ & \subseteq & (\varepsilon + \|x\|_\beta )\cdot U_\alpha \end{array} </math> für alle <math>\varepsilon >0 </math>. Also gilt auch <math>\left\| x + y \right\|_\alpha \leq \left\| x \right\| _\beta = \left\| x \right\| _\beta + \underbrace{\left\| y \right\| _\beta}_{=0} </math>. ==== Beweis (A4.5) Stetigkeit der Addition gegeben ==== Für <math display="inline">\left\| x \right\| _\beta = 0</math> oder <math display="inline">\left\| y \right\| _\beta \not= 0</math> erhält man die Aussage analog. ==== Beweis (A4.6) Stetigkeit der Addition ==== Seien nun <math display="inline">\left\| x \right\| _\beta\not=0</math> und <math display="inline">\left\| y \right\| _\beta\not= 0</math>. Nach Definition der [[Minkowski-Funktional|Minkowski-Funktionale]] für die Nullumgebungen <math display="inline">U_\alpha</math> und <math display="inline">U_\beta</math>, erhält man für jedes <math display="inline">\varepsilon > 0</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \frac{x}{\left\| x \right\| _\beta+\varepsilon} \in U_\beta \, \wedge \, \frac{y}{\left\| y \right\| _\beta+\varepsilon} \in U_\beta &\Longrightarrow& \frac{x}{\left\| x \right\| _\beta+\left\| y \right\| _\beta}, \frac{y}{\left\| x \right\| _\beta+\left\| y \right\| _\beta} \in U_\beta \\ & \Longrightarrow & \frac{x+y}{\left\| x \right\| _\beta+\left\| y \right\| _\beta} \in U_\beta + U_\beta \subset U_\alpha \\ &\Longrightarrow& \left\| \frac{x+y}{\left\| x \right\| _\beta+\left\| y \right\| _\beta} \right\| _\alpha \leq 1 \Longrightarrow \mbox{ Beh. (A4). } \end{array} </math> Dabei wird die Kreisförmigkeit bzw. Homogenität (A3) der [[Minkowski-Funktional|Minkowski-Funktionale]] aus den vorherigen Beweischritten verwendet. === Beweis (A4) Gaugefunktionalsystem gegeben === Ist umgekehrt auf einer Algebra ein topologieerzeugendes [[Gaugefunktional|Gaugefunktionalsystem]] <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{{\mathcal{A}} }</math> gegeben, dass Eigenschaften <math>(A1)-(A5)</math> erfüllt, dann ist die Stetigkeit der Addition bzgl. <math>\mathcal{T}</math> zu zeigen. ==== Beweis (A4.7) Addition - Topologisierung durch Gaugefunktionale ==== Wird umgekehrt die Topologie <math>\mathcal{T}</math> durch <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{\mathcal{A}} </math> erzeugt und gilt die Bedingung (A4), dann gilt: :<math display="block"> \forall_{\displaystyle \alpha\in {\mathcal{A}} } \exists {\beta \in {\mathcal{A}} } \forall_{\displaystyle x,y\in A} : \left\| x+y \right\| _\alpha\leq \left\| x \right\| _\beta +\left\| y \right\| _\beta, </math> ==== Beweis (A4.8) Addition - Topologisierung durch Gaugefunktionale ==== Dann ist die Addition auf <math display="inline">A</math> stetig, denn zu jeder Nullumgebung <math>U_\alpha</math> aus der kreisförmigen Nullumgebungsbasis mit <math>0 < \varepsilon < \frac{1}{2}</math>, <math display="inline">x,y\in {\rm B}^\beta_{\varepsilon}(0)=: U_\beta</math> und <math display="inline">{\rm B}^\alpha_1(0)=: U_\alpha</math> gilt: :<math display="block"> \left\| x+y \right\| _\alpha \leq \left\| x \right\| _\beta +\left\| y \right\| _\beta \leq \varepsilon + \varepsilon < \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 </math> Insgesamt gilt <math> x+y\in U_\alpha </math> und zu jeder kreisförmigen Nullumgebung <math>U_\alpha</math> gibt es <math>U_\beta \in \mathfrak{U}_{\mathcal{T}}(0_A)</math> mit <math>U_\beta + U_\beta \subseteq U_\alpha</math>. === Beweis (A5) Topologie gegeben === Eine topologische Algebra <math>(A,\mathcal{T})</math> ist gegeben und die Eigenschaften (A5) ist zu zeigen. ==== Beweis (A5.1) Multiplikation - Topologie gegeben ==== Mit der Stetigkeit der Multiplikation erhält man wie in <math display="inline">(A4)</math> erhält man :<math display="block"> \forall_{\displaystyle U_{\alpha}\in \mathfrak{U} (0)} \exists_{\displaystyle U_\beta\in \mathfrak{U} (0)} : U_\beta \cdot U_\beta = U_\beta^{^2} \subset U_\alpha </math> ==== Beweis (A5.2) Multiplikation - Topologie gegeben ==== Sei <math display="inline">\varepsilon >0</math> beliebig gewählt und die Behauptung <math display="inline">(A5)</math>, denn: :<math display="block"> \frac{x}{\left\| x \right\| _\beta+\varepsilon}\cdot \frac{y}{\left\| y \right\| _\beta+\varepsilon} \in U_\beta \cdot U_\beta = U_\beta^2 \subset U_\alpha </math> ==== Beweis (A5.3) Multiplikation - Topologie gegeben ==== Aus <math display="inline"> \frac{x}{\left\| x \right\| _\beta+\varepsilon}\cdot \frac{y}{\left\| y \right\| _\beta+\varepsilon} \in U_\alpha </math> folgt für alle <math display="inline">\varepsilon>0</math> unter Anwendung von Eigenschaft (A3), die mit obigen Beweisschritt für toplogische Algebren gilt auch: :<math display="block"> \begin{array}{rcl} \left\| \frac{x}{\left\| x \right\| _\beta+\varepsilon}\cdot \frac{y}{\left\| y \right\| _\beta+ \varepsilon } \right\| _\alpha & \leq & 1 \Longrightarrow \\ \left\| x\cdot y \right\| _\alpha & \leq & (\left\| x \right\| _\beta+\varepsilon ) \cdot (\left\| y \right\| _\beta+ \varepsilon) \end{array} </math> Da <math display="inline">\varepsilon>0</math> beliebig gewählt war, gilt auch <math display="inline">\left\| x\cdot y \right\| _\alpha\leq \left\| x \right\| _\beta\cdot \left\| y \right\| _\beta</math> für alle <math display="inline">x,y \in A</math>. === Beweis (A5) Gaugefunktionalsystem gegeben === Ist umgekehrt auf einer Algebra ein topologieerzeugendes [[Gaugefunktional|Gaugefunktionalsystem]] <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{{\mathcal{A}} }</math> gegeben, dass Eigenschaften <math>(A1)-(A5)</math> erfüllt, dann ist die Stetigkeit der Multiplikation bzgl. <math>\mathcal{T}</math> zu zeigen. ==== Beweis (A5.4) Multiplikation - Topologisierung durch Gaugefunktionale ==== Erfüllt das topologieerzeugendes [[Gaugefunktional|Gaugefunktionalsystem]] <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{{\mathcal{A}} }</math> die Bedingung (A5), so gilt: :<math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle \alpha\in {\mathcal{A}} } \exists {\beta \in {\mathcal{A}} } \forall_{\displaystyle x,y\in A} : \left\| x\cdot y \right\| _\alpha\leq \left\| x \right\| _\beta \cdot \left\| y \right\| _\beta </math> ==== Beweis (A5.5) Multiplikation - Topologisierung durch Gaugefunktionale ==== Dann erhalten wird umgekehrt mit der gleichen Definition von <math display="inline">U_\alpha</math> und <math display="inline">U_\beta</math> als offene Einheitskugeln <math>U_\alpha := B_1^\alpha (0_A)</math> und <math>U_\beta := B_\varepsilon^\beta (0_A)</math> mit <math>0 < \varepsilon < 1 </math> offene Nullumgebungen. Wir zeigen nun, dass alle <math> x, y \in U_\beta</math> das Produkt <math>x\cdot y \in U_\alpha</math> liegt. Wegen <math>\varepsilon < 1 </math> gilt insbesondere <math>U_\beta := B_\varepsilon^\beta (0_A) \subset B_1^\beta (0_A) =: U_\gamma</math> und damit ist <math>\|x\|_\beta \geq \|x\|_\gamma := p_{U_\gamma}(x)</math> (siehe Zusammenhang von Mengeninklusion und der <math>\leq</math>-Beziehung über [[Minkowski-Funktional|absorbierende Mengen]] und [[Gaugefunktional|Gaugefunktionale]]). ==== Beweis (A5.6) Nullumgebung - kreisförmige Nullumgebung ==== In der Rückrichtung von (A5) erhält man zu jeder Nullumgebung <math>U</math> eine kreiförmige Nullumgebung <math>U_\alpha</math> aus der Umgebungsbasis von kreisförmigen Mengen mit <math>U_\alpha \subset U</math>, die von einem Gaugefunktional <math>\|\cdot \|_\alpha</math> als Einheitskugel erzeugt wurde. Dies gilt, weil das Gaugefunktionalsystem <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{{\mathcal{A}} }</math> topologieerzeugend ist. Sei nun <math>x,y\in U_\beta</math> :<math> 1 > \varepsilon ^2 = \varepsilon \cdot \varepsilon \geq \|x\|_\beta \cdot \|y\|_\beta \stackrel{(A5)}{\geq} \|x\cdot y\|_\alpha</math> Man erhält also <math> \|x\cdot y\|_\alpha < 1</math> und damit <math> x\cdot y\in U_\alpha </math>. ==== Beweis (A5.7) Multiplikation - Topologisierung durch Gaugefunktionale ==== Die Stetigkeit der Multiplikation bei einer durch das System <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{\mathcal{A}} </math> erzeugten Topologie erhält man dann für eine beliebige Nullumgebung <math>U\in \mathfrak{U}_{\mathcal{T}}(0_A)</math> eine kreisförmige Nullumgebung <math>U_\alpha \subset U</math> und mit (A5) ein <math>U_\beta</math> mit :<math> U_\beta \cdot U_\beta = U_\beta^2 \subseteq U_\alpha \subseteq U </math> Damit die Multiplikation auf <math>(A,\mathcal{T})</math> stetig. === Beweisschritte (A1)-(A5) === Insgesamt wurde gezeigt, dass man bei topologischen Algebren <math>(A,\mathcal{T})</math> die Stetigkeit der Verknüpfungen auf der Algebra auch mit dem topologieerzeugenden [[Gaugefunktional|Gaugefunktionalsystem]] nachweisen kann bzw. für weiterführende Aussagen auf topologischen Algebren allein mit dem [[Gaugefunktional|Gaugefunktionalsystem]] arbeiten kann. <math>\Box</math> == Basiserzeugendes Topologisierungslemma == Sei <math display="inline">A</math> eine Algebra. <math display="inline">A</math> ist genau dann eine Hausdorff'sche topologische Algebra <math display="inline">(A,\mathcal{T})</math>, wenn die Topologie <math display="inline">\mathcal{T}</math> durch ein [[Basiserzeugendes Gaugefunktionalsystem|'''basiserzeugendes''']] [[Gaugefunktional|<math>p</math>-Gaugefunktionalsystem]] <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{{\mathcal{A}} }</math> mit (B1)-(B5) erzeugt werden kann: * (B1) <math display="inline">\displaystyle \forall_{ \alpha\in {\mathcal{A}} , x\in A} \, \left\| x \right\| _\alpha \geq 0</math> * (B2) <math display="inline">\displaystyle \left( \forall_{ \alpha\in {\mathcal{A}} } \, \left\| x \right\| _\alpha = 0 \right) \Longrightarrow x = 0_A </math> * (B3) <math display="inline">\displaystyle \forall_{ \alpha\in {\mathcal{A}} ,x\in A,\lambda\in \mathbb{K}} \, \left\| \lambda\cdot x \right\| _\alpha = |\lambda|^p \cdot \left\| x \right\| _\alpha</math> * (B4) <math display="inline">\displaystyle \forall_{ \alpha\in {\mathcal{A}} } \exists_{ \beta \in {\mathcal{A}} , K > 0 } \forall_{ x,y\in A} \, \left\| x+y \right\| _\alpha \leq K \cdot \left( \left\| x \right\| _\beta +\left\| y \right\| _\beta \right) </math> * (B5) <math display="inline">\displaystyle \forall_{ \alpha\in {\mathcal{A}} } \exists_{ \beta \in {\mathcal{A}} , M > 0 } \forall_{\displaystyle x,y\in A} \, \left\| x\cdot y \right\| _\alpha \leq M \cdot \left\| x \right\| _\beta \cdot \left\| y \right\| _\beta </math> === Bemerkung: Basiserzeugende Gaugefunktionalsystem === Ein [[Basiserzeugendes Gaugefunktionalsystem|basiserzeugendes Gaugefunktionalsystem]] hat die gleiche Funktion wie die Verwendung von <math>\varepsilon</math>-Umgebungen in der Analysis. Über die <math>\varepsilon</math>-Umgebungen in <math>\mathbb{R}</math> hat man eine Basis der Standardtopologie auf <math>\mathbb{R}</math> gegeben, über die man Konvergenz, Stetigkeit und andere topologische Eigenschaften ausdrücken kann. Dabei wurden ein analoges Vorgehen wie bei Gaugefunktionalen verwendet. :<math> x \in B_\varepsilon^{| \cdot |}(x_0) \Longleftrightarrow | x-x_0 | < \varepsilon \Longleftrightarrow x \in \, \, ]x_0 - \varepsilon,x_0 + \varepsilon [ </math> === Beweisaufgabe für Studierende === Zeigen Sie die obigen Eigenschaften (B1)-(B2) unter Verwendung der Eigenschaft des Gaugefunktionalsystems, basiserzeugend zu sein. Für jede Nullumgebung <math>U \in \mathfrak{U}_{\mathcal{T}}(0_A)</math> gibt es dann ein <math> \alpha \in \mathcal{A}</math> <math>\varepsilon > 0 </math> mit :<math> U \subseteq B_\varepsilon^{\alpha}(0_A) := \left\{ x \in A \, \colon \, \| x \|_\alpha < \varepsilon \right\} </math> == Aufgaben für Studierende == Sei <math>A:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> die Menge der stetigen Funktionen von <math>\mathbb{R}</math> nach <math>\mathbb{R}</math> mit der folgenden Addition und Multiplikation auf dem Vektorraum: * (Addition) <math>f,g \in A</math> definiert man <math>f+g</math> argumentweise <math>(f+g)(x):=f(x)+g(x)</math> für alle <math>x \in \mathbb{R}</math> * (Multiplikation) <math>f,g \in A</math> definiert man <math>f \cdot g</math> argumentweise <math>(f\cdot g)(x):=f(x)\cdot g(x)</math> für alle <math>x \in \mathbb{R}</math> Ferner definiert man ein Gaugefunktionalsystem <math>\|\cdot\|_{\mathcal{A}}</math> mit <math>\mathcal{A}:= \mathbb{R}</math> und <math>\|f\|_\alpha := |f(\alpha)|</math>. === Aufgabe 1 === Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot\|_{\mathcal{A}}</math> ein Halbnormensystem ist. === Aufgabe 2 === * Geben Sie ein <math>f \in A\setminus\{0_A\}</math> an, für das <math>\|f\|_\alpha = 0 </math> gilt für <math>\alpha = 2</math> und <math>\alpha = -2</math> an. * Geben Sie ein <math>g \in A\setminus\{0_A\}</math> an, für das <math>\|f\|_\alpha = 0 </math> gilt für <math>\alpha \in \mathbb{Z}</math> an. === Aufgabe 3 === Sei <math>K := \{ f\in A \, : \, f \mbox{ konstant } \} </math> die Menge der konstanten Funktionen in <math>A</math>, <math>K_{\varepsilon}^{\alpha} := \{ f\in K \, : \, \|f\|_\alpha < \varepsilon \wedge f \mbox{ konstant } \}</math> und <math>N_{\alpha} := \{ f\in K \, : \, \|f\|_\alpha = 0 \}</math>. Zeigen Sie, dass folgende Aussage gilt: :<math>B_{\varepsilon}^{\alpha}(f) := \{f\} + N_{\alpha} + K_{\varepsilon}^{\alpha}</math>. === Aufgabe 4 === Zeigen Sie, dass die Hausdorff-Eigenschaft (A2) in dieser topologischen Algebra gilt. Nehmen Sie an, dass <math>f,g \in A</math> mit <math>f\not= g</math> gilt und Sie damit ein <math>\alpha_o \in {\mathcal{A}}</math> finden können, in dem <math>f(\alpha_o)\not= g(\alpha_o)</math> gilt. Konstruktruieren mit den Gaugefunktionalen zwei Umgebungen <math>U_1 \in \mathfrak{U}_\mathcal{T}(f)</math> und <math>U_2 \in \mathfrak{U}_\mathcal{T}(g)</math> mit <math>U_1 \cap U_2 = \emptyset </math>. === Aufgabe 5 === Zeigen Sie, dass die Menge <math>N_{\alpha} := \{ f\in K \, : \, \|f\|_\alpha = 0 \}</math> ein [[Ideal (Algebra)|Ideal]] in [[Topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>A:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> ist. == Siehe auch == * [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Minkowski-Funktionale|Minkowski-Funktionale]] * [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Gaugefunktionale|Gaugefunktionale]] * [[Stetigkeitssequenz]] * [[Ideal (Algebra)]] * [[Topologische Algebra]] * [[Topologische Gruppe]] * [[unitale topologische Algebra]] * [[unitales Topologisierungslemma]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Konvergenz in Funktionenräumen|Konvergenz in Funktionenräumen]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologisierungslemma%20f%C3%BCr%20Algebren&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologisierungslemma%20f%C3%BCr%20Algebren&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologisierungslemma%20f%C3%BCr%20Algebren https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologisierungslemma%20f%C3%BCr%20Algebren] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologisierungslemma%20f%C3%BCr%20Algebren Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologisierungslemma%20f%C3%BCr%20Algebren * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologisierungslemma%20f%C3%BCr%20Algebren&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] [[Category:Funktionalanalysis]] <noinclude> [[en:Topologization Lemma for algebras]] </noinclude> 1zeg5qui9jzhaee7w3r03rx88wg31s0 1118922 1118920 2026-11-05T10:46:49Z Bert Niehaus 20843 /* Charakterisierende Eigenschaften (U1)-(U5) */ 1118922 wikitext text/x-wiki == Einführung == Das Topologisierungslemma für Algebren erlaubt die Beschreibung der Stetigkeit von den Verknüpfungen in einer topologischen Algebra über [[Gaugefunktional|Gaugefunktionale]]. Diese Lernressource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologisierungslemma%20f%C3%BCr%20Algebren&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Hausdorf-Raum === In dem folgenden [[Topologisierungslemma für Algebren]] liefert die [[Hausdorff-Raum|Hausdorffeigenschaft]] ein gültiges Trennungsaxiom über die Eigenschaft (T2). Für unitale [[topologische Algebra|topologische Algebren]] <math>(A,\mathcal{T}_{\!\!\!\!_A})</math> mit der [[topologischer Vektorraum|Topologie]] <math>\mathcal{T}_{\!\!\!\!_A}</math> muss die topologische Algebra zumindest das Einselement <math>e_{\!\!_A}</math> und den Nullvektor <math>0_{\!\!_A}</math> durch eine Nullumgebung trennen können, d.h., es gibt eine Nullumgebung <math>U_0\in \mathcal{T}_{\!\!\!\!_A}</math> mit <math>e_{\!\!_A}\notin U_0</math>. Diese Eigenschaften ist bei [[Hausdorff-Raum|Hausdorff-Räumen]] immer gegeben. == Topologisierungslemma für Algebren == Sei <math display="inline">A</math> eine Algebra. <math display="inline">A</math> ist genau dann eine topologische Algebra <math display="inline">(A,\mathcal{T})</math>, die die [[Hausdorff-Raum|Hausdorfeigenschaft]] erfüllt, wenn die Topologie <math display="inline">\mathcal{T}</math> durch ein Gaugefunktionalsystem <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{{\mathcal{A}} }</math> mit den Eigenschaften (A1)-(A5) erzeugt werden kann. === Charakterisierende Eigenschaften (A1)-(A5) === * (A1) <math display="inline">\displaystyle \forall_{ \alpha\in {\mathcal{A}} ,x\in A} : \left\| x \right\| _\alpha \geq 0</math> * (A2) <math display="inline">\displaystyle \left( \forall_{ \alpha\in {\mathcal{A}} } : \left\| x \right\| _\alpha = 0 \right) \Longrightarrow x=0_A </math> * (A3) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\alpha\in {\mathcal{A}} ,x\in A,\lambda\in \mathbb{K}} : \left\| \lambda\cdot x \right\| _\alpha = |\lambda|\cdot \left\| x \right\| _\alpha </math> * (A4) <math display="inline">\displaystyle \forall_{ \alpha\in {\mathcal{A}} } \exists_{ \beta \in {\mathcal{A}} } \forall_{ x,y\in A } : \left\| x+y \right\| _\alpha \leq \left\| x \right\| _\beta +\left\| y \right\| _\beta </math> * (A5) <math display="inline">\displaystyle \forall_{ \alpha\in {\mathcal{A}} } \exists_{ \beta \in {\mathcal{A}} } \forall_{ x,y\in A } : \left\| x\cdot y \right\| _\alpha \leq \left\| x \right\| _\beta \cdot \left\| y \right\| _\beta </math> == Topologisierunglemma für Vektorräume == Sei <math display="inline">V</math> eine Vektorraum. <math display="inline">V</math> ist genau dann eine topologischer Vektorraum <math display="inline">(V,\mathcal{T})</math>, der die Hausdorfeigenschaft erfüllt, wenn die Topologie <math display="inline">\mathcal{T}</math> durch ein Gaugefunktionalsystem <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{{\mathcal{A}} }</math> mit den Eigenschaften (V1)-(V4) erzeugt werden kann. === Charakterisierende Eigenschaften (V1)-(V4) === * (V1) <math display="inline">\displaystyle \forall_{ \alpha\in {\mathcal{A}} ,x\in V} : \left\| x \right\| _\alpha \geq 0</math> * (V2) <math display="inline">\displaystyle \left( \forall_{ \alpha\in {\mathcal{A}} } : \left\| x \right\| _\alpha = 0 \right) \Longrightarrow x=0_V </math> * (V3) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\alpha\in {\mathcal{A}} ,x\in V,\lambda\in \mathbb{K}} : \left\| \lambda\cdot x \right\| _\alpha = |\lambda|\cdot \left\| x \right\| _\alpha </math> * (V4) <math display="inline">\displaystyle \forall_{ \alpha\in {\mathcal{A}} } \exists_{ \beta \in {\mathcal{A}} } \forall_{ x,y\in V } : \left\| x+y \right\| _\alpha \leq \left\| x \right\| _\beta +\left\| y \right\| _\beta </math> === Bemerkung - Topologisierunglemma für topologische Vektorräume === Den topologischen Vektorräumen <math display="inline">(V,\mathcal{T})</math> fehlt die stetige innere Verknüfung der Multiplikation <math> \cdot : V\times V \to V</math>. Daher erhält man für topologische Vektorräume nur vier charakterisierende Eigenschaften (V1)-(V4). Der Beweis der Eigenschaften erfolgt analog zu den Beweis für das Topologisierungslemma für topologische Algebren. === Hausdorff-Eigenschaft === Wenn eine [[topologische Algebra|topologische Algebra]] oder ein [[topologischer Vektorraum]] die Hausdorfeigenschaft nicht erfüllt, gilt (A2) bzw. (V2) nicht und man kann zwei Punkte <math>x_1 \not= x_2</math> ebenfalls nicht mehr durch das Gaugefunktionalsystem trennen. Wenn nicht anders angegeben, sind die topologischen Algebren Hausdorff'sch. Für unitale [[topologische Algebra|topologische Algebra]] mit Einselement <math>e_{\!\!_A}</math> muss es zumindest, gibt es wenigstens ein unital positives und [[Gaugefunktionalsystem/normalisiert|normalisiertes Gaugefunktionalsystem]] <math>\|\cdot\|_\mathcal{A}</math>. == Topologisierungslemma für unitale Algebren == Sei <math display="inline">A</math> eine Algebra mit Einselement <math>e_{\!\!_A}</math>. <math display="inline">A</math> ist genau dann eine topologische Algebra <math display="inline">(A,\mathcal{T})</math>, dass Einselement <math>e_{\!\!_A}</math> und Nullvektor <math>0_{\!\!_A}</math>, wenn die Topologie <math display="inline">\mathcal{T}</math> durch ein normalisiertes Gaugefunktionalsystem <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{{\mathcal{A}} }</math> mit den Eigenschaften (U1)-(U5) erzeugt werden kann. === Charakterisierende Eigenschaften (U1)-(U5) === * (U1) <math display="inline">\displaystyle \forall_{ \alpha\in {\mathcal{A}} ,x\in A} : \left\| x \right\| _\alpha \geq 0</math> * (U2) <math display="inline">\displaystyle \forall_{ \alpha\in {\mathcal{A}} } : \left\| e_{\!\!_A} \right\| _\alpha = 1 </math> * (U3) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\alpha\in {\mathcal{A}} ,x\in A,\lambda\in \mathbb{K}} : \left\| \lambda\cdot x \right\| _\alpha = |\lambda|\cdot \left\| x \right\| _\alpha </math> * (U4) <math display="inline">\displaystyle \forall_{ \alpha\in {\mathcal{A}} } \exists_{ \beta \in {\mathcal{A}}, \, C_\beta > 0 } \forall_{ x,y\in A } : \left\| x+y \right\| _\alpha \leq C_\beta \cdot \left( \left\| x \right\| _\beta +\left\| y \right\| _\beta \right) </math> * (U5) <math display="inline">\displaystyle \forall_{ \alpha\in {\mathcal{A}} } \exists_{ \beta \in {\mathcal{A}} , \, C_\beta > 0 } \forall_{ x,y\in A } : \left\| x\cdot y \right\| _\alpha \leq \leq C_\beta \cdot \left( \left\| x \right\| _\beta \cdot \left\| y \right\| _\beta \right) </math> === Bemerkung 1: Beweisstruktur === Für den Beweis muss man zwei Richtungen zeigen, * dass für eine topologische Algebra <math display="inline">(A,\mathcal{T})</math> ein System von Gaugefunktionalen <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{{\mathcal{A}} }</math> mit folgenden Eigenschaften (A1)-(A5) existiert und * umgekehrt erzeugt ein System <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{{\mathcal{A}} }</math> von Gaugefunktionalen mit (A1)-(A5) eine Topologie <math display="inline">\mathcal{T}</math> auf <math>A</math>, die <math display="inline">(A,\mathcal{T})</math> zu einer topologischen Algebra macht. === Bemerkung 2: Äquivalentes Gaugefunktionalsystem === Ohne Einschränkung verwenden wir ein Gaugefunktionalsystem, das bzgl. des Radius der <math>\varepsilon</math>-Kugeln vollständig erweitert ist. D.h. man erweitert das Gaugefunktionalsystem auch um äquivalente Gaugefunktional der Form <math>\| \cdot \|_{(\alpha,\varepsilon)}:=\varepsilon \cdot \| \cdot \|_{\alpha}</math>. Das erspart die Verwendung von Konstanten in dem folgenden Beweis. === Stetigkeit in einem Punkt === In dem Beweis geht ein, dass man bei linearen bzw. bilinearen Abbildung die Stetigkeit nur in einem Punkt (hier Nullvektor nachweisen muss, um die Stetigkeit auf dem ganzen Definitionsbereich der (bi-)linearen Abbildung nachzuweisen (siehe auch [[Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]]) == Beweisidee == Der folgende Beweis stellt für die Eigenschaften (A1)-(A5) die folgenden Beziehung zur Topologie und Mengen her. * (A1) <math display="inline">\left\| x \right\| _\alpha \geq 0</math> - Definition des Minkowski-Funktional für absorbierende Mengen * (A2) <math display="inline">\displaystyle \left( \forall_{\displaystyle \alpha\in {\mathcal{A}} } : \left\| x \right\| _\alpha = 0 \right) \Longrightarrow x=0_A </math> Hausdorff-Eigenschaft der Topologie * (A3) <math display="inline"> \left\| \lambda\cdot x \right\| _\alpha = |\lambda|\cdot \left\| x \right\| _\alpha</math> Stetigkeit der Multiplikation mit Skalaren * (A4) <math display="inline"> \left\| x+y \right\| _\alpha\leq \left\| x \right\| _\beta +\left\| y \right\| _\beta </math> Stetigkeit der Addition * (A5) <math display="inline"> \left\| x\cdot y \right\| _\alpha\leq \left\| x \right\| _\beta \cdot \left\| y \right\| _\beta </math> Stetigkeit der Multiplikation == Beweis == Topologische Vektorräume besitzen eine Nullumgebungsbasis <math display="inline">\{U_\alpha\}_{\alpha\in {\mathcal{A}} } </math> aus kreisförmigen Mengen. Man betrachtet dann als System der die [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Minkowski-Funktionale|Minkowski-Funktionale]] <math display="inline">\|\cdot \|_\alpha</math> mit <math>\alpha\in {\mathcal{A}} </math> dieser kreisförmigen Nullumgebungen <math display="inline">\{U_\alpha\}_{\alpha\in {\mathcal{A}} } </math>. Nur sind jeweils zwei Beweisrichtungen zu zeigen: * Eine topologische Algebra <math>(A\mathcal{T})</math> ist gegeben und die Eigenschaften (A1)-(A5) sind zu zeigen und umgekehrt * bei gegeben topologieerzeugenden [[Gaugefunktional|Gaugeunktionalen]] mit den Eigenschaften <math display="inline">(A1)-(A5)</math> für <math>\mathcal{T}</math> wird die Algebra zu einer topologischen Algebra. === Beweis (A1) Topologie gegeben === Eine topologische Algebra <math>(A,\mathcal{T})</math> ist gegeben und die Eigenschaften (A1) ist zu zeigen. ==== Beweis (A1.1) - Nicht-Negativität ==== Mit der kreisförmigen Nullumgebung <math display="inline">U_\alpha \in \mathfrak{U}_\mathcal{T}(0_A) </math> definiert man das Minkowskifunktional: :<math display="inline"> \|x\|_\alpha := \inf \{ \lambda > 0 \, : \, x \in \lambda \cdot U_\alpha \} </math>. ==== Beweis (A1.2) - Nicht-Negativität ==== Die Eigenschaft der Nichtnegativität folgt aus der Definition des [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Minkowski-Funktionale|Minkowski-Funktionals]], da ein Infimum über positive Zahlen gebildet wird, mit der eine absorbierende (kreisförmige) Menge <math display="inline">U_\alpha \in \mathfrak{U}_\mathcal{T}(0_A) </math> noch ein Element <math>x \in A</math> "einfängt" (<math display="inline">x \in \lambda \cdot U_\alpha</math>. Ein Infimum von positiven Zahlen ist zumindest nicht negativ (d.h. <math display="inline">0\leq \|x\|_\alpha \leq \lambda</math>). === Beweis (A1) Gaugefunktionalsystem gegeben === Ist umgekehrt auf einer Algebra ein topologieerzeugendes Gaugefunktionalsystem <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{{\mathcal{A}} }</math> gegeben, dass Eigenschaften <math>(A1)-(A5)</math>, dann gibt es eine Nullumgebungsbasis <math display="inline">\{U_\alpha\}_{\alpha\in {\mathcal{A}} } </math> aus kreisförmigen Mengen. ==== Beweis (A1.3) Gaugefunktionalsystem gegeben ==== Man definiert die Nullumgebungsbasis <math display="inline">\{\varepsilon \cdot U_\alpha\}_{\alpha\in {\mathcal{A}, \lambda >0} } </math> mit: :<math>U_{\alpha} := B_1^\alpha(0_A):= \left\{ x\in A \, : \, \left\| x \right\|_\alpha < 1 \right\}</math> Die Menge <math>U_{(\alpha , \varepsilon)} := \varepsilon\cdot U_\alpha \in \mathfrak{U}_{\mathcal{T}}(0_A)</math> ist eine Nullumgebung, weil <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{{\mathcal{A}} }</math> aus den [[Gaugefunktional|topologieerzeugenden Gaugefunktionalen]] der Topologie <math>\mathcal{T}</math> besteht. ==== Bemerkung (A1.4) Gaugefunktionalsystem gegeben ==== Man kann sich hier auf die 1-Umgebungen beschränken, weil das [[Gaugefunktional|Gaugefunktionalsystem]] bzgl. der <math>\varepsilon</math>-Radien ohne Einschränkung vervollständigt ist, d.h. es wurde ggf. um äquivalente Gaugefunktionale der Form <math>\| \cdot \|_{(\alpha,\varepsilon)}:=\varepsilon \cdot \| \cdot \|_{\alpha}</math> ggf. erweitert wurde. ==== Beweis (A1.5) Gaugefunktionalsystem gegeben - Nullumgebung kreiförmig ==== Ferner ist die Menge <math>U_\alpha \in \mathfrak{U}_{\mathcal{T}}(0_A)</math> [[kreisförmig]], weil mit <math>x \in U_\alpha</math>, <math>\lambda \in \mathbb{K}</math> und <math>|\lambda| \leq 1</math> mit (A3) gilt: :<math>\left\| \lambda \cdot x \right\|_{\alpha} \stackrel{(A3)}{=} |\lambda | \cdot \left\| x \right\|_{\alpha} \leq \left\| x \right\|_{\alpha}< 1</math> Also gilt mit <math>\left\| \lambda \cdot x \right\|_{\alpha} < 1</math> auch <math> \lambda \cdot x \in U_\alpha</math> und <math>U_\alpha</math> ist [[kreisförmig]]. ==== Beweis (A1.6) Gaugefunktionalsystem gegeben - Umgebungen von Vektoren ==== Für einen beliebigen Vektor <math>x_o\in A</math> definiert man die Umgebungbasis <math display="inline"> \{ B_\varepsilon^\alpha(x_o) \}_{\alpha\in {\mathcal{A}, \varepsilon >0, x_o \in A} } </math> wie folgt mit: :<math> B_\varepsilon^\alpha(x_o):= \left\{ x\in A \, : \, \left\| x - x_o \right\|_\alpha < \varepsilon \right\} </math> Die Menge <math> B_\varepsilon^\alpha(x_o) := U_\alpha \in \mathfrak{U}_{\mathcal{T}}(x)</math> ist eine Umgebung von <math>x_o</math>, weil <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{{\mathcal{A}} }</math> die [[Gaugefunktional|topologieerzeugend]] für <math>\mathcal{T}</math> ist. ==== Beweis (A1.7) Gaugefunktionalsystem gegeben ==== <math>\mathcal{T}</math> sei nun die kleinste Topologie, die von dem Mengensystem <math display="inline"> \{ B_\varepsilon^\alpha(x_o) \}_{ \alpha\in \mathcal{A}, \varepsilon > 0, x_o \in A} </math> erzeugt wird. Im weiteren Verlauf muss man nun nachweisen, dass die Multiplikation mit Skalaren, Addition und Multiplikation auf <math>(A,\mathcal{T})</math> stetig sind, wenn das Gaugefunktionalsystem gegeben ist. === Beweis (A2) Topologie gegeben === Eine topologische Algebra <math>(A,\mathcal{T})</math> ist gegeben und die '''Eigenschaft (A2)''' ist zu zeigen. ==== Beweis (A2.1) Hausdorff-Eigenschaft gegeben ==== Die topogische Algebra <math display="inline">(A,\mathcal{T})</math> nach Definition [[w:de:Hausdorffraum|Hausdorff'sch]]. Man betrachtet <math display="inline">x \in A</math> mit <math>x\not= 0_A</math>. Es gibt dann ein Umgebung <math>U_0 \in \mathfrak{U}_{\mathcal{T}}(0_A)</math> und <math>U_1 \in \mathfrak{U}_{\mathcal{T}}(x)</math> mit <math>U_0 \cap U_1 = \emptyset</math>. ==== Beweis (A2.2) Hausdorff-Eigenschaft gegeben ==== Da in einem topologischen Vektorraum (Algebra) eine Nullumgebungsbasis aus kreisförmigen Mengen <math display="inline">\{U_\alpha\}_{\alpha\in {\mathcal{A}} } </math> existiert, gibt es ein <math display="inline">\alpha\in {\mathcal{A}}</math> mit <math> U_\alpha \subseteq U_0 </math>. Da <math>U_0 \cap U_1 = \emptyset</math> und <math> x \in U_1</math> gilt, folgt <math> x \notin U_0</math> und damit über die Definition des [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Minkowski-Funktionale|Minkowski-Funktionals]] :<math display="inline">\|x\|_\alpha := \inf \{ \lambda > 0 \, : \, x \in \lambda \cdot U_\alpha \} \geq 1</math> und es gibt eine <math>\alpha \in{\mathcal{A}}</math> mit <math display="inline">\|x\|_\alpha \not= 0 </math> === Beweis (A2) Gaugefunktionalsystem gegeben === Ist umgekehrt auf einer Algebra ein topologieerzeugendes [[Gaugefunktional|Gaugefunktionalsystem]] <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{{\mathcal{A}} }</math> gegeben, dass Eigenschaften <math>(A1)-(A5)</math> erfüllt, dann ist die '''Hausdorff-Eigenschaft''' für die erzeugte Topologie <math>\mathcal{T}</math> zu zeigen. ==== Beweis (A2.3) Hausdorff-Eigenschaft nachweisen ==== Seien nun <math>x_1,x_2 \in A</math> mit <math> x_1\not= x_2 </math> beliebig gewählt. Nun verwendet man die topologieerzeugenden Gaugefunktionalen <math display="inline">\|\cdot\|_\alpha</math> mit <math>\alpha\in \mathcal{A}</math>, um zwei Umgebungen <math>U_1 \in \mathfrak{U}_{\mathcal{T}}(x_1)</math> und <math>U_2 \in \mathfrak{U}_{\mathcal{T}}(x_2)</math> zu erzeugen, für die <math>U_1 \cap U_2 = \emptyset</math> gilt. ==== Beweis (A2.4) Hausdorff-Eigenschaft - Kontraposition ==== Die Topologie der Algebra sei nun durch ein [[Gaugefunktional|Gaugefunktionalsystem]] mit den Eigenschaft (A1)-(A5) erzeugt. Man wendet nun Bedingung (A2) auf <math>x:=x_1-x_2</math> an: :<math display="inline">\displaystyle \left( \forall_{\displaystyle \alpha\in {\mathcal{A}} } : \left\| x \right\| _\alpha = 0 \right) \Longrightarrow x=0_A </math> Man erhält mit der Kontrapostion von (A2) für <math>x= x_1 - x_2 </math> ein <math>\alpha\in \mathcal{A}</math> mit <math>\left\| x_1 - x_2 \right\| _\alpha > 0 </math>, denn: :<math display="inline"> x\not= 0_A \Longrightarrow \displaystyle \left( \exists_{\displaystyle \alpha\in {\mathcal{A}} } : \left\| x \right\| _\alpha > 0 \right) </math> ==== Beweis (A2.5) Hausdorff-Eigenschaft nachweisen ==== Wir wenden nun die obige Kontraposition auf <math>x:= x_1 - x_2 \not=0 </math> an. Daher gibt es ein <math>\alpha \in \mathcal{A}</math> mit :<math> 0 < \lambda := \|x\|_\alpha = \| x_1 - x_2 \|_\alpha = |-1| \cdot \| x_1 - x_2 \|_\alpha = \| x_2 - x_1 \|_\alpha </math> Mit der Bedingung (A4) gibt es zu diesem <math>\alpha \in \mathcal{A}</math> ein <math>\beta \in \mathcal{A}</math> mit :<math>\displaystyle \forall_{\displaystyle x,y\in A} : \left\| x+y \right\| _\alpha\leq \left\| x \right\| _\beta +\left\| y \right\| _\beta </math> ==== Beweis (A2.6) Hausdorff-Eigenschaft - Definition der Umgebungen ==== Setzen nun mit <math>r := \frac{\lambda}{3}</math> die Umgebungen <math>U_1:=B_{r}^{\beta}(x_1)</math> und <math>U_2:=B_{r}^{\beta}(x_2)</math>. Wegen <math> \| x_1 - x_1 \|_\beta = 0 \le r </math> und <math> \| x_2 - x_2 \|_\beta = 0 \le r </math> gilt insbesondere <math>x_1 \in U_1</math> und <math>x_2\in U_2</math>. Um die Hausdorff-Eigenschaft nachzuweisen, ist nun noch <math> U_1 \cap U_2 = \emptyset</math> zu zeigen. ==== Beweis (A2.7) Hausdorff-Eigenschaft - Annahme - Schnitt nicht leer ==== Man nimmt nun an, dass der Schnitt <math>U_1 \cap U_2</math> nicht die leere Menge ist und damit ein <math>x_o \in U_1 \cap U_2 </math> existiert, für das gilt: :<math> \begin{array}{rcl} 0 & < & \lambda := \|x\|_\alpha = \| x_1 - x_2 \|_\alpha = \| (x_1 - x_0) + (x_0 - x_2) \|_\alpha \\ & \leq & \| x_1 - x_0 \|_\beta +\| x_0 - x_2 \|_\beta \leq \frac{\lambda}{3} + \frac{\lambda}{3} = \frac{2\cdot \lambda}{3} \end{array} </math> Widerspruch, wegen <math> 0 < \lambda < \frac{2}{3} \cdot \lambda</math>. Also gilt <math>U_1 \cap U_2 = \emptyset</math> und die Topologie der Algebra ist [[w:de:Hausdorffraum|Hausdorff'sch]]. ==== Bemerkung (A2.7) Hausdorff-Eigenschaft ==== Die Bedingung (A2) liefert also unter Ausnutzung der Bedingung (A4) die [[w:de:Hausdorffraum|Hausdorff-Eigenschaft]] der Algebra <math display="inline">A</math> . Ferner ist die [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologische_Algebra|topologische Algebra]] nach Voraussetzuung [[w:de:Hausdorffraum|Hausdorff'sch]]. Verlangt man die [[w:de:Hausdorffraum|Hausdorff-Eigenschaft]] nicht, entfällt beim Topologisierungslemma die Eigenschaft (A2). === Beweis (A3) Topologie gegeben === Eine topologische Algebra <math>(A,\mathcal{T})</math> ist gegeben und die Eigenschaften (A3) ist zu zeigen. ==== Beweis (A3.1) Stetigkeit der Multiplikation mit Skalaren gegeben ==== In einem topologischen Vektoraum <math>(A,\mathcal{T})</math> (und natürlich auch in einer topologischen Algebra) existiert eine Nullumgebungsbasis aus kreisförmigen Mengen. Betrachtet man die dazugehörigen [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Minkowski-Funktionale|Minkowski-Funktionale]], so sind diese bei kreisförmigen Mengen homogen (also [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Gaugefunktionale|Gaugefunktionale]]). Denn es gilt für beliebige <math>\varepsilon > 0</math>, <math> \lambda \in \mathbb{K}\setminus \{0\}</math> und der Kreisförmigkeit von <math>U_\alpha</math>: :<math> x \in (\|x\|_\alpha +\varepsilon) \cdot U_\alpha \, \Rightarrow \, \frac{|\lambda|}{\lambda} \cdot x \in (\|x\|_\alpha +\varepsilon) \cdot U_\alpha</math> Dies gilt wegen <math>\left| \frac{|\lambda|}{\lambda} \right| = 1 </math> ==== Beweis (A3.2) Stetigkeit der Multiplikation mit Skalaren gegeben ==== Ferner gilt für <math>\lambda \cdot x </math>, <math>\lambda \not=0</math> und <math> \lambda \cdot x \in (\|\lambda \cdot x\|_\alpha +\varepsilon) \cdot U_\alpha </math> :<math> \, |\lambda| \cdot x = \frac{|\lambda|}{\lambda}\cdot \lambda \cdot x \in (\|\lambda \cdot x\|_\alpha +\varepsilon) \cdot U_\alpha</math> Insgesamt erhält man für alle <math> x \in \left( \frac{\|\lambda \cdot x\|_\alpha +\varepsilon}{|\lambda|}\right) \cdot U_\alpha</math> und über Infimumbildung bzgl. <math>\varepsilon > 0</math> erhält man: <math>\|x\|_\alpha \leq \frac{\|\lambda \cdot x\|_\alpha}{|\lambda|}</math> bzw. <math>|\lambda| \cdot \|x\|_\alpha \leq \|\lambda \cdot x\|_\alpha</math>. ==== Beweis (A3.3) Stetigkeit der Multiplikation mit Skalaren gegeben ==== Die umgekehrte Ungleichung <math>|\lambda| \cdot \|x\|_\alpha \geq \|\lambda \cdot x\|_\alpha</math> erhält man mit der Kreisförmigkeit von <math>U_\alpha</math> und <math> \lambda \cdot x \in (\|\lambda \cdot x\|_\alpha +\varepsilon) \cdot U_\alpha </math>: :<math> |\lambda| \cdot \underbrace{\frac{\lambda}{|\lambda|} \cdot x}_{\in (\| x \|_\alpha +\varepsilon) \cdot U_\alpha} \in |\lambda| \cdot (\| x \|_\alpha +\varepsilon) \cdot U_\alpha</math> Also erhält man über die Infimumbildung von <math>\varepsilon > 0 </math> auch <math> \|\lambda \cdot x\|_\alpha \leq |\lambda| \cdot \| x \|_\alpha </math>. ==== Beweis (A3.4) Stetigkeit der Multiplikation mit Skalaren gegeben ==== Beweisschritt (A3.2) und (A3.3) zusammen liefert die Gleichheit <math>|\lambda| \cdot \|x\|_\alpha = \|\lambda \cdot x\|_\alpha</math>. === Beweis (A3) Gaugefunktionalsystem gegeben === Ist umgekehrt auf einer Algebra ein topologieerzeugendes [[Gaugefunktional|Gaugefunktionalsystem]] <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{{\mathcal{A}} }</math> gegeben, dass Eigenschaften <math>(A1)-(A5)</math> erfüllt, dann ist die Stetigkeit der Multiplikation mit Skalaren bzgl. <math>\mathcal{T}</math> zu zeigen. ==== Beweis (A3.5) Stetigkeit der Multiplikation mit Skalaren zeigen ==== Ist umgekehrt ein Nullfolge <math>(\lambda_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> und ein Netz <math>(x_i)_{i\in I}</math> gegeben, das in der Topologie <math>(A,\mathcal{T})</math> gegen den Nullvektor <math>0_A</math> konvergiert, so gilt: :<math> \displaystyle \forall_{\varepsilon > 0, \alpha \in \mathcal{A}} \exists_{n_\varepsilon \in \mathbb{N}, i_\alpha \in I} \forall_{n \geq n_\varepsilon, i \geq i_\alpha} \, : \, \, |\lambda_n | < \varepsilon \, \wedge x_i \in U_\alpha </math> Damit erhält man durch Anwendung von Bedingung (A3): :<math> \displaystyle \forall_{\varepsilon > 0, \alpha \in \mathcal{A}} \exists_{n_\varepsilon \in \mathbb{N}, i_\alpha \in I} \forall_{n \geq n_{\varepsilon}, i \geq i_\alpha} \, : \, \, \|\lambda_n \cdot x_i\|_\alpha \stackrel{(A3)}{=} |\lambda_n| \cdot \underbrace{\|x_i\|_\alpha}_{\leq 1} < \varepsilon \cdot 1 = \varepsilon </math> ==== Beweis (A3.6) Stetigkeit der Multiplikation mit Skalaren zeigen ==== Insgesamt konvergiert <math>(\lambda_n \cdot x_i)_{(n,i) \in \mathbb{N}\times I}</math> ebenfalls gegen den Nullvektor <math>0_A</math>, da für alle <math>U\in \mathfrak{U}_{\mathcal{T}}(0_A)</math> eine kreisförmige Nullumgebung <math>U_\alpha \subseteq U</math> existiert. Für diese kreisförmige Nullumgebung gibt es dann eine Indexschranke <math>i_\alpha \in I</math>, ab der alle <math> x_i \in U_\alpha \subseteq U </math> liegen mit <math>i \geq i_\alpha</math>. Für eine kreisförmige Nullumgebungsbasis aus <math>U_\alpha:= B_1^\alpha(0_A)</math> und <math>|\lambda_n| < 1 </math> liegt auch in <math>\lambda_n \cdot x_i \in U_\alpha \subset U</math> (d.h. <math> \lambda_n \cdot x_i \in U</math> mit <math>n > n_\varepsilon</math>. Die Indexschranke existiert wegen Konvergenz von <math>(\lambda_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> geben <math> 0 \in \mathbb{K}</math>. Insgesamt ist damit die Stetigkeit der Multiplikation mit Skalaren auf <math display="inline">A</math> gezeigt. === Beweis (A4) Topologie gegeben === Eine topologische Algebra <math>(A,\mathcal{T})</math> ist gegeben und die Eigenschaften (A4) ist zu zeigen. ==== Beweis (A4.1) Stetigkeit der Addition ==== Die Stetigkeit der Addition liefert: :<math display="block"> \forall_{\displaystyle U_{\alpha}\in \mathfrak{U} (0_A)} \exists_{\displaystyle U_\beta\in \mathfrak{U} (0_A)} : U_\beta + U_\beta \subset U_\alpha </math> Insbesondere gilt <math display="inline">U_\beta = U_\beta + \{0_A\} \subset U_\beta + U_\beta \subset U_\alpha</math>, weil <math>0_A \in U_\beta</math> gilt. Also erhält man mit <math display="inline">U_\beta \subset U_\alpha</math> für die entsprechenden Minkowskifunktionale auch <math display="inline">\left\| x \right\| _\alpha \leq \left\| x \right\| _\beta</math> für alle <math display="inline">x\in A</math>. D.h. man muss eine absorbierende Teilmenge <math display="inline">U_\beta</math> im Vergleich zu <math display="inline">U_\alpha</math> ggf. stärker aufblasen, um das entsprechende <math>x \in A</math> einzufangen. ==== Beweis (A4.2) Stetigkeit der Addition ==== Für <math display="inline">\left\| x \right\| _\beta = 0</math> und <math display="inline">\left\| y \right\| _\beta = 0</math> ist <math>x,y \in \lambda \cdot U_\beta</math> für alle <math>\lambda > 0</math>. Also sind insbesondere auch :<math>x+y \in \lambda \cdot U_\beta +\lambda \cdot U_\beta = \lambda \cdot (U_\beta + U_\beta) \subset \lambda \cdot U_\alpha</math> für alle <math>\lambda > 0</math>. Damit erhält man die gesuchte (Un-)Gleichung direkt mit :<math display="inline">\left\| x+y \right\|_\alpha = 0 = \underbrace{\left\| x \right\| _\beta}_{=0} + \underbrace{\left\| y \right\| _\beta}_{=0} </math> für alle <math>z\in A</math>. ==== Beweis (A4.3) Stetigkeit der Addition gegeben ==== Für <math display="inline">\left\| x \right\| _\beta \not= 0</math> und <math display="inline">\left\| y \right\| _\beta = 0</math> gilt, dass <math>y \in \lambda \cdot U_\beta</math> für alle <math>\lambda >0 </math>. Ferner gilt auch für alle <math>\varepsilon >0 </math> wegen Infimumsdefintion des Minkowski-Funktionals <math>x \in (\varepsilon + \|x\|_\beta )\cdot U_\beta</math>. ==== Beweis (A4.4) Stetigkeit der Addition gegeben ==== Man erhält die gesuchte Ungleichung mit <math>y \in \lambda \cdot U_\beta</math> für alle <math>\lambda >0 </math> :<math> \begin{array}{rcl} x+y & \in &(\varepsilon + \|x\|_\beta )\cdot U_\beta + (\underbrace{\varepsilon + \|x\|_\beta )}_{\lambda :=}\cdot U_\beta \\ & = & (\varepsilon + \|x\|_\beta )\cdot (U_\beta + U_\beta) \\ & \subseteq & (\varepsilon + \|x\|_\beta )\cdot U_\alpha \end{array} </math> für alle <math>\varepsilon >0 </math>. Also gilt auch <math>\left\| x + y \right\|_\alpha \leq \left\| x \right\| _\beta = \left\| x \right\| _\beta + \underbrace{\left\| y \right\| _\beta}_{=0} </math>. ==== Beweis (A4.5) Stetigkeit der Addition gegeben ==== Für <math display="inline">\left\| x \right\| _\beta = 0</math> oder <math display="inline">\left\| y \right\| _\beta \not= 0</math> erhält man die Aussage analog. ==== Beweis (A4.6) Stetigkeit der Addition ==== Seien nun <math display="inline">\left\| x \right\| _\beta\not=0</math> und <math display="inline">\left\| y \right\| _\beta\not= 0</math>. Nach Definition der [[Minkowski-Funktional|Minkowski-Funktionale]] für die Nullumgebungen <math display="inline">U_\alpha</math> und <math display="inline">U_\beta</math>, erhält man für jedes <math display="inline">\varepsilon > 0</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \frac{x}{\left\| x \right\| _\beta+\varepsilon} \in U_\beta \, \wedge \, \frac{y}{\left\| y \right\| _\beta+\varepsilon} \in U_\beta &\Longrightarrow& \frac{x}{\left\| x \right\| _\beta+\left\| y \right\| _\beta}, \frac{y}{\left\| x \right\| _\beta+\left\| y \right\| _\beta} \in U_\beta \\ & \Longrightarrow & \frac{x+y}{\left\| x \right\| _\beta+\left\| y \right\| _\beta} \in U_\beta + U_\beta \subset U_\alpha \\ &\Longrightarrow& \left\| \frac{x+y}{\left\| x \right\| _\beta+\left\| y \right\| _\beta} \right\| _\alpha \leq 1 \Longrightarrow \mbox{ Beh. (A4). } \end{array} </math> Dabei wird die Kreisförmigkeit bzw. Homogenität (A3) der [[Minkowski-Funktional|Minkowski-Funktionale]] aus den vorherigen Beweischritten verwendet. === Beweis (A4) Gaugefunktionalsystem gegeben === Ist umgekehrt auf einer Algebra ein topologieerzeugendes [[Gaugefunktional|Gaugefunktionalsystem]] <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{{\mathcal{A}} }</math> gegeben, dass Eigenschaften <math>(A1)-(A5)</math> erfüllt, dann ist die Stetigkeit der Addition bzgl. <math>\mathcal{T}</math> zu zeigen. ==== Beweis (A4.7) Addition - Topologisierung durch Gaugefunktionale ==== Wird umgekehrt die Topologie <math>\mathcal{T}</math> durch <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{\mathcal{A}} </math> erzeugt und gilt die Bedingung (A4), dann gilt: :<math display="block"> \forall_{\displaystyle \alpha\in {\mathcal{A}} } \exists {\beta \in {\mathcal{A}} } \forall_{\displaystyle x,y\in A} : \left\| x+y \right\| _\alpha\leq \left\| x \right\| _\beta +\left\| y \right\| _\beta, </math> ==== Beweis (A4.8) Addition - Topologisierung durch Gaugefunktionale ==== Dann ist die Addition auf <math display="inline">A</math> stetig, denn zu jeder Nullumgebung <math>U_\alpha</math> aus der kreisförmigen Nullumgebungsbasis mit <math>0 < \varepsilon < \frac{1}{2}</math>, <math display="inline">x,y\in {\rm B}^\beta_{\varepsilon}(0)=: U_\beta</math> und <math display="inline">{\rm B}^\alpha_1(0)=: U_\alpha</math> gilt: :<math display="block"> \left\| x+y \right\| _\alpha \leq \left\| x \right\| _\beta +\left\| y \right\| _\beta \leq \varepsilon + \varepsilon < \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 </math> Insgesamt gilt <math> x+y\in U_\alpha </math> und zu jeder kreisförmigen Nullumgebung <math>U_\alpha</math> gibt es <math>U_\beta \in \mathfrak{U}_{\mathcal{T}}(0_A)</math> mit <math>U_\beta + U_\beta \subseteq U_\alpha</math>. === Beweis (A5) Topologie gegeben === Eine topologische Algebra <math>(A,\mathcal{T})</math> ist gegeben und die Eigenschaften (A5) ist zu zeigen. ==== Beweis (A5.1) Multiplikation - Topologie gegeben ==== Mit der Stetigkeit der Multiplikation erhält man wie in <math display="inline">(A4)</math> erhält man :<math display="block"> \forall_{\displaystyle U_{\alpha}\in \mathfrak{U} (0)} \exists_{\displaystyle U_\beta\in \mathfrak{U} (0)} : U_\beta \cdot U_\beta = U_\beta^{^2} \subset U_\alpha </math> ==== Beweis (A5.2) Multiplikation - Topologie gegeben ==== Sei <math display="inline">\varepsilon >0</math> beliebig gewählt und die Behauptung <math display="inline">(A5)</math>, denn: :<math display="block"> \frac{x}{\left\| x \right\| _\beta+\varepsilon}\cdot \frac{y}{\left\| y \right\| _\beta+\varepsilon} \in U_\beta \cdot U_\beta = U_\beta^2 \subset U_\alpha </math> ==== Beweis (A5.3) Multiplikation - Topologie gegeben ==== Aus <math display="inline"> \frac{x}{\left\| x \right\| _\beta+\varepsilon}\cdot \frac{y}{\left\| y \right\| _\beta+\varepsilon} \in U_\alpha </math> folgt für alle <math display="inline">\varepsilon>0</math> unter Anwendung von Eigenschaft (A3), die mit obigen Beweisschritt für toplogische Algebren gilt auch: :<math display="block"> \begin{array}{rcl} \left\| \frac{x}{\left\| x \right\| _\beta+\varepsilon}\cdot \frac{y}{\left\| y \right\| _\beta+ \varepsilon } \right\| _\alpha & \leq & 1 \Longrightarrow \\ \left\| x\cdot y \right\| _\alpha & \leq & (\left\| x \right\| _\beta+\varepsilon ) \cdot (\left\| y \right\| _\beta+ \varepsilon) \end{array} </math> Da <math display="inline">\varepsilon>0</math> beliebig gewählt war, gilt auch <math display="inline">\left\| x\cdot y \right\| _\alpha\leq \left\| x \right\| _\beta\cdot \left\| y \right\| _\beta</math> für alle <math display="inline">x,y \in A</math>. === Beweis (A5) Gaugefunktionalsystem gegeben === Ist umgekehrt auf einer Algebra ein topologieerzeugendes [[Gaugefunktional|Gaugefunktionalsystem]] <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{{\mathcal{A}} }</math> gegeben, dass Eigenschaften <math>(A1)-(A5)</math> erfüllt, dann ist die Stetigkeit der Multiplikation bzgl. <math>\mathcal{T}</math> zu zeigen. ==== Beweis (A5.4) Multiplikation - Topologisierung durch Gaugefunktionale ==== Erfüllt das topologieerzeugendes [[Gaugefunktional|Gaugefunktionalsystem]] <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{{\mathcal{A}} }</math> die Bedingung (A5), so gilt: :<math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle \alpha\in {\mathcal{A}} } \exists {\beta \in {\mathcal{A}} } \forall_{\displaystyle x,y\in A} : \left\| x\cdot y \right\| _\alpha\leq \left\| x \right\| _\beta \cdot \left\| y \right\| _\beta </math> ==== Beweis (A5.5) Multiplikation - Topologisierung durch Gaugefunktionale ==== Dann erhalten wird umgekehrt mit der gleichen Definition von <math display="inline">U_\alpha</math> und <math display="inline">U_\beta</math> als offene Einheitskugeln <math>U_\alpha := B_1^\alpha (0_A)</math> und <math>U_\beta := B_\varepsilon^\beta (0_A)</math> mit <math>0 < \varepsilon < 1 </math> offene Nullumgebungen. Wir zeigen nun, dass alle <math> x, y \in U_\beta</math> das Produkt <math>x\cdot y \in U_\alpha</math> liegt. Wegen <math>\varepsilon < 1 </math> gilt insbesondere <math>U_\beta := B_\varepsilon^\beta (0_A) \subset B_1^\beta (0_A) =: U_\gamma</math> und damit ist <math>\|x\|_\beta \geq \|x\|_\gamma := p_{U_\gamma}(x)</math> (siehe Zusammenhang von Mengeninklusion und der <math>\leq</math>-Beziehung über [[Minkowski-Funktional|absorbierende Mengen]] und [[Gaugefunktional|Gaugefunktionale]]). ==== Beweis (A5.6) Nullumgebung - kreisförmige Nullumgebung ==== In der Rückrichtung von (A5) erhält man zu jeder Nullumgebung <math>U</math> eine kreiförmige Nullumgebung <math>U_\alpha</math> aus der Umgebungsbasis von kreisförmigen Mengen mit <math>U_\alpha \subset U</math>, die von einem Gaugefunktional <math>\|\cdot \|_\alpha</math> als Einheitskugel erzeugt wurde. Dies gilt, weil das Gaugefunktionalsystem <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{{\mathcal{A}} }</math> topologieerzeugend ist. Sei nun <math>x,y\in U_\beta</math> :<math> 1 > \varepsilon ^2 = \varepsilon \cdot \varepsilon \geq \|x\|_\beta \cdot \|y\|_\beta \stackrel{(A5)}{\geq} \|x\cdot y\|_\alpha</math> Man erhält also <math> \|x\cdot y\|_\alpha < 1</math> und damit <math> x\cdot y\in U_\alpha </math>. ==== Beweis (A5.7) Multiplikation - Topologisierung durch Gaugefunktionale ==== Die Stetigkeit der Multiplikation bei einer durch das System <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{\mathcal{A}} </math> erzeugten Topologie erhält man dann für eine beliebige Nullumgebung <math>U\in \mathfrak{U}_{\mathcal{T}}(0_A)</math> eine kreisförmige Nullumgebung <math>U_\alpha \subset U</math> und mit (A5) ein <math>U_\beta</math> mit :<math> U_\beta \cdot U_\beta = U_\beta^2 \subseteq U_\alpha \subseteq U </math> Damit die Multiplikation auf <math>(A,\mathcal{T})</math> stetig. === Beweisschritte (A1)-(A5) === Insgesamt wurde gezeigt, dass man bei topologischen Algebren <math>(A,\mathcal{T})</math> die Stetigkeit der Verknüpfungen auf der Algebra auch mit dem topologieerzeugenden [[Gaugefunktional|Gaugefunktionalsystem]] nachweisen kann bzw. für weiterführende Aussagen auf topologischen Algebren allein mit dem [[Gaugefunktional|Gaugefunktionalsystem]] arbeiten kann. <math>\Box</math> == Basiserzeugendes Topologisierungslemma == Sei <math display="inline">A</math> eine Algebra. <math display="inline">A</math> ist genau dann eine Hausdorff'sche topologische Algebra <math display="inline">(A,\mathcal{T})</math>, wenn die Topologie <math display="inline">\mathcal{T}</math> durch ein [[Basiserzeugendes Gaugefunktionalsystem|'''basiserzeugendes''']] [[Gaugefunktional|<math>p</math>-Gaugefunktionalsystem]] <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{{\mathcal{A}} }</math> mit (B1)-(B5) erzeugt werden kann: * (B1) <math display="inline">\displaystyle \forall_{ \alpha\in {\mathcal{A}} , x\in A} \, \left\| x \right\| _\alpha \geq 0</math> * (B2) <math display="inline">\displaystyle \left( \forall_{ \alpha\in {\mathcal{A}} } \, \left\| x \right\| _\alpha = 0 \right) \Longrightarrow x = 0_A </math> * (B3) <math display="inline">\displaystyle \forall_{ \alpha\in {\mathcal{A}} ,x\in A,\lambda\in \mathbb{K}} \, \left\| \lambda\cdot x \right\| _\alpha = |\lambda|^p \cdot \left\| x \right\| _\alpha</math> * (B4) <math display="inline">\displaystyle \forall_{ \alpha\in {\mathcal{A}} } \exists_{ \beta \in {\mathcal{A}} , K > 0 } \forall_{ x,y\in A} \, \left\| x+y \right\| _\alpha \leq K \cdot \left( \left\| x \right\| _\beta +\left\| y \right\| _\beta \right) </math> * (B5) <math display="inline">\displaystyle \forall_{ \alpha\in {\mathcal{A}} } \exists_{ \beta \in {\mathcal{A}} , M > 0 } \forall_{\displaystyle x,y\in A} \, \left\| x\cdot y \right\| _\alpha \leq M \cdot \left\| x \right\| _\beta \cdot \left\| y \right\| _\beta </math> === Bemerkung: Basiserzeugende Gaugefunktionalsystem === Ein [[Basiserzeugendes Gaugefunktionalsystem|basiserzeugendes Gaugefunktionalsystem]] hat die gleiche Funktion wie die Verwendung von <math>\varepsilon</math>-Umgebungen in der Analysis. Über die <math>\varepsilon</math>-Umgebungen in <math>\mathbb{R}</math> hat man eine Basis der Standardtopologie auf <math>\mathbb{R}</math> gegeben, über die man Konvergenz, Stetigkeit und andere topologische Eigenschaften ausdrücken kann. Dabei wurden ein analoges Vorgehen wie bei Gaugefunktionalen verwendet. :<math> x \in B_\varepsilon^{| \cdot |}(x_0) \Longleftrightarrow | x-x_0 | < \varepsilon \Longleftrightarrow x \in \, \, ]x_0 - \varepsilon,x_0 + \varepsilon [ </math> === Beweisaufgabe für Studierende === Zeigen Sie die obigen Eigenschaften (B1)-(B2) unter Verwendung der Eigenschaft des Gaugefunktionalsystems, basiserzeugend zu sein. Für jede Nullumgebung <math>U \in \mathfrak{U}_{\mathcal{T}}(0_A)</math> gibt es dann ein <math> \alpha \in \mathcal{A}</math> <math>\varepsilon > 0 </math> mit :<math> U \subseteq B_\varepsilon^{\alpha}(0_A) := \left\{ x \in A \, \colon \, \| x \|_\alpha < \varepsilon \right\} </math> == Aufgaben für Studierende == Sei <math>A:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> die Menge der stetigen Funktionen von <math>\mathbb{R}</math> nach <math>\mathbb{R}</math> mit der folgenden Addition und Multiplikation auf dem Vektorraum: * (Addition) <math>f,g \in A</math> definiert man <math>f+g</math> argumentweise <math>(f+g)(x):=f(x)+g(x)</math> für alle <math>x \in \mathbb{R}</math> * (Multiplikation) <math>f,g \in A</math> definiert man <math>f \cdot g</math> argumentweise <math>(f\cdot g)(x):=f(x)\cdot g(x)</math> für alle <math>x \in \mathbb{R}</math> Ferner definiert man ein Gaugefunktionalsystem <math>\|\cdot\|_{\mathcal{A}}</math> mit <math>\mathcal{A}:= \mathbb{R}</math> und <math>\|f\|_\alpha := |f(\alpha)|</math>. === Aufgabe 1 === Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot\|_{\mathcal{A}}</math> ein Halbnormensystem ist. === Aufgabe 2 === * Geben Sie ein <math>f \in A\setminus\{0_A\}</math> an, für das <math>\|f\|_\alpha = 0 </math> gilt für <math>\alpha = 2</math> und <math>\alpha = -2</math> an. * Geben Sie ein <math>g \in A\setminus\{0_A\}</math> an, für das <math>\|f\|_\alpha = 0 </math> gilt für <math>\alpha \in \mathbb{Z}</math> an. === Aufgabe 3 === Sei <math>K := \{ f\in A \, : \, f \mbox{ konstant } \} </math> die Menge der konstanten Funktionen in <math>A</math>, <math>K_{\varepsilon}^{\alpha} := \{ f\in K \, : \, \|f\|_\alpha < \varepsilon \wedge f \mbox{ konstant } \}</math> und <math>N_{\alpha} := \{ f\in K \, : \, \|f\|_\alpha = 0 \}</math>. Zeigen Sie, dass folgende Aussage gilt: :<math>B_{\varepsilon}^{\alpha}(f) := \{f\} + N_{\alpha} + K_{\varepsilon}^{\alpha}</math>. === Aufgabe 4 === Zeigen Sie, dass die Hausdorff-Eigenschaft (A2) in dieser topologischen Algebra gilt. Nehmen Sie an, dass <math>f,g \in A</math> mit <math>f\not= g</math> gilt und Sie damit ein <math>\alpha_o \in {\mathcal{A}}</math> finden können, in dem <math>f(\alpha_o)\not= g(\alpha_o)</math> gilt. Konstruktruieren mit den Gaugefunktionalen zwei Umgebungen <math>U_1 \in \mathfrak{U}_\mathcal{T}(f)</math> und <math>U_2 \in \mathfrak{U}_\mathcal{T}(g)</math> mit <math>U_1 \cap U_2 = \emptyset </math>. === Aufgabe 5 === Zeigen Sie, dass die Menge <math>N_{\alpha} := \{ f\in K \, : \, \|f\|_\alpha = 0 \}</math> ein [[Ideal (Algebra)|Ideal]] in [[Topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>A:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> ist. == Siehe auch == * [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Minkowski-Funktionale|Minkowski-Funktionale]] * [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Gaugefunktionale|Gaugefunktionale]] * [[Stetigkeitssequenz]] * [[Ideal (Algebra)]] * [[Topologische Algebra]] * [[Topologische Gruppe]] * [[unitale topologische Algebra]] * [[unitales Topologisierungslemma]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Konvergenz in Funktionenräumen|Konvergenz in Funktionenräumen]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologisierungslemma%20f%C3%BCr%20Algebren&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologisierungslemma%20f%C3%BCr%20Algebren&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologisierungslemma%20f%C3%BCr%20Algebren https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologisierungslemma%20f%C3%BCr%20Algebren] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologisierungslemma%20f%C3%BCr%20Algebren Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologisierungslemma%20f%C3%BCr%20Algebren * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologisierungslemma%20f%C3%BCr%20Algebren&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] [[Category:Funktionalanalysis]] <noinclude> [[en:Topologization Lemma for algebras]] </noinclude> pab9dctjodgbuyd0l5qe8lucn3d2m2x 1118923 1118922 2026-11-05T10:47:08Z Bert Niehaus 20843 /* Charakterisierende Eigenschaften (U1)-(U5) */ 1118923 wikitext text/x-wiki == Einführung == Das Topologisierungslemma für Algebren erlaubt die Beschreibung der Stetigkeit von den Verknüpfungen in einer topologischen Algebra über [[Gaugefunktional|Gaugefunktionale]]. Diese Lernressource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologisierungslemma%20f%C3%BCr%20Algebren&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Hausdorf-Raum === In dem folgenden [[Topologisierungslemma für Algebren]] liefert die [[Hausdorff-Raum|Hausdorffeigenschaft]] ein gültiges Trennungsaxiom über die Eigenschaft (T2). Für unitale [[topologische Algebra|topologische Algebren]] <math>(A,\mathcal{T}_{\!\!\!\!_A})</math> mit der [[topologischer Vektorraum|Topologie]] <math>\mathcal{T}_{\!\!\!\!_A}</math> muss die topologische Algebra zumindest das Einselement <math>e_{\!\!_A}</math> und den Nullvektor <math>0_{\!\!_A}</math> durch eine Nullumgebung trennen können, d.h., es gibt eine Nullumgebung <math>U_0\in \mathcal{T}_{\!\!\!\!_A}</math> mit <math>e_{\!\!_A}\notin U_0</math>. Diese Eigenschaften ist bei [[Hausdorff-Raum|Hausdorff-Räumen]] immer gegeben. == Topologisierungslemma für Algebren == Sei <math display="inline">A</math> eine Algebra. <math display="inline">A</math> ist genau dann eine topologische Algebra <math display="inline">(A,\mathcal{T})</math>, die die [[Hausdorff-Raum|Hausdorfeigenschaft]] erfüllt, wenn die Topologie <math display="inline">\mathcal{T}</math> durch ein Gaugefunktionalsystem <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{{\mathcal{A}} }</math> mit den Eigenschaften (A1)-(A5) erzeugt werden kann. === Charakterisierende Eigenschaften (A1)-(A5) === * (A1) <math display="inline">\displaystyle \forall_{ \alpha\in {\mathcal{A}} ,x\in A} : \left\| x \right\| _\alpha \geq 0</math> * (A2) <math display="inline">\displaystyle \left( \forall_{ \alpha\in {\mathcal{A}} } : \left\| x \right\| _\alpha = 0 \right) \Longrightarrow x=0_A </math> * (A3) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\alpha\in {\mathcal{A}} ,x\in A,\lambda\in \mathbb{K}} : \left\| \lambda\cdot x \right\| _\alpha = |\lambda|\cdot \left\| x \right\| _\alpha </math> * (A4) <math display="inline">\displaystyle \forall_{ \alpha\in {\mathcal{A}} } \exists_{ \beta \in {\mathcal{A}} } \forall_{ x,y\in A } : \left\| x+y \right\| _\alpha \leq \left\| x \right\| _\beta +\left\| y \right\| _\beta </math> * (A5) <math display="inline">\displaystyle \forall_{ \alpha\in {\mathcal{A}} } \exists_{ \beta \in {\mathcal{A}} } \forall_{ x,y\in A } : \left\| x\cdot y \right\| _\alpha \leq \left\| x \right\| _\beta \cdot \left\| y \right\| _\beta </math> == Topologisierunglemma für Vektorräume == Sei <math display="inline">V</math> eine Vektorraum. <math display="inline">V</math> ist genau dann eine topologischer Vektorraum <math display="inline">(V,\mathcal{T})</math>, der die Hausdorfeigenschaft erfüllt, wenn die Topologie <math display="inline">\mathcal{T}</math> durch ein Gaugefunktionalsystem <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{{\mathcal{A}} }</math> mit den Eigenschaften (V1)-(V4) erzeugt werden kann. === Charakterisierende Eigenschaften (V1)-(V4) === * (V1) <math display="inline">\displaystyle \forall_{ \alpha\in {\mathcal{A}} ,x\in V} : \left\| x \right\| _\alpha \geq 0</math> * (V2) <math display="inline">\displaystyle \left( \forall_{ \alpha\in {\mathcal{A}} } : \left\| x \right\| _\alpha = 0 \right) \Longrightarrow x=0_V </math> * (V3) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\alpha\in {\mathcal{A}} ,x\in V,\lambda\in \mathbb{K}} : \left\| \lambda\cdot x \right\| _\alpha = |\lambda|\cdot \left\| x \right\| _\alpha </math> * (V4) <math display="inline">\displaystyle \forall_{ \alpha\in {\mathcal{A}} } \exists_{ \beta \in {\mathcal{A}} } \forall_{ x,y\in V } : \left\| x+y \right\| _\alpha \leq \left\| x \right\| _\beta +\left\| y \right\| _\beta </math> === Bemerkung - Topologisierunglemma für topologische Vektorräume === Den topologischen Vektorräumen <math display="inline">(V,\mathcal{T})</math> fehlt die stetige innere Verknüfung der Multiplikation <math> \cdot : V\times V \to V</math>. Daher erhält man für topologische Vektorräume nur vier charakterisierende Eigenschaften (V1)-(V4). Der Beweis der Eigenschaften erfolgt analog zu den Beweis für das Topologisierungslemma für topologische Algebren. === Hausdorff-Eigenschaft === Wenn eine [[topologische Algebra|topologische Algebra]] oder ein [[topologischer Vektorraum]] die Hausdorfeigenschaft nicht erfüllt, gilt (A2) bzw. (V2) nicht und man kann zwei Punkte <math>x_1 \not= x_2</math> ebenfalls nicht mehr durch das Gaugefunktionalsystem trennen. Wenn nicht anders angegeben, sind die topologischen Algebren Hausdorff'sch. Für unitale [[topologische Algebra|topologische Algebra]] mit Einselement <math>e_{\!\!_A}</math> muss es zumindest, gibt es wenigstens ein unital positives und [[Gaugefunktionalsystem/normalisiert|normalisiertes Gaugefunktionalsystem]] <math>\|\cdot\|_\mathcal{A}</math>. == Topologisierungslemma für unitale Algebren == Sei <math display="inline">A</math> eine Algebra mit Einselement <math>e_{\!\!_A}</math>. <math display="inline">A</math> ist genau dann eine topologische Algebra <math display="inline">(A,\mathcal{T})</math>, dass Einselement <math>e_{\!\!_A}</math> und Nullvektor <math>0_{\!\!_A}</math>, wenn die Topologie <math display="inline">\mathcal{T}</math> durch ein normalisiertes Gaugefunktionalsystem <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{{\mathcal{A}} }</math> mit den Eigenschaften (U1)-(U5) erzeugt werden kann. === Charakterisierende Eigenschaften (U1)-(U5) === * (U1) <math display="inline">\displaystyle \forall_{ \alpha\in {\mathcal{A}} ,x\in A} : \left\| x \right\| _\alpha \geq 0</math> * (U2) <math display="inline">\displaystyle \forall_{ \alpha\in {\mathcal{A}} } : \left\| e_{\!\!_A} \right\| _\alpha = 1 </math> * (U3) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\alpha\in {\mathcal{A}} ,x\in A,\lambda\in \mathbb{K}} : \left\| \lambda\cdot x \right\| _\alpha = |\lambda|\cdot \left\| x \right\| _\alpha </math> * (U4) <math display="inline">\displaystyle \forall_{ \alpha\in {\mathcal{A}} } \exists_{ \beta \in {\mathcal{A}}, \, C_\beta > 0 } \forall_{ x,y\in A } : \left\| x+y \right\| _\alpha \leq C_\beta \cdot \left( \left\| x \right\| _\beta +\left\| y \right\| _\beta \right) </math> * (U5) <math display="inline">\displaystyle \forall_{ \alpha\in {\mathcal{A}} } \exists_{ \beta \in {\mathcal{A}} , \, C_\beta > 0 } \forall_{ x,y\in A } : \left\| x\cdot y \right\| _\alpha \leq C_\beta \cdot \left( \left\| x \right\| _\beta \cdot \left\| y \right\| _\beta \right) </math> === Bemerkung 1: Beweisstruktur === Für den Beweis muss man zwei Richtungen zeigen, * dass für eine topologische Algebra <math display="inline">(A,\mathcal{T})</math> ein System von Gaugefunktionalen <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{{\mathcal{A}} }</math> mit folgenden Eigenschaften (A1)-(A5) existiert und * umgekehrt erzeugt ein System <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{{\mathcal{A}} }</math> von Gaugefunktionalen mit (A1)-(A5) eine Topologie <math display="inline">\mathcal{T}</math> auf <math>A</math>, die <math display="inline">(A,\mathcal{T})</math> zu einer topologischen Algebra macht. === Bemerkung 2: Äquivalentes Gaugefunktionalsystem === Ohne Einschränkung verwenden wir ein Gaugefunktionalsystem, das bzgl. des Radius der <math>\varepsilon</math>-Kugeln vollständig erweitert ist. D.h. man erweitert das Gaugefunktionalsystem auch um äquivalente Gaugefunktional der Form <math>\| \cdot \|_{(\alpha,\varepsilon)}:=\varepsilon \cdot \| \cdot \|_{\alpha}</math>. Das erspart die Verwendung von Konstanten in dem folgenden Beweis. === Stetigkeit in einem Punkt === In dem Beweis geht ein, dass man bei linearen bzw. bilinearen Abbildung die Stetigkeit nur in einem Punkt (hier Nullvektor nachweisen muss, um die Stetigkeit auf dem ganzen Definitionsbereich der (bi-)linearen Abbildung nachzuweisen (siehe auch [[Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]]) == Beweisidee == Der folgende Beweis stellt für die Eigenschaften (A1)-(A5) die folgenden Beziehung zur Topologie und Mengen her. * (A1) <math display="inline">\left\| x \right\| _\alpha \geq 0</math> - Definition des Minkowski-Funktional für absorbierende Mengen * (A2) <math display="inline">\displaystyle \left( \forall_{\displaystyle \alpha\in {\mathcal{A}} } : \left\| x \right\| _\alpha = 0 \right) \Longrightarrow x=0_A </math> Hausdorff-Eigenschaft der Topologie * (A3) <math display="inline"> \left\| \lambda\cdot x \right\| _\alpha = |\lambda|\cdot \left\| x \right\| _\alpha</math> Stetigkeit der Multiplikation mit Skalaren * (A4) <math display="inline"> \left\| x+y \right\| _\alpha\leq \left\| x \right\| _\beta +\left\| y \right\| _\beta </math> Stetigkeit der Addition * (A5) <math display="inline"> \left\| x\cdot y \right\| _\alpha\leq \left\| x \right\| _\beta \cdot \left\| y \right\| _\beta </math> Stetigkeit der Multiplikation == Beweis == Topologische Vektorräume besitzen eine Nullumgebungsbasis <math display="inline">\{U_\alpha\}_{\alpha\in {\mathcal{A}} } </math> aus kreisförmigen Mengen. Man betrachtet dann als System der die [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Minkowski-Funktionale|Minkowski-Funktionale]] <math display="inline">\|\cdot \|_\alpha</math> mit <math>\alpha\in {\mathcal{A}} </math> dieser kreisförmigen Nullumgebungen <math display="inline">\{U_\alpha\}_{\alpha\in {\mathcal{A}} } </math>. Nur sind jeweils zwei Beweisrichtungen zu zeigen: * Eine topologische Algebra <math>(A\mathcal{T})</math> ist gegeben und die Eigenschaften (A1)-(A5) sind zu zeigen und umgekehrt * bei gegeben topologieerzeugenden [[Gaugefunktional|Gaugeunktionalen]] mit den Eigenschaften <math display="inline">(A1)-(A5)</math> für <math>\mathcal{T}</math> wird die Algebra zu einer topologischen Algebra. === Beweis (A1) Topologie gegeben === Eine topologische Algebra <math>(A,\mathcal{T})</math> ist gegeben und die Eigenschaften (A1) ist zu zeigen. ==== Beweis (A1.1) - Nicht-Negativität ==== Mit der kreisförmigen Nullumgebung <math display="inline">U_\alpha \in \mathfrak{U}_\mathcal{T}(0_A) </math> definiert man das Minkowskifunktional: :<math display="inline"> \|x\|_\alpha := \inf \{ \lambda > 0 \, : \, x \in \lambda \cdot U_\alpha \} </math>. ==== Beweis (A1.2) - Nicht-Negativität ==== Die Eigenschaft der Nichtnegativität folgt aus der Definition des [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Minkowski-Funktionale|Minkowski-Funktionals]], da ein Infimum über positive Zahlen gebildet wird, mit der eine absorbierende (kreisförmige) Menge <math display="inline">U_\alpha \in \mathfrak{U}_\mathcal{T}(0_A) </math> noch ein Element <math>x \in A</math> "einfängt" (<math display="inline">x \in \lambda \cdot U_\alpha</math>. Ein Infimum von positiven Zahlen ist zumindest nicht negativ (d.h. <math display="inline">0\leq \|x\|_\alpha \leq \lambda</math>). === Beweis (A1) Gaugefunktionalsystem gegeben === Ist umgekehrt auf einer Algebra ein topologieerzeugendes Gaugefunktionalsystem <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{{\mathcal{A}} }</math> gegeben, dass Eigenschaften <math>(A1)-(A5)</math>, dann gibt es eine Nullumgebungsbasis <math display="inline">\{U_\alpha\}_{\alpha\in {\mathcal{A}} } </math> aus kreisförmigen Mengen. ==== Beweis (A1.3) Gaugefunktionalsystem gegeben ==== Man definiert die Nullumgebungsbasis <math display="inline">\{\varepsilon \cdot U_\alpha\}_{\alpha\in {\mathcal{A}, \lambda >0} } </math> mit: :<math>U_{\alpha} := B_1^\alpha(0_A):= \left\{ x\in A \, : \, \left\| x \right\|_\alpha < 1 \right\}</math> Die Menge <math>U_{(\alpha , \varepsilon)} := \varepsilon\cdot U_\alpha \in \mathfrak{U}_{\mathcal{T}}(0_A)</math> ist eine Nullumgebung, weil <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{{\mathcal{A}} }</math> aus den [[Gaugefunktional|topologieerzeugenden Gaugefunktionalen]] der Topologie <math>\mathcal{T}</math> besteht. ==== Bemerkung (A1.4) Gaugefunktionalsystem gegeben ==== Man kann sich hier auf die 1-Umgebungen beschränken, weil das [[Gaugefunktional|Gaugefunktionalsystem]] bzgl. der <math>\varepsilon</math>-Radien ohne Einschränkung vervollständigt ist, d.h. es wurde ggf. um äquivalente Gaugefunktionale der Form <math>\| \cdot \|_{(\alpha,\varepsilon)}:=\varepsilon \cdot \| \cdot \|_{\alpha}</math> ggf. erweitert wurde. ==== Beweis (A1.5) Gaugefunktionalsystem gegeben - Nullumgebung kreiförmig ==== Ferner ist die Menge <math>U_\alpha \in \mathfrak{U}_{\mathcal{T}}(0_A)</math> [[kreisförmig]], weil mit <math>x \in U_\alpha</math>, <math>\lambda \in \mathbb{K}</math> und <math>|\lambda| \leq 1</math> mit (A3) gilt: :<math>\left\| \lambda \cdot x \right\|_{\alpha} \stackrel{(A3)}{=} |\lambda | \cdot \left\| x \right\|_{\alpha} \leq \left\| x \right\|_{\alpha}< 1</math> Also gilt mit <math>\left\| \lambda \cdot x \right\|_{\alpha} < 1</math> auch <math> \lambda \cdot x \in U_\alpha</math> und <math>U_\alpha</math> ist [[kreisförmig]]. ==== Beweis (A1.6) Gaugefunktionalsystem gegeben - Umgebungen von Vektoren ==== Für einen beliebigen Vektor <math>x_o\in A</math> definiert man die Umgebungbasis <math display="inline"> \{ B_\varepsilon^\alpha(x_o) \}_{\alpha\in {\mathcal{A}, \varepsilon >0, x_o \in A} } </math> wie folgt mit: :<math> B_\varepsilon^\alpha(x_o):= \left\{ x\in A \, : \, \left\| x - x_o \right\|_\alpha < \varepsilon \right\} </math> Die Menge <math> B_\varepsilon^\alpha(x_o) := U_\alpha \in \mathfrak{U}_{\mathcal{T}}(x)</math> ist eine Umgebung von <math>x_o</math>, weil <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{{\mathcal{A}} }</math> die [[Gaugefunktional|topologieerzeugend]] für <math>\mathcal{T}</math> ist. ==== Beweis (A1.7) Gaugefunktionalsystem gegeben ==== <math>\mathcal{T}</math> sei nun die kleinste Topologie, die von dem Mengensystem <math display="inline"> \{ B_\varepsilon^\alpha(x_o) \}_{ \alpha\in \mathcal{A}, \varepsilon > 0, x_o \in A} </math> erzeugt wird. Im weiteren Verlauf muss man nun nachweisen, dass die Multiplikation mit Skalaren, Addition und Multiplikation auf <math>(A,\mathcal{T})</math> stetig sind, wenn das Gaugefunktionalsystem gegeben ist. === Beweis (A2) Topologie gegeben === Eine topologische Algebra <math>(A,\mathcal{T})</math> ist gegeben und die '''Eigenschaft (A2)''' ist zu zeigen. ==== Beweis (A2.1) Hausdorff-Eigenschaft gegeben ==== Die topogische Algebra <math display="inline">(A,\mathcal{T})</math> nach Definition [[w:de:Hausdorffraum|Hausdorff'sch]]. Man betrachtet <math display="inline">x \in A</math> mit <math>x\not= 0_A</math>. Es gibt dann ein Umgebung <math>U_0 \in \mathfrak{U}_{\mathcal{T}}(0_A)</math> und <math>U_1 \in \mathfrak{U}_{\mathcal{T}}(x)</math> mit <math>U_0 \cap U_1 = \emptyset</math>. ==== Beweis (A2.2) Hausdorff-Eigenschaft gegeben ==== Da in einem topologischen Vektorraum (Algebra) eine Nullumgebungsbasis aus kreisförmigen Mengen <math display="inline">\{U_\alpha\}_{\alpha\in {\mathcal{A}} } </math> existiert, gibt es ein <math display="inline">\alpha\in {\mathcal{A}}</math> mit <math> U_\alpha \subseteq U_0 </math>. Da <math>U_0 \cap U_1 = \emptyset</math> und <math> x \in U_1</math> gilt, folgt <math> x \notin U_0</math> und damit über die Definition des [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Minkowski-Funktionale|Minkowski-Funktionals]] :<math display="inline">\|x\|_\alpha := \inf \{ \lambda > 0 \, : \, x \in \lambda \cdot U_\alpha \} \geq 1</math> und es gibt eine <math>\alpha \in{\mathcal{A}}</math> mit <math display="inline">\|x\|_\alpha \not= 0 </math> === Beweis (A2) Gaugefunktionalsystem gegeben === Ist umgekehrt auf einer Algebra ein topologieerzeugendes [[Gaugefunktional|Gaugefunktionalsystem]] <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{{\mathcal{A}} }</math> gegeben, dass Eigenschaften <math>(A1)-(A5)</math> erfüllt, dann ist die '''Hausdorff-Eigenschaft''' für die erzeugte Topologie <math>\mathcal{T}</math> zu zeigen. ==== Beweis (A2.3) Hausdorff-Eigenschaft nachweisen ==== Seien nun <math>x_1,x_2 \in A</math> mit <math> x_1\not= x_2 </math> beliebig gewählt. Nun verwendet man die topologieerzeugenden Gaugefunktionalen <math display="inline">\|\cdot\|_\alpha</math> mit <math>\alpha\in \mathcal{A}</math>, um zwei Umgebungen <math>U_1 \in \mathfrak{U}_{\mathcal{T}}(x_1)</math> und <math>U_2 \in \mathfrak{U}_{\mathcal{T}}(x_2)</math> zu erzeugen, für die <math>U_1 \cap U_2 = \emptyset</math> gilt. ==== Beweis (A2.4) Hausdorff-Eigenschaft - Kontraposition ==== Die Topologie der Algebra sei nun durch ein [[Gaugefunktional|Gaugefunktionalsystem]] mit den Eigenschaft (A1)-(A5) erzeugt. Man wendet nun Bedingung (A2) auf <math>x:=x_1-x_2</math> an: :<math display="inline">\displaystyle \left( \forall_{\displaystyle \alpha\in {\mathcal{A}} } : \left\| x \right\| _\alpha = 0 \right) \Longrightarrow x=0_A </math> Man erhält mit der Kontrapostion von (A2) für <math>x= x_1 - x_2 </math> ein <math>\alpha\in \mathcal{A}</math> mit <math>\left\| x_1 - x_2 \right\| _\alpha > 0 </math>, denn: :<math display="inline"> x\not= 0_A \Longrightarrow \displaystyle \left( \exists_{\displaystyle \alpha\in {\mathcal{A}} } : \left\| x \right\| _\alpha > 0 \right) </math> ==== Beweis (A2.5) Hausdorff-Eigenschaft nachweisen ==== Wir wenden nun die obige Kontraposition auf <math>x:= x_1 - x_2 \not=0 </math> an. Daher gibt es ein <math>\alpha \in \mathcal{A}</math> mit :<math> 0 < \lambda := \|x\|_\alpha = \| x_1 - x_2 \|_\alpha = |-1| \cdot \| x_1 - x_2 \|_\alpha = \| x_2 - x_1 \|_\alpha </math> Mit der Bedingung (A4) gibt es zu diesem <math>\alpha \in \mathcal{A}</math> ein <math>\beta \in \mathcal{A}</math> mit :<math>\displaystyle \forall_{\displaystyle x,y\in A} : \left\| x+y \right\| _\alpha\leq \left\| x \right\| _\beta +\left\| y \right\| _\beta </math> ==== Beweis (A2.6) Hausdorff-Eigenschaft - Definition der Umgebungen ==== Setzen nun mit <math>r := \frac{\lambda}{3}</math> die Umgebungen <math>U_1:=B_{r}^{\beta}(x_1)</math> und <math>U_2:=B_{r}^{\beta}(x_2)</math>. Wegen <math> \| x_1 - x_1 \|_\beta = 0 \le r </math> und <math> \| x_2 - x_2 \|_\beta = 0 \le r </math> gilt insbesondere <math>x_1 \in U_1</math> und <math>x_2\in U_2</math>. Um die Hausdorff-Eigenschaft nachzuweisen, ist nun noch <math> U_1 \cap U_2 = \emptyset</math> zu zeigen. ==== Beweis (A2.7) Hausdorff-Eigenschaft - Annahme - Schnitt nicht leer ==== Man nimmt nun an, dass der Schnitt <math>U_1 \cap U_2</math> nicht die leere Menge ist und damit ein <math>x_o \in U_1 \cap U_2 </math> existiert, für das gilt: :<math> \begin{array}{rcl} 0 & < & \lambda := \|x\|_\alpha = \| x_1 - x_2 \|_\alpha = \| (x_1 - x_0) + (x_0 - x_2) \|_\alpha \\ & \leq & \| x_1 - x_0 \|_\beta +\| x_0 - x_2 \|_\beta \leq \frac{\lambda}{3} + \frac{\lambda}{3} = \frac{2\cdot \lambda}{3} \end{array} </math> Widerspruch, wegen <math> 0 < \lambda < \frac{2}{3} \cdot \lambda</math>. Also gilt <math>U_1 \cap U_2 = \emptyset</math> und die Topologie der Algebra ist [[w:de:Hausdorffraum|Hausdorff'sch]]. ==== Bemerkung (A2.7) Hausdorff-Eigenschaft ==== Die Bedingung (A2) liefert also unter Ausnutzung der Bedingung (A4) die [[w:de:Hausdorffraum|Hausdorff-Eigenschaft]] der Algebra <math display="inline">A</math> . Ferner ist die [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologische_Algebra|topologische Algebra]] nach Voraussetzuung [[w:de:Hausdorffraum|Hausdorff'sch]]. Verlangt man die [[w:de:Hausdorffraum|Hausdorff-Eigenschaft]] nicht, entfällt beim Topologisierungslemma die Eigenschaft (A2). === Beweis (A3) Topologie gegeben === Eine topologische Algebra <math>(A,\mathcal{T})</math> ist gegeben und die Eigenschaften (A3) ist zu zeigen. ==== Beweis (A3.1) Stetigkeit der Multiplikation mit Skalaren gegeben ==== In einem topologischen Vektoraum <math>(A,\mathcal{T})</math> (und natürlich auch in einer topologischen Algebra) existiert eine Nullumgebungsbasis aus kreisförmigen Mengen. Betrachtet man die dazugehörigen [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Minkowski-Funktionale|Minkowski-Funktionale]], so sind diese bei kreisförmigen Mengen homogen (also [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Gaugefunktionale|Gaugefunktionale]]). Denn es gilt für beliebige <math>\varepsilon > 0</math>, <math> \lambda \in \mathbb{K}\setminus \{0\}</math> und der Kreisförmigkeit von <math>U_\alpha</math>: :<math> x \in (\|x\|_\alpha +\varepsilon) \cdot U_\alpha \, \Rightarrow \, \frac{|\lambda|}{\lambda} \cdot x \in (\|x\|_\alpha +\varepsilon) \cdot U_\alpha</math> Dies gilt wegen <math>\left| \frac{|\lambda|}{\lambda} \right| = 1 </math> ==== Beweis (A3.2) Stetigkeit der Multiplikation mit Skalaren gegeben ==== Ferner gilt für <math>\lambda \cdot x </math>, <math>\lambda \not=0</math> und <math> \lambda \cdot x \in (\|\lambda \cdot x\|_\alpha +\varepsilon) \cdot U_\alpha </math> :<math> \, |\lambda| \cdot x = \frac{|\lambda|}{\lambda}\cdot \lambda \cdot x \in (\|\lambda \cdot x\|_\alpha +\varepsilon) \cdot U_\alpha</math> Insgesamt erhält man für alle <math> x \in \left( \frac{\|\lambda \cdot x\|_\alpha +\varepsilon}{|\lambda|}\right) \cdot U_\alpha</math> und über Infimumbildung bzgl. <math>\varepsilon > 0</math> erhält man: <math>\|x\|_\alpha \leq \frac{\|\lambda \cdot x\|_\alpha}{|\lambda|}</math> bzw. <math>|\lambda| \cdot \|x\|_\alpha \leq \|\lambda \cdot x\|_\alpha</math>. ==== Beweis (A3.3) Stetigkeit der Multiplikation mit Skalaren gegeben ==== Die umgekehrte Ungleichung <math>|\lambda| \cdot \|x\|_\alpha \geq \|\lambda \cdot x\|_\alpha</math> erhält man mit der Kreisförmigkeit von <math>U_\alpha</math> und <math> \lambda \cdot x \in (\|\lambda \cdot x\|_\alpha +\varepsilon) \cdot U_\alpha </math>: :<math> |\lambda| \cdot \underbrace{\frac{\lambda}{|\lambda|} \cdot x}_{\in (\| x \|_\alpha +\varepsilon) \cdot U_\alpha} \in |\lambda| \cdot (\| x \|_\alpha +\varepsilon) \cdot U_\alpha</math> Also erhält man über die Infimumbildung von <math>\varepsilon > 0 </math> auch <math> \|\lambda \cdot x\|_\alpha \leq |\lambda| \cdot \| x \|_\alpha </math>. ==== Beweis (A3.4) Stetigkeit der Multiplikation mit Skalaren gegeben ==== Beweisschritt (A3.2) und (A3.3) zusammen liefert die Gleichheit <math>|\lambda| \cdot \|x\|_\alpha = \|\lambda \cdot x\|_\alpha</math>. === Beweis (A3) Gaugefunktionalsystem gegeben === Ist umgekehrt auf einer Algebra ein topologieerzeugendes [[Gaugefunktional|Gaugefunktionalsystem]] <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{{\mathcal{A}} }</math> gegeben, dass Eigenschaften <math>(A1)-(A5)</math> erfüllt, dann ist die Stetigkeit der Multiplikation mit Skalaren bzgl. <math>\mathcal{T}</math> zu zeigen. ==== Beweis (A3.5) Stetigkeit der Multiplikation mit Skalaren zeigen ==== Ist umgekehrt ein Nullfolge <math>(\lambda_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> und ein Netz <math>(x_i)_{i\in I}</math> gegeben, das in der Topologie <math>(A,\mathcal{T})</math> gegen den Nullvektor <math>0_A</math> konvergiert, so gilt: :<math> \displaystyle \forall_{\varepsilon > 0, \alpha \in \mathcal{A}} \exists_{n_\varepsilon \in \mathbb{N}, i_\alpha \in I} \forall_{n \geq n_\varepsilon, i \geq i_\alpha} \, : \, \, |\lambda_n | < \varepsilon \, \wedge x_i \in U_\alpha </math> Damit erhält man durch Anwendung von Bedingung (A3): :<math> \displaystyle \forall_{\varepsilon > 0, \alpha \in \mathcal{A}} \exists_{n_\varepsilon \in \mathbb{N}, i_\alpha \in I} \forall_{n \geq n_{\varepsilon}, i \geq i_\alpha} \, : \, \, \|\lambda_n \cdot x_i\|_\alpha \stackrel{(A3)}{=} |\lambda_n| \cdot \underbrace{\|x_i\|_\alpha}_{\leq 1} < \varepsilon \cdot 1 = \varepsilon </math> ==== Beweis (A3.6) Stetigkeit der Multiplikation mit Skalaren zeigen ==== Insgesamt konvergiert <math>(\lambda_n \cdot x_i)_{(n,i) \in \mathbb{N}\times I}</math> ebenfalls gegen den Nullvektor <math>0_A</math>, da für alle <math>U\in \mathfrak{U}_{\mathcal{T}}(0_A)</math> eine kreisförmige Nullumgebung <math>U_\alpha \subseteq U</math> existiert. Für diese kreisförmige Nullumgebung gibt es dann eine Indexschranke <math>i_\alpha \in I</math>, ab der alle <math> x_i \in U_\alpha \subseteq U </math> liegen mit <math>i \geq i_\alpha</math>. Für eine kreisförmige Nullumgebungsbasis aus <math>U_\alpha:= B_1^\alpha(0_A)</math> und <math>|\lambda_n| < 1 </math> liegt auch in <math>\lambda_n \cdot x_i \in U_\alpha \subset U</math> (d.h. <math> \lambda_n \cdot x_i \in U</math> mit <math>n > n_\varepsilon</math>. Die Indexschranke existiert wegen Konvergenz von <math>(\lambda_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> geben <math> 0 \in \mathbb{K}</math>. Insgesamt ist damit die Stetigkeit der Multiplikation mit Skalaren auf <math display="inline">A</math> gezeigt. === Beweis (A4) Topologie gegeben === Eine topologische Algebra <math>(A,\mathcal{T})</math> ist gegeben und die Eigenschaften (A4) ist zu zeigen. ==== Beweis (A4.1) Stetigkeit der Addition ==== Die Stetigkeit der Addition liefert: :<math display="block"> \forall_{\displaystyle U_{\alpha}\in \mathfrak{U} (0_A)} \exists_{\displaystyle U_\beta\in \mathfrak{U} (0_A)} : U_\beta + U_\beta \subset U_\alpha </math> Insbesondere gilt <math display="inline">U_\beta = U_\beta + \{0_A\} \subset U_\beta + U_\beta \subset U_\alpha</math>, weil <math>0_A \in U_\beta</math> gilt. Also erhält man mit <math display="inline">U_\beta \subset U_\alpha</math> für die entsprechenden Minkowskifunktionale auch <math display="inline">\left\| x \right\| _\alpha \leq \left\| x \right\| _\beta</math> für alle <math display="inline">x\in A</math>. D.h. man muss eine absorbierende Teilmenge <math display="inline">U_\beta</math> im Vergleich zu <math display="inline">U_\alpha</math> ggf. stärker aufblasen, um das entsprechende <math>x \in A</math> einzufangen. ==== Beweis (A4.2) Stetigkeit der Addition ==== Für <math display="inline">\left\| x \right\| _\beta = 0</math> und <math display="inline">\left\| y \right\| _\beta = 0</math> ist <math>x,y \in \lambda \cdot U_\beta</math> für alle <math>\lambda > 0</math>. Also sind insbesondere auch :<math>x+y \in \lambda \cdot U_\beta +\lambda \cdot U_\beta = \lambda \cdot (U_\beta + U_\beta) \subset \lambda \cdot U_\alpha</math> für alle <math>\lambda > 0</math>. Damit erhält man die gesuchte (Un-)Gleichung direkt mit :<math display="inline">\left\| x+y \right\|_\alpha = 0 = \underbrace{\left\| x \right\| _\beta}_{=0} + \underbrace{\left\| y \right\| _\beta}_{=0} </math> für alle <math>z\in A</math>. ==== Beweis (A4.3) Stetigkeit der Addition gegeben ==== Für <math display="inline">\left\| x \right\| _\beta \not= 0</math> und <math display="inline">\left\| y \right\| _\beta = 0</math> gilt, dass <math>y \in \lambda \cdot U_\beta</math> für alle <math>\lambda >0 </math>. Ferner gilt auch für alle <math>\varepsilon >0 </math> wegen Infimumsdefintion des Minkowski-Funktionals <math>x \in (\varepsilon + \|x\|_\beta )\cdot U_\beta</math>. ==== Beweis (A4.4) Stetigkeit der Addition gegeben ==== Man erhält die gesuchte Ungleichung mit <math>y \in \lambda \cdot U_\beta</math> für alle <math>\lambda >0 </math> :<math> \begin{array}{rcl} x+y & \in &(\varepsilon + \|x\|_\beta )\cdot U_\beta + (\underbrace{\varepsilon + \|x\|_\beta )}_{\lambda :=}\cdot U_\beta \\ & = & (\varepsilon + \|x\|_\beta )\cdot (U_\beta + U_\beta) \\ & \subseteq & (\varepsilon + \|x\|_\beta )\cdot U_\alpha \end{array} </math> für alle <math>\varepsilon >0 </math>. Also gilt auch <math>\left\| x + y \right\|_\alpha \leq \left\| x \right\| _\beta = \left\| x \right\| _\beta + \underbrace{\left\| y \right\| _\beta}_{=0} </math>. ==== Beweis (A4.5) Stetigkeit der Addition gegeben ==== Für <math display="inline">\left\| x \right\| _\beta = 0</math> oder <math display="inline">\left\| y \right\| _\beta \not= 0</math> erhält man die Aussage analog. ==== Beweis (A4.6) Stetigkeit der Addition ==== Seien nun <math display="inline">\left\| x \right\| _\beta\not=0</math> und <math display="inline">\left\| y \right\| _\beta\not= 0</math>. Nach Definition der [[Minkowski-Funktional|Minkowski-Funktionale]] für die Nullumgebungen <math display="inline">U_\alpha</math> und <math display="inline">U_\beta</math>, erhält man für jedes <math display="inline">\varepsilon > 0</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \frac{x}{\left\| x \right\| _\beta+\varepsilon} \in U_\beta \, \wedge \, \frac{y}{\left\| y \right\| _\beta+\varepsilon} \in U_\beta &\Longrightarrow& \frac{x}{\left\| x \right\| _\beta+\left\| y \right\| _\beta}, \frac{y}{\left\| x \right\| _\beta+\left\| y \right\| _\beta} \in U_\beta \\ & \Longrightarrow & \frac{x+y}{\left\| x \right\| _\beta+\left\| y \right\| _\beta} \in U_\beta + U_\beta \subset U_\alpha \\ &\Longrightarrow& \left\| \frac{x+y}{\left\| x \right\| _\beta+\left\| y \right\| _\beta} \right\| _\alpha \leq 1 \Longrightarrow \mbox{ Beh. (A4). } \end{array} </math> Dabei wird die Kreisförmigkeit bzw. Homogenität (A3) der [[Minkowski-Funktional|Minkowski-Funktionale]] aus den vorherigen Beweischritten verwendet. === Beweis (A4) Gaugefunktionalsystem gegeben === Ist umgekehrt auf einer Algebra ein topologieerzeugendes [[Gaugefunktional|Gaugefunktionalsystem]] <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{{\mathcal{A}} }</math> gegeben, dass Eigenschaften <math>(A1)-(A5)</math> erfüllt, dann ist die Stetigkeit der Addition bzgl. <math>\mathcal{T}</math> zu zeigen. ==== Beweis (A4.7) Addition - Topologisierung durch Gaugefunktionale ==== Wird umgekehrt die Topologie <math>\mathcal{T}</math> durch <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{\mathcal{A}} </math> erzeugt und gilt die Bedingung (A4), dann gilt: :<math display="block"> \forall_{\displaystyle \alpha\in {\mathcal{A}} } \exists {\beta \in {\mathcal{A}} } \forall_{\displaystyle x,y\in A} : \left\| x+y \right\| _\alpha\leq \left\| x \right\| _\beta +\left\| y \right\| _\beta, </math> ==== Beweis (A4.8) Addition - Topologisierung durch Gaugefunktionale ==== Dann ist die Addition auf <math display="inline">A</math> stetig, denn zu jeder Nullumgebung <math>U_\alpha</math> aus der kreisförmigen Nullumgebungsbasis mit <math>0 < \varepsilon < \frac{1}{2}</math>, <math display="inline">x,y\in {\rm B}^\beta_{\varepsilon}(0)=: U_\beta</math> und <math display="inline">{\rm B}^\alpha_1(0)=: U_\alpha</math> gilt: :<math display="block"> \left\| x+y \right\| _\alpha \leq \left\| x \right\| _\beta +\left\| y \right\| _\beta \leq \varepsilon + \varepsilon < \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 </math> Insgesamt gilt <math> x+y\in U_\alpha </math> und zu jeder kreisförmigen Nullumgebung <math>U_\alpha</math> gibt es <math>U_\beta \in \mathfrak{U}_{\mathcal{T}}(0_A)</math> mit <math>U_\beta + U_\beta \subseteq U_\alpha</math>. === Beweis (A5) Topologie gegeben === Eine topologische Algebra <math>(A,\mathcal{T})</math> ist gegeben und die Eigenschaften (A5) ist zu zeigen. ==== Beweis (A5.1) Multiplikation - Topologie gegeben ==== Mit der Stetigkeit der Multiplikation erhält man wie in <math display="inline">(A4)</math> erhält man :<math display="block"> \forall_{\displaystyle U_{\alpha}\in \mathfrak{U} (0)} \exists_{\displaystyle U_\beta\in \mathfrak{U} (0)} : U_\beta \cdot U_\beta = U_\beta^{^2} \subset U_\alpha </math> ==== Beweis (A5.2) Multiplikation - Topologie gegeben ==== Sei <math display="inline">\varepsilon >0</math> beliebig gewählt und die Behauptung <math display="inline">(A5)</math>, denn: :<math display="block"> \frac{x}{\left\| x \right\| _\beta+\varepsilon}\cdot \frac{y}{\left\| y \right\| _\beta+\varepsilon} \in U_\beta \cdot U_\beta = U_\beta^2 \subset U_\alpha </math> ==== Beweis (A5.3) Multiplikation - Topologie gegeben ==== Aus <math display="inline"> \frac{x}{\left\| x \right\| _\beta+\varepsilon}\cdot \frac{y}{\left\| y \right\| _\beta+\varepsilon} \in U_\alpha </math> folgt für alle <math display="inline">\varepsilon>0</math> unter Anwendung von Eigenschaft (A3), die mit obigen Beweisschritt für toplogische Algebren gilt auch: :<math display="block"> \begin{array}{rcl} \left\| \frac{x}{\left\| x \right\| _\beta+\varepsilon}\cdot \frac{y}{\left\| y \right\| _\beta+ \varepsilon } \right\| _\alpha & \leq & 1 \Longrightarrow \\ \left\| x\cdot y \right\| _\alpha & \leq & (\left\| x \right\| _\beta+\varepsilon ) \cdot (\left\| y \right\| _\beta+ \varepsilon) \end{array} </math> Da <math display="inline">\varepsilon>0</math> beliebig gewählt war, gilt auch <math display="inline">\left\| x\cdot y \right\| _\alpha\leq \left\| x \right\| _\beta\cdot \left\| y \right\| _\beta</math> für alle <math display="inline">x,y \in A</math>. === Beweis (A5) Gaugefunktionalsystem gegeben === Ist umgekehrt auf einer Algebra ein topologieerzeugendes [[Gaugefunktional|Gaugefunktionalsystem]] <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{{\mathcal{A}} }</math> gegeben, dass Eigenschaften <math>(A1)-(A5)</math> erfüllt, dann ist die Stetigkeit der Multiplikation bzgl. <math>\mathcal{T}</math> zu zeigen. ==== Beweis (A5.4) Multiplikation - Topologisierung durch Gaugefunktionale ==== Erfüllt das topologieerzeugendes [[Gaugefunktional|Gaugefunktionalsystem]] <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{{\mathcal{A}} }</math> die Bedingung (A5), so gilt: :<math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle \alpha\in {\mathcal{A}} } \exists {\beta \in {\mathcal{A}} } \forall_{\displaystyle x,y\in A} : \left\| x\cdot y \right\| _\alpha\leq \left\| x \right\| _\beta \cdot \left\| y \right\| _\beta </math> ==== Beweis (A5.5) Multiplikation - Topologisierung durch Gaugefunktionale ==== Dann erhalten wird umgekehrt mit der gleichen Definition von <math display="inline">U_\alpha</math> und <math display="inline">U_\beta</math> als offene Einheitskugeln <math>U_\alpha := B_1^\alpha (0_A)</math> und <math>U_\beta := B_\varepsilon^\beta (0_A)</math> mit <math>0 < \varepsilon < 1 </math> offene Nullumgebungen. Wir zeigen nun, dass alle <math> x, y \in U_\beta</math> das Produkt <math>x\cdot y \in U_\alpha</math> liegt. Wegen <math>\varepsilon < 1 </math> gilt insbesondere <math>U_\beta := B_\varepsilon^\beta (0_A) \subset B_1^\beta (0_A) =: U_\gamma</math> und damit ist <math>\|x\|_\beta \geq \|x\|_\gamma := p_{U_\gamma}(x)</math> (siehe Zusammenhang von Mengeninklusion und der <math>\leq</math>-Beziehung über [[Minkowski-Funktional|absorbierende Mengen]] und [[Gaugefunktional|Gaugefunktionale]]). ==== Beweis (A5.6) Nullumgebung - kreisförmige Nullumgebung ==== In der Rückrichtung von (A5) erhält man zu jeder Nullumgebung <math>U</math> eine kreiförmige Nullumgebung <math>U_\alpha</math> aus der Umgebungsbasis von kreisförmigen Mengen mit <math>U_\alpha \subset U</math>, die von einem Gaugefunktional <math>\|\cdot \|_\alpha</math> als Einheitskugel erzeugt wurde. Dies gilt, weil das Gaugefunktionalsystem <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{{\mathcal{A}} }</math> topologieerzeugend ist. Sei nun <math>x,y\in U_\beta</math> :<math> 1 > \varepsilon ^2 = \varepsilon \cdot \varepsilon \geq \|x\|_\beta \cdot \|y\|_\beta \stackrel{(A5)}{\geq} \|x\cdot y\|_\alpha</math> Man erhält also <math> \|x\cdot y\|_\alpha < 1</math> und damit <math> x\cdot y\in U_\alpha </math>. ==== Beweis (A5.7) Multiplikation - Topologisierung durch Gaugefunktionale ==== Die Stetigkeit der Multiplikation bei einer durch das System <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{\mathcal{A}} </math> erzeugten Topologie erhält man dann für eine beliebige Nullumgebung <math>U\in \mathfrak{U}_{\mathcal{T}}(0_A)</math> eine kreisförmige Nullumgebung <math>U_\alpha \subset U</math> und mit (A5) ein <math>U_\beta</math> mit :<math> U_\beta \cdot U_\beta = U_\beta^2 \subseteq U_\alpha \subseteq U </math> Damit die Multiplikation auf <math>(A,\mathcal{T})</math> stetig. === Beweisschritte (A1)-(A5) === Insgesamt wurde gezeigt, dass man bei topologischen Algebren <math>(A,\mathcal{T})</math> die Stetigkeit der Verknüpfungen auf der Algebra auch mit dem topologieerzeugenden [[Gaugefunktional|Gaugefunktionalsystem]] nachweisen kann bzw. für weiterführende Aussagen auf topologischen Algebren allein mit dem [[Gaugefunktional|Gaugefunktionalsystem]] arbeiten kann. <math>\Box</math> == Basiserzeugendes Topologisierungslemma == Sei <math display="inline">A</math> eine Algebra. <math display="inline">A</math> ist genau dann eine Hausdorff'sche topologische Algebra <math display="inline">(A,\mathcal{T})</math>, wenn die Topologie <math display="inline">\mathcal{T}</math> durch ein [[Basiserzeugendes Gaugefunktionalsystem|'''basiserzeugendes''']] [[Gaugefunktional|<math>p</math>-Gaugefunktionalsystem]] <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{{\mathcal{A}} }</math> mit (B1)-(B5) erzeugt werden kann: * (B1) <math display="inline">\displaystyle \forall_{ \alpha\in {\mathcal{A}} , x\in A} \, \left\| x \right\| _\alpha \geq 0</math> * (B2) <math display="inline">\displaystyle \left( \forall_{ \alpha\in {\mathcal{A}} } \, \left\| x \right\| _\alpha = 0 \right) \Longrightarrow x = 0_A </math> * (B3) <math display="inline">\displaystyle \forall_{ \alpha\in {\mathcal{A}} ,x\in A,\lambda\in \mathbb{K}} \, \left\| \lambda\cdot x \right\| _\alpha = |\lambda|^p \cdot \left\| x \right\| _\alpha</math> * (B4) <math display="inline">\displaystyle \forall_{ \alpha\in {\mathcal{A}} } \exists_{ \beta \in {\mathcal{A}} , K > 0 } \forall_{ x,y\in A} \, \left\| x+y \right\| _\alpha \leq K \cdot \left( \left\| x \right\| _\beta +\left\| y \right\| _\beta \right) </math> * (B5) <math display="inline">\displaystyle \forall_{ \alpha\in {\mathcal{A}} } \exists_{ \beta \in {\mathcal{A}} , M > 0 } \forall_{\displaystyle x,y\in A} \, \left\| x\cdot y \right\| _\alpha \leq M \cdot \left\| x \right\| _\beta \cdot \left\| y \right\| _\beta </math> === Bemerkung: Basiserzeugende Gaugefunktionalsystem === Ein [[Basiserzeugendes Gaugefunktionalsystem|basiserzeugendes Gaugefunktionalsystem]] hat die gleiche Funktion wie die Verwendung von <math>\varepsilon</math>-Umgebungen in der Analysis. Über die <math>\varepsilon</math>-Umgebungen in <math>\mathbb{R}</math> hat man eine Basis der Standardtopologie auf <math>\mathbb{R}</math> gegeben, über die man Konvergenz, Stetigkeit und andere topologische Eigenschaften ausdrücken kann. Dabei wurden ein analoges Vorgehen wie bei Gaugefunktionalen verwendet. :<math> x \in B_\varepsilon^{| \cdot |}(x_0) \Longleftrightarrow | x-x_0 | < \varepsilon \Longleftrightarrow x \in \, \, ]x_0 - \varepsilon,x_0 + \varepsilon [ </math> === Beweisaufgabe für Studierende === Zeigen Sie die obigen Eigenschaften (B1)-(B2) unter Verwendung der Eigenschaft des Gaugefunktionalsystems, basiserzeugend zu sein. Für jede Nullumgebung <math>U \in \mathfrak{U}_{\mathcal{T}}(0_A)</math> gibt es dann ein <math> \alpha \in \mathcal{A}</math> <math>\varepsilon > 0 </math> mit :<math> U \subseteq B_\varepsilon^{\alpha}(0_A) := \left\{ x \in A \, \colon \, \| x \|_\alpha < \varepsilon \right\} </math> == Aufgaben für Studierende == Sei <math>A:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> die Menge der stetigen Funktionen von <math>\mathbb{R}</math> nach <math>\mathbb{R}</math> mit der folgenden Addition und Multiplikation auf dem Vektorraum: * (Addition) <math>f,g \in A</math> definiert man <math>f+g</math> argumentweise <math>(f+g)(x):=f(x)+g(x)</math> für alle <math>x \in \mathbb{R}</math> * (Multiplikation) <math>f,g \in A</math> definiert man <math>f \cdot g</math> argumentweise <math>(f\cdot g)(x):=f(x)\cdot g(x)</math> für alle <math>x \in \mathbb{R}</math> Ferner definiert man ein Gaugefunktionalsystem <math>\|\cdot\|_{\mathcal{A}}</math> mit <math>\mathcal{A}:= \mathbb{R}</math> und <math>\|f\|_\alpha := |f(\alpha)|</math>. === Aufgabe 1 === Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot\|_{\mathcal{A}}</math> ein Halbnormensystem ist. === Aufgabe 2 === * Geben Sie ein <math>f \in A\setminus\{0_A\}</math> an, für das <math>\|f\|_\alpha = 0 </math> gilt für <math>\alpha = 2</math> und <math>\alpha = -2</math> an. * Geben Sie ein <math>g \in A\setminus\{0_A\}</math> an, für das <math>\|f\|_\alpha = 0 </math> gilt für <math>\alpha \in \mathbb{Z}</math> an. === Aufgabe 3 === Sei <math>K := \{ f\in A \, : \, f \mbox{ konstant } \} </math> die Menge der konstanten Funktionen in <math>A</math>, <math>K_{\varepsilon}^{\alpha} := \{ f\in K \, : \, \|f\|_\alpha < \varepsilon \wedge f \mbox{ konstant } \}</math> und <math>N_{\alpha} := \{ f\in K \, : \, \|f\|_\alpha = 0 \}</math>. Zeigen Sie, dass folgende Aussage gilt: :<math>B_{\varepsilon}^{\alpha}(f) := \{f\} + N_{\alpha} + K_{\varepsilon}^{\alpha}</math>. === Aufgabe 4 === Zeigen Sie, dass die Hausdorff-Eigenschaft (A2) in dieser topologischen Algebra gilt. Nehmen Sie an, dass <math>f,g \in A</math> mit <math>f\not= g</math> gilt und Sie damit ein <math>\alpha_o \in {\mathcal{A}}</math> finden können, in dem <math>f(\alpha_o)\not= g(\alpha_o)</math> gilt. Konstruktruieren mit den Gaugefunktionalen zwei Umgebungen <math>U_1 \in \mathfrak{U}_\mathcal{T}(f)</math> und <math>U_2 \in \mathfrak{U}_\mathcal{T}(g)</math> mit <math>U_1 \cap U_2 = \emptyset </math>. === Aufgabe 5 === Zeigen Sie, dass die Menge <math>N_{\alpha} := \{ f\in K \, : \, \|f\|_\alpha = 0 \}</math> ein [[Ideal (Algebra)|Ideal]] in [[Topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>A:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> ist. == Siehe auch == * [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Minkowski-Funktionale|Minkowski-Funktionale]] * [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Gaugefunktionale|Gaugefunktionale]] * [[Stetigkeitssequenz]] * [[Ideal (Algebra)]] * [[Topologische Algebra]] * [[Topologische Gruppe]] * [[unitale topologische Algebra]] * [[unitales Topologisierungslemma]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Konvergenz in Funktionenräumen|Konvergenz in Funktionenräumen]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologisierungslemma%20f%C3%BCr%20Algebren&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologisierungslemma%20f%C3%BCr%20Algebren&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologisierungslemma%20f%C3%BCr%20Algebren https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologisierungslemma%20f%C3%BCr%20Algebren] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologisierungslemma%20f%C3%BCr%20Algebren Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologisierungslemma%20f%C3%BCr%20Algebren * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologisierungslemma%20f%C3%BCr%20Algebren&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] [[Category:Funktionalanalysis]] <noinclude> [[en:Topologization Lemma for algebras]] </noinclude> 2jtso9jyv4k9466w4wz63l06jqfbwpk 1118924 1118923 2026-11-05T10:47:54Z Bert Niehaus 20843 /* Hausdorff-Eigenschaft */ 1118924 wikitext text/x-wiki == Einführung == Das Topologisierungslemma für Algebren erlaubt die Beschreibung der Stetigkeit von den Verknüpfungen in einer topologischen Algebra über [[Gaugefunktional|Gaugefunktionale]]. Diese Lernressource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologisierungslemma%20f%C3%BCr%20Algebren&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Hausdorf-Raum === In dem folgenden [[Topologisierungslemma für Algebren]] liefert die [[Hausdorff-Raum|Hausdorffeigenschaft]] ein gültiges Trennungsaxiom über die Eigenschaft (T2). Für unitale [[topologische Algebra|topologische Algebren]] <math>(A,\mathcal{T}_{\!\!\!\!_A})</math> mit der [[topologischer Vektorraum|Topologie]] <math>\mathcal{T}_{\!\!\!\!_A}</math> muss die topologische Algebra zumindest das Einselement <math>e_{\!\!_A}</math> und den Nullvektor <math>0_{\!\!_A}</math> durch eine Nullumgebung trennen können, d.h., es gibt eine Nullumgebung <math>U_0\in \mathcal{T}_{\!\!\!\!_A}</math> mit <math>e_{\!\!_A}\notin U_0</math>. Diese Eigenschaften ist bei [[Hausdorff-Raum|Hausdorff-Räumen]] immer gegeben. == Topologisierungslemma für Algebren == Sei <math display="inline">A</math> eine Algebra. <math display="inline">A</math> ist genau dann eine topologische Algebra <math display="inline">(A,\mathcal{T})</math>, die die [[Hausdorff-Raum|Hausdorfeigenschaft]] erfüllt, wenn die Topologie <math display="inline">\mathcal{T}</math> durch ein Gaugefunktionalsystem <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{{\mathcal{A}} }</math> mit den Eigenschaften (A1)-(A5) erzeugt werden kann. === Charakterisierende Eigenschaften (A1)-(A5) === * (A1) <math display="inline">\displaystyle \forall_{ \alpha\in {\mathcal{A}} ,x\in A} : \left\| x \right\| _\alpha \geq 0</math> * (A2) <math display="inline">\displaystyle \left( \forall_{ \alpha\in {\mathcal{A}} } : \left\| x \right\| _\alpha = 0 \right) \Longrightarrow x=0_A </math> * (A3) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\alpha\in {\mathcal{A}} ,x\in A,\lambda\in \mathbb{K}} : \left\| \lambda\cdot x \right\| _\alpha = |\lambda|\cdot \left\| x \right\| _\alpha </math> * (A4) <math display="inline">\displaystyle \forall_{ \alpha\in {\mathcal{A}} } \exists_{ \beta \in {\mathcal{A}} } \forall_{ x,y\in A } : \left\| x+y \right\| _\alpha \leq \left\| x \right\| _\beta +\left\| y \right\| _\beta </math> * (A5) <math display="inline">\displaystyle \forall_{ \alpha\in {\mathcal{A}} } \exists_{ \beta \in {\mathcal{A}} } \forall_{ x,y\in A } : \left\| x\cdot y \right\| _\alpha \leq \left\| x \right\| _\beta \cdot \left\| y \right\| _\beta </math> == Topologisierunglemma für Vektorräume == Sei <math display="inline">V</math> eine Vektorraum. <math display="inline">V</math> ist genau dann eine topologischer Vektorraum <math display="inline">(V,\mathcal{T})</math>, der die Hausdorfeigenschaft erfüllt, wenn die Topologie <math display="inline">\mathcal{T}</math> durch ein Gaugefunktionalsystem <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{{\mathcal{A}} }</math> mit den Eigenschaften (V1)-(V4) erzeugt werden kann. === Charakterisierende Eigenschaften (V1)-(V4) === * (V1) <math display="inline">\displaystyle \forall_{ \alpha\in {\mathcal{A}} ,x\in V} : \left\| x \right\| _\alpha \geq 0</math> * (V2) <math display="inline">\displaystyle \left( \forall_{ \alpha\in {\mathcal{A}} } : \left\| x \right\| _\alpha = 0 \right) \Longrightarrow x=0_V </math> * (V3) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\alpha\in {\mathcal{A}} ,x\in V,\lambda\in \mathbb{K}} : \left\| \lambda\cdot x \right\| _\alpha = |\lambda|\cdot \left\| x \right\| _\alpha </math> * (V4) <math display="inline">\displaystyle \forall_{ \alpha\in {\mathcal{A}} } \exists_{ \beta \in {\mathcal{A}} } \forall_{ x,y\in V } : \left\| x+y \right\| _\alpha \leq \left\| x \right\| _\beta +\left\| y \right\| _\beta </math> === Bemerkung - Topologisierunglemma für topologische Vektorräume === Den topologischen Vektorräumen <math display="inline">(V,\mathcal{T})</math> fehlt die stetige innere Verknüfung der Multiplikation <math> \cdot : V\times V \to V</math>. Daher erhält man für topologische Vektorräume nur vier charakterisierende Eigenschaften (V1)-(V4). Der Beweis der Eigenschaften erfolgt analog zu den Beweis für das Topologisierungslemma für topologische Algebren. === Hausdorff-Eigenschaft === Wenn eine [[topologische Algebra|topologische Algebra]] oder ein [[topologischer Vektorraum]] die Hausdorfeigenschaft nicht erfüllt, gilt (A2) bzw. (V2) nicht und man kann zwei Punkte <math>x_1 \not= x_2</math> ebenfalls nicht mehr durch das Gaugefunktionalsystem trennen. Wenn nicht anders angegeben, sind die topologischen Algebren Hausdorff'sch. Für unitale [[topologische Algebra|topologische Algebra]] mit Einselement <math>e_{\!\!_A}</math> muss es zumindest, gibt es wenigstens ein unital positives und [[Gaugefunktionalsystem/normalisiert|normalisiertes Gaugefunktionalsystem]] <math>\|\cdot\|_\mathcal{A}</math>. <span id="unital"></span> == Topologisierungslemma für unitale Algebren == Sei <math display="inline">A</math> eine Algebra mit Einselement <math>e_{\!\!_A}</math>. <math display="inline">A</math> ist genau dann eine topologische Algebra <math display="inline">(A,\mathcal{T})</math>, dass Einselement <math>e_{\!\!_A}</math> und Nullvektor <math>0_{\!\!_A}</math>, wenn die Topologie <math display="inline">\mathcal{T}</math> durch ein normalisiertes Gaugefunktionalsystem <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{{\mathcal{A}} }</math> mit den Eigenschaften (U1)-(U5) erzeugt werden kann. === Charakterisierende Eigenschaften (U1)-(U5) === * (U1) <math display="inline">\displaystyle \forall_{ \alpha\in {\mathcal{A}} ,x\in A} : \left\| x \right\| _\alpha \geq 0</math> * (U2) <math display="inline">\displaystyle \forall_{ \alpha\in {\mathcal{A}} } : \left\| e_{\!\!_A} \right\| _\alpha = 1 </math> * (U3) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\alpha\in {\mathcal{A}} ,x\in A,\lambda\in \mathbb{K}} : \left\| \lambda\cdot x \right\| _\alpha = |\lambda|\cdot \left\| x \right\| _\alpha </math> * (U4) <math display="inline">\displaystyle \forall_{ \alpha\in {\mathcal{A}} } \exists_{ \beta \in {\mathcal{A}}, \, C_\beta > 0 } \forall_{ x,y\in A } : \left\| x+y \right\| _\alpha \leq C_\beta \cdot \left( \left\| x \right\| _\beta +\left\| y \right\| _\beta \right) </math> * (U5) <math display="inline">\displaystyle \forall_{ \alpha\in {\mathcal{A}} } \exists_{ \beta \in {\mathcal{A}} , \, C_\beta > 0 } \forall_{ x,y\in A } : \left\| x\cdot y \right\| _\alpha \leq C_\beta \cdot \left( \left\| x \right\| _\beta \cdot \left\| y \right\| _\beta \right) </math> === Bemerkung 1: Beweisstruktur === Für den Beweis muss man zwei Richtungen zeigen, * dass für eine topologische Algebra <math display="inline">(A,\mathcal{T})</math> ein System von Gaugefunktionalen <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{{\mathcal{A}} }</math> mit folgenden Eigenschaften (A1)-(A5) existiert und * umgekehrt erzeugt ein System <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{{\mathcal{A}} }</math> von Gaugefunktionalen mit (A1)-(A5) eine Topologie <math display="inline">\mathcal{T}</math> auf <math>A</math>, die <math display="inline">(A,\mathcal{T})</math> zu einer topologischen Algebra macht. === Bemerkung 2: Äquivalentes Gaugefunktionalsystem === Ohne Einschränkung verwenden wir ein Gaugefunktionalsystem, das bzgl. des Radius der <math>\varepsilon</math>-Kugeln vollständig erweitert ist. D.h. man erweitert das Gaugefunktionalsystem auch um äquivalente Gaugefunktional der Form <math>\| \cdot \|_{(\alpha,\varepsilon)}:=\varepsilon \cdot \| \cdot \|_{\alpha}</math>. Das erspart die Verwendung von Konstanten in dem folgenden Beweis. === Stetigkeit in einem Punkt === In dem Beweis geht ein, dass man bei linearen bzw. bilinearen Abbildung die Stetigkeit nur in einem Punkt (hier Nullvektor nachweisen muss, um die Stetigkeit auf dem ganzen Definitionsbereich der (bi-)linearen Abbildung nachzuweisen (siehe auch [[Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]]) == Beweisidee == Der folgende Beweis stellt für die Eigenschaften (A1)-(A5) die folgenden Beziehung zur Topologie und Mengen her. * (A1) <math display="inline">\left\| x \right\| _\alpha \geq 0</math> - Definition des Minkowski-Funktional für absorbierende Mengen * (A2) <math display="inline">\displaystyle \left( \forall_{\displaystyle \alpha\in {\mathcal{A}} } : \left\| x \right\| _\alpha = 0 \right) \Longrightarrow x=0_A </math> Hausdorff-Eigenschaft der Topologie * (A3) <math display="inline"> \left\| \lambda\cdot x \right\| _\alpha = |\lambda|\cdot \left\| x \right\| _\alpha</math> Stetigkeit der Multiplikation mit Skalaren * (A4) <math display="inline"> \left\| x+y \right\| _\alpha\leq \left\| x \right\| _\beta +\left\| y \right\| _\beta </math> Stetigkeit der Addition * (A5) <math display="inline"> \left\| x\cdot y \right\| _\alpha\leq \left\| x \right\| _\beta \cdot \left\| y \right\| _\beta </math> Stetigkeit der Multiplikation == Beweis == Topologische Vektorräume besitzen eine Nullumgebungsbasis <math display="inline">\{U_\alpha\}_{\alpha\in {\mathcal{A}} } </math> aus kreisförmigen Mengen. Man betrachtet dann als System der die [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Minkowski-Funktionale|Minkowski-Funktionale]] <math display="inline">\|\cdot \|_\alpha</math> mit <math>\alpha\in {\mathcal{A}} </math> dieser kreisförmigen Nullumgebungen <math display="inline">\{U_\alpha\}_{\alpha\in {\mathcal{A}} } </math>. Nur sind jeweils zwei Beweisrichtungen zu zeigen: * Eine topologische Algebra <math>(A\mathcal{T})</math> ist gegeben und die Eigenschaften (A1)-(A5) sind zu zeigen und umgekehrt * bei gegeben topologieerzeugenden [[Gaugefunktional|Gaugeunktionalen]] mit den Eigenschaften <math display="inline">(A1)-(A5)</math> für <math>\mathcal{T}</math> wird die Algebra zu einer topologischen Algebra. === Beweis (A1) Topologie gegeben === Eine topologische Algebra <math>(A,\mathcal{T})</math> ist gegeben und die Eigenschaften (A1) ist zu zeigen. ==== Beweis (A1.1) - Nicht-Negativität ==== Mit der kreisförmigen Nullumgebung <math display="inline">U_\alpha \in \mathfrak{U}_\mathcal{T}(0_A) </math> definiert man das Minkowskifunktional: :<math display="inline"> \|x\|_\alpha := \inf \{ \lambda > 0 \, : \, x \in \lambda \cdot U_\alpha \} </math>. ==== Beweis (A1.2) - Nicht-Negativität ==== Die Eigenschaft der Nichtnegativität folgt aus der Definition des [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Minkowski-Funktionale|Minkowski-Funktionals]], da ein Infimum über positive Zahlen gebildet wird, mit der eine absorbierende (kreisförmige) Menge <math display="inline">U_\alpha \in \mathfrak{U}_\mathcal{T}(0_A) </math> noch ein Element <math>x \in A</math> "einfängt" (<math display="inline">x \in \lambda \cdot U_\alpha</math>. Ein Infimum von positiven Zahlen ist zumindest nicht negativ (d.h. <math display="inline">0\leq \|x\|_\alpha \leq \lambda</math>). === Beweis (A1) Gaugefunktionalsystem gegeben === Ist umgekehrt auf einer Algebra ein topologieerzeugendes Gaugefunktionalsystem <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{{\mathcal{A}} }</math> gegeben, dass Eigenschaften <math>(A1)-(A5)</math>, dann gibt es eine Nullumgebungsbasis <math display="inline">\{U_\alpha\}_{\alpha\in {\mathcal{A}} } </math> aus kreisförmigen Mengen. ==== Beweis (A1.3) Gaugefunktionalsystem gegeben ==== Man definiert die Nullumgebungsbasis <math display="inline">\{\varepsilon \cdot U_\alpha\}_{\alpha\in {\mathcal{A}, \lambda >0} } </math> mit: :<math>U_{\alpha} := B_1^\alpha(0_A):= \left\{ x\in A \, : \, \left\| x \right\|_\alpha < 1 \right\}</math> Die Menge <math>U_{(\alpha , \varepsilon)} := \varepsilon\cdot U_\alpha \in \mathfrak{U}_{\mathcal{T}}(0_A)</math> ist eine Nullumgebung, weil <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{{\mathcal{A}} }</math> aus den [[Gaugefunktional|topologieerzeugenden Gaugefunktionalen]] der Topologie <math>\mathcal{T}</math> besteht. ==== Bemerkung (A1.4) Gaugefunktionalsystem gegeben ==== Man kann sich hier auf die 1-Umgebungen beschränken, weil das [[Gaugefunktional|Gaugefunktionalsystem]] bzgl. der <math>\varepsilon</math>-Radien ohne Einschränkung vervollständigt ist, d.h. es wurde ggf. um äquivalente Gaugefunktionale der Form <math>\| \cdot \|_{(\alpha,\varepsilon)}:=\varepsilon \cdot \| \cdot \|_{\alpha}</math> ggf. erweitert wurde. ==== Beweis (A1.5) Gaugefunktionalsystem gegeben - Nullumgebung kreiförmig ==== Ferner ist die Menge <math>U_\alpha \in \mathfrak{U}_{\mathcal{T}}(0_A)</math> [[kreisförmig]], weil mit <math>x \in U_\alpha</math>, <math>\lambda \in \mathbb{K}</math> und <math>|\lambda| \leq 1</math> mit (A3) gilt: :<math>\left\| \lambda \cdot x \right\|_{\alpha} \stackrel{(A3)}{=} |\lambda | \cdot \left\| x \right\|_{\alpha} \leq \left\| x \right\|_{\alpha}< 1</math> Also gilt mit <math>\left\| \lambda \cdot x \right\|_{\alpha} < 1</math> auch <math> \lambda \cdot x \in U_\alpha</math> und <math>U_\alpha</math> ist [[kreisförmig]]. ==== Beweis (A1.6) Gaugefunktionalsystem gegeben - Umgebungen von Vektoren ==== Für einen beliebigen Vektor <math>x_o\in A</math> definiert man die Umgebungbasis <math display="inline"> \{ B_\varepsilon^\alpha(x_o) \}_{\alpha\in {\mathcal{A}, \varepsilon >0, x_o \in A} } </math> wie folgt mit: :<math> B_\varepsilon^\alpha(x_o):= \left\{ x\in A \, : \, \left\| x - x_o \right\|_\alpha < \varepsilon \right\} </math> Die Menge <math> B_\varepsilon^\alpha(x_o) := U_\alpha \in \mathfrak{U}_{\mathcal{T}}(x)</math> ist eine Umgebung von <math>x_o</math>, weil <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{{\mathcal{A}} }</math> die [[Gaugefunktional|topologieerzeugend]] für <math>\mathcal{T}</math> ist. ==== Beweis (A1.7) Gaugefunktionalsystem gegeben ==== <math>\mathcal{T}</math> sei nun die kleinste Topologie, die von dem Mengensystem <math display="inline"> \{ B_\varepsilon^\alpha(x_o) \}_{ \alpha\in \mathcal{A}, \varepsilon > 0, x_o \in A} </math> erzeugt wird. Im weiteren Verlauf muss man nun nachweisen, dass die Multiplikation mit Skalaren, Addition und Multiplikation auf <math>(A,\mathcal{T})</math> stetig sind, wenn das Gaugefunktionalsystem gegeben ist. === Beweis (A2) Topologie gegeben === Eine topologische Algebra <math>(A,\mathcal{T})</math> ist gegeben und die '''Eigenschaft (A2)''' ist zu zeigen. ==== Beweis (A2.1) Hausdorff-Eigenschaft gegeben ==== Die topogische Algebra <math display="inline">(A,\mathcal{T})</math> nach Definition [[w:de:Hausdorffraum|Hausdorff'sch]]. Man betrachtet <math display="inline">x \in A</math> mit <math>x\not= 0_A</math>. Es gibt dann ein Umgebung <math>U_0 \in \mathfrak{U}_{\mathcal{T}}(0_A)</math> und <math>U_1 \in \mathfrak{U}_{\mathcal{T}}(x)</math> mit <math>U_0 \cap U_1 = \emptyset</math>. ==== Beweis (A2.2) Hausdorff-Eigenschaft gegeben ==== Da in einem topologischen Vektorraum (Algebra) eine Nullumgebungsbasis aus kreisförmigen Mengen <math display="inline">\{U_\alpha\}_{\alpha\in {\mathcal{A}} } </math> existiert, gibt es ein <math display="inline">\alpha\in {\mathcal{A}}</math> mit <math> U_\alpha \subseteq U_0 </math>. Da <math>U_0 \cap U_1 = \emptyset</math> und <math> x \in U_1</math> gilt, folgt <math> x \notin U_0</math> und damit über die Definition des [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Minkowski-Funktionale|Minkowski-Funktionals]] :<math display="inline">\|x\|_\alpha := \inf \{ \lambda > 0 \, : \, x \in \lambda \cdot U_\alpha \} \geq 1</math> und es gibt eine <math>\alpha \in{\mathcal{A}}</math> mit <math display="inline">\|x\|_\alpha \not= 0 </math> === Beweis (A2) Gaugefunktionalsystem gegeben === Ist umgekehrt auf einer Algebra ein topologieerzeugendes [[Gaugefunktional|Gaugefunktionalsystem]] <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{{\mathcal{A}} }</math> gegeben, dass Eigenschaften <math>(A1)-(A5)</math> erfüllt, dann ist die '''Hausdorff-Eigenschaft''' für die erzeugte Topologie <math>\mathcal{T}</math> zu zeigen. ==== Beweis (A2.3) Hausdorff-Eigenschaft nachweisen ==== Seien nun <math>x_1,x_2 \in A</math> mit <math> x_1\not= x_2 </math> beliebig gewählt. Nun verwendet man die topologieerzeugenden Gaugefunktionalen <math display="inline">\|\cdot\|_\alpha</math> mit <math>\alpha\in \mathcal{A}</math>, um zwei Umgebungen <math>U_1 \in \mathfrak{U}_{\mathcal{T}}(x_1)</math> und <math>U_2 \in \mathfrak{U}_{\mathcal{T}}(x_2)</math> zu erzeugen, für die <math>U_1 \cap U_2 = \emptyset</math> gilt. ==== Beweis (A2.4) Hausdorff-Eigenschaft - Kontraposition ==== Die Topologie der Algebra sei nun durch ein [[Gaugefunktional|Gaugefunktionalsystem]] mit den Eigenschaft (A1)-(A5) erzeugt. Man wendet nun Bedingung (A2) auf <math>x:=x_1-x_2</math> an: :<math display="inline">\displaystyle \left( \forall_{\displaystyle \alpha\in {\mathcal{A}} } : \left\| x \right\| _\alpha = 0 \right) \Longrightarrow x=0_A </math> Man erhält mit der Kontrapostion von (A2) für <math>x= x_1 - x_2 </math> ein <math>\alpha\in \mathcal{A}</math> mit <math>\left\| x_1 - x_2 \right\| _\alpha > 0 </math>, denn: :<math display="inline"> x\not= 0_A \Longrightarrow \displaystyle \left( \exists_{\displaystyle \alpha\in {\mathcal{A}} } : \left\| x \right\| _\alpha > 0 \right) </math> ==== Beweis (A2.5) Hausdorff-Eigenschaft nachweisen ==== Wir wenden nun die obige Kontraposition auf <math>x:= x_1 - x_2 \not=0 </math> an. Daher gibt es ein <math>\alpha \in \mathcal{A}</math> mit :<math> 0 < \lambda := \|x\|_\alpha = \| x_1 - x_2 \|_\alpha = |-1| \cdot \| x_1 - x_2 \|_\alpha = \| x_2 - x_1 \|_\alpha </math> Mit der Bedingung (A4) gibt es zu diesem <math>\alpha \in \mathcal{A}</math> ein <math>\beta \in \mathcal{A}</math> mit :<math>\displaystyle \forall_{\displaystyle x,y\in A} : \left\| x+y \right\| _\alpha\leq \left\| x \right\| _\beta +\left\| y \right\| _\beta </math> ==== Beweis (A2.6) Hausdorff-Eigenschaft - Definition der Umgebungen ==== Setzen nun mit <math>r := \frac{\lambda}{3}</math> die Umgebungen <math>U_1:=B_{r}^{\beta}(x_1)</math> und <math>U_2:=B_{r}^{\beta}(x_2)</math>. Wegen <math> \| x_1 - x_1 \|_\beta = 0 \le r </math> und <math> \| x_2 - x_2 \|_\beta = 0 \le r </math> gilt insbesondere <math>x_1 \in U_1</math> und <math>x_2\in U_2</math>. Um die Hausdorff-Eigenschaft nachzuweisen, ist nun noch <math> U_1 \cap U_2 = \emptyset</math> zu zeigen. ==== Beweis (A2.7) Hausdorff-Eigenschaft - Annahme - Schnitt nicht leer ==== Man nimmt nun an, dass der Schnitt <math>U_1 \cap U_2</math> nicht die leere Menge ist und damit ein <math>x_o \in U_1 \cap U_2 </math> existiert, für das gilt: :<math> \begin{array}{rcl} 0 & < & \lambda := \|x\|_\alpha = \| x_1 - x_2 \|_\alpha = \| (x_1 - x_0) + (x_0 - x_2) \|_\alpha \\ & \leq & \| x_1 - x_0 \|_\beta +\| x_0 - x_2 \|_\beta \leq \frac{\lambda}{3} + \frac{\lambda}{3} = \frac{2\cdot \lambda}{3} \end{array} </math> Widerspruch, wegen <math> 0 < \lambda < \frac{2}{3} \cdot \lambda</math>. Also gilt <math>U_1 \cap U_2 = \emptyset</math> und die Topologie der Algebra ist [[w:de:Hausdorffraum|Hausdorff'sch]]. ==== Bemerkung (A2.7) Hausdorff-Eigenschaft ==== Die Bedingung (A2) liefert also unter Ausnutzung der Bedingung (A4) die [[w:de:Hausdorffraum|Hausdorff-Eigenschaft]] der Algebra <math display="inline">A</math> . Ferner ist die [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologische_Algebra|topologische Algebra]] nach Voraussetzuung [[w:de:Hausdorffraum|Hausdorff'sch]]. Verlangt man die [[w:de:Hausdorffraum|Hausdorff-Eigenschaft]] nicht, entfällt beim Topologisierungslemma die Eigenschaft (A2). === Beweis (A3) Topologie gegeben === Eine topologische Algebra <math>(A,\mathcal{T})</math> ist gegeben und die Eigenschaften (A3) ist zu zeigen. ==== Beweis (A3.1) Stetigkeit der Multiplikation mit Skalaren gegeben ==== In einem topologischen Vektoraum <math>(A,\mathcal{T})</math> (und natürlich auch in einer topologischen Algebra) existiert eine Nullumgebungsbasis aus kreisförmigen Mengen. Betrachtet man die dazugehörigen [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Minkowski-Funktionale|Minkowski-Funktionale]], so sind diese bei kreisförmigen Mengen homogen (also [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Gaugefunktionale|Gaugefunktionale]]). Denn es gilt für beliebige <math>\varepsilon > 0</math>, <math> \lambda \in \mathbb{K}\setminus \{0\}</math> und der Kreisförmigkeit von <math>U_\alpha</math>: :<math> x \in (\|x\|_\alpha +\varepsilon) \cdot U_\alpha \, \Rightarrow \, \frac{|\lambda|}{\lambda} \cdot x \in (\|x\|_\alpha +\varepsilon) \cdot U_\alpha</math> Dies gilt wegen <math>\left| \frac{|\lambda|}{\lambda} \right| = 1 </math> ==== Beweis (A3.2) Stetigkeit der Multiplikation mit Skalaren gegeben ==== Ferner gilt für <math>\lambda \cdot x </math>, <math>\lambda \not=0</math> und <math> \lambda \cdot x \in (\|\lambda \cdot x\|_\alpha +\varepsilon) \cdot U_\alpha </math> :<math> \, |\lambda| \cdot x = \frac{|\lambda|}{\lambda}\cdot \lambda \cdot x \in (\|\lambda \cdot x\|_\alpha +\varepsilon) \cdot U_\alpha</math> Insgesamt erhält man für alle <math> x \in \left( \frac{\|\lambda \cdot x\|_\alpha +\varepsilon}{|\lambda|}\right) \cdot U_\alpha</math> und über Infimumbildung bzgl. <math>\varepsilon > 0</math> erhält man: <math>\|x\|_\alpha \leq \frac{\|\lambda \cdot x\|_\alpha}{|\lambda|}</math> bzw. <math>|\lambda| \cdot \|x\|_\alpha \leq \|\lambda \cdot x\|_\alpha</math>. ==== Beweis (A3.3) Stetigkeit der Multiplikation mit Skalaren gegeben ==== Die umgekehrte Ungleichung <math>|\lambda| \cdot \|x\|_\alpha \geq \|\lambda \cdot x\|_\alpha</math> erhält man mit der Kreisförmigkeit von <math>U_\alpha</math> und <math> \lambda \cdot x \in (\|\lambda \cdot x\|_\alpha +\varepsilon) \cdot U_\alpha </math>: :<math> |\lambda| \cdot \underbrace{\frac{\lambda}{|\lambda|} \cdot x}_{\in (\| x \|_\alpha +\varepsilon) \cdot U_\alpha} \in |\lambda| \cdot (\| x \|_\alpha +\varepsilon) \cdot U_\alpha</math> Also erhält man über die Infimumbildung von <math>\varepsilon > 0 </math> auch <math> \|\lambda \cdot x\|_\alpha \leq |\lambda| \cdot \| x \|_\alpha </math>. ==== Beweis (A3.4) Stetigkeit der Multiplikation mit Skalaren gegeben ==== Beweisschritt (A3.2) und (A3.3) zusammen liefert die Gleichheit <math>|\lambda| \cdot \|x\|_\alpha = \|\lambda \cdot x\|_\alpha</math>. === Beweis (A3) Gaugefunktionalsystem gegeben === Ist umgekehrt auf einer Algebra ein topologieerzeugendes [[Gaugefunktional|Gaugefunktionalsystem]] <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{{\mathcal{A}} }</math> gegeben, dass Eigenschaften <math>(A1)-(A5)</math> erfüllt, dann ist die Stetigkeit der Multiplikation mit Skalaren bzgl. <math>\mathcal{T}</math> zu zeigen. ==== Beweis (A3.5) Stetigkeit der Multiplikation mit Skalaren zeigen ==== Ist umgekehrt ein Nullfolge <math>(\lambda_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> und ein Netz <math>(x_i)_{i\in I}</math> gegeben, das in der Topologie <math>(A,\mathcal{T})</math> gegen den Nullvektor <math>0_A</math> konvergiert, so gilt: :<math> \displaystyle \forall_{\varepsilon > 0, \alpha \in \mathcal{A}} \exists_{n_\varepsilon \in \mathbb{N}, i_\alpha \in I} \forall_{n \geq n_\varepsilon, i \geq i_\alpha} \, : \, \, |\lambda_n | < \varepsilon \, \wedge x_i \in U_\alpha </math> Damit erhält man durch Anwendung von Bedingung (A3): :<math> \displaystyle \forall_{\varepsilon > 0, \alpha \in \mathcal{A}} \exists_{n_\varepsilon \in \mathbb{N}, i_\alpha \in I} \forall_{n \geq n_{\varepsilon}, i \geq i_\alpha} \, : \, \, \|\lambda_n \cdot x_i\|_\alpha \stackrel{(A3)}{=} |\lambda_n| \cdot \underbrace{\|x_i\|_\alpha}_{\leq 1} < \varepsilon \cdot 1 = \varepsilon </math> ==== Beweis (A3.6) Stetigkeit der Multiplikation mit Skalaren zeigen ==== Insgesamt konvergiert <math>(\lambda_n \cdot x_i)_{(n,i) \in \mathbb{N}\times I}</math> ebenfalls gegen den Nullvektor <math>0_A</math>, da für alle <math>U\in \mathfrak{U}_{\mathcal{T}}(0_A)</math> eine kreisförmige Nullumgebung <math>U_\alpha \subseteq U</math> existiert. Für diese kreisförmige Nullumgebung gibt es dann eine Indexschranke <math>i_\alpha \in I</math>, ab der alle <math> x_i \in U_\alpha \subseteq U </math> liegen mit <math>i \geq i_\alpha</math>. Für eine kreisförmige Nullumgebungsbasis aus <math>U_\alpha:= B_1^\alpha(0_A)</math> und <math>|\lambda_n| < 1 </math> liegt auch in <math>\lambda_n \cdot x_i \in U_\alpha \subset U</math> (d.h. <math> \lambda_n \cdot x_i \in U</math> mit <math>n > n_\varepsilon</math>. Die Indexschranke existiert wegen Konvergenz von <math>(\lambda_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> geben <math> 0 \in \mathbb{K}</math>. Insgesamt ist damit die Stetigkeit der Multiplikation mit Skalaren auf <math display="inline">A</math> gezeigt. === Beweis (A4) Topologie gegeben === Eine topologische Algebra <math>(A,\mathcal{T})</math> ist gegeben und die Eigenschaften (A4) ist zu zeigen. ==== Beweis (A4.1) Stetigkeit der Addition ==== Die Stetigkeit der Addition liefert: :<math display="block"> \forall_{\displaystyle U_{\alpha}\in \mathfrak{U} (0_A)} \exists_{\displaystyle U_\beta\in \mathfrak{U} (0_A)} : U_\beta + U_\beta \subset U_\alpha </math> Insbesondere gilt <math display="inline">U_\beta = U_\beta + \{0_A\} \subset U_\beta + U_\beta \subset U_\alpha</math>, weil <math>0_A \in U_\beta</math> gilt. Also erhält man mit <math display="inline">U_\beta \subset U_\alpha</math> für die entsprechenden Minkowskifunktionale auch <math display="inline">\left\| x \right\| _\alpha \leq \left\| x \right\| _\beta</math> für alle <math display="inline">x\in A</math>. D.h. man muss eine absorbierende Teilmenge <math display="inline">U_\beta</math> im Vergleich zu <math display="inline">U_\alpha</math> ggf. stärker aufblasen, um das entsprechende <math>x \in A</math> einzufangen. ==== Beweis (A4.2) Stetigkeit der Addition ==== Für <math display="inline">\left\| x \right\| _\beta = 0</math> und <math display="inline">\left\| y \right\| _\beta = 0</math> ist <math>x,y \in \lambda \cdot U_\beta</math> für alle <math>\lambda > 0</math>. Also sind insbesondere auch :<math>x+y \in \lambda \cdot U_\beta +\lambda \cdot U_\beta = \lambda \cdot (U_\beta + U_\beta) \subset \lambda \cdot U_\alpha</math> für alle <math>\lambda > 0</math>. Damit erhält man die gesuchte (Un-)Gleichung direkt mit :<math display="inline">\left\| x+y \right\|_\alpha = 0 = \underbrace{\left\| x \right\| _\beta}_{=0} + \underbrace{\left\| y \right\| _\beta}_{=0} </math> für alle <math>z\in A</math>. ==== Beweis (A4.3) Stetigkeit der Addition gegeben ==== Für <math display="inline">\left\| x \right\| _\beta \not= 0</math> und <math display="inline">\left\| y \right\| _\beta = 0</math> gilt, dass <math>y \in \lambda \cdot U_\beta</math> für alle <math>\lambda >0 </math>. Ferner gilt auch für alle <math>\varepsilon >0 </math> wegen Infimumsdefintion des Minkowski-Funktionals <math>x \in (\varepsilon + \|x\|_\beta )\cdot U_\beta</math>. ==== Beweis (A4.4) Stetigkeit der Addition gegeben ==== Man erhält die gesuchte Ungleichung mit <math>y \in \lambda \cdot U_\beta</math> für alle <math>\lambda >0 </math> :<math> \begin{array}{rcl} x+y & \in &(\varepsilon + \|x\|_\beta )\cdot U_\beta + (\underbrace{\varepsilon + \|x\|_\beta )}_{\lambda :=}\cdot U_\beta \\ & = & (\varepsilon + \|x\|_\beta )\cdot (U_\beta + U_\beta) \\ & \subseteq & (\varepsilon + \|x\|_\beta )\cdot U_\alpha \end{array} </math> für alle <math>\varepsilon >0 </math>. Also gilt auch <math>\left\| x + y \right\|_\alpha \leq \left\| x \right\| _\beta = \left\| x \right\| _\beta + \underbrace{\left\| y \right\| _\beta}_{=0} </math>. ==== Beweis (A4.5) Stetigkeit der Addition gegeben ==== Für <math display="inline">\left\| x \right\| _\beta = 0</math> oder <math display="inline">\left\| y \right\| _\beta \not= 0</math> erhält man die Aussage analog. ==== Beweis (A4.6) Stetigkeit der Addition ==== Seien nun <math display="inline">\left\| x \right\| _\beta\not=0</math> und <math display="inline">\left\| y \right\| _\beta\not= 0</math>. Nach Definition der [[Minkowski-Funktional|Minkowski-Funktionale]] für die Nullumgebungen <math display="inline">U_\alpha</math> und <math display="inline">U_\beta</math>, erhält man für jedes <math display="inline">\varepsilon > 0</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \frac{x}{\left\| x \right\| _\beta+\varepsilon} \in U_\beta \, \wedge \, \frac{y}{\left\| y \right\| _\beta+\varepsilon} \in U_\beta &\Longrightarrow& \frac{x}{\left\| x \right\| _\beta+\left\| y \right\| _\beta}, \frac{y}{\left\| x \right\| _\beta+\left\| y \right\| _\beta} \in U_\beta \\ & \Longrightarrow & \frac{x+y}{\left\| x \right\| _\beta+\left\| y \right\| _\beta} \in U_\beta + U_\beta \subset U_\alpha \\ &\Longrightarrow& \left\| \frac{x+y}{\left\| x \right\| _\beta+\left\| y \right\| _\beta} \right\| _\alpha \leq 1 \Longrightarrow \mbox{ Beh. (A4). } \end{array} </math> Dabei wird die Kreisförmigkeit bzw. Homogenität (A3) der [[Minkowski-Funktional|Minkowski-Funktionale]] aus den vorherigen Beweischritten verwendet. === Beweis (A4) Gaugefunktionalsystem gegeben === Ist umgekehrt auf einer Algebra ein topologieerzeugendes [[Gaugefunktional|Gaugefunktionalsystem]] <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{{\mathcal{A}} }</math> gegeben, dass Eigenschaften <math>(A1)-(A5)</math> erfüllt, dann ist die Stetigkeit der Addition bzgl. <math>\mathcal{T}</math> zu zeigen. ==== Beweis (A4.7) Addition - Topologisierung durch Gaugefunktionale ==== Wird umgekehrt die Topologie <math>\mathcal{T}</math> durch <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{\mathcal{A}} </math> erzeugt und gilt die Bedingung (A4), dann gilt: :<math display="block"> \forall_{\displaystyle \alpha\in {\mathcal{A}} } \exists {\beta \in {\mathcal{A}} } \forall_{\displaystyle x,y\in A} : \left\| x+y \right\| _\alpha\leq \left\| x \right\| _\beta +\left\| y \right\| _\beta, </math> ==== Beweis (A4.8) Addition - Topologisierung durch Gaugefunktionale ==== Dann ist die Addition auf <math display="inline">A</math> stetig, denn zu jeder Nullumgebung <math>U_\alpha</math> aus der kreisförmigen Nullumgebungsbasis mit <math>0 < \varepsilon < \frac{1}{2}</math>, <math display="inline">x,y\in {\rm B}^\beta_{\varepsilon}(0)=: U_\beta</math> und <math display="inline">{\rm B}^\alpha_1(0)=: U_\alpha</math> gilt: :<math display="block"> \left\| x+y \right\| _\alpha \leq \left\| x \right\| _\beta +\left\| y \right\| _\beta \leq \varepsilon + \varepsilon < \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 </math> Insgesamt gilt <math> x+y\in U_\alpha </math> und zu jeder kreisförmigen Nullumgebung <math>U_\alpha</math> gibt es <math>U_\beta \in \mathfrak{U}_{\mathcal{T}}(0_A)</math> mit <math>U_\beta + U_\beta \subseteq U_\alpha</math>. === Beweis (A5) Topologie gegeben === Eine topologische Algebra <math>(A,\mathcal{T})</math> ist gegeben und die Eigenschaften (A5) ist zu zeigen. ==== Beweis (A5.1) Multiplikation - Topologie gegeben ==== Mit der Stetigkeit der Multiplikation erhält man wie in <math display="inline">(A4)</math> erhält man :<math display="block"> \forall_{\displaystyle U_{\alpha}\in \mathfrak{U} (0)} \exists_{\displaystyle U_\beta\in \mathfrak{U} (0)} : U_\beta \cdot U_\beta = U_\beta^{^2} \subset U_\alpha </math> ==== Beweis (A5.2) Multiplikation - Topologie gegeben ==== Sei <math display="inline">\varepsilon >0</math> beliebig gewählt und die Behauptung <math display="inline">(A5)</math>, denn: :<math display="block"> \frac{x}{\left\| x \right\| _\beta+\varepsilon}\cdot \frac{y}{\left\| y \right\| _\beta+\varepsilon} \in U_\beta \cdot U_\beta = U_\beta^2 \subset U_\alpha </math> ==== Beweis (A5.3) Multiplikation - Topologie gegeben ==== Aus <math display="inline"> \frac{x}{\left\| x \right\| _\beta+\varepsilon}\cdot \frac{y}{\left\| y \right\| _\beta+\varepsilon} \in U_\alpha </math> folgt für alle <math display="inline">\varepsilon>0</math> unter Anwendung von Eigenschaft (A3), die mit obigen Beweisschritt für toplogische Algebren gilt auch: :<math display="block"> \begin{array}{rcl} \left\| \frac{x}{\left\| x \right\| _\beta+\varepsilon}\cdot \frac{y}{\left\| y \right\| _\beta+ \varepsilon } \right\| _\alpha & \leq & 1 \Longrightarrow \\ \left\| x\cdot y \right\| _\alpha & \leq & (\left\| x \right\| _\beta+\varepsilon ) \cdot (\left\| y \right\| _\beta+ \varepsilon) \end{array} </math> Da <math display="inline">\varepsilon>0</math> beliebig gewählt war, gilt auch <math display="inline">\left\| x\cdot y \right\| _\alpha\leq \left\| x \right\| _\beta\cdot \left\| y \right\| _\beta</math> für alle <math display="inline">x,y \in A</math>. === Beweis (A5) Gaugefunktionalsystem gegeben === Ist umgekehrt auf einer Algebra ein topologieerzeugendes [[Gaugefunktional|Gaugefunktionalsystem]] <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{{\mathcal{A}} }</math> gegeben, dass Eigenschaften <math>(A1)-(A5)</math> erfüllt, dann ist die Stetigkeit der Multiplikation bzgl. <math>\mathcal{T}</math> zu zeigen. ==== Beweis (A5.4) Multiplikation - Topologisierung durch Gaugefunktionale ==== Erfüllt das topologieerzeugendes [[Gaugefunktional|Gaugefunktionalsystem]] <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{{\mathcal{A}} }</math> die Bedingung (A5), so gilt: :<math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle \alpha\in {\mathcal{A}} } \exists {\beta \in {\mathcal{A}} } \forall_{\displaystyle x,y\in A} : \left\| x\cdot y \right\| _\alpha\leq \left\| x \right\| _\beta \cdot \left\| y \right\| _\beta </math> ==== Beweis (A5.5) Multiplikation - Topologisierung durch Gaugefunktionale ==== Dann erhalten wird umgekehrt mit der gleichen Definition von <math display="inline">U_\alpha</math> und <math display="inline">U_\beta</math> als offene Einheitskugeln <math>U_\alpha := B_1^\alpha (0_A)</math> und <math>U_\beta := B_\varepsilon^\beta (0_A)</math> mit <math>0 < \varepsilon < 1 </math> offene Nullumgebungen. Wir zeigen nun, dass alle <math> x, y \in U_\beta</math> das Produkt <math>x\cdot y \in U_\alpha</math> liegt. Wegen <math>\varepsilon < 1 </math> gilt insbesondere <math>U_\beta := B_\varepsilon^\beta (0_A) \subset B_1^\beta (0_A) =: U_\gamma</math> und damit ist <math>\|x\|_\beta \geq \|x\|_\gamma := p_{U_\gamma}(x)</math> (siehe Zusammenhang von Mengeninklusion und der <math>\leq</math>-Beziehung über [[Minkowski-Funktional|absorbierende Mengen]] und [[Gaugefunktional|Gaugefunktionale]]). ==== Beweis (A5.6) Nullumgebung - kreisförmige Nullumgebung ==== In der Rückrichtung von (A5) erhält man zu jeder Nullumgebung <math>U</math> eine kreiförmige Nullumgebung <math>U_\alpha</math> aus der Umgebungsbasis von kreisförmigen Mengen mit <math>U_\alpha \subset U</math>, die von einem Gaugefunktional <math>\|\cdot \|_\alpha</math> als Einheitskugel erzeugt wurde. Dies gilt, weil das Gaugefunktionalsystem <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{{\mathcal{A}} }</math> topologieerzeugend ist. Sei nun <math>x,y\in U_\beta</math> :<math> 1 > \varepsilon ^2 = \varepsilon \cdot \varepsilon \geq \|x\|_\beta \cdot \|y\|_\beta \stackrel{(A5)}{\geq} \|x\cdot y\|_\alpha</math> Man erhält also <math> \|x\cdot y\|_\alpha < 1</math> und damit <math> x\cdot y\in U_\alpha </math>. ==== Beweis (A5.7) Multiplikation - Topologisierung durch Gaugefunktionale ==== Die Stetigkeit der Multiplikation bei einer durch das System <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{\mathcal{A}} </math> erzeugten Topologie erhält man dann für eine beliebige Nullumgebung <math>U\in \mathfrak{U}_{\mathcal{T}}(0_A)</math> eine kreisförmige Nullumgebung <math>U_\alpha \subset U</math> und mit (A5) ein <math>U_\beta</math> mit :<math> U_\beta \cdot U_\beta = U_\beta^2 \subseteq U_\alpha \subseteq U </math> Damit die Multiplikation auf <math>(A,\mathcal{T})</math> stetig. === Beweisschritte (A1)-(A5) === Insgesamt wurde gezeigt, dass man bei topologischen Algebren <math>(A,\mathcal{T})</math> die Stetigkeit der Verknüpfungen auf der Algebra auch mit dem topologieerzeugenden [[Gaugefunktional|Gaugefunktionalsystem]] nachweisen kann bzw. für weiterführende Aussagen auf topologischen Algebren allein mit dem [[Gaugefunktional|Gaugefunktionalsystem]] arbeiten kann. <math>\Box</math> == Basiserzeugendes Topologisierungslemma == Sei <math display="inline">A</math> eine Algebra. <math display="inline">A</math> ist genau dann eine Hausdorff'sche topologische Algebra <math display="inline">(A,\mathcal{T})</math>, wenn die Topologie <math display="inline">\mathcal{T}</math> durch ein [[Basiserzeugendes Gaugefunktionalsystem|'''basiserzeugendes''']] [[Gaugefunktional|<math>p</math>-Gaugefunktionalsystem]] <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{{\mathcal{A}} }</math> mit (B1)-(B5) erzeugt werden kann: * (B1) <math display="inline">\displaystyle \forall_{ \alpha\in {\mathcal{A}} , x\in A} \, \left\| x \right\| _\alpha \geq 0</math> * (B2) <math display="inline">\displaystyle \left( \forall_{ \alpha\in {\mathcal{A}} } \, \left\| x \right\| _\alpha = 0 \right) \Longrightarrow x = 0_A </math> * (B3) <math display="inline">\displaystyle \forall_{ \alpha\in {\mathcal{A}} ,x\in A,\lambda\in \mathbb{K}} \, \left\| \lambda\cdot x \right\| _\alpha = |\lambda|^p \cdot \left\| x \right\| _\alpha</math> * (B4) <math display="inline">\displaystyle \forall_{ \alpha\in {\mathcal{A}} } \exists_{ \beta \in {\mathcal{A}} , K > 0 } \forall_{ x,y\in A} \, \left\| x+y \right\| _\alpha \leq K \cdot \left( \left\| x \right\| _\beta +\left\| y \right\| _\beta \right) </math> * (B5) <math display="inline">\displaystyle \forall_{ \alpha\in {\mathcal{A}} } \exists_{ \beta \in {\mathcal{A}} , M > 0 } \forall_{\displaystyle x,y\in A} \, \left\| x\cdot y \right\| _\alpha \leq M \cdot \left\| x \right\| _\beta \cdot \left\| y \right\| _\beta </math> === Bemerkung: Basiserzeugende Gaugefunktionalsystem === Ein [[Basiserzeugendes Gaugefunktionalsystem|basiserzeugendes Gaugefunktionalsystem]] hat die gleiche Funktion wie die Verwendung von <math>\varepsilon</math>-Umgebungen in der Analysis. Über die <math>\varepsilon</math>-Umgebungen in <math>\mathbb{R}</math> hat man eine Basis der Standardtopologie auf <math>\mathbb{R}</math> gegeben, über die man Konvergenz, Stetigkeit und andere topologische Eigenschaften ausdrücken kann. Dabei wurden ein analoges Vorgehen wie bei Gaugefunktionalen verwendet. :<math> x \in B_\varepsilon^{| \cdot |}(x_0) \Longleftrightarrow | x-x_0 | < \varepsilon \Longleftrightarrow x \in \, \, ]x_0 - \varepsilon,x_0 + \varepsilon [ </math> === Beweisaufgabe für Studierende === Zeigen Sie die obigen Eigenschaften (B1)-(B2) unter Verwendung der Eigenschaft des Gaugefunktionalsystems, basiserzeugend zu sein. Für jede Nullumgebung <math>U \in \mathfrak{U}_{\mathcal{T}}(0_A)</math> gibt es dann ein <math> \alpha \in \mathcal{A}</math> <math>\varepsilon > 0 </math> mit :<math> U \subseteq B_\varepsilon^{\alpha}(0_A) := \left\{ x \in A \, \colon \, \| x \|_\alpha < \varepsilon \right\} </math> == Aufgaben für Studierende == Sei <math>A:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> die Menge der stetigen Funktionen von <math>\mathbb{R}</math> nach <math>\mathbb{R}</math> mit der folgenden Addition und Multiplikation auf dem Vektorraum: * (Addition) <math>f,g \in A</math> definiert man <math>f+g</math> argumentweise <math>(f+g)(x):=f(x)+g(x)</math> für alle <math>x \in \mathbb{R}</math> * (Multiplikation) <math>f,g \in A</math> definiert man <math>f \cdot g</math> argumentweise <math>(f\cdot g)(x):=f(x)\cdot g(x)</math> für alle <math>x \in \mathbb{R}</math> Ferner definiert man ein Gaugefunktionalsystem <math>\|\cdot\|_{\mathcal{A}}</math> mit <math>\mathcal{A}:= \mathbb{R}</math> und <math>\|f\|_\alpha := |f(\alpha)|</math>. === Aufgabe 1 === Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot\|_{\mathcal{A}}</math> ein Halbnormensystem ist. === Aufgabe 2 === * Geben Sie ein <math>f \in A\setminus\{0_A\}</math> an, für das <math>\|f\|_\alpha = 0 </math> gilt für <math>\alpha = 2</math> und <math>\alpha = -2</math> an. * Geben Sie ein <math>g \in A\setminus\{0_A\}</math> an, für das <math>\|f\|_\alpha = 0 </math> gilt für <math>\alpha \in \mathbb{Z}</math> an. === Aufgabe 3 === Sei <math>K := \{ f\in A \, : \, f \mbox{ konstant } \} </math> die Menge der konstanten Funktionen in <math>A</math>, <math>K_{\varepsilon}^{\alpha} := \{ f\in K \, : \, \|f\|_\alpha < \varepsilon \wedge f \mbox{ konstant } \}</math> und <math>N_{\alpha} := \{ f\in K \, : \, \|f\|_\alpha = 0 \}</math>. Zeigen Sie, dass folgende Aussage gilt: :<math>B_{\varepsilon}^{\alpha}(f) := \{f\} + N_{\alpha} + K_{\varepsilon}^{\alpha}</math>. === Aufgabe 4 === Zeigen Sie, dass die Hausdorff-Eigenschaft (A2) in dieser topologischen Algebra gilt. Nehmen Sie an, dass <math>f,g \in A</math> mit <math>f\not= g</math> gilt und Sie damit ein <math>\alpha_o \in {\mathcal{A}}</math> finden können, in dem <math>f(\alpha_o)\not= g(\alpha_o)</math> gilt. Konstruktruieren mit den Gaugefunktionalen zwei Umgebungen <math>U_1 \in \mathfrak{U}_\mathcal{T}(f)</math> und <math>U_2 \in \mathfrak{U}_\mathcal{T}(g)</math> mit <math>U_1 \cap U_2 = \emptyset </math>. === Aufgabe 5 === Zeigen Sie, dass die Menge <math>N_{\alpha} := \{ f\in K \, : \, \|f\|_\alpha = 0 \}</math> ein [[Ideal (Algebra)|Ideal]] in [[Topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>A:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> ist. == Siehe auch == * [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Minkowski-Funktionale|Minkowski-Funktionale]] * [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Gaugefunktionale|Gaugefunktionale]] * [[Stetigkeitssequenz]] * [[Ideal (Algebra)]] * [[Topologische Algebra]] * [[Topologische Gruppe]] * [[unitale topologische Algebra]] * [[unitales Topologisierungslemma]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Konvergenz in Funktionenräumen|Konvergenz in Funktionenräumen]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologisierungslemma%20f%C3%BCr%20Algebren&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologisierungslemma%20f%C3%BCr%20Algebren&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologisierungslemma%20f%C3%BCr%20Algebren https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologisierungslemma%20f%C3%BCr%20Algebren] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologisierungslemma%20f%C3%BCr%20Algebren Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologisierungslemma%20f%C3%BCr%20Algebren * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologisierungslemma%20f%C3%BCr%20Algebren&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] [[Category:Funktionalanalysis]] <noinclude> [[en:Topologization Lemma for algebras]] </noinclude> oq7qe7nycjc8we4muqu8argec3icnnx 1118926 1118924 2026-11-05T11:02:25Z Bert Niehaus 20843 /* Bemerkung 1: Beweisstruktur */ 1118926 wikitext text/x-wiki == Einführung == Das Topologisierungslemma für Algebren erlaubt die Beschreibung der Stetigkeit von den Verknüpfungen in einer topologischen Algebra über [[Gaugefunktional|Gaugefunktionale]]. Diese Lernressource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologisierungslemma%20f%C3%BCr%20Algebren&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Hausdorf-Raum === In dem folgenden [[Topologisierungslemma für Algebren]] liefert die [[Hausdorff-Raum|Hausdorffeigenschaft]] ein gültiges Trennungsaxiom über die Eigenschaft (T2). Für unitale [[topologische Algebra|topologische Algebren]] <math>(A,\mathcal{T}_{\!\!\!\!_A})</math> mit der [[topologischer Vektorraum|Topologie]] <math>\mathcal{T}_{\!\!\!\!_A}</math> muss die topologische Algebra zumindest das Einselement <math>e_{\!\!_A}</math> und den Nullvektor <math>0_{\!\!_A}</math> durch eine Nullumgebung trennen können, d.h., es gibt eine Nullumgebung <math>U_0\in \mathcal{T}_{\!\!\!\!_A}</math> mit <math>e_{\!\!_A}\notin U_0</math>. Diese Eigenschaften ist bei [[Hausdorff-Raum|Hausdorff-Räumen]] immer gegeben. == Topologisierungslemma für Algebren == Sei <math display="inline">A</math> eine Algebra. <math display="inline">A</math> ist genau dann eine topologische Algebra <math display="inline">(A,\mathcal{T})</math>, die die [[Hausdorff-Raum|Hausdorfeigenschaft]] erfüllt, wenn die Topologie <math display="inline">\mathcal{T}</math> durch ein Gaugefunktionalsystem <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{{\mathcal{A}} }</math> mit den Eigenschaften (A1)-(A5) erzeugt werden kann. === Charakterisierende Eigenschaften (A1)-(A5) === * (A1) <math display="inline">\displaystyle \forall_{ \alpha\in {\mathcal{A}} ,x\in A} : \left\| x \right\| _\alpha \geq 0</math> * (A2) <math display="inline">\displaystyle \left( \forall_{ \alpha\in {\mathcal{A}} } : \left\| x \right\| _\alpha = 0 \right) \Longrightarrow x=0_A </math> * (A3) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\alpha\in {\mathcal{A}} ,x\in A,\lambda\in \mathbb{K}} : \left\| \lambda\cdot x \right\| _\alpha = |\lambda|\cdot \left\| x \right\| _\alpha </math> * (A4) <math display="inline">\displaystyle \forall_{ \alpha\in {\mathcal{A}} } \exists_{ \beta \in {\mathcal{A}} } \forall_{ x,y\in A } : \left\| x+y \right\| _\alpha \leq \left\| x \right\| _\beta +\left\| y \right\| _\beta </math> * (A5) <math display="inline">\displaystyle \forall_{ \alpha\in {\mathcal{A}} } \exists_{ \beta \in {\mathcal{A}} } \forall_{ x,y\in A } : \left\| x\cdot y \right\| _\alpha \leq \left\| x \right\| _\beta \cdot \left\| y \right\| _\beta </math> == Topologisierunglemma für Vektorräume == Sei <math display="inline">V</math> eine Vektorraum. <math display="inline">V</math> ist genau dann eine topologischer Vektorraum <math display="inline">(V,\mathcal{T})</math>, der die Hausdorfeigenschaft erfüllt, wenn die Topologie <math display="inline">\mathcal{T}</math> durch ein Gaugefunktionalsystem <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{{\mathcal{A}} }</math> mit den Eigenschaften (V1)-(V4) erzeugt werden kann. === Charakterisierende Eigenschaften (V1)-(V4) === * (V1) <math display="inline">\displaystyle \forall_{ \alpha\in {\mathcal{A}} ,x\in V} : \left\| x \right\| _\alpha \geq 0</math> * (V2) <math display="inline">\displaystyle \left( \forall_{ \alpha\in {\mathcal{A}} } : \left\| x \right\| _\alpha = 0 \right) \Longrightarrow x=0_V </math> * (V3) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\alpha\in {\mathcal{A}} ,x\in V,\lambda\in \mathbb{K}} : \left\| \lambda\cdot x \right\| _\alpha = |\lambda|\cdot \left\| x \right\| _\alpha </math> * (V4) <math display="inline">\displaystyle \forall_{ \alpha\in {\mathcal{A}} } \exists_{ \beta \in {\mathcal{A}} } \forall_{ x,y\in V } : \left\| x+y \right\| _\alpha \leq \left\| x \right\| _\beta +\left\| y \right\| _\beta </math> === Bemerkung - Topologisierunglemma für topologische Vektorräume === Den topologischen Vektorräumen <math display="inline">(V,\mathcal{T})</math> fehlt die stetige innere Verknüfung der Multiplikation <math> \cdot : V\times V \to V</math>. Daher erhält man für topologische Vektorräume nur vier charakterisierende Eigenschaften (V1)-(V4). Der Beweis der Eigenschaften erfolgt analog zu den Beweis für das Topologisierungslemma für topologische Algebren. === Hausdorff-Eigenschaft === Wenn eine [[topologische Algebra|topologische Algebra]] oder ein [[topologischer Vektorraum]] die Hausdorfeigenschaft nicht erfüllt, gilt (A2) bzw. (V2) nicht und man kann zwei Punkte <math>x_1 \not= x_2</math> ebenfalls nicht mehr durch das Gaugefunktionalsystem trennen. Wenn nicht anders angegeben, sind die topologischen Algebren Hausdorff'sch. Für unitale [[topologische Algebra|topologische Algebra]] mit Einselement <math>e_{\!\!_A}</math> muss es zumindest, gibt es wenigstens ein unital positives und [[Gaugefunktionalsystem/normalisiert|normalisiertes Gaugefunktionalsystem]] <math>\|\cdot\|_\mathcal{A}</math>. <span id="unital"></span> == Topologisierungslemma für unitale Algebren == Sei <math display="inline">A</math> eine Algebra mit Einselement <math>e_{\!\!_A}</math>. <math display="inline">A</math> ist genau dann eine topologische Algebra <math display="inline">(A,\mathcal{T})</math>, dass Einselement <math>e_{\!\!_A}</math> und Nullvektor <math>0_{\!\!_A}</math>, wenn die Topologie <math display="inline">\mathcal{T}</math> durch ein normalisiertes Gaugefunktionalsystem <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{{\mathcal{A}} }</math> mit den Eigenschaften (U1)-(U5) erzeugt werden kann. === Charakterisierende Eigenschaften (U1)-(U5) === * (U1) <math display="inline">\displaystyle \forall_{ \alpha\in {\mathcal{A}} ,x\in A} : \left\| x \right\| _\alpha \geq 0</math> * (U2) <math display="inline">\displaystyle \forall_{ \alpha\in {\mathcal{A}} } : \left\| e_{\!\!_A} \right\| _\alpha = 1 </math> * (U3) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\alpha\in {\mathcal{A}} ,x\in A,\lambda\in \mathbb{K}} : \left\| \lambda\cdot x \right\| _\alpha = |\lambda|\cdot \left\| x \right\| _\alpha </math> * (U4) <math display="inline">\displaystyle \forall_{ \alpha\in {\mathcal{A}} } \exists_{ \beta \in {\mathcal{A}}, \, C_\beta > 0 } \forall_{ x,y\in A } : \left\| x+y \right\| _\alpha \leq C_\beta \cdot \left( \left\| x \right\| _\beta +\left\| y \right\| _\beta \right) </math> * (U5) <math display="inline">\displaystyle \forall_{ \alpha\in {\mathcal{A}} } \exists_{ \beta \in {\mathcal{A}} , \, C_\beta > 0 } \forall_{ x,y\in A } : \left\| x\cdot y \right\| _\alpha \leq C_\beta \cdot \left( \left\| x \right\| _\beta \cdot \left\| y \right\| _\beta \right) </math> === Bemerkung 1: Beweisstruktur === Für den Beweis muss man zwei Richtungen zeigen, * dass für eine topologische Algebra <math display="inline">(A,\mathcal{T})</math> ein System von Gaugefunktionalen <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{{\mathcal{A}} }</math> mit folgenden Eigenschaften (A1)-(A5) existiert und * umgekehrt erzeugt ein System <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{{\mathcal{A}} }</math> von Gaugefunktionalen mit (A1)-(A5) eine Topologie <math display="inline">\mathcal{T}</math> auf <math>A</math>, die <math display="inline">(A,\mathcal{T})</math> zu einer topologischen Algebra macht. === Beweis der Eigenschaften für unterschiedliche Räume === Die Eigenschaften (A1-A4) für [[topologische Algebra|topologische Algebren]] stimmen mit (V1-V4) für [[topologischer Vektorraum|topologische Vektorräume]] überein. Die sich unterscheidenden Eigenschaft in (U1-U5) für unitale topologische Algebren werden im Beweis des [[Topologisierungslemma für Algebren]] zusätzlich behandelt, da das [[Gaugefunktionalsystem]] nicht mehr [[Gaugefunktionalsystem/skalar vollständig|skalar vollständig]] ist. Dadurch entstehen dann die zusätzlichen Konstanten in den Eigenschaften (U4) und (U5). === Bemerkung 2: Äquivalentes Gaugefunktionalsystem === Ohne Einschränkung verwenden wir ein Gaugefunktionalsystem, das bzgl. des Radius der <math>\varepsilon</math>-Kugeln vollständig erweitert ist. D.h. man erweitert das Gaugefunktionalsystem auch um äquivalente Gaugefunktional der Form <math>\| \cdot \|_{(\alpha,\varepsilon)}:=\varepsilon \cdot \| \cdot \|_{\alpha}</math>. Das erspart die Verwendung von Konstanten in dem folgenden Beweis. === Stetigkeit in einem Punkt === In dem Beweis geht ein, dass man bei linearen bzw. bilinearen Abbildung die Stetigkeit nur in einem Punkt (hier Nullvektor nachweisen muss, um die Stetigkeit auf dem ganzen Definitionsbereich der (bi-)linearen Abbildung nachzuweisen (siehe auch [[Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]]) == Beweisidee == Der folgende Beweis stellt für die Eigenschaften (A1)-(A5) die folgenden Beziehung zur Topologie und Mengen her. * (A1) <math display="inline">\left\| x \right\| _\alpha \geq 0</math> - Definition des Minkowski-Funktional für absorbierende Mengen * (A2) <math display="inline">\displaystyle \left( \forall_{\displaystyle \alpha\in {\mathcal{A}} } : \left\| x \right\| _\alpha = 0 \right) \Longrightarrow x=0_A </math> Hausdorff-Eigenschaft der Topologie * (A3) <math display="inline"> \left\| \lambda\cdot x \right\| _\alpha = |\lambda|\cdot \left\| x \right\| _\alpha</math> Stetigkeit der Multiplikation mit Skalaren * (A4) <math display="inline"> \left\| x+y \right\| _\alpha\leq \left\| x \right\| _\beta +\left\| y \right\| _\beta </math> Stetigkeit der Addition * (A5) <math display="inline"> \left\| x\cdot y \right\| _\alpha\leq \left\| x \right\| _\beta \cdot \left\| y \right\| _\beta </math> Stetigkeit der Multiplikation == Beweis == Topologische Vektorräume besitzen eine Nullumgebungsbasis <math display="inline">\{U_\alpha\}_{\alpha\in {\mathcal{A}} } </math> aus kreisförmigen Mengen. Man betrachtet dann als System der die [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Minkowski-Funktionale|Minkowski-Funktionale]] <math display="inline">\|\cdot \|_\alpha</math> mit <math>\alpha\in {\mathcal{A}} </math> dieser kreisförmigen Nullumgebungen <math display="inline">\{U_\alpha\}_{\alpha\in {\mathcal{A}} } </math>. Nur sind jeweils zwei Beweisrichtungen zu zeigen: * Eine topologische Algebra <math>(A\mathcal{T})</math> ist gegeben und die Eigenschaften (A1)-(A5) sind zu zeigen und umgekehrt * bei gegeben topologieerzeugenden [[Gaugefunktional|Gaugeunktionalen]] mit den Eigenschaften <math display="inline">(A1)-(A5)</math> für <math>\mathcal{T}</math> wird die Algebra zu einer topologischen Algebra. === Beweis (A1) Topologie gegeben === Eine topologische Algebra <math>(A,\mathcal{T})</math> ist gegeben und die Eigenschaften (A1) ist zu zeigen. ==== Beweis (A1.1) - Nicht-Negativität ==== Mit der kreisförmigen Nullumgebung <math display="inline">U_\alpha \in \mathfrak{U}_\mathcal{T}(0_A) </math> definiert man das Minkowskifunktional: :<math display="inline"> \|x\|_\alpha := \inf \{ \lambda > 0 \, : \, x \in \lambda \cdot U_\alpha \} </math>. ==== Beweis (A1.2) - Nicht-Negativität ==== Die Eigenschaft der Nichtnegativität folgt aus der Definition des [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Minkowski-Funktionale|Minkowski-Funktionals]], da ein Infimum über positive Zahlen gebildet wird, mit der eine absorbierende (kreisförmige) Menge <math display="inline">U_\alpha \in \mathfrak{U}_\mathcal{T}(0_A) </math> noch ein Element <math>x \in A</math> "einfängt" (<math display="inline">x \in \lambda \cdot U_\alpha</math>. Ein Infimum von positiven Zahlen ist zumindest nicht negativ (d.h. <math display="inline">0\leq \|x\|_\alpha \leq \lambda</math>). === Beweis (A1) Gaugefunktionalsystem gegeben === Ist umgekehrt auf einer Algebra ein topologieerzeugendes Gaugefunktionalsystem <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{{\mathcal{A}} }</math> gegeben, dass Eigenschaften <math>(A1)-(A5)</math>, dann gibt es eine Nullumgebungsbasis <math display="inline">\{U_\alpha\}_{\alpha\in {\mathcal{A}} } </math> aus kreisförmigen Mengen. ==== Beweis (A1.3) Gaugefunktionalsystem gegeben ==== Man definiert die Nullumgebungsbasis <math display="inline">\{\varepsilon \cdot U_\alpha\}_{\alpha\in {\mathcal{A}, \lambda >0} } </math> mit: :<math>U_{\alpha} := B_1^\alpha(0_A):= \left\{ x\in A \, : \, \left\| x \right\|_\alpha < 1 \right\}</math> Die Menge <math>U_{(\alpha , \varepsilon)} := \varepsilon\cdot U_\alpha \in \mathfrak{U}_{\mathcal{T}}(0_A)</math> ist eine Nullumgebung, weil <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{{\mathcal{A}} }</math> aus den [[Gaugefunktional|topologieerzeugenden Gaugefunktionalen]] der Topologie <math>\mathcal{T}</math> besteht. ==== Bemerkung (A1.4) Gaugefunktionalsystem gegeben ==== Man kann sich hier auf die 1-Umgebungen beschränken, weil das [[Gaugefunktional|Gaugefunktionalsystem]] bzgl. der <math>\varepsilon</math>-Radien ohne Einschränkung vervollständigt ist, d.h. es wurde ggf. um äquivalente Gaugefunktionale der Form <math>\| \cdot \|_{(\alpha,\varepsilon)}:=\varepsilon \cdot \| \cdot \|_{\alpha}</math> ggf. erweitert wurde. ==== Beweis (A1.5) Gaugefunktionalsystem gegeben - Nullumgebung kreiförmig ==== Ferner ist die Menge <math>U_\alpha \in \mathfrak{U}_{\mathcal{T}}(0_A)</math> [[kreisförmig]], weil mit <math>x \in U_\alpha</math>, <math>\lambda \in \mathbb{K}</math> und <math>|\lambda| \leq 1</math> mit (A3) gilt: :<math>\left\| \lambda \cdot x \right\|_{\alpha} \stackrel{(A3)}{=} |\lambda | \cdot \left\| x \right\|_{\alpha} \leq \left\| x \right\|_{\alpha}< 1</math> Also gilt mit <math>\left\| \lambda \cdot x \right\|_{\alpha} < 1</math> auch <math> \lambda \cdot x \in U_\alpha</math> und <math>U_\alpha</math> ist [[kreisförmig]]. ==== Beweis (A1.6) Gaugefunktionalsystem gegeben - Umgebungen von Vektoren ==== Für einen beliebigen Vektor <math>x_o\in A</math> definiert man die Umgebungbasis <math display="inline"> \{ B_\varepsilon^\alpha(x_o) \}_{\alpha\in {\mathcal{A}, \varepsilon >0, x_o \in A} } </math> wie folgt mit: :<math> B_\varepsilon^\alpha(x_o):= \left\{ x\in A \, : \, \left\| x - x_o \right\|_\alpha < \varepsilon \right\} </math> Die Menge <math> B_\varepsilon^\alpha(x_o) := U_\alpha \in \mathfrak{U}_{\mathcal{T}}(x)</math> ist eine Umgebung von <math>x_o</math>, weil <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{{\mathcal{A}} }</math> die [[Gaugefunktional|topologieerzeugend]] für <math>\mathcal{T}</math> ist. ==== Beweis (A1.7) Gaugefunktionalsystem gegeben ==== <math>\mathcal{T}</math> sei nun die kleinste Topologie, die von dem Mengensystem <math display="inline"> \{ B_\varepsilon^\alpha(x_o) \}_{ \alpha\in \mathcal{A}, \varepsilon > 0, x_o \in A} </math> erzeugt wird. Im weiteren Verlauf muss man nun nachweisen, dass die Multiplikation mit Skalaren, Addition und Multiplikation auf <math>(A,\mathcal{T})</math> stetig sind, wenn das Gaugefunktionalsystem gegeben ist. === Beweis (A2) Topologie gegeben === Eine topologische Algebra <math>(A,\mathcal{T})</math> ist gegeben und die '''Eigenschaft (A2)''' ist zu zeigen. ==== Beweis (A2.1) Hausdorff-Eigenschaft gegeben ==== Die topogische Algebra <math display="inline">(A,\mathcal{T})</math> nach Definition [[w:de:Hausdorffraum|Hausdorff'sch]]. Man betrachtet <math display="inline">x \in A</math> mit <math>x\not= 0_A</math>. Es gibt dann ein Umgebung <math>U_0 \in \mathfrak{U}_{\mathcal{T}}(0_A)</math> und <math>U_1 \in \mathfrak{U}_{\mathcal{T}}(x)</math> mit <math>U_0 \cap U_1 = \emptyset</math>. ==== Beweis (A2.2) Hausdorff-Eigenschaft gegeben ==== Da in einem topologischen Vektorraum (Algebra) eine Nullumgebungsbasis aus kreisförmigen Mengen <math display="inline">\{U_\alpha\}_{\alpha\in {\mathcal{A}} } </math> existiert, gibt es ein <math display="inline">\alpha\in {\mathcal{A}}</math> mit <math> U_\alpha \subseteq U_0 </math>. Da <math>U_0 \cap U_1 = \emptyset</math> und <math> x \in U_1</math> gilt, folgt <math> x \notin U_0</math> und damit über die Definition des [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Minkowski-Funktionale|Minkowski-Funktionals]] :<math display="inline">\|x\|_\alpha := \inf \{ \lambda > 0 \, : \, x \in \lambda \cdot U_\alpha \} \geq 1</math> und es gibt eine <math>\alpha \in{\mathcal{A}}</math> mit <math display="inline">\|x\|_\alpha \not= 0 </math> === Beweis (A2) Gaugefunktionalsystem gegeben === Ist umgekehrt auf einer Algebra ein topologieerzeugendes [[Gaugefunktional|Gaugefunktionalsystem]] <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{{\mathcal{A}} }</math> gegeben, dass Eigenschaften <math>(A1)-(A5)</math> erfüllt, dann ist die '''Hausdorff-Eigenschaft''' für die erzeugte Topologie <math>\mathcal{T}</math> zu zeigen. ==== Beweis (A2.3) Hausdorff-Eigenschaft nachweisen ==== Seien nun <math>x_1,x_2 \in A</math> mit <math> x_1\not= x_2 </math> beliebig gewählt. Nun verwendet man die topologieerzeugenden Gaugefunktionalen <math display="inline">\|\cdot\|_\alpha</math> mit <math>\alpha\in \mathcal{A}</math>, um zwei Umgebungen <math>U_1 \in \mathfrak{U}_{\mathcal{T}}(x_1)</math> und <math>U_2 \in \mathfrak{U}_{\mathcal{T}}(x_2)</math> zu erzeugen, für die <math>U_1 \cap U_2 = \emptyset</math> gilt. ==== Beweis (A2.4) Hausdorff-Eigenschaft - Kontraposition ==== Die Topologie der Algebra sei nun durch ein [[Gaugefunktional|Gaugefunktionalsystem]] mit den Eigenschaft (A1)-(A5) erzeugt. Man wendet nun Bedingung (A2) auf <math>x:=x_1-x_2</math> an: :<math display="inline">\displaystyle \left( \forall_{\displaystyle \alpha\in {\mathcal{A}} } : \left\| x \right\| _\alpha = 0 \right) \Longrightarrow x=0_A </math> Man erhält mit der Kontrapostion von (A2) für <math>x= x_1 - x_2 </math> ein <math>\alpha\in \mathcal{A}</math> mit <math>\left\| x_1 - x_2 \right\| _\alpha > 0 </math>, denn: :<math display="inline"> x\not= 0_A \Longrightarrow \displaystyle \left( \exists_{\displaystyle \alpha\in {\mathcal{A}} } : \left\| x \right\| _\alpha > 0 \right) </math> ==== Beweis (A2.5) Hausdorff-Eigenschaft nachweisen ==== Wir wenden nun die obige Kontraposition auf <math>x:= x_1 - x_2 \not=0 </math> an. Daher gibt es ein <math>\alpha \in \mathcal{A}</math> mit :<math> 0 < \lambda := \|x\|_\alpha = \| x_1 - x_2 \|_\alpha = |-1| \cdot \| x_1 - x_2 \|_\alpha = \| x_2 - x_1 \|_\alpha </math> Mit der Bedingung (A4) gibt es zu diesem <math>\alpha \in \mathcal{A}</math> ein <math>\beta \in \mathcal{A}</math> mit :<math>\displaystyle \forall_{\displaystyle x,y\in A} : \left\| x+y \right\| _\alpha\leq \left\| x \right\| _\beta +\left\| y \right\| _\beta </math> ==== Beweis (A2.6) Hausdorff-Eigenschaft - Definition der Umgebungen ==== Setzen nun mit <math>r := \frac{\lambda}{3}</math> die Umgebungen <math>U_1:=B_{r}^{\beta}(x_1)</math> und <math>U_2:=B_{r}^{\beta}(x_2)</math>. Wegen <math> \| x_1 - x_1 \|_\beta = 0 \le r </math> und <math> \| x_2 - x_2 \|_\beta = 0 \le r </math> gilt insbesondere <math>x_1 \in U_1</math> und <math>x_2\in U_2</math>. Um die Hausdorff-Eigenschaft nachzuweisen, ist nun noch <math> U_1 \cap U_2 = \emptyset</math> zu zeigen. ==== Beweis (A2.7) Hausdorff-Eigenschaft - Annahme - Schnitt nicht leer ==== Man nimmt nun an, dass der Schnitt <math>U_1 \cap U_2</math> nicht die leere Menge ist und damit ein <math>x_o \in U_1 \cap U_2 </math> existiert, für das gilt: :<math> \begin{array}{rcl} 0 & < & \lambda := \|x\|_\alpha = \| x_1 - x_2 \|_\alpha = \| (x_1 - x_0) + (x_0 - x_2) \|_\alpha \\ & \leq & \| x_1 - x_0 \|_\beta +\| x_0 - x_2 \|_\beta \leq \frac{\lambda}{3} + \frac{\lambda}{3} = \frac{2\cdot \lambda}{3} \end{array} </math> Widerspruch, wegen <math> 0 < \lambda < \frac{2}{3} \cdot \lambda</math>. Also gilt <math>U_1 \cap U_2 = \emptyset</math> und die Topologie der Algebra ist [[w:de:Hausdorffraum|Hausdorff'sch]]. ==== Bemerkung (A2.7) Hausdorff-Eigenschaft ==== Die Bedingung (A2) liefert also unter Ausnutzung der Bedingung (A4) die [[w:de:Hausdorffraum|Hausdorff-Eigenschaft]] der Algebra <math display="inline">A</math> . Ferner ist die [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologische_Algebra|topologische Algebra]] nach Voraussetzuung [[w:de:Hausdorffraum|Hausdorff'sch]]. Verlangt man die [[w:de:Hausdorffraum|Hausdorff-Eigenschaft]] nicht, entfällt beim Topologisierungslemma die Eigenschaft (A2). === Beweis (A3) Topologie gegeben === Eine topologische Algebra <math>(A,\mathcal{T})</math> ist gegeben und die Eigenschaften (A3) ist zu zeigen. ==== Beweis (A3.1) Stetigkeit der Multiplikation mit Skalaren gegeben ==== In einem topologischen Vektoraum <math>(A,\mathcal{T})</math> (und natürlich auch in einer topologischen Algebra) existiert eine Nullumgebungsbasis aus kreisförmigen Mengen. Betrachtet man die dazugehörigen [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Minkowski-Funktionale|Minkowski-Funktionale]], so sind diese bei kreisförmigen Mengen homogen (also [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Gaugefunktionale|Gaugefunktionale]]). Denn es gilt für beliebige <math>\varepsilon > 0</math>, <math> \lambda \in \mathbb{K}\setminus \{0\}</math> und der Kreisförmigkeit von <math>U_\alpha</math>: :<math> x \in (\|x\|_\alpha +\varepsilon) \cdot U_\alpha \, \Rightarrow \, \frac{|\lambda|}{\lambda} \cdot x \in (\|x\|_\alpha +\varepsilon) \cdot U_\alpha</math> Dies gilt wegen <math>\left| \frac{|\lambda|}{\lambda} \right| = 1 </math> ==== Beweis (A3.2) Stetigkeit der Multiplikation mit Skalaren gegeben ==== Ferner gilt für <math>\lambda \cdot x </math>, <math>\lambda \not=0</math> und <math> \lambda \cdot x \in (\|\lambda \cdot x\|_\alpha +\varepsilon) \cdot U_\alpha </math> :<math> \, |\lambda| \cdot x = \frac{|\lambda|}{\lambda}\cdot \lambda \cdot x \in (\|\lambda \cdot x\|_\alpha +\varepsilon) \cdot U_\alpha</math> Insgesamt erhält man für alle <math> x \in \left( \frac{\|\lambda \cdot x\|_\alpha +\varepsilon}{|\lambda|}\right) \cdot U_\alpha</math> und über Infimumbildung bzgl. <math>\varepsilon > 0</math> erhält man: <math>\|x\|_\alpha \leq \frac{\|\lambda \cdot x\|_\alpha}{|\lambda|}</math> bzw. <math>|\lambda| \cdot \|x\|_\alpha \leq \|\lambda \cdot x\|_\alpha</math>. ==== Beweis (A3.3) Stetigkeit der Multiplikation mit Skalaren gegeben ==== Die umgekehrte Ungleichung <math>|\lambda| \cdot \|x\|_\alpha \geq \|\lambda \cdot x\|_\alpha</math> erhält man mit der Kreisförmigkeit von <math>U_\alpha</math> und <math> \lambda \cdot x \in (\|\lambda \cdot x\|_\alpha +\varepsilon) \cdot U_\alpha </math>: :<math> |\lambda| \cdot \underbrace{\frac{\lambda}{|\lambda|} \cdot x}_{\in (\| x \|_\alpha +\varepsilon) \cdot U_\alpha} \in |\lambda| \cdot (\| x \|_\alpha +\varepsilon) \cdot U_\alpha</math> Also erhält man über die Infimumbildung von <math>\varepsilon > 0 </math> auch <math> \|\lambda \cdot x\|_\alpha \leq |\lambda| \cdot \| x \|_\alpha </math>. ==== Beweis (A3.4) Stetigkeit der Multiplikation mit Skalaren gegeben ==== Beweisschritt (A3.2) und (A3.3) zusammen liefert die Gleichheit <math>|\lambda| \cdot \|x\|_\alpha = \|\lambda \cdot x\|_\alpha</math>. === Beweis (A3) Gaugefunktionalsystem gegeben === Ist umgekehrt auf einer Algebra ein topologieerzeugendes [[Gaugefunktional|Gaugefunktionalsystem]] <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{{\mathcal{A}} }</math> gegeben, dass Eigenschaften <math>(A1)-(A5)</math> erfüllt, dann ist die Stetigkeit der Multiplikation mit Skalaren bzgl. <math>\mathcal{T}</math> zu zeigen. ==== Beweis (A3.5) Stetigkeit der Multiplikation mit Skalaren zeigen ==== Ist umgekehrt ein Nullfolge <math>(\lambda_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> und ein Netz <math>(x_i)_{i\in I}</math> gegeben, das in der Topologie <math>(A,\mathcal{T})</math> gegen den Nullvektor <math>0_A</math> konvergiert, so gilt: :<math> \displaystyle \forall_{\varepsilon > 0, \alpha \in \mathcal{A}} \exists_{n_\varepsilon \in \mathbb{N}, i_\alpha \in I} \forall_{n \geq n_\varepsilon, i \geq i_\alpha} \, : \, \, |\lambda_n | < \varepsilon \, \wedge x_i \in U_\alpha </math> Damit erhält man durch Anwendung von Bedingung (A3): :<math> \displaystyle \forall_{\varepsilon > 0, \alpha \in \mathcal{A}} \exists_{n_\varepsilon \in \mathbb{N}, i_\alpha \in I} \forall_{n \geq n_{\varepsilon}, i \geq i_\alpha} \, : \, \, \|\lambda_n \cdot x_i\|_\alpha \stackrel{(A3)}{=} |\lambda_n| \cdot \underbrace{\|x_i\|_\alpha}_{\leq 1} < \varepsilon \cdot 1 = \varepsilon </math> ==== Beweis (A3.6) Stetigkeit der Multiplikation mit Skalaren zeigen ==== Insgesamt konvergiert <math>(\lambda_n \cdot x_i)_{(n,i) \in \mathbb{N}\times I}</math> ebenfalls gegen den Nullvektor <math>0_A</math>, da für alle <math>U\in \mathfrak{U}_{\mathcal{T}}(0_A)</math> eine kreisförmige Nullumgebung <math>U_\alpha \subseteq U</math> existiert. Für diese kreisförmige Nullumgebung gibt es dann eine Indexschranke <math>i_\alpha \in I</math>, ab der alle <math> x_i \in U_\alpha \subseteq U </math> liegen mit <math>i \geq i_\alpha</math>. Für eine kreisförmige Nullumgebungsbasis aus <math>U_\alpha:= B_1^\alpha(0_A)</math> und <math>|\lambda_n| < 1 </math> liegt auch in <math>\lambda_n \cdot x_i \in U_\alpha \subset U</math> (d.h. <math> \lambda_n \cdot x_i \in U</math> mit <math>n > n_\varepsilon</math>. Die Indexschranke existiert wegen Konvergenz von <math>(\lambda_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> geben <math> 0 \in \mathbb{K}</math>. Insgesamt ist damit die Stetigkeit der Multiplikation mit Skalaren auf <math display="inline">A</math> gezeigt. === Beweis (A4) Topologie gegeben === Eine topologische Algebra <math>(A,\mathcal{T})</math> ist gegeben und die Eigenschaften (A4) ist zu zeigen. ==== Beweis (A4.1) Stetigkeit der Addition ==== Die Stetigkeit der Addition liefert: :<math display="block"> \forall_{\displaystyle U_{\alpha}\in \mathfrak{U} (0_A)} \exists_{\displaystyle U_\beta\in \mathfrak{U} (0_A)} : U_\beta + U_\beta \subset U_\alpha </math> Insbesondere gilt <math display="inline">U_\beta = U_\beta + \{0_A\} \subset U_\beta + U_\beta \subset U_\alpha</math>, weil <math>0_A \in U_\beta</math> gilt. Also erhält man mit <math display="inline">U_\beta \subset U_\alpha</math> für die entsprechenden Minkowskifunktionale auch <math display="inline">\left\| x \right\| _\alpha \leq \left\| x \right\| _\beta</math> für alle <math display="inline">x\in A</math>. D.h. man muss eine absorbierende Teilmenge <math display="inline">U_\beta</math> im Vergleich zu <math display="inline">U_\alpha</math> ggf. stärker aufblasen, um das entsprechende <math>x \in A</math> einzufangen. ==== Beweis (A4.2) Stetigkeit der Addition ==== Für <math display="inline">\left\| x \right\| _\beta = 0</math> und <math display="inline">\left\| y \right\| _\beta = 0</math> ist <math>x,y \in \lambda \cdot U_\beta</math> für alle <math>\lambda > 0</math>. Also sind insbesondere auch :<math>x+y \in \lambda \cdot U_\beta +\lambda \cdot U_\beta = \lambda \cdot (U_\beta + U_\beta) \subset \lambda \cdot U_\alpha</math> für alle <math>\lambda > 0</math>. Damit erhält man die gesuchte (Un-)Gleichung direkt mit :<math display="inline">\left\| x+y \right\|_\alpha = 0 = \underbrace{\left\| x \right\| _\beta}_{=0} + \underbrace{\left\| y \right\| _\beta}_{=0} </math> für alle <math>z\in A</math>. ==== Beweis (A4.3) Stetigkeit der Addition gegeben ==== Für <math display="inline">\left\| x \right\| _\beta \not= 0</math> und <math display="inline">\left\| y \right\| _\beta = 0</math> gilt, dass <math>y \in \lambda \cdot U_\beta</math> für alle <math>\lambda >0 </math>. Ferner gilt auch für alle <math>\varepsilon >0 </math> wegen Infimumsdefintion des Minkowski-Funktionals <math>x \in (\varepsilon + \|x\|_\beta )\cdot U_\beta</math>. ==== Beweis (A4.4) Stetigkeit der Addition gegeben ==== Man erhält die gesuchte Ungleichung mit <math>y \in \lambda \cdot U_\beta</math> für alle <math>\lambda >0 </math> :<math> \begin{array}{rcl} x+y & \in &(\varepsilon + \|x\|_\beta )\cdot U_\beta + (\underbrace{\varepsilon + \|x\|_\beta )}_{\lambda :=}\cdot U_\beta \\ & = & (\varepsilon + \|x\|_\beta )\cdot (U_\beta + U_\beta) \\ & \subseteq & (\varepsilon + \|x\|_\beta )\cdot U_\alpha \end{array} </math> für alle <math>\varepsilon >0 </math>. Also gilt auch <math>\left\| x + y \right\|_\alpha \leq \left\| x \right\| _\beta = \left\| x \right\| _\beta + \underbrace{\left\| y \right\| _\beta}_{=0} </math>. ==== Beweis (A4.5) Stetigkeit der Addition gegeben ==== Für <math display="inline">\left\| x \right\| _\beta = 0</math> oder <math display="inline">\left\| y \right\| _\beta \not= 0</math> erhält man die Aussage analog. ==== Beweis (A4.6) Stetigkeit der Addition ==== Seien nun <math display="inline">\left\| x \right\| _\beta\not=0</math> und <math display="inline">\left\| y \right\| _\beta\not= 0</math>. Nach Definition der [[Minkowski-Funktional|Minkowski-Funktionale]] für die Nullumgebungen <math display="inline">U_\alpha</math> und <math display="inline">U_\beta</math>, erhält man für jedes <math display="inline">\varepsilon > 0</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \frac{x}{\left\| x \right\| _\beta+\varepsilon} \in U_\beta \, \wedge \, \frac{y}{\left\| y \right\| _\beta+\varepsilon} \in U_\beta &\Longrightarrow& \frac{x}{\left\| x \right\| _\beta+\left\| y \right\| _\beta}, \frac{y}{\left\| x \right\| _\beta+\left\| y \right\| _\beta} \in U_\beta \\ & \Longrightarrow & \frac{x+y}{\left\| x \right\| _\beta+\left\| y \right\| _\beta} \in U_\beta + U_\beta \subset U_\alpha \\ &\Longrightarrow& \left\| \frac{x+y}{\left\| x \right\| _\beta+\left\| y \right\| _\beta} \right\| _\alpha \leq 1 \Longrightarrow \mbox{ Beh. (A4). } \end{array} </math> Dabei wird die Kreisförmigkeit bzw. Homogenität (A3) der [[Minkowski-Funktional|Minkowski-Funktionale]] aus den vorherigen Beweischritten verwendet. === Beweis (A4) Gaugefunktionalsystem gegeben === Ist umgekehrt auf einer Algebra ein topologieerzeugendes [[Gaugefunktional|Gaugefunktionalsystem]] <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{{\mathcal{A}} }</math> gegeben, dass Eigenschaften <math>(A1)-(A5)</math> erfüllt, dann ist die Stetigkeit der Addition bzgl. <math>\mathcal{T}</math> zu zeigen. ==== Beweis (A4.7) Addition - Topologisierung durch Gaugefunktionale ==== Wird umgekehrt die Topologie <math>\mathcal{T}</math> durch <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{\mathcal{A}} </math> erzeugt und gilt die Bedingung (A4), dann gilt: :<math display="block"> \forall_{\displaystyle \alpha\in {\mathcal{A}} } \exists {\beta \in {\mathcal{A}} } \forall_{\displaystyle x,y\in A} : \left\| x+y \right\| _\alpha\leq \left\| x \right\| _\beta +\left\| y \right\| _\beta, </math> ==== Beweis (A4.8) Addition - Topologisierung durch Gaugefunktionale ==== Dann ist die Addition auf <math display="inline">A</math> stetig, denn zu jeder Nullumgebung <math>U_\alpha</math> aus der kreisförmigen Nullumgebungsbasis mit <math>0 < \varepsilon < \frac{1}{2}</math>, <math display="inline">x,y\in {\rm B}^\beta_{\varepsilon}(0)=: U_\beta</math> und <math display="inline">{\rm B}^\alpha_1(0)=: U_\alpha</math> gilt: :<math display="block"> \left\| x+y \right\| _\alpha \leq \left\| x \right\| _\beta +\left\| y \right\| _\beta \leq \varepsilon + \varepsilon < \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 </math> Insgesamt gilt <math> x+y\in U_\alpha </math> und zu jeder kreisförmigen Nullumgebung <math>U_\alpha</math> gibt es <math>U_\beta \in \mathfrak{U}_{\mathcal{T}}(0_A)</math> mit <math>U_\beta + U_\beta \subseteq U_\alpha</math>. === Beweis (A5) Topologie gegeben === Eine topologische Algebra <math>(A,\mathcal{T})</math> ist gegeben und die Eigenschaften (A5) ist zu zeigen. ==== Beweis (A5.1) Multiplikation - Topologie gegeben ==== Mit der Stetigkeit der Multiplikation erhält man wie in <math display="inline">(A4)</math> erhält man :<math display="block"> \forall_{\displaystyle U_{\alpha}\in \mathfrak{U} (0)} \exists_{\displaystyle U_\beta\in \mathfrak{U} (0)} : U_\beta \cdot U_\beta = U_\beta^{^2} \subset U_\alpha </math> ==== Beweis (A5.2) Multiplikation - Topologie gegeben ==== Sei <math display="inline">\varepsilon >0</math> beliebig gewählt und die Behauptung <math display="inline">(A5)</math>, denn: :<math display="block"> \frac{x}{\left\| x \right\| _\beta+\varepsilon}\cdot \frac{y}{\left\| y \right\| _\beta+\varepsilon} \in U_\beta \cdot U_\beta = U_\beta^2 \subset U_\alpha </math> ==== Beweis (A5.3) Multiplikation - Topologie gegeben ==== Aus <math display="inline"> \frac{x}{\left\| x \right\| _\beta+\varepsilon}\cdot \frac{y}{\left\| y \right\| _\beta+\varepsilon} \in U_\alpha </math> folgt für alle <math display="inline">\varepsilon>0</math> unter Anwendung von Eigenschaft (A3), die mit obigen Beweisschritt für toplogische Algebren gilt auch: :<math display="block"> \begin{array}{rcl} \left\| \frac{x}{\left\| x \right\| _\beta+\varepsilon}\cdot \frac{y}{\left\| y \right\| _\beta+ \varepsilon } \right\| _\alpha & \leq & 1 \Longrightarrow \\ \left\| x\cdot y \right\| _\alpha & \leq & (\left\| x \right\| _\beta+\varepsilon ) \cdot (\left\| y \right\| _\beta+ \varepsilon) \end{array} </math> Da <math display="inline">\varepsilon>0</math> beliebig gewählt war, gilt auch <math display="inline">\left\| x\cdot y \right\| _\alpha\leq \left\| x \right\| _\beta\cdot \left\| y \right\| _\beta</math> für alle <math display="inline">x,y \in A</math>. === Beweis (A5) Gaugefunktionalsystem gegeben === Ist umgekehrt auf einer Algebra ein topologieerzeugendes [[Gaugefunktional|Gaugefunktionalsystem]] <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{{\mathcal{A}} }</math> gegeben, dass Eigenschaften <math>(A1)-(A5)</math> erfüllt, dann ist die Stetigkeit der Multiplikation bzgl. <math>\mathcal{T}</math> zu zeigen. ==== Beweis (A5.4) Multiplikation - Topologisierung durch Gaugefunktionale ==== Erfüllt das topologieerzeugendes [[Gaugefunktional|Gaugefunktionalsystem]] <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{{\mathcal{A}} }</math> die Bedingung (A5), so gilt: :<math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle \alpha\in {\mathcal{A}} } \exists {\beta \in {\mathcal{A}} } \forall_{\displaystyle x,y\in A} : \left\| x\cdot y \right\| _\alpha\leq \left\| x \right\| _\beta \cdot \left\| y \right\| _\beta </math> ==== Beweis (A5.5) Multiplikation - Topologisierung durch Gaugefunktionale ==== Dann erhalten wird umgekehrt mit der gleichen Definition von <math display="inline">U_\alpha</math> und <math display="inline">U_\beta</math> als offene Einheitskugeln <math>U_\alpha := B_1^\alpha (0_A)</math> und <math>U_\beta := B_\varepsilon^\beta (0_A)</math> mit <math>0 < \varepsilon < 1 </math> offene Nullumgebungen. Wir zeigen nun, dass alle <math> x, y \in U_\beta</math> das Produkt <math>x\cdot y \in U_\alpha</math> liegt. Wegen <math>\varepsilon < 1 </math> gilt insbesondere <math>U_\beta := B_\varepsilon^\beta (0_A) \subset B_1^\beta (0_A) =: U_\gamma</math> und damit ist <math>\|x\|_\beta \geq \|x\|_\gamma := p_{U_\gamma}(x)</math> (siehe Zusammenhang von Mengeninklusion und der <math>\leq</math>-Beziehung über [[Minkowski-Funktional|absorbierende Mengen]] und [[Gaugefunktional|Gaugefunktionale]]). ==== Beweis (A5.6) Nullumgebung - kreisförmige Nullumgebung ==== In der Rückrichtung von (A5) erhält man zu jeder Nullumgebung <math>U</math> eine kreiförmige Nullumgebung <math>U_\alpha</math> aus der Umgebungsbasis von kreisförmigen Mengen mit <math>U_\alpha \subset U</math>, die von einem Gaugefunktional <math>\|\cdot \|_\alpha</math> als Einheitskugel erzeugt wurde. Dies gilt, weil das Gaugefunktionalsystem <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{{\mathcal{A}} }</math> topologieerzeugend ist. Sei nun <math>x,y\in U_\beta</math> :<math> 1 > \varepsilon ^2 = \varepsilon \cdot \varepsilon \geq \|x\|_\beta \cdot \|y\|_\beta \stackrel{(A5)}{\geq} \|x\cdot y\|_\alpha</math> Man erhält also <math> \|x\cdot y\|_\alpha < 1</math> und damit <math> x\cdot y\in U_\alpha </math>. ==== Beweis (A5.7) Multiplikation - Topologisierung durch Gaugefunktionale ==== Die Stetigkeit der Multiplikation bei einer durch das System <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{\mathcal{A}} </math> erzeugten Topologie erhält man dann für eine beliebige Nullumgebung <math>U\in \mathfrak{U}_{\mathcal{T}}(0_A)</math> eine kreisförmige Nullumgebung <math>U_\alpha \subset U</math> und mit (A5) ein <math>U_\beta</math> mit :<math> U_\beta \cdot U_\beta = U_\beta^2 \subseteq U_\alpha \subseteq U </math> Damit die Multiplikation auf <math>(A,\mathcal{T})</math> stetig. === Beweisschritte (A1)-(A5) === Insgesamt wurde gezeigt, dass man bei topologischen Algebren <math>(A,\mathcal{T})</math> die Stetigkeit der Verknüpfungen auf der Algebra auch mit dem topologieerzeugenden [[Gaugefunktional|Gaugefunktionalsystem]] nachweisen kann bzw. für weiterführende Aussagen auf topologischen Algebren allein mit dem [[Gaugefunktional|Gaugefunktionalsystem]] arbeiten kann. <math>\Box</math> == Basiserzeugendes Topologisierungslemma == Sei <math display="inline">A</math> eine Algebra. <math display="inline">A</math> ist genau dann eine Hausdorff'sche topologische Algebra <math display="inline">(A,\mathcal{T})</math>, wenn die Topologie <math display="inline">\mathcal{T}</math> durch ein [[Basiserzeugendes Gaugefunktionalsystem|'''basiserzeugendes''']] [[Gaugefunktional|<math>p</math>-Gaugefunktionalsystem]] <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{{\mathcal{A}} }</math> mit (B1)-(B5) erzeugt werden kann: * (B1) <math display="inline">\displaystyle \forall_{ \alpha\in {\mathcal{A}} , x\in A} \, \left\| x \right\| _\alpha \geq 0</math> * (B2) <math display="inline">\displaystyle \left( \forall_{ \alpha\in {\mathcal{A}} } \, \left\| x \right\| _\alpha = 0 \right) \Longrightarrow x = 0_A </math> * (B3) <math display="inline">\displaystyle \forall_{ \alpha\in {\mathcal{A}} ,x\in A,\lambda\in \mathbb{K}} \, \left\| \lambda\cdot x \right\| _\alpha = |\lambda|^p \cdot \left\| x \right\| _\alpha</math> * (B4) <math display="inline">\displaystyle \forall_{ \alpha\in {\mathcal{A}} } \exists_{ \beta \in {\mathcal{A}} , K > 0 } \forall_{ x,y\in A} \, \left\| x+y \right\| _\alpha \leq K \cdot \left( \left\| x \right\| _\beta +\left\| y \right\| _\beta \right) </math> * (B5) <math display="inline">\displaystyle \forall_{ \alpha\in {\mathcal{A}} } \exists_{ \beta \in {\mathcal{A}} , M > 0 } \forall_{\displaystyle x,y\in A} \, \left\| x\cdot y \right\| _\alpha \leq M \cdot \left\| x \right\| _\beta \cdot \left\| y \right\| _\beta </math> === Bemerkung: Basiserzeugende Gaugefunktionalsystem === Ein [[Basiserzeugendes Gaugefunktionalsystem|basiserzeugendes Gaugefunktionalsystem]] hat die gleiche Funktion wie die Verwendung von <math>\varepsilon</math>-Umgebungen in der Analysis. Über die <math>\varepsilon</math>-Umgebungen in <math>\mathbb{R}</math> hat man eine Basis der Standardtopologie auf <math>\mathbb{R}</math> gegeben, über die man Konvergenz, Stetigkeit und andere topologische Eigenschaften ausdrücken kann. Dabei wurden ein analoges Vorgehen wie bei Gaugefunktionalen verwendet. :<math> x \in B_\varepsilon^{| \cdot |}(x_0) \Longleftrightarrow | x-x_0 | < \varepsilon \Longleftrightarrow x \in \, \, ]x_0 - \varepsilon,x_0 + \varepsilon [ </math> === Beweisaufgabe für Studierende === Zeigen Sie die obigen Eigenschaften (B1)-(B2) unter Verwendung der Eigenschaft des Gaugefunktionalsystems, basiserzeugend zu sein. Für jede Nullumgebung <math>U \in \mathfrak{U}_{\mathcal{T}}(0_A)</math> gibt es dann ein <math> \alpha \in \mathcal{A}</math> <math>\varepsilon > 0 </math> mit :<math> U \subseteq B_\varepsilon^{\alpha}(0_A) := \left\{ x \in A \, \colon \, \| x \|_\alpha < \varepsilon \right\} </math> == Aufgaben für Studierende == Sei <math>A:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> die Menge der stetigen Funktionen von <math>\mathbb{R}</math> nach <math>\mathbb{R}</math> mit der folgenden Addition und Multiplikation auf dem Vektorraum: * (Addition) <math>f,g \in A</math> definiert man <math>f+g</math> argumentweise <math>(f+g)(x):=f(x)+g(x)</math> für alle <math>x \in \mathbb{R}</math> * (Multiplikation) <math>f,g \in A</math> definiert man <math>f \cdot g</math> argumentweise <math>(f\cdot g)(x):=f(x)\cdot g(x)</math> für alle <math>x \in \mathbb{R}</math> Ferner definiert man ein Gaugefunktionalsystem <math>\|\cdot\|_{\mathcal{A}}</math> mit <math>\mathcal{A}:= \mathbb{R}</math> und <math>\|f\|_\alpha := |f(\alpha)|</math>. === Aufgabe 1 === Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot\|_{\mathcal{A}}</math> ein Halbnormensystem ist. === Aufgabe 2 === * Geben Sie ein <math>f \in A\setminus\{0_A\}</math> an, für das <math>\|f\|_\alpha = 0 </math> gilt für <math>\alpha = 2</math> und <math>\alpha = -2</math> an. * Geben Sie ein <math>g \in A\setminus\{0_A\}</math> an, für das <math>\|f\|_\alpha = 0 </math> gilt für <math>\alpha \in \mathbb{Z}</math> an. === Aufgabe 3 === Sei <math>K := \{ f\in A \, : \, f \mbox{ konstant } \} </math> die Menge der konstanten Funktionen in <math>A</math>, <math>K_{\varepsilon}^{\alpha} := \{ f\in K \, : \, \|f\|_\alpha < \varepsilon \wedge f \mbox{ konstant } \}</math> und <math>N_{\alpha} := \{ f\in K \, : \, \|f\|_\alpha = 0 \}</math>. Zeigen Sie, dass folgende Aussage gilt: :<math>B_{\varepsilon}^{\alpha}(f) := \{f\} + N_{\alpha} + K_{\varepsilon}^{\alpha}</math>. === Aufgabe 4 === Zeigen Sie, dass die Hausdorff-Eigenschaft (A2) in dieser topologischen Algebra gilt. Nehmen Sie an, dass <math>f,g \in A</math> mit <math>f\not= g</math> gilt und Sie damit ein <math>\alpha_o \in {\mathcal{A}}</math> finden können, in dem <math>f(\alpha_o)\not= g(\alpha_o)</math> gilt. Konstruktruieren mit den Gaugefunktionalen zwei Umgebungen <math>U_1 \in \mathfrak{U}_\mathcal{T}(f)</math> und <math>U_2 \in \mathfrak{U}_\mathcal{T}(g)</math> mit <math>U_1 \cap U_2 = \emptyset </math>. === Aufgabe 5 === Zeigen Sie, dass die Menge <math>N_{\alpha} := \{ f\in K \, : \, \|f\|_\alpha = 0 \}</math> ein [[Ideal (Algebra)|Ideal]] in [[Topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>A:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> ist. == Siehe auch == * [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Minkowski-Funktionale|Minkowski-Funktionale]] * [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Gaugefunktionale|Gaugefunktionale]] * [[Stetigkeitssequenz]] * [[Ideal (Algebra)]] * [[Topologische Algebra]] * [[Topologische Gruppe]] * [[unitale topologische Algebra]] * [[unitales Topologisierungslemma]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Konvergenz in Funktionenräumen|Konvergenz in Funktionenräumen]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologisierungslemma%20f%C3%BCr%20Algebren&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologisierungslemma%20f%C3%BCr%20Algebren&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologisierungslemma%20f%C3%BCr%20Algebren https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologisierungslemma%20f%C3%BCr%20Algebren] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologisierungslemma%20f%C3%BCr%20Algebren Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologisierungslemma%20f%C3%BCr%20Algebren * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologisierungslemma%20f%C3%BCr%20Algebren&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] [[Category:Funktionalanalysis]] <noinclude> [[en:Topologization Lemma for algebras]] </noinclude> gg6cws91fw03hfzgxqczxf7fdgs7xus 106 130502 1118876 1076506 2026-11-04T16:46:28Z Bert Niehaus 20843 /* Bemerkung 3 - Potenzreihen als Kurven in A */ 1118876 wikitext text/x-wiki == Einführung == [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihen]] sind aus der [[w:de:Analysis|Analysis]] oder [[Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe|Funktionentheorie]] bekannt. Im allgemeinen Fall betrachtet man Potenzreihe <math>p(t)=\sum_{k=0}^\infty p_k \cdot t^k</math> mit Koeffizienten in <math>A</math>. Dabei kann man formale Potenzreihen <math>p</math> als einen Folgenraum in <math>A</math> betrachten oder den Raum der Potenzreihen neben algebraischen Verknüfungen wie der Multiplikation auf topologisch untersuchen. Diese Lerneinheit führt in die Grundstruktur der Potenzreihenalgebren ein. === Algebraischer Abschluss der Verknüpfungen === Für die Wohldefiniertheit von <math>p(t)</math> für ein <math>t</math> muss die Verknüpfung <math>p_k\cdot t^k</math> wohldefiniert sein. Dazu muss dann gelten: * (1) multiplikative Verknüpfungen von <math>t</math> mit sich sind wieder in einer Algebra liegen (d.h. also auch <math>t^n \in A[t]</math> mit <math>n \in \mathbb{N}_o</math>, wobei <math>t^0 := e</math> definiert wird) und auch * (2) beliebige multiplikative Verknüpfungen von <math>t^n \in A[t]</math> mit Elementen <math>p_k \in A</math> sind wohldefiniert, d.h. <math>a \cdot t^n \in A[t]</math> wieder in <math>A[t]</math> liegen. * (3) die endliche additive algebraische Verknüpfung der <math>p_k\cdot t^k</math> in <math>A</math> liefert schließlich Polynome mit Koeffizienten aus <math>A</math>. === Topogischer Abschluss der Verknüpfungen und Polynomalgebra=== Mit dem algebraischen Abschluss entstehen zunächst nur Polynome in <math>A</math>. Für die Reihenbetrachtung <math>p(t)</math> für ein bestimmtes <math>t</math> muss man die Konvergenz der Reihe für ein <math>t</math> überprüfen können. Dazu benötigt die Algebra <math>A</math> zusätzlich eine [[Normen, Metriken, Topologie|Topologie]] <math>\mathcal{T}_A</math>. Erst dann kann man Grenzwertprozesse in <math>A</math> und damit die Konvergenz der Partialsummen gegen den Grenzwert der Reihe überprüfen. Die Topologie <math>\mathcal{T}_A</math> auf <math>A</math> muss dabei von der Topologie Topologie <math>\mathcal{T}</math> auf der Potenzreihenalgebra selbst unterschieden werden. Mit einem System aus [[Gaugefunktionalsystem|topologieerzeugenden Gaugefunktionalen]] kann man dann einen topologischen Abschluss der Polynomalgebra definieren. <span id="Potenzreihe"></span> == Definition: Potenzreihen == Sei <math>A</math> eine Algebra über dem Körper <math>\mathbb{K}</math> und <math>(p_k)_{k\in\mathbb{N}_0}\in A^{\mathbb{N}_0}</math> ein Folge in der Algebra <math>A</math> (d.h. <math>p_k\in A</math> für alle <math>k\in \mathbb{N}_0</math>). Eine Potenzreihe mit Koeffizienten in <math>A</math> hat die Form: :<math display="block"> p(t)=\sum_{k=0}^{\infty} p_k\cdot t^k </math> === Bemerkung - Konvergenz der Potenzreihe === Die Notation von <math> \sum_{k=0}^{\infty} \ldots </math> kann dabei nichts über die Konvergenz einer Reihe aussagen, denn dazu ist eine Topologisierung der Algebra notwendig. <math display="inline">A^{\infty}[t]</math> definiert rein algebraisch eine Potenzreihe mit beliebigen Koeffizienten aus der Algebra <math>A</math>. === Bemerkung 1 - Potenzreihen mit Koeffizienten im Körper === Im einfachsten Fall betrachtet man i.d.R. Potenzreihen mit Koeffizienten in <math>A:=\mathbb{K}</math> mit <math>\mathbb{K}=\mathbb{R},\, \mathbb{C}</math>. Die Konvergenz der Reihe wird dann in der durch den Betrag <math>|\cdot |</math> auf <math>\mathbb{K}</math> induzierten Topologie betrachtet (siehe Potenzreihen in der [[w:de:Analysis|Analysis]] oder [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]]). Ist <math>t_0\in \mathbb{K}</math> der Entwicklungspunkt der Reihe <math>p</math>, dann konvergiert die Reihe mit <math>|t-t_0| < r </math>. Wobei <math>r</math> der [[w:de:Konvergenzradius|Konvergenzradius]] der Reihe ist. === Bemerkung 2 - Potenzreihen als Abbildungen === Wenn man in einer [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>(A,\mathcal{T})</math> (z.B. [[w:de:Banachalgebra|Banachalgebra]]) eine Topologie <math>\mathcal{T}</math> auf <math>A</math> definiert ist, kann man kann man die Konvergenz der Partialsummen überprüfen (d.h. [[Polynomalgebra|Polynome]] in <math>A</math> konvergieren für bestimmte <math>t\in \mathbb{D}</math> gegen einen Grenzwert in <math>(A,\mathcal{T})</math>. Dazu betrachtet man die Potenzreihe <math>p</math> als Abbildung <math>p: \mathbb{D} \to A</math>. Der Definitionbereich <math>\mathbb{D} </math> ist dabei entweder selbst eine Teilmenge eine Algebra <math>A</math> oder eine Teilmenge <math>\mathbb{D}\subseteq \mathbb{K}</math> des Körpers <math>\mathbb{K}</math>. Diese beiden Alternativen möglich, damit die Terme <math>p_k\cdot t^k </math> wohldefiniert sind, denn <math>t^k </math> ist dann entweder ein Element des Körpers <math>\mathbb{K}</math> oder ein Element der Algebra <math>A</math>. Das Produkt <math>p_k\cdot t^k </math> ist so einmal als Multiplikation mit Skalaren <math>t^k \in \mathbb{K}</math> oder als innere Verknüpfung <math>\cdot : A\times A \to A</math> mit <math>t^k \in A</math> zu verstehen. === Bemerkung 3 - Potenzreihen als Kurven in A === Wählt man Definitionsbereich der Abbildung ein Intervall <math>\mathbb{D} := [a,b] \subset \mathbb{R}</math> kann man <math>p</math> als Kurve in <math>A</math> verstehen. Dabei ist die [[Potenzreihe]] ein Spezialfall der [[Konvexkombination]] der Ordnung <math>n</math>, die man als Polynome vom Grad <math>n</math> als Bernstein-Polynome mit Koeffizienten in <math>A</math> beschreiben kann. <span id="Potenzreihenalgebra"></span> == Definition: Potenzreihenalgebra == Sei <math display="inline">A^{\infty}[t]</math> die Menge aller Potenzreihen mit Koeffizienten in <math>A</math> der Form :<math display="block"> p(t)=\sum_{k=0}^{\infty} p_k\cdot t^k \mbox{ mit } (p_k)_{k\in\mathbb{N}_0}\in A^{\mathbb{N}_0} </math> === Potenzreihe als Folge von Partialsummen === Für ein feste <math>t\in \mathbb{K} </math> fasst man <math> p(t) </math> als Folge der Partialsummen auf :<math> ( p^{\downarrow n} (t) )_{n\in \mathbb{N}} := \left( \sum_{k=0}^{n} p_k\cdot t^k \right)_{n\in \mathbb{N}} </math> === Cauchy-Produkt === <math display="inline">A^{\infty}[t]</math> wird analog zur Polynomalgebra die Cauchymultiplikation von zwei Potenzreihen <math>p,q</math> als multiplikative Verknüpfung wie folgt definiert. :<math display="block"> \begin{array}{rcl} p(t) & := & \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} p_k\cdot t^k \mbox{, } q(t):= \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} q_k\cdot t^k \, \mbox{ und } \\ (p\cdot q)(t) & := & p(t)\cdot q(t):= \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \sum_{k=0}^{n} p_k \cdot q_{n-k} \cdot t^n. \end{array} </math> === Konstanten als Potenzreihen === Ein Element <math display="inline">x\in A</math> kann mit dem konstanten Polynom <math> x(t):=x\cdot t^0\in A[t]\subseteq A^{\infty}[t]</math> identifiziert werden. == Gleichheit von Potenzreihen == Seien zwei Potenzreihen <math>p,q \in A^{\infty}[t]</math> gegeben mit: :<math display="block"> p(t):= \sum_{k=0}^{\infty} p_k\cdot t^k \mbox{ und } q(t):= \sum_{k=0}^{\infty} q_k\cdot t^k </math> Die Gleichheit von Potenzreihen <math>p=q</math> wird über die Koeffizientengleichheit definiert: :<math display="block"> p=q :\Longleftrightarrow p_k = q_k \mbox{ für alle } k \in \mathbb{N}_0 </math> === Bemerkung - Gleichheit=== Die Gleichheit von Potenzreihen bzw. Polynomen muss man nicht notwendigerweise über die Koeffizientengleicheit definieren, sondern kann auch über die Gleichheit der Bilder <math>p(t)=q(t)</math> für alle <math>t\in\mathbb{D}</math> aus dem Definitionsbereich <math>t\in\mathbb{D}</math>. === Beispiel - Gleichheit === Verwendet man z.B. den Restklassenring <math>R_3:=\{\overline{0}_3,\overline{1}_3,\overline{2}_3 \}</math> modulo 3 als Definitionsbereiches eines Polynoms, so unterscheidet sich das Polynom :<math>p(t):=t \cdot (t-\overline{1}_3)\cdot (t+\overline{1}_3) = \overline{1}_3\cdot t^3 - \overline{1}_3\cdot t</math> vom Nullpolynom bzgl. der Koeffizienten von <math>t^3</math> und <math>t^1</math>. Dennoch gilt für alle <math> t \in R_3 </math> die Bedingung <math> p(t)=\overline{0}_3 </math>. === Verwendung in dieser Lerneinheit === Im weiteren Lerneinheit zu topologischen Invertierbarkeitskriterien soll die Gleichheit der Potenzreihen bzw. Polynome dann und nur dann gegeben sein, wenn zwei Polynome koeffizientengleich für alle Koeffizienten von <math>t^k</math> ist. == Topologische Potenzreihenalgebra == Sei <math>(A,\left\| \cdot \right\|_{\mathcal{A}} )</math> eine Algebra und <math>A^{\infty}[t]</math> die Algebra der Potenzreihen mit Koeffizienten in <math display="inline">A</math>. Ferner sei ein System aus Gaugefunktionalen <math display="inline">\left\|\! \left| \cdot \right| \! \right\|_{\widetilde{\mathcal{A}}} </math> definiert, wird dann mit <math display="inline">(\overline{A[t]},\left\|\! \left| \cdot \right| \! \right\|_{\widetilde{\mathcal{A}}} )</math> bezeichnet man mit <math>\overline{A[t]}</math> den topologischen Abschluss der Polynomalgebra <math>A[t]</math>. bzgl. des Gaugefunktionalsystems definiert, dass jeder Potenzreihe <math display="inline">\left\|\! \left| \cdot \right| \! \right\|_{\widetilde{\mathcal{A}}} </math>. Dabei geören alle <math>p \in A^{\infty}[t]</math> zu <math display="inline">\overline{A[t]}</math>, wenn folgende Bedingung gilt <math>\left\|\! \left| p \right| \! \right\|_{\widetilde{\alpha}} < \infty </math> für alle <math display="inline">\widetilde{\alpha} \in \widetilde{\mathcal{A}} </math>. === Induzierte Topologien von der Algebra auf die Potenzreihenalgebra === Sei <math display="inline">\left(A,\left\| \cdot \right\| _{\mathcal{A}} \right)\in \mathcal{K} (\mathbb{K}) </math> eine topologische Algebra der Klasse <math display="inline">\mathcal{K}</math>. Ferner sei zu jedem <math display="inline">\alpha\in {\mathcal{A}}</math> und <math display="inline">k\in \mathbb{N}_0</math> eine positive Konstante <math display="inline">C_k(\alpha)</math> und ein <math display="inline">\mathcal{K}</math>-Funktional <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _k^{(\alpha)}</math> gewählt, durch dass die folgenden Gaugefunktionale bzw. <math>p</math>-Gaugefunktionale auf dem Vektorraum aller Potenzreihen mit Koeffizienten in <math display="inline">A</math> definiert werden: :<math display="block"> \left\|\! \left| p \right| \! \right\|_{\alpha} := \sum_{k=0}^{\infty} C_{k}(\alpha) \cdot \left\| p_k \right\| _k^{(\alpha)}. </math> === Topologischer Abschluss der Polynomalgebra bzgl. Gaugefunktionalsystem === Mit <math display="inline">(\overline{A[t]},\left\|\! \left| \cdot \right| \! \right\|_{\mathcal{A}})</math> bezeichnet man dann den topologischen Abschluss von <math>A[t]</math> bzgl. <math> \left\|\! \left| \cdot \right| \! \right\|_{\mathcal{A}}</math>, d.h. Vektorraum aller Potenzreihen mit Koeffizienten in <math display="inline">A</math>, die zusätzlich folgende Bedingung erfüllen: :<math display="block"> \left\|\! \left| p \right| \! \right\|_{\alpha}<\infty \mbox{ für alle } \alpha\in {\mathcal{A}}. </math> === Topologisierung der Potenzreihenalgebra und Algebraerweiterung === Die Potenzreihenalgebra <math>\overline{A[t]}</math> wird nun in einer Weise topologisiert, die von dem Gaugefunktionalsystem auf <math>A</math> abhängt. Diese Vorgehen ist notwendig, damit man für die Konstruktion der Algebraerweiterung <math>B</math> die Algebra <math>A</math> in <math>B</math> einbetten kann. D.h. die unitale Algebra <math display="inline">A \in \mathcal{K}_e</math> aus einer Klasse <math display="inline">\mathcal{K}_e</math> wird in die Algebraerweiterung <math display="inline">B\in \mathcal{K}_e</math> durch einen Algebraisomorphismus <math display="inline">\tau : A \longrightarrow A' \subset B</math> eingebettet: * <math display="inline">\tau(e_{_{A}})=e_{_{B}}</math>, wobei <math display="inline">e_{_{A}}</math> ist das Einselement von <math display="inline">A</math> und <math display="inline">e_{_{B}} \in A'</math> das Einselement von <math display="inline">B</math> ist. * <math display="inline">A</math> ist homöomorph zu <math display="inline">A'</math>; d.h. <math display="inline">\tau</math> und <math display="inline">\tau^{-1}: A' \longrightarrow A</math> sind stetig. === Bemerkung: Stetigkeit Algebraisomorphismus === Die Stetigkeit des Algebraisomorphismus und der Umgekehrabbildung <math display="inline">\tau^{-1} : A' \longrightarrow A</math> von wird später über die Gaugefunktionalsysteme auf <math display="inline">A \in \mathcal{K}_e</math> und der von <math display="inline">B\in \mathcal{K}_e</math> auf <math display="inline">A'\in \mathcal{K}_e</math> induzierten Relativtopologie nachgewiesen. == Lemma: Isotone Folge von Gaugefunktionalen == Sei <math display="inline">\left(A,\| \cdot \| _{{\mathcal{A}} }\right) \in \mathcal{K}</math> und es seien <math display="inline">(\left\| \cdot \right\| _{n}^{(\alpha)})_{n\in \mathbb{N}}</math> isotone Folgen von Gaugefunktionalen mit Koeffizienten <math display="inline">C_{k}^{n}(\alpha)\geq 1</math>, für die gelten: * <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{1}^{(\alpha)} := \left\| \cdot \right\| _{\alpha}</math> für alle <math display="inline">\alpha \in {\mathcal{A}} </math> * <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{n}^{(\alpha)}\leq \left\| \cdot \right\| _{n+1}^{(\alpha)}</math> für alle <math display="inline">n\in \mathbb{N}</math> und <math display="inline">\alpha \in {\mathcal{A}} </math> * <math display="inline">C_{k}^{n}(\alpha)\leq C_{k}^{n+1}(\alpha)</math> für alle <math display="inline">\alpha\in {\mathcal{A}} </math> und <math display="inline">n,k\in \mathbb{N}</math> * <math display="inline">C_{o}^{n}(\alpha)=1</math> für alle <math display="inline">n\in \mathbb{N}</math> und <math display="inline">\alpha \in {\mathcal{A}} </math>. === Voraussetzung 2 - Gaugefunktionalsysteme auf Potenzreihenalgebra === Auf <math display="inline">A[t]</math> seien folgende vier Systeme <math display="inline"> \left\| \! \left| \cdot \right| \! \right\|_{\mathcal{A} \times \mathbb{N}}^{(I)}</math>, <math display="inline"> \left\| \! \left| \cdot \right| \! \right\|_{\mathcal{A} \times \mathbb{N}}^{(II)}</math>, <math display="inline"> \left\| \! \left| \cdot \right| \! \right\|_{\mathcal{A} \times \mathbb{N}}^{(III)}</math>, <math display="inline"> \left\|\! \left| \cdot \right|\! \right\|_{\mathcal{A} \times \mathbb{N}}^{(IV)}</math> von Gaugefunktionalen für <math display="inline">\displaystyle p(t)= \sum_{k=0}^{\infty}p_{_{k}} \cdot t^k\in A[t]</math> definiert: === Voraussetzung 2 - Definition der Gaugefunktionalsysteme === * <math display="inline">\displaystyle \left\|\! \left| p \right| \! \right\|_{(\alpha,n)}^{(I)}:= \sum_{k=0}^{\infty} C_{k}^{n}(\alpha) \cdot \left\| p_{_{k}} \right\| _{n}^{ (\alpha) } </math> * <math display="inline">\displaystyle \left\|\! \left| p \right| \! \right\|_{(\alpha,n)}^{(II)}:= \sum_{k=0}^{\infty} C_{k}^{n}(\alpha) \cdot \left\| p_{_{k}} \right\| _{n+1}^{ (\alpha) } </math> * <math display="inline">\displaystyle \left\|\! \left| p \right| \! \right\|_{(\alpha,n)}^{(III)}:= \sum_{k=0}^{\infty} C_{k}^{n+1}(\alpha) \cdot \left\| p_{_{k}} \right\| _{n}^{ (\alpha) } </math> * <math display="inline">\displaystyle \left\|\! \left| p \right| \! \right\|_{(\alpha,n)}^{(IV)}:= \left\| p_o \right\| _{n}^{ (\alpha) } + \sum_{k=1}^{\infty} C_{k}^{n}(\alpha) \cdot \left\| p_{_{k}} \right\| _{n+2}^{ (\alpha) } </math> === Folgerung - Topologieerzeugung === Mit den obigen Voraussetzungen erzeugen die Systeme auf <math display="inline">A[t]</math> die gleiche Topologie. Insbesondere erhält man zu einem festen <math display="inline">\alpha</math> für alle 4 gewählten Teilsysteme von Gaugefunktionalen <math display="inline"> \left| \! \left\| \cdot \right\| \! \right| _{\{\alpha\} \times \mathbb{N}}^{(I)}</math>,\dots , <math display="inline"> \left| \! \left\| \cdot \right\| \! \right| _{\{\alpha\} \times \mathbb{N}}^{(IV)}</math>. das gleiche Teilsystem <math>\mathcal{T}_\alpha </math> offener Mengen der Topologie <math>\mathcal{T}</math>. == Beweis == Es gilt für alle <math display="inline">\alpha\in {\mathcal{A}} </math>, <math display="inline">n\in \mathbb{N}</math> und <math display="inline">M\in\{I,\dots,IV\} </math> folgende Ungleichungskette: :<math display="block"> \left| \! \left\| \cdot \right\| \! \right| _{(\alpha,n)}^{(I)} \leq \left| \! \left\| \cdot \right\| \! \right| _{(\alpha,n)}^{(M)} \leq \left| \! \left\| \cdot \right\| \! \right| _{(\alpha,n+2)}^{(I)} </math> Damit stimmen die Teilsysteme für ein festes <math display="inline">\alpha</math>, also auch die Ausgangstopologie überein. q.e.d. == Gleichheit von Partialsummen von Potenzreihen == Die Koeffizienten der Elemente von <math display="inline">A^{\infty}[t]</math> kann man auch über die Partialsummen eindeutig bestimmen. Dabei sind die Partialsummen eindeutig als Linearkombinationen in <math>A</math> mit <math>t \in \mathbb{K}</math> definiert. Allerdings müssen die Partialsummen als Folge in <math>A</math> nicht notwendig konvergieren. === Koeffizientenvergleich bei Partialsummen 1 === :<math> \begin{array}{rll} p(t) := \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} p_k\cdot t^k & , & q(t):= \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} q_k\cdot t^k \in A[t] \\ & & \mbox{ mit } p^{\downarrow m}(t)=q^{\downarrow m}(t) \mbox{ } \forall t \in\mathbb{K} \\ &\Longrightarrow &0_A = \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} (p_k-q_k)t^k\\ \end{array} </math> === Koeffizientenvergleich bei Partialsummen 2 === :<math> \begin{array}{rll} &\Longrightarrow & \forall_{\displaystyle \alpha\in {\mathcal{A}} ;n\in \mathbb{N}} : 0 = \left| \! \left\| p-q \right\| \! \right| _{(\alpha,n)} = \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} \left\| p_k-q_k \right\| ^{(\alpha)}_n \\ &\Longrightarrow & \forall_{\displaystyle \alpha\in {\mathcal{A}} ,n\in \mathbb{N}} : \left\| p_k-q_k \right\| ^{(\alpha)}_n = 0. \end{array} </math> Da <math display="inline">A</math> ein Hausdorffraum ist, gilt auch <math display="inline">p_k=q_k</math> für alle <math display="inline">k\in \mathbb{N}_0</math>. == Definition: Potenzreihenalgebra == Sei <math display="inline">A</math> eine Algebra und <math display="inline">A^{\infty}[t]</math> die Algebra aller Potenzreihen mit Koeffizienten in <math display="inline">A</math> mit Cauchymultiplikation. Die Partialsumme bis zum Grad <math display="inline">m\in\mathbb{N}_0</math> einer Potenzreihe <math display="inline">p(t)=\sum_{k=0}^{\infty} p_k\cdot t^k\in \overline{A[t]}</math> ist folgendes Polynom: :<math display="block"> p^{\downarrow m}(t):=\sum_{k=0}^{m} p_k\cdot t^k. </math> == Definition: Partialsummentopologie == Sei <math display="inline">\left(A[t], \left| \! \left\| \cdot \right\| \! \right| _{{\mathcal{A}} } \right)</math> eine Polynomalgebra. Dann bezeichnet <math display="inline"> \left| \! \left\| \cdot \right\| \! \right| _{{\mathcal{A}} }^{\downarrow \mathbb{N}}</math> das System der Partialsummenfunktionale von <math display="inline"> \left| \! \left\| \cdot \right\| \! \right| _{{\mathcal{A}} }</math> die mit :<math> \begin{array}{rcl} p(t) &:=& \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} p_k\cdot t^k \mbox{wie folgt definiert sind:}\\ \left| \! \left\| p \right\| \! \right| ^{\downarrow m}_\alpha &:=& \left| \! \left\| p^{\downarrow m} \right\| \! \right| _\alpha \mbox{ mit } \alpha \in {\mathcal{A}} \mbox{ und } m\in \mathbb{N}. \end{array} </math> Die durch <math display="inline"> \left| \! \left\| \cdot \right\| \! \right| _{{\mathcal{A}} }^{\downarrow \mathbb{N}}</math> erzeugte Topologie heißt Partialsummentopologie von <math display="inline"> \left| \! \left\| \cdot \right\| \! \right| _{{\mathcal{A}} }</math> auf <math display="inline">A[t]</math>. == Bemerkung == Die Partialsummentopologie ist gröber als die von <math display="inline"> \left| \! \left\| \cdot \right\| \! \right| _{\mathcal{A}} </math> erzeugte Ausgangstopologie, denn für <math display="inline">\alpha\in {\mathcal{A}} </math> gilt: :<math display="block"> \left| \! \left\| \cdot \right\| \! \right| ^{\downarrow m}_\alpha \leq \left| \! \left\| \cdot \right\| \! \right| _\alpha \mbox{ für alle } m \in \mathbb{N}. </math> Die Partialsummentopologie erhält man, wenn man die einzelnen Gaugefunktionale aus <math display="inline"> \left| \! \left\| \cdot \right\| \! \right| _{\mathcal{A}}</math> mit den Projektionen <math display="inline">\cdot ^{\downarrow m}:A[t]\longrightarrow A[t]</math> auf die ersten <math display="inline">m</math> Summanden des Polynoms verkettet und als topologieerzeugende Funktionale auf <math display="inline">A[t]</math> wählt. <math display="inline">m\in \mathbb{N}</math> sei dabei beliebig gewählt. Das folgende Lemma zeigt die Eindeutigkeit der Faktorisierung von beliebigen Elementen <math display="inline">p\in \overline{A[t]}</math> durch <math display="inline">z\cdot t-e\in A[t]</math> und einer zu <math display="inline">p</math> gewählten formalen Potenzreihe <math display="inline">\widehat{p}\in \overline{A[t]}</math>. == Aufgaben == In den folgenden Aufgaben werden einige kleiner Übungen zur Berechnung von === Norm - Matrixalegbra - Topologisierung Potenzreihenalgebra === Gegeben sind die beiden Matrizen :<math> r_k := \begin{pmatrix} \frac{1}{2^k} & \frac{1}{3^k} \\ \frac{1}{4^k} & \frac{1}{5^k} \\ \end{pmatrix} \, \, \, \, \, e_A := \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix} </math> mit dem Einselement <math>e_A</math> in der Algebra <math>A:=Mat(2 \times 2,\mathbb{R})</math>. <math>A</math> ist mit der Norm :<math>\|a\|_{max} = \left\| \begin{pmatrix} a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 \\ \end{pmatrix} \right\|_{max} = \max \{|a_1|,|a_2|,|a_3|,|a_4|\} </math> ein normierter Raum. * Zeigen Sie, dass die Potenzreihe <math>q(t) := \displaystyle \sum_{k=0}^\infty e_A \cdot t^k</math> und der Norm <math> \|\!| p |\!\| := \displaystyle \sum_{k=0}^\infty \|p_k\|_{max} </math> nicht in <math>\overline{A[t]}</math> liegt. * Berechnen Sie <math>\|\!| q |\!\|</math> und <math>\|\!| r |\!\|</math> mit <math>q_k= e_A</math> bzw. den oben definierten Koeffizienten in<math>r_k</math>. * Berechnen Sie für die Potenzreihe <math>r \in \overline{A[t]}</math> mit <math>t=1</math> die Matrix <math>r(t)= r(1) \in A</math>! === Raum der reellwertigen stetigen Funktionen === Wir betrachten Definitionsbereiches <math>\mathbb{R}</math>, der die Algebra <math>A:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der stetigen Funktionen von <math>\mathbb{R}</math> nach <math>\mathbb{R}</math> mit den Halbnormen (siehe auch [[Normen, Metriken, Topologie]]): :<math> \|f\|_n := \displaystyle \max_{x\in [-n,+n]} | f(x) | </math> wird <math>(A,\|\cdot \|_{\mathbb{N}} )</math> zu einem lokalkonvexen topologischen Vektorraum. * Topologisieren Sie die Polynomalgebra <math>A[t]</math> mit einem Halbnormensystem <math>(A[t],\|\!|\cdot |\!\|_{\mathbb{N}} ) </math>, das Sie mit <math>\|\cdot \|_n </math> definieren. :: <math>\|\!| p |\!\|_n := \displaystyle \sum_{k=0}^{n} C_{k}\cdot \| p_k\|_n</math>. : '''Hinweis:''' wählen Sie für die <math>(C_k)_{k\in \mathbb{N}}</math> z.B. eine geometrische Reihe * Zeigen Sie, dass die Halbnormen <math> \|\cdot \|_n </math> submultiplikativ sind, d.h. <math> \|f\cdot g\|_n \leq \|f\|_n \cdot \|g\|_n </math>! * Wählen Sie die Koeffizienten <math>C_k \in \mathbb{R}_o^+</math> so, dass das Polynom <math>q\in A[t]</math> mit <math>q_k = cos</math> für alle <math>k \in \mathbb{N}_o</math> ein Element von der Potenzreihenalgebra <math>(\overline{A[t]},\|\!| \cdot |\!\|_{\mathbb{N}})</math> ist. Das Polynom <math>q</math> ist damit eine Potenzreihe, bei der alle Koeffizienten <math>q_k</math> die cos-Funktion ist. Wählen Sie z.B. <math>C_k:= \frac{1}{3^k}</math> und berechnen Sie <math>\| cos \|_n</math> für alle <math>n \in \mathbb{N}</math>. Welche Eigenschaft muss die Koeffizientenfolge <math> (C_k)_{k\in\mathbb{N}_0} </math> allgemein besitzen, damit <math> \|\!| q |\!\|_n < \infty </math> für alle <math>n \in \mathbb{N} </math> liefert, also für alle <math>n</math> einen endlichen Wert der Halbnormen leifert. * Wählen Sie für die Koeffzientenfolge als eine <math>(C_k)_{k\in \mathbb{N}}</math> eine geometrische Reihe mit <math>0 < q < 1 </math> und <math>C_k := q^k</math> und zeigen Sie, dass ::<math> \|\!| p \cdot q |\!\|_n \leq \|\!| p |\!\|_{n} \cdot \|\!| q |\!\|_{n} </math> : mit dem Cauchy-Produkt auf <math>A[t]</math> erfüllt ist. == Faktorisierungslemma für zt-e == Sei <math display="inline">A</math> eine unitale Algebra mit Einselement <math display="inline">e</math> und <math display="inline">z\in A</math> beliebig gewählt. <math display="inline">A^{\infty}[t]</math> ist mit der Cauchymultiplikation eine Algebra, in der gilt: :<math display="block"> \forall_{\displaystyle p\in A^{\infty}[t]} \exists_{\displaystyle \widehat{p}\in A^{\infty}[t]} \, : \, p(t)=(z\cdot t-e)\cdot \widehat{p}(t) (\ast) </math> <math display="inline">\widehat{p}</math> ist zu jedem <math display="inline">p</math> eindeutig bestimmt. == Beweis == <math display="inline">A^{\infty}[t]</math> ist ein unitaler Ring und <math display="inline">s \in A[t]\subset A^{\infty}[t]</math> mit <math display="inline"> s(t) := z\cdot t-e = z\cdot t^1 + e\cdot t^0 </math>. Wir zeigen nun, dass <math>s\in A^{\infty}[t]</math> invertierbar ist. === Inverses Element von zt-e === Man definiert zunächst über das gegebene <math>z\in A</math> ein Polynom <math>q \in A^{\infty}[t]</math> mit: :<math display="block"> q(t):= -\sum ^{\infty}_{k=0}z^{k}\cdot t^{k} = \sum ^{\infty}_{k=0} -z^{k}\cdot t^{k} </math> Wir berechnen nun <math>s\cdot q \in A^{\infty}[t]</math> über :<math display="block"> \begin{array}{rcl} (s\cdot q)(t) & = & s(t) \cdot q(t) = (z\cdot t - e) \cdot \left( \displaystyle-\sum ^{\infty}_{k=0}z^{k}\cdot t^{k} \right) \\ & = & \displaystyle -\sum ^{\infty}_{k=1} z^{k}\cdot t^{k} + \sum ^{\infty}_{k=0}z^{k}\cdot t^{k} = e \end{array} </math> === Definition der gesuchten Potenzreihe === Damit definiert man <math display="inline"> \widehat{p} (t):=q(t)\cdot p(t) = (z\cdot t-e)^{-1}\cdot p(t)</math>. === Eindeutigkeit der Potenzreihe === Eindeutigkeit von <math display="inline">\widehat{p}</math>: Seien <math display="inline">\widehat{p_{(1)}}, \widehat{p_{(2)}} \in \overline{A[t]}</math> gegeben, die die Eigenschaft <math display="inline">(*)</math> besitzen. Für <math display="inline">v(t):=z\cdot t-e</math> erhält man: :<math display="block"> \begin{array}{rcl} p & = & v\cdot \widehat{p_{(1)}} = v\cdot \widehat{p_{(2)}} \Longrightarrow \\ \widehat{p_{(1)}} & = & v^{-1}\cdot (v\cdot \widehat{p_{(1)}}) = v^{-1}\cdot (v\cdot \widehat{p_{(2)}}) = \widehat{p_{(2)}} \\ \end{array} </math> q.e.d. == Bemerkung == Die Koeffizienten der Elemente von <math display="inline">A^{\infty}[t]</math> sind eindeutig bestimmt, denn sei: :<math> \begin{array}{rcl} p(t) := \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} p_k\cdot t^k & , & q(t):= \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} q_k\cdot t^k \in A[t] \mbox{ mit } p(t)=q(t) \\ &\Longrightarrow & 0 \equiv \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} (p_k-q_k) t^k \\ &\Longrightarrow & \forall_{\displaystyle \alpha\in {\mathcal{A}} ;n\in \mathbb{N}} : 0 = \left\| \! \left| p-q \right| \! \right\| _{(\alpha,n)} = \sum_{k=0}^{\infty} \left\| p_k-q_k \right\| ^{(\alpha)}_n \\ &\Longrightarrow & \forall_{\displaystyle \alpha\in {\mathcal{A}} ,n\in \mathbb{N}} : \left\| p_k-q_k \right\| ^{(\alpha)}_n = 0. \end{array} </math> Da <math display="inline">A</math> ein Hausdorffraum ist, gilt auch <math display="inline">p_k=q_k</math> für alle <math display="inline">k\in \mathbb{N}_0</math>. == Bemerkung == Die Partialsummentopologie ist gröber als die von <math display="inline"> \left\|\! \left| \cdot \right| \! \right\|_{\mathcal{A}} </math> erzeugte Ausgangstopologie, denn für <math display="inline">\alpha\in {\mathcal{A}} </math> gilt: :<math display="block"> \left\|\! \left| \cdot \right| \! \right\|^{\downarrow m}_\alpha \leq \left\|\! \left| \cdot \right| \! \right\|_\alpha \mbox{ für alle } m \in \mathbb{N}. </math> Die Partialsummentopologie erhält man, wenn man die einzelnen Gaugefunktionale aus <math display="inline"> \left\|\! \left| \cdot \right| \! \right\|_{\mathcal{A}}</math> mit den Projektionen <math display="inline">\cdot ^{\downarrow m}:A[t]\longrightarrow A[t]</math> auf die ersten <math display="inline">m</math> Summanden des Polynoms verkettet und als topologieerzeugende Funktionale auf <math display="inline">A[t]</math> wählt. <math display="inline">m\in \mathbb{N}</math> sei dabei beliebig gewählt. Das folgende Lemma zeigt die Eindeutigkeit der Faktorisierung von beliebigen Elementen <math display="inline">p\in \overline{A[t]}</math> durch <math display="inline">z\cdot t-e\in A[t]</math> und einer zu <math display="inline">p</math> gewählten formalen Potenzreihe <math display="inline">\widehat{p}\in \overline{A[t]}</math>. == Siehe auch == * [[Potenzreihe|Definition - Potenzreihe]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe|Potenzreihen in der Funktionentheorie]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra|Polynomalgebra]] * [[Multiplikative topologische Nullteiler]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Potenzreihenalgebra&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Potenzreihenalgebra&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Potenzreihenalgebra https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Potenzreihenalgebra] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Potenzreihenalgebra Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Potenzreihenalgebra * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Potenzreihenalgebra&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] [[Category:Potenzreihen]] <noinclude>[[en:Inverse-producing extensions of Topological Algebras/Algebra of power series]]</noinclude> qjnd8li9e5enxhotph9x4abmbile8xh 1118877 1118876 2026-11-04T16:47:19Z Bert Niehaus 20843 /* Potenzreihe als Folge von Partialsummen */ 1118877 wikitext text/x-wiki == Einführung == [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihen]] sind aus der [[w:de:Analysis|Analysis]] oder [[Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe|Funktionentheorie]] bekannt. Im allgemeinen Fall betrachtet man Potenzreihe <math>p(t)=\sum_{k=0}^\infty p_k \cdot t^k</math> mit Koeffizienten in <math>A</math>. Dabei kann man formale Potenzreihen <math>p</math> als einen Folgenraum in <math>A</math> betrachten oder den Raum der Potenzreihen neben algebraischen Verknüfungen wie der Multiplikation auf topologisch untersuchen. Diese Lerneinheit führt in die Grundstruktur der Potenzreihenalgebren ein. === Algebraischer Abschluss der Verknüpfungen === Für die Wohldefiniertheit von <math>p(t)</math> für ein <math>t</math> muss die Verknüpfung <math>p_k\cdot t^k</math> wohldefiniert sein. Dazu muss dann gelten: * (1) multiplikative Verknüpfungen von <math>t</math> mit sich sind wieder in einer Algebra liegen (d.h. also auch <math>t^n \in A[t]</math> mit <math>n \in \mathbb{N}_o</math>, wobei <math>t^0 := e</math> definiert wird) und auch * (2) beliebige multiplikative Verknüpfungen von <math>t^n \in A[t]</math> mit Elementen <math>p_k \in A</math> sind wohldefiniert, d.h. <math>a \cdot t^n \in A[t]</math> wieder in <math>A[t]</math> liegen. * (3) die endliche additive algebraische Verknüpfung der <math>p_k\cdot t^k</math> in <math>A</math> liefert schließlich Polynome mit Koeffizienten aus <math>A</math>. === Topogischer Abschluss der Verknüpfungen und Polynomalgebra=== Mit dem algebraischen Abschluss entstehen zunächst nur Polynome in <math>A</math>. Für die Reihenbetrachtung <math>p(t)</math> für ein bestimmtes <math>t</math> muss man die Konvergenz der Reihe für ein <math>t</math> überprüfen können. Dazu benötigt die Algebra <math>A</math> zusätzlich eine [[Normen, Metriken, Topologie|Topologie]] <math>\mathcal{T}_A</math>. Erst dann kann man Grenzwertprozesse in <math>A</math> und damit die Konvergenz der Partialsummen gegen den Grenzwert der Reihe überprüfen. Die Topologie <math>\mathcal{T}_A</math> auf <math>A</math> muss dabei von der Topologie Topologie <math>\mathcal{T}</math> auf der Potenzreihenalgebra selbst unterschieden werden. Mit einem System aus [[Gaugefunktionalsystem|topologieerzeugenden Gaugefunktionalen]] kann man dann einen topologischen Abschluss der Polynomalgebra definieren. <span id="Potenzreihe"></span> == Definition: Potenzreihen == Sei <math>A</math> eine Algebra über dem Körper <math>\mathbb{K}</math> und <math>(p_k)_{k\in\mathbb{N}_0}\in A^{\mathbb{N}_0}</math> ein Folge in der Algebra <math>A</math> (d.h. <math>p_k\in A</math> für alle <math>k\in \mathbb{N}_0</math>). Eine Potenzreihe mit Koeffizienten in <math>A</math> hat die Form: :<math display="block"> p(t)=\sum_{k=0}^{\infty} p_k\cdot t^k </math> === Bemerkung - Konvergenz der Potenzreihe === Die Notation von <math> \sum_{k=0}^{\infty} \ldots </math> kann dabei nichts über die Konvergenz einer Reihe aussagen, denn dazu ist eine Topologisierung der Algebra notwendig. <math display="inline">A^{\infty}[t]</math> definiert rein algebraisch eine Potenzreihe mit beliebigen Koeffizienten aus der Algebra <math>A</math>. === Bemerkung 1 - Potenzreihen mit Koeffizienten im Körper === Im einfachsten Fall betrachtet man i.d.R. Potenzreihen mit Koeffizienten in <math>A:=\mathbb{K}</math> mit <math>\mathbb{K}=\mathbb{R},\, \mathbb{C}</math>. Die Konvergenz der Reihe wird dann in der durch den Betrag <math>|\cdot |</math> auf <math>\mathbb{K}</math> induzierten Topologie betrachtet (siehe Potenzreihen in der [[w:de:Analysis|Analysis]] oder [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]]). Ist <math>t_0\in \mathbb{K}</math> der Entwicklungspunkt der Reihe <math>p</math>, dann konvergiert die Reihe mit <math>|t-t_0| < r </math>. Wobei <math>r</math> der [[w:de:Konvergenzradius|Konvergenzradius]] der Reihe ist. === Bemerkung 2 - Potenzreihen als Abbildungen === Wenn man in einer [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>(A,\mathcal{T})</math> (z.B. [[w:de:Banachalgebra|Banachalgebra]]) eine Topologie <math>\mathcal{T}</math> auf <math>A</math> definiert ist, kann man kann man die Konvergenz der Partialsummen überprüfen (d.h. [[Polynomalgebra|Polynome]] in <math>A</math> konvergieren für bestimmte <math>t\in \mathbb{D}</math> gegen einen Grenzwert in <math>(A,\mathcal{T})</math>. Dazu betrachtet man die Potenzreihe <math>p</math> als Abbildung <math>p: \mathbb{D} \to A</math>. Der Definitionbereich <math>\mathbb{D} </math> ist dabei entweder selbst eine Teilmenge eine Algebra <math>A</math> oder eine Teilmenge <math>\mathbb{D}\subseteq \mathbb{K}</math> des Körpers <math>\mathbb{K}</math>. Diese beiden Alternativen möglich, damit die Terme <math>p_k\cdot t^k </math> wohldefiniert sind, denn <math>t^k </math> ist dann entweder ein Element des Körpers <math>\mathbb{K}</math> oder ein Element der Algebra <math>A</math>. Das Produkt <math>p_k\cdot t^k </math> ist so einmal als Multiplikation mit Skalaren <math>t^k \in \mathbb{K}</math> oder als innere Verknüpfung <math>\cdot : A\times A \to A</math> mit <math>t^k \in A</math> zu verstehen. === Bemerkung 3 - Potenzreihen als Kurven in A === Wählt man Definitionsbereich der Abbildung ein Intervall <math>\mathbb{D} := [a,b] \subset \mathbb{R}</math> kann man <math>p</math> als Kurve in <math>A</math> verstehen. Dabei ist die [[Potenzreihe]] ein Spezialfall der [[Konvexkombination]] der Ordnung <math>n</math>, die man als Polynome vom Grad <math>n</math> als Bernstein-Polynome mit Koeffizienten in <math>A</math> beschreiben kann. <span id="Potenzreihenalgebra"></span> == Definition: Potenzreihenalgebra == Sei <math display="inline">A^{\infty}[t]</math> die Menge aller Potenzreihen mit Koeffizienten in <math>A</math> der Form :<math display="block"> p(t)=\sum_{k=0}^{\infty} p_k\cdot t^k \mbox{ mit } (p_k)_{k\in\mathbb{N}_0}\in A^{\mathbb{N}_0} </math> === Potenzreihe als Folge von Partialsummen === Für ein feste <math>t\in \mathbb{K} </math> fasst man <math> p(t) </math> als Folge der Partialsummen auf :<math> ( p^{\downarrow n} (t) )_{n\in \mathbb{N}} := \left( \sum_{k=0}^{n} p_k\cdot t^k \right)_{n\in \mathbb{N}} </math> <span id="Cauchy-Produkt"></span> === Cauchy-Produkt === <math display="inline">A^{\infty}[t]</math> wird analog zur Polynomalgebra die Cauchymultiplikation von zwei Potenzreihen <math>p,q</math> als multiplikative Verknüpfung wie folgt definiert. :<math display="block"> \begin{array}{rcl} p(t) & := & \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} p_k\cdot t^k \mbox{, } q(t):= \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} q_k\cdot t^k \, \mbox{ und } \\ (p\cdot q)(t) & := & p(t)\cdot q(t):= \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \sum_{k=0}^{n} p_k \cdot q_{n-k} \cdot t^n. \end{array} </math> === Konstanten als Potenzreihen === Ein Element <math display="inline">x\in A</math> kann mit dem konstanten Polynom <math> x(t):=x\cdot t^0\in A[t]\subseteq A^{\infty}[t]</math> identifiziert werden. == Gleichheit von Potenzreihen == Seien zwei Potenzreihen <math>p,q \in A^{\infty}[t]</math> gegeben mit: :<math display="block"> p(t):= \sum_{k=0}^{\infty} p_k\cdot t^k \mbox{ und } q(t):= \sum_{k=0}^{\infty} q_k\cdot t^k </math> Die Gleichheit von Potenzreihen <math>p=q</math> wird über die Koeffizientengleichheit definiert: :<math display="block"> p=q :\Longleftrightarrow p_k = q_k \mbox{ für alle } k \in \mathbb{N}_0 </math> === Bemerkung - Gleichheit=== Die Gleichheit von Potenzreihen bzw. Polynomen muss man nicht notwendigerweise über die Koeffizientengleicheit definieren, sondern kann auch über die Gleichheit der Bilder <math>p(t)=q(t)</math> für alle <math>t\in\mathbb{D}</math> aus dem Definitionsbereich <math>t\in\mathbb{D}</math>. === Beispiel - Gleichheit === Verwendet man z.B. den Restklassenring <math>R_3:=\{\overline{0}_3,\overline{1}_3,\overline{2}_3 \}</math> modulo 3 als Definitionsbereiches eines Polynoms, so unterscheidet sich das Polynom :<math>p(t):=t \cdot (t-\overline{1}_3)\cdot (t+\overline{1}_3) = \overline{1}_3\cdot t^3 - \overline{1}_3\cdot t</math> vom Nullpolynom bzgl. der Koeffizienten von <math>t^3</math> und <math>t^1</math>. Dennoch gilt für alle <math> t \in R_3 </math> die Bedingung <math> p(t)=\overline{0}_3 </math>. === Verwendung in dieser Lerneinheit === Im weiteren Lerneinheit zu topologischen Invertierbarkeitskriterien soll die Gleichheit der Potenzreihen bzw. Polynome dann und nur dann gegeben sein, wenn zwei Polynome koeffizientengleich für alle Koeffizienten von <math>t^k</math> ist. == Topologische Potenzreihenalgebra == Sei <math>(A,\left\| \cdot \right\|_{\mathcal{A}} )</math> eine Algebra und <math>A^{\infty}[t]</math> die Algebra der Potenzreihen mit Koeffizienten in <math display="inline">A</math>. Ferner sei ein System aus Gaugefunktionalen <math display="inline">\left\|\! \left| \cdot \right| \! \right\|_{\widetilde{\mathcal{A}}} </math> definiert, wird dann mit <math display="inline">(\overline{A[t]},\left\|\! \left| \cdot \right| \! \right\|_{\widetilde{\mathcal{A}}} )</math> bezeichnet man mit <math>\overline{A[t]}</math> den topologischen Abschluss der Polynomalgebra <math>A[t]</math>. bzgl. des Gaugefunktionalsystems definiert, dass jeder Potenzreihe <math display="inline">\left\|\! \left| \cdot \right| \! \right\|_{\widetilde{\mathcal{A}}} </math>. Dabei geören alle <math>p \in A^{\infty}[t]</math> zu <math display="inline">\overline{A[t]}</math>, wenn folgende Bedingung gilt <math>\left\|\! \left| p \right| \! \right\|_{\widetilde{\alpha}} < \infty </math> für alle <math display="inline">\widetilde{\alpha} \in \widetilde{\mathcal{A}} </math>. === Induzierte Topologien von der Algebra auf die Potenzreihenalgebra === Sei <math display="inline">\left(A,\left\| \cdot \right\| _{\mathcal{A}} \right)\in \mathcal{K} (\mathbb{K}) </math> eine topologische Algebra der Klasse <math display="inline">\mathcal{K}</math>. Ferner sei zu jedem <math display="inline">\alpha\in {\mathcal{A}}</math> und <math display="inline">k\in \mathbb{N}_0</math> eine positive Konstante <math display="inline">C_k(\alpha)</math> und ein <math display="inline">\mathcal{K}</math>-Funktional <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _k^{(\alpha)}</math> gewählt, durch dass die folgenden Gaugefunktionale bzw. <math>p</math>-Gaugefunktionale auf dem Vektorraum aller Potenzreihen mit Koeffizienten in <math display="inline">A</math> definiert werden: :<math display="block"> \left\|\! \left| p \right| \! \right\|_{\alpha} := \sum_{k=0}^{\infty} C_{k}(\alpha) \cdot \left\| p_k \right\| _k^{(\alpha)}. </math> === Topologischer Abschluss der Polynomalgebra bzgl. Gaugefunktionalsystem === Mit <math display="inline">(\overline{A[t]},\left\|\! \left| \cdot \right| \! \right\|_{\mathcal{A}})</math> bezeichnet man dann den topologischen Abschluss von <math>A[t]</math> bzgl. <math> \left\|\! \left| \cdot \right| \! \right\|_{\mathcal{A}}</math>, d.h. Vektorraum aller Potenzreihen mit Koeffizienten in <math display="inline">A</math>, die zusätzlich folgende Bedingung erfüllen: :<math display="block"> \left\|\! \left| p \right| \! \right\|_{\alpha}<\infty \mbox{ für alle } \alpha\in {\mathcal{A}}. </math> === Topologisierung der Potenzreihenalgebra und Algebraerweiterung === Die Potenzreihenalgebra <math>\overline{A[t]}</math> wird nun in einer Weise topologisiert, die von dem Gaugefunktionalsystem auf <math>A</math> abhängt. Diese Vorgehen ist notwendig, damit man für die Konstruktion der Algebraerweiterung <math>B</math> die Algebra <math>A</math> in <math>B</math> einbetten kann. D.h. die unitale Algebra <math display="inline">A \in \mathcal{K}_e</math> aus einer Klasse <math display="inline">\mathcal{K}_e</math> wird in die Algebraerweiterung <math display="inline">B\in \mathcal{K}_e</math> durch einen Algebraisomorphismus <math display="inline">\tau : A \longrightarrow A' \subset B</math> eingebettet: * <math display="inline">\tau(e_{_{A}})=e_{_{B}}</math>, wobei <math display="inline">e_{_{A}}</math> ist das Einselement von <math display="inline">A</math> und <math display="inline">e_{_{B}} \in A'</math> das Einselement von <math display="inline">B</math> ist. * <math display="inline">A</math> ist homöomorph zu <math display="inline">A'</math>; d.h. <math display="inline">\tau</math> und <math display="inline">\tau^{-1}: A' \longrightarrow A</math> sind stetig. === Bemerkung: Stetigkeit Algebraisomorphismus === Die Stetigkeit des Algebraisomorphismus und der Umgekehrabbildung <math display="inline">\tau^{-1} : A' \longrightarrow A</math> von wird später über die Gaugefunktionalsysteme auf <math display="inline">A \in \mathcal{K}_e</math> und der von <math display="inline">B\in \mathcal{K}_e</math> auf <math display="inline">A'\in \mathcal{K}_e</math> induzierten Relativtopologie nachgewiesen. == Lemma: Isotone Folge von Gaugefunktionalen == Sei <math display="inline">\left(A,\| \cdot \| _{{\mathcal{A}} }\right) \in \mathcal{K}</math> und es seien <math display="inline">(\left\| \cdot \right\| _{n}^{(\alpha)})_{n\in \mathbb{N}}</math> isotone Folgen von Gaugefunktionalen mit Koeffizienten <math display="inline">C_{k}^{n}(\alpha)\geq 1</math>, für die gelten: * <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{1}^{(\alpha)} := \left\| \cdot \right\| _{\alpha}</math> für alle <math display="inline">\alpha \in {\mathcal{A}} </math> * <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{n}^{(\alpha)}\leq \left\| \cdot \right\| _{n+1}^{(\alpha)}</math> für alle <math display="inline">n\in \mathbb{N}</math> und <math display="inline">\alpha \in {\mathcal{A}} </math> * <math display="inline">C_{k}^{n}(\alpha)\leq C_{k}^{n+1}(\alpha)</math> für alle <math display="inline">\alpha\in {\mathcal{A}} </math> und <math display="inline">n,k\in \mathbb{N}</math> * <math display="inline">C_{o}^{n}(\alpha)=1</math> für alle <math display="inline">n\in \mathbb{N}</math> und <math display="inline">\alpha \in {\mathcal{A}} </math>. === Voraussetzung 2 - Gaugefunktionalsysteme auf Potenzreihenalgebra === Auf <math display="inline">A[t]</math> seien folgende vier Systeme <math display="inline"> \left\| \! \left| \cdot \right| \! \right\|_{\mathcal{A} \times \mathbb{N}}^{(I)}</math>, <math display="inline"> \left\| \! \left| \cdot \right| \! \right\|_{\mathcal{A} \times \mathbb{N}}^{(II)}</math>, <math display="inline"> \left\| \! \left| \cdot \right| \! \right\|_{\mathcal{A} \times \mathbb{N}}^{(III)}</math>, <math display="inline"> \left\|\! \left| \cdot \right|\! \right\|_{\mathcal{A} \times \mathbb{N}}^{(IV)}</math> von Gaugefunktionalen für <math display="inline">\displaystyle p(t)= \sum_{k=0}^{\infty}p_{_{k}} \cdot t^k\in A[t]</math> definiert: === Voraussetzung 2 - Definition der Gaugefunktionalsysteme === * <math display="inline">\displaystyle \left\|\! \left| p \right| \! \right\|_{(\alpha,n)}^{(I)}:= \sum_{k=0}^{\infty} C_{k}^{n}(\alpha) \cdot \left\| p_{_{k}} \right\| _{n}^{ (\alpha) } </math> * <math display="inline">\displaystyle \left\|\! \left| p \right| \! \right\|_{(\alpha,n)}^{(II)}:= \sum_{k=0}^{\infty} C_{k}^{n}(\alpha) \cdot \left\| p_{_{k}} \right\| _{n+1}^{ (\alpha) } </math> * <math display="inline">\displaystyle \left\|\! \left| p \right| \! \right\|_{(\alpha,n)}^{(III)}:= \sum_{k=0}^{\infty} C_{k}^{n+1}(\alpha) \cdot \left\| p_{_{k}} \right\| _{n}^{ (\alpha) } </math> * <math display="inline">\displaystyle \left\|\! \left| p \right| \! \right\|_{(\alpha,n)}^{(IV)}:= \left\| p_o \right\| _{n}^{ (\alpha) } + \sum_{k=1}^{\infty} C_{k}^{n}(\alpha) \cdot \left\| p_{_{k}} \right\| _{n+2}^{ (\alpha) } </math> === Folgerung - Topologieerzeugung === Mit den obigen Voraussetzungen erzeugen die Systeme auf <math display="inline">A[t]</math> die gleiche Topologie. Insbesondere erhält man zu einem festen <math display="inline">\alpha</math> für alle 4 gewählten Teilsysteme von Gaugefunktionalen <math display="inline"> \left| \! \left\| \cdot \right\| \! \right| _{\{\alpha\} \times \mathbb{N}}^{(I)}</math>,\dots , <math display="inline"> \left| \! \left\| \cdot \right\| \! \right| _{\{\alpha\} \times \mathbb{N}}^{(IV)}</math>. das gleiche Teilsystem <math>\mathcal{T}_\alpha </math> offener Mengen der Topologie <math>\mathcal{T}</math>. == Beweis == Es gilt für alle <math display="inline">\alpha\in {\mathcal{A}} </math>, <math display="inline">n\in \mathbb{N}</math> und <math display="inline">M\in\{I,\dots,IV\} </math> folgende Ungleichungskette: :<math display="block"> \left| \! \left\| \cdot \right\| \! \right| _{(\alpha,n)}^{(I)} \leq \left| \! \left\| \cdot \right\| \! \right| _{(\alpha,n)}^{(M)} \leq \left| \! \left\| \cdot \right\| \! \right| _{(\alpha,n+2)}^{(I)} </math> Damit stimmen die Teilsysteme für ein festes <math display="inline">\alpha</math>, also auch die Ausgangstopologie überein. q.e.d. == Gleichheit von Partialsummen von Potenzreihen == Die Koeffizienten der Elemente von <math display="inline">A^{\infty}[t]</math> kann man auch über die Partialsummen eindeutig bestimmen. Dabei sind die Partialsummen eindeutig als Linearkombinationen in <math>A</math> mit <math>t \in \mathbb{K}</math> definiert. Allerdings müssen die Partialsummen als Folge in <math>A</math> nicht notwendig konvergieren. === Koeffizientenvergleich bei Partialsummen 1 === :<math> \begin{array}{rll} p(t) := \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} p_k\cdot t^k & , & q(t):= \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} q_k\cdot t^k \in A[t] \\ & & \mbox{ mit } p^{\downarrow m}(t)=q^{\downarrow m}(t) \mbox{ } \forall t \in\mathbb{K} \\ &\Longrightarrow &0_A = \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} (p_k-q_k)t^k\\ \end{array} </math> === Koeffizientenvergleich bei Partialsummen 2 === :<math> \begin{array}{rll} &\Longrightarrow & \forall_{\displaystyle \alpha\in {\mathcal{A}} ;n\in \mathbb{N}} : 0 = \left| \! \left\| p-q \right\| \! \right| _{(\alpha,n)} = \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} \left\| p_k-q_k \right\| ^{(\alpha)}_n \\ &\Longrightarrow & \forall_{\displaystyle \alpha\in {\mathcal{A}} ,n\in \mathbb{N}} : \left\| p_k-q_k \right\| ^{(\alpha)}_n = 0. \end{array} </math> Da <math display="inline">A</math> ein Hausdorffraum ist, gilt auch <math display="inline">p_k=q_k</math> für alle <math display="inline">k\in \mathbb{N}_0</math>. == Definition: Potenzreihenalgebra == Sei <math display="inline">A</math> eine Algebra und <math display="inline">A^{\infty}[t]</math> die Algebra aller Potenzreihen mit Koeffizienten in <math display="inline">A</math> mit Cauchymultiplikation. Die Partialsumme bis zum Grad <math display="inline">m\in\mathbb{N}_0</math> einer Potenzreihe <math display="inline">p(t)=\sum_{k=0}^{\infty} p_k\cdot t^k\in \overline{A[t]}</math> ist folgendes Polynom: :<math display="block"> p^{\downarrow m}(t):=\sum_{k=0}^{m} p_k\cdot t^k. </math> == Definition: Partialsummentopologie == Sei <math display="inline">\left(A[t], \left| \! \left\| \cdot \right\| \! \right| _{{\mathcal{A}} } \right)</math> eine Polynomalgebra. Dann bezeichnet <math display="inline"> \left| \! \left\| \cdot \right\| \! \right| _{{\mathcal{A}} }^{\downarrow \mathbb{N}}</math> das System der Partialsummenfunktionale von <math display="inline"> \left| \! \left\| \cdot \right\| \! \right| _{{\mathcal{A}} }</math> die mit :<math> \begin{array}{rcl} p(t) &:=& \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} p_k\cdot t^k \mbox{wie folgt definiert sind:}\\ \left| \! \left\| p \right\| \! \right| ^{\downarrow m}_\alpha &:=& \left| \! \left\| p^{\downarrow m} \right\| \! \right| _\alpha \mbox{ mit } \alpha \in {\mathcal{A}} \mbox{ und } m\in \mathbb{N}. \end{array} </math> Die durch <math display="inline"> \left| \! \left\| \cdot \right\| \! \right| _{{\mathcal{A}} }^{\downarrow \mathbb{N}}</math> erzeugte Topologie heißt Partialsummentopologie von <math display="inline"> \left| \! \left\| \cdot \right\| \! \right| _{{\mathcal{A}} }</math> auf <math display="inline">A[t]</math>. == Bemerkung == Die Partialsummentopologie ist gröber als die von <math display="inline"> \left| \! \left\| \cdot \right\| \! \right| _{\mathcal{A}} </math> erzeugte Ausgangstopologie, denn für <math display="inline">\alpha\in {\mathcal{A}} </math> gilt: :<math display="block"> \left| \! \left\| \cdot \right\| \! \right| ^{\downarrow m}_\alpha \leq \left| \! \left\| \cdot \right\| \! \right| _\alpha \mbox{ für alle } m \in \mathbb{N}. </math> Die Partialsummentopologie erhält man, wenn man die einzelnen Gaugefunktionale aus <math display="inline"> \left| \! \left\| \cdot \right\| \! \right| _{\mathcal{A}}</math> mit den Projektionen <math display="inline">\cdot ^{\downarrow m}:A[t]\longrightarrow A[t]</math> auf die ersten <math display="inline">m</math> Summanden des Polynoms verkettet und als topologieerzeugende Funktionale auf <math display="inline">A[t]</math> wählt. <math display="inline">m\in \mathbb{N}</math> sei dabei beliebig gewählt. Das folgende Lemma zeigt die Eindeutigkeit der Faktorisierung von beliebigen Elementen <math display="inline">p\in \overline{A[t]}</math> durch <math display="inline">z\cdot t-e\in A[t]</math> und einer zu <math display="inline">p</math> gewählten formalen Potenzreihe <math display="inline">\widehat{p}\in \overline{A[t]}</math>. == Aufgaben == In den folgenden Aufgaben werden einige kleiner Übungen zur Berechnung von === Norm - Matrixalegbra - Topologisierung Potenzreihenalgebra === Gegeben sind die beiden Matrizen :<math> r_k := \begin{pmatrix} \frac{1}{2^k} & \frac{1}{3^k} \\ \frac{1}{4^k} & \frac{1}{5^k} \\ \end{pmatrix} \, \, \, \, \, e_A := \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix} </math> mit dem Einselement <math>e_A</math> in der Algebra <math>A:=Mat(2 \times 2,\mathbb{R})</math>. <math>A</math> ist mit der Norm :<math>\|a\|_{max} = \left\| \begin{pmatrix} a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 \\ \end{pmatrix} \right\|_{max} = \max \{|a_1|,|a_2|,|a_3|,|a_4|\} </math> ein normierter Raum. * Zeigen Sie, dass die Potenzreihe <math>q(t) := \displaystyle \sum_{k=0}^\infty e_A \cdot t^k</math> und der Norm <math> \|\!| p |\!\| := \displaystyle \sum_{k=0}^\infty \|p_k\|_{max} </math> nicht in <math>\overline{A[t]}</math> liegt. * Berechnen Sie <math>\|\!| q |\!\|</math> und <math>\|\!| r |\!\|</math> mit <math>q_k= e_A</math> bzw. den oben definierten Koeffizienten in<math>r_k</math>. * Berechnen Sie für die Potenzreihe <math>r \in \overline{A[t]}</math> mit <math>t=1</math> die Matrix <math>r(t)= r(1) \in A</math>! === Raum der reellwertigen stetigen Funktionen === Wir betrachten Definitionsbereiches <math>\mathbb{R}</math>, der die Algebra <math>A:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der stetigen Funktionen von <math>\mathbb{R}</math> nach <math>\mathbb{R}</math> mit den Halbnormen (siehe auch [[Normen, Metriken, Topologie]]): :<math> \|f\|_n := \displaystyle \max_{x\in [-n,+n]} | f(x) | </math> wird <math>(A,\|\cdot \|_{\mathbb{N}} )</math> zu einem lokalkonvexen topologischen Vektorraum. * Topologisieren Sie die Polynomalgebra <math>A[t]</math> mit einem Halbnormensystem <math>(A[t],\|\!|\cdot |\!\|_{\mathbb{N}} ) </math>, das Sie mit <math>\|\cdot \|_n </math> definieren. :: <math>\|\!| p |\!\|_n := \displaystyle \sum_{k=0}^{n} C_{k}\cdot \| p_k\|_n</math>. : '''Hinweis:''' wählen Sie für die <math>(C_k)_{k\in \mathbb{N}}</math> z.B. eine geometrische Reihe * Zeigen Sie, dass die Halbnormen <math> \|\cdot \|_n </math> submultiplikativ sind, d.h. <math> \|f\cdot g\|_n \leq \|f\|_n \cdot \|g\|_n </math>! * Wählen Sie die Koeffizienten <math>C_k \in \mathbb{R}_o^+</math> so, dass das Polynom <math>q\in A[t]</math> mit <math>q_k = cos</math> für alle <math>k \in \mathbb{N}_o</math> ein Element von der Potenzreihenalgebra <math>(\overline{A[t]},\|\!| \cdot |\!\|_{\mathbb{N}})</math> ist. Das Polynom <math>q</math> ist damit eine Potenzreihe, bei der alle Koeffizienten <math>q_k</math> die cos-Funktion ist. Wählen Sie z.B. <math>C_k:= \frac{1}{3^k}</math> und berechnen Sie <math>\| cos \|_n</math> für alle <math>n \in \mathbb{N}</math>. Welche Eigenschaft muss die Koeffizientenfolge <math> (C_k)_{k\in\mathbb{N}_0} </math> allgemein besitzen, damit <math> \|\!| q |\!\|_n < \infty </math> für alle <math>n \in \mathbb{N} </math> liefert, also für alle <math>n</math> einen endlichen Wert der Halbnormen leifert. * Wählen Sie für die Koeffzientenfolge als eine <math>(C_k)_{k\in \mathbb{N}}</math> eine geometrische Reihe mit <math>0 < q < 1 </math> und <math>C_k := q^k</math> und zeigen Sie, dass ::<math> \|\!| p \cdot q |\!\|_n \leq \|\!| p |\!\|_{n} \cdot \|\!| q |\!\|_{n} </math> : mit dem Cauchy-Produkt auf <math>A[t]</math> erfüllt ist. == Faktorisierungslemma für zt-e == Sei <math display="inline">A</math> eine unitale Algebra mit Einselement <math display="inline">e</math> und <math display="inline">z\in A</math> beliebig gewählt. <math display="inline">A^{\infty}[t]</math> ist mit der Cauchymultiplikation eine Algebra, in der gilt: :<math display="block"> \forall_{\displaystyle p\in A^{\infty}[t]} \exists_{\displaystyle \widehat{p}\in A^{\infty}[t]} \, : \, p(t)=(z\cdot t-e)\cdot \widehat{p}(t) (\ast) </math> <math display="inline">\widehat{p}</math> ist zu jedem <math display="inline">p</math> eindeutig bestimmt. == Beweis == <math display="inline">A^{\infty}[t]</math> ist ein unitaler Ring und <math display="inline">s \in A[t]\subset A^{\infty}[t]</math> mit <math display="inline"> s(t) := z\cdot t-e = z\cdot t^1 + e\cdot t^0 </math>. Wir zeigen nun, dass <math>s\in A^{\infty}[t]</math> invertierbar ist. === Inverses Element von zt-e === Man definiert zunächst über das gegebene <math>z\in A</math> ein Polynom <math>q \in A^{\infty}[t]</math> mit: :<math display="block"> q(t):= -\sum ^{\infty}_{k=0}z^{k}\cdot t^{k} = \sum ^{\infty}_{k=0} -z^{k}\cdot t^{k} </math> Wir berechnen nun <math>s\cdot q \in A^{\infty}[t]</math> über :<math display="block"> \begin{array}{rcl} (s\cdot q)(t) & = & s(t) \cdot q(t) = (z\cdot t - e) \cdot \left( \displaystyle-\sum ^{\infty}_{k=0}z^{k}\cdot t^{k} \right) \\ & = & \displaystyle -\sum ^{\infty}_{k=1} z^{k}\cdot t^{k} + \sum ^{\infty}_{k=0}z^{k}\cdot t^{k} = e \end{array} </math> === Definition der gesuchten Potenzreihe === Damit definiert man <math display="inline"> \widehat{p} (t):=q(t)\cdot p(t) = (z\cdot t-e)^{-1}\cdot p(t)</math>. === Eindeutigkeit der Potenzreihe === Eindeutigkeit von <math display="inline">\widehat{p}</math>: Seien <math display="inline">\widehat{p_{(1)}}, \widehat{p_{(2)}} \in \overline{A[t]}</math> gegeben, die die Eigenschaft <math display="inline">(*)</math> besitzen. Für <math display="inline">v(t):=z\cdot t-e</math> erhält man: :<math display="block"> \begin{array}{rcl} p & = & v\cdot \widehat{p_{(1)}} = v\cdot \widehat{p_{(2)}} \Longrightarrow \\ \widehat{p_{(1)}} & = & v^{-1}\cdot (v\cdot \widehat{p_{(1)}}) = v^{-1}\cdot (v\cdot \widehat{p_{(2)}}) = \widehat{p_{(2)}} \\ \end{array} </math> q.e.d. == Bemerkung == Die Koeffizienten der Elemente von <math display="inline">A^{\infty}[t]</math> sind eindeutig bestimmt, denn sei: :<math> \begin{array}{rcl} p(t) := \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} p_k\cdot t^k & , & q(t):= \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} q_k\cdot t^k \in A[t] \mbox{ mit } p(t)=q(t) \\ &\Longrightarrow & 0 \equiv \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} (p_k-q_k) t^k \\ &\Longrightarrow & \forall_{\displaystyle \alpha\in {\mathcal{A}} ;n\in \mathbb{N}} : 0 = \left\| \! \left| p-q \right| \! \right\| _{(\alpha,n)} = \sum_{k=0}^{\infty} \left\| p_k-q_k \right\| ^{(\alpha)}_n \\ &\Longrightarrow & \forall_{\displaystyle \alpha\in {\mathcal{A}} ,n\in \mathbb{N}} : \left\| p_k-q_k \right\| ^{(\alpha)}_n = 0. \end{array} </math> Da <math display="inline">A</math> ein Hausdorffraum ist, gilt auch <math display="inline">p_k=q_k</math> für alle <math display="inline">k\in \mathbb{N}_0</math>. == Bemerkung == Die Partialsummentopologie ist gröber als die von <math display="inline"> \left\|\! \left| \cdot \right| \! \right\|_{\mathcal{A}} </math> erzeugte Ausgangstopologie, denn für <math display="inline">\alpha\in {\mathcal{A}} </math> gilt: :<math display="block"> \left\|\! \left| \cdot \right| \! \right\|^{\downarrow m}_\alpha \leq \left\|\! \left| \cdot \right| \! \right\|_\alpha \mbox{ für alle } m \in \mathbb{N}. </math> Die Partialsummentopologie erhält man, wenn man die einzelnen Gaugefunktionale aus <math display="inline"> \left\|\! \left| \cdot \right| \! \right\|_{\mathcal{A}}</math> mit den Projektionen <math display="inline">\cdot ^{\downarrow m}:A[t]\longrightarrow A[t]</math> auf die ersten <math display="inline">m</math> Summanden des Polynoms verkettet und als topologieerzeugende Funktionale auf <math display="inline">A[t]</math> wählt. <math display="inline">m\in \mathbb{N}</math> sei dabei beliebig gewählt. Das folgende Lemma zeigt die Eindeutigkeit der Faktorisierung von beliebigen Elementen <math display="inline">p\in \overline{A[t]}</math> durch <math display="inline">z\cdot t-e\in A[t]</math> und einer zu <math display="inline">p</math> gewählten formalen Potenzreihe <math display="inline">\widehat{p}\in \overline{A[t]}</math>. == Siehe auch == * [[Potenzreihe|Definition - Potenzreihe]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe|Potenzreihen in der Funktionentheorie]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra|Polynomalgebra]] * [[Multiplikative topologische Nullteiler]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Potenzreihenalgebra&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Potenzreihenalgebra&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Potenzreihenalgebra https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Potenzreihenalgebra] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Potenzreihenalgebra Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Potenzreihenalgebra * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Potenzreihenalgebra&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] [[Category:Potenzreihen]] <noinclude>[[en:Inverse-producing extensions of Topological Algebras/Algebra of power series]]</noinclude> aw91gpc00an98hvcipyijgc6lisrqwm 0 159653 1118863 1118796 2026-11-04T12:40:36Z ~2026-47548-34 41860 /* Beispiele */ 1118863 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Das '''Kurven-''', '''Linien-''', '''Weg-''' oder '''Konturintegral''' erweitert den gewöhnlichen Integralbegriff für die [[w:de:Integralrechnung|Integration]] in der komplexen Ebene ([[w:de:Funktionentheorie|Funktionentheorie]]) oder im mehrdimensionalen Raum ([[w:de:Vektoranalysis|Vektoranalysis]]). Den [[w:de:Weg (Mathematik)|Weg]], die Linie oder die [[w:de:Kurve (Mathematik)|Kurve]], über die integriert wird, nennt man den '''Integrationsweg'''. Wegintegrale über [[w:de:Kurve (Mathematik)#Geschlossene Kurven|''geschlossene'' Kurven]] werden auch als '''Ringintegral''', '''Umlaufintegral'''<ref> Klaus Knothe, Heribert Wessels: Finite Elemente. Eine Einführung für Ingenieure. 3. Auflage. 1999, ISBN 3-540-64491-1, S. 524.</ref> oder '''Zirkulation''' bezeichnet und mit dem Symbol <math>\textstyle \oint</math> geschrieben. == Reelle Wegintegrale == Gegeben ist ein Weg <math>\gamma\colon[a,b]\to\mathbb{R}^n</math>, der von einem Intervall (z.B. interpretiert als Zeitintervall) in den Vektorraum <math>\mathbb{R}^n</math> abbildet. <math>\gamma(t) \in \mathbb{R}^n </math> gibt dabei den Ort an, an dem man sich beim Wert <math>t\in [a,b]</math> befindet. Dabei unterscheidet man * zeitliche und wegabhängige Wegintegrale * Wegintegral erster Art und * Wegintegral zweiter Art. == Zeitliche wegabhängige Wegintegral == Zeitliche wegabhängige Integrale kommen z.B. im Bereich des [[Risikomanagement|Risikomanagements]] zum Einsatz, wenn man auf unterschiedlichen Wegen <math>\gamma_n:[a,b]\to \mathbb{R}^n</math> zwischen einem Punkt <math>\gamma_n(a)= z_a \in \mathbb{R}^n</math> und einem Punkt <math>\gamma_n(b)=z_b \in \mathbb{R}^n</math> unterschiedlich stark einem Risiko ausgesetzt ist. Dies können z.B. eine Exposition mit schädlicher Strahlung oder mit toxischen Substanzen sein. Ein längerer Weg <math>\gamma_1</math> im Vergleich zu <math>\gamma_2</math> könnte dann zu einem geringeren Risiko führen. === Risikofunktion im Raum === Eine Risikofunktion ist dann z.B. einen Abbildung <math>f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}</math>, die jedem Ort <math>z\in \mathbb{R}^n</math> ein Risiko <math>f(z) \in \mathbb{R} </math> zuordnet. Wenn der Weg näher an einer Strahlungsquelle vorbeiführt, so wird man ggf. stärker mit radioaktiver Strahlung exponiert. === Definition - Zeitliches wegabhängiges Wegintegral === Sei <math>U\subseteq \mathbb{R}^n</math> eine offene [[w:de:wegzusammenhängend|wegzusammenhängende Menge]] und <math>f:U \to \mathbb{R}</math> eine integriebare Abbildung, die jedem Ort <math>z\in \mathbb{R}^n</math> einen Funktionswert <math>f(z) \in \mathbb{R} </math> zuordnet. Das zeitliche wegabhängige Wegintegral über einen Weg <math>\gamma:[a,b]\to U</math> ist dann wie folgt definiert: :<math> \int\limits_{\gamma,R} \! f(z) \,\mathrm{d} z := \int\limits_a^b \! f(\gamma(t)) \, \mathrm{d} t.</math> === Bemerkung - Zeitliches wegabhängiges Wegintegral === Selbst wenn der Anfangspunkt <math>\gamma_1(a)=\gamma_2(a)</math> und der Endpunkt <math>\gamma_1(b)=\gamma_2(b)</math> von verschiedenen Wegen unterschiedlichen Wegen <math>\gamma_1:[a,b]\to U</math> und <math>\gamma_2:[a,b]\to U</math> übereinstimmen, können sich die zeitlichen wegabhängigen Wegintegrale unterscheiden. Dies ist bei Integrationwegen in der Funktionentheorie nicht der Fall, denn dort sind für holomorphe Funktionen <math>f</math> auf konvexen Gebieten z.B. die Wegintegrale wegunabhängig und hängen nur von Anfangspunkt <math>z_a=\gamma(a)</math> und Endpunkt <math>z_b=\gamma(b)</math> abhängig. === Bemerkung - Substitutionsregel === Die Verwendung der Abeitung <math>\gamma{\,}'(t)</math> in der Definition eines Wegintegrals bezieht sich auf die Substitutionsregel, die bei einer existierenden Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> unmittelbar die Wegunabhängigkeit liefert. :<math>\int\limits_{a}^{b} f(\gamma(x)) \cdot \gamma{\,}'(t)\,\mathrm{d}t = \int\limits_{\gamma(a)}^{\gamma(b)} f(z)\,\mathrm{d}z \, = \, F(\gamma(b))- F(\gamma(a))</math> === Aufgabe - Wegunabhängigkeit - Wegabhängigkeit === Begründen Sie, warum die obige Gleichung zur Substitutionsregel die Wegunabhängigkeit für das Wegintegral liefert. Erläutern Sie, warum ein Wegintegral, dass die aggregierten Risiken auf dem Weg <math>\gamma </math> berechnet im Anwendungskontext in der Regel wegabhängig sein muss, d.h. mit <math>\gamma_1 : [a,b] \to \mathbb{R}^n </math>, <math>\gamma_2 : [a,b] \to \mathbb{R}^n </math>, <math>\gamma_1(a)= \gamma_2(a)</math> und <math>\gamma_1(b)= \gamma_2(b)</math> gilt nicht notwendig: :<math> \int_{\gamma_1,R} f(z)\, dz = \int_{\gamma_2,R} f(z)\, dz </math> == Wegintegral erster Art == [[Datei:Line integral of scalar field.gif|mini|Illustration eines Kurvenintegrals erster Art über ein Skalarfeld]] Das Wegintegral einer stetigen [[w:de:Funktion (Mathematik)|Funktion]] : <math>f\colon\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}</math> entlang eines stückweise stetig differenzierbaren [[w:de:Weg (Mathematik)|Weges]] <math>\gamma\colon[a,b]\to\mathbb{R}^n</math> ist definiert als :<math>\int\limits_\gamma \! f \,\mathrm{d} s := \int\limits_a^b \! f(\gamma(t)) \cdot \| {\gamma \,}'(t) \|_2 \,\mathrm{d} t.</math> === Ableitung des Weges === Dabei bezeichnet <math>{\gamma \,}'</math> die Ableitung von <math>\gamma</math> nach <math>t</math> und <math>\gamma(t)\in \mathbb{R}^n</math> und <math>{\gamma \,}'(t)\in \mathbb{R}^n</math> sind Vektoren. Der Ableitungsvektor <math>{\gamma \,}'(t)\in \mathbb{R}^n</math> gibt dabei das Veränderungsverhalten in jeder Komponentenfunktion von <math>\gamma =(\gamma_1 ,\dots ,\gamma_n)</math> an (siehe auch [[Maxima CAS/Ableitung eines Weges|Ableitung des Weges in Maxima]]) === Bemerkung - Komponentenfunktionen === Die Komponentenfunktionen <math>\gamma_i : [a,b] \to \mathbb{R} </math> sind Abbildungen, für die man die Ableitung getrennt für jede Komponente mit dem Wissen aus der reellen Analysis berechnen kann. === Beispiel für einen Weg und dessen Ableitung === Als differnzierbaren Weg wird zuerst <math>\gamma</math> definiert mit :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma: & [0 ,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{R}^2 \\ & t & \mapsto & \gamma \left( t \right) = \begin{pmatrix} 5 \cdot \cos(t) \\ 3 \cdot \sin(t) \end{pmatrix} \end{array} </math> Die Spur des Weges bildet eine Ellipse mit den Halbachsen 5 und 3. ==== Ableitung des Weges im zweidimensionalen Raum ==== Die Ableitung <math>{\gamma \,}'</math> des Weges <math> \gamma </math> ergibt sich unmittelbar aus der Ableitung der Komponentenfunktionen :<math> \begin{array}{rrcl} {\gamma \,}': & [0 ,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{R}^2 \\ & t & \mapsto & {\gamma }' \left( t \right) = \begin{pmatrix} - 5 \cdot \sin(t) \\ 3 \cdot \cos(t) \end{pmatrix} \end{array} </math> === Beispiel - Ableitung des Weges im dreidimensionalen Raum === Nun sei <math>\gamma(t)= (\cos(t),\sin(t),t) \in \mathbb{R}^3</math> und <math>{\gamma \,}'(t) = (- \sin(t),\cos(t), 1)\in \mathbb{R}^3</math> ein Vektor. Der Ableitungsvektor <math>{\gamma \,}'(t)\in \mathbb{R}^3</math> gibt dabei das Veränderungsverhalten in jeder Komponentenfunktion von <math>\gamma =(\gamma_1 ,\gamma_2,\gamma_3)</math> an. == Aufgabe == Zeichnen Sie die Spur des Weges im <math>\mathbb{R}^2</math> (Ellipse) und plotten Sie mit [[CAS4Wiki]]-Plots * die Spur des Weges im <math>\mathbb{R}^2 </math> und * den Graph der Weges im <math>\mathbb{R}^3 </math>. === Vektorlänge des Ableitungsvektors des Weges === <math>\|{\gamma \,}'(t)\|_2</math> gibt die [[w:de:euklidische Norm|euklidische Norm]] des Vektors <math>{\gamma\,}'(t)\in \mathbb{R}^n </math> an. === Bildmenge des Weges - Spur === Die [[w:de:Bildmenge|Bildmenge]] <math>\mbox{Spur}(\gamma) := \gamma([a,b])</math> einer stückweise [[w:de:glatte Kurve|glatte Kurve]] in <math>\mathbb{R}^n</math> darf man nicht mit dem Graphen eines Kurve <math>Graph(\gamma)</math> verwechseln, der eine Teilmenge vom <math>[a,b] \times \mathbb{R}^n </math> ist. === Anmerkungen === * Ein Beispiel für eine solche Funktion <math>f</math> ist ein [[w:de:Skalarfeld|Skalarfeld]] mit [[w:de:Kartesisches Koordinatensystem|kartesischen Koordinaten]]. * Ein Weg <math>\gamma</math> kann eine Kurve <math>\mathcal C</math> entweder als Ganzes oder auch nur in Abschnitten mehrfach durchlaufen. * Für <math>f \equiv 1</math> ergibt das Wegintegral erster Art die Länge des Weges <math>\gamma</math>. * Der Weg <math>\gamma</math> bildet u.&nbsp;a. <math>a \in \mathbb{R}</math> auf den Anfangspunkt der Kurve ab und <math>b \in \mathbb{R}</math> auf deren Endpunkt. * <math>t \in [a,b]</math> ist ein Element der Definitionsmenge von <math>\gamma</math> und steht allgemein ''nicht'' für die Zeit. <math>\mathrm dt</math> ist das zugehörige [[w:de:Differential (Mathematik)|Differential]]. == Wegintegral zweiter Art == [[Datei:Line integral of vector field.gif|mini|Illustration eines Kurvenintegrals zweiter Art über ein Vektorfeld]] Das Wegintegral über ein stetiges [[w:de:Vektorfeld|Vektorfeld]] : <math>\mathbf f\colon\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n</math> mit einer ebenfalls so parametrisierten Kurve ist definiert als das Integral über das [[w:de:Skalarprodukt|Skalarprodukt]] aus <math> \mathbf{f} \circ \gamma</math> und <math>\dot\gamma</math>: : <math>\int\limits_\gamma \! \mathbf{f}(\mathbf{x}) \cdot \mathrm{d} \mathbf{x} := \int\limits_a^b \! \langle \mathbf{f}(\gamma(t)) , {{\gamma}\,}'(t) \rangle \,\mathrm{d} t</math> === Einfluss der Parametrisierung === Sind <math>\gamma\colon[a,b]\to\mathbb{R}^n</math> und <math>\eta\colon[c,d]\to\mathbb R^n</math> ''einfache'' (d.&nbsp;h., <math>\gamma_{|(a,b)}</math> und <math>\eta_{|(c,d)}</math> sind [[w:de:Injektivität|injektiv]]) Wege mit <math>\gamma(a)=\eta(c)</math> und <math>\gamma(b)=\eta(d)</math> und demselben [[w:de:Bild (Mathematik)|Bild]], parametrisieren sie also dieselbe Kurve in derselben Richtung und durchlaufen sie die Kurve (bis auf Doppelpunkte) genau einmal, so stimmen die Integrale entlang <math>\gamma</math> und <math>\eta</math> überein. Dies rechtfertigt den Namen ''Kurvenintegral''; ist die Integrationsrichtung aus dem Kontext ersichtlich oder irrelevant, kann der Weg in der Notation unterdrückt werden. === Kurvenintegrale === Da eine Kurve <math>\mathcal C</math> das Bild eines Weges <math>\gamma</math> ist, entsprechen die Definitionen der Kurvenintegrale im Wesentlichen den Wegintegralen. ==== Kurvenintegral 1. Art ==== : <math>\int\limits_{\mathcal C} \! f \,\mathrm{d} s := \int\limits_a^b \! f(\gamma(t)) \cdot \| {{\gamma}\,}'(t) \|_2 \, \mathrm{d} t</math> ==== Kurvenintegral 2. Art ==== : <math>\int\limits_\mathcal C \mathbf{f}(\mathbf{x})\cdot\mathrm d\mathbf{x} := \int\limits_a^b \langle \mathbf{f}(\gamma(t)) , {{\gamma}\,}'(t) \rangle \,\mathrm dt</math> ==== Länge einer Kurve ==== Ein Spezialfall ist wieder die Länge der durch <math>\gamma</math> parametrisierten Kurve <math>\mathcal C</math>: : <math>\mathrm{L\ddot ange\ von\ }\mathcal C = \int\limits_{\mathcal C} 1 \, \mathrm{d}s = \int\limits_a^b\| {\gamma\,}'(t) \|_2\,\mathrm dt</math> === Wegelement und Längenelement === Der in den Kurvenintegralen erster Art auftretende Ausdruck : <math>\mathrm ds= \|{\gamma\,}'(t)\|_2 \, \mathrm dt</math> heißt ''skalares Wegelement'' oder ''Längenelement''. Der in den Kurvenintegralen zweiter Art auftretende Ausdruck :<math>\mathrm d\mathbf{x} = {\gamma\,}' (t)\,\mathrm dt</math> heißt ''vektorielles Wegelement''. === Rechenregeln === Seien <math>\int\limits_\gamma \mathbf{f}(\mathbf{x})</math>, <math>\int\limits_\gamma \mathbf{g}(\mathbf{x})</math> Kurvenintegrale gleicher Art (also entweder beide erster oder beide zweiter Art), sei das Urbild der beiden Funktionen <math>\mathbf{f}</math> und <math>\mathbf{g}</math> von gleicher Dimension und sei <math>\gamma\colon[a,b]\to\mathbb R^n</math>. Dann gelten für <math>\alpha</math>, <math>\beta\in \mathbb R</math> und <math>c\in\mathbb [a, b]</math> die folgenden Rechenregeln: * <math>\alpha\int\limits_\gamma \mathbf{f}(\mathbf{x}) + \beta\int\limits_\gamma \mathbf{g}(\mathbf{x}) = \int\limits_\gamma (\alpha\mathbf{f}(\mathbf{x}) + \beta\mathbf{g}(\mathbf{x}))</math> &nbsp;&nbsp;&nbsp;(Linearität) * <math>\int\limits_\gamma \mathbf{f}(\mathbf{x}) = \int\limits_{\gamma|_{[a, c]}} \mathbf{f}(\mathbf{x}) + \int\limits_{\gamma|_{[c, b]}} \mathbf{f}(\mathbf{x})</math> &nbsp;&nbsp;&nbsp;(Zerlegungsadditivität) == Notation für Kurvenintegrale von geschlossenen Kurven == Ist <math>\gamma</math> ein geschlossener Weg, so schreibt man : statt <math>\displaystyle\int\limits_\gamma</math> auch <math>\displaystyle\oint\limits_\gamma</math> und analog für geschlossene Kurven <math>\mathcal C</math> : statt <math>\displaystyle \int\limits_\mathcal C</math> auch <math>\displaystyle\oint\limits_\mathcal C</math>. Mit dem Kreis im Integral möchte man deutlich machen, dass <math>\gamma</math> geschlossen ist. Der einzige Unterschied liegt hierbei in der Notation. == Beispiele == * Ist <math>\mathcal C</math> der [[w:de:Funktionsgraph|Graph]] einer Funktion <math>f\colon[a,b]\to\mathbb R</math>, so wird diese Kurve durch den Weg :: <math>\gamma\colon[a,b]\to\mathbb R^2,\quad t\mapsto(t,f(t))</math> : parametrisiert. Wegen :: <math>\|\dot\gamma(t)\|_2=\sqrt{1+f'(t)^2}</math> : ist die Länge der Kurve gleich :: <math>\int\limits_\mathcal C\mathrm ds = \int\limits_a^b\sqrt{1+f'(t)^2}\,\mathrm dt.</math> * Eine [[w:de:Ellipse|Ellipse]] mit großer Halbachse <math>a</math> und kleiner Halbachse <math>b</math> wird durch <math>(a\cos t, \, b\sin t)</math> für <math>t\in[0,2\pi]</math> parametrisiert. Ihr Umfang ist also :: <math>\int\limits_0^{2\pi}\sqrt{a^2\sin^2t+b^2\cos^2t}\,\mathrm dt = 4a\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{1-\varepsilon^2\sin^2t}\;\mathrm dt</math>. : Dabei bezeichnet <math>\varepsilon</math> die [[w:de:Exzentrizität (Mathematik)|numerische Exzentrizität]] <math>\sqrt{1-b^2/a^2}</math> der Ellipse. Das Integral auf der rechten Seite wird aufgrund dieses Zusammenhanges als [[w:de:elliptisches Integral|elliptisches Integral]] bezeichnet. == Wegunabhängigkeit == Ist ein Vektorfeld <math>\mathbf{F}</math> ein ''[[w:de:Gradientenfeld|Gradientenfeld]]'', d.&nbsp;h., <math>\mathbf{F}</math> ist der [[w:de:Gradient (Mathematik)|Gradient]] eines skalaren Feldes <math>V</math>, mit : <math>\mathbf{\nabla} V = \mathbf{F}</math>, so gilt für die [[w:de:Differentialrechnung|Ableitung]] der [[w:de:Komposition (Mathematik)|Verkettung]] von <math>V</math> und <math>\mathbf{r}(t)</math> : <math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dt} V(\mathbf{r}(t)) = \mathbf{\nabla} V(\mathbf{r}(t)) \cdot \dot{\mathbf{r}}(t) = \mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) \cdot \dot{\mathbf{r}}(t)</math>, was gerade dem Integranden des Wegintegrals über <math>\mathbf{F}</math> auf <math>\mathbf{r}(t)</math> entspricht. === Abhängigkeit von Integralgrenzen 1 === Daraus folgt für eine gegebene Kurve <math>\mathcal S</math> : <math>\int\limits_{\mathcal S} \mathbf{F}(\mathbf{x})\cdot\,\mathrm d\mathbf{x} = \int\limits_a^b \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot \dot{\mathbf{r}}(t)\,\mathrm dt = \int\limits_a^b \frac{\mathrm d}{\mathrm dt} V(\mathbf{r}(t)) \,\mathrm dt = V(\mathbf{r}(b)) - V(\mathbf{r}(a)).</math> [[Datei:Konservative Kraft Wege.svg|mini|200px|Zwei beliebige Kurven <math>\mathcal S1</math> und <math>\mathcal S2</math> in einem Gradientenfeld]] === Abhängigkeit von Integralgrenzen 2 === Dies bedeutet, dass das Integral von <math>\mathbf{F}</math> über <math>\mathcal S</math> ausschließlich von den Punkten <math>\mathbf{r}(b)</math> und <math>\mathbf{r}(a)</math> abhängt und der Weg dazwischen irrelevant für das Ergebnis ist. Aus diesem Grund wird das Integral eines Gradientenfeldes als „wegunabhängig“ bezeichnet. === Bemerkung - geschlossene Wege - Ringintegral === Insbesondere gilt für das Ringintegral über die geschlossene Kurve <math>\mathcal S</math> mit zwei beliebigen Wegen <math>\mathcal S_1</math> und <math>\mathcal S_2</math>: : <math>\oint\limits_{\mathcal S} \mathbf{F}(\mathbf{x})\, \mathrm d\mathbf{x} = \int\limits_{1,\mathcal{S}_1}^2 \mathbf{F}(\mathbf{x})\, \mathrm d\mathbf{x} + \int\limits_{2,\mathcal{S}_2}^1 \mathbf{F}(\mathbf{x})\, \mathrm d\mathbf{x} = 0</math> === Anwendung in der Physik === Dies ist insbesondere in der [[w:de:Physik|Physik]] von großer Bedeutung, da beispielsweise die [[w:de:Gravitation|Gravitation]] diese Eigenschaften besitzt. Da die Energie in diesen Kraftfeldern stets eine Erhaltungsgröße ist, werden sie in der Physik als [[w:de:konservative Kraft|konservative Kraft]]felder bezeichnet. === Skalare Felder - Potentielle Energie === Das skalare Feld <math>V</math> ist dabei das [[w:de:Skalarpotential|Potential]] oder die [[w:de:potentielle Energie|potentielle Energie]]. Konservative Kraftfelder erhalten die mechanische Energie, d.&nbsp;i. die Summe aus [[w:de:Kinetische Energie|kinetischer Energie]] und potentieller Energie. Gemäß dem obigen Integral wird auf einer geschlossenen Kurve insgesamt eine Arbeit von 0&nbsp;J aufgebracht. === Umlaufzahl - Windungszahl === Wegunabhängigkeit lässt sich auch mit Hilfe der [[w:de:Integrabilitätsbedingung|Integrabilitätsbedingung]] zeigen. [[Datei:Windungszahl5.png|mini|400px|Die Kurve <math>\gamma</math> umläuft das Zentrum <math>z_0</math> zweimal]] Ist das Vektorfeld nur in einer (kleinen) Umgebung <math>U</math> eines Punktes nicht als Gradientenfeld darstellbar, so ist das geschlossene Wegintegral von Kurven außerhalb von <math>U</math> proportional zur Windungszahl um diesen Punkt und ansonsten unabhängig vom genauen Verlauf der Kurve (siehe [[w:de:Algebraische Topologie#Methodik|Algebraische Topologie: Methodik]]). === Bemerkung - Komplexe Wegintegrale === Ersetzt man <math>\mathbb{R}^n </math> durch <math>\mathbb{C} </math> behandelt man [[Wegintegral|komplexe Wegintegrale]], die in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] behandelt werden. == Literatur == * [[w:de:Harro Heuser|Harro Heuser]]: ''Lehrbuch der Analysis – Teil 2''. 1981, 5. Auflage, Teubner 1990, ISBN 3-519-42222-0. S. 369, Satz 180.1; S. 391, Satz 184.1; S. 393, Satz 185.1. == Einzelnachweise == <references /> [[Kategorie:Integralbegriff]] [[Kategorie:Funktionentheorie]] [[Kategorie:Vektoranalysis]] == Siehe auch == * [[Definition Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/reelle Integrale als Spezialfall von Wegintegralen|reelle Integrale als Spezialfall von Wegintegralen]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurvenintegral https://de.wikiversity.org/wiki/Kurvenintegral] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurvenintegral Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurvenintegral * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurvenintegral Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurvenintegral Kurvenintegral] https://de.wikipedia.org/wiki/Kurvenintegral * Datum: 20.10.2024 * [https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity <noniclude>[[en:Line integral]]</noinclude> [[Category:Wiki2Reveal]] 28fg33w636yer7afx7cpygr9h0s540r 0 167933 1118900 1063197 2026-11-05T08:17:35Z Bert Niehaus 20843 /* Bemerkung - C-Submultiplikativität */ 1118900 wikitext text/x-wiki == Definition - submultiplikatives Gaugefunktional == Ein Gaugefunktional <math>\|\cdot \|_\alpha</math> heißt ''submultiplikativ'', wenn es für alle <math>x,y \in A</math> gilt :<math> \|x\cdot y\|_\alpha \leq \|x\|_\alpha \cdot \|y\|_\alpha </math> Das Gaugefunktional <math>\|\cdot \|_\alpha</math> heißt ''<math>C</math>-submultiplikativ'', wenn eine Konstante <math>C > 0 </math> existiert mit: :<math> \|x\cdot y\|_\alpha \leq C \cdot \|x\|_\alpha \cdot \|y\|_\alpha </math> === Bemerkung - C-Submultiplikativität === Im Allgemeinen verwendet man den Begriff <math>C</math>-Multiplikativität nur für <math>C > 1</math>, denn für <math>C \leq 1</math>, kann man die Konstante <math>C</math> in der Ungleichung weglassen und das Gaugefunktional <math>\|\cdot \|_\alpha</math> ist dann auch submultiplikativ. === Bemerkung - Exponentialfunktion === Wenn die [[Exponentialfunktion]] auf beliebige [[topologische Algebra|topologische Algebren]] <math>(A,\mathcal{T}_{\!\!_A})</math> erweitert, so kann man mit der Submultiplikativität die [[Exponentialfunktion#SatzKonvergenz|punktweise Konvergenz]] von <math>\exp(z)</math> für <math>z\in A</math> direkt nachweisen. === Bemerkung - MLC-Algebren - MPC-Algebren === Submultiplikative [[Halbnorm|Halbnormensysteme]] oder [[p-Halbnorm|p-Halbnormensystem]] treten bei multiplikativen [[lokalkonvex|lokalkonvexen]] Algebren ([[topologische Algebra#MLC-Algebra|MLC-Algebra]]) bei multiplikativen [[pseudokonvex|pseudokonvexen]] Algebren ([[topologische Algebra#MPC-Algebra|MPC-Algebra]]) auf. Bei [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien|topologischen Invertierbarkeitskriterien]] sucht man einer [[Algebraerweiterung]] der Klasse [[topologische Algebra#MLC-Algebra|MLC]] bzw. [[topologische Algebra#MPC-Algebra|MPC]], in der ein Element <math>z\in A</math> invertierbar ist. Dazu muss man dann die Existenz geeigneter submultiplikativer Halbnormen bzw. p-Halbnormen auf der [[Algebraerweiterung]] nachweisen. === Bemerkung - Submultiplikative Norm === Man kann mit dem [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Normalisierte Norm|Normalisierungslemma für normierte Räume]] in jeder unitalen, [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>(A,\|\cdot \|)</math>, die zugleich ein [[Normen, Metriken, Topologie|normierter Raum]] ist, kann man die topologieerzeugende Norm <math>\|\cdot \|</math> durch eine äquivalente Norm <math>\|\cdot \|_1</math> mit <math>\| e_{_A} \|_1 = 1</math> ersetzen, wobei <math>\|\cdot \|_1</math> <math>C</math>-submultiplikativ ist. === Bemerkung - Submultiplikative Norm in Banachräumen === Über die Vollständigkeit und den [[w:de:Satz von der offenen Abbildung (Funktionalanalysis)|Satz der offenen Abbildung]] (Banach-Schauder) zeigen, dass sogar eine äquivalente Norm <math>\|\cdot \|_1</math> mit <math>\| e_{_A} \|_1 = 1</math> ersetzen, wobei <math>\|\cdot \|_1</math> sogar submultiplikativ ist. Dafür ist allerdings die [[Vollständigkeit]] von <math>A</math> bzgl. der Norm <math>\|\cdot \|</math> erforderlich. == Definition - submultiplikatives Gaugefunktionalsystem == Ein Gaugefunktionalsystem <math>\|\cdot \|_\mathcal{A}</math> heißt ''submultiplikativ'', wenn es für alle <math>\alpha \in \mathcal{A}</math> das Gaugefunktional <math>\|\cdot\|_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A}</math> submultiplikativ sind. === Bemerkung - Stetigkeit und Submultiplikativität === Die obige Bedingung liefert die [[Topologisierungslemma|Stetigkeit der Multiplikation]]. Die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht, den aus der Stetigkeit der Multiplikation kann man nur folgern, dass für jedes <math>\alpha \in \mathcal{A}</math> ein <math>\beta \in \mathcal{A}</math> existiert mit :<math> \|x\cdot y\|_\alpha \leq \|x\|_\beta \cdot \|y\|_\beta </math> für alle <math>x,y \in A</math>. == Aufgaben == Sei <math>(A,\|\cdot \|)</math> eine. normierter topologischer Vektorraum, auf dem eine stetige Multiplikation bzgl. der [[w:de:Produkttopologie|Produkttopologie]] definiert ist. :<math> \begin{array}{rrcl} \cdot \,\, : & A \times A & \rightarrow & A \\ & \left( x,y \right) & \mapsto & x\cdot y \end{array} </math> === Aufgabe 1 - Submultiplkative Norm === Zeigen Sie, das es auf der normierten Algebra <math>(A,\|\cdot \|)</math> eine äquivalente Norm <math>\|\cdot \|_1</math> gibt, die submultiplikativ ist! === Aufgabe 2 - Norm für unitale topologische Algebren === Da <math>A</math> unital ist, gibt es ein Einselement <math>e\in A</math> als neutrale Element der Multiplikation. Zeigen Sie, das es auf der normierten Algebra <math>(A,\|\cdot \|)</math> eine äquivalente Norm <math>\|\cdot \|_2</math> gibt, die <math>C</math>-submultiplikativ ist und für die <math>\|e\|_2 = 1</math> gilt. === Aufgabe 3 - Operatornorm === Sei <math>(A,\|\cdot \|)</math> eine. normierte [[topologische Algebra]] mit der stetige Multiplikation <math> \cdot : A \times A \rightarrow A </math>. definiert ist. Die folgenden Funktion <math> \|\cdot\|_3:A\to \mathbb{R}</math> ist eine zu <math>\|\cdot\|</math> äquivalente Norm ([[w:de:Operatornorm|Operatornorm]]) auf <math>A</math> <math display="block"> \|z\|_3 = \sup \left\{\|z\cdot x\| \,\, : \, \,\, x\in A \wedge \|x\|=1 \right\}. </math> Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot\|_3</math> eine äquivalente Norm auf <math>A</math> ist (siehe [[Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]]). === Bemerkung zu Aufgabe 3 === Für das Einselement der Multiplikation gilt <math>x\cdot e = e\cdot x = x</math> für alle <math> x\in A</math>. Damit erhält man für <math> y\not= 0_A</math> auch <math>\| y \| >0 </math> mit: :<math> 1= \frac{\|y\|}{\|y\|} = \frac{\|e\cdot y\|}{\|y\|} = \bigg\| e\cdot \underbrace{\frac{y}{\|y\|}}_{=\|x\|} \bigg\| </math> Durch Bildung des Supremums gilt damit die Normiertheit für das Einselement: <math display="block">\|e\|_1 = \sup \left\{\frac{\|e\cdot y\|}{\|y\|} \,\, : \, \,\, y\in A \wedge y\not= 0_A \right\} = 1.</math> == Siehe auch == * [[Normen, Metriken, Topologie]] * [[Gaugefunktional/gerichtet|gerichtetes Gaugefunktionalsystem]] * [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Normalisierte Norm|normalisierte submultiplikative Norm]] * [[topologischer Vektorraum]] * [[Topologische Algebra#MLC-Algebra|MLC-Algebra]] * [[Topologische Algebra#MPC-Algebra|MPC-Algebra]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] c8ok48omcrafsxhj4sos8tu6fuiwcsq 1118901 1118900 2026-11-05T08:18:39Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1118901 wikitext text/x-wiki == Definition - submultiplikatives Gaugefunktional == Ein Gaugefunktional <math>\|\cdot \|_\alpha</math> heißt ''submultiplikativ'', wenn es für alle <math>x,y \in A</math> gilt :<math> \|x\cdot y\|_\alpha \leq \|x\|_\alpha \cdot \|y\|_\alpha </math> Das Gaugefunktional <math>\|\cdot \|_\alpha</math> heißt ''<math>C</math>-submultiplikativ'', wenn eine Konstante <math>C > 0 </math> existiert mit: :<math> \|x\cdot y\|_\alpha \leq C \cdot \|x\|_\alpha \cdot \|y\|_\alpha </math> === Bemerkung - C-Submultiplikativität === Im Allgemeinen verwendet man den Begriff <math>C</math>-Multiplikativität nur für <math>C > 1</math>, denn für <math>C \leq 1</math>, kann man die Konstante <math>C</math> in der Ungleichung weglassen und das Gaugefunktional <math>\|\cdot \|_\alpha</math> ist dann auch submultiplikativ. === Bemerkung - Exponentialfunktion === Wenn die [[Exponentialfunktion]] auf beliebige [[topologische Algebra|topologische Algebren]] <math>(A,\mathcal{T}_{\!\!_A})</math> erweitert, so kann man mit der Submultiplikativität die [[Exponentialfunktion#SatzKonvergenz|punktweise Konvergenz]] von <math>\exp(z)</math> für <math>z\in A</math> direkt nachweisen. === Bemerkung - MLC-Algebren - MPC-Algebren === Submultiplikative [[Halbnorm|Halbnormensysteme]] oder [[p-Halbnorm|p-Halbnormensystem]] treten bei multiplikativen [[lokalkonvex|lokalkonvexen]] Algebren ([[topologische Algebra#MLC-Algebra|MLC-Algebra]]) bei multiplikativen [[pseudokonvex|pseudokonvexen]] Algebren ([[topologische Algebra#MPC-Algebra|MPC-Algebra]]) auf. Bei [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien|topologischen Invertierbarkeitskriterien]] sucht man einer [[Algebraerweiterung]] der Klasse [[topologische Algebra#MLC-Algebra|MLC]] bzw. [[topologische Algebra#MPC-Algebra|MPC]], in der ein Element <math>z\in A</math> invertierbar ist. Dazu muss man dann die Existenz geeigneter submultiplikativer Halbnormen bzw. p-Halbnormen auf der [[Algebraerweiterung]] nachweisen. === Bemerkung - Submultiplikative Norm === Man kann mit dem [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Normalisierte Norm|Normalisierungslemma für normierte Räume]] in jeder unitalen, [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>(A,\|\cdot \|)</math>, die zugleich ein [[Normen, Metriken, Topologie|normierter Raum]] ist, kann man die topologieerzeugende Norm <math>\|\cdot \|</math> durch eine äquivalente Norm <math>\|\cdot \|_1</math> mit <math>\| e_{_A} \|_1 = 1</math> ersetzen, wobei <math>\|\cdot \|_1</math> <math>C</math>-submultiplikativ ist. === Bemerkung - Submultiplikative Norm in Banachräumen === Über die Vollständigkeit und den [[w:de:Satz von der offenen Abbildung (Funktionalanalysis)|Satz der offenen Abbildung]] (Banach-Schauder) zeigen, dass sogar eine äquivalente Norm <math>\|\cdot \|_1</math> mit <math>\| e_{_A} \|_1 = 1</math> ersetzen, wobei <math>\|\cdot \|_1</math> sogar submultiplikativ ist. Dafür ist allerdings die [[Vollständigkeit]] von <math>A</math> bzgl. der Norm <math>\|\cdot \|</math> erforderlich. == Definition - submultiplikatives Gaugefunktionalsystem == Ein Gaugefunktionalsystem <math>\|\cdot \|_\mathcal{A}</math> heißt ''submultiplikativ'', wenn es für alle <math>\alpha \in \mathcal{A}</math> das Gaugefunktional <math>\|\cdot\|_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A}</math> submultiplikativ sind. === Bemerkung - Stetigkeit und Submultiplikativität === Die obige Bedingung liefert die [[Topologisierungslemma|Stetigkeit der Multiplikation]]. Die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht, den aus der Stetigkeit der Multiplikation kann man nur folgern, dass für jedes <math>\alpha \in \mathcal{A}</math> ein <math>\beta \in \mathcal{A}</math> existiert mit :<math> \|x\cdot y\|_\alpha \leq \|x\|_\beta \cdot \|y\|_\beta </math> für alle <math>x,y \in A</math>. == Aufgaben == Sei <math>(A,\|\cdot \|)</math> eine. normierter topologischer Vektorraum, auf dem eine stetige Multiplikation bzgl. der [[w:de:Produkttopologie|Produkttopologie]] definiert ist. :<math> \begin{array}{rrcl} \cdot \,\, : & A \times A & \rightarrow & A \\ & \left( x,y \right) & \mapsto & x\cdot y \end{array} </math> === Aufgabe 1 - Submultiplkative Norm === Zeigen Sie, das es auf der normierten Algebra <math>(A,\|\cdot \|)</math> eine äquivalente Norm <math>\|\cdot \|_1</math> gibt, die submultiplikativ ist! === Aufgabe 2 - Norm für unitale topologische Algebren === Da <math>A</math> unital ist, gibt es ein Einselement <math>e\in A</math> als neutrale Element der Multiplikation. Zeigen Sie, das es auf der normierten Algebra <math>(A,\|\cdot \|)</math> eine äquivalente Norm <math>\|\cdot \|_2</math> gibt, die <math>C</math>-submultiplikativ ist und für die <math>\|e\|_2 = 1</math> gilt. === Aufgabe 3 - Operatornorm === Sei <math>(A,\|\cdot \|)</math> eine. normierte [[topologische Algebra]] mit der stetige Multiplikation <math> \cdot : A \times A \rightarrow A </math>. definiert ist. Die folgenden Funktion <math> \|\cdot\|_3:A\to \mathbb{R}</math> ist eine zu <math>\|\cdot\|</math> äquivalente Norm ([[w:de:Operatornorm|Operatornorm]]) auf <math>A</math> <math display="block"> \|z\|_3 = \sup \left\{\|z\cdot x\| \,\, : \, \,\, x\in A \wedge \|x\|=1 \right\}. </math> Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot\|_3</math> eine äquivalente Norm auf <math>A</math> ist (siehe [[Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]]). === Bemerkung zu Aufgabe 3 === Für das Einselement der Multiplikation gilt <math>x\cdot e = e\cdot x = x</math> für alle <math> x\in A</math>. Damit erhält man für <math> y\not= 0_A</math> auch <math>\| y \| >0 </math> mit: :<math> 1= \frac{\|y\|}{\|y\|} = \frac{\|e\cdot y\|}{\|y\|} = \bigg\| e\cdot \underbrace{\frac{y}{\|y\|}}_{=\|x\|} \bigg\| </math> Durch Bildung des Supremums gilt damit die Normiertheit für das Einselement: <math display="block">\|e\|_1 = \sup \left\{\frac{\|e\cdot y\|}{\|y\|} \,\, : \, \,\, y\in A \wedge y\not= 0_A \right\} = 1.</math> == Siehe auch == * [[Exponentialfunktion#SatzKonvergenz|punktweise Konvergenz Exponentialfunktion]] in [[topologische Algebra|topologischen Algebren]] * [[Normen, Metriken, Topologie]] * [[Gaugefunktional/gerichtet|gerichtetes Gaugefunktionalsystem]] * [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Normalisierte Norm|normalisierte submultiplikative Norm]] * [[topologischer Vektorraum]] * [[Topologische Algebra#MLC-Algebra|MLC-Algebra]] * [[Topologische Algebra#MPC-Algebra|MPC-Algebra]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionalanalysis]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] l22mizzicko2r1edic168o882mxov5j 106 172717 1118855 1118853 2026-11-04T12:00:27Z Bert Niehaus 20843 /* Definition von arctan2 */ 1118855 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Es gibt mehrere Möglichkeiten der Darstellung von komplexen Zahlen: * Darstellung in kartesischen Koordinaten <math>(z_1,z_2)\in \mathbb{R}^2</math>, gelegentlich auch ''algebraische Form'' genannt,<ref name="bronstein34">Bronstein, Semendjajew et al., S. 34</ref> als Summe des reellen <math>a</math> und des rein imaginären Anteils <math>b</math> mit folgenden Schreibweisen, also<ref>Eberhard Freitag, Rolf Busam: ''Funktionentheorie 1''. 4. Auflage. Springer, S. 4.</ref> :: <math>z = z_1 + z_2\,\mathrm{i}</math> oder auch <math>z = z_1 + \mathrm{i}\,z_2\ </math>. * Darstellung in [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinaten]] bzw. in '''Polardarstellung''' <math>(r,\varphi)</math> als Produkt des absoluten Betrages <math>r=|z|</math> gedreht um den Winkel <math>\varphi = \mathrm{arg}(z)</math>. === Schreibweisen === Die Polarkoordinatendarstellung hat dabei die folgenden Schreibweisen: * <math>z = r\, \underbrace{\big( \cos(\varphi) + \mathrm{i}\,\sin(\varphi)\big)}_{=e^{i\phi}}</math>, * <math>z = r\; \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi} </math> mit <math>r\geq 0</math>. * <math>z = r\; \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi} = e^{\ln(r)+i\, \varphi} </math> für <math>z\not= 0</math> und <math>r > 0</math>. In der dritten Darstellung tritt im Exponenten der reelle [[Logarithmus]] mit <math>\ln(r)</math> und <math> r > 0 </math> auf (siehe auch weitere Schreibweise<ref>John B. Conway: ''Functions of One Complex Variable I'', Second Edition, Springer, S. 4. <math>z = r\, \operatorname{cis}\varphi </math></ref>. === Winkel bzw. Phasenfaktor === Hierbei wird der Faktor <math>\mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}</math> als '''Phasenfaktor''' und der Winkel <math>\varphi </math> auch als ''Argument'' <math>\varphi = \arg(z) </math> der komplexen Zahl (in Polardarstellung) bezeichnet. Hintergrund dieser Darstellung ist die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]], die über die komplexen Zahlen einen fundamentalen Zusammenhang zwischen der natürlichen Exponentialfunktion und den trigonometrischen Funktionen herstellt. Alle oberen Schreibweisen stellen demnach exakt die gleiche komplexe Zahl dar. Es ist zu beachten, dass die komplexe Zahl <math>z=0</math> kein Argument besitzt, weshalb hier keine Darstellung in Polarkoordinaten im oberen Sinne möglich ist. === Umwandlung von Koordinatendarstellung === Eine Umwandlung von kartesischer Form in Polarform ist für die Argumentfunktion <math>\mathbb{arg}(z)</math> nur für <math>z\not= 0</math> eindeutig für <math>\varphi \in (-\pi,+\pi]</math> möglich. == Definition - Argumentfunktion == Sei <math> z\not= 0</math> mittels <math>z = z_1 + z_2\,\mathrm{i} = |z|{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\varphi}</math> und : <math>\varphi = \arg (z_1+z_2\,\mathrm{i}) = \operatorname{arctan2}(z_1,\,z_2) </math> möglich. === Definition von arctan2 === Die Funktion <math>\operatorname{arctan2}</math> ist dabei wie folgt definiert: :<math> \operatorname{arctan2}(z_1,\,z_2) = \begin{cases} \arctan\left(\tfrac{z_2}{z_1}\right) & z_1 > 0 \\ \arctan\left(\tfrac{z_2}{z_1}\right) + \operatorname{sgn}(z_2)\cdot \pi & z_1 < 0 \wedge z_2 \neq 0, \\ -\pi & z_1 < 0 \wedge z_2 \neq 0\\ \operatorname{sgn}(z_2)\cdot \tfrac{\pi}{2} & z_1 = 0 \wedge z_2 \neq 0\\ \end{cases} </math> === Signum-Funktion - Vorzeichenfunktion === Die Vorzeichenfunktion in der <math>arctan2</math>-Funktion ist dabei wie folgt definiert: : <math>\sgn(x):= \begin{cases} +1, & \; \text{falls} \quad x>0, \\ \;\;\,0, & \; \text{falls} \quad x=0, \\ -1, & \; \text{falls} \quad x<0. \\ \end{cases} </math> === Halbwinkelformel === Setzt man <math>\ \varphi = \mathrm{arg}(z)</math>, erhält man für trigonometrischen Funktionen <math>\sin(\varphi) \!=\! \tfrac{z_2}{\sqrt{z_1^2+z_2^2}} = \tfrac{z_2}{|z|}\ </math> und <math>\ \cos(\varphi) \!=\! \tfrac{z_1}{\sqrt{z_1^2+z_2^2}} = \tfrac{z_1}{|z|}</math>, so ist die Gleichheit zur [[w:de:arctan2|arctan2]]-Funktion eine Konsequenz aus der [[w:de:Formelsammlung Trigonometrie#Halbwinkelformeln|Halbwinkelformel]], falls <math>z_2 \neq 0 </math> oder <math> z_1 > 0 </math>. : <math>\tan \left( \frac{\varphi}{2} \right) = \frac{\sin(\varphi)}{1 + \cos(\varphi)} = \frac{\tfrac{z_2}{|z|}}{1+\tfrac{z_1}{|z|}}= \frac{z_2}{|z| + z_1} </math> === Bemerkung - Winkelbereich === Die linke Seite lässt sich im „vollen Winkelbereich des Hauptarguments“ <math>-\pi < \varphi < \pi</math> unter Anwendung des Arkustangens zu <math>\tfrac{\varphi}{2}</math> umformen. Ist hingegen <math>- \tfrac{\pi}{2} < \varphi < \tfrac{\pi}{2}</math>, also <math>z</math> auf der rechten Halbebene, so kann die Gleichung <math>\tan \varphi = \tfrac{b}{a}</math> vereinfachend auch zu <math>\,\varphi = \arg z = \arctan \tfrac{b}{a} </math> aufgelöst werden. == Quellennachweis == <references/> == Siehe auch == * [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] * [[Logarithmus]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] 6wdua98lrsmdzv4brro1ergx2magx3p 1118856 1118855 2026-11-04T12:00:58Z Bert Niehaus 20843 /* Definition von arctan2 */ 1118856 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Es gibt mehrere Möglichkeiten der Darstellung von komplexen Zahlen: * Darstellung in kartesischen Koordinaten <math>(z_1,z_2)\in \mathbb{R}^2</math>, gelegentlich auch ''algebraische Form'' genannt,<ref name="bronstein34">Bronstein, Semendjajew et al., S. 34</ref> als Summe des reellen <math>a</math> und des rein imaginären Anteils <math>b</math> mit folgenden Schreibweisen, also<ref>Eberhard Freitag, Rolf Busam: ''Funktionentheorie 1''. 4. Auflage. Springer, S. 4.</ref> :: <math>z = z_1 + z_2\,\mathrm{i}</math> oder auch <math>z = z_1 + \mathrm{i}\,z_2\ </math>. * Darstellung in [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinaten]] bzw. in '''Polardarstellung''' <math>(r,\varphi)</math> als Produkt des absoluten Betrages <math>r=|z|</math> gedreht um den Winkel <math>\varphi = \mathrm{arg}(z)</math>. === Schreibweisen === Die Polarkoordinatendarstellung hat dabei die folgenden Schreibweisen: * <math>z = r\, \underbrace{\big( \cos(\varphi) + \mathrm{i}\,\sin(\varphi)\big)}_{=e^{i\phi}}</math>, * <math>z = r\; \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi} </math> mit <math>r\geq 0</math>. * <math>z = r\; \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi} = e^{\ln(r)+i\, \varphi} </math> für <math>z\not= 0</math> und <math>r > 0</math>. In der dritten Darstellung tritt im Exponenten der reelle [[Logarithmus]] mit <math>\ln(r)</math> und <math> r > 0 </math> auf (siehe auch weitere Schreibweise<ref>John B. Conway: ''Functions of One Complex Variable I'', Second Edition, Springer, S. 4. <math>z = r\, \operatorname{cis}\varphi </math></ref>. === Winkel bzw. Phasenfaktor === Hierbei wird der Faktor <math>\mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}</math> als '''Phasenfaktor''' und der Winkel <math>\varphi </math> auch als ''Argument'' <math>\varphi = \arg(z) </math> der komplexen Zahl (in Polardarstellung) bezeichnet. Hintergrund dieser Darstellung ist die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]], die über die komplexen Zahlen einen fundamentalen Zusammenhang zwischen der natürlichen Exponentialfunktion und den trigonometrischen Funktionen herstellt. Alle oberen Schreibweisen stellen demnach exakt die gleiche komplexe Zahl dar. Es ist zu beachten, dass die komplexe Zahl <math>z=0</math> kein Argument besitzt, weshalb hier keine Darstellung in Polarkoordinaten im oberen Sinne möglich ist. === Umwandlung von Koordinatendarstellung === Eine Umwandlung von kartesischer Form in Polarform ist für die Argumentfunktion <math>\mathbb{arg}(z)</math> nur für <math>z\not= 0</math> eindeutig für <math>\varphi \in (-\pi,+\pi]</math> möglich. == Definition - Argumentfunktion == Sei <math> z\not= 0</math> mittels <math>z = z_1 + z_2\,\mathrm{i} = |z|{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\varphi}</math> und : <math>\varphi = \arg (z_1+z_2\,\mathrm{i}) = \operatorname{arctan2}(z_1,\,z_2) </math> möglich. === Definition von arctan2 === Die Funktion <math>\operatorname{arctan2}</math> ist dabei wie folgt definiert: :<math> \operatorname{arctan2}(z_1,\,z_2) = \begin{cases} \arctan\left(\tfrac{z_2}{z_1}\right) & z_1 > 0 \\ \arctan\left(\tfrac{z_2}{z_1}\right) + \operatorname{sgn}(z_2)\cdot \pi & z_1 < 0 \wedge z_2 \neq 0, \\ -\pi & z_1 < 0 \wedge z_2 = 0\\ \operatorname{sgn}(z_2)\cdot \tfrac{\pi}{2} & z_1 = 0 \wedge z_2 \neq 0\\ \end{cases} </math> === Signum-Funktion - Vorzeichenfunktion === Die Vorzeichenfunktion in der <math>arctan2</math>-Funktion ist dabei wie folgt definiert: : <math>\sgn(x):= \begin{cases} +1, & \; \text{falls} \quad x>0, \\ \;\;\,0, & \; \text{falls} \quad x=0, \\ -1, & \; \text{falls} \quad x<0. \\ \end{cases} </math> === Halbwinkelformel === Setzt man <math>\ \varphi = \mathrm{arg}(z)</math>, erhält man für trigonometrischen Funktionen <math>\sin(\varphi) \!=\! \tfrac{z_2}{\sqrt{z_1^2+z_2^2}} = \tfrac{z_2}{|z|}\ </math> und <math>\ \cos(\varphi) \!=\! \tfrac{z_1}{\sqrt{z_1^2+z_2^2}} = \tfrac{z_1}{|z|}</math>, so ist die Gleichheit zur [[w:de:arctan2|arctan2]]-Funktion eine Konsequenz aus der [[w:de:Formelsammlung Trigonometrie#Halbwinkelformeln|Halbwinkelformel]], falls <math>z_2 \neq 0 </math> oder <math> z_1 > 0 </math>. : <math>\tan \left( \frac{\varphi}{2} \right) = \frac{\sin(\varphi)}{1 + \cos(\varphi)} = \frac{\tfrac{z_2}{|z|}}{1+\tfrac{z_1}{|z|}}= \frac{z_2}{|z| + z_1} </math> === Bemerkung - Winkelbereich === Die linke Seite lässt sich im „vollen Winkelbereich des Hauptarguments“ <math>-\pi < \varphi < \pi</math> unter Anwendung des Arkustangens zu <math>\tfrac{\varphi}{2}</math> umformen. Ist hingegen <math>- \tfrac{\pi}{2} < \varphi < \tfrac{\pi}{2}</math>, also <math>z</math> auf der rechten Halbebene, so kann die Gleichung <math>\tan \varphi = \tfrac{b}{a}</math> vereinfachend auch zu <math>\,\varphi = \arg z = \arctan \tfrac{b}{a} </math> aufgelöst werden. == Quellennachweis == <references/> == Siehe auch == * [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] * [[Logarithmus]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] 858ensrgsyqep7w09bcvpvjp6ej06xy 1118857 1118856 2026-11-04T12:09:05Z Bert Niehaus 20843 /* Signum-Funktion - Vorzeichenfunktion */ 1118857 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Es gibt mehrere Möglichkeiten der Darstellung von komplexen Zahlen: * Darstellung in kartesischen Koordinaten <math>(z_1,z_2)\in \mathbb{R}^2</math>, gelegentlich auch ''algebraische Form'' genannt,<ref name="bronstein34">Bronstein, Semendjajew et al., S. 34</ref> als Summe des reellen <math>a</math> und des rein imaginären Anteils <math>b</math> mit folgenden Schreibweisen, also<ref>Eberhard Freitag, Rolf Busam: ''Funktionentheorie 1''. 4. Auflage. Springer, S. 4.</ref> :: <math>z = z_1 + z_2\,\mathrm{i}</math> oder auch <math>z = z_1 + \mathrm{i}\,z_2\ </math>. * Darstellung in [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinaten]] bzw. in '''Polardarstellung''' <math>(r,\varphi)</math> als Produkt des absoluten Betrages <math>r=|z|</math> gedreht um den Winkel <math>\varphi = \mathrm{arg}(z)</math>. === Schreibweisen === Die Polarkoordinatendarstellung hat dabei die folgenden Schreibweisen: * <math>z = r\, \underbrace{\big( \cos(\varphi) + \mathrm{i}\,\sin(\varphi)\big)}_{=e^{i\phi}}</math>, * <math>z = r\; \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi} </math> mit <math>r\geq 0</math>. * <math>z = r\; \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi} = e^{\ln(r)+i\, \varphi} </math> für <math>z\not= 0</math> und <math>r > 0</math>. In der dritten Darstellung tritt im Exponenten der reelle [[Logarithmus]] mit <math>\ln(r)</math> und <math> r > 0 </math> auf (siehe auch weitere Schreibweise<ref>John B. Conway: ''Functions of One Complex Variable I'', Second Edition, Springer, S. 4. <math>z = r\, \operatorname{cis}\varphi </math></ref>. === Winkel bzw. Phasenfaktor === Hierbei wird der Faktor <math>\mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}</math> als '''Phasenfaktor''' und der Winkel <math>\varphi </math> auch als ''Argument'' <math>\varphi = \arg(z) </math> der komplexen Zahl (in Polardarstellung) bezeichnet. Hintergrund dieser Darstellung ist die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]], die über die komplexen Zahlen einen fundamentalen Zusammenhang zwischen der natürlichen Exponentialfunktion und den trigonometrischen Funktionen herstellt. Alle oberen Schreibweisen stellen demnach exakt die gleiche komplexe Zahl dar. Es ist zu beachten, dass die komplexe Zahl <math>z=0</math> kein Argument besitzt, weshalb hier keine Darstellung in Polarkoordinaten im oberen Sinne möglich ist. === Umwandlung von Koordinatendarstellung === Eine Umwandlung von kartesischer Form in Polarform ist für die Argumentfunktion <math>\mathbb{arg}(z)</math> nur für <math>z\not= 0</math> eindeutig für <math>\varphi \in (-\pi,+\pi]</math> möglich. == Definition - Argumentfunktion == Sei <math> z\not= 0</math> mittels <math>z = z_1 + z_2\,\mathrm{i} = |z|{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\varphi}</math> und : <math>\varphi = \arg (z_1+z_2\,\mathrm{i}) = \operatorname{arctan2}(z_1,\,z_2) </math> möglich. === Definition von arctan2 === Die Funktion <math>\operatorname{arctan2}</math> ist dabei wie folgt definiert: :<math> \operatorname{arctan2}(z_1,\,z_2) = \begin{cases} \arctan\left(\tfrac{z_2}{z_1}\right) & z_1 > 0 \\ \arctan\left(\tfrac{z_2}{z_1}\right) + \operatorname{sgn}(z_2)\cdot \pi & z_1 < 0 \wedge z_2 \neq 0, \\ -\pi & z_1 < 0 \wedge z_2 = 0\\ \operatorname{sgn}(z_2)\cdot \tfrac{\pi}{2} & z_1 = 0 \wedge z_2 \neq 0\\ \end{cases} </math> === Signum-Funktion - Vorzeichenfunktion === Die Vorzeichenfunktion in der <math>\mathrm{arctan2}</math>-Funktion ist dabei wie folgt definiert: : <math>\sgn(x):= \begin{cases} +1, & \; \text{falls} \quad x>0, \\ \;\;\,0, & \; \text{falls} \quad x=0, \\ -1, & \; \text{falls} \quad x<0. \\ \end{cases} </math> === Argumentfunktion für negativen Logarithmus === [[Zweige des Logarithmus]] besitzen jeweils in Abhängigkeit von dem grundlegenden einfach zusammenhängenden Gebiet <math>G</math> eine eigene Argumentfunktion <math>\mathrm{arg}_{_G}</math> bzw. <math>\mathrm{arg}^\ast_{_G}</math>. Der algebraische vervollständigte [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negative Hauptzweig des Logarithmus]] besitzt eine eigene Argumentfunktion <math>\mathrm{arg}^\ast_{_G}</math>. === Halbwinkelformel === Setzt man <math>\ \varphi = \mathrm{arg}(z)</math>, erhält man für trigonometrischen Funktionen <math>\sin(\varphi) \!=\! \tfrac{z_2}{\sqrt{z_1^2+z_2^2}} = \tfrac{z_2}{|z|}\ </math> und <math>\ \cos(\varphi) \!=\! \tfrac{z_1}{\sqrt{z_1^2+z_2^2}} = \tfrac{z_1}{|z|}</math>, so ist die Gleichheit zur [[w:de:arctan2|arctan2]]-Funktion eine Konsequenz aus der [[w:de:Formelsammlung Trigonometrie#Halbwinkelformeln|Halbwinkelformel]], falls <math>z_2 \neq 0 </math> oder <math> z_1 > 0 </math>. : <math>\tan \left( \frac{\varphi}{2} \right) = \frac{\sin(\varphi)}{1 + \cos(\varphi)} = \frac{\tfrac{z_2}{|z|}}{1+\tfrac{z_1}{|z|}}= \frac{z_2}{|z| + z_1} </math> === Bemerkung - Winkelbereich === Die linke Seite lässt sich im „vollen Winkelbereich des Hauptarguments“ <math>-\pi < \varphi < \pi</math> unter Anwendung des Arkustangens zu <math>\tfrac{\varphi}{2}</math> umformen. Ist hingegen <math>- \tfrac{\pi}{2} < \varphi < \tfrac{\pi}{2}</math>, also <math>z</math> auf der rechten Halbebene, so kann die Gleichung <math>\tan \varphi = \tfrac{b}{a}</math> vereinfachend auch zu <math>\,\varphi = \arg z = \arctan \tfrac{b}{a} </math> aufgelöst werden. == Quellennachweis == <references/> == Siehe auch == * [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] * [[Logarithmus]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] 98w60miq41f3tgrs0eqtzlr8c5sl5bs 1118858 1118857 2026-11-04T12:09:59Z Bert Niehaus 20843 /* Argumentfunktion für negativen Logarithmus */ 1118858 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Es gibt mehrere Möglichkeiten der Darstellung von komplexen Zahlen: * Darstellung in kartesischen Koordinaten <math>(z_1,z_2)\in \mathbb{R}^2</math>, gelegentlich auch ''algebraische Form'' genannt,<ref name="bronstein34">Bronstein, Semendjajew et al., S. 34</ref> als Summe des reellen <math>a</math> und des rein imaginären Anteils <math>b</math> mit folgenden Schreibweisen, also<ref>Eberhard Freitag, Rolf Busam: ''Funktionentheorie 1''. 4. Auflage. Springer, S. 4.</ref> :: <math>z = z_1 + z_2\,\mathrm{i}</math> oder auch <math>z = z_1 + \mathrm{i}\,z_2\ </math>. * Darstellung in [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinaten]] bzw. in '''Polardarstellung''' <math>(r,\varphi)</math> als Produkt des absoluten Betrages <math>r=|z|</math> gedreht um den Winkel <math>\varphi = \mathrm{arg}(z)</math>. === Schreibweisen === Die Polarkoordinatendarstellung hat dabei die folgenden Schreibweisen: * <math>z = r\, \underbrace{\big( \cos(\varphi) + \mathrm{i}\,\sin(\varphi)\big)}_{=e^{i\phi}}</math>, * <math>z = r\; \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi} </math> mit <math>r\geq 0</math>. * <math>z = r\; \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi} = e^{\ln(r)+i\, \varphi} </math> für <math>z\not= 0</math> und <math>r > 0</math>. In der dritten Darstellung tritt im Exponenten der reelle [[Logarithmus]] mit <math>\ln(r)</math> und <math> r > 0 </math> auf (siehe auch weitere Schreibweise<ref>John B. Conway: ''Functions of One Complex Variable I'', Second Edition, Springer, S. 4. <math>z = r\, \operatorname{cis}\varphi </math></ref>. === Winkel bzw. Phasenfaktor === Hierbei wird der Faktor <math>\mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}</math> als '''Phasenfaktor''' und der Winkel <math>\varphi </math> auch als ''Argument'' <math>\varphi = \arg(z) </math> der komplexen Zahl (in Polardarstellung) bezeichnet. Hintergrund dieser Darstellung ist die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]], die über die komplexen Zahlen einen fundamentalen Zusammenhang zwischen der natürlichen Exponentialfunktion und den trigonometrischen Funktionen herstellt. Alle oberen Schreibweisen stellen demnach exakt die gleiche komplexe Zahl dar. Es ist zu beachten, dass die komplexe Zahl <math>z=0</math> kein Argument besitzt, weshalb hier keine Darstellung in Polarkoordinaten im oberen Sinne möglich ist. === Umwandlung von Koordinatendarstellung === Eine Umwandlung von kartesischer Form in Polarform ist für die Argumentfunktion <math>\mathbb{arg}(z)</math> nur für <math>z\not= 0</math> eindeutig für <math>\varphi \in (-\pi,+\pi]</math> möglich. == Definition - Argumentfunktion == Sei <math> z\not= 0</math> mittels <math>z = z_1 + z_2\,\mathrm{i} = |z|{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\varphi}</math> und : <math>\varphi = \arg (z_1+z_2\,\mathrm{i}) = \operatorname{arctan2}(z_1,\,z_2) </math> möglich. === Definition von arctan2 === Die Funktion <math>\operatorname{arctan2}</math> ist dabei wie folgt definiert: :<math> \operatorname{arctan2}(z_1,\,z_2) = \begin{cases} \arctan\left(\tfrac{z_2}{z_1}\right) & z_1 > 0 \\ \arctan\left(\tfrac{z_2}{z_1}\right) + \operatorname{sgn}(z_2)\cdot \pi & z_1 < 0 \wedge z_2 \neq 0, \\ -\pi & z_1 < 0 \wedge z_2 = 0\\ \operatorname{sgn}(z_2)\cdot \tfrac{\pi}{2} & z_1 = 0 \wedge z_2 \neq 0\\ \end{cases} </math> === Signum-Funktion - Vorzeichenfunktion === Die Vorzeichenfunktion in der <math>\mathrm{arctan2}</math>-Funktion ist dabei wie folgt definiert: : <math>\sgn(x):= \begin{cases} +1, & \; \text{falls} \quad x>0, \\ \;\;\,0, & \; \text{falls} \quad x=0, \\ -1, & \; \text{falls} \quad x<0. \\ \end{cases} </math> === Argumentfunktion für negativen Logarithmus === [[Zweige des Logarithmus]] besitzen jeweils in Abhängigkeit von dem grundlegenden einfach zusammenhängenden Gebiet <math>G</math> eine eigene Argumentfunktion <math>\mathrm{arg}_{_G}</math> bzw. <math>\mathrm{arg}^\ast_{_G}</math>. Der algebraisch vervollständigte [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negative Hauptzweig des Logarithmus]] <math>\log^\ast_{_G}</math> besitzt eine eigene Argumentfunktion <math>\mathrm{arg}^\ast_{_G}</math>. === Halbwinkelformel === Setzt man <math>\ \varphi = \mathrm{arg}(z)</math>, erhält man für trigonometrischen Funktionen <math>\sin(\varphi) \!=\! \tfrac{z_2}{\sqrt{z_1^2+z_2^2}} = \tfrac{z_2}{|z|}\ </math> und <math>\ \cos(\varphi) \!=\! \tfrac{z_1}{\sqrt{z_1^2+z_2^2}} = \tfrac{z_1}{|z|}</math>, so ist die Gleichheit zur [[w:de:arctan2|arctan2]]-Funktion eine Konsequenz aus der [[w:de:Formelsammlung Trigonometrie#Halbwinkelformeln|Halbwinkelformel]], falls <math>z_2 \neq 0 </math> oder <math> z_1 > 0 </math>. : <math>\tan \left( \frac{\varphi}{2} \right) = \frac{\sin(\varphi)}{1 + \cos(\varphi)} = \frac{\tfrac{z_2}{|z|}}{1+\tfrac{z_1}{|z|}}= \frac{z_2}{|z| + z_1} </math> === Bemerkung - Winkelbereich === Die linke Seite lässt sich im „vollen Winkelbereich des Hauptarguments“ <math>-\pi < \varphi < \pi</math> unter Anwendung des Arkustangens zu <math>\tfrac{\varphi}{2}</math> umformen. Ist hingegen <math>- \tfrac{\pi}{2} < \varphi < \tfrac{\pi}{2}</math>, also <math>z</math> auf der rechten Halbebene, so kann die Gleichung <math>\tan \varphi = \tfrac{b}{a}</math> vereinfachend auch zu <math>\,\varphi = \arg z = \arctan \tfrac{b}{a} </math> aufgelöst werden. == Quellennachweis == <references/> == Siehe auch == * [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] * [[Logarithmus]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] 6j7imxpeakk0nv75ofl7sqbvvl1rcss 1118859 1118858 2026-11-04T12:12:04Z Bert Niehaus 20843 /* Definition - Argumentfunktion */ 1118859 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Es gibt mehrere Möglichkeiten der Darstellung von komplexen Zahlen: * Darstellung in kartesischen Koordinaten <math>(z_1,z_2)\in \mathbb{R}^2</math>, gelegentlich auch ''algebraische Form'' genannt,<ref name="bronstein34">Bronstein, Semendjajew et al., S. 34</ref> als Summe des reellen <math>a</math> und des rein imaginären Anteils <math>b</math> mit folgenden Schreibweisen, also<ref>Eberhard Freitag, Rolf Busam: ''Funktionentheorie 1''. 4. Auflage. Springer, S. 4.</ref> :: <math>z = z_1 + z_2\,\mathrm{i}</math> oder auch <math>z = z_1 + \mathrm{i}\,z_2\ </math>. * Darstellung in [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinaten]] bzw. in '''Polardarstellung''' <math>(r,\varphi)</math> als Produkt des absoluten Betrages <math>r=|z|</math> gedreht um den Winkel <math>\varphi = \mathrm{arg}(z)</math>. === Schreibweisen === Die Polarkoordinatendarstellung hat dabei die folgenden Schreibweisen: * <math>z = r\, \underbrace{\big( \cos(\varphi) + \mathrm{i}\,\sin(\varphi)\big)}_{=e^{i\phi}}</math>, * <math>z = r\; \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi} </math> mit <math>r\geq 0</math>. * <math>z = r\; \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi} = e^{\ln(r)+i\, \varphi} </math> für <math>z\not= 0</math> und <math>r > 0</math>. In der dritten Darstellung tritt im Exponenten der reelle [[Logarithmus]] mit <math>\ln(r)</math> und <math> r > 0 </math> auf (siehe auch weitere Schreibweise<ref>John B. Conway: ''Functions of One Complex Variable I'', Second Edition, Springer, S. 4. <math>z = r\, \operatorname{cis}\varphi </math></ref>. === Winkel bzw. Phasenfaktor === Hierbei wird der Faktor <math>\mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}</math> als '''Phasenfaktor''' und der Winkel <math>\varphi </math> auch als ''Argument'' <math>\varphi = \arg(z) </math> der komplexen Zahl (in Polardarstellung) bezeichnet. Hintergrund dieser Darstellung ist die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]], die über die komplexen Zahlen einen fundamentalen Zusammenhang zwischen der natürlichen Exponentialfunktion und den trigonometrischen Funktionen herstellt. Alle oberen Schreibweisen stellen demnach exakt die gleiche komplexe Zahl dar. Es ist zu beachten, dass die komplexe Zahl <math>z=0</math> kein Argument besitzt, weshalb hier keine Darstellung in Polarkoordinaten im oberen Sinne möglich ist. === Umwandlung von Koordinatendarstellung === Eine Umwandlung von kartesischer Form in Polarform ist für die Argumentfunktion <math>\mathbb{arg}(z)</math> nur für <math>z\not= 0</math> eindeutig für <math>\varphi \in (-\pi,+\pi]</math> möglich. == Definition - Argumentfunktion == Sei <math> z\not= 0</math> mittels <math>z = z_1 + z_2\,\mathrm{i} = |z|\cdot {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\varphi}</math> und : <math>\varphi = \arg (z_1+z_2\,\mathrm{i}) = \operatorname{arctan2}(z_1,\,z_2) </math> für den [[Hauptzweig des Logarithmus]]. === Definition von arctan2 === Die Funktion <math>\operatorname{arctan2}</math> ist dabei wie folgt definiert: :<math> \operatorname{arctan2}(z_1,\,z_2) = \begin{cases} \arctan\left(\tfrac{z_2}{z_1}\right) & z_1 > 0 \\ \arctan\left(\tfrac{z_2}{z_1}\right) + \operatorname{sgn}(z_2)\cdot \pi & z_1 < 0 \wedge z_2 \neq 0, \\ -\pi & z_1 < 0 \wedge z_2 = 0\\ \operatorname{sgn}(z_2)\cdot \tfrac{\pi}{2} & z_1 = 0 \wedge z_2 \neq 0\\ \end{cases} </math> === Signum-Funktion - Vorzeichenfunktion === Die Vorzeichenfunktion in der <math>\mathrm{arctan2}</math>-Funktion ist dabei wie folgt definiert: : <math>\sgn(x):= \begin{cases} +1, & \; \text{falls} \quad x>0, \\ \;\;\,0, & \; \text{falls} \quad x=0, \\ -1, & \; \text{falls} \quad x<0. \\ \end{cases} </math> === Argumentfunktion für negativen Logarithmus === [[Zweige des Logarithmus]] besitzen jeweils in Abhängigkeit von dem grundlegenden einfach zusammenhängenden Gebiet <math>G</math> eine eigene Argumentfunktion <math>\mathrm{arg}_{_G}</math> bzw. <math>\mathrm{arg}^\ast_{_G}</math>. Der algebraisch vervollständigte [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negative Hauptzweig des Logarithmus]] <math>\log^\ast_{_G}</math> besitzt eine eigene Argumentfunktion <math>\mathrm{arg}^\ast_{_G}</math>. === Halbwinkelformel === Setzt man <math>\ \varphi = \mathrm{arg}(z)</math>, erhält man für trigonometrischen Funktionen <math>\sin(\varphi) \!=\! \tfrac{z_2}{\sqrt{z_1^2+z_2^2}} = \tfrac{z_2}{|z|}\ </math> und <math>\ \cos(\varphi) \!=\! \tfrac{z_1}{\sqrt{z_1^2+z_2^2}} = \tfrac{z_1}{|z|}</math>, so ist die Gleichheit zur [[w:de:arctan2|arctan2]]-Funktion eine Konsequenz aus der [[w:de:Formelsammlung Trigonometrie#Halbwinkelformeln|Halbwinkelformel]], falls <math>z_2 \neq 0 </math> oder <math> z_1 > 0 </math>. : <math>\tan \left( \frac{\varphi}{2} \right) = \frac{\sin(\varphi)}{1 + \cos(\varphi)} = \frac{\tfrac{z_2}{|z|}}{1+\tfrac{z_1}{|z|}}= \frac{z_2}{|z| + z_1} </math> === Bemerkung - Winkelbereich === Die linke Seite lässt sich im „vollen Winkelbereich des Hauptarguments“ <math>-\pi < \varphi < \pi</math> unter Anwendung des Arkustangens zu <math>\tfrac{\varphi}{2}</math> umformen. Ist hingegen <math>- \tfrac{\pi}{2} < \varphi < \tfrac{\pi}{2}</math>, also <math>z</math> auf der rechten Halbebene, so kann die Gleichung <math>\tan \varphi = \tfrac{b}{a}</math> vereinfachend auch zu <math>\,\varphi = \arg z = \arctan \tfrac{b}{a} </math> aufgelöst werden. == Quellennachweis == <references/> == Siehe auch == * [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] * [[Logarithmus]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] 98boy8224myo021t0lxrivo8rfiphxt 1118860 1118859 2026-11-04T12:14:53Z Bert Niehaus 20843 /* Argumentfunktion für negativen Logarithmus */ 1118860 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Es gibt mehrere Möglichkeiten der Darstellung von komplexen Zahlen: * Darstellung in kartesischen Koordinaten <math>(z_1,z_2)\in \mathbb{R}^2</math>, gelegentlich auch ''algebraische Form'' genannt,<ref name="bronstein34">Bronstein, Semendjajew et al., S. 34</ref> als Summe des reellen <math>a</math> und des rein imaginären Anteils <math>b</math> mit folgenden Schreibweisen, also<ref>Eberhard Freitag, Rolf Busam: ''Funktionentheorie 1''. 4. Auflage. Springer, S. 4.</ref> :: <math>z = z_1 + z_2\,\mathrm{i}</math> oder auch <math>z = z_1 + \mathrm{i}\,z_2\ </math>. * Darstellung in [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinaten]] bzw. in '''Polardarstellung''' <math>(r,\varphi)</math> als Produkt des absoluten Betrages <math>r=|z|</math> gedreht um den Winkel <math>\varphi = \mathrm{arg}(z)</math>. === Schreibweisen === Die Polarkoordinatendarstellung hat dabei die folgenden Schreibweisen: * <math>z = r\, \underbrace{\big( \cos(\varphi) + \mathrm{i}\,\sin(\varphi)\big)}_{=e^{i\phi}}</math>, * <math>z = r\; \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi} </math> mit <math>r\geq 0</math>. * <math>z = r\; \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi} = e^{\ln(r)+i\, \varphi} </math> für <math>z\not= 0</math> und <math>r > 0</math>. In der dritten Darstellung tritt im Exponenten der reelle [[Logarithmus]] mit <math>\ln(r)</math> und <math> r > 0 </math> auf (siehe auch weitere Schreibweise<ref>John B. Conway: ''Functions of One Complex Variable I'', Second Edition, Springer, S. 4. <math>z = r\, \operatorname{cis}\varphi </math></ref>. === Winkel bzw. Phasenfaktor === Hierbei wird der Faktor <math>\mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}</math> als '''Phasenfaktor''' und der Winkel <math>\varphi </math> auch als ''Argument'' <math>\varphi = \arg(z) </math> der komplexen Zahl (in Polardarstellung) bezeichnet. Hintergrund dieser Darstellung ist die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]], die über die komplexen Zahlen einen fundamentalen Zusammenhang zwischen der natürlichen Exponentialfunktion und den trigonometrischen Funktionen herstellt. Alle oberen Schreibweisen stellen demnach exakt die gleiche komplexe Zahl dar. Es ist zu beachten, dass die komplexe Zahl <math>z=0</math> kein Argument besitzt, weshalb hier keine Darstellung in Polarkoordinaten im oberen Sinne möglich ist. === Umwandlung von Koordinatendarstellung === Eine Umwandlung von kartesischer Form in Polarform ist für die Argumentfunktion <math>\mathbb{arg}(z)</math> nur für <math>z\not= 0</math> eindeutig für <math>\varphi \in (-\pi,+\pi]</math> möglich. == Definition - Argumentfunktion == Sei <math> z\not= 0</math> mittels <math>z = z_1 + z_2\,\mathrm{i} = |z|\cdot {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\varphi}</math> und : <math>\varphi = \arg (z_1+z_2\,\mathrm{i}) = \operatorname{arctan2}(z_1,\,z_2) </math> für den [[Hauptzweig des Logarithmus]]. === Definition von arctan2 === Die Funktion <math>\operatorname{arctan2}</math> ist dabei wie folgt definiert: :<math> \operatorname{arctan2}(z_1,\,z_2) = \begin{cases} \arctan\left(\tfrac{z_2}{z_1}\right) & z_1 > 0 \\ \arctan\left(\tfrac{z_2}{z_1}\right) + \operatorname{sgn}(z_2)\cdot \pi & z_1 < 0 \wedge z_2 \neq 0, \\ -\pi & z_1 < 0 \wedge z_2 = 0\\ \operatorname{sgn}(z_2)\cdot \tfrac{\pi}{2} & z_1 = 0 \wedge z_2 \neq 0\\ \end{cases} </math> === Signum-Funktion - Vorzeichenfunktion === Die Vorzeichenfunktion in der <math>\mathrm{arctan2}</math>-Funktion ist dabei wie folgt definiert: : <math>\sgn(x):= \begin{cases} +1, & \; \text{falls} \quad x>0, \\ \;\;\,0, & \; \text{falls} \quad x=0, \\ -1, & \; \text{falls} \quad x<0. \\ \end{cases} </math> === Argumentfunktion für negativen Logarithmus === [[Zweige des Logarithmus]] besitzen jeweils in Abhängigkeit von dem grundlegenden einfach zusammenhängenden Gebiet <math>G</math> eine eigene Argumentfunktion <math>\mathrm{arg}_{_G}</math> bzw. <math>\mathrm{arg}^\ast_{_G}</math>. Der algebraisch vervollständigte [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negative Hauptzweig des Logarithmus]] <math>\log^\ast_{_G}</math> besitzt eine eigene Argumentfunktion <math>\mathrm{arg}^\ast_{_G}</math>. :<math> \mathrm{arg}^\ast_{_G}(z_1+i\cdot z_2) := \arctan2(z_1,z_2) + \pi </math> === Halbwinkelformel === Setzt man <math>\ \varphi = \mathrm{arg}(z)</math>, erhält man für trigonometrischen Funktionen <math>\sin(\varphi) \!=\! \tfrac{z_2}{\sqrt{z_1^2+z_2^2}} = \tfrac{z_2}{|z|}\ </math> und <math>\ \cos(\varphi) \!=\! \tfrac{z_1}{\sqrt{z_1^2+z_2^2}} = \tfrac{z_1}{|z|}</math>, so ist die Gleichheit zur [[w:de:arctan2|arctan2]]-Funktion eine Konsequenz aus der [[w:de:Formelsammlung Trigonometrie#Halbwinkelformeln|Halbwinkelformel]], falls <math>z_2 \neq 0 </math> oder <math> z_1 > 0 </math>. : <math>\tan \left( \frac{\varphi}{2} \right) = \frac{\sin(\varphi)}{1 + \cos(\varphi)} = \frac{\tfrac{z_2}{|z|}}{1+\tfrac{z_1}{|z|}}= \frac{z_2}{|z| + z_1} </math> === Bemerkung - Winkelbereich === Die linke Seite lässt sich im „vollen Winkelbereich des Hauptarguments“ <math>-\pi < \varphi < \pi</math> unter Anwendung des Arkustangens zu <math>\tfrac{\varphi}{2}</math> umformen. Ist hingegen <math>- \tfrac{\pi}{2} < \varphi < \tfrac{\pi}{2}</math>, also <math>z</math> auf der rechten Halbebene, so kann die Gleichung <math>\tan \varphi = \tfrac{b}{a}</math> vereinfachend auch zu <math>\,\varphi = \arg z = \arctan \tfrac{b}{a} </math> aufgelöst werden. == Quellennachweis == <references/> == Siehe auch == * [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] * [[Logarithmus]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] mbngrhb0m0cq47d2nm41rqjob0fgpe6 1118861 1118860 2026-11-04T12:15:41Z Bert Niehaus 20843 /* Argumentfunktion für negativen Logarithmus */ 1118861 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Es gibt mehrere Möglichkeiten der Darstellung von komplexen Zahlen: * Darstellung in kartesischen Koordinaten <math>(z_1,z_2)\in \mathbb{R}^2</math>, gelegentlich auch ''algebraische Form'' genannt,<ref name="bronstein34">Bronstein, Semendjajew et al., S. 34</ref> als Summe des reellen <math>a</math> und des rein imaginären Anteils <math>b</math> mit folgenden Schreibweisen, also<ref>Eberhard Freitag, Rolf Busam: ''Funktionentheorie 1''. 4. Auflage. Springer, S. 4.</ref> :: <math>z = z_1 + z_2\,\mathrm{i}</math> oder auch <math>z = z_1 + \mathrm{i}\,z_2\ </math>. * Darstellung in [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinaten]] bzw. in '''Polardarstellung''' <math>(r,\varphi)</math> als Produkt des absoluten Betrages <math>r=|z|</math> gedreht um den Winkel <math>\varphi = \mathrm{arg}(z)</math>. === Schreibweisen === Die Polarkoordinatendarstellung hat dabei die folgenden Schreibweisen: * <math>z = r\, \underbrace{\big( \cos(\varphi) + \mathrm{i}\,\sin(\varphi)\big)}_{=e^{i\phi}}</math>, * <math>z = r\; \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi} </math> mit <math>r\geq 0</math>. * <math>z = r\; \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi} = e^{\ln(r)+i\, \varphi} </math> für <math>z\not= 0</math> und <math>r > 0</math>. In der dritten Darstellung tritt im Exponenten der reelle [[Logarithmus]] mit <math>\ln(r)</math> und <math> r > 0 </math> auf (siehe auch weitere Schreibweise<ref>John B. Conway: ''Functions of One Complex Variable I'', Second Edition, Springer, S. 4. <math>z = r\, \operatorname{cis}\varphi </math></ref>. === Winkel bzw. Phasenfaktor === Hierbei wird der Faktor <math>\mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}</math> als '''Phasenfaktor''' und der Winkel <math>\varphi </math> auch als ''Argument'' <math>\varphi = \arg(z) </math> der komplexen Zahl (in Polardarstellung) bezeichnet. Hintergrund dieser Darstellung ist die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]], die über die komplexen Zahlen einen fundamentalen Zusammenhang zwischen der natürlichen Exponentialfunktion und den trigonometrischen Funktionen herstellt. Alle oberen Schreibweisen stellen demnach exakt die gleiche komplexe Zahl dar. Es ist zu beachten, dass die komplexe Zahl <math>z=0</math> kein Argument besitzt, weshalb hier keine Darstellung in Polarkoordinaten im oberen Sinne möglich ist. === Umwandlung von Koordinatendarstellung === Eine Umwandlung von kartesischer Form in Polarform ist für die Argumentfunktion <math>\mathbb{arg}(z)</math> nur für <math>z\not= 0</math> eindeutig für <math>\varphi \in (-\pi,+\pi]</math> möglich. == Definition - Argumentfunktion == Sei <math> z\not= 0</math> mittels <math>z = z_1 + z_2\,\mathrm{i} = |z|\cdot {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\varphi}</math> und : <math>\varphi = \arg (z_1+z_2\,\mathrm{i}) = \operatorname{arctan2}(z_1,\,z_2) </math> für den [[Hauptzweig des Logarithmus]]. === Definition von arctan2 === Die Funktion <math>\operatorname{arctan2}</math> ist dabei wie folgt definiert: :<math> \operatorname{arctan2}(z_1,\,z_2) = \begin{cases} \arctan\left(\tfrac{z_2}{z_1}\right) & z_1 > 0 \\ \arctan\left(\tfrac{z_2}{z_1}\right) + \operatorname{sgn}(z_2)\cdot \pi & z_1 < 0 \wedge z_2 \neq 0, \\ -\pi & z_1 < 0 \wedge z_2 = 0\\ \operatorname{sgn}(z_2)\cdot \tfrac{\pi}{2} & z_1 = 0 \wedge z_2 \neq 0\\ \end{cases} </math> === Signum-Funktion - Vorzeichenfunktion === Die Vorzeichenfunktion in der <math>\mathrm{arctan2}</math>-Funktion ist dabei wie folgt definiert: : <math>\sgn(x):= \begin{cases} +1, & \; \text{falls} \quad x>0, \\ \;\;\,0, & \; \text{falls} \quad x=0, \\ -1, & \; \text{falls} \quad x<0. \\ \end{cases} </math> === Argumentfunktion für negativen Logarithmus === [[Zweige des Logarithmus]] besitzen jeweils in Abhängigkeit von dem grundlegenden einfach zusammenhängenden Gebiet <math>G</math> eine eigene Argumentfunktion <math>\mathrm{arg}_{_G}</math> bzw. <math>\mathrm{arg}^\ast_{_G}</math>. Der algebraisch vervollständigte [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negative Hauptzweig des Logarithmus]] <math>\log^\ast_{_G}</math> besitzt eine eigene Argumentfunktion <math>\mathrm{arg}^\ast_{_G}</math>. :<math> \mathrm{arg}^\ast_{_G}(z_1+i\cdot z_2) := \arctan2(z_1,z_2) + \pi \in [ 0 , 2\pi ) </math> === Halbwinkelformel === Setzt man <math>\ \varphi = \mathrm{arg}(z)</math>, erhält man für trigonometrischen Funktionen <math>\sin(\varphi) \!=\! \tfrac{z_2}{\sqrt{z_1^2+z_2^2}} = \tfrac{z_2}{|z|}\ </math> und <math>\ \cos(\varphi) \!=\! \tfrac{z_1}{\sqrt{z_1^2+z_2^2}} = \tfrac{z_1}{|z|}</math>, so ist die Gleichheit zur [[w:de:arctan2|arctan2]]-Funktion eine Konsequenz aus der [[w:de:Formelsammlung Trigonometrie#Halbwinkelformeln|Halbwinkelformel]], falls <math>z_2 \neq 0 </math> oder <math> z_1 > 0 </math>. : <math>\tan \left( \frac{\varphi}{2} \right) = \frac{\sin(\varphi)}{1 + \cos(\varphi)} = \frac{\tfrac{z_2}{|z|}}{1+\tfrac{z_1}{|z|}}= \frac{z_2}{|z| + z_1} </math> === Bemerkung - Winkelbereich === Die linke Seite lässt sich im „vollen Winkelbereich des Hauptarguments“ <math>-\pi < \varphi < \pi</math> unter Anwendung des Arkustangens zu <math>\tfrac{\varphi}{2}</math> umformen. Ist hingegen <math>- \tfrac{\pi}{2} < \varphi < \tfrac{\pi}{2}</math>, also <math>z</math> auf der rechten Halbebene, so kann die Gleichung <math>\tan \varphi = \tfrac{b}{a}</math> vereinfachend auch zu <math>\,\varphi = \arg z = \arctan \tfrac{b}{a} </math> aufgelöst werden. == Quellennachweis == <references/> == Siehe auch == * [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] * [[Logarithmus]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] ltffxxseb453y5zbzno0gwr6e85eauu 1118862 1118861 2026-11-04T12:17:15Z Bert Niehaus 20843 /* Argumentfunktion für negativen Logarithmus */ 1118862 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Es gibt mehrere Möglichkeiten der Darstellung von komplexen Zahlen: * Darstellung in kartesischen Koordinaten <math>(z_1,z_2)\in \mathbb{R}^2</math>, gelegentlich auch ''algebraische Form'' genannt,<ref name="bronstein34">Bronstein, Semendjajew et al., S. 34</ref> als Summe des reellen <math>a</math> und des rein imaginären Anteils <math>b</math> mit folgenden Schreibweisen, also<ref>Eberhard Freitag, Rolf Busam: ''Funktionentheorie 1''. 4. Auflage. Springer, S. 4.</ref> :: <math>z = z_1 + z_2\,\mathrm{i}</math> oder auch <math>z = z_1 + \mathrm{i}\,z_2\ </math>. * Darstellung in [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinaten]] bzw. in '''Polardarstellung''' <math>(r,\varphi)</math> als Produkt des absoluten Betrages <math>r=|z|</math> gedreht um den Winkel <math>\varphi = \mathrm{arg}(z)</math>. === Schreibweisen === Die Polarkoordinatendarstellung hat dabei die folgenden Schreibweisen: * <math>z = r\, \underbrace{\big( \cos(\varphi) + \mathrm{i}\,\sin(\varphi)\big)}_{=e^{i\phi}}</math>, * <math>z = r\; \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi} </math> mit <math>r\geq 0</math>. * <math>z = r\; \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi} = e^{\ln(r)+i\, \varphi} </math> für <math>z\not= 0</math> und <math>r > 0</math>. In der dritten Darstellung tritt im Exponenten der reelle [[Logarithmus]] mit <math>\ln(r)</math> und <math> r > 0 </math> auf (siehe auch weitere Schreibweise<ref>John B. Conway: ''Functions of One Complex Variable I'', Second Edition, Springer, S. 4. <math>z = r\, \operatorname{cis}\varphi </math></ref>. === Winkel bzw. Phasenfaktor === Hierbei wird der Faktor <math>\mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}</math> als '''Phasenfaktor''' und der Winkel <math>\varphi </math> auch als ''Argument'' <math>\varphi = \arg(z) </math> der komplexen Zahl (in Polardarstellung) bezeichnet. Hintergrund dieser Darstellung ist die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]], die über die komplexen Zahlen einen fundamentalen Zusammenhang zwischen der natürlichen Exponentialfunktion und den trigonometrischen Funktionen herstellt. Alle oberen Schreibweisen stellen demnach exakt die gleiche komplexe Zahl dar. Es ist zu beachten, dass die komplexe Zahl <math>z=0</math> kein Argument besitzt, weshalb hier keine Darstellung in Polarkoordinaten im oberen Sinne möglich ist. === Umwandlung von Koordinatendarstellung === Eine Umwandlung von kartesischer Form in Polarform ist für die Argumentfunktion <math>\mathbb{arg}(z)</math> nur für <math>z\not= 0</math> eindeutig für <math>\varphi \in (-\pi,+\pi]</math> möglich. == Definition - Argumentfunktion == Sei <math> z\not= 0</math> mittels <math>z = z_1 + z_2\,\mathrm{i} = |z|\cdot {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\varphi}</math> und : <math>\varphi = \arg (z_1+z_2\,\mathrm{i}) = \operatorname{arctan2}(z_1,\,z_2) </math> für den [[Hauptzweig des Logarithmus]]. === Definition von arctan2 === Die Funktion <math>\operatorname{arctan2}</math> ist dabei wie folgt definiert: :<math> \operatorname{arctan2}(z_1,\,z_2) = \begin{cases} \arctan\left(\tfrac{z_2}{z_1}\right) & z_1 > 0 \\ \arctan\left(\tfrac{z_2}{z_1}\right) + \operatorname{sgn}(z_2)\cdot \pi & z_1 < 0 \wedge z_2 \neq 0, \\ -\pi & z_1 < 0 \wedge z_2 = 0\\ \operatorname{sgn}(z_2)\cdot \tfrac{\pi}{2} & z_1 = 0 \wedge z_2 \neq 0\\ \end{cases} </math> === Signum-Funktion - Vorzeichenfunktion === Die Vorzeichenfunktion in der <math>\mathrm{arctan2}</math>-Funktion ist dabei wie folgt definiert: : <math>\sgn(x):= \begin{cases} +1, & \; \text{falls} \quad x>0, \\ \;\;\,0, & \; \text{falls} \quad x=0, \\ -1, & \; \text{falls} \quad x<0. \\ \end{cases} </math> === Argumentfunktion für negativen Logarithmus === [[Zweige des Logarithmus]] besitzen jeweils in Abhängigkeit von dem grundlegenden einfach zusammenhängenden Gebiet <math>G</math> eine eigene Argumentfunktion <math>\mathrm{arg}_{_G}</math> bzw. <math>\mathrm{arg}^\ast_{_G}</math>. Der algebraisch vervollständigte [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negative Hauptzweig des Logarithmus]] <math>\log^\ast_{_G}</math> besitzt eine eigene Argumentfunktion <math>\mathrm{arg}^\ast_{_G}</math>. :<math> \mathrm{arg}^\ast_{_G}(z_1+i\cdot z_2) \ := \ \arctan2(z_1,z_2) + \pi \ \in \ [ 0 , 2\pi ) </math> === Halbwinkelformel === Setzt man <math>\ \varphi = \mathrm{arg}(z)</math>, erhält man für trigonometrischen Funktionen <math>\sin(\varphi) \!=\! \tfrac{z_2}{\sqrt{z_1^2+z_2^2}} = \tfrac{z_2}{|z|}\ </math> und <math>\ \cos(\varphi) \!=\! \tfrac{z_1}{\sqrt{z_1^2+z_2^2}} = \tfrac{z_1}{|z|}</math>, so ist die Gleichheit zur [[w:de:arctan2|arctan2]]-Funktion eine Konsequenz aus der [[w:de:Formelsammlung Trigonometrie#Halbwinkelformeln|Halbwinkelformel]], falls <math>z_2 \neq 0 </math> oder <math> z_1 > 0 </math>. : <math>\tan \left( \frac{\varphi}{2} \right) = \frac{\sin(\varphi)}{1 + \cos(\varphi)} = \frac{\tfrac{z_2}{|z|}}{1+\tfrac{z_1}{|z|}}= \frac{z_2}{|z| + z_1} </math> === Bemerkung - Winkelbereich === Die linke Seite lässt sich im „vollen Winkelbereich des Hauptarguments“ <math>-\pi < \varphi < \pi</math> unter Anwendung des Arkustangens zu <math>\tfrac{\varphi}{2}</math> umformen. Ist hingegen <math>- \tfrac{\pi}{2} < \varphi < \tfrac{\pi}{2}</math>, also <math>z</math> auf der rechten Halbebene, so kann die Gleichung <math>\tan \varphi = \tfrac{b}{a}</math> vereinfachend auch zu <math>\,\varphi = \arg z = \arctan \tfrac{b}{a} </math> aufgelöst werden. == Quellennachweis == <references/> == Siehe auch == * [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] * [[Logarithmus]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] kwzbattwknw9pgzqrbdo2aetkfr1hwm 106 173036 1118929 1118740 2026-11-05T11:16:17Z Paul Sutermeister 37610 /* Stufe 4: Aussagen zuordnen */ 1118929 wikitext text/x-wiki __NOTOC__ = Lernquiz: [[:w:Teambildung#Phasenmodell_nach_Tuckman|Teamphasen nach Tuckman]] = Teams funktionieren nicht vom ersten Tag an perfekt. Sie entwickeln sich in typischen Phasen. In diesem Lernquiz erarbeiten Sie das Modell von Bruce Tuckman Schritt für Schritt: von den Grundlagen über die einzelnen Phasen bis zur Anwendung auf konkrete Situationen. '''So gehen Sie vor:''' Lesen Sie zuerst jeweils den kurzen Info-Teil, beantworten Sie dann die Fragen und klicken Sie auf «Antworten absenden». Zu vielen Antworten erhalten Sie eine Rückmeldung. == Stufe 1: Das Modell kennenlernen == {| class="wikitable" style="width:100%" |- | '''Info:''' Der amerikanische Psychologe '''Bruce Tuckman''' beschrieb 1965, dass Gruppen typischerweise vier Phasen durchlaufen: '''Forming, Storming, Norming und Performing'''. 1977 ergänzte er das Modell zusammen mit Mary Ann Jensen um eine fünfte Phase: '''Adjourning''' (Auflösung). Die Phasen folgen meist aufeinander, ein Team kann aber auch in eine frühere Phase zurückfallen, zum Beispiel wenn jemand Neues dazukommt. |} <quiz display=simple> { Wer hat das Modell der Teamphasen entwickelt? | type="()" } - Abraham Maslow || Maslow kennen Sie von der Bedürfnispyramide. + Bruce Tuckman || Richtig! Er veröffentlichte das Modell 1965. - Friedemann Schulz von Thun || Von ihm stammt das Kommunikationsquadrat (Vier-Ohren-Modell). { Wie viele Phasen umfasst das Modell in der erweiterten Fassung von 1977? | type="()" } - 3 - 4 || Das war die ursprüngliche Fassung von 1965. + 5 || Richtig! Adjourning kam 1977 als fünfte Phase dazu. { Welche Aussagen treffen auf das Modell zu? (Mehrere Antworten möglich) | type="[]" } + Teams durchlaufen typischerweise verschiedene Entwicklungsphasen. - Ein gutes Team überspringt die Konfliktphase immer. || Konflikte gehören zur normalen Entwicklung eines Teams. + Ein Team kann in eine frühere Phase zurückfallen. || Zum Beispiel bei neuen Mitgliedern oder einer neuen Aufgabe. - Das Modell gilt nur für Sportmannschaften. || Es gilt für alle Arten von Gruppen: Projektteams, Schulklassen, Abteilungen usw. </quiz> == Stufe 2: Die Reihenfolge == {| class="wikitable" style="width:100%" |- | '''Merkhilfe:''' Die vier ersten Phasen reimen sich auf «-orming»: '''Form – Storm – Norm – Perform'''. Am Schluss folgt '''Adjourning'''. |} <quiz display=simple> { Ordnen Sie jeder Phase die richtige Position zu. | type="[][][][][]" } | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 ---+- Performing -+--- Storming +---- Forming ----+ Adjourning --+-- Norming { Ergänzen Sie die Lücken. | type="{}" } Die erste Phase heisst { Forming|forming _10 }. Nach der Konfliktphase folgt die Phase { Norming|norming _10 }. Die Phase der Auflösung heisst { Adjourning|adjourning _10 }. </quiz> == Stufe 3: Die Phasen im Detail == {| class="wikitable" style="width:100%" ! Phase !! Deutsch !! Was passiert im Team? |- | '''Forming''' || Orientierung, Kennenlernen || Man ist höflich und vorsichtig, beobachtet sich gegenseitig. Ziele und Rollen sind noch unklar. Man orientiert sich stark an der Leitung. |- | '''Storming''' || Konflikt, Machtkampf || Unterschiedliche Meinungen und Arbeitsweisen prallen aufeinander. Es gibt Diskussionen über Rollen, Ziele und Einfluss. Die Stimmung kann angespannt sein. |- | '''Norming''' || Organisation, Regeln || Das Team einigt sich auf Regeln, Rollen und Arbeitsweisen. Ein Wir-Gefühl entsteht, man unterstützt sich gegenseitig. |- | '''Performing''' || Leistung, Arbeit || Das Team arbeitet selbstständig, effizient und zielorientiert. Konflikte werden sachlich gelöst. |- | '''Adjourning''' || Auflösung, Abschied || Die Aufgabe ist erledigt, das Team löst sich auf. Es wird Bilanz gezogen; manchmal herrscht Wehmut. |} <quiz display=simple> { In welcher Phase sind die Teammitglieder höflich, vorsichtig und noch unsicher? | type="()" } + Forming || Richtig! Man lernt sich erst kennen. - Storming - Norming - Performing { In welcher Phase entstehen gemeinsame Regeln und ein Wir-Gefühl? | type="()" } - Forming - Storming || In dieser Phase wird noch um Regeln und Rollen gestritten. + Norming || Richtig! - Adjourning { Welche Merkmale passen zur Storming-Phase? (Mehrere Antworten möglich) | type="[]" } + Diskussionen über Rollen und Zuständigkeiten + Spannungen und Meinungsverschiedenheiten - Das Team arbeitet reibungslos und selbstständig. || Das beschreibt die Performing-Phase. + Einzelne versuchen, ihren Einfluss durchzusetzen. - Das Team zieht Bilanz und verabschiedet sich. || Das passiert in der Adjourning-Phase. { Was kennzeichnet die Performing-Phase? (Mehrere Antworten möglich) | type="[]" } + Hohe Leistung und Zielorientierung + Konflikte werden sachlich und konstruktiv gelöst. - Die Rollen sind noch völlig unklar. || Das ist typisch für Forming. + Das Team braucht wenig Steuerung von aussen. </quiz> == Stufe 4: Aussagen zuordnen == Jetzt wird es etwas anspruchsvoller: Typische Aussagen von Teammitgliedern verraten, in welcher Phase sich ein Team befindet. <quiz display=simple> { Ordnen Sie jede Aussage der passenden Phase zu. | typ="[]" } | Forming | Storming | Norming | Performing | Adjourning -+--- «Warum sollen wir es immer so machen, wie du willst?» +---- «Hallo zusammen, ich bin neu hier. Was ist eigentlich genau unsere Aufgabe?» ---+- «Läuft super – ich übernehme die Auswertung, ihr macht die Präsentation fertig.» --+-- «Schlagen wir doch vor: Jeden Montag ein kurzes Update, und Entscheide treffen wir gemeinsam.» ----+ «Schade, dass das Projekt vorbei ist. Was nehmen wir für das nächste Mal mit?» -+--- «So kann ich nicht arbeiten, die Aufteilung ist total unfair!» --+-- «Ich finde es gut, dass wir uns jetzt besser absprechen.» </quiz> == Stufe 5: Fallbeispiele == Lesen Sie die Situationen genau und bestimmen Sie die Phase. <quiz display=simple> { '''Fall A:''' In einem Lehrbetrieb wird eine neue Projektgruppe für die Organisation des Firmenjubiläums gebildet. Beim ersten Treffen stellen sich alle vor und fragen die Projektleiterin, was genau von ihnen erwartet wird. In welcher Phase ist das Team? | type="()" } + Forming || Richtig! Kennenlernen und Orientierung an der Leitung. - Storming - Norming - Performing { '''Fall B:''' Zwei Wochen später: Sandra möchte das Fest elegant gestalten, Marco will ein lockeres Grillfest. Die Diskussionen werden lauter, und Lea zieht sich zurück. In welcher Phase ist das Team? | type="()" } - Forming + Storming || Richtig! Unterschiedliche Vorstellungen prallen aufeinander. - Norming - Adjourning { '''Fall C:''' Nach einem klärenden Gespräch einigt sich das Team auf einen Kompromiss. Es legt Zuständigkeiten fest und vereinbart, Entscheide gemeinsam zu treffen. In welcher Phase ist das Team? | type="()" } - Storming + Norming || Richtig! Regeln und Rollen werden festgelegt. - Performing - Adjourning { '''Fall D:''' Das Team ist gut eingespielt und arbeitet effizient. Nun kommt ein neues Mitglied dazu, das vieles anders machen möchte. Plötzlich gibt es wieder Diskussionen. Was ist passiert? | type="()" } - Das Team hat versagt und muss aufgelöst werden. || Nein – das ist ein ganz normaler Vorgang. + Das Team ist in eine frühere Phase (Storming) zurückgefallen. || Richtig! Veränderungen in der Zusammensetzung können das Team in frühere Phasen zurückwerfen. - Das Team ist direkt in die Adjourning-Phase gewechselt. </quiz> == Stufe 6: Was braucht das Team? == Je nach Phase braucht ein Team unterschiedliche Unterstützung durch die Leitung oder durch die Teammitglieder selbst. <quiz display=simple> { Was hilft dem Team in der Forming-Phase am meisten? | type="()" } + Klare Ziele, Orientierung und Gelegenheit zum Kennenlernen || Richtig! Das schafft Sicherheit. - Möglichst wenig Kommunikation, damit alle sofort arbeiten - Die Leitung zieht sich komplett zurück. || Dafür ist es noch zu früh – das passt eher zu Performing. { Wie geht man in der Storming-Phase am besten mit Konflikten um? | type="()" } - Konflikte ignorieren, dann verschwinden sie von selbst. || Unausgesprochene Konflikte schwelen weiter und blockieren das Team. + Konflikte offen und sachlich ansprechen, verschiedene Sichtweisen anhören || Richtig! So kann das Team in die Norming-Phase übergehen. - Die lauteste Person entscheiden lassen { Welche Massnahmen passen zur Norming-Phase? (Mehrere Antworten möglich) | type="[]" } + Gemeinsame Regeln schriftlich festhalten + Rollen und Zuständigkeiten klären - Das Team auflösen + Positive Entwicklungen anerkennen </quiz> == Stufe 7: Zusammenfassung == Testen Sie zum Abschluss, ob Sie das ganze Modell im Griff haben. <quiz display=simple> { Ergänzen Sie den Text. | type="{}" } Das Modell der Teamphasen stammt von Bruce { Tuckman|tuckman _8 }. In der ersten Phase, dem { Forming|forming _8 }, lernen sich die Mitglieder kennen. Danach kommt es im { Storming|storming _8 } zu Konflikten. Im { Norming|norming _8 } werden Regeln und Rollen festgelegt. Im { Performing|performing _10 } erbringt das Team seine beste Leistung. Ist die Aufgabe erledigt, löst sich das Team im { Adjourning|adjourning _10 } auf. { Welche Aussage fasst das Modell am besten zusammen? | type="()" } - Ein Team ist von Anfang an leistungsfähig, wenn die Mitglieder gut ausgebildet sind. - Konflikte zeigen, dass ein Team schlecht zusammengesetzt ist. + Teams entwickeln sich in Phasen; Konflikte gehören dazu und sind ein Schritt auf dem Weg zur Leistungsfähigkeit. || Genau! Das ist die Kernaussage von Tuckman. </quiz> = Weiteres Quiz = <quiz display="simple"> { [[:w:Teambildung#Phasenmodell_nach_Tuckman|Wie entwickelt sich ein Team?]] Ordne zu: | typ="[]" } | Forming | Storming | Norming | Performing --+- Kontrakt +--- Kontakt ---+ Kooperation -+-- Konflikt </quiz> <quiz display="simple"> { Wie entwickelt sich ein Team? | type="{}" } Beim { Performing } arbeitet das Team effektiv und produktiv zusammen. Die Mitglieder haben ihre Rollen gefunden, kommunizieren gut miteinander und arbeiten gemeinsam an der Erreichung der Teamziele. Beim { Norming } beginnen die Teammitglieder, sich auf gemeinsame Ziele und Arbeitsweisen zu einigen. Es werden Normen und Regeln für die Zusammenarbeit entwickelt, und Konflikte werden oft gelöst oder zumindest besser verwaltet. Beim { Storming } können Konflikte und Meinungsverschiedenheiten auftreten, da Teammitglieder ihre unterschiedlichen Ansichten und Persönlichkeiten besser verstehen. Es kann zu Machtkämpfen und Unsicherheiten kommen, während das Team versucht, sich zu organisieren. Beim { Forming } kommen die Teammitglieder erstmals zusammen. Sie sind in der Regel höflich, hören einander zu und versuchen, sich kennenzulernen. Die Rollen und Verantwortlichkeiten im Team sind oft noch nicht klar definiert. </quiz> [[Kategorie:Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)]] cnud4binccwmb6j40jvvl5188ibe2mv 106 173212 1118887 1117245 2026-11-05T07:11:11Z Paul Sutermeister 37610 1118887 wikitext text/x-wiki '''Betriebliche Veränderungsprozesse mitgestalten''' ist Handlungskompetenz [[Kurs:Kaufleute EFZ/Interagieren in einem vernetzten Arbeitsumfeld|B]]5 der [[Kurs:Kaufleute EFZ|Ausbildung ''Kaufleute EFZ'']].<ref>[[:w:Staatssekretariat für Bildung, Forschung und Innovation (SBFI)|SBFI]]: ''[https://www.becc.admin.ch/becc/public/bvz/beruf/show/68800 Kauffrau/Kaufmann EFZ (ab Lehrbeginn 2023)]</ref> <quiz display="simple"> { Ordne die Leistungsziele zu: | typ="()" } | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Unternehmensbezogene Veränderungsprozesse|B5.1]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Aktuelle Entwicklungen in Wirtschaft und Gesellschaft|B5.2]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Betriebliche Massnahmen, Aufgaben, Verfahren oder Arbeitsweisen umsetzen|B5.3]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Persönlicher Umgang mit Veränderungen|B5.4]] +--- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Unternehmensbezogene Veränderungsprozesse|Sie erläutern grundlegende Ursachen, Merkmale und Auswirkungen von unternehmensbezogenen Veränderungsprozessen.]] -+-- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Aktuelle Entwicklungen in Wirtschaft und Gesellschaft|Sie recherchieren aktuelle Entwicklungen im wirtschaftlichen und gesellschaftlichen Bereich und reflektieren Auswirkungen auf Betrieb und Arbeitsbereich.]] Usw… --+- ([[Kurs:Kaufleute EFZ/Betriebliche Massnahmen, Aufgaben, Verfahren oder Arbeitsweisen umsetzen|Sie setzen neue betriebliche Massnahmen, Aufgaben, Verfahren oder Arbeitsweisen entsprechend den Vorgaben der vorgesetzten Stellen um.]] Betriebliches Leistungsziel) ---+ [[Kurs:Kaufleute EFZ/Persönlicher Umgang mit Veränderungen|Sie reflektieren charakteristische Vorgehensweisen im persönlichen Umgang mit Veränderungen in einem Betrieb.]] </quiz> __NOTOC__ = Betriebliche Veränderungsprozesse mitgestalten (Handlungskompetenz b5) = {| class="wikitable" style="width:100%; background:#f5f9ff;" |- | '''Worum geht es?''' Laut Bildungsplan Kaufleute EFZ (Handlungskompetenz b5) gilt: ''«Die Kaufleute informieren sich über betriebliche Veränderungsprozesse und deren Bedeutung für ihren Tätigkeitsbereich. Sie analysieren die Auswirkungen auf ihren Arbeitsbereich, unterbreiten Ideen zur Umsetzung und setzen Veränderungen nach Vorgaben der vorgesetzten Person um.»'' '''So arbeiten Sie mit dieser Seite:''' Sie brauchen kein Vorwissen. Lesen Sie zuerst jeweils den kurzen Erklärtext und lösen Sie dann die Fragen dazu. Die Schritte bauen aufeinander auf. Klicken Sie am Ende jedes Quiz auf «Antworten überprüfen» und lesen Sie die Rückmeldungen. |} == Schritt 1: Was ist eine betriebliche Veränderung? == Ein Betrieb bleibt nie gleich. Immer wieder ändert sich etwas: Es kommt eine neue Software, ein Ablauf wird neu organisiert, eine Abteilung zieht um oder das Unternehmen bietet ein neues Produkt an. Eine '''betriebliche Veränderung''' ist also jede Neuerung, die die Arbeit, die Abläufe, die Strukturen oder die Zusammenarbeit in einem Unternehmen verändert. Ein '''Veränderungsprozess''' ist der ganze Weg vom bisherigen Zustand («so war es») zum neuen Zustand («so ist es jetzt»). Ein Prozess braucht Zeit – Veränderungen passieren selten von heute auf morgen. Wichtig: Veränderungen sind im Berufsleben '''normal'''. Wer im Büro arbeitet, erlebt sie regelmässig. <quiz display=simple> {Was versteht man unter einer betrieblichen Veränderung? |type="()"} - Eine Änderung im Privatleben einer Mitarbeiterin. || Nein. Es geht um Neuerungen im Unternehmen, nicht im Privatleben. + Eine Neuerung, die Arbeit, Abläufe, Strukturen oder Zusammenarbeit im Unternehmen verändert. || Richtig! Das ist die Grundidee. - Ein Fehler, der im Betrieb passiert ist. || Nein. Eine Veränderung ist kein Fehler, sondern eine Neuerung. {Welche der folgenden Beispiele sind betriebliche Veränderungen? (Mehrere Antworten möglich) |type="[]"} + Die Firma führt ein neues Buchhaltungsprogramm ein. || Richtig – eine technologische Veränderung. + Rechnungen werden neu nur noch digital statt auf Papier verschickt. || Richtig – ein Arbeitsablauf ändert sich. + Zwei Abteilungen werden zu einer zusammengelegt. || Richtig – die Organisation ändert sich. - Sie trinken in der Pause lieber Tee statt Kaffee. || Das ist eine persönliche Gewohnheit, keine betriebliche Veränderung. + Das Unternehmen erlaubt neu Homeoffice an zwei Tagen pro Woche. || Richtig – die Arbeitsweise ändert sich. {Was bedeutet «Veränderungsprozess»? |type="()"} - Ein einzelner Moment, in dem alles sofort neu ist. || Nein. Veränderungen brauchen in der Regel Zeit. + Der ganze Weg vom bisherigen Zustand zum neuen Zustand. || Genau! Darum spricht man von einem «Prozess». - Ein Gerichtsverfahren gegen das Unternehmen. || Nein, «Prozess» bedeutet hier «Ablauf», nicht Gerichtsverfahren. {Ergänzen Sie den Satz: |type="{}"} Veränderungen sind im Berufsleben { normal|Normal|üblich|Üblich|alltäglich|Alltäglich _12 } und kommen regelmässig vor. </quiz> == Schritt 2: Warum verändern sich Unternehmen? (Ursachen) == Unternehmen verändern sich nicht ohne Grund. Man unterscheidet zwei Arten von Ursachen: {| class="wikitable" ! Externe Ursachen (von aussen) ! Interne Ursachen (von innen) |- | * '''Digitalisierung''' und neue Technologien (z. B. künstliche Intelligenz, Cloud) * '''Kundschaft''' hat neue Wünsche (z. B. Onlinebestellung, schnelle Lieferung) * '''Konkurrenz''' wird stärker oder günstiger * neue '''Gesetze''' und Vorschriften (z. B. Datenschutz) * '''Gesellschaft''' und Umwelt (z. B. Nachhaltigkeit, Fachkräftemangel) * '''Wirtschaftslage''' (z. B. Krise, Teuerung) | * neue '''Strategie''' oder neue Ziele * '''Wachstum''' (mehr Aufträge, mehr Personal) * '''Kostendruck''' – das Unternehmen muss sparen * '''Probleme''' in Abläufen (z. B. zu viele Fehler, zu langsam) * neue '''Führung''' oder Fusion mit einer anderen Firma * '''Ideen''' von Mitarbeitenden |} Oft hängen externe und interne Ursachen zusammen: Weil die Konkurrenz günstiger wird (extern), entscheidet die Geschäftsleitung, Kosten zu sparen (intern). <quiz display=simple> {Was ist eine '''externe''' Ursache für eine Veränderung? |type="()"} - Die Geschäftsleitung beschliesst eine neue Strategie. || Das ist intern – der Entscheid kommt aus dem Unternehmen selbst. + Ein neues Datenschutzgesetz tritt in Kraft. || Richtig! Das Gesetz kommt von aussen und das Unternehmen muss sich anpassen. - Ein Team hat zu viele Fehler in der Rechnungsstellung. || Das ist ein internes Problem. {Ordnen Sie zu: Welche Ursachen sind '''intern'''? (Mehrere Antworten möglich) |type="[]"} + Das Unternehmen wächst und stellt 20 neue Leute ein. || Richtig – Wachstum ist eine interne Ursache. - Die Kundschaft möchte vermehrt online bestellen. || Das ist extern: Die Wünsche der Kundschaft kommen von aussen. + Ein neuer CEO möchte die Abteilungen neu organisieren. || Richtig – neue Führung ist eine interne Ursache. - Die Strompreise steigen stark. || Das ist extern: Die Wirtschaftslage kommt von aussen. + Eine Mitarbeiterin schlägt einen einfacheren Ablauf vor. || Richtig – Ideen von Mitarbeitenden sind intern. {Ein Reisebüro merkt, dass immer mehr Kundinnen und Kunden ihre Ferien selbst im Internet buchen. Welche Ursache steckt dahinter? |type="()"} + Digitalisierung und veränderte Kundenwünsche (extern) || Genau. Das Reisebüro muss darauf reagieren, z. B. mit eigenen Online-Angeboten oder spezieller Beratung. - Kostendruck (intern) || Kostendruck kann eine Folge sein, die eigentliche Ursache liegt aber ausserhalb des Unternehmens. - Ein neues Gesetz || Hier ist kein Gesetz im Spiel. {Ergänzen Sie: |type="{}"} Ursachen, die von ausserhalb des Unternehmens kommen, nennt man { extern|externe|Extern|Externe _10 } Ursachen. Ursachen aus dem Unternehmen selbst nennt man { intern|interne|Intern|Interne _10 } Ursachen. </quiz> == Schritt 3: Welche Arten von Veränderungen gibt es? (Merkmale) == Veränderungen lassen sich danach unterscheiden, '''was''' sich verändert: * '''Organisatorische Veränderung:''' Strukturen oder Abläufe ändern sich (z. B. neues Organigramm, neue Zuständigkeiten, neuer Ablauf für Bestellungen). * '''Technologische Veränderung:''' neue Software, neue Geräte, Digitalisierung von Abläufen. * '''Personelle Veränderung:''' neue Vorgesetzte, neue Teammitglieder, Stellenabbau, neue Rollen. * '''Kulturelle Veränderung:''' die Art, wie man zusammenarbeitet, ändert sich (z. B. mehr Eigenverantwortung, Duzen statt Siezen, Homeoffice). Und danach, '''wie stark''' sich etwas verändert: * '''Kleine, schrittweise Veränderungen''' (laufende Verbesserung): Man verbessert Schritt für Schritt, z. B. eine Vorlage wird angepasst. Man nennt das auch '''kontinuierlicher Verbesserungsprozess (KVP)'''. * '''Grosse, grundlegende Veränderungen''' (Umbruch): Vieles ändert sich auf einmal, z. B. eine Fusion oder ein komplett neues Geschäftsmodell. <quiz display=simple> {Ihre Firma führt ein neues CRM-Programm zur Verwaltung der Kundendaten ein. Welche Art von Veränderung ist das hauptsächlich? |type="()"} - personell || Nein, es geht nicht um Personen, sondern um ein Programm. + technologisch || Richtig! Eine neue Software ist eine technologische Veränderung. - kulturell || Nicht in erster Linie – es geht um ein neues Werkzeug. {Die Abteilungen «Einkauf» und «Lager» werden zusammengelegt und haben neu eine gemeinsame Leitung. Welche Art ist das? |type="()"} + organisatorisch (mit personellen Folgen) || Genau. Die Struktur ändert sich – und damit auch, wer wem unterstellt ist. - technologisch || Nein, hier geht es nicht um Technik. - schrittweise Verbesserung einer Vorlage || Nein, das ist eine grössere Veränderung der Struktur. {Welche Beispiele sind '''kleine, schrittweise''' Veränderungen? (Mehrere Antworten möglich) |type="[]"} + Die E-Mail-Vorlage für Offerten wird verbessert. || Richtig – eine kleine Verbesserung. - Die Firma wird von einem ausländischen Konzern übernommen. || Das ist eine grosse, grundlegende Veränderung. + Im Team wird vereinbart, Ablagen neu nach Datum zu benennen. || Richtig – eine kleine Verbesserung im Alltag. - Das Unternehmen gibt sein bisheriges Hauptprodukt auf. || Das ist ein Umbruch, also eine grosse Veränderung. {Ergänzen Sie die Abkürzung: |type="{}"} Laufende, kleine Verbesserungen nennt man «kontinuierlicher Verbesserungsprozess», abgekürzt { KVP|kvp _5 }. </quiz> == Schritt 4: Was bedeutet eine Veränderung für meine Arbeit? (Auswirkungen) == Jede Veränderung hat '''Auswirkungen''' – auf das Unternehmen, auf das Team und auf die eigene Arbeit. Als Kauffrau oder Kaufmann fragen Sie sich: # '''Was ändert sich konkret an meinen Aufgaben?''' (z. B. neue Arbeitsschritte, andere Programme) # '''Was muss ich neu lernen?''' (z. B. Schulung für die neue Software) # '''Mit wem arbeite ich neu zusammen?''' (z. B. neue Ansprechpersonen) # '''Welche Chancen und welche Risiken gibt es?''' Fast jede Veränderung hat '''Chancen''' (z. B. weniger Routinearbeit, neue Fähigkeiten, effizientere Abläufe) und '''Risiken''' (z. B. Mehraufwand in der Einführungsphase, Fehler am Anfang, Unsicherheit, Wegfall von Aufgaben). '''Beispiel:''' Eingangsrechnungen werden neu automatisch eingelesen (Scan-Software statt Abtippen). * Chance: Weniger Tipparbeit, weniger Tippfehler, mehr Zeit für Kontrolle und Kundenkontakt. * Risiko: Am Anfang braucht es Zeit, um das System zu lernen; das System liest vielleicht nicht alles korrekt – man muss gut kontrollieren. <quiz display=simple> {Welche Frage hilft Ihnen am besten, die Auswirkungen einer Veränderung auf Ihren Arbeitsbereich zu analysieren? |type="()"} - «Wer ist schuld daran, dass sich alles ändert?» || Diese Frage hilft nicht weiter. Es geht darum zu verstehen, was sich ändert. + «Was ändert sich konkret an meinen Aufgaben und was muss ich neu lernen?» || Genau! So erkennen Sie die Auswirkungen auf Ihre Arbeit. - «Wie kann ich die Veränderung verhindern?» || Das ist nicht das Ziel. Sie sollen Veränderungen verstehen und mitgestalten. {Ihr Betrieb stellt von Papierakten auf ein digitales Archiv um. Welche Aussagen sind '''Chancen'''? (Mehrere Antworten möglich) |type="[]"} + Dokumente lassen sich schneller finden. || Richtig – eine klare Chance. + Man kann auch im Homeoffice auf die Dokumente zugreifen. || Richtig – mehr Flexibilität. - In den ersten Wochen dauert das Ablegen länger, weil alle das System lernen müssen. || Das ist ein Risiko bzw. ein Nachteil in der Einführungsphase. + Es braucht weniger Platz für Ordner und Archivschränke. || Richtig – eine Chance. {Welche Aussage ist ein '''Risiko''' derselben Umstellung? |type="()"} - Dokumente sind schneller auffindbar. || Das ist eine Chance. + Wenn Zugriffsrechte falsch eingestellt sind, sehen Unbefugte vertrauliche Daten. || Richtig – Datenschutz ist ein wichtiges Risiko bei digitalen Ablagen. - Es wird weniger Papier verbraucht. || Das ist eine Chance (auch für die Umwelt). {Ergänzen Sie: |type="{}"} Fast jede Veränderung bringt sowohl { Chancen|chancen _10 } als auch { Risiken|risiken _10 } mit sich. </quiz> == Schritt 5: Wie läuft ein Veränderungsprozess ab? (Phasen) == Ein bekanntes, einfaches Modell stammt vom Psychologen '''Kurt Lewin'''. Es beschreibt Veränderung in '''drei Phasen''': {| class="wikitable" ! Phase !! Was passiert? !! Beispiel: Einführung einer neuen Software |- | '''1. Auftauen''' (Unfreeze) || Man erklärt, '''warum''' es eine Veränderung braucht. Die Mitarbeitenden werden informiert und einbezogen. || Die Teamleitung erklärt, warum das alte Programm nicht mehr genügt. |- | '''2. Verändern''' (Change / Move) || Das Neue wird eingeführt, ausprobiert und gelernt. Es gibt Schulungen und Unterstützung. || Schulung, Testphase, Fragen klären, erste Erfahrungen. |- | '''3. Einfrieren''' (Refreeze) || Das Neue wird zur '''Gewohnheit''' und fest verankert. || Die neue Software ist der normale Standard, das alte Programm wird abgeschaltet. |} Merksatz: '''Erst verstehen – dann umsetzen – dann festigen.''' <quiz display=simple> {Wie viele Phasen hat das Modell von Kurt Lewin? |type="()"} - zwei || Nein, es sind mehr. + drei || Richtig: Auftauen – Verändern – Einfrieren. - sieben || Nein, Lewins Modell ist bewusst einfach. {Bringen Sie in die richtige Reihenfolge: Welche Phase kommt '''zuerst'''? |type="()"} + Auftauen || Richtig! Zuerst muss man verstehen, warum sich etwas ändern soll. - Verändern || Das ist die zweite Phase. - Einfrieren || Das ist die letzte Phase. {In welcher Phase befindet sich das Team? «Alle haben die Schulung besucht und probieren das neue Programm nun im Alltag aus. Es tauchen noch viele Fragen auf.» |type="()"} - Auftauen || Nein, die Begründung ist schon erfolgt. + Verändern || Genau – das Neue wird ausprobiert und gelernt. - Einfrieren || Noch nicht – das Neue ist noch keine Gewohnheit. {Ergänzen Sie die drei Phasen nach Lewin: |type="{}"} 1. { Auftauen|auftauen _10 } – 2. { Verändern|verändern _10 } – 3. { Einfrieren|einfrieren _10 } </quiz> == Schritt 6: Wie reagieren Menschen auf Veränderungen? (Persönlicher Umgang) == Veränderungen lösen '''Gefühle''' aus. Viele Menschen reagieren zuerst skeptisch oder ablehnend. Das ist normal und menschlich. Typische Gründe für '''Widerstand''': * '''Angst''' vor dem Unbekannten («Schaffe ich das?») * '''Unsicherheit''' («Was bedeutet das für meine Stelle?») * '''Gewohnheit''' («Das haben wir immer so gemacht.») * '''Fehlende Information''' («Niemand hat uns erklärt, warum.») * '''Gefühl von Kontrollverlust''' («Wir wurden nicht gefragt.») Viele Menschen durchlaufen dabei ähnliche Gefühlsphasen: zuerst '''Überraschung''' oder Schock, dann '''Ablehnung''', danach langsames '''Verstehen''' und '''Ausprobieren''', und schliesslich '''Akzeptanz''' – das Neue wird normal. '''Was hilft – ein konstruktiver Umgang:''' * sich '''informieren''' und offen bleiben * bei Unklarheiten '''bei der vorgesetzten Person nachfragen''' (statt Gerüchte weiterzuerzählen) * Sorgen '''sachlich ansprechen''' * das Neue '''ausprobieren''' und dazulernen * sich auf die '''Chancen''' konzentrieren <quiz display=simple> {Ihr Kollege sagt: «Das haben wir schon immer so gemacht, wieso sollen wir das ändern?» Welcher Grund für Widerstand steckt dahinter? |type="()"} + Gewohnheit || Richtig! Der gewohnte Ablauf gibt Sicherheit. - Neugier || Nein, Neugier wäre eher eine positive Haltung. - Zu viel Information || Nein, eher das Gegenteil. {Ist es normal, dass Menschen zuerst skeptisch auf Veränderungen reagieren? |type="()"} + Ja, das ist eine normale menschliche Reaktion. || Richtig. Wichtig ist, dass man mit der Zeit konstruktiv damit umgeht. - Nein, gute Mitarbeitende freuen sich immer sofort über alles Neue. || Das ist unrealistisch. Auch gute Mitarbeitende haben Zweifel. {Sie hören in der Kaffeepause das Gerücht, dass Ihre Abteilung bald aufgelöst wird. Sie sind verunsichert. Was ist das beste Verhalten? |type="()"} - Das Gerücht sofort allen weitererzählen. || Das verstärkt die Unsicherheit im ganzen Team. - Nichts sagen und heimlich nach einer neuen Stelle suchen. || Damit klären Sie Ihre Unsicherheit nicht. + Bei der vorgesetzten Person sachlich nachfragen, was geplant ist. || Genau! Bei Unsicherheiten fragen Kaufleute bei der vorgesetzten Person nach (Leistungsziel b5.bt4). - Die Arbeit verweigern, bis alles klar ist. || Das ist nicht professionell und schadet Ihnen. {Welche Verhaltensweisen zeigen einen '''konstruktiven''' Umgang mit Veränderungen? (Mehrere Antworten möglich) |type="[]"} + Sich über die Gründe der Veränderung informieren. || Richtig. + Das Neue ausprobieren, auch wenn es am Anfang ungewohnt ist. || Richtig. - Im Team schlechte Stimmung gegen die Veränderung machen. || Das ist destruktiv. + Sorgen sachlich beim Teamgespräch ansprechen. || Richtig – Kritik ist erlaubt, wenn sie sachlich ist. - Einfach weiterhin nach dem alten Verfahren arbeiten. || Das widerspricht den Vorgaben und führt zu Problemen. {Ergänzen Sie: |type="{}"} Wenn Menschen sich gegen eine Veränderung wehren, spricht man von { Widerstand|widerstand _12 }. </quiz> == Schritt 7: Veränderungen mitgestalten – Ihre Rolle als Kauffrau / Kaufmann == Sie sind bei Veränderungen nicht nur «Betroffene», sondern können '''mitgestalten'''. Der Bildungsplan beschreibt vier Schritte: # '''Informieren:''' Sie informieren sich über Neuerungen und deren Bedeutung für Ihre Arbeit (z. B. Intranet, Teamsitzung, Newsletter). # '''Analysieren und Vorschläge machen:''' Sie überlegen, was die Veränderung für Ihren Arbeitsbereich bedeutet, und schlagen Massnahmen für die Umsetzung vor. # '''Umsetzen:''' Sie setzen neue Aufgaben, Verfahren oder Arbeitsweisen '''nach den Vorgaben der vorgesetzten Stelle''' um. # '''Nachfragen:''' Bei Unsicherheiten fragen Sie bei der vorgesetzten Person nach. '''Ein guter Verbesserungsvorschlag''' ist konkret und begründet. Er beschreibt: * die '''Ausgangslage''' (Was ist das Problem?) * den '''Vorschlag''' (Was genau soll man tun?) * den '''Nutzen''' (Was bringt es? z. B. Zeit, Kosten, Qualität) * den '''Aufwand''' (Was braucht es dafür?) Beispiel: ''«Bei der Einführung des neuen Programms haben viele im Team die gleichen Fragen. Ich schlage vor, dass wir eine kurze FAQ-Liste im Teamordner anlegen. So sparen alle Zeit, und die Teamleitung muss nicht alles mehrmals erklären. Der Aufwand ist gering: ca. eine Stunde pro Woche zum Nachführen.»'' <quiz display=simple> {Was ist der '''erste''' Schritt, wenn eine Veränderung angekündigt wird? |type="()"} + Sich über die Neuerung und ihre Bedeutung für die eigene Arbeit informieren. || Richtig! Ohne Information können Sie weder analysieren noch mitgestalten. - Sofort einen Gegenvorschlag schreiben. || Zuerst sollten Sie verstehen, worum es geht. - Abwarten, bis jemand anderes etwas sagt. || Kaufleute informieren sich aktiv. {Nach wessen Vorgaben setzen Kaufleute neue Verfahren um? |type="()"} - Nach ihren eigenen Vorstellungen. || Nein. Eigene Ideen dürfen Sie einbringen, umgesetzt wird aber nach Vorgabe. + Nach den Vorgaben der vorgesetzten Person bzw. Stelle. || Richtig (Leistungsziel b5.bt3). - Nach den Wünschen der Kundschaft. || Kundenwünsche sind wichtig, die Vorgaben zur Umsetzung kommen aber von den Vorgesetzten. {Was gehört in einen guten Verbesserungsvorschlag? (Mehrere Antworten möglich) |type="[]"} + eine Beschreibung des Problems (Ausgangslage) || Richtig. + ein konkreter Vorschlag || Richtig. + der Nutzen (z. B. Zeit- oder Kostenersparnis) || Richtig. - Kritik an einzelnen Personen || Nein. Ein Vorschlag bleibt sachlich und richtet sich nicht gegen Personen. + der Aufwand, den die Umsetzung braucht || Richtig. {Welcher Vorschlag ist am besten formuliert? |type="()"} - «Das neue System ist schlecht, wir sollten wieder das alte nehmen.» || Kein konkreter, umsetzbarer Vorschlag – nur Kritik. - «Man müsste irgendwas verbessern.» || Zu ungenau. Was genau, und warum? + «Viele Kundenanfragen kommen doppelt, weil die Mailadresse an zwei Orten steht. Ich schlage vor, nur noch eine Adresse zu publizieren. Das spart uns täglich etwa 30 Minuten.» || Ausgezeichnet: Problem, Vorschlag und Nutzen sind klar. {Ergänzen Sie die vier Schritte: |type="{}"} Sich { informieren|Informieren _12 } – Auswirkungen { analysieren|Analysieren _12 } und Vorschläge machen – Veränderungen { umsetzen|Umsetzen _10 } – bei Unsicherheiten { nachfragen|Nachfragen _12 }. </quiz> == Schritt 8: Abschlussquiz – Fallbeispiel == '''Situation:''' Sie arbeiten im Kundendienst der Muster Velo AG. Die Geschäftsleitung informiert: Weil immer mehr Kundinnen und Kunden über WhatsApp und Chat Kontakt aufnehmen wollen und das Telefonaufkommen stark zurückgegangen ist, wird in drei Monaten ein neues Chat-System eingeführt. Die Telefonzeiten werden verkürzt. Alle Mitarbeitenden im Kundendienst erhalten eine Schulung. Einige im Team sind verunsichert und sagen: «Bald braucht es uns gar nicht mehr.» <quiz display=simple> {Welche Ursache hat diese Veränderung hauptsächlich? |type="()"} + extern: veränderte Kundenwünsche und Digitalisierung || Richtig! Die Kundschaft möchte neue Kontaktwege nutzen. - intern: Streit im Team || Davon ist im Fall nicht die Rede. - extern: ein neues Gesetz || Im Fall wird kein Gesetz erwähnt. {Um welche Art(en) von Veränderung handelt es sich? (Mehrere Antworten möglich) |type="[]"} + technologisch (neues Chat-System) || Richtig. + organisatorisch (neue Telefonzeiten, neue Abläufe) || Richtig. - personeller Stellenabbau || Davon steht nichts im Fall – das ist nur eine Befürchtung im Team. {In welcher Phase nach Lewin befindet sich das Unternehmen gerade, als die Geschäftsleitung informiert? |type="()"} + Auftauen || Richtig – die Mitarbeitenden werden informiert, warum es die Veränderung braucht. - Verändern || Das kommt erst, wenn das System eingeführt und geschult wird. - Einfrieren || Das kommt ganz am Schluss. {Welche Auswirkungen auf Ihre kaufmännische Tätigkeit sind wahrscheinlich? (Mehrere Antworten möglich) |type="[]"} + Sie müssen den Umgang mit dem Chat-System lernen. || Richtig. + Sie schreiben mehr kurze, schriftliche Antworten statt zu telefonieren. || Richtig – schriftliche Kommunikation wird wichtiger. + Sie müssen auf korrekte Rechtschreibung und einen freundlichen Ton im Chat achten. || Richtig – auch im Chat zählt professionelle Kommunikation. - Sie haben überhaupt keinen Kundenkontakt mehr. || Nein, der Kontakt läuft nur über einen anderen Kanal. {Die Kolleginnen und Kollegen sagen: «Bald braucht es uns gar nicht mehr.» Welcher Grund für Widerstand ist das? |type="()"} - Gewohnheit || Teilweise vielleicht, aber im Vordergrund steht etwas anderes. + Angst und Unsicherheit um die eigene Stelle || Genau. Diese Sorge ist verständlich und sollte sachlich angesprochen werden. - Langeweile || Nein. {Wie verhalten Sie sich am besten? (Mehrere Antworten möglich) |type="[]"} + Ich frage die Teamleitung, was die Veränderung für unsere Stellen bedeutet. || Richtig – Nachfragen statt Gerüchte. + Ich besuche die Schulung aktiv und probiere das System aus. || Richtig. + Ich schlage vor, gemeinsam Textbausteine für häufige Chat-Fragen zu erstellen. || Ausgezeichnet – ein konkreter Vorschlag zur Umsetzung! - Ich beantworte Chats weiterhin per Telefon, weil ich das besser kann. || Das entspricht nicht den Vorgaben der Vorgesetzten. </quiz> == Zusammenfassung == {| class="wikitable" style="width:100%;" ! Thema !! Das Wichtigste in einem Satz |- | Was ist eine Veränderung? || Eine Neuerung im Betrieb; sie läuft als Prozess vom alten zum neuen Zustand ab. |- | Ursachen || '''Extern''' (Technologie, Kundschaft, Konkurrenz, Gesetze, Gesellschaft, Wirtschaft) und '''intern''' (Strategie, Wachstum, Kosten, Probleme, Führung, Ideen). |- | Arten || Organisatorisch, technologisch, personell, kulturell – klein und schrittweise (KVP) oder gross und grundlegend. |- | Auswirkungen || Jede Veränderung bringt '''Chancen''' und '''Risiken''' für die eigene Arbeit. |- | Phasen (Lewin) || '''Auftauen – Verändern – Einfrieren''' |- | Persönlicher Umgang || Widerstand ist normal; hilfreich sind Information, Offenheit, sachliches Nachfragen und Ausprobieren. |- | Ihre Rolle || '''Informieren – Analysieren und Vorschläge machen – Umsetzen nach Vorgaben – Nachfragen''' |} == Weiterdenken (Reflexionsauftrag) == Denken Sie an eine Veränderung, die Sie in Ihrem Lehrbetrieb oder in der Schule erlebt haben, und beantworten Sie schriftlich: # Was hat sich verändert und warum (Ursache)? # Welche Art von Veränderung war es? # Welche Auswirkungen hatte sie auf Ihre Arbeit (Chancen und Risiken)? # Wie haben Sie und Ihr Umfeld reagiert? # Welchen Verbesserungsvorschlag hätten Sie machen können? <small>Grundlage: Bildungsplan Kauffrau/Kaufmann EFZ, Handlungskompetenz b5 «Betriebliche Veränderungsprozesse mitgestalten» (Leistungsziele b5.bt1–bt4 und b5.bs1a, bs2a–c, bs4a).</small> = Einzelnachweise = <references/> [[Kategorie:Kurs:Kaufleute EFZ/HK B5| ]] bfbv2o3ifop92x92f45osw5o8asrjh0 1118903 1118887 2026-11-05T08:20:16Z Paul Sutermeister 37610 /* Schritt 5: Wie läuft ein Veränderungsprozess ab? (Phasen) */ Bild und Wikilink 1118903 wikitext text/x-wiki '''Betriebliche Veränderungsprozesse mitgestalten''' ist Handlungskompetenz [[Kurs:Kaufleute EFZ/Interagieren in einem vernetzten Arbeitsumfeld|B]]5 der [[Kurs:Kaufleute EFZ|Ausbildung ''Kaufleute EFZ'']].<ref>[[:w:Staatssekretariat für Bildung, Forschung und Innovation (SBFI)|SBFI]]: ''[https://www.becc.admin.ch/becc/public/bvz/beruf/show/68800 Kauffrau/Kaufmann EFZ (ab Lehrbeginn 2023)]</ref> <quiz display="simple"> { Ordne die Leistungsziele zu: | typ="()" } | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Unternehmensbezogene Veränderungsprozesse|B5.1]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Aktuelle Entwicklungen in Wirtschaft und Gesellschaft|B5.2]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Betriebliche Massnahmen, Aufgaben, Verfahren oder Arbeitsweisen umsetzen|B5.3]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Persönlicher Umgang mit Veränderungen|B5.4]] +--- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Unternehmensbezogene Veränderungsprozesse|Sie erläutern grundlegende Ursachen, Merkmale und Auswirkungen von unternehmensbezogenen Veränderungsprozessen.]] -+-- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Aktuelle Entwicklungen in Wirtschaft und Gesellschaft|Sie recherchieren aktuelle Entwicklungen im wirtschaftlichen und gesellschaftlichen Bereich und reflektieren Auswirkungen auf Betrieb und Arbeitsbereich.]] Usw… --+- ([[Kurs:Kaufleute EFZ/Betriebliche Massnahmen, Aufgaben, Verfahren oder Arbeitsweisen umsetzen|Sie setzen neue betriebliche Massnahmen, Aufgaben, Verfahren oder Arbeitsweisen entsprechend den Vorgaben der vorgesetzten Stellen um.]] Betriebliches Leistungsziel) ---+ [[Kurs:Kaufleute EFZ/Persönlicher Umgang mit Veränderungen|Sie reflektieren charakteristische Vorgehensweisen im persönlichen Umgang mit Veränderungen in einem Betrieb.]] </quiz> __NOTOC__ = Betriebliche Veränderungsprozesse mitgestalten (Handlungskompetenz b5) = {| class="wikitable" style="width:100%; background:#f5f9ff;" |- | '''Worum geht es?''' Laut Bildungsplan Kaufleute EFZ (Handlungskompetenz b5) gilt: ''«Die Kaufleute informieren sich über betriebliche Veränderungsprozesse und deren Bedeutung für ihren Tätigkeitsbereich. Sie analysieren die Auswirkungen auf ihren Arbeitsbereich, unterbreiten Ideen zur Umsetzung und setzen Veränderungen nach Vorgaben der vorgesetzten Person um.»'' '''So arbeiten Sie mit dieser Seite:''' Sie brauchen kein Vorwissen. Lesen Sie zuerst jeweils den kurzen Erklärtext und lösen Sie dann die Fragen dazu. Die Schritte bauen aufeinander auf. Klicken Sie am Ende jedes Quiz auf «Antworten überprüfen» und lesen Sie die Rückmeldungen. |} == Schritt 1: Was ist eine betriebliche Veränderung? == Ein Betrieb bleibt nie gleich. Immer wieder ändert sich etwas: Es kommt eine neue Software, ein Ablauf wird neu organisiert, eine Abteilung zieht um oder das Unternehmen bietet ein neues Produkt an. Eine '''betriebliche Veränderung''' ist also jede Neuerung, die die Arbeit, die Abläufe, die Strukturen oder die Zusammenarbeit in einem Unternehmen verändert. Ein '''Veränderungsprozess''' ist der ganze Weg vom bisherigen Zustand («so war es») zum neuen Zustand («so ist es jetzt»). Ein Prozess braucht Zeit – Veränderungen passieren selten von heute auf morgen. Wichtig: Veränderungen sind im Berufsleben '''normal'''. Wer im Büro arbeitet, erlebt sie regelmässig. <quiz display=simple> {Was versteht man unter einer betrieblichen Veränderung? |type="()"} - Eine Änderung im Privatleben einer Mitarbeiterin. || Nein. Es geht um Neuerungen im Unternehmen, nicht im Privatleben. + Eine Neuerung, die Arbeit, Abläufe, Strukturen oder Zusammenarbeit im Unternehmen verändert. || Richtig! Das ist die Grundidee. - Ein Fehler, der im Betrieb passiert ist. || Nein. Eine Veränderung ist kein Fehler, sondern eine Neuerung. {Welche der folgenden Beispiele sind betriebliche Veränderungen? (Mehrere Antworten möglich) |type="[]"} + Die Firma führt ein neues Buchhaltungsprogramm ein. || Richtig – eine technologische Veränderung. + Rechnungen werden neu nur noch digital statt auf Papier verschickt. || Richtig – ein Arbeitsablauf ändert sich. + Zwei Abteilungen werden zu einer zusammengelegt. || Richtig – die Organisation ändert sich. - Sie trinken in der Pause lieber Tee statt Kaffee. || Das ist eine persönliche Gewohnheit, keine betriebliche Veränderung. + Das Unternehmen erlaubt neu Homeoffice an zwei Tagen pro Woche. || Richtig – die Arbeitsweise ändert sich. {Was bedeutet «Veränderungsprozess»? |type="()"} - Ein einzelner Moment, in dem alles sofort neu ist. || Nein. Veränderungen brauchen in der Regel Zeit. + Der ganze Weg vom bisherigen Zustand zum neuen Zustand. || Genau! Darum spricht man von einem «Prozess». - Ein Gerichtsverfahren gegen das Unternehmen. || Nein, «Prozess» bedeutet hier «Ablauf», nicht Gerichtsverfahren. {Ergänzen Sie den Satz: |type="{}"} Veränderungen sind im Berufsleben { normal|Normal|üblich|Üblich|alltäglich|Alltäglich _12 } und kommen regelmässig vor. </quiz> == Schritt 2: Warum verändern sich Unternehmen? (Ursachen) == Unternehmen verändern sich nicht ohne Grund. Man unterscheidet zwei Arten von Ursachen: {| class="wikitable" ! Externe Ursachen (von aussen) ! Interne Ursachen (von innen) |- | * '''Digitalisierung''' und neue Technologien (z. B. künstliche Intelligenz, Cloud) * '''Kundschaft''' hat neue Wünsche (z. B. Onlinebestellung, schnelle Lieferung) * '''Konkurrenz''' wird stärker oder günstiger * neue '''Gesetze''' und Vorschriften (z. B. Datenschutz) * '''Gesellschaft''' und Umwelt (z. B. Nachhaltigkeit, Fachkräftemangel) * '''Wirtschaftslage''' (z. B. Krise, Teuerung) | * neue '''Strategie''' oder neue Ziele * '''Wachstum''' (mehr Aufträge, mehr Personal) * '''Kostendruck''' – das Unternehmen muss sparen * '''Probleme''' in Abläufen (z. B. zu viele Fehler, zu langsam) * neue '''Führung''' oder Fusion mit einer anderen Firma * '''Ideen''' von Mitarbeitenden |} Oft hängen externe und interne Ursachen zusammen: Weil die Konkurrenz günstiger wird (extern), entscheidet die Geschäftsleitung, Kosten zu sparen (intern). <quiz display=simple> {Was ist eine '''externe''' Ursache für eine Veränderung? |type="()"} - Die Geschäftsleitung beschliesst eine neue Strategie. || Das ist intern – der Entscheid kommt aus dem Unternehmen selbst. + Ein neues Datenschutzgesetz tritt in Kraft. || Richtig! Das Gesetz kommt von aussen und das Unternehmen muss sich anpassen. - Ein Team hat zu viele Fehler in der Rechnungsstellung. || Das ist ein internes Problem. {Ordnen Sie zu: Welche Ursachen sind '''intern'''? (Mehrere Antworten möglich) |type="[]"} + Das Unternehmen wächst und stellt 20 neue Leute ein. || Richtig – Wachstum ist eine interne Ursache. - Die Kundschaft möchte vermehrt online bestellen. || Das ist extern: Die Wünsche der Kundschaft kommen von aussen. + Ein neuer CEO möchte die Abteilungen neu organisieren. || Richtig – neue Führung ist eine interne Ursache. - Die Strompreise steigen stark. || Das ist extern: Die Wirtschaftslage kommt von aussen. + Eine Mitarbeiterin schlägt einen einfacheren Ablauf vor. || Richtig – Ideen von Mitarbeitenden sind intern. {Ein Reisebüro merkt, dass immer mehr Kundinnen und Kunden ihre Ferien selbst im Internet buchen. Welche Ursache steckt dahinter? |type="()"} + Digitalisierung und veränderte Kundenwünsche (extern) || Genau. Das Reisebüro muss darauf reagieren, z. B. mit eigenen Online-Angeboten oder spezieller Beratung. - Kostendruck (intern) || Kostendruck kann eine Folge sein, die eigentliche Ursache liegt aber ausserhalb des Unternehmens. - Ein neues Gesetz || Hier ist kein Gesetz im Spiel. {Ergänzen Sie: |type="{}"} Ursachen, die von ausserhalb des Unternehmens kommen, nennt man { extern|externe|Extern|Externe _10 } Ursachen. Ursachen aus dem Unternehmen selbst nennt man { intern|interne|Intern|Interne _10 } Ursachen. </quiz> == Schritt 3: Welche Arten von Veränderungen gibt es? (Merkmale) == Veränderungen lassen sich danach unterscheiden, '''was''' sich verändert: * '''Organisatorische Veränderung:''' Strukturen oder Abläufe ändern sich (z. B. neues Organigramm, neue Zuständigkeiten, neuer Ablauf für Bestellungen). * '''Technologische Veränderung:''' neue Software, neue Geräte, Digitalisierung von Abläufen. * '''Personelle Veränderung:''' neue Vorgesetzte, neue Teammitglieder, Stellenabbau, neue Rollen. * '''Kulturelle Veränderung:''' die Art, wie man zusammenarbeitet, ändert sich (z. B. mehr Eigenverantwortung, Duzen statt Siezen, Homeoffice). Und danach, '''wie stark''' sich etwas verändert: * '''Kleine, schrittweise Veränderungen''' (laufende Verbesserung): Man verbessert Schritt für Schritt, z. B. eine Vorlage wird angepasst. Man nennt das auch '''kontinuierlicher Verbesserungsprozess (KVP)'''. * '''Grosse, grundlegende Veränderungen''' (Umbruch): Vieles ändert sich auf einmal, z. B. eine Fusion oder ein komplett neues Geschäftsmodell. <quiz display=simple> {Ihre Firma führt ein neues CRM-Programm zur Verwaltung der Kundendaten ein. Welche Art von Veränderung ist das hauptsächlich? |type="()"} - personell || Nein, es geht nicht um Personen, sondern um ein Programm. + technologisch || Richtig! Eine neue Software ist eine technologische Veränderung. - kulturell || Nicht in erster Linie – es geht um ein neues Werkzeug. {Die Abteilungen «Einkauf» und «Lager» werden zusammengelegt und haben neu eine gemeinsame Leitung. Welche Art ist das? |type="()"} + organisatorisch (mit personellen Folgen) || Genau. Die Struktur ändert sich – und damit auch, wer wem unterstellt ist. - technologisch || Nein, hier geht es nicht um Technik. - schrittweise Verbesserung einer Vorlage || Nein, das ist eine grössere Veränderung der Struktur. {Welche Beispiele sind '''kleine, schrittweise''' Veränderungen? (Mehrere Antworten möglich) |type="[]"} + Die E-Mail-Vorlage für Offerten wird verbessert. || Richtig – eine kleine Verbesserung. - Die Firma wird von einem ausländischen Konzern übernommen. || Das ist eine grosse, grundlegende Veränderung. + Im Team wird vereinbart, Ablagen neu nach Datum zu benennen. || Richtig – eine kleine Verbesserung im Alltag. - Das Unternehmen gibt sein bisheriges Hauptprodukt auf. || Das ist ein Umbruch, also eine grosse Veränderung. {Ergänzen Sie die Abkürzung: |type="{}"} Laufende, kleine Verbesserungen nennt man «kontinuierlicher Verbesserungsprozess», abgekürzt { KVP|kvp _5 }. </quiz> == Schritt 4: Was bedeutet eine Veränderung für meine Arbeit? (Auswirkungen) == Jede Veränderung hat '''Auswirkungen''' – auf das Unternehmen, auf das Team und auf die eigene Arbeit. Als Kauffrau oder Kaufmann fragen Sie sich: # '''Was ändert sich konkret an meinen Aufgaben?''' (z. B. neue Arbeitsschritte, andere Programme) # '''Was muss ich neu lernen?''' (z. B. Schulung für die neue Software) # '''Mit wem arbeite ich neu zusammen?''' (z. B. neue Ansprechpersonen) # '''Welche Chancen und welche Risiken gibt es?''' Fast jede Veränderung hat '''Chancen''' (z. B. weniger Routinearbeit, neue Fähigkeiten, effizientere Abläufe) und '''Risiken''' (z. B. Mehraufwand in der Einführungsphase, Fehler am Anfang, Unsicherheit, Wegfall von Aufgaben). '''Beispiel:''' Eingangsrechnungen werden neu automatisch eingelesen (Scan-Software statt Abtippen). * Chance: Weniger Tipparbeit, weniger Tippfehler, mehr Zeit für Kontrolle und Kundenkontakt. * Risiko: Am Anfang braucht es Zeit, um das System zu lernen; das System liest vielleicht nicht alles korrekt – man muss gut kontrollieren. <quiz display=simple> {Welche Frage hilft Ihnen am besten, die Auswirkungen einer Veränderung auf Ihren Arbeitsbereich zu analysieren? |type="()"} - «Wer ist schuld daran, dass sich alles ändert?» || Diese Frage hilft nicht weiter. Es geht darum zu verstehen, was sich ändert. + «Was ändert sich konkret an meinen Aufgaben und was muss ich neu lernen?» || Genau! So erkennen Sie die Auswirkungen auf Ihre Arbeit. - «Wie kann ich die Veränderung verhindern?» || Das ist nicht das Ziel. Sie sollen Veränderungen verstehen und mitgestalten. {Ihr Betrieb stellt von Papierakten auf ein digitales Archiv um. Welche Aussagen sind '''Chancen'''? (Mehrere Antworten möglich) |type="[]"} + Dokumente lassen sich schneller finden. || Richtig – eine klare Chance. + Man kann auch im Homeoffice auf die Dokumente zugreifen. || Richtig – mehr Flexibilität. - In den ersten Wochen dauert das Ablegen länger, weil alle das System lernen müssen. || Das ist ein Risiko bzw. ein Nachteil in der Einführungsphase. + Es braucht weniger Platz für Ordner und Archivschränke. || Richtig – eine Chance. {Welche Aussage ist ein '''Risiko''' derselben Umstellung? |type="()"} - Dokumente sind schneller auffindbar. || Das ist eine Chance. + Wenn Zugriffsrechte falsch eingestellt sind, sehen Unbefugte vertrauliche Daten. || Richtig – Datenschutz ist ein wichtiges Risiko bei digitalen Ablagen. - Es wird weniger Papier verbraucht. || Das ist eine Chance (auch für die Umwelt). {Ergänzen Sie: |type="{}"} Fast jede Veränderung bringt sowohl { Chancen|chancen _10 } als auch { Risiken|risiken _10 } mit sich. </quiz> == Schritt 5: Wie läuft ein Veränderungsprozess ab? (Phasen) == [[Datei:3-Phasenmodell von Lewin.png|thumb|mini|[[:w:3-Phasen-Modell von Lewin|3-Phasen-Modell von Lewin]]]] Ein bekanntes, einfaches Modell stammt vom Psychologen '''Kurt Lewin'''. Es beschreibt Veränderung in '''[[:w:3-Phasen-Modell von Lewin|drei Phasen]]''': {| class="wikitable" ! Phase !! Was passiert? !! Beispiel: Einführung einer neuen Software |- | '''1. Auftauen''' (Unfreeze) || Man erklärt, '''warum''' es eine Veränderung braucht. Die Mitarbeitenden werden informiert und einbezogen. || Die Teamleitung erklärt, warum das alte Programm nicht mehr genügt. |- | '''2. Verändern''' (Change / Move) || Das Neue wird eingeführt, ausprobiert und gelernt. Es gibt Schulungen und Unterstützung. || Schulung, Testphase, Fragen klären, erste Erfahrungen. |- | '''3. Einfrieren''' (Refreeze) || Das Neue wird zur '''Gewohnheit''' und fest verankert. || Die neue Software ist der normale Standard, das alte Programm wird abgeschaltet. |} Merksatz: '''Erst verstehen – dann umsetzen – dann festigen.''' <quiz display=simple> {Wie viele Phasen hat das Modell von Kurt Lewin? |type="()"} - zwei || Nein, es sind mehr. + drei || Richtig: Auftauen – Verändern – Einfrieren. - sieben || Nein, Lewins Modell ist bewusst einfach. {Bringen Sie in die richtige Reihenfolge: Welche Phase kommt '''zuerst'''? |type="()"} + Auftauen || Richtig! Zuerst muss man verstehen, warum sich etwas ändern soll. - Verändern || Das ist die zweite Phase. - Einfrieren || Das ist die letzte Phase. {In welcher Phase befindet sich das Team? «Alle haben die Schulung besucht und probieren das neue Programm nun im Alltag aus. Es tauchen noch viele Fragen auf.» |type="()"} - Auftauen || Nein, die Begründung ist schon erfolgt. + Verändern || Genau – das Neue wird ausprobiert und gelernt. - Einfrieren || Noch nicht – das Neue ist noch keine Gewohnheit. {Ergänzen Sie die drei Phasen nach Lewin: |type="{}"} 1. { Auftauen|auftauen _10 } – 2. { Verändern|verändern _10 } – 3. { Einfrieren|einfrieren _10 } </quiz> == Schritt 6: Wie reagieren Menschen auf Veränderungen? (Persönlicher Umgang) == Veränderungen lösen '''Gefühle''' aus. Viele Menschen reagieren zuerst skeptisch oder ablehnend. Das ist normal und menschlich. Typische Gründe für '''Widerstand''': * '''Angst''' vor dem Unbekannten («Schaffe ich das?») * '''Unsicherheit''' («Was bedeutet das für meine Stelle?») * '''Gewohnheit''' («Das haben wir immer so gemacht.») * '''Fehlende Information''' («Niemand hat uns erklärt, warum.») * '''Gefühl von Kontrollverlust''' («Wir wurden nicht gefragt.») Viele Menschen durchlaufen dabei ähnliche Gefühlsphasen: zuerst '''Überraschung''' oder Schock, dann '''Ablehnung''', danach langsames '''Verstehen''' und '''Ausprobieren''', und schliesslich '''Akzeptanz''' – das Neue wird normal. '''Was hilft – ein konstruktiver Umgang:''' * sich '''informieren''' und offen bleiben * bei Unklarheiten '''bei der vorgesetzten Person nachfragen''' (statt Gerüchte weiterzuerzählen) * Sorgen '''sachlich ansprechen''' * das Neue '''ausprobieren''' und dazulernen * sich auf die '''Chancen''' konzentrieren <quiz display=simple> {Ihr Kollege sagt: «Das haben wir schon immer so gemacht, wieso sollen wir das ändern?» Welcher Grund für Widerstand steckt dahinter? |type="()"} + Gewohnheit || Richtig! Der gewohnte Ablauf gibt Sicherheit. - Neugier || Nein, Neugier wäre eher eine positive Haltung. - Zu viel Information || Nein, eher das Gegenteil. {Ist es normal, dass Menschen zuerst skeptisch auf Veränderungen reagieren? |type="()"} + Ja, das ist eine normale menschliche Reaktion. || Richtig. Wichtig ist, dass man mit der Zeit konstruktiv damit umgeht. - Nein, gute Mitarbeitende freuen sich immer sofort über alles Neue. || Das ist unrealistisch. Auch gute Mitarbeitende haben Zweifel. {Sie hören in der Kaffeepause das Gerücht, dass Ihre Abteilung bald aufgelöst wird. Sie sind verunsichert. Was ist das beste Verhalten? |type="()"} - Das Gerücht sofort allen weitererzählen. || Das verstärkt die Unsicherheit im ganzen Team. - Nichts sagen und heimlich nach einer neuen Stelle suchen. || Damit klären Sie Ihre Unsicherheit nicht. + Bei der vorgesetzten Person sachlich nachfragen, was geplant ist. || Genau! Bei Unsicherheiten fragen Kaufleute bei der vorgesetzten Person nach (Leistungsziel b5.bt4). - Die Arbeit verweigern, bis alles klar ist. || Das ist nicht professionell und schadet Ihnen. {Welche Verhaltensweisen zeigen einen '''konstruktiven''' Umgang mit Veränderungen? (Mehrere Antworten möglich) |type="[]"} + Sich über die Gründe der Veränderung informieren. || Richtig. + Das Neue ausprobieren, auch wenn es am Anfang ungewohnt ist. || Richtig. - Im Team schlechte Stimmung gegen die Veränderung machen. || Das ist destruktiv. + Sorgen sachlich beim Teamgespräch ansprechen. || Richtig – Kritik ist erlaubt, wenn sie sachlich ist. - Einfach weiterhin nach dem alten Verfahren arbeiten. || Das widerspricht den Vorgaben und führt zu Problemen. {Ergänzen Sie: |type="{}"} Wenn Menschen sich gegen eine Veränderung wehren, spricht man von { Widerstand|widerstand _12 }. </quiz> == Schritt 7: Veränderungen mitgestalten – Ihre Rolle als Kauffrau / Kaufmann == Sie sind bei Veränderungen nicht nur «Betroffene», sondern können '''mitgestalten'''. Der Bildungsplan beschreibt vier Schritte: # '''Informieren:''' Sie informieren sich über Neuerungen und deren Bedeutung für Ihre Arbeit (z. B. Intranet, Teamsitzung, Newsletter). # '''Analysieren und Vorschläge machen:''' Sie überlegen, was die Veränderung für Ihren Arbeitsbereich bedeutet, und schlagen Massnahmen für die Umsetzung vor. # '''Umsetzen:''' Sie setzen neue Aufgaben, Verfahren oder Arbeitsweisen '''nach den Vorgaben der vorgesetzten Stelle''' um. # '''Nachfragen:''' Bei Unsicherheiten fragen Sie bei der vorgesetzten Person nach. '''Ein guter Verbesserungsvorschlag''' ist konkret und begründet. Er beschreibt: * die '''Ausgangslage''' (Was ist das Problem?) * den '''Vorschlag''' (Was genau soll man tun?) * den '''Nutzen''' (Was bringt es? z. B. Zeit, Kosten, Qualität) * den '''Aufwand''' (Was braucht es dafür?) Beispiel: ''«Bei der Einführung des neuen Programms haben viele im Team die gleichen Fragen. Ich schlage vor, dass wir eine kurze FAQ-Liste im Teamordner anlegen. So sparen alle Zeit, und die Teamleitung muss nicht alles mehrmals erklären. Der Aufwand ist gering: ca. eine Stunde pro Woche zum Nachführen.»'' <quiz display=simple> {Was ist der '''erste''' Schritt, wenn eine Veränderung angekündigt wird? |type="()"} + Sich über die Neuerung und ihre Bedeutung für die eigene Arbeit informieren. || Richtig! Ohne Information können Sie weder analysieren noch mitgestalten. - Sofort einen Gegenvorschlag schreiben. || Zuerst sollten Sie verstehen, worum es geht. - Abwarten, bis jemand anderes etwas sagt. || Kaufleute informieren sich aktiv. {Nach wessen Vorgaben setzen Kaufleute neue Verfahren um? |type="()"} - Nach ihren eigenen Vorstellungen. || Nein. Eigene Ideen dürfen Sie einbringen, umgesetzt wird aber nach Vorgabe. + Nach den Vorgaben der vorgesetzten Person bzw. Stelle. || Richtig (Leistungsziel b5.bt3). - Nach den Wünschen der Kundschaft. || Kundenwünsche sind wichtig, die Vorgaben zur Umsetzung kommen aber von den Vorgesetzten. {Was gehört in einen guten Verbesserungsvorschlag? (Mehrere Antworten möglich) |type="[]"} + eine Beschreibung des Problems (Ausgangslage) || Richtig. + ein konkreter Vorschlag || Richtig. + der Nutzen (z. B. Zeit- oder Kostenersparnis) || Richtig. - Kritik an einzelnen Personen || Nein. Ein Vorschlag bleibt sachlich und richtet sich nicht gegen Personen. + der Aufwand, den die Umsetzung braucht || Richtig. {Welcher Vorschlag ist am besten formuliert? |type="()"} - «Das neue System ist schlecht, wir sollten wieder das alte nehmen.» || Kein konkreter, umsetzbarer Vorschlag – nur Kritik. - «Man müsste irgendwas verbessern.» || Zu ungenau. Was genau, und warum? + «Viele Kundenanfragen kommen doppelt, weil die Mailadresse an zwei Orten steht. Ich schlage vor, nur noch eine Adresse zu publizieren. Das spart uns täglich etwa 30 Minuten.» || Ausgezeichnet: Problem, Vorschlag und Nutzen sind klar. {Ergänzen Sie die vier Schritte: |type="{}"} Sich { informieren|Informieren _12 } – Auswirkungen { analysieren|Analysieren _12 } und Vorschläge machen – Veränderungen { umsetzen|Umsetzen _10 } – bei Unsicherheiten { nachfragen|Nachfragen _12 }. </quiz> == Schritt 8: Abschlussquiz – Fallbeispiel == '''Situation:''' Sie arbeiten im Kundendienst der Muster Velo AG. Die Geschäftsleitung informiert: Weil immer mehr Kundinnen und Kunden über WhatsApp und Chat Kontakt aufnehmen wollen und das Telefonaufkommen stark zurückgegangen ist, wird in drei Monaten ein neues Chat-System eingeführt. Die Telefonzeiten werden verkürzt. Alle Mitarbeitenden im Kundendienst erhalten eine Schulung. Einige im Team sind verunsichert und sagen: «Bald braucht es uns gar nicht mehr.» <quiz display=simple> {Welche Ursache hat diese Veränderung hauptsächlich? |type="()"} + extern: veränderte Kundenwünsche und Digitalisierung || Richtig! Die Kundschaft möchte neue Kontaktwege nutzen. - intern: Streit im Team || Davon ist im Fall nicht die Rede. - extern: ein neues Gesetz || Im Fall wird kein Gesetz erwähnt. {Um welche Art(en) von Veränderung handelt es sich? (Mehrere Antworten möglich) |type="[]"} + technologisch (neues Chat-System) || Richtig. + organisatorisch (neue Telefonzeiten, neue Abläufe) || Richtig. - personeller Stellenabbau || Davon steht nichts im Fall – das ist nur eine Befürchtung im Team. {In welcher Phase nach Lewin befindet sich das Unternehmen gerade, als die Geschäftsleitung informiert? |type="()"} + Auftauen || Richtig – die Mitarbeitenden werden informiert, warum es die Veränderung braucht. - Verändern || Das kommt erst, wenn das System eingeführt und geschult wird. - Einfrieren || Das kommt ganz am Schluss. {Welche Auswirkungen auf Ihre kaufmännische Tätigkeit sind wahrscheinlich? (Mehrere Antworten möglich) |type="[]"} + Sie müssen den Umgang mit dem Chat-System lernen. || Richtig. + Sie schreiben mehr kurze, schriftliche Antworten statt zu telefonieren. || Richtig – schriftliche Kommunikation wird wichtiger. + Sie müssen auf korrekte Rechtschreibung und einen freundlichen Ton im Chat achten. || Richtig – auch im Chat zählt professionelle Kommunikation. - Sie haben überhaupt keinen Kundenkontakt mehr. || Nein, der Kontakt läuft nur über einen anderen Kanal. {Die Kolleginnen und Kollegen sagen: «Bald braucht es uns gar nicht mehr.» Welcher Grund für Widerstand ist das? |type="()"} - Gewohnheit || Teilweise vielleicht, aber im Vordergrund steht etwas anderes. + Angst und Unsicherheit um die eigene Stelle || Genau. Diese Sorge ist verständlich und sollte sachlich angesprochen werden. - Langeweile || Nein. {Wie verhalten Sie sich am besten? (Mehrere Antworten möglich) |type="[]"} + Ich frage die Teamleitung, was die Veränderung für unsere Stellen bedeutet. || Richtig – Nachfragen statt Gerüchte. + Ich besuche die Schulung aktiv und probiere das System aus. || Richtig. + Ich schlage vor, gemeinsam Textbausteine für häufige Chat-Fragen zu erstellen. || Ausgezeichnet – ein konkreter Vorschlag zur Umsetzung! - Ich beantworte Chats weiterhin per Telefon, weil ich das besser kann. || Das entspricht nicht den Vorgaben der Vorgesetzten. </quiz> == Zusammenfassung == {| class="wikitable" style="width:100%;" ! Thema !! Das Wichtigste in einem Satz |- | Was ist eine Veränderung? || Eine Neuerung im Betrieb; sie läuft als Prozess vom alten zum neuen Zustand ab. |- | Ursachen || '''Extern''' (Technologie, Kundschaft, Konkurrenz, Gesetze, Gesellschaft, Wirtschaft) und '''intern''' (Strategie, Wachstum, Kosten, Probleme, Führung, Ideen). |- | Arten || Organisatorisch, technologisch, personell, kulturell – klein und schrittweise (KVP) oder gross und grundlegend. |- | Auswirkungen || Jede Veränderung bringt '''Chancen''' und '''Risiken''' für die eigene Arbeit. |- | Phasen (Lewin) || '''Auftauen – Verändern – Einfrieren''' |- | Persönlicher Umgang || Widerstand ist normal; hilfreich sind Information, Offenheit, sachliches Nachfragen und Ausprobieren. |- | Ihre Rolle || '''Informieren – Analysieren und Vorschläge machen – Umsetzen nach Vorgaben – Nachfragen''' |} == Weiterdenken (Reflexionsauftrag) == Denken Sie an eine Veränderung, die Sie in Ihrem Lehrbetrieb oder in der Schule erlebt haben, und beantworten Sie schriftlich: # Was hat sich verändert und warum (Ursache)? # Welche Art von Veränderung war es? # Welche Auswirkungen hatte sie auf Ihre Arbeit (Chancen und Risiken)? # Wie haben Sie und Ihr Umfeld reagiert? # Welchen Verbesserungsvorschlag hätten Sie machen können? <small>Grundlage: Bildungsplan Kauffrau/Kaufmann EFZ, Handlungskompetenz b5 «Betriebliche Veränderungsprozesse mitgestalten» (Leistungsziele b5.bt1–bt4 und b5.bs1a, bs2a–c, bs4a).</small> = Einzelnachweise = <references/> [[Kategorie:Kurs:Kaufleute EFZ/HK B5| ]] emu216j59ac71orj5gog4vwr9cx5s18 1118904 1118903 2026-11-05T08:20:52Z Paul Sutermeister 37610 /* Schritt 5: Wie läuft ein Veränderungsprozess ab? (Phasen) */ 1118904 wikitext text/x-wiki '''Betriebliche Veränderungsprozesse mitgestalten''' ist Handlungskompetenz [[Kurs:Kaufleute EFZ/Interagieren in einem vernetzten Arbeitsumfeld|B]]5 der [[Kurs:Kaufleute EFZ|Ausbildung ''Kaufleute EFZ'']].<ref>[[:w:Staatssekretariat für Bildung, Forschung und Innovation (SBFI)|SBFI]]: ''[https://www.becc.admin.ch/becc/public/bvz/beruf/show/68800 Kauffrau/Kaufmann EFZ (ab Lehrbeginn 2023)]</ref> <quiz display="simple"> { Ordne die Leistungsziele zu: | typ="()" } | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Unternehmensbezogene Veränderungsprozesse|B5.1]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Aktuelle Entwicklungen in Wirtschaft und Gesellschaft|B5.2]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Betriebliche Massnahmen, Aufgaben, Verfahren oder Arbeitsweisen umsetzen|B5.3]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Persönlicher Umgang mit Veränderungen|B5.4]] +--- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Unternehmensbezogene Veränderungsprozesse|Sie erläutern grundlegende Ursachen, Merkmale und Auswirkungen von unternehmensbezogenen Veränderungsprozessen.]] -+-- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Aktuelle Entwicklungen in Wirtschaft und Gesellschaft|Sie recherchieren aktuelle Entwicklungen im wirtschaftlichen und gesellschaftlichen Bereich und reflektieren Auswirkungen auf Betrieb und Arbeitsbereich.]] Usw… --+- ([[Kurs:Kaufleute EFZ/Betriebliche Massnahmen, Aufgaben, Verfahren oder Arbeitsweisen umsetzen|Sie setzen neue betriebliche Massnahmen, Aufgaben, Verfahren oder Arbeitsweisen entsprechend den Vorgaben der vorgesetzten Stellen um.]] Betriebliches Leistungsziel) ---+ [[Kurs:Kaufleute EFZ/Persönlicher Umgang mit Veränderungen|Sie reflektieren charakteristische Vorgehensweisen im persönlichen Umgang mit Veränderungen in einem Betrieb.]] </quiz> __NOTOC__ = Betriebliche Veränderungsprozesse mitgestalten (Handlungskompetenz b5) = {| class="wikitable" style="width:100%; background:#f5f9ff;" |- | '''Worum geht es?''' Laut Bildungsplan Kaufleute EFZ (Handlungskompetenz b5) gilt: ''«Die Kaufleute informieren sich über betriebliche Veränderungsprozesse und deren Bedeutung für ihren Tätigkeitsbereich. Sie analysieren die Auswirkungen auf ihren Arbeitsbereich, unterbreiten Ideen zur Umsetzung und setzen Veränderungen nach Vorgaben der vorgesetzten Person um.»'' '''So arbeiten Sie mit dieser Seite:''' Sie brauchen kein Vorwissen. Lesen Sie zuerst jeweils den kurzen Erklärtext und lösen Sie dann die Fragen dazu. Die Schritte bauen aufeinander auf. Klicken Sie am Ende jedes Quiz auf «Antworten überprüfen» und lesen Sie die Rückmeldungen. |} == Schritt 1: Was ist eine betriebliche Veränderung? == Ein Betrieb bleibt nie gleich. Immer wieder ändert sich etwas: Es kommt eine neue Software, ein Ablauf wird neu organisiert, eine Abteilung zieht um oder das Unternehmen bietet ein neues Produkt an. Eine '''betriebliche Veränderung''' ist also jede Neuerung, die die Arbeit, die Abläufe, die Strukturen oder die Zusammenarbeit in einem Unternehmen verändert. Ein '''Veränderungsprozess''' ist der ganze Weg vom bisherigen Zustand («so war es») zum neuen Zustand («so ist es jetzt»). Ein Prozess braucht Zeit – Veränderungen passieren selten von heute auf morgen. Wichtig: Veränderungen sind im Berufsleben '''normal'''. Wer im Büro arbeitet, erlebt sie regelmässig. <quiz display=simple> {Was versteht man unter einer betrieblichen Veränderung? |type="()"} - Eine Änderung im Privatleben einer Mitarbeiterin. || Nein. Es geht um Neuerungen im Unternehmen, nicht im Privatleben. + Eine Neuerung, die Arbeit, Abläufe, Strukturen oder Zusammenarbeit im Unternehmen verändert. || Richtig! Das ist die Grundidee. - Ein Fehler, der im Betrieb passiert ist. || Nein. Eine Veränderung ist kein Fehler, sondern eine Neuerung. {Welche der folgenden Beispiele sind betriebliche Veränderungen? (Mehrere Antworten möglich) |type="[]"} + Die Firma führt ein neues Buchhaltungsprogramm ein. || Richtig – eine technologische Veränderung. + Rechnungen werden neu nur noch digital statt auf Papier verschickt. || Richtig – ein Arbeitsablauf ändert sich. + Zwei Abteilungen werden zu einer zusammengelegt. || Richtig – die Organisation ändert sich. - Sie trinken in der Pause lieber Tee statt Kaffee. || Das ist eine persönliche Gewohnheit, keine betriebliche Veränderung. + Das Unternehmen erlaubt neu Homeoffice an zwei Tagen pro Woche. || Richtig – die Arbeitsweise ändert sich. {Was bedeutet «Veränderungsprozess»? |type="()"} - Ein einzelner Moment, in dem alles sofort neu ist. || Nein. Veränderungen brauchen in der Regel Zeit. + Der ganze Weg vom bisherigen Zustand zum neuen Zustand. || Genau! Darum spricht man von einem «Prozess». - Ein Gerichtsverfahren gegen das Unternehmen. || Nein, «Prozess» bedeutet hier «Ablauf», nicht Gerichtsverfahren. {Ergänzen Sie den Satz: |type="{}"} Veränderungen sind im Berufsleben { normal|Normal|üblich|Üblich|alltäglich|Alltäglich _12 } und kommen regelmässig vor. </quiz> == Schritt 2: Warum verändern sich Unternehmen? (Ursachen) == Unternehmen verändern sich nicht ohne Grund. Man unterscheidet zwei Arten von Ursachen: {| class="wikitable" ! Externe Ursachen (von aussen) ! Interne Ursachen (von innen) |- | * '''Digitalisierung''' und neue Technologien (z. B. künstliche Intelligenz, Cloud) * '''Kundschaft''' hat neue Wünsche (z. B. Onlinebestellung, schnelle Lieferung) * '''Konkurrenz''' wird stärker oder günstiger * neue '''Gesetze''' und Vorschriften (z. B. Datenschutz) * '''Gesellschaft''' und Umwelt (z. B. Nachhaltigkeit, Fachkräftemangel) * '''Wirtschaftslage''' (z. B. Krise, Teuerung) | * neue '''Strategie''' oder neue Ziele * '''Wachstum''' (mehr Aufträge, mehr Personal) * '''Kostendruck''' – das Unternehmen muss sparen * '''Probleme''' in Abläufen (z. B. zu viele Fehler, zu langsam) * neue '''Führung''' oder Fusion mit einer anderen Firma * '''Ideen''' von Mitarbeitenden |} Oft hängen externe und interne Ursachen zusammen: Weil die Konkurrenz günstiger wird (extern), entscheidet die Geschäftsleitung, Kosten zu sparen (intern). <quiz display=simple> {Was ist eine '''externe''' Ursache für eine Veränderung? |type="()"} - Die Geschäftsleitung beschliesst eine neue Strategie. || Das ist intern – der Entscheid kommt aus dem Unternehmen selbst. + Ein neues Datenschutzgesetz tritt in Kraft. || Richtig! Das Gesetz kommt von aussen und das Unternehmen muss sich anpassen. - Ein Team hat zu viele Fehler in der Rechnungsstellung. || Das ist ein internes Problem. {Ordnen Sie zu: Welche Ursachen sind '''intern'''? (Mehrere Antworten möglich) |type="[]"} + Das Unternehmen wächst und stellt 20 neue Leute ein. || Richtig – Wachstum ist eine interne Ursache. - Die Kundschaft möchte vermehrt online bestellen. || Das ist extern: Die Wünsche der Kundschaft kommen von aussen. + Ein neuer CEO möchte die Abteilungen neu organisieren. || Richtig – neue Führung ist eine interne Ursache. - Die Strompreise steigen stark. || Das ist extern: Die Wirtschaftslage kommt von aussen. + Eine Mitarbeiterin schlägt einen einfacheren Ablauf vor. || Richtig – Ideen von Mitarbeitenden sind intern. {Ein Reisebüro merkt, dass immer mehr Kundinnen und Kunden ihre Ferien selbst im Internet buchen. Welche Ursache steckt dahinter? |type="()"} + Digitalisierung und veränderte Kundenwünsche (extern) || Genau. Das Reisebüro muss darauf reagieren, z. B. mit eigenen Online-Angeboten oder spezieller Beratung. - Kostendruck (intern) || Kostendruck kann eine Folge sein, die eigentliche Ursache liegt aber ausserhalb des Unternehmens. - Ein neues Gesetz || Hier ist kein Gesetz im Spiel. {Ergänzen Sie: |type="{}"} Ursachen, die von ausserhalb des Unternehmens kommen, nennt man { extern|externe|Extern|Externe _10 } Ursachen. Ursachen aus dem Unternehmen selbst nennt man { intern|interne|Intern|Interne _10 } Ursachen. </quiz> == Schritt 3: Welche Arten von Veränderungen gibt es? (Merkmale) == Veränderungen lassen sich danach unterscheiden, '''was''' sich verändert: * '''Organisatorische Veränderung:''' Strukturen oder Abläufe ändern sich (z. B. neues Organigramm, neue Zuständigkeiten, neuer Ablauf für Bestellungen). * '''Technologische Veränderung:''' neue Software, neue Geräte, Digitalisierung von Abläufen. * '''Personelle Veränderung:''' neue Vorgesetzte, neue Teammitglieder, Stellenabbau, neue Rollen. * '''Kulturelle Veränderung:''' die Art, wie man zusammenarbeitet, ändert sich (z. B. mehr Eigenverantwortung, Duzen statt Siezen, Homeoffice). Und danach, '''wie stark''' sich etwas verändert: * '''Kleine, schrittweise Veränderungen''' (laufende Verbesserung): Man verbessert Schritt für Schritt, z. B. eine Vorlage wird angepasst. Man nennt das auch '''kontinuierlicher Verbesserungsprozess (KVP)'''. * '''Grosse, grundlegende Veränderungen''' (Umbruch): Vieles ändert sich auf einmal, z. B. eine Fusion oder ein komplett neues Geschäftsmodell. <quiz display=simple> {Ihre Firma führt ein neues CRM-Programm zur Verwaltung der Kundendaten ein. Welche Art von Veränderung ist das hauptsächlich? |type="()"} - personell || Nein, es geht nicht um Personen, sondern um ein Programm. + technologisch || Richtig! Eine neue Software ist eine technologische Veränderung. - kulturell || Nicht in erster Linie – es geht um ein neues Werkzeug. {Die Abteilungen «Einkauf» und «Lager» werden zusammengelegt und haben neu eine gemeinsame Leitung. Welche Art ist das? |type="()"} + organisatorisch (mit personellen Folgen) || Genau. Die Struktur ändert sich – und damit auch, wer wem unterstellt ist. - technologisch || Nein, hier geht es nicht um Technik. - schrittweise Verbesserung einer Vorlage || Nein, das ist eine grössere Veränderung der Struktur. {Welche Beispiele sind '''kleine, schrittweise''' Veränderungen? (Mehrere Antworten möglich) |type="[]"} + Die E-Mail-Vorlage für Offerten wird verbessert. || Richtig – eine kleine Verbesserung. - Die Firma wird von einem ausländischen Konzern übernommen. || Das ist eine grosse, grundlegende Veränderung. + Im Team wird vereinbart, Ablagen neu nach Datum zu benennen. || Richtig – eine kleine Verbesserung im Alltag. - Das Unternehmen gibt sein bisheriges Hauptprodukt auf. || Das ist ein Umbruch, also eine grosse Veränderung. {Ergänzen Sie die Abkürzung: |type="{}"} Laufende, kleine Verbesserungen nennt man «kontinuierlicher Verbesserungsprozess», abgekürzt { KVP|kvp _5 }. </quiz> == Schritt 4: Was bedeutet eine Veränderung für meine Arbeit? (Auswirkungen) == Jede Veränderung hat '''Auswirkungen''' – auf das Unternehmen, auf das Team und auf die eigene Arbeit. Als Kauffrau oder Kaufmann fragen Sie sich: # '''Was ändert sich konkret an meinen Aufgaben?''' (z. B. neue Arbeitsschritte, andere Programme) # '''Was muss ich neu lernen?''' (z. B. Schulung für die neue Software) # '''Mit wem arbeite ich neu zusammen?''' (z. B. neue Ansprechpersonen) # '''Welche Chancen und welche Risiken gibt es?''' Fast jede Veränderung hat '''Chancen''' (z. B. weniger Routinearbeit, neue Fähigkeiten, effizientere Abläufe) und '''Risiken''' (z. B. Mehraufwand in der Einführungsphase, Fehler am Anfang, Unsicherheit, Wegfall von Aufgaben). '''Beispiel:''' Eingangsrechnungen werden neu automatisch eingelesen (Scan-Software statt Abtippen). * Chance: Weniger Tipparbeit, weniger Tippfehler, mehr Zeit für Kontrolle und Kundenkontakt. * Risiko: Am Anfang braucht es Zeit, um das System zu lernen; das System liest vielleicht nicht alles korrekt – man muss gut kontrollieren. <quiz display=simple> {Welche Frage hilft Ihnen am besten, die Auswirkungen einer Veränderung auf Ihren Arbeitsbereich zu analysieren? |type="()"} - «Wer ist schuld daran, dass sich alles ändert?» || Diese Frage hilft nicht weiter. Es geht darum zu verstehen, was sich ändert. + «Was ändert sich konkret an meinen Aufgaben und was muss ich neu lernen?» || Genau! So erkennen Sie die Auswirkungen auf Ihre Arbeit. - «Wie kann ich die Veränderung verhindern?» || Das ist nicht das Ziel. Sie sollen Veränderungen verstehen und mitgestalten. {Ihr Betrieb stellt von Papierakten auf ein digitales Archiv um. Welche Aussagen sind '''Chancen'''? (Mehrere Antworten möglich) |type="[]"} + Dokumente lassen sich schneller finden. || Richtig – eine klare Chance. + Man kann auch im Homeoffice auf die Dokumente zugreifen. || Richtig – mehr Flexibilität. - In den ersten Wochen dauert das Ablegen länger, weil alle das System lernen müssen. || Das ist ein Risiko bzw. ein Nachteil in der Einführungsphase. + Es braucht weniger Platz für Ordner und Archivschränke. || Richtig – eine Chance. {Welche Aussage ist ein '''Risiko''' derselben Umstellung? |type="()"} - Dokumente sind schneller auffindbar. || Das ist eine Chance. + Wenn Zugriffsrechte falsch eingestellt sind, sehen Unbefugte vertrauliche Daten. || Richtig – Datenschutz ist ein wichtiges Risiko bei digitalen Ablagen. - Es wird weniger Papier verbraucht. || Das ist eine Chance (auch für die Umwelt). {Ergänzen Sie: |type="{}"} Fast jede Veränderung bringt sowohl { Chancen|chancen _10 } als auch { Risiken|risiken _10 } mit sich. </quiz> == Schritt 5: Wie läuft ein Veränderungsprozess ab? (Phasen) == [[Datei:3-Phasenmodell von Lewin.png|thumb|mini|[[:w:3-Phasen-Modell von Lewin|3-Phasen-Modell von Lewin]]]] Ein bekanntes, einfaches Modell stammt vom Psychologen '''Kurt Lewin'''. Es beschreibt Veränderung in '''[[:w:3-Phasen-Modell von Lewin|drei Phasen]]''': {| class="wikitable" ! Phase !! Was passiert? !! Beispiel: Einführung einer neuen Software |- | '''1. Auftauen''' (Unfreeze) || Man erklärt, '''warum''' es eine Veränderung braucht. Die Mitarbeitenden werden informiert und einbezogen. || Die Teamleitung erklärt, warum das alte Programm nicht mehr genügt. |- | '''2. Verändern''' (Change / Move) || Das Neue wird eingeführt, ausprobiert und gelernt. Es gibt Schulungen und Unterstützung. || Schulung, Testphase, Fragen klären, erste Erfahrungen. |- | '''3. Einfrieren''' (Refreeze) || Das Neue wird zur '''Gewohnheit''' und fest verankert. || Die neue Software ist der normale Standard, das alte Programm wird abgeschaltet. |} Merksatz: '''Erst verstehen – dann umsetzen – dann festigen.''' <quiz display=simple> {Wie viele Phasen hat das Modell von Kurt Lewin? |type="()"} - zwei || Nein, es sind mehr. + drei || Richtig: Auftauen – Verändern – Einfrieren. - sieben || Nein, Lewins Modell ist bewusst einfach. {Bringen Sie in die richtige Reihenfolge: Welche Phase kommt '''zuerst'''? |type="()"} + Auftauen || Richtig! Zuerst muss man verstehen, warum sich etwas ändern soll. - Verändern || Das ist die zweite Phase. - Einfrieren || Das ist die letzte Phase. {In welcher Phase befindet sich das Team? «Alle haben die Schulung besucht und probieren das neue Programm nun im Alltag aus. Es tauchen noch viele Fragen auf.» |type="()"} - Auftauen || Nein, die Begründung ist schon erfolgt. + Verändern || Genau – das Neue wird ausprobiert und gelernt. - Einfrieren || Noch nicht – das Neue ist noch keine Gewohnheit. {Ergänzen Sie die drei Phasen nach Lewin: |type="{}"} 1. { Auftauen|auftauen _10 } – 2. { Verändern|verändern|Bewegen|bewegen _10 } – 3. { Einfrieren|einfrieren _10 } </quiz> == Schritt 6: Wie reagieren Menschen auf Veränderungen? (Persönlicher Umgang) == Veränderungen lösen '''Gefühle''' aus. Viele Menschen reagieren zuerst skeptisch oder ablehnend. Das ist normal und menschlich. Typische Gründe für '''Widerstand''': * '''Angst''' vor dem Unbekannten («Schaffe ich das?») * '''Unsicherheit''' («Was bedeutet das für meine Stelle?») * '''Gewohnheit''' («Das haben wir immer so gemacht.») * '''Fehlende Information''' («Niemand hat uns erklärt, warum.») * '''Gefühl von Kontrollverlust''' («Wir wurden nicht gefragt.») Viele Menschen durchlaufen dabei ähnliche Gefühlsphasen: zuerst '''Überraschung''' oder Schock, dann '''Ablehnung''', danach langsames '''Verstehen''' und '''Ausprobieren''', und schliesslich '''Akzeptanz''' – das Neue wird normal. '''Was hilft – ein konstruktiver Umgang:''' * sich '''informieren''' und offen bleiben * bei Unklarheiten '''bei der vorgesetzten Person nachfragen''' (statt Gerüchte weiterzuerzählen) * Sorgen '''sachlich ansprechen''' * das Neue '''ausprobieren''' und dazulernen * sich auf die '''Chancen''' konzentrieren <quiz display=simple> {Ihr Kollege sagt: «Das haben wir schon immer so gemacht, wieso sollen wir das ändern?» Welcher Grund für Widerstand steckt dahinter? |type="()"} + Gewohnheit || Richtig! Der gewohnte Ablauf gibt Sicherheit. - Neugier || Nein, Neugier wäre eher eine positive Haltung. - Zu viel Information || Nein, eher das Gegenteil. {Ist es normal, dass Menschen zuerst skeptisch auf Veränderungen reagieren? |type="()"} + Ja, das ist eine normale menschliche Reaktion. || Richtig. Wichtig ist, dass man mit der Zeit konstruktiv damit umgeht. - Nein, gute Mitarbeitende freuen sich immer sofort über alles Neue. || Das ist unrealistisch. Auch gute Mitarbeitende haben Zweifel. {Sie hören in der Kaffeepause das Gerücht, dass Ihre Abteilung bald aufgelöst wird. Sie sind verunsichert. Was ist das beste Verhalten? |type="()"} - Das Gerücht sofort allen weitererzählen. || Das verstärkt die Unsicherheit im ganzen Team. - Nichts sagen und heimlich nach einer neuen Stelle suchen. || Damit klären Sie Ihre Unsicherheit nicht. + Bei der vorgesetzten Person sachlich nachfragen, was geplant ist. || Genau! Bei Unsicherheiten fragen Kaufleute bei der vorgesetzten Person nach (Leistungsziel b5.bt4). - Die Arbeit verweigern, bis alles klar ist. || Das ist nicht professionell und schadet Ihnen. {Welche Verhaltensweisen zeigen einen '''konstruktiven''' Umgang mit Veränderungen? (Mehrere Antworten möglich) |type="[]"} + Sich über die Gründe der Veränderung informieren. || Richtig. + Das Neue ausprobieren, auch wenn es am Anfang ungewohnt ist. || Richtig. - Im Team schlechte Stimmung gegen die Veränderung machen. || Das ist destruktiv. + Sorgen sachlich beim Teamgespräch ansprechen. || Richtig – Kritik ist erlaubt, wenn sie sachlich ist. - Einfach weiterhin nach dem alten Verfahren arbeiten. || Das widerspricht den Vorgaben und führt zu Problemen. {Ergänzen Sie: |type="{}"} Wenn Menschen sich gegen eine Veränderung wehren, spricht man von { Widerstand|widerstand _12 }. </quiz> == Schritt 7: Veränderungen mitgestalten – Ihre Rolle als Kauffrau / Kaufmann == Sie sind bei Veränderungen nicht nur «Betroffene», sondern können '''mitgestalten'''. Der Bildungsplan beschreibt vier Schritte: # '''Informieren:''' Sie informieren sich über Neuerungen und deren Bedeutung für Ihre Arbeit (z. B. Intranet, Teamsitzung, Newsletter). # '''Analysieren und Vorschläge machen:''' Sie überlegen, was die Veränderung für Ihren Arbeitsbereich bedeutet, und schlagen Massnahmen für die Umsetzung vor. # '''Umsetzen:''' Sie setzen neue Aufgaben, Verfahren oder Arbeitsweisen '''nach den Vorgaben der vorgesetzten Stelle''' um. # '''Nachfragen:''' Bei Unsicherheiten fragen Sie bei der vorgesetzten Person nach. '''Ein guter Verbesserungsvorschlag''' ist konkret und begründet. Er beschreibt: * die '''Ausgangslage''' (Was ist das Problem?) * den '''Vorschlag''' (Was genau soll man tun?) * den '''Nutzen''' (Was bringt es? z. B. Zeit, Kosten, Qualität) * den '''Aufwand''' (Was braucht es dafür?) Beispiel: ''«Bei der Einführung des neuen Programms haben viele im Team die gleichen Fragen. Ich schlage vor, dass wir eine kurze FAQ-Liste im Teamordner anlegen. So sparen alle Zeit, und die Teamleitung muss nicht alles mehrmals erklären. Der Aufwand ist gering: ca. eine Stunde pro Woche zum Nachführen.»'' <quiz display=simple> {Was ist der '''erste''' Schritt, wenn eine Veränderung angekündigt wird? |type="()"} + Sich über die Neuerung und ihre Bedeutung für die eigene Arbeit informieren. || Richtig! Ohne Information können Sie weder analysieren noch mitgestalten. - Sofort einen Gegenvorschlag schreiben. || Zuerst sollten Sie verstehen, worum es geht. - Abwarten, bis jemand anderes etwas sagt. || Kaufleute informieren sich aktiv. {Nach wessen Vorgaben setzen Kaufleute neue Verfahren um? |type="()"} - Nach ihren eigenen Vorstellungen. || Nein. Eigene Ideen dürfen Sie einbringen, umgesetzt wird aber nach Vorgabe. + Nach den Vorgaben der vorgesetzten Person bzw. Stelle. || Richtig (Leistungsziel b5.bt3). - Nach den Wünschen der Kundschaft. || Kundenwünsche sind wichtig, die Vorgaben zur Umsetzung kommen aber von den Vorgesetzten. {Was gehört in einen guten Verbesserungsvorschlag? (Mehrere Antworten möglich) |type="[]"} + eine Beschreibung des Problems (Ausgangslage) || Richtig. + ein konkreter Vorschlag || Richtig. + der Nutzen (z. B. Zeit- oder Kostenersparnis) || Richtig. - Kritik an einzelnen Personen || Nein. Ein Vorschlag bleibt sachlich und richtet sich nicht gegen Personen. + der Aufwand, den die Umsetzung braucht || Richtig. {Welcher Vorschlag ist am besten formuliert? |type="()"} - «Das neue System ist schlecht, wir sollten wieder das alte nehmen.» || Kein konkreter, umsetzbarer Vorschlag – nur Kritik. - «Man müsste irgendwas verbessern.» || Zu ungenau. Was genau, und warum? + «Viele Kundenanfragen kommen doppelt, weil die Mailadresse an zwei Orten steht. Ich schlage vor, nur noch eine Adresse zu publizieren. Das spart uns täglich etwa 30 Minuten.» || Ausgezeichnet: Problem, Vorschlag und Nutzen sind klar. {Ergänzen Sie die vier Schritte: |type="{}"} Sich { informieren|Informieren _12 } – Auswirkungen { analysieren|Analysieren _12 } und Vorschläge machen – Veränderungen { umsetzen|Umsetzen _10 } – bei Unsicherheiten { nachfragen|Nachfragen _12 }. </quiz> == Schritt 8: Abschlussquiz – Fallbeispiel == '''Situation:''' Sie arbeiten im Kundendienst der Muster Velo AG. Die Geschäftsleitung informiert: Weil immer mehr Kundinnen und Kunden über WhatsApp und Chat Kontakt aufnehmen wollen und das Telefonaufkommen stark zurückgegangen ist, wird in drei Monaten ein neues Chat-System eingeführt. Die Telefonzeiten werden verkürzt. Alle Mitarbeitenden im Kundendienst erhalten eine Schulung. Einige im Team sind verunsichert und sagen: «Bald braucht es uns gar nicht mehr.» <quiz display=simple> {Welche Ursache hat diese Veränderung hauptsächlich? |type="()"} + extern: veränderte Kundenwünsche und Digitalisierung || Richtig! Die Kundschaft möchte neue Kontaktwege nutzen. - intern: Streit im Team || Davon ist im Fall nicht die Rede. - extern: ein neues Gesetz || Im Fall wird kein Gesetz erwähnt. {Um welche Art(en) von Veränderung handelt es sich? (Mehrere Antworten möglich) |type="[]"} + technologisch (neues Chat-System) || Richtig. + organisatorisch (neue Telefonzeiten, neue Abläufe) || Richtig. - personeller Stellenabbau || Davon steht nichts im Fall – das ist nur eine Befürchtung im Team. {In welcher Phase nach Lewin befindet sich das Unternehmen gerade, als die Geschäftsleitung informiert? |type="()"} + Auftauen || Richtig – die Mitarbeitenden werden informiert, warum es die Veränderung braucht. - Verändern || Das kommt erst, wenn das System eingeführt und geschult wird. - Einfrieren || Das kommt ganz am Schluss. {Welche Auswirkungen auf Ihre kaufmännische Tätigkeit sind wahrscheinlich? (Mehrere Antworten möglich) |type="[]"} + Sie müssen den Umgang mit dem Chat-System lernen. || Richtig. + Sie schreiben mehr kurze, schriftliche Antworten statt zu telefonieren. || Richtig – schriftliche Kommunikation wird wichtiger. + Sie müssen auf korrekte Rechtschreibung und einen freundlichen Ton im Chat achten. || Richtig – auch im Chat zählt professionelle Kommunikation. - Sie haben überhaupt keinen Kundenkontakt mehr. || Nein, der Kontakt läuft nur über einen anderen Kanal. {Die Kolleginnen und Kollegen sagen: «Bald braucht es uns gar nicht mehr.» Welcher Grund für Widerstand ist das? |type="()"} - Gewohnheit || Teilweise vielleicht, aber im Vordergrund steht etwas anderes. + Angst und Unsicherheit um die eigene Stelle || Genau. Diese Sorge ist verständlich und sollte sachlich angesprochen werden. - Langeweile || Nein. {Wie verhalten Sie sich am besten? (Mehrere Antworten möglich) |type="[]"} + Ich frage die Teamleitung, was die Veränderung für unsere Stellen bedeutet. || Richtig – Nachfragen statt Gerüchte. + Ich besuche die Schulung aktiv und probiere das System aus. || Richtig. + Ich schlage vor, gemeinsam Textbausteine für häufige Chat-Fragen zu erstellen. || Ausgezeichnet – ein konkreter Vorschlag zur Umsetzung! - Ich beantworte Chats weiterhin per Telefon, weil ich das besser kann. || Das entspricht nicht den Vorgaben der Vorgesetzten. </quiz> == Zusammenfassung == {| class="wikitable" style="width:100%;" ! Thema !! Das Wichtigste in einem Satz |- | Was ist eine Veränderung? || Eine Neuerung im Betrieb; sie läuft als Prozess vom alten zum neuen Zustand ab. |- | Ursachen || '''Extern''' (Technologie, Kundschaft, Konkurrenz, Gesetze, Gesellschaft, Wirtschaft) und '''intern''' (Strategie, Wachstum, Kosten, Probleme, Führung, Ideen). |- | Arten || Organisatorisch, technologisch, personell, kulturell – klein und schrittweise (KVP) oder gross und grundlegend. |- | Auswirkungen || Jede Veränderung bringt '''Chancen''' und '''Risiken''' für die eigene Arbeit. |- | Phasen (Lewin) || '''Auftauen – Verändern – Einfrieren''' |- | Persönlicher Umgang || Widerstand ist normal; hilfreich sind Information, Offenheit, sachliches Nachfragen und Ausprobieren. |- | Ihre Rolle || '''Informieren – Analysieren und Vorschläge machen – Umsetzen nach Vorgaben – Nachfragen''' |} == Weiterdenken (Reflexionsauftrag) == Denken Sie an eine Veränderung, die Sie in Ihrem Lehrbetrieb oder in der Schule erlebt haben, und beantworten Sie schriftlich: # Was hat sich verändert und warum (Ursache)? # Welche Art von Veränderung war es? # Welche Auswirkungen hatte sie auf Ihre Arbeit (Chancen und Risiken)? # Wie haben Sie und Ihr Umfeld reagiert? # Welchen Verbesserungsvorschlag hätten Sie machen können? <small>Grundlage: Bildungsplan Kauffrau/Kaufmann EFZ, Handlungskompetenz b5 «Betriebliche Veränderungsprozesse mitgestalten» (Leistungsziele b5.bt1–bt4 und b5.bs1a, bs2a–c, bs4a).</small> = Einzelnachweise = <references/> [[Kategorie:Kurs:Kaufleute EFZ/HK B5| ]] 6d9p50fryk3sbs7za9zbsr7z26r6yxs 1118906 1118904 2026-11-05T08:28:13Z Paul Sutermeister 37610 /* Schritt 3: Welche Arten von Veränderungen gibt es? (Merkmale) */ 1118906 wikitext text/x-wiki '''Betriebliche Veränderungsprozesse mitgestalten''' ist Handlungskompetenz [[Kurs:Kaufleute EFZ/Interagieren in einem vernetzten Arbeitsumfeld|B]]5 der [[Kurs:Kaufleute EFZ|Ausbildung ''Kaufleute EFZ'']].<ref>[[:w:Staatssekretariat für Bildung, Forschung und Innovation (SBFI)|SBFI]]: ''[https://www.becc.admin.ch/becc/public/bvz/beruf/show/68800 Kauffrau/Kaufmann EFZ (ab Lehrbeginn 2023)]</ref> <quiz display="simple"> { Ordne die Leistungsziele zu: | typ="()" } | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Unternehmensbezogene Veränderungsprozesse|B5.1]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Aktuelle Entwicklungen in Wirtschaft und Gesellschaft|B5.2]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Betriebliche Massnahmen, Aufgaben, Verfahren oder Arbeitsweisen umsetzen|B5.3]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Persönlicher Umgang mit Veränderungen|B5.4]] +--- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Unternehmensbezogene Veränderungsprozesse|Sie erläutern grundlegende Ursachen, Merkmale und Auswirkungen von unternehmensbezogenen Veränderungsprozessen.]] -+-- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Aktuelle Entwicklungen in Wirtschaft und Gesellschaft|Sie recherchieren aktuelle Entwicklungen im wirtschaftlichen und gesellschaftlichen Bereich und reflektieren Auswirkungen auf Betrieb und Arbeitsbereich.]] Usw… --+- ([[Kurs:Kaufleute EFZ/Betriebliche Massnahmen, Aufgaben, Verfahren oder Arbeitsweisen umsetzen|Sie setzen neue betriebliche Massnahmen, Aufgaben, Verfahren oder Arbeitsweisen entsprechend den Vorgaben der vorgesetzten Stellen um.]] Betriebliches Leistungsziel) ---+ [[Kurs:Kaufleute EFZ/Persönlicher Umgang mit Veränderungen|Sie reflektieren charakteristische Vorgehensweisen im persönlichen Umgang mit Veränderungen in einem Betrieb.]] </quiz> __NOTOC__ = Betriebliche Veränderungsprozesse mitgestalten (Handlungskompetenz b5) = {| class="wikitable" style="width:100%; background:#f5f9ff;" |- | '''Worum geht es?''' Laut Bildungsplan Kaufleute EFZ (Handlungskompetenz b5) gilt: ''«Die Kaufleute informieren sich über betriebliche Veränderungsprozesse und deren Bedeutung für ihren Tätigkeitsbereich. Sie analysieren die Auswirkungen auf ihren Arbeitsbereich, unterbreiten Ideen zur Umsetzung und setzen Veränderungen nach Vorgaben der vorgesetzten Person um.»'' '''So arbeiten Sie mit dieser Seite:''' Sie brauchen kein Vorwissen. Lesen Sie zuerst jeweils den kurzen Erklärtext und lösen Sie dann die Fragen dazu. Die Schritte bauen aufeinander auf. Klicken Sie am Ende jedes Quiz auf «Antworten überprüfen» und lesen Sie die Rückmeldungen. |} == Schritt 1: Was ist eine betriebliche Veränderung? == Ein Betrieb bleibt nie gleich. Immer wieder ändert sich etwas: Es kommt eine neue Software, ein Ablauf wird neu organisiert, eine Abteilung zieht um oder das Unternehmen bietet ein neues Produkt an. Eine '''betriebliche Veränderung''' ist also jede Neuerung, die die Arbeit, die Abläufe, die Strukturen oder die Zusammenarbeit in einem Unternehmen verändert. Ein '''Veränderungsprozess''' ist der ganze Weg vom bisherigen Zustand («so war es») zum neuen Zustand («so ist es jetzt»). Ein Prozess braucht Zeit – Veränderungen passieren selten von heute auf morgen. Wichtig: Veränderungen sind im Berufsleben '''normal'''. Wer im Büro arbeitet, erlebt sie regelmässig. <quiz display=simple> {Was versteht man unter einer betrieblichen Veränderung? |type="()"} - Eine Änderung im Privatleben einer Mitarbeiterin. || Nein. Es geht um Neuerungen im Unternehmen, nicht im Privatleben. + Eine Neuerung, die Arbeit, Abläufe, Strukturen oder Zusammenarbeit im Unternehmen verändert. || Richtig! Das ist die Grundidee. - Ein Fehler, der im Betrieb passiert ist. || Nein. Eine Veränderung ist kein Fehler, sondern eine Neuerung. {Welche der folgenden Beispiele sind betriebliche Veränderungen? (Mehrere Antworten möglich) |type="[]"} + Die Firma führt ein neues Buchhaltungsprogramm ein. || Richtig – eine technologische Veränderung. + Rechnungen werden neu nur noch digital statt auf Papier verschickt. || Richtig – ein Arbeitsablauf ändert sich. + Zwei Abteilungen werden zu einer zusammengelegt. || Richtig – die Organisation ändert sich. - Sie trinken in der Pause lieber Tee statt Kaffee. || Das ist eine persönliche Gewohnheit, keine betriebliche Veränderung. + Das Unternehmen erlaubt neu Homeoffice an zwei Tagen pro Woche. || Richtig – die Arbeitsweise ändert sich. {Was bedeutet «Veränderungsprozess»? |type="()"} - Ein einzelner Moment, in dem alles sofort neu ist. || Nein. Veränderungen brauchen in der Regel Zeit. + Der ganze Weg vom bisherigen Zustand zum neuen Zustand. || Genau! Darum spricht man von einem «Prozess». - Ein Gerichtsverfahren gegen das Unternehmen. || Nein, «Prozess» bedeutet hier «Ablauf», nicht Gerichtsverfahren. {Ergänzen Sie den Satz: |type="{}"} Veränderungen sind im Berufsleben { normal|Normal|üblich|Üblich|alltäglich|Alltäglich _12 } und kommen regelmässig vor. </quiz> == Schritt 2: Warum verändern sich Unternehmen? (Ursachen) == Unternehmen verändern sich nicht ohne Grund. Man unterscheidet zwei Arten von Ursachen: {| class="wikitable" ! Externe Ursachen (von aussen) ! Interne Ursachen (von innen) |- | * '''Digitalisierung''' und neue Technologien (z. B. künstliche Intelligenz, Cloud) * '''Kundschaft''' hat neue Wünsche (z. B. Onlinebestellung, schnelle Lieferung) * '''Konkurrenz''' wird stärker oder günstiger * neue '''Gesetze''' und Vorschriften (z. B. Datenschutz) * '''Gesellschaft''' und Umwelt (z. B. Nachhaltigkeit, Fachkräftemangel) * '''Wirtschaftslage''' (z. B. Krise, Teuerung) | * neue '''Strategie''' oder neue Ziele * '''Wachstum''' (mehr Aufträge, mehr Personal) * '''Kostendruck''' – das Unternehmen muss sparen * '''Probleme''' in Abläufen (z. B. zu viele Fehler, zu langsam) * neue '''Führung''' oder Fusion mit einer anderen Firma * '''Ideen''' von Mitarbeitenden |} Oft hängen externe und interne Ursachen zusammen: Weil die Konkurrenz günstiger wird (extern), entscheidet die Geschäftsleitung, Kosten zu sparen (intern). <quiz display=simple> {Was ist eine '''externe''' Ursache für eine Veränderung? |type="()"} - Die Geschäftsleitung beschliesst eine neue Strategie. || Das ist intern – der Entscheid kommt aus dem Unternehmen selbst. + Ein neues Datenschutzgesetz tritt in Kraft. || Richtig! Das Gesetz kommt von aussen und das Unternehmen muss sich anpassen. - Ein Team hat zu viele Fehler in der Rechnungsstellung. || Das ist ein internes Problem. {Ordnen Sie zu: Welche Ursachen sind '''intern'''? (Mehrere Antworten möglich) |type="[]"} + Das Unternehmen wächst und stellt 20 neue Leute ein. || Richtig – Wachstum ist eine interne Ursache. - Die Kundschaft möchte vermehrt online bestellen. || Das ist extern: Die Wünsche der Kundschaft kommen von aussen. + Ein neuer CEO möchte die Abteilungen neu organisieren. || Richtig – neue Führung ist eine interne Ursache. - Die Strompreise steigen stark. || Das ist extern: Die Wirtschaftslage kommt von aussen. + Eine Mitarbeiterin schlägt einen einfacheren Ablauf vor. || Richtig – Ideen von Mitarbeitenden sind intern. {Ein Reisebüro merkt, dass immer mehr Kundinnen und Kunden ihre Ferien selbst im Internet buchen. Welche Ursache steckt dahinter? |type="()"} + Digitalisierung und veränderte Kundenwünsche (extern) || Genau. Das Reisebüro muss darauf reagieren, z. B. mit eigenen Online-Angeboten oder spezieller Beratung. - Kostendruck (intern) || Kostendruck kann eine Folge sein, die eigentliche Ursache liegt aber ausserhalb des Unternehmens. - Ein neues Gesetz || Hier ist kein Gesetz im Spiel. {Ergänzen Sie: |type="{}"} Ursachen, die von ausserhalb des Unternehmens kommen, nennt man { extern|externe|Extern|Externe _10 } Ursachen. Ursachen aus dem Unternehmen selbst nennt man { intern|interne|Intern|Interne _10 } Ursachen. </quiz> == Schritt 3: Welche Arten von Veränderungen gibt es? (Merkmale) == [[Datei:PDCA-Kreis (Qualitätsmanagement) mit Beschriftung.svg|thumb|mini|[[:w:Kontinuierlicher Verbesserungsprozess|Kontinuierlicher Verbesserungsprozess]]]] Veränderungen lassen sich danach unterscheiden, '''was''' sich verändert: * '''Organisatorische Veränderung:''' Strukturen oder Abläufe ändern sich (z. B. neues Organigramm, neue Zuständigkeiten, neuer Ablauf für Bestellungen). * '''Technologische Veränderung:''' neue Software, neue Geräte, Digitalisierung von Abläufen. * '''Personelle Veränderung:''' neue Vorgesetzte, neue Teammitglieder, Stellenabbau, neue Rollen. * '''Kulturelle Veränderung:''' die Art, wie man zusammenarbeitet, ändert sich (z. B. mehr Eigenverantwortung, Duzen statt Siezen, Homeoffice). Und danach, '''wie stark''' sich etwas verändert: * '''Kleine, schrittweise Veränderungen''' (laufende Verbesserung): Man verbessert Schritt für Schritt, z. B. eine Vorlage wird angepasst. Man nennt das auch '''[[:w:Kontinuierlicher Verbesserungsprozess|Kontinuierlicher Verbesserungsprozess (KVP)]]'''. * '''Grosse, grundlegende Veränderungen''' (Umbruch): Vieles ändert sich auf einmal, z. B. eine Fusion oder ein komplett neues Geschäftsmodell. <quiz display=simple> {Ihre Firma führt ein neues CRM-Programm zur Verwaltung der Kundendaten ein. Welche Art von Veränderung ist das hauptsächlich? |type="()"} - personell || Nein, es geht nicht um Personen, sondern um ein Programm. + technologisch || Richtig! Eine neue Software ist eine technologische Veränderung. - kulturell || Nicht in erster Linie – es geht um ein neues Werkzeug. {Die Abteilungen «Einkauf» und «Lager» werden zusammengelegt und haben neu eine gemeinsame Leitung. Welche Art ist das? |type="()"} + organisatorisch (mit personellen Folgen) || Genau. Die Struktur ändert sich – und damit auch, wer wem unterstellt ist. - technologisch || Nein, hier geht es nicht um Technik. - schrittweise Verbesserung einer Vorlage || Nein, das ist eine grössere Veränderung der Struktur. {Welche Beispiele sind '''kleine, schrittweise''' Veränderungen? (Mehrere Antworten möglich) |type="[]"} + Die E-Mail-Vorlage für Offerten wird verbessert. || Richtig – eine kleine Verbesserung. - Die Firma wird von einem ausländischen Konzern übernommen. || Das ist eine grosse, grundlegende Veränderung. + Im Team wird vereinbart, Ablagen neu nach Datum zu benennen. || Richtig – eine kleine Verbesserung im Alltag. - Das Unternehmen gibt sein bisheriges Hauptprodukt auf. || Das ist ein Umbruch, also eine grosse Veränderung. {Ergänzen Sie die Abkürzung: |type="{}"} Laufende, kleine Verbesserungen nennt man «kontinuierlicher Verbesserungsprozess», abgekürzt { KVP|kvp _5 }. </quiz> == Schritt 4: Was bedeutet eine Veränderung für meine Arbeit? (Auswirkungen) == Jede Veränderung hat '''Auswirkungen''' – auf das Unternehmen, auf das Team und auf die eigene Arbeit. Als Kauffrau oder Kaufmann fragen Sie sich: # '''Was ändert sich konkret an meinen Aufgaben?''' (z. B. neue Arbeitsschritte, andere Programme) # '''Was muss ich neu lernen?''' (z. B. Schulung für die neue Software) # '''Mit wem arbeite ich neu zusammen?''' (z. B. neue Ansprechpersonen) # '''Welche Chancen und welche Risiken gibt es?''' Fast jede Veränderung hat '''Chancen''' (z. B. weniger Routinearbeit, neue Fähigkeiten, effizientere Abläufe) und '''Risiken''' (z. B. Mehraufwand in der Einführungsphase, Fehler am Anfang, Unsicherheit, Wegfall von Aufgaben). '''Beispiel:''' Eingangsrechnungen werden neu automatisch eingelesen (Scan-Software statt Abtippen). * Chance: Weniger Tipparbeit, weniger Tippfehler, mehr Zeit für Kontrolle und Kundenkontakt. * Risiko: Am Anfang braucht es Zeit, um das System zu lernen; das System liest vielleicht nicht alles korrekt – man muss gut kontrollieren. <quiz display=simple> {Welche Frage hilft Ihnen am besten, die Auswirkungen einer Veränderung auf Ihren Arbeitsbereich zu analysieren? |type="()"} - «Wer ist schuld daran, dass sich alles ändert?» || Diese Frage hilft nicht weiter. Es geht darum zu verstehen, was sich ändert. + «Was ändert sich konkret an meinen Aufgaben und was muss ich neu lernen?» || Genau! So erkennen Sie die Auswirkungen auf Ihre Arbeit. - «Wie kann ich die Veränderung verhindern?» || Das ist nicht das Ziel. Sie sollen Veränderungen verstehen und mitgestalten. {Ihr Betrieb stellt von Papierakten auf ein digitales Archiv um. Welche Aussagen sind '''Chancen'''? (Mehrere Antworten möglich) |type="[]"} + Dokumente lassen sich schneller finden. || Richtig – eine klare Chance. + Man kann auch im Homeoffice auf die Dokumente zugreifen. || Richtig – mehr Flexibilität. - In den ersten Wochen dauert das Ablegen länger, weil alle das System lernen müssen. || Das ist ein Risiko bzw. ein Nachteil in der Einführungsphase. + Es braucht weniger Platz für Ordner und Archivschränke. || Richtig – eine Chance. {Welche Aussage ist ein '''Risiko''' derselben Umstellung? |type="()"} - Dokumente sind schneller auffindbar. || Das ist eine Chance. + Wenn Zugriffsrechte falsch eingestellt sind, sehen Unbefugte vertrauliche Daten. || Richtig – Datenschutz ist ein wichtiges Risiko bei digitalen Ablagen. - Es wird weniger Papier verbraucht. || Das ist eine Chance (auch für die Umwelt). {Ergänzen Sie: |type="{}"} Fast jede Veränderung bringt sowohl { Chancen|chancen _10 } als auch { Risiken|risiken _10 } mit sich. </quiz> == Schritt 5: Wie läuft ein Veränderungsprozess ab? (Phasen) == [[Datei:3-Phasenmodell von Lewin.png|thumb|mini|[[:w:3-Phasen-Modell von Lewin|3-Phasen-Modell von Lewin]]]] Ein bekanntes, einfaches Modell stammt vom Psychologen '''Kurt Lewin'''. Es beschreibt Veränderung in '''[[:w:3-Phasen-Modell von Lewin|drei Phasen]]''': {| class="wikitable" ! Phase !! Was passiert? !! Beispiel: Einführung einer neuen Software |- | '''1. Auftauen''' (Unfreeze) || Man erklärt, '''warum''' es eine Veränderung braucht. Die Mitarbeitenden werden informiert und einbezogen. || Die Teamleitung erklärt, warum das alte Programm nicht mehr genügt. |- | '''2. Verändern''' (Change / Move) || Das Neue wird eingeführt, ausprobiert und gelernt. Es gibt Schulungen und Unterstützung. || Schulung, Testphase, Fragen klären, erste Erfahrungen. |- | '''3. Einfrieren''' (Refreeze) || Das Neue wird zur '''Gewohnheit''' und fest verankert. || Die neue Software ist der normale Standard, das alte Programm wird abgeschaltet. |} Merksatz: '''Erst verstehen – dann umsetzen – dann festigen.''' <quiz display=simple> {Wie viele Phasen hat das Modell von Kurt Lewin? |type="()"} - zwei || Nein, es sind mehr. + drei || Richtig: Auftauen – Verändern – Einfrieren. - sieben || Nein, Lewins Modell ist bewusst einfach. {Bringen Sie in die richtige Reihenfolge: Welche Phase kommt '''zuerst'''? |type="()"} + Auftauen || Richtig! Zuerst muss man verstehen, warum sich etwas ändern soll. - Verändern || Das ist die zweite Phase. - Einfrieren || Das ist die letzte Phase. {In welcher Phase befindet sich das Team? «Alle haben die Schulung besucht und probieren das neue Programm nun im Alltag aus. Es tauchen noch viele Fragen auf.» |type="()"} - Auftauen || Nein, die Begründung ist schon erfolgt. + Verändern || Genau – das Neue wird ausprobiert und gelernt. - Einfrieren || Noch nicht – das Neue ist noch keine Gewohnheit. {Ergänzen Sie die drei Phasen nach Lewin: |type="{}"} 1. { Auftauen|auftauen _10 } – 2. { Verändern|verändern|Bewegen|bewegen _10 } – 3. { Einfrieren|einfrieren _10 } </quiz> == Schritt 6: Wie reagieren Menschen auf Veränderungen? (Persönlicher Umgang) == Veränderungen lösen '''Gefühle''' aus. Viele Menschen reagieren zuerst skeptisch oder ablehnend. Das ist normal und menschlich. Typische Gründe für '''Widerstand''': * '''Angst''' vor dem Unbekannten («Schaffe ich das?») * '''Unsicherheit''' («Was bedeutet das für meine Stelle?») * '''Gewohnheit''' («Das haben wir immer so gemacht.») * '''Fehlende Information''' («Niemand hat uns erklärt, warum.») * '''Gefühl von Kontrollverlust''' («Wir wurden nicht gefragt.») Viele Menschen durchlaufen dabei ähnliche Gefühlsphasen: zuerst '''Überraschung''' oder Schock, dann '''Ablehnung''', danach langsames '''Verstehen''' und '''Ausprobieren''', und schliesslich '''Akzeptanz''' – das Neue wird normal. '''Was hilft – ein konstruktiver Umgang:''' * sich '''informieren''' und offen bleiben * bei Unklarheiten '''bei der vorgesetzten Person nachfragen''' (statt Gerüchte weiterzuerzählen) * Sorgen '''sachlich ansprechen''' * das Neue '''ausprobieren''' und dazulernen * sich auf die '''Chancen''' konzentrieren <quiz display=simple> {Ihr Kollege sagt: «Das haben wir schon immer so gemacht, wieso sollen wir das ändern?» Welcher Grund für Widerstand steckt dahinter? |type="()"} + Gewohnheit || Richtig! Der gewohnte Ablauf gibt Sicherheit. - Neugier || Nein, Neugier wäre eher eine positive Haltung. - Zu viel Information || Nein, eher das Gegenteil. {Ist es normal, dass Menschen zuerst skeptisch auf Veränderungen reagieren? |type="()"} + Ja, das ist eine normale menschliche Reaktion. || Richtig. Wichtig ist, dass man mit der Zeit konstruktiv damit umgeht. - Nein, gute Mitarbeitende freuen sich immer sofort über alles Neue. || Das ist unrealistisch. Auch gute Mitarbeitende haben Zweifel. {Sie hören in der Kaffeepause das Gerücht, dass Ihre Abteilung bald aufgelöst wird. Sie sind verunsichert. Was ist das beste Verhalten? |type="()"} - Das Gerücht sofort allen weitererzählen. || Das verstärkt die Unsicherheit im ganzen Team. - Nichts sagen und heimlich nach einer neuen Stelle suchen. || Damit klären Sie Ihre Unsicherheit nicht. + Bei der vorgesetzten Person sachlich nachfragen, was geplant ist. || Genau! Bei Unsicherheiten fragen Kaufleute bei der vorgesetzten Person nach (Leistungsziel b5.bt4). - Die Arbeit verweigern, bis alles klar ist. || Das ist nicht professionell und schadet Ihnen. {Welche Verhaltensweisen zeigen einen '''konstruktiven''' Umgang mit Veränderungen? (Mehrere Antworten möglich) |type="[]"} + Sich über die Gründe der Veränderung informieren. || Richtig. + Das Neue ausprobieren, auch wenn es am Anfang ungewohnt ist. || Richtig. - Im Team schlechte Stimmung gegen die Veränderung machen. || Das ist destruktiv. + Sorgen sachlich beim Teamgespräch ansprechen. || Richtig – Kritik ist erlaubt, wenn sie sachlich ist. - Einfach weiterhin nach dem alten Verfahren arbeiten. || Das widerspricht den Vorgaben und führt zu Problemen. {Ergänzen Sie: |type="{}"} Wenn Menschen sich gegen eine Veränderung wehren, spricht man von { Widerstand|widerstand _12 }. </quiz> == Schritt 7: Veränderungen mitgestalten – Ihre Rolle als Kauffrau / Kaufmann == Sie sind bei Veränderungen nicht nur «Betroffene», sondern können '''mitgestalten'''. Der Bildungsplan beschreibt vier Schritte: # '''Informieren:''' Sie informieren sich über Neuerungen und deren Bedeutung für Ihre Arbeit (z. B. Intranet, Teamsitzung, Newsletter). # '''Analysieren und Vorschläge machen:''' Sie überlegen, was die Veränderung für Ihren Arbeitsbereich bedeutet, und schlagen Massnahmen für die Umsetzung vor. # '''Umsetzen:''' Sie setzen neue Aufgaben, Verfahren oder Arbeitsweisen '''nach den Vorgaben der vorgesetzten Stelle''' um. # '''Nachfragen:''' Bei Unsicherheiten fragen Sie bei der vorgesetzten Person nach. '''Ein guter Verbesserungsvorschlag''' ist konkret und begründet. Er beschreibt: * die '''Ausgangslage''' (Was ist das Problem?) * den '''Vorschlag''' (Was genau soll man tun?) * den '''Nutzen''' (Was bringt es? z. B. Zeit, Kosten, Qualität) * den '''Aufwand''' (Was braucht es dafür?) Beispiel: ''«Bei der Einführung des neuen Programms haben viele im Team die gleichen Fragen. Ich schlage vor, dass wir eine kurze FAQ-Liste im Teamordner anlegen. So sparen alle Zeit, und die Teamleitung muss nicht alles mehrmals erklären. Der Aufwand ist gering: ca. eine Stunde pro Woche zum Nachführen.»'' <quiz display=simple> {Was ist der '''erste''' Schritt, wenn eine Veränderung angekündigt wird? |type="()"} + Sich über die Neuerung und ihre Bedeutung für die eigene Arbeit informieren. || Richtig! Ohne Information können Sie weder analysieren noch mitgestalten. - Sofort einen Gegenvorschlag schreiben. || Zuerst sollten Sie verstehen, worum es geht. - Abwarten, bis jemand anderes etwas sagt. || Kaufleute informieren sich aktiv. {Nach wessen Vorgaben setzen Kaufleute neue Verfahren um? |type="()"} - Nach ihren eigenen Vorstellungen. || Nein. Eigene Ideen dürfen Sie einbringen, umgesetzt wird aber nach Vorgabe. + Nach den Vorgaben der vorgesetzten Person bzw. Stelle. || Richtig (Leistungsziel b5.bt3). - Nach den Wünschen der Kundschaft. || Kundenwünsche sind wichtig, die Vorgaben zur Umsetzung kommen aber von den Vorgesetzten. {Was gehört in einen guten Verbesserungsvorschlag? (Mehrere Antworten möglich) |type="[]"} + eine Beschreibung des Problems (Ausgangslage) || Richtig. + ein konkreter Vorschlag || Richtig. + der Nutzen (z. B. Zeit- oder Kostenersparnis) || Richtig. - Kritik an einzelnen Personen || Nein. Ein Vorschlag bleibt sachlich und richtet sich nicht gegen Personen. + der Aufwand, den die Umsetzung braucht || Richtig. {Welcher Vorschlag ist am besten formuliert? |type="()"} - «Das neue System ist schlecht, wir sollten wieder das alte nehmen.» || Kein konkreter, umsetzbarer Vorschlag – nur Kritik. - «Man müsste irgendwas verbessern.» || Zu ungenau. Was genau, und warum? + «Viele Kundenanfragen kommen doppelt, weil die Mailadresse an zwei Orten steht. Ich schlage vor, nur noch eine Adresse zu publizieren. Das spart uns täglich etwa 30 Minuten.» || Ausgezeichnet: Problem, Vorschlag und Nutzen sind klar. {Ergänzen Sie die vier Schritte: |type="{}"} Sich { informieren|Informieren _12 } – Auswirkungen { analysieren|Analysieren _12 } und Vorschläge machen – Veränderungen { umsetzen|Umsetzen _10 } – bei Unsicherheiten { nachfragen|Nachfragen _12 }. </quiz> == Schritt 8: Abschlussquiz – Fallbeispiel == '''Situation:''' Sie arbeiten im Kundendienst der Muster Velo AG. Die Geschäftsleitung informiert: Weil immer mehr Kundinnen und Kunden über WhatsApp und Chat Kontakt aufnehmen wollen und das Telefonaufkommen stark zurückgegangen ist, wird in drei Monaten ein neues Chat-System eingeführt. Die Telefonzeiten werden verkürzt. Alle Mitarbeitenden im Kundendienst erhalten eine Schulung. Einige im Team sind verunsichert und sagen: «Bald braucht es uns gar nicht mehr.» <quiz display=simple> {Welche Ursache hat diese Veränderung hauptsächlich? |type="()"} + extern: veränderte Kundenwünsche und Digitalisierung || Richtig! Die Kundschaft möchte neue Kontaktwege nutzen. - intern: Streit im Team || Davon ist im Fall nicht die Rede. - extern: ein neues Gesetz || Im Fall wird kein Gesetz erwähnt. {Um welche Art(en) von Veränderung handelt es sich? (Mehrere Antworten möglich) |type="[]"} + technologisch (neues Chat-System) || Richtig. + organisatorisch (neue Telefonzeiten, neue Abläufe) || Richtig. - personeller Stellenabbau || Davon steht nichts im Fall – das ist nur eine Befürchtung im Team. {In welcher Phase nach Lewin befindet sich das Unternehmen gerade, als die Geschäftsleitung informiert? |type="()"} + Auftauen || Richtig – die Mitarbeitenden werden informiert, warum es die Veränderung braucht. - Verändern || Das kommt erst, wenn das System eingeführt und geschult wird. - Einfrieren || Das kommt ganz am Schluss. {Welche Auswirkungen auf Ihre kaufmännische Tätigkeit sind wahrscheinlich? (Mehrere Antworten möglich) |type="[]"} + Sie müssen den Umgang mit dem Chat-System lernen. || Richtig. + Sie schreiben mehr kurze, schriftliche Antworten statt zu telefonieren. || Richtig – schriftliche Kommunikation wird wichtiger. + Sie müssen auf korrekte Rechtschreibung und einen freundlichen Ton im Chat achten. || Richtig – auch im Chat zählt professionelle Kommunikation. - Sie haben überhaupt keinen Kundenkontakt mehr. || Nein, der Kontakt läuft nur über einen anderen Kanal. {Die Kolleginnen und Kollegen sagen: «Bald braucht es uns gar nicht mehr.» Welcher Grund für Widerstand ist das? |type="()"} - Gewohnheit || Teilweise vielleicht, aber im Vordergrund steht etwas anderes. + Angst und Unsicherheit um die eigene Stelle || Genau. Diese Sorge ist verständlich und sollte sachlich angesprochen werden. - Langeweile || Nein. {Wie verhalten Sie sich am besten? (Mehrere Antworten möglich) |type="[]"} + Ich frage die Teamleitung, was die Veränderung für unsere Stellen bedeutet. || Richtig – Nachfragen statt Gerüchte. + Ich besuche die Schulung aktiv und probiere das System aus. || Richtig. + Ich schlage vor, gemeinsam Textbausteine für häufige Chat-Fragen zu erstellen. || Ausgezeichnet – ein konkreter Vorschlag zur Umsetzung! - Ich beantworte Chats weiterhin per Telefon, weil ich das besser kann. || Das entspricht nicht den Vorgaben der Vorgesetzten. </quiz> == Zusammenfassung == {| class="wikitable" style="width:100%;" ! Thema !! Das Wichtigste in einem Satz |- | Was ist eine Veränderung? || Eine Neuerung im Betrieb; sie läuft als Prozess vom alten zum neuen Zustand ab. |- | Ursachen || '''Extern''' (Technologie, Kundschaft, Konkurrenz, Gesetze, Gesellschaft, Wirtschaft) und '''intern''' (Strategie, Wachstum, Kosten, Probleme, Führung, Ideen). |- | Arten || Organisatorisch, technologisch, personell, kulturell – klein und schrittweise (KVP) oder gross und grundlegend. |- | Auswirkungen || Jede Veränderung bringt '''Chancen''' und '''Risiken''' für die eigene Arbeit. |- | Phasen (Lewin) || '''Auftauen – Verändern – Einfrieren''' |- | Persönlicher Umgang || Widerstand ist normal; hilfreich sind Information, Offenheit, sachliches Nachfragen und Ausprobieren. |- | Ihre Rolle || '''Informieren – Analysieren und Vorschläge machen – Umsetzen nach Vorgaben – Nachfragen''' |} == Weiterdenken (Reflexionsauftrag) == Denken Sie an eine Veränderung, die Sie in Ihrem Lehrbetrieb oder in der Schule erlebt haben, und beantworten Sie schriftlich: # Was hat sich verändert und warum (Ursache)? # Welche Art von Veränderung war es? # Welche Auswirkungen hatte sie auf Ihre Arbeit (Chancen und Risiken)? # Wie haben Sie und Ihr Umfeld reagiert? # Welchen Verbesserungsvorschlag hätten Sie machen können? <small>Grundlage: Bildungsplan Kauffrau/Kaufmann EFZ, Handlungskompetenz b5 «Betriebliche Veränderungsprozesse mitgestalten» (Leistungsziele b5.bt1–bt4 und b5.bs1a, bs2a–c, bs4a).</small> = Einzelnachweise = <references/> [[Kategorie:Kurs:Kaufleute EFZ/HK B5| ]] 29uwbte2945zbw0v6fdfbp3wcuy5tm3 1118908 1118906 2026-11-05T08:33:41Z Paul Sutermeister 37610 /* Schritt 3: Welche Arten von Veränderungen gibt es? (Merkmale) */ 1118908 wikitext text/x-wiki '''Betriebliche Veränderungsprozesse mitgestalten''' ist Handlungskompetenz [[Kurs:Kaufleute EFZ/Interagieren in einem vernetzten Arbeitsumfeld|B]]5 der [[Kurs:Kaufleute EFZ|Ausbildung ''Kaufleute EFZ'']].<ref>[[:w:Staatssekretariat für Bildung, Forschung und Innovation (SBFI)|SBFI]]: ''[https://www.becc.admin.ch/becc/public/bvz/beruf/show/68800 Kauffrau/Kaufmann EFZ (ab Lehrbeginn 2023)]</ref> <quiz display="simple"> { Ordne die Leistungsziele zu: | typ="()" } | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Unternehmensbezogene Veränderungsprozesse|B5.1]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Aktuelle Entwicklungen in Wirtschaft und Gesellschaft|B5.2]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Betriebliche Massnahmen, Aufgaben, Verfahren oder Arbeitsweisen umsetzen|B5.3]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Persönlicher Umgang mit Veränderungen|B5.4]] +--- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Unternehmensbezogene Veränderungsprozesse|Sie erläutern grundlegende Ursachen, Merkmale und Auswirkungen von unternehmensbezogenen Veränderungsprozessen.]] -+-- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Aktuelle Entwicklungen in Wirtschaft und Gesellschaft|Sie recherchieren aktuelle Entwicklungen im wirtschaftlichen und gesellschaftlichen Bereich und reflektieren Auswirkungen auf Betrieb und Arbeitsbereich.]] Usw… --+- ([[Kurs:Kaufleute EFZ/Betriebliche Massnahmen, Aufgaben, Verfahren oder Arbeitsweisen umsetzen|Sie setzen neue betriebliche Massnahmen, Aufgaben, Verfahren oder Arbeitsweisen entsprechend den Vorgaben der vorgesetzten Stellen um.]] Betriebliches Leistungsziel) ---+ [[Kurs:Kaufleute EFZ/Persönlicher Umgang mit Veränderungen|Sie reflektieren charakteristische Vorgehensweisen im persönlichen Umgang mit Veränderungen in einem Betrieb.]] </quiz> __NOTOC__ = Betriebliche Veränderungsprozesse mitgestalten (Handlungskompetenz b5) = {| class="wikitable" style="width:100%; background:#f5f9ff;" |- | '''Worum geht es?''' Laut Bildungsplan Kaufleute EFZ (Handlungskompetenz b5) gilt: ''«Die Kaufleute informieren sich über betriebliche Veränderungsprozesse und deren Bedeutung für ihren Tätigkeitsbereich. Sie analysieren die Auswirkungen auf ihren Arbeitsbereich, unterbreiten Ideen zur Umsetzung und setzen Veränderungen nach Vorgaben der vorgesetzten Person um.»'' '''So arbeiten Sie mit dieser Seite:''' Sie brauchen kein Vorwissen. Lesen Sie zuerst jeweils den kurzen Erklärtext und lösen Sie dann die Fragen dazu. Die Schritte bauen aufeinander auf. Klicken Sie am Ende jedes Quiz auf «Antworten überprüfen» und lesen Sie die Rückmeldungen. |} == Schritt 1: Was ist eine betriebliche Veränderung? == Ein Betrieb bleibt nie gleich. Immer wieder ändert sich etwas: Es kommt eine neue Software, ein Ablauf wird neu organisiert, eine Abteilung zieht um oder das Unternehmen bietet ein neues Produkt an. Eine '''betriebliche Veränderung''' ist also jede Neuerung, die die Arbeit, die Abläufe, die Strukturen oder die Zusammenarbeit in einem Unternehmen verändert. Ein '''Veränderungsprozess''' ist der ganze Weg vom bisherigen Zustand («so war es») zum neuen Zustand («so ist es jetzt»). Ein Prozess braucht Zeit – Veränderungen passieren selten von heute auf morgen. Wichtig: Veränderungen sind im Berufsleben '''normal'''. Wer im Büro arbeitet, erlebt sie regelmässig. <quiz display=simple> {Was versteht man unter einer betrieblichen Veränderung? |type="()"} - Eine Änderung im Privatleben einer Mitarbeiterin. || Nein. Es geht um Neuerungen im Unternehmen, nicht im Privatleben. + Eine Neuerung, die Arbeit, Abläufe, Strukturen oder Zusammenarbeit im Unternehmen verändert. || Richtig! Das ist die Grundidee. - Ein Fehler, der im Betrieb passiert ist. || Nein. Eine Veränderung ist kein Fehler, sondern eine Neuerung. {Welche der folgenden Beispiele sind betriebliche Veränderungen? (Mehrere Antworten möglich) |type="[]"} + Die Firma führt ein neues Buchhaltungsprogramm ein. || Richtig – eine technologische Veränderung. + Rechnungen werden neu nur noch digital statt auf Papier verschickt. || Richtig – ein Arbeitsablauf ändert sich. + Zwei Abteilungen werden zu einer zusammengelegt. || Richtig – die Organisation ändert sich. - Sie trinken in der Pause lieber Tee statt Kaffee. || Das ist eine persönliche Gewohnheit, keine betriebliche Veränderung. + Das Unternehmen erlaubt neu Homeoffice an zwei Tagen pro Woche. || Richtig – die Arbeitsweise ändert sich. {Was bedeutet «Veränderungsprozess»? |type="()"} - Ein einzelner Moment, in dem alles sofort neu ist. || Nein. Veränderungen brauchen in der Regel Zeit. + Der ganze Weg vom bisherigen Zustand zum neuen Zustand. || Genau! Darum spricht man von einem «Prozess». - Ein Gerichtsverfahren gegen das Unternehmen. || Nein, «Prozess» bedeutet hier «Ablauf», nicht Gerichtsverfahren. {Ergänzen Sie den Satz: |type="{}"} Veränderungen sind im Berufsleben { normal|Normal|üblich|Üblich|alltäglich|Alltäglich _12 } und kommen regelmässig vor. </quiz> == Schritt 2: Warum verändern sich Unternehmen? (Ursachen) == Unternehmen verändern sich nicht ohne Grund. Man unterscheidet zwei Arten von Ursachen: {| class="wikitable" ! Externe Ursachen (von aussen) ! Interne Ursachen (von innen) |- | * '''Digitalisierung''' und neue Technologien (z. B. künstliche Intelligenz, Cloud) * '''Kundschaft''' hat neue Wünsche (z. B. Onlinebestellung, schnelle Lieferung) * '''Konkurrenz''' wird stärker oder günstiger * neue '''Gesetze''' und Vorschriften (z. B. Datenschutz) * '''Gesellschaft''' und Umwelt (z. B. Nachhaltigkeit, Fachkräftemangel) * '''Wirtschaftslage''' (z. B. Krise, Teuerung) | * neue '''Strategie''' oder neue Ziele * '''Wachstum''' (mehr Aufträge, mehr Personal) * '''Kostendruck''' – das Unternehmen muss sparen * '''Probleme''' in Abläufen (z. B. zu viele Fehler, zu langsam) * neue '''Führung''' oder Fusion mit einer anderen Firma * '''Ideen''' von Mitarbeitenden |} Oft hängen externe und interne Ursachen zusammen: Weil die Konkurrenz günstiger wird (extern), entscheidet die Geschäftsleitung, Kosten zu sparen (intern). <quiz display=simple> {Was ist eine '''externe''' Ursache für eine Veränderung? |type="()"} - Die Geschäftsleitung beschliesst eine neue Strategie. || Das ist intern – der Entscheid kommt aus dem Unternehmen selbst. + Ein neues Datenschutzgesetz tritt in Kraft. || Richtig! Das Gesetz kommt von aussen und das Unternehmen muss sich anpassen. - Ein Team hat zu viele Fehler in der Rechnungsstellung. || Das ist ein internes Problem. {Ordnen Sie zu: Welche Ursachen sind '''intern'''? (Mehrere Antworten möglich) |type="[]"} + Das Unternehmen wächst und stellt 20 neue Leute ein. || Richtig – Wachstum ist eine interne Ursache. - Die Kundschaft möchte vermehrt online bestellen. || Das ist extern: Die Wünsche der Kundschaft kommen von aussen. + Ein neuer CEO möchte die Abteilungen neu organisieren. || Richtig – neue Führung ist eine interne Ursache. - Die Strompreise steigen stark. || Das ist extern: Die Wirtschaftslage kommt von aussen. + Eine Mitarbeiterin schlägt einen einfacheren Ablauf vor. || Richtig – Ideen von Mitarbeitenden sind intern. {Ein Reisebüro merkt, dass immer mehr Kundinnen und Kunden ihre Ferien selbst im Internet buchen. Welche Ursache steckt dahinter? |type="()"} + Digitalisierung und veränderte Kundenwünsche (extern) || Genau. Das Reisebüro muss darauf reagieren, z. B. mit eigenen Online-Angeboten oder spezieller Beratung. - Kostendruck (intern) || Kostendruck kann eine Folge sein, die eigentliche Ursache liegt aber ausserhalb des Unternehmens. - Ein neues Gesetz || Hier ist kein Gesetz im Spiel. {Ergänzen Sie: |type="{}"} Ursachen, die von ausserhalb des Unternehmens kommen, nennt man { extern|externe|Extern|Externe _10 } Ursachen. Ursachen aus dem Unternehmen selbst nennt man { intern|interne|Intern|Interne _10 } Ursachen. </quiz> == Schritt 3: Welche Arten von Veränderungen gibt es? (Merkmale) == [[Datei:PDCA-Kreis (Qualitätsmanagement) mit Beschriftung.svg|thumb|mini|[[:w:Kontinuierlicher Verbesserungsprozess|KVP]] ist ein Kreislauf, um etwas Schritt für Schritt zu verbessern: '''Plan''' – Was will ich erreichen? '''Do''' – Ausprobieren. '''Check''' – Hat es geklappt? '''Act''' – Fehler verbessern. Dann beginnt alles wieder von vorne. '''Beispiel:''' Kuchen planen → backen → probieren (zu trocken) → nächstes Mal kürzer backen.]] Veränderungen lassen sich danach unterscheiden, '''was''' sich verändert: * '''Organisatorische Veränderung:''' Strukturen oder Abläufe ändern sich (z. B. neues Organigramm, neue Zuständigkeiten, neuer Ablauf für Bestellungen). * '''Technologische Veränderung:''' neue Software, neue Geräte, Digitalisierung von Abläufen. * '''Personelle Veränderung:''' neue Vorgesetzte, neue Teammitglieder, Stellenabbau, neue Rollen. * '''Kulturelle Veränderung:''' die Art, wie man zusammenarbeitet, ändert sich (z. B. mehr Eigenverantwortung, Duzen statt Siezen, Homeoffice). Und danach, '''wie stark''' sich etwas verändert: * '''Kleine, schrittweise Veränderungen''' (laufende Verbesserung): Man verbessert Schritt für Schritt, z. B. eine Vorlage wird angepasst. Man nennt das auch '''[[:w:Kontinuierlicher Verbesserungsprozess|Kontinuierlicher Verbesserungsprozess (KVP)]]'''. * '''Grosse, grundlegende Veränderungen''' (Umbruch): Vieles ändert sich auf einmal, z. B. eine Fusion oder ein komplett neues Geschäftsmodell. <quiz display=simple> {Ihre Firma führt ein neues CRM-Programm zur Verwaltung der Kundendaten ein. Welche Art von Veränderung ist das hauptsächlich? |type="()"} - personell || Nein, es geht nicht um Personen, sondern um ein Programm. + technologisch || Richtig! Eine neue Software ist eine technologische Veränderung. - kulturell || Nicht in erster Linie – es geht um ein neues Werkzeug. {Die Abteilungen «Einkauf» und «Lager» werden zusammengelegt und haben neu eine gemeinsame Leitung. Welche Art ist das? |type="()"} + organisatorisch (mit personellen Folgen) || Genau. Die Struktur ändert sich – und damit auch, wer wem unterstellt ist. - technologisch || Nein, hier geht es nicht um Technik. - schrittweise Verbesserung einer Vorlage || Nein, das ist eine grössere Veränderung der Struktur. {Welche Beispiele sind '''kleine, schrittweise''' Veränderungen? (Mehrere Antworten möglich) |type="[]"} + Die E-Mail-Vorlage für Offerten wird verbessert. || Richtig – eine kleine Verbesserung. - Die Firma wird von einem ausländischen Konzern übernommen. || Das ist eine grosse, grundlegende Veränderung. + Im Team wird vereinbart, Ablagen neu nach Datum zu benennen. || Richtig – eine kleine Verbesserung im Alltag. - Das Unternehmen gibt sein bisheriges Hauptprodukt auf. || Das ist ein Umbruch, also eine grosse Veränderung. {Ergänzen Sie die Abkürzung: |type="{}"} Laufende, kleine Verbesserungen nennt man «kontinuierlicher Verbesserungsprozess», abgekürzt { KVP|kvp _5 }. </quiz> == Schritt 4: Was bedeutet eine Veränderung für meine Arbeit? (Auswirkungen) == Jede Veränderung hat '''Auswirkungen''' – auf das Unternehmen, auf das Team und auf die eigene Arbeit. Als Kauffrau oder Kaufmann fragen Sie sich: # '''Was ändert sich konkret an meinen Aufgaben?''' (z. B. neue Arbeitsschritte, andere Programme) # '''Was muss ich neu lernen?''' (z. B. Schulung für die neue Software) # '''Mit wem arbeite ich neu zusammen?''' (z. B. neue Ansprechpersonen) # '''Welche Chancen und welche Risiken gibt es?''' Fast jede Veränderung hat '''Chancen''' (z. B. weniger Routinearbeit, neue Fähigkeiten, effizientere Abläufe) und '''Risiken''' (z. B. Mehraufwand in der Einführungsphase, Fehler am Anfang, Unsicherheit, Wegfall von Aufgaben). '''Beispiel:''' Eingangsrechnungen werden neu automatisch eingelesen (Scan-Software statt Abtippen). * Chance: Weniger Tipparbeit, weniger Tippfehler, mehr Zeit für Kontrolle und Kundenkontakt. * Risiko: Am Anfang braucht es Zeit, um das System zu lernen; das System liest vielleicht nicht alles korrekt – man muss gut kontrollieren. <quiz display=simple> {Welche Frage hilft Ihnen am besten, die Auswirkungen einer Veränderung auf Ihren Arbeitsbereich zu analysieren? |type="()"} - «Wer ist schuld daran, dass sich alles ändert?» || Diese Frage hilft nicht weiter. Es geht darum zu verstehen, was sich ändert. + «Was ändert sich konkret an meinen Aufgaben und was muss ich neu lernen?» || Genau! So erkennen Sie die Auswirkungen auf Ihre Arbeit. - «Wie kann ich die Veränderung verhindern?» || Das ist nicht das Ziel. Sie sollen Veränderungen verstehen und mitgestalten. {Ihr Betrieb stellt von Papierakten auf ein digitales Archiv um. Welche Aussagen sind '''Chancen'''? (Mehrere Antworten möglich) |type="[]"} + Dokumente lassen sich schneller finden. || Richtig – eine klare Chance. + Man kann auch im Homeoffice auf die Dokumente zugreifen. || Richtig – mehr Flexibilität. - In den ersten Wochen dauert das Ablegen länger, weil alle das System lernen müssen. || Das ist ein Risiko bzw. ein Nachteil in der Einführungsphase. + Es braucht weniger Platz für Ordner und Archivschränke. || Richtig – eine Chance. {Welche Aussage ist ein '''Risiko''' derselben Umstellung? |type="()"} - Dokumente sind schneller auffindbar. || Das ist eine Chance. + Wenn Zugriffsrechte falsch eingestellt sind, sehen Unbefugte vertrauliche Daten. || Richtig – Datenschutz ist ein wichtiges Risiko bei digitalen Ablagen. - Es wird weniger Papier verbraucht. || Das ist eine Chance (auch für die Umwelt). {Ergänzen Sie: |type="{}"} Fast jede Veränderung bringt sowohl { Chancen|chancen _10 } als auch { Risiken|risiken _10 } mit sich. </quiz> == Schritt 5: Wie läuft ein Veränderungsprozess ab? (Phasen) == [[Datei:3-Phasenmodell von Lewin.png|thumb|mini|[[:w:3-Phasen-Modell von Lewin|3-Phasen-Modell von Lewin]]]] Ein bekanntes, einfaches Modell stammt vom Psychologen '''Kurt Lewin'''. Es beschreibt Veränderung in '''[[:w:3-Phasen-Modell von Lewin|drei Phasen]]''': {| class="wikitable" ! Phase !! Was passiert? !! Beispiel: Einführung einer neuen Software |- | '''1. Auftauen''' (Unfreeze) || Man erklärt, '''warum''' es eine Veränderung braucht. Die Mitarbeitenden werden informiert und einbezogen. || Die Teamleitung erklärt, warum das alte Programm nicht mehr genügt. |- | '''2. Verändern''' (Change / Move) || Das Neue wird eingeführt, ausprobiert und gelernt. Es gibt Schulungen und Unterstützung. || Schulung, Testphase, Fragen klären, erste Erfahrungen. |- | '''3. Einfrieren''' (Refreeze) || Das Neue wird zur '''Gewohnheit''' und fest verankert. || Die neue Software ist der normale Standard, das alte Programm wird abgeschaltet. |} Merksatz: '''Erst verstehen – dann umsetzen – dann festigen.''' <quiz display=simple> {Wie viele Phasen hat das Modell von Kurt Lewin? |type="()"} - zwei || Nein, es sind mehr. + drei || Richtig: Auftauen – Verändern – Einfrieren. - sieben || Nein, Lewins Modell ist bewusst einfach. {Bringen Sie in die richtige Reihenfolge: Welche Phase kommt '''zuerst'''? |type="()"} + Auftauen || Richtig! Zuerst muss man verstehen, warum sich etwas ändern soll. - Verändern || Das ist die zweite Phase. - Einfrieren || Das ist die letzte Phase. {In welcher Phase befindet sich das Team? «Alle haben die Schulung besucht und probieren das neue Programm nun im Alltag aus. Es tauchen noch viele Fragen auf.» |type="()"} - Auftauen || Nein, die Begründung ist schon erfolgt. + Verändern || Genau – das Neue wird ausprobiert und gelernt. - Einfrieren || Noch nicht – das Neue ist noch keine Gewohnheit. {Ergänzen Sie die drei Phasen nach Lewin: |type="{}"} 1. { Auftauen|auftauen _10 } – 2. { Verändern|verändern|Bewegen|bewegen _10 } – 3. { Einfrieren|einfrieren _10 } </quiz> == Schritt 6: Wie reagieren Menschen auf Veränderungen? (Persönlicher Umgang) == Veränderungen lösen '''Gefühle''' aus. Viele Menschen reagieren zuerst skeptisch oder ablehnend. Das ist normal und menschlich. Typische Gründe für '''Widerstand''': * '''Angst''' vor dem Unbekannten («Schaffe ich das?») * '''Unsicherheit''' («Was bedeutet das für meine Stelle?») * '''Gewohnheit''' («Das haben wir immer so gemacht.») * '''Fehlende Information''' («Niemand hat uns erklärt, warum.») * '''Gefühl von Kontrollverlust''' («Wir wurden nicht gefragt.») Viele Menschen durchlaufen dabei ähnliche Gefühlsphasen: zuerst '''Überraschung''' oder Schock, dann '''Ablehnung''', danach langsames '''Verstehen''' und '''Ausprobieren''', und schliesslich '''Akzeptanz''' – das Neue wird normal. '''Was hilft – ein konstruktiver Umgang:''' * sich '''informieren''' und offen bleiben * bei Unklarheiten '''bei der vorgesetzten Person nachfragen''' (statt Gerüchte weiterzuerzählen) * Sorgen '''sachlich ansprechen''' * das Neue '''ausprobieren''' und dazulernen * sich auf die '''Chancen''' konzentrieren <quiz display=simple> {Ihr Kollege sagt: «Das haben wir schon immer so gemacht, wieso sollen wir das ändern?» Welcher Grund für Widerstand steckt dahinter? |type="()"} + Gewohnheit || Richtig! Der gewohnte Ablauf gibt Sicherheit. - Neugier || Nein, Neugier wäre eher eine positive Haltung. - Zu viel Information || Nein, eher das Gegenteil. {Ist es normal, dass Menschen zuerst skeptisch auf Veränderungen reagieren? |type="()"} + Ja, das ist eine normale menschliche Reaktion. || Richtig. Wichtig ist, dass man mit der Zeit konstruktiv damit umgeht. - Nein, gute Mitarbeitende freuen sich immer sofort über alles Neue. || Das ist unrealistisch. Auch gute Mitarbeitende haben Zweifel. {Sie hören in der Kaffeepause das Gerücht, dass Ihre Abteilung bald aufgelöst wird. Sie sind verunsichert. Was ist das beste Verhalten? |type="()"} - Das Gerücht sofort allen weitererzählen. || Das verstärkt die Unsicherheit im ganzen Team. - Nichts sagen und heimlich nach einer neuen Stelle suchen. || Damit klären Sie Ihre Unsicherheit nicht. + Bei der vorgesetzten Person sachlich nachfragen, was geplant ist. || Genau! Bei Unsicherheiten fragen Kaufleute bei der vorgesetzten Person nach (Leistungsziel b5.bt4). - Die Arbeit verweigern, bis alles klar ist. || Das ist nicht professionell und schadet Ihnen. {Welche Verhaltensweisen zeigen einen '''konstruktiven''' Umgang mit Veränderungen? (Mehrere Antworten möglich) |type="[]"} + Sich über die Gründe der Veränderung informieren. || Richtig. + Das Neue ausprobieren, auch wenn es am Anfang ungewohnt ist. || Richtig. - Im Team schlechte Stimmung gegen die Veränderung machen. || Das ist destruktiv. + Sorgen sachlich beim Teamgespräch ansprechen. || Richtig – Kritik ist erlaubt, wenn sie sachlich ist. - Einfach weiterhin nach dem alten Verfahren arbeiten. || Das widerspricht den Vorgaben und führt zu Problemen. {Ergänzen Sie: |type="{}"} Wenn Menschen sich gegen eine Veränderung wehren, spricht man von { Widerstand|widerstand _12 }. </quiz> == Schritt 7: Veränderungen mitgestalten – Ihre Rolle als Kauffrau / Kaufmann == Sie sind bei Veränderungen nicht nur «Betroffene», sondern können '''mitgestalten'''. Der Bildungsplan beschreibt vier Schritte: # '''Informieren:''' Sie informieren sich über Neuerungen und deren Bedeutung für Ihre Arbeit (z. B. Intranet, Teamsitzung, Newsletter). # '''Analysieren und Vorschläge machen:''' Sie überlegen, was die Veränderung für Ihren Arbeitsbereich bedeutet, und schlagen Massnahmen für die Umsetzung vor. # '''Umsetzen:''' Sie setzen neue Aufgaben, Verfahren oder Arbeitsweisen '''nach den Vorgaben der vorgesetzten Stelle''' um. # '''Nachfragen:''' Bei Unsicherheiten fragen Sie bei der vorgesetzten Person nach. '''Ein guter Verbesserungsvorschlag''' ist konkret und begründet. Er beschreibt: * die '''Ausgangslage''' (Was ist das Problem?) * den '''Vorschlag''' (Was genau soll man tun?) * den '''Nutzen''' (Was bringt es? z. B. Zeit, Kosten, Qualität) * den '''Aufwand''' (Was braucht es dafür?) Beispiel: ''«Bei der Einführung des neuen Programms haben viele im Team die gleichen Fragen. Ich schlage vor, dass wir eine kurze FAQ-Liste im Teamordner anlegen. So sparen alle Zeit, und die Teamleitung muss nicht alles mehrmals erklären. Der Aufwand ist gering: ca. eine Stunde pro Woche zum Nachführen.»'' <quiz display=simple> {Was ist der '''erste''' Schritt, wenn eine Veränderung angekündigt wird? |type="()"} + Sich über die Neuerung und ihre Bedeutung für die eigene Arbeit informieren. || Richtig! Ohne Information können Sie weder analysieren noch mitgestalten. - Sofort einen Gegenvorschlag schreiben. || Zuerst sollten Sie verstehen, worum es geht. - Abwarten, bis jemand anderes etwas sagt. || Kaufleute informieren sich aktiv. {Nach wessen Vorgaben setzen Kaufleute neue Verfahren um? |type="()"} - Nach ihren eigenen Vorstellungen. || Nein. Eigene Ideen dürfen Sie einbringen, umgesetzt wird aber nach Vorgabe. + Nach den Vorgaben der vorgesetzten Person bzw. Stelle. || Richtig (Leistungsziel b5.bt3). - Nach den Wünschen der Kundschaft. || Kundenwünsche sind wichtig, die Vorgaben zur Umsetzung kommen aber von den Vorgesetzten. {Was gehört in einen guten Verbesserungsvorschlag? (Mehrere Antworten möglich) |type="[]"} + eine Beschreibung des Problems (Ausgangslage) || Richtig. + ein konkreter Vorschlag || Richtig. + der Nutzen (z. B. Zeit- oder Kostenersparnis) || Richtig. - Kritik an einzelnen Personen || Nein. Ein Vorschlag bleibt sachlich und richtet sich nicht gegen Personen. + der Aufwand, den die Umsetzung braucht || Richtig. {Welcher Vorschlag ist am besten formuliert? |type="()"} - «Das neue System ist schlecht, wir sollten wieder das alte nehmen.» || Kein konkreter, umsetzbarer Vorschlag – nur Kritik. - «Man müsste irgendwas verbessern.» || Zu ungenau. Was genau, und warum? + «Viele Kundenanfragen kommen doppelt, weil die Mailadresse an zwei Orten steht. Ich schlage vor, nur noch eine Adresse zu publizieren. Das spart uns täglich etwa 30 Minuten.» || Ausgezeichnet: Problem, Vorschlag und Nutzen sind klar. {Ergänzen Sie die vier Schritte: |type="{}"} Sich { informieren|Informieren _12 } – Auswirkungen { analysieren|Analysieren _12 } und Vorschläge machen – Veränderungen { umsetzen|Umsetzen _10 } – bei Unsicherheiten { nachfragen|Nachfragen _12 }. </quiz> == Schritt 8: Abschlussquiz – Fallbeispiel == '''Situation:''' Sie arbeiten im Kundendienst der Muster Velo AG. Die Geschäftsleitung informiert: Weil immer mehr Kundinnen und Kunden über WhatsApp und Chat Kontakt aufnehmen wollen und das Telefonaufkommen stark zurückgegangen ist, wird in drei Monaten ein neues Chat-System eingeführt. Die Telefonzeiten werden verkürzt. Alle Mitarbeitenden im Kundendienst erhalten eine Schulung. Einige im Team sind verunsichert und sagen: «Bald braucht es uns gar nicht mehr.» <quiz display=simple> {Welche Ursache hat diese Veränderung hauptsächlich? |type="()"} + extern: veränderte Kundenwünsche und Digitalisierung || Richtig! Die Kundschaft möchte neue Kontaktwege nutzen. - intern: Streit im Team || Davon ist im Fall nicht die Rede. - extern: ein neues Gesetz || Im Fall wird kein Gesetz erwähnt. {Um welche Art(en) von Veränderung handelt es sich? (Mehrere Antworten möglich) |type="[]"} + technologisch (neues Chat-System) || Richtig. + organisatorisch (neue Telefonzeiten, neue Abläufe) || Richtig. - personeller Stellenabbau || Davon steht nichts im Fall – das ist nur eine Befürchtung im Team. {In welcher Phase nach Lewin befindet sich das Unternehmen gerade, als die Geschäftsleitung informiert? |type="()"} + Auftauen || Richtig – die Mitarbeitenden werden informiert, warum es die Veränderung braucht. - Verändern || Das kommt erst, wenn das System eingeführt und geschult wird. - Einfrieren || Das kommt ganz am Schluss. {Welche Auswirkungen auf Ihre kaufmännische Tätigkeit sind wahrscheinlich? (Mehrere Antworten möglich) |type="[]"} + Sie müssen den Umgang mit dem Chat-System lernen. || Richtig. + Sie schreiben mehr kurze, schriftliche Antworten statt zu telefonieren. || Richtig – schriftliche Kommunikation wird wichtiger. + Sie müssen auf korrekte Rechtschreibung und einen freundlichen Ton im Chat achten. || Richtig – auch im Chat zählt professionelle Kommunikation. - Sie haben überhaupt keinen Kundenkontakt mehr. || Nein, der Kontakt läuft nur über einen anderen Kanal. {Die Kolleginnen und Kollegen sagen: «Bald braucht es uns gar nicht mehr.» Welcher Grund für Widerstand ist das? |type="()"} - Gewohnheit || Teilweise vielleicht, aber im Vordergrund steht etwas anderes. + Angst und Unsicherheit um die eigene Stelle || Genau. Diese Sorge ist verständlich und sollte sachlich angesprochen werden. - Langeweile || Nein. {Wie verhalten Sie sich am besten? (Mehrere Antworten möglich) |type="[]"} + Ich frage die Teamleitung, was die Veränderung für unsere Stellen bedeutet. || Richtig – Nachfragen statt Gerüchte. + Ich besuche die Schulung aktiv und probiere das System aus. || Richtig. + Ich schlage vor, gemeinsam Textbausteine für häufige Chat-Fragen zu erstellen. || Ausgezeichnet – ein konkreter Vorschlag zur Umsetzung! - Ich beantworte Chats weiterhin per Telefon, weil ich das besser kann. || Das entspricht nicht den Vorgaben der Vorgesetzten. </quiz> == Zusammenfassung == {| class="wikitable" style="width:100%;" ! Thema !! Das Wichtigste in einem Satz |- | Was ist eine Veränderung? || Eine Neuerung im Betrieb; sie läuft als Prozess vom alten zum neuen Zustand ab. |- | Ursachen || '''Extern''' (Technologie, Kundschaft, Konkurrenz, Gesetze, Gesellschaft, Wirtschaft) und '''intern''' (Strategie, Wachstum, Kosten, Probleme, Führung, Ideen). |- | Arten || Organisatorisch, technologisch, personell, kulturell – klein und schrittweise (KVP) oder gross und grundlegend. |- | Auswirkungen || Jede Veränderung bringt '''Chancen''' und '''Risiken''' für die eigene Arbeit. |- | Phasen (Lewin) || '''Auftauen – Verändern – Einfrieren''' |- | Persönlicher Umgang || Widerstand ist normal; hilfreich sind Information, Offenheit, sachliches Nachfragen und Ausprobieren. |- | Ihre Rolle || '''Informieren – Analysieren und Vorschläge machen – Umsetzen nach Vorgaben – Nachfragen''' |} == Weiterdenken (Reflexionsauftrag) == Denken Sie an eine Veränderung, die Sie in Ihrem Lehrbetrieb oder in der Schule erlebt haben, und beantworten Sie schriftlich: # Was hat sich verändert und warum (Ursache)? # Welche Art von Veränderung war es? # Welche Auswirkungen hatte sie auf Ihre Arbeit (Chancen und Risiken)? # Wie haben Sie und Ihr Umfeld reagiert? # Welchen Verbesserungsvorschlag hätten Sie machen können? <small>Grundlage: Bildungsplan Kauffrau/Kaufmann EFZ, Handlungskompetenz b5 «Betriebliche Veränderungsprozesse mitgestalten» (Leistungsziele b5.bt1–bt4 und b5.bs1a, bs2a–c, bs4a).</small> = Einzelnachweise = <references/> [[Kategorie:Kurs:Kaufleute EFZ/HK B5| ]] g72xd4hmo0xi9ezvgwz2oj803fwrhtv 106 173394 1118930 1118620 2026-11-05T11:32:48Z Paul Sutermeister 37610 /* Stufe 3: Aussagen zuordnen */ 1118930 wikitext text/x-wiki __NOTOC__ = [[:w:Vier-Seiten-Modell|Vier-Seiten-Modell]] = <quiz display="simple"> { [[Bild:Vier-Seiten-Modell de 2.svg|400px| ]] | typ="[]" } | Sachinhalt | Selbstkundgabe | Beziehungshinweis | Appell ---+ Was soll die Empfängerin tun? --+- Was hält die Senderin von der Empfängerin? -+-- Was gibt die Senderin von sich preis? +--- Worüber wird informiert? </quiz> = Lern-Quiz: Das Vier-Seiten-Modell nach Schulz von Thun = Dieses Quiz ist '''aufbauend''': Es beginnt mit den Grundbegriffen und führt Schritt für Schritt bis zur Anwendung im Berufsalltag. Bearbeiten Sie die Stufen der Reihe nach. Nach jeder Stufe können Sie Ihre Antworten mit «Auswerten» überprüfen und die Rückmeldungen lesen. {| class="wikitable" ! Stufe !! Thema !! Ziel |- | 1 || Grundlagen || Sie kennen den Urheber und die Grundidee des Modells. |- | 2 || Die vier Seiten || Sie können die vier Seiten einer Nachricht benennen und beschreiben. |- | 3 || Zuordnen || Sie können Aussagen einer Seite zuordnen. |- | 4 || Die vier Ohren || Sie verstehen, wie Empfangende eine Nachricht unterschiedlich hören können. |- | 5 || Analyse || Sie können eine Nachricht vollständig auf allen vier Seiten analysieren. |- | 6 || Transfer || Sie wenden das Modell auf Situationen im kaufmännischen Berufsalltag an. |} == Stufe 1: Grundlagen == <quiz display=simple> {Wer hat das Vier-Seiten-Modell (Kommunikationsquadrat) entwickelt? |type="()"} + Friedemann Schulz von Thun || Richtig. Der Hamburger Psychologe stellte das Modell 1981 im Buch «Miteinander reden 1» vor. - Paul Watzlawick || Watzlawick stammt die Unterscheidung von Inhalts- und Beziehungsaspekt. Schulz von Thun hat darauf aufgebaut. - Sigmund Freud || Freud hat sich mit der Psychoanalyse beschäftigt, nicht mit diesem Kommunikationsmodell. - Karl Bühler || Bühlers Organon-Modell ist eine Grundlage, aber nicht das Vier-Seiten-Modell. {Was ist die Grundidee des Modells? |type="()"} - Eine Nachricht hat genau eine eindeutige Bedeutung. || Gerade das Gegenteil: Eine Nachricht enthält immer mehrere Botschaften gleichzeitig. + Jede Nachricht enthält gleichzeitig vier Botschaften. || Genau. Wer etwas sagt, sendet immer vier Botschaften zugleich – ob gewollt oder nicht. - Kommunikation besteht aus vier Gesprächsphasen. || Es geht nicht um zeitliche Phasen, sondern um gleichzeitige Seiten einer einzigen Nachricht. - Für gute Kommunikation braucht es vier Personen. || Das Modell bezieht sich bereits auf eine Nachricht zwischen zwei Personen. {Wie heissen die beiden Personen, die im Modell miteinander kommunizieren? |type="[]"} + Sender || Richtig: Die Person, die die Nachricht abschickt. + Empfänger || Richtig: Die Person, die die Nachricht aufnimmt. - Moderator || Ein Moderator kommt im Grundmodell nicht vor. - Übersetzer || Ein Übersetzer kommt im Grundmodell nicht vor. {Ergänzen Sie den Satz. |type="{}"} Das Modell wird auch Kommunikations{ quadrat|Quadrat _8 } oder Vier-Ohren-Modell genannt. </quiz> == Stufe 2: Die vier Seiten einer Nachricht == <quiz display=simple> {Welche vier Seiten hat eine Nachricht nach Schulz von Thun? |type="[]"} + Sachinhalt || Richtig. + Selbstkundgabe (Selbstoffenbarung) || Richtig. + Beziehung || Richtig. + Appell || Richtig. - Gefühlsebene || Gefühle spielen zwar mit, sind aber keine eigene der vier Seiten. - Körpersprache || Körpersprache ist ein Kanal, über den alle Seiten transportiert werden können – keine eigene Seite. {Die Seite '''Sachinhalt''' beantwortet die Frage … |type="()"} + … worüber informiere ich? || Richtig: Daten, Fakten, Sachverhalte. - … was gebe ich von mir preis? || Das ist die Selbstkundgabe. - … was halte ich von dir? || Das ist die Beziehungsseite. - … wozu möchte ich dich bringen? || Das ist der Appell. {Die Seite '''Selbstkundgabe''' beantwortet die Frage … |type="()"} - … worüber informiere ich? || Das ist der Sachinhalt. + … was gebe ich von mir zu erkennen? || Richtig: Gefühle, Stimmungen, Werte, Eigenarten des Senders. - … wie stehen wir zueinander? || Das ist die Beziehungsseite. - … was soll die andere Person tun? || Das ist der Appell. {Die Seite '''Beziehung''' beantwortet die Frage … |type="()"} - … welche Fakten teile ich mit? || Das ist der Sachinhalt. - … wie geht es mir gerade? || Das ist die Selbstkundgabe. + … was halte ich von dir und wie stehen wir zueinander? || Richtig. Diese Seite zeigt sich oft im Tonfall, in der Formulierung und in der Körpersprache. - … was erwarte ich von dir? || Das ist der Appell. {Die Seite '''Appell''' beantwortet die Frage … |type="()"} - … wie fühle ich mich? || Das ist die Selbstkundgabe. - … wie sehe ich dich? || Das ist die Beziehungsseite. - … was ist der Sachverhalt? || Das ist der Sachinhalt. + … wozu möchte ich dich veranlassen? || Richtig: Wünsche, Bitten, Aufforderungen, Ratschläge. {Welche Aussagen zu den vier Seiten sind richtig? |type="[]"} + Alle vier Seiten sind in jeder Nachricht gleichzeitig enthalten. || Richtig. Man kann nicht «nur sachlich» kommunizieren. - Eine sachliche Nachricht hat keine Beziehungsseite. || Falsch. Auch sachliche Nachrichten sagen etwas über die Beziehung aus. + Die Seiten können ausdrücklich (explizit) oder versteckt (implizit) gesendet werden. || Richtig. Oft wird z. B. der Appell nur angedeutet. - Der Sender bestimmt allein, wie die Nachricht ankommt. || Falsch. Die Empfängerin entscheidet mit, welche Seite sie hört. </quiz> == Stufe 3: Aussagen zuordnen == Ordnen Sie jede Aussage der Seite zu, die '''am deutlichsten''' darin zum Ausdruck kommt. <quiz display=simple> {Welche Seite steht im Vordergrund? |type="()"} | Sachinhalt | Selbstkundgabe | Beziehung | Appell +--- «Die Sitzung beginnt um 14 Uhr im Raum B2.» -+-- «Ich bin heute total erschöpft.» --+- «Sie sind die Einzige hier, auf die ich mich verlassen kann.» ---+ «Bitte schliessen Sie das Fenster.» -+-- «Ich freue mich riesig auf die Ferien.» --+- «Das hätte ich Ihnen gar nicht zugetraut.» +--- «Der Drucker im 2. Stock ist ausser Betrieb.» ---+ «Rufen Sie mich doch bitte nach der Pause zurück.» </quiz> <quiz display=simple> {In der Aussage «Ich bin ehrlich gesagt etwas nervös vor der Präsentation» steht vor allem die … im Vordergrund. |type="()"} - Sachseite || Es wird zwar etwas mitgeteilt, aber im Zentrum steht der innere Zustand des Senders. + Selbstkundgabe || Richtig. Der Sender gibt ein Gefühl von sich preis. - Beziehungsseite || Über die Beziehung zum Gegenüber wird hier kaum etwas gesagt. - Appellseite || Ein Appell könnte mitschwingen (z. B. «Mach mir Mut»), steht aber nicht im Vordergrund. </quiz> <quiz display=simple> |type="{}"} Ergänzen Sie: Der versteckte Appell in «Es zieht hier aber ziemlich» lautet sinngemäss: «Bitte schliessen Sie das { Fenster }.» </quiz> == Stufe 4: Die vier Ohren des Empfängers == <quiz display=simple> {Welche «Ohren» hat die Empfängerin nach Schulz von Thun? |type="[]"} + Sach-Ohr || Richtig: «Wie ist der Sachverhalt zu verstehen?» + Selbstkundgabe-Ohr || Richtig: «Was ist das für eine Person? Was ist mit ihr los?» + Beziehungs-Ohr || Richtig: «Wie redet sie mit mir? Was hält sie von mir?» + Appell-Ohr || Richtig: «Was soll ich tun, denken oder fühlen?» - Kritik-Ohr || Ein «Kritik-Ohr» gibt es im Modell nicht – Kritik wird meist mit dem Beziehungs-Ohr gehört. {Eine Kollegin sagt: «Der Bericht hat noch drei Tippfehler.» Sie antworten gekränkt: «Immer finden Sie etwas an meiner Arbeit auszusetzen!» Mit welchem Ohr haben Sie vor allem gehört? |type="()"} - Sach-Ohr || Mit dem Sach-Ohr hätten Sie einfach nach den Fehlern gefragt. - Selbstkundgabe-Ohr || Dann hätten Sie sich gefragt, was mit der Kollegin los ist. + Beziehungs-Ohr || Richtig. Sie haben die Nachricht als Angriff auf Ihre Person verstanden. - Appell-Ohr || Dann hätten Sie die Fehler einfach sofort korrigiert. {Was kann passieren, wenn jemand fast nur mit dem Appell-Ohr hört? |type="()"} - Er versteht alle Nachrichten rein sachlich. || Das wäre ein übergrosses Sach-Ohr. + Er versucht ständig, es allen recht zu machen, und erfüllt auch unausgesprochene Erwartungen. || Richtig. Wer nur noch Appelle hört, verliert leicht den Blick für die eigenen Bedürfnisse. - Er fühlt sich durch jede Bemerkung persönlich angegriffen. || Das ist typisch für ein übergrosses Beziehungs-Ohr. - Er interessiert sich vor allem für die Gefühle der anderen. || Das wäre das Selbstkundgabe-Ohr. {Welche Aussagen sind richtig? |type="[]"} + Missverständnisse entstehen oft, weil Sender und Empfänger unterschiedliche Seiten betonen. || Richtig. Gemeint und verstanden ist nicht dasselbe. + Es lohnt sich, bewusst mit allen vier Ohren zu hören. || Richtig. So kann man flexibler und gelassener reagieren. - Es gibt immer nur ein richtiges Ohr für eine Nachricht. || Falsch. Alle vier Ohren sind grundsätzlich gleichberechtigt. + Durch Nachfragen («Wie meinen Sie das?») lassen sich Missverständnisse klären. || Richtig. Das nennt man Metakommunikation – reden über die Art, wie man miteinander redet. </quiz> == Stufe 5: Eine Nachricht vollständig analysieren == '''Situation:''' Ein Mann sitzt am Steuer, seine Frau auf dem Beifahrersitz. An einer Kreuzung sagt sie: '''«Du, da vorne ist grün!»''' Er antwortet: «Fährst du oder fahre ich?» <quiz display=simple> {Welcher Teil gehört zum '''Sachinhalt''' dieser Nachricht? |type="()"} + Die Ampel ist grün. || Richtig: Das ist die reine Information. - Ich habe es eilig. || Das ist eine mögliche Selbstkundgabe. - Du brauchst meine Hilfe beim Fahren. || Das ist eine mögliche Beziehungsbotschaft. - Fahr los! || Das ist der Appell. {Welche Botschaft könnte die Frau auf der Seite der '''Selbstkundgabe''' senden? |type="()"} - Die Ampel ist grün. || Das ist der Sachinhalt. + Ich habe es eilig / Ich bin ungeduldig. || Richtig: Sie gibt etwas über ihren eigenen Zustand preis. - Fahr endlich los. || Das ist der Appell. - Du bist ein unaufmerksamer Fahrer. || Das ist eine mögliche Beziehungsbotschaft. {Welche Botschaft hat der Mann offenbar vor allem gehört? |type="()"} - Sachinhalt: Die Ampel ist grün. || Dann hätte er einfach «Ah, danke» gesagt. - Selbstkundgabe: Sie hat es eilig. || Dann hätte er vielleicht gefragt: «Bist du in Eile?» + Beziehung: Du brauchst meine Hilfe, du fährst nicht gut. || Richtig. Seine Antwort zeigt, dass er sich bevormundet fühlt. - Appell: Gib Gas. || Dann wäre er wahrscheinlich einfach losgefahren. {Ergänzen Sie den Appell der Frau in einem Wort: «Fahr { los|weiter|ab _6 }!» |type="{}"} {Was hätte der Mann tun können, um den Konflikt zu vermeiden? |type="[]"} + Die Nachricht auf der Sachebene annehmen: «Ja, ich habe es gesehen.» || Richtig. So wird der versteckte Vorwurf gar nicht erst zum Thema. + Nachfragen: «Hast du es eilig?» || Richtig. Damit spricht er die Selbstkundgabe an. - Ebenfalls einen Vorwurf machen, damit es ausgeglichen ist. || Damit würde der Streit eher eskalieren. + Ruhig ansprechen, wie die Bemerkung bei ihm angekommen ist. || Richtig. Das ist Metakommunikation. </quiz> == Stufe 6: Transfer in den Berufsalltag == <quiz display=simple> {Ihr Vorgesetzter sagt am Montagmorgen: «Die Offerte für Kunde Meier ist immer noch nicht verschickt.» Welche Reaktion zeigt ein gut eingesetztes '''Sach-Ohr'''? |type="()"} + «Stimmt, mir fehlt noch der Preis vom Lieferanten. Ich frage heute nach und schicke sie bis Mittwoch.» || Richtig. Sie gehen auf den Sachverhalt ein und bieten eine Lösung an. - «Sie trauen mir wohl gar nichts zu!» || Das ist eine Reaktion des Beziehungs-Ohrs – und wirkt eher defensiv. - «Sie wirken heute aber gestresst.» || Das ist eine Reaktion auf die Selbstkundgabe – im Moment wohl nicht passend. - Sie sagen nichts und arbeiten bis spät in die Nacht. || Das wäre ein übergrosses Appell-Ohr ohne Klärung. {Eine Kundin schreibt per E-Mail: «Ich warte nun schon seit drei Wochen auf meine Bestellung!» Welche Seiten sollten Sie in Ihrer Antwort berücksichtigen? |type="[]"} + Sachinhalt: Lieferstatus prüfen und konkret mitteilen. || Richtig. Die Kundin braucht eine sachliche Information. + Selbstkundgabe: Verständnis für ihren Ärger zeigen. || Richtig. Die Kundin gibt Ärger und Ungeduld preis. + Appell: Eine Lösung anbieten (z. B. Liefertermin, Expressversand). || Richtig. Der versteckte Appell lautet: «Kümmern Sie sich darum!» - Beziehung: Die Kundin auf ihren unfreundlichen Ton hinweisen. || Das würde die Situation verschärfen. Eine wertschätzende Antwort stärkt die Beziehung besser. {Sie möchten eine Arbeitskollegin bitten, Ihnen bei einer Excel-Auswertung zu helfen. Welche Formulierung ist auf allen vier Seiten am klarsten und freundlichsten? |type="()"} - «Excel kannst du ja sicher besser als ich, mach du das.» || Der Appell ist fordernd, und die Beziehungsseite wirkt abschiebend. - «Hm, diese Auswertung ist ziemlich kompliziert …» || Der Appell bleibt versteckt – die Kollegin muss erraten, was Sie wollen. + «Ich komme bei dieser Auswertung nicht weiter. Du kennst dich mit Formeln gut aus – hättest du heute 15 Minuten Zeit, mir zu helfen?» || Richtig. Sachinhalt, Selbstkundgabe, wertschätzende Beziehung und klarer Appell sind stimmig. - «Du musst mir jetzt sofort helfen.» || Der Appell ist zwar klar, aber die Beziehungsseite ist respektlos. {Was bedeutet es, wenn eine Nachricht '''kongruent''' ist? |type="()"} + Worte, Tonfall und Körpersprache passen zusammen. || Richtig. Kongruente Nachrichten wirken glaubwürdig. - Die Nachricht besteht nur aus einem Sachinhalt. || Eine Nachricht hat immer alle vier Seiten. - Der Empfänger hört nur mit einem Ohr. || Das hat mit Kongruenz nichts zu tun. - Die Nachricht enthält keinen Appell. || Auch kongruente Nachrichten können einen Appell enthalten. {Ergänzen Sie den Fachbegriff: Wenn zwei Personen darüber sprechen, ''wie'' sie miteinander reden, nennt man das { Metakommunikation|Meta-Kommunikation _18 }. |type="{}"} </quiz> == Zusammenfassung == {| class="wikitable" ! Seite !! Leitfrage des Senders !! Ohr des Empfängers |- | '''Sachinhalt''' || Worüber informiere ich? || Wie ist der Sachverhalt zu verstehen? |- | '''Selbstkundgabe''' || Was gebe ich von mir zu erkennen? || Was ist das für eine Person? Was ist mit ihr los? |- | '''Beziehung''' || Was halte ich von dir, wie stehen wir zueinander? || Wie redet sie mit mir? Wen glaubt sie vor sich zu haben? |- | '''Appell''' || Wozu möchte ich dich veranlassen? || Was soll ich tun, denken oder fühlen? |} == Quelle == * Friedemann Schulz von Thun: ''Miteinander reden 1. Störungen und Klärungen.'' Rowohlt, Reinbek 1981. * [https://www.schulz-von-thun.de/die-modelle/das-kommunikationsquadrat Schulz von Thun Institut: Das Kommunikationsquadrat] [[Kategorie:Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)]] 9y9j0cdegtgag9jqzzbuy85c009533b 1118931 1118930 2026-11-05T11:35:09Z Paul Sutermeister 37610 /* Stufe 5: Eine Nachricht vollständig analysieren */ 1118931 wikitext text/x-wiki __NOTOC__ = [[:w:Vier-Seiten-Modell|Vier-Seiten-Modell]] = <quiz display="simple"> { [[Bild:Vier-Seiten-Modell de 2.svg|400px| ]] | typ="[]" } | Sachinhalt | Selbstkundgabe | Beziehungshinweis | Appell ---+ Was soll die Empfängerin tun? --+- Was hält die Senderin von der Empfängerin? -+-- Was gibt die Senderin von sich preis? +--- Worüber wird informiert? </quiz> = Lern-Quiz: Das Vier-Seiten-Modell nach Schulz von Thun = Dieses Quiz ist '''aufbauend''': Es beginnt mit den Grundbegriffen und führt Schritt für Schritt bis zur Anwendung im Berufsalltag. Bearbeiten Sie die Stufen der Reihe nach. Nach jeder Stufe können Sie Ihre Antworten mit «Auswerten» überprüfen und die Rückmeldungen lesen. {| class="wikitable" ! Stufe !! Thema !! Ziel |- | 1 || Grundlagen || Sie kennen den Urheber und die Grundidee des Modells. |- | 2 || Die vier Seiten || Sie können die vier Seiten einer Nachricht benennen und beschreiben. |- | 3 || Zuordnen || Sie können Aussagen einer Seite zuordnen. |- | 4 || Die vier Ohren || Sie verstehen, wie Empfangende eine Nachricht unterschiedlich hören können. |- | 5 || Analyse || Sie können eine Nachricht vollständig auf allen vier Seiten analysieren. |- | 6 || Transfer || Sie wenden das Modell auf Situationen im kaufmännischen Berufsalltag an. |} == Stufe 1: Grundlagen == <quiz display=simple> {Wer hat das Vier-Seiten-Modell (Kommunikationsquadrat) entwickelt? |type="()"} + Friedemann Schulz von Thun || Richtig. Der Hamburger Psychologe stellte das Modell 1981 im Buch «Miteinander reden 1» vor. - Paul Watzlawick || Watzlawick stammt die Unterscheidung von Inhalts- und Beziehungsaspekt. Schulz von Thun hat darauf aufgebaut. - Sigmund Freud || Freud hat sich mit der Psychoanalyse beschäftigt, nicht mit diesem Kommunikationsmodell. - Karl Bühler || Bühlers Organon-Modell ist eine Grundlage, aber nicht das Vier-Seiten-Modell. {Was ist die Grundidee des Modells? |type="()"} - Eine Nachricht hat genau eine eindeutige Bedeutung. || Gerade das Gegenteil: Eine Nachricht enthält immer mehrere Botschaften gleichzeitig. + Jede Nachricht enthält gleichzeitig vier Botschaften. || Genau. Wer etwas sagt, sendet immer vier Botschaften zugleich – ob gewollt oder nicht. - Kommunikation besteht aus vier Gesprächsphasen. || Es geht nicht um zeitliche Phasen, sondern um gleichzeitige Seiten einer einzigen Nachricht. - Für gute Kommunikation braucht es vier Personen. || Das Modell bezieht sich bereits auf eine Nachricht zwischen zwei Personen. {Wie heissen die beiden Personen, die im Modell miteinander kommunizieren? |type="[]"} + Sender || Richtig: Die Person, die die Nachricht abschickt. + Empfänger || Richtig: Die Person, die die Nachricht aufnimmt. - Moderator || Ein Moderator kommt im Grundmodell nicht vor. - Übersetzer || Ein Übersetzer kommt im Grundmodell nicht vor. {Ergänzen Sie den Satz. |type="{}"} Das Modell wird auch Kommunikations{ quadrat|Quadrat _8 } oder Vier-Ohren-Modell genannt. </quiz> == Stufe 2: Die vier Seiten einer Nachricht == <quiz display=simple> {Welche vier Seiten hat eine Nachricht nach Schulz von Thun? |type="[]"} + Sachinhalt || Richtig. + Selbstkundgabe (Selbstoffenbarung) || Richtig. + Beziehung || Richtig. + Appell || Richtig. - Gefühlsebene || Gefühle spielen zwar mit, sind aber keine eigene der vier Seiten. - Körpersprache || Körpersprache ist ein Kanal, über den alle Seiten transportiert werden können – keine eigene Seite. {Die Seite '''Sachinhalt''' beantwortet die Frage … |type="()"} + … worüber informiere ich? || Richtig: Daten, Fakten, Sachverhalte. - … was gebe ich von mir preis? || Das ist die Selbstkundgabe. - … was halte ich von dir? || Das ist die Beziehungsseite. - … wozu möchte ich dich bringen? || Das ist der Appell. {Die Seite '''Selbstkundgabe''' beantwortet die Frage … |type="()"} - … worüber informiere ich? || Das ist der Sachinhalt. + … was gebe ich von mir zu erkennen? || Richtig: Gefühle, Stimmungen, Werte, Eigenarten des Senders. - … wie stehen wir zueinander? || Das ist die Beziehungsseite. - … was soll die andere Person tun? || Das ist der Appell. {Die Seite '''Beziehung''' beantwortet die Frage … |type="()"} - … welche Fakten teile ich mit? || Das ist der Sachinhalt. - … wie geht es mir gerade? || Das ist die Selbstkundgabe. + … was halte ich von dir und wie stehen wir zueinander? || Richtig. Diese Seite zeigt sich oft im Tonfall, in der Formulierung und in der Körpersprache. - … was erwarte ich von dir? || Das ist der Appell. {Die Seite '''Appell''' beantwortet die Frage … |type="()"} - … wie fühle ich mich? || Das ist die Selbstkundgabe. - … wie sehe ich dich? || Das ist die Beziehungsseite. - … was ist der Sachverhalt? || Das ist der Sachinhalt. + … wozu möchte ich dich veranlassen? || Richtig: Wünsche, Bitten, Aufforderungen, Ratschläge. {Welche Aussagen zu den vier Seiten sind richtig? |type="[]"} + Alle vier Seiten sind in jeder Nachricht gleichzeitig enthalten. || Richtig. Man kann nicht «nur sachlich» kommunizieren. - Eine sachliche Nachricht hat keine Beziehungsseite. || Falsch. Auch sachliche Nachrichten sagen etwas über die Beziehung aus. + Die Seiten können ausdrücklich (explizit) oder versteckt (implizit) gesendet werden. || Richtig. Oft wird z. B. der Appell nur angedeutet. - Der Sender bestimmt allein, wie die Nachricht ankommt. || Falsch. Die Empfängerin entscheidet mit, welche Seite sie hört. </quiz> == Stufe 3: Aussagen zuordnen == Ordnen Sie jede Aussage der Seite zu, die '''am deutlichsten''' darin zum Ausdruck kommt. <quiz display=simple> {Welche Seite steht im Vordergrund? |type="()"} | Sachinhalt | Selbstkundgabe | Beziehung | Appell +--- «Die Sitzung beginnt um 14 Uhr im Raum B2.» -+-- «Ich bin heute total erschöpft.» --+- «Sie sind die Einzige hier, auf die ich mich verlassen kann.» ---+ «Bitte schliessen Sie das Fenster.» -+-- «Ich freue mich riesig auf die Ferien.» --+- «Das hätte ich Ihnen gar nicht zugetraut.» +--- «Der Drucker im 2. Stock ist ausser Betrieb.» ---+ «Rufen Sie mich doch bitte nach der Pause zurück.» </quiz> <quiz display=simple> {In der Aussage «Ich bin ehrlich gesagt etwas nervös vor der Präsentation» steht vor allem die … im Vordergrund. |type="()"} - Sachseite || Es wird zwar etwas mitgeteilt, aber im Zentrum steht der innere Zustand des Senders. + Selbstkundgabe || Richtig. Der Sender gibt ein Gefühl von sich preis. - Beziehungsseite || Über die Beziehung zum Gegenüber wird hier kaum etwas gesagt. - Appellseite || Ein Appell könnte mitschwingen (z. B. «Mach mir Mut»), steht aber nicht im Vordergrund. </quiz> <quiz display=simple> |type="{}"} Ergänzen Sie: Der versteckte Appell in «Es zieht hier aber ziemlich» lautet sinngemäss: «Bitte schliessen Sie das { Fenster }.» </quiz> == Stufe 4: Die vier Ohren des Empfängers == <quiz display=simple> {Welche «Ohren» hat die Empfängerin nach Schulz von Thun? |type="[]"} + Sach-Ohr || Richtig: «Wie ist der Sachverhalt zu verstehen?» + Selbstkundgabe-Ohr || Richtig: «Was ist das für eine Person? Was ist mit ihr los?» + Beziehungs-Ohr || Richtig: «Wie redet sie mit mir? Was hält sie von mir?» + Appell-Ohr || Richtig: «Was soll ich tun, denken oder fühlen?» - Kritik-Ohr || Ein «Kritik-Ohr» gibt es im Modell nicht – Kritik wird meist mit dem Beziehungs-Ohr gehört. {Eine Kollegin sagt: «Der Bericht hat noch drei Tippfehler.» Sie antworten gekränkt: «Immer finden Sie etwas an meiner Arbeit auszusetzen!» Mit welchem Ohr haben Sie vor allem gehört? |type="()"} - Sach-Ohr || Mit dem Sach-Ohr hätten Sie einfach nach den Fehlern gefragt. - Selbstkundgabe-Ohr || Dann hätten Sie sich gefragt, was mit der Kollegin los ist. + Beziehungs-Ohr || Richtig. Sie haben die Nachricht als Angriff auf Ihre Person verstanden. - Appell-Ohr || Dann hätten Sie die Fehler einfach sofort korrigiert. {Was kann passieren, wenn jemand fast nur mit dem Appell-Ohr hört? |type="()"} - Er versteht alle Nachrichten rein sachlich. || Das wäre ein übergrosses Sach-Ohr. + Er versucht ständig, es allen recht zu machen, und erfüllt auch unausgesprochene Erwartungen. || Richtig. Wer nur noch Appelle hört, verliert leicht den Blick für die eigenen Bedürfnisse. - Er fühlt sich durch jede Bemerkung persönlich angegriffen. || Das ist typisch für ein übergrosses Beziehungs-Ohr. - Er interessiert sich vor allem für die Gefühle der anderen. || Das wäre das Selbstkundgabe-Ohr. {Welche Aussagen sind richtig? |type="[]"} + Missverständnisse entstehen oft, weil Sender und Empfänger unterschiedliche Seiten betonen. || Richtig. Gemeint und verstanden ist nicht dasselbe. + Es lohnt sich, bewusst mit allen vier Ohren zu hören. || Richtig. So kann man flexibler und gelassener reagieren. - Es gibt immer nur ein richtiges Ohr für eine Nachricht. || Falsch. Alle vier Ohren sind grundsätzlich gleichberechtigt. + Durch Nachfragen («Wie meinen Sie das?») lassen sich Missverständnisse klären. || Richtig. Das nennt man Metakommunikation – reden über die Art, wie man miteinander redet. </quiz> == Stufe 5: Eine Nachricht vollständig analysieren == '''Situation:''' Ein Mann sitzt am Steuer, seine Frau auf dem Beifahrersitz. An einer Kreuzung sagt sie: '''«Du, da vorne ist grün!»''' Er antwortet: «Fährst du oder fahre ich?» <quiz display=simple> {Welcher Teil gehört zum '''Sachinhalt''' dieser Nachricht? |type="()"} + Die Ampel ist grün. || Richtig: Das ist die reine Information. - Ich habe es eilig. || Das ist eine mögliche Selbstkundgabe. - Du brauchst meine Hilfe beim Fahren. || Das ist eine mögliche Beziehungsbotschaft. - Fahr los! || Das ist der Appell. {Welche Botschaft könnte die Frau auf der Seite der '''Selbstkundgabe''' senden? |type="()"} - Die Ampel ist grün. || Das ist der Sachinhalt. + Ich habe es eilig / Ich bin ungeduldig. || Richtig: Sie gibt etwas über ihren eigenen Zustand preis. - Fahr endlich los. || Das ist der Appell. - Du bist ein unaufmerksamer Fahrer. || Das ist eine mögliche Beziehungsbotschaft. {Welche Botschaft hat der Mann offenbar vor allem gehört? |type="()"} - Sachinhalt: Die Ampel ist grün. || Dann hätte er einfach «Ah, danke» gesagt. - Selbstkundgabe: Sie hat es eilig. || Dann hätte er vielleicht gefragt: «Bist du in Eile?» + Beziehung: Du brauchst meine Hilfe, du fährst nicht gut. || Richtig. Seine Antwort zeigt, dass er sich bevormundet fühlt. - Appell: Gib Gas. || Dann wäre er wahrscheinlich einfach losgefahren. {Ergänzen Sie den Appell der Frau in einem Wort: |type="{}"} «Fahr { los|weiter|ab _6 }!» {Was hätte der Mann tun können, um den Konflikt zu vermeiden? |type="[]"} + Die Nachricht auf der Sachebene annehmen: «Ja, ich habe es gesehen.» || Richtig. So wird der versteckte Vorwurf gar nicht erst zum Thema. + Nachfragen: «Hast du es eilig?» || Richtig. Damit spricht er die Selbstkundgabe an. - Ebenfalls einen Vorwurf machen, damit es ausgeglichen ist. || Damit würde der Streit eher eskalieren. + Ruhig ansprechen, wie die Bemerkung bei ihm angekommen ist. || Richtig. Das ist Metakommunikation. </quiz> == Stufe 6: Transfer in den Berufsalltag == <quiz display=simple> {Ihr Vorgesetzter sagt am Montagmorgen: «Die Offerte für Kunde Meier ist immer noch nicht verschickt.» Welche Reaktion zeigt ein gut eingesetztes '''Sach-Ohr'''? |type="()"} + «Stimmt, mir fehlt noch der Preis vom Lieferanten. Ich frage heute nach und schicke sie bis Mittwoch.» || Richtig. Sie gehen auf den Sachverhalt ein und bieten eine Lösung an. - «Sie trauen mir wohl gar nichts zu!» || Das ist eine Reaktion des Beziehungs-Ohrs – und wirkt eher defensiv. - «Sie wirken heute aber gestresst.» || Das ist eine Reaktion auf die Selbstkundgabe – im Moment wohl nicht passend. - Sie sagen nichts und arbeiten bis spät in die Nacht. || Das wäre ein übergrosses Appell-Ohr ohne Klärung. {Eine Kundin schreibt per E-Mail: «Ich warte nun schon seit drei Wochen auf meine Bestellung!» Welche Seiten sollten Sie in Ihrer Antwort berücksichtigen? |type="[]"} + Sachinhalt: Lieferstatus prüfen und konkret mitteilen. || Richtig. Die Kundin braucht eine sachliche Information. + Selbstkundgabe: Verständnis für ihren Ärger zeigen. || Richtig. Die Kundin gibt Ärger und Ungeduld preis. + Appell: Eine Lösung anbieten (z. B. Liefertermin, Expressversand). || Richtig. Der versteckte Appell lautet: «Kümmern Sie sich darum!» - Beziehung: Die Kundin auf ihren unfreundlichen Ton hinweisen. || Das würde die Situation verschärfen. Eine wertschätzende Antwort stärkt die Beziehung besser. {Sie möchten eine Arbeitskollegin bitten, Ihnen bei einer Excel-Auswertung zu helfen. Welche Formulierung ist auf allen vier Seiten am klarsten und freundlichsten? |type="()"} - «Excel kannst du ja sicher besser als ich, mach du das.» || Der Appell ist fordernd, und die Beziehungsseite wirkt abschiebend. - «Hm, diese Auswertung ist ziemlich kompliziert …» || Der Appell bleibt versteckt – die Kollegin muss erraten, was Sie wollen. + «Ich komme bei dieser Auswertung nicht weiter. Du kennst dich mit Formeln gut aus – hättest du heute 15 Minuten Zeit, mir zu helfen?» || Richtig. Sachinhalt, Selbstkundgabe, wertschätzende Beziehung und klarer Appell sind stimmig. - «Du musst mir jetzt sofort helfen.» || Der Appell ist zwar klar, aber die Beziehungsseite ist respektlos. {Was bedeutet es, wenn eine Nachricht '''kongruent''' ist? |type="()"} + Worte, Tonfall und Körpersprache passen zusammen. || Richtig. Kongruente Nachrichten wirken glaubwürdig. - Die Nachricht besteht nur aus einem Sachinhalt. || Eine Nachricht hat immer alle vier Seiten. - Der Empfänger hört nur mit einem Ohr. || Das hat mit Kongruenz nichts zu tun. - Die Nachricht enthält keinen Appell. || Auch kongruente Nachrichten können einen Appell enthalten. {Ergänzen Sie den Fachbegriff: Wenn zwei Personen darüber sprechen, ''wie'' sie miteinander reden, nennt man das { Metakommunikation|Meta-Kommunikation _18 }. |type="{}"} </quiz> == Zusammenfassung == {| class="wikitable" ! Seite !! Leitfrage des Senders !! Ohr des Empfängers |- | '''Sachinhalt''' || Worüber informiere ich? || Wie ist der Sachverhalt zu verstehen? |- | '''Selbstkundgabe''' || Was gebe ich von mir zu erkennen? || Was ist das für eine Person? Was ist mit ihr los? |- | '''Beziehung''' || Was halte ich von dir, wie stehen wir zueinander? || Wie redet sie mit mir? Wen glaubt sie vor sich zu haben? |- | '''Appell''' || Wozu möchte ich dich veranlassen? || Was soll ich tun, denken oder fühlen? |} == Quelle == * Friedemann Schulz von Thun: ''Miteinander reden 1. Störungen und Klärungen.'' Rowohlt, Reinbek 1981. * [https://www.schulz-von-thun.de/die-modelle/das-kommunikationsquadrat Schulz von Thun Institut: Das Kommunikationsquadrat] [[Kategorie:Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)]] 6l5vay7phqkwclrp29b3awgt6sxnu82 1118932 1118931 2026-11-05T11:36:58Z Paul Sutermeister 37610 /* Stufe 6: Transfer in den Berufsalltag */ 1118932 wikitext text/x-wiki __NOTOC__ = [[:w:Vier-Seiten-Modell|Vier-Seiten-Modell]] = <quiz display="simple"> { [[Bild:Vier-Seiten-Modell de 2.svg|400px| ]] | typ="[]" } | Sachinhalt | Selbstkundgabe | Beziehungshinweis | Appell ---+ Was soll die Empfängerin tun? --+- Was hält die Senderin von der Empfängerin? -+-- Was gibt die Senderin von sich preis? +--- Worüber wird informiert? </quiz> = Lern-Quiz: Das Vier-Seiten-Modell nach Schulz von Thun = Dieses Quiz ist '''aufbauend''': Es beginnt mit den Grundbegriffen und führt Schritt für Schritt bis zur Anwendung im Berufsalltag. Bearbeiten Sie die Stufen der Reihe nach. Nach jeder Stufe können Sie Ihre Antworten mit «Auswerten» überprüfen und die Rückmeldungen lesen. {| class="wikitable" ! Stufe !! Thema !! Ziel |- | 1 || Grundlagen || Sie kennen den Urheber und die Grundidee des Modells. |- | 2 || Die vier Seiten || Sie können die vier Seiten einer Nachricht benennen und beschreiben. |- | 3 || Zuordnen || Sie können Aussagen einer Seite zuordnen. |- | 4 || Die vier Ohren || Sie verstehen, wie Empfangende eine Nachricht unterschiedlich hören können. |- | 5 || Analyse || Sie können eine Nachricht vollständig auf allen vier Seiten analysieren. |- | 6 || Transfer || Sie wenden das Modell auf Situationen im kaufmännischen Berufsalltag an. |} == Stufe 1: Grundlagen == <quiz display=simple> {Wer hat das Vier-Seiten-Modell (Kommunikationsquadrat) entwickelt? |type="()"} + Friedemann Schulz von Thun || Richtig. Der Hamburger Psychologe stellte das Modell 1981 im Buch «Miteinander reden 1» vor. - Paul Watzlawick || Watzlawick stammt die Unterscheidung von Inhalts- und Beziehungsaspekt. Schulz von Thun hat darauf aufgebaut. - Sigmund Freud || Freud hat sich mit der Psychoanalyse beschäftigt, nicht mit diesem Kommunikationsmodell. - Karl Bühler || Bühlers Organon-Modell ist eine Grundlage, aber nicht das Vier-Seiten-Modell. {Was ist die Grundidee des Modells? |type="()"} - Eine Nachricht hat genau eine eindeutige Bedeutung. || Gerade das Gegenteil: Eine Nachricht enthält immer mehrere Botschaften gleichzeitig. + Jede Nachricht enthält gleichzeitig vier Botschaften. || Genau. Wer etwas sagt, sendet immer vier Botschaften zugleich – ob gewollt oder nicht. - Kommunikation besteht aus vier Gesprächsphasen. || Es geht nicht um zeitliche Phasen, sondern um gleichzeitige Seiten einer einzigen Nachricht. - Für gute Kommunikation braucht es vier Personen. || Das Modell bezieht sich bereits auf eine Nachricht zwischen zwei Personen. {Wie heissen die beiden Personen, die im Modell miteinander kommunizieren? |type="[]"} + Sender || Richtig: Die Person, die die Nachricht abschickt. + Empfänger || Richtig: Die Person, die die Nachricht aufnimmt. - Moderator || Ein Moderator kommt im Grundmodell nicht vor. - Übersetzer || Ein Übersetzer kommt im Grundmodell nicht vor. {Ergänzen Sie den Satz. |type="{}"} Das Modell wird auch Kommunikations{ quadrat|Quadrat _8 } oder Vier-Ohren-Modell genannt. </quiz> == Stufe 2: Die vier Seiten einer Nachricht == <quiz display=simple> {Welche vier Seiten hat eine Nachricht nach Schulz von Thun? |type="[]"} + Sachinhalt || Richtig. + Selbstkundgabe (Selbstoffenbarung) || Richtig. + Beziehung || Richtig. + Appell || Richtig. - Gefühlsebene || Gefühle spielen zwar mit, sind aber keine eigene der vier Seiten. - Körpersprache || Körpersprache ist ein Kanal, über den alle Seiten transportiert werden können – keine eigene Seite. {Die Seite '''Sachinhalt''' beantwortet die Frage … |type="()"} + … worüber informiere ich? || Richtig: Daten, Fakten, Sachverhalte. - … was gebe ich von mir preis? || Das ist die Selbstkundgabe. - … was halte ich von dir? || Das ist die Beziehungsseite. - … wozu möchte ich dich bringen? || Das ist der Appell. {Die Seite '''Selbstkundgabe''' beantwortet die Frage … |type="()"} - … worüber informiere ich? || Das ist der Sachinhalt. + … was gebe ich von mir zu erkennen? || Richtig: Gefühle, Stimmungen, Werte, Eigenarten des Senders. - … wie stehen wir zueinander? || Das ist die Beziehungsseite. - … was soll die andere Person tun? || Das ist der Appell. {Die Seite '''Beziehung''' beantwortet die Frage … |type="()"} - … welche Fakten teile ich mit? || Das ist der Sachinhalt. - … wie geht es mir gerade? || Das ist die Selbstkundgabe. + … was halte ich von dir und wie stehen wir zueinander? || Richtig. Diese Seite zeigt sich oft im Tonfall, in der Formulierung und in der Körpersprache. - … was erwarte ich von dir? || Das ist der Appell. {Die Seite '''Appell''' beantwortet die Frage … |type="()"} - … wie fühle ich mich? || Das ist die Selbstkundgabe. - … wie sehe ich dich? || Das ist die Beziehungsseite. - … was ist der Sachverhalt? || Das ist der Sachinhalt. + … wozu möchte ich dich veranlassen? || Richtig: Wünsche, Bitten, Aufforderungen, Ratschläge. {Welche Aussagen zu den vier Seiten sind richtig? |type="[]"} + Alle vier Seiten sind in jeder Nachricht gleichzeitig enthalten. || Richtig. Man kann nicht «nur sachlich» kommunizieren. - Eine sachliche Nachricht hat keine Beziehungsseite. || Falsch. Auch sachliche Nachrichten sagen etwas über die Beziehung aus. + Die Seiten können ausdrücklich (explizit) oder versteckt (implizit) gesendet werden. || Richtig. Oft wird z. B. der Appell nur angedeutet. - Der Sender bestimmt allein, wie die Nachricht ankommt. || Falsch. Die Empfängerin entscheidet mit, welche Seite sie hört. </quiz> == Stufe 3: Aussagen zuordnen == Ordnen Sie jede Aussage der Seite zu, die '''am deutlichsten''' darin zum Ausdruck kommt. <quiz display=simple> {Welche Seite steht im Vordergrund? |type="()"} | Sachinhalt | Selbstkundgabe | Beziehung | Appell +--- «Die Sitzung beginnt um 14 Uhr im Raum B2.» -+-- «Ich bin heute total erschöpft.» --+- «Sie sind die Einzige hier, auf die ich mich verlassen kann.» ---+ «Bitte schliessen Sie das Fenster.» -+-- «Ich freue mich riesig auf die Ferien.» --+- «Das hätte ich Ihnen gar nicht zugetraut.» +--- «Der Drucker im 2. Stock ist ausser Betrieb.» ---+ «Rufen Sie mich doch bitte nach der Pause zurück.» </quiz> <quiz display=simple> {In der Aussage «Ich bin ehrlich gesagt etwas nervös vor der Präsentation» steht vor allem die … im Vordergrund. |type="()"} - Sachseite || Es wird zwar etwas mitgeteilt, aber im Zentrum steht der innere Zustand des Senders. + Selbstkundgabe || Richtig. Der Sender gibt ein Gefühl von sich preis. - Beziehungsseite || Über die Beziehung zum Gegenüber wird hier kaum etwas gesagt. - Appellseite || Ein Appell könnte mitschwingen (z. B. «Mach mir Mut»), steht aber nicht im Vordergrund. </quiz> <quiz display=simple> |type="{}"} Ergänzen Sie: Der versteckte Appell in «Es zieht hier aber ziemlich» lautet sinngemäss: «Bitte schliessen Sie das { Fenster }.» </quiz> == Stufe 4: Die vier Ohren des Empfängers == <quiz display=simple> {Welche «Ohren» hat die Empfängerin nach Schulz von Thun? |type="[]"} + Sach-Ohr || Richtig: «Wie ist der Sachverhalt zu verstehen?» + Selbstkundgabe-Ohr || Richtig: «Was ist das für eine Person? Was ist mit ihr los?» + Beziehungs-Ohr || Richtig: «Wie redet sie mit mir? Was hält sie von mir?» + Appell-Ohr || Richtig: «Was soll ich tun, denken oder fühlen?» - Kritik-Ohr || Ein «Kritik-Ohr» gibt es im Modell nicht – Kritik wird meist mit dem Beziehungs-Ohr gehört. {Eine Kollegin sagt: «Der Bericht hat noch drei Tippfehler.» Sie antworten gekränkt: «Immer finden Sie etwas an meiner Arbeit auszusetzen!» Mit welchem Ohr haben Sie vor allem gehört? |type="()"} - Sach-Ohr || Mit dem Sach-Ohr hätten Sie einfach nach den Fehlern gefragt. - Selbstkundgabe-Ohr || Dann hätten Sie sich gefragt, was mit der Kollegin los ist. + Beziehungs-Ohr || Richtig. Sie haben die Nachricht als Angriff auf Ihre Person verstanden. - Appell-Ohr || Dann hätten Sie die Fehler einfach sofort korrigiert. {Was kann passieren, wenn jemand fast nur mit dem Appell-Ohr hört? |type="()"} - Er versteht alle Nachrichten rein sachlich. || Das wäre ein übergrosses Sach-Ohr. + Er versucht ständig, es allen recht zu machen, und erfüllt auch unausgesprochene Erwartungen. || Richtig. Wer nur noch Appelle hört, verliert leicht den Blick für die eigenen Bedürfnisse. - Er fühlt sich durch jede Bemerkung persönlich angegriffen. || Das ist typisch für ein übergrosses Beziehungs-Ohr. - Er interessiert sich vor allem für die Gefühle der anderen. || Das wäre das Selbstkundgabe-Ohr. {Welche Aussagen sind richtig? |type="[]"} + Missverständnisse entstehen oft, weil Sender und Empfänger unterschiedliche Seiten betonen. || Richtig. Gemeint und verstanden ist nicht dasselbe. + Es lohnt sich, bewusst mit allen vier Ohren zu hören. || Richtig. So kann man flexibler und gelassener reagieren. - Es gibt immer nur ein richtiges Ohr für eine Nachricht. || Falsch. Alle vier Ohren sind grundsätzlich gleichberechtigt. + Durch Nachfragen («Wie meinen Sie das?») lassen sich Missverständnisse klären. || Richtig. Das nennt man Metakommunikation – reden über die Art, wie man miteinander redet. </quiz> == Stufe 5: Eine Nachricht vollständig analysieren == '''Situation:''' Ein Mann sitzt am Steuer, seine Frau auf dem Beifahrersitz. An einer Kreuzung sagt sie: '''«Du, da vorne ist grün!»''' Er antwortet: «Fährst du oder fahre ich?» <quiz display=simple> {Welcher Teil gehört zum '''Sachinhalt''' dieser Nachricht? |type="()"} + Die Ampel ist grün. || Richtig: Das ist die reine Information. - Ich habe es eilig. || Das ist eine mögliche Selbstkundgabe. - Du brauchst meine Hilfe beim Fahren. || Das ist eine mögliche Beziehungsbotschaft. - Fahr los! || Das ist der Appell. {Welche Botschaft könnte die Frau auf der Seite der '''Selbstkundgabe''' senden? |type="()"} - Die Ampel ist grün. || Das ist der Sachinhalt. + Ich habe es eilig / Ich bin ungeduldig. || Richtig: Sie gibt etwas über ihren eigenen Zustand preis. - Fahr endlich los. || Das ist der Appell. - Du bist ein unaufmerksamer Fahrer. || Das ist eine mögliche Beziehungsbotschaft. {Welche Botschaft hat der Mann offenbar vor allem gehört? |type="()"} - Sachinhalt: Die Ampel ist grün. || Dann hätte er einfach «Ah, danke» gesagt. - Selbstkundgabe: Sie hat es eilig. || Dann hätte er vielleicht gefragt: «Bist du in Eile?» + Beziehung: Du brauchst meine Hilfe, du fährst nicht gut. || Richtig. Seine Antwort zeigt, dass er sich bevormundet fühlt. - Appell: Gib Gas. || Dann wäre er wahrscheinlich einfach losgefahren. {Ergänzen Sie den Appell der Frau in einem Wort: |type="{}"} «Fahr { los|weiter|ab _6 }!» {Was hätte der Mann tun können, um den Konflikt zu vermeiden? |type="[]"} + Die Nachricht auf der Sachebene annehmen: «Ja, ich habe es gesehen.» || Richtig. So wird der versteckte Vorwurf gar nicht erst zum Thema. + Nachfragen: «Hast du es eilig?» || Richtig. Damit spricht er die Selbstkundgabe an. - Ebenfalls einen Vorwurf machen, damit es ausgeglichen ist. || Damit würde der Streit eher eskalieren. + Ruhig ansprechen, wie die Bemerkung bei ihm angekommen ist. || Richtig. Das ist Metakommunikation. </quiz> == Stufe 6: Transfer in den Berufsalltag == <quiz display=simple> {Ihr Vorgesetzter sagt am Montagmorgen: «Die Offerte für Kunde Meier ist immer noch nicht verschickt.» Welche Reaktion zeigt ein gut eingesetztes '''Sach-Ohr'''? |type="()"} + «Stimmt, mir fehlt noch der Preis vom Lieferanten. Ich frage heute nach und schicke sie bis Mittwoch.» || Richtig. Sie gehen auf den Sachverhalt ein und bieten eine Lösung an. - «Sie trauen mir wohl gar nichts zu!» || Das ist eine Reaktion des Beziehungs-Ohrs – und wirkt eher defensiv. - «Sie wirken heute aber gestresst.» || Das ist eine Reaktion auf die Selbstkundgabe – im Moment wohl nicht passend. - Sie sagen nichts und arbeiten bis spät in die Nacht. || Das wäre ein übergrosses Appell-Ohr ohne Klärung. {Eine Kundin schreibt per E-Mail: «Ich warte nun schon seit drei Wochen auf meine Bestellung!» Welche Seiten sollten Sie in Ihrer Antwort berücksichtigen? |type="[]"} + Sachinhalt: Lieferstatus prüfen und konkret mitteilen. || Richtig. Die Kundin braucht eine sachliche Information. + Selbstkundgabe: Verständnis für ihren Ärger zeigen. || Richtig. Die Kundin gibt Ärger und Ungeduld preis. + Appell: Eine Lösung anbieten (z. B. Liefertermin, Expressversand). || Richtig. Der versteckte Appell lautet: «Kümmern Sie sich darum!» - Beziehung: Die Kundin auf ihren unfreundlichen Ton hinweisen. || Das würde die Situation verschärfen. Eine wertschätzende Antwort stärkt die Beziehung besser. {Sie möchten eine Arbeitskollegin bitten, Ihnen bei einer Excel-Auswertung zu helfen. Welche Formulierung ist auf allen vier Seiten am klarsten und freundlichsten? |type="()"} - «Excel kannst du ja sicher besser als ich, mach du das.» || Der Appell ist fordernd, und die Beziehungsseite wirkt abschiebend. - «Hm, diese Auswertung ist ziemlich kompliziert …» || Der Appell bleibt versteckt – die Kollegin muss erraten, was Sie wollen. + «Ich komme bei dieser Auswertung nicht weiter. Du kennst dich mit Formeln gut aus – hättest du heute 15 Minuten Zeit, mir zu helfen?» || Richtig. Sachinhalt, Selbstkundgabe, wertschätzende Beziehung und klarer Appell sind stimmig. - «Du musst mir jetzt sofort helfen.» || Der Appell ist zwar klar, aber die Beziehungsseite ist respektlos. {Was bedeutet es, wenn eine Nachricht '''kongruent''' ist? |type="()"} + Worte, Tonfall und Körpersprache passen zusammen. || Richtig. Kongruente Nachrichten wirken glaubwürdig. - Die Nachricht besteht nur aus einem Sachinhalt. || Eine Nachricht hat immer alle vier Seiten. - Der Empfänger hört nur mit einem Ohr. || Das hat mit Kongruenz nichts zu tun. - Die Nachricht enthält keinen Appell. || Auch kongruente Nachrichten können einen Appell enthalten. {Ergänzen Sie den Fachbegriff: |type="{}"} Wenn zwei Personen darüber sprechen, ''wie'' sie miteinander reden, nennt man das { Metakommunikation|Meta-Kommunikation _18 }. </quiz> == Zusammenfassung == {| class="wikitable" ! Seite !! Leitfrage des Senders !! Ohr des Empfängers |- | '''Sachinhalt''' || Worüber informiere ich? || Wie ist der Sachverhalt zu verstehen? |- | '''Selbstkundgabe''' || Was gebe ich von mir zu erkennen? || Was ist das für eine Person? Was ist mit ihr los? |- | '''Beziehung''' || Was halte ich von dir, wie stehen wir zueinander? || Wie redet sie mit mir? Wen glaubt sie vor sich zu haben? |- | '''Appell''' || Wozu möchte ich dich veranlassen? || Was soll ich tun, denken oder fühlen? |} == Quelle == * Friedemann Schulz von Thun: ''Miteinander reden 1. Störungen und Klärungen.'' Rowohlt, Reinbek 1981. * [https://www.schulz-von-thun.de/die-modelle/das-kommunikationsquadrat Schulz von Thun Institut: Das Kommunikationsquadrat] [[Kategorie:Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)]] 7mnixl1eybx2d6v0xq33d5ywhqgltcx 106 173416 1118909 1118762 2026-11-05T09:31:43Z Paul Sutermeister 37610 /* Schritt 3: Die persönliche Distanz (0,5 bis 1,5 Meter) */ 1118909 wikitext text/x-wiki __NOTOC__ [[Datei:PROXEMIC.jpg|thumb]] = Distanzzonen: Wie nah ist zu nah? = Jeder Mensch hat eine '''unsichtbare Blase''' um sich herum. Wer in diese Blase kommt, darf das nur, wenn er uns gut kennt. Diese Idee stammt vom amerikanischen Forscher '''Edward T. Hall''' (1966). Er nannte sie '''[[:w:Proxemik|Proxemik]]''' – die Lehre vom Abstand zwischen Menschen. Die Grundidee ist einfach: {| class="wikitable" |- | '''Je näher''' wir jemanden an uns heranlassen, || '''desto enger''' ist die Beziehung. |} Es gibt '''vier Zonen'''. Wir schauen sie Schritt für Schritt an. == Schritt 1: Die Messlatte ist dein Körper == Du brauchst keinen Meterstab. Dein Körper reicht: * '''Ellbogen angewinkelt''' ≈ 0,5 Meter * '''Arm ganz ausgestreckt''' ≈ 1 Meter * '''Ein grosser Schritt''' ≈ 1 Meter '''Mach es selbst:''' Streck deinen Arm aus. Alles, was du mit der Hand berühren kannst, ist ungefähr deine persönliche Zone. <quiz display=simple> { Wie viel ist ein ausgestreckter Arm ungefähr? |type="()" } - 10 Zentimeter + 1 Meter || Genau. Dein Arm ist ein praktischer Meterstab, den du immer dabeihast. - 5 Meter </quiz> == Schritt 2: Die Intimdistanz (0 bis 0,5 Meter) == [[Datei:Daumier - Types parisiens - planche 37.jpg|thumb]] '''Bild im Kopf:''' Du kannst den anderen '''riechen''', '''flüstern''' hören und seine Wärme spüren. '''Wer darf hier rein?''' * Partnerin oder Partner * Eigene Kinder, Eltern * Sehr enge Freunde '''Typische Situationen:''' umarmen, trösten, ein Kind ins Bett bringen, ein Geheimnis flüstern. '''Aha-Moment:''' Im vollen Bus oder im Lift stehen fremde Menschen in dieser Zone. Darum schauen dort alle auf den Boden, aufs Handy oder an die Decke. So „tun wir so“, als wäre der andere gar nicht da. <quiz display=simple> { Warum schauen Menschen im vollen Lift oft auf den Boden? |type="()" } - Weil der Boden interessant ist. + Weil Fremde in ihrer Intimzone stehen und das unangenehm ist. || Richtig. Mit dem Wegschauen schaffen wir einen „Abstand“, den es körperlich gerade nicht gibt. - Weil man im Lift nicht sprechen darf. { Wer darf normalerweise in die Intimdistanz? |type="[]" } + Mein Kind + Meine Partnerin oder mein Partner - Ein Verkäufer im Laden - Mein neuer Arbeitskollege </quiz> == Schritt 3: Die persönliche Distanz (0,5 bis 1,5 Meter) == [[Datei:Description (atribucion interna y extrerna).jpg|thumb|mini|Intime oder persönliche Distanz?]] '''Bild im Kopf:''' Ungefähr '''eine Armlänge'''. Man kann sich die Hand geben, aber man berührt sich nicht ständig. '''Wer darf hier rein?''' * Freunde und Bekannte * Gute Kolleginnen und Kollegen '''Typische Situationen:''' ein Gespräch beim Kaffee, mit einem Freund auf der Parkbank sitzen, zu zweit in der Pause plaudern. '''Aha-Moment:''' Beim '''Händeschütteln''' strecken beide den Arm aus. Genau so viel Abstand bleibt danach meistens auch im Gespräch. <quiz display=simple> { Du triffst eine Kollegin in der Pause und plauderst mit ihr. Welche Distanz passt? |type="()" } - Intimdistanz + Persönliche Distanz - Öffentliche Distanz { Ergänze: Die persönliche Distanz ist ungefähr eine { Armlänge _10 }. |type="{}" } </quiz> == Schritt 4: Die soziale Distanz (1,5 bis 4 Meter) == [[Datei:2024-07-02 Aufhof Hannover innovercity.jpg|thumb]] '''Bild im Kopf:''' Zwischen euch steht oft '''ein Tisch''', ein '''Schalter''' oder ein '''Pult'''. '''Wer ist hier?''' * Menschen, die man nur beruflich oder kurz kennt * Kundinnen und Kunden, Behörden, Vorgesetzte '''Typische Situationen:''' am Bankschalter, ein Bewerbungsgespräch, eine Sitzung am Besprechungstisch, beim Arzt am Empfang. '''Aha-Moment:''' Der Tisch im Büro ist nicht nur ein Möbel. Er '''schafft automatisch''' die richtige Distanz für ein sachliches Gespräch. <quiz display=simple> { Du hast ein Bewerbungsgespräch. Welche Distanz ist normal? |type="()" } - Intimdistanz - Persönliche Distanz + Soziale Distanz || Richtig. Meist sitzt man sich an einem Tisch gegenüber. Das ist sachlich und respektvoll. { Welche Situationen gehören zur sozialen Distanz? |type="[]" } + Gespräch am Bankschalter + Sitzung am Besprechungstisch - Ein Kind umarmen - Eine Rede vor 200 Leuten </quiz> == Schritt 5: Die öffentliche Distanz (ab 4 Metern) == [[Datei:Piazza della Signoria.jpg|thumb]] '''Bild im Kopf:''' Eine '''Bühne''' oder ein '''Rednerpult'''. Man muss '''laut''' sprechen. Ein persönliches Gespräch ist kaum möglich. '''Wer ist hier?''' * Ein Publikum, das man nicht persönlich kennt '''Typische Situationen:''' eine Lehrperson vorne vor einer grossen Klasse, ein Vortrag, ein Konzert, eine Politikerin auf der Bühne. '''Aha-Moment:''' Auf diese Distanz sieht man Gesichter nicht mehr genau. Darum braucht man '''grosse Gesten''' und eine '''laute, klare Stimme'''. <quiz display=simple> { Warum muss ein Redner auf der Bühne grosse Gesten machen? |type="()" } - Weil er nervös ist. + Weil man aus über 4 Metern Distanz kleine Gesten und die Mimik kaum sieht. || Genau. Je grösser die Distanz, desto deutlicher muss die Körpersprache sein. - Weil es so vorgeschrieben ist. </quiz> == Schritt 6: Alle vier Zonen auf einen Blick == {| class="wikitable" ! Zone !! Abstand !! Bild im Kopf !! Mit wem? |- | '''Intim''' || 0 – 0,5 m || flüstern, riechen, umarmen || Familie, Partner |- | '''Persönlich''' || 0,5 – 1,5 m || eine Armlänge, Hand geben || Freunde, gute Kollegen |- | '''Sozial''' || 1,5 – 4 m || ein Tisch dazwischen || Kunden, Behörden, Vorgesetzte |- | '''Öffentlich''' || ab 4 m || Bühne, Rednerpult || Publikum |} ''Die Meterangaben sind Richtwerte. Halls Originalwerte sind etwas kleiner (z. B. öffentlich ab ca. 3,6 m).'' == Schritt 7: Das grosse Zuordnungs-Quiz == <quiz display=simple> { Eine Mutter liest ihrem Kind abends eine Geschichte vor, das Kind sitzt auf ihrem Schoss. |type="()" } + Intimdistanz - Persönliche Distanz - Soziale Distanz - Öffentliche Distanz { Zwei Freunde trinken zusammen ein Bier an einem kleinen Bistrotisch. |type="()" } - Intimdistanz + Persönliche Distanz - Soziale Distanz - Öffentliche Distanz { Eine Kundin bespricht mit dem Bankberater am Schreibtisch eine Hypothek. |type="()" } - Intimdistanz - Persönliche Distanz + Soziale Distanz - Öffentliche Distanz { Der Schulleiter begrüsst alle Lernenden in der Aula am ersten Schultag. |type="()" } - Intimdistanz - Persönliche Distanz - Soziale Distanz + Öffentliche Distanz { Ein Verkäufer kommt Ihnen beim Beraten so nahe, dass Sie seinen Atem riechen. Was passiert? |type="()" } - Nichts, das ist normal. + Er dringt in die Intimdistanz ein. Das wirkt aufdringlich und man weicht zurück. || Richtig. Wer ungefragt zu nahe kommt, wirkt respektlos – auch wenn er es gar nicht so meint. - Er hält die öffentliche Distanz ein. </quiz> == Schritt 8: Andere Länder, andere Abstände == Nicht überall sind die Zonen gleich gross. * In '''Südeuropa''', '''Lateinamerika''' oder '''arabischen Ländern''' stehen Menschen oft '''näher''' beieinander. Man berührt sich auch häufiger, zum Beispiel am Arm. * In '''Nordeuropa''', der '''Schweiz''' oder '''Japan''' hält man oft '''mehr Abstand'''. '''Aha-Moment:''' Stell dir ein Gespräch zwischen einer Person aus Kolumbien und einer Person aus der Schweiz vor. * Die Kolumbianerin geht einen Schritt näher, weil das für sie freundlich ist. * Der Schweizer geht einen Schritt zurück, weil es ihm zu nah ist. * So „tanzen“ beide durch den Raum. Sie denkt vielleicht: „Er ist kühl.“ Er denkt: „Sie ist aufdringlich.“ * Dabei meinen es '''beide gut'''. <quiz display=simple> { Eine Person kommt Ihnen im Gespräch näher, als Sie es gewohnt sind. Was ist eine mögliche Erklärung? |type="()" } - Sie will Sie bestimmt ärgern. + In ihrer Kultur ist ein kleinerer Abstand normal und freundlich. || Genau. Distanz ist auch kulturell geprägt. Bevor man urteilt, lohnt es sich, daran zu denken. - Sie hört schlecht. { Was ist richtig? |type="[]" } + Die Distanzzonen sind nicht in allen Kulturen gleich gross. + Zu viel Nähe kann aufdringlich wirken. + Zu viel Abstand kann kühl oder abweisend wirken. - Die Meterangaben gelten weltweit genau gleich. </quiz> == Schritt 9: Ausprobieren und nachdenken == '''Mini-Experiment zu zweit:''' # Stellt euch etwa 5 Meter voneinander entfernt auf. # Eine Person geht langsam auf die andere zu. # Die stehende Person sagt „Stopp“, sobald es unangenehm wird. # Messt den Abstand mit eurem Arm. '''Fragen zum Nachdenken:''' * Wo hast du „Stopp“ gesagt? In welcher Zone war das? * Wäre es bei einer fremden Person anders gewesen als bei einem Freund? * In welcher Situation im Alltag kommt dir jemand manchmal zu nahe? == Merksatz == {| class="wikitable" |- | '''Abstand ist Sprache ohne Worte.''' Wer den richtigen Abstand wählt, zeigt Respekt. |} [[Kategorie:Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)]] r8jk5u1rgoj7qmeonrxjnczegrs9y6z 0 173423 1118869 2026-11-04T16:32:28Z Bert Niehaus 20843 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1118869 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Ziel der Lerneinheit ist es, die Exponentialfunktion in topologischen Algebren <math>(A,\|\cdot \|_\mathcal{A})</math> zu behandeln, wobei die [[Topologischer Raum|Topologie]] durch eine System <math>\|\cdot \|_\mathcal{A}</math> von [[Gaugefunktional|Gaugefunktionalen]] erzeugt wird. === Lernvoraussetzungen === Lernvoraussetzungen aus folgenden Bereichen sind sinnvoll: * Konvergenz und Potenzreihen in der reellen Analysis, * Verknüpfungen von Potenzreihen, * [[Normen, Metriken, Topologie]] == Siehe auch == * [[w:de:Exponentialfunktion|reell- bzw. komplexwertige Exponentialfunktion]] 0jjmqjkvihperdngbosdepvo1h4clwo 1118870 1118869 2026-11-04T16:32:59Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1118870 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Ziel der Lerneinheit ist es, die Exponentialfunktion in topologischen Algebren <math>(A,\|\cdot \|_\mathcal{A})</math> zu behandeln, wobei die [[Topologischer Raum|Topologie]] durch eine System <math>\|\cdot \|_\mathcal{A}</math> von [[Gaugefunktional|Gaugefunktionalen]] erzeugt wird. === Lernvoraussetzungen === Lernvoraussetzungen aus folgenden Bereichen sind sinnvoll: * Konvergenz und Potenzreihen in der reellen Analysis, * Verknüpfungen von Potenzreihen, * [[Normen, Metriken, Topologie]] == Siehe auch == * [[w:de:Exponentialfunktion|reell- bzw. komplexwertige Exponentialfunktion]] * [[Potenzreihenalgebra]] * [[Polynomalgebra]] n7osha9dsiak7vu5t80i10m0lizqzou 1118871 1118870 2026-11-04T16:39:32Z Bert Niehaus 20843 /* Einleitung */ 1118871 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Ziel der Lerneinheit ist es, die Exponentialfunktion in topologischen Algebren <math>(A,\|\cdot \|_\mathcal{A})</math> zu behandeln, wobei die [[Topologischer Raum|Topologie]] durch eine System <math>\|\cdot \|_\mathcal{A}</math> von [[Gaugefunktional|Gaugefunktionalen]] erzeugt wird. Die Reihennotation meint bei vorliegender Konvergenz eine Konvergenz von Partialsumme, die bei Potenzreihen Polynome sind. === Konvergenz von Reihen === Um überhaupt die Konvergenz von Reihen bzw. Potenzreihen analysieren zu können, benötigt man eine Topologie <math>\mathcal{T}_{\!\!\!_A}</math>, die in diesem Fall über die <math>\varepsilon</math>-Kugeln <math> B_\varepsilon^\alpha(z_0)</math> um <math>z_0\in A</math> bzgl. eines Gaugefunktionals <math>\|\cdot \|_\alpha : A \to \mathbb{R}_0^{+}</math> erzeugt wird. :<math> B_\varepsilon^\alpha(z_0) := \{ z\in A \ : \ \|z-z_0\|_\alpha < \varepsilon \} </math> === Lernvoraussetzungen === Lernvoraussetzungen aus folgenden Bereichen sind sinnvoll: * Konvergenz und Potenzreihen in der reellen Analysis, * Verknüpfungen von Potenzreihen, * [[Normen, Metriken, Topologie]] == Siehe auch == * [[w:de:Exponentialfunktion|reell- bzw. komplexwertige Exponentialfunktion]] * [[Potenzreihenalgebra]] * [[Polynomalgebra]] p68d95jmcdk06a2urt826277cwm6vdv 1118872 1118871 2026-11-04T16:41:47Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1118872 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Ziel der Lerneinheit ist es, die Exponentialfunktion in topologischen Algebren <math>(A,\|\cdot \|_\mathcal{A})</math> zu behandeln, wobei die [[Topologischer Raum|Topologie]] durch eine System <math>\|\cdot \|_\mathcal{A}</math> von [[Gaugefunktional|Gaugefunktionalen]] erzeugt wird. Die Reihennotation meint bei vorliegender Konvergenz eine Konvergenz von Partialsumme, die bei Potenzreihen Polynome sind. === Konvergenz von Reihen === Um überhaupt die Konvergenz von Reihen bzw. Potenzreihen analysieren zu können, benötigt man eine Topologie <math>\mathcal{T}_{\!\!\!_A}</math>, die in diesem Fall über die <math>\varepsilon</math>-Kugeln <math> B_\varepsilon^\alpha(z_0)</math> um <math>z_0\in A</math> bzgl. eines Gaugefunktionals <math>\|\cdot \|_\alpha : A \to \mathbb{R}_0^{+}</math> erzeugt wird. :<math> B_\varepsilon^\alpha(z_0) := \{ z\in A \ : \ \|z-z_0\|_\alpha < \varepsilon \} </math> === Lernvoraussetzungen === Lernvoraussetzungen aus folgenden Bereichen sind sinnvoll: * Konvergenz und Potenzreihen in der reellen Analysis, * Verknüpfungen von Potenzreihen, * [[Normen, Metriken, Topologie]] == Potenzreihen mit Koeffizienten in A == Die Exponentialfunktion ist ein Spezial von [[Potenzreihenalgebra|Potenzreihen]] mit Koeffizienten in <math>A</math>. == Siehe auch == * [[w:de:Exponentialfunktion|reell- bzw. komplexwertige Exponentialfunktion]] * [[Potenzreihenalgebra]] * [[Polynomalgebra]] aidnpe7528rsmywyxqkdi5myno2mzce 1118873 1118872 2026-11-04T16:43:08Z Bert Niehaus 20843 /* Potenzreihen mit Koeffizienten in A */ 1118873 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Ziel der Lerneinheit ist es, die Exponentialfunktion in topologischen Algebren <math>(A,\|\cdot \|_\mathcal{A})</math> zu behandeln, wobei die [[Topologischer Raum|Topologie]] durch eine System <math>\|\cdot \|_\mathcal{A}</math> von [[Gaugefunktional|Gaugefunktionalen]] erzeugt wird. Die Reihennotation meint bei vorliegender Konvergenz eine Konvergenz von Partialsumme, die bei Potenzreihen Polynome sind. === Konvergenz von Reihen === Um überhaupt die Konvergenz von Reihen bzw. Potenzreihen analysieren zu können, benötigt man eine Topologie <math>\mathcal{T}_{\!\!\!_A}</math>, die in diesem Fall über die <math>\varepsilon</math>-Kugeln <math> B_\varepsilon^\alpha(z_0)</math> um <math>z_0\in A</math> bzgl. eines Gaugefunktionals <math>\|\cdot \|_\alpha : A \to \mathbb{R}_0^{+}</math> erzeugt wird. :<math> B_\varepsilon^\alpha(z_0) := \{ z\in A \ : \ \|z-z_0\|_\alpha < \varepsilon \} </math> === Lernvoraussetzungen === Lernvoraussetzungen aus folgenden Bereichen sind sinnvoll: * Konvergenz und Potenzreihen in der reellen Analysis, * Verknüpfungen von Potenzreihen, * [[Normen, Metriken, Topologie]] == Potenzreihen mit Koeffizienten in A == Die Exponentialfunktion <math>\exp</math> ist ein Spezialfall von [[Potenzreihenalgebra|Potenzreihen]] <math>p\in \overline{A[t]}</math> mit Koeffizienten in <math>A</math>. == Siehe auch == * [[w:de:Exponentialfunktion|reell- bzw. komplexwertige Exponentialfunktion]] * [[Potenzreihenalgebra]] * [[Polynomalgebra]] 12bbeg6impva3kdu1edfou6pidb6evl 1118874 1118873 2026-11-04T16:44:11Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1118874 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Ziel der Lerneinheit ist es, die Exponentialfunktion in topologischen Algebren <math>(A,\|\cdot \|_\mathcal{A})</math> zu behandeln, wobei die [[Topologischer Raum|Topologie]] durch eine System <math>\|\cdot \|_\mathcal{A}</math> von [[Gaugefunktional|Gaugefunktionalen]] erzeugt wird. Die Reihennotation meint bei vorliegender Konvergenz eine Konvergenz von Partialsumme, die bei Potenzreihen Polynome sind. === Konvergenz von Reihen === Um überhaupt die Konvergenz von Reihen bzw. Potenzreihen analysieren zu können, benötigt man eine Topologie <math>\mathcal{T}_{\!\!\!_A}</math>, die in diesem Fall über die <math>\varepsilon</math>-Kugeln <math> B_\varepsilon^\alpha(z_0)</math> um <math>z_0\in A</math> bzgl. eines Gaugefunktionals <math>\|\cdot \|_\alpha : A \to \mathbb{R}_0^{+}</math> erzeugt wird. :<math> B_\varepsilon^\alpha(z_0) := \{ z\in A \ : \ \|z-z_0\|_\alpha < \varepsilon \} </math> === Lernvoraussetzungen === Lernvoraussetzungen aus folgenden Bereichen sind sinnvoll: * Konvergenz und Potenzreihen in der reellen Analysis, * Verknüpfungen von Potenzreihen, * [[Normen, Metriken, Topologie]] == Potenzreihen mit Koeffizienten in A == Die Exponentialfunktion <math>\exp</math> ist ein Spezialfall von [[Potenzreihenalgebra|Potenzreihen]] <math>p\in \overline{A[t]}</math> mit Koeffizienten in <math>A</math>. == Siehe auch == * [[w:de:Exponentialfunktion|reell- bzw. komplexwertige Exponentialfunktion]] * [[Potenzreihenalgebra#Potenzreihe|Potenzreihenalgebra]] * [[Polynomalgebra]] afdjelxg5bijfsjiw2k81dpylhy37k3 1118875 1118874 2026-11-04T16:45:53Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1118875 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Ziel der Lerneinheit ist es, die Exponentialfunktion in topologischen Algebren <math>(A,\|\cdot \|_\mathcal{A})</math> zu behandeln, wobei die [[Topologischer Raum|Topologie]] durch eine System <math>\|\cdot \|_\mathcal{A}</math> von [[Gaugefunktional|Gaugefunktionalen]] erzeugt wird. Die Reihennotation meint bei vorliegender Konvergenz eine Konvergenz von Partialsumme, die bei Potenzreihen Polynome sind. === Konvergenz von Reihen === Um überhaupt die Konvergenz von Reihen bzw. Potenzreihen analysieren zu können, benötigt man eine Topologie <math>\mathcal{T}_{\!\!\!_A}</math>, die in diesem Fall über die <math>\varepsilon</math>-Kugeln <math> B_\varepsilon^\alpha(z_0)</math> um <math>z_0\in A</math> bzgl. eines Gaugefunktionals <math>\|\cdot \|_\alpha : A \to \mathbb{R}_0^{+}</math> erzeugt wird. :<math> B_\varepsilon^\alpha(z_0) := \{ z\in A \ : \ \|z-z_0\|_\alpha < \varepsilon \} </math> === Lernvoraussetzungen === Lernvoraussetzungen aus folgenden Bereichen sind sinnvoll: * Konvergenz und Potenzreihen in der reellen Analysis, * Verknüpfungen von Potenzreihen, * [[Normen, Metriken, Topologie]] == Potenzreihen mit Koeffizienten in A == Die Exponentialfunktion <math>\exp</math> ist ein Spezialfall von [[Potenzreihenalgebra|Potenzreihen]] <math>p\in \overline{A[t]}</math> mit Koeffizienten in <math>A</math>. == Siehe auch == * [[w:de:Exponentialfunktion|reell- bzw. komplexwertige Exponentialfunktion]] * [[Potenzreihenalgebra#Potenzreihenalgebra|Potenzreihenalgebra]] * [[Polynomalgebra]] 8jpieyaexuzylkpkhopxprxx46j3srb 1118878 1118875 2026-11-04T16:47:48Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1118878 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Ziel der Lerneinheit ist es, die Exponentialfunktion in topologischen Algebren <math>(A,\|\cdot \|_\mathcal{A})</math> zu behandeln, wobei die [[Topologischer Raum|Topologie]] durch eine System <math>\|\cdot \|_\mathcal{A}</math> von [[Gaugefunktional|Gaugefunktionalen]] erzeugt wird. Die Reihennotation meint bei vorliegender Konvergenz eine Konvergenz von Partialsumme, die bei Potenzreihen Polynome sind. === Konvergenz von Reihen === Um überhaupt die Konvergenz von Reihen bzw. Potenzreihen analysieren zu können, benötigt man eine Topologie <math>\mathcal{T}_{\!\!\!_A}</math>, die in diesem Fall über die <math>\varepsilon</math>-Kugeln <math> B_\varepsilon^\alpha(z_0)</math> um <math>z_0\in A</math> bzgl. eines Gaugefunktionals <math>\|\cdot \|_\alpha : A \to \mathbb{R}_0^{+}</math> erzeugt wird. :<math> B_\varepsilon^\alpha(z_0) := \{ z\in A \ : \ \|z-z_0\|_\alpha < \varepsilon \} </math> === Lernvoraussetzungen === Lernvoraussetzungen aus folgenden Bereichen sind sinnvoll: * Konvergenz und Potenzreihen in der reellen Analysis, * Verknüpfungen von Potenzreihen, * [[Normen, Metriken, Topologie]] == Potenzreihen mit Koeffizienten in A == Die Exponentialfunktion <math>\exp</math> ist ein Spezialfall von [[Potenzreihenalgebra|Potenzreihen]] <math>p\in \overline{A[t]}</math> mit Koeffizienten in <math>A</math>. == Siehe auch == * [[Cauchy-Produkt]] * [[w:de:Exponentialfunktion|reell- bzw. komplexwertige Exponentialfunktion]] * [[Potenzreihenalgebra#Potenzreihenalgebra|Potenzreihenalgebra]] * [[Polynomalgebra]] kfygisbe3mrgfpu95tgbwnmhk2gpcij 1118880 1118878 2026-11-04T16:50:57Z Bert Niehaus 20843 /* Potenzreihen mit Koeffizienten in A */ 1118880 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Ziel der Lerneinheit ist es, die Exponentialfunktion in topologischen Algebren <math>(A,\|\cdot \|_\mathcal{A})</math> zu behandeln, wobei die [[Topologischer Raum|Topologie]] durch eine System <math>\|\cdot \|_\mathcal{A}</math> von [[Gaugefunktional|Gaugefunktionalen]] erzeugt wird. Die Reihennotation meint bei vorliegender Konvergenz eine Konvergenz von Partialsumme, die bei Potenzreihen Polynome sind. === Konvergenz von Reihen === Um überhaupt die Konvergenz von Reihen bzw. Potenzreihen analysieren zu können, benötigt man eine Topologie <math>\mathcal{T}_{\!\!\!_A}</math>, die in diesem Fall über die <math>\varepsilon</math>-Kugeln <math> B_\varepsilon^\alpha(z_0)</math> um <math>z_0\in A</math> bzgl. eines Gaugefunktionals <math>\|\cdot \|_\alpha : A \to \mathbb{R}_0^{+}</math> erzeugt wird. :<math> B_\varepsilon^\alpha(z_0) := \{ z\in A \ : \ \|z-z_0\|_\alpha < \varepsilon \} </math> === Lernvoraussetzungen === Lernvoraussetzungen aus folgenden Bereichen sind sinnvoll: * Konvergenz und Potenzreihen in der reellen Analysis, * Verknüpfungen von Potenzreihen, * [[Normen, Metriken, Topologie]] == Potenzreihen mit Koeffizienten in A == Die Exponentialfunktion <math>\exp</math> ist ein Spezialfall von [[Potenzreihenalgebra|Potenzreihen]] <math>p\in \overline{A[t]}</math> mit Koeffizienten in <math>A</math>, wobei <math>(A,\|\cdot \|_\mathcal{A})</math> eine unitale topologische Algebra mit Einselement <math>e_{\!\!_A}\in A</math> ist. Die Multiplikation <math>p,q\in \overline{A[t]}</math> wird über das [[Cauchy-Produkt]] definiert. == Siehe auch == * [[Cauchy-Produkt]] * [[w:de:Exponentialfunktion|reell- bzw. komplexwertige Exponentialfunktion]] * [[Potenzreihenalgebra#Potenzreihenalgebra|Potenzreihenalgebra]] * [[Polynomalgebra]] dyb3v44h6b636kjspdzbjnl3e550amb 1118881 1118880 2026-11-04T16:52:17Z Bert Niehaus 20843 /* Lernvoraussetzungen */ 1118881 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Ziel der Lerneinheit ist es, die Exponentialfunktion in topologischen Algebren <math>(A,\|\cdot \|_\mathcal{A})</math> zu behandeln, wobei die [[Topologischer Raum|Topologie]] durch eine System <math>\|\cdot \|_\mathcal{A}</math> von [[Gaugefunktional|Gaugefunktionalen]] erzeugt wird. Die Reihennotation meint bei vorliegender Konvergenz eine Konvergenz von Partialsumme, die bei Potenzreihen Polynome sind. === Konvergenz von Reihen === Um überhaupt die Konvergenz von Reihen bzw. Potenzreihen analysieren zu können, benötigt man eine Topologie <math>\mathcal{T}_{\!\!\!_A}</math>, die in diesem Fall über die <math>\varepsilon</math>-Kugeln <math> B_\varepsilon^\alpha(z_0)</math> um <math>z_0\in A</math> bzgl. eines Gaugefunktionals <math>\|\cdot \|_\alpha : A \to \mathbb{R}_0^{+}</math> erzeugt wird. :<math> B_\varepsilon^\alpha(z_0) := \{ z\in A \ : \ \|z-z_0\|_\alpha < \varepsilon \} </math> === Lernvoraussetzungen === Lernvoraussetzungen aus folgenden Bereichen sind sinnvoll: * [[w:de:Konvergenz (Mathematik)|Konvergenz]] und [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihen]] in der reellen Analysis, * [[Cauchy-Produkt|Verknüpfungen von Potenzreihen, * [[Normen, Metriken, Topologie]] == Potenzreihen mit Koeffizienten in A == Die Exponentialfunktion <math>\exp</math> ist ein Spezialfall von [[Potenzreihenalgebra|Potenzreihen]] <math>p\in \overline{A[t]}</math> mit Koeffizienten in <math>A</math>, wobei <math>(A,\|\cdot \|_\mathcal{A})</math> eine unitale topologische Algebra mit Einselement <math>e_{\!\!_A}\in A</math> ist. Die Multiplikation <math>p,q\in \overline{A[t]}</math> wird über das [[Cauchy-Produkt]] definiert. == Siehe auch == * [[Cauchy-Produkt]] * [[w:de:Exponentialfunktion|reell- bzw. komplexwertige Exponentialfunktion]] * [[Potenzreihenalgebra#Potenzreihenalgebra|Potenzreihenalgebra]] * [[Polynomalgebra]] hwutcw59adnwwtvmf3jjlw1scgdtoq2 1118882 1118881 2026-11-04T16:52:29Z Bert Niehaus 20843 /* Lernvoraussetzungen */ 1118882 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Ziel der Lerneinheit ist es, die Exponentialfunktion in topologischen Algebren <math>(A,\|\cdot \|_\mathcal{A})</math> zu behandeln, wobei die [[Topologischer Raum|Topologie]] durch eine System <math>\|\cdot \|_\mathcal{A}</math> von [[Gaugefunktional|Gaugefunktionalen]] erzeugt wird. Die Reihennotation meint bei vorliegender Konvergenz eine Konvergenz von Partialsumme, die bei Potenzreihen Polynome sind. === Konvergenz von Reihen === Um überhaupt die Konvergenz von Reihen bzw. Potenzreihen analysieren zu können, benötigt man eine Topologie <math>\mathcal{T}_{\!\!\!_A}</math>, die in diesem Fall über die <math>\varepsilon</math>-Kugeln <math> B_\varepsilon^\alpha(z_0)</math> um <math>z_0\in A</math> bzgl. eines Gaugefunktionals <math>\|\cdot \|_\alpha : A \to \mathbb{R}_0^{+}</math> erzeugt wird. :<math> B_\varepsilon^\alpha(z_0) := \{ z\in A \ : \ \|z-z_0\|_\alpha < \varepsilon \} </math> === Lernvoraussetzungen === Lernvoraussetzungen aus folgenden Bereichen sind sinnvoll: * [[w:de:Konvergenz (Mathematik)|Konvergenz]] und [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihen]] in der reellen Analysis, * [[Cauchy-Produkt|Verknüpfungen]] von Potenzreihen, * [[Normen, Metriken, Topologie]] == Potenzreihen mit Koeffizienten in A == Die Exponentialfunktion <math>\exp</math> ist ein Spezialfall von [[Potenzreihenalgebra|Potenzreihen]] <math>p\in \overline{A[t]}</math> mit Koeffizienten in <math>A</math>, wobei <math>(A,\|\cdot \|_\mathcal{A})</math> eine unitale topologische Algebra mit Einselement <math>e_{\!\!_A}\in A</math> ist. Die Multiplikation <math>p,q\in \overline{A[t]}</math> wird über das [[Cauchy-Produkt]] definiert. == Siehe auch == * [[Cauchy-Produkt]] * [[w:de:Exponentialfunktion|reell- bzw. komplexwertige Exponentialfunktion]] * [[Potenzreihenalgebra#Potenzreihenalgebra|Potenzreihenalgebra]] * [[Polynomalgebra]] 0z01sujntiig2bwbvqb7vafaa03www3 1118883 1118882 2026-11-04T16:53:36Z Bert Niehaus 20843 /* Potenzreihen mit Koeffizienten in A */ 1118883 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Ziel der Lerneinheit ist es, die Exponentialfunktion in topologischen Algebren <math>(A,\|\cdot \|_\mathcal{A})</math> zu behandeln, wobei die [[Topologischer Raum|Topologie]] durch eine System <math>\|\cdot \|_\mathcal{A}</math> von [[Gaugefunktional|Gaugefunktionalen]] erzeugt wird. Die Reihennotation meint bei vorliegender Konvergenz eine Konvergenz von Partialsumme, die bei Potenzreihen Polynome sind. === Konvergenz von Reihen === Um überhaupt die Konvergenz von Reihen bzw. Potenzreihen analysieren zu können, benötigt man eine Topologie <math>\mathcal{T}_{\!\!\!_A}</math>, die in diesem Fall über die <math>\varepsilon</math>-Kugeln <math> B_\varepsilon^\alpha(z_0)</math> um <math>z_0\in A</math> bzgl. eines Gaugefunktionals <math>\|\cdot \|_\alpha : A \to \mathbb{R}_0^{+}</math> erzeugt wird. :<math> B_\varepsilon^\alpha(z_0) := \{ z\in A \ : \ \|z-z_0\|_\alpha < \varepsilon \} </math> === Lernvoraussetzungen === Lernvoraussetzungen aus folgenden Bereichen sind sinnvoll: * [[w:de:Konvergenz (Mathematik)|Konvergenz]] und [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihen]] in der reellen Analysis, * [[Cauchy-Produkt|Verknüpfungen]] von Potenzreihen, * [[Normen, Metriken, Topologie]] == Potenzreihen mit Koeffizienten in A == Die Exponentialfunktion <math>\exp</math> ist ein Spezialfall von [[Potenzreihenalgebra|Potenzreihen]] <math>p\in \overline{A[t]}</math> mit Koeffizienten in <math>A</math>, wobei <math>(A,\|\cdot \|_\mathcal{A})</math> eine unitale topologische Algebra mit Einselement <math>e_{\!\!_A}\in A</math> ist. Die Multiplikation <math>p,q\in \overline{A[t]}</math> wird über das [[Cauchy-Produkt]] definiert. === Definition- Exponentialfunktion === Für jedes <math> z \in A </math> definieren wir die '''Exponentialfunktion''' durch die Reihe: :<math> \exp(a) := \sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!} </math> == Siehe auch == * [[Cauchy-Produkt]] * [[w:de:Exponentialfunktion|reell- bzw. komplexwertige Exponentialfunktion]] * [[Potenzreihenalgebra#Potenzreihenalgebra|Potenzreihenalgebra]] * [[Polynomalgebra]] 654xkx6kbex8k2cjr4urp0i5b4fv4le 1118884 1118883 2026-11-04T16:53:47Z Bert Niehaus 20843 /* Definition- Exponentialfunktion */ 1118884 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Ziel der Lerneinheit ist es, die Exponentialfunktion in topologischen Algebren <math>(A,\|\cdot \|_\mathcal{A})</math> zu behandeln, wobei die [[Topologischer Raum|Topologie]] durch eine System <math>\|\cdot \|_\mathcal{A}</math> von [[Gaugefunktional|Gaugefunktionalen]] erzeugt wird. Die Reihennotation meint bei vorliegender Konvergenz eine Konvergenz von Partialsumme, die bei Potenzreihen Polynome sind. === Konvergenz von Reihen === Um überhaupt die Konvergenz von Reihen bzw. Potenzreihen analysieren zu können, benötigt man eine Topologie <math>\mathcal{T}_{\!\!\!_A}</math>, die in diesem Fall über die <math>\varepsilon</math>-Kugeln <math> B_\varepsilon^\alpha(z_0)</math> um <math>z_0\in A</math> bzgl. eines Gaugefunktionals <math>\|\cdot \|_\alpha : A \to \mathbb{R}_0^{+}</math> erzeugt wird. :<math> B_\varepsilon^\alpha(z_0) := \{ z\in A \ : \ \|z-z_0\|_\alpha < \varepsilon \} </math> === Lernvoraussetzungen === Lernvoraussetzungen aus folgenden Bereichen sind sinnvoll: * [[w:de:Konvergenz (Mathematik)|Konvergenz]] und [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihen]] in der reellen Analysis, * [[Cauchy-Produkt|Verknüpfungen]] von Potenzreihen, * [[Normen, Metriken, Topologie]] == Potenzreihen mit Koeffizienten in A == Die Exponentialfunktion <math>\exp</math> ist ein Spezialfall von [[Potenzreihenalgebra|Potenzreihen]] <math>p\in \overline{A[t]}</math> mit Koeffizienten in <math>A</math>, wobei <math>(A,\|\cdot \|_\mathcal{A})</math> eine unitale topologische Algebra mit Einselement <math>e_{\!\!_A}\in A</math> ist. Die Multiplikation <math>p,q\in \overline{A[t]}</math> wird über das [[Cauchy-Produkt]] definiert. === Definition- Exponentialfunktion === Für jedes <math> z \in A </math> definieren wir die '''Exponentialfunktion''' durch die Reihe: :<math> \exp(z) := \sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!} </math> == Siehe auch == * [[Cauchy-Produkt]] * [[w:de:Exponentialfunktion|reell- bzw. komplexwertige Exponentialfunktion]] * [[Potenzreihenalgebra#Potenzreihenalgebra|Potenzreihenalgebra]] * [[Polynomalgebra]] d5p2tbd7ngdd233z20ik273zeqn0sjd 1118885 1118884 2026-11-04T17:11:35Z Bert Niehaus 20843 /* Definition- Exponentialfunktion */ 1118885 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Ziel der Lerneinheit ist es, die Exponentialfunktion in topologischen Algebren <math>(A,\|\cdot \|_\mathcal{A})</math> zu behandeln, wobei die [[Topologischer Raum|Topologie]] durch eine System <math>\|\cdot \|_\mathcal{A}</math> von [[Gaugefunktional|Gaugefunktionalen]] erzeugt wird. Die Reihennotation meint bei vorliegender Konvergenz eine Konvergenz von Partialsumme, die bei Potenzreihen Polynome sind. === Konvergenz von Reihen === Um überhaupt die Konvergenz von Reihen bzw. Potenzreihen analysieren zu können, benötigt man eine Topologie <math>\mathcal{T}_{\!\!\!_A}</math>, die in diesem Fall über die <math>\varepsilon</math>-Kugeln <math> B_\varepsilon^\alpha(z_0)</math> um <math>z_0\in A</math> bzgl. eines Gaugefunktionals <math>\|\cdot \|_\alpha : A \to \mathbb{R}_0^{+}</math> erzeugt wird. :<math> B_\varepsilon^\alpha(z_0) := \{ z\in A \ : \ \|z-z_0\|_\alpha < \varepsilon \} </math> === Lernvoraussetzungen === Lernvoraussetzungen aus folgenden Bereichen sind sinnvoll: * [[w:de:Konvergenz (Mathematik)|Konvergenz]] und [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihen]] in der reellen Analysis, * [[Cauchy-Produkt|Verknüpfungen]] von Potenzreihen, * [[Normen, Metriken, Topologie]] == Potenzreihen mit Koeffizienten in A == Die Exponentialfunktion <math>\exp</math> ist ein Spezialfall von [[Potenzreihenalgebra|Potenzreihen]] <math>p\in \overline{A[t]}</math> mit Koeffizienten in <math>A</math>, wobei <math>(A,\|\cdot \|_\mathcal{A})</math> eine unitale topologische Algebra mit Einselement <math>e_{\!\!_A}\in A</math> ist. Die Multiplikation <math>p,q\in \overline{A[t]}</math> wird über das [[Cauchy-Produkt]] definiert. === Definition- Exponentialfunktion === Für jedes <math> z \in A </math> definieren wir die '''Exponentialfunktion''' durch die Reihe: :<math> \exp(z) := \sum_{k=0}^\infty \frac{z^k}{k!} </math> Für ein <math>z</math> bezeichnet <math>\exp(z)</math> den Grenzwert der Folge von den Partialsummen von der Reihe, d.h.: :<math> \exp(z) := \lim_{n\to \infty} \sum_{k=0}^n \frac{z^k}{k!} </math> === Bemerkung - Partialsummen === Die Verknüpfungen in der Partialsumme <math>\sum_{k=0}^n \frac{z^k}{k!}</math> sind durch die Multiplikation, Addition und der Multiplikation mit Skalaren in der Algebra <math>A</math> wohldefiniert. * '''(Multiplikation in <math>A</math>)''' <math>z^k=\underbrace{z\cdot \ldots \cdot z}_{k-\text{fach}}</math> == Siehe auch == * [[Cauchy-Produkt]] * [[w:de:Exponentialfunktion|reell- bzw. komplexwertige Exponentialfunktion]] * [[Potenzreihenalgebra#Potenzreihenalgebra|Potenzreihenalgebra]] * [[Polynomalgebra]] 8t4rniof8prq4zs9mr4wzvpkrfkjlyg 1118888 1118885 2026-11-05T07:38:27Z Bert Niehaus 20843 /* Bemerkung - Partialsummen */ 1118888 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Ziel der Lerneinheit ist es, die Exponentialfunktion in topologischen Algebren <math>(A,\|\cdot \|_\mathcal{A})</math> zu behandeln, wobei die [[Topologischer Raum|Topologie]] durch eine System <math>\|\cdot \|_\mathcal{A}</math> von [[Gaugefunktional|Gaugefunktionalen]] erzeugt wird. Die Reihennotation meint bei vorliegender Konvergenz eine Konvergenz von Partialsumme, die bei Potenzreihen Polynome sind. === Konvergenz von Reihen === Um überhaupt die Konvergenz von Reihen bzw. Potenzreihen analysieren zu können, benötigt man eine Topologie <math>\mathcal{T}_{\!\!\!_A}</math>, die in diesem Fall über die <math>\varepsilon</math>-Kugeln <math> B_\varepsilon^\alpha(z_0)</math> um <math>z_0\in A</math> bzgl. eines Gaugefunktionals <math>\|\cdot \|_\alpha : A \to \mathbb{R}_0^{+}</math> erzeugt wird. :<math> B_\varepsilon^\alpha(z_0) := \{ z\in A \ : \ \|z-z_0\|_\alpha < \varepsilon \} </math> === Lernvoraussetzungen === Lernvoraussetzungen aus folgenden Bereichen sind sinnvoll: * [[w:de:Konvergenz (Mathematik)|Konvergenz]] und [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihen]] in der reellen Analysis, * [[Cauchy-Produkt|Verknüpfungen]] von Potenzreihen, * [[Normen, Metriken, Topologie]] == Potenzreihen mit Koeffizienten in A == Die Exponentialfunktion <math>\exp</math> ist ein Spezialfall von [[Potenzreihenalgebra|Potenzreihen]] <math>p\in \overline{A[t]}</math> mit Koeffizienten in <math>A</math>, wobei <math>(A,\|\cdot \|_\mathcal{A})</math> eine unitale topologische Algebra mit Einselement <math>e_{\!\!_A}\in A</math> ist. Die Multiplikation <math>p,q\in \overline{A[t]}</math> wird über das [[Cauchy-Produkt]] definiert. === Definition- Exponentialfunktion === Für jedes <math> z \in A </math> definieren wir die '''Exponentialfunktion''' durch die Reihe: :<math> \exp(z) := \sum_{k=0}^\infty \frac{z^k}{k!} </math> Für ein <math>z</math> bezeichnet <math>\exp(z)</math> den Grenzwert der Folge von den Partialsummen von der Reihe, d.h.: :<math> \exp(z) := \lim_{n\to \infty} \sum_{k=0}^n \frac{z^k}{k!} </math> === Bemerkung - Partialsummen === Die Verknüpfungen in der Partialsumme <math>\sum_{k=0}^n \frac{z^k}{k!}</math> sind durch die Multiplikation, Addition und der Multiplikation mit Skalaren in der Algebra <math>A</math> wohldefiniert. * '''(Multiplikation in <math>A</math>)''' Potenzen in der Partialsumme werden als <math>k</math>-fache Multiplikation von <math>z</math> mit sich selbst definiert, d.h. <math>z^k:=\underbrace{z\cdot \ldots \cdot z}_{k-\text{fach}}</math> * '''(Multiplikation mit einem Skalar <math>\mathbb{K}</math>)''' Bei endlichen Produkten <math>z^k</math> erhält man mit der Multiplikation als innere Verknüpfung in <math>A</math> wieder ein Element in <math>A</math>. Dieses Element <math>z^k\in A</math> wird nun mit einem Skalar <math>\lambda := \tfrac{1}{k!}\in \mathbb{K}</math> aus dem dem zugrundeliegenden Körper <math>\mathbb{K}:=\mathbb{R}</math> oder <math>\mathbb{K}:=\mathbb{C}</math> multipliziert. * '''(endliche Summe)''' Die endliche Summe <math>\sum_{k=0}^n \frac{z^k}{k!}</math> ist in <math>A</math> dann ebenfalls wohldefiniert. == Siehe auch == * [[Cauchy-Produkt]] * [[w:de:Exponentialfunktion|reell- bzw. komplexwertige Exponentialfunktion]] * [[Potenzreihenalgebra#Potenzreihenalgebra|Potenzreihenalgebra]] * [[Polynomalgebra]] n37bcfa95ew69139lggn29k1ars29mk 1118893 1118888 2026-11-05T07:56:13Z Bert Niehaus 20843 /* Einleitung */ 1118893 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Ziel der Lerneinheit ist es, die Exponentialfunktion in topologischen Algebren <math>(A,\|\cdot \|_\mathcal{A})</math> zu behandeln, wobei die [[Topologischer Raum|Topologie]] durch eine System <math>\|\cdot \|_\mathcal{A}</math> von [[Gaugefunktional|Gaugefunktionalen]] erzeugt wird. Die Reihennotation meint bei vorliegender Konvergenz eine Konvergenz von Partialsumme, die bei Potenzreihen Polynome sind. === Reelle bzw. komplexwertige Exponentialfunktion === Ausgangspunkt ist die reellwertige bzw. komplexwertige Exponentialfunktion, die in der [[w:de:Analysis|Analysis]] bzw. [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] behandelt wird. === Konvergenz von Reihen === Um überhaupt die Konvergenz von Reihen bzw. Potenzreihen analysieren zu können, benötigt man eine Topologie <math>\mathcal{T}_{\!\!\!_A}</math>, die in diesem Fall über die <math>\varepsilon</math>-Kugeln <math> B_\varepsilon^\alpha(z_0)</math> um <math>z_0\in A</math> bzgl. eines Gaugefunktionals <math>\|\cdot \|_\alpha : A \to \mathbb{R}_0^{+}</math> erzeugt wird. :<math> B_\varepsilon^\alpha(z_0) := \{ z\in A \ : \ \|z-z_0\|_\alpha < \varepsilon \} </math> === Lernvoraussetzungen === Lernvoraussetzungen aus folgenden Bereichen sind sinnvoll: * [[w:de:Konvergenz (Mathematik)|Konvergenz]] und [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihen]] in der reellen Analysis, * [[Cauchy-Produkt|Verknüpfungen]] von Potenzreihen, * [[Normen, Metriken, Topologie]] == Potenzreihen mit Koeffizienten in A == Die Exponentialfunktion <math>\exp</math> ist ein Spezialfall von [[Potenzreihenalgebra|Potenzreihen]] <math>p\in \overline{A[t]}</math> mit Koeffizienten in <math>A</math>, wobei <math>(A,\|\cdot \|_\mathcal{A})</math> eine unitale topologische Algebra mit Einselement <math>e_{\!\!_A}\in A</math> ist. Die Multiplikation <math>p,q\in \overline{A[t]}</math> wird über das [[Cauchy-Produkt]] definiert. === Definition- Exponentialfunktion === Für jedes <math> z \in A </math> definieren wir die '''Exponentialfunktion''' durch die Reihe: :<math> \exp(z) := \sum_{k=0}^\infty \frac{z^k}{k!} </math> Für ein <math>z</math> bezeichnet <math>\exp(z)</math> den Grenzwert der Folge von den Partialsummen von der Reihe, d.h.: :<math> \exp(z) := \lim_{n\to \infty} \sum_{k=0}^n \frac{z^k}{k!} </math> === Bemerkung - Partialsummen === Die Verknüpfungen in der Partialsumme <math>\sum_{k=0}^n \frac{z^k}{k!}</math> sind durch die Multiplikation, Addition und der Multiplikation mit Skalaren in der Algebra <math>A</math> wohldefiniert. * '''(Multiplikation in <math>A</math>)''' Potenzen in der Partialsumme werden als <math>k</math>-fache Multiplikation von <math>z</math> mit sich selbst definiert, d.h. <math>z^k:=\underbrace{z\cdot \ldots \cdot z}_{k-\text{fach}}</math> * '''(Multiplikation mit einem Skalar <math>\mathbb{K}</math>)''' Bei endlichen Produkten <math>z^k</math> erhält man mit der Multiplikation als innere Verknüpfung in <math>A</math> wieder ein Element in <math>A</math>. Dieses Element <math>z^k\in A</math> wird nun mit einem Skalar <math>\lambda := \tfrac{1}{k!}\in \mathbb{K}</math> aus dem dem zugrundeliegenden Körper <math>\mathbb{K}:=\mathbb{R}</math> oder <math>\mathbb{K}:=\mathbb{C}</math> multipliziert. * '''(endliche Summe)''' Die endliche Summe <math>\sum_{k=0}^n \frac{z^k}{k!}</math> ist in <math>A</math> dann ebenfalls wohldefiniert. == Siehe auch == * [[Cauchy-Produkt]] * [[w:de:Exponentialfunktion|reell- bzw. komplexwertige Exponentialfunktion]] * [[Potenzreihenalgebra#Potenzreihenalgebra|Potenzreihenalgebra]] * [[Polynomalgebra]] p2km6lctt0lh3tvo9w09bmsd6rb0lbp 1118894 1118893 2026-11-05T07:59:58Z Bert Niehaus 20843 /* Reelle bzw. komplexwertige Exponentialfunktion */ 1118894 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Ziel der Lerneinheit ist es, die Exponentialfunktion in topologischen Algebren <math>(A,\|\cdot \|_\mathcal{A})</math> zu behandeln, wobei die [[Topologischer Raum|Topologie]] durch eine System <math>\|\cdot \|_\mathcal{A}</math> von [[Gaugefunktional|Gaugefunktionalen]] erzeugt wird. Die Reihennotation meint bei vorliegender Konvergenz eine Konvergenz von Partialsumme, die bei Potenzreihen Polynome sind. === Reelle bzw. komplexwertige Exponentialfunktion === Ausgangspunkt ist die reellwertige bzw. komplexwertige [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]], die in der [[w:de:Analysis|Analysis]] bzw. [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] behandelt wird. :<math> \exp(z) := \sum_{k=0}^\infty \frac{z^k}{k!} \mbox{ mit } z\in \mathbb{R} \mbox{ bzw. } z\in \mathbb{C} </math> Die [[Zahlbereichserweiterung|Zahlbereiche]] <math>\mathbb{R}</math> bzw. <math>\mathbb{C}</math> [[Vollständigkeit|vollständige]] normierte Räume mit dem Betrag <math>|\cdot |</math> als [[Norm (Mathematik)|Norm]] === Konvergenz von Reihen === Um überhaupt die Konvergenz von Reihen bzw. Potenzreihen analysieren zu können, benötigt man eine Topologie <math>\mathcal{T}_{\!\!\!_A}</math>, die in diesem Fall über die <math>\varepsilon</math>-Kugeln <math> B_\varepsilon^\alpha(z_0)</math> um <math>z_0\in A</math> bzgl. eines Gaugefunktionals <math>\|\cdot \|_\alpha : A \to \mathbb{R}_0^{+}</math> erzeugt wird. :<math> B_\varepsilon^\alpha(z_0) := \{ z\in A \ : \ \|z-z_0\|_\alpha < \varepsilon \} </math> === Lernvoraussetzungen === Lernvoraussetzungen aus folgenden Bereichen sind sinnvoll: * [[w:de:Konvergenz (Mathematik)|Konvergenz]] und [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihen]] in der reellen Analysis, * [[Cauchy-Produkt|Verknüpfungen]] von Potenzreihen, * [[Normen, Metriken, Topologie]] == Potenzreihen mit Koeffizienten in A == Die Exponentialfunktion <math>\exp</math> ist ein Spezialfall von [[Potenzreihenalgebra|Potenzreihen]] <math>p\in \overline{A[t]}</math> mit Koeffizienten in <math>A</math>, wobei <math>(A,\|\cdot \|_\mathcal{A})</math> eine unitale topologische Algebra mit Einselement <math>e_{\!\!_A}\in A</math> ist. Die Multiplikation <math>p,q\in \overline{A[t]}</math> wird über das [[Cauchy-Produkt]] definiert. === Definition- Exponentialfunktion === Für jedes <math> z \in A </math> definieren wir die '''Exponentialfunktion''' durch die Reihe: :<math> \exp(z) := \sum_{k=0}^\infty \frac{z^k}{k!} </math> Für ein <math>z</math> bezeichnet <math>\exp(z)</math> den Grenzwert der Folge von den Partialsummen von der Reihe, d.h.: :<math> \exp(z) := \lim_{n\to \infty} \sum_{k=0}^n \frac{z^k}{k!} </math> === Bemerkung - Partialsummen === Die Verknüpfungen in der Partialsumme <math>\sum_{k=0}^n \frac{z^k}{k!}</math> sind durch die Multiplikation, Addition und der Multiplikation mit Skalaren in der Algebra <math>A</math> wohldefiniert. * '''(Multiplikation in <math>A</math>)''' Potenzen in der Partialsumme werden als <math>k</math>-fache Multiplikation von <math>z</math> mit sich selbst definiert, d.h. <math>z^k:=\underbrace{z\cdot \ldots \cdot z}_{k-\text{fach}}</math> * '''(Multiplikation mit einem Skalar <math>\mathbb{K}</math>)''' Bei endlichen Produkten <math>z^k</math> erhält man mit der Multiplikation als innere Verknüpfung in <math>A</math> wieder ein Element in <math>A</math>. Dieses Element <math>z^k\in A</math> wird nun mit einem Skalar <math>\lambda := \tfrac{1}{k!}\in \mathbb{K}</math> aus dem dem zugrundeliegenden Körper <math>\mathbb{K}:=\mathbb{R}</math> oder <math>\mathbb{K}:=\mathbb{C}</math> multipliziert. * '''(endliche Summe)''' Die endliche Summe <math>\sum_{k=0}^n \frac{z^k}{k!}</math> ist in <math>A</math> dann ebenfalls wohldefiniert. == Siehe auch == * [[Cauchy-Produkt]] * [[w:de:Exponentialfunktion|reell- bzw. komplexwertige Exponentialfunktion]] * [[Potenzreihenalgebra#Potenzreihenalgebra|Potenzreihenalgebra]] * [[Polynomalgebra]] 14t02pvkre392s20n532sdjtt1fvxa6 1118895 1118894 2026-11-05T08:00:11Z Bert Niehaus 20843 /* Reelle bzw. komplexwertige Exponentialfunktion */ 1118895 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Ziel der Lerneinheit ist es, die Exponentialfunktion in topologischen Algebren <math>(A,\|\cdot \|_\mathcal{A})</math> zu behandeln, wobei die [[Topologischer Raum|Topologie]] durch eine System <math>\|\cdot \|_\mathcal{A}</math> von [[Gaugefunktional|Gaugefunktionalen]] erzeugt wird. Die Reihennotation meint bei vorliegender Konvergenz eine Konvergenz von Partialsumme, die bei Potenzreihen Polynome sind. === Reelle bzw. komplexwertige Exponentialfunktion === Ausgangspunkt ist die reellwertige bzw. komplexwertige [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]], die in der [[w:de:Analysis|Analysis]] bzw. [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] behandelt wird. :<math> \exp(z) := \sum_{k=0}^\infty \frac{z^k}{k!} \mbox{ mit } z\in \mathbb{R} \mbox{ bzw. } z\in \mathbb{C} </math> Die [[Zahlbereichserweiterung|Zahlbereiche]] <math>\mathbb{R}</math> bzw. <math>\mathbb{C}</math> [[Vollständigkeit|vollständige]] normierte Räume mit dem Betrag <math>|\cdot |</math> als [[Norm (Mathematik)|Norm]]. === Konvergenz von Reihen === Um überhaupt die Konvergenz von Reihen bzw. Potenzreihen analysieren zu können, benötigt man eine Topologie <math>\mathcal{T}_{\!\!\!_A}</math>, die in diesem Fall über die <math>\varepsilon</math>-Kugeln <math> B_\varepsilon^\alpha(z_0)</math> um <math>z_0\in A</math> bzgl. eines Gaugefunktionals <math>\|\cdot \|_\alpha : A \to \mathbb{R}_0^{+}</math> erzeugt wird. :<math> B_\varepsilon^\alpha(z_0) := \{ z\in A \ : \ \|z-z_0\|_\alpha < \varepsilon \} </math> === Lernvoraussetzungen === Lernvoraussetzungen aus folgenden Bereichen sind sinnvoll: * [[w:de:Konvergenz (Mathematik)|Konvergenz]] und [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihen]] in der reellen Analysis, * [[Cauchy-Produkt|Verknüpfungen]] von Potenzreihen, * [[Normen, Metriken, Topologie]] == Potenzreihen mit Koeffizienten in A == Die Exponentialfunktion <math>\exp</math> ist ein Spezialfall von [[Potenzreihenalgebra|Potenzreihen]] <math>p\in \overline{A[t]}</math> mit Koeffizienten in <math>A</math>, wobei <math>(A,\|\cdot \|_\mathcal{A})</math> eine unitale topologische Algebra mit Einselement <math>e_{\!\!_A}\in A</math> ist. Die Multiplikation <math>p,q\in \overline{A[t]}</math> wird über das [[Cauchy-Produkt]] definiert. === Definition- Exponentialfunktion === Für jedes <math> z \in A </math> definieren wir die '''Exponentialfunktion''' durch die Reihe: :<math> \exp(z) := \sum_{k=0}^\infty \frac{z^k}{k!} </math> Für ein <math>z</math> bezeichnet <math>\exp(z)</math> den Grenzwert der Folge von den Partialsummen von der Reihe, d.h.: :<math> \exp(z) := \lim_{n\to \infty} \sum_{k=0}^n \frac{z^k}{k!} </math> === Bemerkung - Partialsummen === Die Verknüpfungen in der Partialsumme <math>\sum_{k=0}^n \frac{z^k}{k!}</math> sind durch die Multiplikation, Addition und der Multiplikation mit Skalaren in der Algebra <math>A</math> wohldefiniert. * '''(Multiplikation in <math>A</math>)''' Potenzen in der Partialsumme werden als <math>k</math>-fache Multiplikation von <math>z</math> mit sich selbst definiert, d.h. <math>z^k:=\underbrace{z\cdot \ldots \cdot z}_{k-\text{fach}}</math> * '''(Multiplikation mit einem Skalar <math>\mathbb{K}</math>)''' Bei endlichen Produkten <math>z^k</math> erhält man mit der Multiplikation als innere Verknüpfung in <math>A</math> wieder ein Element in <math>A</math>. Dieses Element <math>z^k\in A</math> wird nun mit einem Skalar <math>\lambda := \tfrac{1}{k!}\in \mathbb{K}</math> aus dem dem zugrundeliegenden Körper <math>\mathbb{K}:=\mathbb{R}</math> oder <math>\mathbb{K}:=\mathbb{C}</math> multipliziert. * '''(endliche Summe)''' Die endliche Summe <math>\sum_{k=0}^n \frac{z^k}{k!}</math> ist in <math>A</math> dann ebenfalls wohldefiniert. == Siehe auch == * [[Cauchy-Produkt]] * [[w:de:Exponentialfunktion|reell- bzw. komplexwertige Exponentialfunktion]] * [[Potenzreihenalgebra#Potenzreihenalgebra|Potenzreihenalgebra]] * [[Polynomalgebra]] 8zk0gqhyk1hfa7ofcova8yuj2jti4e0 1118896 1118895 2026-11-05T08:02:13Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1118896 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Ziel der Lerneinheit ist es, die Exponentialfunktion in topologischen Algebren <math>(A,\|\cdot \|_\mathcal{A})</math> zu behandeln, wobei die [[Topologischer Raum|Topologie]] durch eine System <math>\|\cdot \|_\mathcal{A}</math> von [[Gaugefunktional|Gaugefunktionalen]] erzeugt wird. Die Reihennotation meint bei vorliegender Konvergenz eine Konvergenz von Partialsumme, die bei Potenzreihen Polynome sind. === Reelle bzw. komplexwertige Exponentialfunktion === Ausgangspunkt ist die reellwertige bzw. komplexwertige [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]], die in der [[w:de:Analysis|Analysis]] bzw. [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] behandelt wird. :<math> \exp(z) := \sum_{k=0}^\infty \frac{z^k}{k!} \mbox{ mit } z\in \mathbb{R} \mbox{ bzw. } z\in \mathbb{C} </math> Die [[Zahlbereichserweiterung|Zahlbereiche]] <math>\mathbb{R}</math> bzw. <math>\mathbb{C}</math> [[Vollständigkeit|vollständige]] normierte Räume mit dem Betrag <math>|\cdot |</math> als [[Norm (Mathematik)|Norm]]. === Konvergenz von Reihen === Um überhaupt die Konvergenz von Reihen bzw. Potenzreihen analysieren zu können, benötigt man eine Topologie <math>\mathcal{T}_{\!\!\!_A}</math>, die in diesem Fall über die <math>\varepsilon</math>-Kugeln <math> B_\varepsilon^\alpha(z_0)</math> um <math>z_0\in A</math> bzgl. eines Gaugefunktionals <math>\|\cdot \|_\alpha : A \to \mathbb{R}_0^{+}</math> erzeugt wird. :<math> B_\varepsilon^\alpha(z_0) := \{ z\in A \ : \ \|z-z_0\|_\alpha < \varepsilon \} </math> === Lernvoraussetzungen === Lernvoraussetzungen aus folgenden Bereichen sind sinnvoll: * [[w:de:Konvergenz (Mathematik)|Konvergenz]] und [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihen]] in der reellen Analysis, * [[Cauchy-Produkt|Verknüpfungen]] von Potenzreihen, * [[Normen, Metriken, Topologie]] == Potenzreihen mit Koeffizienten in A == Die Exponentialfunktion <math>\exp</math> ist ein Spezialfall von [[Potenzreihenalgebra|Potenzreihen]] <math>p\in \overline{A[t]}</math> mit Koeffizienten in <math>A</math>, wobei <math>(A,\|\cdot \|_\mathcal{A})</math> eine unitale topologische Algebra mit Einselement <math>e_{\!\!_A}\in A</math> ist. Die Multiplikation <math>p,q\in \overline{A[t]}</math> wird über das [[Cauchy-Produkt]] definiert. === Definition- Exponentialfunktion === Für jedes <math> z \in A </math> definieren wir die '''Exponentialfunktion''' durch die Reihe: :<math> \exp(z) := \sum_{k=0}^\infty \frac{z^k}{k!} </math> Für ein <math>z</math> bezeichnet <math>\exp(z)</math> den Grenzwert der Folge von den Partialsummen von der Reihe, d.h.: :<math> \exp(z) := \lim_{n\to \infty} \sum_{k=0}^n \frac{z^k}{k!} </math> === Bemerkung - Partialsummen === Die Verknüpfungen in der Partialsumme <math>\sum_{k=0}^n \frac{z^k}{k!}</math> sind durch die Multiplikation, Addition und der Multiplikation mit Skalaren in der Algebra <math>A</math> wohldefiniert. * '''(Multiplikation in <math>A</math>)''' Potenzen in der Partialsumme werden als <math>k</math>-fache Multiplikation von <math>z</math> mit sich selbst definiert, d.h. <math>z^k:=\underbrace{z\cdot \ldots \cdot z}_{k-\text{fach}}</math> * '''(Multiplikation mit einem Skalar <math>\mathbb{K}</math>)''' Bei endlichen Produkten <math>z^k</math> erhält man mit der Multiplikation als innere Verknüpfung in <math>A</math> wieder ein Element in <math>A</math>. Dieses Element <math>z^k\in A</math> wird nun mit einem Skalar <math>\lambda := \tfrac{1}{k!}\in \mathbb{K}</math> aus dem dem zugrundeliegenden Körper <math>\mathbb{K}:=\mathbb{R}</math> oder <math>\mathbb{K}:=\mathbb{C}</math> multipliziert. * '''(endliche Summe)''' Die endliche Summe <math>\sum_{k=0}^n \frac{z^k}{k!}</math> ist in <math>A</math> dann ebenfalls wohldefiniert. == Siehe auch == * [[Cauchy-Produkt]] * [[w:de:Exponentialfunktion|reell- bzw. komplexwertige Exponentialfunktion]] * [[Potenzreihenalgebra#Potenzreihenalgebra|Potenzreihenalgebra]] * [[Polynomalgebra]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Exponentialfunktion&author=Kurs:Funktionenalanalysis&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Exponentialfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionenalanalysis Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Exponentialfunktion&author=Kurs:Funktionenalanalysis&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Exponentialfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionenalanalysis Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionenalanalysis Kurs:Funktionenalanalysis]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Exponentialfunktion https://de.wikiversity.org/wiki/Exponentialfunktion] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Exponentialfunktion Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Exponentialfunktion * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Exponentialfunktion&author=Kurs:Funktionenalanalysis&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Exponentialfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionenalanalysis Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] [[Category:Funktionalanalysis]] [[Category:Funktionentheorie]] i1vd1g0jvcvr96iwnv8wqg0lnzf94ar 1118897 1118896 2026-11-05T08:11:44Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1118897 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Ziel der Lerneinheit ist es, die Exponentialfunktion in topologischen Algebren <math>(A,\|\cdot \|_\mathcal{A})</math> zu behandeln, wobei die [[Topologischer Raum|Topologie]] durch eine System <math>\|\cdot \|_\mathcal{A}</math> von [[Gaugefunktional|Gaugefunktionalen]] erzeugt wird. Die Reihennotation meint bei vorliegender Konvergenz eine Konvergenz von Partialsumme, die bei Potenzreihen Polynome sind. === Reelle bzw. komplexwertige Exponentialfunktion === Ausgangspunkt ist die reellwertige bzw. komplexwertige [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]], die in der [[w:de:Analysis|Analysis]] bzw. [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] behandelt wird. :<math> \exp(z) := \sum_{k=0}^\infty \frac{z^k}{k!} \mbox{ mit } z\in \mathbb{R} \mbox{ bzw. } z\in \mathbb{C} </math> Die [[Zahlbereichserweiterung|Zahlbereiche]] <math>\mathbb{R}</math> bzw. <math>\mathbb{C}</math> [[Vollständigkeit|vollständige]] normierte Räume mit dem Betrag <math>|\cdot |</math> als [[Norm (Mathematik)|Norm]]. === Konvergenz von Reihen === Um überhaupt die Konvergenz von Reihen bzw. Potenzreihen analysieren zu können, benötigt man eine Topologie <math>\mathcal{T}_{\!\!\!_A}</math>, die in diesem Fall über die <math>\varepsilon</math>-Kugeln <math> B_\varepsilon^\alpha(z_0)</math> um <math>z_0\in A</math> bzgl. eines Gaugefunktionals <math>\|\cdot \|_\alpha : A \to \mathbb{R}_0^{+}</math> erzeugt wird. :<math> B_\varepsilon^\alpha(z_0) := \{ z\in A \ : \ \|z-z_0\|_\alpha < \varepsilon \} </math> === Lernvoraussetzungen === Lernvoraussetzungen aus folgenden Bereichen sind sinnvoll: * [[w:de:Konvergenz (Mathematik)|Konvergenz]] und [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihen]] in der reellen Analysis, * [[Cauchy-Produkt|Verknüpfungen]] von Potenzreihen, * [[Normen, Metriken, Topologie]] == Potenzreihen mit Koeffizienten in A == Die Exponentialfunktion <math>\exp</math> ist ein Spezialfall von [[Potenzreihenalgebra|Potenzreihen]] <math>p\in \overline{A[t]}</math> mit Koeffizienten in <math>A</math>, wobei <math>(A,\|\cdot \|_\mathcal{A})</math> eine unitale topologische Algebra mit Einselement <math>e_{\!\!_A}\in A</math> ist. Die Multiplikation <math>p,q\in \overline{A[t]}</math> wird über das [[Cauchy-Produkt]] definiert. === Definition- Exponentialfunktion === Für jedes <math> z \in A </math> definieren wir die '''Exponentialfunktion''' durch die Reihe: :<math> \exp(z) := \sum_{k=0}^\infty \frac{z^k}{k!} </math> Für ein <math>z</math> bezeichnet <math>\exp(z)</math> den Grenzwert der Folge von den Partialsummen von der Reihe, d.h.: :<math> \exp(z) := \lim_{n\to \infty} \sum_{k=0}^n \frac{z^k}{k!} </math> === Bemerkung - Partialsummen === Die Verknüpfungen in der Partialsumme <math>\sum_{k=0}^n \frac{z^k}{k!}</math> sind durch die Multiplikation, Addition und der Multiplikation mit Skalaren in der Algebra <math>A</math> wohldefiniert. * '''(Multiplikation in <math>A</math>)''' Potenzen in der Partialsumme werden als <math>k</math>-fache Multiplikation von <math>z</math> mit sich selbst definiert, d.h. <math>z^k:=\underbrace{z\cdot \ldots \cdot z}_{k-\text{fach}}</math> * '''(Multiplikation mit einem Skalar <math>\mathbb{K}</math>)''' Bei endlichen Produkten <math>z^k</math> erhält man mit der Multiplikation als innere Verknüpfung in <math>A</math> wieder ein Element in <math>A</math>. Dieses Element <math>z^k\in A</math> wird nun mit einem Skalar <math>\lambda := \tfrac{1}{k!}\in \mathbb{K}</math> aus dem dem zugrundeliegenden Körper <math>\mathbb{K}:=\mathbb{R}</math> oder <math>\mathbb{K}:=\mathbb{C}</math> multipliziert. * '''(endliche Summe)''' Die endliche Summe <math>\sum_{k=0}^n \frac{z^k}{k!}</math> ist in <math>A</math> dann ebenfalls wohldefiniert. == Satz - Konvergenz der Exponentialreihe == Sei <math> (A,\|\cdot \|_\mathbb{A}) </math> eine [[topologische Algebra]] mit [[Gaugefunktionalsystem]] <math>\|\cdot \|_\mathcal{A} </math> mit submultiplikativen <math>\|\cdot \|_\alpha</math> für alle <math>\alpha \in \mathcal{A}) </math>, die die Topologie auf <math>A</math>, dann konvergiert die folgende Reihe <math>\exp(z)</math> für alle <math>z \in A </math> :<math> \exp(z):=\sum_{k=0}^\infty \frac{z^k}{k!} </math> in der Topologie auf <math>A</math>. == Beweis - Konvergenz Exponentialreihe == Man zeigt in dem Beweis die Konvergenz punktweise bezüglich jedes [[Gaugefunktional|Gaugefunktionals]] <math> \|\cdot \|_\alpha</math> <math>\alpha \in \mathcal{A} </math> unter Ausnutzung der [[Submultiplikativität der Gaugefunktionale]], d.h. == Siehe auch == * [[Cauchy-Produkt]] * [[w:de:Exponentialfunktion|reell- bzw. komplexwertige Exponentialfunktion]] * [[Potenzreihenalgebra#Potenzreihenalgebra|Potenzreihenalgebra]] * [[Polynomalgebra]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Exponentialfunktion&author=Kurs:Funktionenalanalysis&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Exponentialfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionenalanalysis Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Exponentialfunktion&author=Kurs:Funktionenalanalysis&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Exponentialfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionenalanalysis Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionenalanalysis Kurs:Funktionenalanalysis]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Exponentialfunktion https://de.wikiversity.org/wiki/Exponentialfunktion] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Exponentialfunktion Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Exponentialfunktion * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Exponentialfunktion&author=Kurs:Funktionenalanalysis&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Exponentialfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionenalanalysis Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] [[Category:Funktionalanalysis]] [[Category:Funktionentheorie]] kxfw64m87aa8d6g03280430x1mgyr7w 1118902 1118897 2026-11-05T08:19:48Z Bert Niehaus 20843 /* Satz - Konvergenz der Exponentialreihe */ 1118902 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Ziel der Lerneinheit ist es, die Exponentialfunktion in topologischen Algebren <math>(A,\|\cdot \|_\mathcal{A})</math> zu behandeln, wobei die [[Topologischer Raum|Topologie]] durch eine System <math>\|\cdot \|_\mathcal{A}</math> von [[Gaugefunktional|Gaugefunktionalen]] erzeugt wird. Die Reihennotation meint bei vorliegender Konvergenz eine Konvergenz von Partialsumme, die bei Potenzreihen Polynome sind. === Reelle bzw. komplexwertige Exponentialfunktion === Ausgangspunkt ist die reellwertige bzw. komplexwertige [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]], die in der [[w:de:Analysis|Analysis]] bzw. [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] behandelt wird. :<math> \exp(z) := \sum_{k=0}^\infty \frac{z^k}{k!} \mbox{ mit } z\in \mathbb{R} \mbox{ bzw. } z\in \mathbb{C} </math> Die [[Zahlbereichserweiterung|Zahlbereiche]] <math>\mathbb{R}</math> bzw. <math>\mathbb{C}</math> [[Vollständigkeit|vollständige]] normierte Räume mit dem Betrag <math>|\cdot |</math> als [[Norm (Mathematik)|Norm]]. === Konvergenz von Reihen === Um überhaupt die Konvergenz von Reihen bzw. Potenzreihen analysieren zu können, benötigt man eine Topologie <math>\mathcal{T}_{\!\!\!_A}</math>, die in diesem Fall über die <math>\varepsilon</math>-Kugeln <math> B_\varepsilon^\alpha(z_0)</math> um <math>z_0\in A</math> bzgl. eines Gaugefunktionals <math>\|\cdot \|_\alpha : A \to \mathbb{R}_0^{+}</math> erzeugt wird. :<math> B_\varepsilon^\alpha(z_0) := \{ z\in A \ : \ \|z-z_0\|_\alpha < \varepsilon \} </math> === Lernvoraussetzungen === Lernvoraussetzungen aus folgenden Bereichen sind sinnvoll: * [[w:de:Konvergenz (Mathematik)|Konvergenz]] und [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihen]] in der reellen Analysis, * [[Cauchy-Produkt|Verknüpfungen]] von Potenzreihen, * [[Normen, Metriken, Topologie]] == Potenzreihen mit Koeffizienten in A == Die Exponentialfunktion <math>\exp</math> ist ein Spezialfall von [[Potenzreihenalgebra|Potenzreihen]] <math>p\in \overline{A[t]}</math> mit Koeffizienten in <math>A</math>, wobei <math>(A,\|\cdot \|_\mathcal{A})</math> eine unitale topologische Algebra mit Einselement <math>e_{\!\!_A}\in A</math> ist. Die Multiplikation <math>p,q\in \overline{A[t]}</math> wird über das [[Cauchy-Produkt]] definiert. === Definition- Exponentialfunktion === Für jedes <math> z \in A </math> definieren wir die '''Exponentialfunktion''' durch die Reihe: :<math> \exp(z) := \sum_{k=0}^\infty \frac{z^k}{k!} </math> Für ein <math>z</math> bezeichnet <math>\exp(z)</math> den Grenzwert der Folge von den Partialsummen von der Reihe, d.h.: :<math> \exp(z) := \lim_{n\to \infty} \sum_{k=0}^n \frac{z^k}{k!} </math> === Bemerkung - Partialsummen === Die Verknüpfungen in der Partialsumme <math>\sum_{k=0}^n \frac{z^k}{k!}</math> sind durch die Multiplikation, Addition und der Multiplikation mit Skalaren in der Algebra <math>A</math> wohldefiniert. * '''(Multiplikation in <math>A</math>)''' Potenzen in der Partialsumme werden als <math>k</math>-fache Multiplikation von <math>z</math> mit sich selbst definiert, d.h. <math>z^k:=\underbrace{z\cdot \ldots \cdot z}_{k-\text{fach}}</math> * '''(Multiplikation mit einem Skalar <math>\mathbb{K}</math>)''' Bei endlichen Produkten <math>z^k</math> erhält man mit der Multiplikation als innere Verknüpfung in <math>A</math> wieder ein Element in <math>A</math>. Dieses Element <math>z^k\in A</math> wird nun mit einem Skalar <math>\lambda := \tfrac{1}{k!}\in \mathbb{K}</math> aus dem dem zugrundeliegenden Körper <math>\mathbb{K}:=\mathbb{R}</math> oder <math>\mathbb{K}:=\mathbb{C}</math> multipliziert. * '''(endliche Summe)''' Die endliche Summe <math>\sum_{k=0}^n \frac{z^k}{k!}</math> ist in <math>A</math> dann ebenfalls wohldefiniert. <span id="SatzKonvergenz"></span> == Satz - Konvergenz der Exponentialreihe == Sei <math> (A,\|\cdot \|_\mathbb{A}) </math> eine [[topologische Algebra]] mit [[Gaugefunktionalsystem]] <math>\|\cdot \|_\mathcal{A} </math> mit submultiplikativen <math>\|\cdot \|_\alpha</math> für alle <math>\alpha \in \mathcal{A}) </math>, die die Topologie auf <math>A</math>, dann konvergiert die folgende Reihe <math>\exp(z)</math> für alle <math>z \in A </math> :<math> \exp(z):=\sum_{k=0}^\infty \frac{z^k}{k!} </math> in der [[Topologischer Vektorraum|Topologie]] auf <math>A</math>. == Beweis - Konvergenz Exponentialreihe == Man zeigt in dem Beweis die Konvergenz punktweise bezüglich jedes [[Gaugefunktional|Gaugefunktionals]] <math> \|\cdot \|_\alpha</math> <math>\alpha \in \mathcal{A} </math> unter Ausnutzung der [[Submultiplikativität der Gaugefunktionale]], d.h. == Siehe auch == * [[Cauchy-Produkt]] * [[w:de:Exponentialfunktion|reell- bzw. komplexwertige Exponentialfunktion]] * [[Potenzreihenalgebra#Potenzreihenalgebra|Potenzreihenalgebra]] * [[Polynomalgebra]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Exponentialfunktion&author=Kurs:Funktionenalanalysis&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Exponentialfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionenalanalysis Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Exponentialfunktion&author=Kurs:Funktionenalanalysis&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Exponentialfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionenalanalysis Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionenalanalysis Kurs:Funktionenalanalysis]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Exponentialfunktion https://de.wikiversity.org/wiki/Exponentialfunktion] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Exponentialfunktion Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Exponentialfunktion * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Exponentialfunktion&author=Kurs:Funktionenalanalysis&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Exponentialfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionenalanalysis Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] [[Category:Funktionalanalysis]] [[Category:Funktionentheorie]] 56g6v89hglo9puq3j56i6ivs63rxo62 1118905 1118902 2026-11-05T08:24:20Z Bert Niehaus 20843 /* Beweis - Konvergenz Exponentialreihe */ 1118905 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Ziel der Lerneinheit ist es, die Exponentialfunktion in topologischen Algebren <math>(A,\|\cdot \|_\mathcal{A})</math> zu behandeln, wobei die [[Topologischer Raum|Topologie]] durch eine System <math>\|\cdot \|_\mathcal{A}</math> von [[Gaugefunktional|Gaugefunktionalen]] erzeugt wird. Die Reihennotation meint bei vorliegender Konvergenz eine Konvergenz von Partialsumme, die bei Potenzreihen Polynome sind. === Reelle bzw. komplexwertige Exponentialfunktion === Ausgangspunkt ist die reellwertige bzw. komplexwertige [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]], die in der [[w:de:Analysis|Analysis]] bzw. [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] behandelt wird. :<math> \exp(z) := \sum_{k=0}^\infty \frac{z^k}{k!} \mbox{ mit } z\in \mathbb{R} \mbox{ bzw. } z\in \mathbb{C} </math> Die [[Zahlbereichserweiterung|Zahlbereiche]] <math>\mathbb{R}</math> bzw. <math>\mathbb{C}</math> [[Vollständigkeit|vollständige]] normierte Räume mit dem Betrag <math>|\cdot |</math> als [[Norm (Mathematik)|Norm]]. === Konvergenz von Reihen === Um überhaupt die Konvergenz von Reihen bzw. Potenzreihen analysieren zu können, benötigt man eine Topologie <math>\mathcal{T}_{\!\!\!_A}</math>, die in diesem Fall über die <math>\varepsilon</math>-Kugeln <math> B_\varepsilon^\alpha(z_0)</math> um <math>z_0\in A</math> bzgl. eines Gaugefunktionals <math>\|\cdot \|_\alpha : A \to \mathbb{R}_0^{+}</math> erzeugt wird. :<math> B_\varepsilon^\alpha(z_0) := \{ z\in A \ : \ \|z-z_0\|_\alpha < \varepsilon \} </math> === Lernvoraussetzungen === Lernvoraussetzungen aus folgenden Bereichen sind sinnvoll: * [[w:de:Konvergenz (Mathematik)|Konvergenz]] und [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihen]] in der reellen Analysis, * [[Cauchy-Produkt|Verknüpfungen]] von Potenzreihen, * [[Normen, Metriken, Topologie]] == Potenzreihen mit Koeffizienten in A == Die Exponentialfunktion <math>\exp</math> ist ein Spezialfall von [[Potenzreihenalgebra|Potenzreihen]] <math>p\in \overline{A[t]}</math> mit Koeffizienten in <math>A</math>, wobei <math>(A,\|\cdot \|_\mathcal{A})</math> eine unitale topologische Algebra mit Einselement <math>e_{\!\!_A}\in A</math> ist. Die Multiplikation <math>p,q\in \overline{A[t]}</math> wird über das [[Cauchy-Produkt]] definiert. === Definition- Exponentialfunktion === Für jedes <math> z \in A </math> definieren wir die '''Exponentialfunktion''' durch die Reihe: :<math> \exp(z) := \sum_{k=0}^\infty \frac{z^k}{k!} </math> Für ein <math>z</math> bezeichnet <math>\exp(z)</math> den Grenzwert der Folge von den Partialsummen von der Reihe, d.h.: :<math> \exp(z) := \lim_{n\to \infty} \sum_{k=0}^n \frac{z^k}{k!} </math> === Bemerkung - Partialsummen === Die Verknüpfungen in der Partialsumme <math>\sum_{k=0}^n \frac{z^k}{k!}</math> sind durch die Multiplikation, Addition und der Multiplikation mit Skalaren in der Algebra <math>A</math> wohldefiniert. * '''(Multiplikation in <math>A</math>)''' Potenzen in der Partialsumme werden als <math>k</math>-fache Multiplikation von <math>z</math> mit sich selbst definiert, d.h. <math>z^k:=\underbrace{z\cdot \ldots \cdot z}_{k-\text{fach}}</math> * '''(Multiplikation mit einem Skalar <math>\mathbb{K}</math>)''' Bei endlichen Produkten <math>z^k</math> erhält man mit der Multiplikation als innere Verknüpfung in <math>A</math> wieder ein Element in <math>A</math>. Dieses Element <math>z^k\in A</math> wird nun mit einem Skalar <math>\lambda := \tfrac{1}{k!}\in \mathbb{K}</math> aus dem dem zugrundeliegenden Körper <math>\mathbb{K}:=\mathbb{R}</math> oder <math>\mathbb{K}:=\mathbb{C}</math> multipliziert. * '''(endliche Summe)''' Die endliche Summe <math>\sum_{k=0}^n \frac{z^k}{k!}</math> ist in <math>A</math> dann ebenfalls wohldefiniert. <span id="SatzKonvergenz"></span> == Satz - Konvergenz der Exponentialreihe == Sei <math> (A,\|\cdot \|_\mathbb{A}) </math> eine [[topologische Algebra]] mit [[Gaugefunktionalsystem]] <math>\|\cdot \|_\mathcal{A} </math> mit submultiplikativen <math>\|\cdot \|_\alpha</math> für alle <math>\alpha \in \mathcal{A}) </math>, die die Topologie auf <math>A</math>, dann konvergiert die folgende Reihe <math>\exp(z)</math> für alle <math>z \in A </math> :<math> \exp(z):=\sum_{k=0}^\infty \frac{z^k}{k!} </math> in der [[Topologischer Vektorraum|Topologie]] auf <math>A</math>. == Beweis - Konvergenz Exponentialreihe == Man zeigt in dem Beweis die Konvergenz punktweise bezüglich jedes [[Gaugefunktional|Gaugefunktionals]] <math> \|\cdot \|_\alpha</math> <math>\alpha \in \mathcal{A} </math> unter Ausnutzung der [[Submultiplikativität der Gaugefunktionale]], d.h. es gilt für alle <math>x,y \in A</math> :<math> \|x\cdot y\|_\alpha \leq C_\alpha \cdot \|x\|_\alpha \cdot \|y\|_\alpha </math> Die Stetigkeitskonstante der Multiplikation <math> C_\alpha > 0</math> bzw.<math> C_\alpha \geq 1</math> muss man ggf. bei unitalen [[Gaugefunktionalsystem/normalisiert|normalisierten Gaugefunktionalssystemen]] mit <math>\|e_{\!\!_A}\|_\alpha = 1</math> berücksichtigen. == Siehe auch == * [[Cauchy-Produkt]] * [[w:de:Exponentialfunktion|reell- bzw. komplexwertige Exponentialfunktion]] * [[Potenzreihenalgebra#Potenzreihenalgebra|Potenzreihenalgebra]] * [[Polynomalgebra]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Exponentialfunktion&author=Kurs:Funktionenalanalysis&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Exponentialfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionenalanalysis Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Exponentialfunktion&author=Kurs:Funktionenalanalysis&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Exponentialfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionenalanalysis Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionenalanalysis Kurs:Funktionenalanalysis]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Exponentialfunktion https://de.wikiversity.org/wiki/Exponentialfunktion] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Exponentialfunktion Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Exponentialfunktion * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Exponentialfunktion&author=Kurs:Funktionenalanalysis&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Exponentialfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionenalanalysis Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] [[Category:Funktionalanalysis]] [[Category:Funktionentheorie]] ntkox0lgyxi9bkag5bhh8z0xasog8w4 0 173424 1118879 2026-11-04T16:48:26Z Bert Niehaus 20843 Weiterleitung nach [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Potenzreihenalgebra#Cauchy-Produkt]] erstellt 1118879 wikitext text/x-wiki #REDIRECT[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Potenzreihenalgebra#Cauchy-Produkt]] ctoh59237pvvvlxntu1tzor6m6klk1z 0 173425 1118898 2026-11-05T08:12:20Z Bert Niehaus 20843 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1118898 wikitext text/x-wiki #REDIREKT[[Gaugefunktional/submultiplikativ]] fsp4o803n2o1uwkqphtrj14qcws72rl 1118899 1118898 2026-11-05T08:12:36Z Bert Niehaus 20843 Weiterleitung nach [[Gaugefunktional/submultiplikativ]] erstellt 1118899 wikitext text/x-wiki #REDIRECT[[Gaugefunktional/submultiplikativ]] 43y25vgbk2w62xi7bdvla3xxk8cqzit 0 173426 1118907 2026-11-05T08:29:48Z Bert Niehaus 20843 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1118907 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die Normalisierung des [[Gaugefunktionalsystem]] liefert insbesondere bei der [[Gaugefunktional/submultiplikativ|Submulitplikativität von Gaugefunktionalsystemen]] bei der multiplikativen Ergänzung von dem neutralen Element der Multiplikation <math>e_{\!\!_A}\in A</math> etwas bessere algebraische Eigenschaften in der Notation, weil dadurch nicht eine weitere Stetigkeitskonstante berücktsichtigt werden muss. == Definition - unital normiertes Gaugefunktionalsystem == Ein [[Gaugefunktionalsystem]] heißt normalisiert, wenn für alle <math>\alpha \in \mathcal{A}</math> die Eigenschaft <math>\|e_{\!\!_A}\|_\alpha = 1</math> gilt. == Siehe auch == * [[Gaugefunktional]] * [[Gaugefunktionalsystem]] 97la57rb44ylyg1ufe2a82ibjyf9t32 1118927 1118907 2026-11-05T11:05:17Z Bert Niehaus 20843 /* Definition - unital normiertes Gaugefunktionalsystem */ 1118927 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die Normalisierung des [[Gaugefunktionalsystem]] liefert insbesondere bei der [[Gaugefunktional/submultiplikativ|Submulitplikativität von Gaugefunktionalsystemen]] bei der multiplikativen Ergänzung von dem neutralen Element der Multiplikation <math>e_{\!\!_A}\in A</math> etwas bessere algebraische Eigenschaften in der Notation, weil dadurch nicht eine weitere Stetigkeitskonstante berücktsichtigt werden muss. == Definition - unital normiertes Gaugefunktionalsystem == Ein [[Gaugefunktionalsystem]] heißt normalisiert, wenn für alle <math>\alpha \in \mathcal{A}</math> die Eigenschaft <math>\|e_{\!\!_A}\|_\alpha = 1</math> gilt. === Bemerkung - unital positives Gaugefunktionalsystem === Ein [[unital positiv|unital positives Gaugefunktionalsystem]] verlangt die Eigenschaft <math>\|e_{\!\!_A}\|_\alpha > 0</math>. Mit dieser Eigenschaft kann man auch ein [[Gaugefunktionalsystem]] einfach normalisieren. == Siehe auch == * [[Gaugefunktional]] * [[Gaugefunktionalsystem]] qczo3d3rey4rekb9xg2ebhvonmjsum6 1118928 1118927 2026-11-05T11:05:44Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1118928 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die Normalisierung des [[Gaugefunktionalsystem]] liefert insbesondere bei der [[Gaugefunktional/submultiplikativ|Submulitplikativität von Gaugefunktionalsystemen]] bei der multiplikativen Ergänzung von dem neutralen Element der Multiplikation <math>e_{\!\!_A}\in A</math> etwas bessere algebraische Eigenschaften in der Notation, weil dadurch nicht eine weitere Stetigkeitskonstante berücktsichtigt werden muss. == Definition - unital normiertes Gaugefunktionalsystem == Ein [[Gaugefunktionalsystem]] heißt normalisiert, wenn für alle <math>\alpha \in \mathcal{A}</math> die Eigenschaft <math>\|e_{\!\!_A}\|_\alpha = 1</math> gilt. === Bemerkung - unital positives Gaugefunktionalsystem === Ein [[unital positiv|unital positives Gaugefunktionalsystem]] verlangt die Eigenschaft <math>\|e_{\!\!_A}\|_\alpha > 0</math>. Mit dieser Eigenschaft kann man auch ein [[Gaugefunktionalsystem]] einfach normalisieren. == Siehe auch == * [[Gaugefunktional]] * [[Gaugefunktionalsystem]] * [[unital positiv|unital positives Gaugefunktionalsystem]] 9yusdvlq4qwfbsha3k8up1tnknhp71l 0 173427 1118925 2026-11-05T10:49:17Z Bert Niehaus 20843 Weiterleitung nach [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologisierungslemma für Algebren#unital]] erstellt 1118925 wikitext text/x-wiki #REDIRECT[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologisierungslemma für Algebren#unital]] 5mkmgtcn2go2tkqf56ptswmsh8kgyh6