Wikiversity dewikiversity https://de.wikiversity.org/wiki/Hauptseite MediaWiki 1.48.0-wmf.3 first-letter Medium Spezial Diskussion Benutzer Benutzer Diskussion Wikiversity Wikiversity Diskussion Datei Datei Diskussion MediaWiki MediaWiki Diskussion Vorlage Vorlage Diskussion Hilfe Hilfe Diskussion Kategorie Kategorie Diskussion Kurs Kurs Diskussion Projekt Projekt Diskussion TimedText TimedText talk Modul Modul Diskussion Veranstaltung Veranstaltung Diskussion 106 9722 1119216 1118710 2026-11-09T11:05:48Z Bert Niehaus 20843 /* Grundlagen */ 1119216 wikitext text/x-wiki {{Fachbereich|Mathematik}} [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|146px|mini|Kurs enthält [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] Audio-Folien]] Der Kurs Stochastik nutzt den [[Wiki2Reveal]] und den [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal Foliengenerator Wiki2Reveal], der direkt aus dem jeweiligen Wiki-Quelltext eine Präsentation erstellt, die man im Browser mit der Taste "F" in den Vollbildmodus (z.B. für die Nutzung direkt in der Vorlesung verwenden kann. Mit der Taste "C" (Comment) kann man die Folien im Browser auch beschreiben. Mit der Taste "B" (Blackboard) hat man zu jeder Folien eine digitale Tafel für handschriftliche Anmerkungen. Die Annotationen bleiben nur temporär für den jeweiligen Aufruf der Wiki2Reveal-Präsentation und nur in der eigenen Browsersitzung erhalten. Wenn andere Personen die Wiki2Reveal-Präsentation aufrufen, sehen diese die eigenen Annotationen nicht. Das Design von [[Wiki2Reveal]] sorgt dafür, dass jeder Aufruf eine eigene individuelle Annotationsumgebung im Browser besitzt und damit auch bei einem Reload die eigenen Annotationen aus Datenschutzgründen nicht mehr sichtbar sind. == Lernressourcen == * [[/Aufgaben Tutorium/]] * [[Stochastik Überblick]] von Thomas Rudolf Korn * [[/R-Befehle/]] für Übungen mit Wahrscheinlichkeitsverteilungen und Datenanalyse == Grundlagen == * [[/Sigma-Algebra/]] * '''[[Borelsche Sigma-Algebra|Borelsche Sigma-Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Borelsche%20Sigma-Algebra&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Borelsche%20Sigma-Algebra&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] für stetige Wahrscheinlichkeitsmaße * '''[[Wahrscheinlichkeitsraum]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Wahrscheinlichkeitsraum&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Eigenschaften von Wahrscheinlichkeitsmaßen]] ** [[Messraum]] ** [[induziertes Wahrscheinlichkeitsmaß]] ** [[Kurs:Stochastik/Siebformel|Siebformel]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Siebformel&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Siebformel&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Zufallsvariable|Zufallsvariable]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Zufallsvariable&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zufallsvariable&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kombinatorik]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kombinatorik&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kombinatorik&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] wird z.B. benötigt, um die Anzahl in der Grundmenge <math>\Omega</math> zu bestimmen oder auch in der Definition von W-Verteilungen (z.B. [[/Binomialverteilung/]]) * '''[[Diskrete und stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen|Diskrete und stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Diskrete%20und%20stetige%20Wahrscheinlichkeitsverteilungen&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=no&shorttitle=Diskrete%20und%20stetige%20Wahrscheinlichkeitsverteilungen&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/diskrete Verteilung/]] ** [[Kurs:Stochastik/stetige Verteilung|Stetige Verteilung]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Stetige%20Verteilung&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurs:Stochastik/Stetige%20Verteilung&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Stochastik/Wahrscheinlichkeitsdichte|Wahrscheinlichkeitsdichte]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Wahrscheinlichkeitsdichte&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wahrscheinlichkeitsdichte&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Verteilungsfunktion/]] ** [[Kurs:Stochastik/P-fast sicher|P-fast sicher]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/P-fast%20sicher&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=P-fast%20sicher&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Diskrete Wahrscheinlichkeitsräume|Diskrete Wahrscheinlichkeitsräume]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Diskrete%20Wahrscheinlichkeitsr%C3%A4ume&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=no&shorttitle=Diskrete%20Wahrscheinlichkeitsr%C3%A4ume&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Bedingte Wahrscheinlichkeit]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Bedingte%20Wahrscheinlichkeit&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=no&shorttitle=Bedingte%20Wahrscheinlichkeit&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Definition|Definition - bedingte Wahrscheinlichkeit]] ** [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Zerlegungssatz|Zerlegungssatz]] ** [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Satz_von_Bayes|Satz von Bayes]] ** [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Satz_totale_Wahrscheinlichkeit|Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit]] ** [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Produktformel|Produktformel]] * '''[[Stochastische Unabhängigkeit]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Stochastische%20Unabh%C3%A4ngigkeit&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=no&shorttitle=Stochastische%20Unabh%C3%A4ngigkeit&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Momente|Erwartungswert und Momente]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Momente&author=Kurs%3A+Stochastik&audioslide=no&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Linearität Erwartungswert/]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Linearit%C3%A4t%20Erwartungswert&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=no Foliensatz]) **[[/Gleitender Mittelwert/]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Gleitender+Mittelwert&author=Kurs%3A+Stochastik&audioslide=no&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Stochastik/Varianz|Varianz]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Varianz&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Varianz&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Stochastik/Kovarianz|Kovarianz]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Kovarianz&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kovarianz&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Stochastik/Erzeugende Funktionen|Erzeugende Funktionen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Erzeugende%20Funktionen&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Erzeugende%20Funktionen&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Borelsche Sigma-Algebra|Borelsche Sigma-Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Borelsche%20Sigma-Algebra&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Borelsche%20Sigma-Algebra&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Räumliche Wahrscheinlichkeitsdichten aus diskreten Daten/]] == Zufallsexperimente == * '''[[Kurs:Stochastik/Zufallsexperiment|Zufallsexperiment]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Zufallsexperiment&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=no&shorttitle=Zufallsexperiment&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Stochastik/Verteilungsfunktion|Verteilungsfunktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Verteilungsfunktion&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Verteilungsfunktion&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Stochastik/Eigenschaften Verteilungsfunktion|Eigenschaften Verteilungsfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Eigenschaften%20Verteilungsfunktion&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Eigenschaften%20Verteilungsfunktion&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Konvergenz von Verteilungsfunktionen/]] * [[/Nullmenge/]] === Diskrete Zufallsexperimente === * [[/Bernoulli-Experiment/]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Bernoulli-Experiment&author=Kurs%3A+Stochastik&audioslide=no&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Galtonbrett/]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Galtonbrett&author=Kurs%3A+Stochastik&audioslide=no&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Binomialverteilung/]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Binomialverteilung&author=Kurs%3A+Stochastik&audioslide=no&language=de Foliensatz]) * [[/Negative Binomialverteilung/]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Negative%20Binomialverteilung&author=Kurs%3A+Stochastik&audioslide=no&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/hypergeometrische Verteilung/]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/hypergeometrische%20Verteilung&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=no Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/multivariate hypergeometrische Verteilung/]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/multivariate%20hypergeometrische_Verteilung&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=no Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Poisson-Verteilung|Poisson-Verteilung]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Poisson-Verteilung&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Poisson-Verteilung&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Stetige Zufallsexperimente === * '''[[Glockenkurve|Glockenkurve]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Glockenkurve&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Glockenkurve&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Stochastik/Normalverteilung|Normalverteilung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Normalverteilung&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Normalverteilung&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Stetige Gleichverteilung|Stetige Gleichverteilung bzw. Rechteckverteilung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Stetige%20Gleichverteilung&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stetige%20Gleichverteilung&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[w:de:Dreiecksverteilung|Dreiecksverteilung]] * '''[[Exponentialverteilung|Exponentialverteilung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Exponentialverteilung&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Exponentialverteilung&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Cauchy-Verteilung|Cauchy-Verteilung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Cauchy-Verteilung&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Verteilung&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] == Gesetze der großen Zahlen == <span id="Konvergenzbegriffe"><span> * [[/Unfaire Münze/]] * [[/Faltung/|Summenverteilung - Faltung von Wahrscheinlichkeitsverteilungen]] * '''[[/Konvergenzeigenschaften/]]''' ** [[Kurs:Stochastik/fast sichere Konvergenz|P-fast sichere Konvergenz]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/fast%20sichere%20Konvergenz&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=fast%20sichere%20Konvergenz&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit/]] ** [[Konvergenz nach Verteilung]] ** [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe]] * '''[[Kurs:Stochastik/Tschebyscheffsche Ungleichung|Tschebyscheffsche Ungleichung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Tschebyscheffsche%20Ungleichung&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Tschebyscheffsche%20Ungleichung&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Stochastik/Gesetz der großen Zahlen|Gesetze der großen Zahlen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Gesetz%20der%20gro%C3%9Fen%20Zahlen&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurs:Stochastik/Gesetz%20der%20gro%C3%9Fen%20Zahlen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Stochastik/Schwaches Gesetz der großen Zahlen|Schwaches Gesetz der großen Zahlen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Schwaches%20Gesetz%20der%20gro%C3%9Fen%20Zahlen&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Schwaches%20Gesetz%20der%20gro%C3%9Fen%20Zahlen&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Stochastik/Starkes Gesetz der großen Zahlen|Starkes Gesetz der großen Zahlen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Starkes%20Gesetz%20der%20gro%C3%9Fen%20Zahlen&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Starkes%20Gesetz%20der%20gro%C3%9Fen%20Zahlen&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Stochastik/fast sichere Konvergenz|P-fast sichere Konvergenz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/fast%20sichere%20Konvergenz&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=fast%20sichere%20Konvergenz&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Grenzwertsätze]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Grenzwertsätze&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=no Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Approximation Binomialverteilung/]] ** [[/Zentraler Grenzwertsatz/]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Zentraler_Grenzwertsatz&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=no Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Hypothesentest]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Hypothesentest&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=no Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Allgemeine Wahrscheinlichkeitstheorie]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Allgemeine_Wahrscheinlichkeitstheorie&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=no Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf Vektorräumen === * [[Multivariate Statistik]] ** [[/multivariate hypergeometrische Verteilung/]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/multivariate_hypergeometrische_Verteilung&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=no Foliensatz]) * '''[[Kurs:Stochastik/Zufallsvariablen für Vektorräume|Zufallsvariablen für Vektorräume]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Zufallsvariablen%20f%C3%BCr%20Vektorr%C3%A4ume&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=no&shorttitle=Zufallsvariablen%20f%C3%BCr%20Vektorr%C3%A4ume&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Texterzeugung und Textanalyse === * '''[[Kurs:Stochastik/Stochastik auf Texten|Stochastik auf Texten]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Stochastik%20auf%20Texten&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stochastik%20auf%20Texten&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Textanalyse und Textgenerierung/Rangordnung|Rangordnung von Texten]] * [[Textanalyse und Textgenerierung/Tippfehler und Ähnlichkeitsmaße/|Tippfehler und Ähnlichkeitsmaße]] * [[Textanalyse und Textgenerierung/Kryptoanalyse und Stochastik|Kryptoanalyse und Stochastik]] * [[Textanalyse und Textgenerierung/syntaktische Struktur|syntaktische Struktur und Grammatik]] * [[Textanalyse und Textgenerierung/Vorhersage von Textfragmenten|Vorhersage von Textfragmenten]] * '''[[Kurs:Stochastik/Stochastische Netze|Stochastische Netze]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Stochastische%20Netze&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stochastische%20Netze&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Textanalyse und Textgenerierung/Graphen von Textfragmenten|Graphen von Textfragmenten]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Textanalyse%20und%20Textgenerierung/Graphen%20von%20Textfragmenten&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Graphen%20von%20Textfragmenten&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Textanalyse und Textgenerierung/Wege in Graphen|Wege in Graphen aus Textfragmenten]] * [[Textanalyse und Textgenerierung/stochastische Textgenerierung|stochastische Textgenerierung]] * [[Textanalyse und Textgenerierung/interaktive Textgenerierung|interaktive Textgenerierung]] == Mathematik und Nachhaltigkeit == * [[Geplante Obsoleszenz]] - Stochastik, mittlere Lebensdauer und die Identifikation von kurzlebigen Produkten, die nicht ressourcenschonend produziert wurden. == Literatur / Skripte == <references/> == Siehe auch == * [[COVID-19/Mathematische Modellbildung]] * [[w:de:Formelsammlung Stochastik|Formelsammlung Stochastik]] * [[Graph einer Funktion]] * [[v:en:KnitR|KnitR]] * [[Kurs:Didaktik der Stochastik für Lernumgebungen]] * [[Kurs:Statistik für Anwender]] * [[w:de:Stochastik|Stochastik]] * [[Textanalyse und Textgenerierung]] * [[Wiki2Reveal]] mit [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal Foliengenerator für Wiki2Reveal] [[Kategorie:Stochastik]] [[Kategorie:Wiki2Reveal]] 5olh857pmow6drf5ir4ko19zruvr43g 1119217 1119216 2026-11-09T11:06:45Z Bert Niehaus 20843 /* Grundlagen */ 1119217 wikitext text/x-wiki {{Fachbereich|Mathematik}} [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|146px|mini|Kurs enthält [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] Audio-Folien]] Der Kurs Stochastik nutzt den [[Wiki2Reveal]] und den [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal Foliengenerator Wiki2Reveal], der direkt aus dem jeweiligen Wiki-Quelltext eine Präsentation erstellt, die man im Browser mit der Taste "F" in den Vollbildmodus (z.B. für die Nutzung direkt in der Vorlesung verwenden kann. Mit der Taste "C" (Comment) kann man die Folien im Browser auch beschreiben. Mit der Taste "B" (Blackboard) hat man zu jeder Folien eine digitale Tafel für handschriftliche Anmerkungen. Die Annotationen bleiben nur temporär für den jeweiligen Aufruf der Wiki2Reveal-Präsentation und nur in der eigenen Browsersitzung erhalten. Wenn andere Personen die Wiki2Reveal-Präsentation aufrufen, sehen diese die eigenen Annotationen nicht. Das Design von [[Wiki2Reveal]] sorgt dafür, dass jeder Aufruf eine eigene individuelle Annotationsumgebung im Browser besitzt und damit auch bei einem Reload die eigenen Annotationen aus Datenschutzgründen nicht mehr sichtbar sind. == Lernressourcen == * [[/Aufgaben Tutorium/]] * [[Stochastik Überblick]] von Thomas Rudolf Korn * [[/R-Befehle/]] für Übungen mit Wahrscheinlichkeitsverteilungen und Datenanalyse == Grundlagen == * '''[[Kurs:Stochastik/Sigma-Algebra|Sigma-Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Sigma-Algebra&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Sigma-Algebra&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Borelsche Sigma-Algebra|Borelsche Sigma-Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Borelsche%20Sigma-Algebra&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Borelsche%20Sigma-Algebra&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] für stetige Wahrscheinlichkeitsmaße * '''[[Wahrscheinlichkeitsraum]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Wahrscheinlichkeitsraum&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Eigenschaften von Wahrscheinlichkeitsmaßen]] ** [[Messraum]] ** [[induziertes Wahrscheinlichkeitsmaß]] ** [[Kurs:Stochastik/Siebformel|Siebformel]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Siebformel&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Siebformel&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Zufallsvariable|Zufallsvariable]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Zufallsvariable&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zufallsvariable&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kombinatorik]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kombinatorik&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kombinatorik&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] wird z.B. benötigt, um die Anzahl in der Grundmenge <math>\Omega</math> zu bestimmen oder auch in der Definition von W-Verteilungen (z.B. [[/Binomialverteilung/]]) * '''[[Diskrete und stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen|Diskrete und stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Diskrete%20und%20stetige%20Wahrscheinlichkeitsverteilungen&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=no&shorttitle=Diskrete%20und%20stetige%20Wahrscheinlichkeitsverteilungen&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/diskrete Verteilung/]] ** [[Kurs:Stochastik/stetige Verteilung|Stetige Verteilung]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Stetige%20Verteilung&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurs:Stochastik/Stetige%20Verteilung&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Stochastik/Wahrscheinlichkeitsdichte|Wahrscheinlichkeitsdichte]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Wahrscheinlichkeitsdichte&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wahrscheinlichkeitsdichte&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Verteilungsfunktion/]] ** [[Kurs:Stochastik/P-fast sicher|P-fast sicher]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/P-fast%20sicher&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=P-fast%20sicher&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Diskrete Wahrscheinlichkeitsräume|Diskrete Wahrscheinlichkeitsräume]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Diskrete%20Wahrscheinlichkeitsr%C3%A4ume&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=no&shorttitle=Diskrete%20Wahrscheinlichkeitsr%C3%A4ume&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Bedingte Wahrscheinlichkeit]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Bedingte%20Wahrscheinlichkeit&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=no&shorttitle=Bedingte%20Wahrscheinlichkeit&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Definition|Definition - bedingte Wahrscheinlichkeit]] ** [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Zerlegungssatz|Zerlegungssatz]] ** [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Satz_von_Bayes|Satz von Bayes]] ** [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Satz_totale_Wahrscheinlichkeit|Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit]] ** [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Produktformel|Produktformel]] * '''[[Stochastische Unabhängigkeit]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Stochastische%20Unabh%C3%A4ngigkeit&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=no&shorttitle=Stochastische%20Unabh%C3%A4ngigkeit&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Momente|Erwartungswert und Momente]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Momente&author=Kurs%3A+Stochastik&audioslide=no&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Linearität Erwartungswert/]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Linearit%C3%A4t%20Erwartungswert&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=no Foliensatz]) **[[/Gleitender Mittelwert/]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Gleitender+Mittelwert&author=Kurs%3A+Stochastik&audioslide=no&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Stochastik/Varianz|Varianz]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Varianz&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Varianz&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Stochastik/Kovarianz|Kovarianz]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Kovarianz&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kovarianz&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Stochastik/Erzeugende Funktionen|Erzeugende Funktionen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Erzeugende%20Funktionen&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Erzeugende%20Funktionen&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Borelsche Sigma-Algebra|Borelsche Sigma-Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Borelsche%20Sigma-Algebra&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Borelsche%20Sigma-Algebra&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Räumliche Wahrscheinlichkeitsdichten aus diskreten Daten/]] == Zufallsexperimente == * '''[[Kurs:Stochastik/Zufallsexperiment|Zufallsexperiment]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Zufallsexperiment&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=no&shorttitle=Zufallsexperiment&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Stochastik/Verteilungsfunktion|Verteilungsfunktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Verteilungsfunktion&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Verteilungsfunktion&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Stochastik/Eigenschaften Verteilungsfunktion|Eigenschaften Verteilungsfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Eigenschaften%20Verteilungsfunktion&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Eigenschaften%20Verteilungsfunktion&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Konvergenz von Verteilungsfunktionen/]] * [[/Nullmenge/]] === Diskrete Zufallsexperimente === * [[/Bernoulli-Experiment/]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Bernoulli-Experiment&author=Kurs%3A+Stochastik&audioslide=no&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Galtonbrett/]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Galtonbrett&author=Kurs%3A+Stochastik&audioslide=no&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Binomialverteilung/]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Binomialverteilung&author=Kurs%3A+Stochastik&audioslide=no&language=de Foliensatz]) * [[/Negative Binomialverteilung/]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Negative%20Binomialverteilung&author=Kurs%3A+Stochastik&audioslide=no&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/hypergeometrische Verteilung/]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/hypergeometrische%20Verteilung&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=no Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/multivariate hypergeometrische Verteilung/]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/multivariate%20hypergeometrische_Verteilung&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=no Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Poisson-Verteilung|Poisson-Verteilung]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Poisson-Verteilung&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Poisson-Verteilung&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Stetige Zufallsexperimente === * '''[[Glockenkurve|Glockenkurve]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Glockenkurve&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Glockenkurve&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Stochastik/Normalverteilung|Normalverteilung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Normalverteilung&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Normalverteilung&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Stetige Gleichverteilung|Stetige Gleichverteilung bzw. Rechteckverteilung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Stetige%20Gleichverteilung&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stetige%20Gleichverteilung&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[w:de:Dreiecksverteilung|Dreiecksverteilung]] * '''[[Exponentialverteilung|Exponentialverteilung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Exponentialverteilung&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Exponentialverteilung&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Cauchy-Verteilung|Cauchy-Verteilung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Cauchy-Verteilung&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Verteilung&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] == Gesetze der großen Zahlen == <span id="Konvergenzbegriffe"><span> * [[/Unfaire Münze/]] * [[/Faltung/|Summenverteilung - Faltung von Wahrscheinlichkeitsverteilungen]] * '''[[/Konvergenzeigenschaften/]]''' ** [[Kurs:Stochastik/fast sichere Konvergenz|P-fast sichere Konvergenz]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/fast%20sichere%20Konvergenz&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=fast%20sichere%20Konvergenz&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit/]] ** [[Konvergenz nach Verteilung]] ** [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe]] * '''[[Kurs:Stochastik/Tschebyscheffsche Ungleichung|Tschebyscheffsche Ungleichung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Tschebyscheffsche%20Ungleichung&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Tschebyscheffsche%20Ungleichung&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Stochastik/Gesetz der großen Zahlen|Gesetze der großen Zahlen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Gesetz%20der%20gro%C3%9Fen%20Zahlen&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurs:Stochastik/Gesetz%20der%20gro%C3%9Fen%20Zahlen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Stochastik/Schwaches Gesetz der großen Zahlen|Schwaches Gesetz der großen Zahlen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Schwaches%20Gesetz%20der%20gro%C3%9Fen%20Zahlen&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Schwaches%20Gesetz%20der%20gro%C3%9Fen%20Zahlen&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Stochastik/Starkes Gesetz der großen Zahlen|Starkes Gesetz der großen Zahlen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Starkes%20Gesetz%20der%20gro%C3%9Fen%20Zahlen&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Starkes%20Gesetz%20der%20gro%C3%9Fen%20Zahlen&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Stochastik/fast sichere Konvergenz|P-fast sichere Konvergenz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/fast%20sichere%20Konvergenz&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=fast%20sichere%20Konvergenz&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Grenzwertsätze]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Grenzwertsätze&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=no Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Approximation Binomialverteilung/]] ** [[/Zentraler Grenzwertsatz/]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Zentraler_Grenzwertsatz&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=no Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Hypothesentest]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Hypothesentest&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=no Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Allgemeine Wahrscheinlichkeitstheorie]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Allgemeine_Wahrscheinlichkeitstheorie&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=no Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf Vektorräumen === * [[Multivariate Statistik]] ** [[/multivariate hypergeometrische Verteilung/]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/multivariate_hypergeometrische_Verteilung&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=no Foliensatz]) * '''[[Kurs:Stochastik/Zufallsvariablen für Vektorräume|Zufallsvariablen für Vektorräume]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Zufallsvariablen%20f%C3%BCr%20Vektorr%C3%A4ume&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=no&shorttitle=Zufallsvariablen%20f%C3%BCr%20Vektorr%C3%A4ume&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Texterzeugung und Textanalyse === * '''[[Kurs:Stochastik/Stochastik auf Texten|Stochastik auf Texten]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Stochastik%20auf%20Texten&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stochastik%20auf%20Texten&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Textanalyse und Textgenerierung/Rangordnung|Rangordnung von Texten]] * [[Textanalyse und Textgenerierung/Tippfehler und Ähnlichkeitsmaße/|Tippfehler und Ähnlichkeitsmaße]] * [[Textanalyse und Textgenerierung/Kryptoanalyse und Stochastik|Kryptoanalyse und Stochastik]] * [[Textanalyse und Textgenerierung/syntaktische Struktur|syntaktische Struktur und Grammatik]] * [[Textanalyse und Textgenerierung/Vorhersage von Textfragmenten|Vorhersage von Textfragmenten]] * '''[[Kurs:Stochastik/Stochastische Netze|Stochastische Netze]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Stochastische%20Netze&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stochastische%20Netze&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Textanalyse und Textgenerierung/Graphen von Textfragmenten|Graphen von Textfragmenten]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Textanalyse%20und%20Textgenerierung/Graphen%20von%20Textfragmenten&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Graphen%20von%20Textfragmenten&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Textanalyse und Textgenerierung/Wege in Graphen|Wege in Graphen aus Textfragmenten]] * [[Textanalyse und Textgenerierung/stochastische Textgenerierung|stochastische Textgenerierung]] * [[Textanalyse und Textgenerierung/interaktive Textgenerierung|interaktive Textgenerierung]] == Mathematik und Nachhaltigkeit == * [[Geplante Obsoleszenz]] - Stochastik, mittlere Lebensdauer und die Identifikation von kurzlebigen Produkten, die nicht ressourcenschonend produziert wurden. == Literatur / Skripte == <references/> == Siehe auch == * [[COVID-19/Mathematische Modellbildung]] * [[w:de:Formelsammlung Stochastik|Formelsammlung Stochastik]] * [[Graph einer Funktion]] * [[v:en:KnitR|KnitR]] * [[Kurs:Didaktik der Stochastik für Lernumgebungen]] * [[Kurs:Statistik für Anwender]] * [[w:de:Stochastik|Stochastik]] * [[Textanalyse und Textgenerierung]] * [[Wiki2Reveal]] mit [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal Foliengenerator für Wiki2Reveal] [[Kategorie:Stochastik]] [[Kategorie:Wiki2Reveal]] izeio6xl9zp4nhbbvaao7yk1otykfzz 0 55795 1119124 1118412 2026-11-08T15:49:40Z Bocardodarapti 2041 1119124 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Zu {{ Relationskette | \chi | \in | {{op:Charakterdual| D |}} || || || |SZ= }} sei {{math|term= \varphi_\chi |SZ=}} der zugehörige {{math|term= K |SZ=-}}Algebrahomomorphismus aus {{ Faktlink |Faktseitenname= Graduierte Algebra/Körper/Charakter definiert Automorphismus/Fakt |Nr= |SZ=. }} Für ein Element {{ Relationskette | f | \in | A_0 || || || |SZ= }} und einen beliebigen {{ Definitionslink |Charakter| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= \chi |SZ=}} ist offenbar {{ Relationskette/display | \chi f || \varphi_\chi (f) || \chi(0) f || f || |SZ=, }} sodass {{ Relationskette | A_0 | \subseteq | A^G || || || |SZ= }} ist. Da die Operation der Charaktergruppe homogen ist, sind die homogenen Komponenten eines invarianten Elements {{ Relationskette | f | \in | A^G || || || |SZ= }} ebenfalls invariant. Es sei {{ Relationskette | f | \in | A_d \cap A^G || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | d | \neq | 0 || || || |SZ=. }} Aufgrund der Voraussetzung über die Einheitswurzeln gibt es einen Charakter {{ Abbildung/display |name= \chi | D | K^\times || |SZ= }} mit {{ Relationskette | \chi(d) | \neq | 1 || || || |SZ=. }} Dann ist {{ Relationskette/display | \chi f || \varphi_\chi(f) || \chi(d) f | \neq | f || |SZ=, }} also sind solche Elemente nicht invariant. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6gniywp4o5ssth1uiohnt2uos2pv3a0 0 56128 1119097 1099757 2026-11-08T13:06:09Z Bocardodarapti 2041 1119097 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= \xi |SZ=}} eine {{ Definitionslink |primitive| |Kontext=EHW| |SZ= }} {{math|term= 5 |SZ=-}}te komplexe Einheitswurzel. Wir setzen {{ Mathkor/display|term1= E= - {{op:Matrix22| \xi^3 | 0 | 0 | \xi^2 }} |und|term2= F= {{op:Bruch| 1 | \sqrt{5} }} {{op:Matrix22| - \xi + \xi^4 | \xi^2-\xi^3 | \xi^2-\xi^3 | \xi -\xi^4 }} |SZ=. }} Die von diesen Elementen erzeugte Untergruppe der {{mathl|term= {{op:SLG| 2 | {{CC}}}} |SZ=}} heißt die {{Stichwort|binäre Ikosaedergruppe|SZ=.}} Es ist {{ Relationskette/display | E^5 || {{op:Matrix22| -1 | 0 | 0| -1 }} || || || |SZ= }} und somit besitzt {{math|term= E |SZ=}} die {{ Definitionslink |Ordnung| |Kontext=Gruppe| |SZ= }} {{math|term= 10 |SZ=.}} Wegen {{ Relationskette/align |F^2 || {{op:Bruch| 1 | 5}} {{op:Matrix22| - \xi + \xi^4 | \xi^2-\xi^3 | \xi^2-\xi^3 | \xi -\xi^4}} \cdot {{op:Matrix22| - \xi + \xi^4|\xi^2-\xi^3| \xi^2-\xi^3 | \xi -\xi^4}} || {{op:Bruch| 1 | 5}} {{op:Matrix22| \xi^2 + \xi^3 -2+ \xi^4+\xi -2 | 0 | 0 | \xi^4+\xi -2+\xi^2 + \xi^3 -2 }} || {{op:Bruch| 1 | 5}} {{op:Matrix22| -5 | 0| 0 | -5 }} || {{op:Matrix22| -1 | 0| 0 | -1 }} |SZ= }} besitzt {{math|term= F |SZ=}} die Ordnung {{math|term= 4 |SZ=.}} Ferner ist {{ Relationskette/align |EF || - {{op:Matrix22| \xi^3| 0 | 0| \xi^2}} \cdot {{op:Bruch| 1 | \sqrt{5} }} {{op:Matrix22| - \xi + \xi^4 | \xi^2-\xi^3 | \xi^2-\xi^3 | \xi -\xi^4}} || - {{op:Bruch| 1 | \sqrt{5} }} {{op:Matrix22| - \xi^4 + \xi^2 | 1-\xi | \xi^4- 1 | \xi^3 -\xi }} || || |SZ=. }} Dabei ist {{ Relationskette/align/drucklinks | {{op:Matrix22| - \xi^4 + \xi^2| 1-\xi | \xi^4- 1 | \xi^3 -\xi }} \cdot {{op:Matrix22| - \xi^4 + \xi^2 | 1-\xi | \xi^4- 1 | \xi^3 -\xi }} || {{op:Matrix22| 2 \xi^4 + \xi^3- \xi -2 | -2 \xi^4 +2 \xi^2 - \xi +1 | \xi^4-2 \xi^3 +2\xi -1 | - \xi^4 + \xi^2 +2 \xi -2 }} || || || |SZ= }} und {{ Zusatz/Klammer |text=unter Verwendung von {{ Relationskette/k | \xi^2+\xi^3 || - {{op:Bruch| 1 + \sqrt{5}| 2}} || || || |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} {{ Relationskette/align/drucklinks | {{op:Matrix22| - \xi^4 + \xi^2 | 1-\xi | \xi^4- 1 | \xi^3 -\xi }}^3 || {{op:Matrix22| 2 \xi^4 + \xi^3- \xi -2 | -2 \xi^4 +2 \xi^2 - \xi +1 | \xi^4-2 \xi^3 +2\xi -1 | - \xi^4 + \xi^2 +2 \xi -2 }} \cdot {{op:Matrix22| - \xi^4 + \xi^2 | 1-\xi | \xi^4- 1 | \xi^3 -\xi }} || {{op:Matrix22| 5 \xi^4 -5 \xi^3 -5 \xi^2 +5 \xi | 0 | 0 | 5 \xi^4 -5 \xi^3 -5 \xi^2 +5 \xi }} || {{op:Matrix22| -5 -10 {{makl| \xi^3+ \xi^2 |}} | 0 | 0 | -5 -10 {{makl| \xi^3+ \xi^2 |}} }} || {{op:Matrix22| 5 \sqrt{5} | 0 | 0 | 5 \sqrt{5} }} || || |SZ=, }} also ist {{ Relationskette/display |(EF)^3 || {{op:Matrix22| -1 | 0 | 0 | -1 }} || || || |SZ= }} und die Ordnung von {{math|term= EF|SZ=}} ist {{math|term= 6 |SZ=.}} Diese Gruppe besitzt {{mathl|term= 120 |SZ=}} Elemente und heißt die {{Stichwort|binäre Ikosaedergruppe|SZ=,}} sie wird mit {{math|term= BI |SZ=}} bezeichnet. Siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Binäre Ikosaedergruppe/Beschreibung der Elemente/Eindeutigkeit/Aufgabe |Nr= |SZ= }} für eine Beschreibung sämtlicher Elemente mit den beiden Erzeugern. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der endlichen Untergruppen von GLG |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7wn60y4hb8pkyw4t41bs2wsj9r1a7jv 0 84454 1119171 1066284 2026-11-09T08:37:33Z Bert Niehaus 20843 /* Gliederung */ 1119171 wikitext text/x-wiki == Begriff - Fuzzylogik == [[Datei:Fuzzy logic temperature de.svg|miniatur|Fuzzylogik einer Temperaturregelung]] '''Fuzzylogik''' ([[w:de:Englische Sprache|engl.]] ''fuzzy '' ‚verwischt‘, ‚verschwommen‘, ‚unbestimmt‘; ''fuzzy logic'', ''fuzzy theory'' ‚unscharfe Logik‘ bzw. ‚unscharfe Theorie‘) ist eine Theorie, welche vor allem für die [[w:de:Modellierung|Modellierung]] von [[w:de:Unsicherheit|Unsicherheit]] und [[w:de:Vagheit|Vagheit]] von umgangssprachlichen Beschreibungen entwickelt wurde. Sie ist eine Verallgemeinerung der zweiwertigen [[w:de:Boolesche Algebra|Booleschen Logik]]. == Gliederung == * [[/Geschichte/]] * [[/Fuzzymenge/|Klassische Mengen, Zugehörigkeitsfunktion und linguistische Werte]] * [[/Operatoren/]] * [[/Umsetzung in R/]] * '''[[Kurs:Maschinelles_Lernen/Fuzzy-Klassifikation|Fuzzy-Klassifikation]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Maschinelles_Lernen/Fuzzy-Klassifikation&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fuzzy-Klassifikation&coursetitle=Fuzzylogik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Fuzzylogik/Dichten und Zugehörigkeitsfunktionen|Dichten und Zugehörigkeitsfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik/Dichten%20und%20Zugeh%C3%B6rigkeitsfunktionen&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Dichten%20und%20Zugeh%C3%B6rigkeitsfunktionen&coursetitle=Fuzzylogik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Fuzzylogik/Controller|Fuzzyregler]] == Aufgabe - Entscheidungen - Wahrnehmung == Betrachten Sie Entscheidungsprozesse im Alltag oder Beurteilungen, Einschätzung, Bewertungen, Wahrnehmungen... . * Welche dieser Aspekte können Sie eher mit der Fuzzylogik verbinden? * Welche dieser Aspekte könnte eher durch die klassische Logik beschrieben werden? === Aufgabe - Klassifikation der Beispiele === Klassifizieren Ihre Beispiele * Die Klausur hat die Schülerin bestanden (wahr 1, falsch 0- klassische Logik). * Der Student hat Schmerzen (Schmerzn können ansteigen und schwächer werden - es gibt Zwischenzustände zwischen 0 kein Schmerz und 1 unerträglicher Schmerz - Fuzzylogik). Erweitern Sie Ihre Beispiele mit Erläuterungen in dem oben angegebenen Weise. == Beispiele allgemein == Beispielsweise kann damit die sogenannte ''[[w:de:Fuzziness (Sprache)|Fuzziness]]'' von Angaben wie „ein bisschen“, „ziemlich“, „stark“ oder „sehr“ in mathematischen Modellen erfasst werden. Die Fuzzylogik basiert auf den ''Fuzzy-Mengen'' ([[/Klassische Mengen und Fuzzymengen/|Fuzzy-Sets]]) und sogenannten ''Zugehörigkeitsfunktionen'', die Objekte auf Fuzzy-Mengen abbilden, sowie passenden logischen ''Operationen'' auf diesen Mengen und ihrer [[w:de:Inferenz|Inferenz]]. Bei technischen Anwendungen müssen außerdem Methoden zur ''Fuzzyfizierung'' und ''Defuzzyfizierung'' betrachtet werden, das heißt Methoden zur Umwandlung von Angaben und Zusammenhängen in Fuzzylogik und wieder zurück, zum Beispiel als Stellwert für eine Heizung als Resultat. == Mehrwertige Logik == Die Fuzzy-Set-Theorie ist von der [[w:de:Mehrwertige Logik|mehrwertigen Logik]] zu unterscheiden, die in den 1920er Jahren der polnische Logiker [[w:de:Jan Łukasiewicz|Jan Łukasiewicz]] beschrieb. Im engeren Sinne kann die so genannte Fuzzylogik zwar als eine mehrwertige Logik gedeutet werden, und insofern gibt es eine gewisse Nähe zur mehrwertigen Logik, für deren Wahrheitswert einer logischen Aussage Zahlen aus dem reellen Einheitsintervall [0,&nbsp;1] (die [[w:de:Reelle Zahl|reellen Zahlen]] von 0 bis&nbsp;1) verwendet werden. == Fuzzy-Technologie == Die Fuzzy-Technologie nahm in den 1980er Jahren vor allem in Japan ihren Aufschwung mit der sogenannten japanischen ''Fuzzy-Welle''. Ein historisches Beispiel ist die Regelung der vollautomatischen [[w:de:U-Bahn Sendai|U-Bahn Sendai]], die erste erfolgreiche Großanwendung mit Fuzzylogik in der Praxis. Später fand die Fuzzylogik auch in Geräten der Unterhaltungselektronik breite Anwendung. Die europäische Fuzzy-Welle kam erst Mitte der 1990er Jahre, als die Grundsatzdiskussionen über die Fuzzylogik verebbten. === Aufgabe - Fuzzy-Controller === Sei <math>\Omega := [-20,50] </math> das Temperaturintervall von -20 bis +50 Grad. Betrachtet man z.B. die Temperatureinstellung für einen Raum, so kann man an dem Regelverhalten der Nutzer:innen für die Heizkörper im Raum erkennen, ob es den Nutzer:innen im Raum zu warm oder zu kalt ist. * Zeichnen Sie für Ihr gegenwärtiges Temperaturempfinden eine Zugehörigkeitsfunktion für <math>\mu_{kalt}: \Omega \to [0,1]</math>. * Erläutern Sie, wie man eine Zugehörigkeitsfunktion <math>\mu_{kalt}: \Omega \to [0,1]</math> aus dem Regelungsverhalten der Nutzer:innen ermitteln kann, wenn der Fuzzy-Controller gleichzeitig einen Temperatursensor besitzt. * Wie kann man damit einen lernfähigen Fuzzy-Controller erstellen, der die Temperatur automatisch für die Nutzer:innen regelt in Abhängigkeit von der (Jahres-)Zeit regelt? (siehe auch [[Maschinelles Lernen]]) === Definition - Integrable Zugehörigkeitsfunktion === Eine [[w:de:Zugehörigkeitsfunktion|Zugehörigkeitsfunktion]] <math>\mu_A:X \to [0,1]</math>, die bzgl. einen Maßes <math>\lambda</math> auf <math>X</math> eine integrable Abbildung ist, nennt man integrable Zugehörigkeitsfunktion und notiert dieses als Integral: :<math> \int_X \mu_A(x) \, d\lambda(x) </math> === Bemerkung - Mittlere Zugehörigkeit auf einer Menge === Das Integral über die Zugehörigkeitsfunktion, die jedem Element <math>x\in X</math> der [[w:de:Definitionsmenge|Definitionsmenge]] ''X'' eine Zahl aus dem reellwertigen [[w:de:Intervall (Mathematik)|Intervall]] [0,1] der [[w:de:Zielmenge|Zielmenge]] zuordnen, erlaubt eine mittlere Zugehörigkeit zu ermitteln, wenn das Maß auf <math>X</math> endlich ist. Der folgende Quotient gibt dann die mittlere Zugehörigkeit an. === Definition - Mittlere Zugehörigkeit auf einer Menge === Sei <math>\mu: X \to \mathbb{R} </math> eine Fuzzy-Zugehörigkeitsfunktion und <math>A\subseteq X</math> eine Menge ist, für die die Indikatorfunktion <math>I_{_{A}}</math> integrabel ist, dann definiert der Quotient :<math> E(\mu,A) := \frac{\int_X \mu(x) \cdot I_{_{A}}(x) \, dx}{\int_X I_{_{A}}(x) \, dx} </math> die mittlere Zugehörigkeit von <math>\mu</math> für die Menge <math>A</math>. Dabei ist <math>I_{_{A}}: X \to \mathbb{R} </math> die [[w:de:Indikatorfunktion|Indikatorfunktion]] für eine [[Wahrscheinlichkeitsraum#Messraum|messbare Menge]] <math>A</math>, wobei <math>I_{_{A}}(x)= 1</math> für <math>x \in A</math> und <math>I_{_{A}}(x)= 0</math> für <math>x \notin A</math> gilt. === Bemerkung zum Quotienten === Der Nenner <math> \int_X I_{_{A}}(x) \, dx</math> liefert allgemein das Volumen der Menge <math>A</math> im <math>\mathbb{R}^n</math> (z.B. im Beispiel im <math>\mathbb{R}^2</math> den Flächeninhalt von <math>A</math>. === Bemerkung zur Messbarkeit === Im Allgemeinen ist nicht jede Teilmenge <math>A \subseteq \mathbb{R}^n</math> [[w:de:Messraum_(Mathematik)|messbar]]. === Anwendungsbeispiel - Mittlere Zugehörigkeit === Man betrachtet nun <math>X</math> als eine Grundfläche von einem Land. Die Fuzzy-Zugehörigkeitsfunktion <math>\mu: X \to \mathbb{R} </math> beschreibt die Wasserverfügbarkeit für Pflanzen im Boden. <math>\mu(x)=1</math> bedeutet ideale Wasserversorgung für Pflanzen und <math>\mu(x)=0</math> bedeutet, dass kein Wasser für Pflanzen verfügbar ist. <math> E(\mu,A)</math> für eine landwirtschaftliche Nutzfläche <math>A</math> beschreibt nun die mittlere Güte der Wasserversorgung für Pflanzen auf der Fläche <math>A</math>. === Bemerkung - Integrable Zugehörigkeitsfunktionen === Für die obige Definition ist es notwendig, dass die Zugehörigkeitsfunktionen <math>\mu_A </math> und die Indikatorfunktion <math> \chi_{_{A}} </math> integrable Funktionen sind. === Aufgabe - sigma-endliche Maße === Wie kann man die obige Definition auf <math>\sigma</math>-[[w:de:Σ-Endlichkeit|endliche Maße]] erweitern? === Bemerkung - Indikatorfunktion - scharfe Mengen === Damit sind Zugehörigkeitsfunktionen ein Spezialfall einer Indikatorfunktion <math>\chi_A: \Omega \to \{0,1\}</math>, die zum Element der Grundmenge <math>A</math> angibt, ob <math>x</math> zur Menge gehört <math> \chi_{_A}(x) = 1</math> bzw. nicht zur Menge gehört <math>\chi_{_A}(x)=0</math>. === Aufgabe === Wenn eine Fuzzy-Funktion den [[w:de:Zugehörigkeitsgrad|Zugehörigkeitsgrad]] <math>\mu_A(x)</math> von jedem Elements ''x'' zur so definierten [[w:de:Fuzzylogik#Unscharfe Mengen|unscharfen Menge]] ''A'' angibt, können Sie damit auch ein Wahrscheinlichkeitmaß angeben, das jeder Fuzzymenge <math>A</math> analog zu eine crispen/scharfen Menge eine Wahrscheinlichkeit <math>P(A)</math> zuordnet. Erläutern Sie, wie das mit Maßtheorie und einem auf 1 normierten endlichen positiven Maß möglich ist. === Ursprung der Zugehörigkeitsfunktion === Zadeh erklärte hierzu neue Mengenoperationen, die als Operationen eines neuen [[w:de:Kalkül|Logikkalküls]] die mehrwertige ''Fuzzylogik'' begründen und sie als eine [[w:de:Generalisierung|Verallgemeinerung]] der zweiwertigen, [[w:de:Klassische Logik|klassischen Logik]] ausweisen, welche als Spezialfall in ihr enthalten ist. Diese [[w:de:Mengenoperationen|Operationen]] auf unscharfen Mengen sind wie auf scharfen Mengen definierbar, wie z.&nbsp;B. die Bildung von [[w:de:Schnittmenge|Schnittmenge]]n (UND), [[w:de:Vereinigungsmenge|Vereinigungsmenge]]n (ODER) und [[w:de:Komplement (Mengenlehre)|Komplementmengen]] (NICHT). Zur Modellierung der logischen Operatoren der [[w:de:Konjunktion (Logik)|Konjunktion]] (UND), der [[w:de:Disjunktion|Disjunktion]] (ODER) und der [[w:de:Negation|Negation]] (NICHT) bedient man sich der Funktionsklassen der [[w:de:T-Norm|T-Norm]] und [[w:de:T-Conorm|T-Conorm]]. === Räumliche Zugehörigkeitsfunktionen === '''[[CAS4Wiki]]:''' Darstellung einer [https://niebert.github.io/WikiversityDoc/cas4wiki.html?filename=commands4cas.json&casdata=%7B%22castype%22%3A%22maxima%22%2C%22title4cas%22%3A%22Computer%20Algebra%20System%22%2C%22title4commands%22%3A%22Commands%22%2C%22title4functions%22%3A%22Functions%22%2C%22title4variables%22%3A%22Variables%22%2C%22commands%22%3A%5B%7B%22cmdtitle%22%3A%22Define%20Function%20g(x%2Cy)%22%2C%22cmd%22%3A%22g(x%2Cy)%3A%3D(cos(x%2F3)%2Bsin(y%2F3)%2B2%20%2B%201%2F(1%2B((x-1)%2F2)%5E2%2B((y%2B1)%2F2)%5E2)%20%2B%202%2F(1%2B((x%2B4.5)%2F1)%5E2%2B((y%2B3.6)%2F1)%5E2)%20-%201%2F(1%2B((x-4.4)%2F2)%5E2%2B((y-3.0)%2F2)%5E2)%20%20-%202%2F(1%2B((x-0.2)%2F2)%5E2%2B((y-3.6)%2F2)%5E2)%20)%2F4%22%2C%22result4cmd%22%3A%22g(x%2Cy)%3A%3D0.5%2B0.25cos(0.333333...x)%2B%5C%5Cfrac%7B0.25%7D%7B(1.5-0.5x%2B0.5y%2B0.25x%5E2%2B0.25y%5E2)%7D-%5C%5Cfrac%7B0.5%7D%7B(4.25-0.1x-1.8y%2B0.25x%5E2%2B0.25y%5E2)%7D-%5C%5Cfrac%7B0.25%7D%7B(8.09-2.2x-1.5y%2B0.25x%5E2%2B0.25y%5E2)%7D%2B%5C%5Cfrac%7B0.5%7D%7B(34.21%2B9.0x%2B7.2y%2B1.0x%5E2%2B1.0y%5E2)%7D%2B0.25sin(0.333333...y)%22%7D%2C%7B%22cmdtitle%22%3A%22Plot3D%20g(x%2Cy)%22%2C%22cmd%22%3A%22plot3d(g(x%2Cy)%2Cx%5B-5%2C5%5D%2Cy%5B-4%2C6%5D)%22%2C%22result4cmd%22%3A%22plot3d%3A%20g(x%2Cy)%3D(cos(x%2F3)%2Bsin(y%2F3)%2B2%20%2B%201%2F(1%2B((x-1)%2F2)%5E2%2B((y%2B1)%2F2)%5E2)%20%2B%202%2F(1%2B((x%2B4.5)%2F1)%5E2%2B((y%2B3.6)%2F1)%5E2)%20-%201%2F(1%2B((x-4.4)%2F2)%5E2%2B((y-3.0)%2F2)%5E2)%20%20-%202%2F(1%2B((x-0.2)%2F2)%5E2%2B((y-3.6)%2F2)%5E2)%20)%2F4%20%20%20%5C%5Cquad%20%22%7D%5D%2C%22casfunctions%22%3A%5B%7B%22name%22%3A%22g%22%2C%22args%22%3A%22x%2Cy%22%2C%22def%22%3A%22(cos(x%2F3)%2Bsin(y%2F3)%2B2%20%2B%201%2F(1%2B((x-1)%2F2)%5E2%2B((y%2B1)%2F2)%5E2)%20%2B%202%2F(1%2B((x%2B4.5)%2F1)%5E2%2B((y%2B3.6)%2F1)%5E2)%20-%201%2F(1%2B((x-4.4)%2F2)%5E2%2B((y-3.0)%2F2)%5E2)%20%20-%202%2F(1%2B((x-0.2)%2F2)%5E2%2B((y-3.6)%2F2)%5E2)%20)%2F4%22%7D%2C%7B%22name%22%3A%22f%22%2C%22args%22%3A%22x%22%2C%22def%22%3A%22x%5E5%22%7D%2C%7B%22name%22%3A%22h%22%2C%22args%22%3A%22x%22%2C%22def%22%3A%2210*sin(x)%22%7D%2C%7B%22name%22%3A%22cur%22%2C%22args%22%3A%22t%22%2C%22def%22%3A%22%5Bcos(t)%2Csin(t)%2Ct%5D%22%7D%2C%7B%22name%22%3A%22K%22%2C%22args%22%3A%22t%22%2C%22def%22%3A%22v1*%20(1-t)%5E3%20%2Bv2*3*(1-t)%5E2*t%2B%20v3*3*(1-t)*t%5E2%20%2Bv4*t%5E3%22%7D%2C%7B%22name%22%3A%22f_1%22%2C%22args%22%3A%22t%22%2C%22def%22%3A%22sin(t)%5E4-2*cos(t%2F2)%5E3*sin(t)%22%7D%5D%2C%22casvariables%22%3A%5B%7B%22name%22%3A%22c1%22%2C%22def%22%3A%2212!%22%7D%2C%7B%22name%22%3A%22c2%22%2C%22def%22%3A%2223%5E5-4%2Bsin(13)%22%7D%2C%7B%22name%22%3A%22c3%22%2C%22def%22%3A%22f1(x)%22%7D%2C%7B%22name%22%3A%22v1%22%2C%22def%22%3A%22%5B3%2C4%2C5%5D%22%7D%2C%7B%22name%22%3A%22v2%22%2C%22def%22%3A%22%5B5%2C4%2C-3%5D%22%7D%2C%7B%22name%22%3A%22v3%22%2C%22def%22%3A%22%5B-6%2C-6%2C6%5D%22%7D%2C%7B%22name%22%3A%22v4%22%2C%22def%22%3A%22%5B-3%2C-7%2C0%5D%22%7D%5D%7D&title=Computer%20Algebra%20System räumlichen Zugehörigkeitsfunktion], bei dem der Definitionsbereich ein Rechteck in der Ebene darstellt, [[Datei:Fuzzy membership function1.png|350px|Räumliche Zugehörigkeitsfunktion]] === Aufgabe === Erzeugen Sie die Fuzzy-Funktion :<math>fuzzy(x,y) = f_{\text{blau}}(x,y) \land f_{\text{rot}}(x,y) \Rightarrow f_{\text{grün}}(x,y)</math>. \\ Nutzen Sie hierfür die Daten aus der GeoGebra-Datei ([https://github.com/akfathstreb/PC-Praktikum Github]) und erzugen Sie Glockenkurzen um die Punkte herum mit <math>f(x,y,x_0,y_0,s,h) = \frac h {1 + \frac {(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}{s^2}}</math>. == Fuzzyfunktionen == In vielen Fällen werden Fuzzyfunktionen über Tabellen aus statistischen Erhebungen erzeugt. Diese können auch von der Anwendung selbst erhoben werden soweit eine Rückkopplung gegeben ist, wie in der Fahrstuhlsteuerung. Praktisch bedeutsam ist auch, die Erfahrungen und Intuitionen eines Experten auf dem jeweiligen Gebiet in eine Fuzzyfunktion mit einfließen zu lassen, insbesondere dann, wenn überhaupt keine statistischen Aussagen vorhanden sind, beispielsweise dann, wenn es sich um ein komplett neu zu beschreibendes System handelt. Diese Dreiecksgestalt ist allerdings keineswegs zwingend, generell können die Werte von Fuzzy-Funktionen beliebige Gestalt haben, solange deren Funktionswerte im Intervall [0,1] bleiben. In der Praxis werden solche [[w:de:Dreieckfunktion|Dreieckfunktion]]en aufgrund ihrer einfachen Berechenbarkeit jedoch gerne verwendet. Relativ weit verbreitet sind noch Trapeze (nicht notwendigerweise spiegelsymmetrisch), aber auch Halbkreise finden sich in einigen Anwendungen. Auch können sich prinzipiell mehr als zwei Abschnitte einer Fuzzy-Funktion überlappen (beim hier betrachteten Beispiel scheint das aber nicht sinnvoll zu sein). === Beispiel für eine nicht-lineare Fuzzy-Funktion === Ein Beispiel für eine nicht-lineare Zugehörigkeitsfunktion bildet die folgende [[w:de:Sigmoidfunktion|Sigmoidfunktion]]: <math> S(x,x_o,\delta)=\begin{cases} 0 & x\le x_o -\delta \\ 2(\frac{x-x_o+\delta}{2\delta})^2 & x_o - \delta < x \le x_o \\ 1-2(\frac{x_o-x+\delta}{2\delta})^2 & x_o < x \le x_o + \delta \\ 1 & x > x_o + \delta \end{cases}</math> === Bedeutung der Parameter === * <math> x_o \in \mathbb{R} </math>: Der Parameter <math> x_o \in \mathbb{R} </math> gibt hierbei den [[w:de:Wendepunkt|Wendepunkt]] der S-Kurve an * <math> \delta \in \mathbb{R} </math> der Wert <math> \delta > 0 </math> bestimmt die Neigung der Kurve. Je größer '''''δ''''' gewählt wird, desto flacher wird der Verlauf der resultierenden Funktion. === Symmetrieeigenschaften der sigmoiden Funktion === Die obige sigmoide Zugehörigkeitsfunktion ist punktsymmetrisch an dem Punkt <math>\left(x_o,\frac{1}{2} \right) \in \mathbb{R}^2 </math>. === Aufgabe - Punktsymmetrie === * Wie kann man die Punktsymmetrie and einem Punkt <math>(x_o,y_o) \in \mathbb{R}^2 </math> formal beschreiben? * Weisen Sie formal nach, dass die obige sigmoide Funktion Punktsymmetrisch an dem Punkt <math>\left(x_o,\frac{1}{2} \right) \in \mathbb{R}^2 </math>. === Bezeichnung - Sigmoid - S-förmig === Die Kurve drückt durch die Form des Buchstabens S eine ansteigende Zugehörigkeit zu der jeweils beschriebenen Menge durch einen Wert im Wertebereich [0,1] aus. === Bemerkung - ansteigende bzw. abfallende Zugehörigkeitsfunktion === Je nach Anwendungsfall lässt sich aus der obigen [[w:de:monoton wachsend|monoton wachsenden]] Zugehörigkeitsfunktion eine abnehmende Zugehörigkeit durch eine entsprechende Z-Kurve ausdrücken: :<math> Z(x,x_o,\delta)= 1 - S(x,a,\delta) </math> Die entspricht einer Negation <math>\widetilde{\neg}S:= 1- S </math>, die man auf die Zugehörigkeitsfunktion <math> S</math> anwendet. === Beispiel Graph der Zugehörigkeitsfunktion === [[Datei:Fuzzy_alt_zugehoerigkeit.png|450px|Graph Fuzzyzugehörigkeitsfunktion S]] Fuzzyzugehörigkeitsfunktion für den linguistischen Wert "alt", der für das gesamte Intervall von 0 bis 100 die Gültigkeit von "alt" angibt. === Linguistischer Wert === In dieser Lerneinheit liefert der linguistische Wert (z.B. "alt") eine sprachliche Beschreibung einer Eigenschaft, dessen mathematische Quantifikation durch eine Zugehörigkeitsfunktion beschrieben wird. === Individuelle Definition der Zugehörigkeitsfunktion === Die Festlegung der Zugehörigkeitsfunktion (z.B. durch [[maschinelles Lernen]]) ist in der Regel individuell und zeitabhängig. Aus der Sicht eines 6-jährigen Kindes ist eine 25-jährige Person alt, während die gleiche 25-jährige Person aus der Sicht einer 80-jährigen Person nicht alt ist. Diese individuelle, zeitabhängige Definition von [[Zugehörigkeitsfunktion|Zugehörigkeitsfunktionen]] ist in vielen Anwendungsfällen zu finden (z.B. beim Temperaturempfinden und einem linguistischen Wert "warm"). === Gültigkeit von linguistischen Werten als Zugehörigkeitsfunktionen === Das Alter eines Menschen lässt sich mittels dieser Kurve wie folgt als Fuzzy-Funktion darstellen: {| class="wikitable toptextcells" border="0" |+ Alter eines Menschen |- class="hintergrundfarbe6" ! Linguistischer Wert ! Zugehörigkeitsfunktion |- | sehr jung | <math>s_0: \;(1-S(x,30,30))^2</math> |- | jung | <math>s_1: \;1-S(x,30,30)</math> |- | nicht sehr jung | <math>s_2: \;1-(1-S(x,30,30))^2</math> |- | mehr oder weniger alt | <math>s_3: \;\sqrt{S(x,60,30)}</math> |- |alt | <math>s_4: \;S(x,60,30)</math> |- | sehr alt | <math>s_5: \;S(x,60,30)^2</math> |} === Modifikatoren für linguistische Werte === Dabei können die umgangssprachliche Modifikatoren ''sehr'', ''mehr oder weniger'' sowie ''nicht sehr'' durch einfache Modifikation einer gegebenen Funktion dargestellt werden: * Der umgangssprachlich verstärkende Modifikator ''sehr'' kann in Form eines erhöhten Exponenten dargestellt werden (im Beispiel <math>s_0 = s_1^2</math>). Das Ergebnis ist ein steilerer Kurvenverlauf im Vergleich zur Ausgangsfunktion. * Der umgangssprachliche Modifikator ''mehr oder weniger'' kann durch Verwendung eines niedrigeren Exponenten bzw. der Quadratwurzel auf eine gegebene Funktion ausgedrückt werden(<math>s_3 = \sqrt{s_4}</math>). Das Ergebnis ist ein flacherer Kurvenverlauf im Vergleich zur Ausgangsfunktion. * Die Negation eines umgangssprachlichen Ausdrucks lässt durch eine einfache Subtraktion darstellen (<math>s_2 = 1-s_0</math>). == Anwendungsfälle == Betrachten Sie zunächst die [[/Anwendungsbereiche/]] der Fuzzylogik allgemein und untersuchen Sie die Fuzzyfizierung von Rohdaten an einem Beispiel aus [[digitale Lernumgebung|digitalen Lernumgebungen]]. === Digitale Lernumgebungen === * [[Kurs:Didaktik_der_Stochastik_für_Lernumgebungen/Technische_Umsetzung/Automatische_Notenberechnung|Automatisierte Notengebung und Hilfesysteme]]<ref>Bert Niehaus (2025) KnitR-Beispieldatei zur Noteberechnung - erstellt 2016 - GitHub URL: https://github.com/niebert/knitr4education/blob/main/de/demo_03_notenberechnung.Rmd - Upload 2025/05/19 </ref>: ein erste Schritt bei einer automatisierten Anpassung von Hilfen zu Aufgaben aus einer Klausur ist die Fuzzyfizierung der erreichten Punkte in einer Aufgabe. * das graduelle Eintreten des linguistischen Wertes ''"Aufgabe 3 korrekt bearbeitet"'', wird zunächst durch den relativen Punkteanteil wie folgt beschrieben: ::<math> fuzzy3 := \frac{punkte3}{maxpunkte3} </math> * Beschreiben Sie nun mit Demodateien aus der [[Kurs:Didaktik_der_Stochastik_für_Lernumgebungen/Technische_Umsetzung/Automatische_Notenberechnung|automatisierte Notengebung und Hilfesystemen]] die Fuzzyregel :: ''"Wenn die Aufgabe 1 und die Aufgabe 3 nicht korrekt bearbeitet wurden, zeige die Hilfe 7 an"''. : Ergänzen Sie in den [[Kurs:Didaktik_der_Stochastik_für_Lernumgebungen/Technische_Umsetzung/Automatische_Notenberechnung|Rohdaten zu automatisierten Notengebung]] die Spalten <code>fuzzy1</code> und <code>fuzzy2</code>. Berechnen Sie dann das Fuzzy-UND der beiden Spalten. Zeigen Sie dann in einer Spalte <code>hilfe7</code> crisp mit 0 bzw, 1 an, ob eine Hilfe nicht angezeigt oder bei einem bestimmten Aufgabenergebnis anzeigt wird. Erläutern Sie Vorgehen bei der Berechnung. == Begriffsabgrenzung == Nicht zu verwechseln mit der Fuzzylogik ist die [[w:de:Fuzzy-Suche|Fuzzy-Suche]], die eine ''unscharfe Suche'' in [[w:de:Datenbank|Datenbank]]en ermöglicht, zum Beispiel, wenn die genaue Schreibweise eines Namens oder Begriffes nicht bekannt ist. Auch wenn die Zugehörigkeits-Werte aus dem Intervall [0,1] formal wie [[w:de:Wahrscheinlichkeit|Wahrscheinlichkeit]]swerte aussehen, so ist [[w:de:Unschärfe#Logik und Sprachtheorie|Unschärfe]] etwas grundsätzlich anderes als [[w:de:Wahrscheinlichkeit|Wahrscheinlichkeit]]. Vor allem ist zu beachten, dass die Summe der Werte zweier Funktionen, die sich überschneiden, nicht 1 sein muss. Sie kann gleich 1 sein, aber auch darüber oder darunter liegen. == Literatur == * Benno Biewer: ''Fuzzy-Methoden. Praxisrelevante Rechenmodelle und Fuzzy-Programmiersprachen''. Springer, Berlin 1997, ISBN 3-540-61943-7. * [[w:de:Christoph Drösser|Christoph Drösser]]: ''Fuzzy logic. Methodische Einführung in krauses Denken''. Rowohlt, Reinbek bei Hamburg 1996, ISBN 3-499-19619-0. * [[w:de:Siegfried Gottwald|Siegfried Gottwald]]: ''Fuzzy Sets and Fuzzy Logic. Foundations of Application – from a Mathematical Point of View.'' Vieweg und Teknea, Braunschweig/Wiesbaden Toulouse 1993. * Berthold Heinrich [Hrsg.:] ''Messen, Steuern, Regeln. Elemente der Automatisierungstechnik''. 8. Auflage. Vieweg, Wiesbaden 2005, ISBN 3-8348-0006-6. * Ulrich Höhle, Stephen Ernest Rodabaugh: ''Mathematics of Fuzzy Sets: Logic, Topology, and Measure Theory.'' Springer, 1999, ISBN 0-7923-8388-5. * Michels, Klawonn, Kruse, Nürnberger: ''Fuzzy-Regelung. Grundlagen, Entwurf, Analyse''. Springer-Verlag, ISBN 3-540-43548-4. * George J. Klir, Bo Yuan: ''Fuzzy Sets and Fuzzy Logic: Theory and Applications.'' 1995, ISBN 0-13-101171-5. * Thomas Kron: ''Fuzzy-Logik für die Soziologie''. In: [[w:de:Österreichische Zeitschrift für Soziologie|Österreichische Zeitschrift für Soziologie]], 2005, H. 3, S. 51–89. * Thomas Kron, Lars Winter: ''Fuzzy Systems – Überlegungen zur Vagheit sozialer Systeme''. In: Soziale Systeme, 2005, H. 2, S.&nbsp;370–394. * Andreas Mayer [u.a.]: ''Fuzzy Logic. Einführung und Leitfaden zur praktischen Anwendung''. Addison-Wesley, Bonn 1993, ISBN 3-89319-443-6. * Daniel McNeill u. Paul Freiberger: ''Fuzzy Logic. Die unscharfe Logik erobert die Technik''. Droemer Knaur, München 1994, ISBN 3-426-26583-4. * Rodabaugh, S.E.; Klement, E.P (Eds.): ''Topological and Algebraic Structures in Fuzzy Sets: A Handbook of Recent Developments in the Mathematics of Fuzzy Sets.'' Springer, 2003, ISBN 978-1-4020-1515-1. * Carsten Q. Schneider, Claudius Wagemann: ''Qualitative Comparative Analysis (QCA) und Fuzzy Sets.'' Barbara Budrich, 2007, ISBN 978-3-86649-068-0. * Rudolf Seising: ''Die Fuzzifizierung der Systeme. Die Entstehung der Fuzzy Set Theorie und ihrer ersten Anwendungen – Ihre Entwicklung bis in die 70er Jahre des 20. Jahrhunderts''. (Boethius: ''Texte und Abhandlungen zur Geschichte der Mathematik und der Naturwissenschaften,'' Band 54). Franz Steiner Verlag, Stuttgart 2005, ISBN 3-515-08768-0. * Hans-Jürgen Zimmermann: ''Fuzzy Set Theory and its Applications''. 2001, ISBN 0-7923-7435-5. * Wolfgang Anthony Eiden: ''Präzise Unschärfe – Informationsmodellierung durch Fuzzy-Mengen.'' Ibidem, 2002, ISBN 3-89821-230-0. * Magdalena Mißler-Behr: ''Fuzzybasierte Controllinginstrumente – Entwicklung von unscharfen Ansätzen'', Wiesbaden 2001, ISBN 3-82449-0498. == Weblinks == {{Commonscat|Fuzzy logic|{{PAGENAME}}}} * {{SEP|https://plato.stanford.edu/entries/logic-fuzzy/}} * [http://fuzzy.cs.uni-magdeburg.de/studium/fuzzy/txt/fsbook.pdf Buch zum Thema] (PDF; 1,27 MB) * [http://tizhoosh.uwaterloo.ca/Fuzzy_Image_Processing/index.html Fuzzy Logik Image Processing] (engl.) * [http://www.bytecraft.com/fuzzylogictruths.html 7 Wahrheiten über Fuzzy Logik] (engl.) * [http://epsilon.nought.de/tutorials/fuzzy/fuzzy.pdf Englische Einführung in das Thema] (Fuzzy Logic Introduction, M. Hellmann, PDF; 260&nbsp;kB) * Ein Anwendungsbeispiel - Herzog, Christof; Das Methodenpaket IeMAX mit dem Fuzzy-Simulationsmodell FLUCS - Entwicklung und Anwendung eines Entscheidungsunterstützungssystems für die integrative Raumplanung http://e-diss.uni-kiel.de/diss_622/ * [http://www.seattlerobotics.org/encoder/mar98/fuz/flindex.html Einführung in Fuzzy Logic] (engl.) * [http://www.iicm.tugraz.at/greif/node9.html Einführung in Fuzzy Logic] * [https://ideas.repec.org/p/pra/mprapa/4328.html Dissertation about fuzzy logic in profitability analysis] (engl.) * [http://wolfgang-eiden.de/?wpdmact=process&did=OS5ob3RsaW5r Deutsches Buch zum Thema] (Präzise Unschärfe, W.A. Eiden, PDF; 1,8 MB) ;Software und Tools * [http://www.fuzzytech.com Free Educational Software and Application Notes] * [http://www.fuzzytech.de Infomaterial und Software (DE)] * [https://www.openfuzzymath.org InrecoLAN FuzzyMath], Fuzzy logic add-in for OpenOffice.org Calc * [https://jfuzzylogic.sourceforge.net/ JFuzzyLogic: Open Source Fuzzy Logic Package + FCL (sourceforge, java)] * [https://mbfuzzit.sourceforge.net Open Source Software "mbFuzzIT" (Java)] == Einzelnachweise == <references /> [[Kategorie:Fuzzylogik]] [[Kategorie:Nichtklassische Logik]] == Siehe auch == * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Kurs:Maschinelles Lernen]] * [[w:de:Messraum_(Mathematik)|messbare Menge]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fuzzylogik&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fuzzylogik&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Fuzzylogik https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fuzzylogik&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Fuzzylogik Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Fuzzylogik Fuzzylogik] https://de.wikipedia.org/wiki/Fuzzylogik * Datum: 28.4.2021 - [https://de.wikipedia.org/w/index.php?action=history&title=Fuzzylogik Versionsgeschichte Wikipedia] * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity?lang=de&domain=wikipedia&title=Fuzzylogik Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] [[Category:Maschinelles Lernen]] <noinclude>[[en:Fuzzy Logic]]</noinclude> lj3zcay5faoeahs4su4fbsqqf50jmsp 1119183 1119171 2026-11-09T10:02:46Z Bert Niehaus 20843 /* Begriff - Fuzzylogik */ 1119183 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Mit der Fuzzylogik kann man das graduelle Eintreten eines Ereignisse mit Zwischenwerten aus dem Intervall <math>[0,1]</math> beschreiben. === Beispiel - alles beantwortet in Prüfung === Eigenschaft, in einer mündlichen Prüfung ''"alles beantwortet"'' zu haben kann, tritt in der Regel graduell ein. Gilt das Ereignis mit einem Wert <math>c=0,\!7\in [0,1]</math>, beschreibt man mit der Fuzzygültigkeit, dass die Eigenschaft ''"alles in der Prüfung beantwortet"'' zu 70% erfüllt ist - d.h., dass z.B. 70% alles Fragen korrekt beantwortet wurden und 30% falsch beantwortet wurden. === Beispiel - Unterschied zu Wahrscheinlichkeit === Für die Eigenschaft, eine mündliche Prüfung mit einer Wahrscheinlichkeit von <math>p=0,\!7\in [0,1]</math> bestanden zu haben, geht man von einer Grundgesamtheit von <math>n</math> Prüfungen aus und bei denen geht es nicht um das graduelle Eintreten von Ereignissen, sondern eine Prüfung ist entweder ''"bestanden"'' 1 oder ''"nicht bestanden"'' 0. Im Gegensatz zur Fuzzygültigkeit kann das Ereignis nur zwei mögliche Ergebnisse annehmen, nämlich <math>c\in\{0\, ,\, 1\}</math> (siehe [[Bernoulli-Verteilung/p/Definition|Bernoulli-Verteilung]]). Die Wahrscheinlichkeit <math>p=0,\!7</math> bedeutet in diesem Fall, dass von allen <math>n\in \mathbb{N}</math> im Mittel <math>p\cdot n</math> Prüfungen bestanden sind. === Bemerkung - Wahrscheinlichkeit - Fuzzy-Zugehörigkeit === Die Fuzzy-Zugehörigkeit beschreibt das graduelle Eintreten eines einzelnen Ereignisses während die theoretische Wahrscheinlichkeit <math>P(A)=p\in [0,1]</math> beim Umgang mit Versuchsdurchführungen durch die [[Gesetze der großen Zahlen]] und die relative Häufigkeit approximiert werden kann und damit das scharfe ("crip") Eintreten des Ereignisses <math>A</math> untersucht wird. == Begriff - Fuzzylogik == [[Datei:Fuzzy logic temperature de.svg|miniatur|Fuzzylogik einer Temperaturregelung]] '''Fuzzylogik''' ([[w:de:Englische Sprache|engl.]] ''fuzzy '' ‚verwischt‘, ‚verschwommen‘, ‚unbestimmt‘; ''fuzzy logic'', ''fuzzy theory'' ‚unscharfe Logik‘ bzw. ‚unscharfe Theorie‘) ist eine Theorie, welche vor allem für die [[w:de:Modellierung|Modellierung]] von [[w:de:Unsicherheit|Unsicherheit]] und [[w:de:Vagheit|Vagheit]] von umgangssprachlichen Beschreibungen entwickelt wurde. Sie ist eine Verallgemeinerung der zweiwertigen [[w:de:Boolesche Algebra|Booleschen Logik]]. == Gliederung == * [[/Geschichte/]] * [[/Fuzzymenge/|Klassische Mengen, Zugehörigkeitsfunktion und linguistische Werte]] * [[/Operatoren/]] * [[/Umsetzung in R/]] * '''[[Kurs:Maschinelles_Lernen/Fuzzy-Klassifikation|Fuzzy-Klassifikation]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Maschinelles_Lernen/Fuzzy-Klassifikation&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fuzzy-Klassifikation&coursetitle=Fuzzylogik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Fuzzylogik/Dichten und Zugehörigkeitsfunktionen|Dichten und Zugehörigkeitsfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik/Dichten%20und%20Zugeh%C3%B6rigkeitsfunktionen&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Dichten%20und%20Zugeh%C3%B6rigkeitsfunktionen&coursetitle=Fuzzylogik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Fuzzylogik/Controller|Fuzzyregler]] == Aufgabe - Entscheidungen - Wahrnehmung == Betrachten Sie Entscheidungsprozesse im Alltag oder Beurteilungen, Einschätzung, Bewertungen, Wahrnehmungen... . * Welche dieser Aspekte können Sie eher mit der Fuzzylogik verbinden? * Welche dieser Aspekte könnte eher durch die klassische Logik beschrieben werden? === Aufgabe - Klassifikation der Beispiele === Klassifizieren Ihre Beispiele * Die Klausur hat die Schülerin bestanden (wahr 1, falsch 0- klassische Logik). * Der Student hat Schmerzen (Schmerzn können ansteigen und schwächer werden - es gibt Zwischenzustände zwischen 0 kein Schmerz und 1 unerträglicher Schmerz - Fuzzylogik). Erweitern Sie Ihre Beispiele mit Erläuterungen in dem oben angegebenen Weise. == Beispiele allgemein == Beispielsweise kann damit die sogenannte ''[[w:de:Fuzziness (Sprache)|Fuzziness]]'' von Angaben wie „ein bisschen“, „ziemlich“, „stark“ oder „sehr“ in mathematischen Modellen erfasst werden. Die Fuzzylogik basiert auf den ''Fuzzy-Mengen'' ([[/Klassische Mengen und Fuzzymengen/|Fuzzy-Sets]]) und sogenannten ''Zugehörigkeitsfunktionen'', die Objekte auf Fuzzy-Mengen abbilden, sowie passenden logischen ''Operationen'' auf diesen Mengen und ihrer [[w:de:Inferenz|Inferenz]]. Bei technischen Anwendungen müssen außerdem Methoden zur ''Fuzzyfizierung'' und ''Defuzzyfizierung'' betrachtet werden, das heißt Methoden zur Umwandlung von Angaben und Zusammenhängen in Fuzzylogik und wieder zurück, zum Beispiel als Stellwert für eine Heizung als Resultat. == Mehrwertige Logik == Die Fuzzy-Set-Theorie ist von der [[w:de:Mehrwertige Logik|mehrwertigen Logik]] zu unterscheiden, die in den 1920er Jahren der polnische Logiker [[w:de:Jan Łukasiewicz|Jan Łukasiewicz]] beschrieb. Im engeren Sinne kann die so genannte Fuzzylogik zwar als eine mehrwertige Logik gedeutet werden, und insofern gibt es eine gewisse Nähe zur mehrwertigen Logik, für deren Wahrheitswert einer logischen Aussage Zahlen aus dem reellen Einheitsintervall [0,&nbsp;1] (die [[w:de:Reelle Zahl|reellen Zahlen]] von 0 bis&nbsp;1) verwendet werden. == Fuzzy-Technologie == Die Fuzzy-Technologie nahm in den 1980er Jahren vor allem in Japan ihren Aufschwung mit der sogenannten japanischen ''Fuzzy-Welle''. Ein historisches Beispiel ist die Regelung der vollautomatischen [[w:de:U-Bahn Sendai|U-Bahn Sendai]], die erste erfolgreiche Großanwendung mit Fuzzylogik in der Praxis. Später fand die Fuzzylogik auch in Geräten der Unterhaltungselektronik breite Anwendung. Die europäische Fuzzy-Welle kam erst Mitte der 1990er Jahre, als die Grundsatzdiskussionen über die Fuzzylogik verebbten. === Aufgabe - Fuzzy-Controller === Sei <math>\Omega := [-20,50] </math> das Temperaturintervall von -20 bis +50 Grad. Betrachtet man z.B. die Temperatureinstellung für einen Raum, so kann man an dem Regelverhalten der Nutzer:innen für die Heizkörper im Raum erkennen, ob es den Nutzer:innen im Raum zu warm oder zu kalt ist. * Zeichnen Sie für Ihr gegenwärtiges Temperaturempfinden eine Zugehörigkeitsfunktion für <math>\mu_{kalt}: \Omega \to [0,1]</math>. * Erläutern Sie, wie man eine Zugehörigkeitsfunktion <math>\mu_{kalt}: \Omega \to [0,1]</math> aus dem Regelungsverhalten der Nutzer:innen ermitteln kann, wenn der Fuzzy-Controller gleichzeitig einen Temperatursensor besitzt. * Wie kann man damit einen lernfähigen Fuzzy-Controller erstellen, der die Temperatur automatisch für die Nutzer:innen regelt in Abhängigkeit von der (Jahres-)Zeit regelt? (siehe auch [[Maschinelles Lernen]]) === Definition - Integrable Zugehörigkeitsfunktion === Eine [[w:de:Zugehörigkeitsfunktion|Zugehörigkeitsfunktion]] <math>\mu_A:X \to [0,1]</math>, die bzgl. einen Maßes <math>\lambda</math> auf <math>X</math> eine integrable Abbildung ist, nennt man integrable Zugehörigkeitsfunktion und notiert dieses als Integral: :<math> \int_X \mu_A(x) \, d\lambda(x) </math> === Bemerkung - Mittlere Zugehörigkeit auf einer Menge === Das Integral über die Zugehörigkeitsfunktion, die jedem Element <math>x\in X</math> der [[w:de:Definitionsmenge|Definitionsmenge]] ''X'' eine Zahl aus dem reellwertigen [[w:de:Intervall (Mathematik)|Intervall]] [0,1] der [[w:de:Zielmenge|Zielmenge]] zuordnen, erlaubt eine mittlere Zugehörigkeit zu ermitteln, wenn das Maß auf <math>X</math> endlich ist. Der folgende Quotient gibt dann die mittlere Zugehörigkeit an. === Definition - Mittlere Zugehörigkeit auf einer Menge === Sei <math>\mu: X \to \mathbb{R} </math> eine Fuzzy-Zugehörigkeitsfunktion und <math>A\subseteq X</math> eine Menge ist, für die die Indikatorfunktion <math>I_{_{A}}</math> integrabel ist, dann definiert der Quotient :<math> E(\mu,A) := \frac{\int_X \mu(x) \cdot I_{_{A}}(x) \, dx}{\int_X I_{_{A}}(x) \, dx} </math> die mittlere Zugehörigkeit von <math>\mu</math> für die Menge <math>A</math>. Dabei ist <math>I_{_{A}}: X \to \mathbb{R} </math> die [[w:de:Indikatorfunktion|Indikatorfunktion]] für eine [[Wahrscheinlichkeitsraum#Messraum|messbare Menge]] <math>A</math>, wobei <math>I_{_{A}}(x)= 1</math> für <math>x \in A</math> und <math>I_{_{A}}(x)= 0</math> für <math>x \notin A</math> gilt. === Bemerkung zum Quotienten === Der Nenner <math> \int_X I_{_{A}}(x) \, dx</math> liefert allgemein das Volumen der Menge <math>A</math> im <math>\mathbb{R}^n</math> (z.B. im Beispiel im <math>\mathbb{R}^2</math> den Flächeninhalt von <math>A</math>. === Bemerkung zur Messbarkeit === Im Allgemeinen ist nicht jede Teilmenge <math>A \subseteq \mathbb{R}^n</math> [[w:de:Messraum_(Mathematik)|messbar]]. === Anwendungsbeispiel - Mittlere Zugehörigkeit === Man betrachtet nun <math>X</math> als eine Grundfläche von einem Land. Die Fuzzy-Zugehörigkeitsfunktion <math>\mu: X \to \mathbb{R} </math> beschreibt die Wasserverfügbarkeit für Pflanzen im Boden. <math>\mu(x)=1</math> bedeutet ideale Wasserversorgung für Pflanzen und <math>\mu(x)=0</math> bedeutet, dass kein Wasser für Pflanzen verfügbar ist. <math> E(\mu,A)</math> für eine landwirtschaftliche Nutzfläche <math>A</math> beschreibt nun die mittlere Güte der Wasserversorgung für Pflanzen auf der Fläche <math>A</math>. === Bemerkung - Integrable Zugehörigkeitsfunktionen === Für die obige Definition ist es notwendig, dass die Zugehörigkeitsfunktionen <math>\mu_A </math> und die Indikatorfunktion <math> \chi_{_{A}} </math> integrable Funktionen sind. === Aufgabe - sigma-endliche Maße === Wie kann man die obige Definition auf <math>\sigma</math>-[[w:de:Σ-Endlichkeit|endliche Maße]] erweitern? === Bemerkung - Indikatorfunktion - scharfe Mengen === Damit sind Zugehörigkeitsfunktionen ein Spezialfall einer Indikatorfunktion <math>\chi_A: \Omega \to \{0,1\}</math>, die zum Element der Grundmenge <math>A</math> angibt, ob <math>x</math> zur Menge gehört <math> \chi_{_A}(x) = 1</math> bzw. nicht zur Menge gehört <math>\chi_{_A}(x)=0</math>. === Aufgabe === Wenn eine Fuzzy-Funktion den [[w:de:Zugehörigkeitsgrad|Zugehörigkeitsgrad]] <math>\mu_A(x)</math> von jedem Elements ''x'' zur so definierten [[w:de:Fuzzylogik#Unscharfe Mengen|unscharfen Menge]] ''A'' angibt, können Sie damit auch ein Wahrscheinlichkeitmaß angeben, das jeder Fuzzymenge <math>A</math> analog zu eine crispen/scharfen Menge eine Wahrscheinlichkeit <math>P(A)</math> zuordnet. Erläutern Sie, wie das mit Maßtheorie und einem auf 1 normierten endlichen positiven Maß möglich ist. === Ursprung der Zugehörigkeitsfunktion === Zadeh erklärte hierzu neue Mengenoperationen, die als Operationen eines neuen [[w:de:Kalkül|Logikkalküls]] die mehrwertige ''Fuzzylogik'' begründen und sie als eine [[w:de:Generalisierung|Verallgemeinerung]] der zweiwertigen, [[w:de:Klassische Logik|klassischen Logik]] ausweisen, welche als Spezialfall in ihr enthalten ist. Diese [[w:de:Mengenoperationen|Operationen]] auf unscharfen Mengen sind wie auf scharfen Mengen definierbar, wie z.&nbsp;B. die Bildung von [[w:de:Schnittmenge|Schnittmenge]]n (UND), [[w:de:Vereinigungsmenge|Vereinigungsmenge]]n (ODER) und [[w:de:Komplement (Mengenlehre)|Komplementmengen]] (NICHT). Zur Modellierung der logischen Operatoren der [[w:de:Konjunktion (Logik)|Konjunktion]] (UND), der [[w:de:Disjunktion|Disjunktion]] (ODER) und der [[w:de:Negation|Negation]] (NICHT) bedient man sich der Funktionsklassen der [[w:de:T-Norm|T-Norm]] und [[w:de:T-Conorm|T-Conorm]]. === Räumliche Zugehörigkeitsfunktionen === '''[[CAS4Wiki]]:''' Darstellung einer [https://niebert.github.io/WikiversityDoc/cas4wiki.html?filename=commands4cas.json&casdata=%7B%22castype%22%3A%22maxima%22%2C%22title4cas%22%3A%22Computer%20Algebra%20System%22%2C%22title4commands%22%3A%22Commands%22%2C%22title4functions%22%3A%22Functions%22%2C%22title4variables%22%3A%22Variables%22%2C%22commands%22%3A%5B%7B%22cmdtitle%22%3A%22Define%20Function%20g(x%2Cy)%22%2C%22cmd%22%3A%22g(x%2Cy)%3A%3D(cos(x%2F3)%2Bsin(y%2F3)%2B2%20%2B%201%2F(1%2B((x-1)%2F2)%5E2%2B((y%2B1)%2F2)%5E2)%20%2B%202%2F(1%2B((x%2B4.5)%2F1)%5E2%2B((y%2B3.6)%2F1)%5E2)%20-%201%2F(1%2B((x-4.4)%2F2)%5E2%2B((y-3.0)%2F2)%5E2)%20%20-%202%2F(1%2B((x-0.2)%2F2)%5E2%2B((y-3.6)%2F2)%5E2)%20)%2F4%22%2C%22result4cmd%22%3A%22g(x%2Cy)%3A%3D0.5%2B0.25cos(0.333333...x)%2B%5C%5Cfrac%7B0.25%7D%7B(1.5-0.5x%2B0.5y%2B0.25x%5E2%2B0.25y%5E2)%7D-%5C%5Cfrac%7B0.5%7D%7B(4.25-0.1x-1.8y%2B0.25x%5E2%2B0.25y%5E2)%7D-%5C%5Cfrac%7B0.25%7D%7B(8.09-2.2x-1.5y%2B0.25x%5E2%2B0.25y%5E2)%7D%2B%5C%5Cfrac%7B0.5%7D%7B(34.21%2B9.0x%2B7.2y%2B1.0x%5E2%2B1.0y%5E2)%7D%2B0.25sin(0.333333...y)%22%7D%2C%7B%22cmdtitle%22%3A%22Plot3D%20g(x%2Cy)%22%2C%22cmd%22%3A%22plot3d(g(x%2Cy)%2Cx%5B-5%2C5%5D%2Cy%5B-4%2C6%5D)%22%2C%22result4cmd%22%3A%22plot3d%3A%20g(x%2Cy)%3D(cos(x%2F3)%2Bsin(y%2F3)%2B2%20%2B%201%2F(1%2B((x-1)%2F2)%5E2%2B((y%2B1)%2F2)%5E2)%20%2B%202%2F(1%2B((x%2B4.5)%2F1)%5E2%2B((y%2B3.6)%2F1)%5E2)%20-%201%2F(1%2B((x-4.4)%2F2)%5E2%2B((y-3.0)%2F2)%5E2)%20%20-%202%2F(1%2B((x-0.2)%2F2)%5E2%2B((y-3.6)%2F2)%5E2)%20)%2F4%20%20%20%5C%5Cquad%20%22%7D%5D%2C%22casfunctions%22%3A%5B%7B%22name%22%3A%22g%22%2C%22args%22%3A%22x%2Cy%22%2C%22def%22%3A%22(cos(x%2F3)%2Bsin(y%2F3)%2B2%20%2B%201%2F(1%2B((x-1)%2F2)%5E2%2B((y%2B1)%2F2)%5E2)%20%2B%202%2F(1%2B((x%2B4.5)%2F1)%5E2%2B((y%2B3.6)%2F1)%5E2)%20-%201%2F(1%2B((x-4.4)%2F2)%5E2%2B((y-3.0)%2F2)%5E2)%20%20-%202%2F(1%2B((x-0.2)%2F2)%5E2%2B((y-3.6)%2F2)%5E2)%20)%2F4%22%7D%2C%7B%22name%22%3A%22f%22%2C%22args%22%3A%22x%22%2C%22def%22%3A%22x%5E5%22%7D%2C%7B%22name%22%3A%22h%22%2C%22args%22%3A%22x%22%2C%22def%22%3A%2210*sin(x)%22%7D%2C%7B%22name%22%3A%22cur%22%2C%22args%22%3A%22t%22%2C%22def%22%3A%22%5Bcos(t)%2Csin(t)%2Ct%5D%22%7D%2C%7B%22name%22%3A%22K%22%2C%22args%22%3A%22t%22%2C%22def%22%3A%22v1*%20(1-t)%5E3%20%2Bv2*3*(1-t)%5E2*t%2B%20v3*3*(1-t)*t%5E2%20%2Bv4*t%5E3%22%7D%2C%7B%22name%22%3A%22f_1%22%2C%22args%22%3A%22t%22%2C%22def%22%3A%22sin(t)%5E4-2*cos(t%2F2)%5E3*sin(t)%22%7D%5D%2C%22casvariables%22%3A%5B%7B%22name%22%3A%22c1%22%2C%22def%22%3A%2212!%22%7D%2C%7B%22name%22%3A%22c2%22%2C%22def%22%3A%2223%5E5-4%2Bsin(13)%22%7D%2C%7B%22name%22%3A%22c3%22%2C%22def%22%3A%22f1(x)%22%7D%2C%7B%22name%22%3A%22v1%22%2C%22def%22%3A%22%5B3%2C4%2C5%5D%22%7D%2C%7B%22name%22%3A%22v2%22%2C%22def%22%3A%22%5B5%2C4%2C-3%5D%22%7D%2C%7B%22name%22%3A%22v3%22%2C%22def%22%3A%22%5B-6%2C-6%2C6%5D%22%7D%2C%7B%22name%22%3A%22v4%22%2C%22def%22%3A%22%5B-3%2C-7%2C0%5D%22%7D%5D%7D&title=Computer%20Algebra%20System räumlichen Zugehörigkeitsfunktion], bei dem der Definitionsbereich ein Rechteck in der Ebene darstellt, [[Datei:Fuzzy membership function1.png|350px|Räumliche Zugehörigkeitsfunktion]] === Aufgabe === Erzeugen Sie die Fuzzy-Funktion :<math>fuzzy(x,y) = f_{\text{blau}}(x,y) \land f_{\text{rot}}(x,y) \Rightarrow f_{\text{grün}}(x,y)</math>. \\ Nutzen Sie hierfür die Daten aus der GeoGebra-Datei ([https://github.com/akfathstreb/PC-Praktikum Github]) und erzugen Sie Glockenkurzen um die Punkte herum mit <math>f(x,y,x_0,y_0,s,h) = \frac h {1 + \frac {(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}{s^2}}</math>. == Fuzzyfunktionen == In vielen Fällen werden Fuzzyfunktionen über Tabellen aus statistischen Erhebungen erzeugt. Diese können auch von der Anwendung selbst erhoben werden soweit eine Rückkopplung gegeben ist, wie in der Fahrstuhlsteuerung. Praktisch bedeutsam ist auch, die Erfahrungen und Intuitionen eines Experten auf dem jeweiligen Gebiet in eine Fuzzyfunktion mit einfließen zu lassen, insbesondere dann, wenn überhaupt keine statistischen Aussagen vorhanden sind, beispielsweise dann, wenn es sich um ein komplett neu zu beschreibendes System handelt. Diese Dreiecksgestalt ist allerdings keineswegs zwingend, generell können die Werte von Fuzzy-Funktionen beliebige Gestalt haben, solange deren Funktionswerte im Intervall [0,1] bleiben. In der Praxis werden solche [[w:de:Dreieckfunktion|Dreieckfunktion]]en aufgrund ihrer einfachen Berechenbarkeit jedoch gerne verwendet. Relativ weit verbreitet sind noch Trapeze (nicht notwendigerweise spiegelsymmetrisch), aber auch Halbkreise finden sich in einigen Anwendungen. Auch können sich prinzipiell mehr als zwei Abschnitte einer Fuzzy-Funktion überlappen (beim hier betrachteten Beispiel scheint das aber nicht sinnvoll zu sein). === Beispiel für eine nicht-lineare Fuzzy-Funktion === Ein Beispiel für eine nicht-lineare Zugehörigkeitsfunktion bildet die folgende [[w:de:Sigmoidfunktion|Sigmoidfunktion]]: <math> S(x,x_o,\delta)=\begin{cases} 0 & x\le x_o -\delta \\ 2(\frac{x-x_o+\delta}{2\delta})^2 & x_o - \delta < x \le x_o \\ 1-2(\frac{x_o-x+\delta}{2\delta})^2 & x_o < x \le x_o + \delta \\ 1 & x > x_o + \delta \end{cases}</math> === Bedeutung der Parameter === * <math> x_o \in \mathbb{R} </math>: Der Parameter <math> x_o \in \mathbb{R} </math> gibt hierbei den [[w:de:Wendepunkt|Wendepunkt]] der S-Kurve an * <math> \delta \in \mathbb{R} </math> der Wert <math> \delta > 0 </math> bestimmt die Neigung der Kurve. Je größer '''''δ''''' gewählt wird, desto flacher wird der Verlauf der resultierenden Funktion. === Symmetrieeigenschaften der sigmoiden Funktion === Die obige sigmoide Zugehörigkeitsfunktion ist punktsymmetrisch an dem Punkt <math>\left(x_o,\frac{1}{2} \right) \in \mathbb{R}^2 </math>. === Aufgabe - Punktsymmetrie === * Wie kann man die Punktsymmetrie and einem Punkt <math>(x_o,y_o) \in \mathbb{R}^2 </math> formal beschreiben? * Weisen Sie formal nach, dass die obige sigmoide Funktion Punktsymmetrisch an dem Punkt <math>\left(x_o,\frac{1}{2} \right) \in \mathbb{R}^2 </math>. === Bezeichnung - Sigmoid - S-förmig === Die Kurve drückt durch die Form des Buchstabens S eine ansteigende Zugehörigkeit zu der jeweils beschriebenen Menge durch einen Wert im Wertebereich [0,1] aus. === Bemerkung - ansteigende bzw. abfallende Zugehörigkeitsfunktion === Je nach Anwendungsfall lässt sich aus der obigen [[w:de:monoton wachsend|monoton wachsenden]] Zugehörigkeitsfunktion eine abnehmende Zugehörigkeit durch eine entsprechende Z-Kurve ausdrücken: :<math> Z(x,x_o,\delta)= 1 - S(x,a,\delta) </math> Die entspricht einer Negation <math>\widetilde{\neg}S:= 1- S </math>, die man auf die Zugehörigkeitsfunktion <math> S</math> anwendet. === Beispiel Graph der Zugehörigkeitsfunktion === [[Datei:Fuzzy_alt_zugehoerigkeit.png|450px|Graph Fuzzyzugehörigkeitsfunktion S]] Fuzzyzugehörigkeitsfunktion für den linguistischen Wert "alt", der für das gesamte Intervall von 0 bis 100 die Gültigkeit von "alt" angibt. === Linguistischer Wert === In dieser Lerneinheit liefert der linguistische Wert (z.B. "alt") eine sprachliche Beschreibung einer Eigenschaft, dessen mathematische Quantifikation durch eine Zugehörigkeitsfunktion beschrieben wird. === Individuelle Definition der Zugehörigkeitsfunktion === Die Festlegung der Zugehörigkeitsfunktion (z.B. durch [[maschinelles Lernen]]) ist in der Regel individuell und zeitabhängig. Aus der Sicht eines 6-jährigen Kindes ist eine 25-jährige Person alt, während die gleiche 25-jährige Person aus der Sicht einer 80-jährigen Person nicht alt ist. Diese individuelle, zeitabhängige Definition von [[Zugehörigkeitsfunktion|Zugehörigkeitsfunktionen]] ist in vielen Anwendungsfällen zu finden (z.B. beim Temperaturempfinden und einem linguistischen Wert "warm"). === Gültigkeit von linguistischen Werten als Zugehörigkeitsfunktionen === Das Alter eines Menschen lässt sich mittels dieser Kurve wie folgt als Fuzzy-Funktion darstellen: {| class="wikitable toptextcells" border="0" |+ Alter eines Menschen |- class="hintergrundfarbe6" ! Linguistischer Wert ! Zugehörigkeitsfunktion |- | sehr jung | <math>s_0: \;(1-S(x,30,30))^2</math> |- | jung | <math>s_1: \;1-S(x,30,30)</math> |- | nicht sehr jung | <math>s_2: \;1-(1-S(x,30,30))^2</math> |- | mehr oder weniger alt | <math>s_3: \;\sqrt{S(x,60,30)}</math> |- |alt | <math>s_4: \;S(x,60,30)</math> |- | sehr alt | <math>s_5: \;S(x,60,30)^2</math> |} === Modifikatoren für linguistische Werte === Dabei können die umgangssprachliche Modifikatoren ''sehr'', ''mehr oder weniger'' sowie ''nicht sehr'' durch einfache Modifikation einer gegebenen Funktion dargestellt werden: * Der umgangssprachlich verstärkende Modifikator ''sehr'' kann in Form eines erhöhten Exponenten dargestellt werden (im Beispiel <math>s_0 = s_1^2</math>). Das Ergebnis ist ein steilerer Kurvenverlauf im Vergleich zur Ausgangsfunktion. * Der umgangssprachliche Modifikator ''mehr oder weniger'' kann durch Verwendung eines niedrigeren Exponenten bzw. der Quadratwurzel auf eine gegebene Funktion ausgedrückt werden(<math>s_3 = \sqrt{s_4}</math>). Das Ergebnis ist ein flacherer Kurvenverlauf im Vergleich zur Ausgangsfunktion. * Die Negation eines umgangssprachlichen Ausdrucks lässt durch eine einfache Subtraktion darstellen (<math>s_2 = 1-s_0</math>). == Anwendungsfälle == Betrachten Sie zunächst die [[/Anwendungsbereiche/]] der Fuzzylogik allgemein und untersuchen Sie die Fuzzyfizierung von Rohdaten an einem Beispiel aus [[digitale Lernumgebung|digitalen Lernumgebungen]]. === Digitale Lernumgebungen === * [[Kurs:Didaktik_der_Stochastik_für_Lernumgebungen/Technische_Umsetzung/Automatische_Notenberechnung|Automatisierte Notengebung und Hilfesysteme]]<ref>Bert Niehaus (2025) KnitR-Beispieldatei zur Noteberechnung - erstellt 2016 - GitHub URL: https://github.com/niebert/knitr4education/blob/main/de/demo_03_notenberechnung.Rmd - Upload 2025/05/19 </ref>: ein erste Schritt bei einer automatisierten Anpassung von Hilfen zu Aufgaben aus einer Klausur ist die Fuzzyfizierung der erreichten Punkte in einer Aufgabe. * das graduelle Eintreten des linguistischen Wertes ''"Aufgabe 3 korrekt bearbeitet"'', wird zunächst durch den relativen Punkteanteil wie folgt beschrieben: ::<math> fuzzy3 := \frac{punkte3}{maxpunkte3} </math> * Beschreiben Sie nun mit Demodateien aus der [[Kurs:Didaktik_der_Stochastik_für_Lernumgebungen/Technische_Umsetzung/Automatische_Notenberechnung|automatisierte Notengebung und Hilfesystemen]] die Fuzzyregel :: ''"Wenn die Aufgabe 1 und die Aufgabe 3 nicht korrekt bearbeitet wurden, zeige die Hilfe 7 an"''. : Ergänzen Sie in den [[Kurs:Didaktik_der_Stochastik_für_Lernumgebungen/Technische_Umsetzung/Automatische_Notenberechnung|Rohdaten zu automatisierten Notengebung]] die Spalten <code>fuzzy1</code> und <code>fuzzy2</code>. Berechnen Sie dann das Fuzzy-UND der beiden Spalten. Zeigen Sie dann in einer Spalte <code>hilfe7</code> crisp mit 0 bzw, 1 an, ob eine Hilfe nicht angezeigt oder bei einem bestimmten Aufgabenergebnis anzeigt wird. Erläutern Sie Vorgehen bei der Berechnung. == Begriffsabgrenzung == Nicht zu verwechseln mit der Fuzzylogik ist die [[w:de:Fuzzy-Suche|Fuzzy-Suche]], die eine ''unscharfe Suche'' in [[w:de:Datenbank|Datenbank]]en ermöglicht, zum Beispiel, wenn die genaue Schreibweise eines Namens oder Begriffes nicht bekannt ist. Auch wenn die Zugehörigkeits-Werte aus dem Intervall [0,1] formal wie [[w:de:Wahrscheinlichkeit|Wahrscheinlichkeit]]swerte aussehen, so ist [[w:de:Unschärfe#Logik und Sprachtheorie|Unschärfe]] etwas grundsätzlich anderes als [[w:de:Wahrscheinlichkeit|Wahrscheinlichkeit]]. Vor allem ist zu beachten, dass die Summe der Werte zweier Funktionen, die sich überschneiden, nicht 1 sein muss. Sie kann gleich 1 sein, aber auch darüber oder darunter liegen. == Literatur == * Benno Biewer: ''Fuzzy-Methoden. Praxisrelevante Rechenmodelle und Fuzzy-Programmiersprachen''. Springer, Berlin 1997, ISBN 3-540-61943-7. * [[w:de:Christoph Drösser|Christoph Drösser]]: ''Fuzzy logic. Methodische Einführung in krauses Denken''. Rowohlt, Reinbek bei Hamburg 1996, ISBN 3-499-19619-0. * [[w:de:Siegfried Gottwald|Siegfried Gottwald]]: ''Fuzzy Sets and Fuzzy Logic. Foundations of Application – from a Mathematical Point of View.'' Vieweg und Teknea, Braunschweig/Wiesbaden Toulouse 1993. * Berthold Heinrich [Hrsg.:] ''Messen, Steuern, Regeln. Elemente der Automatisierungstechnik''. 8. Auflage. Vieweg, Wiesbaden 2005, ISBN 3-8348-0006-6. * Ulrich Höhle, Stephen Ernest Rodabaugh: ''Mathematics of Fuzzy Sets: Logic, Topology, and Measure Theory.'' Springer, 1999, ISBN 0-7923-8388-5. * Michels, Klawonn, Kruse, Nürnberger: ''Fuzzy-Regelung. Grundlagen, Entwurf, Analyse''. Springer-Verlag, ISBN 3-540-43548-4. * George J. Klir, Bo Yuan: ''Fuzzy Sets and Fuzzy Logic: Theory and Applications.'' 1995, ISBN 0-13-101171-5. * Thomas Kron: ''Fuzzy-Logik für die Soziologie''. In: [[w:de:Österreichische Zeitschrift für Soziologie|Österreichische Zeitschrift für Soziologie]], 2005, H. 3, S. 51–89. * Thomas Kron, Lars Winter: ''Fuzzy Systems – Überlegungen zur Vagheit sozialer Systeme''. In: Soziale Systeme, 2005, H. 2, S.&nbsp;370–394. * Andreas Mayer [u.a.]: ''Fuzzy Logic. Einführung und Leitfaden zur praktischen Anwendung''. Addison-Wesley, Bonn 1993, ISBN 3-89319-443-6. * Daniel McNeill u. Paul Freiberger: ''Fuzzy Logic. Die unscharfe Logik erobert die Technik''. Droemer Knaur, München 1994, ISBN 3-426-26583-4. * Rodabaugh, S.E.; Klement, E.P (Eds.): ''Topological and Algebraic Structures in Fuzzy Sets: A Handbook of Recent Developments in the Mathematics of Fuzzy Sets.'' Springer, 2003, ISBN 978-1-4020-1515-1. * Carsten Q. Schneider, Claudius Wagemann: ''Qualitative Comparative Analysis (QCA) und Fuzzy Sets.'' Barbara Budrich, 2007, ISBN 978-3-86649-068-0. * Rudolf Seising: ''Die Fuzzifizierung der Systeme. Die Entstehung der Fuzzy Set Theorie und ihrer ersten Anwendungen – Ihre Entwicklung bis in die 70er Jahre des 20. Jahrhunderts''. (Boethius: ''Texte und Abhandlungen zur Geschichte der Mathematik und der Naturwissenschaften,'' Band 54). Franz Steiner Verlag, Stuttgart 2005, ISBN 3-515-08768-0. * Hans-Jürgen Zimmermann: ''Fuzzy Set Theory and its Applications''. 2001, ISBN 0-7923-7435-5. * Wolfgang Anthony Eiden: ''Präzise Unschärfe – Informationsmodellierung durch Fuzzy-Mengen.'' Ibidem, 2002, ISBN 3-89821-230-0. * Magdalena Mißler-Behr: ''Fuzzybasierte Controllinginstrumente – Entwicklung von unscharfen Ansätzen'', Wiesbaden 2001, ISBN 3-82449-0498. == Weblinks == {{Commonscat|Fuzzy logic|{{PAGENAME}}}} * {{SEP|https://plato.stanford.edu/entries/logic-fuzzy/}} * [http://fuzzy.cs.uni-magdeburg.de/studium/fuzzy/txt/fsbook.pdf Buch zum Thema] (PDF; 1,27 MB) * [http://tizhoosh.uwaterloo.ca/Fuzzy_Image_Processing/index.html Fuzzy Logik Image Processing] (engl.) * [http://www.bytecraft.com/fuzzylogictruths.html 7 Wahrheiten über Fuzzy Logik] (engl.) * [http://epsilon.nought.de/tutorials/fuzzy/fuzzy.pdf Englische Einführung in das Thema] (Fuzzy Logic Introduction, M. Hellmann, PDF; 260&nbsp;kB) * Ein Anwendungsbeispiel - Herzog, Christof; Das Methodenpaket IeMAX mit dem Fuzzy-Simulationsmodell FLUCS - Entwicklung und Anwendung eines Entscheidungsunterstützungssystems für die integrative Raumplanung http://e-diss.uni-kiel.de/diss_622/ * [http://www.seattlerobotics.org/encoder/mar98/fuz/flindex.html Einführung in Fuzzy Logic] (engl.) * [http://www.iicm.tugraz.at/greif/node9.html Einführung in Fuzzy Logic] * [https://ideas.repec.org/p/pra/mprapa/4328.html Dissertation about fuzzy logic in profitability analysis] (engl.) * [http://wolfgang-eiden.de/?wpdmact=process&did=OS5ob3RsaW5r Deutsches Buch zum Thema] (Präzise Unschärfe, W.A. Eiden, PDF; 1,8 MB) ;Software und Tools * [http://www.fuzzytech.com Free Educational Software and Application Notes] * [http://www.fuzzytech.de Infomaterial und Software (DE)] * [https://www.openfuzzymath.org InrecoLAN FuzzyMath], Fuzzy logic add-in for OpenOffice.org Calc * [https://jfuzzylogic.sourceforge.net/ JFuzzyLogic: Open Source Fuzzy Logic Package + FCL (sourceforge, java)] * [https://mbfuzzit.sourceforge.net Open Source Software "mbFuzzIT" (Java)] == Einzelnachweise == <references /> [[Kategorie:Fuzzylogik]] [[Kategorie:Nichtklassische Logik]] == Siehe auch == * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Kurs:Maschinelles Lernen]] * [[w:de:Messraum_(Mathematik)|messbare Menge]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fuzzylogik&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fuzzylogik&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Fuzzylogik https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fuzzylogik&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Fuzzylogik Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Fuzzylogik Fuzzylogik] https://de.wikipedia.org/wiki/Fuzzylogik * Datum: 28.4.2021 - [https://de.wikipedia.org/w/index.php?action=history&title=Fuzzylogik Versionsgeschichte Wikipedia] * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity?lang=de&domain=wikipedia&title=Fuzzylogik Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] [[Category:Maschinelles Lernen]] <noinclude>[[en:Fuzzy Logic]]</noinclude> d3l7hifpye9ogp4t881guci152djngh 0 101961 1119220 1059935 2026-11-09T11:09:28Z Bert Niehaus 20843 /* Endlicher Ergebnisraum */ 1119220 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite zum Thema ''Momente'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Momente&author=Wikipedia%20Authors&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Momente&coursetitle=Wikipedia%20Authors Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. 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Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt: * (1) Definition von Momenten * (2) Erwartungswert * (3) Varianz == Motivation - Erwartungswert == Vorbemerkung: Zwei Personen <math> A </math> und <math>B </math> vereinbaren ein Würfelspiel. * Ausgang '1': <math> A </math> zahlt an <math>B </math> 5€ * Ausgang '2', ..., '6': <math> B </math> zahlt an <math>A </math> 1€ Die Gewinnerwartung für die beiden Spieler beträgt hier Null: Erwarteter Gewinn von <math>B</math>: :<math> 5 \cdot \frac {1} {6} - 1 \cdot \frac {1} {6} - ... -1 \cdot \frac {1} {6} = 0 </math> ("faires Spiel"). === Bemerkung - Wahrscheinlichkeit und Wert der Zufallsgröße === In der obigen Gleichung :<math> 5 \cdot \frac {1} {6} - 1 \cdot \frac {1} {6} - ... -1 \cdot \frac {1} {6} = 0 </math> setzen sich die einzelnen Terme (z.B. <math> 5 \cdot \frac{1}{6} </math>) aus dem Wert der Zufallsgröße <math>X(1) = 5</math> und der Wahrscheinlichkeit <math> \frac{1}{6} </math> für das Eintretens des Ereignisse ("1 gewürfelt") zusammen. == Definition - Erwartungswert == Die Definition des Erwartungswertes wird in folgende Fälle unterteilt: * diskrete Zufallsgröße und * absolute stetige Zufallsgröße. === Definition - Erwartungswert - diskreter Fall === Sei <math> X : \Omega \to \mathbb{R} </math> eine auf einem diskreten [[Wahrscheinlichkeitsraum]] <math> (\Omega, \mathcal{S}, P) </math> definierte Zufallsvariable, dann heißt :<math> E(X) = \sum_{x \in X (\Omega)} x \cdot P(X=x) = \sum_{x \in X(\Omega)} x \cdot P^X (\lbrace x \rbrace)</math> Erwartungswert von <math> X </math>, vorausgesetzt, dass <math> \sum_{x \in X(\Omega)} |x| \cdot P(X=x) < \infty </math>. ==== Bemerkung - Anzahl Summanden - diskreter Fall ==== Die Zufallsgröße <math>X: \Omega \to \mathbb{R}</math> nimmt nur zwei Werte an, nämlich <math>X(\omega)=5</math> für <math>\omega =1</math> und <math>X(\omega)=-1</math> für <math>\omega =2,3,4,5,6</math>. Dabei besteht der Erwartungswert in der obigen Notation nur aus zwei Summanden, da <math>X(\Omega)=\{-1,5\}</math>. ==== Bemerkung 1 - Notation zum diskreten Beispiel ==== Möchte man den Erwartungswert analog zur obigen Notation mit 6 Summand definieren: :<math> \begin{array}{rcl} E(X) & = & \sum_{\omega \in \Omega} X(\omega) \cdot P(\{\omega\}) \\ & = & 5 \cdot \frac {1} {6} + \underbrace{(- 1) \cdot \frac {1} {6} + ... +(-1) \cdot \frac {1} {6}}_{=(-1) \cdot \frac {5} {6}} \\ & = & 5 \cdot \frac {1} {6} + -1 \cdot \frac {5} {6} = \displaystyle \sum_{x \in X(\Omega)=\{5,-1\}} x \cdot P^X(\{x\}) \\ & = & 0 \end{array} </math> ==== Bemerkung 2 - diskret verteilte Zufallsgröße ==== Die Reihe <math> \sum _x |x| \cdot P(X=x) < \infty</math> hat nur abzählbar viele Elemente <math>x</math> mit <math>P(X=x) \not= 0</math>, weil <math>X:\Omega \to\mathbb{R}</math> eine diskrete Zufallsgröße ist. ==== Bemerkung 3 - Erwartungswert - absolute Konvergenz ==== Mit <math> \sum _x |x| \cdot \underbrace{P(X=x)}_{\geq 0} </math> ist die Reihe in der Definition zum Erwartungswert absolut konvergent. Die Fälle <math> E(x) = + \infty </math> und <math> E(x) = - \infty </math> werden also ausgeschlossen. In solchen Fällen existiert der Erwartungswert nicht. === Definition - Erwartungswert - absolut stetig === Sei <math> X : \Omega \to \mathbb{R} </math> eine auf einem diskreten [[Wahrscheinlichkeitsraum]] <math> (\Omega, \mathcal{S}, P) </math> bei die Wahrscheinlichkeitsverteilung durch eine Dichtefunktion <math> p:\Omega \to \mathbb{R}_0^{+} </math> bzw. die induzierte Dichte <math> p^X:\mathbb{R} \to \mathbb{R}_0^{+} </math> gegeben ist. Dann heißt :<math> E(X) := \int_{\Omega} X(\omega) \cdot p(\omega) \, d(\omega) := \int_{\mathbb{R}} x \cdot p^X ( x ) \, dx</math> Erwartungswert der absolut stetigen Verteilung, wenn die Bedingung :<math> E(|X|) = \int_{\Omega} |X(\omega) | \cdot p(\omega) \, d(\omega) = \int_{\mathbb{R}} |x| \cdot p^X ( x ) \, dx < \infty </math> erfüllt ist. ==== Bemerkung - induzierte Dichtefunktion ==== Für die induzierte Dichtefunktion gilt alle <math>B</math> aus der Borelschen <math>\sigma</math>-Algebra <math>\mathcal{B}(\mathbb{R})</math>: :<math> \int_{X^{-1}(B)} X(\omega) \cdot p(\omega) \, d(\omega) := \int_{B} x \cdot p^X ( x ) \, dx</math> === Satz - Erwartungswert für diskrete Zufallsvariablen === Bezeichnet <math> p_\omega = P( \lbrace \omega \rbrace ) </math> die Wahrscheinlichkeitsfunktion von <math> P </math> auf <math> \Omega </math>, so gilt für eine auf <math> ( \Omega, \mathcal{S}, P)</math> definierte Zufallsvariable <math> X:\Omega \to \mathbb{R}</math>: :<math> E(X)= \sum_{\omega \in \Omega} X(\omega)\cdot p_\omega </math> (sofern <math> \sum |X(\omega)| \cdot p_\omega < \infty </math>). === Beweis === Es ist :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \sum_{\omega \in \Omega} X(\omega) \cdot p_\omega & = & \displaystyle \sum_{x \in X(\Omega)} \sum _{\omega:X(\omega) = x} X(\omega) \cdot p_\omega \\ & = & \displaystyle \sum_{x \in X(\Omega)} x \sum_{\omega:X(\omega)=x} p_w \\ & = & \displaystyle \sum_{x \in X(\Omega)} x \cdot P^X(\lbrace x \rbrace) \\ & = & E(X) \\ \end{array} </math> === Bemerkung zum Beweis === In den Beweis geht der große Umordnungssatz für konvergente Reihen aus der Analysis ein. Die Anwendung Umordnungssatzes ist möglich, da <math> E(|X|) < \infty</math> gilt und damit die Reihe absolut konvergent ist. === Bemerkungen - Existenz Erwartungeswertes === Im Fall absoluter Konvergenz der Reihen (Beispiele oben) sagt man: * <math> X </math> besitzt einen Erwartungswert, oder * der Erwartungswert von <math> X</math> existiert. <math> X </math> besitzt genau dann einen Erwartungswert, falls <math> E|X| = \sum_w |X(w)| p_w < \infty </math>. <br> ==== Endlicher Ergebnisraum ==== Dies ist bei endlichen Ergebnisräumen <math> \Omega </math> immer der Fall. ==== Schreibweise ==== Statt <math>E(X)</math> auch <math>EX</math> oder <math>E_PX</math>, wenn man kenntlich machen möchte, bzgl. welchem Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> der Erwartungswert berechnet wurde. === Elementare Folgerungen === Aus dem obigen Satz zum Erwartungswert folgt: <math> E(1) = 1, E(X) \le E(Y)</math>, falls <math> X(w) \le Y(w)</math> für alle <math> w \in \Omega </math> gilt. ==== Beispiel ==== Ist <math> X(w) = \lbrace w_1, ..., w_m \rbrace</math>, und ist <math> P_X</math> die Gleichverteilung auf <math> X(\Omega)</math>, so lautet der Erwartungswert :<math> E(X)= \frac {1} {m} \sum _{i=1}^{m} x_i </math> ("arithmetisches Mittel"). <br> (Der Erwartungswert der Augenzahl beim Würfeln ist 3,5.) ==== Beispiel ==== Für die Indikatorvariable <math> X=1_A</math> eines Ereignisses <math> A \subset \Omega </math> gilt: :<math> E(1_A) = 0 \cdot P(1_A = 0) + 1 \cdot P(1_A = 1) = P(A)</math> Eine direkte Folgerung aus der Behauptung ist der folgende Satz. === Satz - Linearität des Erwartungswertes === Besitzen die Zufallsvariablen <math> X_1, X_2</math> Erwartungswerte, so auch die Zufallsvariablen <math> aX_1, bX_2, a,b \in \mathbb{R}</math>, und es gilt: :<math> E(aX_1+bX_2 ) = aE(X_1) + bE(X_2)</math> ("[[Kurs:Stochastik/Linearität Erwartungswert|Linearität]]") === Bemerkung - Aufgabe - Beweis === Der [[Kurs:Stochastik/Linearität_Erwartungswert|Beweis der Linearität]] wird über das Einsetzen der Definition und der Anwendung elementaren Umformungen geführt. Versuchen Sie diesen Beweis zunächst ohne Hilfen selbst durchzuführen und sich erst danach den in Wikiversity angegebenen Beweis zu [[Kurs:Stochastik/Linearität_Erwartungswert|Linearität des Erwartungswertes]] anzusehen === Anwendungsbeispiel für die Linearität des Erwartungswertes === Alle <math>n</math> Zufallsgrößen <math>X_k</math> mit <math>k\in \{1,\ldots , n\}</math> seinen <math> B(1,p)</math>-verteilt. Dann ist <math>X:= X_1 + \ldots + X_n</math> ein <math> B(n,p)</math>-verteilt und für den Erwartungswert erhält man mit der Linearität des Erwartungswertes <math>X</math> gilt: :<math> E(X) = np</math> ===== Beweismöglichkeiten===== 1. <math> E(X)= \sum _{k=k}^{n} k \binom {n}{k} p^k (1-p)^{n-k} = ... = n \cdot p</math> 2. Für die Binominalverteilung gilt <math> X=X_1 + .. + X_n </math> mit <math> EX_i = p</math>. Dann ist :<math> E(X)=E(X_1) + ... + E(X_n) = n \cdot p </math> (wg. Linearität). <br> Der Erwartungswert von Funktionen <math> \phi \circ X</math> einer Zufallsgröße berechnet sich wie folgt. === Satz - Verkettung von messbaren Abbildungen === Ist <math> X: \Omega \to \Omega'</math> Zufallsgröße auf <math> (\Omega,P) </math> und <math> \phi: \Omega' \to \mathbb{R}</math> eine Abbildung, dann gilt :<math> E(\phi \circ X)= \sum_{x \in X(\Omega)} \phi(x) P_X( \lbrace x \rbrace)</math> (Falls die Reihe absolut konvergiert). === Beweis === :<math> E_P(\phi \circ X) = \sum_{w \in \Omega} \phi(X(w)) p_w = \sum_{x \in X(w)} \sum_{w:X(w) = x} \phi(X(w)) p_w </math> :<math> = \sum_{x \in X(w)} \phi(x) \sum _{w: X(w)=x} p_w = \sum_{x \in X(w)} \phi(x) P_X(\lbrace x \rbrace). </math> (Großer Umordnungssatz für absolut konvergente Reihen) <br> === Beispiele === Gemäß der Behauptung gilt z.B. : Mit <math>\phi_1(x) := x^2</math> erhält man <math>E(\phi_1) = \sum_{x} x^2 P_X(\lbrace x \rbrace) </math> :Mit <math>\phi_2(x) := e^x</math> erhält man <math> E(\phi_2) = \sum_ {x} e^x P_X(\lbrace x \rbrace)</math> usw. ====Bemerkung ==== Die rechte Seite der Behauptung kann man auch als <math> E_{P_X} (\phi)</math> schreiben. <br> In der Tat, <math> P_X (\lbrace x \rbrace)</math> ist Wahrscheinlichkeitsfunktion auf <math> \Omega' </math> und <math> \phi</math> wird als Zufallsvariable auf <math> (\Omega', P_X)</math> aufgefasst: :<math> E_P(\phi \circ X)= E_{P_X}(\phi)</math> === Satz - Multipkikation von unabhängigen Zufallsgrößen === Die Zufallsvariablen <math> X,Y</math> mögen unabhängig sein und Erwartungswerte besitzen. Dann besitzt auch <math> X \cdot Y</math> einen Erwartungswert und es gilt :<math> E(X \cdot Y) = E(X) \cdot E(Y)</math> ====Beweis (i.1)==== Zur Existenz von <math> E(X \cdot Y)</math>: :<math> E(|X \cdot Y|)= \sum_{w \in \Omega } |X(w) \cdot Y(w)| p_w </math> :<math> = \sum_{x \in X(\Omega)} \sum _{y \in Y(\Omega)} \sum_{w:X(\omega)=x, Y(\omega) = y} |X(w) \cdot Y(w)| p_w </math> :<math> = \sum_{x \in X(\Omega)}\sum_{y \in Y(\Omega)} | x \cdot y | P(X=x, Y=y)</math> ==== Beweis (i.2) ==== :<math> = \sum_{x \in X(\Omega)} |x| \cdot P(X=x) \sum_{y \in Y(\Omega)} |y| \cdot P(Y=y)</math> :<math> = E|X| \cdot E|Y| < \infty </math> (Reihe links oben also absolut konvergent.) ==== Beweis (ii) ==== Die gleiche Rechnung wie in (i) ohne Betragsstriche liefert: :<math> E(X \cdot Y) = \sum_{w \in \Omega} X(w) \cdot Y(w) p_w </math> :<math> = ... = \sum_{x \in X(\Omega)} x \cdot P(X=x) \sum_{y \in Y(\Omega)} y \cdot P(Y=y) </math> :<math> = E(X) \cdot E(Y)</math> Es wurde angewandt: Doppelreihensatz und Umordnungssatz für Reihen mit nicht negativen Gliedern (in (i)) und für absolut konvergente Reihen (in (ii)). ====Bemerkung ==== 1. Allgemein gilt für unabhängige Zufallsvariablen <math> X_1, ..., X_n</math> mit existierenden Erwartungswerten: :<math> E(X_1 \cdot ... \cdot X_n) = E(X_1) \cdot ... \cdot E(X_n)</math> 2. Bei fehlender Unabhängigkeit folgt aus <math> P|X| < \infty, P|Y| < \infty </math> nicht notwendigerweise <math> P| X \cdot Y| <\infty </math>. === Definition - Bedingter Erwartungswert === Sei <math> (\Omega, \mathcal{S}, P) </math> diskreter Wahrscheinlichkeitsraum, <math>X</math> Zufallsvariable mit existierendem Erwartungswert und <math> A \subset \Omega </math> mit <math> P(A)> 0</math>. Dann heißt :<math> E(X|A) = E_{P_{(\cdot |A)}} (X)</math> der bedingte Erwartungswert von <math>X</math> unter (der Bedingung) <math>A</math>. <br> [ <math> P( \cdot|A)</math> ist die bedingte Wahrscheinlichkeitsverteilung auf <math> \Omega </math> unter <math> A </math>.] ==== Formeln zu Berechnung ==== :<math> E(X|A) = \sum_{w \in \Omega} X(w) P( \lbrace w \rbrace|A) = \sum X(w) \frac {P( \lbrace w \rbrace \cap A)} {P(A)} </math> :<math> = \frac {1} { P(A)} \sum_{w \in A} X(w) p_w = \frac {1} {P(A)} \sum_{w \in \Omega} 1_A (w) X(w) p_w = \frac {1} {P(A)} E(1_A X)</math> ==== Bemerkungen ==== * Da <math> \sum_{\omega \in \Omega} X(\omega )\cdot p_\omega </math> absolut konvergiert, so konvergiert auch <math>\sum_{\omega \in A} X(\omega ) \cdot p_\omega </math>. Damit existiert der bedingte Erwartungswert <math> E(X|A)</math>. * Spezialfälle: <math> E(1_A|A) =1, E(X|\Omega) = E(X)</math> <br> * Der hier eingeführte Begriff des bedingten Erwartungswertes spielt eine untergeordnete Rolle. In der allgemeinen Wahrscheinlichkeitstheorie definiert man bedingte Erwartungswerte der Art <math> E(X|Y)</math>, <math> Y </math> Zufallsvariable, welche von großer Wichtigkeit sind (jedoch hier in der Einführung nicht gebraucht werden). == Momente == In dem obigen Beispiel wurde der Erwartungswert <math>E(X)</math> als Spezialfall von Momenten <math>E(X^k)</math> betrachtet, die im Folgenden definiert werden. === Definition - Momente === Es sei <math>X</math> eine [[w:de:Zufallsvariable|Zufallsvariable]] und <math>k</math> eine [[w:de:natürliche Zahl|natürliche Zahl]]. Dann bezeichnet man als ''Moment der Ordnung <math>k</math> von <math>X</math>'' oder kürzer als ''<math>k</math>-tes Moment von <math>X</math>'' den Erwartungswert der <math>k</math>&#8209;ten Potenz von <math>X</math> (unter der Voraussetzung, dass dieser existiert): :<math> m_k := \operatorname{E}\left(X^k\right), </math> und als ''<math>k</math>-tes absolutes Moment von <math>X</math>'' wird der Erwartungswert der <math>k</math>-ten Potenz des Absolutbetrages <math>|X|</math> von <math>X</math> bezeichnet: :<math> M_k := \operatorname{E}\left(\left|X\right|^k\right). </math> === Bemerkung - nichtganzzahlige Momente === In theoretischen Untersuchungen werden mitunter auch Momente nichtganzzahliger Ordnung <math>\kappa</math> betrachtet. === Bemerkung - Existenz von Momenten === Die Existenz von Momenten einer bestimmten Ordnung liefert allgemein Aussagen über die Verteilung der Wahrscheinlichkeitsmasse. === Bemerkung - Erwartungswert als Moment 1. Ordnung === Das ''erste Moment'' ist der Erwartungswert. Er wird meist mit <math>\mu</math> bezeichnet und kann als Mittelwert angesehen werden. == Siehe auch == * [[Kurs:Stochastik/Linearität Erwartungswert|Linearität des Erwartungswertes]] * [[Kurs:Stochastik/Varianz|Varianz]] * [[Kurs:Stochastik/Kovarianz|Kovarianz]] * [[Kurs:Stochastik/Erzeugende Funktionen|Erzeugende Funktionen]] * [[Kurs:Stochastik]] == Seiteninformation == Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Momente&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Stochastik Kurs:Stochastik]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Momente https://de.wikiversity.org/wiki/Momente] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Momente Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Momente * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Momente&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] [[Category:Wiki2Reveal]] fnyxwbh15ea85jlzaf7dghl8907j2c5 1119221 1119220 2026-11-09T11:10:04Z Bert Niehaus 20843 /* Bemerkungen - Existenz Erwartungeswertes */ 1119221 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite zum Thema ''Momente'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Momente&author=Wikipedia%20Authors&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Momente&coursetitle=Wikipedia%20Authors Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. 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Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt: * (1) Definition von Momenten * (2) Erwartungswert * (3) Varianz == Motivation - Erwartungswert == Vorbemerkung: Zwei Personen <math> A </math> und <math>B </math> vereinbaren ein Würfelspiel. * Ausgang '1': <math> A </math> zahlt an <math>B </math> 5€ * Ausgang '2', ..., '6': <math> B </math> zahlt an <math>A </math> 1€ Die Gewinnerwartung für die beiden Spieler beträgt hier Null: Erwarteter Gewinn von <math>B</math>: :<math> 5 \cdot \frac {1} {6} - 1 \cdot \frac {1} {6} - ... -1 \cdot \frac {1} {6} = 0 </math> ("faires Spiel"). === Bemerkung - Wahrscheinlichkeit und Wert der Zufallsgröße === In der obigen Gleichung :<math> 5 \cdot \frac {1} {6} - 1 \cdot \frac {1} {6} - ... -1 \cdot \frac {1} {6} = 0 </math> setzen sich die einzelnen Terme (z.B. <math> 5 \cdot \frac{1}{6} </math>) aus dem Wert der Zufallsgröße <math>X(1) = 5</math> und der Wahrscheinlichkeit <math> \frac{1}{6} </math> für das Eintretens des Ereignisse ("1 gewürfelt") zusammen. == Definition - Erwartungswert == Die Definition des Erwartungswertes wird in folgende Fälle unterteilt: * diskrete Zufallsgröße und * absolute stetige Zufallsgröße. === Definition - Erwartungswert - diskreter Fall === Sei <math> X : \Omega \to \mathbb{R} </math> eine auf einem diskreten [[Wahrscheinlichkeitsraum]] <math> (\Omega, \mathcal{S}, P) </math> definierte Zufallsvariable, dann heißt :<math> E(X) = \sum_{x \in X (\Omega)} x \cdot P(X=x) = \sum_{x \in X(\Omega)} x \cdot P^X (\lbrace x \rbrace)</math> Erwartungswert von <math> X </math>, vorausgesetzt, dass <math> \sum_{x \in X(\Omega)} |x| \cdot P(X=x) < \infty </math>. ==== Bemerkung - Anzahl Summanden - diskreter Fall ==== Die Zufallsgröße <math>X: \Omega \to \mathbb{R}</math> nimmt nur zwei Werte an, nämlich <math>X(\omega)=5</math> für <math>\omega =1</math> und <math>X(\omega)=-1</math> für <math>\omega =2,3,4,5,6</math>. Dabei besteht der Erwartungswert in der obigen Notation nur aus zwei Summanden, da <math>X(\Omega)=\{-1,5\}</math>. ==== Bemerkung 1 - Notation zum diskreten Beispiel ==== Möchte man den Erwartungswert analog zur obigen Notation mit 6 Summand definieren: :<math> \begin{array}{rcl} E(X) & = & \sum_{\omega \in \Omega} X(\omega) \cdot P(\{\omega\}) \\ & = & 5 \cdot \frac {1} {6} + \underbrace{(- 1) \cdot \frac {1} {6} + ... +(-1) \cdot \frac {1} {6}}_{=(-1) \cdot \frac {5} {6}} \\ & = & 5 \cdot \frac {1} {6} + -1 \cdot \frac {5} {6} = \displaystyle \sum_{x \in X(\Omega)=\{5,-1\}} x \cdot P^X(\{x\}) \\ & = & 0 \end{array} </math> ==== Bemerkung 2 - diskret verteilte Zufallsgröße ==== Die Reihe <math> \sum _x |x| \cdot P(X=x) < \infty</math> hat nur abzählbar viele Elemente <math>x</math> mit <math>P(X=x) \not= 0</math>, weil <math>X:\Omega \to\mathbb{R}</math> eine diskrete Zufallsgröße ist. ==== Bemerkung 3 - Erwartungswert - absolute Konvergenz ==== Mit <math> \sum _x |x| \cdot \underbrace{P(X=x)}_{\geq 0} </math> ist die Reihe in der Definition zum Erwartungswert absolut konvergent. Die Fälle <math> E(x) = + \infty </math> und <math> E(x) = - \infty </math> werden also ausgeschlossen. In solchen Fällen existiert der Erwartungswert nicht. === Definition - Erwartungswert - absolut stetig === Sei <math> X : \Omega \to \mathbb{R} </math> eine auf einem diskreten [[Wahrscheinlichkeitsraum]] <math> (\Omega, \mathcal{S}, P) </math> bei die Wahrscheinlichkeitsverteilung durch eine Dichtefunktion <math> p:\Omega \to \mathbb{R}_0^{+} </math> bzw. die induzierte Dichte <math> p^X:\mathbb{R} \to \mathbb{R}_0^{+} </math> gegeben ist. Dann heißt :<math> E(X) := \int_{\Omega} X(\omega) \cdot p(\omega) \, d(\omega) := \int_{\mathbb{R}} x \cdot p^X ( x ) \, dx</math> Erwartungswert der absolut stetigen Verteilung, wenn die Bedingung :<math> E(|X|) = \int_{\Omega} |X(\omega) | \cdot p(\omega) \, d(\omega) = \int_{\mathbb{R}} |x| \cdot p^X ( x ) \, dx < \infty </math> erfüllt ist. ==== Bemerkung - induzierte Dichtefunktion ==== Für die induzierte Dichtefunktion gilt alle <math>B</math> aus der Borelschen <math>\sigma</math>-Algebra <math>\mathcal{B}(\mathbb{R})</math>: :<math> \int_{X^{-1}(B)} X(\omega) \cdot p(\omega) \, d(\omega) := \int_{B} x \cdot p^X ( x ) \, dx</math> === Satz - Erwartungswert für diskrete Zufallsvariablen === Bezeichnet <math> p_\omega = P( \lbrace \omega \rbrace ) </math> die Wahrscheinlichkeitsfunktion von <math> P </math> auf <math> \Omega </math>, so gilt für eine auf <math> ( \Omega, \mathcal{S}, P)</math> definierte Zufallsvariable <math> X:\Omega \to \mathbb{R}</math>: :<math> E(X)= \sum_{\omega \in \Omega} X(\omega)\cdot p_\omega </math> (sofern <math> \sum |X(\omega)| \cdot p_\omega < \infty </math>). === Beweis === Es ist :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \sum_{\omega \in \Omega} X(\omega) \cdot p_\omega & = & \displaystyle \sum_{x \in X(\Omega)} \sum _{\omega:X(\omega) = x} X(\omega) \cdot p_\omega \\ & = & \displaystyle \sum_{x \in X(\Omega)} x \sum_{\omega:X(\omega)=x} p_w \\ & = & \displaystyle \sum_{x \in X(\Omega)} x \cdot P^X(\lbrace x \rbrace) \\ & = & E(X) \\ \end{array} </math> === Bemerkung zum Beweis === In den Beweis geht der große Umordnungssatz für konvergente Reihen aus der Analysis ein. Die Anwendung Umordnungssatzes ist möglich, da <math> E(|X|) < \infty</math> gilt und damit die Reihe absolut konvergent ist. === Bemerkungen - Existenz Erwartungeswertes === Im Fall absoluter Konvergenz der Reihen (Beispiele oben) sagt man: * <math> X </math> besitzt einen Erwartungswert, oder * der Erwartungswert von <math> X</math> existiert. <math> X </math> besitzt genau dann einen Erwartungswert, falls <math> E\big( |X|\big) = \sum_w |X(w)| \cdot p_w < \infty </math>. <br> ==== Endlicher Ergebnisraum ==== Dies ist bei endlichen Ergebnisräumen <math> \Omega </math> immer der Fall. ==== Schreibweise ==== Statt <math>E(X)</math> auch <math>EX</math> oder <math>E_PX</math>, wenn man kenntlich machen möchte, bzgl. welchem Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> der Erwartungswert berechnet wurde. === Elementare Folgerungen === Aus dem obigen Satz zum Erwartungswert folgt: <math> E(1) = 1, E(X) \le E(Y)</math>, falls <math> X(w) \le Y(w)</math> für alle <math> w \in \Omega </math> gilt. ==== Beispiel ==== Ist <math> X(w) = \lbrace w_1, ..., w_m \rbrace</math>, und ist <math> P_X</math> die Gleichverteilung auf <math> X(\Omega)</math>, so lautet der Erwartungswert :<math> E(X)= \frac {1} {m} \sum _{i=1}^{m} x_i </math> ("arithmetisches Mittel"). <br> (Der Erwartungswert der Augenzahl beim Würfeln ist 3,5.) ==== Beispiel ==== Für die Indikatorvariable <math> X=1_A</math> eines Ereignisses <math> A \subset \Omega </math> gilt: :<math> E(1_A) = 0 \cdot P(1_A = 0) + 1 \cdot P(1_A = 1) = P(A)</math> Eine direkte Folgerung aus der Behauptung ist der folgende Satz. === Satz - Linearität des Erwartungswertes === Besitzen die Zufallsvariablen <math> X_1, X_2</math> Erwartungswerte, so auch die Zufallsvariablen <math> aX_1, bX_2, a,b \in \mathbb{R}</math>, und es gilt: :<math> E(aX_1+bX_2 ) = aE(X_1) + bE(X_2)</math> ("[[Kurs:Stochastik/Linearität Erwartungswert|Linearität]]") === Bemerkung - Aufgabe - Beweis === Der [[Kurs:Stochastik/Linearität_Erwartungswert|Beweis der Linearität]] wird über das Einsetzen der Definition und der Anwendung elementaren Umformungen geführt. Versuchen Sie diesen Beweis zunächst ohne Hilfen selbst durchzuführen und sich erst danach den in Wikiversity angegebenen Beweis zu [[Kurs:Stochastik/Linearität_Erwartungswert|Linearität des Erwartungswertes]] anzusehen === Anwendungsbeispiel für die Linearität des Erwartungswertes === Alle <math>n</math> Zufallsgrößen <math>X_k</math> mit <math>k\in \{1,\ldots , n\}</math> seinen <math> B(1,p)</math>-verteilt. Dann ist <math>X:= X_1 + \ldots + X_n</math> ein <math> B(n,p)</math>-verteilt und für den Erwartungswert erhält man mit der Linearität des Erwartungswertes <math>X</math> gilt: :<math> E(X) = np</math> ===== Beweismöglichkeiten===== 1. <math> E(X)= \sum _{k=k}^{n} k \binom {n}{k} p^k (1-p)^{n-k} = ... = n \cdot p</math> 2. Für die Binominalverteilung gilt <math> X=X_1 + .. + X_n </math> mit <math> EX_i = p</math>. Dann ist :<math> E(X)=E(X_1) + ... + E(X_n) = n \cdot p </math> (wg. Linearität). <br> Der Erwartungswert von Funktionen <math> \phi \circ X</math> einer Zufallsgröße berechnet sich wie folgt. === Satz - Verkettung von messbaren Abbildungen === Ist <math> X: \Omega \to \Omega'</math> Zufallsgröße auf <math> (\Omega,P) </math> und <math> \phi: \Omega' \to \mathbb{R}</math> eine Abbildung, dann gilt :<math> E(\phi \circ X)= \sum_{x \in X(\Omega)} \phi(x) P_X( \lbrace x \rbrace)</math> (Falls die Reihe absolut konvergiert). === Beweis === :<math> E_P(\phi \circ X) = \sum_{w \in \Omega} \phi(X(w)) p_w = \sum_{x \in X(w)} \sum_{w:X(w) = x} \phi(X(w)) p_w </math> :<math> = \sum_{x \in X(w)} \phi(x) \sum _{w: X(w)=x} p_w = \sum_{x \in X(w)} \phi(x) P_X(\lbrace x \rbrace). </math> (Großer Umordnungssatz für absolut konvergente Reihen) <br> === Beispiele === Gemäß der Behauptung gilt z.B. : Mit <math>\phi_1(x) := x^2</math> erhält man <math>E(\phi_1) = \sum_{x} x^2 P_X(\lbrace x \rbrace) </math> :Mit <math>\phi_2(x) := e^x</math> erhält man <math> E(\phi_2) = \sum_ {x} e^x P_X(\lbrace x \rbrace)</math> usw. ====Bemerkung ==== Die rechte Seite der Behauptung kann man auch als <math> E_{P_X} (\phi)</math> schreiben. <br> In der Tat, <math> P_X (\lbrace x \rbrace)</math> ist Wahrscheinlichkeitsfunktion auf <math> \Omega' </math> und <math> \phi</math> wird als Zufallsvariable auf <math> (\Omega', P_X)</math> aufgefasst: :<math> E_P(\phi \circ X)= E_{P_X}(\phi)</math> === Satz - Multipkikation von unabhängigen Zufallsgrößen === Die Zufallsvariablen <math> X,Y</math> mögen unabhängig sein und Erwartungswerte besitzen. Dann besitzt auch <math> X \cdot Y</math> einen Erwartungswert und es gilt :<math> E(X \cdot Y) = E(X) \cdot E(Y)</math> ====Beweis (i.1)==== Zur Existenz von <math> E(X \cdot Y)</math>: :<math> E(|X \cdot Y|)= \sum_{w \in \Omega } |X(w) \cdot Y(w)| p_w </math> :<math> = \sum_{x \in X(\Omega)} \sum _{y \in Y(\Omega)} \sum_{w:X(\omega)=x, Y(\omega) = y} |X(w) \cdot Y(w)| p_w </math> :<math> = \sum_{x \in X(\Omega)}\sum_{y \in Y(\Omega)} | x \cdot y | P(X=x, Y=y)</math> ==== Beweis (i.2) ==== :<math> = \sum_{x \in X(\Omega)} |x| \cdot P(X=x) \sum_{y \in Y(\Omega)} |y| \cdot P(Y=y)</math> :<math> = E|X| \cdot E|Y| < \infty </math> (Reihe links oben also absolut konvergent.) ==== Beweis (ii) ==== Die gleiche Rechnung wie in (i) ohne Betragsstriche liefert: :<math> E(X \cdot Y) = \sum_{w \in \Omega} X(w) \cdot Y(w) p_w </math> :<math> = ... = \sum_{x \in X(\Omega)} x \cdot P(X=x) \sum_{y \in Y(\Omega)} y \cdot P(Y=y) </math> :<math> = E(X) \cdot E(Y)</math> Es wurde angewandt: Doppelreihensatz und Umordnungssatz für Reihen mit nicht negativen Gliedern (in (i)) und für absolut konvergente Reihen (in (ii)). ====Bemerkung ==== 1. Allgemein gilt für unabhängige Zufallsvariablen <math> X_1, ..., X_n</math> mit existierenden Erwartungswerten: :<math> E(X_1 \cdot ... \cdot X_n) = E(X_1) \cdot ... \cdot E(X_n)</math> 2. Bei fehlender Unabhängigkeit folgt aus <math> P|X| < \infty, P|Y| < \infty </math> nicht notwendigerweise <math> P| X \cdot Y| <\infty </math>. === Definition - Bedingter Erwartungswert === Sei <math> (\Omega, \mathcal{S}, P) </math> diskreter Wahrscheinlichkeitsraum, <math>X</math> Zufallsvariable mit existierendem Erwartungswert und <math> A \subset \Omega </math> mit <math> P(A)> 0</math>. Dann heißt :<math> E(X|A) = E_{P_{(\cdot |A)}} (X)</math> der bedingte Erwartungswert von <math>X</math> unter (der Bedingung) <math>A</math>. <br> [ <math> P( \cdot|A)</math> ist die bedingte Wahrscheinlichkeitsverteilung auf <math> \Omega </math> unter <math> A </math>.] ==== Formeln zu Berechnung ==== :<math> E(X|A) = \sum_{w \in \Omega} X(w) P( \lbrace w \rbrace|A) = \sum X(w) \frac {P( \lbrace w \rbrace \cap A)} {P(A)} </math> :<math> = \frac {1} { P(A)} \sum_{w \in A} X(w) p_w = \frac {1} {P(A)} \sum_{w \in \Omega} 1_A (w) X(w) p_w = \frac {1} {P(A)} E(1_A X)</math> ==== Bemerkungen ==== * Da <math> \sum_{\omega \in \Omega} X(\omega )\cdot p_\omega </math> absolut konvergiert, so konvergiert auch <math>\sum_{\omega \in A} X(\omega ) \cdot p_\omega </math>. Damit existiert der bedingte Erwartungswert <math> E(X|A)</math>. * Spezialfälle: <math> E(1_A|A) =1, E(X|\Omega) = E(X)</math> <br> * Der hier eingeführte Begriff des bedingten Erwartungswertes spielt eine untergeordnete Rolle. In der allgemeinen Wahrscheinlichkeitstheorie definiert man bedingte Erwartungswerte der Art <math> E(X|Y)</math>, <math> Y </math> Zufallsvariable, welche von großer Wichtigkeit sind (jedoch hier in der Einführung nicht gebraucht werden). == Momente == In dem obigen Beispiel wurde der Erwartungswert <math>E(X)</math> als Spezialfall von Momenten <math>E(X^k)</math> betrachtet, die im Folgenden definiert werden. === Definition - Momente === Es sei <math>X</math> eine [[w:de:Zufallsvariable|Zufallsvariable]] und <math>k</math> eine [[w:de:natürliche Zahl|natürliche Zahl]]. Dann bezeichnet man als ''Moment der Ordnung <math>k</math> von <math>X</math>'' oder kürzer als ''<math>k</math>-tes Moment von <math>X</math>'' den Erwartungswert der <math>k</math>&#8209;ten Potenz von <math>X</math> (unter der Voraussetzung, dass dieser existiert): :<math> m_k := \operatorname{E}\left(X^k\right), </math> und als ''<math>k</math>-tes absolutes Moment von <math>X</math>'' wird der Erwartungswert der <math>k</math>-ten Potenz des Absolutbetrages <math>|X|</math> von <math>X</math> bezeichnet: :<math> M_k := \operatorname{E}\left(\left|X\right|^k\right). </math> === Bemerkung - nichtganzzahlige Momente === In theoretischen Untersuchungen werden mitunter auch Momente nichtganzzahliger Ordnung <math>\kappa</math> betrachtet. === Bemerkung - Existenz von Momenten === Die Existenz von Momenten einer bestimmten Ordnung liefert allgemein Aussagen über die Verteilung der Wahrscheinlichkeitsmasse. === Bemerkung - Erwartungswert als Moment 1. Ordnung === Das ''erste Moment'' ist der Erwartungswert. Er wird meist mit <math>\mu</math> bezeichnet und kann als Mittelwert angesehen werden. == Siehe auch == * [[Kurs:Stochastik/Linearität Erwartungswert|Linearität des Erwartungswertes]] * [[Kurs:Stochastik/Varianz|Varianz]] * [[Kurs:Stochastik/Kovarianz|Kovarianz]] * [[Kurs:Stochastik/Erzeugende Funktionen|Erzeugende Funktionen]] * [[Kurs:Stochastik]] == Seiteninformation == Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Momente&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Stochastik Kurs:Stochastik]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Momente https://de.wikiversity.org/wiki/Momente] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Momente Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Momente * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Momente&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] [[Category:Wiki2Reveal]] mlauybc3m1pq8y5y7iyfh9vsk54wb5c 1119222 1119221 2026-11-09T11:10:38Z Bert Niehaus 20843 /* Bemerkungen - Existenz Erwartungeswertes */ 1119222 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite zum Thema ''Momente'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Momente&author=Wikipedia%20Authors&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Momente&coursetitle=Wikipedia%20Authors Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt: * (1) Definition von Momenten * (2) Erwartungswert * (3) Varianz == Motivation - Erwartungswert == Vorbemerkung: Zwei Personen <math> A </math> und <math>B </math> vereinbaren ein Würfelspiel. * Ausgang '1': <math> A </math> zahlt an <math>B </math> 5€ * Ausgang '2', ..., '6': <math> B </math> zahlt an <math>A </math> 1€ Die Gewinnerwartung für die beiden Spieler beträgt hier Null: Erwarteter Gewinn von <math>B</math>: :<math> 5 \cdot \frac {1} {6} - 1 \cdot \frac {1} {6} - ... -1 \cdot \frac {1} {6} = 0 </math> ("faires Spiel"). === Bemerkung - Wahrscheinlichkeit und Wert der Zufallsgröße === In der obigen Gleichung :<math> 5 \cdot \frac {1} {6} - 1 \cdot \frac {1} {6} - ... -1 \cdot \frac {1} {6} = 0 </math> setzen sich die einzelnen Terme (z.B. <math> 5 \cdot \frac{1}{6} </math>) aus dem Wert der Zufallsgröße <math>X(1) = 5</math> und der Wahrscheinlichkeit <math> \frac{1}{6} </math> für das Eintretens des Ereignisse ("1 gewürfelt") zusammen. == Definition - Erwartungswert == Die Definition des Erwartungswertes wird in folgende Fälle unterteilt: * diskrete Zufallsgröße und * absolute stetige Zufallsgröße. === Definition - Erwartungswert - diskreter Fall === Sei <math> X : \Omega \to \mathbb{R} </math> eine auf einem diskreten [[Wahrscheinlichkeitsraum]] <math> (\Omega, \mathcal{S}, P) </math> definierte Zufallsvariable, dann heißt :<math> E(X) = \sum_{x \in X (\Omega)} x \cdot P(X=x) = \sum_{x \in X(\Omega)} x \cdot P^X (\lbrace x \rbrace)</math> Erwartungswert von <math> X </math>, vorausgesetzt, dass <math> \sum_{x \in X(\Omega)} |x| \cdot P(X=x) < \infty </math>. ==== Bemerkung - Anzahl Summanden - diskreter Fall ==== Die Zufallsgröße <math>X: \Omega \to \mathbb{R}</math> nimmt nur zwei Werte an, nämlich <math>X(\omega)=5</math> für <math>\omega =1</math> und <math>X(\omega)=-1</math> für <math>\omega =2,3,4,5,6</math>. Dabei besteht der Erwartungswert in der obigen Notation nur aus zwei Summanden, da <math>X(\Omega)=\{-1,5\}</math>. ==== Bemerkung 1 - Notation zum diskreten Beispiel ==== Möchte man den Erwartungswert analog zur obigen Notation mit 6 Summand definieren: :<math> \begin{array}{rcl} E(X) & = & \sum_{\omega \in \Omega} X(\omega) \cdot P(\{\omega\}) \\ & = & 5 \cdot \frac {1} {6} + \underbrace{(- 1) \cdot \frac {1} {6} + ... +(-1) \cdot \frac {1} {6}}_{=(-1) \cdot \frac {5} {6}} \\ & = & 5 \cdot \frac {1} {6} + -1 \cdot \frac {5} {6} = \displaystyle \sum_{x \in X(\Omega)=\{5,-1\}} x \cdot P^X(\{x\}) \\ & = & 0 \end{array} </math> ==== Bemerkung 2 - diskret verteilte Zufallsgröße ==== Die Reihe <math> \sum _x |x| \cdot P(X=x) < \infty</math> hat nur abzählbar viele Elemente <math>x</math> mit <math>P(X=x) \not= 0</math>, weil <math>X:\Omega \to\mathbb{R}</math> eine diskrete Zufallsgröße ist. ==== Bemerkung 3 - Erwartungswert - absolute Konvergenz ==== Mit <math> \sum _x |x| \cdot \underbrace{P(X=x)}_{\geq 0} </math> ist die Reihe in der Definition zum Erwartungswert absolut konvergent. Die Fälle <math> E(x) = + \infty </math> und <math> E(x) = - \infty </math> werden also ausgeschlossen. In solchen Fällen existiert der Erwartungswert nicht. === Definition - Erwartungswert - absolut stetig === Sei <math> X : \Omega \to \mathbb{R} </math> eine auf einem diskreten [[Wahrscheinlichkeitsraum]] <math> (\Omega, \mathcal{S}, P) </math> bei die Wahrscheinlichkeitsverteilung durch eine Dichtefunktion <math> p:\Omega \to \mathbb{R}_0^{+} </math> bzw. die induzierte Dichte <math> p^X:\mathbb{R} \to \mathbb{R}_0^{+} </math> gegeben ist. Dann heißt :<math> E(X) := \int_{\Omega} X(\omega) \cdot p(\omega) \, d(\omega) := \int_{\mathbb{R}} x \cdot p^X ( x ) \, dx</math> Erwartungswert der absolut stetigen Verteilung, wenn die Bedingung :<math> E(|X|) = \int_{\Omega} |X(\omega) | \cdot p(\omega) \, d(\omega) = \int_{\mathbb{R}} |x| \cdot p^X ( x ) \, dx < \infty </math> erfüllt ist. ==== Bemerkung - induzierte Dichtefunktion ==== Für die induzierte Dichtefunktion gilt alle <math>B</math> aus der Borelschen <math>\sigma</math>-Algebra <math>\mathcal{B}(\mathbb{R})</math>: :<math> \int_{X^{-1}(B)} X(\omega) \cdot p(\omega) \, d(\omega) := \int_{B} x \cdot p^X ( x ) \, dx</math> === Satz - Erwartungswert für diskrete Zufallsvariablen === Bezeichnet <math> p_\omega = P( \lbrace \omega \rbrace ) </math> die Wahrscheinlichkeitsfunktion von <math> P </math> auf <math> \Omega </math>, so gilt für eine auf <math> ( \Omega, \mathcal{S}, P)</math> definierte Zufallsvariable <math> X:\Omega \to \mathbb{R}</math>: :<math> E(X)= \sum_{\omega \in \Omega} X(\omega)\cdot p_\omega </math> (sofern <math> \sum |X(\omega)| \cdot p_\omega < \infty </math>). === Beweis === Es ist :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \sum_{\omega \in \Omega} X(\omega) \cdot p_\omega & = & \displaystyle \sum_{x \in X(\Omega)} \sum _{\omega:X(\omega) = x} X(\omega) \cdot p_\omega \\ & = & \displaystyle \sum_{x \in X(\Omega)} x \sum_{\omega:X(\omega)=x} p_w \\ & = & \displaystyle \sum_{x \in X(\Omega)} x \cdot P^X(\lbrace x \rbrace) \\ & = & E(X) \\ \end{array} </math> === Bemerkung zum Beweis === In den Beweis geht der große Umordnungssatz für konvergente Reihen aus der Analysis ein. Die Anwendung Umordnungssatzes ist möglich, da <math> E(|X|) < \infty</math> gilt und damit die Reihe absolut konvergent ist. === Bemerkungen - Existenz Erwartungeswertes === Im Fall absoluter Konvergenz der Reihen (Beispiele oben) sagt man: * <math> X </math> besitzt einen Erwartungswert, oder * der Erwartungswert von <math> X</math> existiert. <math> X </math> besitzt genau dann einen Erwartungswert, falls <math> E\big( |X|\big) = \sum_{\omega \in \Omega} |X(\omega)| \cdot p_\omega < \infty </math>. <br> ==== Endlicher Ergebnisraum ==== Dies ist bei endlichen Ergebnisräumen <math> \Omega </math> immer der Fall. ==== Schreibweise ==== Statt <math>E(X)</math> auch <math>EX</math> oder <math>E_PX</math>, wenn man kenntlich machen möchte, bzgl. welchem Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> der Erwartungswert berechnet wurde. === Elementare Folgerungen === Aus dem obigen Satz zum Erwartungswert folgt: <math> E(1) = 1, E(X) \le E(Y)</math>, falls <math> X(w) \le Y(w)</math> für alle <math> w \in \Omega </math> gilt. ==== Beispiel ==== Ist <math> X(w) = \lbrace w_1, ..., w_m \rbrace</math>, und ist <math> P_X</math> die Gleichverteilung auf <math> X(\Omega)</math>, so lautet der Erwartungswert :<math> E(X)= \frac {1} {m} \sum _{i=1}^{m} x_i </math> ("arithmetisches Mittel"). <br> (Der Erwartungswert der Augenzahl beim Würfeln ist 3,5.) ==== Beispiel ==== Für die Indikatorvariable <math> X=1_A</math> eines Ereignisses <math> A \subset \Omega </math> gilt: :<math> E(1_A) = 0 \cdot P(1_A = 0) + 1 \cdot P(1_A = 1) = P(A)</math> Eine direkte Folgerung aus der Behauptung ist der folgende Satz. === Satz - Linearität des Erwartungswertes === Besitzen die Zufallsvariablen <math> X_1, X_2</math> Erwartungswerte, so auch die Zufallsvariablen <math> aX_1, bX_2, a,b \in \mathbb{R}</math>, und es gilt: :<math> E(aX_1+bX_2 ) = aE(X_1) + bE(X_2)</math> ("[[Kurs:Stochastik/Linearität Erwartungswert|Linearität]]") === Bemerkung - Aufgabe - Beweis === Der [[Kurs:Stochastik/Linearität_Erwartungswert|Beweis der Linearität]] wird über das Einsetzen der Definition und der Anwendung elementaren Umformungen geführt. Versuchen Sie diesen Beweis zunächst ohne Hilfen selbst durchzuführen und sich erst danach den in Wikiversity angegebenen Beweis zu [[Kurs:Stochastik/Linearität_Erwartungswert|Linearität des Erwartungswertes]] anzusehen === Anwendungsbeispiel für die Linearität des Erwartungswertes === Alle <math>n</math> Zufallsgrößen <math>X_k</math> mit <math>k\in \{1,\ldots , n\}</math> seinen <math> B(1,p)</math>-verteilt. Dann ist <math>X:= X_1 + \ldots + X_n</math> ein <math> B(n,p)</math>-verteilt und für den Erwartungswert erhält man mit der Linearität des Erwartungswertes <math>X</math> gilt: :<math> E(X) = np</math> ===== Beweismöglichkeiten===== 1. <math> E(X)= \sum _{k=k}^{n} k \binom {n}{k} p^k (1-p)^{n-k} = ... = n \cdot p</math> 2. Für die Binominalverteilung gilt <math> X=X_1 + .. + X_n </math> mit <math> EX_i = p</math>. Dann ist :<math> E(X)=E(X_1) + ... + E(X_n) = n \cdot p </math> (wg. Linearität). <br> Der Erwartungswert von Funktionen <math> \phi \circ X</math> einer Zufallsgröße berechnet sich wie folgt. === Satz - Verkettung von messbaren Abbildungen === Ist <math> X: \Omega \to \Omega'</math> Zufallsgröße auf <math> (\Omega,P) </math> und <math> \phi: \Omega' \to \mathbb{R}</math> eine Abbildung, dann gilt :<math> E(\phi \circ X)= \sum_{x \in X(\Omega)} \phi(x) P_X( \lbrace x \rbrace)</math> (Falls die Reihe absolut konvergiert). === Beweis === :<math> E_P(\phi \circ X) = \sum_{w \in \Omega} \phi(X(w)) p_w = \sum_{x \in X(w)} \sum_{w:X(w) = x} \phi(X(w)) p_w </math> :<math> = \sum_{x \in X(w)} \phi(x) \sum _{w: X(w)=x} p_w = \sum_{x \in X(w)} \phi(x) P_X(\lbrace x \rbrace). </math> (Großer Umordnungssatz für absolut konvergente Reihen) <br> === Beispiele === Gemäß der Behauptung gilt z.B. : Mit <math>\phi_1(x) := x^2</math> erhält man <math>E(\phi_1) = \sum_{x} x^2 P_X(\lbrace x \rbrace) </math> :Mit <math>\phi_2(x) := e^x</math> erhält man <math> E(\phi_2) = \sum_ {x} e^x P_X(\lbrace x \rbrace)</math> usw. ====Bemerkung ==== Die rechte Seite der Behauptung kann man auch als <math> E_{P_X} (\phi)</math> schreiben. <br> In der Tat, <math> P_X (\lbrace x \rbrace)</math> ist Wahrscheinlichkeitsfunktion auf <math> \Omega' </math> und <math> \phi</math> wird als Zufallsvariable auf <math> (\Omega', P_X)</math> aufgefasst: :<math> E_P(\phi \circ X)= E_{P_X}(\phi)</math> === Satz - Multipkikation von unabhängigen Zufallsgrößen === Die Zufallsvariablen <math> X,Y</math> mögen unabhängig sein und Erwartungswerte besitzen. Dann besitzt auch <math> X \cdot Y</math> einen Erwartungswert und es gilt :<math> E(X \cdot Y) = E(X) \cdot E(Y)</math> ====Beweis (i.1)==== Zur Existenz von <math> E(X \cdot Y)</math>: :<math> E(|X \cdot Y|)= \sum_{w \in \Omega } |X(w) \cdot Y(w)| p_w </math> :<math> = \sum_{x \in X(\Omega)} \sum _{y \in Y(\Omega)} \sum_{w:X(\omega)=x, Y(\omega) = y} |X(w) \cdot Y(w)| p_w </math> :<math> = \sum_{x \in X(\Omega)}\sum_{y \in Y(\Omega)} | x \cdot y | P(X=x, Y=y)</math> ==== Beweis (i.2) ==== :<math> = \sum_{x \in X(\Omega)} |x| \cdot P(X=x) \sum_{y \in Y(\Omega)} |y| \cdot P(Y=y)</math> :<math> = E|X| \cdot E|Y| < \infty </math> (Reihe links oben also absolut konvergent.) ==== Beweis (ii) ==== Die gleiche Rechnung wie in (i) ohne Betragsstriche liefert: :<math> E(X \cdot Y) = \sum_{w \in \Omega} X(w) \cdot Y(w) p_w </math> :<math> = ... = \sum_{x \in X(\Omega)} x \cdot P(X=x) \sum_{y \in Y(\Omega)} y \cdot P(Y=y) </math> :<math> = E(X) \cdot E(Y)</math> Es wurde angewandt: Doppelreihensatz und Umordnungssatz für Reihen mit nicht negativen Gliedern (in (i)) und für absolut konvergente Reihen (in (ii)). ====Bemerkung ==== 1. Allgemein gilt für unabhängige Zufallsvariablen <math> X_1, ..., X_n</math> mit existierenden Erwartungswerten: :<math> E(X_1 \cdot ... \cdot X_n) = E(X_1) \cdot ... \cdot E(X_n)</math> 2. Bei fehlender Unabhängigkeit folgt aus <math> P|X| < \infty, P|Y| < \infty </math> nicht notwendigerweise <math> P| X \cdot Y| <\infty </math>. === Definition - Bedingter Erwartungswert === Sei <math> (\Omega, \mathcal{S}, P) </math> diskreter Wahrscheinlichkeitsraum, <math>X</math> Zufallsvariable mit existierendem Erwartungswert und <math> A \subset \Omega </math> mit <math> P(A)> 0</math>. Dann heißt :<math> E(X|A) = E_{P_{(\cdot |A)}} (X)</math> der bedingte Erwartungswert von <math>X</math> unter (der Bedingung) <math>A</math>. <br> [ <math> P( \cdot|A)</math> ist die bedingte Wahrscheinlichkeitsverteilung auf <math> \Omega </math> unter <math> A </math>.] ==== Formeln zu Berechnung ==== :<math> E(X|A) = \sum_{w \in \Omega} X(w) P( \lbrace w \rbrace|A) = \sum X(w) \frac {P( \lbrace w \rbrace \cap A)} {P(A)} </math> :<math> = \frac {1} { P(A)} \sum_{w \in A} X(w) p_w = \frac {1} {P(A)} \sum_{w \in \Omega} 1_A (w) X(w) p_w = \frac {1} {P(A)} E(1_A X)</math> ==== Bemerkungen ==== * Da <math> \sum_{\omega \in \Omega} X(\omega )\cdot p_\omega </math> absolut konvergiert, so konvergiert auch <math>\sum_{\omega \in A} X(\omega ) \cdot p_\omega </math>. Damit existiert der bedingte Erwartungswert <math> E(X|A)</math>. * Spezialfälle: <math> E(1_A|A) =1, E(X|\Omega) = E(X)</math> <br> * Der hier eingeführte Begriff des bedingten Erwartungswertes spielt eine untergeordnete Rolle. In der allgemeinen Wahrscheinlichkeitstheorie definiert man bedingte Erwartungswerte der Art <math> E(X|Y)</math>, <math> Y </math> Zufallsvariable, welche von großer Wichtigkeit sind (jedoch hier in der Einführung nicht gebraucht werden). == Momente == In dem obigen Beispiel wurde der Erwartungswert <math>E(X)</math> als Spezialfall von Momenten <math>E(X^k)</math> betrachtet, die im Folgenden definiert werden. === Definition - Momente === Es sei <math>X</math> eine [[w:de:Zufallsvariable|Zufallsvariable]] und <math>k</math> eine [[w:de:natürliche Zahl|natürliche Zahl]]. Dann bezeichnet man als ''Moment der Ordnung <math>k</math> von <math>X</math>'' oder kürzer als ''<math>k</math>-tes Moment von <math>X</math>'' den Erwartungswert der <math>k</math>&#8209;ten Potenz von <math>X</math> (unter der Voraussetzung, dass dieser existiert): :<math> m_k := \operatorname{E}\left(X^k\right), </math> und als ''<math>k</math>-tes absolutes Moment von <math>X</math>'' wird der Erwartungswert der <math>k</math>-ten Potenz des Absolutbetrages <math>|X|</math> von <math>X</math> bezeichnet: :<math> M_k := \operatorname{E}\left(\left|X\right|^k\right). </math> === Bemerkung - nichtganzzahlige Momente === In theoretischen Untersuchungen werden mitunter auch Momente nichtganzzahliger Ordnung <math>\kappa</math> betrachtet. === Bemerkung - Existenz von Momenten === Die Existenz von Momenten einer bestimmten Ordnung liefert allgemein Aussagen über die Verteilung der Wahrscheinlichkeitsmasse. === Bemerkung - Erwartungswert als Moment 1. Ordnung === Das ''erste Moment'' ist der Erwartungswert. Er wird meist mit <math>\mu</math> bezeichnet und kann als Mittelwert angesehen werden. == Siehe auch == * [[Kurs:Stochastik/Linearität Erwartungswert|Linearität des Erwartungswertes]] * [[Kurs:Stochastik/Varianz|Varianz]] * [[Kurs:Stochastik/Kovarianz|Kovarianz]] * [[Kurs:Stochastik/Erzeugende Funktionen|Erzeugende Funktionen]] * [[Kurs:Stochastik]] == Seiteninformation == Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Momente&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Stochastik Kurs:Stochastik]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Momente https://de.wikiversity.org/wiki/Momente] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Momente Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Momente * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Momente&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] [[Category:Wiki2Reveal]] ltl24ero576dtrv3kw7ziuxut9xyf57 1119223 1119222 2026-11-09T11:11:36Z Bert Niehaus 20843 /* Einleitung */ 1119223 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite zum Thema ''Momente'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Momente&author=Wikipedia%20Authors&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Momente&coursetitle=Wikipedia%20Authors Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt: * (1) Definition von Momenten * (2) [[Erwartungswert|Erwartungswert]] * (3) [[Varianz|Varianz]] == Motivation - Erwartungswert == Vorbemerkung: Zwei Personen <math> A </math> und <math>B </math> vereinbaren ein Würfelspiel. * Ausgang '1': <math> A </math> zahlt an <math>B </math> 5€ * Ausgang '2', ..., '6': <math> B </math> zahlt an <math>A </math> 1€ Die Gewinnerwartung für die beiden Spieler beträgt hier Null: Erwarteter Gewinn von <math>B</math>: :<math> 5 \cdot \frac {1} {6} - 1 \cdot \frac {1} {6} - ... -1 \cdot \frac {1} {6} = 0 </math> ("faires Spiel"). === Bemerkung - Wahrscheinlichkeit und Wert der Zufallsgröße === In der obigen Gleichung :<math> 5 \cdot \frac {1} {6} - 1 \cdot \frac {1} {6} - ... -1 \cdot \frac {1} {6} = 0 </math> setzen sich die einzelnen Terme (z.B. <math> 5 \cdot \frac{1}{6} </math>) aus dem Wert der Zufallsgröße <math>X(1) = 5</math> und der Wahrscheinlichkeit <math> \frac{1}{6} </math> für das Eintretens des Ereignisse ("1 gewürfelt") zusammen. == Definition - Erwartungswert == Die Definition des Erwartungswertes wird in folgende Fälle unterteilt: * diskrete Zufallsgröße und * absolute stetige Zufallsgröße. === Definition - Erwartungswert - diskreter Fall === Sei <math> X : \Omega \to \mathbb{R} </math> eine auf einem diskreten [[Wahrscheinlichkeitsraum]] <math> (\Omega, \mathcal{S}, P) </math> definierte Zufallsvariable, dann heißt :<math> E(X) = \sum_{x \in X (\Omega)} x \cdot P(X=x) = \sum_{x \in X(\Omega)} x \cdot P^X (\lbrace x \rbrace)</math> Erwartungswert von <math> X </math>, vorausgesetzt, dass <math> \sum_{x \in X(\Omega)} |x| \cdot P(X=x) < \infty </math>. ==== Bemerkung - Anzahl Summanden - diskreter Fall ==== Die Zufallsgröße <math>X: \Omega \to \mathbb{R}</math> nimmt nur zwei Werte an, nämlich <math>X(\omega)=5</math> für <math>\omega =1</math> und <math>X(\omega)=-1</math> für <math>\omega =2,3,4,5,6</math>. Dabei besteht der Erwartungswert in der obigen Notation nur aus zwei Summanden, da <math>X(\Omega)=\{-1,5\}</math>. ==== Bemerkung 1 - Notation zum diskreten Beispiel ==== Möchte man den Erwartungswert analog zur obigen Notation mit 6 Summand definieren: :<math> \begin{array}{rcl} E(X) & = & \sum_{\omega \in \Omega} X(\omega) \cdot P(\{\omega\}) \\ & = & 5 \cdot \frac {1} {6} + \underbrace{(- 1) \cdot \frac {1} {6} + ... +(-1) \cdot \frac {1} {6}}_{=(-1) \cdot \frac {5} {6}} \\ & = & 5 \cdot \frac {1} {6} + -1 \cdot \frac {5} {6} = \displaystyle \sum_{x \in X(\Omega)=\{5,-1\}} x \cdot P^X(\{x\}) \\ & = & 0 \end{array} </math> ==== Bemerkung 2 - diskret verteilte Zufallsgröße ==== Die Reihe <math> \sum _x |x| \cdot P(X=x) < \infty</math> hat nur abzählbar viele Elemente <math>x</math> mit <math>P(X=x) \not= 0</math>, weil <math>X:\Omega \to\mathbb{R}</math> eine diskrete Zufallsgröße ist. ==== Bemerkung 3 - Erwartungswert - absolute Konvergenz ==== Mit <math> \sum _x |x| \cdot \underbrace{P(X=x)}_{\geq 0} </math> ist die Reihe in der Definition zum Erwartungswert absolut konvergent. Die Fälle <math> E(x) = + \infty </math> und <math> E(x) = - \infty </math> werden also ausgeschlossen. In solchen Fällen existiert der Erwartungswert nicht. === Definition - Erwartungswert - absolut stetig === Sei <math> X : \Omega \to \mathbb{R} </math> eine auf einem diskreten [[Wahrscheinlichkeitsraum]] <math> (\Omega, \mathcal{S}, P) </math> bei die Wahrscheinlichkeitsverteilung durch eine Dichtefunktion <math> p:\Omega \to \mathbb{R}_0^{+} </math> bzw. die induzierte Dichte <math> p^X:\mathbb{R} \to \mathbb{R}_0^{+} </math> gegeben ist. Dann heißt :<math> E(X) := \int_{\Omega} X(\omega) \cdot p(\omega) \, d(\omega) := \int_{\mathbb{R}} x \cdot p^X ( x ) \, dx</math> Erwartungswert der absolut stetigen Verteilung, wenn die Bedingung :<math> E(|X|) = \int_{\Omega} |X(\omega) | \cdot p(\omega) \, d(\omega) = \int_{\mathbb{R}} |x| \cdot p^X ( x ) \, dx < \infty </math> erfüllt ist. ==== Bemerkung - induzierte Dichtefunktion ==== Für die induzierte Dichtefunktion gilt alle <math>B</math> aus der Borelschen <math>\sigma</math>-Algebra <math>\mathcal{B}(\mathbb{R})</math>: :<math> \int_{X^{-1}(B)} X(\omega) \cdot p(\omega) \, d(\omega) := \int_{B} x \cdot p^X ( x ) \, dx</math> === Satz - Erwartungswert für diskrete Zufallsvariablen === Bezeichnet <math> p_\omega = P( \lbrace \omega \rbrace ) </math> die Wahrscheinlichkeitsfunktion von <math> P </math> auf <math> \Omega </math>, so gilt für eine auf <math> ( \Omega, \mathcal{S}, P)</math> definierte Zufallsvariable <math> X:\Omega \to \mathbb{R}</math>: :<math> E(X)= \sum_{\omega \in \Omega} X(\omega)\cdot p_\omega </math> (sofern <math> \sum |X(\omega)| \cdot p_\omega < \infty </math>). === Beweis === Es ist :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \sum_{\omega \in \Omega} X(\omega) \cdot p_\omega & = & \displaystyle \sum_{x \in X(\Omega)} \sum _{\omega:X(\omega) = x} X(\omega) \cdot p_\omega \\ & = & \displaystyle \sum_{x \in X(\Omega)} x \sum_{\omega:X(\omega)=x} p_w \\ & = & \displaystyle \sum_{x \in X(\Omega)} x \cdot P^X(\lbrace x \rbrace) \\ & = & E(X) \\ \end{array} </math> === Bemerkung zum Beweis === In den Beweis geht der große Umordnungssatz für konvergente Reihen aus der Analysis ein. Die Anwendung Umordnungssatzes ist möglich, da <math> E(|X|) < \infty</math> gilt und damit die Reihe absolut konvergent ist. === Bemerkungen - Existenz Erwartungeswertes === Im Fall absoluter Konvergenz der Reihen (Beispiele oben) sagt man: * <math> X </math> besitzt einen Erwartungswert, oder * der Erwartungswert von <math> X</math> existiert. <math> X </math> besitzt genau dann einen Erwartungswert, falls <math> E\big( |X|\big) = \sum_{\omega \in \Omega} |X(\omega)| \cdot p_\omega < \infty </math>. <br> ==== Endlicher Ergebnisraum ==== Dies ist bei endlichen Ergebnisräumen <math> \Omega </math> immer der Fall. ==== Schreibweise ==== Statt <math>E(X)</math> auch <math>EX</math> oder <math>E_PX</math>, wenn man kenntlich machen möchte, bzgl. welchem Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> der Erwartungswert berechnet wurde. === Elementare Folgerungen === Aus dem obigen Satz zum Erwartungswert folgt: <math> E(1) = 1, E(X) \le E(Y)</math>, falls <math> X(w) \le Y(w)</math> für alle <math> w \in \Omega </math> gilt. ==== Beispiel ==== Ist <math> X(w) = \lbrace w_1, ..., w_m \rbrace</math>, und ist <math> P_X</math> die Gleichverteilung auf <math> X(\Omega)</math>, so lautet der Erwartungswert :<math> E(X)= \frac {1} {m} \sum _{i=1}^{m} x_i </math> ("arithmetisches Mittel"). <br> (Der Erwartungswert der Augenzahl beim Würfeln ist 3,5.) ==== Beispiel ==== Für die Indikatorvariable <math> X=1_A</math> eines Ereignisses <math> A \subset \Omega </math> gilt: :<math> E(1_A) = 0 \cdot P(1_A = 0) + 1 \cdot P(1_A = 1) = P(A)</math> Eine direkte Folgerung aus der Behauptung ist der folgende Satz. === Satz - Linearität des Erwartungswertes === Besitzen die Zufallsvariablen <math> X_1, X_2</math> Erwartungswerte, so auch die Zufallsvariablen <math> aX_1, bX_2, a,b \in \mathbb{R}</math>, und es gilt: :<math> E(aX_1+bX_2 ) = aE(X_1) + bE(X_2)</math> ("[[Kurs:Stochastik/Linearität Erwartungswert|Linearität]]") === Bemerkung - Aufgabe - Beweis === Der [[Kurs:Stochastik/Linearität_Erwartungswert|Beweis der Linearität]] wird über das Einsetzen der Definition und der Anwendung elementaren Umformungen geführt. Versuchen Sie diesen Beweis zunächst ohne Hilfen selbst durchzuführen und sich erst danach den in Wikiversity angegebenen Beweis zu [[Kurs:Stochastik/Linearität_Erwartungswert|Linearität des Erwartungswertes]] anzusehen === Anwendungsbeispiel für die Linearität des Erwartungswertes === Alle <math>n</math> Zufallsgrößen <math>X_k</math> mit <math>k\in \{1,\ldots , n\}</math> seinen <math> B(1,p)</math>-verteilt. Dann ist <math>X:= X_1 + \ldots + X_n</math> ein <math> B(n,p)</math>-verteilt und für den Erwartungswert erhält man mit der Linearität des Erwartungswertes <math>X</math> gilt: :<math> E(X) = np</math> ===== Beweismöglichkeiten===== 1. <math> E(X)= \sum _{k=k}^{n} k \binom {n}{k} p^k (1-p)^{n-k} = ... = n \cdot p</math> 2. Für die Binominalverteilung gilt <math> X=X_1 + .. + X_n </math> mit <math> EX_i = p</math>. Dann ist :<math> E(X)=E(X_1) + ... + E(X_n) = n \cdot p </math> (wg. Linearität). <br> Der Erwartungswert von Funktionen <math> \phi \circ X</math> einer Zufallsgröße berechnet sich wie folgt. === Satz - Verkettung von messbaren Abbildungen === Ist <math> X: \Omega \to \Omega'</math> Zufallsgröße auf <math> (\Omega,P) </math> und <math> \phi: \Omega' \to \mathbb{R}</math> eine Abbildung, dann gilt :<math> E(\phi \circ X)= \sum_{x \in X(\Omega)} \phi(x) P_X( \lbrace x \rbrace)</math> (Falls die Reihe absolut konvergiert). === Beweis === :<math> E_P(\phi \circ X) = \sum_{w \in \Omega} \phi(X(w)) p_w = \sum_{x \in X(w)} \sum_{w:X(w) = x} \phi(X(w)) p_w </math> :<math> = \sum_{x \in X(w)} \phi(x) \sum _{w: X(w)=x} p_w = \sum_{x \in X(w)} \phi(x) P_X(\lbrace x \rbrace). </math> (Großer Umordnungssatz für absolut konvergente Reihen) <br> === Beispiele === Gemäß der Behauptung gilt z.B. : Mit <math>\phi_1(x) := x^2</math> erhält man <math>E(\phi_1) = \sum_{x} x^2 P_X(\lbrace x \rbrace) </math> :Mit <math>\phi_2(x) := e^x</math> erhält man <math> E(\phi_2) = \sum_ {x} e^x P_X(\lbrace x \rbrace)</math> usw. ====Bemerkung ==== Die rechte Seite der Behauptung kann man auch als <math> E_{P_X} (\phi)</math> schreiben. <br> In der Tat, <math> P_X (\lbrace x \rbrace)</math> ist Wahrscheinlichkeitsfunktion auf <math> \Omega' </math> und <math> \phi</math> wird als Zufallsvariable auf <math> (\Omega', P_X)</math> aufgefasst: :<math> E_P(\phi \circ X)= E_{P_X}(\phi)</math> === Satz - Multipkikation von unabhängigen Zufallsgrößen === Die Zufallsvariablen <math> X,Y</math> mögen unabhängig sein und Erwartungswerte besitzen. Dann besitzt auch <math> X \cdot Y</math> einen Erwartungswert und es gilt :<math> E(X \cdot Y) = E(X) \cdot E(Y)</math> ====Beweis (i.1)==== Zur Existenz von <math> E(X \cdot Y)</math>: :<math> E(|X \cdot Y|)= \sum_{w \in \Omega } |X(w) \cdot Y(w)| p_w </math> :<math> = \sum_{x \in X(\Omega)} \sum _{y \in Y(\Omega)} \sum_{w:X(\omega)=x, Y(\omega) = y} |X(w) \cdot Y(w)| p_w </math> :<math> = \sum_{x \in X(\Omega)}\sum_{y \in Y(\Omega)} | x \cdot y | P(X=x, Y=y)</math> ==== Beweis (i.2) ==== :<math> = \sum_{x \in X(\Omega)} |x| \cdot P(X=x) \sum_{y \in Y(\Omega)} |y| \cdot P(Y=y)</math> :<math> = E|X| \cdot E|Y| < \infty </math> (Reihe links oben also absolut konvergent.) ==== Beweis (ii) ==== Die gleiche Rechnung wie in (i) ohne Betragsstriche liefert: :<math> E(X \cdot Y) = \sum_{w \in \Omega} X(w) \cdot Y(w) p_w </math> :<math> = ... = \sum_{x \in X(\Omega)} x \cdot P(X=x) \sum_{y \in Y(\Omega)} y \cdot P(Y=y) </math> :<math> = E(X) \cdot E(Y)</math> Es wurde angewandt: Doppelreihensatz und Umordnungssatz für Reihen mit nicht negativen Gliedern (in (i)) und für absolut konvergente Reihen (in (ii)). ====Bemerkung ==== 1. Allgemein gilt für unabhängige Zufallsvariablen <math> X_1, ..., X_n</math> mit existierenden Erwartungswerten: :<math> E(X_1 \cdot ... \cdot X_n) = E(X_1) \cdot ... \cdot E(X_n)</math> 2. Bei fehlender Unabhängigkeit folgt aus <math> P|X| < \infty, P|Y| < \infty </math> nicht notwendigerweise <math> P| X \cdot Y| <\infty </math>. === Definition - Bedingter Erwartungswert === Sei <math> (\Omega, \mathcal{S}, P) </math> diskreter Wahrscheinlichkeitsraum, <math>X</math> Zufallsvariable mit existierendem Erwartungswert und <math> A \subset \Omega </math> mit <math> P(A)> 0</math>. Dann heißt :<math> E(X|A) = E_{P_{(\cdot |A)}} (X)</math> der bedingte Erwartungswert von <math>X</math> unter (der Bedingung) <math>A</math>. <br> [ <math> P( \cdot|A)</math> ist die bedingte Wahrscheinlichkeitsverteilung auf <math> \Omega </math> unter <math> A </math>.] ==== Formeln zu Berechnung ==== :<math> E(X|A) = \sum_{w \in \Omega} X(w) P( \lbrace w \rbrace|A) = \sum X(w) \frac {P( \lbrace w \rbrace \cap A)} {P(A)} </math> :<math> = \frac {1} { P(A)} \sum_{w \in A} X(w) p_w = \frac {1} {P(A)} \sum_{w \in \Omega} 1_A (w) X(w) p_w = \frac {1} {P(A)} E(1_A X)</math> ==== Bemerkungen ==== * Da <math> \sum_{\omega \in \Omega} X(\omega )\cdot p_\omega </math> absolut konvergiert, so konvergiert auch <math>\sum_{\omega \in A} X(\omega ) \cdot p_\omega </math>. Damit existiert der bedingte Erwartungswert <math> E(X|A)</math>. * Spezialfälle: <math> E(1_A|A) =1, E(X|\Omega) = E(X)</math> <br> * Der hier eingeführte Begriff des bedingten Erwartungswertes spielt eine untergeordnete Rolle. In der allgemeinen Wahrscheinlichkeitstheorie definiert man bedingte Erwartungswerte der Art <math> E(X|Y)</math>, <math> Y </math> Zufallsvariable, welche von großer Wichtigkeit sind (jedoch hier in der Einführung nicht gebraucht werden). == Momente == In dem obigen Beispiel wurde der Erwartungswert <math>E(X)</math> als Spezialfall von Momenten <math>E(X^k)</math> betrachtet, die im Folgenden definiert werden. === Definition - Momente === Es sei <math>X</math> eine [[w:de:Zufallsvariable|Zufallsvariable]] und <math>k</math> eine [[w:de:natürliche Zahl|natürliche Zahl]]. Dann bezeichnet man als ''Moment der Ordnung <math>k</math> von <math>X</math>'' oder kürzer als ''<math>k</math>-tes Moment von <math>X</math>'' den Erwartungswert der <math>k</math>&#8209;ten Potenz von <math>X</math> (unter der Voraussetzung, dass dieser existiert): :<math> m_k := \operatorname{E}\left(X^k\right), </math> und als ''<math>k</math>-tes absolutes Moment von <math>X</math>'' wird der Erwartungswert der <math>k</math>-ten Potenz des Absolutbetrages <math>|X|</math> von <math>X</math> bezeichnet: :<math> M_k := \operatorname{E}\left(\left|X\right|^k\right). </math> === Bemerkung - nichtganzzahlige Momente === In theoretischen Untersuchungen werden mitunter auch Momente nichtganzzahliger Ordnung <math>\kappa</math> betrachtet. === Bemerkung - Existenz von Momenten === Die Existenz von Momenten einer bestimmten Ordnung liefert allgemein Aussagen über die Verteilung der Wahrscheinlichkeitsmasse. === Bemerkung - Erwartungswert als Moment 1. Ordnung === Das ''erste Moment'' ist der Erwartungswert. Er wird meist mit <math>\mu</math> bezeichnet und kann als Mittelwert angesehen werden. == Siehe auch == * [[Kurs:Stochastik/Linearität Erwartungswert|Linearität des Erwartungswertes]] * [[Kurs:Stochastik/Varianz|Varianz]] * [[Kurs:Stochastik/Kovarianz|Kovarianz]] * [[Kurs:Stochastik/Erzeugende Funktionen|Erzeugende Funktionen]] * [[Kurs:Stochastik]] == Seiteninformation == Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Momente&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Stochastik Kurs:Stochastik]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Momente https://de.wikiversity.org/wiki/Momente] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Momente Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Momente * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Momente&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] [[Category:Wiki2Reveal]] i0gpq9r1lc349prp3ay0gbfsgod6lqi 0 106829 1119109 1118247 2026-11-08T13:36:37Z Bocardodarapti 2041 1119109 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die durch {{ Abbildung/display |name=\delta |\Z^{{{n|n}}} | {{op:Zmod| \ell|}} {{defeqr|}} D || |SZ= }} mit {{ Math/display|term= \delta(e_j) = 1 \text{ für alle } j |SZ= }} gegebene Graduierung auf {{mathl|term= {{CC}}[X_1 {{kommadots|}} X_{{{n|n}}}] |SZ=,}} die der {{ Definitionslink |linearen Operation| |Kontext=| |SZ= }} der Matrizen {{ Math/display|term= {{op:Diagonalmatrix5|\zeta^{ {{{i|i}}} } | \zeta^{ {{{i|i}}} } | \ddots|\zeta^{ {{{i|i}}} } | \zeta^{ {{{i|i}}} } |}} ,\, i =1 {{kommadots|}} \ell-1 |SZ=, }} zu einer {{math|term= \ell |SZ=-}}ten {{ Definitionslink |primitiven Einheitswurzel| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= \zeta |SZ=}} entspricht. Nach {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Z-graduierter Ring/Veronese-Unterring/Einheitswurzeln/Invariantenring/Fakt/Beweis/Aufgabe |Nr= |SZ= }} ist der {{ Definitionslink |Invariantenring| |Kontext=| |SZ= }} zu dieser Operation der {{math|term= \ell|SZ=-}}te {{ Definitionslink |Veronese-Ring| |Kontext=| |SZ= }} {{Math/display|term= {{CC}}[X_1 {{kommadots}} X_{{{n|n}}}]^{(\ell)} |SZ=.}} Die Bedingungen von {{ Bemerkungslink |Bemerkungsseitenname= Monoidring/C/Graduierung/Zyklische Gruppe/Fixpunktfreiheit/Fundamentalgruppe/Bemerkung |Nr= |SZ= }} sind dabei erfüllt, es ist also {{ Relationskette | 0 | \in | {{CC}}^{{{n|n}}} || || || |SZ= }} der einzige Fixpunkt und die Operation auf {{mathl|term= {{CC}}^{{{n|n}}} \setminus \{0\} |SZ=}} ist {{ Definitionslink |fixpunktfrei| |Kontext=Operation| |SZ=. }} Daher kann man bei {{ Relationskette | {{{n|n}}} | \geq | 2 || || || |SZ= }} {{ Faktlink |Faktseitenname= Monoidring/C/Graduierung/Endlicher Kokern/Fundamentalgruppe/Fakt |Nr= |SZ= }} anwenden und erhält, dass die Fundamentalgruppe des punktierten Spektrums des Invariantenringes, also {{ Math/display|term= {{op:Spek| {{CC}}[X_1 {{kommadots|}} X_{{{n|n}}} ]^{(\ell)} |}}_{{CC}} \setminus \{P\} |SZ=, }} gleich {{mathl|term= {{op:Zmod| \ell |}} |SZ=}} ist. Ein erzeugendes Element der Fundamentalgruppe wird auf der Monoidebene {{ Zusatz/Klammer |text=bzw. auf dem Differenzengitter| |ISZ=|ESZ= }} durch den Homomorphismus {{ Abbildung/display |name=\gamma |\Gamma {{=}} {{op:Kern| \delta|}} | \Z || |SZ= }} gegeben, der die Erzeuger {{math|term= e_j |SZ=}} des umgebenden {{math|term= \Z^{{{n|n}}} |SZ=}} auf {{math|term= {{op:Bruch| 1 | \ell}} |SZ=}} abbildet. Somit wird jeder Erzeuger des Monoids auf {{math|term= 1 |SZ=}} abgebildet. Auf der Ringebene entspricht dies dem {{ Definitionslink |Prämath= {{CC}} |Algebrahomomorphismus| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name= \varphi | {{CC}}[X_1 {{kommadots|}} X_{{{n|n}}} ]^{(\ell)} | {{CC}}[T,T^{-1}] || |SZ= }} mit {{ Relationskette/display | \varphi {{makl| X^\nu |}} || T^{ {{op:Bruch| {{op:Betrag|\nu||}} | \ell }} } || || || |SZ= }} für alle Monome {{math|term= X^\nu|SZ=}} aus dem Veronese-Ring {{ Zusatz/Klammer |text=die Erzeuger des Veronese-Ringes, also die Monome {{ mathbed|term= X^{\nu} ||bedterm1= {{op:Betrag| \nu|}} {{=}} \ell ||bedterm2= |SZ=, }} werden einfach auf {{math|term= W |SZ=}} abgebildet| |ISZ=|ESZ=. }} Dies führt wiederum zur stetigen Abbildung {{ Abbildung/display |name= | {{op:Einheiten| {{CC}} |}} | {{op:Spek| {{CC}}[X_1 {{kommadots|}} X_{{{n|n}}}]^{(\ell)} |}}_{{CC}} | t| (t : \, {{op:Betrag|\nu|}} {{=}} \ell ) |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=bzw. ins punktierte Spektrum| |ISZ=|ESZ=. }} Somit ist {{ Abbildung/display |name= | [0,2 \pi] | {{op:Spek| {{CC}}[X_1 {{kommadots|}} X_{{{n|n}}}]^{(\ell)} |}}_{{CC}} \setminus \{P\} | s | {{makl| e^{ {{Imaginäre Einheit|}} s } :\, {{op:Betrag|\nu|}} {{=}} \ell |}} |SZ=, }} ein Erzeuger der {{ Definitionslink |lokalen Fundamentalgruppe| |Kontext=| |SZ= }} des Veronese-Ringes. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der lokalen Fundamentalgruppe von Monoidringen |Kategorie2=Theorie der Veronese-Monoidringe |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} akssr1p9xwuz25vmjeepf0t05f7r4va 0 158112 1119185 938202 2026-11-09T10:07:25Z Bert Niehaus 20843 /* Einleitung */ 1119185 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite zum Thema ''Fuzzylogik/Operatoren'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik/Operatoren&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Operatoren&coursetitle=Fuzzylogik Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt: * (1) Klassische logische Operationen<ref>Suppes, P. (1999). Introduction to logic. Courier Corporation.</ref>, * (2) Fuzzylogische Operationen<ref>Buckley, J. J., & Eslami, E. (2002). An introduction to fuzzy logic and fuzzy sets (Vol. 13). Springer Science & Business Media.</ref>, * (3) Konsistenz zur klassischen Logik. === Konsistenz zur klassischen Logik === Die Konsistenz zur klassischen Logik besagt, dass die Fuzzylogik auf den [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkten]] des Einheitsquadrates <math>\Omega := [0,1]\times [0,1]</math> genauso funktionieren muss, wie die klassische Logik. Die == Zielsetzung == Diese Lernressource zu ''Fuzzylogik und Operatoren'' in der Wikiversity hat das Ziel, das klassische Konzept von logischen Operatoren UND, ODER, NICHT, WENN ... DANN, ...) (<math> \wedge, \vee, \neg, \Rightarrow </math>) auf fuzzylogische Operationen zu verallgemeinern. == Lernvoraussetzungen == Die Lernressource zum Thema ''Fuzzylogik/Operatoren'' hat die folgenden Lernvoraussetzungen, die zum Verständnis der nachfolgenden Ausführungen hilfreich bzw. notwendig sind. * '''([[Fuzzylogik/Zugehörigkeitsfunktion|Zugehörigkeitsfunktionen]])''' Funktionale Beschreibung unscharfer Mengen * '''(Wahrheitstafeln)''' Wahrheitstafeln für klassische logische Operatoren * '''(Implikationen/Folgerungen)''' klassische Implikationen/Folgerungen, da diese auf die Fuzzylogik übertragen werden == Operatoren für unscharfe Mengen == [[Datei:Fuzzy-Operatoren.png|450px|UND-ODER-NICHT-Operatoren zur Verknüpfung von Zugehörigkeitsfunktionen (Teilmengen).]] == Aufgaben - Zugehörigkeitsfunktion == Mit den folgenden Aufgaben zum Thema ''Fuzzy-Implikation'' als ''Operator'' auf Fuzzymengen behandelt: * Erzeugen Sie eine Zugehörigkeitsfunktion einer Fuzzymenge für den linguistischen Wert "alt" und "schnell" wobei die Grundmenge <math>\Omega := [0,100] </math> ein Alter zwischen 0 und 100 Jahren als Argument der Zugehörigkeitsfunktionen definiert. * Zeichnen Sie einen Graphen <math>\mu_{alt} : \Omega \to [0,1]</math> mit <math>\Omega := [0,100] </math> auf der x-Achse und <math>[0,1]</math> auf der y-Achse, wobei <math>\mu_{alt}(x) \in [0,1] </math> angibt, zu welchem Grad eine Alter <math>x</math> die Eigenschaft "alt" als linguistischen Wert erfüllt. * Zeichnen Sie einen Graphen <math>\mu_{schnell} : \Omega \to [0,1]</math> mit <math>\Omega := [0,100] </math> auf der x-Achse und <math>[0,1]</math> auf der y-Achse, wobei <math>\mu_{schnell}(x) \in [0,1] </math> angibt, zu welchem Grad eine Alter <math>x</math> die Eigenschaft "schnell" als linguistischen Wert erfüllt. == Aufgaben - Fuzzylogische Folgerung == Als einführendes Beispiel zum Thema ''fuzzylogische Operatoren'' dient dazu, sprachliche formuliert "WENN-DANN"-Aussagen in fuzzylogische zu übertragen und danach die resultierende Zugehörigkeitsfunktion zu interpretieren. <math>\Omega = [0,100] </math> ist das Alter in Jahren. * Nutzen Sie die obigen [[Fuzzylogik/Zugehörigkeitsfunktion|Zugehörigkeitsfunktionen]] von "alt" und "schnell". * Basierend auf den obigen [[Fuzzylogik/Zugehörigkeitsfunktion|Zugehörigkeitsfunktionen]] zeichnen Sie zunächst freihändig die Zugehörigkeitsfunktion ''"WENN alt DANN schnell"'' * Berechnen Sie dann die fuzzylogische Zugehörigkeitsfunktion von ''"WENN alt DANN schnell"''! Drücken Sie dabei die Folgerung zunächst durch UND, ODER und NICHT aus. * Falls sich Ihre "Freihandzeichnung" und der berechnete Graph der Zughörigkeitsfunktion unterscheiden, begründen Sie, warum die Freihandzeichnung von dem berechneten Graphen abweicht! == Logische Operationen == Analog zur klassischen (crispen) Logik kann man in der Fuzzylogik auch logische Operatoren definieren, die konsistent zu klassischen Logik sind, d.h. in den crispen Grenzfällen von 0 und 1 für falsch und wahr den Operatoren in der klassischen Logik nicht widersprechen. === Negation === Die Negation in der Fuzzylogik erfolgt durch Subtraktion der Eingabewerte von 1. Also ''' NOT(A)=1-A''' === Nicht ausschließende-ODER-Schaltung === Die Adjunktion erfolgt durch Wahl des jeweils höheren Wertes der Eingabewerte. Also ''' OR(A;B)=A wenn A>B''' ''' B wenn A<=B''' Dies kann man analog auch durch das Maximum ausdrücken <math>OR(A;B) := \max\{A,B\}</math> === UND-Schaltung === Die Konjunktion erfolgt durch Wahl des jeweils niedrigeren Wertes der Eingabewerte. Also ''' AND(A;B)=A wenn A&lt;B''' ''' B wenn A>=B''' Dies kann man analog auch durch das Minimum ausdrücken <math>AND(A;B) := \min\{A,B\}</math> === Ausschließende-ODER-Schaltung === Für die Disjunktion komplementiert man den kleineren zweier Werte und wählt den kleineren der beiden. Für mehr als zwei Eingabewerte setzt man das Ergebnis der letzten Operation rekursiv mit dem jeweils nächsten Eingabewert ein. Einfacher: man nimmt die Differenz des weniger Extremen von dem ihm gegenüberliegenden Extremwert. Also ''' XOR(A;B)=A wenn A>B und A<(1-B)''' ''' 1-B wenn A>B und A>=(1-B)''' ''' B wenn B>=A und B<(1-A)''' ''' 1-A wenn B>=A und B>=(1-A)''' === Wahrheitstafel von XOR === Das ausschließende ODER "XOR" besitzt in der klasssischen Logik die Wahrheitstafel von <math>\neg(A \leftrightarrow B) </math>. {| class="wikitable float-right" |- ! <math>A</math> ! <math>B</math> ! <math>\neg(A \leftrightarrow B) </math> |- | falsch | falsch |style="text-align:center"| falsch |- | falsch | wahr |style="text-align:center"| wahr |- | wahr | falsch |style="text-align:center"| wahr |- | wahr | wahr |style="text-align:center"| falsch |} === Fuzzylogische Berechnung von XOR === Um konsistent zur klassischen Logik zu bleiben, kann man eine ''"ausschließendes ODER"'' auch über die logischen Verknüpfungen "UND", "ODER" und "NICHT" ausdrücken. :<math> XOR(A,B) \Longleftrightarrow \neg (A \longleftrightarrow B) \Longleftrightarrow (A\wedge \neg B) \vee (B\wedge \neg A) </math> Mit die Verwendung <math>max</math> für ODER und <math>min</math> für UND kann man XOR(A,B) fuzzylogisch wie folgt darstellen: :<math> XOR(A,B) = max\big( min(\mu_{A},1-\mu_{B}) , min(\mu_{B},1-\mu_{A}) \big) </math> == Literatur/Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[Kurs:Maschinelles Lernen]] * [[w:de:Fuzzylogik/Operatoren|Fuzzylogik/Operatoren]] * [[Open Educational Resources]] * [[Wiki2Reveal]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik/Operatoren&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Operatoren&coursetitle=Fuzzylogik Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik/Operatoren&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Operatoren&coursetitle=Fuzzylogik Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik Fuzzylogik]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Fuzzylogik/Operatoren https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik/Operatoren] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik/Operatoren Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik/Operatoren * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik/Operatoren&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Operatoren&coursetitle=Fuzzylogik Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] b17yxasu6mkrxu2vmn117dxym5hog3s 1119188 1119185 2026-11-09T10:11:28Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1119188 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite zum Thema ''Fuzzylogik/Operatoren'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik/Operatoren&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Operatoren&coursetitle=Fuzzylogik Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt: * (1) Klassische logische Operationen<ref>Suppes, P. (1999). Introduction to logic. Courier Corporation.</ref>, * (2) Fuzzylogische Operationen<ref>Buckley, J. J., & Eslami, E. (2002). An introduction to fuzzy logic and fuzzy sets (Vol. 13). Springer Science & Business Media.</ref>, * (3) Konsistenz zur klassischen Logik. === Konsistenz zur klassischen Logik === Die Konsistenz zur klassischen Logik besagt, dass die Fuzzylogik auf den [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkten]] des Einheitsquadrates <math>\Omega := [0,1]\times [0,1]</math> genauso funktionieren muss, wie die klassische Logik. Die == Zielsetzung == Diese Lernressource zu ''Fuzzylogik und Operatoren'' in der Wikiversity hat das Ziel, das klassische Konzept von logischen Operatoren UND, ODER, NICHT, WENN ... DANN, ...) (<math> \wedge, \vee, \neg, \Rightarrow </math>) auf fuzzylogische Operationen zu verallgemeinern. == Lernvoraussetzungen == Die Lernressource zum Thema ''Fuzzylogik/Operatoren'' hat die folgenden Lernvoraussetzungen, die zum Verständnis der nachfolgenden Ausführungen hilfreich bzw. notwendig sind. * '''([[Fuzzylogik/Zugehörigkeitsfunktion|Zugehörigkeitsfunktionen]])''' Funktionale Beschreibung unscharfer Mengen * '''(Wahrheitstafeln)''' Wahrheitstafeln für klassische logische Operatoren * '''(Implikationen/Folgerungen)''' klassische Implikationen/Folgerungen, da diese auf die Fuzzylogik übertragen werden == Operatoren für unscharfe Mengen == [[Datei:Fuzzy-Operatoren.png|450px|UND-ODER-NICHT-Operatoren zur Verknüpfung von Zugehörigkeitsfunktionen (Teilmengen).]] == Aufgaben - Zugehörigkeitsfunktion == Mit den folgenden Aufgaben zum Thema ''Fuzzy-Implikation'' als ''Operator'' auf Fuzzymengen behandelt: * Erzeugen Sie eine Zugehörigkeitsfunktion einer Fuzzymenge für den linguistischen Wert "alt" und "schnell" wobei die Grundmenge <math>\Omega := [0,100] </math> ein Alter zwischen 0 und 100 Jahren als Argument der Zugehörigkeitsfunktionen definiert. * Zeichnen Sie einen Graphen <math>\mu_{alt} : \Omega \to [0,1]</math> mit <math>\Omega := [0,100] </math> auf der x-Achse und <math>[0,1]</math> auf der y-Achse, wobei <math>\mu_{alt}(x) \in [0,1] </math> angibt, zu welchem Grad eine Alter <math>x</math> die Eigenschaft "alt" als linguistischen Wert erfüllt. * Zeichnen Sie einen Graphen <math>\mu_{schnell} : \Omega \to [0,1]</math> mit <math>\Omega := [0,100] </math> auf der x-Achse und <math>[0,1]</math> auf der y-Achse, wobei <math>\mu_{schnell}(x) \in [0,1] </math> angibt, zu welchem Grad eine Alter <math>x</math> die Eigenschaft "schnell" als linguistischen Wert erfüllt. == Aufgaben - Fuzzylogische Folgerung == Als einführendes Beispiel zum Thema ''fuzzylogische Operatoren'' dient dazu, sprachliche formuliert "WENN-DANN"-Aussagen in fuzzylogische zu übertragen und danach die resultierende Zugehörigkeitsfunktion zu interpretieren. <math>\Omega = [0,100] </math> ist das Alter in Jahren. * Nutzen Sie die obigen [[Fuzzylogik/Zugehörigkeitsfunktion|Zugehörigkeitsfunktionen]] von "alt" und "schnell". * Basierend auf den obigen [[Fuzzylogik/Zugehörigkeitsfunktion|Zugehörigkeitsfunktionen]] zeichnen Sie zunächst freihändig die Zugehörigkeitsfunktion ''"WENN alt DANN schnell"'' * Berechnen Sie dann die fuzzylogische Zugehörigkeitsfunktion von ''"WENN alt DANN schnell"''! Drücken Sie dabei die Folgerung zunächst durch UND, ODER und NICHT aus. * Falls sich Ihre "Freihandzeichnung" und der berechnete Graph der Zughörigkeitsfunktion unterscheiden, begründen Sie, warum die Freihandzeichnung von dem berechneten Graphen abweicht! == Logische Operationen == Analog zur klassischen (crispen) Logik kann man in der Fuzzylogik auch logische Operatoren definieren, die konsistent zu klassischen Logik sind, d.h. in den crispen Grenzfällen von 0 und 1 für falsch und wahr den Operatoren in der klassischen Logik nicht widersprechen. === Negation === Die Negation in der Fuzzylogik erfolgt durch Subtraktion der Eingabewerte von 1. Also ''' NOT(A)=1-A''' === Nicht ausschließende-ODER-Schaltung === Die Adjunktion erfolgt durch Wahl des jeweils höheren Wertes der Eingabewerte. Also ''' OR(A;B)=A wenn A>B''' ''' B wenn A<=B''' Dies kann man analog auch durch das Maximum ausdrücken <math>OR(A;B) := \max\{A,B\}</math> === UND-Schaltung === Die Konjunktion erfolgt durch Wahl des jeweils niedrigeren Wertes der Eingabewerte. Also ''' AND(A;B)=A wenn A&lt;B''' ''' B wenn A>=B''' Dies kann man analog auch durch das Minimum ausdrücken <math>AND(A;B) := \min\{A,B\}</math> === Ausschließende-ODER-Schaltung === Für die Disjunktion komplementiert man den kleineren zweier Werte und wählt den kleineren der beiden. Für mehr als zwei Eingabewerte setzt man das Ergebnis der letzten Operation rekursiv mit dem jeweils nächsten Eingabewert ein. Einfacher: man nimmt die Differenz des weniger Extremen von dem ihm gegenüberliegenden Extremwert. Also ''' XOR(A;B)=A wenn A>B und A<(1-B)''' ''' 1-B wenn A>B und A>=(1-B)''' ''' B wenn B>=A und B<(1-A)''' ''' 1-A wenn B>=A und B>=(1-A)''' === Wahrheitstafel von XOR === Das ausschließende ODER "XOR" besitzt in der klasssischen Logik die Wahrheitstafel von <math>\neg(A \leftrightarrow B) </math>. {| class="wikitable float-right" |- ! <math>A</math> ! <math>B</math> ! <math>\neg(A \leftrightarrow B) </math> |- | falsch | falsch |style="text-align:center"| falsch |- | falsch | wahr |style="text-align:center"| wahr |- | wahr | falsch |style="text-align:center"| wahr |- | wahr | wahr |style="text-align:center"| falsch |} === Fuzzylogische Berechnung von XOR === Um konsistent zur klassischen Logik zu bleiben, kann man eine ''"ausschließendes ODER"'' auch über die logischen Verknüpfungen "UND", "ODER" und "NICHT" ausdrücken. :<math> XOR(A,B) \Longleftrightarrow \neg (A \longleftrightarrow B) \Longleftrightarrow (A\wedge \neg B) \vee (B\wedge \neg A) </math> Mit die Verwendung <math>max</math> für ODER und <math>min</math> für UND kann man XOR(A,B) fuzzylogisch wie folgt darstellen: :<math> XOR(A,B) = max\big( min(\mu_{A},1-\mu_{B}) , min(\mu_{B},1-\mu_{A}) \big) </math> == Literatur/Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte einer Menge]] * [[w:de:Fuzzylogik/Operatoren|Fuzzylogik/Operatoren]] * [[Open Educational Resources]] * [[Wiki2Reveal]] === Kurse === * [[Kurs:Maschinelles Lernen]] * [[Kurs:Mathematische Modellbildung]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik/Operatoren&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Operatoren&coursetitle=Fuzzylogik Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik/Operatoren&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Operatoren&coursetitle=Fuzzylogik Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik Fuzzylogik]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Fuzzylogik/Operatoren https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik/Operatoren] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik/Operatoren Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik/Operatoren * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik/Operatoren&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Operatoren&coursetitle=Fuzzylogik Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 77tts0j1fcdd8f1f1xs46htahbde791 1119189 1119188 2026-11-09T10:11:48Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1119189 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite zum Thema ''Fuzzylogik/Operatoren'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik/Operatoren&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Operatoren&coursetitle=Fuzzylogik Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt: * (1) Klassische logische Operationen<ref>Suppes, P. (1999). Introduction to logic. Courier Corporation.</ref>, * (2) Fuzzylogische Operationen<ref>Buckley, J. J., & Eslami, E. (2002). An introduction to fuzzy logic and fuzzy sets (Vol. 13). Springer Science & Business Media.</ref>, * (3) Konsistenz zur klassischen Logik. === Konsistenz zur klassischen Logik === Die Konsistenz zur klassischen Logik besagt, dass die Fuzzylogik auf den [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkten]] des Einheitsquadrates <math>\Omega := [0,1]\times [0,1]</math> genauso funktionieren muss, wie die klassische Logik. Die == Zielsetzung == Diese Lernressource zu ''Fuzzylogik und Operatoren'' in der Wikiversity hat das Ziel, das klassische Konzept von logischen Operatoren UND, ODER, NICHT, WENN ... DANN, ...) (<math> \wedge, \vee, \neg, \Rightarrow </math>) auf fuzzylogische Operationen zu verallgemeinern. == Lernvoraussetzungen == Die Lernressource zum Thema ''Fuzzylogik/Operatoren'' hat die folgenden Lernvoraussetzungen, die zum Verständnis der nachfolgenden Ausführungen hilfreich bzw. notwendig sind. * '''([[Fuzzylogik/Zugehörigkeitsfunktion|Zugehörigkeitsfunktionen]])''' Funktionale Beschreibung unscharfer Mengen * '''(Wahrheitstafeln)''' Wahrheitstafeln für klassische logische Operatoren * '''(Implikationen/Folgerungen)''' klassische Implikationen/Folgerungen, da diese auf die Fuzzylogik übertragen werden == Operatoren für unscharfe Mengen == [[Datei:Fuzzy-Operatoren.png|450px|UND-ODER-NICHT-Operatoren zur Verknüpfung von Zugehörigkeitsfunktionen (Teilmengen).]] == Aufgaben - Zugehörigkeitsfunktion == Mit den folgenden Aufgaben zum Thema ''Fuzzy-Implikation'' als ''Operator'' auf Fuzzymengen behandelt: * Erzeugen Sie eine Zugehörigkeitsfunktion einer Fuzzymenge für den linguistischen Wert "alt" und "schnell" wobei die Grundmenge <math>\Omega := [0,100] </math> ein Alter zwischen 0 und 100 Jahren als Argument der Zugehörigkeitsfunktionen definiert. * Zeichnen Sie einen Graphen <math>\mu_{alt} : \Omega \to [0,1]</math> mit <math>\Omega := [0,100] </math> auf der x-Achse und <math>[0,1]</math> auf der y-Achse, wobei <math>\mu_{alt}(x) \in [0,1] </math> angibt, zu welchem Grad eine Alter <math>x</math> die Eigenschaft "alt" als linguistischen Wert erfüllt. * Zeichnen Sie einen Graphen <math>\mu_{schnell} : \Omega \to [0,1]</math> mit <math>\Omega := [0,100] </math> auf der x-Achse und <math>[0,1]</math> auf der y-Achse, wobei <math>\mu_{schnell}(x) \in [0,1] </math> angibt, zu welchem Grad eine Alter <math>x</math> die Eigenschaft "schnell" als linguistischen Wert erfüllt. == Aufgaben - Fuzzylogische Folgerung == Als einführendes Beispiel zum Thema ''fuzzylogische Operatoren'' dient dazu, sprachliche formuliert "WENN-DANN"-Aussagen in fuzzylogische zu übertragen und danach die resultierende Zugehörigkeitsfunktion zu interpretieren. <math>\Omega = [0,100] </math> ist das Alter in Jahren. * Nutzen Sie die obigen [[Fuzzylogik/Zugehörigkeitsfunktion|Zugehörigkeitsfunktionen]] von "alt" und "schnell". * Basierend auf den obigen [[Fuzzylogik/Zugehörigkeitsfunktion|Zugehörigkeitsfunktionen]] zeichnen Sie zunächst freihändig die Zugehörigkeitsfunktion ''"WENN alt DANN schnell"'' * Berechnen Sie dann die fuzzylogische Zugehörigkeitsfunktion von ''"WENN alt DANN schnell"''! Drücken Sie dabei die Folgerung zunächst durch UND, ODER und NICHT aus. * Falls sich Ihre "Freihandzeichnung" und der berechnete Graph der Zughörigkeitsfunktion unterscheiden, begründen Sie, warum die Freihandzeichnung von dem berechneten Graphen abweicht! == Logische Operationen == Analog zur klassischen (crispen) Logik kann man in der Fuzzylogik auch logische Operatoren definieren, die konsistent zu klassischen Logik sind, d.h. in den crispen Grenzfällen von 0 und 1 für falsch und wahr den Operatoren in der klassischen Logik nicht widersprechen. === Negation === Die Negation in der Fuzzylogik erfolgt durch Subtraktion der Eingabewerte von 1. Also ''' NOT(A)=1-A''' === Nicht ausschließende-ODER-Schaltung === Die Adjunktion erfolgt durch Wahl des jeweils höheren Wertes der Eingabewerte. Also ''' OR(A;B)=A wenn A>B''' ''' B wenn A<=B''' Dies kann man analog auch durch das Maximum ausdrücken <math>OR(A;B) := \max\{A,B\}</math> === UND-Schaltung === Die Konjunktion erfolgt durch Wahl des jeweils niedrigeren Wertes der Eingabewerte. Also ''' AND(A;B)=A wenn A&lt;B''' ''' B wenn A>=B''' Dies kann man analog auch durch das Minimum ausdrücken <math>AND(A;B) := \min\{A,B\}</math> === Ausschließende-ODER-Schaltung === Für die Disjunktion komplementiert man den kleineren zweier Werte und wählt den kleineren der beiden. Für mehr als zwei Eingabewerte setzt man das Ergebnis der letzten Operation rekursiv mit dem jeweils nächsten Eingabewert ein. Einfacher: man nimmt die Differenz des weniger Extremen von dem ihm gegenüberliegenden Extremwert. Also ''' XOR(A;B)=A wenn A>B und A<(1-B)''' ''' 1-B wenn A>B und A>=(1-B)''' ''' B wenn B>=A und B<(1-A)''' ''' 1-A wenn B>=A und B>=(1-A)''' === Wahrheitstafel von XOR === Das ausschließende ODER "XOR" besitzt in der klasssischen Logik die Wahrheitstafel von <math>\neg(A \leftrightarrow B) </math>. {| class="wikitable float-right" |- ! <math>A</math> ! <math>B</math> ! <math>\neg(A \leftrightarrow B) </math> |- | falsch | falsch |style="text-align:center"| falsch |- | falsch | wahr |style="text-align:center"| wahr |- | wahr | falsch |style="text-align:center"| wahr |- | wahr | wahr |style="text-align:center"| falsch |} === Fuzzylogische Berechnung von XOR === Um konsistent zur klassischen Logik zu bleiben, kann man eine ''"ausschließendes ODER"'' auch über die logischen Verknüpfungen "UND", "ODER" und "NICHT" ausdrücken. :<math> XOR(A,B) \Longleftrightarrow \neg (A \longleftrightarrow B) \Longleftrightarrow (A\wedge \neg B) \vee (B\wedge \neg A) </math> Mit die Verwendung <math>max</math> für ODER und <math>min</math> für UND kann man XOR(A,B) fuzzylogisch wie folgt darstellen: :<math> XOR(A,B) = max\big( min(\mu_{A},1-\mu_{B}) , min(\mu_{B},1-\mu_{A}) \big) </math> == Literatur/Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte einer Menge]] * [[w:de:Fuzzylogik/Operatoren|Fuzzylogik/Operatoren]] * [[Mathematische Modellbildung]] * [[Open Educational Resources]] * [[Wiki2Reveal]] === Kurse === * [[Kurs:Maschinelles Lernen]] * [[Kurs:Mathematische Modellbildung]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik/Operatoren&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Operatoren&coursetitle=Fuzzylogik Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik/Operatoren&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Operatoren&coursetitle=Fuzzylogik Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik Fuzzylogik]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Fuzzylogik/Operatoren https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik/Operatoren] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik/Operatoren Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik/Operatoren * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik/Operatoren&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Operatoren&coursetitle=Fuzzylogik Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 9ban1tqyli9qmt61oa0bwqj7ijuw2gd 1119190 1119189 2026-11-09T10:12:14Z Bert Niehaus 20843 /* Wahrheitstafel von XOR */ 1119190 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite zum Thema ''Fuzzylogik/Operatoren'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik/Operatoren&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Operatoren&coursetitle=Fuzzylogik Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt: * (1) Klassische logische Operationen<ref>Suppes, P. (1999). Introduction to logic. Courier Corporation.</ref>, * (2) Fuzzylogische Operationen<ref>Buckley, J. J., & Eslami, E. (2002). An introduction to fuzzy logic and fuzzy sets (Vol. 13). Springer Science & Business Media.</ref>, * (3) Konsistenz zur klassischen Logik. === Konsistenz zur klassischen Logik === Die Konsistenz zur klassischen Logik besagt, dass die Fuzzylogik auf den [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkten]] des Einheitsquadrates <math>\Omega := [0,1]\times [0,1]</math> genauso funktionieren muss, wie die klassische Logik. Die == Zielsetzung == Diese Lernressource zu ''Fuzzylogik und Operatoren'' in der Wikiversity hat das Ziel, das klassische Konzept von logischen Operatoren UND, ODER, NICHT, WENN ... DANN, ...) (<math> \wedge, \vee, \neg, \Rightarrow </math>) auf fuzzylogische Operationen zu verallgemeinern. == Lernvoraussetzungen == Die Lernressource zum Thema ''Fuzzylogik/Operatoren'' hat die folgenden Lernvoraussetzungen, die zum Verständnis der nachfolgenden Ausführungen hilfreich bzw. notwendig sind. * '''([[Fuzzylogik/Zugehörigkeitsfunktion|Zugehörigkeitsfunktionen]])''' Funktionale Beschreibung unscharfer Mengen * '''(Wahrheitstafeln)''' Wahrheitstafeln für klassische logische Operatoren * '''(Implikationen/Folgerungen)''' klassische Implikationen/Folgerungen, da diese auf die Fuzzylogik übertragen werden == Operatoren für unscharfe Mengen == [[Datei:Fuzzy-Operatoren.png|450px|UND-ODER-NICHT-Operatoren zur Verknüpfung von Zugehörigkeitsfunktionen (Teilmengen).]] == Aufgaben - Zugehörigkeitsfunktion == Mit den folgenden Aufgaben zum Thema ''Fuzzy-Implikation'' als ''Operator'' auf Fuzzymengen behandelt: * Erzeugen Sie eine Zugehörigkeitsfunktion einer Fuzzymenge für den linguistischen Wert "alt" und "schnell" wobei die Grundmenge <math>\Omega := [0,100] </math> ein Alter zwischen 0 und 100 Jahren als Argument der Zugehörigkeitsfunktionen definiert. * Zeichnen Sie einen Graphen <math>\mu_{alt} : \Omega \to [0,1]</math> mit <math>\Omega := [0,100] </math> auf der x-Achse und <math>[0,1]</math> auf der y-Achse, wobei <math>\mu_{alt}(x) \in [0,1] </math> angibt, zu welchem Grad eine Alter <math>x</math> die Eigenschaft "alt" als linguistischen Wert erfüllt. * Zeichnen Sie einen Graphen <math>\mu_{schnell} : \Omega \to [0,1]</math> mit <math>\Omega := [0,100] </math> auf der x-Achse und <math>[0,1]</math> auf der y-Achse, wobei <math>\mu_{schnell}(x) \in [0,1] </math> angibt, zu welchem Grad eine Alter <math>x</math> die Eigenschaft "schnell" als linguistischen Wert erfüllt. == Aufgaben - Fuzzylogische Folgerung == Als einführendes Beispiel zum Thema ''fuzzylogische Operatoren'' dient dazu, sprachliche formuliert "WENN-DANN"-Aussagen in fuzzylogische zu übertragen und danach die resultierende Zugehörigkeitsfunktion zu interpretieren. <math>\Omega = [0,100] </math> ist das Alter in Jahren. * Nutzen Sie die obigen [[Fuzzylogik/Zugehörigkeitsfunktion|Zugehörigkeitsfunktionen]] von "alt" und "schnell". * Basierend auf den obigen [[Fuzzylogik/Zugehörigkeitsfunktion|Zugehörigkeitsfunktionen]] zeichnen Sie zunächst freihändig die Zugehörigkeitsfunktion ''"WENN alt DANN schnell"'' * Berechnen Sie dann die fuzzylogische Zugehörigkeitsfunktion von ''"WENN alt DANN schnell"''! Drücken Sie dabei die Folgerung zunächst durch UND, ODER und NICHT aus. * Falls sich Ihre "Freihandzeichnung" und der berechnete Graph der Zughörigkeitsfunktion unterscheiden, begründen Sie, warum die Freihandzeichnung von dem berechneten Graphen abweicht! == Logische Operationen == Analog zur klassischen (crispen) Logik kann man in der Fuzzylogik auch logische Operatoren definieren, die konsistent zu klassischen Logik sind, d.h. in den crispen Grenzfällen von 0 und 1 für falsch und wahr den Operatoren in der klassischen Logik nicht widersprechen. === Negation === Die Negation in der Fuzzylogik erfolgt durch Subtraktion der Eingabewerte von 1. Also ''' NOT(A)=1-A''' === Nicht ausschließende-ODER-Schaltung === Die Adjunktion erfolgt durch Wahl des jeweils höheren Wertes der Eingabewerte. Also ''' OR(A;B)=A wenn A>B''' ''' B wenn A<=B''' Dies kann man analog auch durch das Maximum ausdrücken <math>OR(A;B) := \max\{A,B\}</math> === UND-Schaltung === Die Konjunktion erfolgt durch Wahl des jeweils niedrigeren Wertes der Eingabewerte. Also ''' AND(A;B)=A wenn A&lt;B''' ''' B wenn A>=B''' Dies kann man analog auch durch das Minimum ausdrücken <math>AND(A;B) := \min\{A,B\}</math> === Ausschließende-ODER-Schaltung === Für die Disjunktion komplementiert man den kleineren zweier Werte und wählt den kleineren der beiden. Für mehr als zwei Eingabewerte setzt man das Ergebnis der letzten Operation rekursiv mit dem jeweils nächsten Eingabewert ein. Einfacher: man nimmt die Differenz des weniger Extremen von dem ihm gegenüberliegenden Extremwert. Also ''' XOR(A;B)=A wenn A>B und A<(1-B)''' ''' 1-B wenn A>B und A>=(1-B)''' ''' B wenn B>=A und B<(1-A)''' ''' 1-A wenn B>=A und B>=(1-A)''' === Wahrheitstafel von XOR === Das ausschließende ODER "XOR" besitzt in der klasssischen Logik die Wahrheitstafel von <math>\neg(A \leftrightarrow B) </math>. {| class="wikitable float-right" |- ! <math>A</math> ! <math>B</math> ! <math>\neg(A \leftrightarrow B) </math> |- | falsch | falsch |style="text-align:center"| falsch |- | falsch | wahr |style="text-align:center"| wahr |- | wahr | falsch |style="text-align:center"| wahr |- | wahr | wahr |style="text-align:center"| falsch |} === Fuzzylogische Berechnung von XOR === Um konsistent zur klassischen Logik zu bleiben, kann man eine ''"ausschließendes ODER"'' auch über die logischen Verknüpfungen "UND", "ODER" und "NICHT" ausdrücken. :<math> XOR(A,B) \Longleftrightarrow \neg (A \longleftrightarrow B) \Longleftrightarrow (A\wedge \neg B) \vee (B\wedge \neg A) </math> Mit die Verwendung <math>max</math> für ODER und <math>min</math> für UND kann man XOR(A,B) fuzzylogisch wie folgt darstellen: :<math> XOR(A,B) = max\big( min(\mu_{A},1-\mu_{B}) , min(\mu_{B},1-\mu_{A}) \big) </math> == Literatur/Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte einer Menge]] * [[w:de:Fuzzylogik/Operatoren|Fuzzylogik/Operatoren]] * [[Mathematische Modellbildung]] * [[Open Educational Resources]] * [[Wiki2Reveal]] === Kurse === * [[Kurs:Maschinelles Lernen]] * [[Kurs:Mathematische Modellbildung]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik/Operatoren&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Operatoren&coursetitle=Fuzzylogik Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik/Operatoren&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Operatoren&coursetitle=Fuzzylogik Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik Fuzzylogik]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Fuzzylogik/Operatoren https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik/Operatoren] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik/Operatoren Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik/Operatoren * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik/Operatoren&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Operatoren&coursetitle=Fuzzylogik Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 53pibx0llsjxuiiggb4z780q7z6cur4 1119204 1119190 2026-11-09T10:28:29Z Bert Niehaus 20843 /* Operatoren für unscharfe Mengen */ 1119204 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite zum Thema ''Fuzzylogik/Operatoren'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik/Operatoren&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Operatoren&coursetitle=Fuzzylogik Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt: * (1) Klassische logische Operationen<ref>Suppes, P. (1999). Introduction to logic. Courier Corporation.</ref>, * (2) Fuzzylogische Operationen<ref>Buckley, J. J., & Eslami, E. (2002). An introduction to fuzzy logic and fuzzy sets (Vol. 13). Springer Science & Business Media.</ref>, * (3) Konsistenz zur klassischen Logik. === Konsistenz zur klassischen Logik === Die Konsistenz zur klassischen Logik besagt, dass die Fuzzylogik auf den [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkten]] des Einheitsquadrates <math>\Omega := [0,1]\times [0,1]</math> genauso funktionieren muss, wie die klassische Logik. Die == Zielsetzung == Diese Lernressource zu ''Fuzzylogik und Operatoren'' in der Wikiversity hat das Ziel, das klassische Konzept von logischen Operatoren UND, ODER, NICHT, WENN ... DANN, ...) (<math> \wedge, \vee, \neg, \Rightarrow </math>) auf fuzzylogische Operationen zu verallgemeinern. == Lernvoraussetzungen == Die Lernressource zum Thema ''Fuzzylogik/Operatoren'' hat die folgenden Lernvoraussetzungen, die zum Verständnis der nachfolgenden Ausführungen hilfreich bzw. notwendig sind. * '''([[Fuzzylogik/Zugehörigkeitsfunktion|Zugehörigkeitsfunktionen]])''' Funktionale Beschreibung unscharfer Mengen * '''(Wahrheitstafeln)''' Wahrheitstafeln für klassische logische Operatoren * '''(Implikationen/Folgerungen)''' klassische Implikationen/Folgerungen, da diese auf die Fuzzylogik übertragen werden == Operatoren für unscharfe Mengen == [[Datei:Fuzzy-Operatoren.png|450px|UND-ODER-NICHT-Operatoren zur Verknüpfung von Zugehörigkeitsfunktionen (Teilmengen).]] === Fortsetzung der klassischen Logik nicht eindeutig === Die Fortsetzung der klassischen Logik ist allerding nicht eindeutig. Durch das die multiplikative Fuzzy-NAND-Funktion wird ebenfalls eine von der obigen Min-Max-Operator-Definition wesentlich verschiedene Definition der Fuzzyoperationen definiert, die ebenfalls konsistent zur klassischen Logik ist. === Multiplikatives Fuzzy-NAND === Man definiert das multiplikative Fuzzy-NAND wie folgt: :<math> \begin{array}{rrcl} NAND_\ocirc: & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & [0,1] \\ & \left( x,y \right) & \mapsto & NAND_\ocirc\left( x,y \right) = (1-x)\cdot (1-y) \end{array} </math> === Erzeugendenfunktion - Fuzzy-NAND === Das multiplikative Fuzzy-NAND <math>NAND_\ocirc</math> ist eine Erzeugendenfunktion für alle fuzzylogischen Verknüpfungen, denn es gilt für <math>x,y\in [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{rcl} x \widetilde{\wedge} y & = & NAND_\ocirc(1-x,1-y) \\ \widetilde{\neg} x & = & NAND_\ocirc(x,x) \\ x \widetilde{\vee} y & = & \widetilde{\neg} (\widetilde{\neg} x \widetilde{\wedge} \widetilde{\neg} y) \\ & = & NAND_\ocirc\big(NAND_\ocirc(1-NAND_\ocirc(x,x),1-NAND_\ocirc(y,y)),NAND_\ocirc(1-NAND_\ocirc(x,x),1-NAND_\ocirc(y,y))\big) \\ \end{array} </math> == Aufgaben - Zugehörigkeitsfunktion == Mit den folgenden Aufgaben zum Thema ''Fuzzy-Implikation'' als ''Operator'' auf Fuzzymengen behandelt: * Erzeugen Sie eine Zugehörigkeitsfunktion einer Fuzzymenge für den linguistischen Wert "alt" und "schnell" wobei die Grundmenge <math>\Omega := [0,100] </math> ein Alter zwischen 0 und 100 Jahren als Argument der Zugehörigkeitsfunktionen definiert. * Zeichnen Sie einen Graphen <math>\mu_{alt} : \Omega \to [0,1]</math> mit <math>\Omega := [0,100] </math> auf der x-Achse und <math>[0,1]</math> auf der y-Achse, wobei <math>\mu_{alt}(x) \in [0,1] </math> angibt, zu welchem Grad eine Alter <math>x</math> die Eigenschaft "alt" als linguistischen Wert erfüllt. * Zeichnen Sie einen Graphen <math>\mu_{schnell} : \Omega \to [0,1]</math> mit <math>\Omega := [0,100] </math> auf der x-Achse und <math>[0,1]</math> auf der y-Achse, wobei <math>\mu_{schnell}(x) \in [0,1] </math> angibt, zu welchem Grad eine Alter <math>x</math> die Eigenschaft "schnell" als linguistischen Wert erfüllt. == Aufgaben - Fuzzylogische Folgerung == Als einführendes Beispiel zum Thema ''fuzzylogische Operatoren'' dient dazu, sprachliche formuliert "WENN-DANN"-Aussagen in fuzzylogische zu übertragen und danach die resultierende Zugehörigkeitsfunktion zu interpretieren. <math>\Omega = [0,100] </math> ist das Alter in Jahren. * Nutzen Sie die obigen [[Fuzzylogik/Zugehörigkeitsfunktion|Zugehörigkeitsfunktionen]] von "alt" und "schnell". * Basierend auf den obigen [[Fuzzylogik/Zugehörigkeitsfunktion|Zugehörigkeitsfunktionen]] zeichnen Sie zunächst freihändig die Zugehörigkeitsfunktion ''"WENN alt DANN schnell"'' * Berechnen Sie dann die fuzzylogische Zugehörigkeitsfunktion von ''"WENN alt DANN schnell"''! Drücken Sie dabei die Folgerung zunächst durch UND, ODER und NICHT aus. * Falls sich Ihre "Freihandzeichnung" und der berechnete Graph der Zughörigkeitsfunktion unterscheiden, begründen Sie, warum die Freihandzeichnung von dem berechneten Graphen abweicht! == Logische Operationen == Analog zur klassischen (crispen) Logik kann man in der Fuzzylogik auch logische Operatoren definieren, die konsistent zu klassischen Logik sind, d.h. in den crispen Grenzfällen von 0 und 1 für falsch und wahr den Operatoren in der klassischen Logik nicht widersprechen. === Negation === Die Negation in der Fuzzylogik erfolgt durch Subtraktion der Eingabewerte von 1. Also ''' NOT(A)=1-A''' === Nicht ausschließende-ODER-Schaltung === Die Adjunktion erfolgt durch Wahl des jeweils höheren Wertes der Eingabewerte. Also ''' OR(A;B)=A wenn A>B''' ''' B wenn A<=B''' Dies kann man analog auch durch das Maximum ausdrücken <math>OR(A;B) := \max\{A,B\}</math> === UND-Schaltung === Die Konjunktion erfolgt durch Wahl des jeweils niedrigeren Wertes der Eingabewerte. Also ''' AND(A;B)=A wenn A&lt;B''' ''' B wenn A>=B''' Dies kann man analog auch durch das Minimum ausdrücken <math>AND(A;B) := \min\{A,B\}</math> === Ausschließende-ODER-Schaltung === Für die Disjunktion komplementiert man den kleineren zweier Werte und wählt den kleineren der beiden. Für mehr als zwei Eingabewerte setzt man das Ergebnis der letzten Operation rekursiv mit dem jeweils nächsten Eingabewert ein. Einfacher: man nimmt die Differenz des weniger Extremen von dem ihm gegenüberliegenden Extremwert. Also ''' XOR(A;B)=A wenn A>B und A<(1-B)''' ''' 1-B wenn A>B und A>=(1-B)''' ''' B wenn B>=A und B<(1-A)''' ''' 1-A wenn B>=A und B>=(1-A)''' === Wahrheitstafel von XOR === Das ausschließende ODER "XOR" besitzt in der klasssischen Logik die Wahrheitstafel von <math>\neg(A \leftrightarrow B) </math>. {| class="wikitable float-right" |- ! <math>A</math> ! <math>B</math> ! <math>\neg(A \leftrightarrow B) </math> |- | falsch | falsch |style="text-align:center"| falsch |- | falsch | wahr |style="text-align:center"| wahr |- | wahr | falsch |style="text-align:center"| wahr |- | wahr | wahr |style="text-align:center"| falsch |} === Fuzzylogische Berechnung von XOR === Um konsistent zur klassischen Logik zu bleiben, kann man eine ''"ausschließendes ODER"'' auch über die logischen Verknüpfungen "UND", "ODER" und "NICHT" ausdrücken. :<math> XOR(A,B) \Longleftrightarrow \neg (A \longleftrightarrow B) \Longleftrightarrow (A\wedge \neg B) \vee (B\wedge \neg A) </math> Mit die Verwendung <math>max</math> für ODER und <math>min</math> für UND kann man XOR(A,B) fuzzylogisch wie folgt darstellen: :<math> XOR(A,B) = max\big( min(\mu_{A},1-\mu_{B}) , min(\mu_{B},1-\mu_{A}) \big) </math> == Literatur/Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte einer Menge]] * [[w:de:Fuzzylogik/Operatoren|Fuzzylogik/Operatoren]] * [[Mathematische Modellbildung]] * [[Open Educational Resources]] * [[Wiki2Reveal]] === Kurse === * [[Kurs:Maschinelles Lernen]] * [[Kurs:Mathematische Modellbildung]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik/Operatoren&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Operatoren&coursetitle=Fuzzylogik Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik/Operatoren&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Operatoren&coursetitle=Fuzzylogik Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik Fuzzylogik]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Fuzzylogik/Operatoren https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik/Operatoren] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik/Operatoren Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik/Operatoren * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik/Operatoren&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Operatoren&coursetitle=Fuzzylogik Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 22j0priiw2mwk7qb0f5zgceaxtdhtkj 1119207 1119204 2026-11-09T10:29:51Z Bert Niehaus 20843 /* Operatoren für unscharfe Mengen */ 1119207 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite zum Thema ''Fuzzylogik/Operatoren'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik/Operatoren&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Operatoren&coursetitle=Fuzzylogik Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt: * (1) Klassische logische Operationen<ref>Suppes, P. (1999). Introduction to logic. Courier Corporation.</ref>, * (2) Fuzzylogische Operationen<ref>Buckley, J. J., & Eslami, E. (2002). An introduction to fuzzy logic and fuzzy sets (Vol. 13). Springer Science & Business Media.</ref>, * (3) Konsistenz zur klassischen Logik. === Konsistenz zur klassischen Logik === Die Konsistenz zur klassischen Logik besagt, dass die Fuzzylogik auf den [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkten]] des Einheitsquadrates <math>\Omega := [0,1]\times [0,1]</math> genauso funktionieren muss, wie die klassische Logik. Die == Zielsetzung == Diese Lernressource zu ''Fuzzylogik und Operatoren'' in der Wikiversity hat das Ziel, das klassische Konzept von logischen Operatoren UND, ODER, NICHT, WENN ... DANN, ...) (<math> \wedge, \vee, \neg, \Rightarrow </math>) auf fuzzylogische Operationen zu verallgemeinern. == Lernvoraussetzungen == Die Lernressource zum Thema ''Fuzzylogik/Operatoren'' hat die folgenden Lernvoraussetzungen, die zum Verständnis der nachfolgenden Ausführungen hilfreich bzw. notwendig sind. * '''([[Fuzzylogik/Zugehörigkeitsfunktion|Zugehörigkeitsfunktionen]])''' Funktionale Beschreibung unscharfer Mengen * '''(Wahrheitstafeln)''' Wahrheitstafeln für klassische logische Operatoren * '''(Implikationen/Folgerungen)''' klassische Implikationen/Folgerungen, da diese auf die Fuzzylogik übertragen werden == Operatoren für unscharfe Mengen == [[Datei:Fuzzy-Operatoren.png|450px|UND-ODER-NICHT-Operatoren zur Verknüpfung von Zugehörigkeitsfunktionen (Teilmengen).]] === Fortsetzung der klassischen Logik nicht eindeutig === Die Fortsetzung der klassischen Logik ist allerding nicht eindeutig. Durch das die multiplikative Fuzzy-NAND-Funktion wird ebenfalls eine von der obigen Min-Max-Operator-Definition wesentlich verschiedene Definition der Fuzzyoperationen definiert, die ebenfalls konsistent zur klassischen Logik ist. === Multiplikatives Fuzzy-NAND === Man definiert das multiplikative Fuzzy-NAND wie folgt: :<math> \begin{array}{rrcl} NAND_\odot: & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & [0,1] \\ & \left( x,y \right) & \mapsto & NAND_\odot\left( x,y \right) = (1-x)\cdot (1-y) \end{array} </math> === Erzeugendenfunktion - Fuzzy-NAND === Das multiplikative Fuzzy-NAND <math>NAND_\odot</math> ist eine Erzeugendenfunktion für alle fuzzylogischen Verknüpfungen, denn es gilt für <math>x,y\in [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{rcl} x \widetilde{\wedge} y & = & NAND_\odot(1-x,1-y) \\ \widetilde{\neg} x & = & NAND_\odot(x,x) \\ x \widetilde{\vee} y & = & \widetilde{\neg} (\widetilde{\neg} x \widetilde{\wedge} \widetilde{\neg} y) \\ & = & NAND_\odot\big(NAND_\odot(1-NAND_\odot(x,x),1-NAND_\odot(y,y)),NAND_\odot(1-NAND_\odot(x,x),1-NAND_\odot(y,y))\big) \\ \end{array} </math> == Aufgaben - Zugehörigkeitsfunktion == Mit den folgenden Aufgaben zum Thema ''Fuzzy-Implikation'' als ''Operator'' auf Fuzzymengen behandelt: * Erzeugen Sie eine Zugehörigkeitsfunktion einer Fuzzymenge für den linguistischen Wert "alt" und "schnell" wobei die Grundmenge <math>\Omega := [0,100] </math> ein Alter zwischen 0 und 100 Jahren als Argument der Zugehörigkeitsfunktionen definiert. * Zeichnen Sie einen Graphen <math>\mu_{alt} : \Omega \to [0,1]</math> mit <math>\Omega := [0,100] </math> auf der x-Achse und <math>[0,1]</math> auf der y-Achse, wobei <math>\mu_{alt}(x) \in [0,1] </math> angibt, zu welchem Grad eine Alter <math>x</math> die Eigenschaft "alt" als linguistischen Wert erfüllt. * Zeichnen Sie einen Graphen <math>\mu_{schnell} : \Omega \to [0,1]</math> mit <math>\Omega := [0,100] </math> auf der x-Achse und <math>[0,1]</math> auf der y-Achse, wobei <math>\mu_{schnell}(x) \in [0,1] </math> angibt, zu welchem Grad eine Alter <math>x</math> die Eigenschaft "schnell" als linguistischen Wert erfüllt. == Aufgaben - Fuzzylogische Folgerung == Als einführendes Beispiel zum Thema ''fuzzylogische Operatoren'' dient dazu, sprachliche formuliert "WENN-DANN"-Aussagen in fuzzylogische zu übertragen und danach die resultierende Zugehörigkeitsfunktion zu interpretieren. <math>\Omega = [0,100] </math> ist das Alter in Jahren. * Nutzen Sie die obigen [[Fuzzylogik/Zugehörigkeitsfunktion|Zugehörigkeitsfunktionen]] von "alt" und "schnell". * Basierend auf den obigen [[Fuzzylogik/Zugehörigkeitsfunktion|Zugehörigkeitsfunktionen]] zeichnen Sie zunächst freihändig die Zugehörigkeitsfunktion ''"WENN alt DANN schnell"'' * Berechnen Sie dann die fuzzylogische Zugehörigkeitsfunktion von ''"WENN alt DANN schnell"''! Drücken Sie dabei die Folgerung zunächst durch UND, ODER und NICHT aus. * Falls sich Ihre "Freihandzeichnung" und der berechnete Graph der Zughörigkeitsfunktion unterscheiden, begründen Sie, warum die Freihandzeichnung von dem berechneten Graphen abweicht! == Logische Operationen == Analog zur klassischen (crispen) Logik kann man in der Fuzzylogik auch logische Operatoren definieren, die konsistent zu klassischen Logik sind, d.h. in den crispen Grenzfällen von 0 und 1 für falsch und wahr den Operatoren in der klassischen Logik nicht widersprechen. === Negation === Die Negation in der Fuzzylogik erfolgt durch Subtraktion der Eingabewerte von 1. Also ''' NOT(A)=1-A''' === Nicht ausschließende-ODER-Schaltung === Die Adjunktion erfolgt durch Wahl des jeweils höheren Wertes der Eingabewerte. Also ''' OR(A;B)=A wenn A>B''' ''' B wenn A<=B''' Dies kann man analog auch durch das Maximum ausdrücken <math>OR(A;B) := \max\{A,B\}</math> === UND-Schaltung === Die Konjunktion erfolgt durch Wahl des jeweils niedrigeren Wertes der Eingabewerte. Also ''' AND(A;B)=A wenn A&lt;B''' ''' B wenn A>=B''' Dies kann man analog auch durch das Minimum ausdrücken <math>AND(A;B) := \min\{A,B\}</math> === Ausschließende-ODER-Schaltung === Für die Disjunktion komplementiert man den kleineren zweier Werte und wählt den kleineren der beiden. Für mehr als zwei Eingabewerte setzt man das Ergebnis der letzten Operation rekursiv mit dem jeweils nächsten Eingabewert ein. Einfacher: man nimmt die Differenz des weniger Extremen von dem ihm gegenüberliegenden Extremwert. Also ''' XOR(A;B)=A wenn A>B und A<(1-B)''' ''' 1-B wenn A>B und A>=(1-B)''' ''' B wenn B>=A und B<(1-A)''' ''' 1-A wenn B>=A und B>=(1-A)''' === Wahrheitstafel von XOR === Das ausschließende ODER "XOR" besitzt in der klasssischen Logik die Wahrheitstafel von <math>\neg(A \leftrightarrow B) </math>. {| class="wikitable float-right" |- ! <math>A</math> ! <math>B</math> ! <math>\neg(A \leftrightarrow B) </math> |- | falsch | falsch |style="text-align:center"| falsch |- | falsch | wahr |style="text-align:center"| wahr |- | wahr | falsch |style="text-align:center"| wahr |- | wahr | wahr |style="text-align:center"| falsch |} === Fuzzylogische Berechnung von XOR === Um konsistent zur klassischen Logik zu bleiben, kann man eine ''"ausschließendes ODER"'' auch über die logischen Verknüpfungen "UND", "ODER" und "NICHT" ausdrücken. :<math> XOR(A,B) \Longleftrightarrow \neg (A \longleftrightarrow B) \Longleftrightarrow (A\wedge \neg B) \vee (B\wedge \neg A) </math> Mit die Verwendung <math>max</math> für ODER und <math>min</math> für UND kann man XOR(A,B) fuzzylogisch wie folgt darstellen: :<math> XOR(A,B) = max\big( min(\mu_{A},1-\mu_{B}) , min(\mu_{B},1-\mu_{A}) \big) </math> == Literatur/Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte einer Menge]] * [[w:de:Fuzzylogik/Operatoren|Fuzzylogik/Operatoren]] * [[Mathematische Modellbildung]] * [[Open Educational Resources]] * [[Wiki2Reveal]] === Kurse === * [[Kurs:Maschinelles Lernen]] * [[Kurs:Mathematische Modellbildung]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik/Operatoren&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Operatoren&coursetitle=Fuzzylogik Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik/Operatoren&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Operatoren&coursetitle=Fuzzylogik Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik Fuzzylogik]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Fuzzylogik/Operatoren https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik/Operatoren] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik/Operatoren Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik/Operatoren * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik/Operatoren&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Operatoren&coursetitle=Fuzzylogik Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] cza6pdetvd8awd9a99grbvvc2qt1u6j 1119211 1119207 2026-11-09T10:43:01Z Bert Niehaus 20843 /* Erzeugendenfunktion - Fuzzy-NAND */ 1119211 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite zum Thema ''Fuzzylogik/Operatoren'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik/Operatoren&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Operatoren&coursetitle=Fuzzylogik Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt: * (1) Klassische logische Operationen<ref>Suppes, P. (1999). Introduction to logic. Courier Corporation.</ref>, * (2) Fuzzylogische Operationen<ref>Buckley, J. J., & Eslami, E. (2002). An introduction to fuzzy logic and fuzzy sets (Vol. 13). Springer Science & Business Media.</ref>, * (3) Konsistenz zur klassischen Logik. === Konsistenz zur klassischen Logik === Die Konsistenz zur klassischen Logik besagt, dass die Fuzzylogik auf den [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkten]] des Einheitsquadrates <math>\Omega := [0,1]\times [0,1]</math> genauso funktionieren muss, wie die klassische Logik. Die == Zielsetzung == Diese Lernressource zu ''Fuzzylogik und Operatoren'' in der Wikiversity hat das Ziel, das klassische Konzept von logischen Operatoren UND, ODER, NICHT, WENN ... DANN, ...) (<math> \wedge, \vee, \neg, \Rightarrow </math>) auf fuzzylogische Operationen zu verallgemeinern. == Lernvoraussetzungen == Die Lernressource zum Thema ''Fuzzylogik/Operatoren'' hat die folgenden Lernvoraussetzungen, die zum Verständnis der nachfolgenden Ausführungen hilfreich bzw. notwendig sind. * '''([[Fuzzylogik/Zugehörigkeitsfunktion|Zugehörigkeitsfunktionen]])''' Funktionale Beschreibung unscharfer Mengen * '''(Wahrheitstafeln)''' Wahrheitstafeln für klassische logische Operatoren * '''(Implikationen/Folgerungen)''' klassische Implikationen/Folgerungen, da diese auf die Fuzzylogik übertragen werden == Operatoren für unscharfe Mengen == [[Datei:Fuzzy-Operatoren.png|450px|UND-ODER-NICHT-Operatoren zur Verknüpfung von Zugehörigkeitsfunktionen (Teilmengen).]] === Fortsetzung der klassischen Logik nicht eindeutig === Die Fortsetzung der klassischen Logik ist allerding nicht eindeutig. Durch das die multiplikative Fuzzy-NAND-Funktion wird ebenfalls eine von der obigen Min-Max-Operator-Definition wesentlich verschiedene Definition der Fuzzyoperationen definiert, die ebenfalls konsistent zur klassischen Logik ist. === Multiplikatives Fuzzy-NAND === Man definiert das multiplikative Fuzzy-NAND wie folgt: :<math> \begin{array}{rrcl} NAND_\odot: & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & [0,1] \\ & \left( x,y \right) & \mapsto & NAND_\odot\left( x,y \right) = (1-x)\cdot (1-y) \end{array} </math> === Erzeugendenfunktion - Fuzzy-NAND === Das multiplikative Fuzzy-NAND <math>NAND_\odot</math> ist eine Erzeugendenfunktion für alle fuzzylogischen Verknüpfungen, denn es gilt für <math>x,y\in [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{rcl} x \ \widetilde{\wedge}_{_\odot} \ y & := & NAND_\odot(1-x,1-y) \\ \widetilde{\neg}_{_\odot} \, x & := & NAND_\odot(x,x) \\ x \ \widetilde{\vee}_{\!\!_\odot} \, y & := & \widetilde{\neg}_{_\odot} (\widetilde{\neg}_{_\odot} \ x \ \widetilde{\wedge}_{_\odot} \ \widetilde{\neg}_{_\odot} \ y) \\ x \ \widetilde{\rightarrow}_{\!_\odot} \ y & := & \widetilde{\neg}_{_\odot} ( \ x \ \widetilde{\vee}_{\!\!_\odot} \ y) \\ \end{array} </math> === Aufgabe für Studierende === * Zeigen Sie, dass die obige Definition des multiplikativen NAND zu einer mit der klassischen Logik konsistenten Eigenschaft der Fuzzy-Verknüpfungen kommt. === Bemerkung - strengeres Fuzzy-UND === Das multiplikative Fuzzy-NAND <math>NAND_\odot</math> erzeugt ein strengeres Fuzzy-AND als fuzzylogische Verknüpfungen als die Min-Max-Definition der fuzzylogischen Verknüpfungen. Dies bedeutet, dass für alle <math>x,y\in [0,1]</math> gilt: :<math> x \ \widetilde{\wedge}_{_\odot} \, y \ \ \leq \ \ x \ \widetilde{\wedge} \ y </math> == Aufgaben - Zugehörigkeitsfunktion == Mit den folgenden Aufgaben zum Thema ''Fuzzy-Implikation'' als ''Operator'' auf Fuzzymengen behandelt: * Erzeugen Sie eine Zugehörigkeitsfunktion einer Fuzzymenge für den linguistischen Wert "alt" und "schnell" wobei die Grundmenge <math>\Omega := [0,100] </math> ein Alter zwischen 0 und 100 Jahren als Argument der Zugehörigkeitsfunktionen definiert. * Zeichnen Sie einen Graphen <math>\mu_{alt} : \Omega \to [0,1]</math> mit <math>\Omega := [0,100] </math> auf der x-Achse und <math>[0,1]</math> auf der y-Achse, wobei <math>\mu_{alt}(x) \in [0,1] </math> angibt, zu welchem Grad eine Alter <math>x</math> die Eigenschaft "alt" als linguistischen Wert erfüllt. * Zeichnen Sie einen Graphen <math>\mu_{schnell} : \Omega \to [0,1]</math> mit <math>\Omega := [0,100] </math> auf der x-Achse und <math>[0,1]</math> auf der y-Achse, wobei <math>\mu_{schnell}(x) \in [0,1] </math> angibt, zu welchem Grad eine Alter <math>x</math> die Eigenschaft "schnell" als linguistischen Wert erfüllt. == Aufgaben - Fuzzylogische Folgerung == Als einführendes Beispiel zum Thema ''fuzzylogische Operatoren'' dient dazu, sprachliche formuliert "WENN-DANN"-Aussagen in fuzzylogische zu übertragen und danach die resultierende Zugehörigkeitsfunktion zu interpretieren. <math>\Omega = [0,100] </math> ist das Alter in Jahren. * Nutzen Sie die obigen [[Fuzzylogik/Zugehörigkeitsfunktion|Zugehörigkeitsfunktionen]] von "alt" und "schnell". * Basierend auf den obigen [[Fuzzylogik/Zugehörigkeitsfunktion|Zugehörigkeitsfunktionen]] zeichnen Sie zunächst freihändig die Zugehörigkeitsfunktion ''"WENN alt DANN schnell"'' * Berechnen Sie dann die fuzzylogische Zugehörigkeitsfunktion von ''"WENN alt DANN schnell"''! Drücken Sie dabei die Folgerung zunächst durch UND, ODER und NICHT aus. * Falls sich Ihre "Freihandzeichnung" und der berechnete Graph der Zughörigkeitsfunktion unterscheiden, begründen Sie, warum die Freihandzeichnung von dem berechneten Graphen abweicht! == Logische Operationen == Analog zur klassischen (crispen) Logik kann man in der Fuzzylogik auch logische Operatoren definieren, die konsistent zu klassischen Logik sind, d.h. in den crispen Grenzfällen von 0 und 1 für falsch und wahr den Operatoren in der klassischen Logik nicht widersprechen. === Negation === Die Negation in der Fuzzylogik erfolgt durch Subtraktion der Eingabewerte von 1. Also ''' NOT(A)=1-A''' === Nicht ausschließende-ODER-Schaltung === Die Adjunktion erfolgt durch Wahl des jeweils höheren Wertes der Eingabewerte. Also ''' OR(A;B)=A wenn A>B''' ''' B wenn A<=B''' Dies kann man analog auch durch das Maximum ausdrücken <math>OR(A;B) := \max\{A,B\}</math> === UND-Schaltung === Die Konjunktion erfolgt durch Wahl des jeweils niedrigeren Wertes der Eingabewerte. Also ''' AND(A;B)=A wenn A&lt;B''' ''' B wenn A>=B''' Dies kann man analog auch durch das Minimum ausdrücken <math>AND(A;B) := \min\{A,B\}</math> === Ausschließende-ODER-Schaltung === Für die Disjunktion komplementiert man den kleineren zweier Werte und wählt den kleineren der beiden. Für mehr als zwei Eingabewerte setzt man das Ergebnis der letzten Operation rekursiv mit dem jeweils nächsten Eingabewert ein. Einfacher: man nimmt die Differenz des weniger Extremen von dem ihm gegenüberliegenden Extremwert. Also ''' XOR(A;B)=A wenn A>B und A<(1-B)''' ''' 1-B wenn A>B und A>=(1-B)''' ''' B wenn B>=A und B<(1-A)''' ''' 1-A wenn B>=A und B>=(1-A)''' === Wahrheitstafel von XOR === Das ausschließende ODER "XOR" besitzt in der klasssischen Logik die Wahrheitstafel von <math>\neg(A \leftrightarrow B) </math>. {| class="wikitable float-right" |- ! <math>A</math> ! <math>B</math> ! <math>\neg(A \leftrightarrow B) </math> |- | falsch | falsch |style="text-align:center"| falsch |- | falsch | wahr |style="text-align:center"| wahr |- | wahr | falsch |style="text-align:center"| wahr |- | wahr | wahr |style="text-align:center"| falsch |} === Fuzzylogische Berechnung von XOR === Um konsistent zur klassischen Logik zu bleiben, kann man eine ''"ausschließendes ODER"'' auch über die logischen Verknüpfungen "UND", "ODER" und "NICHT" ausdrücken. :<math> XOR(A,B) \Longleftrightarrow \neg (A \longleftrightarrow B) \Longleftrightarrow (A\wedge \neg B) \vee (B\wedge \neg A) </math> Mit die Verwendung <math>max</math> für ODER und <math>min</math> für UND kann man XOR(A,B) fuzzylogisch wie folgt darstellen: :<math> XOR(A,B) = max\big( min(\mu_{A},1-\mu_{B}) , min(\mu_{B},1-\mu_{A}) \big) </math> == Literatur/Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte einer Menge]] * [[w:de:Fuzzylogik/Operatoren|Fuzzylogik/Operatoren]] * [[Mathematische Modellbildung]] * [[Open Educational Resources]] * [[Wiki2Reveal]] === Kurse === * [[Kurs:Maschinelles Lernen]] * [[Kurs:Mathematische Modellbildung]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik/Operatoren&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Operatoren&coursetitle=Fuzzylogik Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik/Operatoren&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Operatoren&coursetitle=Fuzzylogik Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik Fuzzylogik]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Fuzzylogik/Operatoren https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik/Operatoren] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik/Operatoren Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik/Operatoren * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik/Operatoren&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Operatoren&coursetitle=Fuzzylogik Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] h4a9fuameohza49tdij6xjvwitdjl98 1119213 1119211 2026-11-09T10:45:16Z Bert Niehaus 20843 /* Erzeugendenfunktion - Fuzzy-NAND */ 1119213 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite zum Thema ''Fuzzylogik/Operatoren'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik/Operatoren&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Operatoren&coursetitle=Fuzzylogik Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt: * (1) Klassische logische Operationen<ref>Suppes, P. (1999). Introduction to logic. Courier Corporation.</ref>, * (2) Fuzzylogische Operationen<ref>Buckley, J. J., & Eslami, E. (2002). An introduction to fuzzy logic and fuzzy sets (Vol. 13). Springer Science & Business Media.</ref>, * (3) Konsistenz zur klassischen Logik. === Konsistenz zur klassischen Logik === Die Konsistenz zur klassischen Logik besagt, dass die Fuzzylogik auf den [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkten]] des Einheitsquadrates <math>\Omega := [0,1]\times [0,1]</math> genauso funktionieren muss, wie die klassische Logik. Die == Zielsetzung == Diese Lernressource zu ''Fuzzylogik und Operatoren'' in der Wikiversity hat das Ziel, das klassische Konzept von logischen Operatoren UND, ODER, NICHT, WENN ... DANN, ...) (<math> \wedge, \vee, \neg, \Rightarrow </math>) auf fuzzylogische Operationen zu verallgemeinern. == Lernvoraussetzungen == Die Lernressource zum Thema ''Fuzzylogik/Operatoren'' hat die folgenden Lernvoraussetzungen, die zum Verständnis der nachfolgenden Ausführungen hilfreich bzw. notwendig sind. * '''([[Fuzzylogik/Zugehörigkeitsfunktion|Zugehörigkeitsfunktionen]])''' Funktionale Beschreibung unscharfer Mengen * '''(Wahrheitstafeln)''' Wahrheitstafeln für klassische logische Operatoren * '''(Implikationen/Folgerungen)''' klassische Implikationen/Folgerungen, da diese auf die Fuzzylogik übertragen werden == Operatoren für unscharfe Mengen == [[Datei:Fuzzy-Operatoren.png|450px|UND-ODER-NICHT-Operatoren zur Verknüpfung von Zugehörigkeitsfunktionen (Teilmengen).]] === Fortsetzung der klassischen Logik nicht eindeutig === Die Fortsetzung der klassischen Logik ist allerding nicht eindeutig. Durch das die multiplikative Fuzzy-NAND-Funktion wird ebenfalls eine von der obigen Min-Max-Operator-Definition wesentlich verschiedene Definition der Fuzzyoperationen definiert, die ebenfalls konsistent zur klassischen Logik ist. === Multiplikatives Fuzzy-NAND === Man definiert das multiplikative Fuzzy-NAND wie folgt: :<math> \begin{array}{rrcl} NAND_\odot: & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & [0,1] \\ & \left( x,y \right) & \mapsto & NAND_\odot\left( x,y \right) = (1-x)\cdot (1-y) \end{array} </math> === Erzeugendenfunktion - multiplikatives Fuzzy-NAND === Das multiplikative Fuzzy-NAND <math>NAND_\odot</math> ist eine Erzeugendenfunktion für alle fuzzylogischen Verknüpfungen, denn es gilt für <math>x,y\in [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{rcl} x \ \widetilde{\wedge}_{_\odot} \ y & := & NAND_\odot(1-x,1-y) \\ \widetilde{\neg}_{_\odot} \, x & := & NAND_\odot(x,x) \\ x \ \widetilde{\vee}_{\!\!_\odot} \, y & := & \widetilde{\neg}_{_\odot} (\widetilde{\neg}_{_\odot} \ x \ \widetilde{\wedge}_{_\odot} \ \widetilde{\neg}_{_\odot} \ y) \\ x \ \widetilde{\rightarrow}_{\!_\odot} \ y & := & \widetilde{\neg}_{_\odot} ( \ x \ \widetilde{\vee}_{\!\!_\odot} \ y) \\ \end{array} </math> === Aufgabe für Studierende === * Zeigen Sie, dass die obige Definition des multiplikativen NAND zu einer mit der klassischen Logik konsistenten Eigenschaft der Fuzzy-Verknüpfungen kommt. === Bemerkung - strengeres Fuzzy-UND === Das multiplikative Fuzzy-NAND <math>NAND_\odot</math> erzeugt ein strengeres Fuzzy-AND als fuzzylogische Verknüpfungen als die Min-Max-Definition der fuzzylogischen Verknüpfungen. Dies bedeutet, dass für alle <math>x,y\in [0,1]</math> gilt: :<math> x \ \widetilde{\wedge}_{_\odot} \, y \ \ \leq \ \ x \ \widetilde{\wedge} \ y </math> == Aufgaben - Zugehörigkeitsfunktion == Mit den folgenden Aufgaben zum Thema ''Fuzzy-Implikation'' als ''Operator'' auf Fuzzymengen behandelt: * Erzeugen Sie eine Zugehörigkeitsfunktion einer Fuzzymenge für den linguistischen Wert "alt" und "schnell" wobei die Grundmenge <math>\Omega := [0,100] </math> ein Alter zwischen 0 und 100 Jahren als Argument der Zugehörigkeitsfunktionen definiert. * Zeichnen Sie einen Graphen <math>\mu_{alt} : \Omega \to [0,1]</math> mit <math>\Omega := [0,100] </math> auf der x-Achse und <math>[0,1]</math> auf der y-Achse, wobei <math>\mu_{alt}(x) \in [0,1] </math> angibt, zu welchem Grad eine Alter <math>x</math> die Eigenschaft "alt" als linguistischen Wert erfüllt. * Zeichnen Sie einen Graphen <math>\mu_{schnell} : \Omega \to [0,1]</math> mit <math>\Omega := [0,100] </math> auf der x-Achse und <math>[0,1]</math> auf der y-Achse, wobei <math>\mu_{schnell}(x) \in [0,1] </math> angibt, zu welchem Grad eine Alter <math>x</math> die Eigenschaft "schnell" als linguistischen Wert erfüllt. == Aufgaben - Fuzzylogische Folgerung == Als einführendes Beispiel zum Thema ''fuzzylogische Operatoren'' dient dazu, sprachliche formuliert "WENN-DANN"-Aussagen in fuzzylogische zu übertragen und danach die resultierende Zugehörigkeitsfunktion zu interpretieren. <math>\Omega = [0,100] </math> ist das Alter in Jahren. * Nutzen Sie die obigen [[Fuzzylogik/Zugehörigkeitsfunktion|Zugehörigkeitsfunktionen]] von "alt" und "schnell". * Basierend auf den obigen [[Fuzzylogik/Zugehörigkeitsfunktion|Zugehörigkeitsfunktionen]] zeichnen Sie zunächst freihändig die Zugehörigkeitsfunktion ''"WENN alt DANN schnell"'' * Berechnen Sie dann die fuzzylogische Zugehörigkeitsfunktion von ''"WENN alt DANN schnell"''! Drücken Sie dabei die Folgerung zunächst durch UND, ODER und NICHT aus. * Falls sich Ihre "Freihandzeichnung" und der berechnete Graph der Zughörigkeitsfunktion unterscheiden, begründen Sie, warum die Freihandzeichnung von dem berechneten Graphen abweicht! == Logische Operationen == Analog zur klassischen (crispen) Logik kann man in der Fuzzylogik auch logische Operatoren definieren, die konsistent zu klassischen Logik sind, d.h. in den crispen Grenzfällen von 0 und 1 für falsch und wahr den Operatoren in der klassischen Logik nicht widersprechen. === Negation === Die Negation in der Fuzzylogik erfolgt durch Subtraktion der Eingabewerte von 1. Also ''' NOT(A)=1-A''' === Nicht ausschließende-ODER-Schaltung === Die Adjunktion erfolgt durch Wahl des jeweils höheren Wertes der Eingabewerte. Also ''' OR(A;B)=A wenn A>B''' ''' B wenn A<=B''' Dies kann man analog auch durch das Maximum ausdrücken <math>OR(A;B) := \max\{A,B\}</math> === UND-Schaltung === Die Konjunktion erfolgt durch Wahl des jeweils niedrigeren Wertes der Eingabewerte. Also ''' AND(A;B)=A wenn A&lt;B''' ''' B wenn A>=B''' Dies kann man analog auch durch das Minimum ausdrücken <math>AND(A;B) := \min\{A,B\}</math> === Ausschließende-ODER-Schaltung === Für die Disjunktion komplementiert man den kleineren zweier Werte und wählt den kleineren der beiden. Für mehr als zwei Eingabewerte setzt man das Ergebnis der letzten Operation rekursiv mit dem jeweils nächsten Eingabewert ein. Einfacher: man nimmt die Differenz des weniger Extremen von dem ihm gegenüberliegenden Extremwert. Also ''' XOR(A;B)=A wenn A>B und A<(1-B)''' ''' 1-B wenn A>B und A>=(1-B)''' ''' B wenn B>=A und B<(1-A)''' ''' 1-A wenn B>=A und B>=(1-A)''' === Wahrheitstafel von XOR === Das ausschließende ODER "XOR" besitzt in der klasssischen Logik die Wahrheitstafel von <math>\neg(A \leftrightarrow B) </math>. {| class="wikitable float-right" |- ! <math>A</math> ! <math>B</math> ! <math>\neg(A \leftrightarrow B) </math> |- | falsch | falsch |style="text-align:center"| falsch |- | falsch | wahr |style="text-align:center"| wahr |- | wahr | falsch |style="text-align:center"| wahr |- | wahr | wahr |style="text-align:center"| falsch |} === Fuzzylogische Berechnung von XOR === Um konsistent zur klassischen Logik zu bleiben, kann man eine ''"ausschließendes ODER"'' auch über die logischen Verknüpfungen "UND", "ODER" und "NICHT" ausdrücken. :<math> XOR(A,B) \Longleftrightarrow \neg (A \longleftrightarrow B) \Longleftrightarrow (A\wedge \neg B) \vee (B\wedge \neg A) </math> Mit die Verwendung <math>max</math> für ODER und <math>min</math> für UND kann man XOR(A,B) fuzzylogisch wie folgt darstellen: :<math> XOR(A,B) = max\big( min(\mu_{A},1-\mu_{B}) , min(\mu_{B},1-\mu_{A}) \big) </math> == Literatur/Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte einer Menge]] * [[w:de:Fuzzylogik/Operatoren|Fuzzylogik/Operatoren]] * [[Mathematische Modellbildung]] * [[Open Educational Resources]] * [[Wiki2Reveal]] === Kurse === * [[Kurs:Maschinelles Lernen]] * [[Kurs:Mathematische Modellbildung]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik/Operatoren&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Operatoren&coursetitle=Fuzzylogik Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik/Operatoren&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Operatoren&coursetitle=Fuzzylogik Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik Fuzzylogik]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Fuzzylogik/Operatoren https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik/Operatoren] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik/Operatoren Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik/Operatoren * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik/Operatoren&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Operatoren&coursetitle=Fuzzylogik Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] stz0qvni8msz2wwsmw0162q8ykdnq3a 1119214 1119213 2026-11-09T10:50:34Z Bert Niehaus 20843 /* Operatoren für unscharfe Mengen */ 1119214 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite zum Thema ''Fuzzylogik/Operatoren'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik/Operatoren&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Operatoren&coursetitle=Fuzzylogik Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt: * (1) Klassische logische Operationen<ref>Suppes, P. (1999). Introduction to logic. Courier Corporation.</ref>, * (2) Fuzzylogische Operationen<ref>Buckley, J. J., & Eslami, E. (2002). An introduction to fuzzy logic and fuzzy sets (Vol. 13). Springer Science & Business Media.</ref>, * (3) Konsistenz zur klassischen Logik. === Konsistenz zur klassischen Logik === Die Konsistenz zur klassischen Logik besagt, dass die Fuzzylogik auf den [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkten]] des Einheitsquadrates <math>\Omega := [0,1]\times [0,1]</math> genauso funktionieren muss, wie die klassische Logik. Die == Zielsetzung == Diese Lernressource zu ''Fuzzylogik und Operatoren'' in der Wikiversity hat das Ziel, das klassische Konzept von logischen Operatoren UND, ODER, NICHT, WENN ... DANN, ...) (<math> \wedge, \vee, \neg, \Rightarrow </math>) auf fuzzylogische Operationen zu verallgemeinern. == Lernvoraussetzungen == Die Lernressource zum Thema ''Fuzzylogik/Operatoren'' hat die folgenden Lernvoraussetzungen, die zum Verständnis der nachfolgenden Ausführungen hilfreich bzw. notwendig sind. * '''([[Fuzzylogik/Zugehörigkeitsfunktion|Zugehörigkeitsfunktionen]])''' Funktionale Beschreibung unscharfer Mengen * '''(Wahrheitstafeln)''' Wahrheitstafeln für klassische logische Operatoren * '''(Implikationen/Folgerungen)''' klassische Implikationen/Folgerungen, da diese auf die Fuzzylogik übertragen werden == Operatoren für unscharfe Mengen == [[Datei:Fuzzy-Operatoren.png|450px|UND-ODER-NICHT-Operatoren zur Verknüpfung von Zugehörigkeitsfunktionen (Teilmengen).]] === Erzeugendenfunktion - Fuzzy-NAND === Die Verknüpfung Fuzzy-NAND <math>NAND_\odot</math> ist eine Erzeugendenfunktion für alle fuzzylogischen Verknüpfungen, denn es gilt für <math>x,y\in [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{rcl} x \ \widetilde{\wedge} \ y & := & \min\{ 1-x,1-y \} \\ \widetilde{\neg}_{_\odot} \, x & := & NAND(x,x) = \min\{ 1-x,1-x \} = 1-x \\ x \ \widetilde{\vee} \, y & := & \widetilde{\neg} (\widetilde{\neg} \ x \ \widetilde{\wedge} \ \widetilde{\neg} \ y) = = 1- \min\{ x, y \} = \max\{ x,y \} \\ x \ \widetilde{\rightarrow}_{\!_\odot} \ y & := & \widetilde{\neg}_{_\odot} ( \ x \ \widetilde{\vee}_{\!\!_\odot} \ y) = \max\{ 1-x,y \} \\ \end{array} </math> === Fortsetzung der klassischen Logik nicht eindeutig === Die Fortsetzung der klassischen Logik ist allerding nicht eindeutig. Durch das die multiplikative Fuzzy-NAND-Funktion wird ebenfalls eine von der obigen Min-Max-Operator-Definition wesentlich verschiedene Definition der Fuzzyoperationen definiert, die ebenfalls konsistent zur klassischen Logik ist. === Multiplikatives Fuzzy-NAND === Man definiert das multiplikative Fuzzy-NAND wie folgt: :<math> \begin{array}{rrcl} NAND_\odot: & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & [0,1] \\ & \left( x,y \right) & \mapsto & NAND_\odot\left( x,y \right) = (1-x)\cdot (1-y) \end{array} </math> === Erzeugendenfunktion - multiplikatives Fuzzy-NAND === Das multiplikative Fuzzy-NAND <math>NAND_\odot</math> ist eine Erzeugendenfunktion für alle fuzzylogischen Verknüpfungen, denn es gilt für <math>x,y\in [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{rcl} x \ \widetilde{\wedge}_{_\odot} \ y & := & NAND_\odot(1-x,1-y) \\ \widetilde{\neg}_{_\odot} \, x & := & NAND_\odot(x,x) \\ x \ \widetilde{\vee}_{\!\!_\odot} \, y & := & \widetilde{\neg}_{_\odot} (\widetilde{\neg}_{_\odot} \ x \ \widetilde{\wedge}_{_\odot} \ \widetilde{\neg}_{_\odot} \ y) \\ x \ \widetilde{\rightarrow}_{\!_\odot} \ y & := & \widetilde{\neg}_{_\odot} ( \ x \ \widetilde{\vee}_{\!\!_\odot} \ y) \\ \end{array} </math> === Aufgabe für Studierende === * Zeigen Sie, dass die obige Definition des multiplikativen NAND zu einer mit der klassischen Logik konsistenten Eigenschaft der Fuzzy-Verknüpfungen kommt. === Bemerkung - strengeres Fuzzy-UND === Das multiplikative Fuzzy-NAND <math>NAND_\odot</math> erzeugt ein strengeres Fuzzy-AND als fuzzylogische Verknüpfungen als die Min-Max-Definition der fuzzylogischen Verknüpfungen. Dies bedeutet, dass für alle <math>x,y\in [0,1]</math> gilt: :<math> x \ \widetilde{\wedge}_{_\odot} \, y \ \ \leq \ \ x \ \widetilde{\wedge} \ y </math> == Aufgaben - Zugehörigkeitsfunktion == Mit den folgenden Aufgaben zum Thema ''Fuzzy-Implikation'' als ''Operator'' auf Fuzzymengen behandelt: * Erzeugen Sie eine Zugehörigkeitsfunktion einer Fuzzymenge für den linguistischen Wert "alt" und "schnell" wobei die Grundmenge <math>\Omega := [0,100] </math> ein Alter zwischen 0 und 100 Jahren als Argument der Zugehörigkeitsfunktionen definiert. * Zeichnen Sie einen Graphen <math>\mu_{alt} : \Omega \to [0,1]</math> mit <math>\Omega := [0,100] </math> auf der x-Achse und <math>[0,1]</math> auf der y-Achse, wobei <math>\mu_{alt}(x) \in [0,1] </math> angibt, zu welchem Grad eine Alter <math>x</math> die Eigenschaft "alt" als linguistischen Wert erfüllt. * Zeichnen Sie einen Graphen <math>\mu_{schnell} : \Omega \to [0,1]</math> mit <math>\Omega := [0,100] </math> auf der x-Achse und <math>[0,1]</math> auf der y-Achse, wobei <math>\mu_{schnell}(x) \in [0,1] </math> angibt, zu welchem Grad eine Alter <math>x</math> die Eigenschaft "schnell" als linguistischen Wert erfüllt. == Aufgaben - Fuzzylogische Folgerung == Als einführendes Beispiel zum Thema ''fuzzylogische Operatoren'' dient dazu, sprachliche formuliert "WENN-DANN"-Aussagen in fuzzylogische zu übertragen und danach die resultierende Zugehörigkeitsfunktion zu interpretieren. <math>\Omega = [0,100] </math> ist das Alter in Jahren. * Nutzen Sie die obigen [[Fuzzylogik/Zugehörigkeitsfunktion|Zugehörigkeitsfunktionen]] von "alt" und "schnell". * Basierend auf den obigen [[Fuzzylogik/Zugehörigkeitsfunktion|Zugehörigkeitsfunktionen]] zeichnen Sie zunächst freihändig die Zugehörigkeitsfunktion ''"WENN alt DANN schnell"'' * Berechnen Sie dann die fuzzylogische Zugehörigkeitsfunktion von ''"WENN alt DANN schnell"''! Drücken Sie dabei die Folgerung zunächst durch UND, ODER und NICHT aus. * Falls sich Ihre "Freihandzeichnung" und der berechnete Graph der Zughörigkeitsfunktion unterscheiden, begründen Sie, warum die Freihandzeichnung von dem berechneten Graphen abweicht! == Logische Operationen == Analog zur klassischen (crispen) Logik kann man in der Fuzzylogik auch logische Operatoren definieren, die konsistent zu klassischen Logik sind, d.h. in den crispen Grenzfällen von 0 und 1 für falsch und wahr den Operatoren in der klassischen Logik nicht widersprechen. === Negation === Die Negation in der Fuzzylogik erfolgt durch Subtraktion der Eingabewerte von 1. Also ''' NOT(A)=1-A''' === Nicht ausschließende-ODER-Schaltung === Die Adjunktion erfolgt durch Wahl des jeweils höheren Wertes der Eingabewerte. Also ''' OR(A;B)=A wenn A>B''' ''' B wenn A<=B''' Dies kann man analog auch durch das Maximum ausdrücken <math>OR(A;B) := \max\{A,B\}</math> === UND-Schaltung === Die Konjunktion erfolgt durch Wahl des jeweils niedrigeren Wertes der Eingabewerte. Also ''' AND(A;B)=A wenn A&lt;B''' ''' B wenn A>=B''' Dies kann man analog auch durch das Minimum ausdrücken <math>AND(A;B) := \min\{A,B\}</math> === Ausschließende-ODER-Schaltung === Für die Disjunktion komplementiert man den kleineren zweier Werte und wählt den kleineren der beiden. Für mehr als zwei Eingabewerte setzt man das Ergebnis der letzten Operation rekursiv mit dem jeweils nächsten Eingabewert ein. Einfacher: man nimmt die Differenz des weniger Extremen von dem ihm gegenüberliegenden Extremwert. Also ''' XOR(A;B)=A wenn A>B und A<(1-B)''' ''' 1-B wenn A>B und A>=(1-B)''' ''' B wenn B>=A und B<(1-A)''' ''' 1-A wenn B>=A und B>=(1-A)''' === Wahrheitstafel von XOR === Das ausschließende ODER "XOR" besitzt in der klasssischen Logik die Wahrheitstafel von <math>\neg(A \leftrightarrow B) </math>. {| class="wikitable float-right" |- ! <math>A</math> ! <math>B</math> ! <math>\neg(A \leftrightarrow B) </math> |- | falsch | falsch |style="text-align:center"| falsch |- | falsch | wahr |style="text-align:center"| wahr |- | wahr | falsch |style="text-align:center"| wahr |- | wahr | wahr |style="text-align:center"| falsch |} === Fuzzylogische Berechnung von XOR === Um konsistent zur klassischen Logik zu bleiben, kann man eine ''"ausschließendes ODER"'' auch über die logischen Verknüpfungen "UND", "ODER" und "NICHT" ausdrücken. :<math> XOR(A,B) \Longleftrightarrow \neg (A \longleftrightarrow B) \Longleftrightarrow (A\wedge \neg B) \vee (B\wedge \neg A) </math> Mit die Verwendung <math>max</math> für ODER und <math>min</math> für UND kann man XOR(A,B) fuzzylogisch wie folgt darstellen: :<math> XOR(A,B) = max\big( min(\mu_{A},1-\mu_{B}) , min(\mu_{B},1-\mu_{A}) \big) </math> == Literatur/Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte einer Menge]] * [[w:de:Fuzzylogik/Operatoren|Fuzzylogik/Operatoren]] * [[Mathematische Modellbildung]] * [[Open Educational Resources]] * [[Wiki2Reveal]] === Kurse === * [[Kurs:Maschinelles Lernen]] * [[Kurs:Mathematische Modellbildung]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik/Operatoren&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Operatoren&coursetitle=Fuzzylogik Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik/Operatoren&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Operatoren&coursetitle=Fuzzylogik Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik Fuzzylogik]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Fuzzylogik/Operatoren https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik/Operatoren] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik/Operatoren Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik/Operatoren * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik/Operatoren&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Operatoren&coursetitle=Fuzzylogik Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 3jt51maf53mk7gyxk0x3bivbk0liru9 1119215 1119214 2026-11-09T10:51:18Z Bert Niehaus 20843 /* Erzeugendenfunktion - Fuzzy-NAND */ 1119215 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite zum Thema ''Fuzzylogik/Operatoren'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik/Operatoren&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Operatoren&coursetitle=Fuzzylogik Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt: * (1) Klassische logische Operationen<ref>Suppes, P. (1999). Introduction to logic. Courier Corporation.</ref>, * (2) Fuzzylogische Operationen<ref>Buckley, J. J., & Eslami, E. (2002). An introduction to fuzzy logic and fuzzy sets (Vol. 13). Springer Science & Business Media.</ref>, * (3) Konsistenz zur klassischen Logik. === Konsistenz zur klassischen Logik === Die Konsistenz zur klassischen Logik besagt, dass die Fuzzylogik auf den [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkten]] des Einheitsquadrates <math>\Omega := [0,1]\times [0,1]</math> genauso funktionieren muss, wie die klassische Logik. Die == Zielsetzung == Diese Lernressource zu ''Fuzzylogik und Operatoren'' in der Wikiversity hat das Ziel, das klassische Konzept von logischen Operatoren UND, ODER, NICHT, WENN ... DANN, ...) (<math> \wedge, \vee, \neg, \Rightarrow </math>) auf fuzzylogische Operationen zu verallgemeinern. == Lernvoraussetzungen == Die Lernressource zum Thema ''Fuzzylogik/Operatoren'' hat die folgenden Lernvoraussetzungen, die zum Verständnis der nachfolgenden Ausführungen hilfreich bzw. notwendig sind. * '''([[Fuzzylogik/Zugehörigkeitsfunktion|Zugehörigkeitsfunktionen]])''' Funktionale Beschreibung unscharfer Mengen * '''(Wahrheitstafeln)''' Wahrheitstafeln für klassische logische Operatoren * '''(Implikationen/Folgerungen)''' klassische Implikationen/Folgerungen, da diese auf die Fuzzylogik übertragen werden == Operatoren für unscharfe Mengen == [[Datei:Fuzzy-Operatoren.png|450px|UND-ODER-NICHT-Operatoren zur Verknüpfung von Zugehörigkeitsfunktionen (Teilmengen).]] === Erzeugendenfunktion - Fuzzy-NAND === Die Verknüpfung Fuzzy-NAND <math>NAND_\odot</math> ist eine Erzeugendenfunktion für alle fuzzylogischen Verknüpfungen, denn es gilt für <math>x,y\in [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{rcl} x \ \widetilde{\wedge} \ y & := & \min\{ 1-x,1-y \} \\ \widetilde{\neg} \, x & := & NAND(x,x) = \min\{ 1-x,1-x \} = 1-x \\ x \ \widetilde{\vee} \, y & := & \widetilde{\neg} (\widetilde{\neg} \ x \ \widetilde{\wedge} \ \widetilde{\neg} \ y) = = 1- \min\{ x, y \} = \max\{ x,y \} \\ x \ \widetilde{\rightarrow} \ y & := & \widetilde{\neg} ( \ x \ \widetilde{\vee} \ y) = \max\{ 1-x,y \} \\ \end{array} </math> === Fortsetzung der klassischen Logik nicht eindeutig === Die Fortsetzung der klassischen Logik ist allerding nicht eindeutig. Durch das die multiplikative Fuzzy-NAND-Funktion wird ebenfalls eine von der obigen Min-Max-Operator-Definition wesentlich verschiedene Definition der Fuzzyoperationen definiert, die ebenfalls konsistent zur klassischen Logik ist. === Multiplikatives Fuzzy-NAND === Man definiert das multiplikative Fuzzy-NAND wie folgt: :<math> \begin{array}{rrcl} NAND_\odot: & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & [0,1] \\ & \left( x,y \right) & \mapsto & NAND_\odot\left( x,y \right) = (1-x)\cdot (1-y) \end{array} </math> === Erzeugendenfunktion - multiplikatives Fuzzy-NAND === Das multiplikative Fuzzy-NAND <math>NAND_\odot</math> ist eine Erzeugendenfunktion für alle fuzzylogischen Verknüpfungen, denn es gilt für <math>x,y\in [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{rcl} x \ \widetilde{\wedge}_{_\odot} \ y & := & NAND_\odot(1-x,1-y) \\ \widetilde{\neg}_{_\odot} \, x & := & NAND_\odot(x,x) \\ x \ \widetilde{\vee}_{\!\!_\odot} \, y & := & \widetilde{\neg}_{_\odot} (\widetilde{\neg}_{_\odot} \ x \ \widetilde{\wedge}_{_\odot} \ \widetilde{\neg}_{_\odot} \ y) \\ x \ \widetilde{\rightarrow}_{\!_\odot} \ y & := & \widetilde{\neg}_{_\odot} ( \ x \ \widetilde{\vee}_{\!\!_\odot} \ y) \\ \end{array} </math> === Aufgabe für Studierende === * Zeigen Sie, dass die obige Definition des multiplikativen NAND zu einer mit der klassischen Logik konsistenten Eigenschaft der Fuzzy-Verknüpfungen kommt. === Bemerkung - strengeres Fuzzy-UND === Das multiplikative Fuzzy-NAND <math>NAND_\odot</math> erzeugt ein strengeres Fuzzy-AND als fuzzylogische Verknüpfungen als die Min-Max-Definition der fuzzylogischen Verknüpfungen. Dies bedeutet, dass für alle <math>x,y\in [0,1]</math> gilt: :<math> x \ \widetilde{\wedge}_{_\odot} \, y \ \ \leq \ \ x \ \widetilde{\wedge} \ y </math> == Aufgaben - Zugehörigkeitsfunktion == Mit den folgenden Aufgaben zum Thema ''Fuzzy-Implikation'' als ''Operator'' auf Fuzzymengen behandelt: * Erzeugen Sie eine Zugehörigkeitsfunktion einer Fuzzymenge für den linguistischen Wert "alt" und "schnell" wobei die Grundmenge <math>\Omega := [0,100] </math> ein Alter zwischen 0 und 100 Jahren als Argument der Zugehörigkeitsfunktionen definiert. * Zeichnen Sie einen Graphen <math>\mu_{alt} : \Omega \to [0,1]</math> mit <math>\Omega := [0,100] </math> auf der x-Achse und <math>[0,1]</math> auf der y-Achse, wobei <math>\mu_{alt}(x) \in [0,1] </math> angibt, zu welchem Grad eine Alter <math>x</math> die Eigenschaft "alt" als linguistischen Wert erfüllt. * Zeichnen Sie einen Graphen <math>\mu_{schnell} : \Omega \to [0,1]</math> mit <math>\Omega := [0,100] </math> auf der x-Achse und <math>[0,1]</math> auf der y-Achse, wobei <math>\mu_{schnell}(x) \in [0,1] </math> angibt, zu welchem Grad eine Alter <math>x</math> die Eigenschaft "schnell" als linguistischen Wert erfüllt. == Aufgaben - Fuzzylogische Folgerung == Als einführendes Beispiel zum Thema ''fuzzylogische Operatoren'' dient dazu, sprachliche formuliert "WENN-DANN"-Aussagen in fuzzylogische zu übertragen und danach die resultierende Zugehörigkeitsfunktion zu interpretieren. <math>\Omega = [0,100] </math> ist das Alter in Jahren. * Nutzen Sie die obigen [[Fuzzylogik/Zugehörigkeitsfunktion|Zugehörigkeitsfunktionen]] von "alt" und "schnell". * Basierend auf den obigen [[Fuzzylogik/Zugehörigkeitsfunktion|Zugehörigkeitsfunktionen]] zeichnen Sie zunächst freihändig die Zugehörigkeitsfunktion ''"WENN alt DANN schnell"'' * Berechnen Sie dann die fuzzylogische Zugehörigkeitsfunktion von ''"WENN alt DANN schnell"''! Drücken Sie dabei die Folgerung zunächst durch UND, ODER und NICHT aus. * Falls sich Ihre "Freihandzeichnung" und der berechnete Graph der Zughörigkeitsfunktion unterscheiden, begründen Sie, warum die Freihandzeichnung von dem berechneten Graphen abweicht! == Logische Operationen == Analog zur klassischen (crispen) Logik kann man in der Fuzzylogik auch logische Operatoren definieren, die konsistent zu klassischen Logik sind, d.h. in den crispen Grenzfällen von 0 und 1 für falsch und wahr den Operatoren in der klassischen Logik nicht widersprechen. === Negation === Die Negation in der Fuzzylogik erfolgt durch Subtraktion der Eingabewerte von 1. Also ''' NOT(A)=1-A''' === Nicht ausschließende-ODER-Schaltung === Die Adjunktion erfolgt durch Wahl des jeweils höheren Wertes der Eingabewerte. Also ''' OR(A;B)=A wenn A>B''' ''' B wenn A<=B''' Dies kann man analog auch durch das Maximum ausdrücken <math>OR(A;B) := \max\{A,B\}</math> === UND-Schaltung === Die Konjunktion erfolgt durch Wahl des jeweils niedrigeren Wertes der Eingabewerte. Also ''' AND(A;B)=A wenn A&lt;B''' ''' B wenn A>=B''' Dies kann man analog auch durch das Minimum ausdrücken <math>AND(A;B) := \min\{A,B\}</math> === Ausschließende-ODER-Schaltung === Für die Disjunktion komplementiert man den kleineren zweier Werte und wählt den kleineren der beiden. Für mehr als zwei Eingabewerte setzt man das Ergebnis der letzten Operation rekursiv mit dem jeweils nächsten Eingabewert ein. Einfacher: man nimmt die Differenz des weniger Extremen von dem ihm gegenüberliegenden Extremwert. Also ''' XOR(A;B)=A wenn A>B und A<(1-B)''' ''' 1-B wenn A>B und A>=(1-B)''' ''' B wenn B>=A und B<(1-A)''' ''' 1-A wenn B>=A und B>=(1-A)''' === Wahrheitstafel von XOR === Das ausschließende ODER "XOR" besitzt in der klasssischen Logik die Wahrheitstafel von <math>\neg(A \leftrightarrow B) </math>. {| class="wikitable float-right" |- ! <math>A</math> ! <math>B</math> ! <math>\neg(A \leftrightarrow B) </math> |- | falsch | falsch |style="text-align:center"| falsch |- | falsch | wahr |style="text-align:center"| wahr |- | wahr | falsch |style="text-align:center"| wahr |- | wahr | wahr |style="text-align:center"| falsch |} === Fuzzylogische Berechnung von XOR === Um konsistent zur klassischen Logik zu bleiben, kann man eine ''"ausschließendes ODER"'' auch über die logischen Verknüpfungen "UND", "ODER" und "NICHT" ausdrücken. :<math> XOR(A,B) \Longleftrightarrow \neg (A \longleftrightarrow B) \Longleftrightarrow (A\wedge \neg B) \vee (B\wedge \neg A) </math> Mit die Verwendung <math>max</math> für ODER und <math>min</math> für UND kann man XOR(A,B) fuzzylogisch wie folgt darstellen: :<math> XOR(A,B) = max\big( min(\mu_{A},1-\mu_{B}) , min(\mu_{B},1-\mu_{A}) \big) </math> == Literatur/Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte einer Menge]] * [[w:de:Fuzzylogik/Operatoren|Fuzzylogik/Operatoren]] * [[Mathematische Modellbildung]] * [[Open Educational Resources]] * [[Wiki2Reveal]] === Kurse === * [[Kurs:Maschinelles Lernen]] * [[Kurs:Mathematische Modellbildung]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik/Operatoren&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Operatoren&coursetitle=Fuzzylogik Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik/Operatoren&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Operatoren&coursetitle=Fuzzylogik Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik Fuzzylogik]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Fuzzylogik/Operatoren https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik/Operatoren] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik/Operatoren Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik/Operatoren * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik/Operatoren&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Operatoren&coursetitle=Fuzzylogik Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] hwwi1d7vrac05bee5nhs1touk8p7ouz 106 166161 1119098 1067743 2026-11-08T13:07:07Z Bocardodarapti 2041 1119098 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2025-2026)/Arbeitsblattgestaltung|21| {{Zwischenüberschrift|Übungsaufgaben}} {{ inputaufgabe |Zyklische Gruppe/SL2C/Wirkung auf Punkten und Geraden/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Binäre Diedergruppe/1/Zyklisch/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Binäre Diedergruppe/Matrix B erzeugt keinen Normalteiler/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Binäre Diedergruppe/Wirkung auf Geraden/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Endliche Untergruppen/SL2C/Unitär/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |E8/Erzeugende Matrix der Ordnung 4/Unitär/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Lineare Gruppenoperation/C^n/Endlich/Neues Skalarprodukt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Unitäre Abbildung/Charakterisierung mit Matrix/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} In den folgenden Aufgaben rekapitulieren wir einige Eigenschaften der Einheitswurzeln und der Kreisteilungspolynome. {{ inputaufgabe |Koordinaten der fünften Einheitswurzeln/Bestimme/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Komplexe Einheitswurzel/Potenzmatrix/Linear unabhängig/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |X^n-1/Division durch X-1/Eigenschaft einer Einheitswurzel neq 1/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kreisteilungspolynome bis 15/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Binäre Oktaedergruppe/C/Eigenvektoren/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Binäre Oktaedergruppe/1 durch sqrt 2i -i zeta -i/Gehört dazu/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Binäre Ikosaedergruppe/Beschreibung der Elemente/Heranführung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Binäre Ikosaedergruppe/Beschreibung der Elemente/Eindeutigkeit/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Binäre Ikosaedergruppe/120 Elemente/Darstellung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} }} emj88tuxrd83cac52jioixv7l8yktke 1119132 1119098 2026-11-08T18:32:16Z Bocardodarapti 2041 1119132 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2025-2026)/Arbeitsblattgestaltung|21| {{Zwischenüberschrift|Übungsaufgaben}} {{ inputaufgabe |Zyklische Gruppe/SL2C/Wirkung auf Punkten und Geraden/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Binäre Diedergruppe/1/Zyklisch/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Binäre Diedergruppe/Matrix B erzeugt keinen Normalteiler/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Binäre Diedergruppe/Wirkung auf Geraden/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Endliche Untergruppen/SL2C/Unitär/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |E8/Erzeugende Matrix der Ordnung 4/Unitär/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Lineare Gruppenoperation/C^n/Endlich/Neues Skalarprodukt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Unitäre Abbildung/Charakterisierung mit Matrix/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} In den folgenden Aufgaben rekapitulieren wir einige Eigenschaften der Einheitswurzeln und der Kreisteilungspolynome. {{ inputaufgabe |Koordinaten der fünften Einheitswurzeln/Bestimme/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Komplexe Einheitswurzel/Potenzmatrix/Linear unabhängig/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |X^n-1/Division durch X-1/Eigenschaft einer Einheitswurzel neq 1/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kreisteilungspolynome bis 15/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Binäre Oktaedergruppe/C/Eigenvektoren/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Binäre Oktaedergruppe/1 durch sqrt 2i -i zeta -i/Gehört dazu/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Binäre Ikosaedergruppe/Beschreibung der Elemente/Heranführung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Binäre Ikosaedergruppe/Beschreibung der Elemente/Überführung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Binäre Ikosaedergruppe/Beschreibung der Elemente/Eindeutigkeit/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Binäre Ikosaedergruppe/120 Elemente/Darstellung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} }} ms3qo1p6x8voxuou188yqrjcltzj3kp 106 167013 1119177 1118597 2026-11-09T09:09:26Z Paul Sutermeister 37610 1119177 wikitext text/x-wiki Das Programm des Kurses '''Communication Skills''' (erstellt von [[Benutzer:Paul Sutermeister|Paul Sutermeister]]) zur Erlangung des [[Kurs:Handelsdiplom|Handelsdiploms]] des [[:w:Verband Schweizerischer Handelsschulen|Verbandes Schweizerischer Handelsschulen]] (VSH) basiert auf den Leistungszielen des VSH<ref>[https://www.vsh.swiss/assets/Downloads/Reglemente/VSH-Business/VSH-Reglement-HD-kZu-Kauffrau-Kaufmann-2025_rev_Brand_V1.pdf ''Reglement Handelsdiplom VSH Business Kaufmännische Zusatzausbildung.''] [[:w:Verband Schweizerischer Handelsschulen|Verband Schweizerischer Handelsschulen]], 2025, Seite 18</ref> <small>(Änderungen vorbehalten)</small>: {| class="wikitable" ! Kurstag (jeweils 2 Lektionen à 45 Minuten) ! Kursinhalt ! Lehrmittel |- | 10./11. August 2026 || '''[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Wortart|Wortarten]]''', <small>[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Wortschatz|Wortschatz]]</small>[[Datei:Duden_25Auflage.JPG|frameless|50px]] || Amoroso et al. (2010), Seiten 30-32<ref>Amoroso G., Graf A., Wegmann I., Bornand J.: ''Grundkompetenzen Deutsch: Theorie, Beispiele und Checklisten.'' Zürich: [[:w:Compendio Bildungsmedien|Compendio]], 2010.</ref></br>[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Duden|Duden]] |- | 17./18. August || '''[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Rechtschreibung|Rechtschreibung]]''' || Amoroso et al. (2010), Seiten 93-110 |- | 24./25. August || '''[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Satzglied|Satzglieder]]''' (Satzglieder sind nicht prüfungsrelevant): <small>Prädikat, Subjekt, Adverbial, [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Objekt|Objekt]]</small> || Seiten 10-14 |- | 31. August / 1. September || <small>[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Ellipse|Ellipse]]</small> → '''[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Satzbau|Satzbau]]''' || Seiten 15-16 |- | 7./8. September || '''[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Satzzeichen|Satzzeichen]]''' || |- | 14./15. September || Alte Diplomprüfung als Repetition für Rechtschreibung und Satzzeichen || |- | 21./22. September || <span style="color:red;">'''Zwischenklausur'''</span>: <small>Papier/Stift/Duden (gleich wie Modulprüfung)<ref name="hilfsmittelliste"/>, 45 Minuten:</br>Vier gleichgewichtete Themen: 1) Wortarten (nicht Wortschatz) 2) Rechtschreibung, 3) Satzbau, 4) Satzzeichen.</small> || |- | 12./13. Oktober || <small>[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Adressatenorientierung|Adressatenorientierung]]</small>, '''[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Feedback|Feedback]]''' || |- | 19./20. Oktober || [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Stil|Stil]] || |- | 26./27. Oktober || [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Modus|Modus]]/[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Partizip|Partizip]] → '''[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Indirekte Rede|Indirekte Rede]]''' || Seiten 66-69 |- | 2./3. November || Indirekte Rede → [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Protokoll|Protokoll]] || Seiten 66-69 |- | 9./10. November || Vorbereitung für Diplomprüfungsaufgabe 4: [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Textproduktion|Textproduktion]] → [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Textproduktion|üben]] |- | 16./17. November || [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Problem|Problem]] → [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Erörterung|Erörterung]] → [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Stellungnahme|Stellungnahme]] || Seiten 81-84 (Stellungnahme); Seiten 85-88 (Erörterung) |- | 24./25. November || [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Geschäftsbrief|Geschäftsbrief]] → [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Angebot|Angebot]] || Seiten 51-52 |- | 30. November / 1. Dezember || colspan="2" | <span style="color:red;">'''Zwischenklausur</span>:''' <small>Papier/Stift/Duden (gleich wie Modulprüfung)<ref name="hilfsmittelliste"/>, 45 Minuten:<br/>1. Aufgabe '''Modus → Indirekte Rede → Protokoll''': Lückentext und ev. Multiple-Choice-Fragen.</br><!--2. Thema '''STELLUNGNAHME''': Sie erhalten zur Auswahl fünf Themen und müssen in 90 bis 110 Wörtern zu einem dieser Themen strukturiert Stellung nehmen.<br/>-->2. Aufgabe '''GESCHÄFTSBRIEF:''' Sie bieten in 90 bis 110 Wörtern ein Produkt oder eine Dienstleistung an. Fünf Themen stehen zur Auswahl. Bewertungskriterien gleich wie bei ''Textproduktion'' der Modulprüfung: zwischen 90 und 110 Wörtern, Inhalt: 13 Punkte, Sprache: 7 Punkte.</small> || |- | 7./8. Dezember 2026 || '''Gesuch'''; <small>[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Verb|Verb]]</small> → [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Anleitung|Anleitung]] || Seiten 70-73 |- | '''14./15. Dezember 2026''' || [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Verständlichkeit|Verständlichkeit]], <small>[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Verständlichkeitsmodell|Verständlichkeitsmodell]]</small>; Textproduktion und Feedback (alte Diplomprüfungen) || |- | <span style="color:red;">'''4./5. Januar 2027'''</span> || colspan="2" | <span style="color:red;">'''MODULPRÜFUNG'''</span>: closed book, siehe Hilfsmittelliste des [[:w:Verband Schweizerischer Handelsschulen|VSH]] (nur Duden erlaubt)<ref name="hilfsmittelliste">[https://www.vsh.swiss/assets/Downloads/Reglemente/VSH-Business/VSH-Hilfsmittelliste-2025_HD-kZu_rev_Brand_V1.pdf Hilfsmittelliste] des [[:w:Verband Schweizerischer Handelsschulen|VSH]] (Stand 2025)</ref> |} = Lehrmittel = * Amoroso G., Graf A., Wegmann I., Bornand J.: ''Grundkompetenzen Deutsch: Theorie, Beispiele und Checklisten.'' Zürich: [[:w:Compendio Bildungsmedien|Compendio]], 2010. <!--= Vorbereitung Zwischenklausur vom 24.11. = == Aufgabe 1: Indirekte Rede (20 Minuten) == 20 Single-Choice-Fragen. 🏋️ '''Üben Sie hier die [[Benutzer:Paul_Sutermeister/Indirekte_Rede#Übungen|indirekte Rede]]''' == Aufgabe 2: [[Benutzer:Paul_Sutermeister/Stellungnahme#Peer-Feedback-Checkliste|Stellungnahme]] (20 Minuten) == '''Provokative Aussage:''' ''„In der Schweiz sollte die Vier-Tage-Woche ohne Lohnkürzung eingeführt werden.“'' '''Auftrag:''' Nehmen Sie strukturiert Stellung zu dieser Aussage. Gehen Sie dabei auf folgende Punkte ein: * mögliche Vorteile * mögliche Nachteile * eigene Schlussfolgerung Wortzahl: 90–110 (zu viel/zu wenig gibt Abzug). Bewertung: Inhalt 13 Punkte, Sprache 7 Punkte. {{:SCLO/ Vorlage: Klappbox | Titel= '''Musterlösung Stellungnahme''' | Inhalt= Soll in der Schweiz die Vier-Tage-Woche ohne Lohnkürzung eingeführt werden? Ich arbeite als Malerin in einer mittelgrossen Firma. Im Folgenden erkläre ich, warum diese Vier-Tage-Woche aus meiner Sicht sinnvoll ist.<br/>In meiner Arbeit gäbe es weniger Stress, unter meinen Kollegen gäbe es tiefere Krankheitsquote und höhere Motivation. Arbeitgeber werden allerdings nicht damit einverstanden sein, weil sie meinen, Lohn für ungeleistete Arbeit zu zahlen. Und nicht alle Branchen können die gleiche Produktivität in weniger Zeit aufrechterhalten, und kleinere Firmen hätten Mühe, Personalengpässe auszugleichen. Entscheidend wäre eine flexible Umsetzung, die branchenspezifische Unterschiede berücksichtigt.<br/>Insgesamt überwiegen für mich als Arbeitnehmerin die Vorteile, wenn die Einführung gut geplant und mit klaren Zielen verbunden ist. }} === Themenvorschläge === Für den Teil Stellungnahme wählen wir fünf der folgenden zwanzig Themen per Zufallsgenerator aus. Sie müssen dann eine Stellungnahme von 90 bis 110 Wörtern zu einem der ausgewählten fünf Themen schreiben. '''Arbeitswelt & Digitalisierung:''' # Sollten Bewerbungen komplett anonymisiert werden? # Ist das Homeoffice langfristig schädlich für die Teamkultur? # Sollten KI-Tools in Prüfungen erlaubt sein? # Braucht es eine Vier-Tage-Woche bei gleichem Lohn? # Sind unbezahlte Praktika ein notwendiges Übel? '''Gesellschaft & Zusammenleben:''' # Sollten Städte SUVs in Innenstädten verbieten? # Muss man Fleisch deutlich höher besteuern? # Sollte Rauchen auf öffentlichen Plätzen komplett verboten werden? # Sollten Social-Media-Accounts erst ab 16 erlaubt sein? # Ist Kinderkriegen in Zeiten der Klimakrise verantwortungslos? '''Wirtschaft & Konsum:''' # Sollten Fast-Fashion-Unternehmen strengere gesetzliche Auflagen bekommen? # Muss Onlinehandel höhere Umweltsteuern zahlen? # Sind Luxusmarken moralisch problematisch? # Sollten Lebensmittel, die noch gut sind, verschenkt werden müssen? '''Migration & Integration:''' # Sollten Einbürgerungsverfahren erleichtert werden? # Sollte die Schweiz mehr Geflüchtete aufnehmen? # Sollten Integrationskurse verpflichtend sein? '''Lebensstil & Werte:''' # Sollte jeder Mensch mindestens ein Jahr verpflichtenden Sozialdienst leisten? # Sollte man Haustiere nur mit einem “Tierführerschein” halten dürfen? # Ist Minimalismus nur ein Trend oder eine notwendige Lebensweise? '''Bildung & Beruf:''' # Sollten Schulen Smartphones komplett verbieten? (klassisch, aber immer wirksam) # Braucht es weniger Schulnoten und mehr Kompetenzen? # Sollten Lehrpersonen besser bezahlt werden? # Sind Hochschulabschlüsse überschätzt? == Aufgabe 3: [[Benutzer:Paul_Sutermeister/Angebot#Peer-Feedback-Checkliste|Angebot]] (20 Minuten) == '''Situation:''' Eine lokale Firma plant ein Firmen-Event mit rund 70 Personen und benötigt kurzfristig Unterstützung. '''Auftrag:''' Verfassen Sie ein Angebot zu einer der folgenden Dienstleistungen: * professionelles Catering * Event-Fotografie * technische Betreuung (Ton/Licht/Präsentation) Ihr Angebot soll enthalten: * kurze Vorstellung der Dienstleistung * wichtigste Leistungen * Preis oder Preisspanne * Bedingungen (z. B. Reservierung, Lieferzeit, Kontakt) Wortzahl: 90–110 ohne Anrede/Grussformel (zu viel/zu wenig gibt Abzug). Bewertung: Inhalt 13 Punkte, Sprache 7 Punkte. {{:SCLO/ Vorlage: Klappbox | Titel= '''Musterlösung Stellungnahme''' | Inhalt= Sehr geehrte Damen und Herren<br/>Gerne unterbreiten wir Ihnen unser Angebot für das Catering Ihres geplanten Firmen-Events mit rund 70 Teilnehmenden.<br/>Wir bieten ein hochwertiges Buffet mit warmen und kalten Speisen, vegetarischen Optionen sowie alkoholfreien Getränken. Zusätzlich übernehmen wir den Auf- und Abbau sowie die vollständige Betreuung während des Anlasses.<br/>Der Preis beträgt CHF 42.– pro Person, inklusive Material, Service und Transport im Raum Nordwestschweiz.<br/>Bei einer verbindlichen Reservation bis zehn Tage vor dem Event gewähren wir einen Rabatt von fünf Prozent.<br/>Für Rückfragen oder individuelle Anpassungen stehen wir Ihnen jederzeit gerne zur Verfügung.<br/>Freundliche Grüsse }} === Themenvorschläge === Für den Teil Angebot wählen wir fünf der folgenden zwanzig Themen per Zufallsgenerator aus. Sie müssen dann ein Angebot von 90 bis 110 Wörtern zu einem der fünf ausgewählten Themen schreiben. Beispiele für Waren- oder Dienstleistungsangebote (Prüfungsteil 2 - Angebot schreiben): '''Warenangebote (Produkte):''' # Bürobedarf: Sie bieten einem Start-up ein Paket aus Drucker, Papier, Ordnern, Toner an. # IT-Ausrüstung: Ein Kunde sucht 12 Laptops für sein Team, inkl. Garantie und Zubehör. # Gastronomiebedarf: Ein Restaurant möchte neue Kaffeemaschinen und Barista-Zubehör kaufen. # Gesundheitsprodukte: Ein Fitnessstudio benötigt Massagegeräte, Matten und Desinfektionsmittel. # Transport & Logistik: Ein Unternehmen braucht robuste Verpackungsmaterialien für Exporte. # Möbel: Eine Praxis möchte ergonomische Stühle und höhenverstellbare Tische. # Lebensmittel / Catering-Ware: Ein Eventunternehmen sucht Snacks, Getränke und Kühlboxen. # Reinigungsprodukte: Eine Schule benötigt Reinigungsmittel, Staubsauger, Bodenpflegemaschinen. # Verkaufsware: Ein kleiner Laden möchte regionale Produkte (Tee, Honig, Snacks). # Werkzeuge: Eine Bauunternehmung möchte Akkuschrauber, Helme, Schutzmaterial. '''Dienstleistungsangebote:''' # IT-Support / Cloud-Service: Sie bieten Wartung, Datensicherung und Helpdesk für ein KMU. # Eventorganisation: Sie organisieren ein Firmenjubiläum inkl. Catering, Technik und Deko. # Sprachkurse: Sie bieten einem Unternehmen interne Deutsch- oder Englischkurse an. # Reinigungsservice: Sie machen einem Bürohaus ein Angebot für tägliche Unterhaltsreinigung. # Marketing / Social Media: Sie erstellen und betreuen die Social-Media-Kanäle eines Start-ups. # Coaching / Weiterbildung: Sie bieten Verkaufsschulungen für das Verkaufsteam einer Firma an. # Gebäudetechnik / Handwerk: Sie offerieren Installation und Wartung einer neuen Alarmanlage. # Transportservice: Sie bieten wöchentliche Lieferungen für einen Blumenladen an. # Grafik- & Designservice: Sie gestalten Logo, Visitenkarten und Corporate Design für Neukunden. # Beratungsdienstleistung: Sie beraten ein KMU zur Optimierung interner Prozesse.--> == Einzelnachweise == <references/> [[Kategorie:Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)| ]] dsz8rzdtf819oadxzsc6gv8h2qi87sj 106 167054 1119228 1118746 2026-11-09T11:25:13Z Paul Sutermeister 37610 +[[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Eventmanagement|Eventmanagement]] 1119228 wikitext text/x-wiki Das Programm des Kurses '''Personal Skills''' zur Erlangung des [[Kurs:Handelsdiplom|Handelsdiploms]] des [[:w:Verband Schweizerischer Handelsschulen|Verbandes Schweizerischer Handelsschulen]] (VSH) basiert auf den Leistungszielen des VSH<ref>[https://www.vsh.swiss/assets/Downloads/Reglemente/VSH-Business/VSH-Reglement-HD-kZu-Kauffrau-Kaufmann-2025_rev_Brand_V1.pdf ''Reglement Handelsdiplom VSH Business Kaufmännische Zusatzausbildung.''] [[:w:Verband Schweizerischer Handelsschulen|Verband Schweizerischer Handelsschulen]], 2025, Seite 26.</ref> <small>(kleine Änderungen vorbehalten)</small>: {| class="wikitable" ! Kurstag (jeweils 45 Minuten) ! Kursinhalt ! Lehrmittel |- | 10./11. August 2026 | '''Office Knigge''':</br>Telefongespräch, Reklamation, E-Mail (Abwesenheitsmeldung), soziale Netzwerke | Graber/Ritter (2025), Seiten 7-18<ref>Bettina Graber, Sonja Ritter: ''Office-Knigge & Selbstmanagement / Personal Skills für Handelsschulen: Praxisorientierte Theorie, Aufgaben & Lösungen.'' Schaffhausen: [[:w:Westermann Gruppe|Westermann]], 2025. 134 Seiten. ISBN 978-3-85612-002-3</ref> |- | 17./18. August | '''Bekleidung und Auftreten'''</br> | Seiten 24-31 |- | 24./25. August | '''Arbeiten im Team''':</br>[[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Johari|Johari-Fenster]], [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Maslow|Maslows Bedürfnispyramide]], [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Eisberg|Eisbergmodell]], [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Teamrolle|Teamrollen]], [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Rangdynamik|Rangdynamik]], Teamwerte, Wertschätzung | Seiten 35-43 |- | 31. August / 1. September | Arbeiten im Team:</br>[[Kurs:Personal_Skills_(Handelsdiplom_VSH)/Sender-Empfänger-Modell|Sender-Empfänger-Modell]], [[Kurs:Personal_Skills_(Handelsdiplom_VSH)/Watzlawick|Watzlawick-Axiome]] | Seiten 44-46 |- | 7./8. September | Arbeiten im Team:</br>[[Kurs:Personal_Skills_(Handelsdiplom_VSH)/Vier-Seiten-Modell|Vier-Seiten-Modell]], [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Distanz|Distanzzonen]] | Seiten 46-48 |- | 14./15. September | Arbeiten im Team:</br>[[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Kognitive Verzerrung|Wahrnehmungsfehler]], [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Teambildung|Teamphasen (Tuckman)]] | Seiten 48-51 |- | 21./22. September | Arbeiten im Team:</br>[[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Fragen|Fragetechniken]], «Nein» sagen | Seiten 52-56 |- | 12./13. Oktober | Arbeiten im Team:</br>Stressoren, Konflikt | Seiten 56-61 |- | 19./20. Oktober | Arbeiten im Team:</br>Umgang mit [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Eskalation|Konflikt → Mobbing]] verhindern | Seiten 62-68 |- | 26./27. Oktober | Arbeiten im Team:</br>Resilienz | Seiten 69-75 |- | 2./3. November | '''[[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Eventmanagement|Eventmanagement]]''':</br> Konzept, Checkliste | Seiten 82-86 |- | 9./10. November | '''Selbstmanagement''':</br>[[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/SMART|SMART]], [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Paretoprinzip|Pareto]] | Seiten 90-94 |- | 16./17. November | Selbstmanagement:</br>[[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/ALPEN-Methode|Alpenmethode]], IPERKA, Leistungskurve | Seiten 95-99 |- | 23./24. November | Selbstmanagement:</br>[[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/ABC-Analyse|ABC-Analyse]], Kreativitätstechniken | Seiten 100-104 |- | 30. November / 1. Dezember | Selbstmanagement:</br>Kopfstand-Technik, [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Eisenhower-Prinzip|Eisenhower-Prinzip]] | Seiten 104-108 |- | 7./8. Dezember | '''Präsentationstechnik''': [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Präsentation|Erfolgskomponenten]], Rhetorik/Mimik/Gestik | Seiten 113-119 |- | 14./15. Dezember 2026 | Präsentationstechnik: Sitzungen organisieren (& Protokoll), Checklisten erstellen | Seiten 119-126 |- | '''4./5. Januar 2027''' | colspan="2" | <span style="color:red;">'''MODULPRÜFUNG'''</span>: keine Hilfsmittel erlaubt (gemäss Hilfsmittelliste des [[:w:Verband Schweizerischer Handelsschulen|VSH]])<ref name="hilfsmittelliste">[https://www.vsh.swiss/assets/Downloads/Reglemente/VSH-Business/VSH-Hilfsmittelliste-2025_HD-kZu_rev_Brand_V1.pdf Hilfsmittelliste] des [[:w:Verband Schweizerischer Handelsschulen|VSH]] (Stand 2025)</ref> |} <!-- = Ergänzendes Material = <small> :[[:en:Human capital|Human Capital]] :[[:en:Personal development|Personal development]] :[[:en:21st century skills|21st century skills]] :[[:en:Competence (human resources)|Competence in human resources]] :[[:en:Key Skills Qualification|Key Skills Qualification]]</small> == Kommunikation == * [[Benutzer:Paul Sutermeister/Aktives Zuhören|Aktives Zuhören]] * [[Benutzer:Paul Sutermeister/Fragetechnik|Fragetechnik]] == Team == * '''[[Benutzer:Paul Sutermeister/Team|Teambildung, Gesprächsführung, Konfliktlösung]]''' * [[Benutzer:Paul Sutermeister/Rangdynamik|Rangdynamik]] * <small>[[:w:Gruppendynamik|Phasenmodell nach Tuckman / Rangdynamische Positionen nach Schindler (Alpha, Beta, Gamma, Omega)]]</small> == [[:w:Selbstmanagement|Selbstmanagement]] == # Persönliche Leistungskurve – Wann arbeite ich am besten? # Pareto – Was lohnt sich? # ABC – Was ist wichtig? # Eisenhower – Was ist wichtig ''und'' dringend? # SMART – Wie formuliere ich ein gutes Ziel? # ALPEN – Wie plane ich meinen Tag? # IPERKA – Wie führe ich einen ganzen Prozess durch? === [[:w:Arbeitskurve|Persönliche Leistungskurve]] === <gallery> Nivel de atención durante el ritmo circadiano.jpg|'''[[:w:Circadiane Rhythmik|Circadiane Rhythmik]]''' Adenosine Sleep Two Process Model.png|[[:w:Zwei-Prozess-Modell der Schlafregulation|Zwei-Prozess-Modell der Schlafregulation]] </gallery> Das eigene Energie- und Konzentrationsniveau, und somit die Produktivität, schwanken über den Tag. Diese Erkenntnis ist Grundlage für folgende Planungs- und Priorisierungsmethoden. === [[:w:Modell der vollständigen Handlung|IPERKA]] === ; Zweck : '''Strukturierter Arbeits- und Projektprozess:''' Komplexeste Methode, eignet sich für ganze Arbeits- und Projektprozesse. → Abschluss: Vom Tagesgeschäft zur vollständigen Handlung und Prozesssteuerung. ; Schritte : '''I'''nformieren – Situation klären : '''P'''lanen – Vorgehen, Ressourcen : '''E'''ntscheiden – beste Lösung wählen : '''R'''ealisieren – ausführen : '''K'''ontrollieren – prüfen : '''A'''uswerten – lernen und verbessern ==== Beispiel: Spaghetti kochen ==== '''I – Informieren''' * Was will ich kochen? → Spaghetti * Was brauche ich? → Nudeln, Sauce, Salz, Wasser * Habe ich alles zu Hause? → Sauce fehlt '''P – Planen''' * Ich gehe zuerst kurz einkaufen. * Danach koche ich. * Das Essen soll um 18 Uhr fertig sein. '''E – Entscheiden''' * Ich entscheide: '''Ich kaufe die Sauce und koche Spaghetti.''' '''R – Realisieren (Ausführen)''' * Ich gehe in den Laden und kaufe die Sauce. * Ich koche Wasser. * Ich koche die Spaghetti. * Ich wärme die Sauce. '''K – Kontrollieren''' * Sind die Spaghetti gar? * Schmeckt die Sauce? * Ist das Essen rechtzeitig (z.B. um 18 Uhr) fertig? '''A – Auswerten''' * Hat alles gut geklappt? * War meine Planung realistisch? * Was mache ich nächstes Mal besser? (z.B. früher anfangen, mehr Sauce kaufen) ==== Beispiel: Eine Sitzung organisieren ==== '''I – Informieren''' * Worum geht es in der Sitzung? → Team-Besprechung * Wer muss dabei sein? → 5 Mitarbeitende * Wie lange dauert die Sitzung? → 30 Minuten * Gibt es einen Termin? → Noch nicht '''P – Planen''' * Ich schlage zwei mögliche Termine vor. * Ich reserviere einen Sitzungsraum. * Ich erstelle eine kurze Traktandenliste. * Ich plane die Dauer der Sitzung (30 Minuten). '''E – Entscheiden''' * Ich entscheide mich für: ** Termin: Dienstag, 14:00 Uhr ** Raum: Sitzungszimmer 2 * Ich entscheide, welche Traktanden besprochen werden. '''R – Realisieren (Ausführen)''' * Ich verschicke die Einladung per E-Mail. * Ich drucke die Traktandenliste aus. * Ich leite die Sitzung. * Ich mache kurze Notizen während der Sitzung. '''K – Kontrollieren''' * Waren alle eingeladen? * Hat die Sitzung pünktlich begonnen und geendet? * Wurden alle Traktanden besprochen? '''A – Auswerten''' * Hat die Sitzung etwas gebracht? * War sie gut vorbereitet? * Was mache ich nächstes Mal besser? (z.B. klarere Traktanden, weniger Themen) === [[:w:Kreativitätstechniken|Kreativitätstechniken]] === * [[:w:Walt-Disney-Methode|Walt-Disney-Methode]] * [[:w:Denkhüte von De Bono|Denkhüte von De Bono]] * [[:w:Kopfstandtechnik|Kopfstandtechnik]]--> =Lehrmittel= * Bettina Graber, Sonja Ritter: ''Office-Knigge & Selbstmanagement / Personal Skills für Handelsschulen: Praxisorientierte Theorie, Aufgaben & Lösungen.'' Schaffhausen: [[:w:Westermann Gruppe|Westermann]], 2025. 134 Seiten. ISBN 978-3-85612-002-3 = Einzelnachweise = <references/> [[Kategorie:Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)| ]] jq83r1s5oh2qkwo4oxw6afg9wft6hdc 1119230 1119228 2026-11-09T11:42:03Z Paul Sutermeister 37610 1119230 wikitext text/x-wiki Das Programm des Kurses '''Personal Skills''' zur Erlangung des [[Kurs:Handelsdiplom|Handelsdiploms]] des [[:w:Verband Schweizerischer Handelsschulen|Verbandes Schweizerischer Handelsschulen]] (VSH) basiert auf den Leistungszielen des VSH<ref>[https://www.vsh.swiss/assets/Downloads/Reglemente/VSH-Business/VSH-Reglement-HD-kZu-Kauffrau-Kaufmann-2025_rev_Brand_V1.pdf ''Reglement Handelsdiplom VSH Business Kaufmännische Zusatzausbildung.''] [[:w:Verband Schweizerischer Handelsschulen|Verband Schweizerischer Handelsschulen]], 2025, Seite 26.</ref> <small>(kleine Änderungen vorbehalten)</small>: {| class="wikitable" ! Kurstag (jeweils 45 Minuten) ! Kursinhalt ! Lehrmittel |- | 10./11. August 2026 | '''Office Knigge''':</br>Telefongespräch, Reklamation, E-Mail (Abwesenheitsmeldung), soziale Netzwerke | Graber/Ritter (2025), Seiten 7-18<ref>Bettina Graber, Sonja Ritter: ''Office-Knigge & Selbstmanagement / Personal Skills für Handelsschulen: Praxisorientierte Theorie, Aufgaben & Lösungen.'' Schaffhausen: [[:w:Westermann Gruppe|Westermann]], 2025. 134 Seiten. ISBN 978-3-85612-002-3</ref> |- | 17./18. August | '''Bekleidung und Auftreten'''</br> | Seiten 24-31 |- | 24./25. August | '''Arbeiten im Team''':</br>[[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Johari|Johari-Fenster]], [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Maslow|Maslows Bedürfnispyramide]], [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Eisberg|Eisbergmodell]], [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Teamrolle|Teamrollen]], [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Rangdynamik|Rangdynamik]], Teamwerte, Wertschätzung | Seiten 35-43 |- | 31. August / 1. September | Arbeiten im Team:</br>[[Kurs:Personal_Skills_(Handelsdiplom_VSH)/Sender-Empfänger-Modell|Sender-Empfänger-Modell]], [[Kurs:Personal_Skills_(Handelsdiplom_VSH)/Watzlawick|Watzlawick-Axiome]] | Seiten 44-46 |- | 7./8. September | Arbeiten im Team:</br>[[Kurs:Personal_Skills_(Handelsdiplom_VSH)/Vier-Seiten-Modell|Vier-Seiten-Modell]], [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Distanz|Distanzzonen]] | Seiten 46-48 |- | 14./15. September | Arbeiten im Team:</br>[[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Kognitive Verzerrung|Wahrnehmungsfehler]], [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Teambildung|Teamphasen (Tuckman)]] | Seiten 48-51 |- | 21./22. September | Arbeiten im Team:</br>[[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Fragen|Fragetechniken]], «Nein» sagen | Seiten 52-56 |- | 12./13. Oktober | Arbeiten im Team:</br>Stressoren, Konflikt | Seiten 56-61 |- | 19./20. Oktober | Arbeiten im Team:</br>Umgang mit [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Eskalation|Konflikt → Mobbing]] verhindern | Seiten 62-68 |- | 26./27. Oktober | Arbeiten im Team:</br>Resilienz | Seiten 69-75 |- | 2./3. November | '''[[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Eventmanagement|Eventmanagement]]''':</br> Konzept, Checkliste | Seiten 82-86 |- | 9./10. November | '''[[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Selbstmanagement|Selbstmanagement''':</br>[[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/SMART|SMART]], [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Paretoprinzip|Pareto]] | Seiten 90-94 |- | 16./17. November | Selbstmanagement:</br>[[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/ALPEN-Methode|Alpenmethode]], IPERKA, Leistungskurve | Seiten 95-99 |- | 23./24. November | Selbstmanagement:</br>[[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/ABC-Analyse|ABC-Analyse]], Kreativitätstechniken | Seiten 100-104 |- | 30. November / 1. Dezember | Selbstmanagement:</br>Kopfstand-Technik, [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Eisenhower-Prinzip|Eisenhower-Prinzip]] | Seiten 104-108 |- | 7./8. Dezember | '''Präsentationstechnik''': [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Präsentation|Erfolgskomponenten]], Rhetorik/Mimik/Gestik | Seiten 113-119 |- | 14./15. Dezember 2026 | Präsentationstechnik: Sitzungen organisieren (& Protokoll), Checklisten erstellen | Seiten 119-126 |- | '''4./5. Januar 2027''' | colspan="2" | <span style="color:red;">'''MODULPRÜFUNG'''</span>: keine Hilfsmittel erlaubt (gemäss Hilfsmittelliste des [[:w:Verband Schweizerischer Handelsschulen|VSH]])<ref name="hilfsmittelliste">[https://www.vsh.swiss/assets/Downloads/Reglemente/VSH-Business/VSH-Hilfsmittelliste-2025_HD-kZu_rev_Brand_V1.pdf Hilfsmittelliste] des [[:w:Verband Schweizerischer Handelsschulen|VSH]] (Stand 2025)</ref> |} <!-- = Ergänzendes Material = <small> :[[:en:Human capital|Human Capital]] :[[:en:Personal development|Personal development]] :[[:en:21st century skills|21st century skills]] :[[:en:Competence (human resources)|Competence in human resources]] :[[:en:Key Skills Qualification|Key Skills Qualification]]</small> == Kommunikation == * [[Benutzer:Paul Sutermeister/Aktives Zuhören|Aktives Zuhören]] * [[Benutzer:Paul Sutermeister/Fragetechnik|Fragetechnik]] == Team == * '''[[Benutzer:Paul Sutermeister/Team|Teambildung, Gesprächsführung, Konfliktlösung]]''' * [[Benutzer:Paul Sutermeister/Rangdynamik|Rangdynamik]] * <small>[[:w:Gruppendynamik|Phasenmodell nach Tuckman / Rangdynamische Positionen nach Schindler (Alpha, Beta, Gamma, Omega)]]</small> == [[:w:Selbstmanagement|Selbstmanagement]] == # Persönliche Leistungskurve – Wann arbeite ich am besten? # Pareto – Was lohnt sich? # ABC – Was ist wichtig? # Eisenhower – Was ist wichtig ''und'' dringend? # SMART – Wie formuliere ich ein gutes Ziel? # ALPEN – Wie plane ich meinen Tag? # IPERKA – Wie führe ich einen ganzen Prozess durch? === [[:w:Arbeitskurve|Persönliche Leistungskurve]] === <gallery> Nivel de atención durante el ritmo circadiano.jpg|'''[[:w:Circadiane Rhythmik|Circadiane Rhythmik]]''' Adenosine Sleep Two Process Model.png|[[:w:Zwei-Prozess-Modell der Schlafregulation|Zwei-Prozess-Modell der Schlafregulation]] </gallery> Das eigene Energie- und Konzentrationsniveau, und somit die Produktivität, schwanken über den Tag. Diese Erkenntnis ist Grundlage für folgende Planungs- und Priorisierungsmethoden. === [[:w:Modell der vollständigen Handlung|IPERKA]] === ; Zweck : '''Strukturierter Arbeits- und Projektprozess:''' Komplexeste Methode, eignet sich für ganze Arbeits- und Projektprozesse. → Abschluss: Vom Tagesgeschäft zur vollständigen Handlung und Prozesssteuerung. ; Schritte : '''I'''nformieren – Situation klären : '''P'''lanen – Vorgehen, Ressourcen : '''E'''ntscheiden – beste Lösung wählen : '''R'''ealisieren – ausführen : '''K'''ontrollieren – prüfen : '''A'''uswerten – lernen und verbessern ==== Beispiel: Spaghetti kochen ==== '''I – Informieren''' * Was will ich kochen? → Spaghetti * Was brauche ich? → Nudeln, Sauce, Salz, Wasser * Habe ich alles zu Hause? → Sauce fehlt '''P – Planen''' * Ich gehe zuerst kurz einkaufen. * Danach koche ich. * Das Essen soll um 18 Uhr fertig sein. '''E – Entscheiden''' * Ich entscheide: '''Ich kaufe die Sauce und koche Spaghetti.''' '''R – Realisieren (Ausführen)''' * Ich gehe in den Laden und kaufe die Sauce. * Ich koche Wasser. * Ich koche die Spaghetti. * Ich wärme die Sauce. '''K – Kontrollieren''' * Sind die Spaghetti gar? * Schmeckt die Sauce? * Ist das Essen rechtzeitig (z.B. um 18 Uhr) fertig? '''A – Auswerten''' * Hat alles gut geklappt? * War meine Planung realistisch? * Was mache ich nächstes Mal besser? (z.B. früher anfangen, mehr Sauce kaufen) ==== Beispiel: Eine Sitzung organisieren ==== '''I – Informieren''' * Worum geht es in der Sitzung? → Team-Besprechung * Wer muss dabei sein? → 5 Mitarbeitende * Wie lange dauert die Sitzung? → 30 Minuten * Gibt es einen Termin? → Noch nicht '''P – Planen''' * Ich schlage zwei mögliche Termine vor. * Ich reserviere einen Sitzungsraum. * Ich erstelle eine kurze Traktandenliste. * Ich plane die Dauer der Sitzung (30 Minuten). '''E – Entscheiden''' * Ich entscheide mich für: ** Termin: Dienstag, 14:00 Uhr ** Raum: Sitzungszimmer 2 * Ich entscheide, welche Traktanden besprochen werden. '''R – Realisieren (Ausführen)''' * Ich verschicke die Einladung per E-Mail. * Ich drucke die Traktandenliste aus. * Ich leite die Sitzung. * Ich mache kurze Notizen während der Sitzung. '''K – Kontrollieren''' * Waren alle eingeladen? * Hat die Sitzung pünktlich begonnen und geendet? * Wurden alle Traktanden besprochen? '''A – Auswerten''' * Hat die Sitzung etwas gebracht? * War sie gut vorbereitet? * Was mache ich nächstes Mal besser? (z.B. klarere Traktanden, weniger Themen) === [[:w:Kreativitätstechniken|Kreativitätstechniken]] === * [[:w:Walt-Disney-Methode|Walt-Disney-Methode]] * [[:w:Denkhüte von De Bono|Denkhüte von De Bono]] * [[:w:Kopfstandtechnik|Kopfstandtechnik]]--> =Lehrmittel= * Bettina Graber, Sonja Ritter: ''Office-Knigge & Selbstmanagement / Personal Skills für Handelsschulen: Praxisorientierte Theorie, Aufgaben & Lösungen.'' Schaffhausen: [[:w:Westermann Gruppe|Westermann]], 2025. 134 Seiten. ISBN 978-3-85612-002-3 = Einzelnachweise = <references/> [[Kategorie:Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)| ]] 0le46555qdsxzbgyvym15u4lfk2zso3 1119231 1119230 2026-11-09T11:42:23Z Paul Sutermeister 37610 1119231 wikitext text/x-wiki Das Programm des Kurses '''Personal Skills''' zur Erlangung des [[Kurs:Handelsdiplom|Handelsdiploms]] des [[:w:Verband Schweizerischer Handelsschulen|Verbandes Schweizerischer Handelsschulen]] (VSH) basiert auf den Leistungszielen des VSH<ref>[https://www.vsh.swiss/assets/Downloads/Reglemente/VSH-Business/VSH-Reglement-HD-kZu-Kauffrau-Kaufmann-2025_rev_Brand_V1.pdf ''Reglement Handelsdiplom VSH Business Kaufmännische Zusatzausbildung.''] [[:w:Verband Schweizerischer Handelsschulen|Verband Schweizerischer Handelsschulen]], 2025, Seite 26.</ref> <small>(kleine Änderungen vorbehalten)</small>: {| class="wikitable" ! Kurstag (jeweils 45 Minuten) ! Kursinhalt ! Lehrmittel |- | 10./11. August 2026 | '''Office Knigge''':</br>Telefongespräch, Reklamation, E-Mail (Abwesenheitsmeldung), soziale Netzwerke | Graber/Ritter (2025), Seiten 7-18<ref>Bettina Graber, Sonja Ritter: ''Office-Knigge & Selbstmanagement / Personal Skills für Handelsschulen: Praxisorientierte Theorie, Aufgaben & Lösungen.'' Schaffhausen: [[:w:Westermann Gruppe|Westermann]], 2025. 134 Seiten. ISBN 978-3-85612-002-3</ref> |- | 17./18. August | '''Bekleidung und Auftreten'''</br> | Seiten 24-31 |- | 24./25. August | '''Arbeiten im Team''':</br>[[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Johari|Johari-Fenster]], [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Maslow|Maslows Bedürfnispyramide]], [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Eisberg|Eisbergmodell]], [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Teamrolle|Teamrollen]], [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Rangdynamik|Rangdynamik]], Teamwerte, Wertschätzung | Seiten 35-43 |- | 31. August / 1. September | Arbeiten im Team:</br>[[Kurs:Personal_Skills_(Handelsdiplom_VSH)/Sender-Empfänger-Modell|Sender-Empfänger-Modell]], [[Kurs:Personal_Skills_(Handelsdiplom_VSH)/Watzlawick|Watzlawick-Axiome]] | Seiten 44-46 |- | 7./8. September | Arbeiten im Team:</br>[[Kurs:Personal_Skills_(Handelsdiplom_VSH)/Vier-Seiten-Modell|Vier-Seiten-Modell]], [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Distanz|Distanzzonen]] | Seiten 46-48 |- | 14./15. September | Arbeiten im Team:</br>[[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Kognitive Verzerrung|Wahrnehmungsfehler]], [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Teambildung|Teamphasen (Tuckman)]] | Seiten 48-51 |- | 21./22. September | Arbeiten im Team:</br>[[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Fragen|Fragetechniken]], «Nein» sagen | Seiten 52-56 |- | 12./13. Oktober | Arbeiten im Team:</br>Stressoren, Konflikt | Seiten 56-61 |- | 19./20. Oktober | Arbeiten im Team:</br>Umgang mit [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Eskalation|Konflikt → Mobbing]] verhindern | Seiten 62-68 |- | 26./27. Oktober | Arbeiten im Team:</br>Resilienz | Seiten 69-75 |- | 2./3. November | '''[[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Eventmanagement|Eventmanagement]]''':</br> Konzept, Checkliste | Seiten 82-86 |- | 9./10. November | '''[[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Selbstmanagement|Selbstmanagement]]''':</br>[[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/SMART|SMART]], [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Paretoprinzip|Pareto]] | Seiten 90-94 |- | 16./17. November | Selbstmanagement:</br>[[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/ALPEN-Methode|Alpenmethode]], IPERKA, Leistungskurve | Seiten 95-99 |- | 23./24. November | Selbstmanagement:</br>[[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/ABC-Analyse|ABC-Analyse]], Kreativitätstechniken | Seiten 100-104 |- | 30. November / 1. Dezember | Selbstmanagement:</br>Kopfstand-Technik, [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Eisenhower-Prinzip|Eisenhower-Prinzip]] | Seiten 104-108 |- | 7./8. Dezember | '''Präsentationstechnik''': [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Präsentation|Erfolgskomponenten]], Rhetorik/Mimik/Gestik | Seiten 113-119 |- | 14./15. Dezember 2026 | Präsentationstechnik: Sitzungen organisieren (& Protokoll), Checklisten erstellen | Seiten 119-126 |- | '''4./5. Januar 2027''' | colspan="2" | <span style="color:red;">'''MODULPRÜFUNG'''</span>: keine Hilfsmittel erlaubt (gemäss Hilfsmittelliste des [[:w:Verband Schweizerischer Handelsschulen|VSH]])<ref name="hilfsmittelliste">[https://www.vsh.swiss/assets/Downloads/Reglemente/VSH-Business/VSH-Hilfsmittelliste-2025_HD-kZu_rev_Brand_V1.pdf Hilfsmittelliste] des [[:w:Verband Schweizerischer Handelsschulen|VSH]] (Stand 2025)</ref> |} <!-- = Ergänzendes Material = <small> :[[:en:Human capital|Human Capital]] :[[:en:Personal development|Personal development]] :[[:en:21st century skills|21st century skills]] :[[:en:Competence (human resources)|Competence in human resources]] :[[:en:Key Skills Qualification|Key Skills Qualification]]</small> == Kommunikation == * [[Benutzer:Paul Sutermeister/Aktives Zuhören|Aktives Zuhören]] * [[Benutzer:Paul Sutermeister/Fragetechnik|Fragetechnik]] == Team == * '''[[Benutzer:Paul Sutermeister/Team|Teambildung, Gesprächsführung, Konfliktlösung]]''' * [[Benutzer:Paul Sutermeister/Rangdynamik|Rangdynamik]] * <small>[[:w:Gruppendynamik|Phasenmodell nach Tuckman / Rangdynamische Positionen nach Schindler (Alpha, Beta, Gamma, Omega)]]</small> == [[:w:Selbstmanagement|Selbstmanagement]] == # Persönliche Leistungskurve – Wann arbeite ich am besten? # Pareto – Was lohnt sich? # ABC – Was ist wichtig? # Eisenhower – Was ist wichtig ''und'' dringend? # SMART – Wie formuliere ich ein gutes Ziel? # ALPEN – Wie plane ich meinen Tag? # IPERKA – Wie führe ich einen ganzen Prozess durch? === [[:w:Arbeitskurve|Persönliche Leistungskurve]] === <gallery> Nivel de atención durante el ritmo circadiano.jpg|'''[[:w:Circadiane Rhythmik|Circadiane Rhythmik]]''' Adenosine Sleep Two Process Model.png|[[:w:Zwei-Prozess-Modell der Schlafregulation|Zwei-Prozess-Modell der Schlafregulation]] </gallery> Das eigene Energie- und Konzentrationsniveau, und somit die Produktivität, schwanken über den Tag. Diese Erkenntnis ist Grundlage für folgende Planungs- und Priorisierungsmethoden. === [[:w:Modell der vollständigen Handlung|IPERKA]] === ; Zweck : '''Strukturierter Arbeits- und Projektprozess:''' Komplexeste Methode, eignet sich für ganze Arbeits- und Projektprozesse. → Abschluss: Vom Tagesgeschäft zur vollständigen Handlung und Prozesssteuerung. ; Schritte : '''I'''nformieren – Situation klären : '''P'''lanen – Vorgehen, Ressourcen : '''E'''ntscheiden – beste Lösung wählen : '''R'''ealisieren – ausführen : '''K'''ontrollieren – prüfen : '''A'''uswerten – lernen und verbessern ==== Beispiel: Spaghetti kochen ==== '''I – Informieren''' * Was will ich kochen? → Spaghetti * Was brauche ich? → Nudeln, Sauce, Salz, Wasser * Habe ich alles zu Hause? → Sauce fehlt '''P – Planen''' * Ich gehe zuerst kurz einkaufen. * Danach koche ich. * Das Essen soll um 18 Uhr fertig sein. '''E – Entscheiden''' * Ich entscheide: '''Ich kaufe die Sauce und koche Spaghetti.''' '''R – Realisieren (Ausführen)''' * Ich gehe in den Laden und kaufe die Sauce. * Ich koche Wasser. * Ich koche die Spaghetti. * Ich wärme die Sauce. '''K – Kontrollieren''' * Sind die Spaghetti gar? * Schmeckt die Sauce? * Ist das Essen rechtzeitig (z.B. um 18 Uhr) fertig? '''A – Auswerten''' * Hat alles gut geklappt? * War meine Planung realistisch? * Was mache ich nächstes Mal besser? (z.B. früher anfangen, mehr Sauce kaufen) ==== Beispiel: Eine Sitzung organisieren ==== '''I – Informieren''' * Worum geht es in der Sitzung? → Team-Besprechung * Wer muss dabei sein? → 5 Mitarbeitende * Wie lange dauert die Sitzung? → 30 Minuten * Gibt es einen Termin? → Noch nicht '''P – Planen''' * Ich schlage zwei mögliche Termine vor. * Ich reserviere einen Sitzungsraum. * Ich erstelle eine kurze Traktandenliste. * Ich plane die Dauer der Sitzung (30 Minuten). '''E – Entscheiden''' * Ich entscheide mich für: ** Termin: Dienstag, 14:00 Uhr ** Raum: Sitzungszimmer 2 * Ich entscheide, welche Traktanden besprochen werden. '''R – Realisieren (Ausführen)''' * Ich verschicke die Einladung per E-Mail. * Ich drucke die Traktandenliste aus. * Ich leite die Sitzung. * Ich mache kurze Notizen während der Sitzung. '''K – Kontrollieren''' * Waren alle eingeladen? * Hat die Sitzung pünktlich begonnen und geendet? * Wurden alle Traktanden besprochen? '''A – Auswerten''' * Hat die Sitzung etwas gebracht? * War sie gut vorbereitet? * Was mache ich nächstes Mal besser? (z.B. klarere Traktanden, weniger Themen) === [[:w:Kreativitätstechniken|Kreativitätstechniken]] === * [[:w:Walt-Disney-Methode|Walt-Disney-Methode]] * [[:w:Denkhüte von De Bono|Denkhüte von De Bono]] * [[:w:Kopfstandtechnik|Kopfstandtechnik]]--> =Lehrmittel= * Bettina Graber, Sonja Ritter: ''Office-Knigge & Selbstmanagement / Personal Skills für Handelsschulen: Praxisorientierte Theorie, Aufgaben & Lösungen.'' Schaffhausen: [[:w:Westermann Gruppe|Westermann]], 2025. 134 Seiten. ISBN 978-3-85612-002-3 = Einzelnachweise = <references/> [[Kategorie:Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)| ]] 8xeqmrjfs6avaik968bm25cb4uh5682 106 167259 1119156 1058372 2026-11-09T05:52:48Z Barkmann-hdaOek 40593 /* Kostenträger */ 1119156 wikitext text/x-wiki = Rechnungswesen Übersicht = Das Rechnungswesen ist eine funktionale Organisationseinheit eines Unternehmens. Im Rechnungswesen (früher: „Buchhaltung“) werden alle relevanten Vorgänge im Unternehmen in Geldeinheiten abgebildet. In diese Übersicht sind Lösungshinweise für die Aufgabe "Erster Auftrag" eingearbeitet. == Externes Rechnungswesen == Das externe Rechnungswesen *überwacht und tätigt Zahlungen an Lieferanten *stellt Rechnungen an Kundinnen und überwacht den Zahlungseingang *dokumentiert alle Geschäftsvorgänge mit deren Belegen („Quittungen“, Lieferscheine, etc.) **Geschäftsvorgänge sind z.B. der Kauf und der Verbrauch von Vorprodukten und Betriebsmitteln, der Verkauf von Ware, Zahlungsein- und -ausgänge, Lagerveränderungen, Gehaltszahlungen *ordnet die Geschäftsvorgänge einem System von Konten (Einzahl: Konto) zu **„doppelte Buchführung“ *ermittelt aus den Konten den Gewinn oder Verlust des Unternehmens (Gewinn- und Verlustrechnung) sowie zum Jahresende eine Aufstellung das Vermögen, die Verbindlichkeiten („Schulden“) sowie das Eigenkapital des Unternehmens (Bilanz) Das externe Rechnungswesen dient somit auch der Bereitstellung von Daten für gesetzliche Berichtspflichten (z.B. Bilanzpflicht nach dem Handelsgesetzbuch) und für die Besteuerung des Unternehmens (Umsatzsteuer, Gewerbesteuer, Einkommensteuer/Körperschaftssteuer). == Internes Rechnungswesen == Das interne Rechnungswesen (engl. ''Controlling'') erfasst Kosten und Leistungen in Bezug auf einzelne Produkte oder Projekte. Es dient der Unterstützung unternehmerischer Planungs- und Entscheidungsprozesse z.B. über * Investitionen (Maschinen, Gebäude) * die Festlegung von Verkaufspreisen * den Personal- und Materialeinsatz in der Produktion * die Inanspruchnahme von Krediten oder anderer Finanzierungsquellen. = Kosten- und Leistungsrechnung = == Kosten (Begriff) == Um ein Produkt zu erzeugen, benötigt ein Unternehmen Arbeitskraft, Rohstoffe oder Vorprodukte, Elektrizität... In der Betriebswirtschaftslehre wird ein entsprechender Verbrauch oder eine entsprechende Inanspruchnahme als '''Aufwand''' bezeichnet. Von Aufwand wird auch gesprochen, wenn nicht direkt produziert wird. So hat ein für Deko- und Gemütlichkeitszwecke gekaufter Weihnachtsbaum im Eingang eines Unternehmens keinen direkten Einfluss auf die Produktion einer bestimmten Ware. Aber es ist dennoch ein Aufwand. Ein Aufwand wird in der Buchhaltung nach seinen Anschaffungskosten bewertet. Definition nach Carl et al. (2.1.3): *Aufwand = zu Anschaffungsausgaben bewerteter Güterverbrauch Dem Aufwand steht der '''Ertrag''' gegenüber, wenn Güter im Unternehmen erzeugt werden. Verkaufte Güter gehen über die bezahlten Rechnungen als '''Erlöse''' in die Buchhaltung ein. Hergestellte, aber noch nicht verkaufte Güter werden mit ihrem Herstellungskosten bewertet * Ertrag = nach Herstellungskosten bewertete Güterentstehung Von '''Kosten''' sprechen wir in der Betriebswirtschaft, wenn ein Güterverbrauch ''einem bestimmten Produkt oder Produktionsprozess zugerechnet'' wird oder sonst ''betriebstypisch'' ist. Die Kosten unterscheiden sich daher vom Aufwand. * Kosten = bewerteter leistungsbezogener (oder betriebstypischer) Güterverbrauch Der für Deko- und Gemütlichkeitszwecke gekaufte Weihnachtsbaum im Eingang eines Unternehmens trägt weder zur Erzeugung eines bestimmten Produkts bei noch ist dessen Anschaffung "betriebstypisch". Während es sich also um einen Aufwand handelt, kann die Ausgabe für die Anschaffung des Weihnachtsbaums also nicht als ''Kosten'' einem bestimmten Produkt oder Produktionsprozess zugeordnet werden. Den Kosten stehen '''Leistungen''' gegenüber. Während der Begriff "Ertrag" jegliche Güterentstehung umfasst, sind Leistungen ausschließlich ''betriebstypische'' Erträge. Erstellt Ihr sozialwissenschaftliches Büro eine Studie, ist das also nicht nur ein Ertrag, sondern auch eine Leistung. *Leistung = zu Herstellungskosten bewertete, betriebstypische Güterentstehung == Kostenträger == Die Kosten- und Leistungsrechnung ist Teil des internen Rechnungswesens. Eine zentrale Aufgabe besteht darin, die Kosten bei der Produktion und Vermarktung den erzeugten Produkten richtig zuzuordnen. Werden z.B. von einer wissenschaftlichen Angestellten gleichzeitig zwei verschieden aufwändige '''Umfragen''' vorbereitet, muss ein größerer Teil der Arbeitszeit der aufwändigeren Befragung zugeordnet werden. Der weniger aufwändigen Befragung dürfen nur weniger Arbeitsstunden zugeordnet werden. Die beiden Umfragen werden auch als Kostenträger bezeichnet, da ihnen die Kosten zugeordnet werden, die durch sie verursacht werden. == Kostenrechnung == === Fixkosten === Im Unternehmen fallen Kosten an, die sich über längere Zeiträume nicht verändern – und zwar unabhängig davon, wieviel produziert wird. Hat ein Unternehmen beispielsweise einen Mietvertrag über fünf Jahre für ein Büro abgeschlossen, muss jeden Monat Kaltmiete bezahlt werden. Die Höhe der Kaltmiete hängt nicht davon ab, ob während der Ferienzeit wenig gearbeitet und produziert wird oder viel zu anderen Zeiten. Solche über längere Zeiträume festen („fixen“) Kosten werden als Fixkosten bezeichnet. Für das Unternehmen besteht die Herausforderung darin, die Fixkosten auf die einzelnen Aufträge oder Produkte zu verteilen. Nur wenn auch die Fixkosten auf dem Wege der Angebotskalkulation in die verlangten Preise einfließen, können die Fixkosten aus den Erlösen (eingezahlte Kaufpreise der Kunden = bezahlte Rechnungen) gedeckt werden. Beispiele für so eine Aufteilung kommen unten im Abschnitt Vollkosten. === Variable Kosten === Andere Kosten hängen von der Menge der Produktion ab. Soll etwa eine analoge Befragung mit Fragebögen durchgeführt werden, hängen die Kopier- oder Druckkosten für die Fragebögen vom Umfang der Studie ab. Die variablen Kosten einer Befragung mit 1000 Befragten und einem fünfseitigen Fragebogen werden etwa um den Faktor 5 höher liegen als bei einer Befragung von nur 200 Personen mit dem gleichen Fragebogen. Wie „teuer“ kommt es unserem Unternehmen, eine Studie mit 200 Befragten und einem fünfseitigen Fragebogen durchzuführen? Nehmen wir an, eine einzelne Seite hat Druckkosten von 5 ct: :200 Befragte * 5 Seiten/Befragtem * 5 ct/Seite = 5.000 ct = 50 € Würden wir so eine Befragung für weniger als 50 € anbieten, würden wir selbst dann einen Verlust machen, wenn wir weiter keine anderen Kosten hätten: Die Einnahmen wären geringer als die variablen Kosten. Nur in besonderen Ausnahmefällen würden wir daher so eine Befragung für unter 50 € anbieten. Die variablen Kosten bildet somit eine Preisuntergrenze, die wir auch kurzfristig kaum unterschreiten werden (''kurzfristige Preisuntergrenze''). === Vollkosten === Offensichtlich fallen bei unserer Studie noch mehr Kosten an als nur die Druckkosten für die Fragebögen. Zusätzlich muss die wissenschaftliche Angestellte den analogen Fragebogen erstellen, testen, verteilen, ausfüllen lassen, einsammeln, die Daten nach SPSS übertragen und die Befragung dann noch nach den Vorgaben der Auftraggeber auswerten. Handelt es sich um eine fest angestellte Mitarbeiterin, sind deren Gehaltszahlungen Fixkosten: Das Gehalt wird gezahlt, auch wenn diese Umfrage nicht bearbeitet worden wäre. Ähnlich ist es mit der Kaltmiete für das Büro. Bei der Vollkostenrechnung werden diese Fixkosten möglichst sachgerecht den verschiedenen Kostenträgern – also in unserem Fall den beiden verschieden umfangreichen Studien – zuordnet: :Vollkosten = variable Kosten + anteilige Fixkosten Langfristig kann ein Unternehmen nur erfolgreich sein, wenn es neben den variablen Kosten für jeden Auftrag auch die anteilig anfallenden Fixkosten einnehmen kann. Die Vollkosten stellen somit die ''langfristige Preisuntergrenze'' dar. Die Kostenrechnung ist eine wichtige Grundlage für die Preisbeurteilung bzw. die Kalkulation von Angeboten. === Kalkulation der Vollkosten, insb. anteilige Fixkosten === Nehmen wir an, die Erstellung und Testung des Fragebogens hätte insgesamt 100 Stunden benötigt und pro Monat müsse unser Unternehmen 6100 € für die wissenschaftliche Angestellte zahlen (''Arbeitgeberbrutto''). Wir benötigen zunächst die rechnerischen Kosten für eine wissenschaftliche Angestellte pro Stunde: :Personalkosten (wiss. Ang.) €/h = 6100 €/Monat / 4,35 Wochen/Monat / 40 h/Woche : = 35,06 €/h Für eine typische 40-Stunden-Woche wird oft mit 174 h/Monat gerechnet, d.h. mit 40 h/Woche * 4,35 Wochen/Monat. Für 100 Stunden ergibt das 3506 €. Unabhängig davon, in welchem Monat genau die Arbeit erbracht wurden, haben wir so einen Anteil der fixen Personalkosten von Angestellten identifiziert, der durch die Erstellung des Fragebogens ausgelöst wurde. Wir teilen diese Kosten nun nach Bruchteilen der gesamten Befragten (1200) auf und runden auf ganze €: :Große Umfrage: 1000/1200 * 3506 € = 2922 € :Kleine Umfrage: 200/1200 * 3505 € = 584 € Dies ist ''eine'' Möglichkeit, einen Teil der Fixkosten verursachergerecht aufzuteilen. Im Angebotsbeispiel im Kurs haben wir nur ein Angebot zu erstellen - d.h. nur die Studie mit 1000 Befragten. Schätzen wir, dass die Erstellung des Fragebogens 100 Stunden der wissenschaftlichen Angestellten benötigt sowie 200 Stunden für alle anderen Schritte, belaufen sich die anteiligen Personalkosten auf :300 h * 35,06 €/h = 10,518 € Laut Aufgabenstellung kommt hinzu die anteilige Miete. 400 Stunden entsprechen 10 Arbeitswochen, d.h. etwa 2,5 Monaten. Bei einer Miete von 1200 €/Monat für unser Büro wäre das :3000 €. Wird gleichzeitig im Büro noch ein weiterer Auftrag bearbeitet, würde nur ein sinnvoller Anteil der 3000 € in unsere Kalkulation des Angebots an die FRAPORT AG fallen. Ähnlich muss mit anderen Fixkostenanteilen verfahren werden. Ähnlich der Miete für ein Büro, mieten Sie über einen Lizenzvertrag das Recht, SPSS-Software genutzen zu können. Kaufen Sie eine Jahreslizenz, ist wieder der Anteil zu bestimmen, der der geplanten Nutzung z.B. zeitlich entspricht - z.B. 2,5 Monate von 12 Monaten/Jahr. == Übersicht über die Kostenarten == Typischerweise werden die folgenden Gruppen von Kostenarten unterschieden: * Personalkosten (z.B. Hilfslöhne, Gehälter) * Material- und Betriebskosten (z.B. Kopierpapier, Raumkosten) * kalkulatorische Abschreibungen (z.B. Abschreibung für Abnutzung von "Maschinen" wie Drucker oder Laptops, Büroaustattung) * kalkulatorische Zinsen (Kapitalkosten für Kredite) * Fremdleistungskosten (z.B. Beratungskosten, Speditionskosten) * Wagniskosten (z.B. Garantiekosten; für uns wenig relevant) * Steuern (z.B. Grundsteuer) === Personalkosten === Personalkosten fallen an, wenn das Unternehmen menschliche Arbeitskraft "kauft", z.B. indem ''Arbeiter'', ''Angestellte'' oder Hilfskräfte beschäftigt werden. Arbeiterinnen und Arbeiter werden nach einem ''Stundenlohn'' bezahlt, Angestellte erhalten ein monatliches ''Gehalt''. Von Seiten des Unternehmens fallen neben dem mit dem Angstellten vereinbarten Bruttogehalt weitere Kosten an. Das Arbeitgeber-Brutto umfasst (alle Angaben Herbst 2025; Prozentsätze beziehen sich auf das Bruttogehalt): # Bruttogehalt für die Angestellte # Arbeitgeberanteil zur Rentenversicherung (9,3 %) # Arbeitgeberanteil zur Kranken- (~ 7 %) und Pflegeversicherung (1,7 %. ggf. +0,6 % für Kinderlose über 23 Jahre) # Arbeitgeberanteil zur Arbeitslosenversicherung (1,2 %) # Unfallversicherung (~ 1,6 %) Bei der Kalkulation eines Auftrags muss weiterhin berücksichtigt werden, dass Angestellte ein Anrecht auf Urlaub haben und dass an gesetzlichen Feiertagen nicht gearbeitet wird (~ 40 Tage/Jahr). Auch ein gewisser Krankenstand sollte berücksichtigt werden. Für '''studentische Hilfskräfte''' und Teilzeitbeschäftigte gelten Sonderregelungen. Studierende, die eine mehr als nur eine geringfügige Beschäftigung haben, sind grundsätzlich versicherungspflichtig in der Rentenversicherung. Es gibt aber Ausnahmen für "ordentliche" Studierende, die # die während der Dauer ihres Studiums ein '''Pflichtpraktikum''' ableisten (§ 5 Abs. 3 SGB VI). Das Entgelt für das Praktikum ist rentenversicherungsfrei; # höchstens '''20 Stunden/Woche''' arbeiten. Es brauchen hier keine Beiträge zur Kranken-, Pflege- und Arbeitslosenversicherung gezahlt werden (§ 6 Abs. 1 Nr. 3 SGB V; § 27 Abs. 4 Satz 1 Nr. 2 SGB III); # in den '''Semesterferien''' arbeiten. Unabhängig von der wöchentlichen Arbeitszeit ist die Beschäftigung sozialversicherungsfrei in der Kranken-, Pflege- und Arbeitslosenversicherung. === Material- und Betriebskosten === Die ''Materialkosten'' umfassen den unmittelbar einem Produkt zurechenbaren Verbrauch an Material wie Druckerpapier für den Druck von Fragebögen für eine Sudie. Der Betrieb eines Kopierers oder Druckers verbraucht zusätzlich Elektrizität. Wir sprechen hier von ''Betriebskosten''. Auch die Raummiete für ein Büro gehört zu den Betriebskosten. Betriebskosten können (s.o.) in Fixkosten und variable Kosten unterschieden werden. Die Fixkosten müssen bei der Kalkulation von Aufträgen sinnvoll den einzelnen Produkten zugeordnet werden, damit die Verkaufserlöse insgesamt auch die Fixkosten decken. === Abschreibung für Abnutzung === Langlebige Betriebsmittel wie Computer, Drucker oder Schreibtische "halten" meistens länger als ein Jahr und stehen für mehrere Aufträge zur Verfügung. Die Kosten für diese langlebigen Wirtschaftsgüter werden daher auf die typische Nutzungsdauer verteilt. Die jährlichen Wertminderungen durch "Abnutzung" werden im Rechnungswesen erfasst und heißen ''Abschreibungen''. In allen etwas größeren Unternehmen werden die Ausgaben für die Anschaffung eines langlebigen Wirtschaftsguts daher nicht im Anschaffungsjahr als Kosten verrechnet, sondern auf mehrere Jahre verteilt. Abschreibungen können als Teil der Fixkosten angesehen werden. Auch bei der Verteilung über mehrere Jahre ist es zentrale Aufgabe der Abschreibungen dafür zu sorgen, dass über die Verkaufserlöse so viel Geld in das Unternehmen kommt, dass rechtzeitig Ersatz gekauft werden kann. Die Berücksichtigung der Abschreibungen bei der Kalkulation und der Abrechnung eines Auftrags dient daher der Substanzerhaltung des Kapitals des Unternehmens. Für viele Güter gibt des Bundesfinanzminiterium Listen heraus, aus denen die anzuwendende Nutzungsdauer zu ersehen ist. Für PCs, Laptops und Peripheriegeräte wie Drucker oder Bildschirme beträgt die ''betriebsgewöhnliche Nutzungsdauer'' beispielsweise 3 Jahre. Ein für 1200 € gekaufter Laptop kann also in drei Jahresraten zu je 400 € abgeschrieben werden. Wir sprechen hier von einer ''linearen Abschreibung'', da die Abschreibungen gleichmäßig auf den Nutzungszeitraum verteilt sind. Mit anderen Worten: Der in der Buchhaltung erfasste Wert des Laptops sinkt gleichmäßig (= linerar) von Jahr zu Jahr. Erlaubt ist jedoch oft auch eine ''degressive Abschreibung'', bei der im ersten Jahr eine besonders große Abschreibung vorgenommen wird. Der Staat ist normalerweise daran interessiert, möglichst hohe Steuereinnahmen zu erhalten. Bei der degressiven Abschreibung können die Kosten insgesamt früher vom Unternehmen geltend gemacht werden. Tendenziell sinkt dadurch der Gewinn des Unternehmens. Der Gewinn tendenziell sinkt auch, je kürzer die vorgegebene Nutzungsdauer. Dies ist der Grund, warum das Bundesfinanzministerium die ''betriebsgewöhnliche Nutzungsdauer'' vorgibt. Noch schneller kann dass Unternehmen etwa einen Drucker nur abschreiben, wenn der Drucker vor Ende der Nutzungsdauer nicht mehr nutzbar wird. Die steuerlichen Detailregelungen zu den Abschreibungen ändern sich teilweise von Jahr zu Jahr. Wenn die steuerrechtlichen Vorgaben und die betriebswirtschaftlichen Realitäten zu weit auseinanderfallen, kann es erforderlich sein, die steuerrechtlichen Abschreibungen und die betriebswirtschaftliche Kalkulation gesondert durchzuführen. === Kalkulatorische Zinsen === Durch den Kauf langlebiger Wirtschaftgüter (Kopierer, Schreibtisch, KfZ) aber auch von Gebäuden und Grundstücken hat das Unternehmen Geld im ''Kapital'' gebunden. Dieses Geld hätte stattdessen auch - vergleichsweise risikolos - auf dem Kapitalmarkt angelegt werden können, etwa durch den Kauf von Bundesanleihen. Aus diesen Kapitalanlagen hätte das Unternehmen Zinsen erhalten. Ist das Geld hingegen im Kapital des Unternehmens gebunden, gehen diese Zinsen rein rechnerisch verloren. Mit anderen Worten: Die Investition in Betribskapital hat ''Opportunitätskosten'' (siehe erste Vorlesung zu ökonomischen Grundbegriffen). Für die tatsächlich aufgenommenen Kredite muss das Unternehmen Zinsen bezahlen. Gleichzeitig erwarten die Gründer des Unterehmens eine gewissen Verzinsung der Geldmittel, die sie dem Unternehmen zur Verfügung stellen. Anstatt die verschiedenen Zinssätze in der Kalkulation und im Rechnungswesen detailliert zu berücksichtigen, setzen Unternehmen der Dienstleistungsbranche oft einen einheitlichen ''kalkulatorischen Zinssatz'' von 6-8 % auf das Gesamtvermögen an. Alternativ kann der Leitzins der Europäischen Zentralbank ''plus'' eines Aufschlags genutzt werden. === Weitere Kostenarten === '''Fremdleistungen''' und '''Steuern''' (z.B. KfZ-Steuer) fallen häufig ebenfalls an. Diese können als gesonderte Kostenkategorien oder vereinfachend unter Betriebskosten aufgeführt werden. Die Umsatzsteuer ("Mehrwertsteuer") ist dabei weitgehend eine durchlaufender Posten: An die Finanzbehörden ist nur die Differenz aus er selbst eingenommenen Umsatzsteuer und der selbst gezahlten Umsatzsteuer zu entrichten. Eine besondere Rolle spielen '''Wagniskosten'''. Gegen Schäden an einem Gebäude schließt ein Unternehmen meist eine Versicherung ab. Die Versischerungsprämien sind Fremdleistungskosten. Andere Risiken werden jedoch meist nicht versichert. Dazu gehört das Risiko, dass eine Kundin eine Rechnung nicht bezahlt. Oder das Risiko, dass es zwischen Angebotserstellung und Bearbeitung eines Auftrags zu größeren Kostensteigerungen kommt. Um diese Risiken intern rechnerisch abzudecken, kann in der Kalkulation ein Wagnisaufschlag auf die Auftragssumme eingerechnet werden. Bei privaten Auftraggebern werden 4-7 % angesetzt. [[Kategorie:Kurs:Sozialwissenschaften:Einführung BWL (hda)]] 2h3fx7tj8wu9enl72jvc0v8ysl2ic3p 1119157 1119156 2026-11-09T05:57:05Z Barkmann-hdaOek 40593 /* Kalkulation der Vollkosten, insb. anteilige Fixkosten */ 1119157 wikitext text/x-wiki = Rechnungswesen Übersicht = Das Rechnungswesen ist eine funktionale Organisationseinheit eines Unternehmens. Im Rechnungswesen (früher: „Buchhaltung“) werden alle relevanten Vorgänge im Unternehmen in Geldeinheiten abgebildet. In diese Übersicht sind Lösungshinweise für die Aufgabe "Erster Auftrag" eingearbeitet. == Externes Rechnungswesen == Das externe Rechnungswesen *überwacht und tätigt Zahlungen an Lieferanten *stellt Rechnungen an Kundinnen und überwacht den Zahlungseingang *dokumentiert alle Geschäftsvorgänge mit deren Belegen („Quittungen“, Lieferscheine, etc.) **Geschäftsvorgänge sind z.B. der Kauf und der Verbrauch von Vorprodukten und Betriebsmitteln, der Verkauf von Ware, Zahlungsein- und -ausgänge, Lagerveränderungen, Gehaltszahlungen *ordnet die Geschäftsvorgänge einem System von Konten (Einzahl: Konto) zu **„doppelte Buchführung“ *ermittelt aus den Konten den Gewinn oder Verlust des Unternehmens (Gewinn- und Verlustrechnung) sowie zum Jahresende eine Aufstellung das Vermögen, die Verbindlichkeiten („Schulden“) sowie das Eigenkapital des Unternehmens (Bilanz) Das externe Rechnungswesen dient somit auch der Bereitstellung von Daten für gesetzliche Berichtspflichten (z.B. Bilanzpflicht nach dem Handelsgesetzbuch) und für die Besteuerung des Unternehmens (Umsatzsteuer, Gewerbesteuer, Einkommensteuer/Körperschaftssteuer). == Internes Rechnungswesen == Das interne Rechnungswesen (engl. ''Controlling'') erfasst Kosten und Leistungen in Bezug auf einzelne Produkte oder Projekte. Es dient der Unterstützung unternehmerischer Planungs- und Entscheidungsprozesse z.B. über * Investitionen (Maschinen, Gebäude) * die Festlegung von Verkaufspreisen * den Personal- und Materialeinsatz in der Produktion * die Inanspruchnahme von Krediten oder anderer Finanzierungsquellen. = Kosten- und Leistungsrechnung = == Kosten (Begriff) == Um ein Produkt zu erzeugen, benötigt ein Unternehmen Arbeitskraft, Rohstoffe oder Vorprodukte, Elektrizität... In der Betriebswirtschaftslehre wird ein entsprechender Verbrauch oder eine entsprechende Inanspruchnahme als '''Aufwand''' bezeichnet. Von Aufwand wird auch gesprochen, wenn nicht direkt produziert wird. So hat ein für Deko- und Gemütlichkeitszwecke gekaufter Weihnachtsbaum im Eingang eines Unternehmens keinen direkten Einfluss auf die Produktion einer bestimmten Ware. Aber es ist dennoch ein Aufwand. Ein Aufwand wird in der Buchhaltung nach seinen Anschaffungskosten bewertet. Definition nach Carl et al. (2.1.3): *Aufwand = zu Anschaffungsausgaben bewerteter Güterverbrauch Dem Aufwand steht der '''Ertrag''' gegenüber, wenn Güter im Unternehmen erzeugt werden. Verkaufte Güter gehen über die bezahlten Rechnungen als '''Erlöse''' in die Buchhaltung ein. Hergestellte, aber noch nicht verkaufte Güter werden mit ihrem Herstellungskosten bewertet * Ertrag = nach Herstellungskosten bewertete Güterentstehung Von '''Kosten''' sprechen wir in der Betriebswirtschaft, wenn ein Güterverbrauch ''einem bestimmten Produkt oder Produktionsprozess zugerechnet'' wird oder sonst ''betriebstypisch'' ist. Die Kosten unterscheiden sich daher vom Aufwand. * Kosten = bewerteter leistungsbezogener (oder betriebstypischer) Güterverbrauch Der für Deko- und Gemütlichkeitszwecke gekaufte Weihnachtsbaum im Eingang eines Unternehmens trägt weder zur Erzeugung eines bestimmten Produkts bei noch ist dessen Anschaffung "betriebstypisch". Während es sich also um einen Aufwand handelt, kann die Ausgabe für die Anschaffung des Weihnachtsbaums also nicht als ''Kosten'' einem bestimmten Produkt oder Produktionsprozess zugeordnet werden. Den Kosten stehen '''Leistungen''' gegenüber. Während der Begriff "Ertrag" jegliche Güterentstehung umfasst, sind Leistungen ausschließlich ''betriebstypische'' Erträge. Erstellt Ihr sozialwissenschaftliches Büro eine Studie, ist das also nicht nur ein Ertrag, sondern auch eine Leistung. *Leistung = zu Herstellungskosten bewertete, betriebstypische Güterentstehung == Kostenträger == Die Kosten- und Leistungsrechnung ist Teil des internen Rechnungswesens. Eine zentrale Aufgabe besteht darin, die Kosten bei der Produktion und Vermarktung den erzeugten Produkten richtig zuzuordnen. Werden z.B. von einer wissenschaftlichen Angestellten gleichzeitig zwei verschieden aufwändige '''Umfragen''' vorbereitet, muss ein größerer Teil der Arbeitszeit der aufwändigeren Befragung zugeordnet werden. Der weniger aufwändigen Befragung dürfen nur weniger Arbeitsstunden zugeordnet werden. Die beiden Umfragen werden auch als Kostenträger bezeichnet, da ihnen die Kosten zugeordnet werden, die durch sie verursacht werden. == Kostenrechnung == === Fixkosten === Im Unternehmen fallen Kosten an, die sich über längere Zeiträume nicht verändern – und zwar unabhängig davon, wieviel produziert wird. Hat ein Unternehmen beispielsweise einen Mietvertrag über fünf Jahre für ein Büro abgeschlossen, muss jeden Monat Kaltmiete bezahlt werden. Die Höhe der Kaltmiete hängt nicht davon ab, ob während der Ferienzeit wenig gearbeitet und produziert wird oder viel zu anderen Zeiten. Solche über längere Zeiträume festen („fixen“) Kosten werden als Fixkosten bezeichnet. Für das Unternehmen besteht die Herausforderung darin, die Fixkosten auf die einzelnen Aufträge oder Produkte zu verteilen. Nur wenn auch die Fixkosten auf dem Wege der Angebotskalkulation in die verlangten Preise einfließen, können die Fixkosten aus den Erlösen (eingezahlte Kaufpreise der Kunden = bezahlte Rechnungen) gedeckt werden. Beispiele für so eine Aufteilung kommen unten im Abschnitt Vollkosten. === Variable Kosten === Andere Kosten hängen von der Menge der Produktion ab. Soll etwa eine analoge Befragung mit Fragebögen durchgeführt werden, hängen die Kopier- oder Druckkosten für die Fragebögen vom Umfang der Studie ab. Die variablen Kosten einer Befragung mit 1000 Befragten und einem fünfseitigen Fragebogen werden etwa um den Faktor 5 höher liegen als bei einer Befragung von nur 200 Personen mit dem gleichen Fragebogen. Wie „teuer“ kommt es unserem Unternehmen, eine Studie mit 200 Befragten und einem fünfseitigen Fragebogen durchzuführen? Nehmen wir an, eine einzelne Seite hat Druckkosten von 5 ct: :200 Befragte * 5 Seiten/Befragtem * 5 ct/Seite = 5.000 ct = 50 € Würden wir so eine Befragung für weniger als 50 € anbieten, würden wir selbst dann einen Verlust machen, wenn wir weiter keine anderen Kosten hätten: Die Einnahmen wären geringer als die variablen Kosten. Nur in besonderen Ausnahmefällen würden wir daher so eine Befragung für unter 50 € anbieten. Die variablen Kosten bildet somit eine Preisuntergrenze, die wir auch kurzfristig kaum unterschreiten werden (''kurzfristige Preisuntergrenze''). === Vollkosten === Offensichtlich fallen bei unserer Studie noch mehr Kosten an als nur die Druckkosten für die Fragebögen. Zusätzlich muss die wissenschaftliche Angestellte den analogen Fragebogen erstellen, testen, verteilen, ausfüllen lassen, einsammeln, die Daten nach SPSS übertragen und die Befragung dann noch nach den Vorgaben der Auftraggeber auswerten. Handelt es sich um eine fest angestellte Mitarbeiterin, sind deren Gehaltszahlungen Fixkosten: Das Gehalt wird gezahlt, auch wenn diese Umfrage nicht bearbeitet worden wäre. Ähnlich ist es mit der Kaltmiete für das Büro. Bei der Vollkostenrechnung werden diese Fixkosten möglichst sachgerecht den verschiedenen Kostenträgern – also in unserem Fall den beiden verschieden umfangreichen Studien – zuordnet: :Vollkosten = variable Kosten + anteilige Fixkosten Langfristig kann ein Unternehmen nur erfolgreich sein, wenn es neben den variablen Kosten für jeden Auftrag auch die anteilig anfallenden Fixkosten einnehmen kann. Die Vollkosten stellen somit die ''langfristige Preisuntergrenze'' dar. Die Kostenrechnung ist eine wichtige Grundlage für die Preisbeurteilung bzw. die Kalkulation von Angeboten. === Kalkulation der Vollkosten, insb. anteilige Fixkosten === Nehmen wir an, die Erstellung und Testung des Fragebogens hätte insgesamt 100 Stunden benötigt und pro Monat müsse unser Unternehmen 6100 € für die wissenschaftliche Angestellte zahlen (''Arbeitgeberbrutto''). Wir benötigen zunächst die rechnerischen Kosten für eine wissenschaftliche Angestellte pro Stunde: :Personalkosten (wiss. Ang.) €/h = 6100 €/Monat / 4,35 Wochen/Monat / 40 h/Woche : = 35,06 €/h Für eine typische 40-Stunden-Woche wird oft mit 174 h/Monat gerechnet, d.h. mit 40 h/Woche * 4,35 Wochen/Monat. Für 100 Stunden ergibt das 3506 €. Unabhängig davon, in welchem Monat genau die Arbeit erbracht wurden, haben wir so einen Anteil der fixen Personalkosten von Angestellten identifiziert, der durch die Erstellung des Fragebogens ausgelöst wurde. Wir teilen diese Kosten nun nach Bruchteilen der gesamten Befragten (1200) auf und runden auf ganze €: :Große Umfrage: 1000/1200 * 3506 € = 2922 € :Kleine Umfrage: 200/1200 * 3505 € = 584 € Dies ist ''eine'' Möglichkeit, einen Teil der Fixkosten verursachergerecht aufzuteilen. Im Angebotsbeispiel im Kurs haben wir nur ein Angebot zu erstellen - d.h. nur die Studie mit 1000 Befragten. Schätzen wir, dass die Erstellung des Fragebogens 100 Stunden der wissenschaftlichen Angestellten benötigt sowie 200 Stunden für alle anderen Schritte, belaufen sich die anteiligen Personalkosten auf :300 h * 35,06 €/h = 10,518 € Laut Aufgabenstellung kommt hinzu die anteilige Miete. 400 Stunden entsprechen 10 Arbeitswochen, d.h. etwa 2,5 Monaten. Bei einer Miete von 1200 €/Monat für unser Büro wäre das :3000 €. Wird gleichzeitig im Büro noch ein weiterer Auftrag bearbeitet, würde nur ein sinnvoller Anteil der 3000 € in unsere Kalkulation des Angebots an die FRAPORT AG fallen. Ähnlich muss mit anderen Fixkostenanteilen verfahren werden. Ähnlich der Miete für ein Büro, mieten Sie über einen Lizenzvertrag das Recht, SPSS-Software nutzen zu können. Kaufen Sie eine Jahreslizenz, ist wieder der Anteil zu bestimmen, der der geplanten Nutzung entspricht - z.B. 2,5 Monate von 12 Monaten/Jahr. == Übersicht über die Kostenarten == Typischerweise werden die folgenden Gruppen von Kostenarten unterschieden: * Personalkosten (z.B. Hilfslöhne, Gehälter) * Material- und Betriebskosten (z.B. Kopierpapier, Raumkosten) * kalkulatorische Abschreibungen (z.B. Abschreibung für Abnutzung von "Maschinen" wie Drucker oder Laptops, Büroaustattung) * kalkulatorische Zinsen (Kapitalkosten für Kredite) * Fremdleistungskosten (z.B. Beratungskosten, Speditionskosten) * Wagniskosten (z.B. Garantiekosten; für uns wenig relevant) * Steuern (z.B. Grundsteuer) === Personalkosten === Personalkosten fallen an, wenn das Unternehmen menschliche Arbeitskraft "kauft", z.B. indem ''Arbeiter'', ''Angestellte'' oder Hilfskräfte beschäftigt werden. Arbeiterinnen und Arbeiter werden nach einem ''Stundenlohn'' bezahlt, Angestellte erhalten ein monatliches ''Gehalt''. Von Seiten des Unternehmens fallen neben dem mit dem Angstellten vereinbarten Bruttogehalt weitere Kosten an. Das Arbeitgeber-Brutto umfasst (alle Angaben Herbst 2025; Prozentsätze beziehen sich auf das Bruttogehalt): # Bruttogehalt für die Angestellte # Arbeitgeberanteil zur Rentenversicherung (9,3 %) # Arbeitgeberanteil zur Kranken- (~ 7 %) und Pflegeversicherung (1,7 %. ggf. +0,6 % für Kinderlose über 23 Jahre) # Arbeitgeberanteil zur Arbeitslosenversicherung (1,2 %) # Unfallversicherung (~ 1,6 %) Bei der Kalkulation eines Auftrags muss weiterhin berücksichtigt werden, dass Angestellte ein Anrecht auf Urlaub haben und dass an gesetzlichen Feiertagen nicht gearbeitet wird (~ 40 Tage/Jahr). Auch ein gewisser Krankenstand sollte berücksichtigt werden. Für '''studentische Hilfskräfte''' und Teilzeitbeschäftigte gelten Sonderregelungen. Studierende, die eine mehr als nur eine geringfügige Beschäftigung haben, sind grundsätzlich versicherungspflichtig in der Rentenversicherung. Es gibt aber Ausnahmen für "ordentliche" Studierende, die # die während der Dauer ihres Studiums ein '''Pflichtpraktikum''' ableisten (§ 5 Abs. 3 SGB VI). Das Entgelt für das Praktikum ist rentenversicherungsfrei; # höchstens '''20 Stunden/Woche''' arbeiten. Es brauchen hier keine Beiträge zur Kranken-, Pflege- und Arbeitslosenversicherung gezahlt werden (§ 6 Abs. 1 Nr. 3 SGB V; § 27 Abs. 4 Satz 1 Nr. 2 SGB III); # in den '''Semesterferien''' arbeiten. Unabhängig von der wöchentlichen Arbeitszeit ist die Beschäftigung sozialversicherungsfrei in der Kranken-, Pflege- und Arbeitslosenversicherung. === Material- und Betriebskosten === Die ''Materialkosten'' umfassen den unmittelbar einem Produkt zurechenbaren Verbrauch an Material wie Druckerpapier für den Druck von Fragebögen für eine Sudie. Der Betrieb eines Kopierers oder Druckers verbraucht zusätzlich Elektrizität. Wir sprechen hier von ''Betriebskosten''. Auch die Raummiete für ein Büro gehört zu den Betriebskosten. Betriebskosten können (s.o.) in Fixkosten und variable Kosten unterschieden werden. Die Fixkosten müssen bei der Kalkulation von Aufträgen sinnvoll den einzelnen Produkten zugeordnet werden, damit die Verkaufserlöse insgesamt auch die Fixkosten decken. === Abschreibung für Abnutzung === Langlebige Betriebsmittel wie Computer, Drucker oder Schreibtische "halten" meistens länger als ein Jahr und stehen für mehrere Aufträge zur Verfügung. Die Kosten für diese langlebigen Wirtschaftsgüter werden daher auf die typische Nutzungsdauer verteilt. Die jährlichen Wertminderungen durch "Abnutzung" werden im Rechnungswesen erfasst und heißen ''Abschreibungen''. In allen etwas größeren Unternehmen werden die Ausgaben für die Anschaffung eines langlebigen Wirtschaftsguts daher nicht im Anschaffungsjahr als Kosten verrechnet, sondern auf mehrere Jahre verteilt. Abschreibungen können als Teil der Fixkosten angesehen werden. Auch bei der Verteilung über mehrere Jahre ist es zentrale Aufgabe der Abschreibungen dafür zu sorgen, dass über die Verkaufserlöse so viel Geld in das Unternehmen kommt, dass rechtzeitig Ersatz gekauft werden kann. Die Berücksichtigung der Abschreibungen bei der Kalkulation und der Abrechnung eines Auftrags dient daher der Substanzerhaltung des Kapitals des Unternehmens. Für viele Güter gibt des Bundesfinanzminiterium Listen heraus, aus denen die anzuwendende Nutzungsdauer zu ersehen ist. Für PCs, Laptops und Peripheriegeräte wie Drucker oder Bildschirme beträgt die ''betriebsgewöhnliche Nutzungsdauer'' beispielsweise 3 Jahre. Ein für 1200 € gekaufter Laptop kann also in drei Jahresraten zu je 400 € abgeschrieben werden. Wir sprechen hier von einer ''linearen Abschreibung'', da die Abschreibungen gleichmäßig auf den Nutzungszeitraum verteilt sind. Mit anderen Worten: Der in der Buchhaltung erfasste Wert des Laptops sinkt gleichmäßig (= linerar) von Jahr zu Jahr. Erlaubt ist jedoch oft auch eine ''degressive Abschreibung'', bei der im ersten Jahr eine besonders große Abschreibung vorgenommen wird. Der Staat ist normalerweise daran interessiert, möglichst hohe Steuereinnahmen zu erhalten. Bei der degressiven Abschreibung können die Kosten insgesamt früher vom Unternehmen geltend gemacht werden. Tendenziell sinkt dadurch der Gewinn des Unternehmens. Der Gewinn tendenziell sinkt auch, je kürzer die vorgegebene Nutzungsdauer. Dies ist der Grund, warum das Bundesfinanzministerium die ''betriebsgewöhnliche Nutzungsdauer'' vorgibt. Noch schneller kann dass Unternehmen etwa einen Drucker nur abschreiben, wenn der Drucker vor Ende der Nutzungsdauer nicht mehr nutzbar wird. Die steuerlichen Detailregelungen zu den Abschreibungen ändern sich teilweise von Jahr zu Jahr. Wenn die steuerrechtlichen Vorgaben und die betriebswirtschaftlichen Realitäten zu weit auseinanderfallen, kann es erforderlich sein, die steuerrechtlichen Abschreibungen und die betriebswirtschaftliche Kalkulation gesondert durchzuführen. === Kalkulatorische Zinsen === Durch den Kauf langlebiger Wirtschaftgüter (Kopierer, Schreibtisch, KfZ) aber auch von Gebäuden und Grundstücken hat das Unternehmen Geld im ''Kapital'' gebunden. Dieses Geld hätte stattdessen auch - vergleichsweise risikolos - auf dem Kapitalmarkt angelegt werden können, etwa durch den Kauf von Bundesanleihen. Aus diesen Kapitalanlagen hätte das Unternehmen Zinsen erhalten. Ist das Geld hingegen im Kapital des Unternehmens gebunden, gehen diese Zinsen rein rechnerisch verloren. Mit anderen Worten: Die Investition in Betribskapital hat ''Opportunitätskosten'' (siehe erste Vorlesung zu ökonomischen Grundbegriffen). Für die tatsächlich aufgenommenen Kredite muss das Unternehmen Zinsen bezahlen. Gleichzeitig erwarten die Gründer des Unterehmens eine gewissen Verzinsung der Geldmittel, die sie dem Unternehmen zur Verfügung stellen. Anstatt die verschiedenen Zinssätze in der Kalkulation und im Rechnungswesen detailliert zu berücksichtigen, setzen Unternehmen der Dienstleistungsbranche oft einen einheitlichen ''kalkulatorischen Zinssatz'' von 6-8 % auf das Gesamtvermögen an. Alternativ kann der Leitzins der Europäischen Zentralbank ''plus'' eines Aufschlags genutzt werden. === Weitere Kostenarten === '''Fremdleistungen''' und '''Steuern''' (z.B. KfZ-Steuer) fallen häufig ebenfalls an. Diese können als gesonderte Kostenkategorien oder vereinfachend unter Betriebskosten aufgeführt werden. Die Umsatzsteuer ("Mehrwertsteuer") ist dabei weitgehend eine durchlaufender Posten: An die Finanzbehörden ist nur die Differenz aus er selbst eingenommenen Umsatzsteuer und der selbst gezahlten Umsatzsteuer zu entrichten. Eine besondere Rolle spielen '''Wagniskosten'''. Gegen Schäden an einem Gebäude schließt ein Unternehmen meist eine Versicherung ab. Die Versischerungsprämien sind Fremdleistungskosten. Andere Risiken werden jedoch meist nicht versichert. Dazu gehört das Risiko, dass eine Kundin eine Rechnung nicht bezahlt. Oder das Risiko, dass es zwischen Angebotserstellung und Bearbeitung eines Auftrags zu größeren Kostensteigerungen kommt. Um diese Risiken intern rechnerisch abzudecken, kann in der Kalkulation ein Wagnisaufschlag auf die Auftragssumme eingerechnet werden. Bei privaten Auftraggebern werden 4-7 % angesetzt. [[Kategorie:Kurs:Sozialwissenschaften:Einführung BWL (hda)]] 6y1y9s0huul0yjiqjenu9ek7opie52y 1119158 1119157 2026-11-09T05:58:39Z Barkmann-hdaOek 40593 /* Personalkosten */ 1119158 wikitext text/x-wiki = Rechnungswesen Übersicht = Das Rechnungswesen ist eine funktionale Organisationseinheit eines Unternehmens. Im Rechnungswesen (früher: „Buchhaltung“) werden alle relevanten Vorgänge im Unternehmen in Geldeinheiten abgebildet. In diese Übersicht sind Lösungshinweise für die Aufgabe "Erster Auftrag" eingearbeitet. == Externes Rechnungswesen == Das externe Rechnungswesen *überwacht und tätigt Zahlungen an Lieferanten *stellt Rechnungen an Kundinnen und überwacht den Zahlungseingang *dokumentiert alle Geschäftsvorgänge mit deren Belegen („Quittungen“, Lieferscheine, etc.) **Geschäftsvorgänge sind z.B. der Kauf und der Verbrauch von Vorprodukten und Betriebsmitteln, der Verkauf von Ware, Zahlungsein- und -ausgänge, Lagerveränderungen, Gehaltszahlungen *ordnet die Geschäftsvorgänge einem System von Konten (Einzahl: Konto) zu **„doppelte Buchführung“ *ermittelt aus den Konten den Gewinn oder Verlust des Unternehmens (Gewinn- und Verlustrechnung) sowie zum Jahresende eine Aufstellung das Vermögen, die Verbindlichkeiten („Schulden“) sowie das Eigenkapital des Unternehmens (Bilanz) Das externe Rechnungswesen dient somit auch der Bereitstellung von Daten für gesetzliche Berichtspflichten (z.B. Bilanzpflicht nach dem Handelsgesetzbuch) und für die Besteuerung des Unternehmens (Umsatzsteuer, Gewerbesteuer, Einkommensteuer/Körperschaftssteuer). == Internes Rechnungswesen == Das interne Rechnungswesen (engl. ''Controlling'') erfasst Kosten und Leistungen in Bezug auf einzelne Produkte oder Projekte. Es dient der Unterstützung unternehmerischer Planungs- und Entscheidungsprozesse z.B. über * Investitionen (Maschinen, Gebäude) * die Festlegung von Verkaufspreisen * den Personal- und Materialeinsatz in der Produktion * die Inanspruchnahme von Krediten oder anderer Finanzierungsquellen. = Kosten- und Leistungsrechnung = == Kosten (Begriff) == Um ein Produkt zu erzeugen, benötigt ein Unternehmen Arbeitskraft, Rohstoffe oder Vorprodukte, Elektrizität... In der Betriebswirtschaftslehre wird ein entsprechender Verbrauch oder eine entsprechende Inanspruchnahme als '''Aufwand''' bezeichnet. Von Aufwand wird auch gesprochen, wenn nicht direkt produziert wird. So hat ein für Deko- und Gemütlichkeitszwecke gekaufter Weihnachtsbaum im Eingang eines Unternehmens keinen direkten Einfluss auf die Produktion einer bestimmten Ware. Aber es ist dennoch ein Aufwand. Ein Aufwand wird in der Buchhaltung nach seinen Anschaffungskosten bewertet. Definition nach Carl et al. (2.1.3): *Aufwand = zu Anschaffungsausgaben bewerteter Güterverbrauch Dem Aufwand steht der '''Ertrag''' gegenüber, wenn Güter im Unternehmen erzeugt werden. Verkaufte Güter gehen über die bezahlten Rechnungen als '''Erlöse''' in die Buchhaltung ein. Hergestellte, aber noch nicht verkaufte Güter werden mit ihrem Herstellungskosten bewertet * Ertrag = nach Herstellungskosten bewertete Güterentstehung Von '''Kosten''' sprechen wir in der Betriebswirtschaft, wenn ein Güterverbrauch ''einem bestimmten Produkt oder Produktionsprozess zugerechnet'' wird oder sonst ''betriebstypisch'' ist. Die Kosten unterscheiden sich daher vom Aufwand. * Kosten = bewerteter leistungsbezogener (oder betriebstypischer) Güterverbrauch Der für Deko- und Gemütlichkeitszwecke gekaufte Weihnachtsbaum im Eingang eines Unternehmens trägt weder zur Erzeugung eines bestimmten Produkts bei noch ist dessen Anschaffung "betriebstypisch". Während es sich also um einen Aufwand handelt, kann die Ausgabe für die Anschaffung des Weihnachtsbaums also nicht als ''Kosten'' einem bestimmten Produkt oder Produktionsprozess zugeordnet werden. Den Kosten stehen '''Leistungen''' gegenüber. Während der Begriff "Ertrag" jegliche Güterentstehung umfasst, sind Leistungen ausschließlich ''betriebstypische'' Erträge. Erstellt Ihr sozialwissenschaftliches Büro eine Studie, ist das also nicht nur ein Ertrag, sondern auch eine Leistung. *Leistung = zu Herstellungskosten bewertete, betriebstypische Güterentstehung == Kostenträger == Die Kosten- und Leistungsrechnung ist Teil des internen Rechnungswesens. Eine zentrale Aufgabe besteht darin, die Kosten bei der Produktion und Vermarktung den erzeugten Produkten richtig zuzuordnen. Werden z.B. von einer wissenschaftlichen Angestellten gleichzeitig zwei verschieden aufwändige '''Umfragen''' vorbereitet, muss ein größerer Teil der Arbeitszeit der aufwändigeren Befragung zugeordnet werden. Der weniger aufwändigen Befragung dürfen nur weniger Arbeitsstunden zugeordnet werden. Die beiden Umfragen werden auch als Kostenträger bezeichnet, da ihnen die Kosten zugeordnet werden, die durch sie verursacht werden. == Kostenrechnung == === Fixkosten === Im Unternehmen fallen Kosten an, die sich über längere Zeiträume nicht verändern – und zwar unabhängig davon, wieviel produziert wird. Hat ein Unternehmen beispielsweise einen Mietvertrag über fünf Jahre für ein Büro abgeschlossen, muss jeden Monat Kaltmiete bezahlt werden. Die Höhe der Kaltmiete hängt nicht davon ab, ob während der Ferienzeit wenig gearbeitet und produziert wird oder viel zu anderen Zeiten. Solche über längere Zeiträume festen („fixen“) Kosten werden als Fixkosten bezeichnet. Für das Unternehmen besteht die Herausforderung darin, die Fixkosten auf die einzelnen Aufträge oder Produkte zu verteilen. Nur wenn auch die Fixkosten auf dem Wege der Angebotskalkulation in die verlangten Preise einfließen, können die Fixkosten aus den Erlösen (eingezahlte Kaufpreise der Kunden = bezahlte Rechnungen) gedeckt werden. Beispiele für so eine Aufteilung kommen unten im Abschnitt Vollkosten. === Variable Kosten === Andere Kosten hängen von der Menge der Produktion ab. Soll etwa eine analoge Befragung mit Fragebögen durchgeführt werden, hängen die Kopier- oder Druckkosten für die Fragebögen vom Umfang der Studie ab. Die variablen Kosten einer Befragung mit 1000 Befragten und einem fünfseitigen Fragebogen werden etwa um den Faktor 5 höher liegen als bei einer Befragung von nur 200 Personen mit dem gleichen Fragebogen. Wie „teuer“ kommt es unserem Unternehmen, eine Studie mit 200 Befragten und einem fünfseitigen Fragebogen durchzuführen? Nehmen wir an, eine einzelne Seite hat Druckkosten von 5 ct: :200 Befragte * 5 Seiten/Befragtem * 5 ct/Seite = 5.000 ct = 50 € Würden wir so eine Befragung für weniger als 50 € anbieten, würden wir selbst dann einen Verlust machen, wenn wir weiter keine anderen Kosten hätten: Die Einnahmen wären geringer als die variablen Kosten. Nur in besonderen Ausnahmefällen würden wir daher so eine Befragung für unter 50 € anbieten. Die variablen Kosten bildet somit eine Preisuntergrenze, die wir auch kurzfristig kaum unterschreiten werden (''kurzfristige Preisuntergrenze''). === Vollkosten === Offensichtlich fallen bei unserer Studie noch mehr Kosten an als nur die Druckkosten für die Fragebögen. Zusätzlich muss die wissenschaftliche Angestellte den analogen Fragebogen erstellen, testen, verteilen, ausfüllen lassen, einsammeln, die Daten nach SPSS übertragen und die Befragung dann noch nach den Vorgaben der Auftraggeber auswerten. Handelt es sich um eine fest angestellte Mitarbeiterin, sind deren Gehaltszahlungen Fixkosten: Das Gehalt wird gezahlt, auch wenn diese Umfrage nicht bearbeitet worden wäre. Ähnlich ist es mit der Kaltmiete für das Büro. Bei der Vollkostenrechnung werden diese Fixkosten möglichst sachgerecht den verschiedenen Kostenträgern – also in unserem Fall den beiden verschieden umfangreichen Studien – zuordnet: :Vollkosten = variable Kosten + anteilige Fixkosten Langfristig kann ein Unternehmen nur erfolgreich sein, wenn es neben den variablen Kosten für jeden Auftrag auch die anteilig anfallenden Fixkosten einnehmen kann. Die Vollkosten stellen somit die ''langfristige Preisuntergrenze'' dar. Die Kostenrechnung ist eine wichtige Grundlage für die Preisbeurteilung bzw. die Kalkulation von Angeboten. === Kalkulation der Vollkosten, insb. anteilige Fixkosten === Nehmen wir an, die Erstellung und Testung des Fragebogens hätte insgesamt 100 Stunden benötigt und pro Monat müsse unser Unternehmen 6100 € für die wissenschaftliche Angestellte zahlen (''Arbeitgeberbrutto''). Wir benötigen zunächst die rechnerischen Kosten für eine wissenschaftliche Angestellte pro Stunde: :Personalkosten (wiss. Ang.) €/h = 6100 €/Monat / 4,35 Wochen/Monat / 40 h/Woche : = 35,06 €/h Für eine typische 40-Stunden-Woche wird oft mit 174 h/Monat gerechnet, d.h. mit 40 h/Woche * 4,35 Wochen/Monat. Für 100 Stunden ergibt das 3506 €. Unabhängig davon, in welchem Monat genau die Arbeit erbracht wurden, haben wir so einen Anteil der fixen Personalkosten von Angestellten identifiziert, der durch die Erstellung des Fragebogens ausgelöst wurde. Wir teilen diese Kosten nun nach Bruchteilen der gesamten Befragten (1200) auf und runden auf ganze €: :Große Umfrage: 1000/1200 * 3506 € = 2922 € :Kleine Umfrage: 200/1200 * 3505 € = 584 € Dies ist ''eine'' Möglichkeit, einen Teil der Fixkosten verursachergerecht aufzuteilen. Im Angebotsbeispiel im Kurs haben wir nur ein Angebot zu erstellen - d.h. nur die Studie mit 1000 Befragten. Schätzen wir, dass die Erstellung des Fragebogens 100 Stunden der wissenschaftlichen Angestellten benötigt sowie 200 Stunden für alle anderen Schritte, belaufen sich die anteiligen Personalkosten auf :300 h * 35,06 €/h = 10,518 € Laut Aufgabenstellung kommt hinzu die anteilige Miete. 400 Stunden entsprechen 10 Arbeitswochen, d.h. etwa 2,5 Monaten. Bei einer Miete von 1200 €/Monat für unser Büro wäre das :3000 €. Wird gleichzeitig im Büro noch ein weiterer Auftrag bearbeitet, würde nur ein sinnvoller Anteil der 3000 € in unsere Kalkulation des Angebots an die FRAPORT AG fallen. Ähnlich muss mit anderen Fixkostenanteilen verfahren werden. Ähnlich der Miete für ein Büro, mieten Sie über einen Lizenzvertrag das Recht, SPSS-Software nutzen zu können. Kaufen Sie eine Jahreslizenz, ist wieder der Anteil zu bestimmen, der der geplanten Nutzung entspricht - z.B. 2,5 Monate von 12 Monaten/Jahr. == Übersicht über die Kostenarten == Typischerweise werden die folgenden Gruppen von Kostenarten unterschieden: * Personalkosten (z.B. Hilfslöhne, Gehälter) * Material- und Betriebskosten (z.B. Kopierpapier, Raumkosten) * kalkulatorische Abschreibungen (z.B. Abschreibung für Abnutzung von "Maschinen" wie Drucker oder Laptops, Büroaustattung) * kalkulatorische Zinsen (Kapitalkosten für Kredite) * Fremdleistungskosten (z.B. Beratungskosten, Speditionskosten) * Wagniskosten (z.B. Garantiekosten; für uns wenig relevant) * Steuern (z.B. Grundsteuer) === Personalkosten === Personalkosten fallen an, wenn das Unternehmen menschliche Arbeitskraft "kauft", z.B. indem ''Arbeiter'', ''Angestellte'' oder Hilfskräfte beschäftigt werden. Arbeiterinnen und Arbeiter werden nach einem ''Stundenlohn'' bezahlt, Angestellte erhalten ein monatliches ''Gehalt''. Von Seiten des Unternehmens fallen neben dem mit den Angstellten vereinbarten Bruttogehalt weitere Kosten an. Das Arbeitgeber-Brutto umfasst (alle Angaben Herbst 2025; Prozentsätze beziehen sich auf das Bruttogehalt): # Bruttogehalt für die Angestellte # Arbeitgeberanteil zur Rentenversicherung (9,3 %) # Arbeitgeberanteil zur Kranken- (~ 7 %) und Pflegeversicherung (1,7 %. ggf. +0,6 % für Kinderlose über 23 Jahre) # Arbeitgeberanteil zur Arbeitslosenversicherung (1,2 %) # Unfallversicherung (~ 1,6 %) Bei der Kalkulation eines Auftrags muss weiterhin berücksichtigt werden, dass Angestellte ein Anrecht auf Urlaub haben und dass an gesetzlichen Feiertagen nicht gearbeitet wird (~ 40 Tage/Jahr). Auch ein gewisser Krankenstand sollte berücksichtigt werden. Für '''studentische Hilfskräfte''' und Teilzeitbeschäftigte gelten Sonderregelungen. Studierende, die eine mehr als nur eine geringfügige Beschäftigung haben, sind grundsätzlich versicherungspflichtig in der Rentenversicherung. Es gibt aber Ausnahmen für "ordentliche" Studierende, die # die während der Dauer ihres Studiums ein '''Pflichtpraktikum''' ableisten (§ 5 Abs. 3 SGB VI). Das Entgelt für das Praktikum ist rentenversicherungsfrei; # höchstens '''20 Stunden/Woche''' arbeiten. Es brauchen hier keine Beiträge zur Kranken-, Pflege- und Arbeitslosenversicherung gezahlt werden (§ 6 Abs. 1 Nr. 3 SGB V; § 27 Abs. 4 Satz 1 Nr. 2 SGB III); # in den '''Semesterferien''' arbeiten. Unabhängig von der wöchentlichen Arbeitszeit ist die Beschäftigung sozialversicherungsfrei in der Kranken-, Pflege- und Arbeitslosenversicherung. === Material- und Betriebskosten === Die ''Materialkosten'' umfassen den unmittelbar einem Produkt zurechenbaren Verbrauch an Material wie Druckerpapier für den Druck von Fragebögen für eine Sudie. Der Betrieb eines Kopierers oder Druckers verbraucht zusätzlich Elektrizität. Wir sprechen hier von ''Betriebskosten''. Auch die Raummiete für ein Büro gehört zu den Betriebskosten. Betriebskosten können (s.o.) in Fixkosten und variable Kosten unterschieden werden. Die Fixkosten müssen bei der Kalkulation von Aufträgen sinnvoll den einzelnen Produkten zugeordnet werden, damit die Verkaufserlöse insgesamt auch die Fixkosten decken. === Abschreibung für Abnutzung === Langlebige Betriebsmittel wie Computer, Drucker oder Schreibtische "halten" meistens länger als ein Jahr und stehen für mehrere Aufträge zur Verfügung. Die Kosten für diese langlebigen Wirtschaftsgüter werden daher auf die typische Nutzungsdauer verteilt. Die jährlichen Wertminderungen durch "Abnutzung" werden im Rechnungswesen erfasst und heißen ''Abschreibungen''. In allen etwas größeren Unternehmen werden die Ausgaben für die Anschaffung eines langlebigen Wirtschaftsguts daher nicht im Anschaffungsjahr als Kosten verrechnet, sondern auf mehrere Jahre verteilt. Abschreibungen können als Teil der Fixkosten angesehen werden. Auch bei der Verteilung über mehrere Jahre ist es zentrale Aufgabe der Abschreibungen dafür zu sorgen, dass über die Verkaufserlöse so viel Geld in das Unternehmen kommt, dass rechtzeitig Ersatz gekauft werden kann. Die Berücksichtigung der Abschreibungen bei der Kalkulation und der Abrechnung eines Auftrags dient daher der Substanzerhaltung des Kapitals des Unternehmens. Für viele Güter gibt des Bundesfinanzminiterium Listen heraus, aus denen die anzuwendende Nutzungsdauer zu ersehen ist. Für PCs, Laptops und Peripheriegeräte wie Drucker oder Bildschirme beträgt die ''betriebsgewöhnliche Nutzungsdauer'' beispielsweise 3 Jahre. Ein für 1200 € gekaufter Laptop kann also in drei Jahresraten zu je 400 € abgeschrieben werden. Wir sprechen hier von einer ''linearen Abschreibung'', da die Abschreibungen gleichmäßig auf den Nutzungszeitraum verteilt sind. Mit anderen Worten: Der in der Buchhaltung erfasste Wert des Laptops sinkt gleichmäßig (= linerar) von Jahr zu Jahr. Erlaubt ist jedoch oft auch eine ''degressive Abschreibung'', bei der im ersten Jahr eine besonders große Abschreibung vorgenommen wird. Der Staat ist normalerweise daran interessiert, möglichst hohe Steuereinnahmen zu erhalten. Bei der degressiven Abschreibung können die Kosten insgesamt früher vom Unternehmen geltend gemacht werden. Tendenziell sinkt dadurch der Gewinn des Unternehmens. Der Gewinn tendenziell sinkt auch, je kürzer die vorgegebene Nutzungsdauer. Dies ist der Grund, warum das Bundesfinanzministerium die ''betriebsgewöhnliche Nutzungsdauer'' vorgibt. Noch schneller kann dass Unternehmen etwa einen Drucker nur abschreiben, wenn der Drucker vor Ende der Nutzungsdauer nicht mehr nutzbar wird. Die steuerlichen Detailregelungen zu den Abschreibungen ändern sich teilweise von Jahr zu Jahr. Wenn die steuerrechtlichen Vorgaben und die betriebswirtschaftlichen Realitäten zu weit auseinanderfallen, kann es erforderlich sein, die steuerrechtlichen Abschreibungen und die betriebswirtschaftliche Kalkulation gesondert durchzuführen. === Kalkulatorische Zinsen === Durch den Kauf langlebiger Wirtschaftgüter (Kopierer, Schreibtisch, KfZ) aber auch von Gebäuden und Grundstücken hat das Unternehmen Geld im ''Kapital'' gebunden. Dieses Geld hätte stattdessen auch - vergleichsweise risikolos - auf dem Kapitalmarkt angelegt werden können, etwa durch den Kauf von Bundesanleihen. Aus diesen Kapitalanlagen hätte das Unternehmen Zinsen erhalten. Ist das Geld hingegen im Kapital des Unternehmens gebunden, gehen diese Zinsen rein rechnerisch verloren. Mit anderen Worten: Die Investition in Betribskapital hat ''Opportunitätskosten'' (siehe erste Vorlesung zu ökonomischen Grundbegriffen). Für die tatsächlich aufgenommenen Kredite muss das Unternehmen Zinsen bezahlen. Gleichzeitig erwarten die Gründer des Unterehmens eine gewissen Verzinsung der Geldmittel, die sie dem Unternehmen zur Verfügung stellen. Anstatt die verschiedenen Zinssätze in der Kalkulation und im Rechnungswesen detailliert zu berücksichtigen, setzen Unternehmen der Dienstleistungsbranche oft einen einheitlichen ''kalkulatorischen Zinssatz'' von 6-8 % auf das Gesamtvermögen an. Alternativ kann der Leitzins der Europäischen Zentralbank ''plus'' eines Aufschlags genutzt werden. === Weitere Kostenarten === '''Fremdleistungen''' und '''Steuern''' (z.B. KfZ-Steuer) fallen häufig ebenfalls an. Diese können als gesonderte Kostenkategorien oder vereinfachend unter Betriebskosten aufgeführt werden. Die Umsatzsteuer ("Mehrwertsteuer") ist dabei weitgehend eine durchlaufender Posten: An die Finanzbehörden ist nur die Differenz aus er selbst eingenommenen Umsatzsteuer und der selbst gezahlten Umsatzsteuer zu entrichten. Eine besondere Rolle spielen '''Wagniskosten'''. Gegen Schäden an einem Gebäude schließt ein Unternehmen meist eine Versicherung ab. Die Versischerungsprämien sind Fremdleistungskosten. Andere Risiken werden jedoch meist nicht versichert. Dazu gehört das Risiko, dass eine Kundin eine Rechnung nicht bezahlt. Oder das Risiko, dass es zwischen Angebotserstellung und Bearbeitung eines Auftrags zu größeren Kostensteigerungen kommt. Um diese Risiken intern rechnerisch abzudecken, kann in der Kalkulation ein Wagnisaufschlag auf die Auftragssumme eingerechnet werden. Bei privaten Auftraggebern werden 4-7 % angesetzt. [[Kategorie:Kurs:Sozialwissenschaften:Einführung BWL (hda)]] qncv0vgef1tt98s4bufcksridd30lf7 1119159 1119158 2026-11-09T06:01:26Z Barkmann-hdaOek 40593 /* Abschreibung für Abnutzung */ 1119159 wikitext text/x-wiki = Rechnungswesen Übersicht = Das Rechnungswesen ist eine funktionale Organisationseinheit eines Unternehmens. Im Rechnungswesen (früher: „Buchhaltung“) werden alle relevanten Vorgänge im Unternehmen in Geldeinheiten abgebildet. In diese Übersicht sind Lösungshinweise für die Aufgabe "Erster Auftrag" eingearbeitet. == Externes Rechnungswesen == Das externe Rechnungswesen *überwacht und tätigt Zahlungen an Lieferanten *stellt Rechnungen an Kundinnen und überwacht den Zahlungseingang *dokumentiert alle Geschäftsvorgänge mit deren Belegen („Quittungen“, Lieferscheine, etc.) **Geschäftsvorgänge sind z.B. der Kauf und der Verbrauch von Vorprodukten und Betriebsmitteln, der Verkauf von Ware, Zahlungsein- und -ausgänge, Lagerveränderungen, Gehaltszahlungen *ordnet die Geschäftsvorgänge einem System von Konten (Einzahl: Konto) zu **„doppelte Buchführung“ *ermittelt aus den Konten den Gewinn oder Verlust des Unternehmens (Gewinn- und Verlustrechnung) sowie zum Jahresende eine Aufstellung das Vermögen, die Verbindlichkeiten („Schulden“) sowie das Eigenkapital des Unternehmens (Bilanz) Das externe Rechnungswesen dient somit auch der Bereitstellung von Daten für gesetzliche Berichtspflichten (z.B. Bilanzpflicht nach dem Handelsgesetzbuch) und für die Besteuerung des Unternehmens (Umsatzsteuer, Gewerbesteuer, Einkommensteuer/Körperschaftssteuer). == Internes Rechnungswesen == Das interne Rechnungswesen (engl. ''Controlling'') erfasst Kosten und Leistungen in Bezug auf einzelne Produkte oder Projekte. Es dient der Unterstützung unternehmerischer Planungs- und Entscheidungsprozesse z.B. über * Investitionen (Maschinen, Gebäude) * die Festlegung von Verkaufspreisen * den Personal- und Materialeinsatz in der Produktion * die Inanspruchnahme von Krediten oder anderer Finanzierungsquellen. = Kosten- und Leistungsrechnung = == Kosten (Begriff) == Um ein Produkt zu erzeugen, benötigt ein Unternehmen Arbeitskraft, Rohstoffe oder Vorprodukte, Elektrizität... In der Betriebswirtschaftslehre wird ein entsprechender Verbrauch oder eine entsprechende Inanspruchnahme als '''Aufwand''' bezeichnet. Von Aufwand wird auch gesprochen, wenn nicht direkt produziert wird. So hat ein für Deko- und Gemütlichkeitszwecke gekaufter Weihnachtsbaum im Eingang eines Unternehmens keinen direkten Einfluss auf die Produktion einer bestimmten Ware. Aber es ist dennoch ein Aufwand. Ein Aufwand wird in der Buchhaltung nach seinen Anschaffungskosten bewertet. Definition nach Carl et al. (2.1.3): *Aufwand = zu Anschaffungsausgaben bewerteter Güterverbrauch Dem Aufwand steht der '''Ertrag''' gegenüber, wenn Güter im Unternehmen erzeugt werden. Verkaufte Güter gehen über die bezahlten Rechnungen als '''Erlöse''' in die Buchhaltung ein. Hergestellte, aber noch nicht verkaufte Güter werden mit ihrem Herstellungskosten bewertet * Ertrag = nach Herstellungskosten bewertete Güterentstehung Von '''Kosten''' sprechen wir in der Betriebswirtschaft, wenn ein Güterverbrauch ''einem bestimmten Produkt oder Produktionsprozess zugerechnet'' wird oder sonst ''betriebstypisch'' ist. Die Kosten unterscheiden sich daher vom Aufwand. * Kosten = bewerteter leistungsbezogener (oder betriebstypischer) Güterverbrauch Der für Deko- und Gemütlichkeitszwecke gekaufte Weihnachtsbaum im Eingang eines Unternehmens trägt weder zur Erzeugung eines bestimmten Produkts bei noch ist dessen Anschaffung "betriebstypisch". Während es sich also um einen Aufwand handelt, kann die Ausgabe für die Anschaffung des Weihnachtsbaums also nicht als ''Kosten'' einem bestimmten Produkt oder Produktionsprozess zugeordnet werden. Den Kosten stehen '''Leistungen''' gegenüber. Während der Begriff "Ertrag" jegliche Güterentstehung umfasst, sind Leistungen ausschließlich ''betriebstypische'' Erträge. Erstellt Ihr sozialwissenschaftliches Büro eine Studie, ist das also nicht nur ein Ertrag, sondern auch eine Leistung. *Leistung = zu Herstellungskosten bewertete, betriebstypische Güterentstehung == Kostenträger == Die Kosten- und Leistungsrechnung ist Teil des internen Rechnungswesens. Eine zentrale Aufgabe besteht darin, die Kosten bei der Produktion und Vermarktung den erzeugten Produkten richtig zuzuordnen. Werden z.B. von einer wissenschaftlichen Angestellten gleichzeitig zwei verschieden aufwändige '''Umfragen''' vorbereitet, muss ein größerer Teil der Arbeitszeit der aufwändigeren Befragung zugeordnet werden. Der weniger aufwändigen Befragung dürfen nur weniger Arbeitsstunden zugeordnet werden. Die beiden Umfragen werden auch als Kostenträger bezeichnet, da ihnen die Kosten zugeordnet werden, die durch sie verursacht werden. == Kostenrechnung == === Fixkosten === Im Unternehmen fallen Kosten an, die sich über längere Zeiträume nicht verändern – und zwar unabhängig davon, wieviel produziert wird. Hat ein Unternehmen beispielsweise einen Mietvertrag über fünf Jahre für ein Büro abgeschlossen, muss jeden Monat Kaltmiete bezahlt werden. Die Höhe der Kaltmiete hängt nicht davon ab, ob während der Ferienzeit wenig gearbeitet und produziert wird oder viel zu anderen Zeiten. Solche über längere Zeiträume festen („fixen“) Kosten werden als Fixkosten bezeichnet. Für das Unternehmen besteht die Herausforderung darin, die Fixkosten auf die einzelnen Aufträge oder Produkte zu verteilen. Nur wenn auch die Fixkosten auf dem Wege der Angebotskalkulation in die verlangten Preise einfließen, können die Fixkosten aus den Erlösen (eingezahlte Kaufpreise der Kunden = bezahlte Rechnungen) gedeckt werden. Beispiele für so eine Aufteilung kommen unten im Abschnitt Vollkosten. === Variable Kosten === Andere Kosten hängen von der Menge der Produktion ab. Soll etwa eine analoge Befragung mit Fragebögen durchgeführt werden, hängen die Kopier- oder Druckkosten für die Fragebögen vom Umfang der Studie ab. Die variablen Kosten einer Befragung mit 1000 Befragten und einem fünfseitigen Fragebogen werden etwa um den Faktor 5 höher liegen als bei einer Befragung von nur 200 Personen mit dem gleichen Fragebogen. Wie „teuer“ kommt es unserem Unternehmen, eine Studie mit 200 Befragten und einem fünfseitigen Fragebogen durchzuführen? Nehmen wir an, eine einzelne Seite hat Druckkosten von 5 ct: :200 Befragte * 5 Seiten/Befragtem * 5 ct/Seite = 5.000 ct = 50 € Würden wir so eine Befragung für weniger als 50 € anbieten, würden wir selbst dann einen Verlust machen, wenn wir weiter keine anderen Kosten hätten: Die Einnahmen wären geringer als die variablen Kosten. Nur in besonderen Ausnahmefällen würden wir daher so eine Befragung für unter 50 € anbieten. Die variablen Kosten bildet somit eine Preisuntergrenze, die wir auch kurzfristig kaum unterschreiten werden (''kurzfristige Preisuntergrenze''). === Vollkosten === Offensichtlich fallen bei unserer Studie noch mehr Kosten an als nur die Druckkosten für die Fragebögen. Zusätzlich muss die wissenschaftliche Angestellte den analogen Fragebogen erstellen, testen, verteilen, ausfüllen lassen, einsammeln, die Daten nach SPSS übertragen und die Befragung dann noch nach den Vorgaben der Auftraggeber auswerten. Handelt es sich um eine fest angestellte Mitarbeiterin, sind deren Gehaltszahlungen Fixkosten: Das Gehalt wird gezahlt, auch wenn diese Umfrage nicht bearbeitet worden wäre. Ähnlich ist es mit der Kaltmiete für das Büro. Bei der Vollkostenrechnung werden diese Fixkosten möglichst sachgerecht den verschiedenen Kostenträgern – also in unserem Fall den beiden verschieden umfangreichen Studien – zuordnet: :Vollkosten = variable Kosten + anteilige Fixkosten Langfristig kann ein Unternehmen nur erfolgreich sein, wenn es neben den variablen Kosten für jeden Auftrag auch die anteilig anfallenden Fixkosten einnehmen kann. Die Vollkosten stellen somit die ''langfristige Preisuntergrenze'' dar. Die Kostenrechnung ist eine wichtige Grundlage für die Preisbeurteilung bzw. die Kalkulation von Angeboten. === Kalkulation der Vollkosten, insb. anteilige Fixkosten === Nehmen wir an, die Erstellung und Testung des Fragebogens hätte insgesamt 100 Stunden benötigt und pro Monat müsse unser Unternehmen 6100 € für die wissenschaftliche Angestellte zahlen (''Arbeitgeberbrutto''). Wir benötigen zunächst die rechnerischen Kosten für eine wissenschaftliche Angestellte pro Stunde: :Personalkosten (wiss. Ang.) €/h = 6100 €/Monat / 4,35 Wochen/Monat / 40 h/Woche : = 35,06 €/h Für eine typische 40-Stunden-Woche wird oft mit 174 h/Monat gerechnet, d.h. mit 40 h/Woche * 4,35 Wochen/Monat. Für 100 Stunden ergibt das 3506 €. Unabhängig davon, in welchem Monat genau die Arbeit erbracht wurden, haben wir so einen Anteil der fixen Personalkosten von Angestellten identifiziert, der durch die Erstellung des Fragebogens ausgelöst wurde. Wir teilen diese Kosten nun nach Bruchteilen der gesamten Befragten (1200) auf und runden auf ganze €: :Große Umfrage: 1000/1200 * 3506 € = 2922 € :Kleine Umfrage: 200/1200 * 3505 € = 584 € Dies ist ''eine'' Möglichkeit, einen Teil der Fixkosten verursachergerecht aufzuteilen. Im Angebotsbeispiel im Kurs haben wir nur ein Angebot zu erstellen - d.h. nur die Studie mit 1000 Befragten. Schätzen wir, dass die Erstellung des Fragebogens 100 Stunden der wissenschaftlichen Angestellten benötigt sowie 200 Stunden für alle anderen Schritte, belaufen sich die anteiligen Personalkosten auf :300 h * 35,06 €/h = 10,518 € Laut Aufgabenstellung kommt hinzu die anteilige Miete. 400 Stunden entsprechen 10 Arbeitswochen, d.h. etwa 2,5 Monaten. Bei einer Miete von 1200 €/Monat für unser Büro wäre das :3000 €. Wird gleichzeitig im Büro noch ein weiterer Auftrag bearbeitet, würde nur ein sinnvoller Anteil der 3000 € in unsere Kalkulation des Angebots an die FRAPORT AG fallen. Ähnlich muss mit anderen Fixkostenanteilen verfahren werden. Ähnlich der Miete für ein Büro, mieten Sie über einen Lizenzvertrag das Recht, SPSS-Software nutzen zu können. Kaufen Sie eine Jahreslizenz, ist wieder der Anteil zu bestimmen, der der geplanten Nutzung entspricht - z.B. 2,5 Monate von 12 Monaten/Jahr. == Übersicht über die Kostenarten == Typischerweise werden die folgenden Gruppen von Kostenarten unterschieden: * Personalkosten (z.B. Hilfslöhne, Gehälter) * Material- und Betriebskosten (z.B. Kopierpapier, Raumkosten) * kalkulatorische Abschreibungen (z.B. Abschreibung für Abnutzung von "Maschinen" wie Drucker oder Laptops, Büroaustattung) * kalkulatorische Zinsen (Kapitalkosten für Kredite) * Fremdleistungskosten (z.B. Beratungskosten, Speditionskosten) * Wagniskosten (z.B. Garantiekosten; für uns wenig relevant) * Steuern (z.B. Grundsteuer) === Personalkosten === Personalkosten fallen an, wenn das Unternehmen menschliche Arbeitskraft "kauft", z.B. indem ''Arbeiter'', ''Angestellte'' oder Hilfskräfte beschäftigt werden. Arbeiterinnen und Arbeiter werden nach einem ''Stundenlohn'' bezahlt, Angestellte erhalten ein monatliches ''Gehalt''. Von Seiten des Unternehmens fallen neben dem mit den Angstellten vereinbarten Bruttogehalt weitere Kosten an. Das Arbeitgeber-Brutto umfasst (alle Angaben Herbst 2025; Prozentsätze beziehen sich auf das Bruttogehalt): # Bruttogehalt für die Angestellte # Arbeitgeberanteil zur Rentenversicherung (9,3 %) # Arbeitgeberanteil zur Kranken- (~ 7 %) und Pflegeversicherung (1,7 %. ggf. +0,6 % für Kinderlose über 23 Jahre) # Arbeitgeberanteil zur Arbeitslosenversicherung (1,2 %) # Unfallversicherung (~ 1,6 %) Bei der Kalkulation eines Auftrags muss weiterhin berücksichtigt werden, dass Angestellte ein Anrecht auf Urlaub haben und dass an gesetzlichen Feiertagen nicht gearbeitet wird (~ 40 Tage/Jahr). Auch ein gewisser Krankenstand sollte berücksichtigt werden. Für '''studentische Hilfskräfte''' und Teilzeitbeschäftigte gelten Sonderregelungen. Studierende, die eine mehr als nur eine geringfügige Beschäftigung haben, sind grundsätzlich versicherungspflichtig in der Rentenversicherung. Es gibt aber Ausnahmen für "ordentliche" Studierende, die # die während der Dauer ihres Studiums ein '''Pflichtpraktikum''' ableisten (§ 5 Abs. 3 SGB VI). Das Entgelt für das Praktikum ist rentenversicherungsfrei; # höchstens '''20 Stunden/Woche''' arbeiten. Es brauchen hier keine Beiträge zur Kranken-, Pflege- und Arbeitslosenversicherung gezahlt werden (§ 6 Abs. 1 Nr. 3 SGB V; § 27 Abs. 4 Satz 1 Nr. 2 SGB III); # in den '''Semesterferien''' arbeiten. Unabhängig von der wöchentlichen Arbeitszeit ist die Beschäftigung sozialversicherungsfrei in der Kranken-, Pflege- und Arbeitslosenversicherung. === Material- und Betriebskosten === Die ''Materialkosten'' umfassen den unmittelbar einem Produkt zurechenbaren Verbrauch an Material wie Druckerpapier für den Druck von Fragebögen für eine Sudie. Der Betrieb eines Kopierers oder Druckers verbraucht zusätzlich Elektrizität. Wir sprechen hier von ''Betriebskosten''. Auch die Raummiete für ein Büro gehört zu den Betriebskosten. Betriebskosten können (s.o.) in Fixkosten und variable Kosten unterschieden werden. Die Fixkosten müssen bei der Kalkulation von Aufträgen sinnvoll den einzelnen Produkten zugeordnet werden, damit die Verkaufserlöse insgesamt auch die Fixkosten decken. === Abschreibung für Abnutzung === Langlebige Betriebsmittel wie Computer, Drucker oder Schreibtische "halten" meistens länger als ein Jahr und stehen für mehrere Aufträge zur Verfügung. Die Kosten für diese langlebigen Wirtschaftsgüter werden daher auf die typische Nutzungsdauer verteilt. Die jährlichen Wertminderungen durch "Abnutzung" werden im Rechnungswesen erfasst und heißen ''Abschreibungen''. In allen etwas größeren Unternehmen werden die Ausgaben für die Anschaffung eines langlebigen Wirtschaftsguts daher nicht im Anschaffungsjahr als Kosten verrechnet, sondern auf mehrere Jahre verteilt. Abschreibungen können als Teil der Fixkosten angesehen werden. Auch bei der Verteilung über mehrere Jahre ist es zentrale Aufgabe der Abschreibungen dafür zu sorgen, dass über die Verkaufserlöse so viel Geld in das Unternehmen kommt, dass rechtzeitig Ersatz gekauft werden kann. Die Berücksichtigung der Abschreibungen bei der Kalkulation und der Abrechnung eines Auftrags dient daher der Substanzerhaltung des Kapitals des Unternehmens. Für viele Güter gibt des Bundesfinanzminiterium Listen heraus, aus denen die anzuwendende Nutzungsdauer zu ersehen ist. Für PCs, Laptops und Peripheriegeräte wie Drucker oder Bildschirme beträgt die ''betriebsgewöhnliche Nutzungsdauer'' beispielsweise 3 Jahre. Ein für 1200 € gekaufter Laptop kann also in drei Jahresraten zu je 400 € abgeschrieben werden. Wir sprechen hier von einer ''linearen Abschreibung'', da die Abschreibungen gleichmäßig auf den Nutzungszeitraum verteilt sind. Mit anderen Worten: Der in der Buchhaltung erfasste Wert des Laptops sinkt gleichmäßig (= linerar) von Jahr zu Jahr. Erlaubt ist jedoch oft auch eine ''degressive Abschreibung'', bei der im ersten Jahr eine besonders große Abschreibung vorgenommen wird. Der Staat ist normalerweise daran interessiert, möglichst hohe Steuereinnahmen zu erhalten. Bei der degressiven Abschreibung können die Kosten insgesamt früher vom Unternehmen geltend gemacht werden. Tendenziell sinkt dadurch der Gewinn des Unternehmens. Der Gewinn sinkt tendenziell auch, je kürzer die vorgegebene Nutzungsdauer ist. Dies ist der Grund, warum das Bundesfinanzministerium die ''betriebsgewöhnliche Nutzungsdauer'' vorgibt. Noch schneller kann dass Unternehmen etwa einen Drucker nur abschreiben, wenn der Drucker vor Ende der Nutzungsdauer nicht mehr nutzbar wird. Die steuerlichen Detailregelungen zu den Abschreibungen ändern sich teilweise von Jahr zu Jahr. Wenn die steuerrechtlichen Vorgaben und die betriebswirtschaftlichen Realitäten zu weit auseinanderfallen, kann es erforderlich sein, die steuerrechtlichen Abschreibungen und die betriebswirtschaftliche Kalkulation gesondert durchzuführen. === Kalkulatorische Zinsen === Durch den Kauf langlebiger Wirtschaftgüter (Kopierer, Schreibtisch, KfZ) aber auch von Gebäuden und Grundstücken hat das Unternehmen Geld im ''Kapital'' gebunden. Dieses Geld hätte stattdessen auch - vergleichsweise risikolos - auf dem Kapitalmarkt angelegt werden können, etwa durch den Kauf von Bundesanleihen. Aus diesen Kapitalanlagen hätte das Unternehmen Zinsen erhalten. Ist das Geld hingegen im Kapital des Unternehmens gebunden, gehen diese Zinsen rein rechnerisch verloren. Mit anderen Worten: Die Investition in Betribskapital hat ''Opportunitätskosten'' (siehe erste Vorlesung zu ökonomischen Grundbegriffen). Für die tatsächlich aufgenommenen Kredite muss das Unternehmen Zinsen bezahlen. Gleichzeitig erwarten die Gründer des Unterehmens eine gewissen Verzinsung der Geldmittel, die sie dem Unternehmen zur Verfügung stellen. Anstatt die verschiedenen Zinssätze in der Kalkulation und im Rechnungswesen detailliert zu berücksichtigen, setzen Unternehmen der Dienstleistungsbranche oft einen einheitlichen ''kalkulatorischen Zinssatz'' von 6-8 % auf das Gesamtvermögen an. Alternativ kann der Leitzins der Europäischen Zentralbank ''plus'' eines Aufschlags genutzt werden. === Weitere Kostenarten === '''Fremdleistungen''' und '''Steuern''' (z.B. KfZ-Steuer) fallen häufig ebenfalls an. Diese können als gesonderte Kostenkategorien oder vereinfachend unter Betriebskosten aufgeführt werden. Die Umsatzsteuer ("Mehrwertsteuer") ist dabei weitgehend eine durchlaufender Posten: An die Finanzbehörden ist nur die Differenz aus er selbst eingenommenen Umsatzsteuer und der selbst gezahlten Umsatzsteuer zu entrichten. Eine besondere Rolle spielen '''Wagniskosten'''. Gegen Schäden an einem Gebäude schließt ein Unternehmen meist eine Versicherung ab. Die Versischerungsprämien sind Fremdleistungskosten. Andere Risiken werden jedoch meist nicht versichert. Dazu gehört das Risiko, dass eine Kundin eine Rechnung nicht bezahlt. Oder das Risiko, dass es zwischen Angebotserstellung und Bearbeitung eines Auftrags zu größeren Kostensteigerungen kommt. Um diese Risiken intern rechnerisch abzudecken, kann in der Kalkulation ein Wagnisaufschlag auf die Auftragssumme eingerechnet werden. Bei privaten Auftraggebern werden 4-7 % angesetzt. [[Kategorie:Kurs:Sozialwissenschaften:Einführung BWL (hda)]] 1cqo5d38a99xs7dq90n0pdqcwmar7m7 1119160 1119159 2026-11-09T06:03:36Z Barkmann-hdaOek 40593 /* Weitere Kostenarten */ 1119160 wikitext text/x-wiki = Rechnungswesen Übersicht = Das Rechnungswesen ist eine funktionale Organisationseinheit eines Unternehmens. Im Rechnungswesen (früher: „Buchhaltung“) werden alle relevanten Vorgänge im Unternehmen in Geldeinheiten abgebildet. In diese Übersicht sind Lösungshinweise für die Aufgabe "Erster Auftrag" eingearbeitet. == Externes Rechnungswesen == Das externe Rechnungswesen *überwacht und tätigt Zahlungen an Lieferanten *stellt Rechnungen an Kundinnen und überwacht den Zahlungseingang *dokumentiert alle Geschäftsvorgänge mit deren Belegen („Quittungen“, Lieferscheine, etc.) **Geschäftsvorgänge sind z.B. der Kauf und der Verbrauch von Vorprodukten und Betriebsmitteln, der Verkauf von Ware, Zahlungsein- und -ausgänge, Lagerveränderungen, Gehaltszahlungen *ordnet die Geschäftsvorgänge einem System von Konten (Einzahl: Konto) zu **„doppelte Buchführung“ *ermittelt aus den Konten den Gewinn oder Verlust des Unternehmens (Gewinn- und Verlustrechnung) sowie zum Jahresende eine Aufstellung das Vermögen, die Verbindlichkeiten („Schulden“) sowie das Eigenkapital des Unternehmens (Bilanz) Das externe Rechnungswesen dient somit auch der Bereitstellung von Daten für gesetzliche Berichtspflichten (z.B. Bilanzpflicht nach dem Handelsgesetzbuch) und für die Besteuerung des Unternehmens (Umsatzsteuer, Gewerbesteuer, Einkommensteuer/Körperschaftssteuer). == Internes Rechnungswesen == Das interne Rechnungswesen (engl. ''Controlling'') erfasst Kosten und Leistungen in Bezug auf einzelne Produkte oder Projekte. Es dient der Unterstützung unternehmerischer Planungs- und Entscheidungsprozesse z.B. über * Investitionen (Maschinen, Gebäude) * die Festlegung von Verkaufspreisen * den Personal- und Materialeinsatz in der Produktion * die Inanspruchnahme von Krediten oder anderer Finanzierungsquellen. = Kosten- und Leistungsrechnung = == Kosten (Begriff) == Um ein Produkt zu erzeugen, benötigt ein Unternehmen Arbeitskraft, Rohstoffe oder Vorprodukte, Elektrizität... In der Betriebswirtschaftslehre wird ein entsprechender Verbrauch oder eine entsprechende Inanspruchnahme als '''Aufwand''' bezeichnet. Von Aufwand wird auch gesprochen, wenn nicht direkt produziert wird. So hat ein für Deko- und Gemütlichkeitszwecke gekaufter Weihnachtsbaum im Eingang eines Unternehmens keinen direkten Einfluss auf die Produktion einer bestimmten Ware. Aber es ist dennoch ein Aufwand. Ein Aufwand wird in der Buchhaltung nach seinen Anschaffungskosten bewertet. Definition nach Carl et al. (2.1.3): *Aufwand = zu Anschaffungsausgaben bewerteter Güterverbrauch Dem Aufwand steht der '''Ertrag''' gegenüber, wenn Güter im Unternehmen erzeugt werden. Verkaufte Güter gehen über die bezahlten Rechnungen als '''Erlöse''' in die Buchhaltung ein. Hergestellte, aber noch nicht verkaufte Güter werden mit ihrem Herstellungskosten bewertet * Ertrag = nach Herstellungskosten bewertete Güterentstehung Von '''Kosten''' sprechen wir in der Betriebswirtschaft, wenn ein Güterverbrauch ''einem bestimmten Produkt oder Produktionsprozess zugerechnet'' wird oder sonst ''betriebstypisch'' ist. Die Kosten unterscheiden sich daher vom Aufwand. * Kosten = bewerteter leistungsbezogener (oder betriebstypischer) Güterverbrauch Der für Deko- und Gemütlichkeitszwecke gekaufte Weihnachtsbaum im Eingang eines Unternehmens trägt weder zur Erzeugung eines bestimmten Produkts bei noch ist dessen Anschaffung "betriebstypisch". Während es sich also um einen Aufwand handelt, kann die Ausgabe für die Anschaffung des Weihnachtsbaums also nicht als ''Kosten'' einem bestimmten Produkt oder Produktionsprozess zugeordnet werden. Den Kosten stehen '''Leistungen''' gegenüber. Während der Begriff "Ertrag" jegliche Güterentstehung umfasst, sind Leistungen ausschließlich ''betriebstypische'' Erträge. Erstellt Ihr sozialwissenschaftliches Büro eine Studie, ist das also nicht nur ein Ertrag, sondern auch eine Leistung. *Leistung = zu Herstellungskosten bewertete, betriebstypische Güterentstehung == Kostenträger == Die Kosten- und Leistungsrechnung ist Teil des internen Rechnungswesens. Eine zentrale Aufgabe besteht darin, die Kosten bei der Produktion und Vermarktung den erzeugten Produkten richtig zuzuordnen. Werden z.B. von einer wissenschaftlichen Angestellten gleichzeitig zwei verschieden aufwändige '''Umfragen''' vorbereitet, muss ein größerer Teil der Arbeitszeit der aufwändigeren Befragung zugeordnet werden. Der weniger aufwändigen Befragung dürfen nur weniger Arbeitsstunden zugeordnet werden. Die beiden Umfragen werden auch als Kostenträger bezeichnet, da ihnen die Kosten zugeordnet werden, die durch sie verursacht werden. == Kostenrechnung == === Fixkosten === Im Unternehmen fallen Kosten an, die sich über längere Zeiträume nicht verändern – und zwar unabhängig davon, wieviel produziert wird. Hat ein Unternehmen beispielsweise einen Mietvertrag über fünf Jahre für ein Büro abgeschlossen, muss jeden Monat Kaltmiete bezahlt werden. Die Höhe der Kaltmiete hängt nicht davon ab, ob während der Ferienzeit wenig gearbeitet und produziert wird oder viel zu anderen Zeiten. Solche über längere Zeiträume festen („fixen“) Kosten werden als Fixkosten bezeichnet. Für das Unternehmen besteht die Herausforderung darin, die Fixkosten auf die einzelnen Aufträge oder Produkte zu verteilen. Nur wenn auch die Fixkosten auf dem Wege der Angebotskalkulation in die verlangten Preise einfließen, können die Fixkosten aus den Erlösen (eingezahlte Kaufpreise der Kunden = bezahlte Rechnungen) gedeckt werden. Beispiele für so eine Aufteilung kommen unten im Abschnitt Vollkosten. === Variable Kosten === Andere Kosten hängen von der Menge der Produktion ab. Soll etwa eine analoge Befragung mit Fragebögen durchgeführt werden, hängen die Kopier- oder Druckkosten für die Fragebögen vom Umfang der Studie ab. Die variablen Kosten einer Befragung mit 1000 Befragten und einem fünfseitigen Fragebogen werden etwa um den Faktor 5 höher liegen als bei einer Befragung von nur 200 Personen mit dem gleichen Fragebogen. Wie „teuer“ kommt es unserem Unternehmen, eine Studie mit 200 Befragten und einem fünfseitigen Fragebogen durchzuführen? Nehmen wir an, eine einzelne Seite hat Druckkosten von 5 ct: :200 Befragte * 5 Seiten/Befragtem * 5 ct/Seite = 5.000 ct = 50 € Würden wir so eine Befragung für weniger als 50 € anbieten, würden wir selbst dann einen Verlust machen, wenn wir weiter keine anderen Kosten hätten: Die Einnahmen wären geringer als die variablen Kosten. Nur in besonderen Ausnahmefällen würden wir daher so eine Befragung für unter 50 € anbieten. Die variablen Kosten bildet somit eine Preisuntergrenze, die wir auch kurzfristig kaum unterschreiten werden (''kurzfristige Preisuntergrenze''). === Vollkosten === Offensichtlich fallen bei unserer Studie noch mehr Kosten an als nur die Druckkosten für die Fragebögen. Zusätzlich muss die wissenschaftliche Angestellte den analogen Fragebogen erstellen, testen, verteilen, ausfüllen lassen, einsammeln, die Daten nach SPSS übertragen und die Befragung dann noch nach den Vorgaben der Auftraggeber auswerten. Handelt es sich um eine fest angestellte Mitarbeiterin, sind deren Gehaltszahlungen Fixkosten: Das Gehalt wird gezahlt, auch wenn diese Umfrage nicht bearbeitet worden wäre. Ähnlich ist es mit der Kaltmiete für das Büro. Bei der Vollkostenrechnung werden diese Fixkosten möglichst sachgerecht den verschiedenen Kostenträgern – also in unserem Fall den beiden verschieden umfangreichen Studien – zuordnet: :Vollkosten = variable Kosten + anteilige Fixkosten Langfristig kann ein Unternehmen nur erfolgreich sein, wenn es neben den variablen Kosten für jeden Auftrag auch die anteilig anfallenden Fixkosten einnehmen kann. Die Vollkosten stellen somit die ''langfristige Preisuntergrenze'' dar. Die Kostenrechnung ist eine wichtige Grundlage für die Preisbeurteilung bzw. die Kalkulation von Angeboten. === Kalkulation der Vollkosten, insb. anteilige Fixkosten === Nehmen wir an, die Erstellung und Testung des Fragebogens hätte insgesamt 100 Stunden benötigt und pro Monat müsse unser Unternehmen 6100 € für die wissenschaftliche Angestellte zahlen (''Arbeitgeberbrutto''). Wir benötigen zunächst die rechnerischen Kosten für eine wissenschaftliche Angestellte pro Stunde: :Personalkosten (wiss. Ang.) €/h = 6100 €/Monat / 4,35 Wochen/Monat / 40 h/Woche : = 35,06 €/h Für eine typische 40-Stunden-Woche wird oft mit 174 h/Monat gerechnet, d.h. mit 40 h/Woche * 4,35 Wochen/Monat. Für 100 Stunden ergibt das 3506 €. Unabhängig davon, in welchem Monat genau die Arbeit erbracht wurden, haben wir so einen Anteil der fixen Personalkosten von Angestellten identifiziert, der durch die Erstellung des Fragebogens ausgelöst wurde. Wir teilen diese Kosten nun nach Bruchteilen der gesamten Befragten (1200) auf und runden auf ganze €: :Große Umfrage: 1000/1200 * 3506 € = 2922 € :Kleine Umfrage: 200/1200 * 3505 € = 584 € Dies ist ''eine'' Möglichkeit, einen Teil der Fixkosten verursachergerecht aufzuteilen. Im Angebotsbeispiel im Kurs haben wir nur ein Angebot zu erstellen - d.h. nur die Studie mit 1000 Befragten. Schätzen wir, dass die Erstellung des Fragebogens 100 Stunden der wissenschaftlichen Angestellten benötigt sowie 200 Stunden für alle anderen Schritte, belaufen sich die anteiligen Personalkosten auf :300 h * 35,06 €/h = 10,518 € Laut Aufgabenstellung kommt hinzu die anteilige Miete. 400 Stunden entsprechen 10 Arbeitswochen, d.h. etwa 2,5 Monaten. Bei einer Miete von 1200 €/Monat für unser Büro wäre das :3000 €. Wird gleichzeitig im Büro noch ein weiterer Auftrag bearbeitet, würde nur ein sinnvoller Anteil der 3000 € in unsere Kalkulation des Angebots an die FRAPORT AG fallen. Ähnlich muss mit anderen Fixkostenanteilen verfahren werden. Ähnlich der Miete für ein Büro, mieten Sie über einen Lizenzvertrag das Recht, SPSS-Software nutzen zu können. Kaufen Sie eine Jahreslizenz, ist wieder der Anteil zu bestimmen, der der geplanten Nutzung entspricht - z.B. 2,5 Monate von 12 Monaten/Jahr. == Übersicht über die Kostenarten == Typischerweise werden die folgenden Gruppen von Kostenarten unterschieden: * Personalkosten (z.B. Hilfslöhne, Gehälter) * Material- und Betriebskosten (z.B. Kopierpapier, Raumkosten) * kalkulatorische Abschreibungen (z.B. Abschreibung für Abnutzung von "Maschinen" wie Drucker oder Laptops, Büroaustattung) * kalkulatorische Zinsen (Kapitalkosten für Kredite) * Fremdleistungskosten (z.B. Beratungskosten, Speditionskosten) * Wagniskosten (z.B. Garantiekosten; für uns wenig relevant) * Steuern (z.B. Grundsteuer) === Personalkosten === Personalkosten fallen an, wenn das Unternehmen menschliche Arbeitskraft "kauft", z.B. indem ''Arbeiter'', ''Angestellte'' oder Hilfskräfte beschäftigt werden. Arbeiterinnen und Arbeiter werden nach einem ''Stundenlohn'' bezahlt, Angestellte erhalten ein monatliches ''Gehalt''. Von Seiten des Unternehmens fallen neben dem mit den Angstellten vereinbarten Bruttogehalt weitere Kosten an. Das Arbeitgeber-Brutto umfasst (alle Angaben Herbst 2025; Prozentsätze beziehen sich auf das Bruttogehalt): # Bruttogehalt für die Angestellte # Arbeitgeberanteil zur Rentenversicherung (9,3 %) # Arbeitgeberanteil zur Kranken- (~ 7 %) und Pflegeversicherung (1,7 %. ggf. +0,6 % für Kinderlose über 23 Jahre) # Arbeitgeberanteil zur Arbeitslosenversicherung (1,2 %) # Unfallversicherung (~ 1,6 %) Bei der Kalkulation eines Auftrags muss weiterhin berücksichtigt werden, dass Angestellte ein Anrecht auf Urlaub haben und dass an gesetzlichen Feiertagen nicht gearbeitet wird (~ 40 Tage/Jahr). Auch ein gewisser Krankenstand sollte berücksichtigt werden. Für '''studentische Hilfskräfte''' und Teilzeitbeschäftigte gelten Sonderregelungen. Studierende, die eine mehr als nur eine geringfügige Beschäftigung haben, sind grundsätzlich versicherungspflichtig in der Rentenversicherung. Es gibt aber Ausnahmen für "ordentliche" Studierende, die # die während der Dauer ihres Studiums ein '''Pflichtpraktikum''' ableisten (§ 5 Abs. 3 SGB VI). Das Entgelt für das Praktikum ist rentenversicherungsfrei; # höchstens '''20 Stunden/Woche''' arbeiten. Es brauchen hier keine Beiträge zur Kranken-, Pflege- und Arbeitslosenversicherung gezahlt werden (§ 6 Abs. 1 Nr. 3 SGB V; § 27 Abs. 4 Satz 1 Nr. 2 SGB III); # in den '''Semesterferien''' arbeiten. Unabhängig von der wöchentlichen Arbeitszeit ist die Beschäftigung sozialversicherungsfrei in der Kranken-, Pflege- und Arbeitslosenversicherung. === Material- und Betriebskosten === Die ''Materialkosten'' umfassen den unmittelbar einem Produkt zurechenbaren Verbrauch an Material wie Druckerpapier für den Druck von Fragebögen für eine Sudie. Der Betrieb eines Kopierers oder Druckers verbraucht zusätzlich Elektrizität. Wir sprechen hier von ''Betriebskosten''. Auch die Raummiete für ein Büro gehört zu den Betriebskosten. Betriebskosten können (s.o.) in Fixkosten und variable Kosten unterschieden werden. Die Fixkosten müssen bei der Kalkulation von Aufträgen sinnvoll den einzelnen Produkten zugeordnet werden, damit die Verkaufserlöse insgesamt auch die Fixkosten decken. === Abschreibung für Abnutzung === Langlebige Betriebsmittel wie Computer, Drucker oder Schreibtische "halten" meistens länger als ein Jahr und stehen für mehrere Aufträge zur Verfügung. Die Kosten für diese langlebigen Wirtschaftsgüter werden daher auf die typische Nutzungsdauer verteilt. Die jährlichen Wertminderungen durch "Abnutzung" werden im Rechnungswesen erfasst und heißen ''Abschreibungen''. In allen etwas größeren Unternehmen werden die Ausgaben für die Anschaffung eines langlebigen Wirtschaftsguts daher nicht im Anschaffungsjahr als Kosten verrechnet, sondern auf mehrere Jahre verteilt. Abschreibungen können als Teil der Fixkosten angesehen werden. Auch bei der Verteilung über mehrere Jahre ist es zentrale Aufgabe der Abschreibungen dafür zu sorgen, dass über die Verkaufserlöse so viel Geld in das Unternehmen kommt, dass rechtzeitig Ersatz gekauft werden kann. Die Berücksichtigung der Abschreibungen bei der Kalkulation und der Abrechnung eines Auftrags dient daher der Substanzerhaltung des Kapitals des Unternehmens. Für viele Güter gibt des Bundesfinanzminiterium Listen heraus, aus denen die anzuwendende Nutzungsdauer zu ersehen ist. Für PCs, Laptops und Peripheriegeräte wie Drucker oder Bildschirme beträgt die ''betriebsgewöhnliche Nutzungsdauer'' beispielsweise 3 Jahre. Ein für 1200 € gekaufter Laptop kann also in drei Jahresraten zu je 400 € abgeschrieben werden. Wir sprechen hier von einer ''linearen Abschreibung'', da die Abschreibungen gleichmäßig auf den Nutzungszeitraum verteilt sind. Mit anderen Worten: Der in der Buchhaltung erfasste Wert des Laptops sinkt gleichmäßig (= linerar) von Jahr zu Jahr. Erlaubt ist jedoch oft auch eine ''degressive Abschreibung'', bei der im ersten Jahr eine besonders große Abschreibung vorgenommen wird. Der Staat ist normalerweise daran interessiert, möglichst hohe Steuereinnahmen zu erhalten. Bei der degressiven Abschreibung können die Kosten insgesamt früher vom Unternehmen geltend gemacht werden. Tendenziell sinkt dadurch der Gewinn des Unternehmens. Der Gewinn sinkt tendenziell auch, je kürzer die vorgegebene Nutzungsdauer ist. Dies ist der Grund, warum das Bundesfinanzministerium die ''betriebsgewöhnliche Nutzungsdauer'' vorgibt. Noch schneller kann dass Unternehmen etwa einen Drucker nur abschreiben, wenn der Drucker vor Ende der Nutzungsdauer nicht mehr nutzbar wird. Die steuerlichen Detailregelungen zu den Abschreibungen ändern sich teilweise von Jahr zu Jahr. Wenn die steuerrechtlichen Vorgaben und die betriebswirtschaftlichen Realitäten zu weit auseinanderfallen, kann es erforderlich sein, die steuerrechtlichen Abschreibungen und die betriebswirtschaftliche Kalkulation gesondert durchzuführen. === Kalkulatorische Zinsen === Durch den Kauf langlebiger Wirtschaftgüter (Kopierer, Schreibtisch, KfZ) aber auch von Gebäuden und Grundstücken hat das Unternehmen Geld im ''Kapital'' gebunden. Dieses Geld hätte stattdessen auch - vergleichsweise risikolos - auf dem Kapitalmarkt angelegt werden können, etwa durch den Kauf von Bundesanleihen. Aus diesen Kapitalanlagen hätte das Unternehmen Zinsen erhalten. Ist das Geld hingegen im Kapital des Unternehmens gebunden, gehen diese Zinsen rein rechnerisch verloren. Mit anderen Worten: Die Investition in Betribskapital hat ''Opportunitätskosten'' (siehe erste Vorlesung zu ökonomischen Grundbegriffen). Für die tatsächlich aufgenommenen Kredite muss das Unternehmen Zinsen bezahlen. Gleichzeitig erwarten die Gründer des Unterehmens eine gewissen Verzinsung der Geldmittel, die sie dem Unternehmen zur Verfügung stellen. Anstatt die verschiedenen Zinssätze in der Kalkulation und im Rechnungswesen detailliert zu berücksichtigen, setzen Unternehmen der Dienstleistungsbranche oft einen einheitlichen ''kalkulatorischen Zinssatz'' von 6-8 % auf das Gesamtvermögen an. Alternativ kann der Leitzins der Europäischen Zentralbank ''plus'' eines Aufschlags genutzt werden. === Weitere Kostenarten === '''Fremdleistungen''' und '''Steuern''' (z.B. KfZ-Steuer) fallen häufig ebenfalls an. Diese können als gesonderte Kostenkategorien oder vereinfachend unter Betriebskosten aufgeführt werden. Die Umsatzsteuer ("Mehrwertsteuer") ist dabei weitgehend ein durchlaufender Posten: An die Finanzbehörden ist nur die Differenz aus der selbst eingenommenen Umsatzsteuer und der selbst gezahlten Umsatzsteuer zu entrichten. Eine besondere Rolle spielen '''Wagniskosten'''. Gegen Schäden an einem Gebäude schließt ein Unternehmen meist eine Versicherung ab. Die Versicherungsprämien sind Fremdleistungskosten. Andere Risiken werden jedoch meist nicht versichert. Dazu gehört das Risiko, dass eine Kundin eine Rechnung nicht bezahlt. Oder das Risiko, dass es zwischen Angebotserstellung und Bearbeitung eines Auftrags zu größeren Kostensteigerungen kommt. Um diese Risiken intern rechnerisch abzudecken, kann in der Kalkulation ein Wagnisaufschlag auf die Auftragssumme eingerechnet werden. Bei privaten Auftraggebern werden 4-7 % angesetzt. [[Kategorie:Kurs:Sozialwissenschaften:Einführung BWL (hda)]] eqalj4fzg2syinibp7nax7bfhqr160i 106 167404 1119162 1058469 2026-11-09T07:29:56Z Barkmann-hdaOek 40593 /* Hausaufgabe Personalkosten */ 1119162 wikitext text/x-wiki = Hausaufgabe Personalkosten = Bitte auf Grundlage der Kalkulationsaufgabe "Angebot Fraport" und den [[Kurs:Sozialwissenschaften/Einf%C3%BChrung_BWL_(h_da)/Kosten_und_Kalkulation|Hinweisen]] aktualisieren und auf einer Unternehmensseite dokumentieren. [[Kategorie:Kurs:Sozialwissenschaften:Einführung BWL (h da)]] 0ae6i5ykbtdwv8xyku6qqbqp3tc2y58 106 167921 1119218 1072694 2026-11-09T11:07:07Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1119218 wikitext text/x-wiki == Definition - Sigma-Algebra == Sei <math>\Omega \not= \emptyset</math>. Ein Teilmenge <math>\mathcal{S}</math> der Potenzmenge <math>\wp(\Omega) </math> heißt <math>\sigma</math>-Algebra, wenn folgende Bedingungen gelten: * <math>\Omega \in \mathcal{S}</math> * <math>A \in \mathcal{S} \Longrightarrow A^c = \Omega \setminus A \in \mathcal{S}</math> * <math>A_n \in \mathcal{S}</math> für alle <math>n \in \mathbb{N}</math>, dann gilt <math>\bigcup_{n \in \mathbb{N}}A_n \in \mathcal{S}</math> == Definition - Messraum == Sei <math>\Omega \not= \emptyset</math> eine Menge und <math>\mathcal{S}</math> eine <math>\sigma</math>-Algebra auf <math>\Omega</math>, dann nennt <math>(\Omega,\mathcal{S})</math> einen Messraum auf <math>\Omega</math>. === Zielsetzung - Messraum === Für [[Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaße]] <math>P</math> (bzw. allgemeiner Maße <math>\mu</math>) definiert die <math>\sigma</math>-Algebra alle Mengen <math>A\in\mathcal{S}</math>, denen man überhaupt eine Wahrscheinlichkeit <math>P(A)\in [0,1]</math> (bzw. ein Maß <math>\mu(A)</math>) zuordnen kann. === Ereignisraum === Für [[Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaße]] <math>P</math> werden Mengen <math>A\subseteq \Omega</math> die Wahrscheinlichkeit <math>P(A)</math> (beim Würfelexperiment z.B. dem Ereignis "gerade Zahl" <math>\{2,4,6\}\subset \Omega = \{1,2,3,4,5,6\}</math>. Das Gegenereignis <math>\overline{A}=\{1,3,5\}</math> möchte ebenfalls ein Ereignis zuordnen. Daher verlangt man für die <math>\sigma</math>-Algebra, dass für jedes <math>A\in \mathcal{A}</math> auch <math>\overline{A}\in \mathcal{A}</math> gelten muss. == Bemerkung - Messraum - Maßproblem == In der Maßtheorie definiert der Messraum über die <math>\sigma</math>-Algebra <math>\mathcal{S}</math> die Mengen, denen man über eine Maß eine Flächeninhalt bzw. ein Volumen (z.B. in einem <math>n</math>-dimensionalen Raum <math>\mathbb{R}^n</math>) zuordnen kann. Das Maßproblem zeigt auf, dass man nicht jeder Teilmenge <math>A</math> auf <math>\mathbb{R}</math> ein <math>\sigma</math>-endliches translationsinvariantes Maß mit <math>\lambda</math> insbesondere für die Teilmengen <math> A:=[a,b] </math> mit <math>\lambda(A)= \lambda([a,b])= b-a </math> zuordnet. Das Maßproblem führt dazu, dass man für bestimmte Maße <math>P</math> die Potenzmenge <math>\wp(\mathbb{R})</math> so verkleinern muss, damit überhaupt das Lebesque-Maß <math>\lambda</math> mit den oben genannten Eigenschaften auf der Borelschen <math>\sigma</math>-Algebra definieren zu können. Das Maßproblem macht damit auch für Dichtefunktionen <math>f</math> auf dem <math>\mathbb{R}^n</math> die Einschränkung auf die Boreschen-<math>\sigma</math>-Algebra notwendig. == Siehe auch == * [[Wahrscheinlichkeitsraum]] * [[Borelsche Sigma-Algebra]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Sigma-Algebra&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Sigma-Algebra&coursetitle=Kurs:Stochastik Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Sigma-Algebra&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Sigma-Algebra&coursetitle=Kurs:Stochastik Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Stochastik Kurs:Stochastik]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Stochastik/Sigma-Algebra https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Stochastik/Sigma-Algebra] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Stochastik/Sigma-Algebra Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Stochastik/Sigma-Algebra * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Sigma-Algebra&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Sigma-Algebra&coursetitle=Kurs:Stochastik Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] k28r3io7che29gs3kjy72hhv0vho3gx 1119219 1119218 2026-11-09T11:07:32Z Bert Niehaus 20843 1119219 wikitext text/x-wiki == Definition - Sigma-Algebra == Sei <math>\Omega \not= \emptyset</math>. Ein Teilmenge <math>\mathcal{S}</math> der Potenzmenge <math>\wp(\Omega) </math> heißt <math>\sigma</math>-Algebra, wenn folgende Bedingungen gelten: * <math>\Omega \in \mathcal{S}</math> * <math>A \in \mathcal{S} \Longrightarrow A^c = \Omega \setminus A \in \mathcal{S}</math> * <math>A_n \in \mathcal{S}</math> für alle <math>n \in \mathbb{N}</math>, dann gilt <math>\bigcup_{n \in \mathbb{N}}A_n \in \mathcal{S}</math> == Definition - Messraum == Sei <math>\Omega \not= \emptyset</math> eine Menge und <math>\mathcal{S}</math> eine <math>\sigma</math>-Algebra auf <math>\Omega</math>, dann nennt <math>(\Omega,\mathcal{S})</math> einen Messraum auf <math>\Omega</math>. === Zielsetzung - Messraum === Für [[Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaße]] <math>P</math> (bzw. allgemeiner Maße <math>\mu</math>) definiert die <math>\sigma</math>-Algebra alle Mengen <math>A\in\mathcal{S}</math>, denen man überhaupt eine Wahrscheinlichkeit <math>P(A)\in [0,1]</math> (bzw. ein Maß <math>\mu(A)</math>) zuordnen kann. === Ereignisraum === Für [[Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaße]] <math>P</math> werden Mengen <math>A\subseteq \Omega</math> die Wahrscheinlichkeit <math>P(A)</math> (beim Würfelexperiment z.B. dem Ereignis "gerade Zahl" <math>\{2,4,6\}\subset \Omega = \{1,2,3,4,5,6\}</math>. Das Gegenereignis <math>\overline{A}=\{1,3,5\}</math> möchte ebenfalls ein Ereignis zuordnen. Daher verlangt man für die <math>\sigma</math>-Algebra, dass für jedes <math>A\in \mathcal{A}</math> auch <math>\overline{A}\in \mathcal{A}</math> gelten muss. == Bemerkung - Messraum - Maßproblem == In der Maßtheorie definiert der Messraum über die <math>\sigma</math>-Algebra <math>\mathcal{S}</math> die Mengen, denen man über eine Maß eine Flächeninhalt bzw. ein Volumen (z.B. in einem <math>n</math>-dimensionalen Raum <math>\mathbb{R}^n</math>) zuordnen kann. Das Maßproblem zeigt auf, dass man nicht jeder Teilmenge <math>A</math> auf <math>\mathbb{R}</math> ein <math>\sigma</math>-endliches translationsinvariantes Maß mit <math>\lambda</math> insbesondere für die Teilmengen <math> A:=[a,b] </math> mit <math>\lambda(A)= \lambda([a,b])= b-a </math> zuordnet. Das Maßproblem führt dazu, dass man für bestimmte Maße <math>P</math> die Potenzmenge <math>\wp(\mathbb{R})</math> so verkleinern muss, damit überhaupt das Lebesque-Maß <math>\lambda</math> mit den oben genannten Eigenschaften auf der Borelschen <math>\sigma</math>-Algebra definieren zu können. Das Maßproblem macht damit auch für Dichtefunktionen <math>f</math> auf dem <math>\mathbb{R}^n</math> die Einschränkung auf die Boreschen-<math>\sigma</math>-Algebra notwendig. == Siehe auch == * [[Wahrscheinlichkeitsraum]] * [[Borelsche Sigma-Algebra]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Sigma-Algebra&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Sigma-Algebra&coursetitle=Kurs:Stochastik Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Sigma-Algebra&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Sigma-Algebra&coursetitle=Kurs:Stochastik Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Stochastik Kurs:Stochastik]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Stochastik/Sigma-Algebra https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Stochastik/Sigma-Algebra] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Stochastik/Sigma-Algebra Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Stochastik/Sigma-Algebra * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Sigma-Algebra&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Sigma-Algebra&coursetitle=Kurs:Stochastik Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] [[Kategorie:Stochastik]] scy6cfthj4qomxtlteasotkaf9dcnyb 108 170335 1119152 1117421 2026-11-08T19:32:59Z ChristianSW 15793 /* Programmiercodes */ 1119152 wikitext text/x-wiki == Mecanum Plattformer == <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Plattformer Ladefläche1.jpg Tüftlerclub Plattformer Ladefläche2.jpg </gallery> == Steuerung == === Antrieb mit Mecanum-Rädern === [[Datei:Mecanum wheel control principle.svg|mini|600px|zentriert|Antrieb mit vier Mecanum-Rädern.<br>''blau:'' Antriebsrichtung des Rades; ''rot:'' Bewegungsrichtung des Fahrzeugs<br>'''a)''' Geradeausfahrt, '''b)''' Seitwärtsfahrt, '''c)''' Diagonalfahrt, '''d)''' Kurvenfahrt, '''e)''' Drehung, '''f)''' Drehung um den Mittelpunkt einer Achse]] === SG-EMIB-01A Erweiterungsplatine === <gallery mode=packed heights=360> SG-EMIB-01A Board.jpg </gallery> Das ''SG-EMIB-01A'' ist ein Breakout Board (eine Erweiterungsplatine) für den ''Micro:bit''. Auf dem Board sind unter anderem mehrfarbige LEDs, ein Lautsprecher und Anschlüsse für verschiedene Motoren montiert. * Seengreat: [https://seengreat.com/wiki/122/micro-bit-expansion-board?srsltid=AfmBOorhERFPouHC00kujtbJ6Ro4uEoLgqKDoBWflXtDZyMT6CzhVRp0 Dokumentation des Herstellers] mit Erläuterungen und Übungen === Anschließen der Fahrmotoren === Das Fahrzeug wird von vier Gleichstrommotoren bewegt. Die Motoren werden nach folgendem Schema an das ''SG-EMIB-01A'' Board angeschlossen: * M2A: Motor vorn-links * M2B: Motor vorn-rechts * M1A: Motor hinten-links * M1B: Motor hinten-rechts === Programmieren === Wir nutzen die Entwicklungsumgebung ''Microsoft MakeCode''. * Microsoft: [https://www.microsoft.com/de-de/makecode/about Was ist Microsoft MakeCode?] Um die ''SG-EMIB-01A'' Erweiterungsplatine nutzen zu können, muss in [https://makecode.microbit.org Microsoft MakeCode for micro:bit] zuerst die passende Erweiterung geladen werden. * Erstelle dazu ein neues Projekt, um in den Editor zu gelangen. * Wähle "Erweiterungen" unter dem Zahnrad-Menü oder unter der Kategorie "Fortgeschritten". * Kopiere folgende Zeile in das Suchfeld: <code><nowiki>https://github.com/seengreat/SG-EMIB-01A</nowiki></code> * Klicke auf "server - Javascript version demo codes for SG-EMIB-01A board". Im Editor erscheinen nun die Kategorien ''sound_volume'', ''ServoMotor'' und ''NeoPixel''. === Fernsteuerung === <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Fernsteuerung.jpg </gallery> Wir nutzen eine Gaming-Halterung mit einem weiteren ''Micro:bit'' als [[Projekt:Tüftlerclub/Fernsteuerung|Fernsteuerung]]. Zwischen beiden ''Micro:bits'' wird eine Funkverbindung aufgebaut. === Bedienung === Nach dem Start wird kurz die Funkgruppe angezeigt. Danach befindet sich das Fahrzeug im ''Fahrbetrieb'': Das Fahrzeug kann mit dem Joystick sowie "A" und "B" gefahren werden. Mit "F" werden alle LEDs an- oder ausgeschaltet. Mit "D" wird zwischen ''Fahrbetrieb'' und ''Ladebetrieb'' gewechselt. Dazu wechselt die LED-Anzeige auf dem ''Micro:bit''. Im ''Ladebetrieb'' kann die Plattform mit dem Joystick hoch- oder heruntergefahren werden. Das Fahrzeug lässt sich dann noch mit "A" und "B" drehen. === Programmiercodes === * Fernsteuerung: [https://makecode.microbit.org/S05165-70354-29816-95292 Makecode für Micro:bit] * Fahrzeugsteuerung: ** alt: [https://makecode.microbit.org/S79203-26548-76622-61965 Makecode für Micro:bit] ** neu: [https://makecode.microbit.org/_WfJ3KtFrrY90 Makecode für Micro:bit] ** neu: [https://github.com/digitaleallmende/mecanum-plattformer/ GitHub Repository] == Technik == === Fahrgestell mit Mecanum-Rädern === <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Mecanum Plattformer SuperBit Detail1.jpg Tüftlerclub Plattformer Detail3.jpg </gallery> === Seitenansicht und Frontansicht === <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Plattformer Technikansicht.jpg </gallery> Die Ladeplattform ist zur Seite hin ausgerichtet. Das obige Foto zeigt die Seitenansicht. Zu sehen sind ganz oben der ''Micro:bit'' auf das ''SG-EMIB-01A'' Board. Darunter ist ein Fach für den Akku - hier in grüner Farbe - gebaut. <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Plattformer Detail2.jpg Tüftlerclub Plattformer Detail1.jpg </gallery> Die Ladeplattform wird über einen Linearantrieb gehoben oder gesenkt. Auf jeder Seite ist ein linearer Aktuator verbaut, die beide durch einen Motor ein- oder ausgefahren werden. <gallery mode=packed heights=360> L293D motor driver module.jpg Tüftlerclub Plattformer Motortreiber.jpg </gallery> Der 9,6 Volt Akku ist an einen Motortreiber angeschlossen. Der Motortreiber liefert 5 Volt für das ''SG-EMIB-01A'' Board mit dem ''Micro:bit''. Über den Motortreiber wird der Motor zum Heben und Senken der Ladeplattform gesteuert und mit Strom versorgt. <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Plattformer Vorderseite.jpg Tüftlerclub Plattformer Frontlampen.jpg </gallery> Vier LEDs sind anstatt eines zweiten Motors am Motortreiber angeschlossen. Sie können wie ein zweiter Motor mit genug Strom versorgt und an- oder ausgeschaltet werden. === Verdrahtung des Motortreibers === * VIN/GND - Anschluss an +/- am Akku * A-/A+ - Anschluss des Motors für die Ladeplattform * B-/B+ - Anschluss der LEDs * VCC/GND - Anschluss an 5V+/- des ''SG-EMIB-01A'' Boards * IN1 - Anschluss an PIN 15 am ''SG-EMIB-01A'' Board * IN2 - Anschluss an PIN 14 am ''SG-EMIB-01A'' Board * IN3 - Anschluss an PIN 13 am ''SG-EMIB-01A'' Board == Videoclips == * [https://www.youtube.com/watch?v=yXucoMppdhI YouTube: Mecanum Plattformer] j1a45022ptq2nwb7nidb6tav1klxbgy 106 171025 1119105 1118821 2026-11-08T13:32:04Z Bocardodarapti 2041 1119105 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2026-2027)/Vorlesungsgestaltung|9| In den folgenden drei Vorlesungen möchten wir die endlichen Untergruppen {{ Relationskette | G | \subseteq | {{op:SLG| 2 | {{CC}} }} || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=bis auf Konjugation| |ISZ=|ESZ= }} und die zugehörigen Invariantenringe {{mathl|term= K[U,V]^G |SZ=}} bestimmen. Es wird sich herausstellen, dass es hierzu eine überschaubare Klassifikation gibt, nämlich die ADE-Klassifikation. Die auftretenden Invariantenringe bzw. ihre Spektren {{ Zusatz/Klammer |text=also die Bahnenräume| |ISZ=|ESZ= }} nennt man {{Stichwort|ADE-Singularitäten|SZ=.}} Die anvisierte Klassifikation beruht auf der Klassifikation der endlichen Bewegungsgruppen im {{math|term= \R^3 |SZ=.}} Die ADE-Singularitäten treten in vielen verschiedenen Kontexten immer wieder auf. {{Zwischenüberschrift|Gruppenoperationen}} {{:Gruppenoperation/Kurzeinführung/Textabschnitt|}} {{Zwischenüberschrift|Lineare Gruppenoperationen auf dem {{math|term= K^d |SZ=}} }} {{:Lineare Gruppenoperation/Polynomring/Einführung/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|Invariantenringe}} {{:Gruppenoperation/Kommutativer Ring/Invariantenring/Einführung/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|Graduierungen und Gruppenoperationen}} Zur Graduierung durch die Gruppe {{math|term= D |SZ=}} gehört eine Gruppenoperation der dualen Gruppe {{mathl|term= {{op:Charakterdual| D |}} |SZ=.}} {{ inputdefinition |Gruppe/Charaktergruppe in Körper/Definition|| }} Die Aussagekraft der Charaktergruppe hängt wesentlich davon ab, wie viele Einheitswurzeln der Körper besitzt. Bei {{math|term= D |SZ=}} endlich und {{ Relationskette | K || {{CC}} || || || |SZ= }} sind {{ mathkor|term1= D |und|term2= {{op:Charakterdual| D |}} |SZ= }} zueinander isomorph, aber nicht kanonisch. Viele Monoidringe {{ Zusatz/Klammer |text=nämlich die torisch-normalen| |ISZ=|ESZ= }} kann man als Invariantenring zu einer Gruppenoperation {{ Zusatz/Klammer |text=einer endlichen oder unendlichen Gruppenoperation| |ISZ=|ESZ= }} auf dem Polynomring erhalten, sodass wir direkt ein Vielzahl an Invariantenringen zur Verfügung haben. {{ inputfaktbeweisaufgabe |Graduierte Algebra/Körper/Charakter definiert Automorphismus/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktbeweis |Graduierter Ring/Körper/Endliche Gruppe/Einheitswurzeln/Invariantenring/Fakt|Lemma|| }} Insbesondere folgt daraus in Verbindung mit {{ Faktlink |Faktseitenname= Polynomring/Graduierung/Neutrale Stufe/Monoidring/Fakt |Nr= |SZ=, }} dass sich viele Monoidringe als Invariantenringe realisieren lassen. {{ inputbeispiel |Einheitswurzel/xy-z^n/Graduierung/Beispiel|| }} }} jpwdk1jg1uvaq8ro3ih4uqlhey2orgs 1119122 1119105 2026-11-08T15:44:33Z Bocardodarapti 2041 1119122 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2026-2027)/Vorlesungsgestaltung|9| In den folgenden Vorlesungen betrachten wir die natürliche Operation einer Untergruppe {{ Relationskette | G | \subseteq | {{op:GLG| d | {{CC}} }} || || || |SZ= }} auf {{math|term= {{CC|}}^d |SZ=}} bzw. auf dem Polynomring {{mathl|term= {{CC|}}[X_1 {{kommadots|}} X_d ] |SZ=.}} Speziell möchten wir die endlichen Untergruppen {{ Relationskette | G | \subseteq | {{op:SLG| 2 | {{CC}} }} || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=bis auf Konjugation| |ISZ=|ESZ= }} und die zugehörigen Invariantenringe {{mathl|term= K[U,V]^G |SZ=}} bestimmen. Es wird sich herausstellen, dass es hierzu eine überschaubare Klassifikation gibt, nämlich die ADE-Klassifikation. Die auftretenden Invariantenringe bzw. ihre Spektren {{ Zusatz/Klammer |text=also die Bahnenräume| |ISZ=|ESZ= }} nennt man {{Stichwort|ADE-Singularitäten|SZ=.}} Die anvisierte Klassifikation beruht auf der Klassifikation der endlichen Bewegungsgruppen im {{math|term= \R^3 |SZ=.}} Die ADE-Singularitäten treten in vielen verschiedenen Kontexten immer wieder auf. {{Zwischenüberschrift|Gruppenoperationen}} {{:Gruppenoperation/Kurzeinführung/Textabschnitt|}} {{Zwischenüberschrift|Lineare Gruppenoperationen auf dem {{math|term= K^d |SZ=}} }} {{:Lineare Gruppenoperation/Polynomring/Einführung/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|Invariantenringe}} {{:Gruppenoperation/Kommutativer Ring/Invariantenring/Einführung/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|Graduierungen und Gruppenoperationen}} Zur Graduierung durch die Gruppe {{math|term= D |SZ=}} gehört eine Gruppenoperation der dualen Gruppe {{mathl|term= {{op:Charakterdual| D |}} |SZ=.}} {{ inputdefinition |Gruppe/Charaktergruppe in Körper/Definition|| }} Die Aussagekraft der Charaktergruppe hängt wesentlich davon ab, wie viele Einheitswurzeln der Körper besitzt. Bei {{math|term= D |SZ=}} endlich und {{ Relationskette | K || {{CC}} || || || |SZ= }} sind {{ mathkor|term1= D |und|term2= {{op:Charakterdual| D |}} |SZ= }} zueinander isomorph, aber nicht kanonisch. Viele Monoidringe {{ Zusatz/Klammer |text=nämlich die torisch-normalen| |ISZ=|ESZ= }} kann man als Invariantenring zu einer Gruppenoperation {{ Zusatz/Klammer |text=einer endlichen oder unendlichen Gruppenoperation| |ISZ=|ESZ= }} auf dem Polynomring erhalten, sodass wir direkt ein Vielzahl an Invariantenringen zur Verfügung haben. {{ inputfaktbeweisaufgabe |Graduierte Algebra/Körper/Charakter definiert Automorphismus/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktbeweis |Graduierter Ring/Körper/Endliche Gruppe/Einheitswurzeln/Invariantenring/Fakt|Lemma|| }} Insbesondere folgt daraus in Verbindung mit {{ Faktlink |Faktseitenname= Polynomring/Graduierung/Neutrale Stufe/Monoidring/Fakt |Nr= |SZ=, }} dass sich viele Monoidringe als Invariantenringe realisieren lassen. {{ inputbeispiel |Einheitswurzel/xy-z^n/Graduierung/Beispiel|| }} }} 3ebgbak47fuwocva32lx1pphb5uqczz 1119123 1119122 2026-11-08T15:47:35Z Bocardodarapti 2041 1119123 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2026-2027)/Vorlesungsgestaltung|9| In den folgenden Vorlesungen betrachten wir die natürliche Operation einer Untergruppe {{ Relationskette | G | \subseteq | {{op:GLG| d | {{CC}} }} || || || |SZ= }} auf {{math|term= {{CC|}}^d |SZ=}} bzw. auf dem Polynomring {{mathl|term= {{CC|}}[X_1 {{kommadots|}} X_d ] |SZ=.}} Speziell möchten wir die endlichen Untergruppen {{ Relationskette | G | \subseteq | {{op:SLG| 2 | {{CC}} }} || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=bis auf Konjugation| |ISZ=|ESZ= }} und die zugehörigen Invariantenringe {{mathl|term= K[U,V]^G |SZ=}} bestimmen. Es wird sich herausstellen, dass es hierzu eine überschaubare Klassifikation gibt, nämlich die ADE-Klassifikation. Die auftretenden Invariantenringe bzw. ihre Spektren {{ Zusatz/Klammer |text=also die Bahnenräume| |ISZ=|ESZ= }} nennt man {{Stichwort|ADE-Singularitäten|SZ=.}} Die anvisierte Klassifikation beruht auf der Klassifikation der endlichen Bewegungsgruppen im {{math|term= \R^3 |SZ=.}} Die ADE-Singularitäten treten in vielen verschiedenen Kontexten immer wieder auf. {{Zwischenüberschrift|Gruppenoperationen}} {{:Gruppenoperation/Kurzeinführung/Textabschnitt|}} {{Zwischenüberschrift|Lineare Gruppenoperationen auf dem {{math|term= K^d |SZ=}} }} {{:Lineare Gruppenoperation/Polynomring/Einführung/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|Invariantenringe}} {{:Gruppenoperation/Kommutativer Ring/Invariantenring/Einführung/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|Graduierungen und Gruppenoperationen}} Viele Monoidringe {{ Zusatz/Klammer |text=nämlich die torisch-normalen| |ISZ=|ESZ= }} kann man als Invariantenring zu einer Gruppenoperation {{ Zusatz/Klammer |text=einer endlichen oder unendlichen Gruppenoperation| |ISZ=|ESZ= }} auf dem Polynomring erhalten, sodass wir direkt ein Vielzahl an Invariantenringen zur Verfügung haben. Zur Graduierung durch die Gruppe {{math|term= D |SZ=}} gehört eine Gruppenoperation der dualen Gruppe {{mathl|term= {{op:Charakterdual| D |}} |SZ=.}} {{ inputdefinition |Gruppe/Charaktergruppe in Körper/Definition|| }} Die Aussagekraft der Charaktergruppe hängt wesentlich davon ab, wie viele Einheitswurzeln der Körper besitzt. Bei {{math|term= D |SZ=}} endlich und kommutativ und {{ Relationskette | K || {{CC}} || || || |SZ= }} sind {{ mathkor|term1= D |und|term2= {{op:Charakterdual| D |}} |SZ= }} zueinander isomorph, aber nicht kanonisch. {{ inputfaktbeweisaufgabe |Graduierte Algebra/Körper/Charakter definiert Automorphismus/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktbeweis |Graduierter Ring/Körper/Endliche Gruppe/Einheitswurzeln/Invariantenring/Fakt|Lemma|| }} Insbesondere folgt daraus in Verbindung mit {{ Faktlink |Faktseitenname= Polynomring/Graduierung/Neutrale Stufe/Monoidring/Fakt |Nr= |SZ=, }} dass sich viele Monoidringe als Invariantenringe realisieren lassen. {{ inputbeispiel |Einheitswurzel/xy-z^n/Graduierung/Beispiel|| }} }} t197tu5hx8oehrx0dplh7mxcvanz0at 106 171026 1119101 1118320 2026-11-08T13:15:27Z Bocardodarapti 2041 1119101 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2026-2027)/Vorlesungsgestaltung|10| {{Zwischenüberschrift|Eine Liste von Untergruppen der {{mathlk|term= {{op:SLG| 2 | {{CC}}}} |SZ=}}}} Wir betrachten die folgenden Beispiele von endlichen Untergruppen der {{mathl|term= {{op:SLG| 2 | {{CC}}}} |SZ=.}} Wir werden später sehen, dass diese Liste bis auf Konjugation vollständig ist. {{:Binäre polyedrische Gruppen/Realisierung in SL2C/Liste/Textabschnitt}} {{ inputfaktbeweisnichtvorgeführt |SLnC/Endliche Untergruppe/Konjugiert zu SUnC/Fakt|Lemma|| }} {{Zwischenüberschrift|Die Beziehung zwischen {{mathlk|term= {{op:SLG| 2 | {{CC}} }} |SZ=}} und {{mathlk|term= {{op:SOG| 3 | \R }} |SZ=}} }} Für die Klassifikation der endlichen Untergruppen der {{mathl|term= {{op:SLG| 2 | {{CC}} }}|SZ=}} werden wir die platonische Klassifikation der endlichen Untergruppen der {{mathl|term= {{op:SOG| 3 | \R }} |SZ=}} heranziehen. Die Beziehung zwischen diesen beiden Fragestellungen beruht darauf, dass einerseits die {{mathl|term= {{op:SLG| 2 | {{CC}} }} |SZ=}} auf der komplex-projektiven Geraden {{mathl|term= {{op:Projektive Gerade| {{CC}} }} |SZ=}} und andererseits die Isometrien des {{math|term= \R^3 |SZ=}} auf der 2-Sphäre {{ Relationskette/display | S^2 |\subseteq| \R^3 || || || |SZ= }} operiert. Die Homöomorphie {{ Relationskette | {{op:Projektive Gerade| {{CC}} }} | \cong | S^2 || || || || |SZ= }} ermöglicht einen Zusammenhang zwischen diesen Gruppen und ihren endlichen Untergruppen. {{ inputfaktbeweisnichtvorgeführt |SU2C und SO3R/Gruppenbeziehung/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktbeweis |SL2C/Endliche Untergruppen/Klassifikationsatz/Fakt|Satz|| }} {{Zwischenüberschrift|Quotientensingularitäten}} {{ inputdefinition |Quotientensingularität/Endlich/Definition|| }} {{ inputdefinition |Spezielle Quotientensingularität/Endlich/Definition|| }} Diese beiden Definitionen umfassen als Extremfall auch die Situation, wo der Invariantenring regulär ist, also im strengen Sinn überhaupt keine Singularität vorliegt. Es kann sein, dass ein kommutativer Ring sowohl zum Invariantenring zu {{ Relationskette | G | \subseteq | {{op:GLG| n | K }} || || || |SZ=, }} {{ Relationskette |G | \not\subseteq | {{op:SLG| n | K }} || || || |SZ=, }} als auch zum Invariantenring zu {{ Relationskette/display | H | \subseteq | {{op:SLG| n | K }} || || || |SZ= }} isomorph ist. Ein Beispiel dafür ist der Polynomring selbst. Ein Beispiel für eine Quotientensingularität, die keine spezielle Quotientensingularität ist, ist der Veronesering {{ Relationskette/display | K [U,V]^{( \ell)} || K[U^\ell, U^{\ell -1} V, U^{\ell -2} V^2 {{kommadots}} UV^ {\ell -1}, V^ \ell ] | \subseteq | K[U,V] || || |SZ= }} bei {{ Relationskette | \ell |\geq| 3 || || || |SZ=. }} }} 188vcyiwk4h6tpbyqynqx7sxwkq2jem 1119125 1119101 2026-11-08T15:55:37Z Bocardodarapti 2041 1119125 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2026-2027)/Vorlesungsgestaltung|10| {{Zwischenüberschrift|Eine Liste von Untergruppen der {{mathlk|term= {{op:SLG| 2 | {{CC}}}} |SZ=}}}} Wir betrachten die folgenden Beispiele von endlichen Untergruppen der {{mathl|term= {{op:SLG| 2 | {{CC}} }} |SZ=.}} Wir werden später sehen, dass diese Liste bis auf Konjugation vollständig ist. {{:Binäre polyedrische Gruppen/Realisierung in SL2C/Liste/Textabschnitt}} Die oben angeführten endlichen Untergruppen der {{mathlk|term= {{op:SLG| 2 | {{CC}} }} |SZ=}} sind alle Untergruppen der {{mathlk|term= {{op:SUG| 2 | {{CC}} }} |SZ=,}} ihre Elemente erhalten also das komplexe Skalarprodukt. Dies beruht auf der folgenden Aussage. {{ inputfaktbeweisnichtvorgeführt |SLnC/Endliche Untergruppe/Konjugiert zu SUnC/Fakt|Lemma|| }} {{Zwischenüberschrift|Die Beziehung zwischen {{mathlk|term= {{op:SLG| 2 | {{CC}} }} |SZ=}} und {{mathlk|term= {{op:SOG| 3 | \R }} |SZ=}} }} Für die Klassifikation der endlichen Untergruppen der {{mathl|term= {{op:SLG| 2 | {{CC}} }}|SZ=}} werden wir die platonische Klassifikation der endlichen Untergruppen der {{mathl|term= {{op:SOG| 3 | \R }} |SZ=}} heranziehen. Die Beziehung zwischen diesen beiden Fragestellungen beruht darauf, dass einerseits die {{mathl|term= {{op:SLG| 2 | {{CC}} }} |SZ=}} auf der komplex-projektiven Geraden {{mathl|term= {{op:Projektive Gerade| {{CC}} }} |SZ=}} und andererseits die Isometrien des {{math|term= \R^3 |SZ=}} auf der 2-Sphäre {{ Relationskette/display | S^2 |\subseteq| \R^3 || || || |SZ= }} operiert. Die Homöomorphie {{ Relationskette | {{op:Projektive Gerade| {{CC}} }} | \cong | S^2 || || || || |SZ= }} ermöglicht einen Zusammenhang zwischen diesen Gruppen und ihren endlichen Untergruppen. {{ inputfaktbeweisnichtvorgeführt |SU2C und SO3R/Gruppenbeziehung/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktbeweis |SL2C/Endliche Untergruppen/Klassifikationsatz/Fakt|Satz|| }} {{Zwischenüberschrift|Quotientensingularitäten}} {{ inputdefinition |Quotientensingularität/Endlich/Definition|| }} {{ inputdefinition |Spezielle Quotientensingularität/Endlich/Definition|| }} Diese beiden Definitionen umfassen als Extremfall auch die Situation, wo der Invariantenring regulär ist, also im strengen Sinn überhaupt keine Singularität vorliegt. Es kann sein, dass ein kommutativer Ring sowohl zum Invariantenring zu {{ Relationskette | G | \subseteq | {{op:GLG| n | K }} || || || |SZ=, }} {{ Relationskette |G | \not\subseteq | {{op:SLG| n | K }} || || || |SZ=, }} als auch zum Invariantenring zu {{ Relationskette/display | H | \subseteq | {{op:SLG| n | K }} || || || |SZ= }} isomorph ist. Ein Beispiel dafür ist der Polynomring selbst. Ein Beispiel für eine Quotientensingularität, die keine spezielle Quotientensingularität ist, ist der Veronesering {{ Relationskette/display | K [U,V]^{( \ell)} || K[U^\ell, U^{\ell -1} V, U^{\ell -2} V^2 {{kommadots}} UV^ {\ell -1}, V^ \ell ] | \subseteq | K[U,V] || || |SZ= }} bei {{ Relationskette | \ell |\geq| 3 || || || |SZ=. }} }} s1gtbad0wf75oodiw41hz5hvtab1b4j 106 171027 1119100 1118405 2026-11-08T13:11:54Z Bocardodarapti 2041 1119100 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2026-2027)/Vorlesungsgestaltung|11| Wir möchten typische Methoden beschreiben, mit denen man die Invariantenringe zu den Operationen der endlichen Untergruppen der speziellen linearen Gruppe berechnen kann. Berechnen heißt, invariante Polynome zu finden, davon ein endliches Algebraerzeugendensystem auszuwählen und Relationen zwischen diesen Erzeugern zu finden. Eine typische Besonderheit der speziellen Quotientensingularitäten in der Dimension zwei ist, dass sie sich mit einer einzigen Gleichung in drei Variablen beschreiben lassen. Diese Gleichungen wollen wir im Folgenden bestimmen. {{Zwischenüberschrift|Der Invariantenring der binären Diedergruppe}} Aufbauend auf die Berechnung des Invariantenringes zur zyklischen Gruppe {{ Zusatz/Klammer |text=siehe {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Einheitswurzel/xy-z^n/Graduierung/Beispiel |Nr= |SZ= }} |ISZ=|ESZ= }} können wir den Invariantenring zur binären Diedergruppen {{mathl|term= BD_{m} |SZ=}} bestimmen. {{ inputfaktbeweis |Invariantenring/Untergruppe/Fakt|Lemma|| }} {{ inputbeispiel |Binäre Diedergruppe/Invariantenring über xy-z^n/Beispiel|| }} Man spricht von den {{math|term= D_{m+2} |SZ=-}}{{Stichwort|Singularitäten|msw=D-Singularität|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=man beachte die Indizierung| |ISZ=|ESZ=. }} Nach {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Diedersingularität/BD1/Zu Z mod 4/Aufgabe |Nr= |SZ= }} ist {{mathl|term= D_3 |SZ=}} isomorph zu {{math|term= A_3 |SZ=,}} also {{ Relationskette/display | {{CC}}[X,Y,Z]/ {{makl| X^2 + YZ^2+Y^2 |}} |\cong| {{CC}}[S,T,U]/ {{makl| ST+U^4 |}} || || || |SZ=, }} so dass man diese {{math|term= D |SZ=-}}Liste bei {{math|term= D_4 |SZ=}} beginnen lässt. In den ursprünglichen Variablen {{ mathkor|term1= U |und|term2= V |SZ= }} sind {{ Math/display|term= U^{2m}+V^{2m}, \, U^2V^2 \text{ und } UV {{makl| U^{2m} - V^{2m} |}} |SZ= }} ein Algebraerzeugendensystem aus invarianten Polynomen. In Charakteristik {{mathl|term= \neq 2,3 |SZ=}} kann man die {{math|term= D_4 |SZ=-}}Gleichung, also {{ Relationskette | X^2 + YZ^2+Y^3 || 0 || || || |SZ= }} in {{ Relationskette | X^2 + Y^3+Z^3 || 0 || || || |SZ= }} transformieren. {{Zwischenüberschrift|Die Invarianten der binären Tetraedergruppe}} {{ inputbeispiel |Binäre Tetraedergruppe/Binäre Diedergruppe als Normalteiler/Charakter/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Binäre Tetraedergruppe/Realisierung in SL2C/Invariantenring/Beispiel|| }} {{Zwischenüberschrift|Die Invarianten der binären Oktaedergruppe}} Wir setzen die Berechnung der Invariantenringe zu den Operationen der endlichen Untergruppen der {{mathl|term= {{op:SUG|2|{{CC}}}} |SZ=}} fort. {{ inputbeispiel |Binäre Oktaedergruppe/Realisierung in SL2C/Invariantenring mittels Tetraeder/Beispiel|| }} Diesen Invariantenring bezeichnet man als {{math|term= E_7 |SZ=-}}{{Stichwort|Singularität|msw=E7-Singularität|SZ=.}} {{Zwischenüberschrift|Die Invarianten der binären Ikosaedergruppe}} Der Invariantenring zur binären Ikosaedergruppe verhält sich in vielerlei Hinsicht anders als die bisher besprochenen Invariantenringe. Man braucht andere Methoden, um letztlich zu zeigen, dass der Invariantenring gleich {{ Math/display|term= K[X,Y,Z]/ {{makl| X^2+Y^3+Z^5 |}} |SZ= }} ist. Man spricht von der {{math|term= E_8|SZ=-}}{{Stichwort|Singularität|msw=E8-Singularität|SZ=.}} }} 5xyhxac9tg95gvhfjedmfqn9qs4e62g 106 171055 1119091 1118964 2026-11-08T12:11:26Z Bocardodarapti 2041 1119091 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2026-2027)/Arbeitsblattgestaltung|8| {{ inputaufgabe |Monoidring/Funktorialität/Abbildungseigenschaften/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{inputaufgabe |Kommutative Monoidringe/Zu Z^n ist Laurentring/Beweis mit universeller Eigenschaft/Aufgabe||}} {{ inputaufgabe |Monoidring/Nenneraufnahme/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{inputaufgabe |Monoidring/Homomorphismus/Endlich Charakterisierung/Aufgabe|}} {{:Kommutative Monoidringe/R-wertige Punkte/Bemerkung}} Die folgenden Aufgaben beschäftigen sich mit dem {{math|term= K |SZ=-}}Spektrum eines kommutativen Monoids {{math|term= M |SZ=,}} also der Menge aller Monoidhomomorphismen von {{math|term= M |SZ=}} nach {{math|term= K |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=mit der multiplikativen Struktur| |ISZ=|ESZ=. }} {{ inputaufgabe |Kommutatives Monoid/ef ist 5g/K-Spektrum/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Endliches kommutatives Monoid/K-Spektrum/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{inputaufgabe |Monoidring/N^2 nach Z/e_1,e_2 nach 1,-1/Interpretiere/Aufgabe|}} {{ inputaufgabe |A1-Singularität/Endlicher Körper/Punktanzahl/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{inputaufgabe |Monoidring/Zyklische Gruppe/Grundlegende Eigenschaften/Aufgabe|}} {{inputaufgabe |Monoidringe/Funktorialität/K-Spektrum/Aufgabe|}} {{inputaufgabe |Monoidring/Rationale und reelle Zahlen als Monoid/Monoidhomomorphismen/Aufgabe|}} {{inputaufgabe |Monoidring/Abbildung durch Matrix über N zwischen N^r und N^s/Aufgabe||zusatz=Wie sieht die zugehörige Spektrumsabbildung aus?}} {{ inputaufgabe |Monoidring/Abbildung durch quadratische Matrix über N/Determinante und generisch surjektiv/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{inputaufgabe |Monoidring/Faser über 1 als Monoidring/Aufgabe|| |zusatz1=&nbsp; {{ Zusatz/Klammer |text=das ist der Punkt, der der konstanten Abbildung {{math|term= M \mapsto 1 |SZ=}} entspricht| |ISZ=|ESZ= }}|}} {{ inputaufgabe |Monoidring/Differenzengruppe/K-Punkte/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{inputaufgabe |Kommutatives Monoid/M und N/Beschreibung der Produktmorphismen/Aufgabe||}} {{ inputaufgabe |Kommutatives Monoid/Nicht spitz/Keine Spaltung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Polynomring/Graduierung/Z mod 5/123/Neutrale Stufe/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kegel/(2,5) und (3,2)/Monoidring und neutrale Stufe/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{:Graduierter kommutativer Ring/Homogenes Ideal/Definition|}} {{ inputaufgabe |Graduierter kommutativer Ring/Homogenes Ideal/Restklassenring/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Homogenes Polynom/Darstellung mit formalen partiellen Ableitungen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Gerade und ungerade Funktionen/Stetig/Z mod 2 Algebra/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Polynomring in zwei Variablen/Z-Graduierung aus feiner Graduierung/Invariantenring/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Feine Graduierung/KUV/Z mod 3/Beispiele/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Wir erinnern an einige weitere Graduierungsbegriffe. {{:Kommutativer Ring/Graduierung/Positiv/Definition|}} {{:Kommutativer Ring/Standard-graduiert/Definition|}} {{:Graduierter Ring/N/Irrelevantes Ideal/Definition|}} }} ong6zvthpxs79j93urxb5xopsovalts 106 171056 1119087 1118817 2026-11-08T12:07:56Z Bocardodarapti 2041 1119087 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2026-2027)/Arbeitsblattgestaltung|9| {{ inputaufgabe |Gruppenoperation/Gruppenhomomorphismus in Automorphismengruppe/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Gruppenoperation/Bahn/Äquivalenzrelation/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Komplexe Zahlen/Einheitswurzeln/Operation/Bahnen und Isotropiegruppen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Gruppenoperation/Kommutativer Ring/Einheiten/Körper/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Reine quadratische Algebra/Gruppenoperation/Invariantenring/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Gruppenoperation auf Ring/Invariantes Ideal/Beziehungen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Unendlicher Körper/Endliche lineare Gruppe/Bahnen/Offene Menge/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ Aufgabelink |Präwort=Gemäß||Aufgabeseitenname= Gruppenoperation/Gruppenhomomorphismus in Automorphismengruppe/Fakt/Beweis/Aufgabe |Nr= |SZ= }} ergibt eine Gruppenoperation für jedes {{ Relationskette | g | \in | G || || || |SZ= }} eine Bijektion {{mathl|term=x \mapsto gx|SZ=}} auf {{math|term=M|SZ=.}} Wenn {{math|term=M|SZ=}} zusätzliche Strukturen besitzt, so verlangt man häufig, dass diese Bijektionen diese Strukturen respektieren, also beispielsweise linear oder stetig sind. Man spricht dann von einer linearen oder von einer stetigen Operation oder sagt, dass die Gruppe als Gruppe von Automorphismen oder als Gruppe von Homöomorphismen operiert. {{ inputaufgabe |Topologischer Raum/Gruppenoperation/Ring der stetigen reellwertigen Funktionen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Stetige Funktion/C nach C/Respektiert alle Einheitswurzeln/S^1/Durch Betrag/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Quadratisches Polynom/Diskriminante/Verträglich mit Operation/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{inputaufgabe |Gruppenring/Modul und Gruppendarstellung/Aufgabe||zusatz= Bemerkung: {{math|term= \rho |SZ=}} heißt dann eine {{Stichwort|Darstellung}} von {{math|term= G |SZ=.}} Solche Darstellungen sind oft einfacher zu handhaben als {{math|term= G |SZ=}} und man kann mit Hilfe von {{math|term= \rho |SZ=}} oft hilfreiche Erkenntnisse über {{math|term= G |SZ=}} selbst gewinnen.}} {{ inputaufgabe |Graduierte Algebra/Körper/Charakter definiert Automorphismus/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} In den meisten der folgenden Aufgaben kann man statt mit einem Grundkörper mit einem beliebigen kommutativen Grundring arbeiten. Vor der nächsten Aufgabe erwähnen wir die folgende Definition. {{:Graduierte kommutative Algebra/Homogener Automorphismus/Definition}} {{ inputaufgabe |Kommutativer Ring/2 Einheit/Z mod 2 Operation/Graduierung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Graduierte kommutative Algebra/Charakter/Definiert homogenen Automorphismus/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Graduierte Körpererweiterung/Homogener Automorphismus/Von Charakter/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Polynomring/D-graduiert/D endlich/Isotropiegruppe/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Gruppenoperation/R^2 oder C^2/Hyperbolisch/Bahnen und Quotient/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} }} 9nq573hzjit1iv8c815u6ktf5wbtiul 106 171057 1119086 1119077 2026-11-08T12:07:38Z Bocardodarapti 2041 1119086 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2026-2027)/Arbeitsblattgestaltung|10| {{ inputaufgabe |Zyklische Gruppe/SL2C/Wirkung auf Punkten und Geraden/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Binäre Diedergruppe/1/Zyklisch/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Binäre Diedergruppe/Matrix B erzeugt keinen Normalteiler/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Binäre Diedergruppe/Wirkung auf Geraden/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Endliche Untergruppen/SL2C/Unitär/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |E8/Erzeugende Matrix der Ordnung 4/Unitär/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Lineare Gruppenoperation/C^n/Endlich/Neues Skalarprodukt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Unitäre Abbildung/Charakterisierung mit Matrix/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Binäre Oktaedergruppe/C/Eigenvektoren/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Binäre Oktaedergruppe/1 durch sqrt 2i -i zeta -i/Gehört dazu/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Binäre Ikosaedergruppe/Beschreibung der Elemente/Heranführung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Binäre Ikosaedergruppe/Beschreibung der Elemente/Eindeutigkeit/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Binäre Ikosaedergruppe/120 Elemente/Darstellung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ebene reelle Drehungen/Komplex/Konjugiert zu Z_n/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Lineare Operation/Körperwechsel/Invariantenring/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Reelle Ebene/Vierteldrehung/Reeller und Komplexer Invariantenring/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Spezielle unitäre Matrix/2/Eigenwerte und Eigenvektoren/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Spezielle unitäre Matrix/2/Eigenvektoren/Auf S^2 antipodal/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Endliche unitäre Gruppe/n/Offener Ball/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Spezielle lineare Matrix/2/Eigenvektoren auf S^2 nicht antipodal/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Komplex-projektive Gerade/S^2/Explizite Homöomorphie/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Operation der SL2C/Auf P^1/Nicht längentreu/Nicht linear/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |SU2C nach SO3R/Matrix/Determinante 1/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |SU2C nach SO3R/Komplexe Konjugation/Konjugation mit Spiegelungsmatrix/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kleinsche Vierergruppe/Nicht in SL2C/GL2C/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Endliche Untergruppe/GL2C/Isomorph/Nicht konjugiert/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Endliche Untergruppe/SL3C/Isomorph/Nicht konjugiert/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Binäre Ikosaedergruppe/Nicht isomorph zu S5/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Binäre Ikosaedergruppe/Ordnungen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Binäre Gruppen/Urbild der reellen Gruppen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} }} ox2dd10jg1ywmp6es1xpydwde4sih1b 1119102 1119086 2026-11-08T13:22:28Z Bocardodarapti 2041 1119102 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2026-2027)/Arbeitsblattgestaltung|10| {{ inputaufgabe |Zyklische Gruppe/SL2C/Wirkung auf Punkten und Geraden/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Binäre Diedergruppe/1/Zyklisch/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Binäre Diedergruppe/Matrix B erzeugt keinen Normalteiler/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Binäre Diedergruppe/Wirkung auf Geraden/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Endliche Untergruppen/SL2C/Unitär/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |E8/Erzeugende Matrix der Ordnung 4/Unitär/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Lineare Gruppenoperation/C^n/Endlich/Neues Skalarprodukt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Unitäre Abbildung/Charakterisierung mit Matrix/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Binäre Oktaedergruppe/C/Eigenvektoren/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Binäre Oktaedergruppe/1 durch sqrt 2i -i zeta -i/Gehört dazu/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Binäre Ikosaedergruppe/Beschreibung der Elemente/Heranführung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Binäre Ikosaedergruppe/Beschreibung der Elemente/Eindeutigkeit/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Binäre Ikosaedergruppe/120 Elemente/Darstellung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Binäre Ikosaedergruppe/Nicht isomorph zu S5/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Binäre Ikosaedergruppe/Ordnungen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ebene reelle Drehungen/Komplex/Konjugiert zu Z_n/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Lineare Operation/Körperwechsel/Invariantenring/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Reelle Ebene/Vierteldrehung/Reeller und Komplexer Invariantenring/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Spezielle unitäre Matrix/2/Eigenwerte und Eigenvektoren/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Spezielle unitäre Matrix/2/Eigenvektoren/Auf S^2 antipodal/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Endliche unitäre Gruppe/n/Offener Ball/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Spezielle lineare Matrix/2/Eigenvektoren auf S^2 nicht antipodal/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Komplex-projektive Gerade/S^2/Explizite Homöomorphie/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Operation der SL2C/Auf P^1/Nicht längentreu/Nicht linear/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |SU2C nach SO3R/Matrix/Determinante 1/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |SU2C nach SO3R/Komplexe Konjugation/Konjugation mit Spiegelungsmatrix/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kleinsche Vierergruppe/Nicht in SL2C/GL2C/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Endliche Untergruppe/GL2C/Isomorph/Nicht konjugiert/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Endliche Untergruppe/SL3C/Isomorph/Nicht konjugiert/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Binäre Gruppen/Urbild der reellen Gruppen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} }} 94cchmq282gt9ck8j042s6xtlj5e5v1 1119103 1119102 2026-11-08T13:26:03Z Bocardodarapti 2041 1119103 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2026-2027)/Arbeitsblattgestaltung|10| {{ inputaufgabe |Zyklische Gruppe/SL2C/Wirkung auf Punkten und Geraden/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Binäre Diedergruppe/1/Zyklisch/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Binäre Diedergruppe/Matrix B erzeugt keinen Normalteiler/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Binäre Diedergruppe/Wirkung auf Geraden/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Endliche Untergruppen/SL2C/Unitär/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |E8/Erzeugende Matrix der Ordnung 4/Unitär/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Lineare Gruppenoperation/C^n/Endlich/Neues Skalarprodukt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Unitäre Abbildung/Charakterisierung mit Matrix/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Binäre Oktaedergruppe/C/Eigenvektoren/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Binäre Oktaedergruppe/1 durch sqrt 2i -i zeta -i/Gehört 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A_1/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Wir erinnern an einige weitere Graduierungsbegriffe. {{:Kommutativer Ring/Graduierung/Positiv/Definition|}} {{:Kommutativer Ring/Standard-graduiert/Definition|}} {{:Graduierter Ring/N/Irrelevantes Ideal/Definition|}} {{ inputaufgabe |ADE-Singularität/Positive Graduierung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Wir erinnern an folgende Definition. {{:Kommutatorgruppe/Definition}} Die Kommutatorgruppe ist {{ Faktlink |Präwort=nach||Faktseitenname= Kommutatorgruppe/Normalteiler/Fakt |Nr= |SZ= }} ein Normalteiler, die Restklassengruppe {{mathl|term=G/K(G)|SZ=}} nennt man auch die {{Stichwort|Abelianisierung|SZ=}} von {{math|term=G|SZ=.}} {{ inputaufgabe |Binäre Gruppen/Kommutatorgruppe und Abelianisierung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Lineare Operation/Lokaler Ring/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Lokaler_Ring/Gruppenoperation/Fixring_lokal/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} }} 26e4gqalxdtkoj4tb77jlaeqpdpefai 1119089 1119088 2026-11-08T12:10:59Z Bocardodarapti 2041 1119089 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2026-2027)/Arbeitsblattgestaltung|11| {{ inputaufgabe |Kein Quadrat/Quadratisches Polynom/Irreduzibel/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |KX,Y,Z/XY-Z^n/Irreduzibel/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |An+1-Singularität/Singulärer Punkt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Dn-Singularität/Singulärer Punkt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |E6-Singularität/Singulärer Punkt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |X^2+YZ^2+Z^n/Singulärer Ort/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Diedersingularität/BD1/Zu Z mod 4/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Diedersingularität/Invarianten explizit/Gleichung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |E7-Singularität/Singulärer Punkt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |E8-Singularität/Singulärer Punkt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |ADE bis 7/Glatte Kurve durch singulären 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Im Vergleich zu einfachen Rohrströmungen wird hier die realitätsnahe Gefäßanatomie betrachtet: Die '''Arteria carotis communis (ACC)''' teilt sich in die '''Arteria carotis externa (ACE)''' und die '''Arteria carotis interna (ACI)''' auf. Während die '''ACE''' als gesunder, stenosefreier Ast dient, wird in der '''ACI''' eine geglättete, kosinusförmige Gefäßverengung modelliert. Um scharfe Kanten und unphysiologische Druckspitzen zu vermeiden, werden alle Wandübergänge und die Gabelungsspitze (Apex) anatomisch verrundet. Als Referenz dient ein gesundes, unverengtes Gefäß, in dem sich die Poiseuille-Strömung mit ihrem charakteristischen parabolischen Geschwindigkeitsprofil ausbildet. Diese Strömung ist aus zwei Gründen der natürliche Ausgangspunkt. Sie beschreibt den physiologischen Normalfall, mit dem jeder Stenosegrad verglichen wird, und sie ist exakt lösbar, sodass sich an ihr jede numerische Rechnung prüfen lässt, bevor die Verengung hinzukommt. == Fragestellung == Die Hauptfragestellung dieses Projektes lautet: Wie verändert eine symmetrische bzw. rotationssymmetrische Stenose in der '''Arteria carotis interna (ACI)''' die stationäre Strömung eines inkompressiblen Newton’schen Fluids in einer 2D-Carotis-Bifurkation hinsichtlich Geschwindigkeitsverteilung, Druckabfall, Wandschubspannung und Wirbelbildung im Vergleich zu den gesunden Gefäßabschnitten? Aus dieser Fragestellung ergeben sich drei Teilfragen, an denen sich der Aufbau der Seite orientiert: # Welche Strömungsgrößen reagieren empfindlich auf den Stenosegrad und welche nur träge? # Ab welchem Stenosegrad ändert sich das Strömungsmuster qualitativ, das heißt, ab wann löst die Strömung hinter der Engstelle von der Wand ab und bildet ein Rückströmgebiet? # Wie weit tragen die vereinfachenden Modellannahmen, insbesondere die Annahme einer stationären und laminaren Strömung, über den untersuchten Bereich der Stenosegrade? == Modellannahmen == Im Hinblick darauf werden für dieses Projekt einige Annahmen getroffen, um das Projekt möglichst isoliert zu untersuchen und zu simplifizieren: * '''Idealisierte Gefäßgeometrie''': Betrachtet wird ein Teilabbschnitt der ''Arteria carotis communis'', die sog. ''ACI''. Zudem werden Gefäßverkrümmungen, weitere Verzweigungen und patientenspezifische Strukturen nicht berücksichtigt. * '''Starre Gefäßwand''': Die Gefäßwand wird als unbeweglich und nicht verformbar angenommen. Eine Wechselwirkung zwischen elastischer Gefäßwand und Blutströmung wird nicht modelliert. * '''Stationäre Strömung''': Die Strömungsgrößen werden als zeitlich konstant angenommen. Die im realen Blutkreislauf vorhandene Pulsation durch den Herzschlag wird daher vernachlässigt: <math>\frac{\partial u}{\partial t}=0</math>. * '''Inkompressibles Fluid''': Die Dichte des Fluids wird als konstant angenommen. Damit gilt für die Geschwindigkeit <math>\nabla \cdot u=0</math>. Dies entspricht der in der Vorlesung behandelten Massenerhaltung für inkompressible Fluide: Was in das Gefäß einströmt, muss auch wieder ausströmen. * '''Newton'sche Näherung für Blut''': Reales Blut beseitzt ein nicht newton'sches Fließverhalten. Hier wird Blut als Newton'sches Fluid behandelt. * '''Konstante Stoffeigenschaften''': Dichte <math>\rho</math> und dynamische Viskosität μ werden als räumlich und zeitlich konstant angenommen. Temperaturabhängigkeiten werden nicht berücksichtigt. * '''Laminare Strömung''': Die Strömung wird mit dem COMSOL-Modul ''Laminar Flow'' beschrieben. Ein zusätzliches Turbulenzmodell wird nicht verwendet. * '''No-Slip-Bedingung an Gefäßwand''': Aufgrund der Viskosität wird angenommen, dass das Fluid direkt an der Gefäßwand haftet. Somit gilt <math>u=0</math>. * '''Vernachlässigung der Gravitation''': Gravitation wird nicht berücksichtigt. Die Strömung wird ausschließlich durch die gewählten Ein- und Auslassbedingungen bestimmt. = Relevanz = Die Untersuchung von Gefäßverengungen besitzt sowohl eine medizinische als auch eine methodische Bedeutung. Aus medizinischer Sicht sind arterielle Stenosen – etwa in der Halsschlagader, lat. ''arteria carotis communis'', – kritisch, da sie die Durchblutung beeinträchtigen und durch veränderte Wandschubspannungen sowie die Bildung von Wirbeln weitere Gefäßablagerungen begünstigen. Stenosen im Bereich der Karotisgabelung sind klinisch hochrelevant, da sie das Gehirn direkt versorgen und das Risiko für embolische Schlaganfälle erhöhen. Fachlich überträgt das Projekt damit die Prinzipien der Strömungsmechanik direkt auf eine biomedizinische Anwendung. Das Projekt verknüpft somit theoretische Grundlagen der Strömungsmechanik (Hagen-Poiseuille-Gleichung, Navier-Stokes-Gleichungen) mit der numerischen Simulation in COMSOL Multiphysics. Durch den Vergleich der '''gesunden Externa (ACE)''' mit der '''stenoisierten Interna (ACI)''' innerhalb desselben Rechengebiets wird die isolierte Wirkung der Stenose unter identischen Randbedingungen direkt sichtbar gemacht. == Medizinische Relevanz == Arterielle Stenosen entstehen überwiegend durch Atherosklerose, also durch Ablagerungen aus Lipiden, Bindegewebe und Kalk in der Gefäßwand. In der Halsschlagader sind sie klinisch besonders bedeutsam, weil sie die Durchblutung des Gehirns beeinträchtigen und weil sich an ihnen Thromben bilden können, die als Embolie einen Schlaganfall auslösen. Dass die operative Entfernung einer hochgradigen Karotisstenose das Schlaganfallrisiko symptomatischer Patienten deutlich senkt, hat die NASCET-Studie gezeigt, deren Einteilung der Stenosegrade dieses Projekt übernimmt.<ref name="nascet">North American Symptomatic Carotid Endarterectomy Trial Collaborators: ''Beneficial effect of carotid endarterectomy in symptomatic patients with high-grade carotid stenosis.'' New England Journal of Medicine 325 (1991), Nr. 7, S. 445-453.</ref> Strömungsmechanisch ist an einer Stenose vor allem die Wandschubspannung von Interesse, also die tangentiale Kraft je Fläche, die das strömende Blut auf die innerste Zellschicht der Gefäßwand ausübt. Gesunde Halsschlagadern weisen zeitlich gemittelte Werte von etwa 1,1 bis 1,5 Pa auf.<ref name="samijo">Samijo, S. K.; Willigers, J. M.; Barkhuysen, R.; Kitslaar, P. J. E. H. M.; Reneman, R. S.; Brands, P. J.; Hoeks, A. P. G.: ''Wall shear stress in the human common carotid artery as function of age and gender.'' Cardiovascular Research 39 (1998), Nr. 2, S. 515-522.</ref> In einer Engstelle steigt sie stark an, unmittelbar dahinter fällt sie im Ablösegebiet auf nahezu null und wechselt dort sogar das Vorzeichen. Niedrige und im Vorzeichen wechselnde Wandschubspannungen gelten als Bedingungen, unter denen sich weitere Ablagerungen bevorzugt bilden. Eine bestehende Stenose schafft also stromabwärts die Voraussetzungen für ihr eigenes Wachstum. Genau diese Verteilung lässt sich im Körper nur schwer messen, in einer Simulation dagegen unmittelbar auswerten. == Methodische Relevanz == Fachlich überträgt das Projekt die Prinzipien der Strömungsmechanik aus der Vorlesung auf eine biomedizinische Anwendung.<ref name="hundertmark">Hundertmark, A.: ''Fluiddynamik.'' Vorlesungsunterlagen zum Modul Räumliche Modellbildung, RPTU Kaiserslautern-Landau, Sommersemester 2026.</ref> Der methodische Mehrwert liegt in der Verknüpfung mehrerer Zugänge, die sich gegenseitig kontrollieren. Die analytische Poiseuille-Lösung liefert exakte Sollwerte für das gesunde Gefäß. Ein reduziertes Graphenmodell liefert für jeden Stenosegrad eine schnelle Abschätzung, die analytisch nachrechenbar ist. Die Simulationen in COMSOL Multiphysics lösen schließlich die vollständigen Navier-Stokes-Gleichungen in zwei und drei Raumdimensionen. Weil jede Stufe die Sollwerte der nächsten liefert, zeigt das Projekt nicht nur Ergebnisse, sondern auch, wie numerische Modelle aufgebaut, verifiziert und an ihren Grenzen bewertet werden. == Auswahl der Stenosegrade == Um die untersuchten Gefäßverengungen nicht willkürlich festzulegen, orientiert sich die Auswahl der Stenosegrade an der klinisch gebräuchlichen NASCET-Klassifikation von Karotisstenosen.<ref name="nascet" /> Zur klinischen Einordnung werden Karotisstenosen anhand der nach NASCET bestimmten Durchmesserreduktion in leichtgradige, mittelgradige und hochgradige Stenosen eingeteilt. Die angegebenen Prozentgrenzen dienen in diesem Projekt als Orientierung für die Auswahl der untersuchten Stenosegrade. Ein vollständiger Gefäßverschluss wird als Okklusion bezeichnet. {| class="wikitable" |+ Klinische Einteilung nach NASCET-gemessener Durchmesserreduktion und untersuchte Stenosegrade ! Schweregrad !! Durchmesserreduktion !! im Projekt gerechnete Stenosegrade !! hervorgehobener Vertreter |- | gesundes Gefäß || 0 % || 0 || 0 |- | leichtgradige Stenose || unter 50 % || 0,1 bis 0,4 || 0,3 |- | mittelgradige Stenose || 50 bis 69 % || 0,5 und 0,6 || 0,6 |- | hochgradige Stenose || 70 bis 99 % || 0,7 und 0,8 || 0,8 |- | Okklusion || 100 % || nicht gerechnet || entfällt |} '''Anmerkung''': Die Klassengrenzen dienen der Einordnung der Modellvarianten. Die in der Tabelle genannten Stenosegrade sind dimensionslose Werte, beispielsweise entspricht '''<math>s=0{,}6</math>''' einer Durchmesserreduktion von '''60 %'''. Für die numerische Untersuchung wird aus jeder Kategorie ein repräsentativer Stenosegrad hervorgehoben. Neben dem gesunden Gefäß mit '''0 %''' Stenose sind das eine '''30 %''' Stenose als Beispiel für eine leichtgradige, eine '''60 %''' Stenose als Beispiel für eine mittelgradige und eine '''80 %''' Stenose als Beispiel für eine hochgradige Verengung. Zusätzlich werden für das Graphenmodell und das achsensymmetrische Flächenmodell Stenosegrade von 0 bis 80 % in Schritten von zehn Prozentpunkten vorgesehen. Dadurch kann die Abhängigkeit der Strömungsgrößen vom Stenosegrad systematisch untersucht und grafisch dargestellt werden. Ob alle Modellvarianten tatsächlich berechnet wurden und wie hoch der Rechenaufwand war, wird anhand der durchgeführten Simulationen dokumentiert. Ein vollständiger Gefäßverschluss wird nicht simuliert, da in diesem Fall keine durchgängige Strömung mehr vorliegt. Der Stenosegrad wird in diesem Projekt wie bei NASCET über die Verringerung des Gefäßdurchmessers beschrieben, <math>s = 1 - \frac{d_{\min}}{d_{\mathrm{ref}}},</math> wobei <math>d_{\min}</math> der kleinste Durchmesser in der Engstelle und <math>d_{\mathrm{ref}}</math> ein Referenzdurchmesser ist. NASCET verwendet als Referenz den Durchmesser des gesunden Gefäßes stromabwärts der Stenose. Für das idealisierte gerade Gefäßmodell wird ein konstanter Referenzdurchmesser von <math>D_0=6\,\mathrm{mm}</math> angenommen. Da das Gefäß außerhalb der Stenose denselben Durchmesser besitzt, gilt in diesem Modell<math>d_{\mathrm{ref}}=D_0</math>. Bei der zusätzlich betrachteten Gefäßaufzweigung muss der Referenzdurchmesser dagegen gesondert festgelegt werden, da die Gefäßäste unterschiedliche Durchmesser besitzen. Wichtig für das Verständnis aller weiteren Ergebnisse ist der Unterschied zwischen Durchmesser- und Flächenreduktion. Da die Querschnittsfläche quadratisch vom Durchmesser abhängt, gilt für die Flächenreduktion <math>1-(1-s)^2</math>. Eine im klinischen Sinn nur mittelgradige Stenose von 60 % verschließt damit bereits 84 % der Querschnittsfläche. {| class="wikitable" |+ Durchmesser- und Flächenreduktion der gerechneten Stenosegrade ! Stenosegrad s !! 0 !! 0,1 !! 0,2 !! 0,3 !! 0,4 !! 0,5 !! 0,6 !! 0,7 !! 0,8 |- | engster Durchmesser in mm || 6,0 || 5,4 || 4,8 || 4,2 || 3,6 || 3,0 || 2,4 || 1,8 || 1,2 |- | Flächenreduktion || 0 % || 19 % || 36 % || 51 % || 64 % || 75 % || 84 % || 91 % || 96 % |} Eine Einschränkungen gehört zur ehrlichen Einordnung: # Mit zunehmendem Stenosegrad, insbesondere bei ausgeprägten Verengungen, können lokale Beschleunigungen, Strömungsablösungen und zeitabhängige Strömungsstrukturen auftreten. Daher muss bei den hochgradigen Stenosen geprüft werden, inwieweit die Annahme einer stationären, laminaren Strömung geeignet ist. Eine feste Grenze bei <math>s=0{,}6</math> lässt sich ohne entsprechende Simulationsergebnisse oder Literaturbelege nicht allgemein festlegen. Die hochgradigen Fälle werden deshalb unter besonderer Berücksichtigung der Modellannahmen diskutiert. Unter Modellierung wird in diesem Projekt die Übertragung der Blutströmung in einer verengten Arterie auf ein mathematisches und numerisch lösbares Strömungsproblem verstanden. Dazu werden die Gefäßgeometrie, die zugrunde liegenden Gleichungen, die physikalischen Materialparameter sowie die Anfangs- und Randbedingungen festgelegt. Jeder dieser Bestandteile beruht auf vereinfachenden Annahmen, die begründet und bei der Interpretation der Ergebnisse berücksichtigt werden müssen. Ziel ist es, den Einfluss unterschiedlicher Stenosegrade auf die Strömungsgeschwindigkeit, den Druckverlust und gegebenenfalls die Wandschubspannung systematisch zu untersuchen. Die Modellierung erfolgt anhand mehrerer Modellvarianten mit unterschiedlicher räumlicher Auflösung. Dadurch können zunächst grundlegende Zusammenhänge analytisch abgeschätzt und anschließend mit numerischen Strömungsberechnungen verglichen werden. Die verwendeten Parameter orientieren sich an den bereitgestellten Referenzdaten und werden in den folgenden Abschnitten erläutert. == Modellierung == Ziel der Modellierung ist es, die Blutströmung innerhalb einer Y-förmigen Aufzweigung der Halsschlagader mathematisch und numerisch zu untersuchen. Im Mittelpunkt steht eine Gefäßverengung (Stenose) in der Arteria carotis interna. Das betrachtete Gefäßmodell besteht aus der Arteria carotis communis, die sich in die Arteria carotis interna und die Arteria carotis externa aufteilt. Die Stenose befindet sich ausschließlich in der Arteria carotis interna. Durch die Verengung verändert sich der verfügbare Strömungsquerschnitt. Dies kann zu einer Erhöhung der lokalen Strömungsgeschwindigkeit, zu zusätzlichen Druckverlusten und zu einer Veränderung der Strömungsverteilung zwischen den beiden Gefäßästen führen. Ziel ist es, den Einfluss unterschiedlicher Stenosegrade auf die Strömungsgeschwindigkeit, die Druckverteilung und die Wandschubspannung zu untersuchen. Zusätzlich soll betrachtet werden, wie sich die Strömung innerhalb der Y-förmigen Gefäßaufzweigung verhält. Die numerische Modellierung erfolgt mit COMSOL Multiphysics. Dazu werden die Gefäßgeometrie, die Materialeigenschaften des Blutes, die Strömungsgleichungen und die Randbedingungen festgelegt. Zur Vereinfachung wird Blut zunächst als inkompressibles, Newtonsches Fluid betrachtet. Die Gefäßwände werden als starr angenommen. Diese Annahmen ermöglichen eine systematische Untersuchung der Stenose, schränken jedoch die Übertragbarkeit auf reale physiologische Bedingungen ein. === Modellhierarchie === Für die Untersuchung der Blutströmung innerhalb der Y-förmigen Karotisaufzweigung werden drei Modellvarianten betrachtet. Diese unterscheiden sich hinsichtlich ihrer räumlichen Dimension, ihrer mathematischen Beschreibung und der Genauigkeit, mit der die Strömungsverhältnisse dargestellt werden können. Das untersuchte Gefäß besteht aus der Arteria carotis communis, die sich in die Arteria carotis interna und die Arteria carotis externa aufteilt. Die Stenose befindet sich ausschließlich in der Arteria carotis interna. Alle drei Modellvarianten werden mit COMSOL Multiphysics umgesetzt. {| class="wikitable" style="width:100%;" |+ '''Die drei Modellvarianten des Projekts''' |- ! Modell ! Raumdimension ! Mathematische Grundlage ! Zweck ! Werkzeug |- | '''Graphenmodell''' | 1D, Gefäßnetzwerk mit einer Verzweigung | Massenerhaltung an der Verzweigung und vereinfachte Beschreibung der Strömungswiderstände | Abschätzung der Volumenstromverteilung und der Druckverluste in den Gefäßästen | COMSOL Multiphysics |- | '''Ebenes Flächenmodell''' | 2D, Y-förmige Gefäßgeometrie in kartesischen Koordinaten | Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen | Untersuchung der Geschwindigkeits- und Druckverteilung sowie der Auswirkungen der Stenose in der Arteria carotis interna | COMSOL Multiphysics, Laminare Strömung |- | '''Volumenmodell''' | 3D, räumliche Y-förmige Gefäßgeometrie | Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen | Räumliche Untersuchung des Geschwindigkeitsfeldes, des Druckverlustes und der Wandschubspannung | COMSOL Multiphysics, Laminare Strömung |} ==== Vergleich und Überprüfung der Modellvarianten ==== Die drei Modellvarianten bauen hinsichtlich ihrer räumlichen Beschreibung aufeinander auf. Das Graphenmodell ermöglicht zunächst eine vereinfachte Betrachtung der Volumenströme und Druckverluste. Die zwei- und dreidimensionalen Modelle erlauben anschließend eine detailliertere Untersuchung der Strömung innerhalb der Gefäßaufzweigung. Das '''Graphenmodell''' beschreibt die Arteria carotis communis sowie die beiden abzweigenden Gefäße als miteinander verbundenes Netzwerk. Dabei wird die Massenerhaltung an der Verzweigung berücksichtigt: :<math>Q_{\mathrm{CCA}}=Q_{\mathrm{ICA}}+Q_{\mathrm{ECA}}</math> Das Modell liefert vereinfachte Abschätzungen der Volumenstromverteilung. Lokale Strömungsablösungen und räumliche Geschwindigkeitsverteilungen können damit nicht detailliert dargestellt werden. Das '''ebene Flächenmodell''' bildet die Y-förmige Gefäßaufzweigung in zwei Raumdimensionen ab. Die Stenose wird innerhalb der Arteria carotis interna berücksichtigt. Dadurch können die Geschwindigkeits- und Druckverteilung sowie mögliche Rückströmungsbereiche untersucht werden. Das '''Volumenmodell''' erweitert die Untersuchung auf drei Raumdimensionen. Es ermöglicht eine räumliche Darstellung der Strömung und eine detailliertere Berechnung der Wandschubspannung. Die Ergebnisse des ebenen Flächenmodells und des Volumenmodells werden miteinander verglichen. Da das ebene Modell die räumliche Querschnittsgeometrie nur vereinfacht darstellt, müssen Unterschiede zwischen den beiden Modellen bei der Interpretation berücksichtigt werden. Ziel der Modellhierarchie ist es, die Aussagekraft der einzelnen Modellvarianten zu bewerten und den Einfluss des Stenosegrades auf die Strömung innerhalb der Y-förmigen Karotisaufzweigung zu untersuchen. === Simulationsgebiet und Geometrie === Das Simulationsgebiet besteht aus einer idealisierten Y-förmigen Aufzweigung der Arteria carotis. Die Arteria carotis communis teilt sich in die Arteria carotis interna und die Arteria carotis externa. Die Stenose befindet sich in der Arteria carotis interna. Die Arteria carotis externa wird ohne zusätzliche Verengung modelliert. Die Geometrie orientiert sich an den bereitgestellten Referenzdaten. Die Gefäßdurchmesser werden innerhalb der jeweiligen unverengten Abschnitte als konstant angenommen. {| class="wikitable" style="width:100%;" |+ '''Geometrische Referenzparameter der Y-förmigen Gefäßaufzweigung''' |- ! Gefäßabschnitt ! Durchmesser ! Länge |- | Arteria carotis communis | 6 mm | 60 mm |- | Arteria carotis interna | 5 mm | 60 mm |- | Arteria carotis externa | 4 mm | 60 mm |- | Stenose in der Arteria carotis interna | Abhängig vom Stenosegrad | 10 bzw. 20 mm |} Die Verengung wird über den Stenosegrad <math>s</math> beschrieben. Dieser gibt die relative Verringerung des Gefäßdurchmessers an: :<math>s=1-\frac{d_{\min}}{D_{\mathrm{ICA}}}</math> Dabei bezeichnet <math>d_{\min}</math> den minimalen Durchmesser innerhalb der Stenose und <math>D_{\mathrm{ICA}}</math> den unverengten Referenzdurchmesser der Arteria carotis interna. Für das Modell gilt: :<math>D_{\mathrm{ICA}}=5\,\mathrm{mm}</math> Der minimale Durchmesser ergibt sich damit zu: :<math>d_{\min}=D_{\mathrm{ICA}}(1-s)</math> {| class="wikitable" |+ '''Minimaler Durchmesser der Stenose in der Arteria carotis interna''' |- ! Stenosegrad ! Minimaler Durchmesser |- | 0 % | 5,0 mm |- | 10 % | 4,5 mm |- | 20 % | 4,0 mm |- | 30 % | 3,5 mm |- | 40 % | 3,0 mm |- | 50 % | 2,5 mm |- | 60 % | 2,0 mm |- | 70 % | 1,5 mm |- | 80 % | 1,0 mm |} Die angegebenen Stenosegrade beziehen sich ausschließlich auf den Durchmesser der Arteria carotis interna. Der Durchmesser der Arteria carotis communis wird nicht zur Berechnung des Stenosegrades verwendet. Die Y-förmige Geometrie ermöglicht es, die Auswirkungen der Verengung sowohl auf die lokale Strömung in der Arteria carotis interna als auch auf die Strömungsverteilung innerhalb der gesamten Gefäßaufzweigung zu untersuchen. Die genaue Form der Stenose, der Verzweigungswinkel und die Übergänge zwischen den Gefäßabschnitten müssen entsprechend der tatsächlich in COMSOL verwendeten Geometrie dokumentiert werden. == Stoff- und Strömungsparameter == Die Stoffwerte des Blutes und der Volumenstrom sind die einzigen Eingangsgrößen, die nicht aus der Geometrie folgen. Aus ihnen werden alle weiteren Strömungskennwerte berechnet. Die folgenden Schritte zeigen jede Rechnung einzeln, damit sich jeder Wert nachprüfen lässt. # Die '''Dichte''' wird mit <math>\rho = 1060\ \mathrm{kg/m^3}</math> angesetzt. Der Wert lässt sich als Mischungsregel plausibel machen. Plasma hat eine Dichte von etwa 1025 kg/m³, rote Blutkörperchen von etwa 1100 kg/m³. Bei einem Zellanteil von 45 % ergibt sich <math>0{,}55 \cdot 1025 + 0{,}45 \cdot 1100 \approx 1059\ \mathrm{kg/m^3}</math>. Die Dichte geht nur über die Reynoldszahl in die Rechnung ein, eine Abweichung von einem Prozent ändert die Ergebnisse daher kaum. <!-- FIXME Lehrbuchquelle fuer Plasma- und Erythrozytendichte ergaenzen --> # Die '''dynamische Viskosität''' wird mit <math>\mu = 3{,}5\ \mathrm{mPa\,s}</math> angesetzt. Das ist der Grenzwert der Blutviskosität bei hohen Scherraten, also genau der Wert, der zur Newtonschen Näherung gehört. Derselbe Wert von 0,035 Poise wird auch im Standardwerk zur Modellierung des Herz-Kreislauf-Systems verwendet.<ref name="quarteroni">Quarteroni, A.; Formaggia, L.: ''Mathematical Modelling and Numerical Simulation of the Cardiovascular System.'' In: Ayache, N. (Hrsg.): ''Computational Models for the Human Body.'' Handbook of Numerical Analysis, Bd. XII, Elsevier, Amsterdam 2004, S. 3-127. DOI 10.1016/S1570-8659(03)12001-7. Zur Newtonschen Näherung in großen Gefäßen siehe S. 30, zur Viskosität von 0,035 Poise die Parametertabelle auf S. 116.</ref> # Der '''mittlere Volumenstrom''' wird mit <math>Q_0 = 6\ \mathrm{ml/s}</math> angesetzt. Das ist der zeitlich gemittelte Volumenstrom, der in der gemeinsamen Halsschlagader gesunder Probanden gemessen wurde. # Die '''mittlere Geschwindigkeit''' folgt aus Volumenstrom und Querschnittsfläche, <math>U_0 = \frac{Q_0}{\pi R_0^2} = \frac{6 \cdot 10^{-6}\ \mathrm{m^3/s}}{\pi \cdot (0{,}003\ \mathrm{m})^2} = 0{,}2122\ \mathrm{m/s}</math>. # Die '''Reynoldszahl''' des gesunden Gefäßes ist <math>Re_0 = \frac{\rho\, U_0\, D_0}{\mu} = \frac{1060 \cdot 0{,}2122 \cdot 0{,}006}{0{,}0035} = 385{,}6</math>. Sie wird im Folgenden auf 386 gerundet. # Die '''Einlauflänge''', die eine anfangs gleichförmige Strömung bis zum voll entwickelten Parabelprofil bräuchte, beträgt nach der gebräuchlichen Abschätzung für laminare Rohrströmungen <math>L_e \approx 0{,}06\, Re_0\, D_0 \approx 0{,}06 \cdot 386 \cdot 6\ \mathrm{mm} \approx 139\ \mathrm{mm}</math>.<ref name="durst">Durst, F.; Ray, S.; Ünsal, B.; Bayoumi, O. A.: ''The development lengths of laminar pipe and channel flows.'' Journal of Fluids Engineering 127 (2005), Nr. 6, S. 1154-1160. Für große Reynoldszahlen nähert sich die dort angegebene Korrelation dem Wert 0,057·Re·D.</ref> Das ist fast die gesamte Länge des Rechengebiets. Ein konstantes Einlassprofil würde die Strömung an der Stenose also verfälschen, weshalb am Einlass das voll entwickelte Profil vorgegeben wird. Damit liegen alle globalen Parameter fest. Die folgende Tabelle enthält sie mit genau den Namen, unter denen sie in COMSOL und in den Octave-Skripten verwendet werden. {| class="wikitable" |+ Globale Parameter des Modells ! Name !! Ausdruck in COMSOL !! Wert !! Bedeutung !! Herkunft |- | R0 || 3[mm] || 3 mm || Gefäßradius || Messwerte nach Krejza u. a. 2006, gerundet |- | D0 || 2*R0 || 6 mm || Gefäßdurchmesser || abgeleitet |- | Ls || 2*D0 || 12 mm || Länge der Störstelle || Standardgeometrie nach Varghese u. a. 2007 |- | Lu || 5*D0 || 30 mm || Vorlaufstrecke vor der Stenosemitte || Abstand der Einlassbedingung von der Stenose |- | Ld || 20*D0 || 120 mm || Nachlaufstrecke hinter der Stenosemitte || Platz für das Rückströmgebiet |- | Lf || Ls/2+10*D0 || 66 mm || Ende des fein vernetzten Nachlaufs || erwartete Länge des Rückströmgebiets |- | s || 0 bis 0.8 || 0 bis 0,8 || Stenosegrad bezogen auf den Durchmesser || NASCET-Einteilung |- | rho_b || 1060[kg/m^3] || 1060 kg/m³ || Dichte des Blutes || Mischungsregel, Literaturwert |- | mu_b || 3.5[mPa*s] || 3,5 mPa·s || dynamische Viskosität des Blutes || Hochscherwert, Quarteroni und Formaggia 2004 |- | Q0 || 6[ml/s] || 6 ml/s || mittlerer Volumenstrom || Messwerte nach Holdsworth u. a. 1999 |- | U0 || Q0/(pi*R0^2) || 0,2122 m/s || mittlere Einströmgeschwindigkeit || abgeleitet |- | Re0 || rho_b*U0*D0/mu_b || 385,6 || Reynoldszahl des gesunden Gefäßes || abgeleitet |- | dp_ref || 8*mu_b*U0*(Lu+Ld)/R0^2 || 99,03 Pa || Poiseuille-Druckabfall des gesunden Gefäßes || abgeleitet, Hagen-Poiseuille |} = Implementierung des 2D-Modells in COMSOL Multiphysics = == Zielsetzung des zweidimensionalen Modells == Im Rahmen des Projekts wurde mit COMSOL Multiphysics ein zweidimensionales Modell der menschlichen Halsschlagader erstellt. Ziel ist es, die Blutströmung innerhalb einer Gefäßverzweigung zu untersuchen und insbesondere die Auswirkungen einer lokalen Gefäßverengung (Stenose) auf das Strömungsverhalten zu analysieren. Das Modell bildet die Aufzweigung der Arteria carotis communis (ACC) in die Arteria carotis interna (ACI) und die Arteria carotis externa (ACE) ab. Während die ACE als gesunder Gefäßabschnitt betrachtet wird, befindet sich in der ACI eine lokale Verengung. Dadurch können die Strömungsverhältnisse in beiden Ästen miteinander verglichen werden. Die zweidimensionale Modellierung dient dazu, die Geschwindigkeitsverteilung, den Druckabfall und die Wandschubspannung zu untersuchen. Zusätzlich soll festgestellt werden, ob sich hinter der Stenose Bereiche mit Strömungsablösungen oder Rückströmungen ausbilden. ==Vorgehen== Für die numerische Untersuchung in COMSOL Multiphysics 6.2 zunächst ein zweidimensionales Modell mit der Physik ''Laminare Strömung'' und einer ''stationären Studie'' angelegt. Die Gefäßgeometrie wurde vollständig parametrisiert, damit Durchmesser, Gefäßlängen, Verzweigungswinkel, Stenosegrad sowie die Stenoselänge veränderbar sind, ohne das Modell jeweils neu zu zeichnen. Das gemeinsame Zuflussgefäß stellt die Arteria carotis communis mit einem Durchmesser von <math>6\,\mathrm{mm}</math> dar. Nach einem geraden Einlaufabschnitt von <math>60\,\mathrm{mm}</math> teilt es sich V-förmig in die beiden Tochtergefäße auf. Die Arteria carotis interna wird mit einem Durchmesser von <math>5\,\mathrm{mm}</math>, die Arteria carotis externa mit <math>4\,\mathrm{mm}</math> modelliert. Beide Tochtergefäße sind jeweils <math>60\,\mathrm{mm}</math> lang. Die Grundgeometrie wurde als zusammenhängender zweidimensionaler Volumenkörper aufgebaut. Die beiden Tochtergefäße verlaufen nach der Bifurkation unter einem Winkel auseinander, sodass eine idealisierte Y-förmige Karotisgabel entsteht. Die Übergänge zwischen dem gemeinsamen Gefäß und den beiden Ästen wurden bewusst vereinfacht, aber ohne abrupte Querschnittssprünge gestaltet. Auf diese Weise bleibt die Geometrie ausreichend einfach für einen systematischen Vergleich verschiedener Modellvarianten, bildet die typische Aufzweigung einer Karotis. Die Stenose befindet sich ausschließlich in der Arteria carotis interna. Um die Verengung nicht durch gerade Polygonsegmente mit scharfen Knicken darzustellen, wurde ihre Kontur mithilfe von zwei parametrischen Kosinuskurven erzeugt. Zur Beschreibung der Stenose wird eine parametrische Kurve mit dem Hilfsparameter <math>t</math> verwendet. Dieser nimmt Werte zwischen <math>-1</math> und <math>1</math> an. Über die Beziehung <math>x(t)=x_\mathrm{st}+\frac{L_\mathrm{st}}{2}t</math> wird der Parameter auf die räumliche Position entlang des Gefäßes übertragen. Für <math>t=-1</math> liegt der Beginn der Stenose bei <math>x_\mathrm{st}-L_\mathrm{st}/2</math>, für <math>t=0</math> befindet sich die Kurve in der Stenosenmitte und für <math>t=1</math> am Ende bei <math>x_\mathrm{st}+L_\mathrm{st}/2</math>. Dadurch kann die Länge der Stenose über den Parameter <math>L_\mathrm{st}</math> verändert werden, ohne ihre Mittelpunktposition <math>x_\mathrm{st}</math> zu verschieben. Die Einengung wächst vom Beginn der Stenose kontinuierlich bis zur Engstelle an und nimmt danach ebenso kontinuierlich wieder ab. Dadurch entstehen glatte Wandübergänge. Die Stärke der Einengung wird über den dimensionslosen Stenosegrad <math>s</math> gesteuert. Für einen unverengten Durchmesser der Arteria carotis interna von <math>D_\mathrm{ACI}=5\,\mathrm{mm}</math> ergibt sich bei einem Stenosegrad von <math>s=0{,}3</math> eine minimale Gefäßweite von <math>3{,}5\,\mathrm{mm}</math>, bei <math>s=0{,}6</math> von <math>2{,}0\,\mathrm{mm}</math> und bei <math>s=0{,}8</math> von <math>1{,}0\,\mathrm{mm}</math>. Die minimale Gefäßweite ergibt sich allgemein aus <math>d_\mathrm{min}=D_\mathrm{ACI}(1-s)</math>. Die beiden parametrischen Kurven wurden mit Hilfslinien zu geschlossenen Flächen ergänzt und anschließend über „Umwandeln in Volumenkörper“ in Flächenobjekte überführt. Mithilfe einer Differenzoperation wurden diese Flächen aus dem Gefäßgebiet ausgeschnitten. Auf diese Weise bleibt die Grundgeometrie des Gefäßes unverändert, während Stenosegrad und Stenosenlänge allein über globale Parameter variiert werden können. Für die Strömung wurde Blut als inkompressibles Newtonsches Fluid mit konstanter Dichte und Viskosität angenähert. Verwendet werden eine Dichte von <math>\rho=1060\,\mathrm{kg/m^3}</math> und eine dynamische Viskosität von <math>\mu=3,5\,\mathrm{mPa s}</math>. Am Einlass wird ein voll entwickeltes Geschwindigkeitsprofil vorgegeben. Aus dem auf der Projektseite angesetzten mittleren Volumenstrom von <math>6\,\mathrm{ml/s}</math> ergibt sich für das <math>6\,\mathrm{mm}</math> breite Zuflussgefäß eine mittlere Geschwindigkeit von rund <math>0{,}21\,\mathrm{m/s}</math>. An beiden Auslässen wird derselbe Referenzdruck vorgegeben, während an sämtlichen Gefäßwänden die Haftbedingung (No Slip) gilt. Nach Fertigstellung der Geometrie wurde ein physikgesteuertes Finite-Elemente-Netz erzeugt und die stationäre Navier-Stokes-Strömung berechnet. Anschließend wurden insbesondere der Geschwindigkeitsbetrag, die Druckverteilung und die Stromlinien ausgewertet. Die Stromlinien dienen dabei nicht nur der Visualisierung der Aufteilung des Blutstroms an der Bifurkation, sondern auch zur Erkennung möglicher Ablöse- und Rückströmungsgebiete hinter der Stenose. Zusätzlich kann die Wandschubspannung entlang der Gefäßwand ausgewertet werden. Die verschiedenen Stenosegrade werden jeweils bei ansonsten identischen Randbedingungen miteinander und mit dem gesunden Referenzfall verglichen. == Ergebnisse der 2D-Strömungssimulation == Die zweidimensionale Strömungssimulation wurde mit COMSOL Multiphysics durchgeführt, um die Auswirkungen einer lokalen Gefäßverengung auf die Blutströmung innerhalb einer idealisierten Karotis-Bifurkation zu untersuchen. Im Mittelpunkt der Auswertung stehen die Geschwindigkeitsverteilung, die Druckverteilung sowie die Wandschubspannung. Ergänzend werden Stromlinien betrachtet, um mögliche Veränderungen des Strömungsverlaufs und das Auftreten von Rückströmungsgebieten hinter der Stenose zu untersuchen. Die Ergebnisse werden hinsichtlich ihrer strömungsmechanischen Bedeutung interpretiert und unter Berücksichtigung der vereinfachenden Modellannahmen bewertet. === Quantitative Auswertung der Strömungsgeschwindigkeit === Zur Untersuchung des Einflusses verschiedener Stenosegrade auf die Strömungsgeschwindigkeit wurde in COMSOL Multiphysics der Geschwindigkeitsbetrag <code>spf.U</code> mithilfe der Funktion ''Oberflächenmaximum'' ausgewertet. Dabei wurden Stenosegrade von 0 %, 30 %, 60 %, 80 % und 100 % betrachtet. Die Berechnungen erfolgten zunächst mit einer Druckrandbedingung von <math>p_0 = 0\,\mathrm{Pa}</math> und anschließend mit einer Resistenzrandbedingung bei <math>k_R = 1</math>. ==== Druckrandbedingung ==== Bei der Druckrandbedingung wurde die maximale Geschwindigkeit über das gesamte Strömungsgebiet bestimmt. {| class="wikitable" ! Stenosegrad ! Maximale Geschwindigkeit [m/s] |- | 0 % || 0,28385 |- | 30 % || 0,27091 |- | 60 % || 0,35036 |- | 80 % || 0,38530 |- | 100 % || 0,46125 |} Die Ergebnisse zeigen zunächst eine leichte Abnahme der maximalen Geschwindigkeit bei 30 % Stenose. Ab 60 % steigt diese mit zunehmender Verengung an. Dies ist mit einer lokalen Beschleunigung der Strömung infolge des verringerten Strömungsquerschnitts vereinbar. Bei 100 % Stenose beträgt das globale Geschwindigkeitsmaximum 0,46125 m/s. Da die Arteria carotis interna (ACI) vollständig verschlossen ist, beschreibt dieser Wert nicht die Strömung durch den Verschluss, sondern kann aus einem anderen, weiterhin durchströmten Gefäßbereich stammen. ==== Graphische Auswertungen in Comsol ==== [[Datei:0%, Geschwindigkeit, p0=0.png|mini|zentriert|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 0 % Stenose und einer Druckrandbedingung von p₀ = 0 Pa.]] <div style="display:flex; justify-content:center; gap:15px;"> <div> [[Datei:0,3%, Geschwindigkeit, p0=0.png|mini|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 30 % Stenose und einer Druckrandbedingung von p₀ = 0 Pa.]] </div> <div> [[Datei:0,3%, Geschwindigkeit, p0=0, Nah Stenose.png|mini|300px|Vergrößerte Geschwindigkeitsverteilung im Bereich der 30%igen Stenose bei p₀ = 0 Pa.]] </div> </div> <div style="display:flex; justify-content:center; gap:15px;"> <div> [[Datei:0,6%, Geschwindigkeit, p0=0.png|mini|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 60 % Stenose und einer Druckrandbedingung von p₀ = 0 Pa.]] </div> <div> [[Datei:0,6%, Geschwindigkeit, p0=0, Nah Stenose.png|mini|300px|Vergrößerte Geschwindigkeitsverteilung im Bereich der 60%igen Stenose bei p₀ = 0 Pa.]] </div> </div> <div style="display:flex; justify-content:center; gap:15px;"> <div> [[Datei:0,8%, Geschwindigkeit, p0=0.png|mini|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 80 % Stenose und einer Druckrandbedingung von p₀ = 0 Pa.]] </div> <div> [[Datei:0,8%, Geschwindigkeit, p0=0, Nah Stenose.png|mini|300px|Vergrößerte Geschwindigkeitsverteilung im Bereich der 80%igen Stenose bei p₀ = 0 Pa.]] </div> </div> <div style="display:flex; justify-content:center; gap:15px;"> <div> [[Datei:100%, Geschwindigkeit, p0=0.png|mini|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 100 % Stenose und einer Druckrandbedingung von p₀ = 0 Pa.]] </div> <div> [[Datei:100%, Geschwindigkeit, p0=0, Nah Stenose.png|mini|300px|Vergrößerte Darstellung des vollständig verschlossenen Bereichs der ACI bei 100 % Stenose und p₀ = 0 Pa.]] </div> </div> Die Farbskala zeigt den Betrag der Strömungsgeschwindigkeit in m/s. Blaue Bereiche kennzeichnen niedrige, grüne und gelbe mittlere sowie rote Bereiche hohe Geschwindigkeiten. Im unverengten Gefäß ist die Geschwindigkeit in der Gefäßmitte am höchsten und nimmt zu den Gefäßwänden hin ab. Mit zunehmendem Stenosegrad verändert sich die Geschwindigkeitsverteilung deutlich. Im Bereich der Engstelle wird die Strömung lokal beschleunigt, während hinter der Verengung Bereiche niedriger Geschwindigkeit auftreten können. Bei 100 % Stenose ist die ACI vollständig verschlossen, sodass die Strömung nur noch über den offenen Gefäßast abfließen kann. === Resistenzrandbedingung und Vergleich === Anschließend wurde die Strömung unter Verwendung einer Resistenzrandbedingung mit konstantem Parameter <math>k_R = 1</math> untersucht. Bei zunehmender Verengung traten Konvergenzprobleme auf. Ab ungefähr 73 % Stenose konnte keine konvergierende stationäre Lösung mehr bestimmt werden. Daher wurden für die hochgradigen Stenosen ergänzend zeitabhängige Simulationen durchgeführt. {| class="wikitable" ! Stenosegrad ! Druckrandbedingung <math>p_0 = 0\,\mathrm{Pa}</math> [m/s] ! Resistenzrandbedingung <math>k_R = 1</math> [m/s] |- | 0 % || 0,28385 || 0,32426 |- | 30 % || 0,27081 || 0,32219 |- | 60 % || 0,35036 || 0,53188 |- | 80 % || 0,3858 || 1,0674 |- | 100 % || 0,46125 || <math>\approx 0</math> * |} <small>* Bei 100 % Stenose wurde für die Resistenzrandbedingung ausschließlich das Gebiet hinter dem vollständigen Verschluss ausgewertet. Die maximale Geschwindigkeit beträgt dort <math>v_{\max} = 2{,}1416 \cdot 10^{-21}\,\mathrm{m/s} \approx 0\,\mathrm{m/s}</math>.</small> Der Vergleich zeigt, dass die maximale Geschwindigkeit bei der Resistenzrandbedingung insbesondere bei höheren Stenosegraden deutlich stärker ansteigt. Bei 80 % Stenose wird mit 1,0674 m/s ein wesentlich höherer Wert erreicht als bei der Druckrandbedingung mit 0,3858 m/s. Dies verdeutlicht den Einfluss der Auslassrandbedingungen auf die Strömungsverteilung innerhalb der Gefäßverzweigung. Bei vollständigem Gefäßverschluss ist ein direkter Vergleich der beiden Werte nicht möglich, da unterschiedliche Strömungsgebiete ausgewertet wurden. Während bei der Druckrandbedingung das globale Maximum betrachtet wurde, beschreibt der Wert der Resistenzrandbedingung die praktisch zum Stillstand gekommene Strömung hinter der Stenose. Insgesamt zeigen die Ergebnisse, dass sowohl der Stenosegrad als auch die gewählten Randbedingungen einen wesentlichen Einfluss auf die maximale Strömungsgeschwindigkeit besitzen. Die Konvergenzprobleme bei hochgradigen Stenosen verdeutlichen zudem die Notwendigkeit einer ergänzenden zeitabhängigen Untersuchung. ==== Graphische Auswertungen in Comsol ==== [[Datei:0%, Geschwindigkeit, Resbed..png|mini|zentriert|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 0 % Stenose mit Resistenzrandbedingung (k_R = 1).]] <div style="display:flex; justify-content:center; gap:15px;"> <div> [[Datei:0,3%, Geschwindigkeit, Resbed..png|mini|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 30 % Stenose mit Resistenzrandbedingung (k_R = 1).]] </div> <div> [[Datei:0,3%, Geschwindigkeit, Resbed., Nah Stenose.png|mini|300px|Vergrößerte Geschwindigkeitsverteilung im Bereich der 30%igen Stenose mit Resistenzrandbedingung (k_R = 1).]] </div> </div> <div style="display:flex; justify-content:center; gap:15px;"> <div> [[Datei:0,6%, Geschwindigkeit, Resbed..png|mini|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 60 % Stenose mit Resistenzrandbedingung (k_R = 1).]] </div> <div> [[Datei:0,6%, Geschwindigkeit, Resbed., Nah Stenose.png|mini|300px|Vergrößerte Geschwindigkeitsverteilung im Bereich der 60%igen Stenose mit Resistenzrandbedingung (k_R = 1).]] </div> </div> <div style="display:flex; justify-content:center; gap:15px;"> <div> [[Datei:0,8%, Geschwindigkeit, Resbed., zeitabh., Zeit 1 s.png|mini|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 80 % Stenose mit Resistenzrandbedingung (k_R = 1) zum Zeitpunkt t = 1 s.]] </div> <div> [[Datei:0,8%, Geschwindigkeit, Resbed., zeitabh., Zeit 1 s, Nah Stenose.png|mini|300px|Vergrößerte Geschwindigkeitsverteilung im Bereich der 80%igen Stenose mit Resistenzrandbedingung (k_R = 1) zum Zeitpunkt t = 1 s.]] </div> </div> <div style="display:flex; justify-content:center; gap:15px;"> <div> [[Datei:1%, Geschwindigkeit, Resbed., zeitabh., Zeit 1 s,.png|mini|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 100 % Stenose mit Resistenzrandbedingung (k_R = 1) zum Zeitpunkt t = 1 s.]] </div> <div> [[Datei:1%, Geschwindigkeit, Resbed., zeitabh., Zeit 1 s, nah Stenose.png|mini|300px|Vergrößerte Darstellung des vollständig verschlossenen ACI-Bereichs bei 100 % Stenose mit Resistenzrandbedingung (k_R = 1) zum Zeitpunkt t = 1 s.]] </div> </div> ===== Untersuchung möglicher Rückströmungsbereiche (RAUS????) ===== Zur Untersuchung möglicher Rückströmungsbereiche wurde der stenotische Abschnitt der ACI vergrößert dargestellt. Zusätzlich zum Geschwindigkeitsfeld wurden Stromlinien mit erhöhter Startpunktanzahl visualisiert. Die Stromlinien zeigen eine Bündelung der Strömung im Bereich der Engstelle und eine anschließende Auffächerung im erweiterten Gefäßabschnitt. In der vergrößerten Darstellung treten entlang der oberen und unteren Gefäßwand hinter der Stenose, ungefähr zwischen x = 104 mm und x = 108 mm, schmale Bereiche mit negativer Geschwindigkeitskomponente auf. Die negative Geschwindigkeitskomponente wurde entlang einer um 15° geneigten Richtung bestimmt. Die dargestellten Werte liegen im Bereich weniger Millimeter pro Sekunde und sind damit deutlich kleiner als die maximale Strömungsgeschwindigkeit von 0,31853 m/s. Trotz der erhöhten Stromliniendichte ist kein eindeutig geschlossenes Rezirkulationsgebiet erkennbar. Die negativen Geschwindigkeitskomponenten liefern Hinweise auf lokale Veränderungen der Strömungsrichtung, stellen jedoch allein keinen sicheren Nachweis einer Strömungsablösung dar. <div style="text-align:center;"> [[Datei:Rückströmungsgebiete 2D.png|800px|zentriert|Vergrößerte Darstellung der Stromlinien und möglicher Rückströmungsbereiche hinter der 80-%-Stenose der ACI. Die Farbskala zeigt die negative Geschwindigkeitskomponente entlang einer um 15° geneigten Richtung. Schmale Bereiche mit negativen Werten sind an den Gefäßwänden erkennbar. Ein geschlossenes Rezirkulationsgebiet ist nicht eindeutig nachweisbar.]] <small>'''Abbildung 2:''' Vergrößerte Darstellung des ACI-Abschnitts hinter der Stenose. Die Farbskala zeigt die Geschwindigkeitskomponente in einer um 15° geneigten Richtung in m/s. Negative Werte weisen auf lokale Strömungsanteile entgegen dieser Richtung hin, belegen jedoch für sich genommen noch keine geschlossene Rezirkulationszone.</small> </div> Auch hier kennzeichnen blaue Farbtöne niedrige und rote Farbtöne hohe Strömungsgeschwindigkeiten. Mit zunehmender Stenose wird die Beschleunigung im Bereich der Engstelle besonders deutlich. Im Vergleich zur Druckrandbedingung treten bei höheren Stenosegraden größere maximale Geschwindigkeiten auf. Bei 80 % Stenose zeigt die zeitabhängige Simulation eine ausgeprägte Geschwindigkeitskonzentration im verengten Gefäßabschnitt. Bei 100 % Stenose kommt die Strömung im vollständig abgetrennten ACI-Bereich praktisch zum Stillstand, während die ACE weiterhin durchströmt wird. Die Ergebnisse verdeutlichen, dass die Wahl der Auslassrandbedingung die Geschwindigkeitsverteilung wesentlich beeinflusst. === Druckverteilung und Druckabfall === Die Druckverteilung wurde anhand der berechneten Isobaren innerhalb der zweidimensionalen Karotis-Bifurkation untersucht. Dabei zeigt sich eine Abnahme des statischen Drucks vom gemeinsamen Zuflussgefäß in Richtung der beiden Gefäßausgänge. Der maximale berechnete Druck beträgt etwa '''74,2 Pa''', während der minimale Druck bei etwa '''−19,9 Pa''' liegt. Daraus ergibt sich eine globale Druckspanne von ungefähr '''94,1 Pa'''. Besonders auffällig ist die Druckverteilung im Bereich der Stenose der Arteria carotis interna (ACI). Dort liegen die Isobaren deutlich enger beieinander, was auf einen ausgeprägten lokalen Druckgradienten hinweist. Stromabwärts der Engstelle treten zudem Bereiche mit niedrigem statischem Druck auf. '''Interpretation''': Die Ergebnisse zeigen, dass die Stenose die lokale Druckverteilung im ACI-Ast deutlich beeinflusst. Die Beschleunigung der Strömung innerhalb der Verengung geht mit einer Abnahme des statischen Drucks einher. Die globale Druckspanne von 94,1 Pa darf jedoch nicht mit dem irreversiblen Druckverlust über der Stenose gleichgesetzt werden. Die globale Druckspanne von 94,1 Pa ist nicht mit dem Druckabfall über der Stenose gleichzusetzen. Zur genaueren Untersuchung wurden deshalb zwei Messquerschnitte vor und hinter der Engstelle ausgewertet. Zwischen diesen ergibt sich eine mittlere statische Druckdifferenz von 36,24 Pa. <div style="text-align:center;"> [[Datei:Druckverteilung_2D.png|800px|zentriert|Druckverteilung der stationären 2D-Strömungssimulation einer idealisierten Karotis-Bifurkation mit 80 % Stenose in der Arteria carotis interna (ACI). Die Isobaren zeigen den Druckverlauf innerhalb der Gefäßgeometrie. Besonders im Bereich der Stenose ist ein ausgeprägter lokaler Druckgradient erkennbar. Der berechnete Druck liegt zwischen −19,9 Pa und 74,2 Pa.]] <small>'''Abbildung 3:''' Druckverteilung der stationären 2D-Strömungssimulation einer idealisierten Karotis-Bifurkation mit 80 % Stenose in der Arteria carotis interna (ACI). Die Isobaren zeigen den Druckverlauf innerhalb der Gefäßgeometrie. Besonders im Bereich der Stenose ist ein ausgeprägter lokaler Druckgradient erkennbar. Der berechnete Druck liegt zwischen −19,9 Pa und 74,2 Pa.</small> </div> ==== Quantitative Bestimmung der Druckdifferenz ==== Zur quantitativen Untersuchung des Druckabfalls wurden zwei Messquerschnitte im ACI-Ast definiert, einer vor und einer hinter der Stenose. Mithilfe der COMSOL-Funktion „Linienmittelwert“ wurde der mittlere statische Druck an beiden Positionen bestimmt. Vor der Stenose beträgt der mittlere Druck '''35,232 Pa''', während hinter der Stenose ein Wert von '''−1,0042 Pa''' ermittelt wurde. Daraus ergibt sich eine Druckdifferenz von '''36,24 Pa'''. Die Ergebnisse zeigen eine deutliche Abnahme des statischen Drucks zwischen den beiden Messquerschnitten. Diese Druckdifferenz verdeutlicht die Druckänderung entlang des stenotischen ACI-Astes. Sie ist jedoch nicht mit dem ausschließlich durch die Stenose verursachten irreversiblen Druckverlust gleichzusetzen, da auch die Strömungsentwicklung in den angrenzenden Gefäßabschnitten berücksichtigt wird. {| class="wikitable" style="text-align:center;" ! Stenosegrad ! <math>\bar p_\mathrm{vor}</math> [Pa] ! <math>\bar p_\mathrm{nach}</math> [Pa] ! <math>\Delta p</math> [Pa] |- | 0 % | 11,631 | 4,2461 | 7,3849 |- | 30 % | 16,919 | 2,9220 | 13,997 |- | 60 % | 35,835 | -0,58267 | 36,41767 |- | 80 % | 70,562 | -0,55906 | 71,12106 |} === Wandschubspannung === Zur Untersuchung der mechanischen Belastung der Gefäßwände wurde die Wandschubspannung (Wall Shear Stress, WSS) im zweidimensionalen Strömungsmodell ausgewertet. Sie beschreibt die tangentiale viskose Spannung, die durch die Strömung an der Gefäßwand entsteht. Die quantitative Auswertung erfolgte für die obere und untere Wand des stenotischen ACI-Abschnitts. Hierfür wurden die entsprechenden Wandkanten in COMSOL ausgewählt und der Betrag der Wandschubspannung bestimmt. Für den untersuchten Stenosebereich ergibt sich eine maximale Wandschubspannung von '''3,2282 Pa'''. Der Wert beschreibt das Maximum auf den ausgewählten Wandkanten der 80-%-Stenose. Da für diese Auswertung der Betrag der Wandschubspannung verwendet wurde, lässt sich daraus allein keine Aussage über eine mögliche Umkehr der wandnahen Strömungsrichtung ableiten. Zur Untersuchung möglicher Ablösebereiche ist zusätzlich eine Auswertung der vorzeichenbehafteten tangentialen Wandschubspannung erforderlich. <div style="text-align:center;"> [[Datei:Wandschubspannung.png|800px|zentriert|Verteilung des Betrags der Wandschubspannung entlang ausgewählter Gefäßwandabschnitte im Bereich der ACI-Stenose. Lokal treten erhöhte Wandschubspannungen auf. Die separate quantitative Auswertung der beiden Stenosewände ergibt einen Maximalwert von 3,2282 Pa.]] <small>'''Abbildung 4:''' Verteilung des Betrags der Wandschubspannung entlang ausgewählter Gefäßwandabschnitte im Bereich der ACI-Stenose. Lokal treten erhöhte Wandschubspannungen auf. Die separate quantitative Auswertung der beiden Stenosewände ergibt einen Maximalwert von 3,2282 Pa.</small> </div> ==== Untersuchung der vorzeichenbehafteten Wandschubspannung RAUS??==== Zur weiteren Untersuchung möglicher Strömungsablösungen wurde die vorzeichenbehaftete tangentiale Wandschubspannung entlang der oberen und unteren ACI-Gefäßwand hinter der Stenose ausgewertet. An der oberen Gefäßwand steigt die berechnete Spannung von ungefähr −0,05 Pa auf +0,47 Pa an. Ein Vorzeichenwechsel tritt bei einer Bogenlänge von etwa 0,6 mm auf. An der unteren Gefäßwand steigt die Spannung von ungefähr −0,48 Pa auf +0,06 Pa an. Hier erfolgt ein Vorzeichenwechsel bei einer Bogenlänge von etwa 20 mm. Die Ergebnisse zeigen somit auf beiden untersuchten Wandabschnitten einen Vorzeichenwechsel der tangentialen Spannungskomponente. Dies kann auf Änderungen der wandnahen Strömungsrichtung hinweisen und ist mit möglichen Ablöse- oder Wiederanlagerungsvorgängen vereinbar. Die Bogenlängen beziehen sich jeweils auf den untersuchten Wandabschnitt und können nicht unmittelbar miteinander verglichen werden. Zudem hängt das Vorzeichen von der Orientierung der lokalen Wandtangente ab. Ein geschlossenes Rezirkulationsgebiet lässt sich aus den Vorzeichenwechseln allein nicht eindeutig nachweisen. <div style="text-align:center;"> [[Datei:WSS - Oberer Ast hinter Stenose.png|800px|zentriert|Verlauf der vorzeichenbehafteten tangentialen Wandschubspannung entlang der oberen ACI-Gefäßwand hinter der 80-%-Stenose. Bei einer Bogenlänge von etwa 0,6 mm tritt ein Vorzeichenwechsel auf. Dieser kann auf eine Änderung der wandnahen Strömungsrichtung hinweisen, stellt jedoch allein keinen eindeutigen Nachweis einer Strömungsablösung dar.]] <small>'''Abbildung 5:'''Verlauf der vorzeichenbehafteten tangentialen Wandschubspannung entlang der oberen ACI-Gefäßwand hinter der 80-%-Stenose. Bei einer Bogenlänge von etwa 0,6 mm tritt ein Vorzeichenwechsel auf. Dieser kann auf eine Änderung der wandnahen Strömungsrichtung hinweisen, stellt jedoch allein keinen eindeutigen Nachweis einer Strömungsablösung dar.</small> </div> <div style="text-align:center;"> [[Datei:WSS - Unterer Ast hinter Stenose.png|800px|zentriert|Verlauf der vorzeichenbehafteten tangentialen Wandschubspannung entlang der unteren ACI-Gefäßwand hinter der Stenose. Ein Vorzeichenwechsel tritt bei etwa 20 mm Bogenlänge auf.]] <small>'''Abbildung 6:'''Verlauf der vorzeichenbehafteten tangentialen Wandschubspannung entlang der unteren ACI-Gefäßwand hinter der Stenose. Ein Vorzeichenwechsel tritt bei etwa 20 mm Bogenlänge auf.</small> </div> === Zusammenfassende Bewertung der 2D-Ergebnisse === Die stationäre zweidimensionale Strömungssimulation mit einem Stenosegrad von 80 % zeigt deutliche Veränderungen der Strömungsgrößen innerhalb der idealisierten Karotis-Bifurkation. Die maximale Geschwindigkeit beträgt 0,31853 m/s. Zwischen den ausgewählten Messquerschnitten vor und hinter der ACI-Stenose ergibt sich eine mittlere statische Druckdifferenz von 36,24 Pa. Die maximale Wandschubspannung auf den ausgewerteten Stenosewänden beträgt 3,2282 Pa. Die Untersuchung der Geschwindigkeitskomponenten liefert Hinweise auf lokale Strömungsanteile entgegen der Hauptströmungsrichtung. Ein eindeutig abgegrenztes Rezirkulationsgebiet konnte anhand der vorliegenden Darstellungen jedoch nicht sicher nachgewiesen werden. Die Ergebnisse beschreiben zunächst den untersuchten Fall einer hochgradigen Stenose. Aus diesem einzelnen Fall lässt sich weder eine allgemeine Abhängigkeit der Strömungsgrößen vom Stenosegrad noch ein kritischer Stenosegrad für den Beginn der Strömungsablösung bestimmen. Dafür wäre eine vergleichende Auswertung weiterer Stenosegrade erforderlich. == Resistenzrandbedingung am Auslass (2D-Modell) == === Motivation === Im ursprünglichen 2D-Modell wurde an beiden Auslässen eine Nulldruckbedingung <math>p = 0</math> gesetzt. Physikalisch bedeutet das, dass beide Äste in ein „offenes Becken“ mit gleichem, festem Druck münden. Der Auslassdruck hängt dabei nicht davon ab, wie viel Blut ankommt. Diese Annahme hat zwei Schwächen: * Die Flussaufteilung zwischen ACI und ACE ergibt sich nur aus den kleinen Strömungswiderständen der modellierten Gefäßabschnitte. Wird die ACI durch die Stenose verengt, weicht das Blut nahezu ungehindert in die ACE aus. Im Körper ist das nicht möglich, weil hinter der ACI das Gefäßbett des Gehirns mit einem eigenen, großen Widerstand liegt. * Das Druckniveau (Auslass bei 0 Pa) ist nicht physiologisch. Im 3D-Modell wurde deshalb an beiden Auslässen eine '''Resistenzrandbedingung''' verwendet. Damit 2D- und 3D-Modell vergleichbar sind, haben wir dieselbe Randbedingung auch im 2D-Modell eingebaut. === Formel und Herleitung === Das gesamte nachgeschaltete Gefäßbett hinter jedem Auslass wird durch einen einzigen peripheren Widerstand <math>R_p</math> ersetzt: :<math>p_{\text{aus}} = k_R \cdot R_p \cdot Q</math> Dabei ist <math>Q</math> der Volumenstrom durch den Auslass und <math>k_R</math> ein Schalter (<math>k_R = 1</math>: Widerstand, <math>k_R = 0</math>: ursprüngliche Bedingung <math>p = 0</math>). '''1. Gesunde Flussaufteilung nach dem Murray-Gesetz''' Der Volumenstrom eines Gefäßes ist nach Murray proportional zur dritten Potenz des Durchmessers. Für den Anteil der ACI am Gesamtfluss gilt damit: :<math>\varphi_0 = \frac{D_I^3}{D_I^3 + D_E^3} = \frac{(5\,\text{mm})^3}{(5\,\text{mm})^3 + (4\,\text{mm})^3} \approx 0{,}661</math> Mit dem mittleren Volumenstrom der A. carotis communis <math>Q_0 = 6\,\text{ml/s}</math> (Holdsworth u. a. 1999) folgt: :<math>Q_{I,0} = \varphi_0 \cdot Q_0 \approx 3{,}97\,\text{ml/s}, \qquad Q_{E,0} = (1-\varphi_0) \cdot Q_0 \approx 2{,}03\,\text{ml/s}</math> '''2. Bestimmung der peripheren Widerstände''' Die Widerstände werden so gewählt, dass im gesunden Zustand an beiden Auslässen der treibende Druck des peripheren Gefäßbetts <math>p_D = 90\,\text{mmHg} \approx 12\,000\,\text{Pa}</math> anliegt: :<math>R_{pI} = \frac{p_D}{Q_{I,0}} \approx 3{,}0 \cdot 10^{9}\,\frac{\text{Pa}\cdot\text{s}}{\text{m}^3}, \qquad R_{pE} = \frac{p_D}{Q_{E,0}} \approx 5{,}9 \cdot 10^{9}\,\frac{\text{Pa}\cdot\text{s}}{\text{m}^3}</math> Die Randbedingungen an den beiden Auslässen lauten damit: :<math>p_{\text{aus},I} = k_R \cdot R_{pI} \cdot Q_I, \qquad p_{\text{aus},E} = k_R \cdot R_{pE} \cdot Q_E</math> '''3. Umrechnung des Flusses im 2D-Modell''' Im 2D-Modell liefert das Integral der Normalgeschwindigkeit über den Auslassrand keinen Volumenstrom in m³/s, sondern einen Fluss pro Tiefe <math>q</math> in m²/s. Damit die Widerstände aus dem 3D-Modell verwendet werden können, wird <math>q</math> mit einer einheitlichen Ersatztiefe <math>b</math> in einen Volumenstrom umgerechnet: :<math>Q = q \cdot b, \qquad b = \frac{\pi \, D_{CC}}{4}</math> Die Ersatztiefe ist so gewählt, dass am Einlass mit der mittleren Einströmgeschwindigkeit <math>\bar{u}_{ein} = Q_0 / (\pi D_{CC}^2/4) \approx 0{,}21\,\text{m/s}</math> genau der Volumenstrom des 3D-Modells von 6 ml/s ankommt. Weil dieselbe Ersatztiefe für alle Ränder gilt, bleibt die Massenbilanz erhalten. === Ergebnisse mit Resistenzrandbedingung === {| class="wikitable" style="text-align:center" |+ Maximale Geschwindigkeit ! Stenosegrad S !! <math>u_{max}</math> [m/s] |- | 0 || 0,324^* |- | 0,3 || 0,323^* |- | 0,6 || 0,529 |- | 0,8 || 1,067 |} ^* Bei S = 0 und S = 0,3 liegt das Geschwindigkeitsmaximum nicht in der Stenose, sondern in der A. carotis communis. {| class="wikitable" style="text-align:center" |+ Druck vor und nach der Stenose ! Stenosegrad S !! <math>p_{vor}</math> [Pa] !! <math>p_{nach}</math> [Pa] !! Druckverlust <math>\Delta p = p_{vor} - p_{nach}</math> [Pa] !! <math>\Delta p</math> [mmHg] |- | 0 || 11 802 || 11 793 || 9 || 0,07 |- | 0,3 || 11 808 || 11 790 || 18 || 0,14 |- | 0,6 || 11 838 || 11 760 || 78 || 0,59 |- | 0,8 || 12 024 || 11 626 || 398 || 2,99 |} === Auswertung === * '''Druckniveau:''' Mit der Resistenzrandbedingung liegt der Druck bei etwa 11 800 Pa ≈ 88,5 mmHg. Das entspricht dem mittleren arteriellen Druck in der Carotis. Mit <math>p = 0</math> lagen die Drücke nur bei wenigen Pa bis einigen 100 Pa. * '''Flussaufteilung:''' Die peripheren Widerstände sind wesentlich größer als der Widerstand der Stenose. Deshalb bestimmen sie die Flussaufteilung, und die ACI behält auch bei 80 % Stenose nahezu ihren Anteil (Abnahme von <math>Q_I</math> nur um etwa 1 %). Im Gegensatz zu <math>p = 0</math> kann das Blut nicht einfach in die ACE ausweichen. Das entspricht dem physiologischen Verhalten bei nicht kritischen Stenosen. * '''Geschwindigkeit:''' Weil mehr Blut durch die Engstelle strömen muss, steigen die Geschwindigkeiten in der Stenose gegenüber <math>p = 0</math>. Von S = 0,6 auf S = 0,8 verdoppelt sich <math>u_{max}</math> etwa. * '''Druckverlust:''' Der Druckverlust steigt stark nichtlinear mit dem Stenosegrad. Von S = 0,6 auf S = 0,8 nimmt er etwa um den Faktor 5 zu. * '''Druckrückgewinnung:''' Bei S = 0,8 liegt <math>p_{nach}</math> mit 11 626 Pa sogar unter dem Auslassdruck (≈ 11 680 Pa). Direkt hinter der Engstelle ist die Geschwindigkeit des Strahls noch hoch und der statische Druck entsprechend niedrig. Stromabwärts verlangsamt sich die Strömung, und ein Teil des Drucks wird zurückgewonnen. Der bleibende Druckverlust ist daher etwas kleiner als 398 Pa. === Grenzen und Vergleich mit dem 3D-Modell === * Im 2D-Modell verringert eine Stenose von 80 % nur die '''Spaltbreite''' auf 20 %. Im 3D-Modell sinkt die '''Querschnittsfläche''' dagegen auf <math>0{,}2^2 = 4\,\%</math>. Das 2D-Modell unterschätzt deshalb Geschwindigkeit und Druckverlust in der Stenose systematisch. Klinisch gelten bei Stenosen ab 70 % systolische Spitzengeschwindigkeiten über 2,3 m/s; ab einem Druckgradienten von etwa 10–20 mmHg gilt eine Stenose als hämodynamisch relevant. Beide Grenzen erreicht das 2D-Modell nicht. * Die Umrechnung über die Ersatztiefe <math>\pi D_{CC}/4</math> ist eine Modellannahme. * Der periphere Widerstand ist konstant. Die Autoregulation des Gehirns und die Gefäßelastizität (Windkessel) werden nicht berücksichtigt, und die Rechnung ist stationär (keine Pulsatilität). == Beantwortung der Forschungsfragen == '''Welche Strömungsgrößen reagieren empfindlich auf den Stenosegrad?''' Die Untersuchung der 80-%-Stenose zeigt deutliche Veränderungen der Geschwindigkeitsverteilung, des statischen Drucks und der Wandschubspannung. Die maximale Strömungsgeschwindigkeit beträgt 0,31853 m/s. Zwischen den ausgewählten Messquerschnitten vor und hinter der Stenose ergibt sich eine mittlere statische Druckdifferenz von 36,24 Pa. Die maximale Wandschubspannung auf den untersuchten Stenosewänden beträgt 3,2282 Pa.Da bisher nur die 80-%-Stenose quantitativ ausgewertet wurde, lässt sich noch nicht feststellen, welche dieser Größen bei zunehmendem Stenosegrad am stärksten reagiert. '''Ab welchem Stenosegrad tritt eine Strömungsablösung auf?''' Bei der untersuchten 80-%-Stenose zeigen die Geschwindigkeitskomponenten und die vorzeichenbehaftete Wandschubspannung Hinweise auf Veränderungen der wandnahen Strömungsrichtung hinter der Engstelle. Ein eindeutig geschlossenes Rezirkulationsgebiet konnte jedoch nicht nachgewiesen werden. Ein kritischer Stenosegrad für den Beginn einer Strömungsablösung lässt sich aus dieser einzelnen Simulation daher nicht bestimmen. Hierfür müssten weitere Stenosegrade unter vergleichbaren Bedingungen ausgewertet werden. '''Inwieweit sind die Annahmen einer stationären und laminaren Strömung geeignet?''' Die stationäre, laminare Modellierung ermöglicht es, grundlegende Auswirkungen einer Gefäßverengung auf die Strömung in einer idealisierten Karotis-Bifurkation zu untersuchen. Bei hochgradigen Stenosen können allerdings zeitabhängige und dreidimensionale Strömungsstrukturen auftreten. Diese werden durch das vorliegende stationäre 2D-Modell nicht vollständig erfasst. Die Simulationsergebnisse sind deshalb auf die gewählten Modellannahmen und Randbedingungen beschränkt. '''Zusammenfassend''' liefert die 2D-Simulation eine erste quantitative Beschreibung der Strömungsverhältnisse bei einer hochgradigen ACI-Stenose. Für allgemeine Aussagen über die Abhängigkeit vom Stenosegrad und den Beginn einer Strömungsablösung sind zusätzliche Vergleichsrechnungen erforderlich. = Grenzen des Modells = * Die untersuchte Gefäßgeometrie ist eine idealisierte Darstellung der Karotisaufzweigung. Individuelle anatomische Unterschiede werden nicht berücksichtigt. * Darüber hinaus werden die Gefäßwände als starr angenommen und Blut wird durch ein inkompressibles Newtonsches Fluid mit konstanter Viskosität beschrieben. * Die Strömung wird stationär berechnet. Die natürliche Pulsation des Blutflusses und zeitabhängige Effekte bleiben damit unberücksichtigt. * Insbesondere bei hochgradigen Stenosen können zeitabhängige Strömungsablösungen auftreten, die durch eine stationäre Modellierung nicht vollständig beschrieben werden. * Das Graphenmodell kann lokale Strömungsphänomene nicht detailliert erfassen. Das ebene Flächenmodell vereinfacht die räumliche Gefäßgeometrie. Auch das dreidimensionale Modell bleibt aufgrund der idealisierten Geometrie und der vereinfachten Materialannahmen eine Annäherung an die reale Blutströmung. * Die Ergebnisse sind daher als strömungsmechanische Untersuchung eines idealisierten Modells zu interpretieren und nicht als patientenspezifische medizinische Vorhersage. = Literaturverzeichnis = Alle Quellen sind an den Stellen im Text angegeben, an denen die zugehörigen Werte oder Aussagen verwendet werden. Die Liste wird aus diesen Angaben automatisch erzeugt. <references /> b01ablsl76i0aeqay1st5xje87zss80 1119115 1119114 2026-11-08T15:16:03Z Heitele 38553 /* Zusammenfassende Bewertung der 2D-Ergebnisse */ 1119115 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Joey Becker * Marie-Thérèse Heitele * Nicole Pander = Thema und Fragestellung = Gegenstand dieses Projekts ist die numerische Simulation der Blutströmung in einer verzweigten Halsschlagader ('''Carotis-Bifurkation''') unter dem Einfluss einer lokalen Gefäßverengung ('''Stenose'''). Im Vergleich zu einfachen Rohrströmungen wird hier die realitätsnahe Gefäßanatomie betrachtet: Die '''Arteria carotis communis (ACC)''' teilt sich in die '''Arteria carotis externa (ACE)''' und die '''Arteria carotis interna (ACI)''' auf. Während die '''ACE''' als gesunder, stenosefreier Ast dient, wird in der '''ACI''' eine geglättete, kosinusförmige Gefäßverengung modelliert. Um scharfe Kanten und unphysiologische Druckspitzen zu vermeiden, werden alle Wandübergänge und die Gabelungsspitze (Apex) anatomisch verrundet. Als Referenz dient ein gesundes, unverengtes Gefäß, in dem sich die Poiseuille-Strömung mit ihrem charakteristischen parabolischen Geschwindigkeitsprofil ausbildet. Diese Strömung ist aus zwei Gründen der natürliche Ausgangspunkt. Sie beschreibt den physiologischen Normalfall, mit dem jeder Stenosegrad verglichen wird, und sie ist exakt lösbar, sodass sich an ihr jede numerische Rechnung prüfen lässt, bevor die Verengung hinzukommt. == Fragestellung == Die Hauptfragestellung dieses Projektes lautet: Wie verändert eine symmetrische bzw. rotationssymmetrische Stenose in der '''Arteria carotis interna (ACI)''' die stationäre Strömung eines inkompressiblen Newton’schen Fluids in einer 2D-Carotis-Bifurkation hinsichtlich Geschwindigkeitsverteilung, Druckabfall, Wandschubspannung und Wirbelbildung im Vergleich zu den gesunden Gefäßabschnitten? Aus dieser Fragestellung ergeben sich drei Teilfragen, an denen sich der Aufbau der Seite orientiert: # Welche Strömungsgrößen reagieren empfindlich auf den Stenosegrad und welche nur träge? # Ab welchem Stenosegrad ändert sich das Strömungsmuster qualitativ, das heißt, ab wann löst die Strömung hinter der Engstelle von der Wand ab und bildet ein Rückströmgebiet? # Wie weit tragen die vereinfachenden Modellannahmen, insbesondere die Annahme einer stationären und laminaren Strömung, über den untersuchten Bereich der Stenosegrade? == Modellannahmen == Im Hinblick darauf werden für dieses Projekt einige Annahmen getroffen, um das Projekt möglichst isoliert zu untersuchen und zu simplifizieren: * '''Idealisierte Gefäßgeometrie''': Betrachtet wird ein Teilabbschnitt der ''Arteria carotis communis'', die sog. ''ACI''. Zudem werden Gefäßverkrümmungen, weitere Verzweigungen und patientenspezifische Strukturen nicht berücksichtigt. * '''Starre Gefäßwand''': Die Gefäßwand wird als unbeweglich und nicht verformbar angenommen. Eine Wechselwirkung zwischen elastischer Gefäßwand und Blutströmung wird nicht modelliert. * '''Stationäre Strömung''': Die Strömungsgrößen werden als zeitlich konstant angenommen. Die im realen Blutkreislauf vorhandene Pulsation durch den Herzschlag wird daher vernachlässigt: <math>\frac{\partial u}{\partial t}=0</math>. * '''Inkompressibles Fluid''': Die Dichte des Fluids wird als konstant angenommen. Damit gilt für die Geschwindigkeit <math>\nabla \cdot u=0</math>. Dies entspricht der in der Vorlesung behandelten Massenerhaltung für inkompressible Fluide: Was in das Gefäß einströmt, muss auch wieder ausströmen. * '''Newton'sche Näherung für Blut''': Reales Blut beseitzt ein nicht newton'sches Fließverhalten. Hier wird Blut als Newton'sches Fluid behandelt. * '''Konstante Stoffeigenschaften''': Dichte <math>\rho</math> und dynamische Viskosität μ werden als räumlich und zeitlich konstant angenommen. Temperaturabhängigkeiten werden nicht berücksichtigt. * '''Laminare Strömung''': Die Strömung wird mit dem COMSOL-Modul ''Laminar Flow'' beschrieben. Ein zusätzliches Turbulenzmodell wird nicht verwendet. * '''No-Slip-Bedingung an Gefäßwand''': Aufgrund der Viskosität wird angenommen, dass das Fluid direkt an der Gefäßwand haftet. Somit gilt <math>u=0</math>. * '''Vernachlässigung der Gravitation''': Gravitation wird nicht berücksichtigt. Die Strömung wird ausschließlich durch die gewählten Ein- und Auslassbedingungen bestimmt. = Relevanz = Die Untersuchung von Gefäßverengungen besitzt sowohl eine medizinische als auch eine methodische Bedeutung. Aus medizinischer Sicht sind arterielle Stenosen – etwa in der Halsschlagader, lat. ''arteria carotis communis'', – kritisch, da sie die Durchblutung beeinträchtigen und durch veränderte Wandschubspannungen sowie die Bildung von Wirbeln weitere Gefäßablagerungen begünstigen. Stenosen im Bereich der Karotisgabelung sind klinisch hochrelevant, da sie das Gehirn direkt versorgen und das Risiko für embolische Schlaganfälle erhöhen. Fachlich überträgt das Projekt damit die Prinzipien der Strömungsmechanik direkt auf eine biomedizinische Anwendung. Das Projekt verknüpft somit theoretische Grundlagen der Strömungsmechanik (Hagen-Poiseuille-Gleichung, Navier-Stokes-Gleichungen) mit der numerischen Simulation in COMSOL Multiphysics. Durch den Vergleich der '''gesunden Externa (ACE)''' mit der '''stenoisierten Interna (ACI)''' innerhalb desselben Rechengebiets wird die isolierte Wirkung der Stenose unter identischen Randbedingungen direkt sichtbar gemacht. == Medizinische Relevanz == Arterielle Stenosen entstehen überwiegend durch Atherosklerose, also durch Ablagerungen aus Lipiden, Bindegewebe und Kalk in der Gefäßwand. In der Halsschlagader sind sie klinisch besonders bedeutsam, weil sie die Durchblutung des Gehirns beeinträchtigen und weil sich an ihnen Thromben bilden können, die als Embolie einen Schlaganfall auslösen. Dass die operative Entfernung einer hochgradigen Karotisstenose das Schlaganfallrisiko symptomatischer Patienten deutlich senkt, hat die NASCET-Studie gezeigt, deren Einteilung der Stenosegrade dieses Projekt übernimmt.<ref name="nascet">North American Symptomatic Carotid Endarterectomy Trial Collaborators: ''Beneficial effect of carotid endarterectomy in symptomatic patients with high-grade carotid stenosis.'' New England Journal of Medicine 325 (1991), Nr. 7, S. 445-453.</ref> Strömungsmechanisch ist an einer Stenose vor allem die Wandschubspannung von Interesse, also die tangentiale Kraft je Fläche, die das strömende Blut auf die innerste Zellschicht der Gefäßwand ausübt. Gesunde Halsschlagadern weisen zeitlich gemittelte Werte von etwa 1,1 bis 1,5 Pa auf.<ref name="samijo">Samijo, S. K.; Willigers, J. M.; Barkhuysen, R.; Kitslaar, P. J. E. H. M.; Reneman, R. S.; Brands, P. J.; Hoeks, A. P. G.: ''Wall shear stress in the human common carotid artery as function of age and gender.'' Cardiovascular Research 39 (1998), Nr. 2, S. 515-522.</ref> In einer Engstelle steigt sie stark an, unmittelbar dahinter fällt sie im Ablösegebiet auf nahezu null und wechselt dort sogar das Vorzeichen. Niedrige und im Vorzeichen wechselnde Wandschubspannungen gelten als Bedingungen, unter denen sich weitere Ablagerungen bevorzugt bilden. Eine bestehende Stenose schafft also stromabwärts die Voraussetzungen für ihr eigenes Wachstum. Genau diese Verteilung lässt sich im Körper nur schwer messen, in einer Simulation dagegen unmittelbar auswerten. == Methodische Relevanz == Fachlich überträgt das Projekt die Prinzipien der Strömungsmechanik aus der Vorlesung auf eine biomedizinische Anwendung.<ref name="hundertmark">Hundertmark, A.: ''Fluiddynamik.'' Vorlesungsunterlagen zum Modul Räumliche Modellbildung, RPTU Kaiserslautern-Landau, Sommersemester 2026.</ref> Der methodische Mehrwert liegt in der Verknüpfung mehrerer Zugänge, die sich gegenseitig kontrollieren. Die analytische Poiseuille-Lösung liefert exakte Sollwerte für das gesunde Gefäß. Ein reduziertes Graphenmodell liefert für jeden Stenosegrad eine schnelle Abschätzung, die analytisch nachrechenbar ist. Die Simulationen in COMSOL Multiphysics lösen schließlich die vollständigen Navier-Stokes-Gleichungen in zwei und drei Raumdimensionen. Weil jede Stufe die Sollwerte der nächsten liefert, zeigt das Projekt nicht nur Ergebnisse, sondern auch, wie numerische Modelle aufgebaut, verifiziert und an ihren Grenzen bewertet werden. == Auswahl der Stenosegrade == Um die untersuchten Gefäßverengungen nicht willkürlich festzulegen, orientiert sich die Auswahl der Stenosegrade an der klinisch gebräuchlichen NASCET-Klassifikation von Karotisstenosen.<ref name="nascet" /> Zur klinischen Einordnung werden Karotisstenosen anhand der nach NASCET bestimmten Durchmesserreduktion in leichtgradige, mittelgradige und hochgradige Stenosen eingeteilt. Die angegebenen Prozentgrenzen dienen in diesem Projekt als Orientierung für die Auswahl der untersuchten Stenosegrade. Ein vollständiger Gefäßverschluss wird als Okklusion bezeichnet. {| class="wikitable" |+ Klinische Einteilung nach NASCET-gemessener Durchmesserreduktion und untersuchte Stenosegrade ! Schweregrad !! Durchmesserreduktion !! im Projekt gerechnete Stenosegrade !! hervorgehobener Vertreter |- | gesundes Gefäß || 0 % || 0 || 0 |- | leichtgradige Stenose || unter 50 % || 0,1 bis 0,4 || 0,3 |- | mittelgradige Stenose || 50 bis 69 % || 0,5 und 0,6 || 0,6 |- | hochgradige Stenose || 70 bis 99 % || 0,7 und 0,8 || 0,8 |- | Okklusion || 100 % || nicht gerechnet || entfällt |} '''Anmerkung''': Die Klassengrenzen dienen der Einordnung der Modellvarianten. Die in der Tabelle genannten Stenosegrade sind dimensionslose Werte, beispielsweise entspricht '''<math>s=0{,}6</math>''' einer Durchmesserreduktion von '''60 %'''. Für die numerische Untersuchung wird aus jeder Kategorie ein repräsentativer Stenosegrad hervorgehoben. Neben dem gesunden Gefäß mit '''0 %''' Stenose sind das eine '''30 %''' Stenose als Beispiel für eine leichtgradige, eine '''60 %''' Stenose als Beispiel für eine mittelgradige und eine '''80 %''' Stenose als Beispiel für eine hochgradige Verengung. Zusätzlich werden für das Graphenmodell und das achsensymmetrische Flächenmodell Stenosegrade von 0 bis 80 % in Schritten von zehn Prozentpunkten vorgesehen. Dadurch kann die Abhängigkeit der Strömungsgrößen vom Stenosegrad systematisch untersucht und grafisch dargestellt werden. Ob alle Modellvarianten tatsächlich berechnet wurden und wie hoch der Rechenaufwand war, wird anhand der durchgeführten Simulationen dokumentiert. Ein vollständiger Gefäßverschluss wird nicht simuliert, da in diesem Fall keine durchgängige Strömung mehr vorliegt. Der Stenosegrad wird in diesem Projekt wie bei NASCET über die Verringerung des Gefäßdurchmessers beschrieben, <math>s = 1 - \frac{d_{\min}}{d_{\mathrm{ref}}},</math> wobei <math>d_{\min}</math> der kleinste Durchmesser in der Engstelle und <math>d_{\mathrm{ref}}</math> ein Referenzdurchmesser ist. NASCET verwendet als Referenz den Durchmesser des gesunden Gefäßes stromabwärts der Stenose. Für das idealisierte gerade Gefäßmodell wird ein konstanter Referenzdurchmesser von <math>D_0=6\,\mathrm{mm}</math> angenommen. Da das Gefäß außerhalb der Stenose denselben Durchmesser besitzt, gilt in diesem Modell<math>d_{\mathrm{ref}}=D_0</math>. Bei der zusätzlich betrachteten Gefäßaufzweigung muss der Referenzdurchmesser dagegen gesondert festgelegt werden, da die Gefäßäste unterschiedliche Durchmesser besitzen. Wichtig für das Verständnis aller weiteren Ergebnisse ist der Unterschied zwischen Durchmesser- und Flächenreduktion. Da die Querschnittsfläche quadratisch vom Durchmesser abhängt, gilt für die Flächenreduktion <math>1-(1-s)^2</math>. Eine im klinischen Sinn nur mittelgradige Stenose von 60 % verschließt damit bereits 84 % der Querschnittsfläche. {| class="wikitable" |+ Durchmesser- und Flächenreduktion der gerechneten Stenosegrade ! Stenosegrad s !! 0 !! 0,1 !! 0,2 !! 0,3 !! 0,4 !! 0,5 !! 0,6 !! 0,7 !! 0,8 |- | engster Durchmesser in mm || 6,0 || 5,4 || 4,8 || 4,2 || 3,6 || 3,0 || 2,4 || 1,8 || 1,2 |- | Flächenreduktion || 0 % || 19 % || 36 % || 51 % || 64 % || 75 % || 84 % || 91 % || 96 % |} Eine Einschränkungen gehört zur ehrlichen Einordnung: # Mit zunehmendem Stenosegrad, insbesondere bei ausgeprägten Verengungen, können lokale Beschleunigungen, Strömungsablösungen und zeitabhängige Strömungsstrukturen auftreten. Daher muss bei den hochgradigen Stenosen geprüft werden, inwieweit die Annahme einer stationären, laminaren Strömung geeignet ist. Eine feste Grenze bei <math>s=0{,}6</math> lässt sich ohne entsprechende Simulationsergebnisse oder Literaturbelege nicht allgemein festlegen. Die hochgradigen Fälle werden deshalb unter besonderer Berücksichtigung der Modellannahmen diskutiert. Unter Modellierung wird in diesem Projekt die Übertragung der Blutströmung in einer verengten Arterie auf ein mathematisches und numerisch lösbares Strömungsproblem verstanden. Dazu werden die Gefäßgeometrie, die zugrunde liegenden Gleichungen, die physikalischen Materialparameter sowie die Anfangs- und Randbedingungen festgelegt. Jeder dieser Bestandteile beruht auf vereinfachenden Annahmen, die begründet und bei der Interpretation der Ergebnisse berücksichtigt werden müssen. Ziel ist es, den Einfluss unterschiedlicher Stenosegrade auf die Strömungsgeschwindigkeit, den Druckverlust und gegebenenfalls die Wandschubspannung systematisch zu untersuchen. Die Modellierung erfolgt anhand mehrerer Modellvarianten mit unterschiedlicher räumlicher Auflösung. Dadurch können zunächst grundlegende Zusammenhänge analytisch abgeschätzt und anschließend mit numerischen Strömungsberechnungen verglichen werden. Die verwendeten Parameter orientieren sich an den bereitgestellten Referenzdaten und werden in den folgenden Abschnitten erläutert. == Modellierung == Ziel der Modellierung ist es, die Blutströmung innerhalb einer Y-förmigen Aufzweigung der Halsschlagader mathematisch und numerisch zu untersuchen. Im Mittelpunkt steht eine Gefäßverengung (Stenose) in der Arteria carotis interna. Das betrachtete Gefäßmodell besteht aus der Arteria carotis communis, die sich in die Arteria carotis interna und die Arteria carotis externa aufteilt. Die Stenose befindet sich ausschließlich in der Arteria carotis interna. Durch die Verengung verändert sich der verfügbare Strömungsquerschnitt. Dies kann zu einer Erhöhung der lokalen Strömungsgeschwindigkeit, zu zusätzlichen Druckverlusten und zu einer Veränderung der Strömungsverteilung zwischen den beiden Gefäßästen führen. Ziel ist es, den Einfluss unterschiedlicher Stenosegrade auf die Strömungsgeschwindigkeit, die Druckverteilung und die Wandschubspannung zu untersuchen. Zusätzlich soll betrachtet werden, wie sich die Strömung innerhalb der Y-förmigen Gefäßaufzweigung verhält. Die numerische Modellierung erfolgt mit COMSOL Multiphysics. Dazu werden die Gefäßgeometrie, die Materialeigenschaften des Blutes, die Strömungsgleichungen und die Randbedingungen festgelegt. Zur Vereinfachung wird Blut zunächst als inkompressibles, Newtonsches Fluid betrachtet. Die Gefäßwände werden als starr angenommen. Diese Annahmen ermöglichen eine systematische Untersuchung der Stenose, schränken jedoch die Übertragbarkeit auf reale physiologische Bedingungen ein. === Modellhierarchie === Für die Untersuchung der Blutströmung innerhalb der Y-förmigen Karotisaufzweigung werden drei Modellvarianten betrachtet. Diese unterscheiden sich hinsichtlich ihrer räumlichen Dimension, ihrer mathematischen Beschreibung und der Genauigkeit, mit der die Strömungsverhältnisse dargestellt werden können. Das untersuchte Gefäß besteht aus der Arteria carotis communis, die sich in die Arteria carotis interna und die Arteria carotis externa aufteilt. Die Stenose befindet sich ausschließlich in der Arteria carotis interna. Alle drei Modellvarianten werden mit COMSOL Multiphysics umgesetzt. {| class="wikitable" style="width:100%;" |+ '''Die drei Modellvarianten des Projekts''' |- ! Modell ! Raumdimension ! Mathematische Grundlage ! Zweck ! Werkzeug |- | '''Graphenmodell''' | 1D, Gefäßnetzwerk mit einer Verzweigung | Massenerhaltung an der Verzweigung und vereinfachte Beschreibung der Strömungswiderstände | Abschätzung der Volumenstromverteilung und der Druckverluste in den Gefäßästen | COMSOL Multiphysics |- | '''Ebenes Flächenmodell''' | 2D, Y-förmige Gefäßgeometrie in kartesischen Koordinaten | Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen | Untersuchung der Geschwindigkeits- und Druckverteilung sowie der Auswirkungen der Stenose in der Arteria carotis interna | COMSOL Multiphysics, Laminare Strömung |- | '''Volumenmodell''' | 3D, räumliche Y-förmige Gefäßgeometrie | Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen | Räumliche Untersuchung des Geschwindigkeitsfeldes, des Druckverlustes und der Wandschubspannung | COMSOL Multiphysics, Laminare Strömung |} ==== Vergleich und Überprüfung der Modellvarianten ==== Die drei Modellvarianten bauen hinsichtlich ihrer räumlichen Beschreibung aufeinander auf. Das Graphenmodell ermöglicht zunächst eine vereinfachte Betrachtung der Volumenströme und Druckverluste. Die zwei- und dreidimensionalen Modelle erlauben anschließend eine detailliertere Untersuchung der Strömung innerhalb der Gefäßaufzweigung. Das '''Graphenmodell''' beschreibt die Arteria carotis communis sowie die beiden abzweigenden Gefäße als miteinander verbundenes Netzwerk. Dabei wird die Massenerhaltung an der Verzweigung berücksichtigt: :<math>Q_{\mathrm{CCA}}=Q_{\mathrm{ICA}}+Q_{\mathrm{ECA}}</math> Das Modell liefert vereinfachte Abschätzungen der Volumenstromverteilung. Lokale Strömungsablösungen und räumliche Geschwindigkeitsverteilungen können damit nicht detailliert dargestellt werden. Das '''ebene Flächenmodell''' bildet die Y-förmige Gefäßaufzweigung in zwei Raumdimensionen ab. Die Stenose wird innerhalb der Arteria carotis interna berücksichtigt. Dadurch können die Geschwindigkeits- und Druckverteilung sowie mögliche Rückströmungsbereiche untersucht werden. Das '''Volumenmodell''' erweitert die Untersuchung auf drei Raumdimensionen. Es ermöglicht eine räumliche Darstellung der Strömung und eine detailliertere Berechnung der Wandschubspannung. Die Ergebnisse des ebenen Flächenmodells und des Volumenmodells werden miteinander verglichen. Da das ebene Modell die räumliche Querschnittsgeometrie nur vereinfacht darstellt, müssen Unterschiede zwischen den beiden Modellen bei der Interpretation berücksichtigt werden. Ziel der Modellhierarchie ist es, die Aussagekraft der einzelnen Modellvarianten zu bewerten und den Einfluss des Stenosegrades auf die Strömung innerhalb der Y-förmigen Karotisaufzweigung zu untersuchen. === Simulationsgebiet und Geometrie === Das Simulationsgebiet besteht aus einer idealisierten Y-förmigen Aufzweigung der Arteria carotis. Die Arteria carotis communis teilt sich in die Arteria carotis interna und die Arteria carotis externa. Die Stenose befindet sich in der Arteria carotis interna. Die Arteria carotis externa wird ohne zusätzliche Verengung modelliert. Die Geometrie orientiert sich an den bereitgestellten Referenzdaten. Die Gefäßdurchmesser werden innerhalb der jeweiligen unverengten Abschnitte als konstant angenommen. {| class="wikitable" style="width:100%;" |+ '''Geometrische Referenzparameter der Y-förmigen Gefäßaufzweigung''' |- ! Gefäßabschnitt ! Durchmesser ! Länge |- | Arteria carotis communis | 6 mm | 60 mm |- | Arteria carotis interna | 5 mm | 60 mm |- | Arteria carotis externa | 4 mm | 60 mm |- | Stenose in der Arteria carotis interna | Abhängig vom Stenosegrad | 10 bzw. 20 mm |} Die Verengung wird über den Stenosegrad <math>s</math> beschrieben. Dieser gibt die relative Verringerung des Gefäßdurchmessers an: :<math>s=1-\frac{d_{\min}}{D_{\mathrm{ICA}}}</math> Dabei bezeichnet <math>d_{\min}</math> den minimalen Durchmesser innerhalb der Stenose und <math>D_{\mathrm{ICA}}</math> den unverengten Referenzdurchmesser der Arteria carotis interna. Für das Modell gilt: :<math>D_{\mathrm{ICA}}=5\,\mathrm{mm}</math> Der minimale Durchmesser ergibt sich damit zu: :<math>d_{\min}=D_{\mathrm{ICA}}(1-s)</math> {| class="wikitable" |+ '''Minimaler Durchmesser der Stenose in der Arteria carotis interna''' |- ! Stenosegrad ! Minimaler Durchmesser |- | 0 % | 5,0 mm |- | 10 % | 4,5 mm |- | 20 % | 4,0 mm |- | 30 % | 3,5 mm |- | 40 % | 3,0 mm |- | 50 % | 2,5 mm |- | 60 % | 2,0 mm |- | 70 % | 1,5 mm |- | 80 % | 1,0 mm |} Die angegebenen Stenosegrade beziehen sich ausschließlich auf den Durchmesser der Arteria carotis interna. Der Durchmesser der Arteria carotis communis wird nicht zur Berechnung des Stenosegrades verwendet. Die Y-förmige Geometrie ermöglicht es, die Auswirkungen der Verengung sowohl auf die lokale Strömung in der Arteria carotis interna als auch auf die Strömungsverteilung innerhalb der gesamten Gefäßaufzweigung zu untersuchen. Die genaue Form der Stenose, der Verzweigungswinkel und die Übergänge zwischen den Gefäßabschnitten müssen entsprechend der tatsächlich in COMSOL verwendeten Geometrie dokumentiert werden. == Stoff- und Strömungsparameter == Die Stoffwerte des Blutes und der Volumenstrom sind die einzigen Eingangsgrößen, die nicht aus der Geometrie folgen. Aus ihnen werden alle weiteren Strömungskennwerte berechnet. Die folgenden Schritte zeigen jede Rechnung einzeln, damit sich jeder Wert nachprüfen lässt. # Die '''Dichte''' wird mit <math>\rho = 1060\ \mathrm{kg/m^3}</math> angesetzt. Der Wert lässt sich als Mischungsregel plausibel machen. Plasma hat eine Dichte von etwa 1025 kg/m³, rote Blutkörperchen von etwa 1100 kg/m³. Bei einem Zellanteil von 45 % ergibt sich <math>0{,}55 \cdot 1025 + 0{,}45 \cdot 1100 \approx 1059\ \mathrm{kg/m^3}</math>. Die Dichte geht nur über die Reynoldszahl in die Rechnung ein, eine Abweichung von einem Prozent ändert die Ergebnisse daher kaum. <!-- FIXME Lehrbuchquelle fuer Plasma- und Erythrozytendichte ergaenzen --> # Die '''dynamische Viskosität''' wird mit <math>\mu = 3{,}5\ \mathrm{mPa\,s}</math> angesetzt. Das ist der Grenzwert der Blutviskosität bei hohen Scherraten, also genau der Wert, der zur Newtonschen Näherung gehört. Derselbe Wert von 0,035 Poise wird auch im Standardwerk zur Modellierung des Herz-Kreislauf-Systems verwendet.<ref name="quarteroni">Quarteroni, A.; Formaggia, L.: ''Mathematical Modelling and Numerical Simulation of the Cardiovascular System.'' In: Ayache, N. (Hrsg.): ''Computational Models for the Human Body.'' Handbook of Numerical Analysis, Bd. XII, Elsevier, Amsterdam 2004, S. 3-127. DOI 10.1016/S1570-8659(03)12001-7. Zur Newtonschen Näherung in großen Gefäßen siehe S. 30, zur Viskosität von 0,035 Poise die Parametertabelle auf S. 116.</ref> # Der '''mittlere Volumenstrom''' wird mit <math>Q_0 = 6\ \mathrm{ml/s}</math> angesetzt. Das ist der zeitlich gemittelte Volumenstrom, der in der gemeinsamen Halsschlagader gesunder Probanden gemessen wurde. # Die '''mittlere Geschwindigkeit''' folgt aus Volumenstrom und Querschnittsfläche, <math>U_0 = \frac{Q_0}{\pi R_0^2} = \frac{6 \cdot 10^{-6}\ \mathrm{m^3/s}}{\pi \cdot (0{,}003\ \mathrm{m})^2} = 0{,}2122\ \mathrm{m/s}</math>. # Die '''Reynoldszahl''' des gesunden Gefäßes ist <math>Re_0 = \frac{\rho\, U_0\, D_0}{\mu} = \frac{1060 \cdot 0{,}2122 \cdot 0{,}006}{0{,}0035} = 385{,}6</math>. Sie wird im Folgenden auf 386 gerundet. # Die '''Einlauflänge''', die eine anfangs gleichförmige Strömung bis zum voll entwickelten Parabelprofil bräuchte, beträgt nach der gebräuchlichen Abschätzung für laminare Rohrströmungen <math>L_e \approx 0{,}06\, Re_0\, D_0 \approx 0{,}06 \cdot 386 \cdot 6\ \mathrm{mm} \approx 139\ \mathrm{mm}</math>.<ref name="durst">Durst, F.; Ray, S.; Ünsal, B.; Bayoumi, O. A.: ''The development lengths of laminar pipe and channel flows.'' Journal of Fluids Engineering 127 (2005), Nr. 6, S. 1154-1160. Für große Reynoldszahlen nähert sich die dort angegebene Korrelation dem Wert 0,057·Re·D.</ref> Das ist fast die gesamte Länge des Rechengebiets. Ein konstantes Einlassprofil würde die Strömung an der Stenose also verfälschen, weshalb am Einlass das voll entwickelte Profil vorgegeben wird. Damit liegen alle globalen Parameter fest. Die folgende Tabelle enthält sie mit genau den Namen, unter denen sie in COMSOL und in den Octave-Skripten verwendet werden. {| class="wikitable" |+ Globale Parameter des Modells ! Name !! Ausdruck in COMSOL !! Wert !! Bedeutung !! Herkunft |- | R0 || 3[mm] || 3 mm || Gefäßradius || Messwerte nach Krejza u. a. 2006, gerundet |- | D0 || 2*R0 || 6 mm || Gefäßdurchmesser || abgeleitet |- | Ls || 2*D0 || 12 mm || Länge der Störstelle || Standardgeometrie nach Varghese u. a. 2007 |- | Lu || 5*D0 || 30 mm || Vorlaufstrecke vor der Stenosemitte || Abstand der Einlassbedingung von der Stenose |- | Ld || 20*D0 || 120 mm || Nachlaufstrecke hinter der Stenosemitte || Platz für das Rückströmgebiet |- | Lf || Ls/2+10*D0 || 66 mm || Ende des fein vernetzten Nachlaufs || erwartete Länge des Rückströmgebiets |- | s || 0 bis 0.8 || 0 bis 0,8 || Stenosegrad bezogen auf den Durchmesser || NASCET-Einteilung |- | rho_b || 1060[kg/m^3] || 1060 kg/m³ || Dichte des Blutes || Mischungsregel, Literaturwert |- | mu_b || 3.5[mPa*s] || 3,5 mPa·s || dynamische Viskosität des Blutes || Hochscherwert, Quarteroni und Formaggia 2004 |- | Q0 || 6[ml/s] || 6 ml/s || mittlerer Volumenstrom || Messwerte nach Holdsworth u. a. 1999 |- | U0 || Q0/(pi*R0^2) || 0,2122 m/s || mittlere Einströmgeschwindigkeit || abgeleitet |- | Re0 || rho_b*U0*D0/mu_b || 385,6 || Reynoldszahl des gesunden Gefäßes || abgeleitet |- | dp_ref || 8*mu_b*U0*(Lu+Ld)/R0^2 || 99,03 Pa || Poiseuille-Druckabfall des gesunden Gefäßes || abgeleitet, Hagen-Poiseuille |} = Implementierung des 2D-Modells in COMSOL Multiphysics = == Zielsetzung des zweidimensionalen Modells == Im Rahmen des Projekts wurde mit COMSOL Multiphysics ein zweidimensionales Modell der menschlichen Halsschlagader erstellt. Ziel ist es, die Blutströmung innerhalb einer Gefäßverzweigung zu untersuchen und insbesondere die Auswirkungen einer lokalen Gefäßverengung (Stenose) auf das Strömungsverhalten zu analysieren. Das Modell bildet die Aufzweigung der Arteria carotis communis (ACC) in die Arteria carotis interna (ACI) und die Arteria carotis externa (ACE) ab. Während die ACE als gesunder Gefäßabschnitt betrachtet wird, befindet sich in der ACI eine lokale Verengung. Dadurch können die Strömungsverhältnisse in beiden Ästen miteinander verglichen werden. Die zweidimensionale Modellierung dient dazu, die Geschwindigkeitsverteilung, den Druckabfall und die Wandschubspannung zu untersuchen. Zusätzlich soll festgestellt werden, ob sich hinter der Stenose Bereiche mit Strömungsablösungen oder Rückströmungen ausbilden. ==Vorgehen== Für die numerische Untersuchung in COMSOL Multiphysics 6.2 zunächst ein zweidimensionales Modell mit der Physik ''Laminare Strömung'' und einer ''stationären Studie'' angelegt. Die Gefäßgeometrie wurde vollständig parametrisiert, damit Durchmesser, Gefäßlängen, Verzweigungswinkel, Stenosegrad sowie die Stenoselänge veränderbar sind, ohne das Modell jeweils neu zu zeichnen. Das gemeinsame Zuflussgefäß stellt die Arteria carotis communis mit einem Durchmesser von <math>6\,\mathrm{mm}</math> dar. Nach einem geraden Einlaufabschnitt von <math>60\,\mathrm{mm}</math> teilt es sich V-förmig in die beiden Tochtergefäße auf. Die Arteria carotis interna wird mit einem Durchmesser von <math>5\,\mathrm{mm}</math>, die Arteria carotis externa mit <math>4\,\mathrm{mm}</math> modelliert. Beide Tochtergefäße sind jeweils <math>60\,\mathrm{mm}</math> lang. Die Grundgeometrie wurde als zusammenhängender zweidimensionaler Volumenkörper aufgebaut. Die beiden Tochtergefäße verlaufen nach der Bifurkation unter einem Winkel auseinander, sodass eine idealisierte Y-förmige Karotisgabel entsteht. Die Übergänge zwischen dem gemeinsamen Gefäß und den beiden Ästen wurden bewusst vereinfacht, aber ohne abrupte Querschnittssprünge gestaltet. Auf diese Weise bleibt die Geometrie ausreichend einfach für einen systematischen Vergleich verschiedener Modellvarianten, bildet die typische Aufzweigung einer Karotis. Die Stenose befindet sich ausschließlich in der Arteria carotis interna. Um die Verengung nicht durch gerade Polygonsegmente mit scharfen Knicken darzustellen, wurde ihre Kontur mithilfe von zwei parametrischen Kosinuskurven erzeugt. Zur Beschreibung der Stenose wird eine parametrische Kurve mit dem Hilfsparameter <math>t</math> verwendet. Dieser nimmt Werte zwischen <math>-1</math> und <math>1</math> an. Über die Beziehung <math>x(t)=x_\mathrm{st}+\frac{L_\mathrm{st}}{2}t</math> wird der Parameter auf die räumliche Position entlang des Gefäßes übertragen. Für <math>t=-1</math> liegt der Beginn der Stenose bei <math>x_\mathrm{st}-L_\mathrm{st}/2</math>, für <math>t=0</math> befindet sich die Kurve in der Stenosenmitte und für <math>t=1</math> am Ende bei <math>x_\mathrm{st}+L_\mathrm{st}/2</math>. Dadurch kann die Länge der Stenose über den Parameter <math>L_\mathrm{st}</math> verändert werden, ohne ihre Mittelpunktposition <math>x_\mathrm{st}</math> zu verschieben. Die Einengung wächst vom Beginn der Stenose kontinuierlich bis zur Engstelle an und nimmt danach ebenso kontinuierlich wieder ab. Dadurch entstehen glatte Wandübergänge. Die Stärke der Einengung wird über den dimensionslosen Stenosegrad <math>s</math> gesteuert. Für einen unverengten Durchmesser der Arteria carotis interna von <math>D_\mathrm{ACI}=5\,\mathrm{mm}</math> ergibt sich bei einem Stenosegrad von <math>s=0{,}3</math> eine minimale Gefäßweite von <math>3{,}5\,\mathrm{mm}</math>, bei <math>s=0{,}6</math> von <math>2{,}0\,\mathrm{mm}</math> und bei <math>s=0{,}8</math> von <math>1{,}0\,\mathrm{mm}</math>. Die minimale Gefäßweite ergibt sich allgemein aus <math>d_\mathrm{min}=D_\mathrm{ACI}(1-s)</math>. Die beiden parametrischen Kurven wurden mit Hilfslinien zu geschlossenen Flächen ergänzt und anschließend über „Umwandeln in Volumenkörper“ in Flächenobjekte überführt. Mithilfe einer Differenzoperation wurden diese Flächen aus dem Gefäßgebiet ausgeschnitten. Auf diese Weise bleibt die Grundgeometrie des Gefäßes unverändert, während Stenosegrad und Stenosenlänge allein über globale Parameter variiert werden können. Für die Strömung wurde Blut als inkompressibles Newtonsches Fluid mit konstanter Dichte und Viskosität angenähert. Verwendet werden eine Dichte von <math>\rho=1060\,\mathrm{kg/m^3}</math> und eine dynamische Viskosität von <math>\mu=3,5\,\mathrm{mPa s}</math>. Am Einlass wird ein voll entwickeltes Geschwindigkeitsprofil vorgegeben. Aus dem auf der Projektseite angesetzten mittleren Volumenstrom von <math>6\,\mathrm{ml/s}</math> ergibt sich für das <math>6\,\mathrm{mm}</math> breite Zuflussgefäß eine mittlere Geschwindigkeit von rund <math>0{,}21\,\mathrm{m/s}</math>. An beiden Auslässen wird derselbe Referenzdruck vorgegeben, während an sämtlichen Gefäßwänden die Haftbedingung (No Slip) gilt. Nach Fertigstellung der Geometrie wurde ein physikgesteuertes Finite-Elemente-Netz erzeugt und die stationäre Navier-Stokes-Strömung berechnet. Anschließend wurden insbesondere der Geschwindigkeitsbetrag, die Druckverteilung und die Stromlinien ausgewertet. Die Stromlinien dienen dabei nicht nur der Visualisierung der Aufteilung des Blutstroms an der Bifurkation, sondern auch zur Erkennung möglicher Ablöse- und Rückströmungsgebiete hinter der Stenose. Zusätzlich kann die Wandschubspannung entlang der Gefäßwand ausgewertet werden. Die verschiedenen Stenosegrade werden jeweils bei ansonsten identischen Randbedingungen miteinander und mit dem gesunden Referenzfall verglichen. == Ergebnisse der 2D-Strömungssimulation == Die zweidimensionale Strömungssimulation wurde mit COMSOL Multiphysics durchgeführt, um die Auswirkungen einer lokalen Gefäßverengung auf die Blutströmung innerhalb einer idealisierten Karotis-Bifurkation zu untersuchen. Im Mittelpunkt der Auswertung stehen die Geschwindigkeitsverteilung, die Druckverteilung sowie die Wandschubspannung. Ergänzend werden Stromlinien betrachtet, um mögliche Veränderungen des Strömungsverlaufs und das Auftreten von Rückströmungsgebieten hinter der Stenose zu untersuchen. Die Ergebnisse werden hinsichtlich ihrer strömungsmechanischen Bedeutung interpretiert und unter Berücksichtigung der vereinfachenden Modellannahmen bewertet. === Quantitative Auswertung der Strömungsgeschwindigkeit === Zur Untersuchung des Einflusses verschiedener Stenosegrade auf die Strömungsgeschwindigkeit wurde in COMSOL Multiphysics der Geschwindigkeitsbetrag <code>spf.U</code> mithilfe der Funktion ''Oberflächenmaximum'' ausgewertet. Dabei wurden Stenosegrade von 0 %, 30 %, 60 %, 80 % und 100 % betrachtet. Die Berechnungen erfolgten zunächst mit einer Druckrandbedingung von <math>p_0 = 0\,\mathrm{Pa}</math> und anschließend mit einer Resistenzrandbedingung bei <math>k_R = 1</math>. ==== Druckrandbedingung ==== Bei der Druckrandbedingung wurde die maximale Geschwindigkeit über das gesamte Strömungsgebiet bestimmt. {| class="wikitable" ! Stenosegrad ! Maximale Geschwindigkeit [m/s] |- | 0 % || 0,28385 |- | 30 % || 0,27091 |- | 60 % || 0,35036 |- | 80 % || 0,38530 |- | 100 % || 0,46125 |} Die Ergebnisse zeigen zunächst eine leichte Abnahme der maximalen Geschwindigkeit bei 30 % Stenose. Ab 60 % steigt diese mit zunehmender Verengung an. Dies ist mit einer lokalen Beschleunigung der Strömung infolge des verringerten Strömungsquerschnitts vereinbar. Bei 100 % Stenose beträgt das globale Geschwindigkeitsmaximum 0,46125 m/s. Da die Arteria carotis interna (ACI) vollständig verschlossen ist, beschreibt dieser Wert nicht die Strömung durch den Verschluss, sondern kann aus einem anderen, weiterhin durchströmten Gefäßbereich stammen. ==== Graphische Auswertungen in Comsol ==== [[Datei:0%, Geschwindigkeit, p0=0.png|mini|zentriert|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 0 % Stenose und einer Druckrandbedingung von p₀ = 0 Pa.]] <div style="display:flex; justify-content:center; gap:15px;"> <div> [[Datei:0,3%, Geschwindigkeit, p0=0.png|mini|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 30 % Stenose und einer Druckrandbedingung von p₀ = 0 Pa.]] </div> <div> [[Datei:0,3%, Geschwindigkeit, p0=0, Nah Stenose.png|mini|300px|Vergrößerte Geschwindigkeitsverteilung im Bereich der 30%igen Stenose bei p₀ = 0 Pa.]] </div> </div> <div style="display:flex; justify-content:center; gap:15px;"> <div> [[Datei:0,6%, Geschwindigkeit, p0=0.png|mini|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 60 % Stenose und einer Druckrandbedingung von p₀ = 0 Pa.]] </div> <div> [[Datei:0,6%, Geschwindigkeit, p0=0, Nah Stenose.png|mini|300px|Vergrößerte Geschwindigkeitsverteilung im Bereich der 60%igen Stenose bei p₀ = 0 Pa.]] </div> </div> <div style="display:flex; justify-content:center; gap:15px;"> <div> [[Datei:0,8%, Geschwindigkeit, p0=0.png|mini|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 80 % Stenose und einer Druckrandbedingung von p₀ = 0 Pa.]] </div> <div> [[Datei:0,8%, Geschwindigkeit, p0=0, Nah Stenose.png|mini|300px|Vergrößerte Geschwindigkeitsverteilung im Bereich der 80%igen Stenose bei p₀ = 0 Pa.]] </div> </div> <div style="display:flex; justify-content:center; gap:15px;"> <div> [[Datei:100%, Geschwindigkeit, p0=0.png|mini|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 100 % Stenose und einer Druckrandbedingung von p₀ = 0 Pa.]] </div> <div> [[Datei:100%, Geschwindigkeit, p0=0, Nah Stenose.png|mini|300px|Vergrößerte Darstellung des vollständig verschlossenen Bereichs der ACI bei 100 % Stenose und p₀ = 0 Pa.]] </div> </div> Die Farbskala zeigt den Betrag der Strömungsgeschwindigkeit in m/s. Blaue Bereiche kennzeichnen niedrige, grüne und gelbe mittlere sowie rote Bereiche hohe Geschwindigkeiten. Im unverengten Gefäß ist die Geschwindigkeit in der Gefäßmitte am höchsten und nimmt zu den Gefäßwänden hin ab. Mit zunehmendem Stenosegrad verändert sich die Geschwindigkeitsverteilung deutlich. Im Bereich der Engstelle wird die Strömung lokal beschleunigt, während hinter der Verengung Bereiche niedriger Geschwindigkeit auftreten können. Bei 100 % Stenose ist die ACI vollständig verschlossen, sodass die Strömung nur noch über den offenen Gefäßast abfließen kann. === Resistenzrandbedingung und Vergleich === Anschließend wurde die Strömung unter Verwendung einer Resistenzrandbedingung mit konstantem Parameter <math>k_R = 1</math> untersucht. Bei zunehmender Verengung traten Konvergenzprobleme auf. Ab ungefähr 73 % Stenose konnte keine konvergierende stationäre Lösung mehr bestimmt werden. Daher wurden für die hochgradigen Stenosen ergänzend zeitabhängige Simulationen durchgeführt. {| class="wikitable" ! Stenosegrad ! Druckrandbedingung <math>p_0 = 0\,\mathrm{Pa}</math> [m/s] ! Resistenzrandbedingung <math>k_R = 1</math> [m/s] |- | 0 % || 0,28385 || 0,32426 |- | 30 % || 0,27081 || 0,32219 |- | 60 % || 0,35036 || 0,53188 |- | 80 % || 0,3858 || 1,0674 |- | 100 % || 0,46125 || <math>\approx 0</math> * |} <small>* Bei 100 % Stenose wurde für die Resistenzrandbedingung ausschließlich das Gebiet hinter dem vollständigen Verschluss ausgewertet. Die maximale Geschwindigkeit beträgt dort <math>v_{\max} = 2{,}1416 \cdot 10^{-21}\,\mathrm{m/s} \approx 0\,\mathrm{m/s}</math>.</small> Der Vergleich zeigt, dass die maximale Geschwindigkeit bei der Resistenzrandbedingung insbesondere bei höheren Stenosegraden deutlich stärker ansteigt. Bei 80 % Stenose wird mit 1,0674 m/s ein wesentlich höherer Wert erreicht als bei der Druckrandbedingung mit 0,3858 m/s. Dies verdeutlicht den Einfluss der Auslassrandbedingungen auf die Strömungsverteilung innerhalb der Gefäßverzweigung. Bei vollständigem Gefäßverschluss ist ein direkter Vergleich der beiden Werte nicht möglich, da unterschiedliche Strömungsgebiete ausgewertet wurden. Während bei der Druckrandbedingung das globale Maximum betrachtet wurde, beschreibt der Wert der Resistenzrandbedingung die praktisch zum Stillstand gekommene Strömung hinter der Stenose. Insgesamt zeigen die Ergebnisse, dass sowohl der Stenosegrad als auch die gewählten Randbedingungen einen wesentlichen Einfluss auf die maximale Strömungsgeschwindigkeit besitzen. Die Konvergenzprobleme bei hochgradigen Stenosen verdeutlichen zudem die Notwendigkeit einer ergänzenden zeitabhängigen Untersuchung. ==== Graphische Auswertungen in Comsol ==== [[Datei:0%, Geschwindigkeit, Resbed..png|mini|zentriert|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 0 % Stenose mit Resistenzrandbedingung (k_R = 1).]] <div style="display:flex; justify-content:center; gap:15px;"> <div> [[Datei:0,3%, Geschwindigkeit, Resbed..png|mini|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 30 % Stenose mit Resistenzrandbedingung (k_R = 1).]] </div> <div> [[Datei:0,3%, Geschwindigkeit, Resbed., Nah Stenose.png|mini|300px|Vergrößerte Geschwindigkeitsverteilung im Bereich der 30%igen Stenose mit Resistenzrandbedingung (k_R = 1).]] </div> </div> <div style="display:flex; justify-content:center; gap:15px;"> <div> [[Datei:0,6%, Geschwindigkeit, Resbed..png|mini|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 60 % Stenose mit Resistenzrandbedingung (k_R = 1).]] </div> <div> [[Datei:0,6%, Geschwindigkeit, Resbed., Nah Stenose.png|mini|300px|Vergrößerte Geschwindigkeitsverteilung im Bereich der 60%igen Stenose mit Resistenzrandbedingung (k_R = 1).]] </div> </div> <div style="display:flex; justify-content:center; gap:15px;"> <div> [[Datei:0,8%, Geschwindigkeit, Resbed., zeitabh., Zeit 1 s.png|mini|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 80 % Stenose mit Resistenzrandbedingung (k_R = 1) zum Zeitpunkt t = 1 s.]] </div> <div> [[Datei:0,8%, Geschwindigkeit, Resbed., zeitabh., Zeit 1 s, Nah Stenose.png|mini|300px|Vergrößerte Geschwindigkeitsverteilung im Bereich der 80%igen Stenose mit Resistenzrandbedingung (k_R = 1) zum Zeitpunkt t = 1 s.]] </div> </div> <div style="display:flex; justify-content:center; gap:15px;"> <div> [[Datei:1%, Geschwindigkeit, Resbed., zeitabh., Zeit 1 s,.png|mini|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 100 % Stenose mit Resistenzrandbedingung (k_R = 1) zum Zeitpunkt t = 1 s.]] </div> <div> [[Datei:1%, Geschwindigkeit, Resbed., zeitabh., Zeit 1 s, nah Stenose.png|mini|300px|Vergrößerte Darstellung des vollständig verschlossenen ACI-Bereichs bei 100 % Stenose mit Resistenzrandbedingung (k_R = 1) zum Zeitpunkt t = 1 s.]] </div> </div> ===== Untersuchung möglicher Rückströmungsbereiche (RAUS????) ===== Zur Untersuchung möglicher Rückströmungsbereiche wurde der stenotische Abschnitt der ACI vergrößert dargestellt. Zusätzlich zum Geschwindigkeitsfeld wurden Stromlinien mit erhöhter Startpunktanzahl visualisiert. Die Stromlinien zeigen eine Bündelung der Strömung im Bereich der Engstelle und eine anschließende Auffächerung im erweiterten Gefäßabschnitt. In der vergrößerten Darstellung treten entlang der oberen und unteren Gefäßwand hinter der Stenose, ungefähr zwischen x = 104 mm und x = 108 mm, schmale Bereiche mit negativer Geschwindigkeitskomponente auf. Die negative Geschwindigkeitskomponente wurde entlang einer um 15° geneigten Richtung bestimmt. Die dargestellten Werte liegen im Bereich weniger Millimeter pro Sekunde und sind damit deutlich kleiner als die maximale Strömungsgeschwindigkeit von 0,31853 m/s. Trotz der erhöhten Stromliniendichte ist kein eindeutig geschlossenes Rezirkulationsgebiet erkennbar. Die negativen Geschwindigkeitskomponenten liefern Hinweise auf lokale Veränderungen der Strömungsrichtung, stellen jedoch allein keinen sicheren Nachweis einer Strömungsablösung dar. <div style="text-align:center;"> [[Datei:Rückströmungsgebiete 2D.png|800px|zentriert|Vergrößerte Darstellung der Stromlinien und möglicher Rückströmungsbereiche hinter der 80-%-Stenose der ACI. Die Farbskala zeigt die negative Geschwindigkeitskomponente entlang einer um 15° geneigten Richtung. Schmale Bereiche mit negativen Werten sind an den Gefäßwänden erkennbar. Ein geschlossenes Rezirkulationsgebiet ist nicht eindeutig nachweisbar.]] <small>'''Abbildung 2:''' Vergrößerte Darstellung des ACI-Abschnitts hinter der Stenose. Die Farbskala zeigt die Geschwindigkeitskomponente in einer um 15° geneigten Richtung in m/s. Negative Werte weisen auf lokale Strömungsanteile entgegen dieser Richtung hin, belegen jedoch für sich genommen noch keine geschlossene Rezirkulationszone.</small> </div> Auch hier kennzeichnen blaue Farbtöne niedrige und rote Farbtöne hohe Strömungsgeschwindigkeiten. Mit zunehmender Stenose wird die Beschleunigung im Bereich der Engstelle besonders deutlich. Im Vergleich zur Druckrandbedingung treten bei höheren Stenosegraden größere maximale Geschwindigkeiten auf. Bei 80 % Stenose zeigt die zeitabhängige Simulation eine ausgeprägte Geschwindigkeitskonzentration im verengten Gefäßabschnitt. Bei 100 % Stenose kommt die Strömung im vollständig abgetrennten ACI-Bereich praktisch zum Stillstand, während die ACE weiterhin durchströmt wird. Die Ergebnisse verdeutlichen, dass die Wahl der Auslassrandbedingung die Geschwindigkeitsverteilung wesentlich beeinflusst. === Druckverteilung und Druckabfall === Die Druckverteilung wurde anhand der berechneten Isobaren innerhalb der zweidimensionalen Karotis-Bifurkation untersucht. Dabei zeigt sich eine Abnahme des statischen Drucks vom gemeinsamen Zuflussgefäß in Richtung der beiden Gefäßausgänge. Der maximale berechnete Druck beträgt etwa '''74,2 Pa''', während der minimale Druck bei etwa '''−19,9 Pa''' liegt. Daraus ergibt sich eine globale Druckspanne von ungefähr '''94,1 Pa'''. Besonders auffällig ist die Druckverteilung im Bereich der Stenose der Arteria carotis interna (ACI). Dort liegen die Isobaren deutlich enger beieinander, was auf einen ausgeprägten lokalen Druckgradienten hinweist. Stromabwärts der Engstelle treten zudem Bereiche mit niedrigem statischem Druck auf. '''Interpretation''': Die Ergebnisse zeigen, dass die Stenose die lokale Druckverteilung im ACI-Ast deutlich beeinflusst. Die Beschleunigung der Strömung innerhalb der Verengung geht mit einer Abnahme des statischen Drucks einher. Die globale Druckspanne von 94,1 Pa darf jedoch nicht mit dem irreversiblen Druckverlust über der Stenose gleichgesetzt werden. Die globale Druckspanne von 94,1 Pa ist nicht mit dem Druckabfall über der Stenose gleichzusetzen. Zur genaueren Untersuchung wurden deshalb zwei Messquerschnitte vor und hinter der Engstelle ausgewertet. Zwischen diesen ergibt sich eine mittlere statische Druckdifferenz von 36,24 Pa. <div style="text-align:center;"> [[Datei:Druckverteilung_2D.png|800px|zentriert|Druckverteilung der stationären 2D-Strömungssimulation einer idealisierten Karotis-Bifurkation mit 80 % Stenose in der Arteria carotis interna (ACI). Die Isobaren zeigen den Druckverlauf innerhalb der Gefäßgeometrie. Besonders im Bereich der Stenose ist ein ausgeprägter lokaler Druckgradient erkennbar. Der berechnete Druck liegt zwischen −19,9 Pa und 74,2 Pa.]] <small>'''Abbildung 3:''' Druckverteilung der stationären 2D-Strömungssimulation einer idealisierten Karotis-Bifurkation mit 80 % Stenose in der Arteria carotis interna (ACI). Die Isobaren zeigen den Druckverlauf innerhalb der Gefäßgeometrie. Besonders im Bereich der Stenose ist ein ausgeprägter lokaler Druckgradient erkennbar. Der berechnete Druck liegt zwischen −19,9 Pa und 74,2 Pa.</small> </div> ==== Quantitative Bestimmung der Druckdifferenz ==== Zur quantitativen Untersuchung des Druckabfalls wurden zwei Messquerschnitte im ACI-Ast definiert, einer vor und einer hinter der Stenose. Mithilfe der COMSOL-Funktion „Linienmittelwert“ wurde der mittlere statische Druck an beiden Positionen bestimmt. Vor der Stenose beträgt der mittlere Druck '''35,232 Pa''', während hinter der Stenose ein Wert von '''−1,0042 Pa''' ermittelt wurde. Daraus ergibt sich eine Druckdifferenz von '''36,24 Pa'''. Die Ergebnisse zeigen eine deutliche Abnahme des statischen Drucks zwischen den beiden Messquerschnitten. Diese Druckdifferenz verdeutlicht die Druckänderung entlang des stenotischen ACI-Astes. Sie ist jedoch nicht mit dem ausschließlich durch die Stenose verursachten irreversiblen Druckverlust gleichzusetzen, da auch die Strömungsentwicklung in den angrenzenden Gefäßabschnitten berücksichtigt wird. {| class="wikitable" style="text-align:center;" ! Stenosegrad ! <math>\bar p_\mathrm{vor}</math> [Pa] ! <math>\bar p_\mathrm{nach}</math> [Pa] ! <math>\Delta p</math> [Pa] |- | 0 % | 11,631 | 4,2461 | 7,3849 |- | 30 % | 16,919 | 2,9220 | 13,997 |- | 60 % | 35,835 | -0,58267 | 36,41767 |- | 80 % | 70,562 | -0,55906 | 71,12106 |} === Wandschubspannung === Zur Untersuchung der mechanischen Belastung der Gefäßwände wurde die Wandschubspannung (Wall Shear Stress, WSS) im zweidimensionalen Strömungsmodell ausgewertet. Sie beschreibt die tangentiale viskose Spannung, die durch die Strömung an der Gefäßwand entsteht. Die quantitative Auswertung erfolgte für die obere und untere Wand des stenotischen ACI-Abschnitts. Hierfür wurden die entsprechenden Wandkanten in COMSOL ausgewählt und der Betrag der Wandschubspannung bestimmt. Für den untersuchten Stenosebereich ergibt sich eine maximale Wandschubspannung von '''3,2282 Pa'''. Der Wert beschreibt das Maximum auf den ausgewählten Wandkanten der 80-%-Stenose. Da für diese Auswertung der Betrag der Wandschubspannung verwendet wurde, lässt sich daraus allein keine Aussage über eine mögliche Umkehr der wandnahen Strömungsrichtung ableiten. Zur Untersuchung möglicher Ablösebereiche ist zusätzlich eine Auswertung der vorzeichenbehafteten tangentialen Wandschubspannung erforderlich. <div style="text-align:center;"> [[Datei:Wandschubspannung.png|800px|zentriert|Verteilung des Betrags der Wandschubspannung entlang ausgewählter Gefäßwandabschnitte im Bereich der ACI-Stenose. Lokal treten erhöhte Wandschubspannungen auf. Die separate quantitative Auswertung der beiden Stenosewände ergibt einen Maximalwert von 3,2282 Pa.]] <small>'''Abbildung 4:''' Verteilung des Betrags der Wandschubspannung entlang ausgewählter Gefäßwandabschnitte im Bereich der ACI-Stenose. Lokal treten erhöhte Wandschubspannungen auf. Die separate quantitative Auswertung der beiden Stenosewände ergibt einen Maximalwert von 3,2282 Pa.</small> </div> ==== Untersuchung der vorzeichenbehafteten Wandschubspannung RAUS??==== Zur weiteren Untersuchung möglicher Strömungsablösungen wurde die vorzeichenbehaftete tangentiale Wandschubspannung entlang der oberen und unteren ACI-Gefäßwand hinter der Stenose ausgewertet. An der oberen Gefäßwand steigt die berechnete Spannung von ungefähr −0,05 Pa auf +0,47 Pa an. Ein Vorzeichenwechsel tritt bei einer Bogenlänge von etwa 0,6 mm auf. An der unteren Gefäßwand steigt die Spannung von ungefähr −0,48 Pa auf +0,06 Pa an. Hier erfolgt ein Vorzeichenwechsel bei einer Bogenlänge von etwa 20 mm. Die Ergebnisse zeigen somit auf beiden untersuchten Wandabschnitten einen Vorzeichenwechsel der tangentialen Spannungskomponente. Dies kann auf Änderungen der wandnahen Strömungsrichtung hinweisen und ist mit möglichen Ablöse- oder Wiederanlagerungsvorgängen vereinbar. Die Bogenlängen beziehen sich jeweils auf den untersuchten Wandabschnitt und können nicht unmittelbar miteinander verglichen werden. Zudem hängt das Vorzeichen von der Orientierung der lokalen Wandtangente ab. Ein geschlossenes Rezirkulationsgebiet lässt sich aus den Vorzeichenwechseln allein nicht eindeutig nachweisen. <div style="text-align:center;"> [[Datei:WSS - Oberer Ast hinter Stenose.png|800px|zentriert|Verlauf der vorzeichenbehafteten tangentialen Wandschubspannung entlang der oberen ACI-Gefäßwand hinter der 80-%-Stenose. Bei einer Bogenlänge von etwa 0,6 mm tritt ein Vorzeichenwechsel auf. Dieser kann auf eine Änderung der wandnahen Strömungsrichtung hinweisen, stellt jedoch allein keinen eindeutigen Nachweis einer Strömungsablösung dar.]] <small>'''Abbildung 5:'''Verlauf der vorzeichenbehafteten tangentialen Wandschubspannung entlang der oberen ACI-Gefäßwand hinter der 80-%-Stenose. Bei einer Bogenlänge von etwa 0,6 mm tritt ein Vorzeichenwechsel auf. Dieser kann auf eine Änderung der wandnahen Strömungsrichtung hinweisen, stellt jedoch allein keinen eindeutigen Nachweis einer Strömungsablösung dar.</small> </div> <div style="text-align:center;"> [[Datei:WSS - Unterer Ast hinter Stenose.png|800px|zentriert|Verlauf der vorzeichenbehafteten tangentialen Wandschubspannung entlang der unteren ACI-Gefäßwand hinter der Stenose. Ein Vorzeichenwechsel tritt bei etwa 20 mm Bogenlänge auf.]] <small>'''Abbildung 6:'''Verlauf der vorzeichenbehafteten tangentialen Wandschubspannung entlang der unteren ACI-Gefäßwand hinter der Stenose. Ein Vorzeichenwechsel tritt bei etwa 20 mm Bogenlänge auf.</small> </div> === Zusammenfassende Bewertung der 2D-Ergebnisse AKTUELLE DATEN NOCH REIN === Die stationäre zweidimensionale Strömungssimulation mit einem Stenosegrad von 80 % zeigt deutliche Veränderungen der Strömungsgrößen innerhalb der idealisierten Karotis-Bifurkation. Die maximale Geschwindigkeit beträgt 0,31853 m/s. Zwischen den ausgewählten Messquerschnitten vor und hinter der ACI-Stenose ergibt sich eine mittlere statische Druckdifferenz von 36,24 Pa. Die maximale Wandschubspannung auf den ausgewerteten Stenosewänden beträgt 3,2282 Pa. Die Untersuchung der Geschwindigkeitskomponenten liefert Hinweise auf lokale Strömungsanteile entgegen der Hauptströmungsrichtung. Ein eindeutig abgegrenztes Rezirkulationsgebiet konnte anhand der vorliegenden Darstellungen jedoch nicht sicher nachgewiesen werden. Die Ergebnisse beschreiben zunächst den untersuchten Fall einer hochgradigen Stenose. Aus diesem einzelnen Fall lässt sich weder eine allgemeine Abhängigkeit der Strömungsgrößen vom Stenosegrad noch ein kritischer Stenosegrad für den Beginn der Strömungsablösung bestimmen. Dafür wäre eine vergleichende Auswertung weiterer Stenosegrade erforderlich. == Resistenzrandbedingung am Auslass (2D-Modell) == === Motivation === Im ursprünglichen 2D-Modell wurde an beiden Auslässen eine Nulldruckbedingung <math>p = 0</math> gesetzt. Physikalisch bedeutet das, dass beide Äste in ein „offenes Becken“ mit gleichem, festem Druck münden. Der Auslassdruck hängt dabei nicht davon ab, wie viel Blut ankommt. Diese Annahme hat zwei Schwächen: * Die Flussaufteilung zwischen ACI und ACE ergibt sich nur aus den kleinen Strömungswiderständen der modellierten Gefäßabschnitte. Wird die ACI durch die Stenose verengt, weicht das Blut nahezu ungehindert in die ACE aus. Im Körper ist das nicht möglich, weil hinter der ACI das Gefäßbett des Gehirns mit einem eigenen, großen Widerstand liegt. * Das Druckniveau (Auslass bei 0 Pa) ist nicht physiologisch. Im 3D-Modell wurde deshalb an beiden Auslässen eine '''Resistenzrandbedingung''' verwendet. Damit 2D- und 3D-Modell vergleichbar sind, haben wir dieselbe Randbedingung auch im 2D-Modell eingebaut. === Formel und Herleitung === Das gesamte nachgeschaltete Gefäßbett hinter jedem Auslass wird durch einen einzigen peripheren Widerstand <math>R_p</math> ersetzt: :<math>p_{\text{aus}} = k_R \cdot R_p \cdot Q</math> Dabei ist <math>Q</math> der Volumenstrom durch den Auslass und <math>k_R</math> ein Schalter (<math>k_R = 1</math>: Widerstand, <math>k_R = 0</math>: ursprüngliche Bedingung <math>p = 0</math>). '''1. Gesunde Flussaufteilung nach dem Murray-Gesetz''' Der Volumenstrom eines Gefäßes ist nach Murray proportional zur dritten Potenz des Durchmessers. Für den Anteil der ACI am Gesamtfluss gilt damit: :<math>\varphi_0 = \frac{D_I^3}{D_I^3 + D_E^3} = \frac{(5\,\text{mm})^3}{(5\,\text{mm})^3 + (4\,\text{mm})^3} \approx 0{,}661</math> Mit dem mittleren Volumenstrom der A. carotis communis <math>Q_0 = 6\,\text{ml/s}</math> (Holdsworth u. a. 1999) folgt: :<math>Q_{I,0} = \varphi_0 \cdot Q_0 \approx 3{,}97\,\text{ml/s}, \qquad Q_{E,0} = (1-\varphi_0) \cdot Q_0 \approx 2{,}03\,\text{ml/s}</math> '''2. Bestimmung der peripheren Widerstände''' Die Widerstände werden so gewählt, dass im gesunden Zustand an beiden Auslässen der treibende Druck des peripheren Gefäßbetts <math>p_D = 90\,\text{mmHg} \approx 12\,000\,\text{Pa}</math> anliegt: :<math>R_{pI} = \frac{p_D}{Q_{I,0}} \approx 3{,}0 \cdot 10^{9}\,\frac{\text{Pa}\cdot\text{s}}{\text{m}^3}, \qquad R_{pE} = \frac{p_D}{Q_{E,0}} \approx 5{,}9 \cdot 10^{9}\,\frac{\text{Pa}\cdot\text{s}}{\text{m}^3}</math> Die Randbedingungen an den beiden Auslässen lauten damit: :<math>p_{\text{aus},I} = k_R \cdot R_{pI} \cdot Q_I, \qquad p_{\text{aus},E} = k_R \cdot R_{pE} \cdot Q_E</math> '''3. Umrechnung des Flusses im 2D-Modell''' Im 2D-Modell liefert das Integral der Normalgeschwindigkeit über den Auslassrand keinen Volumenstrom in m³/s, sondern einen Fluss pro Tiefe <math>q</math> in m²/s. Damit die Widerstände aus dem 3D-Modell verwendet werden können, wird <math>q</math> mit einer einheitlichen Ersatztiefe <math>b</math> in einen Volumenstrom umgerechnet: :<math>Q = q \cdot b, \qquad b = \frac{\pi \, D_{CC}}{4}</math> Die Ersatztiefe ist so gewählt, dass am Einlass mit der mittleren Einströmgeschwindigkeit <math>\bar{u}_{ein} = Q_0 / (\pi D_{CC}^2/4) \approx 0{,}21\,\text{m/s}</math> genau der Volumenstrom des 3D-Modells von 6 ml/s ankommt. Weil dieselbe Ersatztiefe für alle Ränder gilt, bleibt die Massenbilanz erhalten. === Ergebnisse mit Resistenzrandbedingung === {| class="wikitable" style="text-align:center" |+ Maximale Geschwindigkeit ! Stenosegrad S !! <math>u_{max}</math> [m/s] |- | 0 || 0,324^* |- | 0,3 || 0,323^* |- | 0,6 || 0,529 |- | 0,8 || 1,067 |} ^* Bei S = 0 und S = 0,3 liegt das Geschwindigkeitsmaximum nicht in der Stenose, sondern in der A. carotis communis. {| class="wikitable" style="text-align:center" |+ Druck vor und nach der Stenose ! Stenosegrad S !! <math>p_{vor}</math> [Pa] !! <math>p_{nach}</math> [Pa] !! Druckverlust <math>\Delta p = p_{vor} - p_{nach}</math> [Pa] !! <math>\Delta p</math> [mmHg] |- | 0 || 11 802 || 11 793 || 9 || 0,07 |- | 0,3 || 11 808 || 11 790 || 18 || 0,14 |- | 0,6 || 11 838 || 11 760 || 78 || 0,59 |- | 0,8 || 12 024 || 11 626 || 398 || 2,99 |} === Auswertung === * '''Druckniveau:''' Mit der Resistenzrandbedingung liegt der Druck bei etwa 11 800 Pa ≈ 88,5 mmHg. Das entspricht dem mittleren arteriellen Druck in der Carotis. Mit <math>p = 0</math> lagen die Drücke nur bei wenigen Pa bis einigen 100 Pa. * '''Flussaufteilung:''' Die peripheren Widerstände sind wesentlich größer als der Widerstand der Stenose. Deshalb bestimmen sie die Flussaufteilung, und die ACI behält auch bei 80 % Stenose nahezu ihren Anteil (Abnahme von <math>Q_I</math> nur um etwa 1 %). Im Gegensatz zu <math>p = 0</math> kann das Blut nicht einfach in die ACE ausweichen. Das entspricht dem physiologischen Verhalten bei nicht kritischen Stenosen. * '''Geschwindigkeit:''' Weil mehr Blut durch die Engstelle strömen muss, steigen die Geschwindigkeiten in der Stenose gegenüber <math>p = 0</math>. Von S = 0,6 auf S = 0,8 verdoppelt sich <math>u_{max}</math> etwa. * '''Druckverlust:''' Der Druckverlust steigt stark nichtlinear mit dem Stenosegrad. Von S = 0,6 auf S = 0,8 nimmt er etwa um den Faktor 5 zu. * '''Druckrückgewinnung:''' Bei S = 0,8 liegt <math>p_{nach}</math> mit 11 626 Pa sogar unter dem Auslassdruck (≈ 11 680 Pa). Direkt hinter der Engstelle ist die Geschwindigkeit des Strahls noch hoch und der statische Druck entsprechend niedrig. Stromabwärts verlangsamt sich die Strömung, und ein Teil des Drucks wird zurückgewonnen. Der bleibende Druckverlust ist daher etwas kleiner als 398 Pa. === Grenzen und Vergleich mit dem 3D-Modell === * Im 2D-Modell verringert eine Stenose von 80 % nur die '''Spaltbreite''' auf 20 %. Im 3D-Modell sinkt die '''Querschnittsfläche''' dagegen auf <math>0{,}2^2 = 4\,\%</math>. Das 2D-Modell unterschätzt deshalb Geschwindigkeit und Druckverlust in der Stenose systematisch. Klinisch gelten bei Stenosen ab 70 % systolische Spitzengeschwindigkeiten über 2,3 m/s; ab einem Druckgradienten von etwa 10–20 mmHg gilt eine Stenose als hämodynamisch relevant. Beide Grenzen erreicht das 2D-Modell nicht. * Die Umrechnung über die Ersatztiefe <math>\pi D_{CC}/4</math> ist eine Modellannahme. * Der periphere Widerstand ist konstant. Die Autoregulation des Gehirns und die Gefäßelastizität (Windkessel) werden nicht berücksichtigt, und die Rechnung ist stationär (keine Pulsatilität). == Beantwortung der Forschungsfragen == '''Welche Strömungsgrößen reagieren empfindlich auf den Stenosegrad?''' Die Untersuchung der 80-%-Stenose zeigt deutliche Veränderungen der Geschwindigkeitsverteilung, des statischen Drucks und der Wandschubspannung. Die maximale Strömungsgeschwindigkeit beträgt 0,31853 m/s. Zwischen den ausgewählten Messquerschnitten vor und hinter der Stenose ergibt sich eine mittlere statische Druckdifferenz von 36,24 Pa. Die maximale Wandschubspannung auf den untersuchten Stenosewänden beträgt 3,2282 Pa.Da bisher nur die 80-%-Stenose quantitativ ausgewertet wurde, lässt sich noch nicht feststellen, welche dieser Größen bei zunehmendem Stenosegrad am stärksten reagiert. '''Ab welchem Stenosegrad tritt eine Strömungsablösung auf?''' Bei der untersuchten 80-%-Stenose zeigen die Geschwindigkeitskomponenten und die vorzeichenbehaftete Wandschubspannung Hinweise auf Veränderungen der wandnahen Strömungsrichtung hinter der Engstelle. Ein eindeutig geschlossenes Rezirkulationsgebiet konnte jedoch nicht nachgewiesen werden. Ein kritischer Stenosegrad für den Beginn einer Strömungsablösung lässt sich aus dieser einzelnen Simulation daher nicht bestimmen. Hierfür müssten weitere Stenosegrade unter vergleichbaren Bedingungen ausgewertet werden. '''Inwieweit sind die Annahmen einer stationären und laminaren Strömung geeignet?''' Die stationäre, laminare Modellierung ermöglicht es, grundlegende Auswirkungen einer Gefäßverengung auf die Strömung in einer idealisierten Karotis-Bifurkation zu untersuchen. Bei hochgradigen Stenosen können allerdings zeitabhängige und dreidimensionale Strömungsstrukturen auftreten. Diese werden durch das vorliegende stationäre 2D-Modell nicht vollständig erfasst. Die Simulationsergebnisse sind deshalb auf die gewählten Modellannahmen und Randbedingungen beschränkt. '''Zusammenfassend''' liefert die 2D-Simulation eine erste quantitative Beschreibung der Strömungsverhältnisse bei einer hochgradigen ACI-Stenose. Für allgemeine Aussagen über die Abhängigkeit vom Stenosegrad und den Beginn einer Strömungsablösung sind zusätzliche Vergleichsrechnungen erforderlich. = Grenzen des Modells = * Die untersuchte Gefäßgeometrie ist eine idealisierte Darstellung der Karotisaufzweigung. Individuelle anatomische Unterschiede werden nicht berücksichtigt. * Darüber hinaus werden die Gefäßwände als starr angenommen und Blut wird durch ein inkompressibles Newtonsches Fluid mit konstanter Viskosität beschrieben. * Die Strömung wird stationär berechnet. Die natürliche Pulsation des Blutflusses und zeitabhängige Effekte bleiben damit unberücksichtigt. * Insbesondere bei hochgradigen Stenosen können zeitabhängige Strömungsablösungen auftreten, die durch eine stationäre Modellierung nicht vollständig beschrieben werden. * Das Graphenmodell kann lokale Strömungsphänomene nicht detailliert erfassen. Das ebene Flächenmodell vereinfacht die räumliche Gefäßgeometrie. Auch das dreidimensionale Modell bleibt aufgrund der idealisierten Geometrie und der vereinfachten Materialannahmen eine Annäherung an die reale Blutströmung. * Die Ergebnisse sind daher als strömungsmechanische Untersuchung eines idealisierten Modells zu interpretieren und nicht als patientenspezifische medizinische Vorhersage. = Literaturverzeichnis = Alle Quellen sind an den Stellen im Text angegeben, an denen die zugehörigen Werte oder Aussagen verwendet werden. Die Liste wird aus diesen Angaben automatisch erzeugt. <references /> gzemec7thrpv8hqgu400amqlzw5b1no 1119116 1119115 2026-11-08T15:17:36Z Heitele 38553 /* Wandschubspannung */ 1119116 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Joey Becker * Marie-Thérèse Heitele * Nicole Pander = Thema und Fragestellung = Gegenstand dieses Projekts ist die numerische Simulation der Blutströmung in einer verzweigten Halsschlagader ('''Carotis-Bifurkation''') unter dem Einfluss einer lokalen Gefäßverengung ('''Stenose'''). Im Vergleich zu einfachen Rohrströmungen wird hier die realitätsnahe Gefäßanatomie betrachtet: Die '''Arteria carotis communis (ACC)''' teilt sich in die '''Arteria carotis externa (ACE)''' und die '''Arteria carotis interna (ACI)''' auf. Während die '''ACE''' als gesunder, stenosefreier Ast dient, wird in der '''ACI''' eine geglättete, kosinusförmige Gefäßverengung modelliert. Um scharfe Kanten und unphysiologische Druckspitzen zu vermeiden, werden alle Wandübergänge und die Gabelungsspitze (Apex) anatomisch verrundet. Als Referenz dient ein gesundes, unverengtes Gefäß, in dem sich die Poiseuille-Strömung mit ihrem charakteristischen parabolischen Geschwindigkeitsprofil ausbildet. Diese Strömung ist aus zwei Gründen der natürliche Ausgangspunkt. Sie beschreibt den physiologischen Normalfall, mit dem jeder Stenosegrad verglichen wird, und sie ist exakt lösbar, sodass sich an ihr jede numerische Rechnung prüfen lässt, bevor die Verengung hinzukommt. == Fragestellung == Die Hauptfragestellung dieses Projektes lautet: Wie verändert eine symmetrische bzw. rotationssymmetrische Stenose in der '''Arteria carotis interna (ACI)''' die stationäre Strömung eines inkompressiblen Newton’schen Fluids in einer 2D-Carotis-Bifurkation hinsichtlich Geschwindigkeitsverteilung, Druckabfall, Wandschubspannung und Wirbelbildung im Vergleich zu den gesunden Gefäßabschnitten? Aus dieser Fragestellung ergeben sich drei Teilfragen, an denen sich der Aufbau der Seite orientiert: # Welche Strömungsgrößen reagieren empfindlich auf den Stenosegrad und welche nur träge? # Ab welchem Stenosegrad ändert sich das Strömungsmuster qualitativ, das heißt, ab wann löst die Strömung hinter der Engstelle von der Wand ab und bildet ein Rückströmgebiet? # Wie weit tragen die vereinfachenden Modellannahmen, insbesondere die Annahme einer stationären und laminaren Strömung, über den untersuchten Bereich der Stenosegrade? == Modellannahmen == Im Hinblick darauf werden für dieses Projekt einige Annahmen getroffen, um das Projekt möglichst isoliert zu untersuchen und zu simplifizieren: * '''Idealisierte Gefäßgeometrie''': Betrachtet wird ein Teilabbschnitt der ''Arteria carotis communis'', die sog. ''ACI''. Zudem werden Gefäßverkrümmungen, weitere Verzweigungen und patientenspezifische Strukturen nicht berücksichtigt. * '''Starre Gefäßwand''': Die Gefäßwand wird als unbeweglich und nicht verformbar angenommen. Eine Wechselwirkung zwischen elastischer Gefäßwand und Blutströmung wird nicht modelliert. * '''Stationäre Strömung''': Die Strömungsgrößen werden als zeitlich konstant angenommen. Die im realen Blutkreislauf vorhandene Pulsation durch den Herzschlag wird daher vernachlässigt: <math>\frac{\partial u}{\partial t}=0</math>. * '''Inkompressibles Fluid''': Die Dichte des Fluids wird als konstant angenommen. Damit gilt für die Geschwindigkeit <math>\nabla \cdot u=0</math>. Dies entspricht der in der Vorlesung behandelten Massenerhaltung für inkompressible Fluide: Was in das Gefäß einströmt, muss auch wieder ausströmen. * '''Newton'sche Näherung für Blut''': Reales Blut beseitzt ein nicht newton'sches Fließverhalten. Hier wird Blut als Newton'sches Fluid behandelt. * '''Konstante Stoffeigenschaften''': Dichte <math>\rho</math> und dynamische Viskosität μ werden als räumlich und zeitlich konstant angenommen. Temperaturabhängigkeiten werden nicht berücksichtigt. * '''Laminare Strömung''': Die Strömung wird mit dem COMSOL-Modul ''Laminar Flow'' beschrieben. Ein zusätzliches Turbulenzmodell wird nicht verwendet. * '''No-Slip-Bedingung an Gefäßwand''': Aufgrund der Viskosität wird angenommen, dass das Fluid direkt an der Gefäßwand haftet. Somit gilt <math>u=0</math>. * '''Vernachlässigung der Gravitation''': Gravitation wird nicht berücksichtigt. Die Strömung wird ausschließlich durch die gewählten Ein- und Auslassbedingungen bestimmt. = Relevanz = Die Untersuchung von Gefäßverengungen besitzt sowohl eine medizinische als auch eine methodische Bedeutung. Aus medizinischer Sicht sind arterielle Stenosen – etwa in der Halsschlagader, lat. ''arteria carotis communis'', – kritisch, da sie die Durchblutung beeinträchtigen und durch veränderte Wandschubspannungen sowie die Bildung von Wirbeln weitere Gefäßablagerungen begünstigen. Stenosen im Bereich der Karotisgabelung sind klinisch hochrelevant, da sie das Gehirn direkt versorgen und das Risiko für embolische Schlaganfälle erhöhen. Fachlich überträgt das Projekt damit die Prinzipien der Strömungsmechanik direkt auf eine biomedizinische Anwendung. Das Projekt verknüpft somit theoretische Grundlagen der Strömungsmechanik (Hagen-Poiseuille-Gleichung, Navier-Stokes-Gleichungen) mit der numerischen Simulation in COMSOL Multiphysics. Durch den Vergleich der '''gesunden Externa (ACE)''' mit der '''stenoisierten Interna (ACI)''' innerhalb desselben Rechengebiets wird die isolierte Wirkung der Stenose unter identischen Randbedingungen direkt sichtbar gemacht. == Medizinische Relevanz == Arterielle Stenosen entstehen überwiegend durch Atherosklerose, also durch Ablagerungen aus Lipiden, Bindegewebe und Kalk in der Gefäßwand. In der Halsschlagader sind sie klinisch besonders bedeutsam, weil sie die Durchblutung des Gehirns beeinträchtigen und weil sich an ihnen Thromben bilden können, die als Embolie einen Schlaganfall auslösen. Dass die operative Entfernung einer hochgradigen Karotisstenose das Schlaganfallrisiko symptomatischer Patienten deutlich senkt, hat die NASCET-Studie gezeigt, deren Einteilung der Stenosegrade dieses Projekt übernimmt.<ref name="nascet">North American Symptomatic Carotid Endarterectomy Trial Collaborators: ''Beneficial effect of carotid endarterectomy in symptomatic patients with high-grade carotid stenosis.'' New England Journal of Medicine 325 (1991), Nr. 7, S. 445-453.</ref> Strömungsmechanisch ist an einer Stenose vor allem die Wandschubspannung von Interesse, also die tangentiale Kraft je Fläche, die das strömende Blut auf die innerste Zellschicht der Gefäßwand ausübt. Gesunde Halsschlagadern weisen zeitlich gemittelte Werte von etwa 1,1 bis 1,5 Pa auf.<ref name="samijo">Samijo, S. K.; Willigers, J. M.; Barkhuysen, R.; Kitslaar, P. J. E. H. M.; Reneman, R. S.; Brands, P. J.; Hoeks, A. P. G.: ''Wall shear stress in the human common carotid artery as function of age and gender.'' Cardiovascular Research 39 (1998), Nr. 2, S. 515-522.</ref> In einer Engstelle steigt sie stark an, unmittelbar dahinter fällt sie im Ablösegebiet auf nahezu null und wechselt dort sogar das Vorzeichen. Niedrige und im Vorzeichen wechselnde Wandschubspannungen gelten als Bedingungen, unter denen sich weitere Ablagerungen bevorzugt bilden. Eine bestehende Stenose schafft also stromabwärts die Voraussetzungen für ihr eigenes Wachstum. Genau diese Verteilung lässt sich im Körper nur schwer messen, in einer Simulation dagegen unmittelbar auswerten. == Methodische Relevanz == Fachlich überträgt das Projekt die Prinzipien der Strömungsmechanik aus der Vorlesung auf eine biomedizinische Anwendung.<ref name="hundertmark">Hundertmark, A.: ''Fluiddynamik.'' Vorlesungsunterlagen zum Modul Räumliche Modellbildung, RPTU Kaiserslautern-Landau, Sommersemester 2026.</ref> Der methodische Mehrwert liegt in der Verknüpfung mehrerer Zugänge, die sich gegenseitig kontrollieren. Die analytische Poiseuille-Lösung liefert exakte Sollwerte für das gesunde Gefäß. Ein reduziertes Graphenmodell liefert für jeden Stenosegrad eine schnelle Abschätzung, die analytisch nachrechenbar ist. Die Simulationen in COMSOL Multiphysics lösen schließlich die vollständigen Navier-Stokes-Gleichungen in zwei und drei Raumdimensionen. Weil jede Stufe die Sollwerte der nächsten liefert, zeigt das Projekt nicht nur Ergebnisse, sondern auch, wie numerische Modelle aufgebaut, verifiziert und an ihren Grenzen bewertet werden. == Auswahl der Stenosegrade == Um die untersuchten Gefäßverengungen nicht willkürlich festzulegen, orientiert sich die Auswahl der Stenosegrade an der klinisch gebräuchlichen NASCET-Klassifikation von Karotisstenosen.<ref name="nascet" /> Zur klinischen Einordnung werden Karotisstenosen anhand der nach NASCET bestimmten Durchmesserreduktion in leichtgradige, mittelgradige und hochgradige Stenosen eingeteilt. Die angegebenen Prozentgrenzen dienen in diesem Projekt als Orientierung für die Auswahl der untersuchten Stenosegrade. Ein vollständiger Gefäßverschluss wird als Okklusion bezeichnet. {| class="wikitable" |+ Klinische Einteilung nach NASCET-gemessener Durchmesserreduktion und untersuchte Stenosegrade ! Schweregrad !! Durchmesserreduktion !! im Projekt gerechnete Stenosegrade !! hervorgehobener Vertreter |- | gesundes Gefäß || 0 % || 0 || 0 |- | leichtgradige Stenose || unter 50 % || 0,1 bis 0,4 || 0,3 |- | mittelgradige Stenose || 50 bis 69 % || 0,5 und 0,6 || 0,6 |- | hochgradige Stenose || 70 bis 99 % || 0,7 und 0,8 || 0,8 |- | Okklusion || 100 % || nicht gerechnet || entfällt |} '''Anmerkung''': Die Klassengrenzen dienen der Einordnung der Modellvarianten. Die in der Tabelle genannten Stenosegrade sind dimensionslose Werte, beispielsweise entspricht '''<math>s=0{,}6</math>''' einer Durchmesserreduktion von '''60 %'''. Für die numerische Untersuchung wird aus jeder Kategorie ein repräsentativer Stenosegrad hervorgehoben. Neben dem gesunden Gefäß mit '''0 %''' Stenose sind das eine '''30 %''' Stenose als Beispiel für eine leichtgradige, eine '''60 %''' Stenose als Beispiel für eine mittelgradige und eine '''80 %''' Stenose als Beispiel für eine hochgradige Verengung. Zusätzlich werden für das Graphenmodell und das achsensymmetrische Flächenmodell Stenosegrade von 0 bis 80 % in Schritten von zehn Prozentpunkten vorgesehen. Dadurch kann die Abhängigkeit der Strömungsgrößen vom Stenosegrad systematisch untersucht und grafisch dargestellt werden. Ob alle Modellvarianten tatsächlich berechnet wurden und wie hoch der Rechenaufwand war, wird anhand der durchgeführten Simulationen dokumentiert. Ein vollständiger Gefäßverschluss wird nicht simuliert, da in diesem Fall keine durchgängige Strömung mehr vorliegt. Der Stenosegrad wird in diesem Projekt wie bei NASCET über die Verringerung des Gefäßdurchmessers beschrieben, <math>s = 1 - \frac{d_{\min}}{d_{\mathrm{ref}}},</math> wobei <math>d_{\min}</math> der kleinste Durchmesser in der Engstelle und <math>d_{\mathrm{ref}}</math> ein Referenzdurchmesser ist. NASCET verwendet als Referenz den Durchmesser des gesunden Gefäßes stromabwärts der Stenose. Für das idealisierte gerade Gefäßmodell wird ein konstanter Referenzdurchmesser von <math>D_0=6\,\mathrm{mm}</math> angenommen. Da das Gefäß außerhalb der Stenose denselben Durchmesser besitzt, gilt in diesem Modell<math>d_{\mathrm{ref}}=D_0</math>. Bei der zusätzlich betrachteten Gefäßaufzweigung muss der Referenzdurchmesser dagegen gesondert festgelegt werden, da die Gefäßäste unterschiedliche Durchmesser besitzen. Wichtig für das Verständnis aller weiteren Ergebnisse ist der Unterschied zwischen Durchmesser- und Flächenreduktion. Da die Querschnittsfläche quadratisch vom Durchmesser abhängt, gilt für die Flächenreduktion <math>1-(1-s)^2</math>. Eine im klinischen Sinn nur mittelgradige Stenose von 60 % verschließt damit bereits 84 % der Querschnittsfläche. {| class="wikitable" |+ Durchmesser- und Flächenreduktion der gerechneten Stenosegrade ! Stenosegrad s !! 0 !! 0,1 !! 0,2 !! 0,3 !! 0,4 !! 0,5 !! 0,6 !! 0,7 !! 0,8 |- | engster Durchmesser in mm || 6,0 || 5,4 || 4,8 || 4,2 || 3,6 || 3,0 || 2,4 || 1,8 || 1,2 |- | Flächenreduktion || 0 % || 19 % || 36 % || 51 % || 64 % || 75 % || 84 % || 91 % || 96 % |} Eine Einschränkungen gehört zur ehrlichen Einordnung: # Mit zunehmendem Stenosegrad, insbesondere bei ausgeprägten Verengungen, können lokale Beschleunigungen, Strömungsablösungen und zeitabhängige Strömungsstrukturen auftreten. Daher muss bei den hochgradigen Stenosen geprüft werden, inwieweit die Annahme einer stationären, laminaren Strömung geeignet ist. Eine feste Grenze bei <math>s=0{,}6</math> lässt sich ohne entsprechende Simulationsergebnisse oder Literaturbelege nicht allgemein festlegen. Die hochgradigen Fälle werden deshalb unter besonderer Berücksichtigung der Modellannahmen diskutiert. Unter Modellierung wird in diesem Projekt die Übertragung der Blutströmung in einer verengten Arterie auf ein mathematisches und numerisch lösbares Strömungsproblem verstanden. Dazu werden die Gefäßgeometrie, die zugrunde liegenden Gleichungen, die physikalischen Materialparameter sowie die Anfangs- und Randbedingungen festgelegt. Jeder dieser Bestandteile beruht auf vereinfachenden Annahmen, die begründet und bei der Interpretation der Ergebnisse berücksichtigt werden müssen. Ziel ist es, den Einfluss unterschiedlicher Stenosegrade auf die Strömungsgeschwindigkeit, den Druckverlust und gegebenenfalls die Wandschubspannung systematisch zu untersuchen. Die Modellierung erfolgt anhand mehrerer Modellvarianten mit unterschiedlicher räumlicher Auflösung. Dadurch können zunächst grundlegende Zusammenhänge analytisch abgeschätzt und anschließend mit numerischen Strömungsberechnungen verglichen werden. Die verwendeten Parameter orientieren sich an den bereitgestellten Referenzdaten und werden in den folgenden Abschnitten erläutert. == Modellierung == Ziel der Modellierung ist es, die Blutströmung innerhalb einer Y-förmigen Aufzweigung der Halsschlagader mathematisch und numerisch zu untersuchen. Im Mittelpunkt steht eine Gefäßverengung (Stenose) in der Arteria carotis interna. Das betrachtete Gefäßmodell besteht aus der Arteria carotis communis, die sich in die Arteria carotis interna und die Arteria carotis externa aufteilt. Die Stenose befindet sich ausschließlich in der Arteria carotis interna. Durch die Verengung verändert sich der verfügbare Strömungsquerschnitt. Dies kann zu einer Erhöhung der lokalen Strömungsgeschwindigkeit, zu zusätzlichen Druckverlusten und zu einer Veränderung der Strömungsverteilung zwischen den beiden Gefäßästen führen. Ziel ist es, den Einfluss unterschiedlicher Stenosegrade auf die Strömungsgeschwindigkeit, die Druckverteilung und die Wandschubspannung zu untersuchen. Zusätzlich soll betrachtet werden, wie sich die Strömung innerhalb der Y-förmigen Gefäßaufzweigung verhält. Die numerische Modellierung erfolgt mit COMSOL Multiphysics. Dazu werden die Gefäßgeometrie, die Materialeigenschaften des Blutes, die Strömungsgleichungen und die Randbedingungen festgelegt. Zur Vereinfachung wird Blut zunächst als inkompressibles, Newtonsches Fluid betrachtet. Die Gefäßwände werden als starr angenommen. Diese Annahmen ermöglichen eine systematische Untersuchung der Stenose, schränken jedoch die Übertragbarkeit auf reale physiologische Bedingungen ein. === Modellhierarchie === Für die Untersuchung der Blutströmung innerhalb der Y-förmigen Karotisaufzweigung werden drei Modellvarianten betrachtet. Diese unterscheiden sich hinsichtlich ihrer räumlichen Dimension, ihrer mathematischen Beschreibung und der Genauigkeit, mit der die Strömungsverhältnisse dargestellt werden können. Das untersuchte Gefäß besteht aus der Arteria carotis communis, die sich in die Arteria carotis interna und die Arteria carotis externa aufteilt. Die Stenose befindet sich ausschließlich in der Arteria carotis interna. Alle drei Modellvarianten werden mit COMSOL Multiphysics umgesetzt. {| class="wikitable" style="width:100%;" |+ '''Die drei Modellvarianten des Projekts''' |- ! Modell ! Raumdimension ! Mathematische Grundlage ! Zweck ! Werkzeug |- | '''Graphenmodell''' | 1D, Gefäßnetzwerk mit einer Verzweigung | Massenerhaltung an der Verzweigung und vereinfachte Beschreibung der Strömungswiderstände | Abschätzung der Volumenstromverteilung und der Druckverluste in den Gefäßästen | COMSOL Multiphysics |- | '''Ebenes Flächenmodell''' | 2D, Y-förmige Gefäßgeometrie in kartesischen Koordinaten | Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen | Untersuchung der Geschwindigkeits- und Druckverteilung sowie der Auswirkungen der Stenose in der Arteria carotis interna | COMSOL Multiphysics, Laminare Strömung |- | '''Volumenmodell''' | 3D, räumliche Y-förmige Gefäßgeometrie | Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen | Räumliche Untersuchung des Geschwindigkeitsfeldes, des Druckverlustes und der Wandschubspannung | COMSOL Multiphysics, Laminare Strömung |} ==== Vergleich und Überprüfung der Modellvarianten ==== Die drei Modellvarianten bauen hinsichtlich ihrer räumlichen Beschreibung aufeinander auf. Das Graphenmodell ermöglicht zunächst eine vereinfachte Betrachtung der Volumenströme und Druckverluste. Die zwei- und dreidimensionalen Modelle erlauben anschließend eine detailliertere Untersuchung der Strömung innerhalb der Gefäßaufzweigung. Das '''Graphenmodell''' beschreibt die Arteria carotis communis sowie die beiden abzweigenden Gefäße als miteinander verbundenes Netzwerk. Dabei wird die Massenerhaltung an der Verzweigung berücksichtigt: :<math>Q_{\mathrm{CCA}}=Q_{\mathrm{ICA}}+Q_{\mathrm{ECA}}</math> Das Modell liefert vereinfachte Abschätzungen der Volumenstromverteilung. Lokale Strömungsablösungen und räumliche Geschwindigkeitsverteilungen können damit nicht detailliert dargestellt werden. Das '''ebene Flächenmodell''' bildet die Y-förmige Gefäßaufzweigung in zwei Raumdimensionen ab. Die Stenose wird innerhalb der Arteria carotis interna berücksichtigt. Dadurch können die Geschwindigkeits- und Druckverteilung sowie mögliche Rückströmungsbereiche untersucht werden. Das '''Volumenmodell''' erweitert die Untersuchung auf drei Raumdimensionen. Es ermöglicht eine räumliche Darstellung der Strömung und eine detailliertere Berechnung der Wandschubspannung. Die Ergebnisse des ebenen Flächenmodells und des Volumenmodells werden miteinander verglichen. Da das ebene Modell die räumliche Querschnittsgeometrie nur vereinfacht darstellt, müssen Unterschiede zwischen den beiden Modellen bei der Interpretation berücksichtigt werden. Ziel der Modellhierarchie ist es, die Aussagekraft der einzelnen Modellvarianten zu bewerten und den Einfluss des Stenosegrades auf die Strömung innerhalb der Y-förmigen Karotisaufzweigung zu untersuchen. === Simulationsgebiet und Geometrie === Das Simulationsgebiet besteht aus einer idealisierten Y-förmigen Aufzweigung der Arteria carotis. Die Arteria carotis communis teilt sich in die Arteria carotis interna und die Arteria carotis externa. Die Stenose befindet sich in der Arteria carotis interna. Die Arteria carotis externa wird ohne zusätzliche Verengung modelliert. Die Geometrie orientiert sich an den bereitgestellten Referenzdaten. Die Gefäßdurchmesser werden innerhalb der jeweiligen unverengten Abschnitte als konstant angenommen. {| class="wikitable" style="width:100%;" |+ '''Geometrische Referenzparameter der Y-förmigen Gefäßaufzweigung''' |- ! Gefäßabschnitt ! Durchmesser ! Länge |- | Arteria carotis communis | 6 mm | 60 mm |- | Arteria carotis interna | 5 mm | 60 mm |- | Arteria carotis externa | 4 mm | 60 mm |- | Stenose in der Arteria carotis interna | Abhängig vom Stenosegrad | 10 bzw. 20 mm |} Die Verengung wird über den Stenosegrad <math>s</math> beschrieben. Dieser gibt die relative Verringerung des Gefäßdurchmessers an: :<math>s=1-\frac{d_{\min}}{D_{\mathrm{ICA}}}</math> Dabei bezeichnet <math>d_{\min}</math> den minimalen Durchmesser innerhalb der Stenose und <math>D_{\mathrm{ICA}}</math> den unverengten Referenzdurchmesser der Arteria carotis interna. Für das Modell gilt: :<math>D_{\mathrm{ICA}}=5\,\mathrm{mm}</math> Der minimale Durchmesser ergibt sich damit zu: :<math>d_{\min}=D_{\mathrm{ICA}}(1-s)</math> {| class="wikitable" |+ '''Minimaler Durchmesser der Stenose in der Arteria carotis interna''' |- ! Stenosegrad ! Minimaler Durchmesser |- | 0 % | 5,0 mm |- | 10 % | 4,5 mm |- | 20 % | 4,0 mm |- | 30 % | 3,5 mm |- | 40 % | 3,0 mm |- | 50 % | 2,5 mm |- | 60 % | 2,0 mm |- | 70 % | 1,5 mm |- | 80 % | 1,0 mm |} Die angegebenen Stenosegrade beziehen sich ausschließlich auf den Durchmesser der Arteria carotis interna. Der Durchmesser der Arteria carotis communis wird nicht zur Berechnung des Stenosegrades verwendet. Die Y-förmige Geometrie ermöglicht es, die Auswirkungen der Verengung sowohl auf die lokale Strömung in der Arteria carotis interna als auch auf die Strömungsverteilung innerhalb der gesamten Gefäßaufzweigung zu untersuchen. Die genaue Form der Stenose, der Verzweigungswinkel und die Übergänge zwischen den Gefäßabschnitten müssen entsprechend der tatsächlich in COMSOL verwendeten Geometrie dokumentiert werden. == Stoff- und Strömungsparameter == Die Stoffwerte des Blutes und der Volumenstrom sind die einzigen Eingangsgrößen, die nicht aus der Geometrie folgen. Aus ihnen werden alle weiteren Strömungskennwerte berechnet. Die folgenden Schritte zeigen jede Rechnung einzeln, damit sich jeder Wert nachprüfen lässt. # Die '''Dichte''' wird mit <math>\rho = 1060\ \mathrm{kg/m^3}</math> angesetzt. Der Wert lässt sich als Mischungsregel plausibel machen. Plasma hat eine Dichte von etwa 1025 kg/m³, rote Blutkörperchen von etwa 1100 kg/m³. Bei einem Zellanteil von 45 % ergibt sich <math>0{,}55 \cdot 1025 + 0{,}45 \cdot 1100 \approx 1059\ \mathrm{kg/m^3}</math>. Die Dichte geht nur über die Reynoldszahl in die Rechnung ein, eine Abweichung von einem Prozent ändert die Ergebnisse daher kaum. <!-- FIXME Lehrbuchquelle fuer Plasma- und Erythrozytendichte ergaenzen --> # Die '''dynamische Viskosität''' wird mit <math>\mu = 3{,}5\ \mathrm{mPa\,s}</math> angesetzt. Das ist der Grenzwert der Blutviskosität bei hohen Scherraten, also genau der Wert, der zur Newtonschen Näherung gehört. Derselbe Wert von 0,035 Poise wird auch im Standardwerk zur Modellierung des Herz-Kreislauf-Systems verwendet.<ref name="quarteroni">Quarteroni, A.; Formaggia, L.: ''Mathematical Modelling and Numerical Simulation of the Cardiovascular System.'' In: Ayache, N. (Hrsg.): ''Computational Models for the Human Body.'' Handbook of Numerical Analysis, Bd. XII, Elsevier, Amsterdam 2004, S. 3-127. DOI 10.1016/S1570-8659(03)12001-7. Zur Newtonschen Näherung in großen Gefäßen siehe S. 30, zur Viskosität von 0,035 Poise die Parametertabelle auf S. 116.</ref> # Der '''mittlere Volumenstrom''' wird mit <math>Q_0 = 6\ \mathrm{ml/s}</math> angesetzt. Das ist der zeitlich gemittelte Volumenstrom, der in der gemeinsamen Halsschlagader gesunder Probanden gemessen wurde. # Die '''mittlere Geschwindigkeit''' folgt aus Volumenstrom und Querschnittsfläche, <math>U_0 = \frac{Q_0}{\pi R_0^2} = \frac{6 \cdot 10^{-6}\ \mathrm{m^3/s}}{\pi \cdot (0{,}003\ \mathrm{m})^2} = 0{,}2122\ \mathrm{m/s}</math>. # Die '''Reynoldszahl''' des gesunden Gefäßes ist <math>Re_0 = \frac{\rho\, U_0\, D_0}{\mu} = \frac{1060 \cdot 0{,}2122 \cdot 0{,}006}{0{,}0035} = 385{,}6</math>. Sie wird im Folgenden auf 386 gerundet. # Die '''Einlauflänge''', die eine anfangs gleichförmige Strömung bis zum voll entwickelten Parabelprofil bräuchte, beträgt nach der gebräuchlichen Abschätzung für laminare Rohrströmungen <math>L_e \approx 0{,}06\, Re_0\, D_0 \approx 0{,}06 \cdot 386 \cdot 6\ \mathrm{mm} \approx 139\ \mathrm{mm}</math>.<ref name="durst">Durst, F.; Ray, S.; Ünsal, B.; Bayoumi, O. A.: ''The development lengths of laminar pipe and channel flows.'' Journal of Fluids Engineering 127 (2005), Nr. 6, S. 1154-1160. Für große Reynoldszahlen nähert sich die dort angegebene Korrelation dem Wert 0,057·Re·D.</ref> Das ist fast die gesamte Länge des Rechengebiets. Ein konstantes Einlassprofil würde die Strömung an der Stenose also verfälschen, weshalb am Einlass das voll entwickelte Profil vorgegeben wird. Damit liegen alle globalen Parameter fest. Die folgende Tabelle enthält sie mit genau den Namen, unter denen sie in COMSOL und in den Octave-Skripten verwendet werden. {| class="wikitable" |+ Globale Parameter des Modells ! Name !! Ausdruck in COMSOL !! Wert !! Bedeutung !! Herkunft |- | R0 || 3[mm] || 3 mm || Gefäßradius || Messwerte nach Krejza u. a. 2006, gerundet |- | D0 || 2*R0 || 6 mm || Gefäßdurchmesser || abgeleitet |- | Ls || 2*D0 || 12 mm || Länge der Störstelle || Standardgeometrie nach Varghese u. a. 2007 |- | Lu || 5*D0 || 30 mm || Vorlaufstrecke vor der Stenosemitte || Abstand der Einlassbedingung von der Stenose |- | Ld || 20*D0 || 120 mm || Nachlaufstrecke hinter der Stenosemitte || Platz für das Rückströmgebiet |- | Lf || Ls/2+10*D0 || 66 mm || Ende des fein vernetzten Nachlaufs || erwartete Länge des Rückströmgebiets |- | s || 0 bis 0.8 || 0 bis 0,8 || Stenosegrad bezogen auf den Durchmesser || NASCET-Einteilung |- | rho_b || 1060[kg/m^3] || 1060 kg/m³ || Dichte des Blutes || Mischungsregel, Literaturwert |- | mu_b || 3.5[mPa*s] || 3,5 mPa·s || dynamische Viskosität des Blutes || Hochscherwert, Quarteroni und Formaggia 2004 |- | Q0 || 6[ml/s] || 6 ml/s || mittlerer Volumenstrom || Messwerte nach Holdsworth u. a. 1999 |- | U0 || Q0/(pi*R0^2) || 0,2122 m/s || mittlere Einströmgeschwindigkeit || abgeleitet |- | Re0 || rho_b*U0*D0/mu_b || 385,6 || Reynoldszahl des gesunden Gefäßes || abgeleitet |- | dp_ref || 8*mu_b*U0*(Lu+Ld)/R0^2 || 99,03 Pa || Poiseuille-Druckabfall des gesunden Gefäßes || abgeleitet, Hagen-Poiseuille |} = Implementierung des 2D-Modells in COMSOL Multiphysics = == Zielsetzung des zweidimensionalen Modells == Im Rahmen des Projekts wurde mit COMSOL Multiphysics ein zweidimensionales Modell der menschlichen Halsschlagader erstellt. Ziel ist es, die Blutströmung innerhalb einer Gefäßverzweigung zu untersuchen und insbesondere die Auswirkungen einer lokalen Gefäßverengung (Stenose) auf das Strömungsverhalten zu analysieren. Das Modell bildet die Aufzweigung der Arteria carotis communis (ACC) in die Arteria carotis interna (ACI) und die Arteria carotis externa (ACE) ab. Während die ACE als gesunder Gefäßabschnitt betrachtet wird, befindet sich in der ACI eine lokale Verengung. Dadurch können die Strömungsverhältnisse in beiden Ästen miteinander verglichen werden. Die zweidimensionale Modellierung dient dazu, die Geschwindigkeitsverteilung, den Druckabfall und die Wandschubspannung zu untersuchen. Zusätzlich soll festgestellt werden, ob sich hinter der Stenose Bereiche mit Strömungsablösungen oder Rückströmungen ausbilden. ==Vorgehen== Für die numerische Untersuchung in COMSOL Multiphysics 6.2 zunächst ein zweidimensionales Modell mit der Physik ''Laminare Strömung'' und einer ''stationären Studie'' angelegt. Die Gefäßgeometrie wurde vollständig parametrisiert, damit Durchmesser, Gefäßlängen, Verzweigungswinkel, Stenosegrad sowie die Stenoselänge veränderbar sind, ohne das Modell jeweils neu zu zeichnen. Das gemeinsame Zuflussgefäß stellt die Arteria carotis communis mit einem Durchmesser von <math>6\,\mathrm{mm}</math> dar. Nach einem geraden Einlaufabschnitt von <math>60\,\mathrm{mm}</math> teilt es sich V-förmig in die beiden Tochtergefäße auf. Die Arteria carotis interna wird mit einem Durchmesser von <math>5\,\mathrm{mm}</math>, die Arteria carotis externa mit <math>4\,\mathrm{mm}</math> modelliert. Beide Tochtergefäße sind jeweils <math>60\,\mathrm{mm}</math> lang. Die Grundgeometrie wurde als zusammenhängender zweidimensionaler Volumenkörper aufgebaut. Die beiden Tochtergefäße verlaufen nach der Bifurkation unter einem Winkel auseinander, sodass eine idealisierte Y-förmige Karotisgabel entsteht. Die Übergänge zwischen dem gemeinsamen Gefäß und den beiden Ästen wurden bewusst vereinfacht, aber ohne abrupte Querschnittssprünge gestaltet. Auf diese Weise bleibt die Geometrie ausreichend einfach für einen systematischen Vergleich verschiedener Modellvarianten, bildet die typische Aufzweigung einer Karotis. Die Stenose befindet sich ausschließlich in der Arteria carotis interna. Um die Verengung nicht durch gerade Polygonsegmente mit scharfen Knicken darzustellen, wurde ihre Kontur mithilfe von zwei parametrischen Kosinuskurven erzeugt. Zur Beschreibung der Stenose wird eine parametrische Kurve mit dem Hilfsparameter <math>t</math> verwendet. Dieser nimmt Werte zwischen <math>-1</math> und <math>1</math> an. Über die Beziehung <math>x(t)=x_\mathrm{st}+\frac{L_\mathrm{st}}{2}t</math> wird der Parameter auf die räumliche Position entlang des Gefäßes übertragen. Für <math>t=-1</math> liegt der Beginn der Stenose bei <math>x_\mathrm{st}-L_\mathrm{st}/2</math>, für <math>t=0</math> befindet sich die Kurve in der Stenosenmitte und für <math>t=1</math> am Ende bei <math>x_\mathrm{st}+L_\mathrm{st}/2</math>. Dadurch kann die Länge der Stenose über den Parameter <math>L_\mathrm{st}</math> verändert werden, ohne ihre Mittelpunktposition <math>x_\mathrm{st}</math> zu verschieben. Die Einengung wächst vom Beginn der Stenose kontinuierlich bis zur Engstelle an und nimmt danach ebenso kontinuierlich wieder ab. Dadurch entstehen glatte Wandübergänge. Die Stärke der Einengung wird über den dimensionslosen Stenosegrad <math>s</math> gesteuert. Für einen unverengten Durchmesser der Arteria carotis interna von <math>D_\mathrm{ACI}=5\,\mathrm{mm}</math> ergibt sich bei einem Stenosegrad von <math>s=0{,}3</math> eine minimale Gefäßweite von <math>3{,}5\,\mathrm{mm}</math>, bei <math>s=0{,}6</math> von <math>2{,}0\,\mathrm{mm}</math> und bei <math>s=0{,}8</math> von <math>1{,}0\,\mathrm{mm}</math>. Die minimale Gefäßweite ergibt sich allgemein aus <math>d_\mathrm{min}=D_\mathrm{ACI}(1-s)</math>. Die beiden parametrischen Kurven wurden mit Hilfslinien zu geschlossenen Flächen ergänzt und anschließend über „Umwandeln in Volumenkörper“ in Flächenobjekte überführt. Mithilfe einer Differenzoperation wurden diese Flächen aus dem Gefäßgebiet ausgeschnitten. Auf diese Weise bleibt die Grundgeometrie des Gefäßes unverändert, während Stenosegrad und Stenosenlänge allein über globale Parameter variiert werden können. Für die Strömung wurde Blut als inkompressibles Newtonsches Fluid mit konstanter Dichte und Viskosität angenähert. Verwendet werden eine Dichte von <math>\rho=1060\,\mathrm{kg/m^3}</math> und eine dynamische Viskosität von <math>\mu=3,5\,\mathrm{mPa s}</math>. Am Einlass wird ein voll entwickeltes Geschwindigkeitsprofil vorgegeben. Aus dem auf der Projektseite angesetzten mittleren Volumenstrom von <math>6\,\mathrm{ml/s}</math> ergibt sich für das <math>6\,\mathrm{mm}</math> breite Zuflussgefäß eine mittlere Geschwindigkeit von rund <math>0{,}21\,\mathrm{m/s}</math>. An beiden Auslässen wird derselbe Referenzdruck vorgegeben, während an sämtlichen Gefäßwänden die Haftbedingung (No Slip) gilt. Nach Fertigstellung der Geometrie wurde ein physikgesteuertes Finite-Elemente-Netz erzeugt und die stationäre Navier-Stokes-Strömung berechnet. Anschließend wurden insbesondere der Geschwindigkeitsbetrag, die Druckverteilung und die Stromlinien ausgewertet. Die Stromlinien dienen dabei nicht nur der Visualisierung der Aufteilung des Blutstroms an der Bifurkation, sondern auch zur Erkennung möglicher Ablöse- und Rückströmungsgebiete hinter der Stenose. Zusätzlich kann die Wandschubspannung entlang der Gefäßwand ausgewertet werden. Die verschiedenen Stenosegrade werden jeweils bei ansonsten identischen Randbedingungen miteinander und mit dem gesunden Referenzfall verglichen. == Ergebnisse der 2D-Strömungssimulation == Die zweidimensionale Strömungssimulation wurde mit COMSOL Multiphysics durchgeführt, um die Auswirkungen einer lokalen Gefäßverengung auf die Blutströmung innerhalb einer idealisierten Karotis-Bifurkation zu untersuchen. Im Mittelpunkt der Auswertung stehen die Geschwindigkeitsverteilung, die Druckverteilung sowie die Wandschubspannung. Ergänzend werden Stromlinien betrachtet, um mögliche Veränderungen des Strömungsverlaufs und das Auftreten von Rückströmungsgebieten hinter der Stenose zu untersuchen. Die Ergebnisse werden hinsichtlich ihrer strömungsmechanischen Bedeutung interpretiert und unter Berücksichtigung der vereinfachenden Modellannahmen bewertet. === Quantitative Auswertung der Strömungsgeschwindigkeit === Zur Untersuchung des Einflusses verschiedener Stenosegrade auf die Strömungsgeschwindigkeit wurde in COMSOL Multiphysics der Geschwindigkeitsbetrag <code>spf.U</code> mithilfe der Funktion ''Oberflächenmaximum'' ausgewertet. Dabei wurden Stenosegrade von 0 %, 30 %, 60 %, 80 % und 100 % betrachtet. Die Berechnungen erfolgten zunächst mit einer Druckrandbedingung von <math>p_0 = 0\,\mathrm{Pa}</math> und anschließend mit einer Resistenzrandbedingung bei <math>k_R = 1</math>. ==== Druckrandbedingung ==== Bei der Druckrandbedingung wurde die maximale Geschwindigkeit über das gesamte Strömungsgebiet bestimmt. {| class="wikitable" ! Stenosegrad ! Maximale Geschwindigkeit [m/s] |- | 0 % || 0,28385 |- | 30 % || 0,27091 |- | 60 % || 0,35036 |- | 80 % || 0,38530 |- | 100 % || 0,46125 |} Die Ergebnisse zeigen zunächst eine leichte Abnahme der maximalen Geschwindigkeit bei 30 % Stenose. Ab 60 % steigt diese mit zunehmender Verengung an. Dies ist mit einer lokalen Beschleunigung der Strömung infolge des verringerten Strömungsquerschnitts vereinbar. Bei 100 % Stenose beträgt das globale Geschwindigkeitsmaximum 0,46125 m/s. Da die Arteria carotis interna (ACI) vollständig verschlossen ist, beschreibt dieser Wert nicht die Strömung durch den Verschluss, sondern kann aus einem anderen, weiterhin durchströmten Gefäßbereich stammen. ==== Graphische Auswertungen in Comsol ==== [[Datei:0%, Geschwindigkeit, p0=0.png|mini|zentriert|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 0 % Stenose und einer Druckrandbedingung von p₀ = 0 Pa.]] <div style="display:flex; justify-content:center; gap:15px;"> <div> [[Datei:0,3%, Geschwindigkeit, p0=0.png|mini|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 30 % Stenose und einer Druckrandbedingung von p₀ = 0 Pa.]] </div> <div> [[Datei:0,3%, Geschwindigkeit, p0=0, Nah Stenose.png|mini|300px|Vergrößerte Geschwindigkeitsverteilung im Bereich der 30%igen Stenose bei p₀ = 0 Pa.]] </div> </div> <div style="display:flex; justify-content:center; gap:15px;"> <div> [[Datei:0,6%, Geschwindigkeit, p0=0.png|mini|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 60 % Stenose und einer Druckrandbedingung von p₀ = 0 Pa.]] </div> <div> [[Datei:0,6%, Geschwindigkeit, p0=0, Nah Stenose.png|mini|300px|Vergrößerte Geschwindigkeitsverteilung im Bereich der 60%igen Stenose bei p₀ = 0 Pa.]] </div> </div> <div style="display:flex; justify-content:center; gap:15px;"> <div> [[Datei:0,8%, Geschwindigkeit, p0=0.png|mini|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 80 % Stenose und einer Druckrandbedingung von p₀ = 0 Pa.]] </div> <div> [[Datei:0,8%, Geschwindigkeit, p0=0, Nah Stenose.png|mini|300px|Vergrößerte Geschwindigkeitsverteilung im Bereich der 80%igen Stenose bei p₀ = 0 Pa.]] </div> </div> <div style="display:flex; justify-content:center; gap:15px;"> <div> [[Datei:100%, Geschwindigkeit, p0=0.png|mini|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 100 % Stenose und einer Druckrandbedingung von p₀ = 0 Pa.]] </div> <div> [[Datei:100%, Geschwindigkeit, p0=0, Nah Stenose.png|mini|300px|Vergrößerte Darstellung des vollständig verschlossenen Bereichs der ACI bei 100 % Stenose und p₀ = 0 Pa.]] </div> </div> Die Farbskala zeigt den Betrag der Strömungsgeschwindigkeit in m/s. Blaue Bereiche kennzeichnen niedrige, grüne und gelbe mittlere sowie rote Bereiche hohe Geschwindigkeiten. Im unverengten Gefäß ist die Geschwindigkeit in der Gefäßmitte am höchsten und nimmt zu den Gefäßwänden hin ab. Mit zunehmendem Stenosegrad verändert sich die Geschwindigkeitsverteilung deutlich. Im Bereich der Engstelle wird die Strömung lokal beschleunigt, während hinter der Verengung Bereiche niedriger Geschwindigkeit auftreten können. Bei 100 % Stenose ist die ACI vollständig verschlossen, sodass die Strömung nur noch über den offenen Gefäßast abfließen kann. === Resistenzrandbedingung und Vergleich === Anschließend wurde die Strömung unter Verwendung einer Resistenzrandbedingung mit konstantem Parameter <math>k_R = 1</math> untersucht. Bei zunehmender Verengung traten Konvergenzprobleme auf. Ab ungefähr 73 % Stenose konnte keine konvergierende stationäre Lösung mehr bestimmt werden. Daher wurden für die hochgradigen Stenosen ergänzend zeitabhängige Simulationen durchgeführt. {| class="wikitable" ! Stenosegrad ! Druckrandbedingung <math>p_0 = 0\,\mathrm{Pa}</math> [m/s] ! Resistenzrandbedingung <math>k_R = 1</math> [m/s] |- | 0 % || 0,28385 || 0,32426 |- | 30 % || 0,27081 || 0,32219 |- | 60 % || 0,35036 || 0,53188 |- | 80 % || 0,3858 || 1,0674 |- | 100 % || 0,46125 || <math>\approx 0</math> * |} <small>* Bei 100 % Stenose wurde für die Resistenzrandbedingung ausschließlich das Gebiet hinter dem vollständigen Verschluss ausgewertet. Die maximale Geschwindigkeit beträgt dort <math>v_{\max} = 2{,}1416 \cdot 10^{-21}\,\mathrm{m/s} \approx 0\,\mathrm{m/s}</math>.</small> Der Vergleich zeigt, dass die maximale Geschwindigkeit bei der Resistenzrandbedingung insbesondere bei höheren Stenosegraden deutlich stärker ansteigt. Bei 80 % Stenose wird mit 1,0674 m/s ein wesentlich höherer Wert erreicht als bei der Druckrandbedingung mit 0,3858 m/s. Dies verdeutlicht den Einfluss der Auslassrandbedingungen auf die Strömungsverteilung innerhalb der Gefäßverzweigung. Bei vollständigem Gefäßverschluss ist ein direkter Vergleich der beiden Werte nicht möglich, da unterschiedliche Strömungsgebiete ausgewertet wurden. Während bei der Druckrandbedingung das globale Maximum betrachtet wurde, beschreibt der Wert der Resistenzrandbedingung die praktisch zum Stillstand gekommene Strömung hinter der Stenose. Insgesamt zeigen die Ergebnisse, dass sowohl der Stenosegrad als auch die gewählten Randbedingungen einen wesentlichen Einfluss auf die maximale Strömungsgeschwindigkeit besitzen. Die Konvergenzprobleme bei hochgradigen Stenosen verdeutlichen zudem die Notwendigkeit einer ergänzenden zeitabhängigen Untersuchung. ==== Graphische Auswertungen in Comsol ==== [[Datei:0%, Geschwindigkeit, Resbed..png|mini|zentriert|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 0 % Stenose mit Resistenzrandbedingung (k_R = 1).]] <div style="display:flex; justify-content:center; gap:15px;"> <div> [[Datei:0,3%, Geschwindigkeit, Resbed..png|mini|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 30 % Stenose mit Resistenzrandbedingung (k_R = 1).]] </div> <div> [[Datei:0,3%, Geschwindigkeit, Resbed., Nah Stenose.png|mini|300px|Vergrößerte Geschwindigkeitsverteilung im Bereich der 30%igen Stenose mit Resistenzrandbedingung (k_R = 1).]] </div> </div> <div style="display:flex; justify-content:center; gap:15px;"> <div> [[Datei:0,6%, Geschwindigkeit, Resbed..png|mini|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 60 % Stenose mit Resistenzrandbedingung (k_R = 1).]] </div> <div> [[Datei:0,6%, Geschwindigkeit, Resbed., Nah Stenose.png|mini|300px|Vergrößerte Geschwindigkeitsverteilung im Bereich der 60%igen Stenose mit Resistenzrandbedingung (k_R = 1).]] </div> </div> <div style="display:flex; justify-content:center; gap:15px;"> <div> [[Datei:0,8%, Geschwindigkeit, Resbed., zeitabh., Zeit 1 s.png|mini|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 80 % Stenose mit Resistenzrandbedingung (k_R = 1) zum Zeitpunkt t = 1 s.]] </div> <div> [[Datei:0,8%, Geschwindigkeit, Resbed., zeitabh., Zeit 1 s, Nah Stenose.png|mini|300px|Vergrößerte Geschwindigkeitsverteilung im Bereich der 80%igen Stenose mit Resistenzrandbedingung (k_R = 1) zum Zeitpunkt t = 1 s.]] </div> </div> <div style="display:flex; justify-content:center; gap:15px;"> <div> [[Datei:1%, Geschwindigkeit, Resbed., zeitabh., Zeit 1 s,.png|mini|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 100 % Stenose mit Resistenzrandbedingung (k_R = 1) zum Zeitpunkt t = 1 s.]] </div> <div> [[Datei:1%, Geschwindigkeit, Resbed., zeitabh., Zeit 1 s, nah Stenose.png|mini|300px|Vergrößerte Darstellung des vollständig verschlossenen ACI-Bereichs bei 100 % Stenose mit Resistenzrandbedingung (k_R = 1) zum Zeitpunkt t = 1 s.]] </div> </div> ===== Untersuchung möglicher Rückströmungsbereiche (RAUS????) ===== Zur Untersuchung möglicher Rückströmungsbereiche wurde der stenotische Abschnitt der ACI vergrößert dargestellt. Zusätzlich zum Geschwindigkeitsfeld wurden Stromlinien mit erhöhter Startpunktanzahl visualisiert. Die Stromlinien zeigen eine Bündelung der Strömung im Bereich der Engstelle und eine anschließende Auffächerung im erweiterten Gefäßabschnitt. In der vergrößerten Darstellung treten entlang der oberen und unteren Gefäßwand hinter der Stenose, ungefähr zwischen x = 104 mm und x = 108 mm, schmale Bereiche mit negativer Geschwindigkeitskomponente auf. Die negative Geschwindigkeitskomponente wurde entlang einer um 15° geneigten Richtung bestimmt. Die dargestellten Werte liegen im Bereich weniger Millimeter pro Sekunde und sind damit deutlich kleiner als die maximale Strömungsgeschwindigkeit von 0,31853 m/s. Trotz der erhöhten Stromliniendichte ist kein eindeutig geschlossenes Rezirkulationsgebiet erkennbar. Die negativen Geschwindigkeitskomponenten liefern Hinweise auf lokale Veränderungen der Strömungsrichtung, stellen jedoch allein keinen sicheren Nachweis einer Strömungsablösung dar. <div style="text-align:center;"> [[Datei:Rückströmungsgebiete 2D.png|800px|zentriert|Vergrößerte Darstellung der Stromlinien und möglicher Rückströmungsbereiche hinter der 80-%-Stenose der ACI. Die Farbskala zeigt die negative Geschwindigkeitskomponente entlang einer um 15° geneigten Richtung. Schmale Bereiche mit negativen Werten sind an den Gefäßwänden erkennbar. Ein geschlossenes Rezirkulationsgebiet ist nicht eindeutig nachweisbar.]] <small>'''Abbildung 2:''' Vergrößerte Darstellung des ACI-Abschnitts hinter der Stenose. Die Farbskala zeigt die Geschwindigkeitskomponente in einer um 15° geneigten Richtung in m/s. Negative Werte weisen auf lokale Strömungsanteile entgegen dieser Richtung hin, belegen jedoch für sich genommen noch keine geschlossene Rezirkulationszone.</small> </div> Auch hier kennzeichnen blaue Farbtöne niedrige und rote Farbtöne hohe Strömungsgeschwindigkeiten. Mit zunehmender Stenose wird die Beschleunigung im Bereich der Engstelle besonders deutlich. Im Vergleich zur Druckrandbedingung treten bei höheren Stenosegraden größere maximale Geschwindigkeiten auf. Bei 80 % Stenose zeigt die zeitabhängige Simulation eine ausgeprägte Geschwindigkeitskonzentration im verengten Gefäßabschnitt. Bei 100 % Stenose kommt die Strömung im vollständig abgetrennten ACI-Bereich praktisch zum Stillstand, während die ACE weiterhin durchströmt wird. Die Ergebnisse verdeutlichen, dass die Wahl der Auslassrandbedingung die Geschwindigkeitsverteilung wesentlich beeinflusst. === Druckverteilung und Druckabfall === Die Druckverteilung wurde anhand der berechneten Isobaren innerhalb der zweidimensionalen Karotis-Bifurkation untersucht. Dabei zeigt sich eine Abnahme des statischen Drucks vom gemeinsamen Zuflussgefäß in Richtung der beiden Gefäßausgänge. Der maximale berechnete Druck beträgt etwa '''74,2 Pa''', während der minimale Druck bei etwa '''−19,9 Pa''' liegt. Daraus ergibt sich eine globale Druckspanne von ungefähr '''94,1 Pa'''. Besonders auffällig ist die Druckverteilung im Bereich der Stenose der Arteria carotis interna (ACI). Dort liegen die Isobaren deutlich enger beieinander, was auf einen ausgeprägten lokalen Druckgradienten hinweist. Stromabwärts der Engstelle treten zudem Bereiche mit niedrigem statischem Druck auf. '''Interpretation''': Die Ergebnisse zeigen, dass die Stenose die lokale Druckverteilung im ACI-Ast deutlich beeinflusst. Die Beschleunigung der Strömung innerhalb der Verengung geht mit einer Abnahme des statischen Drucks einher. Die globale Druckspanne von 94,1 Pa darf jedoch nicht mit dem irreversiblen Druckverlust über der Stenose gleichgesetzt werden. Die globale Druckspanne von 94,1 Pa ist nicht mit dem Druckabfall über der Stenose gleichzusetzen. Zur genaueren Untersuchung wurden deshalb zwei Messquerschnitte vor und hinter der Engstelle ausgewertet. Zwischen diesen ergibt sich eine mittlere statische Druckdifferenz von 36,24 Pa. <div style="text-align:center;"> [[Datei:Druckverteilung_2D.png|800px|zentriert|Druckverteilung der stationären 2D-Strömungssimulation einer idealisierten Karotis-Bifurkation mit 80 % Stenose in der Arteria carotis interna (ACI). Die Isobaren zeigen den Druckverlauf innerhalb der Gefäßgeometrie. Besonders im Bereich der Stenose ist ein ausgeprägter lokaler Druckgradient erkennbar. Der berechnete Druck liegt zwischen −19,9 Pa und 74,2 Pa.]] <small>'''Abbildung 3:''' Druckverteilung der stationären 2D-Strömungssimulation einer idealisierten Karotis-Bifurkation mit 80 % Stenose in der Arteria carotis interna (ACI). Die Isobaren zeigen den Druckverlauf innerhalb der Gefäßgeometrie. Besonders im Bereich der Stenose ist ein ausgeprägter lokaler Druckgradient erkennbar. Der berechnete Druck liegt zwischen −19,9 Pa und 74,2 Pa.</small> </div> ==== Quantitative Bestimmung der Druckdifferenz ==== Zur quantitativen Untersuchung des Druckabfalls wurden zwei Messquerschnitte im ACI-Ast definiert, einer vor und einer hinter der Stenose. Mithilfe der COMSOL-Funktion „Linienmittelwert“ wurde der mittlere statische Druck an beiden Positionen bestimmt. Vor der Stenose beträgt der mittlere Druck '''35,232 Pa''', während hinter der Stenose ein Wert von '''−1,0042 Pa''' ermittelt wurde. Daraus ergibt sich eine Druckdifferenz von '''36,24 Pa'''. Die Ergebnisse zeigen eine deutliche Abnahme des statischen Drucks zwischen den beiden Messquerschnitten. Diese Druckdifferenz verdeutlicht die Druckänderung entlang des stenotischen ACI-Astes. Sie ist jedoch nicht mit dem ausschließlich durch die Stenose verursachten irreversiblen Druckverlust gleichzusetzen, da auch die Strömungsentwicklung in den angrenzenden Gefäßabschnitten berücksichtigt wird. {| class="wikitable" style="text-align:center;" ! Stenosegrad ! <math>\bar p_\mathrm{vor}</math> [Pa] ! <math>\bar p_\mathrm{nach}</math> [Pa] ! <math>\Delta p</math> [Pa] |- | 0 % | 11,631 | 4,2461 | 7,3849 |- | 30 % | 16,919 | 2,9220 | 13,997 |- | 60 % | 35,835 | -0,58267 | 36,41767 |- | 80 % | 70,562 | -0,55906 | 71,12106 |} === Wandschubspannung ÜBERARBEITEN=== Zur Untersuchung der mechanischen Belastung der Gefäßwände wurde die Wandschubspannung (Wall Shear Stress, WSS) im zweidimensionalen Strömungsmodell ausgewertet. Sie beschreibt die tangentiale viskose Spannung, die durch die Strömung an der Gefäßwand entsteht. Die quantitative Auswertung erfolgte für die obere und untere Wand des stenotischen ACI-Abschnitts. Hierfür wurden die entsprechenden Wandkanten in COMSOL ausgewählt und der Betrag der Wandschubspannung bestimmt. Für den untersuchten Stenosebereich ergibt sich eine maximale Wandschubspannung von '''3,2282 Pa'''. Der Wert beschreibt das Maximum auf den ausgewählten Wandkanten der 80-%-Stenose. Da für diese Auswertung der Betrag der Wandschubspannung verwendet wurde, lässt sich daraus allein keine Aussage über eine mögliche Umkehr der wandnahen Strömungsrichtung ableiten. Zur Untersuchung möglicher Ablösebereiche ist zusätzlich eine Auswertung der vorzeichenbehafteten tangentialen Wandschubspannung erforderlich. <div style="text-align:center;"> [[Datei:Wandschubspannung.png|800px|zentriert|Verteilung des Betrags der Wandschubspannung entlang ausgewählter Gefäßwandabschnitte im Bereich der ACI-Stenose. Lokal treten erhöhte Wandschubspannungen auf. Die separate quantitative Auswertung der beiden Stenosewände ergibt einen Maximalwert von 3,2282 Pa.]] <small>'''Abbildung 4:''' Verteilung des Betrags der Wandschubspannung entlang ausgewählter Gefäßwandabschnitte im Bereich der ACI-Stenose. Lokal treten erhöhte Wandschubspannungen auf. Die separate quantitative Auswertung der beiden Stenosewände ergibt einen Maximalwert von 3,2282 Pa.</small> </div> ==== Untersuchung der vorzeichenbehafteten Wandschubspannung RAUS??==== Zur weiteren Untersuchung möglicher Strömungsablösungen wurde die vorzeichenbehaftete tangentiale Wandschubspannung entlang der oberen und unteren ACI-Gefäßwand hinter der Stenose ausgewertet. An der oberen Gefäßwand steigt die berechnete Spannung von ungefähr −0,05 Pa auf +0,47 Pa an. Ein Vorzeichenwechsel tritt bei einer Bogenlänge von etwa 0,6 mm auf. An der unteren Gefäßwand steigt die Spannung von ungefähr −0,48 Pa auf +0,06 Pa an. Hier erfolgt ein Vorzeichenwechsel bei einer Bogenlänge von etwa 20 mm. Die Ergebnisse zeigen somit auf beiden untersuchten Wandabschnitten einen Vorzeichenwechsel der tangentialen Spannungskomponente. Dies kann auf Änderungen der wandnahen Strömungsrichtung hinweisen und ist mit möglichen Ablöse- oder Wiederanlagerungsvorgängen vereinbar. Die Bogenlängen beziehen sich jeweils auf den untersuchten Wandabschnitt und können nicht unmittelbar miteinander verglichen werden. Zudem hängt das Vorzeichen von der Orientierung der lokalen Wandtangente ab. Ein geschlossenes Rezirkulationsgebiet lässt sich aus den Vorzeichenwechseln allein nicht eindeutig nachweisen. <div style="text-align:center;"> [[Datei:WSS - Oberer Ast hinter Stenose.png|800px|zentriert|Verlauf der vorzeichenbehafteten tangentialen Wandschubspannung entlang der oberen ACI-Gefäßwand hinter der 80-%-Stenose. Bei einer Bogenlänge von etwa 0,6 mm tritt ein Vorzeichenwechsel auf. Dieser kann auf eine Änderung der wandnahen Strömungsrichtung hinweisen, stellt jedoch allein keinen eindeutigen Nachweis einer Strömungsablösung dar.]] <small>'''Abbildung 5:'''Verlauf der vorzeichenbehafteten tangentialen Wandschubspannung entlang der oberen ACI-Gefäßwand hinter der 80-%-Stenose. Bei einer Bogenlänge von etwa 0,6 mm tritt ein Vorzeichenwechsel auf. Dieser kann auf eine Änderung der wandnahen Strömungsrichtung hinweisen, stellt jedoch allein keinen eindeutigen Nachweis einer Strömungsablösung dar.</small> </div> <div style="text-align:center;"> [[Datei:WSS - Unterer Ast hinter Stenose.png|800px|zentriert|Verlauf der vorzeichenbehafteten tangentialen Wandschubspannung entlang der unteren ACI-Gefäßwand hinter der Stenose. Ein Vorzeichenwechsel tritt bei etwa 20 mm Bogenlänge auf.]] <small>'''Abbildung 6:'''Verlauf der vorzeichenbehafteten tangentialen Wandschubspannung entlang der unteren ACI-Gefäßwand hinter der Stenose. Ein Vorzeichenwechsel tritt bei etwa 20 mm Bogenlänge auf.</small> </div> === Zusammenfassende Bewertung der 2D-Ergebnisse AKTUELLE DATEN NOCH REIN === Die stationäre zweidimensionale Strömungssimulation mit einem Stenosegrad von 80 % zeigt deutliche Veränderungen der Strömungsgrößen innerhalb der idealisierten Karotis-Bifurkation. Die maximale Geschwindigkeit beträgt 0,31853 m/s. Zwischen den ausgewählten Messquerschnitten vor und hinter der ACI-Stenose ergibt sich eine mittlere statische Druckdifferenz von 36,24 Pa. Die maximale Wandschubspannung auf den ausgewerteten Stenosewänden beträgt 3,2282 Pa. Die Untersuchung der Geschwindigkeitskomponenten liefert Hinweise auf lokale Strömungsanteile entgegen der Hauptströmungsrichtung. Ein eindeutig abgegrenztes Rezirkulationsgebiet konnte anhand der vorliegenden Darstellungen jedoch nicht sicher nachgewiesen werden. Die Ergebnisse beschreiben zunächst den untersuchten Fall einer hochgradigen Stenose. Aus diesem einzelnen Fall lässt sich weder eine allgemeine Abhängigkeit der Strömungsgrößen vom Stenosegrad noch ein kritischer Stenosegrad für den Beginn der Strömungsablösung bestimmen. Dafür wäre eine vergleichende Auswertung weiterer Stenosegrade erforderlich. == Resistenzrandbedingung am Auslass (2D-Modell) == === Motivation === Im ursprünglichen 2D-Modell wurde an beiden Auslässen eine Nulldruckbedingung <math>p = 0</math> gesetzt. Physikalisch bedeutet das, dass beide Äste in ein „offenes Becken“ mit gleichem, festem Druck münden. Der Auslassdruck hängt dabei nicht davon ab, wie viel Blut ankommt. Diese Annahme hat zwei Schwächen: * Die Flussaufteilung zwischen ACI und ACE ergibt sich nur aus den kleinen Strömungswiderständen der modellierten Gefäßabschnitte. Wird die ACI durch die Stenose verengt, weicht das Blut nahezu ungehindert in die ACE aus. Im Körper ist das nicht möglich, weil hinter der ACI das Gefäßbett des Gehirns mit einem eigenen, großen Widerstand liegt. * Das Druckniveau (Auslass bei 0 Pa) ist nicht physiologisch. Im 3D-Modell wurde deshalb an beiden Auslässen eine '''Resistenzrandbedingung''' verwendet. Damit 2D- und 3D-Modell vergleichbar sind, haben wir dieselbe Randbedingung auch im 2D-Modell eingebaut. === Formel und Herleitung === Das gesamte nachgeschaltete Gefäßbett hinter jedem Auslass wird durch einen einzigen peripheren Widerstand <math>R_p</math> ersetzt: :<math>p_{\text{aus}} = k_R \cdot R_p \cdot Q</math> Dabei ist <math>Q</math> der Volumenstrom durch den Auslass und <math>k_R</math> ein Schalter (<math>k_R = 1</math>: Widerstand, <math>k_R = 0</math>: ursprüngliche Bedingung <math>p = 0</math>). '''1. Gesunde Flussaufteilung nach dem Murray-Gesetz''' Der Volumenstrom eines Gefäßes ist nach Murray proportional zur dritten Potenz des Durchmessers. Für den Anteil der ACI am Gesamtfluss gilt damit: :<math>\varphi_0 = \frac{D_I^3}{D_I^3 + D_E^3} = \frac{(5\,\text{mm})^3}{(5\,\text{mm})^3 + (4\,\text{mm})^3} \approx 0{,}661</math> Mit dem mittleren Volumenstrom der A. carotis communis <math>Q_0 = 6\,\text{ml/s}</math> (Holdsworth u. a. 1999) folgt: :<math>Q_{I,0} = \varphi_0 \cdot Q_0 \approx 3{,}97\,\text{ml/s}, \qquad Q_{E,0} = (1-\varphi_0) \cdot Q_0 \approx 2{,}03\,\text{ml/s}</math> '''2. Bestimmung der peripheren Widerstände''' Die Widerstände werden so gewählt, dass im gesunden Zustand an beiden Auslässen der treibende Druck des peripheren Gefäßbetts <math>p_D = 90\,\text{mmHg} \approx 12\,000\,\text{Pa}</math> anliegt: :<math>R_{pI} = \frac{p_D}{Q_{I,0}} \approx 3{,}0 \cdot 10^{9}\,\frac{\text{Pa}\cdot\text{s}}{\text{m}^3}, \qquad R_{pE} = \frac{p_D}{Q_{E,0}} \approx 5{,}9 \cdot 10^{9}\,\frac{\text{Pa}\cdot\text{s}}{\text{m}^3}</math> Die Randbedingungen an den beiden Auslässen lauten damit: :<math>p_{\text{aus},I} = k_R \cdot R_{pI} \cdot Q_I, \qquad p_{\text{aus},E} = k_R \cdot R_{pE} \cdot Q_E</math> '''3. Umrechnung des Flusses im 2D-Modell''' Im 2D-Modell liefert das Integral der Normalgeschwindigkeit über den Auslassrand keinen Volumenstrom in m³/s, sondern einen Fluss pro Tiefe <math>q</math> in m²/s. Damit die Widerstände aus dem 3D-Modell verwendet werden können, wird <math>q</math> mit einer einheitlichen Ersatztiefe <math>b</math> in einen Volumenstrom umgerechnet: :<math>Q = q \cdot b, \qquad b = \frac{\pi \, D_{CC}}{4}</math> Die Ersatztiefe ist so gewählt, dass am Einlass mit der mittleren Einströmgeschwindigkeit <math>\bar{u}_{ein} = Q_0 / (\pi D_{CC}^2/4) \approx 0{,}21\,\text{m/s}</math> genau der Volumenstrom des 3D-Modells von 6 ml/s ankommt. Weil dieselbe Ersatztiefe für alle Ränder gilt, bleibt die Massenbilanz erhalten. === Ergebnisse mit Resistenzrandbedingung === {| class="wikitable" style="text-align:center" |+ Maximale Geschwindigkeit ! Stenosegrad S !! <math>u_{max}</math> [m/s] |- | 0 || 0,324^* |- | 0,3 || 0,323^* |- | 0,6 || 0,529 |- | 0,8 || 1,067 |} ^* Bei S = 0 und S = 0,3 liegt das Geschwindigkeitsmaximum nicht in der Stenose, sondern in der A. carotis communis. {| class="wikitable" style="text-align:center" |+ Druck vor und nach der Stenose ! Stenosegrad S !! <math>p_{vor}</math> [Pa] !! <math>p_{nach}</math> [Pa] !! Druckverlust <math>\Delta p = p_{vor} - p_{nach}</math> [Pa] !! <math>\Delta p</math> [mmHg] |- | 0 || 11 802 || 11 793 || 9 || 0,07 |- | 0,3 || 11 808 || 11 790 || 18 || 0,14 |- | 0,6 || 11 838 || 11 760 || 78 || 0,59 |- | 0,8 || 12 024 || 11 626 || 398 || 2,99 |} === Auswertung === * '''Druckniveau:''' Mit der Resistenzrandbedingung liegt der Druck bei etwa 11 800 Pa ≈ 88,5 mmHg. Das entspricht dem mittleren arteriellen Druck in der Carotis. Mit <math>p = 0</math> lagen die Drücke nur bei wenigen Pa bis einigen 100 Pa. * '''Flussaufteilung:''' Die peripheren Widerstände sind wesentlich größer als der Widerstand der Stenose. Deshalb bestimmen sie die Flussaufteilung, und die ACI behält auch bei 80 % Stenose nahezu ihren Anteil (Abnahme von <math>Q_I</math> nur um etwa 1 %). Im Gegensatz zu <math>p = 0</math> kann das Blut nicht einfach in die ACE ausweichen. Das entspricht dem physiologischen Verhalten bei nicht kritischen Stenosen. * '''Geschwindigkeit:''' Weil mehr Blut durch die Engstelle strömen muss, steigen die Geschwindigkeiten in der Stenose gegenüber <math>p = 0</math>. Von S = 0,6 auf S = 0,8 verdoppelt sich <math>u_{max}</math> etwa. * '''Druckverlust:''' Der Druckverlust steigt stark nichtlinear mit dem Stenosegrad. Von S = 0,6 auf S = 0,8 nimmt er etwa um den Faktor 5 zu. * '''Druckrückgewinnung:''' Bei S = 0,8 liegt <math>p_{nach}</math> mit 11 626 Pa sogar unter dem Auslassdruck (≈ 11 680 Pa). Direkt hinter der Engstelle ist die Geschwindigkeit des Strahls noch hoch und der statische Druck entsprechend niedrig. Stromabwärts verlangsamt sich die Strömung, und ein Teil des Drucks wird zurückgewonnen. Der bleibende Druckverlust ist daher etwas kleiner als 398 Pa. === Grenzen und Vergleich mit dem 3D-Modell === * Im 2D-Modell verringert eine Stenose von 80 % nur die '''Spaltbreite''' auf 20 %. Im 3D-Modell sinkt die '''Querschnittsfläche''' dagegen auf <math>0{,}2^2 = 4\,\%</math>. Das 2D-Modell unterschätzt deshalb Geschwindigkeit und Druckverlust in der Stenose systematisch. Klinisch gelten bei Stenosen ab 70 % systolische Spitzengeschwindigkeiten über 2,3 m/s; ab einem Druckgradienten von etwa 10–20 mmHg gilt eine Stenose als hämodynamisch relevant. Beide Grenzen erreicht das 2D-Modell nicht. * Die Umrechnung über die Ersatztiefe <math>\pi D_{CC}/4</math> ist eine Modellannahme. * Der periphere Widerstand ist konstant. Die Autoregulation des Gehirns und die Gefäßelastizität (Windkessel) werden nicht berücksichtigt, und die Rechnung ist stationär (keine Pulsatilität). == Beantwortung der Forschungsfragen == '''Welche Strömungsgrößen reagieren empfindlich auf den Stenosegrad?''' Die Untersuchung der 80-%-Stenose zeigt deutliche Veränderungen der Geschwindigkeitsverteilung, des statischen Drucks und der Wandschubspannung. Die maximale Strömungsgeschwindigkeit beträgt 0,31853 m/s. Zwischen den ausgewählten Messquerschnitten vor und hinter der Stenose ergibt sich eine mittlere statische Druckdifferenz von 36,24 Pa. Die maximale Wandschubspannung auf den untersuchten Stenosewänden beträgt 3,2282 Pa.Da bisher nur die 80-%-Stenose quantitativ ausgewertet wurde, lässt sich noch nicht feststellen, welche dieser Größen bei zunehmendem Stenosegrad am stärksten reagiert. '''Ab welchem Stenosegrad tritt eine Strömungsablösung auf?''' Bei der untersuchten 80-%-Stenose zeigen die Geschwindigkeitskomponenten und die vorzeichenbehaftete Wandschubspannung Hinweise auf Veränderungen der wandnahen Strömungsrichtung hinter der Engstelle. Ein eindeutig geschlossenes Rezirkulationsgebiet konnte jedoch nicht nachgewiesen werden. Ein kritischer Stenosegrad für den Beginn einer Strömungsablösung lässt sich aus dieser einzelnen Simulation daher nicht bestimmen. Hierfür müssten weitere Stenosegrade unter vergleichbaren Bedingungen ausgewertet werden. '''Inwieweit sind die Annahmen einer stationären und laminaren Strömung geeignet?''' Die stationäre, laminare Modellierung ermöglicht es, grundlegende Auswirkungen einer Gefäßverengung auf die Strömung in einer idealisierten Karotis-Bifurkation zu untersuchen. Bei hochgradigen Stenosen können allerdings zeitabhängige und dreidimensionale Strömungsstrukturen auftreten. Diese werden durch das vorliegende stationäre 2D-Modell nicht vollständig erfasst. Die Simulationsergebnisse sind deshalb auf die gewählten Modellannahmen und Randbedingungen beschränkt. '''Zusammenfassend''' liefert die 2D-Simulation eine erste quantitative Beschreibung der Strömungsverhältnisse bei einer hochgradigen ACI-Stenose. Für allgemeine Aussagen über die Abhängigkeit vom Stenosegrad und den Beginn einer Strömungsablösung sind zusätzliche Vergleichsrechnungen erforderlich. = Grenzen des Modells = * Die untersuchte Gefäßgeometrie ist eine idealisierte Darstellung der Karotisaufzweigung. Individuelle anatomische Unterschiede werden nicht berücksichtigt. * Darüber hinaus werden die Gefäßwände als starr angenommen und Blut wird durch ein inkompressibles Newtonsches Fluid mit konstanter Viskosität beschrieben. * Die Strömung wird stationär berechnet. Die natürliche Pulsation des Blutflusses und zeitabhängige Effekte bleiben damit unberücksichtigt. * Insbesondere bei hochgradigen Stenosen können zeitabhängige Strömungsablösungen auftreten, die durch eine stationäre Modellierung nicht vollständig beschrieben werden. * Das Graphenmodell kann lokale Strömungsphänomene nicht detailliert erfassen. Das ebene Flächenmodell vereinfacht die räumliche Gefäßgeometrie. Auch das dreidimensionale Modell bleibt aufgrund der idealisierten Geometrie und der vereinfachten Materialannahmen eine Annäherung an die reale Blutströmung. * Die Ergebnisse sind daher als strömungsmechanische Untersuchung eines idealisierten Modells zu interpretieren und nicht als patientenspezifische medizinische Vorhersage. = Literaturverzeichnis = Alle Quellen sind an den Stellen im Text angegeben, an denen die zugehörigen Werte oder Aussagen verwendet werden. Die Liste wird aus diesen Angaben automatisch erzeugt. <references /> g4w4zb4omtgf4m088jflwn3zldvzvbw 1119126 1119116 2026-11-08T18:04:59Z Heitele 38553 /* Wandschubspannung ÜBERARBEITEN */ 1119126 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Joey Becker * Marie-Thérèse Heitele * Nicole Pander = Thema und Fragestellung = Gegenstand dieses Projekts ist die numerische Simulation der Blutströmung in einer verzweigten Halsschlagader ('''Carotis-Bifurkation''') unter dem Einfluss einer lokalen Gefäßverengung ('''Stenose'''). Im Vergleich zu einfachen Rohrströmungen wird hier die realitätsnahe Gefäßanatomie betrachtet: Die '''Arteria carotis communis (ACC)''' teilt sich in die '''Arteria carotis externa (ACE)''' und die '''Arteria carotis interna (ACI)''' auf. Während die '''ACE''' als gesunder, stenosefreier Ast dient, wird in der '''ACI''' eine geglättete, kosinusförmige Gefäßverengung modelliert. Um scharfe Kanten und unphysiologische Druckspitzen zu vermeiden, werden alle Wandübergänge und die Gabelungsspitze (Apex) anatomisch verrundet. Als Referenz dient ein gesundes, unverengtes Gefäß, in dem sich die Poiseuille-Strömung mit ihrem charakteristischen parabolischen Geschwindigkeitsprofil ausbildet. Diese Strömung ist aus zwei Gründen der natürliche Ausgangspunkt. Sie beschreibt den physiologischen Normalfall, mit dem jeder Stenosegrad verglichen wird, und sie ist exakt lösbar, sodass sich an ihr jede numerische Rechnung prüfen lässt, bevor die Verengung hinzukommt. == Fragestellung == Die Hauptfragestellung dieses Projektes lautet: Wie verändert eine symmetrische bzw. rotationssymmetrische Stenose in der '''Arteria carotis interna (ACI)''' die stationäre Strömung eines inkompressiblen Newton’schen Fluids in einer 2D-Carotis-Bifurkation hinsichtlich Geschwindigkeitsverteilung, Druckabfall, Wandschubspannung und Wirbelbildung im Vergleich zu den gesunden Gefäßabschnitten? Aus dieser Fragestellung ergeben sich drei Teilfragen, an denen sich der Aufbau der Seite orientiert: # Welche Strömungsgrößen reagieren empfindlich auf den Stenosegrad und welche nur träge? # Ab welchem Stenosegrad ändert sich das Strömungsmuster qualitativ, das heißt, ab wann löst die Strömung hinter der Engstelle von der Wand ab und bildet ein Rückströmgebiet? # Wie weit tragen die vereinfachenden Modellannahmen, insbesondere die Annahme einer stationären und laminaren Strömung, über den untersuchten Bereich der Stenosegrade? == Modellannahmen == Im Hinblick darauf werden für dieses Projekt einige Annahmen getroffen, um das Projekt möglichst isoliert zu untersuchen und zu simplifizieren: * '''Idealisierte Gefäßgeometrie''': Betrachtet wird ein Teilabbschnitt der ''Arteria carotis communis'', die sog. ''ACI''. Zudem werden Gefäßverkrümmungen, weitere Verzweigungen und patientenspezifische Strukturen nicht berücksichtigt. * '''Starre Gefäßwand''': Die Gefäßwand wird als unbeweglich und nicht verformbar angenommen. Eine Wechselwirkung zwischen elastischer Gefäßwand und Blutströmung wird nicht modelliert. * '''Stationäre Strömung''': Die Strömungsgrößen werden als zeitlich konstant angenommen. Die im realen Blutkreislauf vorhandene Pulsation durch den Herzschlag wird daher vernachlässigt: <math>\frac{\partial u}{\partial t}=0</math>. * '''Inkompressibles Fluid''': Die Dichte des Fluids wird als konstant angenommen. Damit gilt für die Geschwindigkeit <math>\nabla \cdot u=0</math>. Dies entspricht der in der Vorlesung behandelten Massenerhaltung für inkompressible Fluide: Was in das Gefäß einströmt, muss auch wieder ausströmen. * '''Newton'sche Näherung für Blut''': Reales Blut beseitzt ein nicht newton'sches Fließverhalten. Hier wird Blut als Newton'sches Fluid behandelt. * '''Konstante Stoffeigenschaften''': Dichte <math>\rho</math> und dynamische Viskosität μ werden als räumlich und zeitlich konstant angenommen. Temperaturabhängigkeiten werden nicht berücksichtigt. * '''Laminare Strömung''': Die Strömung wird mit dem COMSOL-Modul ''Laminar Flow'' beschrieben. Ein zusätzliches Turbulenzmodell wird nicht verwendet. * '''No-Slip-Bedingung an Gefäßwand''': Aufgrund der Viskosität wird angenommen, dass das Fluid direkt an der Gefäßwand haftet. Somit gilt <math>u=0</math>. * '''Vernachlässigung der Gravitation''': Gravitation wird nicht berücksichtigt. Die Strömung wird ausschließlich durch die gewählten Ein- und Auslassbedingungen bestimmt. = Relevanz = Die Untersuchung von Gefäßverengungen besitzt sowohl eine medizinische als auch eine methodische Bedeutung. Aus medizinischer Sicht sind arterielle Stenosen – etwa in der Halsschlagader, lat. ''arteria carotis communis'', – kritisch, da sie die Durchblutung beeinträchtigen und durch veränderte Wandschubspannungen sowie die Bildung von Wirbeln weitere Gefäßablagerungen begünstigen. Stenosen im Bereich der Karotisgabelung sind klinisch hochrelevant, da sie das Gehirn direkt versorgen und das Risiko für embolische Schlaganfälle erhöhen. Fachlich überträgt das Projekt damit die Prinzipien der Strömungsmechanik direkt auf eine biomedizinische Anwendung. Das Projekt verknüpft somit theoretische Grundlagen der Strömungsmechanik (Hagen-Poiseuille-Gleichung, Navier-Stokes-Gleichungen) mit der numerischen Simulation in COMSOL Multiphysics. Durch den Vergleich der '''gesunden Externa (ACE)''' mit der '''stenoisierten Interna (ACI)''' innerhalb desselben Rechengebiets wird die isolierte Wirkung der Stenose unter identischen Randbedingungen direkt sichtbar gemacht. == Medizinische Relevanz == Arterielle Stenosen entstehen überwiegend durch Atherosklerose, also durch Ablagerungen aus Lipiden, Bindegewebe und Kalk in der Gefäßwand. In der Halsschlagader sind sie klinisch besonders bedeutsam, weil sie die Durchblutung des Gehirns beeinträchtigen und weil sich an ihnen Thromben bilden können, die als Embolie einen Schlaganfall auslösen. Dass die operative Entfernung einer hochgradigen Karotisstenose das Schlaganfallrisiko symptomatischer Patienten deutlich senkt, hat die NASCET-Studie gezeigt, deren Einteilung der Stenosegrade dieses Projekt übernimmt.<ref name="nascet">North American Symptomatic Carotid Endarterectomy Trial Collaborators: ''Beneficial effect of carotid endarterectomy in symptomatic patients with high-grade carotid stenosis.'' New England Journal of Medicine 325 (1991), Nr. 7, S. 445-453.</ref> Strömungsmechanisch ist an einer Stenose vor allem die Wandschubspannung von Interesse, also die tangentiale Kraft je Fläche, die das strömende Blut auf die innerste Zellschicht der Gefäßwand ausübt. Gesunde Halsschlagadern weisen zeitlich gemittelte Werte von etwa 1,1 bis 1,5 Pa auf.<ref name="samijo">Samijo, S. K.; Willigers, J. M.; Barkhuysen, R.; Kitslaar, P. J. E. H. M.; Reneman, R. S.; Brands, P. J.; Hoeks, A. P. G.: ''Wall shear stress in the human common carotid artery as function of age and gender.'' Cardiovascular Research 39 (1998), Nr. 2, S. 515-522.</ref> In einer Engstelle steigt sie stark an, unmittelbar dahinter fällt sie im Ablösegebiet auf nahezu null und wechselt dort sogar das Vorzeichen. Niedrige und im Vorzeichen wechselnde Wandschubspannungen gelten als Bedingungen, unter denen sich weitere Ablagerungen bevorzugt bilden. Eine bestehende Stenose schafft also stromabwärts die Voraussetzungen für ihr eigenes Wachstum. Genau diese Verteilung lässt sich im Körper nur schwer messen, in einer Simulation dagegen unmittelbar auswerten. == Methodische Relevanz == Fachlich überträgt das Projekt die Prinzipien der Strömungsmechanik aus der Vorlesung auf eine biomedizinische Anwendung.<ref name="hundertmark">Hundertmark, A.: ''Fluiddynamik.'' Vorlesungsunterlagen zum Modul Räumliche Modellbildung, RPTU Kaiserslautern-Landau, Sommersemester 2026.</ref> Der methodische Mehrwert liegt in der Verknüpfung mehrerer Zugänge, die sich gegenseitig kontrollieren. Die analytische Poiseuille-Lösung liefert exakte Sollwerte für das gesunde Gefäß. Ein reduziertes Graphenmodell liefert für jeden Stenosegrad eine schnelle Abschätzung, die analytisch nachrechenbar ist. Die Simulationen in COMSOL Multiphysics lösen schließlich die vollständigen Navier-Stokes-Gleichungen in zwei und drei Raumdimensionen. Weil jede Stufe die Sollwerte der nächsten liefert, zeigt das Projekt nicht nur Ergebnisse, sondern auch, wie numerische Modelle aufgebaut, verifiziert und an ihren Grenzen bewertet werden. == Auswahl der Stenosegrade == Um die untersuchten Gefäßverengungen nicht willkürlich festzulegen, orientiert sich die Auswahl der Stenosegrade an der klinisch gebräuchlichen NASCET-Klassifikation von Karotisstenosen.<ref name="nascet" /> Zur klinischen Einordnung werden Karotisstenosen anhand der nach NASCET bestimmten Durchmesserreduktion in leichtgradige, mittelgradige und hochgradige Stenosen eingeteilt. Die angegebenen Prozentgrenzen dienen in diesem Projekt als Orientierung für die Auswahl der untersuchten Stenosegrade. Ein vollständiger Gefäßverschluss wird als Okklusion bezeichnet. {| class="wikitable" |+ Klinische Einteilung nach NASCET-gemessener Durchmesserreduktion und untersuchte Stenosegrade ! Schweregrad !! Durchmesserreduktion !! im Projekt gerechnete Stenosegrade !! hervorgehobener Vertreter |- | gesundes Gefäß || 0 % || 0 || 0 |- | leichtgradige Stenose || unter 50 % || 0,1 bis 0,4 || 0,3 |- | mittelgradige Stenose || 50 bis 69 % || 0,5 und 0,6 || 0,6 |- | hochgradige Stenose || 70 bis 99 % || 0,7 und 0,8 || 0,8 |- | Okklusion || 100 % || nicht gerechnet || entfällt |} '''Anmerkung''': Die Klassengrenzen dienen der Einordnung der Modellvarianten. Die in der Tabelle genannten Stenosegrade sind dimensionslose Werte, beispielsweise entspricht '''<math>s=0{,}6</math>''' einer Durchmesserreduktion von '''60 %'''. Für die numerische Untersuchung wird aus jeder Kategorie ein repräsentativer Stenosegrad hervorgehoben. Neben dem gesunden Gefäß mit '''0 %''' Stenose sind das eine '''30 %''' Stenose als Beispiel für eine leichtgradige, eine '''60 %''' Stenose als Beispiel für eine mittelgradige und eine '''80 %''' Stenose als Beispiel für eine hochgradige Verengung. Zusätzlich werden für das Graphenmodell und das achsensymmetrische Flächenmodell Stenosegrade von 0 bis 80 % in Schritten von zehn Prozentpunkten vorgesehen. Dadurch kann die Abhängigkeit der Strömungsgrößen vom Stenosegrad systematisch untersucht und grafisch dargestellt werden. Ob alle Modellvarianten tatsächlich berechnet wurden und wie hoch der Rechenaufwand war, wird anhand der durchgeführten Simulationen dokumentiert. Ein vollständiger Gefäßverschluss wird nicht simuliert, da in diesem Fall keine durchgängige Strömung mehr vorliegt. Der Stenosegrad wird in diesem Projekt wie bei NASCET über die Verringerung des Gefäßdurchmessers beschrieben, <math>s = 1 - \frac{d_{\min}}{d_{\mathrm{ref}}},</math> wobei <math>d_{\min}</math> der kleinste Durchmesser in der Engstelle und <math>d_{\mathrm{ref}}</math> ein Referenzdurchmesser ist. NASCET verwendet als Referenz den Durchmesser des gesunden Gefäßes stromabwärts der Stenose. Für das idealisierte gerade Gefäßmodell wird ein konstanter Referenzdurchmesser von <math>D_0=6\,\mathrm{mm}</math> angenommen. Da das Gefäß außerhalb der Stenose denselben Durchmesser besitzt, gilt in diesem Modell<math>d_{\mathrm{ref}}=D_0</math>. Bei der zusätzlich betrachteten Gefäßaufzweigung muss der Referenzdurchmesser dagegen gesondert festgelegt werden, da die Gefäßäste unterschiedliche Durchmesser besitzen. Wichtig für das Verständnis aller weiteren Ergebnisse ist der Unterschied zwischen Durchmesser- und Flächenreduktion. Da die Querschnittsfläche quadratisch vom Durchmesser abhängt, gilt für die Flächenreduktion <math>1-(1-s)^2</math>. Eine im klinischen Sinn nur mittelgradige Stenose von 60 % verschließt damit bereits 84 % der Querschnittsfläche. {| class="wikitable" |+ Durchmesser- und Flächenreduktion der gerechneten Stenosegrade ! Stenosegrad s !! 0 !! 0,1 !! 0,2 !! 0,3 !! 0,4 !! 0,5 !! 0,6 !! 0,7 !! 0,8 |- | engster Durchmesser in mm || 6,0 || 5,4 || 4,8 || 4,2 || 3,6 || 3,0 || 2,4 || 1,8 || 1,2 |- | Flächenreduktion || 0 % || 19 % || 36 % || 51 % || 64 % || 75 % || 84 % || 91 % || 96 % |} Eine Einschränkungen gehört zur ehrlichen Einordnung: # Mit zunehmendem Stenosegrad, insbesondere bei ausgeprägten Verengungen, können lokale Beschleunigungen, Strömungsablösungen und zeitabhängige Strömungsstrukturen auftreten. Daher muss bei den hochgradigen Stenosen geprüft werden, inwieweit die Annahme einer stationären, laminaren Strömung geeignet ist. Eine feste Grenze bei <math>s=0{,}6</math> lässt sich ohne entsprechende Simulationsergebnisse oder Literaturbelege nicht allgemein festlegen. Die hochgradigen Fälle werden deshalb unter besonderer Berücksichtigung der Modellannahmen diskutiert. Unter Modellierung wird in diesem Projekt die Übertragung der Blutströmung in einer verengten Arterie auf ein mathematisches und numerisch lösbares Strömungsproblem verstanden. Dazu werden die Gefäßgeometrie, die zugrunde liegenden Gleichungen, die physikalischen Materialparameter sowie die Anfangs- und Randbedingungen festgelegt. Jeder dieser Bestandteile beruht auf vereinfachenden Annahmen, die begründet und bei der Interpretation der Ergebnisse berücksichtigt werden müssen. Ziel ist es, den Einfluss unterschiedlicher Stenosegrade auf die Strömungsgeschwindigkeit, den Druckverlust und gegebenenfalls die Wandschubspannung systematisch zu untersuchen. Die Modellierung erfolgt anhand mehrerer Modellvarianten mit unterschiedlicher räumlicher Auflösung. Dadurch können zunächst grundlegende Zusammenhänge analytisch abgeschätzt und anschließend mit numerischen Strömungsberechnungen verglichen werden. Die verwendeten Parameter orientieren sich an den bereitgestellten Referenzdaten und werden in den folgenden Abschnitten erläutert. == Modellierung == Ziel der Modellierung ist es, die Blutströmung innerhalb einer Y-förmigen Aufzweigung der Halsschlagader mathematisch und numerisch zu untersuchen. Im Mittelpunkt steht eine Gefäßverengung (Stenose) in der Arteria carotis interna. Das betrachtete Gefäßmodell besteht aus der Arteria carotis communis, die sich in die Arteria carotis interna und die Arteria carotis externa aufteilt. Die Stenose befindet sich ausschließlich in der Arteria carotis interna. Durch die Verengung verändert sich der verfügbare Strömungsquerschnitt. Dies kann zu einer Erhöhung der lokalen Strömungsgeschwindigkeit, zu zusätzlichen Druckverlusten und zu einer Veränderung der Strömungsverteilung zwischen den beiden Gefäßästen führen. Ziel ist es, den Einfluss unterschiedlicher Stenosegrade auf die Strömungsgeschwindigkeit, die Druckverteilung und die Wandschubspannung zu untersuchen. Zusätzlich soll betrachtet werden, wie sich die Strömung innerhalb der Y-förmigen Gefäßaufzweigung verhält. Die numerische Modellierung erfolgt mit COMSOL Multiphysics. Dazu werden die Gefäßgeometrie, die Materialeigenschaften des Blutes, die Strömungsgleichungen und die Randbedingungen festgelegt. Zur Vereinfachung wird Blut zunächst als inkompressibles, Newtonsches Fluid betrachtet. Die Gefäßwände werden als starr angenommen. Diese Annahmen ermöglichen eine systematische Untersuchung der Stenose, schränken jedoch die Übertragbarkeit auf reale physiologische Bedingungen ein. === Modellhierarchie === Für die Untersuchung der Blutströmung innerhalb der Y-förmigen Karotisaufzweigung werden drei Modellvarianten betrachtet. Diese unterscheiden sich hinsichtlich ihrer räumlichen Dimension, ihrer mathematischen Beschreibung und der Genauigkeit, mit der die Strömungsverhältnisse dargestellt werden können. Das untersuchte Gefäß besteht aus der Arteria carotis communis, die sich in die Arteria carotis interna und die Arteria carotis externa aufteilt. Die Stenose befindet sich ausschließlich in der Arteria carotis interna. Alle drei Modellvarianten werden mit COMSOL Multiphysics umgesetzt. {| class="wikitable" style="width:100%;" |+ '''Die drei Modellvarianten des Projekts''' |- ! Modell ! Raumdimension ! Mathematische Grundlage ! Zweck ! Werkzeug |- | '''Graphenmodell''' | 1D, Gefäßnetzwerk mit einer Verzweigung | Massenerhaltung an der Verzweigung und vereinfachte Beschreibung der Strömungswiderstände | Abschätzung der Volumenstromverteilung und der Druckverluste in den Gefäßästen | COMSOL Multiphysics |- | '''Ebenes Flächenmodell''' | 2D, Y-förmige Gefäßgeometrie in kartesischen Koordinaten | Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen | Untersuchung der Geschwindigkeits- und Druckverteilung sowie der Auswirkungen der Stenose in der Arteria carotis interna | COMSOL Multiphysics, Laminare Strömung |- | '''Volumenmodell''' | 3D, räumliche Y-förmige Gefäßgeometrie | Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen | Räumliche Untersuchung des Geschwindigkeitsfeldes, des Druckverlustes und der Wandschubspannung | COMSOL Multiphysics, Laminare Strömung |} ==== Vergleich und Überprüfung der Modellvarianten ==== Die drei Modellvarianten bauen hinsichtlich ihrer räumlichen Beschreibung aufeinander auf. Das Graphenmodell ermöglicht zunächst eine vereinfachte Betrachtung der Volumenströme und Druckverluste. Die zwei- und dreidimensionalen Modelle erlauben anschließend eine detailliertere Untersuchung der Strömung innerhalb der Gefäßaufzweigung. Das '''Graphenmodell''' beschreibt die Arteria carotis communis sowie die beiden abzweigenden Gefäße als miteinander verbundenes Netzwerk. Dabei wird die Massenerhaltung an der Verzweigung berücksichtigt: :<math>Q_{\mathrm{CCA}}=Q_{\mathrm{ICA}}+Q_{\mathrm{ECA}}</math> Das Modell liefert vereinfachte Abschätzungen der Volumenstromverteilung. Lokale Strömungsablösungen und räumliche Geschwindigkeitsverteilungen können damit nicht detailliert dargestellt werden. Das '''ebene Flächenmodell''' bildet die Y-förmige Gefäßaufzweigung in zwei Raumdimensionen ab. Die Stenose wird innerhalb der Arteria carotis interna berücksichtigt. Dadurch können die Geschwindigkeits- und Druckverteilung sowie mögliche Rückströmungsbereiche untersucht werden. Das '''Volumenmodell''' erweitert die Untersuchung auf drei Raumdimensionen. Es ermöglicht eine räumliche Darstellung der Strömung und eine detailliertere Berechnung der Wandschubspannung. Die Ergebnisse des ebenen Flächenmodells und des Volumenmodells werden miteinander verglichen. Da das ebene Modell die räumliche Querschnittsgeometrie nur vereinfacht darstellt, müssen Unterschiede zwischen den beiden Modellen bei der Interpretation berücksichtigt werden. Ziel der Modellhierarchie ist es, die Aussagekraft der einzelnen Modellvarianten zu bewerten und den Einfluss des Stenosegrades auf die Strömung innerhalb der Y-förmigen Karotisaufzweigung zu untersuchen. === Simulationsgebiet und Geometrie === Das Simulationsgebiet besteht aus einer idealisierten Y-förmigen Aufzweigung der Arteria carotis. Die Arteria carotis communis teilt sich in die Arteria carotis interna und die Arteria carotis externa. Die Stenose befindet sich in der Arteria carotis interna. Die Arteria carotis externa wird ohne zusätzliche Verengung modelliert. Die Geometrie orientiert sich an den bereitgestellten Referenzdaten. Die Gefäßdurchmesser werden innerhalb der jeweiligen unverengten Abschnitte als konstant angenommen. {| class="wikitable" style="width:100%;" |+ '''Geometrische Referenzparameter der Y-förmigen Gefäßaufzweigung''' |- ! Gefäßabschnitt ! Durchmesser ! Länge |- | Arteria carotis communis | 6 mm | 60 mm |- | Arteria carotis interna | 5 mm | 60 mm |- | Arteria carotis externa | 4 mm | 60 mm |- | Stenose in der Arteria carotis interna | Abhängig vom Stenosegrad | 10 bzw. 20 mm |} Die Verengung wird über den Stenosegrad <math>s</math> beschrieben. Dieser gibt die relative Verringerung des Gefäßdurchmessers an: :<math>s=1-\frac{d_{\min}}{D_{\mathrm{ICA}}}</math> Dabei bezeichnet <math>d_{\min}</math> den minimalen Durchmesser innerhalb der Stenose und <math>D_{\mathrm{ICA}}</math> den unverengten Referenzdurchmesser der Arteria carotis interna. Für das Modell gilt: :<math>D_{\mathrm{ICA}}=5\,\mathrm{mm}</math> Der minimale Durchmesser ergibt sich damit zu: :<math>d_{\min}=D_{\mathrm{ICA}}(1-s)</math> {| class="wikitable" |+ '''Minimaler Durchmesser der Stenose in der Arteria carotis interna''' |- ! Stenosegrad ! Minimaler Durchmesser |- | 0 % | 5,0 mm |- | 10 % | 4,5 mm |- | 20 % | 4,0 mm |- | 30 % | 3,5 mm |- | 40 % | 3,0 mm |- | 50 % | 2,5 mm |- | 60 % | 2,0 mm |- | 70 % | 1,5 mm |- | 80 % | 1,0 mm |} Die angegebenen Stenosegrade beziehen sich ausschließlich auf den Durchmesser der Arteria carotis interna. Der Durchmesser der Arteria carotis communis wird nicht zur Berechnung des Stenosegrades verwendet. Die Y-förmige Geometrie ermöglicht es, die Auswirkungen der Verengung sowohl auf die lokale Strömung in der Arteria carotis interna als auch auf die Strömungsverteilung innerhalb der gesamten Gefäßaufzweigung zu untersuchen. Die genaue Form der Stenose, der Verzweigungswinkel und die Übergänge zwischen den Gefäßabschnitten müssen entsprechend der tatsächlich in COMSOL verwendeten Geometrie dokumentiert werden. == Stoff- und Strömungsparameter == Die Stoffwerte des Blutes und der Volumenstrom sind die einzigen Eingangsgrößen, die nicht aus der Geometrie folgen. Aus ihnen werden alle weiteren Strömungskennwerte berechnet. Die folgenden Schritte zeigen jede Rechnung einzeln, damit sich jeder Wert nachprüfen lässt. # Die '''Dichte''' wird mit <math>\rho = 1060\ \mathrm{kg/m^3}</math> angesetzt. Der Wert lässt sich als Mischungsregel plausibel machen. Plasma hat eine Dichte von etwa 1025 kg/m³, rote Blutkörperchen von etwa 1100 kg/m³. Bei einem Zellanteil von 45 % ergibt sich <math>0{,}55 \cdot 1025 + 0{,}45 \cdot 1100 \approx 1059\ \mathrm{kg/m^3}</math>. Die Dichte geht nur über die Reynoldszahl in die Rechnung ein, eine Abweichung von einem Prozent ändert die Ergebnisse daher kaum. <!-- FIXME Lehrbuchquelle fuer Plasma- und Erythrozytendichte ergaenzen --> # Die '''dynamische Viskosität''' wird mit <math>\mu = 3{,}5\ \mathrm{mPa\,s}</math> angesetzt. Das ist der Grenzwert der Blutviskosität bei hohen Scherraten, also genau der Wert, der zur Newtonschen Näherung gehört. Derselbe Wert von 0,035 Poise wird auch im Standardwerk zur Modellierung des Herz-Kreislauf-Systems verwendet.<ref name="quarteroni">Quarteroni, A.; Formaggia, L.: ''Mathematical Modelling and Numerical Simulation of the Cardiovascular System.'' In: Ayache, N. (Hrsg.): ''Computational Models for the Human Body.'' Handbook of Numerical Analysis, Bd. XII, Elsevier, Amsterdam 2004, S. 3-127. DOI 10.1016/S1570-8659(03)12001-7. Zur Newtonschen Näherung in großen Gefäßen siehe S. 30, zur Viskosität von 0,035 Poise die Parametertabelle auf S. 116.</ref> # Der '''mittlere Volumenstrom''' wird mit <math>Q_0 = 6\ \mathrm{ml/s}</math> angesetzt. Das ist der zeitlich gemittelte Volumenstrom, der in der gemeinsamen Halsschlagader gesunder Probanden gemessen wurde. # Die '''mittlere Geschwindigkeit''' folgt aus Volumenstrom und Querschnittsfläche, <math>U_0 = \frac{Q_0}{\pi R_0^2} = \frac{6 \cdot 10^{-6}\ \mathrm{m^3/s}}{\pi \cdot (0{,}003\ \mathrm{m})^2} = 0{,}2122\ \mathrm{m/s}</math>. # Die '''Reynoldszahl''' des gesunden Gefäßes ist <math>Re_0 = \frac{\rho\, U_0\, D_0}{\mu} = \frac{1060 \cdot 0{,}2122 \cdot 0{,}006}{0{,}0035} = 385{,}6</math>. Sie wird im Folgenden auf 386 gerundet. # Die '''Einlauflänge''', die eine anfangs gleichförmige Strömung bis zum voll entwickelten Parabelprofil bräuchte, beträgt nach der gebräuchlichen Abschätzung für laminare Rohrströmungen <math>L_e \approx 0{,}06\, Re_0\, D_0 \approx 0{,}06 \cdot 386 \cdot 6\ \mathrm{mm} \approx 139\ \mathrm{mm}</math>.<ref name="durst">Durst, F.; Ray, S.; Ünsal, B.; Bayoumi, O. A.: ''The development lengths of laminar pipe and channel flows.'' Journal of Fluids Engineering 127 (2005), Nr. 6, S. 1154-1160. Für große Reynoldszahlen nähert sich die dort angegebene Korrelation dem Wert 0,057·Re·D.</ref> Das ist fast die gesamte Länge des Rechengebiets. Ein konstantes Einlassprofil würde die Strömung an der Stenose also verfälschen, weshalb am Einlass das voll entwickelte Profil vorgegeben wird. Damit liegen alle globalen Parameter fest. Die folgende Tabelle enthält sie mit genau den Namen, unter denen sie in COMSOL und in den Octave-Skripten verwendet werden. {| class="wikitable" |+ Globale Parameter des Modells ! Name !! Ausdruck in COMSOL !! Wert !! Bedeutung !! Herkunft |- | R0 || 3[mm] || 3 mm || Gefäßradius || Messwerte nach Krejza u. a. 2006, gerundet |- | D0 || 2*R0 || 6 mm || Gefäßdurchmesser || abgeleitet |- | Ls || 2*D0 || 12 mm || Länge der Störstelle || Standardgeometrie nach Varghese u. a. 2007 |- | Lu || 5*D0 || 30 mm || Vorlaufstrecke vor der Stenosemitte || Abstand der Einlassbedingung von der Stenose |- | Ld || 20*D0 || 120 mm || Nachlaufstrecke hinter der Stenosemitte || Platz für das Rückströmgebiet |- | Lf || Ls/2+10*D0 || 66 mm || Ende des fein vernetzten Nachlaufs || erwartete Länge des Rückströmgebiets |- | s || 0 bis 0.8 || 0 bis 0,8 || Stenosegrad bezogen auf den Durchmesser || NASCET-Einteilung |- | rho_b || 1060[kg/m^3] || 1060 kg/m³ || Dichte des Blutes || Mischungsregel, Literaturwert |- | mu_b || 3.5[mPa*s] || 3,5 mPa·s || dynamische Viskosität des Blutes || Hochscherwert, Quarteroni und Formaggia 2004 |- | Q0 || 6[ml/s] || 6 ml/s || mittlerer Volumenstrom || Messwerte nach Holdsworth u. a. 1999 |- | U0 || Q0/(pi*R0^2) || 0,2122 m/s || mittlere Einströmgeschwindigkeit || abgeleitet |- | Re0 || rho_b*U0*D0/mu_b || 385,6 || Reynoldszahl des gesunden Gefäßes || abgeleitet |- | dp_ref || 8*mu_b*U0*(Lu+Ld)/R0^2 || 99,03 Pa || Poiseuille-Druckabfall des gesunden Gefäßes || abgeleitet, Hagen-Poiseuille |} = Implementierung des 2D-Modells in COMSOL Multiphysics = == Zielsetzung des zweidimensionalen Modells == Im Rahmen des Projekts wurde mit COMSOL Multiphysics ein zweidimensionales Modell der menschlichen Halsschlagader erstellt. Ziel ist es, die Blutströmung innerhalb einer Gefäßverzweigung zu untersuchen und insbesondere die Auswirkungen einer lokalen Gefäßverengung (Stenose) auf das Strömungsverhalten zu analysieren. Das Modell bildet die Aufzweigung der Arteria carotis communis (ACC) in die Arteria carotis interna (ACI) und die Arteria carotis externa (ACE) ab. Während die ACE als gesunder Gefäßabschnitt betrachtet wird, befindet sich in der ACI eine lokale Verengung. Dadurch können die Strömungsverhältnisse in beiden Ästen miteinander verglichen werden. Die zweidimensionale Modellierung dient dazu, die Geschwindigkeitsverteilung, den Druckabfall und die Wandschubspannung zu untersuchen. Zusätzlich soll festgestellt werden, ob sich hinter der Stenose Bereiche mit Strömungsablösungen oder Rückströmungen ausbilden. ==Vorgehen== Für die numerische Untersuchung in COMSOL Multiphysics 6.2 zunächst ein zweidimensionales Modell mit der Physik ''Laminare Strömung'' und einer ''stationären Studie'' angelegt. Die Gefäßgeometrie wurde vollständig parametrisiert, damit Durchmesser, Gefäßlängen, Verzweigungswinkel, Stenosegrad sowie die Stenoselänge veränderbar sind, ohne das Modell jeweils neu zu zeichnen. Das gemeinsame Zuflussgefäß stellt die Arteria carotis communis mit einem Durchmesser von <math>6\,\mathrm{mm}</math> dar. Nach einem geraden Einlaufabschnitt von <math>60\,\mathrm{mm}</math> teilt es sich V-förmig in die beiden Tochtergefäße auf. Die Arteria carotis interna wird mit einem Durchmesser von <math>5\,\mathrm{mm}</math>, die Arteria carotis externa mit <math>4\,\mathrm{mm}</math> modelliert. Beide Tochtergefäße sind jeweils <math>60\,\mathrm{mm}</math> lang. Die Grundgeometrie wurde als zusammenhängender zweidimensionaler Volumenkörper aufgebaut. Die beiden Tochtergefäße verlaufen nach der Bifurkation unter einem Winkel auseinander, sodass eine idealisierte Y-förmige Karotisgabel entsteht. Die Übergänge zwischen dem gemeinsamen Gefäß und den beiden Ästen wurden bewusst vereinfacht, aber ohne abrupte Querschnittssprünge gestaltet. Auf diese Weise bleibt die Geometrie ausreichend einfach für einen systematischen Vergleich verschiedener Modellvarianten, bildet die typische Aufzweigung einer Karotis. Die Stenose befindet sich ausschließlich in der Arteria carotis interna. Um die Verengung nicht durch gerade Polygonsegmente mit scharfen Knicken darzustellen, wurde ihre Kontur mithilfe von zwei parametrischen Kosinuskurven erzeugt. Zur Beschreibung der Stenose wird eine parametrische Kurve mit dem Hilfsparameter <math>t</math> verwendet. Dieser nimmt Werte zwischen <math>-1</math> und <math>1</math> an. Über die Beziehung <math>x(t)=x_\mathrm{st}+\frac{L_\mathrm{st}}{2}t</math> wird der Parameter auf die räumliche Position entlang des Gefäßes übertragen. Für <math>t=-1</math> liegt der Beginn der Stenose bei <math>x_\mathrm{st}-L_\mathrm{st}/2</math>, für <math>t=0</math> befindet sich die Kurve in der Stenosenmitte und für <math>t=1</math> am Ende bei <math>x_\mathrm{st}+L_\mathrm{st}/2</math>. Dadurch kann die Länge der Stenose über den Parameter <math>L_\mathrm{st}</math> verändert werden, ohne ihre Mittelpunktposition <math>x_\mathrm{st}</math> zu verschieben. Die Einengung wächst vom Beginn der Stenose kontinuierlich bis zur Engstelle an und nimmt danach ebenso kontinuierlich wieder ab. Dadurch entstehen glatte Wandübergänge. Die Stärke der Einengung wird über den dimensionslosen Stenosegrad <math>s</math> gesteuert. Für einen unverengten Durchmesser der Arteria carotis interna von <math>D_\mathrm{ACI}=5\,\mathrm{mm}</math> ergibt sich bei einem Stenosegrad von <math>s=0{,}3</math> eine minimale Gefäßweite von <math>3{,}5\,\mathrm{mm}</math>, bei <math>s=0{,}6</math> von <math>2{,}0\,\mathrm{mm}</math> und bei <math>s=0{,}8</math> von <math>1{,}0\,\mathrm{mm}</math>. Die minimale Gefäßweite ergibt sich allgemein aus <math>d_\mathrm{min}=D_\mathrm{ACI}(1-s)</math>. Die beiden parametrischen Kurven wurden mit Hilfslinien zu geschlossenen Flächen ergänzt und anschließend über „Umwandeln in Volumenkörper“ in Flächenobjekte überführt. Mithilfe einer Differenzoperation wurden diese Flächen aus dem Gefäßgebiet ausgeschnitten. Auf diese Weise bleibt die Grundgeometrie des Gefäßes unverändert, während Stenosegrad und Stenosenlänge allein über globale Parameter variiert werden können. Für die Strömung wurde Blut als inkompressibles Newtonsches Fluid mit konstanter Dichte und Viskosität angenähert. Verwendet werden eine Dichte von <math>\rho=1060\,\mathrm{kg/m^3}</math> und eine dynamische Viskosität von <math>\mu=3,5\,\mathrm{mPa s}</math>. Am Einlass wird ein voll entwickeltes Geschwindigkeitsprofil vorgegeben. Aus dem auf der Projektseite angesetzten mittleren Volumenstrom von <math>6\,\mathrm{ml/s}</math> ergibt sich für das <math>6\,\mathrm{mm}</math> breite Zuflussgefäß eine mittlere Geschwindigkeit von rund <math>0{,}21\,\mathrm{m/s}</math>. An beiden Auslässen wird derselbe Referenzdruck vorgegeben, während an sämtlichen Gefäßwänden die Haftbedingung (No Slip) gilt. Nach Fertigstellung der Geometrie wurde ein physikgesteuertes Finite-Elemente-Netz erzeugt und die stationäre Navier-Stokes-Strömung berechnet. Anschließend wurden insbesondere der Geschwindigkeitsbetrag, die Druckverteilung und die Stromlinien ausgewertet. Die Stromlinien dienen dabei nicht nur der Visualisierung der Aufteilung des Blutstroms an der Bifurkation, sondern auch zur Erkennung möglicher Ablöse- und Rückströmungsgebiete hinter der Stenose. Zusätzlich kann die Wandschubspannung entlang der Gefäßwand ausgewertet werden. Die verschiedenen Stenosegrade werden jeweils bei ansonsten identischen Randbedingungen miteinander und mit dem gesunden Referenzfall verglichen. == Ergebnisse der 2D-Strömungssimulation == Die zweidimensionale Strömungssimulation wurde mit COMSOL Multiphysics durchgeführt, um die Auswirkungen einer lokalen Gefäßverengung auf die Blutströmung innerhalb einer idealisierten Karotis-Bifurkation zu untersuchen. Im Mittelpunkt der Auswertung stehen die Geschwindigkeitsverteilung, die Druckverteilung sowie die Wandschubspannung. Ergänzend werden Stromlinien betrachtet, um mögliche Veränderungen des Strömungsverlaufs und das Auftreten von Rückströmungsgebieten hinter der Stenose zu untersuchen. Die Ergebnisse werden hinsichtlich ihrer strömungsmechanischen Bedeutung interpretiert und unter Berücksichtigung der vereinfachenden Modellannahmen bewertet. === Quantitative Auswertung der Strömungsgeschwindigkeit === Zur Untersuchung des Einflusses verschiedener Stenosegrade auf die Strömungsgeschwindigkeit wurde in COMSOL Multiphysics der Geschwindigkeitsbetrag <code>spf.U</code> mithilfe der Funktion ''Oberflächenmaximum'' ausgewertet. Dabei wurden Stenosegrade von 0 %, 30 %, 60 %, 80 % und 100 % betrachtet. Die Berechnungen erfolgten zunächst mit einer Druckrandbedingung von <math>p_0 = 0\,\mathrm{Pa}</math> und anschließend mit einer Resistenzrandbedingung bei <math>k_R = 1</math>. ==== Druckrandbedingung ==== Bei der Druckrandbedingung wurde die maximale Geschwindigkeit über das gesamte Strömungsgebiet bestimmt. {| class="wikitable" ! Stenosegrad ! Maximale Geschwindigkeit [m/s] |- | 0 % || 0,28385 |- | 30 % || 0,27091 |- | 60 % || 0,35036 |- | 80 % || 0,38530 |- | 100 % || 0,46125 |} Die Ergebnisse zeigen zunächst eine leichte Abnahme der maximalen Geschwindigkeit bei 30 % Stenose. Ab 60 % steigt diese mit zunehmender Verengung an. Dies ist mit einer lokalen Beschleunigung der Strömung infolge des verringerten Strömungsquerschnitts vereinbar. Bei 100 % Stenose beträgt das globale Geschwindigkeitsmaximum 0,46125 m/s. Da die Arteria carotis interna (ACI) vollständig verschlossen ist, beschreibt dieser Wert nicht die Strömung durch den Verschluss, sondern kann aus einem anderen, weiterhin durchströmten Gefäßbereich stammen. ==== Graphische Auswertungen in Comsol ==== [[Datei:0%, Geschwindigkeit, p0=0.png|mini|zentriert|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 0 % Stenose und einer Druckrandbedingung von p₀ = 0 Pa.]] <div style="display:flex; justify-content:center; gap:15px;"> <div> [[Datei:0,3%, Geschwindigkeit, p0=0.png|mini|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 30 % Stenose und einer Druckrandbedingung von p₀ = 0 Pa.]] </div> <div> [[Datei:0,3%, Geschwindigkeit, p0=0, Nah Stenose.png|mini|300px|Vergrößerte Geschwindigkeitsverteilung im Bereich der 30%igen Stenose bei p₀ = 0 Pa.]] </div> </div> <div style="display:flex; justify-content:center; gap:15px;"> <div> [[Datei:0,6%, Geschwindigkeit, p0=0.png|mini|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 60 % Stenose und einer Druckrandbedingung von p₀ = 0 Pa.]] </div> <div> [[Datei:0,6%, Geschwindigkeit, p0=0, Nah Stenose.png|mini|300px|Vergrößerte Geschwindigkeitsverteilung im Bereich der 60%igen Stenose bei p₀ = 0 Pa.]] </div> </div> <div style="display:flex; justify-content:center; gap:15px;"> <div> [[Datei:0,8%, Geschwindigkeit, p0=0.png|mini|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 80 % Stenose und einer Druckrandbedingung von p₀ = 0 Pa.]] </div> <div> [[Datei:0,8%, Geschwindigkeit, p0=0, Nah Stenose.png|mini|300px|Vergrößerte Geschwindigkeitsverteilung im Bereich der 80%igen Stenose bei p₀ = 0 Pa.]] </div> </div> <div style="display:flex; justify-content:center; gap:15px;"> <div> [[Datei:100%, Geschwindigkeit, p0=0.png|mini|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 100 % Stenose und einer Druckrandbedingung von p₀ = 0 Pa.]] </div> <div> [[Datei:100%, Geschwindigkeit, p0=0, Nah Stenose.png|mini|300px|Vergrößerte Darstellung des vollständig verschlossenen Bereichs der ACI bei 100 % Stenose und p₀ = 0 Pa.]] </div> </div> Die Farbskala zeigt den Betrag der Strömungsgeschwindigkeit in m/s. Blaue Bereiche kennzeichnen niedrige, grüne und gelbe mittlere sowie rote Bereiche hohe Geschwindigkeiten. Im unverengten Gefäß ist die Geschwindigkeit in der Gefäßmitte am höchsten und nimmt zu den Gefäßwänden hin ab. Mit zunehmendem Stenosegrad verändert sich die Geschwindigkeitsverteilung deutlich. Im Bereich der Engstelle wird die Strömung lokal beschleunigt, während hinter der Verengung Bereiche niedriger Geschwindigkeit auftreten können. Bei 100 % Stenose ist die ACI vollständig verschlossen, sodass die Strömung nur noch über den offenen Gefäßast abfließen kann. === Resistenzrandbedingung und Vergleich === Anschließend wurde die Strömung unter Verwendung einer Resistenzrandbedingung mit konstantem Parameter <math>k_R = 1</math> untersucht. Bei zunehmender Verengung traten Konvergenzprobleme auf. Ab ungefähr 73 % Stenose konnte keine konvergierende stationäre Lösung mehr bestimmt werden. Daher wurden für die hochgradigen Stenosen ergänzend zeitabhängige Simulationen durchgeführt. {| class="wikitable" ! Stenosegrad ! Druckrandbedingung <math>p_0 = 0\,\mathrm{Pa}</math> [m/s] ! Resistenzrandbedingung <math>k_R = 1</math> [m/s] |- | 0 % || 0,28385 || 0,32426 |- | 30 % || 0,27081 || 0,32219 |- | 60 % || 0,35036 || 0,53188 |- | 80 % || 0,3858 || 1,0674 |- | 100 % || 0,46125 || <math>\approx 0</math> * |} <small>* Bei 100 % Stenose wurde für die Resistenzrandbedingung ausschließlich das Gebiet hinter dem vollständigen Verschluss ausgewertet. Die maximale Geschwindigkeit beträgt dort <math>v_{\max} = 2{,}1416 \cdot 10^{-21}\,\mathrm{m/s} \approx 0\,\mathrm{m/s}</math>.</small> Der Vergleich zeigt, dass die maximale Geschwindigkeit bei der Resistenzrandbedingung insbesondere bei höheren Stenosegraden deutlich stärker ansteigt. Bei 80 % Stenose wird mit 1,0674 m/s ein wesentlich höherer Wert erreicht als bei der Druckrandbedingung mit 0,3858 m/s. Dies verdeutlicht den Einfluss der Auslassrandbedingungen auf die Strömungsverteilung innerhalb der Gefäßverzweigung. Bei vollständigem Gefäßverschluss ist ein direkter Vergleich der beiden Werte nicht möglich, da unterschiedliche Strömungsgebiete ausgewertet wurden. Während bei der Druckrandbedingung das globale Maximum betrachtet wurde, beschreibt der Wert der Resistenzrandbedingung die praktisch zum Stillstand gekommene Strömung hinter der Stenose. Insgesamt zeigen die Ergebnisse, dass sowohl der Stenosegrad als auch die gewählten Randbedingungen einen wesentlichen Einfluss auf die maximale Strömungsgeschwindigkeit besitzen. Die Konvergenzprobleme bei hochgradigen Stenosen verdeutlichen zudem die Notwendigkeit einer ergänzenden zeitabhängigen Untersuchung. ==== Graphische Auswertungen in Comsol ==== [[Datei:0%, Geschwindigkeit, Resbed..png|mini|zentriert|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 0 % Stenose mit Resistenzrandbedingung (k_R = 1).]] <div style="display:flex; justify-content:center; gap:15px;"> <div> [[Datei:0,3%, Geschwindigkeit, Resbed..png|mini|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 30 % Stenose mit Resistenzrandbedingung (k_R = 1).]] </div> <div> [[Datei:0,3%, Geschwindigkeit, Resbed., Nah Stenose.png|mini|300px|Vergrößerte Geschwindigkeitsverteilung im Bereich der 30%igen Stenose mit Resistenzrandbedingung (k_R = 1).]] </div> </div> <div style="display:flex; justify-content:center; gap:15px;"> <div> [[Datei:0,6%, Geschwindigkeit, Resbed..png|mini|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 60 % Stenose mit Resistenzrandbedingung (k_R = 1).]] </div> <div> [[Datei:0,6%, Geschwindigkeit, Resbed., Nah Stenose.png|mini|300px|Vergrößerte Geschwindigkeitsverteilung im Bereich der 60%igen Stenose mit Resistenzrandbedingung (k_R = 1).]] </div> </div> <div style="display:flex; justify-content:center; gap:15px;"> <div> [[Datei:0,8%, Geschwindigkeit, Resbed., zeitabh., Zeit 1 s.png|mini|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 80 % Stenose mit Resistenzrandbedingung (k_R = 1) zum Zeitpunkt t = 1 s.]] </div> <div> [[Datei:0,8%, Geschwindigkeit, Resbed., zeitabh., Zeit 1 s, Nah Stenose.png|mini|300px|Vergrößerte Geschwindigkeitsverteilung im Bereich der 80%igen Stenose mit Resistenzrandbedingung (k_R = 1) zum Zeitpunkt t = 1 s.]] </div> </div> <div style="display:flex; justify-content:center; gap:15px;"> <div> [[Datei:1%, Geschwindigkeit, Resbed., zeitabh., Zeit 1 s,.png|mini|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 100 % Stenose mit Resistenzrandbedingung (k_R = 1) zum Zeitpunkt t = 1 s.]] </div> <div> [[Datei:1%, Geschwindigkeit, Resbed., zeitabh., Zeit 1 s, nah Stenose.png|mini|300px|Vergrößerte Darstellung des vollständig verschlossenen ACI-Bereichs bei 100 % Stenose mit Resistenzrandbedingung (k_R = 1) zum Zeitpunkt t = 1 s.]] </div> </div> ===== Untersuchung möglicher Rückströmungsbereiche (RAUS????) ===== Zur Untersuchung möglicher Rückströmungsbereiche wurde der stenotische Abschnitt der ACI vergrößert dargestellt. Zusätzlich zum Geschwindigkeitsfeld wurden Stromlinien mit erhöhter Startpunktanzahl visualisiert. Die Stromlinien zeigen eine Bündelung der Strömung im Bereich der Engstelle und eine anschließende Auffächerung im erweiterten Gefäßabschnitt. In der vergrößerten Darstellung treten entlang der oberen und unteren Gefäßwand hinter der Stenose, ungefähr zwischen x = 104 mm und x = 108 mm, schmale Bereiche mit negativer Geschwindigkeitskomponente auf. Die negative Geschwindigkeitskomponente wurde entlang einer um 15° geneigten Richtung bestimmt. Die dargestellten Werte liegen im Bereich weniger Millimeter pro Sekunde und sind damit deutlich kleiner als die maximale Strömungsgeschwindigkeit von 0,31853 m/s. Trotz der erhöhten Stromliniendichte ist kein eindeutig geschlossenes Rezirkulationsgebiet erkennbar. Die negativen Geschwindigkeitskomponenten liefern Hinweise auf lokale Veränderungen der Strömungsrichtung, stellen jedoch allein keinen sicheren Nachweis einer Strömungsablösung dar. <div style="text-align:center;"> [[Datei:Rückströmungsgebiete 2D.png|800px|zentriert|Vergrößerte Darstellung der Stromlinien und möglicher Rückströmungsbereiche hinter der 80-%-Stenose der ACI. Die Farbskala zeigt die negative Geschwindigkeitskomponente entlang einer um 15° geneigten Richtung. Schmale Bereiche mit negativen Werten sind an den Gefäßwänden erkennbar. Ein geschlossenes Rezirkulationsgebiet ist nicht eindeutig nachweisbar.]] <small>'''Abbildung 2:''' Vergrößerte Darstellung des ACI-Abschnitts hinter der Stenose. Die Farbskala zeigt die Geschwindigkeitskomponente in einer um 15° geneigten Richtung in m/s. Negative Werte weisen auf lokale Strömungsanteile entgegen dieser Richtung hin, belegen jedoch für sich genommen noch keine geschlossene Rezirkulationszone.</small> </div> Auch hier kennzeichnen blaue Farbtöne niedrige und rote Farbtöne hohe Strömungsgeschwindigkeiten. Mit zunehmender Stenose wird die Beschleunigung im Bereich der Engstelle besonders deutlich. Im Vergleich zur Druckrandbedingung treten bei höheren Stenosegraden größere maximale Geschwindigkeiten auf. Bei 80 % Stenose zeigt die zeitabhängige Simulation eine ausgeprägte Geschwindigkeitskonzentration im verengten Gefäßabschnitt. Bei 100 % Stenose kommt die Strömung im vollständig abgetrennten ACI-Bereich praktisch zum Stillstand, während die ACE weiterhin durchströmt wird. Die Ergebnisse verdeutlichen, dass die Wahl der Auslassrandbedingung die Geschwindigkeitsverteilung wesentlich beeinflusst. === Druckverteilung und Druckabfall === Die Druckverteilung wurde anhand der berechneten Isobaren innerhalb der zweidimensionalen Karotis-Bifurkation untersucht. Dabei zeigt sich eine Abnahme des statischen Drucks vom gemeinsamen Zuflussgefäß in Richtung der beiden Gefäßausgänge. Der maximale berechnete Druck beträgt etwa '''74,2 Pa''', während der minimale Druck bei etwa '''−19,9 Pa''' liegt. Daraus ergibt sich eine globale Druckspanne von ungefähr '''94,1 Pa'''. Besonders auffällig ist die Druckverteilung im Bereich der Stenose der Arteria carotis interna (ACI). Dort liegen die Isobaren deutlich enger beieinander, was auf einen ausgeprägten lokalen Druckgradienten hinweist. Stromabwärts der Engstelle treten zudem Bereiche mit niedrigem statischem Druck auf. '''Interpretation''': Die Ergebnisse zeigen, dass die Stenose die lokale Druckverteilung im ACI-Ast deutlich beeinflusst. Die Beschleunigung der Strömung innerhalb der Verengung geht mit einer Abnahme des statischen Drucks einher. Die globale Druckspanne von 94,1 Pa darf jedoch nicht mit dem irreversiblen Druckverlust über der Stenose gleichgesetzt werden. Die globale Druckspanne von 94,1 Pa ist nicht mit dem Druckabfall über der Stenose gleichzusetzen. Zur genaueren Untersuchung wurden deshalb zwei Messquerschnitte vor und hinter der Engstelle ausgewertet. Zwischen diesen ergibt sich eine mittlere statische Druckdifferenz von 36,24 Pa. <div style="text-align:center;"> [[Datei:Druckverteilung_2D.png|800px|zentriert|Druckverteilung der stationären 2D-Strömungssimulation einer idealisierten Karotis-Bifurkation mit 80 % Stenose in der Arteria carotis interna (ACI). Die Isobaren zeigen den Druckverlauf innerhalb der Gefäßgeometrie. Besonders im Bereich der Stenose ist ein ausgeprägter lokaler Druckgradient erkennbar. Der berechnete Druck liegt zwischen −19,9 Pa und 74,2 Pa.]] <small>'''Abbildung 3:''' Druckverteilung der stationären 2D-Strömungssimulation einer idealisierten Karotis-Bifurkation mit 80 % Stenose in der Arteria carotis interna (ACI). Die Isobaren zeigen den Druckverlauf innerhalb der Gefäßgeometrie. Besonders im Bereich der Stenose ist ein ausgeprägter lokaler Druckgradient erkennbar. Der berechnete Druck liegt zwischen −19,9 Pa und 74,2 Pa.</small> </div> ==== Quantitative Bestimmung der Druckdifferenz ==== Zur quantitativen Untersuchung des Druckabfalls wurden zwei Messquerschnitte im ACI-Ast definiert, einer vor und einer hinter der Stenose. Mithilfe der COMSOL-Funktion „Linienmittelwert“ wurde der mittlere statische Druck an beiden Positionen bestimmt. Vor der Stenose beträgt der mittlere Druck '''35,232 Pa''', während hinter der Stenose ein Wert von '''−1,0042 Pa''' ermittelt wurde. Daraus ergibt sich eine Druckdifferenz von '''36,24 Pa'''. Die Ergebnisse zeigen eine deutliche Abnahme des statischen Drucks zwischen den beiden Messquerschnitten. Diese Druckdifferenz verdeutlicht die Druckänderung entlang des stenotischen ACI-Astes. Sie ist jedoch nicht mit dem ausschließlich durch die Stenose verursachten irreversiblen Druckverlust gleichzusetzen, da auch die Strömungsentwicklung in den angrenzenden Gefäßabschnitten berücksichtigt wird. {| class="wikitable" style="text-align:center;" ! Stenosegrad ! <math>\bar p_\mathrm{vor}</math> [Pa] ! <math>\bar p_\mathrm{nach}</math> [Pa] ! <math>\Delta p</math> [Pa] |- | 0 % | 11,631 | 4,2461 | 7,3849 |- | 30 % | 16,919 | 2,9220 | 13,997 |- | 60 % | 35,835 | -0,58267 | 36,41767 |- | 80 % | 70,562 | -0,55906 | 71,12106 |} === Ausblick: Wandschubspannung im Vergleich === Zur Untersuchung der mechanischen Belastung der Gefäßwände wurde die Wandschubspannung (Wall Shear Stress, WSS) im zweidimensionalen Strömungsmodell ausgewertet. Sie beschreibt die tangentiale viskose Spannung, die durch die Strömung an der Gefäßwand entsteht. Die quantitative Auswertung erfolgte für die obere und untere Wand des stenotischen ACI-Abschnitts. Hierfür wurden die entsprechenden Wandkanten in COMSOL ausgewählt und der Betrag der Wandschubspannung bestimmt. Die Abbildung zeigt die Verteilung der Wandschubspannung (Wall Shear Stress, WSS) an den Gefäßwänden im Bereich der 80-%-Stenose der ACI. Die Auswertung erfolgte einmal mit und einmal ohne Resistenzrandbedingung. Für <math>p_0 = 0\,\mathrm{Pa}</math>: * Die Farbskala verdeutlicht die unterschiedlich starke Belastung der Gefäßwand durch die Blutströmung. '''Blaue Bereiche''' kennzeichnen geringe Wandschubspannungen von etwa 1 bis 2 Pa, während '''grüne und gelbe Bereiche''' mittlere Werte anzeigen. Im '''orange-roten Bereich''' nahe der stärksten Verengung steigt die Wandschubspannung deutlich an. Das mithilfe des Linienmaximums ermittelte Maximum beträgt '''6,0400 Pa'''. * Die erhöhten Werte im Bereich der Stenose lassen sich durch die starke Verengung des Gefäßquerschnitts erklären. Dadurch entstehen größere Geschwindigkeitsänderungen in Wandnähe, die zu einer erhöhten Wandschubspannung führen können. Die Abbildung zeigt somit, dass die mechanische Belastung der Gefäßwand innerhalb des untersuchten Stenosebereichs nicht gleichmäßig verteilt ist, sondern lokal deutlich zunimmt. [[Datei:WSS P0=0.png|300px|mini|zentriert|Verteilung der Wandschubspannung (WSS) im Bereich der 80-%-Stenose der Arteria carotis interna bei der Druckrandbedingung <math>p_0 = 0\,\mathrm{Pa}</math>.]] Mit Resistenzrandbedingung: * Die Abbildung zeigt die Verteilung der Wandschubspannung (Wall Shear Stress, WSS) an den Gefäßwänden im Bereich der 80-%-Stenose der Arteria carotis interna (ACI). Im Gegensatz zur vorherigen Untersuchung mit der Druckrandbedingung <math>p_0 = 0\,\mathrm{Pa}</math> wurde hier die Resistenzrandbedingung <math>k_R = 1</math> verwendet. * Da für diesen Fall keine stationäre Lösung erzielt werden konnte, erfolgte die Berechnung zeitabhängig. Die dargestellten Ergebnisse beziehen sich auf den Zeitpunkt <math>t = 1\,\mathrm{s}</math>. * Die Wandschubspannung ist innerhalb des Stenosebereichs unterschiedlich stark ausgeprägt. Bereiche mit niedrigen Werten kennzeichnen eine geringere tangentiale Belastung der Gefäßwand, während Bereiche mit höheren Werten auf eine stärkere Belastung hinweisen. * Das mithilfe des Linienmaximums ermittelte Maximum auf den ausgewählten Stenosewänden beträgt: <math>19{,}856\,\mathrm{Pa}</math>. * Die erhöhten Wandschubspannungen lassen sich durch die starke Verengung des Gefäßquerschnitts und die damit verbundenen Geschwindigkeitsänderungen in Wandnähe erklären. * Im Vergleich zur stationären Berechnung mit <math>p_0 = 0\,\mathrm{Pa}</math>, bei der eine maximale Wandschubspannung von <math>6{,}0400\,\mathrm{Pa}</math> ermittelt wurde, fällt der Maximalwert bei der Resistenzrandbedingung deutlich höher aus. * Dabei ist zu beachten, dass es sich bei <math>19{,}856\,\mathrm{Pa}</math> um einen Momentanwert bei <math>t = 1\,\mathrm{s}</math> handelt und nicht um einen stationären Wert. Die beiden Ergebnisse sind daher nur eingeschränkt direkt vergleichbar. * Die Farbverteilung zeigt, dass die Wandschubspannung im Bereich der Stenose von niedrigen Werten (Blau) zu höheren Werten (Grün, Gelb und Rot) ansteigt und insbesondere an der engsten Stelle der Gefäßverengung erhöht ist. [[Datei:WSS Resistenzrandbedingung.png|300px|mini|zentriert|Verteilung der Wandschubspannung (WSS) im Bereich der 80-%-Stenose der Arteria carotis interna bei der Resistenzrandbedingung <math>k_R = 1</math> zum Zeitpunkt <math>t = 1\,\mathrm{s}</math> (zeitabhängige Simulation).]] ==== Untersuchung der vorzeichenbehafteten Wandschubspannung RAUS??==== Zur weiteren Untersuchung möglicher Strömungsablösungen wurde die vorzeichenbehaftete tangentiale Wandschubspannung entlang der oberen und unteren ACI-Gefäßwand hinter der Stenose ausgewertet. An der oberen Gefäßwand steigt die berechnete Spannung von ungefähr −0,05 Pa auf +0,47 Pa an. Ein Vorzeichenwechsel tritt bei einer Bogenlänge von etwa 0,6 mm auf. An der unteren Gefäßwand steigt die Spannung von ungefähr −0,48 Pa auf +0,06 Pa an. Hier erfolgt ein Vorzeichenwechsel bei einer Bogenlänge von etwa 20 mm. Die Ergebnisse zeigen somit auf beiden untersuchten Wandabschnitten einen Vorzeichenwechsel der tangentialen Spannungskomponente. Dies kann auf Änderungen der wandnahen Strömungsrichtung hinweisen und ist mit möglichen Ablöse- oder Wiederanlagerungsvorgängen vereinbar. Die Bogenlängen beziehen sich jeweils auf den untersuchten Wandabschnitt und können nicht unmittelbar miteinander verglichen werden. Zudem hängt das Vorzeichen von der Orientierung der lokalen Wandtangente ab. Ein geschlossenes Rezirkulationsgebiet lässt sich aus den Vorzeichenwechseln allein nicht eindeutig nachweisen. <div style="text-align:center;"> [[Datei:WSS - Oberer Ast hinter Stenose.png|800px|zentriert|Verlauf der vorzeichenbehafteten tangentialen Wandschubspannung entlang der oberen ACI-Gefäßwand hinter der 80-%-Stenose. Bei einer Bogenlänge von etwa 0,6 mm tritt ein Vorzeichenwechsel auf. Dieser kann auf eine Änderung der wandnahen Strömungsrichtung hinweisen, stellt jedoch allein keinen eindeutigen Nachweis einer Strömungsablösung dar.]] <small>'''Abbildung 5:'''Verlauf der vorzeichenbehafteten tangentialen Wandschubspannung entlang der oberen ACI-Gefäßwand hinter der 80-%-Stenose. Bei einer Bogenlänge von etwa 0,6 mm tritt ein Vorzeichenwechsel auf. Dieser kann auf eine Änderung der wandnahen Strömungsrichtung hinweisen, stellt jedoch allein keinen eindeutigen Nachweis einer Strömungsablösung dar.</small> </div> <div style="text-align:center;"> [[Datei:WSS - Unterer Ast hinter Stenose.png|800px|zentriert|Verlauf der vorzeichenbehafteten tangentialen Wandschubspannung entlang der unteren ACI-Gefäßwand hinter der Stenose. Ein Vorzeichenwechsel tritt bei etwa 20 mm Bogenlänge auf.]] <small>'''Abbildung 6:'''Verlauf der vorzeichenbehafteten tangentialen Wandschubspannung entlang der unteren ACI-Gefäßwand hinter der Stenose. Ein Vorzeichenwechsel tritt bei etwa 20 mm Bogenlänge auf.</small> </div> === Zusammenfassende Bewertung der 2D-Ergebnisse AKTUELLE DATEN NOCH REIN === Die stationäre zweidimensionale Strömungssimulation mit einem Stenosegrad von 80 % zeigt deutliche Veränderungen der Strömungsgrößen innerhalb der idealisierten Karotis-Bifurkation. Die maximale Geschwindigkeit beträgt 0,31853 m/s. Zwischen den ausgewählten Messquerschnitten vor und hinter der ACI-Stenose ergibt sich eine mittlere statische Druckdifferenz von 36,24 Pa. Die maximale Wandschubspannung auf den ausgewerteten Stenosewänden beträgt 3,2282 Pa. Die Untersuchung der Geschwindigkeitskomponenten liefert Hinweise auf lokale Strömungsanteile entgegen der Hauptströmungsrichtung. Ein eindeutig abgegrenztes Rezirkulationsgebiet konnte anhand der vorliegenden Darstellungen jedoch nicht sicher nachgewiesen werden. Die Ergebnisse beschreiben zunächst den untersuchten Fall einer hochgradigen Stenose. Aus diesem einzelnen Fall lässt sich weder eine allgemeine Abhängigkeit der Strömungsgrößen vom Stenosegrad noch ein kritischer Stenosegrad für den Beginn der Strömungsablösung bestimmen. Dafür wäre eine vergleichende Auswertung weiterer Stenosegrade erforderlich. == Resistenzrandbedingung am Auslass (2D-Modell) == === Motivation === Im ursprünglichen 2D-Modell wurde an beiden Auslässen eine Nulldruckbedingung <math>p = 0</math> gesetzt. Physikalisch bedeutet das, dass beide Äste in ein „offenes Becken“ mit gleichem, festem Druck münden. Der Auslassdruck hängt dabei nicht davon ab, wie viel Blut ankommt. Diese Annahme hat zwei Schwächen: * Die Flussaufteilung zwischen ACI und ACE ergibt sich nur aus den kleinen Strömungswiderständen der modellierten Gefäßabschnitte. Wird die ACI durch die Stenose verengt, weicht das Blut nahezu ungehindert in die ACE aus. Im Körper ist das nicht möglich, weil hinter der ACI das Gefäßbett des Gehirns mit einem eigenen, großen Widerstand liegt. * Das Druckniveau (Auslass bei 0 Pa) ist nicht physiologisch. Im 3D-Modell wurde deshalb an beiden Auslässen eine '''Resistenzrandbedingung''' verwendet. Damit 2D- und 3D-Modell vergleichbar sind, haben wir dieselbe Randbedingung auch im 2D-Modell eingebaut. === Formel und Herleitung === Das gesamte nachgeschaltete Gefäßbett hinter jedem Auslass wird durch einen einzigen peripheren Widerstand <math>R_p</math> ersetzt: :<math>p_{\text{aus}} = k_R \cdot R_p \cdot Q</math> Dabei ist <math>Q</math> der Volumenstrom durch den Auslass und <math>k_R</math> ein Schalter (<math>k_R = 1</math>: Widerstand, <math>k_R = 0</math>: ursprüngliche Bedingung <math>p = 0</math>). '''1. Gesunde Flussaufteilung nach dem Murray-Gesetz''' Der Volumenstrom eines Gefäßes ist nach Murray proportional zur dritten Potenz des Durchmessers. Für den Anteil der ACI am Gesamtfluss gilt damit: :<math>\varphi_0 = \frac{D_I^3}{D_I^3 + D_E^3} = \frac{(5\,\text{mm})^3}{(5\,\text{mm})^3 + (4\,\text{mm})^3} \approx 0{,}661</math> Mit dem mittleren Volumenstrom der A. carotis communis <math>Q_0 = 6\,\text{ml/s}</math> (Holdsworth u. a. 1999) folgt: :<math>Q_{I,0} = \varphi_0 \cdot Q_0 \approx 3{,}97\,\text{ml/s}, \qquad Q_{E,0} = (1-\varphi_0) \cdot Q_0 \approx 2{,}03\,\text{ml/s}</math> '''2. Bestimmung der peripheren Widerstände''' Die Widerstände werden so gewählt, dass im gesunden Zustand an beiden Auslässen der treibende Druck des peripheren Gefäßbetts <math>p_D = 90\,\text{mmHg} \approx 12\,000\,\text{Pa}</math> anliegt: :<math>R_{pI} = \frac{p_D}{Q_{I,0}} \approx 3{,}0 \cdot 10^{9}\,\frac{\text{Pa}\cdot\text{s}}{\text{m}^3}, \qquad R_{pE} = \frac{p_D}{Q_{E,0}} \approx 5{,}9 \cdot 10^{9}\,\frac{\text{Pa}\cdot\text{s}}{\text{m}^3}</math> Die Randbedingungen an den beiden Auslässen lauten damit: :<math>p_{\text{aus},I} = k_R \cdot R_{pI} \cdot Q_I, \qquad p_{\text{aus},E} = k_R \cdot R_{pE} \cdot Q_E</math> '''3. Umrechnung des Flusses im 2D-Modell''' Im 2D-Modell liefert das Integral der Normalgeschwindigkeit über den Auslassrand keinen Volumenstrom in m³/s, sondern einen Fluss pro Tiefe <math>q</math> in m²/s. Damit die Widerstände aus dem 3D-Modell verwendet werden können, wird <math>q</math> mit einer einheitlichen Ersatztiefe <math>b</math> in einen Volumenstrom umgerechnet: :<math>Q = q \cdot b, \qquad b = \frac{\pi \, D_{CC}}{4}</math> Die Ersatztiefe ist so gewählt, dass am Einlass mit der mittleren Einströmgeschwindigkeit <math>\bar{u}_{ein} = Q_0 / (\pi D_{CC}^2/4) \approx 0{,}21\,\text{m/s}</math> genau der Volumenstrom des 3D-Modells von 6 ml/s ankommt. Weil dieselbe Ersatztiefe für alle Ränder gilt, bleibt die Massenbilanz erhalten. === Ergebnisse mit Resistenzrandbedingung === {| class="wikitable" style="text-align:center" |+ Maximale Geschwindigkeit ! Stenosegrad S !! <math>u_{max}</math> [m/s] |- | 0 || 0,324^* |- | 0,3 || 0,323^* |- | 0,6 || 0,529 |- | 0,8 || 1,067 |} ^* Bei S = 0 und S = 0,3 liegt das Geschwindigkeitsmaximum nicht in der Stenose, sondern in der A. carotis communis. {| class="wikitable" style="text-align:center" |+ Druck vor und nach der Stenose ! Stenosegrad S !! <math>p_{vor}</math> [Pa] !! <math>p_{nach}</math> [Pa] !! Druckverlust <math>\Delta p = p_{vor} - p_{nach}</math> [Pa] !! <math>\Delta p</math> [mmHg] |- | 0 || 11 802 || 11 793 || 9 || 0,07 |- | 0,3 || 11 808 || 11 790 || 18 || 0,14 |- | 0,6 || 11 838 || 11 760 || 78 || 0,59 |- | 0,8 || 12 024 || 11 626 || 398 || 2,99 |} === Auswertung === * '''Druckniveau:''' Mit der Resistenzrandbedingung liegt der Druck bei etwa 11 800 Pa ≈ 88,5 mmHg. Das entspricht dem mittleren arteriellen Druck in der Carotis. Mit <math>p = 0</math> lagen die Drücke nur bei wenigen Pa bis einigen 100 Pa. * '''Flussaufteilung:''' Die peripheren Widerstände sind wesentlich größer als der Widerstand der Stenose. Deshalb bestimmen sie die Flussaufteilung, und die ACI behält auch bei 80 % Stenose nahezu ihren Anteil (Abnahme von <math>Q_I</math> nur um etwa 1 %). Im Gegensatz zu <math>p = 0</math> kann das Blut nicht einfach in die ACE ausweichen. Das entspricht dem physiologischen Verhalten bei nicht kritischen Stenosen. * '''Geschwindigkeit:''' Weil mehr Blut durch die Engstelle strömen muss, steigen die Geschwindigkeiten in der Stenose gegenüber <math>p = 0</math>. Von S = 0,6 auf S = 0,8 verdoppelt sich <math>u_{max}</math> etwa. * '''Druckverlust:''' Der Druckverlust steigt stark nichtlinear mit dem Stenosegrad. Von S = 0,6 auf S = 0,8 nimmt er etwa um den Faktor 5 zu. * '''Druckrückgewinnung:''' Bei S = 0,8 liegt <math>p_{nach}</math> mit 11 626 Pa sogar unter dem Auslassdruck (≈ 11 680 Pa). Direkt hinter der Engstelle ist die Geschwindigkeit des Strahls noch hoch und der statische Druck entsprechend niedrig. Stromabwärts verlangsamt sich die Strömung, und ein Teil des Drucks wird zurückgewonnen. Der bleibende Druckverlust ist daher etwas kleiner als 398 Pa. === Grenzen und Vergleich mit dem 3D-Modell === * Im 2D-Modell verringert eine Stenose von 80 % nur die '''Spaltbreite''' auf 20 %. Im 3D-Modell sinkt die '''Querschnittsfläche''' dagegen auf <math>0{,}2^2 = 4\,\%</math>. Das 2D-Modell unterschätzt deshalb Geschwindigkeit und Druckverlust in der Stenose systematisch. Klinisch gelten bei Stenosen ab 70 % systolische Spitzengeschwindigkeiten über 2,3 m/s; ab einem Druckgradienten von etwa 10–20 mmHg gilt eine Stenose als hämodynamisch relevant. Beide Grenzen erreicht das 2D-Modell nicht. * Die Umrechnung über die Ersatztiefe <math>\pi D_{CC}/4</math> ist eine Modellannahme. * Der periphere Widerstand ist konstant. Die Autoregulation des Gehirns und die Gefäßelastizität (Windkessel) werden nicht berücksichtigt, und die Rechnung ist stationär (keine Pulsatilität). == Beantwortung der Forschungsfragen == '''Welche Strömungsgrößen reagieren empfindlich auf den Stenosegrad?''' Die Untersuchung der 80-%-Stenose zeigt deutliche Veränderungen der Geschwindigkeitsverteilung, des statischen Drucks und der Wandschubspannung. Die maximale Strömungsgeschwindigkeit beträgt 0,31853 m/s. Zwischen den ausgewählten Messquerschnitten vor und hinter der Stenose ergibt sich eine mittlere statische Druckdifferenz von 36,24 Pa. Die maximale Wandschubspannung auf den untersuchten Stenosewänden beträgt 3,2282 Pa.Da bisher nur die 80-%-Stenose quantitativ ausgewertet wurde, lässt sich noch nicht feststellen, welche dieser Größen bei zunehmendem Stenosegrad am stärksten reagiert. '''Ab welchem Stenosegrad tritt eine Strömungsablösung auf?''' Bei der untersuchten 80-%-Stenose zeigen die Geschwindigkeitskomponenten und die vorzeichenbehaftete Wandschubspannung Hinweise auf Veränderungen der wandnahen Strömungsrichtung hinter der Engstelle. Ein eindeutig geschlossenes Rezirkulationsgebiet konnte jedoch nicht nachgewiesen werden. Ein kritischer Stenosegrad für den Beginn einer Strömungsablösung lässt sich aus dieser einzelnen Simulation daher nicht bestimmen. Hierfür müssten weitere Stenosegrade unter vergleichbaren Bedingungen ausgewertet werden. '''Inwieweit sind die Annahmen einer stationären und laminaren Strömung geeignet?''' Die stationäre, laminare Modellierung ermöglicht es, grundlegende Auswirkungen einer Gefäßverengung auf die Strömung in einer idealisierten Karotis-Bifurkation zu untersuchen. Bei hochgradigen Stenosen können allerdings zeitabhängige und dreidimensionale Strömungsstrukturen auftreten. Diese werden durch das vorliegende stationäre 2D-Modell nicht vollständig erfasst. Die Simulationsergebnisse sind deshalb auf die gewählten Modellannahmen und Randbedingungen beschränkt. '''Zusammenfassend''' liefert die 2D-Simulation eine erste quantitative Beschreibung der Strömungsverhältnisse bei einer hochgradigen ACI-Stenose. Für allgemeine Aussagen über die Abhängigkeit vom Stenosegrad und den Beginn einer Strömungsablösung sind zusätzliche Vergleichsrechnungen erforderlich. = Grenzen des Modells = * Die untersuchte Gefäßgeometrie ist eine idealisierte Darstellung der Karotisaufzweigung. Individuelle anatomische Unterschiede werden nicht berücksichtigt. * Darüber hinaus werden die Gefäßwände als starr angenommen und Blut wird durch ein inkompressibles Newtonsches Fluid mit konstanter Viskosität beschrieben. * Die Strömung wird stationär berechnet. Die natürliche Pulsation des Blutflusses und zeitabhängige Effekte bleiben damit unberücksichtigt. * Insbesondere bei hochgradigen Stenosen können zeitabhängige Strömungsablösungen auftreten, die durch eine stationäre Modellierung nicht vollständig beschrieben werden. * Das Graphenmodell kann lokale Strömungsphänomene nicht detailliert erfassen. Das ebene Flächenmodell vereinfacht die räumliche Gefäßgeometrie. Auch das dreidimensionale Modell bleibt aufgrund der idealisierten Geometrie und der vereinfachten Materialannahmen eine Annäherung an die reale Blutströmung. * Die Ergebnisse sind daher als strömungsmechanische Untersuchung eines idealisierten Modells zu interpretieren und nicht als patientenspezifische medizinische Vorhersage. = Literaturverzeichnis = Alle Quellen sind an den Stellen im Text angegeben, an denen die zugehörigen Werte oder Aussagen verwendet werden. Die Liste wird aus diesen Angaben automatisch erzeugt. <references /> ry8t8zups6orby4n11x7k1v99ie8dtx 1119127 1119126 2026-11-08T18:05:18Z Heitele 38553 /* Untersuchung der vorzeichenbehafteten Wandschubspannung RAUS?? */ 1119127 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Joey Becker * Marie-Thérèse Heitele * Nicole Pander = Thema und Fragestellung = Gegenstand dieses Projekts ist die numerische Simulation der Blutströmung in einer verzweigten Halsschlagader ('''Carotis-Bifurkation''') unter dem Einfluss einer lokalen Gefäßverengung ('''Stenose'''). Im Vergleich zu einfachen Rohrströmungen wird hier die realitätsnahe Gefäßanatomie betrachtet: Die '''Arteria carotis communis (ACC)''' teilt sich in die '''Arteria carotis externa (ACE)''' und die '''Arteria carotis interna (ACI)''' auf. Während die '''ACE''' als gesunder, stenosefreier Ast dient, wird in der '''ACI''' eine geglättete, kosinusförmige Gefäßverengung modelliert. Um scharfe Kanten und unphysiologische Druckspitzen zu vermeiden, werden alle Wandübergänge und die Gabelungsspitze (Apex) anatomisch verrundet. Als Referenz dient ein gesundes, unverengtes Gefäß, in dem sich die Poiseuille-Strömung mit ihrem charakteristischen parabolischen Geschwindigkeitsprofil ausbildet. Diese Strömung ist aus zwei Gründen der natürliche Ausgangspunkt. Sie beschreibt den physiologischen Normalfall, mit dem jeder Stenosegrad verglichen wird, und sie ist exakt lösbar, sodass sich an ihr jede numerische Rechnung prüfen lässt, bevor die Verengung hinzukommt. == Fragestellung == Die Hauptfragestellung dieses Projektes lautet: Wie verändert eine symmetrische bzw. rotationssymmetrische Stenose in der '''Arteria carotis interna (ACI)''' die stationäre Strömung eines inkompressiblen Newton’schen Fluids in einer 2D-Carotis-Bifurkation hinsichtlich Geschwindigkeitsverteilung, Druckabfall, Wandschubspannung und Wirbelbildung im Vergleich zu den gesunden Gefäßabschnitten? Aus dieser Fragestellung ergeben sich drei Teilfragen, an denen sich der Aufbau der Seite orientiert: # Welche Strömungsgrößen reagieren empfindlich auf den Stenosegrad und welche nur träge? # Ab welchem Stenosegrad ändert sich das Strömungsmuster qualitativ, das heißt, ab wann löst die Strömung hinter der Engstelle von der Wand ab und bildet ein Rückströmgebiet? # Wie weit tragen die vereinfachenden Modellannahmen, insbesondere die Annahme einer stationären und laminaren Strömung, über den untersuchten Bereich der Stenosegrade? == Modellannahmen == Im Hinblick darauf werden für dieses Projekt einige Annahmen getroffen, um das Projekt möglichst isoliert zu untersuchen und zu simplifizieren: * '''Idealisierte Gefäßgeometrie''': Betrachtet wird ein Teilabbschnitt der ''Arteria carotis communis'', die sog. ''ACI''. Zudem werden Gefäßverkrümmungen, weitere Verzweigungen und patientenspezifische Strukturen nicht berücksichtigt. * '''Starre Gefäßwand''': Die Gefäßwand wird als unbeweglich und nicht verformbar angenommen. Eine Wechselwirkung zwischen elastischer Gefäßwand und Blutströmung wird nicht modelliert. * '''Stationäre Strömung''': Die Strömungsgrößen werden als zeitlich konstant angenommen. Die im realen Blutkreislauf vorhandene Pulsation durch den Herzschlag wird daher vernachlässigt: <math>\frac{\partial u}{\partial t}=0</math>. * '''Inkompressibles Fluid''': Die Dichte des Fluids wird als konstant angenommen. Damit gilt für die Geschwindigkeit <math>\nabla \cdot u=0</math>. Dies entspricht der in der Vorlesung behandelten Massenerhaltung für inkompressible Fluide: Was in das Gefäß einströmt, muss auch wieder ausströmen. * '''Newton'sche Näherung für Blut''': Reales Blut beseitzt ein nicht newton'sches Fließverhalten. Hier wird Blut als Newton'sches Fluid behandelt. * '''Konstante Stoffeigenschaften''': Dichte <math>\rho</math> und dynamische Viskosität μ werden als räumlich und zeitlich konstant angenommen. Temperaturabhängigkeiten werden nicht berücksichtigt. * '''Laminare Strömung''': Die Strömung wird mit dem COMSOL-Modul ''Laminar Flow'' beschrieben. Ein zusätzliches Turbulenzmodell wird nicht verwendet. * '''No-Slip-Bedingung an Gefäßwand''': Aufgrund der Viskosität wird angenommen, dass das Fluid direkt an der Gefäßwand haftet. Somit gilt <math>u=0</math>. * '''Vernachlässigung der Gravitation''': Gravitation wird nicht berücksichtigt. Die Strömung wird ausschließlich durch die gewählten Ein- und Auslassbedingungen bestimmt. = Relevanz = Die Untersuchung von Gefäßverengungen besitzt sowohl eine medizinische als auch eine methodische Bedeutung. Aus medizinischer Sicht sind arterielle Stenosen – etwa in der Halsschlagader, lat. ''arteria carotis communis'', – kritisch, da sie die Durchblutung beeinträchtigen und durch veränderte Wandschubspannungen sowie die Bildung von Wirbeln weitere Gefäßablagerungen begünstigen. Stenosen im Bereich der Karotisgabelung sind klinisch hochrelevant, da sie das Gehirn direkt versorgen und das Risiko für embolische Schlaganfälle erhöhen. Fachlich überträgt das Projekt damit die Prinzipien der Strömungsmechanik direkt auf eine biomedizinische Anwendung. Das Projekt verknüpft somit theoretische Grundlagen der Strömungsmechanik (Hagen-Poiseuille-Gleichung, Navier-Stokes-Gleichungen) mit der numerischen Simulation in COMSOL Multiphysics. Durch den Vergleich der '''gesunden Externa (ACE)''' mit der '''stenoisierten Interna (ACI)''' innerhalb desselben Rechengebiets wird die isolierte Wirkung der Stenose unter identischen Randbedingungen direkt sichtbar gemacht. == Medizinische Relevanz == Arterielle Stenosen entstehen überwiegend durch Atherosklerose, also durch Ablagerungen aus Lipiden, Bindegewebe und Kalk in der Gefäßwand. In der Halsschlagader sind sie klinisch besonders bedeutsam, weil sie die Durchblutung des Gehirns beeinträchtigen und weil sich an ihnen Thromben bilden können, die als Embolie einen Schlaganfall auslösen. Dass die operative Entfernung einer hochgradigen Karotisstenose das Schlaganfallrisiko symptomatischer Patienten deutlich senkt, hat die NASCET-Studie gezeigt, deren Einteilung der Stenosegrade dieses Projekt übernimmt.<ref name="nascet">North American Symptomatic Carotid Endarterectomy Trial Collaborators: ''Beneficial effect of carotid endarterectomy in symptomatic patients with high-grade carotid stenosis.'' New England Journal of Medicine 325 (1991), Nr. 7, S. 445-453.</ref> Strömungsmechanisch ist an einer Stenose vor allem die Wandschubspannung von Interesse, also die tangentiale Kraft je Fläche, die das strömende Blut auf die innerste Zellschicht der Gefäßwand ausübt. Gesunde Halsschlagadern weisen zeitlich gemittelte Werte von etwa 1,1 bis 1,5 Pa auf.<ref name="samijo">Samijo, S. K.; Willigers, J. M.; Barkhuysen, R.; Kitslaar, P. J. E. H. M.; Reneman, R. S.; Brands, P. J.; Hoeks, A. P. G.: ''Wall shear stress in the human common carotid artery as function of age and gender.'' Cardiovascular Research 39 (1998), Nr. 2, S. 515-522.</ref> In einer Engstelle steigt sie stark an, unmittelbar dahinter fällt sie im Ablösegebiet auf nahezu null und wechselt dort sogar das Vorzeichen. Niedrige und im Vorzeichen wechselnde Wandschubspannungen gelten als Bedingungen, unter denen sich weitere Ablagerungen bevorzugt bilden. Eine bestehende Stenose schafft also stromabwärts die Voraussetzungen für ihr eigenes Wachstum. Genau diese Verteilung lässt sich im Körper nur schwer messen, in einer Simulation dagegen unmittelbar auswerten. == Methodische Relevanz == Fachlich überträgt das Projekt die Prinzipien der Strömungsmechanik aus der Vorlesung auf eine biomedizinische Anwendung.<ref name="hundertmark">Hundertmark, A.: ''Fluiddynamik.'' Vorlesungsunterlagen zum Modul Räumliche Modellbildung, RPTU Kaiserslautern-Landau, Sommersemester 2026.</ref> Der methodische Mehrwert liegt in der Verknüpfung mehrerer Zugänge, die sich gegenseitig kontrollieren. Die analytische Poiseuille-Lösung liefert exakte Sollwerte für das gesunde Gefäß. Ein reduziertes Graphenmodell liefert für jeden Stenosegrad eine schnelle Abschätzung, die analytisch nachrechenbar ist. Die Simulationen in COMSOL Multiphysics lösen schließlich die vollständigen Navier-Stokes-Gleichungen in zwei und drei Raumdimensionen. Weil jede Stufe die Sollwerte der nächsten liefert, zeigt das Projekt nicht nur Ergebnisse, sondern auch, wie numerische Modelle aufgebaut, verifiziert und an ihren Grenzen bewertet werden. == Auswahl der Stenosegrade == Um die untersuchten Gefäßverengungen nicht willkürlich festzulegen, orientiert sich die Auswahl der Stenosegrade an der klinisch gebräuchlichen NASCET-Klassifikation von Karotisstenosen.<ref name="nascet" /> Zur klinischen Einordnung werden Karotisstenosen anhand der nach NASCET bestimmten Durchmesserreduktion in leichtgradige, mittelgradige und hochgradige Stenosen eingeteilt. Die angegebenen Prozentgrenzen dienen in diesem Projekt als Orientierung für die Auswahl der untersuchten Stenosegrade. Ein vollständiger Gefäßverschluss wird als Okklusion bezeichnet. {| class="wikitable" |+ Klinische Einteilung nach NASCET-gemessener Durchmesserreduktion und untersuchte Stenosegrade ! Schweregrad !! Durchmesserreduktion !! im Projekt gerechnete Stenosegrade !! hervorgehobener Vertreter |- | gesundes Gefäß || 0 % || 0 || 0 |- | leichtgradige Stenose || unter 50 % || 0,1 bis 0,4 || 0,3 |- | mittelgradige Stenose || 50 bis 69 % || 0,5 und 0,6 || 0,6 |- | hochgradige Stenose || 70 bis 99 % || 0,7 und 0,8 || 0,8 |- | Okklusion || 100 % || nicht gerechnet || entfällt |} '''Anmerkung''': Die Klassengrenzen dienen der Einordnung der Modellvarianten. Die in der Tabelle genannten Stenosegrade sind dimensionslose Werte, beispielsweise entspricht '''<math>s=0{,}6</math>''' einer Durchmesserreduktion von '''60 %'''. Für die numerische Untersuchung wird aus jeder Kategorie ein repräsentativer Stenosegrad hervorgehoben. Neben dem gesunden Gefäß mit '''0 %''' Stenose sind das eine '''30 %''' Stenose als Beispiel für eine leichtgradige, eine '''60 %''' Stenose als Beispiel für eine mittelgradige und eine '''80 %''' Stenose als Beispiel für eine hochgradige Verengung. Zusätzlich werden für das Graphenmodell und das achsensymmetrische Flächenmodell Stenosegrade von 0 bis 80 % in Schritten von zehn Prozentpunkten vorgesehen. Dadurch kann die Abhängigkeit der Strömungsgrößen vom Stenosegrad systematisch untersucht und grafisch dargestellt werden. Ob alle Modellvarianten tatsächlich berechnet wurden und wie hoch der Rechenaufwand war, wird anhand der durchgeführten Simulationen dokumentiert. Ein vollständiger Gefäßverschluss wird nicht simuliert, da in diesem Fall keine durchgängige Strömung mehr vorliegt. Der Stenosegrad wird in diesem Projekt wie bei NASCET über die Verringerung des Gefäßdurchmessers beschrieben, <math>s = 1 - \frac{d_{\min}}{d_{\mathrm{ref}}},</math> wobei <math>d_{\min}</math> der kleinste Durchmesser in der Engstelle und <math>d_{\mathrm{ref}}</math> ein Referenzdurchmesser ist. NASCET verwendet als Referenz den Durchmesser des gesunden Gefäßes stromabwärts der Stenose. Für das idealisierte gerade Gefäßmodell wird ein konstanter Referenzdurchmesser von <math>D_0=6\,\mathrm{mm}</math> angenommen. Da das Gefäß außerhalb der Stenose denselben Durchmesser besitzt, gilt in diesem Modell<math>d_{\mathrm{ref}}=D_0</math>. Bei der zusätzlich betrachteten Gefäßaufzweigung muss der Referenzdurchmesser dagegen gesondert festgelegt werden, da die Gefäßäste unterschiedliche Durchmesser besitzen. Wichtig für das Verständnis aller weiteren Ergebnisse ist der Unterschied zwischen Durchmesser- und Flächenreduktion. Da die Querschnittsfläche quadratisch vom Durchmesser abhängt, gilt für die Flächenreduktion <math>1-(1-s)^2</math>. Eine im klinischen Sinn nur mittelgradige Stenose von 60 % verschließt damit bereits 84 % der Querschnittsfläche. {| class="wikitable" |+ Durchmesser- und Flächenreduktion der gerechneten Stenosegrade ! Stenosegrad s !! 0 !! 0,1 !! 0,2 !! 0,3 !! 0,4 !! 0,5 !! 0,6 !! 0,7 !! 0,8 |- | engster Durchmesser in mm || 6,0 || 5,4 || 4,8 || 4,2 || 3,6 || 3,0 || 2,4 || 1,8 || 1,2 |- | Flächenreduktion || 0 % || 19 % || 36 % || 51 % || 64 % || 75 % || 84 % || 91 % || 96 % |} Eine Einschränkungen gehört zur ehrlichen Einordnung: # Mit zunehmendem Stenosegrad, insbesondere bei ausgeprägten Verengungen, können lokale Beschleunigungen, Strömungsablösungen und zeitabhängige Strömungsstrukturen auftreten. Daher muss bei den hochgradigen Stenosen geprüft werden, inwieweit die Annahme einer stationären, laminaren Strömung geeignet ist. Eine feste Grenze bei <math>s=0{,}6</math> lässt sich ohne entsprechende Simulationsergebnisse oder Literaturbelege nicht allgemein festlegen. Die hochgradigen Fälle werden deshalb unter besonderer Berücksichtigung der Modellannahmen diskutiert. Unter Modellierung wird in diesem Projekt die Übertragung der Blutströmung in einer verengten Arterie auf ein mathematisches und numerisch lösbares Strömungsproblem verstanden. Dazu werden die Gefäßgeometrie, die zugrunde liegenden Gleichungen, die physikalischen Materialparameter sowie die Anfangs- und Randbedingungen festgelegt. Jeder dieser Bestandteile beruht auf vereinfachenden Annahmen, die begründet und bei der Interpretation der Ergebnisse berücksichtigt werden müssen. Ziel ist es, den Einfluss unterschiedlicher Stenosegrade auf die Strömungsgeschwindigkeit, den Druckverlust und gegebenenfalls die Wandschubspannung systematisch zu untersuchen. Die Modellierung erfolgt anhand mehrerer Modellvarianten mit unterschiedlicher räumlicher Auflösung. Dadurch können zunächst grundlegende Zusammenhänge analytisch abgeschätzt und anschließend mit numerischen Strömungsberechnungen verglichen werden. Die verwendeten Parameter orientieren sich an den bereitgestellten Referenzdaten und werden in den folgenden Abschnitten erläutert. == Modellierung == Ziel der Modellierung ist es, die Blutströmung innerhalb einer Y-förmigen Aufzweigung der Halsschlagader mathematisch und numerisch zu untersuchen. Im Mittelpunkt steht eine Gefäßverengung (Stenose) in der Arteria carotis interna. Das betrachtete Gefäßmodell besteht aus der Arteria carotis communis, die sich in die Arteria carotis interna und die Arteria carotis externa aufteilt. Die Stenose befindet sich ausschließlich in der Arteria carotis interna. Durch die Verengung verändert sich der verfügbare Strömungsquerschnitt. Dies kann zu einer Erhöhung der lokalen Strömungsgeschwindigkeit, zu zusätzlichen Druckverlusten und zu einer Veränderung der Strömungsverteilung zwischen den beiden Gefäßästen führen. Ziel ist es, den Einfluss unterschiedlicher Stenosegrade auf die Strömungsgeschwindigkeit, die Druckverteilung und die Wandschubspannung zu untersuchen. Zusätzlich soll betrachtet werden, wie sich die Strömung innerhalb der Y-förmigen Gefäßaufzweigung verhält. Die numerische Modellierung erfolgt mit COMSOL Multiphysics. Dazu werden die Gefäßgeometrie, die Materialeigenschaften des Blutes, die Strömungsgleichungen und die Randbedingungen festgelegt. Zur Vereinfachung wird Blut zunächst als inkompressibles, Newtonsches Fluid betrachtet. Die Gefäßwände werden als starr angenommen. Diese Annahmen ermöglichen eine systematische Untersuchung der Stenose, schränken jedoch die Übertragbarkeit auf reale physiologische Bedingungen ein. === Modellhierarchie === Für die Untersuchung der Blutströmung innerhalb der Y-förmigen Karotisaufzweigung werden drei Modellvarianten betrachtet. Diese unterscheiden sich hinsichtlich ihrer räumlichen Dimension, ihrer mathematischen Beschreibung und der Genauigkeit, mit der die Strömungsverhältnisse dargestellt werden können. Das untersuchte Gefäß besteht aus der Arteria carotis communis, die sich in die Arteria carotis interna und die Arteria carotis externa aufteilt. Die Stenose befindet sich ausschließlich in der Arteria carotis interna. Alle drei Modellvarianten werden mit COMSOL Multiphysics umgesetzt. {| class="wikitable" style="width:100%;" |+ '''Die drei Modellvarianten des Projekts''' |- ! Modell ! Raumdimension ! Mathematische Grundlage ! Zweck ! Werkzeug |- | '''Graphenmodell''' | 1D, Gefäßnetzwerk mit einer Verzweigung | Massenerhaltung an der Verzweigung und vereinfachte Beschreibung der Strömungswiderstände | Abschätzung der Volumenstromverteilung und der Druckverluste in den Gefäßästen | COMSOL Multiphysics |- | '''Ebenes Flächenmodell''' | 2D, Y-förmige Gefäßgeometrie in kartesischen Koordinaten | Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen | Untersuchung der Geschwindigkeits- und Druckverteilung sowie der Auswirkungen der Stenose in der Arteria carotis interna | COMSOL Multiphysics, Laminare Strömung |- | '''Volumenmodell''' | 3D, räumliche Y-förmige Gefäßgeometrie | Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen | Räumliche Untersuchung des Geschwindigkeitsfeldes, des Druckverlustes und der Wandschubspannung | COMSOL Multiphysics, Laminare Strömung |} ==== Vergleich und Überprüfung der Modellvarianten ==== Die drei Modellvarianten bauen hinsichtlich ihrer räumlichen Beschreibung aufeinander auf. Das Graphenmodell ermöglicht zunächst eine vereinfachte Betrachtung der Volumenströme und Druckverluste. Die zwei- und dreidimensionalen Modelle erlauben anschließend eine detailliertere Untersuchung der Strömung innerhalb der Gefäßaufzweigung. Das '''Graphenmodell''' beschreibt die Arteria carotis communis sowie die beiden abzweigenden Gefäße als miteinander verbundenes Netzwerk. Dabei wird die Massenerhaltung an der Verzweigung berücksichtigt: :<math>Q_{\mathrm{CCA}}=Q_{\mathrm{ICA}}+Q_{\mathrm{ECA}}</math> Das Modell liefert vereinfachte Abschätzungen der Volumenstromverteilung. Lokale Strömungsablösungen und räumliche Geschwindigkeitsverteilungen können damit nicht detailliert dargestellt werden. Das '''ebene Flächenmodell''' bildet die Y-förmige Gefäßaufzweigung in zwei Raumdimensionen ab. Die Stenose wird innerhalb der Arteria carotis interna berücksichtigt. Dadurch können die Geschwindigkeits- und Druckverteilung sowie mögliche Rückströmungsbereiche untersucht werden. Das '''Volumenmodell''' erweitert die Untersuchung auf drei Raumdimensionen. Es ermöglicht eine räumliche Darstellung der Strömung und eine detailliertere Berechnung der Wandschubspannung. Die Ergebnisse des ebenen Flächenmodells und des Volumenmodells werden miteinander verglichen. Da das ebene Modell die räumliche Querschnittsgeometrie nur vereinfacht darstellt, müssen Unterschiede zwischen den beiden Modellen bei der Interpretation berücksichtigt werden. Ziel der Modellhierarchie ist es, die Aussagekraft der einzelnen Modellvarianten zu bewerten und den Einfluss des Stenosegrades auf die Strömung innerhalb der Y-förmigen Karotisaufzweigung zu untersuchen. === Simulationsgebiet und Geometrie === Das Simulationsgebiet besteht aus einer idealisierten Y-förmigen Aufzweigung der Arteria carotis. Die Arteria carotis communis teilt sich in die Arteria carotis interna und die Arteria carotis externa. Die Stenose befindet sich in der Arteria carotis interna. Die Arteria carotis externa wird ohne zusätzliche Verengung modelliert. Die Geometrie orientiert sich an den bereitgestellten Referenzdaten. Die Gefäßdurchmesser werden innerhalb der jeweiligen unverengten Abschnitte als konstant angenommen. {| class="wikitable" style="width:100%;" |+ '''Geometrische Referenzparameter der Y-förmigen Gefäßaufzweigung''' |- ! Gefäßabschnitt ! Durchmesser ! Länge |- | Arteria carotis communis | 6 mm | 60 mm |- | Arteria carotis interna | 5 mm | 60 mm |- | Arteria carotis externa | 4 mm | 60 mm |- | Stenose in der Arteria carotis interna | Abhängig vom Stenosegrad | 10 bzw. 20 mm |} Die Verengung wird über den Stenosegrad <math>s</math> beschrieben. Dieser gibt die relative Verringerung des Gefäßdurchmessers an: :<math>s=1-\frac{d_{\min}}{D_{\mathrm{ICA}}}</math> Dabei bezeichnet <math>d_{\min}</math> den minimalen Durchmesser innerhalb der Stenose und <math>D_{\mathrm{ICA}}</math> den unverengten Referenzdurchmesser der Arteria carotis interna. Für das Modell gilt: :<math>D_{\mathrm{ICA}}=5\,\mathrm{mm}</math> Der minimale Durchmesser ergibt sich damit zu: :<math>d_{\min}=D_{\mathrm{ICA}}(1-s)</math> {| class="wikitable" |+ '''Minimaler Durchmesser der Stenose in der Arteria carotis interna''' |- ! Stenosegrad ! Minimaler Durchmesser |- | 0 % | 5,0 mm |- | 10 % | 4,5 mm |- | 20 % | 4,0 mm |- | 30 % | 3,5 mm |- | 40 % | 3,0 mm |- | 50 % | 2,5 mm |- | 60 % | 2,0 mm |- | 70 % | 1,5 mm |- | 80 % | 1,0 mm |} Die angegebenen Stenosegrade beziehen sich ausschließlich auf den Durchmesser der Arteria carotis interna. Der Durchmesser der Arteria carotis communis wird nicht zur Berechnung des Stenosegrades verwendet. Die Y-förmige Geometrie ermöglicht es, die Auswirkungen der Verengung sowohl auf die lokale Strömung in der Arteria carotis interna als auch auf die Strömungsverteilung innerhalb der gesamten Gefäßaufzweigung zu untersuchen. Die genaue Form der Stenose, der Verzweigungswinkel und die Übergänge zwischen den Gefäßabschnitten müssen entsprechend der tatsächlich in COMSOL verwendeten Geometrie dokumentiert werden. == Stoff- und Strömungsparameter == Die Stoffwerte des Blutes und der Volumenstrom sind die einzigen Eingangsgrößen, die nicht aus der Geometrie folgen. Aus ihnen werden alle weiteren Strömungskennwerte berechnet. Die folgenden Schritte zeigen jede Rechnung einzeln, damit sich jeder Wert nachprüfen lässt. # Die '''Dichte''' wird mit <math>\rho = 1060\ \mathrm{kg/m^3}</math> angesetzt. Der Wert lässt sich als Mischungsregel plausibel machen. Plasma hat eine Dichte von etwa 1025 kg/m³, rote Blutkörperchen von etwa 1100 kg/m³. Bei einem Zellanteil von 45 % ergibt sich <math>0{,}55 \cdot 1025 + 0{,}45 \cdot 1100 \approx 1059\ \mathrm{kg/m^3}</math>. Die Dichte geht nur über die Reynoldszahl in die Rechnung ein, eine Abweichung von einem Prozent ändert die Ergebnisse daher kaum. <!-- FIXME Lehrbuchquelle fuer Plasma- und Erythrozytendichte ergaenzen --> # Die '''dynamische Viskosität''' wird mit <math>\mu = 3{,}5\ \mathrm{mPa\,s}</math> angesetzt. Das ist der Grenzwert der Blutviskosität bei hohen Scherraten, also genau der Wert, der zur Newtonschen Näherung gehört. Derselbe Wert von 0,035 Poise wird auch im Standardwerk zur Modellierung des Herz-Kreislauf-Systems verwendet.<ref name="quarteroni">Quarteroni, A.; Formaggia, L.: ''Mathematical Modelling and Numerical Simulation of the Cardiovascular System.'' In: Ayache, N. (Hrsg.): ''Computational Models for the Human Body.'' Handbook of Numerical Analysis, Bd. XII, Elsevier, Amsterdam 2004, S. 3-127. DOI 10.1016/S1570-8659(03)12001-7. Zur Newtonschen Näherung in großen Gefäßen siehe S. 30, zur Viskosität von 0,035 Poise die Parametertabelle auf S. 116.</ref> # Der '''mittlere Volumenstrom''' wird mit <math>Q_0 = 6\ \mathrm{ml/s}</math> angesetzt. Das ist der zeitlich gemittelte Volumenstrom, der in der gemeinsamen Halsschlagader gesunder Probanden gemessen wurde. # Die '''mittlere Geschwindigkeit''' folgt aus Volumenstrom und Querschnittsfläche, <math>U_0 = \frac{Q_0}{\pi R_0^2} = \frac{6 \cdot 10^{-6}\ \mathrm{m^3/s}}{\pi \cdot (0{,}003\ \mathrm{m})^2} = 0{,}2122\ \mathrm{m/s}</math>. # Die '''Reynoldszahl''' des gesunden Gefäßes ist <math>Re_0 = \frac{\rho\, U_0\, D_0}{\mu} = \frac{1060 \cdot 0{,}2122 \cdot 0{,}006}{0{,}0035} = 385{,}6</math>. Sie wird im Folgenden auf 386 gerundet. # Die '''Einlauflänge''', die eine anfangs gleichförmige Strömung bis zum voll entwickelten Parabelprofil bräuchte, beträgt nach der gebräuchlichen Abschätzung für laminare Rohrströmungen <math>L_e \approx 0{,}06\, Re_0\, D_0 \approx 0{,}06 \cdot 386 \cdot 6\ \mathrm{mm} \approx 139\ \mathrm{mm}</math>.<ref name="durst">Durst, F.; Ray, S.; Ünsal, B.; Bayoumi, O. A.: ''The development lengths of laminar pipe and channel flows.'' Journal of Fluids Engineering 127 (2005), Nr. 6, S. 1154-1160. Für große Reynoldszahlen nähert sich die dort angegebene Korrelation dem Wert 0,057·Re·D.</ref> Das ist fast die gesamte Länge des Rechengebiets. Ein konstantes Einlassprofil würde die Strömung an der Stenose also verfälschen, weshalb am Einlass das voll entwickelte Profil vorgegeben wird. Damit liegen alle globalen Parameter fest. Die folgende Tabelle enthält sie mit genau den Namen, unter denen sie in COMSOL und in den Octave-Skripten verwendet werden. {| class="wikitable" |+ Globale Parameter des Modells ! Name !! Ausdruck in COMSOL !! Wert !! Bedeutung !! Herkunft |- | R0 || 3[mm] || 3 mm || Gefäßradius || Messwerte nach Krejza u. a. 2006, gerundet |- | D0 || 2*R0 || 6 mm || Gefäßdurchmesser || abgeleitet |- | Ls || 2*D0 || 12 mm || Länge der Störstelle || Standardgeometrie nach Varghese u. a. 2007 |- | Lu || 5*D0 || 30 mm || Vorlaufstrecke vor der Stenosemitte || Abstand der Einlassbedingung von der Stenose |- | Ld || 20*D0 || 120 mm || Nachlaufstrecke hinter der Stenosemitte || Platz für das Rückströmgebiet |- | Lf || Ls/2+10*D0 || 66 mm || Ende des fein vernetzten Nachlaufs || erwartete Länge des Rückströmgebiets |- | s || 0 bis 0.8 || 0 bis 0,8 || Stenosegrad bezogen auf den Durchmesser || NASCET-Einteilung |- | rho_b || 1060[kg/m^3] || 1060 kg/m³ || Dichte des Blutes || Mischungsregel, Literaturwert |- | mu_b || 3.5[mPa*s] || 3,5 mPa·s || dynamische Viskosität des Blutes || Hochscherwert, Quarteroni und Formaggia 2004 |- | Q0 || 6[ml/s] || 6 ml/s || mittlerer Volumenstrom || Messwerte nach Holdsworth u. a. 1999 |- | U0 || Q0/(pi*R0^2) || 0,2122 m/s || mittlere Einströmgeschwindigkeit || abgeleitet |- | Re0 || rho_b*U0*D0/mu_b || 385,6 || Reynoldszahl des gesunden Gefäßes || abgeleitet |- | dp_ref || 8*mu_b*U0*(Lu+Ld)/R0^2 || 99,03 Pa || Poiseuille-Druckabfall des gesunden Gefäßes || abgeleitet, Hagen-Poiseuille |} = Implementierung des 2D-Modells in COMSOL Multiphysics = == Zielsetzung des zweidimensionalen Modells == Im Rahmen des Projekts wurde mit COMSOL Multiphysics ein zweidimensionales Modell der menschlichen Halsschlagader erstellt. Ziel ist es, die Blutströmung innerhalb einer Gefäßverzweigung zu untersuchen und insbesondere die Auswirkungen einer lokalen Gefäßverengung (Stenose) auf das Strömungsverhalten zu analysieren. Das Modell bildet die Aufzweigung der Arteria carotis communis (ACC) in die Arteria carotis interna (ACI) und die Arteria carotis externa (ACE) ab. Während die ACE als gesunder Gefäßabschnitt betrachtet wird, befindet sich in der ACI eine lokale Verengung. Dadurch können die Strömungsverhältnisse in beiden Ästen miteinander verglichen werden. Die zweidimensionale Modellierung dient dazu, die Geschwindigkeitsverteilung, den Druckabfall und die Wandschubspannung zu untersuchen. Zusätzlich soll festgestellt werden, ob sich hinter der Stenose Bereiche mit Strömungsablösungen oder Rückströmungen ausbilden. ==Vorgehen== Für die numerische Untersuchung in COMSOL Multiphysics 6.2 zunächst ein zweidimensionales Modell mit der Physik ''Laminare Strömung'' und einer ''stationären Studie'' angelegt. Die Gefäßgeometrie wurde vollständig parametrisiert, damit Durchmesser, Gefäßlängen, Verzweigungswinkel, Stenosegrad sowie die Stenoselänge veränderbar sind, ohne das Modell jeweils neu zu zeichnen. Das gemeinsame Zuflussgefäß stellt die Arteria carotis communis mit einem Durchmesser von <math>6\,\mathrm{mm}</math> dar. Nach einem geraden Einlaufabschnitt von <math>60\,\mathrm{mm}</math> teilt es sich V-förmig in die beiden Tochtergefäße auf. Die Arteria carotis interna wird mit einem Durchmesser von <math>5\,\mathrm{mm}</math>, die Arteria carotis externa mit <math>4\,\mathrm{mm}</math> modelliert. Beide Tochtergefäße sind jeweils <math>60\,\mathrm{mm}</math> lang. Die Grundgeometrie wurde als zusammenhängender zweidimensionaler Volumenkörper aufgebaut. Die beiden Tochtergefäße verlaufen nach der Bifurkation unter einem Winkel auseinander, sodass eine idealisierte Y-förmige Karotisgabel entsteht. Die Übergänge zwischen dem gemeinsamen Gefäß und den beiden Ästen wurden bewusst vereinfacht, aber ohne abrupte Querschnittssprünge gestaltet. Auf diese Weise bleibt die Geometrie ausreichend einfach für einen systematischen Vergleich verschiedener Modellvarianten, bildet die typische Aufzweigung einer Karotis. Die Stenose befindet sich ausschließlich in der Arteria carotis interna. Um die Verengung nicht durch gerade Polygonsegmente mit scharfen Knicken darzustellen, wurde ihre Kontur mithilfe von zwei parametrischen Kosinuskurven erzeugt. Zur Beschreibung der Stenose wird eine parametrische Kurve mit dem Hilfsparameter <math>t</math> verwendet. Dieser nimmt Werte zwischen <math>-1</math> und <math>1</math> an. Über die Beziehung <math>x(t)=x_\mathrm{st}+\frac{L_\mathrm{st}}{2}t</math> wird der Parameter auf die räumliche Position entlang des Gefäßes übertragen. Für <math>t=-1</math> liegt der Beginn der Stenose bei <math>x_\mathrm{st}-L_\mathrm{st}/2</math>, für <math>t=0</math> befindet sich die Kurve in der Stenosenmitte und für <math>t=1</math> am Ende bei <math>x_\mathrm{st}+L_\mathrm{st}/2</math>. Dadurch kann die Länge der Stenose über den Parameter <math>L_\mathrm{st}</math> verändert werden, ohne ihre Mittelpunktposition <math>x_\mathrm{st}</math> zu verschieben. Die Einengung wächst vom Beginn der Stenose kontinuierlich bis zur Engstelle an und nimmt danach ebenso kontinuierlich wieder ab. Dadurch entstehen glatte Wandübergänge. Die Stärke der Einengung wird über den dimensionslosen Stenosegrad <math>s</math> gesteuert. Für einen unverengten Durchmesser der Arteria carotis interna von <math>D_\mathrm{ACI}=5\,\mathrm{mm}</math> ergibt sich bei einem Stenosegrad von <math>s=0{,}3</math> eine minimale Gefäßweite von <math>3{,}5\,\mathrm{mm}</math>, bei <math>s=0{,}6</math> von <math>2{,}0\,\mathrm{mm}</math> und bei <math>s=0{,}8</math> von <math>1{,}0\,\mathrm{mm}</math>. Die minimale Gefäßweite ergibt sich allgemein aus <math>d_\mathrm{min}=D_\mathrm{ACI}(1-s)</math>. Die beiden parametrischen Kurven wurden mit Hilfslinien zu geschlossenen Flächen ergänzt und anschließend über „Umwandeln in Volumenkörper“ in Flächenobjekte überführt. Mithilfe einer Differenzoperation wurden diese Flächen aus dem Gefäßgebiet ausgeschnitten. Auf diese Weise bleibt die Grundgeometrie des Gefäßes unverändert, während Stenosegrad und Stenosenlänge allein über globale Parameter variiert werden können. Für die Strömung wurde Blut als inkompressibles Newtonsches Fluid mit konstanter Dichte und Viskosität angenähert. Verwendet werden eine Dichte von <math>\rho=1060\,\mathrm{kg/m^3}</math> und eine dynamische Viskosität von <math>\mu=3,5\,\mathrm{mPa s}</math>. Am Einlass wird ein voll entwickeltes Geschwindigkeitsprofil vorgegeben. Aus dem auf der Projektseite angesetzten mittleren Volumenstrom von <math>6\,\mathrm{ml/s}</math> ergibt sich für das <math>6\,\mathrm{mm}</math> breite Zuflussgefäß eine mittlere Geschwindigkeit von rund <math>0{,}21\,\mathrm{m/s}</math>. An beiden Auslässen wird derselbe Referenzdruck vorgegeben, während an sämtlichen Gefäßwänden die Haftbedingung (No Slip) gilt. Nach Fertigstellung der Geometrie wurde ein physikgesteuertes Finite-Elemente-Netz erzeugt und die stationäre Navier-Stokes-Strömung berechnet. Anschließend wurden insbesondere der Geschwindigkeitsbetrag, die Druckverteilung und die Stromlinien ausgewertet. Die Stromlinien dienen dabei nicht nur der Visualisierung der Aufteilung des Blutstroms an der Bifurkation, sondern auch zur Erkennung möglicher Ablöse- und Rückströmungsgebiete hinter der Stenose. Zusätzlich kann die Wandschubspannung entlang der Gefäßwand ausgewertet werden. Die verschiedenen Stenosegrade werden jeweils bei ansonsten identischen Randbedingungen miteinander und mit dem gesunden Referenzfall verglichen. == Ergebnisse der 2D-Strömungssimulation == Die zweidimensionale Strömungssimulation wurde mit COMSOL Multiphysics durchgeführt, um die Auswirkungen einer lokalen Gefäßverengung auf die Blutströmung innerhalb einer idealisierten Karotis-Bifurkation zu untersuchen. Im Mittelpunkt der Auswertung stehen die Geschwindigkeitsverteilung, die Druckverteilung sowie die Wandschubspannung. Ergänzend werden Stromlinien betrachtet, um mögliche Veränderungen des Strömungsverlaufs und das Auftreten von Rückströmungsgebieten hinter der Stenose zu untersuchen. Die Ergebnisse werden hinsichtlich ihrer strömungsmechanischen Bedeutung interpretiert und unter Berücksichtigung der vereinfachenden Modellannahmen bewertet. === Quantitative Auswertung der Strömungsgeschwindigkeit === Zur Untersuchung des Einflusses verschiedener Stenosegrade auf die Strömungsgeschwindigkeit wurde in COMSOL Multiphysics der Geschwindigkeitsbetrag <code>spf.U</code> mithilfe der Funktion ''Oberflächenmaximum'' ausgewertet. Dabei wurden Stenosegrade von 0 %, 30 %, 60 %, 80 % und 100 % betrachtet. Die Berechnungen erfolgten zunächst mit einer Druckrandbedingung von <math>p_0 = 0\,\mathrm{Pa}</math> und anschließend mit einer Resistenzrandbedingung bei <math>k_R = 1</math>. ==== Druckrandbedingung ==== Bei der Druckrandbedingung wurde die maximale Geschwindigkeit über das gesamte Strömungsgebiet bestimmt. {| class="wikitable" ! Stenosegrad ! Maximale Geschwindigkeit [m/s] |- | 0 % || 0,28385 |- | 30 % || 0,27091 |- | 60 % || 0,35036 |- | 80 % || 0,38530 |- | 100 % || 0,46125 |} Die Ergebnisse zeigen zunächst eine leichte Abnahme der maximalen Geschwindigkeit bei 30 % Stenose. Ab 60 % steigt diese mit zunehmender Verengung an. Dies ist mit einer lokalen Beschleunigung der Strömung infolge des verringerten Strömungsquerschnitts vereinbar. Bei 100 % Stenose beträgt das globale Geschwindigkeitsmaximum 0,46125 m/s. Da die Arteria carotis interna (ACI) vollständig verschlossen ist, beschreibt dieser Wert nicht die Strömung durch den Verschluss, sondern kann aus einem anderen, weiterhin durchströmten Gefäßbereich stammen. ==== Graphische Auswertungen in Comsol ==== [[Datei:0%, Geschwindigkeit, p0=0.png|mini|zentriert|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 0 % Stenose und einer Druckrandbedingung von p₀ = 0 Pa.]] <div style="display:flex; justify-content:center; gap:15px;"> <div> [[Datei:0,3%, Geschwindigkeit, p0=0.png|mini|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 30 % Stenose und einer Druckrandbedingung von p₀ = 0 Pa.]] </div> <div> [[Datei:0,3%, Geschwindigkeit, p0=0, Nah Stenose.png|mini|300px|Vergrößerte Geschwindigkeitsverteilung im Bereich der 30%igen Stenose bei p₀ = 0 Pa.]] </div> </div> <div style="display:flex; justify-content:center; gap:15px;"> <div> [[Datei:0,6%, Geschwindigkeit, p0=0.png|mini|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 60 % Stenose und einer Druckrandbedingung von p₀ = 0 Pa.]] </div> <div> [[Datei:0,6%, Geschwindigkeit, p0=0, Nah Stenose.png|mini|300px|Vergrößerte Geschwindigkeitsverteilung im Bereich der 60%igen Stenose bei p₀ = 0 Pa.]] </div> </div> <div style="display:flex; justify-content:center; gap:15px;"> <div> [[Datei:0,8%, Geschwindigkeit, p0=0.png|mini|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 80 % Stenose und einer Druckrandbedingung von p₀ = 0 Pa.]] </div> <div> [[Datei:0,8%, Geschwindigkeit, p0=0, Nah Stenose.png|mini|300px|Vergrößerte Geschwindigkeitsverteilung im Bereich der 80%igen Stenose bei p₀ = 0 Pa.]] </div> </div> <div style="display:flex; justify-content:center; gap:15px;"> <div> [[Datei:100%, Geschwindigkeit, p0=0.png|mini|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 100 % Stenose und einer Druckrandbedingung von p₀ = 0 Pa.]] </div> <div> [[Datei:100%, Geschwindigkeit, p0=0, Nah Stenose.png|mini|300px|Vergrößerte Darstellung des vollständig verschlossenen Bereichs der ACI bei 100 % Stenose und p₀ = 0 Pa.]] </div> </div> Die Farbskala zeigt den Betrag der Strömungsgeschwindigkeit in m/s. Blaue Bereiche kennzeichnen niedrige, grüne und gelbe mittlere sowie rote Bereiche hohe Geschwindigkeiten. Im unverengten Gefäß ist die Geschwindigkeit in der Gefäßmitte am höchsten und nimmt zu den Gefäßwänden hin ab. Mit zunehmendem Stenosegrad verändert sich die Geschwindigkeitsverteilung deutlich. Im Bereich der Engstelle wird die Strömung lokal beschleunigt, während hinter der Verengung Bereiche niedriger Geschwindigkeit auftreten können. Bei 100 % Stenose ist die ACI vollständig verschlossen, sodass die Strömung nur noch über den offenen Gefäßast abfließen kann. === Resistenzrandbedingung und Vergleich === Anschließend wurde die Strömung unter Verwendung einer Resistenzrandbedingung mit konstantem Parameter <math>k_R = 1</math> untersucht. Bei zunehmender Verengung traten Konvergenzprobleme auf. Ab ungefähr 73 % Stenose konnte keine konvergierende stationäre Lösung mehr bestimmt werden. Daher wurden für die hochgradigen Stenosen ergänzend zeitabhängige Simulationen durchgeführt. {| class="wikitable" ! Stenosegrad ! Druckrandbedingung <math>p_0 = 0\,\mathrm{Pa}</math> [m/s] ! Resistenzrandbedingung <math>k_R = 1</math> [m/s] |- | 0 % || 0,28385 || 0,32426 |- | 30 % || 0,27081 || 0,32219 |- | 60 % || 0,35036 || 0,53188 |- | 80 % || 0,3858 || 1,0674 |- | 100 % || 0,46125 || <math>\approx 0</math> * |} <small>* Bei 100 % Stenose wurde für die Resistenzrandbedingung ausschließlich das Gebiet hinter dem vollständigen Verschluss ausgewertet. Die maximale Geschwindigkeit beträgt dort <math>v_{\max} = 2{,}1416 \cdot 10^{-21}\,\mathrm{m/s} \approx 0\,\mathrm{m/s}</math>.</small> Der Vergleich zeigt, dass die maximale Geschwindigkeit bei der Resistenzrandbedingung insbesondere bei höheren Stenosegraden deutlich stärker ansteigt. Bei 80 % Stenose wird mit 1,0674 m/s ein wesentlich höherer Wert erreicht als bei der Druckrandbedingung mit 0,3858 m/s. Dies verdeutlicht den Einfluss der Auslassrandbedingungen auf die Strömungsverteilung innerhalb der Gefäßverzweigung. Bei vollständigem Gefäßverschluss ist ein direkter Vergleich der beiden Werte nicht möglich, da unterschiedliche Strömungsgebiete ausgewertet wurden. Während bei der Druckrandbedingung das globale Maximum betrachtet wurde, beschreibt der Wert der Resistenzrandbedingung die praktisch zum Stillstand gekommene Strömung hinter der Stenose. Insgesamt zeigen die Ergebnisse, dass sowohl der Stenosegrad als auch die gewählten Randbedingungen einen wesentlichen Einfluss auf die maximale Strömungsgeschwindigkeit besitzen. Die Konvergenzprobleme bei hochgradigen Stenosen verdeutlichen zudem die Notwendigkeit einer ergänzenden zeitabhängigen Untersuchung. ==== Graphische Auswertungen in Comsol ==== [[Datei:0%, Geschwindigkeit, Resbed..png|mini|zentriert|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 0 % Stenose mit Resistenzrandbedingung (k_R = 1).]] <div style="display:flex; justify-content:center; gap:15px;"> <div> [[Datei:0,3%, Geschwindigkeit, Resbed..png|mini|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 30 % Stenose mit Resistenzrandbedingung (k_R = 1).]] </div> <div> [[Datei:0,3%, Geschwindigkeit, Resbed., Nah Stenose.png|mini|300px|Vergrößerte Geschwindigkeitsverteilung im Bereich der 30%igen Stenose mit Resistenzrandbedingung (k_R = 1).]] </div> </div> <div style="display:flex; justify-content:center; gap:15px;"> <div> [[Datei:0,6%, Geschwindigkeit, Resbed..png|mini|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 60 % Stenose mit Resistenzrandbedingung (k_R = 1).]] </div> <div> [[Datei:0,6%, Geschwindigkeit, Resbed., Nah Stenose.png|mini|300px|Vergrößerte Geschwindigkeitsverteilung im Bereich der 60%igen Stenose mit Resistenzrandbedingung (k_R = 1).]] </div> </div> <div style="display:flex; justify-content:center; gap:15px;"> <div> [[Datei:0,8%, Geschwindigkeit, Resbed., zeitabh., Zeit 1 s.png|mini|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 80 % Stenose mit Resistenzrandbedingung (k_R = 1) zum Zeitpunkt t = 1 s.]] </div> <div> [[Datei:0,8%, Geschwindigkeit, Resbed., zeitabh., Zeit 1 s, Nah Stenose.png|mini|300px|Vergrößerte Geschwindigkeitsverteilung im Bereich der 80%igen Stenose mit Resistenzrandbedingung (k_R = 1) zum Zeitpunkt t = 1 s.]] </div> </div> <div style="display:flex; justify-content:center; gap:15px;"> <div> [[Datei:1%, Geschwindigkeit, Resbed., zeitabh., Zeit 1 s,.png|mini|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 100 % Stenose mit Resistenzrandbedingung (k_R = 1) zum Zeitpunkt t = 1 s.]] </div> <div> [[Datei:1%, Geschwindigkeit, Resbed., zeitabh., Zeit 1 s, nah Stenose.png|mini|300px|Vergrößerte Darstellung des vollständig verschlossenen ACI-Bereichs bei 100 % Stenose mit Resistenzrandbedingung (k_R = 1) zum Zeitpunkt t = 1 s.]] </div> </div> ===== Untersuchung möglicher Rückströmungsbereiche (RAUS????) ===== Zur Untersuchung möglicher Rückströmungsbereiche wurde der stenotische Abschnitt der ACI vergrößert dargestellt. Zusätzlich zum Geschwindigkeitsfeld wurden Stromlinien mit erhöhter Startpunktanzahl visualisiert. Die Stromlinien zeigen eine Bündelung der Strömung im Bereich der Engstelle und eine anschließende Auffächerung im erweiterten Gefäßabschnitt. In der vergrößerten Darstellung treten entlang der oberen und unteren Gefäßwand hinter der Stenose, ungefähr zwischen x = 104 mm und x = 108 mm, schmale Bereiche mit negativer Geschwindigkeitskomponente auf. Die negative Geschwindigkeitskomponente wurde entlang einer um 15° geneigten Richtung bestimmt. Die dargestellten Werte liegen im Bereich weniger Millimeter pro Sekunde und sind damit deutlich kleiner als die maximale Strömungsgeschwindigkeit von 0,31853 m/s. Trotz der erhöhten Stromliniendichte ist kein eindeutig geschlossenes Rezirkulationsgebiet erkennbar. Die negativen Geschwindigkeitskomponenten liefern Hinweise auf lokale Veränderungen der Strömungsrichtung, stellen jedoch allein keinen sicheren Nachweis einer Strömungsablösung dar. <div style="text-align:center;"> [[Datei:Rückströmungsgebiete 2D.png|800px|zentriert|Vergrößerte Darstellung der Stromlinien und möglicher Rückströmungsbereiche hinter der 80-%-Stenose der ACI. Die Farbskala zeigt die negative Geschwindigkeitskomponente entlang einer um 15° geneigten Richtung. Schmale Bereiche mit negativen Werten sind an den Gefäßwänden erkennbar. Ein geschlossenes Rezirkulationsgebiet ist nicht eindeutig nachweisbar.]] <small>'''Abbildung 2:''' Vergrößerte Darstellung des ACI-Abschnitts hinter der Stenose. Die Farbskala zeigt die Geschwindigkeitskomponente in einer um 15° geneigten Richtung in m/s. Negative Werte weisen auf lokale Strömungsanteile entgegen dieser Richtung hin, belegen jedoch für sich genommen noch keine geschlossene Rezirkulationszone.</small> </div> Auch hier kennzeichnen blaue Farbtöne niedrige und rote Farbtöne hohe Strömungsgeschwindigkeiten. Mit zunehmender Stenose wird die Beschleunigung im Bereich der Engstelle besonders deutlich. Im Vergleich zur Druckrandbedingung treten bei höheren Stenosegraden größere maximale Geschwindigkeiten auf. Bei 80 % Stenose zeigt die zeitabhängige Simulation eine ausgeprägte Geschwindigkeitskonzentration im verengten Gefäßabschnitt. Bei 100 % Stenose kommt die Strömung im vollständig abgetrennten ACI-Bereich praktisch zum Stillstand, während die ACE weiterhin durchströmt wird. Die Ergebnisse verdeutlichen, dass die Wahl der Auslassrandbedingung die Geschwindigkeitsverteilung wesentlich beeinflusst. === Druckverteilung und Druckabfall === Die Druckverteilung wurde anhand der berechneten Isobaren innerhalb der zweidimensionalen Karotis-Bifurkation untersucht. Dabei zeigt sich eine Abnahme des statischen Drucks vom gemeinsamen Zuflussgefäß in Richtung der beiden Gefäßausgänge. Der maximale berechnete Druck beträgt etwa '''74,2 Pa''', während der minimale Druck bei etwa '''−19,9 Pa''' liegt. Daraus ergibt sich eine globale Druckspanne von ungefähr '''94,1 Pa'''. Besonders auffällig ist die Druckverteilung im Bereich der Stenose der Arteria carotis interna (ACI). Dort liegen die Isobaren deutlich enger beieinander, was auf einen ausgeprägten lokalen Druckgradienten hinweist. Stromabwärts der Engstelle treten zudem Bereiche mit niedrigem statischem Druck auf. '''Interpretation''': Die Ergebnisse zeigen, dass die Stenose die lokale Druckverteilung im ACI-Ast deutlich beeinflusst. Die Beschleunigung der Strömung innerhalb der Verengung geht mit einer Abnahme des statischen Drucks einher. Die globale Druckspanne von 94,1 Pa darf jedoch nicht mit dem irreversiblen Druckverlust über der Stenose gleichgesetzt werden. Die globale Druckspanne von 94,1 Pa ist nicht mit dem Druckabfall über der Stenose gleichzusetzen. Zur genaueren Untersuchung wurden deshalb zwei Messquerschnitte vor und hinter der Engstelle ausgewertet. Zwischen diesen ergibt sich eine mittlere statische Druckdifferenz von 36,24 Pa. <div style="text-align:center;"> [[Datei:Druckverteilung_2D.png|800px|zentriert|Druckverteilung der stationären 2D-Strömungssimulation einer idealisierten Karotis-Bifurkation mit 80 % Stenose in der Arteria carotis interna (ACI). Die Isobaren zeigen den Druckverlauf innerhalb der Gefäßgeometrie. Besonders im Bereich der Stenose ist ein ausgeprägter lokaler Druckgradient erkennbar. Der berechnete Druck liegt zwischen −19,9 Pa und 74,2 Pa.]] <small>'''Abbildung 3:''' Druckverteilung der stationären 2D-Strömungssimulation einer idealisierten Karotis-Bifurkation mit 80 % Stenose in der Arteria carotis interna (ACI). Die Isobaren zeigen den Druckverlauf innerhalb der Gefäßgeometrie. Besonders im Bereich der Stenose ist ein ausgeprägter lokaler Druckgradient erkennbar. Der berechnete Druck liegt zwischen −19,9 Pa und 74,2 Pa.</small> </div> ==== Quantitative Bestimmung der Druckdifferenz ==== Zur quantitativen Untersuchung des Druckabfalls wurden zwei Messquerschnitte im ACI-Ast definiert, einer vor und einer hinter der Stenose. Mithilfe der COMSOL-Funktion „Linienmittelwert“ wurde der mittlere statische Druck an beiden Positionen bestimmt. Vor der Stenose beträgt der mittlere Druck '''35,232 Pa''', während hinter der Stenose ein Wert von '''−1,0042 Pa''' ermittelt wurde. Daraus ergibt sich eine Druckdifferenz von '''36,24 Pa'''. Die Ergebnisse zeigen eine deutliche Abnahme des statischen Drucks zwischen den beiden Messquerschnitten. Diese Druckdifferenz verdeutlicht die Druckänderung entlang des stenotischen ACI-Astes. Sie ist jedoch nicht mit dem ausschließlich durch die Stenose verursachten irreversiblen Druckverlust gleichzusetzen, da auch die Strömungsentwicklung in den angrenzenden Gefäßabschnitten berücksichtigt wird. {| class="wikitable" style="text-align:center;" ! Stenosegrad ! <math>\bar p_\mathrm{vor}</math> [Pa] ! <math>\bar p_\mathrm{nach}</math> [Pa] ! <math>\Delta p</math> [Pa] |- | 0 % | 11,631 | 4,2461 | 7,3849 |- | 30 % | 16,919 | 2,9220 | 13,997 |- | 60 % | 35,835 | -0,58267 | 36,41767 |- | 80 % | 70,562 | -0,55906 | 71,12106 |} === Ausblick: Wandschubspannung im Vergleich === Zur Untersuchung der mechanischen Belastung der Gefäßwände wurde die Wandschubspannung (Wall Shear Stress, WSS) im zweidimensionalen Strömungsmodell ausgewertet. Sie beschreibt die tangentiale viskose Spannung, die durch die Strömung an der Gefäßwand entsteht. Die quantitative Auswertung erfolgte für die obere und untere Wand des stenotischen ACI-Abschnitts. Hierfür wurden die entsprechenden Wandkanten in COMSOL ausgewählt und der Betrag der Wandschubspannung bestimmt. Die Abbildung zeigt die Verteilung der Wandschubspannung (Wall Shear Stress, WSS) an den Gefäßwänden im Bereich der 80-%-Stenose der ACI. Die Auswertung erfolgte einmal mit und einmal ohne Resistenzrandbedingung. Für <math>p_0 = 0\,\mathrm{Pa}</math>: * Die Farbskala verdeutlicht die unterschiedlich starke Belastung der Gefäßwand durch die Blutströmung. '''Blaue Bereiche''' kennzeichnen geringe Wandschubspannungen von etwa 1 bis 2 Pa, während '''grüne und gelbe Bereiche''' mittlere Werte anzeigen. Im '''orange-roten Bereich''' nahe der stärksten Verengung steigt die Wandschubspannung deutlich an. Das mithilfe des Linienmaximums ermittelte Maximum beträgt '''6,0400 Pa'''. * Die erhöhten Werte im Bereich der Stenose lassen sich durch die starke Verengung des Gefäßquerschnitts erklären. Dadurch entstehen größere Geschwindigkeitsänderungen in Wandnähe, die zu einer erhöhten Wandschubspannung führen können. Die Abbildung zeigt somit, dass die mechanische Belastung der Gefäßwand innerhalb des untersuchten Stenosebereichs nicht gleichmäßig verteilt ist, sondern lokal deutlich zunimmt. [[Datei:WSS P0=0.png|300px|mini|zentriert|Verteilung der Wandschubspannung (WSS) im Bereich der 80-%-Stenose der Arteria carotis interna bei der Druckrandbedingung <math>p_0 = 0\,\mathrm{Pa}</math>.]] Mit Resistenzrandbedingung: * Die Abbildung zeigt die Verteilung der Wandschubspannung (Wall Shear Stress, WSS) an den Gefäßwänden im Bereich der 80-%-Stenose der Arteria carotis interna (ACI). Im Gegensatz zur vorherigen Untersuchung mit der Druckrandbedingung <math>p_0 = 0\,\mathrm{Pa}</math> wurde hier die Resistenzrandbedingung <math>k_R = 1</math> verwendet. * Da für diesen Fall keine stationäre Lösung erzielt werden konnte, erfolgte die Berechnung zeitabhängig. Die dargestellten Ergebnisse beziehen sich auf den Zeitpunkt <math>t = 1\,\mathrm{s}</math>. * Die Wandschubspannung ist innerhalb des Stenosebereichs unterschiedlich stark ausgeprägt. Bereiche mit niedrigen Werten kennzeichnen eine geringere tangentiale Belastung der Gefäßwand, während Bereiche mit höheren Werten auf eine stärkere Belastung hinweisen. * Das mithilfe des Linienmaximums ermittelte Maximum auf den ausgewählten Stenosewänden beträgt: <math>19{,}856\,\mathrm{Pa}</math>. * Die erhöhten Wandschubspannungen lassen sich durch die starke Verengung des Gefäßquerschnitts und die damit verbundenen Geschwindigkeitsänderungen in Wandnähe erklären. * Im Vergleich zur stationären Berechnung mit <math>p_0 = 0\,\mathrm{Pa}</math>, bei der eine maximale Wandschubspannung von <math>6{,}0400\,\mathrm{Pa}</math> ermittelt wurde, fällt der Maximalwert bei der Resistenzrandbedingung deutlich höher aus. * Dabei ist zu beachten, dass es sich bei <math>19{,}856\,\mathrm{Pa}</math> um einen Momentanwert bei <math>t = 1\,\mathrm{s}</math> handelt und nicht um einen stationären Wert. Die beiden Ergebnisse sind daher nur eingeschränkt direkt vergleichbar. * Die Farbverteilung zeigt, dass die Wandschubspannung im Bereich der Stenose von niedrigen Werten (Blau) zu höheren Werten (Grün, Gelb und Rot) ansteigt und insbesondere an der engsten Stelle der Gefäßverengung erhöht ist. [[Datei:WSS Resistenzrandbedingung.png|300px|mini|zentriert|Verteilung der Wandschubspannung (WSS) im Bereich der 80-%-Stenose der Arteria carotis interna bei der Resistenzrandbedingung <math>k_R = 1</math> zum Zeitpunkt <math>t = 1\,\mathrm{s}</math> (zeitabhängige Simulation).]] === Zusammenfassende Bewertung der 2D-Ergebnisse AKTUELLE DATEN NOCH REIN === Die stationäre zweidimensionale Strömungssimulation mit einem Stenosegrad von 80 % zeigt deutliche Veränderungen der Strömungsgrößen innerhalb der idealisierten Karotis-Bifurkation. Die maximale Geschwindigkeit beträgt 0,31853 m/s. Zwischen den ausgewählten Messquerschnitten vor und hinter der ACI-Stenose ergibt sich eine mittlere statische Druckdifferenz von 36,24 Pa. Die maximale Wandschubspannung auf den ausgewerteten Stenosewänden beträgt 3,2282 Pa. Die Untersuchung der Geschwindigkeitskomponenten liefert Hinweise auf lokale Strömungsanteile entgegen der Hauptströmungsrichtung. Ein eindeutig abgegrenztes Rezirkulationsgebiet konnte anhand der vorliegenden Darstellungen jedoch nicht sicher nachgewiesen werden. Die Ergebnisse beschreiben zunächst den untersuchten Fall einer hochgradigen Stenose. Aus diesem einzelnen Fall lässt sich weder eine allgemeine Abhängigkeit der Strömungsgrößen vom Stenosegrad noch ein kritischer Stenosegrad für den Beginn der Strömungsablösung bestimmen. Dafür wäre eine vergleichende Auswertung weiterer Stenosegrade erforderlich. == Resistenzrandbedingung am Auslass (2D-Modell) == === Motivation === Im ursprünglichen 2D-Modell wurde an beiden Auslässen eine Nulldruckbedingung <math>p = 0</math> gesetzt. Physikalisch bedeutet das, dass beide Äste in ein „offenes Becken“ mit gleichem, festem Druck münden. Der Auslassdruck hängt dabei nicht davon ab, wie viel Blut ankommt. Diese Annahme hat zwei Schwächen: * Die Flussaufteilung zwischen ACI und ACE ergibt sich nur aus den kleinen Strömungswiderständen der modellierten Gefäßabschnitte. Wird die ACI durch die Stenose verengt, weicht das Blut nahezu ungehindert in die ACE aus. Im Körper ist das nicht möglich, weil hinter der ACI das Gefäßbett des Gehirns mit einem eigenen, großen Widerstand liegt. * Das Druckniveau (Auslass bei 0 Pa) ist nicht physiologisch. Im 3D-Modell wurde deshalb an beiden Auslässen eine '''Resistenzrandbedingung''' verwendet. Damit 2D- und 3D-Modell vergleichbar sind, haben wir dieselbe Randbedingung auch im 2D-Modell eingebaut. === Formel und Herleitung === Das gesamte nachgeschaltete Gefäßbett hinter jedem Auslass wird durch einen einzigen peripheren Widerstand <math>R_p</math> ersetzt: :<math>p_{\text{aus}} = k_R \cdot R_p \cdot Q</math> Dabei ist <math>Q</math> der Volumenstrom durch den Auslass und <math>k_R</math> ein Schalter (<math>k_R = 1</math>: Widerstand, <math>k_R = 0</math>: ursprüngliche Bedingung <math>p = 0</math>). '''1. Gesunde Flussaufteilung nach dem Murray-Gesetz''' Der Volumenstrom eines Gefäßes ist nach Murray proportional zur dritten Potenz des Durchmessers. Für den Anteil der ACI am Gesamtfluss gilt damit: :<math>\varphi_0 = \frac{D_I^3}{D_I^3 + D_E^3} = \frac{(5\,\text{mm})^3}{(5\,\text{mm})^3 + (4\,\text{mm})^3} \approx 0{,}661</math> Mit dem mittleren Volumenstrom der A. carotis communis <math>Q_0 = 6\,\text{ml/s}</math> (Holdsworth u. a. 1999) folgt: :<math>Q_{I,0} = \varphi_0 \cdot Q_0 \approx 3{,}97\,\text{ml/s}, \qquad Q_{E,0} = (1-\varphi_0) \cdot Q_0 \approx 2{,}03\,\text{ml/s}</math> '''2. Bestimmung der peripheren Widerstände''' Die Widerstände werden so gewählt, dass im gesunden Zustand an beiden Auslässen der treibende Druck des peripheren Gefäßbetts <math>p_D = 90\,\text{mmHg} \approx 12\,000\,\text{Pa}</math> anliegt: :<math>R_{pI} = \frac{p_D}{Q_{I,0}} \approx 3{,}0 \cdot 10^{9}\,\frac{\text{Pa}\cdot\text{s}}{\text{m}^3}, \qquad R_{pE} = \frac{p_D}{Q_{E,0}} \approx 5{,}9 \cdot 10^{9}\,\frac{\text{Pa}\cdot\text{s}}{\text{m}^3}</math> Die Randbedingungen an den beiden Auslässen lauten damit: :<math>p_{\text{aus},I} = k_R \cdot R_{pI} \cdot Q_I, \qquad p_{\text{aus},E} = k_R \cdot R_{pE} \cdot Q_E</math> '''3. Umrechnung des Flusses im 2D-Modell''' Im 2D-Modell liefert das Integral der Normalgeschwindigkeit über den Auslassrand keinen Volumenstrom in m³/s, sondern einen Fluss pro Tiefe <math>q</math> in m²/s. Damit die Widerstände aus dem 3D-Modell verwendet werden können, wird <math>q</math> mit einer einheitlichen Ersatztiefe <math>b</math> in einen Volumenstrom umgerechnet: :<math>Q = q \cdot b, \qquad b = \frac{\pi \, D_{CC}}{4}</math> Die Ersatztiefe ist so gewählt, dass am Einlass mit der mittleren Einströmgeschwindigkeit <math>\bar{u}_{ein} = Q_0 / (\pi D_{CC}^2/4) \approx 0{,}21\,\text{m/s}</math> genau der Volumenstrom des 3D-Modells von 6 ml/s ankommt. Weil dieselbe Ersatztiefe für alle Ränder gilt, bleibt die Massenbilanz erhalten. === Ergebnisse mit Resistenzrandbedingung === {| class="wikitable" style="text-align:center" |+ Maximale Geschwindigkeit ! Stenosegrad S !! <math>u_{max}</math> [m/s] |- | 0 || 0,324^* |- | 0,3 || 0,323^* |- | 0,6 || 0,529 |- | 0,8 || 1,067 |} ^* Bei S = 0 und S = 0,3 liegt das Geschwindigkeitsmaximum nicht in der Stenose, sondern in der A. carotis communis. {| class="wikitable" style="text-align:center" |+ Druck vor und nach der Stenose ! Stenosegrad S !! <math>p_{vor}</math> [Pa] !! <math>p_{nach}</math> [Pa] !! Druckverlust <math>\Delta p = p_{vor} - p_{nach}</math> [Pa] !! <math>\Delta p</math> [mmHg] |- | 0 || 11 802 || 11 793 || 9 || 0,07 |- | 0,3 || 11 808 || 11 790 || 18 || 0,14 |- | 0,6 || 11 838 || 11 760 || 78 || 0,59 |- | 0,8 || 12 024 || 11 626 || 398 || 2,99 |} === Auswertung === * '''Druckniveau:''' Mit der Resistenzrandbedingung liegt der Druck bei etwa 11 800 Pa ≈ 88,5 mmHg. Das entspricht dem mittleren arteriellen Druck in der Carotis. Mit <math>p = 0</math> lagen die Drücke nur bei wenigen Pa bis einigen 100 Pa. * '''Flussaufteilung:''' Die peripheren Widerstände sind wesentlich größer als der Widerstand der Stenose. Deshalb bestimmen sie die Flussaufteilung, und die ACI behält auch bei 80 % Stenose nahezu ihren Anteil (Abnahme von <math>Q_I</math> nur um etwa 1 %). Im Gegensatz zu <math>p = 0</math> kann das Blut nicht einfach in die ACE ausweichen. Das entspricht dem physiologischen Verhalten bei nicht kritischen Stenosen. * '''Geschwindigkeit:''' Weil mehr Blut durch die Engstelle strömen muss, steigen die Geschwindigkeiten in der Stenose gegenüber <math>p = 0</math>. Von S = 0,6 auf S = 0,8 verdoppelt sich <math>u_{max}</math> etwa. * '''Druckverlust:''' Der Druckverlust steigt stark nichtlinear mit dem Stenosegrad. Von S = 0,6 auf S = 0,8 nimmt er etwa um den Faktor 5 zu. * '''Druckrückgewinnung:''' Bei S = 0,8 liegt <math>p_{nach}</math> mit 11 626 Pa sogar unter dem Auslassdruck (≈ 11 680 Pa). Direkt hinter der Engstelle ist die Geschwindigkeit des Strahls noch hoch und der statische Druck entsprechend niedrig. Stromabwärts verlangsamt sich die Strömung, und ein Teil des Drucks wird zurückgewonnen. Der bleibende Druckverlust ist daher etwas kleiner als 398 Pa. === Grenzen und Vergleich mit dem 3D-Modell === * Im 2D-Modell verringert eine Stenose von 80 % nur die '''Spaltbreite''' auf 20 %. Im 3D-Modell sinkt die '''Querschnittsfläche''' dagegen auf <math>0{,}2^2 = 4\,\%</math>. Das 2D-Modell unterschätzt deshalb Geschwindigkeit und Druckverlust in der Stenose systematisch. Klinisch gelten bei Stenosen ab 70 % systolische Spitzengeschwindigkeiten über 2,3 m/s; ab einem Druckgradienten von etwa 10–20 mmHg gilt eine Stenose als hämodynamisch relevant. Beide Grenzen erreicht das 2D-Modell nicht. * Die Umrechnung über die Ersatztiefe <math>\pi D_{CC}/4</math> ist eine Modellannahme. * Der periphere Widerstand ist konstant. Die Autoregulation des Gehirns und die Gefäßelastizität (Windkessel) werden nicht berücksichtigt, und die Rechnung ist stationär (keine Pulsatilität). == Beantwortung der Forschungsfragen == '''Welche Strömungsgrößen reagieren empfindlich auf den Stenosegrad?''' Die Untersuchung der 80-%-Stenose zeigt deutliche Veränderungen der Geschwindigkeitsverteilung, des statischen Drucks und der Wandschubspannung. Die maximale Strömungsgeschwindigkeit beträgt 0,31853 m/s. Zwischen den ausgewählten Messquerschnitten vor und hinter der Stenose ergibt sich eine mittlere statische Druckdifferenz von 36,24 Pa. Die maximale Wandschubspannung auf den untersuchten Stenosewänden beträgt 3,2282 Pa.Da bisher nur die 80-%-Stenose quantitativ ausgewertet wurde, lässt sich noch nicht feststellen, welche dieser Größen bei zunehmendem Stenosegrad am stärksten reagiert. '''Ab welchem Stenosegrad tritt eine Strömungsablösung auf?''' Bei der untersuchten 80-%-Stenose zeigen die Geschwindigkeitskomponenten und die vorzeichenbehaftete Wandschubspannung Hinweise auf Veränderungen der wandnahen Strömungsrichtung hinter der Engstelle. Ein eindeutig geschlossenes Rezirkulationsgebiet konnte jedoch nicht nachgewiesen werden. Ein kritischer Stenosegrad für den Beginn einer Strömungsablösung lässt sich aus dieser einzelnen Simulation daher nicht bestimmen. Hierfür müssten weitere Stenosegrade unter vergleichbaren Bedingungen ausgewertet werden. '''Inwieweit sind die Annahmen einer stationären und laminaren Strömung geeignet?''' Die stationäre, laminare Modellierung ermöglicht es, grundlegende Auswirkungen einer Gefäßverengung auf die Strömung in einer idealisierten Karotis-Bifurkation zu untersuchen. Bei hochgradigen Stenosen können allerdings zeitabhängige und dreidimensionale Strömungsstrukturen auftreten. Diese werden durch das vorliegende stationäre 2D-Modell nicht vollständig erfasst. Die Simulationsergebnisse sind deshalb auf die gewählten Modellannahmen und Randbedingungen beschränkt. '''Zusammenfassend''' liefert die 2D-Simulation eine erste quantitative Beschreibung der Strömungsverhältnisse bei einer hochgradigen ACI-Stenose. Für allgemeine Aussagen über die Abhängigkeit vom Stenosegrad und den Beginn einer Strömungsablösung sind zusätzliche Vergleichsrechnungen erforderlich. = Grenzen des Modells = * Die untersuchte Gefäßgeometrie ist eine idealisierte Darstellung der Karotisaufzweigung. Individuelle anatomische Unterschiede werden nicht berücksichtigt. * Darüber hinaus werden die Gefäßwände als starr angenommen und Blut wird durch ein inkompressibles Newtonsches Fluid mit konstanter Viskosität beschrieben. * Die Strömung wird stationär berechnet. Die natürliche Pulsation des Blutflusses und zeitabhängige Effekte bleiben damit unberücksichtigt. * Insbesondere bei hochgradigen Stenosen können zeitabhängige Strömungsablösungen auftreten, die durch eine stationäre Modellierung nicht vollständig beschrieben werden. * Das Graphenmodell kann lokale Strömungsphänomene nicht detailliert erfassen. Das ebene Flächenmodell vereinfacht die räumliche Gefäßgeometrie. Auch das dreidimensionale Modell bleibt aufgrund der idealisierten Geometrie und der vereinfachten Materialannahmen eine Annäherung an die reale Blutströmung. * Die Ergebnisse sind daher als strömungsmechanische Untersuchung eines idealisierten Modells zu interpretieren und nicht als patientenspezifische medizinische Vorhersage. = Literaturverzeichnis = Alle Quellen sind an den Stellen im Text angegeben, an denen die zugehörigen Werte oder Aussagen verwendet werden. Die Liste wird aus diesen Angaben automatisch erzeugt. <references /> bhij1f3r7lmhtr4d9fkvsc58faxz0dx 1119128 1119127 2026-11-08T18:06:18Z Heitele 38553 /* Untersuchung möglicher Rückströmungsbereiche (RAUS????) */ 1119128 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Joey Becker * Marie-Thérèse Heitele * Nicole Pander = Thema und Fragestellung = Gegenstand dieses Projekts ist die numerische Simulation der Blutströmung in einer verzweigten Halsschlagader ('''Carotis-Bifurkation''') unter dem Einfluss einer lokalen Gefäßverengung ('''Stenose'''). Im Vergleich zu einfachen Rohrströmungen wird hier die realitätsnahe Gefäßanatomie betrachtet: Die '''Arteria carotis communis (ACC)''' teilt sich in die '''Arteria carotis externa (ACE)''' und die '''Arteria carotis interna (ACI)''' auf. Während die '''ACE''' als gesunder, stenosefreier Ast dient, wird in der '''ACI''' eine geglättete, kosinusförmige Gefäßverengung modelliert. Um scharfe Kanten und unphysiologische Druckspitzen zu vermeiden, werden alle Wandübergänge und die Gabelungsspitze (Apex) anatomisch verrundet. Als Referenz dient ein gesundes, unverengtes Gefäß, in dem sich die Poiseuille-Strömung mit ihrem charakteristischen parabolischen Geschwindigkeitsprofil ausbildet. Diese Strömung ist aus zwei Gründen der natürliche Ausgangspunkt. Sie beschreibt den physiologischen Normalfall, mit dem jeder Stenosegrad verglichen wird, und sie ist exakt lösbar, sodass sich an ihr jede numerische Rechnung prüfen lässt, bevor die Verengung hinzukommt. == Fragestellung == Die Hauptfragestellung dieses Projektes lautet: Wie verändert eine symmetrische bzw. rotationssymmetrische Stenose in der '''Arteria carotis interna (ACI)''' die stationäre Strömung eines inkompressiblen Newton’schen Fluids in einer 2D-Carotis-Bifurkation hinsichtlich Geschwindigkeitsverteilung, Druckabfall, Wandschubspannung und Wirbelbildung im Vergleich zu den gesunden Gefäßabschnitten? Aus dieser Fragestellung ergeben sich drei Teilfragen, an denen sich der Aufbau der Seite orientiert: # Welche Strömungsgrößen reagieren empfindlich auf den Stenosegrad und welche nur träge? # Ab welchem Stenosegrad ändert sich das Strömungsmuster qualitativ, das heißt, ab wann löst die Strömung hinter der Engstelle von der Wand ab und bildet ein Rückströmgebiet? # Wie weit tragen die vereinfachenden Modellannahmen, insbesondere die Annahme einer stationären und laminaren Strömung, über den untersuchten Bereich der Stenosegrade? == Modellannahmen == Im Hinblick darauf werden für dieses Projekt einige Annahmen getroffen, um das Projekt möglichst isoliert zu untersuchen und zu simplifizieren: * '''Idealisierte Gefäßgeometrie''': Betrachtet wird ein Teilabbschnitt der ''Arteria carotis communis'', die sog. ''ACI''. Zudem werden Gefäßverkrümmungen, weitere Verzweigungen und patientenspezifische Strukturen nicht berücksichtigt. * '''Starre Gefäßwand''': Die Gefäßwand wird als unbeweglich und nicht verformbar angenommen. Eine Wechselwirkung zwischen elastischer Gefäßwand und Blutströmung wird nicht modelliert. * '''Stationäre Strömung''': Die Strömungsgrößen werden als zeitlich konstant angenommen. Die im realen Blutkreislauf vorhandene Pulsation durch den Herzschlag wird daher vernachlässigt: <math>\frac{\partial u}{\partial t}=0</math>. * '''Inkompressibles Fluid''': Die Dichte des Fluids wird als konstant angenommen. Damit gilt für die Geschwindigkeit <math>\nabla \cdot u=0</math>. Dies entspricht der in der Vorlesung behandelten Massenerhaltung für inkompressible Fluide: Was in das Gefäß einströmt, muss auch wieder ausströmen. * '''Newton'sche Näherung für Blut''': Reales Blut beseitzt ein nicht newton'sches Fließverhalten. Hier wird Blut als Newton'sches Fluid behandelt. * '''Konstante Stoffeigenschaften''': Dichte <math>\rho</math> und dynamische Viskosität μ werden als räumlich und zeitlich konstant angenommen. Temperaturabhängigkeiten werden nicht berücksichtigt. * '''Laminare Strömung''': Die Strömung wird mit dem COMSOL-Modul ''Laminar Flow'' beschrieben. Ein zusätzliches Turbulenzmodell wird nicht verwendet. * '''No-Slip-Bedingung an Gefäßwand''': Aufgrund der Viskosität wird angenommen, dass das Fluid direkt an der Gefäßwand haftet. Somit gilt <math>u=0</math>. * '''Vernachlässigung der Gravitation''': Gravitation wird nicht berücksichtigt. Die Strömung wird ausschließlich durch die gewählten Ein- und Auslassbedingungen bestimmt. = Relevanz = Die Untersuchung von Gefäßverengungen besitzt sowohl eine medizinische als auch eine methodische Bedeutung. Aus medizinischer Sicht sind arterielle Stenosen – etwa in der Halsschlagader, lat. ''arteria carotis communis'', – kritisch, da sie die Durchblutung beeinträchtigen und durch veränderte Wandschubspannungen sowie die Bildung von Wirbeln weitere Gefäßablagerungen begünstigen. Stenosen im Bereich der Karotisgabelung sind klinisch hochrelevant, da sie das Gehirn direkt versorgen und das Risiko für embolische Schlaganfälle erhöhen. Fachlich überträgt das Projekt damit die Prinzipien der Strömungsmechanik direkt auf eine biomedizinische Anwendung. Das Projekt verknüpft somit theoretische Grundlagen der Strömungsmechanik (Hagen-Poiseuille-Gleichung, Navier-Stokes-Gleichungen) mit der numerischen Simulation in COMSOL Multiphysics. Durch den Vergleich der '''gesunden Externa (ACE)''' mit der '''stenoisierten Interna (ACI)''' innerhalb desselben Rechengebiets wird die isolierte Wirkung der Stenose unter identischen Randbedingungen direkt sichtbar gemacht. == Medizinische Relevanz == Arterielle Stenosen entstehen überwiegend durch Atherosklerose, also durch Ablagerungen aus Lipiden, Bindegewebe und Kalk in der Gefäßwand. In der Halsschlagader sind sie klinisch besonders bedeutsam, weil sie die Durchblutung des Gehirns beeinträchtigen und weil sich an ihnen Thromben bilden können, die als Embolie einen Schlaganfall auslösen. Dass die operative Entfernung einer hochgradigen Karotisstenose das Schlaganfallrisiko symptomatischer Patienten deutlich senkt, hat die NASCET-Studie gezeigt, deren Einteilung der Stenosegrade dieses Projekt übernimmt.<ref name="nascet">North American Symptomatic Carotid Endarterectomy Trial Collaborators: ''Beneficial effect of carotid endarterectomy in symptomatic patients with high-grade carotid stenosis.'' New England Journal of Medicine 325 (1991), Nr. 7, S. 445-453.</ref> Strömungsmechanisch ist an einer Stenose vor allem die Wandschubspannung von Interesse, also die tangentiale Kraft je Fläche, die das strömende Blut auf die innerste Zellschicht der Gefäßwand ausübt. Gesunde Halsschlagadern weisen zeitlich gemittelte Werte von etwa 1,1 bis 1,5 Pa auf.<ref name="samijo">Samijo, S. K.; Willigers, J. M.; Barkhuysen, R.; Kitslaar, P. J. E. H. M.; Reneman, R. S.; Brands, P. J.; Hoeks, A. P. G.: ''Wall shear stress in the human common carotid artery as function of age and gender.'' Cardiovascular Research 39 (1998), Nr. 2, S. 515-522.</ref> In einer Engstelle steigt sie stark an, unmittelbar dahinter fällt sie im Ablösegebiet auf nahezu null und wechselt dort sogar das Vorzeichen. Niedrige und im Vorzeichen wechselnde Wandschubspannungen gelten als Bedingungen, unter denen sich weitere Ablagerungen bevorzugt bilden. Eine bestehende Stenose schafft also stromabwärts die Voraussetzungen für ihr eigenes Wachstum. Genau diese Verteilung lässt sich im Körper nur schwer messen, in einer Simulation dagegen unmittelbar auswerten. == Methodische Relevanz == Fachlich überträgt das Projekt die Prinzipien der Strömungsmechanik aus der Vorlesung auf eine biomedizinische Anwendung.<ref name="hundertmark">Hundertmark, A.: ''Fluiddynamik.'' Vorlesungsunterlagen zum Modul Räumliche Modellbildung, RPTU Kaiserslautern-Landau, Sommersemester 2026.</ref> Der methodische Mehrwert liegt in der Verknüpfung mehrerer Zugänge, die sich gegenseitig kontrollieren. Die analytische Poiseuille-Lösung liefert exakte Sollwerte für das gesunde Gefäß. Ein reduziertes Graphenmodell liefert für jeden Stenosegrad eine schnelle Abschätzung, die analytisch nachrechenbar ist. Die Simulationen in COMSOL Multiphysics lösen schließlich die vollständigen Navier-Stokes-Gleichungen in zwei und drei Raumdimensionen. Weil jede Stufe die Sollwerte der nächsten liefert, zeigt das Projekt nicht nur Ergebnisse, sondern auch, wie numerische Modelle aufgebaut, verifiziert und an ihren Grenzen bewertet werden. == Auswahl der Stenosegrade == Um die untersuchten Gefäßverengungen nicht willkürlich festzulegen, orientiert sich die Auswahl der Stenosegrade an der klinisch gebräuchlichen NASCET-Klassifikation von Karotisstenosen.<ref name="nascet" /> Zur klinischen Einordnung werden Karotisstenosen anhand der nach NASCET bestimmten Durchmesserreduktion in leichtgradige, mittelgradige und hochgradige Stenosen eingeteilt. Die angegebenen Prozentgrenzen dienen in diesem Projekt als Orientierung für die Auswahl der untersuchten Stenosegrade. Ein vollständiger Gefäßverschluss wird als Okklusion bezeichnet. {| class="wikitable" |+ Klinische Einteilung nach NASCET-gemessener Durchmesserreduktion und untersuchte Stenosegrade ! Schweregrad !! Durchmesserreduktion !! im Projekt gerechnete Stenosegrade !! hervorgehobener Vertreter |- | gesundes Gefäß || 0 % || 0 || 0 |- | leichtgradige Stenose || unter 50 % || 0,1 bis 0,4 || 0,3 |- | mittelgradige Stenose || 50 bis 69 % || 0,5 und 0,6 || 0,6 |- | hochgradige Stenose || 70 bis 99 % || 0,7 und 0,8 || 0,8 |- | Okklusion || 100 % || nicht gerechnet || entfällt |} '''Anmerkung''': Die Klassengrenzen dienen der Einordnung der Modellvarianten. Die in der Tabelle genannten Stenosegrade sind dimensionslose Werte, beispielsweise entspricht '''<math>s=0{,}6</math>''' einer Durchmesserreduktion von '''60 %'''. Für die numerische Untersuchung wird aus jeder Kategorie ein repräsentativer Stenosegrad hervorgehoben. Neben dem gesunden Gefäß mit '''0 %''' Stenose sind das eine '''30 %''' Stenose als Beispiel für eine leichtgradige, eine '''60 %''' Stenose als Beispiel für eine mittelgradige und eine '''80 %''' Stenose als Beispiel für eine hochgradige Verengung. Zusätzlich werden für das Graphenmodell und das achsensymmetrische Flächenmodell Stenosegrade von 0 bis 80 % in Schritten von zehn Prozentpunkten vorgesehen. Dadurch kann die Abhängigkeit der Strömungsgrößen vom Stenosegrad systematisch untersucht und grafisch dargestellt werden. Ob alle Modellvarianten tatsächlich berechnet wurden und wie hoch der Rechenaufwand war, wird anhand der durchgeführten Simulationen dokumentiert. Ein vollständiger Gefäßverschluss wird nicht simuliert, da in diesem Fall keine durchgängige Strömung mehr vorliegt. Der Stenosegrad wird in diesem Projekt wie bei NASCET über die Verringerung des Gefäßdurchmessers beschrieben, <math>s = 1 - \frac{d_{\min}}{d_{\mathrm{ref}}},</math> wobei <math>d_{\min}</math> der kleinste Durchmesser in der Engstelle und <math>d_{\mathrm{ref}}</math> ein Referenzdurchmesser ist. NASCET verwendet als Referenz den Durchmesser des gesunden Gefäßes stromabwärts der Stenose. Für das idealisierte gerade Gefäßmodell wird ein konstanter Referenzdurchmesser von <math>D_0=6\,\mathrm{mm}</math> angenommen. Da das Gefäß außerhalb der Stenose denselben Durchmesser besitzt, gilt in diesem Modell<math>d_{\mathrm{ref}}=D_0</math>. Bei der zusätzlich betrachteten Gefäßaufzweigung muss der Referenzdurchmesser dagegen gesondert festgelegt werden, da die Gefäßäste unterschiedliche Durchmesser besitzen. Wichtig für das Verständnis aller weiteren Ergebnisse ist der Unterschied zwischen Durchmesser- und Flächenreduktion. Da die Querschnittsfläche quadratisch vom Durchmesser abhängt, gilt für die Flächenreduktion <math>1-(1-s)^2</math>. Eine im klinischen Sinn nur mittelgradige Stenose von 60 % verschließt damit bereits 84 % der Querschnittsfläche. {| class="wikitable" |+ Durchmesser- und Flächenreduktion der gerechneten Stenosegrade ! Stenosegrad s !! 0 !! 0,1 !! 0,2 !! 0,3 !! 0,4 !! 0,5 !! 0,6 !! 0,7 !! 0,8 |- | engster Durchmesser in mm || 6,0 || 5,4 || 4,8 || 4,2 || 3,6 || 3,0 || 2,4 || 1,8 || 1,2 |- | Flächenreduktion || 0 % || 19 % || 36 % || 51 % || 64 % || 75 % || 84 % || 91 % || 96 % |} Eine Einschränkungen gehört zur ehrlichen Einordnung: # Mit zunehmendem Stenosegrad, insbesondere bei ausgeprägten Verengungen, können lokale Beschleunigungen, Strömungsablösungen und zeitabhängige Strömungsstrukturen auftreten. Daher muss bei den hochgradigen Stenosen geprüft werden, inwieweit die Annahme einer stationären, laminaren Strömung geeignet ist. Eine feste Grenze bei <math>s=0{,}6</math> lässt sich ohne entsprechende Simulationsergebnisse oder Literaturbelege nicht allgemein festlegen. Die hochgradigen Fälle werden deshalb unter besonderer Berücksichtigung der Modellannahmen diskutiert. Unter Modellierung wird in diesem Projekt die Übertragung der Blutströmung in einer verengten Arterie auf ein mathematisches und numerisch lösbares Strömungsproblem verstanden. Dazu werden die Gefäßgeometrie, die zugrunde liegenden Gleichungen, die physikalischen Materialparameter sowie die Anfangs- und Randbedingungen festgelegt. Jeder dieser Bestandteile beruht auf vereinfachenden Annahmen, die begründet und bei der Interpretation der Ergebnisse berücksichtigt werden müssen. Ziel ist es, den Einfluss unterschiedlicher Stenosegrade auf die Strömungsgeschwindigkeit, den Druckverlust und gegebenenfalls die Wandschubspannung systematisch zu untersuchen. Die Modellierung erfolgt anhand mehrerer Modellvarianten mit unterschiedlicher räumlicher Auflösung. Dadurch können zunächst grundlegende Zusammenhänge analytisch abgeschätzt und anschließend mit numerischen Strömungsberechnungen verglichen werden. Die verwendeten Parameter orientieren sich an den bereitgestellten Referenzdaten und werden in den folgenden Abschnitten erläutert. == Modellierung == Ziel der Modellierung ist es, die Blutströmung innerhalb einer Y-förmigen Aufzweigung der Halsschlagader mathematisch und numerisch zu untersuchen. Im Mittelpunkt steht eine Gefäßverengung (Stenose) in der Arteria carotis interna. Das betrachtete Gefäßmodell besteht aus der Arteria carotis communis, die sich in die Arteria carotis interna und die Arteria carotis externa aufteilt. Die Stenose befindet sich ausschließlich in der Arteria carotis interna. Durch die Verengung verändert sich der verfügbare Strömungsquerschnitt. Dies kann zu einer Erhöhung der lokalen Strömungsgeschwindigkeit, zu zusätzlichen Druckverlusten und zu einer Veränderung der Strömungsverteilung zwischen den beiden Gefäßästen führen. Ziel ist es, den Einfluss unterschiedlicher Stenosegrade auf die Strömungsgeschwindigkeit, die Druckverteilung und die Wandschubspannung zu untersuchen. Zusätzlich soll betrachtet werden, wie sich die Strömung innerhalb der Y-förmigen Gefäßaufzweigung verhält. Die numerische Modellierung erfolgt mit COMSOL Multiphysics. Dazu werden die Gefäßgeometrie, die Materialeigenschaften des Blutes, die Strömungsgleichungen und die Randbedingungen festgelegt. Zur Vereinfachung wird Blut zunächst als inkompressibles, Newtonsches Fluid betrachtet. Die Gefäßwände werden als starr angenommen. Diese Annahmen ermöglichen eine systematische Untersuchung der Stenose, schränken jedoch die Übertragbarkeit auf reale physiologische Bedingungen ein. === Modellhierarchie === Für die Untersuchung der Blutströmung innerhalb der Y-förmigen Karotisaufzweigung werden drei Modellvarianten betrachtet. Diese unterscheiden sich hinsichtlich ihrer räumlichen Dimension, ihrer mathematischen Beschreibung und der Genauigkeit, mit der die Strömungsverhältnisse dargestellt werden können. Das untersuchte Gefäß besteht aus der Arteria carotis communis, die sich in die Arteria carotis interna und die Arteria carotis externa aufteilt. Die Stenose befindet sich ausschließlich in der Arteria carotis interna. Alle drei Modellvarianten werden mit COMSOL Multiphysics umgesetzt. {| class="wikitable" style="width:100%;" |+ '''Die drei Modellvarianten des Projekts''' |- ! Modell ! Raumdimension ! Mathematische Grundlage ! Zweck ! Werkzeug |- | '''Graphenmodell''' | 1D, Gefäßnetzwerk mit einer Verzweigung | Massenerhaltung an der Verzweigung und vereinfachte Beschreibung der Strömungswiderstände | Abschätzung der Volumenstromverteilung und der Druckverluste in den Gefäßästen | COMSOL Multiphysics |- | '''Ebenes Flächenmodell''' | 2D, Y-förmige Gefäßgeometrie in kartesischen Koordinaten | Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen | Untersuchung der Geschwindigkeits- und Druckverteilung sowie der Auswirkungen der Stenose in der Arteria carotis interna | COMSOL Multiphysics, Laminare Strömung |- | '''Volumenmodell''' | 3D, räumliche Y-förmige Gefäßgeometrie | Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen | Räumliche Untersuchung des Geschwindigkeitsfeldes, des Druckverlustes und der Wandschubspannung | COMSOL Multiphysics, Laminare Strömung |} ==== Vergleich und Überprüfung der Modellvarianten ==== Die drei Modellvarianten bauen hinsichtlich ihrer räumlichen Beschreibung aufeinander auf. Das Graphenmodell ermöglicht zunächst eine vereinfachte Betrachtung der Volumenströme und Druckverluste. Die zwei- und dreidimensionalen Modelle erlauben anschließend eine detailliertere Untersuchung der Strömung innerhalb der Gefäßaufzweigung. Das '''Graphenmodell''' beschreibt die Arteria carotis communis sowie die beiden abzweigenden Gefäße als miteinander verbundenes Netzwerk. Dabei wird die Massenerhaltung an der Verzweigung berücksichtigt: :<math>Q_{\mathrm{CCA}}=Q_{\mathrm{ICA}}+Q_{\mathrm{ECA}}</math> Das Modell liefert vereinfachte Abschätzungen der Volumenstromverteilung. Lokale Strömungsablösungen und räumliche Geschwindigkeitsverteilungen können damit nicht detailliert dargestellt werden. Das '''ebene Flächenmodell''' bildet die Y-förmige Gefäßaufzweigung in zwei Raumdimensionen ab. Die Stenose wird innerhalb der Arteria carotis interna berücksichtigt. Dadurch können die Geschwindigkeits- und Druckverteilung sowie mögliche Rückströmungsbereiche untersucht werden. Das '''Volumenmodell''' erweitert die Untersuchung auf drei Raumdimensionen. Es ermöglicht eine räumliche Darstellung der Strömung und eine detailliertere Berechnung der Wandschubspannung. Die Ergebnisse des ebenen Flächenmodells und des Volumenmodells werden miteinander verglichen. Da das ebene Modell die räumliche Querschnittsgeometrie nur vereinfacht darstellt, müssen Unterschiede zwischen den beiden Modellen bei der Interpretation berücksichtigt werden. Ziel der Modellhierarchie ist es, die Aussagekraft der einzelnen Modellvarianten zu bewerten und den Einfluss des Stenosegrades auf die Strömung innerhalb der Y-förmigen Karotisaufzweigung zu untersuchen. === Simulationsgebiet und Geometrie === Das Simulationsgebiet besteht aus einer idealisierten Y-förmigen Aufzweigung der Arteria carotis. Die Arteria carotis communis teilt sich in die Arteria carotis interna und die Arteria carotis externa. Die Stenose befindet sich in der Arteria carotis interna. Die Arteria carotis externa wird ohne zusätzliche Verengung modelliert. Die Geometrie orientiert sich an den bereitgestellten Referenzdaten. Die Gefäßdurchmesser werden innerhalb der jeweiligen unverengten Abschnitte als konstant angenommen. {| class="wikitable" style="width:100%;" |+ '''Geometrische Referenzparameter der Y-förmigen Gefäßaufzweigung''' |- ! Gefäßabschnitt ! Durchmesser ! Länge |- | Arteria carotis communis | 6 mm | 60 mm |- | Arteria carotis interna | 5 mm | 60 mm |- | Arteria carotis externa | 4 mm | 60 mm |- | Stenose in der Arteria carotis interna | Abhängig vom Stenosegrad | 10 bzw. 20 mm |} Die Verengung wird über den Stenosegrad <math>s</math> beschrieben. Dieser gibt die relative Verringerung des Gefäßdurchmessers an: :<math>s=1-\frac{d_{\min}}{D_{\mathrm{ICA}}}</math> Dabei bezeichnet <math>d_{\min}</math> den minimalen Durchmesser innerhalb der Stenose und <math>D_{\mathrm{ICA}}</math> den unverengten Referenzdurchmesser der Arteria carotis interna. Für das Modell gilt: :<math>D_{\mathrm{ICA}}=5\,\mathrm{mm}</math> Der minimale Durchmesser ergibt sich damit zu: :<math>d_{\min}=D_{\mathrm{ICA}}(1-s)</math> {| class="wikitable" |+ '''Minimaler Durchmesser der Stenose in der Arteria carotis interna''' |- ! Stenosegrad ! Minimaler Durchmesser |- | 0 % | 5,0 mm |- | 10 % | 4,5 mm |- | 20 % | 4,0 mm |- | 30 % | 3,5 mm |- | 40 % | 3,0 mm |- | 50 % | 2,5 mm |- | 60 % | 2,0 mm |- | 70 % | 1,5 mm |- | 80 % | 1,0 mm |} Die angegebenen Stenosegrade beziehen sich ausschließlich auf den Durchmesser der Arteria carotis interna. Der Durchmesser der Arteria carotis communis wird nicht zur Berechnung des Stenosegrades verwendet. Die Y-förmige Geometrie ermöglicht es, die Auswirkungen der Verengung sowohl auf die lokale Strömung in der Arteria carotis interna als auch auf die Strömungsverteilung innerhalb der gesamten Gefäßaufzweigung zu untersuchen. Die genaue Form der Stenose, der Verzweigungswinkel und die Übergänge zwischen den Gefäßabschnitten müssen entsprechend der tatsächlich in COMSOL verwendeten Geometrie dokumentiert werden. == Stoff- und Strömungsparameter == Die Stoffwerte des Blutes und der Volumenstrom sind die einzigen Eingangsgrößen, die nicht aus der Geometrie folgen. Aus ihnen werden alle weiteren Strömungskennwerte berechnet. Die folgenden Schritte zeigen jede Rechnung einzeln, damit sich jeder Wert nachprüfen lässt. # Die '''Dichte''' wird mit <math>\rho = 1060\ \mathrm{kg/m^3}</math> angesetzt. Der Wert lässt sich als Mischungsregel plausibel machen. Plasma hat eine Dichte von etwa 1025 kg/m³, rote Blutkörperchen von etwa 1100 kg/m³. Bei einem Zellanteil von 45 % ergibt sich <math>0{,}55 \cdot 1025 + 0{,}45 \cdot 1100 \approx 1059\ \mathrm{kg/m^3}</math>. Die Dichte geht nur über die Reynoldszahl in die Rechnung ein, eine Abweichung von einem Prozent ändert die Ergebnisse daher kaum. <!-- FIXME Lehrbuchquelle fuer Plasma- und Erythrozytendichte ergaenzen --> # Die '''dynamische Viskosität''' wird mit <math>\mu = 3{,}5\ \mathrm{mPa\,s}</math> angesetzt. Das ist der Grenzwert der Blutviskosität bei hohen Scherraten, also genau der Wert, der zur Newtonschen Näherung gehört. Derselbe Wert von 0,035 Poise wird auch im Standardwerk zur Modellierung des Herz-Kreislauf-Systems verwendet.<ref name="quarteroni">Quarteroni, A.; Formaggia, L.: ''Mathematical Modelling and Numerical Simulation of the Cardiovascular System.'' In: Ayache, N. (Hrsg.): ''Computational Models for the Human Body.'' Handbook of Numerical Analysis, Bd. XII, Elsevier, Amsterdam 2004, S. 3-127. DOI 10.1016/S1570-8659(03)12001-7. Zur Newtonschen Näherung in großen Gefäßen siehe S. 30, zur Viskosität von 0,035 Poise die Parametertabelle auf S. 116.</ref> # Der '''mittlere Volumenstrom''' wird mit <math>Q_0 = 6\ \mathrm{ml/s}</math> angesetzt. Das ist der zeitlich gemittelte Volumenstrom, der in der gemeinsamen Halsschlagader gesunder Probanden gemessen wurde. # Die '''mittlere Geschwindigkeit''' folgt aus Volumenstrom und Querschnittsfläche, <math>U_0 = \frac{Q_0}{\pi R_0^2} = \frac{6 \cdot 10^{-6}\ \mathrm{m^3/s}}{\pi \cdot (0{,}003\ \mathrm{m})^2} = 0{,}2122\ \mathrm{m/s}</math>. # Die '''Reynoldszahl''' des gesunden Gefäßes ist <math>Re_0 = \frac{\rho\, U_0\, D_0}{\mu} = \frac{1060 \cdot 0{,}2122 \cdot 0{,}006}{0{,}0035} = 385{,}6</math>. Sie wird im Folgenden auf 386 gerundet. # Die '''Einlauflänge''', die eine anfangs gleichförmige Strömung bis zum voll entwickelten Parabelprofil bräuchte, beträgt nach der gebräuchlichen Abschätzung für laminare Rohrströmungen <math>L_e \approx 0{,}06\, Re_0\, D_0 \approx 0{,}06 \cdot 386 \cdot 6\ \mathrm{mm} \approx 139\ \mathrm{mm}</math>.<ref name="durst">Durst, F.; Ray, S.; Ünsal, B.; Bayoumi, O. A.: ''The development lengths of laminar pipe and channel flows.'' Journal of Fluids Engineering 127 (2005), Nr. 6, S. 1154-1160. Für große Reynoldszahlen nähert sich die dort angegebene Korrelation dem Wert 0,057·Re·D.</ref> Das ist fast die gesamte Länge des Rechengebiets. Ein konstantes Einlassprofil würde die Strömung an der Stenose also verfälschen, weshalb am Einlass das voll entwickelte Profil vorgegeben wird. Damit liegen alle globalen Parameter fest. Die folgende Tabelle enthält sie mit genau den Namen, unter denen sie in COMSOL und in den Octave-Skripten verwendet werden. {| class="wikitable" |+ Globale Parameter des Modells ! Name !! Ausdruck in COMSOL !! Wert !! Bedeutung !! Herkunft |- | R0 || 3[mm] || 3 mm || Gefäßradius || Messwerte nach Krejza u. a. 2006, gerundet |- | D0 || 2*R0 || 6 mm || Gefäßdurchmesser || abgeleitet |- | Ls || 2*D0 || 12 mm || Länge der Störstelle || Standardgeometrie nach Varghese u. a. 2007 |- | Lu || 5*D0 || 30 mm || Vorlaufstrecke vor der Stenosemitte || Abstand der Einlassbedingung von der Stenose |- | Ld || 20*D0 || 120 mm || Nachlaufstrecke hinter der Stenosemitte || Platz für das Rückströmgebiet |- | Lf || Ls/2+10*D0 || 66 mm || Ende des fein vernetzten Nachlaufs || erwartete Länge des Rückströmgebiets |- | s || 0 bis 0.8 || 0 bis 0,8 || Stenosegrad bezogen auf den Durchmesser || NASCET-Einteilung |- | rho_b || 1060[kg/m^3] || 1060 kg/m³ || Dichte des Blutes || Mischungsregel, Literaturwert |- | mu_b || 3.5[mPa*s] || 3,5 mPa·s || dynamische Viskosität des Blutes || Hochscherwert, Quarteroni und Formaggia 2004 |- | Q0 || 6[ml/s] || 6 ml/s || mittlerer Volumenstrom || Messwerte nach Holdsworth u. a. 1999 |- | U0 || Q0/(pi*R0^2) || 0,2122 m/s || mittlere Einströmgeschwindigkeit || abgeleitet |- | Re0 || rho_b*U0*D0/mu_b || 385,6 || Reynoldszahl des gesunden Gefäßes || abgeleitet |- | dp_ref || 8*mu_b*U0*(Lu+Ld)/R0^2 || 99,03 Pa || Poiseuille-Druckabfall des gesunden Gefäßes || abgeleitet, Hagen-Poiseuille |} = Implementierung des 2D-Modells in COMSOL Multiphysics = == Zielsetzung des zweidimensionalen Modells == Im Rahmen des Projekts wurde mit COMSOL Multiphysics ein zweidimensionales Modell der menschlichen Halsschlagader erstellt. Ziel ist es, die Blutströmung innerhalb einer Gefäßverzweigung zu untersuchen und insbesondere die Auswirkungen einer lokalen Gefäßverengung (Stenose) auf das Strömungsverhalten zu analysieren. Das Modell bildet die Aufzweigung der Arteria carotis communis (ACC) in die Arteria carotis interna (ACI) und die Arteria carotis externa (ACE) ab. Während die ACE als gesunder Gefäßabschnitt betrachtet wird, befindet sich in der ACI eine lokale Verengung. Dadurch können die Strömungsverhältnisse in beiden Ästen miteinander verglichen werden. Die zweidimensionale Modellierung dient dazu, die Geschwindigkeitsverteilung, den Druckabfall und die Wandschubspannung zu untersuchen. Zusätzlich soll festgestellt werden, ob sich hinter der Stenose Bereiche mit Strömungsablösungen oder Rückströmungen ausbilden. ==Vorgehen== Für die numerische Untersuchung in COMSOL Multiphysics 6.2 zunächst ein zweidimensionales Modell mit der Physik ''Laminare Strömung'' und einer ''stationären Studie'' angelegt. Die Gefäßgeometrie wurde vollständig parametrisiert, damit Durchmesser, Gefäßlängen, Verzweigungswinkel, Stenosegrad sowie die Stenoselänge veränderbar sind, ohne das Modell jeweils neu zu zeichnen. Das gemeinsame Zuflussgefäß stellt die Arteria carotis communis mit einem Durchmesser von <math>6\,\mathrm{mm}</math> dar. Nach einem geraden Einlaufabschnitt von <math>60\,\mathrm{mm}</math> teilt es sich V-förmig in die beiden Tochtergefäße auf. Die Arteria carotis interna wird mit einem Durchmesser von <math>5\,\mathrm{mm}</math>, die Arteria carotis externa mit <math>4\,\mathrm{mm}</math> modelliert. Beide Tochtergefäße sind jeweils <math>60\,\mathrm{mm}</math> lang. Die Grundgeometrie wurde als zusammenhängender zweidimensionaler Volumenkörper aufgebaut. Die beiden Tochtergefäße verlaufen nach der Bifurkation unter einem Winkel auseinander, sodass eine idealisierte Y-förmige Karotisgabel entsteht. Die Übergänge zwischen dem gemeinsamen Gefäß und den beiden Ästen wurden bewusst vereinfacht, aber ohne abrupte Querschnittssprünge gestaltet. Auf diese Weise bleibt die Geometrie ausreichend einfach für einen systematischen Vergleich verschiedener Modellvarianten, bildet die typische Aufzweigung einer Karotis. Die Stenose befindet sich ausschließlich in der Arteria carotis interna. Um die Verengung nicht durch gerade Polygonsegmente mit scharfen Knicken darzustellen, wurde ihre Kontur mithilfe von zwei parametrischen Kosinuskurven erzeugt. Zur Beschreibung der Stenose wird eine parametrische Kurve mit dem Hilfsparameter <math>t</math> verwendet. Dieser nimmt Werte zwischen <math>-1</math> und <math>1</math> an. Über die Beziehung <math>x(t)=x_\mathrm{st}+\frac{L_\mathrm{st}}{2}t</math> wird der Parameter auf die räumliche Position entlang des Gefäßes übertragen. Für <math>t=-1</math> liegt der Beginn der Stenose bei <math>x_\mathrm{st}-L_\mathrm{st}/2</math>, für <math>t=0</math> befindet sich die Kurve in der Stenosenmitte und für <math>t=1</math> am Ende bei <math>x_\mathrm{st}+L_\mathrm{st}/2</math>. Dadurch kann die Länge der Stenose über den Parameter <math>L_\mathrm{st}</math> verändert werden, ohne ihre Mittelpunktposition <math>x_\mathrm{st}</math> zu verschieben. Die Einengung wächst vom Beginn der Stenose kontinuierlich bis zur Engstelle an und nimmt danach ebenso kontinuierlich wieder ab. Dadurch entstehen glatte Wandübergänge. Die Stärke der Einengung wird über den dimensionslosen Stenosegrad <math>s</math> gesteuert. Für einen unverengten Durchmesser der Arteria carotis interna von <math>D_\mathrm{ACI}=5\,\mathrm{mm}</math> ergibt sich bei einem Stenosegrad von <math>s=0{,}3</math> eine minimale Gefäßweite von <math>3{,}5\,\mathrm{mm}</math>, bei <math>s=0{,}6</math> von <math>2{,}0\,\mathrm{mm}</math> und bei <math>s=0{,}8</math> von <math>1{,}0\,\mathrm{mm}</math>. Die minimale Gefäßweite ergibt sich allgemein aus <math>d_\mathrm{min}=D_\mathrm{ACI}(1-s)</math>. Die beiden parametrischen Kurven wurden mit Hilfslinien zu geschlossenen Flächen ergänzt und anschließend über „Umwandeln in Volumenkörper“ in Flächenobjekte überführt. Mithilfe einer Differenzoperation wurden diese Flächen aus dem Gefäßgebiet ausgeschnitten. Auf diese Weise bleibt die Grundgeometrie des Gefäßes unverändert, während Stenosegrad und Stenosenlänge allein über globale Parameter variiert werden können. Für die Strömung wurde Blut als inkompressibles Newtonsches Fluid mit konstanter Dichte und Viskosität angenähert. Verwendet werden eine Dichte von <math>\rho=1060\,\mathrm{kg/m^3}</math> und eine dynamische Viskosität von <math>\mu=3,5\,\mathrm{mPa s}</math>. Am Einlass wird ein voll entwickeltes Geschwindigkeitsprofil vorgegeben. Aus dem auf der Projektseite angesetzten mittleren Volumenstrom von <math>6\,\mathrm{ml/s}</math> ergibt sich für das <math>6\,\mathrm{mm}</math> breite Zuflussgefäß eine mittlere Geschwindigkeit von rund <math>0{,}21\,\mathrm{m/s}</math>. An beiden Auslässen wird derselbe Referenzdruck vorgegeben, während an sämtlichen Gefäßwänden die Haftbedingung (No Slip) gilt. Nach Fertigstellung der Geometrie wurde ein physikgesteuertes Finite-Elemente-Netz erzeugt und die stationäre Navier-Stokes-Strömung berechnet. Anschließend wurden insbesondere der Geschwindigkeitsbetrag, die Druckverteilung und die Stromlinien ausgewertet. Die Stromlinien dienen dabei nicht nur der Visualisierung der Aufteilung des Blutstroms an der Bifurkation, sondern auch zur Erkennung möglicher Ablöse- und Rückströmungsgebiete hinter der Stenose. Zusätzlich kann die Wandschubspannung entlang der Gefäßwand ausgewertet werden. Die verschiedenen Stenosegrade werden jeweils bei ansonsten identischen Randbedingungen miteinander und mit dem gesunden Referenzfall verglichen. == Ergebnisse der 2D-Strömungssimulation == Die zweidimensionale Strömungssimulation wurde mit COMSOL Multiphysics durchgeführt, um die Auswirkungen einer lokalen Gefäßverengung auf die Blutströmung innerhalb einer idealisierten Karotis-Bifurkation zu untersuchen. Im Mittelpunkt der Auswertung stehen die Geschwindigkeitsverteilung, die Druckverteilung sowie die Wandschubspannung. Ergänzend werden Stromlinien betrachtet, um mögliche Veränderungen des Strömungsverlaufs und das Auftreten von Rückströmungsgebieten hinter der Stenose zu untersuchen. Die Ergebnisse werden hinsichtlich ihrer strömungsmechanischen Bedeutung interpretiert und unter Berücksichtigung der vereinfachenden Modellannahmen bewertet. === Quantitative Auswertung der Strömungsgeschwindigkeit === Zur Untersuchung des Einflusses verschiedener Stenosegrade auf die Strömungsgeschwindigkeit wurde in COMSOL Multiphysics der Geschwindigkeitsbetrag <code>spf.U</code> mithilfe der Funktion ''Oberflächenmaximum'' ausgewertet. Dabei wurden Stenosegrade von 0 %, 30 %, 60 %, 80 % und 100 % betrachtet. Die Berechnungen erfolgten zunächst mit einer Druckrandbedingung von <math>p_0 = 0\,\mathrm{Pa}</math> und anschließend mit einer Resistenzrandbedingung bei <math>k_R = 1</math>. ==== Druckrandbedingung ==== Bei der Druckrandbedingung wurde die maximale Geschwindigkeit über das gesamte Strömungsgebiet bestimmt. {| class="wikitable" ! Stenosegrad ! Maximale Geschwindigkeit [m/s] |- | 0 % || 0,28385 |- | 30 % || 0,27091 |- | 60 % || 0,35036 |- | 80 % || 0,38530 |- | 100 % || 0,46125 |} Die Ergebnisse zeigen zunächst eine leichte Abnahme der maximalen Geschwindigkeit bei 30 % Stenose. Ab 60 % steigt diese mit zunehmender Verengung an. Dies ist mit einer lokalen Beschleunigung der Strömung infolge des verringerten Strömungsquerschnitts vereinbar. Bei 100 % Stenose beträgt das globale Geschwindigkeitsmaximum 0,46125 m/s. Da die Arteria carotis interna (ACI) vollständig verschlossen ist, beschreibt dieser Wert nicht die Strömung durch den Verschluss, sondern kann aus einem anderen, weiterhin durchströmten Gefäßbereich stammen. ==== Graphische Auswertungen in Comsol ==== [[Datei:0%, Geschwindigkeit, p0=0.png|mini|zentriert|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 0 % Stenose und einer Druckrandbedingung von p₀ = 0 Pa.]] <div style="display:flex; justify-content:center; gap:15px;"> <div> [[Datei:0,3%, Geschwindigkeit, p0=0.png|mini|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 30 % Stenose und einer Druckrandbedingung von p₀ = 0 Pa.]] </div> <div> [[Datei:0,3%, Geschwindigkeit, p0=0, Nah Stenose.png|mini|300px|Vergrößerte Geschwindigkeitsverteilung im Bereich der 30%igen Stenose bei p₀ = 0 Pa.]] </div> </div> <div style="display:flex; justify-content:center; gap:15px;"> <div> [[Datei:0,6%, Geschwindigkeit, p0=0.png|mini|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 60 % Stenose und einer Druckrandbedingung von p₀ = 0 Pa.]] </div> <div> [[Datei:0,6%, Geschwindigkeit, p0=0, Nah Stenose.png|mini|300px|Vergrößerte Geschwindigkeitsverteilung im Bereich der 60%igen Stenose bei p₀ = 0 Pa.]] </div> </div> <div style="display:flex; justify-content:center; gap:15px;"> <div> [[Datei:0,8%, Geschwindigkeit, p0=0.png|mini|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 80 % Stenose und einer Druckrandbedingung von p₀ = 0 Pa.]] </div> <div> [[Datei:0,8%, Geschwindigkeit, p0=0, Nah Stenose.png|mini|300px|Vergrößerte Geschwindigkeitsverteilung im Bereich der 80%igen Stenose bei p₀ = 0 Pa.]] </div> </div> <div style="display:flex; justify-content:center; gap:15px;"> <div> [[Datei:100%, Geschwindigkeit, p0=0.png|mini|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 100 % Stenose und einer Druckrandbedingung von p₀ = 0 Pa.]] </div> <div> [[Datei:100%, Geschwindigkeit, p0=0, Nah Stenose.png|mini|300px|Vergrößerte Darstellung des vollständig verschlossenen Bereichs der ACI bei 100 % Stenose und p₀ = 0 Pa.]] </div> </div> Die Farbskala zeigt den Betrag der Strömungsgeschwindigkeit in m/s. Blaue Bereiche kennzeichnen niedrige, grüne und gelbe mittlere sowie rote Bereiche hohe Geschwindigkeiten. Im unverengten Gefäß ist die Geschwindigkeit in der Gefäßmitte am höchsten und nimmt zu den Gefäßwänden hin ab. Mit zunehmendem Stenosegrad verändert sich die Geschwindigkeitsverteilung deutlich. Im Bereich der Engstelle wird die Strömung lokal beschleunigt, während hinter der Verengung Bereiche niedriger Geschwindigkeit auftreten können. Bei 100 % Stenose ist die ACI vollständig verschlossen, sodass die Strömung nur noch über den offenen Gefäßast abfließen kann. === Resistenzrandbedingung und Vergleich === Anschließend wurde die Strömung unter Verwendung einer Resistenzrandbedingung mit konstantem Parameter <math>k_R = 1</math> untersucht. Bei zunehmender Verengung traten Konvergenzprobleme auf. Ab ungefähr 73 % Stenose konnte keine konvergierende stationäre Lösung mehr bestimmt werden. Daher wurden für die hochgradigen Stenosen ergänzend zeitabhängige Simulationen durchgeführt. {| class="wikitable" ! Stenosegrad ! Druckrandbedingung <math>p_0 = 0\,\mathrm{Pa}</math> [m/s] ! Resistenzrandbedingung <math>k_R = 1</math> [m/s] |- | 0 % || 0,28385 || 0,32426 |- | 30 % || 0,27081 || 0,32219 |- | 60 % || 0,35036 || 0,53188 |- | 80 % || 0,3858 || 1,0674 |- | 100 % || 0,46125 || <math>\approx 0</math> * |} <small>* Bei 100 % Stenose wurde für die Resistenzrandbedingung ausschließlich das Gebiet hinter dem vollständigen Verschluss ausgewertet. Die maximale Geschwindigkeit beträgt dort <math>v_{\max} = 2{,}1416 \cdot 10^{-21}\,\mathrm{m/s} \approx 0\,\mathrm{m/s}</math>.</small> Der Vergleich zeigt, dass die maximale Geschwindigkeit bei der Resistenzrandbedingung insbesondere bei höheren Stenosegraden deutlich stärker ansteigt. Bei 80 % Stenose wird mit 1,0674 m/s ein wesentlich höherer Wert erreicht als bei der Druckrandbedingung mit 0,3858 m/s. Dies verdeutlicht den Einfluss der Auslassrandbedingungen auf die Strömungsverteilung innerhalb der Gefäßverzweigung. Bei vollständigem Gefäßverschluss ist ein direkter Vergleich der beiden Werte nicht möglich, da unterschiedliche Strömungsgebiete ausgewertet wurden. Während bei der Druckrandbedingung das globale Maximum betrachtet wurde, beschreibt der Wert der Resistenzrandbedingung die praktisch zum Stillstand gekommene Strömung hinter der Stenose. Insgesamt zeigen die Ergebnisse, dass sowohl der Stenosegrad als auch die gewählten Randbedingungen einen wesentlichen Einfluss auf die maximale Strömungsgeschwindigkeit besitzen. Die Konvergenzprobleme bei hochgradigen Stenosen verdeutlichen zudem die Notwendigkeit einer ergänzenden zeitabhängigen Untersuchung. ==== Graphische Auswertungen in Comsol ==== [[Datei:0%, Geschwindigkeit, Resbed..png|mini|zentriert|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 0 % Stenose mit Resistenzrandbedingung (k_R = 1).]] <div style="display:flex; justify-content:center; gap:15px;"> <div> [[Datei:0,3%, Geschwindigkeit, Resbed..png|mini|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 30 % Stenose mit Resistenzrandbedingung (k_R = 1).]] </div> <div> [[Datei:0,3%, Geschwindigkeit, Resbed., Nah Stenose.png|mini|300px|Vergrößerte Geschwindigkeitsverteilung im Bereich der 30%igen Stenose mit Resistenzrandbedingung (k_R = 1).]] </div> </div> <div style="display:flex; justify-content:center; gap:15px;"> <div> [[Datei:0,6%, Geschwindigkeit, Resbed..png|mini|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 60 % Stenose mit Resistenzrandbedingung (k_R = 1).]] </div> <div> [[Datei:0,6%, Geschwindigkeit, Resbed., Nah Stenose.png|mini|300px|Vergrößerte Geschwindigkeitsverteilung im Bereich der 60%igen Stenose mit Resistenzrandbedingung (k_R = 1).]] </div> </div> <div style="display:flex; justify-content:center; gap:15px;"> <div> [[Datei:0,8%, Geschwindigkeit, Resbed., zeitabh., Zeit 1 s.png|mini|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 80 % Stenose mit Resistenzrandbedingung (k_R = 1) zum Zeitpunkt t = 1 s.]] </div> <div> [[Datei:0,8%, Geschwindigkeit, Resbed., zeitabh., Zeit 1 s, Nah Stenose.png|mini|300px|Vergrößerte Geschwindigkeitsverteilung im Bereich der 80%igen Stenose mit Resistenzrandbedingung (k_R = 1) zum Zeitpunkt t = 1 s.]] </div> </div> <div style="display:flex; justify-content:center; gap:15px;"> <div> [[Datei:1%, Geschwindigkeit, Resbed., zeitabh., Zeit 1 s,.png|mini|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 100 % Stenose mit Resistenzrandbedingung (k_R = 1) zum Zeitpunkt t = 1 s.]] </div> <div> [[Datei:1%, Geschwindigkeit, Resbed., zeitabh., Zeit 1 s, nah Stenose.png|mini|300px|Vergrößerte Darstellung des vollständig verschlossenen ACI-Bereichs bei 100 % Stenose mit Resistenzrandbedingung (k_R = 1) zum Zeitpunkt t = 1 s.]] </div> </div> === Druckverteilung und Druckabfall === Die Druckverteilung wurde anhand der berechneten Isobaren innerhalb der zweidimensionalen Karotis-Bifurkation untersucht. Dabei zeigt sich eine Abnahme des statischen Drucks vom gemeinsamen Zuflussgefäß in Richtung der beiden Gefäßausgänge. Der maximale berechnete Druck beträgt etwa '''74,2 Pa''', während der minimale Druck bei etwa '''−19,9 Pa''' liegt. Daraus ergibt sich eine globale Druckspanne von ungefähr '''94,1 Pa'''. Besonders auffällig ist die Druckverteilung im Bereich der Stenose der Arteria carotis interna (ACI). Dort liegen die Isobaren deutlich enger beieinander, was auf einen ausgeprägten lokalen Druckgradienten hinweist. Stromabwärts der Engstelle treten zudem Bereiche mit niedrigem statischem Druck auf. '''Interpretation''': Die Ergebnisse zeigen, dass die Stenose die lokale Druckverteilung im ACI-Ast deutlich beeinflusst. Die Beschleunigung der Strömung innerhalb der Verengung geht mit einer Abnahme des statischen Drucks einher. Die globale Druckspanne von 94,1 Pa darf jedoch nicht mit dem irreversiblen Druckverlust über der Stenose gleichgesetzt werden. Die globale Druckspanne von 94,1 Pa ist nicht mit dem Druckabfall über der Stenose gleichzusetzen. Zur genaueren Untersuchung wurden deshalb zwei Messquerschnitte vor und hinter der Engstelle ausgewertet. Zwischen diesen ergibt sich eine mittlere statische Druckdifferenz von 36,24 Pa. <div style="text-align:center;"> [[Datei:Druckverteilung_2D.png|800px|zentriert|Druckverteilung der stationären 2D-Strömungssimulation einer idealisierten Karotis-Bifurkation mit 80 % Stenose in der Arteria carotis interna (ACI). Die Isobaren zeigen den Druckverlauf innerhalb der Gefäßgeometrie. Besonders im Bereich der Stenose ist ein ausgeprägter lokaler Druckgradient erkennbar. Der berechnete Druck liegt zwischen −19,9 Pa und 74,2 Pa.]] <small>'''Abbildung 3:''' Druckverteilung der stationären 2D-Strömungssimulation einer idealisierten Karotis-Bifurkation mit 80 % Stenose in der Arteria carotis interna (ACI). Die Isobaren zeigen den Druckverlauf innerhalb der Gefäßgeometrie. Besonders im Bereich der Stenose ist ein ausgeprägter lokaler Druckgradient erkennbar. Der berechnete Druck liegt zwischen −19,9 Pa und 74,2 Pa.</small> </div> ==== Quantitative Bestimmung der Druckdifferenz ==== Zur quantitativen Untersuchung des Druckabfalls wurden zwei Messquerschnitte im ACI-Ast definiert, einer vor und einer hinter der Stenose. Mithilfe der COMSOL-Funktion „Linienmittelwert“ wurde der mittlere statische Druck an beiden Positionen bestimmt. Vor der Stenose beträgt der mittlere Druck '''35,232 Pa''', während hinter der Stenose ein Wert von '''−1,0042 Pa''' ermittelt wurde. Daraus ergibt sich eine Druckdifferenz von '''36,24 Pa'''. Die Ergebnisse zeigen eine deutliche Abnahme des statischen Drucks zwischen den beiden Messquerschnitten. Diese Druckdifferenz verdeutlicht die Druckänderung entlang des stenotischen ACI-Astes. Sie ist jedoch nicht mit dem ausschließlich durch die Stenose verursachten irreversiblen Druckverlust gleichzusetzen, da auch die Strömungsentwicklung in den angrenzenden Gefäßabschnitten berücksichtigt wird. {| class="wikitable" style="text-align:center;" ! Stenosegrad ! <math>\bar p_\mathrm{vor}</math> [Pa] ! <math>\bar p_\mathrm{nach}</math> [Pa] ! <math>\Delta p</math> [Pa] |- | 0 % | 11,631 | 4,2461 | 7,3849 |- | 30 % | 16,919 | 2,9220 | 13,997 |- | 60 % | 35,835 | -0,58267 | 36,41767 |- | 80 % | 70,562 | -0,55906 | 71,12106 |} === Ausblick: Wandschubspannung im Vergleich === Zur Untersuchung der mechanischen Belastung der Gefäßwände wurde die Wandschubspannung (Wall Shear Stress, WSS) im zweidimensionalen Strömungsmodell ausgewertet. Sie beschreibt die tangentiale viskose Spannung, die durch die Strömung an der Gefäßwand entsteht. Die quantitative Auswertung erfolgte für die obere und untere Wand des stenotischen ACI-Abschnitts. Hierfür wurden die entsprechenden Wandkanten in COMSOL ausgewählt und der Betrag der Wandschubspannung bestimmt. Die Abbildung zeigt die Verteilung der Wandschubspannung (Wall Shear Stress, WSS) an den Gefäßwänden im Bereich der 80-%-Stenose der ACI. Die Auswertung erfolgte einmal mit und einmal ohne Resistenzrandbedingung. Für <math>p_0 = 0\,\mathrm{Pa}</math>: * Die Farbskala verdeutlicht die unterschiedlich starke Belastung der Gefäßwand durch die Blutströmung. '''Blaue Bereiche''' kennzeichnen geringe Wandschubspannungen von etwa 1 bis 2 Pa, während '''grüne und gelbe Bereiche''' mittlere Werte anzeigen. Im '''orange-roten Bereich''' nahe der stärksten Verengung steigt die Wandschubspannung deutlich an. Das mithilfe des Linienmaximums ermittelte Maximum beträgt '''6,0400 Pa'''. * Die erhöhten Werte im Bereich der Stenose lassen sich durch die starke Verengung des Gefäßquerschnitts erklären. Dadurch entstehen größere Geschwindigkeitsänderungen in Wandnähe, die zu einer erhöhten Wandschubspannung führen können. Die Abbildung zeigt somit, dass die mechanische Belastung der Gefäßwand innerhalb des untersuchten Stenosebereichs nicht gleichmäßig verteilt ist, sondern lokal deutlich zunimmt. [[Datei:WSS P0=0.png|300px|mini|zentriert|Verteilung der Wandschubspannung (WSS) im Bereich der 80-%-Stenose der Arteria carotis interna bei der Druckrandbedingung <math>p_0 = 0\,\mathrm{Pa}</math>.]] Mit Resistenzrandbedingung: * Die Abbildung zeigt die Verteilung der Wandschubspannung (Wall Shear Stress, WSS) an den Gefäßwänden im Bereich der 80-%-Stenose der Arteria carotis interna (ACI). Im Gegensatz zur vorherigen Untersuchung mit der Druckrandbedingung <math>p_0 = 0\,\mathrm{Pa}</math> wurde hier die Resistenzrandbedingung <math>k_R = 1</math> verwendet. * Da für diesen Fall keine stationäre Lösung erzielt werden konnte, erfolgte die Berechnung zeitabhängig. Die dargestellten Ergebnisse beziehen sich auf den Zeitpunkt <math>t = 1\,\mathrm{s}</math>. * Die Wandschubspannung ist innerhalb des Stenosebereichs unterschiedlich stark ausgeprägt. Bereiche mit niedrigen Werten kennzeichnen eine geringere tangentiale Belastung der Gefäßwand, während Bereiche mit höheren Werten auf eine stärkere Belastung hinweisen. * Das mithilfe des Linienmaximums ermittelte Maximum auf den ausgewählten Stenosewänden beträgt: <math>19{,}856\,\mathrm{Pa}</math>. * Die erhöhten Wandschubspannungen lassen sich durch die starke Verengung des Gefäßquerschnitts und die damit verbundenen Geschwindigkeitsänderungen in Wandnähe erklären. * Im Vergleich zur stationären Berechnung mit <math>p_0 = 0\,\mathrm{Pa}</math>, bei der eine maximale Wandschubspannung von <math>6{,}0400\,\mathrm{Pa}</math> ermittelt wurde, fällt der Maximalwert bei der Resistenzrandbedingung deutlich höher aus. * Dabei ist zu beachten, dass es sich bei <math>19{,}856\,\mathrm{Pa}</math> um einen Momentanwert bei <math>t = 1\,\mathrm{s}</math> handelt und nicht um einen stationären Wert. Die beiden Ergebnisse sind daher nur eingeschränkt direkt vergleichbar. * Die Farbverteilung zeigt, dass die Wandschubspannung im Bereich der Stenose von niedrigen Werten (Blau) zu höheren Werten (Grün, Gelb und Rot) ansteigt und insbesondere an der engsten Stelle der Gefäßverengung erhöht ist. [[Datei:WSS Resistenzrandbedingung.png|300px|mini|zentriert|Verteilung der Wandschubspannung (WSS) im Bereich der 80-%-Stenose der Arteria carotis interna bei der Resistenzrandbedingung <math>k_R = 1</math> zum Zeitpunkt <math>t = 1\,\mathrm{s}</math> (zeitabhängige Simulation).]] === Zusammenfassende Bewertung der 2D-Ergebnisse AKTUELLE DATEN NOCH REIN === Die stationäre zweidimensionale Strömungssimulation mit einem Stenosegrad von 80 % zeigt deutliche Veränderungen der Strömungsgrößen innerhalb der idealisierten Karotis-Bifurkation. Die maximale Geschwindigkeit beträgt 0,31853 m/s. Zwischen den ausgewählten Messquerschnitten vor und hinter der ACI-Stenose ergibt sich eine mittlere statische Druckdifferenz von 36,24 Pa. Die maximale Wandschubspannung auf den ausgewerteten Stenosewänden beträgt 3,2282 Pa. Die Untersuchung der Geschwindigkeitskomponenten liefert Hinweise auf lokale Strömungsanteile entgegen der Hauptströmungsrichtung. Ein eindeutig abgegrenztes Rezirkulationsgebiet konnte anhand der vorliegenden Darstellungen jedoch nicht sicher nachgewiesen werden. Die Ergebnisse beschreiben zunächst den untersuchten Fall einer hochgradigen Stenose. Aus diesem einzelnen Fall lässt sich weder eine allgemeine Abhängigkeit der Strömungsgrößen vom Stenosegrad noch ein kritischer Stenosegrad für den Beginn der Strömungsablösung bestimmen. Dafür wäre eine vergleichende Auswertung weiterer Stenosegrade erforderlich. == Resistenzrandbedingung am Auslass (2D-Modell) == === Motivation === Im ursprünglichen 2D-Modell wurde an beiden Auslässen eine Nulldruckbedingung <math>p = 0</math> gesetzt. Physikalisch bedeutet das, dass beide Äste in ein „offenes Becken“ mit gleichem, festem Druck münden. Der Auslassdruck hängt dabei nicht davon ab, wie viel Blut ankommt. Diese Annahme hat zwei Schwächen: * Die Flussaufteilung zwischen ACI und ACE ergibt sich nur aus den kleinen Strömungswiderständen der modellierten Gefäßabschnitte. Wird die ACI durch die Stenose verengt, weicht das Blut nahezu ungehindert in die ACE aus. Im Körper ist das nicht möglich, weil hinter der ACI das Gefäßbett des Gehirns mit einem eigenen, großen Widerstand liegt. * Das Druckniveau (Auslass bei 0 Pa) ist nicht physiologisch. Im 3D-Modell wurde deshalb an beiden Auslässen eine '''Resistenzrandbedingung''' verwendet. Damit 2D- und 3D-Modell vergleichbar sind, haben wir dieselbe Randbedingung auch im 2D-Modell eingebaut. === Formel und Herleitung === Das gesamte nachgeschaltete Gefäßbett hinter jedem Auslass wird durch einen einzigen peripheren Widerstand <math>R_p</math> ersetzt: :<math>p_{\text{aus}} = k_R \cdot R_p \cdot Q</math> Dabei ist <math>Q</math> der Volumenstrom durch den Auslass und <math>k_R</math> ein Schalter (<math>k_R = 1</math>: Widerstand, <math>k_R = 0</math>: ursprüngliche Bedingung <math>p = 0</math>). '''1. Gesunde Flussaufteilung nach dem Murray-Gesetz''' Der Volumenstrom eines Gefäßes ist nach Murray proportional zur dritten Potenz des Durchmessers. Für den Anteil der ACI am Gesamtfluss gilt damit: :<math>\varphi_0 = \frac{D_I^3}{D_I^3 + D_E^3} = \frac{(5\,\text{mm})^3}{(5\,\text{mm})^3 + (4\,\text{mm})^3} \approx 0{,}661</math> Mit dem mittleren Volumenstrom der A. carotis communis <math>Q_0 = 6\,\text{ml/s}</math> (Holdsworth u. a. 1999) folgt: :<math>Q_{I,0} = \varphi_0 \cdot Q_0 \approx 3{,}97\,\text{ml/s}, \qquad Q_{E,0} = (1-\varphi_0) \cdot Q_0 \approx 2{,}03\,\text{ml/s}</math> '''2. Bestimmung der peripheren Widerstände''' Die Widerstände werden so gewählt, dass im gesunden Zustand an beiden Auslässen der treibende Druck des peripheren Gefäßbetts <math>p_D = 90\,\text{mmHg} \approx 12\,000\,\text{Pa}</math> anliegt: :<math>R_{pI} = \frac{p_D}{Q_{I,0}} \approx 3{,}0 \cdot 10^{9}\,\frac{\text{Pa}\cdot\text{s}}{\text{m}^3}, \qquad R_{pE} = \frac{p_D}{Q_{E,0}} \approx 5{,}9 \cdot 10^{9}\,\frac{\text{Pa}\cdot\text{s}}{\text{m}^3}</math> Die Randbedingungen an den beiden Auslässen lauten damit: :<math>p_{\text{aus},I} = k_R \cdot R_{pI} \cdot Q_I, \qquad p_{\text{aus},E} = k_R \cdot R_{pE} \cdot Q_E</math> '''3. Umrechnung des Flusses im 2D-Modell''' Im 2D-Modell liefert das Integral der Normalgeschwindigkeit über den Auslassrand keinen Volumenstrom in m³/s, sondern einen Fluss pro Tiefe <math>q</math> in m²/s. Damit die Widerstände aus dem 3D-Modell verwendet werden können, wird <math>q</math> mit einer einheitlichen Ersatztiefe <math>b</math> in einen Volumenstrom umgerechnet: :<math>Q = q \cdot b, \qquad b = \frac{\pi \, D_{CC}}{4}</math> Die Ersatztiefe ist so gewählt, dass am Einlass mit der mittleren Einströmgeschwindigkeit <math>\bar{u}_{ein} = Q_0 / (\pi D_{CC}^2/4) \approx 0{,}21\,\text{m/s}</math> genau der Volumenstrom des 3D-Modells von 6 ml/s ankommt. Weil dieselbe Ersatztiefe für alle Ränder gilt, bleibt die Massenbilanz erhalten. === Ergebnisse mit Resistenzrandbedingung === {| class="wikitable" style="text-align:center" |+ Maximale Geschwindigkeit ! Stenosegrad S !! <math>u_{max}</math> [m/s] |- | 0 || 0,324^* |- | 0,3 || 0,323^* |- | 0,6 || 0,529 |- | 0,8 || 1,067 |} ^* Bei S = 0 und S = 0,3 liegt das Geschwindigkeitsmaximum nicht in der Stenose, sondern in der A. carotis communis. {| class="wikitable" style="text-align:center" |+ Druck vor und nach der Stenose ! Stenosegrad S !! <math>p_{vor}</math> [Pa] !! <math>p_{nach}</math> [Pa] !! Druckverlust <math>\Delta p = p_{vor} - p_{nach}</math> [Pa] !! <math>\Delta p</math> [mmHg] |- | 0 || 11 802 || 11 793 || 9 || 0,07 |- | 0,3 || 11 808 || 11 790 || 18 || 0,14 |- | 0,6 || 11 838 || 11 760 || 78 || 0,59 |- | 0,8 || 12 024 || 11 626 || 398 || 2,99 |} === Auswertung === * '''Druckniveau:''' Mit der Resistenzrandbedingung liegt der Druck bei etwa 11 800 Pa ≈ 88,5 mmHg. Das entspricht dem mittleren arteriellen Druck in der Carotis. Mit <math>p = 0</math> lagen die Drücke nur bei wenigen Pa bis einigen 100 Pa. * '''Flussaufteilung:''' Die peripheren Widerstände sind wesentlich größer als der Widerstand der Stenose. Deshalb bestimmen sie die Flussaufteilung, und die ACI behält auch bei 80 % Stenose nahezu ihren Anteil (Abnahme von <math>Q_I</math> nur um etwa 1 %). Im Gegensatz zu <math>p = 0</math> kann das Blut nicht einfach in die ACE ausweichen. Das entspricht dem physiologischen Verhalten bei nicht kritischen Stenosen. * '''Geschwindigkeit:''' Weil mehr Blut durch die Engstelle strömen muss, steigen die Geschwindigkeiten in der Stenose gegenüber <math>p = 0</math>. Von S = 0,6 auf S = 0,8 verdoppelt sich <math>u_{max}</math> etwa. * '''Druckverlust:''' Der Druckverlust steigt stark nichtlinear mit dem Stenosegrad. Von S = 0,6 auf S = 0,8 nimmt er etwa um den Faktor 5 zu. * '''Druckrückgewinnung:''' Bei S = 0,8 liegt <math>p_{nach}</math> mit 11 626 Pa sogar unter dem Auslassdruck (≈ 11 680 Pa). Direkt hinter der Engstelle ist die Geschwindigkeit des Strahls noch hoch und der statische Druck entsprechend niedrig. Stromabwärts verlangsamt sich die Strömung, und ein Teil des Drucks wird zurückgewonnen. Der bleibende Druckverlust ist daher etwas kleiner als 398 Pa. === Grenzen und Vergleich mit dem 3D-Modell === * Im 2D-Modell verringert eine Stenose von 80 % nur die '''Spaltbreite''' auf 20 %. Im 3D-Modell sinkt die '''Querschnittsfläche''' dagegen auf <math>0{,}2^2 = 4\,\%</math>. Das 2D-Modell unterschätzt deshalb Geschwindigkeit und Druckverlust in der Stenose systematisch. Klinisch gelten bei Stenosen ab 70 % systolische Spitzengeschwindigkeiten über 2,3 m/s; ab einem Druckgradienten von etwa 10–20 mmHg gilt eine Stenose als hämodynamisch relevant. Beide Grenzen erreicht das 2D-Modell nicht. * Die Umrechnung über die Ersatztiefe <math>\pi D_{CC}/4</math> ist eine Modellannahme. * Der periphere Widerstand ist konstant. Die Autoregulation des Gehirns und die Gefäßelastizität (Windkessel) werden nicht berücksichtigt, und die Rechnung ist stationär (keine Pulsatilität). == Beantwortung der Forschungsfragen == '''Welche Strömungsgrößen reagieren empfindlich auf den Stenosegrad?''' Die Untersuchung der 80-%-Stenose zeigt deutliche Veränderungen der Geschwindigkeitsverteilung, des statischen Drucks und der Wandschubspannung. Die maximale Strömungsgeschwindigkeit beträgt 0,31853 m/s. Zwischen den ausgewählten Messquerschnitten vor und hinter der Stenose ergibt sich eine mittlere statische Druckdifferenz von 36,24 Pa. Die maximale Wandschubspannung auf den untersuchten Stenosewänden beträgt 3,2282 Pa.Da bisher nur die 80-%-Stenose quantitativ ausgewertet wurde, lässt sich noch nicht feststellen, welche dieser Größen bei zunehmendem Stenosegrad am stärksten reagiert. '''Ab welchem Stenosegrad tritt eine Strömungsablösung auf?''' Bei der untersuchten 80-%-Stenose zeigen die Geschwindigkeitskomponenten und die vorzeichenbehaftete Wandschubspannung Hinweise auf Veränderungen der wandnahen Strömungsrichtung hinter der Engstelle. Ein eindeutig geschlossenes Rezirkulationsgebiet konnte jedoch nicht nachgewiesen werden. Ein kritischer Stenosegrad für den Beginn einer Strömungsablösung lässt sich aus dieser einzelnen Simulation daher nicht bestimmen. Hierfür müssten weitere Stenosegrade unter vergleichbaren Bedingungen ausgewertet werden. '''Inwieweit sind die Annahmen einer stationären und laminaren Strömung geeignet?''' Die stationäre, laminare Modellierung ermöglicht es, grundlegende Auswirkungen einer Gefäßverengung auf die Strömung in einer idealisierten Karotis-Bifurkation zu untersuchen. Bei hochgradigen Stenosen können allerdings zeitabhängige und dreidimensionale Strömungsstrukturen auftreten. Diese werden durch das vorliegende stationäre 2D-Modell nicht vollständig erfasst. Die Simulationsergebnisse sind deshalb auf die gewählten Modellannahmen und Randbedingungen beschränkt. '''Zusammenfassend''' liefert die 2D-Simulation eine erste quantitative Beschreibung der Strömungsverhältnisse bei einer hochgradigen ACI-Stenose. Für allgemeine Aussagen über die Abhängigkeit vom Stenosegrad und den Beginn einer Strömungsablösung sind zusätzliche Vergleichsrechnungen erforderlich. = Grenzen des Modells = * Die untersuchte Gefäßgeometrie ist eine idealisierte Darstellung der Karotisaufzweigung. Individuelle anatomische Unterschiede werden nicht berücksichtigt. * Darüber hinaus werden die Gefäßwände als starr angenommen und Blut wird durch ein inkompressibles Newtonsches Fluid mit konstanter Viskosität beschrieben. * Die Strömung wird stationär berechnet. Die natürliche Pulsation des Blutflusses und zeitabhängige Effekte bleiben damit unberücksichtigt. * Insbesondere bei hochgradigen Stenosen können zeitabhängige Strömungsablösungen auftreten, die durch eine stationäre Modellierung nicht vollständig beschrieben werden. * Das Graphenmodell kann lokale Strömungsphänomene nicht detailliert erfassen. Das ebene Flächenmodell vereinfacht die räumliche Gefäßgeometrie. Auch das dreidimensionale Modell bleibt aufgrund der idealisierten Geometrie und der vereinfachten Materialannahmen eine Annäherung an die reale Blutströmung. * Die Ergebnisse sind daher als strömungsmechanische Untersuchung eines idealisierten Modells zu interpretieren und nicht als patientenspezifische medizinische Vorhersage. = Literaturverzeichnis = Alle Quellen sind an den Stellen im Text angegeben, an denen die zugehörigen Werte oder Aussagen verwendet werden. Die Liste wird aus diesen Angaben automatisch erzeugt. <references /> jf9ku7ldv4ix8okk1x88nqwxof0dfp3 106 172736 1119198 1118021 2026-11-09T10:23:26Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1119198 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Aufgabe|5|26|Kurs=|}} 98phtoc4z9i4yypceeqw5iapdwnul6h 106 172861 1119197 1118456 2026-11-09T10:23:16Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1119197 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Aufgabe|11|7|Kurs=|}} bunccrlci7oi7dzee870ct4bsh9npvh 106 172872 1119196 1118455 2026-11-09T10:23:06Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1119196 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Aufgabe|10|22|Kurs=|}} 7s7shjhi65tt9bhuo7zdrvmhpk75o4q 106 173190 1119191 1118720 2026-11-09T10:17:29Z Bocardodarapti 2041 1119191 wikitext text/x-wiki {{Deckblatt |Blatt1=7 |von1=20 |bis1=23 |Blatt2=8 |von2=33 |bis2=36 |}} [[Kategorie:Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2026-2027)/Teil I/Hilfsstruktur]] guz94ry3wtxvr7px5aywbh67j125jd4 0 173257 1119164 1118388 2026-11-09T07:56:16Z Strucannn 41958 /* Unser Team */ 1119164 wikitext text/x-wiki = Unser Unternehmen = Globalfluence ist ein deutsches Unternehmen mit internationaler Marketing- und Kommunikationsagentur. Das 2010 gegründete Unternehmen mit Sitz in Darmstadt unterstützt andere Unternehmen dabei, sich in einer global vernetzten Welt erfolgreich zu positionieren. Unser Leistungsspektrum reicht von kreativen Werbekampagnen und digitalem Marketing bis hin zu strategischer Unternehmensberatung und interkultureller Kommunikation. Wir entwickeln individuelle Lösungen, stärken Markenidentitäten und unterstützen Unternehmen dabei, sich erfolgreich international zu positionieren. = Unser Team = Einzelheiten über unser [[Kurs:Sozialwissenschaften/Einführung BWL (h da)/Unternehmen WS26 27]] 26/Globalfluence-Team|Team]] und unsere Unternehmensorganisation finden Sie unter dem Link. 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Die Verteilung von Gewinnen und Verlusten richtet sich nach den Regelungen des Gesellschaftsvertrags. bxnvkoydvr3oqqj1vsduywvzdeyb6mh 1119166 1119164 2026-11-09T07:59:03Z Strucannn 41958 /* Unser Team */ 1119166 wikitext text/x-wiki = Unser Unternehmen = Globalfluence ist ein deutsches Unternehmen mit internationaler Marketing- und Kommunikationsagentur. Das 2010 gegründete Unternehmen mit Sitz in Darmstadt unterstützt andere Unternehmen dabei, sich in einer global vernetzten Welt erfolgreich zu positionieren. Unser Leistungsspektrum reicht von kreativen Werbekampagnen und digitalem Marketing bis hin zu strategischer Unternehmensberatung und interkultureller Kommunikation. Wir entwickeln individuelle Lösungen, stärken Markenidentitäten und unterstützen Unternehmen dabei, sich erfolgreich international zu positionieren. = Unser Team = Einzelheiten über unser [[Kurs:Sozialwissenschaften/Einführung BWL (h da)/Unternehmen WS26 27/Globalfluence/Team|Team]] 26/Globalfluence-Team|Team]] und unsere Unternehmensorganisation finden Sie unter dem Link. HINWEIS: Der Link muss NICHT lauten auf "Kurs:Sozialwissenschaften/Einführung BWL (h da)/Unternehmen WS25 26/Globalfluence-Team|Team" SONDERN "Kurs:Sozialwissenschaften/Einführung BWL (h da)/Unternehmen WS26 27/Globalfluence/Team|Team" DOPPELTE [[ statt Anführungszeichen. =Rechtsform= Globalfluence wird als Gesellschaft mit beschränkter Haftung (GmbH) geführt. Das Unternehmen besteht aus fünf Gesellschafterinnen und verfügt über ein Stammkapital von 25.000 €. Die Geschäftsführung übernimmt die Leitung des Unternehmens und vertritt die GmbH nach außen. Die Gesellschafterinnen sind an wichtigen Unternehmensentscheidungen beteiligt und verfügen über entsprechende Kontrollrechte. Die Haftung der GmbH ist grundsätzlich auf das Gesellschaftsvermögen beschränkt, sodass das Privatvermögen der Gesellschafterinnen geschützt bleibt. Die Verteilung von Gewinnen und Verlusten richtet sich nach den Regelungen des Gesellschaftsvertrags. 7ne8tekpnwkfffvsqhmm5hm1up9colm 1119167 1119166 2026-11-09T08:26:08Z Strucannn 41958 /* Unser Team */ 1119167 wikitext text/x-wiki = Unser Unternehmen = Globalfluence ist ein deutsches Unternehmen mit internationaler Marketing- und Kommunikationsagentur. Das 2010 gegründete Unternehmen mit Sitz in Darmstadt unterstützt andere Unternehmen dabei, sich in einer global vernetzten Welt erfolgreich zu positionieren. Unser Leistungsspektrum reicht von kreativen Werbekampagnen und digitalem Marketing bis hin zu strategischer Unternehmensberatung und interkultureller Kommunikation. Wir entwickeln individuelle Lösungen, stärken Markenidentitäten und unterstützen Unternehmen dabei, sich erfolgreich international zu positionieren. = Unser Team = Einzelheiten über unser [[Kurs:Sozialwissenschaften/Einführung BWL (h da)/Unternehmen WS26 27/Globalfluence/Team|Team]] und unsere Unternehmensorganisation finden Sie unter dem Link. HINWEIS: Der Link muss NICHT lauten auf "Kurs:Sozialwissenschaften/Einführung BWL (h da)/Unternehmen WS25 26/Globalfluence-Team|Team" SONDERN "Kurs:Sozialwissenschaften/Einführung BWL (h da)/Unternehmen WS26 27/Globalfluence/Team|Team" DOPPELTE [[ statt Anführungszeichen. =Rechtsform= Globalfluence wird als Gesellschaft mit beschränkter Haftung (GmbH) geführt. Das Unternehmen besteht aus fünf Gesellschafterinnen und verfügt über ein Stammkapital von 25.000 €. Die Geschäftsführung übernimmt die Leitung des Unternehmens und vertritt die GmbH nach außen. 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Wir entwickeln individuelle Lösungen, stärken Markenidentitäten und unterstützen Unternehmen dabei, sich erfolgreich international zu positionieren. = Unser Team = Einzelheiten über unser [[Kurs:Sozialwissenschaften/Einführung BWL (h da)/Unternehmen WS26 27/Globalfluence/Team|Team]] und unsere Unternehmensorganisation finden Sie unter dem Link. =Rechtsform= Globalfluence wird als Gesellschaft mit beschränkter Haftung (GmbH) geführt. Das Unternehmen besteht aus fünf Gesellschafterinnen und verfügt über ein Stammkapital von 25.000 €. Die Geschäftsführung übernimmt die Leitung des Unternehmens und vertritt die GmbH nach außen. Die Gesellschafterinnen sind an wichtigen Unternehmensentscheidungen beteiligt und verfügen über entsprechende Kontrollrechte. Die Haftung der GmbH ist grundsätzlich auf das Gesellschaftsvermögen beschränkt, sodass das Privatvermögen der Gesellschafterinnen geschützt bleibt. Die Verteilung von Gewinnen und Verlusten richtet sich nach den Regelungen des Gesellschaftsvertrags. ghvft7md2bmeepruezbb80px5moo74k 0 173264 1119179 1118432 2026-11-09T09:39:12Z ~2026-58264-39 42056 /* Individuelle Angebote */ 1119179 wikitext text/x-wiki {{Fiktives Unternehmen}} = Unser Unternehmen = Wir sind '''Anthropos''', ihr Büro für Unternemensführung! Im Jahr 1900 in der Nähe von Athen gegründet bieten wir ausgewählten Kundinnen und Kunden Unterstützung bei der Realisierung ihrer Unternehmensziele. Bis 1951 waren wir rein am Mittelmeer ansässig. Aber bereits kurz danach expandierten wir in die DACH-Region und etablierten mit unserer langen Erfahrung Konzepte für den Unternemer von morgen. Anthropos ist eine [[Kurs:Sozialwissenschaften/Einführung BWL (h da)/Unternehmen WS26 27/Anthropos/Gmbh|GmbH]]. 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Auch unsere Kalkulation für unser [[Kurs:Sozialwissenschaften/Einführung_BWL_(h_da)/Unternehmen_WS26_27/Antrophos|erstes Angebot]] [[Kategorie:Kurs:Sozialwissenschaften:Einführung BWL (h da)]] 7xgvqh8kyrwzu4dc10egj55kjew7alc 1119181 1119179 2026-11-09T09:49:56Z ~2026-58264-39 42056 /* Unser Angebot */ 1119181 wikitext text/x-wiki {{Fiktives Unternehmen}} = Unser Unternehmen = Wir sind '''Anthropos''', ihr Büro für Unternemensführung! Im Jahr 1900 in der Nähe von Athen gegründet bieten wir ausgewählten Kundinnen und Kunden Unterstützung bei der Realisierung ihrer Unternehmensziele. Bis 1951 waren wir rein am Mittelmeer ansässig. Aber bereits kurz danach expandierten wir in die DACH-Region und etablierten mit unserer langen Erfahrung Konzepte für den Unternemer von morgen. Anthropos ist eine [[Kurs:Sozialwissenschaften/Einführung BWL (h da)/Unternehmen WS26 27/Anthropos/Gmbh|GmbH]]. [[Kategorie:Kurs:Sozialwissenschaften/Einführung BWL (h da)]] = Unser Team = Einzelheiten über unser [[Kurs:Sozialwissenschaften/Einführung BWL (h da)/Unternehmen WS26 27/Anthropos-Team|Team]] und unsere Unternehmensorganisation finden Sie unter dem Link. == Unser Angebot == Seit über 125 Jahren begleiten wir Unternehmen auf ihrem Weg zum Erfolg. Was einst am Mittelmeer begann, verbinden wir heute mit modernen Methoden aus Betriebswirtschaft und Sozialwissenschaften. Denn bei uns steht der Mensch im Mittelpunkt – nicht ohne Grund heißen wir Anthropos. * '''Strategie & Unternehmensführung:''' Wir entwickeln mit Ihnen Strategien und Leitbilder und analysieren Markt, Wettbewerb und Standort. * '''Gründung & Nachfolge:''' Von der Geschäftsidee über Businessplan, Rechtsformwahl und Finanzierung bis zur Übergabe an die nächste Generation. * '''Organisation & Personal:''' Wir begleiten Veränderungsprozesse, führen Mitarbeiterbefragungen durch und coachen Führungskräfte. * '''Markt- und Meinungsforschung:''' Kunden-, Haushalts- und Bürgerbefragungen sowie Interviews – wissenschaftlich fundiert und verständlich aufbereitet. '''So arbeiten wir:''' Nach einem kostenlosen Erstgespräch analysieren wir Ihre Ausgangslage, erstellen ein individuelles Konzept und setzen es gemeinsam mit Ihnen um. Ob kleines Familienunternehmen oder Großkonzern: Wir freuen uns auf Ihre Anfrage! [[Kurs:Sozialwissenschaften/Einführung_BWL_(h_da)/Unternehmen_WS26_27/Antrophos|erstes Angebot]] [[Kategorie:Kurs:Sozialwissenschaften:Einführung BWL (h da)]] 2s32hrnqdc2375gubjk6pnn8wm1seoi 1119182 1119181 2026-11-09T09:52:11Z ~2026-58264-39 42056 /* Unser Angebot */ 1119182 wikitext text/x-wiki {{Fiktives Unternehmen}} = Unser Unternehmen = Wir sind '''Anthropos''', ihr Büro für Unternemensführung! Im Jahr 1900 in der Nähe von Athen gegründet bieten wir ausgewählten Kundinnen und Kunden Unterstützung bei der Realisierung ihrer Unternehmensziele. Bis 1951 waren wir rein am Mittelmeer ansässig. Aber bereits kurz danach expandierten wir in die DACH-Region und etablierten mit unserer langen Erfahrung Konzepte für den Unternemer von morgen. Anthropos ist eine [[Kurs:Sozialwissenschaften/Einführung BWL (h da)/Unternehmen WS26 27/Anthropos/Gmbh|GmbH]]. [[Kategorie:Kurs:Sozialwissenschaften/Einführung BWL (h da)]] = Unser Team = Einzelheiten über unser [[Kurs:Sozialwissenschaften/Einführung BWL (h da)/Unternehmen WS26 27/Anthropos-Team|Team]] und unsere Unternehmensorganisation finden Sie unter dem Link. == Unser Angebot == Seit über 125 Jahren begleiten wir Unternehmen auf ihrem Weg zum Erfolg. Was einst am Mittelmeer begann, verbinden wir heute mit modernen Methoden aus Betriebswirtschaft und Sozialwissenschaften. Denn bei uns steht der Mensch im Mittelpunkt – nicht ohne Grund heißen wir Anthropos. * '''Strategie & Unternehmensführung:''' Wir entwickeln mit Ihnen Strategien und Leitbilder und analysieren Markt, Wettbewerb und Standort. * '''Gründung & Nachfolge:''' Von der Geschäftsidee über Businessplan, Rechtsformwahl und Finanzierung bis zur Übergabe an die nächste Generation. * '''Organisation & Personal:''' Wir begleiten Veränderungsprozesse, führen Mitarbeiterbefragungen durch und coachen Führungskräfte. * '''Markt- und Meinungsforschung:''' Kunden-, Haushalts- und Bürgerbefragungen sowie Interviews – wissenschaftlich fundiert und verständlich aufbereitet. '''So arbeiten wir:''' Nach einem kostenlosen Erstgespräch analysieren wir Ihre Ausgangslage, erstellen ein individuelles Konzept und setzen es gemeinsam mit Ihnen um. Ob kleines Familienunternehmen oder Großkonzern: Wir freuen uns auf Ihre Anfrage! ==Individuelles Angebot== [[Kurs:Sozialwissenschaften/Einführung_BWL_(h_da)/Unternehmen_WS26_27/Antrophos|erstes Angebot]] [[Kategorie:Kurs:Sozialwissenschaften:Einführung BWL (h da)]] 2ut9h8lafzbt15akmh496mjep3rs5jw 1119184 1119182 2026-11-09T10:04:51Z KlausBarkowsky 41946 1119184 wikitext text/x-wiki {{Fiktives Unternehmen}} {| class="wikitable" style="float:right; width:280px; margin:0 0 1em 1em;" ! colspan="2" | Anthropos |- | colspan="2" style="text-align:center;" | |- ! Unternehmensform | GmbH |- ! Gründung | 1900 bei Athen, Griechenland |- ! Sitz | Darmstadt, [[Datei:Flag of Germany.svg|20px]] Deutschland |- ! Leitung | Thomas Born |- ! Branche | Unternehmensberatung |} = Unser Unternehmen = Wir sind '''Anthropos''', ihr Büro für Unternemensführung! Im Jahr 1900 in der Nähe von Athen gegründet bieten wir ausgewählten Kundinnen und Kunden Unterstützung bei der Realisierung ihrer Unternehmensziele. Bis 1951 waren wir rein am Mittelmeer ansässig. Aber bereits kurz danach expandierten wir in die DACH-Region und etablierten mit unserer langen Erfahrung Konzepte für den Unternemer von morgen. Anthropos ist eine [[Kurs:Sozialwissenschaften/Einführung BWL (h da)/Unternehmen WS26 27/Anthropos/Gmbh|GmbH]]. [[Kategorie:Kurs:Sozialwissenschaften/Einführung BWL (h da)]] = Unser Team = Einzelheiten über unser [[Kurs:Sozialwissenschaften/Einführung BWL (h da)/Unternehmen WS26 27/Anthropos-Team|Team]] und unsere Unternehmensorganisation finden Sie unter dem Link. == Unser Angebot == Seit über 125 Jahren begleiten wir Unternehmen auf ihrem Weg zum Erfolg. Was einst am Mittelmeer begann, verbinden wir heute mit modernen Methoden aus Betriebswirtschaft und Sozialwissenschaften. Denn bei uns steht der Mensch im Mittelpunkt – nicht ohne Grund heißen wir Anthropos. * '''Strategie & Unternehmensführung:''' Wir entwickeln mit Ihnen Strategien und Leitbilder und analysieren Markt, Wettbewerb und Standort. * '''Gründung & Nachfolge:''' Von der Geschäftsidee über Businessplan, Rechtsformwahl und Finanzierung bis zur Übergabe an die nächste Generation. * '''Organisation & Personal:''' Wir begleiten Veränderungsprozesse, führen Mitarbeiterbefragungen durch und coachen Führungskräfte. * '''Markt- und Meinungsforschung:''' Kunden-, Haushalts- und Bürgerbefragungen sowie Interviews – wissenschaftlich fundiert und verständlich aufbereitet. '''So arbeiten wir:''' Nach einem kostenlosen Erstgespräch analysieren wir Ihre Ausgangslage, erstellen ein individuelles Konzept und setzen es gemeinsam mit Ihnen um. Ob kleines Familienunternehmen oder Großkonzern: Wir freuen uns auf Ihre Anfrage! ==Individuelles Angebot== [[Kurs:Sozialwissenschaften/Einführung_BWL_(h_da)/Unternehmen_WS26_27/Antrophos|erstes Angebot]] [[Kategorie:Kurs:Sozialwissenschaften:Einführung BWL (h da)]] 8m57ljumos1ruy2un4h582q8t8bgdid 1119187 1119184 2026-11-09T10:11:22Z KlausBarkowsky 41946 1119187 wikitext text/x-wiki {{Fiktives Unternehmen}} {| class="wikitable" style="float:right; width:280px; margin:0 0 1em 1em;" ! colspan="2" | Anthropos |- | colspan="2" style="text-align:center;" | [[Datei:Antropos_Logo.png|220px]] |- ! Unternehmensform | GmbH |- ! Gründung | 1900 bei Athen, Griechenland |- ! Sitz | Darmstadt, [[Datei:Flag of Germany.svg|20px]] Deutschland |- ! Leitung | Thomas Born |- ! Branche | Unternehmensberatung |} = Unser Unternehmen = Wir sind '''Anthropos''', ihr Büro für Unternemensführung! Im Jahr 1900 in der Nähe von Athen gegründet bieten wir ausgewählten Kundinnen und Kunden Unterstützung bei der Realisierung ihrer Unternehmensziele. Bis 1951 waren wir rein am Mittelmeer ansässig. Aber bereits kurz danach expandierten wir in die DACH-Region und etablierten mit unserer langen Erfahrung Konzepte für den Unternemer von morgen. Anthropos ist eine [[Kurs:Sozialwissenschaften/Einführung BWL (h da)/Unternehmen WS26 27/Anthropos/Gmbh|GmbH]]. [[Kategorie:Kurs:Sozialwissenschaften/Einführung BWL (h da)]] = Unser Team = Einzelheiten über unser [[Kurs:Sozialwissenschaften/Einführung BWL (h da)/Unternehmen WS26 27/Anthropos-Team|Team]] und unsere Unternehmensorganisation finden Sie unter dem Link. == Unser Angebot == Seit über 125 Jahren begleiten wir Unternehmen auf ihrem Weg zum Erfolg. Was einst am Mittelmeer begann, verbinden wir heute mit modernen Methoden aus Betriebswirtschaft und Sozialwissenschaften. Denn bei uns steht der Mensch im Mittelpunkt – nicht ohne Grund heißen wir Anthropos. * '''Strategie & Unternehmensführung:''' Wir entwickeln mit Ihnen Strategien und Leitbilder und analysieren Markt, Wettbewerb und Standort. * '''Gründung & Nachfolge:''' Von der Geschäftsidee über Businessplan, Rechtsformwahl und Finanzierung bis zur Übergabe an die nächste Generation. * '''Organisation & Personal:''' Wir begleiten Veränderungsprozesse, führen Mitarbeiterbefragungen durch und coachen Führungskräfte. * '''Markt- und Meinungsforschung:''' Kunden-, Haushalts- und Bürgerbefragungen sowie Interviews – wissenschaftlich fundiert und verständlich aufbereitet. '''So arbeiten wir:''' Nach einem kostenlosen Erstgespräch analysieren wir Ihre Ausgangslage, erstellen ein individuelles Konzept und setzen es gemeinsam mit Ihnen um. Ob kleines Familienunternehmen oder Großkonzern: Wir freuen uns auf Ihre Anfrage! ==Individuelles Angebot== [[Kurs:Sozialwissenschaften/Einführung_BWL_(h_da)/Unternehmen_WS26_27/Antrophos|erstes Angebot]] [[Kategorie:Kurs:Sozialwissenschaften:Einführung BWL (h da)]] sxk1c2d210azie6qnwa7shbg38bfwbi 1119201 1119187 2026-11-09T10:27:21Z KlausBarkowsky 41946 /* Unser Angebot */ 1119201 wikitext text/x-wiki {{Fiktives Unternehmen}} {| class="wikitable" style="float:right; width:280px; margin:0 0 1em 1em;" ! colspan="2" | Anthropos |- | colspan="2" style="text-align:center;" | [[Datei:Antropos_Logo.png|220px]] |- ! Unternehmensform | GmbH |- ! Gründung | 1900 bei Athen, Griechenland |- ! Sitz | Darmstadt, [[Datei:Flag of Germany.svg|20px]] Deutschland |- ! Leitung | Thomas Born |- ! Branche | Unternehmensberatung |} = Unser Unternehmen = Wir sind '''Anthropos''', ihr Büro für Unternemensführung! Im Jahr 1900 in der Nähe von Athen gegründet bieten wir ausgewählten Kundinnen und Kunden Unterstützung bei der Realisierung ihrer Unternehmensziele. Bis 1951 waren wir rein am Mittelmeer ansässig. Aber bereits kurz danach expandierten wir in die DACH-Region und etablierten mit unserer langen Erfahrung Konzepte für den Unternemer von morgen. Anthropos ist eine [[Kurs:Sozialwissenschaften/Einführung BWL (h da)/Unternehmen WS26 27/Anthropos/Gmbh|GmbH]]. [[Kategorie:Kurs:Sozialwissenschaften/Einführung BWL (h da)]] = Unser Team = Einzelheiten über unser [[Kurs:Sozialwissenschaften/Einführung BWL (h da)/Unternehmen WS26 27/Anthropos-Team|Team]] und unsere Unternehmensorganisation finden Sie unter dem Link. == Unser Angebot == Seit über 125 Jahren begleiten wir Unternehmen auf ihrem Weg zum Erfolg. Was einst am Mittelmeer begann, verbinden wir heute mit modernen Methoden aus Betriebswirtschaft und Sozialwissenschaften. Denn bei uns steht der Mensch im Mittelpunkt, nicht ohne Grund heißen wir Anthropos. * '''Strategie & Unternehmensführung:''' Wir entwickeln mit Ihnen Strategien und Leitbilder und analysieren Markt, Wettbewerb und Standort. * '''Gründung & Nachfolge:''' Von der Geschäftsidee über Businessplan, Rechtsformwahl und Finanzierung bis zur Übergabe an die nächste Generation. * '''Organisation & Personal:''' Wir begleiten Veränderungsprozesse, führen Mitarbeiterbefragungen durch und coachen Führungskräfte. * '''Markt- und Meinungsforschung:''' Kunden-, Haushalts- und Bürgerbefragungen sowie Interviews, wissenschaftlich fundiert und verständlich aufbereitet. '''So arbeiten wir:''' Nach einem kostenlosen Erstgespräch analysieren wir Ihre Ausgangslage, erstellen ein individuelles Konzept und setzen es gemeinsam mit Ihnen um. Ob kleines Familienunternehmen oder Großkonzern: Wir freuen uns auf Ihre Anfrage! ==Individuelles Angebot== [[Kurs:Sozialwissenschaften/Einführung_BWL_(h_da)/Unternehmen_WS26_27/Antrophos|erstes Angebot]] [[Kategorie:Kurs:Sozialwissenschaften:Einführung BWL (h da)]] bdp4f38kw52rtne1txqlum1ib7sksj0 0 173266 1119209 1117761 2026-11-09T10:37:36Z Wkfjjf 41962 /* Unternehmensführung */ 1119209 wikitext text/x-wiki {{Fiktives Unternehmen}} = Unser Unternehmen = Wir sind '''Greenity'''! Wir haben unser Unternehmen 2011 gegründet, weil wir etwas im Bereich der Entwicklungszusammenarbeit verändern wollten. Seit ungefähr vier Jahren sind wir auch im Bereich des Nachhaltigkeitsmanagement tätig. Zudem bieten wir Dienstleistungen an, um Unternehmen dabei zu unterstützen nachhaltiger zu handeln und ihr Angebote zu verbessern. Wir führen zum Beispiel Marktanalysen durch und beraten ihr Unternehmen in Hinblick auf eine grünere Zukunft. Greenity ist eine [[Kurs:Sozialwissenschaften/Einführung BWL (h da)/Unternehmen WS26 27/Greenity/Gmbh|GmbH]]. [[Kategorie:Kurs:Sozialwissenschaften/Einführung BWL (h da)]] = Unser Team = Lernen Sie unser Team über diesen Link kennen! [[Kurs:Sozialwissenschaften/Einführung BWL (h da)/Unternehmen WS26 27//Greenity-Team|Team]] = Unternehmensführung = [[Kurs:Sozialwissenschaften/Einführung_BWL_(h_da)/Unternehmen_WS26_27/Skyfall|Unternehmensführung]] Interne Kalkulationskosten [[Kategorie:Kurs:Sozialwissenschaften:Einführung BWL (h da)]] gaowtvrsdc4bb4i6d6brgz88xgmrpbp 1119210 1119209 2026-11-09T10:38:36Z Wkfjjf 41962 /* Unternehmensführung */ 1119210 wikitext text/x-wiki {{Fiktives Unternehmen}} = Unser Unternehmen = Wir sind '''Greenity'''! Wir haben unser Unternehmen 2011 gegründet, weil wir etwas im Bereich der Entwicklungszusammenarbeit verändern wollten. Seit ungefähr vier Jahren sind wir auch im Bereich des Nachhaltigkeitsmanagement tätig. Zudem bieten wir Dienstleistungen an, um Unternehmen dabei zu unterstützen nachhaltiger zu handeln und ihr Angebote zu verbessern. Wir führen zum Beispiel Marktanalysen durch und beraten ihr Unternehmen in Hinblick auf eine grünere Zukunft. Greenity ist eine [[Kurs:Sozialwissenschaften/Einführung BWL (h da)/Unternehmen WS26 27/Greenity/Gmbh|GmbH]]. [[Kategorie:Kurs:Sozialwissenschaften/Einführung BWL (h da)]] = Unser Team = Lernen Sie unser Team über diesen Link kennen! [[Kurs:Sozialwissenschaften/Einführung BWL (h da)/Unternehmen WS26 27//Greenity-Team|Team]] = Unternehmensführung = Interne Kalkulationskosten finden Sie hier: [[Kurs:Sozialwissenschaften/Einführung_BWL_(h_da)/Unternehmen_WS26_27/Skyfall|Unternehmensführung]] [[Kategorie:Kurs:Sozialwissenschaften:Einführung BWL (h da)]] 7fevl670rzwny8xv3ilaqivzpnnlqv9 106 173275 1119178 1118424 2026-11-09T09:21:40Z Vehehqibyhd 41961 /* Marketing und Verkauf */ 1119178 wikitext text/x-wiki = Lernen Sie uns kennen! = == Personal und Beschaffung == Suzan Geske: Ich kümmere mich um das Personal und die Beschaffung, da ich gerne mit Menschen arbeite und ein angenehmes Arbeitsklima schaffen möchte. == Finanzen und Controlling == Ella Sottke: Ich bin für die Finanzen und das Planen da, weil ich gerne alles im Blick habe. == Management/IT == Melike Kaygisiz: Ich interessiere mich für Management& IT, weil mich die Verbindung zwischen Wirtschaft und Technik interessiert. == Marketing und Verkauf == Blerina Jusufi: Ich interessiere mich für den Marketing & Verkauf Bereich, da ich gerne kreativ arbeite und ich es Interessant finde, wie man mit Werbung die Menschen erreichen und von einem Produkt überzeugen kann. rjkg0r6xb1a7m8fc33zjw4tt1z42uo0 106 173388 1119208 1118599 2026-11-09T10:35:04Z Wkfjjf 41962 /* */ 1119208 wikitext text/x-wiki '''Erster Auftrag''' Variable Kosten • 5 Studies: 600h · 13,90 € = 8.340 € • Papierkosten: ca. 250€ Summe: 8.590 € Fixkosten (6 Monate) • Lohn Festangestellte Person (Urlaubs / Krankheitstage): 6 · 5.926,77 € = 35.560,62 € • Büromiete Darmstadt: 6 · 900 € = 5.400 € • Profi-Kopierer: 3.500 € / 5 Jahre = 700 € pro Jahr → 420 € für 6 Monate • 3 Laptops: 800 € · 3 = 2.400 € / für 3 Jahre → 7.200 € → für 6 Monate = 1.200 € • SPSS-Lizenz: 1.450 € für 1 Jahr → 725 € für 6 Monate Summe: 43.305,62 € Vollkosten = 8.590 + 43.305,62 = 51.895,62 € 1) Ohne unmittelbaren Verlust (nur variable Kosten) 8.590 · 1,19 = 10.222,10 € 2) Langfristig ohne Verlust (Vollkosten) 51.895,62 · 1,19 = 61.648,00 € 3) Mit 20 % Gewinn Gewinn: 51.895,62 · 0,20 = 10.361,00 € Netto: 51.895,62 + 10.361,00 = 62.220,62 € Brutto: 62.220,62· 1,19 = 74.042,54 € huwdre1zx76d6dz4uqnjczlsida9wcr 1119212 1119208 2026-11-09T10:44:08Z Wkfjjf 41962 /* */ 1119212 wikitext text/x-wiki '''Erster Auftrag''' Variable Kosten • 5 Studies: 600h · 13,90 € = 8.340 € • Papierkosten: ca. 250€ Summe: 8.590 € Fixkosten (6 Monate) • Lohn Festangestellte Person (Urlaubs / Krankheitstage): 6 · 5.926,77 € = 35.560,62 € • Büromiete Darmstadt: 6 · 900 € = 5.400 € • Profi-Kopierer: 3.500 € / 5 Jahre = 700 € pro Jahr → 420 € für 6 Monate • 3 Laptops: 800 € · 3 = 2.400 € / für 3 Jahre → 7.200 € → für 6 Monate = 1.200 € • SPSS-Lizenz: 1.450 € für 1 Jahr → 725 € für 6 Monate Summe: 43.305,62 € Vollkosten = 8.590 + 43.305,62 = 51.895,62 € 1) Ohne unmittelbaren Verlust (nur variable Kosten) 8.590 · 1,19 = 10.222,10 € 2) Langfristig ohne Verlust (Vollkosten) 51.895,62 · 1,19 = 61.648,00 € 3) Mit 20 % Gewinn auf Startkapital 6yqblvjuyawkkwbq7i7pzdln4coytim 0 173439 1119082 1119081 2026-11-08T12:02:50Z Platzm 21125 /* KITA-Baustein 3: Machine Learning und algorithmische Verzerrung */ 1119082 wikitext text/x-wiki =Lernbausteine zum Lernen über KI in KITA und Grundschule= Diese Seite stellt '''Lernbausteine zu Künstlicher Intelligenz (KI), Suchmaschinen und Sprachmodellen''' in zwei Reihen bereit: '''ab Kita''' (auch in den Klassen 1 und 2 einsetzbar) und '''ab Klasse 3/4'''. Die Bausteine wurden an der Professur für Didaktik der Primarstufe – Schwerpunkt Mathematik der Universität des Saarlandes entwickelt. ''Der Upload der Dateien erfolgt in Kürze.'' == Worum es geht == Kinder begegnen KI-Systemen früh: Sie stellen Sprachassistenten Fragen, sehen Vorschläge auf Videoplattformen und nutzen Suchmaschinen. Wie diese Systeme funktionieren, bleibt ihnen meist verborgen. Die Lernbausteine setzen hier an. Ihr Grundgedanke ist, dass Kinder die Funktionsweise von KI-Systemen mit Mathematik erschließen können, die sie ohnehin lernen: Sie zählen Häufigkeiten, ordnen und sortieren, vergleichen Daten, würfeln mit Zufallsgeneratoren und rechnen mit großen Zahlen. So wird nachvollziehbar, wie ein Sprachmodell das nächste Wort wählt, warum eine Suchmaschine Ergebnisse in eine bestimmte Reihenfolge bringt oder weshalb eine KI mit einseitigen Trainingsdaten unfair entscheidet. Die meisten Bausteine kommen ohne Computer aus (''Informatik unplugged''). Die Kinder handeln selbst: Sie falten, sortieren, würfeln, spielen einen Roboter oder trainieren einen einfachen Bildklassifizierer. Jeder Baustein endet mit einer Reflexion, in der das Erlebte auf reale Systeme wie Suchmaschinen oder KI-Chatbots übertragen wird. Dabei geht es nicht nur um Technik, sondern auch um Fragen wie: Wer entscheidet, was eine Suchmaschine zuerst anzeigt? Ist es fair, wenn ein Algorithmus geheim bleibt? Versteht ein Chatbot, was er schreibt? == Aufbau == Die Bausteine sind in zwei Reihen gegliedert: * '''Ab Kita''' (auch in den Klassen 1 und 2): sechs Bausteine – zwei Basis-Bausteine zu Algorithmen und Sortieralgorithmen sowie vier Bausteine zu regelbasierten Systemen, Sortieren nach Merkmalen, maschinellem Lernen und Sprachmodellen. * '''Ab Klasse 3/4:''' acht Bausteine in drei Strängen – Suchmaschinen, Künstliche Intelligenz und Sprachmodelle (LLM). Alle Bausteine sind gleich aufgebaut: ''Darum geht es'', Bezüge zu Mathematik und Informatik, Material, Durchführung, Reflexion und Literatur. Arbeitsblätter (AB) und Druckvorlagen liegen als eigene Dateien bei. {| class="wikitable" ! Baustein !! Kernidee !! Mathematik |- ! colspan="3" | Ab Kita (auch Klasse 1/2) |- | Basis-Baustein 1: NIM-Spiel || Eine Gewinnstrategie ist ein Algorithmus || Problemlösen, Zahlenreihe bis 10 |- | Basis-Baustein 2: Bubble Sort || Sortieralgorithmen und Ranking || Längen vergleichen, ordnen |- | KITA-Baustein 1: Chinesisches Zimmer || Eine Maschine folgt Regeln, ohne zu verstehen || Zuordnen, Würfelbilder erkennen |- | KITA-Baustein 2: Sortieren || Es gibt mehrere „richtige“ Sortierungen || Klassifizieren nach Merkmalen |- | KITA-Baustein 3: Machine Learning || Einseitige Trainingsdaten führen zu Fehlern || Mengen erfassen und vergleichen |- | KITA-Baustein 4: Sprachmodell || Wörter werden per Zufall ausgewählt || Münzwurf, Gleichwahrscheinlichkeit |- ! colspan="3" | Ab Klasse 3/4 |- | SE-Baustein 1: Algorithmus || Eingabe – Verarbeitung – Ausgabe || Geometrie: Falten |- | SE-Baustein 2: Ranking || Wer entscheidet, was oben steht? || Daten erheben, Häufigkeitstabelle |- | SE-Baustein 3: „Besser“ suchen || Datensatz – Lernalgorithmus – Vorhersage || Häufigkeiten und Vorhersage |- | KI-Baustein 1: Machine Learning || Algorithmische Verzerrung (Bias) || Ebene Figuren klassifizieren, Daten |- | KI-Baustein 2: Ethische Matrizen || Algorithmen betreffen viele Interessen || Würfelgebäude, Diagramme |- | LLM-Baustein 1: Bigram-Modell || Häufigkeit bestimmt Wahrscheinlichkeit || Häufigkeiten, platonische Körper |- | LLM-Baustein 2: Papier-GPT || Kontext und Zufall beim Textgenerieren || Münzwurf, Laplace-Experiment |- | LLM-Baustein 3: Fermi-Aufgabe || Die Menge der Trainingsdaten || Große Zahlen, Größen umrechnen |} == Hinweise zur Nutzung == Die Bausteine lassen sich einzeln einsetzen, bauen aber teilweise aufeinander auf. Sinnvoll sind folgende Abfolgen: * '''Ab Kita:''' Die Basis-Bausteine (NIM-Spiel, Bubble Sort) führen in Algorithmen ein und eignen sich als Einstieg. KITA-Baustein 2 (Sortieren) vor KITA-Baustein 3 (Machine Learning), da dieselben Bildkarten genutzt werden; Baustein 1 (Chinesisches Zimmer) und Baustein 4 (Sprachmodell) ergänzen sich in der Frage, ob eine Maschine versteht, was sie tut. * '''Ab Klasse 3/4:''' Der Algorithmusbegriff aus SE-Baustein 1 bildet die Grundlage für die übrigen Bausteine; auch die Bausteine ab Kita, besonders das NIM-Spiel, eignen sich hier als Einstieg. Die Suchmaschinen-Bausteine 1 bis 3 und die LLM-Bausteine 1 bis 3 sind jeweils als Reihe gedacht. KI-Baustein 2 greift die Faltanleitungen aus SE-Baustein 2 auf. Für die Durchführung sind keine Programmierkenntnisse nötig. Zwei Bausteine nutzen frei zugängliche Webanwendungen: ''Machine Learning for Kids'' (KI-Baustein 1, KITA-Baustein 3; ohne Benutzerkonto nutzbar, die Daten bleiben im Browser) und die App ''BIGRAM'' (LLM-Baustein 1). == Lernbausteine ab Kita == Die Bausteine wurden für die Kita entwickelt und lassen sich auch in den Klassen 1 und 2 einsetzen. === Basis-Baustein 1: NIM-Spiel und Algorithmen === Zwei Kinder legen abwechselnd ein oder zwei Plättchen auf einen Spielplan mit zehn Feldern; wer das zehnte Feld belegt, gewinnt. Schnell wird klar: Das ist kein Glücksspiel. Die Kinder stellen Vermutungen über Gewinnstrategien auf, probieren sie aus und entdecken dabei schrittweise „Gewinnfelder“. Eine solche Gewinnstrategie ist ein Algorithmus – eine eindeutige, ausführbare Abfolge von Schritten. In der Reflexion wird der Bogen zu den unsichtbaren Algorithmen digitaler Plattformen geschlagen: Ist es fair, wenn nur einer die Strategie kennt? Und wer sollte entscheiden dürfen, ob ein Algorithmus geheim bleibt? '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Basis-Baustein-1_NIM-Spiel.pdf Baustein-Beschreibung], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Druckvorlage_Basis-Baustein-1_NIM-Spiel.pdf Spielplan], blaue und rote Plättchen === Basis-Baustein 2: Bubble Sort und Ranking von Suchmaschinen === Die Kinder werden selbst zum Sortieralgorithmus: Jedes Kind hält einen Stab und stellt sich auf eine Linie. Nach einer festen Regel vergleichen jeweils zwei Nachbarn ihre Stäbe und tauschen bei Bedarf die Plätze, bis alle der Länge nach geordnet sind. Durch Wiederholen mit anderen Startpositionen überzeugen sie sich davon, dass das Verfahren immer funktioniert. Als Erweiterung kann nach einem Kriterium sortiert werden, das die Kinder nicht kennen – so wie Suchmaschinen ihre Ergebnisse nach Kriterien ordnen, die nicht offenliegen. Die Kinder stellen Vermutungen über das Sortierkriterium an und kommen so ins Gespräch über Popularität und Personalisierung beim Ranking. '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Basis-Baustein-2_Bubble-Sort.pdf Baustein-Beschreibung], verschieden lange Stäbe (z. B. Cuisenaire-Stäbe), Klebeband für eine Bodenmarkierung === KITA-Baustein 1: Chinesisches Zimmer === Ein Kind sitzt in einem selbst gebastelten Karton-Roboter. Durch einen Schlitz bekommt es Würfelbilder hineingereicht und gibt mithilfe eines Regelbuchs die passende Schmetterlingskarte heraus – ohne zu wissen, wozu. Das Spiel greift das Gedankenexperiment des „Chinesischen Zimmers“ von John Searle auf: Von außen wirkt die Antwort passend, obwohl drinnen niemand versteht, worum es geht. Die Kinder üben dabei Zuordnung und das Erkennen von Würfelbildern und erleben das Prinzip Eingabe – Verarbeitung – Ausgabe. In der Reflexion sprechen sie darüber, wie es sich anfühlt, „mechanisch“ zu antworten, und ob ein Roboter – oder eine KI – wirklich nachdenkt oder fühlt. Der Baustein wirkt so der Vermenschlichung von KI entgegen. '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:KITA-Baustein-1_Chinesisches-Zimmer.pdf Baustein-Beschreibung], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Druckvorlage_KITA-Baustein-1_Chinesisches-Zimmer_Regelbuch.pdf Regelbuch], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Druckvorlage_KITA-Baustein-1_Chinesisches-Zimmer_Bildkarten.pdf Bildkarten], Karton und Bastelmaterial === KITA-Baustein 2: Sortieren === Bildkarten mit Raupen, Kokons und Schmetterlingen in verschiedenen Farben sind „durcheinandergeraten“ und sollen wieder sortiert werden. Ob nach Farbe, Form, Größe oder inhaltlichem Zusammenhang – die Kinder entscheiden selbst und begründen ihre Sortierung. Im Vergleich der Ergebnisse zeigt sich, dass es nicht nur eine richtige Lösung gibt und dass dieselbe Karte zu mehreren Gruppen passen kann. Damit machen die Kinder grundlegende Erfahrungen mit Klassifizieren und Kategorisieren. Zugleich bahnt der Baustein eine Idee des maschinellen Lernens an: Auch KI-Systeme gruppieren Daten nach Ähnlichkeiten – ohne zu verstehen, was sie bedeuten. '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:KITA-Baustein-2_Sortieren.pdf Baustein-Beschreibung], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Druckvorlage_KITA-Baustein-2_Sortieren.pdf Bildkarten] (möglichst ein Set pro Kind) === KITA-Baustein 3: Machine Learning und algorithmische Verzerrung === Die Fachkraft oder Lehrkraft zeigt einen Bildklassifizierer, der Raupen von Schmetterlingen und Kokons unterscheiden soll – und der bewusst „unfair“ trainiert wurde: Von den Raupen kennt er nur zwei sehr ähnliche Bilder. Gemeinsam untersuchen die Kinder, wo der Klassifizierer Fehler macht, und erkennen, dass es an den Trainingsdaten liegt. Mit den Bildkarten aus Baustein 2 verbessern sie das System, indem sie weitere Beispiele einlesen. In der Reflexion geht es um Verantwortung: Wer sorgt dafür, dass eine KI faire Daten bekommt? Und wo können solche Fehler für Menschen schlimme Folgen haben? Verwendet wird das kostenfreie Webwerkzeug ''Machine Learning for Kids'', das ohne Benutzerkonto auskommt. '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:KITA-Baustein-3_ML.pdf Baustein-Beschreibung], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Anleitung_KITA-Baustein-3_ML.pdf Anleitung zu Machine Learning for Kids], Tablet oder Laptop mit Kamera und Internetzugang, === KITA-Baustein 4: Sprachmodell === Gemeinsam erzählen die Kinder eine Geschichte weiter – wie ein Sprachmodell, Wort für Wort. Zu einem vorgegebenen Satzanfang schlagen sie zwei mögliche nächste Wörter vor, eine Münze entscheidet, welches genommen wird. Die Fachkraft oder Lehrkraft schreibt mit und liest die entstandene Geschichte am Ende vor. Die Kinder erleben so, dass Sprachmodelle Wörter mit Zufall auswählen und dass eine Münze nicht „weiß“, was die Geschichte erzählen soll. In der Reflexion wird deutlich, was Menschen beim Weitererzählen einbringen und eine Maschine nicht: Wissen über die Welt und darüber, worum es in einer Geschichte geht. Der Baustein knüpft an das Chinesische Zimmer an. '''Material:''' Baustein-Beschreibung, Münze <!-- DATEI: KITA-Baustein-4_LLM.pdf --> == Lernbausteine ab Klasse 3/4 == === Suchmaschinen === ==== SE-Baustein 1: Algorithmus ==== Was ist eigentlich ein Algorithmus? Die Kinder erarbeiten eine kindgerechte Definition und prüfen an Beispielen aus dem Alltag, ob es sich um einen Algorithmus handelt. Dann falten sie ein quadratisches Papier nach einer Faltanleitung und entdecken dabei Dreiecke, Diagonalen und Mittelpunkt. Die Faltanleitung erweist sich als Algorithmus mit Eingabe (Papier), Verarbeitungsschritten und Ausgabe (Faltprodukt). Auch eine Suchmaschine arbeitet nach diesem Prinzip – mit der Suchanfrage als Eingabe und der Trefferliste als Ausgabe. Der entscheidende Unterschied, den die Reflexion herausarbeitet: Die Faltanleitung ist nachvollziehbar, der Algorithmus einer Suchmaschine nicht. '''Material:''' Baustein-Beschreibung, Arbeitsblatt Algorithmus, quadratisches Faltpapier, Infografik „So funktioniert die Internetsuche“ der Open Search Foundation <!-- DATEI: SE-Baustein-1_Algorithmus.pdf | AB-SE-Baustein-1_Algorithmus.pdf --> ==== SE-Baustein 2: Ranking ==== Wer entscheidet, was bei einer Suche oben steht? Die Kinder vergleichen mehrere Faltanleitungen für dasselbe Objekt, darunter eine mit Werbung. Zuerst erstellen sie ein eigenes Ranking (Personalisierung), dann ermitteln sie per Befragung und Häufigkeitstabelle das beliebteste Ergebnis der Klasse (Popularität). Was passiert, wenn die „Suchmaschine“ trotzdem die Anleitung mit Werbung auf Platz 1 setzt? Die Diskussion führt zu wirtschaftlichen Interessen und zu der Erkenntnis, dass Ranking-Algorithmen nicht neutral sind. Zum Schluss verbessern die Kinder selbst eine Anleitung nach einem Ziel, das sie festlegen, und begründen ihre Entscheidung: Menschen bestimmen, welche Ziele ein Algorithmus verfolgt. '''Material:''' Baustein-Beschreibung, Druckvorlage Faltanleitungen, Arbeitsblatt „Faltanleitungen ergänzen und verbessern“ <!-- DATEI: SE-Baustein-2_Ranking.pdf | Druckvorlage-SE-Baustein-2_Ranking.pdf | AB-SE-Baustein-2_Ranking.pdf --> ==== SE-Baustein 3: „Besser“ suchen ==== Suchmaschinen sind KI-Systeme, die aus einem Datensatz, einem Lernalgorithmus und einer Vorhersage bestehen. Am Beispiel der Autovervollständigung, die häufige frühere Suchanfragen vorschlägt, und des Rankings untersuchen die Kinder, wie diese Bestandteile zusammenwirken – und warum unfaire Daten zu verzerrten Ergebnissen führen können. Darauf aufbauend lernen sie Tipps für eine bewusstere Internetsuche kennen, etwa gezielte Suchbegriffe, ein kritischer Blick auf die ersten Treffer und alternative Suchmaschinen. Die Reflexion öffnet zudem die Frage, wem die Inhalte gehören, die eine Suchmaschine anzeigt. '''Material:''' Baustein-Beschreibung, digitales Gerät zur Demonstration einer Suchmaschine, ggf. Suchtipps der Open Search Foundation <!-- DATEI: SE-Baustein-3_besser_Suchen.pdf --> === Künstliche Intelligenz === ==== KI-Baustein 1: Machine Learning und algorithmische Verzerrung ==== Die Kinder untersuchen einen Bildklassifizierer, der Dreiecke und Vierecke unterscheiden soll. Er wurde bewusst „unfair“ trainiert: Die Vierecke im Trainingsdatensatz sind nur Rechtecke in derselben Lage, die Dreiecke dagegen vielfältig. Die Kinder finden heraus, warum der Klassifizierer bei Vierecken häufiger irrt, und verbessern ihn in Kleingruppen, indem sie selbst gezeichnete Figuren als neue Trainingsdaten hinzufügen. Dabei klassifizieren sie ebene Figuren nach ihren Eigenschaften und werten Daten aus. Die Reflexion verbindet das Experiment mit realen Fällen algorithmischer Verzerrung, etwa bei Gesichtserkennung oder Bewerbungsverfahren, und mit der Einsicht, dass Menschen über die Daten und Ziele von KI-Systemen entscheiden. '''Material:''' Baustein-Beschreibung, Arbeitsblatt, Infoseite zur Bedienung von Machine Learning for Kids, Tablets mit Stift und Internetzugang <!-- DATEI: KI-Baustein-1_ML.pdf | AB_KI-Baustein-1_ML.pdf | Infoseite_KI-Baustein-1_ML.pdf | Anleitung_KI-Baustein-1_ML.pdf --> ==== KI-Baustein 2: Ethische Matrizen ==== Wenn ein Algorithmus verändert wird, wer profitiert und wer nicht? Mit einer ethischen Matrix tragen die Kinder zusammen, wer an einem Produkt interessiert ist – etwa an einem Pfannkuchenrezept oder einer Faltanleitung – und welche Werte den einzelnen Beteiligten wichtig sind. Mit Holzwürfeln gewichten sie die Felder, sodass ein Würfelgebäude entsteht, das sie beschreiben und verändern. Beim Versuch, das „Rezept“ zu verbessern, stellen die Kinder fest, dass eine Verbesserung für die einen eine Verschlechterung für andere bedeuten kann. In der Reflexion wird die Matrix auf reale Systeme wie Suchmaschinen oder Chatbots übertragen: Wessen Werte wurden berücksichtigt? '''Material:''' Baustein-Beschreibung, Vorlage Ethische Matrix, Holzwürfel (Kantenlänge 2 cm) <!-- DATEI: KI-Baustein-2_Ethische-Matrix.pdf | Druckvorlage_KI-Baustein-2_Ethische-Matrix.pdf --> === Sprachmodelle (LLM) === ==== LLM-Baustein 1: Bigram-Modell ==== Wie erzeugt ein Sprachmodell Text? Die Kinder bauen ein einfaches Modell selbst: Sie zählen in einer kurzen Geschichte, welche Wörter am Satzanfang stehen und welche darauf folgen, halten die Häufigkeiten in Tabellen fest und „würfeln“ das nächste Wort mit passenden Zufallsgeneratoren wie platonischen Körpern oder einer Münze. Die App BIGRAM übernimmt das anschließend für ganze Sätze. Die entstehenden Texte klingen oft holprig, und Wörter, die nicht in der Geschichte vorkommen, kann das Modell nicht verarbeiten. So wird verständlich, warum KI-Chatbots als „stochastische Papageien“ bezeichnet werden und warum man ihre Antworten überprüfen sollte. '''Material:''' Baustein-Beschreibung, Arbeitsblatt, Zufallsgeneratoren (z. B. platonische Körper), App BIGRAM <!-- DATEI: LLM-Baustein-1_Bigram.pdf | AB-LLM-Baustein-1_Bigram.pdf --> ==== LLM-Baustein 2: Papier-GPT ==== Ohne Computer simulieren die Kinder, wie ein Sprachmodell einen Text fortsetzt. Eine Tabelle mit einem Satzanfang wandert von Gruppe zu Gruppe. Jede Gruppe sieht nur die letzten drei Wörter, schlägt zwei mögliche Fortsetzungen vor und lässt ein Wendeplättchen entscheiden, welches Wort übernommen wird. Am Ende wird der ganze Satz aufgefaltet und vorgelesen. Die Kinder erleben dabei Gleichwahrscheinlichkeit und Zufall als Auswahlprinzip und lernen zentrale Ideen von Sprachmodellen kennen: einen begrenzten Kontext und das zufällige Auswählen des nächsten Wortes. In der Reflexion vergleichen sie das Ergebnis mit dem Bigram-Modell und überlegen, welches Wissen ihnen selbst beim Finden passender Wörter geholfen hat. '''Material:''' Baustein-Beschreibung, Druckvorlage Papier-GPT, Wendeplättchen <!-- DATEI: LLM-Baustein-2_Papier-GPT.pdf | Druckvorlage_LLM-Baustein-2_Papier-GPT.pdf --> ==== LLM-Baustein 3: Fermi-Aufgabe zur Menge der Trainingsdaten ==== Warum schreiben große Sprachmodelle so viel bessere Texte als das selbst gebaute Bigram-Modell? Ein Grund ist die riesige Menge an Texten, aus denen sie lernen. In einer Fermi-Aufgabe machen die Kinder diese Menge greifbar: Wie hoch wäre ein Papierstapel, wenn man eine kurze Geschichte so oft ausdruckt, bis die Datenmenge erreicht ist? Höher als der Mount Everest? Dafür ermitteln sie Dateigrößen, rechnen Einheiten um, überschlagen mit großen Zahlen und prüfen ihr Ergebnis auf Plausibilität. Die Reflexion führt zu Fragen des Urheberrechts – Darf eine KI deine Geschichte ohne Erlaubnis nutzen? – und dazu, warum man den Antworten einer KI nicht blind vertrauen sollte. '''Material:''' Baustein-Beschreibung, Textdatei der Geschichte (zum Ermitteln der Dateigröße), ggf. zehn Ausdrucke auf 80-g-Papier <!-- DATEI: LLM-Baustein-3_Fermi-Aufgabe.pdf | Datei_LLM-Baustein-3 (Geschichte).docx --> == Weiterführende Literatur == * Platz, M. (2025). KI, Internetsuche und algorithmische Verzerrung. ''Mathematik differenziert'', 4/2025, 22–31. * Platz, M. (2025). Algorithmen, ethische Matrizen und Würfelbauwerke. In L. Schick, M. Platz & A. Lambert (Hrsg.), ''Beiträge zum Mathematikunterricht 2025'' (S. 357–360). WTM. * Platz, M. & Plote, C. (2025). KI und Ethik im Klassenzimmer. ''Mitteilungen der GDM'', 118, 6–13. * Platz, M. & Schick, L. (2025). Lernen über LLMs im Mathematikunterricht der Primarstufe. In L. Schick, M. Platz & A. Lambert (Hrsg.), ''Beiträge zum Mathematikunterricht 2025'' (S. 231–234). WTM. * Platz, M., Schorcht, S. & Frischemeier, D. (2025). Lernen mit und über KI: Wie funktionieren LLMs und welche Prompt-Techniken gibt es? In M. Platz, S. Schorcht & D. Frischemeier (Hrsg.), ''Künstliche Intelligenz in der Primarstufe'' (S. 109–130). WTM. <!-- Ggf. ergänzen: Platz (2026) zum LLM-Literacy-Framework (PriMaMedien 17) und Platz (2026) in mathematica didactica 49 --> == Lizenz und Rückmeldung == Die Lernbausteine stehen unter der Lizenz [https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.de CC BY-SA 4.0]. Sie dürfen kopiert, verändert und weitergegeben werden, wenn die Urheberin genannt wird und Bearbeitungen unter derselben Lizenz stehen. Ausgenommen sind Inhalte Dritter, die in den Dateien gesondert gekennzeichnet sind. Namensnennung: ''Lernbausteine KI'' von Melanie Platz, Universität des Saarlandes, Professur für Didaktik der Primarstufe – Schwerpunkt Mathematik, lizenziert unter CC BY-SA 4.0. Rückmeldungen, Erfahrungen aus dem Einsatz und Verbesserungsvorschläge sind willkommen – gern auf der Diskussionsseite. kdwnqah4dvapd5pe20exj9p7pklrv1g 1119090 1119082 2026-11-08T12:11:10Z Platzm 21125 /* KITA-Baustein 4: Sprachmodell */ 1119090 wikitext text/x-wiki =Lernbausteine zum Lernen über KI in KITA und Grundschule= Diese Seite stellt '''Lernbausteine zu Künstlicher Intelligenz (KI), Suchmaschinen und Sprachmodellen''' in zwei Reihen bereit: '''ab Kita''' (auch in den Klassen 1 und 2 einsetzbar) und '''ab Klasse 3/4'''. Die Bausteine wurden an der Professur für Didaktik der Primarstufe – Schwerpunkt Mathematik der Universität des Saarlandes entwickelt. ''Der Upload der Dateien erfolgt in Kürze.'' == Worum es geht == Kinder begegnen KI-Systemen früh: Sie stellen Sprachassistenten Fragen, sehen Vorschläge auf Videoplattformen und nutzen Suchmaschinen. Wie diese Systeme funktionieren, bleibt ihnen meist verborgen. Die Lernbausteine setzen hier an. Ihr Grundgedanke ist, dass Kinder die Funktionsweise von KI-Systemen mit Mathematik erschließen können, die sie ohnehin lernen: Sie zählen Häufigkeiten, ordnen und sortieren, vergleichen Daten, würfeln mit Zufallsgeneratoren und rechnen mit großen Zahlen. So wird nachvollziehbar, wie ein Sprachmodell das nächste Wort wählt, warum eine Suchmaschine Ergebnisse in eine bestimmte Reihenfolge bringt oder weshalb eine KI mit einseitigen Trainingsdaten unfair entscheidet. Die meisten Bausteine kommen ohne Computer aus (''Informatik unplugged''). Die Kinder handeln selbst: Sie falten, sortieren, würfeln, spielen einen Roboter oder trainieren einen einfachen Bildklassifizierer. Jeder Baustein endet mit einer Reflexion, in der das Erlebte auf reale Systeme wie Suchmaschinen oder KI-Chatbots übertragen wird. Dabei geht es nicht nur um Technik, sondern auch um Fragen wie: Wer entscheidet, was eine Suchmaschine zuerst anzeigt? Ist es fair, wenn ein Algorithmus geheim bleibt? Versteht ein Chatbot, was er schreibt? == Aufbau == Die Bausteine sind in zwei Reihen gegliedert: * '''Ab Kita''' (auch in den Klassen 1 und 2): sechs Bausteine – zwei Basis-Bausteine zu Algorithmen und Sortieralgorithmen sowie vier Bausteine zu regelbasierten Systemen, Sortieren nach Merkmalen, maschinellem Lernen und Sprachmodellen. * '''Ab Klasse 3/4:''' acht Bausteine in drei Strängen – Suchmaschinen, Künstliche Intelligenz und Sprachmodelle (LLM). Alle Bausteine sind gleich aufgebaut: ''Darum geht es'', Bezüge zu Mathematik und Informatik, Material, Durchführung, Reflexion und Literatur. Arbeitsblätter (AB) und Druckvorlagen liegen als eigene Dateien bei. {| class="wikitable" ! Baustein !! Kernidee !! Mathematik |- ! colspan="3" | Ab Kita (auch Klasse 1/2) |- | Basis-Baustein 1: NIM-Spiel || Eine Gewinnstrategie ist ein Algorithmus || Problemlösen, Zahlenreihe bis 10 |- | Basis-Baustein 2: Bubble Sort || Sortieralgorithmen und Ranking || Längen vergleichen, ordnen |- | KITA-Baustein 1: Chinesisches Zimmer || Eine Maschine folgt Regeln, ohne zu verstehen || Zuordnen, Würfelbilder erkennen |- | KITA-Baustein 2: Sortieren || Es gibt mehrere „richtige“ Sortierungen || Klassifizieren nach Merkmalen |- | KITA-Baustein 3: Machine Learning || Einseitige Trainingsdaten führen zu Fehlern || Mengen erfassen und vergleichen |- | KITA-Baustein 4: Sprachmodell || Wörter werden per Zufall ausgewählt || Münzwurf, Gleichwahrscheinlichkeit |- ! colspan="3" | Ab Klasse 3/4 |- | SE-Baustein 1: Algorithmus || Eingabe – Verarbeitung – Ausgabe || Geometrie: Falten |- | SE-Baustein 2: Ranking || Wer entscheidet, was oben steht? || Daten erheben, Häufigkeitstabelle |- | SE-Baustein 3: „Besser“ suchen || Datensatz – Lernalgorithmus – Vorhersage || Häufigkeiten und Vorhersage |- | KI-Baustein 1: Machine Learning || Algorithmische Verzerrung (Bias) || Ebene Figuren klassifizieren, Daten |- | KI-Baustein 2: Ethische Matrizen || Algorithmen betreffen viele Interessen || Würfelgebäude, Diagramme |- | LLM-Baustein 1: Bigram-Modell || Häufigkeit bestimmt Wahrscheinlichkeit || Häufigkeiten, platonische Körper |- | LLM-Baustein 2: Papier-GPT || Kontext und Zufall beim Textgenerieren || Münzwurf, Laplace-Experiment |- | LLM-Baustein 3: Fermi-Aufgabe || Die Menge der Trainingsdaten || Große Zahlen, Größen umrechnen |} == Hinweise zur Nutzung == Die Bausteine lassen sich einzeln einsetzen, bauen aber teilweise aufeinander auf. Sinnvoll sind folgende Abfolgen: * '''Ab Kita:''' Die Basis-Bausteine (NIM-Spiel, Bubble Sort) führen in Algorithmen ein und eignen sich als Einstieg. KITA-Baustein 2 (Sortieren) vor KITA-Baustein 3 (Machine Learning), da dieselben Bildkarten genutzt werden; Baustein 1 (Chinesisches Zimmer) und Baustein 4 (Sprachmodell) ergänzen sich in der Frage, ob eine Maschine versteht, was sie tut. * '''Ab Klasse 3/4:''' Der Algorithmusbegriff aus SE-Baustein 1 bildet die Grundlage für die übrigen Bausteine; auch die Bausteine ab Kita, besonders das NIM-Spiel, eignen sich hier als Einstieg. Die Suchmaschinen-Bausteine 1 bis 3 und die LLM-Bausteine 1 bis 3 sind jeweils als Reihe gedacht. KI-Baustein 2 greift die Faltanleitungen aus SE-Baustein 2 auf. Für die Durchführung sind keine Programmierkenntnisse nötig. Zwei Bausteine nutzen frei zugängliche Webanwendungen: ''Machine Learning for Kids'' (KI-Baustein 1, KITA-Baustein 3; ohne Benutzerkonto nutzbar, die Daten bleiben im Browser) und die App ''BIGRAM'' (LLM-Baustein 1). == Lernbausteine ab Kita == Die Bausteine wurden für die Kita entwickelt und lassen sich auch in den Klassen 1 und 2 einsetzen. === Basis-Baustein 1: NIM-Spiel und Algorithmen === Zwei Kinder legen abwechselnd ein oder zwei Plättchen auf einen Spielplan mit zehn Feldern; wer das zehnte Feld belegt, gewinnt. Schnell wird klar: Das ist kein Glücksspiel. Die Kinder stellen Vermutungen über Gewinnstrategien auf, probieren sie aus und entdecken dabei schrittweise „Gewinnfelder“. Eine solche Gewinnstrategie ist ein Algorithmus – eine eindeutige, ausführbare Abfolge von Schritten. In der Reflexion wird der Bogen zu den unsichtbaren Algorithmen digitaler Plattformen geschlagen: Ist es fair, wenn nur einer die Strategie kennt? Und wer sollte entscheiden dürfen, ob ein Algorithmus geheim bleibt? '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Basis-Baustein-1_NIM-Spiel.pdf Baustein-Beschreibung], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Druckvorlage_Basis-Baustein-1_NIM-Spiel.pdf Spielplan], blaue und rote Plättchen === Basis-Baustein 2: Bubble Sort und Ranking von Suchmaschinen === Die Kinder werden selbst zum Sortieralgorithmus: Jedes Kind hält einen Stab und stellt sich auf eine Linie. Nach einer festen Regel vergleichen jeweils zwei Nachbarn ihre Stäbe und tauschen bei Bedarf die Plätze, bis alle der Länge nach geordnet sind. Durch Wiederholen mit anderen Startpositionen überzeugen sie sich davon, dass das Verfahren immer funktioniert. Als Erweiterung kann nach einem Kriterium sortiert werden, das die Kinder nicht kennen – so wie Suchmaschinen ihre Ergebnisse nach Kriterien ordnen, die nicht offenliegen. Die Kinder stellen Vermutungen über das Sortierkriterium an und kommen so ins Gespräch über Popularität und Personalisierung beim Ranking. '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Basis-Baustein-2_Bubble-Sort.pdf Baustein-Beschreibung], verschieden lange Stäbe (z. B. Cuisenaire-Stäbe), Klebeband für eine Bodenmarkierung === KITA-Baustein 1: Chinesisches Zimmer === Ein Kind sitzt in einem selbst gebastelten Karton-Roboter. Durch einen Schlitz bekommt es Würfelbilder hineingereicht und gibt mithilfe eines Regelbuchs die passende Schmetterlingskarte heraus – ohne zu wissen, wozu. Das Spiel greift das Gedankenexperiment des „Chinesischen Zimmers“ von John Searle auf: Von außen wirkt die Antwort passend, obwohl drinnen niemand versteht, worum es geht. Die Kinder üben dabei Zuordnung und das Erkennen von Würfelbildern und erleben das Prinzip Eingabe – Verarbeitung – Ausgabe. In der Reflexion sprechen sie darüber, wie es sich anfühlt, „mechanisch“ zu antworten, und ob ein Roboter – oder eine KI – wirklich nachdenkt oder fühlt. Der Baustein wirkt so der Vermenschlichung von KI entgegen. '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:KITA-Baustein-1_Chinesisches-Zimmer.pdf Baustein-Beschreibung], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Druckvorlage_KITA-Baustein-1_Chinesisches-Zimmer_Regelbuch.pdf Regelbuch], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Druckvorlage_KITA-Baustein-1_Chinesisches-Zimmer_Bildkarten.pdf Bildkarten], Karton und Bastelmaterial === KITA-Baustein 2: Sortieren === Bildkarten mit Raupen, Kokons und Schmetterlingen in verschiedenen Farben sind „durcheinandergeraten“ und sollen wieder sortiert werden. Ob nach Farbe, Form, Größe oder inhaltlichem Zusammenhang – die Kinder entscheiden selbst und begründen ihre Sortierung. Im Vergleich der Ergebnisse zeigt sich, dass es nicht nur eine richtige Lösung gibt und dass dieselbe Karte zu mehreren Gruppen passen kann. Damit machen die Kinder grundlegende Erfahrungen mit Klassifizieren und Kategorisieren. Zugleich bahnt der Baustein eine Idee des maschinellen Lernens an: Auch KI-Systeme gruppieren Daten nach Ähnlichkeiten – ohne zu verstehen, was sie bedeuten. '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:KITA-Baustein-2_Sortieren.pdf Baustein-Beschreibung], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Druckvorlage_KITA-Baustein-2_Sortieren.pdf Bildkarten] (möglichst ein Set pro Kind) === KITA-Baustein 3: Machine Learning und algorithmische Verzerrung === Die Fachkraft oder Lehrkraft zeigt einen Bildklassifizierer, der Raupen von Schmetterlingen und Kokons unterscheiden soll – und der bewusst „unfair“ trainiert wurde: Von den Raupen kennt er nur zwei sehr ähnliche Bilder. Gemeinsam untersuchen die Kinder, wo der Klassifizierer Fehler macht, und erkennen, dass es an den Trainingsdaten liegt. Mit den Bildkarten aus Baustein 2 verbessern sie das System, indem sie weitere Beispiele einlesen. In der Reflexion geht es um Verantwortung: Wer sorgt dafür, dass eine KI faire Daten bekommt? Und wo können solche Fehler für Menschen schlimme Folgen haben? Verwendet wird das kostenfreie Webwerkzeug ''Machine Learning for Kids'', das ohne Benutzerkonto auskommt. '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:KITA-Baustein-3_ML.pdf Baustein-Beschreibung], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Anleitung_KITA-Baustein-3_ML.pdf Anleitung zu Machine Learning for Kids], Tablet oder Laptop mit Kamera und Internetzugang, === KITA-Baustein 4: Sprachmodell === Gemeinsam erzählen die Kinder eine Geschichte weiter – wie ein Sprachmodell, Wort für Wort. Zu einem vorgegebenen Satzanfang schlagen sie zwei mögliche nächste Wörter vor, eine Münze entscheidet, welches genommen wird. Die Fachkraft oder Lehrkraft schreibt mit und liest die entstandene Geschichte am Ende vor. Die Kinder erleben so, dass Sprachmodelle Wörter mit Zufall auswählen und dass eine Münze nicht „weiß“, was die Geschichte erzählen soll. In der Reflexion wird deutlich, was Menschen beim Weitererzählen einbringen und eine Maschine nicht: Wissen über die Welt und darüber, worum es in einer Geschichte geht. Der Baustein knüpft an das Chinesische Zimmer an. '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:KITA-Baustein-4_LLM.pdf Baustein-Beschreibung], Münze == Lernbausteine ab Klasse 3/4 == === Suchmaschinen === ==== SE-Baustein 1: Algorithmus ==== Was ist eigentlich ein Algorithmus? Die Kinder erarbeiten eine kindgerechte Definition und prüfen an Beispielen aus dem Alltag, ob es sich um einen Algorithmus handelt. Dann falten sie ein quadratisches Papier nach einer Faltanleitung und entdecken dabei Dreiecke, Diagonalen und Mittelpunkt. Die Faltanleitung erweist sich als Algorithmus mit Eingabe (Papier), Verarbeitungsschritten und Ausgabe (Faltprodukt). Auch eine Suchmaschine arbeitet nach diesem Prinzip – mit der Suchanfrage als Eingabe und der Trefferliste als Ausgabe. Der entscheidende Unterschied, den die Reflexion herausarbeitet: Die Faltanleitung ist nachvollziehbar, der Algorithmus einer Suchmaschine nicht. '''Material:''' Baustein-Beschreibung, Arbeitsblatt Algorithmus, quadratisches Faltpapier, Infografik „So funktioniert die Internetsuche“ der Open Search Foundation <!-- DATEI: SE-Baustein-1_Algorithmus.pdf | AB-SE-Baustein-1_Algorithmus.pdf --> ==== SE-Baustein 2: Ranking ==== Wer entscheidet, was bei einer Suche oben steht? Die Kinder vergleichen mehrere Faltanleitungen für dasselbe Objekt, darunter eine mit Werbung. Zuerst erstellen sie ein eigenes Ranking (Personalisierung), dann ermitteln sie per Befragung und Häufigkeitstabelle das beliebteste Ergebnis der Klasse (Popularität). Was passiert, wenn die „Suchmaschine“ trotzdem die Anleitung mit Werbung auf Platz 1 setzt? Die Diskussion führt zu wirtschaftlichen Interessen und zu der Erkenntnis, dass Ranking-Algorithmen nicht neutral sind. Zum Schluss verbessern die Kinder selbst eine Anleitung nach einem Ziel, das sie festlegen, und begründen ihre Entscheidung: Menschen bestimmen, welche Ziele ein Algorithmus verfolgt. '''Material:''' Baustein-Beschreibung, Druckvorlage Faltanleitungen, Arbeitsblatt „Faltanleitungen ergänzen und verbessern“ <!-- DATEI: SE-Baustein-2_Ranking.pdf | Druckvorlage-SE-Baustein-2_Ranking.pdf | AB-SE-Baustein-2_Ranking.pdf --> ==== SE-Baustein 3: „Besser“ suchen ==== Suchmaschinen sind KI-Systeme, die aus einem Datensatz, einem Lernalgorithmus und einer Vorhersage bestehen. Am Beispiel der Autovervollständigung, die häufige frühere Suchanfragen vorschlägt, und des Rankings untersuchen die Kinder, wie diese Bestandteile zusammenwirken – und warum unfaire Daten zu verzerrten Ergebnissen führen können. Darauf aufbauend lernen sie Tipps für eine bewusstere Internetsuche kennen, etwa gezielte Suchbegriffe, ein kritischer Blick auf die ersten Treffer und alternative Suchmaschinen. Die Reflexion öffnet zudem die Frage, wem die Inhalte gehören, die eine Suchmaschine anzeigt. '''Material:''' Baustein-Beschreibung, digitales Gerät zur Demonstration einer Suchmaschine, ggf. Suchtipps der Open Search Foundation <!-- DATEI: SE-Baustein-3_besser_Suchen.pdf --> === Künstliche Intelligenz === ==== KI-Baustein 1: Machine Learning und algorithmische Verzerrung ==== Die Kinder untersuchen einen Bildklassifizierer, der Dreiecke und Vierecke unterscheiden soll. Er wurde bewusst „unfair“ trainiert: Die Vierecke im Trainingsdatensatz sind nur Rechtecke in derselben Lage, die Dreiecke dagegen vielfältig. Die Kinder finden heraus, warum der Klassifizierer bei Vierecken häufiger irrt, und verbessern ihn in Kleingruppen, indem sie selbst gezeichnete Figuren als neue Trainingsdaten hinzufügen. Dabei klassifizieren sie ebene Figuren nach ihren Eigenschaften und werten Daten aus. Die Reflexion verbindet das Experiment mit realen Fällen algorithmischer Verzerrung, etwa bei Gesichtserkennung oder Bewerbungsverfahren, und mit der Einsicht, dass Menschen über die Daten und Ziele von KI-Systemen entscheiden. '''Material:''' Baustein-Beschreibung, Arbeitsblatt, Infoseite zur Bedienung von Machine Learning for Kids, Tablets mit Stift und Internetzugang <!-- DATEI: KI-Baustein-1_ML.pdf | AB_KI-Baustein-1_ML.pdf | Infoseite_KI-Baustein-1_ML.pdf | Anleitung_KI-Baustein-1_ML.pdf --> ==== KI-Baustein 2: Ethische Matrizen ==== Wenn ein Algorithmus verändert wird, wer profitiert und wer nicht? Mit einer ethischen Matrix tragen die Kinder zusammen, wer an einem Produkt interessiert ist – etwa an einem Pfannkuchenrezept oder einer Faltanleitung – und welche Werte den einzelnen Beteiligten wichtig sind. Mit Holzwürfeln gewichten sie die Felder, sodass ein Würfelgebäude entsteht, das sie beschreiben und verändern. Beim Versuch, das „Rezept“ zu verbessern, stellen die Kinder fest, dass eine Verbesserung für die einen eine Verschlechterung für andere bedeuten kann. In der Reflexion wird die Matrix auf reale Systeme wie Suchmaschinen oder Chatbots übertragen: Wessen Werte wurden berücksichtigt? '''Material:''' Baustein-Beschreibung, Vorlage Ethische Matrix, Holzwürfel (Kantenlänge 2 cm) <!-- DATEI: KI-Baustein-2_Ethische-Matrix.pdf | Druckvorlage_KI-Baustein-2_Ethische-Matrix.pdf --> === Sprachmodelle (LLM) === ==== LLM-Baustein 1: Bigram-Modell ==== Wie erzeugt ein Sprachmodell Text? Die Kinder bauen ein einfaches Modell selbst: Sie zählen in einer kurzen Geschichte, welche Wörter am Satzanfang stehen und welche darauf folgen, halten die Häufigkeiten in Tabellen fest und „würfeln“ das nächste Wort mit passenden Zufallsgeneratoren wie platonischen Körpern oder einer Münze. Die App BIGRAM übernimmt das anschließend für ganze Sätze. Die entstehenden Texte klingen oft holprig, und Wörter, die nicht in der Geschichte vorkommen, kann das Modell nicht verarbeiten. So wird verständlich, warum KI-Chatbots als „stochastische Papageien“ bezeichnet werden und warum man ihre Antworten überprüfen sollte. '''Material:''' Baustein-Beschreibung, Arbeitsblatt, Zufallsgeneratoren (z. B. platonische Körper), App BIGRAM <!-- DATEI: LLM-Baustein-1_Bigram.pdf | AB-LLM-Baustein-1_Bigram.pdf --> ==== LLM-Baustein 2: Papier-GPT ==== Ohne Computer simulieren die Kinder, wie ein Sprachmodell einen Text fortsetzt. Eine Tabelle mit einem Satzanfang wandert von Gruppe zu Gruppe. Jede Gruppe sieht nur die letzten drei Wörter, schlägt zwei mögliche Fortsetzungen vor und lässt ein Wendeplättchen entscheiden, welches Wort übernommen wird. Am Ende wird der ganze Satz aufgefaltet und vorgelesen. Die Kinder erleben dabei Gleichwahrscheinlichkeit und Zufall als Auswahlprinzip und lernen zentrale Ideen von Sprachmodellen kennen: einen begrenzten Kontext und das zufällige Auswählen des nächsten Wortes. In der Reflexion vergleichen sie das Ergebnis mit dem Bigram-Modell und überlegen, welches Wissen ihnen selbst beim Finden passender Wörter geholfen hat. '''Material:''' Baustein-Beschreibung, Druckvorlage Papier-GPT, Wendeplättchen <!-- DATEI: LLM-Baustein-2_Papier-GPT.pdf | Druckvorlage_LLM-Baustein-2_Papier-GPT.pdf --> ==== LLM-Baustein 3: Fermi-Aufgabe zur Menge der Trainingsdaten ==== Warum schreiben große Sprachmodelle so viel bessere Texte als das selbst gebaute Bigram-Modell? Ein Grund ist die riesige Menge an Texten, aus denen sie lernen. In einer Fermi-Aufgabe machen die Kinder diese Menge greifbar: Wie hoch wäre ein Papierstapel, wenn man eine kurze Geschichte so oft ausdruckt, bis die Datenmenge erreicht ist? Höher als der Mount Everest? Dafür ermitteln sie Dateigrößen, rechnen Einheiten um, überschlagen mit großen Zahlen und prüfen ihr Ergebnis auf Plausibilität. Die Reflexion führt zu Fragen des Urheberrechts – Darf eine KI deine Geschichte ohne Erlaubnis nutzen? – und dazu, warum man den Antworten einer KI nicht blind vertrauen sollte. '''Material:''' Baustein-Beschreibung, Textdatei der Geschichte (zum Ermitteln der Dateigröße), ggf. zehn Ausdrucke auf 80-g-Papier <!-- DATEI: LLM-Baustein-3_Fermi-Aufgabe.pdf | Datei_LLM-Baustein-3 (Geschichte).docx --> == Weiterführende Literatur == * Platz, M. (2025). KI, Internetsuche und algorithmische Verzerrung. ''Mathematik differenziert'', 4/2025, 22–31. * Platz, M. (2025). Algorithmen, ethische Matrizen und Würfelbauwerke. In L. Schick, M. Platz & A. Lambert (Hrsg.), ''Beiträge zum Mathematikunterricht 2025'' (S. 357–360). WTM. * Platz, M. & Plote, C. (2025). KI und Ethik im Klassenzimmer. ''Mitteilungen der GDM'', 118, 6–13. * Platz, M. & Schick, L. (2025). Lernen über LLMs im Mathematikunterricht der Primarstufe. In L. Schick, M. Platz & A. Lambert (Hrsg.), ''Beiträge zum Mathematikunterricht 2025'' (S. 231–234). WTM. * Platz, M., Schorcht, S. & Frischemeier, D. (2025). Lernen mit und über KI: Wie funktionieren LLMs und welche Prompt-Techniken gibt es? In M. Platz, S. Schorcht & D. Frischemeier (Hrsg.), ''Künstliche Intelligenz in der Primarstufe'' (S. 109–130). WTM. <!-- Ggf. ergänzen: Platz (2026) zum LLM-Literacy-Framework (PriMaMedien 17) und Platz (2026) in mathematica didactica 49 --> == Lizenz und Rückmeldung == Die Lernbausteine stehen unter der Lizenz [https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.de CC BY-SA 4.0]. Sie dürfen kopiert, verändert und weitergegeben werden, wenn die Urheberin genannt wird und Bearbeitungen unter derselben Lizenz stehen. Ausgenommen sind Inhalte Dritter, die in den Dateien gesondert gekennzeichnet sind. Namensnennung: ''Lernbausteine KI'' von Melanie Platz, Universität des Saarlandes, Professur für Didaktik der Primarstufe – Schwerpunkt Mathematik, lizenziert unter CC BY-SA 4.0. Rückmeldungen, Erfahrungen aus dem Einsatz und Verbesserungsvorschläge sind willkommen – gern auf der Diskussionsseite. 84rowxv20amyw2d0ixep0z0tflstyah 1119092 1119090 2026-11-08T12:13:42Z Platzm 21125 /* SE-Baustein 1: Algorithmus */ 1119092 wikitext text/x-wiki =Lernbausteine zum Lernen über KI in KITA und Grundschule= Diese Seite stellt '''Lernbausteine zu Künstlicher Intelligenz (KI), Suchmaschinen und Sprachmodellen''' in zwei Reihen bereit: '''ab Kita''' (auch in den Klassen 1 und 2 einsetzbar) und '''ab Klasse 3/4'''. Die Bausteine wurden an der Professur für Didaktik der Primarstufe – Schwerpunkt Mathematik der Universität des Saarlandes entwickelt. ''Der Upload der Dateien erfolgt in Kürze.'' == Worum es geht == Kinder begegnen KI-Systemen früh: Sie stellen Sprachassistenten Fragen, sehen Vorschläge auf Videoplattformen und nutzen Suchmaschinen. Wie diese Systeme funktionieren, bleibt ihnen meist verborgen. Die Lernbausteine setzen hier an. Ihr Grundgedanke ist, dass Kinder die Funktionsweise von KI-Systemen mit Mathematik erschließen können, die sie ohnehin lernen: Sie zählen Häufigkeiten, ordnen und sortieren, vergleichen Daten, würfeln mit Zufallsgeneratoren und rechnen mit großen Zahlen. So wird nachvollziehbar, wie ein Sprachmodell das nächste Wort wählt, warum eine Suchmaschine Ergebnisse in eine bestimmte Reihenfolge bringt oder weshalb eine KI mit einseitigen Trainingsdaten unfair entscheidet. Die meisten Bausteine kommen ohne Computer aus (''Informatik unplugged''). Die Kinder handeln selbst: Sie falten, sortieren, würfeln, spielen einen Roboter oder trainieren einen einfachen Bildklassifizierer. Jeder Baustein endet mit einer Reflexion, in der das Erlebte auf reale Systeme wie Suchmaschinen oder KI-Chatbots übertragen wird. Dabei geht es nicht nur um Technik, sondern auch um Fragen wie: Wer entscheidet, was eine Suchmaschine zuerst anzeigt? Ist es fair, wenn ein Algorithmus geheim bleibt? Versteht ein Chatbot, was er schreibt? == Aufbau == Die Bausteine sind in zwei Reihen gegliedert: * '''Ab Kita''' (auch in den Klassen 1 und 2): sechs Bausteine – zwei Basis-Bausteine zu Algorithmen und Sortieralgorithmen sowie vier Bausteine zu regelbasierten Systemen, Sortieren nach Merkmalen, maschinellem Lernen und Sprachmodellen. * '''Ab Klasse 3/4:''' acht Bausteine in drei Strängen – Suchmaschinen, Künstliche Intelligenz und Sprachmodelle (LLM). Alle Bausteine sind gleich aufgebaut: ''Darum geht es'', Bezüge zu Mathematik und Informatik, Material, Durchführung, Reflexion und Literatur. Arbeitsblätter (AB) und Druckvorlagen liegen als eigene Dateien bei. {| class="wikitable" ! Baustein !! Kernidee !! Mathematik |- ! colspan="3" | Ab Kita (auch Klasse 1/2) |- | Basis-Baustein 1: NIM-Spiel || Eine Gewinnstrategie ist ein Algorithmus || Problemlösen, Zahlenreihe bis 10 |- | Basis-Baustein 2: Bubble Sort || Sortieralgorithmen und Ranking || Längen vergleichen, ordnen |- | KITA-Baustein 1: Chinesisches Zimmer || Eine Maschine folgt Regeln, ohne zu verstehen || Zuordnen, Würfelbilder erkennen |- | KITA-Baustein 2: Sortieren || Es gibt mehrere „richtige“ Sortierungen || Klassifizieren nach Merkmalen |- | KITA-Baustein 3: Machine Learning || Einseitige Trainingsdaten führen zu Fehlern || Mengen erfassen und vergleichen |- | KITA-Baustein 4: Sprachmodell || Wörter werden per Zufall ausgewählt || Münzwurf, Gleichwahrscheinlichkeit |- ! colspan="3" | Ab Klasse 3/4 |- | SE-Baustein 1: Algorithmus || Eingabe – Verarbeitung – Ausgabe || Geometrie: Falten |- | SE-Baustein 2: Ranking || Wer entscheidet, was oben steht? || Daten erheben, Häufigkeitstabelle |- | SE-Baustein 3: „Besser“ suchen || Datensatz – Lernalgorithmus – Vorhersage || Häufigkeiten und Vorhersage |- | KI-Baustein 1: Machine Learning || Algorithmische Verzerrung (Bias) || Ebene Figuren klassifizieren, Daten |- | KI-Baustein 2: Ethische Matrizen || Algorithmen betreffen viele Interessen || Würfelgebäude, Diagramme |- | LLM-Baustein 1: Bigram-Modell || Häufigkeit bestimmt Wahrscheinlichkeit || Häufigkeiten, platonische Körper |- | LLM-Baustein 2: Papier-GPT || Kontext und Zufall beim Textgenerieren || Münzwurf, Laplace-Experiment |- | LLM-Baustein 3: Fermi-Aufgabe || Die Menge der Trainingsdaten || Große Zahlen, Größen umrechnen |} == Hinweise zur Nutzung == Die Bausteine lassen sich einzeln einsetzen, bauen aber teilweise aufeinander auf. Sinnvoll sind folgende Abfolgen: * '''Ab Kita:''' Die Basis-Bausteine (NIM-Spiel, Bubble Sort) führen in Algorithmen ein und eignen sich als Einstieg. KITA-Baustein 2 (Sortieren) vor KITA-Baustein 3 (Machine Learning), da dieselben Bildkarten genutzt werden; Baustein 1 (Chinesisches Zimmer) und Baustein 4 (Sprachmodell) ergänzen sich in der Frage, ob eine Maschine versteht, was sie tut. * '''Ab Klasse 3/4:''' Der Algorithmusbegriff aus SE-Baustein 1 bildet die Grundlage für die übrigen Bausteine; auch die Bausteine ab Kita, besonders das NIM-Spiel, eignen sich hier als Einstieg. Die Suchmaschinen-Bausteine 1 bis 3 und die LLM-Bausteine 1 bis 3 sind jeweils als Reihe gedacht. KI-Baustein 2 greift die Faltanleitungen aus SE-Baustein 2 auf. Für die Durchführung sind keine Programmierkenntnisse nötig. Zwei Bausteine nutzen frei zugängliche Webanwendungen: ''Machine Learning for Kids'' (KI-Baustein 1, KITA-Baustein 3; ohne Benutzerkonto nutzbar, die Daten bleiben im Browser) und die App ''BIGRAM'' (LLM-Baustein 1). == Lernbausteine ab Kita == Die Bausteine wurden für die Kita entwickelt und lassen sich auch in den Klassen 1 und 2 einsetzen. === Basis-Baustein 1: NIM-Spiel und Algorithmen === Zwei Kinder legen abwechselnd ein oder zwei Plättchen auf einen Spielplan mit zehn Feldern; wer das zehnte Feld belegt, gewinnt. Schnell wird klar: Das ist kein Glücksspiel. Die Kinder stellen Vermutungen über Gewinnstrategien auf, probieren sie aus und entdecken dabei schrittweise „Gewinnfelder“. Eine solche Gewinnstrategie ist ein Algorithmus – eine eindeutige, ausführbare Abfolge von Schritten. In der Reflexion wird der Bogen zu den unsichtbaren Algorithmen digitaler Plattformen geschlagen: Ist es fair, wenn nur einer die Strategie kennt? Und wer sollte entscheiden dürfen, ob ein Algorithmus geheim bleibt? '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Basis-Baustein-1_NIM-Spiel.pdf Baustein-Beschreibung], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Druckvorlage_Basis-Baustein-1_NIM-Spiel.pdf Spielplan], blaue und rote Plättchen === Basis-Baustein 2: Bubble Sort und Ranking von Suchmaschinen === Die Kinder werden selbst zum Sortieralgorithmus: Jedes Kind hält einen Stab und stellt sich auf eine Linie. Nach einer festen Regel vergleichen jeweils zwei Nachbarn ihre Stäbe und tauschen bei Bedarf die Plätze, bis alle der Länge nach geordnet sind. Durch Wiederholen mit anderen Startpositionen überzeugen sie sich davon, dass das Verfahren immer funktioniert. Als Erweiterung kann nach einem Kriterium sortiert werden, das die Kinder nicht kennen – so wie Suchmaschinen ihre Ergebnisse nach Kriterien ordnen, die nicht offenliegen. Die Kinder stellen Vermutungen über das Sortierkriterium an und kommen so ins Gespräch über Popularität und Personalisierung beim Ranking. '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Basis-Baustein-2_Bubble-Sort.pdf Baustein-Beschreibung], verschieden lange Stäbe (z. B. Cuisenaire-Stäbe), Klebeband für eine Bodenmarkierung === KITA-Baustein 1: Chinesisches Zimmer === Ein Kind sitzt in einem selbst gebastelten Karton-Roboter. Durch einen Schlitz bekommt es Würfelbilder hineingereicht und gibt mithilfe eines Regelbuchs die passende Schmetterlingskarte heraus – ohne zu wissen, wozu. Das Spiel greift das Gedankenexperiment des „Chinesischen Zimmers“ von John Searle auf: Von außen wirkt die Antwort passend, obwohl drinnen niemand versteht, worum es geht. Die Kinder üben dabei Zuordnung und das Erkennen von Würfelbildern und erleben das Prinzip Eingabe – Verarbeitung – Ausgabe. In der Reflexion sprechen sie darüber, wie es sich anfühlt, „mechanisch“ zu antworten, und ob ein Roboter – oder eine KI – wirklich nachdenkt oder fühlt. Der Baustein wirkt so der Vermenschlichung von KI entgegen. '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:KITA-Baustein-1_Chinesisches-Zimmer.pdf Baustein-Beschreibung], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Druckvorlage_KITA-Baustein-1_Chinesisches-Zimmer_Regelbuch.pdf Regelbuch], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Druckvorlage_KITA-Baustein-1_Chinesisches-Zimmer_Bildkarten.pdf Bildkarten], Karton und Bastelmaterial === KITA-Baustein 2: Sortieren === Bildkarten mit Raupen, Kokons und Schmetterlingen in verschiedenen Farben sind „durcheinandergeraten“ und sollen wieder sortiert werden. Ob nach Farbe, Form, Größe oder inhaltlichem Zusammenhang – die Kinder entscheiden selbst und begründen ihre Sortierung. Im Vergleich der Ergebnisse zeigt sich, dass es nicht nur eine richtige Lösung gibt und dass dieselbe Karte zu mehreren Gruppen passen kann. Damit machen die Kinder grundlegende Erfahrungen mit Klassifizieren und Kategorisieren. Zugleich bahnt der Baustein eine Idee des maschinellen Lernens an: Auch KI-Systeme gruppieren Daten nach Ähnlichkeiten – ohne zu verstehen, was sie bedeuten. '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:KITA-Baustein-2_Sortieren.pdf Baustein-Beschreibung], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Druckvorlage_KITA-Baustein-2_Sortieren.pdf Bildkarten] (möglichst ein Set pro Kind) === KITA-Baustein 3: Machine Learning und algorithmische Verzerrung === Die Fachkraft oder Lehrkraft zeigt einen Bildklassifizierer, der Raupen von Schmetterlingen und Kokons unterscheiden soll – und der bewusst „unfair“ trainiert wurde: Von den Raupen kennt er nur zwei sehr ähnliche Bilder. Gemeinsam untersuchen die Kinder, wo der Klassifizierer Fehler macht, und erkennen, dass es an den Trainingsdaten liegt. Mit den Bildkarten aus Baustein 2 verbessern sie das System, indem sie weitere Beispiele einlesen. In der Reflexion geht es um Verantwortung: Wer sorgt dafür, dass eine KI faire Daten bekommt? Und wo können solche Fehler für Menschen schlimme Folgen haben? Verwendet wird das kostenfreie Webwerkzeug ''Machine Learning for Kids'', das ohne Benutzerkonto auskommt. '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:KITA-Baustein-3_ML.pdf Baustein-Beschreibung], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Anleitung_KITA-Baustein-3_ML.pdf Anleitung zu Machine Learning for Kids], Tablet oder Laptop mit Kamera und Internetzugang, === KITA-Baustein 4: Sprachmodell === Gemeinsam erzählen die Kinder eine Geschichte weiter – wie ein Sprachmodell, Wort für Wort. Zu einem vorgegebenen Satzanfang schlagen sie zwei mögliche nächste Wörter vor, eine Münze entscheidet, welches genommen wird. Die Fachkraft oder Lehrkraft schreibt mit und liest die entstandene Geschichte am Ende vor. Die Kinder erleben so, dass Sprachmodelle Wörter mit Zufall auswählen und dass eine Münze nicht „weiß“, was die Geschichte erzählen soll. In der Reflexion wird deutlich, was Menschen beim Weitererzählen einbringen und eine Maschine nicht: Wissen über die Welt und darüber, worum es in einer Geschichte geht. Der Baustein knüpft an das Chinesische Zimmer an. '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:KITA-Baustein-4_LLM.pdf Baustein-Beschreibung], Münze == Lernbausteine ab Klasse 3/4 == === Suchmaschinen === ==== SE-Baustein 1: Algorithmus ==== Was ist eigentlich ein Algorithmus? Die Kinder erarbeiten eine kindgerechte Definition und prüfen an Beispielen aus dem Alltag, ob es sich um einen Algorithmus handelt. Dann falten sie ein quadratisches Papier nach einer Faltanleitung und entdecken dabei Dreiecke, Diagonalen und Mittelpunkt. Die Faltanleitung erweist sich als Algorithmus mit Eingabe (Papier), Verarbeitungsschritten und Ausgabe (Faltprodukt). Auch eine Suchmaschine arbeitet nach diesem Prinzip – mit der Suchanfrage als Eingabe und der Trefferliste als Ausgabe. Der entscheidende Unterschied, den die Reflexion herausarbeitet: Die Faltanleitung ist nachvollziehbar, der Algorithmus einer Suchmaschine nicht. '''Material:''' Baustein-Beschreibung, Arbeitsblatt Algorithmus, quadratisches Faltpapier, [https://opensearchfoundation.org/wp-content/uploads/2022/10/So-funktioniert-die-Internetsuche.pdf Infografik „So funktioniert die Internetsuche“ der Open Search Foundation] ==== SE-Baustein 2: Ranking ==== Wer entscheidet, was bei einer Suche oben steht? Die Kinder vergleichen mehrere Faltanleitungen für dasselbe Objekt, darunter eine mit Werbung. Zuerst erstellen sie ein eigenes Ranking (Personalisierung), dann ermitteln sie per Befragung und Häufigkeitstabelle das beliebteste Ergebnis der Klasse (Popularität). Was passiert, wenn die „Suchmaschine“ trotzdem die Anleitung mit Werbung auf Platz 1 setzt? Die Diskussion führt zu wirtschaftlichen Interessen und zu der Erkenntnis, dass Ranking-Algorithmen nicht neutral sind. Zum Schluss verbessern die Kinder selbst eine Anleitung nach einem Ziel, das sie festlegen, und begründen ihre Entscheidung: Menschen bestimmen, welche Ziele ein Algorithmus verfolgt. '''Material:''' Baustein-Beschreibung, Druckvorlage Faltanleitungen, Arbeitsblatt „Faltanleitungen ergänzen und verbessern“ <!-- DATEI: SE-Baustein-2_Ranking.pdf | Druckvorlage-SE-Baustein-2_Ranking.pdf | AB-SE-Baustein-2_Ranking.pdf --> ==== SE-Baustein 3: „Besser“ suchen ==== Suchmaschinen sind KI-Systeme, die aus einem Datensatz, einem Lernalgorithmus und einer Vorhersage bestehen. Am Beispiel der Autovervollständigung, die häufige frühere Suchanfragen vorschlägt, und des Rankings untersuchen die Kinder, wie diese Bestandteile zusammenwirken – und warum unfaire Daten zu verzerrten Ergebnissen führen können. Darauf aufbauend lernen sie Tipps für eine bewusstere Internetsuche kennen, etwa gezielte Suchbegriffe, ein kritischer Blick auf die ersten Treffer und alternative Suchmaschinen. Die Reflexion öffnet zudem die Frage, wem die Inhalte gehören, die eine Suchmaschine anzeigt. '''Material:''' Baustein-Beschreibung, digitales Gerät zur Demonstration einer Suchmaschine, ggf. Suchtipps der Open Search Foundation <!-- DATEI: SE-Baustein-3_besser_Suchen.pdf --> === Künstliche Intelligenz === ==== KI-Baustein 1: Machine Learning und algorithmische Verzerrung ==== Die Kinder untersuchen einen Bildklassifizierer, der Dreiecke und Vierecke unterscheiden soll. Er wurde bewusst „unfair“ trainiert: Die Vierecke im Trainingsdatensatz sind nur Rechtecke in derselben Lage, die Dreiecke dagegen vielfältig. Die Kinder finden heraus, warum der Klassifizierer bei Vierecken häufiger irrt, und verbessern ihn in Kleingruppen, indem sie selbst gezeichnete Figuren als neue Trainingsdaten hinzufügen. Dabei klassifizieren sie ebene Figuren nach ihren Eigenschaften und werten Daten aus. Die Reflexion verbindet das Experiment mit realen Fällen algorithmischer Verzerrung, etwa bei Gesichtserkennung oder Bewerbungsverfahren, und mit der Einsicht, dass Menschen über die Daten und Ziele von KI-Systemen entscheiden. '''Material:''' Baustein-Beschreibung, Arbeitsblatt, Infoseite zur Bedienung von Machine Learning for Kids, Tablets mit Stift und Internetzugang <!-- DATEI: KI-Baustein-1_ML.pdf | AB_KI-Baustein-1_ML.pdf | Infoseite_KI-Baustein-1_ML.pdf | Anleitung_KI-Baustein-1_ML.pdf --> ==== KI-Baustein 2: Ethische Matrizen ==== Wenn ein Algorithmus verändert wird, wer profitiert und wer nicht? Mit einer ethischen Matrix tragen die Kinder zusammen, wer an einem Produkt interessiert ist – etwa an einem Pfannkuchenrezept oder einer Faltanleitung – und welche Werte den einzelnen Beteiligten wichtig sind. Mit Holzwürfeln gewichten sie die Felder, sodass ein Würfelgebäude entsteht, das sie beschreiben und verändern. Beim Versuch, das „Rezept“ zu verbessern, stellen die Kinder fest, dass eine Verbesserung für die einen eine Verschlechterung für andere bedeuten kann. In der Reflexion wird die Matrix auf reale Systeme wie Suchmaschinen oder Chatbots übertragen: Wessen Werte wurden berücksichtigt? '''Material:''' Baustein-Beschreibung, Vorlage Ethische Matrix, Holzwürfel (Kantenlänge 2 cm) <!-- DATEI: KI-Baustein-2_Ethische-Matrix.pdf | Druckvorlage_KI-Baustein-2_Ethische-Matrix.pdf --> === Sprachmodelle (LLM) === ==== LLM-Baustein 1: Bigram-Modell ==== Wie erzeugt ein Sprachmodell Text? Die Kinder bauen ein einfaches Modell selbst: Sie zählen in einer kurzen Geschichte, welche Wörter am Satzanfang stehen und welche darauf folgen, halten die Häufigkeiten in Tabellen fest und „würfeln“ das nächste Wort mit passenden Zufallsgeneratoren wie platonischen Körpern oder einer Münze. Die App BIGRAM übernimmt das anschließend für ganze Sätze. Die entstehenden Texte klingen oft holprig, und Wörter, die nicht in der Geschichte vorkommen, kann das Modell nicht verarbeiten. So wird verständlich, warum KI-Chatbots als „stochastische Papageien“ bezeichnet werden und warum man ihre Antworten überprüfen sollte. '''Material:''' Baustein-Beschreibung, Arbeitsblatt, Zufallsgeneratoren (z. B. platonische Körper), App BIGRAM <!-- DATEI: LLM-Baustein-1_Bigram.pdf | AB-LLM-Baustein-1_Bigram.pdf --> ==== LLM-Baustein 2: Papier-GPT ==== Ohne Computer simulieren die Kinder, wie ein Sprachmodell einen Text fortsetzt. Eine Tabelle mit einem Satzanfang wandert von Gruppe zu Gruppe. Jede Gruppe sieht nur die letzten drei Wörter, schlägt zwei mögliche Fortsetzungen vor und lässt ein Wendeplättchen entscheiden, welches Wort übernommen wird. Am Ende wird der ganze Satz aufgefaltet und vorgelesen. Die Kinder erleben dabei Gleichwahrscheinlichkeit und Zufall als Auswahlprinzip und lernen zentrale Ideen von Sprachmodellen kennen: einen begrenzten Kontext und das zufällige Auswählen des nächsten Wortes. In der Reflexion vergleichen sie das Ergebnis mit dem Bigram-Modell und überlegen, welches Wissen ihnen selbst beim Finden passender Wörter geholfen hat. '''Material:''' Baustein-Beschreibung, Druckvorlage Papier-GPT, Wendeplättchen <!-- DATEI: LLM-Baustein-2_Papier-GPT.pdf | Druckvorlage_LLM-Baustein-2_Papier-GPT.pdf --> ==== LLM-Baustein 3: Fermi-Aufgabe zur Menge der Trainingsdaten ==== Warum schreiben große Sprachmodelle so viel bessere Texte als das selbst gebaute Bigram-Modell? Ein Grund ist die riesige Menge an Texten, aus denen sie lernen. In einer Fermi-Aufgabe machen die Kinder diese Menge greifbar: Wie hoch wäre ein Papierstapel, wenn man eine kurze Geschichte so oft ausdruckt, bis die Datenmenge erreicht ist? Höher als der Mount Everest? Dafür ermitteln sie Dateigrößen, rechnen Einheiten um, überschlagen mit großen Zahlen und prüfen ihr Ergebnis auf Plausibilität. Die Reflexion führt zu Fragen des Urheberrechts – Darf eine KI deine Geschichte ohne Erlaubnis nutzen? – und dazu, warum man den Antworten einer KI nicht blind vertrauen sollte. '''Material:''' Baustein-Beschreibung, Textdatei der Geschichte (zum Ermitteln der Dateigröße), ggf. zehn Ausdrucke auf 80-g-Papier <!-- DATEI: LLM-Baustein-3_Fermi-Aufgabe.pdf | Datei_LLM-Baustein-3 (Geschichte).docx --> == Weiterführende Literatur == * Platz, M. (2025). KI, Internetsuche und algorithmische Verzerrung. ''Mathematik differenziert'', 4/2025, 22–31. * Platz, M. (2025). Algorithmen, ethische Matrizen und Würfelbauwerke. In L. Schick, M. Platz & A. Lambert (Hrsg.), ''Beiträge zum Mathematikunterricht 2025'' (S. 357–360). WTM. * Platz, M. & Plote, C. (2025). KI und Ethik im Klassenzimmer. ''Mitteilungen der GDM'', 118, 6–13. * Platz, M. & Schick, L. (2025). Lernen über LLMs im Mathematikunterricht der Primarstufe. In L. Schick, M. Platz & A. Lambert (Hrsg.), ''Beiträge zum Mathematikunterricht 2025'' (S. 231–234). WTM. * Platz, M., Schorcht, S. & Frischemeier, D. (2025). Lernen mit und über KI: Wie funktionieren LLMs und welche Prompt-Techniken gibt es? In M. Platz, S. Schorcht & D. Frischemeier (Hrsg.), ''Künstliche Intelligenz in der Primarstufe'' (S. 109–130). WTM. <!-- Ggf. ergänzen: Platz (2026) zum LLM-Literacy-Framework (PriMaMedien 17) und Platz (2026) in mathematica didactica 49 --> == Lizenz und Rückmeldung == Die Lernbausteine stehen unter der Lizenz [https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.de CC BY-SA 4.0]. Sie dürfen kopiert, verändert und weitergegeben werden, wenn die Urheberin genannt wird und Bearbeitungen unter derselben Lizenz stehen. Ausgenommen sind Inhalte Dritter, die in den Dateien gesondert gekennzeichnet sind. Namensnennung: ''Lernbausteine KI'' von Melanie Platz, Universität des Saarlandes, Professur für Didaktik der Primarstufe – Schwerpunkt Mathematik, lizenziert unter CC BY-SA 4.0. Rückmeldungen, Erfahrungen aus dem Einsatz und Verbesserungsvorschläge sind willkommen – gern auf der Diskussionsseite. 7o0nphzh6fcptlyrjdqgrum9vsmneht 1119093 1119092 2026-11-08T12:16:38Z Platzm 21125 /* SE-Baustein 3: „Besser“ suchen */ 1119093 wikitext text/x-wiki =Lernbausteine zum Lernen über KI in KITA und Grundschule= Diese Seite stellt '''Lernbausteine zu Künstlicher Intelligenz (KI), Suchmaschinen und Sprachmodellen''' in zwei Reihen bereit: '''ab Kita''' (auch in den Klassen 1 und 2 einsetzbar) und '''ab Klasse 3/4'''. Die Bausteine wurden an der Professur für Didaktik der Primarstufe – Schwerpunkt Mathematik der Universität des Saarlandes entwickelt. ''Der Upload der Dateien erfolgt in Kürze.'' == Worum es geht == Kinder begegnen KI-Systemen früh: Sie stellen Sprachassistenten Fragen, sehen Vorschläge auf Videoplattformen und nutzen Suchmaschinen. Wie diese Systeme funktionieren, bleibt ihnen meist verborgen. Die Lernbausteine setzen hier an. Ihr Grundgedanke ist, dass Kinder die Funktionsweise von KI-Systemen mit Mathematik erschließen können, die sie ohnehin lernen: Sie zählen Häufigkeiten, ordnen und sortieren, vergleichen Daten, würfeln mit Zufallsgeneratoren und rechnen mit großen Zahlen. So wird nachvollziehbar, wie ein Sprachmodell das nächste Wort wählt, warum eine Suchmaschine Ergebnisse in eine bestimmte Reihenfolge bringt oder weshalb eine KI mit einseitigen Trainingsdaten unfair entscheidet. Die meisten Bausteine kommen ohne Computer aus (''Informatik unplugged''). Die Kinder handeln selbst: Sie falten, sortieren, würfeln, spielen einen Roboter oder trainieren einen einfachen Bildklassifizierer. Jeder Baustein endet mit einer Reflexion, in der das Erlebte auf reale Systeme wie Suchmaschinen oder KI-Chatbots übertragen wird. Dabei geht es nicht nur um Technik, sondern auch um Fragen wie: Wer entscheidet, was eine Suchmaschine zuerst anzeigt? Ist es fair, wenn ein Algorithmus geheim bleibt? Versteht ein Chatbot, was er schreibt? == Aufbau == Die Bausteine sind in zwei Reihen gegliedert: * '''Ab Kita''' (auch in den Klassen 1 und 2): sechs Bausteine – zwei Basis-Bausteine zu Algorithmen und Sortieralgorithmen sowie vier Bausteine zu regelbasierten Systemen, Sortieren nach Merkmalen, maschinellem Lernen und Sprachmodellen. * '''Ab Klasse 3/4:''' acht Bausteine in drei Strängen – Suchmaschinen, Künstliche Intelligenz und Sprachmodelle (LLM). Alle Bausteine sind gleich aufgebaut: ''Darum geht es'', Bezüge zu Mathematik und Informatik, Material, Durchführung, Reflexion und Literatur. Arbeitsblätter (AB) und Druckvorlagen liegen als eigene Dateien bei. {| class="wikitable" ! Baustein !! Kernidee !! Mathematik |- ! colspan="3" | Ab Kita (auch Klasse 1/2) |- | Basis-Baustein 1: NIM-Spiel || Eine Gewinnstrategie ist ein Algorithmus || Problemlösen, Zahlenreihe bis 10 |- | Basis-Baustein 2: Bubble Sort || Sortieralgorithmen und Ranking || Längen vergleichen, ordnen |- | KITA-Baustein 1: Chinesisches Zimmer || Eine Maschine folgt Regeln, ohne zu verstehen || Zuordnen, Würfelbilder erkennen |- | KITA-Baustein 2: Sortieren || Es gibt mehrere „richtige“ Sortierungen || Klassifizieren nach Merkmalen |- | KITA-Baustein 3: Machine Learning || Einseitige Trainingsdaten führen zu Fehlern || Mengen erfassen und vergleichen |- | KITA-Baustein 4: Sprachmodell || Wörter werden per Zufall ausgewählt || Münzwurf, Gleichwahrscheinlichkeit |- ! colspan="3" | Ab Klasse 3/4 |- | SE-Baustein 1: Algorithmus || Eingabe – Verarbeitung – Ausgabe || Geometrie: Falten |- | SE-Baustein 2: Ranking || Wer entscheidet, was oben steht? || Daten erheben, Häufigkeitstabelle |- | SE-Baustein 3: „Besser“ suchen || Datensatz – Lernalgorithmus – Vorhersage || Häufigkeiten und Vorhersage |- | KI-Baustein 1: Machine Learning || Algorithmische Verzerrung (Bias) || Ebene Figuren klassifizieren, Daten |- | KI-Baustein 2: Ethische Matrizen || Algorithmen betreffen viele Interessen || Würfelgebäude, Diagramme |- | LLM-Baustein 1: Bigram-Modell || Häufigkeit bestimmt Wahrscheinlichkeit || Häufigkeiten, platonische Körper |- | LLM-Baustein 2: Papier-GPT || Kontext und Zufall beim Textgenerieren || Münzwurf, Laplace-Experiment |- | LLM-Baustein 3: Fermi-Aufgabe || Die Menge der Trainingsdaten || Große Zahlen, Größen umrechnen |} == Hinweise zur Nutzung == Die Bausteine lassen sich einzeln einsetzen, bauen aber teilweise aufeinander auf. Sinnvoll sind folgende Abfolgen: * '''Ab Kita:''' Die Basis-Bausteine (NIM-Spiel, Bubble Sort) führen in Algorithmen ein und eignen sich als Einstieg. KITA-Baustein 2 (Sortieren) vor KITA-Baustein 3 (Machine Learning), da dieselben Bildkarten genutzt werden; Baustein 1 (Chinesisches Zimmer) und Baustein 4 (Sprachmodell) ergänzen sich in der Frage, ob eine Maschine versteht, was sie tut. * '''Ab Klasse 3/4:''' Der Algorithmusbegriff aus SE-Baustein 1 bildet die Grundlage für die übrigen Bausteine; auch die Bausteine ab Kita, besonders das NIM-Spiel, eignen sich hier als Einstieg. Die Suchmaschinen-Bausteine 1 bis 3 und die LLM-Bausteine 1 bis 3 sind jeweils als Reihe gedacht. KI-Baustein 2 greift die Faltanleitungen aus SE-Baustein 2 auf. Für die Durchführung sind keine Programmierkenntnisse nötig. Zwei Bausteine nutzen frei zugängliche Webanwendungen: ''Machine Learning for Kids'' (KI-Baustein 1, KITA-Baustein 3; ohne Benutzerkonto nutzbar, die Daten bleiben im Browser) und die App ''BIGRAM'' (LLM-Baustein 1). == Lernbausteine ab Kita == Die Bausteine wurden für die Kita entwickelt und lassen sich auch in den Klassen 1 und 2 einsetzen. === Basis-Baustein 1: NIM-Spiel und Algorithmen === Zwei Kinder legen abwechselnd ein oder zwei Plättchen auf einen Spielplan mit zehn Feldern; wer das zehnte Feld belegt, gewinnt. Schnell wird klar: Das ist kein Glücksspiel. Die Kinder stellen Vermutungen über Gewinnstrategien auf, probieren sie aus und entdecken dabei schrittweise „Gewinnfelder“. Eine solche Gewinnstrategie ist ein Algorithmus – eine eindeutige, ausführbare Abfolge von Schritten. In der Reflexion wird der Bogen zu den unsichtbaren Algorithmen digitaler Plattformen geschlagen: Ist es fair, wenn nur einer die Strategie kennt? Und wer sollte entscheiden dürfen, ob ein Algorithmus geheim bleibt? '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Basis-Baustein-1_NIM-Spiel.pdf Baustein-Beschreibung], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Druckvorlage_Basis-Baustein-1_NIM-Spiel.pdf Spielplan], blaue und rote Plättchen === Basis-Baustein 2: Bubble Sort und Ranking von Suchmaschinen === Die Kinder werden selbst zum Sortieralgorithmus: Jedes Kind hält einen Stab und stellt sich auf eine Linie. Nach einer festen Regel vergleichen jeweils zwei Nachbarn ihre Stäbe und tauschen bei Bedarf die Plätze, bis alle der Länge nach geordnet sind. Durch Wiederholen mit anderen Startpositionen überzeugen sie sich davon, dass das Verfahren immer funktioniert. Als Erweiterung kann nach einem Kriterium sortiert werden, das die Kinder nicht kennen – so wie Suchmaschinen ihre Ergebnisse nach Kriterien ordnen, die nicht offenliegen. Die Kinder stellen Vermutungen über das Sortierkriterium an und kommen so ins Gespräch über Popularität und Personalisierung beim Ranking. '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Basis-Baustein-2_Bubble-Sort.pdf Baustein-Beschreibung], verschieden lange Stäbe (z. B. Cuisenaire-Stäbe), Klebeband für eine Bodenmarkierung === KITA-Baustein 1: Chinesisches Zimmer === Ein Kind sitzt in einem selbst gebastelten Karton-Roboter. Durch einen Schlitz bekommt es Würfelbilder hineingereicht und gibt mithilfe eines Regelbuchs die passende Schmetterlingskarte heraus – ohne zu wissen, wozu. Das Spiel greift das Gedankenexperiment des „Chinesischen Zimmers“ von John Searle auf: Von außen wirkt die Antwort passend, obwohl drinnen niemand versteht, worum es geht. Die Kinder üben dabei Zuordnung und das Erkennen von Würfelbildern und erleben das Prinzip Eingabe – Verarbeitung – Ausgabe. In der Reflexion sprechen sie darüber, wie es sich anfühlt, „mechanisch“ zu antworten, und ob ein Roboter – oder eine KI – wirklich nachdenkt oder fühlt. Der Baustein wirkt so der Vermenschlichung von KI entgegen. '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:KITA-Baustein-1_Chinesisches-Zimmer.pdf Baustein-Beschreibung], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Druckvorlage_KITA-Baustein-1_Chinesisches-Zimmer_Regelbuch.pdf Regelbuch], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Druckvorlage_KITA-Baustein-1_Chinesisches-Zimmer_Bildkarten.pdf Bildkarten], Karton und Bastelmaterial === KITA-Baustein 2: Sortieren === Bildkarten mit Raupen, Kokons und Schmetterlingen in verschiedenen Farben sind „durcheinandergeraten“ und sollen wieder sortiert werden. Ob nach Farbe, Form, Größe oder inhaltlichem Zusammenhang – die Kinder entscheiden selbst und begründen ihre Sortierung. Im Vergleich der Ergebnisse zeigt sich, dass es nicht nur eine richtige Lösung gibt und dass dieselbe Karte zu mehreren Gruppen passen kann. Damit machen die Kinder grundlegende Erfahrungen mit Klassifizieren und Kategorisieren. Zugleich bahnt der Baustein eine Idee des maschinellen Lernens an: Auch KI-Systeme gruppieren Daten nach Ähnlichkeiten – ohne zu verstehen, was sie bedeuten. '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:KITA-Baustein-2_Sortieren.pdf Baustein-Beschreibung], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Druckvorlage_KITA-Baustein-2_Sortieren.pdf Bildkarten] (möglichst ein Set pro Kind) === KITA-Baustein 3: Machine Learning und algorithmische Verzerrung === Die Fachkraft oder Lehrkraft zeigt einen Bildklassifizierer, der Raupen von Schmetterlingen und Kokons unterscheiden soll – und der bewusst „unfair“ trainiert wurde: Von den Raupen kennt er nur zwei sehr ähnliche Bilder. Gemeinsam untersuchen die Kinder, wo der Klassifizierer Fehler macht, und erkennen, dass es an den Trainingsdaten liegt. Mit den Bildkarten aus Baustein 2 verbessern sie das System, indem sie weitere Beispiele einlesen. In der Reflexion geht es um Verantwortung: Wer sorgt dafür, dass eine KI faire Daten bekommt? Und wo können solche Fehler für Menschen schlimme Folgen haben? Verwendet wird das kostenfreie Webwerkzeug ''Machine Learning for Kids'', das ohne Benutzerkonto auskommt. '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:KITA-Baustein-3_ML.pdf Baustein-Beschreibung], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Anleitung_KITA-Baustein-3_ML.pdf Anleitung zu Machine Learning for Kids], Tablet oder Laptop mit Kamera und Internetzugang, === KITA-Baustein 4: Sprachmodell === Gemeinsam erzählen die Kinder eine Geschichte weiter – wie ein Sprachmodell, Wort für Wort. Zu einem vorgegebenen Satzanfang schlagen sie zwei mögliche nächste Wörter vor, eine Münze entscheidet, welches genommen wird. Die Fachkraft oder Lehrkraft schreibt mit und liest die entstandene Geschichte am Ende vor. Die Kinder erleben so, dass Sprachmodelle Wörter mit Zufall auswählen und dass eine Münze nicht „weiß“, was die Geschichte erzählen soll. In der Reflexion wird deutlich, was Menschen beim Weitererzählen einbringen und eine Maschine nicht: Wissen über die Welt und darüber, worum es in einer Geschichte geht. Der Baustein knüpft an das Chinesische Zimmer an. '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:KITA-Baustein-4_LLM.pdf Baustein-Beschreibung], Münze == Lernbausteine ab Klasse 3/4 == === Suchmaschinen === ==== SE-Baustein 1: Algorithmus ==== Was ist eigentlich ein Algorithmus? Die Kinder erarbeiten eine kindgerechte Definition und prüfen an Beispielen aus dem Alltag, ob es sich um einen Algorithmus handelt. Dann falten sie ein quadratisches Papier nach einer Faltanleitung und entdecken dabei Dreiecke, Diagonalen und Mittelpunkt. Die Faltanleitung erweist sich als Algorithmus mit Eingabe (Papier), Verarbeitungsschritten und Ausgabe (Faltprodukt). Auch eine Suchmaschine arbeitet nach diesem Prinzip – mit der Suchanfrage als Eingabe und der Trefferliste als Ausgabe. Der entscheidende Unterschied, den die Reflexion herausarbeitet: Die Faltanleitung ist nachvollziehbar, der Algorithmus einer Suchmaschine nicht. '''Material:''' Baustein-Beschreibung, Arbeitsblatt Algorithmus, quadratisches Faltpapier, [https://opensearchfoundation.org/wp-content/uploads/2022/10/So-funktioniert-die-Internetsuche.pdf Infografik „So funktioniert die Internetsuche“ der Open Search Foundation] ==== SE-Baustein 2: Ranking ==== Wer entscheidet, was bei einer Suche oben steht? Die Kinder vergleichen mehrere Faltanleitungen für dasselbe Objekt, darunter eine mit Werbung. Zuerst erstellen sie ein eigenes Ranking (Personalisierung), dann ermitteln sie per Befragung und Häufigkeitstabelle das beliebteste Ergebnis der Klasse (Popularität). Was passiert, wenn die „Suchmaschine“ trotzdem die Anleitung mit Werbung auf Platz 1 setzt? Die Diskussion führt zu wirtschaftlichen Interessen und zu der Erkenntnis, dass Ranking-Algorithmen nicht neutral sind. Zum Schluss verbessern die Kinder selbst eine Anleitung nach einem Ziel, das sie festlegen, und begründen ihre Entscheidung: Menschen bestimmen, welche Ziele ein Algorithmus verfolgt. '''Material:''' Baustein-Beschreibung, Druckvorlage Faltanleitungen, Arbeitsblatt „Faltanleitungen ergänzen und verbessern“ <!-- DATEI: SE-Baustein-2_Ranking.pdf | Druckvorlage-SE-Baustein-2_Ranking.pdf | AB-SE-Baustein-2_Ranking.pdf --> ==== SE-Baustein 3: „Besser“ suchen ==== Suchmaschinen sind KI-Systeme, die aus einem Datensatz, einem Lernalgorithmus und einer Vorhersage bestehen. Am Beispiel der Autovervollständigung, die häufige frühere Suchanfragen vorschlägt, und des Rankings untersuchen die Kinder, wie diese Bestandteile zusammenwirken – und warum unfaire Daten zu verzerrten Ergebnissen führen können. Darauf aufbauend lernen sie Tipps für eine bewusstere Internetsuche kennen, etwa gezielte Suchbegriffe, ein kritischer Blick auf die ersten Treffer und alternative Suchmaschinen. Die Reflexion öffnet zudem die Frage, wem die Inhalte gehören, die eine Suchmaschine anzeigt. '''Material:''' Baustein-Beschreibung, digitales Gerät zur Demonstration einer Suchmaschine, ggf. [https://opensearchfoundation.org/wp-content/uploads/2022/10/Kinder-Tipps-Internetsuche.pdf Suchtipps der Open Search Foundation] === Künstliche Intelligenz === ==== KI-Baustein 1: Machine Learning und algorithmische Verzerrung ==== Die Kinder untersuchen einen Bildklassifizierer, der Dreiecke und Vierecke unterscheiden soll. Er wurde bewusst „unfair“ trainiert: Die Vierecke im Trainingsdatensatz sind nur Rechtecke in derselben Lage, die Dreiecke dagegen vielfältig. Die Kinder finden heraus, warum der Klassifizierer bei Vierecken häufiger irrt, und verbessern ihn in Kleingruppen, indem sie selbst gezeichnete Figuren als neue Trainingsdaten hinzufügen. Dabei klassifizieren sie ebene Figuren nach ihren Eigenschaften und werten Daten aus. Die Reflexion verbindet das Experiment mit realen Fällen algorithmischer Verzerrung, etwa bei Gesichtserkennung oder Bewerbungsverfahren, und mit der Einsicht, dass Menschen über die Daten und Ziele von KI-Systemen entscheiden. '''Material:''' Baustein-Beschreibung, Arbeitsblatt, Infoseite zur Bedienung von Machine Learning for Kids, Tablets mit Stift und Internetzugang <!-- DATEI: KI-Baustein-1_ML.pdf | AB_KI-Baustein-1_ML.pdf | Infoseite_KI-Baustein-1_ML.pdf | Anleitung_KI-Baustein-1_ML.pdf --> ==== KI-Baustein 2: Ethische Matrizen ==== Wenn ein Algorithmus verändert wird, wer profitiert und wer nicht? Mit einer ethischen Matrix tragen die Kinder zusammen, wer an einem Produkt interessiert ist – etwa an einem Pfannkuchenrezept oder einer Faltanleitung – und welche Werte den einzelnen Beteiligten wichtig sind. Mit Holzwürfeln gewichten sie die Felder, sodass ein Würfelgebäude entsteht, das sie beschreiben und verändern. Beim Versuch, das „Rezept“ zu verbessern, stellen die Kinder fest, dass eine Verbesserung für die einen eine Verschlechterung für andere bedeuten kann. In der Reflexion wird die Matrix auf reale Systeme wie Suchmaschinen oder Chatbots übertragen: Wessen Werte wurden berücksichtigt? '''Material:''' Baustein-Beschreibung, Vorlage Ethische Matrix, Holzwürfel (Kantenlänge 2 cm) <!-- DATEI: KI-Baustein-2_Ethische-Matrix.pdf | Druckvorlage_KI-Baustein-2_Ethische-Matrix.pdf --> === Sprachmodelle (LLM) === ==== LLM-Baustein 1: Bigram-Modell ==== Wie erzeugt ein Sprachmodell Text? Die Kinder bauen ein einfaches Modell selbst: Sie zählen in einer kurzen Geschichte, welche Wörter am Satzanfang stehen und welche darauf folgen, halten die Häufigkeiten in Tabellen fest und „würfeln“ das nächste Wort mit passenden Zufallsgeneratoren wie platonischen Körpern oder einer Münze. Die App BIGRAM übernimmt das anschließend für ganze Sätze. Die entstehenden Texte klingen oft holprig, und Wörter, die nicht in der Geschichte vorkommen, kann das Modell nicht verarbeiten. So wird verständlich, warum KI-Chatbots als „stochastische Papageien“ bezeichnet werden und warum man ihre Antworten überprüfen sollte. '''Material:''' Baustein-Beschreibung, Arbeitsblatt, Zufallsgeneratoren (z. B. platonische Körper), App BIGRAM <!-- DATEI: LLM-Baustein-1_Bigram.pdf | AB-LLM-Baustein-1_Bigram.pdf --> ==== LLM-Baustein 2: Papier-GPT ==== Ohne Computer simulieren die Kinder, wie ein Sprachmodell einen Text fortsetzt. Eine Tabelle mit einem Satzanfang wandert von Gruppe zu Gruppe. Jede Gruppe sieht nur die letzten drei Wörter, schlägt zwei mögliche Fortsetzungen vor und lässt ein Wendeplättchen entscheiden, welches Wort übernommen wird. Am Ende wird der ganze Satz aufgefaltet und vorgelesen. Die Kinder erleben dabei Gleichwahrscheinlichkeit und Zufall als Auswahlprinzip und lernen zentrale Ideen von Sprachmodellen kennen: einen begrenzten Kontext und das zufällige Auswählen des nächsten Wortes. In der Reflexion vergleichen sie das Ergebnis mit dem Bigram-Modell und überlegen, welches Wissen ihnen selbst beim Finden passender Wörter geholfen hat. '''Material:''' Baustein-Beschreibung, Druckvorlage Papier-GPT, Wendeplättchen <!-- DATEI: LLM-Baustein-2_Papier-GPT.pdf | Druckvorlage_LLM-Baustein-2_Papier-GPT.pdf --> ==== LLM-Baustein 3: Fermi-Aufgabe zur Menge der Trainingsdaten ==== Warum schreiben große Sprachmodelle so viel bessere Texte als das selbst gebaute Bigram-Modell? Ein Grund ist die riesige Menge an Texten, aus denen sie lernen. In einer Fermi-Aufgabe machen die Kinder diese Menge greifbar: Wie hoch wäre ein Papierstapel, wenn man eine kurze Geschichte so oft ausdruckt, bis die Datenmenge erreicht ist? Höher als der Mount Everest? Dafür ermitteln sie Dateigrößen, rechnen Einheiten um, überschlagen mit großen Zahlen und prüfen ihr Ergebnis auf Plausibilität. Die Reflexion führt zu Fragen des Urheberrechts – Darf eine KI deine Geschichte ohne Erlaubnis nutzen? – und dazu, warum man den Antworten einer KI nicht blind vertrauen sollte. '''Material:''' Baustein-Beschreibung, Textdatei der Geschichte (zum Ermitteln der Dateigröße), ggf. zehn Ausdrucke auf 80-g-Papier <!-- DATEI: LLM-Baustein-3_Fermi-Aufgabe.pdf | Datei_LLM-Baustein-3 (Geschichte).docx --> == Weiterführende Literatur == * Platz, M. (2025). KI, Internetsuche und algorithmische Verzerrung. ''Mathematik differenziert'', 4/2025, 22–31. * Platz, M. (2025). Algorithmen, ethische Matrizen und Würfelbauwerke. In L. Schick, M. Platz & A. Lambert (Hrsg.), ''Beiträge zum Mathematikunterricht 2025'' (S. 357–360). WTM. * Platz, M. & Plote, C. (2025). KI und Ethik im Klassenzimmer. ''Mitteilungen der GDM'', 118, 6–13. * Platz, M. & Schick, L. (2025). Lernen über LLMs im Mathematikunterricht der Primarstufe. In L. Schick, M. Platz & A. Lambert (Hrsg.), ''Beiträge zum Mathematikunterricht 2025'' (S. 231–234). WTM. * Platz, M., Schorcht, S. & Frischemeier, D. (2025). Lernen mit und über KI: Wie funktionieren LLMs und welche Prompt-Techniken gibt es? In M. Platz, S. Schorcht & D. Frischemeier (Hrsg.), ''Künstliche Intelligenz in der Primarstufe'' (S. 109–130). WTM. <!-- Ggf. ergänzen: Platz (2026) zum LLM-Literacy-Framework (PriMaMedien 17) und Platz (2026) in mathematica didactica 49 --> == Lizenz und Rückmeldung == Die Lernbausteine stehen unter der Lizenz [https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.de CC BY-SA 4.0]. Sie dürfen kopiert, verändert und weitergegeben werden, wenn die Urheberin genannt wird und Bearbeitungen unter derselben Lizenz stehen. Ausgenommen sind Inhalte Dritter, die in den Dateien gesondert gekennzeichnet sind. Namensnennung: ''Lernbausteine KI'' von Melanie Platz, Universität des Saarlandes, Professur für Didaktik der Primarstufe – Schwerpunkt Mathematik, lizenziert unter CC BY-SA 4.0. Rückmeldungen, Erfahrungen aus dem Einsatz und Verbesserungsvorschläge sind willkommen – gern auf der Diskussionsseite. lrh01djupw97yumkftcu6rp4zwj5x1p 1119094 1119093 2026-11-08T12:44:10Z Platzm 21125 /* SE-Baustein 1: Algorithmus */ 1119094 wikitext text/x-wiki =Lernbausteine zum Lernen über KI in KITA und Grundschule= Diese Seite stellt '''Lernbausteine zu Künstlicher Intelligenz (KI), Suchmaschinen und Sprachmodellen''' in zwei Reihen bereit: '''ab Kita''' (auch in den Klassen 1 und 2 einsetzbar) und '''ab Klasse 3/4'''. Die Bausteine wurden an der Professur für Didaktik der Primarstufe – Schwerpunkt Mathematik der Universität des Saarlandes entwickelt. ''Der Upload der Dateien erfolgt in Kürze.'' == Worum es geht == Kinder begegnen KI-Systemen früh: Sie stellen Sprachassistenten Fragen, sehen Vorschläge auf Videoplattformen und nutzen Suchmaschinen. Wie diese Systeme funktionieren, bleibt ihnen meist verborgen. Die Lernbausteine setzen hier an. Ihr Grundgedanke ist, dass Kinder die Funktionsweise von KI-Systemen mit Mathematik erschließen können, die sie ohnehin lernen: Sie zählen Häufigkeiten, ordnen und sortieren, vergleichen Daten, würfeln mit Zufallsgeneratoren und rechnen mit großen Zahlen. So wird nachvollziehbar, wie ein Sprachmodell das nächste Wort wählt, warum eine Suchmaschine Ergebnisse in eine bestimmte Reihenfolge bringt oder weshalb eine KI mit einseitigen Trainingsdaten unfair entscheidet. Die meisten Bausteine kommen ohne Computer aus (''Informatik unplugged''). Die Kinder handeln selbst: Sie falten, sortieren, würfeln, spielen einen Roboter oder trainieren einen einfachen Bildklassifizierer. Jeder Baustein endet mit einer Reflexion, in der das Erlebte auf reale Systeme wie Suchmaschinen oder KI-Chatbots übertragen wird. Dabei geht es nicht nur um Technik, sondern auch um Fragen wie: Wer entscheidet, was eine Suchmaschine zuerst anzeigt? Ist es fair, wenn ein Algorithmus geheim bleibt? Versteht ein Chatbot, was er schreibt? == Aufbau == Die Bausteine sind in zwei Reihen gegliedert: * '''Ab Kita''' (auch in den Klassen 1 und 2): sechs Bausteine – zwei Basis-Bausteine zu Algorithmen und Sortieralgorithmen sowie vier Bausteine zu regelbasierten Systemen, Sortieren nach Merkmalen, maschinellem Lernen und Sprachmodellen. * '''Ab Klasse 3/4:''' acht Bausteine in drei Strängen – Suchmaschinen, Künstliche Intelligenz und Sprachmodelle (LLM). Alle Bausteine sind gleich aufgebaut: ''Darum geht es'', Bezüge zu Mathematik und Informatik, Material, Durchführung, Reflexion und Literatur. Arbeitsblätter (AB) und Druckvorlagen liegen als eigene Dateien bei. {| class="wikitable" ! Baustein !! Kernidee !! Mathematik |- ! colspan="3" | Ab Kita (auch Klasse 1/2) |- | Basis-Baustein 1: NIM-Spiel || Eine Gewinnstrategie ist ein Algorithmus || Problemlösen, Zahlenreihe bis 10 |- | Basis-Baustein 2: Bubble Sort || Sortieralgorithmen und Ranking || Längen vergleichen, ordnen |- | KITA-Baustein 1: Chinesisches Zimmer || Eine Maschine folgt Regeln, ohne zu verstehen || Zuordnen, Würfelbilder erkennen |- | KITA-Baustein 2: Sortieren || Es gibt mehrere „richtige“ Sortierungen || Klassifizieren nach Merkmalen |- | KITA-Baustein 3: Machine Learning || Einseitige Trainingsdaten führen zu Fehlern || Mengen erfassen und vergleichen |- | KITA-Baustein 4: Sprachmodell || Wörter werden per Zufall ausgewählt || Münzwurf, Gleichwahrscheinlichkeit |- ! colspan="3" | Ab Klasse 3/4 |- | SE-Baustein 1: Algorithmus || Eingabe – Verarbeitung – Ausgabe || Geometrie: Falten |- | SE-Baustein 2: Ranking || Wer entscheidet, was oben steht? || Daten erheben, Häufigkeitstabelle |- | SE-Baustein 3: „Besser“ suchen || Datensatz – Lernalgorithmus – Vorhersage || Häufigkeiten und Vorhersage |- | KI-Baustein 1: Machine Learning || Algorithmische Verzerrung (Bias) || Ebene Figuren klassifizieren, Daten |- | KI-Baustein 2: Ethische Matrizen || Algorithmen betreffen viele Interessen || Würfelgebäude, Diagramme |- | LLM-Baustein 1: Bigram-Modell || Häufigkeit bestimmt Wahrscheinlichkeit || Häufigkeiten, platonische Körper |- | LLM-Baustein 2: Papier-GPT || Kontext und Zufall beim Textgenerieren || Münzwurf, Laplace-Experiment |- | LLM-Baustein 3: Fermi-Aufgabe || Die Menge der Trainingsdaten || Große Zahlen, Größen umrechnen |} == Hinweise zur Nutzung == Die Bausteine lassen sich einzeln einsetzen, bauen aber teilweise aufeinander auf. Sinnvoll sind folgende Abfolgen: * '''Ab Kita:''' Die Basis-Bausteine (NIM-Spiel, Bubble Sort) führen in Algorithmen ein und eignen sich als Einstieg. KITA-Baustein 2 (Sortieren) vor KITA-Baustein 3 (Machine Learning), da dieselben Bildkarten genutzt werden; Baustein 1 (Chinesisches Zimmer) und Baustein 4 (Sprachmodell) ergänzen sich in der Frage, ob eine Maschine versteht, was sie tut. * '''Ab Klasse 3/4:''' Der Algorithmusbegriff aus SE-Baustein 1 bildet die Grundlage für die übrigen Bausteine; auch die Bausteine ab Kita, besonders das NIM-Spiel, eignen sich hier als Einstieg. Die Suchmaschinen-Bausteine 1 bis 3 und die LLM-Bausteine 1 bis 3 sind jeweils als Reihe gedacht. KI-Baustein 2 greift die Faltanleitungen aus SE-Baustein 2 auf. Für die Durchführung sind keine Programmierkenntnisse nötig. Zwei Bausteine nutzen frei zugängliche Webanwendungen: ''Machine Learning for Kids'' (KI-Baustein 1, KITA-Baustein 3; ohne Benutzerkonto nutzbar, die Daten bleiben im Browser) und die App ''BIGRAM'' (LLM-Baustein 1). == Lernbausteine ab Kita == Die Bausteine wurden für die Kita entwickelt und lassen sich auch in den Klassen 1 und 2 einsetzen. === Basis-Baustein 1: NIM-Spiel und Algorithmen === Zwei Kinder legen abwechselnd ein oder zwei Plättchen auf einen Spielplan mit zehn Feldern; wer das zehnte Feld belegt, gewinnt. Schnell wird klar: Das ist kein Glücksspiel. Die Kinder stellen Vermutungen über Gewinnstrategien auf, probieren sie aus und entdecken dabei schrittweise „Gewinnfelder“. Eine solche Gewinnstrategie ist ein Algorithmus – eine eindeutige, ausführbare Abfolge von Schritten. In der Reflexion wird der Bogen zu den unsichtbaren Algorithmen digitaler Plattformen geschlagen: Ist es fair, wenn nur einer die Strategie kennt? Und wer sollte entscheiden dürfen, ob ein Algorithmus geheim bleibt? '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Basis-Baustein-1_NIM-Spiel.pdf Baustein-Beschreibung], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Druckvorlage_Basis-Baustein-1_NIM-Spiel.pdf Spielplan], blaue und rote Plättchen === Basis-Baustein 2: Bubble Sort und Ranking von Suchmaschinen === Die Kinder werden selbst zum Sortieralgorithmus: Jedes Kind hält einen Stab und stellt sich auf eine Linie. Nach einer festen Regel vergleichen jeweils zwei Nachbarn ihre Stäbe und tauschen bei Bedarf die Plätze, bis alle der Länge nach geordnet sind. Durch Wiederholen mit anderen Startpositionen überzeugen sie sich davon, dass das Verfahren immer funktioniert. Als Erweiterung kann nach einem Kriterium sortiert werden, das die Kinder nicht kennen – so wie Suchmaschinen ihre Ergebnisse nach Kriterien ordnen, die nicht offenliegen. Die Kinder stellen Vermutungen über das Sortierkriterium an und kommen so ins Gespräch über Popularität und Personalisierung beim Ranking. '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Basis-Baustein-2_Bubble-Sort.pdf Baustein-Beschreibung], verschieden lange Stäbe (z. B. Cuisenaire-Stäbe), Klebeband für eine Bodenmarkierung === KITA-Baustein 1: Chinesisches Zimmer === Ein Kind sitzt in einem selbst gebastelten Karton-Roboter. Durch einen Schlitz bekommt es Würfelbilder hineingereicht und gibt mithilfe eines Regelbuchs die passende Schmetterlingskarte heraus – ohne zu wissen, wozu. Das Spiel greift das Gedankenexperiment des „Chinesischen Zimmers“ von John Searle auf: Von außen wirkt die Antwort passend, obwohl drinnen niemand versteht, worum es geht. Die Kinder üben dabei Zuordnung und das Erkennen von Würfelbildern und erleben das Prinzip Eingabe – Verarbeitung – Ausgabe. In der Reflexion sprechen sie darüber, wie es sich anfühlt, „mechanisch“ zu antworten, und ob ein Roboter – oder eine KI – wirklich nachdenkt oder fühlt. Der Baustein wirkt so der Vermenschlichung von KI entgegen. '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:KITA-Baustein-1_Chinesisches-Zimmer.pdf Baustein-Beschreibung], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Druckvorlage_KITA-Baustein-1_Chinesisches-Zimmer_Regelbuch.pdf Regelbuch], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Druckvorlage_KITA-Baustein-1_Chinesisches-Zimmer_Bildkarten.pdf Bildkarten], Karton und Bastelmaterial === KITA-Baustein 2: Sortieren === Bildkarten mit Raupen, Kokons und Schmetterlingen in verschiedenen Farben sind „durcheinandergeraten“ und sollen wieder sortiert werden. Ob nach Farbe, Form, Größe oder inhaltlichem Zusammenhang – die Kinder entscheiden selbst und begründen ihre Sortierung. Im Vergleich der Ergebnisse zeigt sich, dass es nicht nur eine richtige Lösung gibt und dass dieselbe Karte zu mehreren Gruppen passen kann. Damit machen die Kinder grundlegende Erfahrungen mit Klassifizieren und Kategorisieren. Zugleich bahnt der Baustein eine Idee des maschinellen Lernens an: Auch KI-Systeme gruppieren Daten nach Ähnlichkeiten – ohne zu verstehen, was sie bedeuten. '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:KITA-Baustein-2_Sortieren.pdf Baustein-Beschreibung], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Druckvorlage_KITA-Baustein-2_Sortieren.pdf Bildkarten] (möglichst ein Set pro Kind) === KITA-Baustein 3: Machine Learning und algorithmische Verzerrung === Die Fachkraft oder Lehrkraft zeigt einen Bildklassifizierer, der Raupen von Schmetterlingen und Kokons unterscheiden soll – und der bewusst „unfair“ trainiert wurde: Von den Raupen kennt er nur zwei sehr ähnliche Bilder. Gemeinsam untersuchen die Kinder, wo der Klassifizierer Fehler macht, und erkennen, dass es an den Trainingsdaten liegt. Mit den Bildkarten aus Baustein 2 verbessern sie das System, indem sie weitere Beispiele einlesen. In der Reflexion geht es um Verantwortung: Wer sorgt dafür, dass eine KI faire Daten bekommt? Und wo können solche Fehler für Menschen schlimme Folgen haben? Verwendet wird das kostenfreie Webwerkzeug ''Machine Learning for Kids'', das ohne Benutzerkonto auskommt. '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:KITA-Baustein-3_ML.pdf Baustein-Beschreibung], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Anleitung_KITA-Baustein-3_ML.pdf Anleitung zu Machine Learning for Kids], Tablet oder Laptop mit Kamera und Internetzugang, === KITA-Baustein 4: Sprachmodell === Gemeinsam erzählen die Kinder eine Geschichte weiter – wie ein Sprachmodell, Wort für Wort. Zu einem vorgegebenen Satzanfang schlagen sie zwei mögliche nächste Wörter vor, eine Münze entscheidet, welches genommen wird. Die Fachkraft oder Lehrkraft schreibt mit und liest die entstandene Geschichte am Ende vor. Die Kinder erleben so, dass Sprachmodelle Wörter mit Zufall auswählen und dass eine Münze nicht „weiß“, was die Geschichte erzählen soll. In der Reflexion wird deutlich, was Menschen beim Weitererzählen einbringen und eine Maschine nicht: Wissen über die Welt und darüber, worum es in einer Geschichte geht. Der Baustein knüpft an das Chinesische Zimmer an. '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:KITA-Baustein-4_LLM.pdf Baustein-Beschreibung], Münze == Lernbausteine ab Klasse 3/4 == === Suchmaschinen === ==== SE-Baustein 1: Algorithmus ==== Was ist eigentlich ein Algorithmus? Die Kinder erarbeiten eine kindgerechte Definition und prüfen an Beispielen aus dem Alltag, ob es sich um einen Algorithmus handelt. Dann falten sie ein quadratisches Papier nach einer Faltanleitung und entdecken dabei Dreiecke, Diagonalen und Mittelpunkt. Die Faltanleitung erweist sich als Algorithmus mit Eingabe (Papier), Verarbeitungsschritten und Ausgabe (Faltprodukt). Auch eine Suchmaschine arbeitet nach diesem Prinzip – mit der Suchanfrage als Eingabe und der Trefferliste als Ausgabe. Der entscheidende Unterschied, den die Reflexion herausarbeitet: Die Faltanleitung ist nachvollziehbar, der Algorithmus einer Suchmaschine nicht. '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:SE-Baustein-1_Algorithmus.pdf Baustein-Beschreibung], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:AB-SE-Baustein-1_Algorithmus.pdf Arbeitsblatt Algorithmus], quadratisches Faltpapier, [https://opensearchfoundation.org/wp-content/uploads/2022/10/So-funktioniert-die-Internetsuche.pdf Infografik „So funktioniert die Internetsuche“ der Open Search Foundation] ==== SE-Baustein 2: Ranking ==== Wer entscheidet, was bei einer Suche oben steht? Die Kinder vergleichen mehrere Faltanleitungen für dasselbe Objekt, darunter eine mit Werbung. Zuerst erstellen sie ein eigenes Ranking (Personalisierung), dann ermitteln sie per Befragung und Häufigkeitstabelle das beliebteste Ergebnis der Klasse (Popularität). Was passiert, wenn die „Suchmaschine“ trotzdem die Anleitung mit Werbung auf Platz 1 setzt? Die Diskussion führt zu wirtschaftlichen Interessen und zu der Erkenntnis, dass Ranking-Algorithmen nicht neutral sind. Zum Schluss verbessern die Kinder selbst eine Anleitung nach einem Ziel, das sie festlegen, und begründen ihre Entscheidung: Menschen bestimmen, welche Ziele ein Algorithmus verfolgt. '''Material:''' Baustein-Beschreibung, Druckvorlage Faltanleitungen, Arbeitsblatt „Faltanleitungen ergänzen und verbessern“ <!-- DATEI: SE-Baustein-2_Ranking.pdf | Druckvorlage-SE-Baustein-2_Ranking.pdf | AB-SE-Baustein-2_Ranking.pdf --> ==== SE-Baustein 3: „Besser“ suchen ==== Suchmaschinen sind KI-Systeme, die aus einem Datensatz, einem Lernalgorithmus und einer Vorhersage bestehen. Am Beispiel der Autovervollständigung, die häufige frühere Suchanfragen vorschlägt, und des Rankings untersuchen die Kinder, wie diese Bestandteile zusammenwirken – und warum unfaire Daten zu verzerrten Ergebnissen führen können. Darauf aufbauend lernen sie Tipps für eine bewusstere Internetsuche kennen, etwa gezielte Suchbegriffe, ein kritischer Blick auf die ersten Treffer und alternative Suchmaschinen. Die Reflexion öffnet zudem die Frage, wem die Inhalte gehören, die eine Suchmaschine anzeigt. '''Material:''' Baustein-Beschreibung, digitales Gerät zur Demonstration einer Suchmaschine, ggf. [https://opensearchfoundation.org/wp-content/uploads/2022/10/Kinder-Tipps-Internetsuche.pdf Suchtipps der Open Search Foundation] === Künstliche Intelligenz === ==== KI-Baustein 1: Machine Learning und algorithmische Verzerrung ==== Die Kinder untersuchen einen Bildklassifizierer, der Dreiecke und Vierecke unterscheiden soll. Er wurde bewusst „unfair“ trainiert: Die Vierecke im Trainingsdatensatz sind nur Rechtecke in derselben Lage, die Dreiecke dagegen vielfältig. Die Kinder finden heraus, warum der Klassifizierer bei Vierecken häufiger irrt, und verbessern ihn in Kleingruppen, indem sie selbst gezeichnete Figuren als neue Trainingsdaten hinzufügen. Dabei klassifizieren sie ebene Figuren nach ihren Eigenschaften und werten Daten aus. Die Reflexion verbindet das Experiment mit realen Fällen algorithmischer Verzerrung, etwa bei Gesichtserkennung oder Bewerbungsverfahren, und mit der Einsicht, dass Menschen über die Daten und Ziele von KI-Systemen entscheiden. '''Material:''' Baustein-Beschreibung, Arbeitsblatt, Infoseite zur Bedienung von Machine Learning for Kids, Tablets mit Stift und Internetzugang <!-- DATEI: KI-Baustein-1_ML.pdf | AB_KI-Baustein-1_ML.pdf | Infoseite_KI-Baustein-1_ML.pdf | Anleitung_KI-Baustein-1_ML.pdf --> ==== KI-Baustein 2: Ethische Matrizen ==== Wenn ein Algorithmus verändert wird, wer profitiert und wer nicht? Mit einer ethischen Matrix tragen die Kinder zusammen, wer an einem Produkt interessiert ist – etwa an einem Pfannkuchenrezept oder einer Faltanleitung – und welche Werte den einzelnen Beteiligten wichtig sind. Mit Holzwürfeln gewichten sie die Felder, sodass ein Würfelgebäude entsteht, das sie beschreiben und verändern. Beim Versuch, das „Rezept“ zu verbessern, stellen die Kinder fest, dass eine Verbesserung für die einen eine Verschlechterung für andere bedeuten kann. In der Reflexion wird die Matrix auf reale Systeme wie Suchmaschinen oder Chatbots übertragen: Wessen Werte wurden berücksichtigt? '''Material:''' Baustein-Beschreibung, Vorlage Ethische Matrix, Holzwürfel (Kantenlänge 2 cm) <!-- DATEI: KI-Baustein-2_Ethische-Matrix.pdf | Druckvorlage_KI-Baustein-2_Ethische-Matrix.pdf --> === Sprachmodelle (LLM) === ==== LLM-Baustein 1: Bigram-Modell ==== Wie erzeugt ein Sprachmodell Text? Die Kinder bauen ein einfaches Modell selbst: Sie zählen in einer kurzen Geschichte, welche Wörter am Satzanfang stehen und welche darauf folgen, halten die Häufigkeiten in Tabellen fest und „würfeln“ das nächste Wort mit passenden Zufallsgeneratoren wie platonischen Körpern oder einer Münze. Die App BIGRAM übernimmt das anschließend für ganze Sätze. Die entstehenden Texte klingen oft holprig, und Wörter, die nicht in der Geschichte vorkommen, kann das Modell nicht verarbeiten. So wird verständlich, warum KI-Chatbots als „stochastische Papageien“ bezeichnet werden und warum man ihre Antworten überprüfen sollte. '''Material:''' Baustein-Beschreibung, Arbeitsblatt, Zufallsgeneratoren (z. B. platonische Körper), App BIGRAM <!-- DATEI: LLM-Baustein-1_Bigram.pdf | AB-LLM-Baustein-1_Bigram.pdf --> ==== LLM-Baustein 2: Papier-GPT ==== Ohne Computer simulieren die Kinder, wie ein Sprachmodell einen Text fortsetzt. Eine Tabelle mit einem Satzanfang wandert von Gruppe zu Gruppe. Jede Gruppe sieht nur die letzten drei Wörter, schlägt zwei mögliche Fortsetzungen vor und lässt ein Wendeplättchen entscheiden, welches Wort übernommen wird. Am Ende wird der ganze Satz aufgefaltet und vorgelesen. Die Kinder erleben dabei Gleichwahrscheinlichkeit und Zufall als Auswahlprinzip und lernen zentrale Ideen von Sprachmodellen kennen: einen begrenzten Kontext und das zufällige Auswählen des nächsten Wortes. In der Reflexion vergleichen sie das Ergebnis mit dem Bigram-Modell und überlegen, welches Wissen ihnen selbst beim Finden passender Wörter geholfen hat. '''Material:''' Baustein-Beschreibung, Druckvorlage Papier-GPT, Wendeplättchen <!-- DATEI: LLM-Baustein-2_Papier-GPT.pdf | Druckvorlage_LLM-Baustein-2_Papier-GPT.pdf --> ==== LLM-Baustein 3: Fermi-Aufgabe zur Menge der Trainingsdaten ==== Warum schreiben große Sprachmodelle so viel bessere Texte als das selbst gebaute Bigram-Modell? Ein Grund ist die riesige Menge an Texten, aus denen sie lernen. In einer Fermi-Aufgabe machen die Kinder diese Menge greifbar: Wie hoch wäre ein Papierstapel, wenn man eine kurze Geschichte so oft ausdruckt, bis die Datenmenge erreicht ist? Höher als der Mount Everest? Dafür ermitteln sie Dateigrößen, rechnen Einheiten um, überschlagen mit großen Zahlen und prüfen ihr Ergebnis auf Plausibilität. Die Reflexion führt zu Fragen des Urheberrechts – Darf eine KI deine Geschichte ohne Erlaubnis nutzen? – und dazu, warum man den Antworten einer KI nicht blind vertrauen sollte. '''Material:''' Baustein-Beschreibung, Textdatei der Geschichte (zum Ermitteln der Dateigröße), ggf. zehn Ausdrucke auf 80-g-Papier <!-- DATEI: LLM-Baustein-3_Fermi-Aufgabe.pdf | Datei_LLM-Baustein-3 (Geschichte).docx --> == Weiterführende Literatur == * Platz, M. (2025). KI, Internetsuche und algorithmische Verzerrung. ''Mathematik differenziert'', 4/2025, 22–31. * Platz, M. (2025). Algorithmen, ethische Matrizen und Würfelbauwerke. In L. Schick, M. Platz & A. Lambert (Hrsg.), ''Beiträge zum Mathematikunterricht 2025'' (S. 357–360). WTM. * Platz, M. & Plote, C. (2025). KI und Ethik im Klassenzimmer. ''Mitteilungen der GDM'', 118, 6–13. * Platz, M. & Schick, L. (2025). Lernen über LLMs im Mathematikunterricht der Primarstufe. In L. Schick, M. Platz & A. Lambert (Hrsg.), ''Beiträge zum Mathematikunterricht 2025'' (S. 231–234). WTM. * Platz, M., Schorcht, S. & Frischemeier, D. (2025). Lernen mit und über KI: Wie funktionieren LLMs und welche Prompt-Techniken gibt es? In M. Platz, S. Schorcht & D. Frischemeier (Hrsg.), ''Künstliche Intelligenz in der Primarstufe'' (S. 109–130). WTM. <!-- Ggf. ergänzen: Platz (2026) zum LLM-Literacy-Framework (PriMaMedien 17) und Platz (2026) in mathematica didactica 49 --> == Lizenz und Rückmeldung == Die Lernbausteine stehen unter der Lizenz [https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.de CC BY-SA 4.0]. Sie dürfen kopiert, verändert und weitergegeben werden, wenn die Urheberin genannt wird und Bearbeitungen unter derselben Lizenz stehen. Ausgenommen sind Inhalte Dritter, die in den Dateien gesondert gekennzeichnet sind. Namensnennung: ''Lernbausteine KI'' von Melanie Platz, Universität des Saarlandes, Professur für Didaktik der Primarstufe – Schwerpunkt Mathematik, lizenziert unter CC BY-SA 4.0. Rückmeldungen, Erfahrungen aus dem Einsatz und Verbesserungsvorschläge sind willkommen – gern auf der Diskussionsseite. bjmo4jcxj4yse4xvi1051blvtuba03y 1119095 1119094 2026-11-08T12:45:26Z Platzm 21125 /* SE-Baustein 2: Ranking */ 1119095 wikitext text/x-wiki =Lernbausteine zum Lernen über KI in KITA und Grundschule= Diese Seite stellt '''Lernbausteine zu Künstlicher Intelligenz (KI), Suchmaschinen und Sprachmodellen''' in zwei Reihen bereit: '''ab Kita''' (auch in den Klassen 1 und 2 einsetzbar) und '''ab Klasse 3/4'''. Die Bausteine wurden an der Professur für Didaktik der Primarstufe – Schwerpunkt Mathematik der Universität des Saarlandes entwickelt. ''Der Upload der Dateien erfolgt in Kürze.'' == Worum es geht == Kinder begegnen KI-Systemen früh: Sie stellen Sprachassistenten Fragen, sehen Vorschläge auf Videoplattformen und nutzen Suchmaschinen. Wie diese Systeme funktionieren, bleibt ihnen meist verborgen. Die Lernbausteine setzen hier an. Ihr Grundgedanke ist, dass Kinder die Funktionsweise von KI-Systemen mit Mathematik erschließen können, die sie ohnehin lernen: Sie zählen Häufigkeiten, ordnen und sortieren, vergleichen Daten, würfeln mit Zufallsgeneratoren und rechnen mit großen Zahlen. So wird nachvollziehbar, wie ein Sprachmodell das nächste Wort wählt, warum eine Suchmaschine Ergebnisse in eine bestimmte Reihenfolge bringt oder weshalb eine KI mit einseitigen Trainingsdaten unfair entscheidet. Die meisten Bausteine kommen ohne Computer aus (''Informatik unplugged''). Die Kinder handeln selbst: Sie falten, sortieren, würfeln, spielen einen Roboter oder trainieren einen einfachen Bildklassifizierer. Jeder Baustein endet mit einer Reflexion, in der das Erlebte auf reale Systeme wie Suchmaschinen oder KI-Chatbots übertragen wird. Dabei geht es nicht nur um Technik, sondern auch um Fragen wie: Wer entscheidet, was eine Suchmaschine zuerst anzeigt? Ist es fair, wenn ein Algorithmus geheim bleibt? Versteht ein Chatbot, was er schreibt? == Aufbau == Die Bausteine sind in zwei Reihen gegliedert: * '''Ab Kita''' (auch in den Klassen 1 und 2): sechs Bausteine – zwei Basis-Bausteine zu Algorithmen und Sortieralgorithmen sowie vier Bausteine zu regelbasierten Systemen, Sortieren nach Merkmalen, maschinellem Lernen und Sprachmodellen. * '''Ab Klasse 3/4:''' acht Bausteine in drei Strängen – Suchmaschinen, Künstliche Intelligenz und Sprachmodelle (LLM). Alle Bausteine sind gleich aufgebaut: ''Darum geht es'', Bezüge zu Mathematik und Informatik, Material, Durchführung, Reflexion und Literatur. Arbeitsblätter (AB) und Druckvorlagen liegen als eigene Dateien bei. {| class="wikitable" ! Baustein !! Kernidee !! Mathematik |- ! colspan="3" | Ab Kita (auch Klasse 1/2) |- | Basis-Baustein 1: NIM-Spiel || Eine Gewinnstrategie ist ein Algorithmus || Problemlösen, Zahlenreihe bis 10 |- | Basis-Baustein 2: Bubble Sort || Sortieralgorithmen und Ranking || Längen vergleichen, ordnen |- | KITA-Baustein 1: Chinesisches Zimmer || Eine Maschine folgt Regeln, ohne zu verstehen || Zuordnen, Würfelbilder erkennen |- | KITA-Baustein 2: Sortieren || Es gibt mehrere „richtige“ Sortierungen || Klassifizieren nach Merkmalen |- | KITA-Baustein 3: Machine Learning || Einseitige Trainingsdaten führen zu Fehlern || Mengen erfassen und vergleichen |- | KITA-Baustein 4: Sprachmodell || Wörter werden per Zufall ausgewählt || Münzwurf, Gleichwahrscheinlichkeit |- ! colspan="3" | Ab Klasse 3/4 |- | SE-Baustein 1: Algorithmus || Eingabe – Verarbeitung – Ausgabe || Geometrie: Falten |- | SE-Baustein 2: Ranking || Wer entscheidet, was oben steht? || Daten erheben, Häufigkeitstabelle |- | SE-Baustein 3: „Besser“ suchen || Datensatz – Lernalgorithmus – Vorhersage || Häufigkeiten und Vorhersage |- | KI-Baustein 1: Machine Learning || Algorithmische Verzerrung (Bias) || Ebene Figuren klassifizieren, Daten |- | KI-Baustein 2: Ethische Matrizen || Algorithmen betreffen viele Interessen || Würfelgebäude, Diagramme |- | LLM-Baustein 1: Bigram-Modell || Häufigkeit bestimmt Wahrscheinlichkeit || Häufigkeiten, platonische Körper |- | LLM-Baustein 2: Papier-GPT || Kontext und Zufall beim Textgenerieren || Münzwurf, Laplace-Experiment |- | LLM-Baustein 3: Fermi-Aufgabe || Die Menge der Trainingsdaten || Große Zahlen, Größen umrechnen |} == Hinweise zur Nutzung == Die Bausteine lassen sich einzeln einsetzen, bauen aber teilweise aufeinander auf. Sinnvoll sind folgende Abfolgen: * '''Ab Kita:''' Die Basis-Bausteine (NIM-Spiel, Bubble Sort) führen in Algorithmen ein und eignen sich als Einstieg. KITA-Baustein 2 (Sortieren) vor KITA-Baustein 3 (Machine Learning), da dieselben Bildkarten genutzt werden; Baustein 1 (Chinesisches Zimmer) und Baustein 4 (Sprachmodell) ergänzen sich in der Frage, ob eine Maschine versteht, was sie tut. * '''Ab Klasse 3/4:''' Der Algorithmusbegriff aus SE-Baustein 1 bildet die Grundlage für die übrigen Bausteine; auch die Bausteine ab Kita, besonders das NIM-Spiel, eignen sich hier als Einstieg. Die Suchmaschinen-Bausteine 1 bis 3 und die LLM-Bausteine 1 bis 3 sind jeweils als Reihe gedacht. KI-Baustein 2 greift die Faltanleitungen aus SE-Baustein 2 auf. Für die Durchführung sind keine Programmierkenntnisse nötig. Zwei Bausteine nutzen frei zugängliche Webanwendungen: ''Machine Learning for Kids'' (KI-Baustein 1, KITA-Baustein 3; ohne Benutzerkonto nutzbar, die Daten bleiben im Browser) und die App ''BIGRAM'' (LLM-Baustein 1). == Lernbausteine ab Kita == Die Bausteine wurden für die Kita entwickelt und lassen sich auch in den Klassen 1 und 2 einsetzen. === Basis-Baustein 1: NIM-Spiel und Algorithmen === Zwei Kinder legen abwechselnd ein oder zwei Plättchen auf einen Spielplan mit zehn Feldern; wer das zehnte Feld belegt, gewinnt. Schnell wird klar: Das ist kein Glücksspiel. Die Kinder stellen Vermutungen über Gewinnstrategien auf, probieren sie aus und entdecken dabei schrittweise „Gewinnfelder“. Eine solche Gewinnstrategie ist ein Algorithmus – eine eindeutige, ausführbare Abfolge von Schritten. In der Reflexion wird der Bogen zu den unsichtbaren Algorithmen digitaler Plattformen geschlagen: Ist es fair, wenn nur einer die Strategie kennt? Und wer sollte entscheiden dürfen, ob ein Algorithmus geheim bleibt? '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Basis-Baustein-1_NIM-Spiel.pdf Baustein-Beschreibung], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Druckvorlage_Basis-Baustein-1_NIM-Spiel.pdf Spielplan], blaue und rote Plättchen === Basis-Baustein 2: Bubble Sort und Ranking von Suchmaschinen === Die Kinder werden selbst zum Sortieralgorithmus: Jedes Kind hält einen Stab und stellt sich auf eine Linie. Nach einer festen Regel vergleichen jeweils zwei Nachbarn ihre Stäbe und tauschen bei Bedarf die Plätze, bis alle der Länge nach geordnet sind. Durch Wiederholen mit anderen Startpositionen überzeugen sie sich davon, dass das Verfahren immer funktioniert. Als Erweiterung kann nach einem Kriterium sortiert werden, das die Kinder nicht kennen – so wie Suchmaschinen ihre Ergebnisse nach Kriterien ordnen, die nicht offenliegen. Die Kinder stellen Vermutungen über das Sortierkriterium an und kommen so ins Gespräch über Popularität und Personalisierung beim Ranking. '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Basis-Baustein-2_Bubble-Sort.pdf Baustein-Beschreibung], verschieden lange Stäbe (z. B. Cuisenaire-Stäbe), Klebeband für eine Bodenmarkierung === KITA-Baustein 1: Chinesisches Zimmer === Ein Kind sitzt in einem selbst gebastelten Karton-Roboter. Durch einen Schlitz bekommt es Würfelbilder hineingereicht und gibt mithilfe eines Regelbuchs die passende Schmetterlingskarte heraus – ohne zu wissen, wozu. Das Spiel greift das Gedankenexperiment des „Chinesischen Zimmers“ von John Searle auf: Von außen wirkt die Antwort passend, obwohl drinnen niemand versteht, worum es geht. Die Kinder üben dabei Zuordnung und das Erkennen von Würfelbildern und erleben das Prinzip Eingabe – Verarbeitung – Ausgabe. In der Reflexion sprechen sie darüber, wie es sich anfühlt, „mechanisch“ zu antworten, und ob ein Roboter – oder eine KI – wirklich nachdenkt oder fühlt. Der Baustein wirkt so der Vermenschlichung von KI entgegen. '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:KITA-Baustein-1_Chinesisches-Zimmer.pdf Baustein-Beschreibung], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Druckvorlage_KITA-Baustein-1_Chinesisches-Zimmer_Regelbuch.pdf Regelbuch], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Druckvorlage_KITA-Baustein-1_Chinesisches-Zimmer_Bildkarten.pdf Bildkarten], Karton und Bastelmaterial === KITA-Baustein 2: Sortieren === Bildkarten mit Raupen, Kokons und Schmetterlingen in verschiedenen Farben sind „durcheinandergeraten“ und sollen wieder sortiert werden. Ob nach Farbe, Form, Größe oder inhaltlichem Zusammenhang – die Kinder entscheiden selbst und begründen ihre Sortierung. Im Vergleich der Ergebnisse zeigt sich, dass es nicht nur eine richtige Lösung gibt und dass dieselbe Karte zu mehreren Gruppen passen kann. Damit machen die Kinder grundlegende Erfahrungen mit Klassifizieren und Kategorisieren. Zugleich bahnt der Baustein eine Idee des maschinellen Lernens an: Auch KI-Systeme gruppieren Daten nach Ähnlichkeiten – ohne zu verstehen, was sie bedeuten. '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:KITA-Baustein-2_Sortieren.pdf Baustein-Beschreibung], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Druckvorlage_KITA-Baustein-2_Sortieren.pdf Bildkarten] (möglichst ein Set pro Kind) === KITA-Baustein 3: Machine Learning und algorithmische Verzerrung === Die Fachkraft oder Lehrkraft zeigt einen Bildklassifizierer, der Raupen von Schmetterlingen und Kokons unterscheiden soll – und der bewusst „unfair“ trainiert wurde: Von den Raupen kennt er nur zwei sehr ähnliche Bilder. Gemeinsam untersuchen die Kinder, wo der Klassifizierer Fehler macht, und erkennen, dass es an den Trainingsdaten liegt. Mit den Bildkarten aus Baustein 2 verbessern sie das System, indem sie weitere Beispiele einlesen. In der Reflexion geht es um Verantwortung: Wer sorgt dafür, dass eine KI faire Daten bekommt? Und wo können solche Fehler für Menschen schlimme Folgen haben? Verwendet wird das kostenfreie Webwerkzeug ''Machine Learning for Kids'', das ohne Benutzerkonto auskommt. '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:KITA-Baustein-3_ML.pdf Baustein-Beschreibung], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Anleitung_KITA-Baustein-3_ML.pdf Anleitung zu Machine Learning for Kids], Tablet oder Laptop mit Kamera und Internetzugang, === KITA-Baustein 4: Sprachmodell === Gemeinsam erzählen die Kinder eine Geschichte weiter – wie ein Sprachmodell, Wort für Wort. Zu einem vorgegebenen Satzanfang schlagen sie zwei mögliche nächste Wörter vor, eine Münze entscheidet, welches genommen wird. Die Fachkraft oder Lehrkraft schreibt mit und liest die entstandene Geschichte am Ende vor. Die Kinder erleben so, dass Sprachmodelle Wörter mit Zufall auswählen und dass eine Münze nicht „weiß“, was die Geschichte erzählen soll. In der Reflexion wird deutlich, was Menschen beim Weitererzählen einbringen und eine Maschine nicht: Wissen über die Welt und darüber, worum es in einer Geschichte geht. Der Baustein knüpft an das Chinesische Zimmer an. '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:KITA-Baustein-4_LLM.pdf Baustein-Beschreibung], Münze == Lernbausteine ab Klasse 3/4 == === Suchmaschinen === ==== SE-Baustein 1: Algorithmus ==== Was ist eigentlich ein Algorithmus? Die Kinder erarbeiten eine kindgerechte Definition und prüfen an Beispielen aus dem Alltag, ob es sich um einen Algorithmus handelt. Dann falten sie ein quadratisches Papier nach einer Faltanleitung und entdecken dabei Dreiecke, Diagonalen und Mittelpunkt. Die Faltanleitung erweist sich als Algorithmus mit Eingabe (Papier), Verarbeitungsschritten und Ausgabe (Faltprodukt). Auch eine Suchmaschine arbeitet nach diesem Prinzip – mit der Suchanfrage als Eingabe und der Trefferliste als Ausgabe. Der entscheidende Unterschied, den die Reflexion herausarbeitet: Die Faltanleitung ist nachvollziehbar, der Algorithmus einer Suchmaschine nicht. '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:SE-Baustein-1_Algorithmus.pdf Baustein-Beschreibung], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:AB-SE-Baustein-1_Algorithmus.pdf Arbeitsblatt Algorithmus], quadratisches Faltpapier, [https://opensearchfoundation.org/wp-content/uploads/2022/10/So-funktioniert-die-Internetsuche.pdf Infografik „So funktioniert die Internetsuche“ der Open Search Foundation] ==== SE-Baustein 2: Ranking ==== Wer entscheidet, was bei einer Suche oben steht? Die Kinder vergleichen mehrere Faltanleitungen für dasselbe Objekt, darunter eine mit Werbung. Zuerst erstellen sie ein eigenes Ranking (Personalisierung), dann ermitteln sie per Befragung und Häufigkeitstabelle das beliebteste Ergebnis der Klasse (Popularität). Was passiert, wenn die „Suchmaschine“ trotzdem die Anleitung mit Werbung auf Platz 1 setzt? Die Diskussion führt zu wirtschaftlichen Interessen und zu der Erkenntnis, dass Ranking-Algorithmen nicht neutral sind. Zum Schluss verbessern die Kinder selbst eine Anleitung nach einem Ziel, das sie festlegen, und begründen ihre Entscheidung: Menschen bestimmen, welche Ziele ein Algorithmus verfolgt. '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:SE-Baustein-2_Ranking.pdf Baustein-Beschreibung], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Druckvorlage-SE-Baustein-2_Ranking.pdf Druckvorlage Faltanleitungen], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:AB-SE-Baustein-2_Ranking.pdf Arbeitsblatt „Faltanleitungen ergänzen und verbessern“] <!-- DATEI: SE-Baustein-2_Ranking.pdf | Druckvorlage-SE-Baustein-2_Ranking.pdf | AB-SE-Baustein-2_Ranking.pdf --> ==== SE-Baustein 3: „Besser“ suchen ==== Suchmaschinen sind KI-Systeme, die aus einem Datensatz, einem Lernalgorithmus und einer Vorhersage bestehen. Am Beispiel der Autovervollständigung, die häufige frühere Suchanfragen vorschlägt, und des Rankings untersuchen die Kinder, wie diese Bestandteile zusammenwirken – und warum unfaire Daten zu verzerrten Ergebnissen führen können. Darauf aufbauend lernen sie Tipps für eine bewusstere Internetsuche kennen, etwa gezielte Suchbegriffe, ein kritischer Blick auf die ersten Treffer und alternative Suchmaschinen. Die Reflexion öffnet zudem die Frage, wem die Inhalte gehören, die eine Suchmaschine anzeigt. '''Material:''' Baustein-Beschreibung, digitales Gerät zur Demonstration einer Suchmaschine, ggf. [https://opensearchfoundation.org/wp-content/uploads/2022/10/Kinder-Tipps-Internetsuche.pdf Suchtipps der Open Search Foundation] === Künstliche Intelligenz === ==== KI-Baustein 1: Machine Learning und algorithmische Verzerrung ==== Die Kinder untersuchen einen Bildklassifizierer, der Dreiecke und Vierecke unterscheiden soll. Er wurde bewusst „unfair“ trainiert: Die Vierecke im Trainingsdatensatz sind nur Rechtecke in derselben Lage, die Dreiecke dagegen vielfältig. Die Kinder finden heraus, warum der Klassifizierer bei Vierecken häufiger irrt, und verbessern ihn in Kleingruppen, indem sie selbst gezeichnete Figuren als neue Trainingsdaten hinzufügen. Dabei klassifizieren sie ebene Figuren nach ihren Eigenschaften und werten Daten aus. Die Reflexion verbindet das Experiment mit realen Fällen algorithmischer Verzerrung, etwa bei Gesichtserkennung oder Bewerbungsverfahren, und mit der Einsicht, dass Menschen über die Daten und Ziele von KI-Systemen entscheiden. '''Material:''' Baustein-Beschreibung, Arbeitsblatt, Infoseite zur Bedienung von Machine Learning for Kids, Tablets mit Stift und Internetzugang <!-- DATEI: KI-Baustein-1_ML.pdf | AB_KI-Baustein-1_ML.pdf | Infoseite_KI-Baustein-1_ML.pdf | Anleitung_KI-Baustein-1_ML.pdf --> ==== KI-Baustein 2: Ethische Matrizen ==== Wenn ein Algorithmus verändert wird, wer profitiert und wer nicht? Mit einer ethischen Matrix tragen die Kinder zusammen, wer an einem Produkt interessiert ist – etwa an einem Pfannkuchenrezept oder einer Faltanleitung – und welche Werte den einzelnen Beteiligten wichtig sind. Mit Holzwürfeln gewichten sie die Felder, sodass ein Würfelgebäude entsteht, das sie beschreiben und verändern. Beim Versuch, das „Rezept“ zu verbessern, stellen die Kinder fest, dass eine Verbesserung für die einen eine Verschlechterung für andere bedeuten kann. In der Reflexion wird die Matrix auf reale Systeme wie Suchmaschinen oder Chatbots übertragen: Wessen Werte wurden berücksichtigt? '''Material:''' Baustein-Beschreibung, Vorlage Ethische Matrix, Holzwürfel (Kantenlänge 2 cm) <!-- DATEI: KI-Baustein-2_Ethische-Matrix.pdf | Druckvorlage_KI-Baustein-2_Ethische-Matrix.pdf --> === Sprachmodelle (LLM) === ==== LLM-Baustein 1: Bigram-Modell ==== Wie erzeugt ein Sprachmodell Text? Die Kinder bauen ein einfaches Modell selbst: Sie zählen in einer kurzen Geschichte, welche Wörter am Satzanfang stehen und welche darauf folgen, halten die Häufigkeiten in Tabellen fest und „würfeln“ das nächste Wort mit passenden Zufallsgeneratoren wie platonischen Körpern oder einer Münze. Die App BIGRAM übernimmt das anschließend für ganze Sätze. Die entstehenden Texte klingen oft holprig, und Wörter, die nicht in der Geschichte vorkommen, kann das Modell nicht verarbeiten. So wird verständlich, warum KI-Chatbots als „stochastische Papageien“ bezeichnet werden und warum man ihre Antworten überprüfen sollte. '''Material:''' Baustein-Beschreibung, Arbeitsblatt, Zufallsgeneratoren (z. B. platonische Körper), App BIGRAM <!-- DATEI: LLM-Baustein-1_Bigram.pdf | AB-LLM-Baustein-1_Bigram.pdf --> ==== LLM-Baustein 2: Papier-GPT ==== Ohne Computer simulieren die Kinder, wie ein Sprachmodell einen Text fortsetzt. Eine Tabelle mit einem Satzanfang wandert von Gruppe zu Gruppe. Jede Gruppe sieht nur die letzten drei Wörter, schlägt zwei mögliche Fortsetzungen vor und lässt ein Wendeplättchen entscheiden, welches Wort übernommen wird. Am Ende wird der ganze Satz aufgefaltet und vorgelesen. Die Kinder erleben dabei Gleichwahrscheinlichkeit und Zufall als Auswahlprinzip und lernen zentrale Ideen von Sprachmodellen kennen: einen begrenzten Kontext und das zufällige Auswählen des nächsten Wortes. In der Reflexion vergleichen sie das Ergebnis mit dem Bigram-Modell und überlegen, welches Wissen ihnen selbst beim Finden passender Wörter geholfen hat. '''Material:''' Baustein-Beschreibung, Druckvorlage Papier-GPT, Wendeplättchen <!-- DATEI: LLM-Baustein-2_Papier-GPT.pdf | Druckvorlage_LLM-Baustein-2_Papier-GPT.pdf --> ==== LLM-Baustein 3: Fermi-Aufgabe zur Menge der Trainingsdaten ==== Warum schreiben große Sprachmodelle so viel bessere Texte als das selbst gebaute Bigram-Modell? Ein Grund ist die riesige Menge an Texten, aus denen sie lernen. In einer Fermi-Aufgabe machen die Kinder diese Menge greifbar: Wie hoch wäre ein Papierstapel, wenn man eine kurze Geschichte so oft ausdruckt, bis die Datenmenge erreicht ist? Höher als der Mount Everest? Dafür ermitteln sie Dateigrößen, rechnen Einheiten um, überschlagen mit großen Zahlen und prüfen ihr Ergebnis auf Plausibilität. Die Reflexion führt zu Fragen des Urheberrechts – Darf eine KI deine Geschichte ohne Erlaubnis nutzen? – und dazu, warum man den Antworten einer KI nicht blind vertrauen sollte. '''Material:''' Baustein-Beschreibung, Textdatei der Geschichte (zum Ermitteln der Dateigröße), ggf. zehn Ausdrucke auf 80-g-Papier <!-- DATEI: LLM-Baustein-3_Fermi-Aufgabe.pdf | Datei_LLM-Baustein-3 (Geschichte).docx --> == Weiterführende Literatur == * Platz, M. (2025). KI, Internetsuche und algorithmische Verzerrung. ''Mathematik differenziert'', 4/2025, 22–31. * Platz, M. (2025). Algorithmen, ethische Matrizen und Würfelbauwerke. In L. Schick, M. Platz & A. Lambert (Hrsg.), ''Beiträge zum Mathematikunterricht 2025'' (S. 357–360). WTM. * Platz, M. & Plote, C. (2025). KI und Ethik im Klassenzimmer. ''Mitteilungen der GDM'', 118, 6–13. * Platz, M. & Schick, L. (2025). Lernen über LLMs im Mathematikunterricht der Primarstufe. In L. Schick, M. Platz & A. Lambert (Hrsg.), ''Beiträge zum Mathematikunterricht 2025'' (S. 231–234). WTM. * Platz, M., Schorcht, S. & Frischemeier, D. (2025). Lernen mit und über KI: Wie funktionieren LLMs und welche Prompt-Techniken gibt es? In M. Platz, S. Schorcht & D. Frischemeier (Hrsg.), ''Künstliche Intelligenz in der Primarstufe'' (S. 109–130). WTM. <!-- Ggf. ergänzen: Platz (2026) zum LLM-Literacy-Framework (PriMaMedien 17) und Platz (2026) in mathematica didactica 49 --> == Lizenz und Rückmeldung == Die Lernbausteine stehen unter der Lizenz [https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.de CC BY-SA 4.0]. Sie dürfen kopiert, verändert und weitergegeben werden, wenn die Urheberin genannt wird und Bearbeitungen unter derselben Lizenz stehen. Ausgenommen sind Inhalte Dritter, die in den Dateien gesondert gekennzeichnet sind. Namensnennung: ''Lernbausteine KI'' von Melanie Platz, Universität des Saarlandes, Professur für Didaktik der Primarstufe – Schwerpunkt Mathematik, lizenziert unter CC BY-SA 4.0. Rückmeldungen, Erfahrungen aus dem Einsatz und Verbesserungsvorschläge sind willkommen – gern auf der Diskussionsseite. remgwde06g757p6i5evrdisachvm136 1119096 1119095 2026-11-08T12:46:11Z Platzm 21125 /* SE-Baustein 3: „Besser“ suchen */ 1119096 wikitext text/x-wiki =Lernbausteine zum Lernen über KI in KITA und Grundschule= Diese Seite stellt '''Lernbausteine zu Künstlicher Intelligenz (KI), Suchmaschinen und Sprachmodellen''' in zwei Reihen bereit: '''ab Kita''' (auch in den Klassen 1 und 2 einsetzbar) und '''ab Klasse 3/4'''. Die Bausteine wurden an der Professur für Didaktik der Primarstufe – Schwerpunkt Mathematik der Universität des Saarlandes entwickelt. ''Der Upload der Dateien erfolgt in Kürze.'' == Worum es geht == Kinder begegnen KI-Systemen früh: Sie stellen Sprachassistenten Fragen, sehen Vorschläge auf Videoplattformen und nutzen Suchmaschinen. Wie diese Systeme funktionieren, bleibt ihnen meist verborgen. Die Lernbausteine setzen hier an. Ihr Grundgedanke ist, dass Kinder die Funktionsweise von KI-Systemen mit Mathematik erschließen können, die sie ohnehin lernen: Sie zählen Häufigkeiten, ordnen und sortieren, vergleichen Daten, würfeln mit Zufallsgeneratoren und rechnen mit großen Zahlen. So wird nachvollziehbar, wie ein Sprachmodell das nächste Wort wählt, warum eine Suchmaschine Ergebnisse in eine bestimmte Reihenfolge bringt oder weshalb eine KI mit einseitigen Trainingsdaten unfair entscheidet. Die meisten Bausteine kommen ohne Computer aus (''Informatik unplugged''). Die Kinder handeln selbst: Sie falten, sortieren, würfeln, spielen einen Roboter oder trainieren einen einfachen Bildklassifizierer. Jeder Baustein endet mit einer Reflexion, in der das Erlebte auf reale Systeme wie Suchmaschinen oder KI-Chatbots übertragen wird. Dabei geht es nicht nur um Technik, sondern auch um Fragen wie: Wer entscheidet, was eine Suchmaschine zuerst anzeigt? Ist es fair, wenn ein Algorithmus geheim bleibt? Versteht ein Chatbot, was er schreibt? == Aufbau == Die Bausteine sind in zwei Reihen gegliedert: * '''Ab Kita''' (auch in den Klassen 1 und 2): sechs Bausteine – zwei Basis-Bausteine zu Algorithmen und Sortieralgorithmen sowie vier Bausteine zu regelbasierten Systemen, Sortieren nach Merkmalen, maschinellem Lernen und Sprachmodellen. * '''Ab Klasse 3/4:''' acht Bausteine in drei Strängen – Suchmaschinen, Künstliche Intelligenz und Sprachmodelle (LLM). Alle Bausteine sind gleich aufgebaut: ''Darum geht es'', Bezüge zu Mathematik und Informatik, Material, Durchführung, Reflexion und Literatur. Arbeitsblätter (AB) und Druckvorlagen liegen als eigene Dateien bei. {| class="wikitable" ! Baustein !! Kernidee !! Mathematik |- ! colspan="3" | Ab Kita (auch Klasse 1/2) |- | Basis-Baustein 1: NIM-Spiel || Eine Gewinnstrategie ist ein Algorithmus || Problemlösen, Zahlenreihe bis 10 |- | Basis-Baustein 2: Bubble Sort || Sortieralgorithmen und Ranking || Längen vergleichen, ordnen |- | KITA-Baustein 1: Chinesisches Zimmer || Eine Maschine folgt Regeln, ohne zu verstehen || Zuordnen, Würfelbilder erkennen |- | KITA-Baustein 2: Sortieren || Es gibt mehrere „richtige“ Sortierungen || Klassifizieren nach Merkmalen |- | KITA-Baustein 3: Machine Learning || Einseitige Trainingsdaten führen zu Fehlern || Mengen erfassen und vergleichen |- | KITA-Baustein 4: Sprachmodell || Wörter werden per Zufall ausgewählt || Münzwurf, Gleichwahrscheinlichkeit |- ! colspan="3" | Ab Klasse 3/4 |- | SE-Baustein 1: Algorithmus || Eingabe – Verarbeitung – Ausgabe || Geometrie: Falten |- | SE-Baustein 2: Ranking || Wer entscheidet, was oben steht? || Daten erheben, Häufigkeitstabelle |- | SE-Baustein 3: „Besser“ suchen || Datensatz – Lernalgorithmus – Vorhersage || Häufigkeiten und Vorhersage |- | KI-Baustein 1: Machine Learning || Algorithmische Verzerrung (Bias) || Ebene Figuren klassifizieren, Daten |- | KI-Baustein 2: Ethische Matrizen || Algorithmen betreffen viele Interessen || Würfelgebäude, Diagramme |- | LLM-Baustein 1: Bigram-Modell || Häufigkeit bestimmt Wahrscheinlichkeit || Häufigkeiten, platonische Körper |- | LLM-Baustein 2: Papier-GPT || Kontext und Zufall beim Textgenerieren || Münzwurf, Laplace-Experiment |- | LLM-Baustein 3: Fermi-Aufgabe || Die Menge der Trainingsdaten || Große Zahlen, Größen umrechnen |} == Hinweise zur Nutzung == Die Bausteine lassen sich einzeln einsetzen, bauen aber teilweise aufeinander auf. Sinnvoll sind folgende Abfolgen: * '''Ab Kita:''' Die Basis-Bausteine (NIM-Spiel, Bubble Sort) führen in Algorithmen ein und eignen sich als Einstieg. KITA-Baustein 2 (Sortieren) vor KITA-Baustein 3 (Machine Learning), da dieselben Bildkarten genutzt werden; Baustein 1 (Chinesisches Zimmer) und Baustein 4 (Sprachmodell) ergänzen sich in der Frage, ob eine Maschine versteht, was sie tut. * '''Ab Klasse 3/4:''' Der Algorithmusbegriff aus SE-Baustein 1 bildet die Grundlage für die übrigen Bausteine; auch die Bausteine ab Kita, besonders das NIM-Spiel, eignen sich hier als Einstieg. Die Suchmaschinen-Bausteine 1 bis 3 und die LLM-Bausteine 1 bis 3 sind jeweils als Reihe gedacht. KI-Baustein 2 greift die Faltanleitungen aus SE-Baustein 2 auf. Für die Durchführung sind keine Programmierkenntnisse nötig. Zwei Bausteine nutzen frei zugängliche Webanwendungen: ''Machine Learning for Kids'' (KI-Baustein 1, KITA-Baustein 3; ohne Benutzerkonto nutzbar, die Daten bleiben im Browser) und die App ''BIGRAM'' (LLM-Baustein 1). == Lernbausteine ab Kita == Die Bausteine wurden für die Kita entwickelt und lassen sich auch in den Klassen 1 und 2 einsetzen. === Basis-Baustein 1: NIM-Spiel und Algorithmen === Zwei Kinder legen abwechselnd ein oder zwei Plättchen auf einen Spielplan mit zehn Feldern; wer das zehnte Feld belegt, gewinnt. Schnell wird klar: Das ist kein Glücksspiel. Die Kinder stellen Vermutungen über Gewinnstrategien auf, probieren sie aus und entdecken dabei schrittweise „Gewinnfelder“. Eine solche Gewinnstrategie ist ein Algorithmus – eine eindeutige, ausführbare Abfolge von Schritten. In der Reflexion wird der Bogen zu den unsichtbaren Algorithmen digitaler Plattformen geschlagen: Ist es fair, wenn nur einer die Strategie kennt? Und wer sollte entscheiden dürfen, ob ein Algorithmus geheim bleibt? '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Basis-Baustein-1_NIM-Spiel.pdf Baustein-Beschreibung], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Druckvorlage_Basis-Baustein-1_NIM-Spiel.pdf Spielplan], blaue und rote Plättchen === Basis-Baustein 2: Bubble Sort und Ranking von Suchmaschinen === Die Kinder werden selbst zum Sortieralgorithmus: Jedes Kind hält einen Stab und stellt sich auf eine Linie. Nach einer festen Regel vergleichen jeweils zwei Nachbarn ihre Stäbe und tauschen bei Bedarf die Plätze, bis alle der Länge nach geordnet sind. Durch Wiederholen mit anderen Startpositionen überzeugen sie sich davon, dass das Verfahren immer funktioniert. Als Erweiterung kann nach einem Kriterium sortiert werden, das die Kinder nicht kennen – so wie Suchmaschinen ihre Ergebnisse nach Kriterien ordnen, die nicht offenliegen. Die Kinder stellen Vermutungen über das Sortierkriterium an und kommen so ins Gespräch über Popularität und Personalisierung beim Ranking. '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Basis-Baustein-2_Bubble-Sort.pdf Baustein-Beschreibung], verschieden lange Stäbe (z. B. Cuisenaire-Stäbe), Klebeband für eine Bodenmarkierung === KITA-Baustein 1: Chinesisches Zimmer === Ein Kind sitzt in einem selbst gebastelten Karton-Roboter. Durch einen Schlitz bekommt es Würfelbilder hineingereicht und gibt mithilfe eines Regelbuchs die passende Schmetterlingskarte heraus – ohne zu wissen, wozu. Das Spiel greift das Gedankenexperiment des „Chinesischen Zimmers“ von John Searle auf: Von außen wirkt die Antwort passend, obwohl drinnen niemand versteht, worum es geht. Die Kinder üben dabei Zuordnung und das Erkennen von Würfelbildern und erleben das Prinzip Eingabe – Verarbeitung – Ausgabe. In der Reflexion sprechen sie darüber, wie es sich anfühlt, „mechanisch“ zu antworten, und ob ein Roboter – oder eine KI – wirklich nachdenkt oder fühlt. Der Baustein wirkt so der Vermenschlichung von KI entgegen. '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:KITA-Baustein-1_Chinesisches-Zimmer.pdf Baustein-Beschreibung], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Druckvorlage_KITA-Baustein-1_Chinesisches-Zimmer_Regelbuch.pdf Regelbuch], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Druckvorlage_KITA-Baustein-1_Chinesisches-Zimmer_Bildkarten.pdf Bildkarten], Karton und Bastelmaterial === KITA-Baustein 2: Sortieren === Bildkarten mit Raupen, Kokons und Schmetterlingen in verschiedenen Farben sind „durcheinandergeraten“ und sollen wieder sortiert werden. Ob nach Farbe, Form, Größe oder inhaltlichem Zusammenhang – die Kinder entscheiden selbst und begründen ihre Sortierung. Im Vergleich der Ergebnisse zeigt sich, dass es nicht nur eine richtige Lösung gibt und dass dieselbe Karte zu mehreren Gruppen passen kann. Damit machen die Kinder grundlegende Erfahrungen mit Klassifizieren und Kategorisieren. Zugleich bahnt der Baustein eine Idee des maschinellen Lernens an: Auch KI-Systeme gruppieren Daten nach Ähnlichkeiten – ohne zu verstehen, was sie bedeuten. '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:KITA-Baustein-2_Sortieren.pdf Baustein-Beschreibung], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Druckvorlage_KITA-Baustein-2_Sortieren.pdf Bildkarten] (möglichst ein Set pro Kind) === KITA-Baustein 3: Machine Learning und algorithmische Verzerrung === Die Fachkraft oder Lehrkraft zeigt einen Bildklassifizierer, der Raupen von Schmetterlingen und Kokons unterscheiden soll – und der bewusst „unfair“ trainiert wurde: Von den Raupen kennt er nur zwei sehr ähnliche Bilder. Gemeinsam untersuchen die Kinder, wo der Klassifizierer Fehler macht, und erkennen, dass es an den Trainingsdaten liegt. Mit den Bildkarten aus Baustein 2 verbessern sie das System, indem sie weitere Beispiele einlesen. In der Reflexion geht es um Verantwortung: Wer sorgt dafür, dass eine KI faire Daten bekommt? Und wo können solche Fehler für Menschen schlimme Folgen haben? Verwendet wird das kostenfreie Webwerkzeug ''Machine Learning for Kids'', das ohne Benutzerkonto auskommt. '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:KITA-Baustein-3_ML.pdf Baustein-Beschreibung], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Anleitung_KITA-Baustein-3_ML.pdf Anleitung zu Machine Learning for Kids], Tablet oder Laptop mit Kamera und Internetzugang, === KITA-Baustein 4: Sprachmodell === Gemeinsam erzählen die Kinder eine Geschichte weiter – wie ein Sprachmodell, Wort für Wort. Zu einem vorgegebenen Satzanfang schlagen sie zwei mögliche nächste Wörter vor, eine Münze entscheidet, welches genommen wird. Die Fachkraft oder Lehrkraft schreibt mit und liest die entstandene Geschichte am Ende vor. Die Kinder erleben so, dass Sprachmodelle Wörter mit Zufall auswählen und dass eine Münze nicht „weiß“, was die Geschichte erzählen soll. In der Reflexion wird deutlich, was Menschen beim Weitererzählen einbringen und eine Maschine nicht: Wissen über die Welt und darüber, worum es in einer Geschichte geht. Der Baustein knüpft an das Chinesische Zimmer an. '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:KITA-Baustein-4_LLM.pdf Baustein-Beschreibung], Münze == Lernbausteine ab Klasse 3/4 == === Suchmaschinen === ==== SE-Baustein 1: Algorithmus ==== Was ist eigentlich ein Algorithmus? Die Kinder erarbeiten eine kindgerechte Definition und prüfen an Beispielen aus dem Alltag, ob es sich um einen Algorithmus handelt. Dann falten sie ein quadratisches Papier nach einer Faltanleitung und entdecken dabei Dreiecke, Diagonalen und Mittelpunkt. Die Faltanleitung erweist sich als Algorithmus mit Eingabe (Papier), Verarbeitungsschritten und Ausgabe (Faltprodukt). Auch eine Suchmaschine arbeitet nach diesem Prinzip – mit der Suchanfrage als Eingabe und der Trefferliste als Ausgabe. Der entscheidende Unterschied, den die Reflexion herausarbeitet: Die Faltanleitung ist nachvollziehbar, der Algorithmus einer Suchmaschine nicht. '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:SE-Baustein-1_Algorithmus.pdf Baustein-Beschreibung], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:AB-SE-Baustein-1_Algorithmus.pdf Arbeitsblatt Algorithmus], quadratisches Faltpapier, [https://opensearchfoundation.org/wp-content/uploads/2022/10/So-funktioniert-die-Internetsuche.pdf Infografik „So funktioniert die Internetsuche“ der Open Search Foundation] ==== SE-Baustein 2: Ranking ==== Wer entscheidet, was bei einer Suche oben steht? Die Kinder vergleichen mehrere Faltanleitungen für dasselbe Objekt, darunter eine mit Werbung. Zuerst erstellen sie ein eigenes Ranking (Personalisierung), dann ermitteln sie per Befragung und Häufigkeitstabelle das beliebteste Ergebnis der Klasse (Popularität). Was passiert, wenn die „Suchmaschine“ trotzdem die Anleitung mit Werbung auf Platz 1 setzt? Die Diskussion führt zu wirtschaftlichen Interessen und zu der Erkenntnis, dass Ranking-Algorithmen nicht neutral sind. Zum Schluss verbessern die Kinder selbst eine Anleitung nach einem Ziel, das sie festlegen, und begründen ihre Entscheidung: Menschen bestimmen, welche Ziele ein Algorithmus verfolgt. '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:SE-Baustein-2_Ranking.pdf Baustein-Beschreibung], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Druckvorlage-SE-Baustein-2_Ranking.pdf Druckvorlage Faltanleitungen], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:AB-SE-Baustein-2_Ranking.pdf Arbeitsblatt „Faltanleitungen ergänzen und verbessern“] <!-- DATEI: SE-Baustein-2_Ranking.pdf | Druckvorlage-SE-Baustein-2_Ranking.pdf | AB-SE-Baustein-2_Ranking.pdf --> ==== SE-Baustein 3: „Besser“ suchen ==== Suchmaschinen sind KI-Systeme, die aus einem Datensatz, einem Lernalgorithmus und einer Vorhersage bestehen. Am Beispiel der Autovervollständigung, die häufige frühere Suchanfragen vorschlägt, und des Rankings untersuchen die Kinder, wie diese Bestandteile zusammenwirken – und warum unfaire Daten zu verzerrten Ergebnissen führen können. Darauf aufbauend lernen sie Tipps für eine bewusstere Internetsuche kennen, etwa gezielte Suchbegriffe, ein kritischer Blick auf die ersten Treffer und alternative Suchmaschinen. Die Reflexion öffnet zudem die Frage, wem die Inhalte gehören, die eine Suchmaschine anzeigt. '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:SE-Baustein-3_besser_Suchen.pdf Baustein-Beschreibung], digitales Gerät zur Demonstration einer Suchmaschine, ggf. [https://opensearchfoundation.org/wp-content/uploads/2022/10/Kinder-Tipps-Internetsuche.pdf Suchtipps der Open Search Foundation] === Künstliche Intelligenz === ==== KI-Baustein 1: Machine Learning und algorithmische Verzerrung ==== Die Kinder untersuchen einen Bildklassifizierer, der Dreiecke und Vierecke unterscheiden soll. Er wurde bewusst „unfair“ trainiert: Die Vierecke im Trainingsdatensatz sind nur Rechtecke in derselben Lage, die Dreiecke dagegen vielfältig. Die Kinder finden heraus, warum der Klassifizierer bei Vierecken häufiger irrt, und verbessern ihn in Kleingruppen, indem sie selbst gezeichnete Figuren als neue Trainingsdaten hinzufügen. Dabei klassifizieren sie ebene Figuren nach ihren Eigenschaften und werten Daten aus. Die Reflexion verbindet das Experiment mit realen Fällen algorithmischer Verzerrung, etwa bei Gesichtserkennung oder Bewerbungsverfahren, und mit der Einsicht, dass Menschen über die Daten und Ziele von KI-Systemen entscheiden. '''Material:''' Baustein-Beschreibung, Arbeitsblatt, Infoseite zur Bedienung von Machine Learning for Kids, Tablets mit Stift und Internetzugang <!-- DATEI: KI-Baustein-1_ML.pdf | AB_KI-Baustein-1_ML.pdf | Infoseite_KI-Baustein-1_ML.pdf | Anleitung_KI-Baustein-1_ML.pdf --> ==== KI-Baustein 2: Ethische Matrizen ==== Wenn ein Algorithmus verändert wird, wer profitiert und wer nicht? Mit einer ethischen Matrix tragen die Kinder zusammen, wer an einem Produkt interessiert ist – etwa an einem Pfannkuchenrezept oder einer Faltanleitung – und welche Werte den einzelnen Beteiligten wichtig sind. Mit Holzwürfeln gewichten sie die Felder, sodass ein Würfelgebäude entsteht, das sie beschreiben und verändern. Beim Versuch, das „Rezept“ zu verbessern, stellen die Kinder fest, dass eine Verbesserung für die einen eine Verschlechterung für andere bedeuten kann. In der Reflexion wird die Matrix auf reale Systeme wie Suchmaschinen oder Chatbots übertragen: Wessen Werte wurden berücksichtigt? '''Material:''' Baustein-Beschreibung, Vorlage Ethische Matrix, Holzwürfel (Kantenlänge 2 cm) <!-- DATEI: KI-Baustein-2_Ethische-Matrix.pdf | Druckvorlage_KI-Baustein-2_Ethische-Matrix.pdf --> === Sprachmodelle (LLM) === ==== LLM-Baustein 1: Bigram-Modell ==== Wie erzeugt ein Sprachmodell Text? Die Kinder bauen ein einfaches Modell selbst: Sie zählen in einer kurzen Geschichte, welche Wörter am Satzanfang stehen und welche darauf folgen, halten die Häufigkeiten in Tabellen fest und „würfeln“ das nächste Wort mit passenden Zufallsgeneratoren wie platonischen Körpern oder einer Münze. Die App BIGRAM übernimmt das anschließend für ganze Sätze. Die entstehenden Texte klingen oft holprig, und Wörter, die nicht in der Geschichte vorkommen, kann das Modell nicht verarbeiten. So wird verständlich, warum KI-Chatbots als „stochastische Papageien“ bezeichnet werden und warum man ihre Antworten überprüfen sollte. '''Material:''' Baustein-Beschreibung, Arbeitsblatt, Zufallsgeneratoren (z. B. platonische Körper), App BIGRAM <!-- DATEI: LLM-Baustein-1_Bigram.pdf | AB-LLM-Baustein-1_Bigram.pdf --> ==== LLM-Baustein 2: Papier-GPT ==== Ohne Computer simulieren die Kinder, wie ein Sprachmodell einen Text fortsetzt. Eine Tabelle mit einem Satzanfang wandert von Gruppe zu Gruppe. Jede Gruppe sieht nur die letzten drei Wörter, schlägt zwei mögliche Fortsetzungen vor und lässt ein Wendeplättchen entscheiden, welches Wort übernommen wird. Am Ende wird der ganze Satz aufgefaltet und vorgelesen. Die Kinder erleben dabei Gleichwahrscheinlichkeit und Zufall als Auswahlprinzip und lernen zentrale Ideen von Sprachmodellen kennen: einen begrenzten Kontext und das zufällige Auswählen des nächsten Wortes. In der Reflexion vergleichen sie das Ergebnis mit dem Bigram-Modell und überlegen, welches Wissen ihnen selbst beim Finden passender Wörter geholfen hat. '''Material:''' Baustein-Beschreibung, Druckvorlage Papier-GPT, Wendeplättchen <!-- DATEI: LLM-Baustein-2_Papier-GPT.pdf | Druckvorlage_LLM-Baustein-2_Papier-GPT.pdf --> ==== LLM-Baustein 3: Fermi-Aufgabe zur Menge der Trainingsdaten ==== Warum schreiben große Sprachmodelle so viel bessere Texte als das selbst gebaute Bigram-Modell? Ein Grund ist die riesige Menge an Texten, aus denen sie lernen. In einer Fermi-Aufgabe machen die Kinder diese Menge greifbar: Wie hoch wäre ein Papierstapel, wenn man eine kurze Geschichte so oft ausdruckt, bis die Datenmenge erreicht ist? Höher als der Mount Everest? Dafür ermitteln sie Dateigrößen, rechnen Einheiten um, überschlagen mit großen Zahlen und prüfen ihr Ergebnis auf Plausibilität. Die Reflexion führt zu Fragen des Urheberrechts – Darf eine KI deine Geschichte ohne Erlaubnis nutzen? – und dazu, warum man den Antworten einer KI nicht blind vertrauen sollte. '''Material:''' Baustein-Beschreibung, Textdatei der Geschichte (zum Ermitteln der Dateigröße), ggf. zehn Ausdrucke auf 80-g-Papier <!-- DATEI: LLM-Baustein-3_Fermi-Aufgabe.pdf | Datei_LLM-Baustein-3 (Geschichte).docx --> == Weiterführende Literatur == * Platz, M. (2025). KI, Internetsuche und algorithmische Verzerrung. ''Mathematik differenziert'', 4/2025, 22–31. * Platz, M. (2025). Algorithmen, ethische Matrizen und Würfelbauwerke. In L. Schick, M. Platz & A. Lambert (Hrsg.), ''Beiträge zum Mathematikunterricht 2025'' (S. 357–360). WTM. * Platz, M. & Plote, C. (2025). KI und Ethik im Klassenzimmer. ''Mitteilungen der GDM'', 118, 6–13. * Platz, M. & Schick, L. (2025). Lernen über LLMs im Mathematikunterricht der Primarstufe. In L. Schick, M. Platz & A. Lambert (Hrsg.), ''Beiträge zum Mathematikunterricht 2025'' (S. 231–234). WTM. * Platz, M., Schorcht, S. & Frischemeier, D. (2025). Lernen mit und über KI: Wie funktionieren LLMs und welche Prompt-Techniken gibt es? In M. Platz, S. Schorcht & D. Frischemeier (Hrsg.), ''Künstliche Intelligenz in der Primarstufe'' (S. 109–130). WTM. <!-- Ggf. ergänzen: Platz (2026) zum LLM-Literacy-Framework (PriMaMedien 17) und Platz (2026) in mathematica didactica 49 --> == Lizenz und Rückmeldung == Die Lernbausteine stehen unter der Lizenz [https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.de CC BY-SA 4.0]. Sie dürfen kopiert, verändert und weitergegeben werden, wenn die Urheberin genannt wird und Bearbeitungen unter derselben Lizenz stehen. Ausgenommen sind Inhalte Dritter, die in den Dateien gesondert gekennzeichnet sind. Namensnennung: ''Lernbausteine KI'' von Melanie Platz, Universität des Saarlandes, Professur für Didaktik der Primarstufe – Schwerpunkt Mathematik, lizenziert unter CC BY-SA 4.0. Rückmeldungen, Erfahrungen aus dem Einsatz und Verbesserungsvorschläge sind willkommen – gern auf der Diskussionsseite. eocbz04o7qeaesq7m9q8v41hypvq9rh 1119106 1119096 2026-11-08T13:32:46Z Platzm 21125 /* KI-Baustein 1: Machine Learning und algorithmische Verzerrung */ 1119106 wikitext text/x-wiki =Lernbausteine zum Lernen über KI in KITA und Grundschule= Diese Seite stellt '''Lernbausteine zu Künstlicher Intelligenz (KI), Suchmaschinen und Sprachmodellen''' in zwei Reihen bereit: '''ab Kita''' (auch in den Klassen 1 und 2 einsetzbar) und '''ab Klasse 3/4'''. Die Bausteine wurden an der Professur für Didaktik der Primarstufe – Schwerpunkt Mathematik der Universität des Saarlandes entwickelt. ''Der Upload der Dateien erfolgt in Kürze.'' == Worum es geht == Kinder begegnen KI-Systemen früh: Sie stellen Sprachassistenten Fragen, sehen Vorschläge auf Videoplattformen und nutzen Suchmaschinen. Wie diese Systeme funktionieren, bleibt ihnen meist verborgen. Die Lernbausteine setzen hier an. Ihr Grundgedanke ist, dass Kinder die Funktionsweise von KI-Systemen mit Mathematik erschließen können, die sie ohnehin lernen: Sie zählen Häufigkeiten, ordnen und sortieren, vergleichen Daten, würfeln mit Zufallsgeneratoren und rechnen mit großen Zahlen. So wird nachvollziehbar, wie ein Sprachmodell das nächste Wort wählt, warum eine Suchmaschine Ergebnisse in eine bestimmte Reihenfolge bringt oder weshalb eine KI mit einseitigen Trainingsdaten unfair entscheidet. Die meisten Bausteine kommen ohne Computer aus (''Informatik unplugged''). Die Kinder handeln selbst: Sie falten, sortieren, würfeln, spielen einen Roboter oder trainieren einen einfachen Bildklassifizierer. Jeder Baustein endet mit einer Reflexion, in der das Erlebte auf reale Systeme wie Suchmaschinen oder KI-Chatbots übertragen wird. Dabei geht es nicht nur um Technik, sondern auch um Fragen wie: Wer entscheidet, was eine Suchmaschine zuerst anzeigt? Ist es fair, wenn ein Algorithmus geheim bleibt? Versteht ein Chatbot, was er schreibt? == Aufbau == Die Bausteine sind in zwei Reihen gegliedert: * '''Ab Kita''' (auch in den Klassen 1 und 2): sechs Bausteine – zwei Basis-Bausteine zu Algorithmen und Sortieralgorithmen sowie vier Bausteine zu regelbasierten Systemen, Sortieren nach Merkmalen, maschinellem Lernen und Sprachmodellen. * '''Ab Klasse 3/4:''' acht Bausteine in drei Strängen – Suchmaschinen, Künstliche Intelligenz und Sprachmodelle (LLM). Alle Bausteine sind gleich aufgebaut: ''Darum geht es'', Bezüge zu Mathematik und Informatik, Material, Durchführung, Reflexion und Literatur. Arbeitsblätter (AB) und Druckvorlagen liegen als eigene Dateien bei. {| class="wikitable" ! Baustein !! Kernidee !! Mathematik |- ! colspan="3" | Ab Kita (auch Klasse 1/2) |- | Basis-Baustein 1: NIM-Spiel || Eine Gewinnstrategie ist ein Algorithmus || Problemlösen, Zahlenreihe bis 10 |- | Basis-Baustein 2: Bubble Sort || Sortieralgorithmen und Ranking || Längen vergleichen, ordnen |- | KITA-Baustein 1: Chinesisches Zimmer || Eine Maschine folgt Regeln, ohne zu verstehen || Zuordnen, Würfelbilder erkennen |- | KITA-Baustein 2: Sortieren || Es gibt mehrere „richtige“ Sortierungen || Klassifizieren nach Merkmalen |- | KITA-Baustein 3: Machine Learning || Einseitige Trainingsdaten führen zu Fehlern || Mengen erfassen und vergleichen |- | KITA-Baustein 4: Sprachmodell || Wörter werden per Zufall ausgewählt || Münzwurf, Gleichwahrscheinlichkeit |- ! colspan="3" | Ab Klasse 3/4 |- | SE-Baustein 1: Algorithmus || Eingabe – Verarbeitung – Ausgabe || Geometrie: Falten |- | SE-Baustein 2: Ranking || Wer entscheidet, was oben steht? || Daten erheben, Häufigkeitstabelle |- | SE-Baustein 3: „Besser“ suchen || Datensatz – Lernalgorithmus – Vorhersage || Häufigkeiten und Vorhersage |- | KI-Baustein 1: Machine Learning || Algorithmische Verzerrung (Bias) || Ebene Figuren klassifizieren, Daten |- | KI-Baustein 2: Ethische Matrizen || Algorithmen betreffen viele Interessen || Würfelgebäude, Diagramme |- | LLM-Baustein 1: Bigram-Modell || Häufigkeit bestimmt Wahrscheinlichkeit || Häufigkeiten, platonische Körper |- | LLM-Baustein 2: Papier-GPT || Kontext und Zufall beim Textgenerieren || Münzwurf, Laplace-Experiment |- | LLM-Baustein 3: Fermi-Aufgabe || Die Menge der Trainingsdaten || Große Zahlen, Größen umrechnen |} == Hinweise zur Nutzung == Die Bausteine lassen sich einzeln einsetzen, bauen aber teilweise aufeinander auf. Sinnvoll sind folgende Abfolgen: * '''Ab Kita:''' Die Basis-Bausteine (NIM-Spiel, Bubble Sort) führen in Algorithmen ein und eignen sich als Einstieg. KITA-Baustein 2 (Sortieren) vor KITA-Baustein 3 (Machine Learning), da dieselben Bildkarten genutzt werden; Baustein 1 (Chinesisches Zimmer) und Baustein 4 (Sprachmodell) ergänzen sich in der Frage, ob eine Maschine versteht, was sie tut. * '''Ab Klasse 3/4:''' Der Algorithmusbegriff aus SE-Baustein 1 bildet die Grundlage für die übrigen Bausteine; auch die Bausteine ab Kita, besonders das NIM-Spiel, eignen sich hier als Einstieg. Die Suchmaschinen-Bausteine 1 bis 3 und die LLM-Bausteine 1 bis 3 sind jeweils als Reihe gedacht. KI-Baustein 2 greift die Faltanleitungen aus SE-Baustein 2 auf. Für die Durchführung sind keine Programmierkenntnisse nötig. Zwei Bausteine nutzen frei zugängliche Webanwendungen: ''Machine Learning for Kids'' (KI-Baustein 1, KITA-Baustein 3; ohne Benutzerkonto nutzbar, die Daten bleiben im Browser) und die App ''BIGRAM'' (LLM-Baustein 1). == Lernbausteine ab Kita == Die Bausteine wurden für die Kita entwickelt und lassen sich auch in den Klassen 1 und 2 einsetzen. === Basis-Baustein 1: NIM-Spiel und Algorithmen === Zwei Kinder legen abwechselnd ein oder zwei Plättchen auf einen Spielplan mit zehn Feldern; wer das zehnte Feld belegt, gewinnt. Schnell wird klar: Das ist kein Glücksspiel. Die Kinder stellen Vermutungen über Gewinnstrategien auf, probieren sie aus und entdecken dabei schrittweise „Gewinnfelder“. Eine solche Gewinnstrategie ist ein Algorithmus – eine eindeutige, ausführbare Abfolge von Schritten. In der Reflexion wird der Bogen zu den unsichtbaren Algorithmen digitaler Plattformen geschlagen: Ist es fair, wenn nur einer die Strategie kennt? Und wer sollte entscheiden dürfen, ob ein Algorithmus geheim bleibt? '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Basis-Baustein-1_NIM-Spiel.pdf Baustein-Beschreibung], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Druckvorlage_Basis-Baustein-1_NIM-Spiel.pdf Spielplan], blaue und rote Plättchen === Basis-Baustein 2: Bubble Sort und Ranking von Suchmaschinen === Die Kinder werden selbst zum Sortieralgorithmus: Jedes Kind hält einen Stab und stellt sich auf eine Linie. Nach einer festen Regel vergleichen jeweils zwei Nachbarn ihre Stäbe und tauschen bei Bedarf die Plätze, bis alle der Länge nach geordnet sind. Durch Wiederholen mit anderen Startpositionen überzeugen sie sich davon, dass das Verfahren immer funktioniert. Als Erweiterung kann nach einem Kriterium sortiert werden, das die Kinder nicht kennen – so wie Suchmaschinen ihre Ergebnisse nach Kriterien ordnen, die nicht offenliegen. Die Kinder stellen Vermutungen über das Sortierkriterium an und kommen so ins Gespräch über Popularität und Personalisierung beim Ranking. '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Basis-Baustein-2_Bubble-Sort.pdf Baustein-Beschreibung], verschieden lange Stäbe (z. B. Cuisenaire-Stäbe), Klebeband für eine Bodenmarkierung === KITA-Baustein 1: Chinesisches Zimmer === Ein Kind sitzt in einem selbst gebastelten Karton-Roboter. Durch einen Schlitz bekommt es Würfelbilder hineingereicht und gibt mithilfe eines Regelbuchs die passende Schmetterlingskarte heraus – ohne zu wissen, wozu. Das Spiel greift das Gedankenexperiment des „Chinesischen Zimmers“ von John Searle auf: Von außen wirkt die Antwort passend, obwohl drinnen niemand versteht, worum es geht. Die Kinder üben dabei Zuordnung und das Erkennen von Würfelbildern und erleben das Prinzip Eingabe – Verarbeitung – Ausgabe. In der Reflexion sprechen sie darüber, wie es sich anfühlt, „mechanisch“ zu antworten, und ob ein Roboter – oder eine KI – wirklich nachdenkt oder fühlt. Der Baustein wirkt so der Vermenschlichung von KI entgegen. '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:KITA-Baustein-1_Chinesisches-Zimmer.pdf Baustein-Beschreibung], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Druckvorlage_KITA-Baustein-1_Chinesisches-Zimmer_Regelbuch.pdf Regelbuch], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Druckvorlage_KITA-Baustein-1_Chinesisches-Zimmer_Bildkarten.pdf Bildkarten], Karton und Bastelmaterial === KITA-Baustein 2: Sortieren === Bildkarten mit Raupen, Kokons und Schmetterlingen in verschiedenen Farben sind „durcheinandergeraten“ und sollen wieder sortiert werden. Ob nach Farbe, Form, Größe oder inhaltlichem Zusammenhang – die Kinder entscheiden selbst und begründen ihre Sortierung. Im Vergleich der Ergebnisse zeigt sich, dass es nicht nur eine richtige Lösung gibt und dass dieselbe Karte zu mehreren Gruppen passen kann. Damit machen die Kinder grundlegende Erfahrungen mit Klassifizieren und Kategorisieren. Zugleich bahnt der Baustein eine Idee des maschinellen Lernens an: Auch KI-Systeme gruppieren Daten nach Ähnlichkeiten – ohne zu verstehen, was sie bedeuten. '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:KITA-Baustein-2_Sortieren.pdf Baustein-Beschreibung], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Druckvorlage_KITA-Baustein-2_Sortieren.pdf Bildkarten] (möglichst ein Set pro Kind) === KITA-Baustein 3: Machine Learning und algorithmische Verzerrung === Die Fachkraft oder Lehrkraft zeigt einen Bildklassifizierer, der Raupen von Schmetterlingen und Kokons unterscheiden soll – und der bewusst „unfair“ trainiert wurde: Von den Raupen kennt er nur zwei sehr ähnliche Bilder. Gemeinsam untersuchen die Kinder, wo der Klassifizierer Fehler macht, und erkennen, dass es an den Trainingsdaten liegt. Mit den Bildkarten aus Baustein 2 verbessern sie das System, indem sie weitere Beispiele einlesen. In der Reflexion geht es um Verantwortung: Wer sorgt dafür, dass eine KI faire Daten bekommt? Und wo können solche Fehler für Menschen schlimme Folgen haben? Verwendet wird das kostenfreie Webwerkzeug ''Machine Learning for Kids'', das ohne Benutzerkonto auskommt. '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:KITA-Baustein-3_ML.pdf Baustein-Beschreibung], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Anleitung_KITA-Baustein-3_ML.pdf Anleitung zu Machine Learning for Kids], Tablet oder Laptop mit Kamera und Internetzugang, === KITA-Baustein 4: Sprachmodell === Gemeinsam erzählen die Kinder eine Geschichte weiter – wie ein Sprachmodell, Wort für Wort. Zu einem vorgegebenen Satzanfang schlagen sie zwei mögliche nächste Wörter vor, eine Münze entscheidet, welches genommen wird. Die Fachkraft oder Lehrkraft schreibt mit und liest die entstandene Geschichte am Ende vor. Die Kinder erleben so, dass Sprachmodelle Wörter mit Zufall auswählen und dass eine Münze nicht „weiß“, was die Geschichte erzählen soll. In der Reflexion wird deutlich, was Menschen beim Weitererzählen einbringen und eine Maschine nicht: Wissen über die Welt und darüber, worum es in einer Geschichte geht. Der Baustein knüpft an das Chinesische Zimmer an. '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:KITA-Baustein-4_LLM.pdf Baustein-Beschreibung], Münze == Lernbausteine ab Klasse 3/4 == === Suchmaschinen === ==== SE-Baustein 1: Algorithmus ==== Was ist eigentlich ein Algorithmus? Die Kinder erarbeiten eine kindgerechte Definition und prüfen an Beispielen aus dem Alltag, ob es sich um einen Algorithmus handelt. Dann falten sie ein quadratisches Papier nach einer Faltanleitung und entdecken dabei Dreiecke, Diagonalen und Mittelpunkt. Die Faltanleitung erweist sich als Algorithmus mit Eingabe (Papier), Verarbeitungsschritten und Ausgabe (Faltprodukt). Auch eine Suchmaschine arbeitet nach diesem Prinzip – mit der Suchanfrage als Eingabe und der Trefferliste als Ausgabe. Der entscheidende Unterschied, den die Reflexion herausarbeitet: Die Faltanleitung ist nachvollziehbar, der Algorithmus einer Suchmaschine nicht. '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:SE-Baustein-1_Algorithmus.pdf Baustein-Beschreibung], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:AB-SE-Baustein-1_Algorithmus.pdf Arbeitsblatt Algorithmus], quadratisches Faltpapier, [https://opensearchfoundation.org/wp-content/uploads/2022/10/So-funktioniert-die-Internetsuche.pdf Infografik „So funktioniert die Internetsuche“ der Open Search Foundation] ==== SE-Baustein 2: Ranking ==== Wer entscheidet, was bei einer Suche oben steht? Die Kinder vergleichen mehrere Faltanleitungen für dasselbe Objekt, darunter eine mit Werbung. Zuerst erstellen sie ein eigenes Ranking (Personalisierung), dann ermitteln sie per Befragung und Häufigkeitstabelle das beliebteste Ergebnis der Klasse (Popularität). Was passiert, wenn die „Suchmaschine“ trotzdem die Anleitung mit Werbung auf Platz 1 setzt? Die Diskussion führt zu wirtschaftlichen Interessen und zu der Erkenntnis, dass Ranking-Algorithmen nicht neutral sind. Zum Schluss verbessern die Kinder selbst eine Anleitung nach einem Ziel, das sie festlegen, und begründen ihre Entscheidung: Menschen bestimmen, welche Ziele ein Algorithmus verfolgt. '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:SE-Baustein-2_Ranking.pdf Baustein-Beschreibung], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Druckvorlage-SE-Baustein-2_Ranking.pdf Druckvorlage Faltanleitungen], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:AB-SE-Baustein-2_Ranking.pdf Arbeitsblatt „Faltanleitungen ergänzen und verbessern“] <!-- DATEI: SE-Baustein-2_Ranking.pdf | Druckvorlage-SE-Baustein-2_Ranking.pdf | AB-SE-Baustein-2_Ranking.pdf --> ==== SE-Baustein 3: „Besser“ suchen ==== Suchmaschinen sind KI-Systeme, die aus einem Datensatz, einem Lernalgorithmus und einer Vorhersage bestehen. Am Beispiel der Autovervollständigung, die häufige frühere Suchanfragen vorschlägt, und des Rankings untersuchen die Kinder, wie diese Bestandteile zusammenwirken – und warum unfaire Daten zu verzerrten Ergebnissen führen können. Darauf aufbauend lernen sie Tipps für eine bewusstere Internetsuche kennen, etwa gezielte Suchbegriffe, ein kritischer Blick auf die ersten Treffer und alternative Suchmaschinen. Die Reflexion öffnet zudem die Frage, wem die Inhalte gehören, die eine Suchmaschine anzeigt. '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:SE-Baustein-3_besser_Suchen.pdf Baustein-Beschreibung], digitales Gerät zur Demonstration einer Suchmaschine, ggf. [https://opensearchfoundation.org/wp-content/uploads/2022/10/Kinder-Tipps-Internetsuche.pdf Suchtipps der Open Search Foundation] === Künstliche Intelligenz === ==== KI-Baustein 1: Machine Learning und algorithmische Verzerrung ==== Die Kinder untersuchen einen Bildklassifizierer, der Dreiecke und Vierecke unterscheiden soll. Er wurde bewusst „unfair“ trainiert: Die Vierecke im Trainingsdatensatz sind nur Rechtecke in derselben Lage, die Dreiecke dagegen vielfältig. Die Kinder finden heraus, warum der Klassifizierer bei Vierecken häufiger irrt, und verbessern ihn in Kleingruppen, indem sie selbst gezeichnete Figuren als neue Trainingsdaten hinzufügen. Dabei klassifizieren sie ebene Figuren nach ihren Eigenschaften und werten Daten aus. Die Reflexion verbindet das Experiment mit realen Fällen algorithmischer Verzerrung, etwa bei Gesichtserkennung oder Bewerbungsverfahren, und mit der Einsicht, dass Menschen über die Daten und Ziele von KI-Systemen entscheiden. '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:KI-Baustein-1_ML.pdf Baustein-Beschreibung], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:AB_KI-Baustein-1_ML.pdf Arbeitsblatt], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Infoseite_KI-Baustein-1_ML.pdf Infoseite zur Bedienung von Machine Learning for Kids], Anleitung zu Machine Learning for Kids für Lehrpersonen, Tablets mit Stift und Internetzugang ==== KI-Baustein 2: Ethische Matrizen ==== Wenn ein Algorithmus verändert wird, wer profitiert und wer nicht? Mit einer ethischen Matrix tragen die Kinder zusammen, wer an einem Produkt interessiert ist – etwa an einem Pfannkuchenrezept oder einer Faltanleitung – und welche Werte den einzelnen Beteiligten wichtig sind. Mit Holzwürfeln gewichten sie die Felder, sodass ein Würfelgebäude entsteht, das sie beschreiben und verändern. Beim Versuch, das „Rezept“ zu verbessern, stellen die Kinder fest, dass eine Verbesserung für die einen eine Verschlechterung für andere bedeuten kann. In der Reflexion wird die Matrix auf reale Systeme wie Suchmaschinen oder Chatbots übertragen: Wessen Werte wurden berücksichtigt? '''Material:''' Baustein-Beschreibung, Vorlage Ethische Matrix, Holzwürfel (Kantenlänge 2 cm) <!-- DATEI: KI-Baustein-2_Ethische-Matrix.pdf | Druckvorlage_KI-Baustein-2_Ethische-Matrix.pdf --> === Sprachmodelle (LLM) === ==== LLM-Baustein 1: Bigram-Modell ==== Wie erzeugt ein Sprachmodell Text? Die Kinder bauen ein einfaches Modell selbst: Sie zählen in einer kurzen Geschichte, welche Wörter am Satzanfang stehen und welche darauf folgen, halten die Häufigkeiten in Tabellen fest und „würfeln“ das nächste Wort mit passenden Zufallsgeneratoren wie platonischen Körpern oder einer Münze. Die App BIGRAM übernimmt das anschließend für ganze Sätze. Die entstehenden Texte klingen oft holprig, und Wörter, die nicht in der Geschichte vorkommen, kann das Modell nicht verarbeiten. So wird verständlich, warum KI-Chatbots als „stochastische Papageien“ bezeichnet werden und warum man ihre Antworten überprüfen sollte. '''Material:''' Baustein-Beschreibung, Arbeitsblatt, Zufallsgeneratoren (z. B. platonische Körper), App BIGRAM <!-- DATEI: LLM-Baustein-1_Bigram.pdf | AB-LLM-Baustein-1_Bigram.pdf --> ==== LLM-Baustein 2: Papier-GPT ==== Ohne Computer simulieren die Kinder, wie ein Sprachmodell einen Text fortsetzt. Eine Tabelle mit einem Satzanfang wandert von Gruppe zu Gruppe. Jede Gruppe sieht nur die letzten drei Wörter, schlägt zwei mögliche Fortsetzungen vor und lässt ein Wendeplättchen entscheiden, welches Wort übernommen wird. Am Ende wird der ganze Satz aufgefaltet und vorgelesen. Die Kinder erleben dabei Gleichwahrscheinlichkeit und Zufall als Auswahlprinzip und lernen zentrale Ideen von Sprachmodellen kennen: einen begrenzten Kontext und das zufällige Auswählen des nächsten Wortes. In der Reflexion vergleichen sie das Ergebnis mit dem Bigram-Modell und überlegen, welches Wissen ihnen selbst beim Finden passender Wörter geholfen hat. '''Material:''' Baustein-Beschreibung, Druckvorlage Papier-GPT, Wendeplättchen <!-- DATEI: LLM-Baustein-2_Papier-GPT.pdf | Druckvorlage_LLM-Baustein-2_Papier-GPT.pdf --> ==== LLM-Baustein 3: Fermi-Aufgabe zur Menge der Trainingsdaten ==== Warum schreiben große Sprachmodelle so viel bessere Texte als das selbst gebaute Bigram-Modell? Ein Grund ist die riesige Menge an Texten, aus denen sie lernen. In einer Fermi-Aufgabe machen die Kinder diese Menge greifbar: Wie hoch wäre ein Papierstapel, wenn man eine kurze Geschichte so oft ausdruckt, bis die Datenmenge erreicht ist? Höher als der Mount Everest? Dafür ermitteln sie Dateigrößen, rechnen Einheiten um, überschlagen mit großen Zahlen und prüfen ihr Ergebnis auf Plausibilität. Die Reflexion führt zu Fragen des Urheberrechts – Darf eine KI deine Geschichte ohne Erlaubnis nutzen? – und dazu, warum man den Antworten einer KI nicht blind vertrauen sollte. '''Material:''' Baustein-Beschreibung, Textdatei der Geschichte (zum Ermitteln der Dateigröße), ggf. zehn Ausdrucke auf 80-g-Papier <!-- DATEI: LLM-Baustein-3_Fermi-Aufgabe.pdf | Datei_LLM-Baustein-3 (Geschichte).docx --> == Weiterführende Literatur == * Platz, M. (2025). KI, Internetsuche und algorithmische Verzerrung. ''Mathematik differenziert'', 4/2025, 22–31. * Platz, M. (2025). Algorithmen, ethische Matrizen und Würfelbauwerke. In L. Schick, M. Platz & A. Lambert (Hrsg.), ''Beiträge zum Mathematikunterricht 2025'' (S. 357–360). WTM. * Platz, M. & Plote, C. (2025). KI und Ethik im Klassenzimmer. ''Mitteilungen der GDM'', 118, 6–13. * Platz, M. & Schick, L. (2025). Lernen über LLMs im Mathematikunterricht der Primarstufe. In L. Schick, M. Platz & A. Lambert (Hrsg.), ''Beiträge zum Mathematikunterricht 2025'' (S. 231–234). WTM. * Platz, M., Schorcht, S. & Frischemeier, D. (2025). Lernen mit und über KI: Wie funktionieren LLMs und welche Prompt-Techniken gibt es? In M. Platz, S. Schorcht & D. Frischemeier (Hrsg.), ''Künstliche Intelligenz in der Primarstufe'' (S. 109–130). WTM. <!-- Ggf. ergänzen: Platz (2026) zum LLM-Literacy-Framework (PriMaMedien 17) und Platz (2026) in mathematica didactica 49 --> == Lizenz und Rückmeldung == Die Lernbausteine stehen unter der Lizenz [https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.de CC BY-SA 4.0]. Sie dürfen kopiert, verändert und weitergegeben werden, wenn die Urheberin genannt wird und Bearbeitungen unter derselben Lizenz stehen. Ausgenommen sind Inhalte Dritter, die in den Dateien gesondert gekennzeichnet sind. Namensnennung: ''Lernbausteine KI'' von Melanie Platz, Universität des Saarlandes, Professur für Didaktik der Primarstufe – Schwerpunkt Mathematik, lizenziert unter CC BY-SA 4.0. Rückmeldungen, Erfahrungen aus dem Einsatz und Verbesserungsvorschläge sind willkommen – gern auf der Diskussionsseite. ip5ca5kbdlu7kjrylt9qdv0ngw0jr3i 1119107 1119106 2026-11-08T13:33:33Z Platzm 21125 /* KI-Baustein 2: Ethische Matrizen */ 1119107 wikitext text/x-wiki =Lernbausteine zum Lernen über KI in KITA und Grundschule= Diese Seite stellt '''Lernbausteine zu Künstlicher Intelligenz (KI), Suchmaschinen und Sprachmodellen''' in zwei Reihen bereit: '''ab Kita''' (auch in den Klassen 1 und 2 einsetzbar) und '''ab Klasse 3/4'''. Die Bausteine wurden an der Professur für Didaktik der Primarstufe – Schwerpunkt Mathematik der Universität des Saarlandes entwickelt. ''Der Upload der Dateien erfolgt in Kürze.'' == Worum es geht == Kinder begegnen KI-Systemen früh: Sie stellen Sprachassistenten Fragen, sehen Vorschläge auf Videoplattformen und nutzen Suchmaschinen. Wie diese Systeme funktionieren, bleibt ihnen meist verborgen. Die Lernbausteine setzen hier an. Ihr Grundgedanke ist, dass Kinder die Funktionsweise von KI-Systemen mit Mathematik erschließen können, die sie ohnehin lernen: Sie zählen Häufigkeiten, ordnen und sortieren, vergleichen Daten, würfeln mit Zufallsgeneratoren und rechnen mit großen Zahlen. So wird nachvollziehbar, wie ein Sprachmodell das nächste Wort wählt, warum eine Suchmaschine Ergebnisse in eine bestimmte Reihenfolge bringt oder weshalb eine KI mit einseitigen Trainingsdaten unfair entscheidet. Die meisten Bausteine kommen ohne Computer aus (''Informatik unplugged''). Die Kinder handeln selbst: Sie falten, sortieren, würfeln, spielen einen Roboter oder trainieren einen einfachen Bildklassifizierer. Jeder Baustein endet mit einer Reflexion, in der das Erlebte auf reale Systeme wie Suchmaschinen oder KI-Chatbots übertragen wird. Dabei geht es nicht nur um Technik, sondern auch um Fragen wie: Wer entscheidet, was eine Suchmaschine zuerst anzeigt? Ist es fair, wenn ein Algorithmus geheim bleibt? Versteht ein Chatbot, was er schreibt? == Aufbau == Die Bausteine sind in zwei Reihen gegliedert: * '''Ab Kita''' (auch in den Klassen 1 und 2): sechs Bausteine – zwei Basis-Bausteine zu Algorithmen und Sortieralgorithmen sowie vier Bausteine zu regelbasierten Systemen, Sortieren nach Merkmalen, maschinellem Lernen und Sprachmodellen. * '''Ab Klasse 3/4:''' acht Bausteine in drei Strängen – Suchmaschinen, Künstliche Intelligenz und Sprachmodelle (LLM). Alle Bausteine sind gleich aufgebaut: ''Darum geht es'', Bezüge zu Mathematik und Informatik, Material, Durchführung, Reflexion und Literatur. Arbeitsblätter (AB) und Druckvorlagen liegen als eigene Dateien bei. {| class="wikitable" ! Baustein !! Kernidee !! Mathematik |- ! colspan="3" | Ab Kita (auch Klasse 1/2) |- | Basis-Baustein 1: NIM-Spiel || Eine Gewinnstrategie ist ein Algorithmus || Problemlösen, Zahlenreihe bis 10 |- | Basis-Baustein 2: Bubble Sort || Sortieralgorithmen und Ranking || Längen vergleichen, ordnen |- | KITA-Baustein 1: Chinesisches Zimmer || Eine Maschine folgt Regeln, ohne zu verstehen || Zuordnen, Würfelbilder erkennen |- | KITA-Baustein 2: Sortieren || Es gibt mehrere „richtige“ Sortierungen || Klassifizieren nach Merkmalen |- | KITA-Baustein 3: Machine Learning || Einseitige Trainingsdaten führen zu Fehlern || Mengen erfassen und vergleichen |- | KITA-Baustein 4: Sprachmodell || Wörter werden per Zufall ausgewählt || Münzwurf, Gleichwahrscheinlichkeit |- ! colspan="3" | Ab Klasse 3/4 |- | SE-Baustein 1: Algorithmus || Eingabe – Verarbeitung – Ausgabe || Geometrie: Falten |- | SE-Baustein 2: Ranking || Wer entscheidet, was oben steht? || Daten erheben, Häufigkeitstabelle |- | SE-Baustein 3: „Besser“ suchen || Datensatz – Lernalgorithmus – Vorhersage || Häufigkeiten und Vorhersage |- | KI-Baustein 1: Machine Learning || Algorithmische Verzerrung (Bias) || Ebene Figuren klassifizieren, Daten |- | KI-Baustein 2: Ethische Matrizen || Algorithmen betreffen viele Interessen || Würfelgebäude, Diagramme |- | LLM-Baustein 1: Bigram-Modell || Häufigkeit bestimmt Wahrscheinlichkeit || Häufigkeiten, platonische Körper |- | LLM-Baustein 2: Papier-GPT || Kontext und Zufall beim Textgenerieren || Münzwurf, Laplace-Experiment |- | LLM-Baustein 3: Fermi-Aufgabe || Die Menge der Trainingsdaten || Große Zahlen, Größen umrechnen |} == Hinweise zur Nutzung == Die Bausteine lassen sich einzeln einsetzen, bauen aber teilweise aufeinander auf. Sinnvoll sind folgende Abfolgen: * '''Ab Kita:''' Die Basis-Bausteine (NIM-Spiel, Bubble Sort) führen in Algorithmen ein und eignen sich als Einstieg. KITA-Baustein 2 (Sortieren) vor KITA-Baustein 3 (Machine Learning), da dieselben Bildkarten genutzt werden; Baustein 1 (Chinesisches Zimmer) und Baustein 4 (Sprachmodell) ergänzen sich in der Frage, ob eine Maschine versteht, was sie tut. * '''Ab Klasse 3/4:''' Der Algorithmusbegriff aus SE-Baustein 1 bildet die Grundlage für die übrigen Bausteine; auch die Bausteine ab Kita, besonders das NIM-Spiel, eignen sich hier als Einstieg. Die Suchmaschinen-Bausteine 1 bis 3 und die LLM-Bausteine 1 bis 3 sind jeweils als Reihe gedacht. KI-Baustein 2 greift die Faltanleitungen aus SE-Baustein 2 auf. Für die Durchführung sind keine Programmierkenntnisse nötig. Zwei Bausteine nutzen frei zugängliche Webanwendungen: ''Machine Learning for Kids'' (KI-Baustein 1, KITA-Baustein 3; ohne Benutzerkonto nutzbar, die Daten bleiben im Browser) und die App ''BIGRAM'' (LLM-Baustein 1). == Lernbausteine ab Kita == Die Bausteine wurden für die Kita entwickelt und lassen sich auch in den Klassen 1 und 2 einsetzen. === Basis-Baustein 1: NIM-Spiel und Algorithmen === Zwei Kinder legen abwechselnd ein oder zwei Plättchen auf einen Spielplan mit zehn Feldern; wer das zehnte Feld belegt, gewinnt. Schnell wird klar: Das ist kein Glücksspiel. Die Kinder stellen Vermutungen über Gewinnstrategien auf, probieren sie aus und entdecken dabei schrittweise „Gewinnfelder“. Eine solche Gewinnstrategie ist ein Algorithmus – eine eindeutige, ausführbare Abfolge von Schritten. In der Reflexion wird der Bogen zu den unsichtbaren Algorithmen digitaler Plattformen geschlagen: Ist es fair, wenn nur einer die Strategie kennt? Und wer sollte entscheiden dürfen, ob ein Algorithmus geheim bleibt? '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Basis-Baustein-1_NIM-Spiel.pdf Baustein-Beschreibung], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Druckvorlage_Basis-Baustein-1_NIM-Spiel.pdf Spielplan], blaue und rote Plättchen === Basis-Baustein 2: Bubble Sort und Ranking von Suchmaschinen === Die Kinder werden selbst zum Sortieralgorithmus: Jedes Kind hält einen Stab und stellt sich auf eine Linie. Nach einer festen Regel vergleichen jeweils zwei Nachbarn ihre Stäbe und tauschen bei Bedarf die Plätze, bis alle der Länge nach geordnet sind. Durch Wiederholen mit anderen Startpositionen überzeugen sie sich davon, dass das Verfahren immer funktioniert. Als Erweiterung kann nach einem Kriterium sortiert werden, das die Kinder nicht kennen – so wie Suchmaschinen ihre Ergebnisse nach Kriterien ordnen, die nicht offenliegen. Die Kinder stellen Vermutungen über das Sortierkriterium an und kommen so ins Gespräch über Popularität und Personalisierung beim Ranking. '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Basis-Baustein-2_Bubble-Sort.pdf Baustein-Beschreibung], verschieden lange Stäbe (z. B. Cuisenaire-Stäbe), Klebeband für eine Bodenmarkierung === KITA-Baustein 1: Chinesisches Zimmer === Ein Kind sitzt in einem selbst gebastelten Karton-Roboter. Durch einen Schlitz bekommt es Würfelbilder hineingereicht und gibt mithilfe eines Regelbuchs die passende Schmetterlingskarte heraus – ohne zu wissen, wozu. Das Spiel greift das Gedankenexperiment des „Chinesischen Zimmers“ von John Searle auf: Von außen wirkt die Antwort passend, obwohl drinnen niemand versteht, worum es geht. Die Kinder üben dabei Zuordnung und das Erkennen von Würfelbildern und erleben das Prinzip Eingabe – Verarbeitung – Ausgabe. In der Reflexion sprechen sie darüber, wie es sich anfühlt, „mechanisch“ zu antworten, und ob ein Roboter – oder eine KI – wirklich nachdenkt oder fühlt. Der Baustein wirkt so der Vermenschlichung von KI entgegen. '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:KITA-Baustein-1_Chinesisches-Zimmer.pdf Baustein-Beschreibung], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Druckvorlage_KITA-Baustein-1_Chinesisches-Zimmer_Regelbuch.pdf Regelbuch], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Druckvorlage_KITA-Baustein-1_Chinesisches-Zimmer_Bildkarten.pdf Bildkarten], Karton und Bastelmaterial === KITA-Baustein 2: Sortieren === Bildkarten mit Raupen, Kokons und Schmetterlingen in verschiedenen Farben sind „durcheinandergeraten“ und sollen wieder sortiert werden. Ob nach Farbe, Form, Größe oder inhaltlichem Zusammenhang – die Kinder entscheiden selbst und begründen ihre Sortierung. Im Vergleich der Ergebnisse zeigt sich, dass es nicht nur eine richtige Lösung gibt und dass dieselbe Karte zu mehreren Gruppen passen kann. Damit machen die Kinder grundlegende Erfahrungen mit Klassifizieren und Kategorisieren. Zugleich bahnt der Baustein eine Idee des maschinellen Lernens an: Auch KI-Systeme gruppieren Daten nach Ähnlichkeiten – ohne zu verstehen, was sie bedeuten. '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:KITA-Baustein-2_Sortieren.pdf Baustein-Beschreibung], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Druckvorlage_KITA-Baustein-2_Sortieren.pdf Bildkarten] (möglichst ein Set pro Kind) === KITA-Baustein 3: Machine Learning und algorithmische Verzerrung === Die Fachkraft oder Lehrkraft zeigt einen Bildklassifizierer, der Raupen von Schmetterlingen und Kokons unterscheiden soll – und der bewusst „unfair“ trainiert wurde: Von den Raupen kennt er nur zwei sehr ähnliche Bilder. Gemeinsam untersuchen die Kinder, wo der Klassifizierer Fehler macht, und erkennen, dass es an den Trainingsdaten liegt. Mit den Bildkarten aus Baustein 2 verbessern sie das System, indem sie weitere Beispiele einlesen. In der Reflexion geht es um Verantwortung: Wer sorgt dafür, dass eine KI faire Daten bekommt? Und wo können solche Fehler für Menschen schlimme Folgen haben? Verwendet wird das kostenfreie Webwerkzeug ''Machine Learning for Kids'', das ohne Benutzerkonto auskommt. '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:KITA-Baustein-3_ML.pdf Baustein-Beschreibung], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Anleitung_KITA-Baustein-3_ML.pdf Anleitung zu Machine Learning for Kids], Tablet oder Laptop mit Kamera und Internetzugang, === KITA-Baustein 4: Sprachmodell === Gemeinsam erzählen die Kinder eine Geschichte weiter – wie ein Sprachmodell, Wort für Wort. Zu einem vorgegebenen Satzanfang schlagen sie zwei mögliche nächste Wörter vor, eine Münze entscheidet, welches genommen wird. Die Fachkraft oder Lehrkraft schreibt mit und liest die entstandene Geschichte am Ende vor. Die Kinder erleben so, dass Sprachmodelle Wörter mit Zufall auswählen und dass eine Münze nicht „weiß“, was die Geschichte erzählen soll. In der Reflexion wird deutlich, was Menschen beim Weitererzählen einbringen und eine Maschine nicht: Wissen über die Welt und darüber, worum es in einer Geschichte geht. Der Baustein knüpft an das Chinesische Zimmer an. '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:KITA-Baustein-4_LLM.pdf Baustein-Beschreibung], Münze == Lernbausteine ab Klasse 3/4 == === Suchmaschinen === ==== SE-Baustein 1: Algorithmus ==== Was ist eigentlich ein Algorithmus? Die Kinder erarbeiten eine kindgerechte Definition und prüfen an Beispielen aus dem Alltag, ob es sich um einen Algorithmus handelt. Dann falten sie ein quadratisches Papier nach einer Faltanleitung und entdecken dabei Dreiecke, Diagonalen und Mittelpunkt. Die Faltanleitung erweist sich als Algorithmus mit Eingabe (Papier), Verarbeitungsschritten und Ausgabe (Faltprodukt). Auch eine Suchmaschine arbeitet nach diesem Prinzip – mit der Suchanfrage als Eingabe und der Trefferliste als Ausgabe. Der entscheidende Unterschied, den die Reflexion herausarbeitet: Die Faltanleitung ist nachvollziehbar, der Algorithmus einer Suchmaschine nicht. '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:SE-Baustein-1_Algorithmus.pdf Baustein-Beschreibung], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:AB-SE-Baustein-1_Algorithmus.pdf Arbeitsblatt Algorithmus], quadratisches Faltpapier, [https://opensearchfoundation.org/wp-content/uploads/2022/10/So-funktioniert-die-Internetsuche.pdf Infografik „So funktioniert die Internetsuche“ der Open Search Foundation] ==== SE-Baustein 2: Ranking ==== Wer entscheidet, was bei einer Suche oben steht? Die Kinder vergleichen mehrere Faltanleitungen für dasselbe Objekt, darunter eine mit Werbung. Zuerst erstellen sie ein eigenes Ranking (Personalisierung), dann ermitteln sie per Befragung und Häufigkeitstabelle das beliebteste Ergebnis der Klasse (Popularität). Was passiert, wenn die „Suchmaschine“ trotzdem die Anleitung mit Werbung auf Platz 1 setzt? Die Diskussion führt zu wirtschaftlichen Interessen und zu der Erkenntnis, dass Ranking-Algorithmen nicht neutral sind. Zum Schluss verbessern die Kinder selbst eine Anleitung nach einem Ziel, das sie festlegen, und begründen ihre Entscheidung: Menschen bestimmen, welche Ziele ein Algorithmus verfolgt. '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:SE-Baustein-2_Ranking.pdf Baustein-Beschreibung], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Druckvorlage-SE-Baustein-2_Ranking.pdf Druckvorlage Faltanleitungen], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:AB-SE-Baustein-2_Ranking.pdf Arbeitsblatt „Faltanleitungen ergänzen und verbessern“] <!-- DATEI: SE-Baustein-2_Ranking.pdf | Druckvorlage-SE-Baustein-2_Ranking.pdf | AB-SE-Baustein-2_Ranking.pdf --> ==== SE-Baustein 3: „Besser“ suchen ==== Suchmaschinen sind KI-Systeme, die aus einem Datensatz, einem Lernalgorithmus und einer Vorhersage bestehen. Am Beispiel der Autovervollständigung, die häufige frühere Suchanfragen vorschlägt, und des Rankings untersuchen die Kinder, wie diese Bestandteile zusammenwirken – und warum unfaire Daten zu verzerrten Ergebnissen führen können. Darauf aufbauend lernen sie Tipps für eine bewusstere Internetsuche kennen, etwa gezielte Suchbegriffe, ein kritischer Blick auf die ersten Treffer und alternative Suchmaschinen. Die Reflexion öffnet zudem die Frage, wem die Inhalte gehören, die eine Suchmaschine anzeigt. '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:SE-Baustein-3_besser_Suchen.pdf Baustein-Beschreibung], digitales Gerät zur Demonstration einer Suchmaschine, ggf. [https://opensearchfoundation.org/wp-content/uploads/2022/10/Kinder-Tipps-Internetsuche.pdf Suchtipps der Open Search Foundation] === Künstliche Intelligenz === ==== KI-Baustein 1: Machine Learning und algorithmische Verzerrung ==== Die Kinder untersuchen einen Bildklassifizierer, der Dreiecke und Vierecke unterscheiden soll. Er wurde bewusst „unfair“ trainiert: Die Vierecke im Trainingsdatensatz sind nur Rechtecke in derselben Lage, die Dreiecke dagegen vielfältig. Die Kinder finden heraus, warum der Klassifizierer bei Vierecken häufiger irrt, und verbessern ihn in Kleingruppen, indem sie selbst gezeichnete Figuren als neue Trainingsdaten hinzufügen. Dabei klassifizieren sie ebene Figuren nach ihren Eigenschaften und werten Daten aus. Die Reflexion verbindet das Experiment mit realen Fällen algorithmischer Verzerrung, etwa bei Gesichtserkennung oder Bewerbungsverfahren, und mit der Einsicht, dass Menschen über die Daten und Ziele von KI-Systemen entscheiden. '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:KI-Baustein-1_ML.pdf Baustein-Beschreibung], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:AB_KI-Baustein-1_ML.pdf Arbeitsblatt], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Infoseite_KI-Baustein-1_ML.pdf Infoseite zur Bedienung von Machine Learning for Kids], Anleitung zu Machine Learning for Kids für Lehrpersonen, Tablets mit Stift und Internetzugang ==== KI-Baustein 2: Ethische Matrizen ==== Wenn ein Algorithmus verändert wird, wer profitiert und wer nicht? Mit einer ethischen Matrix tragen die Kinder zusammen, wer an einem Produkt interessiert ist – etwa an einem Pfannkuchenrezept oder einer Faltanleitung – und welche Werte den einzelnen Beteiligten wichtig sind. Mit Holzwürfeln gewichten sie die Felder, sodass ein Würfelgebäude entsteht, das sie beschreiben und verändern. Beim Versuch, das „Rezept“ zu verbessern, stellen die Kinder fest, dass eine Verbesserung für die einen eine Verschlechterung für andere bedeuten kann. In der Reflexion wird die Matrix auf reale Systeme wie Suchmaschinen oder Chatbots übertragen: Wessen Werte wurden berücksichtigt? '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:KI-Baustein-2_Ethische-Matrix.pdf Baustein-Beschreibung], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Druckvorlage_KI-Baustein-2_Ethische-Matrix.pdf Vorlage Ethische Matrix], Holzwürfel (Kantenlänge 2 cm) === Sprachmodelle (LLM) === ==== LLM-Baustein 1: Bigram-Modell ==== Wie erzeugt ein Sprachmodell Text? Die Kinder bauen ein einfaches Modell selbst: Sie zählen in einer kurzen Geschichte, welche Wörter am Satzanfang stehen und welche darauf folgen, halten die Häufigkeiten in Tabellen fest und „würfeln“ das nächste Wort mit passenden Zufallsgeneratoren wie platonischen Körpern oder einer Münze. Die App BIGRAM übernimmt das anschließend für ganze Sätze. Die entstehenden Texte klingen oft holprig, und Wörter, die nicht in der Geschichte vorkommen, kann das Modell nicht verarbeiten. So wird verständlich, warum KI-Chatbots als „stochastische Papageien“ bezeichnet werden und warum man ihre Antworten überprüfen sollte. '''Material:''' Baustein-Beschreibung, Arbeitsblatt, Zufallsgeneratoren (z. B. platonische Körper), App BIGRAM <!-- DATEI: LLM-Baustein-1_Bigram.pdf | AB-LLM-Baustein-1_Bigram.pdf --> ==== LLM-Baustein 2: Papier-GPT ==== Ohne Computer simulieren die Kinder, wie ein Sprachmodell einen Text fortsetzt. Eine Tabelle mit einem Satzanfang wandert von Gruppe zu Gruppe. Jede Gruppe sieht nur die letzten drei Wörter, schlägt zwei mögliche Fortsetzungen vor und lässt ein Wendeplättchen entscheiden, welches Wort übernommen wird. Am Ende wird der ganze Satz aufgefaltet und vorgelesen. Die Kinder erleben dabei Gleichwahrscheinlichkeit und Zufall als Auswahlprinzip und lernen zentrale Ideen von Sprachmodellen kennen: einen begrenzten Kontext und das zufällige Auswählen des nächsten Wortes. In der Reflexion vergleichen sie das Ergebnis mit dem Bigram-Modell und überlegen, welches Wissen ihnen selbst beim Finden passender Wörter geholfen hat. '''Material:''' Baustein-Beschreibung, Druckvorlage Papier-GPT, Wendeplättchen <!-- DATEI: LLM-Baustein-2_Papier-GPT.pdf | Druckvorlage_LLM-Baustein-2_Papier-GPT.pdf --> ==== LLM-Baustein 3: Fermi-Aufgabe zur Menge der Trainingsdaten ==== Warum schreiben große Sprachmodelle so viel bessere Texte als das selbst gebaute Bigram-Modell? Ein Grund ist die riesige Menge an Texten, aus denen sie lernen. In einer Fermi-Aufgabe machen die Kinder diese Menge greifbar: Wie hoch wäre ein Papierstapel, wenn man eine kurze Geschichte so oft ausdruckt, bis die Datenmenge erreicht ist? Höher als der Mount Everest? Dafür ermitteln sie Dateigrößen, rechnen Einheiten um, überschlagen mit großen Zahlen und prüfen ihr Ergebnis auf Plausibilität. Die Reflexion führt zu Fragen des Urheberrechts – Darf eine KI deine Geschichte ohne Erlaubnis nutzen? – und dazu, warum man den Antworten einer KI nicht blind vertrauen sollte. '''Material:''' Baustein-Beschreibung, Textdatei der Geschichte (zum Ermitteln der Dateigröße), ggf. zehn Ausdrucke auf 80-g-Papier <!-- DATEI: LLM-Baustein-3_Fermi-Aufgabe.pdf | Datei_LLM-Baustein-3 (Geschichte).docx --> == Weiterführende Literatur == * Platz, M. (2025). KI, Internetsuche und algorithmische Verzerrung. ''Mathematik differenziert'', 4/2025, 22–31. * Platz, M. (2025). Algorithmen, ethische Matrizen und Würfelbauwerke. In L. Schick, M. Platz & A. Lambert (Hrsg.), ''Beiträge zum Mathematikunterricht 2025'' (S. 357–360). WTM. * Platz, M. & Plote, C. (2025). KI und Ethik im Klassenzimmer. ''Mitteilungen der GDM'', 118, 6–13. * Platz, M. & Schick, L. (2025). Lernen über LLMs im Mathematikunterricht der Primarstufe. In L. Schick, M. Platz & A. Lambert (Hrsg.), ''Beiträge zum Mathematikunterricht 2025'' (S. 231–234). WTM. * Platz, M., Schorcht, S. & Frischemeier, D. (2025). Lernen mit und über KI: Wie funktionieren LLMs und welche Prompt-Techniken gibt es? In M. Platz, S. Schorcht & D. Frischemeier (Hrsg.), ''Künstliche Intelligenz in der Primarstufe'' (S. 109–130). WTM. <!-- Ggf. ergänzen: Platz (2026) zum LLM-Literacy-Framework (PriMaMedien 17) und Platz (2026) in mathematica didactica 49 --> == Lizenz und Rückmeldung == Die Lernbausteine stehen unter der Lizenz [https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.de CC BY-SA 4.0]. Sie dürfen kopiert, verändert und weitergegeben werden, wenn die Urheberin genannt wird und Bearbeitungen unter derselben Lizenz stehen. Ausgenommen sind Inhalte Dritter, die in den Dateien gesondert gekennzeichnet sind. Namensnennung: ''Lernbausteine KI'' von Melanie Platz, Universität des Saarlandes, Professur für Didaktik der Primarstufe – Schwerpunkt Mathematik, lizenziert unter CC BY-SA 4.0. Rückmeldungen, Erfahrungen aus dem Einsatz und Verbesserungsvorschläge sind willkommen – gern auf der Diskussionsseite. km8nz2qzuxly0qxiez7pufnfl8fzpge 1119108 1119107 2026-11-08T13:35:52Z Platzm 21125 /* KI-Baustein 1: Machine Learning und algorithmische Verzerrung */ 1119108 wikitext text/x-wiki =Lernbausteine zum Lernen über KI in KITA und Grundschule= Diese Seite stellt '''Lernbausteine zu Künstlicher Intelligenz (KI), Suchmaschinen und Sprachmodellen''' in zwei Reihen bereit: '''ab Kita''' (auch in den Klassen 1 und 2 einsetzbar) und '''ab Klasse 3/4'''. Die Bausteine wurden an der Professur für Didaktik der Primarstufe – Schwerpunkt Mathematik der Universität des Saarlandes entwickelt. ''Der Upload der Dateien erfolgt in Kürze.'' == Worum es geht == Kinder begegnen KI-Systemen früh: Sie stellen Sprachassistenten Fragen, sehen Vorschläge auf Videoplattformen und nutzen Suchmaschinen. Wie diese Systeme funktionieren, bleibt ihnen meist verborgen. Die Lernbausteine setzen hier an. Ihr Grundgedanke ist, dass Kinder die Funktionsweise von KI-Systemen mit Mathematik erschließen können, die sie ohnehin lernen: Sie zählen Häufigkeiten, ordnen und sortieren, vergleichen Daten, würfeln mit Zufallsgeneratoren und rechnen mit großen Zahlen. So wird nachvollziehbar, wie ein Sprachmodell das nächste Wort wählt, warum eine Suchmaschine Ergebnisse in eine bestimmte Reihenfolge bringt oder weshalb eine KI mit einseitigen Trainingsdaten unfair entscheidet. Die meisten Bausteine kommen ohne Computer aus (''Informatik unplugged''). Die Kinder handeln selbst: Sie falten, sortieren, würfeln, spielen einen Roboter oder trainieren einen einfachen Bildklassifizierer. Jeder Baustein endet mit einer Reflexion, in der das Erlebte auf reale Systeme wie Suchmaschinen oder KI-Chatbots übertragen wird. Dabei geht es nicht nur um Technik, sondern auch um Fragen wie: Wer entscheidet, was eine Suchmaschine zuerst anzeigt? Ist es fair, wenn ein Algorithmus geheim bleibt? Versteht ein Chatbot, was er schreibt? == Aufbau == Die Bausteine sind in zwei Reihen gegliedert: * '''Ab Kita''' (auch in den Klassen 1 und 2): sechs Bausteine – zwei Basis-Bausteine zu Algorithmen und Sortieralgorithmen sowie vier Bausteine zu regelbasierten Systemen, Sortieren nach Merkmalen, maschinellem Lernen und Sprachmodellen. * '''Ab Klasse 3/4:''' acht Bausteine in drei Strängen – Suchmaschinen, Künstliche Intelligenz und Sprachmodelle (LLM). Alle Bausteine sind gleich aufgebaut: ''Darum geht es'', Bezüge zu Mathematik und Informatik, Material, Durchführung, Reflexion und Literatur. Arbeitsblätter (AB) und Druckvorlagen liegen als eigene Dateien bei. {| class="wikitable" ! Baustein !! Kernidee !! Mathematik |- ! colspan="3" | Ab Kita (auch Klasse 1/2) |- | Basis-Baustein 1: NIM-Spiel || Eine Gewinnstrategie ist ein Algorithmus || Problemlösen, Zahlenreihe bis 10 |- | Basis-Baustein 2: Bubble Sort || Sortieralgorithmen und Ranking || Längen vergleichen, ordnen |- | KITA-Baustein 1: Chinesisches Zimmer || Eine Maschine folgt Regeln, ohne zu verstehen || Zuordnen, Würfelbilder erkennen |- | KITA-Baustein 2: Sortieren || Es gibt mehrere „richtige“ Sortierungen || Klassifizieren nach Merkmalen |- | KITA-Baustein 3: Machine Learning || Einseitige Trainingsdaten führen zu Fehlern || Mengen erfassen und vergleichen |- | KITA-Baustein 4: Sprachmodell || Wörter werden per Zufall ausgewählt || Münzwurf, Gleichwahrscheinlichkeit |- ! colspan="3" | Ab Klasse 3/4 |- | SE-Baustein 1: Algorithmus || Eingabe – Verarbeitung – Ausgabe || Geometrie: Falten |- | SE-Baustein 2: Ranking || Wer entscheidet, was oben steht? || Daten erheben, Häufigkeitstabelle |- | SE-Baustein 3: „Besser“ suchen || Datensatz – Lernalgorithmus – Vorhersage || Häufigkeiten und Vorhersage |- | KI-Baustein 1: Machine Learning || Algorithmische Verzerrung (Bias) || Ebene Figuren klassifizieren, Daten |- | KI-Baustein 2: Ethische Matrizen || Algorithmen betreffen viele Interessen || Würfelgebäude, Diagramme |- | LLM-Baustein 1: Bigram-Modell || Häufigkeit bestimmt Wahrscheinlichkeit || Häufigkeiten, platonische Körper |- | LLM-Baustein 2: Papier-GPT || Kontext und Zufall beim Textgenerieren || Münzwurf, Laplace-Experiment |- | LLM-Baustein 3: Fermi-Aufgabe || Die Menge der Trainingsdaten || Große Zahlen, Größen umrechnen |} == Hinweise zur Nutzung == Die Bausteine lassen sich einzeln einsetzen, bauen aber teilweise aufeinander auf. Sinnvoll sind folgende Abfolgen: * '''Ab Kita:''' Die Basis-Bausteine (NIM-Spiel, Bubble Sort) führen in Algorithmen ein und eignen sich als Einstieg. KITA-Baustein 2 (Sortieren) vor KITA-Baustein 3 (Machine Learning), da dieselben Bildkarten genutzt werden; Baustein 1 (Chinesisches Zimmer) und Baustein 4 (Sprachmodell) ergänzen sich in der Frage, ob eine Maschine versteht, was sie tut. * '''Ab Klasse 3/4:''' Der Algorithmusbegriff aus SE-Baustein 1 bildet die Grundlage für die übrigen Bausteine; auch die Bausteine ab Kita, besonders das NIM-Spiel, eignen sich hier als Einstieg. Die Suchmaschinen-Bausteine 1 bis 3 und die LLM-Bausteine 1 bis 3 sind jeweils als Reihe gedacht. KI-Baustein 2 greift die Faltanleitungen aus SE-Baustein 2 auf. Für die Durchführung sind keine Programmierkenntnisse nötig. Zwei Bausteine nutzen frei zugängliche Webanwendungen: ''Machine Learning for Kids'' (KI-Baustein 1, KITA-Baustein 3; ohne Benutzerkonto nutzbar, die Daten bleiben im Browser) und die App ''BIGRAM'' (LLM-Baustein 1). == Lernbausteine ab Kita == Die Bausteine wurden für die Kita entwickelt und lassen sich auch in den Klassen 1 und 2 einsetzen. === Basis-Baustein 1: NIM-Spiel und Algorithmen === Zwei Kinder legen abwechselnd ein oder zwei Plättchen auf einen Spielplan mit zehn Feldern; wer das zehnte Feld belegt, gewinnt. Schnell wird klar: Das ist kein Glücksspiel. Die Kinder stellen Vermutungen über Gewinnstrategien auf, probieren sie aus und entdecken dabei schrittweise „Gewinnfelder“. Eine solche Gewinnstrategie ist ein Algorithmus – eine eindeutige, ausführbare Abfolge von Schritten. In der Reflexion wird der Bogen zu den unsichtbaren Algorithmen digitaler Plattformen geschlagen: Ist es fair, wenn nur einer die Strategie kennt? Und wer sollte entscheiden dürfen, ob ein Algorithmus geheim bleibt? '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Basis-Baustein-1_NIM-Spiel.pdf Baustein-Beschreibung], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Druckvorlage_Basis-Baustein-1_NIM-Spiel.pdf Spielplan], blaue und rote Plättchen === Basis-Baustein 2: Bubble Sort und Ranking von Suchmaschinen === Die Kinder werden selbst zum Sortieralgorithmus: Jedes Kind hält einen Stab und stellt sich auf eine Linie. Nach einer festen Regel vergleichen jeweils zwei Nachbarn ihre Stäbe und tauschen bei Bedarf die Plätze, bis alle der Länge nach geordnet sind. Durch Wiederholen mit anderen Startpositionen überzeugen sie sich davon, dass das Verfahren immer funktioniert. Als Erweiterung kann nach einem Kriterium sortiert werden, das die Kinder nicht kennen – so wie Suchmaschinen ihre Ergebnisse nach Kriterien ordnen, die nicht offenliegen. Die Kinder stellen Vermutungen über das Sortierkriterium an und kommen so ins Gespräch über Popularität und Personalisierung beim Ranking. '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Basis-Baustein-2_Bubble-Sort.pdf Baustein-Beschreibung], verschieden lange Stäbe (z. B. Cuisenaire-Stäbe), Klebeband für eine Bodenmarkierung === KITA-Baustein 1: Chinesisches Zimmer === Ein Kind sitzt in einem selbst gebastelten Karton-Roboter. Durch einen Schlitz bekommt es Würfelbilder hineingereicht und gibt mithilfe eines Regelbuchs die passende Schmetterlingskarte heraus – ohne zu wissen, wozu. Das Spiel greift das Gedankenexperiment des „Chinesischen Zimmers“ von John Searle auf: Von außen wirkt die Antwort passend, obwohl drinnen niemand versteht, worum es geht. Die Kinder üben dabei Zuordnung und das Erkennen von Würfelbildern und erleben das Prinzip Eingabe – Verarbeitung – Ausgabe. In der Reflexion sprechen sie darüber, wie es sich anfühlt, „mechanisch“ zu antworten, und ob ein Roboter – oder eine KI – wirklich nachdenkt oder fühlt. Der Baustein wirkt so der Vermenschlichung von KI entgegen. '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:KITA-Baustein-1_Chinesisches-Zimmer.pdf Baustein-Beschreibung], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Druckvorlage_KITA-Baustein-1_Chinesisches-Zimmer_Regelbuch.pdf Regelbuch], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Druckvorlage_KITA-Baustein-1_Chinesisches-Zimmer_Bildkarten.pdf Bildkarten], Karton und Bastelmaterial === KITA-Baustein 2: Sortieren === Bildkarten mit Raupen, Kokons und Schmetterlingen in verschiedenen Farben sind „durcheinandergeraten“ und sollen wieder sortiert werden. Ob nach Farbe, Form, Größe oder inhaltlichem Zusammenhang – die Kinder entscheiden selbst und begründen ihre Sortierung. Im Vergleich der Ergebnisse zeigt sich, dass es nicht nur eine richtige Lösung gibt und dass dieselbe Karte zu mehreren Gruppen passen kann. Damit machen die Kinder grundlegende Erfahrungen mit Klassifizieren und Kategorisieren. Zugleich bahnt der Baustein eine Idee des maschinellen Lernens an: Auch KI-Systeme gruppieren Daten nach Ähnlichkeiten – ohne zu verstehen, was sie bedeuten. '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:KITA-Baustein-2_Sortieren.pdf Baustein-Beschreibung], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Druckvorlage_KITA-Baustein-2_Sortieren.pdf Bildkarten] (möglichst ein Set pro Kind) === KITA-Baustein 3: Machine Learning und algorithmische Verzerrung === Die Fachkraft oder Lehrkraft zeigt einen Bildklassifizierer, der Raupen von Schmetterlingen und Kokons unterscheiden soll – und der bewusst „unfair“ trainiert wurde: Von den Raupen kennt er nur zwei sehr ähnliche Bilder. Gemeinsam untersuchen die Kinder, wo der Klassifizierer Fehler macht, und erkennen, dass es an den Trainingsdaten liegt. Mit den Bildkarten aus Baustein 2 verbessern sie das System, indem sie weitere Beispiele einlesen. In der Reflexion geht es um Verantwortung: Wer sorgt dafür, dass eine KI faire Daten bekommt? Und wo können solche Fehler für Menschen schlimme Folgen haben? Verwendet wird das kostenfreie Webwerkzeug ''Machine Learning for Kids'', das ohne Benutzerkonto auskommt. '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:KITA-Baustein-3_ML.pdf Baustein-Beschreibung], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Anleitung_KITA-Baustein-3_ML.pdf Anleitung zu Machine Learning for Kids], Tablet oder Laptop mit Kamera und Internetzugang, === KITA-Baustein 4: Sprachmodell === Gemeinsam erzählen die Kinder eine Geschichte weiter – wie ein Sprachmodell, Wort für Wort. Zu einem vorgegebenen Satzanfang schlagen sie zwei mögliche nächste Wörter vor, eine Münze entscheidet, welches genommen wird. Die Fachkraft oder Lehrkraft schreibt mit und liest die entstandene Geschichte am Ende vor. Die Kinder erleben so, dass Sprachmodelle Wörter mit Zufall auswählen und dass eine Münze nicht „weiß“, was die Geschichte erzählen soll. In der Reflexion wird deutlich, was Menschen beim Weitererzählen einbringen und eine Maschine nicht: Wissen über die Welt und darüber, worum es in einer Geschichte geht. Der Baustein knüpft an das Chinesische Zimmer an. '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:KITA-Baustein-4_LLM.pdf Baustein-Beschreibung], Münze == Lernbausteine ab Klasse 3/4 == === Suchmaschinen === ==== SE-Baustein 1: Algorithmus ==== Was ist eigentlich ein Algorithmus? Die Kinder erarbeiten eine kindgerechte Definition und prüfen an Beispielen aus dem Alltag, ob es sich um einen Algorithmus handelt. Dann falten sie ein quadratisches Papier nach einer Faltanleitung und entdecken dabei Dreiecke, Diagonalen und Mittelpunkt. Die Faltanleitung erweist sich als Algorithmus mit Eingabe (Papier), Verarbeitungsschritten und Ausgabe (Faltprodukt). Auch eine Suchmaschine arbeitet nach diesem Prinzip – mit der Suchanfrage als Eingabe und der Trefferliste als Ausgabe. Der entscheidende Unterschied, den die Reflexion herausarbeitet: Die Faltanleitung ist nachvollziehbar, der Algorithmus einer Suchmaschine nicht. '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:SE-Baustein-1_Algorithmus.pdf Baustein-Beschreibung], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:AB-SE-Baustein-1_Algorithmus.pdf Arbeitsblatt Algorithmus], quadratisches Faltpapier, [https://opensearchfoundation.org/wp-content/uploads/2022/10/So-funktioniert-die-Internetsuche.pdf Infografik „So funktioniert die Internetsuche“ der Open Search Foundation] ==== SE-Baustein 2: Ranking ==== Wer entscheidet, was bei einer Suche oben steht? Die Kinder vergleichen mehrere Faltanleitungen für dasselbe Objekt, darunter eine mit Werbung. Zuerst erstellen sie ein eigenes Ranking (Personalisierung), dann ermitteln sie per Befragung und Häufigkeitstabelle das beliebteste Ergebnis der Klasse (Popularität). Was passiert, wenn die „Suchmaschine“ trotzdem die Anleitung mit Werbung auf Platz 1 setzt? Die Diskussion führt zu wirtschaftlichen Interessen und zu der Erkenntnis, dass Ranking-Algorithmen nicht neutral sind. Zum Schluss verbessern die Kinder selbst eine Anleitung nach einem Ziel, das sie festlegen, und begründen ihre Entscheidung: Menschen bestimmen, welche Ziele ein Algorithmus verfolgt. '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:SE-Baustein-2_Ranking.pdf Baustein-Beschreibung], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Druckvorlage-SE-Baustein-2_Ranking.pdf Druckvorlage Faltanleitungen], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:AB-SE-Baustein-2_Ranking.pdf Arbeitsblatt „Faltanleitungen ergänzen und verbessern“] <!-- DATEI: SE-Baustein-2_Ranking.pdf | Druckvorlage-SE-Baustein-2_Ranking.pdf | AB-SE-Baustein-2_Ranking.pdf --> ==== SE-Baustein 3: „Besser“ suchen ==== Suchmaschinen sind KI-Systeme, die aus einem Datensatz, einem Lernalgorithmus und einer Vorhersage bestehen. Am Beispiel der Autovervollständigung, die häufige frühere Suchanfragen vorschlägt, und des Rankings untersuchen die Kinder, wie diese Bestandteile zusammenwirken – und warum unfaire Daten zu verzerrten Ergebnissen führen können. Darauf aufbauend lernen sie Tipps für eine bewusstere Internetsuche kennen, etwa gezielte Suchbegriffe, ein kritischer Blick auf die ersten Treffer und alternative Suchmaschinen. Die Reflexion öffnet zudem die Frage, wem die Inhalte gehören, die eine Suchmaschine anzeigt. '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:SE-Baustein-3_besser_Suchen.pdf Baustein-Beschreibung], digitales Gerät zur Demonstration einer Suchmaschine, ggf. [https://opensearchfoundation.org/wp-content/uploads/2022/10/Kinder-Tipps-Internetsuche.pdf Suchtipps der Open Search Foundation] === Künstliche Intelligenz === ==== KI-Baustein 1: Machine Learning und algorithmische Verzerrung ==== Die Kinder untersuchen einen Bildklassifizierer, der Dreiecke und Vierecke unterscheiden soll. Er wurde bewusst „unfair“ trainiert: Die Vierecke im Trainingsdatensatz sind nur Rechtecke in derselben Lage, die Dreiecke dagegen vielfältig. Die Kinder finden heraus, warum der Klassifizierer bei Vierecken häufiger irrt, und verbessern ihn in Kleingruppen, indem sie selbst gezeichnete Figuren als neue Trainingsdaten hinzufügen. Dabei klassifizieren sie ebene Figuren nach ihren Eigenschaften und werten Daten aus. Die Reflexion verbindet das Experiment mit realen Fällen algorithmischer Verzerrung, etwa bei Gesichtserkennung oder Bewerbungsverfahren, und mit der Einsicht, dass Menschen über die Daten und Ziele von KI-Systemen entscheiden. '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:KI-Baustein-1_ML.pdf Baustein-Beschreibung], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:AB_KI-Baustein-1_ML.pdf Arbeitsblatt], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Infoseite_KI-Baustein-1_ML.pdf Infoseite zur Bedienung von Machine Learning for Kids], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Anleitung_KI-Baustein-1_ML.pdf Anleitung zu Machine Learning for Kids für Lehrpersonen], Tablets mit Stift und Internetzugang ==== KI-Baustein 2: Ethische Matrizen ==== Wenn ein Algorithmus verändert wird, wer profitiert und wer nicht? Mit einer ethischen Matrix tragen die Kinder zusammen, wer an einem Produkt interessiert ist – etwa an einem Pfannkuchenrezept oder einer Faltanleitung – und welche Werte den einzelnen Beteiligten wichtig sind. Mit Holzwürfeln gewichten sie die Felder, sodass ein Würfelgebäude entsteht, das sie beschreiben und verändern. Beim Versuch, das „Rezept“ zu verbessern, stellen die Kinder fest, dass eine Verbesserung für die einen eine Verschlechterung für andere bedeuten kann. In der Reflexion wird die Matrix auf reale Systeme wie Suchmaschinen oder Chatbots übertragen: Wessen Werte wurden berücksichtigt? '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:KI-Baustein-2_Ethische-Matrix.pdf Baustein-Beschreibung], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Druckvorlage_KI-Baustein-2_Ethische-Matrix.pdf Vorlage Ethische Matrix], Holzwürfel (Kantenlänge 2 cm) === Sprachmodelle (LLM) === ==== LLM-Baustein 1: Bigram-Modell ==== Wie erzeugt ein Sprachmodell Text? Die Kinder bauen ein einfaches Modell selbst: Sie zählen in einer kurzen Geschichte, welche Wörter am Satzanfang stehen und welche darauf folgen, halten die Häufigkeiten in Tabellen fest und „würfeln“ das nächste Wort mit passenden Zufallsgeneratoren wie platonischen Körpern oder einer Münze. Die App BIGRAM übernimmt das anschließend für ganze Sätze. Die entstehenden Texte klingen oft holprig, und Wörter, die nicht in der Geschichte vorkommen, kann das Modell nicht verarbeiten. So wird verständlich, warum KI-Chatbots als „stochastische Papageien“ bezeichnet werden und warum man ihre Antworten überprüfen sollte. '''Material:''' Baustein-Beschreibung, Arbeitsblatt, Zufallsgeneratoren (z. B. platonische Körper), App BIGRAM <!-- DATEI: LLM-Baustein-1_Bigram.pdf | AB-LLM-Baustein-1_Bigram.pdf --> ==== LLM-Baustein 2: Papier-GPT ==== Ohne Computer simulieren die Kinder, wie ein Sprachmodell einen Text fortsetzt. Eine Tabelle mit einem Satzanfang wandert von Gruppe zu Gruppe. Jede Gruppe sieht nur die letzten drei Wörter, schlägt zwei mögliche Fortsetzungen vor und lässt ein Wendeplättchen entscheiden, welches Wort übernommen wird. Am Ende wird der ganze Satz aufgefaltet und vorgelesen. Die Kinder erleben dabei Gleichwahrscheinlichkeit und Zufall als Auswahlprinzip und lernen zentrale Ideen von Sprachmodellen kennen: einen begrenzten Kontext und das zufällige Auswählen des nächsten Wortes. In der Reflexion vergleichen sie das Ergebnis mit dem Bigram-Modell und überlegen, welches Wissen ihnen selbst beim Finden passender Wörter geholfen hat. '''Material:''' Baustein-Beschreibung, Druckvorlage Papier-GPT, Wendeplättchen <!-- DATEI: LLM-Baustein-2_Papier-GPT.pdf | Druckvorlage_LLM-Baustein-2_Papier-GPT.pdf --> ==== LLM-Baustein 3: Fermi-Aufgabe zur Menge der Trainingsdaten ==== Warum schreiben große Sprachmodelle so viel bessere Texte als das selbst gebaute Bigram-Modell? Ein Grund ist die riesige Menge an Texten, aus denen sie lernen. In einer Fermi-Aufgabe machen die Kinder diese Menge greifbar: Wie hoch wäre ein Papierstapel, wenn man eine kurze Geschichte so oft ausdruckt, bis die Datenmenge erreicht ist? Höher als der Mount Everest? Dafür ermitteln sie Dateigrößen, rechnen Einheiten um, überschlagen mit großen Zahlen und prüfen ihr Ergebnis auf Plausibilität. Die Reflexion führt zu Fragen des Urheberrechts – Darf eine KI deine Geschichte ohne Erlaubnis nutzen? – und dazu, warum man den Antworten einer KI nicht blind vertrauen sollte. '''Material:''' Baustein-Beschreibung, Textdatei der Geschichte (zum Ermitteln der Dateigröße), ggf. zehn Ausdrucke auf 80-g-Papier <!-- DATEI: LLM-Baustein-3_Fermi-Aufgabe.pdf | Datei_LLM-Baustein-3 (Geschichte).docx --> == Weiterführende Literatur == * Platz, M. (2025). KI, Internetsuche und algorithmische Verzerrung. ''Mathematik differenziert'', 4/2025, 22–31. * Platz, M. (2025). Algorithmen, ethische Matrizen und Würfelbauwerke. In L. Schick, M. Platz & A. Lambert (Hrsg.), ''Beiträge zum Mathematikunterricht 2025'' (S. 357–360). WTM. * Platz, M. & Plote, C. (2025). KI und Ethik im Klassenzimmer. ''Mitteilungen der GDM'', 118, 6–13. * Platz, M. & Schick, L. (2025). Lernen über LLMs im Mathematikunterricht der Primarstufe. In L. Schick, M. Platz & A. Lambert (Hrsg.), ''Beiträge zum Mathematikunterricht 2025'' (S. 231–234). WTM. * Platz, M., Schorcht, S. & Frischemeier, D. (2025). Lernen mit und über KI: Wie funktionieren LLMs und welche Prompt-Techniken gibt es? In M. Platz, S. Schorcht & D. Frischemeier (Hrsg.), ''Künstliche Intelligenz in der Primarstufe'' (S. 109–130). WTM. <!-- Ggf. ergänzen: Platz (2026) zum LLM-Literacy-Framework (PriMaMedien 17) und Platz (2026) in mathematica didactica 49 --> == Lizenz und Rückmeldung == Die Lernbausteine stehen unter der Lizenz [https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.de CC BY-SA 4.0]. Sie dürfen kopiert, verändert und weitergegeben werden, wenn die Urheberin genannt wird und Bearbeitungen unter derselben Lizenz stehen. Ausgenommen sind Inhalte Dritter, die in den Dateien gesondert gekennzeichnet sind. Namensnennung: ''Lernbausteine KI'' von Melanie Platz, Universität des Saarlandes, Professur für Didaktik der Primarstufe – Schwerpunkt Mathematik, lizenziert unter CC BY-SA 4.0. Rückmeldungen, Erfahrungen aus dem Einsatz und Verbesserungsvorschläge sind willkommen – gern auf der Diskussionsseite. kk85n21u3ggm3v2vilyowcuiz2r2rmu 1119110 1119108 2026-11-08T13:37:50Z Platzm 21125 /* LLM-Baustein 1: Bigram-Modell */ 1119110 wikitext text/x-wiki =Lernbausteine zum Lernen über KI in KITA und Grundschule= Diese Seite stellt '''Lernbausteine zu Künstlicher Intelligenz (KI), Suchmaschinen und Sprachmodellen''' in zwei Reihen bereit: '''ab Kita''' (auch in den Klassen 1 und 2 einsetzbar) und '''ab Klasse 3/4'''. Die Bausteine wurden an der Professur für Didaktik der Primarstufe – Schwerpunkt Mathematik der Universität des Saarlandes entwickelt. ''Der Upload der Dateien erfolgt in Kürze.'' == Worum es geht == Kinder begegnen KI-Systemen früh: Sie stellen Sprachassistenten Fragen, sehen Vorschläge auf Videoplattformen und nutzen Suchmaschinen. Wie diese Systeme funktionieren, bleibt ihnen meist verborgen. Die Lernbausteine setzen hier an. Ihr Grundgedanke ist, dass Kinder die Funktionsweise von KI-Systemen mit Mathematik erschließen können, die sie ohnehin lernen: Sie zählen Häufigkeiten, ordnen und sortieren, vergleichen Daten, würfeln mit Zufallsgeneratoren und rechnen mit großen Zahlen. So wird nachvollziehbar, wie ein Sprachmodell das nächste Wort wählt, warum eine Suchmaschine Ergebnisse in eine bestimmte Reihenfolge bringt oder weshalb eine KI mit einseitigen Trainingsdaten unfair entscheidet. Die meisten Bausteine kommen ohne Computer aus (''Informatik unplugged''). Die Kinder handeln selbst: Sie falten, sortieren, würfeln, spielen einen Roboter oder trainieren einen einfachen Bildklassifizierer. Jeder Baustein endet mit einer Reflexion, in der das Erlebte auf reale Systeme wie Suchmaschinen oder KI-Chatbots übertragen wird. Dabei geht es nicht nur um Technik, sondern auch um Fragen wie: Wer entscheidet, was eine Suchmaschine zuerst anzeigt? Ist es fair, wenn ein Algorithmus geheim bleibt? Versteht ein Chatbot, was er schreibt? == Aufbau == Die Bausteine sind in zwei Reihen gegliedert: * '''Ab Kita''' (auch in den Klassen 1 und 2): sechs Bausteine – zwei Basis-Bausteine zu Algorithmen und Sortieralgorithmen sowie vier Bausteine zu regelbasierten Systemen, Sortieren nach Merkmalen, maschinellem Lernen und Sprachmodellen. * '''Ab Klasse 3/4:''' acht Bausteine in drei Strängen – Suchmaschinen, Künstliche Intelligenz und Sprachmodelle (LLM). Alle Bausteine sind gleich aufgebaut: ''Darum geht es'', Bezüge zu Mathematik und Informatik, Material, Durchführung, Reflexion und Literatur. Arbeitsblätter (AB) und Druckvorlagen liegen als eigene Dateien bei. {| class="wikitable" ! Baustein !! Kernidee !! Mathematik |- ! colspan="3" | Ab Kita (auch Klasse 1/2) |- | Basis-Baustein 1: NIM-Spiel || Eine Gewinnstrategie ist ein Algorithmus || Problemlösen, Zahlenreihe bis 10 |- | Basis-Baustein 2: Bubble Sort || Sortieralgorithmen und Ranking || Längen vergleichen, ordnen |- | KITA-Baustein 1: Chinesisches Zimmer || Eine Maschine folgt Regeln, ohne zu verstehen || Zuordnen, Würfelbilder erkennen |- | KITA-Baustein 2: Sortieren || Es gibt mehrere „richtige“ Sortierungen || Klassifizieren nach Merkmalen |- | KITA-Baustein 3: Machine Learning || Einseitige Trainingsdaten führen zu Fehlern || Mengen erfassen und vergleichen |- | KITA-Baustein 4: Sprachmodell || Wörter werden per Zufall ausgewählt || Münzwurf, Gleichwahrscheinlichkeit |- ! colspan="3" | Ab Klasse 3/4 |- | SE-Baustein 1: Algorithmus || Eingabe – Verarbeitung – Ausgabe || Geometrie: Falten |- | SE-Baustein 2: Ranking || Wer entscheidet, was oben steht? || Daten erheben, Häufigkeitstabelle |- | SE-Baustein 3: „Besser“ suchen || Datensatz – Lernalgorithmus – Vorhersage || Häufigkeiten und Vorhersage |- | KI-Baustein 1: Machine Learning || Algorithmische Verzerrung (Bias) || Ebene Figuren klassifizieren, Daten |- | KI-Baustein 2: Ethische Matrizen || Algorithmen betreffen viele Interessen || Würfelgebäude, Diagramme |- | LLM-Baustein 1: Bigram-Modell || Häufigkeit bestimmt Wahrscheinlichkeit || Häufigkeiten, platonische Körper |- | LLM-Baustein 2: Papier-GPT || Kontext und Zufall beim Textgenerieren || Münzwurf, Laplace-Experiment |- | LLM-Baustein 3: Fermi-Aufgabe || Die Menge der Trainingsdaten || Große Zahlen, Größen umrechnen |} == Hinweise zur Nutzung == Die Bausteine lassen sich einzeln einsetzen, bauen aber teilweise aufeinander auf. Sinnvoll sind folgende Abfolgen: * '''Ab Kita:''' Die Basis-Bausteine (NIM-Spiel, Bubble Sort) führen in Algorithmen ein und eignen sich als Einstieg. KITA-Baustein 2 (Sortieren) vor KITA-Baustein 3 (Machine Learning), da dieselben Bildkarten genutzt werden; Baustein 1 (Chinesisches Zimmer) und Baustein 4 (Sprachmodell) ergänzen sich in der Frage, ob eine Maschine versteht, was sie tut. * '''Ab Klasse 3/4:''' Der Algorithmusbegriff aus SE-Baustein 1 bildet die Grundlage für die übrigen Bausteine; auch die Bausteine ab Kita, besonders das NIM-Spiel, eignen sich hier als Einstieg. Die Suchmaschinen-Bausteine 1 bis 3 und die LLM-Bausteine 1 bis 3 sind jeweils als Reihe gedacht. KI-Baustein 2 greift die Faltanleitungen aus SE-Baustein 2 auf. Für die Durchführung sind keine Programmierkenntnisse nötig. Zwei Bausteine nutzen frei zugängliche Webanwendungen: ''Machine Learning for Kids'' (KI-Baustein 1, KITA-Baustein 3; ohne Benutzerkonto nutzbar, die Daten bleiben im Browser) und die App ''BIGRAM'' (LLM-Baustein 1). == Lernbausteine ab Kita == Die Bausteine wurden für die Kita entwickelt und lassen sich auch in den Klassen 1 und 2 einsetzen. === Basis-Baustein 1: NIM-Spiel und Algorithmen === Zwei Kinder legen abwechselnd ein oder zwei Plättchen auf einen Spielplan mit zehn Feldern; wer das zehnte Feld belegt, gewinnt. Schnell wird klar: Das ist kein Glücksspiel. Die Kinder stellen Vermutungen über Gewinnstrategien auf, probieren sie aus und entdecken dabei schrittweise „Gewinnfelder“. Eine solche Gewinnstrategie ist ein Algorithmus – eine eindeutige, ausführbare Abfolge von Schritten. In der Reflexion wird der Bogen zu den unsichtbaren Algorithmen digitaler Plattformen geschlagen: Ist es fair, wenn nur einer die Strategie kennt? Und wer sollte entscheiden dürfen, ob ein Algorithmus geheim bleibt? '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Basis-Baustein-1_NIM-Spiel.pdf Baustein-Beschreibung], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Druckvorlage_Basis-Baustein-1_NIM-Spiel.pdf Spielplan], blaue und rote Plättchen === Basis-Baustein 2: Bubble Sort und Ranking von Suchmaschinen === Die Kinder werden selbst zum Sortieralgorithmus: Jedes Kind hält einen Stab und stellt sich auf eine Linie. Nach einer festen Regel vergleichen jeweils zwei Nachbarn ihre Stäbe und tauschen bei Bedarf die Plätze, bis alle der Länge nach geordnet sind. Durch Wiederholen mit anderen Startpositionen überzeugen sie sich davon, dass das Verfahren immer funktioniert. Als Erweiterung kann nach einem Kriterium sortiert werden, das die Kinder nicht kennen – so wie Suchmaschinen ihre Ergebnisse nach Kriterien ordnen, die nicht offenliegen. Die Kinder stellen Vermutungen über das Sortierkriterium an und kommen so ins Gespräch über Popularität und Personalisierung beim Ranking. '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Basis-Baustein-2_Bubble-Sort.pdf Baustein-Beschreibung], verschieden lange Stäbe (z. B. Cuisenaire-Stäbe), Klebeband für eine Bodenmarkierung === KITA-Baustein 1: Chinesisches Zimmer === Ein Kind sitzt in einem selbst gebastelten Karton-Roboter. Durch einen Schlitz bekommt es Würfelbilder hineingereicht und gibt mithilfe eines Regelbuchs die passende Schmetterlingskarte heraus – ohne zu wissen, wozu. Das Spiel greift das Gedankenexperiment des „Chinesischen Zimmers“ von John Searle auf: Von außen wirkt die Antwort passend, obwohl drinnen niemand versteht, worum es geht. Die Kinder üben dabei Zuordnung und das Erkennen von Würfelbildern und erleben das Prinzip Eingabe – Verarbeitung – Ausgabe. In der Reflexion sprechen sie darüber, wie es sich anfühlt, „mechanisch“ zu antworten, und ob ein Roboter – oder eine KI – wirklich nachdenkt oder fühlt. Der Baustein wirkt so der Vermenschlichung von KI entgegen. '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:KITA-Baustein-1_Chinesisches-Zimmer.pdf Baustein-Beschreibung], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Druckvorlage_KITA-Baustein-1_Chinesisches-Zimmer_Regelbuch.pdf Regelbuch], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Druckvorlage_KITA-Baustein-1_Chinesisches-Zimmer_Bildkarten.pdf Bildkarten], Karton und Bastelmaterial === KITA-Baustein 2: Sortieren === Bildkarten mit Raupen, Kokons und Schmetterlingen in verschiedenen Farben sind „durcheinandergeraten“ und sollen wieder sortiert werden. Ob nach Farbe, Form, Größe oder inhaltlichem Zusammenhang – die Kinder entscheiden selbst und begründen ihre Sortierung. Im Vergleich der Ergebnisse zeigt sich, dass es nicht nur eine richtige Lösung gibt und dass dieselbe Karte zu mehreren Gruppen passen kann. Damit machen die Kinder grundlegende Erfahrungen mit Klassifizieren und Kategorisieren. Zugleich bahnt der Baustein eine Idee des maschinellen Lernens an: Auch KI-Systeme gruppieren Daten nach Ähnlichkeiten – ohne zu verstehen, was sie bedeuten. '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:KITA-Baustein-2_Sortieren.pdf Baustein-Beschreibung], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Druckvorlage_KITA-Baustein-2_Sortieren.pdf Bildkarten] (möglichst ein Set pro Kind) === KITA-Baustein 3: Machine Learning und algorithmische Verzerrung === Die Fachkraft oder Lehrkraft zeigt einen Bildklassifizierer, der Raupen von Schmetterlingen und Kokons unterscheiden soll – und der bewusst „unfair“ trainiert wurde: Von den Raupen kennt er nur zwei sehr ähnliche Bilder. Gemeinsam untersuchen die Kinder, wo der Klassifizierer Fehler macht, und erkennen, dass es an den Trainingsdaten liegt. Mit den Bildkarten aus Baustein 2 verbessern sie das System, indem sie weitere Beispiele einlesen. In der Reflexion geht es um Verantwortung: Wer sorgt dafür, dass eine KI faire Daten bekommt? Und wo können solche Fehler für Menschen schlimme Folgen haben? Verwendet wird das kostenfreie Webwerkzeug ''Machine Learning for Kids'', das ohne Benutzerkonto auskommt. '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:KITA-Baustein-3_ML.pdf Baustein-Beschreibung], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Anleitung_KITA-Baustein-3_ML.pdf Anleitung zu Machine Learning for Kids], Tablet oder Laptop mit Kamera und Internetzugang, === KITA-Baustein 4: Sprachmodell === Gemeinsam erzählen die Kinder eine Geschichte weiter – wie ein Sprachmodell, Wort für Wort. Zu einem vorgegebenen Satzanfang schlagen sie zwei mögliche nächste Wörter vor, eine Münze entscheidet, welches genommen wird. Die Fachkraft oder Lehrkraft schreibt mit und liest die entstandene Geschichte am Ende vor. Die Kinder erleben so, dass Sprachmodelle Wörter mit Zufall auswählen und dass eine Münze nicht „weiß“, was die Geschichte erzählen soll. In der Reflexion wird deutlich, was Menschen beim Weitererzählen einbringen und eine Maschine nicht: Wissen über die Welt und darüber, worum es in einer Geschichte geht. Der Baustein knüpft an das Chinesische Zimmer an. '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:KITA-Baustein-4_LLM.pdf Baustein-Beschreibung], Münze == Lernbausteine ab Klasse 3/4 == === Suchmaschinen === ==== SE-Baustein 1: Algorithmus ==== Was ist eigentlich ein Algorithmus? Die Kinder erarbeiten eine kindgerechte Definition und prüfen an Beispielen aus dem Alltag, ob es sich um einen Algorithmus handelt. Dann falten sie ein quadratisches Papier nach einer Faltanleitung und entdecken dabei Dreiecke, Diagonalen und Mittelpunkt. Die Faltanleitung erweist sich als Algorithmus mit Eingabe (Papier), Verarbeitungsschritten und Ausgabe (Faltprodukt). Auch eine Suchmaschine arbeitet nach diesem Prinzip – mit der Suchanfrage als Eingabe und der Trefferliste als Ausgabe. Der entscheidende Unterschied, den die Reflexion herausarbeitet: Die Faltanleitung ist nachvollziehbar, der Algorithmus einer Suchmaschine nicht. '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:SE-Baustein-1_Algorithmus.pdf Baustein-Beschreibung], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:AB-SE-Baustein-1_Algorithmus.pdf Arbeitsblatt Algorithmus], quadratisches Faltpapier, [https://opensearchfoundation.org/wp-content/uploads/2022/10/So-funktioniert-die-Internetsuche.pdf Infografik „So funktioniert die Internetsuche“ der Open Search Foundation] ==== SE-Baustein 2: Ranking ==== Wer entscheidet, was bei einer Suche oben steht? Die Kinder vergleichen mehrere Faltanleitungen für dasselbe Objekt, darunter eine mit Werbung. Zuerst erstellen sie ein eigenes Ranking (Personalisierung), dann ermitteln sie per Befragung und Häufigkeitstabelle das beliebteste Ergebnis der Klasse (Popularität). Was passiert, wenn die „Suchmaschine“ trotzdem die Anleitung mit Werbung auf Platz 1 setzt? Die Diskussion führt zu wirtschaftlichen Interessen und zu der Erkenntnis, dass Ranking-Algorithmen nicht neutral sind. Zum Schluss verbessern die Kinder selbst eine Anleitung nach einem Ziel, das sie festlegen, und begründen ihre Entscheidung: Menschen bestimmen, welche Ziele ein Algorithmus verfolgt. '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:SE-Baustein-2_Ranking.pdf Baustein-Beschreibung], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Druckvorlage-SE-Baustein-2_Ranking.pdf Druckvorlage Faltanleitungen], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:AB-SE-Baustein-2_Ranking.pdf Arbeitsblatt „Faltanleitungen ergänzen und verbessern“] <!-- DATEI: SE-Baustein-2_Ranking.pdf | Druckvorlage-SE-Baustein-2_Ranking.pdf | AB-SE-Baustein-2_Ranking.pdf --> ==== SE-Baustein 3: „Besser“ suchen ==== Suchmaschinen sind KI-Systeme, die aus einem Datensatz, einem Lernalgorithmus und einer Vorhersage bestehen. Am Beispiel der Autovervollständigung, die häufige frühere Suchanfragen vorschlägt, und des Rankings untersuchen die Kinder, wie diese Bestandteile zusammenwirken – und warum unfaire Daten zu verzerrten Ergebnissen führen können. Darauf aufbauend lernen sie Tipps für eine bewusstere Internetsuche kennen, etwa gezielte Suchbegriffe, ein kritischer Blick auf die ersten Treffer und alternative Suchmaschinen. Die Reflexion öffnet zudem die Frage, wem die Inhalte gehören, die eine Suchmaschine anzeigt. '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:SE-Baustein-3_besser_Suchen.pdf Baustein-Beschreibung], digitales Gerät zur Demonstration einer Suchmaschine, ggf. [https://opensearchfoundation.org/wp-content/uploads/2022/10/Kinder-Tipps-Internetsuche.pdf Suchtipps der Open Search Foundation] === Künstliche Intelligenz === ==== KI-Baustein 1: Machine Learning und algorithmische Verzerrung ==== Die Kinder untersuchen einen Bildklassifizierer, der Dreiecke und Vierecke unterscheiden soll. Er wurde bewusst „unfair“ trainiert: Die Vierecke im Trainingsdatensatz sind nur Rechtecke in derselben Lage, die Dreiecke dagegen vielfältig. Die Kinder finden heraus, warum der Klassifizierer bei Vierecken häufiger irrt, und verbessern ihn in Kleingruppen, indem sie selbst gezeichnete Figuren als neue Trainingsdaten hinzufügen. Dabei klassifizieren sie ebene Figuren nach ihren Eigenschaften und werten Daten aus. Die Reflexion verbindet das Experiment mit realen Fällen algorithmischer Verzerrung, etwa bei Gesichtserkennung oder Bewerbungsverfahren, und mit der Einsicht, dass Menschen über die Daten und Ziele von KI-Systemen entscheiden. '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:KI-Baustein-1_ML.pdf Baustein-Beschreibung], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:AB_KI-Baustein-1_ML.pdf Arbeitsblatt], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Infoseite_KI-Baustein-1_ML.pdf Infoseite zur Bedienung von Machine Learning for Kids], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Anleitung_KI-Baustein-1_ML.pdf Anleitung zu Machine Learning for Kids für Lehrpersonen], Tablets mit Stift und Internetzugang ==== KI-Baustein 2: Ethische Matrizen ==== Wenn ein Algorithmus verändert wird, wer profitiert und wer nicht? Mit einer ethischen Matrix tragen die Kinder zusammen, wer an einem Produkt interessiert ist – etwa an einem Pfannkuchenrezept oder einer Faltanleitung – und welche Werte den einzelnen Beteiligten wichtig sind. Mit Holzwürfeln gewichten sie die Felder, sodass ein Würfelgebäude entsteht, das sie beschreiben und verändern. Beim Versuch, das „Rezept“ zu verbessern, stellen die Kinder fest, dass eine Verbesserung für die einen eine Verschlechterung für andere bedeuten kann. In der Reflexion wird die Matrix auf reale Systeme wie Suchmaschinen oder Chatbots übertragen: Wessen Werte wurden berücksichtigt? '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:KI-Baustein-2_Ethische-Matrix.pdf Baustein-Beschreibung], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Druckvorlage_KI-Baustein-2_Ethische-Matrix.pdf Vorlage Ethische Matrix], Holzwürfel (Kantenlänge 2 cm) === Sprachmodelle (LLM) === ==== LLM-Baustein 1: Bigram-Modell ==== Wie erzeugt ein Sprachmodell Text? Die Kinder bauen ein einfaches Modell selbst: Sie zählen in einer kurzen Geschichte, welche Wörter am Satzanfang stehen und welche darauf folgen, halten die Häufigkeiten in Tabellen fest und „würfeln“ das nächste Wort mit passenden Zufallsgeneratoren wie platonischen Körpern oder einer Münze. Die App BIGRAM übernimmt das anschließend für ganze Sätze. Die entstehenden Texte klingen oft holprig, und Wörter, die nicht in der Geschichte vorkommen, kann das Modell nicht verarbeiten. So wird verständlich, warum KI-Chatbots als „stochastische Papageien“ bezeichnet werden und warum man ihre Antworten überprüfen sollte. '''Material:''' Baustein-Beschreibung, Arbeitsblatt, Zufallsgeneratoren (z. B. platonische Körper), [https://melanie-platz.com/Bigram/ App BIGRAM] ==== LLM-Baustein 2: Papier-GPT ==== Ohne Computer simulieren die Kinder, wie ein Sprachmodell einen Text fortsetzt. Eine Tabelle mit einem Satzanfang wandert von Gruppe zu Gruppe. Jede Gruppe sieht nur die letzten drei Wörter, schlägt zwei mögliche Fortsetzungen vor und lässt ein Wendeplättchen entscheiden, welches Wort übernommen wird. Am Ende wird der ganze Satz aufgefaltet und vorgelesen. Die Kinder erleben dabei Gleichwahrscheinlichkeit und Zufall als Auswahlprinzip und lernen zentrale Ideen von Sprachmodellen kennen: einen begrenzten Kontext und das zufällige Auswählen des nächsten Wortes. In der Reflexion vergleichen sie das Ergebnis mit dem Bigram-Modell und überlegen, welches Wissen ihnen selbst beim Finden passender Wörter geholfen hat. '''Material:''' Baustein-Beschreibung, Druckvorlage Papier-GPT, Wendeplättchen <!-- DATEI: LLM-Baustein-2_Papier-GPT.pdf | Druckvorlage_LLM-Baustein-2_Papier-GPT.pdf --> ==== LLM-Baustein 3: Fermi-Aufgabe zur Menge der Trainingsdaten ==== Warum schreiben große Sprachmodelle so viel bessere Texte als das selbst gebaute Bigram-Modell? Ein Grund ist die riesige Menge an Texten, aus denen sie lernen. In einer Fermi-Aufgabe machen die Kinder diese Menge greifbar: Wie hoch wäre ein Papierstapel, wenn man eine kurze Geschichte so oft ausdruckt, bis die Datenmenge erreicht ist? Höher als der Mount Everest? Dafür ermitteln sie Dateigrößen, rechnen Einheiten um, überschlagen mit großen Zahlen und prüfen ihr Ergebnis auf Plausibilität. Die Reflexion führt zu Fragen des Urheberrechts – Darf eine KI deine Geschichte ohne Erlaubnis nutzen? – und dazu, warum man den Antworten einer KI nicht blind vertrauen sollte. '''Material:''' Baustein-Beschreibung, Textdatei der Geschichte (zum Ermitteln der Dateigröße), ggf. zehn Ausdrucke auf 80-g-Papier <!-- DATEI: LLM-Baustein-3_Fermi-Aufgabe.pdf | Datei_LLM-Baustein-3 (Geschichte).docx --> == Weiterführende Literatur == * Platz, M. (2025). KI, Internetsuche und algorithmische Verzerrung. ''Mathematik differenziert'', 4/2025, 22–31. * Platz, M. (2025). Algorithmen, ethische Matrizen und Würfelbauwerke. In L. Schick, M. Platz & A. Lambert (Hrsg.), ''Beiträge zum Mathematikunterricht 2025'' (S. 357–360). WTM. * Platz, M. & Plote, C. (2025). KI und Ethik im Klassenzimmer. ''Mitteilungen der GDM'', 118, 6–13. * Platz, M. & Schick, L. (2025). Lernen über LLMs im Mathematikunterricht der Primarstufe. In L. Schick, M. Platz & A. Lambert (Hrsg.), ''Beiträge zum Mathematikunterricht 2025'' (S. 231–234). WTM. * Platz, M., Schorcht, S. & Frischemeier, D. (2025). Lernen mit und über KI: Wie funktionieren LLMs und welche Prompt-Techniken gibt es? In M. Platz, S. Schorcht & D. Frischemeier (Hrsg.), ''Künstliche Intelligenz in der Primarstufe'' (S. 109–130). WTM. <!-- Ggf. ergänzen: Platz (2026) zum LLM-Literacy-Framework (PriMaMedien 17) und Platz (2026) in mathematica didactica 49 --> == Lizenz und Rückmeldung == Die Lernbausteine stehen unter der Lizenz [https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.de CC BY-SA 4.0]. Sie dürfen kopiert, verändert und weitergegeben werden, wenn die Urheberin genannt wird und Bearbeitungen unter derselben Lizenz stehen. Ausgenommen sind Inhalte Dritter, die in den Dateien gesondert gekennzeichnet sind. Namensnennung: ''Lernbausteine KI'' von Melanie Platz, Universität des Saarlandes, Professur für Didaktik der Primarstufe – Schwerpunkt Mathematik, lizenziert unter CC BY-SA 4.0. Rückmeldungen, Erfahrungen aus dem Einsatz und Verbesserungsvorschläge sind willkommen – gern auf der Diskussionsseite. mgzke64j6f6ce9lm9s9nie9jqpba0fb 1119111 1119110 2026-11-08T14:03:56Z Platzm 21125 /* LLM-Baustein 1: Bigram-Modell */ 1119111 wikitext text/x-wiki =Lernbausteine zum Lernen über KI in KITA und Grundschule= Diese Seite stellt '''Lernbausteine zu Künstlicher Intelligenz (KI), Suchmaschinen und Sprachmodellen''' in zwei Reihen bereit: '''ab Kita''' (auch in den Klassen 1 und 2 einsetzbar) und '''ab Klasse 3/4'''. Die Bausteine wurden an der Professur für Didaktik der Primarstufe – Schwerpunkt Mathematik der Universität des Saarlandes entwickelt. ''Der Upload der Dateien erfolgt in Kürze.'' == Worum es geht == Kinder begegnen KI-Systemen früh: Sie stellen Sprachassistenten Fragen, sehen Vorschläge auf Videoplattformen und nutzen Suchmaschinen. Wie diese Systeme funktionieren, bleibt ihnen meist verborgen. Die Lernbausteine setzen hier an. Ihr Grundgedanke ist, dass Kinder die Funktionsweise von KI-Systemen mit Mathematik erschließen können, die sie ohnehin lernen: Sie zählen Häufigkeiten, ordnen und sortieren, vergleichen Daten, würfeln mit Zufallsgeneratoren und rechnen mit großen Zahlen. So wird nachvollziehbar, wie ein Sprachmodell das nächste Wort wählt, warum eine Suchmaschine Ergebnisse in eine bestimmte Reihenfolge bringt oder weshalb eine KI mit einseitigen Trainingsdaten unfair entscheidet. Die meisten Bausteine kommen ohne Computer aus (''Informatik unplugged''). Die Kinder handeln selbst: Sie falten, sortieren, würfeln, spielen einen Roboter oder trainieren einen einfachen Bildklassifizierer. Jeder Baustein endet mit einer Reflexion, in der das Erlebte auf reale Systeme wie Suchmaschinen oder KI-Chatbots übertragen wird. Dabei geht es nicht nur um Technik, sondern auch um Fragen wie: Wer entscheidet, was eine Suchmaschine zuerst anzeigt? Ist es fair, wenn ein Algorithmus geheim bleibt? Versteht ein Chatbot, was er schreibt? == Aufbau == Die Bausteine sind in zwei Reihen gegliedert: * '''Ab Kita''' (auch in den Klassen 1 und 2): sechs Bausteine – zwei Basis-Bausteine zu Algorithmen und Sortieralgorithmen sowie vier Bausteine zu regelbasierten Systemen, Sortieren nach Merkmalen, maschinellem Lernen und Sprachmodellen. * '''Ab Klasse 3/4:''' acht Bausteine in drei Strängen – Suchmaschinen, Künstliche Intelligenz und Sprachmodelle (LLM). Alle Bausteine sind gleich aufgebaut: ''Darum geht es'', Bezüge zu Mathematik und Informatik, Material, Durchführung, Reflexion und Literatur. Arbeitsblätter (AB) und Druckvorlagen liegen als eigene Dateien bei. {| class="wikitable" ! Baustein !! Kernidee !! Mathematik |- ! colspan="3" | Ab Kita (auch Klasse 1/2) |- | Basis-Baustein 1: NIM-Spiel || Eine Gewinnstrategie ist ein Algorithmus || Problemlösen, Zahlenreihe bis 10 |- | Basis-Baustein 2: Bubble Sort || Sortieralgorithmen und Ranking || Längen vergleichen, ordnen |- | KITA-Baustein 1: Chinesisches Zimmer || Eine Maschine folgt Regeln, ohne zu verstehen || Zuordnen, Würfelbilder erkennen |- | KITA-Baustein 2: Sortieren || Es gibt mehrere „richtige“ Sortierungen || Klassifizieren nach Merkmalen |- | KITA-Baustein 3: Machine Learning || Einseitige Trainingsdaten führen zu Fehlern || Mengen erfassen und vergleichen |- | KITA-Baustein 4: Sprachmodell || Wörter werden per Zufall ausgewählt || Münzwurf, Gleichwahrscheinlichkeit |- ! colspan="3" | Ab Klasse 3/4 |- | SE-Baustein 1: Algorithmus || Eingabe – Verarbeitung – Ausgabe || Geometrie: Falten |- | SE-Baustein 2: Ranking || Wer entscheidet, was oben steht? || Daten erheben, Häufigkeitstabelle |- | SE-Baustein 3: „Besser“ suchen || Datensatz – Lernalgorithmus – Vorhersage || Häufigkeiten und Vorhersage |- | KI-Baustein 1: Machine Learning || Algorithmische Verzerrung (Bias) || Ebene Figuren klassifizieren, Daten |- | KI-Baustein 2: Ethische Matrizen || Algorithmen betreffen viele Interessen || Würfelgebäude, Diagramme |- | LLM-Baustein 1: Bigram-Modell || Häufigkeit bestimmt Wahrscheinlichkeit || Häufigkeiten, platonische Körper |- | LLM-Baustein 2: Papier-GPT || Kontext und Zufall beim Textgenerieren || Münzwurf, Laplace-Experiment |- | LLM-Baustein 3: Fermi-Aufgabe || Die Menge der Trainingsdaten || Große Zahlen, Größen umrechnen |} == Hinweise zur Nutzung == Die Bausteine lassen sich einzeln einsetzen, bauen aber teilweise aufeinander auf. Sinnvoll sind folgende Abfolgen: * '''Ab Kita:''' Die Basis-Bausteine (NIM-Spiel, Bubble Sort) führen in Algorithmen ein und eignen sich als Einstieg. KITA-Baustein 2 (Sortieren) vor KITA-Baustein 3 (Machine Learning), da dieselben Bildkarten genutzt werden; Baustein 1 (Chinesisches Zimmer) und Baustein 4 (Sprachmodell) ergänzen sich in der Frage, ob eine Maschine versteht, was sie tut. * '''Ab Klasse 3/4:''' Der Algorithmusbegriff aus SE-Baustein 1 bildet die Grundlage für die übrigen Bausteine; auch die Bausteine ab Kita, besonders das NIM-Spiel, eignen sich hier als Einstieg. Die Suchmaschinen-Bausteine 1 bis 3 und die LLM-Bausteine 1 bis 3 sind jeweils als Reihe gedacht. KI-Baustein 2 greift die Faltanleitungen aus SE-Baustein 2 auf. Für die Durchführung sind keine Programmierkenntnisse nötig. Zwei Bausteine nutzen frei zugängliche Webanwendungen: ''Machine Learning for Kids'' (KI-Baustein 1, KITA-Baustein 3; ohne Benutzerkonto nutzbar, die Daten bleiben im Browser) und die App ''BIGRAM'' (LLM-Baustein 1). == Lernbausteine ab Kita == Die Bausteine wurden für die Kita entwickelt und lassen sich auch in den Klassen 1 und 2 einsetzen. === Basis-Baustein 1: NIM-Spiel und Algorithmen === Zwei Kinder legen abwechselnd ein oder zwei Plättchen auf einen Spielplan mit zehn Feldern; wer das zehnte Feld belegt, gewinnt. Schnell wird klar: Das ist kein Glücksspiel. Die Kinder stellen Vermutungen über Gewinnstrategien auf, probieren sie aus und entdecken dabei schrittweise „Gewinnfelder“. Eine solche Gewinnstrategie ist ein Algorithmus – eine eindeutige, ausführbare Abfolge von Schritten. In der Reflexion wird der Bogen zu den unsichtbaren Algorithmen digitaler Plattformen geschlagen: Ist es fair, wenn nur einer die Strategie kennt? Und wer sollte entscheiden dürfen, ob ein Algorithmus geheim bleibt? '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Basis-Baustein-1_NIM-Spiel.pdf Baustein-Beschreibung], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Druckvorlage_Basis-Baustein-1_NIM-Spiel.pdf Spielplan], blaue und rote Plättchen === Basis-Baustein 2: Bubble Sort und Ranking von Suchmaschinen === Die Kinder werden selbst zum Sortieralgorithmus: Jedes Kind hält einen Stab und stellt sich auf eine Linie. Nach einer festen Regel vergleichen jeweils zwei Nachbarn ihre Stäbe und tauschen bei Bedarf die Plätze, bis alle der Länge nach geordnet sind. Durch Wiederholen mit anderen Startpositionen überzeugen sie sich davon, dass das Verfahren immer funktioniert. Als Erweiterung kann nach einem Kriterium sortiert werden, das die Kinder nicht kennen – so wie Suchmaschinen ihre Ergebnisse nach Kriterien ordnen, die nicht offenliegen. Die Kinder stellen Vermutungen über das Sortierkriterium an und kommen so ins Gespräch über Popularität und Personalisierung beim Ranking. '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Basis-Baustein-2_Bubble-Sort.pdf Baustein-Beschreibung], verschieden lange Stäbe (z. B. Cuisenaire-Stäbe), Klebeband für eine Bodenmarkierung === KITA-Baustein 1: Chinesisches Zimmer === Ein Kind sitzt in einem selbst gebastelten Karton-Roboter. Durch einen Schlitz bekommt es Würfelbilder hineingereicht und gibt mithilfe eines Regelbuchs die passende Schmetterlingskarte heraus – ohne zu wissen, wozu. Das Spiel greift das Gedankenexperiment des „Chinesischen Zimmers“ von John Searle auf: Von außen wirkt die Antwort passend, obwohl drinnen niemand versteht, worum es geht. Die Kinder üben dabei Zuordnung und das Erkennen von Würfelbildern und erleben das Prinzip Eingabe – Verarbeitung – Ausgabe. In der Reflexion sprechen sie darüber, wie es sich anfühlt, „mechanisch“ zu antworten, und ob ein Roboter – oder eine KI – wirklich nachdenkt oder fühlt. Der Baustein wirkt so der Vermenschlichung von KI entgegen. '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:KITA-Baustein-1_Chinesisches-Zimmer.pdf Baustein-Beschreibung], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Druckvorlage_KITA-Baustein-1_Chinesisches-Zimmer_Regelbuch.pdf Regelbuch], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Druckvorlage_KITA-Baustein-1_Chinesisches-Zimmer_Bildkarten.pdf Bildkarten], Karton und Bastelmaterial === KITA-Baustein 2: Sortieren === Bildkarten mit Raupen, Kokons und Schmetterlingen in verschiedenen Farben sind „durcheinandergeraten“ und sollen wieder sortiert werden. Ob nach Farbe, Form, Größe oder inhaltlichem Zusammenhang – die Kinder entscheiden selbst und begründen ihre Sortierung. Im Vergleich der Ergebnisse zeigt sich, dass es nicht nur eine richtige Lösung gibt und dass dieselbe Karte zu mehreren Gruppen passen kann. Damit machen die Kinder grundlegende Erfahrungen mit Klassifizieren und Kategorisieren. Zugleich bahnt der Baustein eine Idee des maschinellen Lernens an: Auch KI-Systeme gruppieren Daten nach Ähnlichkeiten – ohne zu verstehen, was sie bedeuten. '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:KITA-Baustein-2_Sortieren.pdf Baustein-Beschreibung], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Druckvorlage_KITA-Baustein-2_Sortieren.pdf Bildkarten] (möglichst ein Set pro Kind) === KITA-Baustein 3: Machine Learning und algorithmische Verzerrung === Die Fachkraft oder Lehrkraft zeigt einen Bildklassifizierer, der Raupen von Schmetterlingen und Kokons unterscheiden soll – und der bewusst „unfair“ trainiert wurde: Von den Raupen kennt er nur zwei sehr ähnliche Bilder. Gemeinsam untersuchen die Kinder, wo der Klassifizierer Fehler macht, und erkennen, dass es an den Trainingsdaten liegt. Mit den Bildkarten aus Baustein 2 verbessern sie das System, indem sie weitere Beispiele einlesen. In der Reflexion geht es um Verantwortung: Wer sorgt dafür, dass eine KI faire Daten bekommt? Und wo können solche Fehler für Menschen schlimme Folgen haben? Verwendet wird das kostenfreie Webwerkzeug ''Machine Learning for Kids'', das ohne Benutzerkonto auskommt. '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:KITA-Baustein-3_ML.pdf Baustein-Beschreibung], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Anleitung_KITA-Baustein-3_ML.pdf Anleitung zu Machine Learning for Kids], Tablet oder Laptop mit Kamera und Internetzugang, === KITA-Baustein 4: Sprachmodell === Gemeinsam erzählen die Kinder eine Geschichte weiter – wie ein Sprachmodell, Wort für Wort. Zu einem vorgegebenen Satzanfang schlagen sie zwei mögliche nächste Wörter vor, eine Münze entscheidet, welches genommen wird. Die Fachkraft oder Lehrkraft schreibt mit und liest die entstandene Geschichte am Ende vor. Die Kinder erleben so, dass Sprachmodelle Wörter mit Zufall auswählen und dass eine Münze nicht „weiß“, was die Geschichte erzählen soll. In der Reflexion wird deutlich, was Menschen beim Weitererzählen einbringen und eine Maschine nicht: Wissen über die Welt und darüber, worum es in einer Geschichte geht. Der Baustein knüpft an das Chinesische Zimmer an. '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:KITA-Baustein-4_LLM.pdf Baustein-Beschreibung], Münze == Lernbausteine ab Klasse 3/4 == === Suchmaschinen === ==== SE-Baustein 1: Algorithmus ==== Was ist eigentlich ein Algorithmus? Die Kinder erarbeiten eine kindgerechte Definition und prüfen an Beispielen aus dem Alltag, ob es sich um einen Algorithmus handelt. Dann falten sie ein quadratisches Papier nach einer Faltanleitung und entdecken dabei Dreiecke, Diagonalen und Mittelpunkt. Die Faltanleitung erweist sich als Algorithmus mit Eingabe (Papier), Verarbeitungsschritten und Ausgabe (Faltprodukt). Auch eine Suchmaschine arbeitet nach diesem Prinzip – mit der Suchanfrage als Eingabe und der Trefferliste als Ausgabe. Der entscheidende Unterschied, den die Reflexion herausarbeitet: Die Faltanleitung ist nachvollziehbar, der Algorithmus einer Suchmaschine nicht. '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:SE-Baustein-1_Algorithmus.pdf Baustein-Beschreibung], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:AB-SE-Baustein-1_Algorithmus.pdf Arbeitsblatt Algorithmus], quadratisches Faltpapier, [https://opensearchfoundation.org/wp-content/uploads/2022/10/So-funktioniert-die-Internetsuche.pdf Infografik „So funktioniert die Internetsuche“ der Open Search Foundation] ==== SE-Baustein 2: Ranking ==== Wer entscheidet, was bei einer Suche oben steht? Die Kinder vergleichen mehrere Faltanleitungen für dasselbe Objekt, darunter eine mit Werbung. Zuerst erstellen sie ein eigenes Ranking (Personalisierung), dann ermitteln sie per Befragung und Häufigkeitstabelle das beliebteste Ergebnis der Klasse (Popularität). Was passiert, wenn die „Suchmaschine“ trotzdem die Anleitung mit Werbung auf Platz 1 setzt? Die Diskussion führt zu wirtschaftlichen Interessen und zu der Erkenntnis, dass Ranking-Algorithmen nicht neutral sind. Zum Schluss verbessern die Kinder selbst eine Anleitung nach einem Ziel, das sie festlegen, und begründen ihre Entscheidung: Menschen bestimmen, welche Ziele ein Algorithmus verfolgt. '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:SE-Baustein-2_Ranking.pdf Baustein-Beschreibung], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Druckvorlage-SE-Baustein-2_Ranking.pdf Druckvorlage Faltanleitungen], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:AB-SE-Baustein-2_Ranking.pdf Arbeitsblatt „Faltanleitungen ergänzen und verbessern“] <!-- DATEI: SE-Baustein-2_Ranking.pdf | Druckvorlage-SE-Baustein-2_Ranking.pdf | AB-SE-Baustein-2_Ranking.pdf --> ==== SE-Baustein 3: „Besser“ suchen ==== Suchmaschinen sind KI-Systeme, die aus einem Datensatz, einem Lernalgorithmus und einer Vorhersage bestehen. Am Beispiel der Autovervollständigung, die häufige frühere Suchanfragen vorschlägt, und des Rankings untersuchen die Kinder, wie diese Bestandteile zusammenwirken – und warum unfaire Daten zu verzerrten Ergebnissen führen können. Darauf aufbauend lernen sie Tipps für eine bewusstere Internetsuche kennen, etwa gezielte Suchbegriffe, ein kritischer Blick auf die ersten Treffer und alternative Suchmaschinen. Die Reflexion öffnet zudem die Frage, wem die Inhalte gehören, die eine Suchmaschine anzeigt. '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:SE-Baustein-3_besser_Suchen.pdf Baustein-Beschreibung], digitales Gerät zur Demonstration einer Suchmaschine, ggf. [https://opensearchfoundation.org/wp-content/uploads/2022/10/Kinder-Tipps-Internetsuche.pdf Suchtipps der Open Search Foundation] === Künstliche Intelligenz === ==== KI-Baustein 1: Machine Learning und algorithmische Verzerrung ==== Die Kinder untersuchen einen Bildklassifizierer, der Dreiecke und Vierecke unterscheiden soll. Er wurde bewusst „unfair“ trainiert: Die Vierecke im Trainingsdatensatz sind nur Rechtecke in derselben Lage, die Dreiecke dagegen vielfältig. Die Kinder finden heraus, warum der Klassifizierer bei Vierecken häufiger irrt, und verbessern ihn in Kleingruppen, indem sie selbst gezeichnete Figuren als neue Trainingsdaten hinzufügen. Dabei klassifizieren sie ebene Figuren nach ihren Eigenschaften und werten Daten aus. Die Reflexion verbindet das Experiment mit realen Fällen algorithmischer Verzerrung, etwa bei Gesichtserkennung oder Bewerbungsverfahren, und mit der Einsicht, dass Menschen über die Daten und Ziele von KI-Systemen entscheiden. '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:KI-Baustein-1_ML.pdf Baustein-Beschreibung], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:AB_KI-Baustein-1_ML.pdf Arbeitsblatt], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Infoseite_KI-Baustein-1_ML.pdf Infoseite zur Bedienung von Machine Learning for Kids], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Anleitung_KI-Baustein-1_ML.pdf Anleitung zu Machine Learning for Kids für Lehrpersonen], Tablets mit Stift und Internetzugang ==== KI-Baustein 2: Ethische Matrizen ==== Wenn ein Algorithmus verändert wird, wer profitiert und wer nicht? Mit einer ethischen Matrix tragen die Kinder zusammen, wer an einem Produkt interessiert ist – etwa an einem Pfannkuchenrezept oder einer Faltanleitung – und welche Werte den einzelnen Beteiligten wichtig sind. Mit Holzwürfeln gewichten sie die Felder, sodass ein Würfelgebäude entsteht, das sie beschreiben und verändern. Beim Versuch, das „Rezept“ zu verbessern, stellen die Kinder fest, dass eine Verbesserung für die einen eine Verschlechterung für andere bedeuten kann. In der Reflexion wird die Matrix auf reale Systeme wie Suchmaschinen oder Chatbots übertragen: Wessen Werte wurden berücksichtigt? '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:KI-Baustein-2_Ethische-Matrix.pdf Baustein-Beschreibung], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Druckvorlage_KI-Baustein-2_Ethische-Matrix.pdf Vorlage Ethische Matrix], Holzwürfel (Kantenlänge 2 cm) === Sprachmodelle (LLM) === ==== LLM-Baustein 1: Bigram-Modell ==== Wie erzeugt ein Sprachmodell Text? Die Kinder bauen ein einfaches Modell selbst: Sie zählen in einer kurzen Geschichte, welche Wörter am Satzanfang stehen und welche darauf folgen, halten die Häufigkeiten in Tabellen fest und „würfeln“ das nächste Wort mit passenden Zufallsgeneratoren wie platonischen Körpern oder einer Münze. Die App BIGRAM übernimmt das anschließend für ganze Sätze. Die entstehenden Texte klingen oft holprig, und Wörter, die nicht in der Geschichte vorkommen, kann das Modell nicht verarbeiten. So wird verständlich, warum KI-Chatbots als „stochastische Papageien“ bezeichnet werden und warum man ihre Antworten überprüfen sollte. '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:LLM-Baustein-1_Bigram.pdf Baustein-Beschreibung], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:AB-LLM-Baustein-1_Bigram.pdf Arbeitsblatt], Zufallsgeneratoren (z. B. platonische Körper), [https://melanie-platz.com/Bigram/ App BIGRAM] ==== LLM-Baustein 2: Papier-GPT ==== Ohne Computer simulieren die Kinder, wie ein Sprachmodell einen Text fortsetzt. Eine Tabelle mit einem Satzanfang wandert von Gruppe zu Gruppe. Jede Gruppe sieht nur die letzten drei Wörter, schlägt zwei mögliche Fortsetzungen vor und lässt ein Wendeplättchen entscheiden, welches Wort übernommen wird. Am Ende wird der ganze Satz aufgefaltet und vorgelesen. Die Kinder erleben dabei Gleichwahrscheinlichkeit und Zufall als Auswahlprinzip und lernen zentrale Ideen von Sprachmodellen kennen: einen begrenzten Kontext und das zufällige Auswählen des nächsten Wortes. In der Reflexion vergleichen sie das Ergebnis mit dem Bigram-Modell und überlegen, welches Wissen ihnen selbst beim Finden passender Wörter geholfen hat. '''Material:''' Baustein-Beschreibung, Druckvorlage Papier-GPT, Wendeplättchen <!-- DATEI: LLM-Baustein-2_Papier-GPT.pdf | Druckvorlage_LLM-Baustein-2_Papier-GPT.pdf --> ==== LLM-Baustein 3: Fermi-Aufgabe zur Menge der Trainingsdaten ==== Warum schreiben große Sprachmodelle so viel bessere Texte als das selbst gebaute Bigram-Modell? Ein Grund ist die riesige Menge an Texten, aus denen sie lernen. In einer Fermi-Aufgabe machen die Kinder diese Menge greifbar: Wie hoch wäre ein Papierstapel, wenn man eine kurze Geschichte so oft ausdruckt, bis die Datenmenge erreicht ist? Höher als der Mount Everest? Dafür ermitteln sie Dateigrößen, rechnen Einheiten um, überschlagen mit großen Zahlen und prüfen ihr Ergebnis auf Plausibilität. Die Reflexion führt zu Fragen des Urheberrechts – Darf eine KI deine Geschichte ohne Erlaubnis nutzen? – und dazu, warum man den Antworten einer KI nicht blind vertrauen sollte. '''Material:''' Baustein-Beschreibung, Textdatei der Geschichte (zum Ermitteln der Dateigröße), ggf. zehn Ausdrucke auf 80-g-Papier <!-- DATEI: LLM-Baustein-3_Fermi-Aufgabe.pdf | Datei_LLM-Baustein-3 (Geschichte).docx --> == Weiterführende Literatur == * Platz, M. (2025). KI, Internetsuche und algorithmische Verzerrung. ''Mathematik differenziert'', 4/2025, 22–31. * Platz, M. (2025). Algorithmen, ethische Matrizen und Würfelbauwerke. In L. Schick, M. Platz & A. Lambert (Hrsg.), ''Beiträge zum Mathematikunterricht 2025'' (S. 357–360). WTM. * Platz, M. & Plote, C. (2025). KI und Ethik im Klassenzimmer. ''Mitteilungen der GDM'', 118, 6–13. * Platz, M. & Schick, L. (2025). Lernen über LLMs im Mathematikunterricht der Primarstufe. In L. Schick, M. Platz & A. Lambert (Hrsg.), ''Beiträge zum Mathematikunterricht 2025'' (S. 231–234). WTM. * Platz, M., Schorcht, S. & Frischemeier, D. (2025). Lernen mit und über KI: Wie funktionieren LLMs und welche Prompt-Techniken gibt es? In M. Platz, S. Schorcht & D. Frischemeier (Hrsg.), ''Künstliche Intelligenz in der Primarstufe'' (S. 109–130). WTM. <!-- Ggf. ergänzen: Platz (2026) zum LLM-Literacy-Framework (PriMaMedien 17) und Platz (2026) in mathematica didactica 49 --> == Lizenz und Rückmeldung == Die Lernbausteine stehen unter der Lizenz [https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.de CC BY-SA 4.0]. Sie dürfen kopiert, verändert und weitergegeben werden, wenn die Urheberin genannt wird und Bearbeitungen unter derselben Lizenz stehen. Ausgenommen sind Inhalte Dritter, die in den Dateien gesondert gekennzeichnet sind. Namensnennung: ''Lernbausteine KI'' von Melanie Platz, Universität des Saarlandes, Professur für Didaktik der Primarstufe – Schwerpunkt Mathematik, lizenziert unter CC BY-SA 4.0. Rückmeldungen, Erfahrungen aus dem Einsatz und Verbesserungsvorschläge sind willkommen – gern auf der Diskussionsseite. iv5lr13mbux1pbejta3iy76gtrxiscf 1119112 1119111 2026-11-08T14:04:44Z Platzm 21125 /* LLM-Baustein 2: Papier-GPT */ 1119112 wikitext text/x-wiki =Lernbausteine zum Lernen über KI in KITA und Grundschule= Diese Seite stellt '''Lernbausteine zu Künstlicher Intelligenz (KI), Suchmaschinen und Sprachmodellen''' in zwei Reihen bereit: '''ab Kita''' (auch in den Klassen 1 und 2 einsetzbar) und '''ab Klasse 3/4'''. Die Bausteine wurden an der Professur für Didaktik der Primarstufe – Schwerpunkt Mathematik der Universität des Saarlandes entwickelt. ''Der Upload der Dateien erfolgt in Kürze.'' == Worum es geht == Kinder begegnen KI-Systemen früh: Sie stellen Sprachassistenten Fragen, sehen Vorschläge auf Videoplattformen und nutzen Suchmaschinen. Wie diese Systeme funktionieren, bleibt ihnen meist verborgen. Die Lernbausteine setzen hier an. Ihr Grundgedanke ist, dass Kinder die Funktionsweise von KI-Systemen mit Mathematik erschließen können, die sie ohnehin lernen: Sie zählen Häufigkeiten, ordnen und sortieren, vergleichen Daten, würfeln mit Zufallsgeneratoren und rechnen mit großen Zahlen. So wird nachvollziehbar, wie ein Sprachmodell das nächste Wort wählt, warum eine Suchmaschine Ergebnisse in eine bestimmte Reihenfolge bringt oder weshalb eine KI mit einseitigen Trainingsdaten unfair entscheidet. Die meisten Bausteine kommen ohne Computer aus (''Informatik unplugged''). Die Kinder handeln selbst: Sie falten, sortieren, würfeln, spielen einen Roboter oder trainieren einen einfachen Bildklassifizierer. Jeder Baustein endet mit einer Reflexion, in der das Erlebte auf reale Systeme wie Suchmaschinen oder KI-Chatbots übertragen wird. Dabei geht es nicht nur um Technik, sondern auch um Fragen wie: Wer entscheidet, was eine Suchmaschine zuerst anzeigt? Ist es fair, wenn ein Algorithmus geheim bleibt? Versteht ein Chatbot, was er schreibt? == Aufbau == Die Bausteine sind in zwei Reihen gegliedert: * '''Ab Kita''' (auch in den Klassen 1 und 2): sechs Bausteine – zwei Basis-Bausteine zu Algorithmen und Sortieralgorithmen sowie vier Bausteine zu regelbasierten Systemen, Sortieren nach Merkmalen, maschinellem Lernen und Sprachmodellen. * '''Ab Klasse 3/4:''' acht Bausteine in drei Strängen – Suchmaschinen, Künstliche Intelligenz und Sprachmodelle (LLM). Alle Bausteine sind gleich aufgebaut: ''Darum geht es'', Bezüge zu Mathematik und Informatik, Material, Durchführung, Reflexion und Literatur. Arbeitsblätter (AB) und Druckvorlagen liegen als eigene Dateien bei. {| class="wikitable" ! Baustein !! Kernidee !! Mathematik |- ! colspan="3" | Ab Kita (auch Klasse 1/2) |- | Basis-Baustein 1: NIM-Spiel || Eine Gewinnstrategie ist ein Algorithmus || Problemlösen, Zahlenreihe bis 10 |- | Basis-Baustein 2: Bubble Sort || Sortieralgorithmen und Ranking || Längen vergleichen, ordnen |- | KITA-Baustein 1: Chinesisches Zimmer || Eine Maschine folgt Regeln, ohne zu verstehen || Zuordnen, Würfelbilder erkennen |- | KITA-Baustein 2: Sortieren || Es gibt mehrere „richtige“ Sortierungen || Klassifizieren nach Merkmalen |- | KITA-Baustein 3: Machine Learning || Einseitige Trainingsdaten führen zu Fehlern || Mengen erfassen und vergleichen |- | KITA-Baustein 4: Sprachmodell || Wörter werden per Zufall ausgewählt || Münzwurf, Gleichwahrscheinlichkeit |- ! colspan="3" | Ab Klasse 3/4 |- | SE-Baustein 1: Algorithmus || Eingabe – Verarbeitung – Ausgabe || Geometrie: Falten |- | SE-Baustein 2: Ranking || Wer entscheidet, was oben steht? || Daten erheben, Häufigkeitstabelle |- | SE-Baustein 3: „Besser“ suchen || Datensatz – Lernalgorithmus – Vorhersage || Häufigkeiten und Vorhersage |- | KI-Baustein 1: Machine Learning || Algorithmische Verzerrung (Bias) || Ebene Figuren klassifizieren, Daten |- | KI-Baustein 2: Ethische Matrizen || Algorithmen betreffen viele Interessen || Würfelgebäude, Diagramme |- | LLM-Baustein 1: Bigram-Modell || Häufigkeit bestimmt Wahrscheinlichkeit || Häufigkeiten, platonische Körper |- | LLM-Baustein 2: Papier-GPT || Kontext und Zufall beim Textgenerieren || Münzwurf, Laplace-Experiment |- | LLM-Baustein 3: Fermi-Aufgabe || Die Menge der Trainingsdaten || Große Zahlen, Größen umrechnen |} == Hinweise zur Nutzung == Die Bausteine lassen sich einzeln einsetzen, bauen aber teilweise aufeinander auf. Sinnvoll sind folgende Abfolgen: * '''Ab Kita:''' Die Basis-Bausteine (NIM-Spiel, Bubble Sort) führen in Algorithmen ein und eignen sich als Einstieg. KITA-Baustein 2 (Sortieren) vor KITA-Baustein 3 (Machine Learning), da dieselben Bildkarten genutzt werden; Baustein 1 (Chinesisches Zimmer) und Baustein 4 (Sprachmodell) ergänzen sich in der Frage, ob eine Maschine versteht, was sie tut. * '''Ab Klasse 3/4:''' Der Algorithmusbegriff aus SE-Baustein 1 bildet die Grundlage für die übrigen Bausteine; auch die Bausteine ab Kita, besonders das NIM-Spiel, eignen sich hier als Einstieg. Die Suchmaschinen-Bausteine 1 bis 3 und die LLM-Bausteine 1 bis 3 sind jeweils als Reihe gedacht. KI-Baustein 2 greift die Faltanleitungen aus SE-Baustein 2 auf. Für die Durchführung sind keine Programmierkenntnisse nötig. Zwei Bausteine nutzen frei zugängliche Webanwendungen: ''Machine Learning for Kids'' (KI-Baustein 1, KITA-Baustein 3; ohne Benutzerkonto nutzbar, die Daten bleiben im Browser) und die App ''BIGRAM'' (LLM-Baustein 1). == Lernbausteine ab Kita == Die Bausteine wurden für die Kita entwickelt und lassen sich auch in den Klassen 1 und 2 einsetzen. === Basis-Baustein 1: NIM-Spiel und Algorithmen === Zwei Kinder legen abwechselnd ein oder zwei Plättchen auf einen Spielplan mit zehn Feldern; wer das zehnte Feld belegt, gewinnt. Schnell wird klar: Das ist kein Glücksspiel. Die Kinder stellen Vermutungen über Gewinnstrategien auf, probieren sie aus und entdecken dabei schrittweise „Gewinnfelder“. Eine solche Gewinnstrategie ist ein Algorithmus – eine eindeutige, ausführbare Abfolge von Schritten. In der Reflexion wird der Bogen zu den unsichtbaren Algorithmen digitaler Plattformen geschlagen: Ist es fair, wenn nur einer die Strategie kennt? Und wer sollte entscheiden dürfen, ob ein Algorithmus geheim bleibt? '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Basis-Baustein-1_NIM-Spiel.pdf Baustein-Beschreibung], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Druckvorlage_Basis-Baustein-1_NIM-Spiel.pdf Spielplan], blaue und rote Plättchen === Basis-Baustein 2: Bubble Sort und Ranking von Suchmaschinen === Die Kinder werden selbst zum Sortieralgorithmus: Jedes Kind hält einen Stab und stellt sich auf eine Linie. Nach einer festen Regel vergleichen jeweils zwei Nachbarn ihre Stäbe und tauschen bei Bedarf die Plätze, bis alle der Länge nach geordnet sind. Durch Wiederholen mit anderen Startpositionen überzeugen sie sich davon, dass das Verfahren immer funktioniert. Als Erweiterung kann nach einem Kriterium sortiert werden, das die Kinder nicht kennen – so wie Suchmaschinen ihre Ergebnisse nach Kriterien ordnen, die nicht offenliegen. Die Kinder stellen Vermutungen über das Sortierkriterium an und kommen so ins Gespräch über Popularität und Personalisierung beim Ranking. '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Basis-Baustein-2_Bubble-Sort.pdf Baustein-Beschreibung], verschieden lange Stäbe (z. B. Cuisenaire-Stäbe), Klebeband für eine Bodenmarkierung === KITA-Baustein 1: Chinesisches Zimmer === Ein Kind sitzt in einem selbst gebastelten Karton-Roboter. Durch einen Schlitz bekommt es Würfelbilder hineingereicht und gibt mithilfe eines Regelbuchs die passende Schmetterlingskarte heraus – ohne zu wissen, wozu. Das Spiel greift das Gedankenexperiment des „Chinesischen Zimmers“ von John Searle auf: Von außen wirkt die Antwort passend, obwohl drinnen niemand versteht, worum es geht. Die Kinder üben dabei Zuordnung und das Erkennen von Würfelbildern und erleben das Prinzip Eingabe – Verarbeitung – Ausgabe. In der Reflexion sprechen sie darüber, wie es sich anfühlt, „mechanisch“ zu antworten, und ob ein Roboter – oder eine KI – wirklich nachdenkt oder fühlt. Der Baustein wirkt so der Vermenschlichung von KI entgegen. '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:KITA-Baustein-1_Chinesisches-Zimmer.pdf Baustein-Beschreibung], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Druckvorlage_KITA-Baustein-1_Chinesisches-Zimmer_Regelbuch.pdf Regelbuch], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Druckvorlage_KITA-Baustein-1_Chinesisches-Zimmer_Bildkarten.pdf Bildkarten], Karton und Bastelmaterial === KITA-Baustein 2: Sortieren === Bildkarten mit Raupen, Kokons und Schmetterlingen in verschiedenen Farben sind „durcheinandergeraten“ und sollen wieder sortiert werden. Ob nach Farbe, Form, Größe oder inhaltlichem Zusammenhang – die Kinder entscheiden selbst und begründen ihre Sortierung. Im Vergleich der Ergebnisse zeigt sich, dass es nicht nur eine richtige Lösung gibt und dass dieselbe Karte zu mehreren Gruppen passen kann. Damit machen die Kinder grundlegende Erfahrungen mit Klassifizieren und Kategorisieren. Zugleich bahnt der Baustein eine Idee des maschinellen Lernens an: Auch KI-Systeme gruppieren Daten nach Ähnlichkeiten – ohne zu verstehen, was sie bedeuten. '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:KITA-Baustein-2_Sortieren.pdf Baustein-Beschreibung], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Druckvorlage_KITA-Baustein-2_Sortieren.pdf Bildkarten] (möglichst ein Set pro Kind) === KITA-Baustein 3: Machine Learning und algorithmische Verzerrung === Die Fachkraft oder Lehrkraft zeigt einen Bildklassifizierer, der Raupen von Schmetterlingen und Kokons unterscheiden soll – und der bewusst „unfair“ trainiert wurde: Von den Raupen kennt er nur zwei sehr ähnliche Bilder. Gemeinsam untersuchen die Kinder, wo der Klassifizierer Fehler macht, und erkennen, dass es an den Trainingsdaten liegt. Mit den Bildkarten aus Baustein 2 verbessern sie das System, indem sie weitere Beispiele einlesen. In der Reflexion geht es um Verantwortung: Wer sorgt dafür, dass eine KI faire Daten bekommt? Und wo können solche Fehler für Menschen schlimme Folgen haben? Verwendet wird das kostenfreie Webwerkzeug ''Machine Learning for Kids'', das ohne Benutzerkonto auskommt. '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:KITA-Baustein-3_ML.pdf Baustein-Beschreibung], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Anleitung_KITA-Baustein-3_ML.pdf Anleitung zu Machine Learning for Kids], Tablet oder Laptop mit Kamera und Internetzugang, === KITA-Baustein 4: Sprachmodell === Gemeinsam erzählen die Kinder eine Geschichte weiter – wie ein Sprachmodell, Wort für Wort. Zu einem vorgegebenen Satzanfang schlagen sie zwei mögliche nächste Wörter vor, eine Münze entscheidet, welches genommen wird. Die Fachkraft oder Lehrkraft schreibt mit und liest die entstandene Geschichte am Ende vor. Die Kinder erleben so, dass Sprachmodelle Wörter mit Zufall auswählen und dass eine Münze nicht „weiß“, was die Geschichte erzählen soll. In der Reflexion wird deutlich, was Menschen beim Weitererzählen einbringen und eine Maschine nicht: Wissen über die Welt und darüber, worum es in einer Geschichte geht. Der Baustein knüpft an das Chinesische Zimmer an. '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:KITA-Baustein-4_LLM.pdf Baustein-Beschreibung], Münze == Lernbausteine ab Klasse 3/4 == === Suchmaschinen === ==== SE-Baustein 1: Algorithmus ==== Was ist eigentlich ein Algorithmus? Die Kinder erarbeiten eine kindgerechte Definition und prüfen an Beispielen aus dem Alltag, ob es sich um einen Algorithmus handelt. Dann falten sie ein quadratisches Papier nach einer Faltanleitung und entdecken dabei Dreiecke, Diagonalen und Mittelpunkt. Die Faltanleitung erweist sich als Algorithmus mit Eingabe (Papier), Verarbeitungsschritten und Ausgabe (Faltprodukt). Auch eine Suchmaschine arbeitet nach diesem Prinzip – mit der Suchanfrage als Eingabe und der Trefferliste als Ausgabe. Der entscheidende Unterschied, den die Reflexion herausarbeitet: Die Faltanleitung ist nachvollziehbar, der Algorithmus einer Suchmaschine nicht. '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:SE-Baustein-1_Algorithmus.pdf Baustein-Beschreibung], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:AB-SE-Baustein-1_Algorithmus.pdf Arbeitsblatt Algorithmus], quadratisches Faltpapier, [https://opensearchfoundation.org/wp-content/uploads/2022/10/So-funktioniert-die-Internetsuche.pdf Infografik „So funktioniert die Internetsuche“ der Open Search Foundation] ==== SE-Baustein 2: Ranking ==== Wer entscheidet, was bei einer Suche oben steht? Die Kinder vergleichen mehrere Faltanleitungen für dasselbe Objekt, darunter eine mit Werbung. Zuerst erstellen sie ein eigenes Ranking (Personalisierung), dann ermitteln sie per Befragung und Häufigkeitstabelle das beliebteste Ergebnis der Klasse (Popularität). Was passiert, wenn die „Suchmaschine“ trotzdem die Anleitung mit Werbung auf Platz 1 setzt? Die Diskussion führt zu wirtschaftlichen Interessen und zu der Erkenntnis, dass Ranking-Algorithmen nicht neutral sind. Zum Schluss verbessern die Kinder selbst eine Anleitung nach einem Ziel, das sie festlegen, und begründen ihre Entscheidung: Menschen bestimmen, welche Ziele ein Algorithmus verfolgt. '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:SE-Baustein-2_Ranking.pdf Baustein-Beschreibung], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Druckvorlage-SE-Baustein-2_Ranking.pdf Druckvorlage Faltanleitungen], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:AB-SE-Baustein-2_Ranking.pdf Arbeitsblatt „Faltanleitungen ergänzen und verbessern“] <!-- DATEI: SE-Baustein-2_Ranking.pdf | Druckvorlage-SE-Baustein-2_Ranking.pdf | AB-SE-Baustein-2_Ranking.pdf --> ==== SE-Baustein 3: „Besser“ suchen ==== Suchmaschinen sind KI-Systeme, die aus einem Datensatz, einem Lernalgorithmus und einer Vorhersage bestehen. Am Beispiel der Autovervollständigung, die häufige frühere Suchanfragen vorschlägt, und des Rankings untersuchen die Kinder, wie diese Bestandteile zusammenwirken – und warum unfaire Daten zu verzerrten Ergebnissen führen können. Darauf aufbauend lernen sie Tipps für eine bewusstere Internetsuche kennen, etwa gezielte Suchbegriffe, ein kritischer Blick auf die ersten Treffer und alternative Suchmaschinen. Die Reflexion öffnet zudem die Frage, wem die Inhalte gehören, die eine Suchmaschine anzeigt. '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:SE-Baustein-3_besser_Suchen.pdf Baustein-Beschreibung], digitales Gerät zur Demonstration einer Suchmaschine, ggf. [https://opensearchfoundation.org/wp-content/uploads/2022/10/Kinder-Tipps-Internetsuche.pdf Suchtipps der Open Search Foundation] === Künstliche Intelligenz === ==== KI-Baustein 1: Machine Learning und algorithmische Verzerrung ==== Die Kinder untersuchen einen Bildklassifizierer, der Dreiecke und Vierecke unterscheiden soll. Er wurde bewusst „unfair“ trainiert: Die Vierecke im Trainingsdatensatz sind nur Rechtecke in derselben Lage, die Dreiecke dagegen vielfältig. Die Kinder finden heraus, warum der Klassifizierer bei Vierecken häufiger irrt, und verbessern ihn in Kleingruppen, indem sie selbst gezeichnete Figuren als neue Trainingsdaten hinzufügen. Dabei klassifizieren sie ebene Figuren nach ihren Eigenschaften und werten Daten aus. Die Reflexion verbindet das Experiment mit realen Fällen algorithmischer Verzerrung, etwa bei Gesichtserkennung oder Bewerbungsverfahren, und mit der Einsicht, dass Menschen über die Daten und Ziele von KI-Systemen entscheiden. '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:KI-Baustein-1_ML.pdf Baustein-Beschreibung], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:AB_KI-Baustein-1_ML.pdf Arbeitsblatt], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Infoseite_KI-Baustein-1_ML.pdf Infoseite zur Bedienung von Machine Learning for Kids], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Anleitung_KI-Baustein-1_ML.pdf Anleitung zu Machine Learning for Kids für Lehrpersonen], Tablets mit Stift und Internetzugang ==== KI-Baustein 2: Ethische Matrizen ==== Wenn ein Algorithmus verändert wird, wer profitiert und wer nicht? Mit einer ethischen Matrix tragen die Kinder zusammen, wer an einem Produkt interessiert ist – etwa an einem Pfannkuchenrezept oder einer Faltanleitung – und welche Werte den einzelnen Beteiligten wichtig sind. Mit Holzwürfeln gewichten sie die Felder, sodass ein Würfelgebäude entsteht, das sie beschreiben und verändern. Beim Versuch, das „Rezept“ zu verbessern, stellen die Kinder fest, dass eine Verbesserung für die einen eine Verschlechterung für andere bedeuten kann. In der Reflexion wird die Matrix auf reale Systeme wie Suchmaschinen oder Chatbots übertragen: Wessen Werte wurden berücksichtigt? '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:KI-Baustein-2_Ethische-Matrix.pdf Baustein-Beschreibung], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Druckvorlage_KI-Baustein-2_Ethische-Matrix.pdf Vorlage Ethische Matrix], Holzwürfel (Kantenlänge 2 cm) === Sprachmodelle (LLM) === ==== LLM-Baustein 1: Bigram-Modell ==== Wie erzeugt ein Sprachmodell Text? Die Kinder bauen ein einfaches Modell selbst: Sie zählen in einer kurzen Geschichte, welche Wörter am Satzanfang stehen und welche darauf folgen, halten die Häufigkeiten in Tabellen fest und „würfeln“ das nächste Wort mit passenden Zufallsgeneratoren wie platonischen Körpern oder einer Münze. Die App BIGRAM übernimmt das anschließend für ganze Sätze. Die entstehenden Texte klingen oft holprig, und Wörter, die nicht in der Geschichte vorkommen, kann das Modell nicht verarbeiten. So wird verständlich, warum KI-Chatbots als „stochastische Papageien“ bezeichnet werden und warum man ihre Antworten überprüfen sollte. '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:LLM-Baustein-1_Bigram.pdf Baustein-Beschreibung], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:AB-LLM-Baustein-1_Bigram.pdf Arbeitsblatt], Zufallsgeneratoren (z. B. platonische Körper), [https://melanie-platz.com/Bigram/ App BIGRAM] ==== LLM-Baustein 2: Papier-GPT ==== Ohne Computer simulieren die Kinder, wie ein Sprachmodell einen Text fortsetzt. Eine Tabelle mit einem Satzanfang wandert von Gruppe zu Gruppe. Jede Gruppe sieht nur die letzten drei Wörter, schlägt zwei mögliche Fortsetzungen vor und lässt ein Wendeplättchen entscheiden, welches Wort übernommen wird. Am Ende wird der ganze Satz aufgefaltet und vorgelesen. Die Kinder erleben dabei Gleichwahrscheinlichkeit und Zufall als Auswahlprinzip und lernen zentrale Ideen von Sprachmodellen kennen: einen begrenzten Kontext und das zufällige Auswählen des nächsten Wortes. In der Reflexion vergleichen sie das Ergebnis mit dem Bigram-Modell und überlegen, welches Wissen ihnen selbst beim Finden passender Wörter geholfen hat. '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:LLM-Baustein-2_Papier-GPT.pdf Baustein-Beschreibung], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Druckvorlage_LLM-Baustein-2_Papier-GPT.pdf Druckvorlage Papier-GPT], Wendeplättchen ==== LLM-Baustein 3: Fermi-Aufgabe zur Menge der Trainingsdaten ==== Warum schreiben große Sprachmodelle so viel bessere Texte als das selbst gebaute Bigram-Modell? Ein Grund ist die riesige Menge an Texten, aus denen sie lernen. In einer Fermi-Aufgabe machen die Kinder diese Menge greifbar: Wie hoch wäre ein Papierstapel, wenn man eine kurze Geschichte so oft ausdruckt, bis die Datenmenge erreicht ist? Höher als der Mount Everest? Dafür ermitteln sie Dateigrößen, rechnen Einheiten um, überschlagen mit großen Zahlen und prüfen ihr Ergebnis auf Plausibilität. Die Reflexion führt zu Fragen des Urheberrechts – Darf eine KI deine Geschichte ohne Erlaubnis nutzen? – und dazu, warum man den Antworten einer KI nicht blind vertrauen sollte. '''Material:''' Baustein-Beschreibung, Textdatei der Geschichte (zum Ermitteln der Dateigröße), ggf. zehn Ausdrucke auf 80-g-Papier <!-- DATEI: LLM-Baustein-3_Fermi-Aufgabe.pdf | Datei_LLM-Baustein-3 (Geschichte).docx --> == Weiterführende Literatur == * Platz, M. (2025). KI, Internetsuche und algorithmische Verzerrung. ''Mathematik differenziert'', 4/2025, 22–31. * Platz, M. (2025). Algorithmen, ethische Matrizen und Würfelbauwerke. In L. Schick, M. Platz & A. Lambert (Hrsg.), ''Beiträge zum Mathematikunterricht 2025'' (S. 357–360). WTM. * Platz, M. & Plote, C. (2025). KI und Ethik im Klassenzimmer. ''Mitteilungen der GDM'', 118, 6–13. * Platz, M. & Schick, L. (2025). Lernen über LLMs im Mathematikunterricht der Primarstufe. In L. Schick, M. Platz & A. Lambert (Hrsg.), ''Beiträge zum Mathematikunterricht 2025'' (S. 231–234). WTM. * Platz, M., Schorcht, S. & Frischemeier, D. (2025). Lernen mit und über KI: Wie funktionieren LLMs und welche Prompt-Techniken gibt es? In M. Platz, S. Schorcht & D. Frischemeier (Hrsg.), ''Künstliche Intelligenz in der Primarstufe'' (S. 109–130). WTM. <!-- Ggf. ergänzen: Platz (2026) zum LLM-Literacy-Framework (PriMaMedien 17) und Platz (2026) in mathematica didactica 49 --> == Lizenz und Rückmeldung == Die Lernbausteine stehen unter der Lizenz [https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.de CC BY-SA 4.0]. Sie dürfen kopiert, verändert und weitergegeben werden, wenn die Urheberin genannt wird und Bearbeitungen unter derselben Lizenz stehen. Ausgenommen sind Inhalte Dritter, die in den Dateien gesondert gekennzeichnet sind. Namensnennung: ''Lernbausteine KI'' von Melanie Platz, Universität des Saarlandes, Professur für Didaktik der Primarstufe – Schwerpunkt Mathematik, lizenziert unter CC BY-SA 4.0. Rückmeldungen, Erfahrungen aus dem Einsatz und Verbesserungsvorschläge sind willkommen – gern auf der Diskussionsseite. hdtx2x5mibppg1p331m9yt7ihggi3bx 1119113 1119112 2026-11-08T14:05:31Z Platzm 21125 /* LLM-Baustein 3: Fermi-Aufgabe zur Menge der Trainingsdaten */ 1119113 wikitext text/x-wiki =Lernbausteine zum Lernen über KI in KITA und Grundschule= Diese Seite stellt '''Lernbausteine zu Künstlicher Intelligenz (KI), Suchmaschinen und Sprachmodellen''' in zwei Reihen bereit: '''ab Kita''' (auch in den Klassen 1 und 2 einsetzbar) und '''ab Klasse 3/4'''. Die Bausteine wurden an der Professur für Didaktik der Primarstufe – Schwerpunkt Mathematik der Universität des Saarlandes entwickelt. ''Der Upload der Dateien erfolgt in Kürze.'' == Worum es geht == Kinder begegnen KI-Systemen früh: Sie stellen Sprachassistenten Fragen, sehen Vorschläge auf Videoplattformen und nutzen Suchmaschinen. Wie diese Systeme funktionieren, bleibt ihnen meist verborgen. Die Lernbausteine setzen hier an. Ihr Grundgedanke ist, dass Kinder die Funktionsweise von KI-Systemen mit Mathematik erschließen können, die sie ohnehin lernen: Sie zählen Häufigkeiten, ordnen und sortieren, vergleichen Daten, würfeln mit Zufallsgeneratoren und rechnen mit großen Zahlen. So wird nachvollziehbar, wie ein Sprachmodell das nächste Wort wählt, warum eine Suchmaschine Ergebnisse in eine bestimmte Reihenfolge bringt oder weshalb eine KI mit einseitigen Trainingsdaten unfair entscheidet. Die meisten Bausteine kommen ohne Computer aus (''Informatik unplugged''). Die Kinder handeln selbst: Sie falten, sortieren, würfeln, spielen einen Roboter oder trainieren einen einfachen Bildklassifizierer. Jeder Baustein endet mit einer Reflexion, in der das Erlebte auf reale Systeme wie Suchmaschinen oder KI-Chatbots übertragen wird. Dabei geht es nicht nur um Technik, sondern auch um Fragen wie: Wer entscheidet, was eine Suchmaschine zuerst anzeigt? Ist es fair, wenn ein Algorithmus geheim bleibt? Versteht ein Chatbot, was er schreibt? == Aufbau == Die Bausteine sind in zwei Reihen gegliedert: * '''Ab Kita''' (auch in den Klassen 1 und 2): sechs Bausteine – zwei Basis-Bausteine zu Algorithmen und Sortieralgorithmen sowie vier Bausteine zu regelbasierten Systemen, Sortieren nach Merkmalen, maschinellem Lernen und Sprachmodellen. * '''Ab Klasse 3/4:''' acht Bausteine in drei Strängen – Suchmaschinen, Künstliche Intelligenz und Sprachmodelle (LLM). Alle Bausteine sind gleich aufgebaut: ''Darum geht es'', Bezüge zu Mathematik und Informatik, Material, Durchführung, Reflexion und Literatur. Arbeitsblätter (AB) und Druckvorlagen liegen als eigene Dateien bei. {| class="wikitable" ! Baustein !! Kernidee !! Mathematik |- ! colspan="3" | Ab Kita (auch Klasse 1/2) |- | Basis-Baustein 1: NIM-Spiel || Eine Gewinnstrategie ist ein Algorithmus || Problemlösen, Zahlenreihe bis 10 |- | Basis-Baustein 2: Bubble Sort || Sortieralgorithmen und Ranking || Längen vergleichen, ordnen |- | KITA-Baustein 1: Chinesisches Zimmer || Eine Maschine folgt Regeln, ohne zu verstehen || Zuordnen, Würfelbilder erkennen |- | KITA-Baustein 2: Sortieren || Es gibt mehrere „richtige“ Sortierungen || Klassifizieren nach Merkmalen |- | KITA-Baustein 3: Machine Learning || Einseitige Trainingsdaten führen zu Fehlern || Mengen erfassen und vergleichen |- | KITA-Baustein 4: Sprachmodell || Wörter werden per Zufall ausgewählt || Münzwurf, Gleichwahrscheinlichkeit |- ! colspan="3" | Ab Klasse 3/4 |- | SE-Baustein 1: Algorithmus || Eingabe – Verarbeitung – Ausgabe || Geometrie: Falten |- | SE-Baustein 2: Ranking || Wer entscheidet, was oben steht? || Daten erheben, Häufigkeitstabelle |- | SE-Baustein 3: „Besser“ suchen || Datensatz – Lernalgorithmus – Vorhersage || Häufigkeiten und Vorhersage |- | KI-Baustein 1: Machine Learning || Algorithmische Verzerrung (Bias) || Ebene Figuren klassifizieren, Daten |- | KI-Baustein 2: Ethische Matrizen || Algorithmen betreffen viele Interessen || Würfelgebäude, Diagramme |- | LLM-Baustein 1: Bigram-Modell || Häufigkeit bestimmt Wahrscheinlichkeit || Häufigkeiten, platonische Körper |- | LLM-Baustein 2: Papier-GPT || Kontext und Zufall beim Textgenerieren || Münzwurf, Laplace-Experiment |- | LLM-Baustein 3: Fermi-Aufgabe || Die Menge der Trainingsdaten || Große Zahlen, Größen umrechnen |} == Hinweise zur Nutzung == Die Bausteine lassen sich einzeln einsetzen, bauen aber teilweise aufeinander auf. Sinnvoll sind folgende Abfolgen: * '''Ab Kita:''' Die Basis-Bausteine (NIM-Spiel, Bubble Sort) führen in Algorithmen ein und eignen sich als Einstieg. KITA-Baustein 2 (Sortieren) vor KITA-Baustein 3 (Machine Learning), da dieselben Bildkarten genutzt werden; Baustein 1 (Chinesisches Zimmer) und Baustein 4 (Sprachmodell) ergänzen sich in der Frage, ob eine Maschine versteht, was sie tut. * '''Ab Klasse 3/4:''' Der Algorithmusbegriff aus SE-Baustein 1 bildet die Grundlage für die übrigen Bausteine; auch die Bausteine ab Kita, besonders das NIM-Spiel, eignen sich hier als Einstieg. Die Suchmaschinen-Bausteine 1 bis 3 und die LLM-Bausteine 1 bis 3 sind jeweils als Reihe gedacht. KI-Baustein 2 greift die Faltanleitungen aus SE-Baustein 2 auf. Für die Durchführung sind keine Programmierkenntnisse nötig. Zwei Bausteine nutzen frei zugängliche Webanwendungen: ''Machine Learning for Kids'' (KI-Baustein 1, KITA-Baustein 3; ohne Benutzerkonto nutzbar, die Daten bleiben im Browser) und die App ''BIGRAM'' (LLM-Baustein 1). == Lernbausteine ab Kita == Die Bausteine wurden für die Kita entwickelt und lassen sich auch in den Klassen 1 und 2 einsetzen. === Basis-Baustein 1: NIM-Spiel und Algorithmen === Zwei Kinder legen abwechselnd ein oder zwei Plättchen auf einen Spielplan mit zehn Feldern; wer das zehnte Feld belegt, gewinnt. Schnell wird klar: Das ist kein Glücksspiel. Die Kinder stellen Vermutungen über Gewinnstrategien auf, probieren sie aus und entdecken dabei schrittweise „Gewinnfelder“. Eine solche Gewinnstrategie ist ein Algorithmus – eine eindeutige, ausführbare Abfolge von Schritten. In der Reflexion wird der Bogen zu den unsichtbaren Algorithmen digitaler Plattformen geschlagen: Ist es fair, wenn nur einer die Strategie kennt? Und wer sollte entscheiden dürfen, ob ein Algorithmus geheim bleibt? '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Basis-Baustein-1_NIM-Spiel.pdf Baustein-Beschreibung], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Druckvorlage_Basis-Baustein-1_NIM-Spiel.pdf Spielplan], blaue und rote Plättchen === Basis-Baustein 2: Bubble Sort und Ranking von Suchmaschinen === Die Kinder werden selbst zum Sortieralgorithmus: Jedes Kind hält einen Stab und stellt sich auf eine Linie. Nach einer festen Regel vergleichen jeweils zwei Nachbarn ihre Stäbe und tauschen bei Bedarf die Plätze, bis alle der Länge nach geordnet sind. Durch Wiederholen mit anderen Startpositionen überzeugen sie sich davon, dass das Verfahren immer funktioniert. Als Erweiterung kann nach einem Kriterium sortiert werden, das die Kinder nicht kennen – so wie Suchmaschinen ihre Ergebnisse nach Kriterien ordnen, die nicht offenliegen. Die Kinder stellen Vermutungen über das Sortierkriterium an und kommen so ins Gespräch über Popularität und Personalisierung beim Ranking. '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Basis-Baustein-2_Bubble-Sort.pdf Baustein-Beschreibung], verschieden lange Stäbe (z. B. Cuisenaire-Stäbe), Klebeband für eine Bodenmarkierung === KITA-Baustein 1: Chinesisches Zimmer === Ein Kind sitzt in einem selbst gebastelten Karton-Roboter. Durch einen Schlitz bekommt es Würfelbilder hineingereicht und gibt mithilfe eines Regelbuchs die passende Schmetterlingskarte heraus – ohne zu wissen, wozu. Das Spiel greift das Gedankenexperiment des „Chinesischen Zimmers“ von John Searle auf: Von außen wirkt die Antwort passend, obwohl drinnen niemand versteht, worum es geht. Die Kinder üben dabei Zuordnung und das Erkennen von Würfelbildern und erleben das Prinzip Eingabe – Verarbeitung – Ausgabe. In der Reflexion sprechen sie darüber, wie es sich anfühlt, „mechanisch“ zu antworten, und ob ein Roboter – oder eine KI – wirklich nachdenkt oder fühlt. Der Baustein wirkt so der Vermenschlichung von KI entgegen. '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:KITA-Baustein-1_Chinesisches-Zimmer.pdf Baustein-Beschreibung], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Druckvorlage_KITA-Baustein-1_Chinesisches-Zimmer_Regelbuch.pdf Regelbuch], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Druckvorlage_KITA-Baustein-1_Chinesisches-Zimmer_Bildkarten.pdf Bildkarten], Karton und Bastelmaterial === KITA-Baustein 2: Sortieren === Bildkarten mit Raupen, Kokons und Schmetterlingen in verschiedenen Farben sind „durcheinandergeraten“ und sollen wieder sortiert werden. Ob nach Farbe, Form, Größe oder inhaltlichem Zusammenhang – die Kinder entscheiden selbst und begründen ihre Sortierung. Im Vergleich der Ergebnisse zeigt sich, dass es nicht nur eine richtige Lösung gibt und dass dieselbe Karte zu mehreren Gruppen passen kann. Damit machen die Kinder grundlegende Erfahrungen mit Klassifizieren und Kategorisieren. Zugleich bahnt der Baustein eine Idee des maschinellen Lernens an: Auch KI-Systeme gruppieren Daten nach Ähnlichkeiten – ohne zu verstehen, was sie bedeuten. '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:KITA-Baustein-2_Sortieren.pdf Baustein-Beschreibung], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Druckvorlage_KITA-Baustein-2_Sortieren.pdf Bildkarten] (möglichst ein Set pro Kind) === KITA-Baustein 3: Machine Learning und algorithmische Verzerrung === Die Fachkraft oder Lehrkraft zeigt einen Bildklassifizierer, der Raupen von Schmetterlingen und Kokons unterscheiden soll – und der bewusst „unfair“ trainiert wurde: Von den Raupen kennt er nur zwei sehr ähnliche Bilder. Gemeinsam untersuchen die Kinder, wo der Klassifizierer Fehler macht, und erkennen, dass es an den Trainingsdaten liegt. Mit den Bildkarten aus Baustein 2 verbessern sie das System, indem sie weitere Beispiele einlesen. In der Reflexion geht es um Verantwortung: Wer sorgt dafür, dass eine KI faire Daten bekommt? Und wo können solche Fehler für Menschen schlimme Folgen haben? Verwendet wird das kostenfreie Webwerkzeug ''Machine Learning for Kids'', das ohne Benutzerkonto auskommt. '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:KITA-Baustein-3_ML.pdf Baustein-Beschreibung], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Anleitung_KITA-Baustein-3_ML.pdf Anleitung zu Machine Learning for Kids], Tablet oder Laptop mit Kamera und Internetzugang, === KITA-Baustein 4: Sprachmodell === Gemeinsam erzählen die Kinder eine Geschichte weiter – wie ein Sprachmodell, Wort für Wort. Zu einem vorgegebenen Satzanfang schlagen sie zwei mögliche nächste Wörter vor, eine Münze entscheidet, welches genommen wird. Die Fachkraft oder Lehrkraft schreibt mit und liest die entstandene Geschichte am Ende vor. Die Kinder erleben so, dass Sprachmodelle Wörter mit Zufall auswählen und dass eine Münze nicht „weiß“, was die Geschichte erzählen soll. In der Reflexion wird deutlich, was Menschen beim Weitererzählen einbringen und eine Maschine nicht: Wissen über die Welt und darüber, worum es in einer Geschichte geht. Der Baustein knüpft an das Chinesische Zimmer an. '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:KITA-Baustein-4_LLM.pdf Baustein-Beschreibung], Münze == Lernbausteine ab Klasse 3/4 == === Suchmaschinen === ==== SE-Baustein 1: Algorithmus ==== Was ist eigentlich ein Algorithmus? Die Kinder erarbeiten eine kindgerechte Definition und prüfen an Beispielen aus dem Alltag, ob es sich um einen Algorithmus handelt. Dann falten sie ein quadratisches Papier nach einer Faltanleitung und entdecken dabei Dreiecke, Diagonalen und Mittelpunkt. Die Faltanleitung erweist sich als Algorithmus mit Eingabe (Papier), Verarbeitungsschritten und Ausgabe (Faltprodukt). Auch eine Suchmaschine arbeitet nach diesem Prinzip – mit der Suchanfrage als Eingabe und der Trefferliste als Ausgabe. Der entscheidende Unterschied, den die Reflexion herausarbeitet: Die Faltanleitung ist nachvollziehbar, der Algorithmus einer Suchmaschine nicht. '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:SE-Baustein-1_Algorithmus.pdf Baustein-Beschreibung], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:AB-SE-Baustein-1_Algorithmus.pdf Arbeitsblatt Algorithmus], quadratisches Faltpapier, [https://opensearchfoundation.org/wp-content/uploads/2022/10/So-funktioniert-die-Internetsuche.pdf Infografik „So funktioniert die Internetsuche“ der Open Search Foundation] ==== SE-Baustein 2: Ranking ==== Wer entscheidet, was bei einer Suche oben steht? Die Kinder vergleichen mehrere Faltanleitungen für dasselbe Objekt, darunter eine mit Werbung. Zuerst erstellen sie ein eigenes Ranking (Personalisierung), dann ermitteln sie per Befragung und Häufigkeitstabelle das beliebteste Ergebnis der Klasse (Popularität). Was passiert, wenn die „Suchmaschine“ trotzdem die Anleitung mit Werbung auf Platz 1 setzt? Die Diskussion führt zu wirtschaftlichen Interessen und zu der Erkenntnis, dass Ranking-Algorithmen nicht neutral sind. Zum Schluss verbessern die Kinder selbst eine Anleitung nach einem Ziel, das sie festlegen, und begründen ihre Entscheidung: Menschen bestimmen, welche Ziele ein Algorithmus verfolgt. '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:SE-Baustein-2_Ranking.pdf Baustein-Beschreibung], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Druckvorlage-SE-Baustein-2_Ranking.pdf Druckvorlage Faltanleitungen], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:AB-SE-Baustein-2_Ranking.pdf Arbeitsblatt „Faltanleitungen ergänzen und verbessern“] <!-- DATEI: SE-Baustein-2_Ranking.pdf | Druckvorlage-SE-Baustein-2_Ranking.pdf | AB-SE-Baustein-2_Ranking.pdf --> ==== SE-Baustein 3: „Besser“ suchen ==== Suchmaschinen sind KI-Systeme, die aus einem Datensatz, einem Lernalgorithmus und einer Vorhersage bestehen. Am Beispiel der Autovervollständigung, die häufige frühere Suchanfragen vorschlägt, und des Rankings untersuchen die Kinder, wie diese Bestandteile zusammenwirken – und warum unfaire Daten zu verzerrten Ergebnissen führen können. Darauf aufbauend lernen sie Tipps für eine bewusstere Internetsuche kennen, etwa gezielte Suchbegriffe, ein kritischer Blick auf die ersten Treffer und alternative Suchmaschinen. Die Reflexion öffnet zudem die Frage, wem die Inhalte gehören, die eine Suchmaschine anzeigt. '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:SE-Baustein-3_besser_Suchen.pdf Baustein-Beschreibung], digitales Gerät zur Demonstration einer Suchmaschine, ggf. [https://opensearchfoundation.org/wp-content/uploads/2022/10/Kinder-Tipps-Internetsuche.pdf Suchtipps der Open Search Foundation] === Künstliche Intelligenz === ==== KI-Baustein 1: Machine Learning und algorithmische Verzerrung ==== Die Kinder untersuchen einen Bildklassifizierer, der Dreiecke und Vierecke unterscheiden soll. Er wurde bewusst „unfair“ trainiert: Die Vierecke im Trainingsdatensatz sind nur Rechtecke in derselben Lage, die Dreiecke dagegen vielfältig. Die Kinder finden heraus, warum der Klassifizierer bei Vierecken häufiger irrt, und verbessern ihn in Kleingruppen, indem sie selbst gezeichnete Figuren als neue Trainingsdaten hinzufügen. Dabei klassifizieren sie ebene Figuren nach ihren Eigenschaften und werten Daten aus. Die Reflexion verbindet das Experiment mit realen Fällen algorithmischer Verzerrung, etwa bei Gesichtserkennung oder Bewerbungsverfahren, und mit der Einsicht, dass Menschen über die Daten und Ziele von KI-Systemen entscheiden. '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:KI-Baustein-1_ML.pdf Baustein-Beschreibung], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:AB_KI-Baustein-1_ML.pdf Arbeitsblatt], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Infoseite_KI-Baustein-1_ML.pdf Infoseite zur Bedienung von Machine Learning for Kids], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Anleitung_KI-Baustein-1_ML.pdf Anleitung zu Machine Learning for Kids für Lehrpersonen], Tablets mit Stift und Internetzugang ==== KI-Baustein 2: Ethische Matrizen ==== Wenn ein Algorithmus verändert wird, wer profitiert und wer nicht? Mit einer ethischen Matrix tragen die Kinder zusammen, wer an einem Produkt interessiert ist – etwa an einem Pfannkuchenrezept oder einer Faltanleitung – und welche Werte den einzelnen Beteiligten wichtig sind. Mit Holzwürfeln gewichten sie die Felder, sodass ein Würfelgebäude entsteht, das sie beschreiben und verändern. Beim Versuch, das „Rezept“ zu verbessern, stellen die Kinder fest, dass eine Verbesserung für die einen eine Verschlechterung für andere bedeuten kann. In der Reflexion wird die Matrix auf reale Systeme wie Suchmaschinen oder Chatbots übertragen: Wessen Werte wurden berücksichtigt? '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:KI-Baustein-2_Ethische-Matrix.pdf Baustein-Beschreibung], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Druckvorlage_KI-Baustein-2_Ethische-Matrix.pdf Vorlage Ethische Matrix], Holzwürfel (Kantenlänge 2 cm) === Sprachmodelle (LLM) === ==== LLM-Baustein 1: Bigram-Modell ==== Wie erzeugt ein Sprachmodell Text? Die Kinder bauen ein einfaches Modell selbst: Sie zählen in einer kurzen Geschichte, welche Wörter am Satzanfang stehen und welche darauf folgen, halten die Häufigkeiten in Tabellen fest und „würfeln“ das nächste Wort mit passenden Zufallsgeneratoren wie platonischen Körpern oder einer Münze. Die App BIGRAM übernimmt das anschließend für ganze Sätze. Die entstehenden Texte klingen oft holprig, und Wörter, die nicht in der Geschichte vorkommen, kann das Modell nicht verarbeiten. So wird verständlich, warum KI-Chatbots als „stochastische Papageien“ bezeichnet werden und warum man ihre Antworten überprüfen sollte. '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:LLM-Baustein-1_Bigram.pdf Baustein-Beschreibung], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:AB-LLM-Baustein-1_Bigram.pdf Arbeitsblatt], Zufallsgeneratoren (z. B. platonische Körper), [https://melanie-platz.com/Bigram/ App BIGRAM] ==== LLM-Baustein 2: Papier-GPT ==== Ohne Computer simulieren die Kinder, wie ein Sprachmodell einen Text fortsetzt. Eine Tabelle mit einem Satzanfang wandert von Gruppe zu Gruppe. Jede Gruppe sieht nur die letzten drei Wörter, schlägt zwei mögliche Fortsetzungen vor und lässt ein Wendeplättchen entscheiden, welches Wort übernommen wird. Am Ende wird der ganze Satz aufgefaltet und vorgelesen. Die Kinder erleben dabei Gleichwahrscheinlichkeit und Zufall als Auswahlprinzip und lernen zentrale Ideen von Sprachmodellen kennen: einen begrenzten Kontext und das zufällige Auswählen des nächsten Wortes. In der Reflexion vergleichen sie das Ergebnis mit dem Bigram-Modell und überlegen, welches Wissen ihnen selbst beim Finden passender Wörter geholfen hat. '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:LLM-Baustein-2_Papier-GPT.pdf Baustein-Beschreibung], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Druckvorlage_LLM-Baustein-2_Papier-GPT.pdf Druckvorlage Papier-GPT], Wendeplättchen ==== LLM-Baustein 3: Fermi-Aufgabe zur Menge der Trainingsdaten ==== Warum schreiben große Sprachmodelle so viel bessere Texte als das selbst gebaute Bigram-Modell? Ein Grund ist die riesige Menge an Texten, aus denen sie lernen. In einer Fermi-Aufgabe machen die Kinder diese Menge greifbar: Wie hoch wäre ein Papierstapel, wenn man eine kurze Geschichte so oft ausdruckt, bis die Datenmenge erreicht ist? Höher als der Mount Everest? Dafür ermitteln sie Dateigrößen, rechnen Einheiten um, überschlagen mit großen Zahlen und prüfen ihr Ergebnis auf Plausibilität. Die Reflexion führt zu Fragen des Urheberrechts – Darf eine KI deine Geschichte ohne Erlaubnis nutzen? – und dazu, warum man den Antworten einer KI nicht blind vertrauen sollte. '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:LLM-Baustein-3_Fermi-Aufgabe.pdf Baustein-Beschreibung], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Datei_LLM-Baustein-3_Neugierige-Raupe.pdf Textdatei der Geschichte] (zum Ermitteln der Dateigröße), ggf. zehn Ausdrucke auf 80-g-Papier == Weiterführende Literatur == * Platz, M. (2025). KI, Internetsuche und algorithmische Verzerrung. ''Mathematik differenziert'', 4/2025, 22–31. * Platz, M. (2025). Algorithmen, ethische Matrizen und Würfelbauwerke. In L. Schick, M. Platz & A. Lambert (Hrsg.), ''Beiträge zum Mathematikunterricht 2025'' (S. 357–360). WTM. * Platz, M. & Plote, C. (2025). KI und Ethik im Klassenzimmer. ''Mitteilungen der GDM'', 118, 6–13. * Platz, M. & Schick, L. (2025). Lernen über LLMs im Mathematikunterricht der Primarstufe. In L. Schick, M. Platz & A. Lambert (Hrsg.), ''Beiträge zum Mathematikunterricht 2025'' (S. 231–234). WTM. * Platz, M., Schorcht, S. & Frischemeier, D. (2025). Lernen mit und über KI: Wie funktionieren LLMs und welche Prompt-Techniken gibt es? In M. Platz, S. Schorcht & D. Frischemeier (Hrsg.), ''Künstliche Intelligenz in der Primarstufe'' (S. 109–130). WTM. <!-- Ggf. ergänzen: Platz (2026) zum LLM-Literacy-Framework (PriMaMedien 17) und Platz (2026) in mathematica didactica 49 --> == Lizenz und Rückmeldung == Die Lernbausteine stehen unter der Lizenz [https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.de CC BY-SA 4.0]. Sie dürfen kopiert, verändert und weitergegeben werden, wenn die Urheberin genannt wird und Bearbeitungen unter derselben Lizenz stehen. Ausgenommen sind Inhalte Dritter, die in den Dateien gesondert gekennzeichnet sind. Namensnennung: ''Lernbausteine KI'' von Melanie Platz, Universität des Saarlandes, Professur für Didaktik der Primarstufe – Schwerpunkt Mathematik, lizenziert unter CC BY-SA 4.0. Rückmeldungen, Erfahrungen aus dem Einsatz und Verbesserungsvorschläge sind willkommen – gern auf der Diskussionsseite. 5vdn3wwt6k11eswakinnkrcsjmvujsr 1119117 1119113 2026-11-08T15:21:01Z Platzm 21125 1119117 wikitext text/x-wiki =Lernbausteine zum Lernen über KI in KITA und Grundschule= Diese Seite stellt '''Lernbausteine zu Künstlicher Intelligenz (KI), Suchmaschinen und Sprachmodellen''' in zwei Reihen bereit: '''ab Kita''' (auch in den Klassen 1 und 2 einsetzbar) und '''ab Klasse 3/4'''. Die Bausteine wurden an der Professur für Didaktik der Primarstufe – Schwerpunkt Mathematik der Universität des Saarlandes entwickelt und mit Grundschulkindern erprobt. == Worum es geht == Kinder begegnen KI-Systemen früh: Sie stellen Sprachassistenten Fragen, sehen Vorschläge auf Videoplattformen und nutzen Suchmaschinen. Wie diese Systeme funktionieren, bleibt ihnen meist verborgen. Die Lernbausteine setzen hier an. Ihr Grundgedanke ist, dass Kinder die Funktionsweise von KI-Systemen mit Mathematik erschließen können, die sie ohnehin lernen: Sie zählen Häufigkeiten, ordnen und sortieren, vergleichen Daten, würfeln mit Zufallsgeneratoren und rechnen mit großen Zahlen. So wird nachvollziehbar, wie ein Sprachmodell das nächste Wort wählt, warum eine Suchmaschine Ergebnisse in eine bestimmte Reihenfolge bringt oder weshalb eine KI mit einseitigen Trainingsdaten unfair entscheidet. Die meisten Bausteine kommen ohne Computer aus (''Informatik unplugged''). Die Kinder handeln selbst: Sie falten, sortieren, würfeln, spielen einen Roboter oder trainieren einen einfachen Bildklassifizierer. Jeder Baustein endet mit einer Reflexion, in der das Erlebte auf reale Systeme wie Suchmaschinen oder KI-Chatbots übertragen wird. Dabei geht es nicht nur um Technik, sondern auch um Fragen wie: Wer entscheidet, was eine Suchmaschine zuerst anzeigt? Ist es fair, wenn ein Algorithmus geheim bleibt? Versteht ein Chatbot, was er schreibt? Damit bieten die Reflexionen auch Anknüpfungspunkte für Sachunterricht, Deutsch und Ethik. Ein durchgängiges Ziel ist, der Vermenschlichung von KI entgegenzuwirken: Die Kinder erfahren, dass KI-Systeme Regeln und Wahrscheinlichkeiten folgen, ohne zu verstehen, was sie tun. == Aufbau == Die Bausteine sind in zwei Reihen gegliedert: * '''Ab Kita''' (auch in den Klassen 1 und 2): sechs Bausteine – zwei Basis-Bausteine zu Algorithmen und Sortieralgorithmen sowie vier Bausteine zu regelbasierten Systemen, Sortieren nach Merkmalen, maschinellem Lernen und Sprachmodellen. * '''Ab Klasse 3/4:''' acht Bausteine in drei Strängen – Suchmaschinen, Künstliche Intelligenz und Sprachmodelle (LLM). Alle Bausteine sind gleich aufgebaut: ''Darum geht es'', Bezüge zu Mathematik und Informatik, Material, Durchführung, Reflexion und Literatur. Arbeitsblätter (AB), Anleitungen und Druckvorlagen liegen als eigene Dateien bei. {| class="wikitable" ! Baustein !! Kernidee !! Mathematik |- ! colspan="3" | Ab Kita (auch Klasse 1/2) |- | Basis-Baustein 1: NIM-Spiel || Eine Gewinnstrategie ist ein Algorithmus || Problemlösen, Zahlenreihe bis 10 |- | Basis-Baustein 2: Bubble Sort || Sortieralgorithmen und Ranking || Längen vergleichen, ordnen |- | KITA-Baustein 1: Chinesisches Zimmer || Eine Maschine folgt Regeln, ohne zu verstehen || Zuordnen, Würfelbilder erkennen |- | KITA-Baustein 2: Sortieren || Es gibt mehrere „richtige“ Sortierungen || Klassifizieren nach Merkmalen |- | KITA-Baustein 3: Machine Learning || Einseitige Trainingsdaten führen zu Fehlern || Mengen erfassen und vergleichen |- | KITA-Baustein 4: Sprachmodell || Wörter werden per Zufall ausgewählt || Münzwurf, Gleichwahrscheinlichkeit |- ! colspan="3" | Ab Klasse 3/4 |- | SE-Baustein 1: Algorithmus || Eingabe – Verarbeitung – Ausgabe || Geometrie: Falten |- | SE-Baustein 2: Ranking || Wer entscheidet, was oben steht? || Daten erheben, Häufigkeitstabelle |- | SE-Baustein 3: „Besser“ suchen || Datensatz – Lernalgorithmus – Vorhersage || Häufigkeiten und Vorhersage |- | KI-Baustein 1: Machine Learning || Algorithmische Verzerrung (Bias) || Ebene Figuren klassifizieren, Daten |- | KI-Baustein 2: Ethische Matrizen || Algorithmen betreffen viele Interessen || Würfelgebäude, Diagramme |- | LLM-Baustein 1: Bigram-Modell || Häufigkeit bestimmt Wahrscheinlichkeit || Häufigkeiten, platonische Körper |- | LLM-Baustein 2: Papier-GPT || Kontext und Zufall beim Textgenerieren || Zufallsexperiment, Laplace-Experiment |- | LLM-Baustein 3: Fermi-Aufgabe || Die Menge der Trainingsdaten || Große Zahlen, Größen umrechnen |} == Didaktischer Hintergrund == Die Lernbausteine wurden im Sinne fachdidaktischer Entwicklungsforschung entwickelt: Problemformulierung, Entwicklung, Erprobung, Evaluation und Reflexion werden in mehreren Zyklen durchlaufen (Mullarkey & Hevner, 2019). Sie orientieren sich an drei Rahmenmodellen. '''KI-Kompetenzrahmen der UNESCO.''' Der ''AI competency framework for students'' (Miao & Shiohira, 2024; deutsche Übersetzung bei Platz & Plote, 2025) beschreibt vier Kompetenzaspekte – menschenzentrierte Denkweise, Ethik der KI, KI-Techniken und -Anwendungen sowie KI-System-Design – auf den drei Stufen Verstehen, Anwenden und Erstellen. Die Lernbausteine setzen überwiegend auf der Stufe ''Verstehen'' an. Das NIM-Spiel etwa thematisiert, dass Menschen hinter Algorithmen stehen und über deren Offenlegung entscheiden; die KI-Bausteine verbinden KI-Grundlagen mit ethischen Fragen. '''Lernen über Sprachmodelle (LLMs).''' In Anlehnung an Platz, Schorcht & Frischemeier (2025) werden drei Wissensbereiche unterschieden: * ''Konzeptuelles Wissen:'' LLMs sind Wahrscheinlichkeitsmaschinen; Training und Trainingsdaten prägen die Ausgabe. * ''Kritisch-reflexives Wissen:'' Ausgaben prüfen und bewerten; Chancen und Risiken benennen. * ''Handlungswissen:'' Prompts zielgerichtet formulieren; KI als Werkzeug verantwortungsvoll nutzen. Die Lernbausteine zielen vor allem auf konzeptuelles und kritisch-reflexives Wissen: Zufall und Wahrscheinlichkeit beim Erzeugen von Text (KITA-Baustein 4, LLM-Bausteine 1 und 2), die Rolle der Trainingsdaten (KITA-Bausteine 2 und 3, LLM-Baustein 3) und die Frage, ob eine Maschine versteht, was sie tut (KITA-Baustein 1). '''Search Engine Literacy.''' Kompetenzen im Umgang mit Suchmaschinen gehen über das Recherchieren hinaus (Platz, 2022; Platz, Klan & Decker, 2022; Platz, Decker & Plote, 2023). Unterschieden werden drei Ebenen: die ''Abbildungsebene'' (Suche und Suchindex als Grundlage, gezielte Suchbegriffe), die ''Algorithmenebene'' (Crawling, Index, Ranking und Filter verstehen) und die ''Bewertungsebene'' (Filterblasen, Verzerrungen in Suchergebnissen, Datenschutz, kritischer Umgang). Basis-Baustein 2 (Bubble Sort) und die Suchmaschinen-Bausteine 1 bis 3 setzen auf der Algorithmen- und der Bewertungsebene an. == Hinweise zur Nutzung == Die Bausteine lassen sich einzeln einsetzen, bauen aber teilweise aufeinander auf. Sinnvoll sind folgende Abfolgen: * '''Ab Kita:''' Die Basis-Bausteine (NIM-Spiel, Bubble Sort) führen in Algorithmen ein und eignen sich als Einstieg. KITA-Baustein 2 (Sortieren) vor KITA-Baustein 3 (Machine Learning), da dieselben Bildkarten genutzt werden; KITA-Baustein 4 erzählt die Raupengeschichte aus Baustein 2 weiter. Baustein 1 (Chinesisches Zimmer) und Baustein 4 (Sprachmodell) ergänzen sich in der Frage, ob eine Maschine versteht, was sie tut. * '''Ab Klasse 3/4:''' Der Algorithmusbegriff aus SE-Baustein 1 bildet die Grundlage für die übrigen Bausteine; auch die Bausteine ab Kita, besonders das NIM-Spiel, eignen sich hier als Einstieg. Die Suchmaschinen-Bausteine 1 bis 3 und die LLM-Bausteine 1 bis 3 sind jeweils als Reihe gedacht. KI-Baustein 2 greift die Faltanleitungen aus SE-Baustein 2 und das Pfannkuchenrezept aus SE-Baustein 1 auf. Für die Durchführung sind keine Programmierkenntnisse nötig. Zwei Webanwendungen werden genutzt: * ''[https://machinelearningforkids.co.uk Machine Learning for Kids]'' (KITA-Baustein 3, KI-Baustein 1): kostenfrei; ohne Benutzerkonto nutzbar, wenn die Projekte auf demselben Gerät angelegt werden. Sollen vorbereitete Projekte mit den Kindern geteilt werden, ist ein Lehrkraft-Konto nötig (siehe Anleitungen). * ''[https://melanie-platz.com/bigram/ BIGRAM]'' (LLM-Baustein 1): eine eigens entwickelte App, die die Geschichte „Die neugierige Raupe“ auswertet und weitererzählt. == Lernbausteine ab Kita == Die Bausteine wurden für die Kita entwickelt und lassen sich auch in den Klassen 1 und 2 einsetzen. === Basis-Baustein 1: NIM-Spiel und Algorithmen === Zwei Kinder legen abwechselnd ein oder zwei Plättchen auf einen Spielplan mit zehn Feldern; wer das zehnte Feld belegt, gewinnt (elementare Variante von NIM nach Müller & Wittmann, 1984). Schnell wird klar: Das ist kein Glücksspiel. Die Kinder stellen Vermutungen über Gewinnstrategien auf, probieren sie aus und entdecken dabei schrittweise „Gewinnfelder“. Eine solche Gewinnstrategie ist ein Algorithmus – eine eindeutige, ausführbare Abfolge von Schritten. Operative Veränderungen vertiefen die Erkundung: Was ändert sich, wenn man bis zu drei Plättchen legen darf, wenn der Spielplan bis 12 geht oder wenn verliert, wer das letzte Feld belegt? In der Reflexion wird der Bogen zu den unsichtbaren Algorithmen digitaler Plattformen geschlagen: Ist es fair, wenn nur einer die Strategie kennt? Und wer sollte entscheiden dürfen, ob ein Algorithmus geheim bleibt? '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Basis-Baustein-1_NIM-Spiel.pdf Baustein-Beschreibung], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Druckvorlage_Basis-Baustein-1_NIM-Spiel.pdf Spielplan], blaue und rote Plättchen === Basis-Baustein 2: Bubble Sort und Ranking von Suchmaschinen === Die Kinder werden selbst zum Sortieralgorithmus: Jedes Kind hält einen Stab und stellt sich auf eine Linie. Nach einer festen Regel vergleichen jeweils zwei Nachbarn ihre Stäbe und tauschen bei Bedarf die Plätze, bis alle der Länge nach geordnet sind. Durch Wiederholen mit anderen Startpositionen überzeugen sie sich davon, dass das Verfahren immer funktioniert. Als Erweiterung kann nach einem Kriterium sortiert werden, das die Kinder nicht kennen – so wie Suchmaschinen ihre Ergebnisse nach Kriterien ordnen, die nicht offenliegen. Die Kinder stellen Vermutungen über das Sortierkriterium an und kommen so ins Gespräch über Popularität und Personalisierung beim Ranking: Wie wurde sortiert? Ist es fair, wenn du nicht weißt, wie sortiert wurde? '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Basis-Baustein-2_Bubble-Sort.pdf Baustein-Beschreibung], verschieden lange Stäbe (z. B. Cuisenaire-Stäbe), Klebeband für eine Bodenmarkierung === KITA-Baustein 1: Chinesisches Zimmer === Ein Kind sitzt in einem selbst gebastelten Karton-Roboter. Durch einen Schlitz bekommt es Würfelbilder hineingereicht und gibt mithilfe eines Regelbuchs die passende Schmetterlingskarte heraus – ohne zu wissen, wozu. Das Spiel greift das Gedankenexperiment des „Chinesischen Zimmers“ von John R. Searle (1980) auf: Von außen wirkt die Antwort passend, obwohl drinnen niemand versteht, worum es geht. Die Idee, das Gedankenexperiment mit Kindern nachzuspielen, stammt von Lienhart (2026); der Baustein überträgt sie mit Würfelbildern und Schmetterlingen auf die frühe Bildung. Die Kinder üben dabei Zuordnung und das Erkennen von Würfelbildern und erleben das Prinzip Eingabe – Verarbeitung – Ausgabe. In der Reflexion sprechen sie darüber, wie es sich anfühlt, nur nach Regeln zu antworten, und ob ein Roboter – oder eine KI – wirklich nachdenkt oder fühlt. Der Baustein wirkt so der Vermenschlichung von KI entgegen. '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:KITA-Baustein-1_Chinesisches-Zimmer.pdf Baustein-Beschreibung], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Druckvorlage_KITA-Baustein-1_Chinesisches-Zimmer_Regelbuch.pdf Regelbuch], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Druckvorlage_KITA-Baustein-1_Chinesisches-Zimmer_Bildkarten.pdf Bildkarten], Karton und Bastelmaterial === KITA-Baustein 2: Sortieren === Nach der Geschichte „Sieben kleine Raupen“ sind Bildkarten mit Raupen, Puppen und Schmetterlingen in sieben Farben „durcheinandergeraten“ und sollen wieder sortiert werden. Ob nach Farbe, nach Entwicklungsstadium oder nach einem anderen Merkmal – die Kinder entscheiden selbst und begründen ihre Sortierung. Im Vergleich der Ergebnisse zeigt sich, dass es nicht nur eine richtige Lösung gibt und dass dieselbe Karte zu mehreren Gruppen passen kann. Damit machen die Kinder grundlegende Erfahrungen mit Klassifizieren und Kategorisieren. Zugleich bahnt der Baustein eine Idee des maschinellen Lernens an: Auch KI-Systeme gruppieren Daten nach Ähnlichkeiten – ohne zu verstehen, was sie bedeuten. '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:KITA-Baustein-2_Sortieren.pdf Baustein-Beschreibung], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Druckvorlage_KITA-Baustein-2_Sortieren.pdf Bildkarten] (möglichst ein Set pro Kind) === KITA-Baustein 3: Machine Learning und algorithmische Verzerrung === Die Fachkraft oder Lehrkraft zeigt einen Bildklassifizierer, der Raupen von Schmetterlingen und Puppen unterscheiden soll – und der bewusst „unfair“ trainiert wurde: Von den Raupen kennt er nur zwei sehr ähnliche Bilder. Gemeinsam untersuchen die Kinder, wo der Klassifizierer Fehler macht, und erkennen, dass es an den Trainingsdaten liegt. Mit den Bildkarten aus Baustein 2 verbessern sie das System, indem sie weitere Beispiele einlesen. In der Reflexion geht es um Verantwortung: Wer sorgt dafür, dass eine KI faire Daten bekommt? Und wo können solche Fehler für Menschen schlimme Folgen haben – etwa bei Gesichtserkennung oder bei der Auswahl von Bewerbungen? '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:KITA-Baustein-3_ML.pdf Baustein-Beschreibung], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Anleitung_KITA-Baustein-3_ML.pdf Anleitung zu Machine Learning for Kids], Tablet oder Laptop mit Kamera und Internetzugang, === KITA-Baustein 4: Sprachmodell === Gemeinsam erzählen die Kinder die Geschichte der Raupen weiter – wie ein Sprachmodell, Wort für Wort. Zum Satzanfang „Die Raupe war“ schlagen sie zwei mögliche nächste Wörter vor, eine Münze entscheidet, welches genommen wird. Die Fachkraft oder Lehrkraft schreibt mit und liest die entstandene Geschichte am Ende vor. Die Kinder erleben so, dass Sprachmodelle Wörter mit Zufall auswählen und dass eine Münze nicht „weiß“, was die Geschichte erzählen soll. In der Reflexion wird deutlich, was Menschen beim Weitererzählen einbringen und eine Maschine nicht: Wissen über die Welt und darüber, worum es in einer Geschichte geht. Der Baustein knüpft an das Chinesische Zimmer an. '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:KITA-Baustein-4_LLM.pdf Baustein-Beschreibung], Münze == Lernbausteine ab Klasse 3/4 == === Suchmaschinen === ==== SE-Baustein 1: Algorithmus ==== Was ist eigentlich ein Algorithmus? Die Kinder erarbeiten eine kindgerechte Definition und prüfen an Beispielen aus dem Alltag, ob es sich um einen Algorithmus handelt. Dann falten sie ein quadratisches Papier nach einer Faltanleitung (Idee nach Helmerich & Lengnink, 2016) und entdecken dabei Dreiecke, Diagonalen und Mittelpunkt. Die Faltanleitung erweist sich als Algorithmus mit Eingabe (Papier), Verarbeitungsschritten und Ausgabe (Faltprodukt). Auch eine Suchmaschine arbeitet nach diesem Prinzip – mit der Suchanfrage als Eingabe und der Trefferliste als Ausgabe. Der entscheidende Unterschied, den die Reflexion herausarbeitet: Die Faltanleitung ist nachvollziehbar, der Algorithmus einer Suchmaschine nicht. '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:SE-Baustein-1_Algorithmus.pdf Baustein-Beschreibung], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:AB-SE-Baustein-1_Algorithmus.pdf Arbeitsblatt Algorithmus], quadratisches Faltpapier, [https://opensearchfoundation.org/wp-content/uploads/2022/10/So-funktioniert-die-Internetsuche.pdf Infografik „So funktioniert die Internetsuche“ der Open Search Foundation] ==== SE-Baustein 2: Ranking ==== Wer entscheidet, was bei einer Suche oben steht? Die Kinder vergleichen drei Faltanleitungen für dasselbe Objekt auf drei erfundenen Webseiten, darunter eine mit Werbung. Zuerst erstellen sie ein eigenes Ranking (Personalisierung), dann ermitteln sie per Befragung und Häufigkeitstabelle das beliebteste Ergebnis der Klasse (Popularität). Was passiert, wenn die „Suchmaschine“ trotzdem die Anleitung mit Werbung auf Platz 1 setzt? Die Diskussion führt zu wirtschaftlichen Interessen und zu der Erkenntnis, dass Ranking-Algorithmen nicht neutral sind. Zum Schluss verbessern die Kinder selbst eine Anleitung nach einem Ziel, das sie festlegen, und begründen ihre Entscheidung: Menschen bestimmen, welche Ziele ein Algorithmus verfolgt. '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:SE-Baustein-2_Ranking.pdf Baustein-Beschreibung], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Druckvorlage-SE-Baustein-2_Ranking.pdf Druckvorlage Faltanleitungen], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:AB-SE-Baustein-2_Ranking.pdf Arbeitsblatt „Faltanleitungen ergänzen und verbessern“] <!-- DATEI: SE-Baustein-2_Ranking.pdf | Druckvorlage-SE-Baustein-2_Ranking.pdf | AB-SE-Baustein-2_Ranking.pdf --> ==== SE-Baustein 3: „Besser“ suchen ==== Suchmaschinen sind KI-Systeme, die aus einem Datensatz, einem Lernalgorithmus und einer Vorhersage bestehen. Am Beispiel der Autovervollständigung, die häufige frühere Suchanfragen vorschlägt, und des Rankings untersuchen die Kinder, wie diese Bestandteile zusammenwirken – und warum unfaire Daten zu verzerrten Ergebnissen führen können. Darauf aufbauend lernen sie Tipps für eine bewusstere Internetsuche kennen, etwa gezielte Suchbegriffe, ein kritischer Blick auf die ersten Treffer und alternative Suchmaschinen. Die Reflexion öffnet zudem die Frage, wem die Inhalte gehören, die eine Suchmaschine anzeigt. '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:SE-Baustein-3_besser_Suchen.pdf Baustein-Beschreibung], digitales Gerät zur Demonstration einer Suchmaschine, ggf. [https://opensearchfoundation.org/wp-content/uploads/2022/10/Kinder-Tipps-Internetsuche.pdf Suchtipps der Open Search Foundation] === Künstliche Intelligenz === ==== KI-Baustein 1: Machine Learning und algorithmische Verzerrung ==== Die Kinder untersuchen einen Bildklassifizierer, der Dreiecke und Vierecke unterscheiden soll. Er wurde bewusst „unfair“ trainiert: Die Vierecke im Trainingsdatensatz sind nur Rechtecke in derselben Lage, die Dreiecke dagegen vielfältig. Die Kinder finden heraus, warum der Klassifizierer bei Vierecken häufiger irrt, und verbessern ihn in Kleingruppen, indem sie selbst gezeichnete Figuren als neue Trainingsdaten hinzufügen. Dabei klassifizieren sie ebene Figuren nach ihren Eigenschaften und werten Daten aus. Die Reflexion verbindet das Experiment mit realen Fällen algorithmischer Verzerrung, etwa bei Gesichtserkennung oder Bewerbungsverfahren, und mit der Einsicht, dass Menschen über die Daten und Ziele von KI-Systemen entscheiden. '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:KI-Baustein-1_ML.pdf Baustein-Beschreibung], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:AB_KI-Baustein-1_ML.pdf Arbeitsblatt], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Infoseite_KI-Baustein-1_ML.pdf Infoseite zur Bedienung von Machine Learning for Kids], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Anleitung_KI-Baustein-1_ML.pdf Anleitung zu Machine Learning for Kids für Lehrpersonen], Tablets mit Stift und Internetzugang ==== KI-Baustein 2: Ethische Matrizen ==== Wenn ein Algorithmus verändert wird, wer profitiert und wer nicht? Mit einer ethischen Matrix (Payne, 2019) tragen die Kinder zusammen, wer an einem Produkt interessiert ist – etwa an einem Pfannkuchenrezept oder einer Faltanleitung – und welche Werte den einzelnen Beteiligten wichtig sind. Mit Holzwürfeln gewichten sie die Felder, sodass ein Würfelgebäude entsteht, das sie beschreiben und verändern. Beim Versuch, das „Rezept“ zu verbessern, stellen die Kinder fest, dass eine Verbesserung für die einen eine Verschlechterung für andere bedeuten kann. In der Reflexion wird die Matrix auf reale Systeme wie Suchmaschinen oder Chatbots übertragen: Wessen Werte wurden berücksichtigt? '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:KI-Baustein-2_Ethische-Matrix.pdf Baustein-Beschreibung], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Druckvorlage_KI-Baustein-2_Ethische-Matrix.pdf Vorlage Ethische Matrix], Holzwürfel (Kantenlänge 2 cm) === Sprachmodelle (LLM) === ==== LLM-Baustein 1: Bigram-Modell ==== Wie erzeugt ein Sprachmodell Text? Die Kinder bauen ein einfaches Modell selbst: Sie zählen in der kurzen Geschichte „Die neugierige Raupe“, welche Wörter am Satzanfang stehen und welche darauf folgen, und halten die Häufigkeiten in Tabellen fest. Die Geschichte ist so geschrieben, dass sich passende Zufallsgeneratoren ergeben: ein Dodekaeder für die zwölf Satzanfänge, ein Tetraeder, eine Münze und ein Würfel für das jeweils zweite Wort. Damit „würfeln“ die Kinder den Anfang neuer Sätze und untersuchen dabei auch die platonischen Körper. Die App BIGRAM übernimmt das anschließend für ganze Sätze. Die entstehenden Texte klingen oft holprig, und Wörter, die nicht in der Geschichte vorkommen, kann das Modell nicht verarbeiten. So wird verständlich, warum KI-Chatbots als „stochastische Papageien“ bezeichnet werden (Bender et al., 2021) und warum man ihre Antworten überprüfen sollte. '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:LLM-Baustein-1_Bigram.pdf Baustein-Beschreibung], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:AB-LLM-Baustein-1_Bigram.pdf Arbeitsblatt], Zufallsgeneratoren (z. B. platonische Körper), [https://melanie-platz.com/Bigram/ App BIGRAM] ==== LLM-Baustein 2: Papier-GPT ==== Ohne Computer simulieren die Kinder, wie ein Sprachmodell einen Text fortsetzt. Eine Tabelle mit dem Satzanfang „Die Raupe war“ wandert von Gruppe zu Gruppe. Jede Gruppe sieht nur die letzten drei Wörter, schlägt zwei mögliche Fortsetzungen vor und lässt ein Wendeplättchen entscheiden, welches Wort übernommen wird. Am Ende wird der ganze Satz aufgefaltet und vorgelesen. Die Kinder lernen dabei zentrale Ideen von Sprachmodellen kennen: einen begrenzten Kontext und das zufällige Auswählen des nächsten Wortes. In der Reflexion vergleichen sie das Ergebnis mit dem Bigram-Modell und überlegen, welches Wissen ihnen selbst beim Finden passender Wörter geholfen hat. '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:LLM-Baustein-2_Papier-GPT.pdf Baustein-Beschreibung], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Druckvorlage_LLM-Baustein-2_Papier-GPT.pdf Druckvorlage Papier-GPT], Wendeplättchen ==== LLM-Baustein 3: Fermi-Aufgabe zur Menge der Trainingsdaten ==== Warum schreiben große Sprachmodelle so viel bessere Texte als das selbst gebaute Bigram-Modell? Ein Grund ist die riesige Menge an Texten, aus denen sie lernen: Für GPT-3 wurden rund 45 Terabyte Rohtext gesammelt (Brown et al., 2020). In einer Fermi-Aufgabe machen die Kinder diese Menge greifbar: Wie hoch wäre ein Papierstapel, wenn man die Geschichte „Die neugierige Raupe“ so oft ausdruckt, bis 45 Terabyte erreicht sind? Höher als der Mount Everest? Dafür ermitteln sie Dateigrößen, rechnen Einheiten um, überschlagen mit großen Zahlen und prüfen ihr Ergebnis auf Plausibilität. Die Reflexion führt zu Fragen des Urheberrechts – Darf eine KI deine Geschichte ohne Erlaubnis nutzen? – und dazu, warum man den Antworten einer KI nicht blind vertrauen sollte. '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:LLM-Baustein-3_Fermi-Aufgabe.pdf Baustein-Beschreibung], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Datei_LLM-Baustein-3_Neugierige-Raupe.pdf Textdatei der Geschichte] (zum Ermitteln der Dateigröße), ggf. zehn Ausdrucke auf 80-g-Papier == Material für Kinder == '''Internetseiten und Videos''' * fragFINN: [https://reporter.fragfinn.de/kuenstliche-intelligenz/ Was ist KI?] – mit dem Video „Toni entdeckt KI“ und weiterführenden Links, z. B. zu Internet-ABC, kindersache.de und Team Timster; zum Thema [https://reporter.fragfinn.de/tag/deep-fakes/ Deepfakes] * Team Timster (KiKA): [https://www.kika.de/team-timster/extras/was-ist-kuenstliche-intelligenz-104 Was ist künstliche Intelligenz?] * [https://www.scroller.de Scroller] – das Medienmagazin für Kinder * KIsu – kinderleicht KI-basiert suchen und finden: [https://kisu.cs.uni-saarland.de/clever/ Clever suchen] * Chatbot „Auxie“ auf [https://www.religionen-entdecken.de religionen-entdecken.de] '''Bücher''' * Freudenberg, J. & Feldmann, M. (2025). ''WAS IST WAS Naturwissenschaften easy! Schlau, schlauer, KI? Künstliche Intelligenz erleben''. Tessloff. * Zahn, A. & Hesse, L. (2023). ''Was ist künstliche Intelligenz?'' Beltz. == Weitere Angebote für Lehrkräfte == * Projekt [https://kisu.cs.uni-saarland.de KIsu] (Universität des Saarlandes): Material und Workshops zum Lernen über KI und Suchmaschinen in der Grundschule * Heftreihe ''KI kinderleicht?!'' (Westermann, 2026), Teile 1 bis 4: Wie KI-Systeme funktionieren; KI als Werkzeug im Unterricht; KI-Systeme für den Unterricht; KI in der Gesellschaft * ''Grundschule aktuell'', Heft 170 (Mai 2025): Zur Diskussion – KI in der Grundschule * Bob Blume: [https://bobblume.de/2023/03/25/unterricht-chatgpt-als-interaktiver-lernpartner/ ChatGPT als interaktiver Lernpartner] * Prompt-Techniken für Lehrkräfte: Schorcht (2026) == Literatur == '''Zu den Lernbausteinen''' * Platz, M. (2025). KI, Internetsuche und algorithmische Verzerrung. ''Mathematik differenziert'', 4/2025, 22–31. * Platz, M. (2025). Algorithmen, ethische Matrizen und Würfelbauwerke. In L. Schick, M. Platz & A. Lambert (Hrsg.), ''Beiträge zum Mathematikunterricht 2025'' (S. 357–360). WTM. * Platz, M. (2026). Entwicklung einer Lernumgebung zu Maschinellem Lernen und algorithmischer Verzerrung für den Mathematikunterricht der Primarstufe. ''mathematica didactica'', 49, 1–22. * Platz, M. (im Druck). Computational Thinking fördern: Machine Learning im Mathematikunterricht der Grundschule. ''Beiträge zum Mathematikunterricht 2026''. WTM. * Platz, M. & Plote, C. (2025). KI und Ethik im Klassenzimmer. ''Mitteilungen der GDM'', 118, 6–13. [https://ojs.didaktik-der-mathematik.de/index.php/mgdm/article/view/1278/1423 Online] * Platz, M. & Schick, L. (2025). Lernen über LLMs im Mathematikunterricht der Primarstufe. In L. Schick, M. Platz & A. Lambert (Hrsg.), ''Beiträge zum Mathematikunterricht 2025'' (S. 231–234). WTM. * Platz, M. & Schorcht, S. (2026). Wie funktionieren große Sprachmodelle? In ''KI kinderleicht?! Spezial, Teil 1: Wie KI-Systeme funktionieren'' (S. 3–5). Westermann. * Platz, M., Schorcht, S. & Frischemeier, D. (2025). Lernen mit und über KI: Wie funktionieren LLMs und welche Prompt-Techniken gibt es? In M. Platz, S. Schorcht & D. Frischemeier (Hrsg.), ''Künstliche Intelligenz in der Primarstufe'' (S. 109–130). WTM. '''Search Engine Literacy''' * Platz, M. (2022). Search Engine Literacy – mehr als Kompetenzen zum Recherchieren mit Suchmaschinen. In T. Irion, M. Peschel & D. Schmeinck (Hrsg.), ''Grundschule und Digitalität'' (S. 298–307). Grundschulverband. * Platz, M., Klan, F. & Decker, A. (2022). Developing and promoting search engine literacy in primary education. In ''Proceedings of the 3rd International Symposium on Open Search Technology''. CERN. * Platz, M., Bierbrauer, C. & Müller, L. M. (2023). Förderung von Search Engine Literacy im Mathematikunterricht der Grundschule. In F. Dilling, D. Thurm & I. Witzke (Hrsg.), ''Digitaler Mathematikunterricht in Forschung und Praxis'' (S. 181–190). WTM. * Platz, M., Decker, A. & Plote, C. (2023). Förderung eines verständigen Umgangs mit Suchmaschinen im Elementarbereich. In M. R. Textor & A. Bostelmann (Hrsg.), ''Das Kita-Handbuch''. '''Weitere zitierte Quellen''' * Bender, E. M., Gebru, T., McMillan-Major, A. & Shmitchell, S. (2021). On the dangers of stochastic parrots: Can language models be too big? In ''Proceedings of the 2021 ACM Conference on Fairness, Accountability, and Transparency'' (S. 610–623). * Brown, T. B., Mann, B., Ryder, N. et al. (2020). Language models are few-shot learners. ''Advances in Neural Information Processing Systems'', 33, 1877–1901. * Helmerich, M. & Lengnink, K. (2016). ''Einführung Mathematik Primarstufe – Geometrie''. Springer. * Lienhart, J. (2026). KI geht zur Schule. In ''KI kinderleicht?! Spezial, Teil 4: KI in der Gesellschaft'' (S. 8–9). Westermann. * Miao, F. & Shiohira, K. (2024). ''AI competency framework for students''. UNESCO. * Mullarkey, M. T. & Hevner, A. R. (2019). An elaborated action design research process model. ''European Journal of Information Systems'', 28(1), 6–20. * Müller, G. N. & Wittmann, E. C. (1984). ''Der Mathematikunterricht in der Primarstufe''. Vieweg. * Payne, B. H. (2019). ''An Ethics of Artificial Intelligence Curriculum for Middle School Students''. MIT Media Lab. * Schorcht, S. (2026). Prompt-Techniken. In ''KI kinderleicht?! Spezial, Teil 2: KI als Werkzeug im Unterricht'' (S. 10–11). Westermann. * Searle, J. R. (1980). Minds, brains, and programs. ''Behavioral and Brain Sciences'', 3(3), 417–424. == Lizenz und Rückmeldung == Die Lernbausteine stehen unter der Lizenz [https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.de CC BY-SA 4.0]. Sie dürfen kopiert, verändert und weitergegeben werden, wenn die Urheberin genannt wird und Bearbeitungen unter derselben Lizenz stehen. Alle Abbildungen in den Dateien sind eigene Darstellungen. Verlinkte externe Angebote (z. B. Machine Learning for Kids, Infografiken der Open Search Foundation) unterliegen ihren eigenen Nutzungsbedingungen. Namensnennung: ''Lernbausteine KI'' von Melanie Platz, Universität des Saarlandes, Professur für Didaktik der Primarstufe – Schwerpunkt Mathematik, lizenziert unter CC BY-SA 4.0. Rückmeldungen, Erfahrungen aus dem Einsatz und Verbesserungsvorschläge sind willkommen – gern auf der Diskussionsseite. ccrv4oapmxdukferl27fjfgtq96nv2h 1119118 1119117 2026-11-08T15:24:16Z Platzm 21125 /* Weitere Angebote für Lehrkräfte */ 1119118 wikitext text/x-wiki =Lernbausteine zum Lernen über KI in KITA und Grundschule= Diese Seite stellt '''Lernbausteine zu Künstlicher Intelligenz (KI), Suchmaschinen und Sprachmodellen''' in zwei Reihen bereit: '''ab Kita''' (auch in den Klassen 1 und 2 einsetzbar) und '''ab Klasse 3/4'''. Die Bausteine wurden an der Professur für Didaktik der Primarstufe – Schwerpunkt Mathematik der Universität des Saarlandes entwickelt und mit Grundschulkindern erprobt. == Worum es geht == Kinder begegnen KI-Systemen früh: Sie stellen Sprachassistenten Fragen, sehen Vorschläge auf Videoplattformen und nutzen Suchmaschinen. Wie diese Systeme funktionieren, bleibt ihnen meist verborgen. Die Lernbausteine setzen hier an. Ihr Grundgedanke ist, dass Kinder die Funktionsweise von KI-Systemen mit Mathematik erschließen können, die sie ohnehin lernen: Sie zählen Häufigkeiten, ordnen und sortieren, vergleichen Daten, würfeln mit Zufallsgeneratoren und rechnen mit großen Zahlen. So wird nachvollziehbar, wie ein Sprachmodell das nächste Wort wählt, warum eine Suchmaschine Ergebnisse in eine bestimmte Reihenfolge bringt oder weshalb eine KI mit einseitigen Trainingsdaten unfair entscheidet. Die meisten Bausteine kommen ohne Computer aus (''Informatik unplugged''). Die Kinder handeln selbst: Sie falten, sortieren, würfeln, spielen einen Roboter oder trainieren einen einfachen Bildklassifizierer. Jeder Baustein endet mit einer Reflexion, in der das Erlebte auf reale Systeme wie Suchmaschinen oder KI-Chatbots übertragen wird. Dabei geht es nicht nur um Technik, sondern auch um Fragen wie: Wer entscheidet, was eine Suchmaschine zuerst anzeigt? Ist es fair, wenn ein Algorithmus geheim bleibt? Versteht ein Chatbot, was er schreibt? Damit bieten die Reflexionen auch Anknüpfungspunkte für Sachunterricht, Deutsch und Ethik. Ein durchgängiges Ziel ist, der Vermenschlichung von KI entgegenzuwirken: Die Kinder erfahren, dass KI-Systeme Regeln und Wahrscheinlichkeiten folgen, ohne zu verstehen, was sie tun. == Aufbau == Die Bausteine sind in zwei Reihen gegliedert: * '''Ab Kita''' (auch in den Klassen 1 und 2): sechs Bausteine – zwei Basis-Bausteine zu Algorithmen und Sortieralgorithmen sowie vier Bausteine zu regelbasierten Systemen, Sortieren nach Merkmalen, maschinellem Lernen und Sprachmodellen. * '''Ab Klasse 3/4:''' acht Bausteine in drei Strängen – Suchmaschinen, Künstliche Intelligenz und Sprachmodelle (LLM). Alle Bausteine sind gleich aufgebaut: ''Darum geht es'', Bezüge zu Mathematik und Informatik, Material, Durchführung, Reflexion und Literatur. Arbeitsblätter (AB), Anleitungen und Druckvorlagen liegen als eigene Dateien bei. {| class="wikitable" ! Baustein !! Kernidee !! Mathematik |- ! colspan="3" | Ab Kita (auch Klasse 1/2) |- | Basis-Baustein 1: NIM-Spiel || Eine Gewinnstrategie ist ein Algorithmus || Problemlösen, Zahlenreihe bis 10 |- | Basis-Baustein 2: Bubble Sort || Sortieralgorithmen und Ranking || Längen vergleichen, ordnen |- | KITA-Baustein 1: Chinesisches Zimmer || Eine Maschine folgt Regeln, ohne zu verstehen || Zuordnen, Würfelbilder erkennen |- | KITA-Baustein 2: Sortieren || Es gibt mehrere „richtige“ Sortierungen || Klassifizieren nach Merkmalen |- | KITA-Baustein 3: Machine Learning || Einseitige Trainingsdaten führen zu Fehlern || Mengen erfassen und vergleichen |- | KITA-Baustein 4: Sprachmodell || Wörter werden per Zufall ausgewählt || Münzwurf, Gleichwahrscheinlichkeit |- ! colspan="3" | Ab Klasse 3/4 |- | SE-Baustein 1: Algorithmus || Eingabe – Verarbeitung – Ausgabe || Geometrie: Falten |- | SE-Baustein 2: Ranking || Wer entscheidet, was oben steht? || Daten erheben, Häufigkeitstabelle |- | SE-Baustein 3: „Besser“ suchen || Datensatz – Lernalgorithmus – Vorhersage || Häufigkeiten und Vorhersage |- | KI-Baustein 1: Machine Learning || Algorithmische Verzerrung (Bias) || Ebene Figuren klassifizieren, Daten |- | KI-Baustein 2: Ethische Matrizen || Algorithmen betreffen viele Interessen || Würfelgebäude, Diagramme |- | LLM-Baustein 1: Bigram-Modell || Häufigkeit bestimmt Wahrscheinlichkeit || Häufigkeiten, platonische Körper |- | LLM-Baustein 2: Papier-GPT || Kontext und Zufall beim Textgenerieren || Zufallsexperiment, Laplace-Experiment |- | LLM-Baustein 3: Fermi-Aufgabe || Die Menge der Trainingsdaten || Große Zahlen, Größen umrechnen |} == Didaktischer Hintergrund == Die Lernbausteine wurden im Sinne fachdidaktischer Entwicklungsforschung entwickelt: Problemformulierung, Entwicklung, Erprobung, Evaluation und Reflexion werden in mehreren Zyklen durchlaufen (Mullarkey & Hevner, 2019). Sie orientieren sich an drei Rahmenmodellen. '''KI-Kompetenzrahmen der UNESCO.''' Der ''AI competency framework for students'' (Miao & Shiohira, 2024; deutsche Übersetzung bei Platz & Plote, 2025) beschreibt vier Kompetenzaspekte – menschenzentrierte Denkweise, Ethik der KI, KI-Techniken und -Anwendungen sowie KI-System-Design – auf den drei Stufen Verstehen, Anwenden und Erstellen. Die Lernbausteine setzen überwiegend auf der Stufe ''Verstehen'' an. Das NIM-Spiel etwa thematisiert, dass Menschen hinter Algorithmen stehen und über deren Offenlegung entscheiden; die KI-Bausteine verbinden KI-Grundlagen mit ethischen Fragen. '''Lernen über Sprachmodelle (LLMs).''' In Anlehnung an Platz, Schorcht & Frischemeier (2025) werden drei Wissensbereiche unterschieden: * ''Konzeptuelles Wissen:'' LLMs sind Wahrscheinlichkeitsmaschinen; Training und Trainingsdaten prägen die Ausgabe. * ''Kritisch-reflexives Wissen:'' Ausgaben prüfen und bewerten; Chancen und Risiken benennen. * ''Handlungswissen:'' Prompts zielgerichtet formulieren; KI als Werkzeug verantwortungsvoll nutzen. Die Lernbausteine zielen vor allem auf konzeptuelles und kritisch-reflexives Wissen: Zufall und Wahrscheinlichkeit beim Erzeugen von Text (KITA-Baustein 4, LLM-Bausteine 1 und 2), die Rolle der Trainingsdaten (KITA-Bausteine 2 und 3, LLM-Baustein 3) und die Frage, ob eine Maschine versteht, was sie tut (KITA-Baustein 1). '''Search Engine Literacy.''' Kompetenzen im Umgang mit Suchmaschinen gehen über das Recherchieren hinaus (Platz, 2022; Platz, Klan & Decker, 2022; Platz, Decker & Plote, 2023). Unterschieden werden drei Ebenen: die ''Abbildungsebene'' (Suche und Suchindex als Grundlage, gezielte Suchbegriffe), die ''Algorithmenebene'' (Crawling, Index, Ranking und Filter verstehen) und die ''Bewertungsebene'' (Filterblasen, Verzerrungen in Suchergebnissen, Datenschutz, kritischer Umgang). Basis-Baustein 2 (Bubble Sort) und die Suchmaschinen-Bausteine 1 bis 3 setzen auf der Algorithmen- und der Bewertungsebene an. == Hinweise zur Nutzung == Die Bausteine lassen sich einzeln einsetzen, bauen aber teilweise aufeinander auf. Sinnvoll sind folgende Abfolgen: * '''Ab Kita:''' Die Basis-Bausteine (NIM-Spiel, Bubble Sort) führen in Algorithmen ein und eignen sich als Einstieg. KITA-Baustein 2 (Sortieren) vor KITA-Baustein 3 (Machine Learning), da dieselben Bildkarten genutzt werden; KITA-Baustein 4 erzählt die Raupengeschichte aus Baustein 2 weiter. Baustein 1 (Chinesisches Zimmer) und Baustein 4 (Sprachmodell) ergänzen sich in der Frage, ob eine Maschine versteht, was sie tut. * '''Ab Klasse 3/4:''' Der Algorithmusbegriff aus SE-Baustein 1 bildet die Grundlage für die übrigen Bausteine; auch die Bausteine ab Kita, besonders das NIM-Spiel, eignen sich hier als Einstieg. Die Suchmaschinen-Bausteine 1 bis 3 und die LLM-Bausteine 1 bis 3 sind jeweils als Reihe gedacht. KI-Baustein 2 greift die Faltanleitungen aus SE-Baustein 2 und das Pfannkuchenrezept aus SE-Baustein 1 auf. Für die Durchführung sind keine Programmierkenntnisse nötig. Zwei Webanwendungen werden genutzt: * ''[https://machinelearningforkids.co.uk Machine Learning for Kids]'' (KITA-Baustein 3, KI-Baustein 1): kostenfrei; ohne Benutzerkonto nutzbar, wenn die Projekte auf demselben Gerät angelegt werden. Sollen vorbereitete Projekte mit den Kindern geteilt werden, ist ein Lehrkraft-Konto nötig (siehe Anleitungen). * ''[https://melanie-platz.com/bigram/ BIGRAM]'' (LLM-Baustein 1): eine eigens entwickelte App, die die Geschichte „Die neugierige Raupe“ auswertet und weitererzählt. == Lernbausteine ab Kita == Die Bausteine wurden für die Kita entwickelt und lassen sich auch in den Klassen 1 und 2 einsetzen. === Basis-Baustein 1: NIM-Spiel und Algorithmen === Zwei Kinder legen abwechselnd ein oder zwei Plättchen auf einen Spielplan mit zehn Feldern; wer das zehnte Feld belegt, gewinnt (elementare Variante von NIM nach Müller & Wittmann, 1984). Schnell wird klar: Das ist kein Glücksspiel. Die Kinder stellen Vermutungen über Gewinnstrategien auf, probieren sie aus und entdecken dabei schrittweise „Gewinnfelder“. Eine solche Gewinnstrategie ist ein Algorithmus – eine eindeutige, ausführbare Abfolge von Schritten. Operative Veränderungen vertiefen die Erkundung: Was ändert sich, wenn man bis zu drei Plättchen legen darf, wenn der Spielplan bis 12 geht oder wenn verliert, wer das letzte Feld belegt? In der Reflexion wird der Bogen zu den unsichtbaren Algorithmen digitaler Plattformen geschlagen: Ist es fair, wenn nur einer die Strategie kennt? Und wer sollte entscheiden dürfen, ob ein Algorithmus geheim bleibt? '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Basis-Baustein-1_NIM-Spiel.pdf Baustein-Beschreibung], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Druckvorlage_Basis-Baustein-1_NIM-Spiel.pdf Spielplan], blaue und rote Plättchen === Basis-Baustein 2: Bubble Sort und Ranking von Suchmaschinen === Die Kinder werden selbst zum Sortieralgorithmus: Jedes Kind hält einen Stab und stellt sich auf eine Linie. Nach einer festen Regel vergleichen jeweils zwei Nachbarn ihre Stäbe und tauschen bei Bedarf die Plätze, bis alle der Länge nach geordnet sind. Durch Wiederholen mit anderen Startpositionen überzeugen sie sich davon, dass das Verfahren immer funktioniert. Als Erweiterung kann nach einem Kriterium sortiert werden, das die Kinder nicht kennen – so wie Suchmaschinen ihre Ergebnisse nach Kriterien ordnen, die nicht offenliegen. Die Kinder stellen Vermutungen über das Sortierkriterium an und kommen so ins Gespräch über Popularität und Personalisierung beim Ranking: Wie wurde sortiert? Ist es fair, wenn du nicht weißt, wie sortiert wurde? '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Basis-Baustein-2_Bubble-Sort.pdf Baustein-Beschreibung], verschieden lange Stäbe (z. B. Cuisenaire-Stäbe), Klebeband für eine Bodenmarkierung === KITA-Baustein 1: Chinesisches Zimmer === Ein Kind sitzt in einem selbst gebastelten Karton-Roboter. Durch einen Schlitz bekommt es Würfelbilder hineingereicht und gibt mithilfe eines Regelbuchs die passende Schmetterlingskarte heraus – ohne zu wissen, wozu. Das Spiel greift das Gedankenexperiment des „Chinesischen Zimmers“ von John R. Searle (1980) auf: Von außen wirkt die Antwort passend, obwohl drinnen niemand versteht, worum es geht. Die Idee, das Gedankenexperiment mit Kindern nachzuspielen, stammt von Lienhart (2026); der Baustein überträgt sie mit Würfelbildern und Schmetterlingen auf die frühe Bildung. Die Kinder üben dabei Zuordnung und das Erkennen von Würfelbildern und erleben das Prinzip Eingabe – Verarbeitung – Ausgabe. In der Reflexion sprechen sie darüber, wie es sich anfühlt, nur nach Regeln zu antworten, und ob ein Roboter – oder eine KI – wirklich nachdenkt oder fühlt. Der Baustein wirkt so der Vermenschlichung von KI entgegen. '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:KITA-Baustein-1_Chinesisches-Zimmer.pdf Baustein-Beschreibung], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Druckvorlage_KITA-Baustein-1_Chinesisches-Zimmer_Regelbuch.pdf Regelbuch], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Druckvorlage_KITA-Baustein-1_Chinesisches-Zimmer_Bildkarten.pdf Bildkarten], Karton und Bastelmaterial === KITA-Baustein 2: Sortieren === Nach der Geschichte „Sieben kleine Raupen“ sind Bildkarten mit Raupen, Puppen und Schmetterlingen in sieben Farben „durcheinandergeraten“ und sollen wieder sortiert werden. Ob nach Farbe, nach Entwicklungsstadium oder nach einem anderen Merkmal – die Kinder entscheiden selbst und begründen ihre Sortierung. Im Vergleich der Ergebnisse zeigt sich, dass es nicht nur eine richtige Lösung gibt und dass dieselbe Karte zu mehreren Gruppen passen kann. Damit machen die Kinder grundlegende Erfahrungen mit Klassifizieren und Kategorisieren. Zugleich bahnt der Baustein eine Idee des maschinellen Lernens an: Auch KI-Systeme gruppieren Daten nach Ähnlichkeiten – ohne zu verstehen, was sie bedeuten. '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:KITA-Baustein-2_Sortieren.pdf Baustein-Beschreibung], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Druckvorlage_KITA-Baustein-2_Sortieren.pdf Bildkarten] (möglichst ein Set pro Kind) === KITA-Baustein 3: Machine Learning und algorithmische Verzerrung === Die Fachkraft oder Lehrkraft zeigt einen Bildklassifizierer, der Raupen von Schmetterlingen und Puppen unterscheiden soll – und der bewusst „unfair“ trainiert wurde: Von den Raupen kennt er nur zwei sehr ähnliche Bilder. Gemeinsam untersuchen die Kinder, wo der Klassifizierer Fehler macht, und erkennen, dass es an den Trainingsdaten liegt. Mit den Bildkarten aus Baustein 2 verbessern sie das System, indem sie weitere Beispiele einlesen. In der Reflexion geht es um Verantwortung: Wer sorgt dafür, dass eine KI faire Daten bekommt? Und wo können solche Fehler für Menschen schlimme Folgen haben – etwa bei Gesichtserkennung oder bei der Auswahl von Bewerbungen? '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:KITA-Baustein-3_ML.pdf Baustein-Beschreibung], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Anleitung_KITA-Baustein-3_ML.pdf Anleitung zu Machine Learning for Kids], Tablet oder Laptop mit Kamera und Internetzugang, === KITA-Baustein 4: Sprachmodell === Gemeinsam erzählen die Kinder die Geschichte der Raupen weiter – wie ein Sprachmodell, Wort für Wort. Zum Satzanfang „Die Raupe war“ schlagen sie zwei mögliche nächste Wörter vor, eine Münze entscheidet, welches genommen wird. Die Fachkraft oder Lehrkraft schreibt mit und liest die entstandene Geschichte am Ende vor. Die Kinder erleben so, dass Sprachmodelle Wörter mit Zufall auswählen und dass eine Münze nicht „weiß“, was die Geschichte erzählen soll. In der Reflexion wird deutlich, was Menschen beim Weitererzählen einbringen und eine Maschine nicht: Wissen über die Welt und darüber, worum es in einer Geschichte geht. Der Baustein knüpft an das Chinesische Zimmer an. '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:KITA-Baustein-4_LLM.pdf Baustein-Beschreibung], Münze == Lernbausteine ab Klasse 3/4 == === Suchmaschinen === ==== SE-Baustein 1: Algorithmus ==== Was ist eigentlich ein Algorithmus? Die Kinder erarbeiten eine kindgerechte Definition und prüfen an Beispielen aus dem Alltag, ob es sich um einen Algorithmus handelt. Dann falten sie ein quadratisches Papier nach einer Faltanleitung (Idee nach Helmerich & Lengnink, 2016) und entdecken dabei Dreiecke, Diagonalen und Mittelpunkt. Die Faltanleitung erweist sich als Algorithmus mit Eingabe (Papier), Verarbeitungsschritten und Ausgabe (Faltprodukt). Auch eine Suchmaschine arbeitet nach diesem Prinzip – mit der Suchanfrage als Eingabe und der Trefferliste als Ausgabe. Der entscheidende Unterschied, den die Reflexion herausarbeitet: Die Faltanleitung ist nachvollziehbar, der Algorithmus einer Suchmaschine nicht. '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:SE-Baustein-1_Algorithmus.pdf Baustein-Beschreibung], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:AB-SE-Baustein-1_Algorithmus.pdf Arbeitsblatt Algorithmus], quadratisches Faltpapier, [https://opensearchfoundation.org/wp-content/uploads/2022/10/So-funktioniert-die-Internetsuche.pdf Infografik „So funktioniert die Internetsuche“ der Open Search Foundation] ==== SE-Baustein 2: Ranking ==== Wer entscheidet, was bei einer Suche oben steht? Die Kinder vergleichen drei Faltanleitungen für dasselbe Objekt auf drei erfundenen Webseiten, darunter eine mit Werbung. Zuerst erstellen sie ein eigenes Ranking (Personalisierung), dann ermitteln sie per Befragung und Häufigkeitstabelle das beliebteste Ergebnis der Klasse (Popularität). Was passiert, wenn die „Suchmaschine“ trotzdem die Anleitung mit Werbung auf Platz 1 setzt? Die Diskussion führt zu wirtschaftlichen Interessen und zu der Erkenntnis, dass Ranking-Algorithmen nicht neutral sind. Zum Schluss verbessern die Kinder selbst eine Anleitung nach einem Ziel, das sie festlegen, und begründen ihre Entscheidung: Menschen bestimmen, welche Ziele ein Algorithmus verfolgt. '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:SE-Baustein-2_Ranking.pdf Baustein-Beschreibung], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Druckvorlage-SE-Baustein-2_Ranking.pdf Druckvorlage Faltanleitungen], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:AB-SE-Baustein-2_Ranking.pdf Arbeitsblatt „Faltanleitungen ergänzen und verbessern“] <!-- DATEI: SE-Baustein-2_Ranking.pdf | Druckvorlage-SE-Baustein-2_Ranking.pdf | AB-SE-Baustein-2_Ranking.pdf --> ==== SE-Baustein 3: „Besser“ suchen ==== Suchmaschinen sind KI-Systeme, die aus einem Datensatz, einem Lernalgorithmus und einer Vorhersage bestehen. Am Beispiel der Autovervollständigung, die häufige frühere Suchanfragen vorschlägt, und des Rankings untersuchen die Kinder, wie diese Bestandteile zusammenwirken – und warum unfaire Daten zu verzerrten Ergebnissen führen können. Darauf aufbauend lernen sie Tipps für eine bewusstere Internetsuche kennen, etwa gezielte Suchbegriffe, ein kritischer Blick auf die ersten Treffer und alternative Suchmaschinen. Die Reflexion öffnet zudem die Frage, wem die Inhalte gehören, die eine Suchmaschine anzeigt. '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:SE-Baustein-3_besser_Suchen.pdf Baustein-Beschreibung], digitales Gerät zur Demonstration einer Suchmaschine, ggf. [https://opensearchfoundation.org/wp-content/uploads/2022/10/Kinder-Tipps-Internetsuche.pdf Suchtipps der Open Search Foundation] === Künstliche Intelligenz === ==== KI-Baustein 1: Machine Learning und algorithmische Verzerrung ==== Die Kinder untersuchen einen Bildklassifizierer, der Dreiecke und Vierecke unterscheiden soll. Er wurde bewusst „unfair“ trainiert: Die Vierecke im Trainingsdatensatz sind nur Rechtecke in derselben Lage, die Dreiecke dagegen vielfältig. Die Kinder finden heraus, warum der Klassifizierer bei Vierecken häufiger irrt, und verbessern ihn in Kleingruppen, indem sie selbst gezeichnete Figuren als neue Trainingsdaten hinzufügen. Dabei klassifizieren sie ebene Figuren nach ihren Eigenschaften und werten Daten aus. Die Reflexion verbindet das Experiment mit realen Fällen algorithmischer Verzerrung, etwa bei Gesichtserkennung oder Bewerbungsverfahren, und mit der Einsicht, dass Menschen über die Daten und Ziele von KI-Systemen entscheiden. '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:KI-Baustein-1_ML.pdf Baustein-Beschreibung], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:AB_KI-Baustein-1_ML.pdf Arbeitsblatt], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Infoseite_KI-Baustein-1_ML.pdf Infoseite zur Bedienung von Machine Learning for Kids], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Anleitung_KI-Baustein-1_ML.pdf Anleitung zu Machine Learning for Kids für Lehrpersonen], Tablets mit Stift und Internetzugang ==== KI-Baustein 2: Ethische Matrizen ==== Wenn ein Algorithmus verändert wird, wer profitiert und wer nicht? Mit einer ethischen Matrix (Payne, 2019) tragen die Kinder zusammen, wer an einem Produkt interessiert ist – etwa an einem Pfannkuchenrezept oder einer Faltanleitung – und welche Werte den einzelnen Beteiligten wichtig sind. Mit Holzwürfeln gewichten sie die Felder, sodass ein Würfelgebäude entsteht, das sie beschreiben und verändern. Beim Versuch, das „Rezept“ zu verbessern, stellen die Kinder fest, dass eine Verbesserung für die einen eine Verschlechterung für andere bedeuten kann. In der Reflexion wird die Matrix auf reale Systeme wie Suchmaschinen oder Chatbots übertragen: Wessen Werte wurden berücksichtigt? '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:KI-Baustein-2_Ethische-Matrix.pdf Baustein-Beschreibung], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Druckvorlage_KI-Baustein-2_Ethische-Matrix.pdf Vorlage Ethische Matrix], Holzwürfel (Kantenlänge 2 cm) === Sprachmodelle (LLM) === ==== LLM-Baustein 1: Bigram-Modell ==== Wie erzeugt ein Sprachmodell Text? Die Kinder bauen ein einfaches Modell selbst: Sie zählen in der kurzen Geschichte „Die neugierige Raupe“, welche Wörter am Satzanfang stehen und welche darauf folgen, und halten die Häufigkeiten in Tabellen fest. Die Geschichte ist so geschrieben, dass sich passende Zufallsgeneratoren ergeben: ein Dodekaeder für die zwölf Satzanfänge, ein Tetraeder, eine Münze und ein Würfel für das jeweils zweite Wort. Damit „würfeln“ die Kinder den Anfang neuer Sätze und untersuchen dabei auch die platonischen Körper. Die App BIGRAM übernimmt das anschließend für ganze Sätze. Die entstehenden Texte klingen oft holprig, und Wörter, die nicht in der Geschichte vorkommen, kann das Modell nicht verarbeiten. So wird verständlich, warum KI-Chatbots als „stochastische Papageien“ bezeichnet werden (Bender et al., 2021) und warum man ihre Antworten überprüfen sollte. '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:LLM-Baustein-1_Bigram.pdf Baustein-Beschreibung], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:AB-LLM-Baustein-1_Bigram.pdf Arbeitsblatt], Zufallsgeneratoren (z. B. platonische Körper), [https://melanie-platz.com/Bigram/ App BIGRAM] ==== LLM-Baustein 2: Papier-GPT ==== Ohne Computer simulieren die Kinder, wie ein Sprachmodell einen Text fortsetzt. Eine Tabelle mit dem Satzanfang „Die Raupe war“ wandert von Gruppe zu Gruppe. Jede Gruppe sieht nur die letzten drei Wörter, schlägt zwei mögliche Fortsetzungen vor und lässt ein Wendeplättchen entscheiden, welches Wort übernommen wird. Am Ende wird der ganze Satz aufgefaltet und vorgelesen. Die Kinder lernen dabei zentrale Ideen von Sprachmodellen kennen: einen begrenzten Kontext und das zufällige Auswählen des nächsten Wortes. In der Reflexion vergleichen sie das Ergebnis mit dem Bigram-Modell und überlegen, welches Wissen ihnen selbst beim Finden passender Wörter geholfen hat. '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:LLM-Baustein-2_Papier-GPT.pdf Baustein-Beschreibung], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Druckvorlage_LLM-Baustein-2_Papier-GPT.pdf Druckvorlage Papier-GPT], Wendeplättchen ==== LLM-Baustein 3: Fermi-Aufgabe zur Menge der Trainingsdaten ==== Warum schreiben große Sprachmodelle so viel bessere Texte als das selbst gebaute Bigram-Modell? Ein Grund ist die riesige Menge an Texten, aus denen sie lernen: Für GPT-3 wurden rund 45 Terabyte Rohtext gesammelt (Brown et al., 2020). In einer Fermi-Aufgabe machen die Kinder diese Menge greifbar: Wie hoch wäre ein Papierstapel, wenn man die Geschichte „Die neugierige Raupe“ so oft ausdruckt, bis 45 Terabyte erreicht sind? Höher als der Mount Everest? Dafür ermitteln sie Dateigrößen, rechnen Einheiten um, überschlagen mit großen Zahlen und prüfen ihr Ergebnis auf Plausibilität. Die Reflexion führt zu Fragen des Urheberrechts – Darf eine KI deine Geschichte ohne Erlaubnis nutzen? – und dazu, warum man den Antworten einer KI nicht blind vertrauen sollte. '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:LLM-Baustein-3_Fermi-Aufgabe.pdf Baustein-Beschreibung], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Datei_LLM-Baustein-3_Neugierige-Raupe.pdf Textdatei der Geschichte] (zum Ermitteln der Dateigröße), ggf. zehn Ausdrucke auf 80-g-Papier == Material für Kinder == '''Internetseiten und Videos''' * fragFINN: [https://reporter.fragfinn.de/kuenstliche-intelligenz/ Was ist KI?] – mit dem Video „Toni entdeckt KI“ und weiterführenden Links, z. B. zu Internet-ABC, kindersache.de und Team Timster; zum Thema [https://reporter.fragfinn.de/tag/deep-fakes/ Deepfakes] * Team Timster (KiKA): [https://www.kika.de/team-timster/extras/was-ist-kuenstliche-intelligenz-104 Was ist künstliche Intelligenz?] * [https://www.scroller.de Scroller] – das Medienmagazin für Kinder * KIsu – kinderleicht KI-basiert suchen und finden: [https://kisu.cs.uni-saarland.de/clever/ Clever suchen] * Chatbot „Auxie“ auf [https://www.religionen-entdecken.de religionen-entdecken.de] '''Bücher''' * Freudenberg, J. & Feldmann, M. (2025). ''WAS IST WAS Naturwissenschaften easy! Schlau, schlauer, KI? Künstliche Intelligenz erleben''. Tessloff. * Zahn, A. & Hesse, L. (2023). ''Was ist künstliche Intelligenz?'' Beltz. == Weitere Angebote für Lehrkräfte == * Projekt [https://kisu.cs.uni-saarland.de KIsu] (Universität des Saarlandes): Material und Workshops zum Lernen über KI und Suchmaschinen in der Grundschule * Heftreihe ''KI kinderleicht?!'' (Westermann, 2026), Teile 1 bis 4: Wie KI-Systeme funktionieren; KI als Werkzeug im Unterricht; KI-Systeme für den Unterricht; KI in der Gesellschaft * ''Grundschule aktuell'', Heft 170 (Mai 2025): Zur Diskussion – KI in der Grundschule * Bob Blume: [https://bobblume.de/2023/03/25/unterricht-chatgpt-als-interaktiver-lernpartner/ ChatGPT als interaktiver Lernpartner] == Literatur == '''Zu den Lernbausteinen''' * Platz, M. (2025). KI, Internetsuche und algorithmische Verzerrung. ''Mathematik differenziert'', 4/2025, 22–31. * Platz, M. (2025). Algorithmen, ethische Matrizen und Würfelbauwerke. In L. Schick, M. Platz & A. Lambert (Hrsg.), ''Beiträge zum Mathematikunterricht 2025'' (S. 357–360). WTM. * Platz, M. (2026). Entwicklung einer Lernumgebung zu Maschinellem Lernen und algorithmischer Verzerrung für den Mathematikunterricht der Primarstufe. ''mathematica didactica'', 49, 1–22. * Platz, M. (im Druck). Computational Thinking fördern: Machine Learning im Mathematikunterricht der Grundschule. ''Beiträge zum Mathematikunterricht 2026''. WTM. * Platz, M. & Plote, C. (2025). KI und Ethik im Klassenzimmer. ''Mitteilungen der GDM'', 118, 6–13. [https://ojs.didaktik-der-mathematik.de/index.php/mgdm/article/view/1278/1423 Online] * Platz, M. & Schick, L. (2025). Lernen über LLMs im Mathematikunterricht der Primarstufe. In L. Schick, M. Platz & A. Lambert (Hrsg.), ''Beiträge zum Mathematikunterricht 2025'' (S. 231–234). WTM. * Platz, M. & Schorcht, S. (2026). Wie funktionieren große Sprachmodelle? In ''KI kinderleicht?! Spezial, Teil 1: Wie KI-Systeme funktionieren'' (S. 3–5). Westermann. * Platz, M., Schorcht, S. & Frischemeier, D. (2025). Lernen mit und über KI: Wie funktionieren LLMs und welche Prompt-Techniken gibt es? In M. Platz, S. Schorcht & D. Frischemeier (Hrsg.), ''Künstliche Intelligenz in der Primarstufe'' (S. 109–130). WTM. '''Search Engine Literacy''' * Platz, M. (2022). Search Engine Literacy – mehr als Kompetenzen zum Recherchieren mit Suchmaschinen. In T. Irion, M. Peschel & D. Schmeinck (Hrsg.), ''Grundschule und Digitalität'' (S. 298–307). Grundschulverband. * Platz, M., Klan, F. & Decker, A. (2022). Developing and promoting search engine literacy in primary education. In ''Proceedings of the 3rd International Symposium on Open Search Technology''. CERN. * Platz, M., Bierbrauer, C. & Müller, L. M. (2023). Förderung von Search Engine Literacy im Mathematikunterricht der Grundschule. In F. Dilling, D. Thurm & I. Witzke (Hrsg.), ''Digitaler Mathematikunterricht in Forschung und Praxis'' (S. 181–190). WTM. * Platz, M., Decker, A. & Plote, C. (2023). Förderung eines verständigen Umgangs mit Suchmaschinen im Elementarbereich. In M. R. Textor & A. Bostelmann (Hrsg.), ''Das Kita-Handbuch''. '''Weitere zitierte Quellen''' * Bender, E. M., Gebru, T., McMillan-Major, A. & Shmitchell, S. (2021). On the dangers of stochastic parrots: Can language models be too big? In ''Proceedings of the 2021 ACM Conference on Fairness, Accountability, and Transparency'' (S. 610–623). * Brown, T. B., Mann, B., Ryder, N. et al. (2020). Language models are few-shot learners. ''Advances in Neural Information Processing Systems'', 33, 1877–1901. * Helmerich, M. & Lengnink, K. (2016). ''Einführung Mathematik Primarstufe – Geometrie''. Springer. * Lienhart, J. (2026). KI geht zur Schule. In ''KI kinderleicht?! Spezial, Teil 4: KI in der Gesellschaft'' (S. 8–9). Westermann. * Miao, F. & Shiohira, K. (2024). ''AI competency framework for students''. UNESCO. * Mullarkey, M. T. & Hevner, A. R. (2019). An elaborated action design research process model. ''European Journal of Information Systems'', 28(1), 6–20. * Müller, G. N. & Wittmann, E. C. (1984). ''Der Mathematikunterricht in der Primarstufe''. Vieweg. * Payne, B. H. (2019). ''An Ethics of Artificial Intelligence Curriculum for Middle School Students''. MIT Media Lab. * Schorcht, S. (2026). Prompt-Techniken. In ''KI kinderleicht?! Spezial, Teil 2: KI als Werkzeug im Unterricht'' (S. 10–11). Westermann. * Searle, J. R. (1980). Minds, brains, and programs. ''Behavioral and Brain Sciences'', 3(3), 417–424. == Lizenz und Rückmeldung == Die Lernbausteine stehen unter der Lizenz [https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.de CC BY-SA 4.0]. Sie dürfen kopiert, verändert und weitergegeben werden, wenn die Urheberin genannt wird und Bearbeitungen unter derselben Lizenz stehen. Alle Abbildungen in den Dateien sind eigene Darstellungen. Verlinkte externe Angebote (z. B. Machine Learning for Kids, Infografiken der Open Search Foundation) unterliegen ihren eigenen Nutzungsbedingungen. Namensnennung: ''Lernbausteine KI'' von Melanie Platz, Universität des Saarlandes, Professur für Didaktik der Primarstufe – Schwerpunkt Mathematik, lizenziert unter CC BY-SA 4.0. Rückmeldungen, Erfahrungen aus dem Einsatz und Verbesserungsvorschläge sind willkommen – gern auf der Diskussionsseite. q6usbddvgwfnjnruy09ttqa4zs874cg 1119119 1119118 2026-11-08T15:28:44Z Platzm 21125 /* Hinweise zur Nutzung */ 1119119 wikitext text/x-wiki =Lernbausteine zum Lernen über KI in KITA und Grundschule= Diese Seite stellt '''Lernbausteine zu Künstlicher Intelligenz (KI), Suchmaschinen und Sprachmodellen''' in zwei Reihen bereit: '''ab Kita''' (auch in den Klassen 1 und 2 einsetzbar) und '''ab Klasse 3/4'''. Die Bausteine wurden an der Professur für Didaktik der Primarstufe – Schwerpunkt Mathematik der Universität des Saarlandes entwickelt und mit Grundschulkindern erprobt. == Worum es geht == Kinder begegnen KI-Systemen früh: Sie stellen Sprachassistenten Fragen, sehen Vorschläge auf Videoplattformen und nutzen Suchmaschinen. Wie diese Systeme funktionieren, bleibt ihnen meist verborgen. Die Lernbausteine setzen hier an. Ihr Grundgedanke ist, dass Kinder die Funktionsweise von KI-Systemen mit Mathematik erschließen können, die sie ohnehin lernen: Sie zählen Häufigkeiten, ordnen und sortieren, vergleichen Daten, würfeln mit Zufallsgeneratoren und rechnen mit großen Zahlen. So wird nachvollziehbar, wie ein Sprachmodell das nächste Wort wählt, warum eine Suchmaschine Ergebnisse in eine bestimmte Reihenfolge bringt oder weshalb eine KI mit einseitigen Trainingsdaten unfair entscheidet. Die meisten Bausteine kommen ohne Computer aus (''Informatik unplugged''). Die Kinder handeln selbst: Sie falten, sortieren, würfeln, spielen einen Roboter oder trainieren einen einfachen Bildklassifizierer. Jeder Baustein endet mit einer Reflexion, in der das Erlebte auf reale Systeme wie Suchmaschinen oder KI-Chatbots übertragen wird. Dabei geht es nicht nur um Technik, sondern auch um Fragen wie: Wer entscheidet, was eine Suchmaschine zuerst anzeigt? Ist es fair, wenn ein Algorithmus geheim bleibt? Versteht ein Chatbot, was er schreibt? Damit bieten die Reflexionen auch Anknüpfungspunkte für Sachunterricht, Deutsch und Ethik. Ein durchgängiges Ziel ist, der Vermenschlichung von KI entgegenzuwirken: Die Kinder erfahren, dass KI-Systeme Regeln und Wahrscheinlichkeiten folgen, ohne zu verstehen, was sie tun. == Aufbau == Die Bausteine sind in zwei Reihen gegliedert: * '''Ab Kita''' (auch in den Klassen 1 und 2): sechs Bausteine – zwei Basis-Bausteine zu Algorithmen und Sortieralgorithmen sowie vier Bausteine zu regelbasierten Systemen, Sortieren nach Merkmalen, maschinellem Lernen und Sprachmodellen. * '''Ab Klasse 3/4:''' acht Bausteine in drei Strängen – Suchmaschinen, Künstliche Intelligenz und Sprachmodelle (LLM). Alle Bausteine sind gleich aufgebaut: ''Darum geht es'', Bezüge zu Mathematik und Informatik, Material, Durchführung, Reflexion und Literatur. Arbeitsblätter (AB), Anleitungen und Druckvorlagen liegen als eigene Dateien bei. {| class="wikitable" ! Baustein !! Kernidee !! Mathematik |- ! colspan="3" | Ab Kita (auch Klasse 1/2) |- | Basis-Baustein 1: NIM-Spiel || Eine Gewinnstrategie ist ein Algorithmus || Problemlösen, Zahlenreihe bis 10 |- | Basis-Baustein 2: Bubble Sort || Sortieralgorithmen und Ranking || Längen vergleichen, ordnen |- | KITA-Baustein 1: Chinesisches Zimmer || Eine Maschine folgt Regeln, ohne zu verstehen || Zuordnen, Würfelbilder erkennen |- | KITA-Baustein 2: Sortieren || Es gibt mehrere „richtige“ Sortierungen || Klassifizieren nach Merkmalen |- | KITA-Baustein 3: Machine Learning || Einseitige Trainingsdaten führen zu Fehlern || Mengen erfassen und vergleichen |- | KITA-Baustein 4: Sprachmodell || Wörter werden per Zufall ausgewählt || Münzwurf, Gleichwahrscheinlichkeit |- ! colspan="3" | Ab Klasse 3/4 |- | SE-Baustein 1: Algorithmus || Eingabe – Verarbeitung – Ausgabe || Geometrie: Falten |- | SE-Baustein 2: Ranking || Wer entscheidet, was oben steht? || Daten erheben, Häufigkeitstabelle |- | SE-Baustein 3: „Besser“ suchen || Datensatz – Lernalgorithmus – Vorhersage || Häufigkeiten und Vorhersage |- | KI-Baustein 1: Machine Learning || Algorithmische Verzerrung (Bias) || Ebene Figuren klassifizieren, Daten |- | KI-Baustein 2: Ethische Matrizen || Algorithmen betreffen viele Interessen || Würfelgebäude, Diagramme |- | LLM-Baustein 1: Bigram-Modell || Häufigkeit bestimmt Wahrscheinlichkeit || Häufigkeiten, platonische Körper |- | LLM-Baustein 2: Papier-GPT || Kontext und Zufall beim Textgenerieren || Zufallsexperiment, Laplace-Experiment |- | LLM-Baustein 3: Fermi-Aufgabe || Die Menge der Trainingsdaten || Große Zahlen, Größen umrechnen |} == Didaktischer Hintergrund == Die Lernbausteine wurden im Sinne fachdidaktischer Entwicklungsforschung entwickelt: Problemformulierung, Entwicklung, Erprobung, Evaluation und Reflexion werden in mehreren Zyklen durchlaufen (Mullarkey & Hevner, 2019). Sie orientieren sich an drei Rahmenmodellen. '''KI-Kompetenzrahmen der UNESCO.''' Der ''AI competency framework for students'' (Miao & Shiohira, 2024; deutsche Übersetzung bei Platz & Plote, 2025) beschreibt vier Kompetenzaspekte – menschenzentrierte Denkweise, Ethik der KI, KI-Techniken und -Anwendungen sowie KI-System-Design – auf den drei Stufen Verstehen, Anwenden und Erstellen. Die Lernbausteine setzen überwiegend auf der Stufe ''Verstehen'' an. Das NIM-Spiel etwa thematisiert, dass Menschen hinter Algorithmen stehen und über deren Offenlegung entscheiden; die KI-Bausteine verbinden KI-Grundlagen mit ethischen Fragen. '''Lernen über Sprachmodelle (LLMs).''' In Anlehnung an Platz, Schorcht & Frischemeier (2025) werden drei Wissensbereiche unterschieden: * ''Konzeptuelles Wissen:'' LLMs sind Wahrscheinlichkeitsmaschinen; Training und Trainingsdaten prägen die Ausgabe. * ''Kritisch-reflexives Wissen:'' Ausgaben prüfen und bewerten; Chancen und Risiken benennen. * ''Handlungswissen:'' Prompts zielgerichtet formulieren; KI als Werkzeug verantwortungsvoll nutzen. Die Lernbausteine zielen vor allem auf konzeptuelles und kritisch-reflexives Wissen: Zufall und Wahrscheinlichkeit beim Erzeugen von Text (KITA-Baustein 4, LLM-Bausteine 1 und 2), die Rolle der Trainingsdaten (KITA-Bausteine 2 und 3, LLM-Baustein 3) und die Frage, ob eine Maschine versteht, was sie tut (KITA-Baustein 1). '''Search Engine Literacy.''' Kompetenzen im Umgang mit Suchmaschinen gehen über das Recherchieren hinaus (Platz, 2022; Platz, Klan & Decker, 2022; Platz, Decker & Plote, 2023). Unterschieden werden drei Ebenen: die ''Abbildungsebene'' (Suche und Suchindex als Grundlage, gezielte Suchbegriffe), die ''Algorithmenebene'' (Crawling, Index, Ranking und Filter verstehen) und die ''Bewertungsebene'' (Filterblasen, Verzerrungen in Suchergebnissen, Datenschutz, kritischer Umgang). Basis-Baustein 2 (Bubble Sort) und die Suchmaschinen-Bausteine 1 bis 3 setzen auf der Algorithmen- und der Bewertungsebene an. == Hinweise zur Nutzung == Die Bausteine lassen sich einzeln einsetzen, bauen aber teilweise aufeinander auf. Sinnvoll sind folgende Abfolgen: * '''Ab Kita:''' Die Basis-Bausteine (NIM-Spiel, Bubble Sort) führen in Algorithmen ein und eignen sich als Einstieg. KITA-Baustein 2 (Sortieren) vor KITA-Baustein 3 (Machine Learning), da dieselben Bildkarten genutzt werden; KITA-Baustein 4 erzählt die Raupengeschichte aus Baustein 2 weiter. Baustein 1 (Chinesisches Zimmer) und Baustein 4 (Sprachmodell) ergänzen sich in der Frage, ob eine Maschine versteht, was sie tut. * '''Ab Klasse 3/4:''' Der Algorithmusbegriff aus SE-Baustein 1 bildet die Grundlage für die übrigen Bausteine; auch die Bausteine ab Kita, besonders das NIM-Spiel, eignen sich hier als Einstieg. Die Suchmaschinen-Bausteine 1 bis 3 und die LLM-Bausteine 1 bis 3 sind jeweils als Reihe gedacht. KI-Baustein 2 greift die Faltanleitungen aus SE-Baustein 2 und das Pfannkuchenrezept aus SE-Baustein 1 auf. Für die Durchführung sind keine Programmierkenntnisse nötig. Zwei digitale Anwendungen werden genutzt: * ''[https://machinelearningforkids.co.uk Machine Learning for Kids]'' (KITA-Baustein 3, KI-Baustein 1): kostenfrei; ohne Benutzerkonto nutzbar, wenn die Projekte auf demselben Gerät angelegt werden. Sollen vorbereitete Projekte mit den Kindern geteilt werden, ist ein Lehrkraft-Konto nötig (siehe Anleitungen). * ''[https://melanie-platz.com/bigram/ BIGRAM]'' (LLM-Baustein 1): eine eigens entwickelte App, die die Geschichte „Die neugierige Raupe“ auswertet und weitererzählt. == Lernbausteine ab Kita == Die Bausteine wurden für die Kita entwickelt und lassen sich auch in den Klassen 1 und 2 einsetzen. === Basis-Baustein 1: NIM-Spiel und Algorithmen === Zwei Kinder legen abwechselnd ein oder zwei Plättchen auf einen Spielplan mit zehn Feldern; wer das zehnte Feld belegt, gewinnt (elementare Variante von NIM nach Müller & Wittmann, 1984). Schnell wird klar: Das ist kein Glücksspiel. Die Kinder stellen Vermutungen über Gewinnstrategien auf, probieren sie aus und entdecken dabei schrittweise „Gewinnfelder“. Eine solche Gewinnstrategie ist ein Algorithmus – eine eindeutige, ausführbare Abfolge von Schritten. Operative Veränderungen vertiefen die Erkundung: Was ändert sich, wenn man bis zu drei Plättchen legen darf, wenn der Spielplan bis 12 geht oder wenn verliert, wer das letzte Feld belegt? In der Reflexion wird der Bogen zu den unsichtbaren Algorithmen digitaler Plattformen geschlagen: Ist es fair, wenn nur einer die Strategie kennt? Und wer sollte entscheiden dürfen, ob ein Algorithmus geheim bleibt? '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Basis-Baustein-1_NIM-Spiel.pdf Baustein-Beschreibung], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Druckvorlage_Basis-Baustein-1_NIM-Spiel.pdf Spielplan], blaue und rote Plättchen === Basis-Baustein 2: Bubble Sort und Ranking von Suchmaschinen === Die Kinder werden selbst zum Sortieralgorithmus: Jedes Kind hält einen Stab und stellt sich auf eine Linie. Nach einer festen Regel vergleichen jeweils zwei Nachbarn ihre Stäbe und tauschen bei Bedarf die Plätze, bis alle der Länge nach geordnet sind. Durch Wiederholen mit anderen Startpositionen überzeugen sie sich davon, dass das Verfahren immer funktioniert. Als Erweiterung kann nach einem Kriterium sortiert werden, das die Kinder nicht kennen – so wie Suchmaschinen ihre Ergebnisse nach Kriterien ordnen, die nicht offenliegen. Die Kinder stellen Vermutungen über das Sortierkriterium an und kommen so ins Gespräch über Popularität und Personalisierung beim Ranking: Wie wurde sortiert? Ist es fair, wenn du nicht weißt, wie sortiert wurde? '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Basis-Baustein-2_Bubble-Sort.pdf Baustein-Beschreibung], verschieden lange Stäbe (z. B. Cuisenaire-Stäbe), Klebeband für eine Bodenmarkierung === KITA-Baustein 1: Chinesisches Zimmer === Ein Kind sitzt in einem selbst gebastelten Karton-Roboter. Durch einen Schlitz bekommt es Würfelbilder hineingereicht und gibt mithilfe eines Regelbuchs die passende Schmetterlingskarte heraus – ohne zu wissen, wozu. Das Spiel greift das Gedankenexperiment des „Chinesischen Zimmers“ von John R. Searle (1980) auf: Von außen wirkt die Antwort passend, obwohl drinnen niemand versteht, worum es geht. Die Idee, das Gedankenexperiment mit Kindern nachzuspielen, stammt von Lienhart (2026); der Baustein überträgt sie mit Würfelbildern und Schmetterlingen auf die frühe Bildung. Die Kinder üben dabei Zuordnung und das Erkennen von Würfelbildern und erleben das Prinzip Eingabe – Verarbeitung – Ausgabe. In der Reflexion sprechen sie darüber, wie es sich anfühlt, nur nach Regeln zu antworten, und ob ein Roboter – oder eine KI – wirklich nachdenkt oder fühlt. Der Baustein wirkt so der Vermenschlichung von KI entgegen. '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:KITA-Baustein-1_Chinesisches-Zimmer.pdf Baustein-Beschreibung], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Druckvorlage_KITA-Baustein-1_Chinesisches-Zimmer_Regelbuch.pdf Regelbuch], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Druckvorlage_KITA-Baustein-1_Chinesisches-Zimmer_Bildkarten.pdf Bildkarten], Karton und Bastelmaterial === KITA-Baustein 2: Sortieren === Nach der Geschichte „Sieben kleine Raupen“ sind Bildkarten mit Raupen, Puppen und Schmetterlingen in sieben Farben „durcheinandergeraten“ und sollen wieder sortiert werden. Ob nach Farbe, nach Entwicklungsstadium oder nach einem anderen Merkmal – die Kinder entscheiden selbst und begründen ihre Sortierung. Im Vergleich der Ergebnisse zeigt sich, dass es nicht nur eine richtige Lösung gibt und dass dieselbe Karte zu mehreren Gruppen passen kann. Damit machen die Kinder grundlegende Erfahrungen mit Klassifizieren und Kategorisieren. Zugleich bahnt der Baustein eine Idee des maschinellen Lernens an: Auch KI-Systeme gruppieren Daten nach Ähnlichkeiten – ohne zu verstehen, was sie bedeuten. '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:KITA-Baustein-2_Sortieren.pdf Baustein-Beschreibung], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Druckvorlage_KITA-Baustein-2_Sortieren.pdf Bildkarten] (möglichst ein Set pro Kind) === KITA-Baustein 3: Machine Learning und algorithmische Verzerrung === Die Fachkraft oder Lehrkraft zeigt einen Bildklassifizierer, der Raupen von Schmetterlingen und Puppen unterscheiden soll – und der bewusst „unfair“ trainiert wurde: Von den Raupen kennt er nur zwei sehr ähnliche Bilder. Gemeinsam untersuchen die Kinder, wo der Klassifizierer Fehler macht, und erkennen, dass es an den Trainingsdaten liegt. Mit den Bildkarten aus Baustein 2 verbessern sie das System, indem sie weitere Beispiele einlesen. In der Reflexion geht es um Verantwortung: Wer sorgt dafür, dass eine KI faire Daten bekommt? Und wo können solche Fehler für Menschen schlimme Folgen haben – etwa bei Gesichtserkennung oder bei der Auswahl von Bewerbungen? '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:KITA-Baustein-3_ML.pdf Baustein-Beschreibung], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Anleitung_KITA-Baustein-3_ML.pdf Anleitung zu Machine Learning for Kids], Tablet oder Laptop mit Kamera und Internetzugang, === KITA-Baustein 4: Sprachmodell === Gemeinsam erzählen die Kinder die Geschichte der Raupen weiter – wie ein Sprachmodell, Wort für Wort. Zum Satzanfang „Die Raupe war“ schlagen sie zwei mögliche nächste Wörter vor, eine Münze entscheidet, welches genommen wird. Die Fachkraft oder Lehrkraft schreibt mit und liest die entstandene Geschichte am Ende vor. Die Kinder erleben so, dass Sprachmodelle Wörter mit Zufall auswählen und dass eine Münze nicht „weiß“, was die Geschichte erzählen soll. In der Reflexion wird deutlich, was Menschen beim Weitererzählen einbringen und eine Maschine nicht: Wissen über die Welt und darüber, worum es in einer Geschichte geht. Der Baustein knüpft an das Chinesische Zimmer an. '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:KITA-Baustein-4_LLM.pdf Baustein-Beschreibung], Münze == Lernbausteine ab Klasse 3/4 == === Suchmaschinen === ==== SE-Baustein 1: Algorithmus ==== Was ist eigentlich ein Algorithmus? Die Kinder erarbeiten eine kindgerechte Definition und prüfen an Beispielen aus dem Alltag, ob es sich um einen Algorithmus handelt. Dann falten sie ein quadratisches Papier nach einer Faltanleitung (Idee nach Helmerich & Lengnink, 2016) und entdecken dabei Dreiecke, Diagonalen und Mittelpunkt. Die Faltanleitung erweist sich als Algorithmus mit Eingabe (Papier), Verarbeitungsschritten und Ausgabe (Faltprodukt). Auch eine Suchmaschine arbeitet nach diesem Prinzip – mit der Suchanfrage als Eingabe und der Trefferliste als Ausgabe. Der entscheidende Unterschied, den die Reflexion herausarbeitet: Die Faltanleitung ist nachvollziehbar, der Algorithmus einer Suchmaschine nicht. '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:SE-Baustein-1_Algorithmus.pdf Baustein-Beschreibung], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:AB-SE-Baustein-1_Algorithmus.pdf Arbeitsblatt Algorithmus], quadratisches Faltpapier, [https://opensearchfoundation.org/wp-content/uploads/2022/10/So-funktioniert-die-Internetsuche.pdf Infografik „So funktioniert die Internetsuche“ der Open Search Foundation] ==== SE-Baustein 2: Ranking ==== Wer entscheidet, was bei einer Suche oben steht? Die Kinder vergleichen drei Faltanleitungen für dasselbe Objekt auf drei erfundenen Webseiten, darunter eine mit Werbung. Zuerst erstellen sie ein eigenes Ranking (Personalisierung), dann ermitteln sie per Befragung und Häufigkeitstabelle das beliebteste Ergebnis der Klasse (Popularität). Was passiert, wenn die „Suchmaschine“ trotzdem die Anleitung mit Werbung auf Platz 1 setzt? Die Diskussion führt zu wirtschaftlichen Interessen und zu der Erkenntnis, dass Ranking-Algorithmen nicht neutral sind. Zum Schluss verbessern die Kinder selbst eine Anleitung nach einem Ziel, das sie festlegen, und begründen ihre Entscheidung: Menschen bestimmen, welche Ziele ein Algorithmus verfolgt. '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:SE-Baustein-2_Ranking.pdf Baustein-Beschreibung], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Druckvorlage-SE-Baustein-2_Ranking.pdf Druckvorlage Faltanleitungen], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:AB-SE-Baustein-2_Ranking.pdf Arbeitsblatt „Faltanleitungen ergänzen und verbessern“] <!-- DATEI: SE-Baustein-2_Ranking.pdf | Druckvorlage-SE-Baustein-2_Ranking.pdf | AB-SE-Baustein-2_Ranking.pdf --> ==== SE-Baustein 3: „Besser“ suchen ==== Suchmaschinen sind KI-Systeme, die aus einem Datensatz, einem Lernalgorithmus und einer Vorhersage bestehen. Am Beispiel der Autovervollständigung, die häufige frühere Suchanfragen vorschlägt, und des Rankings untersuchen die Kinder, wie diese Bestandteile zusammenwirken – und warum unfaire Daten zu verzerrten Ergebnissen führen können. Darauf aufbauend lernen sie Tipps für eine bewusstere Internetsuche kennen, etwa gezielte Suchbegriffe, ein kritischer Blick auf die ersten Treffer und alternative Suchmaschinen. Die Reflexion öffnet zudem die Frage, wem die Inhalte gehören, die eine Suchmaschine anzeigt. '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:SE-Baustein-3_besser_Suchen.pdf Baustein-Beschreibung], digitales Gerät zur Demonstration einer Suchmaschine, ggf. [https://opensearchfoundation.org/wp-content/uploads/2022/10/Kinder-Tipps-Internetsuche.pdf Suchtipps der Open Search Foundation] === Künstliche Intelligenz === ==== KI-Baustein 1: Machine Learning und algorithmische Verzerrung ==== Die Kinder untersuchen einen Bildklassifizierer, der Dreiecke und Vierecke unterscheiden soll. Er wurde bewusst „unfair“ trainiert: Die Vierecke im Trainingsdatensatz sind nur Rechtecke in derselben Lage, die Dreiecke dagegen vielfältig. Die Kinder finden heraus, warum der Klassifizierer bei Vierecken häufiger irrt, und verbessern ihn in Kleingruppen, indem sie selbst gezeichnete Figuren als neue Trainingsdaten hinzufügen. Dabei klassifizieren sie ebene Figuren nach ihren Eigenschaften und werten Daten aus. Die Reflexion verbindet das Experiment mit realen Fällen algorithmischer Verzerrung, etwa bei Gesichtserkennung oder Bewerbungsverfahren, und mit der Einsicht, dass Menschen über die Daten und Ziele von KI-Systemen entscheiden. '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:KI-Baustein-1_ML.pdf Baustein-Beschreibung], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:AB_KI-Baustein-1_ML.pdf Arbeitsblatt], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Infoseite_KI-Baustein-1_ML.pdf Infoseite zur Bedienung von Machine Learning for Kids], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Anleitung_KI-Baustein-1_ML.pdf Anleitung zu Machine Learning for Kids für Lehrpersonen], Tablets mit Stift und Internetzugang ==== KI-Baustein 2: Ethische Matrizen ==== Wenn ein Algorithmus verändert wird, wer profitiert und wer nicht? Mit einer ethischen Matrix (Payne, 2019) tragen die Kinder zusammen, wer an einem Produkt interessiert ist – etwa an einem Pfannkuchenrezept oder einer Faltanleitung – und welche Werte den einzelnen Beteiligten wichtig sind. Mit Holzwürfeln gewichten sie die Felder, sodass ein Würfelgebäude entsteht, das sie beschreiben und verändern. Beim Versuch, das „Rezept“ zu verbessern, stellen die Kinder fest, dass eine Verbesserung für die einen eine Verschlechterung für andere bedeuten kann. In der Reflexion wird die Matrix auf reale Systeme wie Suchmaschinen oder Chatbots übertragen: Wessen Werte wurden berücksichtigt? '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:KI-Baustein-2_Ethische-Matrix.pdf Baustein-Beschreibung], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Druckvorlage_KI-Baustein-2_Ethische-Matrix.pdf Vorlage Ethische Matrix], Holzwürfel (Kantenlänge 2 cm) === Sprachmodelle (LLM) === ==== LLM-Baustein 1: Bigram-Modell ==== Wie erzeugt ein Sprachmodell Text? Die Kinder bauen ein einfaches Modell selbst: Sie zählen in der kurzen Geschichte „Die neugierige Raupe“, welche Wörter am Satzanfang stehen und welche darauf folgen, und halten die Häufigkeiten in Tabellen fest. Die Geschichte ist so geschrieben, dass sich passende Zufallsgeneratoren ergeben: ein Dodekaeder für die zwölf Satzanfänge, ein Tetraeder, eine Münze und ein Würfel für das jeweils zweite Wort. Damit „würfeln“ die Kinder den Anfang neuer Sätze und untersuchen dabei auch die platonischen Körper. Die App BIGRAM übernimmt das anschließend für ganze Sätze. Die entstehenden Texte klingen oft holprig, und Wörter, die nicht in der Geschichte vorkommen, kann das Modell nicht verarbeiten. So wird verständlich, warum KI-Chatbots als „stochastische Papageien“ bezeichnet werden (Bender et al., 2021) und warum man ihre Antworten überprüfen sollte. '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:LLM-Baustein-1_Bigram.pdf Baustein-Beschreibung], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:AB-LLM-Baustein-1_Bigram.pdf Arbeitsblatt], Zufallsgeneratoren (z. B. platonische Körper), [https://melanie-platz.com/Bigram/ App BIGRAM] ==== LLM-Baustein 2: Papier-GPT ==== Ohne Computer simulieren die Kinder, wie ein Sprachmodell einen Text fortsetzt. Eine Tabelle mit dem Satzanfang „Die Raupe war“ wandert von Gruppe zu Gruppe. Jede Gruppe sieht nur die letzten drei Wörter, schlägt zwei mögliche Fortsetzungen vor und lässt ein Wendeplättchen entscheiden, welches Wort übernommen wird. Am Ende wird der ganze Satz aufgefaltet und vorgelesen. Die Kinder lernen dabei zentrale Ideen von Sprachmodellen kennen: einen begrenzten Kontext und das zufällige Auswählen des nächsten Wortes. In der Reflexion vergleichen sie das Ergebnis mit dem Bigram-Modell und überlegen, welches Wissen ihnen selbst beim Finden passender Wörter geholfen hat. '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:LLM-Baustein-2_Papier-GPT.pdf Baustein-Beschreibung], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Druckvorlage_LLM-Baustein-2_Papier-GPT.pdf Druckvorlage Papier-GPT], Wendeplättchen ==== LLM-Baustein 3: Fermi-Aufgabe zur Menge der Trainingsdaten ==== Warum schreiben große Sprachmodelle so viel bessere Texte als das selbst gebaute Bigram-Modell? Ein Grund ist die riesige Menge an Texten, aus denen sie lernen: Für GPT-3 wurden rund 45 Terabyte Rohtext gesammelt (Brown et al., 2020). In einer Fermi-Aufgabe machen die Kinder diese Menge greifbar: Wie hoch wäre ein Papierstapel, wenn man die Geschichte „Die neugierige Raupe“ so oft ausdruckt, bis 45 Terabyte erreicht sind? Höher als der Mount Everest? Dafür ermitteln sie Dateigrößen, rechnen Einheiten um, überschlagen mit großen Zahlen und prüfen ihr Ergebnis auf Plausibilität. Die Reflexion führt zu Fragen des Urheberrechts – Darf eine KI deine Geschichte ohne Erlaubnis nutzen? – und dazu, warum man den Antworten einer KI nicht blind vertrauen sollte. '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:LLM-Baustein-3_Fermi-Aufgabe.pdf Baustein-Beschreibung], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Datei_LLM-Baustein-3_Neugierige-Raupe.pdf Textdatei der Geschichte] (zum Ermitteln der Dateigröße), ggf. zehn Ausdrucke auf 80-g-Papier == Material für Kinder == '''Internetseiten und Videos''' * fragFINN: [https://reporter.fragfinn.de/kuenstliche-intelligenz/ Was ist KI?] – mit dem Video „Toni entdeckt KI“ und weiterführenden Links, z. B. zu Internet-ABC, kindersache.de und Team Timster; zum Thema [https://reporter.fragfinn.de/tag/deep-fakes/ Deepfakes] * Team Timster (KiKA): [https://www.kika.de/team-timster/extras/was-ist-kuenstliche-intelligenz-104 Was ist künstliche Intelligenz?] * [https://www.scroller.de Scroller] – das Medienmagazin für Kinder * KIsu – kinderleicht KI-basiert suchen und finden: [https://kisu.cs.uni-saarland.de/clever/ Clever suchen] * Chatbot „Auxie“ auf [https://www.religionen-entdecken.de religionen-entdecken.de] '''Bücher''' * Freudenberg, J. & Feldmann, M. (2025). ''WAS IST WAS Naturwissenschaften easy! Schlau, schlauer, KI? Künstliche Intelligenz erleben''. Tessloff. * Zahn, A. & Hesse, L. (2023). ''Was ist künstliche Intelligenz?'' Beltz. == Weitere Angebote für Lehrkräfte == * Projekt [https://kisu.cs.uni-saarland.de KIsu] (Universität des Saarlandes): Material und Workshops zum Lernen über KI und Suchmaschinen in der Grundschule * Heftreihe ''KI kinderleicht?!'' (Westermann, 2026), Teile 1 bis 4: Wie KI-Systeme funktionieren; KI als Werkzeug im Unterricht; KI-Systeme für den Unterricht; KI in der Gesellschaft * ''Grundschule aktuell'', Heft 170 (Mai 2025): Zur Diskussion – KI in der Grundschule * Bob Blume: [https://bobblume.de/2023/03/25/unterricht-chatgpt-als-interaktiver-lernpartner/ ChatGPT als interaktiver Lernpartner] == Literatur == '''Zu den Lernbausteinen''' * Platz, M. (2025). KI, Internetsuche und algorithmische Verzerrung. ''Mathematik differenziert'', 4/2025, 22–31. * Platz, M. (2025). Algorithmen, ethische Matrizen und Würfelbauwerke. In L. Schick, M. Platz & A. Lambert (Hrsg.), ''Beiträge zum Mathematikunterricht 2025'' (S. 357–360). WTM. * Platz, M. (2026). Entwicklung einer Lernumgebung zu Maschinellem Lernen und algorithmischer Verzerrung für den Mathematikunterricht der Primarstufe. ''mathematica didactica'', 49, 1–22. * Platz, M. (im Druck). Computational Thinking fördern: Machine Learning im Mathematikunterricht der Grundschule. ''Beiträge zum Mathematikunterricht 2026''. WTM. * Platz, M. & Plote, C. (2025). KI und Ethik im Klassenzimmer. ''Mitteilungen der GDM'', 118, 6–13. [https://ojs.didaktik-der-mathematik.de/index.php/mgdm/article/view/1278/1423 Online] * Platz, M. & Schick, L. (2025). Lernen über LLMs im Mathematikunterricht der Primarstufe. In L. Schick, M. Platz & A. Lambert (Hrsg.), ''Beiträge zum Mathematikunterricht 2025'' (S. 231–234). WTM. * Platz, M. & Schorcht, S. (2026). Wie funktionieren große Sprachmodelle? In ''KI kinderleicht?! Spezial, Teil 1: Wie KI-Systeme funktionieren'' (S. 3–5). Westermann. * Platz, M., Schorcht, S. & Frischemeier, D. (2025). Lernen mit und über KI: Wie funktionieren LLMs und welche Prompt-Techniken gibt es? In M. Platz, S. Schorcht & D. Frischemeier (Hrsg.), ''Künstliche Intelligenz in der Primarstufe'' (S. 109–130). WTM. '''Search Engine Literacy''' * Platz, M. (2022). Search Engine Literacy – mehr als Kompetenzen zum Recherchieren mit Suchmaschinen. In T. Irion, M. Peschel & D. Schmeinck (Hrsg.), ''Grundschule und Digitalität'' (S. 298–307). Grundschulverband. * Platz, M., Klan, F. & Decker, A. (2022). Developing and promoting search engine literacy in primary education. In ''Proceedings of the 3rd International Symposium on Open Search Technology''. CERN. * Platz, M., Bierbrauer, C. & Müller, L. M. (2023). Förderung von Search Engine Literacy im Mathematikunterricht der Grundschule. In F. Dilling, D. Thurm & I. Witzke (Hrsg.), ''Digitaler Mathematikunterricht in Forschung und Praxis'' (S. 181–190). WTM. * Platz, M., Decker, A. & Plote, C. (2023). Förderung eines verständigen Umgangs mit Suchmaschinen im Elementarbereich. In M. R. Textor & A. Bostelmann (Hrsg.), ''Das Kita-Handbuch''. '''Weitere zitierte Quellen''' * Bender, E. M., Gebru, T., McMillan-Major, A. & Shmitchell, S. (2021). On the dangers of stochastic parrots: Can language models be too big? In ''Proceedings of the 2021 ACM Conference on Fairness, Accountability, and Transparency'' (S. 610–623). * Brown, T. B., Mann, B., Ryder, N. et al. (2020). Language models are few-shot learners. ''Advances in Neural Information Processing Systems'', 33, 1877–1901. * Helmerich, M. & Lengnink, K. (2016). ''Einführung Mathematik Primarstufe – Geometrie''. Springer. * Lienhart, J. (2026). KI geht zur Schule. In ''KI kinderleicht?! Spezial, Teil 4: KI in der Gesellschaft'' (S. 8–9). Westermann. * Miao, F. & Shiohira, K. (2024). ''AI competency framework for students''. UNESCO. * Mullarkey, M. T. & Hevner, A. R. (2019). An elaborated action design research process model. ''European Journal of Information Systems'', 28(1), 6–20. * Müller, G. N. & Wittmann, E. C. (1984). ''Der Mathematikunterricht in der Primarstufe''. Vieweg. * Payne, B. H. (2019). ''An Ethics of Artificial Intelligence Curriculum for Middle School Students''. MIT Media Lab. * Schorcht, S. (2026). Prompt-Techniken. In ''KI kinderleicht?! Spezial, Teil 2: KI als Werkzeug im Unterricht'' (S. 10–11). Westermann. * Searle, J. R. (1980). Minds, brains, and programs. ''Behavioral and Brain Sciences'', 3(3), 417–424. == Lizenz und Rückmeldung == Die Lernbausteine stehen unter der Lizenz [https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.de CC BY-SA 4.0]. Sie dürfen kopiert, verändert und weitergegeben werden, wenn die Urheberin genannt wird und Bearbeitungen unter derselben Lizenz stehen. Alle Abbildungen in den Dateien sind eigene Darstellungen. Verlinkte externe Angebote (z. B. Machine Learning for Kids, Infografiken der Open Search Foundation) unterliegen ihren eigenen Nutzungsbedingungen. Namensnennung: ''Lernbausteine KI'' von Melanie Platz, Universität des Saarlandes, Professur für Didaktik der Primarstufe – Schwerpunkt Mathematik, lizenziert unter CC BY-SA 4.0. Rückmeldungen, Erfahrungen aus dem Einsatz und Verbesserungsvorschläge sind willkommen – gern auf der Diskussionsseite. p9dlcqfkxwvqkz7sglwtdw56woj4ax0 1119120 1119119 2026-11-08T15:29:11Z Platzm 21125 /* Hinweise zur Nutzung */ 1119120 wikitext text/x-wiki =Lernbausteine zum Lernen über KI in KITA und Grundschule= Diese Seite stellt '''Lernbausteine zu Künstlicher Intelligenz (KI), Suchmaschinen und Sprachmodellen''' in zwei Reihen bereit: '''ab Kita''' (auch in den Klassen 1 und 2 einsetzbar) und '''ab Klasse 3/4'''. Die Bausteine wurden an der Professur für Didaktik der Primarstufe – Schwerpunkt Mathematik der Universität des Saarlandes entwickelt und mit Grundschulkindern erprobt. == Worum es geht == Kinder begegnen KI-Systemen früh: Sie stellen Sprachassistenten Fragen, sehen Vorschläge auf Videoplattformen und nutzen Suchmaschinen. Wie diese Systeme funktionieren, bleibt ihnen meist verborgen. Die Lernbausteine setzen hier an. Ihr Grundgedanke ist, dass Kinder die Funktionsweise von KI-Systemen mit Mathematik erschließen können, die sie ohnehin lernen: Sie zählen Häufigkeiten, ordnen und sortieren, vergleichen Daten, würfeln mit Zufallsgeneratoren und rechnen mit großen Zahlen. So wird nachvollziehbar, wie ein Sprachmodell das nächste Wort wählt, warum eine Suchmaschine Ergebnisse in eine bestimmte Reihenfolge bringt oder weshalb eine KI mit einseitigen Trainingsdaten unfair entscheidet. Die meisten Bausteine kommen ohne Computer aus (''Informatik unplugged''). Die Kinder handeln selbst: Sie falten, sortieren, würfeln, spielen einen Roboter oder trainieren einen einfachen Bildklassifizierer. Jeder Baustein endet mit einer Reflexion, in der das Erlebte auf reale Systeme wie Suchmaschinen oder KI-Chatbots übertragen wird. Dabei geht es nicht nur um Technik, sondern auch um Fragen wie: Wer entscheidet, was eine Suchmaschine zuerst anzeigt? Ist es fair, wenn ein Algorithmus geheim bleibt? Versteht ein Chatbot, was er schreibt? Damit bieten die Reflexionen auch Anknüpfungspunkte für Sachunterricht, Deutsch und Ethik. Ein durchgängiges Ziel ist, der Vermenschlichung von KI entgegenzuwirken: Die Kinder erfahren, dass KI-Systeme Regeln und Wahrscheinlichkeiten folgen, ohne zu verstehen, was sie tun. == Aufbau == Die Bausteine sind in zwei Reihen gegliedert: * '''Ab Kita''' (auch in den Klassen 1 und 2): sechs Bausteine – zwei Basis-Bausteine zu Algorithmen und Sortieralgorithmen sowie vier Bausteine zu regelbasierten Systemen, Sortieren nach Merkmalen, maschinellem Lernen und Sprachmodellen. * '''Ab Klasse 3/4:''' acht Bausteine in drei Strängen – Suchmaschinen, Künstliche Intelligenz und Sprachmodelle (LLM). Alle Bausteine sind gleich aufgebaut: ''Darum geht es'', Bezüge zu Mathematik und Informatik, Material, Durchführung, Reflexion und Literatur. Arbeitsblätter (AB), Anleitungen und Druckvorlagen liegen als eigene Dateien bei. {| class="wikitable" ! Baustein !! Kernidee !! Mathematik |- ! colspan="3" | Ab Kita (auch Klasse 1/2) |- | Basis-Baustein 1: NIM-Spiel || Eine Gewinnstrategie ist ein Algorithmus || Problemlösen, Zahlenreihe bis 10 |- | Basis-Baustein 2: Bubble Sort || Sortieralgorithmen und Ranking || Längen vergleichen, ordnen |- | KITA-Baustein 1: Chinesisches Zimmer || Eine Maschine folgt Regeln, ohne zu verstehen || Zuordnen, Würfelbilder erkennen |- | KITA-Baustein 2: Sortieren || Es gibt mehrere „richtige“ Sortierungen || Klassifizieren nach Merkmalen |- | KITA-Baustein 3: Machine Learning || Einseitige Trainingsdaten führen zu Fehlern || Mengen erfassen und vergleichen |- | KITA-Baustein 4: Sprachmodell || Wörter werden per Zufall ausgewählt || Münzwurf, Gleichwahrscheinlichkeit |- ! colspan="3" | Ab Klasse 3/4 |- | SE-Baustein 1: Algorithmus || Eingabe – Verarbeitung – Ausgabe || Geometrie: Falten |- | SE-Baustein 2: Ranking || Wer entscheidet, was oben steht? || Daten erheben, Häufigkeitstabelle |- | SE-Baustein 3: „Besser“ suchen || Datensatz – Lernalgorithmus – Vorhersage || Häufigkeiten und Vorhersage |- | KI-Baustein 1: Machine Learning || Algorithmische Verzerrung (Bias) || Ebene Figuren klassifizieren, Daten |- | KI-Baustein 2: Ethische Matrizen || Algorithmen betreffen viele Interessen || Würfelgebäude, Diagramme |- | LLM-Baustein 1: Bigram-Modell || Häufigkeit bestimmt Wahrscheinlichkeit || Häufigkeiten, platonische Körper |- | LLM-Baustein 2: Papier-GPT || Kontext und Zufall beim Textgenerieren || Zufallsexperiment, Laplace-Experiment |- | LLM-Baustein 3: Fermi-Aufgabe || Die Menge der Trainingsdaten || Große Zahlen, Größen umrechnen |} == Didaktischer Hintergrund == Die Lernbausteine wurden im Sinne fachdidaktischer Entwicklungsforschung entwickelt: Problemformulierung, Entwicklung, Erprobung, Evaluation und Reflexion werden in mehreren Zyklen durchlaufen (Mullarkey & Hevner, 2019). Sie orientieren sich an drei Rahmenmodellen. '''KI-Kompetenzrahmen der UNESCO.''' Der ''AI competency framework for students'' (Miao & Shiohira, 2024; deutsche Übersetzung bei Platz & Plote, 2025) beschreibt vier Kompetenzaspekte – menschenzentrierte Denkweise, Ethik der KI, KI-Techniken und -Anwendungen sowie KI-System-Design – auf den drei Stufen Verstehen, Anwenden und Erstellen. Die Lernbausteine setzen überwiegend auf der Stufe ''Verstehen'' an. Das NIM-Spiel etwa thematisiert, dass Menschen hinter Algorithmen stehen und über deren Offenlegung entscheiden; die KI-Bausteine verbinden KI-Grundlagen mit ethischen Fragen. '''Lernen über Sprachmodelle (LLMs).''' In Anlehnung an Platz, Schorcht & Frischemeier (2025) werden drei Wissensbereiche unterschieden: * ''Konzeptuelles Wissen:'' LLMs sind Wahrscheinlichkeitsmaschinen; Training und Trainingsdaten prägen die Ausgabe. * ''Kritisch-reflexives Wissen:'' Ausgaben prüfen und bewerten; Chancen und Risiken benennen. * ''Handlungswissen:'' Prompts zielgerichtet formulieren; KI als Werkzeug verantwortungsvoll nutzen. Die Lernbausteine zielen vor allem auf konzeptuelles und kritisch-reflexives Wissen: Zufall und Wahrscheinlichkeit beim Erzeugen von Text (KITA-Baustein 4, LLM-Bausteine 1 und 2), die Rolle der Trainingsdaten (KITA-Bausteine 2 und 3, LLM-Baustein 3) und die Frage, ob eine Maschine versteht, was sie tut (KITA-Baustein 1). '''Search Engine Literacy.''' Kompetenzen im Umgang mit Suchmaschinen gehen über das Recherchieren hinaus (Platz, 2022; Platz, Klan & Decker, 2022; Platz, Decker & Plote, 2023). Unterschieden werden drei Ebenen: die ''Abbildungsebene'' (Suche und Suchindex als Grundlage, gezielte Suchbegriffe), die ''Algorithmenebene'' (Crawling, Index, Ranking und Filter verstehen) und die ''Bewertungsebene'' (Filterblasen, Verzerrungen in Suchergebnissen, Datenschutz, kritischer Umgang). Basis-Baustein 2 (Bubble Sort) und die Suchmaschinen-Bausteine 1 bis 3 setzen auf der Algorithmen- und der Bewertungsebene an. == Hinweise zur Nutzung == Die Bausteine lassen sich einzeln einsetzen, bauen aber teilweise aufeinander auf. Sinnvoll sind folgende Abfolgen: * '''Ab Kita:''' Die Basis-Bausteine (NIM-Spiel, Bubble Sort) führen in Algorithmen ein und eignen sich als Einstieg. KITA-Baustein 2 (Sortieren) vor KITA-Baustein 3 (Machine Learning), da dieselben Bildkarten genutzt werden; KITA-Baustein 4 erzählt die Raupengeschichte aus Baustein 2 weiter. Baustein 1 (Chinesisches Zimmer) und Baustein 4 (Sprachmodell) ergänzen sich in der Frage, ob eine Maschine versteht, was sie tut. * '''Ab Klasse 3/4:''' Der Algorithmusbegriff aus SE-Baustein 1 bildet die Grundlage für die übrigen Bausteine; auch die Bausteine ab Kita, besonders das NIM-Spiel, eignen sich hier als Einstieg. Die Suchmaschinen-Bausteine 1 bis 3 und die LLM-Bausteine 1 bis 3 sind jeweils als Reihe gedacht. KI-Baustein 2 greift die Faltanleitungen aus SE-Baustein 2 und das Pfannkuchenrezept aus SE-Baustein 1 auf. Für die Durchführung sind keine Programmierkenntnisse nötig. Zwei digitale Anwendungen werden genutzt: * ''[https://machinelearningforkids.co.uk Machine Learning for Kids]'' (KITA-Baustein 3, KI-Baustein 1): kostenfrei; ohne Benutzerkonto nutzbar, wenn die Projekte auf demselben Gerät angelegt werden. Sollen vorbereitete Projekte mit den Kindern geteilt werden, ist ein Lehrkraft-Konto nötig (siehe Anleitungen). * ''[https://melanie-platz.com/bigram/ BIGRAM]'' (LLM-Baustein 1): kostenfrei; eine eigens entwickelte App, die die Geschichte „Die neugierige Raupe“ auswertet und weitererzählt. == Lernbausteine ab Kita == Die Bausteine wurden für die Kita entwickelt und lassen sich auch in den Klassen 1 und 2 einsetzen. === Basis-Baustein 1: NIM-Spiel und Algorithmen === Zwei Kinder legen abwechselnd ein oder zwei Plättchen auf einen Spielplan mit zehn Feldern; wer das zehnte Feld belegt, gewinnt (elementare Variante von NIM nach Müller & Wittmann, 1984). Schnell wird klar: Das ist kein Glücksspiel. Die Kinder stellen Vermutungen über Gewinnstrategien auf, probieren sie aus und entdecken dabei schrittweise „Gewinnfelder“. Eine solche Gewinnstrategie ist ein Algorithmus – eine eindeutige, ausführbare Abfolge von Schritten. Operative Veränderungen vertiefen die Erkundung: Was ändert sich, wenn man bis zu drei Plättchen legen darf, wenn der Spielplan bis 12 geht oder wenn verliert, wer das letzte Feld belegt? In der Reflexion wird der Bogen zu den unsichtbaren Algorithmen digitaler Plattformen geschlagen: Ist es fair, wenn nur einer die Strategie kennt? Und wer sollte entscheiden dürfen, ob ein Algorithmus geheim bleibt? '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Basis-Baustein-1_NIM-Spiel.pdf Baustein-Beschreibung], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Druckvorlage_Basis-Baustein-1_NIM-Spiel.pdf Spielplan], blaue und rote Plättchen === Basis-Baustein 2: Bubble Sort und Ranking von Suchmaschinen === Die Kinder werden selbst zum Sortieralgorithmus: Jedes Kind hält einen Stab und stellt sich auf eine Linie. Nach einer festen Regel vergleichen jeweils zwei Nachbarn ihre Stäbe und tauschen bei Bedarf die Plätze, bis alle der Länge nach geordnet sind. Durch Wiederholen mit anderen Startpositionen überzeugen sie sich davon, dass das Verfahren immer funktioniert. Als Erweiterung kann nach einem Kriterium sortiert werden, das die Kinder nicht kennen – so wie Suchmaschinen ihre Ergebnisse nach Kriterien ordnen, die nicht offenliegen. Die Kinder stellen Vermutungen über das Sortierkriterium an und kommen so ins Gespräch über Popularität und Personalisierung beim Ranking: Wie wurde sortiert? Ist es fair, wenn du nicht weißt, wie sortiert wurde? '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Basis-Baustein-2_Bubble-Sort.pdf Baustein-Beschreibung], verschieden lange Stäbe (z. B. Cuisenaire-Stäbe), Klebeband für eine Bodenmarkierung === KITA-Baustein 1: Chinesisches Zimmer === Ein Kind sitzt in einem selbst gebastelten Karton-Roboter. Durch einen Schlitz bekommt es Würfelbilder hineingereicht und gibt mithilfe eines Regelbuchs die passende Schmetterlingskarte heraus – ohne zu wissen, wozu. Das Spiel greift das Gedankenexperiment des „Chinesischen Zimmers“ von John R. Searle (1980) auf: Von außen wirkt die Antwort passend, obwohl drinnen niemand versteht, worum es geht. Die Idee, das Gedankenexperiment mit Kindern nachzuspielen, stammt von Lienhart (2026); der Baustein überträgt sie mit Würfelbildern und Schmetterlingen auf die frühe Bildung. Die Kinder üben dabei Zuordnung und das Erkennen von Würfelbildern und erleben das Prinzip Eingabe – Verarbeitung – Ausgabe. In der Reflexion sprechen sie darüber, wie es sich anfühlt, nur nach Regeln zu antworten, und ob ein Roboter – oder eine KI – wirklich nachdenkt oder fühlt. Der Baustein wirkt so der Vermenschlichung von KI entgegen. '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:KITA-Baustein-1_Chinesisches-Zimmer.pdf Baustein-Beschreibung], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Druckvorlage_KITA-Baustein-1_Chinesisches-Zimmer_Regelbuch.pdf Regelbuch], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Druckvorlage_KITA-Baustein-1_Chinesisches-Zimmer_Bildkarten.pdf Bildkarten], Karton und Bastelmaterial === KITA-Baustein 2: Sortieren === Nach der Geschichte „Sieben kleine Raupen“ sind Bildkarten mit Raupen, Puppen und Schmetterlingen in sieben Farben „durcheinandergeraten“ und sollen wieder sortiert werden. Ob nach Farbe, nach Entwicklungsstadium oder nach einem anderen Merkmal – die Kinder entscheiden selbst und begründen ihre Sortierung. Im Vergleich der Ergebnisse zeigt sich, dass es nicht nur eine richtige Lösung gibt und dass dieselbe Karte zu mehreren Gruppen passen kann. Damit machen die Kinder grundlegende Erfahrungen mit Klassifizieren und Kategorisieren. Zugleich bahnt der Baustein eine Idee des maschinellen Lernens an: Auch KI-Systeme gruppieren Daten nach Ähnlichkeiten – ohne zu verstehen, was sie bedeuten. '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:KITA-Baustein-2_Sortieren.pdf Baustein-Beschreibung], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Druckvorlage_KITA-Baustein-2_Sortieren.pdf Bildkarten] (möglichst ein Set pro Kind) === KITA-Baustein 3: Machine Learning und algorithmische Verzerrung === Die Fachkraft oder Lehrkraft zeigt einen Bildklassifizierer, der Raupen von Schmetterlingen und Puppen unterscheiden soll – und der bewusst „unfair“ trainiert wurde: Von den Raupen kennt er nur zwei sehr ähnliche Bilder. Gemeinsam untersuchen die Kinder, wo der Klassifizierer Fehler macht, und erkennen, dass es an den Trainingsdaten liegt. Mit den Bildkarten aus Baustein 2 verbessern sie das System, indem sie weitere Beispiele einlesen. In der Reflexion geht es um Verantwortung: Wer sorgt dafür, dass eine KI faire Daten bekommt? Und wo können solche Fehler für Menschen schlimme Folgen haben – etwa bei Gesichtserkennung oder bei der Auswahl von Bewerbungen? '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:KITA-Baustein-3_ML.pdf Baustein-Beschreibung], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Anleitung_KITA-Baustein-3_ML.pdf Anleitung zu Machine Learning for Kids], Tablet oder Laptop mit Kamera und Internetzugang, === KITA-Baustein 4: Sprachmodell === Gemeinsam erzählen die Kinder die Geschichte der Raupen weiter – wie ein Sprachmodell, Wort für Wort. Zum Satzanfang „Die Raupe war“ schlagen sie zwei mögliche nächste Wörter vor, eine Münze entscheidet, welches genommen wird. Die Fachkraft oder Lehrkraft schreibt mit und liest die entstandene Geschichte am Ende vor. Die Kinder erleben so, dass Sprachmodelle Wörter mit Zufall auswählen und dass eine Münze nicht „weiß“, was die Geschichte erzählen soll. In der Reflexion wird deutlich, was Menschen beim Weitererzählen einbringen und eine Maschine nicht: Wissen über die Welt und darüber, worum es in einer Geschichte geht. Der Baustein knüpft an das Chinesische Zimmer an. '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:KITA-Baustein-4_LLM.pdf Baustein-Beschreibung], Münze == Lernbausteine ab Klasse 3/4 == === Suchmaschinen === ==== SE-Baustein 1: Algorithmus ==== Was ist eigentlich ein Algorithmus? Die Kinder erarbeiten eine kindgerechte Definition und prüfen an Beispielen aus dem Alltag, ob es sich um einen Algorithmus handelt. Dann falten sie ein quadratisches Papier nach einer Faltanleitung (Idee nach Helmerich & Lengnink, 2016) und entdecken dabei Dreiecke, Diagonalen und Mittelpunkt. Die Faltanleitung erweist sich als Algorithmus mit Eingabe (Papier), Verarbeitungsschritten und Ausgabe (Faltprodukt). Auch eine Suchmaschine arbeitet nach diesem Prinzip – mit der Suchanfrage als Eingabe und der Trefferliste als Ausgabe. Der entscheidende Unterschied, den die Reflexion herausarbeitet: Die Faltanleitung ist nachvollziehbar, der Algorithmus einer Suchmaschine nicht. '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:SE-Baustein-1_Algorithmus.pdf Baustein-Beschreibung], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:AB-SE-Baustein-1_Algorithmus.pdf Arbeitsblatt Algorithmus], quadratisches Faltpapier, [https://opensearchfoundation.org/wp-content/uploads/2022/10/So-funktioniert-die-Internetsuche.pdf Infografik „So funktioniert die Internetsuche“ der Open Search Foundation] ==== SE-Baustein 2: Ranking ==== Wer entscheidet, was bei einer Suche oben steht? Die Kinder vergleichen drei Faltanleitungen für dasselbe Objekt auf drei erfundenen Webseiten, darunter eine mit Werbung. Zuerst erstellen sie ein eigenes Ranking (Personalisierung), dann ermitteln sie per Befragung und Häufigkeitstabelle das beliebteste Ergebnis der Klasse (Popularität). Was passiert, wenn die „Suchmaschine“ trotzdem die Anleitung mit Werbung auf Platz 1 setzt? Die Diskussion führt zu wirtschaftlichen Interessen und zu der Erkenntnis, dass Ranking-Algorithmen nicht neutral sind. Zum Schluss verbessern die Kinder selbst eine Anleitung nach einem Ziel, das sie festlegen, und begründen ihre Entscheidung: Menschen bestimmen, welche Ziele ein Algorithmus verfolgt. '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:SE-Baustein-2_Ranking.pdf Baustein-Beschreibung], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Druckvorlage-SE-Baustein-2_Ranking.pdf Druckvorlage Faltanleitungen], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:AB-SE-Baustein-2_Ranking.pdf Arbeitsblatt „Faltanleitungen ergänzen und verbessern“] <!-- DATEI: SE-Baustein-2_Ranking.pdf | Druckvorlage-SE-Baustein-2_Ranking.pdf | AB-SE-Baustein-2_Ranking.pdf --> ==== SE-Baustein 3: „Besser“ suchen ==== Suchmaschinen sind KI-Systeme, die aus einem Datensatz, einem Lernalgorithmus und einer Vorhersage bestehen. Am Beispiel der Autovervollständigung, die häufige frühere Suchanfragen vorschlägt, und des Rankings untersuchen die Kinder, wie diese Bestandteile zusammenwirken – und warum unfaire Daten zu verzerrten Ergebnissen führen können. Darauf aufbauend lernen sie Tipps für eine bewusstere Internetsuche kennen, etwa gezielte Suchbegriffe, ein kritischer Blick auf die ersten Treffer und alternative Suchmaschinen. Die Reflexion öffnet zudem die Frage, wem die Inhalte gehören, die eine Suchmaschine anzeigt. '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:SE-Baustein-3_besser_Suchen.pdf Baustein-Beschreibung], digitales Gerät zur Demonstration einer Suchmaschine, ggf. [https://opensearchfoundation.org/wp-content/uploads/2022/10/Kinder-Tipps-Internetsuche.pdf Suchtipps der Open Search Foundation] === Künstliche Intelligenz === ==== KI-Baustein 1: Machine Learning und algorithmische Verzerrung ==== Die Kinder untersuchen einen Bildklassifizierer, der Dreiecke und Vierecke unterscheiden soll. Er wurde bewusst „unfair“ trainiert: Die Vierecke im Trainingsdatensatz sind nur Rechtecke in derselben Lage, die Dreiecke dagegen vielfältig. Die Kinder finden heraus, warum der Klassifizierer bei Vierecken häufiger irrt, und verbessern ihn in Kleingruppen, indem sie selbst gezeichnete Figuren als neue Trainingsdaten hinzufügen. Dabei klassifizieren sie ebene Figuren nach ihren Eigenschaften und werten Daten aus. Die Reflexion verbindet das Experiment mit realen Fällen algorithmischer Verzerrung, etwa bei Gesichtserkennung oder Bewerbungsverfahren, und mit der Einsicht, dass Menschen über die Daten und Ziele von KI-Systemen entscheiden. '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:KI-Baustein-1_ML.pdf Baustein-Beschreibung], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:AB_KI-Baustein-1_ML.pdf Arbeitsblatt], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Infoseite_KI-Baustein-1_ML.pdf Infoseite zur Bedienung von Machine Learning for Kids], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Anleitung_KI-Baustein-1_ML.pdf Anleitung zu Machine Learning for Kids für Lehrpersonen], Tablets mit Stift und Internetzugang ==== KI-Baustein 2: Ethische Matrizen ==== Wenn ein Algorithmus verändert wird, wer profitiert und wer nicht? Mit einer ethischen Matrix (Payne, 2019) tragen die Kinder zusammen, wer an einem Produkt interessiert ist – etwa an einem Pfannkuchenrezept oder einer Faltanleitung – und welche Werte den einzelnen Beteiligten wichtig sind. Mit Holzwürfeln gewichten sie die Felder, sodass ein Würfelgebäude entsteht, das sie beschreiben und verändern. Beim Versuch, das „Rezept“ zu verbessern, stellen die Kinder fest, dass eine Verbesserung für die einen eine Verschlechterung für andere bedeuten kann. In der Reflexion wird die Matrix auf reale Systeme wie Suchmaschinen oder Chatbots übertragen: Wessen Werte wurden berücksichtigt? '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:KI-Baustein-2_Ethische-Matrix.pdf Baustein-Beschreibung], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Druckvorlage_KI-Baustein-2_Ethische-Matrix.pdf Vorlage Ethische Matrix], Holzwürfel (Kantenlänge 2 cm) === Sprachmodelle (LLM) === ==== LLM-Baustein 1: Bigram-Modell ==== Wie erzeugt ein Sprachmodell Text? Die Kinder bauen ein einfaches Modell selbst: Sie zählen in der kurzen Geschichte „Die neugierige Raupe“, welche Wörter am Satzanfang stehen und welche darauf folgen, und halten die Häufigkeiten in Tabellen fest. Die Geschichte ist so geschrieben, dass sich passende Zufallsgeneratoren ergeben: ein Dodekaeder für die zwölf Satzanfänge, ein Tetraeder, eine Münze und ein Würfel für das jeweils zweite Wort. Damit „würfeln“ die Kinder den Anfang neuer Sätze und untersuchen dabei auch die platonischen Körper. Die App BIGRAM übernimmt das anschließend für ganze Sätze. Die entstehenden Texte klingen oft holprig, und Wörter, die nicht in der Geschichte vorkommen, kann das Modell nicht verarbeiten. So wird verständlich, warum KI-Chatbots als „stochastische Papageien“ bezeichnet werden (Bender et al., 2021) und warum man ihre Antworten überprüfen sollte. '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:LLM-Baustein-1_Bigram.pdf Baustein-Beschreibung], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:AB-LLM-Baustein-1_Bigram.pdf Arbeitsblatt], Zufallsgeneratoren (z. B. platonische Körper), [https://melanie-platz.com/Bigram/ App BIGRAM] ==== LLM-Baustein 2: Papier-GPT ==== Ohne Computer simulieren die Kinder, wie ein Sprachmodell einen Text fortsetzt. Eine Tabelle mit dem Satzanfang „Die Raupe war“ wandert von Gruppe zu Gruppe. Jede Gruppe sieht nur die letzten drei Wörter, schlägt zwei mögliche Fortsetzungen vor und lässt ein Wendeplättchen entscheiden, welches Wort übernommen wird. Am Ende wird der ganze Satz aufgefaltet und vorgelesen. Die Kinder lernen dabei zentrale Ideen von Sprachmodellen kennen: einen begrenzten Kontext und das zufällige Auswählen des nächsten Wortes. In der Reflexion vergleichen sie das Ergebnis mit dem Bigram-Modell und überlegen, welches Wissen ihnen selbst beim Finden passender Wörter geholfen hat. '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:LLM-Baustein-2_Papier-GPT.pdf Baustein-Beschreibung], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Druckvorlage_LLM-Baustein-2_Papier-GPT.pdf Druckvorlage Papier-GPT], Wendeplättchen ==== LLM-Baustein 3: Fermi-Aufgabe zur Menge der Trainingsdaten ==== Warum schreiben große Sprachmodelle so viel bessere Texte als das selbst gebaute Bigram-Modell? Ein Grund ist die riesige Menge an Texten, aus denen sie lernen: Für GPT-3 wurden rund 45 Terabyte Rohtext gesammelt (Brown et al., 2020). In einer Fermi-Aufgabe machen die Kinder diese Menge greifbar: Wie hoch wäre ein Papierstapel, wenn man die Geschichte „Die neugierige Raupe“ so oft ausdruckt, bis 45 Terabyte erreicht sind? Höher als der Mount Everest? Dafür ermitteln sie Dateigrößen, rechnen Einheiten um, überschlagen mit großen Zahlen und prüfen ihr Ergebnis auf Plausibilität. Die Reflexion führt zu Fragen des Urheberrechts – Darf eine KI deine Geschichte ohne Erlaubnis nutzen? – und dazu, warum man den Antworten einer KI nicht blind vertrauen sollte. '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:LLM-Baustein-3_Fermi-Aufgabe.pdf Baustein-Beschreibung], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Datei_LLM-Baustein-3_Neugierige-Raupe.pdf Textdatei der Geschichte] (zum Ermitteln der Dateigröße), ggf. zehn Ausdrucke auf 80-g-Papier == Material für Kinder == '''Internetseiten und Videos''' * fragFINN: [https://reporter.fragfinn.de/kuenstliche-intelligenz/ Was ist KI?] – mit dem Video „Toni entdeckt KI“ und weiterführenden Links, z. B. zu Internet-ABC, kindersache.de und Team Timster; zum Thema [https://reporter.fragfinn.de/tag/deep-fakes/ Deepfakes] * Team Timster (KiKA): [https://www.kika.de/team-timster/extras/was-ist-kuenstliche-intelligenz-104 Was ist künstliche Intelligenz?] * [https://www.scroller.de Scroller] – das Medienmagazin für Kinder * KIsu – kinderleicht KI-basiert suchen und finden: [https://kisu.cs.uni-saarland.de/clever/ Clever suchen] * Chatbot „Auxie“ auf [https://www.religionen-entdecken.de religionen-entdecken.de] '''Bücher''' * Freudenberg, J. & Feldmann, M. (2025). ''WAS IST WAS Naturwissenschaften easy! Schlau, schlauer, KI? Künstliche Intelligenz erleben''. Tessloff. * Zahn, A. & Hesse, L. (2023). ''Was ist künstliche Intelligenz?'' Beltz. == Weitere Angebote für Lehrkräfte == * Projekt [https://kisu.cs.uni-saarland.de KIsu] (Universität des Saarlandes): Material und Workshops zum Lernen über KI und Suchmaschinen in der Grundschule * Heftreihe ''KI kinderleicht?!'' (Westermann, 2026), Teile 1 bis 4: Wie KI-Systeme funktionieren; KI als Werkzeug im Unterricht; KI-Systeme für den Unterricht; KI in der Gesellschaft * ''Grundschule aktuell'', Heft 170 (Mai 2025): Zur Diskussion – KI in der Grundschule * Bob Blume: [https://bobblume.de/2023/03/25/unterricht-chatgpt-als-interaktiver-lernpartner/ ChatGPT als interaktiver Lernpartner] == Literatur == '''Zu den Lernbausteinen''' * Platz, M. (2025). KI, Internetsuche und algorithmische Verzerrung. ''Mathematik differenziert'', 4/2025, 22–31. * Platz, M. (2025). Algorithmen, ethische Matrizen und Würfelbauwerke. In L. Schick, M. Platz & A. Lambert (Hrsg.), ''Beiträge zum Mathematikunterricht 2025'' (S. 357–360). WTM. * Platz, M. (2026). Entwicklung einer Lernumgebung zu Maschinellem Lernen und algorithmischer Verzerrung für den Mathematikunterricht der Primarstufe. ''mathematica didactica'', 49, 1–22. * Platz, M. (im Druck). Computational Thinking fördern: Machine Learning im Mathematikunterricht der Grundschule. ''Beiträge zum Mathematikunterricht 2026''. WTM. * Platz, M. & Plote, C. (2025). KI und Ethik im Klassenzimmer. ''Mitteilungen der GDM'', 118, 6–13. [https://ojs.didaktik-der-mathematik.de/index.php/mgdm/article/view/1278/1423 Online] * Platz, M. & Schick, L. (2025). Lernen über LLMs im Mathematikunterricht der Primarstufe. In L. Schick, M. Platz & A. Lambert (Hrsg.), ''Beiträge zum Mathematikunterricht 2025'' (S. 231–234). WTM. * Platz, M. & Schorcht, S. (2026). Wie funktionieren große Sprachmodelle? In ''KI kinderleicht?! Spezial, Teil 1: Wie KI-Systeme funktionieren'' (S. 3–5). Westermann. * Platz, M., Schorcht, S. & Frischemeier, D. (2025). Lernen mit und über KI: Wie funktionieren LLMs und welche Prompt-Techniken gibt es? In M. Platz, S. Schorcht & D. Frischemeier (Hrsg.), ''Künstliche Intelligenz in der Primarstufe'' (S. 109–130). WTM. '''Search Engine Literacy''' * Platz, M. (2022). Search Engine Literacy – mehr als Kompetenzen zum Recherchieren mit Suchmaschinen. In T. Irion, M. Peschel & D. Schmeinck (Hrsg.), ''Grundschule und Digitalität'' (S. 298–307). Grundschulverband. * Platz, M., Klan, F. & Decker, A. (2022). Developing and promoting search engine literacy in primary education. In ''Proceedings of the 3rd International Symposium on Open Search Technology''. CERN. * Platz, M., Bierbrauer, C. & Müller, L. M. (2023). Förderung von Search Engine Literacy im Mathematikunterricht der Grundschule. In F. Dilling, D. Thurm & I. Witzke (Hrsg.), ''Digitaler Mathematikunterricht in Forschung und Praxis'' (S. 181–190). WTM. * Platz, M., Decker, A. & Plote, C. (2023). Förderung eines verständigen Umgangs mit Suchmaschinen im Elementarbereich. In M. R. Textor & A. Bostelmann (Hrsg.), ''Das Kita-Handbuch''. '''Weitere zitierte Quellen''' * Bender, E. M., Gebru, T., McMillan-Major, A. & Shmitchell, S. (2021). On the dangers of stochastic parrots: Can language models be too big? In ''Proceedings of the 2021 ACM Conference on Fairness, Accountability, and Transparency'' (S. 610–623). * Brown, T. B., Mann, B., Ryder, N. et al. (2020). Language models are few-shot learners. ''Advances in Neural Information Processing Systems'', 33, 1877–1901. * Helmerich, M. & Lengnink, K. (2016). ''Einführung Mathematik Primarstufe – Geometrie''. Springer. * Lienhart, J. (2026). KI geht zur Schule. In ''KI kinderleicht?! Spezial, Teil 4: KI in der Gesellschaft'' (S. 8–9). Westermann. * Miao, F. & Shiohira, K. (2024). ''AI competency framework for students''. UNESCO. * Mullarkey, M. T. & Hevner, A. R. (2019). An elaborated action design research process model. ''European Journal of Information Systems'', 28(1), 6–20. * Müller, G. N. & Wittmann, E. C. (1984). ''Der Mathematikunterricht in der Primarstufe''. Vieweg. * Payne, B. H. (2019). ''An Ethics of Artificial Intelligence Curriculum for Middle School Students''. MIT Media Lab. * Schorcht, S. (2026). Prompt-Techniken. In ''KI kinderleicht?! Spezial, Teil 2: KI als Werkzeug im Unterricht'' (S. 10–11). Westermann. * Searle, J. R. (1980). Minds, brains, and programs. ''Behavioral and Brain Sciences'', 3(3), 417–424. == Lizenz und Rückmeldung == Die Lernbausteine stehen unter der Lizenz [https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.de CC BY-SA 4.0]. Sie dürfen kopiert, verändert und weitergegeben werden, wenn die Urheberin genannt wird und Bearbeitungen unter derselben Lizenz stehen. Alle Abbildungen in den Dateien sind eigene Darstellungen. Verlinkte externe Angebote (z. B. Machine Learning for Kids, Infografiken der Open Search Foundation) unterliegen ihren eigenen Nutzungsbedingungen. Namensnennung: ''Lernbausteine KI'' von Melanie Platz, Universität des Saarlandes, Professur für Didaktik der Primarstufe – Schwerpunkt Mathematik, lizenziert unter CC BY-SA 4.0. Rückmeldungen, Erfahrungen aus dem Einsatz und Verbesserungsvorschläge sind willkommen – gern auf der Diskussionsseite. 9nhtfdcx1y7a6tj9buyx5k75p8d4liv 1119121 1119120 2026-11-08T15:37:30Z Platzm 21125 1119121 wikitext text/x-wiki =Lernbausteine zum Lernen über KI in KITA und Grundschule= Diese Seite stellt '''Lernbausteine zu Künstlicher Intelligenz (KI), Suchmaschinen und Sprachmodellen''' in zwei Reihen bereit: '''ab Kita''' (auch in den Klassen 1 und 2 einsetzbar) und '''ab Klasse 3/4'''. Die Bausteine wurden an der Professur für Didaktik der Primarstufe – Schwerpunkt Mathematik der Universität des Saarlandes entwickelt und mit Grundschulkindern erprobt. == Worum es geht == Kinder begegnen KI-Systemen früh: Sie stellen Sprachassistenten Fragen, sehen Vorschläge auf Videoplattformen und nutzen Suchmaschinen. Wie diese Systeme funktionieren, bleibt ihnen meist verborgen. Die Lernbausteine setzen hier an. Ihr Grundgedanke ist, dass Kinder die Funktionsweise von KI-Systemen mit Mathematik erschließen können, die sie ohnehin lernen: Sie zählen Häufigkeiten, ordnen und sortieren, vergleichen Daten, würfeln mit Zufallsgeneratoren und rechnen mit großen Zahlen. So wird nachvollziehbar, wie ein Sprachmodell das nächste Wort wählt, warum eine Suchmaschine Ergebnisse in eine bestimmte Reihenfolge bringt oder weshalb eine KI mit einseitigen Trainingsdaten unfair entscheidet. Die meisten Bausteine kommen ohne Computer aus (''Informatik unplugged''). Die Kinder handeln selbst: Sie falten, sortieren, würfeln, spielen einen Roboter oder trainieren einen einfachen Bildklassifizierer. Jeder Baustein endet mit einer Reflexion, in der das Erlebte auf reale Systeme wie Suchmaschinen oder KI-Chatbots übertragen wird. Dabei geht es nicht nur um Technik, sondern auch um Fragen wie: Wer entscheidet, was eine Suchmaschine zuerst anzeigt? Ist es fair, wenn ein Algorithmus geheim bleibt? Versteht ein Chatbot, was er schreibt? Damit bieten die Reflexionen auch Anknüpfungspunkte für Sachunterricht, Deutsch und Ethik. Ein durchgängiges Ziel ist, der Vermenschlichung von KI entgegenzuwirken: Die Kinder erfahren, dass KI-Systeme Regeln und Wahrscheinlichkeiten folgen, ohne zu verstehen, was sie tun. == Aufbau == Die Bausteine sind in zwei Reihen gegliedert: * '''Ab Kita''' (auch in den Klassen 1 und 2): sechs Bausteine – zwei Basis-Bausteine zu Algorithmen und Sortieralgorithmen sowie vier Bausteine zu regelbasierten Systemen, Sortieren nach Merkmalen, maschinellem Lernen und Sprachmodellen. * '''Ab Klasse 3/4:''' acht Bausteine in drei Strängen – Suchmaschinen, Künstliche Intelligenz und Sprachmodelle (LLM). Alle Bausteine sind gleich aufgebaut: ''Darum geht es'', Bezüge zu Mathematik und Informatik, Material, Durchführung, Reflexion und Literatur. Arbeitsblätter (AB), Anleitungen und Druckvorlagen liegen als eigene Dateien bei. {| class="wikitable" ! Baustein !! Kernidee !! Mathematik |- ! colspan="3" | Ab Kita (auch Klasse 1/2) |- | Basis-Baustein 1: NIM-Spiel || Eine Gewinnstrategie ist ein Algorithmus || Problemlösen, Zahlenreihe bis 10 |- | Basis-Baustein 2: Bubble Sort || Sortieralgorithmen und Ranking || Längen vergleichen, ordnen |- | KITA-Baustein 1: Chinesisches Zimmer || Eine Maschine folgt Regeln, ohne zu verstehen || Zuordnen, Würfelbilder erkennen |- | KITA-Baustein 2: Sortieren || Es gibt mehrere „richtige“ Sortierungen || Klassifizieren nach Merkmalen |- | KITA-Baustein 3: Machine Learning || Einseitige Trainingsdaten führen zu Fehlern || Mengen erfassen und vergleichen |- | KITA-Baustein 4: Sprachmodell || Wörter werden per Zufall ausgewählt || Münzwurf, Gleichwahrscheinlichkeit |- ! colspan="3" | Ab Klasse 3/4 |- | SE-Baustein 1: Algorithmus || Eingabe – Verarbeitung – Ausgabe || Geometrie: Falten |- | SE-Baustein 2: Ranking || Wer entscheidet, was oben steht? || Daten erheben, Häufigkeitstabelle |- | SE-Baustein 3: „Besser“ suchen || Datensatz – Lernalgorithmus – Vorhersage || Häufigkeiten und Vorhersage |- | KI-Baustein 1: Machine Learning || Algorithmische Verzerrung (Bias) || Ebene Figuren klassifizieren, Daten |- | KI-Baustein 2: Ethische Matrizen || Algorithmen betreffen viele Interessen || Würfelgebäude, Diagramme |- | LLM-Baustein 1: Bigram-Modell || Häufigkeit bestimmt Wahrscheinlichkeit || Häufigkeiten, platonische Körper |- | LLM-Baustein 2: Papier-GPT || Kontext und Zufall beim Textgenerieren || Zufallsexperiment, Laplace-Experiment |- | LLM-Baustein 3: Fermi-Aufgabe || Die Menge der Trainingsdaten || Große Zahlen, Größen umrechnen |} == Didaktischer Hintergrund == Die Lernbausteine wurden im Sinne fachdidaktischer Entwicklungsforschung entwickelt: Problemformulierung, Entwicklung, Erprobung, Evaluation und Reflexion werden in mehreren Zyklen durchlaufen (Mullarkey & Hevner, 2019). Sie orientieren sich an drei Rahmenmodellen. '''KI-Kompetenzrahmen der UNESCO.''' Der ''AI competency framework for students'' (Miao & Shiohira, 2024; deutsche Übersetzung bei Platz & Plote, 2025) beschreibt vier Kompetenzaspekte – menschenzentrierte Denkweise, Ethik der KI, KI-Techniken und -Anwendungen sowie KI-System-Design – auf den drei Stufen Verstehen, Anwenden und Erstellen. Die Lernbausteine setzen überwiegend auf der Stufe ''Verstehen'' an. Das NIM-Spiel etwa thematisiert, dass Menschen hinter Algorithmen stehen und über deren Offenlegung entscheiden; die KI-Bausteine verbinden KI-Grundlagen mit ethischen Fragen. '''Lernen über Sprachmodelle (LLMs).''' In Anlehnung an Platz, Schorcht & Frischemeier (2025) werden drei Wissensbereiche unterschieden: * ''Konzeptuelles Wissen:'' LLMs sind Wahrscheinlichkeitsmaschinen; Training und Trainingsdaten prägen die Ausgabe. * ''Kritisch-reflexives Wissen:'' Ausgaben prüfen und bewerten; Chancen und Risiken benennen. * ''Handlungswissen:'' Prompts zielgerichtet formulieren; KI als Werkzeug verantwortungsvoll nutzen. Die Lernbausteine zielen vor allem auf konzeptuelles und kritisch-reflexives Wissen: Zufall und Wahrscheinlichkeit beim Erzeugen von Text (KITA-Baustein 4, LLM-Bausteine 1 und 2), die Rolle der Trainingsdaten (KITA-Bausteine 2 und 3, LLM-Baustein 3) und die Frage, ob eine Maschine versteht, was sie tut (KITA-Baustein 1). '''Search Engine Literacy.''' Kompetenzen im Umgang mit Suchmaschinen gehen über das Recherchieren hinaus (Platz, 2022; Platz, Klan & Decker, 2022; Platz, Decker & Plote, 2023). Unterschieden werden drei Ebenen: die ''Abbildungsebene'' (Suche und Suchindex als Grundlage, gezielte Suchbegriffe), die ''Algorithmenebene'' (Crawling, Index, Ranking und Filter verstehen) und die ''Bewertungsebene'' (Filterblasen, Verzerrungen in Suchergebnissen, Datenschutz, kritischer Umgang). Basis-Baustein 2 (Bubble Sort) und die Suchmaschinen-Bausteine 1 bis 3 setzen auf der Algorithmen- und der Bewertungsebene an. == Hinweise zur Nutzung == Die Bausteine lassen sich einzeln einsetzen, bauen aber teilweise aufeinander auf. Sinnvoll sind folgende Abfolgen: * '''Ab Kita:''' Die Basis-Bausteine (NIM-Spiel, Bubble Sort) führen in Algorithmen ein und eignen sich als Einstieg. KITA-Baustein 2 (Sortieren) vor KITA-Baustein 3 (Machine Learning), da dieselben Bildkarten genutzt werden; KITA-Baustein 4 erzählt die Raupengeschichte aus Baustein 2 weiter. Baustein 1 (Chinesisches Zimmer) und Baustein 4 (Sprachmodell) ergänzen sich in der Frage, ob eine Maschine versteht, was sie tut. * '''Ab Klasse 3/4:''' Der Algorithmusbegriff aus SE-Baustein 1 bildet die Grundlage für die übrigen Bausteine; auch die Bausteine ab Kita, besonders das NIM-Spiel, eignen sich hier als Einstieg. Die Suchmaschinen-Bausteine 1 bis 3 und die LLM-Bausteine 1 bis 3 sind jeweils als Reihe gedacht. KI-Baustein 2 greift die Faltanleitungen aus SE-Baustein 2 und das Pfannkuchenrezept aus SE-Baustein 1 auf. Für die Durchführung sind keine Programmierkenntnisse nötig. Zwei digitale Anwendungen werden genutzt: * ''[https://machinelearningforkids.co.uk Machine Learning for Kids]'' (KITA-Baustein 3, KI-Baustein 1): kostenfrei; ohne Benutzerkonto nutzbar, wenn die Projekte auf demselben Gerät angelegt werden. Sollen vorbereitete Projekte mit den Kindern geteilt werden, ist ein Lehrkraft-Konto nötig (siehe Anleitungen). * ''[https://melanie-platz.com/bigram/ BIGRAM]'' (LLM-Baustein 1): kostenfrei; eine eigens entwickelte App, die die Geschichte „Die neugierige Raupe“ auswertet und weitererzählt. == Lernbausteine ab Kita == Die Bausteine wurden für die Kita entwickelt und lassen sich auch in den Klassen 1 und 2 einsetzen. === Basis-Baustein 1: NIM-Spiel und Algorithmen === Zwei Kinder legen abwechselnd ein oder zwei Plättchen auf einen Spielplan mit zehn Feldern; wer das zehnte Feld belegt, gewinnt (elementare Variante von NIM nach Müller & Wittmann, 1984). Schnell wird klar: Das ist kein Glücksspiel. Die Kinder stellen Vermutungen über Gewinnstrategien auf, probieren sie aus und entdecken dabei schrittweise „Gewinnfelder“. Eine solche Gewinnstrategie ist ein Algorithmus – eine eindeutige, ausführbare Abfolge von Schritten. Operative Veränderungen vertiefen die Erkundung: Was ändert sich, wenn man bis zu drei Plättchen legen darf, wenn der Spielplan bis 12 geht oder wenn verliert, wer das letzte Feld belegt? In der Reflexion wird der Bogen zu den unsichtbaren Algorithmen digitaler Plattformen geschlagen: Ist es fair, wenn nur einer die Strategie kennt? Und wer sollte entscheiden dürfen, ob ein Algorithmus geheim bleibt? '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Basis-Baustein-1_NIM-Spiel.pdf Baustein-Beschreibung], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Druckvorlage_Basis-Baustein-1_NIM-Spiel.pdf Spielplan], blaue und rote Plättchen === Basis-Baustein 2: Bubble Sort und Ranking von Suchmaschinen === Die Kinder werden selbst zum Sortieralgorithmus: Jedes Kind hält einen Stab und stellt sich auf eine Linie. Nach einer festen Regel vergleichen jeweils zwei Nachbarn ihre Stäbe und tauschen bei Bedarf die Plätze, bis alle der Länge nach geordnet sind. Durch Wiederholen mit anderen Startpositionen überzeugen sie sich davon, dass das Verfahren immer funktioniert. Als Erweiterung kann nach einem Kriterium sortiert werden, das die Kinder nicht kennen – so wie Suchmaschinen ihre Ergebnisse nach Kriterien ordnen, die nicht offenliegen. Die Kinder stellen Vermutungen über das Sortierkriterium an und kommen so ins Gespräch über Popularität und Personalisierung beim Ranking: Wie wurde sortiert? Ist es fair, wenn du nicht weißt, wie sortiert wurde? '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Basis-Baustein-2_Bubble-Sort.pdf Baustein-Beschreibung], verschieden lange Stäbe (z. B. Cuisenaire-Stäbe), Klebeband für eine Bodenmarkierung === KITA-Baustein 1: Chinesisches Zimmer === Ein Kind sitzt in einem selbst gebastelten Karton-Roboter. Durch einen Schlitz bekommt es Würfelbilder hineingereicht und gibt mithilfe eines Regelbuchs die passende Schmetterlingskarte heraus – ohne zu wissen, wozu. Das Spiel greift das Gedankenexperiment des „Chinesischen Zimmers“ von John R. Searle (1980) auf: Von außen wirkt die Antwort passend, obwohl drinnen niemand versteht, worum es geht. Die Idee, das Gedankenexperiment mit Kindern nachzuspielen, stammt von Lienhart (2026); der Baustein überträgt sie mit Würfelbildern und Schmetterlingen auf die frühe Bildung. Die Kinder üben dabei Zuordnung und das Erkennen von Würfelbildern und erleben das Prinzip Eingabe – Verarbeitung – Ausgabe. In der Reflexion sprechen sie darüber, wie es sich anfühlt, nur nach Regeln zu antworten, und ob ein Roboter – oder eine KI – wirklich nachdenkt oder fühlt. Der Baustein wirkt so der Vermenschlichung von KI entgegen. '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:KITA-Baustein-1_Chinesisches-Zimmer.pdf Baustein-Beschreibung], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Druckvorlage_KITA-Baustein-1_Chinesisches-Zimmer_Regelbuch.pdf Regelbuch], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Druckvorlage_KITA-Baustein-1_Chinesisches-Zimmer_Bildkarten.pdf Bildkarten], Karton und Bastelmaterial === KITA-Baustein 2: Sortieren === Nach der Geschichte „Sieben kleine Raupen“ sind Bildkarten mit Raupen, Puppen und Schmetterlingen in sieben Farben „durcheinandergeraten“ und sollen wieder sortiert werden. Ob nach Farbe, nach Entwicklungsstadium oder nach einem anderen Merkmal – die Kinder entscheiden selbst und begründen ihre Sortierung. Im Vergleich der Ergebnisse zeigt sich, dass es nicht nur eine richtige Lösung gibt und dass dieselbe Karte zu mehreren Gruppen passen kann. Damit machen die Kinder grundlegende Erfahrungen mit Klassifizieren und Kategorisieren. Zugleich bahnt der Baustein eine Idee des maschinellen Lernens an: Auch KI-Systeme gruppieren Daten nach Ähnlichkeiten – ohne zu verstehen, was sie bedeuten. '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:KITA-Baustein-2_Sortieren.pdf Baustein-Beschreibung], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Druckvorlage_KITA-Baustein-2_Sortieren.pdf Bildkarten] (möglichst ein Set pro Kind) === KITA-Baustein 3: Machine Learning und algorithmische Verzerrung === Die Fachkraft oder Lehrkraft zeigt einen Bildklassifizierer, der Raupen von Schmetterlingen und Puppen unterscheiden soll – und der bewusst „unfair“ trainiert wurde: Von den Raupen kennt er nur zwei sehr ähnliche Bilder. Gemeinsam untersuchen die Kinder, wo der Klassifizierer Fehler macht, und erkennen, dass es an den Trainingsdaten liegt. Mit den Bildkarten aus Baustein 2 verbessern sie das System, indem sie weitere Beispiele einlesen. In der Reflexion geht es um Verantwortung: Wer sorgt dafür, dass eine KI faire Daten bekommt? Und wo können solche Fehler für Menschen schlimme Folgen haben – etwa bei Gesichtserkennung oder bei der Auswahl von Bewerbungen? '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:KITA-Baustein-3_ML.pdf Baustein-Beschreibung], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Anleitung_KITA-Baustein-3_ML.pdf Anleitung zu Machine Learning for Kids], Tablet oder Laptop mit Kamera und Internetzugang, === KITA-Baustein 4: Sprachmodell === Gemeinsam erzählen die Kinder die Geschichte der Raupen weiter – wie ein Sprachmodell, Wort für Wort. Zum Satzanfang „Die Raupe war“ schlagen sie zwei mögliche nächste Wörter vor, eine Münze entscheidet, welches genommen wird. Die Fachkraft oder Lehrkraft schreibt mit und liest die entstandene Geschichte am Ende vor. Die Kinder erleben so, dass Sprachmodelle Wörter mit Zufall auswählen und dass eine Münze nicht „weiß“, was die Geschichte erzählen soll. In der Reflexion wird deutlich, was Menschen beim Weitererzählen einbringen und eine Maschine nicht: Wissen über die Welt und darüber, worum es in einer Geschichte geht. Der Baustein knüpft an das Chinesische Zimmer an. '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:KITA-Baustein-4_LLM.pdf Baustein-Beschreibung], Münze == Lernbausteine ab Klasse 3/4 == === Suchmaschinen === ==== SE-Baustein 1: Algorithmus ==== Was ist eigentlich ein Algorithmus? Die Kinder erarbeiten eine kindgerechte Definition und prüfen an Beispielen aus dem Alltag, ob es sich um einen Algorithmus handelt. Dann falten sie ein quadratisches Papier nach einer Faltanleitung (Idee nach Helmerich & Lengnink, 2016) und entdecken dabei Dreiecke, Diagonalen und Mittelpunkt. Die Faltanleitung erweist sich als Algorithmus mit Eingabe (Papier), Verarbeitungsschritten und Ausgabe (Faltprodukt). Auch eine Suchmaschine arbeitet nach diesem Prinzip – mit der Suchanfrage als Eingabe und der Trefferliste als Ausgabe. Der entscheidende Unterschied, den die Reflexion herausarbeitet: Die Faltanleitung ist nachvollziehbar, der Algorithmus einer Suchmaschine nicht. '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:SE-Baustein-1_Algorithmus.pdf Baustein-Beschreibung], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:AB-SE-Baustein-1_Algorithmus.pdf Arbeitsblatt Algorithmus], quadratisches Faltpapier, [https://opensearchfoundation.org/wp-content/uploads/2022/10/So-funktioniert-die-Internetsuche.pdf Infografik „So funktioniert die Internetsuche“ der Open Search Foundation] ==== SE-Baustein 2: Ranking ==== Wer entscheidet, was bei einer Suche oben steht? Die Kinder vergleichen drei Faltanleitungen für dasselbe Objekt auf drei erfundenen Webseiten, darunter eine mit Werbung. Zuerst erstellen sie ein eigenes Ranking (Personalisierung), dann ermitteln sie per Befragung und Häufigkeitstabelle das beliebteste Ergebnis der Klasse (Popularität). Was passiert, wenn die „Suchmaschine“ trotzdem die Anleitung mit Werbung auf Platz 1 setzt? Die Diskussion führt zu wirtschaftlichen Interessen und zu der Erkenntnis, dass Ranking-Algorithmen nicht neutral sind. Zum Schluss verbessern die Kinder selbst eine Anleitung nach einem Ziel, das sie festlegen, und begründen ihre Entscheidung: Menschen bestimmen, welche Ziele ein Algorithmus verfolgt. '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:SE-Baustein-2_Ranking.pdf Baustein-Beschreibung], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Druckvorlage-SE-Baustein-2_Ranking.pdf Druckvorlage Faltanleitungen], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:AB-SE-Baustein-2_Ranking.pdf Arbeitsblatt „Faltanleitungen ergänzen und verbessern“] <!-- DATEI: SE-Baustein-2_Ranking.pdf | Druckvorlage-SE-Baustein-2_Ranking.pdf | AB-SE-Baustein-2_Ranking.pdf --> ==== SE-Baustein 3: „Besser“ suchen ==== Suchmaschinen sind KI-Systeme, die aus einem Datensatz, einem Lernalgorithmus und einer Vorhersage bestehen. Am Beispiel der Autovervollständigung, die häufige frühere Suchanfragen vorschlägt, und des Rankings untersuchen die Kinder, wie diese Bestandteile zusammenwirken – und warum unfaire Daten zu verzerrten Ergebnissen führen können. Darauf aufbauend lernen sie Tipps für eine bewusstere Internetsuche kennen, etwa gezielte Suchbegriffe, ein kritischer Blick auf die ersten Treffer und alternative Suchmaschinen. Die Reflexion öffnet zudem die Frage, wem die Inhalte gehören, die eine Suchmaschine anzeigt. '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:SE-Baustein-3_besser_Suchen.pdf Baustein-Beschreibung], digitales Gerät zur Demonstration einer Suchmaschine, ggf. [https://opensearchfoundation.org/wp-content/uploads/2022/10/Kinder-Tipps-Internetsuche.pdf Suchtipps der Open Search Foundation] === Künstliche Intelligenz === ==== KI-Baustein 1: Machine Learning und algorithmische Verzerrung ==== Die Kinder untersuchen einen Bildklassifizierer, der Dreiecke und Vierecke unterscheiden soll. Er wurde bewusst „unfair“ trainiert: Die Vierecke im Trainingsdatensatz sind nur Rechtecke in derselben Lage, die Dreiecke dagegen vielfältig. Die Kinder finden heraus, warum der Klassifizierer bei Vierecken häufiger irrt, und verbessern ihn in Kleingruppen, indem sie selbst gezeichnete Figuren als neue Trainingsdaten hinzufügen. Dabei klassifizieren sie ebene Figuren nach ihren Eigenschaften und werten Daten aus. Die Reflexion verbindet das Experiment mit realen Fällen algorithmischer Verzerrung, etwa bei Gesichtserkennung oder Bewerbungsverfahren, und mit der Einsicht, dass Menschen über die Daten und Ziele von KI-Systemen entscheiden. '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:KI-Baustein-1_ML.pdf Baustein-Beschreibung], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:AB_KI-Baustein-1_ML.pdf Arbeitsblatt], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Infoseite_KI-Baustein-1_ML.pdf Infoseite zur Bedienung von Machine Learning for Kids], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Anleitung_KI-Baustein-1_ML.pdf Anleitung zu Machine Learning for Kids für Lehrpersonen], Tablets mit Stift und Internetzugang ==== KI-Baustein 2: Ethische Matrizen ==== Wenn ein Algorithmus verändert wird, wer profitiert und wer nicht? Mit einer ethischen Matrix (Payne, 2019) tragen die Kinder zusammen, wer an einem Produkt interessiert ist – etwa an einem Pfannkuchenrezept oder einer Faltanleitung – und welche Werte den einzelnen Beteiligten wichtig sind. Mit Holzwürfeln gewichten sie die Felder, sodass ein Würfelgebäude entsteht, das sie beschreiben und verändern. Beim Versuch, das „Rezept“ zu verbessern, stellen die Kinder fest, dass eine Verbesserung für die einen eine Verschlechterung für andere bedeuten kann. In der Reflexion wird die Matrix auf reale Systeme wie Suchmaschinen oder Chatbots übertragen: Wessen Werte wurden berücksichtigt? '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:KI-Baustein-2_Ethische-Matrix.pdf Baustein-Beschreibung], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Druckvorlage_KI-Baustein-2_Ethische-Matrix.pdf Vorlage Ethische Matrix], Holzwürfel (Kantenlänge 2 cm) === Sprachmodelle (LLM) === ==== LLM-Baustein 1: Bigram-Modell ==== Wie erzeugt ein Sprachmodell Text? Die Kinder bauen ein einfaches Modell selbst: Sie zählen in der kurzen Geschichte „Die neugierige Raupe“, welche Wörter am Satzanfang stehen und welche darauf folgen, und halten die Häufigkeiten in Tabellen fest. Die Geschichte ist so geschrieben, dass sich passende Zufallsgeneratoren ergeben: ein Dodekaeder für die zwölf Satzanfänge, ein Tetraeder, eine Münze und ein Würfel für das jeweils zweite Wort. Damit „würfeln“ die Kinder den Anfang neuer Sätze und untersuchen dabei auch die platonischen Körper. Die App BIGRAM übernimmt das anschließend für ganze Sätze. Die entstehenden Texte klingen oft holprig, und Wörter, die nicht in der Geschichte vorkommen, kann das Modell nicht verarbeiten. So wird verständlich, warum KI-Chatbots als „stochastische Papageien“ bezeichnet werden (Bender et al., 2021) und warum man ihre Antworten überprüfen sollte. '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:LLM-Baustein-1_Bigram.pdf Baustein-Beschreibung], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:AB-LLM-Baustein-1_Bigram.pdf Arbeitsblatt], Zufallsgeneratoren (z. B. platonische Körper), [https://melanie-platz.com/Bigram/ App BIGRAM] ==== LLM-Baustein 2: Papier-GPT ==== Ohne Computer simulieren die Kinder, wie ein Sprachmodell einen Text fortsetzt. Eine Tabelle mit dem Satzanfang „Die Raupe war“ wandert von Gruppe zu Gruppe. Jede Gruppe sieht nur die letzten drei Wörter, schlägt zwei mögliche Fortsetzungen vor und lässt ein Wendeplättchen entscheiden, welches Wort übernommen wird. Am Ende wird der ganze Satz aufgefaltet und vorgelesen. Die Kinder lernen dabei zentrale Ideen von Sprachmodellen kennen: einen begrenzten Kontext und das zufällige Auswählen des nächsten Wortes. In der Reflexion vergleichen sie das Ergebnis mit dem Bigram-Modell und überlegen, welches Wissen ihnen selbst beim Finden passender Wörter geholfen hat. '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:LLM-Baustein-2_Papier-GPT.pdf Baustein-Beschreibung], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Druckvorlage_LLM-Baustein-2_Papier-GPT.pdf Druckvorlage Papier-GPT], Wendeplättchen ==== LLM-Baustein 3: Fermi-Aufgabe zur Menge der Trainingsdaten ==== Warum schreiben große Sprachmodelle so viel bessere Texte als das selbst gebaute Bigram-Modell? Ein Grund ist die riesige Menge an Texten, aus denen sie lernen: Für GPT-3 wurden rund 45 Terabyte Rohtext gesammelt (Brown et al., 2020). In einer Fermi-Aufgabe machen die Kinder diese Menge greifbar: Wie hoch wäre ein Papierstapel, wenn man die Geschichte „Die neugierige Raupe“ so oft ausdruckt, bis 45 Terabyte erreicht sind? Höher als der Mount Everest? Dafür ermitteln sie Dateigrößen, rechnen Einheiten um, überschlagen mit großen Zahlen und prüfen ihr Ergebnis auf Plausibilität. Die Reflexion führt zu Fragen des Urheberrechts – Darf eine KI deine Geschichte ohne Erlaubnis nutzen? – und dazu, warum man den Antworten einer KI nicht blind vertrauen sollte. '''Material:''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:LLM-Baustein-3_Fermi-Aufgabe.pdf Baustein-Beschreibung], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Datei_LLM-Baustein-3_Neugierige-Raupe.pdf Textdatei der Geschichte] (zum Ermitteln der Dateigröße), ggf. zehn Ausdrucke auf 80-g-Papier == Material für Kinder == '''Internetseiten und Videos''' * Kinderuni Saar: [https://www.youtube.com/watch?v=UhtLJg-uiAg Kann man der Künstlichen Intelligenz (KI) vertrauen?] – Aufzeichnung des Kinderuni-Vortrags von Melanie Platz (Universität des Saarlandes, 13.11.2024) – für Kinder von 8 bis 12 Jahren, z. B. als Einstieg zur Frage „Wo begegnet uns KI im Alltag?“ * fragFINN: [https://reporter.fragfinn.de/kuenstliche-intelligenz/ Was ist KI?] – mit dem Video „Toni entdeckt KI“ und weiterführenden Links, z. B. zu Internet-ABC, kindersache.de und Team Timster; zum Thema [https://reporter.fragfinn.de/tag/deep-fakes/ Deepfakes] * Team Timster (KiKA): [https://www.kika.de/team-timster/extras/was-ist-kuenstliche-intelligenz-104 Was ist künstliche Intelligenz?] * [https://www.scroller.de Scroller] – das Medienmagazin für Kinder * KIsu – kinderleicht KI-basiert suchen und finden: [https://kisu.cs.uni-saarland.de/clever/ Clever suchen] * Chatbot „Auxie“ auf [https://www.religionen-entdecken.de religionen-entdecken.de] '''Bücher''' * Freudenberg, J. & Feldmann, M. (2025). ''WAS IST WAS Naturwissenschaften easy! Schlau, schlauer, KI? Künstliche Intelligenz erleben''. Tessloff. * Zahn, A. & Hesse, L. (2023). ''Was ist künstliche Intelligenz?'' Beltz. == Weitere Angebote für Lehrkräfte == * Projekt [https://kisu.cs.uni-saarland.de KIsu] (Universität des Saarlandes): Material und Workshops zum Lernen über KI und Suchmaschinen in der Grundschule; [https://www.math.uni-sb.de/lehramt4/index.php/mega-menu-primar/weiteres/projekt-kisu Projektseite der Didaktik der Primarstufe]; Projektbeschreibung: Altmeyer et al. (2025), [https://doi.org/10.5281/zenodo.17229191 doi:10.5281/zenodo.17229191] * Heftreihe [https://www.westermann.de/landing/fz-ki ''KI kinderleicht?!''] (Westermann, 2026), Teile 1 bis 4: [https://www.westermann.de/anlage/4681249/KI-kinderleicht-Teil-1-Wie-KI-Systeme-funktionieren Wie KI-Systeme funktionieren]; KI als Werkzeug im Unterricht; [https://grundschule-aktuell.de/unterrichten/faecheruebergreifend/333181/ki-kinderleicht KI-Systeme für den Unterricht]; [https://grundschule-aktuell.de/unterrichten/faecheruebergreifend/333327/ki-kinderleicht KI in der Gesellschaft] * [https://grundschulverband.de/produkt/grundschule-aktuell-170-mai-2025/ ''Grundschule aktuell'', Heft 170] (Mai 2025): Zur Diskussion – KI in der Grundschule; darin Platz, M. & Peschel, M.: Kann man künstlicher Intelligenz vertrauen? (S. 7–9) * Bob Blume: [https://bobblume.de/2023/03/25/unterricht-chatgpt-als-interaktiver-lernpartner/ ChatGPT als interaktiver Lernpartner] * Prompt-Techniken für Lehrkräfte: Schorcht (2026) in [https://www.westermann.de/landing/fz-ki ''KI kinderleicht?!'', Teil 2]; ausführlicher: Platz, Schorcht & Frischemeier (2025), [https://doi.org/10.22028/D291-47648 doi:10.22028/D291-47648] == Literatur == '''Zu den Lernbausteinen''' * Platz, M. (2025). KI, Internetsuche und algorithmische Verzerrung. ''Mathematik differenziert'', 4/2025, 22–31. [https://www.westermann.de/anlage/4680554/KI-Internetsuche-und-algorithmische-Verzerrung-Eine-faecherverbindende-Lernumgebung Online] * Platz, M. (2025). Algorithmen, ethische Matrizen und Würfelbauwerke. In L. Schick, M. Platz & A. Lambert (Hrsg.), ''Beiträge zum Mathematikunterricht 2025'' (S. 357–360). WTM. [https://doi.org/10.37626/GA9783959873307.0 doi:10.37626/GA9783959873307.0] * Platz, M. (2026). Entwicklung einer Lernumgebung zu Maschinellem Lernen und algorithmischer Verzerrung für den Mathematikunterricht der Primarstufe. ''mathematica didactica'', 49, 1–22. [https://journals.ub.uni-koeln.de/index.php/mathematica_didactica/article/view/2963/12495 Online] * Platz, M. (im Druck). Computational Thinking fördern: Machine Learning im Mathematikunterricht der Grundschule. ''Beiträge zum Mathematikunterricht 2026''. WTM. * Platz, M. & Plote, C. (2025). KI und Ethik im Klassenzimmer. ''Mitteilungen der GDM'', 118, 6–13. [https://ojs.didaktik-der-mathematik.de/index.php/mgdm/article/view/1278/1423 Online] * Platz, M. & Schick, L. (2025). Lernen über LLMs im Mathematikunterricht der Primarstufe. In L. Schick, M. Platz & A. Lambert (Hrsg.), ''Beiträge zum Mathematikunterricht 2025'' (S. 231–234). WTM. [https://doi.org/10.37626/GA9783959873307.0 doi:10.37626/GA9783959873307.0] * Platz, M. & Schorcht, S. (2026). Wie funktionieren große Sprachmodelle? In ''KI kinderleicht?! Spezial, Teil 1: Wie KI-Systeme funktionieren'' (S. 3–5). Westermann. [https://www.westermann.de/anlage/4681249/KI-kinderleicht-Teil-1-Wie-KI-Systeme-funktionieren Online] * Platz, M., Schorcht, S. & Frischemeier, D. (2025). Lernen mit und über KI: Wie funktionieren LLMs und welche Prompt-Techniken gibt es? In M. Platz, S. Schorcht & D. Frischemeier (Hrsg.), ''Künstliche Intelligenz in der Primarstufe'' (S. 109–130). WTM. [https://doi.org/10.22028/D291-47648 doi:10.22028/D291-47648] '''Search Engine Literacy''' * Platz, M. (2022). Search Engine Literacy – mehr als Kompetenzen zum Recherchieren mit Suchmaschinen. In T. Irion, M. Peschel & D. Schmeinck (Hrsg.), ''Grundschule und Digitalität'' (S. 298–307). Grundschulverband. [https://tuerchen.app/Grundschulverband/17 Online] * Platz, M., Klan, F. & Decker, A. (2022). Developing and promoting search engine literacy in primary education. Beitrag zum ''Open Search Symposium 2022 (OSSYM 2022)'', CERN, Genf. Zenodo. [https://doi.org/10.5281/zenodo.8066392 doi:10.5281/zenodo.8066392] * Platz, M., Bierbrauer, C. & Müller, L. M. (2023). Förderung von Search Engine Literacy im Mathematikunterricht der Grundschule. In F. Dilling, D. Thurm & I. Witzke (Hrsg.), ''Digitaler Mathematikunterricht in Forschung und Praxis'' (S. 181–190). WTM. [https://www.wtm-verlag.de/ml-m-digitalen-medien-3/ Verlagsseite] * Platz, M., Decker, A. & Plote, C. (2023). Förderung eines verständigen Umgangs mit Suchmaschinen im Elementarbereich. In M. R. Textor & A. Bostelmann (Hrsg.), ''Das Kita-Handbuch''. [https://www.kindergartenpaedagogik.de/fachartikel/bildungsbereiche-erziehungsfelder/medienerziehung-informationstechnische-bildung/foerderung-eines-verstaendigen-umgangs-mit-suchmaschinen-im-elementarbereich/ Online] '''Weitere zitierte Quellen''' * Bender, E. M., Gebru, T., McMillan-Major, A. & Shmitchell, S. (2021). On the dangers of stochastic parrots: Can language models be too big? In ''Proceedings of the 2021 ACM Conference on Fairness, Accountability, and Transparency'' (S. 610–623). ACM. [https://doi.org/10.1145/3442188.3445922 doi:10.1145/3442188.3445922] * Brown, T. B., Mann, B., Ryder, N. et al. (2020). Language models are few-shot learners. ''Advances in Neural Information Processing Systems'', 33, 1877–1901. [https://proceedings.neurips.cc/paper/2020/hash/1457c0d6bfcb4967418bfb8ac142f64a-Abstract.html Online] * Helmerich, M. & Lengnink, K. (2016). ''Einführung Mathematik Primarstufe – Geometrie''. Springer Spektrum. [https://doi.org/10.1007/978-3-662-47206-4 doi:10.1007/978-3-662-47206-4] * Lienhart, J. (2026). KI geht zur Schule. In ''KI kinderleicht?! Spezial, Teil 4: KI in der Gesellschaft'' (S. 8–9). Westermann. [https://grundschule-aktuell.de/unterrichten/faecheruebergreifend/333327/ki-kinderleicht Online] * Miao, F. & Shiohira, K. (2024). ''AI competency framework for students''. UNESCO. [https://doi.org/10.54675/JKJB9835 doi:10.54675/JKJB9835] * Mullarkey, M. T. & Hevner, A. R. (2019). An elaborated action design research process model. ''European Journal of Information Systems'', 28(1), 6–20. [https://doi.org/10.1080/0960085X.2018.1451811 doi:10.1080/0960085X.2018.1451811] * Müller, G. N. & Wittmann, E. C. (1984). ''Der Mathematikunterricht in der Primarstufe'' (3. Aufl.). Vieweg. [https://doi.org/10.1007/978-3-663-12025-4 doi:10.1007/978-3-663-12025-4] * Payne, B. H. (2019). ''An Ethics of Artificial Intelligence Curriculum for Middle School Students''. MIT Media Lab. [https://www.media.mit.edu/projects/ai-ethics-for-middle-school/overview/ Projektseite] * Schorcht, S. (2026). Prompt-Techniken. In ''KI kinderleicht?! Spezial, Teil 2: KI als Werkzeug im Unterricht'' (S. 10–11). Westermann. [https://www.westermann.de/landing/fz-ki Verlagsseite] * Searle, J. R. (1980). Minds, brains, and programs. ''Behavioral and Brain Sciences'', 3(3), 417–424. [https://doi.org/10.1017/S0140525X00005756 doi:10.1017/S0140525X00005756] == Lizenz und Rückmeldung == Die Lernbausteine stehen unter der Lizenz [https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.de CC BY-SA 4.0]. Sie dürfen kopiert, verändert und weitergegeben werden, wenn die Urheberin genannt wird und Bearbeitungen unter derselben Lizenz stehen. Alle Abbildungen in den Dateien sind eigene Darstellungen. Verlinkte externe Angebote (z. B. Machine Learning for Kids, Infografiken der Open Search Foundation) unterliegen ihren eigenen Nutzungsbedingungen. Namensnennung: ''Lernbausteine KI'' von Melanie Platz, Universität des Saarlandes, Professur für Didaktik der Primarstufe – Schwerpunkt Mathematik, lizenziert unter CC BY-SA 4.0. Rückmeldungen, Erfahrungen aus dem Einsatz und Verbesserungsvorschläge sind willkommen – gern auf der Diskussionsseite. nsmv7qj1xypp5o32ats12b5bzoidsn9 106 173441 1119169 1118997 2026-11-09T08:36:30Z Bert Niehaus 20843 1119169 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Um zunächst einmal die Stetigkeit auf der algebraischen Vervollständigung eines Logarithmus zu erhalten, darf man den Wertebereich nicht dem Relativitopologie von <math>\mathbb{C}</math> auf den Wertebereich topologisieren. In dieser Lerneinheit behandelt man zunächst <math>\mathbb{D}_1 := \mathbb{R} + i\cdot [0,2\pi)</math> der mit einer Zylindertopologie versehen wird. In allgemeier Form entstehen in Abhängigkeit von dem gewählten einfach zusammenhängenden Gebiet auch andere Topologien. [[Datei:Dielectric cylinder geometry.png|mini|Zylinder - Topologisierung des Bildraumes]] [[Datei:Cylinder geometry.svg|mini|Zylindertopologisierung der Wertbereiches]] m0mu0zxsc53qo3ytu3zr4v30c8cukio 0 173446 1119083 1119080 2026-11-08T12:03:49Z Bocardodarapti 2041 1119083 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wie gehen aus von der Beschreibung der binären Ikosaedergruppe in {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Binäre_Ikosaedergruppe/Realisierung_in_SL2C/Beispiel |Nr= |SZ=. }} {{ Aufzählung3 |Zeige{{n Sie}} {{ Relationskette/display | FE || EFEFE^2 || || || |SZ=. }} |Zeige{{n Sie}} {{ Relationskette/display | ( FE)^2 || E^4F^3 || E^9FE^5 || || |SZ=. }} |Zeige{{n Sie}}, dass man jedes Element in der Form {{ Math/display|term= E^{i_1}FE^{i_2} FE^{i_3} \cdots FE^{i_n} |SZ= }} mit {{ Relationskette | i_j |<| 10 || || || |SZ= }} schreiben kann. | }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichen Untergruppen von GLG |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} 5tnxmugru5xt3ey000eq03ti7kgcx4f 1119133 1119083 2026-11-08T18:36:43Z Bocardodarapti 2041 1119133 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wie gehen aus von der Beschreibung der binären Ikosaedergruppe in {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Binäre_Ikosaedergruppe/Realisierung_in_SL2C/Beispiel |Nr= |SZ=. }} {{ Aufzählung4 |Zeige{{n Sie}} {{ Relationskette/display | FE || EFEFE^2 || || || |SZ=. }} |Zeige{{n Sie}} {{ Relationskette/display | ( FE)^2 || E^4F^3 || E^9FE^5 || || |SZ=. }} |Zeige{{n Sie}} {{ Relationskette/display | ( EF)^2 || F E^4 || || || |SZ=. }} |Zeige{{n Sie}}, dass man jedes Element in der Form {{ Math/display|term= E^{i_1}FE^{i_2} FE^{i_3} \cdots FE^{i_n} |SZ= }} mit {{ Relationskette | i_j |<| 10 || || || |SZ= }} schreiben kann. | }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichen Untergruppen von GLG |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} 2frjssppa3efdg4zpg8ghbfk3y3hlkh 1119135 1119133 2026-11-08T18:40:34Z Bocardodarapti 2041 1119135 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wie gehen aus von der Beschreibung der binären Ikosaedergruppe in {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Binäre_Ikosaedergruppe/Realisierung_in_SL2C/Beispiel |Nr= |SZ=. }} {{ Aufzählung4 |Zeige{{n Sie}} {{ Relationskette/display | FE || EFEFE^2 || || || |SZ=. }} |Zeige{{n Sie}} {{ Relationskette/display | ( FE)^2 || E^4F^3 || E^9FE^5 || || |SZ=. }} |Zeige{{n Sie}} {{ Relationskette/display | ( EF)^2 || - 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Da wir zu viert gründen, können wir die Geschäftsführung gemeinsam übernehmen und unsere Stärken gezielt einbringen. bjpqdxj93y0okoajxxlwognxv15mffr 106 173454 1119163 2026-11-09T07:32:21Z Paul Sutermeister 37610 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1119163 wikitext text/x-wiki __NOTOC__ '''Textproduktion im Handelsdiplom: Worum geht es eigentlich?''' In der Prüfung «Communication Skills / Deutsch» gibt es immer eine Aufgabe 4: die '''Textproduktion'''. Sie schreiben einen kurzen Text von 90 bis 110 Wörtern. Das sieht auf den ersten Blick einfach aus, aber es gibt einige Regeln, die Sie kennen müssen. Auf dieser Seite nähern Sie sich der Aufgabe Schritt für Schritt an. Lesen Sie jeweils die kurze Erklärung und lösen Sie danach das Quiz. Am Ende wissen Sie, '''was''' verlangt wird und '''warum'''. == Schritt 1: Warum überhaupt schreiben? == Im kaufmännischen Berufsalltag schreiben Sie ständig: E-Mails an Kundinnen und Kunden, Mitteilungen an das Team, Anfragen an Behörden, kurze Berichte für die Vorgesetzten. Diese Texte müssen: * '''verständlich''' sein, * zum '''Empfänger''' passen, * '''kurz und klar''' sein, * '''korrekt''' geschrieben sein. Die Aufgabe 4 simuliert genau solche Situationen. Sie prüft also nicht, ob Sie Schriftstellerin oder Schriftsteller werden könnten, sondern ob Sie im Büro gute Texte schreiben können. <quiz display=simple> {Was will die Textproduktion in der Prüfung vor allem testen? |type="()"} + Ob ich im Berufsalltag einen passenden, klaren Text schreiben kann. - Ob ich eine spannende Geschichte erfinden kann. - Ob ich möglichst viele Fremdwörter kenne. - Ob ich einen Text auswendig lernen kann. {Welche Eigenschaften sollte ein guter Text im Büro haben? (Mehrere Antworten richtig) |type="[]"} + verständlich + korrekt geschrieben + passend für den Empfänger - möglichst lang - voller Umgangssprache </quiz> == Schritt 2: Die Aufgabe hat immer die gleiche Grundform == Auch wenn das Thema jedes Jahr anders ist, ist die Aufgabe immer ähnlich aufgebaut: # Es gibt eine '''Situation''' (z. B. «Sie arbeiten in einer Firma und sollen einen Beitrag für die Firmenzeitung schreiben»). # Sie schreiben einen bestimmten '''Texttyp''' (Leserbrief, Firmenzeitungsbeitrag, Informationsblatt, Gesuch …). # Sie beziehen sich auf den '''Lesetext''' vorne in der Prüfung. # Sie bringen '''drei eigene Punkte''' ein (Erfahrungen, Argumente oder Ideen). # Sie schreiben einen '''Schluss''' (Fazit oder Aufforderung). # Ihr Text ist '''90 bis 110 Wörter''' lang. Bisherige Themen waren zum Beispiel: Tempo 80 auf der Autobahn, Pendeln, öffentlicher Verkehr, Homeoffice in der Corona-Zeit, Videokonferenzen, ein Gesuch eines Vereins für eine Turnhalle. <quiz display=simple> {Wie lang muss der Text in der Aufgabe 4 sein? |type="()"} - 50 bis 70 Wörter + 90 bis 110 Wörter - 150 bis 200 Wörter - So lang, wie man will {Wie viele eigene Punkte (Erfahrungen, Argumente oder Ideen) werden normalerweise verlangt? |type="()"} - einer - zwei + drei - fünf {Was gehört fast immer zur Aufgabe 4? (Mehrere Antworten richtig) |type="[]"} + ein Bezug zum Lesetext der Prüfung + ein Schluss (Fazit oder Aufforderung) + eine vorgegebene Länge - ein Gedicht - eine Grafik </quiz> == Schritt 3: Für wen schreibe ich? == Jeder Text hat einen '''Empfänger'''. Je nach Empfänger schreiben Sie anders: {| class="wikitable" ! Texttyp !! Empfänger !! Ton |- | Leserbrief || Leserinnen und Leser einer Zeitung || sachlich, mit klarer Meinung |- | Firmenzeitungsbeitrag || Kolleginnen, Kollegen, Geschäftsleitung || sachlich, persönlich, freundlich |- | Informationsblatt || alle Mitarbeitenden || direkt, motivierend, klar |- | Gesuch || Behörde, z. B. Gemeinde || höflich, formell, genau |} Ein Gesuch an die Gemeinde klingt also ganz anders als ein Beitrag für die Firmenzeitung. <quiz display=simple> {Ein Verein möchte von der Gemeinde eine Turnhalle mieten. Welcher Satz passt am besten in das Gesuch? |type="()"} + Gerne ersuchen wir Sie, uns die Turnhalle jeweils am Mittwochabend zur Verfügung zu stellen. - Hey, könnt ihr uns die Halle am Mittwoch geben? - Wir brauchen die Turnhalle, sonst ist unser Verein am Ende. - Die Turnhalle steht sowieso meistens leer, also gebt sie uns. {Welcher Ton passt zu einem Beitrag in der Firmenzeitung? |type="()"} - Wütend und vorwurfsvoll + Sachlich, aber auch persönlich und freundlich - Sehr formell wie ein Vertrag - Wie eine WhatsApp-Nachricht an Freunde </quiz> == Schritt 4: Eigene Wörter statt abschreiben == Sie sollen sich auf den Lesetext beziehen, aber '''nicht abschreiben'''. Für jeden ganzen Satz, der wörtlich aus dem Text kopiert ist, gibt es einen Punkt Abzug. Warum? Im Beruf müssen Sie oft Informationen aus einem Dokument in eigenen Worten weitergeben, zum Beispiel in einer E-Mail an das Team. Das nennt man '''paraphrasieren'''. '''Beispiel''' * Originaltext: «Durch die Pandemie ist eine Art Versuchslabor in Sachen Homeoffice entstanden.» * Eigene Worte: «Während der Pandemie konnten viele Firmen zum ersten Mal ausprobieren, wie gut Homeoffice funktioniert.» <quiz display=simple> {Was passiert, wenn Sie ganze Sätze aus dem Lesetext abschreiben? |type="()"} - Nichts, das ist erlaubt. - Man bekommt Zusatzpunkte, weil man den Text gut gelesen hat. + Pro abgeschriebenen Satz gibt es einen Punkt Abzug. - Die Prüfung wird sofort abgebrochen. {Originaltext: «Die stehenden Blechlawinen verursachen einen beträchtlichen volkswirtschaftlichen Schaden.» Welche Umformulierung ist gelungen? |type="()"} + Die vielen Staus kosten die Schweizer Wirtschaft jedes Jahr viel Geld. - Die stehenden Blechlawinen verursachen einen beträchtlichen volkswirtschaftlichen Schaden. - Die Blechlawinen verursachen beträchtlichen Schaden. - Autos sind schlecht. </quiz> == Schritt 5: Die Aufgabenstellung genau lesen == Der wichtigste Schritt passiert '''vor''' dem Schreiben: Sie lesen die Aufgabenstellung genau und markieren alles, was verlangt ist. Diese Pflichtelemente geben die meisten Punkte. '''Tipp:''' Machen Sie aus der Aufgabenstellung eine kleine Checkliste, zum Beispiel: * ☐ Bezug zum Text * ☐ positive '''und''' kritische Punkte * ☐ Erfahrung 1 * ☐ Erfahrung 2 * ☐ Erfahrung 3 * ☐ Fazit * ☐ 90–110 Wörter Nach dem Schreiben haken Sie jeden Punkt ab. <quiz display=simple> {Was sollten Sie tun, bevor Sie mit dem Schreiben beginnen? |type="()"} + Die Aufgabenstellung genau lesen und alle Pflichtelemente markieren. - Sofort losschreiben, damit genug Zeit bleibt. - Den Lesetext abschreiben. - Zuerst die Wörter zählen. {In der Aufgabe steht: «Äussern Sie sich sowohl positiv als auch kritisch.» Was bedeutet das? |type="()"} - Ich darf nur Positives schreiben. - Ich darf nur Kritik schreiben. + Ich muss Vorteile und Nachteile nennen. - Ich darf selbst wählen, ob ich positiv oder kritisch schreibe. </quiz> == Schritt 6: Drei eigene Punkte, aber ausführlich == Die drei Erfahrungen, Argumente oder Ideen geben viele Punkte. Wichtig: Ein einziges Stichwort reicht nicht. Ein Punkt wird erst richtig bewertet, wenn er '''ausführlich''' beschrieben ist. * Zu knapp: «Ich hatte technische Probleme.» * Ausführlich: «Bei einer wichtigen Videokonferenz fiel mein Internet aus, sodass ich die Entscheidungen erst am nächsten Tag per E-Mail erfuhr.» Bewertung pro Punkt: ausführlich = 2 Punkte, eher knapp = 1 Punkt, praktisch keine Information = 0 Punkte. <quiz display=simple> {Welche persönliche Erfahrung ist am ausführlichsten beschrieben? |type="()"} - Homeoffice war gut. - Ich arbeitete gerne zu Hause. + Im Homeoffice sparte ich täglich eine Stunde Arbeitsweg und konnte diese Zeit für meine Familie nutzen. - Zu Hause war es ruhig. {Wie viele Punkte gibt eine sehr knappe Erfahrung wie «Ich hatte technische Probleme.» höchstens? |type="()"} - 0 Punkte + 1 Punkt - 2 Punkte - 3 Punkte </quiz> == Schritt 7: Ein klarer Aufbau == Auch ein kurzer Text braucht einen Aufbau: # '''Einleitung''' (1–2 Sätze): Worum geht es? Wer schreibt? Bezug zum Thema. # '''Hauptteil''': Ihre drei Punkte, mit Bezug zum Lesetext. # '''Schluss''' (1–2 Sätze): Fazit, Einschätzung oder Aufforderung. Bei einem Brief oder Gesuch kommen noch '''Anrede''' und '''Grussformel''' dazu. <quiz display=simple> {Was gehört in den Schluss eines Firmenzeitungsbeitrags? |type="()"} - Eine neue Erfahrung, die man vergessen hat. + Ein Fazit oder eine Einschätzung. - Ein Zitat aus dem Lesetext. - Nichts, der Text darf einfach aufhören. {Bringen Sie den Aufbau in die richtige Reihenfolge. Welche Reihenfolge stimmt? |type="()"} - Schluss – Einleitung – Hauptteil - Hauptteil – Schluss – Einleitung + Einleitung – Hauptteil – Schluss - Einleitung – Schluss – Hauptteil {Was braucht ein Gesuch zusätzlich zu Einleitung, Hauptteil und Schluss? (Mehrere Antworten richtig) |type="[]"} + eine Anrede + eine Grussformel - ein Emoji - eine Zeichnung </quiz> == Schritt 8: Die Wortzahl einhalten == 90 bis 110 Wörter sind nicht viel. Sie müssen also '''auswählen''', was wirklich wichtig ist. Das ist im Beruf genauso: Eine gute E-Mail ist kurz und enthält nur das Wesentliche. Abzüge bei der Länge: * bis 10 Wörter zu wenig oder zu viel: '''−2 Punkte''' * mehr als 10 Wörter zu wenig oder zu viel: '''−4 Punkte''' '''Tipp:''' Zählen Sie am Schluss die Wörter und schreiben Sie die Zahl unter den Text. <quiz display=simple> {Ihr Text hat 115 Wörter. Was passiert? |type="()"} - Nichts, das ist fast richtig. + Es gibt 2 Punkte Abzug. - Es gibt 4 Punkte Abzug. - Der Text wird nicht bewertet. {Ihr Text hat 75 Wörter. Was passiert? |type="()"} - Nichts. - Es gibt 2 Punkte Abzug. + Es gibt 4 Punkte Abzug. - Man bekommt einen Bonus, weil der Text kurz ist. </quiz> == Schritt 9: Wie wird bewertet? == Die Textproduktion gibt meistens 20 Punkte: {| class="wikitable" ! Bereich !! Was wird bewertet? !! Punkte (Beispiel 2022) |- | Inhalt || Pflichtelemente aus der Aufgabe, drei eigene Punkte, Fazit || 13 |- | Sprache und Form || Stil, Grammatik, Rechtschreibung, Zeichensetzung, Länge, nicht abschreiben || 7 |} Das heisst: '''Der Inhalt zählt am meisten.''' Wer alle Pflichtelemente sauber erfüllt, holt bereits viele Punkte. Gute Sprache bringt den Rest. <quiz display=simple> {Welcher Bereich gibt bei der Textproduktion am meisten Punkte? |type="()"} + Der Inhalt (Pflichtelemente, eigene Punkte, Fazit) - Die Schönschrift - Die Anzahl Fremdwörter - Die Länge des Titels {Welche Fehler führen zu Abzügen im Bereich Sprache und Form? (Mehrere Antworten richtig) |type="[]"} + Rechtschreibfehler + ganze Sätze aus dem Lesetext abschreiben + zu viele oder zu wenige Wörter - eine höfliche Anrede - Absätze im Text </quiz> == Schritt 10: Alles zusammen == Sie kennen jetzt die wichtigsten Regeln. Testen Sie Ihr Wissen ein letztes Mal. <quiz display=simple> {Welche Vorgehensweise ist für die Aufgabe 4 am besten? |type="()"} + Aufgabe lesen – Pflichtelemente markieren – Stichworte sammeln – schreiben – Checkliste und Wortzahl prüfen - Sofort schreiben – am Schluss die Aufgabe lesen - Lesetext abschreiben – Wörter zählen – abgeben - Nur die drei Erfahrungen schreiben – kein Fazit {Welche Aussagen sind richtig? (Mehrere Antworten richtig) |type="[]"} + Ich beziehe mich auf den Lesetext, verwende aber eigene Wörter. + Ich passe den Ton dem Empfänger an. + Ich beschreibe meine drei Punkte ausführlich. - Die Wortzahl ist nicht so wichtig. - Ein Fazit ist freiwillig. </quiz> == Merkblatt: Die Aufgabe 4 auf einen Blick == # Situation und Texttyp verstehen: Wer schreibt an wen? # Pflichtelemente markieren und als Checkliste notieren. # Stichworte sammeln: Bezug zum Text und drei eigene Punkte. # Aufbau: Einleitung – Hauptteil – Schluss (bei Briefen mit Anrede und Gruss). # In eigenen Worten schreiben, nicht abschreiben. # Punkte ausführlich und konkret beschreiben. # Wörter zählen: 90–110. # Text auf Rechtschreibung, Grammatik und Zeichensetzung prüfen. [[Kategorie:Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)]] 5qh7t8eb4u2ctqfo0y7455o2i6c7bad 106 173455 1119165 2026-11-09T07:56:20Z Paul Sutermeister 37610 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1119165 wikitext text/x-wiki __NOTOC__ '''Textproduktion üben: Pflichtelemente erkennen und Texte verbessern''' Auf der ersten Seite haben Sie die Regeln der Aufgabe 4 kennengelernt. Jetzt wenden Sie sie an: Sie lesen eine Aufgabenstellung, prüfen einen schwachen Text und vergleichen ihn mit einem gelungenen. Am Schluss schreiben Sie selbst. == Schritt 1: Die Übungsaufgabe == Lesen Sie die folgende Aufgabenstellung genau. <div style="border:1px solid #aaa; padding:10px; background:#f8f9fa;"> Sie sind Mitglied im Vorstand des Unihockeyclubs Seeberg. Ihr Verein hat seine bisherige Trainingshalle verloren. Sie schreiben im Namen des Vereins ein '''Gesuch an die Gemeinde''', um die Turnhalle des Schulhauses Rain zu mieten. * Nennen Sie Ihr Anliegen klar (welche Halle, wann, ab wann). * Begründen Sie Ihr Gesuch mit '''drei Argumenten'''. * Schliessen Sie mit einer höflichen Bitte um Antwort. * Ihr Text ist '''90 bis 110 Wörter''' lang. </div> <quiz display=simple> {Welche Pflichtelemente verlangt diese Aufgabe? (Mehrere Antworten richtig) |type="[]"} + ein klar formuliertes Anliegen + drei Argumente + ein höflicher Schluss mit Bitte um Antwort + 90 bis 110 Wörter - eine Kritik an der Gemeinde - eine Geschichte des Vereins {Wer ist der Empfänger dieses Textes? |type="()"} - die Vereinsmitglieder + die Gemeinde (Behörde) - die Leserinnen und Leser einer Zeitung - die Eltern der Kinder {Welcher Ton passt deshalb? |type="()"} - locker und kumpelhaft - fordernd und drohend + höflich, formell und sachlich - witzig und ironisch </quiz> == Schritt 2: Ein schwacher Text == Marco hat folgendes Gesuch geschrieben: <div style="border:1px solid #c00; padding:10px; background:#fff5f5;"> Hallo<br/> Wir sind der Unihockeyclub Seeberg und wir brauchen dringend eine Turnhalle. Jugendliche bewegen sich heute deutlich weniger als noch vor zwanzig Jahren. Die Halle beim Schulhaus Rain steht am Abend ja eh leer. Wir wollen sie am Mittwoch. Unsere Halle in Neudorf ist nämlich zu teuer geworden und das ist echt mühsam. Wenn wir die Halle nicht kriegen, müssen wir den Verein wohl schliessen und dann ist die Gemeinde schuld.<br/> Tschüss<br/> Marco </div> ''(73 Wörter)'' <quiz display=simple> {Was stimmt mit der Anrede «Hallo» und dem Gruss «Tschüss» nicht? |type="()"} - Nichts, sie sind freundlich. + Sie sind zu umgangssprachlich für ein Gesuch an eine Behörde. - Sie sind zu formell. - Sie sind falsch geschrieben. {Welche Sätze sind im Ton unpassend? (Mehrere Antworten richtig) |type="[]"} + «Die Halle steht am Abend ja eh leer.» + «Das ist echt mühsam.» + «Dann ist die Gemeinde schuld.» - «Jugendliche bewegen sich heute deutlich weniger als noch vor zwanzig Jahren.» {Der Satz «Dann ist die Gemeinde schuld» ist … |type="()"} - eine gute Begründung. + eine Schuldzuweisung und versteckte Drohung. - eine höfliche Bitte. - ein Fazit. {Welche Angaben zum Anliegen fehlen? (Mehrere Antworten richtig) |type="[]"} + die genaue Uhrzeit + ab wann die Halle benötigt wird - der Name des Vereins - der Name der Halle {Welches Problem hat der Text bei der Länge? |type="()"} - Er ist genau richtig. - Er ist zu lang. + Er ist mehr als 10 Wörter zu kurz (−4 Punkte). - Er ist bis 10 Wörter zu kurz (−2 Punkte). {Fehlt im Text ein Pflichtelement? |type="()"} - Nein, alles ist da. + Ja, der höfliche Schluss mit Bitte um Antwort fehlt. - Ja, es fehlt eine Kritik an der Gemeinde. - Ja, es fehlt ein Zitat. </quiz> == Schritt 3: Sätze verbessern == Ein schwacher Satz lässt sich fast immer sachlich umformulieren. Wählen Sie jeweils die beste Verbesserung. <quiz display=simple> {«Wir wollen sie am Mittwoch.» |type="()"} - Wir wollen die Halle unbedingt am Mittwoch haben. + Gerne würden wir die Halle jeweils am Mittwoch von 19 bis 21 Uhr mieten. - Mittwoch wäre cool. - Geben Sie uns die Halle am Mittwoch. {«Unsere Halle in Neudorf ist nämlich zu teuer geworden und das ist echt mühsam.» |type="()"} + Unsere bisherige Halle in Neudorf können wir aus Kostengründen leider nicht mehr nutzen. - Neudorf ist einfach viel zu teuer, das nervt. - Neudorf will zu viel Geld, das ist eine Frechheit. - Wir haben keine Halle mehr. {«Wenn wir die Halle nicht kriegen, müssen wir den Verein wohl schliessen und dann ist die Gemeinde schuld.» |type="()"} - Ohne Halle ist alles vorbei. - Sie sind verantwortlich, wenn es uns bald nicht mehr gibt. + Mit einer neuen Trainingsmöglichkeit kann unser Verein sein Angebot für die Jugend weiterführen. - Bitte, bitte, wir brauchen die Halle wirklich. </quiz> == Schritt 4: Ein gelungener Text == So könnte ein gutes Gesuch aussehen: <div style="border:1px solid #080; padding:10px; background:#f5fff5;"> Sehr geehrte Damen und Herren<br/> Der Unihockeyclub Seeberg ersucht Sie höflich, uns die Turnhalle des Schulhauses Rain ab Januar jeweils am Mittwoch von 19 bis 21 Uhr zu vermieten.<br/> Unser Verein trainiert mit rund 25 Kindern und Jugendlichen. Gerade heute, wo viele junge Menschen ihre Freizeit am Bildschirm verbringen, bieten wir ihnen eine sinnvolle sportliche Beschäftigung. Zudem stärkt unser Verein das Dorfleben: Mehrere Eltern engagieren sich ehrenamtlich als Trainerinnen und Trainer. Unsere bisherige Halle in Neudorf ist leider nicht mehr verfügbar, weshalb wir auf Ihre Unterstützung angewiesen sind.<br/> Für die Prüfung unseres Gesuchs danken wir Ihnen bestens und freuen uns auf Ihre Antwort.<br/> Freundliche Grüsse<br/> Marco Keller, Präsident </div> ''(108 Wörter)'' <quiz display=simple> {Wo steht das Anliegen? |type="()"} + Gleich im ersten Satz nach der Anrede. - Erst am Schluss. - Mitten im Hauptteil. - Es fehlt. {Welche Argumente nennt der Text? (Mehrere Antworten richtig) |type="[]"} + Der Verein bietet Kindern und Jugendlichen sinnvolle Bewegung. + Der Verein stärkt das Dorfleben durch freiwilliges Engagement. + Die bisherige Halle ist nicht mehr verfügbar. - Die Turnhalle steht sowieso leer. - Die Gemeinde ist sonst schuld. {Ist die Länge in Ordnung? |type="()"} + Ja, 108 Wörter liegen zwischen 90 und 110. - Nein, der Text ist zu lang. - Nein, der Text ist zu kurz. - Die Länge spielt keine Rolle. {Was macht diesen Text besser als Marcos ersten Versuch? (Mehrere Antworten richtig) |type="[]"} + formelle Anrede und Grussformel + genaue Angaben zu Halle, Tag, Uhrzeit und Beginn + sachliche Begründungen statt Vorwürfe + höflicher Schluss mit Dank - mehr Ausrufezeichen </quiz> == Schritt 5: Ausführlich statt knapp == In Firmenzeitungsbeiträgen werden oft drei '''persönliche Erfahrungen''' verlangt. Ausführliche Erfahrungen geben 2 Punkte, knappe nur 1 Punkt. Eine ausführliche Erfahrung beantwortet meistens: '''Was''' ist passiert? '''Wann oder wo'''? '''Mit welcher Folge'''? <quiz display=simple> {Welche Erfahrung zum Thema Videokonferenzen ist ausführlich beschrieben? |type="()"} - Zoom war praktisch. - Ich mochte die Videokonferenzen nicht so. + Dank der Videokonferenzen konnte ich zweimal pro Woche an den Teamsitzungen teilnehmen, ohne eine Stunde nach Bern zu pendeln. - Videokonferenzen sind modern. {Welche Erfahrung zur geschlossenen Kantine ist ausführlich beschrieben? |type="()"} - Die Kantine war zu. + Weil die Kantine geschlossen war, ass ich mittags allein am Pult und vermisste die Gespräche mit Kolleginnen aus anderen Abteilungen. - Ich hatte Hunger. - Die Kantine fehlte mir. {Was beantwortet eine ausführliche Erfahrung? (Mehrere Antworten richtig) |type="[]"} + Was ist passiert? + Welche Folge hatte es? + In welcher Situation geschah es? - Was steht wörtlich im Lesetext? </quiz> == Schritt 6: Jetzt sind Sie dran == Schreiben Sie nun selbst einen Text. Gehen Sie so vor: # '''Aufgabe lesen:''' Markieren Sie alle Pflichtelemente. # '''Checkliste notieren:''' Schreiben Sie die Pflichtelemente als Liste auf ein Blatt. # '''Stichworte sammeln:''' Notieren Sie Ihre drei Argumente, Erfahrungen oder Ideen. # '''Schreiben:''' Einleitung – Hauptteil – Schluss (bei Briefen mit Anrede und Gruss). # '''Prüfen:''' Checkliste abhaken, Wörter zählen, Rechtschreibung kontrollieren. '''Übungsauftrag''' <div style="border:1px solid #aaa; padding:10px; background:#f8f9fa;"> Ihr Betrieb hat ein Jahr lang an zwei Tagen pro Woche Homeoffice erlaubt. Schreiben Sie einen Beitrag für die Firmenzeitung (90 bis 110 Wörter): * Äussern Sie sich positiv '''und''' kritisch zum Homeoffice. * Beschreiben Sie drei persönliche Erfahrungen. * Schliessen Sie mit einem Fazit: Soll der Betrieb das Homeoffice beibehalten? </div> <quiz display=simple> {Bevor Sie abgeben: Welche Kontrollen machen Sie? (Mehrere Antworten richtig) |type="[]"} + Sind positive und kritische Punkte enthalten? + Sind alle drei Erfahrungen ausführlich? + Gibt es ein Fazit? + Liegt der Text zwischen 90 und 110 Wörtern? - Habe ich möglichst viele Sätze aus dem Lesetext übernommen? </quiz> == Checkliste zum Ausdrucken == {| class="wikitable" ! Kontrolle !! erledigt |- | Texttyp und Empfänger richtig erkannt || ☐ |- | Passende Anrede und Grussformel (bei Briefen) || ☐ |- | Anliegen oder Thema in der Einleitung klar || ☐ |- | Bezug zum Lesetext, in eigenen Worten || ☐ |- | Drei Punkte, jeder ausführlich || ☐ |- | Positive und kritische Seite (falls verlangt) || ☐ |- | Fazit oder höflicher Schluss || ☐ |- | 90–110 Wörter (Zahl notiert) || ☐ |- | Rechtschreibung, Grammatik, Zeichensetzung geprüft || ☐ |} [[Kategorie:Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom)]] l38pakehzoyjq8eumbaibww5r6xicnk 106 173456 1119170 2026-11-09T08:36:43Z Strucannn 41958 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1119170 wikitext text/x-wiki Marketing & Verkauf: Linda Schmitt Finanzen & Controlling: Erika Williams & Chloe Schröder Personal & Beschaffung: Sabine Mauer 4. Management & IT: Emilia Weiler l1x20hedyjt6h4mdbrv1hr5omjfzxdl 1119172 1119170 2026-11-09T08:37:48Z Strucannn 41958 1119172 wikitext text/x-wiki =Unser Team= Marketing & Verkauf: Linda Schmitt Finanzen & Controlling: Erika Williams & Chloe Schröder Personal & Beschaffung: Sabine Mauer 4. Management & IT: Emilia Weiler b8fq17okcfpbgs25n4ryng8lkl9uixl 1119173 1119172 2026-11-09T08:40:55Z Strucannn 41958 /* Unser Team */ 1119173 wikitext text/x-wiki =Unser Team= Marketing & Verkauf: Linda Schmitt Finanzen & Controlling: Erika Williams & Chloe Schröder Personal & Beschaffung: Sabine Mauer Management & IT: Emilia Weiler b5do89lic9o4gslg0bmdth65eqbfwzr 1119174 1119173 2026-11-09T08:43:50Z Strucannn 41958 /* Unser Team */ 1119174 wikitext text/x-wiki =Unser Team= ‘‘‘Marketing & Verkauf: Linda Schmit‘‘‘ Linda ist für die Vermarktung unserer Produkte und die Betreuung unserer Kunden verantwortlich. Sie entwickelt Marketingideen und sorgt für einen erfolgreichen Verkauf. Finanzen & Controlling: Erika Williams & Chloe Schröder Personal & Beschaffung: Sabine Mauer Management & IT: Emilia Weiler 803nsuxmokkfz79p6o7iwrlspgeziv5 1119175 1119174 2026-11-09T08:46:50Z Strucannn 41958 /* Unser Team */ 1119175 wikitext text/x-wiki =Unser Team= Marketing & Verkauf: Linda Schmitt Linda ist für die Vermarktung unserer Produkte und die Betreuung unserer Kunden verantwortlich. Sie entwickelt Marketingideen und sorgt für einen erfolgreichen Verkauf. Finanzen & Controlling: Erika Williams & Chloe Schröder Erika & Chloe kümmern sich um die finanziellen Angelegenheiten unseres Unternehmens. Sie überwachen Einnahmen und Ausgaben und behalten unser Budget im Blick. Außerdem unterstützen Sie die Finanzplanung und Kontrolle. Sie werten wichtige Zahlen aus und helfen dabei, wirtschaftliche Entscheidungen zu treffen. Personal & Beschaffung: Sabine Mauer Sabine ist für Personalangelegenheiten und die Beschaffung zuständig. Sie unterstützt die Mitarbeiterplanung und kümmert sich um die Auswahl und Bestellung benötigter Materialien. Management & IT: Emilia Weiler Emilia koordiniert organisatorische Abläufe und beschäftigt sich mit der technischen Ausstattung unseres Unternehmens. Sie unterstützt die Planung und sorgt für funktionierende IT-Strukturen. 1d5lwdnu37z7baug4funulvigp0impz 1119176 1119175 2026-11-09T08:55:49Z Strucannn 41958 /* Unser Team */ 1119176 wikitext text/x-wiki =Unser Team= '''Marketing & Verkauf: Linda Schmitt''' Linda ist für die Vermarktung unserer Produkte und die Betreuung unserer Kunden verantwortlich. Sie entwickelt Marketingideen und sorgt für einen erfolgreichen Verkauf. '''Finanzen & Controlling: Erika Williams & Chloe Schröder''' Erika & Chloe kümmern sich um die finanziellen Angelegenheiten unseres Unternehmens. Sie überwachen Einnahmen und Ausgaben und behalten unser Budget im Blick. Außerdem unterstützen Sie die Finanzplanung und Kontrolle. Sie werten wichtige Zahlen aus und helfen dabei, wirtschaftliche Entscheidungen zu treffen. '''Personal & Beschaffung: Sabine Mauer''' Sabine ist für Personalangelegenheiten und die Beschaffung zuständig. Sie unterstützt die Mitarbeiterplanung und kümmert sich um die Auswahl und Bestellung benötigter Materialien. '''Management & IT: Emilia Weiler''' Emilia koordiniert organisatorische Abläufe und beschäftigt sich mit der technischen Ausstattung unseres Unternehmens. Sie unterstützt die Planung und sorgt für funktionierende IT-Strukturen. c11qszvnalpl6ad9by1f9n41wv3dn4j 106 173457 1119180 2026-11-09T09:42:36Z ~2026-58264-39 42056 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1119180 wikitext text/x-wiki '''Variable Kosten''' {| class="wikitable" ! Position !! Berechnung !! Betrag |- | Krankheits-/Urlaubstage || 480 h · 17,5 % = 84 h · 14 € || 1.176 € |- | Löhne 5 Studis || 480 h · 14 € · 5 || 33.600 € |- | Papier, Toner, Verschleiß || pauschal || ca. 1.500 € |- | '''Summe''' || || '''36.276 €''' |} '''Fixkosten (6 Monate)''' {| class="wikitable" ! Position !! Berechnung !! Betrag |- | Lohn Wissenschaftlerin || 6 · 4.800 € || 28.800 € |- | Büromiete Darmstadt || 6 · 800 € || 4.800 € |- | Profi-Kopierer || 3.000 € / 3 Jahre = 1.000 €/Jahr → ½ Jahr || 500 € |- | Laptop + Lizenzen || 700 € / 3 Jahre ≈ 20 €/Monat · 6 · 5 || 600 € |- | '''Summe''' || || '''34.700 €''' |} '''Preisberechnung''' (Vollkosten: 36.276 € + 34.700 € = 70.976 €) {| class="wikitable" ! Variante !! Netto !! Brutto (· 1,19) |- | 1) Kurzfristig ohne Verlust (nur variable Kosten) || 36.276,00 € || 43.168,44 € |- | 2) Langfristig ohne Verlust (Vollkosten) || 70.976,00 € || 84.461,44 € |- | 3) Mit 20 % Gewinn (+ 14.195,20 €) || 85.171,20 € || 101.353,73 € |} josh6khfihbyljnpt07vjedxf2ue3ca 1119192 1119180 2026-11-09T10:20:22Z KlausBarkowsky 41946 1119192 wikitext text/x-wiki === Arbeitgeberanteile Sozialversicherung 2026 === {| class="wikitable" ! Versicherung !! Wissenschaftlerin !! Studis (Werkstudenten) |- | Rentenversicherung || 9,3 % || 9,3 % |- | Arbeitslosenversicherung || 1,3 % || entfällt |- | Krankenversicherung (7,3 % + ½ Ø-Zusatzbeitrag 1,45 %) || 8,75 % || entfällt |- | Pflegeversicherung || 1,8 % || entfällt |- | Unfallversicherung (Annahme, je nach Berufsgenossenschaft) || 1,0 % || 1,0 % |- | '''Summe''' || '''22,15 %''' || '''10,3 %''' |} Studis arbeiten ca. 18,5 Std./Woche (unter 20 Std.) und gelten daher als Werkstudenten. === Variable Kosten === {| class="wikitable" ! Position !! Berechnung !! Betrag |- | Krankheits-/Urlaubstage || 480 h · 17,5 % = 84 h · 14 € || 1.176,00 € |- | Löhne 5 Studis || 480 h · 14 € · 5 || 33.600,00 € |- | Rentenversicherung || 9,3 % · 34.776 € || 3.234,17 € |- | Unfallversicherung || 1,0 % · 34.776 € || 347,76 € |- | Papier, Toner, Verschleiß || pauschal || 1.500,00 € |- | '''Summe''' || || '''39.857,93 €''' |} === Fixkosten (6 Monate) === {| class="wikitable" ! Position !! Berechnung !! Betrag |- | Lohn Wissenschaftlerin || 6 · 4.800 € || 28.800,00 € |- | Rentenversicherung || 9,3 % · 28.800 € || 2.678,40 € |- | Arbeitslosenversicherung || 1,3 % · 28.800 € || 374,40 € |- | Krankenversicherung || 8,75 % · 28.800 € || 2.520,00 € |- | Pflegeversicherung || 1,8 % · 28.800 € || 518,40 € |- | Unfallversicherung || 1,0 % · 28.800 € || 288,00 € |- | Büromiete Darmstadt || 6 · 800 € || 4.800,00 € |- | Profi-Kopierer || 3.000 € / 3 Jahre = 1.000 €/Jahr → ½ Jahr || 500,00 € |- | Laptop + Lizenzen || 700 € / 3 Jahre ≈ 20 €/Monat · 6 · 5 || 600,00 € |- | '''Summe''' || || '''41.079,20 €''' |} === Preisberechnung === Vollkosten: 39.857,93 € + 41.079,20 € = '''80.937,13 €''' {| class="wikitable" ! Variante !! Netto !! Brutto (· 1,19) |- | 1) Kurzfristig ohne Verlust (nur variable Kosten) || 39.857,93 € || 47.430,94 € |- | 2) Langfristig ohne Verlust (Vollkosten) || 80.937,13 € || 96.315,18 € |- | 3) Mit 20 % Gewinn (+ 16.187,43 €) || 97.124,56 € || 115.578,23 € |} 7mx63vahcfyyb5saeoeh6u3gcb6eahd 1119193 1119192 2026-11-09T10:21:20Z KlausBarkowsky 41946 /* Arbeitgeberanteile Sozialversicherung 2026 */ 1119193 wikitext text/x-wiki === Arbeitgeberanteile Sozialversicherung 2026 === {| class="wikitable" ! Versicherung !! Wissenschaftlerin !! Studis (Werkstudenten) |- | Rentenversicherung || 9,3 % || 9,3 % |- | Arbeitslosenversicherung || 1,3 % || entfällt |- | Krankenversicherung (7,3 % + ½ Ø-Zusatzbeitrag 1,45 %) || 8,75 % || entfällt |- | Pflegeversicherung || 1,8 % || entfällt |- | Unfallversicherung (Annahme, je nach Berufsgenossenschaft) || 1,0 % || 1,0 % |- | '''Summe''' || '''22,15 %''' || '''10,3 %''' |} === Variable Kosten === {| class="wikitable" ! Position !! Berechnung !! Betrag |- | Krankheits-/Urlaubstage || 480 h · 17,5 % = 84 h · 14 € || 1.176,00 € |- | Löhne 5 Studis || 480 h · 14 € · 5 || 33.600,00 € |- | Rentenversicherung || 9,3 % · 34.776 € || 3.234,17 € |- | Unfallversicherung || 1,0 % · 34.776 € || 347,76 € |- | Papier, Toner, Verschleiß || pauschal || 1.500,00 € |- | '''Summe''' || || '''39.857,93 €''' |} === Fixkosten (6 Monate) === {| class="wikitable" ! Position !! Berechnung !! Betrag |- | Lohn Wissenschaftlerin || 6 · 4.800 € || 28.800,00 € |- | Rentenversicherung || 9,3 % · 28.800 € || 2.678,40 € |- | Arbeitslosenversicherung || 1,3 % · 28.800 € || 374,40 € |- | Krankenversicherung || 8,75 % · 28.800 € || 2.520,00 € |- | Pflegeversicherung || 1,8 % · 28.800 € || 518,40 € |- | Unfallversicherung || 1,0 % · 28.800 € || 288,00 € |- | Büromiete Darmstadt || 6 · 800 € || 4.800,00 € |- | Profi-Kopierer || 3.000 € / 3 Jahre = 1.000 €/Jahr → ½ Jahr || 500,00 € |- | Laptop + Lizenzen || 700 € / 3 Jahre ≈ 20 €/Monat · 6 · 5 || 600,00 € |- | '''Summe''' || || '''41.079,20 €''' |} === Preisberechnung === Vollkosten: 39.857,93 € + 41.079,20 € = '''80.937,13 €''' {| class="wikitable" ! Variante !! Netto !! Brutto (· 1,19) |- | 1) Kurzfristig ohne Verlust (nur variable Kosten) || 39.857,93 € || 47.430,94 € |- | 2) Langfristig ohne Verlust (Vollkosten) || 80.937,13 € || 96.315,18 € |- | 3) Mit 20 % Gewinn (+ 16.187,43 €) || 97.124,56 € || 115.578,23 € |} 1hs2a8fbdrt1n44toj103nw7b3hwva3 106 173458 1119186 2026-11-09T10:10:31Z Paul Sutermeister 37610 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1119186 wikitext text/x-wiki __NOTOC__ = Eventmanagement für Kaufleute – Schritt für Schritt = Auf dieser Seite lernen Sie die Grundlagen des Eventmanagements. Sie brauchen kein Vorwissen. Lesen Sie zuerst jeweils den kurzen Theorieteil und lösen Sie danach die Fragen. Gehen Sie Schritt für Schritt vor – jeder Schritt baut auf dem vorherigen auf. ---- == Schritt 1: Was ist ein Event? == Ein '''Event''' (deutsch: Veranstaltung, Anlass) ist ein '''geplantes''' Ereignis mit einem '''bestimmten Ziel''', einem '''festen Datum''' und einer '''bestimmten Zielgruppe'''. Beispiele aus dem Berufsalltag: * ein Firmenjubiläum * ein Tag der offenen Tür * eine Produktpräsentation * ein Kundenapéro * ein Weihnachtsessen für die Mitarbeitenden * ein Seminar oder eine Messe Ein zufälliges Treffen in der Kaffeepause ist '''kein''' Event: Es ist weder geplant noch hat es ein Ziel. <quiz display=simple> {Was ist ein Event? |type="()"} - Ein zufälliges Treffen von Menschen. + Ein geplantes Ereignis mit Ziel, Datum und Zielgruppe. - Jede Sitzung im Büro. - Eine Werbeanzeige in der Zeitung. {Welche der folgenden Beispiele sind Events? (Mehrere Antworten sind richtig.) |type="[]"} + Ein Tag der offenen Tür + Ein Firmenjubiläum - Ein Kaffee mit einer Kollegin in der Pause + Eine Produktpräsentation für Kundinnen und Kunden </quiz> ---- == Schritt 2: Warum brauchen Kaufleute Wissen über Events? == Kaufleute organisieren in vielen Betrieben Anlässe oder helfen dabei mit. Typische Aufgaben sind: * Offerten (Angebote) einholen und vergleichen * Termine koordinieren * Einladungen schreiben und versenden * Anmeldungen verwalten * das Budget überwachen * Rechnungen kontrollieren und bezahlen Eventmanagement verbindet also viele kaufmännische Fähigkeiten: '''Organisation, Kommunikation, Rechnen und Zusammenarbeit'''. <quiz display=simple> {Welche Aufgaben übernehmen Kaufleute oft bei einem Event? (Mehrere Antworten sind richtig.) |type="[]"} + Offerten einholen und vergleichen + Einladungen schreiben - Das Essen selbst kochen + Anmeldungen verwalten + Rechnungen kontrollieren {Eventmanagement verbindet viele kaufmännische Fähigkeiten. |type="()"} + Richtig - Falsch </quiz> ---- == Schritt 3: Die Arten von Events == Man unterscheidet Events oft nach ihrer '''Zielgruppe''': {| class="wikitable" ! Art !! Für wen? !! Beispiel |- | '''Interne Events''' || Mitarbeitende des eigenen Betriebs || Weihnachtsessen, Teamausflug |- | '''Externe Events''' || Kundschaft, Partner, Öffentlichkeit || Messe, Kundenapéro, Tag der offenen Tür |} Interne Events stärken vor allem den '''Teamgeist''' und die Motivation. Externe Events dienen oft dem '''Marketing''': Man will Kundinnen und Kunden gewinnen oder pflegen. <quiz display=simple> {Ein Teamausflug für alle Mitarbeitenden ist ein … |type="()"} + internes Event. - externes Event. {Eine Firma stellt an einer Messe ein neues Produkt vor. Das ist ein … |type="()"} - internes Event. + externes Event. {Wozu dienen externe Events häufig? |type="()"} - Nur zur Unterhaltung der Geschäftsleitung. + Dem Marketing, z. B. um Kundschaft zu gewinnen oder zu pflegen. - Dem Aufräumen des Lagers. </quiz> ---- == Schritt 4: Die vier Phasen eines Events == Jedes Event läuft in '''vier Phasen''' ab: # '''Konzeption''' – Die Idee entsteht: Was ist das Ziel? Wer ist die Zielgruppe? Wie viel Geld steht zur Verfügung? # '''Planung''' – Alles wird organisiert: Ort, Datum, Essen, Einladungen, Verträge. # '''Durchführung''' – Der Anlass findet statt. # '''Nachbereitung''' – Danach wird ausgewertet, abgerechnet und gedankt. Viele Anfängerinnen und Anfänger denken nur an die Durchführung. Doch die meiste Arbeit passiert '''vorher''' und '''nachher'''. <quiz display=simple> {In welcher Reihenfolge laufen die Phasen ab? |type="()"} - Planung – Konzeption – Nachbereitung – Durchführung + Konzeption – Planung – Durchführung – Nachbereitung - Durchführung – Planung – Konzeption – Nachbereitung {In welcher Phase wird festgelegt, was das Ziel des Events ist? |type="()"} + Konzeption - Durchführung - Nachbereitung {In welcher Phase werden die Rechnungen bezahlt und die Gäste befragt? |type="()"} - Konzeption - Planung + Nachbereitung {Die meiste Arbeit bei einem Event passiert am Tag selbst. |type="()"} - Richtig + Falsch </quiz> ---- == Schritt 5: Konzeption – Ziel und Zielgruppe == Am Anfang stehen zwei wichtige Fragen: * '''Warum''' machen wir das Event? → '''Ziel''' * '''Für wen''' machen wir das Event? → '''Zielgruppe''' Ein gutes Ziel ist '''konkret und messbar'''. Man spricht oft von einem '''SMART'''-Ziel: * '''S'''pezifisch – klar formuliert * '''M'''essbar – man kann prüfen, ob es erreicht wurde * '''A'''ttraktiv (oder akzeptiert) – lohnend für die Beteiligten * '''R'''ealistisch – erreichbar * '''T'''erminiert – mit einem Datum Beispiel: * Schlecht: «Wir wollen bekannter werden.» * Gut: «Am Tag der offenen Tür am 15. Mai besuchen uns mindestens 200 Personen.» <quiz display=simple> {Welche Frage gehört zur Zielgruppe? |type="()"} - Warum machen wir das Event? + Für wen machen wir das Event? - Wie viel kostet das Essen? {Welches Ziel ist SMART formuliert? |type="()"} - «Wir möchten, dass es allen gefällt.» - «Wir wollen mehr verkaufen.» + «An der Messe vom 3. März gewinnen wir mindestens 20 neue Kundenkontakte.» {Wofür steht das «T» in SMART? |type="()"} - Teuer + Terminiert - Teamorientiert </quiz> ---- == Schritt 6: Das Budget == Das '''Budget''' ist der Geldbetrag, der für das Event zur Verfügung steht. Es wird '''vor''' der Planung festgelegt. Typische Kosten (Ausgaben) sind: * Miete für den Ort (die '''Location''') * Essen und Getränke ('''Catering''') * Technik (Mikrofon, Beamer, Licht) * Dekoration * Personal (z. B. Servicepersonal, Referentin) * Werbung und Einladungen * Versicherung Wichtig: Man plant immer eine '''Reserve''' ein (oft etwa 10 %), denn es gibt fast immer unerwartete Kosten. Beispiel: Die Kosten betragen CHF 5'000. Mit 10 % Reserve plant man CHF 5'500. <quiz display=simple> {Was ist ein Budget? |type="()"} + Der Geldbetrag, der für das Event zur Verfügung steht. - Die Liste der Gäste. - Der Ablauf des Abends. {Wie nennt man das Organisieren von Essen und Getränken für einen Anlass? |type="()"} - Location + Catering - Sponsoring {Die geplanten Kosten betragen CHF 2'000. Sie rechnen 10 % Reserve dazu. Wie gross ist das Budget? (Nur die Zahl eingeben.) |type="{}"} { 2200 } CHF {Warum plant man eine Reserve ein? |type="()"} - Damit man am Schluss Geld für sich behalten kann. + Weil fast immer unerwartete Kosten entstehen. - Weil das Gesetz es vorschreibt. </quiz> ---- == Schritt 7: Planung – Ort, Datum und Partner == In der Planungsphase organisiert man die wichtigsten Bausteine: * '''Datum''': Gibt es Ferien, Feiertage oder andere grosse Anlässe am gleichen Tag? * '''Location''': Ist der Ort gross genug, gut erreichbar (ÖV, Parkplätze) und rollstuhlgängig? * '''Lieferanten''': Für Catering, Technik usw. holt man mehrere '''Offerten''' ein und vergleicht sie. Beim Vergleich der Offerten achtet man nicht nur auf den Preis, sondern auch auf '''Qualität, Zuverlässigkeit''' und '''Leistungsumfang''' (Was ist im Preis inbegriffen?). Hat man sich entschieden, wird ein '''Vertrag''' oder eine schriftliche '''Auftragsbestätigung''' abgeschlossen. Achten Sie dabei auf die '''Annullationsbedingungen''': Was kostet es, wenn das Event abgesagt wird? <quiz display=simple> {Was ist eine Offerte? |type="()"} - Eine Rechnung nach dem Event. + Ein Angebot eines Lieferanten mit Preis und Leistungen. - Eine Einladung an die Gäste. {Worauf achtet man beim Vergleich von Offerten? (Mehrere Antworten sind richtig.) |type="[]"} + Preis + Was im Preis inbegriffen ist + Zuverlässigkeit des Anbieters - Die Lieblingsfarbe der Lieferantin {Was regeln die Annullationsbedingungen? |type="()"} - Wie viele Gäste kommen dürfen. + Was es kostet, wenn das Event abgesagt wird. - Welche Musik gespielt wird. {Worauf sollte man bei der Location achten? (Mehrere Antworten sind richtig.) |type="[]"} + Genug Platz für alle Gäste + Gute Erreichbarkeit + Rollstuhlgängigkeit - Möglichst weit weg von jedem Bahnhof </quiz> ---- == Schritt 8: Kommunikation – Einladung und Anmeldung == Die Gäste müssen '''rechtzeitig''' informiert werden. Oft verschickt man zuerst ein '''Save the Date''' (eine kurze Vorankündigung: «Reservieren Sie sich das Datum!») und später die eigentliche '''Einladung'''. Eine gute Einladung beantwortet die '''W-Fragen''': * '''Was''' findet statt? * '''Wann''' (Datum, Uhrzeit)? * '''Wo''' (Adresse, Anreise)? * '''Wer''' lädt ein, wer ist eingeladen? * '''Wie''' meldet man sich an – und '''bis wann''' ('''Anmeldeschluss''')? Die Anmeldungen werden in einer '''Teilnehmerliste''' erfasst, z. B. in Excel oder mit einem Online-Formular. <quiz display=simple> {Was ist ein «Save the Date»? |type="()"} + Eine kurze Vorankündigung, damit sich die Gäste das Datum reservieren. - Die Rechnung für den Anlass. - Ein Dankesschreiben nach dem Event. {Welche Angaben gehören in eine Einladung? (Mehrere Antworten sind richtig.) |type="[]"} + Datum und Uhrzeit + Ort und Anreise + Anmeldeschluss - Die Offerten der Lieferanten {Wie heisst die Frist, bis zu der sich die Gäste anmelden müssen? |type="()"} - Zahlungsfrist + Anmeldeschluss - Kündigungsfrist </quiz> ---- == Schritt 9: Recht und Sicherheit == Bei Events gibt es auch rechtliche Punkte. Die wichtigsten: * '''Bewilligungen''': Für grössere Anlässe im öffentlichen Raum braucht es oft eine Bewilligung der Gemeinde (z. B. für Lärm, Ausschank von Alkohol, Strassensperrung). * '''Versicherung''': Eine Haftpflichtversicherung deckt Schäden, die während des Events entstehen. * '''Datenschutz''': Wer Fotos von Gästen veröffentlichen will, muss sie vorher informieren – am besten schon in der Einladung. Anmeldedaten dürfen nur für das Event verwendet werden. * '''Sicherheit''': Notausgänge freihalten, Erste Hilfe organisieren, an Wetter und Notfälle denken. Für Probleme, die eintreten könnten, macht man einen '''Plan B''' (z. B. ein Zelt bei Regen). <quiz display=simple> {Sie organisieren ein Strassenfest mit Alkoholausschank. Was brauchen Sie wahrscheinlich? |type="()"} - Nichts, ein Fest ist immer erlaubt. + Eine Bewilligung der Gemeinde. - Eine Steuererklärung. {Sie möchten Fotos der Gäste auf der Firmenwebsite zeigen. Was ist richtig? |type="()"} - Das darf man immer ohne Information machen. + Man informiert die Gäste vorher, am besten schon in der Einladung. - Man muss die Gäste nach dem Event bezahlen. {Was ist ein «Plan B»? |type="()"} - Der zweite Teil des Abendprogramms. + Eine vorbereitete Lösung, falls etwas schiefgeht. - Das Budget für das nächste Jahr. </quiz> ---- == Schritt 10: Durchführung – der Ablaufplan == Am Tag des Events hilft ein '''Ablaufplan''' (auch '''Regieplan''' oder Drehbuch genannt). Er zeigt minutengenau: * '''Wann''' passiert '''was'''? * '''Wer''' ist '''verantwortlich'''? * '''Wo''' findet es statt? Beispiel: {| class="wikitable" ! Zeit !! Was !! Wer |- | 17:00 || Aufbau Technik || Frau Meier |- | 18:30 || Empfang der Gäste, Apéro || Herr Keller |- | 19:00 || Begrüssung durch die Geschäftsleitung || Frau Steiner |- | 19:15 || Abendessen || Catering |} Zusätzlich hat das Team eine '''Kontaktliste''' mit allen Telefonnummern (Lieferanten, Location, Notfall). <quiz display=simple> {Was zeigt ein Ablaufplan? |type="()"} - Nur die Kosten des Events. + Wann was passiert, wer verantwortlich ist und wo es stattfindet. - Nur die Namen der Gäste. {Ein anderes Wort für Ablaufplan ist … |type="()"} - Budget + Regieplan - Offerte {Warum braucht das Team am Event eine Kontaktliste? |type="()"} + Damit man bei Problemen schnell Lieferanten oder Hilfe erreicht. - Damit man den Gästen Werbung schicken kann. - Weil sie für die Steuer nötig ist. </quiz> ---- == Schritt 11: Nachbereitung == Nach dem Event ist die Arbeit nicht fertig. In der Nachbereitung: * '''Danken''': Gäste, Referentinnen, Helfer und Partner erhalten ein Dankeschön. * '''Abrechnen''': Alle Rechnungen werden kontrolliert und bezahlt. Man vergleicht die tatsächlichen Kosten mit dem Budget ('''Soll-Ist-Vergleich'''). * '''Auswerten''': Wurde das Ziel erreicht? Man kann die Gäste mit einem kurzen '''Feedback-Fragebogen''' befragen. * '''Lernen''': Was lief gut, was kann man beim nächsten Mal besser machen? Diese Punkte schreibt man auf ('''Lessons Learned'''). <quiz display=simple> {Was vergleicht man beim Soll-Ist-Vergleich? |type="()"} + Die geplanten Kosten (Budget) mit den tatsächlichen Kosten. - Die Gästeliste mit der Einladung. - Das Datum mit dem Wetter. {Wie findet man heraus, ob die Gäste zufrieden waren? |type="()"} - Man rät. + Man befragt sie, z. B. mit einem Feedback-Fragebogen. - Man schaut nur, ob alles Essen gegessen wurde. {Was gehört zur Nachbereitung? (Mehrere Antworten sind richtig.) |type="[]"} + Dankesschreiben verschicken + Rechnungen kontrollieren + Lessons Learned aufschreiben - Die Location suchen </quiz> ---- == Schritt 12: Abschlussquiz – alles zusammen == Jetzt wenden Sie Ihr Wissen an. Lesen Sie die Situation und beantworten Sie die Fragen. '''Situation:''' Sie arbeiten bei der Muster AG. Die Firma wird 25 Jahre alt und möchte am 20. Juni mit 120 Kundinnen und Kunden feiern. Ihre Chefin gibt Ihnen ein Budget von CHF 15'000. <quiz display=simple> {Um welche Art von Event handelt es sich? |type="()"} - Internes Event + Externes Event {Was machen Sie als Erstes? |type="()"} - Die Band buchen. + Ziel und Zielgruppe klären. - Die Rechnungen bezahlen. {Sie haben drei Offerten für das Catering. Was tun Sie? |type="()"} - Sie nehmen immer die günstigste. - Sie nehmen die erste, die gekommen ist. + Sie vergleichen Preis, Leistungen und Zuverlässigkeit. {Was verschicken Sie zuerst, damit die Gäste sich den 20. Juni frühzeitig freihalten? |type="()"} + Ein Save the Date - Den Ablaufplan - Den Feedback-Fragebogen {Am Ende kostet das Event CHF 15'800. Um wie viele Franken wurde das Budget überschritten? (Nur die Zahl eingeben.) |type="{}"} { 800 } CHF {Bringen Sie die Aufgaben in die richtige Phase: Welche Aufgabe gehört in die Nachbereitung? |type="()"} - Location besichtigen - Gäste begrüssen + Den Gästen danken und Feedback einholen </quiz> ---- == Zusammenfassung == {| class="wikitable" ! Phase !! Wichtigste Aufgaben |- | '''1. Konzeption''' || Ziel (SMART), Zielgruppe, Budget festlegen |- | '''2. Planung''' || Datum, Location, Offerten vergleichen, Verträge, Einladungen, Bewilligungen, Plan B |- | '''3. Durchführung''' || Ablaufplan (Regieplan) einhalten, Kontaktliste bereithalten, Gäste betreuen |- | '''4. Nachbereitung''' || Danken, abrechnen (Soll-Ist-Vergleich), auswerten, Lessons Learned |} '''Merksatz:''' Ein gutes Event entsteht nicht am Tag selbst, sondern durch gute Planung davor und ehrliche Auswertung danach. slio5p6m96fg1y68xb7cv17a2f5hwb4 1119227 1119186 2026-11-09T11:24:13Z Paul Sutermeister 37610 1119227 wikitext text/x-wiki __NOTOC__ = Eventmanagement für Kaufleute – Schritt für Schritt = Auf dieser Seite lernen Sie die Grundlagen des Eventmanagements. Sie brauchen kein Vorwissen. Lesen Sie zuerst jeweils den kurzen Theorieteil und lösen Sie danach die Fragen. Gehen Sie Schritt für Schritt vor – jeder Schritt baut auf dem vorherigen auf. == Schritt 1: Was ist ein Event? == Ein '''Event''' (deutsch: Veranstaltung, Anlass) ist ein '''geplantes''' Ereignis mit einem '''bestimmten Ziel''', einem '''festen Datum''' und einer '''bestimmten Zielgruppe'''. Beispiele aus dem Berufsalltag: * ein Firmenjubiläum * ein Tag der offenen Tür * eine Produktpräsentation * ein Kundenapéro * ein Weihnachtsessen für die Mitarbeitenden * ein Seminar oder eine Messe Ein zufälliges Treffen in der Kaffeepause ist '''kein''' Event: Es ist weder geplant noch hat es ein Ziel. <quiz display=simple> {Was ist ein Event? |type="()"} - Ein zufälliges Treffen von Menschen. + Ein geplantes Ereignis mit Ziel, Datum und Zielgruppe. - Jede Sitzung im Büro. - Eine Werbeanzeige in der Zeitung. {Welche der folgenden Beispiele sind Events? (Mehrere Antworten sind richtig.) |type="[]"} + Ein Tag der offenen Tür + Ein Firmenjubiläum - Ein Kaffee mit einer Kollegin in der Pause + Eine Produktpräsentation für Kundinnen und Kunden </quiz> == Schritt 2: Warum brauchen Kaufleute Wissen über Events? == Kaufleute organisieren in vielen Betrieben Anlässe oder helfen dabei mit. Typische Aufgaben sind: * Offerten (Angebote) einholen und vergleichen * Termine koordinieren * Einladungen schreiben und versenden * Anmeldungen verwalten * das Budget überwachen * Rechnungen kontrollieren und bezahlen Eventmanagement verbindet also viele kaufmännische Fähigkeiten: '''Organisation, Kommunikation, Rechnen und Zusammenarbeit'''. <quiz display=simple> {Welche Aufgaben übernehmen Kaufleute oft bei einem Event? (Mehrere Antworten sind richtig.) |type="[]"} + Offerten einholen und vergleichen + Einladungen schreiben - Das Essen selbst kochen + Anmeldungen verwalten + Rechnungen kontrollieren {Eventmanagement verbindet viele kaufmännische Fähigkeiten. |type="()"} + Richtig - Falsch </quiz> == Schritt 3: Die Arten von Events == Man unterscheidet Events oft nach ihrer '''Zielgruppe''': {| class="wikitable" ! Art !! Für wen? !! Beispiel |- | '''Interne Events''' || Mitarbeitende des eigenen Betriebs || Weihnachtsessen, Teamausflug |- | '''Externe Events''' || Kundschaft, Partner, Öffentlichkeit || Messe, Kundenapéro, Tag der offenen Tür |} Interne Events stärken vor allem den '''Teamgeist''' und die Motivation. Externe Events dienen oft dem '''Marketing''': Man will Kundinnen und Kunden gewinnen oder pflegen. <quiz display=simple> {Ein Teamausflug für alle Mitarbeitenden ist ein … |type="()"} + internes Event. - externes Event. {Eine Firma stellt an einer Messe ein neues Produkt vor. Das ist ein … |type="()"} - internes Event. + externes Event. {Wozu dienen externe Events häufig? |type="()"} - Nur zur Unterhaltung der Geschäftsleitung. + Dem Marketing, z. B. um Kundschaft zu gewinnen oder zu pflegen. - Dem Aufräumen des Lagers. </quiz> == Schritt 4: Die vier Phasen eines Events == Jedes Event läuft in '''vier Phasen''' ab: # '''Konzeption''' – Die Idee entsteht: Was ist das Ziel? Wer ist die Zielgruppe? Wie viel Geld steht zur Verfügung? # '''Planung''' – Alles wird organisiert: Ort, Datum, Essen, Einladungen, Verträge. # '''Durchführung''' – Der Anlass findet statt. # '''Nachbereitung''' – Danach wird ausgewertet, abgerechnet und gedankt. Viele Anfängerinnen und Anfänger denken nur an die Durchführung. Doch die meiste Arbeit passiert '''vorher''' und '''nachher'''. <quiz display=simple> {In welcher Reihenfolge laufen die Phasen ab? |type="()"} - Planung – Konzeption – Nachbereitung – Durchführung + Konzeption – Planung – Durchführung – Nachbereitung - Durchführung – Planung – Konzeption – Nachbereitung {In welcher Phase wird festgelegt, was das Ziel des Events ist? |type="()"} + Konzeption - Durchführung - Nachbereitung {In welcher Phase werden die Rechnungen bezahlt und die Gäste befragt? |type="()"} - Konzeption - Planung + Nachbereitung {Die meiste Arbeit bei einem Event passiert am Tag selbst. |type="()"} - Richtig + Falsch </quiz> == Schritt 5: Konzeption – Ziel und Zielgruppe == Am Anfang stehen zwei wichtige Fragen: * '''Warum''' machen wir das Event? → '''Ziel''' * '''Für wen''' machen wir das Event? → '''Zielgruppe''' Ein gutes Ziel ist '''konkret und messbar'''. Man spricht oft von einem '''SMART'''-Ziel: * '''S'''pezifisch – klar formuliert * '''M'''essbar – man kann prüfen, ob es erreicht wurde * '''A'''ttraktiv (oder akzeptiert) – lohnend für die Beteiligten * '''R'''ealistisch – erreichbar * '''T'''erminiert – mit einem Datum Beispiel: * Schlecht: «Wir wollen bekannter werden.» * Gut: «Am Tag der offenen Tür am 15. Mai besuchen uns mindestens 200 Personen.» <quiz display=simple> {Welche Frage gehört zur Zielgruppe? |type="()"} - Warum machen wir das Event? + Für wen machen wir das Event? - Wie viel kostet das Essen? {Welches Ziel ist SMART formuliert? |type="()"} - «Wir möchten, dass es allen gefällt.» - «Wir wollen mehr verkaufen.» + «An der Messe vom 3. März gewinnen wir mindestens 20 neue Kundenkontakte.» {Wofür steht das «T» in SMART? |type="()"} - Teuer + Terminiert - Teamorientiert </quiz> == Schritt 6: Das Budget == Das '''Budget''' ist der Geldbetrag, der für das Event zur Verfügung steht. Es wird '''vor''' der Planung festgelegt. Typische Kosten (Ausgaben) sind: * Miete für den Ort (die '''Location''') * Essen und Getränke ('''Catering''') * Technik (Mikrofon, Beamer, Licht) * Dekoration * Personal (z. B. Servicepersonal, Referentin) * Werbung und Einladungen * Versicherung Wichtig: Man plant immer eine '''Reserve''' ein (oft etwa 10 %), denn es gibt fast immer unerwartete Kosten. Beispiel: Die Kosten betragen CHF 5'000. Mit 10 % Reserve plant man CHF 5'500. <quiz display=simple> {Was ist ein Budget? |type="()"} + Der Geldbetrag, der für das Event zur Verfügung steht. - Die Liste der Gäste. - Der Ablauf des Abends. {Wie nennt man das Organisieren von Essen und Getränken für einen Anlass? |type="()"} - Location + Catering - Sponsoring {Die geplanten Kosten betragen CHF 2'000. Sie rechnen 10 % Reserve dazu. Wie gross ist das Budget? (Nur die Zahl eingeben.) |type="{}"} { 2200 } CHF {Warum plant man eine Reserve ein? |type="()"} - Damit man am Schluss Geld für sich behalten kann. + Weil fast immer unerwartete Kosten entstehen. - Weil das Gesetz es vorschreibt. </quiz> == Schritt 7: Planung – Ort, Datum und Partner == In der Planungsphase organisiert man die wichtigsten Bausteine: * '''Datum''': Gibt es Ferien, Feiertage oder andere grosse Anlässe am gleichen Tag? * '''Location''': Ist der Ort gross genug, gut erreichbar (ÖV, Parkplätze) und rollstuhlgängig? * '''Lieferanten''': Für Catering, Technik usw. holt man mehrere '''Offerten''' ein und vergleicht sie. Beim Vergleich der Offerten achtet man nicht nur auf den Preis, sondern auch auf '''Qualität, Zuverlässigkeit''' und '''Leistungsumfang''' (Was ist im Preis inbegriffen?). Hat man sich entschieden, wird ein '''Vertrag''' oder eine schriftliche '''Auftragsbestätigung''' abgeschlossen. Achten Sie dabei auf die '''Annullationsbedingungen''': Was kostet es, wenn das Event abgesagt wird? <quiz display=simple> {Was ist eine Offerte? |type="()"} - Eine Rechnung nach dem Event. + Ein Angebot eines Lieferanten mit Preis und Leistungen. - Eine Einladung an die Gäste. {Worauf achtet man beim Vergleich von Offerten? (Mehrere Antworten sind richtig.) |type="[]"} + Preis + Was im Preis inbegriffen ist + Zuverlässigkeit des Anbieters - Die Lieblingsfarbe der Lieferantin {Was regeln die Annullationsbedingungen? |type="()"} - Wie viele Gäste kommen dürfen. + Was es kostet, wenn das Event abgesagt wird. - Welche Musik gespielt wird. {Worauf sollte man bei der Location achten? (Mehrere Antworten sind richtig.) |type="[]"} + Genug Platz für alle Gäste + Gute Erreichbarkeit + Rollstuhlgängigkeit - Möglichst weit weg von jedem Bahnhof </quiz> == Schritt 8: Kommunikation – Einladung und Anmeldung == Die Gäste müssen '''rechtzeitig''' informiert werden. Oft verschickt man zuerst ein '''Save the Date''' (eine kurze Vorankündigung: «Reservieren Sie sich das Datum!») und später die eigentliche '''Einladung'''. Eine gute Einladung beantwortet die '''W-Fragen''': * '''Was''' findet statt? * '''Wann''' (Datum, Uhrzeit)? * '''Wo''' (Adresse, Anreise)? * '''Wer''' lädt ein, wer ist eingeladen? * '''Wie''' meldet man sich an – und '''bis wann''' ('''Anmeldeschluss''')? Die Anmeldungen werden in einer '''Teilnehmerliste''' erfasst, z. B. in Excel oder mit einem Online-Formular. <quiz display=simple> {Was ist ein «Save the Date»? |type="()"} + Eine kurze Vorankündigung, damit sich die Gäste das Datum reservieren. - Die Rechnung für den Anlass. - Ein Dankesschreiben nach dem Event. {Welche Angaben gehören in eine Einladung? (Mehrere Antworten sind richtig.) |type="[]"} + Datum und Uhrzeit + Ort und Anreise + Anmeldeschluss - Die Offerten der Lieferanten {Wie heisst die Frist, bis zu der sich die Gäste anmelden müssen? |type="()"} - Zahlungsfrist + Anmeldeschluss - Kündigungsfrist </quiz> == Schritt 9: Recht und Sicherheit == Bei Events gibt es auch rechtliche Punkte. Die wichtigsten: * '''Bewilligungen''': Für grössere Anlässe im öffentlichen Raum braucht es oft eine Bewilligung der Gemeinde (z. B. für Lärm, Ausschank von Alkohol, Strassensperrung). * '''Versicherung''': Eine Haftpflichtversicherung deckt Schäden, die während des Events entstehen. * '''Datenschutz''': Wer Fotos von Gästen veröffentlichen will, muss sie vorher informieren – am besten schon in der Einladung. Anmeldedaten dürfen nur für das Event verwendet werden. * '''Sicherheit''': Notausgänge freihalten, Erste Hilfe organisieren, an Wetter und Notfälle denken. Für Probleme, die eintreten könnten, macht man einen '''Plan B''' (z. B. ein Zelt bei Regen). <quiz display=simple> {Sie organisieren ein Strassenfest mit Alkoholausschank. Was brauchen Sie wahrscheinlich? |type="()"} - Nichts, ein Fest ist immer erlaubt. + Eine Bewilligung der Gemeinde. - Eine Steuererklärung. {Sie möchten Fotos der Gäste auf der Firmenwebsite zeigen. Was ist richtig? |type="()"} - Das darf man immer ohne Information machen. + Man informiert die Gäste vorher, am besten schon in der Einladung. - Man muss die Gäste nach dem Event bezahlen. {Was ist ein «Plan B»? |type="()"} - Der zweite Teil des Abendprogramms. + Eine vorbereitete Lösung, falls etwas schiefgeht. - Das Budget für das nächste Jahr. </quiz> == Schritt 10: Durchführung – der Ablaufplan == Am Tag des Events hilft ein '''Ablaufplan''' (auch '''Regieplan''' oder Drehbuch genannt). Er zeigt minutengenau: * '''Wann''' passiert '''was'''? * '''Wer''' ist '''verantwortlich'''? * '''Wo''' findet es statt? Beispiel: {| class="wikitable" ! Zeit !! Was !! Wer |- | 17:00 || Aufbau Technik || Frau Meier |- | 18:30 || Empfang der Gäste, Apéro || Herr Keller |- | 19:00 || Begrüssung durch die Geschäftsleitung || Frau Steiner |- | 19:15 || Abendessen || Catering |} Zusätzlich hat das Team eine '''Kontaktliste''' mit allen Telefonnummern (Lieferanten, Location, Notfall). <quiz display=simple> {Was zeigt ein Ablaufplan? |type="()"} - Nur die Kosten des Events. + Wann was passiert, wer verantwortlich ist und wo es stattfindet. - Nur die Namen der Gäste. {Ein anderes Wort für Ablaufplan ist … |type="()"} - Budget + Regieplan - Offerte {Warum braucht das Team am Event eine Kontaktliste? |type="()"} + Damit man bei Problemen schnell Lieferanten oder Hilfe erreicht. - Damit man den Gästen Werbung schicken kann. - Weil sie für die Steuer nötig ist. </quiz> == Schritt 11: Nachbereitung == Nach dem Event ist die Arbeit nicht fertig. In der Nachbereitung: * '''Danken''': Gäste, Referentinnen, Helfer und Partner erhalten ein Dankeschön. * '''Abrechnen''': Alle Rechnungen werden kontrolliert und bezahlt. Man vergleicht die tatsächlichen Kosten mit dem Budget ('''Soll-Ist-Vergleich'''). * '''Auswerten''': Wurde das Ziel erreicht? Man kann die Gäste mit einem kurzen '''Feedback-Fragebogen''' befragen. * '''Lernen''': Was lief gut, was kann man beim nächsten Mal besser machen? Diese Punkte schreibt man auf ('''Lessons Learned'''). <quiz display=simple> {Was vergleicht man beim Soll-Ist-Vergleich? |type="()"} + Die geplanten Kosten (Budget) mit den tatsächlichen Kosten. - Die Gästeliste mit der Einladung. - Das Datum mit dem Wetter. {Wie findet man heraus, ob die Gäste zufrieden waren? |type="()"} - Man rät. + Man befragt sie, z. B. mit einem Feedback-Fragebogen. - Man schaut nur, ob alles Essen gegessen wurde. {Was gehört zur Nachbereitung? (Mehrere Antworten sind richtig.) |type="[]"} + Dankesschreiben verschicken + Rechnungen kontrollieren + Lessons Learned aufschreiben - Die Location suchen </quiz> == Schritt 12: Abschlussquiz – alles zusammen == Jetzt wenden Sie Ihr Wissen an. Lesen Sie die Situation und beantworten Sie die Fragen. '''Situation:''' Sie arbeiten bei der Muster AG. Die Firma wird 25 Jahre alt und möchte am 20. Juni mit 120 Kundinnen und Kunden feiern. Ihre Chefin gibt Ihnen ein Budget von CHF 15'000. <quiz display=simple> {Um welche Art von Event handelt es sich? |type="()"} - Internes Event + Externes Event {Was machen Sie als Erstes? |type="()"} - Die Band buchen. + Ziel und Zielgruppe klären. - Die Rechnungen bezahlen. {Sie haben drei Offerten für das Catering. Was tun Sie? |type="()"} - Sie nehmen immer die günstigste. - Sie nehmen die erste, die gekommen ist. + Sie vergleichen Preis, Leistungen und Zuverlässigkeit. {Was verschicken Sie zuerst, damit die Gäste sich den 20. Juni frühzeitig freihalten? |type="()"} + Ein Save the Date - Den Ablaufplan - Den Feedback-Fragebogen {Am Ende kostet das Event CHF 15'800. Um wie viele Franken wurde das Budget überschritten? (Nur die Zahl eingeben.) |type="{}"} { 800 } CHF {Bringen Sie die Aufgaben in die richtige Phase: Welche Aufgabe gehört in die Nachbereitung? |type="()"} - Location besichtigen - Gäste begrüssen + Den Gästen danken und Feedback einholen </quiz> == Zusammenfassung == {| class="wikitable" ! Phase !! Wichtigste Aufgaben |- | '''1. Konzeption''' || Ziel (SMART), Zielgruppe, Budget festlegen |- | '''2. Planung''' || Datum, Location, Offerten vergleichen, Verträge, Einladungen, Bewilligungen, Plan B |- | '''3. Durchführung''' || Ablaufplan (Regieplan) einhalten, Kontaktliste bereithalten, Gäste betreuen |- | '''4. Nachbereitung''' || Danken, abrechnen (Soll-Ist-Vergleich), auswerten, Lessons Learned |} '''Merksatz:''' Ein gutes Event entsteht nicht am Tag selbst, sondern durch gute Planung davor und ehrliche Auswertung danach. [[Kategorie:Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)]] 013oouohk5r4m1v6z6jknpqtapo6qjd 106 173459 1119194 2026-11-09T10:22:46Z Arbota 36910 Bot: Referenzseite erstellt. 1119194 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Aufgabe|10|13|Kurs=|}} g0qv5bisxh77os3ociu6yfrmh3nc3qi 106 173460 1119195 2026-11-09T10:22:56Z Arbota 36910 Bot: Referenzseite erstellt. 1119195 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Korollar|8|7|Kurs=|}} r025flncr3xia8iya37bj1te8xihqcl 106 173461 1119199 2026-11-09T10:26:18Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1119199 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Satz|Anhang 15|4|Kurs=|}} 654fy5t1i6wxdhtbr0qvfkqbkskehpw 106 173462 1119200 2026-11-09T10:27:00Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1119200 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Satz|||Kurs={{Algebraische Kurven/Standardkurs}}|}} cue8jiywv1lvzu8jazvyiz072rx6r35 106 173463 1119202 2026-11-09T10:27:41Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1119202 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Lemma|Anhang 17|2|Kurs=|}} hpw5nafbqt2zgzseaftyxktsljq5edn 106 173464 1119203 2026-11-09T10:28:22Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1119203 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Lemma|Anhang 7|1|Kurs=|}} 31m80rg0ldfquqbjnjyh3eu24zvemi3 106 173465 1119205 2026-11-09T10:28:53Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1119205 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Lemma|Anhang 18|4|Kurs=|}} 88tbmu084uen2w4wedsktf7pznhur8t 106 173466 1119206 2026-11-09T10:29:30Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1119206 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Satz|||Kurs= {{Kommutative Algebra/Standardkurs|}} |}} ig9yz5ndzkwz2gv7d1zdc0oewxjmkq2 106 173467 1119224 2026-11-09T11:19:42Z Arbota 36910 Bot: Referenzseite erstellt. 1119224 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Aufgabe|6|34|Kurs=|}} ez11ctad60zj3xwg1zaog0fqoilotcw 106 173468 1119229 2026-11-09T11:30:18Z Paul Sutermeister 37610 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1119229 wikitext text/x-wiki __NOTOC__ = Selbstmanagement – Was soll das? = Dieses Quiz führt Sie Schritt für Schritt an das Thema heran. Sie brauchen kein Vorwissen. Lesen Sie jeweils den kurzen Text, beantworten Sie dann die Fragen und klicken Sie auf «Auswertung». Die Rückmeldungen erklären, warum eine Antwort stimmt oder nicht. == Schritt 1: Ein ganz normaler Tag == Stellen Sie sich vor: Sie haben heute eine Prüfung zu lernen, eine Rechnung zu bezahlen, ein Freund will etwas trinken gehen, das Handy vibriert ständig und abends sind Sie müde. Am Ende des Tages haben Sie viel «gemacht», aber das Wichtigste ist liegen geblieben. Kennen Sie das? Genau hier beginnt das Thema Selbstmanagement. <quiz display=simple> {Was ist das eigentliche Problem im Beispiel oben? |type="()"} - Die Person hat zu wenig Zeit. || Nicht ganz. Alle haben 24 Stunden. Die Frage ist, wofür man sie verwendet. + Die Person entscheidet nicht bewusst, was sie wann tut. || Richtig. Der Tag «passiert» einfach, statt dass die Person ihn steuert. - Die Person ist faul. || Nein. Sie war ja den ganzen Tag beschäftigt – nur nicht mit dem Wichtigsten. {Wer bestimmt in diesem Beispiel hauptsächlich, wie der Tag abläuft? |type="()"} - Die Person selbst. || Leider nein – sie reagiert vor allem. + Andere Menschen, das Handy und spontane Einfälle. || Genau. Wer sich nicht selbst steuert, wird von aussen gesteuert. </quiz> == Schritt 2: Was ist Selbstmanagement? == '''Selbstmanagement''' heisst: sich selbst führen. Man entscheidet bewusst, '''was''' man erreichen will, '''was''' dafür wichtig ist und '''wann''' man es tut – statt nur auf das zu reagieren, was gerade kommt. Ein «Manager» plant, entscheidet und kontrolliert. Beim Selbstmanagement sind Sie Ihr eigener Manager. <quiz display=simple> {Welche Beschreibung passt am besten zu Selbstmanagement? |type="()"} - Möglichst viele Aufgaben gleichzeitig erledigen. || Nein. Viel gleichzeitig zu tun macht oft langsamer und fehleranfälliger. + Sich selbst Ziele setzen, Wichtiges vor Unwichtigem erledigen und die eigene Energie gut einteilen. || Richtig. Das ist der Kern von Selbstmanagement. - Einen Chef haben, der einem sagt, was zu tun ist. || Das ist Fremdmanagement – das Gegenteil. - Nie Pausen machen. || Im Gegenteil: Pausen gehören zu gutem Selbstmanagement. {Ergänzen Sie den Satz: |type="{}"} Wer sich nicht selbst führt, wird von anderen { geführt|gesteuert|bestimmt _10 }. {Welche Fragen stellt man sich beim Selbstmanagement? (Mehrere Antworten richtig) |type="[]"} + Was will ich erreichen? || Richtig – das ist das Ziel. + Was ist jetzt wirklich wichtig? || Richtig – das sind die Prioritäten. + Wann habe ich am meisten Energie? || Richtig – Energie ist so wichtig wie Zeit. - Wie kann ich möglichst beschäftigt aussehen? || Nein. Beschäftigt sein ist nicht dasselbe wie etwas erreichen. </quiz> == Schritt 3: Warum braucht es das überhaupt? == Früher war vieles vorgegeben: feste Arbeitszeiten, klare Anweisungen, wenig Ablenkung. Heute ist das anders: * Man hat '''mehr Freiheit''' (Homeoffice, Selbststudium, flexible Arbeitszeiten). * Es gibt '''mehr Ablenkung''' (Handy, Social Media, ständige Nachrichten). * Es gibt '''mehr gleichzeitig''' zu tun (Schule, Beruf, Familie, Freizeit). Mehr Freiheit ist schön – aber nur, wenn man sie nutzen kann. Sonst entsteht Stress. <quiz display=simple> {Warum ist Selbstmanagement heute wichtiger als früher? |type="()"} - Weil die Menschen heute weniger intelligent sind. || Nein, damit hat es nichts zu tun. + Weil man heute mehr selbst entscheiden muss und mehr Ablenkungen hat. || Richtig. Mehr Freiheit verlangt mehr Selbststeuerung. - Weil es gesetzlich vorgeschrieben ist. || Nein, es ist keine Pflicht – aber ein grosser Vorteil. {Was kann passieren, wenn jemand kein Selbstmanagement hat? (Mehrere Antworten richtig) |type="[]"} + Wichtige Termine werden verpasst. || Richtig. + Man fühlt sich gestresst und überfordert. || Richtig. Stress entsteht oft durch fehlende Übersicht. + Man schiebt Dinge immer wieder auf. || Richtig. Das nennt man auch «Prokrastination». - Man hat automatisch mehr Freizeit. || Leider nein. Meist ist es umgekehrt: Man hat weniger echte Freizeit, weil Unerledigtes im Kopf bleibt. {Wem nützt Selbstmanagement? |type="()"} - Nur Chefs und Managern. || Nein. Der Begriff «Management» täuscht. - Nur Studierenden. || Nein, nicht nur. + Allen: Lernenden, Berufstätigen, Eltern, Pensionierten. || Richtig. Jeder Mensch muss sein eigenes Leben organisieren. </quiz> == Schritt 4: Ziele – wohin will ich? == Ohne Ziel kann man nicht planen. Ein gutes Ziel ist '''klar''' und '''überprüfbar'''. Eine bekannte Hilfe ist die '''SMART'''-Regel: * '''S'''pezifisch – genau beschrieben * '''M'''essbar – man kann überprüfen, ob es erreicht ist * '''A'''ttraktiv – man will es wirklich * '''R'''ealistisch – es ist machbar * '''T'''erminiert – es hat ein Datum <quiz display=simple> {Welches Ziel ist SMART formuliert? |type="()"} - «Ich will besser in Mathe werden.» || Zu ungenau: Was heisst «besser»? Bis wann? - «Ich lerne irgendwann mehr.» || Weder messbar noch terminiert. + «Ich übe bis zur Prüfung am 30. November jeden Montag und Donnerstag 30 Minuten Mathe.» || Richtig. Genau, messbar, machbar und mit Datum. - «Ich werde der Beste der ganzen Schule.» || Kaum realistisch und nicht terminiert. {Wofür steht das «T» in SMART? |type="()"} - Toll || Nein. + Terminiert (mit einem Datum versehen) || Richtig. Ohne Termin wird ein Ziel leicht aufgeschoben. - Teuer || Nein. </quiz> == Schritt 5: Prioritäten – was zuerst? == Nicht alles ist gleich wichtig. Eine einfache Hilfe ist die '''Eisenhower-Matrix'''. Man fragt bei jeder Aufgabe: Ist sie '''wichtig'''? Ist sie '''dringend'''? {| class="wikitable" ! !! dringend !! nicht dringend |- ! wichtig | '''A: Sofort selbst erledigen''' | '''B: Planen''' (Termin setzen) |- ! nicht wichtig | '''C: Abgeben''' oder kurz erledigen | '''D: Weglassen''' |} <quiz display=simple> {Morgen ist Abgabe einer wichtigen Arbeit. In welches Feld gehört sie? |type="()"} + A: wichtig und dringend || Richtig. Sofort erledigen. - B: wichtig, nicht dringend || Sie ist morgen fällig – also dringend. - D: weglassen || Auf keinen Fall. {Sie wollen in drei Monaten eine Weiterbildung beginnen und müssen sich dafür anmelden. Wohin gehört diese Aufgabe? |type="()"} - A: sofort erledigen || Nicht unbedingt sofort – aber sie darf nicht vergessen gehen. + B: wichtig, aber nicht dringend → planen || Richtig. Genau diese Aufgaben gehen ohne Planung oft unter. - D: weglassen || Nein, sie ist wichtig. {Eine Stunde lang Videos auf dem Handy schauen, obwohl Sie lernen müssten. Welches Feld? |type="()"} - A || Nein, es ist weder wichtig noch dringend. - B || Nein. + D: weglassen (oder bewusst als Freizeit nach der Arbeit) || Richtig. Erholung ist erlaubt – aber geplant, nicht als Flucht. {Welches Feld wird am häufigsten vernachlässigt, obwohl es langfristig am meisten bringt? |type="()"} - A || A-Aufgaben erledigt man meist, weil der Druck gross ist. + B: wichtig, aber nicht dringend || Richtig. Gesundheit, Weiterbildung, Beziehungen – sie drängen nicht, sind aber entscheidend. - C || C-Aufgaben fühlen sich zwar wichtig an, sind es aber oft nicht. </quiz> == Schritt 6: Zeitdiebe und Energie == '''Zeitdiebe''' sind Dinge, die uns Zeit stehlen, ohne dass wir es merken: Handy, ständiges E-Mail-Lesen, Unterbrechungen, fehlende Ordnung. Aber nicht nur Zeit zählt, sondern auch '''Energie'''. Mit Schlaf, Bewegung, Essen und Pausen bleibt man leistungsfähig. Wer müde ist, braucht für dieselbe Aufgabe viel länger. <quiz display=simple> {Was sind typische Zeitdiebe? (Mehrere Antworten richtig) |type="[]"} + Ständig auf das Handy schauen || Richtig. Jede Unterbrechung kostet Konzentration. + Lange nach Unterlagen suchen || Richtig. Ordnung spart Zeit. + Zu allem «Ja» sagen || Richtig. Wer nie «Nein» sagt, hat keine Zeit für das eigene Wichtige. - Eine geplante Pause machen || Nein. Eine Pause ist kein Zeitdieb, sondern tankt Energie auf. {Warum gehören Pausen zum Selbstmanagement? |type="()"} - Weil man sonst zu schnell fertig wird. || Nein. + Weil das Gehirn nach einer Pause wieder konzentrierter arbeiten kann. || Richtig. Wer durcharbeitet, wird immer langsamer. - Weil Pausen gesetzlich verboten sind. || Nein, ganz im Gegenteil. {Was ist eine einfache Massnahme gegen Ablenkung beim Lernen? |type="()"} + Das Handy für 30 Minuten in einen anderen Raum legen. || Richtig. Was man nicht sieht, lenkt weniger ab. - Das Handy auf laut stellen, um nichts zu verpassen. || Damit wird die Ablenkung noch grösser. - Gleichzeitig lernen, chatten und Musik-Videos schauen. || Multitasking verschlechtert die Konzentration. </quiz> == Schritt 7: Zurückschauen und verbessern == Selbstmanagement ist kein einmaliger Plan, sondern ein '''Kreislauf''': # Ziel setzen # Planen # Umsetzen # Zurückschauen (Was hat funktioniert? Was nicht?) # Anpassen – und wieder von vorne <quiz display=simple> {Ihr Plan hat diese Woche nicht funktioniert. Was ist die beste Reaktion? |type="()"} - Aufgeben – Selbstmanagement ist nichts für mich. || Nein. Ein Plan, der nicht klappt, ist eine wertvolle Information. + Überlegen, woran es lag, und den Plan anpassen. || Richtig. So lernt man mit der Zeit, was für einen selbst funktioniert. - Sich selbst Vorwürfe machen. || Das hilft nicht weiter. Besser: sachlich analysieren. {Bringen Sie den Kreislauf in die richtige Reihenfolge. Was kommt direkt nach «Umsetzen»? |type="()"} - Ziel setzen || Das kommt ganz am Anfang. + Zurückschauen || Richtig. Erst wenn man zurückschaut, kann man sich verbessern. - Planen || Planen kommt vor dem Umsetzen. </quiz> == Schritt 8: Zusammenfassung == <quiz display=simple> {Welche Aussage fasst den Sinn von Selbstmanagement am besten zusammen? |type="()"} - Möglichst viel arbeiten und keine Freizeit haben. || Nein. Gutes Selbstmanagement schafft gerade Raum für echte Freizeit. - Perfekt sein und nie Fehler machen. || Nein. Fehler gehören dazu – man lernt daraus. + Das eigene Leben bewusst steuern: Ziele setzen, Wichtiges zuerst tun, auf die eigene Energie achten und aus Erfahrungen lernen. || Richtig! Genau darum geht es. {Was ist für Sie persönlich der wichtigste Grund für Selbstmanagement? (Mehrere Antworten möglich – hier gibt es kein Richtig oder Falsch) |type="[]"} + Weniger Stress || Ein sehr guter Grund. + Ziele wirklich erreichen || Ein sehr guter Grund. + Mehr echte Freizeit || Ein sehr guter Grund. + Mehr Selbstvertrauen, weil ich mich auf mich verlassen kann || Ein sehr guter Grund. </quiz> '''Merksatz:''' ''Selbstmanagement heisst nicht, mehr zu tun – sondern das Richtige zur richtigen Zeit.'' [[Kategorie:Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)]] n14gyit3eelm0o745epnd1u2pm2zq3p 1119232 1119229 2026-11-09T11:49:35Z Paul Sutermeister 37610 eingeblendete Lösungen gelöscht 1119232 wikitext text/x-wiki __NOTOC__ = Selbstmanagement – Was soll das? = Dieses Quiz führt Sie Schritt für Schritt an das Thema heran. Sie brauchen kein Vorwissen. Lesen Sie jeweils den kurzen Text, beantworten Sie dann die Fragen und klicken Sie auf «Auswertung». Die Rückmeldungen erklären, warum eine Antwort stimmt oder nicht. == Schritt 1: Ein ganz normaler Tag == Stellen Sie sich vor: Sie haben heute eine Prüfung zu lernen, eine Rechnung zu bezahlen, ein Freund will etwas trinken gehen, das Handy vibriert ständig und abends sind Sie müde. Am Ende des Tages haben Sie viel «gemacht», aber das Wichtigste ist liegen geblieben. Kennen Sie das? Genau hier beginnt das Thema Selbstmanagement. <quiz display=simple> {Was ist das eigentliche Problem im Beispiel oben? |type="()"} - Die Person hat zu wenig Zeit. + Die Person entscheidet nicht bewusst, was sie wann tut. - Die Person ist faul. {Wer bestimmt in diesem Beispiel hauptsächlich, wie der Tag abläuft? |type="()"} - Die Person selbst. + Andere Menschen, das Handy und spontane Einfälle. </quiz> == Schritt 2: Was ist Selbstmanagement? == '''Selbstmanagement''' heisst: sich selbst führen. Man entscheidet bewusst, '''was''' man erreichen will, '''was''' dafür wichtig ist und '''wann''' man es tut – statt nur auf das zu reagieren, was gerade kommt. Ein «Manager» plant, entscheidet und kontrolliert. Beim Selbstmanagement sind Sie Ihr eigener Manager. <quiz display=simple> {Welche Beschreibung passt am besten zu Selbstmanagement? |type="()"} - Möglichst viele Aufgaben gleichzeitig erledigen. + Sich selbst Ziele setzen, Wichtiges vor Unwichtigem erledigen und die eigene Energie gut einteilen. - Einen Chef haben, der einem sagt, was zu tun ist. - Nie Pausen machen. {Ergänzen Sie den Satz: |type="{}"} Wer sich nicht selbst führt, wird von anderen { geführt|gesteuert|bestimmt _10 }. {Welche Fragen stellt man sich beim Selbstmanagement? (Mehrere Antworten richtig) |type="[]"} + Was will ich erreichen? + Was ist jetzt wirklich wichtig? + Wann habe ich am meisten Energie? - Wie kann ich möglichst beschäftigt aussehen? </quiz> == Schritt 3: Warum braucht es das überhaupt? == Früher war vieles vorgegeben: feste Arbeitszeiten, klare Anweisungen, wenig Ablenkung. Heute ist das anders: * Man hat '''mehr Freiheit''' (Homeoffice, Selbststudium, flexible Arbeitszeiten). * Es gibt '''mehr Ablenkung''' (Handy, Social Media, ständige Nachrichten). * Es gibt '''mehr gleichzeitig''' zu tun (Schule, Beruf, Familie, Freizeit). Mehr Freiheit ist schön – aber nur, wenn man sie nutzen kann. Sonst entsteht Stress. <quiz display=simple> {Warum ist Selbstmanagement heute wichtiger als früher? |type="()"} - Weil die Menschen heute weniger intelligent sind. + Weil man heute mehr selbst entscheiden muss und mehr Ablenkungen hat. - Weil es gesetzlich vorgeschrieben ist. {Was kann passieren, wenn jemand kein Selbstmanagement hat? (Mehrere Antworten richtig) |type="[]"} + Wichtige Termine werden verpasst. + Man fühlt sich gestresst und überfordert. + Man schiebt Dinge immer wieder auf. - Man hat automatisch mehr Freizeit. {Wem nützt Selbstmanagement? |type="()"} - Nur Chefs und Managern. - Nur Studierenden. + Allen: Lernenden, Berufstätigen, Eltern, Pensionierten. </quiz> == Schritt 4: Ziele – wohin will ich? == Ohne Ziel kann man nicht planen. Ein gutes Ziel ist '''klar''' und '''überprüfbar'''. Eine bekannte Hilfe ist die '''SMART'''-Regel: * '''S'''pezifisch – genau beschrieben * '''M'''essbar – man kann überprüfen, ob es erreicht ist * '''A'''ttraktiv – man will es wirklich * '''R'''ealistisch – es ist machbar * '''T'''erminiert – es hat ein Datum <quiz display=simple> {Welches Ziel ist SMART formuliert? |type="()"} - «Ich will besser in Mathe werden.» - «Ich lerne irgendwann mehr.» + «Ich übe bis zur Prüfung am 30. November jeden Montag und Donnerstag 30 Minuten Mathe.» - «Ich werde der Beste der ganzen Schule.» {Wofür steht das «T» in SMART? |type="()"} - Toll || Nein. + Terminiert (mit einem Datum versehen) - Teuer </quiz> == Schritt 5: Prioritäten – was zuerst? == Nicht alles ist gleich wichtig. Eine einfache Hilfe ist die '''Eisenhower-Matrix'''. Man fragt bei jeder Aufgabe: Ist sie '''wichtig'''? Ist sie '''dringend'''? {| class="wikitable" ! !! dringend !! nicht dringend |- ! wichtig | '''A: Sofort selbst erledigen''' | '''B: Planen''' (Termin setzen) |- ! nicht wichtig | '''C: Abgeben''' oder kurz erledigen | '''D: Weglassen''' |} <quiz display=simple> {Morgen ist Abgabe einer wichtigen Arbeit. In welches Feld gehört sie? |type="()"} + A: wichtig und dringend - B: wichtig, nicht dringend - D: weglassen {Sie wollen in drei Monaten eine Weiterbildung beginnen und müssen sich dafür anmelden. Wohin gehört diese Aufgabe? |type="()"} - A: sofort erledigen + B: wichtig, aber nicht dringend → planen - D: weglassen {Eine Stunde lang Videos auf dem Handy schauen, obwohl Sie lernen müssten. Welches Feld? |type="()"} - A - B + D: weglassen (oder bewusst als Freizeit nach der Arbeit) {Welches Feld wird am häufigsten vernachlässigt, obwohl es langfristig am meisten bringt? |type="()"} - A + B: wichtig, aber nicht dringend - C </quiz> == Schritt 6: Zeitdiebe und Energie == '''Zeitdiebe''' sind Dinge, die uns Zeit stehlen, ohne dass wir es merken: Handy, ständiges E-Mail-Lesen, Unterbrechungen, fehlende Ordnung. Aber nicht nur Zeit zählt, sondern auch '''Energie'''. Mit Schlaf, Bewegung, Essen und Pausen bleibt man leistungsfähig. Wer müde ist, braucht für dieselbe Aufgabe viel länger. <quiz display=simple> {Was sind typische Zeitdiebe? (Mehrere Antworten richtig) |type="[]"} + Ständig auf das Handy schauen + Lange nach Unterlagen suchen + Zu allem «Ja» sagen - Eine geplante Pause machen {Warum gehören Pausen zum Selbstmanagement? |type="()"} - Weil man sonst zu schnell fertig wird. + Weil das Gehirn nach einer Pause wieder konzentrierter arbeiten kann. - Weil Pausen gesetzlich verboten sind. {Was ist eine einfache Massnahme gegen Ablenkung beim Lernen? |type="()"} + Das Handy für 30 Minuten in einen anderen Raum legen. - Das Handy auf laut stellen, um nichts zu verpassen. - Gleichzeitig lernen, chatten und Musik-Videos schauen. </quiz> == Schritt 7: Zurückschauen und verbessern == Selbstmanagement ist kein einmaliger Plan, sondern ein '''Kreislauf''': # Ziel setzen # Planen # Umsetzen # Zurückschauen (Was hat funktioniert? Was nicht?) # Anpassen – und wieder von vorne <quiz display=simple> {Ihr Plan hat diese Woche nicht funktioniert. Was ist die beste Reaktion? |type="()"} - Aufgeben – Selbstmanagement ist nichts für mich. + Überlegen, woran es lag, und den Plan anpassen. - Sich selbst Vorwürfe machen. {Bringen Sie den Kreislauf in die richtige Reihenfolge. Was kommt direkt nach «Umsetzen»? |type="()"} - Ziel setzen + Zurückschauen - Planen </quiz> == Schritt 8: Zusammenfassung == <quiz display=simple> {Welche Aussage fasst den Sinn von Selbstmanagement am besten zusammen? |type="()"} - Möglichst viel arbeiten und keine Freizeit haben. - Perfekt sein und nie Fehler machen. + Das eigene Leben bewusst steuern: Ziele setzen, Wichtiges zuerst tun, auf die eigene Energie achten und aus Erfahrungen lernen. {Was ist für Sie persönlich der wichtigste Grund für Selbstmanagement? (Mehrere Antworten möglich – hier gibt es kein Richtig oder Falsch) |type="[]"} + Weniger Stress + Ziele wirklich erreichen + Mehr echte Freizeit + Mehr Selbstvertrauen, weil ich mich auf mich verlassen kann </quiz> '''Merksatz:''' ''Selbstmanagement heisst nicht, mehr zu tun – sondern das Richtige zur richtigen Zeit.'' [[Kategorie:Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)]] bzxm26syp15qu1empmiw1c2iuloe02f 1119233 1119232 2026-11-09T11:52:45Z Paul Sutermeister 37610 1119233 wikitext text/x-wiki __NOTOC__ = Selbstmanagement – Was soll das? = Dieses Quiz führt Sie Schritt für Schritt an das Thema heran. Sie brauchen kein Vorwissen. Lesen Sie jeweils den kurzen Text, beantworten Sie dann die Fragen und klicken Sie auf «Auswertung». == Schritt 1: Ein ganz normaler Tag == Stellen Sie sich vor: Sie haben heute eine Prüfung zu lernen, eine Rechnung zu bezahlen, ein Freund will etwas trinken gehen, das Handy vibriert ständig und abends sind Sie müde. Am Ende des Tages haben Sie viel «gemacht», aber das Wichtigste ist liegen geblieben. Kennen Sie das? Genau hier beginnt das Thema Selbstmanagement. <quiz display=simple> {Was ist das eigentliche Problem im Beispiel oben? |type="()"} - Die Person hat zu wenig Zeit. + Die Person entscheidet nicht bewusst, was sie wann tut. - Die Person ist faul. - Die Person hat zu viele Freunde. {Wer bestimmt in diesem Beispiel hauptsächlich, wie der Tag abläuft? |type="()"} - Die Person selbst. + Andere Menschen, das Handy und spontane Einfälle. - Der Arbeitgeber. </quiz> == Schritt 2: Was ist Selbstmanagement? == '''Selbstmanagement''' heisst: sich selbst führen. Man entscheidet bewusst, '''was''' man erreichen will, '''was''' dafür wichtig ist und '''wann''' man es tut – statt nur auf das zu reagieren, was gerade kommt. Ein «Manager» plant, entscheidet und kontrolliert. Beim Selbstmanagement sind Sie Ihr eigener Manager. <quiz display=simple> {Welche Beschreibung passt am besten zu Selbstmanagement? |type="()"} - Möglichst viele Aufgaben gleichzeitig erledigen. + Ziele setzen und Wichtiges zuerst erledigen. - Einen Chef haben, der sagt, was zu tun ist. - Ohne Pausen durcharbeiten. {Ergänzen Sie den Satz: |type="{}"} Wer sich nicht selbst führt, wird von anderen { geführt _10 }. {Welche Fragen stellt man sich beim Selbstmanagement? (Mehrere Antworten richtig) |type="[]"} + Was will ich erreichen? + Was ist jetzt wirklich wichtig? + Wann habe ich am meisten Energie? - Wie wirke ich möglichst beschäftigt? </quiz> == Schritt 3: Warum braucht es das überhaupt? == Früher war vieles vorgegeben: feste Arbeitszeiten, klare Anweisungen, wenig Ablenkung. Heute ist das anders: * Man hat '''mehr Freiheit''' (Homeoffice, Selbststudium, flexible Arbeitszeiten). * Es gibt '''mehr Ablenkung''' (Handy, Social Media, ständige Nachrichten). * Es gibt '''mehr gleichzeitig''' zu tun (Schule, Beruf, Familie, Freizeit). Mehr Freiheit ist schön – aber nur, wenn man sie nutzen kann. Sonst entsteht Stress. <quiz display=simple> {Warum ist Selbstmanagement heute wichtiger als früher? |type="()"} - Weil die Menschen heute weniger intelligent sind. + Weil man mehr selbst entscheiden muss und mehr Ablenkung hat. - Weil es gesetzlich vorgeschrieben ist. - Weil man heute weniger zu tun hat. {Was kann passieren, wenn jemand kein Selbstmanagement hat? (Mehrere Antworten richtig) |type="[]"} + Wichtige Termine werden verpasst. + Man fühlt sich gestresst und überfordert. + Man schiebt Dinge immer wieder auf. - Man hat automatisch mehr Freizeit. {Wem nützt Selbstmanagement? |type="()"} - Nur Chefs und Managern. - Nur Studierenden. + Allen Menschen. - Nur Selbstständigen. </quiz> == Schritt 4: Ziele – wohin will ich? == Ohne Ziel kann man nicht planen. Ein gutes Ziel ist '''klar''' und '''überprüfbar'''. Eine bekannte Hilfe ist die '''SMART'''-Regel: * '''S'''pezifisch – genau beschrieben * '''M'''essbar – man kann überprüfen, ob es erreicht ist * '''A'''ttraktiv – man will es wirklich * '''R'''ealistisch – es ist machbar * '''T'''erminiert – es hat ein Datum <quiz display=simple> {Welches Ziel ist SMART formuliert? |type="()"} - «Ich will besser in Mathe werden.» - «Ich lerne irgendwann mehr.» + «Bis zum 30. November übe ich jeden Montag 30 Minuten Mathe.» - «Ich werde der Beste der ganzen Schule.» {Wofür steht das «T» in SMART? |type="()"} - Toll + Terminiert - Teamfähig - Typisch </quiz> == Schritt 5: Prioritäten – was zuerst? == Nicht alles ist gleich wichtig. Eine einfache Hilfe ist die '''Eisenhower-Matrix'''. Man fragt bei jeder Aufgabe: Ist sie '''wichtig'''? Ist sie '''dringend'''? {| class="wikitable" ! !! dringend !! nicht dringend |- ! wichtig | '''A: Sofort selbst erledigen''' | '''B: Planen''' (Termin setzen) |- ! nicht wichtig | '''C: Abgeben''' oder kurz erledigen | '''D: Weglassen''' |} <quiz display=simple> {Morgen ist Abgabe einer wichtigen Arbeit. In welches Feld gehört sie? |type="()"} + A - B - C - D {Sie wollen in drei Monaten eine Weiterbildung beginnen und müssen sich dafür anmelden. In welches Feld gehört diese Aufgabe? |type="()"} - A + B - C - D {Eine Stunde lang Videos auf dem Handy schauen, obwohl Sie lernen müssten. In welches Feld gehört das? |type="()"} - A - B - C + D {Welches Feld wird am häufigsten vernachlässigt, obwohl es langfristig am meisten bringt? |type="()"} - A + B - C - D </quiz> == Schritt 6: Zeitdiebe und Energie == '''Zeitdiebe''' sind Dinge, die uns Zeit stehlen, ohne dass wir es merken: Handy, ständiges E-Mail-Lesen, Unterbrechungen, fehlende Ordnung. Aber nicht nur Zeit zählt, sondern auch '''Energie'''. Mit Schlaf, Bewegung, Essen und Pausen bleibt man leistungsfähig. Wer müde ist, braucht für dieselbe Aufgabe viel länger. <quiz display=simple> {Was sind typische Zeitdiebe? (Mehrere Antworten richtig) |type="[]"} + Ständig auf das Handy schauen + Lange nach Unterlagen suchen + Zu allem «Ja» sagen - Eine geplante Pause machen {Warum gehören Pausen zum Selbstmanagement? |type="()"} - Weil man sonst zu schnell fertig wird. + Weil man nach einer Pause wieder konzentrierter arbeitet. - Weil es so im Arbeitsvertrag steht. - Weil Pausen Zeit sparen, die man nicht braucht. {Was hilft gegen Ablenkung beim Lernen? |type="()"} + Das Handy für 30 Minuten in einen anderen Raum legen. - Das Handy auf laut stellen, um nichts zu verpassen. - Gleichzeitig lernen, chatten und Videos schauen. - Den Fernseher im Hintergrund laufen lassen. </quiz> == Schritt 7: Zurückschauen und verbessern == Selbstmanagement ist kein einmaliger Plan, sondern ein '''Kreislauf''': # Ziel setzen # Planen # Umsetzen # Zurückschauen (Was hat funktioniert? Was nicht?) # Anpassen – und wieder von vorne <quiz display=simple> {Ihr Plan hat diese Woche nicht funktioniert. Was ist die beste Reaktion? |type="()"} - Aufgeben. + Überlegen, woran es lag, und den Plan anpassen. - Sich selbst Vorwürfe machen. - Nächste Woche einfach gar nicht mehr planen. {Was kommt im Kreislauf direkt nach «Umsetzen»? |type="()"} - Ziel setzen + Zurückschauen - Planen - Anpassen </quiz> == Schritt 8: Zusammenfassung == <quiz display=simple> {Welche Aussage fasst den Sinn von Selbstmanagement am besten zusammen? |type="()"} - Möglichst viel arbeiten und auf Freizeit verzichten. - Perfekt sein und nie Fehler machen. + Das eigene Leben bewusst steuern. - Alles tun, was andere von einem erwarten. </quiz> '''Merksatz:''' ''Selbstmanagement heisst nicht, mehr zu tun – sondern das Richtige zur richtigen Zeit.'' [[Kategorie:Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)]] 8lulmoy80ige6iguutshrloiiu2b2kq