Wikiversity dewikiversity https://de.wikiversity.org/wiki/Hauptseite MediaWiki 1.48.0-wmf.3 first-letter Medium Spezial Diskussion Benutzer Benutzer Diskussion Wikiversity Wikiversity Diskussion Datei Datei Diskussion MediaWiki MediaWiki Diskussion Vorlage Vorlage Diskussion Hilfe Hilfe Diskussion Kategorie Kategorie Diskussion Kurs Kurs Diskussion Projekt Projekt Diskussion TimedText TimedText talk Modul Modul Diskussion Veranstaltung Veranstaltung Diskussion 0 83062 1118986 1066721 2026-11-06T13:09:38Z Platzm 21125 /* Unterrichtsmaterialien */ 1118986 wikitext text/x-wiki [https://en.wikiversity.org/wiki/OpenSource4School '''>> English Version <<''']<br> = Anpassung von OpenSource-Software an die Bedürfnisse des Mathematikunterrichts = Sie finden hier unter anderem Unterrichtsbeispiele und Tutorials für den Einsatz von neuen Medien und OpenSource-Software im Mathematikunterricht. Dabei wird beschrieben, wie ein Unterrichtsinhalt mit OpenSource-Software bearbeitet werden kann. Ziele des Unterrichts können aber in der Regel nicht allein durch den Einsatz von neuen Medien erreicht werden, daher wird der Unterrichtsinhalt im Zusammenhang mit weiteren (traditionellen) Medien dargestellt. Ziel der Beschreibung des Softwareeinsatzes kann es auch sein, eine Verbindung mit weiteren realen Unterrichtsmaterialien (wie z.B. konkrete 3D-Körper) herzustellen, auf die sich die Software-Nutzung bezieht, oder die Verbindung mit weiteren OpenSource-Produkten darzustellen, die einen weiteren positiven Effekt auf das Verständnis des Lehrinhalts haben können. ''' Inhalte (teilweise gemeinsam erstellt mit Studierenden):''' * Lehrer- und Studentenworkshops * Tutorials * Unterrichtsmaterialien für die Lehre an Schulen und Hochschulen * Einsatzziele der OpenSource-Software und Verbindung mit anderer OpenSource-Software und anderen Medien == Unterrichtsmaterialien == ===Lernbausteine zum Lernen über KI=== ===[[OpenSource4School/Lernumgebungen zu Mathe mit Hund|Lernumgebungen zu Mathe mit Hund]]=== [[OpenSource4School/Lernumgebungen zu Mathe mit Hund]] ===[[OpenSource4School/Lernumgebungen zur Informatischen Bildung im Mathematikunterricht der Primarstufe|Lernumgebungen zur Informatischen Bildung im Mathematikunterricht der Primarstufe]]=== [[OpenSource4School/Lernumgebungen zur Informatischen Bildung im Mathematikunterricht der Primarstufe]] ===[[OpenSource4School/Lernumgebungen_zum_Beweisen_in_der_Primarstufe|Lernumgebungen zum Beweisen in der Primarstufe]] === [[OpenSource4School/Lernumgebungen_zum_Beweisen_in_der_Primarstufe]] === [[OpenSource4School/Lernumgebungen|Lernumgebungen mit digitalen Medien]] === [[OpenSource4School/Lernumgebungen]] === [[OpenSource4School/Geocaching|Geocaching im Schulunterricht]] === [[OpenSource4School/Geocaching]] === [[OpenSource4School/HIRO-Marker| HIRO-Marker: Tutorial]] === [[OpenSource4School/HIRO-Marker]] === [https://maxima4schools.weebly.com/ Maxima4School] === '''https://maxima4schools.weebly.com/'''<br> Maxima4School ist ein Portal, das Lehrende bei dem Einsatz des Computer-Algebra-Systems [https://maxima.sourceforge.net/ Maxima] im Unterricht unterstützen soll. == Lehrer- und Studentenworkshops == === [[OpenSource4School/ICT4RED|TPDs Basierend auf ICT4RED]] === '''[[OpenSource4School/ICT4RED]]'''<br> Die [http://www.ict4red.co.za/ ICT4RED]-Initiative war Teil des "Technology for Rural Education Development" (TECH4RED) Forschungsprogramms, welches das Ziel verfolgte, die ländliche Bildung durch technologiegeführte Innovation in Südafrika zu verbessern. Auf der Basis des [https://ict4red.blogspot.de/p/tpd-course.html TPD der ICT4RED-Initiative] wurden Module abgeleitet, welche an den Mathematikunterricht in Deutschland angepasst wurden. Erstellt durch Studierende der Universität Siegen innerhalb der Fachdidaktischen Ergänzung Mathematik Primarstufe "Digitale Medien im Mathematikunterricht der Grundschule" im Wintersemester 2016/17. === [https://en.wikiversity.org/wiki/E-Proof E-Proofs] === '''[https://en.wikiversity.org/wiki/E-Proof E-Proofs]'''<br> In dem universitätsübergreifenden Projekt "QED" (Quality of E-Proofs in Didactics) der Universitäten Siegen, Koblenz-Landau und Flensburg wird zur Zeit ein OpenSource E-Proof-System entwickelt mit Einbindung diagnostischer Distraktoren, welches in der Lehre zur Förderung der Beweiskompetenz eingesetzt werden soll (siehe http://e-beweise.weebly.com/). Dieser Workshop soll bei der Erstellung eines mathematischen elektronischen Beweises mit dem E-Proof-System unterstützen. == Lehrveranstaltungen == === [[Kryptologie - Mathematische Vertiefung (PH Freiburg SS 2017)|Kryptologie]] === '''[[Kryptologie - Mathematische Vertiefung (PH Freiburg SS 2017)]]'''<br> Im Rahmen einer Fachwissenschaftlichen Vertiefung am [https://www.ph-freiburg.de/mathe/start.html IMBF der Pädagogischen Hochschule Freiburg] einstand gemeinsam mit Studierenden des Lehramtes (Sekundarstufe I) eine Sammlung zu Inhalten der Kryptologie, die mathematisch vertieft und für den Einsatz im Unterricht der Sekundarstufe I aufbereitet wurden. In der Lehrveranstaltung sollte der mathematische Horizont, auch über die mit dem Schulcurriculum verbundene Mathematik hinaus, erweitert werden. (Dozentin: Dr. Melanie Platz) === [[OpenSource4School/Mathematik zum Anfassen|Mathematik zum Anfassen]] === '''[[OpenSource4School/Mathematik zum Anfassen|Mathematik zum Anfassen (Universität Siegen WS 17/18)]]'''<br> Die [http://mathematikum.technikmuseum-freudenberg.de/ interaktive Sonderausstellung "Mathematik zum Anfassen"] des [http://www.mathematikum.de/das-mathematikum/wanderausstellung.html Mathematikums in Gießen] wurde im [http://www.technikmuseum-freudenberg.org/main.php Technikmuseum Freudenberg] vom 16. bis 29. November 2017 präsentiert. Im Rahmen von Seminaren der [https://www.uni-siegen.de/fb6/didaktik/ Abteilung Mathematikdidaktik der Universität Siegen] unter Leitung von Frau Anna Vogler und Frau Dr. Melanie Platz wurden gemeinsam mit Studierenden weiterführende Informationen zu den Exponaten verfasst sowie ergänzende Exponate für Schülerinnen und Schüler im Alter von 3-6 Jahren ("Mini-Mathe") und Mediengestützte Exponate für Kinder ab 6 Jahre erstellt. == Die passende Ausstattung wählen == === Hardware === Siehe auch: https://ict4red.co.za/toolikit/decision-support-overview/ === Software === Ein kostenfreies Entscheidungsunterstützungssystems zur Auswahl passender Apps/ Applets/ Programme für den Mathematikunterricht der Grundschule basierend auf einem Kriterienkatalog, welcher in Kooperation mit Studierenden des Primarstufenlehramtes Mathematik der Universitäten Koblenz-Landau und Siegen im Rahmen von Seminararbeiten und Abschlussarbeiten erstellt und überarbeitet wurde, befindet sich zur Zeit in der Entwicklung. Ein Tutorial ist unter folgendem Link zu finden: [[OpenSource4School/DSS-Apps]] == Weitere Hinweise zu Bildungsmedien und "guten" Apps: == * https://www.ladel-online.net/de/forschung/projekte/app-empfehlungen * https://vitalmaths.com/ === Kindersicherung === * Zur Kindersicherung bietet sich eine [https://en.wikipedia.org/wiki/Parental_controls Parental Control] App an, beispielsweise die App "[http://kiddoware.com/app/kids-place-parental-control-for-android-devices/ Kids Place - Parental Control]". Eine ältere Version dieser App (ab Android 2.2) ist hier zu finden: https://www.apk4fun.com/link/84117/a/ == Siehe auch == * [[Open Source Migration]] b5arwrr3gx51mvg2he6ymb0trxaoimx 1118988 1118986 2026-11-06T13:12:50Z Platzm 21125 /* Lernbausteine zum Lernen über KI */ 1118988 wikitext text/x-wiki [https://en.wikiversity.org/wiki/OpenSource4School '''>> English Version <<''']<br> = Anpassung von OpenSource-Software an die Bedürfnisse des Mathematikunterrichts = Sie finden hier unter anderem Unterrichtsbeispiele und Tutorials für den Einsatz von neuen Medien und OpenSource-Software im Mathematikunterricht. Dabei wird beschrieben, wie ein Unterrichtsinhalt mit OpenSource-Software bearbeitet werden kann. Ziele des Unterrichts können aber in der Regel nicht allein durch den Einsatz von neuen Medien erreicht werden, daher wird der Unterrichtsinhalt im Zusammenhang mit weiteren (traditionellen) Medien dargestellt. Ziel der Beschreibung des Softwareeinsatzes kann es auch sein, eine Verbindung mit weiteren realen Unterrichtsmaterialien (wie z.B. konkrete 3D-Körper) herzustellen, auf die sich die Software-Nutzung bezieht, oder die Verbindung mit weiteren OpenSource-Produkten darzustellen, die einen weiteren positiven Effekt auf das Verständnis des Lehrinhalts haben können. ''' Inhalte (teilweise gemeinsam erstellt mit Studierenden):''' * Lehrer- und Studentenworkshops * Tutorials * Unterrichtsmaterialien für die Lehre an Schulen und Hochschulen * Einsatzziele der OpenSource-Software und Verbindung mit anderer OpenSource-Software und anderen Medien == Unterrichtsmaterialien == [[===Lernbausteine zum Lernen über KI===]] Hier finden Sie Lernbausteine zum Lernen über KI in KITA und Grundschule: [[OpenSource4School/Lernbausteine KI|OpenSource4School/Lernbausteine_KI]] ===[[OpenSource4School/Lernumgebungen zu Mathe mit Hund|Lernumgebungen zu Mathe mit Hund]]=== [[OpenSource4School/Lernumgebungen zu Mathe mit Hund]] ===[[OpenSource4School/Lernumgebungen zur Informatischen Bildung im Mathematikunterricht der Primarstufe|Lernumgebungen zur Informatischen Bildung im Mathematikunterricht der Primarstufe]]=== [[OpenSource4School/Lernumgebungen zur Informatischen Bildung im Mathematikunterricht der Primarstufe]] ===[[OpenSource4School/Lernumgebungen_zum_Beweisen_in_der_Primarstufe|Lernumgebungen zum Beweisen in der Primarstufe]] === [[OpenSource4School/Lernumgebungen_zum_Beweisen_in_der_Primarstufe]] === [[OpenSource4School/Lernumgebungen|Lernumgebungen mit digitalen Medien]] === [[OpenSource4School/Lernumgebungen]] === [[OpenSource4School/Geocaching|Geocaching im Schulunterricht]] === [[OpenSource4School/Geocaching]] === [[OpenSource4School/HIRO-Marker| HIRO-Marker: Tutorial]] === [[OpenSource4School/HIRO-Marker]] === [https://maxima4schools.weebly.com/ Maxima4School] === '''https://maxima4schools.weebly.com/'''<br> Maxima4School ist ein Portal, das Lehrende bei dem Einsatz des Computer-Algebra-Systems [https://maxima.sourceforge.net/ Maxima] im Unterricht unterstützen soll. == Lehrer- und Studentenworkshops == === [[OpenSource4School/ICT4RED|TPDs Basierend auf ICT4RED]] === '''[[OpenSource4School/ICT4RED]]'''<br> Die [http://www.ict4red.co.za/ ICT4RED]-Initiative war Teil des "Technology for Rural Education Development" (TECH4RED) Forschungsprogramms, welches das Ziel verfolgte, die ländliche Bildung durch technologiegeführte Innovation in Südafrika zu verbessern. Auf der Basis des [https://ict4red.blogspot.de/p/tpd-course.html TPD der ICT4RED-Initiative] wurden Module abgeleitet, welche an den Mathematikunterricht in Deutschland angepasst wurden. Erstellt durch Studierende der Universität Siegen innerhalb der Fachdidaktischen Ergänzung Mathematik Primarstufe "Digitale Medien im Mathematikunterricht der Grundschule" im Wintersemester 2016/17. === [https://en.wikiversity.org/wiki/E-Proof E-Proofs] === '''[https://en.wikiversity.org/wiki/E-Proof E-Proofs]'''<br> In dem universitätsübergreifenden Projekt "QED" (Quality of E-Proofs in Didactics) der Universitäten Siegen, Koblenz-Landau und Flensburg wird zur Zeit ein OpenSource E-Proof-System entwickelt mit Einbindung diagnostischer Distraktoren, welches in der Lehre zur Förderung der Beweiskompetenz eingesetzt werden soll (siehe http://e-beweise.weebly.com/). Dieser Workshop soll bei der Erstellung eines mathematischen elektronischen Beweises mit dem E-Proof-System unterstützen. == Lehrveranstaltungen == === [[Kryptologie - Mathematische Vertiefung (PH Freiburg SS 2017)|Kryptologie]] === '''[[Kryptologie - Mathematische Vertiefung (PH Freiburg SS 2017)]]'''<br> Im Rahmen einer Fachwissenschaftlichen Vertiefung am [https://www.ph-freiburg.de/mathe/start.html IMBF der Pädagogischen Hochschule Freiburg] einstand gemeinsam mit Studierenden des Lehramtes (Sekundarstufe I) eine Sammlung zu Inhalten der Kryptologie, die mathematisch vertieft und für den Einsatz im Unterricht der Sekundarstufe I aufbereitet wurden. In der Lehrveranstaltung sollte der mathematische Horizont, auch über die mit dem Schulcurriculum verbundene Mathematik hinaus, erweitert werden. (Dozentin: Dr. Melanie Platz) === [[OpenSource4School/Mathematik zum Anfassen|Mathematik zum Anfassen]] === '''[[OpenSource4School/Mathematik zum Anfassen|Mathematik zum Anfassen (Universität Siegen WS 17/18)]]'''<br> Die [http://mathematikum.technikmuseum-freudenberg.de/ interaktive Sonderausstellung "Mathematik zum Anfassen"] des [http://www.mathematikum.de/das-mathematikum/wanderausstellung.html Mathematikums in Gießen] wurde im [http://www.technikmuseum-freudenberg.org/main.php Technikmuseum Freudenberg] vom 16. bis 29. November 2017 präsentiert. Im Rahmen von Seminaren der [https://www.uni-siegen.de/fb6/didaktik/ Abteilung Mathematikdidaktik der Universität Siegen] unter Leitung von Frau Anna Vogler und Frau Dr. Melanie Platz wurden gemeinsam mit Studierenden weiterführende Informationen zu den Exponaten verfasst sowie ergänzende Exponate für Schülerinnen und Schüler im Alter von 3-6 Jahren ("Mini-Mathe") und Mediengestützte Exponate für Kinder ab 6 Jahre erstellt. == Die passende Ausstattung wählen == === Hardware === Siehe auch: https://ict4red.co.za/toolikit/decision-support-overview/ === Software === Ein kostenfreies Entscheidungsunterstützungssystems zur Auswahl passender Apps/ Applets/ Programme für den Mathematikunterricht der Grundschule basierend auf einem Kriterienkatalog, welcher in Kooperation mit Studierenden des Primarstufenlehramtes Mathematik der Universitäten Koblenz-Landau und Siegen im Rahmen von Seminararbeiten und Abschlussarbeiten erstellt und überarbeitet wurde, befindet sich zur Zeit in der Entwicklung. Ein Tutorial ist unter folgendem Link zu finden: [[OpenSource4School/DSS-Apps]] == Weitere Hinweise zu Bildungsmedien und "guten" Apps: == * https://www.ladel-online.net/de/forschung/projekte/app-empfehlungen * https://vitalmaths.com/ === Kindersicherung === * Zur Kindersicherung bietet sich eine [https://en.wikipedia.org/wiki/Parental_controls Parental Control] App an, beispielsweise die App "[http://kiddoware.com/app/kids-place-parental-control-for-android-devices/ Kids Place - Parental Control]". Eine ältere Version dieser App (ab Android 2.2) ist hier zu finden: https://www.apk4fun.com/link/84117/a/ == Siehe auch == * [[Open Source Migration]] ckwwb4d55lrmsylcjmu1id5f3nbzkrx 1118989 1118988 2026-11-06T13:13:56Z Platzm 21125 /* Unterrichtsmaterialien */ 1118989 wikitext text/x-wiki [https://en.wikiversity.org/wiki/OpenSource4School '''>> English Version <<''']<br> = Anpassung von OpenSource-Software an die Bedürfnisse des Mathematikunterrichts = Sie finden hier unter anderem Unterrichtsbeispiele und Tutorials für den Einsatz von neuen Medien und OpenSource-Software im Mathematikunterricht. Dabei wird beschrieben, wie ein Unterrichtsinhalt mit OpenSource-Software bearbeitet werden kann. Ziele des Unterrichts können aber in der Regel nicht allein durch den Einsatz von neuen Medien erreicht werden, daher wird der Unterrichtsinhalt im Zusammenhang mit weiteren (traditionellen) Medien dargestellt. Ziel der Beschreibung des Softwareeinsatzes kann es auch sein, eine Verbindung mit weiteren realen Unterrichtsmaterialien (wie z.B. konkrete 3D-Körper) herzustellen, auf die sich die Software-Nutzung bezieht, oder die Verbindung mit weiteren OpenSource-Produkten darzustellen, die einen weiteren positiven Effekt auf das Verständnis des Lehrinhalts haben können. ''' Inhalte (teilweise gemeinsam erstellt mit Studierenden):''' * Lehrer- und Studentenworkshops * Tutorials * Unterrichtsmaterialien für die Lehre an Schulen und Hochschulen * Einsatzziele der OpenSource-Software und Verbindung mit anderer OpenSource-Software und anderen Medien == Unterrichtsmaterialien == ===[[OpenSource4School/Lernbausteine KI|Lernbausteine zum Lernen über KI]]=== Hier finden Sie Lernbausteine zum Lernen über KI in KITA und Grundschule: [[OpenSource4School/Lernbausteine KI|OpenSource4School/Lernbausteine_KI]] ===[[OpenSource4School/Lernumgebungen zu Mathe mit Hund|Lernumgebungen zu Mathe mit Hund]]=== [[OpenSource4School/Lernumgebungen zu Mathe mit Hund]] ===[[OpenSource4School/Lernumgebungen zur Informatischen Bildung im Mathematikunterricht der Primarstufe|Lernumgebungen zur Informatischen Bildung im Mathematikunterricht der Primarstufe]]=== [[OpenSource4School/Lernumgebungen zur Informatischen Bildung im Mathematikunterricht der Primarstufe]] ===[[OpenSource4School/Lernumgebungen_zum_Beweisen_in_der_Primarstufe|Lernumgebungen zum Beweisen in der Primarstufe]] === [[OpenSource4School/Lernumgebungen_zum_Beweisen_in_der_Primarstufe]] === [[OpenSource4School/Lernumgebungen|Lernumgebungen mit digitalen Medien]] === [[OpenSource4School/Lernumgebungen]] === [[OpenSource4School/Geocaching|Geocaching im Schulunterricht]] === [[OpenSource4School/Geocaching]] === [[OpenSource4School/HIRO-Marker| HIRO-Marker: Tutorial]] === [[OpenSource4School/HIRO-Marker]] === [https://maxima4schools.weebly.com/ Maxima4School] === '''https://maxima4schools.weebly.com/'''<br> Maxima4School ist ein Portal, das Lehrende bei dem Einsatz des Computer-Algebra-Systems [https://maxima.sourceforge.net/ Maxima] im Unterricht unterstützen soll. == Lehrer- und Studentenworkshops == === [[OpenSource4School/ICT4RED|TPDs Basierend auf ICT4RED]] === '''[[OpenSource4School/ICT4RED]]'''<br> Die [http://www.ict4red.co.za/ ICT4RED]-Initiative war Teil des "Technology for Rural Education Development" (TECH4RED) Forschungsprogramms, welches das Ziel verfolgte, die ländliche Bildung durch technologiegeführte Innovation in Südafrika zu verbessern. Auf der Basis des [https://ict4red.blogspot.de/p/tpd-course.html TPD der ICT4RED-Initiative] wurden Module abgeleitet, welche an den Mathematikunterricht in Deutschland angepasst wurden. Erstellt durch Studierende der Universität Siegen innerhalb der Fachdidaktischen Ergänzung Mathematik Primarstufe "Digitale Medien im Mathematikunterricht der Grundschule" im Wintersemester 2016/17. === [https://en.wikiversity.org/wiki/E-Proof E-Proofs] === '''[https://en.wikiversity.org/wiki/E-Proof E-Proofs]'''<br> In dem universitätsübergreifenden Projekt "QED" (Quality of E-Proofs in Didactics) der Universitäten Siegen, Koblenz-Landau und Flensburg wird zur Zeit ein OpenSource E-Proof-System entwickelt mit Einbindung diagnostischer Distraktoren, welches in der Lehre zur Förderung der Beweiskompetenz eingesetzt werden soll (siehe http://e-beweise.weebly.com/). Dieser Workshop soll bei der Erstellung eines mathematischen elektronischen Beweises mit dem E-Proof-System unterstützen. == Lehrveranstaltungen == === [[Kryptologie - Mathematische Vertiefung (PH Freiburg SS 2017)|Kryptologie]] === '''[[Kryptologie - Mathematische Vertiefung (PH Freiburg SS 2017)]]'''<br> Im Rahmen einer Fachwissenschaftlichen Vertiefung am [https://www.ph-freiburg.de/mathe/start.html IMBF der Pädagogischen Hochschule Freiburg] einstand gemeinsam mit Studierenden des Lehramtes (Sekundarstufe I) eine Sammlung zu Inhalten der Kryptologie, die mathematisch vertieft und für den Einsatz im Unterricht der Sekundarstufe I aufbereitet wurden. In der Lehrveranstaltung sollte der mathematische Horizont, auch über die mit dem Schulcurriculum verbundene Mathematik hinaus, erweitert werden. (Dozentin: Dr. Melanie Platz) === [[OpenSource4School/Mathematik zum Anfassen|Mathematik zum Anfassen]] === '''[[OpenSource4School/Mathematik zum Anfassen|Mathematik zum Anfassen (Universität Siegen WS 17/18)]]'''<br> Die [http://mathematikum.technikmuseum-freudenberg.de/ interaktive Sonderausstellung "Mathematik zum Anfassen"] des [http://www.mathematikum.de/das-mathematikum/wanderausstellung.html Mathematikums in Gießen] wurde im [http://www.technikmuseum-freudenberg.org/main.php Technikmuseum Freudenberg] vom 16. bis 29. November 2017 präsentiert. Im Rahmen von Seminaren der [https://www.uni-siegen.de/fb6/didaktik/ Abteilung Mathematikdidaktik der Universität Siegen] unter Leitung von Frau Anna Vogler und Frau Dr. Melanie Platz wurden gemeinsam mit Studierenden weiterführende Informationen zu den Exponaten verfasst sowie ergänzende Exponate für Schülerinnen und Schüler im Alter von 3-6 Jahren ("Mini-Mathe") und Mediengestützte Exponate für Kinder ab 6 Jahre erstellt. == Die passende Ausstattung wählen == === Hardware === Siehe auch: https://ict4red.co.za/toolikit/decision-support-overview/ === Software === Ein kostenfreies Entscheidungsunterstützungssystems zur Auswahl passender Apps/ Applets/ Programme für den Mathematikunterricht der Grundschule basierend auf einem Kriterienkatalog, welcher in Kooperation mit Studierenden des Primarstufenlehramtes Mathematik der Universitäten Koblenz-Landau und Siegen im Rahmen von Seminararbeiten und Abschlussarbeiten erstellt und überarbeitet wurde, befindet sich zur Zeit in der Entwicklung. Ein Tutorial ist unter folgendem Link zu finden: [[OpenSource4School/DSS-Apps]] == Weitere Hinweise zu Bildungsmedien und "guten" Apps: == * https://www.ladel-online.net/de/forschung/projekte/app-empfehlungen * https://vitalmaths.com/ === Kindersicherung === * Zur Kindersicherung bietet sich eine [https://en.wikipedia.org/wiki/Parental_controls Parental Control] App an, beispielsweise die App "[http://kiddoware.com/app/kids-place-parental-control-for-android-devices/ Kids Place - Parental Control]". Eine ältere Version dieser App (ab Android 2.2) ist hier zu finden: https://www.apk4fun.com/link/84117/a/ == Siehe auch == * [[Open Source Migration]] jwx56wwfrvp73evua4n2fqdu3o8o7nw 0 83131 1119021 1117446 2026-11-07T09:53:46Z Bocardodarapti 2041 1119021 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Die Addition auf den natürlichen Zahlen ist eine vertraute Operation und es gibt viele Möglichkeiten, sie einzuführen. Je nach Kontext und Absicht sind unterschiedliche Ansätze besser geeignet. Zur rechnerischen Durchführung der Addition ist etwa das schriftliche Addieren im Dezimalsystem besonders effektiv, während zum Nachweis der Assoziativität die inhaltliche Interpretation als disjunkte Vereinigung von Mengen sinnvoll ist. Um ein klares Fundament zu haben, muss man sich bei einem systematischen Aufbau der Mathematik dafür entscheiden, was man als Definition nimmt, und dann beweisen, dass der gewählte Zugang auch andere Charakterisierungen erlaubt und somit mit anderen Zugängen übereinstimmt. Wir wollen die Addition auf den natürlichen Zahlen definieren, und zwar allein unter Bezug auf das Nachfolgernehmen, das das Zählen charakterisiert. Das Nachfolgernehmen ist ein Prozess, den man iterieren kann. Sowohl der Startwert des Nachfolgernehmens als auch die Anzahl, wie oft ein Nachfolger genommen werden soll, wird durch natürliche Zahlen beschrieben. Die {{math|term= k |SZ=-}}fache Durchführung eines Prozesses bedeutet, dass er so oft durchgeführt wird, wie es die Menge {{mathl|term= {{Menge1k|}} |SZ=}} vorgibt. {{ inputbild |Additionnachfolger6|png| 230px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer=Bocardodarapti |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 4.0 |Bemerkung= }} {{ inputdefinition |Natürliche Zahlen/Addition mit n/Nachfolgerzählen/Definition||ref1= }} Die Operation heißt die {{Stichwort|Addition|SZ=}} und die beteiligten Zahlen nennt man die {{Stichwort|Summanden|msw=Summand|SZ=.}} Nach dieser Definition wird also ausgehend von {{math|term= n |SZ=}} der Nachfolgerprozess {{math|term= k |SZ=-}}fach durchgeführt {{ Zusatz/Klammer |text={{mathlk|term= n+k |SZ=}} ist also {{math|term= k |SZ=}} mehr als {{math|term= n |SZ=}}| |ISZ=|ESZ=. }} Bei {{ Relationskette | k || 0 || || || |SZ= }} ist dies als der nullte Nachfolger, also als {{math|term= n |SZ=}} selbst, zu verstehen. Bei {{ Relationskette | k || 1 || || || |SZ= }} ist dies der erste Nachfolger, {{mathl|term= n+1 |SZ=}} ist also die erste Zahl {{math|term= n^\prime |SZ=}} nach {{math|term= n |SZ=.}} Die Summe {{mathl|term= n+k |SZ=}} ist also {{mathl|term= n^{\prime \prime \ldots \prime} |SZ=}} mit {{math|term= k |SZ=}} Nachfolgerstrichen. Wenn umgekehrt {{ Relationskette/display | n || 0 || || || |SZ= }} ist, so ist der {{math|term= k |SZ=-}}te Nachfolger der {{math|term= 0 |SZ=}} gleich {{math|term= k |SZ=.}} Man beachte, dass hier die Addition in einer Weise definiert wird, in der die Kommutativität keineswegs offensichtlich ist, das wird sich aber gleich ergeben. {{ inputbild |Addition Table|svg| 230px {{!}} right {{!}} | |Zusname=Addition_Table |Text=Das {{Stichwort|kleine Einsundeins|msw=Kleines Einsundeins|SZ=.}} Das Umlegungsprinzip schlägt sich in der Additionstabelle darin nieder, dass in den Linksunten nach Rechtsoben-Diagonalen konstante Werte stehen. |Autor= |Benutzer=Indolences |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputfaktbeweis |Natürliche Zahlen/Addition mit n/Nachfolgerzählen/Hilfseigenschaften/Fakt|Lemma|| }} Für einige alternative Begründungen siehe die Aufgaben. Teil (2) kann man auch so verstehen, dass man eine Summe {{mathl|term= n+k |SZ=}} dadurch berechnen kann, dass man sukzessive den ersten Summanden um eins erhöht {{ Zusatz/Klammer |text=also den Nachfolger nimmt| |ESZ= }} und den zweiten um eins vermindert {{ Zusatz/Klammer |text=also den Vorgänger nimmt| |ESZ=, }} falls {{ Relationskette | k | \neq | 0 || || || |SZ= }} ist. Dies macht man so lange, bis der zweite Summand {{math|term= 0 |SZ=}} ist. Der dabei entstandene neue erste Summand ist die Summe. Statt Umlegungsregel sagt man auch {{Stichwort|Umlegungsprinzip|SZ=}} oder man spricht von einer {{Anführung|gegensinnigen Veränderung|SZ=,}} was auch oft bei Rechnungen effektiv eingesetzt wird, wenn man etwa {{ Relationskette | 19+41 || 20+40 || 60 || || |SZ= }} rechnet. Die folgende Aussage besagt, dass durch das Umlegungsprinzip die Addition bereits festgelegt ist. {{ inputfaktbeweis |Natürliche Zahlen/Eindeutigkeit der Addition/Fakt|Satz|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Addition der natürlichen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} l90zs07pc9f6ltm87gu5fmlbgn3dyld 0 83288 1119004 1117439 2026-11-06T17:48:15Z Bocardodarapti 2041 1119004 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputbild |Georg Cantor 1894|jpg| 200px {{!}} thumb {{!}} | | | |Zusname=Georg_Cantor |Text= [[w:Georg Cantor|Georg Cantor (1845-1918)]] ist der Schöpfer der Mengentheorie. |Autor=unbekannt |Benutzer=Geometry guy |Domäne=en wikipedia |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbild |David Hilbert 1886|jpg| 200px {{!}} thumb {{!}} | | | |Zusname=David_Hilbert_1886 |Text= [[w:David Hilbert|David Hilbert (1862-1943)]] nannte sie ein {{Betonung|Paradies}}, aus dem die Mathematiker nie mehr vertrieben werden dürfen. |Autor=unbekannt (1886) |Benutzer=Magnus Manske |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} Eine {{Stichwort|Menge|SZ=}} ist eine Ansammlung von wohlunterschiedenen Objekten, die die {{Stichwort|Elemente|msw=Element|SZ=}} der Menge heißen. Mit {{Stichwort/anf|wohlunterschieden|SZ=}} meint man, dass es klar ist, welche Objekte als gleich und welche als verschieden angesehen werden. Die {{Stichwort|Zugehörigkeit|SZ=}} eines Elementes {{math|term= x |SZ=}} zu einer Menge {{math|term= M |SZ=}} wird durch {{ Relationskette | x | \in|M || || || |SZ= }} ausgedrückt, die Nichtzugehörigkeit durch {{ Relationskette | x |\notin|M || || || |SZ=. }} Für jedes Element{{ Zusatz/Klammer |text=symbol| |ISZ=|ESZ= }} gilt stets genau eine dieser zwei Möglichkeiten. Die wichtigste mathematische Menge ist im Moment für uns die Menge der natürlichen Zahlen {{ Relationskette/display | \N || \{0, 1,2,3, \ldots\} || || || |SZ=. }} Für Mengen gilt das {{Stichwort|Extensionalitätsprinzip|SZ=,}} d.h. eine Menge ist durch die in ihr enthaltenen Elemente eindeutig bestimmt, darüber hinaus bietet sie keine Information. Insbesondere stimmen zwei Mengen überein, wenn beide die gleichen Elemente enthalten. {{ inputdefinition |Mengenlehre/Leere Menge/Definition|| }} Eine Menge {{math|term= N |SZ=}} heißt {{Stichwort|Teilmenge|SZ=}} einer Menge {{math|term= M |SZ=,}} wenn jedes Element aus {{math|term= N |SZ=}} auch zu {{math|term= M |SZ=}} gehört. Man schreibt dafür {{ Relationskette |N | \subseteq|M || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=manche schreiben dafür {{ Relationskette/k | N | \subset| M || || || |SZ= }}| |SZ=. }} Beispielsweise ist die Menge aller durch {{math|term= 6 |SZ=}} teilbaren natürlichen Zahlen eine Teilmenge der Menge aller geraden Zahlen. Bei einer Teilmengenbeziehung sagt man auch, dass eine {{Stichwort|Inklusion|SZ=}} {{ Relationskette | N | \subseteq | M || || || |SZ= }} vorliegt. Im Nachweis, dass {{ Relationskette | N | \subseteq | M || || || |SZ= }} ist, muss man zeigen, dass für ein beliebiges Element {{ Relationskette | x | \in | N || || || |SZ= }} ebenfalls die Beziehung {{ Relationskette | x | \in | M |SZ= }} gilt{{ Zusatz/Fußnote |text=In der Sprache der Quantorenlogik kann man eine Inklusion verstehen als die Aussage {{math|term= \forall x(x \in N \rightarrow x \in M) |SZ=.}}| |ESZ=. }} Dabei darf man lediglich die Eigenschaft {{ Relationskette | x | \in| N || || || |SZ= }} verwenden. Im Beispiel würde man so argumentieren: {{math|term= x |SZ=}} ist eine durch {{math|term= 6 |SZ=}} teilbare Zahl. Daher kann man {{ Relationskette/display | x || 6 y || || || |SZ= }} mit einer gewissen natürlichen Zahl {{math|term= y |SZ=}} schreiben. Dies kann man als {{ Relationskette/display | x || 6y || 2 (3y) || || || |SZ= }} schreiben, was eben bedeutet, dass {{math|term= x |SZ=}} gerade ist. Aufgrund des Extensionalitätsprinzips hat man das folgende wichtige {{Stichwort|Gleichheitsprinzip für Mengen|SZ=,}} dass {{ Math/display|term= M=N \text{ genau dann, wenn } N \subseteq M \text{ und } M \subseteq N |SZ= }} gilt. In der mathematischen Praxis bedeutet dies, dass man die Gleichheit von zwei Mengen dadurch nachweist, dass man {{ Zusatz/Klammer |text=in zwei voneinander unabhängigen Teilargumentationen| |SZ= }} die beiden Inklusionen zeigt. Dies hat auch den kognitiven Vorteil, dass das Denken eine Zielrichtung bekommt, dass die Voraussetzung, die man verwenden darf, von der gewünschten Schlussfolgerung, die man aufzeigen muss, klar getrennt wird. Hier wiederholt sich das Prinzip, dass die Äquivalenz von zwei Aussagen die wechselseitige Implikation bedeutet, und durch den Beweis der beiden einzelnen Implikationen bewiesen wird. {{Zwischenüberschrift|Beschreibungsmöglichkeiten für Mengen}} Es gibt mehrere Möglichkeiten, eine Menge anzugeben. Die einfachste ist wohl, die zu der Menge gehörenden Elemente aufzulisten, wobei es auf die Reihenfolge der Elemente nicht ankommt. In der Abgabegruppe {{math|term= H |SZ=}} sind die Personen {{mathl|term= \{ F,Jo,Je, V, Z\} |SZ=.}} Dies sind genau die Personen, die Sonntags im Schwimmbad morgens um {{math|term= 7 |SZ=}} Uhr am Tisch unter der Ulme sitzen. Es handelt sich dann um zwei verschiedene Beschreibungen für die gleiche Menge. Die wichtigste Beschreibung einer Menge ist die durch eine Eigenschaft. Es sei eine Grundmenge {{math|term= M |SZ=}} gegeben {{ Zusatz/Klammer |text=wie die Menge der natürlichen Zahlen, die Leute im Kurs| |ISZ=|ESZ= }} und ferner eine gewisse Eigenschaft {{math|term= E |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=Prädikat| |SZ=, }} die man auf alle Elemente der Grundmenge sinnvoll anwenden kann und die auf manche Elemente zutrifft, auf manche nicht {{ Zusatz/Klammer |text=wie gerade zu sein oder sich auf die Weihnachtsferien zu freuen| |ISZ=|ESZ=. }} Zu der Eigenschaft {{math|term= E |SZ=}} gehört innerhalb von {{math|term= M |SZ=}} die Teilmenge bestehend aus allen Elementen aus {{math|term= M |SZ=,}} die diese Eigenschaft, diese Bedingung, erfüllen. Man beschreibt eine durch eine Eigenschaft definierte Teilmenge meist als {{ Relationskette/display/druckalign | {{Mengebed| x \in M | E(x)}} || {{Mengebed| x \in M | x \text{ besitzt die Eigenschaft } E }} || {{Mengebed| x \in M | E \text{ trifft auf } x \text{ zu} }} || || |SZ=. }} Dies geht natürlich nur mit solchen Eigenschaften, für die die Aussage {{math|term= E(x) |SZ=}} eine wohldefinierte Bedeutung hat. Wenn man eine solche Teilmenge einführt, so gibt man ihr häufig sofort einen Namen {{ Zusatz/Klammer |text=in dem auf die Eigenschaft {{math|term= E |SZ=}} Bezug genommen werden kann, aber nicht muss| |SZ=. }} Z.B. kann man einführen {{ Relationskette/display | G || {{Mengebed| x \in \N | x \text{ ist gerade} }} || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | U || {{Mengebed| x \in \N | x \text{ ist ungerade} }} || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | Q || {{Mengebed| x \in \N | x \text{ ist eine Quadratzahl} }} || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | {\mathbb P} || {{Mengebed| x \in \N | x \text{ ist eine Primzahl} }} || || || |SZ=. }} Für die Mengen in der Mathematik sind meist eine Vielzahl an mathematischen Eigenschaften relevant und daher gibt es meist auch eine Vielzahl an relevanten Teilmengen. Aber auch bei alltäglichen Mengen, wie etwa die Menge {{math|term= K |SZ=}} der Studierenden in einem Kurs, gibt es viele wichtige Eigenschaften, die gewisse Teilmengen festlegen, wie etwa {{ Relationskette/display | O || {{Mengebed| x \in K | x \text{ kommt aus Osnabrück} }} || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | E || {{Mengebed| x \in K | x \text{ studiert im Nebenfach evangelische Theologie} }} || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | D || {{Mengebed| x \in K | x \text{ hat im Dezember Geburtstag} }} || || || |SZ=. }} Die Menge {{math|term= K |SZ=}} ist dabei selbst durch eine Eigenschaft festgelegt, es ist ja {{ Relationskette/display | K || {{Mengebed| x| x \text{ ist Studierender in diesem Kurs} }} || || || |SZ=. }} {{Zwischenüberschrift|Mengenoperationen}} So, wie man Aussagen zu neuen Aussagen verknüpfen kann, gibt es Operationen, mit denen aus Mengen neue Mengen entstehen{{ Zusatz/{{{zusatz1|}}} |text=Man beachte, dass sich die ähnlich geformten Symbole {{mathl|term= \cap|SZ=}} und {{math|term= {{logund|}} }} und {{mathl|term= \cup|SZ=}} und {{math|term= {{logoder|}} |SZ=}} entsprechen| |ISZ=.|ESZ=. }} {{ inputdefinition |Mengentheorie/Zwei Mengen/Durchschnitt/Definition|| }} {{ inputdefinition |Mengentheorie/Zwei Mengen/Vereinigung/Definition|| }} {{ inputdefinition |Mengentheorie/Zwei Mengen/Differenzmenge/Definition|| }} Diese Operationen ergeben nur dann einen Sinn, wenn die beteiligten Mengen als Teilmengen in einer gemeinsamen Grundmenge gegeben sind. Dies sichert, dass man über die gleichen Elemente spricht. Häufig wird diese Grundmenge nicht explizit angegeben, dann muss man sie aus dem Kontext erschließen. Ein Spezialfall der Differenzmenge bei einer gegebenen Grundmenge ist das {{Stichwort|Komplement|SZ=}} einer Teilmenge {{ Relationskette | T | \subseteq| G || || || |SZ=. }} {{ inputdefinition |Mengenlehre/Komplement/Definition||M=G }} Dafür schreibt man auch {{mathl|term= {{op:Mengenkomplement|T|}} |SZ=.}} Es gilt {{ Relationskette/display | G || G \cup (G \setminus T) || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | G \cap (G \setminus T) || \emptyset || || || |SZ=. }} Beispielsweise ist das Komplement der Menge der geraden Zahlen die Menge der ungeraden Zahlen. Die Eigenschaft, dass der Durchschnitt von zwei Mengen leer ist, bekommt einen eigenen Namen. {{ inputdefinition |Mengentheorie/Disjunkt/Definition|| }} Wenn Teilmengen durch geeignete Prädikate definiert sind, so stehen die Mengenoperationen unmittelbar in Zusammenhang mit den logischen Operationen für die Prädikate. Wenn {{ Zusatz/Klammer |text=in einer gewissen Grundmenge| |ISZ=|ESZ= }} {{ Relationskette/display | M || {{Mengebed| x| \alpha (x) \text{ gilt} }} || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | L || {{Mengebed| x| \beta (x) \text{ gilt} }} || || || |SZ= }} vorliegt, so ist {{ Relationskette/display | M \cap L || {{Mengebed| x| \alpha(x) \text{ und } \beta (x) \text{ gilt} }} || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | M \cup L || {{Mengebed| x| \alpha(x) \text{ oder }\beta (x) \text{ gilt} }} || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | M \setminus L || {{Mengebed| x| \alpha(x) \text{ gilt aber }\beta (x) \text{ gilt nicht} }} || || || |SZ=. }} {{Zwischenüberschrift|Mengendiagramme}} Eine Möglichkeit, Mengen oder vielmehr die zwischen verschiedenen Mengen möglichen oder existierenden Verhältnisse zueinander abzubilden, liefern {{Stichwort|Mengendiagramme|msw=Mengendiagramm|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder {{Stichwort|Venn-Diagramme|msw=Venn-Diagramm|SZ=}} | |SZ=. }} In ihnen werden Mengen durch gewisse Flächenstücke in der Ebene repräsentiert. Die Flächenstücke sollten eine möglichst einfache Form besitzen. Sie sind zumeist {{Stichwort/anf|zusammenhängend|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=d.h. je zwei Punkte des Stückes sind durch einen {{Stichwort/anf|stetigen Weg|SZ=}} miteinander verbindbar| |SZ=. }} Die Flächenstücke können sich überlappen, und der Überlappungsbereich repräsentiert die Schnittmenge. Idealerweise sind die auftretenden Überlappungsbereiche selbst wieder zusammenhängend. Die verschiedenen Flächenstücke werden häufig in unterschiedlichen Farben oder Schraffuren gezeichnet, wobei dann die Überlappungsbereiche durch die zugehörigen Farbmischungen bzw. Mischschraffuren wiedergegeben werden. Einige Beispiele für abstrakte Mengendiagramme {{ inputbild |Absolute complement|svg| 250px {{!}} {{!}} |Zusname=Absolute_complement |Autor= |Benutzer=BMF81 |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputbild |Set intersection|png| 250px {{!}} {{!}} |Zusname=Set_intersection |Autor= |Benutzer=Marcelo Reis |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputbild |Diagrama1|gif| 250px {{!}} {{!}} |Autor= |Benutzer=Dante |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbild |4sets|png| 250px {{!}} {{!}} |Autor= |Benutzer=Stumps |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputbild |Venn Diagram ABCD|svg| 250px {{!}} {{!}} |Zusname=Venn_Diagram_ABCD |Autor= |Benutzer=Johannes Rössel |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbild |Edwards-Venn-five|svg| 250px {{!}} {{!}} |Autor= |Benutzer=HB |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputbild |Edwards-Venn-six|svg| 250px {{!}} {{!}} |Autor= |Benutzer=Interiot |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputbild |Venn6|svg| 250px {{!}} {{!}} |Autor= |Benutzer=Kopophex |Domäne=en Wikipedia |Lizenz=PD |Bemerkung= }} Diese Diagramme sind vollständig in dem Sinne, dass sie alle möglichen Schnitteigenschaften der beteiligten Mengen repräsentieren. In den folgenden Diagrammen wird nicht jede mögliche Schnitteigenschaft repräsentiert. {{ inputbild |Disyunción de clases2|JPG| 250px {{!}} {{!}} |Zusname=Disyuncion_de_clases2 |Autor= |Benutzer=Monimino |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputbild |Subset|svg| 250px {{!}} {{!}} |Autor= |Benutzer=Petr K |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbild |Venn diagram of three sets|svg| 250px {{!}} {{!}} |Zusname=Venn_diagram_of_three_sets |Autor= |Benutzer=Oleg Alexandrov |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbild |CirclesN4xa|GIF| 250px {{!}} {{!}} |Autor= |Benutzer=Thisisbossi |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbild |CirclesN4a|GIF| 250px {{!}} {{!}} |Autor= |Benutzer=Thisisbossi |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbild |Standardsemantik klein|png| 250px {{!}} {{!}} |Zusname=Standardsemantik_klein |Autor= |Benutzer=Dhanyavaada |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Einige Beispiele für konkrete Mengen-Diagramme In diesem Fall repräsentieren die beteiligten Mengen einen bestimmten Begriff, das Schnittverhalten hängt dann von inhaltlichen Überlegungen ab. Solche Diagramme spielen in der Mathematik keine große Rolle. Wenn man allerdings z. B. verschiedene algebraische Begriffe wie Gruppe, Ring, kommutativer Ring, Divisionsbereich, Körper in ihrer Hierarchie veranschaulichen möchte, so ist ein solches Diagramm durchaus sinnvoll. {{ inputbild |Amino Acids Venn Diagram (de)|svg| 250px {{!}} {{!}} |Zusname=Amino_Acids_Venn_Diagram_(de) |Autor= |Benutzer=Hoffmeier |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputbild |British Isles Venn Diagram en|svg| 250px {{!}} {{!}} |Zusname=British_Isles_Venn_Diagram_en |Autor= |Benutzer=Sony-youth |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbild |Geistiges Eigentum und Wettbewerbsrecht|png| 250px {{!}} {{!}} |Zusname=Geistiges_Eigentum_und_Wettbewerbsrecht |Autor= |Benutzer=3247 |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Mengentheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= |Fußnoten=x }} 15k74rr1kwtewbmby91v5qqi71o8d2g 0 83289 1119023 1117448 2026-11-07T10:01:11Z Bocardodarapti 2041 1119023 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{bildskip}} {{ inputbild |Commutative Addition|svg| 230px {{!}} right {{!}} | |Zusname=Commutative_Addition| |Text=Das Vereinigungsprinzip und die Kommutativität der Addition |Autor= |Benutzer=Weston.pace~commonswiki |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 2.5 |Bemerkung= }} Die Standardinterpretation der und die wichtigste Motivation für die Addition zweier natürlicher Zahlen ist, dass sie die Anzahl der Vereinigung von zwei disjunkten endlichen Mengen angibt. Wenn man zwei Körbe von Äpfeln hat und diese zusammenschüttet, so ist die Gesamtanzahl gerade die Summe der beiden Einzelanzahlen. Es ist möglich, die Addition von natürlichen Zahlen darüber zu definieren. Vorteile sind die unmittelbare Anschauung, Nachteile, dass man eine Zahl durch eine endliche Menge repräsentieren muss, und nicht klar ist, welche man nehmen soll und es nicht selbstverständlich ist, dass unterschiedliche gleichgroße disjunkte Mengen nach Vereinigung gleichgroß sind {{ Zusatz/Klammer |text=was heißt das| |ISZ=?|ESZ=. }} Der Vorteil bei unserer Definition ist, dass man die Addition auf einen elementareren Prozess, nämlich den Prozess des Zählens bzw. Nachfolgernehmens zurückführt. Dies erlaubt es, Gesetzmäßigkeiten zu beweisen, indem sie per Induktion auf elementare Schritte zurückgeführt werden. Beide Konzepte sind wichtig, und natürlich will man, unabhängig davon, wie man die Addition nun eingeführt hat, schnell wissen, dass die beiden Konzepte übereinstimmen. Dazu ist es hilfreich, im Vereinigungskonzept auch Einzelschritte zu erkennen. Dies ist wieder das Umlegungsprinzip: Die Vereinigung kann man sich so vorstellen, dass schrittweise ein Element {{ Zusatz/Klammer |text=ein Apfel| |ISZ=|ESZ= }} der zweiten Menge in die erste Menge umgelegt wird, siehe auch {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Disjunkte Mengen/Umlegung/Bijektion/Aufgabe |Nr= |SZ= }} und {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Endliche Menge/Eins dazu/Anzahl/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} Bei einem solchen Einzelschritt erhöht sich die erste Anzahl um eins {{ Zusatz/Klammer |text=Nachfolger| |ISZ=|ESZ= }} und die zweite Anzahl verringert sich um eins {{ Zusatz/Klammer |text=Vorgänger| |ISZ=|ESZ=. }} Das deckt sich mit {{ Faktlink |Faktseitenname= Natürliche Zahlen/Addition mit n/Nachfolgerzählen/Hilfseigenschaften/Fakt |Nr=2 |SZ=. }} {{ inputfaktbeweis |Natürliche Zahlen/Nachfolger/Addition und disjunkte Vereinigung/Fakt|Satz|| || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Addition der natürlichen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} q3l7e4upu9v44u8sjjib30ez70o4vte 0 83304 1119022 1086772 2026-11-07T09:57:15Z Bocardodarapti 2041 1119022 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= {{ Aufzählung5 |Die Gleichungen links und rechts sind unmittelbar klar, da der {{math|term= n |SZ=-}}te Nachfolger der {{math|term= 0 |SZ=}} gleich {{math|term= n |SZ=}} ist. |Die Ausdrücke besagen prozesstheoretisch das gleiche: Links geht man von der Zahl {{math|term= n |SZ=}} aus und nimmt einmal öfters als {{math|term= k |SZ=-}}mal den Nachfolger. In der Mitte bestimmt man {{math|term= k |SZ=-}}fach den Nachfolger von {{math|term= n |SZ=}} und nimmt von diesem Ergebnis den Nachfolger. Rechts nimmt man von {{math|term= n |SZ=}} den Nachfolger und davon dann {{math|term= k |SZ=-}}fach den Nachfolger. |Es ist {{ Relationskette/display |n+k || k+n || || || |SZ= }} für alle {{math|term= k,n |SZ=}} zu zeigen. Diese Gleichungen zeigen wir durch Induktion über {{math|term= k |SZ=}} für alle {{math|term= n |SZ=.}} Bei {{ Relationskette | k || 0 || || || |SZ= }} steht beidseitig {{math|term= n |SZ=}} nach Teil (1). Es sei die Gleichheit nun für ein {{math|term= k |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=und alle {{math|term= n |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} schon bewiesen. Dann ist unter Verwendung der Induktionsvoraussetzung und Teil (2) {{ Relationskette/display | n+k^\prime || (n+k)^\prime || (k+n)^\prime || k^\prime + n || |SZ=, }} die Gleichung gilt also auch für {{math|term= k^\prime |SZ=.}} |Wir beweisen die Assoziativität, also die Gleichheit {{ Relationskette/display | (m+n) + k || m+ (n+k) || || || |SZ=, }} durch Induktion über {{math|term= k |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=für alle {{mathl|term= m,n |SZ=}} gleichzeitig| |ISZ=|ESZ=. }} Für {{ Relationskette | k || 0 || || || |SZ= }} ist die Aussage nach Teil (1) klar. Mit der Regel aus (2) und der Induktionsvoraussetzung ergibt sich direkt {{ Relationskette/display | (m+n)+k^\prime || (m+n)^\prime +k || {{makl| m+n^\prime |}} + k || m + {{makl| n^\prime +k |}} || m+ {{makl| n+k^\prime |}} |SZ=. }} |Die Abziehregel beweisen wir ebenfalls durch Induktion über {{math|term= k |SZ=.}} Der Fall {{ Relationskette/display | k || 0 || || || |SZ= }} ist klar. Es sei also die Aussage für ein {{math|term= k |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=und beliebige {{math|term= m,n |SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} schon bewiesen und sei eine Gleichung der Form {{ Relationskette/display | m+k^\prime || n + k^\prime || || || |SZ= }} gegeben. Dann ist nach der Umlegungsregel auch {{ Relationskette/display | m^\prime +k || n^\prime +k || || || |SZ=. }} Nach der Induktionsvoraussetzung ist somit {{ Relationskette/display | m^\prime || n^\prime || || || |SZ=. }} Da die Nachfolgerabbildung {{ Definitionslink |injektiv| |Kontext=| |SZ= }} ist, ergibt sich {{ Relationskette/display | m || n || || || |SZ=. }} }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} q35ahn518mnrpkpotn37dsadur5j62x 1119024 1119022 2026-11-07T10:19:10Z Bocardodarapti 2041 1119024 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= {{ Aufzählung5 |Die Gleichungen links und rechts sind unmittelbar klar, da der {{math|term= n |SZ=-}}te Nachfolger der {{math|term= 0 |SZ=}} gleich {{math|term= n |SZ=}} ist. |Die Ausdrücke besagen prozesstheoretisch das Gleiche: Links geht man von der Zahl {{math|term= n |SZ=}} aus und nimmt einmal öfters als {{math|term= k |SZ=-}}mal den Nachfolger. In der Mitte bestimmt man {{math|term= k |SZ=-}}fach den Nachfolger von {{math|term= n |SZ=}} und nimmt von diesem Ergebnis den Nachfolger. Rechts nimmt man von {{math|term= n |SZ=}} den Nachfolger und davon dann {{math|term= k |SZ=-}}fach den Nachfolger. |Es ist {{ Relationskette/display |n+k || k+n || || || |SZ= }} für alle {{math|term= k,n |SZ=}} zu zeigen. Diese Gleichungen zeigen wir durch Induktion über {{math|term= k |SZ=}} für alle {{math|term= n |SZ=.}} Bei {{ Relationskette | k || 0 || || || |SZ= }} steht beidseitig {{math|term= n |SZ=}} nach Teil (1). Es sei die Gleichheit nun für ein {{math|term= k |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=und alle {{math|term= n |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} schon bewiesen. Dann ist unter Verwendung der Induktionsvoraussetzung und Teil (2) {{ Relationskette/display | n+k^\prime || (n+k)^\prime || (k+n)^\prime || k^\prime + n || |SZ=, }} die Gleichung gilt also auch für {{math|term= k^\prime |SZ=.}} |Wir beweisen die Assoziativität, also die Gleichheit {{ Relationskette/display | (m+n) + k || m+ (n+k) || || || |SZ=, }} durch Induktion über {{math|term= k |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=für alle {{mathl|term= m,n |SZ=}} gleichzeitig| |ISZ=|ESZ=. }} Für {{ Relationskette | k || 0 || || || |SZ= }} ist die Aussage nach Teil (1) klar. Mit der Regel aus (2) und der Induktionsvoraussetzung ergibt sich direkt {{ Relationskette/display | (m+n)+k^\prime || (m+n)^\prime +k || {{makl| m+n^\prime |}} + k || m + {{makl| n^\prime +k |}} || m+ {{makl| n+k^\prime |}} |SZ=. }} |Die Abziehregel beweisen wir ebenfalls durch Induktion über {{math|term= k |SZ=.}} Der Fall {{ Relationskette/display | k || 0 || || || |SZ= }} ist klar. 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Dann ist nach der Umlegungsregel auch {{ Relationskette/display | m^\prime +k || n^\prime +k || || || |SZ=. }} Nach der Induktionsvoraussetzung ist somit {{ Relationskette/display | m^\prime || n^\prime || || || |SZ=. }} Da die Nachfolgerabbildung {{ Definitionslink |injektiv| |Kontext=| |SZ= }} ist, ergibt sich {{ Relationskette/display | m || n || || || |SZ=. }} }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3zddtyu0vyymu5qikwppgkf3jej8iic 0 84828 1119019 1106397 2026-11-07T09:51:07Z Bocardodarapti 2041 1119019 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Produktmenge/Zwei Mengen/Definition|| }} Die Elemente der Produktmenge nennt man {{Stichwort|Paare|msw=Paar|SZ=}} und schreibt sie als {{mathl|term= (x,y) |SZ=.}} Dabei kommt es wesentlich auf die Reihenfolge an. Die Produktmenge besteht also aus allen Paarkombinationen, wo in der ersten {{Stichwort|Komponente|SZ=}} ein Element der ersten Menge und in der zweiten Komponente ein Element der zweiten Menge steht. Zwei Paare sind genau dann gleich, wenn sie in beiden Komponenten gleich sind. Bei einer Produktmenge können natürlich auch beide Mengen gleich sein. Dann ist es verlockend, die Reihenfolge zu verwechseln, und also besonders wichtig, darauf zu achten, dies nicht zu tun. Wenn eine der beiden Mengen leer ist, so ist auch die Produktmenge leer. {{ inputbeispiel |Produktmenge/Vornamen und Nachnamen/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Produktmenge/Schachbrett/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Produktmenge/Reelle Intervalle und Rechtecke/Beispiel|| }} Man kann auch mehrfache Produktmengen bilden, wie etwa {{ Relationskette | \R^3 || \R \times \R \times \R || || || |SZ=. }} Für eine Abbildung {{ Abbildung/display |name= f | \R | \R || |SZ= }} ist der Graph diejenige Teilmenge von {{ Relationskette | \R \times \R | \cong | \R^ 2 || || || |SZ=, }} die durch alle Paare der Form {{mathl|term= (x,f(x)) |SZ=}} gegeben ist. Diese Definition überträgt sich auf beliebige Abbildungen. Es existiert also stets ein Graph unabhängig von seiner zeichnerischen Realisierbarkeit. Diese hängt davon ab, ob man die Produktmenge aus Definitionsmenge und Wertemenge gut visualisieren kann. {{ inputdefinition |Abbildung/Graph (Menge)/Definition|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Produktmenge |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} k3kuto8j1uwkug2zhf9eco3g4c5idtm 2 128975 1119005 1081437 2026-11-06T17:52:13Z Falko Wilms 8588 /* Relationale Benotung */ 1119005 wikitext text/x-wiki <div id="toc" style="width:35%;float:right;"> <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''Adressaten'''</div> Diese Seite richtet sich vornehmlich an die vollzeitlich oder nebenberuflich Studierenden in den Kursen von Falko Wilms an der FH Vorarlberg </div> ==<big>Worum es geht</big>== Der 5 Minuten Kurzvortrag zu einem bestimmten Text oder einer Thematik wird immer beliebter. Ob als Stellungnahme in einer Diskussion, als Impulsvortrag beim Dinner Speaking oder als Einführung in ein Themenmeeting. Es geht keinesfalls darum, jemanden überzeugen. Es geht darum, Gedanken kurz und dennoch nachvollziehbar darzulegen. Es gilt so zu formulieren, dass man von allen anwesenden Personen gut verstanden wird, ohne Irritationen oder Missverständnisse auszulösen. <br> ==<big>Wirkungsvolle Grundstruktur</big>== In der anglo-amerikanischen Welt ausgebildete Akademiker haben in ihrem Studium die Anwendung einer standardisierten Denkstruktur in Wort und Schrift eingeübt. Das Verwenden dieser Grundstruktur gilt anglo-amerikanisch ausgebildeten Akademikern als das erkennbare Merkmal des akademischen Denkens/Präsentierens. In einem 5 Minuten-Kurzvortrag ist daher zwar der Inhalt des vorzutragenden Sachzusammenhangs wichtig, aber '''die Grundstruktur des Vortragens ist entscheidend''' und sollte sich am anglo-amerikanischen Standard orientieren.<br><br> Damit die anwesenden Personen nicht vor Langeweile ihre Aufmerksamkeit auf etwas anderes lenken ist folgende Struktur anzuraten: * In der Einleitung wird statt einer langweiligen Standard-Begrüßung am Beginn der Kernsatz des Gedankengangs als These formuliert. (Zusammen mit der im 2. Satz folgenden Begrüßung dauert dies ca. 1 min.) * Im Mittelteil wird der vorgetragene Gedankengang in 3 Punkten gegliedert. Für jeden dieser Punkte bleibt ca. 1 min. Zeit. Hier kann nur das wirklich Wesentliche genannt werden! * Am Ende wird statt einem langweiligen Standard-Abschluss ein aus dem Inhalt abgeleiteter Handlungstipp formuliert. Er weist in die Zukunft (wird also in der Zeitform Futur formuliert) und zeigt einen zukünftigen Nutzen des Gesagten auf. (Dafür bleibt ca. 1 min Zeit.)<br> ==<span style="color:red;"> <big>Das Nugget-Chart</big>== Ein Nugget-Chart ist ein Tool, mit dem man den persönlichen Einsatz eines am anglo-amerikanischen Standard orientierten Kurzvortrags einüben kann. Es beinhaltet den wirklich wesentlichen Inhalt eines Textes, einer Folienfolge oder eines Themengebietes.<br> Statt einer traditionellen Überschrift wird ein Header bzw. ein Eye Catcher benutzt, der kurz und prägnant auf das Wesentlichste des Inhaltes hinweist. Damit wird am Beginn der Kerngedanke dargelegt.<br> Im oberen Teil des Charts wird das Allerwesentlichste, das Zweitwesentlichste und das Drittwesentlichste mit jeweils einem einzigen Satz ausformuliert. (Diese Sätze könnten im Vortrag oder in einem kleineren Text jeweils mit einem eigenen Absatz etwas detaillierter ausgeführt werden.)<br> Im unteren Teil des Charts werden aus den drei Aussagesätzen zwei konkrete Handlungstipps abgeleitet und auf den Nutzen hingewiesen, das dadurch zu erwarten ist. Da die Folgen erst noch eintreten werden, sind sie in der Zeitform Zukunft formuliert. Beispielsweise: Achten Sie bewusst auf das Einhalten der Teamregeln, so werden Sie in Ihrem Team eine gute Zusammenarbeit bewirken. Im oberen Teil des Charts werden also drei wesentliche Aussagen über einen Sachzusammenhang erstellt, dessen Fachinhalt woanders mit vielen weiteren Details zur Verfügung steht. Im unteren Teil jedoch geht es darum, aus diesen Aussagen konkrete Tipps für das eigene Tun abzuleiten. Dabei sind unbedingt auf zu erwartende positive Folgen des eigenen Tuns hinzuweisen. Abschließend wird der Inhalt der beiden Tipps zu einem gemeinsamen Kern verdichtet und dieser Kern in der Form eines Headers bzw. Eye-Catchers ausformuliert. Diese Formulierung wird dann im Kopf des Charts statt einer Überschrift benutzt. Die im Chart zuerst genannte Formulierung wird also bei der Charterstellung erst zuletzt erarbeitet!<br> ==<big>'''Erstellung''' eines Nugget-Charts</big>== Ein solches Nugget-Chart wird mit folgenden Arbeitsschritten erstellt:<br> Phase 1: (Kernaussagen entwickeln) * Die Grundstruktur bzw. den "roten Faden" des durchzuarbeitenden Inhaltes erkunden * Die 3 wesentlichen Kernaussagen des Inhaltes herausfiltern * Kernaussagen nach Bedeutung für das Verständnis priorisieren, die bedeutsamste Aussage erhält Platz 1 * Kernaussagen in jeweils einem Aussagesatz formulieren und auf dem Chart notieren Phase 2: (Handlungstipps ableiten) * Einen Kontext/Bezugsrahmen formulieren, in dem die Kernaussagen interpretiert und zu Handlungstipps verarbeitet werden sollen * mit Bezug zum Kontext aus den Kernaussagen zwei konkrete Handlungstipps ableiten und dabei jeweils eine erwartete Folgewirkung aufzeigen * Jeden Tipp mit der zu erwartenten Folge in einem Aussagesatz auf dem Chart notieren * Aus den Tipps einen einzeiligen Eyecatcher/Header erstellen und im Kopf des Charts notieren ==<big>'''Verschriftlichung''' eines Nugget-Charts</big>== <div id="toc" style="width:35%;float:right;"> <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center"><span style="color:blue;">'''<big>Hilfreiches</big>'''</span></div> * [https://ilias.fhv.at/goto_ilias_fhv_at_lm_308911.html '''wiss. schreiben an der FHV'''] * [https://de.wikiversity.org/wiki/Falko_Wilms/Sinn_der_Nugget-Charts <span style="color:blue;">Sinn des Nugget-Charts</span>] * [https://falko-wilms.de/HL/Template.docx <span style="color:red;">'''WORD-Vorlage für den Text'''] * [https://falko-wilms.de/HL/notizBlatt.pdf <span style="color:red;">'''Vorlage für Texte ohne Abstract'''] * [https://falko-wilms.de/HL/ohne.pdf <span style="color:red;">'''Text ohne Abstract'''] * [https://falko-wilms.de/HL/strukturBlatt.pdf <span style="color:grey;">Vorlage für Texte mit Abstract] * [https://falko-wilms.de/HL/mit.pdf <span style="color:grey;">Text mit Abstract] <div style="background-color:#CBf9CF;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<span style="color:green;">verständlich formulieren'''</div> * [http://www.leichtlesbar.ch/html/ <span style="color:green;">Ermittlung des Flesch-Index] * [http://www.psychometrica.de/lix.html <span style="color:green;">Ermittlung des Lix-Index] * [https://falko-wilms.de/HL/Papier2.pdf <span style="color:green;">'''Text ohne Abstract mit Flesch/Lix-Index'''] </div> Ist das Nugget-Chart wie oben beschrieben erstellt, kann es mit folgenden Arbeitsschritten verschriftlicht werden: <br> Phase 3: <br> :<span style="color:grey;">('''vorangestellter Abstract''') * <span style="color:grey;">Ein Aussagesatz ohne Komma über das Hauptthema des Textes formulieren * <span style="color:grey;">Ein Satz über den Kontext/Gesamtzusammenhang notieren, in dem dieses Thema behandelt wird * <span style="color:grey;">Ein Satz mit der wesentlichen Kernaussage des Textes schreiben * <span style="color:grey;">Ein Satz mit dem Kern der abgeleiteten Handlungstipps abfassen<br><br> erster Absatz * die 1. Kernaussage des Charts als ersten Satz des 1. Absatzes benutzen * den roten Faden diese Aussage mit drei, vier Sätzen weiter ausführen <br><br> zweiter Absatz * die 2. Kernaussage des Charts als ersten Satz des 2. voranstellen * den roten Faden diese Aussage mit drei, vier Sätzen weiter ausführen <br><br> dritter Absatz * die 3. Kernaussage des Charts als ersten Satz als Beginn des 3. verwenden * den roten Faden diese Aussage mit drei, vier Sätzen weiter ausführen <br><br> vierter Absatz * den 1. Handlungstipp des Charts als ersten Satz des 4.Absatzes formulieren :- mit dem Verb (Tuwort) den Satz beginnen (angeben, was zu tun angeraten wird), dieser Satzteil wird in ''Gegenwart'' formuliert :- eine dadurch bewirkte zukünftige Folge angeben, dieser Satzteil wird in ''Zukunft'' notiert :=> beispielhafte Formulierung: ''Benutze'' eine verständliche Sprach, so ''wirst'' Du gut ''verstanden werden'' : den Kerngehalt dieses Tipps mit drei, vier Sätzen weiter entfalten<br><br> fünfter Absatz * den 2. Handlungstipp des Charts als ersten Satz des 5. Absatzes niederschreiben :- mit dem Verb (Tuwort) den Satz beginnen (angeben, was zu tun angeraten wird), dieser Satzteil wird in ''Gegenwart'' formuliert :- eine dadurch bewirkte zukünftige Folge angeben, dieser Satzteil wird in ''Zukunft'' notiert :=> beispielhafte Formulierung: '''Benutze''' eine verständliche Sprach, so ''wirst'' Du gut ''verstanden werden'' : den Kerngehalt dieses Tipps mit drei, vier Sätzen weiter entfalten<br><br> den Header entwickeln * den 'gemeinsamen Nenner' bzw. die 'Klammer' der beiden Tipps herausarbeiten * dafür eine (zu) kurze Formulierung erarbeiten * dem Text voranstellen ==Übung zur Verbesserung eines Nugget-Charts== * Sie bilden 3er-Gruppen * jeder verschriftlicht ein Nugget-Chart * jeder gibt sein Papier an ein anderes Gruppenmitglied weiter * jeder füllt liest sich das erhaltene Paper durch und kommentiert es mit [https://falko-wilms.de/HL/FB_Bogen.pdf ''diesem Feedback-Bogen''] * jedes Gruppenmitglied bekommt sein gelesenes Papert zurück und dazu der ausgefüllte Feedback-Bogen * jedes Gruppenmitglied überarbetet sein Papier bis zur Fertigstellung. <br> ==<span style="color:blue;">Relationale Benotung</span>== Gemäß dem Vertrag von Bologna erfolgt eine relationale Benotung, in der jede Verschriftlichung eines Nugget-Charts im Direktvergleich mit allen anderen abgegebenen Arbeiten begutachtet wird. Es sind somit nur Vergleiche in einem Jahrgang und niemals zwischen verschiedenen Jahrgängen möglich. Die Arbeit mit der höchsten erreichten Rohpunktezahl wird mit "sehr gut" und 100 Punkten benotet. Die Arbeit mit der geringsten erreichten Rohpunktezahl, die aber noch die unten angegebenen Mindestanforderungen (Nutzung von Fachbüchern, wissenschaftlicher Paper und Fachartikel statt unseriöser Internetquellen oder Enzyklopädien) erfüllt, wird mit "ausreichend" und 50 Punkten benotet. ''Diese relationale Benotung erfolgt bei abgegebenen Arbeiten, die folgende Mindestanforderungen erkennbar erfüllen:''<br> <br> '''Inhaltliche Kriterien''' * <span style="color:blue;">In den Absätzen 1 - 3 werden die 3 Kernaussagen des Charts beschrieben * <span style="color:blue;">In den Absätzen 4 und 5 wird jeweils ein Handlungstipp formuliert '''Formales Kriterium''' * <span style="color:blue;">Ist das verschriftlichte Chart in der Arbeit dokumentiert? Je mehr Fragen zum erstellten Text mit JA beantwortet werden, desto besser ist die erreichte Note. <br> Alle Arbeiten, die diese Mindestanforderungen '''nicht''' erfüllen, werden zwingend mit 'nicht genügend' bzw. mit der Note ''5'' beurteilt und nehmen an dieser relationalen Benotung nicht teil.</span> Damit wird im Einklang mit den österreichischen Hochschulgesetzen (und der FHV-Prüfungsordnung) das fünfstufige Notensystem benutzt. Dabei sind die Noten 1 - 4 für Arbeiten vorgesehen, die mindestens die <span style="color:blue;"> in blauer Farbe </span> angegebenen Mindestanforderungen erfüllen. ==<span style="color:red;">'''Benotungskriterien'''== '''<span style="color:red;">Inhaltliche Kriterien''' * <span style="color:red;">Beschreibt der Header, um was es im Kern geht? * <span style="color:red;">Beschreibt der 1. Absatz die allerwichtigste Erkenntnis der Thematik, beginnend mit der 1. Kernaussage des Charts? * <span style="color:red;">Beschreibt der 2. Absatz die zweitwichtigste Erkenntnis des Themas, beginnend mit der 2. Kernaussage des Charts? * <span style="color:red;">Beschreibt der 3. Absatz die drittwichtigste Erkenntnis des Sachzusammenhangs, beginnend mit der 3. Kernaussage des Charts? * <span style="color:red;">Ist der 4. Absatz ein aus 1 - 3 abgeleiteter Handlungstipp, der mit einem Verb (Gegenwart) beginnt und eine erwartete (Zukunft) positive Folge aufzeigt? * <span style="color:red;">Ist der 5. Absatz ein aus 1 - 3 abgeleiteter Handlungstipp, der mit einem Verb (Gegenwart) beginnt und eine erwartete (Zukunft) positive Folge aufzeigt? '''<span style="color:red;">Formale Kriterien''' * <span style="color:red;">Hat der Text genau 5 Absätze? * <span style="color:red;">Haben die Absätze die gleiche Anzahl an Zeilen? * <span style="color:red;">Haben mindestens die Absätze 1 - 3 eine Quellenangabe? * <span style="color:red;">Wurden verschiedene Fachquellen benutzt? * <span style="color:red;">Wurden mehr Fachquellen als im Durchschnitt aller Arbeiten benutzt? * <span style="color:red;">Ist eine vollständige Literaturliste vorhanden? * <span style="color:red;">Ist das verschriftlichte Chart in der Arbeit dokumentiert? <span style="color:red;">Je mehr Fragen zum erstellten Text mit JA beantwortet werden, desto besser ist die erreichte Note. <span style="color:red;">Es können nur Arbeiten benotet werden, auf deren Ausdruck der Name der Autorin bzw. des Autors dokuentiert ist. Ansonsten gilt die Arbeit als anonyme Abgabe und wird zwingend mit ungenügend benotet. Internetquellen, Lehrfolien und Semesterunterlagen werden nicht als Quelle anerkannt.</span> <span style="color:red;">'''BITTE UM BEACHTUNG''' <span style="color:red;">Abgegebene Arbeiten bekommen in folgenden Fällen zwingend 10 Punkte Abzug von 100 möglichen Punkten: * <span style="color:red;">''Sie sind ohne das geforderte Template erstellt worden''. * <span style="color:red;">''Sie enthalten '''nicht''' die im Nugget-Chart formulierten 3 Kernaussagen''. * <span style="color:red;">''Sie enthalten nicht nummerierte Fußnoten.'' * <span style="color:red;">''Sie geben '''nicht''' die Anzahl an Zeichen inkl. Leerzeichen an''. * <span style="color:red;">''Sie enthalten '''weniger als 2.700 Zeichen''' (mit Leerzeichen)''. * <span style="color:red;">''Sie werden zu spät abgegeben''. => <span style="color:red;"><small>'''Prüfungsleistungen, auf deren Ausdruck kein Name zu sehen ist, werden gesetzlich zwingend mit 5 bewertet!''' </small> <span style="color:red;">'''(FACH)QUELLEN:'''________________________________ <span style="color:red;"> Wissenschaftliches Arbeiten umfasst immer auch den geübte, nachvollziehbare, inhaltlich passende und korrekte Benutzung von Quellen will, muss daher mit glaubhaften Quellen richtig umgehen können. Zu den anerkannten Quellen für einen wiss. Text zählen vor allem Fachbücher, Artikel in Fachzeitschriften, Aufsatzsammlungen und Konferenzbänden sowie Studien und Forschungsberichte. <span style="color:red;">Ausdrücklich gelten als '''''nicht''''' geeignete Quellen: * <span style="color:red;"> Wiki-Beiträge * <span style="color:red;"> Texte/Textpassagen aus social-media-Kanälen * <span style="color:red;"> youtube-Beiträge * <span style="color:red;"> Lehrunterlagen * <span style="color:red;"> blogposts * <span style="color:red;"> Passagen aus homepages <span style="color:red;">'''FORMATIERUNG BENUTZTER QUELLEN:'''________________________________ * <span style="color:red;"> Quellen werden durch Fußnoten und '''''nicht''''' durch Endnoten angegeben * <span style="color:red;"> Füßnoten werden im Text mit arabischen Ziffern durchnummeriert * <span style="color:red;"> Quellenangaben stehen am Seitenende und erfolgen standardisiert in einem Stil, wobei '''immer auch die Seitenzahlen''' anzugeben sind<br> <span style="color:red;"> ''Durch die Verwendung eines Standardtemplates und der hier angegebenen Angabe von benutzten Quellen wird eine größtmögliche Vergleichbarkeit der abgegebenen Prüfungsleistung erreicht.'' [[Kategorie:Benutzer:Falko Wilms|!]] m6vdtvy1zo9c6fl8x37q4ah2zy5h6wi 106 158234 1119027 1118197 2026-11-07T10:43:55Z Bocardodarapti 2041 1119027 wikitext text/x-wiki {{ Klausur20 |Elementare Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/31/Aufgabe|p||| |Elementare Mathematik 1/Gemischte Satzabfrage/31/Aufgabe|p||| |Flußüberquerung/Wolf Schaf Kohl/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Fallunterscheidungsregel/Tautologie/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Pause/Essen/Mengen/Aufgabe|p||| |Abbildung/Hintereinanderschaltung/Assoziativ/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Dedekind-Peano-Axiome/Nachfolger/Iterationen/Fixpunktfrei/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Vereinigung/Abziehregel/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Bernoullische Ungleichung/Exponent ist 2,3,4/Alle x/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Elementare Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} shh8qmz0nxgxkun5rv9z0lihswfgt6n 106 158237 1119026 1118113 2026-11-07T10:41:51Z Bocardodarapti 2041 1119026 wikitext text/x-wiki {{ Klausur20 |Elementare Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/34/Aufgabe|p||| |Elementare Mathematik 1/Gemischte Satzabfrage/34/Aufgabe|p||| |Knopfloch und Eisenbeis/Seeumrundung/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Verknüpfung/Assoziativ/Diagramm/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Natürliche Zahlen/3456/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Teilbarkeitstheorie (Z)/Beziehungen zwischen ggT und kgV/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Eisenbeis/Bauer/Most/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Elementare Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} j8ez4o9xkhj0bmg4dgi8h8w691io0ja 106 162408 1118985 1114054 2026-11-06T13:09:04Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1118985 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Beweis gliedert sich in die folgenden Beweischritte: * die gegebene stetige Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> wird in die Real- und Imaginärteilfunktion mit <math>f=f_1 + i\cdot f_2</math> zerlegt * Anwendung des Mittelwertsatzes aus der reellen Analysis auf die Realteilfunktion <math>f_1</math> und die Imaginärteilfunktion mit <math>f_2</math>. * Anwendung der Mittelwertsatz auf einen Grenzwert auf eine Konvexkombination <math>\gamma_z</math> von <math>z_0</math> nach <math>z</math> ::<math> \lim_{z\to z_o} \frac{1}{z-z_o} \cdot \int_{\gamma_z} f(\zeta) \, d\zeta = f(z_o) </math> === Repräsentation des Wegintegral === Der Mittelwertsatz für holomorphe Funktionen zeigt, dass man den Wert des Wegintegrals über eine holomorphe Funktion durch eine Auswertung der Funktion <math>f</math> an einem Punkt <math> \gamma(t_o)</math> auf der Spur von <math>\gamma</math> und dem Wegintegral über die konstante Funktion 1 ausdrücken kann. <span id="Mittelwertsatz"></span> == Mittelwertsatz für Wegintegrale == Sei <math> f: G \to \mathbb{C} </math> eine holomorphe Funktion auf einem Gebiet <math> G \subseteq \mathbb{C} </math>, <math>f=f_1+i\cdot f_2</math> die Zerlegung in Realteil- und Imaginärteilfunktion, und sei <math>\gamma: [a, b] \to G</math> ein stückweise glatter Weg. Dann gibt es ein <math> t_1,t_2 \in [a, b] </math>, so dass :<math> \int_{\gamma} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) \cdot \gamma\,{'}(t_1) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \cdot \gamma\,{'}(t_2) \big) \cdot (b-a) </math> === Beweis === Der Beweis gliedert sich in folgende Teilschritte: * Definition des Integrals verwenden, * Zerlegung in Realteil- und Imaginärteilfunktion, * Anwendung des Mittelwertsatzes für reellwertige Funktionen === Beweischritt 1 - Definition des Integrals=== Das Integral einer holomorphen Funktion <math> f </math> über einen Weg <math>\gamma</math> ist definiert als: :<math> \int_{\gamma} f(z) \, dz = \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) \cdot \gamma'(t) \, dt. </math> === Beweischritt 2 - Zerlegung in Realteil- und Imaginärteilfunktion=== Da <math> f </math> und <math>\gamma</math> stetig sind, ist die Funktion <math>h:= (f\circ \gamma) \cdot \gamma\,{'}</math> eine stetige Funktion mit <math>h : [a,b] \to \mathbb{C} </math>. Diese lässt sich mit <math>h_1:[a,b]\to \mathbb{R} </math> und <math>h_2:[a,b]\to \mathbb{R} </math> in die Realteil- und Imaginärteilfunktion von <math>h=h_1+i\cdot h_2</math> zerlegen. :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{a}^{b} \underbrace{f(\gamma(t)) \cdot \gamma'(t)}_{=h(t)} \, dt & = & \displaystyle \int_{a}^{b} h(t) \, dt = \int_{a}^{b} h_1(t) \, dt + i \cdot \int_{a}^{b} h_2(t) \, dt \\ \end{array} </math> === Beweischritt 3 - Mittelwertsatz für reellwertige Integrale=== Durch Ersetzung und Anwendung der Linearität des Integrals erhält mit dem [[w:de:Mittelwertsatz der Integralrechnung|Mittelwertsatz der Integralrechnung]] für reellwertige Funktionen jeweils auf die Real- und Imagitärteilfunktion <math>h_1</math> und <math>h_2</math> an. Es existieren <math> t_1, t_2 \in [a, b] </math>, so dass: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) \cdot \gamma'(t) \, dt & = & \displaystyle \int_{a}^{b} h_1(t) \, dt + i \cdot \int_{a}^{b} h_2(t) \, dt \\ & = & \big( h_1(t_1) \cdot (b-a) \big) + i \cdot \big( h_2(t_2) \cdot (b-a) \big) \\ & = & \big( h_1(t_1) + i \cdot h_2(t_2) \big) \cdot (b-a) \\ & = & \big( f_1(\gamma(t_1)) \cdot \gamma\,{'}(t_1) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \cdot \gamma\,{'}(t_2) \big) \cdot (b-a) \end{array} </math> === Fazit === Der Mittelwertsatz für holomorphe Funktionen liefert nun die Möglichkeit, dass das Wegintegral einer holomorphen Funktion <math> f </math> über einen Weg <math>\gamma</math> durch die Auswertung der Realteilfunktion <math> f_1 </math> und der Imaginärteilfunktion <math> f_2 </math> an zwei Punkten <math>\gamma(t_1), \, \gamma(t_2)</math> auf der Spur von dem Weg <math>\gamma </math> auszudrückt werden kann. <math>t_1 \in [0,1]</math> und <math>t_2 \in [0,1]</math> können dabei unterschiedlich sein. == Korollar - Mittelwertsatz für Konvexkombinationen == Sei <math>f: G\to \mathbb{C} </math> eine stetige Funktion, <math>z_o \in G</math> und <math>\gamma_z : [0,1] \to G</math> die folgende [[Konvexkombination]] von <math>z_0</math> nach <math>z</math> :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_z : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_z(t) = (1-t)\cdot z_0 + t\cdot z \end{array} </math> dann gilt für :<math> \lim_{z\to z_o} \frac{1}{z-z_o} \cdot \int_{\gamma_z} f(\zeta) \, d\zeta = f(z_o) </math> == Beweis - Korollar == Da <math>G</math> offen ist, gibt es mit <math>z_o\in G</math> ein Kreisscheibe <math>D_r(z_o) = \{z\in G \, : \, |z-z_o| < r \} \subseteq G </math>, die ganz in <math>G</math> liegt. Man betrachtet den Grenzwertprozesse <math>z\to z_o</math>, daher kann man ohne Einschränkung <math>z\in G</math> so wählen, dass <math>|z-z_0| < r </math> gilt bzw. <math>z\in D_r(z_o)</math> erfüllt ist. === Beweisschritt 1 - Korollar - Definition Integrationsweg === Zunächst wird die [[Konvexkombination]] von <math>z_o</math> nach <math>z</math> definiert. :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_z : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_z(t) = (1-t)\cdot z_0 + t\cdot z \end{array} </math> Für <math>z\in D_r(z_o)</math> liegt auch die Spur von <math>\gamma_z</math> in der Kreisscheibe, d.h. <math>Spur(\gamma_z)\subseteq D_r(z_o)</math>. === Beweisschritt 2 - Korollar - Anwendung Mittelwertsatz === Über die Anwendung der Mittelwertsatz für Wegintegrale erhält man <math>t_{z,1},t_{z,2} \in [0,1]</math> mit <math>b-a = 1-0 = 1</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \int_{\gamma_z} f(\zeta) \, d\zeta & = & \big( f_1(\gamma_z(t_{z,1})) \cdot \underbrace{\gamma\,{'}\!\!\!_z(t_{z,1})}_{=z-z_o} + i \cdot f_2(\gamma_z(t_{z,2})) \cdot \underbrace{\gamma\,{'}\!\!\!_z(t_{z,2})}_{=z-z_o} \big) \\ & = & \big( f_1(\gamma_z(t_{z,1})) + i \cdot f_2(\gamma_z(t_{z,2})) \big) \cdot (z-z_o)\\ \\ \end{array} </math> Dabei ist zu berücksichtigen, dass die reellen Zahlen <math>t_{z,1},t_{z,2} \in [0,1]</math> von der Wahl von <math>z</math> für die Konvexkombination <math>\gamma_z</math> abhängen. === Beweisschritt 3 - Korollar - Anwendung Mittelwertsatz === Wenn man nun den Term für den Grenzwertprozess <math>z\to z_o</math> aus der Aussage des Korollars betrachtet, erhält man folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \frac{1}{z-z_o} \cdot \int_{\gamma_z} f(\zeta) \, d\zeta & = & \big( f_1(\gamma_z(t_{z,1})) + i \cdot f_2(\gamma_z(t_{z,2})) \big) \\ \\ \end{array} </math> Man muss nun untersuchen, welche Konvergenz für die Terme <math> \gamma_z(t_{z,1}) </math> und <math> \gamma_z(t_{z,2}) </math> in Abhängigkeit von <math>z\to z_o</math> vorliegt. === Beweisschritt 3 - Korollar Grenzwertprozess === Für den Grenzwertübergang <math>z\to z_0</math> folgt für beliebige <math>t\in [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \lim\limits_{z\to z_o} \gamma_z(t) & = & (1-t)\cdot z_0 + t\cdot z \\ & = & (1-t)\cdot z_0 + t\cdot \underbrace{\lim\limits_{z\to z_o} z}_{=z_o} \\ & = & (1-t)\cdot z_0 + t\cdot z_o = z_o \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 4 - Korollar Grenzwertprozess === Diese Grenzwerteigenschaft wird nun für die reellen Zahlen <math>t_{z,1},t_{z,2} \in [0,1]</math> angewendet und man erhält: :<math> \lim_{z\to z_o} \gamma_z(t_{z,1}) = \lim_{z\to z_o} \gamma_z(t_{z,2}) = z_0 </math> Mit der vorausgesetzten [[w:de:stetige Funktion|Stetigkeit]] von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> sind auch die Realteil- und Imaginärteilfunktion <math>f_1:G\to \mathbb{R}</math> und <math>f_2:G\to \mathbb{R}</math> stetig. === Beweisschritt 5 - Korollar Grenzwertprozess === Die Stetigkeit der Realteil- und Imaginärteilfunktion <math>f_1:G\to \mathbb{R}</math> und <math>f_2:G\to \mathbb{R}</math> liefert dann für beliebige <math>t_{z,1},t_{z,2} \in [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \lim\limits_{z\to z_o} f_1(\gamma_z(t_{z,1})) & = & f_1(z_o) \\ \lim\limits_{z\to z_o} f_2(\gamma_z(t_{z,2})) & = & f_2(z_0) \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Korollar - Grenzwertprozess === Insgesamt erhält man damit für Grenzwertbetrachtung <math>z\to z_0</math> von [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] von <math>z_0</math> nach <math>z</math> angewendet auf den Mittelwertsatz für Wegintegrale folgende Darstellung: :<math> \lim_{z\to z_o} \frac{f(\zeta)}{z-z_o} \cdot \int_{\gamma_z} f(\zeta) \, d\zeta = f_1(z_o) + i\cdot f_2(z_o) = f(z_o) </math> Damit folgt die Behauptung des Korollars. <math>\Box</math> == Bemerkung - Korollar == Das Korollar zum Mittelwertsatz für Wegintegral wird im Beweis des [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion - geschlossene Wege|Satzes über Stammfunktion und geschlossene Wege]] angewendet. Dabei betrachtet man analog [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] von <math>z</math> nach <math>z+h</math> und für den Limes <math>h\to 0</math>. == Siehe auch == * [[Konvexkombination]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Wegintegral]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion - geschlossene Wege|Satz - Stammfunktion - geschlossene Wege]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 2rcez6gav0cp8h6vgfj3chcqfb21ksa 106 168364 1119010 1113797 2026-11-07T07:13:43Z Paul Sutermeister 37610 1119010 wikitext text/x-wiki Das Programm des Kurses '''IT Skills''' zur Erlangung des [[Kurs:Handelsdiplom|Handelsdiploms]] des [[:w:Verband Schweizerischer Handelsschulen|Verbandes Schweizerischer Handelsschulen]] (VSH) basiert auf den Leistungszielen des VSH<ref>[https://www.vsh.swiss/assets/Downloads/Reglemente/VSH-Business/VSH-Reglement-HD-kZu-Kauffrau-Kaufmann-2025_rev_Brand_V1.pdf ''Reglement Handelsdiplom VSH Business Kaufmännische Zusatzausbildung.''] [[:w:Verband Schweizerischer Handelsschulen|Verband Schweizerischer Handelsschulen]], 2025, Seite 19.</ref> und auf dem [[:w:International Certification of Digital Literacy|ECDL]]-Syllabus.<ref>[https://www.ecdl.ch/fileadmin/ECDL/CH/Dokumente/Downloads/Syllabus_Standard_web.pdf ''ECDL Base Syllabus''].</ref> Die ECDL-Tests '''Computer-Grundlagen''' und '''Online-Grundlagen''' werden absolviert. Wichtige Lehrmittel (neben den [[:Kategorie:Kurs:IT Skills (Handelsdiplom VSH)|Wikiversity-Seiten]]) sind die Website easy4me.info der [[:w:Österreichische Computer Gesellschaft|Österreichischen Computer Gesellschaft]]<ref>[https://www.easy4me.info/ ''Easy4me: Arbeitsblätter, Übungsdateien und Onlineübungen.''] [[:w:Österreichische Computer Gesellschaft|Österreichische Computer Gesellschaft]]</ref> und der [[:w:Herdt-Verlag|Herdt]]-Band 1<ref>''IT Skills – Office Skills Windows 10 (2004) – Outlook 2019 Handelsdiplom VSH 1/3.'' [[:w:Herdt-Verlag|Herdt-Verlag]], 2022. ISBN 978-3-98569-073-2</ref>. <small>(kleine Programmänderungen vorbehalten)</small> {| class="wikitable" ! Datum ! Kursinhalt ! Lehrmittel |- | 15. August 2026</br>[[Datei:Windows_logo_-_2021.svg|frameless|50px]] | E-Mails und WhatsApp-Gruppe testen, Netzwerk Minerva ([[:w:OpenOlat|OpenOlat]])</br>'''[[Kurs:IT Skills (Handelsdiplom VSH)/Betriebssystem|Betriebssystem]]'''<br/>Anmelden am PC</br>Startmenü inkl. 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September | '''[[Kurs:IT Skills (Handelsdiplom VSH)/Software|Software]]''' | easy4me</br> |- | 26. September | <span style="color:red;">'''ECDL Computer-Grundlagen'''</span> | easy4me</br> |- | 17. Oktober</br>[[Datei:WiFi icon.svg|frameless|50px]] | '''[[Kurs:IT Skills (Handelsdiplom VSH)/Internet|Internet]]''' und E-Mail</br>Browser und Suchmaschinen</br>Online-Formulare ausfüllen, Bildschirmfotos von Webseiten in Office-Dokumente einfügen | easy4me</br>Herdt 1/3, Seiten 48-65 |- | 24. Oktober | '''[[Kurs:IT Skills (Handelsdiplom VSH)/World Wide Web|World Wide Web (WWW)]]''':</br>Foren, Wiki, Blog / Online-Community und soziale Netzwerke | easy4me</br>Herdt 1/3, Seiten 104-108 |- | 31. Oktober</br>[[Datei:Microsoft_Edge_logo_(2019).svg|frameless|50px]] | '''[[Kurs:IT Skills (Handelsdiplom VSH)/Webbrowser|Webbrowser]]''' | easy4me |- | 7. November</br>[[Datei:Microsoft_Outlook_Icon_(2025–present).svg|frameless|50px]] | '''[[Kurs:IT Skills (Handelsdiplom VSH)/Outlook|Outlook]]''':</br>'''Einstellungen''' → Konto → Signaturen / Automatische Antworten</br>'''E-Mails''' senden, empfangen und bearbeiten; Ordner (Posteingang, Gesendete, Entwürfe, Gelöschte, Junk</br>'''Kontakte''' und Kontaktlisten</br>'''Besprechungen''' organisieren, Kalender | easy4me</br>Herdt 1/3, Seiten 109-180 |- | 14. November | '''AUSFALL''' | |- | 21. November</br>[[Datei:Microsoft_OneDrive_Icon_(2025_-_present).svg|frameless|50px]] | Sicher im Internet arbeiten</br>'''[[Kurs:IT Skills (Handelsdiplom VSH)/Datenschutz|Datenschutz]]''' und Urheberrecht</br>Cloud Computing | easy4me</br>Herdt 1/3, Seiten 66-88 |- | 28. November | Alte Diplomprüfungen IT Skills | easy4me</br> |- | 5. Dezember | Alte Diplomprüfung IT-Skills | easy4me</br> |- | 12. Dezember | <span style="color:red;">'''ECDL Online-Grundlagen'''</span> | easy4me</br> |- | 19. Dezember | Alte Diplomprüfungen (Modulprüfungs-Vorbereitung) | easy4me</br> |- | '''09. Januar 2027''' | <span style="color:red;">'''MODULPRÜFUNG IT SKILLS (60 Minuten)'''</span> | |- | 16. Januar 2027 | '''Kurs über Künstliche Intelligenz, siehe Programm [[Kurs:Office Skills (Handelsdiplom VSH)|Office Skills]] | |} = Lehrmittel = * [https://www.easy4me.info/ ''Easy4me: Arbeitsblätter, Übungsdateien und Onlineübungen.''] [[:w:Österreichische Computer Gesellschaft|Österreichische Computer Gesellschaft]] * ''IT Skills – Office Skills Windows 10 (2004) – Outlook 2019 Handelsdiplom VSH 1/3.'' [[:w:Herdt-Verlag|Herdt-Verlag]], 2022. ISBN 978-3-98569-073-2 = Einzelnachweise = <references/> [[Kategorie:Kurs:IT Skills (Handelsdiplom VSH)| ]] tw58ubxqzoos4p3zs14en2s78tu6ot6 1119012 1119010 2026-11-07T07:47:31Z Paul Sutermeister 37610 1119012 wikitext text/x-wiki Das Programm des Kurses '''IT Skills''' zur Erlangung des [[Kurs:Handelsdiplom|Handelsdiploms]] des [[:w:Verband Schweizerischer Handelsschulen|Verbandes Schweizerischer Handelsschulen]] (VSH) basiert auf den Leistungszielen des VSH<ref>[https://www.vsh.swiss/assets/Downloads/Reglemente/VSH-Business/VSH-Reglement-HD-kZu-Kauffrau-Kaufmann-2025_rev_Brand_V1.pdf ''Reglement Handelsdiplom VSH Business Kaufmännische Zusatzausbildung.''] [[:w:Verband Schweizerischer Handelsschulen|Verband Schweizerischer Handelsschulen]], 2025, Seite 19.</ref> und auf dem [[:w:International Certification of Digital Literacy|ECDL]]-Syllabus.<ref>[https://www.ecdl.ch/fileadmin/ECDL/CH/Dokumente/Downloads/Syllabus_Standard_web.pdf ''ECDL Base Syllabus''].</ref> Die ECDL-Tests '''Computer-Grundlagen''' und '''Online-Grundlagen''' werden absolviert. Wichtige Lehrmittel (neben den [[:Kategorie:Kurs:IT Skills (Handelsdiplom VSH)|Wikiversity-Seiten]]) sind die Website easy4me.info der [[:w:Österreichische Computer Gesellschaft|Österreichischen Computer Gesellschaft]]<ref>[https://www.easy4me.info/ ''Easy4me: Arbeitsblätter, Übungsdateien und Onlineübungen.''] [[:w:Österreichische Computer Gesellschaft|Österreichische Computer Gesellschaft]]</ref> und der [[:w:Herdt-Verlag|Herdt]]-Band 1<ref>''IT Skills – Office Skills Windows 10 (2004) – Outlook 2019 Handelsdiplom VSH 1/3.'' [[:w:Herdt-Verlag|Herdt-Verlag]], 2022. ISBN 978-3-98569-073-2</ref>. <small>(kleine Programmänderungen vorbehalten)</small> {| class="wikitable" ! Datum ! Kursinhalt ! Lehrmittel |- | 15. August 2026</br>[[Datei:Windows_logo_-_2021.svg|frameless|50px]] | E-Mails und WhatsApp-Gruppe testen, Netzwerk Minerva ([[:w:OpenOlat|OpenOlat]])</br>'''[[Kurs:IT Skills (Handelsdiplom VSH)/Betriebssystem|Betriebssystem]]'''<br/>Anmelden am PC</br>Startmenü inkl. 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September | '''[[Kurs:IT Skills (Handelsdiplom VSH)/Software|Software]]''' | easy4me</br> |- | 26. September | <span style="color:red;">'''ECDL Computer-Grundlagen'''</span> | easy4me</br> |- | 17. Oktober</br>[[Datei:WiFi icon.svg|frameless|50px]] | '''[[Kurs:IT Skills (Handelsdiplom VSH)/Internet|Internet]]''' und E-Mail</br>Browser und Suchmaschinen</br>Online-Formulare ausfüllen, Bildschirmfotos von Webseiten in Office-Dokumente einfügen | easy4me</br>Herdt 1/3, Seiten 48-65 |- | 24. Oktober | '''[[Kurs:IT Skills (Handelsdiplom VSH)/World Wide Web|World Wide Web (WWW)]]''':</br>Foren, Wiki, Blog / Online-Community und soziale Netzwerke | easy4me</br>Herdt 1/3, Seiten 104-108 |- | 31. Oktober</br>[[Datei:Microsoft_Edge_logo_(2019).svg|frameless|50px]] | '''[[Kurs:IT Skills (Handelsdiplom VSH)/Webbrowser|Webbrowser]]''' | easy4me |- | 7. November</br>[[Datei:Microsoft_Outlook_Icon_(2025–present).svg|frameless|50px]] | [[Kurs:IT Skills (Handelsdiplom VSH)/Personal Information Manager|PIM]] → '''[[Kurs:IT Skills (Handelsdiplom VSH)/Outlook|Outlook]]''':</br>'''Einstellungen''' → Konto → Signaturen / Automatische Antworten</br>'''E-Mails''' senden, empfangen und bearbeiten; Ordner (Posteingang, Gesendete, Entwürfe, Gelöschte, Junk</br>'''Kontakte''' und Kontaktlisten</br>'''Besprechungen''' organisieren, Kalender | easy4me</br>Herdt 1/3, Seiten 109-180 |- | 14. November | '''AUSFALL''' | |- | 21. November</br>[[Datei:Microsoft_OneDrive_Icon_(2025_-_present).svg|frameless|50px]] | Sicher im Internet arbeiten</br>'''[[Kurs:IT Skills (Handelsdiplom VSH)/Datenschutz|Datenschutz]]''' und Urheberrecht</br>Cloud Computing | easy4me</br>Herdt 1/3, Seiten 66-88 |- | 28. November | Alte Diplomprüfungen IT Skills | easy4me</br> |- | 5. Dezember | Alte Diplomprüfung IT-Skills | easy4me</br> |- | 12. Dezember | <span style="color:red;">'''ECDL Online-Grundlagen'''</span> | easy4me</br> |- | 19. Dezember | Alte Diplomprüfungen (Modulprüfungs-Vorbereitung) | easy4me</br> |- | '''09. Januar 2027''' | <span style="color:red;">'''MODULPRÜFUNG IT SKILLS (60 Minuten)'''</span> | |- | 16. Januar 2027 | '''Kurs über Künstliche Intelligenz, siehe Programm [[Kurs:Office Skills (Handelsdiplom VSH)|Office Skills]] | |} = Lehrmittel = * [https://www.easy4me.info/ ''Easy4me: Arbeitsblätter, Übungsdateien und Onlineübungen.''] [[:w:Österreichische Computer Gesellschaft|Österreichische Computer Gesellschaft]] * ''IT Skills – Office Skills Windows 10 (2004) – Outlook 2019 Handelsdiplom VSH 1/3.'' [[:w:Herdt-Verlag|Herdt-Verlag]], 2022. ISBN 978-3-98569-073-2 = Einzelnachweise = <references/> [[Kategorie:Kurs:IT Skills (Handelsdiplom VSH)| ]] 9wyt5841vx0rhq5aq6cmq9fc429f9jz 106 170577 1119020 1111542 2026-11-07T09:51:19Z Bocardodarapti 2041 1119020 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2026-2027)/Teil I/Vorlesungsgestaltung|9| Wir führen nun die Addition und die Multiplikation von natürlichen Zahlen ein. Dabei müssen wir uns kurz klar machen, um was für eine Struktur es sich überhaupt handelt. Bei der Addition {{ Zusatz/Klammer |text=der Multiplikation| |ISZ=|ESZ= }} wird zwei{{ Zusatz/Fußnote |text=Es ist hier auch erlaubt, dass die beiden Zahlen gleich sind. Dann könnte man sich an dem Wort zwei stören, da ja dann nur eine Zahl vorliegt. In einem solchen Zusammenhang sind die Zahlangaben so zu verstehen, dass sie zählen, wie oft eine Zahl aufgerufen wird| |ISZ=.|ESZ= }} natürlichen Zahlen {{ mathkor|term1= a |und|term2= b |SZ= }} eine neue Zahl, ihre Summe {{mathl|term= a+b |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=ihr Produkt {{mathlk|term= a \cdot b |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} zugeordnet. In der vierten Vorlesung haben wir schon aus zwei Mengen ihre Vereinigung bzw. ihren Durchschnitt gebildet. In der sechsten Vorlesung haben wir Abbildungen hintereinandergeschaltet und so eine neue Abbildung bekommen. Für diese Situationen gibt es das Konzept der Verknüpfung. Um dies angemessen formulieren zu können, benötigen wir die Produktmenge. {{Zwischenüberschrift|Produktmengen}} {{:Produktmenge/Natürliche Zahlen/Elementare Einführung/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|Verknüpfungen}} {{:Verknüpfung/Produktmenge bekannt/Natürliche Zahlen/Elementare Einführung/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|Die Addition auf den natürlichen Zahlen}} {{:Natürliche Zahlen/Addition/Nachfolgerzählen/Rechengesetze/Einführung/Textabschnitt|}} {{ inputfaktbeweis |Natürliche Zahlen/Nachfolger/Addition/Summe ist 0/Fakt|Lemma|| }} {{Zwischenüberschrift|Addition und disjunkte Vereinigung}} {{:Natürliche Zahlen/Nachfolger/Addition und disjunkte Vereinigung/Textabschnitt}} {{ inputbemerkung |Natürliche Zahlen/Addition/Strecken/Bemerkung||zusatz1=&nbsp;{{ Zusatz/Klammer |text=wie in der fünften Vorlesung erwähnt| |ISZ=|ESZ=. }} }} Später werden wir in {{ Faktlink |Faktseitenname= Zehnersystem/Schriftliches Addieren/Korrekt/Fakt |Nr= |SZ= }} beweisen, dass die Addition mit dem schriftlichen Addieren ausgerechnet werden kann, dass also der Algorithmus des schriftlichen Addierens korrekt ist. {{Fußnotenliste}} }} 1mj1r1mbz8d8lqgf820pcd7s6xwtxvk 106 170578 1119029 1108536 2026-11-07T11:00:51Z Bocardodarapti 2041 1119029 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2026-2027)/Teil I/Vorlesungsgestaltung|10| {{Zwischenüberschrift|Die Multiplikation auf den natürlichen Zahlen}} {{:Natürliche Zahlen/Multiplikation/Selbstaddition/Rechengesetze/Einführung/Textabschnitt|zusatz1=Fußnote|zusatz2=, siehe die siebzehnte Vorlesung.}} Die folgende Eigenschaft heißt {{Stichwort|Integritätseigenschaft|msw=Integritätsbereich|SZ=.}} {{ inputfaktbeweis |Natürliche Zahlen/Multiplikation/Selbstaddition/Integrität/Fakt|Lemma|| }} Die folgende Eigenschaft heißt {{Stichwort|Kürzungsregel|msw=Kürzungsregel|SZ=.}} {{ inputfaktbeweis |Natürliche Zahlen/Multiplikation/Selbstaddition/Kürzungsregel/Fakt|Lemma|| }} {{Zwischenüberschrift|Die Anzahl der Produktmenge}} {{:Natürliche Zahlen/Multiplikation/Selbstaddition/Produktmenge/Einführung/Textabschnitt|zusatz1=Fußnote}} {{Zwischenüberschrift|Potenzen}} {{:Natürliche Zahlen/Potenzen/Zählen/Textabschnitt}} {{ inputdefinition |Quadratzahl/Definition|| }} {{Fußnotenliste}} }} 7mqjsiorvxz6kd61sqw1wd7emxsqogk 106 170608 1119025 1111458 2026-11-07T10:38:36Z Bocardodarapti 2041 1119025 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2026-2027)/Teil I/Arbeitsblattgestaltung|9| {{Zwischenüberschrift|Die Pausenaufgabe}} {{ inputaufgabe |Produktmenge/NxN/Reell/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|Übungsaufgaben}} {{ inputaufgabe |Lehrpersonen/Titel/Nachnamen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputbild |Black cat sitting on a round straw bale|jpg|230px {{!}} right {{!}} | |Zusname=Black_cat_sitting_on_a_round_straw_bale |Text=Wie kann man den runden Strohballen (ohne die Katze) als eine Produktmenge beschreiben? |Autor= |Benutzer=Flickr upload bot |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 2.0 |Bemerkung= }} {{ inputaufgabe |Produktmenge/Geometrische Beispiele/2/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Es empfiehlt sich, die in den folgenden Aufgaben formulierten Mengenidentitäten zu veranschaulichen. {{ inputaufgabe |Produktmenge/Distributivgesetz/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Produktmenge/Durchschnitt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Produktmenge/Durchschnitt/2/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Produktmenge/Binomische Formel/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Produktmenge/Reihenfolge/Bijektion/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Personen/Vornamen und Nachnamen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Verschiedene Teilmengen im R^2/Skizziere/3/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Natürliche Zahlen/Nachfolgernehmen/Wertetabelle/Graph/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Graph (Abbildung)/R nach R/Schule/Beispiele/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Externer Algorithmus/Polynomgraph/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputbild |Non-injective function|svg|230px {{!}} right {{!}} | |Zusname=Non-injective_function| |Text= |Autor= |Benutzer=Fulvio314 |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 1.0 |Bemerkung= }} {{ inputaufgabe |Graph (Abbildung)/R nach R/Injektiv und surjektiv/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Verknüpfung/Neutrales Element/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Verknüpfung/Farbenmischen/Assoziativ/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Verknüpfung/Namensverbindung/Assoziativ/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Verknüpfung/Doppelnamen/Endseitige Namensverbindung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Rechengesetze wie das Kommutativgesetz oder das Assoziativgesetz kann man so verstehen, dass verschiedene Verarbeitungsprozesse {{ Zusatz/Klammer |text=von Eingangsdaten| |ISZ=|ESZ= }} zum gleichen Ergebnis führen. Verarbeitungsprozesse kann man in einem Verarbeitungsdiagramm {{ Zusatz/Klammer |text=work-flow| |ISZ=|ESZ= }} darstellen. Die Gesetzmäßigkeit zeigt sich im Verarbeitungsdiagramm darin, dass die Verarbeitungen entlang der verschiedenen erlaubten Pfeilreihenfolgen die gleichen Ergebnisse besitzen. {{ inputaufgabe |Verknüpfung/Kommutativ/Diagramm/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Verknüpfung/Assoziativ/Diagramm/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Verknüpfung/Assoziativ/4 Faktoren/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Zählen/Addition/Einsundeins/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Zählen/Strichsystem/Addition/Reihenfolge/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Zählen/Heute_und_Morgen/Addition/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Natürliche Zahlen/Intervalle/Nachfolgerintervall/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Natürliche Zahlen/Intervalle/Zahlsysteme/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Natürliche Zahl/Feste Addition/Abbildungseigenschaften/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kleine Einsundeins/Anzahl der Additionen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Zählen/Addition/Strichsystem/1/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Natürliche Zahl/5/Summendarstellung/Anzahl/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Additionstabelle/N/Volle Summe/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Addition/Multiplikation/Abbildungseigenschaften/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Addition/N/Nicht tragfähig für Q/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Vereinigung/Abziehregel/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kapitän/Alter/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|Aufgaben zum Abgeben}} {{ inputaufgabe |Verschiedene Teilmengen im R^2/Skizziere/2/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Verknüpfung/Assoziativ/5 Faktoren/1/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Natürliche Zahlen/Intervalle/Addition/Bijektion/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= Anleitung: Führe{{n Sie}} Induktion nach {{math|term= n |SZ=}} unter Verwendung von {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Natürliche Zahlen/Intervalle/Nachfolgerintervall/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} }} {{ inputaufgabe |Endliche Menge/Formel für Durchschnitt und Vereinigung/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} }} 9g8fe3hue88ithw41z2mt67y28fjj3d 1119028 1119025 2026-11-07T10:47:12Z Bocardodarapti 2041 1119028 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2026-2027)/Teil I/Arbeitsblattgestaltung|9| {{Zwischenüberschrift|Die Pausenaufgabe}} {{ inputaufgabe |Produktmenge/NxN/Reell/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|Übungsaufgaben}} {{ inputaufgabe |Lehrpersonen/Titel/Nachnamen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputbild |Black cat sitting on a round straw bale|jpg|230px {{!}} right {{!}} | |Zusname=Black_cat_sitting_on_a_round_straw_bale |Text=Wie kann man den runden Strohballen (ohne die Katze) als eine Produktmenge beschreiben? |Autor= |Benutzer=Flickr upload bot |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 2.0 |Bemerkung= }} {{ inputaufgabe |Produktmenge/Geometrische Beispiele/2/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Es empfiehlt sich, die in den folgenden Aufgaben formulierten Mengenidentitäten zu veranschaulichen. {{ inputaufgabe |Produktmenge/Distributivgesetz/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Produktmenge/Durchschnitt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Produktmenge/Durchschnitt/2/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Produktmenge/Binomische Formel/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Produktmenge/Reihenfolge/Bijektion/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Personen/Vornamen und Nachnamen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Verschiedene Teilmengen im R^2/Skizziere/3/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Natürliche Zahlen/Nachfolgernehmen/Wertetabelle/Graph/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Graph (Abbildung)/R nach R/Schule/Beispiele/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Externer Algorithmus/Polynomgraph/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputbild |Non-injective function|svg|230px {{!}} right {{!}} | |Zusname=Non-injective_function| |Text= |Autor= |Benutzer=Fulvio314 |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 1.0 |Bemerkung= }} {{ inputaufgabe |Graph (Abbildung)/R nach R/Injektiv und surjektiv/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Verknüpfung/Neutrales Element/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Verknüpfung/Farbenmischen/Assoziativ/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Verknüpfung/Namensverbindung/Assoziativ/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Verknüpfung/Doppelnamen/Endseitige Namensverbindung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Rechengesetze wie das Kommutativgesetz oder das Assoziativgesetz kann man so verstehen, dass verschiedene Verarbeitungsprozesse {{ Zusatz/Klammer |text=von Eingangsdaten| |ISZ=|ESZ= }} zum gleichen Ergebnis führen. Verarbeitungsprozesse kann man in einem Verarbeitungsdiagramm {{ Zusatz/Klammer |text=work-flow| |ISZ=|ESZ= }} darstellen. Die Gesetzmäßigkeit zeigt sich im Verarbeitungsdiagramm darin, dass die Verarbeitungen entlang der verschiedenen erlaubten Pfeilreihenfolgen die gleichen Ergebnisse besitzen. {{ inputaufgabe |Verknüpfung/Kommutativ/Diagramm/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Verknüpfung/Assoziativ/Diagramm/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Verknüpfung/Assoziativ/4 Faktoren/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Zählen/Addition/Einsundeins/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Zählen/Strichsystem/Addition/Reihenfolge/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Zählen/Heute_und_Morgen/Addition/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} In der folgenden Aufgabe bedeutet {{ Relationskette | k | \leq | n || || || |SZ=, }} dass man von {{math|term= k |SZ=}} ausgehend durch mehrfaches Nachfolgernehmen zu {{math|term= n |SZ=}} gelangen kann. {{ inputaufgabe |Natürliche Zahlen/Intervalle/Nachfolgerintervall/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Natürliche Zahlen/Intervalle/Zahlsysteme/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Natürliche Zahl/Feste Addition/Abbildungseigenschaften/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kleine Einsundeins/Anzahl der Additionen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Zählen/Addition/Strichsystem/1/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Natürliche Zahl/5/Summendarstellung/Anzahl/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Additionstabelle/N/Volle Summe/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Addition/Multiplikation/Abbildungseigenschaften/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Addition/N/Nicht tragfähig für Q/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Vereinigung/Abziehregel/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kapitän/Alter/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|Aufgaben zum Abgeben}} {{ inputaufgabe |Verschiedene Teilmengen im R^2/Skizziere/2/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Verknüpfung/Assoziativ/5 Faktoren/1/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Natürliche Zahlen/Intervalle/Addition/Bijektion/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= Anleitung: Führe{{n Sie}} Induktion nach {{math|term= n |SZ=}} unter Verwendung von {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Natürliche Zahlen/Intervalle/Nachfolgerintervall/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} }} {{ inputaufgabe |Endliche Menge/Formel für Durchschnitt und Vereinigung/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} }} bc7235f3z93biprej998xggtzxztczm 106 170630 1119017 1118200 2026-11-07T09:33:27Z Bocardodarapti 2041 1119017 wikitext text/x-wiki {{ inputdefinitionsklappe |Zahlentheorie/Primzahl/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Quadratzahl/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Natürliche Zahl/Gerade/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Implikation/Kontraposition/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Mengenlehre/Leere Menge/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Mengentheorie/Teilmenge/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Mengentheorie/Zwei Mengen/Durchschnitt/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Mengentheorie/Zwei Mengen/Vereinigung/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Mengentheorie/Zwei Mengen/Differenzmenge/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Mengenlehre/Komplement/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Mengentheorie/Disjunkt/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Theorie der Abbildungen/Abbildung/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Abbildung/Surjektiv/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Abbildung/Injektiv/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Abbildung/Bijektiv/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Endliche Menge/1...n/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Abbildung/Hintereinanderschaltung/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Abbildung/Identität/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Abbildung/Bijektiv/Umkehrabbildung/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Abbildung/Konstant/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Zahlentheorie/Peano-Axiome/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Produktmenge/Zwei Mengen/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Abbildung/Graph (Menge)/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Verknüpfung/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Verknüpfung/Assoziativ/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Verknüpfung/Kommutativ/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Verknüpfung/Neutrales Element/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Natürliche Zahlen/Addition mit n/Nachfolgerzählen/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Natürliche Zahlen/Multiplikation/Selbstaddition/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Natürliche Zahlen/Potenzierung/Selbstmultiplikation/Definition|| }} <!-- {{ inputdefinitionsklappe |Mengentheorie/Relation auf einer Menge/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ordnungstheorie/Ordnungsrelation/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ordnungstheorie/Lineare Ordnung/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Natürliche Zahlen/Ordnungsrelation/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Natürliche Zahlen/Endliche Teilmenge/Maximum/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Natürliche Zahlen/Nichtleere Teilmenge/Minimum/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Natürliche Zahlen/Differenz/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Kommutativer Halbring/Ausführlich/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Mengen/Potenzmenge/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Teilbarkeitstheorie (N)/Teilen/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Teilbarkeitstheorie (N)/Gemeinsamer Teiler/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Teilbarkeitstheorie (N)/Gemeinsamer Teiler/Ggt/Größerbeziehung/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Elementare Zahlentheorie/N/2/Teilerfremd/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Teilbarkeitstheorie (N)/Gemeinsames Vielfaches/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Teilbarkeitstheorie (N)/Gemeinsames Vielfaches/KgV/Größerbeziehung/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Zahlentheorie/Primzahl/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Primzahlzwilling/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Natürliche Zahlen/Fakultät/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Binomialkoeffizient/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ganze Zahlen/Negative Zahlen/Direkt/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ganze Zahlen/Nachfolger/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ganze Zahlen/Negation/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ganze Zahlen/Negative Zahlen/Direkt/Addition/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ganze Zahlen/Negative Zahlen/Direkt/Multiplikation/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ganze Zahlen/Betrag/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ringtheorie/Ring/Ausführlich/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Kommutative Ringtheorie/Kommutativer Ring/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Gruppentheorie/Gruppe/Direkt/Definition||v=\circ }} {{ inputdefinitionsklappe |Gruppentheorie/Abelsche Gruppe/Definition||v=\circ }} {{ inputdefinitionsklappe |Ganze Zahlen/Negative Zahlen/Größergleichrelation/Natürliche Addition/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Kommutative Ringtheorie/Angeordneter Ring/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Teilbarkeitstheorie (Z)/Teilen/Definition| }} {{ inputdefinitionsklappe |Gruppentheorie/Untergruppe/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Euklidischer Algorithmus/Z/Euklidische Restfolge/Definition||ref1= }} {{ inputdefinitionsklappe |Kommensurabilität/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ganze Zahl/p-Exponent/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Größe/Proportionalität/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Rationale Zahlen/Brüche/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Rationale Zahl/Gekürzte Darstellung/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Stammbruch/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Rationale Zahlen/Brüche/Addition/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Rationale Zahlen/Brüche/Multiplikation/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Körpertheorie (Algebra)/Körper/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Rationale Zahlen/Elementar/Anordnung/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Körpertheorie/Angeordneter Körper/Definition||a=x|b=y|c=z }} {{ inputdefinitionsklappe |Angeordneter Körper/Betrag/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Angeordneter Körper/Arithmetisches Mittel/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Angeordneter Körper/Archimedisch/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Angeordneter Körper/Verschiedene Intervalle/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Rationale Zahlen/Gaußklammer/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Rationale Zahl/Gemischter Bruch/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Angeordneter Körper/Teilmenge/Funktion/Wachsend/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Angeordneter Körper/Teilmenge/Funktion/Streng wachsend/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Angeordneter 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|Gruppe/Lösbarkeit von Gleichungen/Fakt|Lemma||v=\circ }} {{ inputfaktklappe |Lemma von Bézout/N/Teilerfremd/Induktion/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Division mit Rest/Z/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Untergruppen von Z/Ein Erzeuger/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Euklidischer Algorithmus/Z/ggT/Invarianz/Fakt|Satz| }} {{ inputfaktklappe |Z/Durchschnitt von Untergruppen/KgV/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Teilbarkeitstheorie (Z)/Beziehungen zwischen ggT und kgV/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Teilbarkeitstheorie (Z)/Primzahl erfüllt Primelementeigenschaft/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Zahlentheorie/Primfaktorzerlegung/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Teilbarkeitstheorie (Z)/Exponentenkriterium/Fakt|Korollar|| }} {{ inputfaktklappe |Zahlentheorie/Primfaktorzerlegung/KgV und ggT/Fakt|Korollar|| }} {{ inputfaktklappe |Proportionaler Zusammenhang/Elementare Eigenschaften/Ohne Quotient/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Rationale 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dem Einfluss einer lokalen Gefäßverengung ('''Stenose'''). Im Vergleich zu einfachen Rohrströmungen wird hier die realitätsnahe Gefäßanatomie betrachtet: Die '''Arteria carotis communis (ACC)''' teilt sich in die '''Arteria carotis externa (ACE)''' und die '''Arteria carotis interna (ACI)''' auf. Während die '''ACE''' als gesunder, stenosefreier Ast dient, wird in der '''ACI''' eine geglättete, kosinusförmige Gefäßverengung modelliert. Um scharfe Kanten und unphysiologische Druckspitzen zu vermeiden, werden alle Wandübergänge und die Gabelungsspitze (Apex) anatomisch verrundet. Als Referenz dient ein gesundes, unverengtes Gefäß, in dem sich die Poiseuille-Strömung mit ihrem charakteristischen parabolischen Geschwindigkeitsprofil ausbildet. Diese Strömung ist aus zwei Gründen der natürliche Ausgangspunkt. Sie beschreibt den physiologischen Normalfall, mit dem jeder Stenosegrad verglichen wird, und sie ist exakt lösbar, sodass sich an ihr jede numerische Rechnung prüfen lässt, bevor die Verengung hinzukommt. == Fragestellung == Die Hauptfragestellung dieses Projektes lautet: Wie verändert eine symmetrische bzw. rotationssymmetrische Stenose in der '''Arteria carotis interna (ACI)''' die stationäre Strömung eines inkompressiblen Newton’schen Fluids in einer 2D-Carotis-Bifurkation hinsichtlich Geschwindigkeitsverteilung, Druckabfall, Wandschubspannung und Wirbelbildung im Vergleich zu den gesunden Gefäßabschnitten? Aus dieser Fragestellung ergeben sich drei Teilfragen, an denen sich der Aufbau der Seite orientiert: # Welche Strömungsgrößen reagieren empfindlich auf den Stenosegrad und welche nur träge? # Ab welchem Stenosegrad ändert sich das Strömungsmuster qualitativ, das heißt, ab wann löst die Strömung hinter der Engstelle von der Wand ab und bildet ein Rückströmgebiet? # Wie weit tragen die vereinfachenden Modellannahmen, insbesondere die Annahme einer stationären und laminaren Strömung, über den untersuchten Bereich der Stenosegrade? == Modellannahmen == Im Hinblick darauf werden für dieses Projekt einige Annahmen getroffen, um das Projekt möglichst isoliert zu untersuchen und zu simplifizieren: * '''Idealisierte Gefäßgeometrie''': Betrachtet wird ein Teilabbschnitt der ''Arteria carotis communis'', die sog. ''ACI''. Zudem werden Gefäßverkrümmungen, weitere Verzweigungen und patientenspezifische Strukturen nicht berücksichtigt. * '''Starre Gefäßwand''': Die Gefäßwand wird als unbeweglich und nicht verformbar angenommen. Eine Wechselwirkung zwischen elastischer Gefäßwand und Blutströmung wird nicht modelliert. * '''Stationäre Strömung''': Die Strömungsgrößen werden als zeitlich konstant angenommen. Die im realen Blutkreislauf vorhandene Pulsation durch den Herzschlag wird daher vernachlässigt: <math>\frac{\partial u}{\partial t}=0</math>. * '''Inkompressibles Fluid''': Die Dichte des Fluids wird als konstant angenommen. Damit gilt für die Geschwindigkeit <math>\nabla \cdot u=0</math>. Dies entspricht der in der Vorlesung behandelten Massenerhaltung für inkompressible Fluide: Was in das Gefäß einströmt, muss auch wieder ausströmen. * '''Newton'sche Näherung für Blut''': Reales Blut beseitzt ein nicht newton'sches Fließverhalten. Hier wird Blut als Newton'sches Fluid behandelt. * '''Konstante Stoffeigenschaften''': Dichte <math>\rho</math> und dynamische Viskosität μ werden als räumlich und zeitlich konstant angenommen. Temperaturabhängigkeiten werden nicht berücksichtigt. * '''Laminare Strömung''': Die Strömung wird mit dem COMSOL-Modul ''Laminar Flow'' beschrieben. Ein zusätzliches Turbulenzmodell wird nicht verwendet. * '''No-Slip-Bedingung an Gefäßwand''': Aufgrund der Viskosität wird angenommen, dass das Fluid direkt an der Gefäßwand haftet. Somit gilt <math>u=0</math>. * '''Vernachlässigung der Gravitation''': Gravitation wird nicht berücksichtigt. Die Strömung wird ausschließlich durch die gewählten Ein- und Auslassbedingungen bestimmt. = Relevanz = Die Untersuchung von Gefäßverengungen besitzt sowohl eine medizinische als auch eine methodische Bedeutung. Aus medizinischer Sicht sind arterielle Stenosen – etwa in der Halsschlagader, lat. ''arteria carotis communis'', – kritisch, da sie die Durchblutung beeinträchtigen und durch veränderte Wandschubspannungen sowie die Bildung von Wirbeln weitere Gefäßablagerungen begünstigen. Stenosen im Bereich der Karotisgabelung sind klinisch hochrelevant, da sie das Gehirn direkt versorgen und das Risiko für embolische Schlaganfälle erhöhen. Fachlich überträgt das Projekt damit die Prinzipien der Strömungsmechanik direkt auf eine biomedizinische Anwendung. Das Projekt verknüpft somit theoretische Grundlagen der Strömungsmechanik (Hagen-Poiseuille-Gleichung, Navier-Stokes-Gleichungen) mit der numerischen Simulation in COMSOL Multiphysics. Durch den Vergleich der '''gesunden Externa (ACE)''' mit der '''stenoisierten Interna (ACI)''' innerhalb desselben Rechengebiets wird die isolierte Wirkung der Stenose unter identischen Randbedingungen direkt sichtbar gemacht. == Medizinische Relevanz == Arterielle Stenosen entstehen überwiegend durch Atherosklerose, also durch Ablagerungen aus Lipiden, Bindegewebe und Kalk in der Gefäßwand. In der Halsschlagader sind sie klinisch besonders bedeutsam, weil sie die Durchblutung des Gehirns beeinträchtigen und weil sich an ihnen Thromben bilden können, die als Embolie einen Schlaganfall auslösen. Dass die operative Entfernung einer hochgradigen Karotisstenose das Schlaganfallrisiko symptomatischer Patienten deutlich senkt, hat die NASCET-Studie gezeigt, deren Einteilung der Stenosegrade dieses Projekt übernimmt.<ref name="nascet">North American Symptomatic Carotid Endarterectomy Trial Collaborators: ''Beneficial effect of carotid endarterectomy in symptomatic patients with high-grade carotid stenosis.'' New England Journal of Medicine 325 (1991), Nr. 7, S. 445-453.</ref> Strömungsmechanisch ist an einer Stenose vor allem die Wandschubspannung von Interesse, also die tangentiale Kraft je Fläche, die das strömende Blut auf die innerste Zellschicht der Gefäßwand ausübt. Gesunde Halsschlagadern weisen zeitlich gemittelte Werte von etwa 1,1 bis 1,5 Pa auf.<ref name="samijo">Samijo, S. K.; Willigers, J. M.; Barkhuysen, R.; Kitslaar, P. J. E. H. M.; Reneman, R. S.; Brands, P. J.; Hoeks, A. P. G.: ''Wall shear stress in the human common carotid artery as function of age and gender.'' Cardiovascular Research 39 (1998), Nr. 2, S. 515-522.</ref> In einer Engstelle steigt sie stark an, unmittelbar dahinter fällt sie im Ablösegebiet auf nahezu null und wechselt dort sogar das Vorzeichen. Niedrige und im Vorzeichen wechselnde Wandschubspannungen gelten als Bedingungen, unter denen sich weitere Ablagerungen bevorzugt bilden. Eine bestehende Stenose schafft also stromabwärts die Voraussetzungen für ihr eigenes Wachstum. Genau diese Verteilung lässt sich im Körper nur schwer messen, in einer Simulation dagegen unmittelbar auswerten. == Methodische Relevanz == Fachlich überträgt das Projekt die Prinzipien der Strömungsmechanik aus der Vorlesung auf eine biomedizinische Anwendung.<ref name="hundertmark">Hundertmark, A.: ''Fluiddynamik.'' Vorlesungsunterlagen zum Modul Räumliche Modellbildung, RPTU Kaiserslautern-Landau, Sommersemester 2026.</ref> Der methodische Mehrwert liegt in der Verknüpfung mehrerer Zugänge, die sich gegenseitig kontrollieren. Die analytische Poiseuille-Lösung liefert exakte Sollwerte für das gesunde Gefäß. Ein reduziertes Graphenmodell liefert für jeden Stenosegrad eine schnelle Abschätzung, die analytisch nachrechenbar ist. Die Simulationen in COMSOL Multiphysics lösen schließlich die vollständigen Navier-Stokes-Gleichungen in zwei und drei Raumdimensionen. Weil jede Stufe die Sollwerte der nächsten liefert, zeigt das Projekt nicht nur Ergebnisse, sondern auch, wie numerische Modelle aufgebaut, verifiziert und an ihren Grenzen bewertet werden. == Auswahl der Stenosegrade == Um die untersuchten Gefäßverengungen nicht willkürlich festzulegen, orientiert sich die Auswahl der Stenosegrade an der klinisch gebräuchlichen NASCET-Klassifikation von Karotisstenosen.<ref name="nascet" /> Zur klinischen Einordnung werden Karotisstenosen anhand der nach NASCET bestimmten Durchmesserreduktion in leichtgradige, mittelgradige und hochgradige Stenosen eingeteilt. Die angegebenen Prozentgrenzen dienen in diesem Projekt als Orientierung für die Auswahl der untersuchten Stenosegrade. Ein vollständiger Gefäßverschluss wird als Okklusion bezeichnet. {| class="wikitable" |+ Klinische Einteilung nach NASCET-gemessener Durchmesserreduktion und untersuchte Stenosegrade ! Schweregrad !! Durchmesserreduktion !! im Projekt gerechnete Stenosegrade !! hervorgehobener Vertreter |- | gesundes Gefäß || 0 % || 0 || 0 |- | leichtgradige Stenose || unter 50 % || 0,1 bis 0,4 || 0,3 |- | mittelgradige Stenose || 50 bis 69 % || 0,5 und 0,6 || 0,6 |- | hochgradige Stenose || 70 bis 99 % || 0,7 und 0,8 || 0,8 |- | Okklusion || 100 % || nicht gerechnet || entfällt |} '''Anmerkung''': Die Klassengrenzen dienen der Einordnung der Modellvarianten. Die in der Tabelle genannten Stenosegrade sind dimensionslose Werte, beispielsweise entspricht '''<math>s=0{,}6</math>''' einer Durchmesserreduktion von '''60 %'''. Für die numerische Untersuchung wird aus jeder Kategorie ein repräsentativer Stenosegrad hervorgehoben. Neben dem gesunden Gefäß mit '''0 %''' Stenose sind das eine '''30 %''' Stenose als Beispiel für eine leichtgradige, eine '''60 %''' Stenose als Beispiel für eine mittelgradige und eine '''80 %''' Stenose als Beispiel für eine hochgradige Verengung. Zusätzlich werden für das Graphenmodell und das achsensymmetrische Flächenmodell Stenosegrade von 0 bis 80 % in Schritten von zehn Prozentpunkten vorgesehen. Dadurch kann die Abhängigkeit der Strömungsgrößen vom Stenosegrad systematisch untersucht und grafisch dargestellt werden. Ob alle Modellvarianten tatsächlich berechnet wurden und wie hoch der Rechenaufwand war, wird anhand der durchgeführten Simulationen dokumentiert. Ein vollständiger Gefäßverschluss wird nicht simuliert, da in diesem Fall keine durchgängige Strömung mehr vorliegt. Der Stenosegrad wird in diesem Projekt wie bei NASCET über die Verringerung des Gefäßdurchmessers beschrieben, <math>s = 1 - \frac{d_{\min}}{d_{\mathrm{ref}}},</math> wobei <math>d_{\min}</math> der kleinste Durchmesser in der Engstelle und <math>d_{\mathrm{ref}}</math> ein Referenzdurchmesser ist. NASCET verwendet als Referenz den Durchmesser des gesunden Gefäßes stromabwärts der Stenose. Für das idealisierte gerade Gefäßmodell wird ein konstanter Referenzdurchmesser von <math>D_0=6\,\mathrm{mm}</math> angenommen. Da das Gefäß außerhalb der Stenose denselben Durchmesser besitzt, gilt in diesem Modell<math>d_{\mathrm{ref}}=D_0</math>. Bei der zusätzlich betrachteten Gefäßaufzweigung muss der Referenzdurchmesser dagegen gesondert festgelegt werden, da die Gefäßäste unterschiedliche Durchmesser besitzen. Wichtig für das Verständnis aller weiteren Ergebnisse ist der Unterschied zwischen Durchmesser- und Flächenreduktion. Da die Querschnittsfläche quadratisch vom Durchmesser abhängt, gilt für die Flächenreduktion <math>1-(1-s)^2</math>. Eine im klinischen Sinn nur mittelgradige Stenose von 60 % verschließt damit bereits 84 % der Querschnittsfläche. {| class="wikitable" |+ Durchmesser- und Flächenreduktion der gerechneten Stenosegrade ! Stenosegrad s !! 0 !! 0,1 !! 0,2 !! 0,3 !! 0,4 !! 0,5 !! 0,6 !! 0,7 !! 0,8 |- | engster Durchmesser in mm || 6,0 || 5,4 || 4,8 || 4,2 || 3,6 || 3,0 || 2,4 || 1,8 || 1,2 |- | Flächenreduktion || 0 % || 19 % || 36 % || 51 % || 64 % || 75 % || 84 % || 91 % || 96 % |} Eine Einschränkungen gehört zur ehrlichen Einordnung: # Mit zunehmendem Stenosegrad, insbesondere bei ausgeprägten Verengungen, können lokale Beschleunigungen, Strömungsablösungen und zeitabhängige Strömungsstrukturen auftreten. Daher muss bei den hochgradigen Stenosen geprüft werden, inwieweit die Annahme einer stationären, laminaren Strömung geeignet ist. Eine feste Grenze bei <math>s=0{,}6</math> lässt sich ohne entsprechende Simulationsergebnisse oder Literaturbelege nicht allgemein festlegen. Die hochgradigen Fälle werden deshalb unter besonderer Berücksichtigung der Modellannahmen diskutiert. Unter Modellierung wird in diesem Projekt die Übertragung der Blutströmung in einer verengten Arterie auf ein mathematisches und numerisch lösbares Strömungsproblem verstanden. Dazu werden die Gefäßgeometrie, die zugrunde liegenden Gleichungen, die physikalischen Materialparameter sowie die Anfangs- und Randbedingungen festgelegt. Jeder dieser Bestandteile beruht auf vereinfachenden Annahmen, die begründet und bei der Interpretation der Ergebnisse berücksichtigt werden müssen. Ziel ist es, den Einfluss unterschiedlicher Stenosegrade auf die Strömungsgeschwindigkeit, den Druckverlust und gegebenenfalls die Wandschubspannung systematisch zu untersuchen. Die Modellierung erfolgt anhand mehrerer Modellvarianten mit unterschiedlicher räumlicher Auflösung. Dadurch können zunächst grundlegende Zusammenhänge analytisch abgeschätzt und anschließend mit numerischen Strömungsberechnungen verglichen werden. Die verwendeten Parameter orientieren sich an den bereitgestellten Referenzdaten und werden in den folgenden Abschnitten erläutert. == Modellierung == Ziel der Modellierung ist es, die Blutströmung innerhalb einer Y-förmigen Aufzweigung der Halsschlagader mathematisch und numerisch zu untersuchen. Im Mittelpunkt steht eine Gefäßverengung (Stenose) in der Arteria carotis interna. Das betrachtete Gefäßmodell besteht aus der Arteria carotis communis, die sich in die Arteria carotis interna und die Arteria carotis externa aufteilt. Die Stenose befindet sich ausschließlich in der Arteria carotis interna. Durch die Verengung verändert sich der verfügbare Strömungsquerschnitt. Dies kann zu einer Erhöhung der lokalen Strömungsgeschwindigkeit, zu zusätzlichen Druckverlusten und zu einer Veränderung der Strömungsverteilung zwischen den beiden Gefäßästen führen. Ziel ist es, den Einfluss unterschiedlicher Stenosegrade auf die Strömungsgeschwindigkeit, die Druckverteilung und die Wandschubspannung zu untersuchen. Zusätzlich soll betrachtet werden, wie sich die Strömung innerhalb der Y-förmigen Gefäßaufzweigung verhält. Die numerische Modellierung erfolgt mit COMSOL Multiphysics. Dazu werden die Gefäßgeometrie, die Materialeigenschaften des Blutes, die Strömungsgleichungen und die Randbedingungen festgelegt. Zur Vereinfachung wird Blut zunächst als inkompressibles, Newtonsches Fluid betrachtet. Die Gefäßwände werden als starr angenommen. Diese Annahmen ermöglichen eine systematische Untersuchung der Stenose, schränken jedoch die Übertragbarkeit auf reale physiologische Bedingungen ein. === Modellhierarchie === Für die Untersuchung der Blutströmung innerhalb der Y-förmigen Karotisaufzweigung werden drei Modellvarianten betrachtet. Diese unterscheiden sich hinsichtlich ihrer räumlichen Dimension, ihrer mathematischen Beschreibung und der Genauigkeit, mit der die Strömungsverhältnisse dargestellt werden können. Das untersuchte Gefäß besteht aus der Arteria carotis communis, die sich in die Arteria carotis interna und die Arteria carotis externa aufteilt. Die Stenose befindet sich ausschließlich in der Arteria carotis interna. Alle drei Modellvarianten werden mit COMSOL Multiphysics umgesetzt. {| class="wikitable" style="width:100%;" |+ '''Die drei Modellvarianten des Projekts''' |- ! Modell ! Raumdimension ! Mathematische Grundlage ! Zweck ! Werkzeug |- | '''Graphenmodell''' | 1D, Gefäßnetzwerk mit einer Verzweigung | Massenerhaltung an der Verzweigung und vereinfachte Beschreibung der Strömungswiderstände | Abschätzung der Volumenstromverteilung und der Druckverluste in den Gefäßästen | COMSOL Multiphysics |- | '''Ebenes Flächenmodell''' | 2D, Y-förmige Gefäßgeometrie in kartesischen Koordinaten | Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen | Untersuchung der Geschwindigkeits- und Druckverteilung sowie der Auswirkungen der Stenose in der Arteria carotis interna | COMSOL Multiphysics, Laminare Strömung |- | '''Volumenmodell''' | 3D, räumliche Y-förmige Gefäßgeometrie | Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen | Räumliche Untersuchung des Geschwindigkeitsfeldes, des Druckverlustes und der Wandschubspannung | COMSOL Multiphysics, Laminare Strömung |} ==== Vergleich und Überprüfung der Modellvarianten ==== Die drei Modellvarianten bauen hinsichtlich ihrer räumlichen Beschreibung aufeinander auf. Das Graphenmodell ermöglicht zunächst eine vereinfachte Betrachtung der Volumenströme und Druckverluste. Die zwei- und dreidimensionalen Modelle erlauben anschließend eine detailliertere Untersuchung der Strömung innerhalb der Gefäßaufzweigung. Das '''Graphenmodell''' beschreibt die Arteria carotis communis sowie die beiden abzweigenden Gefäße als miteinander verbundenes Netzwerk. Dabei wird die Massenerhaltung an der Verzweigung berücksichtigt: :<math>Q_{\mathrm{CCA}}=Q_{\mathrm{ICA}}+Q_{\mathrm{ECA}}</math> Das Modell liefert vereinfachte Abschätzungen der Volumenstromverteilung. Lokale Strömungsablösungen und räumliche Geschwindigkeitsverteilungen können damit nicht detailliert dargestellt werden. Das '''ebene Flächenmodell''' bildet die Y-förmige Gefäßaufzweigung in zwei Raumdimensionen ab. Die Stenose wird innerhalb der Arteria carotis interna berücksichtigt. Dadurch können die Geschwindigkeits- und Druckverteilung sowie mögliche Rückströmungsbereiche untersucht werden. Das '''Volumenmodell''' erweitert die Untersuchung auf drei Raumdimensionen. Es ermöglicht eine räumliche Darstellung der Strömung und eine detailliertere Berechnung der Wandschubspannung. Die Ergebnisse des ebenen Flächenmodells und des Volumenmodells werden miteinander verglichen. Da das ebene Modell die räumliche Querschnittsgeometrie nur vereinfacht darstellt, müssen Unterschiede zwischen den beiden Modellen bei der Interpretation berücksichtigt werden. Ziel der Modellhierarchie ist es, die Aussagekraft der einzelnen Modellvarianten zu bewerten und den Einfluss des Stenosegrades auf die Strömung innerhalb der Y-förmigen Karotisaufzweigung zu untersuchen. === Simulationsgebiet und Geometrie === Das Simulationsgebiet besteht aus einer idealisierten Y-förmigen Aufzweigung der Arteria carotis. Die Arteria carotis communis teilt sich in die Arteria carotis interna und die Arteria carotis externa. Die Stenose befindet sich in der Arteria carotis interna. Die Arteria carotis externa wird ohne zusätzliche Verengung modelliert. Die Geometrie orientiert sich an den bereitgestellten Referenzdaten. Die Gefäßdurchmesser werden innerhalb der jeweiligen unverengten Abschnitte als konstant angenommen. {| class="wikitable" style="width:100%;" |+ '''Geometrische Referenzparameter der Y-förmigen Gefäßaufzweigung''' |- ! Gefäßabschnitt ! Durchmesser ! Länge |- | Arteria carotis communis | 6 mm | 60 mm |- | Arteria carotis interna | 5 mm | 60 mm |- | Arteria carotis externa | 4 mm | 60 mm |- | Stenose in der Arteria carotis interna | Abhängig vom Stenosegrad | 10 bzw. 20 mm |} Die Verengung wird über den Stenosegrad <math>s</math> beschrieben. Dieser gibt die relative Verringerung des Gefäßdurchmessers an: :<math>s=1-\frac{d_{\min}}{D_{\mathrm{ICA}}}</math> Dabei bezeichnet <math>d_{\min}</math> den minimalen Durchmesser innerhalb der Stenose und <math>D_{\mathrm{ICA}}</math> den unverengten Referenzdurchmesser der Arteria carotis interna. Für das Modell gilt: :<math>D_{\mathrm{ICA}}=5\,\mathrm{mm}</math> Der minimale Durchmesser ergibt sich damit zu: :<math>d_{\min}=D_{\mathrm{ICA}}(1-s)</math> {| class="wikitable" |+ '''Minimaler Durchmesser der Stenose in der Arteria carotis interna''' |- ! Stenosegrad ! Minimaler Durchmesser |- | 0 % | 5,0 mm |- | 10 % | 4,5 mm |- | 20 % | 4,0 mm |- | 30 % | 3,5 mm |- | 40 % | 3,0 mm |- | 50 % | 2,5 mm |- | 60 % | 2,0 mm |- | 70 % | 1,5 mm |- | 80 % | 1,0 mm |} Die angegebenen Stenosegrade beziehen sich ausschließlich auf den Durchmesser der Arteria carotis interna. Der Durchmesser der Arteria carotis communis wird nicht zur Berechnung des Stenosegrades verwendet. Die Y-förmige Geometrie ermöglicht es, die Auswirkungen der Verengung sowohl auf die lokale Strömung in der Arteria carotis interna als auch auf die Strömungsverteilung innerhalb der gesamten Gefäßaufzweigung zu untersuchen. Die genaue Form der Stenose, der Verzweigungswinkel und die Übergänge zwischen den Gefäßabschnitten müssen entsprechend der tatsächlich in COMSOL verwendeten Geometrie dokumentiert werden. == Stoff- und Strömungsparameter == Die Stoffwerte des Blutes und der Volumenstrom sind die einzigen Eingangsgrößen, die nicht aus der Geometrie folgen. Aus ihnen werden alle weiteren Strömungskennwerte berechnet. Die folgenden Schritte zeigen jede Rechnung einzeln, damit sich jeder Wert nachprüfen lässt. # Die '''Dichte''' wird mit <math>\rho = 1060\ \mathrm{kg/m^3}</math> angesetzt. Der Wert lässt sich als Mischungsregel plausibel machen. Plasma hat eine Dichte von etwa 1025 kg/m³, rote Blutkörperchen von etwa 1100 kg/m³. Bei einem Zellanteil von 45 % ergibt sich <math>0{,}55 \cdot 1025 + 0{,}45 \cdot 1100 \approx 1059\ \mathrm{kg/m^3}</math>. Die Dichte geht nur über die Reynoldszahl in die Rechnung ein, eine Abweichung von einem Prozent ändert die Ergebnisse daher kaum. <!-- FIXME Lehrbuchquelle fuer Plasma- und Erythrozytendichte ergaenzen --> # Die '''dynamische Viskosität''' wird mit <math>\mu = 3{,}5\ \mathrm{mPa\,s}</math> angesetzt. Das ist der Grenzwert der Blutviskosität bei hohen Scherraten, also genau der Wert, der zur Newtonschen Näherung gehört. Derselbe Wert von 0,035 Poise wird auch im Standardwerk zur Modellierung des Herz-Kreislauf-Systems verwendet.<ref name="quarteroni">Quarteroni, A.; Formaggia, L.: ''Mathematical Modelling and Numerical Simulation of the Cardiovascular System.'' In: Ayache, N. (Hrsg.): ''Computational Models for the Human Body.'' Handbook of Numerical Analysis, Bd. XII, Elsevier, Amsterdam 2004, S. 3-127. DOI 10.1016/S1570-8659(03)12001-7. Zur Newtonschen Näherung in großen Gefäßen siehe S. 30, zur Viskosität von 0,035 Poise die Parametertabelle auf S. 116.</ref> # Der '''mittlere Volumenstrom''' wird mit <math>Q_0 = 6\ \mathrm{ml/s}</math> angesetzt. Das ist der zeitlich gemittelte Volumenstrom, der in der gemeinsamen Halsschlagader gesunder Probanden gemessen wurde. # Die '''mittlere Geschwindigkeit''' folgt aus Volumenstrom und Querschnittsfläche, <math>U_0 = \frac{Q_0}{\pi R_0^2} = \frac{6 \cdot 10^{-6}\ \mathrm{m^3/s}}{\pi \cdot (0{,}003\ \mathrm{m})^2} = 0{,}2122\ \mathrm{m/s}</math>. # Die '''Reynoldszahl''' des gesunden Gefäßes ist <math>Re_0 = \frac{\rho\, U_0\, D_0}{\mu} = \frac{1060 \cdot 0{,}2122 \cdot 0{,}006}{0{,}0035} = 385{,}6</math>. Sie wird im Folgenden auf 386 gerundet. # Die '''Einlauflänge''', die eine anfangs gleichförmige Strömung bis zum voll entwickelten Parabelprofil bräuchte, beträgt nach der gebräuchlichen Abschätzung für laminare Rohrströmungen <math>L_e \approx 0{,}06\, Re_0\, D_0 \approx 0{,}06 \cdot 386 \cdot 6\ \mathrm{mm} \approx 139\ \mathrm{mm}</math>.<ref name="durst">Durst, F.; Ray, S.; Ünsal, B.; Bayoumi, O. A.: ''The development lengths of laminar pipe and channel flows.'' Journal of Fluids Engineering 127 (2005), Nr. 6, S. 1154-1160. Für große Reynoldszahlen nähert sich die dort angegebene Korrelation dem Wert 0,057·Re·D.</ref> Das ist fast die gesamte Länge des Rechengebiets. Ein konstantes Einlassprofil würde die Strömung an der Stenose also verfälschen, weshalb am Einlass das voll entwickelte Profil vorgegeben wird. Damit liegen alle globalen Parameter fest. Die folgende Tabelle enthält sie mit genau den Namen, unter denen sie in COMSOL und in den Octave-Skripten verwendet werden. {| class="wikitable" |+ Globale Parameter des Modells ! Name !! Ausdruck in COMSOL !! Wert !! Bedeutung !! Herkunft |- | R0 || 3[mm] || 3 mm || Gefäßradius || Messwerte nach Krejza u. a. 2006, gerundet |- | D0 || 2*R0 || 6 mm || Gefäßdurchmesser || abgeleitet |- | Ls || 2*D0 || 12 mm || Länge der Störstelle || Standardgeometrie nach Varghese u. a. 2007 |- | Lu || 5*D0 || 30 mm || Vorlaufstrecke vor der Stenosemitte || Abstand der Einlassbedingung von der Stenose |- | Ld || 20*D0 || 120 mm || Nachlaufstrecke hinter der Stenosemitte || Platz für das Rückströmgebiet |- | Lf || Ls/2+10*D0 || 66 mm || Ende des fein vernetzten Nachlaufs || erwartete Länge des Rückströmgebiets |- | s || 0 bis 0.8 || 0 bis 0,8 || Stenosegrad bezogen auf den Durchmesser || NASCET-Einteilung |- | rho_b || 1060[kg/m^3] || 1060 kg/m³ || Dichte des Blutes || Mischungsregel, Literaturwert |- | mu_b || 3.5[mPa*s] || 3,5 mPa·s || dynamische Viskosität des Blutes || Hochscherwert, Quarteroni und Formaggia 2004 |- | Q0 || 6[ml/s] || 6 ml/s || mittlerer Volumenstrom || Messwerte nach Holdsworth u. a. 1999 |- | U0 || Q0/(pi*R0^2) || 0,2122 m/s || mittlere Einströmgeschwindigkeit || abgeleitet |- | Re0 || rho_b*U0*D0/mu_b || 385,6 || Reynoldszahl des gesunden Gefäßes || abgeleitet |- | dp_ref || 8*mu_b*U0*(Lu+Ld)/R0^2 || 99,03 Pa || Poiseuille-Druckabfall des gesunden Gefäßes || abgeleitet, Hagen-Poiseuille |} = Implementierung des 2D-Modells in COMSOL Multiphysics = == Zielsetzung des zweidimensionalen Modells == Im Rahmen des Projekts wurde mit COMSOL Multiphysics ein zweidimensionales Modell der menschlichen Halsschlagader erstellt. Ziel ist es, die Blutströmung innerhalb einer Gefäßverzweigung zu untersuchen und insbesondere die Auswirkungen einer lokalen Gefäßverengung (Stenose) auf das Strömungsverhalten zu analysieren. Das Modell bildet die Aufzweigung der Arteria carotis communis (ACC) in die Arteria carotis interna (ACI) und die Arteria carotis externa (ACE) ab. Während die ACE als gesunder Gefäßabschnitt betrachtet wird, befindet sich in der ACI eine lokale Verengung. Dadurch können die Strömungsverhältnisse in beiden Ästen miteinander verglichen werden. Die zweidimensionale Modellierung dient dazu, die Geschwindigkeitsverteilung, den Druckabfall und die Wandschubspannung zu untersuchen. Zusätzlich soll festgestellt werden, ob sich hinter der Stenose Bereiche mit Strömungsablösungen oder Rückströmungen ausbilden. ==Vorgehen== Für die numerische Untersuchung in COMSOL Multiphysics 6.2 zunächst ein zweidimensionales Modell mit der Physik ''Laminare Strömung'' und einer ''stationären Studie'' angelegt. Die Gefäßgeometrie wurde vollständig parametrisiert, damit Durchmesser, Gefäßlängen, Verzweigungswinkel, Stenosegrad sowie die Stenoselänge veränderbar sind, ohne das Modell jeweils neu zu zeichnen. Das gemeinsame Zuflussgefäß stellt die Arteria carotis communis mit einem Durchmesser von <math>6\,\mathrm{mm}</math> dar. Nach einem geraden Einlaufabschnitt von <math>60\,\mathrm{mm}</math> teilt es sich V-förmig in die beiden Tochtergefäße auf. Die Arteria carotis interna wird mit einem Durchmesser von <math>5\,\mathrm{mm}</math>, die Arteria carotis externa mit <math>4\,\mathrm{mm}</math> modelliert. Beide Tochtergefäße sind jeweils <math>60\,\mathrm{mm}</math> lang. Die Grundgeometrie wurde als zusammenhängender zweidimensionaler Volumenkörper aufgebaut. Die beiden Tochtergefäße verlaufen nach der Bifurkation unter einem Winkel auseinander, sodass eine idealisierte Y-förmige Karotisgabel entsteht. Die Übergänge zwischen dem gemeinsamen Gefäß und den beiden Ästen wurden bewusst vereinfacht, aber ohne abrupte Querschnittssprünge gestaltet. Auf diese Weise bleibt die Geometrie ausreichend einfach für einen systematischen Vergleich verschiedener Modellvarianten, bildet die typische Aufzweigung einer Karotis. Die Stenose befindet sich ausschließlich in der Arteria carotis interna. Um die Verengung nicht durch gerade Polygonsegmente mit scharfen Knicken darzustellen, wurde ihre Kontur mithilfe von zwei parametrischen Kosinuskurven erzeugt. Zur Beschreibung der Stenose wird eine parametrische Kurve mit dem Hilfsparameter <math>t</math> verwendet. Dieser nimmt Werte zwischen <math>-1</math> und <math>1</math> an. Über die Beziehung <math>x(t)=x_\mathrm{st}+\frac{L_\mathrm{st}}{2}t</math> wird der Parameter auf die räumliche Position entlang des Gefäßes übertragen. Für <math>t=-1</math> liegt der Beginn der Stenose bei <math>x_\mathrm{st}-L_\mathrm{st}/2</math>, für <math>t=0</math> befindet sich die Kurve in der Stenosenmitte und für <math>t=1</math> am Ende bei <math>x_\mathrm{st}+L_\mathrm{st}/2</math>. Dadurch kann die Länge der Stenose über den Parameter <math>L_\mathrm{st}</math> verändert werden, ohne ihre Mittelpunktposition <math>x_\mathrm{st}</math> zu verschieben. Die Einengung wächst vom Beginn der Stenose kontinuierlich bis zur Engstelle an und nimmt danach ebenso kontinuierlich wieder ab. Dadurch entstehen glatte Wandübergänge. Die Stärke der Einengung wird über den dimensionslosen Stenosegrad <math>s</math> gesteuert. Für einen unverengten Durchmesser der Arteria carotis interna von <math>D_\mathrm{ACI}=5\,\mathrm{mm}</math> ergibt sich bei einem Stenosegrad von <math>s=0{,}3</math> eine minimale Gefäßweite von <math>3{,}5\,\mathrm{mm}</math>, bei <math>s=0{,}6</math> von <math>2{,}0\,\mathrm{mm}</math> und bei <math>s=0{,}8</math> von <math>1{,}0\,\mathrm{mm}</math>. Die minimale Gefäßweite ergibt sich allgemein aus <math>d_\mathrm{min}=D_\mathrm{ACI}(1-s)</math>. Die beiden parametrischen Kurven wurden mit Hilfslinien zu geschlossenen Flächen ergänzt und anschließend über „Umwandeln in Volumenkörper“ in Flächenobjekte überführt. Mithilfe einer Differenzoperation wurden diese Flächen aus dem Gefäßgebiet ausgeschnitten. Auf diese Weise bleibt die Grundgeometrie des Gefäßes unverändert, während Stenosegrad und Stenosenlänge allein über globale Parameter variiert werden können. Für die Strömung wurde Blut als inkompressibles Newtonsches Fluid mit konstanter Dichte und Viskosität angenähert. Verwendet werden eine Dichte von <math>\rho=1060\,\mathrm{kg/m^3}</math> und eine dynamische Viskosität von <math>\mu=3,5\,\mathrm{mPa s}</math>. Am Einlass wird ein voll entwickeltes Geschwindigkeitsprofil vorgegeben. Aus dem auf der Projektseite angesetzten mittleren Volumenstrom von <math>6\,\mathrm{ml/s}</math> ergibt sich für das <math>6\,\mathrm{mm}</math> breite Zuflussgefäß eine mittlere Geschwindigkeit von rund <math>0{,}21\,\mathrm{m/s}</math>. An beiden Auslässen wird derselbe Referenzdruck vorgegeben, während an sämtlichen Gefäßwänden die Haftbedingung (No Slip) gilt. Nach Fertigstellung der Geometrie wurde ein physikgesteuertes Finite-Elemente-Netz erzeugt und die stationäre Navier-Stokes-Strömung berechnet. Anschließend wurden insbesondere der Geschwindigkeitsbetrag, die Druckverteilung und die Stromlinien ausgewertet. Die Stromlinien dienen dabei nicht nur der Visualisierung der Aufteilung des Blutstroms an der Bifurkation, sondern auch zur Erkennung möglicher Ablöse- und Rückströmungsgebiete hinter der Stenose. Zusätzlich kann die Wandschubspannung entlang der Gefäßwand ausgewertet werden. Die verschiedenen Stenosegrade werden jeweils bei ansonsten identischen Randbedingungen miteinander und mit dem gesunden Referenzfall verglichen. == Ergebnisse der 2D-Strömungssimulation == Die zweidimensionale Strömungssimulation wurde mit COMSOL Multiphysics durchgeführt, um die Auswirkungen einer lokalen Gefäßverengung auf die Blutströmung innerhalb einer idealisierten Karotis-Bifurkation zu untersuchen. Im Mittelpunkt der Auswertung stehen die Geschwindigkeitsverteilung, die Druckverteilung sowie die Wandschubspannung. Ergänzend werden Stromlinien betrachtet, um mögliche Veränderungen des Strömungsverlaufs und das Auftreten von Rückströmungsgebieten hinter der Stenose zu untersuchen. Für die aktuell betrachtete Modellvariante beträgt der eingestellte Stenosegrad 80 %. Die Ergebnisse werden hinsichtlich ihrer strömungsmechanischen Bedeutung interpretiert und unter Berücksichtigung der vereinfachenden Modellannahmen bewertet. === Geschwindigkeitsverteilung und Stromlinien === Die Geschwindigkeitsverteilung der zweidimensionalen Karotis-Bifurkation wurde mithilfe des Geschwindigkeitsbetrags ''spf.U'' in COMSOL Multiphysics untersucht. Die berechneten Geschwindigkeiten liegen gemäß der dargestellten Farbskala zwischen nahezu 0 m/s an den Gefäßwänden und ungefähr 0,32 m/s im Strömungsgebiet. Im gemeinsamen Zuflussgefäß zeigt sich eine erhöhte Strömungsgeschwindigkeit im zentralen Bereich, während die Geschwindigkeit zu den Gefäßwänden hin abnimmt. An der Gefäßverzweigung teilt sich die Strömung auf die beiden Tochtergefäße auf. Im oberen Gefäßast führt die lokale Querschnittsverengung zu einer Veränderung der Geschwindigkeitsverteilung. Im Bereich der Engstelle sind erhöhte Geschwindigkeiten zu erkennen, während in wandnahen Bereichen geringere Geschwindigkeiten auftreten. Die zusätzlich dargestellten Stromlinien verdeutlichen den Verlauf der Strömung durch die Gefäßverzweigung. In der vorliegenden Darstellung sind keine eindeutig ausgeprägten geschlossenen Rückströmungsgebiete zu erkennen. '''Interpretation''': Die Ergebnisse zeigen, dass die Gefäßgeometrie die lokale Geschwindigkeitsverteilung beeinflusst. Insbesondere die Verengung verändert die Strömung im betroffenen Gefäßast. Aus der Geschwindigkeitsdarstellung allein lässt sich jedoch noch nicht beurteilen, ob hinter der Stenose eine Strömungsablösung auftritt. <div style="text-align:center;"> [[Datei:Geschwindigkeit spf.png|700px|zentriert|Geschwindigkeitsverteilung und Stromlinien der stationären 2D-Strömungssimulation einer idealisierten Karotis-Bifurkation mit lokaler Stenose im oberen Gefäßast. Die Farbskala zeigt den Geschwindigkeitsbetrag in m/s.]] <small>'''Abbildung 1:''' Geschwindigkeitsverteilung und Stromlinien der stationären 2D-Strömungssimulation einer idealisierten Karotis-Bifurkation mit lokaler Stenose im oberen Gefäßast. Die Farbskala zeigt den Geschwindigkeitsbetrag in m/s.</small> </div> ==== Auswertung ==== Die quantitative Auswertung des Geschwindigkeitsfeldes mittels der COMSOL-Funktion ''Oberflächenmaximum'' ergibt für das gesamte zweidimensionale Strömungsgebiet eine maximale Geschwindigkeit von '''0,31853 m/s'''. Dieser Wert bestätigt die aus der Farbskala abgelesene Größenordnung von etwa '''0,32 m/s'''. Die maximale Geschwindigkeit beschreibt den höchsten lokal auftretenden Geschwindigkeitsbetrag im untersuchten Modell mit einer ACI-Stenose von ''80 %''. Aus dem Maximalwert allein lässt sich jedoch noch nicht bestimmen, an welcher Position innerhalb des Gefäßes dieser auftritt. Auch eine mögliche Rückströmung kann damit nicht nachgewiesen werden. {| class="wikitable" style="text-align:center;" ! Stenosegrad ! <math>u_\mathrm{max}</math> [m/s] |- | 0 % | 0,284 |- | 30 % | 0,271 |- | 60 % | 0,349 |- | 80 % | 0,394 |} ===== Untersuchung möglicher Rückströmungsbereiche ===== Zur Untersuchung möglicher Rückströmungsbereiche wurde der stenotische Abschnitt der ACI vergrößert dargestellt. Zusätzlich zum Geschwindigkeitsfeld wurden Stromlinien mit erhöhter Startpunktanzahl visualisiert. Die Stromlinien zeigen eine Bündelung der Strömung im Bereich der Engstelle und eine anschließende Auffächerung im erweiterten Gefäßabschnitt. In der vergrößerten Darstellung treten entlang der oberen und unteren Gefäßwand hinter der Stenose, ungefähr zwischen x = 104 mm und x = 108 mm, schmale Bereiche mit negativer Geschwindigkeitskomponente auf. Die negative Geschwindigkeitskomponente wurde entlang einer um 15° geneigten Richtung bestimmt. Die dargestellten Werte liegen im Bereich weniger Millimeter pro Sekunde und sind damit deutlich kleiner als die maximale Strömungsgeschwindigkeit von 0,31853 m/s. Trotz der erhöhten Stromliniendichte ist kein eindeutig geschlossenes Rezirkulationsgebiet erkennbar. Die negativen Geschwindigkeitskomponenten liefern Hinweise auf lokale Veränderungen der Strömungsrichtung, stellen jedoch allein keinen sicheren Nachweis einer Strömungsablösung dar. <div style="text-align:center;"> [[Datei:Rückströmungsgebiete 2D.png|800px|zentriert|Vergrößerte Darstellung der Stromlinien und möglicher Rückströmungsbereiche hinter der 80-%-Stenose der ACI. Die Farbskala zeigt die negative Geschwindigkeitskomponente entlang einer um 15° geneigten Richtung. Schmale Bereiche mit negativen Werten sind an den Gefäßwänden erkennbar. Ein geschlossenes Rezirkulationsgebiet ist nicht eindeutig nachweisbar.]] <small>'''Abbildung 2:''' Vergrößerte Darstellung des ACI-Abschnitts hinter der Stenose. Die Farbskala zeigt die Geschwindigkeitskomponente in einer um 15° geneigten Richtung in m/s. Negative Werte weisen auf lokale Strömungsanteile entgegen dieser Richtung hin, belegen jedoch für sich genommen noch keine geschlossene Rezirkulationszone.</small> </div> === Druckverteilung und Druckabfall === Die Druckverteilung wurde anhand der berechneten Isobaren innerhalb der zweidimensionalen Karotis-Bifurkation untersucht. Dabei zeigt sich eine Abnahme des statischen Drucks vom gemeinsamen Zuflussgefäß in Richtung der beiden Gefäßausgänge. Der maximale berechnete Druck beträgt etwa '''74,2 Pa''', während der minimale Druck bei etwa '''−19,9 Pa''' liegt. Daraus ergibt sich eine globale Druckspanne von ungefähr '''94,1 Pa'''. Besonders auffällig ist die Druckverteilung im Bereich der Stenose der Arteria carotis interna (ACI). Dort liegen die Isobaren deutlich enger beieinander, was auf einen ausgeprägten lokalen Druckgradienten hinweist. Stromabwärts der Engstelle treten zudem Bereiche mit niedrigem statischem Druck auf. '''Interpretation''': Die Ergebnisse zeigen, dass die Stenose die lokale Druckverteilung im ACI-Ast deutlich beeinflusst. Die Beschleunigung der Strömung innerhalb der Verengung geht mit einer Abnahme des statischen Drucks einher. Die globale Druckspanne von 94,1 Pa darf jedoch nicht mit dem irreversiblen Druckverlust über der Stenose gleichgesetzt werden. Die globale Druckspanne von 94,1 Pa ist nicht mit dem Druckabfall über der Stenose gleichzusetzen. Zur genaueren Untersuchung wurden deshalb zwei Messquerschnitte vor und hinter der Engstelle ausgewertet. Zwischen diesen ergibt sich eine mittlere statische Druckdifferenz von 36,24 Pa. <div style="text-align:center;"> [[Datei:Druckverteilung_2D.png|800px|zentriert|Druckverteilung der stationären 2D-Strömungssimulation einer idealisierten Karotis-Bifurkation mit 80 % Stenose in der Arteria carotis interna (ACI). Die Isobaren zeigen den Druckverlauf innerhalb der Gefäßgeometrie. Besonders im Bereich der Stenose ist ein ausgeprägter lokaler Druckgradient erkennbar. Der berechnete Druck liegt zwischen −19,9 Pa und 74,2 Pa.]] <small>'''Abbildung 3:''' Druckverteilung der stationären 2D-Strömungssimulation einer idealisierten Karotis-Bifurkation mit 80 % Stenose in der Arteria carotis interna (ACI). Die Isobaren zeigen den Druckverlauf innerhalb der Gefäßgeometrie. Besonders im Bereich der Stenose ist ein ausgeprägter lokaler Druckgradient erkennbar. Der berechnete Druck liegt zwischen −19,9 Pa und 74,2 Pa.</small> </div> ==== Quantitative Bestimmung der Druckdifferenz ==== Zur quantitativen Untersuchung des Druckabfalls wurden zwei Messquerschnitte im ACI-Ast definiert, einer vor und einer hinter der Stenose. Mithilfe der COMSOL-Funktion „Linienmittelwert“ wurde der mittlere statische Druck an beiden Positionen bestimmt. Vor der Stenose beträgt der mittlere Druck '''35,232 Pa''', während hinter der Stenose ein Wert von '''−1,0042 Pa''' ermittelt wurde. Daraus ergibt sich eine Druckdifferenz von '''36,24 Pa'''. Die Ergebnisse zeigen eine deutliche Abnahme des statischen Drucks zwischen den beiden Messquerschnitten. Diese Druckdifferenz verdeutlicht die Druckänderung entlang des stenotischen ACI-Astes. Sie ist jedoch nicht mit dem ausschließlich durch die Stenose verursachten irreversiblen Druckverlust gleichzusetzen, da auch die Strömungsentwicklung in den angrenzenden Gefäßabschnitten berücksichtigt wird. {| class="wikitable" style="text-align:center;" ! Stenosegrad ! <math>\bar p_\mathrm{vor}</math> [Pa] ! <math>\bar p_\mathrm{nach}</math> [Pa] ! <math>\Delta p</math> [Pa] |- | 0 % | 11,631 | 4,2461 | 7,3849 |- | 30 % | 16,919 | 2,9220 | 13,997 |- | 60 % | 35,835 | -0,58267 | 36,41767 |- | 80 % | 70,562 | -0,55906 | 71,12106 |} === Wandschubspannung === Zur Untersuchung der mechanischen Belastung der Gefäßwände wurde die Wandschubspannung (Wall Shear Stress, WSS) im zweidimensionalen Strömungsmodell ausgewertet. Sie beschreibt die tangentiale viskose Spannung, die durch die Strömung an der Gefäßwand entsteht. Die quantitative Auswertung erfolgte für die obere und untere Wand des stenotischen ACI-Abschnitts. Hierfür wurden die entsprechenden Wandkanten in COMSOL ausgewählt und der Betrag der Wandschubspannung bestimmt. Für den untersuchten Stenosebereich ergibt sich eine maximale Wandschubspannung von '''3,2282 Pa'''. Der Wert beschreibt das Maximum auf den ausgewählten Wandkanten der 80-%-Stenose. Da für diese Auswertung der Betrag der Wandschubspannung verwendet wurde, lässt sich daraus allein keine Aussage über eine mögliche Umkehr der wandnahen Strömungsrichtung ableiten. Zur Untersuchung möglicher Ablösebereiche ist zusätzlich eine Auswertung der vorzeichenbehafteten tangentialen Wandschubspannung erforderlich. <div style="text-align:center;"> [[Datei:Wandschubspannung.png|800px|zentriert|Verteilung des Betrags der Wandschubspannung entlang ausgewählter Gefäßwandabschnitte im Bereich der ACI-Stenose. Lokal treten erhöhte Wandschubspannungen auf. Die separate quantitative Auswertung der beiden Stenosewände ergibt einen Maximalwert von 3,2282 Pa.]] <small>'''Abbildung 4:''' Verteilung des Betrags der Wandschubspannung entlang ausgewählter Gefäßwandabschnitte im Bereich der ACI-Stenose. Lokal treten erhöhte Wandschubspannungen auf. Die separate quantitative Auswertung der beiden Stenosewände ergibt einen Maximalwert von 3,2282 Pa.</small> </div> ==== Untersuchung der vorzeichenbehafteten Wandschubspannung ==== Zur weiteren Untersuchung möglicher Strömungsablösungen wurde die vorzeichenbehaftete tangentiale Wandschubspannung entlang der oberen und unteren ACI-Gefäßwand hinter der Stenose ausgewertet. An der oberen Gefäßwand steigt die berechnete Spannung von ungefähr −0,05 Pa auf +0,47 Pa an. Ein Vorzeichenwechsel tritt bei einer Bogenlänge von etwa 0,6 mm auf. An der unteren Gefäßwand steigt die Spannung von ungefähr −0,48 Pa auf +0,06 Pa an. Hier erfolgt ein Vorzeichenwechsel bei einer Bogenlänge von etwa 20 mm. Die Ergebnisse zeigen somit auf beiden untersuchten Wandabschnitten einen Vorzeichenwechsel der tangentialen Spannungskomponente. Dies kann auf Änderungen der wandnahen Strömungsrichtung hinweisen und ist mit möglichen Ablöse- oder Wiederanlagerungsvorgängen vereinbar. Die Bogenlängen beziehen sich jeweils auf den untersuchten Wandabschnitt und können nicht unmittelbar miteinander verglichen werden. Zudem hängt das Vorzeichen von der Orientierung der lokalen Wandtangente ab. Ein geschlossenes Rezirkulationsgebiet lässt sich aus den Vorzeichenwechseln allein nicht eindeutig nachweisen. <div style="text-align:center;"> [[Datei:WSS - Oberer Ast hinter Stenose.png|800px|zentriert|Verlauf der vorzeichenbehafteten tangentialen Wandschubspannung entlang der oberen ACI-Gefäßwand hinter der 80-%-Stenose. Bei einer Bogenlänge von etwa 0,6 mm tritt ein Vorzeichenwechsel auf. Dieser kann auf eine Änderung der wandnahen Strömungsrichtung hinweisen, stellt jedoch allein keinen eindeutigen Nachweis einer Strömungsablösung dar.]] <small>'''Abbildung 5:'''Verlauf der vorzeichenbehafteten tangentialen Wandschubspannung entlang der oberen ACI-Gefäßwand hinter der 80-%-Stenose. Bei einer Bogenlänge von etwa 0,6 mm tritt ein Vorzeichenwechsel auf. Dieser kann auf eine Änderung der wandnahen Strömungsrichtung hinweisen, stellt jedoch allein keinen eindeutigen Nachweis einer Strömungsablösung dar.</small> </div> <div style="text-align:center;"> [[Datei:WSS - Unterer Ast hinter Stenose.png|800px|zentriert|Verlauf der vorzeichenbehafteten tangentialen Wandschubspannung entlang der unteren ACI-Gefäßwand hinter der Stenose. Ein Vorzeichenwechsel tritt bei etwa 20 mm Bogenlänge auf.]] <small>'''Abbildung 6:'''Verlauf der vorzeichenbehafteten tangentialen Wandschubspannung entlang der unteren ACI-Gefäßwand hinter der Stenose. Ein Vorzeichenwechsel tritt bei etwa 20 mm Bogenlänge auf.</small> </div> === Zusammenfassende Bewertung der 2D-Ergebnisse === Die stationäre zweidimensionale Strömungssimulation mit einem Stenosegrad von 80 % zeigt deutliche Veränderungen der Strömungsgrößen innerhalb der idealisierten Karotis-Bifurkation. Die maximale Geschwindigkeit beträgt 0,31853 m/s. Zwischen den ausgewählten Messquerschnitten vor und hinter der ACI-Stenose ergibt sich eine mittlere statische Druckdifferenz von 36,24 Pa. Die maximale Wandschubspannung auf den ausgewerteten Stenosewänden beträgt 3,2282 Pa. Die Untersuchung der Geschwindigkeitskomponenten liefert Hinweise auf lokale Strömungsanteile entgegen der Hauptströmungsrichtung. Ein eindeutig abgegrenztes Rezirkulationsgebiet konnte anhand der vorliegenden Darstellungen jedoch nicht sicher nachgewiesen werden. Die Ergebnisse beschreiben zunächst den untersuchten Fall einer hochgradigen Stenose. Aus diesem einzelnen Fall lässt sich weder eine allgemeine Abhängigkeit der Strömungsgrößen vom Stenosegrad noch ein kritischer Stenosegrad für den Beginn der Strömungsablösung bestimmen. Dafür wäre eine vergleichende Auswertung weiterer Stenosegrade erforderlich. == Beantwortung der Forschungsfragen == '''Welche Strömungsgrößen reagieren empfindlich auf den Stenosegrad?''' Die Untersuchung der 80-%-Stenose zeigt deutliche Veränderungen der Geschwindigkeitsverteilung, des statischen Drucks und der Wandschubspannung. Die maximale Strömungsgeschwindigkeit beträgt 0,31853 m/s. Zwischen den ausgewählten Messquerschnitten vor und hinter der Stenose ergibt sich eine mittlere statische Druckdifferenz von 36,24 Pa. Die maximale Wandschubspannung auf den untersuchten Stenosewänden beträgt 3,2282 Pa.Da bisher nur die 80-%-Stenose quantitativ ausgewertet wurde, lässt sich noch nicht feststellen, welche dieser Größen bei zunehmendem Stenosegrad am stärksten reagiert. '''Ab welchem Stenosegrad tritt eine Strömungsablösung auf?''' Bei der untersuchten 80-%-Stenose zeigen die Geschwindigkeitskomponenten und die vorzeichenbehaftete Wandschubspannung Hinweise auf Veränderungen der wandnahen Strömungsrichtung hinter der Engstelle. Ein eindeutig geschlossenes Rezirkulationsgebiet konnte jedoch nicht nachgewiesen werden. Ein kritischer Stenosegrad für den Beginn einer Strömungsablösung lässt sich aus dieser einzelnen Simulation daher nicht bestimmen. Hierfür müssten weitere Stenosegrade unter vergleichbaren Bedingungen ausgewertet werden. '''Inwieweit sind die Annahmen einer stationären und laminaren Strömung geeignet?''' Die stationäre, laminare Modellierung ermöglicht es, grundlegende Auswirkungen einer Gefäßverengung auf die Strömung in einer idealisierten Karotis-Bifurkation zu untersuchen. Bei hochgradigen Stenosen können allerdings zeitabhängige und dreidimensionale Strömungsstrukturen auftreten. Diese werden durch das vorliegende stationäre 2D-Modell nicht vollständig erfasst. Die Simulationsergebnisse sind deshalb auf die gewählten Modellannahmen und Randbedingungen beschränkt. '''Zusammenfassend''' liefert die 2D-Simulation eine erste quantitative Beschreibung der Strömungsverhältnisse bei einer hochgradigen ACI-Stenose. Für allgemeine Aussagen über die Abhängigkeit vom Stenosegrad und den Beginn einer Strömungsablösung sind zusätzliche Vergleichsrechnungen erforderlich. = Grenzen des Modells = * Die untersuchte Gefäßgeometrie ist eine idealisierte Darstellung der Karotisaufzweigung. Individuelle anatomische Unterschiede werden nicht berücksichtigt. * Darüber hinaus werden die Gefäßwände als starr angenommen und Blut wird durch ein inkompressibles Newtonsches Fluid mit konstanter Viskosität beschrieben. * Die Strömung wird stationär berechnet. Die natürliche Pulsation des Blutflusses und zeitabhängige Effekte bleiben damit unberücksichtigt. * Insbesondere bei hochgradigen Stenosen können zeitabhängige Strömungsablösungen auftreten, die durch eine stationäre Modellierung nicht vollständig beschrieben werden. * Das Graphenmodell kann lokale Strömungsphänomene nicht detailliert erfassen. Das ebene Flächenmodell vereinfacht die räumliche Gefäßgeometrie. Auch das dreidimensionale Modell bleibt aufgrund der idealisierten Geometrie und der vereinfachten Materialannahmen eine Annäherung an die reale Blutströmung. * Die Ergebnisse sind daher als strömungsmechanische Untersuchung eines idealisierten Modells zu interpretieren und nicht als patientenspezifische medizinische Vorhersage. = Literaturverzeichnis = Alle Quellen sind an den Stellen im Text angegeben, an denen die zugehörigen Werte oder Aussagen verwendet werden. Die Liste wird aus diesen Angaben automatisch erzeugt. <references /> f4ftq2ptcmauhozhcisddt9nz0qn1ir 1118996 1118995 2026-11-06T16:15:07Z Nicole.pander 39567 /* Zusammenfassende Bewertung der 2D-Ergebnisse */ 1118996 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Joey Becker * Marie-Thérèse Heitele * Nicole Pander = Thema und Fragestellung = Gegenstand dieses Projekts ist die numerische Simulation der Blutströmung in einer verzweigten Halsschlagader ('''Carotis-Bifurkation''') unter dem Einfluss einer lokalen Gefäßverengung ('''Stenose'''). Im Vergleich zu einfachen Rohrströmungen wird hier die realitätsnahe Gefäßanatomie betrachtet: Die '''Arteria carotis communis (ACC)''' teilt sich in die '''Arteria carotis externa (ACE)''' und die '''Arteria carotis interna (ACI)''' auf. Während die '''ACE''' als gesunder, stenosefreier Ast dient, wird in der '''ACI''' eine geglättete, kosinusförmige Gefäßverengung modelliert. Um scharfe Kanten und unphysiologische Druckspitzen zu vermeiden, werden alle Wandübergänge und die Gabelungsspitze (Apex) anatomisch verrundet. Als Referenz dient ein gesundes, unverengtes Gefäß, in dem sich die Poiseuille-Strömung mit ihrem charakteristischen parabolischen Geschwindigkeitsprofil ausbildet. Diese Strömung ist aus zwei Gründen der natürliche Ausgangspunkt. Sie beschreibt den physiologischen Normalfall, mit dem jeder Stenosegrad verglichen wird, und sie ist exakt lösbar, sodass sich an ihr jede numerische Rechnung prüfen lässt, bevor die Verengung hinzukommt. == Fragestellung == Die Hauptfragestellung dieses Projektes lautet: Wie verändert eine symmetrische bzw. rotationssymmetrische Stenose in der '''Arteria carotis interna (ACI)''' die stationäre Strömung eines inkompressiblen Newton’schen Fluids in einer 2D-Carotis-Bifurkation hinsichtlich Geschwindigkeitsverteilung, Druckabfall, Wandschubspannung und Wirbelbildung im Vergleich zu den gesunden Gefäßabschnitten? Aus dieser Fragestellung ergeben sich drei Teilfragen, an denen sich der Aufbau der Seite orientiert: # Welche Strömungsgrößen reagieren empfindlich auf den Stenosegrad und welche nur träge? # Ab welchem Stenosegrad ändert sich das Strömungsmuster qualitativ, das heißt, ab wann löst die Strömung hinter der Engstelle von der Wand ab und bildet ein Rückströmgebiet? # Wie weit tragen die vereinfachenden Modellannahmen, insbesondere die Annahme einer stationären und laminaren Strömung, über den untersuchten Bereich der Stenosegrade? == Modellannahmen == Im Hinblick darauf werden für dieses Projekt einige Annahmen getroffen, um das Projekt möglichst isoliert zu untersuchen und zu simplifizieren: * '''Idealisierte Gefäßgeometrie''': Betrachtet wird ein Teilabbschnitt der ''Arteria carotis communis'', die sog. ''ACI''. Zudem werden Gefäßverkrümmungen, weitere Verzweigungen und patientenspezifische Strukturen nicht berücksichtigt. * '''Starre Gefäßwand''': Die Gefäßwand wird als unbeweglich und nicht verformbar angenommen. Eine Wechselwirkung zwischen elastischer Gefäßwand und Blutströmung wird nicht modelliert. * '''Stationäre Strömung''': Die Strömungsgrößen werden als zeitlich konstant angenommen. Die im realen Blutkreislauf vorhandene Pulsation durch den Herzschlag wird daher vernachlässigt: <math>\frac{\partial u}{\partial t}=0</math>. * '''Inkompressibles Fluid''': Die Dichte des Fluids wird als konstant angenommen. Damit gilt für die Geschwindigkeit <math>\nabla \cdot u=0</math>. Dies entspricht der in der Vorlesung behandelten Massenerhaltung für inkompressible Fluide: Was in das Gefäß einströmt, muss auch wieder ausströmen. * '''Newton'sche Näherung für Blut''': Reales Blut beseitzt ein nicht newton'sches Fließverhalten. Hier wird Blut als Newton'sches Fluid behandelt. * '''Konstante Stoffeigenschaften''': Dichte <math>\rho</math> und dynamische Viskosität μ werden als räumlich und zeitlich konstant angenommen. Temperaturabhängigkeiten werden nicht berücksichtigt. * '''Laminare Strömung''': Die Strömung wird mit dem COMSOL-Modul ''Laminar Flow'' beschrieben. Ein zusätzliches Turbulenzmodell wird nicht verwendet. * '''No-Slip-Bedingung an Gefäßwand''': Aufgrund der Viskosität wird angenommen, dass das Fluid direkt an der Gefäßwand haftet. Somit gilt <math>u=0</math>. * '''Vernachlässigung der Gravitation''': Gravitation wird nicht berücksichtigt. Die Strömung wird ausschließlich durch die gewählten Ein- und Auslassbedingungen bestimmt. = Relevanz = Die Untersuchung von Gefäßverengungen besitzt sowohl eine medizinische als auch eine methodische Bedeutung. Aus medizinischer Sicht sind arterielle Stenosen – etwa in der Halsschlagader, lat. ''arteria carotis communis'', – kritisch, da sie die Durchblutung beeinträchtigen und durch veränderte Wandschubspannungen sowie die Bildung von Wirbeln weitere Gefäßablagerungen begünstigen. Stenosen im Bereich der Karotisgabelung sind klinisch hochrelevant, da sie das Gehirn direkt versorgen und das Risiko für embolische Schlaganfälle erhöhen. Fachlich überträgt das Projekt damit die Prinzipien der Strömungsmechanik direkt auf eine biomedizinische Anwendung. Das Projekt verknüpft somit theoretische Grundlagen der Strömungsmechanik (Hagen-Poiseuille-Gleichung, Navier-Stokes-Gleichungen) mit der numerischen Simulation in COMSOL Multiphysics. Durch den Vergleich der '''gesunden Externa (ACE)''' mit der '''stenoisierten Interna (ACI)''' innerhalb desselben Rechengebiets wird die isolierte Wirkung der Stenose unter identischen Randbedingungen direkt sichtbar gemacht. == Medizinische Relevanz == Arterielle Stenosen entstehen überwiegend durch Atherosklerose, also durch Ablagerungen aus Lipiden, Bindegewebe und Kalk in der Gefäßwand. In der Halsschlagader sind sie klinisch besonders bedeutsam, weil sie die Durchblutung des Gehirns beeinträchtigen und weil sich an ihnen Thromben bilden können, die als Embolie einen Schlaganfall auslösen. Dass die operative Entfernung einer hochgradigen Karotisstenose das Schlaganfallrisiko symptomatischer Patienten deutlich senkt, hat die NASCET-Studie gezeigt, deren Einteilung der Stenosegrade dieses Projekt übernimmt.<ref name="nascet">North American Symptomatic Carotid Endarterectomy Trial Collaborators: ''Beneficial effect of carotid endarterectomy in symptomatic patients with high-grade carotid stenosis.'' New England Journal of Medicine 325 (1991), Nr. 7, S. 445-453.</ref> Strömungsmechanisch ist an einer Stenose vor allem die Wandschubspannung von Interesse, also die tangentiale Kraft je Fläche, die das strömende Blut auf die innerste Zellschicht der Gefäßwand ausübt. Gesunde Halsschlagadern weisen zeitlich gemittelte Werte von etwa 1,1 bis 1,5 Pa auf.<ref name="samijo">Samijo, S. K.; Willigers, J. M.; Barkhuysen, R.; Kitslaar, P. J. E. H. M.; Reneman, R. S.; Brands, P. J.; Hoeks, A. P. G.: ''Wall shear stress in the human common carotid artery as function of age and gender.'' Cardiovascular Research 39 (1998), Nr. 2, S. 515-522.</ref> In einer Engstelle steigt sie stark an, unmittelbar dahinter fällt sie im Ablösegebiet auf nahezu null und wechselt dort sogar das Vorzeichen. Niedrige und im Vorzeichen wechselnde Wandschubspannungen gelten als Bedingungen, unter denen sich weitere Ablagerungen bevorzugt bilden. Eine bestehende Stenose schafft also stromabwärts die Voraussetzungen für ihr eigenes Wachstum. Genau diese Verteilung lässt sich im Körper nur schwer messen, in einer Simulation dagegen unmittelbar auswerten. == Methodische Relevanz == Fachlich überträgt das Projekt die Prinzipien der Strömungsmechanik aus der Vorlesung auf eine biomedizinische Anwendung.<ref name="hundertmark">Hundertmark, A.: ''Fluiddynamik.'' Vorlesungsunterlagen zum Modul Räumliche Modellbildung, RPTU Kaiserslautern-Landau, Sommersemester 2026.</ref> Der methodische Mehrwert liegt in der Verknüpfung mehrerer Zugänge, die sich gegenseitig kontrollieren. Die analytische Poiseuille-Lösung liefert exakte Sollwerte für das gesunde Gefäß. Ein reduziertes Graphenmodell liefert für jeden Stenosegrad eine schnelle Abschätzung, die analytisch nachrechenbar ist. Die Simulationen in COMSOL Multiphysics lösen schließlich die vollständigen Navier-Stokes-Gleichungen in zwei und drei Raumdimensionen. Weil jede Stufe die Sollwerte der nächsten liefert, zeigt das Projekt nicht nur Ergebnisse, sondern auch, wie numerische Modelle aufgebaut, verifiziert und an ihren Grenzen bewertet werden. == Auswahl der Stenosegrade == Um die untersuchten Gefäßverengungen nicht willkürlich festzulegen, orientiert sich die Auswahl der Stenosegrade an der klinisch gebräuchlichen NASCET-Klassifikation von Karotisstenosen.<ref name="nascet" /> Zur klinischen Einordnung werden Karotisstenosen anhand der nach NASCET bestimmten Durchmesserreduktion in leichtgradige, mittelgradige und hochgradige Stenosen eingeteilt. Die angegebenen Prozentgrenzen dienen in diesem Projekt als Orientierung für die Auswahl der untersuchten Stenosegrade. Ein vollständiger Gefäßverschluss wird als Okklusion bezeichnet. {| class="wikitable" |+ Klinische Einteilung nach NASCET-gemessener Durchmesserreduktion und untersuchte Stenosegrade ! Schweregrad !! Durchmesserreduktion !! im Projekt gerechnete Stenosegrade !! hervorgehobener Vertreter |- | gesundes Gefäß || 0 % || 0 || 0 |- | leichtgradige Stenose || unter 50 % || 0,1 bis 0,4 || 0,3 |- | mittelgradige Stenose || 50 bis 69 % || 0,5 und 0,6 || 0,6 |- | hochgradige Stenose || 70 bis 99 % || 0,7 und 0,8 || 0,8 |- | Okklusion || 100 % || nicht gerechnet || entfällt |} '''Anmerkung''': Die Klassengrenzen dienen der Einordnung der Modellvarianten. Die in der Tabelle genannten Stenosegrade sind dimensionslose Werte, beispielsweise entspricht '''<math>s=0{,}6</math>''' einer Durchmesserreduktion von '''60 %'''. Für die numerische Untersuchung wird aus jeder Kategorie ein repräsentativer Stenosegrad hervorgehoben. Neben dem gesunden Gefäß mit '''0 %''' Stenose sind das eine '''30 %''' Stenose als Beispiel für eine leichtgradige, eine '''60 %''' Stenose als Beispiel für eine mittelgradige und eine '''80 %''' Stenose als Beispiel für eine hochgradige Verengung. Zusätzlich werden für das Graphenmodell und das achsensymmetrische Flächenmodell Stenosegrade von 0 bis 80 % in Schritten von zehn Prozentpunkten vorgesehen. Dadurch kann die Abhängigkeit der Strömungsgrößen vom Stenosegrad systematisch untersucht und grafisch dargestellt werden. Ob alle Modellvarianten tatsächlich berechnet wurden und wie hoch der Rechenaufwand war, wird anhand der durchgeführten Simulationen dokumentiert. Ein vollständiger Gefäßverschluss wird nicht simuliert, da in diesem Fall keine durchgängige Strömung mehr vorliegt. Der Stenosegrad wird in diesem Projekt wie bei NASCET über die Verringerung des Gefäßdurchmessers beschrieben, <math>s = 1 - \frac{d_{\min}}{d_{\mathrm{ref}}},</math> wobei <math>d_{\min}</math> der kleinste Durchmesser in der Engstelle und <math>d_{\mathrm{ref}}</math> ein Referenzdurchmesser ist. NASCET verwendet als Referenz den Durchmesser des gesunden Gefäßes stromabwärts der Stenose. Für das idealisierte gerade Gefäßmodell wird ein konstanter Referenzdurchmesser von <math>D_0=6\,\mathrm{mm}</math> angenommen. Da das Gefäß außerhalb der Stenose denselben Durchmesser besitzt, gilt in diesem Modell<math>d_{\mathrm{ref}}=D_0</math>. Bei der zusätzlich betrachteten Gefäßaufzweigung muss der Referenzdurchmesser dagegen gesondert festgelegt werden, da die Gefäßäste unterschiedliche Durchmesser besitzen. Wichtig für das Verständnis aller weiteren Ergebnisse ist der Unterschied zwischen Durchmesser- und Flächenreduktion. Da die Querschnittsfläche quadratisch vom Durchmesser abhängt, gilt für die Flächenreduktion <math>1-(1-s)^2</math>. Eine im klinischen Sinn nur mittelgradige Stenose von 60 % verschließt damit bereits 84 % der Querschnittsfläche. {| class="wikitable" |+ Durchmesser- und Flächenreduktion der gerechneten Stenosegrade ! Stenosegrad s !! 0 !! 0,1 !! 0,2 !! 0,3 !! 0,4 !! 0,5 !! 0,6 !! 0,7 !! 0,8 |- | engster Durchmesser in mm || 6,0 || 5,4 || 4,8 || 4,2 || 3,6 || 3,0 || 2,4 || 1,8 || 1,2 |- | Flächenreduktion || 0 % || 19 % || 36 % || 51 % || 64 % || 75 % || 84 % || 91 % || 96 % |} Eine Einschränkungen gehört zur ehrlichen Einordnung: # Mit zunehmendem Stenosegrad, insbesondere bei ausgeprägten Verengungen, können lokale Beschleunigungen, Strömungsablösungen und zeitabhängige Strömungsstrukturen auftreten. Daher muss bei den hochgradigen Stenosen geprüft werden, inwieweit die Annahme einer stationären, laminaren Strömung geeignet ist. Eine feste Grenze bei <math>s=0{,}6</math> lässt sich ohne entsprechende Simulationsergebnisse oder Literaturbelege nicht allgemein festlegen. Die hochgradigen Fälle werden deshalb unter besonderer Berücksichtigung der Modellannahmen diskutiert. Unter Modellierung wird in diesem Projekt die Übertragung der Blutströmung in einer verengten Arterie auf ein mathematisches und numerisch lösbares Strömungsproblem verstanden. Dazu werden die Gefäßgeometrie, die zugrunde liegenden Gleichungen, die physikalischen Materialparameter sowie die Anfangs- und Randbedingungen festgelegt. Jeder dieser Bestandteile beruht auf vereinfachenden Annahmen, die begründet und bei der Interpretation der Ergebnisse berücksichtigt werden müssen. Ziel ist es, den Einfluss unterschiedlicher Stenosegrade auf die Strömungsgeschwindigkeit, den Druckverlust und gegebenenfalls die Wandschubspannung systematisch zu untersuchen. Die Modellierung erfolgt anhand mehrerer Modellvarianten mit unterschiedlicher räumlicher Auflösung. Dadurch können zunächst grundlegende Zusammenhänge analytisch abgeschätzt und anschließend mit numerischen Strömungsberechnungen verglichen werden. Die verwendeten Parameter orientieren sich an den bereitgestellten Referenzdaten und werden in den folgenden Abschnitten erläutert. == Modellierung == Ziel der Modellierung ist es, die Blutströmung innerhalb einer Y-förmigen Aufzweigung der Halsschlagader mathematisch und numerisch zu untersuchen. Im Mittelpunkt steht eine Gefäßverengung (Stenose) in der Arteria carotis interna. Das betrachtete Gefäßmodell besteht aus der Arteria carotis communis, die sich in die Arteria carotis interna und die Arteria carotis externa aufteilt. Die Stenose befindet sich ausschließlich in der Arteria carotis interna. Durch die Verengung verändert sich der verfügbare Strömungsquerschnitt. Dies kann zu einer Erhöhung der lokalen Strömungsgeschwindigkeit, zu zusätzlichen Druckverlusten und zu einer Veränderung der Strömungsverteilung zwischen den beiden Gefäßästen führen. Ziel ist es, den Einfluss unterschiedlicher Stenosegrade auf die Strömungsgeschwindigkeit, die Druckverteilung und die Wandschubspannung zu untersuchen. Zusätzlich soll betrachtet werden, wie sich die Strömung innerhalb der Y-förmigen Gefäßaufzweigung verhält. Die numerische Modellierung erfolgt mit COMSOL Multiphysics. Dazu werden die Gefäßgeometrie, die Materialeigenschaften des Blutes, die Strömungsgleichungen und die Randbedingungen festgelegt. Zur Vereinfachung wird Blut zunächst als inkompressibles, Newtonsches Fluid betrachtet. Die Gefäßwände werden als starr angenommen. Diese Annahmen ermöglichen eine systematische Untersuchung der Stenose, schränken jedoch die Übertragbarkeit auf reale physiologische Bedingungen ein. === Modellhierarchie === Für die Untersuchung der Blutströmung innerhalb der Y-förmigen Karotisaufzweigung werden drei Modellvarianten betrachtet. Diese unterscheiden sich hinsichtlich ihrer räumlichen Dimension, ihrer mathematischen Beschreibung und der Genauigkeit, mit der die Strömungsverhältnisse dargestellt werden können. Das untersuchte Gefäß besteht aus der Arteria carotis communis, die sich in die Arteria carotis interna und die Arteria carotis externa aufteilt. Die Stenose befindet sich ausschließlich in der Arteria carotis interna. Alle drei Modellvarianten werden mit COMSOL Multiphysics umgesetzt. {| class="wikitable" style="width:100%;" |+ '''Die drei Modellvarianten des Projekts''' |- ! Modell ! Raumdimension ! Mathematische Grundlage ! Zweck ! Werkzeug |- | '''Graphenmodell''' | 1D, Gefäßnetzwerk mit einer Verzweigung | Massenerhaltung an der Verzweigung und vereinfachte Beschreibung der Strömungswiderstände | Abschätzung der Volumenstromverteilung und der Druckverluste in den Gefäßästen | COMSOL Multiphysics |- | '''Ebenes Flächenmodell''' | 2D, Y-förmige Gefäßgeometrie in kartesischen Koordinaten | Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen | Untersuchung der Geschwindigkeits- und Druckverteilung sowie der Auswirkungen der Stenose in der Arteria carotis interna | COMSOL Multiphysics, Laminare Strömung |- | '''Volumenmodell''' | 3D, räumliche Y-förmige Gefäßgeometrie | Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen | Räumliche Untersuchung des Geschwindigkeitsfeldes, des Druckverlustes und der Wandschubspannung | COMSOL Multiphysics, Laminare Strömung |} ==== Vergleich und Überprüfung der Modellvarianten ==== Die drei Modellvarianten bauen hinsichtlich ihrer räumlichen Beschreibung aufeinander auf. Das Graphenmodell ermöglicht zunächst eine vereinfachte Betrachtung der Volumenströme und Druckverluste. Die zwei- und dreidimensionalen Modelle erlauben anschließend eine detailliertere Untersuchung der Strömung innerhalb der Gefäßaufzweigung. Das '''Graphenmodell''' beschreibt die Arteria carotis communis sowie die beiden abzweigenden Gefäße als miteinander verbundenes Netzwerk. Dabei wird die Massenerhaltung an der Verzweigung berücksichtigt: :<math>Q_{\mathrm{CCA}}=Q_{\mathrm{ICA}}+Q_{\mathrm{ECA}}</math> Das Modell liefert vereinfachte Abschätzungen der Volumenstromverteilung. Lokale Strömungsablösungen und räumliche Geschwindigkeitsverteilungen können damit nicht detailliert dargestellt werden. Das '''ebene Flächenmodell''' bildet die Y-förmige Gefäßaufzweigung in zwei Raumdimensionen ab. Die Stenose wird innerhalb der Arteria carotis interna berücksichtigt. Dadurch können die Geschwindigkeits- und Druckverteilung sowie mögliche Rückströmungsbereiche untersucht werden. Das '''Volumenmodell''' erweitert die Untersuchung auf drei Raumdimensionen. Es ermöglicht eine räumliche Darstellung der Strömung und eine detailliertere Berechnung der Wandschubspannung. Die Ergebnisse des ebenen Flächenmodells und des Volumenmodells werden miteinander verglichen. Da das ebene Modell die räumliche Querschnittsgeometrie nur vereinfacht darstellt, müssen Unterschiede zwischen den beiden Modellen bei der Interpretation berücksichtigt werden. Ziel der Modellhierarchie ist es, die Aussagekraft der einzelnen Modellvarianten zu bewerten und den Einfluss des Stenosegrades auf die Strömung innerhalb der Y-förmigen Karotisaufzweigung zu untersuchen. === Simulationsgebiet und Geometrie === Das Simulationsgebiet besteht aus einer idealisierten Y-förmigen Aufzweigung der Arteria carotis. Die Arteria carotis communis teilt sich in die Arteria carotis interna und die Arteria carotis externa. Die Stenose befindet sich in der Arteria carotis interna. Die Arteria carotis externa wird ohne zusätzliche Verengung modelliert. Die Geometrie orientiert sich an den bereitgestellten Referenzdaten. Die Gefäßdurchmesser werden innerhalb der jeweiligen unverengten Abschnitte als konstant angenommen. {| class="wikitable" style="width:100%;" |+ '''Geometrische Referenzparameter der Y-förmigen Gefäßaufzweigung''' |- ! Gefäßabschnitt ! Durchmesser ! Länge |- | Arteria carotis communis | 6 mm | 60 mm |- | Arteria carotis interna | 5 mm | 60 mm |- | Arteria carotis externa | 4 mm | 60 mm |- | Stenose in der Arteria carotis interna | Abhängig vom Stenosegrad | 10 bzw. 20 mm |} Die Verengung wird über den Stenosegrad <math>s</math> beschrieben. Dieser gibt die relative Verringerung des Gefäßdurchmessers an: :<math>s=1-\frac{d_{\min}}{D_{\mathrm{ICA}}}</math> Dabei bezeichnet <math>d_{\min}</math> den minimalen Durchmesser innerhalb der Stenose und <math>D_{\mathrm{ICA}}</math> den unverengten Referenzdurchmesser der Arteria carotis interna. Für das Modell gilt: :<math>D_{\mathrm{ICA}}=5\,\mathrm{mm}</math> Der minimale Durchmesser ergibt sich damit zu: :<math>d_{\min}=D_{\mathrm{ICA}}(1-s)</math> {| class="wikitable" |+ '''Minimaler Durchmesser der Stenose in der Arteria carotis interna''' |- ! Stenosegrad ! Minimaler Durchmesser |- | 0 % | 5,0 mm |- | 10 % | 4,5 mm |- | 20 % | 4,0 mm |- | 30 % | 3,5 mm |- | 40 % | 3,0 mm |- | 50 % | 2,5 mm |- | 60 % | 2,0 mm |- | 70 % | 1,5 mm |- | 80 % | 1,0 mm |} Die angegebenen Stenosegrade beziehen sich ausschließlich auf den Durchmesser der Arteria carotis interna. Der Durchmesser der Arteria carotis communis wird nicht zur Berechnung des Stenosegrades verwendet. Die Y-förmige Geometrie ermöglicht es, die Auswirkungen der Verengung sowohl auf die lokale Strömung in der Arteria carotis interna als auch auf die Strömungsverteilung innerhalb der gesamten Gefäßaufzweigung zu untersuchen. Die genaue Form der Stenose, der Verzweigungswinkel und die Übergänge zwischen den Gefäßabschnitten müssen entsprechend der tatsächlich in COMSOL verwendeten Geometrie dokumentiert werden. == Stoff- und Strömungsparameter == Die Stoffwerte des Blutes und der Volumenstrom sind die einzigen Eingangsgrößen, die nicht aus der Geometrie folgen. Aus ihnen werden alle weiteren Strömungskennwerte berechnet. Die folgenden Schritte zeigen jede Rechnung einzeln, damit sich jeder Wert nachprüfen lässt. # Die '''Dichte''' wird mit <math>\rho = 1060\ \mathrm{kg/m^3}</math> angesetzt. Der Wert lässt sich als Mischungsregel plausibel machen. Plasma hat eine Dichte von etwa 1025 kg/m³, rote Blutkörperchen von etwa 1100 kg/m³. Bei einem Zellanteil von 45 % ergibt sich <math>0{,}55 \cdot 1025 + 0{,}45 \cdot 1100 \approx 1059\ \mathrm{kg/m^3}</math>. Die Dichte geht nur über die Reynoldszahl in die Rechnung ein, eine Abweichung von einem Prozent ändert die Ergebnisse daher kaum. <!-- FIXME Lehrbuchquelle fuer Plasma- und Erythrozytendichte ergaenzen --> # Die '''dynamische Viskosität''' wird mit <math>\mu = 3{,}5\ \mathrm{mPa\,s}</math> angesetzt. Das ist der Grenzwert der Blutviskosität bei hohen Scherraten, also genau der Wert, der zur Newtonschen Näherung gehört. Derselbe Wert von 0,035 Poise wird auch im Standardwerk zur Modellierung des Herz-Kreislauf-Systems verwendet.<ref name="quarteroni">Quarteroni, A.; Formaggia, L.: ''Mathematical Modelling and Numerical Simulation of the Cardiovascular System.'' In: Ayache, N. (Hrsg.): ''Computational Models for the Human Body.'' Handbook of Numerical Analysis, Bd. XII, Elsevier, Amsterdam 2004, S. 3-127. DOI 10.1016/S1570-8659(03)12001-7. Zur Newtonschen Näherung in großen Gefäßen siehe S. 30, zur Viskosität von 0,035 Poise die Parametertabelle auf S. 116.</ref> # Der '''mittlere Volumenstrom''' wird mit <math>Q_0 = 6\ \mathrm{ml/s}</math> angesetzt. Das ist der zeitlich gemittelte Volumenstrom, der in der gemeinsamen Halsschlagader gesunder Probanden gemessen wurde. # Die '''mittlere Geschwindigkeit''' folgt aus Volumenstrom und Querschnittsfläche, <math>U_0 = \frac{Q_0}{\pi R_0^2} = \frac{6 \cdot 10^{-6}\ \mathrm{m^3/s}}{\pi \cdot (0{,}003\ \mathrm{m})^2} = 0{,}2122\ \mathrm{m/s}</math>. # Die '''Reynoldszahl''' des gesunden Gefäßes ist <math>Re_0 = \frac{\rho\, U_0\, D_0}{\mu} = \frac{1060 \cdot 0{,}2122 \cdot 0{,}006}{0{,}0035} = 385{,}6</math>. Sie wird im Folgenden auf 386 gerundet. # Die '''Einlauflänge''', die eine anfangs gleichförmige Strömung bis zum voll entwickelten Parabelprofil bräuchte, beträgt nach der gebräuchlichen Abschätzung für laminare Rohrströmungen <math>L_e \approx 0{,}06\, Re_0\, D_0 \approx 0{,}06 \cdot 386 \cdot 6\ \mathrm{mm} \approx 139\ \mathrm{mm}</math>.<ref name="durst">Durst, F.; Ray, S.; Ünsal, B.; Bayoumi, O. A.: ''The development lengths of laminar pipe and channel flows.'' Journal of Fluids Engineering 127 (2005), Nr. 6, S. 1154-1160. Für große Reynoldszahlen nähert sich die dort angegebene Korrelation dem Wert 0,057·Re·D.</ref> Das ist fast die gesamte Länge des Rechengebiets. Ein konstantes Einlassprofil würde die Strömung an der Stenose also verfälschen, weshalb am Einlass das voll entwickelte Profil vorgegeben wird. Damit liegen alle globalen Parameter fest. Die folgende Tabelle enthält sie mit genau den Namen, unter denen sie in COMSOL und in den Octave-Skripten verwendet werden. {| class="wikitable" |+ Globale Parameter des Modells ! Name !! Ausdruck in COMSOL !! Wert !! Bedeutung !! Herkunft |- | R0 || 3[mm] || 3 mm || Gefäßradius || Messwerte nach Krejza u. a. 2006, gerundet |- | D0 || 2*R0 || 6 mm || Gefäßdurchmesser || abgeleitet |- | Ls || 2*D0 || 12 mm || Länge der Störstelle || Standardgeometrie nach Varghese u. a. 2007 |- | Lu || 5*D0 || 30 mm || Vorlaufstrecke vor der Stenosemitte || Abstand der Einlassbedingung von der Stenose |- | Ld || 20*D0 || 120 mm || Nachlaufstrecke hinter der Stenosemitte || Platz für das Rückströmgebiet |- | Lf || Ls/2+10*D0 || 66 mm || Ende des fein vernetzten Nachlaufs || erwartete Länge des Rückströmgebiets |- | s || 0 bis 0.8 || 0 bis 0,8 || Stenosegrad bezogen auf den Durchmesser || NASCET-Einteilung |- | rho_b || 1060[kg/m^3] || 1060 kg/m³ || Dichte des Blutes || Mischungsregel, Literaturwert |- | mu_b || 3.5[mPa*s] || 3,5 mPa·s || dynamische Viskosität des Blutes || Hochscherwert, Quarteroni und Formaggia 2004 |- | Q0 || 6[ml/s] || 6 ml/s || mittlerer Volumenstrom || Messwerte nach Holdsworth u. a. 1999 |- | U0 || Q0/(pi*R0^2) || 0,2122 m/s || mittlere Einströmgeschwindigkeit || abgeleitet |- | Re0 || rho_b*U0*D0/mu_b || 385,6 || Reynoldszahl des gesunden Gefäßes || abgeleitet |- | dp_ref || 8*mu_b*U0*(Lu+Ld)/R0^2 || 99,03 Pa || Poiseuille-Druckabfall des gesunden Gefäßes || abgeleitet, Hagen-Poiseuille |} = Implementierung des 2D-Modells in COMSOL Multiphysics = == Zielsetzung des zweidimensionalen Modells == Im Rahmen des Projekts wurde mit COMSOL Multiphysics ein zweidimensionales Modell der menschlichen Halsschlagader erstellt. Ziel ist es, die Blutströmung innerhalb einer Gefäßverzweigung zu untersuchen und insbesondere die Auswirkungen einer lokalen Gefäßverengung (Stenose) auf das Strömungsverhalten zu analysieren. Das Modell bildet die Aufzweigung der Arteria carotis communis (ACC) in die Arteria carotis interna (ACI) und die Arteria carotis externa (ACE) ab. Während die ACE als gesunder Gefäßabschnitt betrachtet wird, befindet sich in der ACI eine lokale Verengung. Dadurch können die Strömungsverhältnisse in beiden Ästen miteinander verglichen werden. Die zweidimensionale Modellierung dient dazu, die Geschwindigkeitsverteilung, den Druckabfall und die Wandschubspannung zu untersuchen. Zusätzlich soll festgestellt werden, ob sich hinter der Stenose Bereiche mit Strömungsablösungen oder Rückströmungen ausbilden. ==Vorgehen== Für die numerische Untersuchung in COMSOL Multiphysics 6.2 zunächst ein zweidimensionales Modell mit der Physik ''Laminare Strömung'' und einer ''stationären Studie'' angelegt. Die Gefäßgeometrie wurde vollständig parametrisiert, damit Durchmesser, Gefäßlängen, Verzweigungswinkel, Stenosegrad sowie die Stenoselänge veränderbar sind, ohne das Modell jeweils neu zu zeichnen. Das gemeinsame Zuflussgefäß stellt die Arteria carotis communis mit einem Durchmesser von <math>6\,\mathrm{mm}</math> dar. Nach einem geraden Einlaufabschnitt von <math>60\,\mathrm{mm}</math> teilt es sich V-förmig in die beiden Tochtergefäße auf. Die Arteria carotis interna wird mit einem Durchmesser von <math>5\,\mathrm{mm}</math>, die Arteria carotis externa mit <math>4\,\mathrm{mm}</math> modelliert. Beide Tochtergefäße sind jeweils <math>60\,\mathrm{mm}</math> lang. Die Grundgeometrie wurde als zusammenhängender zweidimensionaler Volumenkörper aufgebaut. Die beiden Tochtergefäße verlaufen nach der Bifurkation unter einem Winkel auseinander, sodass eine idealisierte Y-förmige Karotisgabel entsteht. Die Übergänge zwischen dem gemeinsamen Gefäß und den beiden Ästen wurden bewusst vereinfacht, aber ohne abrupte Querschnittssprünge gestaltet. Auf diese Weise bleibt die Geometrie ausreichend einfach für einen systematischen Vergleich verschiedener Modellvarianten, bildet die typische Aufzweigung einer Karotis. Die Stenose befindet sich ausschließlich in der Arteria carotis interna. Um die Verengung nicht durch gerade Polygonsegmente mit scharfen Knicken darzustellen, wurde ihre Kontur mithilfe von zwei parametrischen Kosinuskurven erzeugt. Zur Beschreibung der Stenose wird eine parametrische Kurve mit dem Hilfsparameter <math>t</math> verwendet. Dieser nimmt Werte zwischen <math>-1</math> und <math>1</math> an. Über die Beziehung <math>x(t)=x_\mathrm{st}+\frac{L_\mathrm{st}}{2}t</math> wird der Parameter auf die räumliche Position entlang des Gefäßes übertragen. Für <math>t=-1</math> liegt der Beginn der Stenose bei <math>x_\mathrm{st}-L_\mathrm{st}/2</math>, für <math>t=0</math> befindet sich die Kurve in der Stenosenmitte und für <math>t=1</math> am Ende bei <math>x_\mathrm{st}+L_\mathrm{st}/2</math>. Dadurch kann die Länge der Stenose über den Parameter <math>L_\mathrm{st}</math> verändert werden, ohne ihre Mittelpunktposition <math>x_\mathrm{st}</math> zu verschieben. Die Einengung wächst vom Beginn der Stenose kontinuierlich bis zur Engstelle an und nimmt danach ebenso kontinuierlich wieder ab. Dadurch entstehen glatte Wandübergänge. Die Stärke der Einengung wird über den dimensionslosen Stenosegrad <math>s</math> gesteuert. Für einen unverengten Durchmesser der Arteria carotis interna von <math>D_\mathrm{ACI}=5\,\mathrm{mm}</math> ergibt sich bei einem Stenosegrad von <math>s=0{,}3</math> eine minimale Gefäßweite von <math>3{,}5\,\mathrm{mm}</math>, bei <math>s=0{,}6</math> von <math>2{,}0\,\mathrm{mm}</math> und bei <math>s=0{,}8</math> von <math>1{,}0\,\mathrm{mm}</math>. Die minimale Gefäßweite ergibt sich allgemein aus <math>d_\mathrm{min}=D_\mathrm{ACI}(1-s)</math>. Die beiden parametrischen Kurven wurden mit Hilfslinien zu geschlossenen Flächen ergänzt und anschließend über „Umwandeln in Volumenkörper“ in Flächenobjekte überführt. Mithilfe einer Differenzoperation wurden diese Flächen aus dem Gefäßgebiet ausgeschnitten. Auf diese Weise bleibt die Grundgeometrie des Gefäßes unverändert, während Stenosegrad und Stenosenlänge allein über globale Parameter variiert werden können. Für die Strömung wurde Blut als inkompressibles Newtonsches Fluid mit konstanter Dichte und Viskosität angenähert. Verwendet werden eine Dichte von <math>\rho=1060\,\mathrm{kg/m^3}</math> und eine dynamische Viskosität von <math>\mu=3,5\,\mathrm{mPa s}</math>. Am Einlass wird ein voll entwickeltes Geschwindigkeitsprofil vorgegeben. Aus dem auf der Projektseite angesetzten mittleren Volumenstrom von <math>6\,\mathrm{ml/s}</math> ergibt sich für das <math>6\,\mathrm{mm}</math> breite Zuflussgefäß eine mittlere Geschwindigkeit von rund <math>0{,}21\,\mathrm{m/s}</math>. An beiden Auslässen wird derselbe Referenzdruck vorgegeben, während an sämtlichen Gefäßwänden die Haftbedingung (No Slip) gilt. Nach Fertigstellung der Geometrie wurde ein physikgesteuertes Finite-Elemente-Netz erzeugt und die stationäre Navier-Stokes-Strömung berechnet. Anschließend wurden insbesondere der Geschwindigkeitsbetrag, die Druckverteilung und die Stromlinien ausgewertet. Die Stromlinien dienen dabei nicht nur der Visualisierung der Aufteilung des Blutstroms an der Bifurkation, sondern auch zur Erkennung möglicher Ablöse- und Rückströmungsgebiete hinter der Stenose. Zusätzlich kann die Wandschubspannung entlang der Gefäßwand ausgewertet werden. Die verschiedenen Stenosegrade werden jeweils bei ansonsten identischen Randbedingungen miteinander und mit dem gesunden Referenzfall verglichen. == Ergebnisse der 2D-Strömungssimulation == Die zweidimensionale Strömungssimulation wurde mit COMSOL Multiphysics durchgeführt, um die Auswirkungen einer lokalen Gefäßverengung auf die Blutströmung innerhalb einer idealisierten Karotis-Bifurkation zu untersuchen. Im Mittelpunkt der Auswertung stehen die Geschwindigkeitsverteilung, die Druckverteilung sowie die Wandschubspannung. Ergänzend werden Stromlinien betrachtet, um mögliche Veränderungen des Strömungsverlaufs und das Auftreten von Rückströmungsgebieten hinter der Stenose zu untersuchen. Für die aktuell betrachtete Modellvariante beträgt der eingestellte Stenosegrad 80 %. Die Ergebnisse werden hinsichtlich ihrer strömungsmechanischen Bedeutung interpretiert und unter Berücksichtigung der vereinfachenden Modellannahmen bewertet. === Geschwindigkeitsverteilung und Stromlinien === Die Geschwindigkeitsverteilung der zweidimensionalen Karotis-Bifurkation wurde mithilfe des Geschwindigkeitsbetrags ''spf.U'' in COMSOL Multiphysics untersucht. Die berechneten Geschwindigkeiten liegen gemäß der dargestellten Farbskala zwischen nahezu 0 m/s an den Gefäßwänden und ungefähr 0,32 m/s im Strömungsgebiet. Im gemeinsamen Zuflussgefäß zeigt sich eine erhöhte Strömungsgeschwindigkeit im zentralen Bereich, während die Geschwindigkeit zu den Gefäßwänden hin abnimmt. An der Gefäßverzweigung teilt sich die Strömung auf die beiden Tochtergefäße auf. Im oberen Gefäßast führt die lokale Querschnittsverengung zu einer Veränderung der Geschwindigkeitsverteilung. Im Bereich der Engstelle sind erhöhte Geschwindigkeiten zu erkennen, während in wandnahen Bereichen geringere Geschwindigkeiten auftreten. Die zusätzlich dargestellten Stromlinien verdeutlichen den Verlauf der Strömung durch die Gefäßverzweigung. In der vorliegenden Darstellung sind keine eindeutig ausgeprägten geschlossenen Rückströmungsgebiete zu erkennen. '''Interpretation''': Die Ergebnisse zeigen, dass die Gefäßgeometrie die lokale Geschwindigkeitsverteilung beeinflusst. Insbesondere die Verengung verändert die Strömung im betroffenen Gefäßast. Aus der Geschwindigkeitsdarstellung allein lässt sich jedoch noch nicht beurteilen, ob hinter der Stenose eine Strömungsablösung auftritt. <div style="text-align:center;"> [[Datei:Geschwindigkeit spf.png|700px|zentriert|Geschwindigkeitsverteilung und Stromlinien der stationären 2D-Strömungssimulation einer idealisierten Karotis-Bifurkation mit lokaler Stenose im oberen Gefäßast. Die Farbskala zeigt den Geschwindigkeitsbetrag in m/s.]] <small>'''Abbildung 1:''' Geschwindigkeitsverteilung und Stromlinien der stationären 2D-Strömungssimulation einer idealisierten Karotis-Bifurkation mit lokaler Stenose im oberen Gefäßast. Die Farbskala zeigt den Geschwindigkeitsbetrag in m/s.</small> </div> ==== Auswertung ==== Die quantitative Auswertung des Geschwindigkeitsfeldes mittels der COMSOL-Funktion ''Oberflächenmaximum'' ergibt für das gesamte zweidimensionale Strömungsgebiet eine maximale Geschwindigkeit von '''0,31853 m/s'''. Dieser Wert bestätigt die aus der Farbskala abgelesene Größenordnung von etwa '''0,32 m/s'''. Die maximale Geschwindigkeit beschreibt den höchsten lokal auftretenden Geschwindigkeitsbetrag im untersuchten Modell mit einer ACI-Stenose von ''80 %''. Aus dem Maximalwert allein lässt sich jedoch noch nicht bestimmen, an welcher Position innerhalb des Gefäßes dieser auftritt. Auch eine mögliche Rückströmung kann damit nicht nachgewiesen werden. {| class="wikitable" style="text-align:center;" ! Stenosegrad ! <math>u_\mathrm{max}</math> [m/s] |- | 0 % | 0,284 |- | 30 % | 0,271 |- | 60 % | 0,349 |- | 80 % | 0,394 |} ===== Untersuchung möglicher Rückströmungsbereiche ===== Zur Untersuchung möglicher Rückströmungsbereiche wurde der stenotische Abschnitt der ACI vergrößert dargestellt. Zusätzlich zum Geschwindigkeitsfeld wurden Stromlinien mit erhöhter Startpunktanzahl visualisiert. Die Stromlinien zeigen eine Bündelung der Strömung im Bereich der Engstelle und eine anschließende Auffächerung im erweiterten Gefäßabschnitt. In der vergrößerten Darstellung treten entlang der oberen und unteren Gefäßwand hinter der Stenose, ungefähr zwischen x = 104 mm und x = 108 mm, schmale Bereiche mit negativer Geschwindigkeitskomponente auf. Die negative Geschwindigkeitskomponente wurde entlang einer um 15° geneigten Richtung bestimmt. Die dargestellten Werte liegen im Bereich weniger Millimeter pro Sekunde und sind damit deutlich kleiner als die maximale Strömungsgeschwindigkeit von 0,31853 m/s. Trotz der erhöhten Stromliniendichte ist kein eindeutig geschlossenes Rezirkulationsgebiet erkennbar. Die negativen Geschwindigkeitskomponenten liefern Hinweise auf lokale Veränderungen der Strömungsrichtung, stellen jedoch allein keinen sicheren Nachweis einer Strömungsablösung dar. <div style="text-align:center;"> [[Datei:Rückströmungsgebiete 2D.png|800px|zentriert|Vergrößerte Darstellung der Stromlinien und möglicher Rückströmungsbereiche hinter der 80-%-Stenose der ACI. Die Farbskala zeigt die negative Geschwindigkeitskomponente entlang einer um 15° geneigten Richtung. Schmale Bereiche mit negativen Werten sind an den Gefäßwänden erkennbar. Ein geschlossenes Rezirkulationsgebiet ist nicht eindeutig nachweisbar.]] <small>'''Abbildung 2:''' Vergrößerte Darstellung des ACI-Abschnitts hinter der Stenose. Die Farbskala zeigt die Geschwindigkeitskomponente in einer um 15° geneigten Richtung in m/s. Negative Werte weisen auf lokale Strömungsanteile entgegen dieser Richtung hin, belegen jedoch für sich genommen noch keine geschlossene Rezirkulationszone.</small> </div> === Druckverteilung und Druckabfall === Die Druckverteilung wurde anhand der berechneten Isobaren innerhalb der zweidimensionalen Karotis-Bifurkation untersucht. Dabei zeigt sich eine Abnahme des statischen Drucks vom gemeinsamen Zuflussgefäß in Richtung der beiden Gefäßausgänge. Der maximale berechnete Druck beträgt etwa '''74,2 Pa''', während der minimale Druck bei etwa '''−19,9 Pa''' liegt. Daraus ergibt sich eine globale Druckspanne von ungefähr '''94,1 Pa'''. Besonders auffällig ist die Druckverteilung im Bereich der Stenose der Arteria carotis interna (ACI). Dort liegen die Isobaren deutlich enger beieinander, was auf einen ausgeprägten lokalen Druckgradienten hinweist. Stromabwärts der Engstelle treten zudem Bereiche mit niedrigem statischem Druck auf. '''Interpretation''': Die Ergebnisse zeigen, dass die Stenose die lokale Druckverteilung im ACI-Ast deutlich beeinflusst. Die Beschleunigung der Strömung innerhalb der Verengung geht mit einer Abnahme des statischen Drucks einher. Die globale Druckspanne von 94,1 Pa darf jedoch nicht mit dem irreversiblen Druckverlust über der Stenose gleichgesetzt werden. Die globale Druckspanne von 94,1 Pa ist nicht mit dem Druckabfall über der Stenose gleichzusetzen. Zur genaueren Untersuchung wurden deshalb zwei Messquerschnitte vor und hinter der Engstelle ausgewertet. Zwischen diesen ergibt sich eine mittlere statische Druckdifferenz von 36,24 Pa. <div style="text-align:center;"> [[Datei:Druckverteilung_2D.png|800px|zentriert|Druckverteilung der stationären 2D-Strömungssimulation einer idealisierten Karotis-Bifurkation mit 80 % Stenose in der Arteria carotis interna (ACI). Die Isobaren zeigen den Druckverlauf innerhalb der Gefäßgeometrie. Besonders im Bereich der Stenose ist ein ausgeprägter lokaler Druckgradient erkennbar. Der berechnete Druck liegt zwischen −19,9 Pa und 74,2 Pa.]] <small>'''Abbildung 3:''' Druckverteilung der stationären 2D-Strömungssimulation einer idealisierten Karotis-Bifurkation mit 80 % Stenose in der Arteria carotis interna (ACI). Die Isobaren zeigen den Druckverlauf innerhalb der Gefäßgeometrie. Besonders im Bereich der Stenose ist ein ausgeprägter lokaler Druckgradient erkennbar. Der berechnete Druck liegt zwischen −19,9 Pa und 74,2 Pa.</small> </div> ==== Quantitative Bestimmung der Druckdifferenz ==== Zur quantitativen Untersuchung des Druckabfalls wurden zwei Messquerschnitte im ACI-Ast definiert, einer vor und einer hinter der Stenose. Mithilfe der COMSOL-Funktion „Linienmittelwert“ wurde der mittlere statische Druck an beiden Positionen bestimmt. Vor der Stenose beträgt der mittlere Druck '''35,232 Pa''', während hinter der Stenose ein Wert von '''−1,0042 Pa''' ermittelt wurde. Daraus ergibt sich eine Druckdifferenz von '''36,24 Pa'''. Die Ergebnisse zeigen eine deutliche Abnahme des statischen Drucks zwischen den beiden Messquerschnitten. Diese Druckdifferenz verdeutlicht die Druckänderung entlang des stenotischen ACI-Astes. Sie ist jedoch nicht mit dem ausschließlich durch die Stenose verursachten irreversiblen Druckverlust gleichzusetzen, da auch die Strömungsentwicklung in den angrenzenden Gefäßabschnitten berücksichtigt wird. {| class="wikitable" style="text-align:center;" ! Stenosegrad ! <math>\bar p_\mathrm{vor}</math> [Pa] ! <math>\bar p_\mathrm{nach}</math> [Pa] ! <math>\Delta p</math> [Pa] |- | 0 % | 11,631 | 4,2461 | 7,3849 |- | 30 % | 16,919 | 2,9220 | 13,997 |- | 60 % | 35,835 | -0,58267 | 36,41767 |- | 80 % | 70,562 | -0,55906 | 71,12106 |} === Wandschubspannung === Zur Untersuchung der mechanischen Belastung der Gefäßwände wurde die Wandschubspannung (Wall Shear Stress, WSS) im zweidimensionalen Strömungsmodell ausgewertet. Sie beschreibt die tangentiale viskose Spannung, die durch die Strömung an der Gefäßwand entsteht. Die quantitative Auswertung erfolgte für die obere und untere Wand des stenotischen ACI-Abschnitts. Hierfür wurden die entsprechenden Wandkanten in COMSOL ausgewählt und der Betrag der Wandschubspannung bestimmt. Für den untersuchten Stenosebereich ergibt sich eine maximale Wandschubspannung von '''3,2282 Pa'''. Der Wert beschreibt das Maximum auf den ausgewählten Wandkanten der 80-%-Stenose. Da für diese Auswertung der Betrag der Wandschubspannung verwendet wurde, lässt sich daraus allein keine Aussage über eine mögliche Umkehr der wandnahen Strömungsrichtung ableiten. Zur Untersuchung möglicher Ablösebereiche ist zusätzlich eine Auswertung der vorzeichenbehafteten tangentialen Wandschubspannung erforderlich. <div style="text-align:center;"> [[Datei:Wandschubspannung.png|800px|zentriert|Verteilung des Betrags der Wandschubspannung entlang ausgewählter Gefäßwandabschnitte im Bereich der ACI-Stenose. Lokal treten erhöhte Wandschubspannungen auf. Die separate quantitative Auswertung der beiden Stenosewände ergibt einen Maximalwert von 3,2282 Pa.]] <small>'''Abbildung 4:''' Verteilung des Betrags der Wandschubspannung entlang ausgewählter Gefäßwandabschnitte im Bereich der ACI-Stenose. Lokal treten erhöhte Wandschubspannungen auf. Die separate quantitative Auswertung der beiden Stenosewände ergibt einen Maximalwert von 3,2282 Pa.</small> </div> ==== Untersuchung der vorzeichenbehafteten Wandschubspannung ==== Zur weiteren Untersuchung möglicher Strömungsablösungen wurde die vorzeichenbehaftete tangentiale Wandschubspannung entlang der oberen und unteren ACI-Gefäßwand hinter der Stenose ausgewertet. An der oberen Gefäßwand steigt die berechnete Spannung von ungefähr −0,05 Pa auf +0,47 Pa an. Ein Vorzeichenwechsel tritt bei einer Bogenlänge von etwa 0,6 mm auf. An der unteren Gefäßwand steigt die Spannung von ungefähr −0,48 Pa auf +0,06 Pa an. Hier erfolgt ein Vorzeichenwechsel bei einer Bogenlänge von etwa 20 mm. Die Ergebnisse zeigen somit auf beiden untersuchten Wandabschnitten einen Vorzeichenwechsel der tangentialen Spannungskomponente. Dies kann auf Änderungen der wandnahen Strömungsrichtung hinweisen und ist mit möglichen Ablöse- oder Wiederanlagerungsvorgängen vereinbar. Die Bogenlängen beziehen sich jeweils auf den untersuchten Wandabschnitt und können nicht unmittelbar miteinander verglichen werden. Zudem hängt das Vorzeichen von der Orientierung der lokalen Wandtangente ab. Ein geschlossenes Rezirkulationsgebiet lässt sich aus den Vorzeichenwechseln allein nicht eindeutig nachweisen. <div style="text-align:center;"> [[Datei:WSS - Oberer Ast hinter Stenose.png|800px|zentriert|Verlauf der vorzeichenbehafteten tangentialen Wandschubspannung entlang der oberen ACI-Gefäßwand hinter der 80-%-Stenose. Bei einer Bogenlänge von etwa 0,6 mm tritt ein Vorzeichenwechsel auf. Dieser kann auf eine Änderung der wandnahen Strömungsrichtung hinweisen, stellt jedoch allein keinen eindeutigen Nachweis einer Strömungsablösung dar.]] <small>'''Abbildung 5:'''Verlauf der vorzeichenbehafteten tangentialen Wandschubspannung entlang der oberen ACI-Gefäßwand hinter der 80-%-Stenose. Bei einer Bogenlänge von etwa 0,6 mm tritt ein Vorzeichenwechsel auf. Dieser kann auf eine Änderung der wandnahen Strömungsrichtung hinweisen, stellt jedoch allein keinen eindeutigen Nachweis einer Strömungsablösung dar.</small> </div> <div style="text-align:center;"> [[Datei:WSS - Unterer Ast hinter Stenose.png|800px|zentriert|Verlauf der vorzeichenbehafteten tangentialen Wandschubspannung entlang der unteren ACI-Gefäßwand hinter der Stenose. Ein Vorzeichenwechsel tritt bei etwa 20 mm Bogenlänge auf.]] <small>'''Abbildung 6:'''Verlauf der vorzeichenbehafteten tangentialen Wandschubspannung entlang der unteren ACI-Gefäßwand hinter der Stenose. Ein Vorzeichenwechsel tritt bei etwa 20 mm Bogenlänge auf.</small> </div> === Zusammenfassende Bewertung der 2D-Ergebnisse === Die stationäre zweidimensionale Strömungssimulation mit einem Stenosegrad von 80 % zeigt deutliche Veränderungen der Strömungsgrößen innerhalb der idealisierten Karotis-Bifurkation. Die maximale Geschwindigkeit beträgt 0,31853 m/s. Zwischen den ausgewählten Messquerschnitten vor und hinter der ACI-Stenose ergibt sich eine mittlere statische Druckdifferenz von 36,24 Pa. Die maximale Wandschubspannung auf den ausgewerteten Stenosewänden beträgt 3,2282 Pa. Die Untersuchung der Geschwindigkeitskomponenten liefert Hinweise auf lokale Strömungsanteile entgegen der Hauptströmungsrichtung. Ein eindeutig abgegrenztes Rezirkulationsgebiet konnte anhand der vorliegenden Darstellungen jedoch nicht sicher nachgewiesen werden. Die Ergebnisse beschreiben zunächst den untersuchten Fall einer hochgradigen Stenose. Aus diesem einzelnen Fall lässt sich weder eine allgemeine Abhängigkeit der Strömungsgrößen vom Stenosegrad noch ein kritischer Stenosegrad für den Beginn der Strömungsablösung bestimmen. Dafür wäre eine vergleichende Auswertung weiterer Stenosegrade erforderlich. == Resistenzrandbedingung am Auslass (2D-Modell) == === Motivation === Im ursprünglichen 2D-Modell wurde an beiden Auslässen (A. carotis interna, ICA, und A. carotis externa, ECA) eine Nulldruckbedingung <math>p = 0</math> gesetzt. Physikalisch bedeutet das, dass beide Äste in ein „offenes Becken“ mit gleichem, festem Druck münden. Der Auslassdruck hängt dabei nicht davon ab, wie viel Blut ankommt. Diese Annahme hat zwei Schwächen: * Die Flussaufteilung zwischen ICA und ECA ergibt sich nur aus den kleinen Strömungswiderständen der modellierten Gefäßabschnitte. Wird die ICA durch die Stenose verengt, weicht das Blut nahezu ungehindert in die ECA aus. Im Körper ist das nicht möglich, weil hinter der ICA das Gefäßbett des Gehirns mit einem eigenen, großen Widerstand liegt. * Das Druckniveau (Auslass bei 0 Pa) ist nicht physiologisch. Im 3D-Modell wurde deshalb an beiden Auslässen eine '''Resistenzrandbedingung''' verwendet. Damit 2D- und 3D-Modell vergleichbar sind, haben wir dieselbe Randbedingung auch im 2D-Modell eingebaut. == Beantwortung der Forschungsfragen == '''Welche Strömungsgrößen reagieren empfindlich auf den Stenosegrad?''' Die Untersuchung der 80-%-Stenose zeigt deutliche Veränderungen der Geschwindigkeitsverteilung, des statischen Drucks und der Wandschubspannung. Die maximale Strömungsgeschwindigkeit beträgt 0,31853 m/s. Zwischen den ausgewählten Messquerschnitten vor und hinter der Stenose ergibt sich eine mittlere statische Druckdifferenz von 36,24 Pa. Die maximale Wandschubspannung auf den untersuchten Stenosewänden beträgt 3,2282 Pa.Da bisher nur die 80-%-Stenose quantitativ ausgewertet wurde, lässt sich noch nicht feststellen, welche dieser Größen bei zunehmendem Stenosegrad am stärksten reagiert. '''Ab welchem Stenosegrad tritt eine Strömungsablösung auf?''' Bei der untersuchten 80-%-Stenose zeigen die Geschwindigkeitskomponenten und die vorzeichenbehaftete Wandschubspannung Hinweise auf Veränderungen der wandnahen Strömungsrichtung hinter der Engstelle. Ein eindeutig geschlossenes Rezirkulationsgebiet konnte jedoch nicht nachgewiesen werden. Ein kritischer Stenosegrad für den Beginn einer Strömungsablösung lässt sich aus dieser einzelnen Simulation daher nicht bestimmen. Hierfür müssten weitere Stenosegrade unter vergleichbaren Bedingungen ausgewertet werden. '''Inwieweit sind die Annahmen einer stationären und laminaren Strömung geeignet?''' Die stationäre, laminare Modellierung ermöglicht es, grundlegende Auswirkungen einer Gefäßverengung auf die Strömung in einer idealisierten Karotis-Bifurkation zu untersuchen. Bei hochgradigen Stenosen können allerdings zeitabhängige und dreidimensionale Strömungsstrukturen auftreten. Diese werden durch das vorliegende stationäre 2D-Modell nicht vollständig erfasst. Die Simulationsergebnisse sind deshalb auf die gewählten Modellannahmen und Randbedingungen beschränkt. '''Zusammenfassend''' liefert die 2D-Simulation eine erste quantitative Beschreibung der Strömungsverhältnisse bei einer hochgradigen ACI-Stenose. Für allgemeine Aussagen über die Abhängigkeit vom Stenosegrad und den Beginn einer Strömungsablösung sind zusätzliche Vergleichsrechnungen erforderlich. = Grenzen des Modells = * Die untersuchte Gefäßgeometrie ist eine idealisierte Darstellung der Karotisaufzweigung. Individuelle anatomische Unterschiede werden nicht berücksichtigt. * Darüber hinaus werden die Gefäßwände als starr angenommen und Blut wird durch ein inkompressibles Newtonsches Fluid mit konstanter Viskosität beschrieben. * Die Strömung wird stationär berechnet. Die natürliche Pulsation des Blutflusses und zeitabhängige Effekte bleiben damit unberücksichtigt. * Insbesondere bei hochgradigen Stenosen können zeitabhängige Strömungsablösungen auftreten, die durch eine stationäre Modellierung nicht vollständig beschrieben werden. * Das Graphenmodell kann lokale Strömungsphänomene nicht detailliert erfassen. Das ebene Flächenmodell vereinfacht die räumliche Gefäßgeometrie. Auch das dreidimensionale Modell bleibt aufgrund der idealisierten Geometrie und der vereinfachten Materialannahmen eine Annäherung an die reale Blutströmung. * Die Ergebnisse sind daher als strömungsmechanische Untersuchung eines idealisierten Modells zu interpretieren und nicht als patientenspezifische medizinische Vorhersage. = Literaturverzeichnis = Alle Quellen sind an den Stellen im Text angegeben, an denen die zugehörigen Werte oder Aussagen verwendet werden. Die Liste wird aus diesen Angaben automatisch erzeugt. <references /> 05p5ud5nqs5rnjahdan7lfkyac52jhd 1118998 1118996 2026-11-06T16:21:13Z Nicole.pander 39567 /* Resistenzrandbedingung am Auslass (2D-Modell) */ 1118998 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Joey Becker * Marie-Thérèse Heitele * Nicole Pander = Thema und Fragestellung = Gegenstand dieses Projekts ist die numerische Simulation der Blutströmung in einer verzweigten Halsschlagader ('''Carotis-Bifurkation''') unter dem Einfluss einer lokalen Gefäßverengung ('''Stenose'''). Im Vergleich zu einfachen Rohrströmungen wird hier die realitätsnahe Gefäßanatomie betrachtet: Die '''Arteria carotis communis (ACC)''' teilt sich in die '''Arteria carotis externa (ACE)''' und die '''Arteria carotis interna (ACI)''' auf. Während die '''ACE''' als gesunder, stenosefreier Ast dient, wird in der '''ACI''' eine geglättete, kosinusförmige Gefäßverengung modelliert. Um scharfe Kanten und unphysiologische Druckspitzen zu vermeiden, werden alle Wandübergänge und die Gabelungsspitze (Apex) anatomisch verrundet. Als Referenz dient ein gesundes, unverengtes Gefäß, in dem sich die Poiseuille-Strömung mit ihrem charakteristischen parabolischen Geschwindigkeitsprofil ausbildet. Diese Strömung ist aus zwei Gründen der natürliche Ausgangspunkt. Sie beschreibt den physiologischen Normalfall, mit dem jeder Stenosegrad verglichen wird, und sie ist exakt lösbar, sodass sich an ihr jede numerische Rechnung prüfen lässt, bevor die Verengung hinzukommt. == Fragestellung == Die Hauptfragestellung dieses Projektes lautet: Wie verändert eine symmetrische bzw. rotationssymmetrische Stenose in der '''Arteria carotis interna (ACI)''' die stationäre Strömung eines inkompressiblen Newton’schen Fluids in einer 2D-Carotis-Bifurkation hinsichtlich Geschwindigkeitsverteilung, Druckabfall, Wandschubspannung und Wirbelbildung im Vergleich zu den gesunden Gefäßabschnitten? Aus dieser Fragestellung ergeben sich drei Teilfragen, an denen sich der Aufbau der Seite orientiert: # Welche Strömungsgrößen reagieren empfindlich auf den Stenosegrad und welche nur träge? # Ab welchem Stenosegrad ändert sich das Strömungsmuster qualitativ, das heißt, ab wann löst die Strömung hinter der Engstelle von der Wand ab und bildet ein Rückströmgebiet? # Wie weit tragen die vereinfachenden Modellannahmen, insbesondere die Annahme einer stationären und laminaren Strömung, über den untersuchten Bereich der Stenosegrade? == Modellannahmen == Im Hinblick darauf werden für dieses Projekt einige Annahmen getroffen, um das Projekt möglichst isoliert zu untersuchen und zu simplifizieren: * '''Idealisierte Gefäßgeometrie''': Betrachtet wird ein Teilabbschnitt der ''Arteria carotis communis'', die sog. ''ACI''. Zudem werden Gefäßverkrümmungen, weitere Verzweigungen und patientenspezifische Strukturen nicht berücksichtigt. * '''Starre Gefäßwand''': Die Gefäßwand wird als unbeweglich und nicht verformbar angenommen. Eine Wechselwirkung zwischen elastischer Gefäßwand und Blutströmung wird nicht modelliert. * '''Stationäre Strömung''': Die Strömungsgrößen werden als zeitlich konstant angenommen. Die im realen Blutkreislauf vorhandene Pulsation durch den Herzschlag wird daher vernachlässigt: <math>\frac{\partial u}{\partial t}=0</math>. * '''Inkompressibles Fluid''': Die Dichte des Fluids wird als konstant angenommen. Damit gilt für die Geschwindigkeit <math>\nabla \cdot u=0</math>. Dies entspricht der in der Vorlesung behandelten Massenerhaltung für inkompressible Fluide: Was in das Gefäß einströmt, muss auch wieder ausströmen. * '''Newton'sche Näherung für Blut''': Reales Blut beseitzt ein nicht newton'sches Fließverhalten. Hier wird Blut als Newton'sches Fluid behandelt. * '''Konstante Stoffeigenschaften''': Dichte <math>\rho</math> und dynamische Viskosität μ werden als räumlich und zeitlich konstant angenommen. Temperaturabhängigkeiten werden nicht berücksichtigt. * '''Laminare Strömung''': Die Strömung wird mit dem COMSOL-Modul ''Laminar Flow'' beschrieben. Ein zusätzliches Turbulenzmodell wird nicht verwendet. * '''No-Slip-Bedingung an Gefäßwand''': Aufgrund der Viskosität wird angenommen, dass das Fluid direkt an der Gefäßwand haftet. Somit gilt <math>u=0</math>. * '''Vernachlässigung der Gravitation''': Gravitation wird nicht berücksichtigt. Die Strömung wird ausschließlich durch die gewählten Ein- und Auslassbedingungen bestimmt. = Relevanz = Die Untersuchung von Gefäßverengungen besitzt sowohl eine medizinische als auch eine methodische Bedeutung. Aus medizinischer Sicht sind arterielle Stenosen – etwa in der Halsschlagader, lat. ''arteria carotis communis'', – kritisch, da sie die Durchblutung beeinträchtigen und durch veränderte Wandschubspannungen sowie die Bildung von Wirbeln weitere Gefäßablagerungen begünstigen. Stenosen im Bereich der Karotisgabelung sind klinisch hochrelevant, da sie das Gehirn direkt versorgen und das Risiko für embolische Schlaganfälle erhöhen. Fachlich überträgt das Projekt damit die Prinzipien der Strömungsmechanik direkt auf eine biomedizinische Anwendung. Das Projekt verknüpft somit theoretische Grundlagen der Strömungsmechanik (Hagen-Poiseuille-Gleichung, Navier-Stokes-Gleichungen) mit der numerischen Simulation in COMSOL Multiphysics. Durch den Vergleich der '''gesunden Externa (ACE)''' mit der '''stenoisierten Interna (ACI)''' innerhalb desselben Rechengebiets wird die isolierte Wirkung der Stenose unter identischen Randbedingungen direkt sichtbar gemacht. == Medizinische Relevanz == Arterielle Stenosen entstehen überwiegend durch Atherosklerose, also durch Ablagerungen aus Lipiden, Bindegewebe und Kalk in der Gefäßwand. In der Halsschlagader sind sie klinisch besonders bedeutsam, weil sie die Durchblutung des Gehirns beeinträchtigen und weil sich an ihnen Thromben bilden können, die als Embolie einen Schlaganfall auslösen. Dass die operative Entfernung einer hochgradigen Karotisstenose das Schlaganfallrisiko symptomatischer Patienten deutlich senkt, hat die NASCET-Studie gezeigt, deren Einteilung der Stenosegrade dieses Projekt übernimmt.<ref name="nascet">North American Symptomatic Carotid Endarterectomy Trial Collaborators: ''Beneficial effect of carotid endarterectomy in symptomatic patients with high-grade carotid stenosis.'' New England Journal of Medicine 325 (1991), Nr. 7, S. 445-453.</ref> Strömungsmechanisch ist an einer Stenose vor allem die Wandschubspannung von Interesse, also die tangentiale Kraft je Fläche, die das strömende Blut auf die innerste Zellschicht der Gefäßwand ausübt. Gesunde Halsschlagadern weisen zeitlich gemittelte Werte von etwa 1,1 bis 1,5 Pa auf.<ref name="samijo">Samijo, S. K.; Willigers, J. M.; Barkhuysen, R.; Kitslaar, P. J. E. H. M.; Reneman, R. S.; Brands, P. J.; Hoeks, A. P. G.: ''Wall shear stress in the human common carotid artery as function of age and gender.'' Cardiovascular Research 39 (1998), Nr. 2, S. 515-522.</ref> In einer Engstelle steigt sie stark an, unmittelbar dahinter fällt sie im Ablösegebiet auf nahezu null und wechselt dort sogar das Vorzeichen. Niedrige und im Vorzeichen wechselnde Wandschubspannungen gelten als Bedingungen, unter denen sich weitere Ablagerungen bevorzugt bilden. Eine bestehende Stenose schafft also stromabwärts die Voraussetzungen für ihr eigenes Wachstum. Genau diese Verteilung lässt sich im Körper nur schwer messen, in einer Simulation dagegen unmittelbar auswerten. == Methodische Relevanz == Fachlich überträgt das Projekt die Prinzipien der Strömungsmechanik aus der Vorlesung auf eine biomedizinische Anwendung.<ref name="hundertmark">Hundertmark, A.: ''Fluiddynamik.'' Vorlesungsunterlagen zum Modul Räumliche Modellbildung, RPTU Kaiserslautern-Landau, Sommersemester 2026.</ref> Der methodische Mehrwert liegt in der Verknüpfung mehrerer Zugänge, die sich gegenseitig kontrollieren. Die analytische Poiseuille-Lösung liefert exakte Sollwerte für das gesunde Gefäß. Ein reduziertes Graphenmodell liefert für jeden Stenosegrad eine schnelle Abschätzung, die analytisch nachrechenbar ist. Die Simulationen in COMSOL Multiphysics lösen schließlich die vollständigen Navier-Stokes-Gleichungen in zwei und drei Raumdimensionen. Weil jede Stufe die Sollwerte der nächsten liefert, zeigt das Projekt nicht nur Ergebnisse, sondern auch, wie numerische Modelle aufgebaut, verifiziert und an ihren Grenzen bewertet werden. == Auswahl der Stenosegrade == Um die untersuchten Gefäßverengungen nicht willkürlich festzulegen, orientiert sich die Auswahl der Stenosegrade an der klinisch gebräuchlichen NASCET-Klassifikation von Karotisstenosen.<ref name="nascet" /> Zur klinischen Einordnung werden Karotisstenosen anhand der nach NASCET bestimmten Durchmesserreduktion in leichtgradige, mittelgradige und hochgradige Stenosen eingeteilt. Die angegebenen Prozentgrenzen dienen in diesem Projekt als Orientierung für die Auswahl der untersuchten Stenosegrade. Ein vollständiger Gefäßverschluss wird als Okklusion bezeichnet. {| class="wikitable" |+ Klinische Einteilung nach NASCET-gemessener Durchmesserreduktion und untersuchte Stenosegrade ! Schweregrad !! Durchmesserreduktion !! im Projekt gerechnete Stenosegrade !! hervorgehobener Vertreter |- | gesundes Gefäß || 0 % || 0 || 0 |- | leichtgradige Stenose || unter 50 % || 0,1 bis 0,4 || 0,3 |- | mittelgradige Stenose || 50 bis 69 % || 0,5 und 0,6 || 0,6 |- | hochgradige Stenose || 70 bis 99 % || 0,7 und 0,8 || 0,8 |- | Okklusion || 100 % || nicht gerechnet || entfällt |} '''Anmerkung''': Die Klassengrenzen dienen der Einordnung der Modellvarianten. Die in der Tabelle genannten Stenosegrade sind dimensionslose Werte, beispielsweise entspricht '''<math>s=0{,}6</math>''' einer Durchmesserreduktion von '''60 %'''. Für die numerische Untersuchung wird aus jeder Kategorie ein repräsentativer Stenosegrad hervorgehoben. Neben dem gesunden Gefäß mit '''0 %''' Stenose sind das eine '''30 %''' Stenose als Beispiel für eine leichtgradige, eine '''60 %''' Stenose als Beispiel für eine mittelgradige und eine '''80 %''' Stenose als Beispiel für eine hochgradige Verengung. Zusätzlich werden für das Graphenmodell und das achsensymmetrische Flächenmodell Stenosegrade von 0 bis 80 % in Schritten von zehn Prozentpunkten vorgesehen. Dadurch kann die Abhängigkeit der Strömungsgrößen vom Stenosegrad systematisch untersucht und grafisch dargestellt werden. Ob alle Modellvarianten tatsächlich berechnet wurden und wie hoch der Rechenaufwand war, wird anhand der durchgeführten Simulationen dokumentiert. Ein vollständiger Gefäßverschluss wird nicht simuliert, da in diesem Fall keine durchgängige Strömung mehr vorliegt. Der Stenosegrad wird in diesem Projekt wie bei NASCET über die Verringerung des Gefäßdurchmessers beschrieben, <math>s = 1 - \frac{d_{\min}}{d_{\mathrm{ref}}},</math> wobei <math>d_{\min}</math> der kleinste Durchmesser in der Engstelle und <math>d_{\mathrm{ref}}</math> ein Referenzdurchmesser ist. NASCET verwendet als Referenz den Durchmesser des gesunden Gefäßes stromabwärts der Stenose. Für das idealisierte gerade Gefäßmodell wird ein konstanter Referenzdurchmesser von <math>D_0=6\,\mathrm{mm}</math> angenommen. Da das Gefäß außerhalb der Stenose denselben Durchmesser besitzt, gilt in diesem Modell<math>d_{\mathrm{ref}}=D_0</math>. Bei der zusätzlich betrachteten Gefäßaufzweigung muss der Referenzdurchmesser dagegen gesondert festgelegt werden, da die Gefäßäste unterschiedliche Durchmesser besitzen. Wichtig für das Verständnis aller weiteren Ergebnisse ist der Unterschied zwischen Durchmesser- und Flächenreduktion. Da die Querschnittsfläche quadratisch vom Durchmesser abhängt, gilt für die Flächenreduktion <math>1-(1-s)^2</math>. Eine im klinischen Sinn nur mittelgradige Stenose von 60 % verschließt damit bereits 84 % der Querschnittsfläche. {| class="wikitable" |+ Durchmesser- und Flächenreduktion der gerechneten Stenosegrade ! Stenosegrad s !! 0 !! 0,1 !! 0,2 !! 0,3 !! 0,4 !! 0,5 !! 0,6 !! 0,7 !! 0,8 |- | engster Durchmesser in mm || 6,0 || 5,4 || 4,8 || 4,2 || 3,6 || 3,0 || 2,4 || 1,8 || 1,2 |- | Flächenreduktion || 0 % || 19 % || 36 % || 51 % || 64 % || 75 % || 84 % || 91 % || 96 % |} Eine Einschränkungen gehört zur ehrlichen Einordnung: # Mit zunehmendem Stenosegrad, insbesondere bei ausgeprägten Verengungen, können lokale Beschleunigungen, Strömungsablösungen und zeitabhängige Strömungsstrukturen auftreten. Daher muss bei den hochgradigen Stenosen geprüft werden, inwieweit die Annahme einer stationären, laminaren Strömung geeignet ist. Eine feste Grenze bei <math>s=0{,}6</math> lässt sich ohne entsprechende Simulationsergebnisse oder Literaturbelege nicht allgemein festlegen. Die hochgradigen Fälle werden deshalb unter besonderer Berücksichtigung der Modellannahmen diskutiert. Unter Modellierung wird in diesem Projekt die Übertragung der Blutströmung in einer verengten Arterie auf ein mathematisches und numerisch lösbares Strömungsproblem verstanden. Dazu werden die Gefäßgeometrie, die zugrunde liegenden Gleichungen, die physikalischen Materialparameter sowie die Anfangs- und Randbedingungen festgelegt. Jeder dieser Bestandteile beruht auf vereinfachenden Annahmen, die begründet und bei der Interpretation der Ergebnisse berücksichtigt werden müssen. Ziel ist es, den Einfluss unterschiedlicher Stenosegrade auf die Strömungsgeschwindigkeit, den Druckverlust und gegebenenfalls die Wandschubspannung systematisch zu untersuchen. Die Modellierung erfolgt anhand mehrerer Modellvarianten mit unterschiedlicher räumlicher Auflösung. Dadurch können zunächst grundlegende Zusammenhänge analytisch abgeschätzt und anschließend mit numerischen Strömungsberechnungen verglichen werden. Die verwendeten Parameter orientieren sich an den bereitgestellten Referenzdaten und werden in den folgenden Abschnitten erläutert. == Modellierung == Ziel der Modellierung ist es, die Blutströmung innerhalb einer Y-förmigen Aufzweigung der Halsschlagader mathematisch und numerisch zu untersuchen. Im Mittelpunkt steht eine Gefäßverengung (Stenose) in der Arteria carotis interna. Das betrachtete Gefäßmodell besteht aus der Arteria carotis communis, die sich in die Arteria carotis interna und die Arteria carotis externa aufteilt. Die Stenose befindet sich ausschließlich in der Arteria carotis interna. Durch die Verengung verändert sich der verfügbare Strömungsquerschnitt. Dies kann zu einer Erhöhung der lokalen Strömungsgeschwindigkeit, zu zusätzlichen Druckverlusten und zu einer Veränderung der Strömungsverteilung zwischen den beiden Gefäßästen führen. Ziel ist es, den Einfluss unterschiedlicher Stenosegrade auf die Strömungsgeschwindigkeit, die Druckverteilung und die Wandschubspannung zu untersuchen. Zusätzlich soll betrachtet werden, wie sich die Strömung innerhalb der Y-förmigen Gefäßaufzweigung verhält. Die numerische Modellierung erfolgt mit COMSOL Multiphysics. Dazu werden die Gefäßgeometrie, die Materialeigenschaften des Blutes, die Strömungsgleichungen und die Randbedingungen festgelegt. Zur Vereinfachung wird Blut zunächst als inkompressibles, Newtonsches Fluid betrachtet. Die Gefäßwände werden als starr angenommen. Diese Annahmen ermöglichen eine systematische Untersuchung der Stenose, schränken jedoch die Übertragbarkeit auf reale physiologische Bedingungen ein. === Modellhierarchie === Für die Untersuchung der Blutströmung innerhalb der Y-förmigen Karotisaufzweigung werden drei Modellvarianten betrachtet. Diese unterscheiden sich hinsichtlich ihrer räumlichen Dimension, ihrer mathematischen Beschreibung und der Genauigkeit, mit der die Strömungsverhältnisse dargestellt werden können. Das untersuchte Gefäß besteht aus der Arteria carotis communis, die sich in die Arteria carotis interna und die Arteria carotis externa aufteilt. Die Stenose befindet sich ausschließlich in der Arteria carotis interna. Alle drei Modellvarianten werden mit COMSOL Multiphysics umgesetzt. {| class="wikitable" style="width:100%;" |+ '''Die drei Modellvarianten des Projekts''' |- ! Modell ! Raumdimension ! Mathematische Grundlage ! Zweck ! Werkzeug |- | '''Graphenmodell''' | 1D, Gefäßnetzwerk mit einer Verzweigung | Massenerhaltung an der Verzweigung und vereinfachte Beschreibung der Strömungswiderstände | Abschätzung der Volumenstromverteilung und der Druckverluste in den Gefäßästen | COMSOL Multiphysics |- | '''Ebenes Flächenmodell''' | 2D, Y-förmige Gefäßgeometrie in kartesischen Koordinaten | Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen | Untersuchung der Geschwindigkeits- und Druckverteilung sowie der Auswirkungen der Stenose in der Arteria carotis interna | COMSOL Multiphysics, Laminare Strömung |- | '''Volumenmodell''' | 3D, räumliche Y-förmige Gefäßgeometrie | Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen | Räumliche Untersuchung des Geschwindigkeitsfeldes, des Druckverlustes und der Wandschubspannung | COMSOL Multiphysics, Laminare Strömung |} ==== Vergleich und Überprüfung der Modellvarianten ==== Die drei Modellvarianten bauen hinsichtlich ihrer räumlichen Beschreibung aufeinander auf. Das Graphenmodell ermöglicht zunächst eine vereinfachte Betrachtung der Volumenströme und Druckverluste. Die zwei- und dreidimensionalen Modelle erlauben anschließend eine detailliertere Untersuchung der Strömung innerhalb der Gefäßaufzweigung. Das '''Graphenmodell''' beschreibt die Arteria carotis communis sowie die beiden abzweigenden Gefäße als miteinander verbundenes Netzwerk. Dabei wird die Massenerhaltung an der Verzweigung berücksichtigt: :<math>Q_{\mathrm{CCA}}=Q_{\mathrm{ICA}}+Q_{\mathrm{ECA}}</math> Das Modell liefert vereinfachte Abschätzungen der Volumenstromverteilung. Lokale Strömungsablösungen und räumliche Geschwindigkeitsverteilungen können damit nicht detailliert dargestellt werden. Das '''ebene Flächenmodell''' bildet die Y-förmige Gefäßaufzweigung in zwei Raumdimensionen ab. Die Stenose wird innerhalb der Arteria carotis interna berücksichtigt. Dadurch können die Geschwindigkeits- und Druckverteilung sowie mögliche Rückströmungsbereiche untersucht werden. Das '''Volumenmodell''' erweitert die Untersuchung auf drei Raumdimensionen. Es ermöglicht eine räumliche Darstellung der Strömung und eine detailliertere Berechnung der Wandschubspannung. Die Ergebnisse des ebenen Flächenmodells und des Volumenmodells werden miteinander verglichen. Da das ebene Modell die räumliche Querschnittsgeometrie nur vereinfacht darstellt, müssen Unterschiede zwischen den beiden Modellen bei der Interpretation berücksichtigt werden. Ziel der Modellhierarchie ist es, die Aussagekraft der einzelnen Modellvarianten zu bewerten und den Einfluss des Stenosegrades auf die Strömung innerhalb der Y-förmigen Karotisaufzweigung zu untersuchen. === Simulationsgebiet und Geometrie === Das Simulationsgebiet besteht aus einer idealisierten Y-förmigen Aufzweigung der Arteria carotis. Die Arteria carotis communis teilt sich in die Arteria carotis interna und die Arteria carotis externa. Die Stenose befindet sich in der Arteria carotis interna. Die Arteria carotis externa wird ohne zusätzliche Verengung modelliert. Die Geometrie orientiert sich an den bereitgestellten Referenzdaten. Die Gefäßdurchmesser werden innerhalb der jeweiligen unverengten Abschnitte als konstant angenommen. {| class="wikitable" style="width:100%;" |+ '''Geometrische Referenzparameter der Y-förmigen Gefäßaufzweigung''' |- ! Gefäßabschnitt ! Durchmesser ! Länge |- | Arteria carotis communis | 6 mm | 60 mm |- | Arteria carotis interna | 5 mm | 60 mm |- | Arteria carotis externa | 4 mm | 60 mm |- | Stenose in der Arteria carotis interna | Abhängig vom Stenosegrad | 10 bzw. 20 mm |} Die Verengung wird über den Stenosegrad <math>s</math> beschrieben. Dieser gibt die relative Verringerung des Gefäßdurchmessers an: :<math>s=1-\frac{d_{\min}}{D_{\mathrm{ICA}}}</math> Dabei bezeichnet <math>d_{\min}</math> den minimalen Durchmesser innerhalb der Stenose und <math>D_{\mathrm{ICA}}</math> den unverengten Referenzdurchmesser der Arteria carotis interna. Für das Modell gilt: :<math>D_{\mathrm{ICA}}=5\,\mathrm{mm}</math> Der minimale Durchmesser ergibt sich damit zu: :<math>d_{\min}=D_{\mathrm{ICA}}(1-s)</math> {| class="wikitable" |+ '''Minimaler Durchmesser der Stenose in der Arteria carotis interna''' |- ! Stenosegrad ! Minimaler Durchmesser |- | 0 % | 5,0 mm |- | 10 % | 4,5 mm |- | 20 % | 4,0 mm |- | 30 % | 3,5 mm |- | 40 % | 3,0 mm |- | 50 % | 2,5 mm |- | 60 % | 2,0 mm |- | 70 % | 1,5 mm |- | 80 % | 1,0 mm |} Die angegebenen Stenosegrade beziehen sich ausschließlich auf den Durchmesser der Arteria carotis interna. Der Durchmesser der Arteria carotis communis wird nicht zur Berechnung des Stenosegrades verwendet. Die Y-förmige Geometrie ermöglicht es, die Auswirkungen der Verengung sowohl auf die lokale Strömung in der Arteria carotis interna als auch auf die Strömungsverteilung innerhalb der gesamten Gefäßaufzweigung zu untersuchen. Die genaue Form der Stenose, der Verzweigungswinkel und die Übergänge zwischen den Gefäßabschnitten müssen entsprechend der tatsächlich in COMSOL verwendeten Geometrie dokumentiert werden. == Stoff- und Strömungsparameter == Die Stoffwerte des Blutes und der Volumenstrom sind die einzigen Eingangsgrößen, die nicht aus der Geometrie folgen. Aus ihnen werden alle weiteren Strömungskennwerte berechnet. Die folgenden Schritte zeigen jede Rechnung einzeln, damit sich jeder Wert nachprüfen lässt. # Die '''Dichte''' wird mit <math>\rho = 1060\ \mathrm{kg/m^3}</math> angesetzt. Der Wert lässt sich als Mischungsregel plausibel machen. Plasma hat eine Dichte von etwa 1025 kg/m³, rote Blutkörperchen von etwa 1100 kg/m³. Bei einem Zellanteil von 45 % ergibt sich <math>0{,}55 \cdot 1025 + 0{,}45 \cdot 1100 \approx 1059\ \mathrm{kg/m^3}</math>. Die Dichte geht nur über die Reynoldszahl in die Rechnung ein, eine Abweichung von einem Prozent ändert die Ergebnisse daher kaum. <!-- FIXME Lehrbuchquelle fuer Plasma- und Erythrozytendichte ergaenzen --> # Die '''dynamische Viskosität''' wird mit <math>\mu = 3{,}5\ \mathrm{mPa\,s}</math> angesetzt. Das ist der Grenzwert der Blutviskosität bei hohen Scherraten, also genau der Wert, der zur Newtonschen Näherung gehört. Derselbe Wert von 0,035 Poise wird auch im Standardwerk zur Modellierung des Herz-Kreislauf-Systems verwendet.<ref name="quarteroni">Quarteroni, A.; Formaggia, L.: ''Mathematical Modelling and Numerical Simulation of the Cardiovascular System.'' In: Ayache, N. (Hrsg.): ''Computational Models for the Human Body.'' Handbook of Numerical Analysis, Bd. XII, Elsevier, Amsterdam 2004, S. 3-127. DOI 10.1016/S1570-8659(03)12001-7. Zur Newtonschen Näherung in großen Gefäßen siehe S. 30, zur Viskosität von 0,035 Poise die Parametertabelle auf S. 116.</ref> # Der '''mittlere Volumenstrom''' wird mit <math>Q_0 = 6\ \mathrm{ml/s}</math> angesetzt. Das ist der zeitlich gemittelte Volumenstrom, der in der gemeinsamen Halsschlagader gesunder Probanden gemessen wurde. # Die '''mittlere Geschwindigkeit''' folgt aus Volumenstrom und Querschnittsfläche, <math>U_0 = \frac{Q_0}{\pi R_0^2} = \frac{6 \cdot 10^{-6}\ \mathrm{m^3/s}}{\pi \cdot (0{,}003\ \mathrm{m})^2} = 0{,}2122\ \mathrm{m/s}</math>. # Die '''Reynoldszahl''' des gesunden Gefäßes ist <math>Re_0 = \frac{\rho\, U_0\, D_0}{\mu} = \frac{1060 \cdot 0{,}2122 \cdot 0{,}006}{0{,}0035} = 385{,}6</math>. Sie wird im Folgenden auf 386 gerundet. # Die '''Einlauflänge''', die eine anfangs gleichförmige Strömung bis zum voll entwickelten Parabelprofil bräuchte, beträgt nach der gebräuchlichen Abschätzung für laminare Rohrströmungen <math>L_e \approx 0{,}06\, Re_0\, D_0 \approx 0{,}06 \cdot 386 \cdot 6\ \mathrm{mm} \approx 139\ \mathrm{mm}</math>.<ref name="durst">Durst, F.; Ray, S.; Ünsal, B.; Bayoumi, O. A.: ''The development lengths of laminar pipe and channel flows.'' Journal of Fluids Engineering 127 (2005), Nr. 6, S. 1154-1160. Für große Reynoldszahlen nähert sich die dort angegebene Korrelation dem Wert 0,057·Re·D.</ref> Das ist fast die gesamte Länge des Rechengebiets. Ein konstantes Einlassprofil würde die Strömung an der Stenose also verfälschen, weshalb am Einlass das voll entwickelte Profil vorgegeben wird. Damit liegen alle globalen Parameter fest. Die folgende Tabelle enthält sie mit genau den Namen, unter denen sie in COMSOL und in den Octave-Skripten verwendet werden. {| class="wikitable" |+ Globale Parameter des Modells ! Name !! Ausdruck in COMSOL !! Wert !! Bedeutung !! Herkunft |- | R0 || 3[mm] || 3 mm || Gefäßradius || Messwerte nach Krejza u. a. 2006, gerundet |- | D0 || 2*R0 || 6 mm || Gefäßdurchmesser || abgeleitet |- | Ls || 2*D0 || 12 mm || Länge der Störstelle || Standardgeometrie nach Varghese u. a. 2007 |- | Lu || 5*D0 || 30 mm || Vorlaufstrecke vor der Stenosemitte || Abstand der Einlassbedingung von der Stenose |- | Ld || 20*D0 || 120 mm || Nachlaufstrecke hinter der Stenosemitte || Platz für das Rückströmgebiet |- | Lf || Ls/2+10*D0 || 66 mm || Ende des fein vernetzten Nachlaufs || erwartete Länge des Rückströmgebiets |- | s || 0 bis 0.8 || 0 bis 0,8 || Stenosegrad bezogen auf den Durchmesser || NASCET-Einteilung |- | rho_b || 1060[kg/m^3] || 1060 kg/m³ || Dichte des Blutes || Mischungsregel, Literaturwert |- | mu_b || 3.5[mPa*s] || 3,5 mPa·s || dynamische Viskosität des Blutes || Hochscherwert, Quarteroni und Formaggia 2004 |- | Q0 || 6[ml/s] || 6 ml/s || mittlerer Volumenstrom || Messwerte nach Holdsworth u. a. 1999 |- | U0 || Q0/(pi*R0^2) || 0,2122 m/s || mittlere Einströmgeschwindigkeit || abgeleitet |- | Re0 || rho_b*U0*D0/mu_b || 385,6 || Reynoldszahl des gesunden Gefäßes || abgeleitet |- | dp_ref || 8*mu_b*U0*(Lu+Ld)/R0^2 || 99,03 Pa || Poiseuille-Druckabfall des gesunden Gefäßes || abgeleitet, Hagen-Poiseuille |} = Implementierung des 2D-Modells in COMSOL Multiphysics = == Zielsetzung des zweidimensionalen Modells == Im Rahmen des Projekts wurde mit COMSOL Multiphysics ein zweidimensionales Modell der menschlichen Halsschlagader erstellt. Ziel ist es, die Blutströmung innerhalb einer Gefäßverzweigung zu untersuchen und insbesondere die Auswirkungen einer lokalen Gefäßverengung (Stenose) auf das Strömungsverhalten zu analysieren. Das Modell bildet die Aufzweigung der Arteria carotis communis (ACC) in die Arteria carotis interna (ACI) und die Arteria carotis externa (ACE) ab. Während die ACE als gesunder Gefäßabschnitt betrachtet wird, befindet sich in der ACI eine lokale Verengung. Dadurch können die Strömungsverhältnisse in beiden Ästen miteinander verglichen werden. Die zweidimensionale Modellierung dient dazu, die Geschwindigkeitsverteilung, den Druckabfall und die Wandschubspannung zu untersuchen. Zusätzlich soll festgestellt werden, ob sich hinter der Stenose Bereiche mit Strömungsablösungen oder Rückströmungen ausbilden. ==Vorgehen== Für die numerische Untersuchung in COMSOL Multiphysics 6.2 zunächst ein zweidimensionales Modell mit der Physik ''Laminare Strömung'' und einer ''stationären Studie'' angelegt. Die Gefäßgeometrie wurde vollständig parametrisiert, damit Durchmesser, Gefäßlängen, Verzweigungswinkel, Stenosegrad sowie die Stenoselänge veränderbar sind, ohne das Modell jeweils neu zu zeichnen. Das gemeinsame Zuflussgefäß stellt die Arteria carotis communis mit einem Durchmesser von <math>6\,\mathrm{mm}</math> dar. Nach einem geraden Einlaufabschnitt von <math>60\,\mathrm{mm}</math> teilt es sich V-förmig in die beiden Tochtergefäße auf. Die Arteria carotis interna wird mit einem Durchmesser von <math>5\,\mathrm{mm}</math>, die Arteria carotis externa mit <math>4\,\mathrm{mm}</math> modelliert. Beide Tochtergefäße sind jeweils <math>60\,\mathrm{mm}</math> lang. Die Grundgeometrie wurde als zusammenhängender zweidimensionaler Volumenkörper aufgebaut. Die beiden Tochtergefäße verlaufen nach der Bifurkation unter einem Winkel auseinander, sodass eine idealisierte Y-förmige Karotisgabel entsteht. Die Übergänge zwischen dem gemeinsamen Gefäß und den beiden Ästen wurden bewusst vereinfacht, aber ohne abrupte Querschnittssprünge gestaltet. Auf diese Weise bleibt die Geometrie ausreichend einfach für einen systematischen Vergleich verschiedener Modellvarianten, bildet die typische Aufzweigung einer Karotis. Die Stenose befindet sich ausschließlich in der Arteria carotis interna. Um die Verengung nicht durch gerade Polygonsegmente mit scharfen Knicken darzustellen, wurde ihre Kontur mithilfe von zwei parametrischen Kosinuskurven erzeugt. Zur Beschreibung der Stenose wird eine parametrische Kurve mit dem Hilfsparameter <math>t</math> verwendet. Dieser nimmt Werte zwischen <math>-1</math> und <math>1</math> an. Über die Beziehung <math>x(t)=x_\mathrm{st}+\frac{L_\mathrm{st}}{2}t</math> wird der Parameter auf die räumliche Position entlang des Gefäßes übertragen. Für <math>t=-1</math> liegt der Beginn der Stenose bei <math>x_\mathrm{st}-L_\mathrm{st}/2</math>, für <math>t=0</math> befindet sich die Kurve in der Stenosenmitte und für <math>t=1</math> am Ende bei <math>x_\mathrm{st}+L_\mathrm{st}/2</math>. Dadurch kann die Länge der Stenose über den Parameter <math>L_\mathrm{st}</math> verändert werden, ohne ihre Mittelpunktposition <math>x_\mathrm{st}</math> zu verschieben. Die Einengung wächst vom Beginn der Stenose kontinuierlich bis zur Engstelle an und nimmt danach ebenso kontinuierlich wieder ab. Dadurch entstehen glatte Wandübergänge. Die Stärke der Einengung wird über den dimensionslosen Stenosegrad <math>s</math> gesteuert. Für einen unverengten Durchmesser der Arteria carotis interna von <math>D_\mathrm{ACI}=5\,\mathrm{mm}</math> ergibt sich bei einem Stenosegrad von <math>s=0{,}3</math> eine minimale Gefäßweite von <math>3{,}5\,\mathrm{mm}</math>, bei <math>s=0{,}6</math> von <math>2{,}0\,\mathrm{mm}</math> und bei <math>s=0{,}8</math> von <math>1{,}0\,\mathrm{mm}</math>. Die minimale Gefäßweite ergibt sich allgemein aus <math>d_\mathrm{min}=D_\mathrm{ACI}(1-s)</math>. Die beiden parametrischen Kurven wurden mit Hilfslinien zu geschlossenen Flächen ergänzt und anschließend über „Umwandeln in Volumenkörper“ in Flächenobjekte überführt. Mithilfe einer Differenzoperation wurden diese Flächen aus dem Gefäßgebiet ausgeschnitten. Auf diese Weise bleibt die Grundgeometrie des Gefäßes unverändert, während Stenosegrad und Stenosenlänge allein über globale Parameter variiert werden können. Für die Strömung wurde Blut als inkompressibles Newtonsches Fluid mit konstanter Dichte und Viskosität angenähert. Verwendet werden eine Dichte von <math>\rho=1060\,\mathrm{kg/m^3}</math> und eine dynamische Viskosität von <math>\mu=3,5\,\mathrm{mPa s}</math>. Am Einlass wird ein voll entwickeltes Geschwindigkeitsprofil vorgegeben. Aus dem auf der Projektseite angesetzten mittleren Volumenstrom von <math>6\,\mathrm{ml/s}</math> ergibt sich für das <math>6\,\mathrm{mm}</math> breite Zuflussgefäß eine mittlere Geschwindigkeit von rund <math>0{,}21\,\mathrm{m/s}</math>. An beiden Auslässen wird derselbe Referenzdruck vorgegeben, während an sämtlichen Gefäßwänden die Haftbedingung (No Slip) gilt. Nach Fertigstellung der Geometrie wurde ein physikgesteuertes Finite-Elemente-Netz erzeugt und die stationäre Navier-Stokes-Strömung berechnet. Anschließend wurden insbesondere der Geschwindigkeitsbetrag, die Druckverteilung und die Stromlinien ausgewertet. Die Stromlinien dienen dabei nicht nur der Visualisierung der Aufteilung des Blutstroms an der Bifurkation, sondern auch zur Erkennung möglicher Ablöse- und Rückströmungsgebiete hinter der Stenose. Zusätzlich kann die Wandschubspannung entlang der Gefäßwand ausgewertet werden. Die verschiedenen Stenosegrade werden jeweils bei ansonsten identischen Randbedingungen miteinander und mit dem gesunden Referenzfall verglichen. == Ergebnisse der 2D-Strömungssimulation == Die zweidimensionale Strömungssimulation wurde mit COMSOL Multiphysics durchgeführt, um die Auswirkungen einer lokalen Gefäßverengung auf die Blutströmung innerhalb einer idealisierten Karotis-Bifurkation zu untersuchen. Im Mittelpunkt der Auswertung stehen die Geschwindigkeitsverteilung, die Druckverteilung sowie die Wandschubspannung. Ergänzend werden Stromlinien betrachtet, um mögliche Veränderungen des Strömungsverlaufs und das Auftreten von Rückströmungsgebieten hinter der Stenose zu untersuchen. Für die aktuell betrachtete Modellvariante beträgt der eingestellte Stenosegrad 80 %. Die Ergebnisse werden hinsichtlich ihrer strömungsmechanischen Bedeutung interpretiert und unter Berücksichtigung der vereinfachenden Modellannahmen bewertet. === Geschwindigkeitsverteilung und Stromlinien === Die Geschwindigkeitsverteilung der zweidimensionalen Karotis-Bifurkation wurde mithilfe des Geschwindigkeitsbetrags ''spf.U'' in COMSOL Multiphysics untersucht. Die berechneten Geschwindigkeiten liegen gemäß der dargestellten Farbskala zwischen nahezu 0 m/s an den Gefäßwänden und ungefähr 0,32 m/s im Strömungsgebiet. Im gemeinsamen Zuflussgefäß zeigt sich eine erhöhte Strömungsgeschwindigkeit im zentralen Bereich, während die Geschwindigkeit zu den Gefäßwänden hin abnimmt. An der Gefäßverzweigung teilt sich die Strömung auf die beiden Tochtergefäße auf. Im oberen Gefäßast führt die lokale Querschnittsverengung zu einer Veränderung der Geschwindigkeitsverteilung. Im Bereich der Engstelle sind erhöhte Geschwindigkeiten zu erkennen, während in wandnahen Bereichen geringere Geschwindigkeiten auftreten. Die zusätzlich dargestellten Stromlinien verdeutlichen den Verlauf der Strömung durch die Gefäßverzweigung. In der vorliegenden Darstellung sind keine eindeutig ausgeprägten geschlossenen Rückströmungsgebiete zu erkennen. '''Interpretation''': Die Ergebnisse zeigen, dass die Gefäßgeometrie die lokale Geschwindigkeitsverteilung beeinflusst. Insbesondere die Verengung verändert die Strömung im betroffenen Gefäßast. Aus der Geschwindigkeitsdarstellung allein lässt sich jedoch noch nicht beurteilen, ob hinter der Stenose eine Strömungsablösung auftritt. <div style="text-align:center;"> [[Datei:Geschwindigkeit spf.png|700px|zentriert|Geschwindigkeitsverteilung und Stromlinien der stationären 2D-Strömungssimulation einer idealisierten Karotis-Bifurkation mit lokaler Stenose im oberen Gefäßast. Die Farbskala zeigt den Geschwindigkeitsbetrag in m/s.]] <small>'''Abbildung 1:''' Geschwindigkeitsverteilung und Stromlinien der stationären 2D-Strömungssimulation einer idealisierten Karotis-Bifurkation mit lokaler Stenose im oberen Gefäßast. Die Farbskala zeigt den Geschwindigkeitsbetrag in m/s.</small> </div> ==== Auswertung ==== Die quantitative Auswertung des Geschwindigkeitsfeldes mittels der COMSOL-Funktion ''Oberflächenmaximum'' ergibt für das gesamte zweidimensionale Strömungsgebiet eine maximale Geschwindigkeit von '''0,31853 m/s'''. Dieser Wert bestätigt die aus der Farbskala abgelesene Größenordnung von etwa '''0,32 m/s'''. Die maximale Geschwindigkeit beschreibt den höchsten lokal auftretenden Geschwindigkeitsbetrag im untersuchten Modell mit einer ACI-Stenose von ''80 %''. Aus dem Maximalwert allein lässt sich jedoch noch nicht bestimmen, an welcher Position innerhalb des Gefäßes dieser auftritt. Auch eine mögliche Rückströmung kann damit nicht nachgewiesen werden. {| class="wikitable" style="text-align:center;" ! Stenosegrad ! <math>u_\mathrm{max}</math> [m/s] |- | 0 % | 0,284 |- | 30 % | 0,271 |- | 60 % | 0,349 |- | 80 % | 0,394 |} ===== Untersuchung möglicher Rückströmungsbereiche ===== Zur Untersuchung möglicher Rückströmungsbereiche wurde der stenotische Abschnitt der ACI vergrößert dargestellt. Zusätzlich zum Geschwindigkeitsfeld wurden Stromlinien mit erhöhter Startpunktanzahl visualisiert. Die Stromlinien zeigen eine Bündelung der Strömung im Bereich der Engstelle und eine anschließende Auffächerung im erweiterten Gefäßabschnitt. In der vergrößerten Darstellung treten entlang der oberen und unteren Gefäßwand hinter der Stenose, ungefähr zwischen x = 104 mm und x = 108 mm, schmale Bereiche mit negativer Geschwindigkeitskomponente auf. Die negative Geschwindigkeitskomponente wurde entlang einer um 15° geneigten Richtung bestimmt. Die dargestellten Werte liegen im Bereich weniger Millimeter pro Sekunde und sind damit deutlich kleiner als die maximale Strömungsgeschwindigkeit von 0,31853 m/s. Trotz der erhöhten Stromliniendichte ist kein eindeutig geschlossenes Rezirkulationsgebiet erkennbar. Die negativen Geschwindigkeitskomponenten liefern Hinweise auf lokale Veränderungen der Strömungsrichtung, stellen jedoch allein keinen sicheren Nachweis einer Strömungsablösung dar. <div style="text-align:center;"> [[Datei:Rückströmungsgebiete 2D.png|800px|zentriert|Vergrößerte Darstellung der Stromlinien und möglicher Rückströmungsbereiche hinter der 80-%-Stenose der ACI. Die Farbskala zeigt die negative Geschwindigkeitskomponente entlang einer um 15° geneigten Richtung. Schmale Bereiche mit negativen Werten sind an den Gefäßwänden erkennbar. Ein geschlossenes Rezirkulationsgebiet ist nicht eindeutig nachweisbar.]] <small>'''Abbildung 2:''' Vergrößerte Darstellung des ACI-Abschnitts hinter der Stenose. Die Farbskala zeigt die Geschwindigkeitskomponente in einer um 15° geneigten Richtung in m/s. Negative Werte weisen auf lokale Strömungsanteile entgegen dieser Richtung hin, belegen jedoch für sich genommen noch keine geschlossene Rezirkulationszone.</small> </div> === Druckverteilung und Druckabfall === Die Druckverteilung wurde anhand der berechneten Isobaren innerhalb der zweidimensionalen Karotis-Bifurkation untersucht. Dabei zeigt sich eine Abnahme des statischen Drucks vom gemeinsamen Zuflussgefäß in Richtung der beiden Gefäßausgänge. Der maximale berechnete Druck beträgt etwa '''74,2 Pa''', während der minimale Druck bei etwa '''−19,9 Pa''' liegt. Daraus ergibt sich eine globale Druckspanne von ungefähr '''94,1 Pa'''. Besonders auffällig ist die Druckverteilung im Bereich der Stenose der Arteria carotis interna (ACI). Dort liegen die Isobaren deutlich enger beieinander, was auf einen ausgeprägten lokalen Druckgradienten hinweist. Stromabwärts der Engstelle treten zudem Bereiche mit niedrigem statischem Druck auf. '''Interpretation''': Die Ergebnisse zeigen, dass die Stenose die lokale Druckverteilung im ACI-Ast deutlich beeinflusst. Die Beschleunigung der Strömung innerhalb der Verengung geht mit einer Abnahme des statischen Drucks einher. Die globale Druckspanne von 94,1 Pa darf jedoch nicht mit dem irreversiblen Druckverlust über der Stenose gleichgesetzt werden. Die globale Druckspanne von 94,1 Pa ist nicht mit dem Druckabfall über der Stenose gleichzusetzen. Zur genaueren Untersuchung wurden deshalb zwei Messquerschnitte vor und hinter der Engstelle ausgewertet. Zwischen diesen ergibt sich eine mittlere statische Druckdifferenz von 36,24 Pa. <div style="text-align:center;"> [[Datei:Druckverteilung_2D.png|800px|zentriert|Druckverteilung der stationären 2D-Strömungssimulation einer idealisierten Karotis-Bifurkation mit 80 % Stenose in der Arteria carotis interna (ACI). Die Isobaren zeigen den Druckverlauf innerhalb der Gefäßgeometrie. Besonders im Bereich der Stenose ist ein ausgeprägter lokaler Druckgradient erkennbar. Der berechnete Druck liegt zwischen −19,9 Pa und 74,2 Pa.]] <small>'''Abbildung 3:''' Druckverteilung der stationären 2D-Strömungssimulation einer idealisierten Karotis-Bifurkation mit 80 % Stenose in der Arteria carotis interna (ACI). Die Isobaren zeigen den Druckverlauf innerhalb der Gefäßgeometrie. Besonders im Bereich der Stenose ist ein ausgeprägter lokaler Druckgradient erkennbar. Der berechnete Druck liegt zwischen −19,9 Pa und 74,2 Pa.</small> </div> ==== Quantitative Bestimmung der Druckdifferenz ==== Zur quantitativen Untersuchung des Druckabfalls wurden zwei Messquerschnitte im ACI-Ast definiert, einer vor und einer hinter der Stenose. Mithilfe der COMSOL-Funktion „Linienmittelwert“ wurde der mittlere statische Druck an beiden Positionen bestimmt. Vor der Stenose beträgt der mittlere Druck '''35,232 Pa''', während hinter der Stenose ein Wert von '''−1,0042 Pa''' ermittelt wurde. Daraus ergibt sich eine Druckdifferenz von '''36,24 Pa'''. Die Ergebnisse zeigen eine deutliche Abnahme des statischen Drucks zwischen den beiden Messquerschnitten. Diese Druckdifferenz verdeutlicht die Druckänderung entlang des stenotischen ACI-Astes. Sie ist jedoch nicht mit dem ausschließlich durch die Stenose verursachten irreversiblen Druckverlust gleichzusetzen, da auch die Strömungsentwicklung in den angrenzenden Gefäßabschnitten berücksichtigt wird. {| class="wikitable" style="text-align:center;" ! Stenosegrad ! <math>\bar p_\mathrm{vor}</math> [Pa] ! <math>\bar p_\mathrm{nach}</math> [Pa] ! <math>\Delta p</math> [Pa] |- | 0 % | 11,631 | 4,2461 | 7,3849 |- | 30 % | 16,919 | 2,9220 | 13,997 |- | 60 % | 35,835 | -0,58267 | 36,41767 |- | 80 % | 70,562 | -0,55906 | 71,12106 |} === Wandschubspannung === Zur Untersuchung der mechanischen Belastung der Gefäßwände wurde die Wandschubspannung (Wall Shear Stress, WSS) im zweidimensionalen Strömungsmodell ausgewertet. Sie beschreibt die tangentiale viskose Spannung, die durch die Strömung an der Gefäßwand entsteht. Die quantitative Auswertung erfolgte für die obere und untere Wand des stenotischen ACI-Abschnitts. Hierfür wurden die entsprechenden Wandkanten in COMSOL ausgewählt und der Betrag der Wandschubspannung bestimmt. Für den untersuchten Stenosebereich ergibt sich eine maximale Wandschubspannung von '''3,2282 Pa'''. Der Wert beschreibt das Maximum auf den ausgewählten Wandkanten der 80-%-Stenose. Da für diese Auswertung der Betrag der Wandschubspannung verwendet wurde, lässt sich daraus allein keine Aussage über eine mögliche Umkehr der wandnahen Strömungsrichtung ableiten. Zur Untersuchung möglicher Ablösebereiche ist zusätzlich eine Auswertung der vorzeichenbehafteten tangentialen Wandschubspannung erforderlich. <div style="text-align:center;"> [[Datei:Wandschubspannung.png|800px|zentriert|Verteilung des Betrags der Wandschubspannung entlang ausgewählter Gefäßwandabschnitte im Bereich der ACI-Stenose. Lokal treten erhöhte Wandschubspannungen auf. Die separate quantitative Auswertung der beiden Stenosewände ergibt einen Maximalwert von 3,2282 Pa.]] <small>'''Abbildung 4:''' Verteilung des Betrags der Wandschubspannung entlang ausgewählter Gefäßwandabschnitte im Bereich der ACI-Stenose. Lokal treten erhöhte Wandschubspannungen auf. Die separate quantitative Auswertung der beiden Stenosewände ergibt einen Maximalwert von 3,2282 Pa.</small> </div> ==== Untersuchung der vorzeichenbehafteten Wandschubspannung ==== Zur weiteren Untersuchung möglicher Strömungsablösungen wurde die vorzeichenbehaftete tangentiale Wandschubspannung entlang der oberen und unteren ACI-Gefäßwand hinter der Stenose ausgewertet. An der oberen Gefäßwand steigt die berechnete Spannung von ungefähr −0,05 Pa auf +0,47 Pa an. Ein Vorzeichenwechsel tritt bei einer Bogenlänge von etwa 0,6 mm auf. An der unteren Gefäßwand steigt die Spannung von ungefähr −0,48 Pa auf +0,06 Pa an. Hier erfolgt ein Vorzeichenwechsel bei einer Bogenlänge von etwa 20 mm. Die Ergebnisse zeigen somit auf beiden untersuchten Wandabschnitten einen Vorzeichenwechsel der tangentialen Spannungskomponente. Dies kann auf Änderungen der wandnahen Strömungsrichtung hinweisen und ist mit möglichen Ablöse- oder Wiederanlagerungsvorgängen vereinbar. Die Bogenlängen beziehen sich jeweils auf den untersuchten Wandabschnitt und können nicht unmittelbar miteinander verglichen werden. Zudem hängt das Vorzeichen von der Orientierung der lokalen Wandtangente ab. Ein geschlossenes Rezirkulationsgebiet lässt sich aus den Vorzeichenwechseln allein nicht eindeutig nachweisen. <div style="text-align:center;"> [[Datei:WSS - Oberer Ast hinter Stenose.png|800px|zentriert|Verlauf der vorzeichenbehafteten tangentialen Wandschubspannung entlang der oberen ACI-Gefäßwand hinter der 80-%-Stenose. Bei einer Bogenlänge von etwa 0,6 mm tritt ein Vorzeichenwechsel auf. Dieser kann auf eine Änderung der wandnahen Strömungsrichtung hinweisen, stellt jedoch allein keinen eindeutigen Nachweis einer Strömungsablösung dar.]] <small>'''Abbildung 5:'''Verlauf der vorzeichenbehafteten tangentialen Wandschubspannung entlang der oberen ACI-Gefäßwand hinter der 80-%-Stenose. Bei einer Bogenlänge von etwa 0,6 mm tritt ein Vorzeichenwechsel auf. Dieser kann auf eine Änderung der wandnahen Strömungsrichtung hinweisen, stellt jedoch allein keinen eindeutigen Nachweis einer Strömungsablösung dar.</small> </div> <div style="text-align:center;"> [[Datei:WSS - Unterer Ast hinter Stenose.png|800px|zentriert|Verlauf der vorzeichenbehafteten tangentialen Wandschubspannung entlang der unteren ACI-Gefäßwand hinter der Stenose. Ein Vorzeichenwechsel tritt bei etwa 20 mm Bogenlänge auf.]] <small>'''Abbildung 6:'''Verlauf der vorzeichenbehafteten tangentialen Wandschubspannung entlang der unteren ACI-Gefäßwand hinter der Stenose. Ein Vorzeichenwechsel tritt bei etwa 20 mm Bogenlänge auf.</small> </div> === Zusammenfassende Bewertung der 2D-Ergebnisse === Die stationäre zweidimensionale Strömungssimulation mit einem Stenosegrad von 80 % zeigt deutliche Veränderungen der Strömungsgrößen innerhalb der idealisierten Karotis-Bifurkation. Die maximale Geschwindigkeit beträgt 0,31853 m/s. Zwischen den ausgewählten Messquerschnitten vor und hinter der ACI-Stenose ergibt sich eine mittlere statische Druckdifferenz von 36,24 Pa. Die maximale Wandschubspannung auf den ausgewerteten Stenosewänden beträgt 3,2282 Pa. Die Untersuchung der Geschwindigkeitskomponenten liefert Hinweise auf lokale Strömungsanteile entgegen der Hauptströmungsrichtung. Ein eindeutig abgegrenztes Rezirkulationsgebiet konnte anhand der vorliegenden Darstellungen jedoch nicht sicher nachgewiesen werden. Die Ergebnisse beschreiben zunächst den untersuchten Fall einer hochgradigen Stenose. Aus diesem einzelnen Fall lässt sich weder eine allgemeine Abhängigkeit der Strömungsgrößen vom Stenosegrad noch ein kritischer Stenosegrad für den Beginn der Strömungsablösung bestimmen. Dafür wäre eine vergleichende Auswertung weiterer Stenosegrade erforderlich. == Resistenzrandbedingung am Auslass (2D-Modell) == === Motivation === Im ursprünglichen 2D-Modell wurde an beiden Auslässen (A. carotis interna, ICA, und A. carotis externa, ECA) eine Nulldruckbedingung <math>p = 0</math> gesetzt. Physikalisch bedeutet das, dass beide Äste in ein „offenes Becken“ mit gleichem, festem Druck münden. Der Auslassdruck hängt dabei nicht davon ab, wie viel Blut ankommt. Diese Annahme hat zwei Schwächen: * Die Flussaufteilung zwischen ICA und ECA ergibt sich nur aus den kleinen Strömungswiderständen der modellierten Gefäßabschnitte. Wird die ICA durch die Stenose verengt, weicht das Blut nahezu ungehindert in die ECA aus. Im Körper ist das nicht möglich, weil hinter der ICA das Gefäßbett des Gehirns mit einem eigenen, großen Widerstand liegt. * Das Druckniveau (Auslass bei 0 Pa) ist nicht physiologisch. Im 3D-Modell wurde deshalb an beiden Auslässen eine '''Resistenzrandbedingung''' verwendet. Damit 2D- und 3D-Modell vergleichbar sind, haben wir dieselbe Randbedingung auch im 2D-Modell eingebaut. === Formel und Herleitung === Das gesamte nachgeschaltete Gefäßbett hinter jedem Auslass wird durch einen einzigen peripheren Widerstand <math>R_p</math> ersetzt: :<math>p_{\text{aus}} = k_R \cdot R_p \cdot Q</math> Dabei ist <math>Q</math> der Volumenstrom durch den Auslass und <math>k_R</math> ein Schalter (<math>k_R = 1</math>: Widerstand, <math>k_R = 0</math>: ursprüngliche Bedingung <math>p = 0</math>). '''1. Gesunde Flussaufteilung nach dem Murray-Gesetz''' Der Volumenstrom eines Gefäßes ist nach Murray proportional zur dritten Potenz des Durchmessers. Für den Anteil der ICA am Gesamtfluss gilt damit: :<math>\varphi_0 = \frac{D_I^3}{D_I^3 + D_E^3} = \frac{(5\,\text{mm})^3}{(5\,\text{mm})^3 + (4\,\text{mm})^3} \approx 0{,}661</math> Mit dem mittleren Volumenstrom der A. carotis communis <math>Q_0 = 6\,\text{ml/s}</math> (Holdsworth u. a. 1999) folgt: :<math>Q_{I,0} = \varphi_0 \cdot Q_0 \approx 3{,}97\,\text{ml/s}, \qquad Q_{E,0} = (1-\varphi_0) \cdot Q_0 \approx 2{,}03\,\text{ml/s}</math> '''2. Bestimmung der peripheren Widerstände''' Die Widerstände werden so gewählt, dass im gesunden Zustand an beiden Auslässen der treibende Druck des peripheren Gefäßbetts <math>p_D = 90\,\text{mmHg} \approx 12\,000\,\text{Pa}</math> anliegt: :<math>R_{pI} = \frac{p_D}{Q_{I,0}} \approx 3{,}0 \cdot 10^{9}\,\frac{\text{Pa}\cdot\text{s}}{\text{m}^3}, \qquad R_{pE} = \frac{p_D}{Q_{E,0}} \approx 5{,}9 \cdot 10^{9}\,\frac{\text{Pa}\cdot\text{s}}{\text{m}^3}</math> Die Randbedingungen an den beiden Auslässen lauten damit: :<math>p_{\text{aus},I} = k_R \cdot R_{pI} \cdot Q_I, \qquad p_{\text{aus},E} = k_R \cdot R_{pE} \cdot Q_E</math> '''3. Umrechnung des Flusses im 2D-Modell''' Im 2D-Modell liefert das Integral der Normalgeschwindigkeit über den Auslassrand keinen Volumenstrom in m³/s, sondern einen Fluss pro Tiefe <math>q</math> in m²/s. Damit die Widerstände aus dem 3D-Modell verwendet werden können, wird <math>q</math> mit einer einheitlichen Ersatztiefe <math>b</math> in einen Volumenstrom umgerechnet: :<math>Q = q \cdot b, \qquad b = \frac{\pi \, D_{CC}}{4}</math> Die Ersatztiefe ist so gewählt, dass am Einlass mit der mittleren Einströmgeschwindigkeit <math>\bar{u}_{ein} = Q_0 / (\pi D_{CC}^2/4) \approx 0{,}21\,\text{m/s}</math> genau der Volumenstrom des 3D-Modells von 6 ml/s ankommt. Weil dieselbe Ersatztiefe für alle Ränder gilt, bleibt die Massenbilanz erhalten. == Beantwortung der Forschungsfragen == '''Welche Strömungsgrößen reagieren empfindlich auf den Stenosegrad?''' Die Untersuchung der 80-%-Stenose zeigt deutliche Veränderungen der Geschwindigkeitsverteilung, des statischen Drucks und der Wandschubspannung. Die maximale Strömungsgeschwindigkeit beträgt 0,31853 m/s. Zwischen den ausgewählten Messquerschnitten vor und hinter der Stenose ergibt sich eine mittlere statische Druckdifferenz von 36,24 Pa. Die maximale Wandschubspannung auf den untersuchten Stenosewänden beträgt 3,2282 Pa.Da bisher nur die 80-%-Stenose quantitativ ausgewertet wurde, lässt sich noch nicht feststellen, welche dieser Größen bei zunehmendem Stenosegrad am stärksten reagiert. '''Ab welchem Stenosegrad tritt eine Strömungsablösung auf?''' Bei der untersuchten 80-%-Stenose zeigen die Geschwindigkeitskomponenten und die vorzeichenbehaftete Wandschubspannung Hinweise auf Veränderungen der wandnahen Strömungsrichtung hinter der Engstelle. Ein eindeutig geschlossenes Rezirkulationsgebiet konnte jedoch nicht nachgewiesen werden. Ein kritischer Stenosegrad für den Beginn einer Strömungsablösung lässt sich aus dieser einzelnen Simulation daher nicht bestimmen. Hierfür müssten weitere Stenosegrade unter vergleichbaren Bedingungen ausgewertet werden. '''Inwieweit sind die Annahmen einer stationären und laminaren Strömung geeignet?''' Die stationäre, laminare Modellierung ermöglicht es, grundlegende Auswirkungen einer Gefäßverengung auf die Strömung in einer idealisierten Karotis-Bifurkation zu untersuchen. Bei hochgradigen Stenosen können allerdings zeitabhängige und dreidimensionale Strömungsstrukturen auftreten. Diese werden durch das vorliegende stationäre 2D-Modell nicht vollständig erfasst. Die Simulationsergebnisse sind deshalb auf die gewählten Modellannahmen und Randbedingungen beschränkt. '''Zusammenfassend''' liefert die 2D-Simulation eine erste quantitative Beschreibung der Strömungsverhältnisse bei einer hochgradigen ACI-Stenose. Für allgemeine Aussagen über die Abhängigkeit vom Stenosegrad und den Beginn einer Strömungsablösung sind zusätzliche Vergleichsrechnungen erforderlich. = Grenzen des Modells = * Die untersuchte Gefäßgeometrie ist eine idealisierte Darstellung der Karotisaufzweigung. Individuelle anatomische Unterschiede werden nicht berücksichtigt. * Darüber hinaus werden die Gefäßwände als starr angenommen und Blut wird durch ein inkompressibles Newtonsches Fluid mit konstanter Viskosität beschrieben. * Die Strömung wird stationär berechnet. Die natürliche Pulsation des Blutflusses und zeitabhängige Effekte bleiben damit unberücksichtigt. * Insbesondere bei hochgradigen Stenosen können zeitabhängige Strömungsablösungen auftreten, die durch eine stationäre Modellierung nicht vollständig beschrieben werden. * Das Graphenmodell kann lokale Strömungsphänomene nicht detailliert erfassen. Das ebene Flächenmodell vereinfacht die räumliche Gefäßgeometrie. Auch das dreidimensionale Modell bleibt aufgrund der idealisierten Geometrie und der vereinfachten Materialannahmen eine Annäherung an die reale Blutströmung. * Die Ergebnisse sind daher als strömungsmechanische Untersuchung eines idealisierten Modells zu interpretieren und nicht als patientenspezifische medizinische Vorhersage. = Literaturverzeichnis = Alle Quellen sind an den Stellen im Text angegeben, an denen die zugehörigen Werte oder Aussagen verwendet werden. Die Liste wird aus diesen Angaben automatisch erzeugt. <references /> lxzizugmug6ihjxqnmv7nq167d3nulb 1118999 1118998 2026-11-06T16:24:01Z Nicole.pander 39567 /* Resistenzrandbedingung am Auslass (2D-Modell) */ 1118999 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Joey Becker * Marie-Thérèse Heitele * Nicole Pander = Thema und Fragestellung = Gegenstand dieses Projekts ist die numerische Simulation der Blutströmung in einer verzweigten Halsschlagader ('''Carotis-Bifurkation''') unter dem Einfluss einer lokalen Gefäßverengung ('''Stenose'''). Im Vergleich zu einfachen Rohrströmungen wird hier die realitätsnahe Gefäßanatomie betrachtet: Die '''Arteria carotis communis (ACC)''' teilt sich in die '''Arteria carotis externa (ACE)''' und die '''Arteria carotis interna (ACI)''' auf. Während die '''ACE''' als gesunder, stenosefreier Ast dient, wird in der '''ACI''' eine geglättete, kosinusförmige Gefäßverengung modelliert. Um scharfe Kanten und unphysiologische Druckspitzen zu vermeiden, werden alle Wandübergänge und die Gabelungsspitze (Apex) anatomisch verrundet. Als Referenz dient ein gesundes, unverengtes Gefäß, in dem sich die Poiseuille-Strömung mit ihrem charakteristischen parabolischen Geschwindigkeitsprofil ausbildet. Diese Strömung ist aus zwei Gründen der natürliche Ausgangspunkt. Sie beschreibt den physiologischen Normalfall, mit dem jeder Stenosegrad verglichen wird, und sie ist exakt lösbar, sodass sich an ihr jede numerische Rechnung prüfen lässt, bevor die Verengung hinzukommt. == Fragestellung == Die Hauptfragestellung dieses Projektes lautet: Wie verändert eine symmetrische bzw. rotationssymmetrische Stenose in der '''Arteria carotis interna (ACI)''' die stationäre Strömung eines inkompressiblen Newton’schen Fluids in einer 2D-Carotis-Bifurkation hinsichtlich Geschwindigkeitsverteilung, Druckabfall, Wandschubspannung und Wirbelbildung im Vergleich zu den gesunden Gefäßabschnitten? Aus dieser Fragestellung ergeben sich drei Teilfragen, an denen sich der Aufbau der Seite orientiert: # Welche Strömungsgrößen reagieren empfindlich auf den Stenosegrad und welche nur träge? # Ab welchem Stenosegrad ändert sich das Strömungsmuster qualitativ, das heißt, ab wann löst die Strömung hinter der Engstelle von der Wand ab und bildet ein Rückströmgebiet? # Wie weit tragen die vereinfachenden Modellannahmen, insbesondere die Annahme einer stationären und laminaren Strömung, über den untersuchten Bereich der Stenosegrade? == Modellannahmen == Im Hinblick darauf werden für dieses Projekt einige Annahmen getroffen, um das Projekt möglichst isoliert zu untersuchen und zu simplifizieren: * '''Idealisierte Gefäßgeometrie''': Betrachtet wird ein Teilabbschnitt der ''Arteria carotis communis'', die sog. ''ACI''. Zudem werden Gefäßverkrümmungen, weitere Verzweigungen und patientenspezifische Strukturen nicht berücksichtigt. * '''Starre Gefäßwand''': Die Gefäßwand wird als unbeweglich und nicht verformbar angenommen. Eine Wechselwirkung zwischen elastischer Gefäßwand und Blutströmung wird nicht modelliert. * '''Stationäre Strömung''': Die Strömungsgrößen werden als zeitlich konstant angenommen. Die im realen Blutkreislauf vorhandene Pulsation durch den Herzschlag wird daher vernachlässigt: <math>\frac{\partial u}{\partial t}=0</math>. * '''Inkompressibles Fluid''': Die Dichte des Fluids wird als konstant angenommen. Damit gilt für die Geschwindigkeit <math>\nabla \cdot u=0</math>. Dies entspricht der in der Vorlesung behandelten Massenerhaltung für inkompressible Fluide: Was in das Gefäß einströmt, muss auch wieder ausströmen. * '''Newton'sche Näherung für Blut''': Reales Blut beseitzt ein nicht newton'sches Fließverhalten. Hier wird Blut als Newton'sches Fluid behandelt. * '''Konstante Stoffeigenschaften''': Dichte <math>\rho</math> und dynamische Viskosität μ werden als räumlich und zeitlich konstant angenommen. Temperaturabhängigkeiten werden nicht berücksichtigt. * '''Laminare Strömung''': Die Strömung wird mit dem COMSOL-Modul ''Laminar Flow'' beschrieben. Ein zusätzliches Turbulenzmodell wird nicht verwendet. * '''No-Slip-Bedingung an Gefäßwand''': Aufgrund der Viskosität wird angenommen, dass das Fluid direkt an der Gefäßwand haftet. Somit gilt <math>u=0</math>. * '''Vernachlässigung der Gravitation''': Gravitation wird nicht berücksichtigt. Die Strömung wird ausschließlich durch die gewählten Ein- und Auslassbedingungen bestimmt. = Relevanz = Die Untersuchung von Gefäßverengungen besitzt sowohl eine medizinische als auch eine methodische Bedeutung. Aus medizinischer Sicht sind arterielle Stenosen – etwa in der Halsschlagader, lat. ''arteria carotis communis'', – kritisch, da sie die Durchblutung beeinträchtigen und durch veränderte Wandschubspannungen sowie die Bildung von Wirbeln weitere Gefäßablagerungen begünstigen. Stenosen im Bereich der Karotisgabelung sind klinisch hochrelevant, da sie das Gehirn direkt versorgen und das Risiko für embolische Schlaganfälle erhöhen. Fachlich überträgt das Projekt damit die Prinzipien der Strömungsmechanik direkt auf eine biomedizinische Anwendung. Das Projekt verknüpft somit theoretische Grundlagen der Strömungsmechanik (Hagen-Poiseuille-Gleichung, Navier-Stokes-Gleichungen) mit der numerischen Simulation in COMSOL Multiphysics. Durch den Vergleich der '''gesunden Externa (ACE)''' mit der '''stenoisierten Interna (ACI)''' innerhalb desselben Rechengebiets wird die isolierte Wirkung der Stenose unter identischen Randbedingungen direkt sichtbar gemacht. == Medizinische Relevanz == Arterielle Stenosen entstehen überwiegend durch Atherosklerose, also durch Ablagerungen aus Lipiden, Bindegewebe und Kalk in der Gefäßwand. In der Halsschlagader sind sie klinisch besonders bedeutsam, weil sie die Durchblutung des Gehirns beeinträchtigen und weil sich an ihnen Thromben bilden können, die als Embolie einen Schlaganfall auslösen. Dass die operative Entfernung einer hochgradigen Karotisstenose das Schlaganfallrisiko symptomatischer Patienten deutlich senkt, hat die NASCET-Studie gezeigt, deren Einteilung der Stenosegrade dieses Projekt übernimmt.<ref name="nascet">North American Symptomatic Carotid Endarterectomy Trial Collaborators: ''Beneficial effect of carotid endarterectomy in symptomatic patients with high-grade carotid stenosis.'' New England Journal of Medicine 325 (1991), Nr. 7, S. 445-453.</ref> Strömungsmechanisch ist an einer Stenose vor allem die Wandschubspannung von Interesse, also die tangentiale Kraft je Fläche, die das strömende Blut auf die innerste Zellschicht der Gefäßwand ausübt. Gesunde Halsschlagadern weisen zeitlich gemittelte Werte von etwa 1,1 bis 1,5 Pa auf.<ref name="samijo">Samijo, S. K.; Willigers, J. M.; Barkhuysen, R.; Kitslaar, P. J. E. H. M.; Reneman, R. S.; Brands, P. J.; Hoeks, A. P. G.: ''Wall shear stress in the human common carotid artery as function of age and gender.'' Cardiovascular Research 39 (1998), Nr. 2, S. 515-522.</ref> In einer Engstelle steigt sie stark an, unmittelbar dahinter fällt sie im Ablösegebiet auf nahezu null und wechselt dort sogar das Vorzeichen. Niedrige und im Vorzeichen wechselnde Wandschubspannungen gelten als Bedingungen, unter denen sich weitere Ablagerungen bevorzugt bilden. Eine bestehende Stenose schafft also stromabwärts die Voraussetzungen für ihr eigenes Wachstum. Genau diese Verteilung lässt sich im Körper nur schwer messen, in einer Simulation dagegen unmittelbar auswerten. == Methodische Relevanz == Fachlich überträgt das Projekt die Prinzipien der Strömungsmechanik aus der Vorlesung auf eine biomedizinische Anwendung.<ref name="hundertmark">Hundertmark, A.: ''Fluiddynamik.'' Vorlesungsunterlagen zum Modul Räumliche Modellbildung, RPTU Kaiserslautern-Landau, Sommersemester 2026.</ref> Der methodische Mehrwert liegt in der Verknüpfung mehrerer Zugänge, die sich gegenseitig kontrollieren. Die analytische Poiseuille-Lösung liefert exakte Sollwerte für das gesunde Gefäß. Ein reduziertes Graphenmodell liefert für jeden Stenosegrad eine schnelle Abschätzung, die analytisch nachrechenbar ist. Die Simulationen in COMSOL Multiphysics lösen schließlich die vollständigen Navier-Stokes-Gleichungen in zwei und drei Raumdimensionen. Weil jede Stufe die Sollwerte der nächsten liefert, zeigt das Projekt nicht nur Ergebnisse, sondern auch, wie numerische Modelle aufgebaut, verifiziert und an ihren Grenzen bewertet werden. == Auswahl der Stenosegrade == Um die untersuchten Gefäßverengungen nicht willkürlich festzulegen, orientiert sich die Auswahl der Stenosegrade an der klinisch gebräuchlichen NASCET-Klassifikation von Karotisstenosen.<ref name="nascet" /> Zur klinischen Einordnung werden Karotisstenosen anhand der nach NASCET bestimmten Durchmesserreduktion in leichtgradige, mittelgradige und hochgradige Stenosen eingeteilt. Die angegebenen Prozentgrenzen dienen in diesem Projekt als Orientierung für die Auswahl der untersuchten Stenosegrade. Ein vollständiger Gefäßverschluss wird als Okklusion bezeichnet. {| class="wikitable" |+ Klinische Einteilung nach NASCET-gemessener Durchmesserreduktion und untersuchte Stenosegrade ! Schweregrad !! Durchmesserreduktion !! im Projekt gerechnete Stenosegrade !! hervorgehobener Vertreter |- | gesundes Gefäß || 0 % || 0 || 0 |- | leichtgradige Stenose || unter 50 % || 0,1 bis 0,4 || 0,3 |- | mittelgradige Stenose || 50 bis 69 % || 0,5 und 0,6 || 0,6 |- | hochgradige Stenose || 70 bis 99 % || 0,7 und 0,8 || 0,8 |- | Okklusion || 100 % || nicht gerechnet || entfällt |} '''Anmerkung''': Die Klassengrenzen dienen der Einordnung der Modellvarianten. Die in der Tabelle genannten Stenosegrade sind dimensionslose Werte, beispielsweise entspricht '''<math>s=0{,}6</math>''' einer Durchmesserreduktion von '''60 %'''. Für die numerische Untersuchung wird aus jeder Kategorie ein repräsentativer Stenosegrad hervorgehoben. Neben dem gesunden Gefäß mit '''0 %''' Stenose sind das eine '''30 %''' Stenose als Beispiel für eine leichtgradige, eine '''60 %''' Stenose als Beispiel für eine mittelgradige und eine '''80 %''' Stenose als Beispiel für eine hochgradige Verengung. Zusätzlich werden für das Graphenmodell und das achsensymmetrische Flächenmodell Stenosegrade von 0 bis 80 % in Schritten von zehn Prozentpunkten vorgesehen. Dadurch kann die Abhängigkeit der Strömungsgrößen vom Stenosegrad systematisch untersucht und grafisch dargestellt werden. Ob alle Modellvarianten tatsächlich berechnet wurden und wie hoch der Rechenaufwand war, wird anhand der durchgeführten Simulationen dokumentiert. Ein vollständiger Gefäßverschluss wird nicht simuliert, da in diesem Fall keine durchgängige Strömung mehr vorliegt. Der Stenosegrad wird in diesem Projekt wie bei NASCET über die Verringerung des Gefäßdurchmessers beschrieben, <math>s = 1 - \frac{d_{\min}}{d_{\mathrm{ref}}},</math> wobei <math>d_{\min}</math> der kleinste Durchmesser in der Engstelle und <math>d_{\mathrm{ref}}</math> ein Referenzdurchmesser ist. NASCET verwendet als Referenz den Durchmesser des gesunden Gefäßes stromabwärts der Stenose. Für das idealisierte gerade Gefäßmodell wird ein konstanter Referenzdurchmesser von <math>D_0=6\,\mathrm{mm}</math> angenommen. Da das Gefäß außerhalb der Stenose denselben Durchmesser besitzt, gilt in diesem Modell<math>d_{\mathrm{ref}}=D_0</math>. Bei der zusätzlich betrachteten Gefäßaufzweigung muss der Referenzdurchmesser dagegen gesondert festgelegt werden, da die Gefäßäste unterschiedliche Durchmesser besitzen. Wichtig für das Verständnis aller weiteren Ergebnisse ist der Unterschied zwischen Durchmesser- und Flächenreduktion. Da die Querschnittsfläche quadratisch vom Durchmesser abhängt, gilt für die Flächenreduktion <math>1-(1-s)^2</math>. Eine im klinischen Sinn nur mittelgradige Stenose von 60 % verschließt damit bereits 84 % der Querschnittsfläche. {| class="wikitable" |+ Durchmesser- und Flächenreduktion der gerechneten Stenosegrade ! Stenosegrad s !! 0 !! 0,1 !! 0,2 !! 0,3 !! 0,4 !! 0,5 !! 0,6 !! 0,7 !! 0,8 |- | engster Durchmesser in mm || 6,0 || 5,4 || 4,8 || 4,2 || 3,6 || 3,0 || 2,4 || 1,8 || 1,2 |- | Flächenreduktion || 0 % || 19 % || 36 % || 51 % || 64 % || 75 % || 84 % || 91 % || 96 % |} Eine Einschränkungen gehört zur ehrlichen Einordnung: # Mit zunehmendem Stenosegrad, insbesondere bei ausgeprägten Verengungen, können lokale Beschleunigungen, Strömungsablösungen und zeitabhängige Strömungsstrukturen auftreten. Daher muss bei den hochgradigen Stenosen geprüft werden, inwieweit die Annahme einer stationären, laminaren Strömung geeignet ist. Eine feste Grenze bei <math>s=0{,}6</math> lässt sich ohne entsprechende Simulationsergebnisse oder Literaturbelege nicht allgemein festlegen. Die hochgradigen Fälle werden deshalb unter besonderer Berücksichtigung der Modellannahmen diskutiert. Unter Modellierung wird in diesem Projekt die Übertragung der Blutströmung in einer verengten Arterie auf ein mathematisches und numerisch lösbares Strömungsproblem verstanden. Dazu werden die Gefäßgeometrie, die zugrunde liegenden Gleichungen, die physikalischen Materialparameter sowie die Anfangs- und Randbedingungen festgelegt. Jeder dieser Bestandteile beruht auf vereinfachenden Annahmen, die begründet und bei der Interpretation der Ergebnisse berücksichtigt werden müssen. Ziel ist es, den Einfluss unterschiedlicher Stenosegrade auf die Strömungsgeschwindigkeit, den Druckverlust und gegebenenfalls die Wandschubspannung systematisch zu untersuchen. Die Modellierung erfolgt anhand mehrerer Modellvarianten mit unterschiedlicher räumlicher Auflösung. Dadurch können zunächst grundlegende Zusammenhänge analytisch abgeschätzt und anschließend mit numerischen Strömungsberechnungen verglichen werden. Die verwendeten Parameter orientieren sich an den bereitgestellten Referenzdaten und werden in den folgenden Abschnitten erläutert. == Modellierung == Ziel der Modellierung ist es, die Blutströmung innerhalb einer Y-förmigen Aufzweigung der Halsschlagader mathematisch und numerisch zu untersuchen. Im Mittelpunkt steht eine Gefäßverengung (Stenose) in der Arteria carotis interna. Das betrachtete Gefäßmodell besteht aus der Arteria carotis communis, die sich in die Arteria carotis interna und die Arteria carotis externa aufteilt. Die Stenose befindet sich ausschließlich in der Arteria carotis interna. Durch die Verengung verändert sich der verfügbare Strömungsquerschnitt. Dies kann zu einer Erhöhung der lokalen Strömungsgeschwindigkeit, zu zusätzlichen Druckverlusten und zu einer Veränderung der Strömungsverteilung zwischen den beiden Gefäßästen führen. Ziel ist es, den Einfluss unterschiedlicher Stenosegrade auf die Strömungsgeschwindigkeit, die Druckverteilung und die Wandschubspannung zu untersuchen. Zusätzlich soll betrachtet werden, wie sich die Strömung innerhalb der Y-förmigen Gefäßaufzweigung verhält. Die numerische Modellierung erfolgt mit COMSOL Multiphysics. Dazu werden die Gefäßgeometrie, die Materialeigenschaften des Blutes, die Strömungsgleichungen und die Randbedingungen festgelegt. Zur Vereinfachung wird Blut zunächst als inkompressibles, Newtonsches Fluid betrachtet. Die Gefäßwände werden als starr angenommen. Diese Annahmen ermöglichen eine systematische Untersuchung der Stenose, schränken jedoch die Übertragbarkeit auf reale physiologische Bedingungen ein. === Modellhierarchie === Für die Untersuchung der Blutströmung innerhalb der Y-förmigen Karotisaufzweigung werden drei Modellvarianten betrachtet. Diese unterscheiden sich hinsichtlich ihrer räumlichen Dimension, ihrer mathematischen Beschreibung und der Genauigkeit, mit der die Strömungsverhältnisse dargestellt werden können. Das untersuchte Gefäß besteht aus der Arteria carotis communis, die sich in die Arteria carotis interna und die Arteria carotis externa aufteilt. Die Stenose befindet sich ausschließlich in der Arteria carotis interna. Alle drei Modellvarianten werden mit COMSOL Multiphysics umgesetzt. {| class="wikitable" style="width:100%;" |+ '''Die drei Modellvarianten des Projekts''' |- ! Modell ! Raumdimension ! Mathematische Grundlage ! Zweck ! Werkzeug |- | '''Graphenmodell''' | 1D, Gefäßnetzwerk mit einer Verzweigung | Massenerhaltung an der Verzweigung und vereinfachte Beschreibung der Strömungswiderstände | Abschätzung der Volumenstromverteilung und der Druckverluste in den Gefäßästen | COMSOL Multiphysics |- | '''Ebenes Flächenmodell''' | 2D, Y-förmige Gefäßgeometrie in kartesischen Koordinaten | Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen | Untersuchung der Geschwindigkeits- und Druckverteilung sowie der Auswirkungen der Stenose in der Arteria carotis interna | COMSOL Multiphysics, Laminare Strömung |- | '''Volumenmodell''' | 3D, räumliche Y-förmige Gefäßgeometrie | Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen | Räumliche Untersuchung des Geschwindigkeitsfeldes, des Druckverlustes und der Wandschubspannung | COMSOL Multiphysics, Laminare Strömung |} ==== Vergleich und Überprüfung der Modellvarianten ==== Die drei Modellvarianten bauen hinsichtlich ihrer räumlichen Beschreibung aufeinander auf. Das Graphenmodell ermöglicht zunächst eine vereinfachte Betrachtung der Volumenströme und Druckverluste. Die zwei- und dreidimensionalen Modelle erlauben anschließend eine detailliertere Untersuchung der Strömung innerhalb der Gefäßaufzweigung. Das '''Graphenmodell''' beschreibt die Arteria carotis communis sowie die beiden abzweigenden Gefäße als miteinander verbundenes Netzwerk. Dabei wird die Massenerhaltung an der Verzweigung berücksichtigt: :<math>Q_{\mathrm{CCA}}=Q_{\mathrm{ICA}}+Q_{\mathrm{ECA}}</math> Das Modell liefert vereinfachte Abschätzungen der Volumenstromverteilung. Lokale Strömungsablösungen und räumliche Geschwindigkeitsverteilungen können damit nicht detailliert dargestellt werden. Das '''ebene Flächenmodell''' bildet die Y-förmige Gefäßaufzweigung in zwei Raumdimensionen ab. Die Stenose wird innerhalb der Arteria carotis interna berücksichtigt. Dadurch können die Geschwindigkeits- und Druckverteilung sowie mögliche Rückströmungsbereiche untersucht werden. Das '''Volumenmodell''' erweitert die Untersuchung auf drei Raumdimensionen. Es ermöglicht eine räumliche Darstellung der Strömung und eine detailliertere Berechnung der Wandschubspannung. Die Ergebnisse des ebenen Flächenmodells und des Volumenmodells werden miteinander verglichen. Da das ebene Modell die räumliche Querschnittsgeometrie nur vereinfacht darstellt, müssen Unterschiede zwischen den beiden Modellen bei der Interpretation berücksichtigt werden. Ziel der Modellhierarchie ist es, die Aussagekraft der einzelnen Modellvarianten zu bewerten und den Einfluss des Stenosegrades auf die Strömung innerhalb der Y-förmigen Karotisaufzweigung zu untersuchen. === Simulationsgebiet und Geometrie === Das Simulationsgebiet besteht aus einer idealisierten Y-förmigen Aufzweigung der Arteria carotis. Die Arteria carotis communis teilt sich in die Arteria carotis interna und die Arteria carotis externa. Die Stenose befindet sich in der Arteria carotis interna. Die Arteria carotis externa wird ohne zusätzliche Verengung modelliert. Die Geometrie orientiert sich an den bereitgestellten Referenzdaten. Die Gefäßdurchmesser werden innerhalb der jeweiligen unverengten Abschnitte als konstant angenommen. {| class="wikitable" style="width:100%;" |+ '''Geometrische Referenzparameter der Y-förmigen Gefäßaufzweigung''' |- ! Gefäßabschnitt ! Durchmesser ! Länge |- | Arteria carotis communis | 6 mm | 60 mm |- | Arteria carotis interna | 5 mm | 60 mm |- | Arteria carotis externa | 4 mm | 60 mm |- | Stenose in der Arteria carotis interna | Abhängig vom Stenosegrad | 10 bzw. 20 mm |} Die Verengung wird über den Stenosegrad <math>s</math> beschrieben. Dieser gibt die relative Verringerung des Gefäßdurchmessers an: :<math>s=1-\frac{d_{\min}}{D_{\mathrm{ICA}}}</math> Dabei bezeichnet <math>d_{\min}</math> den minimalen Durchmesser innerhalb der Stenose und <math>D_{\mathrm{ICA}}</math> den unverengten Referenzdurchmesser der Arteria carotis interna. Für das Modell gilt: :<math>D_{\mathrm{ICA}}=5\,\mathrm{mm}</math> Der minimale Durchmesser ergibt sich damit zu: :<math>d_{\min}=D_{\mathrm{ICA}}(1-s)</math> {| class="wikitable" |+ '''Minimaler Durchmesser der Stenose in der Arteria carotis interna''' |- ! Stenosegrad ! Minimaler Durchmesser |- | 0 % | 5,0 mm |- | 10 % | 4,5 mm |- | 20 % | 4,0 mm |- | 30 % | 3,5 mm |- | 40 % | 3,0 mm |- | 50 % | 2,5 mm |- | 60 % | 2,0 mm |- | 70 % | 1,5 mm |- | 80 % | 1,0 mm |} Die angegebenen Stenosegrade beziehen sich ausschließlich auf den Durchmesser der Arteria carotis interna. Der Durchmesser der Arteria carotis communis wird nicht zur Berechnung des Stenosegrades verwendet. Die Y-förmige Geometrie ermöglicht es, die Auswirkungen der Verengung sowohl auf die lokale Strömung in der Arteria carotis interna als auch auf die Strömungsverteilung innerhalb der gesamten Gefäßaufzweigung zu untersuchen. Die genaue Form der Stenose, der Verzweigungswinkel und die Übergänge zwischen den Gefäßabschnitten müssen entsprechend der tatsächlich in COMSOL verwendeten Geometrie dokumentiert werden. == Stoff- und Strömungsparameter == Die Stoffwerte des Blutes und der Volumenstrom sind die einzigen Eingangsgrößen, die nicht aus der Geometrie folgen. Aus ihnen werden alle weiteren Strömungskennwerte berechnet. Die folgenden Schritte zeigen jede Rechnung einzeln, damit sich jeder Wert nachprüfen lässt. # Die '''Dichte''' wird mit <math>\rho = 1060\ \mathrm{kg/m^3}</math> angesetzt. Der Wert lässt sich als Mischungsregel plausibel machen. Plasma hat eine Dichte von etwa 1025 kg/m³, rote Blutkörperchen von etwa 1100 kg/m³. Bei einem Zellanteil von 45 % ergibt sich <math>0{,}55 \cdot 1025 + 0{,}45 \cdot 1100 \approx 1059\ \mathrm{kg/m^3}</math>. Die Dichte geht nur über die Reynoldszahl in die Rechnung ein, eine Abweichung von einem Prozent ändert die Ergebnisse daher kaum. <!-- FIXME Lehrbuchquelle fuer Plasma- und Erythrozytendichte ergaenzen --> # Die '''dynamische Viskosität''' wird mit <math>\mu = 3{,}5\ \mathrm{mPa\,s}</math> angesetzt. Das ist der Grenzwert der Blutviskosität bei hohen Scherraten, also genau der Wert, der zur Newtonschen Näherung gehört. Derselbe Wert von 0,035 Poise wird auch im Standardwerk zur Modellierung des Herz-Kreislauf-Systems verwendet.<ref name="quarteroni">Quarteroni, A.; Formaggia, L.: ''Mathematical Modelling and Numerical Simulation of the Cardiovascular System.'' In: Ayache, N. (Hrsg.): ''Computational Models for the Human Body.'' Handbook of Numerical Analysis, Bd. XII, Elsevier, Amsterdam 2004, S. 3-127. DOI 10.1016/S1570-8659(03)12001-7. Zur Newtonschen Näherung in großen Gefäßen siehe S. 30, zur Viskosität von 0,035 Poise die Parametertabelle auf S. 116.</ref> # Der '''mittlere Volumenstrom''' wird mit <math>Q_0 = 6\ \mathrm{ml/s}</math> angesetzt. Das ist der zeitlich gemittelte Volumenstrom, der in der gemeinsamen Halsschlagader gesunder Probanden gemessen wurde. # Die '''mittlere Geschwindigkeit''' folgt aus Volumenstrom und Querschnittsfläche, <math>U_0 = \frac{Q_0}{\pi R_0^2} = \frac{6 \cdot 10^{-6}\ \mathrm{m^3/s}}{\pi \cdot (0{,}003\ \mathrm{m})^2} = 0{,}2122\ \mathrm{m/s}</math>. # Die '''Reynoldszahl''' des gesunden Gefäßes ist <math>Re_0 = \frac{\rho\, U_0\, D_0}{\mu} = \frac{1060 \cdot 0{,}2122 \cdot 0{,}006}{0{,}0035} = 385{,}6</math>. Sie wird im Folgenden auf 386 gerundet. # Die '''Einlauflänge''', die eine anfangs gleichförmige Strömung bis zum voll entwickelten Parabelprofil bräuchte, beträgt nach der gebräuchlichen Abschätzung für laminare Rohrströmungen <math>L_e \approx 0{,}06\, Re_0\, D_0 \approx 0{,}06 \cdot 386 \cdot 6\ \mathrm{mm} \approx 139\ \mathrm{mm}</math>.<ref name="durst">Durst, F.; Ray, S.; Ünsal, B.; Bayoumi, O. A.: ''The development lengths of laminar pipe and channel flows.'' Journal of Fluids Engineering 127 (2005), Nr. 6, S. 1154-1160. Für große Reynoldszahlen nähert sich die dort angegebene Korrelation dem Wert 0,057·Re·D.</ref> Das ist fast die gesamte Länge des Rechengebiets. Ein konstantes Einlassprofil würde die Strömung an der Stenose also verfälschen, weshalb am Einlass das voll entwickelte Profil vorgegeben wird. Damit liegen alle globalen Parameter fest. Die folgende Tabelle enthält sie mit genau den Namen, unter denen sie in COMSOL und in den Octave-Skripten verwendet werden. {| class="wikitable" |+ Globale Parameter des Modells ! Name !! Ausdruck in COMSOL !! Wert !! Bedeutung !! Herkunft |- | R0 || 3[mm] || 3 mm || Gefäßradius || Messwerte nach Krejza u. a. 2006, gerundet |- | D0 || 2*R0 || 6 mm || Gefäßdurchmesser || abgeleitet |- | Ls || 2*D0 || 12 mm || Länge der Störstelle || Standardgeometrie nach Varghese u. a. 2007 |- | Lu || 5*D0 || 30 mm || Vorlaufstrecke vor der Stenosemitte || Abstand der Einlassbedingung von der Stenose |- | Ld || 20*D0 || 120 mm || Nachlaufstrecke hinter der Stenosemitte || Platz für das Rückströmgebiet |- | Lf || Ls/2+10*D0 || 66 mm || Ende des fein vernetzten Nachlaufs || erwartete Länge des Rückströmgebiets |- | s || 0 bis 0.8 || 0 bis 0,8 || Stenosegrad bezogen auf den Durchmesser || NASCET-Einteilung |- | rho_b || 1060[kg/m^3] || 1060 kg/m³ || Dichte des Blutes || Mischungsregel, Literaturwert |- | mu_b || 3.5[mPa*s] || 3,5 mPa·s || dynamische Viskosität des Blutes || Hochscherwert, Quarteroni und Formaggia 2004 |- | Q0 || 6[ml/s] || 6 ml/s || mittlerer Volumenstrom || Messwerte nach Holdsworth u. a. 1999 |- | U0 || Q0/(pi*R0^2) || 0,2122 m/s || mittlere Einströmgeschwindigkeit || abgeleitet |- | Re0 || rho_b*U0*D0/mu_b || 385,6 || Reynoldszahl des gesunden Gefäßes || abgeleitet |- | dp_ref || 8*mu_b*U0*(Lu+Ld)/R0^2 || 99,03 Pa || Poiseuille-Druckabfall des gesunden Gefäßes || abgeleitet, Hagen-Poiseuille |} = Implementierung des 2D-Modells in COMSOL Multiphysics = == Zielsetzung des zweidimensionalen Modells == Im Rahmen des Projekts wurde mit COMSOL Multiphysics ein zweidimensionales Modell der menschlichen Halsschlagader erstellt. Ziel ist es, die Blutströmung innerhalb einer Gefäßverzweigung zu untersuchen und insbesondere die Auswirkungen einer lokalen Gefäßverengung (Stenose) auf das Strömungsverhalten zu analysieren. Das Modell bildet die Aufzweigung der Arteria carotis communis (ACC) in die Arteria carotis interna (ACI) und die Arteria carotis externa (ACE) ab. Während die ACE als gesunder Gefäßabschnitt betrachtet wird, befindet sich in der ACI eine lokale Verengung. Dadurch können die Strömungsverhältnisse in beiden Ästen miteinander verglichen werden. Die zweidimensionale Modellierung dient dazu, die Geschwindigkeitsverteilung, den Druckabfall und die Wandschubspannung zu untersuchen. Zusätzlich soll festgestellt werden, ob sich hinter der Stenose Bereiche mit Strömungsablösungen oder Rückströmungen ausbilden. ==Vorgehen== Für die numerische Untersuchung in COMSOL Multiphysics 6.2 zunächst ein zweidimensionales Modell mit der Physik ''Laminare Strömung'' und einer ''stationären Studie'' angelegt. Die Gefäßgeometrie wurde vollständig parametrisiert, damit Durchmesser, Gefäßlängen, Verzweigungswinkel, Stenosegrad sowie die Stenoselänge veränderbar sind, ohne das Modell jeweils neu zu zeichnen. Das gemeinsame Zuflussgefäß stellt die Arteria carotis communis mit einem Durchmesser von <math>6\,\mathrm{mm}</math> dar. Nach einem geraden Einlaufabschnitt von <math>60\,\mathrm{mm}</math> teilt es sich V-förmig in die beiden Tochtergefäße auf. Die Arteria carotis interna wird mit einem Durchmesser von <math>5\,\mathrm{mm}</math>, die Arteria carotis externa mit <math>4\,\mathrm{mm}</math> modelliert. Beide Tochtergefäße sind jeweils <math>60\,\mathrm{mm}</math> lang. Die Grundgeometrie wurde als zusammenhängender zweidimensionaler Volumenkörper aufgebaut. Die beiden Tochtergefäße verlaufen nach der Bifurkation unter einem Winkel auseinander, sodass eine idealisierte Y-förmige Karotisgabel entsteht. Die Übergänge zwischen dem gemeinsamen Gefäß und den beiden Ästen wurden bewusst vereinfacht, aber ohne abrupte Querschnittssprünge gestaltet. Auf diese Weise bleibt die Geometrie ausreichend einfach für einen systematischen Vergleich verschiedener Modellvarianten, bildet die typische Aufzweigung einer Karotis. Die Stenose befindet sich ausschließlich in der Arteria carotis interna. Um die Verengung nicht durch gerade Polygonsegmente mit scharfen Knicken darzustellen, wurde ihre Kontur mithilfe von zwei parametrischen Kosinuskurven erzeugt. Zur Beschreibung der Stenose wird eine parametrische Kurve mit dem Hilfsparameter <math>t</math> verwendet. Dieser nimmt Werte zwischen <math>-1</math> und <math>1</math> an. Über die Beziehung <math>x(t)=x_\mathrm{st}+\frac{L_\mathrm{st}}{2}t</math> wird der Parameter auf die räumliche Position entlang des Gefäßes übertragen. Für <math>t=-1</math> liegt der Beginn der Stenose bei <math>x_\mathrm{st}-L_\mathrm{st}/2</math>, für <math>t=0</math> befindet sich die Kurve in der Stenosenmitte und für <math>t=1</math> am Ende bei <math>x_\mathrm{st}+L_\mathrm{st}/2</math>. Dadurch kann die Länge der Stenose über den Parameter <math>L_\mathrm{st}</math> verändert werden, ohne ihre Mittelpunktposition <math>x_\mathrm{st}</math> zu verschieben. Die Einengung wächst vom Beginn der Stenose kontinuierlich bis zur Engstelle an und nimmt danach ebenso kontinuierlich wieder ab. Dadurch entstehen glatte Wandübergänge. Die Stärke der Einengung wird über den dimensionslosen Stenosegrad <math>s</math> gesteuert. Für einen unverengten Durchmesser der Arteria carotis interna von <math>D_\mathrm{ACI}=5\,\mathrm{mm}</math> ergibt sich bei einem Stenosegrad von <math>s=0{,}3</math> eine minimale Gefäßweite von <math>3{,}5\,\mathrm{mm}</math>, bei <math>s=0{,}6</math> von <math>2{,}0\,\mathrm{mm}</math> und bei <math>s=0{,}8</math> von <math>1{,}0\,\mathrm{mm}</math>. Die minimale Gefäßweite ergibt sich allgemein aus <math>d_\mathrm{min}=D_\mathrm{ACI}(1-s)</math>. Die beiden parametrischen Kurven wurden mit Hilfslinien zu geschlossenen Flächen ergänzt und anschließend über „Umwandeln in Volumenkörper“ in Flächenobjekte überführt. Mithilfe einer Differenzoperation wurden diese Flächen aus dem Gefäßgebiet ausgeschnitten. Auf diese Weise bleibt die Grundgeometrie des Gefäßes unverändert, während Stenosegrad und Stenosenlänge allein über globale Parameter variiert werden können. Für die Strömung wurde Blut als inkompressibles Newtonsches Fluid mit konstanter Dichte und Viskosität angenähert. Verwendet werden eine Dichte von <math>\rho=1060\,\mathrm{kg/m^3}</math> und eine dynamische Viskosität von <math>\mu=3,5\,\mathrm{mPa s}</math>. Am Einlass wird ein voll entwickeltes Geschwindigkeitsprofil vorgegeben. Aus dem auf der Projektseite angesetzten mittleren Volumenstrom von <math>6\,\mathrm{ml/s}</math> ergibt sich für das <math>6\,\mathrm{mm}</math> breite Zuflussgefäß eine mittlere Geschwindigkeit von rund <math>0{,}21\,\mathrm{m/s}</math>. An beiden Auslässen wird derselbe Referenzdruck vorgegeben, während an sämtlichen Gefäßwänden die Haftbedingung (No Slip) gilt. Nach Fertigstellung der Geometrie wurde ein physikgesteuertes Finite-Elemente-Netz erzeugt und die stationäre Navier-Stokes-Strömung berechnet. Anschließend wurden insbesondere der Geschwindigkeitsbetrag, die Druckverteilung und die Stromlinien ausgewertet. Die Stromlinien dienen dabei nicht nur der Visualisierung der Aufteilung des Blutstroms an der Bifurkation, sondern auch zur Erkennung möglicher Ablöse- und Rückströmungsgebiete hinter der Stenose. Zusätzlich kann die Wandschubspannung entlang der Gefäßwand ausgewertet werden. Die verschiedenen Stenosegrade werden jeweils bei ansonsten identischen Randbedingungen miteinander und mit dem gesunden Referenzfall verglichen. == Ergebnisse der 2D-Strömungssimulation == Die zweidimensionale Strömungssimulation wurde mit COMSOL Multiphysics durchgeführt, um die Auswirkungen einer lokalen Gefäßverengung auf die Blutströmung innerhalb einer idealisierten Karotis-Bifurkation zu untersuchen. Im Mittelpunkt der Auswertung stehen die Geschwindigkeitsverteilung, die Druckverteilung sowie die Wandschubspannung. Ergänzend werden Stromlinien betrachtet, um mögliche Veränderungen des Strömungsverlaufs und das Auftreten von Rückströmungsgebieten hinter der Stenose zu untersuchen. Für die aktuell betrachtete Modellvariante beträgt der eingestellte Stenosegrad 80 %. Die Ergebnisse werden hinsichtlich ihrer strömungsmechanischen Bedeutung interpretiert und unter Berücksichtigung der vereinfachenden Modellannahmen bewertet. === Geschwindigkeitsverteilung und Stromlinien === Die Geschwindigkeitsverteilung der zweidimensionalen Karotis-Bifurkation wurde mithilfe des Geschwindigkeitsbetrags ''spf.U'' in COMSOL Multiphysics untersucht. Die berechneten Geschwindigkeiten liegen gemäß der dargestellten Farbskala zwischen nahezu 0 m/s an den Gefäßwänden und ungefähr 0,32 m/s im Strömungsgebiet. Im gemeinsamen Zuflussgefäß zeigt sich eine erhöhte Strömungsgeschwindigkeit im zentralen Bereich, während die Geschwindigkeit zu den Gefäßwänden hin abnimmt. An der Gefäßverzweigung teilt sich die Strömung auf die beiden Tochtergefäße auf. Im oberen Gefäßast führt die lokale Querschnittsverengung zu einer Veränderung der Geschwindigkeitsverteilung. Im Bereich der Engstelle sind erhöhte Geschwindigkeiten zu erkennen, während in wandnahen Bereichen geringere Geschwindigkeiten auftreten. Die zusätzlich dargestellten Stromlinien verdeutlichen den Verlauf der Strömung durch die Gefäßverzweigung. In der vorliegenden Darstellung sind keine eindeutig ausgeprägten geschlossenen Rückströmungsgebiete zu erkennen. '''Interpretation''': Die Ergebnisse zeigen, dass die Gefäßgeometrie die lokale Geschwindigkeitsverteilung beeinflusst. Insbesondere die Verengung verändert die Strömung im betroffenen Gefäßast. Aus der Geschwindigkeitsdarstellung allein lässt sich jedoch noch nicht beurteilen, ob hinter der Stenose eine Strömungsablösung auftritt. <div style="text-align:center;"> [[Datei:Geschwindigkeit spf.png|700px|zentriert|Geschwindigkeitsverteilung und Stromlinien der stationären 2D-Strömungssimulation einer idealisierten Karotis-Bifurkation mit lokaler Stenose im oberen Gefäßast. Die Farbskala zeigt den Geschwindigkeitsbetrag in m/s.]] <small>'''Abbildung 1:''' Geschwindigkeitsverteilung und Stromlinien der stationären 2D-Strömungssimulation einer idealisierten Karotis-Bifurkation mit lokaler Stenose im oberen Gefäßast. Die Farbskala zeigt den Geschwindigkeitsbetrag in m/s.</small> </div> ==== Auswertung ==== Die quantitative Auswertung des Geschwindigkeitsfeldes mittels der COMSOL-Funktion ''Oberflächenmaximum'' ergibt für das gesamte zweidimensionale Strömungsgebiet eine maximale Geschwindigkeit von '''0,31853 m/s'''. Dieser Wert bestätigt die aus der Farbskala abgelesene Größenordnung von etwa '''0,32 m/s'''. Die maximale Geschwindigkeit beschreibt den höchsten lokal auftretenden Geschwindigkeitsbetrag im untersuchten Modell mit einer ACI-Stenose von ''80 %''. Aus dem Maximalwert allein lässt sich jedoch noch nicht bestimmen, an welcher Position innerhalb des Gefäßes dieser auftritt. Auch eine mögliche Rückströmung kann damit nicht nachgewiesen werden. {| class="wikitable" style="text-align:center;" ! Stenosegrad ! <math>u_\mathrm{max}</math> [m/s] |- | 0 % | 0,284 |- | 30 % | 0,271 |- | 60 % | 0,349 |- | 80 % | 0,394 |} ===== Untersuchung möglicher Rückströmungsbereiche ===== Zur Untersuchung möglicher Rückströmungsbereiche wurde der stenotische Abschnitt der ACI vergrößert dargestellt. Zusätzlich zum Geschwindigkeitsfeld wurden Stromlinien mit erhöhter Startpunktanzahl visualisiert. Die Stromlinien zeigen eine Bündelung der Strömung im Bereich der Engstelle und eine anschließende Auffächerung im erweiterten Gefäßabschnitt. In der vergrößerten Darstellung treten entlang der oberen und unteren Gefäßwand hinter der Stenose, ungefähr zwischen x = 104 mm und x = 108 mm, schmale Bereiche mit negativer Geschwindigkeitskomponente auf. Die negative Geschwindigkeitskomponente wurde entlang einer um 15° geneigten Richtung bestimmt. Die dargestellten Werte liegen im Bereich weniger Millimeter pro Sekunde und sind damit deutlich kleiner als die maximale Strömungsgeschwindigkeit von 0,31853 m/s. Trotz der erhöhten Stromliniendichte ist kein eindeutig geschlossenes Rezirkulationsgebiet erkennbar. Die negativen Geschwindigkeitskomponenten liefern Hinweise auf lokale Veränderungen der Strömungsrichtung, stellen jedoch allein keinen sicheren Nachweis einer Strömungsablösung dar. <div style="text-align:center;"> [[Datei:Rückströmungsgebiete 2D.png|800px|zentriert|Vergrößerte Darstellung der Stromlinien und möglicher Rückströmungsbereiche hinter der 80-%-Stenose der ACI. Die Farbskala zeigt die negative Geschwindigkeitskomponente entlang einer um 15° geneigten Richtung. Schmale Bereiche mit negativen Werten sind an den Gefäßwänden erkennbar. Ein geschlossenes Rezirkulationsgebiet ist nicht eindeutig nachweisbar.]] <small>'''Abbildung 2:''' Vergrößerte Darstellung des ACI-Abschnitts hinter der Stenose. Die Farbskala zeigt die Geschwindigkeitskomponente in einer um 15° geneigten Richtung in m/s. Negative Werte weisen auf lokale Strömungsanteile entgegen dieser Richtung hin, belegen jedoch für sich genommen noch keine geschlossene Rezirkulationszone.</small> </div> === Druckverteilung und Druckabfall === Die Druckverteilung wurde anhand der berechneten Isobaren innerhalb der zweidimensionalen Karotis-Bifurkation untersucht. Dabei zeigt sich eine Abnahme des statischen Drucks vom gemeinsamen Zuflussgefäß in Richtung der beiden Gefäßausgänge. Der maximale berechnete Druck beträgt etwa '''74,2 Pa''', während der minimale Druck bei etwa '''−19,9 Pa''' liegt. Daraus ergibt sich eine globale Druckspanne von ungefähr '''94,1 Pa'''. Besonders auffällig ist die Druckverteilung im Bereich der Stenose der Arteria carotis interna (ACI). Dort liegen die Isobaren deutlich enger beieinander, was auf einen ausgeprägten lokalen Druckgradienten hinweist. Stromabwärts der Engstelle treten zudem Bereiche mit niedrigem statischem Druck auf. '''Interpretation''': Die Ergebnisse zeigen, dass die Stenose die lokale Druckverteilung im ACI-Ast deutlich beeinflusst. Die Beschleunigung der Strömung innerhalb der Verengung geht mit einer Abnahme des statischen Drucks einher. Die globale Druckspanne von 94,1 Pa darf jedoch nicht mit dem irreversiblen Druckverlust über der Stenose gleichgesetzt werden. Die globale Druckspanne von 94,1 Pa ist nicht mit dem Druckabfall über der Stenose gleichzusetzen. Zur genaueren Untersuchung wurden deshalb zwei Messquerschnitte vor und hinter der Engstelle ausgewertet. Zwischen diesen ergibt sich eine mittlere statische Druckdifferenz von 36,24 Pa. <div style="text-align:center;"> [[Datei:Druckverteilung_2D.png|800px|zentriert|Druckverteilung der stationären 2D-Strömungssimulation einer idealisierten Karotis-Bifurkation mit 80 % Stenose in der Arteria carotis interna (ACI). Die Isobaren zeigen den Druckverlauf innerhalb der Gefäßgeometrie. Besonders im Bereich der Stenose ist ein ausgeprägter lokaler Druckgradient erkennbar. Der berechnete Druck liegt zwischen −19,9 Pa und 74,2 Pa.]] <small>'''Abbildung 3:''' Druckverteilung der stationären 2D-Strömungssimulation einer idealisierten Karotis-Bifurkation mit 80 % Stenose in der Arteria carotis interna (ACI). Die Isobaren zeigen den Druckverlauf innerhalb der Gefäßgeometrie. Besonders im Bereich der Stenose ist ein ausgeprägter lokaler Druckgradient erkennbar. Der berechnete Druck liegt zwischen −19,9 Pa und 74,2 Pa.</small> </div> ==== Quantitative Bestimmung der Druckdifferenz ==== Zur quantitativen Untersuchung des Druckabfalls wurden zwei Messquerschnitte im ACI-Ast definiert, einer vor und einer hinter der Stenose. Mithilfe der COMSOL-Funktion „Linienmittelwert“ wurde der mittlere statische Druck an beiden Positionen bestimmt. Vor der Stenose beträgt der mittlere Druck '''35,232 Pa''', während hinter der Stenose ein Wert von '''−1,0042 Pa''' ermittelt wurde. Daraus ergibt sich eine Druckdifferenz von '''36,24 Pa'''. Die Ergebnisse zeigen eine deutliche Abnahme des statischen Drucks zwischen den beiden Messquerschnitten. Diese Druckdifferenz verdeutlicht die Druckänderung entlang des stenotischen ACI-Astes. Sie ist jedoch nicht mit dem ausschließlich durch die Stenose verursachten irreversiblen Druckverlust gleichzusetzen, da auch die Strömungsentwicklung in den angrenzenden Gefäßabschnitten berücksichtigt wird. {| class="wikitable" style="text-align:center;" ! Stenosegrad ! <math>\bar p_\mathrm{vor}</math> [Pa] ! <math>\bar p_\mathrm{nach}</math> [Pa] ! <math>\Delta p</math> [Pa] |- | 0 % | 11,631 | 4,2461 | 7,3849 |- | 30 % | 16,919 | 2,9220 | 13,997 |- | 60 % | 35,835 | -0,58267 | 36,41767 |- | 80 % | 70,562 | -0,55906 | 71,12106 |} === Wandschubspannung === Zur Untersuchung der mechanischen Belastung der Gefäßwände wurde die Wandschubspannung (Wall Shear Stress, WSS) im zweidimensionalen Strömungsmodell ausgewertet. Sie beschreibt die tangentiale viskose Spannung, die durch die Strömung an der Gefäßwand entsteht. Die quantitative Auswertung erfolgte für die obere und untere Wand des stenotischen ACI-Abschnitts. Hierfür wurden die entsprechenden Wandkanten in COMSOL ausgewählt und der Betrag der Wandschubspannung bestimmt. Für den untersuchten Stenosebereich ergibt sich eine maximale Wandschubspannung von '''3,2282 Pa'''. Der Wert beschreibt das Maximum auf den ausgewählten Wandkanten der 80-%-Stenose. Da für diese Auswertung der Betrag der Wandschubspannung verwendet wurde, lässt sich daraus allein keine Aussage über eine mögliche Umkehr der wandnahen Strömungsrichtung ableiten. Zur Untersuchung möglicher Ablösebereiche ist zusätzlich eine Auswertung der vorzeichenbehafteten tangentialen Wandschubspannung erforderlich. <div style="text-align:center;"> [[Datei:Wandschubspannung.png|800px|zentriert|Verteilung des Betrags der Wandschubspannung entlang ausgewählter Gefäßwandabschnitte im Bereich der ACI-Stenose. Lokal treten erhöhte Wandschubspannungen auf. Die separate quantitative Auswertung der beiden Stenosewände ergibt einen Maximalwert von 3,2282 Pa.]] <small>'''Abbildung 4:''' Verteilung des Betrags der Wandschubspannung entlang ausgewählter Gefäßwandabschnitte im Bereich der ACI-Stenose. Lokal treten erhöhte Wandschubspannungen auf. Die separate quantitative Auswertung der beiden Stenosewände ergibt einen Maximalwert von 3,2282 Pa.</small> </div> ==== Untersuchung der vorzeichenbehafteten Wandschubspannung ==== Zur weiteren Untersuchung möglicher Strömungsablösungen wurde die vorzeichenbehaftete tangentiale Wandschubspannung entlang der oberen und unteren ACI-Gefäßwand hinter der Stenose ausgewertet. An der oberen Gefäßwand steigt die berechnete Spannung von ungefähr −0,05 Pa auf +0,47 Pa an. Ein Vorzeichenwechsel tritt bei einer Bogenlänge von etwa 0,6 mm auf. An der unteren Gefäßwand steigt die Spannung von ungefähr −0,48 Pa auf +0,06 Pa an. Hier erfolgt ein Vorzeichenwechsel bei einer Bogenlänge von etwa 20 mm. Die Ergebnisse zeigen somit auf beiden untersuchten Wandabschnitten einen Vorzeichenwechsel der tangentialen Spannungskomponente. Dies kann auf Änderungen der wandnahen Strömungsrichtung hinweisen und ist mit möglichen Ablöse- oder Wiederanlagerungsvorgängen vereinbar. Die Bogenlängen beziehen sich jeweils auf den untersuchten Wandabschnitt und können nicht unmittelbar miteinander verglichen werden. Zudem hängt das Vorzeichen von der Orientierung der lokalen Wandtangente ab. Ein geschlossenes Rezirkulationsgebiet lässt sich aus den Vorzeichenwechseln allein nicht eindeutig nachweisen. <div style="text-align:center;"> [[Datei:WSS - Oberer Ast hinter Stenose.png|800px|zentriert|Verlauf der vorzeichenbehafteten tangentialen Wandschubspannung entlang der oberen ACI-Gefäßwand hinter der 80-%-Stenose. Bei einer Bogenlänge von etwa 0,6 mm tritt ein Vorzeichenwechsel auf. Dieser kann auf eine Änderung der wandnahen Strömungsrichtung hinweisen, stellt jedoch allein keinen eindeutigen Nachweis einer Strömungsablösung dar.]] <small>'''Abbildung 5:'''Verlauf der vorzeichenbehafteten tangentialen Wandschubspannung entlang der oberen ACI-Gefäßwand hinter der 80-%-Stenose. Bei einer Bogenlänge von etwa 0,6 mm tritt ein Vorzeichenwechsel auf. Dieser kann auf eine Änderung der wandnahen Strömungsrichtung hinweisen, stellt jedoch allein keinen eindeutigen Nachweis einer Strömungsablösung dar.</small> </div> <div style="text-align:center;"> [[Datei:WSS - Unterer Ast hinter Stenose.png|800px|zentriert|Verlauf der vorzeichenbehafteten tangentialen Wandschubspannung entlang der unteren ACI-Gefäßwand hinter der Stenose. Ein Vorzeichenwechsel tritt bei etwa 20 mm Bogenlänge auf.]] <small>'''Abbildung 6:'''Verlauf der vorzeichenbehafteten tangentialen Wandschubspannung entlang der unteren ACI-Gefäßwand hinter der Stenose. Ein Vorzeichenwechsel tritt bei etwa 20 mm Bogenlänge auf.</small> </div> === Zusammenfassende Bewertung der 2D-Ergebnisse === Die stationäre zweidimensionale Strömungssimulation mit einem Stenosegrad von 80 % zeigt deutliche Veränderungen der Strömungsgrößen innerhalb der idealisierten Karotis-Bifurkation. Die maximale Geschwindigkeit beträgt 0,31853 m/s. Zwischen den ausgewählten Messquerschnitten vor und hinter der ACI-Stenose ergibt sich eine mittlere statische Druckdifferenz von 36,24 Pa. Die maximale Wandschubspannung auf den ausgewerteten Stenosewänden beträgt 3,2282 Pa. Die Untersuchung der Geschwindigkeitskomponenten liefert Hinweise auf lokale Strömungsanteile entgegen der Hauptströmungsrichtung. Ein eindeutig abgegrenztes Rezirkulationsgebiet konnte anhand der vorliegenden Darstellungen jedoch nicht sicher nachgewiesen werden. Die Ergebnisse beschreiben zunächst den untersuchten Fall einer hochgradigen Stenose. Aus diesem einzelnen Fall lässt sich weder eine allgemeine Abhängigkeit der Strömungsgrößen vom Stenosegrad noch ein kritischer Stenosegrad für den Beginn der Strömungsablösung bestimmen. Dafür wäre eine vergleichende Auswertung weiterer Stenosegrade erforderlich. == Resistenzrandbedingung am Auslass (2D-Modell) == === Motivation === Im ursprünglichen 2D-Modell wurde an beiden Auslässen (A. carotis interna, ICA, und A. carotis externa, ECA) eine Nulldruckbedingung <math>p = 0</math> gesetzt. Physikalisch bedeutet das, dass beide Äste in ein „offenes Becken“ mit gleichem, festem Druck münden. Der Auslassdruck hängt dabei nicht davon ab, wie viel Blut ankommt. Diese Annahme hat zwei Schwächen: * Die Flussaufteilung zwischen ICA und ECA ergibt sich nur aus den kleinen Strömungswiderständen der modellierten Gefäßabschnitte. Wird die ICA durch die Stenose verengt, weicht das Blut nahezu ungehindert in die ECA aus. Im Körper ist das nicht möglich, weil hinter der ICA das Gefäßbett des Gehirns mit einem eigenen, großen Widerstand liegt. * Das Druckniveau (Auslass bei 0 Pa) ist nicht physiologisch. Im 3D-Modell wurde deshalb an beiden Auslässen eine '''Resistenzrandbedingung''' verwendet. Damit 2D- und 3D-Modell vergleichbar sind, haben wir dieselbe Randbedingung auch im 2D-Modell eingebaut. === Formel und Herleitung === Das gesamte nachgeschaltete Gefäßbett hinter jedem Auslass wird durch einen einzigen peripheren Widerstand <math>R_p</math> ersetzt: :<math>p_{\text{aus}} = k_R \cdot R_p \cdot Q</math> Dabei ist <math>Q</math> der Volumenstrom durch den Auslass und <math>k_R</math> ein Schalter (<math>k_R = 1</math>: Widerstand, <math>k_R = 0</math>: ursprüngliche Bedingung <math>p = 0</math>). '''1. Gesunde Flussaufteilung nach dem Murray-Gesetz''' Der Volumenstrom eines Gefäßes ist nach Murray proportional zur dritten Potenz des Durchmessers. Für den Anteil der ICA am Gesamtfluss gilt damit: :<math>\varphi_0 = \frac{D_I^3}{D_I^3 + D_E^3} = \frac{(5\,\text{mm})^3}{(5\,\text{mm})^3 + (4\,\text{mm})^3} \approx 0{,}661</math> Mit dem mittleren Volumenstrom der A. carotis communis <math>Q_0 = 6\,\text{ml/s}</math> (Holdsworth u. a. 1999) folgt: :<math>Q_{I,0} = \varphi_0 \cdot Q_0 \approx 3{,}97\,\text{ml/s}, \qquad Q_{E,0} = (1-\varphi_0) \cdot Q_0 \approx 2{,}03\,\text{ml/s}</math> '''2. Bestimmung der peripheren Widerstände''' Die Widerstände werden so gewählt, dass im gesunden Zustand an beiden Auslässen der treibende Druck des peripheren Gefäßbetts <math>p_D = 90\,\text{mmHg} \approx 12\,000\,\text{Pa}</math> anliegt: :<math>R_{pI} = \frac{p_D}{Q_{I,0}} \approx 3{,}0 \cdot 10^{9}\,\frac{\text{Pa}\cdot\text{s}}{\text{m}^3}, \qquad R_{pE} = \frac{p_D}{Q_{E,0}} \approx 5{,}9 \cdot 10^{9}\,\frac{\text{Pa}\cdot\text{s}}{\text{m}^3}</math> Die Randbedingungen an den beiden Auslässen lauten damit: :<math>p_{\text{aus},I} = k_R \cdot R_{pI} \cdot Q_I, \qquad p_{\text{aus},E} = k_R \cdot R_{pE} \cdot Q_E</math> '''3. Umrechnung des Flusses im 2D-Modell''' Im 2D-Modell liefert das Integral der Normalgeschwindigkeit über den Auslassrand keinen Volumenstrom in m³/s, sondern einen Fluss pro Tiefe <math>q</math> in m²/s. Damit die Widerstände aus dem 3D-Modell verwendet werden können, wird <math>q</math> mit einer einheitlichen Ersatztiefe <math>b</math> in einen Volumenstrom umgerechnet: :<math>Q = q \cdot b, \qquad b = \frac{\pi \, D_{CC}}{4}</math> Die Ersatztiefe ist so gewählt, dass am Einlass mit der mittleren Einströmgeschwindigkeit <math>\bar{u}_{ein} = Q_0 / (\pi D_{CC}^2/4) \approx 0{,}21\,\text{m/s}</math> genau der Volumenstrom des 3D-Modells von 6 ml/s ankommt. Weil dieselbe Ersatztiefe für alle Ränder gilt, bleibt die Massenbilanz erhalten. === Ergebnisse mit Resistenzrandbedingung === {| class="wikitable" style="text-align:center" |+ Maximale Geschwindigkeit ! Stenosegrad S !! <math>u_{max}</math> [m/s] |- | 0 || 0,324^* |- | 0,3 || 0,323^* |- | 0,6 || 0,529 |- | 0,8 || 1,067 |} ^* Bei S = 0 und S = 0,3 liegt das Geschwindigkeitsmaximum nicht in der Stenose, sondern in der A. carotis communis. {| class="wikitable" style="text-align:center" |+ Druck vor und nach der Stenose ! Stenosegrad S !! <math>p_{vor}</math> [Pa] !! <math>p_{nach}</math> [Pa] !! Druckverlust <math>\Delta p = p_{vor} - p_{nach}</math> [Pa] !! <math>\Delta p</math> [mmHg] |- | 0 || 11 802 || 11 793 || 9 || 0,07 |- | 0,3 || 11 808 || 11 790 || 18 || 0,14 |- | 0,6 || 11 838 || 11 760 || 78 || 0,59 |- | 0,8 || 12 024 || 11 626 || 398 || 2,99 |} === Auswertung === * '''Druckniveau:''' Mit der Resistenzrandbedingung liegt der Druck bei etwa 11 800 Pa ≈ 88,5 mmHg. Das entspricht dem mittleren arteriellen Druck in der Carotis. Mit <math>p = 0</math> lagen die Drücke nur bei wenigen Pa bis einigen 100 Pa. * '''Flussaufteilung:''' Die peripheren Widerstände sind wesentlich größer als der Widerstand der Stenose. Deshalb bestimmen sie die Flussaufteilung, und die ICA behält auch bei 80 % Stenose nahezu ihren Anteil (Abnahme von <math>Q_I</math> nur um etwa 1 %). Im Gegensatz zu <math>p = 0</math> kann das Blut nicht einfach in die ECA ausweichen. Das entspricht dem physiologischen Verhalten bei nicht kritischen Stenosen. * '''Geschwindigkeit:''' Weil mehr Blut durch die Engstelle strömen muss, steigen die Geschwindigkeiten in der Stenose gegenüber <math>p = 0</math>. Von S = 0,6 auf S = 0,8 verdoppelt sich <math>u_{max}</math> etwa. Das passt zur Halbierung der Spaltbreite (2 mm → 1 mm). Die Werte stimmen mit einer Abschätzung über die mittlere Geschwindigkeit in der Engstelle überein (S = 0,8: <math>\bar{u} \approx 0{,}82\,\text{m/s}</math>, also <math>u_{max}</math> zwischen 0,82 und 1,23 m/s). * '''Druckverlust:''' Der Druckverlust steigt stark nichtlinear mit dem Stenosegrad. Von S = 0,6 auf S = 0,8 nimmt er etwa um den Faktor 5 zu. Theoretisch liegt dieser Faktor im 2D-Spalt zwischen 4 (Trägheitsverluste, <math>\propto 1/h^2</math>) und 8 (Reibung, <math>\propto 1/h^3</math>). * '''Druckrückgewinnung:''' Bei S = 0,8 liegt <math>p_{nach}</math> mit 11 626 Pa sogar unter dem Auslassdruck (≈ 11 680 Pa). Direkt hinter der Engstelle ist die Geschwindigkeit des Strahls noch hoch und der statische Druck entsprechend niedrig. Stromabwärts verlangsamt sich die Strömung, und ein Teil des Drucks wird zurückgewonnen. Der bleibende Druckverlust ist daher etwas kleiner als 398 Pa. === Grenzen und Vergleich mit dem 3D-Modell === * Im 2D-Modell verringert eine Stenose von 80 % nur die '''Spaltbreite''' auf 20 %. Im 3D-Modell sinkt die '''Querschnittsfläche''' dagegen auf <math>0{,}2^2 = 4\,\%</math>. Das 2D-Modell unterschätzt deshalb Geschwindigkeit und Druckverlust in der Stenose systematisch. Klinisch gelten bei Stenosen ab 70 % systolische Spitzengeschwindigkeiten über 2,3 m/s; ab einem Druckgradienten von etwa 10–20 mmHg gilt eine Stenose als hämodynamisch relevant. Beide Grenzen erreicht das 2D-Modell nicht. * Die Umrechnung über die Ersatztiefe <math>\pi D_{CC}/4</math> ist eine Modellannahme. * Der periphere Widerstand ist konstant. Die Autoregulation des Gehirns und die Gefäßelastizität (Windkessel) werden nicht berücksichtigt, und die Rechnung ist stationär (keine Pulsatilität). == Beantwortung der Forschungsfragen == '''Welche Strömungsgrößen reagieren empfindlich auf den Stenosegrad?''' Die Untersuchung der 80-%-Stenose zeigt deutliche Veränderungen der Geschwindigkeitsverteilung, des statischen Drucks und der Wandschubspannung. Die maximale Strömungsgeschwindigkeit beträgt 0,31853 m/s. Zwischen den ausgewählten Messquerschnitten vor und hinter der Stenose ergibt sich eine mittlere statische Druckdifferenz von 36,24 Pa. Die maximale Wandschubspannung auf den untersuchten Stenosewänden beträgt 3,2282 Pa.Da bisher nur die 80-%-Stenose quantitativ ausgewertet wurde, lässt sich noch nicht feststellen, welche dieser Größen bei zunehmendem Stenosegrad am stärksten reagiert. '''Ab welchem Stenosegrad tritt eine Strömungsablösung auf?''' Bei der untersuchten 80-%-Stenose zeigen die Geschwindigkeitskomponenten und die vorzeichenbehaftete Wandschubspannung Hinweise auf Veränderungen der wandnahen Strömungsrichtung hinter der Engstelle. Ein eindeutig geschlossenes Rezirkulationsgebiet konnte jedoch nicht nachgewiesen werden. Ein kritischer Stenosegrad für den Beginn einer Strömungsablösung lässt sich aus dieser einzelnen Simulation daher nicht bestimmen. Hierfür müssten weitere Stenosegrade unter vergleichbaren Bedingungen ausgewertet werden. '''Inwieweit sind die Annahmen einer stationären und laminaren Strömung geeignet?''' Die stationäre, laminare Modellierung ermöglicht es, grundlegende Auswirkungen einer Gefäßverengung auf die Strömung in einer idealisierten Karotis-Bifurkation zu untersuchen. Bei hochgradigen Stenosen können allerdings zeitabhängige und dreidimensionale Strömungsstrukturen auftreten. Diese werden durch das vorliegende stationäre 2D-Modell nicht vollständig erfasst. Die Simulationsergebnisse sind deshalb auf die gewählten Modellannahmen und Randbedingungen beschränkt. '''Zusammenfassend''' liefert die 2D-Simulation eine erste quantitative Beschreibung der Strömungsverhältnisse bei einer hochgradigen ACI-Stenose. Für allgemeine Aussagen über die Abhängigkeit vom Stenosegrad und den Beginn einer Strömungsablösung sind zusätzliche Vergleichsrechnungen erforderlich. = Grenzen des Modells = * Die untersuchte Gefäßgeometrie ist eine idealisierte Darstellung der Karotisaufzweigung. Individuelle anatomische Unterschiede werden nicht berücksichtigt. * Darüber hinaus werden die Gefäßwände als starr angenommen und Blut wird durch ein inkompressibles Newtonsches Fluid mit konstanter Viskosität beschrieben. * Die Strömung wird stationär berechnet. Die natürliche Pulsation des Blutflusses und zeitabhängige Effekte bleiben damit unberücksichtigt. * Insbesondere bei hochgradigen Stenosen können zeitabhängige Strömungsablösungen auftreten, die durch eine stationäre Modellierung nicht vollständig beschrieben werden. * Das Graphenmodell kann lokale Strömungsphänomene nicht detailliert erfassen. Das ebene Flächenmodell vereinfacht die räumliche Gefäßgeometrie. Auch das dreidimensionale Modell bleibt aufgrund der idealisierten Geometrie und der vereinfachten Materialannahmen eine Annäherung an die reale Blutströmung. * Die Ergebnisse sind daher als strömungsmechanische Untersuchung eines idealisierten Modells zu interpretieren und nicht als patientenspezifische medizinische Vorhersage. = Literaturverzeichnis = Alle Quellen sind an den Stellen im Text angegeben, an denen die zugehörigen Werte oder Aussagen verwendet werden. Die Liste wird aus diesen Angaben automatisch erzeugt. <references /> 3agl2w0glx2qset32lnt8eo4qlmaufp 1119000 1118999 2026-11-06T16:26:58Z Nicole.pander 39567 /* Auswertung */ 1119000 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Joey Becker * Marie-Thérèse Heitele * Nicole Pander = Thema und Fragestellung = Gegenstand dieses Projekts ist die numerische Simulation der Blutströmung in einer verzweigten Halsschlagader ('''Carotis-Bifurkation''') unter dem Einfluss einer lokalen Gefäßverengung ('''Stenose'''). Im Vergleich zu einfachen Rohrströmungen wird hier die realitätsnahe Gefäßanatomie betrachtet: Die '''Arteria carotis communis (ACC)''' teilt sich in die '''Arteria carotis externa (ACE)''' und die '''Arteria carotis interna (ACI)''' auf. Während die '''ACE''' als gesunder, stenosefreier Ast dient, wird in der '''ACI''' eine geglättete, kosinusförmige Gefäßverengung modelliert. Um scharfe Kanten und unphysiologische Druckspitzen zu vermeiden, werden alle Wandübergänge und die Gabelungsspitze (Apex) anatomisch verrundet. Als Referenz dient ein gesundes, unverengtes Gefäß, in dem sich die Poiseuille-Strömung mit ihrem charakteristischen parabolischen Geschwindigkeitsprofil ausbildet. Diese Strömung ist aus zwei Gründen der natürliche Ausgangspunkt. Sie beschreibt den physiologischen Normalfall, mit dem jeder Stenosegrad verglichen wird, und sie ist exakt lösbar, sodass sich an ihr jede numerische Rechnung prüfen lässt, bevor die Verengung hinzukommt. == Fragestellung == Die Hauptfragestellung dieses Projektes lautet: Wie verändert eine symmetrische bzw. rotationssymmetrische Stenose in der '''Arteria carotis interna (ACI)''' die stationäre Strömung eines inkompressiblen Newton’schen Fluids in einer 2D-Carotis-Bifurkation hinsichtlich Geschwindigkeitsverteilung, Druckabfall, Wandschubspannung und Wirbelbildung im Vergleich zu den gesunden Gefäßabschnitten? Aus dieser Fragestellung ergeben sich drei Teilfragen, an denen sich der Aufbau der Seite orientiert: # Welche Strömungsgrößen reagieren empfindlich auf den Stenosegrad und welche nur träge? # Ab welchem Stenosegrad ändert sich das Strömungsmuster qualitativ, das heißt, ab wann löst die Strömung hinter der Engstelle von der Wand ab und bildet ein Rückströmgebiet? # Wie weit tragen die vereinfachenden Modellannahmen, insbesondere die Annahme einer stationären und laminaren Strömung, über den untersuchten Bereich der Stenosegrade? == Modellannahmen == Im Hinblick darauf werden für dieses Projekt einige Annahmen getroffen, um das Projekt möglichst isoliert zu untersuchen und zu simplifizieren: * '''Idealisierte Gefäßgeometrie''': Betrachtet wird ein Teilabbschnitt der ''Arteria carotis communis'', die sog. ''ACI''. Zudem werden Gefäßverkrümmungen, weitere Verzweigungen und patientenspezifische Strukturen nicht berücksichtigt. * '''Starre Gefäßwand''': Die Gefäßwand wird als unbeweglich und nicht verformbar angenommen. Eine Wechselwirkung zwischen elastischer Gefäßwand und Blutströmung wird nicht modelliert. * '''Stationäre Strömung''': Die Strömungsgrößen werden als zeitlich konstant angenommen. Die im realen Blutkreislauf vorhandene Pulsation durch den Herzschlag wird daher vernachlässigt: <math>\frac{\partial u}{\partial t}=0</math>. * '''Inkompressibles Fluid''': Die Dichte des Fluids wird als konstant angenommen. Damit gilt für die Geschwindigkeit <math>\nabla \cdot u=0</math>. Dies entspricht der in der Vorlesung behandelten Massenerhaltung für inkompressible Fluide: Was in das Gefäß einströmt, muss auch wieder ausströmen. * '''Newton'sche Näherung für Blut''': Reales Blut beseitzt ein nicht newton'sches Fließverhalten. Hier wird Blut als Newton'sches Fluid behandelt. * '''Konstante Stoffeigenschaften''': Dichte <math>\rho</math> und dynamische Viskosität μ werden als räumlich und zeitlich konstant angenommen. Temperaturabhängigkeiten werden nicht berücksichtigt. * '''Laminare Strömung''': Die Strömung wird mit dem COMSOL-Modul ''Laminar Flow'' beschrieben. Ein zusätzliches Turbulenzmodell wird nicht verwendet. * '''No-Slip-Bedingung an Gefäßwand''': Aufgrund der Viskosität wird angenommen, dass das Fluid direkt an der Gefäßwand haftet. Somit gilt <math>u=0</math>. * '''Vernachlässigung der Gravitation''': Gravitation wird nicht berücksichtigt. Die Strömung wird ausschließlich durch die gewählten Ein- und Auslassbedingungen bestimmt. = Relevanz = Die Untersuchung von Gefäßverengungen besitzt sowohl eine medizinische als auch eine methodische Bedeutung. Aus medizinischer Sicht sind arterielle Stenosen – etwa in der Halsschlagader, lat. ''arteria carotis communis'', – kritisch, da sie die Durchblutung beeinträchtigen und durch veränderte Wandschubspannungen sowie die Bildung von Wirbeln weitere Gefäßablagerungen begünstigen. Stenosen im Bereich der Karotisgabelung sind klinisch hochrelevant, da sie das Gehirn direkt versorgen und das Risiko für embolische Schlaganfälle erhöhen. Fachlich überträgt das Projekt damit die Prinzipien der Strömungsmechanik direkt auf eine biomedizinische Anwendung. Das Projekt verknüpft somit theoretische Grundlagen der Strömungsmechanik (Hagen-Poiseuille-Gleichung, Navier-Stokes-Gleichungen) mit der numerischen Simulation in COMSOL Multiphysics. Durch den Vergleich der '''gesunden Externa (ACE)''' mit der '''stenoisierten Interna (ACI)''' innerhalb desselben Rechengebiets wird die isolierte Wirkung der Stenose unter identischen Randbedingungen direkt sichtbar gemacht. == Medizinische Relevanz == Arterielle Stenosen entstehen überwiegend durch Atherosklerose, also durch Ablagerungen aus Lipiden, Bindegewebe und Kalk in der Gefäßwand. In der Halsschlagader sind sie klinisch besonders bedeutsam, weil sie die Durchblutung des Gehirns beeinträchtigen und weil sich an ihnen Thromben bilden können, die als Embolie einen Schlaganfall auslösen. Dass die operative Entfernung einer hochgradigen Karotisstenose das Schlaganfallrisiko symptomatischer Patienten deutlich senkt, hat die NASCET-Studie gezeigt, deren Einteilung der Stenosegrade dieses Projekt übernimmt.<ref name="nascet">North American Symptomatic Carotid Endarterectomy Trial Collaborators: ''Beneficial effect of carotid endarterectomy in symptomatic patients with high-grade carotid stenosis.'' New England Journal of Medicine 325 (1991), Nr. 7, S. 445-453.</ref> Strömungsmechanisch ist an einer Stenose vor allem die Wandschubspannung von Interesse, also die tangentiale Kraft je Fläche, die das strömende Blut auf die innerste Zellschicht der Gefäßwand ausübt. Gesunde Halsschlagadern weisen zeitlich gemittelte Werte von etwa 1,1 bis 1,5 Pa auf.<ref name="samijo">Samijo, S. K.; Willigers, J. M.; Barkhuysen, R.; Kitslaar, P. J. E. H. M.; Reneman, R. S.; Brands, P. J.; Hoeks, A. P. G.: ''Wall shear stress in the human common carotid artery as function of age and gender.'' Cardiovascular Research 39 (1998), Nr. 2, S. 515-522.</ref> In einer Engstelle steigt sie stark an, unmittelbar dahinter fällt sie im Ablösegebiet auf nahezu null und wechselt dort sogar das Vorzeichen. Niedrige und im Vorzeichen wechselnde Wandschubspannungen gelten als Bedingungen, unter denen sich weitere Ablagerungen bevorzugt bilden. Eine bestehende Stenose schafft also stromabwärts die Voraussetzungen für ihr eigenes Wachstum. Genau diese Verteilung lässt sich im Körper nur schwer messen, in einer Simulation dagegen unmittelbar auswerten. == Methodische Relevanz == Fachlich überträgt das Projekt die Prinzipien der Strömungsmechanik aus der Vorlesung auf eine biomedizinische Anwendung.<ref name="hundertmark">Hundertmark, A.: ''Fluiddynamik.'' Vorlesungsunterlagen zum Modul Räumliche Modellbildung, RPTU Kaiserslautern-Landau, Sommersemester 2026.</ref> Der methodische Mehrwert liegt in der Verknüpfung mehrerer Zugänge, die sich gegenseitig kontrollieren. Die analytische Poiseuille-Lösung liefert exakte Sollwerte für das gesunde Gefäß. Ein reduziertes Graphenmodell liefert für jeden Stenosegrad eine schnelle Abschätzung, die analytisch nachrechenbar ist. Die Simulationen in COMSOL Multiphysics lösen schließlich die vollständigen Navier-Stokes-Gleichungen in zwei und drei Raumdimensionen. Weil jede Stufe die Sollwerte der nächsten liefert, zeigt das Projekt nicht nur Ergebnisse, sondern auch, wie numerische Modelle aufgebaut, verifiziert und an ihren Grenzen bewertet werden. == Auswahl der Stenosegrade == Um die untersuchten Gefäßverengungen nicht willkürlich festzulegen, orientiert sich die Auswahl der Stenosegrade an der klinisch gebräuchlichen NASCET-Klassifikation von Karotisstenosen.<ref name="nascet" /> Zur klinischen Einordnung werden Karotisstenosen anhand der nach NASCET bestimmten Durchmesserreduktion in leichtgradige, mittelgradige und hochgradige Stenosen eingeteilt. Die angegebenen Prozentgrenzen dienen in diesem Projekt als Orientierung für die Auswahl der untersuchten Stenosegrade. Ein vollständiger Gefäßverschluss wird als Okklusion bezeichnet. {| class="wikitable" |+ Klinische Einteilung nach NASCET-gemessener Durchmesserreduktion und untersuchte Stenosegrade ! Schweregrad !! Durchmesserreduktion !! im Projekt gerechnete Stenosegrade !! hervorgehobener Vertreter |- | gesundes Gefäß || 0 % || 0 || 0 |- | leichtgradige Stenose || unter 50 % || 0,1 bis 0,4 || 0,3 |- | mittelgradige Stenose || 50 bis 69 % || 0,5 und 0,6 || 0,6 |- | hochgradige Stenose || 70 bis 99 % || 0,7 und 0,8 || 0,8 |- | Okklusion || 100 % || nicht gerechnet || entfällt |} '''Anmerkung''': Die Klassengrenzen dienen der Einordnung der Modellvarianten. Die in der Tabelle genannten Stenosegrade sind dimensionslose Werte, beispielsweise entspricht '''<math>s=0{,}6</math>''' einer Durchmesserreduktion von '''60 %'''. Für die numerische Untersuchung wird aus jeder Kategorie ein repräsentativer Stenosegrad hervorgehoben. Neben dem gesunden Gefäß mit '''0 %''' Stenose sind das eine '''30 %''' Stenose als Beispiel für eine leichtgradige, eine '''60 %''' Stenose als Beispiel für eine mittelgradige und eine '''80 %''' Stenose als Beispiel für eine hochgradige Verengung. Zusätzlich werden für das Graphenmodell und das achsensymmetrische Flächenmodell Stenosegrade von 0 bis 80 % in Schritten von zehn Prozentpunkten vorgesehen. Dadurch kann die Abhängigkeit der Strömungsgrößen vom Stenosegrad systematisch untersucht und grafisch dargestellt werden. Ob alle Modellvarianten tatsächlich berechnet wurden und wie hoch der Rechenaufwand war, wird anhand der durchgeführten Simulationen dokumentiert. Ein vollständiger Gefäßverschluss wird nicht simuliert, da in diesem Fall keine durchgängige Strömung mehr vorliegt. Der Stenosegrad wird in diesem Projekt wie bei NASCET über die Verringerung des Gefäßdurchmessers beschrieben, <math>s = 1 - \frac{d_{\min}}{d_{\mathrm{ref}}},</math> wobei <math>d_{\min}</math> der kleinste Durchmesser in der Engstelle und <math>d_{\mathrm{ref}}</math> ein Referenzdurchmesser ist. NASCET verwendet als Referenz den Durchmesser des gesunden Gefäßes stromabwärts der Stenose. Für das idealisierte gerade Gefäßmodell wird ein konstanter Referenzdurchmesser von <math>D_0=6\,\mathrm{mm}</math> angenommen. Da das Gefäß außerhalb der Stenose denselben Durchmesser besitzt, gilt in diesem Modell<math>d_{\mathrm{ref}}=D_0</math>. Bei der zusätzlich betrachteten Gefäßaufzweigung muss der Referenzdurchmesser dagegen gesondert festgelegt werden, da die Gefäßäste unterschiedliche Durchmesser besitzen. Wichtig für das Verständnis aller weiteren Ergebnisse ist der Unterschied zwischen Durchmesser- und Flächenreduktion. Da die Querschnittsfläche quadratisch vom Durchmesser abhängt, gilt für die Flächenreduktion <math>1-(1-s)^2</math>. Eine im klinischen Sinn nur mittelgradige Stenose von 60 % verschließt damit bereits 84 % der Querschnittsfläche. {| class="wikitable" |+ Durchmesser- und Flächenreduktion der gerechneten Stenosegrade ! Stenosegrad s !! 0 !! 0,1 !! 0,2 !! 0,3 !! 0,4 !! 0,5 !! 0,6 !! 0,7 !! 0,8 |- | engster Durchmesser in mm || 6,0 || 5,4 || 4,8 || 4,2 || 3,6 || 3,0 || 2,4 || 1,8 || 1,2 |- | Flächenreduktion || 0 % || 19 % || 36 % || 51 % || 64 % || 75 % || 84 % || 91 % || 96 % |} Eine Einschränkungen gehört zur ehrlichen Einordnung: # Mit zunehmendem Stenosegrad, insbesondere bei ausgeprägten Verengungen, können lokale Beschleunigungen, Strömungsablösungen und zeitabhängige Strömungsstrukturen auftreten. Daher muss bei den hochgradigen Stenosen geprüft werden, inwieweit die Annahme einer stationären, laminaren Strömung geeignet ist. Eine feste Grenze bei <math>s=0{,}6</math> lässt sich ohne entsprechende Simulationsergebnisse oder Literaturbelege nicht allgemein festlegen. Die hochgradigen Fälle werden deshalb unter besonderer Berücksichtigung der Modellannahmen diskutiert. Unter Modellierung wird in diesem Projekt die Übertragung der Blutströmung in einer verengten Arterie auf ein mathematisches und numerisch lösbares Strömungsproblem verstanden. Dazu werden die Gefäßgeometrie, die zugrunde liegenden Gleichungen, die physikalischen Materialparameter sowie die Anfangs- und Randbedingungen festgelegt. Jeder dieser Bestandteile beruht auf vereinfachenden Annahmen, die begründet und bei der Interpretation der Ergebnisse berücksichtigt werden müssen. Ziel ist es, den Einfluss unterschiedlicher Stenosegrade auf die Strömungsgeschwindigkeit, den Druckverlust und gegebenenfalls die Wandschubspannung systematisch zu untersuchen. Die Modellierung erfolgt anhand mehrerer Modellvarianten mit unterschiedlicher räumlicher Auflösung. Dadurch können zunächst grundlegende Zusammenhänge analytisch abgeschätzt und anschließend mit numerischen Strömungsberechnungen verglichen werden. Die verwendeten Parameter orientieren sich an den bereitgestellten Referenzdaten und werden in den folgenden Abschnitten erläutert. == Modellierung == Ziel der Modellierung ist es, die Blutströmung innerhalb einer Y-förmigen Aufzweigung der Halsschlagader mathematisch und numerisch zu untersuchen. Im Mittelpunkt steht eine Gefäßverengung (Stenose) in der Arteria carotis interna. Das betrachtete Gefäßmodell besteht aus der Arteria carotis communis, die sich in die Arteria carotis interna und die Arteria carotis externa aufteilt. Die Stenose befindet sich ausschließlich in der Arteria carotis interna. Durch die Verengung verändert sich der verfügbare Strömungsquerschnitt. Dies kann zu einer Erhöhung der lokalen Strömungsgeschwindigkeit, zu zusätzlichen Druckverlusten und zu einer Veränderung der Strömungsverteilung zwischen den beiden Gefäßästen führen. Ziel ist es, den Einfluss unterschiedlicher Stenosegrade auf die Strömungsgeschwindigkeit, die Druckverteilung und die Wandschubspannung zu untersuchen. Zusätzlich soll betrachtet werden, wie sich die Strömung innerhalb der Y-förmigen Gefäßaufzweigung verhält. Die numerische Modellierung erfolgt mit COMSOL Multiphysics. Dazu werden die Gefäßgeometrie, die Materialeigenschaften des Blutes, die Strömungsgleichungen und die Randbedingungen festgelegt. Zur Vereinfachung wird Blut zunächst als inkompressibles, Newtonsches Fluid betrachtet. Die Gefäßwände werden als starr angenommen. Diese Annahmen ermöglichen eine systematische Untersuchung der Stenose, schränken jedoch die Übertragbarkeit auf reale physiologische Bedingungen ein. === Modellhierarchie === Für die Untersuchung der Blutströmung innerhalb der Y-förmigen Karotisaufzweigung werden drei Modellvarianten betrachtet. Diese unterscheiden sich hinsichtlich ihrer räumlichen Dimension, ihrer mathematischen Beschreibung und der Genauigkeit, mit der die Strömungsverhältnisse dargestellt werden können. Das untersuchte Gefäß besteht aus der Arteria carotis communis, die sich in die Arteria carotis interna und die Arteria carotis externa aufteilt. Die Stenose befindet sich ausschließlich in der Arteria carotis interna. Alle drei Modellvarianten werden mit COMSOL Multiphysics umgesetzt. {| class="wikitable" style="width:100%;" |+ '''Die drei Modellvarianten des Projekts''' |- ! Modell ! Raumdimension ! Mathematische Grundlage ! Zweck ! Werkzeug |- | '''Graphenmodell''' | 1D, Gefäßnetzwerk mit einer Verzweigung | Massenerhaltung an der Verzweigung und vereinfachte Beschreibung der Strömungswiderstände | Abschätzung der Volumenstromverteilung und der Druckverluste in den Gefäßästen | COMSOL Multiphysics |- | '''Ebenes Flächenmodell''' | 2D, Y-förmige Gefäßgeometrie in kartesischen Koordinaten | Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen | Untersuchung der Geschwindigkeits- und Druckverteilung sowie der Auswirkungen der Stenose in der Arteria carotis interna | COMSOL Multiphysics, Laminare Strömung |- | '''Volumenmodell''' | 3D, räumliche Y-förmige Gefäßgeometrie | Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen | Räumliche Untersuchung des Geschwindigkeitsfeldes, des Druckverlustes und der Wandschubspannung | COMSOL Multiphysics, Laminare Strömung |} ==== Vergleich und Überprüfung der Modellvarianten ==== Die drei Modellvarianten bauen hinsichtlich ihrer räumlichen Beschreibung aufeinander auf. Das Graphenmodell ermöglicht zunächst eine vereinfachte Betrachtung der Volumenströme und Druckverluste. Die zwei- und dreidimensionalen Modelle erlauben anschließend eine detailliertere Untersuchung der Strömung innerhalb der Gefäßaufzweigung. Das '''Graphenmodell''' beschreibt die Arteria carotis communis sowie die beiden abzweigenden Gefäße als miteinander verbundenes Netzwerk. Dabei wird die Massenerhaltung an der Verzweigung berücksichtigt: :<math>Q_{\mathrm{CCA}}=Q_{\mathrm{ICA}}+Q_{\mathrm{ECA}}</math> Das Modell liefert vereinfachte Abschätzungen der Volumenstromverteilung. Lokale Strömungsablösungen und räumliche Geschwindigkeitsverteilungen können damit nicht detailliert dargestellt werden. Das '''ebene Flächenmodell''' bildet die Y-förmige Gefäßaufzweigung in zwei Raumdimensionen ab. Die Stenose wird innerhalb der Arteria carotis interna berücksichtigt. Dadurch können die Geschwindigkeits- und Druckverteilung sowie mögliche Rückströmungsbereiche untersucht werden. Das '''Volumenmodell''' erweitert die Untersuchung auf drei Raumdimensionen. Es ermöglicht eine räumliche Darstellung der Strömung und eine detailliertere Berechnung der Wandschubspannung. Die Ergebnisse des ebenen Flächenmodells und des Volumenmodells werden miteinander verglichen. Da das ebene Modell die räumliche Querschnittsgeometrie nur vereinfacht darstellt, müssen Unterschiede zwischen den beiden Modellen bei der Interpretation berücksichtigt werden. Ziel der Modellhierarchie ist es, die Aussagekraft der einzelnen Modellvarianten zu bewerten und den Einfluss des Stenosegrades auf die Strömung innerhalb der Y-förmigen Karotisaufzweigung zu untersuchen. === Simulationsgebiet und Geometrie === Das Simulationsgebiet besteht aus einer idealisierten Y-förmigen Aufzweigung der Arteria carotis. Die Arteria carotis communis teilt sich in die Arteria carotis interna und die Arteria carotis externa. Die Stenose befindet sich in der Arteria carotis interna. Die Arteria carotis externa wird ohne zusätzliche Verengung modelliert. Die Geometrie orientiert sich an den bereitgestellten Referenzdaten. Die Gefäßdurchmesser werden innerhalb der jeweiligen unverengten Abschnitte als konstant angenommen. {| class="wikitable" style="width:100%;" |+ '''Geometrische Referenzparameter der Y-förmigen Gefäßaufzweigung''' |- ! Gefäßabschnitt ! Durchmesser ! Länge |- | Arteria carotis communis | 6 mm | 60 mm |- | Arteria carotis interna | 5 mm | 60 mm |- | Arteria carotis externa | 4 mm | 60 mm |- | Stenose in der Arteria carotis interna | Abhängig vom Stenosegrad | 10 bzw. 20 mm |} Die Verengung wird über den Stenosegrad <math>s</math> beschrieben. Dieser gibt die relative Verringerung des Gefäßdurchmessers an: :<math>s=1-\frac{d_{\min}}{D_{\mathrm{ICA}}}</math> Dabei bezeichnet <math>d_{\min}</math> den minimalen Durchmesser innerhalb der Stenose und <math>D_{\mathrm{ICA}}</math> den unverengten Referenzdurchmesser der Arteria carotis interna. Für das Modell gilt: :<math>D_{\mathrm{ICA}}=5\,\mathrm{mm}</math> Der minimale Durchmesser ergibt sich damit zu: :<math>d_{\min}=D_{\mathrm{ICA}}(1-s)</math> {| class="wikitable" |+ '''Minimaler Durchmesser der Stenose in der Arteria carotis interna''' |- ! Stenosegrad ! Minimaler Durchmesser |- | 0 % | 5,0 mm |- | 10 % | 4,5 mm |- | 20 % | 4,0 mm |- | 30 % | 3,5 mm |- | 40 % | 3,0 mm |- | 50 % | 2,5 mm |- | 60 % | 2,0 mm |- | 70 % | 1,5 mm |- | 80 % | 1,0 mm |} Die angegebenen Stenosegrade beziehen sich ausschließlich auf den Durchmesser der Arteria carotis interna. Der Durchmesser der Arteria carotis communis wird nicht zur Berechnung des Stenosegrades verwendet. Die Y-förmige Geometrie ermöglicht es, die Auswirkungen der Verengung sowohl auf die lokale Strömung in der Arteria carotis interna als auch auf die Strömungsverteilung innerhalb der gesamten Gefäßaufzweigung zu untersuchen. Die genaue Form der Stenose, der Verzweigungswinkel und die Übergänge zwischen den Gefäßabschnitten müssen entsprechend der tatsächlich in COMSOL verwendeten Geometrie dokumentiert werden. == Stoff- und Strömungsparameter == Die Stoffwerte des Blutes und der Volumenstrom sind die einzigen Eingangsgrößen, die nicht aus der Geometrie folgen. Aus ihnen werden alle weiteren Strömungskennwerte berechnet. Die folgenden Schritte zeigen jede Rechnung einzeln, damit sich jeder Wert nachprüfen lässt. # Die '''Dichte''' wird mit <math>\rho = 1060\ \mathrm{kg/m^3}</math> angesetzt. Der Wert lässt sich als Mischungsregel plausibel machen. Plasma hat eine Dichte von etwa 1025 kg/m³, rote Blutkörperchen von etwa 1100 kg/m³. Bei einem Zellanteil von 45 % ergibt sich <math>0{,}55 \cdot 1025 + 0{,}45 \cdot 1100 \approx 1059\ \mathrm{kg/m^3}</math>. Die Dichte geht nur über die Reynoldszahl in die Rechnung ein, eine Abweichung von einem Prozent ändert die Ergebnisse daher kaum. <!-- FIXME Lehrbuchquelle fuer Plasma- und Erythrozytendichte ergaenzen --> # Die '''dynamische Viskosität''' wird mit <math>\mu = 3{,}5\ \mathrm{mPa\,s}</math> angesetzt. Das ist der Grenzwert der Blutviskosität bei hohen Scherraten, also genau der Wert, der zur Newtonschen Näherung gehört. Derselbe Wert von 0,035 Poise wird auch im Standardwerk zur Modellierung des Herz-Kreislauf-Systems verwendet.<ref name="quarteroni">Quarteroni, A.; Formaggia, L.: ''Mathematical Modelling and Numerical Simulation of the Cardiovascular System.'' In: Ayache, N. (Hrsg.): ''Computational Models for the Human Body.'' Handbook of Numerical Analysis, Bd. XII, Elsevier, Amsterdam 2004, S. 3-127. DOI 10.1016/S1570-8659(03)12001-7. Zur Newtonschen Näherung in großen Gefäßen siehe S. 30, zur Viskosität von 0,035 Poise die Parametertabelle auf S. 116.</ref> # Der '''mittlere Volumenstrom''' wird mit <math>Q_0 = 6\ \mathrm{ml/s}</math> angesetzt. Das ist der zeitlich gemittelte Volumenstrom, der in der gemeinsamen Halsschlagader gesunder Probanden gemessen wurde. # Die '''mittlere Geschwindigkeit''' folgt aus Volumenstrom und Querschnittsfläche, <math>U_0 = \frac{Q_0}{\pi R_0^2} = \frac{6 \cdot 10^{-6}\ \mathrm{m^3/s}}{\pi \cdot (0{,}003\ \mathrm{m})^2} = 0{,}2122\ \mathrm{m/s}</math>. # Die '''Reynoldszahl''' des gesunden Gefäßes ist <math>Re_0 = \frac{\rho\, U_0\, D_0}{\mu} = \frac{1060 \cdot 0{,}2122 \cdot 0{,}006}{0{,}0035} = 385{,}6</math>. Sie wird im Folgenden auf 386 gerundet. # Die '''Einlauflänge''', die eine anfangs gleichförmige Strömung bis zum voll entwickelten Parabelprofil bräuchte, beträgt nach der gebräuchlichen Abschätzung für laminare Rohrströmungen <math>L_e \approx 0{,}06\, Re_0\, D_0 \approx 0{,}06 \cdot 386 \cdot 6\ \mathrm{mm} \approx 139\ \mathrm{mm}</math>.<ref name="durst">Durst, F.; Ray, S.; Ünsal, B.; Bayoumi, O. A.: ''The development lengths of laminar pipe and channel flows.'' Journal of Fluids Engineering 127 (2005), Nr. 6, S. 1154-1160. Für große Reynoldszahlen nähert sich die dort angegebene Korrelation dem Wert 0,057·Re·D.</ref> Das ist fast die gesamte Länge des Rechengebiets. Ein konstantes Einlassprofil würde die Strömung an der Stenose also verfälschen, weshalb am Einlass das voll entwickelte Profil vorgegeben wird. Damit liegen alle globalen Parameter fest. Die folgende Tabelle enthält sie mit genau den Namen, unter denen sie in COMSOL und in den Octave-Skripten verwendet werden. {| class="wikitable" |+ Globale Parameter des Modells ! Name !! Ausdruck in COMSOL !! Wert !! Bedeutung !! Herkunft |- | R0 || 3[mm] || 3 mm || Gefäßradius || Messwerte nach Krejza u. a. 2006, gerundet |- | D0 || 2*R0 || 6 mm || Gefäßdurchmesser || abgeleitet |- | Ls || 2*D0 || 12 mm || Länge der Störstelle || Standardgeometrie nach Varghese u. a. 2007 |- | Lu || 5*D0 || 30 mm || Vorlaufstrecke vor der Stenosemitte || Abstand der Einlassbedingung von der Stenose |- | Ld || 20*D0 || 120 mm || Nachlaufstrecke hinter der Stenosemitte || Platz für das Rückströmgebiet |- | Lf || Ls/2+10*D0 || 66 mm || Ende des fein vernetzten Nachlaufs || erwartete Länge des Rückströmgebiets |- | s || 0 bis 0.8 || 0 bis 0,8 || Stenosegrad bezogen auf den Durchmesser || NASCET-Einteilung |- | rho_b || 1060[kg/m^3] || 1060 kg/m³ || Dichte des Blutes || Mischungsregel, Literaturwert |- | mu_b || 3.5[mPa*s] || 3,5 mPa·s || dynamische Viskosität des Blutes || Hochscherwert, Quarteroni und Formaggia 2004 |- | Q0 || 6[ml/s] || 6 ml/s || mittlerer Volumenstrom || Messwerte nach Holdsworth u. a. 1999 |- | U0 || Q0/(pi*R0^2) || 0,2122 m/s || mittlere Einströmgeschwindigkeit || abgeleitet |- | Re0 || rho_b*U0*D0/mu_b || 385,6 || Reynoldszahl des gesunden Gefäßes || abgeleitet |- | dp_ref || 8*mu_b*U0*(Lu+Ld)/R0^2 || 99,03 Pa || Poiseuille-Druckabfall des gesunden Gefäßes || abgeleitet, Hagen-Poiseuille |} = Implementierung des 2D-Modells in COMSOL Multiphysics = == Zielsetzung des zweidimensionalen Modells == Im Rahmen des Projekts wurde mit COMSOL Multiphysics ein zweidimensionales Modell der menschlichen Halsschlagader erstellt. Ziel ist es, die Blutströmung innerhalb einer Gefäßverzweigung zu untersuchen und insbesondere die Auswirkungen einer lokalen Gefäßverengung (Stenose) auf das Strömungsverhalten zu analysieren. Das Modell bildet die Aufzweigung der Arteria carotis communis (ACC) in die Arteria carotis interna (ACI) und die Arteria carotis externa (ACE) ab. Während die ACE als gesunder Gefäßabschnitt betrachtet wird, befindet sich in der ACI eine lokale Verengung. Dadurch können die Strömungsverhältnisse in beiden Ästen miteinander verglichen werden. Die zweidimensionale Modellierung dient dazu, die Geschwindigkeitsverteilung, den Druckabfall und die Wandschubspannung zu untersuchen. Zusätzlich soll festgestellt werden, ob sich hinter der Stenose Bereiche mit Strömungsablösungen oder Rückströmungen ausbilden. ==Vorgehen== Für die numerische Untersuchung in COMSOL Multiphysics 6.2 zunächst ein zweidimensionales Modell mit der Physik ''Laminare Strömung'' und einer ''stationären Studie'' angelegt. Die Gefäßgeometrie wurde vollständig parametrisiert, damit Durchmesser, Gefäßlängen, Verzweigungswinkel, Stenosegrad sowie die Stenoselänge veränderbar sind, ohne das Modell jeweils neu zu zeichnen. Das gemeinsame Zuflussgefäß stellt die Arteria carotis communis mit einem Durchmesser von <math>6\,\mathrm{mm}</math> dar. Nach einem geraden Einlaufabschnitt von <math>60\,\mathrm{mm}</math> teilt es sich V-förmig in die beiden Tochtergefäße auf. Die Arteria carotis interna wird mit einem Durchmesser von <math>5\,\mathrm{mm}</math>, die Arteria carotis externa mit <math>4\,\mathrm{mm}</math> modelliert. Beide Tochtergefäße sind jeweils <math>60\,\mathrm{mm}</math> lang. Die Grundgeometrie wurde als zusammenhängender zweidimensionaler Volumenkörper aufgebaut. Die beiden Tochtergefäße verlaufen nach der Bifurkation unter einem Winkel auseinander, sodass eine idealisierte Y-förmige Karotisgabel entsteht. Die Übergänge zwischen dem gemeinsamen Gefäß und den beiden Ästen wurden bewusst vereinfacht, aber ohne abrupte Querschnittssprünge gestaltet. Auf diese Weise bleibt die Geometrie ausreichend einfach für einen systematischen Vergleich verschiedener Modellvarianten, bildet die typische Aufzweigung einer Karotis. Die Stenose befindet sich ausschließlich in der Arteria carotis interna. Um die Verengung nicht durch gerade Polygonsegmente mit scharfen Knicken darzustellen, wurde ihre Kontur mithilfe von zwei parametrischen Kosinuskurven erzeugt. Zur Beschreibung der Stenose wird eine parametrische Kurve mit dem Hilfsparameter <math>t</math> verwendet. Dieser nimmt Werte zwischen <math>-1</math> und <math>1</math> an. Über die Beziehung <math>x(t)=x_\mathrm{st}+\frac{L_\mathrm{st}}{2}t</math> wird der Parameter auf die räumliche Position entlang des Gefäßes übertragen. Für <math>t=-1</math> liegt der Beginn der Stenose bei <math>x_\mathrm{st}-L_\mathrm{st}/2</math>, für <math>t=0</math> befindet sich die Kurve in der Stenosenmitte und für <math>t=1</math> am Ende bei <math>x_\mathrm{st}+L_\mathrm{st}/2</math>. Dadurch kann die Länge der Stenose über den Parameter <math>L_\mathrm{st}</math> verändert werden, ohne ihre Mittelpunktposition <math>x_\mathrm{st}</math> zu verschieben. Die Einengung wächst vom Beginn der Stenose kontinuierlich bis zur Engstelle an und nimmt danach ebenso kontinuierlich wieder ab. Dadurch entstehen glatte Wandübergänge. Die Stärke der Einengung wird über den dimensionslosen Stenosegrad <math>s</math> gesteuert. Für einen unverengten Durchmesser der Arteria carotis interna von <math>D_\mathrm{ACI}=5\,\mathrm{mm}</math> ergibt sich bei einem Stenosegrad von <math>s=0{,}3</math> eine minimale Gefäßweite von <math>3{,}5\,\mathrm{mm}</math>, bei <math>s=0{,}6</math> von <math>2{,}0\,\mathrm{mm}</math> und bei <math>s=0{,}8</math> von <math>1{,}0\,\mathrm{mm}</math>. Die minimale Gefäßweite ergibt sich allgemein aus <math>d_\mathrm{min}=D_\mathrm{ACI}(1-s)</math>. Die beiden parametrischen Kurven wurden mit Hilfslinien zu geschlossenen Flächen ergänzt und anschließend über „Umwandeln in Volumenkörper“ in Flächenobjekte überführt. Mithilfe einer Differenzoperation wurden diese Flächen aus dem Gefäßgebiet ausgeschnitten. Auf diese Weise bleibt die Grundgeometrie des Gefäßes unverändert, während Stenosegrad und Stenosenlänge allein über globale Parameter variiert werden können. Für die Strömung wurde Blut als inkompressibles Newtonsches Fluid mit konstanter Dichte und Viskosität angenähert. Verwendet werden eine Dichte von <math>\rho=1060\,\mathrm{kg/m^3}</math> und eine dynamische Viskosität von <math>\mu=3,5\,\mathrm{mPa s}</math>. Am Einlass wird ein voll entwickeltes Geschwindigkeitsprofil vorgegeben. Aus dem auf der Projektseite angesetzten mittleren Volumenstrom von <math>6\,\mathrm{ml/s}</math> ergibt sich für das <math>6\,\mathrm{mm}</math> breite Zuflussgefäß eine mittlere Geschwindigkeit von rund <math>0{,}21\,\mathrm{m/s}</math>. An beiden Auslässen wird derselbe Referenzdruck vorgegeben, während an sämtlichen Gefäßwänden die Haftbedingung (No Slip) gilt. Nach Fertigstellung der Geometrie wurde ein physikgesteuertes Finite-Elemente-Netz erzeugt und die stationäre Navier-Stokes-Strömung berechnet. Anschließend wurden insbesondere der Geschwindigkeitsbetrag, die Druckverteilung und die Stromlinien ausgewertet. Die Stromlinien dienen dabei nicht nur der Visualisierung der Aufteilung des Blutstroms an der Bifurkation, sondern auch zur Erkennung möglicher Ablöse- und Rückströmungsgebiete hinter der Stenose. Zusätzlich kann die Wandschubspannung entlang der Gefäßwand ausgewertet werden. Die verschiedenen Stenosegrade werden jeweils bei ansonsten identischen Randbedingungen miteinander und mit dem gesunden Referenzfall verglichen. == Ergebnisse der 2D-Strömungssimulation == Die zweidimensionale Strömungssimulation wurde mit COMSOL Multiphysics durchgeführt, um die Auswirkungen einer lokalen Gefäßverengung auf die Blutströmung innerhalb einer idealisierten Karotis-Bifurkation zu untersuchen. Im Mittelpunkt der Auswertung stehen die Geschwindigkeitsverteilung, die Druckverteilung sowie die Wandschubspannung. Ergänzend werden Stromlinien betrachtet, um mögliche Veränderungen des Strömungsverlaufs und das Auftreten von Rückströmungsgebieten hinter der Stenose zu untersuchen. Für die aktuell betrachtete Modellvariante beträgt der eingestellte Stenosegrad 80 %. Die Ergebnisse werden hinsichtlich ihrer strömungsmechanischen Bedeutung interpretiert und unter Berücksichtigung der vereinfachenden Modellannahmen bewertet. === Geschwindigkeitsverteilung und Stromlinien === Die Geschwindigkeitsverteilung der zweidimensionalen Karotis-Bifurkation wurde mithilfe des Geschwindigkeitsbetrags ''spf.U'' in COMSOL Multiphysics untersucht. Die berechneten Geschwindigkeiten liegen gemäß der dargestellten Farbskala zwischen nahezu 0 m/s an den Gefäßwänden und ungefähr 0,32 m/s im Strömungsgebiet. Im gemeinsamen Zuflussgefäß zeigt sich eine erhöhte Strömungsgeschwindigkeit im zentralen Bereich, während die Geschwindigkeit zu den Gefäßwänden hin abnimmt. An der Gefäßverzweigung teilt sich die Strömung auf die beiden Tochtergefäße auf. Im oberen Gefäßast führt die lokale Querschnittsverengung zu einer Veränderung der Geschwindigkeitsverteilung. Im Bereich der Engstelle sind erhöhte Geschwindigkeiten zu erkennen, während in wandnahen Bereichen geringere Geschwindigkeiten auftreten. Die zusätzlich dargestellten Stromlinien verdeutlichen den Verlauf der Strömung durch die Gefäßverzweigung. In der vorliegenden Darstellung sind keine eindeutig ausgeprägten geschlossenen Rückströmungsgebiete zu erkennen. '''Interpretation''': Die Ergebnisse zeigen, dass die Gefäßgeometrie die lokale Geschwindigkeitsverteilung beeinflusst. Insbesondere die Verengung verändert die Strömung im betroffenen Gefäßast. Aus der Geschwindigkeitsdarstellung allein lässt sich jedoch noch nicht beurteilen, ob hinter der Stenose eine Strömungsablösung auftritt. <div style="text-align:center;"> [[Datei:Geschwindigkeit spf.png|700px|zentriert|Geschwindigkeitsverteilung und Stromlinien der stationären 2D-Strömungssimulation einer idealisierten Karotis-Bifurkation mit lokaler Stenose im oberen Gefäßast. Die Farbskala zeigt den Geschwindigkeitsbetrag in m/s.]] <small>'''Abbildung 1:''' Geschwindigkeitsverteilung und Stromlinien der stationären 2D-Strömungssimulation einer idealisierten Karotis-Bifurkation mit lokaler Stenose im oberen Gefäßast. Die Farbskala zeigt den Geschwindigkeitsbetrag in m/s.</small> </div> ==== Auswertung ==== Die quantitative Auswertung des Geschwindigkeitsfeldes mittels der COMSOL-Funktion ''Oberflächenmaximum'' ergibt für das gesamte zweidimensionale Strömungsgebiet eine maximale Geschwindigkeit von '''0,31853 m/s'''. Dieser Wert bestätigt die aus der Farbskala abgelesene Größenordnung von etwa '''0,32 m/s'''. Die maximale Geschwindigkeit beschreibt den höchsten lokal auftretenden Geschwindigkeitsbetrag im untersuchten Modell mit einer ACI-Stenose von ''80 %''. Aus dem Maximalwert allein lässt sich jedoch noch nicht bestimmen, an welcher Position innerhalb des Gefäßes dieser auftritt. Auch eine mögliche Rückströmung kann damit nicht nachgewiesen werden. {| class="wikitable" style="text-align:center;" ! Stenosegrad ! <math>u_\mathrm{max}</math> [m/s] |- | 0 % | 0,284 |- | 30 % | 0,271 |- | 60 % | 0,349 |- | 80 % | 0,394 |} ===== Untersuchung möglicher Rückströmungsbereiche ===== Zur Untersuchung möglicher Rückströmungsbereiche wurde der stenotische Abschnitt der ACI vergrößert dargestellt. Zusätzlich zum Geschwindigkeitsfeld wurden Stromlinien mit erhöhter Startpunktanzahl visualisiert. Die Stromlinien zeigen eine Bündelung der Strömung im Bereich der Engstelle und eine anschließende Auffächerung im erweiterten Gefäßabschnitt. In der vergrößerten Darstellung treten entlang der oberen und unteren Gefäßwand hinter der Stenose, ungefähr zwischen x = 104 mm und x = 108 mm, schmale Bereiche mit negativer Geschwindigkeitskomponente auf. Die negative Geschwindigkeitskomponente wurde entlang einer um 15° geneigten Richtung bestimmt. Die dargestellten Werte liegen im Bereich weniger Millimeter pro Sekunde und sind damit deutlich kleiner als die maximale Strömungsgeschwindigkeit von 0,31853 m/s. Trotz der erhöhten Stromliniendichte ist kein eindeutig geschlossenes Rezirkulationsgebiet erkennbar. Die negativen Geschwindigkeitskomponenten liefern Hinweise auf lokale Veränderungen der Strömungsrichtung, stellen jedoch allein keinen sicheren Nachweis einer Strömungsablösung dar. <div style="text-align:center;"> [[Datei:Rückströmungsgebiete 2D.png|800px|zentriert|Vergrößerte Darstellung der Stromlinien und möglicher Rückströmungsbereiche hinter der 80-%-Stenose der ACI. Die Farbskala zeigt die negative Geschwindigkeitskomponente entlang einer um 15° geneigten Richtung. Schmale Bereiche mit negativen Werten sind an den Gefäßwänden erkennbar. Ein geschlossenes Rezirkulationsgebiet ist nicht eindeutig nachweisbar.]] <small>'''Abbildung 2:''' Vergrößerte Darstellung des ACI-Abschnitts hinter der Stenose. Die Farbskala zeigt die Geschwindigkeitskomponente in einer um 15° geneigten Richtung in m/s. Negative Werte weisen auf lokale Strömungsanteile entgegen dieser Richtung hin, belegen jedoch für sich genommen noch keine geschlossene Rezirkulationszone.</small> </div> === Druckverteilung und Druckabfall === Die Druckverteilung wurde anhand der berechneten Isobaren innerhalb der zweidimensionalen Karotis-Bifurkation untersucht. Dabei zeigt sich eine Abnahme des statischen Drucks vom gemeinsamen Zuflussgefäß in Richtung der beiden Gefäßausgänge. Der maximale berechnete Druck beträgt etwa '''74,2 Pa''', während der minimale Druck bei etwa '''−19,9 Pa''' liegt. Daraus ergibt sich eine globale Druckspanne von ungefähr '''94,1 Pa'''. Besonders auffällig ist die Druckverteilung im Bereich der Stenose der Arteria carotis interna (ACI). Dort liegen die Isobaren deutlich enger beieinander, was auf einen ausgeprägten lokalen Druckgradienten hinweist. Stromabwärts der Engstelle treten zudem Bereiche mit niedrigem statischem Druck auf. '''Interpretation''': Die Ergebnisse zeigen, dass die Stenose die lokale Druckverteilung im ACI-Ast deutlich beeinflusst. Die Beschleunigung der Strömung innerhalb der Verengung geht mit einer Abnahme des statischen Drucks einher. Die globale Druckspanne von 94,1 Pa darf jedoch nicht mit dem irreversiblen Druckverlust über der Stenose gleichgesetzt werden. Die globale Druckspanne von 94,1 Pa ist nicht mit dem Druckabfall über der Stenose gleichzusetzen. Zur genaueren Untersuchung wurden deshalb zwei Messquerschnitte vor und hinter der Engstelle ausgewertet. Zwischen diesen ergibt sich eine mittlere statische Druckdifferenz von 36,24 Pa. <div style="text-align:center;"> [[Datei:Druckverteilung_2D.png|800px|zentriert|Druckverteilung der stationären 2D-Strömungssimulation einer idealisierten Karotis-Bifurkation mit 80 % Stenose in der Arteria carotis interna (ACI). Die Isobaren zeigen den Druckverlauf innerhalb der Gefäßgeometrie. Besonders im Bereich der Stenose ist ein ausgeprägter lokaler Druckgradient erkennbar. Der berechnete Druck liegt zwischen −19,9 Pa und 74,2 Pa.]] <small>'''Abbildung 3:''' Druckverteilung der stationären 2D-Strömungssimulation einer idealisierten Karotis-Bifurkation mit 80 % Stenose in der Arteria carotis interna (ACI). Die Isobaren zeigen den Druckverlauf innerhalb der Gefäßgeometrie. Besonders im Bereich der Stenose ist ein ausgeprägter lokaler Druckgradient erkennbar. Der berechnete Druck liegt zwischen −19,9 Pa und 74,2 Pa.</small> </div> ==== Quantitative Bestimmung der Druckdifferenz ==== Zur quantitativen Untersuchung des Druckabfalls wurden zwei Messquerschnitte im ACI-Ast definiert, einer vor und einer hinter der Stenose. Mithilfe der COMSOL-Funktion „Linienmittelwert“ wurde der mittlere statische Druck an beiden Positionen bestimmt. Vor der Stenose beträgt der mittlere Druck '''35,232 Pa''', während hinter der Stenose ein Wert von '''−1,0042 Pa''' ermittelt wurde. Daraus ergibt sich eine Druckdifferenz von '''36,24 Pa'''. Die Ergebnisse zeigen eine deutliche Abnahme des statischen Drucks zwischen den beiden Messquerschnitten. Diese Druckdifferenz verdeutlicht die Druckänderung entlang des stenotischen ACI-Astes. Sie ist jedoch nicht mit dem ausschließlich durch die Stenose verursachten irreversiblen Druckverlust gleichzusetzen, da auch die Strömungsentwicklung in den angrenzenden Gefäßabschnitten berücksichtigt wird. {| class="wikitable" style="text-align:center;" ! Stenosegrad ! <math>\bar p_\mathrm{vor}</math> [Pa] ! <math>\bar p_\mathrm{nach}</math> [Pa] ! <math>\Delta p</math> [Pa] |- | 0 % | 11,631 | 4,2461 | 7,3849 |- | 30 % | 16,919 | 2,9220 | 13,997 |- | 60 % | 35,835 | -0,58267 | 36,41767 |- | 80 % | 70,562 | -0,55906 | 71,12106 |} === Wandschubspannung === Zur Untersuchung der mechanischen Belastung der Gefäßwände wurde die Wandschubspannung (Wall Shear Stress, WSS) im zweidimensionalen Strömungsmodell ausgewertet. Sie beschreibt die tangentiale viskose Spannung, die durch die Strömung an der Gefäßwand entsteht. Die quantitative Auswertung erfolgte für die obere und untere Wand des stenotischen ACI-Abschnitts. Hierfür wurden die entsprechenden Wandkanten in COMSOL ausgewählt und der Betrag der Wandschubspannung bestimmt. Für den untersuchten Stenosebereich ergibt sich eine maximale Wandschubspannung von '''3,2282 Pa'''. Der Wert beschreibt das Maximum auf den ausgewählten Wandkanten der 80-%-Stenose. Da für diese Auswertung der Betrag der Wandschubspannung verwendet wurde, lässt sich daraus allein keine Aussage über eine mögliche Umkehr der wandnahen Strömungsrichtung ableiten. Zur Untersuchung möglicher Ablösebereiche ist zusätzlich eine Auswertung der vorzeichenbehafteten tangentialen Wandschubspannung erforderlich. <div style="text-align:center;"> [[Datei:Wandschubspannung.png|800px|zentriert|Verteilung des Betrags der Wandschubspannung entlang ausgewählter Gefäßwandabschnitte im Bereich der ACI-Stenose. Lokal treten erhöhte Wandschubspannungen auf. Die separate quantitative Auswertung der beiden Stenosewände ergibt einen Maximalwert von 3,2282 Pa.]] <small>'''Abbildung 4:''' Verteilung des Betrags der Wandschubspannung entlang ausgewählter Gefäßwandabschnitte im Bereich der ACI-Stenose. Lokal treten erhöhte Wandschubspannungen auf. Die separate quantitative Auswertung der beiden Stenosewände ergibt einen Maximalwert von 3,2282 Pa.</small> </div> ==== Untersuchung der vorzeichenbehafteten Wandschubspannung ==== Zur weiteren Untersuchung möglicher Strömungsablösungen wurde die vorzeichenbehaftete tangentiale Wandschubspannung entlang der oberen und unteren ACI-Gefäßwand hinter der Stenose ausgewertet. An der oberen Gefäßwand steigt die berechnete Spannung von ungefähr −0,05 Pa auf +0,47 Pa an. Ein Vorzeichenwechsel tritt bei einer Bogenlänge von etwa 0,6 mm auf. An der unteren Gefäßwand steigt die Spannung von ungefähr −0,48 Pa auf +0,06 Pa an. Hier erfolgt ein Vorzeichenwechsel bei einer Bogenlänge von etwa 20 mm. Die Ergebnisse zeigen somit auf beiden untersuchten Wandabschnitten einen Vorzeichenwechsel der tangentialen Spannungskomponente. Dies kann auf Änderungen der wandnahen Strömungsrichtung hinweisen und ist mit möglichen Ablöse- oder Wiederanlagerungsvorgängen vereinbar. Die Bogenlängen beziehen sich jeweils auf den untersuchten Wandabschnitt und können nicht unmittelbar miteinander verglichen werden. Zudem hängt das Vorzeichen von der Orientierung der lokalen Wandtangente ab. Ein geschlossenes Rezirkulationsgebiet lässt sich aus den Vorzeichenwechseln allein nicht eindeutig nachweisen. <div style="text-align:center;"> [[Datei:WSS - Oberer Ast hinter Stenose.png|800px|zentriert|Verlauf der vorzeichenbehafteten tangentialen Wandschubspannung entlang der oberen ACI-Gefäßwand hinter der 80-%-Stenose. Bei einer Bogenlänge von etwa 0,6 mm tritt ein Vorzeichenwechsel auf. Dieser kann auf eine Änderung der wandnahen Strömungsrichtung hinweisen, stellt jedoch allein keinen eindeutigen Nachweis einer Strömungsablösung dar.]] <small>'''Abbildung 5:'''Verlauf der vorzeichenbehafteten tangentialen Wandschubspannung entlang der oberen ACI-Gefäßwand hinter der 80-%-Stenose. Bei einer Bogenlänge von etwa 0,6 mm tritt ein Vorzeichenwechsel auf. Dieser kann auf eine Änderung der wandnahen Strömungsrichtung hinweisen, stellt jedoch allein keinen eindeutigen Nachweis einer Strömungsablösung dar.</small> </div> <div style="text-align:center;"> [[Datei:WSS - Unterer Ast hinter Stenose.png|800px|zentriert|Verlauf der vorzeichenbehafteten tangentialen Wandschubspannung entlang der unteren ACI-Gefäßwand hinter der Stenose. Ein Vorzeichenwechsel tritt bei etwa 20 mm Bogenlänge auf.]] <small>'''Abbildung 6:'''Verlauf der vorzeichenbehafteten tangentialen Wandschubspannung entlang der unteren ACI-Gefäßwand hinter der Stenose. Ein Vorzeichenwechsel tritt bei etwa 20 mm Bogenlänge auf.</small> </div> === Zusammenfassende Bewertung der 2D-Ergebnisse === Die stationäre zweidimensionale Strömungssimulation mit einem Stenosegrad von 80 % zeigt deutliche Veränderungen der Strömungsgrößen innerhalb der idealisierten Karotis-Bifurkation. Die maximale Geschwindigkeit beträgt 0,31853 m/s. Zwischen den ausgewählten Messquerschnitten vor und hinter der ACI-Stenose ergibt sich eine mittlere statische Druckdifferenz von 36,24 Pa. Die maximale Wandschubspannung auf den ausgewerteten Stenosewänden beträgt 3,2282 Pa. Die Untersuchung der Geschwindigkeitskomponenten liefert Hinweise auf lokale Strömungsanteile entgegen der Hauptströmungsrichtung. Ein eindeutig abgegrenztes Rezirkulationsgebiet konnte anhand der vorliegenden Darstellungen jedoch nicht sicher nachgewiesen werden. Die Ergebnisse beschreiben zunächst den untersuchten Fall einer hochgradigen Stenose. Aus diesem einzelnen Fall lässt sich weder eine allgemeine Abhängigkeit der Strömungsgrößen vom Stenosegrad noch ein kritischer Stenosegrad für den Beginn der Strömungsablösung bestimmen. Dafür wäre eine vergleichende Auswertung weiterer Stenosegrade erforderlich. == Resistenzrandbedingung am Auslass (2D-Modell) == === Motivation === Im ursprünglichen 2D-Modell wurde an beiden Auslässen (A. carotis interna, ICA, und A. carotis externa, ECA) eine Nulldruckbedingung <math>p = 0</math> gesetzt. Physikalisch bedeutet das, dass beide Äste in ein „offenes Becken“ mit gleichem, festem Druck münden. Der Auslassdruck hängt dabei nicht davon ab, wie viel Blut ankommt. Diese Annahme hat zwei Schwächen: * Die Flussaufteilung zwischen ICA und ECA ergibt sich nur aus den kleinen Strömungswiderständen der modellierten Gefäßabschnitte. Wird die ICA durch die Stenose verengt, weicht das Blut nahezu ungehindert in die ECA aus. Im Körper ist das nicht möglich, weil hinter der ICA das Gefäßbett des Gehirns mit einem eigenen, großen Widerstand liegt. * Das Druckniveau (Auslass bei 0 Pa) ist nicht physiologisch. Im 3D-Modell wurde deshalb an beiden Auslässen eine '''Resistenzrandbedingung''' verwendet. Damit 2D- und 3D-Modell vergleichbar sind, haben wir dieselbe Randbedingung auch im 2D-Modell eingebaut. === Formel und Herleitung === Das gesamte nachgeschaltete Gefäßbett hinter jedem Auslass wird durch einen einzigen peripheren Widerstand <math>R_p</math> ersetzt: :<math>p_{\text{aus}} = k_R \cdot R_p \cdot Q</math> Dabei ist <math>Q</math> der Volumenstrom durch den Auslass und <math>k_R</math> ein Schalter (<math>k_R = 1</math>: Widerstand, <math>k_R = 0</math>: ursprüngliche Bedingung <math>p = 0</math>). '''1. Gesunde Flussaufteilung nach dem Murray-Gesetz''' Der Volumenstrom eines Gefäßes ist nach Murray proportional zur dritten Potenz des Durchmessers. Für den Anteil der ICA am Gesamtfluss gilt damit: :<math>\varphi_0 = \frac{D_I^3}{D_I^3 + D_E^3} = \frac{(5\,\text{mm})^3}{(5\,\text{mm})^3 + (4\,\text{mm})^3} \approx 0{,}661</math> Mit dem mittleren Volumenstrom der A. carotis communis <math>Q_0 = 6\,\text{ml/s}</math> (Holdsworth u. a. 1999) folgt: :<math>Q_{I,0} = \varphi_0 \cdot Q_0 \approx 3{,}97\,\text{ml/s}, \qquad Q_{E,0} = (1-\varphi_0) \cdot Q_0 \approx 2{,}03\,\text{ml/s}</math> '''2. Bestimmung der peripheren Widerstände''' Die Widerstände werden so gewählt, dass im gesunden Zustand an beiden Auslässen der treibende Druck des peripheren Gefäßbetts <math>p_D = 90\,\text{mmHg} \approx 12\,000\,\text{Pa}</math> anliegt: :<math>R_{pI} = \frac{p_D}{Q_{I,0}} \approx 3{,}0 \cdot 10^{9}\,\frac{\text{Pa}\cdot\text{s}}{\text{m}^3}, \qquad R_{pE} = \frac{p_D}{Q_{E,0}} \approx 5{,}9 \cdot 10^{9}\,\frac{\text{Pa}\cdot\text{s}}{\text{m}^3}</math> Die Randbedingungen an den beiden Auslässen lauten damit: :<math>p_{\text{aus},I} = k_R \cdot R_{pI} \cdot Q_I, \qquad p_{\text{aus},E} = k_R \cdot R_{pE} \cdot Q_E</math> '''3. Umrechnung des Flusses im 2D-Modell''' Im 2D-Modell liefert das Integral der Normalgeschwindigkeit über den Auslassrand keinen Volumenstrom in m³/s, sondern einen Fluss pro Tiefe <math>q</math> in m²/s. Damit die Widerstände aus dem 3D-Modell verwendet werden können, wird <math>q</math> mit einer einheitlichen Ersatztiefe <math>b</math> in einen Volumenstrom umgerechnet: :<math>Q = q \cdot b, \qquad b = \frac{\pi \, D_{CC}}{4}</math> Die Ersatztiefe ist so gewählt, dass am Einlass mit der mittleren Einströmgeschwindigkeit <math>\bar{u}_{ein} = Q_0 / (\pi D_{CC}^2/4) \approx 0{,}21\,\text{m/s}</math> genau der Volumenstrom des 3D-Modells von 6 ml/s ankommt. Weil dieselbe Ersatztiefe für alle Ränder gilt, bleibt die Massenbilanz erhalten. === Ergebnisse mit Resistenzrandbedingung === {| class="wikitable" style="text-align:center" |+ Maximale Geschwindigkeit ! Stenosegrad S !! <math>u_{max}</math> [m/s] |- | 0 || 0,324^* |- | 0,3 || 0,323^* |- | 0,6 || 0,529 |- | 0,8 || 1,067 |} ^* Bei S = 0 und S = 0,3 liegt das Geschwindigkeitsmaximum nicht in der Stenose, sondern in der A. carotis communis. {| class="wikitable" style="text-align:center" |+ Druck vor und nach der Stenose ! Stenosegrad S !! <math>p_{vor}</math> [Pa] !! <math>p_{nach}</math> [Pa] !! Druckverlust <math>\Delta p = p_{vor} - p_{nach}</math> [Pa] !! <math>\Delta p</math> [mmHg] |- | 0 || 11 802 || 11 793 || 9 || 0,07 |- | 0,3 || 11 808 || 11 790 || 18 || 0,14 |- | 0,6 || 11 838 || 11 760 || 78 || 0,59 |- | 0,8 || 12 024 || 11 626 || 398 || 2,99 |} === Auswertung === * '''Druckniveau:''' Mit der Resistenzrandbedingung liegt der Druck bei etwa 11 800 Pa ≈ 88,5 mmHg. Das entspricht dem mittleren arteriellen Druck in der Carotis. Mit <math>p = 0</math> lagen die Drücke nur bei wenigen Pa bis einigen 100 Pa. * '''Flussaufteilung:''' Die peripheren Widerstände sind wesentlich größer als der Widerstand der Stenose. Deshalb bestimmen sie die Flussaufteilung, und die ICA behält auch bei 80 % Stenose nahezu ihren Anteil (Abnahme von <math>Q_I</math> nur um etwa 1 %). Im Gegensatz zu <math>p = 0</math> kann das Blut nicht einfach in die ECA ausweichen. Das entspricht dem physiologischen Verhalten bei nicht kritischen Stenosen. * '''Geschwindigkeit:''' Weil mehr Blut durch die Engstelle strömen muss, steigen die Geschwindigkeiten in der Stenose gegenüber <math>p = 0</math>. Von S = 0,6 auf S = 0,8 verdoppelt sich <math>u_{max}</math> etwa. * '''Druckverlust:''' Der Druckverlust steigt stark nichtlinear mit dem Stenosegrad. Von S = 0,6 auf S = 0,8 nimmt er etwa um den Faktor 5 zu. * '''Druckrückgewinnung:''' Bei S = 0,8 liegt <math>p_{nach}</math> mit 11 626 Pa sogar unter dem Auslassdruck (≈ 11 680 Pa). Direkt hinter der Engstelle ist die Geschwindigkeit des Strahls noch hoch und der statische Druck entsprechend niedrig. Stromabwärts verlangsamt sich die Strömung, und ein Teil des Drucks wird zurückgewonnen. Der bleibende Druckverlust ist daher etwas kleiner als 398 Pa. === Grenzen und Vergleich mit dem 3D-Modell === * Im 2D-Modell verringert eine Stenose von 80 % nur die '''Spaltbreite''' auf 20 %. Im 3D-Modell sinkt die '''Querschnittsfläche''' dagegen auf <math>0{,}2^2 = 4\,\%</math>. Das 2D-Modell unterschätzt deshalb Geschwindigkeit und Druckverlust in der Stenose systematisch. Klinisch gelten bei Stenosen ab 70 % systolische Spitzengeschwindigkeiten über 2,3 m/s; ab einem Druckgradienten von etwa 10–20 mmHg gilt eine Stenose als hämodynamisch relevant. Beide Grenzen erreicht das 2D-Modell nicht. * Die Umrechnung über die Ersatztiefe <math>\pi D_{CC}/4</math> ist eine Modellannahme. * Der periphere Widerstand ist konstant. Die Autoregulation des Gehirns und die Gefäßelastizität (Windkessel) werden nicht berücksichtigt, und die Rechnung ist stationär (keine Pulsatilität). == Beantwortung der Forschungsfragen == '''Welche Strömungsgrößen reagieren empfindlich auf den Stenosegrad?''' Die Untersuchung der 80-%-Stenose zeigt deutliche Veränderungen der Geschwindigkeitsverteilung, des statischen Drucks und der Wandschubspannung. Die maximale Strömungsgeschwindigkeit beträgt 0,31853 m/s. Zwischen den ausgewählten Messquerschnitten vor und hinter der Stenose ergibt sich eine mittlere statische Druckdifferenz von 36,24 Pa. Die maximale Wandschubspannung auf den untersuchten Stenosewänden beträgt 3,2282 Pa.Da bisher nur die 80-%-Stenose quantitativ ausgewertet wurde, lässt sich noch nicht feststellen, welche dieser Größen bei zunehmendem Stenosegrad am stärksten reagiert. '''Ab welchem Stenosegrad tritt eine Strömungsablösung auf?''' Bei der untersuchten 80-%-Stenose zeigen die Geschwindigkeitskomponenten und die vorzeichenbehaftete Wandschubspannung Hinweise auf Veränderungen der wandnahen Strömungsrichtung hinter der Engstelle. Ein eindeutig geschlossenes Rezirkulationsgebiet konnte jedoch nicht nachgewiesen werden. Ein kritischer Stenosegrad für den Beginn einer Strömungsablösung lässt sich aus dieser einzelnen Simulation daher nicht bestimmen. Hierfür müssten weitere Stenosegrade unter vergleichbaren Bedingungen ausgewertet werden. '''Inwieweit sind die Annahmen einer stationären und laminaren Strömung geeignet?''' Die stationäre, laminare Modellierung ermöglicht es, grundlegende Auswirkungen einer Gefäßverengung auf die Strömung in einer idealisierten Karotis-Bifurkation zu untersuchen. Bei hochgradigen Stenosen können allerdings zeitabhängige und dreidimensionale Strömungsstrukturen auftreten. Diese werden durch das vorliegende stationäre 2D-Modell nicht vollständig erfasst. Die Simulationsergebnisse sind deshalb auf die gewählten Modellannahmen und Randbedingungen beschränkt. '''Zusammenfassend''' liefert die 2D-Simulation eine erste quantitative Beschreibung der Strömungsverhältnisse bei einer hochgradigen ACI-Stenose. Für allgemeine Aussagen über die Abhängigkeit vom Stenosegrad und den Beginn einer Strömungsablösung sind zusätzliche Vergleichsrechnungen erforderlich. = Grenzen des Modells = * Die untersuchte Gefäßgeometrie ist eine idealisierte Darstellung der Karotisaufzweigung. Individuelle anatomische Unterschiede werden nicht berücksichtigt. * Darüber hinaus werden die Gefäßwände als starr angenommen und Blut wird durch ein inkompressibles Newtonsches Fluid mit konstanter Viskosität beschrieben. * Die Strömung wird stationär berechnet. Die natürliche Pulsation des Blutflusses und zeitabhängige Effekte bleiben damit unberücksichtigt. * Insbesondere bei hochgradigen Stenosen können zeitabhängige Strömungsablösungen auftreten, die durch eine stationäre Modellierung nicht vollständig beschrieben werden. * Das Graphenmodell kann lokale Strömungsphänomene nicht detailliert erfassen. Das ebene Flächenmodell vereinfacht die räumliche Gefäßgeometrie. Auch das dreidimensionale Modell bleibt aufgrund der idealisierten Geometrie und der vereinfachten Materialannahmen eine Annäherung an die reale Blutströmung. * Die Ergebnisse sind daher als strömungsmechanische Untersuchung eines idealisierten Modells zu interpretieren und nicht als patientenspezifische medizinische Vorhersage. = Literaturverzeichnis = Alle Quellen sind an den Stellen im Text angegeben, an denen die zugehörigen Werte oder Aussagen verwendet werden. Die Liste wird aus diesen Angaben automatisch erzeugt. <references /> er7wg8lvwrs3ymwjwjogbmm0cbb66ex 1119030 1119000 2026-11-07T11:34:08Z Nicole.pander 39567 /* Resistenzrandbedingung am Auslass (2D-Modell) */ 1119030 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Joey Becker * Marie-Thérèse Heitele * Nicole Pander = Thema und Fragestellung = Gegenstand dieses Projekts ist die numerische Simulation der Blutströmung in einer verzweigten Halsschlagader ('''Carotis-Bifurkation''') unter dem Einfluss einer lokalen Gefäßverengung ('''Stenose'''). Im Vergleich zu einfachen Rohrströmungen wird hier die realitätsnahe Gefäßanatomie betrachtet: Die '''Arteria carotis communis (ACC)''' teilt sich in die '''Arteria carotis externa (ACE)''' und die '''Arteria carotis interna (ACI)''' auf. Während die '''ACE''' als gesunder, stenosefreier Ast dient, wird in der '''ACI''' eine geglättete, kosinusförmige Gefäßverengung modelliert. Um scharfe Kanten und unphysiologische Druckspitzen zu vermeiden, werden alle Wandübergänge und die Gabelungsspitze (Apex) anatomisch verrundet. Als Referenz dient ein gesundes, unverengtes Gefäß, in dem sich die Poiseuille-Strömung mit ihrem charakteristischen parabolischen Geschwindigkeitsprofil ausbildet. Diese Strömung ist aus zwei Gründen der natürliche Ausgangspunkt. Sie beschreibt den physiologischen Normalfall, mit dem jeder Stenosegrad verglichen wird, und sie ist exakt lösbar, sodass sich an ihr jede numerische Rechnung prüfen lässt, bevor die Verengung hinzukommt. == Fragestellung == Die Hauptfragestellung dieses Projektes lautet: Wie verändert eine symmetrische bzw. rotationssymmetrische Stenose in der '''Arteria carotis interna (ACI)''' die stationäre Strömung eines inkompressiblen Newton’schen Fluids in einer 2D-Carotis-Bifurkation hinsichtlich Geschwindigkeitsverteilung, Druckabfall, Wandschubspannung und Wirbelbildung im Vergleich zu den gesunden Gefäßabschnitten? Aus dieser Fragestellung ergeben sich drei Teilfragen, an denen sich der Aufbau der Seite orientiert: # Welche Strömungsgrößen reagieren empfindlich auf den Stenosegrad und welche nur träge? # Ab welchem Stenosegrad ändert sich das Strömungsmuster qualitativ, das heißt, ab wann löst die Strömung hinter der Engstelle von der Wand ab und bildet ein Rückströmgebiet? # Wie weit tragen die vereinfachenden Modellannahmen, insbesondere die Annahme einer stationären und laminaren Strömung, über den untersuchten Bereich der Stenosegrade? == Modellannahmen == Im Hinblick darauf werden für dieses Projekt einige Annahmen getroffen, um das Projekt möglichst isoliert zu untersuchen und zu simplifizieren: * '''Idealisierte Gefäßgeometrie''': Betrachtet wird ein Teilabbschnitt der ''Arteria carotis communis'', die sog. ''ACI''. Zudem werden Gefäßverkrümmungen, weitere Verzweigungen und patientenspezifische Strukturen nicht berücksichtigt. * '''Starre Gefäßwand''': Die Gefäßwand wird als unbeweglich und nicht verformbar angenommen. Eine Wechselwirkung zwischen elastischer Gefäßwand und Blutströmung wird nicht modelliert. * '''Stationäre Strömung''': Die Strömungsgrößen werden als zeitlich konstant angenommen. Die im realen Blutkreislauf vorhandene Pulsation durch den Herzschlag wird daher vernachlässigt: <math>\frac{\partial u}{\partial t}=0</math>. * '''Inkompressibles Fluid''': Die Dichte des Fluids wird als konstant angenommen. Damit gilt für die Geschwindigkeit <math>\nabla \cdot u=0</math>. Dies entspricht der in der Vorlesung behandelten Massenerhaltung für inkompressible Fluide: Was in das Gefäß einströmt, muss auch wieder ausströmen. * '''Newton'sche Näherung für Blut''': Reales Blut beseitzt ein nicht newton'sches Fließverhalten. Hier wird Blut als Newton'sches Fluid behandelt. * '''Konstante Stoffeigenschaften''': Dichte <math>\rho</math> und dynamische Viskosität μ werden als räumlich und zeitlich konstant angenommen. Temperaturabhängigkeiten werden nicht berücksichtigt. * '''Laminare Strömung''': Die Strömung wird mit dem COMSOL-Modul ''Laminar Flow'' beschrieben. Ein zusätzliches Turbulenzmodell wird nicht verwendet. * '''No-Slip-Bedingung an Gefäßwand''': Aufgrund der Viskosität wird angenommen, dass das Fluid direkt an der Gefäßwand haftet. Somit gilt <math>u=0</math>. * '''Vernachlässigung der Gravitation''': Gravitation wird nicht berücksichtigt. Die Strömung wird ausschließlich durch die gewählten Ein- und Auslassbedingungen bestimmt. = Relevanz = Die Untersuchung von Gefäßverengungen besitzt sowohl eine medizinische als auch eine methodische Bedeutung. Aus medizinischer Sicht sind arterielle Stenosen – etwa in der Halsschlagader, lat. ''arteria carotis communis'', – kritisch, da sie die Durchblutung beeinträchtigen und durch veränderte Wandschubspannungen sowie die Bildung von Wirbeln weitere Gefäßablagerungen begünstigen. Stenosen im Bereich der Karotisgabelung sind klinisch hochrelevant, da sie das Gehirn direkt versorgen und das Risiko für embolische Schlaganfälle erhöhen. Fachlich überträgt das Projekt damit die Prinzipien der Strömungsmechanik direkt auf eine biomedizinische Anwendung. Das Projekt verknüpft somit theoretische Grundlagen der Strömungsmechanik (Hagen-Poiseuille-Gleichung, Navier-Stokes-Gleichungen) mit der numerischen Simulation in COMSOL Multiphysics. Durch den Vergleich der '''gesunden Externa (ACE)''' mit der '''stenoisierten Interna (ACI)''' innerhalb desselben Rechengebiets wird die isolierte Wirkung der Stenose unter identischen Randbedingungen direkt sichtbar gemacht. == Medizinische Relevanz == Arterielle Stenosen entstehen überwiegend durch Atherosklerose, also durch Ablagerungen aus Lipiden, Bindegewebe und Kalk in der Gefäßwand. In der Halsschlagader sind sie klinisch besonders bedeutsam, weil sie die Durchblutung des Gehirns beeinträchtigen und weil sich an ihnen Thromben bilden können, die als Embolie einen Schlaganfall auslösen. Dass die operative Entfernung einer hochgradigen Karotisstenose das Schlaganfallrisiko symptomatischer Patienten deutlich senkt, hat die NASCET-Studie gezeigt, deren Einteilung der Stenosegrade dieses Projekt übernimmt.<ref name="nascet">North American Symptomatic Carotid Endarterectomy Trial Collaborators: ''Beneficial effect of carotid endarterectomy in symptomatic patients with high-grade carotid stenosis.'' New England Journal of Medicine 325 (1991), Nr. 7, S. 445-453.</ref> Strömungsmechanisch ist an einer Stenose vor allem die Wandschubspannung von Interesse, also die tangentiale Kraft je Fläche, die das strömende Blut auf die innerste Zellschicht der Gefäßwand ausübt. Gesunde Halsschlagadern weisen zeitlich gemittelte Werte von etwa 1,1 bis 1,5 Pa auf.<ref name="samijo">Samijo, S. K.; Willigers, J. M.; Barkhuysen, R.; Kitslaar, P. J. E. H. M.; Reneman, R. S.; Brands, P. J.; Hoeks, A. P. G.: ''Wall shear stress in the human common carotid artery as function of age and gender.'' Cardiovascular Research 39 (1998), Nr. 2, S. 515-522.</ref> In einer Engstelle steigt sie stark an, unmittelbar dahinter fällt sie im Ablösegebiet auf nahezu null und wechselt dort sogar das Vorzeichen. Niedrige und im Vorzeichen wechselnde Wandschubspannungen gelten als Bedingungen, unter denen sich weitere Ablagerungen bevorzugt bilden. Eine bestehende Stenose schafft also stromabwärts die Voraussetzungen für ihr eigenes Wachstum. Genau diese Verteilung lässt sich im Körper nur schwer messen, in einer Simulation dagegen unmittelbar auswerten. == Methodische Relevanz == Fachlich überträgt das Projekt die Prinzipien der Strömungsmechanik aus der Vorlesung auf eine biomedizinische Anwendung.<ref name="hundertmark">Hundertmark, A.: ''Fluiddynamik.'' Vorlesungsunterlagen zum Modul Räumliche Modellbildung, RPTU Kaiserslautern-Landau, Sommersemester 2026.</ref> Der methodische Mehrwert liegt in der Verknüpfung mehrerer Zugänge, die sich gegenseitig kontrollieren. Die analytische Poiseuille-Lösung liefert exakte Sollwerte für das gesunde Gefäß. Ein reduziertes Graphenmodell liefert für jeden Stenosegrad eine schnelle Abschätzung, die analytisch nachrechenbar ist. Die Simulationen in COMSOL Multiphysics lösen schließlich die vollständigen Navier-Stokes-Gleichungen in zwei und drei Raumdimensionen. Weil jede Stufe die Sollwerte der nächsten liefert, zeigt das Projekt nicht nur Ergebnisse, sondern auch, wie numerische Modelle aufgebaut, verifiziert und an ihren Grenzen bewertet werden. == Auswahl der Stenosegrade == Um die untersuchten Gefäßverengungen nicht willkürlich festzulegen, orientiert sich die Auswahl der Stenosegrade an der klinisch gebräuchlichen NASCET-Klassifikation von Karotisstenosen.<ref name="nascet" /> Zur klinischen Einordnung werden Karotisstenosen anhand der nach NASCET bestimmten Durchmesserreduktion in leichtgradige, mittelgradige und hochgradige Stenosen eingeteilt. Die angegebenen Prozentgrenzen dienen in diesem Projekt als Orientierung für die Auswahl der untersuchten Stenosegrade. Ein vollständiger Gefäßverschluss wird als Okklusion bezeichnet. {| class="wikitable" |+ Klinische Einteilung nach NASCET-gemessener Durchmesserreduktion und untersuchte Stenosegrade ! Schweregrad !! Durchmesserreduktion !! im Projekt gerechnete Stenosegrade !! hervorgehobener Vertreter |- | gesundes Gefäß || 0 % || 0 || 0 |- | leichtgradige Stenose || unter 50 % || 0,1 bis 0,4 || 0,3 |- | mittelgradige Stenose || 50 bis 69 % || 0,5 und 0,6 || 0,6 |- | hochgradige Stenose || 70 bis 99 % || 0,7 und 0,8 || 0,8 |- | Okklusion || 100 % || nicht gerechnet || entfällt |} '''Anmerkung''': Die Klassengrenzen dienen der Einordnung der Modellvarianten. Die in der Tabelle genannten Stenosegrade sind dimensionslose Werte, beispielsweise entspricht '''<math>s=0{,}6</math>''' einer Durchmesserreduktion von '''60 %'''. Für die numerische Untersuchung wird aus jeder Kategorie ein repräsentativer Stenosegrad hervorgehoben. Neben dem gesunden Gefäß mit '''0 %''' Stenose sind das eine '''30 %''' Stenose als Beispiel für eine leichtgradige, eine '''60 %''' Stenose als Beispiel für eine mittelgradige und eine '''80 %''' Stenose als Beispiel für eine hochgradige Verengung. Zusätzlich werden für das Graphenmodell und das achsensymmetrische Flächenmodell Stenosegrade von 0 bis 80 % in Schritten von zehn Prozentpunkten vorgesehen. Dadurch kann die Abhängigkeit der Strömungsgrößen vom Stenosegrad systematisch untersucht und grafisch dargestellt werden. Ob alle Modellvarianten tatsächlich berechnet wurden und wie hoch der Rechenaufwand war, wird anhand der durchgeführten Simulationen dokumentiert. Ein vollständiger Gefäßverschluss wird nicht simuliert, da in diesem Fall keine durchgängige Strömung mehr vorliegt. Der Stenosegrad wird in diesem Projekt wie bei NASCET über die Verringerung des Gefäßdurchmessers beschrieben, <math>s = 1 - \frac{d_{\min}}{d_{\mathrm{ref}}},</math> wobei <math>d_{\min}</math> der kleinste Durchmesser in der Engstelle und <math>d_{\mathrm{ref}}</math> ein Referenzdurchmesser ist. NASCET verwendet als Referenz den Durchmesser des gesunden Gefäßes stromabwärts der Stenose. Für das idealisierte gerade Gefäßmodell wird ein konstanter Referenzdurchmesser von <math>D_0=6\,\mathrm{mm}</math> angenommen. Da das Gefäß außerhalb der Stenose denselben Durchmesser besitzt, gilt in diesem Modell<math>d_{\mathrm{ref}}=D_0</math>. Bei der zusätzlich betrachteten Gefäßaufzweigung muss der Referenzdurchmesser dagegen gesondert festgelegt werden, da die Gefäßäste unterschiedliche Durchmesser besitzen. Wichtig für das Verständnis aller weiteren Ergebnisse ist der Unterschied zwischen Durchmesser- und Flächenreduktion. Da die Querschnittsfläche quadratisch vom Durchmesser abhängt, gilt für die Flächenreduktion <math>1-(1-s)^2</math>. Eine im klinischen Sinn nur mittelgradige Stenose von 60 % verschließt damit bereits 84 % der Querschnittsfläche. {| class="wikitable" |+ Durchmesser- und Flächenreduktion der gerechneten Stenosegrade ! Stenosegrad s !! 0 !! 0,1 !! 0,2 !! 0,3 !! 0,4 !! 0,5 !! 0,6 !! 0,7 !! 0,8 |- | engster Durchmesser in mm || 6,0 || 5,4 || 4,8 || 4,2 || 3,6 || 3,0 || 2,4 || 1,8 || 1,2 |- | Flächenreduktion || 0 % || 19 % || 36 % || 51 % || 64 % || 75 % || 84 % || 91 % || 96 % |} Eine Einschränkungen gehört zur ehrlichen Einordnung: # Mit zunehmendem Stenosegrad, insbesondere bei ausgeprägten Verengungen, können lokale Beschleunigungen, Strömungsablösungen und zeitabhängige Strömungsstrukturen auftreten. Daher muss bei den hochgradigen Stenosen geprüft werden, inwieweit die Annahme einer stationären, laminaren Strömung geeignet ist. Eine feste Grenze bei <math>s=0{,}6</math> lässt sich ohne entsprechende Simulationsergebnisse oder Literaturbelege nicht allgemein festlegen. Die hochgradigen Fälle werden deshalb unter besonderer Berücksichtigung der Modellannahmen diskutiert. Unter Modellierung wird in diesem Projekt die Übertragung der Blutströmung in einer verengten Arterie auf ein mathematisches und numerisch lösbares Strömungsproblem verstanden. Dazu werden die Gefäßgeometrie, die zugrunde liegenden Gleichungen, die physikalischen Materialparameter sowie die Anfangs- und Randbedingungen festgelegt. Jeder dieser Bestandteile beruht auf vereinfachenden Annahmen, die begründet und bei der Interpretation der Ergebnisse berücksichtigt werden müssen. Ziel ist es, den Einfluss unterschiedlicher Stenosegrade auf die Strömungsgeschwindigkeit, den Druckverlust und gegebenenfalls die Wandschubspannung systematisch zu untersuchen. Die Modellierung erfolgt anhand mehrerer Modellvarianten mit unterschiedlicher räumlicher Auflösung. Dadurch können zunächst grundlegende Zusammenhänge analytisch abgeschätzt und anschließend mit numerischen Strömungsberechnungen verglichen werden. Die verwendeten Parameter orientieren sich an den bereitgestellten Referenzdaten und werden in den folgenden Abschnitten erläutert. == Modellierung == Ziel der Modellierung ist es, die Blutströmung innerhalb einer Y-förmigen Aufzweigung der Halsschlagader mathematisch und numerisch zu untersuchen. Im Mittelpunkt steht eine Gefäßverengung (Stenose) in der Arteria carotis interna. Das betrachtete Gefäßmodell besteht aus der Arteria carotis communis, die sich in die Arteria carotis interna und die Arteria carotis externa aufteilt. Die Stenose befindet sich ausschließlich in der Arteria carotis interna. Durch die Verengung verändert sich der verfügbare Strömungsquerschnitt. Dies kann zu einer Erhöhung der lokalen Strömungsgeschwindigkeit, zu zusätzlichen Druckverlusten und zu einer Veränderung der Strömungsverteilung zwischen den beiden Gefäßästen führen. Ziel ist es, den Einfluss unterschiedlicher Stenosegrade auf die Strömungsgeschwindigkeit, die Druckverteilung und die Wandschubspannung zu untersuchen. Zusätzlich soll betrachtet werden, wie sich die Strömung innerhalb der Y-förmigen Gefäßaufzweigung verhält. Die numerische Modellierung erfolgt mit COMSOL Multiphysics. Dazu werden die Gefäßgeometrie, die Materialeigenschaften des Blutes, die Strömungsgleichungen und die Randbedingungen festgelegt. Zur Vereinfachung wird Blut zunächst als inkompressibles, Newtonsches Fluid betrachtet. Die Gefäßwände werden als starr angenommen. Diese Annahmen ermöglichen eine systematische Untersuchung der Stenose, schränken jedoch die Übertragbarkeit auf reale physiologische Bedingungen ein. === Modellhierarchie === Für die Untersuchung der Blutströmung innerhalb der Y-förmigen Karotisaufzweigung werden drei Modellvarianten betrachtet. Diese unterscheiden sich hinsichtlich ihrer räumlichen Dimension, ihrer mathematischen Beschreibung und der Genauigkeit, mit der die Strömungsverhältnisse dargestellt werden können. Das untersuchte Gefäß besteht aus der Arteria carotis communis, die sich in die Arteria carotis interna und die Arteria carotis externa aufteilt. Die Stenose befindet sich ausschließlich in der Arteria carotis interna. Alle drei Modellvarianten werden mit COMSOL Multiphysics umgesetzt. {| class="wikitable" style="width:100%;" |+ '''Die drei Modellvarianten des Projekts''' |- ! Modell ! Raumdimension ! Mathematische Grundlage ! Zweck ! Werkzeug |- | '''Graphenmodell''' | 1D, Gefäßnetzwerk mit einer Verzweigung | Massenerhaltung an der Verzweigung und vereinfachte Beschreibung der Strömungswiderstände | Abschätzung der Volumenstromverteilung und der Druckverluste in den Gefäßästen | COMSOL Multiphysics |- | '''Ebenes Flächenmodell''' | 2D, Y-förmige Gefäßgeometrie in kartesischen Koordinaten | Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen | Untersuchung der Geschwindigkeits- und Druckverteilung sowie der Auswirkungen der Stenose in der Arteria carotis interna | COMSOL Multiphysics, Laminare Strömung |- | '''Volumenmodell''' | 3D, räumliche Y-förmige Gefäßgeometrie | Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen | Räumliche Untersuchung des Geschwindigkeitsfeldes, des Druckverlustes und der Wandschubspannung | COMSOL Multiphysics, Laminare Strömung |} ==== Vergleich und Überprüfung der Modellvarianten ==== Die drei Modellvarianten bauen hinsichtlich ihrer räumlichen Beschreibung aufeinander auf. Das Graphenmodell ermöglicht zunächst eine vereinfachte Betrachtung der Volumenströme und Druckverluste. Die zwei- und dreidimensionalen Modelle erlauben anschließend eine detailliertere Untersuchung der Strömung innerhalb der Gefäßaufzweigung. Das '''Graphenmodell''' beschreibt die Arteria carotis communis sowie die beiden abzweigenden Gefäße als miteinander verbundenes Netzwerk. Dabei wird die Massenerhaltung an der Verzweigung berücksichtigt: :<math>Q_{\mathrm{CCA}}=Q_{\mathrm{ICA}}+Q_{\mathrm{ECA}}</math> Das Modell liefert vereinfachte Abschätzungen der Volumenstromverteilung. Lokale Strömungsablösungen und räumliche Geschwindigkeitsverteilungen können damit nicht detailliert dargestellt werden. Das '''ebene Flächenmodell''' bildet die Y-förmige Gefäßaufzweigung in zwei Raumdimensionen ab. Die Stenose wird innerhalb der Arteria carotis interna berücksichtigt. Dadurch können die Geschwindigkeits- und Druckverteilung sowie mögliche Rückströmungsbereiche untersucht werden. Das '''Volumenmodell''' erweitert die Untersuchung auf drei Raumdimensionen. Es ermöglicht eine räumliche Darstellung der Strömung und eine detailliertere Berechnung der Wandschubspannung. Die Ergebnisse des ebenen Flächenmodells und des Volumenmodells werden miteinander verglichen. Da das ebene Modell die räumliche Querschnittsgeometrie nur vereinfacht darstellt, müssen Unterschiede zwischen den beiden Modellen bei der Interpretation berücksichtigt werden. Ziel der Modellhierarchie ist es, die Aussagekraft der einzelnen Modellvarianten zu bewerten und den Einfluss des Stenosegrades auf die Strömung innerhalb der Y-förmigen Karotisaufzweigung zu untersuchen. === Simulationsgebiet und Geometrie === Das Simulationsgebiet besteht aus einer idealisierten Y-förmigen Aufzweigung der Arteria carotis. Die Arteria carotis communis teilt sich in die Arteria carotis interna und die Arteria carotis externa. Die Stenose befindet sich in der Arteria carotis interna. Die Arteria carotis externa wird ohne zusätzliche Verengung modelliert. Die Geometrie orientiert sich an den bereitgestellten Referenzdaten. Die Gefäßdurchmesser werden innerhalb der jeweiligen unverengten Abschnitte als konstant angenommen. {| class="wikitable" style="width:100%;" |+ '''Geometrische Referenzparameter der Y-förmigen Gefäßaufzweigung''' |- ! Gefäßabschnitt ! Durchmesser ! Länge |- | Arteria carotis communis | 6 mm | 60 mm |- | Arteria carotis interna | 5 mm | 60 mm |- | Arteria carotis externa | 4 mm | 60 mm |- | Stenose in der Arteria carotis interna | Abhängig vom Stenosegrad | 10 bzw. 20 mm |} Die Verengung wird über den Stenosegrad <math>s</math> beschrieben. Dieser gibt die relative Verringerung des Gefäßdurchmessers an: :<math>s=1-\frac{d_{\min}}{D_{\mathrm{ICA}}}</math> Dabei bezeichnet <math>d_{\min}</math> den minimalen Durchmesser innerhalb der Stenose und <math>D_{\mathrm{ICA}}</math> den unverengten Referenzdurchmesser der Arteria carotis interna. Für das Modell gilt: :<math>D_{\mathrm{ICA}}=5\,\mathrm{mm}</math> Der minimale Durchmesser ergibt sich damit zu: :<math>d_{\min}=D_{\mathrm{ICA}}(1-s)</math> {| class="wikitable" |+ '''Minimaler Durchmesser der Stenose in der Arteria carotis interna''' |- ! Stenosegrad ! Minimaler Durchmesser |- | 0 % | 5,0 mm |- | 10 % | 4,5 mm |- | 20 % | 4,0 mm |- | 30 % | 3,5 mm |- | 40 % | 3,0 mm |- | 50 % | 2,5 mm |- | 60 % | 2,0 mm |- | 70 % | 1,5 mm |- | 80 % | 1,0 mm |} Die angegebenen Stenosegrade beziehen sich ausschließlich auf den Durchmesser der Arteria carotis interna. Der Durchmesser der Arteria carotis communis wird nicht zur Berechnung des Stenosegrades verwendet. Die Y-förmige Geometrie ermöglicht es, die Auswirkungen der Verengung sowohl auf die lokale Strömung in der Arteria carotis interna als auch auf die Strömungsverteilung innerhalb der gesamten Gefäßaufzweigung zu untersuchen. Die genaue Form der Stenose, der Verzweigungswinkel und die Übergänge zwischen den Gefäßabschnitten müssen entsprechend der tatsächlich in COMSOL verwendeten Geometrie dokumentiert werden. == Stoff- und Strömungsparameter == Die Stoffwerte des Blutes und der Volumenstrom sind die einzigen Eingangsgrößen, die nicht aus der Geometrie folgen. Aus ihnen werden alle weiteren Strömungskennwerte berechnet. Die folgenden Schritte zeigen jede Rechnung einzeln, damit sich jeder Wert nachprüfen lässt. # Die '''Dichte''' wird mit <math>\rho = 1060\ \mathrm{kg/m^3}</math> angesetzt. Der Wert lässt sich als Mischungsregel plausibel machen. Plasma hat eine Dichte von etwa 1025 kg/m³, rote Blutkörperchen von etwa 1100 kg/m³. Bei einem Zellanteil von 45 % ergibt sich <math>0{,}55 \cdot 1025 + 0{,}45 \cdot 1100 \approx 1059\ \mathrm{kg/m^3}</math>. Die Dichte geht nur über die Reynoldszahl in die Rechnung ein, eine Abweichung von einem Prozent ändert die Ergebnisse daher kaum. <!-- FIXME Lehrbuchquelle fuer Plasma- und Erythrozytendichte ergaenzen --> # Die '''dynamische Viskosität''' wird mit <math>\mu = 3{,}5\ \mathrm{mPa\,s}</math> angesetzt. Das ist der Grenzwert der Blutviskosität bei hohen Scherraten, also genau der Wert, der zur Newtonschen Näherung gehört. Derselbe Wert von 0,035 Poise wird auch im Standardwerk zur Modellierung des Herz-Kreislauf-Systems verwendet.<ref name="quarteroni">Quarteroni, A.; Formaggia, L.: ''Mathematical Modelling and Numerical Simulation of the Cardiovascular System.'' In: Ayache, N. (Hrsg.): ''Computational Models for the Human Body.'' Handbook of Numerical Analysis, Bd. XII, Elsevier, Amsterdam 2004, S. 3-127. DOI 10.1016/S1570-8659(03)12001-7. Zur Newtonschen Näherung in großen Gefäßen siehe S. 30, zur Viskosität von 0,035 Poise die Parametertabelle auf S. 116.</ref> # Der '''mittlere Volumenstrom''' wird mit <math>Q_0 = 6\ \mathrm{ml/s}</math> angesetzt. Das ist der zeitlich gemittelte Volumenstrom, der in der gemeinsamen Halsschlagader gesunder Probanden gemessen wurde. # Die '''mittlere Geschwindigkeit''' folgt aus Volumenstrom und Querschnittsfläche, <math>U_0 = \frac{Q_0}{\pi R_0^2} = \frac{6 \cdot 10^{-6}\ \mathrm{m^3/s}}{\pi \cdot (0{,}003\ \mathrm{m})^2} = 0{,}2122\ \mathrm{m/s}</math>. # Die '''Reynoldszahl''' des gesunden Gefäßes ist <math>Re_0 = \frac{\rho\, U_0\, D_0}{\mu} = \frac{1060 \cdot 0{,}2122 \cdot 0{,}006}{0{,}0035} = 385{,}6</math>. Sie wird im Folgenden auf 386 gerundet. # Die '''Einlauflänge''', die eine anfangs gleichförmige Strömung bis zum voll entwickelten Parabelprofil bräuchte, beträgt nach der gebräuchlichen Abschätzung für laminare Rohrströmungen <math>L_e \approx 0{,}06\, Re_0\, D_0 \approx 0{,}06 \cdot 386 \cdot 6\ \mathrm{mm} \approx 139\ \mathrm{mm}</math>.<ref name="durst">Durst, F.; Ray, S.; Ünsal, B.; Bayoumi, O. A.: ''The development lengths of laminar pipe and channel flows.'' Journal of Fluids Engineering 127 (2005), Nr. 6, S. 1154-1160. Für große Reynoldszahlen nähert sich die dort angegebene Korrelation dem Wert 0,057·Re·D.</ref> Das ist fast die gesamte Länge des Rechengebiets. Ein konstantes Einlassprofil würde die Strömung an der Stenose also verfälschen, weshalb am Einlass das voll entwickelte Profil vorgegeben wird. Damit liegen alle globalen Parameter fest. Die folgende Tabelle enthält sie mit genau den Namen, unter denen sie in COMSOL und in den Octave-Skripten verwendet werden. {| class="wikitable" |+ Globale Parameter des Modells ! Name !! Ausdruck in COMSOL !! Wert !! Bedeutung !! Herkunft |- | R0 || 3[mm] || 3 mm || Gefäßradius || Messwerte nach Krejza u. a. 2006, gerundet |- | D0 || 2*R0 || 6 mm || Gefäßdurchmesser || abgeleitet |- | Ls || 2*D0 || 12 mm || Länge der Störstelle || Standardgeometrie nach Varghese u. a. 2007 |- | Lu || 5*D0 || 30 mm || Vorlaufstrecke vor der Stenosemitte || Abstand der Einlassbedingung von der Stenose |- | Ld || 20*D0 || 120 mm || Nachlaufstrecke hinter der Stenosemitte || Platz für das Rückströmgebiet |- | Lf || Ls/2+10*D0 || 66 mm || Ende des fein vernetzten Nachlaufs || erwartete Länge des Rückströmgebiets |- | s || 0 bis 0.8 || 0 bis 0,8 || Stenosegrad bezogen auf den Durchmesser || NASCET-Einteilung |- | rho_b || 1060[kg/m^3] || 1060 kg/m³ || Dichte des Blutes || Mischungsregel, Literaturwert |- | mu_b || 3.5[mPa*s] || 3,5 mPa·s || dynamische Viskosität des Blutes || Hochscherwert, Quarteroni und Formaggia 2004 |- | Q0 || 6[ml/s] || 6 ml/s || mittlerer Volumenstrom || Messwerte nach Holdsworth u. a. 1999 |- | U0 || Q0/(pi*R0^2) || 0,2122 m/s || mittlere Einströmgeschwindigkeit || abgeleitet |- | Re0 || rho_b*U0*D0/mu_b || 385,6 || Reynoldszahl des gesunden Gefäßes || abgeleitet |- | dp_ref || 8*mu_b*U0*(Lu+Ld)/R0^2 || 99,03 Pa || Poiseuille-Druckabfall des gesunden Gefäßes || abgeleitet, Hagen-Poiseuille |} = Implementierung des 2D-Modells in COMSOL Multiphysics = == Zielsetzung des zweidimensionalen Modells == Im Rahmen des Projekts wurde mit COMSOL Multiphysics ein zweidimensionales Modell der menschlichen Halsschlagader erstellt. Ziel ist es, die Blutströmung innerhalb einer Gefäßverzweigung zu untersuchen und insbesondere die Auswirkungen einer lokalen Gefäßverengung (Stenose) auf das Strömungsverhalten zu analysieren. Das Modell bildet die Aufzweigung der Arteria carotis communis (ACC) in die Arteria carotis interna (ACI) und die Arteria carotis externa (ACE) ab. Während die ACE als gesunder Gefäßabschnitt betrachtet wird, befindet sich in der ACI eine lokale Verengung. Dadurch können die Strömungsverhältnisse in beiden Ästen miteinander verglichen werden. Die zweidimensionale Modellierung dient dazu, die Geschwindigkeitsverteilung, den Druckabfall und die Wandschubspannung zu untersuchen. Zusätzlich soll festgestellt werden, ob sich hinter der Stenose Bereiche mit Strömungsablösungen oder Rückströmungen ausbilden. ==Vorgehen== Für die numerische Untersuchung in COMSOL Multiphysics 6.2 zunächst ein zweidimensionales Modell mit der Physik ''Laminare Strömung'' und einer ''stationären Studie'' angelegt. Die Gefäßgeometrie wurde vollständig parametrisiert, damit Durchmesser, Gefäßlängen, Verzweigungswinkel, Stenosegrad sowie die Stenoselänge veränderbar sind, ohne das Modell jeweils neu zu zeichnen. Das gemeinsame Zuflussgefäß stellt die Arteria carotis communis mit einem Durchmesser von <math>6\,\mathrm{mm}</math> dar. Nach einem geraden Einlaufabschnitt von <math>60\,\mathrm{mm}</math> teilt es sich V-förmig in die beiden Tochtergefäße auf. Die Arteria carotis interna wird mit einem Durchmesser von <math>5\,\mathrm{mm}</math>, die Arteria carotis externa mit <math>4\,\mathrm{mm}</math> modelliert. Beide Tochtergefäße sind jeweils <math>60\,\mathrm{mm}</math> lang. Die Grundgeometrie wurde als zusammenhängender zweidimensionaler Volumenkörper aufgebaut. Die beiden Tochtergefäße verlaufen nach der Bifurkation unter einem Winkel auseinander, sodass eine idealisierte Y-förmige Karotisgabel entsteht. Die Übergänge zwischen dem gemeinsamen Gefäß und den beiden Ästen wurden bewusst vereinfacht, aber ohne abrupte Querschnittssprünge gestaltet. Auf diese Weise bleibt die Geometrie ausreichend einfach für einen systematischen Vergleich verschiedener Modellvarianten, bildet die typische Aufzweigung einer Karotis. Die Stenose befindet sich ausschließlich in der Arteria carotis interna. Um die Verengung nicht durch gerade Polygonsegmente mit scharfen Knicken darzustellen, wurde ihre Kontur mithilfe von zwei parametrischen Kosinuskurven erzeugt. Zur Beschreibung der Stenose wird eine parametrische Kurve mit dem Hilfsparameter <math>t</math> verwendet. Dieser nimmt Werte zwischen <math>-1</math> und <math>1</math> an. Über die Beziehung <math>x(t)=x_\mathrm{st}+\frac{L_\mathrm{st}}{2}t</math> wird der Parameter auf die räumliche Position entlang des Gefäßes übertragen. Für <math>t=-1</math> liegt der Beginn der Stenose bei <math>x_\mathrm{st}-L_\mathrm{st}/2</math>, für <math>t=0</math> befindet sich die Kurve in der Stenosenmitte und für <math>t=1</math> am Ende bei <math>x_\mathrm{st}+L_\mathrm{st}/2</math>. Dadurch kann die Länge der Stenose über den Parameter <math>L_\mathrm{st}</math> verändert werden, ohne ihre Mittelpunktposition <math>x_\mathrm{st}</math> zu verschieben. Die Einengung wächst vom Beginn der Stenose kontinuierlich bis zur Engstelle an und nimmt danach ebenso kontinuierlich wieder ab. Dadurch entstehen glatte Wandübergänge. Die Stärke der Einengung wird über den dimensionslosen Stenosegrad <math>s</math> gesteuert. Für einen unverengten Durchmesser der Arteria carotis interna von <math>D_\mathrm{ACI}=5\,\mathrm{mm}</math> ergibt sich bei einem Stenosegrad von <math>s=0{,}3</math> eine minimale Gefäßweite von <math>3{,}5\,\mathrm{mm}</math>, bei <math>s=0{,}6</math> von <math>2{,}0\,\mathrm{mm}</math> und bei <math>s=0{,}8</math> von <math>1{,}0\,\mathrm{mm}</math>. Die minimale Gefäßweite ergibt sich allgemein aus <math>d_\mathrm{min}=D_\mathrm{ACI}(1-s)</math>. Die beiden parametrischen Kurven wurden mit Hilfslinien zu geschlossenen Flächen ergänzt und anschließend über „Umwandeln in Volumenkörper“ in Flächenobjekte überführt. Mithilfe einer Differenzoperation wurden diese Flächen aus dem Gefäßgebiet ausgeschnitten. Auf diese Weise bleibt die Grundgeometrie des Gefäßes unverändert, während Stenosegrad und Stenosenlänge allein über globale Parameter variiert werden können. Für die Strömung wurde Blut als inkompressibles Newtonsches Fluid mit konstanter Dichte und Viskosität angenähert. Verwendet werden eine Dichte von <math>\rho=1060\,\mathrm{kg/m^3}</math> und eine dynamische Viskosität von <math>\mu=3,5\,\mathrm{mPa s}</math>. Am Einlass wird ein voll entwickeltes Geschwindigkeitsprofil vorgegeben. Aus dem auf der Projektseite angesetzten mittleren Volumenstrom von <math>6\,\mathrm{ml/s}</math> ergibt sich für das <math>6\,\mathrm{mm}</math> breite Zuflussgefäß eine mittlere Geschwindigkeit von rund <math>0{,}21\,\mathrm{m/s}</math>. An beiden Auslässen wird derselbe Referenzdruck vorgegeben, während an sämtlichen Gefäßwänden die Haftbedingung (No Slip) gilt. Nach Fertigstellung der Geometrie wurde ein physikgesteuertes Finite-Elemente-Netz erzeugt und die stationäre Navier-Stokes-Strömung berechnet. Anschließend wurden insbesondere der Geschwindigkeitsbetrag, die Druckverteilung und die Stromlinien ausgewertet. Die Stromlinien dienen dabei nicht nur der Visualisierung der Aufteilung des Blutstroms an der Bifurkation, sondern auch zur Erkennung möglicher Ablöse- und Rückströmungsgebiete hinter der Stenose. Zusätzlich kann die Wandschubspannung entlang der Gefäßwand ausgewertet werden. Die verschiedenen Stenosegrade werden jeweils bei ansonsten identischen Randbedingungen miteinander und mit dem gesunden Referenzfall verglichen. == Ergebnisse der 2D-Strömungssimulation == Die zweidimensionale Strömungssimulation wurde mit COMSOL Multiphysics durchgeführt, um die Auswirkungen einer lokalen Gefäßverengung auf die Blutströmung innerhalb einer idealisierten Karotis-Bifurkation zu untersuchen. Im Mittelpunkt der Auswertung stehen die Geschwindigkeitsverteilung, die Druckverteilung sowie die Wandschubspannung. Ergänzend werden Stromlinien betrachtet, um mögliche Veränderungen des Strömungsverlaufs und das Auftreten von Rückströmungsgebieten hinter der Stenose zu untersuchen. Für die aktuell betrachtete Modellvariante beträgt der eingestellte Stenosegrad 80 %. Die Ergebnisse werden hinsichtlich ihrer strömungsmechanischen Bedeutung interpretiert und unter Berücksichtigung der vereinfachenden Modellannahmen bewertet. === Geschwindigkeitsverteilung und Stromlinien === Die Geschwindigkeitsverteilung der zweidimensionalen Karotis-Bifurkation wurde mithilfe des Geschwindigkeitsbetrags ''spf.U'' in COMSOL Multiphysics untersucht. Die berechneten Geschwindigkeiten liegen gemäß der dargestellten Farbskala zwischen nahezu 0 m/s an den Gefäßwänden und ungefähr 0,32 m/s im Strömungsgebiet. Im gemeinsamen Zuflussgefäß zeigt sich eine erhöhte Strömungsgeschwindigkeit im zentralen Bereich, während die Geschwindigkeit zu den Gefäßwänden hin abnimmt. An der Gefäßverzweigung teilt sich die Strömung auf die beiden Tochtergefäße auf. Im oberen Gefäßast führt die lokale Querschnittsverengung zu einer Veränderung der Geschwindigkeitsverteilung. Im Bereich der Engstelle sind erhöhte Geschwindigkeiten zu erkennen, während in wandnahen Bereichen geringere Geschwindigkeiten auftreten. Die zusätzlich dargestellten Stromlinien verdeutlichen den Verlauf der Strömung durch die Gefäßverzweigung. In der vorliegenden Darstellung sind keine eindeutig ausgeprägten geschlossenen Rückströmungsgebiete zu erkennen. '''Interpretation''': Die Ergebnisse zeigen, dass die Gefäßgeometrie die lokale Geschwindigkeitsverteilung beeinflusst. Insbesondere die Verengung verändert die Strömung im betroffenen Gefäßast. Aus der Geschwindigkeitsdarstellung allein lässt sich jedoch noch nicht beurteilen, ob hinter der Stenose eine Strömungsablösung auftritt. <div style="text-align:center;"> [[Datei:Geschwindigkeit spf.png|700px|zentriert|Geschwindigkeitsverteilung und Stromlinien der stationären 2D-Strömungssimulation einer idealisierten Karotis-Bifurkation mit lokaler Stenose im oberen Gefäßast. Die Farbskala zeigt den Geschwindigkeitsbetrag in m/s.]] <small>'''Abbildung 1:''' Geschwindigkeitsverteilung und Stromlinien der stationären 2D-Strömungssimulation einer idealisierten Karotis-Bifurkation mit lokaler Stenose im oberen Gefäßast. Die Farbskala zeigt den Geschwindigkeitsbetrag in m/s.</small> </div> ==== Auswertung ==== Die quantitative Auswertung des Geschwindigkeitsfeldes mittels der COMSOL-Funktion ''Oberflächenmaximum'' ergibt für das gesamte zweidimensionale Strömungsgebiet eine maximale Geschwindigkeit von '''0,31853 m/s'''. Dieser Wert bestätigt die aus der Farbskala abgelesene Größenordnung von etwa '''0,32 m/s'''. Die maximale Geschwindigkeit beschreibt den höchsten lokal auftretenden Geschwindigkeitsbetrag im untersuchten Modell mit einer ACI-Stenose von ''80 %''. Aus dem Maximalwert allein lässt sich jedoch noch nicht bestimmen, an welcher Position innerhalb des Gefäßes dieser auftritt. Auch eine mögliche Rückströmung kann damit nicht nachgewiesen werden. {| class="wikitable" style="text-align:center;" ! Stenosegrad ! <math>u_\mathrm{max}</math> [m/s] |- | 0 % | 0,284 |- | 30 % | 0,271 |- | 60 % | 0,349 |- | 80 % | 0,394 |} ===== Untersuchung möglicher Rückströmungsbereiche ===== Zur Untersuchung möglicher Rückströmungsbereiche wurde der stenotische Abschnitt der ACI vergrößert dargestellt. Zusätzlich zum Geschwindigkeitsfeld wurden Stromlinien mit erhöhter Startpunktanzahl visualisiert. Die Stromlinien zeigen eine Bündelung der Strömung im Bereich der Engstelle und eine anschließende Auffächerung im erweiterten Gefäßabschnitt. In der vergrößerten Darstellung treten entlang der oberen und unteren Gefäßwand hinter der Stenose, ungefähr zwischen x = 104 mm und x = 108 mm, schmale Bereiche mit negativer Geschwindigkeitskomponente auf. Die negative Geschwindigkeitskomponente wurde entlang einer um 15° geneigten Richtung bestimmt. Die dargestellten Werte liegen im Bereich weniger Millimeter pro Sekunde und sind damit deutlich kleiner als die maximale Strömungsgeschwindigkeit von 0,31853 m/s. Trotz der erhöhten Stromliniendichte ist kein eindeutig geschlossenes Rezirkulationsgebiet erkennbar. Die negativen Geschwindigkeitskomponenten liefern Hinweise auf lokale Veränderungen der Strömungsrichtung, stellen jedoch allein keinen sicheren Nachweis einer Strömungsablösung dar. <div style="text-align:center;"> [[Datei:Rückströmungsgebiete 2D.png|800px|zentriert|Vergrößerte Darstellung der Stromlinien und möglicher Rückströmungsbereiche hinter der 80-%-Stenose der ACI. Die Farbskala zeigt die negative Geschwindigkeitskomponente entlang einer um 15° geneigten Richtung. Schmale Bereiche mit negativen Werten sind an den Gefäßwänden erkennbar. Ein geschlossenes Rezirkulationsgebiet ist nicht eindeutig nachweisbar.]] <small>'''Abbildung 2:''' Vergrößerte Darstellung des ACI-Abschnitts hinter der Stenose. Die Farbskala zeigt die Geschwindigkeitskomponente in einer um 15° geneigten Richtung in m/s. Negative Werte weisen auf lokale Strömungsanteile entgegen dieser Richtung hin, belegen jedoch für sich genommen noch keine geschlossene Rezirkulationszone.</small> </div> === Druckverteilung und Druckabfall === Die Druckverteilung wurde anhand der berechneten Isobaren innerhalb der zweidimensionalen Karotis-Bifurkation untersucht. Dabei zeigt sich eine Abnahme des statischen Drucks vom gemeinsamen Zuflussgefäß in Richtung der beiden Gefäßausgänge. Der maximale berechnete Druck beträgt etwa '''74,2 Pa''', während der minimale Druck bei etwa '''−19,9 Pa''' liegt. Daraus ergibt sich eine globale Druckspanne von ungefähr '''94,1 Pa'''. Besonders auffällig ist die Druckverteilung im Bereich der Stenose der Arteria carotis interna (ACI). Dort liegen die Isobaren deutlich enger beieinander, was auf einen ausgeprägten lokalen Druckgradienten hinweist. Stromabwärts der Engstelle treten zudem Bereiche mit niedrigem statischem Druck auf. '''Interpretation''': Die Ergebnisse zeigen, dass die Stenose die lokale Druckverteilung im ACI-Ast deutlich beeinflusst. Die Beschleunigung der Strömung innerhalb der Verengung geht mit einer Abnahme des statischen Drucks einher. Die globale Druckspanne von 94,1 Pa darf jedoch nicht mit dem irreversiblen Druckverlust über der Stenose gleichgesetzt werden. Die globale Druckspanne von 94,1 Pa ist nicht mit dem Druckabfall über der Stenose gleichzusetzen. Zur genaueren Untersuchung wurden deshalb zwei Messquerschnitte vor und hinter der Engstelle ausgewertet. Zwischen diesen ergibt sich eine mittlere statische Druckdifferenz von 36,24 Pa. <div style="text-align:center;"> [[Datei:Druckverteilung_2D.png|800px|zentriert|Druckverteilung der stationären 2D-Strömungssimulation einer idealisierten Karotis-Bifurkation mit 80 % Stenose in der Arteria carotis interna (ACI). Die Isobaren zeigen den Druckverlauf innerhalb der Gefäßgeometrie. Besonders im Bereich der Stenose ist ein ausgeprägter lokaler Druckgradient erkennbar. Der berechnete Druck liegt zwischen −19,9 Pa und 74,2 Pa.]] <small>'''Abbildung 3:''' Druckverteilung der stationären 2D-Strömungssimulation einer idealisierten Karotis-Bifurkation mit 80 % Stenose in der Arteria carotis interna (ACI). Die Isobaren zeigen den Druckverlauf innerhalb der Gefäßgeometrie. Besonders im Bereich der Stenose ist ein ausgeprägter lokaler Druckgradient erkennbar. Der berechnete Druck liegt zwischen −19,9 Pa und 74,2 Pa.</small> </div> ==== Quantitative Bestimmung der Druckdifferenz ==== Zur quantitativen Untersuchung des Druckabfalls wurden zwei Messquerschnitte im ACI-Ast definiert, einer vor und einer hinter der Stenose. Mithilfe der COMSOL-Funktion „Linienmittelwert“ wurde der mittlere statische Druck an beiden Positionen bestimmt. Vor der Stenose beträgt der mittlere Druck '''35,232 Pa''', während hinter der Stenose ein Wert von '''−1,0042 Pa''' ermittelt wurde. Daraus ergibt sich eine Druckdifferenz von '''36,24 Pa'''. Die Ergebnisse zeigen eine deutliche Abnahme des statischen Drucks zwischen den beiden Messquerschnitten. Diese Druckdifferenz verdeutlicht die Druckänderung entlang des stenotischen ACI-Astes. Sie ist jedoch nicht mit dem ausschließlich durch die Stenose verursachten irreversiblen Druckverlust gleichzusetzen, da auch die Strömungsentwicklung in den angrenzenden Gefäßabschnitten berücksichtigt wird. {| class="wikitable" style="text-align:center;" ! Stenosegrad ! <math>\bar p_\mathrm{vor}</math> [Pa] ! <math>\bar p_\mathrm{nach}</math> [Pa] ! <math>\Delta p</math> [Pa] |- | 0 % | 11,631 | 4,2461 | 7,3849 |- | 30 % | 16,919 | 2,9220 | 13,997 |- | 60 % | 35,835 | -0,58267 | 36,41767 |- | 80 % | 70,562 | -0,55906 | 71,12106 |} === Wandschubspannung === Zur Untersuchung der mechanischen Belastung der Gefäßwände wurde die Wandschubspannung (Wall Shear Stress, WSS) im zweidimensionalen Strömungsmodell ausgewertet. Sie beschreibt die tangentiale viskose Spannung, die durch die Strömung an der Gefäßwand entsteht. Die quantitative Auswertung erfolgte für die obere und untere Wand des stenotischen ACI-Abschnitts. Hierfür wurden die entsprechenden Wandkanten in COMSOL ausgewählt und der Betrag der Wandschubspannung bestimmt. Für den untersuchten Stenosebereich ergibt sich eine maximale Wandschubspannung von '''3,2282 Pa'''. Der Wert beschreibt das Maximum auf den ausgewählten Wandkanten der 80-%-Stenose. Da für diese Auswertung der Betrag der Wandschubspannung verwendet wurde, lässt sich daraus allein keine Aussage über eine mögliche Umkehr der wandnahen Strömungsrichtung ableiten. Zur Untersuchung möglicher Ablösebereiche ist zusätzlich eine Auswertung der vorzeichenbehafteten tangentialen Wandschubspannung erforderlich. <div style="text-align:center;"> [[Datei:Wandschubspannung.png|800px|zentriert|Verteilung des Betrags der Wandschubspannung entlang ausgewählter Gefäßwandabschnitte im Bereich der ACI-Stenose. Lokal treten erhöhte Wandschubspannungen auf. Die separate quantitative Auswertung der beiden Stenosewände ergibt einen Maximalwert von 3,2282 Pa.]] <small>'''Abbildung 4:''' Verteilung des Betrags der Wandschubspannung entlang ausgewählter Gefäßwandabschnitte im Bereich der ACI-Stenose. Lokal treten erhöhte Wandschubspannungen auf. Die separate quantitative Auswertung der beiden Stenosewände ergibt einen Maximalwert von 3,2282 Pa.</small> </div> ==== Untersuchung der vorzeichenbehafteten Wandschubspannung ==== Zur weiteren Untersuchung möglicher Strömungsablösungen wurde die vorzeichenbehaftete tangentiale Wandschubspannung entlang der oberen und unteren ACI-Gefäßwand hinter der Stenose ausgewertet. An der oberen Gefäßwand steigt die berechnete Spannung von ungefähr −0,05 Pa auf +0,47 Pa an. Ein Vorzeichenwechsel tritt bei einer Bogenlänge von etwa 0,6 mm auf. An der unteren Gefäßwand steigt die Spannung von ungefähr −0,48 Pa auf +0,06 Pa an. Hier erfolgt ein Vorzeichenwechsel bei einer Bogenlänge von etwa 20 mm. Die Ergebnisse zeigen somit auf beiden untersuchten Wandabschnitten einen Vorzeichenwechsel der tangentialen Spannungskomponente. Dies kann auf Änderungen der wandnahen Strömungsrichtung hinweisen und ist mit möglichen Ablöse- oder Wiederanlagerungsvorgängen vereinbar. Die Bogenlängen beziehen sich jeweils auf den untersuchten Wandabschnitt und können nicht unmittelbar miteinander verglichen werden. Zudem hängt das Vorzeichen von der Orientierung der lokalen Wandtangente ab. Ein geschlossenes Rezirkulationsgebiet lässt sich aus den Vorzeichenwechseln allein nicht eindeutig nachweisen. <div style="text-align:center;"> [[Datei:WSS - Oberer Ast hinter Stenose.png|800px|zentriert|Verlauf der vorzeichenbehafteten tangentialen Wandschubspannung entlang der oberen ACI-Gefäßwand hinter der 80-%-Stenose. Bei einer Bogenlänge von etwa 0,6 mm tritt ein Vorzeichenwechsel auf. Dieser kann auf eine Änderung der wandnahen Strömungsrichtung hinweisen, stellt jedoch allein keinen eindeutigen Nachweis einer Strömungsablösung dar.]] <small>'''Abbildung 5:'''Verlauf der vorzeichenbehafteten tangentialen Wandschubspannung entlang der oberen ACI-Gefäßwand hinter der 80-%-Stenose. Bei einer Bogenlänge von etwa 0,6 mm tritt ein Vorzeichenwechsel auf. Dieser kann auf eine Änderung der wandnahen Strömungsrichtung hinweisen, stellt jedoch allein keinen eindeutigen Nachweis einer Strömungsablösung dar.</small> </div> <div style="text-align:center;"> [[Datei:WSS - Unterer Ast hinter Stenose.png|800px|zentriert|Verlauf der vorzeichenbehafteten tangentialen Wandschubspannung entlang der unteren ACI-Gefäßwand hinter der Stenose. Ein Vorzeichenwechsel tritt bei etwa 20 mm Bogenlänge auf.]] <small>'''Abbildung 6:'''Verlauf der vorzeichenbehafteten tangentialen Wandschubspannung entlang der unteren ACI-Gefäßwand hinter der Stenose. Ein Vorzeichenwechsel tritt bei etwa 20 mm Bogenlänge auf.</small> </div> === Zusammenfassende Bewertung der 2D-Ergebnisse === Die stationäre zweidimensionale Strömungssimulation mit einem Stenosegrad von 80 % zeigt deutliche Veränderungen der Strömungsgrößen innerhalb der idealisierten Karotis-Bifurkation. Die maximale Geschwindigkeit beträgt 0,31853 m/s. Zwischen den ausgewählten Messquerschnitten vor und hinter der ACI-Stenose ergibt sich eine mittlere statische Druckdifferenz von 36,24 Pa. Die maximale Wandschubspannung auf den ausgewerteten Stenosewänden beträgt 3,2282 Pa. Die Untersuchung der Geschwindigkeitskomponenten liefert Hinweise auf lokale Strömungsanteile entgegen der Hauptströmungsrichtung. Ein eindeutig abgegrenztes Rezirkulationsgebiet konnte anhand der vorliegenden Darstellungen jedoch nicht sicher nachgewiesen werden. Die Ergebnisse beschreiben zunächst den untersuchten Fall einer hochgradigen Stenose. Aus diesem einzelnen Fall lässt sich weder eine allgemeine Abhängigkeit der Strömungsgrößen vom Stenosegrad noch ein kritischer Stenosegrad für den Beginn der Strömungsablösung bestimmen. Dafür wäre eine vergleichende Auswertung weiterer Stenosegrade erforderlich. == Resistenzrandbedingung am Auslass (2D-Modell) == === Motivation === Im ursprünglichen 2D-Modell wurde an beiden Auslässen (A. carotis interna, ACI (ICA), und A. carotis externa, ACE (ECA) eine Nulldruckbedingung <math>p = 0</math> gesetzt. Physikalisch bedeutet das, dass beide Äste in ein „offenes Becken“ mit gleichem, festem Druck münden. Der Auslassdruck hängt dabei nicht davon ab, wie viel Blut ankommt. Diese Annahme hat zwei Schwächen: * Die Flussaufteilung zwischen ICA und ECA ergibt sich nur aus den kleinen Strömungswiderständen der modellierten Gefäßabschnitte. Wird die ICA durch die Stenose verengt, weicht das Blut nahezu ungehindert in die ECA aus. Im Körper ist das nicht möglich, weil hinter der ICA das Gefäßbett des Gehirns mit einem eigenen, großen Widerstand liegt. * Das Druckniveau (Auslass bei 0 Pa) ist nicht physiologisch. Im 3D-Modell wurde deshalb an beiden Auslässen eine '''Resistenzrandbedingung''' verwendet. Damit 2D- und 3D-Modell vergleichbar sind, haben wir dieselbe Randbedingung auch im 2D-Modell eingebaut. === Formel und Herleitung === Das gesamte nachgeschaltete Gefäßbett hinter jedem Auslass wird durch einen einzigen peripheren Widerstand <math>R_p</math> ersetzt: :<math>p_{\text{aus}} = k_R \cdot R_p \cdot Q</math> Dabei ist <math>Q</math> der Volumenstrom durch den Auslass und <math>k_R</math> ein Schalter (<math>k_R = 1</math>: Widerstand, <math>k_R = 0</math>: ursprüngliche Bedingung <math>p = 0</math>). '''1. Gesunde Flussaufteilung nach dem Murray-Gesetz''' Der Volumenstrom eines Gefäßes ist nach Murray proportional zur dritten Potenz des Durchmessers. Für den Anteil der ICA am Gesamtfluss gilt damit: :<math>\varphi_0 = \frac{D_I^3}{D_I^3 + D_E^3} = \frac{(5\,\text{mm})^3}{(5\,\text{mm})^3 + (4\,\text{mm})^3} \approx 0{,}661</math> Mit dem mittleren Volumenstrom der A. carotis communis <math>Q_0 = 6\,\text{ml/s}</math> (Holdsworth u. a. 1999) folgt: :<math>Q_{I,0} = \varphi_0 \cdot Q_0 \approx 3{,}97\,\text{ml/s}, \qquad Q_{E,0} = (1-\varphi_0) \cdot Q_0 \approx 2{,}03\,\text{ml/s}</math> '''2. Bestimmung der peripheren Widerstände''' Die Widerstände werden so gewählt, dass im gesunden Zustand an beiden Auslässen der treibende Druck des peripheren Gefäßbetts <math>p_D = 90\,\text{mmHg} \approx 12\,000\,\text{Pa}</math> anliegt: :<math>R_{pI} = \frac{p_D}{Q_{I,0}} \approx 3{,}0 \cdot 10^{9}\,\frac{\text{Pa}\cdot\text{s}}{\text{m}^3}, \qquad R_{pE} = \frac{p_D}{Q_{E,0}} \approx 5{,}9 \cdot 10^{9}\,\frac{\text{Pa}\cdot\text{s}}{\text{m}^3}</math> Die Randbedingungen an den beiden Auslässen lauten damit: :<math>p_{\text{aus},I} = k_R \cdot R_{pI} \cdot Q_I, \qquad p_{\text{aus},E} = k_R \cdot R_{pE} \cdot Q_E</math> '''3. Umrechnung des Flusses im 2D-Modell''' Im 2D-Modell liefert das Integral der Normalgeschwindigkeit über den Auslassrand keinen Volumenstrom in m³/s, sondern einen Fluss pro Tiefe <math>q</math> in m²/s. Damit die Widerstände aus dem 3D-Modell verwendet werden können, wird <math>q</math> mit einer einheitlichen Ersatztiefe <math>b</math> in einen Volumenstrom umgerechnet: :<math>Q = q \cdot b, \qquad b = \frac{\pi \, D_{CC}}{4}</math> Die Ersatztiefe ist so gewählt, dass am Einlass mit der mittleren Einströmgeschwindigkeit <math>\bar{u}_{ein} = Q_0 / (\pi D_{CC}^2/4) \approx 0{,}21\,\text{m/s}</math> genau der Volumenstrom des 3D-Modells von 6 ml/s ankommt. Weil dieselbe Ersatztiefe für alle Ränder gilt, bleibt die Massenbilanz erhalten. === Ergebnisse mit Resistenzrandbedingung === {| class="wikitable" style="text-align:center" |+ Maximale Geschwindigkeit ! Stenosegrad S !! <math>u_{max}</math> [m/s] |- | 0 || 0,324^* |- | 0,3 || 0,323^* |- | 0,6 || 0,529 |- | 0,8 || 1,067 |} ^* Bei S = 0 und S = 0,3 liegt das Geschwindigkeitsmaximum nicht in der Stenose, sondern in der A. carotis communis. {| class="wikitable" style="text-align:center" |+ Druck vor und nach der Stenose ! Stenosegrad S !! <math>p_{vor}</math> [Pa] !! <math>p_{nach}</math> [Pa] !! Druckverlust <math>\Delta p = p_{vor} - p_{nach}</math> [Pa] !! <math>\Delta p</math> [mmHg] |- | 0 || 11 802 || 11 793 || 9 || 0,07 |- | 0,3 || 11 808 || 11 790 || 18 || 0,14 |- | 0,6 || 11 838 || 11 760 || 78 || 0,59 |- | 0,8 || 12 024 || 11 626 || 398 || 2,99 |} === Auswertung === * '''Druckniveau:''' Mit der Resistenzrandbedingung liegt der Druck bei etwa 11 800 Pa ≈ 88,5 mmHg. Das entspricht dem mittleren arteriellen Druck in der Carotis. Mit <math>p = 0</math> lagen die Drücke nur bei wenigen Pa bis einigen 100 Pa. * '''Flussaufteilung:''' Die peripheren Widerstände sind wesentlich größer als der Widerstand der Stenose. Deshalb bestimmen sie die Flussaufteilung, und die ICA behält auch bei 80 % Stenose nahezu ihren Anteil (Abnahme von <math>Q_I</math> nur um etwa 1 %). Im Gegensatz zu <math>p = 0</math> kann das Blut nicht einfach in die ECA ausweichen. Das entspricht dem physiologischen Verhalten bei nicht kritischen Stenosen. * '''Geschwindigkeit:''' Weil mehr Blut durch die Engstelle strömen muss, steigen die Geschwindigkeiten in der Stenose gegenüber <math>p = 0</math>. Von S = 0,6 auf S = 0,8 verdoppelt sich <math>u_{max}</math> etwa. * '''Druckverlust:''' Der Druckverlust steigt stark nichtlinear mit dem Stenosegrad. Von S = 0,6 auf S = 0,8 nimmt er etwa um den Faktor 5 zu. * '''Druckrückgewinnung:''' Bei S = 0,8 liegt <math>p_{nach}</math> mit 11 626 Pa sogar unter dem Auslassdruck (≈ 11 680 Pa). Direkt hinter der Engstelle ist die Geschwindigkeit des Strahls noch hoch und der statische Druck entsprechend niedrig. Stromabwärts verlangsamt sich die Strömung, und ein Teil des Drucks wird zurückgewonnen. Der bleibende Druckverlust ist daher etwas kleiner als 398 Pa. === Grenzen und Vergleich mit dem 3D-Modell === * Im 2D-Modell verringert eine Stenose von 80 % nur die '''Spaltbreite''' auf 20 %. Im 3D-Modell sinkt die '''Querschnittsfläche''' dagegen auf <math>0{,}2^2 = 4\,\%</math>. Das 2D-Modell unterschätzt deshalb Geschwindigkeit und Druckverlust in der Stenose systematisch. Klinisch gelten bei Stenosen ab 70 % systolische Spitzengeschwindigkeiten über 2,3 m/s; ab einem Druckgradienten von etwa 10–20 mmHg gilt eine Stenose als hämodynamisch relevant. Beide Grenzen erreicht das 2D-Modell nicht. * Die Umrechnung über die Ersatztiefe <math>\pi D_{CC}/4</math> ist eine Modellannahme. * Der periphere Widerstand ist konstant. Die Autoregulation des Gehirns und die Gefäßelastizität (Windkessel) werden nicht berücksichtigt, und die Rechnung ist stationär (keine Pulsatilität). == Beantwortung der Forschungsfragen == '''Welche Strömungsgrößen reagieren empfindlich auf den Stenosegrad?''' Die Untersuchung der 80-%-Stenose zeigt deutliche Veränderungen der Geschwindigkeitsverteilung, des statischen Drucks und der Wandschubspannung. Die maximale Strömungsgeschwindigkeit beträgt 0,31853 m/s. Zwischen den ausgewählten Messquerschnitten vor und hinter der Stenose ergibt sich eine mittlere statische Druckdifferenz von 36,24 Pa. Die maximale Wandschubspannung auf den untersuchten Stenosewänden beträgt 3,2282 Pa.Da bisher nur die 80-%-Stenose quantitativ ausgewertet wurde, lässt sich noch nicht feststellen, welche dieser Größen bei zunehmendem Stenosegrad am stärksten reagiert. '''Ab welchem Stenosegrad tritt eine Strömungsablösung auf?''' Bei der untersuchten 80-%-Stenose zeigen die Geschwindigkeitskomponenten und die vorzeichenbehaftete Wandschubspannung Hinweise auf Veränderungen der wandnahen Strömungsrichtung hinter der Engstelle. Ein eindeutig geschlossenes Rezirkulationsgebiet konnte jedoch nicht nachgewiesen werden. Ein kritischer Stenosegrad für den Beginn einer Strömungsablösung lässt sich aus dieser einzelnen Simulation daher nicht bestimmen. Hierfür müssten weitere Stenosegrade unter vergleichbaren Bedingungen ausgewertet werden. '''Inwieweit sind die Annahmen einer stationären und laminaren Strömung geeignet?''' Die stationäre, laminare Modellierung ermöglicht es, grundlegende Auswirkungen einer Gefäßverengung auf die Strömung in einer idealisierten Karotis-Bifurkation zu untersuchen. Bei hochgradigen Stenosen können allerdings zeitabhängige und dreidimensionale Strömungsstrukturen auftreten. Diese werden durch das vorliegende stationäre 2D-Modell nicht vollständig erfasst. Die Simulationsergebnisse sind deshalb auf die gewählten Modellannahmen und Randbedingungen beschränkt. '''Zusammenfassend''' liefert die 2D-Simulation eine erste quantitative Beschreibung der Strömungsverhältnisse bei einer hochgradigen ACI-Stenose. Für allgemeine Aussagen über die Abhängigkeit vom Stenosegrad und den Beginn einer Strömungsablösung sind zusätzliche Vergleichsrechnungen erforderlich. = Grenzen des Modells = * Die untersuchte Gefäßgeometrie ist eine idealisierte Darstellung der Karotisaufzweigung. Individuelle anatomische Unterschiede werden nicht berücksichtigt. * Darüber hinaus werden die Gefäßwände als starr angenommen und Blut wird durch ein inkompressibles Newtonsches Fluid mit konstanter Viskosität beschrieben. * Die Strömung wird stationär berechnet. Die natürliche Pulsation des Blutflusses und zeitabhängige Effekte bleiben damit unberücksichtigt. * Insbesondere bei hochgradigen Stenosen können zeitabhängige Strömungsablösungen auftreten, die durch eine stationäre Modellierung nicht vollständig beschrieben werden. * Das Graphenmodell kann lokale Strömungsphänomene nicht detailliert erfassen. Das ebene Flächenmodell vereinfacht die räumliche Gefäßgeometrie. Auch das dreidimensionale Modell bleibt aufgrund der idealisierten Geometrie und der vereinfachten Materialannahmen eine Annäherung an die reale Blutströmung. * Die Ergebnisse sind daher als strömungsmechanische Untersuchung eines idealisierten Modells zu interpretieren und nicht als patientenspezifische medizinische Vorhersage. = Literaturverzeichnis = Alle Quellen sind an den Stellen im Text angegeben, an denen die zugehörigen Werte oder Aussagen verwendet werden. Die Liste wird aus diesen Angaben automatisch erzeugt. <references /> r8wcd63qthi03upwec2uwjdnubl00qv 1119031 1119030 2026-11-07T11:38:25Z Nicole.pander 39567 /* Resistenzrandbedingung am Auslass (2D-Modell) */ 1119031 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Joey Becker * Marie-Thérèse Heitele * Nicole Pander = Thema und Fragestellung = Gegenstand dieses Projekts ist die numerische Simulation der Blutströmung in einer verzweigten Halsschlagader ('''Carotis-Bifurkation''') unter dem Einfluss einer lokalen Gefäßverengung ('''Stenose'''). Im Vergleich zu einfachen Rohrströmungen wird hier die realitätsnahe Gefäßanatomie betrachtet: Die '''Arteria carotis communis (ACC)''' teilt sich in die '''Arteria carotis externa (ACE)''' und die '''Arteria carotis interna (ACI)''' auf. Während die '''ACE''' als gesunder, stenosefreier Ast dient, wird in der '''ACI''' eine geglättete, kosinusförmige Gefäßverengung modelliert. Um scharfe Kanten und unphysiologische Druckspitzen zu vermeiden, werden alle Wandübergänge und die Gabelungsspitze (Apex) anatomisch verrundet. Als Referenz dient ein gesundes, unverengtes Gefäß, in dem sich die Poiseuille-Strömung mit ihrem charakteristischen parabolischen Geschwindigkeitsprofil ausbildet. Diese Strömung ist aus zwei Gründen der natürliche Ausgangspunkt. Sie beschreibt den physiologischen Normalfall, mit dem jeder Stenosegrad verglichen wird, und sie ist exakt lösbar, sodass sich an ihr jede numerische Rechnung prüfen lässt, bevor die Verengung hinzukommt. == Fragestellung == Die Hauptfragestellung dieses Projektes lautet: Wie verändert eine symmetrische bzw. rotationssymmetrische Stenose in der '''Arteria carotis interna (ACI)''' die stationäre Strömung eines inkompressiblen Newton’schen Fluids in einer 2D-Carotis-Bifurkation hinsichtlich Geschwindigkeitsverteilung, Druckabfall, Wandschubspannung und Wirbelbildung im Vergleich zu den gesunden Gefäßabschnitten? Aus dieser Fragestellung ergeben sich drei Teilfragen, an denen sich der Aufbau der Seite orientiert: # Welche Strömungsgrößen reagieren empfindlich auf den Stenosegrad und welche nur träge? # Ab welchem Stenosegrad ändert sich das Strömungsmuster qualitativ, das heißt, ab wann löst die Strömung hinter der Engstelle von der Wand ab und bildet ein Rückströmgebiet? # Wie weit tragen die vereinfachenden Modellannahmen, insbesondere die Annahme einer stationären und laminaren Strömung, über den untersuchten Bereich der Stenosegrade? == Modellannahmen == Im Hinblick darauf werden für dieses Projekt einige Annahmen getroffen, um das Projekt möglichst isoliert zu untersuchen und zu simplifizieren: * '''Idealisierte Gefäßgeometrie''': Betrachtet wird ein Teilabbschnitt der ''Arteria carotis communis'', die sog. ''ACI''. Zudem werden Gefäßverkrümmungen, weitere Verzweigungen und patientenspezifische Strukturen nicht berücksichtigt. * '''Starre Gefäßwand''': Die Gefäßwand wird als unbeweglich und nicht verformbar angenommen. Eine Wechselwirkung zwischen elastischer Gefäßwand und Blutströmung wird nicht modelliert. * '''Stationäre Strömung''': Die Strömungsgrößen werden als zeitlich konstant angenommen. Die im realen Blutkreislauf vorhandene Pulsation durch den Herzschlag wird daher vernachlässigt: <math>\frac{\partial u}{\partial t}=0</math>. * '''Inkompressibles Fluid''': Die Dichte des Fluids wird als konstant angenommen. Damit gilt für die Geschwindigkeit <math>\nabla \cdot u=0</math>. Dies entspricht der in der Vorlesung behandelten Massenerhaltung für inkompressible Fluide: Was in das Gefäß einströmt, muss auch wieder ausströmen. * '''Newton'sche Näherung für Blut''': Reales Blut beseitzt ein nicht newton'sches Fließverhalten. Hier wird Blut als Newton'sches Fluid behandelt. * '''Konstante Stoffeigenschaften''': Dichte <math>\rho</math> und dynamische Viskosität μ werden als räumlich und zeitlich konstant angenommen. Temperaturabhängigkeiten werden nicht berücksichtigt. * '''Laminare Strömung''': Die Strömung wird mit dem COMSOL-Modul ''Laminar Flow'' beschrieben. Ein zusätzliches Turbulenzmodell wird nicht verwendet. * '''No-Slip-Bedingung an Gefäßwand''': Aufgrund der Viskosität wird angenommen, dass das Fluid direkt an der Gefäßwand haftet. Somit gilt <math>u=0</math>. * '''Vernachlässigung der Gravitation''': Gravitation wird nicht berücksichtigt. Die Strömung wird ausschließlich durch die gewählten Ein- und Auslassbedingungen bestimmt. = Relevanz = Die Untersuchung von Gefäßverengungen besitzt sowohl eine medizinische als auch eine methodische Bedeutung. Aus medizinischer Sicht sind arterielle Stenosen – etwa in der Halsschlagader, lat. ''arteria carotis communis'', – kritisch, da sie die Durchblutung beeinträchtigen und durch veränderte Wandschubspannungen sowie die Bildung von Wirbeln weitere Gefäßablagerungen begünstigen. Stenosen im Bereich der Karotisgabelung sind klinisch hochrelevant, da sie das Gehirn direkt versorgen und das Risiko für embolische Schlaganfälle erhöhen. Fachlich überträgt das Projekt damit die Prinzipien der Strömungsmechanik direkt auf eine biomedizinische Anwendung. Das Projekt verknüpft somit theoretische Grundlagen der Strömungsmechanik (Hagen-Poiseuille-Gleichung, Navier-Stokes-Gleichungen) mit der numerischen Simulation in COMSOL Multiphysics. Durch den Vergleich der '''gesunden Externa (ACE)''' mit der '''stenoisierten Interna (ACI)''' innerhalb desselben Rechengebiets wird die isolierte Wirkung der Stenose unter identischen Randbedingungen direkt sichtbar gemacht. == Medizinische Relevanz == Arterielle Stenosen entstehen überwiegend durch Atherosklerose, also durch Ablagerungen aus Lipiden, Bindegewebe und Kalk in der Gefäßwand. In der Halsschlagader sind sie klinisch besonders bedeutsam, weil sie die Durchblutung des Gehirns beeinträchtigen und weil sich an ihnen Thromben bilden können, die als Embolie einen Schlaganfall auslösen. Dass die operative Entfernung einer hochgradigen Karotisstenose das Schlaganfallrisiko symptomatischer Patienten deutlich senkt, hat die NASCET-Studie gezeigt, deren Einteilung der Stenosegrade dieses Projekt übernimmt.<ref name="nascet">North American Symptomatic Carotid Endarterectomy Trial Collaborators: ''Beneficial effect of carotid endarterectomy in symptomatic patients with high-grade carotid stenosis.'' New England Journal of Medicine 325 (1991), Nr. 7, S. 445-453.</ref> Strömungsmechanisch ist an einer Stenose vor allem die Wandschubspannung von Interesse, also die tangentiale Kraft je Fläche, die das strömende Blut auf die innerste Zellschicht der Gefäßwand ausübt. Gesunde Halsschlagadern weisen zeitlich gemittelte Werte von etwa 1,1 bis 1,5 Pa auf.<ref name="samijo">Samijo, S. K.; Willigers, J. M.; Barkhuysen, R.; Kitslaar, P. J. E. H. M.; Reneman, R. S.; Brands, P. J.; Hoeks, A. P. G.: ''Wall shear stress in the human common carotid artery as function of age and gender.'' Cardiovascular Research 39 (1998), Nr. 2, S. 515-522.</ref> In einer Engstelle steigt sie stark an, unmittelbar dahinter fällt sie im Ablösegebiet auf nahezu null und wechselt dort sogar das Vorzeichen. Niedrige und im Vorzeichen wechselnde Wandschubspannungen gelten als Bedingungen, unter denen sich weitere Ablagerungen bevorzugt bilden. Eine bestehende Stenose schafft also stromabwärts die Voraussetzungen für ihr eigenes Wachstum. Genau diese Verteilung lässt sich im Körper nur schwer messen, in einer Simulation dagegen unmittelbar auswerten. == Methodische Relevanz == Fachlich überträgt das Projekt die Prinzipien der Strömungsmechanik aus der Vorlesung auf eine biomedizinische Anwendung.<ref name="hundertmark">Hundertmark, A.: ''Fluiddynamik.'' Vorlesungsunterlagen zum Modul Räumliche Modellbildung, RPTU Kaiserslautern-Landau, Sommersemester 2026.</ref> Der methodische Mehrwert liegt in der Verknüpfung mehrerer Zugänge, die sich gegenseitig kontrollieren. Die analytische Poiseuille-Lösung liefert exakte Sollwerte für das gesunde Gefäß. Ein reduziertes Graphenmodell liefert für jeden Stenosegrad eine schnelle Abschätzung, die analytisch nachrechenbar ist. Die Simulationen in COMSOL Multiphysics lösen schließlich die vollständigen Navier-Stokes-Gleichungen in zwei und drei Raumdimensionen. Weil jede Stufe die Sollwerte der nächsten liefert, zeigt das Projekt nicht nur Ergebnisse, sondern auch, wie numerische Modelle aufgebaut, verifiziert und an ihren Grenzen bewertet werden. == Auswahl der Stenosegrade == Um die untersuchten Gefäßverengungen nicht willkürlich festzulegen, orientiert sich die Auswahl der Stenosegrade an der klinisch gebräuchlichen NASCET-Klassifikation von Karotisstenosen.<ref name="nascet" /> Zur klinischen Einordnung werden Karotisstenosen anhand der nach NASCET bestimmten Durchmesserreduktion in leichtgradige, mittelgradige und hochgradige Stenosen eingeteilt. Die angegebenen Prozentgrenzen dienen in diesem Projekt als Orientierung für die Auswahl der untersuchten Stenosegrade. Ein vollständiger Gefäßverschluss wird als Okklusion bezeichnet. {| class="wikitable" |+ Klinische Einteilung nach NASCET-gemessener Durchmesserreduktion und untersuchte Stenosegrade ! Schweregrad !! Durchmesserreduktion !! im Projekt gerechnete Stenosegrade !! hervorgehobener Vertreter |- | gesundes Gefäß || 0 % || 0 || 0 |- | leichtgradige Stenose || unter 50 % || 0,1 bis 0,4 || 0,3 |- | mittelgradige Stenose || 50 bis 69 % || 0,5 und 0,6 || 0,6 |- | hochgradige Stenose || 70 bis 99 % || 0,7 und 0,8 || 0,8 |- | Okklusion || 100 % || nicht gerechnet || entfällt |} '''Anmerkung''': Die Klassengrenzen dienen der Einordnung der Modellvarianten. Die in der Tabelle genannten Stenosegrade sind dimensionslose Werte, beispielsweise entspricht '''<math>s=0{,}6</math>''' einer Durchmesserreduktion von '''60 %'''. Für die numerische Untersuchung wird aus jeder Kategorie ein repräsentativer Stenosegrad hervorgehoben. Neben dem gesunden Gefäß mit '''0 %''' Stenose sind das eine '''30 %''' Stenose als Beispiel für eine leichtgradige, eine '''60 %''' Stenose als Beispiel für eine mittelgradige und eine '''80 %''' Stenose als Beispiel für eine hochgradige Verengung. Zusätzlich werden für das Graphenmodell und das achsensymmetrische Flächenmodell Stenosegrade von 0 bis 80 % in Schritten von zehn Prozentpunkten vorgesehen. Dadurch kann die Abhängigkeit der Strömungsgrößen vom Stenosegrad systematisch untersucht und grafisch dargestellt werden. Ob alle Modellvarianten tatsächlich berechnet wurden und wie hoch der Rechenaufwand war, wird anhand der durchgeführten Simulationen dokumentiert. Ein vollständiger Gefäßverschluss wird nicht simuliert, da in diesem Fall keine durchgängige Strömung mehr vorliegt. Der Stenosegrad wird in diesem Projekt wie bei NASCET über die Verringerung des Gefäßdurchmessers beschrieben, <math>s = 1 - \frac{d_{\min}}{d_{\mathrm{ref}}},</math> wobei <math>d_{\min}</math> der kleinste Durchmesser in der Engstelle und <math>d_{\mathrm{ref}}</math> ein Referenzdurchmesser ist. NASCET verwendet als Referenz den Durchmesser des gesunden Gefäßes stromabwärts der Stenose. Für das idealisierte gerade Gefäßmodell wird ein konstanter Referenzdurchmesser von <math>D_0=6\,\mathrm{mm}</math> angenommen. Da das Gefäß außerhalb der Stenose denselben Durchmesser besitzt, gilt in diesem Modell<math>d_{\mathrm{ref}}=D_0</math>. Bei der zusätzlich betrachteten Gefäßaufzweigung muss der Referenzdurchmesser dagegen gesondert festgelegt werden, da die Gefäßäste unterschiedliche Durchmesser besitzen. Wichtig für das Verständnis aller weiteren Ergebnisse ist der Unterschied zwischen Durchmesser- und Flächenreduktion. Da die Querschnittsfläche quadratisch vom Durchmesser abhängt, gilt für die Flächenreduktion <math>1-(1-s)^2</math>. Eine im klinischen Sinn nur mittelgradige Stenose von 60 % verschließt damit bereits 84 % der Querschnittsfläche. {| class="wikitable" |+ Durchmesser- und Flächenreduktion der gerechneten Stenosegrade ! Stenosegrad s !! 0 !! 0,1 !! 0,2 !! 0,3 !! 0,4 !! 0,5 !! 0,6 !! 0,7 !! 0,8 |- | engster Durchmesser in mm || 6,0 || 5,4 || 4,8 || 4,2 || 3,6 || 3,0 || 2,4 || 1,8 || 1,2 |- | Flächenreduktion || 0 % || 19 % || 36 % || 51 % || 64 % || 75 % || 84 % || 91 % || 96 % |} Eine Einschränkungen gehört zur ehrlichen Einordnung: # Mit zunehmendem Stenosegrad, insbesondere bei ausgeprägten Verengungen, können lokale Beschleunigungen, Strömungsablösungen und zeitabhängige Strömungsstrukturen auftreten. Daher muss bei den hochgradigen Stenosen geprüft werden, inwieweit die Annahme einer stationären, laminaren Strömung geeignet ist. Eine feste Grenze bei <math>s=0{,}6</math> lässt sich ohne entsprechende Simulationsergebnisse oder Literaturbelege nicht allgemein festlegen. Die hochgradigen Fälle werden deshalb unter besonderer Berücksichtigung der Modellannahmen diskutiert. Unter Modellierung wird in diesem Projekt die Übertragung der Blutströmung in einer verengten Arterie auf ein mathematisches und numerisch lösbares Strömungsproblem verstanden. Dazu werden die Gefäßgeometrie, die zugrunde liegenden Gleichungen, die physikalischen Materialparameter sowie die Anfangs- und Randbedingungen festgelegt. Jeder dieser Bestandteile beruht auf vereinfachenden Annahmen, die begründet und bei der Interpretation der Ergebnisse berücksichtigt werden müssen. Ziel ist es, den Einfluss unterschiedlicher Stenosegrade auf die Strömungsgeschwindigkeit, den Druckverlust und gegebenenfalls die Wandschubspannung systematisch zu untersuchen. Die Modellierung erfolgt anhand mehrerer Modellvarianten mit unterschiedlicher räumlicher Auflösung. Dadurch können zunächst grundlegende Zusammenhänge analytisch abgeschätzt und anschließend mit numerischen Strömungsberechnungen verglichen werden. Die verwendeten Parameter orientieren sich an den bereitgestellten Referenzdaten und werden in den folgenden Abschnitten erläutert. == Modellierung == Ziel der Modellierung ist es, die Blutströmung innerhalb einer Y-förmigen Aufzweigung der Halsschlagader mathematisch und numerisch zu untersuchen. Im Mittelpunkt steht eine Gefäßverengung (Stenose) in der Arteria carotis interna. Das betrachtete Gefäßmodell besteht aus der Arteria carotis communis, die sich in die Arteria carotis interna und die Arteria carotis externa aufteilt. Die Stenose befindet sich ausschließlich in der Arteria carotis interna. Durch die Verengung verändert sich der verfügbare Strömungsquerschnitt. Dies kann zu einer Erhöhung der lokalen Strömungsgeschwindigkeit, zu zusätzlichen Druckverlusten und zu einer Veränderung der Strömungsverteilung zwischen den beiden Gefäßästen führen. Ziel ist es, den Einfluss unterschiedlicher Stenosegrade auf die Strömungsgeschwindigkeit, die Druckverteilung und die Wandschubspannung zu untersuchen. Zusätzlich soll betrachtet werden, wie sich die Strömung innerhalb der Y-förmigen Gefäßaufzweigung verhält. Die numerische Modellierung erfolgt mit COMSOL Multiphysics. Dazu werden die Gefäßgeometrie, die Materialeigenschaften des Blutes, die Strömungsgleichungen und die Randbedingungen festgelegt. Zur Vereinfachung wird Blut zunächst als inkompressibles, Newtonsches Fluid betrachtet. Die Gefäßwände werden als starr angenommen. Diese Annahmen ermöglichen eine systematische Untersuchung der Stenose, schränken jedoch die Übertragbarkeit auf reale physiologische Bedingungen ein. === Modellhierarchie === Für die Untersuchung der Blutströmung innerhalb der Y-förmigen Karotisaufzweigung werden drei Modellvarianten betrachtet. Diese unterscheiden sich hinsichtlich ihrer räumlichen Dimension, ihrer mathematischen Beschreibung und der Genauigkeit, mit der die Strömungsverhältnisse dargestellt werden können. Das untersuchte Gefäß besteht aus der Arteria carotis communis, die sich in die Arteria carotis interna und die Arteria carotis externa aufteilt. Die Stenose befindet sich ausschließlich in der Arteria carotis interna. Alle drei Modellvarianten werden mit COMSOL Multiphysics umgesetzt. {| class="wikitable" style="width:100%;" |+ '''Die drei Modellvarianten des Projekts''' |- ! Modell ! Raumdimension ! Mathematische Grundlage ! Zweck ! Werkzeug |- | '''Graphenmodell''' | 1D, Gefäßnetzwerk mit einer Verzweigung | Massenerhaltung an der Verzweigung und vereinfachte Beschreibung der Strömungswiderstände | Abschätzung der Volumenstromverteilung und der Druckverluste in den Gefäßästen | COMSOL Multiphysics |- | '''Ebenes Flächenmodell''' | 2D, Y-förmige Gefäßgeometrie in kartesischen Koordinaten | Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen | Untersuchung der Geschwindigkeits- und Druckverteilung sowie der Auswirkungen der Stenose in der Arteria carotis interna | COMSOL Multiphysics, Laminare Strömung |- | '''Volumenmodell''' | 3D, räumliche Y-förmige Gefäßgeometrie | Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen | Räumliche Untersuchung des Geschwindigkeitsfeldes, des Druckverlustes und der Wandschubspannung | COMSOL Multiphysics, Laminare Strömung |} ==== Vergleich und Überprüfung der Modellvarianten ==== Die drei Modellvarianten bauen hinsichtlich ihrer räumlichen Beschreibung aufeinander auf. Das Graphenmodell ermöglicht zunächst eine vereinfachte Betrachtung der Volumenströme und Druckverluste. Die zwei- und dreidimensionalen Modelle erlauben anschließend eine detailliertere Untersuchung der Strömung innerhalb der Gefäßaufzweigung. Das '''Graphenmodell''' beschreibt die Arteria carotis communis sowie die beiden abzweigenden Gefäße als miteinander verbundenes Netzwerk. Dabei wird die Massenerhaltung an der Verzweigung berücksichtigt: :<math>Q_{\mathrm{CCA}}=Q_{\mathrm{ICA}}+Q_{\mathrm{ECA}}</math> Das Modell liefert vereinfachte Abschätzungen der Volumenstromverteilung. Lokale Strömungsablösungen und räumliche Geschwindigkeitsverteilungen können damit nicht detailliert dargestellt werden. Das '''ebene Flächenmodell''' bildet die Y-förmige Gefäßaufzweigung in zwei Raumdimensionen ab. Die Stenose wird innerhalb der Arteria carotis interna berücksichtigt. Dadurch können die Geschwindigkeits- und Druckverteilung sowie mögliche Rückströmungsbereiche untersucht werden. Das '''Volumenmodell''' erweitert die Untersuchung auf drei Raumdimensionen. Es ermöglicht eine räumliche Darstellung der Strömung und eine detailliertere Berechnung der Wandschubspannung. Die Ergebnisse des ebenen Flächenmodells und des Volumenmodells werden miteinander verglichen. Da das ebene Modell die räumliche Querschnittsgeometrie nur vereinfacht darstellt, müssen Unterschiede zwischen den beiden Modellen bei der Interpretation berücksichtigt werden. Ziel der Modellhierarchie ist es, die Aussagekraft der einzelnen Modellvarianten zu bewerten und den Einfluss des Stenosegrades auf die Strömung innerhalb der Y-förmigen Karotisaufzweigung zu untersuchen. === Simulationsgebiet und Geometrie === Das Simulationsgebiet besteht aus einer idealisierten Y-förmigen Aufzweigung der Arteria carotis. Die Arteria carotis communis teilt sich in die Arteria carotis interna und die Arteria carotis externa. Die Stenose befindet sich in der Arteria carotis interna. Die Arteria carotis externa wird ohne zusätzliche Verengung modelliert. Die Geometrie orientiert sich an den bereitgestellten Referenzdaten. Die Gefäßdurchmesser werden innerhalb der jeweiligen unverengten Abschnitte als konstant angenommen. {| class="wikitable" style="width:100%;" |+ '''Geometrische Referenzparameter der Y-förmigen Gefäßaufzweigung''' |- ! Gefäßabschnitt ! Durchmesser ! Länge |- | Arteria carotis communis | 6 mm | 60 mm |- | Arteria carotis interna | 5 mm | 60 mm |- | Arteria carotis externa | 4 mm | 60 mm |- | Stenose in der Arteria carotis interna | Abhängig vom Stenosegrad | 10 bzw. 20 mm |} Die Verengung wird über den Stenosegrad <math>s</math> beschrieben. Dieser gibt die relative Verringerung des Gefäßdurchmessers an: :<math>s=1-\frac{d_{\min}}{D_{\mathrm{ICA}}}</math> Dabei bezeichnet <math>d_{\min}</math> den minimalen Durchmesser innerhalb der Stenose und <math>D_{\mathrm{ICA}}</math> den unverengten Referenzdurchmesser der Arteria carotis interna. Für das Modell gilt: :<math>D_{\mathrm{ICA}}=5\,\mathrm{mm}</math> Der minimale Durchmesser ergibt sich damit zu: :<math>d_{\min}=D_{\mathrm{ICA}}(1-s)</math> {| class="wikitable" |+ '''Minimaler Durchmesser der Stenose in der Arteria carotis interna''' |- ! Stenosegrad ! Minimaler Durchmesser |- | 0 % | 5,0 mm |- | 10 % | 4,5 mm |- | 20 % | 4,0 mm |- | 30 % | 3,5 mm |- | 40 % | 3,0 mm |- | 50 % | 2,5 mm |- | 60 % | 2,0 mm |- | 70 % | 1,5 mm |- | 80 % | 1,0 mm |} Die angegebenen Stenosegrade beziehen sich ausschließlich auf den Durchmesser der Arteria carotis interna. Der Durchmesser der Arteria carotis communis wird nicht zur Berechnung des Stenosegrades verwendet. Die Y-förmige Geometrie ermöglicht es, die Auswirkungen der Verengung sowohl auf die lokale Strömung in der Arteria carotis interna als auch auf die Strömungsverteilung innerhalb der gesamten Gefäßaufzweigung zu untersuchen. Die genaue Form der Stenose, der Verzweigungswinkel und die Übergänge zwischen den Gefäßabschnitten müssen entsprechend der tatsächlich in COMSOL verwendeten Geometrie dokumentiert werden. == Stoff- und Strömungsparameter == Die Stoffwerte des Blutes und der Volumenstrom sind die einzigen Eingangsgrößen, die nicht aus der Geometrie folgen. Aus ihnen werden alle weiteren Strömungskennwerte berechnet. Die folgenden Schritte zeigen jede Rechnung einzeln, damit sich jeder Wert nachprüfen lässt. # Die '''Dichte''' wird mit <math>\rho = 1060\ \mathrm{kg/m^3}</math> angesetzt. Der Wert lässt sich als Mischungsregel plausibel machen. Plasma hat eine Dichte von etwa 1025 kg/m³, rote Blutkörperchen von etwa 1100 kg/m³. Bei einem Zellanteil von 45 % ergibt sich <math>0{,}55 \cdot 1025 + 0{,}45 \cdot 1100 \approx 1059\ \mathrm{kg/m^3}</math>. Die Dichte geht nur über die Reynoldszahl in die Rechnung ein, eine Abweichung von einem Prozent ändert die Ergebnisse daher kaum. <!-- FIXME Lehrbuchquelle fuer Plasma- und Erythrozytendichte ergaenzen --> # Die '''dynamische Viskosität''' wird mit <math>\mu = 3{,}5\ \mathrm{mPa\,s}</math> angesetzt. Das ist der Grenzwert der Blutviskosität bei hohen Scherraten, also genau der Wert, der zur Newtonschen Näherung gehört. Derselbe Wert von 0,035 Poise wird auch im Standardwerk zur Modellierung des Herz-Kreislauf-Systems verwendet.<ref name="quarteroni">Quarteroni, A.; Formaggia, L.: ''Mathematical Modelling and Numerical Simulation of the Cardiovascular System.'' In: Ayache, N. (Hrsg.): ''Computational Models for the Human Body.'' Handbook of Numerical Analysis, Bd. XII, Elsevier, Amsterdam 2004, S. 3-127. DOI 10.1016/S1570-8659(03)12001-7. Zur Newtonschen Näherung in großen Gefäßen siehe S. 30, zur Viskosität von 0,035 Poise die Parametertabelle auf S. 116.</ref> # Der '''mittlere Volumenstrom''' wird mit <math>Q_0 = 6\ \mathrm{ml/s}</math> angesetzt. Das ist der zeitlich gemittelte Volumenstrom, der in der gemeinsamen Halsschlagader gesunder Probanden gemessen wurde. # Die '''mittlere Geschwindigkeit''' folgt aus Volumenstrom und Querschnittsfläche, <math>U_0 = \frac{Q_0}{\pi R_0^2} = \frac{6 \cdot 10^{-6}\ \mathrm{m^3/s}}{\pi \cdot (0{,}003\ \mathrm{m})^2} = 0{,}2122\ \mathrm{m/s}</math>. # Die '''Reynoldszahl''' des gesunden Gefäßes ist <math>Re_0 = \frac{\rho\, U_0\, D_0}{\mu} = \frac{1060 \cdot 0{,}2122 \cdot 0{,}006}{0{,}0035} = 385{,}6</math>. Sie wird im Folgenden auf 386 gerundet. # Die '''Einlauflänge''', die eine anfangs gleichförmige Strömung bis zum voll entwickelten Parabelprofil bräuchte, beträgt nach der gebräuchlichen Abschätzung für laminare Rohrströmungen <math>L_e \approx 0{,}06\, Re_0\, D_0 \approx 0{,}06 \cdot 386 \cdot 6\ \mathrm{mm} \approx 139\ \mathrm{mm}</math>.<ref name="durst">Durst, F.; Ray, S.; Ünsal, B.; Bayoumi, O. A.: ''The development lengths of laminar pipe and channel flows.'' Journal of Fluids Engineering 127 (2005), Nr. 6, S. 1154-1160. Für große Reynoldszahlen nähert sich die dort angegebene Korrelation dem Wert 0,057·Re·D.</ref> Das ist fast die gesamte Länge des Rechengebiets. Ein konstantes Einlassprofil würde die Strömung an der Stenose also verfälschen, weshalb am Einlass das voll entwickelte Profil vorgegeben wird. Damit liegen alle globalen Parameter fest. Die folgende Tabelle enthält sie mit genau den Namen, unter denen sie in COMSOL und in den Octave-Skripten verwendet werden. {| class="wikitable" |+ Globale Parameter des Modells ! Name !! Ausdruck in COMSOL !! Wert !! Bedeutung !! Herkunft |- | R0 || 3[mm] || 3 mm || Gefäßradius || Messwerte nach Krejza u. a. 2006, gerundet |- | D0 || 2*R0 || 6 mm || Gefäßdurchmesser || abgeleitet |- | Ls || 2*D0 || 12 mm || Länge der Störstelle || Standardgeometrie nach Varghese u. a. 2007 |- | Lu || 5*D0 || 30 mm || Vorlaufstrecke vor der Stenosemitte || Abstand der Einlassbedingung von der Stenose |- | Ld || 20*D0 || 120 mm || Nachlaufstrecke hinter der Stenosemitte || Platz für das Rückströmgebiet |- | Lf || Ls/2+10*D0 || 66 mm || Ende des fein vernetzten Nachlaufs || erwartete Länge des Rückströmgebiets |- | s || 0 bis 0.8 || 0 bis 0,8 || Stenosegrad bezogen auf den Durchmesser || NASCET-Einteilung |- | rho_b || 1060[kg/m^3] || 1060 kg/m³ || Dichte des Blutes || Mischungsregel, Literaturwert |- | mu_b || 3.5[mPa*s] || 3,5 mPa·s || dynamische Viskosität des Blutes || Hochscherwert, Quarteroni und Formaggia 2004 |- | Q0 || 6[ml/s] || 6 ml/s || mittlerer Volumenstrom || Messwerte nach Holdsworth u. a. 1999 |- | U0 || Q0/(pi*R0^2) || 0,2122 m/s || mittlere Einströmgeschwindigkeit || abgeleitet |- | Re0 || rho_b*U0*D0/mu_b || 385,6 || Reynoldszahl des gesunden Gefäßes || abgeleitet |- | dp_ref || 8*mu_b*U0*(Lu+Ld)/R0^2 || 99,03 Pa || Poiseuille-Druckabfall des gesunden Gefäßes || abgeleitet, Hagen-Poiseuille |} = Implementierung des 2D-Modells in COMSOL Multiphysics = == Zielsetzung des zweidimensionalen Modells == Im Rahmen des Projekts wurde mit COMSOL Multiphysics ein zweidimensionales Modell der menschlichen Halsschlagader erstellt. Ziel ist es, die Blutströmung innerhalb einer Gefäßverzweigung zu untersuchen und insbesondere die Auswirkungen einer lokalen Gefäßverengung (Stenose) auf das Strömungsverhalten zu analysieren. Das Modell bildet die Aufzweigung der Arteria carotis communis (ACC) in die Arteria carotis interna (ACI) und die Arteria carotis externa (ACE) ab. Während die ACE als gesunder Gefäßabschnitt betrachtet wird, befindet sich in der ACI eine lokale Verengung. Dadurch können die Strömungsverhältnisse in beiden Ästen miteinander verglichen werden. Die zweidimensionale Modellierung dient dazu, die Geschwindigkeitsverteilung, den Druckabfall und die Wandschubspannung zu untersuchen. Zusätzlich soll festgestellt werden, ob sich hinter der Stenose Bereiche mit Strömungsablösungen oder Rückströmungen ausbilden. ==Vorgehen== Für die numerische Untersuchung in COMSOL Multiphysics 6.2 zunächst ein zweidimensionales Modell mit der Physik ''Laminare Strömung'' und einer ''stationären Studie'' angelegt. Die Gefäßgeometrie wurde vollständig parametrisiert, damit Durchmesser, Gefäßlängen, Verzweigungswinkel, Stenosegrad sowie die Stenoselänge veränderbar sind, ohne das Modell jeweils neu zu zeichnen. Das gemeinsame Zuflussgefäß stellt die Arteria carotis communis mit einem Durchmesser von <math>6\,\mathrm{mm}</math> dar. Nach einem geraden Einlaufabschnitt von <math>60\,\mathrm{mm}</math> teilt es sich V-förmig in die beiden Tochtergefäße auf. Die Arteria carotis interna wird mit einem Durchmesser von <math>5\,\mathrm{mm}</math>, die Arteria carotis externa mit <math>4\,\mathrm{mm}</math> modelliert. Beide Tochtergefäße sind jeweils <math>60\,\mathrm{mm}</math> lang. Die Grundgeometrie wurde als zusammenhängender zweidimensionaler Volumenkörper aufgebaut. Die beiden Tochtergefäße verlaufen nach der Bifurkation unter einem Winkel auseinander, sodass eine idealisierte Y-förmige Karotisgabel entsteht. Die Übergänge zwischen dem gemeinsamen Gefäß und den beiden Ästen wurden bewusst vereinfacht, aber ohne abrupte Querschnittssprünge gestaltet. Auf diese Weise bleibt die Geometrie ausreichend einfach für einen systematischen Vergleich verschiedener Modellvarianten, bildet die typische Aufzweigung einer Karotis. Die Stenose befindet sich ausschließlich in der Arteria carotis interna. Um die Verengung nicht durch gerade Polygonsegmente mit scharfen Knicken darzustellen, wurde ihre Kontur mithilfe von zwei parametrischen Kosinuskurven erzeugt. Zur Beschreibung der Stenose wird eine parametrische Kurve mit dem Hilfsparameter <math>t</math> verwendet. Dieser nimmt Werte zwischen <math>-1</math> und <math>1</math> an. Über die Beziehung <math>x(t)=x_\mathrm{st}+\frac{L_\mathrm{st}}{2}t</math> wird der Parameter auf die räumliche Position entlang des Gefäßes übertragen. Für <math>t=-1</math> liegt der Beginn der Stenose bei <math>x_\mathrm{st}-L_\mathrm{st}/2</math>, für <math>t=0</math> befindet sich die Kurve in der Stenosenmitte und für <math>t=1</math> am Ende bei <math>x_\mathrm{st}+L_\mathrm{st}/2</math>. Dadurch kann die Länge der Stenose über den Parameter <math>L_\mathrm{st}</math> verändert werden, ohne ihre Mittelpunktposition <math>x_\mathrm{st}</math> zu verschieben. Die Einengung wächst vom Beginn der Stenose kontinuierlich bis zur Engstelle an und nimmt danach ebenso kontinuierlich wieder ab. Dadurch entstehen glatte Wandübergänge. Die Stärke der Einengung wird über den dimensionslosen Stenosegrad <math>s</math> gesteuert. Für einen unverengten Durchmesser der Arteria carotis interna von <math>D_\mathrm{ACI}=5\,\mathrm{mm}</math> ergibt sich bei einem Stenosegrad von <math>s=0{,}3</math> eine minimale Gefäßweite von <math>3{,}5\,\mathrm{mm}</math>, bei <math>s=0{,}6</math> von <math>2{,}0\,\mathrm{mm}</math> und bei <math>s=0{,}8</math> von <math>1{,}0\,\mathrm{mm}</math>. Die minimale Gefäßweite ergibt sich allgemein aus <math>d_\mathrm{min}=D_\mathrm{ACI}(1-s)</math>. Die beiden parametrischen Kurven wurden mit Hilfslinien zu geschlossenen Flächen ergänzt und anschließend über „Umwandeln in Volumenkörper“ in Flächenobjekte überführt. Mithilfe einer Differenzoperation wurden diese Flächen aus dem Gefäßgebiet ausgeschnitten. Auf diese Weise bleibt die Grundgeometrie des Gefäßes unverändert, während Stenosegrad und Stenosenlänge allein über globale Parameter variiert werden können. Für die Strömung wurde Blut als inkompressibles Newtonsches Fluid mit konstanter Dichte und Viskosität angenähert. Verwendet werden eine Dichte von <math>\rho=1060\,\mathrm{kg/m^3}</math> und eine dynamische Viskosität von <math>\mu=3,5\,\mathrm{mPa s}</math>. Am Einlass wird ein voll entwickeltes Geschwindigkeitsprofil vorgegeben. Aus dem auf der Projektseite angesetzten mittleren Volumenstrom von <math>6\,\mathrm{ml/s}</math> ergibt sich für das <math>6\,\mathrm{mm}</math> breite Zuflussgefäß eine mittlere Geschwindigkeit von rund <math>0{,}21\,\mathrm{m/s}</math>. An beiden Auslässen wird derselbe Referenzdruck vorgegeben, während an sämtlichen Gefäßwänden die Haftbedingung (No Slip) gilt. Nach Fertigstellung der Geometrie wurde ein physikgesteuertes Finite-Elemente-Netz erzeugt und die stationäre Navier-Stokes-Strömung berechnet. Anschließend wurden insbesondere der Geschwindigkeitsbetrag, die Druckverteilung und die Stromlinien ausgewertet. Die Stromlinien dienen dabei nicht nur der Visualisierung der Aufteilung des Blutstroms an der Bifurkation, sondern auch zur Erkennung möglicher Ablöse- und Rückströmungsgebiete hinter der Stenose. Zusätzlich kann die Wandschubspannung entlang der Gefäßwand ausgewertet werden. Die verschiedenen Stenosegrade werden jeweils bei ansonsten identischen Randbedingungen miteinander und mit dem gesunden Referenzfall verglichen. == Ergebnisse der 2D-Strömungssimulation == Die zweidimensionale Strömungssimulation wurde mit COMSOL Multiphysics durchgeführt, um die Auswirkungen einer lokalen Gefäßverengung auf die Blutströmung innerhalb einer idealisierten Karotis-Bifurkation zu untersuchen. Im Mittelpunkt der Auswertung stehen die Geschwindigkeitsverteilung, die Druckverteilung sowie die Wandschubspannung. Ergänzend werden Stromlinien betrachtet, um mögliche Veränderungen des Strömungsverlaufs und das Auftreten von Rückströmungsgebieten hinter der Stenose zu untersuchen. Für die aktuell betrachtete Modellvariante beträgt der eingestellte Stenosegrad 80 %. Die Ergebnisse werden hinsichtlich ihrer strömungsmechanischen Bedeutung interpretiert und unter Berücksichtigung der vereinfachenden Modellannahmen bewertet. === Geschwindigkeitsverteilung und Stromlinien === Die Geschwindigkeitsverteilung der zweidimensionalen Karotis-Bifurkation wurde mithilfe des Geschwindigkeitsbetrags ''spf.U'' in COMSOL Multiphysics untersucht. Die berechneten Geschwindigkeiten liegen gemäß der dargestellten Farbskala zwischen nahezu 0 m/s an den Gefäßwänden und ungefähr 0,32 m/s im Strömungsgebiet. Im gemeinsamen Zuflussgefäß zeigt sich eine erhöhte Strömungsgeschwindigkeit im zentralen Bereich, während die Geschwindigkeit zu den Gefäßwänden hin abnimmt. An der Gefäßverzweigung teilt sich die Strömung auf die beiden Tochtergefäße auf. Im oberen Gefäßast führt die lokale Querschnittsverengung zu einer Veränderung der Geschwindigkeitsverteilung. Im Bereich der Engstelle sind erhöhte Geschwindigkeiten zu erkennen, während in wandnahen Bereichen geringere Geschwindigkeiten auftreten. Die zusätzlich dargestellten Stromlinien verdeutlichen den Verlauf der Strömung durch die Gefäßverzweigung. In der vorliegenden Darstellung sind keine eindeutig ausgeprägten geschlossenen Rückströmungsgebiete zu erkennen. '''Interpretation''': Die Ergebnisse zeigen, dass die Gefäßgeometrie die lokale Geschwindigkeitsverteilung beeinflusst. Insbesondere die Verengung verändert die Strömung im betroffenen Gefäßast. Aus der Geschwindigkeitsdarstellung allein lässt sich jedoch noch nicht beurteilen, ob hinter der Stenose eine Strömungsablösung auftritt. <div style="text-align:center;"> [[Datei:Geschwindigkeit spf.png|700px|zentriert|Geschwindigkeitsverteilung und Stromlinien der stationären 2D-Strömungssimulation einer idealisierten Karotis-Bifurkation mit lokaler Stenose im oberen Gefäßast. Die Farbskala zeigt den Geschwindigkeitsbetrag in m/s.]] <small>'''Abbildung 1:''' Geschwindigkeitsverteilung und Stromlinien der stationären 2D-Strömungssimulation einer idealisierten Karotis-Bifurkation mit lokaler Stenose im oberen Gefäßast. Die Farbskala zeigt den Geschwindigkeitsbetrag in m/s.</small> </div> ==== Auswertung ==== Die quantitative Auswertung des Geschwindigkeitsfeldes mittels der COMSOL-Funktion ''Oberflächenmaximum'' ergibt für das gesamte zweidimensionale Strömungsgebiet eine maximale Geschwindigkeit von '''0,31853 m/s'''. Dieser Wert bestätigt die aus der Farbskala abgelesene Größenordnung von etwa '''0,32 m/s'''. Die maximale Geschwindigkeit beschreibt den höchsten lokal auftretenden Geschwindigkeitsbetrag im untersuchten Modell mit einer ACI-Stenose von ''80 %''. Aus dem Maximalwert allein lässt sich jedoch noch nicht bestimmen, an welcher Position innerhalb des Gefäßes dieser auftritt. Auch eine mögliche Rückströmung kann damit nicht nachgewiesen werden. {| class="wikitable" style="text-align:center;" ! Stenosegrad ! <math>u_\mathrm{max}</math> [m/s] |- | 0 % | 0,284 |- | 30 % | 0,271 |- | 60 % | 0,349 |- | 80 % | 0,394 |} ===== Untersuchung möglicher Rückströmungsbereiche ===== Zur Untersuchung möglicher Rückströmungsbereiche wurde der stenotische Abschnitt der ACI vergrößert dargestellt. Zusätzlich zum Geschwindigkeitsfeld wurden Stromlinien mit erhöhter Startpunktanzahl visualisiert. Die Stromlinien zeigen eine Bündelung der Strömung im Bereich der Engstelle und eine anschließende Auffächerung im erweiterten Gefäßabschnitt. In der vergrößerten Darstellung treten entlang der oberen und unteren Gefäßwand hinter der Stenose, ungefähr zwischen x = 104 mm und x = 108 mm, schmale Bereiche mit negativer Geschwindigkeitskomponente auf. Die negative Geschwindigkeitskomponente wurde entlang einer um 15° geneigten Richtung bestimmt. Die dargestellten Werte liegen im Bereich weniger Millimeter pro Sekunde und sind damit deutlich kleiner als die maximale Strömungsgeschwindigkeit von 0,31853 m/s. Trotz der erhöhten Stromliniendichte ist kein eindeutig geschlossenes Rezirkulationsgebiet erkennbar. Die negativen Geschwindigkeitskomponenten liefern Hinweise auf lokale Veränderungen der Strömungsrichtung, stellen jedoch allein keinen sicheren Nachweis einer Strömungsablösung dar. <div style="text-align:center;"> [[Datei:Rückströmungsgebiete 2D.png|800px|zentriert|Vergrößerte Darstellung der Stromlinien und möglicher Rückströmungsbereiche hinter der 80-%-Stenose der ACI. Die Farbskala zeigt die negative Geschwindigkeitskomponente entlang einer um 15° geneigten Richtung. Schmale Bereiche mit negativen Werten sind an den Gefäßwänden erkennbar. Ein geschlossenes Rezirkulationsgebiet ist nicht eindeutig nachweisbar.]] <small>'''Abbildung 2:''' Vergrößerte Darstellung des ACI-Abschnitts hinter der Stenose. Die Farbskala zeigt die Geschwindigkeitskomponente in einer um 15° geneigten Richtung in m/s. Negative Werte weisen auf lokale Strömungsanteile entgegen dieser Richtung hin, belegen jedoch für sich genommen noch keine geschlossene Rezirkulationszone.</small> </div> === Druckverteilung und Druckabfall === Die Druckverteilung wurde anhand der berechneten Isobaren innerhalb der zweidimensionalen Karotis-Bifurkation untersucht. Dabei zeigt sich eine Abnahme des statischen Drucks vom gemeinsamen Zuflussgefäß in Richtung der beiden Gefäßausgänge. Der maximale berechnete Druck beträgt etwa '''74,2 Pa''', während der minimale Druck bei etwa '''−19,9 Pa''' liegt. Daraus ergibt sich eine globale Druckspanne von ungefähr '''94,1 Pa'''. Besonders auffällig ist die Druckverteilung im Bereich der Stenose der Arteria carotis interna (ACI). Dort liegen die Isobaren deutlich enger beieinander, was auf einen ausgeprägten lokalen Druckgradienten hinweist. Stromabwärts der Engstelle treten zudem Bereiche mit niedrigem statischem Druck auf. '''Interpretation''': Die Ergebnisse zeigen, dass die Stenose die lokale Druckverteilung im ACI-Ast deutlich beeinflusst. Die Beschleunigung der Strömung innerhalb der Verengung geht mit einer Abnahme des statischen Drucks einher. Die globale Druckspanne von 94,1 Pa darf jedoch nicht mit dem irreversiblen Druckverlust über der Stenose gleichgesetzt werden. Die globale Druckspanne von 94,1 Pa ist nicht mit dem Druckabfall über der Stenose gleichzusetzen. Zur genaueren Untersuchung wurden deshalb zwei Messquerschnitte vor und hinter der Engstelle ausgewertet. Zwischen diesen ergibt sich eine mittlere statische Druckdifferenz von 36,24 Pa. <div style="text-align:center;"> [[Datei:Druckverteilung_2D.png|800px|zentriert|Druckverteilung der stationären 2D-Strömungssimulation einer idealisierten Karotis-Bifurkation mit 80 % Stenose in der Arteria carotis interna (ACI). Die Isobaren zeigen den Druckverlauf innerhalb der Gefäßgeometrie. Besonders im Bereich der Stenose ist ein ausgeprägter lokaler Druckgradient erkennbar. Der berechnete Druck liegt zwischen −19,9 Pa und 74,2 Pa.]] <small>'''Abbildung 3:''' Druckverteilung der stationären 2D-Strömungssimulation einer idealisierten Karotis-Bifurkation mit 80 % Stenose in der Arteria carotis interna (ACI). Die Isobaren zeigen den Druckverlauf innerhalb der Gefäßgeometrie. Besonders im Bereich der Stenose ist ein ausgeprägter lokaler Druckgradient erkennbar. Der berechnete Druck liegt zwischen −19,9 Pa und 74,2 Pa.</small> </div> ==== Quantitative Bestimmung der Druckdifferenz ==== Zur quantitativen Untersuchung des Druckabfalls wurden zwei Messquerschnitte im ACI-Ast definiert, einer vor und einer hinter der Stenose. Mithilfe der COMSOL-Funktion „Linienmittelwert“ wurde der mittlere statische Druck an beiden Positionen bestimmt. Vor der Stenose beträgt der mittlere Druck '''35,232 Pa''', während hinter der Stenose ein Wert von '''−1,0042 Pa''' ermittelt wurde. Daraus ergibt sich eine Druckdifferenz von '''36,24 Pa'''. Die Ergebnisse zeigen eine deutliche Abnahme des statischen Drucks zwischen den beiden Messquerschnitten. Diese Druckdifferenz verdeutlicht die Druckänderung entlang des stenotischen ACI-Astes. Sie ist jedoch nicht mit dem ausschließlich durch die Stenose verursachten irreversiblen Druckverlust gleichzusetzen, da auch die Strömungsentwicklung in den angrenzenden Gefäßabschnitten berücksichtigt wird. {| class="wikitable" style="text-align:center;" ! Stenosegrad ! <math>\bar p_\mathrm{vor}</math> [Pa] ! <math>\bar p_\mathrm{nach}</math> [Pa] ! <math>\Delta p</math> [Pa] |- | 0 % | 11,631 | 4,2461 | 7,3849 |- | 30 % | 16,919 | 2,9220 | 13,997 |- | 60 % | 35,835 | -0,58267 | 36,41767 |- | 80 % | 70,562 | -0,55906 | 71,12106 |} === Wandschubspannung === Zur Untersuchung der mechanischen Belastung der Gefäßwände wurde die Wandschubspannung (Wall Shear Stress, WSS) im zweidimensionalen Strömungsmodell ausgewertet. Sie beschreibt die tangentiale viskose Spannung, die durch die Strömung an der Gefäßwand entsteht. Die quantitative Auswertung erfolgte für die obere und untere Wand des stenotischen ACI-Abschnitts. Hierfür wurden die entsprechenden Wandkanten in COMSOL ausgewählt und der Betrag der Wandschubspannung bestimmt. Für den untersuchten Stenosebereich ergibt sich eine maximale Wandschubspannung von '''3,2282 Pa'''. Der Wert beschreibt das Maximum auf den ausgewählten Wandkanten der 80-%-Stenose. Da für diese Auswertung der Betrag der Wandschubspannung verwendet wurde, lässt sich daraus allein keine Aussage über eine mögliche Umkehr der wandnahen Strömungsrichtung ableiten. Zur Untersuchung möglicher Ablösebereiche ist zusätzlich eine Auswertung der vorzeichenbehafteten tangentialen Wandschubspannung erforderlich. <div style="text-align:center;"> [[Datei:Wandschubspannung.png|800px|zentriert|Verteilung des Betrags der Wandschubspannung entlang ausgewählter Gefäßwandabschnitte im Bereich der ACI-Stenose. Lokal treten erhöhte Wandschubspannungen auf. Die separate quantitative Auswertung der beiden Stenosewände ergibt einen Maximalwert von 3,2282 Pa.]] <small>'''Abbildung 4:''' Verteilung des Betrags der Wandschubspannung entlang ausgewählter Gefäßwandabschnitte im Bereich der ACI-Stenose. Lokal treten erhöhte Wandschubspannungen auf. Die separate quantitative Auswertung der beiden Stenosewände ergibt einen Maximalwert von 3,2282 Pa.</small> </div> ==== Untersuchung der vorzeichenbehafteten Wandschubspannung ==== Zur weiteren Untersuchung möglicher Strömungsablösungen wurde die vorzeichenbehaftete tangentiale Wandschubspannung entlang der oberen und unteren ACI-Gefäßwand hinter der Stenose ausgewertet. An der oberen Gefäßwand steigt die berechnete Spannung von ungefähr −0,05 Pa auf +0,47 Pa an. Ein Vorzeichenwechsel tritt bei einer Bogenlänge von etwa 0,6 mm auf. An der unteren Gefäßwand steigt die Spannung von ungefähr −0,48 Pa auf +0,06 Pa an. Hier erfolgt ein Vorzeichenwechsel bei einer Bogenlänge von etwa 20 mm. Die Ergebnisse zeigen somit auf beiden untersuchten Wandabschnitten einen Vorzeichenwechsel der tangentialen Spannungskomponente. Dies kann auf Änderungen der wandnahen Strömungsrichtung hinweisen und ist mit möglichen Ablöse- oder Wiederanlagerungsvorgängen vereinbar. Die Bogenlängen beziehen sich jeweils auf den untersuchten Wandabschnitt und können nicht unmittelbar miteinander verglichen werden. Zudem hängt das Vorzeichen von der Orientierung der lokalen Wandtangente ab. Ein geschlossenes Rezirkulationsgebiet lässt sich aus den Vorzeichenwechseln allein nicht eindeutig nachweisen. <div style="text-align:center;"> [[Datei:WSS - Oberer Ast hinter Stenose.png|800px|zentriert|Verlauf der vorzeichenbehafteten tangentialen Wandschubspannung entlang der oberen ACI-Gefäßwand hinter der 80-%-Stenose. Bei einer Bogenlänge von etwa 0,6 mm tritt ein Vorzeichenwechsel auf. Dieser kann auf eine Änderung der wandnahen Strömungsrichtung hinweisen, stellt jedoch allein keinen eindeutigen Nachweis einer Strömungsablösung dar.]] <small>'''Abbildung 5:'''Verlauf der vorzeichenbehafteten tangentialen Wandschubspannung entlang der oberen ACI-Gefäßwand hinter der 80-%-Stenose. Bei einer Bogenlänge von etwa 0,6 mm tritt ein Vorzeichenwechsel auf. Dieser kann auf eine Änderung der wandnahen Strömungsrichtung hinweisen, stellt jedoch allein keinen eindeutigen Nachweis einer Strömungsablösung dar.</small> </div> <div style="text-align:center;"> [[Datei:WSS - Unterer Ast hinter Stenose.png|800px|zentriert|Verlauf der vorzeichenbehafteten tangentialen Wandschubspannung entlang der unteren ACI-Gefäßwand hinter der Stenose. Ein Vorzeichenwechsel tritt bei etwa 20 mm Bogenlänge auf.]] <small>'''Abbildung 6:'''Verlauf der vorzeichenbehafteten tangentialen Wandschubspannung entlang der unteren ACI-Gefäßwand hinter der Stenose. Ein Vorzeichenwechsel tritt bei etwa 20 mm Bogenlänge auf.</small> </div> === Zusammenfassende Bewertung der 2D-Ergebnisse === Die stationäre zweidimensionale Strömungssimulation mit einem Stenosegrad von 80 % zeigt deutliche Veränderungen der Strömungsgrößen innerhalb der idealisierten Karotis-Bifurkation. Die maximale Geschwindigkeit beträgt 0,31853 m/s. Zwischen den ausgewählten Messquerschnitten vor und hinter der ACI-Stenose ergibt sich eine mittlere statische Druckdifferenz von 36,24 Pa. Die maximale Wandschubspannung auf den ausgewerteten Stenosewänden beträgt 3,2282 Pa. Die Untersuchung der Geschwindigkeitskomponenten liefert Hinweise auf lokale Strömungsanteile entgegen der Hauptströmungsrichtung. Ein eindeutig abgegrenztes Rezirkulationsgebiet konnte anhand der vorliegenden Darstellungen jedoch nicht sicher nachgewiesen werden. Die Ergebnisse beschreiben zunächst den untersuchten Fall einer hochgradigen Stenose. Aus diesem einzelnen Fall lässt sich weder eine allgemeine Abhängigkeit der Strömungsgrößen vom Stenosegrad noch ein kritischer Stenosegrad für den Beginn der Strömungsablösung bestimmen. Dafür wäre eine vergleichende Auswertung weiterer Stenosegrade erforderlich. == Resistenzrandbedingung am Auslass (2D-Modell) == === Motivation === Im ursprünglichen 2D-Modell wurde an beiden Auslässen eine Nulldruckbedingung <math>p = 0</math> gesetzt. Physikalisch bedeutet das, dass beide Äste in ein „offenes Becken“ mit gleichem, festem Druck münden. Der Auslassdruck hängt dabei nicht davon ab, wie viel Blut ankommt. Diese Annahme hat zwei Schwächen: * Die Flussaufteilung zwischen ACI und ACE ergibt sich nur aus den kleinen Strömungswiderständen der modellierten Gefäßabschnitte. Wird die ACI durch die Stenose verengt, weicht das Blut nahezu ungehindert in die ACE aus. Im Körper ist das nicht möglich, weil hinter der ACI das Gefäßbett des Gehirns mit einem eigenen, großen Widerstand liegt. * Das Druckniveau (Auslass bei 0 Pa) ist nicht physiologisch. Im 3D-Modell wurde deshalb an beiden Auslässen eine '''Resistenzrandbedingung''' verwendet. Damit 2D- und 3D-Modell vergleichbar sind, haben wir dieselbe Randbedingung auch im 2D-Modell eingebaut. === Formel und Herleitung === Das gesamte nachgeschaltete Gefäßbett hinter jedem Auslass wird durch einen einzigen peripheren Widerstand <math>R_p</math> ersetzt: :<math>p_{\text{aus}} = k_R \cdot R_p \cdot Q</math> Dabei ist <math>Q</math> der Volumenstrom durch den Auslass und <math>k_R</math> ein Schalter (<math>k_R = 1</math>: Widerstand, <math>k_R = 0</math>: ursprüngliche Bedingung <math>p = 0</math>). '''1. Gesunde Flussaufteilung nach dem Murray-Gesetz''' Der Volumenstrom eines Gefäßes ist nach Murray proportional zur dritten Potenz des Durchmessers. Für den Anteil der ACI am Gesamtfluss gilt damit: :<math>\varphi_0 = \frac{D_I^3}{D_I^3 + D_E^3} = \frac{(5\,\text{mm})^3}{(5\,\text{mm})^3 + (4\,\text{mm})^3} \approx 0{,}661</math> Mit dem mittleren Volumenstrom der A. carotis communis <math>Q_0 = 6\,\text{ml/s}</math> (Holdsworth u. a. 1999) folgt: :<math>Q_{I,0} = \varphi_0 \cdot Q_0 \approx 3{,}97\,\text{ml/s}, \qquad Q_{E,0} = (1-\varphi_0) \cdot Q_0 \approx 2{,}03\,\text{ml/s}</math> '''2. Bestimmung der peripheren Widerstände''' Die Widerstände werden so gewählt, dass im gesunden Zustand an beiden Auslässen der treibende Druck des peripheren Gefäßbetts <math>p_D = 90\,\text{mmHg} \approx 12\,000\,\text{Pa}</math> anliegt: :<math>R_{pI} = \frac{p_D}{Q_{I,0}} \approx 3{,}0 \cdot 10^{9}\,\frac{\text{Pa}\cdot\text{s}}{\text{m}^3}, \qquad R_{pE} = \frac{p_D}{Q_{E,0}} \approx 5{,}9 \cdot 10^{9}\,\frac{\text{Pa}\cdot\text{s}}{\text{m}^3}</math> Die Randbedingungen an den beiden Auslässen lauten damit: :<math>p_{\text{aus},I} = k_R \cdot R_{pI} \cdot Q_I, \qquad p_{\text{aus},E} = k_R \cdot R_{pE} \cdot Q_E</math> '''3. Umrechnung des Flusses im 2D-Modell''' Im 2D-Modell liefert das Integral der Normalgeschwindigkeit über den Auslassrand keinen Volumenstrom in m³/s, sondern einen Fluss pro Tiefe <math>q</math> in m²/s. Damit die Widerstände aus dem 3D-Modell verwendet werden können, wird <math>q</math> mit einer einheitlichen Ersatztiefe <math>b</math> in einen Volumenstrom umgerechnet: :<math>Q = q \cdot b, \qquad b = \frac{\pi \, D_{CC}}{4}</math> Die Ersatztiefe ist so gewählt, dass am Einlass mit der mittleren Einströmgeschwindigkeit <math>\bar{u}_{ein} = Q_0 / (\pi D_{CC}^2/4) \approx 0{,}21\,\text{m/s}</math> genau der Volumenstrom des 3D-Modells von 6 ml/s ankommt. Weil dieselbe Ersatztiefe für alle Ränder gilt, bleibt die Massenbilanz erhalten. === Ergebnisse mit Resistenzrandbedingung === {| class="wikitable" style="text-align:center" |+ Maximale Geschwindigkeit ! Stenosegrad S !! <math>u_{max}</math> [m/s] |- | 0 || 0,324^* |- | 0,3 || 0,323^* |- | 0,6 || 0,529 |- | 0,8 || 1,067 |} ^* Bei S = 0 und S = 0,3 liegt das Geschwindigkeitsmaximum nicht in der Stenose, sondern in der A. carotis communis. {| class="wikitable" style="text-align:center" |+ Druck vor und nach der Stenose ! Stenosegrad S !! <math>p_{vor}</math> [Pa] !! <math>p_{nach}</math> [Pa] !! Druckverlust <math>\Delta p = p_{vor} - p_{nach}</math> [Pa] !! <math>\Delta p</math> [mmHg] |- | 0 || 11 802 || 11 793 || 9 || 0,07 |- | 0,3 || 11 808 || 11 790 || 18 || 0,14 |- | 0,6 || 11 838 || 11 760 || 78 || 0,59 |- | 0,8 || 12 024 || 11 626 || 398 || 2,99 |} === Auswertung === * '''Druckniveau:''' Mit der Resistenzrandbedingung liegt der Druck bei etwa 11 800 Pa ≈ 88,5 mmHg. Das entspricht dem mittleren arteriellen Druck in der Carotis. Mit <math>p = 0</math> lagen die Drücke nur bei wenigen Pa bis einigen 100 Pa. * '''Flussaufteilung:''' Die peripheren Widerstände sind wesentlich größer als der Widerstand der Stenose. Deshalb bestimmen sie die Flussaufteilung, und die ACI behält auch bei 80 % Stenose nahezu ihren Anteil (Abnahme von <math>Q_I</math> nur um etwa 1 %). Im Gegensatz zu <math>p = 0</math> kann das Blut nicht einfach in die ACE ausweichen. Das entspricht dem physiologischen Verhalten bei nicht kritischen Stenosen. * '''Geschwindigkeit:''' Weil mehr Blut durch die Engstelle strömen muss, steigen die Geschwindigkeiten in der Stenose gegenüber <math>p = 0</math>. Von S = 0,6 auf S = 0,8 verdoppelt sich <math>u_{max}</math> etwa. * '''Druckverlust:''' Der Druckverlust steigt stark nichtlinear mit dem Stenosegrad. Von S = 0,6 auf S = 0,8 nimmt er etwa um den Faktor 5 zu. * '''Druckrückgewinnung:''' Bei S = 0,8 liegt <math>p_{nach}</math> mit 11 626 Pa sogar unter dem Auslassdruck (≈ 11 680 Pa). Direkt hinter der Engstelle ist die Geschwindigkeit des Strahls noch hoch und der statische Druck entsprechend niedrig. Stromabwärts verlangsamt sich die Strömung, und ein Teil des Drucks wird zurückgewonnen. Der bleibende Druckverlust ist daher etwas kleiner als 398 Pa. === Grenzen und Vergleich mit dem 3D-Modell === * Im 2D-Modell verringert eine Stenose von 80 % nur die '''Spaltbreite''' auf 20 %. Im 3D-Modell sinkt die '''Querschnittsfläche''' dagegen auf <math>0{,}2^2 = 4\,\%</math>. Das 2D-Modell unterschätzt deshalb Geschwindigkeit und Druckverlust in der Stenose systematisch. Klinisch gelten bei Stenosen ab 70 % systolische Spitzengeschwindigkeiten über 2,3 m/s; ab einem Druckgradienten von etwa 10–20 mmHg gilt eine Stenose als hämodynamisch relevant. Beide Grenzen erreicht das 2D-Modell nicht. * Die Umrechnung über die Ersatztiefe <math>\pi D_{CC}/4</math> ist eine Modellannahme. * Der periphere Widerstand ist konstant. Die Autoregulation des Gehirns und die Gefäßelastizität (Windkessel) werden nicht berücksichtigt, und die Rechnung ist stationär (keine Pulsatilität). == Beantwortung der Forschungsfragen == '''Welche Strömungsgrößen reagieren empfindlich auf den Stenosegrad?''' Die Untersuchung der 80-%-Stenose zeigt deutliche Veränderungen der Geschwindigkeitsverteilung, des statischen Drucks und der Wandschubspannung. Die maximale Strömungsgeschwindigkeit beträgt 0,31853 m/s. Zwischen den ausgewählten Messquerschnitten vor und hinter der Stenose ergibt sich eine mittlere statische Druckdifferenz von 36,24 Pa. Die maximale Wandschubspannung auf den untersuchten Stenosewänden beträgt 3,2282 Pa.Da bisher nur die 80-%-Stenose quantitativ ausgewertet wurde, lässt sich noch nicht feststellen, welche dieser Größen bei zunehmendem Stenosegrad am stärksten reagiert. '''Ab welchem Stenosegrad tritt eine Strömungsablösung auf?''' Bei der untersuchten 80-%-Stenose zeigen die Geschwindigkeitskomponenten und die vorzeichenbehaftete Wandschubspannung Hinweise auf Veränderungen der wandnahen Strömungsrichtung hinter der Engstelle. Ein eindeutig geschlossenes Rezirkulationsgebiet konnte jedoch nicht nachgewiesen werden. Ein kritischer Stenosegrad für den Beginn einer Strömungsablösung lässt sich aus dieser einzelnen Simulation daher nicht bestimmen. Hierfür müssten weitere Stenosegrade unter vergleichbaren Bedingungen ausgewertet werden. '''Inwieweit sind die Annahmen einer stationären und laminaren Strömung geeignet?''' Die stationäre, laminare Modellierung ermöglicht es, grundlegende Auswirkungen einer Gefäßverengung auf die Strömung in einer idealisierten Karotis-Bifurkation zu untersuchen. Bei hochgradigen Stenosen können allerdings zeitabhängige und dreidimensionale Strömungsstrukturen auftreten. Diese werden durch das vorliegende stationäre 2D-Modell nicht vollständig erfasst. Die Simulationsergebnisse sind deshalb auf die gewählten Modellannahmen und Randbedingungen beschränkt. '''Zusammenfassend''' liefert die 2D-Simulation eine erste quantitative Beschreibung der Strömungsverhältnisse bei einer hochgradigen ACI-Stenose. Für allgemeine Aussagen über die Abhängigkeit vom Stenosegrad und den Beginn einer Strömungsablösung sind zusätzliche Vergleichsrechnungen erforderlich. = Grenzen des Modells = * Die untersuchte Gefäßgeometrie ist eine idealisierte Darstellung der Karotisaufzweigung. Individuelle anatomische Unterschiede werden nicht berücksichtigt. * Darüber hinaus werden die Gefäßwände als starr angenommen und Blut wird durch ein inkompressibles Newtonsches Fluid mit konstanter Viskosität beschrieben. * Die Strömung wird stationär berechnet. Die natürliche Pulsation des Blutflusses und zeitabhängige Effekte bleiben damit unberücksichtigt. * Insbesondere bei hochgradigen Stenosen können zeitabhängige Strömungsablösungen auftreten, die durch eine stationäre Modellierung nicht vollständig beschrieben werden. * Das Graphenmodell kann lokale Strömungsphänomene nicht detailliert erfassen. Das ebene Flächenmodell vereinfacht die räumliche Gefäßgeometrie. Auch das dreidimensionale Modell bleibt aufgrund der idealisierten Geometrie und der vereinfachten Materialannahmen eine Annäherung an die reale Blutströmung. * Die Ergebnisse sind daher als strömungsmechanische Untersuchung eines idealisierten Modells zu interpretieren und nicht als patientenspezifische medizinische Vorhersage. = Literaturverzeichnis = Alle Quellen sind an den Stellen im Text angegeben, an denen die zugehörigen Werte oder Aussagen verwendet werden. Die Liste wird aus diesen Angaben automatisch erzeugt. <references /> porpsxol6ku9njbe9eyydw7dxqjd4c4 0 173210 1119007 1117244 2026-11-07T04:50:34Z C.Koltzenburg 13981 /* ... */ + 1530 1119007 wikitext text/x-wiki <div style="page-break-inside:avoid"> === 1540 === === 1539 === === 1538 === === 1537 === === 1536 === === 1535 === === 1534 === === 1533 === === ... === === 1530 === Karl V. wird Kaiser (bis 1558) === 1509 === Erasmus von Rotterdem weilt bei Thomas Morus in England, wo er sein ''Lob der Torheit'' (''Laus stultitiae'') fertigstellt, das 1511 in Paris und Straßburg publiziert wurde, dann 1515 in Basel (mit 83 Handzeichnungen des Malers Hans Holbein d. J.). * [[Hilfe:Kartographer/VisualEditor|Karten]] * [[Hilfe:Kategorien/VisualEditor|Kategorien]] * [[Hilfe:Tags/Kommentar/VisualEditor|Kommentar]] * [[Hilfe:VisualEditor/Schrifteigenschaften#italic|Kursivschrift]] </div> rl5xx4op785b5qzwqgepu6xq4acy68q 1119008 1119007 2026-11-07T04:52:44Z C.Koltzenburg 13981 /* 1509 */ 1119008 wikitext text/x-wiki <div style="page-break-inside:avoid"> === 1540 === === 1539 === === 1538 === === 1537 === === 1536 === === 1535 === === 1534 === === 1533 === === ... === === 1530 === Karl V. wird Kaiser (bis 1558) === 1509 === Erasmus von Rotterdem weilt bei Thomas Morus in England, wo er sein ''Lob der Torheit'' (''Laus stultitiae'') fertigstellt, das 1511 in Paris und Straßburg publiziert wurde, dann 1515 in Basel (mit 83 Handzeichnungen des Malers Hans Holbein d. J.). === 1506 === 18. April: mit dem Bau des Petersdoms in Rom wird begonnen. * [[Hilfe:Kartographer/VisualEditor|Karten]] * [[Hilfe:Kategorien/VisualEditor|Kategorien]] * [[Hilfe:Tags/Kommentar/VisualEditor|Kommentar]] * [[Hilfe:VisualEditor/Schrifteigenschaften#italic|Kursivschrift]] </div> 2c1kzhjd2hsvnagjazsdnnc4bnggslj 1119009 1119008 2026-11-07T04:54:08Z C.Koltzenburg 13981 /* 1506 */ 1119009 wikitext text/x-wiki <div style="page-break-inside:avoid"> === 1540 === === 1539 === === 1538 === === 1537 === === 1536 === === 1535 === === 1534 === === 1533 === === ... === === 1530 === Karl V. wird Kaiser (bis 1558) === 1509 === Erasmus von Rotterdem weilt bei Thomas Morus in England, wo er sein ''Lob der Torheit'' (''Laus stultitiae'') fertigstellt, das 1511 in Paris und Straßburg publiziert wurde, dann 1515 in Basel (mit 83 Handzeichnungen des Malers Hans Holbein d. J.). === 1506 === 18. April: mit dem Bau des Petersdoms in Rom wird begonnen (Papst Julius II.) * [[Hilfe:Kartographer/VisualEditor|Karten]] * [[Hilfe:Kategorien/VisualEditor|Kategorien]] * [[Hilfe:Tags/Kommentar/VisualEditor|Kommentar]] * [[Hilfe:VisualEditor/Schrifteigenschaften#italic|Kursivschrift]] </div> m7ck7qxy5mb2cs8xv8yujgqm5qcjc1l 0 173231 1119003 1117513 2026-11-06T17:38:49Z Bocardodarapti 2041 1119003 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Mit den üblichen Eurozahlen {{ Zusatz/Klammer |text= {{mathlk|term= 1,2,5,10, ... |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} werde ein Betrag in der folgenden Weise beglichen {{ Math/display|term= 2 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + 2 \cdot 5 + 1 \cdot 10 |SZ=. }} Ersetze in dieser Darstellung sukzessive zwei {{ Zusatz/Klammer |text=oder drei| |ISZ=|ESZ= }} der verwendeten Geldmittel {{ Zusatz/Klammer |text=Münzen oder Scheine| |ISZ=|ESZ= }} durch ein Geldmittel, bis letztlich die minimale Darstellung dieses Betrages durch die Eurozahlen erreicht wird. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Münzsysteme |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} 5m1x8xqr72kb4mqb5rlw1u062fu0qqc 0 173370 1119015 1118837 2026-11-07T09:32:08Z Bocardodarapti 2041 1119015 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es sei {{ Relationskette | M | \subseteq | \Z^d || || || |SZ= }} ein endlich erzeugtes kommutatives Monoid, das {{ Definitionslink |Prämath= |spitz| |Kontext=Monoid| |SZ= }} sei und wobei {{math|term= \Z^d |SZ=}} das {{ Definitionslink |Prämath= |Differenzengitter| |Kontext=| |SZ= }} von {{math|term= M |SZ=}} sei. |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung= Dann ist der Monoidring {{math|term= K[M] |SZ=}} im Nullpunkt genau dann glatt, wenn {{ Relationskette | M | \cong | \N^d || || || |SZ= }} ist. |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der kommutativen Monoidringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage=GLattheit von Monoidringen |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} cfd6zfxtqy1het0xg2vexfqewhb8us3 1119016 1119015 2026-11-07T09:32:16Z Bocardodarapti 2041 1119016 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es sei {{ Relationskette | M | \subseteq | \Z^d || || || |SZ= }} ein endlich erzeugtes kommutatives Monoid, das {{ Definitionslink |Prämath= |spitz| |Kontext=Monoid| |SZ= }} sei und wobei {{math|term= \Z^d |SZ=}} das {{ Definitionslink |Prämath= |Differenzengitter| |Kontext=| |SZ= }} von {{math|term= M |SZ=}} sei. |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung= Dann ist der Monoidring {{math|term= K[M] |SZ=}} im Nullpunkt genau dann glatt, wenn {{ Relationskette | M | \cong | \N^d || || || |SZ= }} ist. |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der kommutativen Monoidringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage=Glattheit von Monoidringen |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} 5ipjbj1que42hys4ionw9mguq13ov6d 2 173438 1118984 2026-11-06T12:27:05Z Paul Sutermeister 37610 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1118984 wikitext text/x-wiki __NOTOC__ = Reflexive Verben – Schritt für Schritt = Das Wort «reflexiv» klingt kompliziert. Die Sache dahinter ist aber ganz einfach. In diesem Lernpfad gehen Sie in sechs kleinen Schritten vor. Nach jedem Schritt prüfen Sie mit einem kurzen Quiz, ob Sie es verstanden haben. == Schritt 1: Was heisst «reflexiv»? == «Reflexiv» kommt vom lateinischen Wort ''reflectere'' und bedeutet «zurückbiegen». Denken Sie an einen '''Spiegel''': Was Sie hineinschicken, kommt zu Ihnen zurück. Bei einem reflexiven Verb geht die Handlung also '''zurück zur Person, die sie macht'''. Vergleichen Sie: * Ich wasche '''das Auto'''. → Die Handlung geht zum Auto. * Ich wasche '''mich'''. → Die Handlung geht zu mir zurück. '''Das ist reflexiv.''' '''Merksatz:''' ''Reflexiv = Ich mache etwas mit mir selbst.'' <quiz display=simple> {In welchem Satz geht die Handlung zur Person zurück, die sie macht? |type="()"} - Lisa kämmt ihre kleine Schwester. || Hier kämmt Lisa eine andere Person. + Lisa kämmt sich. || Richtig! Lisa kämmt sich selbst. - Lisa kämmt den Hund. || Hier geht die Handlung zum Hund. {Was bedeutet «reflexiv» ungefähr? |type="()"} - schnell + zurückbezogen, wie bei einem Spiegel - in der Vergangenheit - höflich </quiz> == Schritt 2: Die kleinen Wörter – die Reflexivpronomen == Das Wort, das «zurück» zur Person zeigt, heisst '''Reflexivpronomen'''. Es ändert sich je nach Person: {| class="wikitable" ! Person !! Reflexivpronomen !! Beispiel |- | ich || '''mich''' || Ich freue '''mich'''. |- | du || '''dich''' || Du freust '''dich'''. |- | er / sie / es || '''sich''' || Er freut '''sich'''. |- | wir || '''uns''' || Wir freuen '''uns'''. |- | ihr || '''euch''' || Ihr freut '''euch'''. |- | sie / Sie || '''sich''' || Sie freuen '''sich'''. |} '''Tipp:''' Nur bei ''er, sie, es'' und ''sie/Sie'' (Mehrzahl und Höflichkeitsform) heisst es «sich». Darum schreibt man im Wörterbuch immer: '''sich''' freuen, '''sich''' beeilen usw. <quiz display=simple> {Ergänzen Sie das passende Reflexivpronomen. |type="{}"} Ich freue { mich _5 } auf das Wochenende. Du beeilst { dich _5 } am Morgen. Herr Meier erkundigt { sich _5 } nach dem Preis. Wir treffen { uns _5 } um 10 Uhr. Ihr meldet { euch _5 } bitte bis Freitag. Die Lernenden bewerben { sich _5 } um eine Stelle. </quiz> == Schritt 3: Echte reflexive Verben – «sich» muss immer dabei sein == Bei manchen Verben '''muss''' das Reflexivpronomen immer stehen. Ohne «sich» ergibt der Satz keinen Sinn. Das sind '''echte reflexive Verben'''. Beispiele aus dem Berufsalltag: * sich beeilen – ''Ich beeile mich.'' * sich bedanken – ''Wir bedanken uns für Ihre Bestellung.'' * sich bewerben – ''Sie bewirbt sich bei einer Bank.'' * sich erkundigen – ''Ich erkundige mich nach den Lieferzeiten.'' * sich verspäten – ''Der Zug verspätet sich.'' * sich erholen – ''Er erholt sich in den Ferien.'' '''Test:''' Streichen Sie das «sich». ''Ich beeile.'' – Das geht nicht! → echtes reflexives Verb. <quiz display=simple> {Welche Verben sind '''echte''' reflexive Verben? (Mehrere Antworten richtig) |type="[]"} + sich beeilen || Richtig: «Ich beeile.» geht nicht. - waschen || Man kann auch «Ich wasche das Auto» sagen. + sich bedanken || Richtig: «Ich bedanke.» geht nicht. + sich verspäten || Richtig: «Ich verspäte.» geht nicht. - kämmen || Man kann auch «Ich kämme den Hund» sagen. {Welcher Satz ist korrekt? |type="()"} - Ich erhole in den Ferien. + Ich erhole mich in den Ferien. - Ich erhole dich in den Ferien. || «Erholen» kann man nur sich selbst. </quiz> == Schritt 4: Unechte reflexive Verben – «sich» kann man austauschen == Andere Verben '''können''' reflexiv sein, müssen aber nicht. Statt «sich» kann auch eine andere Person oder Sache stehen. Das sind '''unechte reflexive Verben'''. {| class="wikitable" ! reflexiv (zu mir zurück) !! nicht reflexiv (zu etwas anderem) |- | Ich wasche '''mich'''. || Ich wasche '''das Auto'''. |- | Sie zieht '''sich''' an. || Sie zieht '''das Kind''' an. |- | Er stellt '''sich''' vor. || Er stellt '''den Kunden''' vor. |- | Wir informieren '''uns'''. || Wir informieren '''die Chefin'''. |} '''Test:''' Können Sie «sich» durch eine andere Person ersetzen? → Ja = unecht reflexiv. <quiz display=simple> {Ist das Verb in diesem Satz echt oder unecht reflexiv? «Ich informiere mich über das Angebot.» |type="()"} - echt reflexiv + unecht reflexiv || Richtig: Man kann auch «Ich informiere die Kundin» sagen. {Ist das Verb in diesem Satz echt oder unecht reflexiv? «Ich bedanke mich für die Hilfe.» |type="()"} + echt reflexiv || Richtig: «Ich bedanke die Kundin» geht nicht. - unecht reflexiv {Ist das Verb in diesem Satz echt oder unecht reflexiv? «Der Lehrling stellt sich vor.» |type="()"} - echt reflexiv + unecht reflexiv || Richtig: Man kann auch «Er stellt den neuen Kollegen vor» sagen. </quiz> == Schritt 5: mich oder mir? == Manchmal heisst es nicht «mich», sondern «mir». Die Regel ist einfach: * Steht '''nur''' das Reflexivpronomen da → '''mich / dich''' ** ''Ich wasche '''mich'''.'' * Steht '''zusätzlich''' noch eine Sache da → '''mir / dir''' ** ''Ich wasche '''mir''' '''die Hände'''.'' {| class="wikitable" ! Person !! nur Pronomen !! Pronomen + Sache |- | ich || Ich ziehe '''mich''' an. || Ich ziehe '''mir''' die Jacke an. |- | du || Du kämmst '''dich'''. || Du kämmst '''dir''' die Haare. |- | er / sie / es || Er wäscht '''sich'''. || Er wäscht '''sich''' die Hände. |- | wir || Wir merken es '''uns'''. || Wir merken '''uns''' den Termin. |} '''Gute Nachricht:''' Nur bei ''ich'' und ''du'' gibt es zwei Formen. Bei allen anderen bleibt es gleich (sich, uns, euch). <quiz display=simple> {Ergänzen Sie «mich» oder «mir». |type="{}"} Ich wasche { mich _5 } jeden Morgen. Ich wasche { mir _5 } die Hände. Ich ziehe { mir _5 } den Mantel an. Ich ärgere { mich _5 } über den Fehler. Ich merke { mir _5 } das Datum. {Ergänzen Sie «dich» oder «dir». |type="{}"} Kämmst du { dich _5 } noch? Putzt du { dir _5 } die Zähne? Hast du { dich _5 } schon beworben? </quiz> == Schritt 6: Wo steht das Reflexivpronomen? == Das Reflexivpronomen steht meistens '''direkt nach dem konjugierten Verb''': * Ich '''freue mich''' auf die Prüfung. * Morgen '''melde ich mich''' bei Ihnen. In der Vergangenheit (Perfekt) bilden reflexive Verben die Form fast immer mit '''haben''': * Ich '''habe mich''' beworben. * Wir '''haben uns''' verspätet. <quiz display=simple> {Welcher Satz ist korrekt? |type="()"} - Ich bin mich beworben. + Ich habe mich beworben. || Richtig: Reflexive Verben bilden das Perfekt mit «haben». - Ich habe beworben mich. {Welcher Satz ist korrekt? |type="()"} + Morgen melde ich mich bei Ihnen. - Morgen melde mich ich bei Ihnen. - Morgen ich melde mich bei Ihnen. </quiz> == Abschlussquiz == Jetzt kennen Sie alles Wichtige. Testen Sie Ihr Wissen! <quiz display=simple> {Was ist ein reflexives Verb? |type="()"} - Ein Verb, das in der Vergangenheit steht. + Ein Verb, bei dem die Handlung zur handelnden Person zurückgeht. - Ein Verb, das man nur in Fragen braucht. {Ergänzen Sie das richtige Reflexivpronomen. |type="{}"} Sehr geehrte Frau Keller, wir bedanken { uns _5 } für Ihre Anfrage. Ich habe { mich _5 } nach dem Liefertermin erkundigt. Der Kunde beschwert { sich _5 } über die Rechnung. Habt ihr { euch _5 } schon angemeldet? Ich lege { mir _5 } den Termin in die Agenda. Du musst { dich _5 } beeilen. {Welche Sätze sind korrekt? (Mehrere Antworten richtig) |type="[]"} + Wir haben uns gut erholt. - Ich wasche mich die Hände. || Hier steht noch eine Sache («die Hände») → «mir». + Sie entschuldigt sich für die Verspätung. - Ich freue dich auf die Ferien. || Bei «ich» heisst es «mich». + Er zieht sich die Krawatte an. {Welches Verb ist '''unecht''' reflexiv? |type="()"} - sich beeilen - sich bedanken + sich vorstellen || Richtig: Man kann sich selbst oder eine andere Person vorstellen. - sich verspäten </quiz> == Zusammenfassung == {| class="wikitable" ! Was? !! Erklärung !! Beispiel |- | reflexiv || Die Handlung geht zur Person zurück. || Ich wasche '''mich'''. |- | Reflexivpronomen || mich, dich, sich, uns, euch, sich || Wir freuen '''uns'''. |- | echt reflexiv || «sich» muss immer stehen. || '''sich''' beeilen, '''sich''' bedanken |- | unecht reflexiv || «sich» kann man ersetzen. || '''sich''' / '''das Auto''' waschen |- | mich oder mir? || Zusätzliche Sache im Satz → mir / dir || Ich wasche '''mir''' die Hände. |- | Perfekt || immer mit «haben» || Ich '''habe mich''' beworben. |} 2pdfse3jaqpyv55p03yd0g3lj09um90 0 173439 1118987 2026-11-06T13:11:23Z Platzm 21125 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1118987 wikitext text/x-wiki =Lernbausteine zum Lernen über KI in KITA und Grundschule= 20semcksfvggtf4fdhxv1fwqxyxwz6k 1118990 1118987 2026-11-06T13:38:30Z Platzm 21125 /* Lernbausteine zum Lernen über KI in KITA und Grundschule */ 1118990 wikitext text/x-wiki =Lernbausteine zum Lernen über KI in KITA und Grundschule= Diese Seite stellt '''Lernbausteine zu Künstlicher Intelligenz (KI), Suchmaschinen und Sprachmodellen''' für die Kita bzw. Klassen 1 und 2 und für die Klassen 3 und 4 der Grundschule bereit. Die Bausteine wurden an der Professur für Didaktik der Primarstufe – Schwerpunkt Mathematik der Universität des Saarlandes entwickelt. == Worum es geht == Kinder begegnen KI-Systemen früh: Sie stellen Sprachassistenten Fragen, sehen Vorschläge auf Videoplattformen und nutzen Suchmaschinen. Wie diese Systeme funktionieren, bleibt ihnen meist verborgen. Die Lernbausteine setzen hier an. Ihr Grundgedanke ist, dass Kinder die Funktionsweise von KI-Systemen mit Mathematik erschließen können, die sie ohnehin lernen: Sie zählen Häufigkeiten, ordnen und sortieren, vergleichen Daten, würfeln mit Zufallsgeneratoren und rechnen mit großen Zahlen. So wird nachvollziehbar, wie ein Sprachmodell das nächste Wort wählt, warum eine Suchmaschine Ergebnisse in eine bestimmte Reihenfolge bringt oder weshalb eine KI mit einseitigen Trainingsdaten unfair entscheidet. Die meisten Bausteine kommen ohne Computer aus (''Informatik unplugged''). Die Kinder handeln selbst: Sie falten, sortieren, würfeln, spielen einen Roboter oder trainieren einen einfachen Bildklassifizierer. Jeder Baustein endet mit einer Reflexion, in der das Erlebte auf reale Systeme wie Suchmaschinen oder KI-Chatbots übertragen wird. Dabei geht es nicht nur um Technik, sondern auch um Fragen wie: Wer entscheidet, was eine Suchmaschine zuerst anzeigt? Ist es fair, wenn ein Algorithmus geheim bleibt? Versteht ein Chatbot, was er schreibt? == Aufbau == Die Bausteine sind in zwei Reihen gegliedert: * '''Kita:''' vier Bausteine zu regelbasierten Systemen, Sortieren, maschinellem Lernen und Sprachmodellen. * '''Klassen 3 und 4:''' zehn Bausteine in vier Strängen – Basis (Algorithmen und Sortieren), Suchmaschinen, Künstliche Intelligenz und Sprachmodelle (LLM). Alle Bausteine sind gleich aufgebaut: ''Darum geht es'', Bezüge zu Mathematik und Informatik, Material, Durchführung, Reflexion und Literatur. Arbeitsblätter (AB) und Druckvorlagen liegen als eigene Dateien bei. {| class="wikitable" ! Baustein !! Kernidee !! Mathematik |- ! colspan="3" | Kita |- | KITA-Baustein 1: Chinesisches Zimmer || Eine Maschine folgt Regeln, ohne zu verstehen || Zuordnen, Würfelbilder erkennen |- | KITA-Baustein 2: Sortieren || Es gibt mehrere „richtige“ Sortierungen || Klassifizieren nach Merkmalen |- | KITA-Baustein 3: Machine Learning || Einseitige Trainingsdaten führen zu Fehlern || Mengen erfassen und vergleichen |- | KITA-Baustein 4: Sprachmodell || Wörter werden per Zufall ausgewählt || Münzwurf, Gleichwahrscheinlichkeit |- ! colspan="3" | Klassen 3 und 4 |- | Basis-Baustein 1: NIM-Spiel || Eine Gewinnstrategie ist ein Algorithmus || Problemlösen, Zahlenreihe bis 10 |- | Basis-Baustein 2: Bubble Sort || Sortieralgorithmen und Ranking || Längen vergleichen, ordnen |- | SE-Baustein 1: Algorithmus || Eingabe – Verarbeitung – Ausgabe || Geometrie: Falten |- | SE-Baustein 2: Ranking || Wer entscheidet, was oben steht? || Daten erheben, Häufigkeitstabelle |- | SE-Baustein 3: „Besser“ suchen || Datensatz – Lernalgorithmus – Vorhersage || Häufigkeiten und Vorhersage |- | KI-Baustein 1: Machine Learning || Algorithmische Verzerrung (Bias) || Ebene Figuren klassifizieren, Daten |- | KI-Baustein 2: Ethische Matrizen || Algorithmen betreffen viele Interessen || Würfelgebäude, Diagramme |- | LLM-Baustein 1: Bigram-Modell || Häufigkeit bestimmt Wahrscheinlichkeit || Häufigkeiten, platonische Körper |- | LLM-Baustein 2: Papier-GPT || Kontext und Zufall beim Textgenerieren || Münzwurf, Laplace-Experiment |- | LLM-Baustein 3: Fermi-Aufgabe || Die Menge der Trainingsdaten || Große Zahlen, Größen umrechnen |} == Hinweise zur Nutzung == Die Bausteine lassen sich einzeln einsetzen, bauen aber teilweise aufeinander auf. Sinnvoll sind folgende Abfolgen: * '''Kita:''' Baustein 2 (Sortieren) vor Baustein 3 (Machine Learning), da dieselben Bildkarten genutzt werden; Baustein 1 (Chinesisches Zimmer) und Baustein 4 (Sprachmodell) ergänzen sich in der Frage, ob eine Maschine versteht, was sie tut. * '''Klassen 3 und 4:''' Der Algorithmusbegriff aus Basis-Baustein 1 oder SE-Baustein 1 bildet die Grundlage für die übrigen Bausteine. Die Suchmaschinen-Bausteine 1 bis 3 und die LLM-Bausteine 1 bis 3 sind jeweils als Reihe gedacht. KI-Baustein 2 greift die Faltanleitungen aus SE-Baustein 2 auf. Für die Durchführung sind keine Programmierkenntnisse nötig. Zwei Bausteine nutzen frei zugängliche Webanwendungen: ''Machine Learning for Kids'' (KI-Baustein 1, KITA-Baustein 3; ohne Benutzerkonto nutzbar, die Daten bleiben im Browser) und die App ''BIGRAM'' (LLM-Baustein 1). == Lernbausteine für die Kita == === KITA-Baustein 1: Chinesisches Zimmer === Ein Kind sitzt in einem selbst gebastelten Karton-Roboter. Durch einen Schlitz bekommt es Würfelbilder hineingereicht und gibt mithilfe eines Regelbuchs die passende Schmetterlingskarte heraus – ohne zu wissen, wozu. Das Spiel greift das Gedankenexperiment des „Chinesischen Zimmers“ von John Searle auf: Von außen wirkt die Antwort passend, obwohl drinnen niemand versteht, worum es geht. Die Kinder üben dabei Zuordnung und das Erkennen von Würfelbildern und erleben das Prinzip Eingabe – Verarbeitung – Ausgabe. In der Reflexion sprechen sie darüber, wie es sich anfühlt, „mechanisch“ zu antworten, und ob ein Roboter – oder eine KI – wirklich nachdenkt oder fühlt. Der Baustein wirkt so der Vermenschlichung von KI entgegen. '''Material:''' Baustein-Beschreibung, Regelbuch, Bildkarten, Karton und Bastelmaterial <!-- DATEI: KITA-Baustein-1_Chinesisches-Zimmer.pdf | Druckvorlage_..._Regelbuch.pdf | Druckvorlage_..._Bildkarten.pdf --> === KITA-Baustein 2: Sortieren === Bildkarten mit Raupen, Kokons und Schmetterlingen in verschiedenen Farben sind „durcheinandergeraten“ und sollen wieder sortiert werden. Ob nach Farbe, Form, Größe oder inhaltlichem Zusammenhang – die Kinder entscheiden selbst und begründen ihre Sortierung. Im Vergleich der Ergebnisse zeigt sich, dass es nicht nur eine richtige Lösung gibt und dass dieselbe Karte zu mehreren Gruppen passen kann. Damit machen die Kinder grundlegende Erfahrungen mit Klassifizieren und Kategorisieren. Zugleich bahnt der Baustein eine Idee des maschinellen Lernens an: Auch KI-Systeme gruppieren Daten nach Ähnlichkeiten – ohne zu verstehen, was sie bedeuten. '''Material:''' Baustein-Beschreibung, Bildkarten (möglichst ein Set pro Kind) <!-- DATEI: KITA-Baustein-2_Sortieren.pdf | Druckvorlage_KITA-Baustein-2_Sortieren.pdf --> === KITA-Baustein 3: Machine Learning und algorithmische Verzerrung === Die pädagogische Fachkraft zeigt einen Bildklassifizierer, der Raupen von Schmetterlingen und Kokons unterscheiden soll – und der bewusst „unfair“ trainiert wurde: Von den Raupen kennt er nur zwei sehr ähnliche Bilder. Gemeinsam untersuchen die Kinder, wo der Klassifizierer Fehler macht, und erkennen, dass es an den Trainingsdaten liegt. Mit den Bildkarten aus Baustein 2 verbessern sie das System, indem sie weitere Beispiele einlesen. In der Reflexion geht es um Verantwortung: Wer sorgt dafür, dass eine KI faire Daten bekommt? Und wo können solche Fehler für Menschen schlimme Folgen haben? Verwendet wird das kostenfreie Webwerkzeug ''Machine Learning for Kids'', das ohne Benutzerkonto auskommt. '''Material:''' Baustein-Beschreibung, Anleitung zu Machine Learning for Kids, Tablet oder Laptop mit Kamera und Internetzugang, Bildkarten aus Baustein 2 <!-- DATEI: KITA-Baustein-3_ML.pdf | Anleitung_KITA-Baustein-3_ML.pdf --> === KITA-Baustein 4: Sprachmodell === Gemeinsam erzählen die Kinder eine Geschichte weiter – wie ein Sprachmodell, Wort für Wort. Zu einem vorgegebenen Satzanfang schlagen sie zwei mögliche nächste Wörter vor, eine Münze entscheidet, welches genommen wird. Die Fachkraft schreibt mit und liest die entstandene Geschichte am Ende vor. Die Kinder erleben so, dass Sprachmodelle Wörter mit Zufall auswählen und dass eine Münze nicht „weiß“, was die Geschichte erzählen soll. In der Reflexion wird deutlich, was Menschen beim Weitererzählen einbringen und eine Maschine nicht: Wissen über die Welt und darüber, worum es in einer Geschichte geht. Der Baustein knüpft an das Chinesische Zimmer an. '''Material:''' Baustein-Beschreibung, Münze <!-- DATEI: KITA-Baustein-4_LLM.pdf --> == Lernbausteine für die Klassen 3 und 4 == === Basis: Algorithmen und Sortieren === ==== Basis-Baustein 1: NIM-Spiel und Algorithmen ==== Zwei Kinder legen abwechselnd ein oder zwei Plättchen auf einen Spielplan mit zehn Feldern; wer das zehnte Feld belegt, gewinnt. Schnell wird klar: Das ist kein Glücksspiel. Die Kinder stellen Vermutungen über Gewinnstrategien auf, probieren sie aus und entdecken dabei schrittweise „Gewinnfelder“. Eine solche Gewinnstrategie ist ein Algorithmus – eine eindeutige, ausführbare Abfolge von Schritten. In der Reflexion wird der Bogen zu den unsichtbaren Algorithmen digitaler Plattformen geschlagen: Ist es fair, wenn nur einer die Strategie kennt? Und wer sollte entscheiden dürfen, ob ein Algorithmus geheim bleibt? '''Material:''' Baustein-Beschreibung, Spielplan, blaue und rote Plättchen <!-- DATEI: Basis-Baustein-1_NIM-Spiel.pdf | Druckvorlage_Basis-Baustein-1_NIM-Spiel.pdf --> ==== Basis-Baustein 2: Bubble Sort und Ranking von Suchmaschinen ==== Die Kinder werden selbst zum Sortieralgorithmus: Jedes Kind hält einen Stab und stellt sich auf eine Linie. Nach einer festen Regel vergleichen jeweils zwei Nachbarn ihre Stäbe und tauschen bei Bedarf die Plätze, bis alle der Länge nach geordnet sind. Durch Wiederholen mit anderen Startpositionen überzeugen sie sich davon, dass das Verfahren immer funktioniert. Als Erweiterung kann nach einem Kriterium sortiert werden, das die Kinder nicht kennen – so wie Suchmaschinen ihre Ergebnisse nach Kriterien ordnen, die nicht offenliegen. Die Kinder stellen Vermutungen über das Sortierkriterium an und kommen so ins Gespräch über Popularität und Personalisierung beim Ranking. '''Material:''' Baustein-Beschreibung, verschieden lange Stäbe (z. B. Cuisenaire-Stäbe), Klebeband für eine Bodenmarkierung <!-- DATEI: Basis-Baustein-2_Bubble-Sort.pdf --> === Suchmaschinen === ==== SE-Baustein 1: Algorithmus ==== Was ist eigentlich ein Algorithmus? Die Kinder erarbeiten eine kindgerechte Definition und prüfen an Beispielen aus dem Alltag, ob es sich um einen Algorithmus handelt. Dann falten sie ein quadratisches Papier nach einer Faltanleitung und entdecken dabei Dreiecke, Diagonalen und Mittelpunkt. Die Faltanleitung erweist sich als Algorithmus mit Eingabe (Papier), Verarbeitungsschritten und Ausgabe (Faltprodukt). Auch eine Suchmaschine arbeitet nach diesem Prinzip – mit der Suchanfrage als Eingabe und der Trefferliste als Ausgabe. Der entscheidende Unterschied, den die Reflexion herausarbeitet: Die Faltanleitung ist nachvollziehbar, der Algorithmus einer Suchmaschine nicht. '''Material:''' Baustein-Beschreibung, Arbeitsblatt Algorithmus, quadratisches Faltpapier, Infografik „So funktioniert die Internetsuche“ der Open Search Foundation <!-- DATEI: SE-Baustein-1_Algorithmus.pdf | AB-SE-Baustein-1_Algorithmus.pdf --> ==== SE-Baustein 2: Ranking ==== Wer entscheidet, was bei einer Suche oben steht? Die Kinder vergleichen mehrere Faltanleitungen für dasselbe Objekt, darunter eine mit Werbung. Zuerst erstellen sie ein eigenes Ranking (Personalisierung), dann ermitteln sie per Befragung und Häufigkeitstabelle das beliebteste Ergebnis der Klasse (Popularität). Was passiert, wenn die „Suchmaschine“ trotzdem die Anleitung mit Werbung auf Platz 1 setzt? Die Diskussion führt zu wirtschaftlichen Interessen und zu der Erkenntnis, dass Ranking-Algorithmen nicht neutral sind. Zum Schluss verbessern die Kinder selbst eine Anleitung nach einem Ziel, das sie festlegen, und begründen ihre Entscheidung: Menschen bestimmen, welche Ziele ein Algorithmus verfolgt. '''Material:''' Baustein-Beschreibung, Druckvorlage Faltanleitungen, Arbeitsblatt „Faltanleitungen ergänzen und verbessern“ <!-- DATEI: SE-Baustein-2_Ranking.pdf | Druckvorlage-SE-Baustein-2_Ranking.pdf | AB-SE-Baustein-2_Ranking.pdf --> ==== SE-Baustein 3: „Besser“ suchen ==== Suchmaschinen sind KI-Systeme, die aus einem Datensatz, einem Lernalgorithmus und einer Vorhersage bestehen. Am Beispiel der Autovervollständigung, die häufige frühere Suchanfragen vorschlägt, und des Rankings untersuchen die Kinder, wie diese Bestandteile zusammenwirken – und warum unfaire Daten zu verzerrten Ergebnissen führen können. Darauf aufbauend lernen sie Tipps für eine bewusstere Internetsuche kennen, etwa gezielte Suchbegriffe, ein kritischer Blick auf die ersten Treffer und alternative Suchmaschinen. Die Reflexion öffnet zudem die Frage, wem die Inhalte gehören, die eine Suchmaschine anzeigt. '''Material:''' Baustein-Beschreibung, digitales Gerät zur Demonstration einer Suchmaschine, ggf. Suchtipps der Open Search Foundation <!-- DATEI: SE-Baustein-3_besser_Suchen.pdf --> === Künstliche Intelligenz === ==== KI-Baustein 1: Machine Learning und algorithmische Verzerrung ==== Die Kinder untersuchen einen Bildklassifizierer, der Dreiecke und Vierecke unterscheiden soll. Er wurde bewusst „unfair“ trainiert: Die Vierecke im Trainingsdatensatz sind nur Rechtecke in derselben Lage, die Dreiecke dagegen vielfältig. Die Kinder finden heraus, warum der Klassifizierer bei Vierecken häufiger irrt, und verbessern ihn in Kleingruppen, indem sie selbst gezeichnete Figuren als neue Trainingsdaten hinzufügen. Dabei klassifizieren sie ebene Figuren nach ihren Eigenschaften und werten Daten aus. Die Reflexion verbindet das Experiment mit realen Fällen algorithmischer Verzerrung, etwa bei Gesichtserkennung oder Bewerbungsverfahren, und mit der Einsicht, dass Menschen über die Daten und Ziele von KI-Systemen entscheiden. '''Material:''' Baustein-Beschreibung, Arbeitsblatt, Infoseite zur Bedienung von Machine Learning for Kids, Tablets mit Stift und Internetzugang <!-- DATEI: KI-Baustein-1_ML.pdf | AB_KI-Baustein-1_ML.pdf | Infoseite_KI-Baustein-1_ML.pdf | Anleitung_KI-Baustein-1_ML.pdf --> ==== KI-Baustein 2: Ethische Matrizen ==== Wenn ein Algorithmus verändert wird, wer profitiert und wer nicht? Mit einer ethischen Matrix tragen die Kinder zusammen, wer an einem Produkt interessiert ist – etwa an einem Pfannkuchenrezept oder einer Faltanleitung – und welche Werte den einzelnen Beteiligten wichtig sind. Mit Holzwürfeln gewichten sie die Felder, sodass ein Würfelgebäude entsteht, das sie beschreiben und verändern. Beim Versuch, das „Rezept“ zu verbessern, stellen die Kinder fest, dass eine Verbesserung für die einen eine Verschlechterung für andere bedeuten kann. In der Reflexion wird die Matrix auf reale Systeme wie Suchmaschinen oder Chatbots übertragen: Wessen Werte wurden berücksichtigt? '''Material:''' Baustein-Beschreibung, Vorlage Ethische Matrix, Holzwürfel (Kantenlänge 2 cm) <!-- DATEI: KI-Baustein-2_Ethische-Matrix.pdf | Druckvorlage_KI-Baustein-2_Ethische-Matrix.pdf --> === Sprachmodelle (LLM) === ==== LLM-Baustein 1: Bigram-Modell ==== Wie erzeugt ein Sprachmodell Text? Die Kinder bauen ein einfaches Modell selbst: Sie zählen in einer kurzen Geschichte, welche Wörter am Satzanfang stehen und welche darauf folgen, halten die Häufigkeiten in Tabellen fest und „würfeln“ das nächste Wort mit passenden Zufallsgeneratoren wie platonischen Körpern oder einer Münze. Die App BIGRAM übernimmt das anschließend für ganze Sätze. Die entstehenden Texte klingen oft holprig, und Wörter, die nicht in der Geschichte vorkommen, kann das Modell nicht verarbeiten. So wird verständlich, warum KI-Chatbots als „stochastische Papageien“ bezeichnet werden und warum man ihre Antworten überprüfen sollte. '''Material:''' Baustein-Beschreibung, Arbeitsblatt, Zufallsgeneratoren (z. B. platonische Körper), App BIGRAM <!-- DATEI: LLM-Baustein-1_Bigram.pdf | AB-LLM-Baustein-1_Bigram.pdf --> ==== LLM-Baustein 2: Papier-GPT ==== Ohne Computer simulieren die Kinder, wie ein Sprachmodell einen Text fortsetzt. Eine Tabelle mit einem Satzanfang wandert von Gruppe zu Gruppe. Jede Gruppe sieht nur die letzten drei Wörter, schlägt zwei mögliche Fortsetzungen vor und lässt ein Wendeplättchen entscheiden, welches Wort übernommen wird. Am Ende wird der ganze Satz aufgefaltet und vorgelesen. Die Kinder erleben dabei Gleichwahrscheinlichkeit und Zufall als Auswahlprinzip und lernen zentrale Ideen von Sprachmodellen kennen: einen begrenzten Kontext und das zufällige Auswählen des nächsten Wortes. In der Reflexion vergleichen sie das Ergebnis mit dem Bigram-Modell und überlegen, welches Wissen ihnen selbst beim Finden passender Wörter geholfen hat. '''Material:''' Baustein-Beschreibung, Druckvorlage Papier-GPT, Wendeplättchen <!-- DATEI: LLM-Baustein-2_Papier-GPT.pdf | Druckvorlage_LLM-Baustein-2_Papier-GPT.pdf --> ==== LLM-Baustein 3: Fermi-Aufgabe zur Menge der Trainingsdaten ==== Warum schreiben große Sprachmodelle so viel bessere Texte als das selbst gebaute Bigram-Modell? Ein Grund ist die riesige Menge an Texten, aus denen sie lernen. In einer Fermi-Aufgabe machen die Kinder diese Menge greifbar: Wie hoch wäre ein Papierstapel, wenn man eine kurze Geschichte so oft ausdruckt, bis die Datenmenge erreicht ist? Höher als der Mount Everest? Dafür ermitteln sie Dateigrößen, rechnen Einheiten um, überschlagen mit großen Zahlen und prüfen ihr Ergebnis auf Plausibilität. Die Reflexion führt zu Fragen des Urheberrechts – Darf eine KI deine Geschichte ohne Erlaubnis nutzen? – und dazu, warum man den Antworten einer KI nicht blind vertrauen sollte. '''Material:''' Baustein-Beschreibung, Textdatei der Geschichte (zum Ermitteln der Dateigröße), ggf. zehn Ausdrucke auf 80-g-Papier <!-- DATEI: LLM-Baustein-3_Fermi-Aufgabe.pdf | Datei_LLM-Baustein-3 (Geschichte).docx --> == Weiterführende Literatur == * Platz, M. (2025). KI, Internetsuche und algorithmische Verzerrung. ''Mathematik differenziert'', 4/2025, 22–31. * Platz, M. (2025). Algorithmen, ethische Matrizen und Würfelbauwerke. In L. Schick, M. Platz & A. Lambert (Hrsg.), ''Beiträge zum Mathematikunterricht 2025'' (S. 357–360). WTM. * Platz, M. & Plote, C. (2025). KI und Ethik im Klassenzimmer. ''Mitteilungen der GDM'', 118, 6–13. * Platz, M. & Schick, L. (2025). Lernen über LLMs im Mathematikunterricht der Primarstufe. In L. Schick, M. Platz & A. Lambert (Hrsg.), ''Beiträge zum Mathematikunterricht 2025'' (S. 231–234). WTM. * Platz, M., Schorcht, S. & Frischemeier, D. (2025). Lernen mit und über KI: Wie funktionieren LLMs und welche Prompt-Techniken gibt es? In M. Platz, S. Schorcht & D. Frischemeier (Hrsg.), ''Künstliche Intelligenz in der Primarstufe'' (S. 109–130). WTM. <!-- Ggf. ergänzen: Platz (2026) zum LLM-Literacy-Framework (PriMaMedien 17) und Platz (2026) in mathematica didactica 49 --> == Lizenz und Rückmeldung == Die Lernbausteine stehen unter der Lizenz [https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.de CC BY-SA 4.0]. Sie dürfen kopiert, verändert und weitergegeben werden, wenn die Urheberin genannt wird und Bearbeitungen unter derselben Lizenz stehen. Ausgenommen sind Inhalte Dritter, die in den Dateien gesondert gekennzeichnet sind. Namensnennung: ''Lernbausteine KI'' von Melanie Platz, Universität des Saarlandes, Professur für Didaktik der Primarstufe – Schwerpunkt Mathematik, lizenziert unter CC BY-SA 4.0. Rückmeldungen, Erfahrungen aus dem Einsatz und Verbesserungsvorschläge sind willkommen – gern auf der Diskussionsseite. jetcq3kiuxouzqvr999dy66bxynruax 1118991 1118990 2026-11-06T14:07:04Z Platzm 21125 /* Lernbausteine zum Lernen über KI in KITA und Grundschule */ 1118991 wikitext text/x-wiki =Lernbausteine zum Lernen über KI in KITA und Grundschule= Diese Seite stellt '''Lernbausteine zu Künstlicher Intelligenz (KI), Suchmaschinen und Sprachmodellen''' in zwei Reihen bereit: '''ab Kita''' (auch in den Klassen 1 und 2 einsetzbar) und '''ab Klasse 3/4'''. Die Bausteine wurden an der Professur für Didaktik der Primarstufe – Schwerpunkt Mathematik der Universität des Saarlandes entwickelt. == Worum es geht == Kinder begegnen KI-Systemen früh: Sie stellen Sprachassistenten Fragen, sehen Vorschläge auf Videoplattformen und nutzen Suchmaschinen. Wie diese Systeme funktionieren, bleibt ihnen meist verborgen. Die Lernbausteine setzen hier an. Ihr Grundgedanke ist, dass Kinder die Funktionsweise von KI-Systemen mit Mathematik erschließen können, die sie ohnehin lernen: Sie zählen Häufigkeiten, ordnen und sortieren, vergleichen Daten, würfeln mit Zufallsgeneratoren und rechnen mit großen Zahlen. So wird nachvollziehbar, wie ein Sprachmodell das nächste Wort wählt, warum eine Suchmaschine Ergebnisse in eine bestimmte Reihenfolge bringt oder weshalb eine KI mit einseitigen Trainingsdaten unfair entscheidet. Die meisten Bausteine kommen ohne Computer aus (''Informatik unplugged''). Die Kinder handeln selbst: Sie falten, sortieren, würfeln, spielen einen Roboter oder trainieren einen einfachen Bildklassifizierer. Jeder Baustein endet mit einer Reflexion, in der das Erlebte auf reale Systeme wie Suchmaschinen oder KI-Chatbots übertragen wird. Dabei geht es nicht nur um Technik, sondern auch um Fragen wie: Wer entscheidet, was eine Suchmaschine zuerst anzeigt? Ist es fair, wenn ein Algorithmus geheim bleibt? Versteht ein Chatbot, was er schreibt? == Aufbau == Die Bausteine sind in zwei Reihen gegliedert: * '''Ab Kita''' (auch in den Klassen 1 und 2): sechs Bausteine – zwei Basis-Bausteine zu Algorithmen und Sortieralgorithmen sowie vier Bausteine zu regelbasierten Systemen, Sortieren nach Merkmalen, maschinellem Lernen und Sprachmodellen. * '''Ab Klasse 3/4:''' acht Bausteine in drei Strängen – Suchmaschinen, Künstliche Intelligenz und Sprachmodelle (LLM). Alle Bausteine sind gleich aufgebaut: ''Darum geht es'', Bezüge zu Mathematik und Informatik, Material, Durchführung, Reflexion und Literatur. Arbeitsblätter (AB) und Druckvorlagen liegen als eigene Dateien bei. {| class="wikitable" ! Baustein !! Kernidee !! Mathematik |- ! colspan="3" | Ab Kita (auch Klasse 1/2) |- | Basis-Baustein 1: NIM-Spiel || Eine Gewinnstrategie ist ein Algorithmus || Problemlösen, Zahlenreihe bis 10 |- | Basis-Baustein 2: Bubble Sort || Sortieralgorithmen und Ranking || Längen vergleichen, ordnen |- | KITA-Baustein 1: Chinesisches Zimmer || Eine Maschine folgt Regeln, ohne zu verstehen || Zuordnen, Würfelbilder erkennen |- | KITA-Baustein 2: Sortieren || Es gibt mehrere „richtige“ Sortierungen || Klassifizieren nach Merkmalen |- | KITA-Baustein 3: Machine Learning || Einseitige Trainingsdaten führen zu Fehlern || Mengen erfassen und vergleichen |- | KITA-Baustein 4: Sprachmodell || Wörter werden per Zufall ausgewählt || Münzwurf, Gleichwahrscheinlichkeit |- ! colspan="3" | Ab Klasse 3/4 |- | SE-Baustein 1: Algorithmus || Eingabe – Verarbeitung – Ausgabe || Geometrie: Falten |- | SE-Baustein 2: Ranking || Wer entscheidet, was oben steht? || Daten erheben, Häufigkeitstabelle |- | SE-Baustein 3: „Besser“ suchen || Datensatz – Lernalgorithmus – Vorhersage || Häufigkeiten und Vorhersage |- | KI-Baustein 1: Machine Learning || Algorithmische Verzerrung (Bias) || Ebene Figuren klassifizieren, Daten |- | KI-Baustein 2: Ethische Matrizen || Algorithmen betreffen viele Interessen || Würfelgebäude, Diagramme |- | LLM-Baustein 1: Bigram-Modell || Häufigkeit bestimmt Wahrscheinlichkeit || Häufigkeiten, platonische Körper |- | LLM-Baustein 2: Papier-GPT || Kontext und Zufall beim Textgenerieren || Münzwurf, Laplace-Experiment |- | LLM-Baustein 3: Fermi-Aufgabe || Die Menge der Trainingsdaten || Große Zahlen, Größen umrechnen |} == Hinweise zur Nutzung == Die Bausteine lassen sich einzeln einsetzen, bauen aber teilweise aufeinander auf. Sinnvoll sind folgende Abfolgen: * '''Ab Kita:''' Die Basis-Bausteine (NIM-Spiel, Bubble Sort) führen in Algorithmen ein und eignen sich als Einstieg. KITA-Baustein 2 (Sortieren) vor KITA-Baustein 3 (Machine Learning), da dieselben Bildkarten genutzt werden; Baustein 1 (Chinesisches Zimmer) und Baustein 4 (Sprachmodell) ergänzen sich in der Frage, ob eine Maschine versteht, was sie tut. * '''Ab Klasse 3/4:''' Der Algorithmusbegriff aus SE-Baustein 1 bildet die Grundlage für die übrigen Bausteine; auch die Bausteine ab Kita, besonders das NIM-Spiel, eignen sich hier als Einstieg. Die Suchmaschinen-Bausteine 1 bis 3 und die LLM-Bausteine 1 bis 3 sind jeweils als Reihe gedacht. KI-Baustein 2 greift die Faltanleitungen aus SE-Baustein 2 auf. Für die Durchführung sind keine Programmierkenntnisse nötig. Zwei Bausteine nutzen frei zugängliche Webanwendungen: ''Machine Learning for Kids'' (KI-Baustein 1, KITA-Baustein 3; ohne Benutzerkonto nutzbar, die Daten bleiben im Browser) und die App ''BIGRAM'' (LLM-Baustein 1). == Lernbausteine ab Kita == Die Bausteine wurden für die Kita entwickelt und lassen sich auch in den Klassen 1 und 2 einsetzen. === Basis-Baustein 1: NIM-Spiel und Algorithmen === Zwei Kinder legen abwechselnd ein oder zwei Plättchen auf einen Spielplan mit zehn Feldern; wer das zehnte Feld belegt, gewinnt. Schnell wird klar: Das ist kein Glücksspiel. Die Kinder stellen Vermutungen über Gewinnstrategien auf, probieren sie aus und entdecken dabei schrittweise „Gewinnfelder“. Eine solche Gewinnstrategie ist ein Algorithmus – eine eindeutige, ausführbare Abfolge von Schritten. In der Reflexion wird der Bogen zu den unsichtbaren Algorithmen digitaler Plattformen geschlagen: Ist es fair, wenn nur einer die Strategie kennt? Und wer sollte entscheiden dürfen, ob ein Algorithmus geheim bleibt? '''Material:''' Baustein-Beschreibung, Spielplan, blaue und rote Plättchen <!-- DATEI: Basis-Baustein-1_NIM-Spiel.pdf | Druckvorlage_Basis-Baustein-1_NIM-Spiel.pdf --> === Basis-Baustein 2: Bubble Sort und Ranking von Suchmaschinen === Die Kinder werden selbst zum Sortieralgorithmus: Jedes Kind hält einen Stab und stellt sich auf eine Linie. Nach einer festen Regel vergleichen jeweils zwei Nachbarn ihre Stäbe und tauschen bei Bedarf die Plätze, bis alle der Länge nach geordnet sind. Durch Wiederholen mit anderen Startpositionen überzeugen sie sich davon, dass das Verfahren immer funktioniert. Als Erweiterung kann nach einem Kriterium sortiert werden, das die Kinder nicht kennen – so wie Suchmaschinen ihre Ergebnisse nach Kriterien ordnen, die nicht offenliegen. Die Kinder stellen Vermutungen über das Sortierkriterium an und kommen so ins Gespräch über Popularität und Personalisierung beim Ranking. '''Material:''' Baustein-Beschreibung, verschieden lange Stäbe (z. B. Cuisenaire-Stäbe), Klebeband für eine Bodenmarkierung <!-- DATEI: Basis-Baustein-2_Bubble-Sort.pdf --> === KITA-Baustein 1: Chinesisches Zimmer === Ein Kind sitzt in einem selbst gebastelten Karton-Roboter. Durch einen Schlitz bekommt es Würfelbilder hineingereicht und gibt mithilfe eines Regelbuchs die passende Schmetterlingskarte heraus – ohne zu wissen, wozu. Das Spiel greift das Gedankenexperiment des „Chinesischen Zimmers“ von John Searle auf: Von außen wirkt die Antwort passend, obwohl drinnen niemand versteht, worum es geht. Die Kinder üben dabei Zuordnung und das Erkennen von Würfelbildern und erleben das Prinzip Eingabe – Verarbeitung – Ausgabe. In der Reflexion sprechen sie darüber, wie es sich anfühlt, „mechanisch“ zu antworten, und ob ein Roboter – oder eine KI – wirklich nachdenkt oder fühlt. Der Baustein wirkt so der Vermenschlichung von KI entgegen. '''Material:''' Baustein-Beschreibung, Regelbuch, Bildkarten, Karton und Bastelmaterial <!-- DATEI: KITA-Baustein-1_Chinesisches-Zimmer.pdf | Druckvorlage_..._Regelbuch.pdf | Druckvorlage_..._Bildkarten.pdf --> === KITA-Baustein 2: Sortieren === Bildkarten mit Raupen, Kokons und Schmetterlingen in verschiedenen Farben sind „durcheinandergeraten“ und sollen wieder sortiert werden. Ob nach Farbe, Form, Größe oder inhaltlichem Zusammenhang – die Kinder entscheiden selbst und begründen ihre Sortierung. Im Vergleich der Ergebnisse zeigt sich, dass es nicht nur eine richtige Lösung gibt und dass dieselbe Karte zu mehreren Gruppen passen kann. Damit machen die Kinder grundlegende Erfahrungen mit Klassifizieren und Kategorisieren. Zugleich bahnt der Baustein eine Idee des maschinellen Lernens an: Auch KI-Systeme gruppieren Daten nach Ähnlichkeiten – ohne zu verstehen, was sie bedeuten. '''Material:''' Baustein-Beschreibung, Bildkarten (möglichst ein Set pro Kind) <!-- DATEI: KITA-Baustein-2_Sortieren.pdf | Druckvorlage_KITA-Baustein-2_Sortieren.pdf --> === KITA-Baustein 3: Machine Learning und algorithmische Verzerrung === Die Fachkraft oder Lehrkraft zeigt einen Bildklassifizierer, der Raupen von Schmetterlingen und Kokons unterscheiden soll – und der bewusst „unfair“ trainiert wurde: Von den Raupen kennt er nur zwei sehr ähnliche Bilder. Gemeinsam untersuchen die Kinder, wo der Klassifizierer Fehler macht, und erkennen, dass es an den Trainingsdaten liegt. Mit den Bildkarten aus Baustein 2 verbessern sie das System, indem sie weitere Beispiele einlesen. In der Reflexion geht es um Verantwortung: Wer sorgt dafür, dass eine KI faire Daten bekommt? Und wo können solche Fehler für Menschen schlimme Folgen haben? Verwendet wird das kostenfreie Webwerkzeug ''Machine Learning for Kids'', das ohne Benutzerkonto auskommt. '''Material:''' Baustein-Beschreibung, Anleitung zu Machine Learning for Kids, Tablet oder Laptop mit Kamera und Internetzugang, Bildkarten aus Baustein 2 <!-- DATEI: KITA-Baustein-3_ML.pdf | Anleitung_KITA-Baustein-3_ML.pdf --> === KITA-Baustein 4: Sprachmodell === Gemeinsam erzählen die Kinder eine Geschichte weiter – wie ein Sprachmodell, Wort für Wort. Zu einem vorgegebenen Satzanfang schlagen sie zwei mögliche nächste Wörter vor, eine Münze entscheidet, welches genommen wird. Die Fachkraft oder Lehrkraft schreibt mit und liest die entstandene Geschichte am Ende vor. Die Kinder erleben so, dass Sprachmodelle Wörter mit Zufall auswählen und dass eine Münze nicht „weiß“, was die Geschichte erzählen soll. In der Reflexion wird deutlich, was Menschen beim Weitererzählen einbringen und eine Maschine nicht: Wissen über die Welt und darüber, worum es in einer Geschichte geht. Der Baustein knüpft an das Chinesische Zimmer an. '''Material:''' Baustein-Beschreibung, Münze <!-- DATEI: KITA-Baustein-4_LLM.pdf --> == Lernbausteine ab Klasse 3/4 == === Suchmaschinen === ==== SE-Baustein 1: Algorithmus ==== Was ist eigentlich ein Algorithmus? Die Kinder erarbeiten eine kindgerechte Definition und prüfen an Beispielen aus dem Alltag, ob es sich um einen Algorithmus handelt. Dann falten sie ein quadratisches Papier nach einer Faltanleitung und entdecken dabei Dreiecke, Diagonalen und Mittelpunkt. Die Faltanleitung erweist sich als Algorithmus mit Eingabe (Papier), Verarbeitungsschritten und Ausgabe (Faltprodukt). Auch eine Suchmaschine arbeitet nach diesem Prinzip – mit der Suchanfrage als Eingabe und der Trefferliste als Ausgabe. Der entscheidende Unterschied, den die Reflexion herausarbeitet: Die Faltanleitung ist nachvollziehbar, der Algorithmus einer Suchmaschine nicht. '''Material:''' Baustein-Beschreibung, Arbeitsblatt Algorithmus, quadratisches Faltpapier, Infografik „So funktioniert die Internetsuche“ der Open Search Foundation <!-- DATEI: SE-Baustein-1_Algorithmus.pdf | AB-SE-Baustein-1_Algorithmus.pdf --> ==== SE-Baustein 2: Ranking ==== Wer entscheidet, was bei einer Suche oben steht? Die Kinder vergleichen mehrere Faltanleitungen für dasselbe Objekt, darunter eine mit Werbung. Zuerst erstellen sie ein eigenes Ranking (Personalisierung), dann ermitteln sie per Befragung und Häufigkeitstabelle das beliebteste Ergebnis der Klasse (Popularität). Was passiert, wenn die „Suchmaschine“ trotzdem die Anleitung mit Werbung auf Platz 1 setzt? Die Diskussion führt zu wirtschaftlichen Interessen und zu der Erkenntnis, dass Ranking-Algorithmen nicht neutral sind. Zum Schluss verbessern die Kinder selbst eine Anleitung nach einem Ziel, das sie festlegen, und begründen ihre Entscheidung: Menschen bestimmen, welche Ziele ein Algorithmus verfolgt. '''Material:''' Baustein-Beschreibung, Druckvorlage Faltanleitungen, Arbeitsblatt „Faltanleitungen ergänzen und verbessern“ <!-- DATEI: SE-Baustein-2_Ranking.pdf | Druckvorlage-SE-Baustein-2_Ranking.pdf | AB-SE-Baustein-2_Ranking.pdf --> ==== SE-Baustein 3: „Besser“ suchen ==== Suchmaschinen sind KI-Systeme, die aus einem Datensatz, einem Lernalgorithmus und einer Vorhersage bestehen. Am Beispiel der Autovervollständigung, die häufige frühere Suchanfragen vorschlägt, und des Rankings untersuchen die Kinder, wie diese Bestandteile zusammenwirken – und warum unfaire Daten zu verzerrten Ergebnissen führen können. Darauf aufbauend lernen sie Tipps für eine bewusstere Internetsuche kennen, etwa gezielte Suchbegriffe, ein kritischer Blick auf die ersten Treffer und alternative Suchmaschinen. Die Reflexion öffnet zudem die Frage, wem die Inhalte gehören, die eine Suchmaschine anzeigt. '''Material:''' Baustein-Beschreibung, digitales Gerät zur Demonstration einer Suchmaschine, ggf. Suchtipps der Open Search Foundation <!-- DATEI: SE-Baustein-3_besser_Suchen.pdf --> === Künstliche Intelligenz === ==== KI-Baustein 1: Machine Learning und algorithmische Verzerrung ==== Die Kinder untersuchen einen Bildklassifizierer, der Dreiecke und Vierecke unterscheiden soll. Er wurde bewusst „unfair“ trainiert: Die Vierecke im Trainingsdatensatz sind nur Rechtecke in derselben Lage, die Dreiecke dagegen vielfältig. Die Kinder finden heraus, warum der Klassifizierer bei Vierecken häufiger irrt, und verbessern ihn in Kleingruppen, indem sie selbst gezeichnete Figuren als neue Trainingsdaten hinzufügen. Dabei klassifizieren sie ebene Figuren nach ihren Eigenschaften und werten Daten aus. Die Reflexion verbindet das Experiment mit realen Fällen algorithmischer Verzerrung, etwa bei Gesichtserkennung oder Bewerbungsverfahren, und mit der Einsicht, dass Menschen über die Daten und Ziele von KI-Systemen entscheiden. '''Material:''' Baustein-Beschreibung, Arbeitsblatt, Infoseite zur Bedienung von Machine Learning for Kids, Tablets mit Stift und Internetzugang <!-- DATEI: KI-Baustein-1_ML.pdf | AB_KI-Baustein-1_ML.pdf | Infoseite_KI-Baustein-1_ML.pdf | Anleitung_KI-Baustein-1_ML.pdf --> ==== KI-Baustein 2: Ethische Matrizen ==== Wenn ein Algorithmus verändert wird, wer profitiert und wer nicht? Mit einer ethischen Matrix tragen die Kinder zusammen, wer an einem Produkt interessiert ist – etwa an einem Pfannkuchenrezept oder einer Faltanleitung – und welche Werte den einzelnen Beteiligten wichtig sind. Mit Holzwürfeln gewichten sie die Felder, sodass ein Würfelgebäude entsteht, das sie beschreiben und verändern. Beim Versuch, das „Rezept“ zu verbessern, stellen die Kinder fest, dass eine Verbesserung für die einen eine Verschlechterung für andere bedeuten kann. In der Reflexion wird die Matrix auf reale Systeme wie Suchmaschinen oder Chatbots übertragen: Wessen Werte wurden berücksichtigt? '''Material:''' Baustein-Beschreibung, Vorlage Ethische Matrix, Holzwürfel (Kantenlänge 2 cm) <!-- DATEI: KI-Baustein-2_Ethische-Matrix.pdf | Druckvorlage_KI-Baustein-2_Ethische-Matrix.pdf --> === Sprachmodelle (LLM) === ==== LLM-Baustein 1: Bigram-Modell ==== Wie erzeugt ein Sprachmodell Text? Die Kinder bauen ein einfaches Modell selbst: Sie zählen in einer kurzen Geschichte, welche Wörter am Satzanfang stehen und welche darauf folgen, halten die Häufigkeiten in Tabellen fest und „würfeln“ das nächste Wort mit passenden Zufallsgeneratoren wie platonischen Körpern oder einer Münze. Die App BIGRAM übernimmt das anschließend für ganze Sätze. Die entstehenden Texte klingen oft holprig, und Wörter, die nicht in der Geschichte vorkommen, kann das Modell nicht verarbeiten. So wird verständlich, warum KI-Chatbots als „stochastische Papageien“ bezeichnet werden und warum man ihre Antworten überprüfen sollte. '''Material:''' Baustein-Beschreibung, Arbeitsblatt, Zufallsgeneratoren (z. B. platonische Körper), App BIGRAM <!-- DATEI: LLM-Baustein-1_Bigram.pdf | AB-LLM-Baustein-1_Bigram.pdf --> ==== LLM-Baustein 2: Papier-GPT ==== Ohne Computer simulieren die Kinder, wie ein Sprachmodell einen Text fortsetzt. Eine Tabelle mit einem Satzanfang wandert von Gruppe zu Gruppe. Jede Gruppe sieht nur die letzten drei Wörter, schlägt zwei mögliche Fortsetzungen vor und lässt ein Wendeplättchen entscheiden, welches Wort übernommen wird. Am Ende wird der ganze Satz aufgefaltet und vorgelesen. Die Kinder erleben dabei Gleichwahrscheinlichkeit und Zufall als Auswahlprinzip und lernen zentrale Ideen von Sprachmodellen kennen: einen begrenzten Kontext und das zufällige Auswählen des nächsten Wortes. In der Reflexion vergleichen sie das Ergebnis mit dem Bigram-Modell und überlegen, welches Wissen ihnen selbst beim Finden passender Wörter geholfen hat. '''Material:''' Baustein-Beschreibung, Druckvorlage Papier-GPT, Wendeplättchen <!-- DATEI: LLM-Baustein-2_Papier-GPT.pdf | Druckvorlage_LLM-Baustein-2_Papier-GPT.pdf --> ==== LLM-Baustein 3: Fermi-Aufgabe zur Menge der Trainingsdaten ==== Warum schreiben große Sprachmodelle so viel bessere Texte als das selbst gebaute Bigram-Modell? Ein Grund ist die riesige Menge an Texten, aus denen sie lernen. In einer Fermi-Aufgabe machen die Kinder diese Menge greifbar: Wie hoch wäre ein Papierstapel, wenn man eine kurze Geschichte so oft ausdruckt, bis die Datenmenge erreicht ist? Höher als der Mount Everest? Dafür ermitteln sie Dateigrößen, rechnen Einheiten um, überschlagen mit großen Zahlen und prüfen ihr Ergebnis auf Plausibilität. Die Reflexion führt zu Fragen des Urheberrechts – Darf eine KI deine Geschichte ohne Erlaubnis nutzen? – und dazu, warum man den Antworten einer KI nicht blind vertrauen sollte. '''Material:''' Baustein-Beschreibung, Textdatei der Geschichte (zum Ermitteln der Dateigröße), ggf. zehn Ausdrucke auf 80-g-Papier <!-- DATEI: LLM-Baustein-3_Fermi-Aufgabe.pdf | Datei_LLM-Baustein-3 (Geschichte).docx --> == Weiterführende Literatur == * Platz, M. (2025). KI, Internetsuche und algorithmische Verzerrung. ''Mathematik differenziert'', 4/2025, 22–31. * Platz, M. (2025). Algorithmen, ethische Matrizen und Würfelbauwerke. In L. Schick, M. Platz & A. Lambert (Hrsg.), ''Beiträge zum Mathematikunterricht 2025'' (S. 357–360). WTM. * Platz, M. & Plote, C. (2025). KI und Ethik im Klassenzimmer. ''Mitteilungen der GDM'', 118, 6–13. * Platz, M. & Schick, L. (2025). Lernen über LLMs im Mathematikunterricht der Primarstufe. In L. Schick, M. Platz & A. Lambert (Hrsg.), ''Beiträge zum Mathematikunterricht 2025'' (S. 231–234). WTM. * Platz, M., Schorcht, S. & Frischemeier, D. (2025). Lernen mit und über KI: Wie funktionieren LLMs und welche Prompt-Techniken gibt es? In M. Platz, S. Schorcht & D. Frischemeier (Hrsg.), ''Künstliche Intelligenz in der Primarstufe'' (S. 109–130). WTM. <!-- Ggf. ergänzen: Platz (2026) zum LLM-Literacy-Framework (PriMaMedien 17) und Platz (2026) in mathematica didactica 49 --> == Lizenz und Rückmeldung == Die Lernbausteine stehen unter der Lizenz [https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.de CC BY-SA 4.0]. Sie dürfen kopiert, verändert und weitergegeben werden, wenn die Urheberin genannt wird und Bearbeitungen unter derselben Lizenz stehen. Ausgenommen sind Inhalte Dritter, die in den Dateien gesondert gekennzeichnet sind. Namensnennung: ''Lernbausteine KI'' von Melanie Platz, Universität des Saarlandes, Professur für Didaktik der Primarstufe – Schwerpunkt Mathematik, lizenziert unter CC BY-SA 4.0. Rückmeldungen, Erfahrungen aus dem Einsatz und Verbesserungsvorschläge sind willkommen – gern auf der Diskussionsseite. ada0jcn1cqxlgxtbo00w4q3b8fa55gc 1118992 1118991 2026-11-06T14:22:55Z Platzm 21125 /* Lernbausteine zum Lernen über KI in KITA und Grundschule */ 1118992 wikitext text/x-wiki =Lernbausteine zum Lernen über KI in KITA und Grundschule= Diese Seite stellt '''Lernbausteine zu Künstlicher Intelligenz (KI), Suchmaschinen und Sprachmodellen''' in zwei Reihen bereit: '''ab Kita''' (auch in den Klassen 1 und 2 einsetzbar) und '''ab Klasse 3/4'''. Die Bausteine wurden an der Professur für Didaktik der Primarstufe – Schwerpunkt Mathematik der Universität des Saarlandes entwickelt. ''Der Upload der Dateien erfolgt in Kürze.'' == Worum es geht == Kinder begegnen KI-Systemen früh: Sie stellen Sprachassistenten Fragen, sehen Vorschläge auf Videoplattformen und nutzen Suchmaschinen. Wie diese Systeme funktionieren, bleibt ihnen meist verborgen. Die Lernbausteine setzen hier an. Ihr Grundgedanke ist, dass Kinder die Funktionsweise von KI-Systemen mit Mathematik erschließen können, die sie ohnehin lernen: Sie zählen Häufigkeiten, ordnen und sortieren, vergleichen Daten, würfeln mit Zufallsgeneratoren und rechnen mit großen Zahlen. So wird nachvollziehbar, wie ein Sprachmodell das nächste Wort wählt, warum eine Suchmaschine Ergebnisse in eine bestimmte Reihenfolge bringt oder weshalb eine KI mit einseitigen Trainingsdaten unfair entscheidet. Die meisten Bausteine kommen ohne Computer aus (''Informatik unplugged''). Die Kinder handeln selbst: Sie falten, sortieren, würfeln, spielen einen Roboter oder trainieren einen einfachen Bildklassifizierer. Jeder Baustein endet mit einer Reflexion, in der das Erlebte auf reale Systeme wie Suchmaschinen oder KI-Chatbots übertragen wird. Dabei geht es nicht nur um Technik, sondern auch um Fragen wie: Wer entscheidet, was eine Suchmaschine zuerst anzeigt? Ist es fair, wenn ein Algorithmus geheim bleibt? Versteht ein Chatbot, was er schreibt? == Aufbau == Die Bausteine sind in zwei Reihen gegliedert: * '''Ab Kita''' (auch in den Klassen 1 und 2): sechs Bausteine – zwei Basis-Bausteine zu Algorithmen und Sortieralgorithmen sowie vier Bausteine zu regelbasierten Systemen, Sortieren nach Merkmalen, maschinellem Lernen und Sprachmodellen. * '''Ab Klasse 3/4:''' acht Bausteine in drei Strängen – Suchmaschinen, Künstliche Intelligenz und Sprachmodelle (LLM). Alle Bausteine sind gleich aufgebaut: ''Darum geht es'', Bezüge zu Mathematik und Informatik, Material, Durchführung, Reflexion und Literatur. Arbeitsblätter (AB) und Druckvorlagen liegen als eigene Dateien bei. {| class="wikitable" ! Baustein !! Kernidee !! Mathematik |- ! colspan="3" | Ab Kita (auch Klasse 1/2) |- | Basis-Baustein 1: NIM-Spiel || Eine Gewinnstrategie ist ein Algorithmus || Problemlösen, Zahlenreihe bis 10 |- | Basis-Baustein 2: Bubble Sort || Sortieralgorithmen und Ranking || Längen vergleichen, ordnen |- | KITA-Baustein 1: Chinesisches Zimmer || Eine Maschine folgt Regeln, ohne zu verstehen || Zuordnen, Würfelbilder erkennen |- | KITA-Baustein 2: Sortieren || Es gibt mehrere „richtige“ Sortierungen || Klassifizieren nach Merkmalen |- | KITA-Baustein 3: Machine Learning || Einseitige Trainingsdaten führen zu Fehlern || Mengen erfassen und vergleichen |- | KITA-Baustein 4: Sprachmodell || Wörter werden per Zufall ausgewählt || Münzwurf, Gleichwahrscheinlichkeit |- ! colspan="3" | Ab Klasse 3/4 |- | SE-Baustein 1: Algorithmus || Eingabe – Verarbeitung – Ausgabe || Geometrie: Falten |- | SE-Baustein 2: Ranking || Wer entscheidet, was oben steht? || Daten erheben, Häufigkeitstabelle |- | SE-Baustein 3: „Besser“ suchen || Datensatz – Lernalgorithmus – Vorhersage || Häufigkeiten und Vorhersage |- | KI-Baustein 1: Machine Learning || Algorithmische Verzerrung (Bias) || Ebene Figuren klassifizieren, Daten |- | KI-Baustein 2: Ethische Matrizen || Algorithmen betreffen viele Interessen || Würfelgebäude, Diagramme |- | LLM-Baustein 1: Bigram-Modell || Häufigkeit bestimmt Wahrscheinlichkeit || Häufigkeiten, platonische Körper |- | LLM-Baustein 2: Papier-GPT || Kontext und Zufall beim Textgenerieren || Münzwurf, Laplace-Experiment |- | LLM-Baustein 3: Fermi-Aufgabe || Die Menge der Trainingsdaten || Große Zahlen, Größen umrechnen |} == Hinweise zur Nutzung == Die Bausteine lassen sich einzeln einsetzen, bauen aber teilweise aufeinander auf. Sinnvoll sind folgende Abfolgen: * '''Ab Kita:''' Die Basis-Bausteine (NIM-Spiel, Bubble Sort) führen in Algorithmen ein und eignen sich als Einstieg. KITA-Baustein 2 (Sortieren) vor KITA-Baustein 3 (Machine Learning), da dieselben Bildkarten genutzt werden; Baustein 1 (Chinesisches Zimmer) und Baustein 4 (Sprachmodell) ergänzen sich in der Frage, ob eine Maschine versteht, was sie tut. * '''Ab Klasse 3/4:''' Der Algorithmusbegriff aus SE-Baustein 1 bildet die Grundlage für die übrigen Bausteine; auch die Bausteine ab Kita, besonders das NIM-Spiel, eignen sich hier als Einstieg. Die Suchmaschinen-Bausteine 1 bis 3 und die LLM-Bausteine 1 bis 3 sind jeweils als Reihe gedacht. KI-Baustein 2 greift die Faltanleitungen aus SE-Baustein 2 auf. Für die Durchführung sind keine Programmierkenntnisse nötig. Zwei Bausteine nutzen frei zugängliche Webanwendungen: ''Machine Learning for Kids'' (KI-Baustein 1, KITA-Baustein 3; ohne Benutzerkonto nutzbar, die Daten bleiben im Browser) und die App ''BIGRAM'' (LLM-Baustein 1). == Lernbausteine ab Kita == Die Bausteine wurden für die Kita entwickelt und lassen sich auch in den Klassen 1 und 2 einsetzen. === Basis-Baustein 1: NIM-Spiel und Algorithmen === Zwei Kinder legen abwechselnd ein oder zwei Plättchen auf einen Spielplan mit zehn Feldern; wer das zehnte Feld belegt, gewinnt. Schnell wird klar: Das ist kein Glücksspiel. Die Kinder stellen Vermutungen über Gewinnstrategien auf, probieren sie aus und entdecken dabei schrittweise „Gewinnfelder“. Eine solche Gewinnstrategie ist ein Algorithmus – eine eindeutige, ausführbare Abfolge von Schritten. In der Reflexion wird der Bogen zu den unsichtbaren Algorithmen digitaler Plattformen geschlagen: Ist es fair, wenn nur einer die Strategie kennt? Und wer sollte entscheiden dürfen, ob ein Algorithmus geheim bleibt? '''Material:''' Baustein-Beschreibung, Spielplan, blaue und rote Plättchen <!-- DATEI: Basis-Baustein-1_NIM-Spiel.pdf | Druckvorlage_Basis-Baustein-1_NIM-Spiel.pdf --> === Basis-Baustein 2: Bubble Sort und Ranking von Suchmaschinen === Die Kinder werden selbst zum Sortieralgorithmus: Jedes Kind hält einen Stab und stellt sich auf eine Linie. Nach einer festen Regel vergleichen jeweils zwei Nachbarn ihre Stäbe und tauschen bei Bedarf die Plätze, bis alle der Länge nach geordnet sind. Durch Wiederholen mit anderen Startpositionen überzeugen sie sich davon, dass das Verfahren immer funktioniert. Als Erweiterung kann nach einem Kriterium sortiert werden, das die Kinder nicht kennen – so wie Suchmaschinen ihre Ergebnisse nach Kriterien ordnen, die nicht offenliegen. Die Kinder stellen Vermutungen über das Sortierkriterium an und kommen so ins Gespräch über Popularität und Personalisierung beim Ranking. '''Material:''' Baustein-Beschreibung, verschieden lange Stäbe (z. B. Cuisenaire-Stäbe), Klebeband für eine Bodenmarkierung <!-- DATEI: Basis-Baustein-2_Bubble-Sort.pdf --> === KITA-Baustein 1: Chinesisches Zimmer === Ein Kind sitzt in einem selbst gebastelten Karton-Roboter. Durch einen Schlitz bekommt es Würfelbilder hineingereicht und gibt mithilfe eines Regelbuchs die passende Schmetterlingskarte heraus – ohne zu wissen, wozu. Das Spiel greift das Gedankenexperiment des „Chinesischen Zimmers“ von John Searle auf: Von außen wirkt die Antwort passend, obwohl drinnen niemand versteht, worum es geht. Die Kinder üben dabei Zuordnung und das Erkennen von Würfelbildern und erleben das Prinzip Eingabe – Verarbeitung – Ausgabe. In der Reflexion sprechen sie darüber, wie es sich anfühlt, „mechanisch“ zu antworten, und ob ein Roboter – oder eine KI – wirklich nachdenkt oder fühlt. Der Baustein wirkt so der Vermenschlichung von KI entgegen. '''Material:''' Baustein-Beschreibung, Regelbuch, Bildkarten, Karton und Bastelmaterial <!-- DATEI: KITA-Baustein-1_Chinesisches-Zimmer.pdf | Druckvorlage_..._Regelbuch.pdf | Druckvorlage_..._Bildkarten.pdf --> === KITA-Baustein 2: Sortieren === Bildkarten mit Raupen, Kokons und Schmetterlingen in verschiedenen Farben sind „durcheinandergeraten“ und sollen wieder sortiert werden. Ob nach Farbe, Form, Größe oder inhaltlichem Zusammenhang – die Kinder entscheiden selbst und begründen ihre Sortierung. Im Vergleich der Ergebnisse zeigt sich, dass es nicht nur eine richtige Lösung gibt und dass dieselbe Karte zu mehreren Gruppen passen kann. Damit machen die Kinder grundlegende Erfahrungen mit Klassifizieren und Kategorisieren. Zugleich bahnt der Baustein eine Idee des maschinellen Lernens an: Auch KI-Systeme gruppieren Daten nach Ähnlichkeiten – ohne zu verstehen, was sie bedeuten. '''Material:''' Baustein-Beschreibung, Bildkarten (möglichst ein Set pro Kind) <!-- DATEI: KITA-Baustein-2_Sortieren.pdf | Druckvorlage_KITA-Baustein-2_Sortieren.pdf --> === KITA-Baustein 3: Machine Learning und algorithmische Verzerrung === Die Fachkraft oder Lehrkraft zeigt einen Bildklassifizierer, der Raupen von Schmetterlingen und Kokons unterscheiden soll – und der bewusst „unfair“ trainiert wurde: Von den Raupen kennt er nur zwei sehr ähnliche Bilder. Gemeinsam untersuchen die Kinder, wo der Klassifizierer Fehler macht, und erkennen, dass es an den Trainingsdaten liegt. Mit den Bildkarten aus Baustein 2 verbessern sie das System, indem sie weitere Beispiele einlesen. In der Reflexion geht es um Verantwortung: Wer sorgt dafür, dass eine KI faire Daten bekommt? Und wo können solche Fehler für Menschen schlimme Folgen haben? Verwendet wird das kostenfreie Webwerkzeug ''Machine Learning for Kids'', das ohne Benutzerkonto auskommt. '''Material:''' Baustein-Beschreibung, Anleitung zu Machine Learning for Kids, Tablet oder Laptop mit Kamera und Internetzugang, Bildkarten aus Baustein 2 <!-- DATEI: KITA-Baustein-3_ML.pdf | Anleitung_KITA-Baustein-3_ML.pdf --> === KITA-Baustein 4: Sprachmodell === Gemeinsam erzählen die Kinder eine Geschichte weiter – wie ein Sprachmodell, Wort für Wort. Zu einem vorgegebenen Satzanfang schlagen sie zwei mögliche nächste Wörter vor, eine Münze entscheidet, welches genommen wird. Die Fachkraft oder Lehrkraft schreibt mit und liest die entstandene Geschichte am Ende vor. Die Kinder erleben so, dass Sprachmodelle Wörter mit Zufall auswählen und dass eine Münze nicht „weiß“, was die Geschichte erzählen soll. In der Reflexion wird deutlich, was Menschen beim Weitererzählen einbringen und eine Maschine nicht: Wissen über die Welt und darüber, worum es in einer Geschichte geht. Der Baustein knüpft an das Chinesische Zimmer an. '''Material:''' Baustein-Beschreibung, Münze <!-- DATEI: KITA-Baustein-4_LLM.pdf --> == Lernbausteine ab Klasse 3/4 == === Suchmaschinen === ==== SE-Baustein 1: Algorithmus ==== Was ist eigentlich ein Algorithmus? Die Kinder erarbeiten eine kindgerechte Definition und prüfen an Beispielen aus dem Alltag, ob es sich um einen Algorithmus handelt. Dann falten sie ein quadratisches Papier nach einer Faltanleitung und entdecken dabei Dreiecke, Diagonalen und Mittelpunkt. Die Faltanleitung erweist sich als Algorithmus mit Eingabe (Papier), Verarbeitungsschritten und Ausgabe (Faltprodukt). Auch eine Suchmaschine arbeitet nach diesem Prinzip – mit der Suchanfrage als Eingabe und der Trefferliste als Ausgabe. Der entscheidende Unterschied, den die Reflexion herausarbeitet: Die Faltanleitung ist nachvollziehbar, der Algorithmus einer Suchmaschine nicht. '''Material:''' Baustein-Beschreibung, Arbeitsblatt Algorithmus, quadratisches Faltpapier, Infografik „So funktioniert die Internetsuche“ der Open Search Foundation <!-- DATEI: SE-Baustein-1_Algorithmus.pdf | AB-SE-Baustein-1_Algorithmus.pdf --> ==== SE-Baustein 2: Ranking ==== Wer entscheidet, was bei einer Suche oben steht? Die Kinder vergleichen mehrere Faltanleitungen für dasselbe Objekt, darunter eine mit Werbung. Zuerst erstellen sie ein eigenes Ranking (Personalisierung), dann ermitteln sie per Befragung und Häufigkeitstabelle das beliebteste Ergebnis der Klasse (Popularität). Was passiert, wenn die „Suchmaschine“ trotzdem die Anleitung mit Werbung auf Platz 1 setzt? Die Diskussion führt zu wirtschaftlichen Interessen und zu der Erkenntnis, dass Ranking-Algorithmen nicht neutral sind. Zum Schluss verbessern die Kinder selbst eine Anleitung nach einem Ziel, das sie festlegen, und begründen ihre Entscheidung: Menschen bestimmen, welche Ziele ein Algorithmus verfolgt. '''Material:''' Baustein-Beschreibung, Druckvorlage Faltanleitungen, Arbeitsblatt „Faltanleitungen ergänzen und verbessern“ <!-- DATEI: SE-Baustein-2_Ranking.pdf | Druckvorlage-SE-Baustein-2_Ranking.pdf | AB-SE-Baustein-2_Ranking.pdf --> ==== SE-Baustein 3: „Besser“ suchen ==== Suchmaschinen sind KI-Systeme, die aus einem Datensatz, einem Lernalgorithmus und einer Vorhersage bestehen. Am Beispiel der Autovervollständigung, die häufige frühere Suchanfragen vorschlägt, und des Rankings untersuchen die Kinder, wie diese Bestandteile zusammenwirken – und warum unfaire Daten zu verzerrten Ergebnissen führen können. Darauf aufbauend lernen sie Tipps für eine bewusstere Internetsuche kennen, etwa gezielte Suchbegriffe, ein kritischer Blick auf die ersten Treffer und alternative Suchmaschinen. Die Reflexion öffnet zudem die Frage, wem die Inhalte gehören, die eine Suchmaschine anzeigt. '''Material:''' Baustein-Beschreibung, digitales Gerät zur Demonstration einer Suchmaschine, ggf. Suchtipps der Open Search Foundation <!-- DATEI: SE-Baustein-3_besser_Suchen.pdf --> === Künstliche Intelligenz === ==== KI-Baustein 1: Machine Learning und algorithmische Verzerrung ==== Die Kinder untersuchen einen Bildklassifizierer, der Dreiecke und Vierecke unterscheiden soll. Er wurde bewusst „unfair“ trainiert: Die Vierecke im Trainingsdatensatz sind nur Rechtecke in derselben Lage, die Dreiecke dagegen vielfältig. Die Kinder finden heraus, warum der Klassifizierer bei Vierecken häufiger irrt, und verbessern ihn in Kleingruppen, indem sie selbst gezeichnete Figuren als neue Trainingsdaten hinzufügen. Dabei klassifizieren sie ebene Figuren nach ihren Eigenschaften und werten Daten aus. Die Reflexion verbindet das Experiment mit realen Fällen algorithmischer Verzerrung, etwa bei Gesichtserkennung oder Bewerbungsverfahren, und mit der Einsicht, dass Menschen über die Daten und Ziele von KI-Systemen entscheiden. '''Material:''' Baustein-Beschreibung, Arbeitsblatt, Infoseite zur Bedienung von Machine Learning for Kids, Tablets mit Stift und Internetzugang <!-- DATEI: KI-Baustein-1_ML.pdf | AB_KI-Baustein-1_ML.pdf | Infoseite_KI-Baustein-1_ML.pdf | Anleitung_KI-Baustein-1_ML.pdf --> ==== KI-Baustein 2: Ethische Matrizen ==== Wenn ein Algorithmus verändert wird, wer profitiert und wer nicht? Mit einer ethischen Matrix tragen die Kinder zusammen, wer an einem Produkt interessiert ist – etwa an einem Pfannkuchenrezept oder einer Faltanleitung – und welche Werte den einzelnen Beteiligten wichtig sind. Mit Holzwürfeln gewichten sie die Felder, sodass ein Würfelgebäude entsteht, das sie beschreiben und verändern. Beim Versuch, das „Rezept“ zu verbessern, stellen die Kinder fest, dass eine Verbesserung für die einen eine Verschlechterung für andere bedeuten kann. In der Reflexion wird die Matrix auf reale Systeme wie Suchmaschinen oder Chatbots übertragen: Wessen Werte wurden berücksichtigt? '''Material:''' Baustein-Beschreibung, Vorlage Ethische Matrix, Holzwürfel (Kantenlänge 2 cm) <!-- DATEI: KI-Baustein-2_Ethische-Matrix.pdf | Druckvorlage_KI-Baustein-2_Ethische-Matrix.pdf --> === Sprachmodelle (LLM) === ==== LLM-Baustein 1: Bigram-Modell ==== Wie erzeugt ein Sprachmodell Text? Die Kinder bauen ein einfaches Modell selbst: Sie zählen in einer kurzen Geschichte, welche Wörter am Satzanfang stehen und welche darauf folgen, halten die Häufigkeiten in Tabellen fest und „würfeln“ das nächste Wort mit passenden Zufallsgeneratoren wie platonischen Körpern oder einer Münze. Die App BIGRAM übernimmt das anschließend für ganze Sätze. Die entstehenden Texte klingen oft holprig, und Wörter, die nicht in der Geschichte vorkommen, kann das Modell nicht verarbeiten. So wird verständlich, warum KI-Chatbots als „stochastische Papageien“ bezeichnet werden und warum man ihre Antworten überprüfen sollte. '''Material:''' Baustein-Beschreibung, Arbeitsblatt, Zufallsgeneratoren (z. B. platonische Körper), App BIGRAM <!-- DATEI: LLM-Baustein-1_Bigram.pdf | AB-LLM-Baustein-1_Bigram.pdf --> ==== LLM-Baustein 2: Papier-GPT ==== Ohne Computer simulieren die Kinder, wie ein Sprachmodell einen Text fortsetzt. Eine Tabelle mit einem Satzanfang wandert von Gruppe zu Gruppe. Jede Gruppe sieht nur die letzten drei Wörter, schlägt zwei mögliche Fortsetzungen vor und lässt ein Wendeplättchen entscheiden, welches Wort übernommen wird. Am Ende wird der ganze Satz aufgefaltet und vorgelesen. Die Kinder erleben dabei Gleichwahrscheinlichkeit und Zufall als Auswahlprinzip und lernen zentrale Ideen von Sprachmodellen kennen: einen begrenzten Kontext und das zufällige Auswählen des nächsten Wortes. In der Reflexion vergleichen sie das Ergebnis mit dem Bigram-Modell und überlegen, welches Wissen ihnen selbst beim Finden passender Wörter geholfen hat. '''Material:''' Baustein-Beschreibung, Druckvorlage Papier-GPT, Wendeplättchen <!-- DATEI: LLM-Baustein-2_Papier-GPT.pdf | Druckvorlage_LLM-Baustein-2_Papier-GPT.pdf --> ==== LLM-Baustein 3: Fermi-Aufgabe zur Menge der Trainingsdaten ==== Warum schreiben große Sprachmodelle so viel bessere Texte als das selbst gebaute Bigram-Modell? Ein Grund ist die riesige Menge an Texten, aus denen sie lernen. In einer Fermi-Aufgabe machen die Kinder diese Menge greifbar: Wie hoch wäre ein Papierstapel, wenn man eine kurze Geschichte so oft ausdruckt, bis die Datenmenge erreicht ist? Höher als der Mount Everest? Dafür ermitteln sie Dateigrößen, rechnen Einheiten um, überschlagen mit großen Zahlen und prüfen ihr Ergebnis auf Plausibilität. Die Reflexion führt zu Fragen des Urheberrechts – Darf eine KI deine Geschichte ohne Erlaubnis nutzen? – und dazu, warum man den Antworten einer KI nicht blind vertrauen sollte. '''Material:''' Baustein-Beschreibung, Textdatei der Geschichte (zum Ermitteln der Dateigröße), ggf. zehn Ausdrucke auf 80-g-Papier <!-- DATEI: LLM-Baustein-3_Fermi-Aufgabe.pdf | Datei_LLM-Baustein-3 (Geschichte).docx --> == Weiterführende Literatur == * Platz, M. (2025). KI, Internetsuche und algorithmische Verzerrung. ''Mathematik differenziert'', 4/2025, 22–31. * Platz, M. (2025). Algorithmen, ethische Matrizen und Würfelbauwerke. In L. Schick, M. Platz & A. Lambert (Hrsg.), ''Beiträge zum Mathematikunterricht 2025'' (S. 357–360). WTM. * Platz, M. & Plote, C. (2025). KI und Ethik im Klassenzimmer. ''Mitteilungen der GDM'', 118, 6–13. * Platz, M. & Schick, L. (2025). Lernen über LLMs im Mathematikunterricht der Primarstufe. In L. Schick, M. Platz & A. Lambert (Hrsg.), ''Beiträge zum Mathematikunterricht 2025'' (S. 231–234). WTM. * Platz, M., Schorcht, S. & Frischemeier, D. (2025). Lernen mit und über KI: Wie funktionieren LLMs und welche Prompt-Techniken gibt es? In M. Platz, S. Schorcht & D. Frischemeier (Hrsg.), ''Künstliche Intelligenz in der Primarstufe'' (S. 109–130). WTM. <!-- Ggf. ergänzen: Platz (2026) zum LLM-Literacy-Framework (PriMaMedien 17) und Platz (2026) in mathematica didactica 49 --> == Lizenz und Rückmeldung == Die Lernbausteine stehen unter der Lizenz [https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.de CC BY-SA 4.0]. Sie dürfen kopiert, verändert und weitergegeben werden, wenn die Urheberin genannt wird und Bearbeitungen unter derselben Lizenz stehen. Ausgenommen sind Inhalte Dritter, die in den Dateien gesondert gekennzeichnet sind. Namensnennung: ''Lernbausteine KI'' von Melanie Platz, Universität des Saarlandes, Professur für Didaktik der Primarstufe – Schwerpunkt Mathematik, lizenziert unter CC BY-SA 4.0. Rückmeldungen, Erfahrungen aus dem Einsatz und Verbesserungsvorschläge sind willkommen – gern auf der Diskussionsseite. diyftgr0ww52ser367e16qmov6jrjc0 0 173440 1118993 2026-11-06T16:10:46Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1118993 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= {{ Math/display|term= 1100 |SZ=, }} {{ Math/display|term= 1101 |SZ=, }} {{ Math/display|term= 1110 |SZ=, }} {{ Math/display|term= 1111 |SZ=, }} {{ Math/display|term= 1120 |SZ=, }} {{ Math/display|term= 10000 |SZ=, }} {{ Math/display|term= 10001 |SZ=, }} {{ Math/display|term= 10010 |SZ=, }} {{ Math/display|term= 10011 |SZ=, }} {{ Math/display|term= 10020 |SZ=. }} |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} 9oy8lx8wly3e1hzcqzp1csqsocsf5dv 106 173441 1118994 2026-11-06T16:14:09Z Bert Niehaus 20843 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1118994 wikitext text/x-wiki [[Datei:Dielectric cylinder geometry.png|mini|Zylinder - Topologisierung des Bildraumes]] 3hm9c5awjw3jmtp1napje2soalncl2f 1118997 1118994 2026-11-06T16:15:58Z Bert Niehaus 20843 1118997 wikitext text/x-wiki [[Datei:Dielectric cylinder geometry.png|mini|Zylinder - Topologisierung des Bildraumes]] [[Datei:Cylinder geometry.svg|mini|Zylindertopologisierung der Wertbereiches]] 8blz5awrkiqqqxi0lr3s7yeny1e0d67 0 173442 1119001 2026-11-06T17:32:05Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1119001 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= Es besteht keine Implikation zwischen den beiden Aussagen. Die gerade Zahl {{math|term= 2 |SZ=}} ist eine Primzahl, die ungerade Zahl {{ Relationskette | 9 || 3^2 || || || |SZ= }} ist keine Primzahl. |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} a3m7y2jau78z4mqhj19f4pn1vdpi4lq 0 173443 1119002 2026-11-06T17:35:48Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1119002 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= Es ist {{ Relationskette/display | n^2 +n || n(n+1) || || || |SZ=. }} Wenn {{math|term= n |SZ=}} gerade ist, dann ist {{mathl|term= n(n+1) |SZ=}} ebenfalls gerade als Vielfaches einer geraden Zahl. Wenn {{math|term= n |SZ=}} ungerade ist, so ist {{math|term= n+1 |SZ=}} wieder gerade und dann ist {{mathl|term= n(n+1) |SZ=}} aus dem gleichen Grund gerade. |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} a6g7c54oh04axsrp53gxgxiytc3lef7 0 173444 1119006 2026-11-06T17:54:12Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1119006 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= {{ Aufzählung7 |Diese Menge ist {{ Relationskette/display | A || \{ M,H,L,D \} || || || |SZ=. }} |Diese Menge ist {{ Relationskette/display | {{op:Mengenkomplement| A |}} || \{ G \} || || || |SZ=. }} |Diese Menge ist {{ Relationskette/display | B \cup S || \{ M,H,G,D \} || || || |SZ=. }} |Diese Menge ist {{ Relationskette/display | A \cap {{op:Mengenkomplement|S|}} || \{ H, L \} || || || |SZ=. }} |Diese Menge ist {{ Relationskette/display | A \cap S \cap {{op:Mengenkomplement|B|}} || \{ M \} || || || |SZ=. }} |Diese Menge ist {{ Relationskette/display | B \cap {{op:Mengenkomplement| A |}} \cap {{op:Mengenkomplement| S |}} || \emptyset || \{ \} || || |SZ=. }} |Diese Menge ist {{ Relationskette/display | {{op:Mengenkomplement| A }} \cap {{op:Mengenkomplement| S }} \cap {{op:Mengenkomplement| B |}} || \emptyset || \{ \} || || || |SZ=. }} }} |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} 0vp249gaycebiaghd04bw4tdvc3dhtn 106 173445 1119011 2026-11-07T07:46:35Z Paul Sutermeister 37610 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1119011 wikitext text/x-wiki __NOTOC__ = Personal Information Manager (PIM) – Schritt für Schritt verstehen = Dieses Lernquiz richtet sich an alle, die noch nie mit einem Personal Information Manager gearbeitet haben. Lesen Sie jeweils den kurzen Theorieteil und beantworten Sie danach die Fragen. Die Schritte bauen aufeinander auf. == Schritt 1: Das Problem – Informationen sind überall verstreut == Im Berufs- und Privatleben fallen täglich viele Informationen an: Termine, Telefonnummern, E-Mail-Adressen, Aufgaben, Notizen. Oft sind diese an verschiedenen Orten gespeichert: auf Post-it-Zetteln, in einer Agenda aus Papier, im Kopf, in alten E-Mails oder auf dem Handy. Das führt zu typischen Problemen: * Man vergisst Termine oder Aufgaben. * Man sucht lange nach einer Telefonnummer. * Man weiss nicht mehr, was man mit wem besprochen hat. <quiz display=simple> { Was ist das Hauptproblem, wenn Informationen an vielen verschiedenen Orten gespeichert sind? |type="()"} + Man verliert den Überblick und findet Informationen nicht mehr schnell. - Man hat zu wenige Informationen. - Der Computer wird langsamer. - Man darf die Informationen rechtlich nicht mehr verwenden. { Welche der folgenden Dinge sind typische Alltagsinformationen, die man organisieren muss? |type="[]"} + Termine + Telefonnummern und Adressen + Aufgaben, die noch zu erledigen sind - Die Bildschirmauflösung des Laptops </quiz> == Schritt 2: Die Lösung – ein Ort für alles == Ein '''Personal Information Manager''' (kurz '''PIM''') ist eine Software oder App, die persönliche Informationen an '''einem zentralen Ort''' sammelt und ordnet. * ''Personal'' = persönlich, für eine Person * ''Information'' = Informationen, Daten * ''Manager'' = Verwalter Ein PIM ist also ein «Verwalter für persönliche Informationen». Man kann ihn sich wie eine digitale Agenda mit eingebautem Adressbuch, Aufgabenliste und Notizblock vorstellen. <quiz display=simple> { Wofür steht die Abkürzung PIM? |type="()"} - Private Internet Mail + Personal Information Manager - Professional Internet Management - Personal Index Memory { Was ist der Grundgedanke eines PIM? |type="()"} - Möglichst viele verschiedene Programme gleichzeitig zu benutzen. + Persönliche Informationen an einem zentralen Ort zu sammeln und zu ordnen. - Informationen für andere Personen unsichtbar zu machen. - Den Computer vor Viren zu schützen. { Welcher Vergleich beschreibt einen PIM am besten? |type="()"} - Ein Taschenrechner + Eine digitale Agenda mit Adressbuch, Aufgabenliste und Notizblock - Ein Textverarbeitungsprogramm - Ein Internetbrowser </quiz> == Schritt 3: Die Bausteine eines PIM == Die meisten PIM bestehen aus mehreren Bereichen (Modulen): {| class="wikitable" ! Bereich !! Wofür? |- | '''Kalender''' || Termine, Sitzungen, Geburtstage, Erinnerungen |- | '''Kontakte''' || Adressbuch mit Namen, Telefonnummern, E-Mail-Adressen |- | '''Aufgaben''' || To-do-Liste mit Fälligkeitsdatum und Priorität |- | '''Notizen''' || Freie Gedanken, Ideen, Protokolle |- | '''E-Mail''' || Nachrichten senden und empfangen (bei vielen PIM integriert) |} <quiz display=simple> { In welchem Bereich eines PIM tragen Sie eine Sitzung am Dienstag um 14 Uhr ein? |type="()"} + Kalender - Kontakte - Notizen - Aufgaben { Sie möchten die Telefonnummer einer neuen Kundin speichern. Welchen Bereich verwenden Sie? |type="()"} - Kalender + Kontakte - Aufgaben - E-Mail { Sie müssen bis Freitag eine Offerte schreiben. Wo erfassen Sie das am besten? |type="()"} - Kontakte - Notizen + Aufgaben - Kalender als ganztägiger Termin ohne Erinnerung { Welche Bereiche gehören typischerweise zu einem PIM? |type="[]"} + Kalender + Kontakte + Aufgaben + Notizen - Bildbearbeitung - Tabellenkalkulation </quiz> == Schritt 4: Die Bereiche arbeiten zusammen == Die grosse Stärke eines PIM: Die Bereiche sind '''miteinander verknüpft'''. Beispiele: * Bei einem Termin im Kalender kann man Teilnehmende direkt aus den Kontakten einladen. * Aus einer E-Mail kann man mit wenigen Klicks eine Aufgabe oder einen Termin machen. * Beim Kontakt sieht man, welche E-Mails man mit dieser Person ausgetauscht hat. So muss man Informationen nicht mehrfach abtippen. <quiz display=simple> { Was ist ein grosser Vorteil davon, dass die Bereiche eines PIM verknüpft sind? |type="()"} - Man muss jede Information in jedem Bereich neu eintippen. + Informationen können zwischen den Bereichen weiterverwendet werden, ohne sie neu einzugeben. - Die Bereiche können nicht gleichzeitig geöffnet werden. - Man braucht für jeden Bereich ein eigenes Passwort. { Sie erhalten eine E-Mail mit einer Einladung zu einem Meeting. Was ermöglicht ein PIM? |type="()"} - Die E-Mail ausdrucken und abheften. + Die Einladung direkt als Termin in den Kalender übernehmen. - Die E-Mail automatisch löschen. - Nichts, E-Mail und Kalender sind getrennt. </quiz> == Schritt 5: Erinnerungen und Prioritäten == Ein PIM «denkt mit»: * '''Erinnerungen:''' Das Programm meldet sich z. B. 15 Minuten vor einem Termin oder einen Tag vor einer Abgabe. * '''Prioritäten:''' Aufgaben können als wichtig oder weniger wichtig markiert werden. * '''Wiederkehrende Einträge:''' Ein Termin, der jede Woche stattfindet, muss nur einmal erfasst werden. * '''Kategorien / Farben:''' Einträge lassen sich farbig markieren, z. B. blau für Schule, grün für Privat. <quiz display=simple> { Sie haben jeden Montag um 8 Uhr Unterricht. Wie erfassen Sie das am geschicktesten? |type="()"} - Jeden Montag einzeln von Hand eintragen. + Einmal als wiederkehrenden Termin (wöchentlich) erfassen. - Als Notiz speichern. - Gar nicht, man merkt es sich ja. { Wozu dient eine Erinnerungsfunktion? |type="()"} - Sie löscht vergangene Termine. + Sie macht rechtzeitig auf einen Termin oder eine Aufgabe aufmerksam. - Sie schickt automatisch eine Absage. - Sie speichert Passwörter. { Wozu können Kategorien bzw. Farben nützlich sein? |type="()"} - Damit der Kalender schöner aussieht, sonst haben sie keinen Zweck. + Damit man auf einen Blick sieht, zu welchem Lebensbereich ein Eintrag gehört. - Damit andere Personen die Einträge nicht lesen können. - Damit Termine automatisch verschoben werden. </quiz> == Schritt 6: Synchronisation – überall die gleichen Daten == Heute nutzen viele Menschen mehrere Geräte: Laptop, Smartphone, Tablet. Moderne PIM speichern die Daten meist in der '''Cloud''' (auf einem Server im Internet). Dadurch werden die Daten '''synchronisiert''': Ein Termin, den Sie am Laptop eintragen, erscheint automatisch auch auf dem Smartphone – und umgekehrt. <quiz display=simple> { Was bedeutet «Synchronisation» bei einem PIM? |type="()"} - Die Daten werden auf Papier ausgedruckt. + Die Daten werden auf allen verbundenen Geräten automatisch auf den gleichen Stand gebracht. - Die Daten werden gelöscht, sobald man das Gerät wechselt. - Das Programm wird automatisch deinstalliert. { Sie tragen am Laptop einen Arzttermin ein. Was passiert bei eingeschalteter Synchronisation? |type="()"} - Der Termin bleibt nur auf dem Laptop. + Der Termin erscheint auch auf dem Smartphone. - Der Termin wird an alle Kontakte geschickt. - Der Termin wird nach einer Woche gelöscht. </quiz> == Schritt 7: Bekannte PIM-Programme und -Apps == Es gibt viele PIM. Einige bekannte Beispiele: * '''Microsoft Outlook''' – in vielen Firmen Standard (E-Mail, Kalender, Kontakte, Aufgaben) * '''Google Kalender / Google Kontakte / Gmail''' – webbasiert, kostenlos * '''Apple Kalender, Kontakte, Erinnerungen''' – auf iPhone und Mac vorinstalliert * '''Mozilla Thunderbird''' – kostenlos und quelloffen (Open Source) Viele Smartphones haben bereits ab Werk einfache PIM-Funktionen (Kalender- und Kontakte-App). <quiz display=simple> { Welches Programm ist in vielen Firmen der Standard-PIM? |type="()"} - Microsoft Excel + Microsoft Outlook - Adobe Photoshop - Microsoft PowerPoint { Welche der folgenden Programme bzw. Apps haben PIM-Funktionen? |type="[]"} + Microsoft Outlook + Google Kalender + Mozilla Thunderbird - Microsoft Paint - VLC Media Player </quiz> == Schritt 8: Sinn und Zweck – warum lohnt sich ein PIM? == Zusammengefasst bringt ein PIM folgenden Nutzen: * '''Überblick:''' Alles Wichtige ist an einem Ort. * '''Zeitersparnis:''' Schnelles Suchen und Finden statt Zettelwirtschaft. * '''Zuverlässigkeit:''' Erinnerungen verhindern, dass man Termine vergisst. * '''Planung:''' Man sieht, wann man Zeit hat und was ansteht. * '''Zusammenarbeit:''' Termine und Kalender können mit anderen geteilt werden. Aber: Ein PIM nützt nur, wenn man ihn '''konsequent''' verwendet. Wer die Hälfte weiterhin auf Zettel schreibt, hat wieder verstreute Informationen. <quiz display=simple> { Welche Vorteile bietet ein PIM? |type="[]"} + Besserer Überblick + Zeitersparnis beim Suchen + Weniger vergessene Termine - Man muss nie mehr selbst planen. - Termine erledigen sich automatisch. { Unter welcher Voraussetzung bringt ein PIM am meisten Nutzen? |type="()"} - Wenn man ihn nur ab und zu öffnet. + Wenn man ihn konsequent für alle Termine, Kontakte und Aufgaben verwendet. - Wenn man zusätzlich alles auf Zettel schreibt. - Wenn man möglichst viele verschiedene PIM gleichzeitig benutzt. </quiz> == Schritt 9: Datenschutz und Sicherheit == In einem PIM stecken viele persönliche Daten – auch Daten von anderen Personen (Kontakte). Deshalb gilt: * Gerät und Konto mit einem '''sicheren Passwort''' schützen. * Wenn möglich die '''Zwei-Faktor-Authentifizierung''' aktivieren. * Geschäftliche und private Daten möglichst '''trennen'''. * Überlegen, '''mit wem''' man seinen Kalender teilt. <quiz display=simple> { Warum ist Datenschutz bei einem PIM besonders wichtig? |type="()"} - Weil PIM-Programme immer kostenpflichtig sind. + Weil darin viele persönliche Daten gespeichert sind, auch von anderen Personen. - Weil Kalender nur im Büro verwendet werden dürfen. - Datenschutz spielt bei einem PIM keine Rolle. { Welche Massnahmen schützen Ihre PIM-Daten? |type="[]"} + Ein sicheres Passwort verwenden + Zwei-Faktor-Authentifizierung aktivieren + Geschäftliche und private Daten trennen - Das Passwort auf einen Zettel am Bildschirm kleben - Den Kalender öffentlich für alle freigeben </quiz> == Schritt 10: Abschlussquiz – alles zusammen == <quiz display=simple> { Ein Personal Information Manager ist … |type="()"} - ein Programm zum Bearbeiten von Fotos. + eine Software oder App, die persönliche Informationen wie Termine, Kontakte und Aufgaben zentral verwaltet. - eine Person, die in einer Firma das Personal verwaltet. - ein Antivirenprogramm. { Ordnen Sie zu: Die Geburtstagsfeier Ihrer Kollegin am Samstag gehört in den … |type="()"} + Kalender - Kontakte - Notizen - Papierkorb { Ordnen Sie zu: Die neue Adresse Ihres Lieferanten gehört in die … |type="()"} - Aufgaben + Kontakte - Kalender - Notizen { Ordnen Sie zu: «Bis Mittwoch Bericht abgeben» gehört in die … |type="()"} - Kontakte - Notizen + Aufgaben - E-Mail-Signatur { Welche Aussagen über PIM sind richtig? |type="[]"} + Die Bereiche eines PIM sind miteinander verknüpft. + Durch Synchronisation sind die Daten auf allen Geräten gleich. + Erinnerungen helfen, Termine nicht zu vergessen. - Ein PIM funktioniert nur auf einem einzigen Gerät. - Ein PIM ersetzt das eigene Planen vollständig. { Ergänzen Sie: Ein PIM sammelt persönliche Informationen an einem { zentralen|einzigen } Ort. |type="{}"} </quiz> == Weiterführend == * [[w:de:Personal Information Manager|Personal Information Manager]] auf Wikipedia [[Kategorie:Kurs:IT Skills (Handelsdiplom VSH)]] dwnhz9mk715srfm4mvnl42ch9dpgqot