Wikiversity dewikiversity https://de.wikiversity.org/wiki/Hauptseite MediaWiki 1.48.0-wmf.3 first-letter Medium Spezial Diskussion Benutzer Benutzer Diskussion Wikiversity Wikiversity Diskussion Datei Datei Diskussion MediaWiki MediaWiki Diskussion Vorlage Vorlage Diskussion Hilfe Hilfe Diskussion Kategorie Kategorie Diskussion Kurs Kurs Diskussion Projekt Projekt Diskussion TimedText TimedText talk Modul Modul Diskussion Veranstaltung Veranstaltung Diskussion 106 12769 1119304 1118867 2026-11-10T09:09:35Z Bert Niehaus 20843 /* Polynomialer Nullstellensatz */ 1119304 wikitext text/x-wiki {{Fachbereich|Mathematik}} [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|146px|mini|Kurs enthält [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] Audio-Folien]] [[Datei:Mapping f z equal 1 over z.gif|mini|Bewegung von Bildpunkten einer Funktion <math>f</math>. Dabei ist <math>z</math> in blauer Farbe und <math>f(z)= \frac{1}{z}</math> in roter Farbe markiert. <math>z</math> bewegt sich auf der Spur von <math>\gamma(t)=t\cdot e^{it}</math>.]] [[File:Image of path 1 over z.webm|thumb|Bild einer Kurve in den komplexen Zahlen von der Funktion <math>f(z)=\frac{1}{z}</math>]] == Inhalte == In dem Kurs Funktionentheorie<ref>Fischer, W., & Lieb, I. (2013). Funktionentheorie. Springer-Verlag.</ref><ref>H. Leutwiler (1997) Skript zur Vorlesung Funktionentheorie, Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg - URL: https://www.math.fau.de/wp-content/uploads/2019/04/Leutwiler_funktionen.pdf</ref> werden folgende Themen behandelt. Die Themen sind jeweils mit Wikipediainhalten verlinkt und zusätzlich mit einem ''Wikibuch-Link'' versehen, mit dem man sich maßgeschneidert für das eigene Vorwissen ein Buch als PDF-Dateien zu dem Oberthema generieren kann. Als angemeldeter Benutzer kann man die Literaturzusammenstellung auch abspeichern und nach eigenem Lernfortschritt weiter anpassen. <math>(\ast)</math>-Kapitel sind optional. == Funktionentheorie - Teil 1 == === Grundlagen === * '''[[/Lernvoraussetzungen/|Lernvoraussetzungen aus der Analysis]]''' * '''[[Unterschiede - Konvergenzbegriffe]]''' - ohne stochastische Konvergenz * '''[[Komplexe Zahl|Komplexe Zahlen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** Wikiversity: [[Komplexe_Zahlen/Definition|Definition]] - [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Spezial:Buch&bookcmd=book_creator&referer=Komplexe+Zahl Wikibuch] ** [[Komplexe Zahl#Orbitdarstellung|Orbitdarstellung von Operationen in komplexen Zahlen]] ** [[w:Satz von Heine-Borel|Kompaktheitssatz von Heine-Borel]] ** [[w:Komplexe_Zahl#Komplexe_Zahlenebene|geometrische Einführung]] ** [[Komplexe_Zahl#Rechenregeln|Operationen und Regeln]] ** [[w:Riemannsche_Zahlenkugel|Riemannsche Zahlenkugel]] - komplexe Zahlen <math>\mathbb{C}</math> auf einer Kugeloberfläche. ** [[w:Stereografische_Projektion|stereografische Projektion]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Komplexe Zahlen als Matrizen|Komplexe Zahlen als Matrizen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzen und Wurzeln|Potenzen und Wurzeln]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzen%20und%20Wurzeln&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzen%20und%20Wurzeln&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Graph einer Funktion|Graph einer Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Graph%20einer%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Graph%20einer%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Analysis I/Kapitel III: Die elementaren Funktionen|Elementare Funktionen]]''' auf den komplexen Zahlen * '''[[Weg-Zeit-Risikointegral|Weg-Zeit-Risikointegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg-Zeit-Risikointegral&author=%20%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie&coursetitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] andere Formen von Wegintegralen * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS - Rechnen mit komplexen Zahlen]] === Topologische Grundlagen === * '''[[/Folgen und Reihen/|Konvergenz von Folgen und Reihen in den komplexen Zahlen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&shorttitle=Konvergenz%20von%20Folgen%20und%20Reihen&title=Kurs:Funktionentheorie/Folgen%20und%20Reihen&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe|Potenzreihe]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzreihe&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologische Algebra|Topologische Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologische%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Topologische%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Normen, Metriken, Topologie]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Normen%2C+Metriken%2C+Topologie&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Normierter Raum]] ** [[Metrischer Raum]] ** [[Topologischer Raum]] - Wikiversity: [[Topologie/Grundbegriffe/Topologie/Definition|Definition Topologie]] ** [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * '''[[/einfach zusammenhängend/]]''' * '''[[/Gebiet/]]''' === Komplexe Differenzierbarkeit === * '''[[Holomorphe Funktion|Holomorphe Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Holomorphe_Funktion|Komplexe Differenzierbarkeit und Holomorphie]] ** [[/Partielle Ableitungen/]] * '''[[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[/Anwendungen CR-DG/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Anwendungen_CR-DG&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalkül|Wirtinger-Kalkül]]''' (*) - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalk%C3%BCl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wirtinger-Kalk%C3%BCl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Kurven und Wegintegrale === * '''[[Kurvenintegral|Kurvenintegral im <math> \mathbb{R}^n </math>]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurven|Kurven]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurven&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurven&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' * '''[[Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare Kurve|rektifizierbare Kurve]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare%20Kurve&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=rektifizierbare%20Kurve&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Integralrechnung|Wikipedia: Integralrechnung]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Weg, Spur, Gebiet|Weg, Gebiet, geschlossener Weg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Weg,_Spur,_Gebiet&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Weg,%20Spur,%20Gebiet&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Wegintegral|Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Kurvenintegral#Kurvenintegrale|Wikpedia:Kurvenintegral allgemein]] ** [[w:de:stetige Funktion|Stetigkeit]] und [[w:de:Grenzwert_(Folge)|Grenzwerte]], ** [[Kurs:Funktionentheorie/Integration durch Substitution|Integration durch Substitution]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integration%20durch%20Substitution&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integration%20durch%20Substitution&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/reelle Integrale als Spezialfall von Wegintegralen/]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral ohne Wegableitung|Wegintegral ohne Wegableitung]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral%20ohne%20Wegableitung&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegintegral%20ohne%20Wegableitung&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Weg-Zeit-Risikointegral]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Kurve|Spur, Graph]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Spur&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurve&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale|Mittelwertsatz für Wegintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Holomorphie === * '''[[Holomorphie|Holomorphie]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphie&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphie/Kriterien|Kriterien]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie/Kriterien&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kriterien&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Holomorphe_Funktion#.C3.84quivalente_Eigenschaften_holomorpher_Funktionen_einer_Variablen|Wikipedia: Holomorphiekriterien]] ** [[/Unterschiede zur reellen Differenzierbarkeit/]] ** [[w:Konforme_Abbildung|konforme Abbildungen]]<math>(\ast)</math>, * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen|Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral|Eigenschaften von Kurvenintegralen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg|Integrationsweg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integrationsweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Stammfunktionen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/sternförmig|sternförmig]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/sternf%C3%B6rmig&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=sternf%C3%B6rmig&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/stetige Funktion mit Stammfunktion|stetige Funktion mit Stammfunktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Wegunabhängigkeit|Wegunabhängigkeit]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Wegunabh%C3%A4ngigkeit&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegunabh%C3%A4ngigkeit&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion als Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20als%20Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20als%20Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma|Approximationslemma]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationslemma&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion - geschlossene Wege|Stammfunktion - geschlossene Wege]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] <span id="CIS-CIF"></span> === Cauchy-Integralsatz CIS === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat (Details)]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes#Korrollar_von_Goursat|Goursat mit Ausnahme eines Punkte - Umkreis des Dreiecks]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz|Cauchy-Integralsatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Integralsatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete/]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für sternförmige Gebiete/]] ** [[/einfach zusammenhängend/]] * '''[[Satz von Morera|Satz von Morera]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Morera&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Morera&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Holomorphie/Kriterien|Holomorphiekriterien]] === Cauchy-Integralformel CIF === * '''[[/Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben/]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Cauchy-Integralformel%20für%20Kreisscheiben&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lokale Entwicklung in Potenzreihen|Lokale Entwicklung in Potenzreihen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Abelsches Lemma/]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen|1/z und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiele%20f%C3%BCr%20Potenzreihenentwicklungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen/Cauchy-Dichte|Cauchy-Dichte und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] ** [[Fehlerfunktion|Fehlerfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fehlerfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fehlerfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Satz über lokale Stammfunktionen|Satz über lokale Stammfunktionen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs: Funktionentheorie/Identitätssatz|Identitätssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/Identit%C3%A4tssatz&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Differentialgleichung - Exponentialfunktion/|Differentialgleichung für Exponentialfunktion]] - Anwendung Identitätssatz ** [[Kurs:Stochastik/Normalverteilung#Funktionentheorie|Verteilungsfunktion der Normalverteilung]] - Anwendung Identitätssatz ** [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz von Liouville|Satz von Liouville]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20von%20Liouville&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Liouville&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatz der Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz%20der%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fundamentalsatz%20der%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Komplexe Nullstellen reeller Polynome/]] ** [[/Cauchy-Schranke für Nullstellen/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen|Cauchy-Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip|Maximumprinzip]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Maximumprinzip&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphiekriterien]]''' === Polynomialer Nullstellensatz === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Argumentfunktion|Argumentfunktion und Polarkoordinatendarstellung]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/algebraische Vervollständigung|algebraische Vervollständigung]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/algebraische%20Vervollst%C3%A4ndigung&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=algebraische%20Vervollst%C3%A4ndigung&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/generalisiert|generalisierter Logarithmus]] auf beliebigen [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] [[Gebiet (Mathematik)|Gebieten]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige|Zweige des Logarithmus]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zweige%20des%20Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#Hauptzweig|Hauptzweig des Logarithmus]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#negativer_Hauptzweig|negativer Hauptzweig des Logarithmus]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#imaginaerer_Hauptzweig|imaginärer Hauptzweig des Logarithmus]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#negativer_imaginaerer_Hauptzweig|negativer imaginärer Hauptzweig des Logarithmus]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/logmod|logmod-Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/logmod&author=Logarithmus&language=de&audioslide=yes&shorttitle=logmod-Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] und Periodizität der Exponentionalfunktion, * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen|Äquivalenzklassen des Logarithmus]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/%C3%84quivalenzklassen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%C3%84quivalenzklassen%20des%20Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen/Topologie|Topologisierung des Äquivalenzklassenraumes]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Potenzfunktionen|Potenzfunktionen]] <math>z^n</math> * [[Kurs:Funktionentheorie/exponentielle unktionen|exponentielle Funktionen]] <math>a^z</math> * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/rlog|rlog-Funktion]] beschreibt wie oft kann man einen Logarithmus als Verkettung "rekursiv" anwenden kann. * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/rekursiver Logarithmus|rekursiver Logarithmus]] als Mehrfachverkettung des Logarithmus mit sich selbst. * [[/Eulersche Nullstellen/]] * [[Identitätssatz für Logarithmen]] * [[Polynomialer Nullstellensatz]] == Funktionentheorie - Teil 2 (*) == In diesem Teil der Lehrveranstaltung wird ein Zusammenhang zwischen Geometrie, Integrationstheorie mit messbaren Mengen hergestellt und die Verbindung zu Wegintegralen behandelt. <span id="Flaechenintegrale"></span> === Stammfunktionen und messbare Mengen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz über lokale Stammfunktionen|Satz über lokale Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz für Stammfunktionen|Differenzsatz für Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz%20f%C3%BCr%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale|Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Definition Flächenintegrale]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Complex%20Analysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Stammfunktionen höherer Ordnung]] ** [[orientierte Fläche]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktion und Unterschied zur Stammfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenstammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral%20%C3%BCber%20Real-%20und%20Imagin%C3%A4rteil&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral%20und%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Rechteckintegrale=== * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orientierung für Rechteckintegrale]] ** [[Lemma für Rechteckintegrale|Lemma - Rechteckintegrale über Flächenstammfunktionen]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale|Darstellungslemma für Rechteckintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Dreiecksintegrale=== Nach dem [[Lemma von Goursat]] ist Wegintegral über den Dreiecksrand 0. Bei Flächenintegralen werden Randintegrale für den Dreieckrand betrachtet, die nicht geschlossen sind. * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orientierung für Dreiecksintegrale]] ** [[Randwegintegral für Dreiecke]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz_für_Dreiecke#Korollar1|Korollar 1 - Invarianz Eckpunktwahl]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz_für_Dreiecke#Korollar2|Korollar 2 - Rechenregeln Randintegrale]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale|Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Dreiecksintegrale|Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Kette von orientierten Flächen/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz für Dreiecke|Approximationssatz für Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Integrale über Polygone === In diesem Abschnitt werden Randintegrale über Vielecke zusammen mit der Berechnung behandelt. * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Vierecke|Flächenintegrale über Vierecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Vierecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz für Polygone|Eckenreduktionssatz für Polygone]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/alternierender Randweg|alternierender Randweg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/alternierender%20Randweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=alternierender%20Randweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Vielecke|Flächenintegrale über Vielecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Vielecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Integrale über Kreisscheiben und Ellipsen === * [[/holomophe Integrationswege/]] * [[/Flächenintegrale über Kreisscheiben/]] * [[/Randwegtransformation für Kreisscheiben/]] * [[/Flächenintegrale über Ellipsen/]] * [[/Flächenintegrale - berandete Wegintegrale/]] * [[/Fubini und Cavalierisches Prinzip/]] == Funktionentheorie - Teil 3 == In diesem Teil der Lehrveranstaltung wird der Begriff der Taylorreihe zum Begriff der [[Laurent-Reihe]] verallgemeinert (analog zur Erweiterung der ganzen Zahlen in Stellenwertsystem um Nachkommastelle, die hier den Potenzen <math>(z-z_o)^{-n}</math> mit <math>n\in\mathbb{N}</math> entsprechen). Ferner werden Cauchy-Integralformel und Cauchy-Integralsatz von geschlossenen Weg auf Zyklen verallgemeinert. <span id="LaurentCISCIF"></span> === Von Taylorreihen zu Laurentreihen und Residuen === * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kette&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kette&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl|Umlaufzahl]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Umlaufzahl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Zyklus|Zyklus]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Zyklus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zyklus&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Laurent-Reihe|Von Taylor-Reihen zu Laurent-Reihen]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Laurent-Reihe&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[b-adische Stellenwertsysteme|b-adische Stellenwertsysteme - Exkurs bzgl. Laurent-Reihen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=b-adische%20Stellenwertsystem&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispielrechnung mit Laurentreihen|Beispielrechnung mit Laurentreihen]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/kreisförmige Konvergenzbereiche|kreisförmige Konvergenzbereiche]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] - Abelsches Lemma === Cauchy-Integralformel und Cauchy-Integralsatz für Zyklen === <span id="CIS-CIF"></span> Die Aussagen des [[Cauchy-Integralsatz|CIS]] und [[Cauchy-Integralformel|CIF]] für konvexe bzw. sternförmige Gebiete werden auf [[nullhomolog|nullhomologe]] [[Zyklus|Zyklen]] verallgemeinert. Es wird CIS-NZ wird aus CIF-NZ gefolgert. * '''[[Integralformel von Cauchy|Cauchy Integralformel für Zyklen]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben/]] * '''[[Integralsatz von Cauchy#Zyklen|Cauchyscher Integralsatz für Zyklen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete|Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Satz von der Gebietstreue === Bilder von Gebieten sind unter holomorphen Funktionen wieder Gebiete. * '''[[Kurs: Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue|Satz von der Gebietstreue]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/Satz%20von%20der%20Gebietstreue&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20der%20Gebietstreue&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] (Open Mapping Theorem) * [[Kurs:Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue/Anwendungen|Anwendungen des Satzes von der Gebietstreue]] === Singularität und Residuen === * '''[[/Singularitäten/]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Singularitäten&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Riemannscher Hebbarkeitssatz|Riemannscher Hebbarkeitssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiel - wesentliche Singularität|Beispiel - exp(1/z) - wesentliche Singularität]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiel_-_wesentliche_Singularität/z)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuum|Residuum]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuum&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung|Entwicklung in Laurentreihen]], * [[Kurs:Funktionentheorie/isolierte Singularität|isolierte Singularitäten]], * [[Kurs:Funktionentheorie/Zerlegungssatz|Zerlegungssatz]], * '''[[Satz von Casorati-Weierstraß|Satz von Casorati-Weierstraß]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuensatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale|Beispielintegrale - Anwendung Residuensatz]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispielintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Reelle Integrale mit Residuensatz|Reelle Integrale mit Residuensatz]], ** [[/Flächenintegrale und Residuen/]] * '''[[/Null- und Polstellen zählendes Integral/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Null-%20und%20Polstellen%20z%C3%A4hlendes%20Integral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Satz von Rouché]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz+von+Rouché&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[meromorphe Funktion|meromorphe Funktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=meromorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=meromorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] <span id="Vektorfeld"></span> * '''[[Kurs: Funktionentheorie/holomorphe Funktionen als Vektorfelder|holomorphe Funktionen als Vektorfelder]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Wege in Vektorfeldern|holomorphe Wege in Vektorfeldern]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Wege als Lösungen von Differentialgleichungen/]] === Integralkorrespondenzsatz (*) === Mit dem Integralkorrespondenzsatz wird ein Zusammenhang zwischen Standardintegralen mit Wegableitung <math>\gamma{\,}'</math> und [[Weg-Zeit-Risikointegral|Weg-Zeit-Integralen]] ohne Wegableitung hergestellt. * [[Kurs:Funktionentheorie/Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege|Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege]] * [[/Injektivitätslemma für Wege/]] * [[/Spurüberdeckungslemma/]] * [[/Integralkorrespondenzsatz/]] <span id="Hilbertraum"></span> == Holormorphe Funktionen als Hilbertraum == In diesem optionalen Teil der Lehrveranstaltung wird ein Wegintegral als [[Skalarprodukt]] auf einem Teilraum von [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktionen]] interpretiert und genauer untersucht. Dabei werden Anforderungen an den [[Integrationsweg]] <math>\gamma</math> definiert, damit das zugehörige Wegintegral ein [[Skalarprodukt]] auf einem [[Funktionenraum]] definiert. Damit erhalten diese holomorphen Funktionen eine geometrische Hilbertraumstruktur, in der der [[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras]] oder der [[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Thales|Satz des Thales[[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Thales|Funktionalanalysis/Satz des Thales]] gilt. * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Funktionenraum als Hilbertraum|Funktionenraum als Hilbertraum]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Funktionenraum%20als%20Hilbertraum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Funktionraum%20als%20Hilbertraum&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orthogonalprojektion]] ** [[Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches_Orthonormalisierungsverfahren|Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Hilbertraum&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20des%20Pythagoras&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Thales|Satz des Thales]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Thales&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20des%20Thales&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Semi-Skalarprodukt|Semi-Skalarprodukte für holomophe Funktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Semi-Skalarprodukt|Semi-Skalarprodukt]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Semi-Skalarprodukt#unvollstaendig|unvollständiger Semihilbertraum als Funktionenraum]] ** [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Semi-Skalarprodukt#Semihilbert-Stetigkeitssatz|Semihilbert-Stetigkeitssatz für Maße auf Funktionenräumen]] ** [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Semi-Skalarprodukt#Buchstabenerkennung|Buchstabenerkennung mit Semiskalarprodukten]] ** [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Semi-Skalarprodukt#Nachhaltigkeit|Nachhaltigkeit und Semiskalarprodukte]] === Riemannscher Abbildungssatz - Automorphismen === * '''[[Riemannscher Abbildungssatz|Riemannscher Abbildungssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Riemannscher%20Abbildungssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannscher%20Abbildungssatz&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Schwarz|Lemma von Schwarz]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Automorphismen_der_Einheitskreisscheibe|<math>\mathrm{Aut}(\mathbb D)</math>]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Harmonische_Funktion|analytische und harmonische Funktionen]] * Lösung durch konforme Verpflanzung, Beispiele (ebene stationäre Strömungen in Flüssigkeiten, ebene elektrostatische Felder) * [[Kurs:Analysis III/Kapitel IV: Verallgemeinerte analytische Funktionen|Verallgemeinerte analytische Funktionen]] == Übungen == * Übungen zur [[Kurs:Funktionentheorie/Übungen|Einführung in die Funktionentheorie]] * [[/Quiz/|Beispiel für ein Quiz in der Funktionentheorie]] * [[Videokonferenz/Gruppenarbeit|Gruppenarbeit in Breakouträumen mit Videokonferenzen]] == Softwarenutzung == Ferner wird in Anlehnung an den [[v:en:Open Community Approach|Open Community Approach]] folgende Open Source verwendet: * [[Maxima CAS]] - ComputerAlgebraSystem * [[Maxima CAS/Komplexe Zahlen|komplexe Zahlen in Maxima CAS]] == Vorlesungsfolien aus Wikiversity-Inhalten == Mit [[PanDocElectron-Presentation|PanDocElectron]] kann man direkt aus Wikiversity-Inhalten Vorlesungsfolien erstellen, die man mit man einem Tablet auch annotieren kann. == Handschriftliche Notitzen == * Im Ausbildungskontext haben die individuellen handschriftlichen Annotation eine wesentliche Bedeutung, da der individuelle Erkenntnisgewinn oder auch aktuelle Probleme beim Verständnis der Beweislogik für eine weitere Betrachtung der mathematischen Theorie gekennzeichnet werden kann. Auch in [[Videokonferenz|Videokonferenzen]] kann das Arbeiten an gemeinsam entwickelten Skizzen oder die gemeinsame Annotation von PDF-Dokumenten eine wichtig Rolle für einen kollaborativen Lernprozess sein. Tablets oder Convertible mit Stifteingabe erlauben ** eine digitale Annotation von PDF-Dokumenten z.B. PDF-Export aus Wikiversity für das eigene Dokumentenportfolio zu einer Lehrveranstaltung oder ** die kollaborative Entwicklung von Beweisideen in OpenSource-Videokonferenzsystemen. ** Mit der [https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases OpenSource-Software Xournal]<ref>Xournal (2020) OpenSource digitale Schreibumgebung und Annotationssoftware für PDF-Dokumente - Github: https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases (retrieverd 2020/04/20) </ref> können Sie diese Annotation von PDF-Dokumenten unter Linux, Windows und MacOSX nutzen ([https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases Download GitHub]) und ** für kollaboratives Arbeiten an Beweisideen kann z.B. auch in der [[w:de:BigBlueButton|Open-Source-Videokonferenzsoftware BigBlueButton]] einsetzen. == Siehe auch == * [[CAS4Wiki]] * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS]] * [[Hilfe:Quiz|Quiz für Vorlesungsinhalte]] * [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * [[Konvexkombination]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Videokonferenz/mündliche Prüfung]] === Kurse === * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)]] * [[Objektorientierte Mathematische Modellbildung]] * [[Kurs:Stochastik]] [[Kategorie:Mathematik]] == Literatur == [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis]]</noinclude> aoshaigrlf1doct6v7bny4mndh7u311 0 44131 1119252 1102085 2026-11-09T16:49:30Z Bocardodarapti 2041 1119252 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= {{:Endliche Gruppe/Situation|SZ=}} und sei {{ Relationskette | a | \in | G || || || |SZ=. }} |Voraussetzung= Dann gelten folgende Aussagen. |Übergang= |Folgerung= {{ Aufzählung3 |Die Menge {{ Relationskette | G_a || {{Mengebed| x \in G | xax^{-1} {{=|}} a }} || || || |SZ= }} ist eine {{ Definitionslink |Untergruppe| |Kontext=| |SZ= }} von {{math|term= G |SZ=.}} |Es sei {{ Relationskette | K || [a] || || || |SZ= }} die {{ Definitionslink |Konjugationsklasse| |Kontext=Gruppe| |SZ= }} zu {{math|term= a |SZ=.}} Dann ist {{ Relationskette/display | {{op:Anzahl| K |}} || {{op:Gruppenindex| G_a | G }} || || || |SZ=. }} |Die Elementanzahl von {{ Relationskette | K || [a] || || || |SZ= }} ist ein Teiler von {{mathl|term= {{op:Gruppenordnung| G }} |SZ=.}} }} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der inneren Automorphismen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} odn8ng0t82aoz5nykz25lq9jzb32qke 0 55778 1119236 1118841 2026-11-09T12:57:44Z Bocardodarapti 2041 1119236 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= {{:Kommutativer Ring/Situation|SZ=}} und {{math|term= D |SZ=}} eine {{ Definitionslink |kommutative Gruppe| |Kontext=| |SZ= {{ Zusatz/{{{zusatz1|}}} |text=Diese Gruppe wird fast immer additiv geschrieben| |ISZ=.|ESZ=. }} }} Eine {{ Definitionslink |Prämath=R|Algebra| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= A |SZ=}} heißt {{ Definitionswort |Prämath=D |graduiert| |msw=Graduierte Algebra |SZ=, }} wenn es eine {{ Definitionslink |direkte Summenzerlegung| |Kontext=Modul| |SZ= }} {{ Relationskette/display | A || \bigoplus_{d \in D} A_d || || || |SZ= }} mit {{ Definitionslink |Prämath=R|Untermoduln| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= A_d |SZ=}} derart gibt, dass {{ Relationskette | R | \subseteq | A_0 || || || |SZ= }} ist und für die Multiplikation auf {{math|term= A |SZ=}} die Beziehung {{ Relationskette/display | A_d \cdot A_e | \subseteq | A_{d+e} || || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der graduierten kommutativen Ringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Graduierte Algebra |Definitionswort2= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5f6m00ntwps5bgvsc3kv6h404zzea5e 0 56174 1119246 952354 2026-11-09T16:24:25Z Bocardodarapti 2041 1119246 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es sei {{math|term= G |SZ=}} eine {{ Definitionslink |endliche Gruppe| |Kontext=| |SZ= }} der {{ Definitionslink |Ordnung| |Kontext=Gruppe| |SZ= }} {{math|term= n |SZ=}} und sei {{math|term= p^r |SZ=}} eine Primzahlpotenz, die {{math|term= n |SZ=}} teilt. |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung= Dann besitzt {{math|term= G |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Untergruppe| |Kontext=| |SZ= }} der Ordnung {{math|term= p^r |SZ=.}} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der endlichen Gruppen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname=Satz von Sylow |Abfrage= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cgjpl5hdh1k2xif35ug454r6mtiq0ss 0 98682 1119247 1118805 2026-11-09T16:32:16Z PaFra 14559 /* 4.4.2. 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Aussöhnung mit den Quraisch und Anschluss der Araber === Wenige Tage nach der Einnahme von Mekka durch die Muslime zog vom Südosten her eine neue militärische Gefahr herauf. Die Stämme der Hawāzin und der Thaqīf hatten eine Armee von 20.000 Kämpfern aufgestellt und bedrohten damit Mekka. Da die Hawāzin nicht nur Muhammad und den Muslimen, sondern auch den heidnisch gebliebenen Quraisch feindlich gegenüber standen, ergab sich die Gelegenheit zu einem Ausgleich. Als Muhammad die heidnischen Mekkaner dazu aufforderte, zusammen gegen den gemeinsamen Feind zu ziehen, schlossen sich ihm etwa 2.000 Mann von ihnen an. In dem Tal [[w:Hunain|Hunain]] kam es zu einer Schlacht, bei der zeitweise der Ausgang unsicher schien (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/25 Q 9:25f]), doch am Ende siegten Muhammads Truppen und eroberten das feindliche Lager. Viele der früheren mekkanischen Gegner Muhammads, darunter auch die Söhne [[w:Abū Sufyān ibn Harb|Abū Sufyāns]], konnten bei dieser Gelegenheit durch eine großzügige Beuteverteilung für den Islam gewonnen werden. Diese mekkanischen „Spätkonvertiten“ werden in Anlehnung an einen Koranvers, der auf das Ereignis Bezug nimmt ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/60 Q 9:60]), als ''al-muʾallafa qulūbu-hum'' („die, deren Herzen gewonnen wurden“) bezeichnet. Zu einem raschen Interessenausgleich mit früheren Gegnern trug auch bei, dass Muhammad die Familien, die bisher die kultischen Ämter in Mekka ausgeübt hatten, in diesen Ämtern bestätigte. So übergab er einem Angehörigen der ʿAbd ad-Dār, die schon vorher das Türhüteramt der Kaaba versehen hatten, den Schlüssel des Heiligtums als Zeichen seiner erblichen Belehnung mit diesem Amt. Bis heute haben die Banū Schaiba, die Nachkommen von Schaiba ibn ʿUthmān aus dem Clan ʿAbd ad-Dār, dieses Türhüteramt der Kaaba inne. [[File:Jami Masjid, Mandu - minbar 01.jpg|mini|[[w:Minbar|Minbar]] in der Freitagsmoschee von [[w:Mandu (Stadt)|Mandu]], 14. Jh.]] Nach der Schlacht von Hunain im Frühjahr 630 war die Expansion der neuen Religion in das Innere der Arabischen Halbinsel überwältigend. Muhammad sandte Briefe an die in den verschiedenen Teilen der arabischen Halbinsel lebenden Stämme und forderte sie auf, den Islam anzunehmen. Verschiedene Stämme wie die [[w:Azd (Stamm)|Azd]], [[w:Kinda (Arabien)|Kinda]] und [[w:Bāhila|Bāhila]] schickten umgekehrt Gesandtschaften zu ihm und baten ihn um Aufnahme in sein Bündnis. Deshalb wird das Jahr nach der Einnahme Mekkas in der islamischen Geschichtsschreibung auch das „Jahr der Gesandtschaften“ (''ʿām al-wufūd'') genannt. Bei seinen Predigten und Verhandlungen mit den Delegationen verwendete der Prophet jetzt häufig den [[w:Minbar|Minbar]], einen kanzelartigen Thron aus Holz. Ursprünglich wohl ein Hoheitssymbol, wurde der Minbar später als Ort, von dem aus die Freitagspredigt gehalten wird, zu einem festen Bestandteil der Innenausstattung von Moscheen. Für offene Gegner des Propheten wurde das Leben auch außerhalb Mekkas nun immer schwieriger. Sicher waren sie nur, wenn sie sich dem Propheten unterwarfen und den Islam annahmen. So tat es beispielsweise [[w:ʿIkrima ibn Abī Dschahl|ʿIkrima]], der Sohn von [[w:Abū Dschahl|Abū Dschahl]], der bis zuletzt gegen Muhammad gekämpft hatte und zunächst in den Jemen geflohen war. Bekannt geworden ist auch der Dichter [[w:Kaʿb ibn Zuhair|Kaʿb ibn Zuhair]], der in satirischen Versen Muhammad angegriffen hatte und deshalb zur Tötung freigegeben worden war. Er tauchte in dieser Zeit überraschend in Medina auf und trug öffentlich ein Lobgedicht auf den Propheten und die Quraisch vor. Dieses mit den Worten ''Bānat Suʿād'' beginnende Gedicht wurde später zu einem der wichtigsten religiösen Gedichte des Islams und ist als solches immer wieder kommentiert und schmückend erweitert worden. Im Herbst 630 kam es noch einmal zu einer internen Krise, als Muhammad, offenbar gegen den Willen vieler seiner Anhänger (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/81 Q 9:81]), einen Feldzug gegen die Byzantiner und ihre arabischen Bundesgenossen an der syrischen Grenze unternahm. Zeitgleich mit diesem [[w:Feldzug nach Tabūk|Feldzug nach Tabūk]] setzten sich einige von Muhammads Anhängern ab, errichteten sich eine eigene Moschee (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/107 Q 9:107-11]) und heckten gegen den Propheten eine Intrige aus. Die Koranverse, die diese Situation verarbeiten, fordern den Propheten auf, hart gegen die als [[w:Munāfiq|Munāfiqūn]] und [[w:Kāfir|Kuffār]] bezeichnete Gruppe vorzugehen und drohen diesen als Apostaten die Höllenstrafe an (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/73 Q 9:73f]). Den Gläubigen wurde umgekehrt im Koran für ihren kämpferischen Einsatz großer jenseitiger Lohn in Aussicht gestellt. Das Verhältnis zwischen ihrem Einsatz und der jenseitigen Belohnung wird dabei nach Art eines Handelsgeschäfts mit Gott beschrieben: {{Zitat|Gott hat den Gläubigen ihr Leben und ihr Vermögen dafür abgekauft, dass sie das Paradies haben sollen. Sie sollen kämpfen für die Sache Gottes und töten und getötet werden. Das ist ein ihn bindendes Versprechen [...]. Und wer hält sein Versprechen getreuer als Gott? Freut euch also über das, was ihr erkauft habt. Denn das ist der große Gewinn.|[https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/111 Q 9:111]}} Mit diesem und ähnlich lautenden Versen (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/74 Q 4:74]; [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/61/vers/10 61:10]) wurde im Islam ein eigenes Konzept des Märtyrertums begründet: Derjenige, der sich im Kampf selbst aufopfert und den Tod auf dem Schlachtfeld findet, ist kein Verlierer, sondern in Wirklichkeit der „große Gewinner“. Diese Form der religiösen Mobilisierung der Gläubigen zum Kampf hat möglicherweise entscheidend zur schnellen Expansion des islamischen Staates beigetragen. === 4.1.2. Muslime und Nicht-Muslime === Die Annahme des Islams wurde jetzt zur strikten Vorbedingung einer Aufnahme in das Bündnis mit Mohammed. Das bedeutete zugleich, dass sich ihm immer mehr Menschen rein aus politischen und wirtschaftlichen Gründen anschlossen, der neuen Religion jedoch innerlich kaum zugetan waren. Das galt wohl vor allem für die Beduinen, wie aus einem in dieser Hinsicht vielsagenden Koranvers hervorgeht: {{Zitat|Die Wüstenaraber (''al-Aʿrāb'') sagen: Wir glauben! Sprich: Ihr glaubt nicht! Sagt vielmehr: Wir haben uns unterworfen. Denn der Glaube ist noch nicht in eure Herzen eingedrungen.|[https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/49/vers/14 Sure 49:14]}} Unterwerfung (''islām'') unter den Willen Gottes und seines Gesandten, so sagt es uns dieser Vers, bedeutete eben nicht immer auch innerliche Annahme des Glaubens ([[w:Īmān|Īmān]]). Um als „Brüder in der Religion“ anerkennt zu werden, war es allerdings nur notwendig, das Gebet ([[w:Salāt|Salāt]]) zu verrichten und die Läuterungsgabe ([[w:Zakāt|Zakāt]]) entrichten (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/11 Q 9:11]). Die in frühmekkanischer Zeit als fromme Übung eingeführte Zakāt hatte sich offenbar bis zu diesem Zeitpunkt zu einer Art Almosensteuer entwickelt. Als Synonym für ''zakāt'' erscheint in dieser Zeit im Koran auch das Wort [[w:Sadaqa|Sadaqa]] (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/103 Q 9:103]). Zum Einzug dieser Abgaben, aber auch zur Unterweisung der neu bekehrten Stämme in der Religion sandte Muhammad mehrere seiner Gefährten in die verschiedenen Gebiete der arabischen Halbinsel, so zum Beispiel [[w:Abū Huraira|Abū Huraira]] nach Bahrain in Ostarabien (nicht identisch mit dem heutigen Staat [[w:Bahrain|Bahrain]]), [[w:ʿAmr ibn al-ʿĀs|ʿAmr ibn al-ʿĀs]] nach [[w:Oman|Oman]] und Muʿādh ibn Dschabal in den [[w:Jemen|Jemen]]. Nachdem Muhammad mit den Heiden und Juden gebrochen hatte, scheint er noch lange eine positive Einstellung gegenüber dem Christentum gewahrt zu haben. Das zeigt eine Stelle im Koran, an der es heißt: {{Zitat|Du wirst sicher finden, dass diejenigen Menschen, die sich den Gläubigen gegenüber am meisten feindlich zeigen, die Juden und die Heiden sind. Und du wirst sicher finden, dass diejenigen, die den Gläubigen in Liebe am nächsten stehen, die sind, welche sagen: Wir sind Christen (''Naṣārā''). Dies deshalb, weil es unter ihnen Priester und Mönche gibt, und weil sie nicht hochmütig sind.|[https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/5/vers/82 Q 5:82]}} In den Korankommentaren wird bei diesem Vers auf die positiven Erfahrungen, die Muhammads Anhänger im christlichen Äthiopien gemacht hatten, verwiesen. Grundsätzlich war Muhammad allerdings der Auffassung, dass er von Jesus als Gesandter angekündigt worden war (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/61/vers/6 Q 61:6]) und der Koran nicht nur eine Bestätigung der Tora, sondern auch des Evangeliums ([[w:Indschīl|Indschīl]]) darstellt (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/3/vers/3 Q 3:3]), und die Christen von daher wie die Juden vor die Aufgabe gestellt waren, seinen religiösen Führungsanspruch anzuerkennen und zum Islam überzutreten. Bei Verhandlungen mit Abgesandten christlicher Gemeinschaften der arabischen Halbinsel machte der Prophet nun aber die Erfahrung, dass diese im Gegensatz zu den heidnischen Arabern eben nicht bereit waren, den Islam anzunehmen. Besonders bekannt geworden ist der Fall einer Delegation von Geistlichen aus [[w:Nadschran|Nadschrān]], dem Zentrum des südarabischen Christentums, die zum Ausdruck brachten, dass sie sich zwar der politischen Macht des Propheten fügen, aber nicht zum Islam übertreten wollten, weil sie sich selbst im Besitz der wahren Religion sahen. In diesen historischen Zusammenhang wird von der islamischen Tradition die koranische Aussage gestellt, dass Jesus vor Gott gleich Adam und wie er allein durch das Schöpferwort ''kun'' („Sei!“) erschaffen worden sei ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/3/vers/59 Q 3:59]). Muhammad soll dieses Koranwort den christlichen Geistlichen aus Nadschrān entgegengehalten haben, als es zu einem Streit über die von den Christen behauptete [[w:Sohn Gottes|Gottessohnschaft]] Jesu‘ kam. Anschließend, so berichten die arabischen Quellen, forderte er die Geistlichen zur Herbeiführung eines Gottesurteils über die Wahrheit der beiden religiösen Positionen durch gegenseitige Verfluchung ([[w:Mubāhala|Mubāhala]]) auf (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/3/vers/61 Q 3:61]), was diese jedoch ablehnten. Schließlich einigte man sich darauf, dass die Leute von Nadschrān dem Propheten einen jährlichen Tribut entrichten sollten, wofür umgekehrt der Prophet ihnen den Schutz für Leben und Religion zusicherte. Die Verschlechterung der Beziehungen zu den Christen lässt sich auch darauf zurückführen, dass der Prophet in dieser Zeit verstärktes Interesse an der Expansionsroute nach Syrien zeigte, wo in der Mehrzahl Christen lebten und nicht zum Islam konvertieren wollten. Bei ihnen kam nun ebenfalls das Modell der Tributzahlung zur Anwendung. Die arabischen Quellen berichten, dass sich als Folge des [[w:Feldzug nach Tabūk|Feldzuges nach Tabūk]] im Herbst 630 mehrere christliche Gemeinden am [[w:Golf von Akaba|Golf von Akaba]] in Nordwestarabien, darunter auch die Stadt [[w:Eilat|Aila]], dem Propheten unterwarfen und bereit erklärten, die sogenannte [[w:Dschizya|Dschizya]], an ihn zu entrichten. Der arabische Begriff ''Dschizya'' hat die Grundbedeutung von „Ausgleich, Kompensation“. Was die Dschizya-Zahlung ausgleichen sollte, lässt sich nicht mit Gewissheit sagen. Allerdings hat diese Abgabe eine koranische Grundlage in [[w:Sure 9|Sure 9]], wo die Muslime aufgefordert werden, gegen die [[w:Ahl al-kitāb|Ahl al-kitāb]] zu kämpfen, bis „sie kleinlaut aus der Hand die Dschizya entrichten“ ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/29 Q 9:29]). Die Pflicht zum Kampf gegen Juden und Christen wird an der betreffenden Stelle daraus abgeleitet, dass sich die beiden Religionsgemeinschaften fälschlicherweise neben Gott [[w:Rabbinen|Rabbinen]] und [[w:Mönch|Mönche]] zu Herren genommen hätten ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/31 Q 9:31]), von [[w:Esra (Person)|Esra]] bzw. Christus behaupteten, sie seien Gottes Sohn, und damit die Rede der früheren Ungläubigen nachahmten ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/30 Q 9:30]). Diese koranischen Aussagen legitimierten eine neue, aggressivere Haltung gegenüber den Christen, bedeuteten aber andererseits auch, dass Juden und Christen die Möglichkeit gegeben wurde, bei Unterwerfung ihre Religion weiter auszuüben. Auch gegenüber [[w:Zoroastrier|Zoroastriern]] zeigte Muhammad diese Haltung. Als ihm zu Ohren kam, dass sich die auf dem Gebiet von Bahrain lebenden Zoroastrier weigerten, den Islam anzunehmen, ließ er ihnen unter der Bedingung, dass sie die Dschizya entrichteten, diese Freiheit. Als Rechtfertigung dafür soll er das bekannte Koranwort: „[[w:Kein Zwang in der Religion|Es gibt keinen Zwang in der Religion]]“ ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/256 Q 2:256]) herangezogen haben. === 4.1.3. Neuordnung der Wallfahrt und Reform des Kalenders === Im Jahr der Einnahme Mekkas (630) hielten sich Muhammad und seine engsten Gefährten vom Haddsch, der für die muslimischen und nicht-muslimischen Pilger noch ganz nach den altgewohnten Riten ablief, fern. Im Jahre darauf (631) beauftragte Muhammad seinen Gefährten [[w:Abū Bakr|Abū Bakr]], den Haddsch anzuführen. Während dieser sich bereits in Mekka befand, schickte ihm der Prophet seinen Vetter ʿAlī nach, der in [[w:Minā|Minā]] die folgenden Worte öffentlich verkündete, die auch Teil des Korans sind: {{Zitat|Eine Ankündigung von Gott und seinem Gesandten an die Leute am Tag der großen Wallfahrt: Gott hat keine Verpflichtung mehr gegenüber den [[w:Muschrik|Beigesellern]], und sein Gesandter ebenfalls nicht. Wenn ihr bußfertig umkehrt, ist das besser für euch. Wenn ihr euch aber abwendet, dann wisset, dass ihr Gott nicht zuschanden machen könnte. Und verheiße den Ungläubigen schmerzliche Strafe.|[https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/3 Q 9:3]}} Kurz danach heißt es: {{Zitat|Sind aber die heiligen Monate verflossen, so erschlaget die Beigeseller, wo ihr sie findet, und packet sie und belagert sie und lauert ihnen in jedem Hinterhalt auf.|[https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/5 Q 9:5]}} {| class="wikitable floatright" |- ! colspan="2" | Die islamischen Monate |- ! Nr !! Name |- | 1 | [[w:Muharram|Muharram]] |- | 2 | [[w:Safar|Safar]] |- | 3 | [[w:Rabīʿ al-awwal|Rabīʿ I]] |- | 4 | [[w:Rabīʿ ath-thānī|Rabīʿ II]] |- | 5 | [[w:Dschumādā l-ūlā|Dschumādā I]] |- | 6 | [[w:Dschumādā th-thāniya|Dschumādā II]] |- | 7 | [[w:Radschab|Radschab]] |- | 8 | [[w:Schaʿbān|Schaʿbān]] |- | 9 | [[w:Ramadan|Ramadān]] |- | 10 | [[w:Schawwāl|Schauwāl]] |- | 11 | [[w:Dhu l-qaʿda|Dhū l-Qaʿda]] |- | 12 | [[w:Dhū l-Hiddscha|Dhū l-Hiddscha]] |} Diese Verse vom Anfang der Sure 9 zeigen sehr deutlich, wie sich die Machtverhältnisse verändert hatten. Indem Muhammad den Ungläubigen unter schärfsten Androhungen verbot, sich Mekka anzunähern, schloss er sie auch von allen wirtschaftlichen Aktivitäten in dieser Stadt aus. Erst im Jahre 632 nahm Muhammad selbst am Haddsch teil. Hierbei verhielt er sich bei einzelnen Wallfahrtstationen anders, als es die Heiden getan hatten. So verlegte er den Lauf von [[w:ʿArafāt|ʿArafāt]] nach [[w:Muzdalifa|Muzdalifa]] auf die Zeit nach Sonnenuntergang und den Lauf von Muzdalifa nach Minā auf die Zeit vor Sonnenaufgang, um diesen Riten den Charakter heidnischer Sonnenverehrung zu nehmen. Außerdem bezog er die Wallfahrtsriten, die während der [[w:ʿUmra|ʿUmra]] an der Kaaba in Mekka vollzogen wurden, in den Haddsch ein. Die Bezeichnung ''Haddsch'' ging nun auf das kombinierte Wallfahrtsritual über; die speziell dem mekkanischen Heiligtum geltende ʿUmra-Wallfahrt blieb aber als „kleine Wallfahrt“ weiter bestehen. Muhammads Haddsch im Jahre 632, aufgrund seines kurz danach eingetretenen Todes [[w:Abschiedswallfahrt|Abschiedswallfahrt]] genannt, wurde für alle Zeiten zum Vorbild für dieses Ritual. Die Kaaba erlebte durch die Neuordnung des Haddsch einen enormen Bedeutungszuwachs. Da andere Heiligtümer wie dasjenige von [[w:Dhū l-Chalasa|Dhū l-Chalasa]] in Tabāla von Muhammads Anhängern zerstört wurden, erhielt sie nun auf der arabischen Halbinsel eine Monopolstellung. Im Zuge der Neuordnung des Haddsch wurde auch der altarabische lunisolare Kalender mit seinem [[w:Einschaltung (Zeitrechnung)|Interkalationssystem]] des ''nasīʾ'' (vgl. oben [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 01 #1.3.3. Das altarabische Heidentum und die Heiligtümer von Mekka|1.3.3.]]) abgeschafft und ein reiner [[w:Lunarkalender|Lunarkalender]] mit einer unveränderlichen Zahl von zwölf Monaten eingeführt. Die Gründe für die Kalenderreform sind nicht ganz klar, die Koranverse, die davon handeln ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/36 Q 9:36f]), lassen aber erkennen, dass die Entscheidungen derjenigen, die für die Einschiebung von Schaltmonaten und Heiligerklärung von Monaten zuständig waren, als willkürlich empfunden wurden und dies relevant für die Kriegführung war. Um deutlich zu machen, dass der erste Safar nun immer als heiliger Monat galt, erhielt er den Namen [[w:Muharram|al-Muharram]] („der Geheiligte“). Das neue Mondjahr mit nur 354 Tagen wurde zur Grundlage für den islamischen Kalender und diente fortan zur Bestimmung der religiösen Feste. Da dieses Mondjahr, das sich gewissermaßen „rückwärts“ durch die Sonnenjahre bewegt, für Ackerbau treibende Bauern jedoch nicht praktikabel ist, wurde in fast allen Ländern, in denen der Islam Wurzeln geschlagen hat, daneben ein [[w:Solarkalender|Solarkalender]] weitergeführt. == 4.2. Abū Bakr (632-634) – „Stellvertreter des Gottesgesandten“ == === 4.2.1. Die Ereignisse der Saqīfa und die Anfänge des Kalifats === Als Muhammad nach Medina zurückkehrte, verschlechterte sich sein Gesundheitszustand erheblich. Am 8. Juni 632 starb er. Es wird berichtet, dass er vor seinem Tod seine Nachfolge durch ein Testament regeln wollte, [[w:ʿUmar ibn al-Chattāb|ʿUmar ibn al-Chattāb]], der in der medinischen Zeit zu einem seiner wichtigsten Berater aufgestiegen war, dies jedoch verhindert habe. Muhammad hinterließ keinen männlichen Nachkommen. Mit seiner ersten Frau [[w:Chadīdscha bint Chuwailid|Chadīdscha]] hatte er vier Töchter und zwei oder drei Söhne. Letztere waren allerdings schon als Kinder verstorben. Seinen Adoptivsohn [[w:Zaid ibn Hāritha|Zaid ibn Hāritha]] hatte er im Zusammenhang mit der Affäre um [[w:Zainab bint Dschahsch|Zainab bint Dschahsch]] verstoßen. Auf diesen Sachverhalt soll sich das Koranwort von [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/33/vers/40 Sure 33:40] beziehen, in dem klargestellt wird, dass Muhammad keine Söhne hat und auch sein Amt als Gottesgesandter nicht erblich ist, er vielmehr „Siegel der Propheten“ (''ḫātam an-nabīyīn'') ist. Es war also völlig unklar, wer die Führung der [[w:Umma|Umma]] nach seinem Tod übernehmen sollte. In dieser Situation traten schwere Meinungsverschiedenheiten zwischen den mekkanischen [[w:Muhādschirūn|Muhādschirūn]] und den medinischen [[w:Ansār|Ansār]] hervor. Die Ansār zogen zu [[w:Saʿd ibn ʿUbāda|Saʿd ibn ʿUbāda]], dem Chef des medinischen Clans Banū Sāʿida, und versammelten sich in seiner Saqīfa („offener Versammlungsplatz“). Dort erhoben sie die Forderung, dass sich Ansār und Quraisch trennen sollten und eine jede Gruppe für sich einen Befehlshaber (''amīr'') wählen sollte. Damit drohte die islamische Gemeinschaft auseinanderzubrechen. Die Diskussion spitzte sich zu, als zu den Versammelten die drei Muhādschirūn Abū Bakr, ʿUmar und [[w:Abū ʿUbaida ibn al-Dscharrāh|Abū ʿUbaida]] hinzutraten. Vor allem ʿUmar trat strikt gegen jede Teilung der Gemeinschaft ein. Abū Bakr betonte den Vorranganspruch des Stammes Quraisch. In dieser Situation überraschte ʿUmar die Anwesenden, indem er plötzlich Abū Bakr die [[w:Baiʿa|Baiʿa]] leistete. Dieser hatte das Gebet der Gemeinde angeführt, als Muhammad bereits im Sterben lag. Daraus ergab sich für ihn ein gewisser Nimbus. Außerdem war er durch ʿĀ'ischa Schwiegervater des Propheten und darüber hinaus einer der frühesten Gläubigen überhaupt (vgl. oben [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 02#2.1.3. Die neue Gemeinde|2.1.3.]]). Bei allen wichtigen Kämpfen gegen die heidnischen Quraisch von Mekka war er dabei gewesen und hatte mit seinen finanziellen Mitteln andere Feldzüge unterstützt. Somit war Abū Bakr ein geeigneter Kompromisskandidat für Ansār und Muhādschirūn. Entscheidend für den weiteren Verlauf der Versammlung war die überraschende Ankunft der Banū Aslam, eines Clans aus der Umgebung von Medina, der für seine besondere Loyalität gegenüber dem Propheten bekannt war. Sie stießen in großen Zahlen zu der Versammlung und huldigten Abū Bakr. Viele Ansār weigerten sich zunächst, Abū Bakr zu huldigen. Auch die [[w:Banū Hāschim|Banū Hāschim]], der Clan des Propheten, protestierten dagegen, dass sie bei der Regelung der Nachfolge übergangen worden waren. Einige Ansār brachten in dieser Situation [[w:ʿAlī ibn Abī Tālib|ʿAlī ibn Abī Tālib]], der der nächste Verwandte des Propheten war, als Alternative für Abū Bakr ins Spiel. ʿAlī hatte offensichtlich auch die Unterstützung der Nachkommen von [[w:ʿAbd Schams ibn ʿAbd Manāf|ʿAbd Schams]]. Sie pochten in dieser Situation auf die politischen Vorrechte der Nachkommen [[w:ʿAbd Manāf ibn Qusaiy|ʿAbd Manāfs]], zu denen sowohl die ʿAbd Schams als auch die Banū Hāschim gehörten, und kritisierten, dass Abū Bakr nicht diesem Stammesadel angehörte. [[Datei:Abu bakr2.jpg|mini|Die Prophetengefährten schwören Abū Bakr den Treueid, während rechts neben ihm ʿUmar sitzt, Miniatur in einem [[w:Osmanisches Reich|osmanischen]] [[w:Siyer-i Nebi|Siyer-i-Nebi]]-Werk, 1596]] In der Folgezeit sorgte ʿUmar zusammen mit den Banū Aslam dafür, dass fast alle Bewohner Medinas Abū Bakr den Treueid leisteten, wobei sie möglicherweise auch Gewalt anwendeten. Abū Bakr selbst trat allerdings eher bescheiden auf. Er ließ erkennen, dass er sich als Fortsetzer der Linie des Propheten betrachtete, keinesfalls aber als Neuerer. In diesem Sinn war er darum bemüht, alle Verordnungen und Anweisungen des Propheten einzuhalten und weiterzuführen. Dieses Bestreben spiegelt sich auch in der Bezeichnung, die er für sein Amt gebrauchte. Er nannte sich ''ḫalīfat rasūl Allāh'', „Stellvertreter des Gesandten Gottes“. Stellvertreter des Gottesgesandten hatte es schon zu Lebzeiten des Propheten öfters gegeben: Für die Zeit seiner Abwesenheit von Medina, während eines kriegerischen Unternehmens vor allem, pflegte Muhammad solche Stellvertreter zu bestimmen, die für die Aufrechterhaltung der Ordnung zu sorgen hatten. Mit der Wahl dieses Titel, der im Deutschen üblicherweise mit ''Kalif'' wiedergegeben wird, machte Abū Bakr deutlich, dass er sich mit seinem Amt keine herrschaftliche Macht anmaßen, sondern lediglich den Status quo innerhalb der Umma aufrechterhalten wollte. Höhere Machtansprüche haben sich mit dem Kalifentitel erst in späterer Zeit entwickelt. Dass sich Abū Bakr gegen ʿAlī und die Banū Hāschim durchsetzte, hängt möglicherweise auch damit zusammen, dass man unter den Muhādschirūn aufgrund der Ehe ʿAlīs mit der Prophetentochter Fātima die Entstehung einer Dynastie befürchtete und deshalb lieber auf Abū Bakr setzte, bei dem diese Gefahr nicht bestand. Zu einer Konfrontation zwischen Abū Bakr, ʿUmar und der Prophetenfamilie führte wenig später der Streit um das von Juden bewirtschaftete Landgut des Propheten in Fadak im nördlichen [[w:Hedschas|Hedschas]]. Als Fātima Ansprüche auf dieses Landgut geltend machte, hielten die beiden ihr entgegen, dass der Prophet sein gesamtes Eigentum als Sadaqa der Gemeinschaft der Muslime vermacht habe. Da Fātima keinen ausreichenden Beweis dafür vorbringen konnte, dass der Prophet ihr das Landgut schon zu Lebzeiten geschenkt habe, zog Abū Bakr es ein. Fātima brach daraufhin den Kontakt zu Abū Bakr vollständig ab. Sechs Monate später starb sie. Erst nach ihrem Tod leistete auch ʿAlī dem Kalifen den Treueeid. Damit war die Nachfolgefrage endgültig geklärt. === 4.2.2. Abfallbewegung (''ridda'') und Wiederaufnahme des Dschihad === [[Datei:Mohammad_adil-Riddah_wars.PNG|mini|Schauplätze der Ridda-Kriege]] Nach dem Tode des Propheten setzte bei den Stämmen der Arabischen Halbinsel eine breite Absetzbewegung ein, die in den Quellen als [[w:Ridda|Ridda-Kriege]] bezeichnet wird. Der kurzzeitige Machtverlust der Quraisch führte dazu, dass in vielen Stämmen diejenigen Gruppen Oberwasser erhielten, die schon immer dem Anschluss an den Quraisch-Staat kritisch gegenüber gestanden hatten. In einigen Gegenden Arabiens traten Gegenpropheten auf, die auch auf dem religiösen Gebiet die Hegemonie des Islams in Frage stellten. Im Jemen etablierte sich der Gegenprophet al-Aswad, der in kurzer Zeit weite Gebiete Südarabiens unter seine Kontrolle bringen konnte. Er trat wie Muhammad im Namen Allāhs auf und verstand es, Ressentiments gegen die neue Abhängigkeit von Medina für seine Sache auszunutzen. Bei dem Stamm Hanīfa, der in der ostarabischen [[w:Al-Yamama|Yamāma]] lebte, tat sich ein Prophet namens [[w:Musailima|Musailima]] hervor, der in seinen Lehren gewisse monotheistische Anklänge zeigte, indem er im Namen [[w:Rahmanismus|Rahmāns]] predigte. Im zentralarabischen [[w:Nadschd|Nadschd]]-Gebiet traten sogar zwei Propheten auf, im Norden bei den Asad-Beduinen [[w:Tulayha|Tulaiha]] und im Süden bei den Tamīm die Prophetin Sadschāh. Unter Musailima wurde die härteste Gegnerschaft gezeigt, deren Wirksamkeit sich noch durch ein Bündnis mit der Prophetin Sadschāh erhöhte. Auf diese Weise entstand eine Allianz der Gegner, die eine gewaltige Armee mobilisieren konnte. Diejenigen Stämme, die sich der Ridda-Bewegung angschlossen, weigerten sich, weiterhin die Zakāt zu zahlen. Sie meinten, sie sei Teil eines Vertrages gewesen, den sie mit dem Propheten geschlossen hatten und der mit seinem Tod erloschen sei. Abū Bakr sandte von Mekka und Medina verschiedene Heere aus, um die abgefallenen Stämme mit Waffengewalt zurückzugewinnen. In den Feldzügen gegen die abgefallenen Stämme taten sich besonders zwei Mekkaner von den [[w:Machzūm|Machzūm]] hervor, die Muhammad lange heftig bekämpft hatten, [[w:Chālid ibn al-Walīd|Chālid ibn al-Walīd]] und [[w:ʿIkrima ibn Abī Dschahl|ʿIkrima ibn Abī Dschahl]]. Chālid konnte im Frühjahr 633 in der Ebene ʿAqrabā' den Truppen der Banū Hanīfa unter der Führung von Musailima eine vernichtende Niederlage beibringen. Weitere Kämpfe fanden in Bahrain, Oman und Jemen statt. Besonders erbitterten Widerstand leisteten die Kinda unter ihrem letzten Stammeskönig [[w:al-Aschʿath ibn Qais|al-Aschʿath ibn Qais]]. Mit der Einnahme ihrer Festung Nudschair im Hadramaut endete die Ridda-Bewegung. Al-Aschʿath wurde in Ketten nach Medina gebracht und dort durch Abū Bakr begnadigt. [[File:Mohammad adil-Muslims Invasion of Syria.PNG|mini|Die vier von Abū Bakr nach Syrien ausgesandten Truppenkontingente]] Die Ridda-Abwehrkämpfe gingen im Norden der Arabischen Halbinsel nun nahtlos in eine Eroberungsbewegung über. Noch im Jahre 633 unternahm Chālid mit seinen Kämpfern Überfälle auf Gebiete des Südirak, machte die dort lebenden Nomadenstämme botmäßig und eroberte [[w:al-Hīra|al-Hīra]], die Hauptstadt des [[w:Lachmiden|Lachmidenreiches]]. [[w:Al-Balādhurī|Al-Balādhurī]] (gest. 892), der Verfasser des wichtigsten arabischen Werkes über die [[w:Futūh|Futūh]], berichtet, dass Abū Bakr im Frühjahr 634 die Bewohner von Mekka, at-Tā'if, des Jemen und die Beduinen im Nadschd und Hedschas angeschrieben habe, „um sie für den Dschihad auszuheben und in ihnen die Lust daran und an der bei den [[w:Rhomäer|Rhomäern]] zu holenden Kriegsbeute zu entfachen.“ Sein Aufruf war offensichtlich ein voller Erfolg. Es wird berichtet, er habe in Medina drei Heere aufstellen können. Vier Truppenkontingente unter dem Oberbefehl von [[w:Abū ʿUbaida ibn al-Dscharrāh|Abū ʿUbaida ibn al-Dscharrāh]] zogen in Richtung Syrien. Als sich eine größere Konfrontation mit der byzantinischen Armee ankündigte, sandte Abū Bakr den noch im Irak weilenden Chālid ibn al-Walīd zu ihrer Verstärkung nach Syrien. Die beiden arabischen Heere trafen im Süden Syriens zusammen, und gemeinsam konnte man die Stadt [[w:Bosra|Bostra]] einnehmen. Unter Chālids Oberbefehl besiegten die Araber im Juli 634 ein byzantinisches Heer, das ihnen bei Adschnādain in Palästina entgegentrat. == 4.3. ʿUmar ibn al-Chattāb (634-644) - „Befehlshaber der Gläubigen“ == Abū Bakr starb im August 634. Er hatte in seinem Testament ʿUmar ibn al-Chattāb als Nachfolger eingesetzt, der bereits während seines Kalifats als eigentlicher Befehlshaber fungiert hatte. Zwar kam ʿUmar nur aus einem recht unbedeutenden quraischitischen Clan, doch konnte er frühe Verdienste um den Islam vorweisen und stand auch durch seine Tochter [[w:Hafsa bint ʿUmar|Hafsa]] in einem schwägerlichen Verhältnis zum Propheten. Er war der erste Kalif, der den Titel ''amīr al-muʾminīn'' („Befehlshaber der Gläubigen“) annahm. Dieser Titel wird seither von allen Herrschern benutzt, die einen Führungsanspruch über die gesamte Gemeinschaft der Muslime erheben. === 4.3.1. Die Eroberung des Vorderen Orients === [[File:Mohammad adil-Muslim invasion of Syria-3.PNG|mini|Die muslimischen Vorstöße in Syrien, 634-36]] Unter ʿUmar setzte sich die unter Abū Bakr begonnene Eroberungsbewegung fort. Hier werden nur stichpunktartig die wichtigsten Stationen der Eroberungsbewegung genannt: # Syrien und Palästina. Die Byzantiner, die sich nach der Schlacht von Adschnādain ins Jordantal zurückgezogen hatten, wurden im Januar 635 bei der Stadt [[w:Pella (Jordanien)|Pella]] erneut von den Arabern geschlagen und zogen nach Damaskus ab. Die Araber konnten daraufhin das gesamte Gebiet des heutigen Jordaniens einnehmen, darunter auch die prachtvoll ausgebaute Bischofsstadt [[w:Gerasa|Gerasa]]. Im Sommer 635 fiel bereits [[w:Damaskus|Damaskus]] und bald danach Emesa, das heutige [[w:Homs|Homs]]. Der byzantinische Versuch, Syrien zurückzuerobern, scheiterte. Im August 636 brachten die Araber den neu zusammengezogenen byzantinischen Truppen am [[w:Jarmuk|Yarmūk]], einem linken Nebenfluss des Jordan, der heute die Grenze zwischen Syrien und Jordanien bildet, erneut eine [[w:Schlacht am Jarmuk|Niederlage]] bei und zwangen sie so endgültig zum Rückzug aus Syrien. Als 638 [[w:Jerusalem|Jerusalem]] eingenommen wurde, reiste ʿUmar selber an, um die Stadt für die Muslime in Besitz zu nehmen. 640 folgte noch die Einnahme des Seehafens [[w:Caesarea Maritima|Caesarea]]. Damit endete die byzantinische Herrschaft auch in Palästina. # Irak. Im Herbst 634 sandte ʿUmar ein Heer zum Kampf gegen die Perser in den Irak aus. Im Süden nahm noch vor 635 der frühe Prophetengefährte ʿUtba ibn Ghazwān mit seinen Kämpfern das Mündungsgebiet von Euphrat und Tigris mit der bedeutenden Hafenstadt [[w:Apologos|al-Ubulla]] ein. Weiter nördlich erlitten die arabischen Kämpfer zunächst in der sogenannten [[w:Schlacht an der Brücke|Schlacht an der Brücke]] eine schwere Niederlage, konnten aber dann in der [[w:Schlacht von al-Qādisīya|Schlacht von al-Qādisīya]] (zwischen 635 und 638) über die persische Armee siegen. Der seit 632 herrschende Sassanide [[w:Yazdegerd III.|Yazdegerd III.]] überließ daraufhin den arabischen Truppen den Irak, gab seine Hauptstadt Ktesiphon auf und zog mit seinem Hofstaat nach Osten ab. Der Sieg von al-Qādisīya war für die Muslime ein ähnlich großer Triumpf wie der Sieg über die heidnischen Mekkaner bei der Schlacht von Badr im Jahre 624. Viele glaubten, dass sie den Sieg über die Perser nur der Hilfe Gottes verdankten. Einige von ihnen waren sogar der Meinung, dass [[w:al-Chidr|al-Chidr]], „der Grüne“, eine engelartige Gestalt, die aber nicht den Engeln zugerechnet wird, bei der Schlacht auf Seiten der Muslime mitgekämpft hatte. [[File:Mohammad adil-Muslim conquest of Egypt.PNG|mini|[[w:Arabische_Eroberung_%C3%84gyptens#Islamische_Eroberung_%C3%84gyptens|Die muslimische Eroberung Ägyptens]], 639-640.]] # <li value="3">Ägypten. ʿAmr ibn al-ʿĀs fiel 639 in einem fast privat zu nennenden Unternehmen in Ägypten ein. Nach Eroberung der in der Nähe des heutigen Kairo gelegenen byzantinischen Festung Babylon im April 641 konnte er das [[w:Nildelta|Nildelta]] mit seinem Heer nahezu ohne Widerstand einnehmen. 642 erfolgte die Eroberung Alexandriens, 643 die Einnahme von [[w:Barke (Libyen)|Barqa]] auf dem Gebiet des heutigen Libyen.</li> # Nordmesopotamien. Dieses Gebiet, das auch als die [[w:Dschazīra|Dschazīra]] (wörtl. „Insel“, nämlich zw. [[w:Euphrat|Euphrat]] und [[w:Tigris|Tigris]]) bekannt ist, wurde zwischen 639 und 641 von Nordsyrien aus durch ʿIyād ibn Ghanm erobert, wobei dieser auch schon Vorstöße nach Armenien unternahm. Zur Kontrolle der eroberten Gebiete und als Ausgangsbasis für weitere Eroberungen wurden an mehreren Orten arabische Garnisonen stationiert. In Syrien waren das bereits bestehende Orte, [[w:al-Dschābiya|al-Dschābiya]], die ehemalige Residenz der [[w:Ghassaniden|ghassānidischen]] Fürsten, und Homs. In den anderen Ländern wurden neue Lagerstädte gegründet, in denen die arabischen Krieger stammes- und clanweise auf verschiedene Parzellen verteilt und jeweils Moscheen nach dem Vorbild der Prophetenmoschee in Medina errichtet wurden. Die wichtigsten dieser [[w:Misr|Misr]] genannten Lagerstädte waren [[w:Basra|Basra]] und [[w:Kufa|Kufa]] im Irak, beide 638 gegründet, [[w:Mossul|Mossul]] in Nordmesopotamien, 641 gegründet, und [[w:Fustāt|al-Fustāt]] in Ägypten, das 643 direkt neben der alten byzantinischen Festung Babylon angelegt wurde. Diese Lagerstädte bildeten fortan die Zentren arabisch-islamischen Lebens in den eroberten Gebieten. Von Basra und Kufa aus unternahmen arabische Heerführer in den späten 630er Jahren Vorstöße nach Persien. Zwischen 637 und 640 unterwarfen sie [[w:Chusistan|Chusistan]] im Südwesten des heutigen Iran. Nach der [[w:Schlacht bei Nehawand|Schlacht bei Nihāwand]] im westiranischen [[w:Zāgros-Gebirge|Zagros-Gebirge]], bei der die Araber den sassanidischen Truppen eine weitere Niederlage bereiteten, stand ihnen das persische Hochland offen. Von Nihāwand aus zogen sie weiter nordwärts und machten das Gebiet von [[w:Aserbaidschan (Iran)|Aserbaidschan]] tributpflichtig. 644 konnten sie außerdem die Stadt [[w:Isfahan|Isfahan]] erobern. Der Sassanidenherrscher Yazdegird III. floh derweil weiter nach Osten. === 4.3.2. Faktoren, die die schnelle Expansion des islamischen Staates begünstigten === Mit seinen Eroberungen und Städtegründungen schuf ʿUmar wichtige Grundlagen für die sich später herausbildende islamische Zivilisation. Wie aber erklärt sich, dass die Eroberungen so schnell vorangetrieben werden konnten? Verschiedene Faktoren lassen sich als Gründe anführen: # Der der islamischen Eroberung vorausgehende Streit zwischen Oströmischem Reich und Sassanidischem Reich um die Vorherrschaft über den Vorderen Orient, der zu Lebzeiten Muhammads zu einem heftigen militärischen Schlagabtausch geführt hatte, hatte die beiden Reiche stark geschwächt. # Ein weiterer wichtiger Faktor in Syrien, Palästina und Ägypten war die fehlende Loyalität der Untertanen ihren ehemaligen Oberherren gegenüber. Diese Länder waren erst kurz vor der islamischen Eroberung wieder unter byzantinische Kontrolle gekommen. Weitaus die meisten Bewohner waren [[w:Monophysitismus|monophysitische]] Christen, für die die herrschende [[w:Konzil von Chalcedon|chalkedonische]] (griechisch-orthodoxe) byzantinische Reichskirche ein bedrückender Gegner war. Auch die syrischen Juden waren den neuen Herren freundlich gesinnt, denn die Byzantiner hatten sie jahrhundertelang verfolgt und ihnen den Zugang zur Stadt Jerusalem verwehrt. Im Zuge der islamischen Eroberung Jerusalems wurde der [[w:Tempelberg|Tempelberg]], der über Jahrhunderte nur eine Schutthalde war, als Heiligtum reaktiviert. Als ʿUmar ibn al-Chattāb 638 Jerusalem für die Muslime in Besitz nahm, wurde er von [[w:Kaʿb al-Ahbār|Kaʿb al-Ahbār]], einem zum Islam übergetretenen Juden aus dem Jemen begleitet. Er deutete dieses Ereignis propagandistisch als Erfüllung biblischer Prophetien. Diese Deutungen fielen bei den Juden Syriens offenbar auf fruchtbaren Boden. Sie betrachteten ʿUmar als einen messianischen Herrscher. Der in diesem Zusammenhang verwendete syrisch-aramäische Begriff ''pārōqā'' („Erlöser“) wurde in seiner arabischen Form ''fārūq'' zum allgemein üblichen Beinamen ʿUmars. # Die von den Arabern praktizierte vertragliche Regelung des Herrschaftswechsels brachte den Unterworfenen keine erheblichen Nachteile und führte zu einer „günstige(n) Konstellation konvergierender Interessen“ ([[w:Albrecht Noth|A. Noth]]), die als einer der Hauptgründe für den Erfolg der militärischen Anstrengungen der Araber gelten darf. Wie es im spätantiken Orient üblich war, gewährten die Araber den Bewohnern von Städten, die sich freiwillig ihrer Herrschaft unterwarfen, eine Sicherheitsgarantie. Sie wird in den arabischen Quellen als ''amān'' bezeichnet. Darüber hinaus wurde den Ahl al-kitāb, den Anhängern der monotheistischen Buchreligionen, neben dem Schutz ihres Lebens und Besitzes auch die freie Ausübung ihrer Religion und der Besitz ihrer Kultstätten und -gegenstände garantiert. Dieser Schutz hieß [[w:Dhimma|Dhimma]] und war eine einklagbare Verpflichtung des islamischen Staates gegenüber seinen nichtmuslimischen Untertanen; der einzelne Schutzbürger hieß Dhimmī. Seine Gegenleistung war die Dschizya, zur Zeit der Eroberung wohl als Pauschale der eroberten Stadt zu entrichten. Die in dieser Zeit mit unterworfenen Städten geschlossenen Verträge galten in der gesamten vormodernen Zeit als Modell für die Regelung des Verhältnisses zwischen islamischem Staat und nicht-muslimischen Untertanen. === 4.3.3. Organisation von Staat und Religion === [[File:Kabah Old Picture - panoramio.jpg|mini|Die Verhüllung der Kaaba mit einer neuen [[w:Kiswa|Kiswa]] ist seit ʿUmar ein bedeutendes Symbol islamischer Herrschaft.]] Zur Sicherung der Einkommen der Kämpfer und Gefährten Muhammads führte ʿUmar 641 ein Zentralregister ([[w:Diwan (Verwaltung)|Dīwān]]) ein, in dem die Zahlungen eingetragen wurden, die der Staat regelmäßig jedem zukommen ließ. Wichtigstes Kriterium für die Stellung in dem Register war die Position zum Islam. Deshalb stand an der Spitze mit den höchsten Zuwendungen der Clan, aus dem der Prophet hervorgegangen war, die [[w:Banū Hāschim|Banū Hāschim]]. Diesem Kreis schlossen sich die weiteren Verwandten an, dann kamen die Ansār aus Medina, die [[w:Schlacht von Badr|Badr]]-Kämpfer und die [[w:Schlacht von Uhud|Uhud]]-Überlebenden, schließlich die in Syrien und Irak eingesetzten Stammeskrieger. Auf diese Weise wurde eine feste Besoldung entwickelt, die ʿUmar aus den drei wichtigsten Staatseinnahmen finanzieren konnte. Dazu zählten die Dschizya, die Zakāt und die Bodensteuer (''ḫarāǧ''). Zur Verwaltung der Ausgaben und Einnahmen wurde eine Staatskasse (''bait al-māl'') eingerichtet. Die Heerführer, die in den verschiedenen Ländern auf Posten lagen, wie ʿAmr ibn al-ʿĀs im neueroberten Ägypten, wurden dazu aufgefordert, die Hälfte ihrer Einkünfte in diese Staatskasse einzuzahlen. ʿUmar setzte den Koranlesern (''qurrāʾ'') [[w:Dotation|Dotationen]] aus und setzte in verschiedenen Städten des Reiches Beamte mit dem Titel eines [[w:Qādī|Qādī]] ein. Der Begriff ''Qādī'' wird heute üblicherweise mit „Richter“ übersetzt, allerdings waren in dieser Zeit mit diesem Amt noch zahlreiche andere administrative und hoheitliche Aufgaben verbunden, wie zum Beispiel die Leitung des [[w:Freitagsgebet|Freitagsgebets]]. <div style="background: #fff; border-width: 1px 3px 3px 1px; text-align: center; padding-top:3px; float:{{{float|left}}}; font-size: smaller; line-height: 1.3; margin-left:1em; margin-right: 4px; width: 15em"> '''Heutiges Datum nach <br /> Hidschrī-Zeitrechnung''': ---- {{#timel:xmj.}} {{#switch:{{{1|{{#timel:xmn}}}}}|1=Muharram|2=Safar|3=Rabīʿ I|4=Rabīʿ II|5=Dschumādā I|6=Dschumādā II|7=Radschab|8=Schaʿbān|9=Ramadān|10=Schauwāl|11=Dhū l-Qaʿda|12=Dhū l-Hiddscha}} {{#timel:xmY}}<br /><small>(= {{#timel:j. F}} {{#timel:Y}}) <br /><nowiki>[</nowiki><span class="plainlinks">[{{fullurl:{{FULLPAGENAME}}|action=purge}} aktualisieren]</span><nowiki>]</nowiki></small> </div> Von großer Bedeutung war des Weiteren, dass ʿUmar im Jahre 638 eine neue Zeitrechnung einführte. Anlass dafür waren Streitigkeiten in Armeeteilen über Datierungsfragen. Als erstes Jahr der neuen Zeitrechnung wurde das Jahr der [[w:Hidschra|Hidschra]] des Propheten von Mekka nach Medina festgelegt, das am 16. Juli 622 begann. Damit wurde eine wichtige staatliche Maßnahme zur Vereinheitlichung getroffen. Diese [[w:Hidschrī-Jahreszählung|Hidschrī-Zeitrechnung]] hat sich im Laufe der Zeit im islamischen Herrschaftsbereich immer mehr durchgesetzt und gilt bis heute in vielen islamischen Ländern als eine der offiziellen Zeitrechnungen bzw. sogar die offizielle Zeitrechnung. Weiterhin ist bekannt, dass sich ʿUmar bei der Regierung sehr stark auf das koranische Prinzip der Konsultation ([[w:Schūrā|Schūrā]]) stützte. Zwar hörte er gelegentlich auch den Rat anderer Kreise, doch beschränkte er sich bei der Konsultation üblicherweise auf die verdienten mekkanischen Prophetengefährten. Zahlreiche Berichte beschreiben, wie er deren Meinung über wichtige politische und rechtliche Fragen einholte. Ein solches Gremium von verdienten mekkanischen Prophetengefährten trat auch nach ʿUmars Tod zusammen, um seinen Nachfolger zu wählen. [[File:Prière de Tarawih dans la Grande Mosquée de Kairouan. Ramadan 2012.jpg|mini|Die [[w:Tarāwīh|Tarāwīh]]-Gebete sind bis heute ein wichtiges Ritual im Bereich des [[w:Sunniten|sunnitischen]] Islams]] Auf religiöser Ebene war von wegweisender Bedeutung, dass ʿUmar während seiner Herrschaft die Stoff-Bekleidung ([[w:Kiswa|Kiswa]]) der Kaaba auf Kosten des Staatshaushalts erneuern ließ. Damit wurde dieses ursprünglich heidnische Ritual zu einem wichtigen Herrschaftssymbol im islamischen Staat. Der Ort für das Gebet an der Kaaba wurde durch einen Stein markiert, der entsprechend dem im Koran ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/125 Q 2:125]) genannten „Standplatz Abrahams“ als [[w:Maqām Ibrāhīm|Maqām Ibrāhīm]] bezeichnet wurde. Den Platz um die Kaaba ließ ʿUmar erweitern und mit einer Mauer versehen, womit er die Grundlage der [[w:al-Harām-Moschee|al-Harām-Moschee]] als eines selbständigen Gebäudes legte. Als neue gottesdienstliche Übung im Ramadān führte ʿUmar die nächtlichen [[w:Tarāwīh|Tarāwīh]]-Gebete ein, bei denen zwischen einer großen Zahl von Gebetszyklen immer wieder längere Pausen (''tarāwīḥ'') eingeschoben werden. Während ʿUmars Kalifat wurden auch im Bereich der Geschlechterordnung wichtige Veränderungen vorgenommen, die als Normen bis heute fortwirken. So führte ʿUmar als Bestrafung für außerehelichen Geschlechtsverkehr ([[w:Zinā|Zinā]]) bei bereits verheirateten Personen den Tod durch Steinigung ein. Der Koran sieht bei diesem Vergehen ohne Ansehen der Person als Strafe nur hundert Peitschenhiebe und Ausschluss aus dem Heiratssystem vor ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/24/vers/2 Q 24:2f]). ʿUmar berief sich bei dieser Maßnahme auf den sogenannten [[w:Steinigungsvers|Steinigungsvers]], der seiner Auffassung nach ursprünglich im Koran gestanden hatte, dann aber daraus gestrichen worden war. Das aus dem alten Arabien übernommene Rechtsinstitut der zeitlich begrenzten Genussehe ([[w:Mutʿa-Ehe|Mutʿa]]), auf das zu dieser Zeit noch viele Muslime zurückgriffen, wenn sie kurze sexuelle Beziehungen eingehen wollten, wurde von ʿUmar verboten. Außerdem verschärfte ʿUmar die Regeln für die [[w:Talāq|Verstoßung]] von Ehefrauen: Während nämlich vorher die Ehe erst dann beendet war, wenn der Ehemann die Verstoßungsformel in drei unterschiedlichen Monatsperioden ausgesprochen hatte, galt dies nun auch dann, wenn der Mann sie drei Mal direkt nacheinander ausgesprochen hatte. === 4.3.4. Die Vielgestaltigkeit des Korantextes === Ein bekannter Bericht besagt, dass ʿUmar noch während Abū Bakrs Kalifat von der Tatsache beunruhigt gewesen sei, dass in der Schlacht gegen Musailima viele ''qurrāʾ'' getötet worden waren. Die ''qurrāʾ'', d.h. Koranleser, waren jene, die den Koran auswendig kannten. Aus Furcht, dass infolge solcher Verluste schließlich auch die Kenntnis des heiligen Textes verloren gehen könnte, riet er Abū Bakr, eine Sammlung des Korans erstellen zu lassen. Mit diesem Unternehmen wurde [[w:Zaid ibn Thābit|Zaid ibn Thābit]], einer von Muhammads Sekretären (vgl. oben [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 03#3.2.5. Der allmähliche Machtzuwachs des Propheten|3.2.5.]]), beauftragt. Zaid schrieb nieder, was er auf Blättern (''ṣuḥuf'') gesammelt hatte, und übergab dies Abū Bakr. Es gibt allerdings keine Belege dafür, dass diese „Sammlung“ irgendwo als autoritativ akzeptiert wurde. ʿUmar befand sich aber wohl zu Beginn seines Kalifats im Besitz dieser Sammlung. Außer dieser Sammlung ʿUmars gab es zu seiner Zeit noch eine Anzahl anderer Kodizes, von denen die vier berühmtesten diejenigen von [[w:Ubaiy ibn Kaʿb|Ubaiy ibn Kaʿb]], [[w:ʿAbdallāh ibn Masʿūd|ʿAbdallāh ibn Masʿūd]], Miqdād ibn Aswad und [[w:Abū Mūsā al-Aschʿarī|Abū Mūsā al-Aschʿarī]] waren. Ubaiy war wie Zaid ibn Thābit Sekretär des Propheten gewesen und hatte schon zu seinen Lebzeiten Mitschriften seiner Verkündigungen angefertigt (vgl. oben [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 03#3.2.5. Der allmähliche Machtzuwachs des Propheten|3.2.5.]]). ʿAbdallāh ibn Masʿūd und Miqdād ibn Aswad, die Muslime der ersten Stunde waren, hatten den Koran dagegen nur mündlich memoriert. Miqdād war während der Zeit von ʿUmar in Syrien stationiert, ʿAbdallāh ibn Masʿūd wurde von ʿUmar 642 als Qādī nach Kufa geschickt. Der Jemenit Abū Mūsā al-Aschʿarī, der sich dem Propheten erst 628 angeschlossen hatte, wurde 638 von ʿUmar zum Statthalter von Basra ernannt. Was die Verbreitung der von diesen Männern erstellten Kodizes anlangt, so hielten sich die Dasmaszener an die Lesart des Ubaiy, die Kufier an die des Ibn Masʿūd, die Basrier an die des Abū Mūsā und die Bewohner von Homs an diejenige des Miqdād. Dass die Ausgaben des Ibn Masʿūd und Abū Mūsā in Kufa bzw. Basra solches Ansehen erreichten, hängt sicherlich damit zusammen, dass die beiden Männer dort als staatliche Funktionsträger tätig waren. Die Verwendung der Sammlung von Ubaiy, der sich selbst in Medina aufhielt, in Damaskus deutet dagegen darauf hin, dass diese Sammlung zu dieser Zeit eine überregionale Bedeutung erhalten hatte. Die Zulässigkeit all dieser verschiedenen Versionen des Korantextes wurde mit Berichten begründet, wonach der Prophet zu Lebzeiten Gefährten, die über die Unterschiedlichkeit der im Umlauf befindlichen Versionen des Korantexts besorgt, selbst damit beruhigt habe, dass der Koran in sieben Varianten (''ʿalā sabʿati aḥruf'') offenbart worden sei. Bei der Verbreitung dieser Berichte nahm Ubaiy eine Schlüsselrolle ein. Die textlichen Unterschiede zwischen den verschiedenen Versionen waren zum Teil beträchtlich. So war zum zum Beispiel in [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/3/vers/19 Sure 3:19] in der Sammlung Ibn Masʿūds als Name für die Religion nicht Islam, sondern ''Hanīfīya'' angegeben. == 4.4. ʿUthmān ibn ʿAffān (644-656) - „Stellvertreter Gottes“ == === 4.4.1. Nepotismus und Selbstbereicherung der Umaiyaden === Nach dem Tod von ʿUmar trat das von ihm gebildete Konsulativgremium verdienter Prophetengefährten zusammen, um seinen Nachfolger zu wählen. Ihm gehörten sechs Männer an: [[w:ʿUthmān ibn ʿAffān|ʿUthmān ibn ʿAffān]], ʿAlī ibn Abī Tālib, [[w:ʿAbd ar-Rahmān ibn ʿAuf|ʿAbd ar-Rahmān ibn ʿAuf]], [[w:Talha ibn ʿUbaidallāh|Talha ibn ʿUbaidallāh]], [[w:az-Zubair ibn al-ʿAuwām|az-Zubair ibn al-ʿAuwām]] und [[w:Saʿd ibn Abī Waqqās|Saʿd ibn Abī Waqqās]]. Von den genannten Personen hegten allein ʿAlī und ʿUthmān Ambitionen auf die Nachfolge. ʿAbd ar-Rahmān verzichtete auf die Kandidatur unter der Bedingung, dass ihm im Falle der Uneinigkeit die Aufgabe des Schiedsrichters übertragen würde. Da Saʿd für ʿAlī votierte und az-Zubair für ʿUthmān, Talha aber abwesend war, kam ʿAbd ar-Rahmān als Schiedsrichter zum Einsatz. Er entschied sich nach Beratungen mit den Häuptern der quraischitischen Clane für ʿUthmān, wodurch dieser zum neuen Kalifen wurde. ʿUthmān gehörte den [[w:Umayyaden|Umaiyaden]], einer Familie der ʿAbd Schams, an. Bei der endgültigen Einigung auf ʿUthmān war wahrscheinlich dieser ''nasab'' letztlich ausschlaggebend. In jedem Fall kündigt sich mit der Erhebung des Umaiyaden ʿUthmān die wenig später erfolgte Etablierung der ersten islamischen Dynastie, die sich eben aus der Umaiya-Familie rekrutierte, bereits an. {{Anker|Marwan}} Schon kurz nach seiner Amtseinführung setzte ʿUthmān Verwandte in zentrale Statthalterposten ein. Syrien befand sich ohnehin schon seit ʿUmar in der Hand des Umaiyaden [[w:Muʿāwiya_I.|Muʿāwiya ibn Abī Sufyān]]. Er war der Sohn von Muhammads ehemaligen Gegner [[w:Abū Sufyān ibn Harb|Abū Sufyān ibn Harb]]. Aber auch in Kufa und Ägypten wurden jetzt Umaiyaden als Gouverneure eingesetzt. Saʿd ibn Abī Waqqās, der Gründer von Kufa, musste ʿUthmāns Verwandten, Walīd ibn ʿUqba, weichen. ʿAmr ibn al-ʿĀs, der Eroberer Ägyptens, der noch im Jahre 645 einen byzantinischen Versuch, Ägypten wiederzuerobern, erfolgreich abwehren konnte, wurde als Gouverneur durch [[w:ʿAbdallāh ibn Saʿd|ʿAbdallāh ibn Abī Sarh]], den Milchbruder ʿUthmāns mit zweifelhafter Vergangenheit (vgl. oben [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 03#3.2.3. Andere Gegner Muhammads|3.2.3.]]), ersetzt. Als es im Jahre 649/50 zu Beschwerden über den Statthalter von Basra, Abū Mūsā al-Aschʿarī, kam, wurde auch diese Posten noch mit einem Umaiyaden, nämlich ʿAbdallāh ibn ʿĀmir, besetzt. Zum engsten Berater des Kalifen stieg [[w:Marwan I.|Marwān ibn al-Hakam]] auf, ebenfalls ein Umaiyade. Diese [[w:Vetternwirtschaft|nepotistische]] Politik führte zu einer Entfremdung zwischen dem Kalifen und dem Gremium von Prophetengefährten, die ihn in dieses Amt gewählt hatten. [[File:Mohammad adil-Rashidun-empire-at-its-peak-close.PNG|mini|Die Ausdehnung des islamischen Reiches gegen Ende von ʿUthmāns Kalifat]] Dennoch konnten die Eroberungszüge unter ʿUthmān und seinen Gouverneuren erfolgreich fortgesetzt werden. Muʿāwiya hatte schon 642 von Damaskus aus den Heerführer Habīb ibn Maslama zum Kampf in den [[w:Kaukasus|Kaukasus]] entsandt. Er konnte 645 die georgische Hauptstadt [[w:Tiflis|Tiflis]] einnehmen und bis 652 Armenien unterwerfen. Außerdem baute Muʿāwiya in den syrischen Hafenstädten eine Flotte auf, besetzte 649 [[w:Zypern|Zypern]] und drängte Byzanz aus dem östlichen Mittelmeer zurück. ʿAbdallāh ibn Abī Sarh unternahm von [[w:Fustāt|al-Fustāt]] aus Expeditionen an der nordafrikanischen Küste entlang in Richtung Westen und eroberte 647 [[w:Tripolitanien|Tripolitanien]]. 652 unterwarf er außerdem [[w:Oberägypten|Oberägypten]] und brachte das Königreich [[w:Nubien|Nubien]] in ein Tributverhältnis zum islamischen Staat. Zur Kontrolle der nubischen Tributzahlungen wurde in der Stadt Syene (heute [[w:Assuan|Assuan]]) eine Militärgarnison stationiert. ʿAbdallāh ibn ʿĀmir vollendete 650 mit der Einnahme von [[w:Persepolis|Persepolis]] die Eroberung der [[w:Persis|Persis]] ([[w:Fars|Fārs]]) und besetzte 651/2 die sassanidische Nordostprovinz [[w:Chorasan|Chorasan]] mit den Städten [[w:Nischapur|Nischapur]], [[w:Merw|Merw]], [[w:Balch|Balch]] und [[w:Herat|Herat]]. Im gleichen Jahr fiel der Sassaniden-Herrscher [[w:Yazdegerd_III.|Yazdegerd III.]] in Merw einem Mordanschlag zum Opfer, womit die Sassaniden-Dynastie endgültig erlosch. ʿUthmān machte sich allerdings dadurch unbeliebt, dass er einen Teil der bei den Futūh eroberten Ländereien, die nach Vorstellung der Kämpfer der Gemeinschaft der Muslime insgesamt gehörten, unter Berufung auf den im Koran beschriebenen „Fünft“ (''ḫums'', vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/8/vers/41 Q 8:41]) zurückhielt und unter seinen Gouverneuren und Verwandten als Landgüter (''qaṭāʾiʿ'') verteilte. Auch verschiedene Prophetengefährten wie etwa Talha wurden großzügig mit Landschenkungen bedacht. Einer von ʿUthmāns Verwandten, der im Irak als Gouverneur eingesetzt war, verstieg sich zu der Aussage, dass das Fruchtland des Irak, der sogenannte ''sawād'', „Garten der Quraisch“ geworden sei, also gewissermaßen Eigentum dieses Stammes. Auch ʿAbdallāh ibn Abī Sarh, ʿUthmāns Gouverneur in Ägypten, tat sich durch gesteigerte Ausbeutungsmethoden negativ hervor. Mit den so erlangten Mitteln erbaute er sich in Ägypten einen prächtigen Palast. Allein diese Haltung bedeutete, wenn man ʿUmars Anweisungen hinsichtlich der Bauaktivität zum Vergleich heranzieht, eine bedenkliche Veränderung. Im Gegensatz zu seinen Vorgängern erhob ʿUthmān auch Anspruch auf göttliche Autorisierung. Er bezeichnete sich in seinen Urkunden nicht mehr als Stellvertreter des Gottesgesandten (''ḫalīfat rasūl Allāh''), sondern direkt als Stellvertreter Gottes (''ḫalīfat Allāh''). Damit stellte er sich in die Nachfolge des Königs [[w:David|David]], von dem Gott im Koran ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/38/vers/26 38:26]) sagt, dass Er ihn als Stellvertreter auf Erden eingesetzt habe, damit er zwischen den Menschen nach der Wahrheit richte. Dieses Modell des Kalifats übernahmen später fast alle anderen Herrscher, die diesen Titel für sich beanspruchten. === 4.4.2. Die Erstellung einer offiziellen Koranausgabe === [[File:The ‘Uthman Qur'an - Kufic.jpg|mini|links|Ausschnitt aus einem Korantext, der auf ʿUthmān zurückgeführt wird. [[w:Diakritisches Zeichen|Diakritische Zeichen]] fehlen.]] Unter dem Kalifat ʿUthmāns wurde eine erste offizielle Koranausgabe erstellt. Die islamische Tradition besagt, dass zu dieser Zeit, insbesondere während der Kriegszüge nach Armenien und Aserbaidschan, also im Jahre 652, Männer aus Syrien und dem Irak über die verschiedenen Lesarten des Korans in Streit gerieten. Als der General Hudhaifa von der Expedition zurückgekehrt war, trug er die Sache dem Kalifen vor, und der Kalif beschloss, eine Kommission einzusetzen, die einen offiziellen Korantext festlegen sollte. Mit dieser Aufgabe wurde erneut Zaid ibn Thābit betraut, wobei ihm jedoch drei Muslime aus Mekka zur Seite gestellt wurden. Die Kommissionsmitglieder wurden angewiesen, sich dort, wo es irgendeine sprachliche Schwierigkeit bei der Lesung gab, an den Dialekt der Quraisch von Mekka zu halten. Zaid und seinen Mitarbeiter händigte man für ihre Arbeit die Blätter (''ṣuḥuf'') ʿUmars aus, die bei seinem Tod an seine Tochter [[w:Hafsa bint ʿUmar|Hafsa]] gegangen waren. Mit dieser Version verglichen sie alle Koranfragmente, die sie finden konnten, und fügten an passenden Stellen alle ausgelassenen Verse ein. Ziel ihrer Bemühungen war die Festlegung eines autoritativen Textes des Korans. Davon wurden dann Kopien angefertigt und in die wichtigsten Städte des islamischen Reiches (Damaskus, Kufa, Basra und wahrscheinlich auch Mekka) geschickt. Es heißt, dass ʿUthmān die anderen Korankodizes vernichten ließ. In Wirklichkeit wurde aber keine völlige Vertilgung der anderen Niederschriften erreicht. ʿAbdallāh ibn Masʿūd zum Beispiel weigerte sich erfolgreich, seinen Korankodex herauszugeben. Von den anderen Korankodizes wich die neu erstellte offizielle Koranausgabe in mehreren Punkten ab. So enthält sie am Anfang und Ende Gebete, die in anderen Korankodizes fehlten. Sie bilden die erste Sure, die [[w:al-Fātiha|Fātiha]], und die beiden letzten mit ''aʿūḏu bi-rabbi'' („Ich nehme Zuflucht beim Herrn...“) eingeleiteten Suren [[w:Sure 113|Sure 113]] und [[w:Sure 114|114]], die [[w:Apotropaion|apotropäische]] Funktion haben. Die Fātiha ist ein Eröffnungsgebet, das für den Gottesdienst der Muslime sehr große Bedeutung hat und deswegen auch mit dem christlichen [[w:Vaterunser|Vaterunser]] verglichen worden ist. Sein Text lautet: [[Datei:FirstSurahKoran.jpg|mini|hochkant|Kalligraphisch gestaltete Fātiha in arabischer Schrift, {{Audio|Surah Al fatiha104.ogg|Die Fātiha zum Anhören}}]] <poem lang="nl" style="margin-left:2em; float:left;"> ''Bi-smi Llāhi r-raḥmāni r-raḥīm'' ''al-ḥamdu li-Llāhi rabbi l-ʿālamīn'' ''ar-raḥmāni r-raḥīm'' ''māliki yaumi d-dīn'' ''īyāka naʿbudu wa-īyāka nastaʿīn'' ''ihdī-nā ṣ-ṣirāta l-mustaqīm'' ''ṣirāta llaḏīna anʿamta ʿalai-him'' ''ġairi l-maġḍūbi ʿalai-him wa-lā ḍ-ḍāllīn'' </poem> <poem style="margin-left:2em; float:left;"> Im Namen Gottes, des barmherzigen Erbarmers, Lob sei Gott, dem Herrn der Welten, dem barmherzigen Erbarmer, dem König des Gerichtstags. Dir dienen wir, dich rufen wir um Hilfe an. Führe uns den rechten Weg, den Weg derer, denen du Huld erwiesen hast, nicht derer, denen du zürnst und nicht derer, die irregehen. </poem> <div style="clear:left;"></div> Von großer Bedeutung war eine Differenz in [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/24 Sure 4:24]. In dem Passus, in dem den Männern erlaubt wird, sich mit ihrem Vermögen über ihre gewöhnlichen Ehefrauen hinaus sonstige Frauen zu verschaffen, wenn sie ihnen nach dem erfahrenen Genuss ihren Lohn geben, stand sowohl in dem Kodex von ʿAbdallāh ibn Masʿūd als auch in demjenigen von Ubaiy ibn Kaʿb der Ausdruck ''ilā aǧal musammā'' („bis zur genannten Zeit“). Daraus leiteten mehrere [[w:Sahāba|Prophetengefährten]] ab, dass zeitlich begrenzte Ehen zum Zweck des sexuellen Genusses ([[w:Mutʿa-Ehe|Mutʿa]]) trotz des Verbotes durch ʿUmar weiterhin erlaubt seien. In dem Korantext von ʿUthmān, der Grundlage aller späteren Koranausgaben ist, fehlt dieser Ausdruck. === 4.4.3. Die Entstehung einer religiös-politischen Opposition === Gegen die neu eingetretenen Umstände, Haltungen und Denkweisen in den aristokratischen Führungskreisen des Reiches bildete sich in Syrien und im Irak eine religiös-politische Oppositionsbewegung, die vor allem von Frommen, die zu Muhammads frühen Anhängern gehört hatten, getragen wurde. Einer der bekanntesten Vertreter dieser Bewegung war [[w:Abū Dharr al-Ghifārī|Abū Dharr al-Ghifārī]], der aufgrund seines frühen Beitritts zum Islam und seiner Meriten als Kämpfer eine hohe Stellung in der islamischen Gemeinde hatte. Als ʿUthmān nach den Eroberungszügen von 647 in Tripolitanien einen Großteil des erbeuteten Vermögens an Verwandte und seinen Sekretär Zaid ibn Thābit gab, predigte Abū Dharr gegen diejenigen, die „Geld anhäufen“, wobei er sich auf das Koranwort von Sure [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/34 9:34] bezog: „Wer aber Gold und Silber hortet und es nicht für die Sache Gottes ausgibt, denen verkünde schmerzhafte Strafe.“ ʿUthmān verbannte ihn daraufhin nach Syrien, wo Abū Dharr aber weitere Auseinandersetzungen mit dem dortigen umaiyadischen Statthalter Muʿāwiya hatte. Abū Dharr warf ihm vor, die ihm anvertrauten Gelder der Muslime zu veruntreuen, und forderte bei Predigten die Reichen dazu auf, die Armen zu unterstützen. Offensichtlich fand Abū Dharrs Bestreben ein beachtliches Echo unter den Armen in Syrien, denn diese versuchten daraufhin, die Reichen zu entsprechenden Handlungen zu zwingen. Als es zu Beschwerden bei Muʿāwiya kam, wandte sich dieser schriftlich an ʿUthmān und meldete ihm, dass Abū Dharr die Menschen in Syrien gegen ihn aufhetze. ʿUthmān ließ den angeblichen Aufrührer hierauf nach Medina kommen und zog seine Hinrichtung in Erwägung, nahm jedoch auf Anraten von ʿAlī ibn Abī Tālib davon Abstand. Der Kalif schickte ihn schließlich in eine Art Verbannung nach Rabdha, einem Dorf der Umgebung, wo er in Armut und Zurückgezogenheit um das Jahr 652 verstarb. Das harte Vorgehen gegen diesen populären Prophetengefährten schadete ʿUthmāns Ansehen stark. Auch in den Lagern Kufa und Basra, die durch Einwanderung von Stammesangehörigen der arabischen Halbinsel mittlerweile zu bedeutenden Siedlungen herangewachsen waren, regte sich Widerstand gegen ʿUthmān. In Kufa kritisierte ʿAbdallāh Ibn Masʿūd schon 650 den neuen Gouverneur, dessen heidnisches Gebaren ihn verstörte. 651 kam es zum Bruch mit ʿUthmān. Ibn Masʿūd fiel in Ungnade, unter Umständen, die nicht klar sind. Eine öffentliche Szene folgte, bei der er vom Kalifen misshandelt wurde. Ein Grund für diese Konfrontation mag die Auseinandersetzung um Ibn Masʿūds Korankodex (''muṣḥaf'') gewesen sein. Ibn Masʿūd zufolge war der [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/5/vers/67 Vers 5:67] zur Zeit des Propheten mit einem explizit auf ʿAlī bezogenen Zusatz versehen gewesen. Das deutet auf eine große Loyalität Ibn Masʿūds gegenüber ʿAlī und seiner Familie hin. === 4.4.4. ʿUthmāns Ermordung === [[File:Rebellions against Uthman & the Kharijite Origins.png|mini|Die Orte, von denen aus die Unzufriedenen nach Medina zogen.]] In den letzten Jahren des Kalifats von ʿUthmān wurden die Beschwerden gegen ihn immer lauter, und es entstand eine regelrechte Protestbewegung. Nach dem Bericht [[w:at-Tabarī|at-Tabarī]]s war es ein Mann namens [[w:ʿAbdallāh ibn Saba'|ʿAbdallāh ibn Saba']], der sie von Ägypten aus koordinierte. Er stellte ʿUthmān als Usurpator dar und propagierte, dass allein ʿAlī als Mohammeds Bevollmächtigter (''waṣī'') zur Herrschaft über die [[w:Umma|Umma]] befugt sei. Im Frühjahr 656 zogen große Gruppen Unzufriedener aus Ägypten, Basra und Kufa nach Medina, führten beim Kalifen über verschiedene Dinge Klage und verlangten seine Absetzung. ʿUthmān, der ihre Forderungen für unberechtigt hielt, bequemte sich schließlich zu Verhandlungen und sagte zu, ihre Beschwerden zu prüfen. Die Unzufriedenen wurden dadurch zunächst weitgehend beruhigt und traten den Heimweg an. Die Beschwerdeführer aus Ägypten fingen aber unterwegs einen Boten des Kalifen ab, der eine geheime Botschaft an den Statthalter in Ägypten bei sich hatte. Darin beauftragte der Kalif diesen, die Anführer hinzurichten und andere entsprechend zu bestrafen. Aufgebracht kehrten die Unzufriedenen nach Medina zurück, stellten den Kalifen zur Rede und forderten ihn ultimativ zum Rücktritt auf. Es kam zur Belagerung seines Hauses, wo ihn seine Knechte und Verwandten verteidigten und damit die Konfrontation verschärften. Das Gebäude wurde am 17. Juni 656 gestürmt, und ʿUthmān ermordet. Eine wichtige Folge der Ermordung ʿUthmāns war, dass die Stadt Medina fortan ihre Rolle als politisches Zentrum des islamischen Staates verlor. Noch wichtiger war allerdings, dass es über die Beurteilung von ʿUthmān und die Frage, ob seine Ermordung gerechtfertigt war, zu einer tiefgehenden Spaltung der Muslime kam, die bis heute noch nicht überwunden ist. In diesen Auseinandersetzungen um ʿUthmān tauchte zum ersten Mal eine wichtige Formel auf, die nämlich von dem „Buch Gottes und der [[w:Sunna|Sunna]] des Propheten“. Mit dem Buch Gottes war der Koran gemeint, mit der Sunna des Propheten die von diesem begründete Handlungspraxis, die man in der Gemeinschaft der Muslime als normativen Maßstab ansah. Während die Gegner ʿUthmāns überzeugt waren, dass ʿUthmān gegen die Prinzipien von Koran und Prophetensunna verstoßen hatte, verteidigten seine Parteigänger, insbesondere die Umaiyaden, seine Handlungsweise gegen diesen Vorwurf. == 4.5. Weiterführende Literatur == * Sean Anthony: ''The Caliph and the heretic: Ibn Saba' and the origins of Shīʿism.'' Leiden 2012. * [[w:Al-Balādhurī|Al-Balādhurī]]: ''Kitāb Futūḥ al-buldān.'' Deutsche Übersetzung von [[w:Oskar Rescher|Oskar Rescher]]. 2 Bde. Leipzig 1917, Stuttgart 1923. * Heribert Busse: „ʿOmar b. al-Ḫaṭṭāb in Jerusalem“ in ''Jerusalem Studies in Arabic and Islam'' 5 (1984) 73–119. * Patricia Crone und Michael Cook: ''Hagarism. The Making of the Islamic World.'' Cambridge 1977. * Patricia Crone und Martin Hinds: ''God’s Caliph. Religious authority in the first centuries of Islam.'' Cambridge 1986. * Paul Gerhard Dannhauer: ''Untersuchungen zur frühen Geschichte des Qadi-Amtes.'' Bonn 1975. * Fred Donner: ''The early Islamic conquests.'' Princeton, NJ 1981. * Taieb El-Hibri: ''Parable and Politics in Early Islamic History. The Rashidun Caliphs.'' New York-Chichester 2010. * [[w:Martin Hinds|Martin Hinds]]: “The Murder of the Caliph ʿUthmān” in ''International Journal of Middle East Studies'' 3 (1972) 450–469. * Wilferd Madelung: ''The Succession to Muhammad. A study of the early caliphate.'' Cambridge 1997. * Al Makin: ''Representing the enemy: Musaylima in Muslim literature''. Frankfurt/Main 2010. * Theodor Nöldeke: ''Geschichte des Qorāns. Zweiter Teil: Die Sammlung des Qorāns.'' 2. Aufl. völlig umgearbeitet von Fr. Schwally. Leipzig 1919. * Albrecht Noth: “Von der medinensischen 'Umma' zu einer muslimischen Ökumene“ in A. Noth u. J. Paul (Hrsg.): ''Der Islamische Orient. Grundzüge seiner Geschichte.'' Würzburg 1998. * David Stephan Powers: ''Muḥammad is not the father of any of your men: the making of the last prophet''. Philadelphia 2009. * Israel Wolfensohn: ''Kaʿb al-Aḥbār und seine Stellung im Ḥadīṯ und in der islamischen Legendenliteratur.'' Gelnhausen 1933. == 4.6. Fragen/Aufgaben == 1. Welche Umstände erleichterten die islamische Eroberung des Vorderen Orients? 2. Welche Veränderungen nahm Muhammad am Haddsch-Ritual vor? 3. Nach dem Tode Muhammads traten unter den Muslimen erhebliche Meinungsverschiedenheiten auf. Erklären Sie, um welches Problem es ging, und wie dieses gelöst wurde. 4. Welche Titel nahmen die ersten muslimischen Herrscher nach Muhammad an und welche Vorstellungen waren mit ihnen verbunden? 5. Nennen Sie politische und religiöse Reformen, die unter dem Kalifen ʿUmar ibn al-Chattāb vorgenommen wurden. 6. In welcher Weise lag der Koran nach dem Tode Muhammads vor und welche redaktionellen Prozesse fanden bis zum Kalifat ʿUmars statt? 7. Der Kalif ʿUthmān ließ die erste offizielle Koranausgabe erstellen. In welchen Punkten wich sie von anderen damals verwendeten Korankodizes ab? 8. Beschreiben Sie die Entwicklungen, die zur Ermordung des Kalifen ʿUthmān und damit auch zur Spaltung der Muslime führten. {{Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI)/Navigation}} 6k3muf5svl4ppd4u5klc1qmmv20ath8 0 101961 1119237 1119223 2026-11-09T13:06:10Z Bert Niehaus 20843 /* Satz - Verkettung von messbaren Abbildungen */ 1119237 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite zum Thema ''Momente'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Momente&author=Wikipedia%20Authors&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Momente&coursetitle=Wikipedia%20Authors Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt: * (1) Definition von Momenten * (2) [[Erwartungswert|Erwartungswert]] * (3) [[Varianz|Varianz]] == Motivation - Erwartungswert == Vorbemerkung: Zwei Personen <math> A </math> und <math>B </math> vereinbaren ein Würfelspiel. * Ausgang '1': <math> A </math> zahlt an <math>B </math> 5€ * Ausgang '2', ..., '6': <math> B </math> zahlt an <math>A </math> 1€ Die Gewinnerwartung für die beiden Spieler beträgt hier Null: Erwarteter Gewinn von <math>B</math>: :<math> 5 \cdot \frac {1} {6} - 1 \cdot \frac {1} {6} - ... -1 \cdot \frac {1} {6} = 0 </math> ("faires Spiel"). === Bemerkung - Wahrscheinlichkeit und Wert der Zufallsgröße === In der obigen Gleichung :<math> 5 \cdot \frac {1} {6} - 1 \cdot \frac {1} {6} - ... -1 \cdot \frac {1} {6} = 0 </math> setzen sich die einzelnen Terme (z.B. <math> 5 \cdot \frac{1}{6} </math>) aus dem Wert der Zufallsgröße <math>X(1) = 5</math> und der Wahrscheinlichkeit <math> \frac{1}{6} </math> für das Eintretens des Ereignisse ("1 gewürfelt") zusammen. == Definition - Erwartungswert == Die Definition des Erwartungswertes wird in folgende Fälle unterteilt: * diskrete Zufallsgröße und * absolute stetige Zufallsgröße. === Definition - Erwartungswert - diskreter Fall === Sei <math> X : \Omega \to \mathbb{R} </math> eine auf einem diskreten [[Wahrscheinlichkeitsraum]] <math> (\Omega, \mathcal{S}, P) </math> definierte Zufallsvariable, dann heißt :<math> E(X) = \sum_{x \in X (\Omega)} x \cdot P(X=x) = \sum_{x \in X(\Omega)} x \cdot P^X (\lbrace x \rbrace)</math> Erwartungswert von <math> X </math>, vorausgesetzt, dass <math> \sum_{x \in X(\Omega)} |x| \cdot P(X=x) < \infty </math>. ==== Bemerkung - Anzahl Summanden - diskreter Fall ==== Die Zufallsgröße <math>X: \Omega \to \mathbb{R}</math> nimmt nur zwei Werte an, nämlich <math>X(\omega)=5</math> für <math>\omega =1</math> und <math>X(\omega)=-1</math> für <math>\omega =2,3,4,5,6</math>. Dabei besteht der Erwartungswert in der obigen Notation nur aus zwei Summanden, da <math>X(\Omega)=\{-1,5\}</math>. ==== Bemerkung 1 - Notation zum diskreten Beispiel ==== Möchte man den Erwartungswert analog zur obigen Notation mit 6 Summand definieren: :<math> \begin{array}{rcl} E(X) & = & \sum_{\omega \in \Omega} X(\omega) \cdot P(\{\omega\}) \\ & = & 5 \cdot \frac {1} {6} + \underbrace{(- 1) \cdot \frac {1} {6} + ... +(-1) \cdot \frac {1} {6}}_{=(-1) \cdot \frac {5} {6}} \\ & = & 5 \cdot \frac {1} {6} + -1 \cdot \frac {5} {6} = \displaystyle \sum_{x \in X(\Omega)=\{5,-1\}} x \cdot P^X(\{x\}) \\ & = & 0 \end{array} </math> ==== Bemerkung 2 - diskret verteilte Zufallsgröße ==== Die Reihe <math> \sum _x |x| \cdot P(X=x) < \infty</math> hat nur abzählbar viele Elemente <math>x</math> mit <math>P(X=x) \not= 0</math>, weil <math>X:\Omega \to\mathbb{R}</math> eine diskrete Zufallsgröße ist. ==== Bemerkung 3 - Erwartungswert - absolute Konvergenz ==== Mit <math> \sum _x |x| \cdot \underbrace{P(X=x)}_{\geq 0} </math> ist die Reihe in der Definition zum Erwartungswert absolut konvergent. Die Fälle <math> E(x) = + \infty </math> und <math> E(x) = - \infty </math> werden also ausgeschlossen. In solchen Fällen existiert der Erwartungswert nicht. === Definition - Erwartungswert - absolut stetig === Sei <math> X : \Omega \to \mathbb{R} </math> eine auf einem diskreten [[Wahrscheinlichkeitsraum]] <math> (\Omega, \mathcal{S}, P) </math> bei die Wahrscheinlichkeitsverteilung durch eine Dichtefunktion <math> p:\Omega \to \mathbb{R}_0^{+} </math> bzw. die induzierte Dichte <math> p^X:\mathbb{R} \to \mathbb{R}_0^{+} </math> gegeben ist. Dann heißt :<math> E(X) := \int_{\Omega} X(\omega) \cdot p(\omega) \, d(\omega) := \int_{\mathbb{R}} x \cdot p^X ( x ) \, dx</math> Erwartungswert der absolut stetigen Verteilung, wenn die Bedingung :<math> E(|X|) = \int_{\Omega} |X(\omega) | \cdot p(\omega) \, d(\omega) = \int_{\mathbb{R}} |x| \cdot p^X ( x ) \, dx < \infty </math> erfüllt ist. ==== Bemerkung - induzierte Dichtefunktion ==== Für die induzierte Dichtefunktion gilt alle <math>B</math> aus der Borelschen <math>\sigma</math>-Algebra <math>\mathcal{B}(\mathbb{R})</math>: :<math> \int_{X^{-1}(B)} X(\omega) \cdot p(\omega) \, d(\omega) := \int_{B} x \cdot p^X ( x ) \, dx</math> === Satz - Erwartungswert für diskrete Zufallsvariablen === Bezeichnet <math> p_\omega = P( \lbrace \omega \rbrace ) </math> die Wahrscheinlichkeitsfunktion von <math> P </math> auf <math> \Omega </math>, so gilt für eine auf <math> ( \Omega, \mathcal{S}, P)</math> definierte Zufallsvariable <math> X:\Omega \to \mathbb{R}</math>: :<math> E(X)= \sum_{\omega \in \Omega} X(\omega)\cdot p_\omega </math> (sofern <math> \sum |X(\omega)| \cdot p_\omega < \infty </math>). === Beweis === Es ist :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \sum_{\omega \in \Omega} X(\omega) \cdot p_\omega & = & \displaystyle \sum_{x \in X(\Omega)} \sum _{\omega:X(\omega) = x} X(\omega) \cdot p_\omega \\ & = & \displaystyle \sum_{x \in X(\Omega)} x \sum_{\omega:X(\omega)=x} p_w \\ & = & \displaystyle \sum_{x \in X(\Omega)} x \cdot P^X(\lbrace x \rbrace) \\ & = & E(X) \\ \end{array} </math> === Bemerkung zum Beweis === In den Beweis geht der große Umordnungssatz für konvergente Reihen aus der Analysis ein. Die Anwendung Umordnungssatzes ist möglich, da <math> E(|X|) < \infty</math> gilt und damit die Reihe absolut konvergent ist. === Bemerkungen - Existenz Erwartungeswertes === Im Fall absoluter Konvergenz der Reihen (Beispiele oben) sagt man: * <math> X </math> besitzt einen Erwartungswert, oder * der Erwartungswert von <math> X</math> existiert. <math> X </math> besitzt genau dann einen Erwartungswert, falls <math> E\big( |X|\big) = \sum_{\omega \in \Omega} |X(\omega)| \cdot p_\omega < \infty </math>. <br> ==== Endlicher Ergebnisraum ==== Dies ist bei endlichen Ergebnisräumen <math> \Omega </math> immer der Fall. ==== Schreibweise ==== Statt <math>E(X)</math> auch <math>EX</math> oder <math>E_PX</math>, wenn man kenntlich machen möchte, bzgl. welchem Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> der Erwartungswert berechnet wurde. === Elementare Folgerungen === Aus dem obigen Satz zum Erwartungswert folgt: <math> E(1) = 1, E(X) \le E(Y)</math>, falls <math> X(w) \le Y(w)</math> für alle <math> w \in \Omega </math> gilt. ==== Beispiel ==== Ist <math> X(w) = \lbrace w_1, ..., w_m \rbrace</math>, und ist <math> P_X</math> die Gleichverteilung auf <math> X(\Omega)</math>, so lautet der Erwartungswert :<math> E(X)= \frac {1} {m} \sum _{i=1}^{m} x_i </math> ("arithmetisches Mittel"). <br> (Der Erwartungswert der Augenzahl beim Würfeln ist 3,5.) ==== Beispiel ==== Für die Indikatorvariable <math> X=1_A</math> eines Ereignisses <math> A \subset \Omega </math> gilt: :<math> E(1_A) = 0 \cdot P(1_A = 0) + 1 \cdot P(1_A = 1) = P(A)</math> Eine direkte Folgerung aus der Behauptung ist der folgende Satz. === Satz - Linearität des Erwartungswertes === Besitzen die Zufallsvariablen <math> X_1, X_2</math> Erwartungswerte, so auch die Zufallsvariablen <math> aX_1, bX_2, a,b \in \mathbb{R}</math>, und es gilt: :<math> E(aX_1+bX_2 ) = aE(X_1) + bE(X_2)</math> ("[[Kurs:Stochastik/Linearität Erwartungswert|Linearität]]") === Bemerkung - Aufgabe - Beweis === Der [[Kurs:Stochastik/Linearität_Erwartungswert|Beweis der Linearität]] wird über das Einsetzen der Definition und der Anwendung elementaren Umformungen geführt. Versuchen Sie diesen Beweis zunächst ohne Hilfen selbst durchzuführen und sich erst danach den in Wikiversity angegebenen Beweis zu [[Kurs:Stochastik/Linearität_Erwartungswert|Linearität des Erwartungswertes]] anzusehen === Anwendungsbeispiel für die Linearität des Erwartungswertes === Alle <math>n</math> Zufallsgrößen <math>X_k</math> mit <math>k\in \{1,\ldots , n\}</math> seinen <math> B(1,p)</math>-verteilt. Dann ist <math>X:= X_1 + \ldots + X_n</math> ein <math> B(n,p)</math>-verteilt und für den Erwartungswert erhält man mit der Linearität des Erwartungswertes <math>X</math> gilt: :<math> E(X) = np</math> ===== Beweismöglichkeiten===== 1. <math> E(X)= \sum _{k=k}^{n} k \binom {n}{k} p^k (1-p)^{n-k} = ... = n \cdot p</math> 2. Für die Binominalverteilung gilt <math> X=X_1 + .. + X_n </math> mit <math> EX_i = p</math>. Dann ist :<math> E(X)=E(X_1) + ... + E(X_n) = n \cdot p </math> (wg. Linearität). <br> Der Erwartungswert von Funktionen <math> \phi \circ X</math> einer Zufallsgröße berechnet sich wie folgt. === Satz - Verkettung von messbaren Abbildungen === Ist <math> X: \Omega \to \Omega'</math> Zufallsgröße auf <math> (\Omega,P) </math> und <math> \phi: \Omega' \to \mathbb{R}</math> eine Abbildung, dann gilt :<math> E(\phi \circ X)= \sum_{x \in X(\Omega)} \phi(x) \cdot P_X( \lbrace x \rbrace)</math> (Falls die Reihe absolut konvergiert). === Beweis === :<math> E_P(\phi \circ X) = \sum_{w \in \Omega} \phi(X(w)) p_w = \sum_{x \in X(w)} \sum_{w:X(w) = x} \phi(X(w)) p_w </math> :<math> = \sum_{x \in X(w)} \phi(x) \sum _{w: X(w)=x} p_w = \sum_{x \in X(w)} \phi(x) P_X(\lbrace x \rbrace). </math> (Großer Umordnungssatz für absolut konvergente Reihen) <br> === Beispiele === Gemäß der Behauptung gilt z.B. : Mit <math>\phi_1(x) := x^2</math> erhält man <math>E(\phi_1) = \sum_{x} x^2 P_X(\lbrace x \rbrace) </math> :Mit <math>\phi_2(x) := e^x</math> erhält man <math> E(\phi_2) = \sum_ {x} e^x P_X(\lbrace x \rbrace)</math> usw. ====Bemerkung ==== Die rechte Seite der Behauptung kann man auch als <math> E_{P_X} (\phi)</math> schreiben. <br> In der Tat, <math> P_X (\lbrace x \rbrace)</math> ist Wahrscheinlichkeitsfunktion auf <math> \Omega' </math> und <math> \phi</math> wird als Zufallsvariable auf <math> (\Omega', P_X)</math> aufgefasst: :<math> E_P(\phi \circ X)= E_{P_X}(\phi)</math> === Satz - Multipkikation von unabhängigen Zufallsgrößen === Die Zufallsvariablen <math> X,Y</math> mögen unabhängig sein und Erwartungswerte besitzen. Dann besitzt auch <math> X \cdot Y</math> einen Erwartungswert und es gilt :<math> E(X \cdot Y) = E(X) \cdot E(Y)</math> ====Beweis (i.1)==== Zur Existenz von <math> E(X \cdot Y)</math>: :<math> E(|X \cdot Y|)= \sum_{w \in \Omega } |X(w) \cdot Y(w)| p_w </math> :<math> = \sum_{x \in X(\Omega)} \sum _{y \in Y(\Omega)} \sum_{w:X(\omega)=x, Y(\omega) = y} |X(w) \cdot Y(w)| p_w </math> :<math> = \sum_{x \in X(\Omega)}\sum_{y \in Y(\Omega)} | x \cdot y | P(X=x, Y=y)</math> ==== Beweis (i.2) ==== :<math> = \sum_{x \in X(\Omega)} |x| \cdot P(X=x) \sum_{y \in Y(\Omega)} |y| \cdot P(Y=y)</math> :<math> = E|X| \cdot E|Y| < \infty </math> (Reihe links oben also absolut konvergent.) ==== Beweis (ii) ==== Die gleiche Rechnung wie in (i) ohne Betragsstriche liefert: :<math> E(X \cdot Y) = \sum_{w \in \Omega} X(w) \cdot Y(w) p_w </math> :<math> = ... = \sum_{x \in X(\Omega)} x \cdot P(X=x) \sum_{y \in Y(\Omega)} y \cdot P(Y=y) </math> :<math> = E(X) \cdot E(Y)</math> Es wurde angewandt: Doppelreihensatz und Umordnungssatz für Reihen mit nicht negativen Gliedern (in (i)) und für absolut konvergente Reihen (in (ii)). ====Bemerkung ==== 1. Allgemein gilt für unabhängige Zufallsvariablen <math> X_1, ..., X_n</math> mit existierenden Erwartungswerten: :<math> E(X_1 \cdot ... \cdot X_n) = E(X_1) \cdot ... \cdot E(X_n)</math> 2. Bei fehlender Unabhängigkeit folgt aus <math> P|X| < \infty, P|Y| < \infty </math> nicht notwendigerweise <math> P| X \cdot Y| <\infty </math>. === Definition - Bedingter Erwartungswert === Sei <math> (\Omega, \mathcal{S}, P) </math> diskreter Wahrscheinlichkeitsraum, <math>X</math> Zufallsvariable mit existierendem Erwartungswert und <math> A \subset \Omega </math> mit <math> P(A)> 0</math>. Dann heißt :<math> E(X|A) = E_{P_{(\cdot |A)}} (X)</math> der bedingte Erwartungswert von <math>X</math> unter (der Bedingung) <math>A</math>. <br> [ <math> P( \cdot|A)</math> ist die bedingte Wahrscheinlichkeitsverteilung auf <math> \Omega </math> unter <math> A </math>.] ==== Formeln zu Berechnung ==== :<math> E(X|A) = \sum_{w \in \Omega} X(w) P( \lbrace w \rbrace|A) = \sum X(w) \frac {P( \lbrace w \rbrace \cap A)} {P(A)} </math> :<math> = \frac {1} { P(A)} \sum_{w \in A} X(w) p_w = \frac {1} {P(A)} \sum_{w \in \Omega} 1_A (w) X(w) p_w = \frac {1} {P(A)} E(1_A X)</math> ==== Bemerkungen ==== * Da <math> \sum_{\omega \in \Omega} X(\omega )\cdot p_\omega </math> absolut konvergiert, so konvergiert auch <math>\sum_{\omega \in A} X(\omega ) \cdot p_\omega </math>. Damit existiert der bedingte Erwartungswert <math> E(X|A)</math>. * Spezialfälle: <math> E(1_A|A) =1, E(X|\Omega) = E(X)</math> <br> * Der hier eingeführte Begriff des bedingten Erwartungswertes spielt eine untergeordnete Rolle. In der allgemeinen Wahrscheinlichkeitstheorie definiert man bedingte Erwartungswerte der Art <math> E(X|Y)</math>, <math> Y </math> Zufallsvariable, welche von großer Wichtigkeit sind (jedoch hier in der Einführung nicht gebraucht werden). == Momente == In dem obigen Beispiel wurde der Erwartungswert <math>E(X)</math> als Spezialfall von Momenten <math>E(X^k)</math> betrachtet, die im Folgenden definiert werden. === Definition - Momente === Es sei <math>X</math> eine [[w:de:Zufallsvariable|Zufallsvariable]] und <math>k</math> eine [[w:de:natürliche Zahl|natürliche Zahl]]. Dann bezeichnet man als ''Moment der Ordnung <math>k</math> von <math>X</math>'' oder kürzer als ''<math>k</math>-tes Moment von <math>X</math>'' den Erwartungswert der <math>k</math>&#8209;ten Potenz von <math>X</math> (unter der Voraussetzung, dass dieser existiert): :<math> m_k := \operatorname{E}\left(X^k\right), </math> und als ''<math>k</math>-tes absolutes Moment von <math>X</math>'' wird der Erwartungswert der <math>k</math>-ten Potenz des Absolutbetrages <math>|X|</math> von <math>X</math> bezeichnet: :<math> M_k := \operatorname{E}\left(\left|X\right|^k\right). </math> === Bemerkung - nichtganzzahlige Momente === In theoretischen Untersuchungen werden mitunter auch Momente nichtganzzahliger Ordnung <math>\kappa</math> betrachtet. === Bemerkung - Existenz von Momenten === Die Existenz von Momenten einer bestimmten Ordnung liefert allgemein Aussagen über die Verteilung der Wahrscheinlichkeitsmasse. === Bemerkung - Erwartungswert als Moment 1. Ordnung === Das ''erste Moment'' ist der Erwartungswert. Er wird meist mit <math>\mu</math> bezeichnet und kann als Mittelwert angesehen werden. == Siehe auch == * [[Kurs:Stochastik/Linearität Erwartungswert|Linearität des Erwartungswertes]] * [[Kurs:Stochastik/Varianz|Varianz]] * [[Kurs:Stochastik/Kovarianz|Kovarianz]] * [[Kurs:Stochastik/Erzeugende Funktionen|Erzeugende Funktionen]] * [[Kurs:Stochastik]] == Seiteninformation == Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Momente&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Stochastik Kurs:Stochastik]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Momente https://de.wikiversity.org/wiki/Momente] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Momente Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Momente * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Momente&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] [[Category:Wiki2Reveal]] h4tazcl9002410qqqy9f37twrqw5omv 1119238 1119237 2026-11-09T13:07:02Z Bert Niehaus 20843 /* Beispiele */ 1119238 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite zum Thema ''Momente'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Momente&author=Wikipedia%20Authors&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Momente&coursetitle=Wikipedia%20Authors Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt: * (1) Definition von Momenten * (2) [[Erwartungswert|Erwartungswert]] * (3) [[Varianz|Varianz]] == Motivation - Erwartungswert == Vorbemerkung: Zwei Personen <math> A </math> und <math>B </math> vereinbaren ein Würfelspiel. * Ausgang '1': <math> A </math> zahlt an <math>B </math> 5€ * Ausgang '2', ..., '6': <math> B </math> zahlt an <math>A </math> 1€ Die Gewinnerwartung für die beiden Spieler beträgt hier Null: Erwarteter Gewinn von <math>B</math>: :<math> 5 \cdot \frac {1} {6} - 1 \cdot \frac {1} {6} - ... -1 \cdot \frac {1} {6} = 0 </math> ("faires Spiel"). === Bemerkung - Wahrscheinlichkeit und Wert der Zufallsgröße === In der obigen Gleichung :<math> 5 \cdot \frac {1} {6} - 1 \cdot \frac {1} {6} - ... -1 \cdot \frac {1} {6} = 0 </math> setzen sich die einzelnen Terme (z.B. <math> 5 \cdot \frac{1}{6} </math>) aus dem Wert der Zufallsgröße <math>X(1) = 5</math> und der Wahrscheinlichkeit <math> \frac{1}{6} </math> für das Eintretens des Ereignisse ("1 gewürfelt") zusammen. == Definition - Erwartungswert == Die Definition des Erwartungswertes wird in folgende Fälle unterteilt: * diskrete Zufallsgröße und * absolute stetige Zufallsgröße. === Definition - Erwartungswert - diskreter Fall === Sei <math> X : \Omega \to \mathbb{R} </math> eine auf einem diskreten [[Wahrscheinlichkeitsraum]] <math> (\Omega, \mathcal{S}, P) </math> definierte Zufallsvariable, dann heißt :<math> E(X) = \sum_{x \in X (\Omega)} x \cdot P(X=x) = \sum_{x \in X(\Omega)} x \cdot P^X (\lbrace x \rbrace)</math> Erwartungswert von <math> X </math>, vorausgesetzt, dass <math> \sum_{x \in X(\Omega)} |x| \cdot P(X=x) < \infty </math>. ==== Bemerkung - Anzahl Summanden - diskreter Fall ==== Die Zufallsgröße <math>X: \Omega \to \mathbb{R}</math> nimmt nur zwei Werte an, nämlich <math>X(\omega)=5</math> für <math>\omega =1</math> und <math>X(\omega)=-1</math> für <math>\omega =2,3,4,5,6</math>. Dabei besteht der Erwartungswert in der obigen Notation nur aus zwei Summanden, da <math>X(\Omega)=\{-1,5\}</math>. ==== Bemerkung 1 - Notation zum diskreten Beispiel ==== Möchte man den Erwartungswert analog zur obigen Notation mit 6 Summand definieren: :<math> \begin{array}{rcl} E(X) & = & \sum_{\omega \in \Omega} X(\omega) \cdot P(\{\omega\}) \\ & = & 5 \cdot \frac {1} {6} + \underbrace{(- 1) \cdot \frac {1} {6} + ... +(-1) \cdot \frac {1} {6}}_{=(-1) \cdot \frac {5} {6}} \\ & = & 5 \cdot \frac {1} {6} + -1 \cdot \frac {5} {6} = \displaystyle \sum_{x \in X(\Omega)=\{5,-1\}} x \cdot P^X(\{x\}) \\ & = & 0 \end{array} </math> ==== Bemerkung 2 - diskret verteilte Zufallsgröße ==== Die Reihe <math> \sum _x |x| \cdot P(X=x) < \infty</math> hat nur abzählbar viele Elemente <math>x</math> mit <math>P(X=x) \not= 0</math>, weil <math>X:\Omega \to\mathbb{R}</math> eine diskrete Zufallsgröße ist. ==== Bemerkung 3 - Erwartungswert - absolute Konvergenz ==== Mit <math> \sum _x |x| \cdot \underbrace{P(X=x)}_{\geq 0} </math> ist die Reihe in der Definition zum Erwartungswert absolut konvergent. Die Fälle <math> E(x) = + \infty </math> und <math> E(x) = - \infty </math> werden also ausgeschlossen. In solchen Fällen existiert der Erwartungswert nicht. === Definition - Erwartungswert - absolut stetig === Sei <math> X : \Omega \to \mathbb{R} </math> eine auf einem diskreten [[Wahrscheinlichkeitsraum]] <math> (\Omega, \mathcal{S}, P) </math> bei die Wahrscheinlichkeitsverteilung durch eine Dichtefunktion <math> p:\Omega \to \mathbb{R}_0^{+} </math> bzw. die induzierte Dichte <math> p^X:\mathbb{R} \to \mathbb{R}_0^{+} </math> gegeben ist. Dann heißt :<math> E(X) := \int_{\Omega} X(\omega) \cdot p(\omega) \, d(\omega) := \int_{\mathbb{R}} x \cdot p^X ( x ) \, dx</math> Erwartungswert der absolut stetigen Verteilung, wenn die Bedingung :<math> E(|X|) = \int_{\Omega} |X(\omega) | \cdot p(\omega) \, d(\omega) = \int_{\mathbb{R}} |x| \cdot p^X ( x ) \, dx < \infty </math> erfüllt ist. ==== Bemerkung - induzierte Dichtefunktion ==== Für die induzierte Dichtefunktion gilt alle <math>B</math> aus der Borelschen <math>\sigma</math>-Algebra <math>\mathcal{B}(\mathbb{R})</math>: :<math> \int_{X^{-1}(B)} X(\omega) \cdot p(\omega) \, d(\omega) := \int_{B} x \cdot p^X ( x ) \, dx</math> === Satz - Erwartungswert für diskrete Zufallsvariablen === Bezeichnet <math> p_\omega = P( \lbrace \omega \rbrace ) </math> die Wahrscheinlichkeitsfunktion von <math> P </math> auf <math> \Omega </math>, so gilt für eine auf <math> ( \Omega, \mathcal{S}, P)</math> definierte Zufallsvariable <math> X:\Omega \to \mathbb{R}</math>: :<math> E(X)= \sum_{\omega \in \Omega} X(\omega)\cdot p_\omega </math> (sofern <math> \sum |X(\omega)| \cdot p_\omega < \infty </math>). === Beweis === Es ist :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \sum_{\omega \in \Omega} X(\omega) \cdot p_\omega & = & \displaystyle \sum_{x \in X(\Omega)} \sum _{\omega:X(\omega) = x} X(\omega) \cdot p_\omega \\ & = & \displaystyle \sum_{x \in X(\Omega)} x \sum_{\omega:X(\omega)=x} p_w \\ & = & \displaystyle \sum_{x \in X(\Omega)} x \cdot P^X(\lbrace x \rbrace) \\ & = & E(X) \\ \end{array} </math> === Bemerkung zum Beweis === In den Beweis geht der große Umordnungssatz für konvergente Reihen aus der Analysis ein. Die Anwendung Umordnungssatzes ist möglich, da <math> E(|X|) < \infty</math> gilt und damit die Reihe absolut konvergent ist. === Bemerkungen - Existenz Erwartungeswertes === Im Fall absoluter Konvergenz der Reihen (Beispiele oben) sagt man: * <math> X </math> besitzt einen Erwartungswert, oder * der Erwartungswert von <math> X</math> existiert. <math> X </math> besitzt genau dann einen Erwartungswert, falls <math> E\big( |X|\big) = \sum_{\omega \in \Omega} |X(\omega)| \cdot p_\omega < \infty </math>. <br> ==== Endlicher Ergebnisraum ==== Dies ist bei endlichen Ergebnisräumen <math> \Omega </math> immer der Fall. ==== Schreibweise ==== Statt <math>E(X)</math> auch <math>EX</math> oder <math>E_PX</math>, wenn man kenntlich machen möchte, bzgl. welchem Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> der Erwartungswert berechnet wurde. === Elementare Folgerungen === Aus dem obigen Satz zum Erwartungswert folgt: <math> E(1) = 1, E(X) \le E(Y)</math>, falls <math> X(w) \le Y(w)</math> für alle <math> w \in \Omega </math> gilt. ==== Beispiel ==== Ist <math> X(w) = \lbrace w_1, ..., w_m \rbrace</math>, und ist <math> P_X</math> die Gleichverteilung auf <math> X(\Omega)</math>, so lautet der Erwartungswert :<math> E(X)= \frac {1} {m} \sum _{i=1}^{m} x_i </math> ("arithmetisches Mittel"). <br> (Der Erwartungswert der Augenzahl beim Würfeln ist 3,5.) ==== Beispiel ==== Für die Indikatorvariable <math> X=1_A</math> eines Ereignisses <math> A \subset \Omega </math> gilt: :<math> E(1_A) = 0 \cdot P(1_A = 0) + 1 \cdot P(1_A = 1) = P(A)</math> Eine direkte Folgerung aus der Behauptung ist der folgende Satz. === Satz - Linearität des Erwartungswertes === Besitzen die Zufallsvariablen <math> X_1, X_2</math> Erwartungswerte, so auch die Zufallsvariablen <math> aX_1, bX_2, a,b \in \mathbb{R}</math>, und es gilt: :<math> E(aX_1+bX_2 ) = aE(X_1) + bE(X_2)</math> ("[[Kurs:Stochastik/Linearität Erwartungswert|Linearität]]") === Bemerkung - Aufgabe - Beweis === Der [[Kurs:Stochastik/Linearität_Erwartungswert|Beweis der Linearität]] wird über das Einsetzen der Definition und der Anwendung elementaren Umformungen geführt. Versuchen Sie diesen Beweis zunächst ohne Hilfen selbst durchzuführen und sich erst danach den in Wikiversity angegebenen Beweis zu [[Kurs:Stochastik/Linearität_Erwartungswert|Linearität des Erwartungswertes]] anzusehen === Anwendungsbeispiel für die Linearität des Erwartungswertes === Alle <math>n</math> Zufallsgrößen <math>X_k</math> mit <math>k\in \{1,\ldots , n\}</math> seinen <math> B(1,p)</math>-verteilt. Dann ist <math>X:= X_1 + \ldots + X_n</math> ein <math> B(n,p)</math>-verteilt und für den Erwartungswert erhält man mit der Linearität des Erwartungswertes <math>X</math> gilt: :<math> E(X) = np</math> ===== Beweismöglichkeiten===== 1. <math> E(X)= \sum _{k=k}^{n} k \binom {n}{k} p^k (1-p)^{n-k} = ... = n \cdot p</math> 2. Für die Binominalverteilung gilt <math> X=X_1 + .. + X_n </math> mit <math> EX_i = p</math>. Dann ist :<math> E(X)=E(X_1) + ... + E(X_n) = n \cdot p </math> (wg. Linearität). <br> Der Erwartungswert von Funktionen <math> \phi \circ X</math> einer Zufallsgröße berechnet sich wie folgt. === Satz - Verkettung von messbaren Abbildungen === Ist <math> X: \Omega \to \Omega'</math> Zufallsgröße auf <math> (\Omega,P) </math> und <math> \phi: \Omega' \to \mathbb{R}</math> eine Abbildung, dann gilt :<math> E(\phi \circ X)= \sum_{x \in X(\Omega)} \phi(x) \cdot P_X( \lbrace x \rbrace)</math> (Falls die Reihe absolut konvergiert). === Beweis === :<math> E_P(\phi \circ X) = \sum_{w \in \Omega} \phi(X(w)) p_w = \sum_{x \in X(w)} \sum_{w:X(w) = x} \phi(X(w)) p_w </math> :<math> = \sum_{x \in X(w)} \phi(x) \sum _{w: X(w)=x} p_w = \sum_{x \in X(w)} \phi(x) P_X(\lbrace x \rbrace). </math> (Großer Umordnungssatz für absolut konvergente Reihen) <br> === Beispiele === Gemäß der Behauptung gilt z.B. : Mit <math>\phi_1(x) := x^2</math> erhält man <math>E(\phi_1) = \sum_{x\in \mathbb{R}} x^2 \cdot P_X(\lbrace x \rbrace) </math> :Mit <math>\phi_2(x) := e^x</math> erhält man <math> E(\phi_2) = \sum_ {x\in \mathbb{R}} e^x \cdot P_X(\lbrace x \rbrace)</math> usw. ====Bemerkung ==== Die rechte Seite der Behauptung kann man auch als <math> E_{P_X} (\phi)</math> schreiben. <br> In der Tat, <math> P_X (\lbrace x \rbrace)</math> ist Wahrscheinlichkeitsfunktion auf <math> \Omega' </math> und <math> \phi</math> wird als Zufallsvariable auf <math> (\Omega', P_X)</math> aufgefasst: :<math> E_P(\phi \circ X)= E_{P_X}(\phi)</math> === Satz - Multipkikation von unabhängigen Zufallsgrößen === Die Zufallsvariablen <math> X,Y</math> mögen unabhängig sein und Erwartungswerte besitzen. Dann besitzt auch <math> X \cdot Y</math> einen Erwartungswert und es gilt :<math> E(X \cdot Y) = E(X) \cdot E(Y)</math> ====Beweis (i.1)==== Zur Existenz von <math> E(X \cdot Y)</math>: :<math> E(|X \cdot Y|)= \sum_{w \in \Omega } |X(w) \cdot Y(w)| p_w </math> :<math> = \sum_{x \in X(\Omega)} \sum _{y \in Y(\Omega)} \sum_{w:X(\omega)=x, Y(\omega) = y} |X(w) \cdot Y(w)| p_w </math> :<math> = \sum_{x \in X(\Omega)}\sum_{y \in Y(\Omega)} | x \cdot y | P(X=x, Y=y)</math> ==== Beweis (i.2) ==== :<math> = \sum_{x \in X(\Omega)} |x| \cdot P(X=x) \sum_{y \in Y(\Omega)} |y| \cdot P(Y=y)</math> :<math> = E|X| \cdot E|Y| < \infty </math> (Reihe links oben also absolut konvergent.) ==== Beweis (ii) ==== Die gleiche Rechnung wie in (i) ohne Betragsstriche liefert: :<math> E(X \cdot Y) = \sum_{w \in \Omega} X(w) \cdot Y(w) p_w </math> :<math> = ... = \sum_{x \in X(\Omega)} x \cdot P(X=x) \sum_{y \in Y(\Omega)} y \cdot P(Y=y) </math> :<math> = E(X) \cdot E(Y)</math> Es wurde angewandt: Doppelreihensatz und Umordnungssatz für Reihen mit nicht negativen Gliedern (in (i)) und für absolut konvergente Reihen (in (ii)). ====Bemerkung ==== 1. Allgemein gilt für unabhängige Zufallsvariablen <math> X_1, ..., X_n</math> mit existierenden Erwartungswerten: :<math> E(X_1 \cdot ... \cdot X_n) = E(X_1) \cdot ... \cdot E(X_n)</math> 2. Bei fehlender Unabhängigkeit folgt aus <math> P|X| < \infty, P|Y| < \infty </math> nicht notwendigerweise <math> P| X \cdot Y| <\infty </math>. === Definition - Bedingter Erwartungswert === Sei <math> (\Omega, \mathcal{S}, P) </math> diskreter Wahrscheinlichkeitsraum, <math>X</math> Zufallsvariable mit existierendem Erwartungswert und <math> A \subset \Omega </math> mit <math> P(A)> 0</math>. Dann heißt :<math> E(X|A) = E_{P_{(\cdot |A)}} (X)</math> der bedingte Erwartungswert von <math>X</math> unter (der Bedingung) <math>A</math>. <br> [ <math> P( \cdot|A)</math> ist die bedingte Wahrscheinlichkeitsverteilung auf <math> \Omega </math> unter <math> A </math>.] ==== Formeln zu Berechnung ==== :<math> E(X|A) = \sum_{w \in \Omega} X(w) P( \lbrace w \rbrace|A) = \sum X(w) \frac {P( \lbrace w \rbrace \cap A)} {P(A)} </math> :<math> = \frac {1} { P(A)} \sum_{w \in A} X(w) p_w = \frac {1} {P(A)} \sum_{w \in \Omega} 1_A (w) X(w) p_w = \frac {1} {P(A)} E(1_A X)</math> ==== Bemerkungen ==== * Da <math> \sum_{\omega \in \Omega} X(\omega )\cdot p_\omega </math> absolut konvergiert, so konvergiert auch <math>\sum_{\omega \in A} X(\omega ) \cdot p_\omega </math>. Damit existiert der bedingte Erwartungswert <math> E(X|A)</math>. * Spezialfälle: <math> E(1_A|A) =1, E(X|\Omega) = E(X)</math> <br> * Der hier eingeführte Begriff des bedingten Erwartungswertes spielt eine untergeordnete Rolle. In der allgemeinen Wahrscheinlichkeitstheorie definiert man bedingte Erwartungswerte der Art <math> E(X|Y)</math>, <math> Y </math> Zufallsvariable, welche von großer Wichtigkeit sind (jedoch hier in der Einführung nicht gebraucht werden). == Momente == In dem obigen Beispiel wurde der Erwartungswert <math>E(X)</math> als Spezialfall von Momenten <math>E(X^k)</math> betrachtet, die im Folgenden definiert werden. === Definition - Momente === Es sei <math>X</math> eine [[w:de:Zufallsvariable|Zufallsvariable]] und <math>k</math> eine [[w:de:natürliche Zahl|natürliche Zahl]]. Dann bezeichnet man als ''Moment der Ordnung <math>k</math> von <math>X</math>'' oder kürzer als ''<math>k</math>-tes Moment von <math>X</math>'' den Erwartungswert der <math>k</math>&#8209;ten Potenz von <math>X</math> (unter der Voraussetzung, dass dieser existiert): :<math> m_k := \operatorname{E}\left(X^k\right), </math> und als ''<math>k</math>-tes absolutes Moment von <math>X</math>'' wird der Erwartungswert der <math>k</math>-ten Potenz des Absolutbetrages <math>|X|</math> von <math>X</math> bezeichnet: :<math> M_k := \operatorname{E}\left(\left|X\right|^k\right). </math> === Bemerkung - nichtganzzahlige Momente === In theoretischen Untersuchungen werden mitunter auch Momente nichtganzzahliger Ordnung <math>\kappa</math> betrachtet. === Bemerkung - Existenz von Momenten === Die Existenz von Momenten einer bestimmten Ordnung liefert allgemein Aussagen über die Verteilung der Wahrscheinlichkeitsmasse. === Bemerkung - Erwartungswert als Moment 1. Ordnung === Das ''erste Moment'' ist der Erwartungswert. Er wird meist mit <math>\mu</math> bezeichnet und kann als Mittelwert angesehen werden. == Siehe auch == * [[Kurs:Stochastik/Linearität Erwartungswert|Linearität des Erwartungswertes]] * [[Kurs:Stochastik/Varianz|Varianz]] * [[Kurs:Stochastik/Kovarianz|Kovarianz]] * [[Kurs:Stochastik/Erzeugende Funktionen|Erzeugende Funktionen]] * [[Kurs:Stochastik]] == Seiteninformation == Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Momente&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Stochastik Kurs:Stochastik]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Momente https://de.wikiversity.org/wiki/Momente] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Momente Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Momente * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Momente&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] [[Category:Wiki2Reveal]] s0bhl6xos8vlzfifk96ev8n66cowim9 1119239 1119238 2026-11-09T13:08:04Z Bert Niehaus 20843 /* Beweis */ 1119239 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite zum Thema ''Momente'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Momente&author=Wikipedia%20Authors&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Momente&coursetitle=Wikipedia%20Authors Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt: * (1) Definition von Momenten * (2) [[Erwartungswert|Erwartungswert]] * (3) [[Varianz|Varianz]] == Motivation - Erwartungswert == Vorbemerkung: Zwei Personen <math> A </math> und <math>B </math> vereinbaren ein Würfelspiel. * Ausgang '1': <math> A </math> zahlt an <math>B </math> 5€ * Ausgang '2', ..., '6': <math> B </math> zahlt an <math>A </math> 1€ Die Gewinnerwartung für die beiden Spieler beträgt hier Null: Erwarteter Gewinn von <math>B</math>: :<math> 5 \cdot \frac {1} {6} - 1 \cdot \frac {1} {6} - ... -1 \cdot \frac {1} {6} = 0 </math> ("faires Spiel"). === Bemerkung - Wahrscheinlichkeit und Wert der Zufallsgröße === In der obigen Gleichung :<math> 5 \cdot \frac {1} {6} - 1 \cdot \frac {1} {6} - ... -1 \cdot \frac {1} {6} = 0 </math> setzen sich die einzelnen Terme (z.B. <math> 5 \cdot \frac{1}{6} </math>) aus dem Wert der Zufallsgröße <math>X(1) = 5</math> und der Wahrscheinlichkeit <math> \frac{1}{6} </math> für das Eintretens des Ereignisse ("1 gewürfelt") zusammen. == Definition - Erwartungswert == Die Definition des Erwartungswertes wird in folgende Fälle unterteilt: * diskrete Zufallsgröße und * absolute stetige Zufallsgröße. === Definition - Erwartungswert - diskreter Fall === Sei <math> X : \Omega \to \mathbb{R} </math> eine auf einem diskreten [[Wahrscheinlichkeitsraum]] <math> (\Omega, \mathcal{S}, P) </math> definierte Zufallsvariable, dann heißt :<math> E(X) = \sum_{x \in X (\Omega)} x \cdot P(X=x) = \sum_{x \in X(\Omega)} x \cdot P^X (\lbrace x \rbrace)</math> Erwartungswert von <math> X </math>, vorausgesetzt, dass <math> \sum_{x \in X(\Omega)} |x| \cdot P(X=x) < \infty </math>. ==== Bemerkung - Anzahl Summanden - diskreter Fall ==== Die Zufallsgröße <math>X: \Omega \to \mathbb{R}</math> nimmt nur zwei Werte an, nämlich <math>X(\omega)=5</math> für <math>\omega =1</math> und <math>X(\omega)=-1</math> für <math>\omega =2,3,4,5,6</math>. Dabei besteht der Erwartungswert in der obigen Notation nur aus zwei Summanden, da <math>X(\Omega)=\{-1,5\}</math>. ==== Bemerkung 1 - Notation zum diskreten Beispiel ==== Möchte man den Erwartungswert analog zur obigen Notation mit 6 Summand definieren: :<math> \begin{array}{rcl} E(X) & = & \sum_{\omega \in \Omega} X(\omega) \cdot P(\{\omega\}) \\ & = & 5 \cdot \frac {1} {6} + \underbrace{(- 1) \cdot \frac {1} {6} + ... +(-1) \cdot \frac {1} {6}}_{=(-1) \cdot \frac {5} {6}} \\ & = & 5 \cdot \frac {1} {6} + -1 \cdot \frac {5} {6} = \displaystyle \sum_{x \in X(\Omega)=\{5,-1\}} x \cdot P^X(\{x\}) \\ & = & 0 \end{array} </math> ==== Bemerkung 2 - diskret verteilte Zufallsgröße ==== Die Reihe <math> \sum _x |x| \cdot P(X=x) < \infty</math> hat nur abzählbar viele Elemente <math>x</math> mit <math>P(X=x) \not= 0</math>, weil <math>X:\Omega \to\mathbb{R}</math> eine diskrete Zufallsgröße ist. ==== Bemerkung 3 - Erwartungswert - absolute Konvergenz ==== Mit <math> \sum _x |x| \cdot \underbrace{P(X=x)}_{\geq 0} </math> ist die Reihe in der Definition zum Erwartungswert absolut konvergent. Die Fälle <math> E(x) = + \infty </math> und <math> E(x) = - \infty </math> werden also ausgeschlossen. In solchen Fällen existiert der Erwartungswert nicht. === Definition - Erwartungswert - absolut stetig === Sei <math> X : \Omega \to \mathbb{R} </math> eine auf einem diskreten [[Wahrscheinlichkeitsraum]] <math> (\Omega, \mathcal{S}, P) </math> bei die Wahrscheinlichkeitsverteilung durch eine Dichtefunktion <math> p:\Omega \to \mathbb{R}_0^{+} </math> bzw. die induzierte Dichte <math> p^X:\mathbb{R} \to \mathbb{R}_0^{+} </math> gegeben ist. Dann heißt :<math> E(X) := \int_{\Omega} X(\omega) \cdot p(\omega) \, d(\omega) := \int_{\mathbb{R}} x \cdot p^X ( x ) \, dx</math> Erwartungswert der absolut stetigen Verteilung, wenn die Bedingung :<math> E(|X|) = \int_{\Omega} |X(\omega) | \cdot p(\omega) \, d(\omega) = \int_{\mathbb{R}} |x| \cdot p^X ( x ) \, dx < \infty </math> erfüllt ist. ==== Bemerkung - induzierte Dichtefunktion ==== Für die induzierte Dichtefunktion gilt alle <math>B</math> aus der Borelschen <math>\sigma</math>-Algebra <math>\mathcal{B}(\mathbb{R})</math>: :<math> \int_{X^{-1}(B)} X(\omega) \cdot p(\omega) \, d(\omega) := \int_{B} x \cdot p^X ( x ) \, dx</math> === Satz - Erwartungswert für diskrete Zufallsvariablen === Bezeichnet <math> p_\omega = P( \lbrace \omega \rbrace ) </math> die Wahrscheinlichkeitsfunktion von <math> P </math> auf <math> \Omega </math>, so gilt für eine auf <math> ( \Omega, \mathcal{S}, P)</math> definierte Zufallsvariable <math> X:\Omega \to \mathbb{R}</math>: :<math> E(X)= \sum_{\omega \in \Omega} X(\omega)\cdot p_\omega </math> (sofern <math> \sum |X(\omega)| \cdot p_\omega < \infty </math>). === Beweis === Es ist :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \sum_{\omega \in \Omega} X(\omega) \cdot p_\omega & = & \displaystyle \sum_{x \in X(\Omega)} \sum _{\omega:X(\omega) = x} X(\omega) \cdot p_\omega \\ & = & \displaystyle \sum_{x \in X(\Omega)} x \sum_{\omega:X(\omega)=x} p_w \\ & = & \displaystyle \sum_{x \in X(\Omega)} x \cdot P^X(\lbrace x \rbrace) \\ & = & E(X) \\ \end{array} </math> === Bemerkung zum Beweis === In den Beweis geht der große Umordnungssatz für konvergente Reihen aus der Analysis ein. Die Anwendung Umordnungssatzes ist möglich, da <math> E(|X|) < \infty</math> gilt und damit die Reihe absolut konvergent ist. === Bemerkungen - Existenz Erwartungeswertes === Im Fall absoluter Konvergenz der Reihen (Beispiele oben) sagt man: * <math> X </math> besitzt einen Erwartungswert, oder * der Erwartungswert von <math> X</math> existiert. <math> X </math> besitzt genau dann einen Erwartungswert, falls <math> E\big( |X|\big) = \sum_{\omega \in \Omega} |X(\omega)| \cdot p_\omega < \infty </math>. <br> ==== Endlicher Ergebnisraum ==== Dies ist bei endlichen Ergebnisräumen <math> \Omega </math> immer der Fall. ==== Schreibweise ==== Statt <math>E(X)</math> auch <math>EX</math> oder <math>E_PX</math>, wenn man kenntlich machen möchte, bzgl. welchem Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> der Erwartungswert berechnet wurde. === Elementare Folgerungen === Aus dem obigen Satz zum Erwartungswert folgt: <math> E(1) = 1, E(X) \le E(Y)</math>, falls <math> X(w) \le Y(w)</math> für alle <math> w \in \Omega </math> gilt. ==== Beispiel ==== Ist <math> X(w) = \lbrace w_1, ..., w_m \rbrace</math>, und ist <math> P_X</math> die Gleichverteilung auf <math> X(\Omega)</math>, so lautet der Erwartungswert :<math> E(X)= \frac {1} {m} \sum _{i=1}^{m} x_i </math> ("arithmetisches Mittel"). <br> (Der Erwartungswert der Augenzahl beim Würfeln ist 3,5.) ==== Beispiel ==== Für die Indikatorvariable <math> X=1_A</math> eines Ereignisses <math> A \subset \Omega </math> gilt: :<math> E(1_A) = 0 \cdot P(1_A = 0) + 1 \cdot P(1_A = 1) = P(A)</math> Eine direkte Folgerung aus der Behauptung ist der folgende Satz. === Satz - Linearität des Erwartungswertes === Besitzen die Zufallsvariablen <math> X_1, X_2</math> Erwartungswerte, so auch die Zufallsvariablen <math> aX_1, bX_2, a,b \in \mathbb{R}</math>, und es gilt: :<math> E(aX_1+bX_2 ) = aE(X_1) + bE(X_2)</math> ("[[Kurs:Stochastik/Linearität Erwartungswert|Linearität]]") === Bemerkung - Aufgabe - Beweis === Der [[Kurs:Stochastik/Linearität_Erwartungswert|Beweis der Linearität]] wird über das Einsetzen der Definition und der Anwendung elementaren Umformungen geführt. Versuchen Sie diesen Beweis zunächst ohne Hilfen selbst durchzuführen und sich erst danach den in Wikiversity angegebenen Beweis zu [[Kurs:Stochastik/Linearität_Erwartungswert|Linearität des Erwartungswertes]] anzusehen === Anwendungsbeispiel für die Linearität des Erwartungswertes === Alle <math>n</math> Zufallsgrößen <math>X_k</math> mit <math>k\in \{1,\ldots , n\}</math> seinen <math> B(1,p)</math>-verteilt. Dann ist <math>X:= X_1 + \ldots + X_n</math> ein <math> B(n,p)</math>-verteilt und für den Erwartungswert erhält man mit der Linearität des Erwartungswertes <math>X</math> gilt: :<math> E(X) = np</math> ===== Beweismöglichkeiten===== 1. <math> E(X)= \sum _{k=k}^{n} k \binom {n}{k} p^k (1-p)^{n-k} = ... = n \cdot p</math> 2. Für die Binominalverteilung gilt <math> X=X_1 + .. + X_n </math> mit <math> EX_i = p</math>. Dann ist :<math> E(X)=E(X_1) + ... + E(X_n) = n \cdot p </math> (wg. Linearität). <br> Der Erwartungswert von Funktionen <math> \phi \circ X</math> einer Zufallsgröße berechnet sich wie folgt. === Satz - Verkettung von messbaren Abbildungen === Ist <math> X: \Omega \to \Omega'</math> Zufallsgröße auf <math> (\Omega,P) </math> und <math> \phi: \Omega' \to \mathbb{R}</math> eine Abbildung, dann gilt :<math> E(\phi \circ X)= \sum_{x \in X(\Omega)} \phi(x) \cdot P_X( \lbrace x \rbrace)</math> (Falls die Reihe absolut konvergiert). === Beweis === :<math> E_P(\phi \circ X) = \sum_{w \in \Omega} \phi(X(w)) \cdot p_w = \sum_{x \in X(\Omega)} \sum_{w:X(w) = x} \phi(X(w)) \cdot p_w </math> :<math> = \sum_{x \in X(w)} \phi(x) \sum _{w: X(w)=x} p_w = \sum_{x \in X(w)} \phi(x) P_X(\lbrace x \rbrace). </math> (Großer Umordnungssatz für absolut konvergente Reihen) <br> === Beispiele === Gemäß der Behauptung gilt z.B. : Mit <math>\phi_1(x) := x^2</math> erhält man <math>E(\phi_1) = \sum_{x\in \mathbb{R}} x^2 \cdot P_X(\lbrace x \rbrace) </math> :Mit <math>\phi_2(x) := e^x</math> erhält man <math> E(\phi_2) = \sum_ {x\in \mathbb{R}} e^x \cdot P_X(\lbrace x \rbrace)</math> usw. ====Bemerkung ==== Die rechte Seite der Behauptung kann man auch als <math> E_{P_X} (\phi)</math> schreiben. <br> In der Tat, <math> P_X (\lbrace x \rbrace)</math> ist Wahrscheinlichkeitsfunktion auf <math> \Omega' </math> und <math> \phi</math> wird als Zufallsvariable auf <math> (\Omega', P_X)</math> aufgefasst: :<math> E_P(\phi \circ X)= E_{P_X}(\phi)</math> === Satz - Multipkikation von unabhängigen Zufallsgrößen === Die Zufallsvariablen <math> X,Y</math> mögen unabhängig sein und Erwartungswerte besitzen. Dann besitzt auch <math> X \cdot Y</math> einen Erwartungswert und es gilt :<math> E(X \cdot Y) = E(X) \cdot E(Y)</math> ====Beweis (i.1)==== Zur Existenz von <math> E(X \cdot Y)</math>: :<math> E(|X \cdot Y|)= \sum_{w \in \Omega } |X(w) \cdot Y(w)| p_w </math> :<math> = \sum_{x \in X(\Omega)} \sum _{y \in Y(\Omega)} \sum_{w:X(\omega)=x, Y(\omega) = y} |X(w) \cdot Y(w)| p_w </math> :<math> = \sum_{x \in X(\Omega)}\sum_{y \in Y(\Omega)} | x \cdot y | P(X=x, Y=y)</math> ==== Beweis (i.2) ==== :<math> = \sum_{x \in X(\Omega)} |x| \cdot P(X=x) \sum_{y \in Y(\Omega)} |y| \cdot P(Y=y)</math> :<math> = E|X| \cdot E|Y| < \infty </math> (Reihe links oben also absolut konvergent.) ==== Beweis (ii) ==== Die gleiche Rechnung wie in (i) ohne Betragsstriche liefert: :<math> E(X \cdot Y) = \sum_{w \in \Omega} X(w) \cdot Y(w) p_w </math> :<math> = ... = \sum_{x \in X(\Omega)} x \cdot P(X=x) \sum_{y \in Y(\Omega)} y \cdot P(Y=y) </math> :<math> = E(X) \cdot E(Y)</math> Es wurde angewandt: Doppelreihensatz und Umordnungssatz für Reihen mit nicht negativen Gliedern (in (i)) und für absolut konvergente Reihen (in (ii)). ====Bemerkung ==== 1. Allgemein gilt für unabhängige Zufallsvariablen <math> X_1, ..., X_n</math> mit existierenden Erwartungswerten: :<math> E(X_1 \cdot ... \cdot X_n) = E(X_1) \cdot ... \cdot E(X_n)</math> 2. Bei fehlender Unabhängigkeit folgt aus <math> P|X| < \infty, P|Y| < \infty </math> nicht notwendigerweise <math> P| X \cdot Y| <\infty </math>. === Definition - Bedingter Erwartungswert === Sei <math> (\Omega, \mathcal{S}, P) </math> diskreter Wahrscheinlichkeitsraum, <math>X</math> Zufallsvariable mit existierendem Erwartungswert und <math> A \subset \Omega </math> mit <math> P(A)> 0</math>. Dann heißt :<math> E(X|A) = E_{P_{(\cdot |A)}} (X)</math> der bedingte Erwartungswert von <math>X</math> unter (der Bedingung) <math>A</math>. <br> [ <math> P( \cdot|A)</math> ist die bedingte Wahrscheinlichkeitsverteilung auf <math> \Omega </math> unter <math> A </math>.] ==== Formeln zu Berechnung ==== :<math> E(X|A) = \sum_{w \in \Omega} X(w) P( \lbrace w \rbrace|A) = \sum X(w) \frac {P( \lbrace w \rbrace \cap A)} {P(A)} </math> :<math> = \frac {1} { P(A)} \sum_{w \in A} X(w) p_w = \frac {1} {P(A)} \sum_{w \in \Omega} 1_A (w) X(w) p_w = \frac {1} {P(A)} E(1_A X)</math> ==== Bemerkungen ==== * Da <math> \sum_{\omega \in \Omega} X(\omega )\cdot p_\omega </math> absolut konvergiert, so konvergiert auch <math>\sum_{\omega \in A} X(\omega ) \cdot p_\omega </math>. Damit existiert der bedingte Erwartungswert <math> E(X|A)</math>. * Spezialfälle: <math> E(1_A|A) =1, E(X|\Omega) = E(X)</math> <br> * Der hier eingeführte Begriff des bedingten Erwartungswertes spielt eine untergeordnete Rolle. In der allgemeinen Wahrscheinlichkeitstheorie definiert man bedingte Erwartungswerte der Art <math> E(X|Y)</math>, <math> Y </math> Zufallsvariable, welche von großer Wichtigkeit sind (jedoch hier in der Einführung nicht gebraucht werden). == Momente == In dem obigen Beispiel wurde der Erwartungswert <math>E(X)</math> als Spezialfall von Momenten <math>E(X^k)</math> betrachtet, die im Folgenden definiert werden. === Definition - Momente === Es sei <math>X</math> eine [[w:de:Zufallsvariable|Zufallsvariable]] und <math>k</math> eine [[w:de:natürliche Zahl|natürliche Zahl]]. Dann bezeichnet man als ''Moment der Ordnung <math>k</math> von <math>X</math>'' oder kürzer als ''<math>k</math>-tes Moment von <math>X</math>'' den Erwartungswert der <math>k</math>&#8209;ten Potenz von <math>X</math> (unter der Voraussetzung, dass dieser existiert): :<math> m_k := \operatorname{E}\left(X^k\right), </math> und als ''<math>k</math>-tes absolutes Moment von <math>X</math>'' wird der Erwartungswert der <math>k</math>-ten Potenz des Absolutbetrages <math>|X|</math> von <math>X</math> bezeichnet: :<math> M_k := \operatorname{E}\left(\left|X\right|^k\right). </math> === Bemerkung - nichtganzzahlige Momente === In theoretischen Untersuchungen werden mitunter auch Momente nichtganzzahliger Ordnung <math>\kappa</math> betrachtet. === Bemerkung - Existenz von Momenten === Die Existenz von Momenten einer bestimmten Ordnung liefert allgemein Aussagen über die Verteilung der Wahrscheinlichkeitsmasse. === Bemerkung - Erwartungswert als Moment 1. Ordnung === Das ''erste Moment'' ist der Erwartungswert. Er wird meist mit <math>\mu</math> bezeichnet und kann als Mittelwert angesehen werden. == Siehe auch == * [[Kurs:Stochastik/Linearität Erwartungswert|Linearität des Erwartungswertes]] * [[Kurs:Stochastik/Varianz|Varianz]] * [[Kurs:Stochastik/Kovarianz|Kovarianz]] * [[Kurs:Stochastik/Erzeugende Funktionen|Erzeugende Funktionen]] * [[Kurs:Stochastik]] == Seiteninformation == Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Momente&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Stochastik Kurs:Stochastik]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Momente https://de.wikiversity.org/wiki/Momente] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Momente Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Momente * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Momente&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] [[Category:Wiki2Reveal]] hs6n342yel54uz5bwst19jx3nu3pdb6 1119240 1119239 2026-11-09T13:08:51Z Bert Niehaus 20843 /* Beweis */ 1119240 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite zum Thema ''Momente'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Momente&author=Wikipedia%20Authors&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Momente&coursetitle=Wikipedia%20Authors Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt: * (1) Definition von Momenten * (2) [[Erwartungswert|Erwartungswert]] * (3) [[Varianz|Varianz]] == Motivation - Erwartungswert == Vorbemerkung: Zwei Personen <math> A </math> und <math>B </math> vereinbaren ein Würfelspiel. * Ausgang '1': <math> A </math> zahlt an <math>B </math> 5€ * Ausgang '2', ..., '6': <math> B </math> zahlt an <math>A </math> 1€ Die Gewinnerwartung für die beiden Spieler beträgt hier Null: Erwarteter Gewinn von <math>B</math>: :<math> 5 \cdot \frac {1} {6} - 1 \cdot \frac {1} {6} - ... -1 \cdot \frac {1} {6} = 0 </math> ("faires Spiel"). === Bemerkung - Wahrscheinlichkeit und Wert der Zufallsgröße === In der obigen Gleichung :<math> 5 \cdot \frac {1} {6} - 1 \cdot \frac {1} {6} - ... -1 \cdot \frac {1} {6} = 0 </math> setzen sich die einzelnen Terme (z.B. <math> 5 \cdot \frac{1}{6} </math>) aus dem Wert der Zufallsgröße <math>X(1) = 5</math> und der Wahrscheinlichkeit <math> \frac{1}{6} </math> für das Eintretens des Ereignisse ("1 gewürfelt") zusammen. == Definition - Erwartungswert == Die Definition des Erwartungswertes wird in folgende Fälle unterteilt: * diskrete Zufallsgröße und * absolute stetige Zufallsgröße. === Definition - Erwartungswert - diskreter Fall === Sei <math> X : \Omega \to \mathbb{R} </math> eine auf einem diskreten [[Wahrscheinlichkeitsraum]] <math> (\Omega, \mathcal{S}, P) </math> definierte Zufallsvariable, dann heißt :<math> E(X) = \sum_{x \in X (\Omega)} x \cdot P(X=x) = \sum_{x \in X(\Omega)} x \cdot P^X (\lbrace x \rbrace)</math> Erwartungswert von <math> X </math>, vorausgesetzt, dass <math> \sum_{x \in X(\Omega)} |x| \cdot P(X=x) < \infty </math>. ==== Bemerkung - Anzahl Summanden - diskreter Fall ==== Die Zufallsgröße <math>X: \Omega \to \mathbb{R}</math> nimmt nur zwei Werte an, nämlich <math>X(\omega)=5</math> für <math>\omega =1</math> und <math>X(\omega)=-1</math> für <math>\omega =2,3,4,5,6</math>. Dabei besteht der Erwartungswert in der obigen Notation nur aus zwei Summanden, da <math>X(\Omega)=\{-1,5\}</math>. ==== Bemerkung 1 - Notation zum diskreten Beispiel ==== Möchte man den Erwartungswert analog zur obigen Notation mit 6 Summand definieren: :<math> \begin{array}{rcl} E(X) & = & \sum_{\omega \in \Omega} X(\omega) \cdot P(\{\omega\}) \\ & = & 5 \cdot \frac {1} {6} + \underbrace{(- 1) \cdot \frac {1} {6} + ... +(-1) \cdot \frac {1} {6}}_{=(-1) \cdot \frac {5} {6}} \\ & = & 5 \cdot \frac {1} {6} + -1 \cdot \frac {5} {6} = \displaystyle \sum_{x \in X(\Omega)=\{5,-1\}} x \cdot P^X(\{x\}) \\ & = & 0 \end{array} </math> ==== Bemerkung 2 - diskret verteilte Zufallsgröße ==== Die Reihe <math> \sum _x |x| \cdot P(X=x) < \infty</math> hat nur abzählbar viele Elemente <math>x</math> mit <math>P(X=x) \not= 0</math>, weil <math>X:\Omega \to\mathbb{R}</math> eine diskrete Zufallsgröße ist. ==== Bemerkung 3 - Erwartungswert - absolute Konvergenz ==== Mit <math> \sum _x |x| \cdot \underbrace{P(X=x)}_{\geq 0} </math> ist die Reihe in der Definition zum Erwartungswert absolut konvergent. Die Fälle <math> E(x) = + \infty </math> und <math> E(x) = - \infty </math> werden also ausgeschlossen. In solchen Fällen existiert der Erwartungswert nicht. === Definition - Erwartungswert - absolut stetig === Sei <math> X : \Omega \to \mathbb{R} </math> eine auf einem diskreten [[Wahrscheinlichkeitsraum]] <math> (\Omega, \mathcal{S}, P) </math> bei die Wahrscheinlichkeitsverteilung durch eine Dichtefunktion <math> p:\Omega \to \mathbb{R}_0^{+} </math> bzw. die induzierte Dichte <math> p^X:\mathbb{R} \to \mathbb{R}_0^{+} </math> gegeben ist. Dann heißt :<math> E(X) := \int_{\Omega} X(\omega) \cdot p(\omega) \, d(\omega) := \int_{\mathbb{R}} x \cdot p^X ( x ) \, dx</math> Erwartungswert der absolut stetigen Verteilung, wenn die Bedingung :<math> E(|X|) = \int_{\Omega} |X(\omega) | \cdot p(\omega) \, d(\omega) = \int_{\mathbb{R}} |x| \cdot p^X ( x ) \, dx < \infty </math> erfüllt ist. ==== Bemerkung - induzierte Dichtefunktion ==== Für die induzierte Dichtefunktion gilt alle <math>B</math> aus der Borelschen <math>\sigma</math>-Algebra <math>\mathcal{B}(\mathbb{R})</math>: :<math> \int_{X^{-1}(B)} X(\omega) \cdot p(\omega) \, d(\omega) := \int_{B} x \cdot p^X ( x ) \, dx</math> === Satz - Erwartungswert für diskrete Zufallsvariablen === Bezeichnet <math> p_\omega = P( \lbrace \omega \rbrace ) </math> die Wahrscheinlichkeitsfunktion von <math> P </math> auf <math> \Omega </math>, so gilt für eine auf <math> ( \Omega, \mathcal{S}, P)</math> definierte Zufallsvariable <math> X:\Omega \to \mathbb{R}</math>: :<math> E(X)= \sum_{\omega \in \Omega} X(\omega)\cdot p_\omega </math> (sofern <math> \sum |X(\omega)| \cdot p_\omega < \infty </math>). === Beweis === Es ist :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \sum_{\omega \in \Omega} X(\omega) \cdot p_\omega & = & \displaystyle \sum_{x \in X(\Omega)} \sum _{\omega:X(\omega) = x} X(\omega) \cdot p_\omega \\ & = & \displaystyle \sum_{x \in X(\Omega)} x \sum_{\omega:X(\omega)=x} p_w \\ & = & \displaystyle \sum_{x \in X(\Omega)} x \cdot P^X(\lbrace x \rbrace) \\ & = & E(X) \\ \end{array} </math> === Bemerkung zum Beweis === In den Beweis geht der große Umordnungssatz für konvergente Reihen aus der Analysis ein. Die Anwendung Umordnungssatzes ist möglich, da <math> E(|X|) < \infty</math> gilt und damit die Reihe absolut konvergent ist. === Bemerkungen - Existenz Erwartungeswertes === Im Fall absoluter Konvergenz der Reihen (Beispiele oben) sagt man: * <math> X </math> besitzt einen Erwartungswert, oder * der Erwartungswert von <math> X</math> existiert. <math> X </math> besitzt genau dann einen Erwartungswert, falls <math> E\big( |X|\big) = \sum_{\omega \in \Omega} |X(\omega)| \cdot p_\omega < \infty </math>. <br> ==== Endlicher Ergebnisraum ==== Dies ist bei endlichen Ergebnisräumen <math> \Omega </math> immer der Fall. ==== Schreibweise ==== Statt <math>E(X)</math> auch <math>EX</math> oder <math>E_PX</math>, wenn man kenntlich machen möchte, bzgl. welchem Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> der Erwartungswert berechnet wurde. === Elementare Folgerungen === Aus dem obigen Satz zum Erwartungswert folgt: <math> E(1) = 1, E(X) \le E(Y)</math>, falls <math> X(w) \le Y(w)</math> für alle <math> w \in \Omega </math> gilt. ==== Beispiel ==== Ist <math> X(w) = \lbrace w_1, ..., w_m \rbrace</math>, und ist <math> P_X</math> die Gleichverteilung auf <math> X(\Omega)</math>, so lautet der Erwartungswert :<math> E(X)= \frac {1} {m} \sum _{i=1}^{m} x_i </math> ("arithmetisches Mittel"). <br> (Der Erwartungswert der Augenzahl beim Würfeln ist 3,5.) ==== Beispiel ==== Für die Indikatorvariable <math> X=1_A</math> eines Ereignisses <math> A \subset \Omega </math> gilt: :<math> E(1_A) = 0 \cdot P(1_A = 0) + 1 \cdot P(1_A = 1) = P(A)</math> Eine direkte Folgerung aus der Behauptung ist der folgende Satz. === Satz - Linearität des Erwartungswertes === Besitzen die Zufallsvariablen <math> X_1, X_2</math> Erwartungswerte, so auch die Zufallsvariablen <math> aX_1, bX_2, a,b \in \mathbb{R}</math>, und es gilt: :<math> E(aX_1+bX_2 ) = aE(X_1) + bE(X_2)</math> ("[[Kurs:Stochastik/Linearität Erwartungswert|Linearität]]") === Bemerkung - Aufgabe - Beweis === Der [[Kurs:Stochastik/Linearität_Erwartungswert|Beweis der Linearität]] wird über das Einsetzen der Definition und der Anwendung elementaren Umformungen geführt. Versuchen Sie diesen Beweis zunächst ohne Hilfen selbst durchzuführen und sich erst danach den in Wikiversity angegebenen Beweis zu [[Kurs:Stochastik/Linearität_Erwartungswert|Linearität des Erwartungswertes]] anzusehen === Anwendungsbeispiel für die Linearität des Erwartungswertes === Alle <math>n</math> Zufallsgrößen <math>X_k</math> mit <math>k\in \{1,\ldots , n\}</math> seinen <math> B(1,p)</math>-verteilt. Dann ist <math>X:= X_1 + \ldots + X_n</math> ein <math> B(n,p)</math>-verteilt und für den Erwartungswert erhält man mit der Linearität des Erwartungswertes <math>X</math> gilt: :<math> E(X) = np</math> ===== Beweismöglichkeiten===== 1. <math> E(X)= \sum _{k=k}^{n} k \binom {n}{k} p^k (1-p)^{n-k} = ... = n \cdot p</math> 2. Für die Binominalverteilung gilt <math> X=X_1 + .. + X_n </math> mit <math> EX_i = p</math>. Dann ist :<math> E(X)=E(X_1) + ... + E(X_n) = n \cdot p </math> (wg. Linearität). <br> Der Erwartungswert von Funktionen <math> \phi \circ X</math> einer Zufallsgröße berechnet sich wie folgt. === Satz - Verkettung von messbaren Abbildungen === Ist <math> X: \Omega \to \Omega'</math> Zufallsgröße auf <math> (\Omega,P) </math> und <math> \phi: \Omega' \to \mathbb{R}</math> eine Abbildung, dann gilt :<math> E(\phi \circ X)= \sum_{x \in X(\Omega)} \phi(x) \cdot P_X( \lbrace x \rbrace)</math> (Falls die Reihe absolut konvergiert). === Beweis === :<math> E_P(\phi \circ X) = \sum_{w \in \Omega} \phi(X(w)) \cdot p_w = \sum_{x \in X(\Omega)} \sum_{w:X(w) = x} \phi(X(w)) \cdot p_w </math> :<math> = \sum_{x \in X(w)} \phi(x) \sum _{w: X(w)=x} p_w = \sum_{x \in X(w)} \phi(x) \cdot P_X(\lbrace x \rbrace). </math> (Großer Umordnungssatz für absolut konvergente Reihen) <br> === Beispiele === Gemäß der Behauptung gilt z.B. : Mit <math>\phi_1(x) := x^2</math> erhält man <math>E(\phi_1) = \sum_{x\in \mathbb{R}} x^2 \cdot P_X(\lbrace x \rbrace) </math> :Mit <math>\phi_2(x) := e^x</math> erhält man <math> E(\phi_2) = \sum_ {x\in \mathbb{R}} e^x \cdot P_X(\lbrace x \rbrace)</math> usw. ====Bemerkung ==== Die rechte Seite der Behauptung kann man auch als <math> E_{P_X} (\phi)</math> schreiben. <br> In der Tat, <math> P_X (\lbrace x \rbrace)</math> ist Wahrscheinlichkeitsfunktion auf <math> \Omega' </math> und <math> \phi</math> wird als Zufallsvariable auf <math> (\Omega', P_X)</math> aufgefasst: :<math> E_P(\phi \circ X)= E_{P_X}(\phi)</math> === Satz - Multipkikation von unabhängigen Zufallsgrößen === Die Zufallsvariablen <math> X,Y</math> mögen unabhängig sein und Erwartungswerte besitzen. Dann besitzt auch <math> X \cdot Y</math> einen Erwartungswert und es gilt :<math> E(X \cdot Y) = E(X) \cdot E(Y)</math> ====Beweis (i.1)==== Zur Existenz von <math> E(X \cdot Y)</math>: :<math> E(|X \cdot Y|)= \sum_{w \in \Omega } |X(w) \cdot Y(w)| p_w </math> :<math> = \sum_{x \in X(\Omega)} \sum _{y \in Y(\Omega)} \sum_{w:X(\omega)=x, Y(\omega) = y} |X(w) \cdot Y(w)| p_w </math> :<math> = \sum_{x \in X(\Omega)}\sum_{y \in Y(\Omega)} | x \cdot y | P(X=x, Y=y)</math> ==== Beweis (i.2) ==== :<math> = \sum_{x \in X(\Omega)} |x| \cdot P(X=x) \sum_{y \in Y(\Omega)} |y| \cdot P(Y=y)</math> :<math> = E|X| \cdot E|Y| < \infty </math> (Reihe links oben also absolut konvergent.) ==== Beweis (ii) ==== Die gleiche Rechnung wie in (i) ohne Betragsstriche liefert: :<math> E(X \cdot Y) = \sum_{w \in \Omega} X(w) \cdot Y(w) p_w </math> :<math> = ... = \sum_{x \in X(\Omega)} x \cdot P(X=x) \sum_{y \in Y(\Omega)} y \cdot P(Y=y) </math> :<math> = E(X) \cdot E(Y)</math> Es wurde angewandt: Doppelreihensatz und Umordnungssatz für Reihen mit nicht negativen Gliedern (in (i)) und für absolut konvergente Reihen (in (ii)). ====Bemerkung ==== 1. Allgemein gilt für unabhängige Zufallsvariablen <math> X_1, ..., X_n</math> mit existierenden Erwartungswerten: :<math> E(X_1 \cdot ... \cdot X_n) = E(X_1) \cdot ... \cdot E(X_n)</math> 2. Bei fehlender Unabhängigkeit folgt aus <math> P|X| < \infty, P|Y| < \infty </math> nicht notwendigerweise <math> P| X \cdot Y| <\infty </math>. === Definition - Bedingter Erwartungswert === Sei <math> (\Omega, \mathcal{S}, P) </math> diskreter Wahrscheinlichkeitsraum, <math>X</math> Zufallsvariable mit existierendem Erwartungswert und <math> A \subset \Omega </math> mit <math> P(A)> 0</math>. Dann heißt :<math> E(X|A) = E_{P_{(\cdot |A)}} (X)</math> der bedingte Erwartungswert von <math>X</math> unter (der Bedingung) <math>A</math>. <br> [ <math> P( \cdot|A)</math> ist die bedingte Wahrscheinlichkeitsverteilung auf <math> \Omega </math> unter <math> A </math>.] ==== Formeln zu Berechnung ==== :<math> E(X|A) = \sum_{w \in \Omega} X(w) P( \lbrace w \rbrace|A) = \sum X(w) \frac {P( \lbrace w \rbrace \cap A)} {P(A)} </math> :<math> = \frac {1} { P(A)} \sum_{w \in A} X(w) p_w = \frac {1} {P(A)} \sum_{w \in \Omega} 1_A (w) X(w) p_w = \frac {1} {P(A)} E(1_A X)</math> ==== Bemerkungen ==== * Da <math> \sum_{\omega \in \Omega} X(\omega )\cdot p_\omega </math> absolut konvergiert, so konvergiert auch <math>\sum_{\omega \in A} X(\omega ) \cdot p_\omega </math>. Damit existiert der bedingte Erwartungswert <math> E(X|A)</math>. * Spezialfälle: <math> E(1_A|A) =1, E(X|\Omega) = E(X)</math> <br> * Der hier eingeführte Begriff des bedingten Erwartungswertes spielt eine untergeordnete Rolle. In der allgemeinen Wahrscheinlichkeitstheorie definiert man bedingte Erwartungswerte der Art <math> E(X|Y)</math>, <math> Y </math> Zufallsvariable, welche von großer Wichtigkeit sind (jedoch hier in der Einführung nicht gebraucht werden). == Momente == In dem obigen Beispiel wurde der Erwartungswert <math>E(X)</math> als Spezialfall von Momenten <math>E(X^k)</math> betrachtet, die im Folgenden definiert werden. === Definition - Momente === Es sei <math>X</math> eine [[w:de:Zufallsvariable|Zufallsvariable]] und <math>k</math> eine [[w:de:natürliche Zahl|natürliche Zahl]]. Dann bezeichnet man als ''Moment der Ordnung <math>k</math> von <math>X</math>'' oder kürzer als ''<math>k</math>-tes Moment von <math>X</math>'' den Erwartungswert der <math>k</math>&#8209;ten Potenz von <math>X</math> (unter der Voraussetzung, dass dieser existiert): :<math> m_k := \operatorname{E}\left(X^k\right), </math> und als ''<math>k</math>-tes absolutes Moment von <math>X</math>'' wird der Erwartungswert der <math>k</math>-ten Potenz des Absolutbetrages <math>|X|</math> von <math>X</math> bezeichnet: :<math> M_k := \operatorname{E}\left(\left|X\right|^k\right). </math> === Bemerkung - nichtganzzahlige Momente === In theoretischen Untersuchungen werden mitunter auch Momente nichtganzzahliger Ordnung <math>\kappa</math> betrachtet. === Bemerkung - Existenz von Momenten === Die Existenz von Momenten einer bestimmten Ordnung liefert allgemein Aussagen über die Verteilung der Wahrscheinlichkeitsmasse. === Bemerkung - Erwartungswert als Moment 1. Ordnung === Das ''erste Moment'' ist der Erwartungswert. Er wird meist mit <math>\mu</math> bezeichnet und kann als Mittelwert angesehen werden. == Siehe auch == * [[Kurs:Stochastik/Linearität Erwartungswert|Linearität des Erwartungswertes]] * [[Kurs:Stochastik/Varianz|Varianz]] * [[Kurs:Stochastik/Kovarianz|Kovarianz]] * [[Kurs:Stochastik/Erzeugende Funktionen|Erzeugende Funktionen]] * [[Kurs:Stochastik]] == Seiteninformation == Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Momente&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Stochastik Kurs:Stochastik]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Momente https://de.wikiversity.org/wiki/Momente] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Momente Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Momente * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Momente&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] [[Category:Wiki2Reveal]] jdvel9wt9ye5kwvndzu772pxtyigl5l 1119241 1119240 2026-11-09T13:09:45Z Bert Niehaus 20843 /* Anwendungsbeispiel für die Linearität des Erwartungswertes */ 1119241 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite zum Thema ''Momente'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Momente&author=Wikipedia%20Authors&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Momente&coursetitle=Wikipedia%20Authors Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt: * (1) Definition von Momenten * (2) [[Erwartungswert|Erwartungswert]] * (3) [[Varianz|Varianz]] == Motivation - Erwartungswert == Vorbemerkung: Zwei Personen <math> A </math> und <math>B </math> vereinbaren ein Würfelspiel. * Ausgang '1': <math> A </math> zahlt an <math>B </math> 5€ * Ausgang '2', ..., '6': <math> B </math> zahlt an <math>A </math> 1€ Die Gewinnerwartung für die beiden Spieler beträgt hier Null: Erwarteter Gewinn von <math>B</math>: :<math> 5 \cdot \frac {1} {6} - 1 \cdot \frac {1} {6} - ... -1 \cdot \frac {1} {6} = 0 </math> ("faires Spiel"). === Bemerkung - Wahrscheinlichkeit und Wert der Zufallsgröße === In der obigen Gleichung :<math> 5 \cdot \frac {1} {6} - 1 \cdot \frac {1} {6} - ... -1 \cdot \frac {1} {6} = 0 </math> setzen sich die einzelnen Terme (z.B. <math> 5 \cdot \frac{1}{6} </math>) aus dem Wert der Zufallsgröße <math>X(1) = 5</math> und der Wahrscheinlichkeit <math> \frac{1}{6} </math> für das Eintretens des Ereignisse ("1 gewürfelt") zusammen. == Definition - Erwartungswert == Die Definition des Erwartungswertes wird in folgende Fälle unterteilt: * diskrete Zufallsgröße und * absolute stetige Zufallsgröße. === Definition - Erwartungswert - diskreter Fall === Sei <math> X : \Omega \to \mathbb{R} </math> eine auf einem diskreten [[Wahrscheinlichkeitsraum]] <math> (\Omega, \mathcal{S}, P) </math> definierte Zufallsvariable, dann heißt :<math> E(X) = \sum_{x \in X (\Omega)} x \cdot P(X=x) = \sum_{x \in X(\Omega)} x \cdot P^X (\lbrace x \rbrace)</math> Erwartungswert von <math> X </math>, vorausgesetzt, dass <math> \sum_{x \in X(\Omega)} |x| \cdot P(X=x) < \infty </math>. ==== Bemerkung - Anzahl Summanden - diskreter Fall ==== Die Zufallsgröße <math>X: \Omega \to \mathbb{R}</math> nimmt nur zwei Werte an, nämlich <math>X(\omega)=5</math> für <math>\omega =1</math> und <math>X(\omega)=-1</math> für <math>\omega =2,3,4,5,6</math>. Dabei besteht der Erwartungswert in der obigen Notation nur aus zwei Summanden, da <math>X(\Omega)=\{-1,5\}</math>. ==== Bemerkung 1 - Notation zum diskreten Beispiel ==== Möchte man den Erwartungswert analog zur obigen Notation mit 6 Summand definieren: :<math> \begin{array}{rcl} E(X) & = & \sum_{\omega \in \Omega} X(\omega) \cdot P(\{\omega\}) \\ & = & 5 \cdot \frac {1} {6} + \underbrace{(- 1) \cdot \frac {1} {6} + ... +(-1) \cdot \frac {1} {6}}_{=(-1) \cdot \frac {5} {6}} \\ & = & 5 \cdot \frac {1} {6} + -1 \cdot \frac {5} {6} = \displaystyle \sum_{x \in X(\Omega)=\{5,-1\}} x \cdot P^X(\{x\}) \\ & = & 0 \end{array} </math> ==== Bemerkung 2 - diskret verteilte Zufallsgröße ==== Die Reihe <math> \sum _x |x| \cdot P(X=x) < \infty</math> hat nur abzählbar viele Elemente <math>x</math> mit <math>P(X=x) \not= 0</math>, weil <math>X:\Omega \to\mathbb{R}</math> eine diskrete Zufallsgröße ist. ==== Bemerkung 3 - Erwartungswert - absolute Konvergenz ==== Mit <math> \sum _x |x| \cdot \underbrace{P(X=x)}_{\geq 0} </math> ist die Reihe in der Definition zum Erwartungswert absolut konvergent. Die Fälle <math> E(x) = + \infty </math> und <math> E(x) = - \infty </math> werden also ausgeschlossen. In solchen Fällen existiert der Erwartungswert nicht. === Definition - Erwartungswert - absolut stetig === Sei <math> X : \Omega \to \mathbb{R} </math> eine auf einem diskreten [[Wahrscheinlichkeitsraum]] <math> (\Omega, \mathcal{S}, P) </math> bei die Wahrscheinlichkeitsverteilung durch eine Dichtefunktion <math> p:\Omega \to \mathbb{R}_0^{+} </math> bzw. die induzierte Dichte <math> p^X:\mathbb{R} \to \mathbb{R}_0^{+} </math> gegeben ist. Dann heißt :<math> E(X) := \int_{\Omega} X(\omega) \cdot p(\omega) \, d(\omega) := \int_{\mathbb{R}} x \cdot p^X ( x ) \, dx</math> Erwartungswert der absolut stetigen Verteilung, wenn die Bedingung :<math> E(|X|) = \int_{\Omega} |X(\omega) | \cdot p(\omega) \, d(\omega) = \int_{\mathbb{R}} |x| \cdot p^X ( x ) \, dx < \infty </math> erfüllt ist. ==== Bemerkung - induzierte Dichtefunktion ==== Für die induzierte Dichtefunktion gilt alle <math>B</math> aus der Borelschen <math>\sigma</math>-Algebra <math>\mathcal{B}(\mathbb{R})</math>: :<math> \int_{X^{-1}(B)} X(\omega) \cdot p(\omega) \, d(\omega) := \int_{B} x \cdot p^X ( x ) \, dx</math> === Satz - Erwartungswert für diskrete Zufallsvariablen === Bezeichnet <math> p_\omega = P( \lbrace \omega \rbrace ) </math> die Wahrscheinlichkeitsfunktion von <math> P </math> auf <math> \Omega </math>, so gilt für eine auf <math> ( \Omega, \mathcal{S}, P)</math> definierte Zufallsvariable <math> X:\Omega \to \mathbb{R}</math>: :<math> E(X)= \sum_{\omega \in \Omega} X(\omega)\cdot p_\omega </math> (sofern <math> \sum |X(\omega)| \cdot p_\omega < \infty </math>). === Beweis === Es ist :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \sum_{\omega \in \Omega} X(\omega) \cdot p_\omega & = & \displaystyle \sum_{x \in X(\Omega)} \sum _{\omega:X(\omega) = x} X(\omega) \cdot p_\omega \\ & = & \displaystyle \sum_{x \in X(\Omega)} x \sum_{\omega:X(\omega)=x} p_w \\ & = & \displaystyle \sum_{x \in X(\Omega)} x \cdot P^X(\lbrace x \rbrace) \\ & = & E(X) \\ \end{array} </math> === Bemerkung zum Beweis === In den Beweis geht der große Umordnungssatz für konvergente Reihen aus der Analysis ein. Die Anwendung Umordnungssatzes ist möglich, da <math> E(|X|) < \infty</math> gilt und damit die Reihe absolut konvergent ist. === Bemerkungen - Existenz Erwartungeswertes === Im Fall absoluter Konvergenz der Reihen (Beispiele oben) sagt man: * <math> X </math> besitzt einen Erwartungswert, oder * der Erwartungswert von <math> X</math> existiert. <math> X </math> besitzt genau dann einen Erwartungswert, falls <math> E\big( |X|\big) = \sum_{\omega \in \Omega} |X(\omega)| \cdot p_\omega < \infty </math>. <br> ==== Endlicher Ergebnisraum ==== Dies ist bei endlichen Ergebnisräumen <math> \Omega </math> immer der Fall. ==== Schreibweise ==== Statt <math>E(X)</math> auch <math>EX</math> oder <math>E_PX</math>, wenn man kenntlich machen möchte, bzgl. welchem Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> der Erwartungswert berechnet wurde. === Elementare Folgerungen === Aus dem obigen Satz zum Erwartungswert folgt: <math> E(1) = 1, E(X) \le E(Y)</math>, falls <math> X(w) \le Y(w)</math> für alle <math> w \in \Omega </math> gilt. ==== Beispiel ==== Ist <math> X(w) = \lbrace w_1, ..., w_m \rbrace</math>, und ist <math> P_X</math> die Gleichverteilung auf <math> X(\Omega)</math>, so lautet der Erwartungswert :<math> E(X)= \frac {1} {m} \sum _{i=1}^{m} x_i </math> ("arithmetisches Mittel"). <br> (Der Erwartungswert der Augenzahl beim Würfeln ist 3,5.) ==== Beispiel ==== Für die Indikatorvariable <math> X=1_A</math> eines Ereignisses <math> A \subset \Omega </math> gilt: :<math> E(1_A) = 0 \cdot P(1_A = 0) + 1 \cdot P(1_A = 1) = P(A)</math> Eine direkte Folgerung aus der Behauptung ist der folgende Satz. === Satz - Linearität des Erwartungswertes === Besitzen die Zufallsvariablen <math> X_1, X_2</math> Erwartungswerte, so auch die Zufallsvariablen <math> aX_1, bX_2, a,b \in \mathbb{R}</math>, und es gilt: :<math> E(aX_1+bX_2 ) = aE(X_1) + bE(X_2)</math> ("[[Kurs:Stochastik/Linearität Erwartungswert|Linearität]]") === Bemerkung - Aufgabe - Beweis === Der [[Kurs:Stochastik/Linearität_Erwartungswert|Beweis der Linearität]] wird über das Einsetzen der Definition und der Anwendung elementaren Umformungen geführt. Versuchen Sie diesen Beweis zunächst ohne Hilfen selbst durchzuführen und sich erst danach den in Wikiversity angegebenen Beweis zu [[Kurs:Stochastik/Linearität_Erwartungswert|Linearität des Erwartungswertes]] anzusehen === Anwendungsbeispiel für die Linearität des Erwartungswertes === Alle <math>n</math> Zufallsgrößen <math>X_k</math> mit <math>k\in \{1,\ldots , n\}</math> seinen <math> B(1,p)</math>-verteilt. Dann ist <math>X:= X_1 + \ldots + X_n</math> ein <math> B(n,p)</math>-verteilt und für den Erwartungswert erhält man mit der Linearität des Erwartungswertes <math>X</math> gilt: :<math> E(X) = n\cdot p</math> ===== Beweismöglichkeiten===== 1. <math> E(X)= \sum _{k=k}^{n} k \binom {n}{k} p^k (1-p)^{n-k} = ... = n \cdot p</math> 2. Für die Binominalverteilung gilt <math> X=X_1 + .. + X_n </math> mit <math> EX_i = p</math>. Dann ist :<math> E(X)=E(X_1) + ... + E(X_n) = n \cdot p </math> (wg. Linearität). <br> Der Erwartungswert von Funktionen <math> \phi \circ X</math> einer Zufallsgröße berechnet sich wie folgt. === Satz - Verkettung von messbaren Abbildungen === Ist <math> X: \Omega \to \Omega'</math> Zufallsgröße auf <math> (\Omega,P) </math> und <math> \phi: \Omega' \to \mathbb{R}</math> eine Abbildung, dann gilt :<math> E(\phi \circ X)= \sum_{x \in X(\Omega)} \phi(x) \cdot P_X( \lbrace x \rbrace)</math> (Falls die Reihe absolut konvergiert). === Beweis === :<math> E_P(\phi \circ X) = \sum_{w \in \Omega} \phi(X(w)) \cdot p_w = \sum_{x \in X(\Omega)} \sum_{w:X(w) = x} \phi(X(w)) \cdot p_w </math> :<math> = \sum_{x \in X(w)} \phi(x) \sum _{w: X(w)=x} p_w = \sum_{x \in X(w)} \phi(x) \cdot P_X(\lbrace x \rbrace). </math> (Großer Umordnungssatz für absolut konvergente Reihen) <br> === Beispiele === Gemäß der Behauptung gilt z.B. : Mit <math>\phi_1(x) := x^2</math> erhält man <math>E(\phi_1) = \sum_{x\in \mathbb{R}} x^2 \cdot P_X(\lbrace x \rbrace) </math> :Mit <math>\phi_2(x) := e^x</math> erhält man <math> E(\phi_2) = \sum_ {x\in \mathbb{R}} e^x \cdot P_X(\lbrace x \rbrace)</math> usw. ====Bemerkung ==== Die rechte Seite der Behauptung kann man auch als <math> E_{P_X} (\phi)</math> schreiben. <br> In der Tat, <math> P_X (\lbrace x \rbrace)</math> ist Wahrscheinlichkeitsfunktion auf <math> \Omega' </math> und <math> \phi</math> wird als Zufallsvariable auf <math> (\Omega', P_X)</math> aufgefasst: :<math> E_P(\phi \circ X)= E_{P_X}(\phi)</math> === Satz - Multipkikation von unabhängigen Zufallsgrößen === Die Zufallsvariablen <math> X,Y</math> mögen unabhängig sein und Erwartungswerte besitzen. Dann besitzt auch <math> X \cdot Y</math> einen Erwartungswert und es gilt :<math> E(X \cdot Y) = E(X) \cdot E(Y)</math> ====Beweis (i.1)==== Zur Existenz von <math> E(X \cdot Y)</math>: :<math> E(|X \cdot Y|)= \sum_{w \in \Omega } |X(w) \cdot Y(w)| p_w </math> :<math> = \sum_{x \in X(\Omega)} \sum _{y \in Y(\Omega)} \sum_{w:X(\omega)=x, Y(\omega) = y} |X(w) \cdot Y(w)| p_w </math> :<math> = \sum_{x \in X(\Omega)}\sum_{y \in Y(\Omega)} | x \cdot y | P(X=x, Y=y)</math> ==== Beweis (i.2) ==== :<math> = \sum_{x \in X(\Omega)} |x| \cdot P(X=x) \sum_{y \in Y(\Omega)} |y| \cdot P(Y=y)</math> :<math> = E|X| \cdot E|Y| < \infty </math> (Reihe links oben also absolut konvergent.) ==== Beweis (ii) ==== Die gleiche Rechnung wie in (i) ohne Betragsstriche liefert: :<math> E(X \cdot Y) = \sum_{w \in \Omega} X(w) \cdot Y(w) p_w </math> :<math> = ... = \sum_{x \in X(\Omega)} x \cdot P(X=x) \sum_{y \in Y(\Omega)} y \cdot P(Y=y) </math> :<math> = E(X) \cdot E(Y)</math> Es wurde angewandt: Doppelreihensatz und Umordnungssatz für Reihen mit nicht negativen Gliedern (in (i)) und für absolut konvergente Reihen (in (ii)). ====Bemerkung ==== 1. Allgemein gilt für unabhängige Zufallsvariablen <math> X_1, ..., X_n</math> mit existierenden Erwartungswerten: :<math> E(X_1 \cdot ... \cdot X_n) = E(X_1) \cdot ... \cdot E(X_n)</math> 2. Bei fehlender Unabhängigkeit folgt aus <math> P|X| < \infty, P|Y| < \infty </math> nicht notwendigerweise <math> P| X \cdot Y| <\infty </math>. === Definition - Bedingter Erwartungswert === Sei <math> (\Omega, \mathcal{S}, P) </math> diskreter Wahrscheinlichkeitsraum, <math>X</math> Zufallsvariable mit existierendem Erwartungswert und <math> A \subset \Omega </math> mit <math> P(A)> 0</math>. Dann heißt :<math> E(X|A) = E_{P_{(\cdot |A)}} (X)</math> der bedingte Erwartungswert von <math>X</math> unter (der Bedingung) <math>A</math>. <br> [ <math> P( \cdot|A)</math> ist die bedingte Wahrscheinlichkeitsverteilung auf <math> \Omega </math> unter <math> A </math>.] ==== Formeln zu Berechnung ==== :<math> E(X|A) = \sum_{w \in \Omega} X(w) P( \lbrace w \rbrace|A) = \sum X(w) \frac {P( \lbrace w \rbrace \cap A)} {P(A)} </math> :<math> = \frac {1} { P(A)} \sum_{w \in A} X(w) p_w = \frac {1} {P(A)} \sum_{w \in \Omega} 1_A (w) X(w) p_w = \frac {1} {P(A)} E(1_A X)</math> ==== Bemerkungen ==== * Da <math> \sum_{\omega \in \Omega} X(\omega )\cdot p_\omega </math> absolut konvergiert, so konvergiert auch <math>\sum_{\omega \in A} X(\omega ) \cdot p_\omega </math>. Damit existiert der bedingte Erwartungswert <math> E(X|A)</math>. * Spezialfälle: <math> E(1_A|A) =1, E(X|\Omega) = E(X)</math> <br> * Der hier eingeführte Begriff des bedingten Erwartungswertes spielt eine untergeordnete Rolle. In der allgemeinen Wahrscheinlichkeitstheorie definiert man bedingte Erwartungswerte der Art <math> E(X|Y)</math>, <math> Y </math> Zufallsvariable, welche von großer Wichtigkeit sind (jedoch hier in der Einführung nicht gebraucht werden). == Momente == In dem obigen Beispiel wurde der Erwartungswert <math>E(X)</math> als Spezialfall von Momenten <math>E(X^k)</math> betrachtet, die im Folgenden definiert werden. === Definition - Momente === Es sei <math>X</math> eine [[w:de:Zufallsvariable|Zufallsvariable]] und <math>k</math> eine [[w:de:natürliche Zahl|natürliche Zahl]]. Dann bezeichnet man als ''Moment der Ordnung <math>k</math> von <math>X</math>'' oder kürzer als ''<math>k</math>-tes Moment von <math>X</math>'' den Erwartungswert der <math>k</math>&#8209;ten Potenz von <math>X</math> (unter der Voraussetzung, dass dieser existiert): :<math> m_k := \operatorname{E}\left(X^k\right), </math> und als ''<math>k</math>-tes absolutes Moment von <math>X</math>'' wird der Erwartungswert der <math>k</math>-ten Potenz des Absolutbetrages <math>|X|</math> von <math>X</math> bezeichnet: :<math> M_k := \operatorname{E}\left(\left|X\right|^k\right). </math> === Bemerkung - nichtganzzahlige Momente === In theoretischen Untersuchungen werden mitunter auch Momente nichtganzzahliger Ordnung <math>\kappa</math> betrachtet. === Bemerkung - Existenz von Momenten === Die Existenz von Momenten einer bestimmten Ordnung liefert allgemein Aussagen über die Verteilung der Wahrscheinlichkeitsmasse. === Bemerkung - Erwartungswert als Moment 1. Ordnung === Das ''erste Moment'' ist der Erwartungswert. Er wird meist mit <math>\mu</math> bezeichnet und kann als Mittelwert angesehen werden. == Siehe auch == * [[Kurs:Stochastik/Linearität Erwartungswert|Linearität des Erwartungswertes]] * [[Kurs:Stochastik/Varianz|Varianz]] * [[Kurs:Stochastik/Kovarianz|Kovarianz]] * [[Kurs:Stochastik/Erzeugende Funktionen|Erzeugende Funktionen]] * [[Kurs:Stochastik]] == Seiteninformation == Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Momente&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Stochastik Kurs:Stochastik]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Momente https://de.wikiversity.org/wiki/Momente] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Momente Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Momente * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Momente&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] [[Category:Wiki2Reveal]] mbkr7e4uqvicqecfqe33b31yf5b7fkz 1119249 1119241 2026-11-09T16:46:31Z Bert Niehaus 20843 /* Bemerkung - Aufgabe - Beweis */ 1119249 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite zum Thema ''Momente'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Momente&author=Wikipedia%20Authors&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Momente&coursetitle=Wikipedia%20Authors Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt: * (1) Definition von Momenten * (2) [[Erwartungswert|Erwartungswert]] * (3) [[Varianz|Varianz]] == Motivation - Erwartungswert == Vorbemerkung: Zwei Personen <math> A </math> und <math>B </math> vereinbaren ein Würfelspiel. * Ausgang '1': <math> A </math> zahlt an <math>B </math> 5€ * Ausgang '2', ..., '6': <math> B </math> zahlt an <math>A </math> 1€ Die Gewinnerwartung für die beiden Spieler beträgt hier Null: Erwarteter Gewinn von <math>B</math>: :<math> 5 \cdot \frac {1} {6} - 1 \cdot \frac {1} {6} - ... -1 \cdot \frac {1} {6} = 0 </math> ("faires Spiel"). === Bemerkung - Wahrscheinlichkeit und Wert der Zufallsgröße === In der obigen Gleichung :<math> 5 \cdot \frac {1} {6} - 1 \cdot \frac {1} {6} - ... -1 \cdot \frac {1} {6} = 0 </math> setzen sich die einzelnen Terme (z.B. <math> 5 \cdot \frac{1}{6} </math>) aus dem Wert der Zufallsgröße <math>X(1) = 5</math> und der Wahrscheinlichkeit <math> \frac{1}{6} </math> für das Eintretens des Ereignisse ("1 gewürfelt") zusammen. == Definition - Erwartungswert == Die Definition des Erwartungswertes wird in folgende Fälle unterteilt: * diskrete Zufallsgröße und * absolute stetige Zufallsgröße. === Definition - Erwartungswert - diskreter Fall === Sei <math> X : \Omega \to \mathbb{R} </math> eine auf einem diskreten [[Wahrscheinlichkeitsraum]] <math> (\Omega, \mathcal{S}, P) </math> definierte Zufallsvariable, dann heißt :<math> E(X) = \sum_{x \in X (\Omega)} x \cdot P(X=x) = \sum_{x \in X(\Omega)} x \cdot P^X (\lbrace x \rbrace)</math> Erwartungswert von <math> X </math>, vorausgesetzt, dass <math> \sum_{x \in X(\Omega)} |x| \cdot P(X=x) < \infty </math>. ==== Bemerkung - Anzahl Summanden - diskreter Fall ==== Die Zufallsgröße <math>X: \Omega \to \mathbb{R}</math> nimmt nur zwei Werte an, nämlich <math>X(\omega)=5</math> für <math>\omega =1</math> und <math>X(\omega)=-1</math> für <math>\omega =2,3,4,5,6</math>. Dabei besteht der Erwartungswert in der obigen Notation nur aus zwei Summanden, da <math>X(\Omega)=\{-1,5\}</math>. ==== Bemerkung 1 - Notation zum diskreten Beispiel ==== Möchte man den Erwartungswert analog zur obigen Notation mit 6 Summand definieren: :<math> \begin{array}{rcl} E(X) & = & \sum_{\omega \in \Omega} X(\omega) \cdot P(\{\omega\}) \\ & = & 5 \cdot \frac {1} {6} + \underbrace{(- 1) \cdot \frac {1} {6} + ... +(-1) \cdot \frac {1} {6}}_{=(-1) \cdot \frac {5} {6}} \\ & = & 5 \cdot \frac {1} {6} + -1 \cdot \frac {5} {6} = \displaystyle \sum_{x \in X(\Omega)=\{5,-1\}} x \cdot P^X(\{x\}) \\ & = & 0 \end{array} </math> ==== Bemerkung 2 - diskret verteilte Zufallsgröße ==== Die Reihe <math> \sum _x |x| \cdot P(X=x) < \infty</math> hat nur abzählbar viele Elemente <math>x</math> mit <math>P(X=x) \not= 0</math>, weil <math>X:\Omega \to\mathbb{R}</math> eine diskrete Zufallsgröße ist. ==== Bemerkung 3 - Erwartungswert - absolute Konvergenz ==== Mit <math> \sum _x |x| \cdot \underbrace{P(X=x)}_{\geq 0} </math> ist die Reihe in der Definition zum Erwartungswert absolut konvergent. Die Fälle <math> E(x) = + \infty </math> und <math> E(x) = - \infty </math> werden also ausgeschlossen. In solchen Fällen existiert der Erwartungswert nicht. === Definition - Erwartungswert - absolut stetig === Sei <math> X : \Omega \to \mathbb{R} </math> eine auf einem diskreten [[Wahrscheinlichkeitsraum]] <math> (\Omega, \mathcal{S}, P) </math> bei die Wahrscheinlichkeitsverteilung durch eine Dichtefunktion <math> p:\Omega \to \mathbb{R}_0^{+} </math> bzw. die induzierte Dichte <math> p^X:\mathbb{R} \to \mathbb{R}_0^{+} </math> gegeben ist. Dann heißt :<math> E(X) := \int_{\Omega} X(\omega) \cdot p(\omega) \, d(\omega) := \int_{\mathbb{R}} x \cdot p^X ( x ) \, dx</math> Erwartungswert der absolut stetigen Verteilung, wenn die Bedingung :<math> E(|X|) = \int_{\Omega} |X(\omega) | \cdot p(\omega) \, d(\omega) = \int_{\mathbb{R}} |x| \cdot p^X ( x ) \, dx < \infty </math> erfüllt ist. ==== Bemerkung - induzierte Dichtefunktion ==== Für die induzierte Dichtefunktion gilt alle <math>B</math> aus der Borelschen <math>\sigma</math>-Algebra <math>\mathcal{B}(\mathbb{R})</math>: :<math> \int_{X^{-1}(B)} X(\omega) \cdot p(\omega) \, d(\omega) := \int_{B} x \cdot p^X ( x ) \, dx</math> === Satz - Erwartungswert für diskrete Zufallsvariablen === Bezeichnet <math> p_\omega = P( \lbrace \omega \rbrace ) </math> die Wahrscheinlichkeitsfunktion von <math> P </math> auf <math> \Omega </math>, so gilt für eine auf <math> ( \Omega, \mathcal{S}, P)</math> definierte Zufallsvariable <math> X:\Omega \to \mathbb{R}</math>: :<math> E(X)= \sum_{\omega \in \Omega} X(\omega)\cdot p_\omega </math> (sofern <math> \sum |X(\omega)| \cdot p_\omega < \infty </math>). === Beweis === Es ist :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \sum_{\omega \in \Omega} X(\omega) \cdot p_\omega & = & \displaystyle \sum_{x \in X(\Omega)} \sum _{\omega:X(\omega) = x} X(\omega) \cdot p_\omega \\ & = & \displaystyle \sum_{x \in X(\Omega)} x \sum_{\omega:X(\omega)=x} p_w \\ & = & \displaystyle \sum_{x \in X(\Omega)} x \cdot P^X(\lbrace x \rbrace) \\ & = & E(X) \\ \end{array} </math> === Bemerkung zum Beweis === In den Beweis geht der große Umordnungssatz für konvergente Reihen aus der Analysis ein. Die Anwendung Umordnungssatzes ist möglich, da <math> E(|X|) < \infty</math> gilt und damit die Reihe absolut konvergent ist. === Bemerkungen - Existenz Erwartungeswertes === Im Fall absoluter Konvergenz der Reihen (Beispiele oben) sagt man: * <math> X </math> besitzt einen Erwartungswert, oder * der Erwartungswert von <math> X</math> existiert. <math> X </math> besitzt genau dann einen Erwartungswert, falls <math> E\big( |X|\big) = \sum_{\omega \in \Omega} |X(\omega)| \cdot p_\omega < \infty </math>. <br> ==== Endlicher Ergebnisraum ==== Dies ist bei endlichen Ergebnisräumen <math> \Omega </math> immer der Fall. ==== Schreibweise ==== Statt <math>E(X)</math> auch <math>EX</math> oder <math>E_PX</math>, wenn man kenntlich machen möchte, bzgl. welchem Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> der Erwartungswert berechnet wurde. === Elementare Folgerungen === Aus dem obigen Satz zum Erwartungswert folgt: <math> E(1) = 1, E(X) \le E(Y)</math>, falls <math> X(w) \le Y(w)</math> für alle <math> w \in \Omega </math> gilt. ==== Beispiel ==== Ist <math> X(w) = \lbrace w_1, ..., w_m \rbrace</math>, und ist <math> P_X</math> die Gleichverteilung auf <math> X(\Omega)</math>, so lautet der Erwartungswert :<math> E(X)= \frac {1} {m} \sum _{i=1}^{m} x_i </math> ("arithmetisches Mittel"). <br> (Der Erwartungswert der Augenzahl beim Würfeln ist 3,5.) ==== Beispiel ==== Für die Indikatorvariable <math> X=1_A</math> eines Ereignisses <math> A \subset \Omega </math> gilt: :<math> E(1_A) = 0 \cdot P(1_A = 0) + 1 \cdot P(1_A = 1) = P(A)</math> Eine direkte Folgerung aus der Behauptung ist der folgende Satz. === Satz - Linearität des Erwartungswertes === Besitzen die Zufallsvariablen <math> X_1, X_2</math> Erwartungswerte, so auch die Zufallsvariablen <math> aX_1, bX_2, a,b \in \mathbb{R}</math>, und es gilt: :<math> E(aX_1+bX_2 ) = aE(X_1) + bE(X_2)</math> ("[[Kurs:Stochastik/Linearität Erwartungswert|Linearität]]") === Bemerkung - Aufgabe - Beweis === Der [[Kurs:Stochastik/Linearität_Erwartungswert|Beweis der Linearität]] wird über das Einsetzen der Definition und der Anwendung elementaren Umformungen geführt. Versuchen Sie diesen Beweis zunächst ohne Hilfen selbst durchzuführen und sich erst danach bei Problemen den angegebenen Beweis in Wikiversity zur [[Kurs:Stochastik/Linearität_Erwartungswert|Linearität des Erwartungswertes]] anzusehen. Stellen Sie den Beweis in den Übungen mit allen Begründungen vor. === Anwendungsbeispiel für die Linearität des Erwartungswertes === Alle <math>n</math> Zufallsgrößen <math>X_k</math> mit <math>k\in \{1,\ldots , n\}</math> seinen <math> B(1,p)</math>-verteilt. Dann ist <math>X:= X_1 + \ldots + X_n</math> ein <math> B(n,p)</math>-verteilt und für den Erwartungswert erhält man mit der Linearität des Erwartungswertes <math>X</math> gilt: :<math> E(X) = n\cdot p</math> ===== Beweismöglichkeiten===== 1. <math> E(X)= \sum _{k=k}^{n} k \binom {n}{k} p^k (1-p)^{n-k} = ... = n \cdot p</math> 2. Für die Binominalverteilung gilt <math> X=X_1 + .. + X_n </math> mit <math> EX_i = p</math>. Dann ist :<math> E(X)=E(X_1) + ... + E(X_n) = n \cdot p </math> (wg. Linearität). <br> Der Erwartungswert von Funktionen <math> \phi \circ X</math> einer Zufallsgröße berechnet sich wie folgt. === Satz - Verkettung von messbaren Abbildungen === Ist <math> X: \Omega \to \Omega'</math> Zufallsgröße auf <math> (\Omega,P) </math> und <math> \phi: \Omega' \to \mathbb{R}</math> eine Abbildung, dann gilt :<math> E(\phi \circ X)= \sum_{x \in X(\Omega)} \phi(x) \cdot P_X( \lbrace x \rbrace)</math> (Falls die Reihe absolut konvergiert). === Beweis === :<math> E_P(\phi \circ X) = \sum_{w \in \Omega} \phi(X(w)) \cdot p_w = \sum_{x \in X(\Omega)} \sum_{w:X(w) = x} \phi(X(w)) \cdot p_w </math> :<math> = \sum_{x \in X(w)} \phi(x) \sum _{w: X(w)=x} p_w = \sum_{x \in X(w)} \phi(x) \cdot P_X(\lbrace x \rbrace). </math> (Großer Umordnungssatz für absolut konvergente Reihen) <br> === Beispiele === Gemäß der Behauptung gilt z.B. : Mit <math>\phi_1(x) := x^2</math> erhält man <math>E(\phi_1) = \sum_{x\in \mathbb{R}} x^2 \cdot P_X(\lbrace x \rbrace) </math> :Mit <math>\phi_2(x) := e^x</math> erhält man <math> E(\phi_2) = \sum_ {x\in \mathbb{R}} e^x \cdot P_X(\lbrace x \rbrace)</math> usw. ====Bemerkung ==== Die rechte Seite der Behauptung kann man auch als <math> E_{P_X} (\phi)</math> schreiben. <br> In der Tat, <math> P_X (\lbrace x \rbrace)</math> ist Wahrscheinlichkeitsfunktion auf <math> \Omega' </math> und <math> \phi</math> wird als Zufallsvariable auf <math> (\Omega', P_X)</math> aufgefasst: :<math> E_P(\phi \circ X)= E_{P_X}(\phi)</math> === Satz - Multipkikation von unabhängigen Zufallsgrößen === Die Zufallsvariablen <math> X,Y</math> mögen unabhängig sein und Erwartungswerte besitzen. Dann besitzt auch <math> X \cdot Y</math> einen Erwartungswert und es gilt :<math> E(X \cdot Y) = E(X) \cdot E(Y)</math> ====Beweis (i.1)==== Zur Existenz von <math> E(X \cdot Y)</math>: :<math> E(|X \cdot Y|)= \sum_{w \in \Omega } |X(w) \cdot Y(w)| p_w </math> :<math> = \sum_{x \in X(\Omega)} \sum _{y \in Y(\Omega)} \sum_{w:X(\omega)=x, Y(\omega) = y} |X(w) \cdot Y(w)| p_w </math> :<math> = \sum_{x \in X(\Omega)}\sum_{y \in Y(\Omega)} | x \cdot y | P(X=x, Y=y)</math> ==== Beweis (i.2) ==== :<math> = \sum_{x \in X(\Omega)} |x| \cdot P(X=x) \sum_{y \in Y(\Omega)} |y| \cdot P(Y=y)</math> :<math> = E|X| \cdot E|Y| < \infty </math> (Reihe links oben also absolut konvergent.) ==== Beweis (ii) ==== Die gleiche Rechnung wie in (i) ohne Betragsstriche liefert: :<math> E(X \cdot Y) = \sum_{w \in \Omega} X(w) \cdot Y(w) p_w </math> :<math> = ... = \sum_{x \in X(\Omega)} x \cdot P(X=x) \sum_{y \in Y(\Omega)} y \cdot P(Y=y) </math> :<math> = E(X) \cdot E(Y)</math> Es wurde angewandt: Doppelreihensatz und Umordnungssatz für Reihen mit nicht negativen Gliedern (in (i)) und für absolut konvergente Reihen (in (ii)). ====Bemerkung ==== 1. Allgemein gilt für unabhängige Zufallsvariablen <math> X_1, ..., X_n</math> mit existierenden Erwartungswerten: :<math> E(X_1 \cdot ... \cdot X_n) = E(X_1) \cdot ... \cdot E(X_n)</math> 2. Bei fehlender Unabhängigkeit folgt aus <math> P|X| < \infty, P|Y| < \infty </math> nicht notwendigerweise <math> P| X \cdot Y| <\infty </math>. === Definition - Bedingter Erwartungswert === Sei <math> (\Omega, \mathcal{S}, P) </math> diskreter Wahrscheinlichkeitsraum, <math>X</math> Zufallsvariable mit existierendem Erwartungswert und <math> A \subset \Omega </math> mit <math> P(A)> 0</math>. Dann heißt :<math> E(X|A) = E_{P_{(\cdot |A)}} (X)</math> der bedingte Erwartungswert von <math>X</math> unter (der Bedingung) <math>A</math>. <br> [ <math> P( \cdot|A)</math> ist die bedingte Wahrscheinlichkeitsverteilung auf <math> \Omega </math> unter <math> A </math>.] ==== Formeln zu Berechnung ==== :<math> E(X|A) = \sum_{w \in \Omega} X(w) P( \lbrace w \rbrace|A) = \sum X(w) \frac {P( \lbrace w \rbrace \cap A)} {P(A)} </math> :<math> = \frac {1} { P(A)} \sum_{w \in A} X(w) p_w = \frac {1} {P(A)} \sum_{w \in \Omega} 1_A (w) X(w) p_w = \frac {1} {P(A)} E(1_A X)</math> ==== Bemerkungen ==== * Da <math> \sum_{\omega \in \Omega} X(\omega )\cdot p_\omega </math> absolut konvergiert, so konvergiert auch <math>\sum_{\omega \in A} X(\omega ) \cdot p_\omega </math>. Damit existiert der bedingte Erwartungswert <math> E(X|A)</math>. * Spezialfälle: <math> E(1_A|A) =1, E(X|\Omega) = E(X)</math> <br> * Der hier eingeführte Begriff des bedingten Erwartungswertes spielt eine untergeordnete Rolle. In der allgemeinen Wahrscheinlichkeitstheorie definiert man bedingte Erwartungswerte der Art <math> E(X|Y)</math>, <math> Y </math> Zufallsvariable, welche von großer Wichtigkeit sind (jedoch hier in der Einführung nicht gebraucht werden). == Momente == In dem obigen Beispiel wurde der Erwartungswert <math>E(X)</math> als Spezialfall von Momenten <math>E(X^k)</math> betrachtet, die im Folgenden definiert werden. === Definition - Momente === Es sei <math>X</math> eine [[w:de:Zufallsvariable|Zufallsvariable]] und <math>k</math> eine [[w:de:natürliche Zahl|natürliche Zahl]]. Dann bezeichnet man als ''Moment der Ordnung <math>k</math> von <math>X</math>'' oder kürzer als ''<math>k</math>-tes Moment von <math>X</math>'' den Erwartungswert der <math>k</math>&#8209;ten Potenz von <math>X</math> (unter der Voraussetzung, dass dieser existiert): :<math> m_k := \operatorname{E}\left(X^k\right), </math> und als ''<math>k</math>-tes absolutes Moment von <math>X</math>'' wird der Erwartungswert der <math>k</math>-ten Potenz des Absolutbetrages <math>|X|</math> von <math>X</math> bezeichnet: :<math> M_k := \operatorname{E}\left(\left|X\right|^k\right). </math> === Bemerkung - nichtganzzahlige Momente === In theoretischen Untersuchungen werden mitunter auch Momente nichtganzzahliger Ordnung <math>\kappa</math> betrachtet. === Bemerkung - Existenz von Momenten === Die Existenz von Momenten einer bestimmten Ordnung liefert allgemein Aussagen über die Verteilung der Wahrscheinlichkeitsmasse. === Bemerkung - Erwartungswert als Moment 1. Ordnung === Das ''erste Moment'' ist der Erwartungswert. Er wird meist mit <math>\mu</math> bezeichnet und kann als Mittelwert angesehen werden. == Siehe auch == * [[Kurs:Stochastik/Linearität Erwartungswert|Linearität des Erwartungswertes]] * [[Kurs:Stochastik/Varianz|Varianz]] * [[Kurs:Stochastik/Kovarianz|Kovarianz]] * [[Kurs:Stochastik/Erzeugende Funktionen|Erzeugende Funktionen]] * [[Kurs:Stochastik]] == Seiteninformation == Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Momente&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Stochastik Kurs:Stochastik]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Momente https://de.wikiversity.org/wiki/Momente] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Momente Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Momente * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Momente&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] [[Category:Wiki2Reveal]] 634ob9vb0dp1pn9jjaf19j3ch6i87fk 1119250 1119249 2026-11-09T16:48:32Z Bert Niehaus 20843 /* Beweis */ 1119250 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite zum Thema ''Momente'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Momente&author=Wikipedia%20Authors&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Momente&coursetitle=Wikipedia%20Authors Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt: * (1) Definition von Momenten * (2) [[Erwartungswert|Erwartungswert]] * (3) [[Varianz|Varianz]] == Motivation - Erwartungswert == Vorbemerkung: Zwei Personen <math> A </math> und <math>B </math> vereinbaren ein Würfelspiel. * Ausgang '1': <math> A </math> zahlt an <math>B </math> 5€ * Ausgang '2', ..., '6': <math> B </math> zahlt an <math>A </math> 1€ Die Gewinnerwartung für die beiden Spieler beträgt hier Null: Erwarteter Gewinn von <math>B</math>: :<math> 5 \cdot \frac {1} {6} - 1 \cdot \frac {1} {6} - ... -1 \cdot \frac {1} {6} = 0 </math> ("faires Spiel"). === Bemerkung - Wahrscheinlichkeit und Wert der Zufallsgröße === In der obigen Gleichung :<math> 5 \cdot \frac {1} {6} - 1 \cdot \frac {1} {6} - ... -1 \cdot \frac {1} {6} = 0 </math> setzen sich die einzelnen Terme (z.B. <math> 5 \cdot \frac{1}{6} </math>) aus dem Wert der Zufallsgröße <math>X(1) = 5</math> und der Wahrscheinlichkeit <math> \frac{1}{6} </math> für das Eintretens des Ereignisse ("1 gewürfelt") zusammen. == Definition - Erwartungswert == Die Definition des Erwartungswertes wird in folgende Fälle unterteilt: * diskrete Zufallsgröße und * absolute stetige Zufallsgröße. === Definition - Erwartungswert - diskreter Fall === Sei <math> X : \Omega \to \mathbb{R} </math> eine auf einem diskreten [[Wahrscheinlichkeitsraum]] <math> (\Omega, \mathcal{S}, P) </math> definierte Zufallsvariable, dann heißt :<math> E(X) = \sum_{x \in X (\Omega)} x \cdot P(X=x) = \sum_{x \in X(\Omega)} x \cdot P^X (\lbrace x \rbrace)</math> Erwartungswert von <math> X </math>, vorausgesetzt, dass <math> \sum_{x \in X(\Omega)} |x| \cdot P(X=x) < \infty </math>. ==== Bemerkung - Anzahl Summanden - diskreter Fall ==== Die Zufallsgröße <math>X: \Omega \to \mathbb{R}</math> nimmt nur zwei Werte an, nämlich <math>X(\omega)=5</math> für <math>\omega =1</math> und <math>X(\omega)=-1</math> für <math>\omega =2,3,4,5,6</math>. Dabei besteht der Erwartungswert in der obigen Notation nur aus zwei Summanden, da <math>X(\Omega)=\{-1,5\}</math>. ==== Bemerkung 1 - Notation zum diskreten Beispiel ==== Möchte man den Erwartungswert analog zur obigen Notation mit 6 Summand definieren: :<math> \begin{array}{rcl} E(X) & = & \sum_{\omega \in \Omega} X(\omega) \cdot P(\{\omega\}) \\ & = & 5 \cdot \frac {1} {6} + \underbrace{(- 1) \cdot \frac {1} {6} + ... +(-1) \cdot \frac {1} {6}}_{=(-1) \cdot \frac {5} {6}} \\ & = & 5 \cdot \frac {1} {6} + -1 \cdot \frac {5} {6} = \displaystyle \sum_{x \in X(\Omega)=\{5,-1\}} x \cdot P^X(\{x\}) \\ & = & 0 \end{array} </math> ==== Bemerkung 2 - diskret verteilte Zufallsgröße ==== Die Reihe <math> \sum _x |x| \cdot P(X=x) < \infty</math> hat nur abzählbar viele Elemente <math>x</math> mit <math>P(X=x) \not= 0</math>, weil <math>X:\Omega \to\mathbb{R}</math> eine diskrete Zufallsgröße ist. ==== Bemerkung 3 - Erwartungswert - absolute Konvergenz ==== Mit <math> \sum _x |x| \cdot \underbrace{P(X=x)}_{\geq 0} </math> ist die Reihe in der Definition zum Erwartungswert absolut konvergent. Die Fälle <math> E(x) = + \infty </math> und <math> E(x) = - \infty </math> werden also ausgeschlossen. In solchen Fällen existiert der Erwartungswert nicht. === Definition - Erwartungswert - absolut stetig === Sei <math> X : \Omega \to \mathbb{R} </math> eine auf einem diskreten [[Wahrscheinlichkeitsraum]] <math> (\Omega, \mathcal{S}, P) </math> bei die Wahrscheinlichkeitsverteilung durch eine Dichtefunktion <math> p:\Omega \to \mathbb{R}_0^{+} </math> bzw. die induzierte Dichte <math> p^X:\mathbb{R} \to \mathbb{R}_0^{+} </math> gegeben ist. Dann heißt :<math> E(X) := \int_{\Omega} X(\omega) \cdot p(\omega) \, d(\omega) := \int_{\mathbb{R}} x \cdot p^X ( x ) \, dx</math> Erwartungswert der absolut stetigen Verteilung, wenn die Bedingung :<math> E(|X|) = \int_{\Omega} |X(\omega) | \cdot p(\omega) \, d(\omega) = \int_{\mathbb{R}} |x| \cdot p^X ( x ) \, dx < \infty </math> erfüllt ist. ==== Bemerkung - induzierte Dichtefunktion ==== Für die induzierte Dichtefunktion gilt alle <math>B</math> aus der Borelschen <math>\sigma</math>-Algebra <math>\mathcal{B}(\mathbb{R})</math>: :<math> \int_{X^{-1}(B)} X(\omega) \cdot p(\omega) \, d(\omega) := \int_{B} x \cdot p^X ( x ) \, dx</math> === Satz - Erwartungswert für diskrete Zufallsvariablen === Bezeichnet <math> p_\omega = P( \lbrace \omega \rbrace ) </math> die Wahrscheinlichkeitsfunktion von <math> P </math> auf <math> \Omega </math>, so gilt für eine auf <math> ( \Omega, \mathcal{S}, P)</math> definierte Zufallsvariable <math> X:\Omega \to \mathbb{R}</math>: :<math> E(X)= \sum_{\omega \in \Omega} X(\omega)\cdot p_\omega </math> (sofern <math> \sum |X(\omega)| \cdot p_\omega < \infty </math>). === Beweis === Es ist :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \sum_{\omega \in \Omega} X(\omega) \cdot p_\omega & = & \displaystyle \sum_{x \in X(\Omega)} \sum _{\omega:X(\omega) = x} X(\omega) \cdot p_\omega \\ & = & \displaystyle \sum_{x \in X(\Omega)} x \sum_{\omega:X(\omega)=x} p_w \\ & = & \displaystyle \sum_{x \in X(\Omega)} x \cdot P^X(\lbrace x \rbrace) \\ & = & E(X) \\ \end{array} </math> === Bemerkung zum Beweis === In den Beweis geht der große Umordnungssatz für konvergente Reihen aus der Analysis ein. Die Anwendung Umordnungssatzes ist möglich, da <math> E(|X|) < \infty</math> gilt und damit die Reihe absolut konvergent ist. === Bemerkungen - Existenz Erwartungeswertes === Im Fall absoluter Konvergenz der Reihen (Beispiele oben) sagt man: * <math> X </math> besitzt einen Erwartungswert, oder * der Erwartungswert von <math> X</math> existiert. <math> X </math> besitzt genau dann einen Erwartungswert, falls <math> E\big( |X|\big) = \sum_{\omega \in \Omega} |X(\omega)| \cdot p_\omega < \infty </math>. <br> ==== Endlicher Ergebnisraum ==== Dies ist bei endlichen Ergebnisräumen <math> \Omega </math> immer der Fall. ==== Schreibweise ==== Statt <math>E(X)</math> auch <math>EX</math> oder <math>E_PX</math>, wenn man kenntlich machen möchte, bzgl. welchem Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> der Erwartungswert berechnet wurde. === Elementare Folgerungen === Aus dem obigen Satz zum Erwartungswert folgt: <math> E(1) = 1, E(X) \le E(Y)</math>, falls <math> X(w) \le Y(w)</math> für alle <math> w \in \Omega </math> gilt. ==== Beispiel ==== Ist <math> X(w) = \lbrace w_1, ..., w_m \rbrace</math>, und ist <math> P_X</math> die Gleichverteilung auf <math> X(\Omega)</math>, so lautet der Erwartungswert :<math> E(X)= \frac {1} {m} \sum _{i=1}^{m} x_i </math> ("arithmetisches Mittel"). <br> (Der Erwartungswert der Augenzahl beim Würfeln ist 3,5.) ==== Beispiel ==== Für die Indikatorvariable <math> X=1_A</math> eines Ereignisses <math> A \subset \Omega </math> gilt: :<math> E(1_A) = 0 \cdot P(1_A = 0) + 1 \cdot P(1_A = 1) = P(A)</math> Eine direkte Folgerung aus der Behauptung ist der folgende Satz. === Satz - Linearität des Erwartungswertes === Besitzen die Zufallsvariablen <math> X_1, X_2</math> Erwartungswerte, so auch die Zufallsvariablen <math> aX_1, bX_2, a,b \in \mathbb{R}</math>, und es gilt: :<math> E(aX_1+bX_2 ) = aE(X_1) + bE(X_2)</math> ("[[Kurs:Stochastik/Linearität Erwartungswert|Linearität]]") === Bemerkung - Aufgabe - Beweis === Der [[Kurs:Stochastik/Linearität_Erwartungswert|Beweis der Linearität]] wird über das Einsetzen der Definition und der Anwendung elementaren Umformungen geführt. Versuchen Sie diesen Beweis zunächst ohne Hilfen selbst durchzuführen und sich erst danach bei Problemen den angegebenen Beweis in Wikiversity zur [[Kurs:Stochastik/Linearität_Erwartungswert|Linearität des Erwartungswertes]] anzusehen. Stellen Sie den Beweis in den Übungen mit allen Begründungen vor. === Anwendungsbeispiel für die Linearität des Erwartungswertes === Alle <math>n</math> Zufallsgrößen <math>X_k</math> mit <math>k\in \{1,\ldots , n\}</math> seinen <math> B(1,p)</math>-verteilt. Dann ist <math>X:= X_1 + \ldots + X_n</math> ein <math> B(n,p)</math>-verteilt und für den Erwartungswert erhält man mit der Linearität des Erwartungswertes <math>X</math> gilt: :<math> E(X) = n\cdot p</math> ===== Beweismöglichkeiten===== 1. <math> E(X)= \sum _{k=k}^{n} k \binom {n}{k} p^k (1-p)^{n-k} = ... = n \cdot p</math> 2. Für die Binominalverteilung gilt <math> X=X_1 + .. + X_n </math> mit <math> EX_i = p</math>. Dann ist :<math> E(X)=E(X_1) + ... + E(X_n) = n \cdot p </math> (wg. Linearität). <br> Der Erwartungswert von Funktionen <math> \phi \circ X</math> einer Zufallsgröße berechnet sich wie folgt. === Satz - Verkettung von messbaren Abbildungen === Ist <math> X: \Omega \to \Omega'</math> Zufallsgröße auf <math> (\Omega,P) </math> und <math> \phi: \Omega' \to \mathbb{R}</math> eine Abbildung, dann gilt :<math> E(\phi \circ X)= \sum_{x \in X(\Omega)} \phi(x) \cdot P_X( \lbrace x \rbrace)</math> (Falls die Reihe absolut konvergiert). === Beweis === :<math> E_{\!_P}(\phi \circ X) = \sum_{\omega \in \Omega} \phi(X(w)) \cdot p_\omega = \sum_{x \in X(\Omega)} \sum_{\omega:X(\omega) = x} \phi(X(\omega)) \cdot p_w </math> :<math> = \sum_{x \in X(\omega)} \phi(x) \sum _{\omega: X(\omega)=x} p_\omega = \sum_{x \in X(\omega)} \phi(x) \cdot P_X(\lbrace x \rbrace). </math> (Großer Umordnungssatz für absolut konvergente Reihen) <br> === Beispiele === Gemäß der Behauptung gilt z.B. : Mit <math>\phi_1(x) := x^2</math> erhält man <math>E(\phi_1) = \sum_{x\in \mathbb{R}} x^2 \cdot P_X(\lbrace x \rbrace) </math> :Mit <math>\phi_2(x) := e^x</math> erhält man <math> E(\phi_2) = \sum_ {x\in \mathbb{R}} e^x \cdot P_X(\lbrace x \rbrace)</math> usw. ====Bemerkung ==== Die rechte Seite der Behauptung kann man auch als <math> E_{P_X} (\phi)</math> schreiben. <br> In der Tat, <math> P_X (\lbrace x \rbrace)</math> ist Wahrscheinlichkeitsfunktion auf <math> \Omega' </math> und <math> \phi</math> wird als Zufallsvariable auf <math> (\Omega', P_X)</math> aufgefasst: :<math> E_P(\phi \circ X)= E_{P_X}(\phi)</math> === Satz - Multipkikation von unabhängigen Zufallsgrößen === Die Zufallsvariablen <math> X,Y</math> mögen unabhängig sein und Erwartungswerte besitzen. Dann besitzt auch <math> X \cdot Y</math> einen Erwartungswert und es gilt :<math> E(X \cdot Y) = E(X) \cdot E(Y)</math> ====Beweis (i.1)==== Zur Existenz von <math> E(X \cdot Y)</math>: :<math> E(|X \cdot Y|)= \sum_{w \in \Omega } |X(w) \cdot Y(w)| p_w </math> :<math> = \sum_{x \in X(\Omega)} \sum _{y \in Y(\Omega)} \sum_{w:X(\omega)=x, Y(\omega) = y} |X(w) \cdot Y(w)| p_w </math> :<math> = \sum_{x \in X(\Omega)}\sum_{y \in Y(\Omega)} | x \cdot y | P(X=x, Y=y)</math> ==== Beweis (i.2) ==== :<math> = \sum_{x \in X(\Omega)} |x| \cdot P(X=x) \sum_{y \in Y(\Omega)} |y| \cdot P(Y=y)</math> :<math> = E|X| \cdot E|Y| < \infty </math> (Reihe links oben also absolut konvergent.) ==== Beweis (ii) ==== Die gleiche Rechnung wie in (i) ohne Betragsstriche liefert: :<math> E(X \cdot Y) = \sum_{w \in \Omega} X(w) \cdot Y(w) p_w </math> :<math> = ... = \sum_{x \in X(\Omega)} x \cdot P(X=x) \sum_{y \in Y(\Omega)} y \cdot P(Y=y) </math> :<math> = E(X) \cdot E(Y)</math> Es wurde angewandt: Doppelreihensatz und Umordnungssatz für Reihen mit nicht negativen Gliedern (in (i)) und für absolut konvergente Reihen (in (ii)). ====Bemerkung ==== 1. Allgemein gilt für unabhängige Zufallsvariablen <math> X_1, ..., X_n</math> mit existierenden Erwartungswerten: :<math> E(X_1 \cdot ... \cdot X_n) = E(X_1) \cdot ... \cdot E(X_n)</math> 2. Bei fehlender Unabhängigkeit folgt aus <math> P|X| < \infty, P|Y| < \infty </math> nicht notwendigerweise <math> P| X \cdot Y| <\infty </math>. === Definition - Bedingter Erwartungswert === Sei <math> (\Omega, \mathcal{S}, P) </math> diskreter Wahrscheinlichkeitsraum, <math>X</math> Zufallsvariable mit existierendem Erwartungswert und <math> A \subset \Omega </math> mit <math> P(A)> 0</math>. Dann heißt :<math> E(X|A) = E_{P_{(\cdot |A)}} (X)</math> der bedingte Erwartungswert von <math>X</math> unter (der Bedingung) <math>A</math>. <br> [ <math> P( \cdot|A)</math> ist die bedingte Wahrscheinlichkeitsverteilung auf <math> \Omega </math> unter <math> A </math>.] ==== Formeln zu Berechnung ==== :<math> E(X|A) = \sum_{w \in \Omega} X(w) P( \lbrace w \rbrace|A) = \sum X(w) \frac {P( \lbrace w \rbrace \cap A)} {P(A)} </math> :<math> = \frac {1} { P(A)} \sum_{w \in A} X(w) p_w = \frac {1} {P(A)} \sum_{w \in \Omega} 1_A (w) X(w) p_w = \frac {1} {P(A)} E(1_A X)</math> ==== Bemerkungen ==== * Da <math> \sum_{\omega \in \Omega} X(\omega )\cdot p_\omega </math> absolut konvergiert, so konvergiert auch <math>\sum_{\omega \in A} X(\omega ) \cdot p_\omega </math>. Damit existiert der bedingte Erwartungswert <math> E(X|A)</math>. * Spezialfälle: <math> E(1_A|A) =1, E(X|\Omega) = E(X)</math> <br> * Der hier eingeführte Begriff des bedingten Erwartungswertes spielt eine untergeordnete Rolle. In der allgemeinen Wahrscheinlichkeitstheorie definiert man bedingte Erwartungswerte der Art <math> E(X|Y)</math>, <math> Y </math> Zufallsvariable, welche von großer Wichtigkeit sind (jedoch hier in der Einführung nicht gebraucht werden). == Momente == In dem obigen Beispiel wurde der Erwartungswert <math>E(X)</math> als Spezialfall von Momenten <math>E(X^k)</math> betrachtet, die im Folgenden definiert werden. === Definition - Momente === Es sei <math>X</math> eine [[w:de:Zufallsvariable|Zufallsvariable]] und <math>k</math> eine [[w:de:natürliche Zahl|natürliche Zahl]]. Dann bezeichnet man als ''Moment der Ordnung <math>k</math> von <math>X</math>'' oder kürzer als ''<math>k</math>-tes Moment von <math>X</math>'' den Erwartungswert der <math>k</math>&#8209;ten Potenz von <math>X</math> (unter der Voraussetzung, dass dieser existiert): :<math> m_k := \operatorname{E}\left(X^k\right), </math> und als ''<math>k</math>-tes absolutes Moment von <math>X</math>'' wird der Erwartungswert der <math>k</math>-ten Potenz des Absolutbetrages <math>|X|</math> von <math>X</math> bezeichnet: :<math> M_k := \operatorname{E}\left(\left|X\right|^k\right). </math> === Bemerkung - nichtganzzahlige Momente === In theoretischen Untersuchungen werden mitunter auch Momente nichtganzzahliger Ordnung <math>\kappa</math> betrachtet. === Bemerkung - Existenz von Momenten === Die Existenz von Momenten einer bestimmten Ordnung liefert allgemein Aussagen über die Verteilung der Wahrscheinlichkeitsmasse. === Bemerkung - Erwartungswert als Moment 1. Ordnung === Das ''erste Moment'' ist der Erwartungswert. Er wird meist mit <math>\mu</math> bezeichnet und kann als Mittelwert angesehen werden. == Siehe auch == * [[Kurs:Stochastik/Linearität Erwartungswert|Linearität des Erwartungswertes]] * [[Kurs:Stochastik/Varianz|Varianz]] * [[Kurs:Stochastik/Kovarianz|Kovarianz]] * [[Kurs:Stochastik/Erzeugende Funktionen|Erzeugende Funktionen]] * [[Kurs:Stochastik]] == Seiteninformation == Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Momente&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Stochastik Kurs:Stochastik]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Momente https://de.wikiversity.org/wiki/Momente] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Momente Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Momente * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Momente&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] [[Category:Wiki2Reveal]] hjwp1rgm0338cmf4tpu0iw55y8kvi5p 1119251 1119250 2026-11-09T16:49:25Z Bert Niehaus 20843 /* Beweis */ 1119251 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite zum Thema ''Momente'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Momente&author=Wikipedia%20Authors&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Momente&coursetitle=Wikipedia%20Authors Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt: * (1) Definition von Momenten * (2) [[Erwartungswert|Erwartungswert]] * (3) [[Varianz|Varianz]] == Motivation - Erwartungswert == Vorbemerkung: Zwei Personen <math> A </math> und <math>B </math> vereinbaren ein Würfelspiel. * Ausgang '1': <math> A </math> zahlt an <math>B </math> 5€ * Ausgang '2', ..., '6': <math> B </math> zahlt an <math>A </math> 1€ Die Gewinnerwartung für die beiden Spieler beträgt hier Null: Erwarteter Gewinn von <math>B</math>: :<math> 5 \cdot \frac {1} {6} - 1 \cdot \frac {1} {6} - ... -1 \cdot \frac {1} {6} = 0 </math> ("faires Spiel"). === Bemerkung - Wahrscheinlichkeit und Wert der Zufallsgröße === In der obigen Gleichung :<math> 5 \cdot \frac {1} {6} - 1 \cdot \frac {1} {6} - ... -1 \cdot \frac {1} {6} = 0 </math> setzen sich die einzelnen Terme (z.B. <math> 5 \cdot \frac{1}{6} </math>) aus dem Wert der Zufallsgröße <math>X(1) = 5</math> und der Wahrscheinlichkeit <math> \frac{1}{6} </math> für das Eintretens des Ereignisse ("1 gewürfelt") zusammen. == Definition - Erwartungswert == Die Definition des Erwartungswertes wird in folgende Fälle unterteilt: * diskrete Zufallsgröße und * absolute stetige Zufallsgröße. === Definition - Erwartungswert - diskreter Fall === Sei <math> X : \Omega \to \mathbb{R} </math> eine auf einem diskreten [[Wahrscheinlichkeitsraum]] <math> (\Omega, \mathcal{S}, P) </math> definierte Zufallsvariable, dann heißt :<math> E(X) = \sum_{x \in X (\Omega)} x \cdot P(X=x) = \sum_{x \in X(\Omega)} x \cdot P^X (\lbrace x \rbrace)</math> Erwartungswert von <math> X </math>, vorausgesetzt, dass <math> \sum_{x \in X(\Omega)} |x| \cdot P(X=x) < \infty </math>. ==== Bemerkung - Anzahl Summanden - diskreter Fall ==== Die Zufallsgröße <math>X: \Omega \to \mathbb{R}</math> nimmt nur zwei Werte an, nämlich <math>X(\omega)=5</math> für <math>\omega =1</math> und <math>X(\omega)=-1</math> für <math>\omega =2,3,4,5,6</math>. Dabei besteht der Erwartungswert in der obigen Notation nur aus zwei Summanden, da <math>X(\Omega)=\{-1,5\}</math>. ==== Bemerkung 1 - Notation zum diskreten Beispiel ==== Möchte man den Erwartungswert analog zur obigen Notation mit 6 Summand definieren: :<math> \begin{array}{rcl} E(X) & = & \sum_{\omega \in \Omega} X(\omega) \cdot P(\{\omega\}) \\ & = & 5 \cdot \frac {1} {6} + \underbrace{(- 1) \cdot \frac {1} {6} + ... +(-1) \cdot \frac {1} {6}}_{=(-1) \cdot \frac {5} {6}} \\ & = & 5 \cdot \frac {1} {6} + -1 \cdot \frac {5} {6} = \displaystyle \sum_{x \in X(\Omega)=\{5,-1\}} x \cdot P^X(\{x\}) \\ & = & 0 \end{array} </math> ==== Bemerkung 2 - diskret verteilte Zufallsgröße ==== Die Reihe <math> \sum _x |x| \cdot P(X=x) < \infty</math> hat nur abzählbar viele Elemente <math>x</math> mit <math>P(X=x) \not= 0</math>, weil <math>X:\Omega \to\mathbb{R}</math> eine diskrete Zufallsgröße ist. ==== Bemerkung 3 - Erwartungswert - absolute Konvergenz ==== Mit <math> \sum _x |x| \cdot \underbrace{P(X=x)}_{\geq 0} </math> ist die Reihe in der Definition zum Erwartungswert absolut konvergent. Die Fälle <math> E(x) = + \infty </math> und <math> E(x) = - \infty </math> werden also ausgeschlossen. In solchen Fällen existiert der Erwartungswert nicht. === Definition - Erwartungswert - absolut stetig === Sei <math> X : \Omega \to \mathbb{R} </math> eine auf einem diskreten [[Wahrscheinlichkeitsraum]] <math> (\Omega, \mathcal{S}, P) </math> bei die Wahrscheinlichkeitsverteilung durch eine Dichtefunktion <math> p:\Omega \to \mathbb{R}_0^{+} </math> bzw. die induzierte Dichte <math> p^X:\mathbb{R} \to \mathbb{R}_0^{+} </math> gegeben ist. Dann heißt :<math> E(X) := \int_{\Omega} X(\omega) \cdot p(\omega) \, d(\omega) := \int_{\mathbb{R}} x \cdot p^X ( x ) \, dx</math> Erwartungswert der absolut stetigen Verteilung, wenn die Bedingung :<math> E(|X|) = \int_{\Omega} |X(\omega) | \cdot p(\omega) \, d(\omega) = \int_{\mathbb{R}} |x| \cdot p^X ( x ) \, dx < \infty </math> erfüllt ist. ==== Bemerkung - induzierte Dichtefunktion ==== Für die induzierte Dichtefunktion gilt alle <math>B</math> aus der Borelschen <math>\sigma</math>-Algebra <math>\mathcal{B}(\mathbb{R})</math>: :<math> \int_{X^{-1}(B)} X(\omega) \cdot p(\omega) \, d(\omega) := \int_{B} x \cdot p^X ( x ) \, dx</math> === Satz - Erwartungswert für diskrete Zufallsvariablen === Bezeichnet <math> p_\omega = P( \lbrace \omega \rbrace ) </math> die Wahrscheinlichkeitsfunktion von <math> P </math> auf <math> \Omega </math>, so gilt für eine auf <math> ( \Omega, \mathcal{S}, P)</math> definierte Zufallsvariable <math> X:\Omega \to \mathbb{R}</math>: :<math> E(X)= \sum_{\omega \in \Omega} X(\omega)\cdot p_\omega </math> (sofern <math> \sum |X(\omega)| \cdot p_\omega < \infty </math>). === Beweis === Es ist :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \sum_{\omega \in \Omega} X(\omega) \cdot p_\omega & = & \displaystyle \sum_{x \in X(\Omega)} \sum _{\omega:X(\omega) = x} X(\omega) \cdot p_\omega \\ & = & \displaystyle \sum_{x \in X(\Omega)} x \sum_{\omega:X(\omega)=x} p_\omega \\ & = & \displaystyle \sum_{x \in X(\Omega)} x \cdot P^X(\lbrace x \rbrace) \\ & = & E(X) \\ \end{array} </math> === Bemerkung zum Beweis === In den Beweis geht der große Umordnungssatz für konvergente Reihen aus der Analysis ein. Die Anwendung Umordnungssatzes ist möglich, da <math> E(|X|) < \infty</math> gilt und damit die Reihe absolut konvergent ist. === Bemerkungen - Existenz Erwartungeswertes === Im Fall absoluter Konvergenz der Reihen (Beispiele oben) sagt man: * <math> X </math> besitzt einen Erwartungswert, oder * der Erwartungswert von <math> X</math> existiert. <math> X </math> besitzt genau dann einen Erwartungswert, falls <math> E\big( |X|\big) = \sum_{\omega \in \Omega} |X(\omega)| \cdot p_\omega < \infty </math>. <br> ==== Endlicher Ergebnisraum ==== Dies ist bei endlichen Ergebnisräumen <math> \Omega </math> immer der Fall. ==== Schreibweise ==== Statt <math>E(X)</math> auch <math>EX</math> oder <math>E_PX</math>, wenn man kenntlich machen möchte, bzgl. welchem Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> der Erwartungswert berechnet wurde. === Elementare Folgerungen === Aus dem obigen Satz zum Erwartungswert folgt: <math> E(1) = 1, E(X) \le E(Y)</math>, falls <math> X(w) \le Y(w)</math> für alle <math> w \in \Omega </math> gilt. ==== Beispiel ==== Ist <math> X(w) = \lbrace w_1, ..., w_m \rbrace</math>, und ist <math> P_X</math> die Gleichverteilung auf <math> X(\Omega)</math>, so lautet der Erwartungswert :<math> E(X)= \frac {1} {m} \sum _{i=1}^{m} x_i </math> ("arithmetisches Mittel"). <br> (Der Erwartungswert der Augenzahl beim Würfeln ist 3,5.) ==== Beispiel ==== Für die Indikatorvariable <math> X=1_A</math> eines Ereignisses <math> A \subset \Omega </math> gilt: :<math> E(1_A) = 0 \cdot P(1_A = 0) + 1 \cdot P(1_A = 1) = P(A)</math> Eine direkte Folgerung aus der Behauptung ist der folgende Satz. === Satz - Linearität des Erwartungswertes === Besitzen die Zufallsvariablen <math> X_1, X_2</math> Erwartungswerte, so auch die Zufallsvariablen <math> aX_1, bX_2, a,b \in \mathbb{R}</math>, und es gilt: :<math> E(aX_1+bX_2 ) = aE(X_1) + bE(X_2)</math> ("[[Kurs:Stochastik/Linearität Erwartungswert|Linearität]]") === Bemerkung - Aufgabe - Beweis === Der [[Kurs:Stochastik/Linearität_Erwartungswert|Beweis der Linearität]] wird über das Einsetzen der Definition und der Anwendung elementaren Umformungen geführt. Versuchen Sie diesen Beweis zunächst ohne Hilfen selbst durchzuführen und sich erst danach bei Problemen den angegebenen Beweis in Wikiversity zur [[Kurs:Stochastik/Linearität_Erwartungswert|Linearität des Erwartungswertes]] anzusehen. Stellen Sie den Beweis in den Übungen mit allen Begründungen vor. === Anwendungsbeispiel für die Linearität des Erwartungswertes === Alle <math>n</math> Zufallsgrößen <math>X_k</math> mit <math>k\in \{1,\ldots , n\}</math> seinen <math> B(1,p)</math>-verteilt. Dann ist <math>X:= X_1 + \ldots + X_n</math> ein <math> B(n,p)</math>-verteilt und für den Erwartungswert erhält man mit der Linearität des Erwartungswertes <math>X</math> gilt: :<math> E(X) = n\cdot p</math> ===== Beweismöglichkeiten===== 1. <math> E(X)= \sum _{k=k}^{n} k \binom {n}{k} p^k (1-p)^{n-k} = ... = n \cdot p</math> 2. Für die Binominalverteilung gilt <math> X=X_1 + .. + X_n </math> mit <math> EX_i = p</math>. Dann ist :<math> E(X)=E(X_1) + ... + E(X_n) = n \cdot p </math> (wg. Linearität). <br> Der Erwartungswert von Funktionen <math> \phi \circ X</math> einer Zufallsgröße berechnet sich wie folgt. === Satz - Verkettung von messbaren Abbildungen === Ist <math> X: \Omega \to \Omega'</math> Zufallsgröße auf <math> (\Omega,P) </math> und <math> \phi: \Omega' \to \mathbb{R}</math> eine Abbildung, dann gilt :<math> E(\phi \circ X)= \sum_{x \in X(\Omega)} \phi(x) \cdot P_X( \lbrace x \rbrace)</math> (Falls die Reihe absolut konvergiert). === Beweis === :<math> E_{\!_P}(\phi \circ X) = \sum_{\omega \in \Omega} \phi(X(w)) \cdot p_\omega = \sum_{x \in X(\Omega)} \sum_{\omega:X(\omega) = x} \phi(X(\omega)) \cdot p_w </math> :<math> = \sum_{x \in X(\omega)} \phi(x) \sum _{\omega: X(\omega)=x} p_\omega = \sum_{x \in X(\omega)} \phi(x) \cdot P_X(\lbrace x \rbrace). </math> (Großer Umordnungssatz für absolut konvergente Reihen) <br> === Beispiele === Gemäß der Behauptung gilt z.B. : Mit <math>\phi_1(x) := x^2</math> erhält man <math>E(\phi_1) = \sum_{x\in \mathbb{R}} x^2 \cdot P_X(\lbrace x \rbrace) </math> :Mit <math>\phi_2(x) := e^x</math> erhält man <math> E(\phi_2) = \sum_ {x\in \mathbb{R}} e^x \cdot P_X(\lbrace x \rbrace)</math> usw. ====Bemerkung ==== Die rechte Seite der Behauptung kann man auch als <math> E_{P_X} (\phi)</math> schreiben. <br> In der Tat, <math> P_X (\lbrace x \rbrace)</math> ist Wahrscheinlichkeitsfunktion auf <math> \Omega' </math> und <math> \phi</math> wird als Zufallsvariable auf <math> (\Omega', P_X)</math> aufgefasst: :<math> E_P(\phi \circ X)= E_{P_X}(\phi)</math> === Satz - Multipkikation von unabhängigen Zufallsgrößen === Die Zufallsvariablen <math> X,Y</math> mögen unabhängig sein und Erwartungswerte besitzen. Dann besitzt auch <math> X \cdot Y</math> einen Erwartungswert und es gilt :<math> E(X \cdot Y) = E(X) \cdot E(Y)</math> ====Beweis (i.1)==== Zur Existenz von <math> E(X \cdot Y)</math>: :<math> E(|X \cdot Y|)= \sum_{w \in \Omega } |X(w) \cdot Y(w)| p_w </math> :<math> = \sum_{x \in X(\Omega)} \sum _{y \in Y(\Omega)} \sum_{w:X(\omega)=x, Y(\omega) = y} |X(w) \cdot Y(w)| p_w </math> :<math> = \sum_{x \in X(\Omega)}\sum_{y \in Y(\Omega)} | x \cdot y | P(X=x, Y=y)</math> ==== Beweis (i.2) ==== :<math> = \sum_{x \in X(\Omega)} |x| \cdot P(X=x) \sum_{y \in Y(\Omega)} |y| \cdot P(Y=y)</math> :<math> = E|X| \cdot E|Y| < \infty </math> (Reihe links oben also absolut konvergent.) ==== Beweis (ii) ==== Die gleiche Rechnung wie in (i) ohne Betragsstriche liefert: :<math> E(X \cdot Y) = \sum_{w \in \Omega} X(w) \cdot Y(w) p_w </math> :<math> = ... = \sum_{x \in X(\Omega)} x \cdot P(X=x) \sum_{y \in Y(\Omega)} y \cdot P(Y=y) </math> :<math> = E(X) \cdot E(Y)</math> Es wurde angewandt: Doppelreihensatz und Umordnungssatz für Reihen mit nicht negativen Gliedern (in (i)) und für absolut konvergente Reihen (in (ii)). ====Bemerkung ==== 1. Allgemein gilt für unabhängige Zufallsvariablen <math> X_1, ..., X_n</math> mit existierenden Erwartungswerten: :<math> E(X_1 \cdot ... \cdot X_n) = E(X_1) \cdot ... \cdot E(X_n)</math> 2. Bei fehlender Unabhängigkeit folgt aus <math> P|X| < \infty, P|Y| < \infty </math> nicht notwendigerweise <math> P| X \cdot Y| <\infty </math>. === Definition - Bedingter Erwartungswert === Sei <math> (\Omega, \mathcal{S}, P) </math> diskreter Wahrscheinlichkeitsraum, <math>X</math> Zufallsvariable mit existierendem Erwartungswert und <math> A \subset \Omega </math> mit <math> P(A)> 0</math>. Dann heißt :<math> E(X|A) = E_{P_{(\cdot |A)}} (X)</math> der bedingte Erwartungswert von <math>X</math> unter (der Bedingung) <math>A</math>. <br> [ <math> P( \cdot|A)</math> ist die bedingte Wahrscheinlichkeitsverteilung auf <math> \Omega </math> unter <math> A </math>.] ==== Formeln zu Berechnung ==== :<math> E(X|A) = \sum_{w \in \Omega} X(w) P( \lbrace w \rbrace|A) = \sum X(w) \frac {P( \lbrace w \rbrace \cap A)} {P(A)} </math> :<math> = \frac {1} { P(A)} \sum_{w \in A} X(w) p_w = \frac {1} {P(A)} \sum_{w \in \Omega} 1_A (w) X(w) p_w = \frac {1} {P(A)} E(1_A X)</math> ==== Bemerkungen ==== * Da <math> \sum_{\omega \in \Omega} X(\omega )\cdot p_\omega </math> absolut konvergiert, so konvergiert auch <math>\sum_{\omega \in A} X(\omega ) \cdot p_\omega </math>. Damit existiert der bedingte Erwartungswert <math> E(X|A)</math>. * Spezialfälle: <math> E(1_A|A) =1, E(X|\Omega) = E(X)</math> <br> * Der hier eingeführte Begriff des bedingten Erwartungswertes spielt eine untergeordnete Rolle. In der allgemeinen Wahrscheinlichkeitstheorie definiert man bedingte Erwartungswerte der Art <math> E(X|Y)</math>, <math> Y </math> Zufallsvariable, welche von großer Wichtigkeit sind (jedoch hier in der Einführung nicht gebraucht werden). == Momente == In dem obigen Beispiel wurde der Erwartungswert <math>E(X)</math> als Spezialfall von Momenten <math>E(X^k)</math> betrachtet, die im Folgenden definiert werden. === Definition - Momente === Es sei <math>X</math> eine [[w:de:Zufallsvariable|Zufallsvariable]] und <math>k</math> eine [[w:de:natürliche Zahl|natürliche Zahl]]. Dann bezeichnet man als ''Moment der Ordnung <math>k</math> von <math>X</math>'' oder kürzer als ''<math>k</math>-tes Moment von <math>X</math>'' den Erwartungswert der <math>k</math>&#8209;ten Potenz von <math>X</math> (unter der Voraussetzung, dass dieser existiert): :<math> m_k := \operatorname{E}\left(X^k\right), </math> und als ''<math>k</math>-tes absolutes Moment von <math>X</math>'' wird der Erwartungswert der <math>k</math>-ten Potenz des Absolutbetrages <math>|X|</math> von <math>X</math> bezeichnet: :<math> M_k := \operatorname{E}\left(\left|X\right|^k\right). </math> === Bemerkung - nichtganzzahlige Momente === In theoretischen Untersuchungen werden mitunter auch Momente nichtganzzahliger Ordnung <math>\kappa</math> betrachtet. === Bemerkung - Existenz von Momenten === Die Existenz von Momenten einer bestimmten Ordnung liefert allgemein Aussagen über die Verteilung der Wahrscheinlichkeitsmasse. === Bemerkung - Erwartungswert als Moment 1. Ordnung === Das ''erste Moment'' ist der Erwartungswert. Er wird meist mit <math>\mu</math> bezeichnet und kann als Mittelwert angesehen werden. == Siehe auch == * [[Kurs:Stochastik/Linearität Erwartungswert|Linearität des Erwartungswertes]] * [[Kurs:Stochastik/Varianz|Varianz]] * [[Kurs:Stochastik/Kovarianz|Kovarianz]] * [[Kurs:Stochastik/Erzeugende Funktionen|Erzeugende Funktionen]] * [[Kurs:Stochastik]] == Seiteninformation == Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Momente&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Stochastik Kurs:Stochastik]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Momente https://de.wikiversity.org/wiki/Momente] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Momente Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Momente * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Momente&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] [[Category:Wiki2Reveal]] b9zwiwapmtfdnmjkadsa89hhfgwkpjn 1119253 1119251 2026-11-09T16:51:30Z Bert Niehaus 20843 /* Beweismöglichkeiten */ 1119253 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite zum Thema ''Momente'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Momente&author=Wikipedia%20Authors&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Momente&coursetitle=Wikipedia%20Authors Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt: * (1) Definition von Momenten * (2) [[Erwartungswert|Erwartungswert]] * (3) [[Varianz|Varianz]] == Motivation - Erwartungswert == Vorbemerkung: Zwei Personen <math> A </math> und <math>B </math> vereinbaren ein Würfelspiel. * Ausgang '1': <math> A </math> zahlt an <math>B </math> 5€ * Ausgang '2', ..., '6': <math> B </math> zahlt an <math>A </math> 1€ Die Gewinnerwartung für die beiden Spieler beträgt hier Null: Erwarteter Gewinn von <math>B</math>: :<math> 5 \cdot \frac {1} {6} - 1 \cdot \frac {1} {6} - ... -1 \cdot \frac {1} {6} = 0 </math> ("faires Spiel"). === Bemerkung - Wahrscheinlichkeit und Wert der Zufallsgröße === In der obigen Gleichung :<math> 5 \cdot \frac {1} {6} - 1 \cdot \frac {1} {6} - ... -1 \cdot \frac {1} {6} = 0 </math> setzen sich die einzelnen Terme (z.B. <math> 5 \cdot \frac{1}{6} </math>) aus dem Wert der Zufallsgröße <math>X(1) = 5</math> und der Wahrscheinlichkeit <math> \frac{1}{6} </math> für das Eintretens des Ereignisse ("1 gewürfelt") zusammen. == Definition - Erwartungswert == Die Definition des Erwartungswertes wird in folgende Fälle unterteilt: * diskrete Zufallsgröße und * absolute stetige Zufallsgröße. === Definition - Erwartungswert - diskreter Fall === Sei <math> X : \Omega \to \mathbb{R} </math> eine auf einem diskreten [[Wahrscheinlichkeitsraum]] <math> (\Omega, \mathcal{S}, P) </math> definierte Zufallsvariable, dann heißt :<math> E(X) = \sum_{x \in X (\Omega)} x \cdot P(X=x) = \sum_{x \in X(\Omega)} x \cdot P^X (\lbrace x \rbrace)</math> Erwartungswert von <math> X </math>, vorausgesetzt, dass <math> \sum_{x \in X(\Omega)} |x| \cdot P(X=x) < \infty </math>. ==== Bemerkung - Anzahl Summanden - diskreter Fall ==== Die Zufallsgröße <math>X: \Omega \to \mathbb{R}</math> nimmt nur zwei Werte an, nämlich <math>X(\omega)=5</math> für <math>\omega =1</math> und <math>X(\omega)=-1</math> für <math>\omega =2,3,4,5,6</math>. Dabei besteht der Erwartungswert in der obigen Notation nur aus zwei Summanden, da <math>X(\Omega)=\{-1,5\}</math>. ==== Bemerkung 1 - Notation zum diskreten Beispiel ==== Möchte man den Erwartungswert analog zur obigen Notation mit 6 Summand definieren: :<math> \begin{array}{rcl} E(X) & = & \sum_{\omega \in \Omega} X(\omega) \cdot P(\{\omega\}) \\ & = & 5 \cdot \frac {1} {6} + \underbrace{(- 1) \cdot \frac {1} {6} + ... +(-1) \cdot \frac {1} {6}}_{=(-1) \cdot \frac {5} {6}} \\ & = & 5 \cdot \frac {1} {6} + -1 \cdot \frac {5} {6} = \displaystyle \sum_{x \in X(\Omega)=\{5,-1\}} x \cdot P^X(\{x\}) \\ & = & 0 \end{array} </math> ==== Bemerkung 2 - diskret verteilte Zufallsgröße ==== Die Reihe <math> \sum _x |x| \cdot P(X=x) < \infty</math> hat nur abzählbar viele Elemente <math>x</math> mit <math>P(X=x) \not= 0</math>, weil <math>X:\Omega \to\mathbb{R}</math> eine diskrete Zufallsgröße ist. ==== Bemerkung 3 - Erwartungswert - absolute Konvergenz ==== Mit <math> \sum _x |x| \cdot \underbrace{P(X=x)}_{\geq 0} </math> ist die Reihe in der Definition zum Erwartungswert absolut konvergent. Die Fälle <math> E(x) = + \infty </math> und <math> E(x) = - \infty </math> werden also ausgeschlossen. In solchen Fällen existiert der Erwartungswert nicht. === Definition - Erwartungswert - absolut stetig === Sei <math> X : \Omega \to \mathbb{R} </math> eine auf einem diskreten [[Wahrscheinlichkeitsraum]] <math> (\Omega, \mathcal{S}, P) </math> bei die Wahrscheinlichkeitsverteilung durch eine Dichtefunktion <math> p:\Omega \to \mathbb{R}_0^{+} </math> bzw. die induzierte Dichte <math> p^X:\mathbb{R} \to \mathbb{R}_0^{+} </math> gegeben ist. Dann heißt :<math> E(X) := \int_{\Omega} X(\omega) \cdot p(\omega) \, d(\omega) := \int_{\mathbb{R}} x \cdot p^X ( x ) \, dx</math> Erwartungswert der absolut stetigen Verteilung, wenn die Bedingung :<math> E(|X|) = \int_{\Omega} |X(\omega) | \cdot p(\omega) \, d(\omega) = \int_{\mathbb{R}} |x| \cdot p^X ( x ) \, dx < \infty </math> erfüllt ist. ==== Bemerkung - induzierte Dichtefunktion ==== Für die induzierte Dichtefunktion gilt alle <math>B</math> aus der Borelschen <math>\sigma</math>-Algebra <math>\mathcal{B}(\mathbb{R})</math>: :<math> \int_{X^{-1}(B)} X(\omega) \cdot p(\omega) \, d(\omega) := \int_{B} x \cdot p^X ( x ) \, dx</math> === Satz - Erwartungswert für diskrete Zufallsvariablen === Bezeichnet <math> p_\omega = P( \lbrace \omega \rbrace ) </math> die Wahrscheinlichkeitsfunktion von <math> P </math> auf <math> \Omega </math>, so gilt für eine auf <math> ( \Omega, \mathcal{S}, P)</math> definierte Zufallsvariable <math> X:\Omega \to \mathbb{R}</math>: :<math> E(X)= \sum_{\omega \in \Omega} X(\omega)\cdot p_\omega </math> (sofern <math> \sum |X(\omega)| \cdot p_\omega < \infty </math>). === Beweis === Es ist :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \sum_{\omega \in \Omega} X(\omega) \cdot p_\omega & = & \displaystyle \sum_{x \in X(\Omega)} \sum _{\omega:X(\omega) = x} X(\omega) \cdot p_\omega \\ & = & \displaystyle \sum_{x \in X(\Omega)} x \sum_{\omega:X(\omega)=x} p_\omega \\ & = & \displaystyle \sum_{x \in X(\Omega)} x \cdot P^X(\lbrace x \rbrace) \\ & = & E(X) \\ \end{array} </math> === Bemerkung zum Beweis === In den Beweis geht der große Umordnungssatz für konvergente Reihen aus der Analysis ein. Die Anwendung Umordnungssatzes ist möglich, da <math> E(|X|) < \infty</math> gilt und damit die Reihe absolut konvergent ist. === Bemerkungen - Existenz Erwartungeswertes === Im Fall absoluter Konvergenz der Reihen (Beispiele oben) sagt man: * <math> X </math> besitzt einen Erwartungswert, oder * der Erwartungswert von <math> X</math> existiert. <math> X </math> besitzt genau dann einen Erwartungswert, falls <math> E\big( |X|\big) = \sum_{\omega \in \Omega} |X(\omega)| \cdot p_\omega < \infty </math>. <br> ==== Endlicher Ergebnisraum ==== Dies ist bei endlichen Ergebnisräumen <math> \Omega </math> immer der Fall. ==== Schreibweise ==== Statt <math>E(X)</math> auch <math>EX</math> oder <math>E_PX</math>, wenn man kenntlich machen möchte, bzgl. welchem Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> der Erwartungswert berechnet wurde. === Elementare Folgerungen === Aus dem obigen Satz zum Erwartungswert folgt: <math> E(1) = 1, E(X) \le E(Y)</math>, falls <math> X(w) \le Y(w)</math> für alle <math> w \in \Omega </math> gilt. ==== Beispiel ==== Ist <math> X(w) = \lbrace w_1, ..., w_m \rbrace</math>, und ist <math> P_X</math> die Gleichverteilung auf <math> X(\Omega)</math>, so lautet der Erwartungswert :<math> E(X)= \frac {1} {m} \sum _{i=1}^{m} x_i </math> ("arithmetisches Mittel"). <br> (Der Erwartungswert der Augenzahl beim Würfeln ist 3,5.) ==== Beispiel ==== Für die Indikatorvariable <math> X=1_A</math> eines Ereignisses <math> A \subset \Omega </math> gilt: :<math> E(1_A) = 0 \cdot P(1_A = 0) + 1 \cdot P(1_A = 1) = P(A)</math> Eine direkte Folgerung aus der Behauptung ist der folgende Satz. === Satz - Linearität des Erwartungswertes === Besitzen die Zufallsvariablen <math> X_1, X_2</math> Erwartungswerte, so auch die Zufallsvariablen <math> aX_1, bX_2, a,b \in \mathbb{R}</math>, und es gilt: :<math> E(aX_1+bX_2 ) = aE(X_1) + bE(X_2)</math> ("[[Kurs:Stochastik/Linearität Erwartungswert|Linearität]]") === Bemerkung - Aufgabe - Beweis === Der [[Kurs:Stochastik/Linearität_Erwartungswert|Beweis der Linearität]] wird über das Einsetzen der Definition und der Anwendung elementaren Umformungen geführt. Versuchen Sie diesen Beweis zunächst ohne Hilfen selbst durchzuführen und sich erst danach bei Problemen den angegebenen Beweis in Wikiversity zur [[Kurs:Stochastik/Linearität_Erwartungswert|Linearität des Erwartungswertes]] anzusehen. Stellen Sie den Beweis in den Übungen mit allen Begründungen vor. === Anwendungsbeispiel für die Linearität des Erwartungswertes === Alle <math>n</math> Zufallsgrößen <math>X_k</math> mit <math>k\in \{1,\ldots , n\}</math> seinen <math> B(1,p)</math>-verteilt. Dann ist <math>X:= X_1 + \ldots + X_n</math> ein <math> B(n,p)</math>-verteilt und für den Erwartungswert erhält man mit der Linearität des Erwartungswertes <math>X</math> gilt: :<math> E(X) = n\cdot p</math> ===== Beweismöglichkeiten===== * <math> E(X)= \sum _{k=k}^{n} k \cdot \binom {n}{k} \cdot p^k (1-p)^{n-k} = ... = n \cdot p</math> * Für die Binominalverteilung gilt <math> X=X_1 + .. + X_n </math> mit <math> E(X_i) = p</math>. Dann ist :<math> E(X)=E(X_1) + ... + E(X_n) = n \cdot p </math> (wg. [[Kurs:Stochastik/Linearität Erwartungswert|Linearität]]). <br> === Satz - Verkettung von messbaren Abbildungen === Ist <math> X: \Omega \to \Omega'</math> Zufallsgröße auf <math> (\Omega,P) </math> und <math> \phi: \Omega' \to \mathbb{R}</math> eine Abbildung, dann gilt :<math> E(\phi \circ X)= \sum_{x \in X(\Omega)} \phi(x) \cdot P_X( \lbrace x \rbrace)</math> (Falls die Reihe absolut konvergiert). === Beweis === :<math> E_{\!_P}(\phi \circ X) = \sum_{\omega \in \Omega} \phi(X(w)) \cdot p_\omega = \sum_{x \in X(\Omega)} \sum_{\omega:X(\omega) = x} \phi(X(\omega)) \cdot p_w </math> :<math> = \sum_{x \in X(\omega)} \phi(x) \sum _{\omega: X(\omega)=x} p_\omega = \sum_{x \in X(\omega)} \phi(x) \cdot P_X(\lbrace x \rbrace). </math> (Großer Umordnungssatz für absolut konvergente Reihen) <br> === Beispiele === Gemäß der Behauptung gilt z.B. : Mit <math>\phi_1(x) := x^2</math> erhält man <math>E(\phi_1) = \sum_{x\in \mathbb{R}} x^2 \cdot P_X(\lbrace x \rbrace) </math> :Mit <math>\phi_2(x) := e^x</math> erhält man <math> E(\phi_2) = \sum_ {x\in \mathbb{R}} e^x \cdot P_X(\lbrace x \rbrace)</math> usw. ====Bemerkung ==== Die rechte Seite der Behauptung kann man auch als <math> E_{P_X} (\phi)</math> schreiben. <br> In der Tat, <math> P_X (\lbrace x \rbrace)</math> ist Wahrscheinlichkeitsfunktion auf <math> \Omega' </math> und <math> \phi</math> wird als Zufallsvariable auf <math> (\Omega', P_X)</math> aufgefasst: :<math> E_P(\phi \circ X)= E_{P_X}(\phi)</math> === Satz - Multipkikation von unabhängigen Zufallsgrößen === Die Zufallsvariablen <math> X,Y</math> mögen unabhängig sein und Erwartungswerte besitzen. Dann besitzt auch <math> X \cdot Y</math> einen Erwartungswert und es gilt :<math> E(X \cdot Y) = E(X) \cdot E(Y)</math> ====Beweis (i.1)==== Zur Existenz von <math> E(X \cdot Y)</math>: :<math> E(|X \cdot Y|)= \sum_{w \in \Omega } |X(w) \cdot Y(w)| p_w </math> :<math> = \sum_{x \in X(\Omega)} \sum _{y \in Y(\Omega)} \sum_{w:X(\omega)=x, Y(\omega) = y} |X(w) \cdot Y(w)| p_w </math> :<math> = \sum_{x \in X(\Omega)}\sum_{y \in Y(\Omega)} | x \cdot y | P(X=x, Y=y)</math> ==== Beweis (i.2) ==== :<math> = \sum_{x \in X(\Omega)} |x| \cdot P(X=x) \sum_{y \in Y(\Omega)} |y| \cdot P(Y=y)</math> :<math> = E|X| \cdot E|Y| < \infty </math> (Reihe links oben also absolut konvergent.) ==== Beweis (ii) ==== Die gleiche Rechnung wie in (i) ohne Betragsstriche liefert: :<math> E(X \cdot Y) = \sum_{w \in \Omega} X(w) \cdot Y(w) p_w </math> :<math> = ... = \sum_{x \in X(\Omega)} x \cdot P(X=x) \sum_{y \in Y(\Omega)} y \cdot P(Y=y) </math> :<math> = E(X) \cdot E(Y)</math> Es wurde angewandt: Doppelreihensatz und Umordnungssatz für Reihen mit nicht negativen Gliedern (in (i)) und für absolut konvergente Reihen (in (ii)). ====Bemerkung ==== 1. Allgemein gilt für unabhängige Zufallsvariablen <math> X_1, ..., X_n</math> mit existierenden Erwartungswerten: :<math> E(X_1 \cdot ... \cdot X_n) = E(X_1) \cdot ... \cdot E(X_n)</math> 2. Bei fehlender Unabhängigkeit folgt aus <math> P|X| < \infty, P|Y| < \infty </math> nicht notwendigerweise <math> P| X \cdot Y| <\infty </math>. === Definition - Bedingter Erwartungswert === Sei <math> (\Omega, \mathcal{S}, P) </math> diskreter Wahrscheinlichkeitsraum, <math>X</math> Zufallsvariable mit existierendem Erwartungswert und <math> A \subset \Omega </math> mit <math> P(A)> 0</math>. Dann heißt :<math> E(X|A) = E_{P_{(\cdot |A)}} (X)</math> der bedingte Erwartungswert von <math>X</math> unter (der Bedingung) <math>A</math>. <br> [ <math> P( \cdot|A)</math> ist die bedingte Wahrscheinlichkeitsverteilung auf <math> \Omega </math> unter <math> A </math>.] ==== Formeln zu Berechnung ==== :<math> E(X|A) = \sum_{w \in \Omega} X(w) P( \lbrace w \rbrace|A) = \sum X(w) \frac {P( \lbrace w \rbrace \cap A)} {P(A)} </math> :<math> = \frac {1} { P(A)} \sum_{w \in A} X(w) p_w = \frac {1} {P(A)} \sum_{w \in \Omega} 1_A (w) X(w) p_w = \frac {1} {P(A)} E(1_A X)</math> ==== Bemerkungen ==== * Da <math> \sum_{\omega \in \Omega} X(\omega )\cdot p_\omega </math> absolut konvergiert, so konvergiert auch <math>\sum_{\omega \in A} X(\omega ) \cdot p_\omega </math>. Damit existiert der bedingte Erwartungswert <math> E(X|A)</math>. * Spezialfälle: <math> E(1_A|A) =1, E(X|\Omega) = E(X)</math> <br> * Der hier eingeführte Begriff des bedingten Erwartungswertes spielt eine untergeordnete Rolle. In der allgemeinen Wahrscheinlichkeitstheorie definiert man bedingte Erwartungswerte der Art <math> E(X|Y)</math>, <math> Y </math> Zufallsvariable, welche von großer Wichtigkeit sind (jedoch hier in der Einführung nicht gebraucht werden). == Momente == In dem obigen Beispiel wurde der Erwartungswert <math>E(X)</math> als Spezialfall von Momenten <math>E(X^k)</math> betrachtet, die im Folgenden definiert werden. === Definition - Momente === Es sei <math>X</math> eine [[w:de:Zufallsvariable|Zufallsvariable]] und <math>k</math> eine [[w:de:natürliche Zahl|natürliche Zahl]]. Dann bezeichnet man als ''Moment der Ordnung <math>k</math> von <math>X</math>'' oder kürzer als ''<math>k</math>-tes Moment von <math>X</math>'' den Erwartungswert der <math>k</math>&#8209;ten Potenz von <math>X</math> (unter der Voraussetzung, dass dieser existiert): :<math> m_k := \operatorname{E}\left(X^k\right), </math> und als ''<math>k</math>-tes absolutes Moment von <math>X</math>'' wird der Erwartungswert der <math>k</math>-ten Potenz des Absolutbetrages <math>|X|</math> von <math>X</math> bezeichnet: :<math> M_k := \operatorname{E}\left(\left|X\right|^k\right). </math> === Bemerkung - nichtganzzahlige Momente === In theoretischen Untersuchungen werden mitunter auch Momente nichtganzzahliger Ordnung <math>\kappa</math> betrachtet. === Bemerkung - Existenz von Momenten === Die Existenz von Momenten einer bestimmten Ordnung liefert allgemein Aussagen über die Verteilung der Wahrscheinlichkeitsmasse. === Bemerkung - Erwartungswert als Moment 1. Ordnung === Das ''erste Moment'' ist der Erwartungswert. Er wird meist mit <math>\mu</math> bezeichnet und kann als Mittelwert angesehen werden. == Siehe auch == * [[Kurs:Stochastik/Linearität Erwartungswert|Linearität des Erwartungswertes]] * [[Kurs:Stochastik/Varianz|Varianz]] * [[Kurs:Stochastik/Kovarianz|Kovarianz]] * [[Kurs:Stochastik/Erzeugende Funktionen|Erzeugende Funktionen]] * [[Kurs:Stochastik]] == Seiteninformation == Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Momente&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Stochastik Kurs:Stochastik]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Momente https://de.wikiversity.org/wiki/Momente] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Momente Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Momente * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Momente&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] [[Category:Wiki2Reveal]] j0fcptwavukdbo4e4l3b1cmshjcru5z 1119254 1119253 2026-11-09T16:52:29Z Bert Niehaus 20843 /* Satz - Erwartungswert für diskrete Zufallsvariablen */ 1119254 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite zum Thema ''Momente'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Momente&author=Wikipedia%20Authors&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Momente&coursetitle=Wikipedia%20Authors Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. 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Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt: * (1) Definition von Momenten * (2) [[Erwartungswert|Erwartungswert]] * (3) [[Varianz|Varianz]] == Motivation - Erwartungswert == Vorbemerkung: Zwei Personen <math> A </math> und <math>B </math> vereinbaren ein Würfelspiel. * Ausgang '1': <math> A </math> zahlt an <math>B </math> 5€ * Ausgang '2', ..., '6': <math> B </math> zahlt an <math>A </math> 1€ Die Gewinnerwartung für die beiden Spieler beträgt hier Null: Erwarteter Gewinn von <math>B</math>: :<math> 5 \cdot \frac {1} {6} - 1 \cdot \frac {1} {6} - ... -1 \cdot \frac {1} {6} = 0 </math> ("faires Spiel"). === Bemerkung - Wahrscheinlichkeit und Wert der Zufallsgröße === In der obigen Gleichung :<math> 5 \cdot \frac {1} {6} - 1 \cdot \frac {1} {6} - ... -1 \cdot \frac {1} {6} = 0 </math> setzen sich die einzelnen Terme (z.B. <math> 5 \cdot \frac{1}{6} </math>) aus dem Wert der Zufallsgröße <math>X(1) = 5</math> und der Wahrscheinlichkeit <math> \frac{1}{6} </math> für das Eintretens des Ereignisse ("1 gewürfelt") zusammen. == Definition - Erwartungswert == Die Definition des Erwartungswertes wird in folgende Fälle unterteilt: * diskrete Zufallsgröße und * absolute stetige Zufallsgröße. === Definition - Erwartungswert - diskreter Fall === Sei <math> X : \Omega \to \mathbb{R} </math> eine auf einem diskreten [[Wahrscheinlichkeitsraum]] <math> (\Omega, \mathcal{S}, P) </math> definierte Zufallsvariable, dann heißt :<math> E(X) = \sum_{x \in X (\Omega)} x \cdot P(X=x) = \sum_{x \in X(\Omega)} x \cdot P^X (\lbrace x \rbrace)</math> Erwartungswert von <math> X </math>, vorausgesetzt, dass <math> \sum_{x \in X(\Omega)} |x| \cdot P(X=x) < \infty </math>. ==== Bemerkung - Anzahl Summanden - diskreter Fall ==== Die Zufallsgröße <math>X: \Omega \to \mathbb{R}</math> nimmt nur zwei Werte an, nämlich <math>X(\omega)=5</math> für <math>\omega =1</math> und <math>X(\omega)=-1</math> für <math>\omega =2,3,4,5,6</math>. Dabei besteht der Erwartungswert in der obigen Notation nur aus zwei Summanden, da <math>X(\Omega)=\{-1,5\}</math>. ==== Bemerkung 1 - Notation zum diskreten Beispiel ==== Möchte man den Erwartungswert analog zur obigen Notation mit 6 Summand definieren: :<math> \begin{array}{rcl} E(X) & = & \sum_{\omega \in \Omega} X(\omega) \cdot P(\{\omega\}) \\ & = & 5 \cdot \frac {1} {6} + \underbrace{(- 1) \cdot \frac {1} {6} + ... +(-1) \cdot \frac {1} {6}}_{=(-1) \cdot \frac {5} {6}} \\ & = & 5 \cdot \frac {1} {6} + -1 \cdot \frac {5} {6} = \displaystyle \sum_{x \in X(\Omega)=\{5,-1\}} x \cdot P^X(\{x\}) \\ & = & 0 \end{array} </math> ==== Bemerkung 2 - diskret verteilte Zufallsgröße ==== Die Reihe <math> \sum _x |x| \cdot P(X=x) < \infty</math> hat nur abzählbar viele Elemente <math>x</math> mit <math>P(X=x) \not= 0</math>, weil <math>X:\Omega \to\mathbb{R}</math> eine diskrete Zufallsgröße ist. ==== Bemerkung 3 - Erwartungswert - absolute Konvergenz ==== Mit <math> \sum _x |x| \cdot \underbrace{P(X=x)}_{\geq 0} </math> ist die Reihe in der Definition zum Erwartungswert absolut konvergent. Die Fälle <math> E(x) = + \infty </math> und <math> E(x) = - \infty </math> werden also ausgeschlossen. In solchen Fällen existiert der Erwartungswert nicht. === Definition - Erwartungswert - absolut stetig === Sei <math> X : \Omega \to \mathbb{R} </math> eine auf einem diskreten [[Wahrscheinlichkeitsraum]] <math> (\Omega, \mathcal{S}, P) </math> bei die Wahrscheinlichkeitsverteilung durch eine Dichtefunktion <math> p:\Omega \to \mathbb{R}_0^{+} </math> bzw. die induzierte Dichte <math> p^X:\mathbb{R} \to \mathbb{R}_0^{+} </math> gegeben ist. Dann heißt :<math> E(X) := \int_{\Omega} X(\omega) \cdot p(\omega) \, d(\omega) := \int_{\mathbb{R}} x \cdot p^X ( x ) \, dx</math> Erwartungswert der absolut stetigen Verteilung, wenn die Bedingung :<math> E(|X|) = \int_{\Omega} |X(\omega) | \cdot p(\omega) \, d(\omega) = \int_{\mathbb{R}} |x| \cdot p^X ( x ) \, dx < \infty </math> erfüllt ist. ==== Bemerkung - induzierte Dichtefunktion ==== Für die induzierte Dichtefunktion gilt alle <math>B</math> aus der Borelschen <math>\sigma</math>-Algebra <math>\mathcal{B}(\mathbb{R})</math>: :<math> \int_{X^{-1}(B)} X(\omega) \cdot p(\omega) \, d(\omega) := \int_{B} x \cdot p^X ( x ) \, dx</math> == Satz - Erwartungswert für diskrete Zufallsvariablen == Bezeichnet <math> p_\omega = P( \lbrace \omega \rbrace ) </math> die Wahrscheinlichkeitsfunktion von <math> P </math> auf <math> \Omega </math>, so gilt für eine auf <math> ( \Omega, \mathcal{S}, P)</math> definierte Zufallsvariable <math> X:\Omega \to \mathbb{R}</math>: :<math> E(X)= \sum_{\omega \in \Omega} X(\omega)\cdot p_\omega </math> (sofern <math> \sum |X(\omega)| \cdot p_\omega < \infty </math>). === Beweis === Es ist :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \sum_{\omega \in \Omega} X(\omega) \cdot p_\omega & = & \displaystyle \sum_{x \in X(\Omega)} \sum _{\omega:X(\omega) = x} X(\omega) \cdot p_\omega \\ & = & \displaystyle \sum_{x \in X(\Omega)} x \sum_{\omega:X(\omega)=x} p_\omega \\ & = & \displaystyle \sum_{x \in X(\Omega)} x \cdot P^X(\lbrace x \rbrace) \\ & = & E(X) \\ \end{array} </math> === Bemerkung zum Beweis === In den Beweis geht der große Umordnungssatz für konvergente Reihen aus der Analysis ein. Die Anwendung Umordnungssatzes ist möglich, da <math> E(|X|) < \infty</math> gilt und damit die Reihe absolut konvergent ist. === Bemerkungen - Existenz Erwartungeswertes === Im Fall absoluter Konvergenz der Reihen (Beispiele oben) sagt man: * <math> X </math> besitzt einen Erwartungswert, oder * der Erwartungswert von <math> X</math> existiert. <math> X </math> besitzt genau dann einen Erwartungswert, falls <math> E\big( |X|\big) = \sum_{\omega \in \Omega} |X(\omega)| \cdot p_\omega < \infty </math>. <br> ==== Endlicher Ergebnisraum ==== Dies ist bei endlichen Ergebnisräumen <math> \Omega </math> immer der Fall. ==== Schreibweise ==== Statt <math>E(X)</math> auch <math>EX</math> oder <math>E_PX</math>, wenn man kenntlich machen möchte, bzgl. welchem Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> der Erwartungswert berechnet wurde. === Elementare Folgerungen === Aus dem obigen Satz zum Erwartungswert folgt: <math> E(1) = 1, E(X) \le E(Y)</math>, falls <math> X(w) \le Y(w)</math> für alle <math> w \in \Omega </math> gilt. ==== Beispiel ==== Ist <math> X(w) = \lbrace w_1, ..., w_m \rbrace</math>, und ist <math> P_X</math> die Gleichverteilung auf <math> X(\Omega)</math>, so lautet der Erwartungswert :<math> E(X)= \frac {1} {m} \sum _{i=1}^{m} x_i </math> ("arithmetisches Mittel"). <br> (Der Erwartungswert der Augenzahl beim Würfeln ist 3,5.) ==== Beispiel ==== Für die Indikatorvariable <math> X=1_A</math> eines Ereignisses <math> A \subset \Omega </math> gilt: :<math> E(1_A) = 0 \cdot P(1_A = 0) + 1 \cdot P(1_A = 1) = P(A)</math> Eine direkte Folgerung aus der Behauptung ist der folgende Satz. === Satz - Linearität des Erwartungswertes === Besitzen die Zufallsvariablen <math> X_1, X_2</math> Erwartungswerte, so auch die Zufallsvariablen <math> aX_1, bX_2, a,b \in \mathbb{R}</math>, und es gilt: :<math> E(aX_1+bX_2 ) = aE(X_1) + bE(X_2)</math> ("[[Kurs:Stochastik/Linearität Erwartungswert|Linearität]]") === Bemerkung - Aufgabe - Beweis === Der [[Kurs:Stochastik/Linearität_Erwartungswert|Beweis der Linearität]] wird über das Einsetzen der Definition und der Anwendung elementaren Umformungen geführt. Versuchen Sie diesen Beweis zunächst ohne Hilfen selbst durchzuführen und sich erst danach bei Problemen den angegebenen Beweis in Wikiversity zur [[Kurs:Stochastik/Linearität_Erwartungswert|Linearität des Erwartungswertes]] anzusehen. Stellen Sie den Beweis in den Übungen mit allen Begründungen vor. === Anwendungsbeispiel für die Linearität des Erwartungswertes === Alle <math>n</math> Zufallsgrößen <math>X_k</math> mit <math>k\in \{1,\ldots , n\}</math> seinen <math> B(1,p)</math>-verteilt. Dann ist <math>X:= X_1 + \ldots + X_n</math> ein <math> B(n,p)</math>-verteilt und für den Erwartungswert erhält man mit der Linearität des Erwartungswertes <math>X</math> gilt: :<math> E(X) = n\cdot p</math> ===== Beweismöglichkeiten===== * <math> E(X)= \sum _{k=k}^{n} k \cdot \binom {n}{k} \cdot p^k (1-p)^{n-k} = ... = n \cdot p</math> * Für die Binominalverteilung gilt <math> X=X_1 + .. + X_n </math> mit <math> E(X_i) = p</math>. Dann ist :<math> E(X)=E(X_1) + ... + E(X_n) = n \cdot p </math> (wg. [[Kurs:Stochastik/Linearität Erwartungswert|Linearität]]). <br> === Satz - Verkettung von messbaren Abbildungen === Ist <math> X: \Omega \to \Omega'</math> Zufallsgröße auf <math> (\Omega,P) </math> und <math> \phi: \Omega' \to \mathbb{R}</math> eine Abbildung, dann gilt :<math> E(\phi \circ X)= \sum_{x \in X(\Omega)} \phi(x) \cdot P_X( \lbrace x \rbrace)</math> (Falls die Reihe absolut konvergiert). === Beweis === :<math> E_{\!_P}(\phi \circ X) = \sum_{\omega \in \Omega} \phi(X(w)) \cdot p_\omega = \sum_{x \in X(\Omega)} \sum_{\omega:X(\omega) = x} \phi(X(\omega)) \cdot p_w </math> :<math> = \sum_{x \in X(\omega)} \phi(x) \sum _{\omega: X(\omega)=x} p_\omega = \sum_{x \in X(\omega)} \phi(x) \cdot P_X(\lbrace x \rbrace). </math> (Großer Umordnungssatz für absolut konvergente Reihen) <br> === Beispiele === Gemäß der Behauptung gilt z.B. : Mit <math>\phi_1(x) := x^2</math> erhält man <math>E(\phi_1) = \sum_{x\in \mathbb{R}} x^2 \cdot P_X(\lbrace x \rbrace) </math> :Mit <math>\phi_2(x) := e^x</math> erhält man <math> E(\phi_2) = \sum_ {x\in \mathbb{R}} e^x \cdot P_X(\lbrace x \rbrace)</math> usw. ====Bemerkung ==== Die rechte Seite der Behauptung kann man auch als <math> E_{P_X} (\phi)</math> schreiben. <br> In der Tat, <math> P_X (\lbrace x \rbrace)</math> ist Wahrscheinlichkeitsfunktion auf <math> \Omega' </math> und <math> \phi</math> wird als Zufallsvariable auf <math> (\Omega', P_X)</math> aufgefasst: :<math> E_P(\phi \circ X)= E_{P_X}(\phi)</math> === Satz - Multipkikation von unabhängigen Zufallsgrößen === Die Zufallsvariablen <math> X,Y</math> mögen unabhängig sein und Erwartungswerte besitzen. Dann besitzt auch <math> X \cdot Y</math> einen Erwartungswert und es gilt :<math> E(X \cdot Y) = E(X) \cdot E(Y)</math> ====Beweis (i.1)==== Zur Existenz von <math> E(X \cdot Y)</math>: :<math> E(|X \cdot Y|)= \sum_{w \in \Omega } |X(w) \cdot Y(w)| p_w </math> :<math> = \sum_{x \in X(\Omega)} \sum _{y \in Y(\Omega)} \sum_{w:X(\omega)=x, Y(\omega) = y} |X(w) \cdot Y(w)| p_w </math> :<math> = \sum_{x \in X(\Omega)}\sum_{y \in Y(\Omega)} | x \cdot y | P(X=x, Y=y)</math> ==== Beweis (i.2) ==== :<math> = \sum_{x \in X(\Omega)} |x| \cdot P(X=x) \sum_{y \in Y(\Omega)} |y| \cdot P(Y=y)</math> :<math> = E|X| \cdot E|Y| < \infty </math> (Reihe links oben also absolut konvergent.) ==== Beweis (ii) ==== Die gleiche Rechnung wie in (i) ohne Betragsstriche liefert: :<math> E(X \cdot Y) = \sum_{w \in \Omega} X(w) \cdot Y(w) p_w </math> :<math> = ... = \sum_{x \in X(\Omega)} x \cdot P(X=x) \sum_{y \in Y(\Omega)} y \cdot P(Y=y) </math> :<math> = E(X) \cdot E(Y)</math> Es wurde angewandt: Doppelreihensatz und Umordnungssatz für Reihen mit nicht negativen Gliedern (in (i)) und für absolut konvergente Reihen (in (ii)). ====Bemerkung ==== 1. Allgemein gilt für unabhängige Zufallsvariablen <math> X_1, ..., X_n</math> mit existierenden Erwartungswerten: :<math> E(X_1 \cdot ... \cdot X_n) = E(X_1) \cdot ... \cdot E(X_n)</math> 2. Bei fehlender Unabhängigkeit folgt aus <math> P|X| < \infty, P|Y| < \infty </math> nicht notwendigerweise <math> P| X \cdot Y| <\infty </math>. === Definition - Bedingter Erwartungswert === Sei <math> (\Omega, \mathcal{S}, P) </math> diskreter Wahrscheinlichkeitsraum, <math>X</math> Zufallsvariable mit existierendem Erwartungswert und <math> A \subset \Omega </math> mit <math> P(A)> 0</math>. Dann heißt :<math> E(X|A) = E_{P_{(\cdot |A)}} (X)</math> der bedingte Erwartungswert von <math>X</math> unter (der Bedingung) <math>A</math>. <br> [ <math> P( \cdot|A)</math> ist die bedingte Wahrscheinlichkeitsverteilung auf <math> \Omega </math> unter <math> A </math>.] ==== Formeln zu Berechnung ==== :<math> E(X|A) = \sum_{w \in \Omega} X(w) P( \lbrace w \rbrace|A) = \sum X(w) \frac {P( \lbrace w \rbrace \cap A)} {P(A)} </math> :<math> = \frac {1} { P(A)} \sum_{w \in A} X(w) p_w = \frac {1} {P(A)} \sum_{w \in \Omega} 1_A (w) X(w) p_w = \frac {1} {P(A)} E(1_A X)</math> ==== Bemerkungen ==== * Da <math> \sum_{\omega \in \Omega} X(\omega )\cdot p_\omega </math> absolut konvergiert, so konvergiert auch <math>\sum_{\omega \in A} X(\omega ) \cdot p_\omega </math>. Damit existiert der bedingte Erwartungswert <math> E(X|A)</math>. * Spezialfälle: <math> E(1_A|A) =1, E(X|\Omega) = E(X)</math> <br> * Der hier eingeführte Begriff des bedingten Erwartungswertes spielt eine untergeordnete Rolle. In der allgemeinen Wahrscheinlichkeitstheorie definiert man bedingte Erwartungswerte der Art <math> E(X|Y)</math>, <math> Y </math> Zufallsvariable, welche von großer Wichtigkeit sind (jedoch hier in der Einführung nicht gebraucht werden). == Momente == In dem obigen Beispiel wurde der Erwartungswert <math>E(X)</math> als Spezialfall von Momenten <math>E(X^k)</math> betrachtet, die im Folgenden definiert werden. === Definition - Momente === Es sei <math>X</math> eine [[w:de:Zufallsvariable|Zufallsvariable]] und <math>k</math> eine [[w:de:natürliche Zahl|natürliche Zahl]]. Dann bezeichnet man als ''Moment der Ordnung <math>k</math> von <math>X</math>'' oder kürzer als ''<math>k</math>-tes Moment von <math>X</math>'' den Erwartungswert der <math>k</math>&#8209;ten Potenz von <math>X</math> (unter der Voraussetzung, dass dieser existiert): :<math> m_k := \operatorname{E}\left(X^k\right), </math> und als ''<math>k</math>-tes absolutes Moment von <math>X</math>'' wird der Erwartungswert der <math>k</math>-ten Potenz des Absolutbetrages <math>|X|</math> von <math>X</math> bezeichnet: :<math> M_k := \operatorname{E}\left(\left|X\right|^k\right). </math> === Bemerkung - nichtganzzahlige Momente === In theoretischen Untersuchungen werden mitunter auch Momente nichtganzzahliger Ordnung <math>\kappa</math> betrachtet. === Bemerkung - Existenz von Momenten === Die Existenz von Momenten einer bestimmten Ordnung liefert allgemein Aussagen über die Verteilung der Wahrscheinlichkeitsmasse. === Bemerkung - Erwartungswert als Moment 1. Ordnung === Das ''erste Moment'' ist der Erwartungswert. Er wird meist mit <math>\mu</math> bezeichnet und kann als Mittelwert angesehen werden. == Siehe auch == * [[Kurs:Stochastik/Linearität Erwartungswert|Linearität des Erwartungswertes]] * [[Kurs:Stochastik/Varianz|Varianz]] * [[Kurs:Stochastik/Kovarianz|Kovarianz]] * [[Kurs:Stochastik/Erzeugende Funktionen|Erzeugende Funktionen]] * [[Kurs:Stochastik]] == Seiteninformation == Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Momente&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Stochastik Kurs:Stochastik]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Momente https://de.wikiversity.org/wiki/Momente] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Momente Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Momente * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Momente&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] [[Category:Wiki2Reveal]] go7cqqxwtujo6n35qyyur7cn1gjqorj 1119255 1119254 2026-11-09T16:52:48Z Bert Niehaus 20843 /* Beweis */ 1119255 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite zum Thema ''Momente'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Momente&author=Wikipedia%20Authors&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Momente&coursetitle=Wikipedia%20Authors Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt: * (1) Definition von Momenten * (2) [[Erwartungswert|Erwartungswert]] * (3) [[Varianz|Varianz]] == Motivation - Erwartungswert == Vorbemerkung: Zwei Personen <math> A </math> und <math>B </math> vereinbaren ein Würfelspiel. * Ausgang '1': <math> A </math> zahlt an <math>B </math> 5€ * Ausgang '2', ..., '6': <math> B </math> zahlt an <math>A </math> 1€ Die Gewinnerwartung für die beiden Spieler beträgt hier Null: Erwarteter Gewinn von <math>B</math>: :<math> 5 \cdot \frac {1} {6} - 1 \cdot \frac {1} {6} - ... -1 \cdot \frac {1} {6} = 0 </math> ("faires Spiel"). === Bemerkung - Wahrscheinlichkeit und Wert der Zufallsgröße === In der obigen Gleichung :<math> 5 \cdot \frac {1} {6} - 1 \cdot \frac {1} {6} - ... -1 \cdot \frac {1} {6} = 0 </math> setzen sich die einzelnen Terme (z.B. <math> 5 \cdot \frac{1}{6} </math>) aus dem Wert der Zufallsgröße <math>X(1) = 5</math> und der Wahrscheinlichkeit <math> \frac{1}{6} </math> für das Eintretens des Ereignisse ("1 gewürfelt") zusammen. == Definition - Erwartungswert == Die Definition des Erwartungswertes wird in folgende Fälle unterteilt: * diskrete Zufallsgröße und * absolute stetige Zufallsgröße. === Definition - Erwartungswert - diskreter Fall === Sei <math> X : \Omega \to \mathbb{R} </math> eine auf einem diskreten [[Wahrscheinlichkeitsraum]] <math> (\Omega, \mathcal{S}, P) </math> definierte Zufallsvariable, dann heißt :<math> E(X) = \sum_{x \in X (\Omega)} x \cdot P(X=x) = \sum_{x \in X(\Omega)} x \cdot P^X (\lbrace x \rbrace)</math> Erwartungswert von <math> X </math>, vorausgesetzt, dass <math> \sum_{x \in X(\Omega)} |x| \cdot P(X=x) < \infty </math>. ==== Bemerkung - Anzahl Summanden - diskreter Fall ==== Die Zufallsgröße <math>X: \Omega \to \mathbb{R}</math> nimmt nur zwei Werte an, nämlich <math>X(\omega)=5</math> für <math>\omega =1</math> und <math>X(\omega)=-1</math> für <math>\omega =2,3,4,5,6</math>. Dabei besteht der Erwartungswert in der obigen Notation nur aus zwei Summanden, da <math>X(\Omega)=\{-1,5\}</math>. ==== Bemerkung 1 - Notation zum diskreten Beispiel ==== Möchte man den Erwartungswert analog zur obigen Notation mit 6 Summand definieren: :<math> \begin{array}{rcl} E(X) & = & \sum_{\omega \in \Omega} X(\omega) \cdot P(\{\omega\}) \\ & = & 5 \cdot \frac {1} {6} + \underbrace{(- 1) \cdot \frac {1} {6} + ... +(-1) \cdot \frac {1} {6}}_{=(-1) \cdot \frac {5} {6}} \\ & = & 5 \cdot \frac {1} {6} + -1 \cdot \frac {5} {6} = \displaystyle \sum_{x \in X(\Omega)=\{5,-1\}} x \cdot P^X(\{x\}) \\ & = & 0 \end{array} </math> ==== Bemerkung 2 - diskret verteilte Zufallsgröße ==== Die Reihe <math> \sum _x |x| \cdot P(X=x) < \infty</math> hat nur abzählbar viele Elemente <math>x</math> mit <math>P(X=x) \not= 0</math>, weil <math>X:\Omega \to\mathbb{R}</math> eine diskrete Zufallsgröße ist. ==== Bemerkung 3 - Erwartungswert - absolute Konvergenz ==== Mit <math> \sum _x |x| \cdot \underbrace{P(X=x)}_{\geq 0} </math> ist die Reihe in der Definition zum Erwartungswert absolut konvergent. Die Fälle <math> E(x) = + \infty </math> und <math> E(x) = - \infty </math> werden also ausgeschlossen. In solchen Fällen existiert der Erwartungswert nicht. === Definition - Erwartungswert - absolut stetig === Sei <math> X : \Omega \to \mathbb{R} </math> eine auf einem diskreten [[Wahrscheinlichkeitsraum]] <math> (\Omega, \mathcal{S}, P) </math> bei die Wahrscheinlichkeitsverteilung durch eine Dichtefunktion <math> p:\Omega \to \mathbb{R}_0^{+} </math> bzw. die induzierte Dichte <math> p^X:\mathbb{R} \to \mathbb{R}_0^{+} </math> gegeben ist. Dann heißt :<math> E(X) := \int_{\Omega} X(\omega) \cdot p(\omega) \, d(\omega) := \int_{\mathbb{R}} x \cdot p^X ( x ) \, dx</math> Erwartungswert der absolut stetigen Verteilung, wenn die Bedingung :<math> E(|X|) = \int_{\Omega} |X(\omega) | \cdot p(\omega) \, d(\omega) = \int_{\mathbb{R}} |x| \cdot p^X ( x ) \, dx < \infty </math> erfüllt ist. ==== Bemerkung - induzierte Dichtefunktion ==== Für die induzierte Dichtefunktion gilt alle <math>B</math> aus der Borelschen <math>\sigma</math>-Algebra <math>\mathcal{B}(\mathbb{R})</math>: :<math> \int_{X^{-1}(B)} X(\omega) \cdot p(\omega) \, d(\omega) := \int_{B} x \cdot p^X ( x ) \, dx</math> == Satz - Erwartungswert für diskrete Zufallsvariablen == Bezeichnet <math> p_\omega = P( \lbrace \omega \rbrace ) </math> die Wahrscheinlichkeitsfunktion von <math> P </math> auf <math> \Omega </math>, so gilt für eine auf <math> ( \Omega, \mathcal{S}, P)</math> definierte Zufallsvariable <math> X:\Omega \to \mathbb{R}</math>: :<math> E(X)= \sum_{\omega \in \Omega} X(\omega)\cdot p_\omega </math> (sofern <math> \sum |X(\omega)| \cdot p_\omega < \infty </math>). === Beweis - === Es ist :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \sum_{\omega \in \Omega} X(\omega) \cdot p_\omega & = & \displaystyle \sum_{x \in X(\Omega)} \sum _{\omega:X(\omega) = x} X(\omega) \cdot p_\omega \\ & = & \displaystyle \sum_{x \in X(\Omega)} x \sum_{\omega:X(\omega)=x} p_\omega \\ & = & \displaystyle \sum_{x \in X(\Omega)} x \cdot P^X(\lbrace x \rbrace) \\ & = & E(X) \\ \end{array} </math> === Bemerkung zum Beweis === In den Beweis geht der große Umordnungssatz für konvergente Reihen aus der Analysis ein. Die Anwendung Umordnungssatzes ist möglich, da <math> E(|X|) < \infty</math> gilt und damit die Reihe absolut konvergent ist. === Bemerkungen - Existenz Erwartungeswertes === Im Fall absoluter Konvergenz der Reihen (Beispiele oben) sagt man: * <math> X </math> besitzt einen Erwartungswert, oder * der Erwartungswert von <math> X</math> existiert. <math> X </math> besitzt genau dann einen Erwartungswert, falls <math> E\big( |X|\big) = \sum_{\omega \in \Omega} |X(\omega)| \cdot p_\omega < \infty </math>. <br> ==== Endlicher Ergebnisraum ==== Dies ist bei endlichen Ergebnisräumen <math> \Omega </math> immer der Fall. ==== Schreibweise ==== Statt <math>E(X)</math> auch <math>EX</math> oder <math>E_PX</math>, wenn man kenntlich machen möchte, bzgl. welchem Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> der Erwartungswert berechnet wurde. === Elementare Folgerungen === Aus dem obigen Satz zum Erwartungswert folgt: <math> E(1) = 1, E(X) \le E(Y)</math>, falls <math> X(w) \le Y(w)</math> für alle <math> w \in \Omega </math> gilt. ==== Beispiel ==== Ist <math> X(w) = \lbrace w_1, ..., w_m \rbrace</math>, und ist <math> P_X</math> die Gleichverteilung auf <math> X(\Omega)</math>, so lautet der Erwartungswert :<math> E(X)= \frac {1} {m} \sum _{i=1}^{m} x_i </math> ("arithmetisches Mittel"). <br> (Der Erwartungswert der Augenzahl beim Würfeln ist 3,5.) ==== Beispiel ==== Für die Indikatorvariable <math> X=1_A</math> eines Ereignisses <math> A \subset \Omega </math> gilt: :<math> E(1_A) = 0 \cdot P(1_A = 0) + 1 \cdot P(1_A = 1) = P(A)</math> Eine direkte Folgerung aus der Behauptung ist der folgende Satz. === Satz - Linearität des Erwartungswertes === Besitzen die Zufallsvariablen <math> X_1, X_2</math> Erwartungswerte, so auch die Zufallsvariablen <math> aX_1, bX_2, a,b \in \mathbb{R}</math>, und es gilt: :<math> E(aX_1+bX_2 ) = aE(X_1) + bE(X_2)</math> ("[[Kurs:Stochastik/Linearität Erwartungswert|Linearität]]") === Bemerkung - Aufgabe - Beweis === Der [[Kurs:Stochastik/Linearität_Erwartungswert|Beweis der Linearität]] wird über das Einsetzen der Definition und der Anwendung elementaren Umformungen geführt. Versuchen Sie diesen Beweis zunächst ohne Hilfen selbst durchzuführen und sich erst danach bei Problemen den angegebenen Beweis in Wikiversity zur [[Kurs:Stochastik/Linearität_Erwartungswert|Linearität des Erwartungswertes]] anzusehen. Stellen Sie den Beweis in den Übungen mit allen Begründungen vor. === Anwendungsbeispiel für die Linearität des Erwartungswertes === Alle <math>n</math> Zufallsgrößen <math>X_k</math> mit <math>k\in \{1,\ldots , n\}</math> seinen <math> B(1,p)</math>-verteilt. Dann ist <math>X:= X_1 + \ldots + X_n</math> ein <math> B(n,p)</math>-verteilt und für den Erwartungswert erhält man mit der Linearität des Erwartungswertes <math>X</math> gilt: :<math> E(X) = n\cdot p</math> ===== Beweismöglichkeiten===== * <math> E(X)= \sum _{k=k}^{n} k \cdot \binom {n}{k} \cdot p^k (1-p)^{n-k} = ... = n \cdot p</math> * Für die Binominalverteilung gilt <math> X=X_1 + .. + X_n </math> mit <math> E(X_i) = p</math>. Dann ist :<math> E(X)=E(X_1) + ... + E(X_n) = n \cdot p </math> (wg. [[Kurs:Stochastik/Linearität Erwartungswert|Linearität]]). <br> === Satz - Verkettung von messbaren Abbildungen === Ist <math> X: \Omega \to \Omega'</math> Zufallsgröße auf <math> (\Omega,P) </math> und <math> \phi: \Omega' \to \mathbb{R}</math> eine Abbildung, dann gilt :<math> E(\phi \circ X)= \sum_{x \in X(\Omega)} \phi(x) \cdot P_X( \lbrace x \rbrace)</math> (Falls die Reihe absolut konvergiert). === Beweis === :<math> E_{\!_P}(\phi \circ X) = \sum_{\omega \in \Omega} \phi(X(w)) \cdot p_\omega = \sum_{x \in X(\Omega)} \sum_{\omega:X(\omega) = x} \phi(X(\omega)) \cdot p_w </math> :<math> = \sum_{x \in X(\omega)} \phi(x) \sum _{\omega: X(\omega)=x} p_\omega = \sum_{x \in X(\omega)} \phi(x) \cdot P_X(\lbrace x \rbrace). </math> (Großer Umordnungssatz für absolut konvergente Reihen) <br> === Beispiele === Gemäß der Behauptung gilt z.B. : Mit <math>\phi_1(x) := x^2</math> erhält man <math>E(\phi_1) = \sum_{x\in \mathbb{R}} x^2 \cdot P_X(\lbrace x \rbrace) </math> :Mit <math>\phi_2(x) := e^x</math> erhält man <math> E(\phi_2) = \sum_ {x\in \mathbb{R}} e^x \cdot P_X(\lbrace x \rbrace)</math> usw. ====Bemerkung ==== Die rechte Seite der Behauptung kann man auch als <math> E_{P_X} (\phi)</math> schreiben. <br> In der Tat, <math> P_X (\lbrace x \rbrace)</math> ist Wahrscheinlichkeitsfunktion auf <math> \Omega' </math> und <math> \phi</math> wird als Zufallsvariable auf <math> (\Omega', P_X)</math> aufgefasst: :<math> E_P(\phi \circ X)= E_{P_X}(\phi)</math> === Satz - Multipkikation von unabhängigen Zufallsgrößen === Die Zufallsvariablen <math> X,Y</math> mögen unabhängig sein und Erwartungswerte besitzen. Dann besitzt auch <math> X \cdot Y</math> einen Erwartungswert und es gilt :<math> E(X \cdot Y) = E(X) \cdot E(Y)</math> ====Beweis (i.1)==== Zur Existenz von <math> E(X \cdot Y)</math>: :<math> E(|X \cdot Y|)= \sum_{w \in \Omega } |X(w) \cdot Y(w)| p_w </math> :<math> = \sum_{x \in X(\Omega)} \sum _{y \in Y(\Omega)} \sum_{w:X(\omega)=x, Y(\omega) = y} |X(w) \cdot Y(w)| p_w </math> :<math> = \sum_{x \in X(\Omega)}\sum_{y \in Y(\Omega)} | x \cdot y | P(X=x, Y=y)</math> ==== Beweis (i.2) ==== :<math> = \sum_{x \in X(\Omega)} |x| \cdot P(X=x) \sum_{y \in Y(\Omega)} |y| \cdot P(Y=y)</math> :<math> = E|X| \cdot E|Y| < \infty </math> (Reihe links oben also absolut konvergent.) ==== Beweis (ii) ==== Die gleiche Rechnung wie in (i) ohne Betragsstriche liefert: :<math> E(X \cdot Y) = \sum_{w \in \Omega} X(w) \cdot Y(w) p_w </math> :<math> = ... = \sum_{x \in X(\Omega)} x \cdot P(X=x) \sum_{y \in Y(\Omega)} y \cdot P(Y=y) </math> :<math> = E(X) \cdot E(Y)</math> Es wurde angewandt: Doppelreihensatz und Umordnungssatz für Reihen mit nicht negativen Gliedern (in (i)) und für absolut konvergente Reihen (in (ii)). ====Bemerkung ==== 1. Allgemein gilt für unabhängige Zufallsvariablen <math> X_1, ..., X_n</math> mit existierenden Erwartungswerten: :<math> E(X_1 \cdot ... \cdot X_n) = E(X_1) \cdot ... \cdot E(X_n)</math> 2. Bei fehlender Unabhängigkeit folgt aus <math> P|X| < \infty, P|Y| < \infty </math> nicht notwendigerweise <math> P| X \cdot Y| <\infty </math>. === Definition - Bedingter Erwartungswert === Sei <math> (\Omega, \mathcal{S}, P) </math> diskreter Wahrscheinlichkeitsraum, <math>X</math> Zufallsvariable mit existierendem Erwartungswert und <math> A \subset \Omega </math> mit <math> P(A)> 0</math>. Dann heißt :<math> E(X|A) = E_{P_{(\cdot |A)}} (X)</math> der bedingte Erwartungswert von <math>X</math> unter (der Bedingung) <math>A</math>. <br> [ <math> P( \cdot|A)</math> ist die bedingte Wahrscheinlichkeitsverteilung auf <math> \Omega </math> unter <math> A </math>.] ==== Formeln zu Berechnung ==== :<math> E(X|A) = \sum_{w \in \Omega} X(w) P( \lbrace w \rbrace|A) = \sum X(w) \frac {P( \lbrace w \rbrace \cap A)} {P(A)} </math> :<math> = \frac {1} { P(A)} \sum_{w \in A} X(w) p_w = \frac {1} {P(A)} \sum_{w \in \Omega} 1_A (w) X(w) p_w = \frac {1} {P(A)} E(1_A X)</math> ==== Bemerkungen ==== * Da <math> \sum_{\omega \in \Omega} X(\omega )\cdot p_\omega </math> absolut konvergiert, so konvergiert auch <math>\sum_{\omega \in A} X(\omega ) \cdot p_\omega </math>. Damit existiert der bedingte Erwartungswert <math> E(X|A)</math>. * Spezialfälle: <math> E(1_A|A) =1, E(X|\Omega) = E(X)</math> <br> * Der hier eingeführte Begriff des bedingten Erwartungswertes spielt eine untergeordnete Rolle. In der allgemeinen Wahrscheinlichkeitstheorie definiert man bedingte Erwartungswerte der Art <math> E(X|Y)</math>, <math> Y </math> Zufallsvariable, welche von großer Wichtigkeit sind (jedoch hier in der Einführung nicht gebraucht werden). == Momente == In dem obigen Beispiel wurde der Erwartungswert <math>E(X)</math> als Spezialfall von Momenten <math>E(X^k)</math> betrachtet, die im Folgenden definiert werden. === Definition - Momente === Es sei <math>X</math> eine [[w:de:Zufallsvariable|Zufallsvariable]] und <math>k</math> eine [[w:de:natürliche Zahl|natürliche Zahl]]. Dann bezeichnet man als ''Moment der Ordnung <math>k</math> von <math>X</math>'' oder kürzer als ''<math>k</math>-tes Moment von <math>X</math>'' den Erwartungswert der <math>k</math>&#8209;ten Potenz von <math>X</math> (unter der Voraussetzung, dass dieser existiert): :<math> m_k := \operatorname{E}\left(X^k\right), </math> und als ''<math>k</math>-tes absolutes Moment von <math>X</math>'' wird der Erwartungswert der <math>k</math>-ten Potenz des Absolutbetrages <math>|X|</math> von <math>X</math> bezeichnet: :<math> M_k := \operatorname{E}\left(\left|X\right|^k\right). </math> === Bemerkung - nichtganzzahlige Momente === In theoretischen Untersuchungen werden mitunter auch Momente nichtganzzahliger Ordnung <math>\kappa</math> betrachtet. === Bemerkung - Existenz von Momenten === Die Existenz von Momenten einer bestimmten Ordnung liefert allgemein Aussagen über die Verteilung der Wahrscheinlichkeitsmasse. === Bemerkung - Erwartungswert als Moment 1. Ordnung === Das ''erste Moment'' ist der Erwartungswert. Er wird meist mit <math>\mu</math> bezeichnet und kann als Mittelwert angesehen werden. == Siehe auch == * [[Kurs:Stochastik/Linearität Erwartungswert|Linearität des Erwartungswertes]] * [[Kurs:Stochastik/Varianz|Varianz]] * [[Kurs:Stochastik/Kovarianz|Kovarianz]] * [[Kurs:Stochastik/Erzeugende Funktionen|Erzeugende Funktionen]] * [[Kurs:Stochastik]] == Seiteninformation == Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Momente&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Stochastik Kurs:Stochastik]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Momente https://de.wikiversity.org/wiki/Momente] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Momente Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Momente * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Momente&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] [[Category:Wiki2Reveal]] b7wukxunq7sn0l7mjuewwekp7qz8rjf 1119256 1119255 2026-11-09T16:53:02Z Bert Niehaus 20843 /* Beweis - */ 1119256 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite zum Thema ''Momente'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Momente&author=Wikipedia%20Authors&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Momente&coursetitle=Wikipedia%20Authors Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt: * (1) Definition von Momenten * (2) [[Erwartungswert|Erwartungswert]] * (3) [[Varianz|Varianz]] == Motivation - Erwartungswert == Vorbemerkung: Zwei Personen <math> A </math> und <math>B </math> vereinbaren ein Würfelspiel. * Ausgang '1': <math> A </math> zahlt an <math>B </math> 5€ * Ausgang '2', ..., '6': <math> B </math> zahlt an <math>A </math> 1€ Die Gewinnerwartung für die beiden Spieler beträgt hier Null: Erwarteter Gewinn von <math>B</math>: :<math> 5 \cdot \frac {1} {6} - 1 \cdot \frac {1} {6} - ... -1 \cdot \frac {1} {6} = 0 </math> ("faires Spiel"). === Bemerkung - Wahrscheinlichkeit und Wert der Zufallsgröße === In der obigen Gleichung :<math> 5 \cdot \frac {1} {6} - 1 \cdot \frac {1} {6} - ... -1 \cdot \frac {1} {6} = 0 </math> setzen sich die einzelnen Terme (z.B. <math> 5 \cdot \frac{1}{6} </math>) aus dem Wert der Zufallsgröße <math>X(1) = 5</math> und der Wahrscheinlichkeit <math> \frac{1}{6} </math> für das Eintretens des Ereignisse ("1 gewürfelt") zusammen. == Definition - Erwartungswert == Die Definition des Erwartungswertes wird in folgende Fälle unterteilt: * diskrete Zufallsgröße und * absolute stetige Zufallsgröße. === Definition - Erwartungswert - diskreter Fall === Sei <math> X : \Omega \to \mathbb{R} </math> eine auf einem diskreten [[Wahrscheinlichkeitsraum]] <math> (\Omega, \mathcal{S}, P) </math> definierte Zufallsvariable, dann heißt :<math> E(X) = \sum_{x \in X (\Omega)} x \cdot P(X=x) = \sum_{x \in X(\Omega)} x \cdot P^X (\lbrace x \rbrace)</math> Erwartungswert von <math> X </math>, vorausgesetzt, dass <math> \sum_{x \in X(\Omega)} |x| \cdot P(X=x) < \infty </math>. ==== Bemerkung - Anzahl Summanden - diskreter Fall ==== Die Zufallsgröße <math>X: \Omega \to \mathbb{R}</math> nimmt nur zwei Werte an, nämlich <math>X(\omega)=5</math> für <math>\omega =1</math> und <math>X(\omega)=-1</math> für <math>\omega =2,3,4,5,6</math>. Dabei besteht der Erwartungswert in der obigen Notation nur aus zwei Summanden, da <math>X(\Omega)=\{-1,5\}</math>. ==== Bemerkung 1 - Notation zum diskreten Beispiel ==== Möchte man den Erwartungswert analog zur obigen Notation mit 6 Summand definieren: :<math> \begin{array}{rcl} E(X) & = & \sum_{\omega \in \Omega} X(\omega) \cdot P(\{\omega\}) \\ & = & 5 \cdot \frac {1} {6} + \underbrace{(- 1) \cdot \frac {1} {6} + ... +(-1) \cdot \frac {1} {6}}_{=(-1) \cdot \frac {5} {6}} \\ & = & 5 \cdot \frac {1} {6} + -1 \cdot \frac {5} {6} = \displaystyle \sum_{x \in X(\Omega)=\{5,-1\}} x \cdot P^X(\{x\}) \\ & = & 0 \end{array} </math> ==== Bemerkung 2 - diskret verteilte Zufallsgröße ==== Die Reihe <math> \sum _x |x| \cdot P(X=x) < \infty</math> hat nur abzählbar viele Elemente <math>x</math> mit <math>P(X=x) \not= 0</math>, weil <math>X:\Omega \to\mathbb{R}</math> eine diskrete Zufallsgröße ist. ==== Bemerkung 3 - Erwartungswert - absolute Konvergenz ==== Mit <math> \sum _x |x| \cdot \underbrace{P(X=x)}_{\geq 0} </math> ist die Reihe in der Definition zum Erwartungswert absolut konvergent. Die Fälle <math> E(x) = + \infty </math> und <math> E(x) = - \infty </math> werden also ausgeschlossen. In solchen Fällen existiert der Erwartungswert nicht. === Definition - Erwartungswert - absolut stetig === Sei <math> X : \Omega \to \mathbb{R} </math> eine auf einem diskreten [[Wahrscheinlichkeitsraum]] <math> (\Omega, \mathcal{S}, P) </math> bei die Wahrscheinlichkeitsverteilung durch eine Dichtefunktion <math> p:\Omega \to \mathbb{R}_0^{+} </math> bzw. die induzierte Dichte <math> p^X:\mathbb{R} \to \mathbb{R}_0^{+} </math> gegeben ist. Dann heißt :<math> E(X) := \int_{\Omega} X(\omega) \cdot p(\omega) \, d(\omega) := \int_{\mathbb{R}} x \cdot p^X ( x ) \, dx</math> Erwartungswert der absolut stetigen Verteilung, wenn die Bedingung :<math> E(|X|) = \int_{\Omega} |X(\omega) | \cdot p(\omega) \, d(\omega) = \int_{\mathbb{R}} |x| \cdot p^X ( x ) \, dx < \infty </math> erfüllt ist. ==== Bemerkung - induzierte Dichtefunktion ==== Für die induzierte Dichtefunktion gilt alle <math>B</math> aus der Borelschen <math>\sigma</math>-Algebra <math>\mathcal{B}(\mathbb{R})</math>: :<math> \int_{X^{-1}(B)} X(\omega) \cdot p(\omega) \, d(\omega) := \int_{B} x \cdot p^X ( x ) \, dx</math> == Satz - Erwartungswert für diskrete Zufallsvariablen == Bezeichnet <math> p_\omega = P( \lbrace \omega \rbrace ) </math> die Wahrscheinlichkeitsfunktion von <math> P </math> auf <math> \Omega </math>, so gilt für eine auf <math> ( \Omega, \mathcal{S}, P)</math> definierte Zufallsvariable <math> X:\Omega \to \mathbb{R}</math>: :<math> E(X)= \sum_{\omega \in \Omega} X(\omega)\cdot p_\omega </math> (sofern <math> \sum |X(\omega)| \cdot p_\omega < \infty </math>). === Beweis - Erwartungswert für diskrete Zufallsvariablen === Es ist :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \sum_{\omega \in \Omega} X(\omega) \cdot p_\omega & = & \displaystyle \sum_{x \in X(\Omega)} \sum _{\omega:X(\omega) = x} X(\omega) \cdot p_\omega \\ & = & \displaystyle \sum_{x \in X(\Omega)} x \sum_{\omega:X(\omega)=x} p_\omega \\ & = & \displaystyle \sum_{x \in X(\Omega)} x \cdot P^X(\lbrace x \rbrace) \\ & = & E(X) \\ \end{array} </math> === Bemerkung zum Beweis === In den Beweis geht der große Umordnungssatz für konvergente Reihen aus der Analysis ein. Die Anwendung Umordnungssatzes ist möglich, da <math> E(|X|) < \infty</math> gilt und damit die Reihe absolut konvergent ist. === Bemerkungen - Existenz Erwartungeswertes === Im Fall absoluter Konvergenz der Reihen (Beispiele oben) sagt man: * <math> X </math> besitzt einen Erwartungswert, oder * der Erwartungswert von <math> X</math> existiert. <math> X </math> besitzt genau dann einen Erwartungswert, falls <math> E\big( |X|\big) = \sum_{\omega \in \Omega} |X(\omega)| \cdot p_\omega < \infty </math>. <br> ==== Endlicher Ergebnisraum ==== Dies ist bei endlichen Ergebnisräumen <math> \Omega </math> immer der Fall. ==== Schreibweise ==== Statt <math>E(X)</math> auch <math>EX</math> oder <math>E_PX</math>, wenn man kenntlich machen möchte, bzgl. welchem Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> der Erwartungswert berechnet wurde. === Elementare Folgerungen === Aus dem obigen Satz zum Erwartungswert folgt: <math> E(1) = 1, E(X) \le E(Y)</math>, falls <math> X(w) \le Y(w)</math> für alle <math> w \in \Omega </math> gilt. ==== Beispiel ==== Ist <math> X(w) = \lbrace w_1, ..., w_m \rbrace</math>, und ist <math> P_X</math> die Gleichverteilung auf <math> X(\Omega)</math>, so lautet der Erwartungswert :<math> E(X)= \frac {1} {m} \sum _{i=1}^{m} x_i </math> ("arithmetisches Mittel"). <br> (Der Erwartungswert der Augenzahl beim Würfeln ist 3,5.) ==== Beispiel ==== Für die Indikatorvariable <math> X=1_A</math> eines Ereignisses <math> A \subset \Omega </math> gilt: :<math> E(1_A) = 0 \cdot P(1_A = 0) + 1 \cdot P(1_A = 1) = P(A)</math> Eine direkte Folgerung aus der Behauptung ist der folgende Satz. === Satz - Linearität des Erwartungswertes === Besitzen die Zufallsvariablen <math> X_1, X_2</math> Erwartungswerte, so auch die Zufallsvariablen <math> aX_1, bX_2, a,b \in \mathbb{R}</math>, und es gilt: :<math> E(aX_1+bX_2 ) = aE(X_1) + bE(X_2)</math> ("[[Kurs:Stochastik/Linearität Erwartungswert|Linearität]]") === Bemerkung - Aufgabe - Beweis === Der [[Kurs:Stochastik/Linearität_Erwartungswert|Beweis der Linearität]] wird über das Einsetzen der Definition und der Anwendung elementaren Umformungen geführt. Versuchen Sie diesen Beweis zunächst ohne Hilfen selbst durchzuführen und sich erst danach bei Problemen den angegebenen Beweis in Wikiversity zur [[Kurs:Stochastik/Linearität_Erwartungswert|Linearität des Erwartungswertes]] anzusehen. Stellen Sie den Beweis in den Übungen mit allen Begründungen vor. === Anwendungsbeispiel für die Linearität des Erwartungswertes === Alle <math>n</math> Zufallsgrößen <math>X_k</math> mit <math>k\in \{1,\ldots , n\}</math> seinen <math> B(1,p)</math>-verteilt. Dann ist <math>X:= X_1 + \ldots + X_n</math> ein <math> B(n,p)</math>-verteilt und für den Erwartungswert erhält man mit der Linearität des Erwartungswertes <math>X</math> gilt: :<math> E(X) = n\cdot p</math> ===== Beweismöglichkeiten===== * <math> E(X)= \sum _{k=k}^{n} k \cdot \binom {n}{k} \cdot p^k (1-p)^{n-k} = ... = n \cdot p</math> * Für die Binominalverteilung gilt <math> X=X_1 + .. + X_n </math> mit <math> E(X_i) = p</math>. Dann ist :<math> E(X)=E(X_1) + ... + E(X_n) = n \cdot p </math> (wg. [[Kurs:Stochastik/Linearität Erwartungswert|Linearität]]). <br> === Satz - Verkettung von messbaren Abbildungen === Ist <math> X: \Omega \to \Omega'</math> Zufallsgröße auf <math> (\Omega,P) </math> und <math> \phi: \Omega' \to \mathbb{R}</math> eine Abbildung, dann gilt :<math> E(\phi \circ X)= \sum_{x \in X(\Omega)} \phi(x) \cdot P_X( \lbrace x \rbrace)</math> (Falls die Reihe absolut konvergiert). === Beweis === :<math> E_{\!_P}(\phi \circ X) = \sum_{\omega \in \Omega} \phi(X(w)) \cdot p_\omega = \sum_{x \in X(\Omega)} \sum_{\omega:X(\omega) = x} \phi(X(\omega)) \cdot p_w </math> :<math> = \sum_{x \in X(\omega)} \phi(x) \sum _{\omega: X(\omega)=x} p_\omega = \sum_{x \in X(\omega)} \phi(x) \cdot P_X(\lbrace x \rbrace). </math> (Großer Umordnungssatz für absolut konvergente Reihen) <br> === Beispiele === Gemäß der Behauptung gilt z.B. : Mit <math>\phi_1(x) := x^2</math> erhält man <math>E(\phi_1) = \sum_{x\in \mathbb{R}} x^2 \cdot P_X(\lbrace x \rbrace) </math> :Mit <math>\phi_2(x) := e^x</math> erhält man <math> E(\phi_2) = \sum_ {x\in \mathbb{R}} e^x \cdot P_X(\lbrace x \rbrace)</math> usw. ====Bemerkung ==== Die rechte Seite der Behauptung kann man auch als <math> E_{P_X} (\phi)</math> schreiben. <br> In der Tat, <math> P_X (\lbrace x \rbrace)</math> ist Wahrscheinlichkeitsfunktion auf <math> \Omega' </math> und <math> \phi</math> wird als Zufallsvariable auf <math> (\Omega', P_X)</math> aufgefasst: :<math> E_P(\phi \circ X)= E_{P_X}(\phi)</math> === Satz - Multipkikation von unabhängigen Zufallsgrößen === Die Zufallsvariablen <math> X,Y</math> mögen unabhängig sein und Erwartungswerte besitzen. Dann besitzt auch <math> X \cdot Y</math> einen Erwartungswert und es gilt :<math> E(X \cdot Y) = E(X) \cdot E(Y)</math> ====Beweis (i.1)==== Zur Existenz von <math> E(X \cdot Y)</math>: :<math> E(|X \cdot Y|)= \sum_{w \in \Omega } |X(w) \cdot Y(w)| p_w </math> :<math> = \sum_{x \in X(\Omega)} \sum _{y \in Y(\Omega)} \sum_{w:X(\omega)=x, Y(\omega) = y} |X(w) \cdot Y(w)| p_w </math> :<math> = \sum_{x \in X(\Omega)}\sum_{y \in Y(\Omega)} | x \cdot y | P(X=x, Y=y)</math> ==== Beweis (i.2) ==== :<math> = \sum_{x \in X(\Omega)} |x| \cdot P(X=x) \sum_{y \in Y(\Omega)} |y| \cdot P(Y=y)</math> :<math> = E|X| \cdot E|Y| < \infty </math> (Reihe links oben also absolut konvergent.) ==== Beweis (ii) ==== Die gleiche Rechnung wie in (i) ohne Betragsstriche liefert: :<math> E(X \cdot Y) = \sum_{w \in \Omega} X(w) \cdot Y(w) p_w </math> :<math> = ... = \sum_{x \in X(\Omega)} x \cdot P(X=x) \sum_{y \in Y(\Omega)} y \cdot P(Y=y) </math> :<math> = E(X) \cdot E(Y)</math> Es wurde angewandt: Doppelreihensatz und Umordnungssatz für Reihen mit nicht negativen Gliedern (in (i)) und für absolut konvergente Reihen (in (ii)). ====Bemerkung ==== 1. Allgemein gilt für unabhängige Zufallsvariablen <math> X_1, ..., X_n</math> mit existierenden Erwartungswerten: :<math> E(X_1 \cdot ... \cdot X_n) = E(X_1) \cdot ... \cdot E(X_n)</math> 2. Bei fehlender Unabhängigkeit folgt aus <math> P|X| < \infty, P|Y| < \infty </math> nicht notwendigerweise <math> P| X \cdot Y| <\infty </math>. === Definition - Bedingter Erwartungswert === Sei <math> (\Omega, \mathcal{S}, P) </math> diskreter Wahrscheinlichkeitsraum, <math>X</math> Zufallsvariable mit existierendem Erwartungswert und <math> A \subset \Omega </math> mit <math> P(A)> 0</math>. Dann heißt :<math> E(X|A) = E_{P_{(\cdot |A)}} (X)</math> der bedingte Erwartungswert von <math>X</math> unter (der Bedingung) <math>A</math>. <br> [ <math> P( \cdot|A)</math> ist die bedingte Wahrscheinlichkeitsverteilung auf <math> \Omega </math> unter <math> A </math>.] ==== Formeln zu Berechnung ==== :<math> E(X|A) = \sum_{w \in \Omega} X(w) P( \lbrace w \rbrace|A) = \sum X(w) \frac {P( \lbrace w \rbrace \cap A)} {P(A)} </math> :<math> = \frac {1} { P(A)} \sum_{w \in A} X(w) p_w = \frac {1} {P(A)} \sum_{w \in \Omega} 1_A (w) X(w) p_w = \frac {1} {P(A)} E(1_A X)</math> ==== Bemerkungen ==== * Da <math> \sum_{\omega \in \Omega} X(\omega )\cdot p_\omega </math> absolut konvergiert, so konvergiert auch <math>\sum_{\omega \in A} X(\omega ) \cdot p_\omega </math>. Damit existiert der bedingte Erwartungswert <math> E(X|A)</math>. * Spezialfälle: <math> E(1_A|A) =1, E(X|\Omega) = E(X)</math> <br> * Der hier eingeführte Begriff des bedingten Erwartungswertes spielt eine untergeordnete Rolle. In der allgemeinen Wahrscheinlichkeitstheorie definiert man bedingte Erwartungswerte der Art <math> E(X|Y)</math>, <math> Y </math> Zufallsvariable, welche von großer Wichtigkeit sind (jedoch hier in der Einführung nicht gebraucht werden). == Momente == In dem obigen Beispiel wurde der Erwartungswert <math>E(X)</math> als Spezialfall von Momenten <math>E(X^k)</math> betrachtet, die im Folgenden definiert werden. === Definition - Momente === Es sei <math>X</math> eine [[w:de:Zufallsvariable|Zufallsvariable]] und <math>k</math> eine [[w:de:natürliche Zahl|natürliche Zahl]]. Dann bezeichnet man als ''Moment der Ordnung <math>k</math> von <math>X</math>'' oder kürzer als ''<math>k</math>-tes Moment von <math>X</math>'' den Erwartungswert der <math>k</math>&#8209;ten Potenz von <math>X</math> (unter der Voraussetzung, dass dieser existiert): :<math> m_k := \operatorname{E}\left(X^k\right), </math> und als ''<math>k</math>-tes absolutes Moment von <math>X</math>'' wird der Erwartungswert der <math>k</math>-ten Potenz des Absolutbetrages <math>|X|</math> von <math>X</math> bezeichnet: :<math> M_k := \operatorname{E}\left(\left|X\right|^k\right). </math> === Bemerkung - nichtganzzahlige Momente === In theoretischen Untersuchungen werden mitunter auch Momente nichtganzzahliger Ordnung <math>\kappa</math> betrachtet. === Bemerkung - Existenz von Momenten === Die Existenz von Momenten einer bestimmten Ordnung liefert allgemein Aussagen über die Verteilung der Wahrscheinlichkeitsmasse. === Bemerkung - Erwartungswert als Moment 1. Ordnung === Das ''erste Moment'' ist der Erwartungswert. Er wird meist mit <math>\mu</math> bezeichnet und kann als Mittelwert angesehen werden. == Siehe auch == * [[Kurs:Stochastik/Linearität Erwartungswert|Linearität des Erwartungswertes]] * [[Kurs:Stochastik/Varianz|Varianz]] * [[Kurs:Stochastik/Kovarianz|Kovarianz]] * [[Kurs:Stochastik/Erzeugende Funktionen|Erzeugende Funktionen]] * [[Kurs:Stochastik]] == Seiteninformation == Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Momente&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Stochastik Kurs:Stochastik]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Momente https://de.wikiversity.org/wiki/Momente] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Momente Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Momente * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Momente&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] [[Category:Wiki2Reveal]] juqeqhoif5aljwzwkltsnecu94pfug4 1119257 1119256 2026-11-09T16:54:23Z Bert Niehaus 20843 /* Satz - Linearität des Erwartungswertes */ 1119257 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite zum Thema ''Momente'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Momente&author=Wikipedia%20Authors&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Momente&coursetitle=Wikipedia%20Authors Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt: * (1) Definition von Momenten * (2) [[Erwartungswert|Erwartungswert]] * (3) [[Varianz|Varianz]] == Motivation - Erwartungswert == Vorbemerkung: Zwei Personen <math> A </math> und <math>B </math> vereinbaren ein Würfelspiel. * Ausgang '1': <math> A </math> zahlt an <math>B </math> 5€ * Ausgang '2', ..., '6': <math> B </math> zahlt an <math>A </math> 1€ Die Gewinnerwartung für die beiden Spieler beträgt hier Null: Erwarteter Gewinn von <math>B</math>: :<math> 5 \cdot \frac {1} {6} - 1 \cdot \frac {1} {6} - ... -1 \cdot \frac {1} {6} = 0 </math> ("faires Spiel"). === Bemerkung - Wahrscheinlichkeit und Wert der Zufallsgröße === In der obigen Gleichung :<math> 5 \cdot \frac {1} {6} - 1 \cdot \frac {1} {6} - ... -1 \cdot \frac {1} {6} = 0 </math> setzen sich die einzelnen Terme (z.B. <math> 5 \cdot \frac{1}{6} </math>) aus dem Wert der Zufallsgröße <math>X(1) = 5</math> und der Wahrscheinlichkeit <math> \frac{1}{6} </math> für das Eintretens des Ereignisse ("1 gewürfelt") zusammen. == Definition - Erwartungswert == Die Definition des Erwartungswertes wird in folgende Fälle unterteilt: * diskrete Zufallsgröße und * absolute stetige Zufallsgröße. === Definition - Erwartungswert - diskreter Fall === Sei <math> X : \Omega \to \mathbb{R} </math> eine auf einem diskreten [[Wahrscheinlichkeitsraum]] <math> (\Omega, \mathcal{S}, P) </math> definierte Zufallsvariable, dann heißt :<math> E(X) = \sum_{x \in X (\Omega)} x \cdot P(X=x) = \sum_{x \in X(\Omega)} x \cdot P^X (\lbrace x \rbrace)</math> Erwartungswert von <math> X </math>, vorausgesetzt, dass <math> \sum_{x \in X(\Omega)} |x| \cdot P(X=x) < \infty </math>. ==== Bemerkung - Anzahl Summanden - diskreter Fall ==== Die Zufallsgröße <math>X: \Omega \to \mathbb{R}</math> nimmt nur zwei Werte an, nämlich <math>X(\omega)=5</math> für <math>\omega =1</math> und <math>X(\omega)=-1</math> für <math>\omega =2,3,4,5,6</math>. Dabei besteht der Erwartungswert in der obigen Notation nur aus zwei Summanden, da <math>X(\Omega)=\{-1,5\}</math>. ==== Bemerkung 1 - Notation zum diskreten Beispiel ==== Möchte man den Erwartungswert analog zur obigen Notation mit 6 Summand definieren: :<math> \begin{array}{rcl} E(X) & = & \sum_{\omega \in \Omega} X(\omega) \cdot P(\{\omega\}) \\ & = & 5 \cdot \frac {1} {6} + \underbrace{(- 1) \cdot \frac {1} {6} + ... +(-1) \cdot \frac {1} {6}}_{=(-1) \cdot \frac {5} {6}} \\ & = & 5 \cdot \frac {1} {6} + -1 \cdot \frac {5} {6} = \displaystyle \sum_{x \in X(\Omega)=\{5,-1\}} x \cdot P^X(\{x\}) \\ & = & 0 \end{array} </math> ==== Bemerkung 2 - diskret verteilte Zufallsgröße ==== Die Reihe <math> \sum _x |x| \cdot P(X=x) < \infty</math> hat nur abzählbar viele Elemente <math>x</math> mit <math>P(X=x) \not= 0</math>, weil <math>X:\Omega \to\mathbb{R}</math> eine diskrete Zufallsgröße ist. ==== Bemerkung 3 - Erwartungswert - absolute Konvergenz ==== Mit <math> \sum _x |x| \cdot \underbrace{P(X=x)}_{\geq 0} </math> ist die Reihe in der Definition zum Erwartungswert absolut konvergent. Die Fälle <math> E(x) = + \infty </math> und <math> E(x) = - \infty </math> werden also ausgeschlossen. In solchen Fällen existiert der Erwartungswert nicht. === Definition - Erwartungswert - absolut stetig === Sei <math> X : \Omega \to \mathbb{R} </math> eine auf einem diskreten [[Wahrscheinlichkeitsraum]] <math> (\Omega, \mathcal{S}, P) </math> bei die Wahrscheinlichkeitsverteilung durch eine Dichtefunktion <math> p:\Omega \to \mathbb{R}_0^{+} </math> bzw. die induzierte Dichte <math> p^X:\mathbb{R} \to \mathbb{R}_0^{+} </math> gegeben ist. Dann heißt :<math> E(X) := \int_{\Omega} X(\omega) \cdot p(\omega) \, d(\omega) := \int_{\mathbb{R}} x \cdot p^X ( x ) \, dx</math> Erwartungswert der absolut stetigen Verteilung, wenn die Bedingung :<math> E(|X|) = \int_{\Omega} |X(\omega) | \cdot p(\omega) \, d(\omega) = \int_{\mathbb{R}} |x| \cdot p^X ( x ) \, dx < \infty </math> erfüllt ist. ==== Bemerkung - induzierte Dichtefunktion ==== Für die induzierte Dichtefunktion gilt alle <math>B</math> aus der Borelschen <math>\sigma</math>-Algebra <math>\mathcal{B}(\mathbb{R})</math>: :<math> \int_{X^{-1}(B)} X(\omega) \cdot p(\omega) \, d(\omega) := \int_{B} x \cdot p^X ( x ) \, dx</math> == Satz - Erwartungswert für diskrete Zufallsvariablen == Bezeichnet <math> p_\omega = P( \lbrace \omega \rbrace ) </math> die Wahrscheinlichkeitsfunktion von <math> P </math> auf <math> \Omega </math>, so gilt für eine auf <math> ( \Omega, \mathcal{S}, P)</math> definierte Zufallsvariable <math> X:\Omega \to \mathbb{R}</math>: :<math> E(X)= \sum_{\omega \in \Omega} X(\omega)\cdot p_\omega </math> (sofern <math> \sum |X(\omega)| \cdot p_\omega < \infty </math>). === Beweis - Erwartungswert für diskrete Zufallsvariablen === Es ist :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \sum_{\omega \in \Omega} X(\omega) \cdot p_\omega & = & \displaystyle \sum_{x \in X(\Omega)} \sum _{\omega:X(\omega) = x} X(\omega) \cdot p_\omega \\ & = & \displaystyle \sum_{x \in X(\Omega)} x \sum_{\omega:X(\omega)=x} p_\omega \\ & = & \displaystyle \sum_{x \in X(\Omega)} x \cdot P^X(\lbrace x \rbrace) \\ & = & E(X) \\ \end{array} </math> === Bemerkung zum Beweis === In den Beweis geht der große Umordnungssatz für konvergente Reihen aus der Analysis ein. Die Anwendung Umordnungssatzes ist möglich, da <math> E(|X|) < \infty</math> gilt und damit die Reihe absolut konvergent ist. === Bemerkungen - Existenz Erwartungeswertes === Im Fall absoluter Konvergenz der Reihen (Beispiele oben) sagt man: * <math> X </math> besitzt einen Erwartungswert, oder * der Erwartungswert von <math> X</math> existiert. <math> X </math> besitzt genau dann einen Erwartungswert, falls <math> E\big( |X|\big) = \sum_{\omega \in \Omega} |X(\omega)| \cdot p_\omega < \infty </math>. <br> ==== Endlicher Ergebnisraum ==== Dies ist bei endlichen Ergebnisräumen <math> \Omega </math> immer der Fall. ==== Schreibweise ==== Statt <math>E(X)</math> auch <math>EX</math> oder <math>E_PX</math>, wenn man kenntlich machen möchte, bzgl. welchem Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> der Erwartungswert berechnet wurde. === Elementare Folgerungen === Aus dem obigen Satz zum Erwartungswert folgt: <math> E(1) = 1, E(X) \le E(Y)</math>, falls <math> X(w) \le Y(w)</math> für alle <math> w \in \Omega </math> gilt. ==== Beispiel ==== Ist <math> X(w) = \lbrace w_1, ..., w_m \rbrace</math>, und ist <math> P_X</math> die Gleichverteilung auf <math> X(\Omega)</math>, so lautet der Erwartungswert :<math> E(X)= \frac {1} {m} \sum _{i=1}^{m} x_i </math> ("arithmetisches Mittel"). <br> (Der Erwartungswert der Augenzahl beim Würfeln ist 3,5.) ==== Beispiel ==== Für die Indikatorvariable <math> X=1_A</math> eines Ereignisses <math> A \subset \Omega </math> gilt: :<math> E(1_A) = 0 \cdot P(1_A = 0) + 1 \cdot P(1_A = 1) = P(A)</math> Eine direkte Folgerung aus der Behauptung ist der folgende Satz. == Satz - Linearität des Erwartungswertes == Besitzen die Zufallsvariablen <math> X_1, X_2</math> Erwartungswerte, so auch die Zufallsvariablen <math> aX_1, bX_2, a,b \in \mathbb{R}</math>, und es gilt: :<math> E(a\cdot X_1+b\cdot X_2 ) = a\cdot E(X_1) + b\cdot E(X_2)</math> (siehe [[Kurs:Stochastik/Linearität Erwartungswert|Linearität des Erwartungswertes]]) === Bemerkung - Aufgabe - Beweis === Der [[Kurs:Stochastik/Linearität_Erwartungswert|Beweis der Linearität]] wird über das Einsetzen der Definition und der Anwendung elementaren Umformungen geführt. Versuchen Sie diesen Beweis zunächst ohne Hilfen selbst durchzuführen und sich erst danach bei Problemen den angegebenen Beweis in Wikiversity zur [[Kurs:Stochastik/Linearität_Erwartungswert|Linearität des Erwartungswertes]] anzusehen. Stellen Sie den Beweis in den Übungen mit allen Begründungen vor. === Anwendungsbeispiel für die Linearität des Erwartungswertes === Alle <math>n</math> Zufallsgrößen <math>X_k</math> mit <math>k\in \{1,\ldots , n\}</math> seinen <math> B(1,p)</math>-verteilt. Dann ist <math>X:= X_1 + \ldots + X_n</math> ein <math> B(n,p)</math>-verteilt und für den Erwartungswert erhält man mit der Linearität des Erwartungswertes <math>X</math> gilt: :<math> E(X) = n\cdot p</math> ===== Beweismöglichkeiten===== * <math> E(X)= \sum _{k=k}^{n} k \cdot \binom {n}{k} \cdot p^k (1-p)^{n-k} = ... = n \cdot p</math> * Für die Binominalverteilung gilt <math> X=X_1 + .. + X_n </math> mit <math> E(X_i) = p</math>. Dann ist :<math> E(X)=E(X_1) + ... + E(X_n) = n \cdot p </math> (wg. [[Kurs:Stochastik/Linearität Erwartungswert|Linearität]]). <br> === Satz - Verkettung von messbaren Abbildungen === Ist <math> X: \Omega \to \Omega'</math> Zufallsgröße auf <math> (\Omega,P) </math> und <math> \phi: \Omega' \to \mathbb{R}</math> eine Abbildung, dann gilt :<math> E(\phi \circ X)= \sum_{x \in X(\Omega)} \phi(x) \cdot P_X( \lbrace x \rbrace)</math> (Falls die Reihe absolut konvergiert). === Beweis === :<math> E_{\!_P}(\phi \circ X) = \sum_{\omega \in \Omega} \phi(X(w)) \cdot p_\omega = \sum_{x \in X(\Omega)} \sum_{\omega:X(\omega) = x} \phi(X(\omega)) \cdot p_w </math> :<math> = \sum_{x \in X(\omega)} \phi(x) \sum _{\omega: X(\omega)=x} p_\omega = \sum_{x \in X(\omega)} \phi(x) \cdot P_X(\lbrace x \rbrace). </math> (Großer Umordnungssatz für absolut konvergente Reihen) <br> === Beispiele === Gemäß der Behauptung gilt z.B. : Mit <math>\phi_1(x) := x^2</math> erhält man <math>E(\phi_1) = \sum_{x\in \mathbb{R}} x^2 \cdot P_X(\lbrace x \rbrace) </math> :Mit <math>\phi_2(x) := e^x</math> erhält man <math> E(\phi_2) = \sum_ {x\in \mathbb{R}} e^x \cdot P_X(\lbrace x \rbrace)</math> usw. ====Bemerkung ==== Die rechte Seite der Behauptung kann man auch als <math> E_{P_X} (\phi)</math> schreiben. <br> In der Tat, <math> P_X (\lbrace x \rbrace)</math> ist Wahrscheinlichkeitsfunktion auf <math> \Omega' </math> und <math> \phi</math> wird als Zufallsvariable auf <math> (\Omega', P_X)</math> aufgefasst: :<math> E_P(\phi \circ X)= E_{P_X}(\phi)</math> === Satz - Multipkikation von unabhängigen Zufallsgrößen === Die Zufallsvariablen <math> X,Y</math> mögen unabhängig sein und Erwartungswerte besitzen. Dann besitzt auch <math> X \cdot Y</math> einen Erwartungswert und es gilt :<math> E(X \cdot Y) = E(X) \cdot E(Y)</math> ====Beweis (i.1)==== Zur Existenz von <math> E(X \cdot Y)</math>: :<math> E(|X \cdot Y|)= \sum_{w \in \Omega } |X(w) \cdot Y(w)| p_w </math> :<math> = \sum_{x \in X(\Omega)} \sum _{y \in Y(\Omega)} \sum_{w:X(\omega)=x, Y(\omega) = y} |X(w) \cdot Y(w)| p_w </math> :<math> = \sum_{x \in X(\Omega)}\sum_{y \in Y(\Omega)} | x \cdot y | P(X=x, Y=y)</math> ==== Beweis (i.2) ==== :<math> = \sum_{x \in X(\Omega)} |x| \cdot P(X=x) \sum_{y \in Y(\Omega)} |y| \cdot P(Y=y)</math> :<math> = E|X| \cdot E|Y| < \infty </math> (Reihe links oben also absolut konvergent.) ==== Beweis (ii) ==== Die gleiche Rechnung wie in (i) ohne Betragsstriche liefert: :<math> E(X \cdot Y) = \sum_{w \in \Omega} X(w) \cdot Y(w) p_w </math> :<math> = ... = \sum_{x \in X(\Omega)} x \cdot P(X=x) \sum_{y \in Y(\Omega)} y \cdot P(Y=y) </math> :<math> = E(X) \cdot E(Y)</math> Es wurde angewandt: Doppelreihensatz und Umordnungssatz für Reihen mit nicht negativen Gliedern (in (i)) und für absolut konvergente Reihen (in (ii)). ====Bemerkung ==== 1. Allgemein gilt für unabhängige Zufallsvariablen <math> X_1, ..., X_n</math> mit existierenden Erwartungswerten: :<math> E(X_1 \cdot ... \cdot X_n) = E(X_1) \cdot ... \cdot E(X_n)</math> 2. Bei fehlender Unabhängigkeit folgt aus <math> P|X| < \infty, P|Y| < \infty </math> nicht notwendigerweise <math> P| X \cdot Y| <\infty </math>. === Definition - Bedingter Erwartungswert === Sei <math> (\Omega, \mathcal{S}, P) </math> diskreter Wahrscheinlichkeitsraum, <math>X</math> Zufallsvariable mit existierendem Erwartungswert und <math> A \subset \Omega </math> mit <math> P(A)> 0</math>. Dann heißt :<math> E(X|A) = E_{P_{(\cdot |A)}} (X)</math> der bedingte Erwartungswert von <math>X</math> unter (der Bedingung) <math>A</math>. <br> [ <math> P( \cdot|A)</math> ist die bedingte Wahrscheinlichkeitsverteilung auf <math> \Omega </math> unter <math> A </math>.] ==== Formeln zu Berechnung ==== :<math> E(X|A) = \sum_{w \in \Omega} X(w) P( \lbrace w \rbrace|A) = \sum X(w) \frac {P( \lbrace w \rbrace \cap A)} {P(A)} </math> :<math> = \frac {1} { P(A)} \sum_{w \in A} X(w) p_w = \frac {1} {P(A)} \sum_{w \in \Omega} 1_A (w) X(w) p_w = \frac {1} {P(A)} E(1_A X)</math> ==== Bemerkungen ==== * Da <math> \sum_{\omega \in \Omega} X(\omega )\cdot p_\omega </math> absolut konvergiert, so konvergiert auch <math>\sum_{\omega \in A} X(\omega ) \cdot p_\omega </math>. Damit existiert der bedingte Erwartungswert <math> E(X|A)</math>. * Spezialfälle: <math> E(1_A|A) =1, E(X|\Omega) = E(X)</math> <br> * Der hier eingeführte Begriff des bedingten Erwartungswertes spielt eine untergeordnete Rolle. In der allgemeinen Wahrscheinlichkeitstheorie definiert man bedingte Erwartungswerte der Art <math> E(X|Y)</math>, <math> Y </math> Zufallsvariable, welche von großer Wichtigkeit sind (jedoch hier in der Einführung nicht gebraucht werden). == Momente == In dem obigen Beispiel wurde der Erwartungswert <math>E(X)</math> als Spezialfall von Momenten <math>E(X^k)</math> betrachtet, die im Folgenden definiert werden. === Definition - Momente === Es sei <math>X</math> eine [[w:de:Zufallsvariable|Zufallsvariable]] und <math>k</math> eine [[w:de:natürliche Zahl|natürliche Zahl]]. Dann bezeichnet man als ''Moment der Ordnung <math>k</math> von <math>X</math>'' oder kürzer als ''<math>k</math>-tes Moment von <math>X</math>'' den Erwartungswert der <math>k</math>&#8209;ten Potenz von <math>X</math> (unter der Voraussetzung, dass dieser existiert): :<math> m_k := \operatorname{E}\left(X^k\right), </math> und als ''<math>k</math>-tes absolutes Moment von <math>X</math>'' wird der Erwartungswert der <math>k</math>-ten Potenz des Absolutbetrages <math>|X|</math> von <math>X</math> bezeichnet: :<math> M_k := \operatorname{E}\left(\left|X\right|^k\right). </math> === Bemerkung - nichtganzzahlige Momente === In theoretischen Untersuchungen werden mitunter auch Momente nichtganzzahliger Ordnung <math>\kappa</math> betrachtet. === Bemerkung - Existenz von Momenten === Die Existenz von Momenten einer bestimmten Ordnung liefert allgemein Aussagen über die Verteilung der Wahrscheinlichkeitsmasse. === Bemerkung - Erwartungswert als Moment 1. Ordnung === Das ''erste Moment'' ist der Erwartungswert. Er wird meist mit <math>\mu</math> bezeichnet und kann als Mittelwert angesehen werden. == Siehe auch == * [[Kurs:Stochastik/Linearität Erwartungswert|Linearität des Erwartungswertes]] * [[Kurs:Stochastik/Varianz|Varianz]] * [[Kurs:Stochastik/Kovarianz|Kovarianz]] * [[Kurs:Stochastik/Erzeugende Funktionen|Erzeugende Funktionen]] * [[Kurs:Stochastik]] == Seiteninformation == Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Momente&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Stochastik Kurs:Stochastik]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Momente https://de.wikiversity.org/wiki/Momente] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Momente Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Momente * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Momente&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] [[Category:Wiki2Reveal]] f2o3zc7mzl49fcraknxxq283ggypwq5 1119258 1119257 2026-11-09T16:54:52Z Bert Niehaus 20843 /* Satz - Verkettung von messbaren Abbildungen */ 1119258 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite zum Thema ''Momente'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Momente&author=Wikipedia%20Authors&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Momente&coursetitle=Wikipedia%20Authors Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. 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Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt: * (1) Definition von Momenten * (2) [[Erwartungswert|Erwartungswert]] * (3) [[Varianz|Varianz]] == Motivation - Erwartungswert == Vorbemerkung: Zwei Personen <math> A </math> und <math>B </math> vereinbaren ein Würfelspiel. * Ausgang '1': <math> A </math> zahlt an <math>B </math> 5€ * Ausgang '2', ..., '6': <math> B </math> zahlt an <math>A </math> 1€ Die Gewinnerwartung für die beiden Spieler beträgt hier Null: Erwarteter Gewinn von <math>B</math>: :<math> 5 \cdot \frac {1} {6} - 1 \cdot \frac {1} {6} - ... -1 \cdot \frac {1} {6} = 0 </math> ("faires Spiel"). === Bemerkung - Wahrscheinlichkeit und Wert der Zufallsgröße === In der obigen Gleichung :<math> 5 \cdot \frac {1} {6} - 1 \cdot \frac {1} {6} - ... -1 \cdot \frac {1} {6} = 0 </math> setzen sich die einzelnen Terme (z.B. <math> 5 \cdot \frac{1}{6} </math>) aus dem Wert der Zufallsgröße <math>X(1) = 5</math> und der Wahrscheinlichkeit <math> \frac{1}{6} </math> für das Eintretens des Ereignisse ("1 gewürfelt") zusammen. == Definition - Erwartungswert == Die Definition des Erwartungswertes wird in folgende Fälle unterteilt: * diskrete Zufallsgröße und * absolute stetige Zufallsgröße. === Definition - Erwartungswert - diskreter Fall === Sei <math> X : \Omega \to \mathbb{R} </math> eine auf einem diskreten [[Wahrscheinlichkeitsraum]] <math> (\Omega, \mathcal{S}, P) </math> definierte Zufallsvariable, dann heißt :<math> E(X) = \sum_{x \in X (\Omega)} x \cdot P(X=x) = \sum_{x \in X(\Omega)} x \cdot P^X (\lbrace x \rbrace)</math> Erwartungswert von <math> X </math>, vorausgesetzt, dass <math> \sum_{x \in X(\Omega)} |x| \cdot P(X=x) < \infty </math>. ==== Bemerkung - Anzahl Summanden - diskreter Fall ==== Die Zufallsgröße <math>X: \Omega \to \mathbb{R}</math> nimmt nur zwei Werte an, nämlich <math>X(\omega)=5</math> für <math>\omega =1</math> und <math>X(\omega)=-1</math> für <math>\omega =2,3,4,5,6</math>. Dabei besteht der Erwartungswert in der obigen Notation nur aus zwei Summanden, da <math>X(\Omega)=\{-1,5\}</math>. ==== Bemerkung 1 - Notation zum diskreten Beispiel ==== Möchte man den Erwartungswert analog zur obigen Notation mit 6 Summand definieren: :<math> \begin{array}{rcl} E(X) & = & \sum_{\omega \in \Omega} X(\omega) \cdot P(\{\omega\}) \\ & = & 5 \cdot \frac {1} {6} + \underbrace{(- 1) \cdot \frac {1} {6} + ... +(-1) \cdot \frac {1} {6}}_{=(-1) \cdot \frac {5} {6}} \\ & = & 5 \cdot \frac {1} {6} + -1 \cdot \frac {5} {6} = \displaystyle \sum_{x \in X(\Omega)=\{5,-1\}} x \cdot P^X(\{x\}) \\ & = & 0 \end{array} </math> ==== Bemerkung 2 - diskret verteilte Zufallsgröße ==== Die Reihe <math> \sum _x |x| \cdot P(X=x) < \infty</math> hat nur abzählbar viele Elemente <math>x</math> mit <math>P(X=x) \not= 0</math>, weil <math>X:\Omega \to\mathbb{R}</math> eine diskrete Zufallsgröße ist. ==== Bemerkung 3 - Erwartungswert - absolute Konvergenz ==== Mit <math> \sum _x |x| \cdot \underbrace{P(X=x)}_{\geq 0} </math> ist die Reihe in der Definition zum Erwartungswert absolut konvergent. Die Fälle <math> E(x) = + \infty </math> und <math> E(x) = - \infty </math> werden also ausgeschlossen. In solchen Fällen existiert der Erwartungswert nicht. === Definition - Erwartungswert - absolut stetig === Sei <math> X : \Omega \to \mathbb{R} </math> eine auf einem diskreten [[Wahrscheinlichkeitsraum]] <math> (\Omega, \mathcal{S}, P) </math> bei die Wahrscheinlichkeitsverteilung durch eine Dichtefunktion <math> p:\Omega \to \mathbb{R}_0^{+} </math> bzw. die induzierte Dichte <math> p^X:\mathbb{R} \to \mathbb{R}_0^{+} </math> gegeben ist. Dann heißt :<math> E(X) := \int_{\Omega} X(\omega) \cdot p(\omega) \, d(\omega) := \int_{\mathbb{R}} x \cdot p^X ( x ) \, dx</math> Erwartungswert der absolut stetigen Verteilung, wenn die Bedingung :<math> E(|X|) = \int_{\Omega} |X(\omega) | \cdot p(\omega) \, d(\omega) = \int_{\mathbb{R}} |x| \cdot p^X ( x ) \, dx < \infty </math> erfüllt ist. ==== Bemerkung - induzierte Dichtefunktion ==== Für die induzierte Dichtefunktion gilt alle <math>B</math> aus der Borelschen <math>\sigma</math>-Algebra <math>\mathcal{B}(\mathbb{R})</math>: :<math> \int_{X^{-1}(B)} X(\omega) \cdot p(\omega) \, d(\omega) := \int_{B} x \cdot p^X ( x ) \, dx</math> == Satz - Erwartungswert für diskrete Zufallsvariablen == Bezeichnet <math> p_\omega = P( \lbrace \omega \rbrace ) </math> die Wahrscheinlichkeitsfunktion von <math> P </math> auf <math> \Omega </math>, so gilt für eine auf <math> ( \Omega, \mathcal{S}, P)</math> definierte Zufallsvariable <math> X:\Omega \to \mathbb{R}</math>: :<math> E(X)= \sum_{\omega \in \Omega} X(\omega)\cdot p_\omega </math> (sofern <math> \sum |X(\omega)| \cdot p_\omega < \infty </math>). === Beweis - Erwartungswert für diskrete Zufallsvariablen === Es ist :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \sum_{\omega \in \Omega} X(\omega) \cdot p_\omega & = & \displaystyle \sum_{x \in X(\Omega)} \sum _{\omega:X(\omega) = x} X(\omega) \cdot p_\omega \\ & = & \displaystyle \sum_{x \in X(\Omega)} x \sum_{\omega:X(\omega)=x} p_\omega \\ & = & \displaystyle \sum_{x \in X(\Omega)} x \cdot P^X(\lbrace x \rbrace) \\ & = & E(X) \\ \end{array} </math> === Bemerkung zum Beweis === In den Beweis geht der große Umordnungssatz für konvergente Reihen aus der Analysis ein. Die Anwendung Umordnungssatzes ist möglich, da <math> E(|X|) < \infty</math> gilt und damit die Reihe absolut konvergent ist. === Bemerkungen - Existenz Erwartungeswertes === Im Fall absoluter Konvergenz der Reihen (Beispiele oben) sagt man: * <math> X </math> besitzt einen Erwartungswert, oder * der Erwartungswert von <math> X</math> existiert. <math> X </math> besitzt genau dann einen Erwartungswert, falls <math> E\big( |X|\big) = \sum_{\omega \in \Omega} |X(\omega)| \cdot p_\omega < \infty </math>. <br> ==== Endlicher Ergebnisraum ==== Dies ist bei endlichen Ergebnisräumen <math> \Omega </math> immer der Fall. ==== Schreibweise ==== Statt <math>E(X)</math> auch <math>EX</math> oder <math>E_PX</math>, wenn man kenntlich machen möchte, bzgl. welchem Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> der Erwartungswert berechnet wurde. === Elementare Folgerungen === Aus dem obigen Satz zum Erwartungswert folgt: <math> E(1) = 1, E(X) \le E(Y)</math>, falls <math> X(w) \le Y(w)</math> für alle <math> w \in \Omega </math> gilt. ==== Beispiel ==== Ist <math> X(w) = \lbrace w_1, ..., w_m \rbrace</math>, und ist <math> P_X</math> die Gleichverteilung auf <math> X(\Omega)</math>, so lautet der Erwartungswert :<math> E(X)= \frac {1} {m} \sum _{i=1}^{m} x_i </math> ("arithmetisches Mittel"). <br> (Der Erwartungswert der Augenzahl beim Würfeln ist 3,5.) ==== Beispiel ==== Für die Indikatorvariable <math> X=1_A</math> eines Ereignisses <math> A \subset \Omega </math> gilt: :<math> E(1_A) = 0 \cdot P(1_A = 0) + 1 \cdot P(1_A = 1) = P(A)</math> Eine direkte Folgerung aus der Behauptung ist der folgende Satz. == Satz - Linearität des Erwartungswertes == Besitzen die Zufallsvariablen <math> X_1, X_2</math> Erwartungswerte, so auch die Zufallsvariablen <math> aX_1, bX_2, a,b \in \mathbb{R}</math>, und es gilt: :<math> E(a\cdot X_1+b\cdot X_2 ) = a\cdot E(X_1) + b\cdot E(X_2)</math> (siehe [[Kurs:Stochastik/Linearität Erwartungswert|Linearität des Erwartungswertes]]) === Bemerkung - Aufgabe - Beweis === Der [[Kurs:Stochastik/Linearität_Erwartungswert|Beweis der Linearität]] wird über das Einsetzen der Definition und der Anwendung elementaren Umformungen geführt. Versuchen Sie diesen Beweis zunächst ohne Hilfen selbst durchzuführen und sich erst danach bei Problemen den angegebenen Beweis in Wikiversity zur [[Kurs:Stochastik/Linearität_Erwartungswert|Linearität des Erwartungswertes]] anzusehen. Stellen Sie den Beweis in den Übungen mit allen Begründungen vor. === Anwendungsbeispiel für die Linearität des Erwartungswertes === Alle <math>n</math> Zufallsgrößen <math>X_k</math> mit <math>k\in \{1,\ldots , n\}</math> seinen <math> B(1,p)</math>-verteilt. Dann ist <math>X:= X_1 + \ldots + X_n</math> ein <math> B(n,p)</math>-verteilt und für den Erwartungswert erhält man mit der Linearität des Erwartungswertes <math>X</math> gilt: :<math> E(X) = n\cdot p</math> ===== Beweismöglichkeiten===== * <math> E(X)= \sum _{k=k}^{n} k \cdot \binom {n}{k} \cdot p^k (1-p)^{n-k} = ... = n \cdot p</math> * Für die Binominalverteilung gilt <math> X=X_1 + .. + X_n </math> mit <math> E(X_i) = p</math>. Dann ist :<math> E(X)=E(X_1) + ... + E(X_n) = n \cdot p </math> (wg. [[Kurs:Stochastik/Linearität Erwartungswert|Linearität]]). <br> == Satz - Verkettung von messbaren Abbildungen == Ist <math> X: \Omega \to \Omega'</math> Zufallsgröße auf <math> (\Omega,P) </math> und <math> \phi: \Omega' \to \mathbb{R}</math> eine Abbildung, dann gilt :<math> E(\phi \circ X)= \sum_{x \in X(\Omega)} \phi(x) \cdot P_X( \lbrace x \rbrace)</math> (Falls die Reihe absolut konvergiert). === Beweis === :<math> E_{\!_P}(\phi \circ X) = \sum_{\omega \in \Omega} \phi(X(w)) \cdot p_\omega = \sum_{x \in X(\Omega)} \sum_{\omega:X(\omega) = x} \phi(X(\omega)) \cdot p_w </math> :<math> = \sum_{x \in X(\omega)} \phi(x) \sum _{\omega: X(\omega)=x} p_\omega = \sum_{x \in X(\omega)} \phi(x) \cdot P_X(\lbrace x \rbrace). </math> (Großer Umordnungssatz für absolut konvergente Reihen) <br> === Beispiele === Gemäß der Behauptung gilt z.B. : Mit <math>\phi_1(x) := x^2</math> erhält man <math>E(\phi_1) = \sum_{x\in \mathbb{R}} x^2 \cdot P_X(\lbrace x \rbrace) </math> :Mit <math>\phi_2(x) := e^x</math> erhält man <math> E(\phi_2) = \sum_ {x\in \mathbb{R}} e^x \cdot P_X(\lbrace x \rbrace)</math> usw. ====Bemerkung ==== Die rechte Seite der Behauptung kann man auch als <math> E_{P_X} (\phi)</math> schreiben. <br> In der Tat, <math> P_X (\lbrace x \rbrace)</math> ist Wahrscheinlichkeitsfunktion auf <math> \Omega' </math> und <math> \phi</math> wird als Zufallsvariable auf <math> (\Omega', P_X)</math> aufgefasst: :<math> E_P(\phi \circ X)= E_{P_X}(\phi)</math> === Satz - Multipkikation von unabhängigen Zufallsgrößen === Die Zufallsvariablen <math> X,Y</math> mögen unabhängig sein und Erwartungswerte besitzen. Dann besitzt auch <math> X \cdot Y</math> einen Erwartungswert und es gilt :<math> E(X \cdot Y) = E(X) \cdot E(Y)</math> ====Beweis (i.1)==== Zur Existenz von <math> E(X \cdot Y)</math>: :<math> E(|X \cdot Y|)= \sum_{w \in \Omega } |X(w) \cdot Y(w)| p_w </math> :<math> = \sum_{x \in X(\Omega)} \sum _{y \in Y(\Omega)} \sum_{w:X(\omega)=x, Y(\omega) = y} |X(w) \cdot Y(w)| p_w </math> :<math> = \sum_{x \in X(\Omega)}\sum_{y \in Y(\Omega)} | x \cdot y | P(X=x, Y=y)</math> ==== Beweis (i.2) ==== :<math> = \sum_{x \in X(\Omega)} |x| \cdot P(X=x) \sum_{y \in Y(\Omega)} |y| \cdot P(Y=y)</math> :<math> = E|X| \cdot E|Y| < \infty </math> (Reihe links oben also absolut konvergent.) ==== Beweis (ii) ==== Die gleiche Rechnung wie in (i) ohne Betragsstriche liefert: :<math> E(X \cdot Y) = \sum_{w \in \Omega} X(w) \cdot Y(w) p_w </math> :<math> = ... = \sum_{x \in X(\Omega)} x \cdot P(X=x) \sum_{y \in Y(\Omega)} y \cdot P(Y=y) </math> :<math> = E(X) \cdot E(Y)</math> Es wurde angewandt: Doppelreihensatz und Umordnungssatz für Reihen mit nicht negativen Gliedern (in (i)) und für absolut konvergente Reihen (in (ii)). ====Bemerkung ==== 1. Allgemein gilt für unabhängige Zufallsvariablen <math> X_1, ..., X_n</math> mit existierenden Erwartungswerten: :<math> E(X_1 \cdot ... \cdot X_n) = E(X_1) \cdot ... \cdot E(X_n)</math> 2. Bei fehlender Unabhängigkeit folgt aus <math> P|X| < \infty, P|Y| < \infty </math> nicht notwendigerweise <math> P| X \cdot Y| <\infty </math>. === Definition - Bedingter Erwartungswert === Sei <math> (\Omega, \mathcal{S}, P) </math> diskreter Wahrscheinlichkeitsraum, <math>X</math> Zufallsvariable mit existierendem Erwartungswert und <math> A \subset \Omega </math> mit <math> P(A)> 0</math>. Dann heißt :<math> E(X|A) = E_{P_{(\cdot |A)}} (X)</math> der bedingte Erwartungswert von <math>X</math> unter (der Bedingung) <math>A</math>. <br> [ <math> P( \cdot|A)</math> ist die bedingte Wahrscheinlichkeitsverteilung auf <math> \Omega </math> unter <math> A </math>.] ==== Formeln zu Berechnung ==== :<math> E(X|A) = \sum_{w \in \Omega} X(w) P( \lbrace w \rbrace|A) = \sum X(w) \frac {P( \lbrace w \rbrace \cap A)} {P(A)} </math> :<math> = \frac {1} { P(A)} \sum_{w \in A} X(w) p_w = \frac {1} {P(A)} \sum_{w \in \Omega} 1_A (w) X(w) p_w = \frac {1} {P(A)} E(1_A X)</math> ==== Bemerkungen ==== * Da <math> \sum_{\omega \in \Omega} X(\omega )\cdot p_\omega </math> absolut konvergiert, so konvergiert auch <math>\sum_{\omega \in A} X(\omega ) \cdot p_\omega </math>. Damit existiert der bedingte Erwartungswert <math> E(X|A)</math>. * Spezialfälle: <math> E(1_A|A) =1, E(X|\Omega) = E(X)</math> <br> * Der hier eingeführte Begriff des bedingten Erwartungswertes spielt eine untergeordnete Rolle. In der allgemeinen Wahrscheinlichkeitstheorie definiert man bedingte Erwartungswerte der Art <math> E(X|Y)</math>, <math> Y </math> Zufallsvariable, welche von großer Wichtigkeit sind (jedoch hier in der Einführung nicht gebraucht werden). == Momente == In dem obigen Beispiel wurde der Erwartungswert <math>E(X)</math> als Spezialfall von Momenten <math>E(X^k)</math> betrachtet, die im Folgenden definiert werden. === Definition - Momente === Es sei <math>X</math> eine [[w:de:Zufallsvariable|Zufallsvariable]] und <math>k</math> eine [[w:de:natürliche Zahl|natürliche Zahl]]. Dann bezeichnet man als ''Moment der Ordnung <math>k</math> von <math>X</math>'' oder kürzer als ''<math>k</math>-tes Moment von <math>X</math>'' den Erwartungswert der <math>k</math>&#8209;ten Potenz von <math>X</math> (unter der Voraussetzung, dass dieser existiert): :<math> m_k := \operatorname{E}\left(X^k\right), </math> und als ''<math>k</math>-tes absolutes Moment von <math>X</math>'' wird der Erwartungswert der <math>k</math>-ten Potenz des Absolutbetrages <math>|X|</math> von <math>X</math> bezeichnet: :<math> M_k := \operatorname{E}\left(\left|X\right|^k\right). </math> === Bemerkung - nichtganzzahlige Momente === In theoretischen Untersuchungen werden mitunter auch Momente nichtganzzahliger Ordnung <math>\kappa</math> betrachtet. === Bemerkung - Existenz von Momenten === Die Existenz von Momenten einer bestimmten Ordnung liefert allgemein Aussagen über die Verteilung der Wahrscheinlichkeitsmasse. === Bemerkung - Erwartungswert als Moment 1. Ordnung === Das ''erste Moment'' ist der Erwartungswert. Er wird meist mit <math>\mu</math> bezeichnet und kann als Mittelwert angesehen werden. == Siehe auch == * [[Kurs:Stochastik/Linearität Erwartungswert|Linearität des Erwartungswertes]] * [[Kurs:Stochastik/Varianz|Varianz]] * [[Kurs:Stochastik/Kovarianz|Kovarianz]] * [[Kurs:Stochastik/Erzeugende Funktionen|Erzeugende Funktionen]] * [[Kurs:Stochastik]] == Seiteninformation == Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Momente&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Stochastik Kurs:Stochastik]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Momente https://de.wikiversity.org/wiki/Momente] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Momente Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Momente * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Momente&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] [[Category:Wiki2Reveal]] tk9kyvbx5zalnuikqbnal3a05ep5h14 1119260 1119258 2026-11-09T16:57:23Z Bert Niehaus 20843 /* Beweis */ 1119260 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite zum Thema ''Momente'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Momente&author=Wikipedia%20Authors&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Momente&coursetitle=Wikipedia%20Authors Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt: * (1) Definition von Momenten * (2) [[Erwartungswert|Erwartungswert]] * (3) [[Varianz|Varianz]] == Motivation - Erwartungswert == Vorbemerkung: Zwei Personen <math> A </math> und <math>B </math> vereinbaren ein Würfelspiel. * Ausgang '1': <math> A </math> zahlt an <math>B </math> 5€ * Ausgang '2', ..., '6': <math> B </math> zahlt an <math>A </math> 1€ Die Gewinnerwartung für die beiden Spieler beträgt hier Null: Erwarteter Gewinn von <math>B</math>: :<math> 5 \cdot \frac {1} {6} - 1 \cdot \frac {1} {6} - ... -1 \cdot \frac {1} {6} = 0 </math> ("faires Spiel"). === Bemerkung - Wahrscheinlichkeit und Wert der Zufallsgröße === In der obigen Gleichung :<math> 5 \cdot \frac {1} {6} - 1 \cdot \frac {1} {6} - ... -1 \cdot \frac {1} {6} = 0 </math> setzen sich die einzelnen Terme (z.B. <math> 5 \cdot \frac{1}{6} </math>) aus dem Wert der Zufallsgröße <math>X(1) = 5</math> und der Wahrscheinlichkeit <math> \frac{1}{6} </math> für das Eintretens des Ereignisse ("1 gewürfelt") zusammen. == Definition - Erwartungswert == Die Definition des Erwartungswertes wird in folgende Fälle unterteilt: * diskrete Zufallsgröße und * absolute stetige Zufallsgröße. === Definition - Erwartungswert - diskreter Fall === Sei <math> X : \Omega \to \mathbb{R} </math> eine auf einem diskreten [[Wahrscheinlichkeitsraum]] <math> (\Omega, \mathcal{S}, P) </math> definierte Zufallsvariable, dann heißt :<math> E(X) = \sum_{x \in X (\Omega)} x \cdot P(X=x) = \sum_{x \in X(\Omega)} x \cdot P^X (\lbrace x \rbrace)</math> Erwartungswert von <math> X </math>, vorausgesetzt, dass <math> \sum_{x \in X(\Omega)} |x| \cdot P(X=x) < \infty </math>. ==== Bemerkung - Anzahl Summanden - diskreter Fall ==== Die Zufallsgröße <math>X: \Omega \to \mathbb{R}</math> nimmt nur zwei Werte an, nämlich <math>X(\omega)=5</math> für <math>\omega =1</math> und <math>X(\omega)=-1</math> für <math>\omega =2,3,4,5,6</math>. Dabei besteht der Erwartungswert in der obigen Notation nur aus zwei Summanden, da <math>X(\Omega)=\{-1,5\}</math>. ==== Bemerkung 1 - Notation zum diskreten Beispiel ==== Möchte man den Erwartungswert analog zur obigen Notation mit 6 Summand definieren: :<math> \begin{array}{rcl} E(X) & = & \sum_{\omega \in \Omega} X(\omega) \cdot P(\{\omega\}) \\ & = & 5 \cdot \frac {1} {6} + \underbrace{(- 1) \cdot \frac {1} {6} + ... +(-1) \cdot \frac {1} {6}}_{=(-1) \cdot \frac {5} {6}} \\ & = & 5 \cdot \frac {1} {6} + -1 \cdot \frac {5} {6} = \displaystyle \sum_{x \in X(\Omega)=\{5,-1\}} x \cdot P^X(\{x\}) \\ & = & 0 \end{array} </math> ==== Bemerkung 2 - diskret verteilte Zufallsgröße ==== Die Reihe <math> \sum _x |x| \cdot P(X=x) < \infty</math> hat nur abzählbar viele Elemente <math>x</math> mit <math>P(X=x) \not= 0</math>, weil <math>X:\Omega \to\mathbb{R}</math> eine diskrete Zufallsgröße ist. ==== Bemerkung 3 - Erwartungswert - absolute Konvergenz ==== Mit <math> \sum _x |x| \cdot \underbrace{P(X=x)}_{\geq 0} </math> ist die Reihe in der Definition zum Erwartungswert absolut konvergent. Die Fälle <math> E(x) = + \infty </math> und <math> E(x) = - \infty </math> werden also ausgeschlossen. In solchen Fällen existiert der Erwartungswert nicht. === Definition - Erwartungswert - absolut stetig === Sei <math> X : \Omega \to \mathbb{R} </math> eine auf einem diskreten [[Wahrscheinlichkeitsraum]] <math> (\Omega, \mathcal{S}, P) </math> bei die Wahrscheinlichkeitsverteilung durch eine Dichtefunktion <math> p:\Omega \to \mathbb{R}_0^{+} </math> bzw. die induzierte Dichte <math> p^X:\mathbb{R} \to \mathbb{R}_0^{+} </math> gegeben ist. Dann heißt :<math> E(X) := \int_{\Omega} X(\omega) \cdot p(\omega) \, d(\omega) := \int_{\mathbb{R}} x \cdot p^X ( x ) \, dx</math> Erwartungswert der absolut stetigen Verteilung, wenn die Bedingung :<math> E(|X|) = \int_{\Omega} |X(\omega) | \cdot p(\omega) \, d(\omega) = \int_{\mathbb{R}} |x| \cdot p^X ( x ) \, dx < \infty </math> erfüllt ist. ==== Bemerkung - induzierte Dichtefunktion ==== Für die induzierte Dichtefunktion gilt alle <math>B</math> aus der Borelschen <math>\sigma</math>-Algebra <math>\mathcal{B}(\mathbb{R})</math>: :<math> \int_{X^{-1}(B)} X(\omega) \cdot p(\omega) \, d(\omega) := \int_{B} x \cdot p^X ( x ) \, dx</math> == Satz - Erwartungswert für diskrete Zufallsvariablen == Bezeichnet <math> p_\omega = P( \lbrace \omega \rbrace ) </math> die Wahrscheinlichkeitsfunktion von <math> P </math> auf <math> \Omega </math>, so gilt für eine auf <math> ( \Omega, \mathcal{S}, P)</math> definierte Zufallsvariable <math> X:\Omega \to \mathbb{R}</math>: :<math> E(X)= \sum_{\omega \in \Omega} X(\omega)\cdot p_\omega </math> (sofern <math> \sum |X(\omega)| \cdot p_\omega < \infty </math>). === Beweis - Erwartungswert für diskrete Zufallsvariablen === Es ist :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \sum_{\omega \in \Omega} X(\omega) \cdot p_\omega & = & \displaystyle \sum_{x \in X(\Omega)} \sum _{\omega:X(\omega) = x} X(\omega) \cdot p_\omega \\ & = & \displaystyle \sum_{x \in X(\Omega)} x \sum_{\omega:X(\omega)=x} p_\omega \\ & = & \displaystyle \sum_{x \in X(\Omega)} x \cdot P^X(\lbrace x \rbrace) \\ & = & E(X) \\ \end{array} </math> === Bemerkung zum Beweis === In den Beweis geht der große Umordnungssatz für konvergente Reihen aus der Analysis ein. Die Anwendung Umordnungssatzes ist möglich, da <math> E(|X|) < \infty</math> gilt und damit die Reihe absolut konvergent ist. === Bemerkungen - Existenz Erwartungeswertes === Im Fall absoluter Konvergenz der Reihen (Beispiele oben) sagt man: * <math> X </math> besitzt einen Erwartungswert, oder * der Erwartungswert von <math> X</math> existiert. <math> X </math> besitzt genau dann einen Erwartungswert, falls <math> E\big( |X|\big) = \sum_{\omega \in \Omega} |X(\omega)| \cdot p_\omega < \infty </math>. <br> ==== Endlicher Ergebnisraum ==== Dies ist bei endlichen Ergebnisräumen <math> \Omega </math> immer der Fall. ==== Schreibweise ==== Statt <math>E(X)</math> auch <math>EX</math> oder <math>E_PX</math>, wenn man kenntlich machen möchte, bzgl. welchem Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> der Erwartungswert berechnet wurde. === Elementare Folgerungen === Aus dem obigen Satz zum Erwartungswert folgt: <math> E(1) = 1, E(X) \le E(Y)</math>, falls <math> X(w) \le Y(w)</math> für alle <math> w \in \Omega </math> gilt. ==== Beispiel ==== Ist <math> X(w) = \lbrace w_1, ..., w_m \rbrace</math>, und ist <math> P_X</math> die Gleichverteilung auf <math> X(\Omega)</math>, so lautet der Erwartungswert :<math> E(X)= \frac {1} {m} \sum _{i=1}^{m} x_i </math> ("arithmetisches Mittel"). <br> (Der Erwartungswert der Augenzahl beim Würfeln ist 3,5.) ==== Beispiel ==== Für die Indikatorvariable <math> X=1_A</math> eines Ereignisses <math> A \subset \Omega </math> gilt: :<math> E(1_A) = 0 \cdot P(1_A = 0) + 1 \cdot P(1_A = 1) = P(A)</math> Eine direkte Folgerung aus der Behauptung ist der folgende Satz. == Satz - Linearität des Erwartungswertes == Besitzen die Zufallsvariablen <math> X_1, X_2</math> Erwartungswerte, so auch die Zufallsvariablen <math> aX_1, bX_2, a,b \in \mathbb{R}</math>, und es gilt: :<math> E(a\cdot X_1+b\cdot X_2 ) = a\cdot E(X_1) + b\cdot E(X_2)</math> (siehe [[Kurs:Stochastik/Linearität Erwartungswert|Linearität des Erwartungswertes]]) === Bemerkung - Aufgabe - Beweis === Der [[Kurs:Stochastik/Linearität_Erwartungswert|Beweis der Linearität]] wird über das Einsetzen der Definition und der Anwendung elementaren Umformungen geführt. Versuchen Sie diesen Beweis zunächst ohne Hilfen selbst durchzuführen und sich erst danach bei Problemen den angegebenen Beweis in Wikiversity zur [[Kurs:Stochastik/Linearität_Erwartungswert|Linearität des Erwartungswertes]] anzusehen. Stellen Sie den Beweis in den Übungen mit allen Begründungen vor. === Anwendungsbeispiel für die Linearität des Erwartungswertes === Alle <math>n</math> Zufallsgrößen <math>X_k</math> mit <math>k\in \{1,\ldots , n\}</math> seinen <math> B(1,p)</math>-verteilt. Dann ist <math>X:= X_1 + \ldots + X_n</math> ein <math> B(n,p)</math>-verteilt und für den Erwartungswert erhält man mit der Linearität des Erwartungswertes <math>X</math> gilt: :<math> E(X) = n\cdot p</math> ===== Beweismöglichkeiten===== * <math> E(X)= \sum _{k=k}^{n} k \cdot \binom {n}{k} \cdot p^k (1-p)^{n-k} = ... = n \cdot p</math> * Für die Binominalverteilung gilt <math> X=X_1 + .. + X_n </math> mit <math> E(X_i) = p</math>. Dann ist :<math> E(X)=E(X_1) + ... + E(X_n) = n \cdot p </math> (wg. [[Kurs:Stochastik/Linearität Erwartungswert|Linearität]]). <br> == Satz - Verkettung von messbaren Abbildungen == Ist <math> X: \Omega \to \Omega'</math> Zufallsgröße auf <math> (\Omega,P) </math> und <math> \phi: \Omega' \to \mathbb{R}</math> eine Abbildung, dann gilt :<math> E(\phi \circ X)= \sum_{x \in X(\Omega)} \phi(x) \cdot P_X( \lbrace x \rbrace)</math> (Falls die Reihe absolut konvergiert). === Beweis - Verkettung von messbaren Abbildungen === :<math> \begin{array}{rcl} E_{\!_P}(\phi \circ X) & = & \sum_{\omega \in \Omega} \phi(X(w)) \cdot p_\omega \\ & = & \sum_{x \in X(\Omega)} \sum_{\omega:X(\omega) = x} \phi(X(\omega)) \cdot p_\omega \\ & = & \sum_{x \in X(\omega)} \phi(x) \sum _{\omega: X(\omega)=x} p_\omega \\ & = & \sum_{x \in X(\omega)} \phi(x) \cdot P_X(\lbrace x \rbrace) \\ \end{array} </math> (Großer Umordnungssatz für absolut konvergente Reihen) <br> === Beispiele === Gemäß der Behauptung gilt z.B. : Mit <math>\phi_1(x) := x^2</math> erhält man <math>E(\phi_1) = \sum_{x\in \mathbb{R}} x^2 \cdot P_X(\lbrace x \rbrace) </math> :Mit <math>\phi_2(x) := e^x</math> erhält man <math> E(\phi_2) = \sum_ {x\in \mathbb{R}} e^x \cdot P_X(\lbrace x \rbrace)</math> usw. ====Bemerkung ==== Die rechte Seite der Behauptung kann man auch als <math> E_{P_X} (\phi)</math> schreiben. <br> In der Tat, <math> P_X (\lbrace x \rbrace)</math> ist Wahrscheinlichkeitsfunktion auf <math> \Omega' </math> und <math> \phi</math> wird als Zufallsvariable auf <math> (\Omega', P_X)</math> aufgefasst: :<math> E_P(\phi \circ X)= E_{P_X}(\phi)</math> === Satz - Multipkikation von unabhängigen Zufallsgrößen === Die Zufallsvariablen <math> X,Y</math> mögen unabhängig sein und Erwartungswerte besitzen. Dann besitzt auch <math> X \cdot Y</math> einen Erwartungswert und es gilt :<math> E(X \cdot Y) = E(X) \cdot E(Y)</math> ====Beweis (i.1)==== Zur Existenz von <math> E(X \cdot Y)</math>: :<math> E(|X \cdot Y|)= \sum_{w \in \Omega } |X(w) \cdot Y(w)| p_w </math> :<math> = \sum_{x \in X(\Omega)} \sum _{y \in Y(\Omega)} \sum_{w:X(\omega)=x, Y(\omega) = y} |X(w) \cdot Y(w)| p_w </math> :<math> = \sum_{x \in X(\Omega)}\sum_{y \in Y(\Omega)} | x \cdot y | P(X=x, Y=y)</math> ==== Beweis (i.2) ==== :<math> = \sum_{x \in X(\Omega)} |x| \cdot P(X=x) \sum_{y \in Y(\Omega)} |y| \cdot P(Y=y)</math> :<math> = E|X| \cdot E|Y| < \infty </math> (Reihe links oben also absolut konvergent.) ==== Beweis (ii) ==== Die gleiche Rechnung wie in (i) ohne Betragsstriche liefert: :<math> E(X \cdot Y) = \sum_{w \in \Omega} X(w) \cdot Y(w) p_w </math> :<math> = ... = \sum_{x \in X(\Omega)} x \cdot P(X=x) \sum_{y \in Y(\Omega)} y \cdot P(Y=y) </math> :<math> = E(X) \cdot E(Y)</math> Es wurde angewandt: Doppelreihensatz und Umordnungssatz für Reihen mit nicht negativen Gliedern (in (i)) und für absolut konvergente Reihen (in (ii)). ====Bemerkung ==== 1. Allgemein gilt für unabhängige Zufallsvariablen <math> X_1, ..., X_n</math> mit existierenden Erwartungswerten: :<math> E(X_1 \cdot ... \cdot X_n) = E(X_1) \cdot ... \cdot E(X_n)</math> 2. Bei fehlender Unabhängigkeit folgt aus <math> P|X| < \infty, P|Y| < \infty </math> nicht notwendigerweise <math> P| X \cdot Y| <\infty </math>. === Definition - Bedingter Erwartungswert === Sei <math> (\Omega, \mathcal{S}, P) </math> diskreter Wahrscheinlichkeitsraum, <math>X</math> Zufallsvariable mit existierendem Erwartungswert und <math> A \subset \Omega </math> mit <math> P(A)> 0</math>. Dann heißt :<math> E(X|A) = E_{P_{(\cdot |A)}} (X)</math> der bedingte Erwartungswert von <math>X</math> unter (der Bedingung) <math>A</math>. <br> [ <math> P( \cdot|A)</math> ist die bedingte Wahrscheinlichkeitsverteilung auf <math> \Omega </math> unter <math> A </math>.] ==== Formeln zu Berechnung ==== :<math> E(X|A) = \sum_{w \in \Omega} X(w) P( \lbrace w \rbrace|A) = \sum X(w) \frac {P( \lbrace w \rbrace \cap A)} {P(A)} </math> :<math> = \frac {1} { P(A)} \sum_{w \in A} X(w) p_w = \frac {1} {P(A)} \sum_{w \in \Omega} 1_A (w) X(w) p_w = \frac {1} {P(A)} E(1_A X)</math> ==== Bemerkungen ==== * Da <math> \sum_{\omega \in \Omega} X(\omega )\cdot p_\omega </math> absolut konvergiert, so konvergiert auch <math>\sum_{\omega \in A} X(\omega ) \cdot p_\omega </math>. Damit existiert der bedingte Erwartungswert <math> E(X|A)</math>. * Spezialfälle: <math> E(1_A|A) =1, E(X|\Omega) = E(X)</math> <br> * Der hier eingeführte Begriff des bedingten Erwartungswertes spielt eine untergeordnete Rolle. In der allgemeinen Wahrscheinlichkeitstheorie definiert man bedingte Erwartungswerte der Art <math> E(X|Y)</math>, <math> Y </math> Zufallsvariable, welche von großer Wichtigkeit sind (jedoch hier in der Einführung nicht gebraucht werden). == Momente == In dem obigen Beispiel wurde der Erwartungswert <math>E(X)</math> als Spezialfall von Momenten <math>E(X^k)</math> betrachtet, die im Folgenden definiert werden. === Definition - Momente === Es sei <math>X</math> eine [[w:de:Zufallsvariable|Zufallsvariable]] und <math>k</math> eine [[w:de:natürliche Zahl|natürliche Zahl]]. Dann bezeichnet man als ''Moment der Ordnung <math>k</math> von <math>X</math>'' oder kürzer als ''<math>k</math>-tes Moment von <math>X</math>'' den Erwartungswert der <math>k</math>&#8209;ten Potenz von <math>X</math> (unter der Voraussetzung, dass dieser existiert): :<math> m_k := \operatorname{E}\left(X^k\right), </math> und als ''<math>k</math>-tes absolutes Moment von <math>X</math>'' wird der Erwartungswert der <math>k</math>-ten Potenz des Absolutbetrages <math>|X|</math> von <math>X</math> bezeichnet: :<math> M_k := \operatorname{E}\left(\left|X\right|^k\right). </math> === Bemerkung - nichtganzzahlige Momente === In theoretischen Untersuchungen werden mitunter auch Momente nichtganzzahliger Ordnung <math>\kappa</math> betrachtet. === Bemerkung - Existenz von Momenten === Die Existenz von Momenten einer bestimmten Ordnung liefert allgemein Aussagen über die Verteilung der Wahrscheinlichkeitsmasse. === Bemerkung - Erwartungswert als Moment 1. Ordnung === Das ''erste Moment'' ist der Erwartungswert. Er wird meist mit <math>\mu</math> bezeichnet und kann als Mittelwert angesehen werden. == Siehe auch == * [[Kurs:Stochastik/Linearität Erwartungswert|Linearität des Erwartungswertes]] * [[Kurs:Stochastik/Varianz|Varianz]] * [[Kurs:Stochastik/Kovarianz|Kovarianz]] * [[Kurs:Stochastik/Erzeugende Funktionen|Erzeugende Funktionen]] * [[Kurs:Stochastik]] == Seiteninformation == Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Momente&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Stochastik Kurs:Stochastik]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Momente https://de.wikiversity.org/wiki/Momente] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Momente Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Momente * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Momente&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] [[Category:Wiki2Reveal]] olenfkpw5a4a6n4rafjan61r5s0ulx8 1119261 1119260 2026-11-09T16:57:56Z Bert Niehaus 20843 /* Beweis - Verkettung von messbaren Abbildungen */ 1119261 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite zum Thema ''Momente'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Momente&author=Wikipedia%20Authors&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Momente&coursetitle=Wikipedia%20Authors Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt: * (1) Definition von Momenten * (2) [[Erwartungswert|Erwartungswert]] * (3) [[Varianz|Varianz]] == Motivation - Erwartungswert == Vorbemerkung: Zwei Personen <math> A </math> und <math>B </math> vereinbaren ein Würfelspiel. * Ausgang '1': <math> A </math> zahlt an <math>B </math> 5€ * Ausgang '2', ..., '6': <math> B </math> zahlt an <math>A </math> 1€ Die Gewinnerwartung für die beiden Spieler beträgt hier Null: Erwarteter Gewinn von <math>B</math>: :<math> 5 \cdot \frac {1} {6} - 1 \cdot \frac {1} {6} - ... -1 \cdot \frac {1} {6} = 0 </math> ("faires Spiel"). === Bemerkung - Wahrscheinlichkeit und Wert der Zufallsgröße === In der obigen Gleichung :<math> 5 \cdot \frac {1} {6} - 1 \cdot \frac {1} {6} - ... -1 \cdot \frac {1} {6} = 0 </math> setzen sich die einzelnen Terme (z.B. <math> 5 \cdot \frac{1}{6} </math>) aus dem Wert der Zufallsgröße <math>X(1) = 5</math> und der Wahrscheinlichkeit <math> \frac{1}{6} </math> für das Eintretens des Ereignisse ("1 gewürfelt") zusammen. == Definition - Erwartungswert == Die Definition des Erwartungswertes wird in folgende Fälle unterteilt: * diskrete Zufallsgröße und * absolute stetige Zufallsgröße. === Definition - Erwartungswert - diskreter Fall === Sei <math> X : \Omega \to \mathbb{R} </math> eine auf einem diskreten [[Wahrscheinlichkeitsraum]] <math> (\Omega, \mathcal{S}, P) </math> definierte Zufallsvariable, dann heißt :<math> E(X) = \sum_{x \in X (\Omega)} x \cdot P(X=x) = \sum_{x \in X(\Omega)} x \cdot P^X (\lbrace x \rbrace)</math> Erwartungswert von <math> X </math>, vorausgesetzt, dass <math> \sum_{x \in X(\Omega)} |x| \cdot P(X=x) < \infty </math>. ==== Bemerkung - Anzahl Summanden - diskreter Fall ==== Die Zufallsgröße <math>X: \Omega \to \mathbb{R}</math> nimmt nur zwei Werte an, nämlich <math>X(\omega)=5</math> für <math>\omega =1</math> und <math>X(\omega)=-1</math> für <math>\omega =2,3,4,5,6</math>. Dabei besteht der Erwartungswert in der obigen Notation nur aus zwei Summanden, da <math>X(\Omega)=\{-1,5\}</math>. ==== Bemerkung 1 - Notation zum diskreten Beispiel ==== Möchte man den Erwartungswert analog zur obigen Notation mit 6 Summand definieren: :<math> \begin{array}{rcl} E(X) & = & \sum_{\omega \in \Omega} X(\omega) \cdot P(\{\omega\}) \\ & = & 5 \cdot \frac {1} {6} + \underbrace{(- 1) \cdot \frac {1} {6} + ... +(-1) \cdot \frac {1} {6}}_{=(-1) \cdot \frac {5} {6}} \\ & = & 5 \cdot \frac {1} {6} + -1 \cdot \frac {5} {6} = \displaystyle \sum_{x \in X(\Omega)=\{5,-1\}} x \cdot P^X(\{x\}) \\ & = & 0 \end{array} </math> ==== Bemerkung 2 - diskret verteilte Zufallsgröße ==== Die Reihe <math> \sum _x |x| \cdot P(X=x) < \infty</math> hat nur abzählbar viele Elemente <math>x</math> mit <math>P(X=x) \not= 0</math>, weil <math>X:\Omega \to\mathbb{R}</math> eine diskrete Zufallsgröße ist. ==== Bemerkung 3 - Erwartungswert - absolute Konvergenz ==== Mit <math> \sum _x |x| \cdot \underbrace{P(X=x)}_{\geq 0} </math> ist die Reihe in der Definition zum Erwartungswert absolut konvergent. Die Fälle <math> E(x) = + \infty </math> und <math> E(x) = - \infty </math> werden also ausgeschlossen. In solchen Fällen existiert der Erwartungswert nicht. === Definition - Erwartungswert - absolut stetig === Sei <math> X : \Omega \to \mathbb{R} </math> eine auf einem diskreten [[Wahrscheinlichkeitsraum]] <math> (\Omega, \mathcal{S}, P) </math> bei die Wahrscheinlichkeitsverteilung durch eine Dichtefunktion <math> p:\Omega \to \mathbb{R}_0^{+} </math> bzw. die induzierte Dichte <math> p^X:\mathbb{R} \to \mathbb{R}_0^{+} </math> gegeben ist. Dann heißt :<math> E(X) := \int_{\Omega} X(\omega) \cdot p(\omega) \, d(\omega) := \int_{\mathbb{R}} x \cdot p^X ( x ) \, dx</math> Erwartungswert der absolut stetigen Verteilung, wenn die Bedingung :<math> E(|X|) = \int_{\Omega} |X(\omega) | \cdot p(\omega) \, d(\omega) = \int_{\mathbb{R}} |x| \cdot p^X ( x ) \, dx < \infty </math> erfüllt ist. ==== Bemerkung - induzierte Dichtefunktion ==== Für die induzierte Dichtefunktion gilt alle <math>B</math> aus der Borelschen <math>\sigma</math>-Algebra <math>\mathcal{B}(\mathbb{R})</math>: :<math> \int_{X^{-1}(B)} X(\omega) \cdot p(\omega) \, d(\omega) := \int_{B} x \cdot p^X ( x ) \, dx</math> == Satz - Erwartungswert für diskrete Zufallsvariablen == Bezeichnet <math> p_\omega = P( \lbrace \omega \rbrace ) </math> die Wahrscheinlichkeitsfunktion von <math> P </math> auf <math> \Omega </math>, so gilt für eine auf <math> ( \Omega, \mathcal{S}, P)</math> definierte Zufallsvariable <math> X:\Omega \to \mathbb{R}</math>: :<math> E(X)= \sum_{\omega \in \Omega} X(\omega)\cdot p_\omega </math> (sofern <math> \sum |X(\omega)| \cdot p_\omega < \infty </math>). === Beweis - Erwartungswert für diskrete Zufallsvariablen === Es ist :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \sum_{\omega \in \Omega} X(\omega) \cdot p_\omega & = & \displaystyle \sum_{x \in X(\Omega)} \sum _{\omega:X(\omega) = x} X(\omega) \cdot p_\omega \\ & = & \displaystyle \sum_{x \in X(\Omega)} x \sum_{\omega:X(\omega)=x} p_\omega \\ & = & \displaystyle \sum_{x \in X(\Omega)} x \cdot P^X(\lbrace x \rbrace) \\ & = & E(X) \\ \end{array} </math> === Bemerkung zum Beweis === In den Beweis geht der große Umordnungssatz für konvergente Reihen aus der Analysis ein. Die Anwendung Umordnungssatzes ist möglich, da <math> E(|X|) < \infty</math> gilt und damit die Reihe absolut konvergent ist. === Bemerkungen - Existenz Erwartungeswertes === Im Fall absoluter Konvergenz der Reihen (Beispiele oben) sagt man: * <math> X </math> besitzt einen Erwartungswert, oder * der Erwartungswert von <math> X</math> existiert. <math> X </math> besitzt genau dann einen Erwartungswert, falls <math> E\big( |X|\big) = \sum_{\omega \in \Omega} |X(\omega)| \cdot p_\omega < \infty </math>. <br> ==== Endlicher Ergebnisraum ==== Dies ist bei endlichen Ergebnisräumen <math> \Omega </math> immer der Fall. ==== Schreibweise ==== Statt <math>E(X)</math> auch <math>EX</math> oder <math>E_PX</math>, wenn man kenntlich machen möchte, bzgl. welchem Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> der Erwartungswert berechnet wurde. === Elementare Folgerungen === Aus dem obigen Satz zum Erwartungswert folgt: <math> E(1) = 1, E(X) \le E(Y)</math>, falls <math> X(w) \le Y(w)</math> für alle <math> w \in \Omega </math> gilt. ==== Beispiel ==== Ist <math> X(w) = \lbrace w_1, ..., w_m \rbrace</math>, und ist <math> P_X</math> die Gleichverteilung auf <math> X(\Omega)</math>, so lautet der Erwartungswert :<math> E(X)= \frac {1} {m} \sum _{i=1}^{m} x_i </math> ("arithmetisches Mittel"). <br> (Der Erwartungswert der Augenzahl beim Würfeln ist 3,5.) ==== Beispiel ==== Für die Indikatorvariable <math> X=1_A</math> eines Ereignisses <math> A \subset \Omega </math> gilt: :<math> E(1_A) = 0 \cdot P(1_A = 0) + 1 \cdot P(1_A = 1) = P(A)</math> Eine direkte Folgerung aus der Behauptung ist der folgende Satz. == Satz - Linearität des Erwartungswertes == Besitzen die Zufallsvariablen <math> X_1, X_2</math> Erwartungswerte, so auch die Zufallsvariablen <math> aX_1, bX_2, a,b \in \mathbb{R}</math>, und es gilt: :<math> E(a\cdot X_1+b\cdot X_2 ) = a\cdot E(X_1) + b\cdot E(X_2)</math> (siehe [[Kurs:Stochastik/Linearität Erwartungswert|Linearität des Erwartungswertes]]) === Bemerkung - Aufgabe - Beweis === Der [[Kurs:Stochastik/Linearität_Erwartungswert|Beweis der Linearität]] wird über das Einsetzen der Definition und der Anwendung elementaren Umformungen geführt. Versuchen Sie diesen Beweis zunächst ohne Hilfen selbst durchzuführen und sich erst danach bei Problemen den angegebenen Beweis in Wikiversity zur [[Kurs:Stochastik/Linearität_Erwartungswert|Linearität des Erwartungswertes]] anzusehen. Stellen Sie den Beweis in den Übungen mit allen Begründungen vor. === Anwendungsbeispiel für die Linearität des Erwartungswertes === Alle <math>n</math> Zufallsgrößen <math>X_k</math> mit <math>k\in \{1,\ldots , n\}</math> seinen <math> B(1,p)</math>-verteilt. Dann ist <math>X:= X_1 + \ldots + X_n</math> ein <math> B(n,p)</math>-verteilt und für den Erwartungswert erhält man mit der Linearität des Erwartungswertes <math>X</math> gilt: :<math> E(X) = n\cdot p</math> ===== Beweismöglichkeiten===== * <math> E(X)= \sum _{k=k}^{n} k \cdot \binom {n}{k} \cdot p^k (1-p)^{n-k} = ... = n \cdot p</math> * Für die Binominalverteilung gilt <math> X=X_1 + .. + X_n </math> mit <math> E(X_i) = p</math>. Dann ist :<math> E(X)=E(X_1) + ... + E(X_n) = n \cdot p </math> (wg. [[Kurs:Stochastik/Linearität Erwartungswert|Linearität]]). <br> == Satz - Verkettung von messbaren Abbildungen == Ist <math> X: \Omega \to \Omega'</math> Zufallsgröße auf <math> (\Omega,P) </math> und <math> \phi: \Omega' \to \mathbb{R}</math> eine Abbildung, dann gilt :<math> E(\phi \circ X)= \sum_{x \in X(\Omega)} \phi(x) \cdot P_X( \lbrace x \rbrace)</math> (Falls die Reihe absolut konvergiert). === Beweis - Verkettung von messbaren Abbildungen === :<math> \begin{array}{rcl} E_{\!_P}(\phi \circ X) & = & \displaystyle \sum_{\omega \in \Omega} \phi(X(w)) \cdot p_\omega \\ & = & \displaystyle \sum_{x \in X(\Omega)} \sum_{\omega:X(\omega) = x} \phi(X(\omega)) \cdot p_\omega \\ & = & \displaystyle \sum_{x \in X(\omega)} \phi(x) \sum _{\omega: X(\omega)=x} p_\omega \\ & = & \displaystyle \sum_{x \in X(\omega)} \phi(x) \cdot P_X(\lbrace x \rbrace) \\ \end{array} </math> (Großer Umordnungssatz für absolut konvergente Reihen) <br> === Beispiele === Gemäß der Behauptung gilt z.B. : Mit <math>\phi_1(x) := x^2</math> erhält man <math>E(\phi_1) = \sum_{x\in \mathbb{R}} x^2 \cdot P_X(\lbrace x \rbrace) </math> :Mit <math>\phi_2(x) := e^x</math> erhält man <math> E(\phi_2) = \sum_ {x\in \mathbb{R}} e^x \cdot P_X(\lbrace x \rbrace)</math> usw. ====Bemerkung ==== Die rechte Seite der Behauptung kann man auch als <math> E_{P_X} (\phi)</math> schreiben. <br> In der Tat, <math> P_X (\lbrace x \rbrace)</math> ist Wahrscheinlichkeitsfunktion auf <math> \Omega' </math> und <math> \phi</math> wird als Zufallsvariable auf <math> (\Omega', P_X)</math> aufgefasst: :<math> E_P(\phi \circ X)= E_{P_X}(\phi)</math> === Satz - Multipkikation von unabhängigen Zufallsgrößen === Die Zufallsvariablen <math> X,Y</math> mögen unabhängig sein und Erwartungswerte besitzen. Dann besitzt auch <math> X \cdot Y</math> einen Erwartungswert und es gilt :<math> E(X \cdot Y) = E(X) \cdot E(Y)</math> ====Beweis (i.1)==== Zur Existenz von <math> E(X \cdot Y)</math>: :<math> E(|X \cdot Y|)= \sum_{w \in \Omega } |X(w) \cdot Y(w)| p_w </math> :<math> = \sum_{x \in X(\Omega)} \sum _{y \in Y(\Omega)} \sum_{w:X(\omega)=x, Y(\omega) = y} |X(w) \cdot Y(w)| p_w </math> :<math> = \sum_{x \in X(\Omega)}\sum_{y \in Y(\Omega)} | x \cdot y | P(X=x, Y=y)</math> ==== Beweis (i.2) ==== :<math> = \sum_{x \in X(\Omega)} |x| \cdot P(X=x) \sum_{y \in Y(\Omega)} |y| \cdot P(Y=y)</math> :<math> = E|X| \cdot E|Y| < \infty </math> (Reihe links oben also absolut konvergent.) ==== Beweis (ii) ==== Die gleiche Rechnung wie in (i) ohne Betragsstriche liefert: :<math> E(X \cdot Y) = \sum_{w \in \Omega} X(w) \cdot Y(w) p_w </math> :<math> = ... = \sum_{x \in X(\Omega)} x \cdot P(X=x) \sum_{y \in Y(\Omega)} y \cdot P(Y=y) </math> :<math> = E(X) \cdot E(Y)</math> Es wurde angewandt: Doppelreihensatz und Umordnungssatz für Reihen mit nicht negativen Gliedern (in (i)) und für absolut konvergente Reihen (in (ii)). ====Bemerkung ==== 1. Allgemein gilt für unabhängige Zufallsvariablen <math> X_1, ..., X_n</math> mit existierenden Erwartungswerten: :<math> E(X_1 \cdot ... \cdot X_n) = E(X_1) \cdot ... \cdot E(X_n)</math> 2. Bei fehlender Unabhängigkeit folgt aus <math> P|X| < \infty, P|Y| < \infty </math> nicht notwendigerweise <math> P| X \cdot Y| <\infty </math>. === Definition - Bedingter Erwartungswert === Sei <math> (\Omega, \mathcal{S}, P) </math> diskreter Wahrscheinlichkeitsraum, <math>X</math> Zufallsvariable mit existierendem Erwartungswert und <math> A \subset \Omega </math> mit <math> P(A)> 0</math>. Dann heißt :<math> E(X|A) = E_{P_{(\cdot |A)}} (X)</math> der bedingte Erwartungswert von <math>X</math> unter (der Bedingung) <math>A</math>. <br> [ <math> P( \cdot|A)</math> ist die bedingte Wahrscheinlichkeitsverteilung auf <math> \Omega </math> unter <math> A </math>.] ==== Formeln zu Berechnung ==== :<math> E(X|A) = \sum_{w \in \Omega} X(w) P( \lbrace w \rbrace|A) = \sum X(w) \frac {P( \lbrace w \rbrace \cap A)} {P(A)} </math> :<math> = \frac {1} { P(A)} \sum_{w \in A} X(w) p_w = \frac {1} {P(A)} \sum_{w \in \Omega} 1_A (w) X(w) p_w = \frac {1} {P(A)} E(1_A X)</math> ==== Bemerkungen ==== * Da <math> \sum_{\omega \in \Omega} X(\omega )\cdot p_\omega </math> absolut konvergiert, so konvergiert auch <math>\sum_{\omega \in A} X(\omega ) \cdot p_\omega </math>. Damit existiert der bedingte Erwartungswert <math> E(X|A)</math>. * Spezialfälle: <math> E(1_A|A) =1, E(X|\Omega) = E(X)</math> <br> * Der hier eingeführte Begriff des bedingten Erwartungswertes spielt eine untergeordnete Rolle. In der allgemeinen Wahrscheinlichkeitstheorie definiert man bedingte Erwartungswerte der Art <math> E(X|Y)</math>, <math> Y </math> Zufallsvariable, welche von großer Wichtigkeit sind (jedoch hier in der Einführung nicht gebraucht werden). == Momente == In dem obigen Beispiel wurde der Erwartungswert <math>E(X)</math> als Spezialfall von Momenten <math>E(X^k)</math> betrachtet, die im Folgenden definiert werden. === Definition - Momente === Es sei <math>X</math> eine [[w:de:Zufallsvariable|Zufallsvariable]] und <math>k</math> eine [[w:de:natürliche Zahl|natürliche Zahl]]. Dann bezeichnet man als ''Moment der Ordnung <math>k</math> von <math>X</math>'' oder kürzer als ''<math>k</math>-tes Moment von <math>X</math>'' den Erwartungswert der <math>k</math>&#8209;ten Potenz von <math>X</math> (unter der Voraussetzung, dass dieser existiert): :<math> m_k := \operatorname{E}\left(X^k\right), </math> und als ''<math>k</math>-tes absolutes Moment von <math>X</math>'' wird der Erwartungswert der <math>k</math>-ten Potenz des Absolutbetrages <math>|X|</math> von <math>X</math> bezeichnet: :<math> M_k := \operatorname{E}\left(\left|X\right|^k\right). </math> === Bemerkung - nichtganzzahlige Momente === In theoretischen Untersuchungen werden mitunter auch Momente nichtganzzahliger Ordnung <math>\kappa</math> betrachtet. === Bemerkung - Existenz von Momenten === Die Existenz von Momenten einer bestimmten Ordnung liefert allgemein Aussagen über die Verteilung der Wahrscheinlichkeitsmasse. === Bemerkung - Erwartungswert als Moment 1. Ordnung === Das ''erste Moment'' ist der Erwartungswert. Er wird meist mit <math>\mu</math> bezeichnet und kann als Mittelwert angesehen werden. == Siehe auch == * [[Kurs:Stochastik/Linearität Erwartungswert|Linearität des Erwartungswertes]] * [[Kurs:Stochastik/Varianz|Varianz]] * [[Kurs:Stochastik/Kovarianz|Kovarianz]] * [[Kurs:Stochastik/Erzeugende Funktionen|Erzeugende Funktionen]] * [[Kurs:Stochastik]] == Seiteninformation == Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Momente&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Stochastik Kurs:Stochastik]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Momente https://de.wikiversity.org/wiki/Momente] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Momente Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Momente * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Momente&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] [[Category:Wiki2Reveal]] hm0qs1ngn7ygzjf4e1ejwh4pvfih8oy 1119262 1119261 2026-11-09T16:58:26Z Bert Niehaus 20843 /* Satz - Verkettung von messbaren Abbildungen */ 1119262 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite zum Thema ''Momente'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Momente&author=Wikipedia%20Authors&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Momente&coursetitle=Wikipedia%20Authors Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt: * (1) Definition von Momenten * (2) [[Erwartungswert|Erwartungswert]] * (3) [[Varianz|Varianz]] == Motivation - Erwartungswert == Vorbemerkung: Zwei Personen <math> A </math> und <math>B </math> vereinbaren ein Würfelspiel. * Ausgang '1': <math> A </math> zahlt an <math>B </math> 5€ * Ausgang '2', ..., '6': <math> B </math> zahlt an <math>A </math> 1€ Die Gewinnerwartung für die beiden Spieler beträgt hier Null: Erwarteter Gewinn von <math>B</math>: :<math> 5 \cdot \frac {1} {6} - 1 \cdot \frac {1} {6} - ... -1 \cdot \frac {1} {6} = 0 </math> ("faires Spiel"). === Bemerkung - Wahrscheinlichkeit und Wert der Zufallsgröße === In der obigen Gleichung :<math> 5 \cdot \frac {1} {6} - 1 \cdot \frac {1} {6} - ... -1 \cdot \frac {1} {6} = 0 </math> setzen sich die einzelnen Terme (z.B. <math> 5 \cdot \frac{1}{6} </math>) aus dem Wert der Zufallsgröße <math>X(1) = 5</math> und der Wahrscheinlichkeit <math> \frac{1}{6} </math> für das Eintretens des Ereignisse ("1 gewürfelt") zusammen. == Definition - Erwartungswert == Die Definition des Erwartungswertes wird in folgende Fälle unterteilt: * diskrete Zufallsgröße und * absolute stetige Zufallsgröße. === Definition - Erwartungswert - diskreter Fall === Sei <math> X : \Omega \to \mathbb{R} </math> eine auf einem diskreten [[Wahrscheinlichkeitsraum]] <math> (\Omega, \mathcal{S}, P) </math> definierte Zufallsvariable, dann heißt :<math> E(X) = \sum_{x \in X (\Omega)} x \cdot P(X=x) = \sum_{x \in X(\Omega)} x \cdot P^X (\lbrace x \rbrace)</math> Erwartungswert von <math> X </math>, vorausgesetzt, dass <math> \sum_{x \in X(\Omega)} |x| \cdot P(X=x) < \infty </math>. ==== Bemerkung - Anzahl Summanden - diskreter Fall ==== Die Zufallsgröße <math>X: \Omega \to \mathbb{R}</math> nimmt nur zwei Werte an, nämlich <math>X(\omega)=5</math> für <math>\omega =1</math> und <math>X(\omega)=-1</math> für <math>\omega =2,3,4,5,6</math>. Dabei besteht der Erwartungswert in der obigen Notation nur aus zwei Summanden, da <math>X(\Omega)=\{-1,5\}</math>. ==== Bemerkung 1 - Notation zum diskreten Beispiel ==== Möchte man den Erwartungswert analog zur obigen Notation mit 6 Summand definieren: :<math> \begin{array}{rcl} E(X) & = & \sum_{\omega \in \Omega} X(\omega) \cdot P(\{\omega\}) \\ & = & 5 \cdot \frac {1} {6} + \underbrace{(- 1) \cdot \frac {1} {6} + ... +(-1) \cdot \frac {1} {6}}_{=(-1) \cdot \frac {5} {6}} \\ & = & 5 \cdot \frac {1} {6} + -1 \cdot \frac {5} {6} = \displaystyle \sum_{x \in X(\Omega)=\{5,-1\}} x \cdot P^X(\{x\}) \\ & = & 0 \end{array} </math> ==== Bemerkung 2 - diskret verteilte Zufallsgröße ==== Die Reihe <math> \sum _x |x| \cdot P(X=x) < \infty</math> hat nur abzählbar viele Elemente <math>x</math> mit <math>P(X=x) \not= 0</math>, weil <math>X:\Omega \to\mathbb{R}</math> eine diskrete Zufallsgröße ist. ==== Bemerkung 3 - Erwartungswert - absolute Konvergenz ==== Mit <math> \sum _x |x| \cdot \underbrace{P(X=x)}_{\geq 0} </math> ist die Reihe in der Definition zum Erwartungswert absolut konvergent. Die Fälle <math> E(x) = + \infty </math> und <math> E(x) = - \infty </math> werden also ausgeschlossen. In solchen Fällen existiert der Erwartungswert nicht. === Definition - Erwartungswert - absolut stetig === Sei <math> X : \Omega \to \mathbb{R} </math> eine auf einem diskreten [[Wahrscheinlichkeitsraum]] <math> (\Omega, \mathcal{S}, P) </math> bei die Wahrscheinlichkeitsverteilung durch eine Dichtefunktion <math> p:\Omega \to \mathbb{R}_0^{+} </math> bzw. die induzierte Dichte <math> p^X:\mathbb{R} \to \mathbb{R}_0^{+} </math> gegeben ist. Dann heißt :<math> E(X) := \int_{\Omega} X(\omega) \cdot p(\omega) \, d(\omega) := \int_{\mathbb{R}} x \cdot p^X ( x ) \, dx</math> Erwartungswert der absolut stetigen Verteilung, wenn die Bedingung :<math> E(|X|) = \int_{\Omega} |X(\omega) | \cdot p(\omega) \, d(\omega) = \int_{\mathbb{R}} |x| \cdot p^X ( x ) \, dx < \infty </math> erfüllt ist. ==== Bemerkung - induzierte Dichtefunktion ==== Für die induzierte Dichtefunktion gilt alle <math>B</math> aus der Borelschen <math>\sigma</math>-Algebra <math>\mathcal{B}(\mathbb{R})</math>: :<math> \int_{X^{-1}(B)} X(\omega) \cdot p(\omega) \, d(\omega) := \int_{B} x \cdot p^X ( x ) \, dx</math> == Satz - Erwartungswert für diskrete Zufallsvariablen == Bezeichnet <math> p_\omega = P( \lbrace \omega \rbrace ) </math> die Wahrscheinlichkeitsfunktion von <math> P </math> auf <math> \Omega </math>, so gilt für eine auf <math> ( \Omega, \mathcal{S}, P)</math> definierte Zufallsvariable <math> X:\Omega \to \mathbb{R}</math>: :<math> E(X)= \sum_{\omega \in \Omega} X(\omega)\cdot p_\omega </math> (sofern <math> \sum |X(\omega)| \cdot p_\omega < \infty </math>). === Beweis - Erwartungswert für diskrete Zufallsvariablen === Es ist :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \sum_{\omega \in \Omega} X(\omega) \cdot p_\omega & = & \displaystyle \sum_{x \in X(\Omega)} \sum _{\omega:X(\omega) = x} X(\omega) \cdot p_\omega \\ & = & \displaystyle \sum_{x \in X(\Omega)} x \sum_{\omega:X(\omega)=x} p_\omega \\ & = & \displaystyle \sum_{x \in X(\Omega)} x \cdot P^X(\lbrace x \rbrace) \\ & = & E(X) \\ \end{array} </math> === Bemerkung zum Beweis === In den Beweis geht der große Umordnungssatz für konvergente Reihen aus der Analysis ein. Die Anwendung Umordnungssatzes ist möglich, da <math> E(|X|) < \infty</math> gilt und damit die Reihe absolut konvergent ist. === Bemerkungen - Existenz Erwartungeswertes === Im Fall absoluter Konvergenz der Reihen (Beispiele oben) sagt man: * <math> X </math> besitzt einen Erwartungswert, oder * der Erwartungswert von <math> X</math> existiert. <math> X </math> besitzt genau dann einen Erwartungswert, falls <math> E\big( |X|\big) = \sum_{\omega \in \Omega} |X(\omega)| \cdot p_\omega < \infty </math>. <br> ==== Endlicher Ergebnisraum ==== Dies ist bei endlichen Ergebnisräumen <math> \Omega </math> immer der Fall. ==== Schreibweise ==== Statt <math>E(X)</math> auch <math>EX</math> oder <math>E_PX</math>, wenn man kenntlich machen möchte, bzgl. welchem Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> der Erwartungswert berechnet wurde. === Elementare Folgerungen === Aus dem obigen Satz zum Erwartungswert folgt: <math> E(1) = 1, E(X) \le E(Y)</math>, falls <math> X(w) \le Y(w)</math> für alle <math> w \in \Omega </math> gilt. ==== Beispiel ==== Ist <math> X(w) = \lbrace w_1, ..., w_m \rbrace</math>, und ist <math> P_X</math> die Gleichverteilung auf <math> X(\Omega)</math>, so lautet der Erwartungswert :<math> E(X)= \frac {1} {m} \sum _{i=1}^{m} x_i </math> ("arithmetisches Mittel"). <br> (Der Erwartungswert der Augenzahl beim Würfeln ist 3,5.) ==== Beispiel ==== Für die Indikatorvariable <math> X=1_A</math> eines Ereignisses <math> A \subset \Omega </math> gilt: :<math> E(1_A) = 0 \cdot P(1_A = 0) + 1 \cdot P(1_A = 1) = P(A)</math> Eine direkte Folgerung aus der Behauptung ist der folgende Satz. == Satz - Linearität des Erwartungswertes == Besitzen die Zufallsvariablen <math> X_1, X_2</math> Erwartungswerte, so auch die Zufallsvariablen <math> aX_1, bX_2, a,b \in \mathbb{R}</math>, und es gilt: :<math> E(a\cdot X_1+b\cdot X_2 ) = a\cdot E(X_1) + b\cdot E(X_2)</math> (siehe [[Kurs:Stochastik/Linearität Erwartungswert|Linearität des Erwartungswertes]]) === Bemerkung - Aufgabe - Beweis === Der [[Kurs:Stochastik/Linearität_Erwartungswert|Beweis der Linearität]] wird über das Einsetzen der Definition und der Anwendung elementaren Umformungen geführt. Versuchen Sie diesen Beweis zunächst ohne Hilfen selbst durchzuführen und sich erst danach bei Problemen den angegebenen Beweis in Wikiversity zur [[Kurs:Stochastik/Linearität_Erwartungswert|Linearität des Erwartungswertes]] anzusehen. Stellen Sie den Beweis in den Übungen mit allen Begründungen vor. === Anwendungsbeispiel für die Linearität des Erwartungswertes === Alle <math>n</math> Zufallsgrößen <math>X_k</math> mit <math>k\in \{1,\ldots , n\}</math> seinen <math> B(1,p)</math>-verteilt. Dann ist <math>X:= X_1 + \ldots + X_n</math> ein <math> B(n,p)</math>-verteilt und für den Erwartungswert erhält man mit der Linearität des Erwartungswertes <math>X</math> gilt: :<math> E(X) = n\cdot p</math> ===== Beweismöglichkeiten===== * <math> E(X)= \sum _{k=k}^{n} k \cdot \binom {n}{k} \cdot p^k (1-p)^{n-k} = ... = n \cdot p</math> * Für die Binominalverteilung gilt <math> X=X_1 + .. + X_n </math> mit <math> E(X_i) = p</math>. Dann ist :<math> E(X)=E(X_1) + ... + E(X_n) = n \cdot p </math> (wg. [[Kurs:Stochastik/Linearität Erwartungswert|Linearität]]). <br> == Satz - Verkettung von messbaren Abbildungen == Ist <math> X: \Omega \to \Omega'</math> Zufallsgröße auf <math> (\Omega,P) </math> und <math> \phi: \Omega' \to \mathbb{R}</math> eine Abbildung, dann gilt :<math> E(\phi \circ X)= \sum_{x \in X(\Omega)} \phi(x) \cdot P^X( \lbrace x \rbrace)</math> (Falls die Reihe absolut konvergiert). === Beweis - Verkettung von messbaren Abbildungen === :<math> \begin{array}{rcl} E_{\!_P}(\phi \circ X) & = & \displaystyle \sum_{\omega \in \Omega} \phi(X(w)) \cdot p_\omega \\ & = & \displaystyle \sum_{x \in X(\Omega)} \sum_{\omega:X(\omega) = x} \phi(X(\omega)) \cdot p_\omega \\ & = & \displaystyle \sum_{x \in X(\omega)} \phi(x) \sum _{\omega: X(\omega)=x} p_\omega \\ & = & \displaystyle \sum_{x \in X(\omega)} \phi(x) \cdot P_X(\lbrace x \rbrace) \\ \end{array} </math> (Großer Umordnungssatz für absolut konvergente Reihen) <br> === Beispiele === Gemäß der Behauptung gilt z.B. : Mit <math>\phi_1(x) := x^2</math> erhält man <math>E(\phi_1) = \sum_{x\in \mathbb{R}} x^2 \cdot P_X(\lbrace x \rbrace) </math> :Mit <math>\phi_2(x) := e^x</math> erhält man <math> E(\phi_2) = \sum_ {x\in \mathbb{R}} e^x \cdot P_X(\lbrace x \rbrace)</math> usw. ====Bemerkung ==== Die rechte Seite der Behauptung kann man auch als <math> E_{P_X} (\phi)</math> schreiben. <br> In der Tat, <math> P_X (\lbrace x \rbrace)</math> ist Wahrscheinlichkeitsfunktion auf <math> \Omega' </math> und <math> \phi</math> wird als Zufallsvariable auf <math> (\Omega', P_X)</math> aufgefasst: :<math> E_P(\phi \circ X)= E_{P_X}(\phi)</math> === Satz - Multipkikation von unabhängigen Zufallsgrößen === Die Zufallsvariablen <math> X,Y</math> mögen unabhängig sein und Erwartungswerte besitzen. Dann besitzt auch <math> X \cdot Y</math> einen Erwartungswert und es gilt :<math> E(X \cdot Y) = E(X) \cdot E(Y)</math> ====Beweis (i.1)==== Zur Existenz von <math> E(X \cdot Y)</math>: :<math> E(|X \cdot Y|)= \sum_{w \in \Omega } |X(w) \cdot Y(w)| p_w </math> :<math> = \sum_{x \in X(\Omega)} \sum _{y \in Y(\Omega)} \sum_{w:X(\omega)=x, Y(\omega) = y} |X(w) \cdot Y(w)| p_w </math> :<math> = \sum_{x \in X(\Omega)}\sum_{y \in Y(\Omega)} | x \cdot y | P(X=x, Y=y)</math> ==== Beweis (i.2) ==== :<math> = \sum_{x \in X(\Omega)} |x| \cdot P(X=x) \sum_{y \in Y(\Omega)} |y| \cdot P(Y=y)</math> :<math> = E|X| \cdot E|Y| < \infty </math> (Reihe links oben also absolut konvergent.) ==== Beweis (ii) ==== Die gleiche Rechnung wie in (i) ohne Betragsstriche liefert: :<math> E(X \cdot Y) = \sum_{w \in \Omega} X(w) \cdot Y(w) p_w </math> :<math> = ... = \sum_{x \in X(\Omega)} x \cdot P(X=x) \sum_{y \in Y(\Omega)} y \cdot P(Y=y) </math> :<math> = E(X) \cdot E(Y)</math> Es wurde angewandt: Doppelreihensatz und Umordnungssatz für Reihen mit nicht negativen Gliedern (in (i)) und für absolut konvergente Reihen (in (ii)). ====Bemerkung ==== 1. Allgemein gilt für unabhängige Zufallsvariablen <math> X_1, ..., X_n</math> mit existierenden Erwartungswerten: :<math> E(X_1 \cdot ... \cdot X_n) = E(X_1) \cdot ... \cdot E(X_n)</math> 2. Bei fehlender Unabhängigkeit folgt aus <math> P|X| < \infty, P|Y| < \infty </math> nicht notwendigerweise <math> P| X \cdot Y| <\infty </math>. === Definition - Bedingter Erwartungswert === Sei <math> (\Omega, \mathcal{S}, P) </math> diskreter Wahrscheinlichkeitsraum, <math>X</math> Zufallsvariable mit existierendem Erwartungswert und <math> A \subset \Omega </math> mit <math> P(A)> 0</math>. Dann heißt :<math> E(X|A) = E_{P_{(\cdot |A)}} (X)</math> der bedingte Erwartungswert von <math>X</math> unter (der Bedingung) <math>A</math>. <br> [ <math> P( \cdot|A)</math> ist die bedingte Wahrscheinlichkeitsverteilung auf <math> \Omega </math> unter <math> A </math>.] ==== Formeln zu Berechnung ==== :<math> E(X|A) = \sum_{w \in \Omega} X(w) P( \lbrace w \rbrace|A) = \sum X(w) \frac {P( \lbrace w \rbrace \cap A)} {P(A)} </math> :<math> = \frac {1} { P(A)} \sum_{w \in A} X(w) p_w = \frac {1} {P(A)} \sum_{w \in \Omega} 1_A (w) X(w) p_w = \frac {1} {P(A)} E(1_A X)</math> ==== Bemerkungen ==== * Da <math> \sum_{\omega \in \Omega} X(\omega )\cdot p_\omega </math> absolut konvergiert, so konvergiert auch <math>\sum_{\omega \in A} X(\omega ) \cdot p_\omega </math>. Damit existiert der bedingte Erwartungswert <math> E(X|A)</math>. * Spezialfälle: <math> E(1_A|A) =1, E(X|\Omega) = E(X)</math> <br> * Der hier eingeführte Begriff des bedingten Erwartungswertes spielt eine untergeordnete Rolle. In der allgemeinen Wahrscheinlichkeitstheorie definiert man bedingte Erwartungswerte der Art <math> E(X|Y)</math>, <math> Y </math> Zufallsvariable, welche von großer Wichtigkeit sind (jedoch hier in der Einführung nicht gebraucht werden). == Momente == In dem obigen Beispiel wurde der Erwartungswert <math>E(X)</math> als Spezialfall von Momenten <math>E(X^k)</math> betrachtet, die im Folgenden definiert werden. === Definition - Momente === Es sei <math>X</math> eine [[w:de:Zufallsvariable|Zufallsvariable]] und <math>k</math> eine [[w:de:natürliche Zahl|natürliche Zahl]]. Dann bezeichnet man als ''Moment der Ordnung <math>k</math> von <math>X</math>'' oder kürzer als ''<math>k</math>-tes Moment von <math>X</math>'' den Erwartungswert der <math>k</math>&#8209;ten Potenz von <math>X</math> (unter der Voraussetzung, dass dieser existiert): :<math> m_k := \operatorname{E}\left(X^k\right), </math> und als ''<math>k</math>-tes absolutes Moment von <math>X</math>'' wird der Erwartungswert der <math>k</math>-ten Potenz des Absolutbetrages <math>|X|</math> von <math>X</math> bezeichnet: :<math> M_k := \operatorname{E}\left(\left|X\right|^k\right). </math> === Bemerkung - nichtganzzahlige Momente === In theoretischen Untersuchungen werden mitunter auch Momente nichtganzzahliger Ordnung <math>\kappa</math> betrachtet. === Bemerkung - Existenz von Momenten === Die Existenz von Momenten einer bestimmten Ordnung liefert allgemein Aussagen über die Verteilung der Wahrscheinlichkeitsmasse. === Bemerkung - Erwartungswert als Moment 1. Ordnung === Das ''erste Moment'' ist der Erwartungswert. Er wird meist mit <math>\mu</math> bezeichnet und kann als Mittelwert angesehen werden. == Siehe auch == * [[Kurs:Stochastik/Linearität Erwartungswert|Linearität des Erwartungswertes]] * [[Kurs:Stochastik/Varianz|Varianz]] * [[Kurs:Stochastik/Kovarianz|Kovarianz]] * [[Kurs:Stochastik/Erzeugende Funktionen|Erzeugende Funktionen]] * [[Kurs:Stochastik]] == Seiteninformation == Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Momente&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Stochastik Kurs:Stochastik]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Momente https://de.wikiversity.org/wiki/Momente] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Momente Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Momente * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Momente&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] [[Category:Wiki2Reveal]] 0kn6fhzoasbsz4dxidh5hnwxvqdlhyt 1119263 1119262 2026-11-09T16:58:51Z Bert Niehaus 20843 /* Beweis - Verkettung von messbaren Abbildungen */ 1119263 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite zum Thema ''Momente'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Momente&author=Wikipedia%20Authors&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Momente&coursetitle=Wikipedia%20Authors Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt: * (1) Definition von Momenten * (2) [[Erwartungswert|Erwartungswert]] * (3) [[Varianz|Varianz]] == Motivation - Erwartungswert == Vorbemerkung: Zwei Personen <math> A </math> und <math>B </math> vereinbaren ein Würfelspiel. * Ausgang '1': <math> A </math> zahlt an <math>B </math> 5€ * Ausgang '2', ..., '6': <math> B </math> zahlt an <math>A </math> 1€ Die Gewinnerwartung für die beiden Spieler beträgt hier Null: Erwarteter Gewinn von <math>B</math>: :<math> 5 \cdot \frac {1} {6} - 1 \cdot \frac {1} {6} - ... -1 \cdot \frac {1} {6} = 0 </math> ("faires Spiel"). === Bemerkung - Wahrscheinlichkeit und Wert der Zufallsgröße === In der obigen Gleichung :<math> 5 \cdot \frac {1} {6} - 1 \cdot \frac {1} {6} - ... -1 \cdot \frac {1} {6} = 0 </math> setzen sich die einzelnen Terme (z.B. <math> 5 \cdot \frac{1}{6} </math>) aus dem Wert der Zufallsgröße <math>X(1) = 5</math> und der Wahrscheinlichkeit <math> \frac{1}{6} </math> für das Eintretens des Ereignisse ("1 gewürfelt") zusammen. == Definition - Erwartungswert == Die Definition des Erwartungswertes wird in folgende Fälle unterteilt: * diskrete Zufallsgröße und * absolute stetige Zufallsgröße. === Definition - Erwartungswert - diskreter Fall === Sei <math> X : \Omega \to \mathbb{R} </math> eine auf einem diskreten [[Wahrscheinlichkeitsraum]] <math> (\Omega, \mathcal{S}, P) </math> definierte Zufallsvariable, dann heißt :<math> E(X) = \sum_{x \in X (\Omega)} x \cdot P(X=x) = \sum_{x \in X(\Omega)} x \cdot P^X (\lbrace x \rbrace)</math> Erwartungswert von <math> X </math>, vorausgesetzt, dass <math> \sum_{x \in X(\Omega)} |x| \cdot P(X=x) < \infty </math>. ==== Bemerkung - Anzahl Summanden - diskreter Fall ==== Die Zufallsgröße <math>X: \Omega \to \mathbb{R}</math> nimmt nur zwei Werte an, nämlich <math>X(\omega)=5</math> für <math>\omega =1</math> und <math>X(\omega)=-1</math> für <math>\omega =2,3,4,5,6</math>. Dabei besteht der Erwartungswert in der obigen Notation nur aus zwei Summanden, da <math>X(\Omega)=\{-1,5\}</math>. ==== Bemerkung 1 - Notation zum diskreten Beispiel ==== Möchte man den Erwartungswert analog zur obigen Notation mit 6 Summand definieren: :<math> \begin{array}{rcl} E(X) & = & \sum_{\omega \in \Omega} X(\omega) \cdot P(\{\omega\}) \\ & = & 5 \cdot \frac {1} {6} + \underbrace{(- 1) \cdot \frac {1} {6} + ... +(-1) \cdot \frac {1} {6}}_{=(-1) \cdot \frac {5} {6}} \\ & = & 5 \cdot \frac {1} {6} + -1 \cdot \frac {5} {6} = \displaystyle \sum_{x \in X(\Omega)=\{5,-1\}} x \cdot P^X(\{x\}) \\ & = & 0 \end{array} </math> ==== Bemerkung 2 - diskret verteilte Zufallsgröße ==== Die Reihe <math> \sum _x |x| \cdot P(X=x) < \infty</math> hat nur abzählbar viele Elemente <math>x</math> mit <math>P(X=x) \not= 0</math>, weil <math>X:\Omega \to\mathbb{R}</math> eine diskrete Zufallsgröße ist. ==== Bemerkung 3 - Erwartungswert - absolute Konvergenz ==== Mit <math> \sum _x |x| \cdot \underbrace{P(X=x)}_{\geq 0} </math> ist die Reihe in der Definition zum Erwartungswert absolut konvergent. Die Fälle <math> E(x) = + \infty </math> und <math> E(x) = - \infty </math> werden also ausgeschlossen. In solchen Fällen existiert der Erwartungswert nicht. === Definition - Erwartungswert - absolut stetig === Sei <math> X : \Omega \to \mathbb{R} </math> eine auf einem diskreten [[Wahrscheinlichkeitsraum]] <math> (\Omega, \mathcal{S}, P) </math> bei die Wahrscheinlichkeitsverteilung durch eine Dichtefunktion <math> p:\Omega \to \mathbb{R}_0^{+} </math> bzw. die induzierte Dichte <math> p^X:\mathbb{R} \to \mathbb{R}_0^{+} </math> gegeben ist. Dann heißt :<math> E(X) := \int_{\Omega} X(\omega) \cdot p(\omega) \, d(\omega) := \int_{\mathbb{R}} x \cdot p^X ( x ) \, dx</math> Erwartungswert der absolut stetigen Verteilung, wenn die Bedingung :<math> E(|X|) = \int_{\Omega} |X(\omega) | \cdot p(\omega) \, d(\omega) = \int_{\mathbb{R}} |x| \cdot p^X ( x ) \, dx < \infty </math> erfüllt ist. ==== Bemerkung - induzierte Dichtefunktion ==== Für die induzierte Dichtefunktion gilt alle <math>B</math> aus der Borelschen <math>\sigma</math>-Algebra <math>\mathcal{B}(\mathbb{R})</math>: :<math> \int_{X^{-1}(B)} X(\omega) \cdot p(\omega) \, d(\omega) := \int_{B} x \cdot p^X ( x ) \, dx</math> == Satz - Erwartungswert für diskrete Zufallsvariablen == Bezeichnet <math> p_\omega = P( \lbrace \omega \rbrace ) </math> die Wahrscheinlichkeitsfunktion von <math> P </math> auf <math> \Omega </math>, so gilt für eine auf <math> ( \Omega, \mathcal{S}, P)</math> definierte Zufallsvariable <math> X:\Omega \to \mathbb{R}</math>: :<math> E(X)= \sum_{\omega \in \Omega} X(\omega)\cdot p_\omega </math> (sofern <math> \sum |X(\omega)| \cdot p_\omega < \infty </math>). === Beweis - Erwartungswert für diskrete Zufallsvariablen === Es ist :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \sum_{\omega \in \Omega} X(\omega) \cdot p_\omega & = & \displaystyle \sum_{x \in X(\Omega)} \sum _{\omega:X(\omega) = x} X(\omega) \cdot p_\omega \\ & = & \displaystyle \sum_{x \in X(\Omega)} x \sum_{\omega:X(\omega)=x} p_\omega \\ & = & \displaystyle \sum_{x \in X(\Omega)} x \cdot P^X(\lbrace x \rbrace) \\ & = & E(X) \\ \end{array} </math> === Bemerkung zum Beweis === In den Beweis geht der große Umordnungssatz für konvergente Reihen aus der Analysis ein. Die Anwendung Umordnungssatzes ist möglich, da <math> E(|X|) < \infty</math> gilt und damit die Reihe absolut konvergent ist. === Bemerkungen - Existenz Erwartungeswertes === Im Fall absoluter Konvergenz der Reihen (Beispiele oben) sagt man: * <math> X </math> besitzt einen Erwartungswert, oder * der Erwartungswert von <math> X</math> existiert. <math> X </math> besitzt genau dann einen Erwartungswert, falls <math> E\big( |X|\big) = \sum_{\omega \in \Omega} |X(\omega)| \cdot p_\omega < \infty </math>. <br> ==== Endlicher Ergebnisraum ==== Dies ist bei endlichen Ergebnisräumen <math> \Omega </math> immer der Fall. ==== Schreibweise ==== Statt <math>E(X)</math> auch <math>EX</math> oder <math>E_PX</math>, wenn man kenntlich machen möchte, bzgl. welchem Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> der Erwartungswert berechnet wurde. === Elementare Folgerungen === Aus dem obigen Satz zum Erwartungswert folgt: <math> E(1) = 1, E(X) \le E(Y)</math>, falls <math> X(w) \le Y(w)</math> für alle <math> w \in \Omega </math> gilt. ==== Beispiel ==== Ist <math> X(w) = \lbrace w_1, ..., w_m \rbrace</math>, und ist <math> P_X</math> die Gleichverteilung auf <math> X(\Omega)</math>, so lautet der Erwartungswert :<math> E(X)= \frac {1} {m} \sum _{i=1}^{m} x_i </math> ("arithmetisches Mittel"). <br> (Der Erwartungswert der Augenzahl beim Würfeln ist 3,5.) ==== Beispiel ==== Für die Indikatorvariable <math> X=1_A</math> eines Ereignisses <math> A \subset \Omega </math> gilt: :<math> E(1_A) = 0 \cdot P(1_A = 0) + 1 \cdot P(1_A = 1) = P(A)</math> Eine direkte Folgerung aus der Behauptung ist der folgende Satz. == Satz - Linearität des Erwartungswertes == Besitzen die Zufallsvariablen <math> X_1, X_2</math> Erwartungswerte, so auch die Zufallsvariablen <math> aX_1, bX_2, a,b \in \mathbb{R}</math>, und es gilt: :<math> E(a\cdot X_1+b\cdot X_2 ) = a\cdot E(X_1) + b\cdot E(X_2)</math> (siehe [[Kurs:Stochastik/Linearität Erwartungswert|Linearität des Erwartungswertes]]) === Bemerkung - Aufgabe - Beweis === Der [[Kurs:Stochastik/Linearität_Erwartungswert|Beweis der Linearität]] wird über das Einsetzen der Definition und der Anwendung elementaren Umformungen geführt. Versuchen Sie diesen Beweis zunächst ohne Hilfen selbst durchzuführen und sich erst danach bei Problemen den angegebenen Beweis in Wikiversity zur [[Kurs:Stochastik/Linearität_Erwartungswert|Linearität des Erwartungswertes]] anzusehen. Stellen Sie den Beweis in den Übungen mit allen Begründungen vor. === Anwendungsbeispiel für die Linearität des Erwartungswertes === Alle <math>n</math> Zufallsgrößen <math>X_k</math> mit <math>k\in \{1,\ldots , n\}</math> seinen <math> B(1,p)</math>-verteilt. Dann ist <math>X:= X_1 + \ldots + X_n</math> ein <math> B(n,p)</math>-verteilt und für den Erwartungswert erhält man mit der Linearität des Erwartungswertes <math>X</math> gilt: :<math> E(X) = n\cdot p</math> ===== Beweismöglichkeiten===== * <math> E(X)= \sum _{k=k}^{n} k \cdot \binom {n}{k} \cdot p^k (1-p)^{n-k} = ... = n \cdot p</math> * Für die Binominalverteilung gilt <math> X=X_1 + .. + X_n </math> mit <math> E(X_i) = p</math>. Dann ist :<math> E(X)=E(X_1) + ... + E(X_n) = n \cdot p </math> (wg. [[Kurs:Stochastik/Linearität Erwartungswert|Linearität]]). <br> == Satz - Verkettung von messbaren Abbildungen == Ist <math> X: \Omega \to \Omega'</math> Zufallsgröße auf <math> (\Omega,P) </math> und <math> \phi: \Omega' \to \mathbb{R}</math> eine Abbildung, dann gilt :<math> E(\phi \circ X)= \sum_{x \in X(\Omega)} \phi(x) \cdot P^X( \lbrace x \rbrace)</math> (Falls die Reihe absolut konvergiert). === Beweis - Verkettung von messbaren Abbildungen === :<math> \begin{array}{rcl} E_{\!_P}(\phi \circ X) & = & \displaystyle \sum_{\omega \in \Omega} \phi(X(w)) \cdot p_\omega \\ & = & \displaystyle \sum_{x \in X(\Omega)} \sum_{\omega:X(\omega) = x} \phi(X(\omega)) \cdot p_\omega \\ & = & \displaystyle \sum_{x \in X(\omega)} \phi(x) \sum _{\omega: X(\omega)=x} p_\omega \\ & = & \displaystyle \sum_{x \in X(\omega)} \phi(x) \cdot P^X(\lbrace x \rbrace) \\ \end{array} </math> (Großer Umordnungssatz für absolut konvergente Reihen) <br> === Beispiele === Gemäß der Behauptung gilt z.B. : Mit <math>\phi_1(x) := x^2</math> erhält man <math>E(\phi_1) = \sum_{x\in \mathbb{R}} x^2 \cdot P_X(\lbrace x \rbrace) </math> :Mit <math>\phi_2(x) := e^x</math> erhält man <math> E(\phi_2) = \sum_ {x\in \mathbb{R}} e^x \cdot P_X(\lbrace x \rbrace)</math> usw. ====Bemerkung ==== Die rechte Seite der Behauptung kann man auch als <math> E_{P_X} (\phi)</math> schreiben. <br> In der Tat, <math> P_X (\lbrace x \rbrace)</math> ist Wahrscheinlichkeitsfunktion auf <math> \Omega' </math> und <math> \phi</math> wird als Zufallsvariable auf <math> (\Omega', P_X)</math> aufgefasst: :<math> E_P(\phi \circ X)= E_{P_X}(\phi)</math> === Satz - Multipkikation von unabhängigen Zufallsgrößen === Die Zufallsvariablen <math> X,Y</math> mögen unabhängig sein und Erwartungswerte besitzen. Dann besitzt auch <math> X \cdot Y</math> einen Erwartungswert und es gilt :<math> E(X \cdot Y) = E(X) \cdot E(Y)</math> ====Beweis (i.1)==== Zur Existenz von <math> E(X \cdot Y)</math>: :<math> E(|X \cdot Y|)= \sum_{w \in \Omega } |X(w) \cdot Y(w)| p_w </math> :<math> = \sum_{x \in X(\Omega)} \sum _{y \in Y(\Omega)} \sum_{w:X(\omega)=x, Y(\omega) = y} |X(w) \cdot Y(w)| p_w </math> :<math> = \sum_{x \in X(\Omega)}\sum_{y \in Y(\Omega)} | x \cdot y | P(X=x, Y=y)</math> ==== Beweis (i.2) ==== :<math> = \sum_{x \in X(\Omega)} |x| \cdot P(X=x) \sum_{y \in Y(\Omega)} |y| \cdot P(Y=y)</math> :<math> = E|X| \cdot E|Y| < \infty </math> (Reihe links oben also absolut konvergent.) ==== Beweis (ii) ==== Die gleiche Rechnung wie in (i) ohne Betragsstriche liefert: :<math> E(X \cdot Y) = \sum_{w \in \Omega} X(w) \cdot Y(w) p_w </math> :<math> = ... = \sum_{x \in X(\Omega)} x \cdot P(X=x) \sum_{y \in Y(\Omega)} y \cdot P(Y=y) </math> :<math> = E(X) \cdot E(Y)</math> Es wurde angewandt: Doppelreihensatz und Umordnungssatz für Reihen mit nicht negativen Gliedern (in (i)) und für absolut konvergente Reihen (in (ii)). ====Bemerkung ==== 1. Allgemein gilt für unabhängige Zufallsvariablen <math> X_1, ..., X_n</math> mit existierenden Erwartungswerten: :<math> E(X_1 \cdot ... \cdot X_n) = E(X_1) \cdot ... \cdot E(X_n)</math> 2. Bei fehlender Unabhängigkeit folgt aus <math> P|X| < \infty, P|Y| < \infty </math> nicht notwendigerweise <math> P| X \cdot Y| <\infty </math>. === Definition - Bedingter Erwartungswert === Sei <math> (\Omega, \mathcal{S}, P) </math> diskreter Wahrscheinlichkeitsraum, <math>X</math> Zufallsvariable mit existierendem Erwartungswert und <math> A \subset \Omega </math> mit <math> P(A)> 0</math>. Dann heißt :<math> E(X|A) = E_{P_{(\cdot |A)}} (X)</math> der bedingte Erwartungswert von <math>X</math> unter (der Bedingung) <math>A</math>. <br> [ <math> P( \cdot|A)</math> ist die bedingte Wahrscheinlichkeitsverteilung auf <math> \Omega </math> unter <math> A </math>.] ==== Formeln zu Berechnung ==== :<math> E(X|A) = \sum_{w \in \Omega} X(w) P( \lbrace w \rbrace|A) = \sum X(w) \frac {P( \lbrace w \rbrace \cap A)} {P(A)} </math> :<math> = \frac {1} { P(A)} \sum_{w \in A} X(w) p_w = \frac {1} {P(A)} \sum_{w \in \Omega} 1_A (w) X(w) p_w = \frac {1} {P(A)} E(1_A X)</math> ==== Bemerkungen ==== * Da <math> \sum_{\omega \in \Omega} X(\omega )\cdot p_\omega </math> absolut konvergiert, so konvergiert auch <math>\sum_{\omega \in A} X(\omega ) \cdot p_\omega </math>. Damit existiert der bedingte Erwartungswert <math> E(X|A)</math>. * Spezialfälle: <math> E(1_A|A) =1, E(X|\Omega) = E(X)</math> <br> * Der hier eingeführte Begriff des bedingten Erwartungswertes spielt eine untergeordnete Rolle. In der allgemeinen Wahrscheinlichkeitstheorie definiert man bedingte Erwartungswerte der Art <math> E(X|Y)</math>, <math> Y </math> Zufallsvariable, welche von großer Wichtigkeit sind (jedoch hier in der Einführung nicht gebraucht werden). == Momente == In dem obigen Beispiel wurde der Erwartungswert <math>E(X)</math> als Spezialfall von Momenten <math>E(X^k)</math> betrachtet, die im Folgenden definiert werden. === Definition - Momente === Es sei <math>X</math> eine [[w:de:Zufallsvariable|Zufallsvariable]] und <math>k</math> eine [[w:de:natürliche Zahl|natürliche Zahl]]. Dann bezeichnet man als ''Moment der Ordnung <math>k</math> von <math>X</math>'' oder kürzer als ''<math>k</math>-tes Moment von <math>X</math>'' den Erwartungswert der <math>k</math>&#8209;ten Potenz von <math>X</math> (unter der Voraussetzung, dass dieser existiert): :<math> m_k := \operatorname{E}\left(X^k\right), </math> und als ''<math>k</math>-tes absolutes Moment von <math>X</math>'' wird der Erwartungswert der <math>k</math>-ten Potenz des Absolutbetrages <math>|X|</math> von <math>X</math> bezeichnet: :<math> M_k := \operatorname{E}\left(\left|X\right|^k\right). </math> === Bemerkung - nichtganzzahlige Momente === In theoretischen Untersuchungen werden mitunter auch Momente nichtganzzahliger Ordnung <math>\kappa</math> betrachtet. === Bemerkung - Existenz von Momenten === Die Existenz von Momenten einer bestimmten Ordnung liefert allgemein Aussagen über die Verteilung der Wahrscheinlichkeitsmasse. === Bemerkung - Erwartungswert als Moment 1. Ordnung === Das ''erste Moment'' ist der Erwartungswert. Er wird meist mit <math>\mu</math> bezeichnet und kann als Mittelwert angesehen werden. == Siehe auch == * [[Kurs:Stochastik/Linearität Erwartungswert|Linearität des Erwartungswertes]] * [[Kurs:Stochastik/Varianz|Varianz]] * [[Kurs:Stochastik/Kovarianz|Kovarianz]] * [[Kurs:Stochastik/Erzeugende Funktionen|Erzeugende Funktionen]] * [[Kurs:Stochastik]] == Seiteninformation == Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Momente&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Stochastik Kurs:Stochastik]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Momente https://de.wikiversity.org/wiki/Momente] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Momente Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Momente * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Momente&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] [[Category:Wiki2Reveal]] qykop1n7szf9qzcgjrdnzo08vzkaj4g 14 103927 1119259 866722 2026-11-09T16:57:02Z Bocardodarapti 2041 1119259 wikitext text/x-wiki {{ Theorie-Kategorie unter{{{opt|}}} |Theorie der inneren Automorphismen|Klassengleichung |Theorie der Gruppenoperationen|Klassengleichung |Theorie der endlichen Gruppen|Klassengleichung}}{{Wikidatanummern{{{optu|}}}|WDK=Q114728054|WD=Q114728055}} 5i0t8q0ed1k1s22nqjfai399qdxpcnz 0 128943 1119245 1118807 2026-11-09T14:50:25Z Jeb 26942 9.11. 1119245 wikitext text/x-wiki '''DatenlaubeJam''', dienstags 2026, meist ab 8:30, BBB: https://bbb.tu-dresden.de/rooms/l3b-ikm-u3c-2rd/join == 9. November == ''Tafellieder zur Feier des 60jährigen Bestehens des ehemal. Bienenzucht-Vereins für Lübben und Umgegend, (jetzt Ortsfachgruppe der Imker) in Lübben am 20. September 1942'', https://nearby.hypotheses.org/6865 ; Damast {{Wikisource|MKL1888:Damást}} Bald: https://www.damastrock.de in Görlitz == 3. November == {{Wikisource|Zedler:Butter-Stolle}} {{Wikisource|Damast}} {{Wikisource|Index:Lieder zum 14. October 1872.pdf}} ; Die Datenlaube im Jahr 2026 Christian Erlinger: ''Großes Update des zentralen Code-Repositories'' ... ''Über 18.500 Items in Wikidata'', https://diedatenlaube.github.io/posts/2026/update_2026.html == 27. Oktober == ; Handschriftliche Notizen lesen und ergänzen {{Wikisource|Tafellied der Freiwilligen Turner-Feuerwehr zu Neumünster|Tafellied der Freiwilligen Turner-Feuerwehr zu Neumünster, 1881}} CP: Dresden-Plauener Lieder? Durchsuchen: ''Broschüren- und Collectaneen-Sammlung des Sammlers Adolf Jädicke'', https://digital.slub-dresden.de/kollektionen/17 == 20. Oktober == ; Tafellieder Heute [[Datei:Tafellieder Verein für Erdkunde zu Dresden 1913.pdf|mini|Tafellieder des Vereins für Erdkunde zu Dresden, 14. März 1913]] * ''Des Bäuerleins Tageslauf : Dem Landwirtschaftlichen Verein Reinhardtsgrimma und Umgegend gewidmet zum Ball am 15. März 1921'', [https://cdn.reinhardtsgrimma.de/reinhardtsgrimma.de/images/heimatblatt/grimmsches_heimatblatt18.pdf Grimmsches Heimatblatt 18] * ''Tafellied zum 31. Stiftungsfest des Gewerbegehilfen-Vereins Reinhardtsgrimma u. Umg. Am 18. Januar 1923 Im „Goldnen Hirsch“ zu Reinhardtsgrimma'', [https://cdn.reinhardtsgrimma.de/reinhardtsgrimma.de/images/heimatblatt/grimmsches_heimatblatt21.pdf Grimmsches Heimatblatt 21] : Grimmsches Heimatblatt: https://reinhardtsgrimma.de/heimatblatt.html * Landesbibliothek Kiel: https://katalog.ub.uni-kiel.de/DB=3/SET=2/TTL=1/MAT=/NOMAT=T/CLK?IKT=1016&TRM=Tafellieder bzw. ''Tafel*lied'' == 13. Oktober == ; Neu aus Dresden [[s:Verein für Erdkunde zu Dresden]] == 6. Oktober == [[Datei:Dresdner Geschichtsblätter - Titel.jpg|mini|Dresdner Geschichtsblätter - Titel]] ; Fertig [[s:Dresdner Geschichtsblätter Band 6 (1913 bis 1916)]], bis auf die geschützten Texte ; Zweitkorrektur {{Wikisource|Mitteilungen des Vereins für Chemnitzer Geschichte Dritter und Vierter Band}} ; Wunschzettel [[d:Q4112660]], [[c:Category:Wish lists]] == 29. September == [[Datei:Exposición "El casco antiguo" escuela bella época dresde.jpg|mini|Exposición "El casco antiguo" escuela bella época dresde]] * Dundee City Archives: Burns Supper, Scotland-GDR Society, In The Red Flag, https://nearby.hypotheses.org/6524 * Mitteilungen des Vereins für Chemnitzer Geschichte Dritter und Vierter Band - mindestens einmal korrigiert: {{Wikisource|Index:Mitteilungen_des_Vereins_für_Chemnitzer_Geschichte_Dritter_und_Vierter_Band.pdf}} * Geschichtswettbwerb: [[w:Lotte Hahm]] ; Neu {{Wikisource|Zur Kipper- und Wipperzeit in Kursachsen}} ; Handwerker-Heft (Dresdner Hefte) {{Wikisource|Tafellied 400 Jahre Buchdruckerkunst in Dresden}} * [[c:Category:Ausstellung des sächsischen Kunstgewerbes und Handwerks Dresden 1896]] * Ausstellung des sächsischen Kunstgewerbes und Handwerks 1896 baute einen kleinen Event-Erlebnis-Park im Stile einer frühneuzeitlichen Stadt auf das Areal der Güntzwiese, heutige Cockerwiese. "Die Alte Stadt" zog mehr Besucher an als die Ausstellungen des Handwerks im Ausstellungspalast. Wer möchte kann per Georeferenzierung die Bilder des Leporellos der Cockerwiese zuordnen, hier ist der genaue Plan aus dem Ausstellungskatalog: https://digital.slub-dresden.de/werkansicht/dlf/124455/24 == 22. September == * Leseholz transkribiert und in der Wikisource: {{Wikisource|Leseholz-Zettel_No_33}} * Korrekturlesen erwünscht: {{Wikisource|Index:Goldenes_Buch_Hotel_Bellevue_Dresden.pdf}} == 15. September == [[Datei:Leseholz-Zettel.pdf|Leseholz-Zettel, 1861|mini]] ; Leseholz-Zettel Neu: [[s:Leseholz-Zettel No 33]] ; Sächsisches Gaffee-Lied!, circa 1909 <poem>Und nimmt der Deifel einst mich beim Schlaffiddchen, Und trägt im Flug mich nach der Helle fort, So trink ich schnell vom Gaffee noch ä Schniddchen, Denn keenen giebts an jenem dunklen Ort. Nur trinkt mer Schwefelbliemchen Nur mit des Deifels Miehmchen; Kee Gaffee dort, o welche Hellenpein, Ich bin ä Sachse, will ä Sachse sein. (...)</poem> Quelle: Stadtarchiv Leipzig: 0290 (Handwerkerinnungen), Schornsteinfegerinnung Nr. C 13, 200-jähriges Bestehen [Jubelfeier!] der Schornsteinfegerkreisinnung Leipzig, (Dokument 81), Transkript: https://nearby.hypotheses.org/6448. Vielleicht von Lene Voigt? Vgl. https://www.mdr.de/kultur/literatur/lene-voigt-gedichte,lene-voigt-leipzig-sachsen-mundart-dichtung-104.html == 8. September == [[Datei:Typographen-Lied 1846.jpg|mini|Typographen-Lied 1846]] ; SPRECHSAAL ; Handwerksheft {{Wikisource|Tafellied 400 Jahre Buchdruckerkunst in Dresden|Tafellied bei dem zur 400jährigen Jubelfeier der Erfindung der Buchdruckerkunst den 21. Juni 1840 in Dresden stattfindenden Festmahle im Saale der Harmonie}} == 1. September == ; Elektrische-Tafellied-Archiv-Bibliothek (ETAB) : Neu 1913 {{Wikisource|Eröffnung Bahn Hohenstein–Gersdorf–Lugau–Oelsnitz}} Gesucht: Tafellieder der Textilindustrie, vielleicht auch mit Damast? ; 3 x Leipzig 1866 {{Wikisource|Tafellieder der Bäcker und Müller 1866}} == 25. August == [[Datei:Kraftspeise zur Tafel in Liegnitz 1895.jpg|mini|Kraftspeise zur Tafel in Liegnitz 1895]] {{Wikisource|Tafellieder Eröffnungsfeier der Eisenbahn Wolkenstein-Jöhstadt 1892}} {{Wikisource|Kraftspeise zur Tafel in Liegnitz 1895}} ; Digitalladen Aschaffenburg CF berichtet: ''Bürgerbeteiligung und Digitalladen der Stadt Aschaffenburg'', https://digital.aschaffenburg.de/digitalladen/ : ''Kommen Sie vorbei! Wir freuen uns darauf, Sie kennenzulernen.'' ; ''Anschließend'' [[meta:Event:Global GLAM call 2026-08-25]] : https://etherpad.wikimedia.org/p/Global_GLAM_Calls_%E2%80%94_2026_Notes == 18. August == Wir sprachen über KI-Fotos auf Einladungen von Gesichtsvereinen, über das attraktive Ambiente für gelegentlichen DatenlabeJam in der Zebradiele nahe dem [[w:Universitätsarchiv der Technischen Universität Dresden]] ... ; Neu ist ... die [[s:Forsche Naturforscherei]] aus Chemnitz. == 11. August == [[Datei:In Memoriam Moreauschaenke Liedtext.JPG|mini|In Memoriam ''Moreauschaenke'', Liedtext]] ; [[w:Moreauschänke|Moreauschänke]] in Dresden : In memoriam Moreauschänke <poem> 1. Schänke wir Dich grüßen, o Gambrinus hilf, Bald wirst Du Dich schließen, o Gambrinus hilf, Gambrinus hilf uns allen aus der tiefen Not! 2. Quelle unsrer Freude, o Gambrinus hilf, Trösterin in Leiden, o Gambrinus hilf, Gambrinus hilf uns allen aus der tiefen Not! 3. Kneipe ohnegleichen, o Gambrinus hilf, Mußt vom Platze weichen, o Gambrinus hilf, Gambrinus hilf uns allen aus der tiefen Not! 4. Stoff tat'st Du uns spenden, o Gambrinus hilf, Traurig mußt Du enden, o Gambrinus hilf, Gambrinus hilf uns allen aus der tiefen Not! 5. Gedenkt es miteinander, o Gambrinus hilf, Man rieb hier Salamander, o Gambrinus hilf, Gambrinus hilf uns allen aus der tiefen Not! 6. Lieder hier erklangen, o Gambrinus hilf, Mützen wir hier schwangen, o Gambrinus hilf, Gambrinus hilf uns allen aus der tiefen Not! 7. Uns bleibt nur zu hoffen, o Gambrinus hilf, Du einst wieder offen, o Gambrinus hilf, Gambrinus hilf uns allen aus der tiefen Not! 8. Jetzt mit diesem Tranke, o Gambrinus hilf, Sagen wir Dir "Danke", o Gambrinus hilf, Gambrinus hilf uns allen aus der tiefen Not! 9. Altem Brauch gemäße, o Gambrinus hilf, Leert nun die Gefäße, o Gambrinus hilf, Gambrinus hilf uns allen aus der tiefen Not! </poem> : Worte: AH. Jürgen Modrzynski x S! xx O! zum 4. November 1988 : Melodie: altes fränkisches Wallfahrtslied ''Anmerkungen'' : "Man rieb hier Salamander", ein Ritus vor dem Ex-Trinken eines Glases Bieres, vgl. [[w:Salamander (Ritual)]]. : Parodie auf das katholische Marienlied "Meerstern, ich Dich grüße", [[w:Ave maris stella]] == 4. August == [[s:Dresdner Geschichtsblätter Band 6 (1913 bis 1916)]] {{Wikisource|Alt-Dresdner Gelegenheitsdichtung}} : "Ein fruchtbarer Boden für diese Erzeugnisse war unser Sachsen. In Dresden blühte die Gelegenheitsdichtung. Noch finden sich in alten Papieren wertvolle Reste. Das beste davon sollte gesammelt werden; ich bitte, mir solche Gedichte, ob gedruckt oder handschriftlich, zugänglich machen zu wollen." [[Datei:Menggunakan Wikipedia dalam Pembelajaran-Seri 1 (page 26-2 crop).jpg|mini|Menggunakan Wikipedia dalam Pembelajaran-Seri 1 (page 26-2 crop)]] {{Wikisource|Mitteilungen des Vereins für Chemnitzer Geschichte Dritter und Vierter Band}} : {{Wikisource|Gottlob Daniel Staberoh}} {{Wikisource|Tafellied der Abend-Zeitung 13.07.1842}} : "Dieses Zitat (''Die erste Strophe des Tafellieds'') stammt aus dem Gedicht „Die Kochkunst“ von Friedrich von Hagedorn (1708–1754), einem bekannten Dichter der deutschen Aufklärung", behauptet eine Suchmaschine. Stimmt das? Wer findet ggf.? : zur 2. Strophe: "Dieses Zitat stammt aus dem Gedicht „Der Küchengarten“ von Christian Fürchtegott Gellert (1715–1769), einem bedeutenden deutschen Dichter und Moralphilosophen der Aufklärungszeit." : zur 3. Strophe: "Ein wunderbarer Vierzeiler, der die perfekte Balance zwischen Trank und Schmaus beschreibt! Die Verse fangen das klassische Lebensgefühl von Genuss und Geselligkeit perfekt ein." : Tafellied gesamt mit Google: "Das ist ein wunderbares, historisches Gedicht, das die Kochkunst gegenüber dem Weinloben verteidigt! Es stammt aus dem Kochbuch-Klassiker „Praktisches Kochbuch“ von Henriette Davidis (erstmals erschienen 1844). Dort dient es traditionell als feierliches Entree (Einleitung) für das Kapitel über die Kochkunst." ; Notizen zur Methode ''DatenlaubeJam'' Was noch? * 2026: ''See the Unseen'': [[s:Chemnitzer Geschichtsverein|Verein für Chemnitzer Geschichte]] mit [[s:Kunsthütte Chemnitz]] :: Lern- und Lehrmittel (OER): [[s:Tafellieder#Sekundärliteratur]] :: Tafellieder und andere Gelegenheitsdichtung in sächsischen Sammlungen :: Neu: DatenlaubeJam [[d:Q140833912]] * 2024: [[DieDatenlaube/Notizen/Methode DatenlaubeJam|Methode DatenlaubeJam]] * 2023: [[DieDatenlaube/Lehre]] * 2022: [[DieDatenlaube/Notizen/GeNeMe Abstrakt|GeNeMe]] == 27. Juli == ; Tatort Dresden Läuft gut, [[d:Q140136012]], https://www.dresdner-geschichtsverein.de/hefte/aktuelles-heft. ; Tafellieder : [[s:Tafellied Jubelfeier Schnellpresse König und Bauer|Tafellied bei der Jubelfeier zur Erbauung der 1000. Schnellpresse im König und Bauer’schen Etablissement Kloster Oberzell am 23. März 1865]] : [[s:Orthographisches Tafellied 1876|Orthographisches Tafellied]] == 21. Juli == [[Datei:Menggunakan Wikipedia dalam Pembelajaran-Seri 1 (page 26-1 crop).jpg|thumb|Menggunakan Wikipedia dalam Pembelajaran-Seri 1 (page 26-1 crop)]] * [[s:Tafellied bei dem Hebeschmause Waldenburg 1878|Tafellied bei dem Hebeschmause des Seminar-Umbaues zu Waldenburg den 10. August 1878]] * feine Piktogramme [[c:Category:Menggunakan Wikipedia dalam Pembelajaran]] ; Sind Turmvasen = Turmknöpfe mit anderer Form? [[s:Der alte und neue urkundliche Inhalt der Turmvase des alten Rathauses zu Dresden]], in: [[s:Dresdner Geschichtsblätter Band 6 (1913 bis 1916)]], 1915 == 14. Juli == * [[s:Aus dem religiösen und kirchlichen Leben Dresdens mit besonderer Berücksichtigung früherer Kriegszeiten]], Dresdner Geschichtsblätter, 1916 * ''Ein Ausflug nach Waldenburg'' samt ''Volkslied, am Tauftage des erstgeborenen Durchlauchtigen Prinzen von Schönburg Waldenburg, gesungen den 5. November 1819'', 11. Juli 2026, https://www.museum-waldenburg.de/blog/detail/ein-ausflug-nach-waldenburg == 7. Juli == ; Mission Blüher 2.0 Janosch (SLUB) zeigt Kulinaria: https://www.slub-dresden.de/entdecken/deutsches-archiv-der-kulinarik/digitalisierung-und-erschliessung-kulinarischer-quellen/ocr-blueher * Blueher OCR Korrektur App https://blueher-korrektur.culinaria-online.de/ * Vokabulartdaten für https://skosmos.org/, https://demo.skosmos.org/euro/de/, Skosmos [[d:Q130281770]] ; Schon gewusst? [[w:Tafellied|Tafellied]] in der Wikipedia Dazu Saxorum: https://saxorum.hypotheses.org/15983, Zugriffsstatistik: https://pageviews.wmcloud.org/?project=de.wikipedia.org&platform=all-access&agent=user&redirects=0&range=latest-30&pages=Tafellied == 30. Juni == [[Datei:Merkblatt Reichsversicherungsanstalt Januar 1914.pdf|mini|Merkblatt der Reichsversicherungsanstalt, 1914]] ; [[v:de:Kurs:Wikisource ASpB 2026|Spezialbestände aus Spezialbibliotheken]] {{Wikisource|Merkblatt Reichsversicherungsanstalt Januar 1914|''Merkblatt der Reichsversicherungsanstalt für Angestellte für die Einleitung eines Heilverfahrens (§§ 36 bis 43 des Versicherungsgesetzes für Angestellte)''}} == 23. Juni == ; Stadtansichten Alexander Winkler entdeckt (in & für) Berlin ''Wikidata Bildpositionen'': https://wd-image-positions.toolforge.org/, vgl. [[c:User:Awinkler3/Annotating_the_City]]. Austausch willkommen! ; Geschichtsvereinsbibliotheken linked open JB: Poster-[[Projekt:Wikisource links SaxFDM 2026|Projekt]] mit Daniel F. == 16. Juni == [[Datei:Dresdner Geschichtsblätter 1915 Nr. 1 Seite 110 Grafik.jpg|mini|Dresdner Geschichtsblätter 1915, Nr. 1, [[s:Seite:Dresdner Geschichtsblätter Sechster Band.pdf/113|S. 110]]]] Neu ist der Artikel [[w:Tafellied]]. ; Lied der Töpfer Altstadtwaldenburg: https://nearby.hypotheses.org/6053 == 9. Juni == ; 180 Tage Zukunft [[Datei:Lepidoptera collection 01652.jpg|mini|Lepidoptera collection 01652]] * Naturalienkabinett Waldenburg: https://www.museum-waldenburg.de/forschen-bewahren/wunderkammer-digital, ... https://www.geschichtsverein-waldenburg.de * neu: [[s:Waldenburg (Sachsen)]], siehe auch: [[c:Category:Museum Waldenburg]] == 2. Juni == {{Wikisource|Ludwig Richter}} ; Sinnsprüche : CF: "Hier gibts soviel zu tun, da reichen meine Tanzkarten nicht!" : JB: "Marktforschung kann enttäuschend sein." ; [[c:Category:Graphical abstracts|Graphical abstracts]] für DD-Hefte-Titel!? ; Neu : [[c:Category:Elbhang-Kurier]] : Leipziger Ausstellungsdaten: [[c:Category:Strukturen der Macht (exhibition)]] == 26. Mai == [[Datei:Wikidata in Museen, Archiven und Bibliotheken.pdf|100px|Wikidata in Museen, Archiven und Bibliotheken|right]] == 19. Mai == ; Neu {{Wikisource|Mitteilungen des Vereins für Chemnitzer Geschichte Dritter und Vierter Band}} {{Wikisource|Dresdner Geschichtsblätter Band 6 (1913 bis 1916)}} == 12. Mai == * Bericht vom Besuch der Ehrenamtler der SLUB in Freiberg, dort interessantes Gebäude und Blick ins Magazin * Projekt Herrnhuter läuft weiter, große Datenmengen werden generiert auf Zenodo: https://zenodo.org/records/19130765 * Tipp: Universum Dresden-Schau von Ernst Hirsch, viele tolle Dresdenaufnahmen, viel Stadtgeschichte * Projekt der SäBiG und der SLUb zum Besucherbuch der Bibliothek: https://digital.slub-dresden.de/werkansicht/dlf/12236/1 zum Projekt: https://www.saxorum.de/mitmachen/bibliotheksgeschichte-zum-mitmachen bisschen unklar, wo das Projekt liegt, vielleicht mal in die Datenlaube einladen? * Stand Geschichtsbücher: Band 5 fertig (juhu!!!) {{Wikisource|Dresdner Geschichtsblätter Band 5 (1909 bis 1912)}} * bitte Band 6 vorbereiten [[Datei:Kesselsdorf und Maxen.Seite295.jpg|mini|Kesselsdorf und Maxen, S. 295]] * Cossefritz bearbeitet weiter: {{Wikisource|Kesselsdorf_und_Maxen_–_Zwei_Winterschlachten_bei_Dresden}} und möchte den Wanderweg gehen, wer geht mit? ==5. Mai== [[Datei:Goldenes Buch Seite 001 Signatur 05.jpg|mini|Unterschrift Friedrich Ebert]] * ''Wenn Kruzianer feiern'', https://www.musik-in-dresden.de/2026/05/03/wenn-kruzianer-feiern/ über Tafellieder ; Datenpflege Das [[s:Goldenes Buch zum 70. Geburtstag August Bebel 1910/Personenregister|Personenregister des Goldenen Buches zum 70. Geburtstag August Bebel 1910]] wurde komplett auf WD umgestellt == April == [[Datei:Ortskarte des Königreichs Sachson 1-250.000. Auf Veranlassung der königlichen Ministerien sowie des evangelisch-lutherischen Landes-Consistoriums, nach amtlichen Quellen bearbeitet - btv1b53258207z.jpg|mini|Schöne übersichtliche politische Karte des Kgr. Sachsen, gespendet von der Franz. Nationalbibliothek]] [[Datei:Dresden, Albertinum, Ludwig Richter, im Juni.JPG|mini|1859 in der Kunstakademie ausgestellt]] ;Frühjahrsputz beim Poenicke: {{Wikisource|Album der Rittergüter und Schlösser im Königreiche Sachsen}} <gallery caption="neue Bilder" perrow="5" showfilename> Posseck Vogtland 2017 xy11.jpg Rittergut Untermarxgrün, Herrenhaus.jpg Schloss Heinersgrün (1).jpg Kirche St. Nikolaus (Rodau).jpg Herrenhaus des Ritterguts Gutenfürst (2).jpg </gallery> ; Interessant und hilfreich: https://sachsens-schloesser.de/ ; Desiderat mit Hilfe [[w:Staatliche Kunstsammlungen Dresden|SKD-Kunstbibliothek]] erledigt {{Wikisource|Katalog zu der von der Kön. Sächs. Akademie der bildenden Künste alljährlich veranstalteten Kunst-Ausstellung in Dresden 1859}} ; Neues Projekt Marie Simon: [[s:Index:Die Krankenpflege 1876.pdf]] == 31. März == [[Datei:Kesselsdorf und Maxen.Seite71.jpg|mini|Kesselsdorf und Maxen, S. 71]] ; Projekte {{Wikisource|Kunstdenkmäler Amtshauptmannschaft Flöha}} {{Wikisource|Kesselsdorf und Maxen – Zwei Winterschlachten bei Dresden}} {{Wikisource|Im Verein (Kunsthütte)}} {{Wikisource|Tafellied zur Crucianer-Feier am 2. Mai 1891}} * [[c:Category:Beschreibende Darstellung der älteren Bau- und Kunstdenkmäler des Königreichs Sachsen (Heft 7, Chemnitz)]] == 24. März == [[File:Die Gartenlaube (1898) b 0196 a 5.jpg|mini|Osterei als Tischkartenhalter, Die Gartenlaube, 1898, S. 196]] ; Zeitgemäßes neues Projekt? ''Ostereier für Buchhändler : mit Salz, Pfeffer, Essig oder Senf zu verspeisen im Jahre 1864'', https://mdz-nbn-resolving.de/details:bsb11267173 <gallery> Die_Gartenlaube_(1898)_b_0185_1.jpg|Das „Ritzen“ der Ostereier Die_Gartenlaube_(1898)_b_0185_2.jpg|Mährische Ostereier Die_Gartenlaube_(1898)_b_0186_1.jpg|Galizische Ostereier Die_Gartenlaube_(1898)_b_0186_2.jpg|Bemaltes und beschriebenes Gänseei Eduard Unger (painter, 1853) eastereggs ChatGPT-Image.png Die Gartenlaube (1894) b 180 3.jpg|[[s:Ein Gruß vom Osterhasen|Ein Gruß vom Osterhasen, 1894]] </gallery> == 17. März == Neue Themenseite: [[s:Kunsthütte Chemnitz]] ; Edits * Deutsche Nationalbibliothek [[d:Q27302]] * Sammelauftrag [[d:Q2217225]] * Sondersammelgebiet [[d:Q1746046]] * élections municipales de 2026 à Paris [[d:Q124423240]] == 10. März == ; Save the date * Tagung „Lebendiges Netzwerk Industriekultur im Ehrenamt“, Tagung mit Markt der Akteure in Dresden, am 28. März 2026: [https://www.saechsischer-heimatschutz.de/files/heimatschutz/pdf/Denkmalnetz%20Sachsen/Lebendiges%20Netzwerk/Tagungsprogramm%20LNIK%2028.03.2026_Stand_15.01.2026.pdf Flyer] ; Lieder Kunsthütte in [[s:Chemnitz#Kunst]] {{Wikisource|1. Tafellied zum 20. Stiftungsfeste des Erzgebirgischen Gartenbauvereins}} {{Wikisource|2. Tafellied zum 20. Stiftungsfeste des Erzgebirgischen Gartenbauvereins}} {{Wikisource|Erstes Tafellied Erzgebirgischer Gartenbauverein 1884}} {{Wikisource|Zweites Tafellied Erzgebirgischer Gartenbauverein 1884}} ; Instabil {{Wikisource|Index:Kesselsdorf und Maxen.pdf}} Nach Leerspeicherung geht’s kurzfristig – Das Problem hat sich leider weiter manifestiert – Problem hat sich in Luft aufgelöst, da auf djvu umgestellt. Nichts zu danken. {{Wikisource|Index:Kesselsdorf und Maxen.djvu}} == 3. März == ; C. {{Wikisource|Kunsthütte oder Pechhütte|Kunsthütte oder – Pechhütte?}} {{Wikisource|Die Geschichte von der Kunsthütte}} {{Wikisource|Die Chemnitzer wollten e Kunstvereinl hamm}} ; Deutsche Digitale B. Dokumention: [[meta:WikiKult - Offene Kulturdaten/Virtuelle Ausstellungen|Virtuelle Ausstellungen]] der DDB == 24. Februar == [[Datei:Liddy Böttcher.pdf|thumb|Die hochverehrte Mitbegründerin des Gewerbschul-Damenkränzchens ihre aufrichtige Freundin und treue Beratherin Frau Geh. Regierungsrath Liddy Böttcher in Dresden begrüssen in dankbarer Anerkennung ihres verdienstlichen Wirkens hierdurch als ihr Ehrenmitglied die gegenwärtigen Mitglieder dieser Vereinigung. Chemnitz, den 21. Juni 1882.]] ; Dresden: Plauen * Altarverhüllung und Passionsandachten, https://jakobikirchgemeinde-dresden.de/aktuelles/altarverhuellung-und-passionsandachten ; Kunsthütte Chemnitz * [[c:Category:Kunsthütte Chemnitz]], Kunstsammlungen Chemnitz: [https://www.kunstsammlungen-chemnitz.de/bibliothek-archiv/ Bibliothek und Archiv] ; Archiverlebnisse ... ''13. Tag der Archive'' am 7./8. März 2026, https://www.staatsarchiv.sachsen.de/tag-der-archive-2026-8099.html : ''Ordnung muss sein. Extra-Touren mit historischen Tanzkarten – und mit GLAM'', https://osl.hypotheses.org/21052 : ''Unboxing: Tafellieder, Tanzkarten, Bücher, Dachböden'', https://nearby.hypotheses.org/5225 ; Datenpflege * automatische Rückverlinkung zu WD in Echtzeit -> super! siehe: https://personen.niedersaechsische-bibliographie.de/person/1786778084/ == 17. Februar == [[Datei:Trostworte DDB.jpg|mini|Konrad Dielitz, DDB: Trostworte]] ; Es wollt' die Kunsthütt' auch einmal auf eine Reise gehen [[c:Category:Kunsthütte Chemnitz]] ; DDBstudio Kennt Ihr die [https://www.deutsche-digitale-bibliothek.de/content/virtuelle-ausstellungen Virtuellen Ausstellungen] der [[c:Category:Deutsche Digitale Bibliothek|Deutschen Digitalen Bibliothek]]? ; Urheber gesucht: <gallery> Meyers Universum Band 01 06 7. Auflage.jpg|[[d:Q138292728]] nicht in Marienbad, sondern in Karlsbad </gallery> == 10. Februar == [[Datei:Bildnisse hervorragender Dresdner (1908) August Tiedge.jpg|mini|hochkant|Christoph August Tiedge]] ; WP-Artikel gesucht [[d:Q138029143]], Stadtwiki hat vorgelegt: https://www.stadtwikidd.de/wiki/Tiedge-Stiftung ; [[Projekt:Tanzkarten]] Wie können historische Tanzkarten heute als Lern- und Lehrmittel dienen? ; Volltext bei Wikisource [[d:Q138038625]] = https://swb.bsz-bw.de/DB=2.304/PPNSET?PPN=1124690913&INDEXSET=21 {{Wikisource|Verzeichniss der von Speck’schen Gemälde-Sammlung, Teil 1 (1827)}} ; "Grüne Liste" für die Recherche von Lehrerbiografien im Königreich Sachsen {{Wikisource|Sächsischer Gymnasiallehrerverein}} == 3. Februar == [[Datei:Bildnisse hervorragender Dresdner (1908) Ludwig Richter.jpg|mini|hochkant|[[w:Ludwig Richter|Ludwig Richter]] war Lehrer an der Zeichenschule Meißen]] ; Tafellieder Heute * {{Wikisource|Tafellied Hebammenverein Bautzen|Tafel-Lied zum 25jährigen Stiftungsfest des Hebammenvereins Bautzen und Umg. am 7. Oktober 1926}} ; Universitäts- und Stadtbibliothek Köln über Wikisource ''Schatz an Digitalisaten und Texten wurde an der Universitäts- und Stadtbibliothek Köln in einen lokalen Katalog überführt und so für alle Nutzer - innerhalb und ausserhalb der Universität zu Köln - in einem modernen Recherche-Portal erschlossen.'' https://wikisource.ub.uni-koeln.de/portal/home.html?l=de ; WP-Artikel gesucht [[d:Q137948126]], Stadtwiki hat vorgelegt: https://www.stadtwikidd.de/wiki/Zeichenschule_Meißen, mehrfach erwähnt in: {{Wikisource|Lebensläufe Meißner Künstler}} Mehrfache Erwähnung auch im Stadtwiki Meißen via https://stadtwiki-meissen.de/wiki/Lebensläufe_Meißner_Künstler_(1888). Eine Seite dort wäre relevant. : ''(...) wenn man einen Artikel zur Zeichenschule Meißen (1743-1893) anlegt, dann muss nach meiner Meinung auch gleichzeitig ein Artikel über die "Kunstschule Meißen" (ab 1906) angelegt werden. (...)'' [https://stadtwiki-meissen.de/wiki/Diskussion:Lebensl%C3%A4ufe_Mei%C3%9Fner_K%C3%BCnstler_(1888) Link] == 27. Januar == ; Lesenswert [[d:Q137877729]]: zentrale Themen: Wahlen in Baltimore am 2. November 1859, Nativisten, Rowdys, Know Nothing Party; dazu der Soundtrack: [https://www.youtube.com/watch?v=_TvDge63Iy8 Baltimore] Man beachte den Text: [[s:Das Washingtondenkmal zu Baltimore in Maryland]] : jetzt auch auf Archivalia: https://archivalia.hypotheses.org/249945 ; Augenweide [[d:Q137886412]]: [[c:Category:Souvenirs des eaux de Baden-Baden et des environs (ca. 1837)]] Hinweis: Baden-Baden ist Partnerstadt von Freital ; Citizen Science in Dresden [[w:Wohnungsenquête (Berlin)]] {{Wikisource|Gesundheit und Städteerweiterung}} {{Wikisource|Wohnung und Krankheit}} {{Wikisource|Wohnungsnot in den großen Städten}} {{Wikisource|Die Wohnungsnoth der ärmeren Klassen}} {{Wikisource|Wohnungsnoth der Arbeiterinnen}} ; Verein für die Geschichte Leipzigs {{Wikisource|Leipziger Geschichtsverein}} ; Capital of Culture Content {{Wikisource|Tafellied im ökonomischen Verein zu Chemnitz}} == 20. Januar == ; Rollout [[d:Q136696936|164. Heft auf WD nun komplett (bis auf bibliographische Einträge in diversen Katalogen)]] ; Thüringer Schulportal ''Tafellieder : Informationen, Digitalisate und Einsatzmöglichkeiten im Bildungsbereich'', https://www.schulportal-thueringen.de/media/detail?tspi=18946, siehe auch [[s:Wikisource:OER]] ; Thüringen dito {{Commonscat|Hennebergisch-Fränkischer Geschichtsverein}} == 13. Januar == ; Neues Projekt {{Wikisource|Die Sophienkirche in Dresden}} ; Altes Projekt, neuer Band {{Wikisource|Meyer’s Universum, oder Abbildung und Beschreibung des Sehenswerthesten und Merkwürdigsten der Natur und Kunst auf der ganzen Erde. Zwanzigster Band|Meyer’s Universum, 20. Band}} ; Neue Themenseite {{Wikisource|Hasel}} ; Neue Tafellieder <gallery> Tafellied gesucht 1897.jpg|Tafellied gesucht, 1897 Tafellieder Schillerfest 1853.jpg|Aufforderung Tafellieder einzusenden bis 1. November 1853 </gallery> {{Wikisource|Tafellied beim Stiftungsfeste des Kunst- und Handwerksvereins zu Altenburg}} {{Wikisource|Tafellied auf Schulze-Delitzsch 1883}} {{Wikisource|Tafellied von Wilhelm Müller}} {{Wikisource|Neu-orthographisches Tafellied 1876}} : {{Wikisource|Parteitag der Deutschen Volkspartei (Der Beobachter, 1895)}} Neue Themenseite für die OER-Entwicklung {{Wikisource|Tafellieder}} == 6. Januar == ; Meyer’s Universum {{Wikisource|Das neue Museum in Dresden}} <gallery> Meyers Universum Band 19 33.jpg|Gesundes neues Jahr! </gallery> ; Tafellieder {{Wikisource|Tafellied des Vereins für Geschichte Dresdens 1894|Tafellied des Vereins für Geschichte Dresdens, 1894}} {{Wikisource|Alles per Dampf (1863)}} {{Wikisource|Olympische Grüsse (1899)}} {{Wikisource|Tafellied Ehemaliger Werkmeisterschüler Chemnitz 1884}} ; Dresden historisch, frisch hochgeladen [[d:Q137675269]] <gallery> S. Prout Sketches in Flanders and Germany 1833 45.jpg S. Prout Sketches in Flanders and Germany 1833 46.jpg S. Prout Sketches in Flanders and Germany 1833 47.jpg S. Prout Sketches in Flanders and Germany 1833 48.jpg S. Prout Sketches in Flanders and Germany 1833 49.jpg </gallery> ; Ratsschulbibliothek Zwickau : https://www.ratsschulbibliothek.de, Projektidee {{Wikisource|Mitteilungen des Vereins für Geschichte Dresdens. Zehntes Heft}} == Bibliothek == === Leseecke === * [[DieDatenlaube/call4edits]] === DatenlaubeJam '21, '22, '23, '24, '25 === Archive: '''[[DieDatenlaube/Notizen/2021|2021]]''', '''[[DieDatenlaube/Notizen/2022|2022]]''', '''[[DieDatenlaube/Notizen/2023|2023]]''', '''[[DieDatenlaube/Notizen/2024|2024]]''', '''[[DieDatenlaube/Notizen/2025|2025]]''' siehe auch [[s:Wikisource:Wikisource-Informationsstand_SLUB/Archiv|''Archiv des Wikisource-Informationsstands'' in der SLUB Dresden]] == Werkzeug== <gallery> Logo des Dresdner Geschichtsverein e.V.jpg|Logo des Dresdner Geschichtsverein e.V. Dresdner Journal 1906 010 Tierschutzverein.jpg|Nachtrag zum 164. Dresdner Heft Cover of Wikipedia and Academic Libraries (page 1 crop).jpg|[[s:en:Wikipedia and Academic Libraries: A Global Project|Wikipedia and Academic Libraries: A Global Project, 2021]] Wir bilden aus.jpg|right|mini|Wir bilden aus. Wikisource-logo-green.svg|Wikisource DDB im Wikiversum q.jpg|[[meta:WikiKult - Offene Kulturdaten/Virtuelle Ausstellungen|Deutsche Digitale Bibliothek im Wikiversum]]]] </gallery> === Fußnoten === <references /> [[Kategorie:Bibliothek]] [[Kategorie:Dresden]] [[Kategorie:Citizen Science]] sxcmktim72qpidjc9f4kew9ss5ugeyy 1119285 1119245 2026-11-10T08:02:11Z Jeb 26942 /* 9. November */ 10.! 1119285 wikitext text/x-wiki '''DatenlaubeJam''', dienstags 2026, meist ab 8:30, BBB: https://bbb.tu-dresden.de/rooms/l3b-ikm-u3c-2rd/join == 10. November == ''Tafellieder zur Feier des 60jährigen Bestehens des ehemal. Bienenzucht-Vereins für Lübben und Umgegend, (jetzt Ortsfachgruppe der Imker) in Lübben am 20. September 1942'', https://nearby.hypotheses.org/6865 ; Damast {{Wikisource|MKL1888:Damást}} Bald: https://www.damastrock.de in Görlitz ; Posteridee & Vortrag im Geschichtsverein Was ist & warum & wie... DatenlaubeJam für 2027 == 3. November == {{Wikisource|Zedler:Butter-Stolle}} {{Wikisource|Damast}} {{Wikisource|Index:Lieder zum 14. October 1872.pdf}} ; Die Datenlaube im Jahr 2026 Christian Erlinger: ''Großes Update des zentralen Code-Repositories'' ... ''Über 18.500 Items in Wikidata'', https://diedatenlaube.github.io/posts/2026/update_2026.html == 27. Oktober == ; Handschriftliche Notizen lesen und ergänzen {{Wikisource|Tafellied der Freiwilligen Turner-Feuerwehr zu Neumünster|Tafellied der Freiwilligen Turner-Feuerwehr zu Neumünster, 1881}} CP: Dresden-Plauener Lieder? Durchsuchen: ''Broschüren- und Collectaneen-Sammlung des Sammlers Adolf Jädicke'', https://digital.slub-dresden.de/kollektionen/17 == 20. Oktober == ; Tafellieder Heute [[Datei:Tafellieder Verein für Erdkunde zu Dresden 1913.pdf|mini|Tafellieder des Vereins für Erdkunde zu Dresden, 14. März 1913]] * ''Des Bäuerleins Tageslauf : Dem Landwirtschaftlichen Verein Reinhardtsgrimma und Umgegend gewidmet zum Ball am 15. März 1921'', [https://cdn.reinhardtsgrimma.de/reinhardtsgrimma.de/images/heimatblatt/grimmsches_heimatblatt18.pdf Grimmsches Heimatblatt 18] * ''Tafellied zum 31. Stiftungsfest des Gewerbegehilfen-Vereins Reinhardtsgrimma u. Umg. Am 18. Januar 1923 Im „Goldnen Hirsch“ zu Reinhardtsgrimma'', [https://cdn.reinhardtsgrimma.de/reinhardtsgrimma.de/images/heimatblatt/grimmsches_heimatblatt21.pdf Grimmsches Heimatblatt 21] : Grimmsches Heimatblatt: https://reinhardtsgrimma.de/heimatblatt.html * Landesbibliothek Kiel: https://katalog.ub.uni-kiel.de/DB=3/SET=2/TTL=1/MAT=/NOMAT=T/CLK?IKT=1016&TRM=Tafellieder bzw. ''Tafel*lied'' == 13. Oktober == ; Neu aus Dresden [[s:Verein für Erdkunde zu Dresden]] == 6. Oktober == [[Datei:Dresdner Geschichtsblätter - Titel.jpg|mini|Dresdner Geschichtsblätter - Titel]] ; Fertig [[s:Dresdner Geschichtsblätter Band 6 (1913 bis 1916)]], bis auf die geschützten Texte ; Zweitkorrektur {{Wikisource|Mitteilungen des Vereins für Chemnitzer Geschichte Dritter und Vierter Band}} ; Wunschzettel [[d:Q4112660]], [[c:Category:Wish lists]] == 29. September == [[Datei:Exposición "El casco antiguo" escuela bella época dresde.jpg|mini|Exposición "El casco antiguo" escuela bella época dresde]] * Dundee City Archives: Burns Supper, Scotland-GDR Society, In The Red Flag, https://nearby.hypotheses.org/6524 * Mitteilungen des Vereins für Chemnitzer Geschichte Dritter und Vierter Band - mindestens einmal korrigiert: {{Wikisource|Index:Mitteilungen_des_Vereins_für_Chemnitzer_Geschichte_Dritter_und_Vierter_Band.pdf}} * Geschichtswettbwerb: [[w:Lotte Hahm]] ; Neu {{Wikisource|Zur Kipper- und Wipperzeit in Kursachsen}} ; Handwerker-Heft (Dresdner Hefte) {{Wikisource|Tafellied 400 Jahre Buchdruckerkunst in Dresden}} * [[c:Category:Ausstellung des sächsischen Kunstgewerbes und Handwerks Dresden 1896]] * Ausstellung des sächsischen Kunstgewerbes und Handwerks 1896 baute einen kleinen Event-Erlebnis-Park im Stile einer frühneuzeitlichen Stadt auf das Areal der Güntzwiese, heutige Cockerwiese. "Die Alte Stadt" zog mehr Besucher an als die Ausstellungen des Handwerks im Ausstellungspalast. Wer möchte kann per Georeferenzierung die Bilder des Leporellos der Cockerwiese zuordnen, hier ist der genaue Plan aus dem Ausstellungskatalog: https://digital.slub-dresden.de/werkansicht/dlf/124455/24 == 22. September == * Leseholz transkribiert und in der Wikisource: {{Wikisource|Leseholz-Zettel_No_33}} * Korrekturlesen erwünscht: {{Wikisource|Index:Goldenes_Buch_Hotel_Bellevue_Dresden.pdf}} == 15. September == [[Datei:Leseholz-Zettel.pdf|Leseholz-Zettel, 1861|mini]] ; Leseholz-Zettel Neu: [[s:Leseholz-Zettel No 33]] ; Sächsisches Gaffee-Lied!, circa 1909 <poem>Und nimmt der Deifel einst mich beim Schlaffiddchen, Und trägt im Flug mich nach der Helle fort, So trink ich schnell vom Gaffee noch ä Schniddchen, Denn keenen giebts an jenem dunklen Ort. Nur trinkt mer Schwefelbliemchen Nur mit des Deifels Miehmchen; Kee Gaffee dort, o welche Hellenpein, Ich bin ä Sachse, will ä Sachse sein. (...)</poem> Quelle: Stadtarchiv Leipzig: 0290 (Handwerkerinnungen), Schornsteinfegerinnung Nr. C 13, 200-jähriges Bestehen [Jubelfeier!] der Schornsteinfegerkreisinnung Leipzig, (Dokument 81), Transkript: https://nearby.hypotheses.org/6448. Vielleicht von Lene Voigt? Vgl. https://www.mdr.de/kultur/literatur/lene-voigt-gedichte,lene-voigt-leipzig-sachsen-mundart-dichtung-104.html == 8. September == [[Datei:Typographen-Lied 1846.jpg|mini|Typographen-Lied 1846]] ; SPRECHSAAL ; Handwerksheft {{Wikisource|Tafellied 400 Jahre Buchdruckerkunst in Dresden|Tafellied bei dem zur 400jährigen Jubelfeier der Erfindung der Buchdruckerkunst den 21. Juni 1840 in Dresden stattfindenden Festmahle im Saale der Harmonie}} == 1. September == ; Elektrische-Tafellied-Archiv-Bibliothek (ETAB) : Neu 1913 {{Wikisource|Eröffnung Bahn Hohenstein–Gersdorf–Lugau–Oelsnitz}} Gesucht: Tafellieder der Textilindustrie, vielleicht auch mit Damast? ; 3 x Leipzig 1866 {{Wikisource|Tafellieder der Bäcker und Müller 1866}} == 25. August == [[Datei:Kraftspeise zur Tafel in Liegnitz 1895.jpg|mini|Kraftspeise zur Tafel in Liegnitz 1895]] {{Wikisource|Tafellieder Eröffnungsfeier der Eisenbahn Wolkenstein-Jöhstadt 1892}} {{Wikisource|Kraftspeise zur Tafel in Liegnitz 1895}} ; Digitalladen Aschaffenburg CF berichtet: ''Bürgerbeteiligung und Digitalladen der Stadt Aschaffenburg'', https://digital.aschaffenburg.de/digitalladen/ : ''Kommen Sie vorbei! Wir freuen uns darauf, Sie kennenzulernen.'' ; ''Anschließend'' [[meta:Event:Global GLAM call 2026-08-25]] : https://etherpad.wikimedia.org/p/Global_GLAM_Calls_%E2%80%94_2026_Notes == 18. August == Wir sprachen über KI-Fotos auf Einladungen von Gesichtsvereinen, über das attraktive Ambiente für gelegentlichen DatenlabeJam in der Zebradiele nahe dem [[w:Universitätsarchiv der Technischen Universität Dresden]] ... ; Neu ist ... die [[s:Forsche Naturforscherei]] aus Chemnitz. == 11. August == [[Datei:In Memoriam Moreauschaenke Liedtext.JPG|mini|In Memoriam ''Moreauschaenke'', Liedtext]] ; [[w:Moreauschänke|Moreauschänke]] in Dresden : In memoriam Moreauschänke <poem> 1. Schänke wir Dich grüßen, o Gambrinus hilf, Bald wirst Du Dich schließen, o Gambrinus hilf, Gambrinus hilf uns allen aus der tiefen Not! 2. Quelle unsrer Freude, o Gambrinus hilf, Trösterin in Leiden, o Gambrinus hilf, Gambrinus hilf uns allen aus der tiefen Not! 3. Kneipe ohnegleichen, o Gambrinus hilf, Mußt vom Platze weichen, o Gambrinus hilf, Gambrinus hilf uns allen aus der tiefen Not! 4. Stoff tat'st Du uns spenden, o Gambrinus hilf, Traurig mußt Du enden, o Gambrinus hilf, Gambrinus hilf uns allen aus der tiefen Not! 5. Gedenkt es miteinander, o Gambrinus hilf, Man rieb hier Salamander, o Gambrinus hilf, Gambrinus hilf uns allen aus der tiefen Not! 6. Lieder hier erklangen, o Gambrinus hilf, Mützen wir hier schwangen, o Gambrinus hilf, Gambrinus hilf uns allen aus der tiefen Not! 7. Uns bleibt nur zu hoffen, o Gambrinus hilf, Du einst wieder offen, o Gambrinus hilf, Gambrinus hilf uns allen aus der tiefen Not! 8. Jetzt mit diesem Tranke, o Gambrinus hilf, Sagen wir Dir "Danke", o Gambrinus hilf, Gambrinus hilf uns allen aus der tiefen Not! 9. Altem Brauch gemäße, o Gambrinus hilf, Leert nun die Gefäße, o Gambrinus hilf, Gambrinus hilf uns allen aus der tiefen Not! </poem> : Worte: AH. Jürgen Modrzynski x S! xx O! zum 4. November 1988 : Melodie: altes fränkisches Wallfahrtslied ''Anmerkungen'' : "Man rieb hier Salamander", ein Ritus vor dem Ex-Trinken eines Glases Bieres, vgl. [[w:Salamander (Ritual)]]. : Parodie auf das katholische Marienlied "Meerstern, ich Dich grüße", [[w:Ave maris stella]] == 4. August == [[s:Dresdner Geschichtsblätter Band 6 (1913 bis 1916)]] {{Wikisource|Alt-Dresdner Gelegenheitsdichtung}} : "Ein fruchtbarer Boden für diese Erzeugnisse war unser Sachsen. In Dresden blühte die Gelegenheitsdichtung. Noch finden sich in alten Papieren wertvolle Reste. Das beste davon sollte gesammelt werden; ich bitte, mir solche Gedichte, ob gedruckt oder handschriftlich, zugänglich machen zu wollen." [[Datei:Menggunakan Wikipedia dalam Pembelajaran-Seri 1 (page 26-2 crop).jpg|mini|Menggunakan Wikipedia dalam Pembelajaran-Seri 1 (page 26-2 crop)]] {{Wikisource|Mitteilungen des Vereins für Chemnitzer Geschichte Dritter und Vierter Band}} : {{Wikisource|Gottlob Daniel Staberoh}} {{Wikisource|Tafellied der Abend-Zeitung 13.07.1842}} : "Dieses Zitat (''Die erste Strophe des Tafellieds'') stammt aus dem Gedicht „Die Kochkunst“ von Friedrich von Hagedorn (1708–1754), einem bekannten Dichter der deutschen Aufklärung", behauptet eine Suchmaschine. Stimmt das? Wer findet ggf.? : zur 2. Strophe: "Dieses Zitat stammt aus dem Gedicht „Der Küchengarten“ von Christian Fürchtegott Gellert (1715–1769), einem bedeutenden deutschen Dichter und Moralphilosophen der Aufklärungszeit." : zur 3. Strophe: "Ein wunderbarer Vierzeiler, der die perfekte Balance zwischen Trank und Schmaus beschreibt! Die Verse fangen das klassische Lebensgefühl von Genuss und Geselligkeit perfekt ein." : Tafellied gesamt mit Google: "Das ist ein wunderbares, historisches Gedicht, das die Kochkunst gegenüber dem Weinloben verteidigt! Es stammt aus dem Kochbuch-Klassiker „Praktisches Kochbuch“ von Henriette Davidis (erstmals erschienen 1844). Dort dient es traditionell als feierliches Entree (Einleitung) für das Kapitel über die Kochkunst." ; Notizen zur Methode ''DatenlaubeJam'' Was noch? * 2026: ''See the Unseen'': [[s:Chemnitzer Geschichtsverein|Verein für Chemnitzer Geschichte]] mit [[s:Kunsthütte Chemnitz]] :: Lern- und Lehrmittel (OER): [[s:Tafellieder#Sekundärliteratur]] :: Tafellieder und andere Gelegenheitsdichtung in sächsischen Sammlungen :: Neu: DatenlaubeJam [[d:Q140833912]] * 2024: [[DieDatenlaube/Notizen/Methode DatenlaubeJam|Methode DatenlaubeJam]] * 2023: [[DieDatenlaube/Lehre]] * 2022: [[DieDatenlaube/Notizen/GeNeMe Abstrakt|GeNeMe]] == 27. Juli == ; Tatort Dresden Läuft gut, [[d:Q140136012]], https://www.dresdner-geschichtsverein.de/hefte/aktuelles-heft. ; Tafellieder : [[s:Tafellied Jubelfeier Schnellpresse König und Bauer|Tafellied bei der Jubelfeier zur Erbauung der 1000. Schnellpresse im König und Bauer’schen Etablissement Kloster Oberzell am 23. März 1865]] : [[s:Orthographisches Tafellied 1876|Orthographisches Tafellied]] == 21. Juli == [[Datei:Menggunakan Wikipedia dalam Pembelajaran-Seri 1 (page 26-1 crop).jpg|thumb|Menggunakan Wikipedia dalam Pembelajaran-Seri 1 (page 26-1 crop)]] * [[s:Tafellied bei dem Hebeschmause Waldenburg 1878|Tafellied bei dem Hebeschmause des Seminar-Umbaues zu Waldenburg den 10. August 1878]] * feine Piktogramme [[c:Category:Menggunakan Wikipedia dalam Pembelajaran]] ; Sind Turmvasen = Turmknöpfe mit anderer Form? [[s:Der alte und neue urkundliche Inhalt der Turmvase des alten Rathauses zu Dresden]], in: [[s:Dresdner Geschichtsblätter Band 6 (1913 bis 1916)]], 1915 == 14. Juli == * [[s:Aus dem religiösen und kirchlichen Leben Dresdens mit besonderer Berücksichtigung früherer Kriegszeiten]], Dresdner Geschichtsblätter, 1916 * ''Ein Ausflug nach Waldenburg'' samt ''Volkslied, am Tauftage des erstgeborenen Durchlauchtigen Prinzen von Schönburg Waldenburg, gesungen den 5. November 1819'', 11. Juli 2026, https://www.museum-waldenburg.de/blog/detail/ein-ausflug-nach-waldenburg == 7. Juli == ; Mission Blüher 2.0 Janosch (SLUB) zeigt Kulinaria: https://www.slub-dresden.de/entdecken/deutsches-archiv-der-kulinarik/digitalisierung-und-erschliessung-kulinarischer-quellen/ocr-blueher * Blueher OCR Korrektur App https://blueher-korrektur.culinaria-online.de/ * Vokabulartdaten für https://skosmos.org/, https://demo.skosmos.org/euro/de/, Skosmos [[d:Q130281770]] ; Schon gewusst? [[w:Tafellied|Tafellied]] in der Wikipedia Dazu Saxorum: https://saxorum.hypotheses.org/15983, Zugriffsstatistik: https://pageviews.wmcloud.org/?project=de.wikipedia.org&platform=all-access&agent=user&redirects=0&range=latest-30&pages=Tafellied == 30. Juni == [[Datei:Merkblatt Reichsversicherungsanstalt Januar 1914.pdf|mini|Merkblatt der Reichsversicherungsanstalt, 1914]] ; [[v:de:Kurs:Wikisource ASpB 2026|Spezialbestände aus Spezialbibliotheken]] {{Wikisource|Merkblatt Reichsversicherungsanstalt Januar 1914|''Merkblatt der Reichsversicherungsanstalt für Angestellte für die Einleitung eines Heilverfahrens (§§ 36 bis 43 des Versicherungsgesetzes für Angestellte)''}} == 23. Juni == ; Stadtansichten Alexander Winkler entdeckt (in & für) Berlin ''Wikidata Bildpositionen'': https://wd-image-positions.toolforge.org/, vgl. [[c:User:Awinkler3/Annotating_the_City]]. Austausch willkommen! ; Geschichtsvereinsbibliotheken linked open JB: Poster-[[Projekt:Wikisource links SaxFDM 2026|Projekt]] mit Daniel F. == 16. Juni == [[Datei:Dresdner Geschichtsblätter 1915 Nr. 1 Seite 110 Grafik.jpg|mini|Dresdner Geschichtsblätter 1915, Nr. 1, [[s:Seite:Dresdner Geschichtsblätter Sechster Band.pdf/113|S. 110]]]] Neu ist der Artikel [[w:Tafellied]]. ; Lied der Töpfer Altstadtwaldenburg: https://nearby.hypotheses.org/6053 == 9. Juni == ; 180 Tage Zukunft [[Datei:Lepidoptera collection 01652.jpg|mini|Lepidoptera collection 01652]] * Naturalienkabinett Waldenburg: https://www.museum-waldenburg.de/forschen-bewahren/wunderkammer-digital, ... https://www.geschichtsverein-waldenburg.de * neu: [[s:Waldenburg (Sachsen)]], siehe auch: [[c:Category:Museum Waldenburg]] == 2. Juni == {{Wikisource|Ludwig Richter}} ; Sinnsprüche : CF: "Hier gibts soviel zu tun, da reichen meine Tanzkarten nicht!" : JB: "Marktforschung kann enttäuschend sein." ; [[c:Category:Graphical abstracts|Graphical abstracts]] für DD-Hefte-Titel!? ; Neu : [[c:Category:Elbhang-Kurier]] : Leipziger Ausstellungsdaten: [[c:Category:Strukturen der Macht (exhibition)]] == 26. Mai == [[Datei:Wikidata in Museen, Archiven und Bibliotheken.pdf|100px|Wikidata in Museen, Archiven und Bibliotheken|right]] == 19. Mai == ; Neu {{Wikisource|Mitteilungen des Vereins für Chemnitzer Geschichte Dritter und Vierter Band}} {{Wikisource|Dresdner Geschichtsblätter Band 6 (1913 bis 1916)}} == 12. Mai == * Bericht vom Besuch der Ehrenamtler der SLUB in Freiberg, dort interessantes Gebäude und Blick ins Magazin * Projekt Herrnhuter läuft weiter, große Datenmengen werden generiert auf Zenodo: https://zenodo.org/records/19130765 * Tipp: Universum Dresden-Schau von Ernst Hirsch, viele tolle Dresdenaufnahmen, viel Stadtgeschichte * Projekt der SäBiG und der SLUb zum Besucherbuch der Bibliothek: https://digital.slub-dresden.de/werkansicht/dlf/12236/1 zum Projekt: https://www.saxorum.de/mitmachen/bibliotheksgeschichte-zum-mitmachen bisschen unklar, wo das Projekt liegt, vielleicht mal in die Datenlaube einladen? * Stand Geschichtsbücher: Band 5 fertig (juhu!!!) {{Wikisource|Dresdner Geschichtsblätter Band 5 (1909 bis 1912)}} * bitte Band 6 vorbereiten [[Datei:Kesselsdorf und Maxen.Seite295.jpg|mini|Kesselsdorf und Maxen, S. 295]] * Cossefritz bearbeitet weiter: {{Wikisource|Kesselsdorf_und_Maxen_–_Zwei_Winterschlachten_bei_Dresden}} und möchte den Wanderweg gehen, wer geht mit? ==5. Mai== [[Datei:Goldenes Buch Seite 001 Signatur 05.jpg|mini|Unterschrift Friedrich Ebert]] * ''Wenn Kruzianer feiern'', https://www.musik-in-dresden.de/2026/05/03/wenn-kruzianer-feiern/ über Tafellieder ; Datenpflege Das [[s:Goldenes Buch zum 70. Geburtstag August Bebel 1910/Personenregister|Personenregister des Goldenen Buches zum 70. Geburtstag August Bebel 1910]] wurde komplett auf WD umgestellt == April == [[Datei:Ortskarte des Königreichs Sachson 1-250.000. Auf Veranlassung der königlichen Ministerien sowie des evangelisch-lutherischen Landes-Consistoriums, nach amtlichen Quellen bearbeitet - btv1b53258207z.jpg|mini|Schöne übersichtliche politische Karte des Kgr. Sachsen, gespendet von der Franz. Nationalbibliothek]] [[Datei:Dresden, Albertinum, Ludwig Richter, im Juni.JPG|mini|1859 in der Kunstakademie ausgestellt]] ;Frühjahrsputz beim Poenicke: {{Wikisource|Album der Rittergüter und Schlösser im Königreiche Sachsen}} <gallery caption="neue Bilder" perrow="5" showfilename> Posseck Vogtland 2017 xy11.jpg Rittergut Untermarxgrün, Herrenhaus.jpg Schloss Heinersgrün (1).jpg Kirche St. Nikolaus (Rodau).jpg Herrenhaus des Ritterguts Gutenfürst (2).jpg </gallery> ; Interessant und hilfreich: https://sachsens-schloesser.de/ ; Desiderat mit Hilfe [[w:Staatliche Kunstsammlungen Dresden|SKD-Kunstbibliothek]] erledigt {{Wikisource|Katalog zu der von der Kön. Sächs. Akademie der bildenden Künste alljährlich veranstalteten Kunst-Ausstellung in Dresden 1859}} ; Neues Projekt Marie Simon: [[s:Index:Die Krankenpflege 1876.pdf]] == 31. März == [[Datei:Kesselsdorf und Maxen.Seite71.jpg|mini|Kesselsdorf und Maxen, S. 71]] ; Projekte {{Wikisource|Kunstdenkmäler Amtshauptmannschaft Flöha}} {{Wikisource|Kesselsdorf und Maxen – Zwei Winterschlachten bei Dresden}} {{Wikisource|Im Verein (Kunsthütte)}} {{Wikisource|Tafellied zur Crucianer-Feier am 2. Mai 1891}} * [[c:Category:Beschreibende Darstellung der älteren Bau- und Kunstdenkmäler des Königreichs Sachsen (Heft 7, Chemnitz)]] == 24. März == [[File:Die Gartenlaube (1898) b 0196 a 5.jpg|mini|Osterei als Tischkartenhalter, Die Gartenlaube, 1898, S. 196]] ; Zeitgemäßes neues Projekt? ''Ostereier für Buchhändler : mit Salz, Pfeffer, Essig oder Senf zu verspeisen im Jahre 1864'', https://mdz-nbn-resolving.de/details:bsb11267173 <gallery> Die_Gartenlaube_(1898)_b_0185_1.jpg|Das „Ritzen“ der Ostereier Die_Gartenlaube_(1898)_b_0185_2.jpg|Mährische Ostereier Die_Gartenlaube_(1898)_b_0186_1.jpg|Galizische Ostereier Die_Gartenlaube_(1898)_b_0186_2.jpg|Bemaltes und beschriebenes Gänseei Eduard Unger (painter, 1853) eastereggs ChatGPT-Image.png Die Gartenlaube (1894) b 180 3.jpg|[[s:Ein Gruß vom Osterhasen|Ein Gruß vom Osterhasen, 1894]] </gallery> == 17. März == Neue Themenseite: [[s:Kunsthütte Chemnitz]] ; Edits * Deutsche Nationalbibliothek [[d:Q27302]] * Sammelauftrag [[d:Q2217225]] * Sondersammelgebiet [[d:Q1746046]] * élections municipales de 2026 à Paris [[d:Q124423240]] == 10. März == ; Save the date * Tagung „Lebendiges Netzwerk Industriekultur im Ehrenamt“, Tagung mit Markt der Akteure in Dresden, am 28. März 2026: [https://www.saechsischer-heimatschutz.de/files/heimatschutz/pdf/Denkmalnetz%20Sachsen/Lebendiges%20Netzwerk/Tagungsprogramm%20LNIK%2028.03.2026_Stand_15.01.2026.pdf Flyer] ; Lieder Kunsthütte in [[s:Chemnitz#Kunst]] {{Wikisource|1. Tafellied zum 20. Stiftungsfeste des Erzgebirgischen Gartenbauvereins}} {{Wikisource|2. Tafellied zum 20. Stiftungsfeste des Erzgebirgischen Gartenbauvereins}} {{Wikisource|Erstes Tafellied Erzgebirgischer Gartenbauverein 1884}} {{Wikisource|Zweites Tafellied Erzgebirgischer Gartenbauverein 1884}} ; Instabil {{Wikisource|Index:Kesselsdorf und Maxen.pdf}} Nach Leerspeicherung geht’s kurzfristig – Das Problem hat sich leider weiter manifestiert – Problem hat sich in Luft aufgelöst, da auf djvu umgestellt. Nichts zu danken. {{Wikisource|Index:Kesselsdorf und Maxen.djvu}} == 3. März == ; C. {{Wikisource|Kunsthütte oder Pechhütte|Kunsthütte oder – Pechhütte?}} {{Wikisource|Die Geschichte von der Kunsthütte}} {{Wikisource|Die Chemnitzer wollten e Kunstvereinl hamm}} ; Deutsche Digitale B. Dokumention: [[meta:WikiKult - Offene Kulturdaten/Virtuelle Ausstellungen|Virtuelle Ausstellungen]] der DDB == 24. Februar == [[Datei:Liddy Böttcher.pdf|thumb|Die hochverehrte Mitbegründerin des Gewerbschul-Damenkränzchens ihre aufrichtige Freundin und treue Beratherin Frau Geh. Regierungsrath Liddy Böttcher in Dresden begrüssen in dankbarer Anerkennung ihres verdienstlichen Wirkens hierdurch als ihr Ehrenmitglied die gegenwärtigen Mitglieder dieser Vereinigung. Chemnitz, den 21. Juni 1882.]] ; Dresden: Plauen * Altarverhüllung und Passionsandachten, https://jakobikirchgemeinde-dresden.de/aktuelles/altarverhuellung-und-passionsandachten ; Kunsthütte Chemnitz * [[c:Category:Kunsthütte Chemnitz]], Kunstsammlungen Chemnitz: [https://www.kunstsammlungen-chemnitz.de/bibliothek-archiv/ Bibliothek und Archiv] ; Archiverlebnisse ... ''13. Tag der Archive'' am 7./8. März 2026, https://www.staatsarchiv.sachsen.de/tag-der-archive-2026-8099.html : ''Ordnung muss sein. Extra-Touren mit historischen Tanzkarten – und mit GLAM'', https://osl.hypotheses.org/21052 : ''Unboxing: Tafellieder, Tanzkarten, Bücher, Dachböden'', https://nearby.hypotheses.org/5225 ; Datenpflege * automatische Rückverlinkung zu WD in Echtzeit -> super! siehe: https://personen.niedersaechsische-bibliographie.de/person/1786778084/ == 17. Februar == [[Datei:Trostworte DDB.jpg|mini|Konrad Dielitz, DDB: Trostworte]] ; Es wollt' die Kunsthütt' auch einmal auf eine Reise gehen [[c:Category:Kunsthütte Chemnitz]] ; DDBstudio Kennt Ihr die [https://www.deutsche-digitale-bibliothek.de/content/virtuelle-ausstellungen Virtuellen Ausstellungen] der [[c:Category:Deutsche Digitale Bibliothek|Deutschen Digitalen Bibliothek]]? ; Urheber gesucht: <gallery> Meyers Universum Band 01 06 7. Auflage.jpg|[[d:Q138292728]] nicht in Marienbad, sondern in Karlsbad </gallery> == 10. Februar == [[Datei:Bildnisse hervorragender Dresdner (1908) August Tiedge.jpg|mini|hochkant|Christoph August Tiedge]] ; WP-Artikel gesucht [[d:Q138029143]], Stadtwiki hat vorgelegt: https://www.stadtwikidd.de/wiki/Tiedge-Stiftung ; [[Projekt:Tanzkarten]] Wie können historische Tanzkarten heute als Lern- und Lehrmittel dienen? ; Volltext bei Wikisource [[d:Q138038625]] = https://swb.bsz-bw.de/DB=2.304/PPNSET?PPN=1124690913&INDEXSET=21 {{Wikisource|Verzeichniss der von Speck’schen Gemälde-Sammlung, Teil 1 (1827)}} ; "Grüne Liste" für die Recherche von Lehrerbiografien im Königreich Sachsen {{Wikisource|Sächsischer Gymnasiallehrerverein}} == 3. Februar == [[Datei:Bildnisse hervorragender Dresdner (1908) Ludwig Richter.jpg|mini|hochkant|[[w:Ludwig Richter|Ludwig Richter]] war Lehrer an der Zeichenschule Meißen]] ; Tafellieder Heute * {{Wikisource|Tafellied Hebammenverein Bautzen|Tafel-Lied zum 25jährigen Stiftungsfest des Hebammenvereins Bautzen und Umg. am 7. Oktober 1926}} ; Universitäts- und Stadtbibliothek Köln über Wikisource ''Schatz an Digitalisaten und Texten wurde an der Universitäts- und Stadtbibliothek Köln in einen lokalen Katalog überführt und so für alle Nutzer - innerhalb und ausserhalb der Universität zu Köln - in einem modernen Recherche-Portal erschlossen.'' https://wikisource.ub.uni-koeln.de/portal/home.html?l=de ; WP-Artikel gesucht [[d:Q137948126]], Stadtwiki hat vorgelegt: https://www.stadtwikidd.de/wiki/Zeichenschule_Meißen, mehrfach erwähnt in: {{Wikisource|Lebensläufe Meißner Künstler}} Mehrfache Erwähnung auch im Stadtwiki Meißen via https://stadtwiki-meissen.de/wiki/Lebensläufe_Meißner_Künstler_(1888). Eine Seite dort wäre relevant. : ''(...) wenn man einen Artikel zur Zeichenschule Meißen (1743-1893) anlegt, dann muss nach meiner Meinung auch gleichzeitig ein Artikel über die "Kunstschule Meißen" (ab 1906) angelegt werden. (...)'' [https://stadtwiki-meissen.de/wiki/Diskussion:Lebensl%C3%A4ufe_Mei%C3%9Fner_K%C3%BCnstler_(1888) Link] == 27. Januar == ; Lesenswert [[d:Q137877729]]: zentrale Themen: Wahlen in Baltimore am 2. November 1859, Nativisten, Rowdys, Know Nothing Party; dazu der Soundtrack: [https://www.youtube.com/watch?v=_TvDge63Iy8 Baltimore] Man beachte den Text: [[s:Das Washingtondenkmal zu Baltimore in Maryland]] : jetzt auch auf Archivalia: https://archivalia.hypotheses.org/249945 ; Augenweide [[d:Q137886412]]: [[c:Category:Souvenirs des eaux de Baden-Baden et des environs (ca. 1837)]] Hinweis: Baden-Baden ist Partnerstadt von Freital ; Citizen Science in Dresden [[w:Wohnungsenquête (Berlin)]] {{Wikisource|Gesundheit und Städteerweiterung}} {{Wikisource|Wohnung und Krankheit}} {{Wikisource|Wohnungsnot in den großen Städten}} {{Wikisource|Die Wohnungsnoth der ärmeren Klassen}} {{Wikisource|Wohnungsnoth der Arbeiterinnen}} ; Verein für die Geschichte Leipzigs {{Wikisource|Leipziger Geschichtsverein}} ; Capital of Culture Content {{Wikisource|Tafellied im ökonomischen Verein zu Chemnitz}} == 20. Januar == ; Rollout [[d:Q136696936|164. Heft auf WD nun komplett (bis auf bibliographische Einträge in diversen Katalogen)]] ; Thüringer Schulportal ''Tafellieder : Informationen, Digitalisate und Einsatzmöglichkeiten im Bildungsbereich'', https://www.schulportal-thueringen.de/media/detail?tspi=18946, siehe auch [[s:Wikisource:OER]] ; Thüringen dito {{Commonscat|Hennebergisch-Fränkischer Geschichtsverein}} == 13. Januar == ; Neues Projekt {{Wikisource|Die Sophienkirche in Dresden}} ; Altes Projekt, neuer Band {{Wikisource|Meyer’s Universum, oder Abbildung und Beschreibung des Sehenswerthesten und Merkwürdigsten der Natur und Kunst auf der ganzen Erde. Zwanzigster Band|Meyer’s Universum, 20. Band}} ; Neue Themenseite {{Wikisource|Hasel}} ; Neue Tafellieder <gallery> Tafellied gesucht 1897.jpg|Tafellied gesucht, 1897 Tafellieder Schillerfest 1853.jpg|Aufforderung Tafellieder einzusenden bis 1. November 1853 </gallery> {{Wikisource|Tafellied beim Stiftungsfeste des Kunst- und Handwerksvereins zu Altenburg}} {{Wikisource|Tafellied auf Schulze-Delitzsch 1883}} {{Wikisource|Tafellied von Wilhelm Müller}} {{Wikisource|Neu-orthographisches Tafellied 1876}} : {{Wikisource|Parteitag der Deutschen Volkspartei (Der Beobachter, 1895)}} Neue Themenseite für die OER-Entwicklung {{Wikisource|Tafellieder}} == 6. Januar == ; Meyer’s Universum {{Wikisource|Das neue Museum in Dresden}} <gallery> Meyers Universum Band 19 33.jpg|Gesundes neues Jahr! </gallery> ; Tafellieder {{Wikisource|Tafellied des Vereins für Geschichte Dresdens 1894|Tafellied des Vereins für Geschichte Dresdens, 1894}} {{Wikisource|Alles per Dampf (1863)}} {{Wikisource|Olympische Grüsse (1899)}} {{Wikisource|Tafellied Ehemaliger Werkmeisterschüler Chemnitz 1884}} ; Dresden historisch, frisch hochgeladen [[d:Q137675269]] <gallery> S. Prout Sketches in Flanders and Germany 1833 45.jpg S. Prout Sketches in Flanders and Germany 1833 46.jpg S. Prout Sketches in Flanders and Germany 1833 47.jpg S. Prout Sketches in Flanders and Germany 1833 48.jpg S. Prout Sketches in Flanders and Germany 1833 49.jpg </gallery> ; Ratsschulbibliothek Zwickau : https://www.ratsschulbibliothek.de, Projektidee {{Wikisource|Mitteilungen des Vereins für Geschichte Dresdens. Zehntes Heft}} == Bibliothek == === Leseecke === * [[DieDatenlaube/call4edits]] === DatenlaubeJam '21, '22, '23, '24, '25 === Archive: '''[[DieDatenlaube/Notizen/2021|2021]]''', '''[[DieDatenlaube/Notizen/2022|2022]]''', '''[[DieDatenlaube/Notizen/2023|2023]]''', '''[[DieDatenlaube/Notizen/2024|2024]]''', '''[[DieDatenlaube/Notizen/2025|2025]]''' siehe auch [[s:Wikisource:Wikisource-Informationsstand_SLUB/Archiv|''Archiv des Wikisource-Informationsstands'' in der SLUB Dresden]] == Werkzeug== <gallery> Logo des Dresdner Geschichtsverein e.V.jpg|Logo des Dresdner Geschichtsverein e.V. Dresdner Journal 1906 010 Tierschutzverein.jpg|Nachtrag zum 164. Dresdner Heft Cover of Wikipedia and Academic Libraries (page 1 crop).jpg|[[s:en:Wikipedia and Academic Libraries: A Global Project|Wikipedia and Academic Libraries: A Global Project, 2021]] Wir bilden aus.jpg|right|mini|Wir bilden aus. Wikisource-logo-green.svg|Wikisource DDB im Wikiversum q.jpg|[[meta:WikiKult - Offene Kulturdaten/Virtuelle Ausstellungen|Deutsche Digitale Bibliothek im Wikiversum]]]] </gallery> === Fußnoten === <references /> [[Kategorie:Bibliothek]] [[Kategorie:Dresden]] [[Kategorie:Citizen Science]] suzh5d2kw6dgs3z87u83wltwfdvted2 0 136032 1119321 718704 2026-11-10T11:52:25Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1119321 wikitext text/x-wiki In dieser Lernressource geht es um äquivalente digitale und analoge Weltstrukturen im Kontext von Lernumgebungen. Digital Analogue World Equivalence (DAWE) bedeutet, dass der digitale Zugriffsbereich auf Daten und Software strukturell äquivalent zu dem außerhalb der I T liegenden Zugriffsbereich der verwendeten digitalen Lernumgebungen ist. Diese Lernressource basiert auf dem [[Open Community Approach]]. == Einführung == Man geht davon aus, dass die Studierenden alleine an einer auf ihre Fähigkeiten und Kenntnisse zugeschnittenen Lernaufgabe arbeiten. Dies definiert eine Lernumgebung, in der die Studierenden nicht mit anderen Studierenden zusammenarbeiten. Wenn die IT-Umgebung entsprechend gestaltet ist, dann kann das mobile Gerät auch ohne Verbindung zu anderen Studierenden oder zum Backend des [[w:de:Lernmanagementsystem|Lernmanagementsystem]]s arbeiten. Es liegt auf der Hand, dass eine Bewertung auch die Anforderung enthalten kann, dass die Aufgaben mit [[v:en:enOpen Source|Open Source Software]] und [[Open Educational Resources]], die nur auf dem Gerät verfügbar sind, bearbeitet werden sollten. Dies kann eine erweiterte Arbeit in einer Gruppe von Schülern sein, die an einer gemeinschaftlichen Lernaufgabe arbeiten. Digitale Analoge Weltäquivalenz bedeutet in diesem Zusammenhang, dass die Schülerinnen und Schüler als Gruppe mit einem mobilen Gerät oder PC an einer bestimmten Aufgabe arbeiten und von der restlichen IT-Infrastruktur abgekoppelt arbeiten können, == Lernaufgaben == * '''([[w:de:Mesh networking|Mesh Networks]])''' '''([[w:en:Mesh networking|Mesh Networks]])''', die zwischen mobilen Geräten eingerichtet werden können, ohne dass eine Client-Server-Infrastruktur erforderlich ist. Die SchülerInnen arbeiten zusammen und tauschen Ideen und Inhalte innerhalb des Mesh-Netzwerks aus. Wenn sie ihre Übung nicht beenden, teilen sich alle Clients eine Kopie der Zwischenergebnisse und können diese später unabhängig voneinander als Hausaufgabe bearbeiten. Einige Schülerinnen und Schüler möchten ihre Ergebnisse vielleicht nicht präsentieren, andere möchten sie mit der Lehrkraft teilen oder sogar im Mesh-Netzwerk im Klassenzimmer anwesend sein. Erklären Sie den Unterschied zwischen einer Client-Server-Infrastruktur, bei der alle digitalen Produkte über den Server gespeichert und ausgetauscht werden müssen. Was sind die Vor- und Nachteile beider Ansätze? Wie fühlen sich Ihre SchülerInnen, wenn alle Ergebnisse und Zwischenschritte auf einer Client-Server-Infrastruktur gespeichert sind? Schätzen Ihre Schülerinnen und Schüler einen Arbeitsablauf, bei dem die Offline-Privatsphäre der Ergebnisse gewahrt bleibt und die Möglichkeit besteht, die Ergebnisse vom eigenen Mobilgerät aus mit der Lehrkraft, der Gruppe oder der gesamten Klasse zu teilen, wenn sich die Schülerinnen und Schüler mit der Weitergabe von ihrem eigenen Gerät an eine Client-Server-Infrastruktur wohl fühlen. * '''([[w:de:KISS_principle|KISS Principle]])''' Keep It Small and Simple "[[w:en:KISS_principle|KISS]]" bedeutet, einfache Softwarelösungen zu erstellen, die einer bestimmten Aufgabe dienen und für einen bestimmten Zweck leicht gewartet und überwacht werden können. Identifizieren Sie die Bibliotheks-Pakete z.B. für [[v:en:LineageOS|LineageOS]], um eine Digital-Analog-Welt-Äquivalenz herzustellen. Betrachten Sie auch das Konzept des [[w:en:OSI-Modells|Schichten im OSI-Modell]] und leiten Sie die Auswahl der [[Open Source]]-Software/Bibliotheken aus Ihren Anforderungen und Einschränkungen ab. * '''(Synchronisierung und gemeinsame Nutzung)''' Angenommen, die Gruppe der Studierenden hat ein [[w:en:Mesh Networking|Mesh Network]] zwischen ihnen eingerichtet. In einer kollaborativen Arbeitsumgebung zwischen dieser Gruppe möchten die Studierenden die Ergebnisse und Zwischenergebnisse des Problemlösungsprozesses synchronisieren und gemeinsam nutzen. Beschäftigen Sie sich mit der Geschichte des Wikis oder den Arbeitsabläufen eines Versionskontrollsystems. Welche Anforderungen und Einschränkungen gibt es, damit die Schülergruppe den Überblick über ihre gemeinsamen Ergebnisse behält und ihre Versionen der Zwischenergebnisse synchronisiert. Ist das ohne ein Versionskontrollsystem im Hintergrund möglich? Ist es möglich, dass die Studierenden einen Studierenden auswählen, der eine Versionskontrolle im [[w:de:Mesh-Netzwerk|Mesh-Netzwerk]] hostet und alle Versionen in einem Master-Slave-Konzept der Datenbank mit allen anderen mobilen Geräten im [[w:de:Mesh-Netzwerk|Mesh-Netzwerk]] austauscht? Welche anderen Möglichkeiten gibt es, die Daten zwischen den Schülern zu synchronisieren und auszutauschen, ohne eine externe Client-Server-Infrastruktur zu verwenden? Leiten Sie Schlussfolgerungen ab, wann zentralisierte Open-Source-Dienste in Schulen oder lokalisierte Mesh-Lösungen eingesetzt werden sollten, die keine weitere Client-Server-Infrastruktur für die kollaborative Arbeit benötigen. * '''(Einreichung oder Veröffentlichung von Ergebnissen)''' Wenn ein Thema zusammen mit den Lernaufgaben abgeschlossen ist, möchten die Schülerinnen und Schüler vielleicht die individuellen Ergebnisse auf dem mobilen Gerät mit der Peergroup teilen, die Lehrkraft den gesamten Kurs oder sogar im Intranet innerhalb der Schule veröffentlichen (und z.B. nicht im Content Management System der Schule, Hochschule, Universität, ...). Betrachten Sie den Arbeitsablauf im Allgemeinen "Wer soll Zugang zu welchem Inhalt haben?" und übertragen Sie dies auf die digitale Infrastruktur in der Weise, dass der Zugang zu den Ergebnissen gleichbedeutend ist mit dem Hosten der entsprechenden Daten auf den digitalen Geräten (z.B. mobile Geräte von Schülern und Lehrern, Datenprojektor, Open Source Server in der Schule oder in einem Mesh Network, ...) * '''([[Real World Lab]]s)''' Erkunden Sie das Konzept der [[Real World Lab]]s und die Interaktion mit der realen Welt mit zusätzlichen digitalen Informationen. Erläutern Sie, wie Lernmodule in Wikiversity als [[Open Educational Resources]] auf einen bestimmten geografischen Ort zugeschnitten werden können. == Digital-Analog-Welt-Äquivalenz == Die '''Digital-Analog-Welt-Äquivalenz''' ist ein zentrales Konzept im Kontext der Digitalisierung und der damit verbundenen ethischen Überlegungen. Sie beschreibt die Annahme oder den Versuch, dass digitale Repräsentationen (z. B. Daten, Modelle, Simulationen) einer analogen, physischen Realität '''äquivalent''' sind – also dass sie dieselbe Bedeutung, Gültigkeit oder Wirkung haben wie die Originalobjekte oder Prozesse in der realen Welt. === Grenzen von Modellen und Simulationen === Doch diese Äquivalenz ist in komplexen dynamischen System '''nicht gegeben''', sondern muss kritisch hinterfragt werden, ob welche Aspekte aus der realen Welt tatsächlich in entsprechende Qualität abgebildet wurden und in welche Aspekt bewusst nicht berücksichtigt wurden bzw. nicht berücksichtigt werden konnten. Insbesonders im Hinblick auf '''Ethik, Verantwortung, Transparenz und menschliche Wahrnehmung'''. === Schnittstelle zwischen digitaler und analoger Welt === Äquivalenz bedeutet mathematisch und aus der Wortbedeutung "gleichwertig". Die Korrektheit eines digitalen Modells ist aber nicht klassisch wahr (=1) oder falsch (=0), sondern kann in der Gültigkeit der Äquivalenz graduelle Zwischenwert zwischen 0 und 1 annehmen. Die Gültigkeit der Äquivalenz versucht man über Sensornetzwerke zu messen, wobei in der Regel nicht alles messbar ist, was den Kern eines Systems ausmacht: * '''Analoge Welt''': Die physische, mit Sinnen wahrnehmbare Welt – Menschen, Prozesse, Natur, Objekte. * '''Digitale Welt''': Daten, Algorithmen, Modelle, Simulationen, die in Computern gespeichert und verarbeitet werden. * '''Messinstrumente''': Sensornetzwerke in der analogen Welt messen Teilaspekte und kalibrieren die Modelle in der digitalen Welt (siehe auch [[Maschinelles Lernen]]) Die '''Äquivalenz''' bedeutet: *„Was in der digitalen Welt passiert, hat dieselbe Relevanz, Wirkung und Verantwortung wie in der analogen Welt.“* === Beispiel - Digitaler Zwilling === Ein '''digitaler Zwilling''' eines Fabrikrobots wird in einer Simulation getestet. Wenn der digitale Zwilling „funktioniert“, wird angenommen, dass der echte Roboter auch funktionieren wird – also: digitale und analoge Welt sind äquivalent. === Probleme diese DAW-Äquivalenz === Die Annahme der DAW-Äquivalenz kann ethisch bedenklich sein, weil: === Problem 1 - Daten sind nicht die Realität=== Digitale Repräsentationen sind immer '''vereinfacht, selektiv und fehlerbehaftet'''. Sie berücksichtigen nur bestimmte Merkmale, die gemessen oder modelliert wurden. === Problem 2 - Verlust von Kontext und Nuance=== Die menschliche Erfahrung, Emotionen, Intuition oder kulturelle Bedeutung sind schwer digitalisierbar. Ein digitaler Zwilling eines Menschen kann z. B. dessen Verhalten vorhersagen, aber nicht dessen Motivation oder ethische Entscheidungen. === Problem 3 - Verantwortung wird verschoben=== Wenn ein digitaler Zwilling einen Fehler verursacht (z. B. ein autonomes Fahrzeug, das auf Basis eines digitalen Zwillinges falsch reagiert), wird die Verantwortung oft auf „die Daten“ oder „den Algorithmus“ abgeschoben – statt auf die Menschen, die den Zwilling erstellt, validiert oder einsetzt. === Problem 4 - Macht und Kontrolle=== Wer Daten erhebt, modelliert und interpretiert, hat Einfluss auf die digitale Repräsentation – und damit auf Entscheidungen in der analogen Welt. Dies kann zu '''Diskriminierung, Überwachung oder Manipulation''' führen. === Beispiel - Digitaler Zwilling in der Industrie === '''Szenario''': Ein Unternehmen erstellt einen digitalen Zwilling einer Produktionsanlage, um Wartungsintervalle vorherzusagen und Ausfälle zu vermeiden. * '''Äquivalenzannahme''': „Der digitale Zwilling ist so genau wie die echte Anlage – also können wir auf Basis seiner Daten Entscheidungen treffen, die die reale Produktion betreffen.“ * '''Ethische Herausforderungen''': ** '''Datenqualität''': Wenn Sensoren fehlerhaft sind oder Daten nicht vollständig erfasst wurden, ist der Zwilling '''nicht äquivalent''' – er kann falsche Vorhersagen liefern. ** '''Verantwortung''': Wenn ein Ausfall trotz „gutem“ digitalen Zwilling eintritt, wer haftet? Der Ingenieur, der den Zwilling gebaut hat? Der Datenmanager? Der CEO, der auf die Vorhersage vertraute? ** '''Menschliche Arbeit''': Wenn der digitale Zwilling die Entscheidung über Wartung trifft, wird menschliche Erfahrung und Intuition ausgeblendet – was ethisch problematisch ist, wenn es um Sicherheit geht. ==== Fazit - digitale Zwillinge==== Der digitale Zwilling ist '''nicht äquivalent''' zur realen Anlage – er ist ein '''Modell''', das nützlich, aber begrenzt ist. Die Annahme der Äquivalenz führt zu Risiken, wenn sie nicht kritisch hinterfragt wird. === Ethik im Umgang mit DAW-Äquivalenz === Um ethisch verantwortungsvoll mit Digitalisierung umzugehen, sollten folgende Prinzipien gelten: ==== Anforderung 1 - Transparenz ==== Es muss klar sein, was im digitalen Modell erfasst, was weggelassen wurde und welche Annahmen zugrunde liegen. === Anforderung 2 - Verantwortlichkeit=== Menschen, nicht Algorithmen, tragen Verantwortung für Entscheidungen, die auf digitalen Modellen basieren. === Anforderung 3 - Human-in-the-Loop=== Digitale Systeme sollten '''unter menschlicher Aufsicht''' funktionieren – besonders bei kritischen Entscheidungen. === Anforderung 4 - Kritische Distanz=== Digitale Repräsentationen sind '''nicht die Realität''', sondern Hilfsmittel zur Entscheidungsfindung. Sie müssen stets mit kritischem Abstand betrachtet werden. === Anforderung 5 - Gerechtigkeit und Fairness=== Digitale Modelle dürfen nicht diskriminierend sein, z.B. wenn sie auf unvollständigen oder voreingenommenen Daten basieren. == Zusammenfassung == Die '''Digital-Analog-Welt-Äquivalenz''' darf nicht mit einer Annahme verwechselt werden, dass die Äquivalenz in der Digitalisierung tatsächlich zu erreichen ist. Der Begriff suggeriert, dass digitale Modelle wie digitale Zwillinge die reale Welt vollständig und genau abbilden, was ethisch potentiell zu Problemen führen kann. === Gründe für Probleme bzgl. DAW-Äquivalenz === Gründe für Probleme einer DAW-Äquivalenz liegen * Modelle sind vereinfacht. * Daten sind nicht neutral. * Verantwortung kann verschoben werden. * Menschliche Dimensionen gehen u.U. verloren und finden keine Berücksichtigung in Entscheidungsprozessen. === Ethisch verantwortungsvolle Digitalisierung === Ethisch verantwortungsvolle Digitalisierung bedeutet u.a. auch die Grenzen von Modellen wahrzunehmen und keine Absolutheitsanspruch für die modellierten Aspekte zu berücksichtigen. === Aufgabe 1 für Studierende === Diskutieren Sie die folgende Aussage und suchen Sie nach Beispielen aus Ihrem Umfeld, an dem Sie diese Aspekte erläutern können : ''„Menschen nutzen digitale Modelle als Werkzeuge und zur Entscheidungsunterstützung – aber berücksichtigen nicht notwendig betrachtet, wer diese Modelle erstellt hat, mit welcher Zielsetzung die Modelle geschaffen wurden, wer von den Einsatz der Modelle profitiert"'' Können durch einen Absolutheitsanspruch der Digital-Analog-Welt-Äquivalenz Menschenrechte verletzt werden. === Aufgabe 2 für Studierende === Wenn Digital-Analog-Äquivalenz eine Illusion ist und nur Teilaspekte und unvollständiger Form auf digitale Modelle übertragen werden, kann man dann dennoch Anstrengungen als Gesellschaft angehen, damit die ethische Risiken gemindert werden. Versuchen Sie die ethischen Risiken auch im Kontext von digitaler Entscheidungsunterstützung durch digitale Zwillingen als nützliche Hilfsmittels zu analysieren. Z.B. digitale Zwillinge von Ökosystemen zu verwenden, um Interventionen vor der Realisierung in einem digitalen Modell zu testen und die Konsequenzen einer Intervention besser abzuschätzen. == Siehe auch == * [[Digitale Lernumgebung]] * [[Digitaler Zwilling]] * [[w:en:Information systems|Informationssysteme]] * [[w:de:KISS-Prinzip|KISS-Prinzip]] * [[w:en:Lernmanagementsystem|Lernmanagementsystem (LMS)]] * [[v:en:LineageOS|LineageOS]] - ein maßgeschneidertes [[v:en:Open Source|Open Source]]-Betriebssystem für mobile Geräte für DAWE * [[w:de:OSI-Modell|Schichten im OSI-Modell]] * [[w:de:Mesh Networking|Mesh Network]] [[Kategorie:Lernen]] [[Kategorie:Informations- und Kommunikationstechnologien]] [[Kategorie:Informationssysteme]] <noinclude>[[en:Digital Analogue World Equivalence]]</noinclude> 9s6wyon3pa8m00hypvqgzvu3jzcailz 1119322 1119321 2026-11-10T11:53:35Z Bert Niehaus 20843 1119322 wikitext text/x-wiki == Einführung == In dieser Lernressource geht es um äquivalente digitale und analoge Weltstrukturen im Kontext von Lernumgebungen. Digital Analogue World Equivalence (DAWE) bedeutet, dass der digitale Zugriffsbereich auf Daten und Software strukturell äquivalent zu dem außerhalb der I T liegenden Zugriffsbereich der verwendeten digitalen Lernumgebungen ist. Diese Lernressource basiert auf dem [[Open Community Approach]]. === Lernumgebung und digitale Zwillinge von Lernenden === Man geht davon aus, dass die Studierenden alleine an einer auf ihre Fähigkeiten und Kenntnisse zugeschnittenen Lernaufgabe arbeiten. Dies definiert eine Lernumgebung, in der die Studierenden nicht mit anderen Studierenden zusammenarbeiten. Wenn die IT-Umgebung entsprechend gestaltet ist, dann kann das mobile Gerät auch ohne Verbindung zu anderen Studierenden oder zum Backend des [[w:de:Lernmanagementsystem|Lernmanagementsystem]]s arbeiten. Es liegt auf der Hand, dass eine Bewertung auch die Anforderung enthalten kann, dass die Aufgaben mit [[v:en:enOpen Source|Open Source Software]] und [[Open Educational Resources]], die nur auf dem Gerät verfügbar sind, bearbeitet werden sollten. Dies kann eine erweiterte Arbeit in einer Gruppe von Schülern sein, die an einer gemeinschaftlichen Lernaufgabe arbeiten. Digitale Analoge Weltäquivalenz bedeutet in diesem Zusammenhang, dass die Schülerinnen und Schüler als Gruppe mit einem mobilen Gerät oder PC an einer bestimmten Aufgabe arbeiten und von der restlichen IT-Infrastruktur abgekoppelt arbeiten können, == Lernaufgaben == * '''([[w:de:Mesh networking|Mesh Networks]])''' '''([[w:en:Mesh networking|Mesh Networks]])''', die zwischen mobilen Geräten eingerichtet werden können, ohne dass eine Client-Server-Infrastruktur erforderlich ist. Die SchülerInnen arbeiten zusammen und tauschen Ideen und Inhalte innerhalb des Mesh-Netzwerks aus. Wenn sie ihre Übung nicht beenden, teilen sich alle Clients eine Kopie der Zwischenergebnisse und können diese später unabhängig voneinander als Hausaufgabe bearbeiten. Einige Schülerinnen und Schüler möchten ihre Ergebnisse vielleicht nicht präsentieren, andere möchten sie mit der Lehrkraft teilen oder sogar im Mesh-Netzwerk im Klassenzimmer anwesend sein. Erklären Sie den Unterschied zwischen einer Client-Server-Infrastruktur, bei der alle digitalen Produkte über den Server gespeichert und ausgetauscht werden müssen. Was sind die Vor- und Nachteile beider Ansätze? Wie fühlen sich Ihre SchülerInnen, wenn alle Ergebnisse und Zwischenschritte auf einer Client-Server-Infrastruktur gespeichert sind? Schätzen Ihre Schülerinnen und Schüler einen Arbeitsablauf, bei dem die Offline-Privatsphäre der Ergebnisse gewahrt bleibt und die Möglichkeit besteht, die Ergebnisse vom eigenen Mobilgerät aus mit der Lehrkraft, der Gruppe oder der gesamten Klasse zu teilen, wenn sich die Schülerinnen und Schüler mit der Weitergabe von ihrem eigenen Gerät an eine Client-Server-Infrastruktur wohl fühlen. * '''([[w:de:KISS_principle|KISS Principle]])''' Keep It Small and Simple "[[w:en:KISS_principle|KISS]]" bedeutet, einfache Softwarelösungen zu erstellen, die einer bestimmten Aufgabe dienen und für einen bestimmten Zweck leicht gewartet und überwacht werden können. Identifizieren Sie die Bibliotheks-Pakete z.B. für [[v:en:LineageOS|LineageOS]], um eine Digital-Analog-Welt-Äquivalenz herzustellen. Betrachten Sie auch das Konzept des [[w:en:OSI-Modells|Schichten im OSI-Modell]] und leiten Sie die Auswahl der [[Open Source]]-Software/Bibliotheken aus Ihren Anforderungen und Einschränkungen ab. * '''(Synchronisierung und gemeinsame Nutzung)''' Angenommen, die Gruppe der Studierenden hat ein [[w:en:Mesh Networking|Mesh Network]] zwischen ihnen eingerichtet. In einer kollaborativen Arbeitsumgebung zwischen dieser Gruppe möchten die Studierenden die Ergebnisse und Zwischenergebnisse des Problemlösungsprozesses synchronisieren und gemeinsam nutzen. Beschäftigen Sie sich mit der Geschichte des Wikis oder den Arbeitsabläufen eines Versionskontrollsystems. Welche Anforderungen und Einschränkungen gibt es, damit die Schülergruppe den Überblick über ihre gemeinsamen Ergebnisse behält und ihre Versionen der Zwischenergebnisse synchronisiert. Ist das ohne ein Versionskontrollsystem im Hintergrund möglich? Ist es möglich, dass die Studierenden einen Studierenden auswählen, der eine Versionskontrolle im [[w:de:Mesh-Netzwerk|Mesh-Netzwerk]] hostet und alle Versionen in einem Master-Slave-Konzept der Datenbank mit allen anderen mobilen Geräten im [[w:de:Mesh-Netzwerk|Mesh-Netzwerk]] austauscht? Welche anderen Möglichkeiten gibt es, die Daten zwischen den Schülern zu synchronisieren und auszutauschen, ohne eine externe Client-Server-Infrastruktur zu verwenden? Leiten Sie Schlussfolgerungen ab, wann zentralisierte Open-Source-Dienste in Schulen oder lokalisierte Mesh-Lösungen eingesetzt werden sollten, die keine weitere Client-Server-Infrastruktur für die kollaborative Arbeit benötigen. * '''(Einreichung oder Veröffentlichung von Ergebnissen)''' Wenn ein Thema zusammen mit den Lernaufgaben abgeschlossen ist, möchten die Schülerinnen und Schüler vielleicht die individuellen Ergebnisse auf dem mobilen Gerät mit der Peergroup teilen, die Lehrkraft den gesamten Kurs oder sogar im Intranet innerhalb der Schule veröffentlichen (und z.B. nicht im Content Management System der Schule, Hochschule, Universität, ...). Betrachten Sie den Arbeitsablauf im Allgemeinen "Wer soll Zugang zu welchem Inhalt haben?" und übertragen Sie dies auf die digitale Infrastruktur in der Weise, dass der Zugang zu den Ergebnissen gleichbedeutend ist mit dem Hosten der entsprechenden Daten auf den digitalen Geräten (z.B. mobile Geräte von Schülern und Lehrern, Datenprojektor, Open Source Server in der Schule oder in einem Mesh Network, ...) * '''([[Real World Lab]]s)''' Erkunden Sie das Konzept der [[Real World Lab]]s und die Interaktion mit der realen Welt mit zusätzlichen digitalen Informationen. Erläutern Sie, wie Lernmodule in Wikiversity als [[Open Educational Resources]] auf einen bestimmten geografischen Ort zugeschnitten werden können. == Digital-Analog-Welt-Äquivalenz == Die '''Digital-Analog-Welt-Äquivalenz''' ist ein zentrales Konzept im Kontext der Digitalisierung und der damit verbundenen ethischen Überlegungen. Sie beschreibt die Annahme oder den Versuch, dass digitale Repräsentationen (z. B. Daten, Modelle, Simulationen) einer analogen, physischen Realität '''äquivalent''' sind – also dass sie dieselbe Bedeutung, Gültigkeit oder Wirkung haben wie die Originalobjekte oder Prozesse in der realen Welt. === Grenzen von Modellen und Simulationen === Doch diese Äquivalenz ist in komplexen dynamischen System '''nicht gegeben''', sondern muss kritisch hinterfragt werden, ob welche Aspekte aus der realen Welt tatsächlich in entsprechende Qualität abgebildet wurden und in welche Aspekt bewusst nicht berücksichtigt wurden bzw. nicht berücksichtigt werden konnten. Insbesonders im Hinblick auf '''Ethik, Verantwortung, Transparenz und menschliche Wahrnehmung'''. === Schnittstelle zwischen digitaler und analoger Welt === Äquivalenz bedeutet mathematisch und aus der Wortbedeutung "gleichwertig". Die Korrektheit eines digitalen Modells ist aber nicht klassisch wahr (=1) oder falsch (=0), sondern kann in der Gültigkeit der Äquivalenz graduelle Zwischenwert zwischen 0 und 1 annehmen. Die Gültigkeit der Äquivalenz versucht man über Sensornetzwerke zu messen, wobei in der Regel nicht alles messbar ist, was den Kern eines Systems ausmacht: * '''Analoge Welt''': Die physische, mit Sinnen wahrnehmbare Welt – Menschen, Prozesse, Natur, Objekte. * '''Digitale Welt''': Daten, Algorithmen, Modelle, Simulationen, die in Computern gespeichert und verarbeitet werden. * '''Messinstrumente''': Sensornetzwerke in der analogen Welt messen Teilaspekte und kalibrieren die Modelle in der digitalen Welt (siehe auch [[Maschinelles Lernen]]) Die '''Äquivalenz''' bedeutet: *„Was in der digitalen Welt passiert, hat dieselbe Relevanz, Wirkung und Verantwortung wie in der analogen Welt.“* === Beispiel - Digitaler Zwilling === Ein '''digitaler Zwilling''' eines Fabrikrobots wird in einer Simulation getestet. Wenn der digitale Zwilling „funktioniert“, wird angenommen, dass der echte Roboter auch funktionieren wird – also: digitale und analoge Welt sind äquivalent. === Probleme diese DAW-Äquivalenz === Die Annahme der DAW-Äquivalenz kann ethisch bedenklich sein, weil: === Problem 1 - Daten sind nicht die Realität=== Digitale Repräsentationen sind immer '''vereinfacht, selektiv und fehlerbehaftet'''. Sie berücksichtigen nur bestimmte Merkmale, die gemessen oder modelliert wurden. === Problem 2 - Verlust von Kontext und Nuance=== Die menschliche Erfahrung, Emotionen, Intuition oder kulturelle Bedeutung sind schwer digitalisierbar. Ein digitaler Zwilling eines Menschen kann z. B. dessen Verhalten vorhersagen, aber nicht dessen Motivation oder ethische Entscheidungen. === Problem 3 - Verantwortung wird verschoben=== Wenn ein digitaler Zwilling einen Fehler verursacht (z. B. ein autonomes Fahrzeug, das auf Basis eines digitalen Zwillinges falsch reagiert), wird die Verantwortung oft auf „die Daten“ oder „den Algorithmus“ abgeschoben – statt auf die Menschen, die den Zwilling erstellt, validiert oder einsetzt. === Problem 4 - Macht und Kontrolle=== Wer Daten erhebt, modelliert und interpretiert, hat Einfluss auf die digitale Repräsentation – und damit auf Entscheidungen in der analogen Welt. Dies kann zu '''Diskriminierung, Überwachung oder Manipulation''' führen. === Beispiel - Digitaler Zwilling in der Industrie === '''Szenario''': Ein Unternehmen erstellt einen digitalen Zwilling einer Produktionsanlage, um Wartungsintervalle vorherzusagen und Ausfälle zu vermeiden. * '''Äquivalenzannahme''': „Der digitale Zwilling ist so genau wie die echte Anlage – also können wir auf Basis seiner Daten Entscheidungen treffen, die die reale Produktion betreffen.“ * '''Ethische Herausforderungen''': ** '''Datenqualität''': Wenn Sensoren fehlerhaft sind oder Daten nicht vollständig erfasst wurden, ist der Zwilling '''nicht äquivalent''' – er kann falsche Vorhersagen liefern. ** '''Verantwortung''': Wenn ein Ausfall trotz „gutem“ digitalen Zwilling eintritt, wer haftet? Der Ingenieur, der den Zwilling gebaut hat? Der Datenmanager? Der CEO, der auf die Vorhersage vertraute? ** '''Menschliche Arbeit''': Wenn der digitale Zwilling die Entscheidung über Wartung trifft, wird menschliche Erfahrung und Intuition ausgeblendet – was ethisch problematisch ist, wenn es um Sicherheit geht. ==== Fazit - digitale Zwillinge==== Der digitale Zwilling ist '''nicht äquivalent''' zur realen Anlage – er ist ein '''Modell''', das nützlich, aber begrenzt ist. Die Annahme der Äquivalenz führt zu Risiken, wenn sie nicht kritisch hinterfragt wird. === Ethik im Umgang mit DAW-Äquivalenz === Um ethisch verantwortungsvoll mit Digitalisierung umzugehen, sollten folgende Prinzipien gelten: ==== Anforderung 1 - Transparenz ==== Es muss klar sein, was im digitalen Modell erfasst, was weggelassen wurde und welche Annahmen zugrunde liegen. === Anforderung 2 - Verantwortlichkeit=== Menschen, nicht Algorithmen, tragen Verantwortung für Entscheidungen, die auf digitalen Modellen basieren. === Anforderung 3 - Human-in-the-Loop=== Digitale Systeme sollten '''unter menschlicher Aufsicht''' funktionieren – besonders bei kritischen Entscheidungen. === Anforderung 4 - Kritische Distanz=== Digitale Repräsentationen sind '''nicht die Realität''', sondern Hilfsmittel zur Entscheidungsfindung. Sie müssen stets mit kritischem Abstand betrachtet werden. === Anforderung 5 - Gerechtigkeit und Fairness=== Digitale Modelle dürfen nicht diskriminierend sein, z.B. wenn sie auf unvollständigen oder voreingenommenen Daten basieren. == Zusammenfassung == Die '''Digital-Analog-Welt-Äquivalenz''' darf nicht mit einer Annahme verwechselt werden, dass die Äquivalenz in der Digitalisierung tatsächlich zu erreichen ist. Der Begriff suggeriert, dass digitale Modelle wie digitale Zwillinge die reale Welt vollständig und genau abbilden, was ethisch potentiell zu Problemen führen kann. === Gründe für Probleme bzgl. DAW-Äquivalenz === Gründe für Probleme einer DAW-Äquivalenz liegen * Modelle sind vereinfacht. * Daten sind nicht neutral. * Verantwortung kann verschoben werden. * Menschliche Dimensionen gehen u.U. verloren und finden keine Berücksichtigung in Entscheidungsprozessen. === Ethisch verantwortungsvolle Digitalisierung === Ethisch verantwortungsvolle Digitalisierung bedeutet u.a. auch die Grenzen von Modellen wahrzunehmen und keine Absolutheitsanspruch für die modellierten Aspekte zu berücksichtigen. === Aufgabe 1 für Studierende === Diskutieren Sie die folgende Aussage und suchen Sie nach Beispielen aus Ihrem Umfeld, an dem Sie diese Aspekte erläutern können : ''„Menschen nutzen digitale Modelle als Werkzeuge und zur Entscheidungsunterstützung – aber berücksichtigen nicht notwendig betrachtet, wer diese Modelle erstellt hat, mit welcher Zielsetzung die Modelle geschaffen wurden, wer von den Einsatz der Modelle profitiert"'' Können durch einen Absolutheitsanspruch der Digital-Analog-Welt-Äquivalenz Menschenrechte verletzt werden. === Aufgabe 2 für Studierende === Wenn Digital-Analog-Äquivalenz eine Illusion ist und nur Teilaspekte und unvollständiger Form auf digitale Modelle übertragen werden, kann man dann dennoch Anstrengungen als Gesellschaft angehen, damit die ethische Risiken gemindert werden. Versuchen Sie die ethischen Risiken auch im Kontext von digitaler Entscheidungsunterstützung durch digitale Zwillingen als nützliche Hilfsmittels zu analysieren. Z.B. digitale Zwillinge von Ökosystemen zu verwenden, um Interventionen vor der Realisierung in einem digitalen Modell zu testen und die Konsequenzen einer Intervention besser abzuschätzen. == Siehe auch == * [[Digitale Lernumgebung]] * [[Digitaler Zwilling]] * [[w:en:Information systems|Informationssysteme]] * [[w:de:KISS-Prinzip|KISS-Prinzip]] * [[w:en:Lernmanagementsystem|Lernmanagementsystem (LMS)]] * [[v:en:LineageOS|LineageOS]] - ein maßgeschneidertes [[v:en:Open Source|Open Source]]-Betriebssystem für mobile Geräte für DAWE * [[w:de:OSI-Modell|Schichten im OSI-Modell]] * [[w:de:Mesh Networking|Mesh Network]] [[Kategorie:Lernen]] [[Kategorie:Informations- und Kommunikationstechnologien]] [[Kategorie:Informationssysteme]] <noinclude>[[en:Digital Analogue World Equivalence]]</noinclude> o9k38nspp4yuhi6ppta2rlupmrjoibp 4 141067 1119248 1118689 2026-11-09T16:43:03Z Alexis Jazz 32026 Updating gadget usage statistics from [[Special:GadgetUsage]] ([[phab:T121049]]) 1119248 wikitext text/x-wiki {{#ifexist:Project:GUS2Wiki/top|{{/top}}|This page provides a historical record of [[Special:GadgetUsage]] through its page history. 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Von 2020 bis 2025 habe ich die gleichen Fächer an der Fachschule TEKO in Olten und von 2022 bis 2025 an der [[:w:HSO Wirtschaftsschule Schweiz|HSO]] unterrichtet. Weiteres Unterrichtsmaterial ist in Arbeit: [[Kurs:Kaufleute EFZ]] ([[Benutzer:Paul Sutermeister/Kaufleute|Entwürfe]]), [[Kurs:Deutsche Grammatik]]. Mehr über mich steht [https://orcid.org/0000-0003-2093-1323 hier]. <!--== Kursaufbau == Die folgenden Seiten sind in «Lerninhalt» und «Quiz» unterteilt. Der «Lerninhalt» ist die Information selbst, während das «Quiz» eine Methode ist, um zu überprüfen, wie gut diese Information verstanden wurde. '''Lerninhalt''' Der Lerninhalt bezieht sich auf die Informationen, Konzepte, Fakten und Materialien, die den Lernenden präsentiert werden, um Wissen zu vermitteln. Es kann sich um Texte, Videos, Präsentationen, Grafiken oder andere Formen von Informationen handeln, die dazu dienen, ein bestimmtes Thema zu erklären oder zu lehren. Der Lerninhalt ist in der Regel darauf ausgerichtet, den Lernenden neue Informationen zu vermitteln oder bereits vorhandenes Wissen zu vertiefen. '''Quiz''' Ein Quiz ist eine Art von Aktivität oder Test, bei dem Lernende ihr Wissen überprüfen können. Es besteht aus einer Reihe von Fragen, die darauf abzielen, das Verständnis und die Erinnerung an den zuvor präsentierten Lerninhalt zu überprüfen. Ein Quiz kann verschiedene Formate haben, darunter Multiple-Choice-Fragen, Kurzantworten, wahre oder falsche Aussagen usw. Der Hauptzweck eines Quiz ist es, das Lernen zu fördern, indem es den Lernenden ermöglicht, ihr Wissen zu überprüfen und zu festigen.--> = Analoges = {| class="wikitable sortable" ! Sprache & Grammatik ! Schreiben, Texte & Kommunikation ! Gesellschaft, Beruf & Zukunft |- | | '''[[Benutzer:Paul Sutermeister/Formalia|Formalia]]''' | <small>[[Benutzer:Paul Sutermeister/Grammatik|Grammatik]]</small> |- | [[Benutzer:Paul Sutermeister/Akkusativ|Akkusativ]]/[[Benutzer:Paul Sutermeister/Dativ|Dativ]]/[[Benutzer:Paul Sutermeister/Konnektor|Doppelkonnektoren]] | |- | | | <small>[[Benutzer:Paul Sutermeister/Textsorte|Textsorte]]</small> |- | | | [[Benutzer:Paul Sutermeister/Atomsemiotik|Atomsemiotik]] |- | | [[Benutzer:Paul Sutermeister/Aktives Zuhören|Aktives Zuhören]] | [[Benutzer:Paul Sutermeister/Team|Team]] <small>([[Benutzer:Paul Sutermeister/Interkulturalität|Interkulturalität]])<small/> |- | [[Benutzer:Paul Sutermeister/Kohärenz|Kohärenz]] | | |- | | [[Benutzer:Paul Sutermeister/Fragetechnik|Fragetechnik]] | |- | [[Benutzer:Paul Sutermeister/Visualisierung|Visualisierung]] | [[Benutzer:Paul Sutermeister/Infografik|Infografik]] → Präsentation | [[Benutzer:Paul Sutermeister/Flyer|Flyer]] |- | [[Benutzer:Paul Sutermeister/Textverständnis|Textverständnis]] | [[Benutzer:Paul Sutermeister/Zusammenfassung|Zusammenfassung]] | |- | Verben des Deutens/Interpretierens | '''[[Benutzer:Paul Sutermeister/Interpretation|Interpretation]]''' | [[Benutzer:Paul Sutermeister/Kunst|Kunst]], <small>[[Benutzer:Paul Sutermeister/Karikatur|Karikatur]]</small> |- | | [[Benutzer:Paul Sutermeister/Anamnese-Diagnose-Therapie|Anamnese-Diagnose-Therapie]] | |- | '''[[Benutzer:Paul Sutermeister/Argumentation|Logik → Argumentation]]''' | | |- | | '''[[Benutzer:Paul Sutermeister/Quelle|(Internet)Quellen]]''', [[Benutzer:Paul Sutermeister/Medienkompetenz|Medienkompetenz]] | [[Benutzer:Paul Sutermeister/Megatrend|Megatrends]] |- | | <small>[[Benutzer:Paul Sutermeister/Leserbrief|Leserbrief]]</small> | |- | | [[Benutzer:Paul Sutermeister/Selbstporträt|Selbstporträt]] | '''[[Benutzer:Paul Sutermeister/Arbeit|Arbeit/Beruf/Bewerbung]]''' |- | | [[Benutzer:Paul Sutermeister/Einladung|Einladung]] | |- | | <small>[[Benutzer:Paul Sutermeister/Keynote|Keynote]] & [[Benutzer:Paul Sutermeister/Messe|Messe]]<small/> | |- | [[Benutzer:Paul Sutermeister/Verkaufsgespräch|Verkaufsgespräch]] | '''[[Benutzer:Paul Sutermeister/Marke|Marke]]''' | [[Benutzer:Paul Sutermeister/Wirtschaftsethik|Wirtschaftsethik]] |} = Forschung = # [[Benutzer:Paul Sutermeister/Forschung|Forschung]] # [[Benutzer:Paul Sutermeister/Prägnanz|Prägnanz]] # [[Benutzer:Paul Sutermeister/Forschungsproblem|Forschungsproblem]] # '''[[Benutzer:Paul Sutermeister/Forschungsfrage|Forschungsfrage]]''' # [[Benutzer:Paul Sutermeister/Literaturrecherche|Literaturrecherche]] # '''[[Benutzer:Paul Sutermeister/Forschungsziel|Forschungsziel]]''' # [[Benutzer:Paul Sutermeister/Methode|Methode]] # [[Benutzer:Paul Sutermeister/Forschungsdesign|Forschungsdesign]] # [[Benutzer:Paul Sutermeister/Datenerhebung|Datenerhebung]] # [[Benutzer:Paul Sutermeister/Datenauswertung|Datenauswertung]] # [[Benutzer:Paul Sutermeister/Forschungsdokumentation|Forschungsdokumentation]] # [[Benutzer:Paul Sutermeister/Management Summary|Management Summary]] # [[Benutzer:Paul Sutermeister/Reflexion|Reflexion]] # [[Benutzer:Paul Sutermeister/Laienerklärung|Laienerklärung]] # '''[[Benutzer:Paul Sutermeister/Projektarbeit|Projektarbeit]]''' = Digitales = # [[Benutzer:Paul Sutermeister/Informatik|Informatik]] # [[Benutzer:Paul Sutermeister/Taskmanager|Taskmanager]] # '''[[Benutzer:Paul Sutermeister/Digitalia|Digitalia]]''' == PowerPoint == # '''[[Benutzer:Paul Sutermeister/PowerPoint|PowerPoint]]''' # [[Benutzer:Paul Sutermeister/Video|Video]] == Word == # '''[[Benutzer:Paul Sutermeister/Word|Word]]''' # [[Benutzer:Paul Sutermeister/Tabelle|Tabelle]] # '''[[Benutzer:Paul Sutermeister/Serienbrief|Serienbrief]]''' (einfach) # [[Benutzer:Paul Sutermeister/Seriendruck|Seriendruck]] # [[Benutzer:Paul Sutermeister/Überprüfen|Überprüfen]] # [[Benutzer:Paul Sutermeister/Buch|Buch]] # [[Benutzer:Paul Sutermeister/Formular|Formular]] # <small>[[Benutzer:Paul Sutermeister/Quiz|Quiz]]</small> == Excel == '''Funktionen üben:''' * [https://zenodo.org/records/15796617/files/Symbole%20und%20Grundrechenarten.xlsx?download=1 '''Grundrechenarten'''] * [https://zenodo.org/records/16750288/files/Zellbezug%20Ausf%C3%BCllen%20Rechnen%20Prozente.xlsx?download=1 '''AutoAusfüllen, Rechnen, Prozente'''] * [https://doi.org/10.5281/zenodo.15033093 '''Summe, Mittelwert'''] * [https://doi.org/10.5281/zenodo.15048039 '''Maximum, Minimum'''] * [https://doi.org/10.5281/zenodo.15298974 '''Summe Anzahl Zählenwenn'''] '''Weiterführendes:''' * '''[[Benutzer:Paul Sutermeister/Excel|Excel]]''' * [[Benutzer:Paul Sutermeister/Funktion|Funktion]] * [[Benutzer:Paul Sutermeister/Zeit|Zeit]] * [[Benutzer:Paul Sutermeister/Diagramm|Diagramm]] * [[Benutzer:Paul Sutermeister/Dashboard|Dashboard]] * [[Benutzer:Paul Sutermeister/3D-Karte|3D-Karte]] * [[Benutzer:Paul Sutermeister/Zielwert|Zielwertsuche]] * [[Benutzer:Paul Sutermeister/Pivot-Tabelle|Pivot-Tabelle]] * [[Benutzer:Paul Sutermeister/Finanzmathematik|Finanzmathematik]] == Varia == # [[Benutzer:Paul Sutermeister/Entwicklertools|Entwicklertools]] # <small>[[Benutzer:Paul Sutermeister/CSV|CSV]]</small> == IKT == # '''[[Benutzer:Paul Sutermeister/Informations- und Kommunikationstechnologien|IKT]]''' # '''[[Benutzer:Paul Sutermeister/Office-Anfang|Office-Anfang]]''' # [[Benutzer:Paul Sutermeister/Computer-Grundlagen|Computer-Grundlagen]] # [[Benutzer:Paul Sutermeister/Datei|Dateimanagement]] # [[Benutzer:Paul Sutermeister/Textformatierung|Textformatierung]] # [[Benutzer:Paul Sutermeister/E-Mail|E-Mail]] # [[Benutzer:Paul Sutermeister/Lebenslauf|Lebenslauf]] # <small>[[Benutzer:Paul Sutermeister/Mathematik|Mathematik]]</small> # [[Benutzer:Paul Sutermeister/Excel-Anfang|Excel-Anfang]] * [[Benutzer:Paul Sutermeister/Python|Python]] == Alle meine Inhalte == * [[Spezial:Logbuch/Paul Sutermeister|Inhalt]] [[Kategorie:User de-CH]] [[Kategorie:Benutzer aus der Schweiz]] 5yyctjjmjsage38xf6p3mwrzx5zffd5 0 158112 1119270 1119215 2026-11-10T07:00:08Z Bert Niehaus 20843 /* Logische Operationen */ 1119270 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite zum Thema ''Fuzzylogik/Operatoren'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik/Operatoren&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Operatoren&coursetitle=Fuzzylogik Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt: * (1) Klassische logische Operationen<ref>Suppes, P. (1999). Introduction to logic. Courier Corporation.</ref>, * (2) Fuzzylogische Operationen<ref>Buckley, J. J., & Eslami, E. (2002). An introduction to fuzzy logic and fuzzy sets (Vol. 13). Springer Science & Business Media.</ref>, * (3) Konsistenz zur klassischen Logik. === Konsistenz zur klassischen Logik === Die Konsistenz zur klassischen Logik besagt, dass die Fuzzylogik auf den [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkten]] des Einheitsquadrates <math>\Omega := [0,1]\times [0,1]</math> genauso funktionieren muss, wie die klassische Logik. Die == Zielsetzung == Diese Lernressource zu ''Fuzzylogik und Operatoren'' in der Wikiversity hat das Ziel, das klassische Konzept von logischen Operatoren UND, ODER, NICHT, WENN ... DANN, ...) (<math> \wedge, \vee, \neg, \Rightarrow </math>) auf fuzzylogische Operationen zu verallgemeinern. == Lernvoraussetzungen == Die Lernressource zum Thema ''Fuzzylogik/Operatoren'' hat die folgenden Lernvoraussetzungen, die zum Verständnis der nachfolgenden Ausführungen hilfreich bzw. notwendig sind. * '''([[Fuzzylogik/Zugehörigkeitsfunktion|Zugehörigkeitsfunktionen]])''' Funktionale Beschreibung unscharfer Mengen * '''(Wahrheitstafeln)''' Wahrheitstafeln für klassische logische Operatoren * '''(Implikationen/Folgerungen)''' klassische Implikationen/Folgerungen, da diese auf die Fuzzylogik übertragen werden == Operatoren für unscharfe Mengen == [[Datei:Fuzzy-Operatoren.png|450px|UND-ODER-NICHT-Operatoren zur Verknüpfung von Zugehörigkeitsfunktionen (Teilmengen).]] === Erzeugendenfunktion - Fuzzy-NAND === Die Verknüpfung Fuzzy-NAND <math>NAND_\odot</math> ist eine Erzeugendenfunktion für alle fuzzylogischen Verknüpfungen, denn es gilt für <math>x,y\in [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{rcl} x \ \widetilde{\wedge} \ y & := & \min\{ 1-x,1-y \} \\ \widetilde{\neg} \, x & := & NAND(x,x) = \min\{ 1-x,1-x \} = 1-x \\ x \ \widetilde{\vee} \, y & := & \widetilde{\neg} (\widetilde{\neg} \ x \ \widetilde{\wedge} \ \widetilde{\neg} \ y) = = 1- \min\{ x, y \} = \max\{ x,y \} \\ x \ \widetilde{\rightarrow} \ y & := & \widetilde{\neg} ( \ x \ \widetilde{\vee} \ y) = \max\{ 1-x,y \} \\ \end{array} </math> === Fortsetzung der klassischen Logik nicht eindeutig === Die Fortsetzung der klassischen Logik ist allerding nicht eindeutig. Durch das die multiplikative Fuzzy-NAND-Funktion wird ebenfalls eine von der obigen Min-Max-Operator-Definition wesentlich verschiedene Definition der Fuzzyoperationen definiert, die ebenfalls konsistent zur klassischen Logik ist. === Multiplikatives Fuzzy-NAND === Man definiert das multiplikative Fuzzy-NAND wie folgt: :<math> \begin{array}{rrcl} NAND_\odot: & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & [0,1] \\ & \left( x,y \right) & \mapsto & NAND_\odot\left( x,y \right) = (1-x)\cdot (1-y) \end{array} </math> === Erzeugendenfunktion - multiplikatives Fuzzy-NAND === Das multiplikative Fuzzy-NAND <math>NAND_\odot</math> ist eine Erzeugendenfunktion für alle fuzzylogischen Verknüpfungen, denn es gilt für <math>x,y\in [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{rcl} x \ \widetilde{\wedge}_{_\odot} \ y & := & NAND_\odot(1-x,1-y) \\ \widetilde{\neg}_{_\odot} \, x & := & NAND_\odot(x,x) \\ x \ \widetilde{\vee}_{\!\!_\odot} \, y & := & \widetilde{\neg}_{_\odot} (\widetilde{\neg}_{_\odot} \ x \ \widetilde{\wedge}_{_\odot} \ \widetilde{\neg}_{_\odot} \ y) \\ x \ \widetilde{\rightarrow}_{\!_\odot} \ y & := & \widetilde{\neg}_{_\odot} ( \ x \ \widetilde{\vee}_{\!\!_\odot} \ y) \\ \end{array} </math> === Aufgabe für Studierende === * Zeigen Sie, dass die obige Definition des multiplikativen NAND zu einer mit der klassischen Logik konsistenten Eigenschaft der Fuzzy-Verknüpfungen kommt. === Bemerkung - strengeres Fuzzy-UND === Das multiplikative Fuzzy-NAND <math>NAND_\odot</math> erzeugt ein strengeres Fuzzy-AND als fuzzylogische Verknüpfungen als die Min-Max-Definition der fuzzylogischen Verknüpfungen. Dies bedeutet, dass für alle <math>x,y\in [0,1]</math> gilt: :<math> x \ \widetilde{\wedge}_{_\odot} \, y \ \ \leq \ \ x \ \widetilde{\wedge} \ y </math> == Aufgaben - Zugehörigkeitsfunktion == Mit den folgenden Aufgaben zum Thema ''Fuzzy-Implikation'' als ''Operator'' auf Fuzzymengen behandelt: * Erzeugen Sie eine Zugehörigkeitsfunktion einer Fuzzymenge für den linguistischen Wert "alt" und "schnell" wobei die Grundmenge <math>\Omega := [0,100] </math> ein Alter zwischen 0 und 100 Jahren als Argument der Zugehörigkeitsfunktionen definiert. * Zeichnen Sie einen Graphen <math>\mu_{alt} : \Omega \to [0,1]</math> mit <math>\Omega := [0,100] </math> auf der x-Achse und <math>[0,1]</math> auf der y-Achse, wobei <math>\mu_{alt}(x) \in [0,1] </math> angibt, zu welchem Grad eine Alter <math>x</math> die Eigenschaft "alt" als linguistischen Wert erfüllt. * Zeichnen Sie einen Graphen <math>\mu_{schnell} : \Omega \to [0,1]</math> mit <math>\Omega := [0,100] </math> auf der x-Achse und <math>[0,1]</math> auf der y-Achse, wobei <math>\mu_{schnell}(x) \in [0,1] </math> angibt, zu welchem Grad eine Alter <math>x</math> die Eigenschaft "schnell" als linguistischen Wert erfüllt. == Aufgaben - Fuzzylogische Folgerung == Als einführendes Beispiel zum Thema ''fuzzylogische Operatoren'' dient dazu, sprachliche formuliert "WENN-DANN"-Aussagen in fuzzylogische zu übertragen und danach die resultierende Zugehörigkeitsfunktion zu interpretieren. <math>\Omega = [0,100] </math> ist das Alter in Jahren. * Nutzen Sie die obigen [[Fuzzylogik/Zugehörigkeitsfunktion|Zugehörigkeitsfunktionen]] von "alt" und "schnell". * Basierend auf den obigen [[Fuzzylogik/Zugehörigkeitsfunktion|Zugehörigkeitsfunktionen]] zeichnen Sie zunächst freihändig die Zugehörigkeitsfunktion ''"WENN alt DANN schnell"'' * Berechnen Sie dann die fuzzylogische Zugehörigkeitsfunktion von ''"WENN alt DANN schnell"''! Drücken Sie dabei die Folgerung zunächst durch UND, ODER und NICHT aus. * Falls sich Ihre "Freihandzeichnung" und der berechnete Graph der Zughörigkeitsfunktion unterscheiden, begründen Sie, warum die Freihandzeichnung von dem berechneten Graphen abweicht! == Literatur/Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte einer Menge]] * [[w:de:Fuzzylogik/Operatoren|Fuzzylogik/Operatoren]] * [[Mathematische Modellbildung]] * [[Open Educational Resources]] * [[Wiki2Reveal]] === Kurse === * [[Kurs:Maschinelles Lernen]] * [[Kurs:Mathematische Modellbildung]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik/Operatoren&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Operatoren&coursetitle=Fuzzylogik Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik/Operatoren&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Operatoren&coursetitle=Fuzzylogik Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik Fuzzylogik]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Fuzzylogik/Operatoren https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik/Operatoren] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik/Operatoren Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik/Operatoren * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik/Operatoren&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Operatoren&coursetitle=Fuzzylogik Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] fen83d1duaue5glgbbuh9pdj3gdbo48 1119271 1119270 2026-11-10T07:00:44Z Bert Niehaus 20843 /* Aufgaben - Fuzzylogische Folgerung */ 1119271 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite zum Thema ''Fuzzylogik/Operatoren'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik/Operatoren&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Operatoren&coursetitle=Fuzzylogik Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt: * (1) Klassische logische Operationen<ref>Suppes, P. (1999). Introduction to logic. Courier Corporation.</ref>, * (2) Fuzzylogische Operationen<ref>Buckley, J. J., & Eslami, E. (2002). An introduction to fuzzy logic and fuzzy sets (Vol. 13). Springer Science & Business Media.</ref>, * (3) Konsistenz zur klassischen Logik. === Konsistenz zur klassischen Logik === Die Konsistenz zur klassischen Logik besagt, dass die Fuzzylogik auf den [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkten]] des Einheitsquadrates <math>\Omega := [0,1]\times [0,1]</math> genauso funktionieren muss, wie die klassische Logik. Die == Zielsetzung == Diese Lernressource zu ''Fuzzylogik und Operatoren'' in der Wikiversity hat das Ziel, das klassische Konzept von logischen Operatoren UND, ODER, NICHT, WENN ... DANN, ...) (<math> \wedge, \vee, \neg, \Rightarrow </math>) auf fuzzylogische Operationen zu verallgemeinern. == Lernvoraussetzungen == Die Lernressource zum Thema ''Fuzzylogik/Operatoren'' hat die folgenden Lernvoraussetzungen, die zum Verständnis der nachfolgenden Ausführungen hilfreich bzw. notwendig sind. * '''([[Fuzzylogik/Zugehörigkeitsfunktion|Zugehörigkeitsfunktionen]])''' Funktionale Beschreibung unscharfer Mengen * '''(Wahrheitstafeln)''' Wahrheitstafeln für klassische logische Operatoren * '''(Implikationen/Folgerungen)''' klassische Implikationen/Folgerungen, da diese auf die Fuzzylogik übertragen werden == Operatoren für unscharfe Mengen == [[Datei:Fuzzy-Operatoren.png|450px|UND-ODER-NICHT-Operatoren zur Verknüpfung von Zugehörigkeitsfunktionen (Teilmengen).]] === Erzeugendenfunktion - Fuzzy-NAND === Die Verknüpfung Fuzzy-NAND <math>NAND_\odot</math> ist eine Erzeugendenfunktion für alle fuzzylogischen Verknüpfungen, denn es gilt für <math>x,y\in [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{rcl} x \ \widetilde{\wedge} \ y & := & \min\{ 1-x,1-y \} \\ \widetilde{\neg} \, x & := & NAND(x,x) = \min\{ 1-x,1-x \} = 1-x \\ x \ \widetilde{\vee} \, y & := & \widetilde{\neg} (\widetilde{\neg} \ x \ \widetilde{\wedge} \ \widetilde{\neg} \ y) = = 1- \min\{ x, y \} = \max\{ x,y \} \\ x \ \widetilde{\rightarrow} \ y & := & \widetilde{\neg} ( \ x \ \widetilde{\vee} \ y) = \max\{ 1-x,y \} \\ \end{array} </math> === Fortsetzung der klassischen Logik nicht eindeutig === Die Fortsetzung der klassischen Logik ist allerding nicht eindeutig. Durch das die multiplikative Fuzzy-NAND-Funktion wird ebenfalls eine von der obigen Min-Max-Operator-Definition wesentlich verschiedene Definition der Fuzzyoperationen definiert, die ebenfalls konsistent zur klassischen Logik ist. === Multiplikatives Fuzzy-NAND === Man definiert das multiplikative Fuzzy-NAND wie folgt: :<math> \begin{array}{rrcl} NAND_\odot: & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & [0,1] \\ & \left( x,y \right) & \mapsto & NAND_\odot\left( x,y \right) = (1-x)\cdot (1-y) \end{array} </math> === Erzeugendenfunktion - multiplikatives Fuzzy-NAND === Das multiplikative Fuzzy-NAND <math>NAND_\odot</math> ist eine Erzeugendenfunktion für alle fuzzylogischen Verknüpfungen, denn es gilt für <math>x,y\in [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{rcl} x \ \widetilde{\wedge}_{_\odot} \ y & := & NAND_\odot(1-x,1-y) \\ \widetilde{\neg}_{_\odot} \, x & := & NAND_\odot(x,x) \\ x \ \widetilde{\vee}_{\!\!_\odot} \, y & := & \widetilde{\neg}_{_\odot} (\widetilde{\neg}_{_\odot} \ x \ \widetilde{\wedge}_{_\odot} \ \widetilde{\neg}_{_\odot} \ y) \\ x \ \widetilde{\rightarrow}_{\!_\odot} \ y & := & \widetilde{\neg}_{_\odot} ( \ x \ \widetilde{\vee}_{\!\!_\odot} \ y) \\ \end{array} </math> === Aufgabe für Studierende === * Zeigen Sie, dass die obige Definition des multiplikativen NAND zu einer mit der klassischen Logik konsistenten Eigenschaft der Fuzzy-Verknüpfungen kommt. === Bemerkung - strengeres Fuzzy-UND === Das multiplikative Fuzzy-NAND <math>NAND_\odot</math> erzeugt ein strengeres Fuzzy-AND als fuzzylogische Verknüpfungen als die Min-Max-Definition der fuzzylogischen Verknüpfungen. Dies bedeutet, dass für alle <math>x,y\in [0,1]</math> gilt: :<math> x \ \widetilde{\wedge}_{_\odot} \, y \ \ \leq \ \ x \ \widetilde{\wedge} \ y </math> == Aufgaben - Zugehörigkeitsfunktion == Mit den folgenden Aufgaben zum Thema ''Fuzzy-Implikation'' als ''Operator'' auf Fuzzymengen behandelt: * Erzeugen Sie eine Zugehörigkeitsfunktion einer Fuzzymenge für den linguistischen Wert "alt" und "schnell" wobei die Grundmenge <math>\Omega := [0,100] </math> ein Alter zwischen 0 und 100 Jahren als Argument der Zugehörigkeitsfunktionen definiert. * Zeichnen Sie einen Graphen <math>\mu_{alt} : \Omega \to [0,1]</math> mit <math>\Omega := [0,100] </math> auf der x-Achse und <math>[0,1]</math> auf der y-Achse, wobei <math>\mu_{alt}(x) \in [0,1] </math> angibt, zu welchem Grad eine Alter <math>x</math> die Eigenschaft "alt" als linguistischen Wert erfüllt. * Zeichnen Sie einen Graphen <math>\mu_{schnell} : \Omega \to [0,1]</math> mit <math>\Omega := [0,100] </math> auf der x-Achse und <math>[0,1]</math> auf der y-Achse, wobei <math>\mu_{schnell}(x) \in [0,1] </math> angibt, zu welchem Grad eine Alter <math>x</math> die Eigenschaft "schnell" als linguistischen Wert erfüllt. == Aufgaben - Fuzzylogische Folgerung == Als einführendes Beispiel zum Thema ''fuzzylogische Operatoren'' dient dazu, sprachliche formuliert "WENN-DANN"-Aussagen in fuzzylogische zu übertragen und danach die resultierende Zugehörigkeitsfunktion zu interpretieren. <math>\Omega = [0,100] </math> ist das Alter in Jahren. * Nutzen Sie die obigen [[Fuzzylogik/Zugehörigkeitsfunktion|Zugehörigkeitsfunktionen]] von "alt" und "schnell". * Basierend auf den obigen [[Fuzzylogik/Zugehörigkeitsfunktion|Zugehörigkeitsfunktionen]] zeichnen Sie zunächst freihändig die Zugehörigkeitsfunktion ''"WENN alt DANN schnell"'' * Berechnen Sie dann die fuzzylogische Zugehörigkeitsfunktion von ''"WENN alt DANN schnell"''! Drücken Sie dabei die Folgerung zunächst durch UND, ODER und NICHT aus. * Falls sich Ihre "Freihandzeichnung" und der berechnete Graph der Zughörigkeitsfunktion unterscheiden, begründen Sie, warum die Freihandzeichnung von dem berechneten Graphen abweicht! == Logische Operationen == Analog zur klassischen (crispen) Logik kann man in der Fuzzylogik auch logische Operatoren definieren, die konsistent zu klassischen Logik sind, d.h. in den crispen Grenzfällen von 0 und 1 für falsch und wahr den Operatoren in der klassischen Logik nicht widersprechen. === Negation === Die Negation in der Fuzzylogik erfolgt durch Subtraktion der Eingabewerte von 1. Also ''' NOT(A)=1-A''' === Nicht ausschließende-ODER-Schaltung === Die Adjunktion erfolgt durch Wahl des jeweils höheren Wertes der Eingabewerte. Also ''' OR(A;B)=A wenn A>B''' ''' B wenn A<=B''' Dies kann man analog auch durch das Maximum ausdrücken <math>OR(A;B) := \max\{A,B\}</math> === UND-Schaltung === Die Konjunktion erfolgt durch Wahl des jeweils niedrigeren Wertes der Eingabewerte. Also ''' AND(A;B)=A wenn A&lt;B''' ''' B wenn A>=B''' Dies kann man analog auch durch das Minimum ausdrücken <math>AND(A;B) := \min\{A,B\}</math> === Ausschließende-ODER-Schaltung === Für die Disjunktion komplementiert man den kleineren zweier Werte und wählt den kleineren der beiden. Für mehr als zwei Eingabewerte setzt man das Ergebnis der letzten Operation rekursiv mit dem jeweils nächsten Eingabewert ein. Einfacher: man nimmt die Differenz des weniger Extremen von dem ihm gegenüberliegenden Extremwert. Also ''' XOR(A;B)=A wenn A>B und A<(1-B)''' ''' 1-B wenn A>B und A>=(1-B)''' ''' B wenn B>=A und B<(1-A)''' ''' 1-A wenn B>=A und B>=(1-A)''' === Wahrheitstafel von XOR === Das ausschließende ODER "XOR" besitzt in der klasssischen Logik die Wahrheitstafel von <math>\neg(A \leftrightarrow B) </math>. {| class="wikitable float-right" |- ! <math>A</math> ! <math>B</math> ! <math>\neg(A \leftrightarrow B) </math> |- | falsch | falsch |style="text-align:center"| falsch |- | falsch | wahr |style="text-align:center"| wahr |- | wahr | falsch |style="text-align:center"| wahr |- | wahr | wahr |style="text-align:center"| falsch |} === Fuzzylogische Berechnung von XOR === Um konsistent zur klassischen Logik zu bleiben, kann man eine ''"ausschließendes ODER"'' auch über die logischen Verknüpfungen "UND", "ODER" und "NICHT" ausdrücken. :<math> XOR(A,B) \Longleftrightarrow \neg (A \longleftrightarrow B) \Longleftrightarrow (A\wedge \neg B) \vee (B\wedge \neg A) </math> Mit die Verwendung <math>max</math> für ODER und <math>min</math> für UND kann man XOR(A,B) fuzzylogisch wie folgt darstellen: :<math> XOR(A,B) = max\big( min(\mu_{A},1-\mu_{B}) , min(\mu_{B},1-\mu_{A}) \big) </math> == Literatur/Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte einer Menge]] * [[w:de:Fuzzylogik/Operatoren|Fuzzylogik/Operatoren]] * [[Mathematische Modellbildung]] * [[Open Educational Resources]] * [[Wiki2Reveal]] === Kurse === * [[Kurs:Maschinelles Lernen]] * [[Kurs:Mathematische Modellbildung]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik/Operatoren&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Operatoren&coursetitle=Fuzzylogik Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik/Operatoren&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Operatoren&coursetitle=Fuzzylogik Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik Fuzzylogik]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Fuzzylogik/Operatoren https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik/Operatoren] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik/Operatoren Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik/Operatoren * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik/Operatoren&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Operatoren&coursetitle=Fuzzylogik Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] hwwi1d7vrac05bee5nhs1touk8p7ouz 1119272 1119271 2026-11-10T07:01:22Z Bert Niehaus 20843 /* Logische Operationen */ 1119272 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite zum Thema ''Fuzzylogik/Operatoren'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik/Operatoren&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Operatoren&coursetitle=Fuzzylogik Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt: * (1) Klassische logische Operationen<ref>Suppes, P. (1999). Introduction to logic. Courier Corporation.</ref>, * (2) Fuzzylogische Operationen<ref>Buckley, J. J., & Eslami, E. (2002). An introduction to fuzzy logic and fuzzy sets (Vol. 13). Springer Science & Business Media.</ref>, * (3) Konsistenz zur klassischen Logik. === Konsistenz zur klassischen Logik === Die Konsistenz zur klassischen Logik besagt, dass die Fuzzylogik auf den [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkten]] des Einheitsquadrates <math>\Omega := [0,1]\times [0,1]</math> genauso funktionieren muss, wie die klassische Logik. Die == Zielsetzung == Diese Lernressource zu ''Fuzzylogik und Operatoren'' in der Wikiversity hat das Ziel, das klassische Konzept von logischen Operatoren UND, ODER, NICHT, WENN ... DANN, ...) (<math> \wedge, \vee, \neg, \Rightarrow </math>) auf fuzzylogische Operationen zu verallgemeinern. == Lernvoraussetzungen == Die Lernressource zum Thema ''Fuzzylogik/Operatoren'' hat die folgenden Lernvoraussetzungen, die zum Verständnis der nachfolgenden Ausführungen hilfreich bzw. notwendig sind. * '''([[Fuzzylogik/Zugehörigkeitsfunktion|Zugehörigkeitsfunktionen]])''' Funktionale Beschreibung unscharfer Mengen * '''(Wahrheitstafeln)''' Wahrheitstafeln für klassische logische Operatoren * '''(Implikationen/Folgerungen)''' klassische Implikationen/Folgerungen, da diese auf die Fuzzylogik übertragen werden == Operatoren für unscharfe Mengen == [[Datei:Fuzzy-Operatoren.png|450px|UND-ODER-NICHT-Operatoren zur Verknüpfung von Zugehörigkeitsfunktionen (Teilmengen).]] === Erzeugendenfunktion - Fuzzy-NAND === Die Verknüpfung Fuzzy-NAND <math>NAND_\odot</math> ist eine Erzeugendenfunktion für alle fuzzylogischen Verknüpfungen, denn es gilt für <math>x,y\in [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{rcl} x \ \widetilde{\wedge} \ y & := & \min\{ 1-x,1-y \} \\ \widetilde{\neg} \, x & := & NAND(x,x) = \min\{ 1-x,1-x \} = 1-x \\ x \ \widetilde{\vee} \, y & := & \widetilde{\neg} (\widetilde{\neg} \ x \ \widetilde{\wedge} \ \widetilde{\neg} \ y) = = 1- \min\{ x, y \} = \max\{ x,y \} \\ x \ \widetilde{\rightarrow} \ y & := & \widetilde{\neg} ( \ x \ \widetilde{\vee} \ y) = \max\{ 1-x,y \} \\ \end{array} </math> === Fortsetzung der klassischen Logik nicht eindeutig === Die Fortsetzung der klassischen Logik ist allerding nicht eindeutig. Durch das die multiplikative Fuzzy-NAND-Funktion wird ebenfalls eine von der obigen Min-Max-Operator-Definition wesentlich verschiedene Definition der Fuzzyoperationen definiert, die ebenfalls konsistent zur klassischen Logik ist. === Multiplikatives Fuzzy-NAND === Man definiert das multiplikative Fuzzy-NAND wie folgt: :<math> \begin{array}{rrcl} NAND_\odot: & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & [0,1] \\ & \left( x,y \right) & \mapsto & NAND_\odot\left( x,y \right) = (1-x)\cdot (1-y) \end{array} </math> === Erzeugendenfunktion - multiplikatives Fuzzy-NAND === Das multiplikative Fuzzy-NAND <math>NAND_\odot</math> ist eine Erzeugendenfunktion für alle fuzzylogischen Verknüpfungen, denn es gilt für <math>x,y\in [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{rcl} x \ \widetilde{\wedge}_{_\odot} \ y & := & NAND_\odot(1-x,1-y) \\ \widetilde{\neg}_{_\odot} \, x & := & NAND_\odot(x,x) \\ x \ \widetilde{\vee}_{\!\!_\odot} \, y & := & \widetilde{\neg}_{_\odot} (\widetilde{\neg}_{_\odot} \ x \ \widetilde{\wedge}_{_\odot} \ \widetilde{\neg}_{_\odot} \ y) \\ x \ \widetilde{\rightarrow}_{\!_\odot} \ y & := & \widetilde{\neg}_{_\odot} ( \ x \ \widetilde{\vee}_{\!\!_\odot} \ y) \\ \end{array} </math> === Aufgabe für Studierende === * Zeigen Sie, dass die obige Definition des multiplikativen NAND zu einer mit der klassischen Logik konsistenten Eigenschaft der Fuzzy-Verknüpfungen kommt. === Bemerkung - strengeres Fuzzy-UND === Das multiplikative Fuzzy-NAND <math>NAND_\odot</math> erzeugt ein strengeres Fuzzy-AND als fuzzylogische Verknüpfungen als die Min-Max-Definition der fuzzylogischen Verknüpfungen. Dies bedeutet, dass für alle <math>x,y\in [0,1]</math> gilt: :<math> x \ \widetilde{\wedge}_{_\odot} \, y \ \ \leq \ \ x \ \widetilde{\wedge} \ y </math> == Aufgaben - Zugehörigkeitsfunktion == Mit den folgenden Aufgaben zum Thema ''Fuzzy-Implikation'' als ''Operator'' auf Fuzzymengen behandelt: * Erzeugen Sie eine Zugehörigkeitsfunktion einer Fuzzymenge für den linguistischen Wert "alt" und "schnell" wobei die Grundmenge <math>\Omega := [0,100] </math> ein Alter zwischen 0 und 100 Jahren als Argument der Zugehörigkeitsfunktionen definiert. * Zeichnen Sie einen Graphen <math>\mu_{alt} : \Omega \to [0,1]</math> mit <math>\Omega := [0,100] </math> auf der x-Achse und <math>[0,1]</math> auf der y-Achse, wobei <math>\mu_{alt}(x) \in [0,1] </math> angibt, zu welchem Grad eine Alter <math>x</math> die Eigenschaft "alt" als linguistischen Wert erfüllt. * Zeichnen Sie einen Graphen <math>\mu_{schnell} : \Omega \to [0,1]</math> mit <math>\Omega := [0,100] </math> auf der x-Achse und <math>[0,1]</math> auf der y-Achse, wobei <math>\mu_{schnell}(x) \in [0,1] </math> angibt, zu welchem Grad eine Alter <math>x</math> die Eigenschaft "schnell" als linguistischen Wert erfüllt. == Aufgaben - Fuzzylogische Folgerung == Als einführendes Beispiel zum Thema ''fuzzylogische Operatoren'' dient dazu, sprachliche formuliert "WENN-DANN"-Aussagen in fuzzylogische zu übertragen und danach die resultierende Zugehörigkeitsfunktion zu interpretieren. <math>\Omega = [0,100] </math> ist das Alter in Jahren. * Nutzen Sie die obigen [[Fuzzylogik/Zugehörigkeitsfunktion|Zugehörigkeitsfunktionen]] von "alt" und "schnell". * Basierend auf den obigen [[Fuzzylogik/Zugehörigkeitsfunktion|Zugehörigkeitsfunktionen]] zeichnen Sie zunächst freihändig die Zugehörigkeitsfunktion ''"WENN alt DANN schnell"'' * Berechnen Sie dann die fuzzylogische Zugehörigkeitsfunktion von ''"WENN alt DANN schnell"''! Drücken Sie dabei die Folgerung zunächst durch UND, ODER und NICHT aus. * Falls sich Ihre "Freihandzeichnung" und der berechnete Graph der Zughörigkeitsfunktion unterscheiden, begründen Sie, warum die Freihandzeichnung von dem berechneten Graphen abweicht! <span id="Operatoren"></span> == Logische Operationen == Analog zur klassischen (crispen) Logik kann man in der Fuzzylogik auch logische Operatoren definieren, die konsistent zu klassischen Logik sind, d.h. in den crispen Grenzfällen von 0 und 1 für falsch und wahr den Operatoren in der klassischen Logik nicht widersprechen. === Negation === Die Negation in der Fuzzylogik erfolgt durch Subtraktion der Eingabewerte von 1. Also ''' NOT(A)=1-A''' === Nicht ausschließende-ODER-Schaltung === Die Adjunktion erfolgt durch Wahl des jeweils höheren Wertes der Eingabewerte. Also ''' OR(A;B)=A wenn A>B''' ''' B wenn A<=B''' Dies kann man analog auch durch das Maximum ausdrücken <math>OR(A;B) := \max\{A,B\}</math> === UND-Schaltung === Die Konjunktion erfolgt durch Wahl des jeweils niedrigeren Wertes der Eingabewerte. Also ''' AND(A;B)=A wenn A&lt;B''' ''' B wenn A>=B''' Dies kann man analog auch durch das Minimum ausdrücken <math>AND(A;B) := \min\{A,B\}</math> === Ausschließende-ODER-Schaltung === Für die Disjunktion komplementiert man den kleineren zweier Werte und wählt den kleineren der beiden. Für mehr als zwei Eingabewerte setzt man das Ergebnis der letzten Operation rekursiv mit dem jeweils nächsten Eingabewert ein. Einfacher: man nimmt die Differenz des weniger Extremen von dem ihm gegenüberliegenden Extremwert. Also ''' XOR(A;B)=A wenn A>B und A<(1-B)''' ''' 1-B wenn A>B und A>=(1-B)''' ''' B wenn B>=A und B<(1-A)''' ''' 1-A wenn B>=A und B>=(1-A)''' === Wahrheitstafel von XOR === Das ausschließende ODER "XOR" besitzt in der klasssischen Logik die Wahrheitstafel von <math>\neg(A \leftrightarrow B) </math>. {| class="wikitable float-right" |- ! <math>A</math> ! <math>B</math> ! <math>\neg(A \leftrightarrow B) </math> |- | falsch | falsch |style="text-align:center"| falsch |- | falsch | wahr |style="text-align:center"| wahr |- | wahr | falsch |style="text-align:center"| wahr |- | wahr | wahr |style="text-align:center"| falsch |} === Fuzzylogische Berechnung von XOR === Um konsistent zur klassischen Logik zu bleiben, kann man eine ''"ausschließendes ODER"'' auch über die logischen Verknüpfungen "UND", "ODER" und "NICHT" ausdrücken. :<math> XOR(A,B) \Longleftrightarrow \neg (A \longleftrightarrow B) \Longleftrightarrow (A\wedge \neg B) \vee (B\wedge \neg A) </math> Mit die Verwendung <math>max</math> für ODER und <math>min</math> für UND kann man XOR(A,B) fuzzylogisch wie folgt darstellen: :<math> XOR(A,B) = max\big( min(\mu_{A},1-\mu_{B}) , min(\mu_{B},1-\mu_{A}) \big) </math> == Literatur/Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte einer Menge]] * [[w:de:Fuzzylogik/Operatoren|Fuzzylogik/Operatoren]] * [[Mathematische Modellbildung]] * [[Open Educational Resources]] * [[Wiki2Reveal]] === Kurse === * [[Kurs:Maschinelles Lernen]] * [[Kurs:Mathematische Modellbildung]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik/Operatoren&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Operatoren&coursetitle=Fuzzylogik Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik/Operatoren&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Operatoren&coursetitle=Fuzzylogik Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik Fuzzylogik]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Fuzzylogik/Operatoren https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik/Operatoren] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik/Operatoren Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik/Operatoren * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik/Operatoren&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Operatoren&coursetitle=Fuzzylogik Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] r42xlbru1j4gg5k6bib1gyxs2c4j306 1119273 1119272 2026-11-10T07:02:47Z Bert Niehaus 20843 /* Einleitung */ 1119273 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite zum Thema ''Fuzzylogik/Operatoren'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik/Operatoren&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Operatoren&coursetitle=Fuzzylogik Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt: * (1) Klassische logische Operationen<ref>Suppes, P. (1999). Introduction to logic. Courier Corporation.</ref>, * (2) [[Fuzzylogik/Operatoren#Operatoren|Fuzzylogische Operatoren]]<ref>Buckley, J. J., & Eslami, E. (2002). An introduction to fuzzy logic and fuzzy sets (Vol. 13). Springer Science & Business Media.</ref>, * (3) [[Fuzzylogik/Operatoren#Konsistenz|Konsistenz zur klassischen Logik]]. === Konsistenz zur klassischen Logik === Die Konsistenz zur klassischen Logik besagt, dass die Fuzzylogik auf den [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkten]] des Einheitsquadrates <math>\Omega := [0,1]\times [0,1]</math> genauso funktionieren muss, wie die klassische Logik. Die == Zielsetzung == Diese Lernressource zu ''Fuzzylogik und Operatoren'' in der Wikiversity hat das Ziel, das klassische Konzept von logischen Operatoren UND, ODER, NICHT, WENN ... DANN, ...) (<math> \wedge, \vee, \neg, \Rightarrow </math>) auf fuzzylogische Operationen zu verallgemeinern. == Lernvoraussetzungen == Die Lernressource zum Thema ''Fuzzylogik/Operatoren'' hat die folgenden Lernvoraussetzungen, die zum Verständnis der nachfolgenden Ausführungen hilfreich bzw. notwendig sind. * '''([[Fuzzylogik/Zugehörigkeitsfunktion|Zugehörigkeitsfunktionen]])''' Funktionale Beschreibung unscharfer Mengen * '''(Wahrheitstafeln)''' Wahrheitstafeln für klassische logische Operatoren * '''(Implikationen/Folgerungen)''' klassische Implikationen/Folgerungen, da diese auf die Fuzzylogik übertragen werden == Operatoren für unscharfe Mengen == [[Datei:Fuzzy-Operatoren.png|450px|UND-ODER-NICHT-Operatoren zur Verknüpfung von Zugehörigkeitsfunktionen (Teilmengen).]] === Erzeugendenfunktion - Fuzzy-NAND === Die Verknüpfung Fuzzy-NAND <math>NAND_\odot</math> ist eine Erzeugendenfunktion für alle fuzzylogischen Verknüpfungen, denn es gilt für <math>x,y\in [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{rcl} x \ \widetilde{\wedge} \ y & := & \min\{ 1-x,1-y \} \\ \widetilde{\neg} \, x & := & NAND(x,x) = \min\{ 1-x,1-x \} = 1-x \\ x \ \widetilde{\vee} \, y & := & \widetilde{\neg} (\widetilde{\neg} \ x \ \widetilde{\wedge} \ \widetilde{\neg} \ y) = = 1- \min\{ x, y \} = \max\{ x,y \} \\ x \ \widetilde{\rightarrow} \ y & := & \widetilde{\neg} ( \ x \ \widetilde{\vee} \ y) = \max\{ 1-x,y \} \\ \end{array} </math> === Fortsetzung der klassischen Logik nicht eindeutig === Die Fortsetzung der klassischen Logik ist allerding nicht eindeutig. Durch das die multiplikative Fuzzy-NAND-Funktion wird ebenfalls eine von der obigen Min-Max-Operator-Definition wesentlich verschiedene Definition der Fuzzyoperationen definiert, die ebenfalls konsistent zur klassischen Logik ist. === Multiplikatives Fuzzy-NAND === Man definiert das multiplikative Fuzzy-NAND wie folgt: :<math> \begin{array}{rrcl} NAND_\odot: & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & [0,1] \\ & \left( x,y \right) & \mapsto & NAND_\odot\left( x,y \right) = (1-x)\cdot (1-y) \end{array} </math> === Erzeugendenfunktion - multiplikatives Fuzzy-NAND === Das multiplikative Fuzzy-NAND <math>NAND_\odot</math> ist eine Erzeugendenfunktion für alle fuzzylogischen Verknüpfungen, denn es gilt für <math>x,y\in [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{rcl} x \ \widetilde{\wedge}_{_\odot} \ y & := & NAND_\odot(1-x,1-y) \\ \widetilde{\neg}_{_\odot} \, x & := & NAND_\odot(x,x) \\ x \ \widetilde{\vee}_{\!\!_\odot} \, y & := & \widetilde{\neg}_{_\odot} (\widetilde{\neg}_{_\odot} \ x \ \widetilde{\wedge}_{_\odot} \ \widetilde{\neg}_{_\odot} \ y) \\ x \ \widetilde{\rightarrow}_{\!_\odot} \ y & := & \widetilde{\neg}_{_\odot} ( \ x \ \widetilde{\vee}_{\!\!_\odot} \ y) \\ \end{array} </math> === Aufgabe für Studierende === * Zeigen Sie, dass die obige Definition des multiplikativen NAND zu einer mit der klassischen Logik konsistenten Eigenschaft der Fuzzy-Verknüpfungen kommt. === Bemerkung - strengeres Fuzzy-UND === Das multiplikative Fuzzy-NAND <math>NAND_\odot</math> erzeugt ein strengeres Fuzzy-AND als fuzzylogische Verknüpfungen als die Min-Max-Definition der fuzzylogischen Verknüpfungen. Dies bedeutet, dass für alle <math>x,y\in [0,1]</math> gilt: :<math> x \ \widetilde{\wedge}_{_\odot} \, y \ \ \leq \ \ x \ \widetilde{\wedge} \ y </math> == Aufgaben - Zugehörigkeitsfunktion == Mit den folgenden Aufgaben zum Thema ''Fuzzy-Implikation'' als ''Operator'' auf Fuzzymengen behandelt: * Erzeugen Sie eine Zugehörigkeitsfunktion einer Fuzzymenge für den linguistischen Wert "alt" und "schnell" wobei die Grundmenge <math>\Omega := [0,100] </math> ein Alter zwischen 0 und 100 Jahren als Argument der Zugehörigkeitsfunktionen definiert. * Zeichnen Sie einen Graphen <math>\mu_{alt} : \Omega \to [0,1]</math> mit <math>\Omega := [0,100] </math> auf der x-Achse und <math>[0,1]</math> auf der y-Achse, wobei <math>\mu_{alt}(x) \in [0,1] </math> angibt, zu welchem Grad eine Alter <math>x</math> die Eigenschaft "alt" als linguistischen Wert erfüllt. * Zeichnen Sie einen Graphen <math>\mu_{schnell} : \Omega \to [0,1]</math> mit <math>\Omega := [0,100] </math> auf der x-Achse und <math>[0,1]</math> auf der y-Achse, wobei <math>\mu_{schnell}(x) \in [0,1] </math> angibt, zu welchem Grad eine Alter <math>x</math> die Eigenschaft "schnell" als linguistischen Wert erfüllt. == Aufgaben - Fuzzylogische Folgerung == Als einführendes Beispiel zum Thema ''fuzzylogische Operatoren'' dient dazu, sprachliche formuliert "WENN-DANN"-Aussagen in fuzzylogische zu übertragen und danach die resultierende Zugehörigkeitsfunktion zu interpretieren. <math>\Omega = [0,100] </math> ist das Alter in Jahren. * Nutzen Sie die obigen [[Fuzzylogik/Zugehörigkeitsfunktion|Zugehörigkeitsfunktionen]] von "alt" und "schnell". * Basierend auf den obigen [[Fuzzylogik/Zugehörigkeitsfunktion|Zugehörigkeitsfunktionen]] zeichnen Sie zunächst freihändig die Zugehörigkeitsfunktion ''"WENN alt DANN schnell"'' * Berechnen Sie dann die fuzzylogische Zugehörigkeitsfunktion von ''"WENN alt DANN schnell"''! Drücken Sie dabei die Folgerung zunächst durch UND, ODER und NICHT aus. * Falls sich Ihre "Freihandzeichnung" und der berechnete Graph der Zughörigkeitsfunktion unterscheiden, begründen Sie, warum die Freihandzeichnung von dem berechneten Graphen abweicht! <span id="Operatoren"></span> == Logische Operationen == Analog zur klassischen (crispen) Logik kann man in der Fuzzylogik auch logische Operatoren definieren, die konsistent zu klassischen Logik sind, d.h. in den crispen Grenzfällen von 0 und 1 für falsch und wahr den Operatoren in der klassischen Logik nicht widersprechen. === Negation === Die Negation in der Fuzzylogik erfolgt durch Subtraktion der Eingabewerte von 1. Also ''' NOT(A)=1-A''' === Nicht ausschließende-ODER-Schaltung === Die Adjunktion erfolgt durch Wahl des jeweils höheren Wertes der Eingabewerte. Also ''' OR(A;B)=A wenn A>B''' ''' B wenn A<=B''' Dies kann man analog auch durch das Maximum ausdrücken <math>OR(A;B) := \max\{A,B\}</math> === UND-Schaltung === Die Konjunktion erfolgt durch Wahl des jeweils niedrigeren Wertes der Eingabewerte. Also ''' AND(A;B)=A wenn A&lt;B''' ''' B wenn A>=B''' Dies kann man analog auch durch das Minimum ausdrücken <math>AND(A;B) := \min\{A,B\}</math> === Ausschließende-ODER-Schaltung === Für die Disjunktion komplementiert man den kleineren zweier Werte und wählt den kleineren der beiden. Für mehr als zwei Eingabewerte setzt man das Ergebnis der letzten Operation rekursiv mit dem jeweils nächsten Eingabewert ein. Einfacher: man nimmt die Differenz des weniger Extremen von dem ihm gegenüberliegenden Extremwert. Also ''' XOR(A;B)=A wenn A>B und A<(1-B)''' ''' 1-B wenn A>B und A>=(1-B)''' ''' B wenn B>=A und B<(1-A)''' ''' 1-A wenn B>=A und B>=(1-A)''' === Wahrheitstafel von XOR === Das ausschließende ODER "XOR" besitzt in der klasssischen Logik die Wahrheitstafel von <math>\neg(A \leftrightarrow B) </math>. {| class="wikitable float-right" |- ! <math>A</math> ! <math>B</math> ! <math>\neg(A \leftrightarrow B) </math> |- | falsch | falsch |style="text-align:center"| falsch |- | falsch | wahr |style="text-align:center"| wahr |- | wahr | falsch |style="text-align:center"| wahr |- | wahr | wahr |style="text-align:center"| falsch |} === Fuzzylogische Berechnung von XOR === Um konsistent zur klassischen Logik zu bleiben, kann man eine ''"ausschließendes ODER"'' auch über die logischen Verknüpfungen "UND", "ODER" und "NICHT" ausdrücken. :<math> XOR(A,B) \Longleftrightarrow \neg (A \longleftrightarrow B) \Longleftrightarrow (A\wedge \neg B) \vee (B\wedge \neg A) </math> Mit die Verwendung <math>max</math> für ODER und <math>min</math> für UND kann man XOR(A,B) fuzzylogisch wie folgt darstellen: :<math> XOR(A,B) = max\big( min(\mu_{A},1-\mu_{B}) , min(\mu_{B},1-\mu_{A}) \big) </math> == Literatur/Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte einer Menge]] * [[w:de:Fuzzylogik/Operatoren|Fuzzylogik/Operatoren]] * [[Mathematische Modellbildung]] * [[Open Educational Resources]] * [[Wiki2Reveal]] === Kurse === * [[Kurs:Maschinelles Lernen]] * [[Kurs:Mathematische Modellbildung]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik/Operatoren&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Operatoren&coursetitle=Fuzzylogik Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik/Operatoren&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Operatoren&coursetitle=Fuzzylogik Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik Fuzzylogik]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Fuzzylogik/Operatoren https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik/Operatoren] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik/Operatoren Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik/Operatoren * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik/Operatoren&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Operatoren&coursetitle=Fuzzylogik Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 7hjra0t0wuchxyrv7uo6d0wow3yjyjd 1119275 1119273 2026-11-10T07:19:46Z Bert Niehaus 20843 /* Literatur/Quellennachweise */ 1119275 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite zum Thema ''Fuzzylogik/Operatoren'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik/Operatoren&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Operatoren&coursetitle=Fuzzylogik Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt: * (1) Klassische logische Operationen<ref>Suppes, P. (1999). Introduction to logic. Courier Corporation.</ref>, * (2) [[Fuzzylogik/Operatoren#Operatoren|Fuzzylogische Operatoren]]<ref>Buckley, J. J., & Eslami, E. (2002). An introduction to fuzzy logic and fuzzy sets (Vol. 13). Springer Science & Business Media.</ref>, * (3) [[Fuzzylogik/Operatoren#Konsistenz|Konsistenz zur klassischen Logik]]. === Konsistenz zur klassischen Logik === Die Konsistenz zur klassischen Logik besagt, dass die Fuzzylogik auf den [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkten]] des Einheitsquadrates <math>\Omega := [0,1]\times [0,1]</math> genauso funktionieren muss, wie die klassische Logik. Die == Zielsetzung == Diese Lernressource zu ''Fuzzylogik und Operatoren'' in der Wikiversity hat das Ziel, das klassische Konzept von logischen Operatoren UND, ODER, NICHT, WENN ... DANN, ...) (<math> \wedge, \vee, \neg, \Rightarrow </math>) auf fuzzylogische Operationen zu verallgemeinern. == Lernvoraussetzungen == Die Lernressource zum Thema ''Fuzzylogik/Operatoren'' hat die folgenden Lernvoraussetzungen, die zum Verständnis der nachfolgenden Ausführungen hilfreich bzw. notwendig sind. * '''([[Fuzzylogik/Zugehörigkeitsfunktion|Zugehörigkeitsfunktionen]])''' Funktionale Beschreibung unscharfer Mengen * '''(Wahrheitstafeln)''' Wahrheitstafeln für klassische logische Operatoren * '''(Implikationen/Folgerungen)''' klassische Implikationen/Folgerungen, da diese auf die Fuzzylogik übertragen werden == Operatoren für unscharfe Mengen == [[Datei:Fuzzy-Operatoren.png|450px|UND-ODER-NICHT-Operatoren zur Verknüpfung von Zugehörigkeitsfunktionen (Teilmengen).]] === Erzeugendenfunktion - Fuzzy-NAND === Die Verknüpfung Fuzzy-NAND <math>NAND_\odot</math> ist eine Erzeugendenfunktion für alle fuzzylogischen Verknüpfungen, denn es gilt für <math>x,y\in [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{rcl} x \ \widetilde{\wedge} \ y & := & \min\{ 1-x,1-y \} \\ \widetilde{\neg} \, x & := & NAND(x,x) = \min\{ 1-x,1-x \} = 1-x \\ x \ \widetilde{\vee} \, y & := & \widetilde{\neg} (\widetilde{\neg} \ x \ \widetilde{\wedge} \ \widetilde{\neg} \ y) = = 1- \min\{ x, y \} = \max\{ x,y \} \\ x \ \widetilde{\rightarrow} \ y & := & \widetilde{\neg} ( \ x \ \widetilde{\vee} \ y) = \max\{ 1-x,y \} \\ \end{array} </math> === Fortsetzung der klassischen Logik nicht eindeutig === Die Fortsetzung der klassischen Logik ist allerding nicht eindeutig. Durch das die multiplikative Fuzzy-NAND-Funktion wird ebenfalls eine von der obigen Min-Max-Operator-Definition wesentlich verschiedene Definition der Fuzzyoperationen definiert, die ebenfalls konsistent zur klassischen Logik ist. === Multiplikatives Fuzzy-NAND === Man definiert das multiplikative Fuzzy-NAND wie folgt: :<math> \begin{array}{rrcl} NAND_\odot: & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & [0,1] \\ & \left( x,y \right) & \mapsto & NAND_\odot\left( x,y \right) = (1-x)\cdot (1-y) \end{array} </math> === Erzeugendenfunktion - multiplikatives Fuzzy-NAND === Das multiplikative Fuzzy-NAND <math>NAND_\odot</math> ist eine Erzeugendenfunktion für alle fuzzylogischen Verknüpfungen, denn es gilt für <math>x,y\in [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{rcl} x \ \widetilde{\wedge}_{_\odot} \ y & := & NAND_\odot(1-x,1-y) \\ \widetilde{\neg}_{_\odot} \, x & := & NAND_\odot(x,x) \\ x \ \widetilde{\vee}_{\!\!_\odot} \, y & := & \widetilde{\neg}_{_\odot} (\widetilde{\neg}_{_\odot} \ x \ \widetilde{\wedge}_{_\odot} \ \widetilde{\neg}_{_\odot} \ y) \\ x \ \widetilde{\rightarrow}_{\!_\odot} \ y & := & \widetilde{\neg}_{_\odot} ( \ x \ \widetilde{\vee}_{\!\!_\odot} \ y) \\ \end{array} </math> === Aufgabe für Studierende === * Zeigen Sie, dass die obige Definition des multiplikativen NAND zu einer mit der klassischen Logik konsistenten Eigenschaft der Fuzzy-Verknüpfungen kommt. === Bemerkung - strengeres Fuzzy-UND === Das multiplikative Fuzzy-NAND <math>NAND_\odot</math> erzeugt ein strengeres Fuzzy-AND als fuzzylogische Verknüpfungen als die Min-Max-Definition der fuzzylogischen Verknüpfungen. Dies bedeutet, dass für alle <math>x,y\in [0,1]</math> gilt: :<math> x \ \widetilde{\wedge}_{_\odot} \, y \ \ \leq \ \ x \ \widetilde{\wedge} \ y </math> == Aufgaben - Zugehörigkeitsfunktion == Mit den folgenden Aufgaben zum Thema ''Fuzzy-Implikation'' als ''Operator'' auf Fuzzymengen behandelt: * Erzeugen Sie eine Zugehörigkeitsfunktion einer Fuzzymenge für den linguistischen Wert "alt" und "schnell" wobei die Grundmenge <math>\Omega := [0,100] </math> ein Alter zwischen 0 und 100 Jahren als Argument der Zugehörigkeitsfunktionen definiert. * Zeichnen Sie einen Graphen <math>\mu_{alt} : \Omega \to [0,1]</math> mit <math>\Omega := [0,100] </math> auf der x-Achse und <math>[0,1]</math> auf der y-Achse, wobei <math>\mu_{alt}(x) \in [0,1] </math> angibt, zu welchem Grad eine Alter <math>x</math> die Eigenschaft "alt" als linguistischen Wert erfüllt. * Zeichnen Sie einen Graphen <math>\mu_{schnell} : \Omega \to [0,1]</math> mit <math>\Omega := [0,100] </math> auf der x-Achse und <math>[0,1]</math> auf der y-Achse, wobei <math>\mu_{schnell}(x) \in [0,1] </math> angibt, zu welchem Grad eine Alter <math>x</math> die Eigenschaft "schnell" als linguistischen Wert erfüllt. == Aufgaben - Fuzzylogische Folgerung == Als einführendes Beispiel zum Thema ''fuzzylogische Operatoren'' dient dazu, sprachliche formuliert "WENN-DANN"-Aussagen in fuzzylogische zu übertragen und danach die resultierende Zugehörigkeitsfunktion zu interpretieren. <math>\Omega = [0,100] </math> ist das Alter in Jahren. * Nutzen Sie die obigen [[Fuzzylogik/Zugehörigkeitsfunktion|Zugehörigkeitsfunktionen]] von "alt" und "schnell". * Basierend auf den obigen [[Fuzzylogik/Zugehörigkeitsfunktion|Zugehörigkeitsfunktionen]] zeichnen Sie zunächst freihändig die Zugehörigkeitsfunktion ''"WENN alt DANN schnell"'' * Berechnen Sie dann die fuzzylogische Zugehörigkeitsfunktion von ''"WENN alt DANN schnell"''! Drücken Sie dabei die Folgerung zunächst durch UND, ODER und NICHT aus. * Falls sich Ihre "Freihandzeichnung" und der berechnete Graph der Zughörigkeitsfunktion unterscheiden, begründen Sie, warum die Freihandzeichnung von dem berechneten Graphen abweicht! <span id="Operatoren"></span> == Logische Operationen == Analog zur klassischen (crispen) Logik kann man in der Fuzzylogik auch logische Operatoren definieren, die konsistent zu klassischen Logik sind, d.h. in den crispen Grenzfällen von 0 und 1 für falsch und wahr den Operatoren in der klassischen Logik nicht widersprechen. === Negation === Die Negation in der Fuzzylogik erfolgt durch Subtraktion der Eingabewerte von 1. Also ''' NOT(A)=1-A''' === Nicht ausschließende-ODER-Schaltung === Die Adjunktion erfolgt durch Wahl des jeweils höheren Wertes der Eingabewerte. Also ''' OR(A;B)=A wenn A>B''' ''' B wenn A<=B''' Dies kann man analog auch durch das Maximum ausdrücken <math>OR(A;B) := \max\{A,B\}</math> === UND-Schaltung === Die Konjunktion erfolgt durch Wahl des jeweils niedrigeren Wertes der Eingabewerte. Also ''' AND(A;B)=A wenn A&lt;B''' ''' B wenn A>=B''' Dies kann man analog auch durch das Minimum ausdrücken <math>AND(A;B) := \min\{A,B\}</math> === Ausschließende-ODER-Schaltung === Für die Disjunktion komplementiert man den kleineren zweier Werte und wählt den kleineren der beiden. Für mehr als zwei Eingabewerte setzt man das Ergebnis der letzten Operation rekursiv mit dem jeweils nächsten Eingabewert ein. Einfacher: man nimmt die Differenz des weniger Extremen von dem ihm gegenüberliegenden Extremwert. Also ''' XOR(A;B)=A wenn A>B und A<(1-B)''' ''' 1-B wenn A>B und A>=(1-B)''' ''' B wenn B>=A und B<(1-A)''' ''' 1-A wenn B>=A und B>=(1-A)''' === Wahrheitstafel von XOR === Das ausschließende ODER "XOR" besitzt in der klasssischen Logik die Wahrheitstafel von <math>\neg(A \leftrightarrow B) </math>. {| class="wikitable float-right" |- ! <math>A</math> ! <math>B</math> ! <math>\neg(A \leftrightarrow B) </math> |- | falsch | falsch |style="text-align:center"| falsch |- | falsch | wahr |style="text-align:center"| wahr |- | wahr | falsch |style="text-align:center"| wahr |- | wahr | wahr |style="text-align:center"| falsch |} === Fuzzylogische Berechnung von XOR === Um konsistent zur klassischen Logik zu bleiben, kann man eine ''"ausschließendes ODER"'' auch über die logischen Verknüpfungen "UND", "ODER" und "NICHT" ausdrücken. :<math> XOR(A,B) \Longleftrightarrow \neg (A \longleftrightarrow B) \Longleftrightarrow (A\wedge \neg B) \vee (B\wedge \neg A) </math> Mit die Verwendung <math>max</math> für ODER und <math>min</math> für UND kann man XOR(A,B) fuzzylogisch wie folgt darstellen: :<math> XOR(A,B) = max\big( min(\mu_{A},1-\mu_{B}) , min(\mu_{B},1-\mu_{A}) \big) </math> == Konsistenz zu klassischen Logik == Die Eigenschaft, dass fuzzylogische Operationen ''konsistent'' zu klassischen Logik sein müssen, bedeutet, dass in einem <math>n</math>-dimenesionalen Einheitswürfel für beliebige <math>n\in \mathbb{N}</math> die Funktionswerte der fuzzylogischen Operation in den [[w:de:Extremalpunkt|Extermalpunkten]] mit der klassischen Logik übereinstimmen müssen. === Extremalpunkte des Einheitswürfels === Man betrachtet den <math>n</math>-dimenesionalen Einheitswürfel <math>\Omega_n := [0,1]^n</math> mit: :<math> [0,1]^n := \{ (\omega_1 , \ldots , \omega_n) \in \mathbb{R}^n \ : \ \omega_1 , \ldots , \omega_n \in [0,1] \} </math> Die [[w:de:Extremalpunkt|Extermalpunkte]] <math> \mathfrak{E}(\Omega_n)</math> des <math>n</math>-dimenesionalen Einheitswürfels <math>\Omega_n</math> sind: :<math> \mathfrak{E}(\Omega_n)=\{0,1\}^n = \{ (\omega_1 , \ldots , \omega_n) \in \mathbb{R}^n \ : \ \omega_1 , \ldots , \omega_n \in \{0,1\} \} </math> ==== Bemerkung - Extremalpunkte ==== Ein Extremalpunkt <math>(\omega_1 , \ldots , \omega_n) \in \mathfrak{E}(\Omega_n) </math> besteht nur aus Komponenten <math>0</math> oder <math>1</math> (z.B. für <math>n=2</math> ist <math>\Omega_2</math> das Einheitsquadrat <math>[0,1] \times [0,1]\subset \mathbb{R}^2</math>. Die [[w:de:Extremalpunkt|Extermalpunkte]] <math> \mathfrak{E}(\Omega_2)</math> bestehen dann aus den 4 Eckpunkten, d.h. :<math> \mathfrak{E}(\Omega_2)=\{0,1\}^2 = \{ (0,0) ,(0,1), (1,0), (1,1) \} </math> Für das Einheitsintervall <math>\Omega_1 = [0,1]</math> gilt <math>\mathfrak{E}(\Omega_1)=\{0,1\}</math>. == Literatur/Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte einer Menge]] * [[w:de:Fuzzylogik/Operatoren|Fuzzylogik/Operatoren]] * [[Mathematische Modellbildung]] * [[Open Educational Resources]] * [[Wiki2Reveal]] === Kurse === * [[Kurs:Maschinelles Lernen]] * [[Kurs:Mathematische Modellbildung]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik/Operatoren&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Operatoren&coursetitle=Fuzzylogik Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik/Operatoren&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Operatoren&coursetitle=Fuzzylogik Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik Fuzzylogik]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Fuzzylogik/Operatoren https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik/Operatoren] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik/Operatoren Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik/Operatoren * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik/Operatoren&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Operatoren&coursetitle=Fuzzylogik Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] lxyg207bysghwvlxk364axe9dzk0bq1 1119276 1119275 2026-11-10T07:20:05Z Bert Niehaus 20843 /* Bemerkung - Extremalpunkte */ 1119276 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite zum Thema ''Fuzzylogik/Operatoren'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik/Operatoren&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Operatoren&coursetitle=Fuzzylogik Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt: * (1) Klassische logische Operationen<ref>Suppes, P. (1999). Introduction to logic. Courier Corporation.</ref>, * (2) [[Fuzzylogik/Operatoren#Operatoren|Fuzzylogische Operatoren]]<ref>Buckley, J. J., & Eslami, E. (2002). An introduction to fuzzy logic and fuzzy sets (Vol. 13). Springer Science & Business Media.</ref>, * (3) [[Fuzzylogik/Operatoren#Konsistenz|Konsistenz zur klassischen Logik]]. === Konsistenz zur klassischen Logik === Die Konsistenz zur klassischen Logik besagt, dass die Fuzzylogik auf den [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkten]] des Einheitsquadrates <math>\Omega := [0,1]\times [0,1]</math> genauso funktionieren muss, wie die klassische Logik. Die == Zielsetzung == Diese Lernressource zu ''Fuzzylogik und Operatoren'' in der Wikiversity hat das Ziel, das klassische Konzept von logischen Operatoren UND, ODER, NICHT, WENN ... DANN, ...) (<math> \wedge, \vee, \neg, \Rightarrow </math>) auf fuzzylogische Operationen zu verallgemeinern. == Lernvoraussetzungen == Die Lernressource zum Thema ''Fuzzylogik/Operatoren'' hat die folgenden Lernvoraussetzungen, die zum Verständnis der nachfolgenden Ausführungen hilfreich bzw. notwendig sind. * '''([[Fuzzylogik/Zugehörigkeitsfunktion|Zugehörigkeitsfunktionen]])''' Funktionale Beschreibung unscharfer Mengen * '''(Wahrheitstafeln)''' Wahrheitstafeln für klassische logische Operatoren * '''(Implikationen/Folgerungen)''' klassische Implikationen/Folgerungen, da diese auf die Fuzzylogik übertragen werden == Operatoren für unscharfe Mengen == [[Datei:Fuzzy-Operatoren.png|450px|UND-ODER-NICHT-Operatoren zur Verknüpfung von Zugehörigkeitsfunktionen (Teilmengen).]] === Erzeugendenfunktion - Fuzzy-NAND === Die Verknüpfung Fuzzy-NAND <math>NAND_\odot</math> ist eine Erzeugendenfunktion für alle fuzzylogischen Verknüpfungen, denn es gilt für <math>x,y\in [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{rcl} x \ \widetilde{\wedge} \ y & := & \min\{ 1-x,1-y \} \\ \widetilde{\neg} \, x & := & NAND(x,x) = \min\{ 1-x,1-x \} = 1-x \\ x \ \widetilde{\vee} \, y & := & \widetilde{\neg} (\widetilde{\neg} \ x \ \widetilde{\wedge} \ \widetilde{\neg} \ y) = = 1- \min\{ x, y \} = \max\{ x,y \} \\ x \ \widetilde{\rightarrow} \ y & := & \widetilde{\neg} ( \ x \ \widetilde{\vee} \ y) = \max\{ 1-x,y \} \\ \end{array} </math> === Fortsetzung der klassischen Logik nicht eindeutig === Die Fortsetzung der klassischen Logik ist allerding nicht eindeutig. Durch das die multiplikative Fuzzy-NAND-Funktion wird ebenfalls eine von der obigen Min-Max-Operator-Definition wesentlich verschiedene Definition der Fuzzyoperationen definiert, die ebenfalls konsistent zur klassischen Logik ist. === Multiplikatives Fuzzy-NAND === Man definiert das multiplikative Fuzzy-NAND wie folgt: :<math> \begin{array}{rrcl} NAND_\odot: & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & [0,1] \\ & \left( x,y \right) & \mapsto & NAND_\odot\left( x,y \right) = (1-x)\cdot (1-y) \end{array} </math> === Erzeugendenfunktion - multiplikatives Fuzzy-NAND === Das multiplikative Fuzzy-NAND <math>NAND_\odot</math> ist eine Erzeugendenfunktion für alle fuzzylogischen Verknüpfungen, denn es gilt für <math>x,y\in [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{rcl} x \ \widetilde{\wedge}_{_\odot} \ y & := & NAND_\odot(1-x,1-y) \\ \widetilde{\neg}_{_\odot} \, x & := & NAND_\odot(x,x) \\ x \ \widetilde{\vee}_{\!\!_\odot} \, y & := & \widetilde{\neg}_{_\odot} (\widetilde{\neg}_{_\odot} \ x \ \widetilde{\wedge}_{_\odot} \ \widetilde{\neg}_{_\odot} \ y) \\ x \ \widetilde{\rightarrow}_{\!_\odot} \ y & := & \widetilde{\neg}_{_\odot} ( \ x \ \widetilde{\vee}_{\!\!_\odot} \ y) \\ \end{array} </math> === Aufgabe für Studierende === * Zeigen Sie, dass die obige Definition des multiplikativen NAND zu einer mit der klassischen Logik konsistenten Eigenschaft der Fuzzy-Verknüpfungen kommt. === Bemerkung - strengeres Fuzzy-UND === Das multiplikative Fuzzy-NAND <math>NAND_\odot</math> erzeugt ein strengeres Fuzzy-AND als fuzzylogische Verknüpfungen als die Min-Max-Definition der fuzzylogischen Verknüpfungen. Dies bedeutet, dass für alle <math>x,y\in [0,1]</math> gilt: :<math> x \ \widetilde{\wedge}_{_\odot} \, y \ \ \leq \ \ x \ \widetilde{\wedge} \ y </math> == Aufgaben - Zugehörigkeitsfunktion == Mit den folgenden Aufgaben zum Thema ''Fuzzy-Implikation'' als ''Operator'' auf Fuzzymengen behandelt: * Erzeugen Sie eine Zugehörigkeitsfunktion einer Fuzzymenge für den linguistischen Wert "alt" und "schnell" wobei die Grundmenge <math>\Omega := [0,100] </math> ein Alter zwischen 0 und 100 Jahren als Argument der Zugehörigkeitsfunktionen definiert. * Zeichnen Sie einen Graphen <math>\mu_{alt} : \Omega \to [0,1]</math> mit <math>\Omega := [0,100] </math> auf der x-Achse und <math>[0,1]</math> auf der y-Achse, wobei <math>\mu_{alt}(x) \in [0,1] </math> angibt, zu welchem Grad eine Alter <math>x</math> die Eigenschaft "alt" als linguistischen Wert erfüllt. * Zeichnen Sie einen Graphen <math>\mu_{schnell} : \Omega \to [0,1]</math> mit <math>\Omega := [0,100] </math> auf der x-Achse und <math>[0,1]</math> auf der y-Achse, wobei <math>\mu_{schnell}(x) \in [0,1] </math> angibt, zu welchem Grad eine Alter <math>x</math> die Eigenschaft "schnell" als linguistischen Wert erfüllt. == Aufgaben - Fuzzylogische Folgerung == Als einführendes Beispiel zum Thema ''fuzzylogische Operatoren'' dient dazu, sprachliche formuliert "WENN-DANN"-Aussagen in fuzzylogische zu übertragen und danach die resultierende Zugehörigkeitsfunktion zu interpretieren. <math>\Omega = [0,100] </math> ist das Alter in Jahren. * Nutzen Sie die obigen [[Fuzzylogik/Zugehörigkeitsfunktion|Zugehörigkeitsfunktionen]] von "alt" und "schnell". * Basierend auf den obigen [[Fuzzylogik/Zugehörigkeitsfunktion|Zugehörigkeitsfunktionen]] zeichnen Sie zunächst freihändig die Zugehörigkeitsfunktion ''"WENN alt DANN schnell"'' * Berechnen Sie dann die fuzzylogische Zugehörigkeitsfunktion von ''"WENN alt DANN schnell"''! Drücken Sie dabei die Folgerung zunächst durch UND, ODER und NICHT aus. * Falls sich Ihre "Freihandzeichnung" und der berechnete Graph der Zughörigkeitsfunktion unterscheiden, begründen Sie, warum die Freihandzeichnung von dem berechneten Graphen abweicht! <span id="Operatoren"></span> == Logische Operationen == Analog zur klassischen (crispen) Logik kann man in der Fuzzylogik auch logische Operatoren definieren, die konsistent zu klassischen Logik sind, d.h. in den crispen Grenzfällen von 0 und 1 für falsch und wahr den Operatoren in der klassischen Logik nicht widersprechen. === Negation === Die Negation in der Fuzzylogik erfolgt durch Subtraktion der Eingabewerte von 1. Also ''' NOT(A)=1-A''' === Nicht ausschließende-ODER-Schaltung === Die Adjunktion erfolgt durch Wahl des jeweils höheren Wertes der Eingabewerte. Also ''' OR(A;B)=A wenn A>B''' ''' B wenn A<=B''' Dies kann man analog auch durch das Maximum ausdrücken <math>OR(A;B) := \max\{A,B\}</math> === UND-Schaltung === Die Konjunktion erfolgt durch Wahl des jeweils niedrigeren Wertes der Eingabewerte. Also ''' AND(A;B)=A wenn A&lt;B''' ''' B wenn A>=B''' Dies kann man analog auch durch das Minimum ausdrücken <math>AND(A;B) := \min\{A,B\}</math> === Ausschließende-ODER-Schaltung === Für die Disjunktion komplementiert man den kleineren zweier Werte und wählt den kleineren der beiden. Für mehr als zwei Eingabewerte setzt man das Ergebnis der letzten Operation rekursiv mit dem jeweils nächsten Eingabewert ein. Einfacher: man nimmt die Differenz des weniger Extremen von dem ihm gegenüberliegenden Extremwert. Also ''' XOR(A;B)=A wenn A>B und A<(1-B)''' ''' 1-B wenn A>B und A>=(1-B)''' ''' B wenn B>=A und B<(1-A)''' ''' 1-A wenn B>=A und B>=(1-A)''' === Wahrheitstafel von XOR === Das ausschließende ODER "XOR" besitzt in der klasssischen Logik die Wahrheitstafel von <math>\neg(A \leftrightarrow B) </math>. {| class="wikitable float-right" |- ! <math>A</math> ! <math>B</math> ! <math>\neg(A \leftrightarrow B) </math> |- | falsch | falsch |style="text-align:center"| falsch |- | falsch | wahr |style="text-align:center"| wahr |- | wahr | falsch |style="text-align:center"| wahr |- | wahr | wahr |style="text-align:center"| falsch |} === Fuzzylogische Berechnung von XOR === Um konsistent zur klassischen Logik zu bleiben, kann man eine ''"ausschließendes ODER"'' auch über die logischen Verknüpfungen "UND", "ODER" und "NICHT" ausdrücken. :<math> XOR(A,B) \Longleftrightarrow \neg (A \longleftrightarrow B) \Longleftrightarrow (A\wedge \neg B) \vee (B\wedge \neg A) </math> Mit die Verwendung <math>max</math> für ODER und <math>min</math> für UND kann man XOR(A,B) fuzzylogisch wie folgt darstellen: :<math> XOR(A,B) = max\big( min(\mu_{A},1-\mu_{B}) , min(\mu_{B},1-\mu_{A}) \big) </math> == Konsistenz zu klassischen Logik == Die Eigenschaft, dass fuzzylogische Operationen ''konsistent'' zu klassischen Logik sein müssen, bedeutet, dass in einem <math>n</math>-dimenesionalen Einheitswürfel für beliebige <math>n\in \mathbb{N}</math> die Funktionswerte der fuzzylogischen Operation in den [[w:de:Extremalpunkt|Extermalpunkten]] mit der klassischen Logik übereinstimmen müssen. === Extremalpunkte des Einheitswürfels === Man betrachtet den <math>n</math>-dimenesionalen Einheitswürfel <math>\Omega_n := [0,1]^n</math> mit: :<math> [0,1]^n := \{ (\omega_1 , \ldots , \omega_n) \in \mathbb{R}^n \ : \ \omega_1 , \ldots , \omega_n \in [0,1] \} </math> Die [[w:de:Extremalpunkt|Extermalpunkte]] <math> \mathfrak{E}(\Omega_n)</math> des <math>n</math>-dimenesionalen Einheitswürfels <math>\Omega_n</math> sind: :<math> \mathfrak{E}(\Omega_n)=\{0,1\}^n = \{ (\omega_1 , \ldots , \omega_n) \in \mathbb{R}^n \ : \ \omega_1 , \ldots , \omega_n \in \{0,1\} \} </math> === Bemerkung - Extremalpunkte === Ein Extremalpunkt <math>(\omega_1 , \ldots , \omega_n) \in \mathfrak{E}(\Omega_n) </math> besteht nur aus Komponenten <math>0</math> oder <math>1</math> (z.B. für <math>n=2</math> ist <math>\Omega_2</math> das Einheitsquadrat <math>[0,1] \times [0,1]\subset \mathbb{R}^2</math>. Die [[w:de:Extremalpunkt|Extermalpunkte]] <math> \mathfrak{E}(\Omega_2)</math> bestehen dann aus den 4 Eckpunkten, d.h. :<math> \mathfrak{E}(\Omega_2)=\{0,1\}^2 = \{ (0,0) ,(0,1), (1,0), (1,1) \} </math> Für das Einheitsintervall <math>\Omega_1 = [0,1]</math> gilt <math>\mathfrak{E}(\Omega_1)=\{0,1\}</math>. == Literatur/Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte einer Menge]] * [[w:de:Fuzzylogik/Operatoren|Fuzzylogik/Operatoren]] * [[Mathematische Modellbildung]] * [[Open Educational Resources]] * [[Wiki2Reveal]] === Kurse === * [[Kurs:Maschinelles Lernen]] * [[Kurs:Mathematische Modellbildung]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik/Operatoren&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Operatoren&coursetitle=Fuzzylogik Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik/Operatoren&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Operatoren&coursetitle=Fuzzylogik Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik Fuzzylogik]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Fuzzylogik/Operatoren https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik/Operatoren] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik/Operatoren Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik/Operatoren * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik/Operatoren&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Operatoren&coursetitle=Fuzzylogik Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 20hl2ll6mlb5o3trhiff7k3kbw550gs 1119277 1119276 2026-11-10T07:21:07Z Bert Niehaus 20843 /* Logische Operationen */ 1119277 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite zum Thema ''Fuzzylogik/Operatoren'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik/Operatoren&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Operatoren&coursetitle=Fuzzylogik Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt: * (1) Klassische logische Operationen<ref>Suppes, P. (1999). Introduction to logic. Courier Corporation.</ref>, * (2) [[Fuzzylogik/Operatoren#Operatoren|Fuzzylogische Operatoren]]<ref>Buckley, J. J., & Eslami, E. (2002). An introduction to fuzzy logic and fuzzy sets (Vol. 13). Springer Science & Business Media.</ref>, * (3) [[Fuzzylogik/Operatoren#Konsistenz|Konsistenz zur klassischen Logik]]. === Konsistenz zur klassischen Logik === Die Konsistenz zur klassischen Logik besagt, dass die Fuzzylogik auf den [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkten]] des Einheitsquadrates <math>\Omega := [0,1]\times [0,1]</math> genauso funktionieren muss, wie die klassische Logik. Die == Zielsetzung == Diese Lernressource zu ''Fuzzylogik und Operatoren'' in der Wikiversity hat das Ziel, das klassische Konzept von logischen Operatoren UND, ODER, NICHT, WENN ... DANN, ...) (<math> \wedge, \vee, \neg, \Rightarrow </math>) auf fuzzylogische Operationen zu verallgemeinern. == Lernvoraussetzungen == Die Lernressource zum Thema ''Fuzzylogik/Operatoren'' hat die folgenden Lernvoraussetzungen, die zum Verständnis der nachfolgenden Ausführungen hilfreich bzw. notwendig sind. * '''([[Fuzzylogik/Zugehörigkeitsfunktion|Zugehörigkeitsfunktionen]])''' Funktionale Beschreibung unscharfer Mengen * '''(Wahrheitstafeln)''' Wahrheitstafeln für klassische logische Operatoren * '''(Implikationen/Folgerungen)''' klassische Implikationen/Folgerungen, da diese auf die Fuzzylogik übertragen werden == Operatoren für unscharfe Mengen == [[Datei:Fuzzy-Operatoren.png|450px|UND-ODER-NICHT-Operatoren zur Verknüpfung von Zugehörigkeitsfunktionen (Teilmengen).]] === Erzeugendenfunktion - Fuzzy-NAND === Die Verknüpfung Fuzzy-NAND <math>NAND_\odot</math> ist eine Erzeugendenfunktion für alle fuzzylogischen Verknüpfungen, denn es gilt für <math>x,y\in [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{rcl} x \ \widetilde{\wedge} \ y & := & \min\{ 1-x,1-y \} \\ \widetilde{\neg} \, x & := & NAND(x,x) = \min\{ 1-x,1-x \} = 1-x \\ x \ \widetilde{\vee} \, y & := & \widetilde{\neg} (\widetilde{\neg} \ x \ \widetilde{\wedge} \ \widetilde{\neg} \ y) = = 1- \min\{ x, y \} = \max\{ x,y \} \\ x \ \widetilde{\rightarrow} \ y & := & \widetilde{\neg} ( \ x \ \widetilde{\vee} \ y) = \max\{ 1-x,y \} \\ \end{array} </math> === Fortsetzung der klassischen Logik nicht eindeutig === Die Fortsetzung der klassischen Logik ist allerding nicht eindeutig. Durch das die multiplikative Fuzzy-NAND-Funktion wird ebenfalls eine von der obigen Min-Max-Operator-Definition wesentlich verschiedene Definition der Fuzzyoperationen definiert, die ebenfalls konsistent zur klassischen Logik ist. === Multiplikatives Fuzzy-NAND === Man definiert das multiplikative Fuzzy-NAND wie folgt: :<math> \begin{array}{rrcl} NAND_\odot: & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & [0,1] \\ & \left( x,y \right) & \mapsto & NAND_\odot\left( x,y \right) = (1-x)\cdot (1-y) \end{array} </math> === Erzeugendenfunktion - multiplikatives Fuzzy-NAND === Das multiplikative Fuzzy-NAND <math>NAND_\odot</math> ist eine Erzeugendenfunktion für alle fuzzylogischen Verknüpfungen, denn es gilt für <math>x,y\in [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{rcl} x \ \widetilde{\wedge}_{_\odot} \ y & := & NAND_\odot(1-x,1-y) \\ \widetilde{\neg}_{_\odot} \, x & := & NAND_\odot(x,x) \\ x \ \widetilde{\vee}_{\!\!_\odot} \, y & := & \widetilde{\neg}_{_\odot} (\widetilde{\neg}_{_\odot} \ x \ \widetilde{\wedge}_{_\odot} \ \widetilde{\neg}_{_\odot} \ y) \\ x \ \widetilde{\rightarrow}_{\!_\odot} \ y & := & \widetilde{\neg}_{_\odot} ( \ x \ \widetilde{\vee}_{\!\!_\odot} \ y) \\ \end{array} </math> === Aufgabe für Studierende === * Zeigen Sie, dass die obige Definition des multiplikativen NAND zu einer mit der klassischen Logik konsistenten Eigenschaft der Fuzzy-Verknüpfungen kommt. === Bemerkung - strengeres Fuzzy-UND === Das multiplikative Fuzzy-NAND <math>NAND_\odot</math> erzeugt ein strengeres Fuzzy-AND als fuzzylogische Verknüpfungen als die Min-Max-Definition der fuzzylogischen Verknüpfungen. Dies bedeutet, dass für alle <math>x,y\in [0,1]</math> gilt: :<math> x \ \widetilde{\wedge}_{_\odot} \, y \ \ \leq \ \ x \ \widetilde{\wedge} \ y </math> == Aufgaben - Zugehörigkeitsfunktion == Mit den folgenden Aufgaben zum Thema ''Fuzzy-Implikation'' als ''Operator'' auf Fuzzymengen behandelt: * Erzeugen Sie eine Zugehörigkeitsfunktion einer Fuzzymenge für den linguistischen Wert "alt" und "schnell" wobei die Grundmenge <math>\Omega := [0,100] </math> ein Alter zwischen 0 und 100 Jahren als Argument der Zugehörigkeitsfunktionen definiert. * Zeichnen Sie einen Graphen <math>\mu_{alt} : \Omega \to [0,1]</math> mit <math>\Omega := [0,100] </math> auf der x-Achse und <math>[0,1]</math> auf der y-Achse, wobei <math>\mu_{alt}(x) \in [0,1] </math> angibt, zu welchem Grad eine Alter <math>x</math> die Eigenschaft "alt" als linguistischen Wert erfüllt. * Zeichnen Sie einen Graphen <math>\mu_{schnell} : \Omega \to [0,1]</math> mit <math>\Omega := [0,100] </math> auf der x-Achse und <math>[0,1]</math> auf der y-Achse, wobei <math>\mu_{schnell}(x) \in [0,1] </math> angibt, zu welchem Grad eine Alter <math>x</math> die Eigenschaft "schnell" als linguistischen Wert erfüllt. == Aufgaben - Fuzzylogische Folgerung == Als einführendes Beispiel zum Thema ''fuzzylogische Operatoren'' dient dazu, sprachliche formuliert "WENN-DANN"-Aussagen in fuzzylogische zu übertragen und danach die resultierende Zugehörigkeitsfunktion zu interpretieren. <math>\Omega = [0,100] </math> ist das Alter in Jahren. * Nutzen Sie die obigen [[Fuzzylogik/Zugehörigkeitsfunktion|Zugehörigkeitsfunktionen]] von "alt" und "schnell". * Basierend auf den obigen [[Fuzzylogik/Zugehörigkeitsfunktion|Zugehörigkeitsfunktionen]] zeichnen Sie zunächst freihändig die Zugehörigkeitsfunktion ''"WENN alt DANN schnell"'' * Berechnen Sie dann die fuzzylogische Zugehörigkeitsfunktion von ''"WENN alt DANN schnell"''! Drücken Sie dabei die Folgerung zunächst durch UND, ODER und NICHT aus. * Falls sich Ihre "Freihandzeichnung" und der berechnete Graph der Zughörigkeitsfunktion unterscheiden, begründen Sie, warum die Freihandzeichnung von dem berechneten Graphen abweicht! <span id="Operatoren"></span> == Konsistenz zu klassischen Logik == Die Eigenschaft, dass fuzzylogische Operationen ''konsistent'' zu klassischen Logik sein müssen, bedeutet, dass in einem <math>n</math>-dimenesionalen Einheitswürfel für beliebige <math>n\in \mathbb{N}</math> die Funktionswerte der fuzzylogischen Operation in den [[w:de:Extremalpunkt|Extermalpunkten]] mit der klassischen Logik übereinstimmen müssen. === Extremalpunkte des Einheitswürfels === Man betrachtet den <math>n</math>-dimenesionalen Einheitswürfel <math>\Omega_n := [0,1]^n</math> mit: :<math> [0,1]^n := \{ (\omega_1 , \ldots , \omega_n) \in \mathbb{R}^n \ : \ \omega_1 , \ldots , \omega_n \in [0,1] \} </math> Die [[w:de:Extremalpunkt|Extermalpunkte]] <math> \mathfrak{E}(\Omega_n)</math> des <math>n</math>-dimenesionalen Einheitswürfels <math>\Omega_n</math> sind: :<math> \mathfrak{E}(\Omega_n)=\{0,1\}^n = \{ (\omega_1 , \ldots , \omega_n) \in \mathbb{R}^n \ : \ \omega_1 , \ldots , \omega_n \in \{0,1\} \} </math> === Bemerkung - Extremalpunkte === Ein Extremalpunkt <math>(\omega_1 , \ldots , \omega_n) \in \mathfrak{E}(\Omega_n) </math> besteht nur aus Komponenten <math>0</math> oder <math>1</math> (z.B. für <math>n=2</math> ist <math>\Omega_2</math> das Einheitsquadrat <math>[0,1] \times [0,1]\subset \mathbb{R}^2</math>. Die [[w:de:Extremalpunkt|Extermalpunkte]] <math> \mathfrak{E}(\Omega_2)</math> bestehen dann aus den 4 Eckpunkten, d.h. :<math> \mathfrak{E}(\Omega_2)=\{0,1\}^2 = \{ (0,0) ,(0,1), (1,0), (1,1) \} </math> Für das Einheitsintervall <math>\Omega_1 = [0,1]</math> gilt <math>\mathfrak{E}(\Omega_1)=\{0,1\}</math>. == Literatur/Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte einer Menge]] * [[w:de:Fuzzylogik/Operatoren|Fuzzylogik/Operatoren]] * [[Mathematische Modellbildung]] * [[Open Educational Resources]] * [[Wiki2Reveal]] === Kurse === * [[Kurs:Maschinelles Lernen]] * [[Kurs:Mathematische Modellbildung]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik/Operatoren&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Operatoren&coursetitle=Fuzzylogik Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik/Operatoren&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Operatoren&coursetitle=Fuzzylogik Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik Fuzzylogik]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Fuzzylogik/Operatoren https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik/Operatoren] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik/Operatoren Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik/Operatoren * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik/Operatoren&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Operatoren&coursetitle=Fuzzylogik Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] a6iwmio5fiow1mvyb9ezmhghy23mesk 1119278 1119277 2026-11-10T07:21:45Z Bert Niehaus 20843 /* Literatur/Quellennachweise */ 1119278 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite zum Thema ''Fuzzylogik/Operatoren'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik/Operatoren&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Operatoren&coursetitle=Fuzzylogik Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt: * (1) Klassische logische Operationen<ref>Suppes, P. (1999). Introduction to logic. Courier Corporation.</ref>, * (2) [[Fuzzylogik/Operatoren#Operatoren|Fuzzylogische Operatoren]]<ref>Buckley, J. J., & Eslami, E. (2002). An introduction to fuzzy logic and fuzzy sets (Vol. 13). Springer Science & Business Media.</ref>, * (3) [[Fuzzylogik/Operatoren#Konsistenz|Konsistenz zur klassischen Logik]]. === Konsistenz zur klassischen Logik === Die Konsistenz zur klassischen Logik besagt, dass die Fuzzylogik auf den [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkten]] des Einheitsquadrates <math>\Omega := [0,1]\times [0,1]</math> genauso funktionieren muss, wie die klassische Logik. Die == Zielsetzung == Diese Lernressource zu ''Fuzzylogik und Operatoren'' in der Wikiversity hat das Ziel, das klassische Konzept von logischen Operatoren UND, ODER, NICHT, WENN ... DANN, ...) (<math> \wedge, \vee, \neg, \Rightarrow </math>) auf fuzzylogische Operationen zu verallgemeinern. == Lernvoraussetzungen == Die Lernressource zum Thema ''Fuzzylogik/Operatoren'' hat die folgenden Lernvoraussetzungen, die zum Verständnis der nachfolgenden Ausführungen hilfreich bzw. notwendig sind. * '''([[Fuzzylogik/Zugehörigkeitsfunktion|Zugehörigkeitsfunktionen]])''' Funktionale Beschreibung unscharfer Mengen * '''(Wahrheitstafeln)''' Wahrheitstafeln für klassische logische Operatoren * '''(Implikationen/Folgerungen)''' klassische Implikationen/Folgerungen, da diese auf die Fuzzylogik übertragen werden == Operatoren für unscharfe Mengen == [[Datei:Fuzzy-Operatoren.png|450px|UND-ODER-NICHT-Operatoren zur Verknüpfung von Zugehörigkeitsfunktionen (Teilmengen).]] === Erzeugendenfunktion - Fuzzy-NAND === Die Verknüpfung Fuzzy-NAND <math>NAND_\odot</math> ist eine Erzeugendenfunktion für alle fuzzylogischen Verknüpfungen, denn es gilt für <math>x,y\in [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{rcl} x \ \widetilde{\wedge} \ y & := & \min\{ 1-x,1-y \} \\ \widetilde{\neg} \, x & := & NAND(x,x) = \min\{ 1-x,1-x \} = 1-x \\ x \ \widetilde{\vee} \, y & := & \widetilde{\neg} (\widetilde{\neg} \ x \ \widetilde{\wedge} \ \widetilde{\neg} \ y) = = 1- \min\{ x, y \} = \max\{ x,y \} \\ x \ \widetilde{\rightarrow} \ y & := & \widetilde{\neg} ( \ x \ \widetilde{\vee} \ y) = \max\{ 1-x,y \} \\ \end{array} </math> === Fortsetzung der klassischen Logik nicht eindeutig === Die Fortsetzung der klassischen Logik ist allerding nicht eindeutig. Durch das die multiplikative Fuzzy-NAND-Funktion wird ebenfalls eine von der obigen Min-Max-Operator-Definition wesentlich verschiedene Definition der Fuzzyoperationen definiert, die ebenfalls konsistent zur klassischen Logik ist. === Multiplikatives Fuzzy-NAND === Man definiert das multiplikative Fuzzy-NAND wie folgt: :<math> \begin{array}{rrcl} NAND_\odot: & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & [0,1] \\ & \left( x,y \right) & \mapsto & NAND_\odot\left( x,y \right) = (1-x)\cdot (1-y) \end{array} </math> === Erzeugendenfunktion - multiplikatives Fuzzy-NAND === Das multiplikative Fuzzy-NAND <math>NAND_\odot</math> ist eine Erzeugendenfunktion für alle fuzzylogischen Verknüpfungen, denn es gilt für <math>x,y\in [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{rcl} x \ \widetilde{\wedge}_{_\odot} \ y & := & NAND_\odot(1-x,1-y) \\ \widetilde{\neg}_{_\odot} \, x & := & NAND_\odot(x,x) \\ x \ \widetilde{\vee}_{\!\!_\odot} \, y & := & \widetilde{\neg}_{_\odot} (\widetilde{\neg}_{_\odot} \ x \ \widetilde{\wedge}_{_\odot} \ \widetilde{\neg}_{_\odot} \ y) \\ x \ \widetilde{\rightarrow}_{\!_\odot} \ y & := & \widetilde{\neg}_{_\odot} ( \ x \ \widetilde{\vee}_{\!\!_\odot} \ y) \\ \end{array} </math> === Aufgabe für Studierende === * Zeigen Sie, dass die obige Definition des multiplikativen NAND zu einer mit der klassischen Logik konsistenten Eigenschaft der Fuzzy-Verknüpfungen kommt. === Bemerkung - strengeres Fuzzy-UND === Das multiplikative Fuzzy-NAND <math>NAND_\odot</math> erzeugt ein strengeres Fuzzy-AND als fuzzylogische Verknüpfungen als die Min-Max-Definition der fuzzylogischen Verknüpfungen. Dies bedeutet, dass für alle <math>x,y\in [0,1]</math> gilt: :<math> x \ \widetilde{\wedge}_{_\odot} \, y \ \ \leq \ \ x \ \widetilde{\wedge} \ y </math> == Aufgaben - Zugehörigkeitsfunktion == Mit den folgenden Aufgaben zum Thema ''Fuzzy-Implikation'' als ''Operator'' auf Fuzzymengen behandelt: * Erzeugen Sie eine Zugehörigkeitsfunktion einer Fuzzymenge für den linguistischen Wert "alt" und "schnell" wobei die Grundmenge <math>\Omega := [0,100] </math> ein Alter zwischen 0 und 100 Jahren als Argument der Zugehörigkeitsfunktionen definiert. * Zeichnen Sie einen Graphen <math>\mu_{alt} : \Omega \to [0,1]</math> mit <math>\Omega := [0,100] </math> auf der x-Achse und <math>[0,1]</math> auf der y-Achse, wobei <math>\mu_{alt}(x) \in [0,1] </math> angibt, zu welchem Grad eine Alter <math>x</math> die Eigenschaft "alt" als linguistischen Wert erfüllt. * Zeichnen Sie einen Graphen <math>\mu_{schnell} : \Omega \to [0,1]</math> mit <math>\Omega := [0,100] </math> auf der x-Achse und <math>[0,1]</math> auf der y-Achse, wobei <math>\mu_{schnell}(x) \in [0,1] </math> angibt, zu welchem Grad eine Alter <math>x</math> die Eigenschaft "schnell" als linguistischen Wert erfüllt. == Aufgaben - Fuzzylogische Folgerung == Als einführendes Beispiel zum Thema ''fuzzylogische Operatoren'' dient dazu, sprachliche formuliert "WENN-DANN"-Aussagen in fuzzylogische zu übertragen und danach die resultierende Zugehörigkeitsfunktion zu interpretieren. <math>\Omega = [0,100] </math> ist das Alter in Jahren. * Nutzen Sie die obigen [[Fuzzylogik/Zugehörigkeitsfunktion|Zugehörigkeitsfunktionen]] von "alt" und "schnell". * Basierend auf den obigen [[Fuzzylogik/Zugehörigkeitsfunktion|Zugehörigkeitsfunktionen]] zeichnen Sie zunächst freihändig die Zugehörigkeitsfunktion ''"WENN alt DANN schnell"'' * Berechnen Sie dann die fuzzylogische Zugehörigkeitsfunktion von ''"WENN alt DANN schnell"''! Drücken Sie dabei die Folgerung zunächst durch UND, ODER und NICHT aus. * Falls sich Ihre "Freihandzeichnung" und der berechnete Graph der Zughörigkeitsfunktion unterscheiden, begründen Sie, warum die Freihandzeichnung von dem berechneten Graphen abweicht! <span id="Operatoren"></span> == Konsistenz zu klassischen Logik == Die Eigenschaft, dass fuzzylogische Operationen ''konsistent'' zu klassischen Logik sein müssen, bedeutet, dass in einem <math>n</math>-dimenesionalen Einheitswürfel für beliebige <math>n\in \mathbb{N}</math> die Funktionswerte der fuzzylogischen Operation in den [[w:de:Extremalpunkt|Extermalpunkten]] mit der klassischen Logik übereinstimmen müssen. === Extremalpunkte des Einheitswürfels === Man betrachtet den <math>n</math>-dimenesionalen Einheitswürfel <math>\Omega_n := [0,1]^n</math> mit: :<math> [0,1]^n := \{ (\omega_1 , \ldots , \omega_n) \in \mathbb{R}^n \ : \ \omega_1 , \ldots , \omega_n \in [0,1] \} </math> Die [[w:de:Extremalpunkt|Extermalpunkte]] <math> \mathfrak{E}(\Omega_n)</math> des <math>n</math>-dimenesionalen Einheitswürfels <math>\Omega_n</math> sind: :<math> \mathfrak{E}(\Omega_n)=\{0,1\}^n = \{ (\omega_1 , \ldots , \omega_n) \in \mathbb{R}^n \ : \ \omega_1 , \ldots , \omega_n \in \{0,1\} \} </math> === Bemerkung - Extremalpunkte === Ein Extremalpunkt <math>(\omega_1 , \ldots , \omega_n) \in \mathfrak{E}(\Omega_n) </math> besteht nur aus Komponenten <math>0</math> oder <math>1</math> (z.B. für <math>n=2</math> ist <math>\Omega_2</math> das Einheitsquadrat <math>[0,1] \times [0,1]\subset \mathbb{R}^2</math>. Die [[w:de:Extremalpunkt|Extermalpunkte]] <math> \mathfrak{E}(\Omega_2)</math> bestehen dann aus den 4 Eckpunkten, d.h. :<math> \mathfrak{E}(\Omega_2)=\{0,1\}^2 = \{ (0,0) ,(0,1), (1,0), (1,1) \} </math> Für das Einheitsintervall <math>\Omega_1 = [0,1]</math> gilt <math>\mathfrak{E}(\Omega_1)=\{0,1\}</math>. == Logische Operationen == Analog zur klassischen (crispen) Logik kann man in der Fuzzylogik auch logische Operatoren definieren, die konsistent zu klassischen Logik sind, d.h. in den crispen Grenzfällen von 0 und 1 für falsch und wahr den Operatoren in der klassischen Logik nicht widersprechen. === Negation === Die Negation in der Fuzzylogik erfolgt durch Subtraktion der Eingabewerte von 1. Also ''' NOT(A)=1-A''' === Nicht ausschließende-ODER-Schaltung === Die Adjunktion erfolgt durch Wahl des jeweils höheren Wertes der Eingabewerte. Also ''' OR(A;B)=A wenn A>B''' ''' B wenn A<=B''' Dies kann man analog auch durch das Maximum ausdrücken <math>OR(A;B) := \max\{A,B\}</math> === UND-Schaltung === Die Konjunktion erfolgt durch Wahl des jeweils niedrigeren Wertes der Eingabewerte. Also ''' AND(A;B)=A wenn A&lt;B''' ''' B wenn A>=B''' Dies kann man analog auch durch das Minimum ausdrücken <math>AND(A;B) := \min\{A,B\}</math> === Ausschließende-ODER-Schaltung === Für die Disjunktion komplementiert man den kleineren zweier Werte und wählt den kleineren der beiden. Für mehr als zwei Eingabewerte setzt man das Ergebnis der letzten Operation rekursiv mit dem jeweils nächsten Eingabewert ein. Einfacher: man nimmt die Differenz des weniger Extremen von dem ihm gegenüberliegenden Extremwert. Also ''' XOR(A;B)=A wenn A>B und A<(1-B)''' ''' 1-B wenn A>B und A>=(1-B)''' ''' B wenn B>=A und B<(1-A)''' ''' 1-A wenn B>=A und B>=(1-A)''' === Wahrheitstafel von XOR === Das ausschließende ODER "XOR" besitzt in der klasssischen Logik die Wahrheitstafel von <math>\neg(A \leftrightarrow B) </math>. {| class="wikitable float-right" |- ! <math>A</math> ! <math>B</math> ! <math>\neg(A \leftrightarrow B) </math> |- | falsch | falsch |style="text-align:center"| falsch |- | falsch | wahr |style="text-align:center"| wahr |- | wahr | falsch |style="text-align:center"| wahr |- | wahr | wahr |style="text-align:center"| falsch |} === Fuzzylogische Berechnung von XOR === Um konsistent zur klassischen Logik zu bleiben, kann man eine ''"ausschließendes ODER"'' auch über die logischen Verknüpfungen "UND", "ODER" und "NICHT" ausdrücken. :<math> XOR(A,B) \Longleftrightarrow \neg (A \longleftrightarrow B) \Longleftrightarrow (A\wedge \neg B) \vee (B\wedge \neg A) </math> Mit die Verwendung <math>max</math> für ODER und <math>min</math> für UND kann man XOR(A,B) fuzzylogisch wie folgt darstellen: :<math> XOR(A,B) = max\big( min(\mu_{A},1-\mu_{B}) , min(\mu_{B},1-\mu_{A}) \big) </math> == Literatur/Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte einer Menge]] * [[w:de:Fuzzylogik/Operatoren|Fuzzylogik/Operatoren]] * [[Mathematische Modellbildung]] * [[Open Educational Resources]] * [[Wiki2Reveal]] === Kurse === * [[Kurs:Maschinelles Lernen]] * [[Kurs:Mathematische Modellbildung]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik/Operatoren&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Operatoren&coursetitle=Fuzzylogik Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik/Operatoren&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Operatoren&coursetitle=Fuzzylogik Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik Fuzzylogik]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Fuzzylogik/Operatoren https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik/Operatoren] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik/Operatoren Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik/Operatoren * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik/Operatoren&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Operatoren&coursetitle=Fuzzylogik Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] qrumypikfpmtbg3qmgg7l76oiwvfkor 1119279 1119278 2026-11-10T07:32:58Z Bert Niehaus 20843 /* Bemerkung - Extremalpunkte */ 1119279 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite zum Thema ''Fuzzylogik/Operatoren'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik/Operatoren&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Operatoren&coursetitle=Fuzzylogik Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt: * (1) Klassische logische Operationen<ref>Suppes, P. (1999). Introduction to logic. Courier Corporation.</ref>, * (2) [[Fuzzylogik/Operatoren#Operatoren|Fuzzylogische Operatoren]]<ref>Buckley, J. J., & Eslami, E. (2002). An introduction to fuzzy logic and fuzzy sets (Vol. 13). Springer Science & Business Media.</ref>, * (3) [[Fuzzylogik/Operatoren#Konsistenz|Konsistenz zur klassischen Logik]]. === Konsistenz zur klassischen Logik === Die Konsistenz zur klassischen Logik besagt, dass die Fuzzylogik auf den [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkten]] des Einheitsquadrates <math>\Omega := [0,1]\times [0,1]</math> genauso funktionieren muss, wie die klassische Logik. Die == Zielsetzung == Diese Lernressource zu ''Fuzzylogik und Operatoren'' in der Wikiversity hat das Ziel, das klassische Konzept von logischen Operatoren UND, ODER, NICHT, WENN ... DANN, ...) (<math> \wedge, \vee, \neg, \Rightarrow </math>) auf fuzzylogische Operationen zu verallgemeinern. == Lernvoraussetzungen == Die Lernressource zum Thema ''Fuzzylogik/Operatoren'' hat die folgenden Lernvoraussetzungen, die zum Verständnis der nachfolgenden Ausführungen hilfreich bzw. notwendig sind. * '''([[Fuzzylogik/Zugehörigkeitsfunktion|Zugehörigkeitsfunktionen]])''' Funktionale Beschreibung unscharfer Mengen * '''(Wahrheitstafeln)''' Wahrheitstafeln für klassische logische Operatoren * '''(Implikationen/Folgerungen)''' klassische Implikationen/Folgerungen, da diese auf die Fuzzylogik übertragen werden == Operatoren für unscharfe Mengen == [[Datei:Fuzzy-Operatoren.png|450px|UND-ODER-NICHT-Operatoren zur Verknüpfung von Zugehörigkeitsfunktionen (Teilmengen).]] === Erzeugendenfunktion - Fuzzy-NAND === Die Verknüpfung Fuzzy-NAND <math>NAND_\odot</math> ist eine Erzeugendenfunktion für alle fuzzylogischen Verknüpfungen, denn es gilt für <math>x,y\in [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{rcl} x \ \widetilde{\wedge} \ y & := & \min\{ 1-x,1-y \} \\ \widetilde{\neg} \, x & := & NAND(x,x) = \min\{ 1-x,1-x \} = 1-x \\ x \ \widetilde{\vee} \, y & := & \widetilde{\neg} (\widetilde{\neg} \ x \ \widetilde{\wedge} \ \widetilde{\neg} \ y) = = 1- \min\{ x, y \} = \max\{ x,y \} \\ x \ \widetilde{\rightarrow} \ y & := & \widetilde{\neg} ( \ x \ \widetilde{\vee} \ y) = \max\{ 1-x,y \} \\ \end{array} </math> === Fortsetzung der klassischen Logik nicht eindeutig === Die Fortsetzung der klassischen Logik ist allerding nicht eindeutig. Durch das die multiplikative Fuzzy-NAND-Funktion wird ebenfalls eine von der obigen Min-Max-Operator-Definition wesentlich verschiedene Definition der Fuzzyoperationen definiert, die ebenfalls konsistent zur klassischen Logik ist. === Multiplikatives Fuzzy-NAND === Man definiert das multiplikative Fuzzy-NAND wie folgt: :<math> \begin{array}{rrcl} NAND_\odot: & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & [0,1] \\ & \left( x,y \right) & \mapsto & NAND_\odot\left( x,y \right) = (1-x)\cdot (1-y) \end{array} </math> === Erzeugendenfunktion - multiplikatives Fuzzy-NAND === Das multiplikative Fuzzy-NAND <math>NAND_\odot</math> ist eine Erzeugendenfunktion für alle fuzzylogischen Verknüpfungen, denn es gilt für <math>x,y\in [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{rcl} x \ \widetilde{\wedge}_{_\odot} \ y & := & NAND_\odot(1-x,1-y) \\ \widetilde{\neg}_{_\odot} \, x & := & NAND_\odot(x,x) \\ x \ \widetilde{\vee}_{\!\!_\odot} \, y & := & \widetilde{\neg}_{_\odot} (\widetilde{\neg}_{_\odot} \ x \ \widetilde{\wedge}_{_\odot} \ \widetilde{\neg}_{_\odot} \ y) \\ x \ \widetilde{\rightarrow}_{\!_\odot} \ y & := & \widetilde{\neg}_{_\odot} ( \ x \ \widetilde{\vee}_{\!\!_\odot} \ y) \\ \end{array} </math> === Aufgabe für Studierende === * Zeigen Sie, dass die obige Definition des multiplikativen NAND zu einer mit der klassischen Logik konsistenten Eigenschaft der Fuzzy-Verknüpfungen kommt. === Bemerkung - strengeres Fuzzy-UND === Das multiplikative Fuzzy-NAND <math>NAND_\odot</math> erzeugt ein strengeres Fuzzy-AND als fuzzylogische Verknüpfungen als die Min-Max-Definition der fuzzylogischen Verknüpfungen. Dies bedeutet, dass für alle <math>x,y\in [0,1]</math> gilt: :<math> x \ \widetilde{\wedge}_{_\odot} \, y \ \ \leq \ \ x \ \widetilde{\wedge} \ y </math> == Aufgaben - Zugehörigkeitsfunktion == Mit den folgenden Aufgaben zum Thema ''Fuzzy-Implikation'' als ''Operator'' auf Fuzzymengen behandelt: * Erzeugen Sie eine Zugehörigkeitsfunktion einer Fuzzymenge für den linguistischen Wert "alt" und "schnell" wobei die Grundmenge <math>\Omega := [0,100] </math> ein Alter zwischen 0 und 100 Jahren als Argument der Zugehörigkeitsfunktionen definiert. * Zeichnen Sie einen Graphen <math>\mu_{alt} : \Omega \to [0,1]</math> mit <math>\Omega := [0,100] </math> auf der x-Achse und <math>[0,1]</math> auf der y-Achse, wobei <math>\mu_{alt}(x) \in [0,1] </math> angibt, zu welchem Grad eine Alter <math>x</math> die Eigenschaft "alt" als linguistischen Wert erfüllt. * Zeichnen Sie einen Graphen <math>\mu_{schnell} : \Omega \to [0,1]</math> mit <math>\Omega := [0,100] </math> auf der x-Achse und <math>[0,1]</math> auf der y-Achse, wobei <math>\mu_{schnell}(x) \in [0,1] </math> angibt, zu welchem Grad eine Alter <math>x</math> die Eigenschaft "schnell" als linguistischen Wert erfüllt. == Aufgaben - Fuzzylogische Folgerung == Als einführendes Beispiel zum Thema ''fuzzylogische Operatoren'' dient dazu, sprachliche formuliert "WENN-DANN"-Aussagen in fuzzylogische zu übertragen und danach die resultierende Zugehörigkeitsfunktion zu interpretieren. <math>\Omega = [0,100] </math> ist das Alter in Jahren. * Nutzen Sie die obigen [[Fuzzylogik/Zugehörigkeitsfunktion|Zugehörigkeitsfunktionen]] von "alt" und "schnell". * Basierend auf den obigen [[Fuzzylogik/Zugehörigkeitsfunktion|Zugehörigkeitsfunktionen]] zeichnen Sie zunächst freihändig die Zugehörigkeitsfunktion ''"WENN alt DANN schnell"'' * Berechnen Sie dann die fuzzylogische Zugehörigkeitsfunktion von ''"WENN alt DANN schnell"''! Drücken Sie dabei die Folgerung zunächst durch UND, ODER und NICHT aus. * Falls sich Ihre "Freihandzeichnung" und der berechnete Graph der Zughörigkeitsfunktion unterscheiden, begründen Sie, warum die Freihandzeichnung von dem berechneten Graphen abweicht! <span id="Operatoren"></span> == Konsistenz zu klassischen Logik == Die Eigenschaft, dass fuzzylogische Operationen ''konsistent'' zu klassischen Logik sein müssen, bedeutet, dass in einem <math>n</math>-dimenesionalen Einheitswürfel für beliebige <math>n\in \mathbb{N}</math> die Funktionswerte der fuzzylogischen Operation in den [[w:de:Extremalpunkt|Extermalpunkten]] mit der klassischen Logik übereinstimmen müssen. === Extremalpunkte des Einheitswürfels === Man betrachtet den <math>n</math>-dimenesionalen Einheitswürfel <math>\Omega_n := [0,1]^n</math> mit: :<math> [0,1]^n := \{ (\omega_1 , \ldots , \omega_n) \in \mathbb{R}^n \ : \ \omega_1 , \ldots , \omega_n \in [0,1] \} </math> Die [[w:de:Extremalpunkt|Extermalpunkte]] <math> \mathfrak{E}(\Omega_n)</math> des <math>n</math>-dimenesionalen Einheitswürfels <math>\Omega_n</math> sind: :<math> \mathfrak{E}(\Omega_n)=\{0,1\}^n = \{ (\omega_1 , \ldots , \omega_n) \in \mathbb{R}^n \ : \ \omega_1 , \ldots , \omega_n \in \{0,1\} \} </math> === Bemerkung - Extremalpunkte === Ein Extremalpunkt <math>(\omega_1 , \ldots , \omega_n) \in \mathfrak{E}(\Omega_n) </math> besteht nur aus Komponenten <math>0</math> oder <math>1</math> (z.B. für <math>n=2</math> ist <math>\Omega_2</math> das Einheitsquadrat <math>[0,1] \times [0,1]\subset \mathbb{R}^2</math>. Die [[w:de:Extremalpunkt|Extermalpunkte]] <math> \mathfrak{E}(\Omega_2)</math> bestehen dann aus den 4 Eckpunkten, d.h. :<math> \mathfrak{E}(\Omega_2)=\{0,1\}^2 = \{ (0,0) ,(0,1), (1,0), (1,1) \} </math> Für das Einheitsintervall <math>\Omega_1 = [0,1]</math> gilt <math>\mathfrak{E}(\Omega_1)=\{0,1\}</math>. === Beispiele - Fuzzylogische Operationen === In dem obigen Beispiel wurden die fuzzylogischen Operationen einmal mit der <math>\min</math>-Definition von <math>NAND</math>-Verknüpfung und einmal mit dem multiplikativen <math>NAND_{\!\!_\odot}</math> erzeugt. Man betrachtet nun die Konsistenz mit der klassischen Logik, wobei die klassische Logik die Verknüpfung allein auf den [[w:de:Extremalpunkt|Extermalpunkten]] <math> \mathfrak{E}(\Omega_n)</math> von <math> \Omega_n</math> festlegt. ==== Konsistenz - Negation - logisches NICHT==== Das logische NICHT ändert den Wahrheitswert von ''wahr'' (=1) auf ''falsch'' (=0) und umgekehrt den Wahrheitswert von ''falsch'' (=0) auf ''wahr'' (=1). * Über die <math>\min</math>-Definition von <math>NAND</math>-Verknüpfung erhält man <math>\widetilde{\neg}\, \omega = 1-\omega </math> für <math>\omega \in [0,1]</math>. * Über die <math>\min</math>-Definition von <math>NAND</math>-Verknüpfung erhält man <math>\widetilde{\neg}\, \omega = 1-\omega </math> für <math>\omega \in [0,1]</math>. ==== Konsistenz - Konjunktion - logisches UND ==== ==== Konsistenz - Disjunktion - logisches ODER ==== == Logische Operationen == Analog zur klassischen (crispen) Logik kann man in der Fuzzylogik auch logische Operatoren definieren, die konsistent zu klassischen Logik sind, d.h. in den crispen Grenzfällen von 0 und 1 für falsch und wahr den Operatoren in der klassischen Logik nicht widersprechen. === Negation === Die Negation in der Fuzzylogik erfolgt durch Subtraktion der Eingabewerte von 1. Also ''' NOT(A)=1-A''' === Nicht ausschließende-ODER-Schaltung === Die Adjunktion erfolgt durch Wahl des jeweils höheren Wertes der Eingabewerte. Also ''' OR(A;B)=A wenn A>B''' ''' B wenn A<=B''' Dies kann man analog auch durch das Maximum ausdrücken <math>OR(A;B) := \max\{A,B\}</math> === UND-Schaltung === Die Konjunktion erfolgt durch Wahl des jeweils niedrigeren Wertes der Eingabewerte. Also ''' AND(A;B)=A wenn A&lt;B''' ''' B wenn A>=B''' Dies kann man analog auch durch das Minimum ausdrücken <math>AND(A;B) := \min\{A,B\}</math> === Ausschließende-ODER-Schaltung === Für die Disjunktion komplementiert man den kleineren zweier Werte und wählt den kleineren der beiden. Für mehr als zwei Eingabewerte setzt man das Ergebnis der letzten Operation rekursiv mit dem jeweils nächsten Eingabewert ein. Einfacher: man nimmt die Differenz des weniger Extremen von dem ihm gegenüberliegenden Extremwert. Also ''' XOR(A;B)=A wenn A>B und A<(1-B)''' ''' 1-B wenn A>B und A>=(1-B)''' ''' B wenn B>=A und B<(1-A)''' ''' 1-A wenn B>=A und B>=(1-A)''' === Wahrheitstafel von XOR === Das ausschließende ODER "XOR" besitzt in der klasssischen Logik die Wahrheitstafel von <math>\neg(A \leftrightarrow B) </math>. {| class="wikitable float-right" |- ! <math>A</math> ! <math>B</math> ! <math>\neg(A \leftrightarrow B) </math> |- | falsch | falsch |style="text-align:center"| falsch |- | falsch | wahr |style="text-align:center"| wahr |- | wahr | falsch |style="text-align:center"| wahr |- | wahr | wahr |style="text-align:center"| falsch |} === Fuzzylogische Berechnung von XOR === Um konsistent zur klassischen Logik zu bleiben, kann man eine ''"ausschließendes ODER"'' auch über die logischen Verknüpfungen "UND", "ODER" und "NICHT" ausdrücken. :<math> XOR(A,B) \Longleftrightarrow \neg (A \longleftrightarrow B) \Longleftrightarrow (A\wedge \neg B) \vee (B\wedge \neg A) </math> Mit die Verwendung <math>max</math> für ODER und <math>min</math> für UND kann man XOR(A,B) fuzzylogisch wie folgt darstellen: :<math> XOR(A,B) = max\big( min(\mu_{A},1-\mu_{B}) , min(\mu_{B},1-\mu_{A}) \big) </math> == Literatur/Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte einer Menge]] * [[w:de:Fuzzylogik/Operatoren|Fuzzylogik/Operatoren]] * [[Mathematische Modellbildung]] * [[Open Educational Resources]] * [[Wiki2Reveal]] === Kurse === * [[Kurs:Maschinelles Lernen]] * [[Kurs:Mathematische Modellbildung]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik/Operatoren&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Operatoren&coursetitle=Fuzzylogik Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik/Operatoren&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Operatoren&coursetitle=Fuzzylogik Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik Fuzzylogik]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Fuzzylogik/Operatoren https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik/Operatoren] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik/Operatoren Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik/Operatoren * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik/Operatoren&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Operatoren&coursetitle=Fuzzylogik Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] nnkdigln2p89d8iaxrd96wq9t4jyo2d 1119280 1119279 2026-11-10T07:56:44Z Bert Niehaus 20843 /* Konsistenz - Negation - logisches NICHT */ 1119280 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite zum Thema ''Fuzzylogik/Operatoren'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik/Operatoren&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Operatoren&coursetitle=Fuzzylogik Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt: * (1) Klassische logische Operationen<ref>Suppes, P. (1999). Introduction to logic. Courier Corporation.</ref>, * (2) [[Fuzzylogik/Operatoren#Operatoren|Fuzzylogische Operatoren]]<ref>Buckley, J. J., & Eslami, E. (2002). An introduction to fuzzy logic and fuzzy sets (Vol. 13). Springer Science & Business Media.</ref>, * (3) [[Fuzzylogik/Operatoren#Konsistenz|Konsistenz zur klassischen Logik]]. === Konsistenz zur klassischen Logik === Die Konsistenz zur klassischen Logik besagt, dass die Fuzzylogik auf den [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkten]] des Einheitsquadrates <math>\Omega := [0,1]\times [0,1]</math> genauso funktionieren muss, wie die klassische Logik. Die == Zielsetzung == Diese Lernressource zu ''Fuzzylogik und Operatoren'' in der Wikiversity hat das Ziel, das klassische Konzept von logischen Operatoren UND, ODER, NICHT, WENN ... DANN, ...) (<math> \wedge, \vee, \neg, \Rightarrow </math>) auf fuzzylogische Operationen zu verallgemeinern. == Lernvoraussetzungen == Die Lernressource zum Thema ''Fuzzylogik/Operatoren'' hat die folgenden Lernvoraussetzungen, die zum Verständnis der nachfolgenden Ausführungen hilfreich bzw. notwendig sind. * '''([[Fuzzylogik/Zugehörigkeitsfunktion|Zugehörigkeitsfunktionen]])''' Funktionale Beschreibung unscharfer Mengen * '''(Wahrheitstafeln)''' Wahrheitstafeln für klassische logische Operatoren * '''(Implikationen/Folgerungen)''' klassische Implikationen/Folgerungen, da diese auf die Fuzzylogik übertragen werden == Operatoren für unscharfe Mengen == [[Datei:Fuzzy-Operatoren.png|450px|UND-ODER-NICHT-Operatoren zur Verknüpfung von Zugehörigkeitsfunktionen (Teilmengen).]] === Erzeugendenfunktion - Fuzzy-NAND === Die Verknüpfung Fuzzy-NAND <math>NAND_\odot</math> ist eine Erzeugendenfunktion für alle fuzzylogischen Verknüpfungen, denn es gilt für <math>x,y\in [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{rcl} x \ \widetilde{\wedge} \ y & := & \min\{ 1-x,1-y \} \\ \widetilde{\neg} \, x & := & NAND(x,x) = \min\{ 1-x,1-x \} = 1-x \\ x \ \widetilde{\vee} \, y & := & \widetilde{\neg} (\widetilde{\neg} \ x \ \widetilde{\wedge} \ \widetilde{\neg} \ y) = = 1- \min\{ x, y \} = \max\{ x,y \} \\ x \ \widetilde{\rightarrow} \ y & := & \widetilde{\neg} ( \ x \ \widetilde{\vee} \ y) = \max\{ 1-x,y \} \\ \end{array} </math> === Fortsetzung der klassischen Logik nicht eindeutig === Die Fortsetzung der klassischen Logik ist allerding nicht eindeutig. Durch das die multiplikative Fuzzy-NAND-Funktion wird ebenfalls eine von der obigen Min-Max-Operator-Definition wesentlich verschiedene Definition der Fuzzyoperationen definiert, die ebenfalls konsistent zur klassischen Logik ist. === Multiplikatives Fuzzy-NAND === Man definiert das multiplikative Fuzzy-NAND wie folgt: :<math> \begin{array}{rrcl} NAND_\odot: & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & [0,1] \\ & \left( x,y \right) & \mapsto & NAND_\odot\left( x,y \right) = (1-x)\cdot (1-y) \end{array} </math> === Erzeugendenfunktion - multiplikatives Fuzzy-NAND === Das multiplikative Fuzzy-NAND <math>NAND_\odot</math> ist eine Erzeugendenfunktion für alle fuzzylogischen Verknüpfungen, denn es gilt für <math>x,y\in [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{rcl} x \ \widetilde{\wedge}_{_\odot} \ y & := & NAND_\odot(1-x,1-y) \\ \widetilde{\neg}_{_\odot} \, x & := & NAND_\odot(x,x) \\ x \ \widetilde{\vee}_{\!\!_\odot} \, y & := & \widetilde{\neg}_{_\odot} (\widetilde{\neg}_{_\odot} \ x \ \widetilde{\wedge}_{_\odot} \ \widetilde{\neg}_{_\odot} \ y) \\ x \ \widetilde{\rightarrow}_{\!_\odot} \ y & := & \widetilde{\neg}_{_\odot} ( \ x \ \widetilde{\vee}_{\!\!_\odot} \ y) \\ \end{array} </math> === Aufgabe für Studierende === * Zeigen Sie, dass die obige Definition des multiplikativen NAND zu einer mit der klassischen Logik konsistenten Eigenschaft der Fuzzy-Verknüpfungen kommt. === Bemerkung - strengeres Fuzzy-UND === Das multiplikative Fuzzy-NAND <math>NAND_\odot</math> erzeugt ein strengeres Fuzzy-AND als fuzzylogische Verknüpfungen als die Min-Max-Definition der fuzzylogischen Verknüpfungen. Dies bedeutet, dass für alle <math>x,y\in [0,1]</math> gilt: :<math> x \ \widetilde{\wedge}_{_\odot} \, y \ \ \leq \ \ x \ \widetilde{\wedge} \ y </math> == Aufgaben - Zugehörigkeitsfunktion == Mit den folgenden Aufgaben zum Thema ''Fuzzy-Implikation'' als ''Operator'' auf Fuzzymengen behandelt: * Erzeugen Sie eine Zugehörigkeitsfunktion einer Fuzzymenge für den linguistischen Wert "alt" und "schnell" wobei die Grundmenge <math>\Omega := [0,100] </math> ein Alter zwischen 0 und 100 Jahren als Argument der Zugehörigkeitsfunktionen definiert. * Zeichnen Sie einen Graphen <math>\mu_{alt} : \Omega \to [0,1]</math> mit <math>\Omega := [0,100] </math> auf der x-Achse und <math>[0,1]</math> auf der y-Achse, wobei <math>\mu_{alt}(x) \in [0,1] </math> angibt, zu welchem Grad eine Alter <math>x</math> die Eigenschaft "alt" als linguistischen Wert erfüllt. * Zeichnen Sie einen Graphen <math>\mu_{schnell} : \Omega \to [0,1]</math> mit <math>\Omega := [0,100] </math> auf der x-Achse und <math>[0,1]</math> auf der y-Achse, wobei <math>\mu_{schnell}(x) \in [0,1] </math> angibt, zu welchem Grad eine Alter <math>x</math> die Eigenschaft "schnell" als linguistischen Wert erfüllt. == Aufgaben - Fuzzylogische Folgerung == Als einführendes Beispiel zum Thema ''fuzzylogische Operatoren'' dient dazu, sprachliche formuliert "WENN-DANN"-Aussagen in fuzzylogische zu übertragen und danach die resultierende Zugehörigkeitsfunktion zu interpretieren. <math>\Omega = [0,100] </math> ist das Alter in Jahren. * Nutzen Sie die obigen [[Fuzzylogik/Zugehörigkeitsfunktion|Zugehörigkeitsfunktionen]] von "alt" und "schnell". * Basierend auf den obigen [[Fuzzylogik/Zugehörigkeitsfunktion|Zugehörigkeitsfunktionen]] zeichnen Sie zunächst freihändig die Zugehörigkeitsfunktion ''"WENN alt DANN schnell"'' * Berechnen Sie dann die fuzzylogische Zugehörigkeitsfunktion von ''"WENN alt DANN schnell"''! Drücken Sie dabei die Folgerung zunächst durch UND, ODER und NICHT aus. * Falls sich Ihre "Freihandzeichnung" und der berechnete Graph der Zughörigkeitsfunktion unterscheiden, begründen Sie, warum die Freihandzeichnung von dem berechneten Graphen abweicht! <span id="Operatoren"></span> == Konsistenz zu klassischen Logik == Die Eigenschaft, dass fuzzylogische Operationen ''konsistent'' zu klassischen Logik sein müssen, bedeutet, dass in einem <math>n</math>-dimenesionalen Einheitswürfel für beliebige <math>n\in \mathbb{N}</math> die Funktionswerte der fuzzylogischen Operation in den [[w:de:Extremalpunkt|Extermalpunkten]] mit der klassischen Logik übereinstimmen müssen. === Extremalpunkte des Einheitswürfels === Man betrachtet den <math>n</math>-dimenesionalen Einheitswürfel <math>\Omega_n := [0,1]^n</math> mit: :<math> [0,1]^n := \{ (\omega_1 , \ldots , \omega_n) \in \mathbb{R}^n \ : \ \omega_1 , \ldots , \omega_n \in [0,1] \} </math> Die [[w:de:Extremalpunkt|Extermalpunkte]] <math> \mathfrak{E}(\Omega_n)</math> des <math>n</math>-dimenesionalen Einheitswürfels <math>\Omega_n</math> sind: :<math> \mathfrak{E}(\Omega_n)=\{0,1\}^n = \{ (\omega_1 , \ldots , \omega_n) \in \mathbb{R}^n \ : \ \omega_1 , \ldots , \omega_n \in \{0,1\} \} </math> === Bemerkung - Extremalpunkte === Ein Extremalpunkt <math>(\omega_1 , \ldots , \omega_n) \in \mathfrak{E}(\Omega_n) </math> besteht nur aus Komponenten <math>0</math> oder <math>1</math> (z.B. für <math>n=2</math> ist <math>\Omega_2</math> das Einheitsquadrat <math>[0,1] \times [0,1]\subset \mathbb{R}^2</math>. Die [[w:de:Extremalpunkt|Extermalpunkte]] <math> \mathfrak{E}(\Omega_2)</math> bestehen dann aus den 4 Eckpunkten, d.h. :<math> \mathfrak{E}(\Omega_2)=\{0,1\}^2 = \{ (0,0) ,(0,1), (1,0), (1,1) \} </math> Für das Einheitsintervall <math>\Omega_1 = [0,1]</math> gilt <math>\mathfrak{E}(\Omega_1)=\{0,1\}</math>. === Beispiele - Fuzzylogische Operationen === In dem obigen Beispiel wurden die fuzzylogischen Operationen einmal mit der <math>\min</math>-Definition von <math>NAND</math>-Verknüpfung und einmal mit dem multiplikativen <math>NAND_{\!\!_\odot}</math> erzeugt. Man betrachtet nun die Konsistenz mit der klassischen Logik, wobei die klassische Logik die Verknüpfung allein auf den [[w:de:Extremalpunkt|Extermalpunkten]] <math> \mathfrak{E}(\Omega_n)</math> von <math> \Omega_n</math> festlegt. ==== Konsistenz - Negation - logisches NICHT==== Das logische NICHT ändert den Wahrheitswert von ''wahr'' (=1) auf ''falsch'' (=0) und umgekehrt den Wahrheitswert von ''falsch'' (=0) auf ''wahr'' (=1). * Über die <math>\min</math>-Definition der <math>NAND</math>-Verknüpfung erhält man <math>\widetilde{\neg}\, \omega = 1-\omega </math> für <math>\omega \in [0,1]</math>. * Über die multiplikative Definition der <math>NAND_{\!\!_\odot}</math>-Verknüpfung erhält man <math>\widetilde{\neg}_{\!_\odot}\, \omega = 1-\omega^2 </math> für <math>\omega \in [0,1]</math>. In beiden Fällen erhält man die Konsistenz mit der klassischen Logik, da sowohl <math> \widetilde{\neg}\, 1 = \widetilde{\neg}_{\!_\odot}\, 1 = 0 </math> und <math> \widetilde{\neg}\, 0 = \widetilde{\neg}_{\!_\odot}\, 0 = 1 </math> gilt. ==== Konsistenz - Konjunktion - logisches UND ==== ==== Konsistenz - Disjunktion - logisches ODER ==== == Logische Operationen == Analog zur klassischen (crispen) Logik kann man in der Fuzzylogik auch logische Operatoren definieren, die konsistent zu klassischen Logik sind, d.h. in den crispen Grenzfällen von 0 und 1 für falsch und wahr den Operatoren in der klassischen Logik nicht widersprechen. === Negation === Die Negation in der Fuzzylogik erfolgt durch Subtraktion der Eingabewerte von 1. Also ''' NOT(A)=1-A''' === Nicht ausschließende-ODER-Schaltung === Die Adjunktion erfolgt durch Wahl des jeweils höheren Wertes der Eingabewerte. Also ''' OR(A;B)=A wenn A>B''' ''' B wenn A<=B''' Dies kann man analog auch durch das Maximum ausdrücken <math>OR(A;B) := \max\{A,B\}</math> === UND-Schaltung === Die Konjunktion erfolgt durch Wahl des jeweils niedrigeren Wertes der Eingabewerte. Also ''' AND(A;B)=A wenn A&lt;B''' ''' B wenn A>=B''' Dies kann man analog auch durch das Minimum ausdrücken <math>AND(A;B) := \min\{A,B\}</math> === Ausschließende-ODER-Schaltung === Für die Disjunktion komplementiert man den kleineren zweier Werte und wählt den kleineren der beiden. Für mehr als zwei Eingabewerte setzt man das Ergebnis der letzten Operation rekursiv mit dem jeweils nächsten Eingabewert ein. Einfacher: man nimmt die Differenz des weniger Extremen von dem ihm gegenüberliegenden Extremwert. Also ''' XOR(A;B)=A wenn A>B und A<(1-B)''' ''' 1-B wenn A>B und A>=(1-B)''' ''' B wenn B>=A und B<(1-A)''' ''' 1-A wenn B>=A und B>=(1-A)''' === Wahrheitstafel von XOR === Das ausschließende ODER "XOR" besitzt in der klasssischen Logik die Wahrheitstafel von <math>\neg(A \leftrightarrow B) </math>. {| class="wikitable float-right" |- ! <math>A</math> ! <math>B</math> ! <math>\neg(A \leftrightarrow B) </math> |- | falsch | falsch |style="text-align:center"| falsch |- | falsch | wahr |style="text-align:center"| wahr |- | wahr | falsch |style="text-align:center"| wahr |- | wahr | wahr |style="text-align:center"| falsch |} === Fuzzylogische Berechnung von XOR === Um konsistent zur klassischen Logik zu bleiben, kann man eine ''"ausschließendes ODER"'' auch über die logischen Verknüpfungen "UND", "ODER" und "NICHT" ausdrücken. :<math> XOR(A,B) \Longleftrightarrow \neg (A \longleftrightarrow B) \Longleftrightarrow (A\wedge \neg B) \vee (B\wedge \neg A) </math> Mit die Verwendung <math>max</math> für ODER und <math>min</math> für UND kann man XOR(A,B) fuzzylogisch wie folgt darstellen: :<math> XOR(A,B) = max\big( min(\mu_{A},1-\mu_{B}) , min(\mu_{B},1-\mu_{A}) \big) </math> == Literatur/Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte einer Menge]] * [[w:de:Fuzzylogik/Operatoren|Fuzzylogik/Operatoren]] * [[Mathematische Modellbildung]] * [[Open Educational Resources]] * [[Wiki2Reveal]] === Kurse === * [[Kurs:Maschinelles Lernen]] * [[Kurs:Mathematische Modellbildung]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik/Operatoren&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Operatoren&coursetitle=Fuzzylogik Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik/Operatoren&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Operatoren&coursetitle=Fuzzylogik Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik Fuzzylogik]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Fuzzylogik/Operatoren https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik/Operatoren] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik/Operatoren Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik/Operatoren * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik/Operatoren&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Operatoren&coursetitle=Fuzzylogik Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] r59zu97eif1nsxq3mz4vxt0o6etrvtm 1119281 1119280 2026-11-10T07:58:38Z Bert Niehaus 20843 /* Konsistenz - Konjunktion - logisches UND */ 1119281 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite zum Thema ''Fuzzylogik/Operatoren'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik/Operatoren&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Operatoren&coursetitle=Fuzzylogik Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt: * (1) Klassische logische Operationen<ref>Suppes, P. (1999). Introduction to logic. Courier Corporation.</ref>, * (2) [[Fuzzylogik/Operatoren#Operatoren|Fuzzylogische Operatoren]]<ref>Buckley, J. J., & Eslami, E. (2002). An introduction to fuzzy logic and fuzzy sets (Vol. 13). Springer Science & Business Media.</ref>, * (3) [[Fuzzylogik/Operatoren#Konsistenz|Konsistenz zur klassischen Logik]]. === Konsistenz zur klassischen Logik === Die Konsistenz zur klassischen Logik besagt, dass die Fuzzylogik auf den [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkten]] des Einheitsquadrates <math>\Omega := [0,1]\times [0,1]</math> genauso funktionieren muss, wie die klassische Logik. Die == Zielsetzung == Diese Lernressource zu ''Fuzzylogik und Operatoren'' in der Wikiversity hat das Ziel, das klassische Konzept von logischen Operatoren UND, ODER, NICHT, WENN ... DANN, ...) (<math> \wedge, \vee, \neg, \Rightarrow </math>) auf fuzzylogische Operationen zu verallgemeinern. == Lernvoraussetzungen == Die Lernressource zum Thema ''Fuzzylogik/Operatoren'' hat die folgenden Lernvoraussetzungen, die zum Verständnis der nachfolgenden Ausführungen hilfreich bzw. notwendig sind. * '''([[Fuzzylogik/Zugehörigkeitsfunktion|Zugehörigkeitsfunktionen]])''' Funktionale Beschreibung unscharfer Mengen * '''(Wahrheitstafeln)''' Wahrheitstafeln für klassische logische Operatoren * '''(Implikationen/Folgerungen)''' klassische Implikationen/Folgerungen, da diese auf die Fuzzylogik übertragen werden == Operatoren für unscharfe Mengen == [[Datei:Fuzzy-Operatoren.png|450px|UND-ODER-NICHT-Operatoren zur Verknüpfung von Zugehörigkeitsfunktionen (Teilmengen).]] === Erzeugendenfunktion - Fuzzy-NAND === Die Verknüpfung Fuzzy-NAND <math>NAND_\odot</math> ist eine Erzeugendenfunktion für alle fuzzylogischen Verknüpfungen, denn es gilt für <math>x,y\in [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{rcl} x \ \widetilde{\wedge} \ y & := & \min\{ 1-x,1-y \} \\ \widetilde{\neg} \, x & := & NAND(x,x) = \min\{ 1-x,1-x \} = 1-x \\ x \ \widetilde{\vee} \, y & := & \widetilde{\neg} (\widetilde{\neg} \ x \ \widetilde{\wedge} \ \widetilde{\neg} \ y) = = 1- \min\{ x, y \} = \max\{ x,y \} \\ x \ \widetilde{\rightarrow} \ y & := & \widetilde{\neg} ( \ x \ \widetilde{\vee} \ y) = \max\{ 1-x,y \} \\ \end{array} </math> === Fortsetzung der klassischen Logik nicht eindeutig === Die Fortsetzung der klassischen Logik ist allerding nicht eindeutig. Durch das die multiplikative Fuzzy-NAND-Funktion wird ebenfalls eine von der obigen Min-Max-Operator-Definition wesentlich verschiedene Definition der Fuzzyoperationen definiert, die ebenfalls konsistent zur klassischen Logik ist. === Multiplikatives Fuzzy-NAND === Man definiert das multiplikative Fuzzy-NAND wie folgt: :<math> \begin{array}{rrcl} NAND_\odot: & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & [0,1] \\ & \left( x,y \right) & \mapsto & NAND_\odot\left( x,y \right) = (1-x)\cdot (1-y) \end{array} </math> === Erzeugendenfunktion - multiplikatives Fuzzy-NAND === Das multiplikative Fuzzy-NAND <math>NAND_\odot</math> ist eine Erzeugendenfunktion für alle fuzzylogischen Verknüpfungen, denn es gilt für <math>x,y\in [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{rcl} x \ \widetilde{\wedge}_{_\odot} \ y & := & NAND_\odot(1-x,1-y) \\ \widetilde{\neg}_{_\odot} \, x & := & NAND_\odot(x,x) \\ x \ \widetilde{\vee}_{\!\!_\odot} \, y & := & \widetilde{\neg}_{_\odot} (\widetilde{\neg}_{_\odot} \ x \ \widetilde{\wedge}_{_\odot} \ \widetilde{\neg}_{_\odot} \ y) \\ x \ \widetilde{\rightarrow}_{\!_\odot} \ y & := & \widetilde{\neg}_{_\odot} ( \ x \ \widetilde{\vee}_{\!\!_\odot} \ y) \\ \end{array} </math> === Aufgabe für Studierende === * Zeigen Sie, dass die obige Definition des multiplikativen NAND zu einer mit der klassischen Logik konsistenten Eigenschaft der Fuzzy-Verknüpfungen kommt. === Bemerkung - strengeres Fuzzy-UND === Das multiplikative Fuzzy-NAND <math>NAND_\odot</math> erzeugt ein strengeres Fuzzy-AND als fuzzylogische Verknüpfungen als die Min-Max-Definition der fuzzylogischen Verknüpfungen. Dies bedeutet, dass für alle <math>x,y\in [0,1]</math> gilt: :<math> x \ \widetilde{\wedge}_{_\odot} \, y \ \ \leq \ \ x \ \widetilde{\wedge} \ y </math> == Aufgaben - Zugehörigkeitsfunktion == Mit den folgenden Aufgaben zum Thema ''Fuzzy-Implikation'' als ''Operator'' auf Fuzzymengen behandelt: * Erzeugen Sie eine Zugehörigkeitsfunktion einer Fuzzymenge für den linguistischen Wert "alt" und "schnell" wobei die Grundmenge <math>\Omega := [0,100] </math> ein Alter zwischen 0 und 100 Jahren als Argument der Zugehörigkeitsfunktionen definiert. * Zeichnen Sie einen Graphen <math>\mu_{alt} : \Omega \to [0,1]</math> mit <math>\Omega := [0,100] </math> auf der x-Achse und <math>[0,1]</math> auf der y-Achse, wobei <math>\mu_{alt}(x) \in [0,1] </math> angibt, zu welchem Grad eine Alter <math>x</math> die Eigenschaft "alt" als linguistischen Wert erfüllt. * Zeichnen Sie einen Graphen <math>\mu_{schnell} : \Omega \to [0,1]</math> mit <math>\Omega := [0,100] </math> auf der x-Achse und <math>[0,1]</math> auf der y-Achse, wobei <math>\mu_{schnell}(x) \in [0,1] </math> angibt, zu welchem Grad eine Alter <math>x</math> die Eigenschaft "schnell" als linguistischen Wert erfüllt. == Aufgaben - Fuzzylogische Folgerung == Als einführendes Beispiel zum Thema ''fuzzylogische Operatoren'' dient dazu, sprachliche formuliert "WENN-DANN"-Aussagen in fuzzylogische zu übertragen und danach die resultierende Zugehörigkeitsfunktion zu interpretieren. <math>\Omega = [0,100] </math> ist das Alter in Jahren. * Nutzen Sie die obigen [[Fuzzylogik/Zugehörigkeitsfunktion|Zugehörigkeitsfunktionen]] von "alt" und "schnell". * Basierend auf den obigen [[Fuzzylogik/Zugehörigkeitsfunktion|Zugehörigkeitsfunktionen]] zeichnen Sie zunächst freihändig die Zugehörigkeitsfunktion ''"WENN alt DANN schnell"'' * Berechnen Sie dann die fuzzylogische Zugehörigkeitsfunktion von ''"WENN alt DANN schnell"''! Drücken Sie dabei die Folgerung zunächst durch UND, ODER und NICHT aus. * Falls sich Ihre "Freihandzeichnung" und der berechnete Graph der Zughörigkeitsfunktion unterscheiden, begründen Sie, warum die Freihandzeichnung von dem berechneten Graphen abweicht! <span id="Operatoren"></span> == Konsistenz zu klassischen Logik == Die Eigenschaft, dass fuzzylogische Operationen ''konsistent'' zu klassischen Logik sein müssen, bedeutet, dass in einem <math>n</math>-dimenesionalen Einheitswürfel für beliebige <math>n\in \mathbb{N}</math> die Funktionswerte der fuzzylogischen Operation in den [[w:de:Extremalpunkt|Extermalpunkten]] mit der klassischen Logik übereinstimmen müssen. === Extremalpunkte des Einheitswürfels === Man betrachtet den <math>n</math>-dimenesionalen Einheitswürfel <math>\Omega_n := [0,1]^n</math> mit: :<math> [0,1]^n := \{ (\omega_1 , \ldots , \omega_n) \in \mathbb{R}^n \ : \ \omega_1 , \ldots , \omega_n \in [0,1] \} </math> Die [[w:de:Extremalpunkt|Extermalpunkte]] <math> \mathfrak{E}(\Omega_n)</math> des <math>n</math>-dimenesionalen Einheitswürfels <math>\Omega_n</math> sind: :<math> \mathfrak{E}(\Omega_n)=\{0,1\}^n = \{ (\omega_1 , \ldots , \omega_n) \in \mathbb{R}^n \ : \ \omega_1 , \ldots , \omega_n \in \{0,1\} \} </math> === Bemerkung - Extremalpunkte === Ein Extremalpunkt <math>(\omega_1 , \ldots , \omega_n) \in \mathfrak{E}(\Omega_n) </math> besteht nur aus Komponenten <math>0</math> oder <math>1</math> (z.B. für <math>n=2</math> ist <math>\Omega_2</math> das Einheitsquadrat <math>[0,1] \times [0,1]\subset \mathbb{R}^2</math>. Die [[w:de:Extremalpunkt|Extermalpunkte]] <math> \mathfrak{E}(\Omega_2)</math> bestehen dann aus den 4 Eckpunkten, d.h. :<math> \mathfrak{E}(\Omega_2)=\{0,1\}^2 = \{ (0,0) ,(0,1), (1,0), (1,1) \} </math> Für das Einheitsintervall <math>\Omega_1 = [0,1]</math> gilt <math>\mathfrak{E}(\Omega_1)=\{0,1\}</math>. === Beispiele - Fuzzylogische Operationen === In dem obigen Beispiel wurden die fuzzylogischen Operationen einmal mit der <math>\min</math>-Definition von <math>NAND</math>-Verknüpfung und einmal mit dem multiplikativen <math>NAND_{\!\!_\odot}</math> erzeugt. Man betrachtet nun die Konsistenz mit der klassischen Logik, wobei die klassische Logik die Verknüpfung allein auf den [[w:de:Extremalpunkt|Extermalpunkten]] <math> \mathfrak{E}(\Omega_n)</math> von <math> \Omega_n</math> festlegt. ==== Konsistenz - Negation - logisches NICHT==== Das logische NICHT ändert den Wahrheitswert von ''wahr'' (=1) auf ''falsch'' (=0) und umgekehrt den Wahrheitswert von ''falsch'' (=0) auf ''wahr'' (=1). * Über die <math>\min</math>-Definition der <math>NAND</math>-Verknüpfung erhält man <math>\widetilde{\neg}\, \omega = 1-\omega </math> für <math>\omega \in [0,1]</math>. * Über die multiplikative Definition der <math>NAND_{\!\!_\odot}</math>-Verknüpfung erhält man <math>\widetilde{\neg}_{\!_\odot}\, \omega = 1-\omega^2 </math> für <math>\omega \in [0,1]</math>. In beiden Fällen erhält man die Konsistenz mit der klassischen Logik, da sowohl <math> \widetilde{\neg}\, 1 = \widetilde{\neg}_{\!_\odot}\, 1 = 0 </math> und <math> \widetilde{\neg}\, 0 = \widetilde{\neg}_{\!_\odot}\, 0 = 1 </math> gilt. ==== Konsistenz - Konjunktion - logisches UND ==== Betrachtet man das logische UND für bei erzeugende NAND-Verknüpfungen, dann erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} x \ \widetilde{\wedge} \ y & := & \min\{ 1-x,1-y \} \\ \end{array} </math> ==== Konsistenz - Disjunktion - logisches ODER ==== == Logische Operationen == Analog zur klassischen (crispen) Logik kann man in der Fuzzylogik auch logische Operatoren definieren, die konsistent zu klassischen Logik sind, d.h. in den crispen Grenzfällen von 0 und 1 für falsch und wahr den Operatoren in der klassischen Logik nicht widersprechen. === Negation === Die Negation in der Fuzzylogik erfolgt durch Subtraktion der Eingabewerte von 1. Also ''' NOT(A)=1-A''' === Nicht ausschließende-ODER-Schaltung === Die Adjunktion erfolgt durch Wahl des jeweils höheren Wertes der Eingabewerte. Also ''' OR(A;B)=A wenn A>B''' ''' B wenn A<=B''' Dies kann man analog auch durch das Maximum ausdrücken <math>OR(A;B) := \max\{A,B\}</math> === UND-Schaltung === Die Konjunktion erfolgt durch Wahl des jeweils niedrigeren Wertes der Eingabewerte. Also ''' AND(A;B)=A wenn A&lt;B''' ''' B wenn A>=B''' Dies kann man analog auch durch das Minimum ausdrücken <math>AND(A;B) := \min\{A,B\}</math> === Ausschließende-ODER-Schaltung === Für die Disjunktion komplementiert man den kleineren zweier Werte und wählt den kleineren der beiden. Für mehr als zwei Eingabewerte setzt man das Ergebnis der letzten Operation rekursiv mit dem jeweils nächsten Eingabewert ein. Einfacher: man nimmt die Differenz des weniger Extremen von dem ihm gegenüberliegenden Extremwert. Also ''' XOR(A;B)=A wenn A>B und A<(1-B)''' ''' 1-B wenn A>B und A>=(1-B)''' ''' B wenn B>=A und B<(1-A)''' ''' 1-A wenn B>=A und B>=(1-A)''' === Wahrheitstafel von XOR === Das ausschließende ODER "XOR" besitzt in der klasssischen Logik die Wahrheitstafel von <math>\neg(A \leftrightarrow B) </math>. {| class="wikitable float-right" |- ! <math>A</math> ! <math>B</math> ! <math>\neg(A \leftrightarrow B) </math> |- | falsch | falsch |style="text-align:center"| falsch |- | falsch | wahr |style="text-align:center"| wahr |- | wahr | falsch |style="text-align:center"| wahr |- | wahr | wahr |style="text-align:center"| falsch |} === Fuzzylogische Berechnung von XOR === Um konsistent zur klassischen Logik zu bleiben, kann man eine ''"ausschließendes ODER"'' auch über die logischen Verknüpfungen "UND", "ODER" und "NICHT" ausdrücken. :<math> XOR(A,B) \Longleftrightarrow \neg (A \longleftrightarrow B) \Longleftrightarrow (A\wedge \neg B) \vee (B\wedge \neg A) </math> Mit die Verwendung <math>max</math> für ODER und <math>min</math> für UND kann man XOR(A,B) fuzzylogisch wie folgt darstellen: :<math> XOR(A,B) = max\big( min(\mu_{A},1-\mu_{B}) , min(\mu_{B},1-\mu_{A}) \big) </math> == Literatur/Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte einer Menge]] * [[w:de:Fuzzylogik/Operatoren|Fuzzylogik/Operatoren]] * [[Mathematische Modellbildung]] * [[Open Educational Resources]] * [[Wiki2Reveal]] === Kurse === * [[Kurs:Maschinelles Lernen]] * [[Kurs:Mathematische Modellbildung]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik/Operatoren&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Operatoren&coursetitle=Fuzzylogik Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik/Operatoren&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Operatoren&coursetitle=Fuzzylogik Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik Fuzzylogik]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Fuzzylogik/Operatoren https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik/Operatoren] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik/Operatoren Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik/Operatoren * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik/Operatoren&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Operatoren&coursetitle=Fuzzylogik Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] sub2hyd91eob9ajk91soqrkqfwelbkd 1119282 1119281 2026-11-10T07:59:41Z Bert Niehaus 20843 /* Erzeugendenfunktion - multiplikatives Fuzzy-NAND */ 1119282 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite zum Thema ''Fuzzylogik/Operatoren'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik/Operatoren&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Operatoren&coursetitle=Fuzzylogik Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt: * (1) Klassische logische Operationen<ref>Suppes, P. (1999). Introduction to logic. Courier Corporation.</ref>, * (2) [[Fuzzylogik/Operatoren#Operatoren|Fuzzylogische Operatoren]]<ref>Buckley, J. J., & Eslami, E. (2002). An introduction to fuzzy logic and fuzzy sets (Vol. 13). Springer Science & Business Media.</ref>, * (3) [[Fuzzylogik/Operatoren#Konsistenz|Konsistenz zur klassischen Logik]]. === Konsistenz zur klassischen Logik === Die Konsistenz zur klassischen Logik besagt, dass die Fuzzylogik auf den [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkten]] des Einheitsquadrates <math>\Omega := [0,1]\times [0,1]</math> genauso funktionieren muss, wie die klassische Logik. Die == Zielsetzung == Diese Lernressource zu ''Fuzzylogik und Operatoren'' in der Wikiversity hat das Ziel, das klassische Konzept von logischen Operatoren UND, ODER, NICHT, WENN ... DANN, ...) (<math> \wedge, \vee, \neg, \Rightarrow </math>) auf fuzzylogische Operationen zu verallgemeinern. == Lernvoraussetzungen == Die Lernressource zum Thema ''Fuzzylogik/Operatoren'' hat die folgenden Lernvoraussetzungen, die zum Verständnis der nachfolgenden Ausführungen hilfreich bzw. notwendig sind. * '''([[Fuzzylogik/Zugehörigkeitsfunktion|Zugehörigkeitsfunktionen]])''' Funktionale Beschreibung unscharfer Mengen * '''(Wahrheitstafeln)''' Wahrheitstafeln für klassische logische Operatoren * '''(Implikationen/Folgerungen)''' klassische Implikationen/Folgerungen, da diese auf die Fuzzylogik übertragen werden == Operatoren für unscharfe Mengen == [[Datei:Fuzzy-Operatoren.png|450px|UND-ODER-NICHT-Operatoren zur Verknüpfung von Zugehörigkeitsfunktionen (Teilmengen).]] === Erzeugendenfunktion - Fuzzy-NAND === Die Verknüpfung Fuzzy-NAND <math>NAND_\odot</math> ist eine Erzeugendenfunktion für alle fuzzylogischen Verknüpfungen, denn es gilt für <math>x,y\in [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{rcl} x \ \widetilde{\wedge} \ y & := & \min\{ 1-x,1-y \} \\ \widetilde{\neg} \, x & := & NAND(x,x) = \min\{ 1-x,1-x \} = 1-x \\ x \ \widetilde{\vee} \, y & := & \widetilde{\neg} (\widetilde{\neg} \ x \ \widetilde{\wedge} \ \widetilde{\neg} \ y) = = 1- \min\{ x, y \} = \max\{ x,y \} \\ x \ \widetilde{\rightarrow} \ y & := & \widetilde{\neg} ( \ x \ \widetilde{\vee} \ y) = \max\{ 1-x,y \} \\ \end{array} </math> === Fortsetzung der klassischen Logik nicht eindeutig === Die Fortsetzung der klassischen Logik ist allerding nicht eindeutig. Durch das die multiplikative Fuzzy-NAND-Funktion wird ebenfalls eine von der obigen Min-Max-Operator-Definition wesentlich verschiedene Definition der Fuzzyoperationen definiert, die ebenfalls konsistent zur klassischen Logik ist. === Multiplikatives Fuzzy-NAND === Man definiert das multiplikative Fuzzy-NAND wie folgt: :<math> \begin{array}{rrcl} NAND_\odot: & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & [0,1] \\ & \left( x,y \right) & \mapsto & NAND_\odot\left( x,y \right) = (1-x)\cdot (1-y) \end{array} </math> === Erzeugendenfunktion - multiplikatives Fuzzy-NAND === Das multiplikative Fuzzy-NAND <math>NAND_\odot</math> ist eine Erzeugendenfunktion für alle fuzzylogischen Verknüpfungen, denn es gilt für <math>x,y\in [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{rcl} x \ \widetilde{\wedge}_{_\odot} \ y & := & NAND_\odot(1-x,1-y) = x\cdot y \\ \widetilde{\neg}_{_\odot} \, x & := & NAND_\odot(x,x) \\ x \ \widetilde{\vee}_{\!\!_\odot} \, y & := & \widetilde{\neg}_{_\odot} (\widetilde{\neg}_{_\odot} \ x \ \widetilde{\wedge}_{_\odot} \ \widetilde{\neg}_{_\odot} \ y) \\ x \ \widetilde{\rightarrow}_{\!_\odot} \ y & := & \widetilde{\neg}_{_\odot} ( \ x \ \widetilde{\vee}_{\!\!_\odot} \ y) \\ \end{array} </math> === Aufgabe für Studierende === * Zeigen Sie, dass die obige Definition des multiplikativen NAND zu einer mit der klassischen Logik konsistenten Eigenschaft der Fuzzy-Verknüpfungen kommt. === Bemerkung - strengeres Fuzzy-UND === Das multiplikative Fuzzy-NAND <math>NAND_\odot</math> erzeugt ein strengeres Fuzzy-AND als fuzzylogische Verknüpfungen als die Min-Max-Definition der fuzzylogischen Verknüpfungen. Dies bedeutet, dass für alle <math>x,y\in [0,1]</math> gilt: :<math> x \ \widetilde{\wedge}_{_\odot} \, y \ \ \leq \ \ x \ \widetilde{\wedge} \ y </math> == Aufgaben - Zugehörigkeitsfunktion == Mit den folgenden Aufgaben zum Thema ''Fuzzy-Implikation'' als ''Operator'' auf Fuzzymengen behandelt: * Erzeugen Sie eine Zugehörigkeitsfunktion einer Fuzzymenge für den linguistischen Wert "alt" und "schnell" wobei die Grundmenge <math>\Omega := [0,100] </math> ein Alter zwischen 0 und 100 Jahren als Argument der Zugehörigkeitsfunktionen definiert. * Zeichnen Sie einen Graphen <math>\mu_{alt} : \Omega \to [0,1]</math> mit <math>\Omega := [0,100] </math> auf der x-Achse und <math>[0,1]</math> auf der y-Achse, wobei <math>\mu_{alt}(x) \in [0,1] </math> angibt, zu welchem Grad eine Alter <math>x</math> die Eigenschaft "alt" als linguistischen Wert erfüllt. * Zeichnen Sie einen Graphen <math>\mu_{schnell} : \Omega \to [0,1]</math> mit <math>\Omega := [0,100] </math> auf der x-Achse und <math>[0,1]</math> auf der y-Achse, wobei <math>\mu_{schnell}(x) \in [0,1] </math> angibt, zu welchem Grad eine Alter <math>x</math> die Eigenschaft "schnell" als linguistischen Wert erfüllt. == Aufgaben - Fuzzylogische Folgerung == Als einführendes Beispiel zum Thema ''fuzzylogische Operatoren'' dient dazu, sprachliche formuliert "WENN-DANN"-Aussagen in fuzzylogische zu übertragen und danach die resultierende Zugehörigkeitsfunktion zu interpretieren. <math>\Omega = [0,100] </math> ist das Alter in Jahren. * Nutzen Sie die obigen [[Fuzzylogik/Zugehörigkeitsfunktion|Zugehörigkeitsfunktionen]] von "alt" und "schnell". * Basierend auf den obigen [[Fuzzylogik/Zugehörigkeitsfunktion|Zugehörigkeitsfunktionen]] zeichnen Sie zunächst freihändig die Zugehörigkeitsfunktion ''"WENN alt DANN schnell"'' * Berechnen Sie dann die fuzzylogische Zugehörigkeitsfunktion von ''"WENN alt DANN schnell"''! Drücken Sie dabei die Folgerung zunächst durch UND, ODER und NICHT aus. * Falls sich Ihre "Freihandzeichnung" und der berechnete Graph der Zughörigkeitsfunktion unterscheiden, begründen Sie, warum die Freihandzeichnung von dem berechneten Graphen abweicht! <span id="Operatoren"></span> == Konsistenz zu klassischen Logik == Die Eigenschaft, dass fuzzylogische Operationen ''konsistent'' zu klassischen Logik sein müssen, bedeutet, dass in einem <math>n</math>-dimenesionalen Einheitswürfel für beliebige <math>n\in \mathbb{N}</math> die Funktionswerte der fuzzylogischen Operation in den [[w:de:Extremalpunkt|Extermalpunkten]] mit der klassischen Logik übereinstimmen müssen. === Extremalpunkte des Einheitswürfels === Man betrachtet den <math>n</math>-dimenesionalen Einheitswürfel <math>\Omega_n := [0,1]^n</math> mit: :<math> [0,1]^n := \{ (\omega_1 , \ldots , \omega_n) \in \mathbb{R}^n \ : \ \omega_1 , \ldots , \omega_n \in [0,1] \} </math> Die [[w:de:Extremalpunkt|Extermalpunkte]] <math> \mathfrak{E}(\Omega_n)</math> des <math>n</math>-dimenesionalen Einheitswürfels <math>\Omega_n</math> sind: :<math> \mathfrak{E}(\Omega_n)=\{0,1\}^n = \{ (\omega_1 , \ldots , \omega_n) \in \mathbb{R}^n \ : \ \omega_1 , \ldots , \omega_n \in \{0,1\} \} </math> === Bemerkung - Extremalpunkte === Ein Extremalpunkt <math>(\omega_1 , \ldots , \omega_n) \in \mathfrak{E}(\Omega_n) </math> besteht nur aus Komponenten <math>0</math> oder <math>1</math> (z.B. für <math>n=2</math> ist <math>\Omega_2</math> das Einheitsquadrat <math>[0,1] \times [0,1]\subset \mathbb{R}^2</math>. Die [[w:de:Extremalpunkt|Extermalpunkte]] <math> \mathfrak{E}(\Omega_2)</math> bestehen dann aus den 4 Eckpunkten, d.h. :<math> \mathfrak{E}(\Omega_2)=\{0,1\}^2 = \{ (0,0) ,(0,1), (1,0), (1,1) \} </math> Für das Einheitsintervall <math>\Omega_1 = [0,1]</math> gilt <math>\mathfrak{E}(\Omega_1)=\{0,1\}</math>. === Beispiele - Fuzzylogische Operationen === In dem obigen Beispiel wurden die fuzzylogischen Operationen einmal mit der <math>\min</math>-Definition von <math>NAND</math>-Verknüpfung und einmal mit dem multiplikativen <math>NAND_{\!\!_\odot}</math> erzeugt. Man betrachtet nun die Konsistenz mit der klassischen Logik, wobei die klassische Logik die Verknüpfung allein auf den [[w:de:Extremalpunkt|Extermalpunkten]] <math> \mathfrak{E}(\Omega_n)</math> von <math> \Omega_n</math> festlegt. ==== Konsistenz - Negation - logisches NICHT==== Das logische NICHT ändert den Wahrheitswert von ''wahr'' (=1) auf ''falsch'' (=0) und umgekehrt den Wahrheitswert von ''falsch'' (=0) auf ''wahr'' (=1). * Über die <math>\min</math>-Definition der <math>NAND</math>-Verknüpfung erhält man <math>\widetilde{\neg}\, \omega = 1-\omega </math> für <math>\omega \in [0,1]</math>. * Über die multiplikative Definition der <math>NAND_{\!\!_\odot}</math>-Verknüpfung erhält man <math>\widetilde{\neg}_{\!_\odot}\, \omega = 1-\omega^2 </math> für <math>\omega \in [0,1]</math>. In beiden Fällen erhält man die Konsistenz mit der klassischen Logik, da sowohl <math> \widetilde{\neg}\, 1 = \widetilde{\neg}_{\!_\odot}\, 1 = 0 </math> und <math> \widetilde{\neg}\, 0 = \widetilde{\neg}_{\!_\odot}\, 0 = 1 </math> gilt. ==== Konsistenz - Konjunktion - logisches UND ==== Betrachtet man das logische UND für bei erzeugende NAND-Verknüpfungen, dann erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} x \ \widetilde{\wedge} \ y & := & \min\{ 1-x,1-y \} \\ \end{array} </math> ==== Konsistenz - Disjunktion - logisches ODER ==== == Logische Operationen == Analog zur klassischen (crispen) Logik kann man in der Fuzzylogik auch logische Operatoren definieren, die konsistent zu klassischen Logik sind, d.h. in den crispen Grenzfällen von 0 und 1 für falsch und wahr den Operatoren in der klassischen Logik nicht widersprechen. === Negation === Die Negation in der Fuzzylogik erfolgt durch Subtraktion der Eingabewerte von 1. Also ''' NOT(A)=1-A''' === Nicht ausschließende-ODER-Schaltung === Die Adjunktion erfolgt durch Wahl des jeweils höheren Wertes der Eingabewerte. Also ''' OR(A;B)=A wenn A>B''' ''' B wenn A<=B''' Dies kann man analog auch durch das Maximum ausdrücken <math>OR(A;B) := \max\{A,B\}</math> === UND-Schaltung === Die Konjunktion erfolgt durch Wahl des jeweils niedrigeren Wertes der Eingabewerte. Also ''' AND(A;B)=A wenn A&lt;B''' ''' B wenn A>=B''' Dies kann man analog auch durch das Minimum ausdrücken <math>AND(A;B) := \min\{A,B\}</math> === Ausschließende-ODER-Schaltung === Für die Disjunktion komplementiert man den kleineren zweier Werte und wählt den kleineren der beiden. Für mehr als zwei Eingabewerte setzt man das Ergebnis der letzten Operation rekursiv mit dem jeweils nächsten Eingabewert ein. Einfacher: man nimmt die Differenz des weniger Extremen von dem ihm gegenüberliegenden Extremwert. Also ''' XOR(A;B)=A wenn A>B und A<(1-B)''' ''' 1-B wenn A>B und A>=(1-B)''' ''' B wenn B>=A und B<(1-A)''' ''' 1-A wenn B>=A und B>=(1-A)''' === Wahrheitstafel von XOR === Das ausschließende ODER "XOR" besitzt in der klasssischen Logik die Wahrheitstafel von <math>\neg(A \leftrightarrow B) </math>. {| class="wikitable float-right" |- ! <math>A</math> ! <math>B</math> ! <math>\neg(A \leftrightarrow B) </math> |- | falsch | falsch |style="text-align:center"| falsch |- | falsch | wahr |style="text-align:center"| wahr |- | wahr | falsch |style="text-align:center"| wahr |- | wahr | wahr |style="text-align:center"| falsch |} === Fuzzylogische Berechnung von XOR === Um konsistent zur klassischen Logik zu bleiben, kann man eine ''"ausschließendes ODER"'' auch über die logischen Verknüpfungen "UND", "ODER" und "NICHT" ausdrücken. :<math> XOR(A,B) \Longleftrightarrow \neg (A \longleftrightarrow B) \Longleftrightarrow (A\wedge \neg B) \vee (B\wedge \neg A) </math> Mit die Verwendung <math>max</math> für ODER und <math>min</math> für UND kann man XOR(A,B) fuzzylogisch wie folgt darstellen: :<math> XOR(A,B) = max\big( min(\mu_{A},1-\mu_{B}) , min(\mu_{B},1-\mu_{A}) \big) </math> == Literatur/Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte einer Menge]] * [[w:de:Fuzzylogik/Operatoren|Fuzzylogik/Operatoren]] * [[Mathematische Modellbildung]] * [[Open Educational Resources]] * [[Wiki2Reveal]] === Kurse === * [[Kurs:Maschinelles Lernen]] * [[Kurs:Mathematische Modellbildung]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik/Operatoren&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Operatoren&coursetitle=Fuzzylogik Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik/Operatoren&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Operatoren&coursetitle=Fuzzylogik Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik Fuzzylogik]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Fuzzylogik/Operatoren https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik/Operatoren] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik/Operatoren Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik/Operatoren * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik/Operatoren&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Operatoren&coursetitle=Fuzzylogik Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] puz76kg6b205xeuvig5yyev9cqlfq7y 1119283 1119282 2026-11-10T08:01:32Z Bert Niehaus 20843 /* Erzeugendenfunktion - Fuzzy-NAND */ 1119283 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite zum Thema ''Fuzzylogik/Operatoren'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik/Operatoren&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Operatoren&coursetitle=Fuzzylogik Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt: * (1) Klassische logische Operationen<ref>Suppes, P. (1999). Introduction to logic. Courier Corporation.</ref>, * (2) [[Fuzzylogik/Operatoren#Operatoren|Fuzzylogische Operatoren]]<ref>Buckley, J. J., & Eslami, E. (2002). An introduction to fuzzy logic and fuzzy sets (Vol. 13). Springer Science & Business Media.</ref>, * (3) [[Fuzzylogik/Operatoren#Konsistenz|Konsistenz zur klassischen Logik]]. === Konsistenz zur klassischen Logik === Die Konsistenz zur klassischen Logik besagt, dass die Fuzzylogik auf den [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkten]] des Einheitsquadrates <math>\Omega := [0,1]\times [0,1]</math> genauso funktionieren muss, wie die klassische Logik. Die == Zielsetzung == Diese Lernressource zu ''Fuzzylogik und Operatoren'' in der Wikiversity hat das Ziel, das klassische Konzept von logischen Operatoren UND, ODER, NICHT, WENN ... DANN, ...) (<math> \wedge, \vee, \neg, \Rightarrow </math>) auf fuzzylogische Operationen zu verallgemeinern. == Lernvoraussetzungen == Die Lernressource zum Thema ''Fuzzylogik/Operatoren'' hat die folgenden Lernvoraussetzungen, die zum Verständnis der nachfolgenden Ausführungen hilfreich bzw. notwendig sind. * '''([[Fuzzylogik/Zugehörigkeitsfunktion|Zugehörigkeitsfunktionen]])''' Funktionale Beschreibung unscharfer Mengen * '''(Wahrheitstafeln)''' Wahrheitstafeln für klassische logische Operatoren * '''(Implikationen/Folgerungen)''' klassische Implikationen/Folgerungen, da diese auf die Fuzzylogik übertragen werden == Operatoren für unscharfe Mengen == [[Datei:Fuzzy-Operatoren.png|450px|UND-ODER-NICHT-Operatoren zur Verknüpfung von Zugehörigkeitsfunktionen (Teilmengen).]] === Erzeugendenfunktion - Fuzzy-NAND === Die Verknüpfung Fuzzy-NAND <math>NAND_\odot</math> ist eine Erzeugendenfunktion für alle fuzzylogischen Verknüpfungen, denn es gilt für <math>x,y\in [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{rcl} x \ \widetilde{\wedge} \ y & := & NAND(1-x,1-y) = \min\{ x,y \} \\ \widetilde{\neg} \, x & := & NAND(x,x) = \min\{ 1-x,1-x \} = 1-x \\ x \ \widetilde{\vee} \, y & := & \widetilde{\neg} (\widetilde{\neg} \ x \ \widetilde{\wedge} \ \widetilde{\neg} \ y) = = 1- \min\{ x, y \} = \max\{ x,y \} \\ x \ \widetilde{\rightarrow} \ y & := & \widetilde{\neg} ( \ x \ \widetilde{\vee} \ y) = \max\{ 1-x,y \} \\ \end{array} </math> === Fortsetzung der klassischen Logik nicht eindeutig === Die Fortsetzung der klassischen Logik ist allerding nicht eindeutig. Durch das die multiplikative Fuzzy-NAND-Funktion wird ebenfalls eine von der obigen Min-Max-Operator-Definition wesentlich verschiedene Definition der Fuzzyoperationen definiert, die ebenfalls konsistent zur klassischen Logik ist. === Multiplikatives Fuzzy-NAND === Man definiert das multiplikative Fuzzy-NAND wie folgt: :<math> \begin{array}{rrcl} NAND_\odot: & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & [0,1] \\ & \left( x,y \right) & \mapsto & NAND_\odot\left( x,y \right) = (1-x)\cdot (1-y) \end{array} </math> === Erzeugendenfunktion - multiplikatives Fuzzy-NAND === Das multiplikative Fuzzy-NAND <math>NAND_\odot</math> ist eine Erzeugendenfunktion für alle fuzzylogischen Verknüpfungen, denn es gilt für <math>x,y\in [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{rcl} x \ \widetilde{\wedge}_{_\odot} \ y & := & NAND_\odot(1-x,1-y) = x\cdot y \\ \widetilde{\neg}_{_\odot} \, x & := & NAND_\odot(x,x) \\ x \ \widetilde{\vee}_{\!\!_\odot} \, y & := & \widetilde{\neg}_{_\odot} (\widetilde{\neg}_{_\odot} \ x \ \widetilde{\wedge}_{_\odot} \ \widetilde{\neg}_{_\odot} \ y) \\ x \ \widetilde{\rightarrow}_{\!_\odot} \ y & := & \widetilde{\neg}_{_\odot} ( \ x \ \widetilde{\vee}_{\!\!_\odot} \ y) \\ \end{array} </math> === Aufgabe für Studierende === * Zeigen Sie, dass die obige Definition des multiplikativen NAND zu einer mit der klassischen Logik konsistenten Eigenschaft der Fuzzy-Verknüpfungen kommt. === Bemerkung - strengeres Fuzzy-UND === Das multiplikative Fuzzy-NAND <math>NAND_\odot</math> erzeugt ein strengeres Fuzzy-AND als fuzzylogische Verknüpfungen als die Min-Max-Definition der fuzzylogischen Verknüpfungen. Dies bedeutet, dass für alle <math>x,y\in [0,1]</math> gilt: :<math> x \ \widetilde{\wedge}_{_\odot} \, y \ \ \leq \ \ x \ \widetilde{\wedge} \ y </math> == Aufgaben - Zugehörigkeitsfunktion == Mit den folgenden Aufgaben zum Thema ''Fuzzy-Implikation'' als ''Operator'' auf Fuzzymengen behandelt: * Erzeugen Sie eine Zugehörigkeitsfunktion einer Fuzzymenge für den linguistischen Wert "alt" und "schnell" wobei die Grundmenge <math>\Omega := [0,100] </math> ein Alter zwischen 0 und 100 Jahren als Argument der Zugehörigkeitsfunktionen definiert. * Zeichnen Sie einen Graphen <math>\mu_{alt} : \Omega \to [0,1]</math> mit <math>\Omega := [0,100] </math> auf der x-Achse und <math>[0,1]</math> auf der y-Achse, wobei <math>\mu_{alt}(x) \in [0,1] </math> angibt, zu welchem Grad eine Alter <math>x</math> die Eigenschaft "alt" als linguistischen Wert erfüllt. * Zeichnen Sie einen Graphen <math>\mu_{schnell} : \Omega \to [0,1]</math> mit <math>\Omega := [0,100] </math> auf der x-Achse und <math>[0,1]</math> auf der y-Achse, wobei <math>\mu_{schnell}(x) \in [0,1] </math> angibt, zu welchem Grad eine Alter <math>x</math> die Eigenschaft "schnell" als linguistischen Wert erfüllt. == Aufgaben - Fuzzylogische Folgerung == Als einführendes Beispiel zum Thema ''fuzzylogische Operatoren'' dient dazu, sprachliche formuliert "WENN-DANN"-Aussagen in fuzzylogische zu übertragen und danach die resultierende Zugehörigkeitsfunktion zu interpretieren. <math>\Omega = [0,100] </math> ist das Alter in Jahren. * Nutzen Sie die obigen [[Fuzzylogik/Zugehörigkeitsfunktion|Zugehörigkeitsfunktionen]] von "alt" und "schnell". * Basierend auf den obigen [[Fuzzylogik/Zugehörigkeitsfunktion|Zugehörigkeitsfunktionen]] zeichnen Sie zunächst freihändig die Zugehörigkeitsfunktion ''"WENN alt DANN schnell"'' * Berechnen Sie dann die fuzzylogische Zugehörigkeitsfunktion von ''"WENN alt DANN schnell"''! Drücken Sie dabei die Folgerung zunächst durch UND, ODER und NICHT aus. * Falls sich Ihre "Freihandzeichnung" und der berechnete Graph der Zughörigkeitsfunktion unterscheiden, begründen Sie, warum die Freihandzeichnung von dem berechneten Graphen abweicht! <span id="Operatoren"></span> == Konsistenz zu klassischen Logik == Die Eigenschaft, dass fuzzylogische Operationen ''konsistent'' zu klassischen Logik sein müssen, bedeutet, dass in einem <math>n</math>-dimenesionalen Einheitswürfel für beliebige <math>n\in \mathbb{N}</math> die Funktionswerte der fuzzylogischen Operation in den [[w:de:Extremalpunkt|Extermalpunkten]] mit der klassischen Logik übereinstimmen müssen. === Extremalpunkte des Einheitswürfels === Man betrachtet den <math>n</math>-dimenesionalen Einheitswürfel <math>\Omega_n := [0,1]^n</math> mit: :<math> [0,1]^n := \{ (\omega_1 , \ldots , \omega_n) \in \mathbb{R}^n \ : \ \omega_1 , \ldots , \omega_n \in [0,1] \} </math> Die [[w:de:Extremalpunkt|Extermalpunkte]] <math> \mathfrak{E}(\Omega_n)</math> des <math>n</math>-dimenesionalen Einheitswürfels <math>\Omega_n</math> sind: :<math> \mathfrak{E}(\Omega_n)=\{0,1\}^n = \{ (\omega_1 , \ldots , \omega_n) \in \mathbb{R}^n \ : \ \omega_1 , \ldots , \omega_n \in \{0,1\} \} </math> === Bemerkung - Extremalpunkte === Ein Extremalpunkt <math>(\omega_1 , \ldots , \omega_n) \in \mathfrak{E}(\Omega_n) </math> besteht nur aus Komponenten <math>0</math> oder <math>1</math> (z.B. für <math>n=2</math> ist <math>\Omega_2</math> das Einheitsquadrat <math>[0,1] \times [0,1]\subset \mathbb{R}^2</math>. Die [[w:de:Extremalpunkt|Extermalpunkte]] <math> \mathfrak{E}(\Omega_2)</math> bestehen dann aus den 4 Eckpunkten, d.h. :<math> \mathfrak{E}(\Omega_2)=\{0,1\}^2 = \{ (0,0) ,(0,1), (1,0), (1,1) \} </math> Für das Einheitsintervall <math>\Omega_1 = [0,1]</math> gilt <math>\mathfrak{E}(\Omega_1)=\{0,1\}</math>. === Beispiele - Fuzzylogische Operationen === In dem obigen Beispiel wurden die fuzzylogischen Operationen einmal mit der <math>\min</math>-Definition von <math>NAND</math>-Verknüpfung und einmal mit dem multiplikativen <math>NAND_{\!\!_\odot}</math> erzeugt. Man betrachtet nun die Konsistenz mit der klassischen Logik, wobei die klassische Logik die Verknüpfung allein auf den [[w:de:Extremalpunkt|Extermalpunkten]] <math> \mathfrak{E}(\Omega_n)</math> von <math> \Omega_n</math> festlegt. ==== Konsistenz - Negation - logisches NICHT==== Das logische NICHT ändert den Wahrheitswert von ''wahr'' (=1) auf ''falsch'' (=0) und umgekehrt den Wahrheitswert von ''falsch'' (=0) auf ''wahr'' (=1). * Über die <math>\min</math>-Definition der <math>NAND</math>-Verknüpfung erhält man <math>\widetilde{\neg}\, \omega = 1-\omega </math> für <math>\omega \in [0,1]</math>. * Über die multiplikative Definition der <math>NAND_{\!\!_\odot}</math>-Verknüpfung erhält man <math>\widetilde{\neg}_{\!_\odot}\, \omega = 1-\omega^2 </math> für <math>\omega \in [0,1]</math>. In beiden Fällen erhält man die Konsistenz mit der klassischen Logik, da sowohl <math> \widetilde{\neg}\, 1 = \widetilde{\neg}_{\!_\odot}\, 1 = 0 </math> und <math> \widetilde{\neg}\, 0 = \widetilde{\neg}_{\!_\odot}\, 0 = 1 </math> gilt. ==== Konsistenz - Konjunktion - logisches UND ==== Betrachtet man das logische UND für bei erzeugende NAND-Verknüpfungen, dann erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} x \ \widetilde{\wedge} \ y & := & \min\{ 1-x,1-y \} \\ \end{array} </math> ==== Konsistenz - Disjunktion - logisches ODER ==== == Logische Operationen == Analog zur klassischen (crispen) Logik kann man in der Fuzzylogik auch logische Operatoren definieren, die konsistent zu klassischen Logik sind, d.h. in den crispen Grenzfällen von 0 und 1 für falsch und wahr den Operatoren in der klassischen Logik nicht widersprechen. === Negation === Die Negation in der Fuzzylogik erfolgt durch Subtraktion der Eingabewerte von 1. Also ''' NOT(A)=1-A''' === Nicht ausschließende-ODER-Schaltung === Die Adjunktion erfolgt durch Wahl des jeweils höheren Wertes der Eingabewerte. Also ''' OR(A;B)=A wenn A>B''' ''' B wenn A<=B''' Dies kann man analog auch durch das Maximum ausdrücken <math>OR(A;B) := \max\{A,B\}</math> === UND-Schaltung === Die Konjunktion erfolgt durch Wahl des jeweils niedrigeren Wertes der Eingabewerte. Also ''' AND(A;B)=A wenn A&lt;B''' ''' B wenn A>=B''' Dies kann man analog auch durch das Minimum ausdrücken <math>AND(A;B) := \min\{A,B\}</math> === Ausschließende-ODER-Schaltung === Für die Disjunktion komplementiert man den kleineren zweier Werte und wählt den kleineren der beiden. Für mehr als zwei Eingabewerte setzt man das Ergebnis der letzten Operation rekursiv mit dem jeweils nächsten Eingabewert ein. Einfacher: man nimmt die Differenz des weniger Extremen von dem ihm gegenüberliegenden Extremwert. Also ''' XOR(A;B)=A wenn A>B und A<(1-B)''' ''' 1-B wenn A>B und A>=(1-B)''' ''' B wenn B>=A und B<(1-A)''' ''' 1-A wenn B>=A und B>=(1-A)''' === Wahrheitstafel von XOR === Das ausschließende ODER "XOR" besitzt in der klasssischen Logik die Wahrheitstafel von <math>\neg(A \leftrightarrow B) </math>. {| class="wikitable float-right" |- ! <math>A</math> ! <math>B</math> ! <math>\neg(A \leftrightarrow B) </math> |- | falsch | falsch |style="text-align:center"| falsch |- | falsch | wahr |style="text-align:center"| wahr |- | wahr | falsch |style="text-align:center"| wahr |- | wahr | wahr |style="text-align:center"| falsch |} === Fuzzylogische Berechnung von XOR === Um konsistent zur klassischen Logik zu bleiben, kann man eine ''"ausschließendes ODER"'' auch über die logischen Verknüpfungen "UND", "ODER" und "NICHT" ausdrücken. :<math> XOR(A,B) \Longleftrightarrow \neg (A \longleftrightarrow B) \Longleftrightarrow (A\wedge \neg B) \vee (B\wedge \neg A) </math> Mit die Verwendung <math>max</math> für ODER und <math>min</math> für UND kann man XOR(A,B) fuzzylogisch wie folgt darstellen: :<math> XOR(A,B) = max\big( min(\mu_{A},1-\mu_{B}) , min(\mu_{B},1-\mu_{A}) \big) </math> == Literatur/Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte einer Menge]] * [[w:de:Fuzzylogik/Operatoren|Fuzzylogik/Operatoren]] * [[Mathematische Modellbildung]] * [[Open Educational Resources]] * [[Wiki2Reveal]] === Kurse === * [[Kurs:Maschinelles Lernen]] * [[Kurs:Mathematische Modellbildung]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik/Operatoren&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Operatoren&coursetitle=Fuzzylogik Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik/Operatoren&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Operatoren&coursetitle=Fuzzylogik Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik Fuzzylogik]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Fuzzylogik/Operatoren https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik/Operatoren] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik/Operatoren Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik/Operatoren * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik/Operatoren&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Operatoren&coursetitle=Fuzzylogik Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 0cg80lzvjv4xsmfzsyuudyhzwnyjiu9 1119286 1119283 2026-11-10T08:02:18Z Bert Niehaus 20843 /* Konsistenz - Konjunktion - logisches UND */ 1119286 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite zum Thema ''Fuzzylogik/Operatoren'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik/Operatoren&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Operatoren&coursetitle=Fuzzylogik Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt: * (1) Klassische logische Operationen<ref>Suppes, P. (1999). Introduction to logic. Courier Corporation.</ref>, * (2) [[Fuzzylogik/Operatoren#Operatoren|Fuzzylogische Operatoren]]<ref>Buckley, J. J., & Eslami, E. (2002). An introduction to fuzzy logic and fuzzy sets (Vol. 13). Springer Science & Business Media.</ref>, * (3) [[Fuzzylogik/Operatoren#Konsistenz|Konsistenz zur klassischen Logik]]. === Konsistenz zur klassischen Logik === Die Konsistenz zur klassischen Logik besagt, dass die Fuzzylogik auf den [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkten]] des Einheitsquadrates <math>\Omega := [0,1]\times [0,1]</math> genauso funktionieren muss, wie die klassische Logik. Die == Zielsetzung == Diese Lernressource zu ''Fuzzylogik und Operatoren'' in der Wikiversity hat das Ziel, das klassische Konzept von logischen Operatoren UND, ODER, NICHT, WENN ... DANN, ...) (<math> \wedge, \vee, \neg, \Rightarrow </math>) auf fuzzylogische Operationen zu verallgemeinern. == Lernvoraussetzungen == Die Lernressource zum Thema ''Fuzzylogik/Operatoren'' hat die folgenden Lernvoraussetzungen, die zum Verständnis der nachfolgenden Ausführungen hilfreich bzw. notwendig sind. * '''([[Fuzzylogik/Zugehörigkeitsfunktion|Zugehörigkeitsfunktionen]])''' Funktionale Beschreibung unscharfer Mengen * '''(Wahrheitstafeln)''' Wahrheitstafeln für klassische logische Operatoren * '''(Implikationen/Folgerungen)''' klassische Implikationen/Folgerungen, da diese auf die Fuzzylogik übertragen werden == Operatoren für unscharfe Mengen == [[Datei:Fuzzy-Operatoren.png|450px|UND-ODER-NICHT-Operatoren zur Verknüpfung von Zugehörigkeitsfunktionen (Teilmengen).]] === Erzeugendenfunktion - Fuzzy-NAND === Die Verknüpfung Fuzzy-NAND <math>NAND_\odot</math> ist eine Erzeugendenfunktion für alle fuzzylogischen Verknüpfungen, denn es gilt für <math>x,y\in [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{rcl} x \ \widetilde{\wedge} \ y & := & NAND(1-x,1-y) = \min\{ x,y \} \\ \widetilde{\neg} \, x & := & NAND(x,x) = \min\{ 1-x,1-x \} = 1-x \\ x \ \widetilde{\vee} \, y & := & \widetilde{\neg} (\widetilde{\neg} \ x \ \widetilde{\wedge} \ \widetilde{\neg} \ y) = = 1- \min\{ x, y \} = \max\{ x,y \} \\ x \ \widetilde{\rightarrow} \ y & := & \widetilde{\neg} ( \ x \ \widetilde{\vee} \ y) = \max\{ 1-x,y \} \\ \end{array} </math> === Fortsetzung der klassischen Logik nicht eindeutig === Die Fortsetzung der klassischen Logik ist allerding nicht eindeutig. Durch das die multiplikative Fuzzy-NAND-Funktion wird ebenfalls eine von der obigen Min-Max-Operator-Definition wesentlich verschiedene Definition der Fuzzyoperationen definiert, die ebenfalls konsistent zur klassischen Logik ist. === Multiplikatives Fuzzy-NAND === Man definiert das multiplikative Fuzzy-NAND wie folgt: :<math> \begin{array}{rrcl} NAND_\odot: & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & [0,1] \\ & \left( x,y \right) & \mapsto & NAND_\odot\left( x,y \right) = (1-x)\cdot (1-y) \end{array} </math> === Erzeugendenfunktion - multiplikatives Fuzzy-NAND === Das multiplikative Fuzzy-NAND <math>NAND_\odot</math> ist eine Erzeugendenfunktion für alle fuzzylogischen Verknüpfungen, denn es gilt für <math>x,y\in [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{rcl} x \ \widetilde{\wedge}_{_\odot} \ y & := & NAND_\odot(1-x,1-y) = x\cdot y \\ \widetilde{\neg}_{_\odot} \, x & := & NAND_\odot(x,x) \\ x \ \widetilde{\vee}_{\!\!_\odot} \, y & := & \widetilde{\neg}_{_\odot} (\widetilde{\neg}_{_\odot} \ x \ \widetilde{\wedge}_{_\odot} \ \widetilde{\neg}_{_\odot} \ y) \\ x \ \widetilde{\rightarrow}_{\!_\odot} \ y & := & \widetilde{\neg}_{_\odot} ( \ x \ \widetilde{\vee}_{\!\!_\odot} \ y) \\ \end{array} </math> === Aufgabe für Studierende === * Zeigen Sie, dass die obige Definition des multiplikativen NAND zu einer mit der klassischen Logik konsistenten Eigenschaft der Fuzzy-Verknüpfungen kommt. === Bemerkung - strengeres Fuzzy-UND === Das multiplikative Fuzzy-NAND <math>NAND_\odot</math> erzeugt ein strengeres Fuzzy-AND als fuzzylogische Verknüpfungen als die Min-Max-Definition der fuzzylogischen Verknüpfungen. Dies bedeutet, dass für alle <math>x,y\in [0,1]</math> gilt: :<math> x \ \widetilde{\wedge}_{_\odot} \, y \ \ \leq \ \ x \ \widetilde{\wedge} \ y </math> == Aufgaben - Zugehörigkeitsfunktion == Mit den folgenden Aufgaben zum Thema ''Fuzzy-Implikation'' als ''Operator'' auf Fuzzymengen behandelt: * Erzeugen Sie eine Zugehörigkeitsfunktion einer Fuzzymenge für den linguistischen Wert "alt" und "schnell" wobei die Grundmenge <math>\Omega := [0,100] </math> ein Alter zwischen 0 und 100 Jahren als Argument der Zugehörigkeitsfunktionen definiert. * Zeichnen Sie einen Graphen <math>\mu_{alt} : \Omega \to [0,1]</math> mit <math>\Omega := [0,100] </math> auf der x-Achse und <math>[0,1]</math> auf der y-Achse, wobei <math>\mu_{alt}(x) \in [0,1] </math> angibt, zu welchem Grad eine Alter <math>x</math> die Eigenschaft "alt" als linguistischen Wert erfüllt. * Zeichnen Sie einen Graphen <math>\mu_{schnell} : \Omega \to [0,1]</math> mit <math>\Omega := [0,100] </math> auf der x-Achse und <math>[0,1]</math> auf der y-Achse, wobei <math>\mu_{schnell}(x) \in [0,1] </math> angibt, zu welchem Grad eine Alter <math>x</math> die Eigenschaft "schnell" als linguistischen Wert erfüllt. == Aufgaben - Fuzzylogische Folgerung == Als einführendes Beispiel zum Thema ''fuzzylogische Operatoren'' dient dazu, sprachliche formuliert "WENN-DANN"-Aussagen in fuzzylogische zu übertragen und danach die resultierende Zugehörigkeitsfunktion zu interpretieren. <math>\Omega = [0,100] </math> ist das Alter in Jahren. * Nutzen Sie die obigen [[Fuzzylogik/Zugehörigkeitsfunktion|Zugehörigkeitsfunktionen]] von "alt" und "schnell". * Basierend auf den obigen [[Fuzzylogik/Zugehörigkeitsfunktion|Zugehörigkeitsfunktionen]] zeichnen Sie zunächst freihändig die Zugehörigkeitsfunktion ''"WENN alt DANN schnell"'' * Berechnen Sie dann die fuzzylogische Zugehörigkeitsfunktion von ''"WENN alt DANN schnell"''! Drücken Sie dabei die Folgerung zunächst durch UND, ODER und NICHT aus. * Falls sich Ihre "Freihandzeichnung" und der berechnete Graph der Zughörigkeitsfunktion unterscheiden, begründen Sie, warum die Freihandzeichnung von dem berechneten Graphen abweicht! <span id="Operatoren"></span> == Konsistenz zu klassischen Logik == Die Eigenschaft, dass fuzzylogische Operationen ''konsistent'' zu klassischen Logik sein müssen, bedeutet, dass in einem <math>n</math>-dimenesionalen Einheitswürfel für beliebige <math>n\in \mathbb{N}</math> die Funktionswerte der fuzzylogischen Operation in den [[w:de:Extremalpunkt|Extermalpunkten]] mit der klassischen Logik übereinstimmen müssen. === Extremalpunkte des Einheitswürfels === Man betrachtet den <math>n</math>-dimenesionalen Einheitswürfel <math>\Omega_n := [0,1]^n</math> mit: :<math> [0,1]^n := \{ (\omega_1 , \ldots , \omega_n) \in \mathbb{R}^n \ : \ \omega_1 , \ldots , \omega_n \in [0,1] \} </math> Die [[w:de:Extremalpunkt|Extermalpunkte]] <math> \mathfrak{E}(\Omega_n)</math> des <math>n</math>-dimenesionalen Einheitswürfels <math>\Omega_n</math> sind: :<math> \mathfrak{E}(\Omega_n)=\{0,1\}^n = \{ (\omega_1 , \ldots , \omega_n) \in \mathbb{R}^n \ : \ \omega_1 , \ldots , \omega_n \in \{0,1\} \} </math> === Bemerkung - Extremalpunkte === Ein Extremalpunkt <math>(\omega_1 , \ldots , \omega_n) \in \mathfrak{E}(\Omega_n) </math> besteht nur aus Komponenten <math>0</math> oder <math>1</math> (z.B. für <math>n=2</math> ist <math>\Omega_2</math> das Einheitsquadrat <math>[0,1] \times [0,1]\subset \mathbb{R}^2</math>. Die [[w:de:Extremalpunkt|Extermalpunkte]] <math> \mathfrak{E}(\Omega_2)</math> bestehen dann aus den 4 Eckpunkten, d.h. :<math> \mathfrak{E}(\Omega_2)=\{0,1\}^2 = \{ (0,0) ,(0,1), (1,0), (1,1) \} </math> Für das Einheitsintervall <math>\Omega_1 = [0,1]</math> gilt <math>\mathfrak{E}(\Omega_1)=\{0,1\}</math>. === Beispiele - Fuzzylogische Operationen === In dem obigen Beispiel wurden die fuzzylogischen Operationen einmal mit der <math>\min</math>-Definition von <math>NAND</math>-Verknüpfung und einmal mit dem multiplikativen <math>NAND_{\!\!_\odot}</math> erzeugt. Man betrachtet nun die Konsistenz mit der klassischen Logik, wobei die klassische Logik die Verknüpfung allein auf den [[w:de:Extremalpunkt|Extermalpunkten]] <math> \mathfrak{E}(\Omega_n)</math> von <math> \Omega_n</math> festlegt. ==== Konsistenz - Negation - logisches NICHT==== Das logische NICHT ändert den Wahrheitswert von ''wahr'' (=1) auf ''falsch'' (=0) und umgekehrt den Wahrheitswert von ''falsch'' (=0) auf ''wahr'' (=1). * Über die <math>\min</math>-Definition der <math>NAND</math>-Verknüpfung erhält man <math>\widetilde{\neg}\, \omega = 1-\omega </math> für <math>\omega \in [0,1]</math>. * Über die multiplikative Definition der <math>NAND_{\!\!_\odot}</math>-Verknüpfung erhält man <math>\widetilde{\neg}_{\!_\odot}\, \omega = 1-\omega^2 </math> für <math>\omega \in [0,1]</math>. In beiden Fällen erhält man die Konsistenz mit der klassischen Logik, da sowohl <math> \widetilde{\neg}\, 1 = \widetilde{\neg}_{\!_\odot}\, 1 = 0 </math> und <math> \widetilde{\neg}\, 0 = \widetilde{\neg}_{\!_\odot}\, 0 = 1 </math> gilt. ==== Konsistenz - Konjunktion - logisches UND ==== Betrachtet man das logische UND für bei erzeugende NAND-Verknüpfungen, dann erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} x \ \widetilde{\wedge} \, y & := & NAND(1-x,1-y) = \min\{ x,y \} \\ \\ \end{array} </math> ==== Konsistenz - Disjunktion - logisches ODER ==== == Logische Operationen == Analog zur klassischen (crispen) Logik kann man in der Fuzzylogik auch logische Operatoren definieren, die konsistent zu klassischen Logik sind, d.h. in den crispen Grenzfällen von 0 und 1 für falsch und wahr den Operatoren in der klassischen Logik nicht widersprechen. === Negation === Die Negation in der Fuzzylogik erfolgt durch Subtraktion der Eingabewerte von 1. Also ''' NOT(A)=1-A''' === Nicht ausschließende-ODER-Schaltung === Die Adjunktion erfolgt durch Wahl des jeweils höheren Wertes der Eingabewerte. Also ''' OR(A;B)=A wenn A>B''' ''' B wenn A<=B''' Dies kann man analog auch durch das Maximum ausdrücken <math>OR(A;B) := \max\{A,B\}</math> === UND-Schaltung === Die Konjunktion erfolgt durch Wahl des jeweils niedrigeren Wertes der Eingabewerte. Also ''' AND(A;B)=A wenn A&lt;B''' ''' B wenn A>=B''' Dies kann man analog auch durch das Minimum ausdrücken <math>AND(A;B) := \min\{A,B\}</math> === Ausschließende-ODER-Schaltung === Für die Disjunktion komplementiert man den kleineren zweier Werte und wählt den kleineren der beiden. Für mehr als zwei Eingabewerte setzt man das Ergebnis der letzten Operation rekursiv mit dem jeweils nächsten Eingabewert ein. Einfacher: man nimmt die Differenz des weniger Extremen von dem ihm gegenüberliegenden Extremwert. Also ''' XOR(A;B)=A wenn A>B und A<(1-B)''' ''' 1-B wenn A>B und A>=(1-B)''' ''' B wenn B>=A und B<(1-A)''' ''' 1-A wenn B>=A und B>=(1-A)''' === Wahrheitstafel von XOR === Das ausschließende ODER "XOR" besitzt in der klasssischen Logik die Wahrheitstafel von <math>\neg(A \leftrightarrow B) </math>. {| class="wikitable float-right" |- ! <math>A</math> ! <math>B</math> ! <math>\neg(A \leftrightarrow B) </math> |- | falsch | falsch |style="text-align:center"| falsch |- | falsch | wahr |style="text-align:center"| wahr |- | wahr | falsch |style="text-align:center"| wahr |- | wahr | wahr |style="text-align:center"| falsch |} === Fuzzylogische Berechnung von XOR === Um konsistent zur klassischen Logik zu bleiben, kann man eine ''"ausschließendes ODER"'' auch über die logischen Verknüpfungen "UND", "ODER" und "NICHT" ausdrücken. :<math> XOR(A,B) \Longleftrightarrow \neg (A \longleftrightarrow B) \Longleftrightarrow (A\wedge \neg B) \vee (B\wedge \neg A) </math> Mit die Verwendung <math>max</math> für ODER und <math>min</math> für UND kann man XOR(A,B) fuzzylogisch wie folgt darstellen: :<math> XOR(A,B) = max\big( min(\mu_{A},1-\mu_{B}) , min(\mu_{B},1-\mu_{A}) \big) </math> == Literatur/Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte einer Menge]] * [[w:de:Fuzzylogik/Operatoren|Fuzzylogik/Operatoren]] * [[Mathematische Modellbildung]] * [[Open Educational Resources]] * [[Wiki2Reveal]] === Kurse === * [[Kurs:Maschinelles Lernen]] * [[Kurs:Mathematische Modellbildung]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik/Operatoren&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Operatoren&coursetitle=Fuzzylogik Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik/Operatoren&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Operatoren&coursetitle=Fuzzylogik Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik Fuzzylogik]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Fuzzylogik/Operatoren https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik/Operatoren] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik/Operatoren Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik/Operatoren * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik/Operatoren&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Operatoren&coursetitle=Fuzzylogik Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] ag08t04ho2pnl1xeyc2rsm1hsupgick 1119287 1119286 2026-11-10T08:03:58Z Bert Niehaus 20843 /* Konsistenz - Konjunktion - logisches UND */ 1119287 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite zum Thema ''Fuzzylogik/Operatoren'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik/Operatoren&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Operatoren&coursetitle=Fuzzylogik Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt: * (1) Klassische logische Operationen<ref>Suppes, P. (1999). Introduction to logic. Courier Corporation.</ref>, * (2) [[Fuzzylogik/Operatoren#Operatoren|Fuzzylogische Operatoren]]<ref>Buckley, J. J., & Eslami, E. (2002). An introduction to fuzzy logic and fuzzy sets (Vol. 13). Springer Science & Business Media.</ref>, * (3) [[Fuzzylogik/Operatoren#Konsistenz|Konsistenz zur klassischen Logik]]. === Konsistenz zur klassischen Logik === Die Konsistenz zur klassischen Logik besagt, dass die Fuzzylogik auf den [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkten]] des Einheitsquadrates <math>\Omega := [0,1]\times [0,1]</math> genauso funktionieren muss, wie die klassische Logik. Die == Zielsetzung == Diese Lernressource zu ''Fuzzylogik und Operatoren'' in der Wikiversity hat das Ziel, das klassische Konzept von logischen Operatoren UND, ODER, NICHT, WENN ... DANN, ...) (<math> \wedge, \vee, \neg, \Rightarrow </math>) auf fuzzylogische Operationen zu verallgemeinern. == Lernvoraussetzungen == Die Lernressource zum Thema ''Fuzzylogik/Operatoren'' hat die folgenden Lernvoraussetzungen, die zum Verständnis der nachfolgenden Ausführungen hilfreich bzw. notwendig sind. * '''([[Fuzzylogik/Zugehörigkeitsfunktion|Zugehörigkeitsfunktionen]])''' Funktionale Beschreibung unscharfer Mengen * '''(Wahrheitstafeln)''' Wahrheitstafeln für klassische logische Operatoren * '''(Implikationen/Folgerungen)''' klassische Implikationen/Folgerungen, da diese auf die Fuzzylogik übertragen werden == Operatoren für unscharfe Mengen == [[Datei:Fuzzy-Operatoren.png|450px|UND-ODER-NICHT-Operatoren zur Verknüpfung von Zugehörigkeitsfunktionen (Teilmengen).]] === Erzeugendenfunktion - Fuzzy-NAND === Die Verknüpfung Fuzzy-NAND <math>NAND_\odot</math> ist eine Erzeugendenfunktion für alle fuzzylogischen Verknüpfungen, denn es gilt für <math>x,y\in [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{rcl} x \ \widetilde{\wedge} \ y & := & NAND(1-x,1-y) = \min\{ x,y \} \\ \widetilde{\neg} \, x & := & NAND(x,x) = \min\{ 1-x,1-x \} = 1-x \\ x \ \widetilde{\vee} \, y & := & \widetilde{\neg} (\widetilde{\neg} \ x \ \widetilde{\wedge} \ \widetilde{\neg} \ y) = = 1- \min\{ x, y \} = \max\{ x,y \} \\ x \ \widetilde{\rightarrow} \ y & := & \widetilde{\neg} ( \ x \ \widetilde{\vee} \ y) = \max\{ 1-x,y \} \\ \end{array} </math> === Fortsetzung der klassischen Logik nicht eindeutig === Die Fortsetzung der klassischen Logik ist allerding nicht eindeutig. Durch das die multiplikative Fuzzy-NAND-Funktion wird ebenfalls eine von der obigen Min-Max-Operator-Definition wesentlich verschiedene Definition der Fuzzyoperationen definiert, die ebenfalls konsistent zur klassischen Logik ist. === Multiplikatives Fuzzy-NAND === Man definiert das multiplikative Fuzzy-NAND wie folgt: :<math> \begin{array}{rrcl} NAND_\odot: & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & [0,1] \\ & \left( x,y \right) & \mapsto & NAND_\odot\left( x,y \right) = (1-x)\cdot (1-y) \end{array} </math> === Erzeugendenfunktion - multiplikatives Fuzzy-NAND === Das multiplikative Fuzzy-NAND <math>NAND_\odot</math> ist eine Erzeugendenfunktion für alle fuzzylogischen Verknüpfungen, denn es gilt für <math>x,y\in [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{rcl} x \ \widetilde{\wedge}_{_\odot} \ y & := & NAND_\odot(1-x,1-y) = x\cdot y \\ \widetilde{\neg}_{_\odot} \, x & := & NAND_\odot(x,x) \\ x \ \widetilde{\vee}_{\!\!_\odot} \, y & := & \widetilde{\neg}_{_\odot} (\widetilde{\neg}_{_\odot} \ x \ \widetilde{\wedge}_{_\odot} \ \widetilde{\neg}_{_\odot} \ y) \\ x \ \widetilde{\rightarrow}_{\!_\odot} \ y & := & \widetilde{\neg}_{_\odot} ( \ x \ \widetilde{\vee}_{\!\!_\odot} \ y) \\ \end{array} </math> === Aufgabe für Studierende === * Zeigen Sie, dass die obige Definition des multiplikativen NAND zu einer mit der klassischen Logik konsistenten Eigenschaft der Fuzzy-Verknüpfungen kommt. === Bemerkung - strengeres Fuzzy-UND === Das multiplikative Fuzzy-NAND <math>NAND_\odot</math> erzeugt ein strengeres Fuzzy-AND als fuzzylogische Verknüpfungen als die Min-Max-Definition der fuzzylogischen Verknüpfungen. Dies bedeutet, dass für alle <math>x,y\in [0,1]</math> gilt: :<math> x \ \widetilde{\wedge}_{_\odot} \, y \ \ \leq \ \ x \ \widetilde{\wedge} \ y </math> == Aufgaben - Zugehörigkeitsfunktion == Mit den folgenden Aufgaben zum Thema ''Fuzzy-Implikation'' als ''Operator'' auf Fuzzymengen behandelt: * Erzeugen Sie eine Zugehörigkeitsfunktion einer Fuzzymenge für den linguistischen Wert "alt" und "schnell" wobei die Grundmenge <math>\Omega := [0,100] </math> ein Alter zwischen 0 und 100 Jahren als Argument der Zugehörigkeitsfunktionen definiert. * Zeichnen Sie einen Graphen <math>\mu_{alt} : \Omega \to [0,1]</math> mit <math>\Omega := [0,100] </math> auf der x-Achse und <math>[0,1]</math> auf der y-Achse, wobei <math>\mu_{alt}(x) \in [0,1] </math> angibt, zu welchem Grad eine Alter <math>x</math> die Eigenschaft "alt" als linguistischen Wert erfüllt. * Zeichnen Sie einen Graphen <math>\mu_{schnell} : \Omega \to [0,1]</math> mit <math>\Omega := [0,100] </math> auf der x-Achse und <math>[0,1]</math> auf der y-Achse, wobei <math>\mu_{schnell}(x) \in [0,1] </math> angibt, zu welchem Grad eine Alter <math>x</math> die Eigenschaft "schnell" als linguistischen Wert erfüllt. == Aufgaben - Fuzzylogische Folgerung == Als einführendes Beispiel zum Thema ''fuzzylogische Operatoren'' dient dazu, sprachliche formuliert "WENN-DANN"-Aussagen in fuzzylogische zu übertragen und danach die resultierende Zugehörigkeitsfunktion zu interpretieren. <math>\Omega = [0,100] </math> ist das Alter in Jahren. * Nutzen Sie die obigen [[Fuzzylogik/Zugehörigkeitsfunktion|Zugehörigkeitsfunktionen]] von "alt" und "schnell". * Basierend auf den obigen [[Fuzzylogik/Zugehörigkeitsfunktion|Zugehörigkeitsfunktionen]] zeichnen Sie zunächst freihändig die Zugehörigkeitsfunktion ''"WENN alt DANN schnell"'' * Berechnen Sie dann die fuzzylogische Zugehörigkeitsfunktion von ''"WENN alt DANN schnell"''! Drücken Sie dabei die Folgerung zunächst durch UND, ODER und NICHT aus. * Falls sich Ihre "Freihandzeichnung" und der berechnete Graph der Zughörigkeitsfunktion unterscheiden, begründen Sie, warum die Freihandzeichnung von dem berechneten Graphen abweicht! <span id="Operatoren"></span> == Konsistenz zu klassischen Logik == Die Eigenschaft, dass fuzzylogische Operationen ''konsistent'' zu klassischen Logik sein müssen, bedeutet, dass in einem <math>n</math>-dimenesionalen Einheitswürfel für beliebige <math>n\in \mathbb{N}</math> die Funktionswerte der fuzzylogischen Operation in den [[w:de:Extremalpunkt|Extermalpunkten]] mit der klassischen Logik übereinstimmen müssen. === Extremalpunkte des Einheitswürfels === Man betrachtet den <math>n</math>-dimenesionalen Einheitswürfel <math>\Omega_n := [0,1]^n</math> mit: :<math> [0,1]^n := \{ (\omega_1 , \ldots , \omega_n) \in \mathbb{R}^n \ : \ \omega_1 , \ldots , \omega_n \in [0,1] \} </math> Die [[w:de:Extremalpunkt|Extermalpunkte]] <math> \mathfrak{E}(\Omega_n)</math> des <math>n</math>-dimenesionalen Einheitswürfels <math>\Omega_n</math> sind: :<math> \mathfrak{E}(\Omega_n)=\{0,1\}^n = \{ (\omega_1 , \ldots , \omega_n) \in \mathbb{R}^n \ : \ \omega_1 , \ldots , \omega_n \in \{0,1\} \} </math> === Bemerkung - Extremalpunkte === Ein Extremalpunkt <math>(\omega_1 , \ldots , \omega_n) \in \mathfrak{E}(\Omega_n) </math> besteht nur aus Komponenten <math>0</math> oder <math>1</math> (z.B. für <math>n=2</math> ist <math>\Omega_2</math> das Einheitsquadrat <math>[0,1] \times [0,1]\subset \mathbb{R}^2</math>. Die [[w:de:Extremalpunkt|Extermalpunkte]] <math> \mathfrak{E}(\Omega_2)</math> bestehen dann aus den 4 Eckpunkten, d.h. :<math> \mathfrak{E}(\Omega_2)=\{0,1\}^2 = \{ (0,0) ,(0,1), (1,0), (1,1) \} </math> Für das Einheitsintervall <math>\Omega_1 = [0,1]</math> gilt <math>\mathfrak{E}(\Omega_1)=\{0,1\}</math>. === Beispiele - Fuzzylogische Operationen === In dem obigen Beispiel wurden die fuzzylogischen Operationen einmal mit der <math>\min</math>-Definition von <math>NAND</math>-Verknüpfung und einmal mit dem multiplikativen <math>NAND_{\!\!_\odot}</math> erzeugt. Man betrachtet nun die Konsistenz mit der klassischen Logik, wobei die klassische Logik die Verknüpfung allein auf den [[w:de:Extremalpunkt|Extermalpunkten]] <math> \mathfrak{E}(\Omega_n)</math> von <math> \Omega_n</math> festlegt. ==== Konsistenz - Negation - logisches NICHT==== Das logische NICHT ändert den Wahrheitswert von ''wahr'' (=1) auf ''falsch'' (=0) und umgekehrt den Wahrheitswert von ''falsch'' (=0) auf ''wahr'' (=1). * Über die <math>\min</math>-Definition der <math>NAND</math>-Verknüpfung erhält man <math>\widetilde{\neg}\, \omega = 1-\omega </math> für <math>\omega \in [0,1]</math>. * Über die multiplikative Definition der <math>NAND_{\!\!_\odot}</math>-Verknüpfung erhält man <math>\widetilde{\neg}_{\!_\odot}\, \omega = 1-\omega^2 </math> für <math>\omega \in [0,1]</math>. In beiden Fällen erhält man die Konsistenz mit der klassischen Logik, da sowohl <math> \widetilde{\neg}\, 1 = \widetilde{\neg}_{\!_\odot}\, 1 = 0 </math> und <math> \widetilde{\neg}\, 0 = \widetilde{\neg}_{\!_\odot}\, 0 = 1 </math> gilt. ==== Konsistenz - Konjunktion - logisches UND ==== Betrachtet man das logische UND für bei erzeugende NAND-Verknüpfungen, dann erhält man: :<math> \begin{array}{rcccl} x \ \widetilde{\wedge} \, y & = & NAND(1-x,1-y) &= &\min\{ x,y \} \\ x \ \widetilde{\wedge}_{_\odot} \ y & = & NAND_\odot(1-x,1-y) & = & x\cdot y \\ \end{array} </math> ==== Konsistenz - Disjunktion - logisches ODER ==== == Logische Operationen == Analog zur klassischen (crispen) Logik kann man in der Fuzzylogik auch logische Operatoren definieren, die konsistent zu klassischen Logik sind, d.h. in den crispen Grenzfällen von 0 und 1 für falsch und wahr den Operatoren in der klassischen Logik nicht widersprechen. === Negation === Die Negation in der Fuzzylogik erfolgt durch Subtraktion der Eingabewerte von 1. Also ''' NOT(A)=1-A''' === Nicht ausschließende-ODER-Schaltung === Die Adjunktion erfolgt durch Wahl des jeweils höheren Wertes der Eingabewerte. Also ''' OR(A;B)=A wenn A>B''' ''' B wenn A<=B''' Dies kann man analog auch durch das Maximum ausdrücken <math>OR(A;B) := \max\{A,B\}</math> === UND-Schaltung === Die Konjunktion erfolgt durch Wahl des jeweils niedrigeren Wertes der Eingabewerte. Also ''' AND(A;B)=A wenn A&lt;B''' ''' B wenn A>=B''' Dies kann man analog auch durch das Minimum ausdrücken <math>AND(A;B) := \min\{A,B\}</math> === Ausschließende-ODER-Schaltung === Für die Disjunktion komplementiert man den kleineren zweier Werte und wählt den kleineren der beiden. Für mehr als zwei Eingabewerte setzt man das Ergebnis der letzten Operation rekursiv mit dem jeweils nächsten Eingabewert ein. Einfacher: man nimmt die Differenz des weniger Extremen von dem ihm gegenüberliegenden Extremwert. Also ''' XOR(A;B)=A wenn A>B und A<(1-B)''' ''' 1-B wenn A>B und A>=(1-B)''' ''' B wenn B>=A und B<(1-A)''' ''' 1-A wenn B>=A und B>=(1-A)''' === Wahrheitstafel von XOR === Das ausschließende ODER "XOR" besitzt in der klasssischen Logik die Wahrheitstafel von <math>\neg(A \leftrightarrow B) </math>. {| class="wikitable float-right" |- ! <math>A</math> ! <math>B</math> ! <math>\neg(A \leftrightarrow B) </math> |- | falsch | falsch |style="text-align:center"| falsch |- | falsch | wahr |style="text-align:center"| wahr |- | wahr | falsch |style="text-align:center"| wahr |- | wahr | wahr |style="text-align:center"| falsch |} === Fuzzylogische Berechnung von XOR === Um konsistent zur klassischen Logik zu bleiben, kann man eine ''"ausschließendes ODER"'' auch über die logischen Verknüpfungen "UND", "ODER" und "NICHT" ausdrücken. :<math> XOR(A,B) \Longleftrightarrow \neg (A \longleftrightarrow B) \Longleftrightarrow (A\wedge \neg B) \vee (B\wedge \neg A) </math> Mit die Verwendung <math>max</math> für ODER und <math>min</math> für UND kann man XOR(A,B) fuzzylogisch wie folgt darstellen: :<math> XOR(A,B) = max\big( min(\mu_{A},1-\mu_{B}) , min(\mu_{B},1-\mu_{A}) \big) </math> == Literatur/Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte einer Menge]] * [[w:de:Fuzzylogik/Operatoren|Fuzzylogik/Operatoren]] * [[Mathematische Modellbildung]] * [[Open Educational Resources]] * [[Wiki2Reveal]] === Kurse === * [[Kurs:Maschinelles Lernen]] * [[Kurs:Mathematische Modellbildung]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik/Operatoren&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Operatoren&coursetitle=Fuzzylogik Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik/Operatoren&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Operatoren&coursetitle=Fuzzylogik Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik Fuzzylogik]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Fuzzylogik/Operatoren https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik/Operatoren] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik/Operatoren Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik/Operatoren * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik/Operatoren&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Operatoren&coursetitle=Fuzzylogik Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 7e38arf7242z6tb74zaeo1i2bt2ncd6 1119288 1119287 2026-11-10T08:06:20Z Bert Niehaus 20843 /* Konsistenz - Konjunktion - logisches UND */ 1119288 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite zum Thema ''Fuzzylogik/Operatoren'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik/Operatoren&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Operatoren&coursetitle=Fuzzylogik Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt: * (1) Klassische logische Operationen<ref>Suppes, P. (1999). Introduction to logic. Courier Corporation.</ref>, * (2) [[Fuzzylogik/Operatoren#Operatoren|Fuzzylogische Operatoren]]<ref>Buckley, J. J., & Eslami, E. (2002). An introduction to fuzzy logic and fuzzy sets (Vol. 13). Springer Science & Business Media.</ref>, * (3) [[Fuzzylogik/Operatoren#Konsistenz|Konsistenz zur klassischen Logik]]. === Konsistenz zur klassischen Logik === Die Konsistenz zur klassischen Logik besagt, dass die Fuzzylogik auf den [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkten]] des Einheitsquadrates <math>\Omega := [0,1]\times [0,1]</math> genauso funktionieren muss, wie die klassische Logik. Die == Zielsetzung == Diese Lernressource zu ''Fuzzylogik und Operatoren'' in der Wikiversity hat das Ziel, das klassische Konzept von logischen Operatoren UND, ODER, NICHT, WENN ... DANN, ...) (<math> \wedge, \vee, \neg, \Rightarrow </math>) auf fuzzylogische Operationen zu verallgemeinern. == Lernvoraussetzungen == Die Lernressource zum Thema ''Fuzzylogik/Operatoren'' hat die folgenden Lernvoraussetzungen, die zum Verständnis der nachfolgenden Ausführungen hilfreich bzw. notwendig sind. * '''([[Fuzzylogik/Zugehörigkeitsfunktion|Zugehörigkeitsfunktionen]])''' Funktionale Beschreibung unscharfer Mengen * '''(Wahrheitstafeln)''' Wahrheitstafeln für klassische logische Operatoren * '''(Implikationen/Folgerungen)''' klassische Implikationen/Folgerungen, da diese auf die Fuzzylogik übertragen werden == Operatoren für unscharfe Mengen == [[Datei:Fuzzy-Operatoren.png|450px|UND-ODER-NICHT-Operatoren zur Verknüpfung von Zugehörigkeitsfunktionen (Teilmengen).]] === Erzeugendenfunktion - Fuzzy-NAND === Die Verknüpfung Fuzzy-NAND <math>NAND_\odot</math> ist eine Erzeugendenfunktion für alle fuzzylogischen Verknüpfungen, denn es gilt für <math>x,y\in [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{rcl} x \ \widetilde{\wedge} \ y & := & NAND(1-x,1-y) = \min\{ x,y \} \\ \widetilde{\neg} \, x & := & NAND(x,x) = \min\{ 1-x,1-x \} = 1-x \\ x \ \widetilde{\vee} \, y & := & \widetilde{\neg} (\widetilde{\neg} \ x \ \widetilde{\wedge} \ \widetilde{\neg} \ y) = = 1- \min\{ x, y \} = \max\{ x,y \} \\ x \ \widetilde{\rightarrow} \ y & := & \widetilde{\neg} ( \ x \ \widetilde{\vee} \ y) = \max\{ 1-x,y \} \\ \end{array} </math> === Fortsetzung der klassischen Logik nicht eindeutig === Die Fortsetzung der klassischen Logik ist allerding nicht eindeutig. Durch das die multiplikative Fuzzy-NAND-Funktion wird ebenfalls eine von der obigen Min-Max-Operator-Definition wesentlich verschiedene Definition der Fuzzyoperationen definiert, die ebenfalls konsistent zur klassischen Logik ist. === Multiplikatives Fuzzy-NAND === Man definiert das multiplikative Fuzzy-NAND wie folgt: :<math> \begin{array}{rrcl} NAND_\odot: & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & [0,1] \\ & \left( x,y \right) & \mapsto & NAND_\odot\left( x,y \right) = (1-x)\cdot (1-y) \end{array} </math> === Erzeugendenfunktion - multiplikatives Fuzzy-NAND === Das multiplikative Fuzzy-NAND <math>NAND_\odot</math> ist eine Erzeugendenfunktion für alle fuzzylogischen Verknüpfungen, denn es gilt für <math>x,y\in [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{rcl} x \ \widetilde{\wedge}_{_\odot} \ y & := & NAND_\odot(1-x,1-y) = x\cdot y \\ \widetilde{\neg}_{_\odot} \, x & := & NAND_\odot(x,x) \\ x \ \widetilde{\vee}_{\!\!_\odot} \, y & := & \widetilde{\neg}_{_\odot} (\widetilde{\neg}_{_\odot} \ x \ \widetilde{\wedge}_{_\odot} \ \widetilde{\neg}_{_\odot} \ y) \\ x \ \widetilde{\rightarrow}_{\!_\odot} \ y & := & \widetilde{\neg}_{_\odot} ( \ x \ \widetilde{\vee}_{\!\!_\odot} \ y) \\ \end{array} </math> === Aufgabe für Studierende === * Zeigen Sie, dass die obige Definition des multiplikativen NAND zu einer mit der klassischen Logik konsistenten Eigenschaft der Fuzzy-Verknüpfungen kommt. === Bemerkung - strengeres Fuzzy-UND === Das multiplikative Fuzzy-NAND <math>NAND_\odot</math> erzeugt ein strengeres Fuzzy-AND als fuzzylogische Verknüpfungen als die Min-Max-Definition der fuzzylogischen Verknüpfungen. Dies bedeutet, dass für alle <math>x,y\in [0,1]</math> gilt: :<math> x \ \widetilde{\wedge}_{_\odot} \, y \ \ \leq \ \ x \ \widetilde{\wedge} \ y </math> == Aufgaben - Zugehörigkeitsfunktion == Mit den folgenden Aufgaben zum Thema ''Fuzzy-Implikation'' als ''Operator'' auf Fuzzymengen behandelt: * Erzeugen Sie eine Zugehörigkeitsfunktion einer Fuzzymenge für den linguistischen Wert "alt" und "schnell" wobei die Grundmenge <math>\Omega := [0,100] </math> ein Alter zwischen 0 und 100 Jahren als Argument der Zugehörigkeitsfunktionen definiert. * Zeichnen Sie einen Graphen <math>\mu_{alt} : \Omega \to [0,1]</math> mit <math>\Omega := [0,100] </math> auf der x-Achse und <math>[0,1]</math> auf der y-Achse, wobei <math>\mu_{alt}(x) \in [0,1] </math> angibt, zu welchem Grad eine Alter <math>x</math> die Eigenschaft "alt" als linguistischen Wert erfüllt. * Zeichnen Sie einen Graphen <math>\mu_{schnell} : \Omega \to [0,1]</math> mit <math>\Omega := [0,100] </math> auf der x-Achse und <math>[0,1]</math> auf der y-Achse, wobei <math>\mu_{schnell}(x) \in [0,1] </math> angibt, zu welchem Grad eine Alter <math>x</math> die Eigenschaft "schnell" als linguistischen Wert erfüllt. == Aufgaben - Fuzzylogische Folgerung == Als einführendes Beispiel zum Thema ''fuzzylogische Operatoren'' dient dazu, sprachliche formuliert "WENN-DANN"-Aussagen in fuzzylogische zu übertragen und danach die resultierende Zugehörigkeitsfunktion zu interpretieren. <math>\Omega = [0,100] </math> ist das Alter in Jahren. * Nutzen Sie die obigen [[Fuzzylogik/Zugehörigkeitsfunktion|Zugehörigkeitsfunktionen]] von "alt" und "schnell". * Basierend auf den obigen [[Fuzzylogik/Zugehörigkeitsfunktion|Zugehörigkeitsfunktionen]] zeichnen Sie zunächst freihändig die Zugehörigkeitsfunktion ''"WENN alt DANN schnell"'' * Berechnen Sie dann die fuzzylogische Zugehörigkeitsfunktion von ''"WENN alt DANN schnell"''! Drücken Sie dabei die Folgerung zunächst durch UND, ODER und NICHT aus. * Falls sich Ihre "Freihandzeichnung" und der berechnete Graph der Zughörigkeitsfunktion unterscheiden, begründen Sie, warum die Freihandzeichnung von dem berechneten Graphen abweicht! <span id="Operatoren"></span> == Konsistenz zu klassischen Logik == Die Eigenschaft, dass fuzzylogische Operationen ''konsistent'' zu klassischen Logik sein müssen, bedeutet, dass in einem <math>n</math>-dimenesionalen Einheitswürfel für beliebige <math>n\in \mathbb{N}</math> die Funktionswerte der fuzzylogischen Operation in den [[w:de:Extremalpunkt|Extermalpunkten]] mit der klassischen Logik übereinstimmen müssen. === Extremalpunkte des Einheitswürfels === Man betrachtet den <math>n</math>-dimenesionalen Einheitswürfel <math>\Omega_n := [0,1]^n</math> mit: :<math> [0,1]^n := \{ (\omega_1 , \ldots , \omega_n) \in \mathbb{R}^n \ : \ \omega_1 , \ldots , \omega_n \in [0,1] \} </math> Die [[w:de:Extremalpunkt|Extermalpunkte]] <math> \mathfrak{E}(\Omega_n)</math> des <math>n</math>-dimenesionalen Einheitswürfels <math>\Omega_n</math> sind: :<math> \mathfrak{E}(\Omega_n)=\{0,1\}^n = \{ (\omega_1 , \ldots , \omega_n) \in \mathbb{R}^n \ : \ \omega_1 , \ldots , \omega_n \in \{0,1\} \} </math> === Bemerkung - Extremalpunkte === Ein Extremalpunkt <math>(\omega_1 , \ldots , \omega_n) \in \mathfrak{E}(\Omega_n) </math> besteht nur aus Komponenten <math>0</math> oder <math>1</math> (z.B. für <math>n=2</math> ist <math>\Omega_2</math> das Einheitsquadrat <math>[0,1] \times [0,1]\subset \mathbb{R}^2</math>. Die [[w:de:Extremalpunkt|Extermalpunkte]] <math> \mathfrak{E}(\Omega_2)</math> bestehen dann aus den 4 Eckpunkten, d.h. :<math> \mathfrak{E}(\Omega_2)=\{0,1\}^2 = \{ (0,0) ,(0,1), (1,0), (1,1) \} </math> Für das Einheitsintervall <math>\Omega_1 = [0,1]</math> gilt <math>\mathfrak{E}(\Omega_1)=\{0,1\}</math>. === Beispiele - Fuzzylogische Operationen === In dem obigen Beispiel wurden die fuzzylogischen Operationen einmal mit der <math>\min</math>-Definition von <math>NAND</math>-Verknüpfung und einmal mit dem multiplikativen <math>NAND_{\!\!_\odot}</math> erzeugt. Man betrachtet nun die Konsistenz mit der klassischen Logik, wobei die klassische Logik die Verknüpfung allein auf den [[w:de:Extremalpunkt|Extermalpunkten]] <math> \mathfrak{E}(\Omega_n)</math> von <math> \Omega_n</math> festlegt. ==== Konsistenz - Negation - logisches NICHT==== Das logische NICHT ändert den Wahrheitswert von ''wahr'' (=1) auf ''falsch'' (=0) und umgekehrt den Wahrheitswert von ''falsch'' (=0) auf ''wahr'' (=1). * Über die <math>\min</math>-Definition der <math>NAND</math>-Verknüpfung erhält man <math>\widetilde{\neg}\, \omega = 1-\omega </math> für <math>\omega \in [0,1]</math>. * Über die multiplikative Definition der <math>NAND_{\!\!_\odot}</math>-Verknüpfung erhält man <math>\widetilde{\neg}_{\!_\odot}\, \omega = 1-\omega^2 </math> für <math>\omega \in [0,1]</math>. In beiden Fällen erhält man die Konsistenz mit der klassischen Logik, da sowohl <math> \widetilde{\neg}\, 1 = \widetilde{\neg}_{\!_\odot}\, 1 = 0 </math> und <math> \widetilde{\neg}\, 0 = \widetilde{\neg}_{\!_\odot}\, 0 = 1 </math> gilt. ==== Konsistenz - Konjunktion - logisches UND ==== Betrachtet man das logische UND für bei erzeugende NAND-Verknüpfungen, dann erhält man: :<math> \begin{array}{rcccl} x \ \widetilde{\wedge} \, y & = & NAND(1-x,1-y) &= &\min\{ x,y \} \\ x \ \widetilde{\wedge}_{_\odot} \, y & = & NAND_\odot(1-x,1-y) & = & x\cdot y \\ \end{array} </math> Durch Einsetzen der [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte]] :<math> \mathfrak{E}(\Omega_2)=\{0,1\}^2 = \{ (0,0) ,(0,1), (1,0), (1,1) \} </math> aus <math>\Omega_2</math> erhält man analog für beide erzeugenden <math>NAND</math>-Verknüpfungen die Konsistenz mit der klassischen Logik. ==== Konsistenz - Disjunktion - logisches ODER ==== == Logische Operationen == Analog zur klassischen (crispen) Logik kann man in der Fuzzylogik auch logische Operatoren definieren, die konsistent zu klassischen Logik sind, d.h. in den crispen Grenzfällen von 0 und 1 für falsch und wahr den Operatoren in der klassischen Logik nicht widersprechen. === Negation === Die Negation in der Fuzzylogik erfolgt durch Subtraktion der Eingabewerte von 1. Also ''' NOT(A)=1-A''' === Nicht ausschließende-ODER-Schaltung === Die Adjunktion erfolgt durch Wahl des jeweils höheren Wertes der Eingabewerte. Also ''' OR(A;B)=A wenn A>B''' ''' B wenn A<=B''' Dies kann man analog auch durch das Maximum ausdrücken <math>OR(A;B) := \max\{A,B\}</math> === UND-Schaltung === Die Konjunktion erfolgt durch Wahl des jeweils niedrigeren Wertes der Eingabewerte. Also ''' AND(A;B)=A wenn A&lt;B''' ''' B wenn A>=B''' Dies kann man analog auch durch das Minimum ausdrücken <math>AND(A;B) := \min\{A,B\}</math> === Ausschließende-ODER-Schaltung === Für die Disjunktion komplementiert man den kleineren zweier Werte und wählt den kleineren der beiden. Für mehr als zwei Eingabewerte setzt man das Ergebnis der letzten Operation rekursiv mit dem jeweils nächsten Eingabewert ein. Einfacher: man nimmt die Differenz des weniger Extremen von dem ihm gegenüberliegenden Extremwert. Also ''' XOR(A;B)=A wenn A>B und A<(1-B)''' ''' 1-B wenn A>B und A>=(1-B)''' ''' B wenn B>=A und B<(1-A)''' ''' 1-A wenn B>=A und B>=(1-A)''' === Wahrheitstafel von XOR === Das ausschließende ODER "XOR" besitzt in der klasssischen Logik die Wahrheitstafel von <math>\neg(A \leftrightarrow B) </math>. {| class="wikitable float-right" |- ! <math>A</math> ! <math>B</math> ! <math>\neg(A \leftrightarrow B) </math> |- | falsch | falsch |style="text-align:center"| falsch |- | falsch | wahr |style="text-align:center"| wahr |- | wahr | falsch |style="text-align:center"| wahr |- | wahr | wahr |style="text-align:center"| falsch |} === Fuzzylogische Berechnung von XOR === Um konsistent zur klassischen Logik zu bleiben, kann man eine ''"ausschließendes ODER"'' auch über die logischen Verknüpfungen "UND", "ODER" und "NICHT" ausdrücken. :<math> XOR(A,B) \Longleftrightarrow \neg (A \longleftrightarrow B) \Longleftrightarrow (A\wedge \neg B) \vee (B\wedge \neg A) </math> Mit die Verwendung <math>max</math> für ODER und <math>min</math> für UND kann man XOR(A,B) fuzzylogisch wie folgt darstellen: :<math> XOR(A,B) = max\big( min(\mu_{A},1-\mu_{B}) , min(\mu_{B},1-\mu_{A}) \big) </math> == Literatur/Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte einer Menge]] * [[w:de:Fuzzylogik/Operatoren|Fuzzylogik/Operatoren]] * [[Mathematische Modellbildung]] * [[Open Educational Resources]] * [[Wiki2Reveal]] === Kurse === * [[Kurs:Maschinelles Lernen]] * [[Kurs:Mathematische Modellbildung]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik/Operatoren&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Operatoren&coursetitle=Fuzzylogik Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik/Operatoren&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Operatoren&coursetitle=Fuzzylogik Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik Fuzzylogik]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Fuzzylogik/Operatoren https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik/Operatoren] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik/Operatoren Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik/Operatoren * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik/Operatoren&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Operatoren&coursetitle=Fuzzylogik Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 0f09j2c0vfaz3nq6nyu51yxwjk2mwqd 1119289 1119288 2026-11-10T08:07:47Z Bert Niehaus 20843 /* Konsistenz - Disjunktion - logisches ODER */ 1119289 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite zum Thema ''Fuzzylogik/Operatoren'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik/Operatoren&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Operatoren&coursetitle=Fuzzylogik Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt: * (1) Klassische logische Operationen<ref>Suppes, P. (1999). Introduction to logic. Courier Corporation.</ref>, * (2) [[Fuzzylogik/Operatoren#Operatoren|Fuzzylogische Operatoren]]<ref>Buckley, J. J., & Eslami, E. (2002). An introduction to fuzzy logic and fuzzy sets (Vol. 13). Springer Science & Business Media.</ref>, * (3) [[Fuzzylogik/Operatoren#Konsistenz|Konsistenz zur klassischen Logik]]. === Konsistenz zur klassischen Logik === Die Konsistenz zur klassischen Logik besagt, dass die Fuzzylogik auf den [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkten]] des Einheitsquadrates <math>\Omega := [0,1]\times [0,1]</math> genauso funktionieren muss, wie die klassische Logik. Die == Zielsetzung == Diese Lernressource zu ''Fuzzylogik und Operatoren'' in der Wikiversity hat das Ziel, das klassische Konzept von logischen Operatoren UND, ODER, NICHT, WENN ... DANN, ...) (<math> \wedge, \vee, \neg, \Rightarrow </math>) auf fuzzylogische Operationen zu verallgemeinern. == Lernvoraussetzungen == Die Lernressource zum Thema ''Fuzzylogik/Operatoren'' hat die folgenden Lernvoraussetzungen, die zum Verständnis der nachfolgenden Ausführungen hilfreich bzw. notwendig sind. * '''([[Fuzzylogik/Zugehörigkeitsfunktion|Zugehörigkeitsfunktionen]])''' Funktionale Beschreibung unscharfer Mengen * '''(Wahrheitstafeln)''' Wahrheitstafeln für klassische logische Operatoren * '''(Implikationen/Folgerungen)''' klassische Implikationen/Folgerungen, da diese auf die Fuzzylogik übertragen werden == Operatoren für unscharfe Mengen == [[Datei:Fuzzy-Operatoren.png|450px|UND-ODER-NICHT-Operatoren zur Verknüpfung von Zugehörigkeitsfunktionen (Teilmengen).]] === Erzeugendenfunktion - Fuzzy-NAND === Die Verknüpfung Fuzzy-NAND <math>NAND_\odot</math> ist eine Erzeugendenfunktion für alle fuzzylogischen Verknüpfungen, denn es gilt für <math>x,y\in [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{rcl} x \ \widetilde{\wedge} \ y & := & NAND(1-x,1-y) = \min\{ x,y \} \\ \widetilde{\neg} \, x & := & NAND(x,x) = \min\{ 1-x,1-x \} = 1-x \\ x \ \widetilde{\vee} \, y & := & \widetilde{\neg} (\widetilde{\neg} \ x \ \widetilde{\wedge} \ \widetilde{\neg} \ y) = = 1- \min\{ x, y \} = \max\{ x,y \} \\ x \ \widetilde{\rightarrow} \ y & := & \widetilde{\neg} ( \ x \ \widetilde{\vee} \ y) = \max\{ 1-x,y \} \\ \end{array} </math> === Fortsetzung der klassischen Logik nicht eindeutig === Die Fortsetzung der klassischen Logik ist allerding nicht eindeutig. Durch das die multiplikative Fuzzy-NAND-Funktion wird ebenfalls eine von der obigen Min-Max-Operator-Definition wesentlich verschiedene Definition der Fuzzyoperationen definiert, die ebenfalls konsistent zur klassischen Logik ist. === Multiplikatives Fuzzy-NAND === Man definiert das multiplikative Fuzzy-NAND wie folgt: :<math> \begin{array}{rrcl} NAND_\odot: & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & [0,1] \\ & \left( x,y \right) & \mapsto & NAND_\odot\left( x,y \right) = (1-x)\cdot (1-y) \end{array} </math> === Erzeugendenfunktion - multiplikatives Fuzzy-NAND === Das multiplikative Fuzzy-NAND <math>NAND_\odot</math> ist eine Erzeugendenfunktion für alle fuzzylogischen Verknüpfungen, denn es gilt für <math>x,y\in [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{rcl} x \ \widetilde{\wedge}_{_\odot} \ y & := & NAND_\odot(1-x,1-y) = x\cdot y \\ \widetilde{\neg}_{_\odot} \, x & := & NAND_\odot(x,x) \\ x \ \widetilde{\vee}_{\!\!_\odot} \, y & := & \widetilde{\neg}_{_\odot} (\widetilde{\neg}_{_\odot} \ x \ \widetilde{\wedge}_{_\odot} \ \widetilde{\neg}_{_\odot} \ y) \\ x \ \widetilde{\rightarrow}_{\!_\odot} \ y & := & \widetilde{\neg}_{_\odot} ( \ x \ \widetilde{\vee}_{\!\!_\odot} \ y) \\ \end{array} </math> === Aufgabe für Studierende === * Zeigen Sie, dass die obige Definition des multiplikativen NAND zu einer mit der klassischen Logik konsistenten Eigenschaft der Fuzzy-Verknüpfungen kommt. === Bemerkung - strengeres Fuzzy-UND === Das multiplikative Fuzzy-NAND <math>NAND_\odot</math> erzeugt ein strengeres Fuzzy-AND als fuzzylogische Verknüpfungen als die Min-Max-Definition der fuzzylogischen Verknüpfungen. Dies bedeutet, dass für alle <math>x,y\in [0,1]</math> gilt: :<math> x \ \widetilde{\wedge}_{_\odot} \, y \ \ \leq \ \ x \ \widetilde{\wedge} \ y </math> == Aufgaben - Zugehörigkeitsfunktion == Mit den folgenden Aufgaben zum Thema ''Fuzzy-Implikation'' als ''Operator'' auf Fuzzymengen behandelt: * Erzeugen Sie eine Zugehörigkeitsfunktion einer Fuzzymenge für den linguistischen Wert "alt" und "schnell" wobei die Grundmenge <math>\Omega := [0,100] </math> ein Alter zwischen 0 und 100 Jahren als Argument der Zugehörigkeitsfunktionen definiert. * Zeichnen Sie einen Graphen <math>\mu_{alt} : \Omega \to [0,1]</math> mit <math>\Omega := [0,100] </math> auf der x-Achse und <math>[0,1]</math> auf der y-Achse, wobei <math>\mu_{alt}(x) \in [0,1] </math> angibt, zu welchem Grad eine Alter <math>x</math> die Eigenschaft "alt" als linguistischen Wert erfüllt. * Zeichnen Sie einen Graphen <math>\mu_{schnell} : \Omega \to [0,1]</math> mit <math>\Omega := [0,100] </math> auf der x-Achse und <math>[0,1]</math> auf der y-Achse, wobei <math>\mu_{schnell}(x) \in [0,1] </math> angibt, zu welchem Grad eine Alter <math>x</math> die Eigenschaft "schnell" als linguistischen Wert erfüllt. == Aufgaben - Fuzzylogische Folgerung == Als einführendes Beispiel zum Thema ''fuzzylogische Operatoren'' dient dazu, sprachliche formuliert "WENN-DANN"-Aussagen in fuzzylogische zu übertragen und danach die resultierende Zugehörigkeitsfunktion zu interpretieren. <math>\Omega = [0,100] </math> ist das Alter in Jahren. * Nutzen Sie die obigen [[Fuzzylogik/Zugehörigkeitsfunktion|Zugehörigkeitsfunktionen]] von "alt" und "schnell". * Basierend auf den obigen [[Fuzzylogik/Zugehörigkeitsfunktion|Zugehörigkeitsfunktionen]] zeichnen Sie zunächst freihändig die Zugehörigkeitsfunktion ''"WENN alt DANN schnell"'' * Berechnen Sie dann die fuzzylogische Zugehörigkeitsfunktion von ''"WENN alt DANN schnell"''! Drücken Sie dabei die Folgerung zunächst durch UND, ODER und NICHT aus. * Falls sich Ihre "Freihandzeichnung" und der berechnete Graph der Zughörigkeitsfunktion unterscheiden, begründen Sie, warum die Freihandzeichnung von dem berechneten Graphen abweicht! <span id="Operatoren"></span> == Konsistenz zu klassischen Logik == Die Eigenschaft, dass fuzzylogische Operationen ''konsistent'' zu klassischen Logik sein müssen, bedeutet, dass in einem <math>n</math>-dimenesionalen Einheitswürfel für beliebige <math>n\in \mathbb{N}</math> die Funktionswerte der fuzzylogischen Operation in den [[w:de:Extremalpunkt|Extermalpunkten]] mit der klassischen Logik übereinstimmen müssen. === Extremalpunkte des Einheitswürfels === Man betrachtet den <math>n</math>-dimenesionalen Einheitswürfel <math>\Omega_n := [0,1]^n</math> mit: :<math> [0,1]^n := \{ (\omega_1 , \ldots , \omega_n) \in \mathbb{R}^n \ : \ \omega_1 , \ldots , \omega_n \in [0,1] \} </math> Die [[w:de:Extremalpunkt|Extermalpunkte]] <math> \mathfrak{E}(\Omega_n)</math> des <math>n</math>-dimenesionalen Einheitswürfels <math>\Omega_n</math> sind: :<math> \mathfrak{E}(\Omega_n)=\{0,1\}^n = \{ (\omega_1 , \ldots , \omega_n) \in \mathbb{R}^n \ : \ \omega_1 , \ldots , \omega_n \in \{0,1\} \} </math> === Bemerkung - Extremalpunkte === Ein Extremalpunkt <math>(\omega_1 , \ldots , \omega_n) \in \mathfrak{E}(\Omega_n) </math> besteht nur aus Komponenten <math>0</math> oder <math>1</math> (z.B. für <math>n=2</math> ist <math>\Omega_2</math> das Einheitsquadrat <math>[0,1] \times [0,1]\subset \mathbb{R}^2</math>. Die [[w:de:Extremalpunkt|Extermalpunkte]] <math> \mathfrak{E}(\Omega_2)</math> bestehen dann aus den 4 Eckpunkten, d.h. :<math> \mathfrak{E}(\Omega_2)=\{0,1\}^2 = \{ (0,0) ,(0,1), (1,0), (1,1) \} </math> Für das Einheitsintervall <math>\Omega_1 = [0,1]</math> gilt <math>\mathfrak{E}(\Omega_1)=\{0,1\}</math>. === Beispiele - Fuzzylogische Operationen === In dem obigen Beispiel wurden die fuzzylogischen Operationen einmal mit der <math>\min</math>-Definition von <math>NAND</math>-Verknüpfung und einmal mit dem multiplikativen <math>NAND_{\!\!_\odot}</math> erzeugt. Man betrachtet nun die Konsistenz mit der klassischen Logik, wobei die klassische Logik die Verknüpfung allein auf den [[w:de:Extremalpunkt|Extermalpunkten]] <math> \mathfrak{E}(\Omega_n)</math> von <math> \Omega_n</math> festlegt. ==== Konsistenz - Negation - logisches NICHT==== Das logische NICHT ändert den Wahrheitswert von ''wahr'' (=1) auf ''falsch'' (=0) und umgekehrt den Wahrheitswert von ''falsch'' (=0) auf ''wahr'' (=1). * Über die <math>\min</math>-Definition der <math>NAND</math>-Verknüpfung erhält man <math>\widetilde{\neg}\, \omega = 1-\omega </math> für <math>\omega \in [0,1]</math>. * Über die multiplikative Definition der <math>NAND_{\!\!_\odot}</math>-Verknüpfung erhält man <math>\widetilde{\neg}_{\!_\odot}\, \omega = 1-\omega^2 </math> für <math>\omega \in [0,1]</math>. In beiden Fällen erhält man die Konsistenz mit der klassischen Logik, da sowohl <math> \widetilde{\neg}\, 1 = \widetilde{\neg}_{\!_\odot}\, 1 = 0 </math> und <math> \widetilde{\neg}\, 0 = \widetilde{\neg}_{\!_\odot}\, 0 = 1 </math> gilt. ==== Konsistenz - Konjunktion - logisches UND ==== Betrachtet man das logische UND für bei erzeugende NAND-Verknüpfungen, dann erhält man: :<math> \begin{array}{rcccl} x \ \widetilde{\wedge} \, y & = & NAND(1-x,1-y) &= &\min\{ x,y \} \\ x \ \widetilde{\wedge}_{_\odot} \, y & = & NAND_\odot(1-x,1-y) & = & x\cdot y \\ \end{array} </math> Durch Einsetzen der [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte]] :<math> \mathfrak{E}(\Omega_2)=\{0,1\}^2 = \{ (0,0) ,(0,1), (1,0), (1,1) \} </math> aus <math>\Omega_2</math> erhält man analog für beide erzeugenden <math>NAND</math>-Verknüpfungen die Konsistenz mit der klassischen Logik. ==== Konsistenz - Disjunktion - logisches ODER ==== Betrachtet man das logische ODER für beide erzeugende NAND-Verknüpfungen, dann erhält man für die [[w:de:Diskunktion|Disjunktion]]: :<math> \begin{array}{rcccl} x \ \widetilde{\vee} \, y & = & 1-NAND(1-x,1-y) &= &\min\{ x,y \} \\ x \ \widetilde{\wedge}_{_\odot} \, y & = & 1-NAND_\odot(1-x,1-y) & = & x\cdot y \\ \end{array} </math> Durch Einsetzen der [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte]] :<math> \mathfrak{E}(\Omega_2)=\{0,1\}^2 = \{ (0,0) ,(0,1), (1,0), (1,1) \} </math> aus <math>\Omega_2</math> erhält man analog für beide erzeugenden <math>NAND</math>-Verknüpfungen die Konsistenz mit der klassischen Logik. == Logische Operationen == Analog zur klassischen (crispen) Logik kann man in der Fuzzylogik auch logische Operatoren definieren, die konsistent zu klassischen Logik sind, d.h. in den crispen Grenzfällen von 0 und 1 für falsch und wahr den Operatoren in der klassischen Logik nicht widersprechen. === Negation === Die Negation in der Fuzzylogik erfolgt durch Subtraktion der Eingabewerte von 1. Also ''' NOT(A)=1-A''' === Nicht ausschließende-ODER-Schaltung === Die Adjunktion erfolgt durch Wahl des jeweils höheren Wertes der Eingabewerte. Also ''' OR(A;B)=A wenn A>B''' ''' B wenn A<=B''' Dies kann man analog auch durch das Maximum ausdrücken <math>OR(A;B) := \max\{A,B\}</math> === UND-Schaltung === Die Konjunktion erfolgt durch Wahl des jeweils niedrigeren Wertes der Eingabewerte. Also ''' AND(A;B)=A wenn A&lt;B''' ''' B wenn A>=B''' Dies kann man analog auch durch das Minimum ausdrücken <math>AND(A;B) := \min\{A,B\}</math> === Ausschließende-ODER-Schaltung === Für die Disjunktion komplementiert man den kleineren zweier Werte und wählt den kleineren der beiden. Für mehr als zwei Eingabewerte setzt man das Ergebnis der letzten Operation rekursiv mit dem jeweils nächsten Eingabewert ein. Einfacher: man nimmt die Differenz des weniger Extremen von dem ihm gegenüberliegenden Extremwert. Also ''' XOR(A;B)=A wenn A>B und A<(1-B)''' ''' 1-B wenn A>B und A>=(1-B)''' ''' B wenn B>=A und B<(1-A)''' ''' 1-A wenn B>=A und B>=(1-A)''' === Wahrheitstafel von XOR === Das ausschließende ODER "XOR" besitzt in der klasssischen Logik die Wahrheitstafel von <math>\neg(A \leftrightarrow B) </math>. {| class="wikitable float-right" |- ! <math>A</math> ! <math>B</math> ! <math>\neg(A \leftrightarrow B) </math> |- | falsch | falsch |style="text-align:center"| falsch |- | falsch | wahr |style="text-align:center"| wahr |- | wahr | falsch |style="text-align:center"| wahr |- | wahr | wahr |style="text-align:center"| falsch |} === Fuzzylogische Berechnung von XOR === Um konsistent zur klassischen Logik zu bleiben, kann man eine ''"ausschließendes ODER"'' auch über die logischen Verknüpfungen "UND", "ODER" und "NICHT" ausdrücken. :<math> XOR(A,B) \Longleftrightarrow \neg (A \longleftrightarrow B) \Longleftrightarrow (A\wedge \neg B) \vee (B\wedge \neg A) </math> Mit die Verwendung <math>max</math> für ODER und <math>min</math> für UND kann man XOR(A,B) fuzzylogisch wie folgt darstellen: :<math> XOR(A,B) = max\big( min(\mu_{A},1-\mu_{B}) , min(\mu_{B},1-\mu_{A}) \big) </math> == Literatur/Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte einer Menge]] * [[w:de:Fuzzylogik/Operatoren|Fuzzylogik/Operatoren]] * [[Mathematische Modellbildung]] * [[Open Educational Resources]] * [[Wiki2Reveal]] === Kurse === * [[Kurs:Maschinelles Lernen]] * [[Kurs:Mathematische Modellbildung]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik/Operatoren&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Operatoren&coursetitle=Fuzzylogik Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik/Operatoren&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Operatoren&coursetitle=Fuzzylogik Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik Fuzzylogik]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Fuzzylogik/Operatoren https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik/Operatoren] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik/Operatoren Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik/Operatoren * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik/Operatoren&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Operatoren&coursetitle=Fuzzylogik Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 13v374r0p6w787ytzysoqh3beerb0si 1119290 1119289 2026-11-10T08:11:55Z Bert Niehaus 20843 /* Erzeugendenfunktion - Fuzzy-NAND */ 1119290 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite zum Thema ''Fuzzylogik/Operatoren'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik/Operatoren&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Operatoren&coursetitle=Fuzzylogik Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt: * (1) Klassische logische Operationen<ref>Suppes, P. (1999). Introduction to logic. Courier Corporation.</ref>, * (2) [[Fuzzylogik/Operatoren#Operatoren|Fuzzylogische Operatoren]]<ref>Buckley, J. J., & Eslami, E. (2002). An introduction to fuzzy logic and fuzzy sets (Vol. 13). Springer Science & Business Media.</ref>, * (3) [[Fuzzylogik/Operatoren#Konsistenz|Konsistenz zur klassischen Logik]]. === Konsistenz zur klassischen Logik === Die Konsistenz zur klassischen Logik besagt, dass die Fuzzylogik auf den [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkten]] des Einheitsquadrates <math>\Omega := [0,1]\times [0,1]</math> genauso funktionieren muss, wie die klassische Logik. Die == Zielsetzung == Diese Lernressource zu ''Fuzzylogik und Operatoren'' in der Wikiversity hat das Ziel, das klassische Konzept von logischen Operatoren UND, ODER, NICHT, WENN ... DANN, ...) (<math> \wedge, \vee, \neg, \Rightarrow </math>) auf fuzzylogische Operationen zu verallgemeinern. == Lernvoraussetzungen == Die Lernressource zum Thema ''Fuzzylogik/Operatoren'' hat die folgenden Lernvoraussetzungen, die zum Verständnis der nachfolgenden Ausführungen hilfreich bzw. notwendig sind. * '''([[Fuzzylogik/Zugehörigkeitsfunktion|Zugehörigkeitsfunktionen]])''' Funktionale Beschreibung unscharfer Mengen * '''(Wahrheitstafeln)''' Wahrheitstafeln für klassische logische Operatoren * '''(Implikationen/Folgerungen)''' klassische Implikationen/Folgerungen, da diese auf die Fuzzylogik übertragen werden == Operatoren für unscharfe Mengen == [[Datei:Fuzzy-Operatoren.png|450px|UND-ODER-NICHT-Operatoren zur Verknüpfung von Zugehörigkeitsfunktionen (Teilmengen).]] === Erzeugendenfunktion - Fuzzy-NAND === Die Verknüpfung Fuzzy-NAND <math>NAND_\odot</math> ist eine Erzeugendenfunktion für alle fuzzylogischen Verknüpfungen, denn es gilt für <math>x,y\in [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{rcccl} x \ \widetilde{\wedge} \ y & := & NAND(1-x,1-y) & = & \min\{ x,y \} \\ \widetilde{\neg} \, x & := & NAND(x,x) & = & \min\{ 1-x,1-x \} = 1-x \\ x \ \widetilde{\vee} \, y & := & \widetilde{\neg} \big( \widetilde{\neg} \ x \ \widetilde{\wedge} \ \widetilde{\neg} \ y \big) & = & 1- \min\{ x, y \} = \max\{ x,y \} \\ x \ \widetilde{\rightarrow} \ y & := & \widetilde{\neg} \ x \ \widetilde{\vee} \ y & = & \max\{ 1-x,y \} \\ \end{array} </math> Das Fuzzy-ODER <math>\widetilde{\vee}</math> wird über die [[w:de:De-Morgan-Regel|De-Morgan-Regel]] erzeugt. === Fortsetzung der klassischen Logik nicht eindeutig === Die Fortsetzung der klassischen Logik ist allerding nicht eindeutig. Durch das die multiplikative Fuzzy-NAND-Funktion wird ebenfalls eine von der obigen Min-Max-Operator-Definition wesentlich verschiedene Definition der Fuzzyoperationen definiert, die ebenfalls konsistent zur klassischen Logik ist. === Multiplikatives Fuzzy-NAND === Man definiert das multiplikative Fuzzy-NAND wie folgt: :<math> \begin{array}{rrcl} NAND_\odot: & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & [0,1] \\ & \left( x,y \right) & \mapsto & NAND_\odot\left( x,y \right) = (1-x)\cdot (1-y) \end{array} </math> === Erzeugendenfunktion - multiplikatives Fuzzy-NAND === Das multiplikative Fuzzy-NAND <math>NAND_\odot</math> ist eine Erzeugendenfunktion für alle fuzzylogischen Verknüpfungen, denn es gilt für <math>x,y\in [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{rcl} x \ \widetilde{\wedge}_{_\odot} \ y & := & NAND_\odot(1-x,1-y) = x\cdot y \\ \widetilde{\neg}_{_\odot} \, x & := & NAND_\odot(x,x) \\ x \ \widetilde{\vee}_{\!\!_\odot} \, y & := & \widetilde{\neg}_{_\odot} (\widetilde{\neg}_{_\odot} \ x \ \widetilde{\wedge}_{_\odot} \ \widetilde{\neg}_{_\odot} \ y) \\ x \ \widetilde{\rightarrow}_{\!_\odot} \ y & := & \widetilde{\neg}_{_\odot} ( \ x \ \widetilde{\vee}_{\!\!_\odot} \ y) \\ \end{array} </math> === Aufgabe für Studierende === * Zeigen Sie, dass die obige Definition des multiplikativen NAND zu einer mit der klassischen Logik konsistenten Eigenschaft der Fuzzy-Verknüpfungen kommt. === Bemerkung - strengeres Fuzzy-UND === Das multiplikative Fuzzy-NAND <math>NAND_\odot</math> erzeugt ein strengeres Fuzzy-AND als fuzzylogische Verknüpfungen als die Min-Max-Definition der fuzzylogischen Verknüpfungen. Dies bedeutet, dass für alle <math>x,y\in [0,1]</math> gilt: :<math> x \ \widetilde{\wedge}_{_\odot} \, y \ \ \leq \ \ x \ \widetilde{\wedge} \ y </math> == Aufgaben - Zugehörigkeitsfunktion == Mit den folgenden Aufgaben zum Thema ''Fuzzy-Implikation'' als ''Operator'' auf Fuzzymengen behandelt: * Erzeugen Sie eine Zugehörigkeitsfunktion einer Fuzzymenge für den linguistischen Wert "alt" und "schnell" wobei die Grundmenge <math>\Omega := [0,100] </math> ein Alter zwischen 0 und 100 Jahren als Argument der Zugehörigkeitsfunktionen definiert. * Zeichnen Sie einen Graphen <math>\mu_{alt} : \Omega \to [0,1]</math> mit <math>\Omega := [0,100] </math> auf der x-Achse und <math>[0,1]</math> auf der y-Achse, wobei <math>\mu_{alt}(x) \in [0,1] </math> angibt, zu welchem Grad eine Alter <math>x</math> die Eigenschaft "alt" als linguistischen Wert erfüllt. * Zeichnen Sie einen Graphen <math>\mu_{schnell} : \Omega \to [0,1]</math> mit <math>\Omega := [0,100] </math> auf der x-Achse und <math>[0,1]</math> auf der y-Achse, wobei <math>\mu_{schnell}(x) \in [0,1] </math> angibt, zu welchem Grad eine Alter <math>x</math> die Eigenschaft "schnell" als linguistischen Wert erfüllt. == Aufgaben - Fuzzylogische Folgerung == Als einführendes Beispiel zum Thema ''fuzzylogische Operatoren'' dient dazu, sprachliche formuliert "WENN-DANN"-Aussagen in fuzzylogische zu übertragen und danach die resultierende Zugehörigkeitsfunktion zu interpretieren. <math>\Omega = [0,100] </math> ist das Alter in Jahren. * Nutzen Sie die obigen [[Fuzzylogik/Zugehörigkeitsfunktion|Zugehörigkeitsfunktionen]] von "alt" und "schnell". * Basierend auf den obigen [[Fuzzylogik/Zugehörigkeitsfunktion|Zugehörigkeitsfunktionen]] zeichnen Sie zunächst freihändig die Zugehörigkeitsfunktion ''"WENN alt DANN schnell"'' * Berechnen Sie dann die fuzzylogische Zugehörigkeitsfunktion von ''"WENN alt DANN schnell"''! Drücken Sie dabei die Folgerung zunächst durch UND, ODER und NICHT aus. * Falls sich Ihre "Freihandzeichnung" und der berechnete Graph der Zughörigkeitsfunktion unterscheiden, begründen Sie, warum die Freihandzeichnung von dem berechneten Graphen abweicht! <span id="Operatoren"></span> == Konsistenz zu klassischen Logik == Die Eigenschaft, dass fuzzylogische Operationen ''konsistent'' zu klassischen Logik sein müssen, bedeutet, dass in einem <math>n</math>-dimenesionalen Einheitswürfel für beliebige <math>n\in \mathbb{N}</math> die Funktionswerte der fuzzylogischen Operation in den [[w:de:Extremalpunkt|Extermalpunkten]] mit der klassischen Logik übereinstimmen müssen. === Extremalpunkte des Einheitswürfels === Man betrachtet den <math>n</math>-dimenesionalen Einheitswürfel <math>\Omega_n := [0,1]^n</math> mit: :<math> [0,1]^n := \{ (\omega_1 , \ldots , \omega_n) \in \mathbb{R}^n \ : \ \omega_1 , \ldots , \omega_n \in [0,1] \} </math> Die [[w:de:Extremalpunkt|Extermalpunkte]] <math> \mathfrak{E}(\Omega_n)</math> des <math>n</math>-dimenesionalen Einheitswürfels <math>\Omega_n</math> sind: :<math> \mathfrak{E}(\Omega_n)=\{0,1\}^n = \{ (\omega_1 , \ldots , \omega_n) \in \mathbb{R}^n \ : \ \omega_1 , \ldots , \omega_n \in \{0,1\} \} </math> === Bemerkung - Extremalpunkte === Ein Extremalpunkt <math>(\omega_1 , \ldots , \omega_n) \in \mathfrak{E}(\Omega_n) </math> besteht nur aus Komponenten <math>0</math> oder <math>1</math> (z.B. für <math>n=2</math> ist <math>\Omega_2</math> das Einheitsquadrat <math>[0,1] \times [0,1]\subset \mathbb{R}^2</math>. Die [[w:de:Extremalpunkt|Extermalpunkte]] <math> \mathfrak{E}(\Omega_2)</math> bestehen dann aus den 4 Eckpunkten, d.h. :<math> \mathfrak{E}(\Omega_2)=\{0,1\}^2 = \{ (0,0) ,(0,1), (1,0), (1,1) \} </math> Für das Einheitsintervall <math>\Omega_1 = [0,1]</math> gilt <math>\mathfrak{E}(\Omega_1)=\{0,1\}</math>. === Beispiele - Fuzzylogische Operationen === In dem obigen Beispiel wurden die fuzzylogischen Operationen einmal mit der <math>\min</math>-Definition von <math>NAND</math>-Verknüpfung und einmal mit dem multiplikativen <math>NAND_{\!\!_\odot}</math> erzeugt. Man betrachtet nun die Konsistenz mit der klassischen Logik, wobei die klassische Logik die Verknüpfung allein auf den [[w:de:Extremalpunkt|Extermalpunkten]] <math> \mathfrak{E}(\Omega_n)</math> von <math> \Omega_n</math> festlegt. ==== Konsistenz - Negation - logisches NICHT==== Das logische NICHT ändert den Wahrheitswert von ''wahr'' (=1) auf ''falsch'' (=0) und umgekehrt den Wahrheitswert von ''falsch'' (=0) auf ''wahr'' (=1). * Über die <math>\min</math>-Definition der <math>NAND</math>-Verknüpfung erhält man <math>\widetilde{\neg}\, \omega = 1-\omega </math> für <math>\omega \in [0,1]</math>. * Über die multiplikative Definition der <math>NAND_{\!\!_\odot}</math>-Verknüpfung erhält man <math>\widetilde{\neg}_{\!_\odot}\, \omega = 1-\omega^2 </math> für <math>\omega \in [0,1]</math>. In beiden Fällen erhält man die Konsistenz mit der klassischen Logik, da sowohl <math> \widetilde{\neg}\, 1 = \widetilde{\neg}_{\!_\odot}\, 1 = 0 </math> und <math> \widetilde{\neg}\, 0 = \widetilde{\neg}_{\!_\odot}\, 0 = 1 </math> gilt. ==== Konsistenz - Konjunktion - logisches UND ==== Betrachtet man das logische UND für bei erzeugende NAND-Verknüpfungen, dann erhält man: :<math> \begin{array}{rcccl} x \ \widetilde{\wedge} \, y & = & NAND(1-x,1-y) &= &\min\{ x,y \} \\ x \ \widetilde{\wedge}_{_\odot} \, y & = & NAND_\odot(1-x,1-y) & = & x\cdot y \\ \end{array} </math> Durch Einsetzen der [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte]] :<math> \mathfrak{E}(\Omega_2)=\{0,1\}^2 = \{ (0,0) ,(0,1), (1,0), (1,1) \} </math> aus <math>\Omega_2</math> erhält man analog für beide erzeugenden <math>NAND</math>-Verknüpfungen die Konsistenz mit der klassischen Logik. ==== Konsistenz - Disjunktion - logisches ODER ==== Betrachtet man das logische ODER für beide erzeugende NAND-Verknüpfungen, dann erhält man für die [[w:de:Diskunktion|Disjunktion]]: :<math> \begin{array}{rcccl} x \ \widetilde{\vee} \, y & = & 1-NAND(1-x,1-y) &= &\min\{ x,y \} \\ x \ \widetilde{\wedge}_{_\odot} \, y & = & 1-NAND_\odot(1-x,1-y) & = & x\cdot y \\ \end{array} </math> Durch Einsetzen der [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte]] :<math> \mathfrak{E}(\Omega_2)=\{0,1\}^2 = \{ (0,0) ,(0,1), (1,0), (1,1) \} </math> aus <math>\Omega_2</math> erhält man analog für beide erzeugenden <math>NAND</math>-Verknüpfungen die Konsistenz mit der klassischen Logik. == Logische Operationen == Analog zur klassischen (crispen) Logik kann man in der Fuzzylogik auch logische Operatoren definieren, die konsistent zu klassischen Logik sind, d.h. in den crispen Grenzfällen von 0 und 1 für falsch und wahr den Operatoren in der klassischen Logik nicht widersprechen. === Negation === Die Negation in der Fuzzylogik erfolgt durch Subtraktion der Eingabewerte von 1. Also ''' NOT(A)=1-A''' === Nicht ausschließende-ODER-Schaltung === Die Adjunktion erfolgt durch Wahl des jeweils höheren Wertes der Eingabewerte. Also ''' OR(A;B)=A wenn A>B''' ''' B wenn A<=B''' Dies kann man analog auch durch das Maximum ausdrücken <math>OR(A;B) := \max\{A,B\}</math> === UND-Schaltung === Die Konjunktion erfolgt durch Wahl des jeweils niedrigeren Wertes der Eingabewerte. Also ''' AND(A;B)=A wenn A&lt;B''' ''' B wenn A>=B''' Dies kann man analog auch durch das Minimum ausdrücken <math>AND(A;B) := \min\{A,B\}</math> === Ausschließende-ODER-Schaltung === Für die Disjunktion komplementiert man den kleineren zweier Werte und wählt den kleineren der beiden. Für mehr als zwei Eingabewerte setzt man das Ergebnis der letzten Operation rekursiv mit dem jeweils nächsten Eingabewert ein. Einfacher: man nimmt die Differenz des weniger Extremen von dem ihm gegenüberliegenden Extremwert. Also ''' XOR(A;B)=A wenn A>B und A<(1-B)''' ''' 1-B wenn A>B und A>=(1-B)''' ''' B wenn B>=A und B<(1-A)''' ''' 1-A wenn B>=A und B>=(1-A)''' === Wahrheitstafel von XOR === Das ausschließende ODER "XOR" besitzt in der klasssischen Logik die Wahrheitstafel von <math>\neg(A \leftrightarrow B) </math>. {| class="wikitable float-right" |- ! <math>A</math> ! <math>B</math> ! <math>\neg(A \leftrightarrow B) </math> |- | falsch | falsch |style="text-align:center"| falsch |- | falsch | wahr |style="text-align:center"| wahr |- | wahr | falsch |style="text-align:center"| wahr |- | wahr | wahr |style="text-align:center"| falsch |} === Fuzzylogische Berechnung von XOR === Um konsistent zur klassischen Logik zu bleiben, kann man eine ''"ausschließendes ODER"'' auch über die logischen Verknüpfungen "UND", "ODER" und "NICHT" ausdrücken. :<math> XOR(A,B) \Longleftrightarrow \neg (A \longleftrightarrow B) \Longleftrightarrow (A\wedge \neg B) \vee (B\wedge \neg A) </math> Mit die Verwendung <math>max</math> für ODER und <math>min</math> für UND kann man XOR(A,B) fuzzylogisch wie folgt darstellen: :<math> XOR(A,B) = max\big( min(\mu_{A},1-\mu_{B}) , min(\mu_{B},1-\mu_{A}) \big) </math> == Literatur/Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte einer Menge]] * [[w:de:Fuzzylogik/Operatoren|Fuzzylogik/Operatoren]] * [[Mathematische Modellbildung]] * [[Open Educational Resources]] * [[Wiki2Reveal]] === Kurse === * [[Kurs:Maschinelles Lernen]] * [[Kurs:Mathematische Modellbildung]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik/Operatoren&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Operatoren&coursetitle=Fuzzylogik Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik/Operatoren&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Operatoren&coursetitle=Fuzzylogik Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik Fuzzylogik]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Fuzzylogik/Operatoren https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik/Operatoren] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik/Operatoren Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik/Operatoren * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik/Operatoren&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Operatoren&coursetitle=Fuzzylogik Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] rprnpf45snip6tpwq7mxid2qqvkqzs1 1119291 1119290 2026-11-10T08:13:04Z Bert Niehaus 20843 /* Erzeugendenfunktion - Fuzzy-NAND */ 1119291 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite zum Thema ''Fuzzylogik/Operatoren'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik/Operatoren&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Operatoren&coursetitle=Fuzzylogik Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt: * (1) Klassische logische Operationen<ref>Suppes, P. (1999). Introduction to logic. Courier Corporation.</ref>, * (2) [[Fuzzylogik/Operatoren#Operatoren|Fuzzylogische Operatoren]]<ref>Buckley, J. J., & Eslami, E. (2002). An introduction to fuzzy logic and fuzzy sets (Vol. 13). Springer Science & Business Media.</ref>, * (3) [[Fuzzylogik/Operatoren#Konsistenz|Konsistenz zur klassischen Logik]]. === Konsistenz zur klassischen Logik === Die Konsistenz zur klassischen Logik besagt, dass die Fuzzylogik auf den [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkten]] des Einheitsquadrates <math>\Omega := [0,1]\times [0,1]</math> genauso funktionieren muss, wie die klassische Logik. Die == Zielsetzung == Diese Lernressource zu ''Fuzzylogik und Operatoren'' in der Wikiversity hat das Ziel, das klassische Konzept von logischen Operatoren UND, ODER, NICHT, WENN ... DANN, ...) (<math> \wedge, \vee, \neg, \Rightarrow </math>) auf fuzzylogische Operationen zu verallgemeinern. == Lernvoraussetzungen == Die Lernressource zum Thema ''Fuzzylogik/Operatoren'' hat die folgenden Lernvoraussetzungen, die zum Verständnis der nachfolgenden Ausführungen hilfreich bzw. notwendig sind. * '''([[Fuzzylogik/Zugehörigkeitsfunktion|Zugehörigkeitsfunktionen]])''' Funktionale Beschreibung unscharfer Mengen * '''(Wahrheitstafeln)''' Wahrheitstafeln für klassische logische Operatoren * '''(Implikationen/Folgerungen)''' klassische Implikationen/Folgerungen, da diese auf die Fuzzylogik übertragen werden == Operatoren für unscharfe Mengen == [[Datei:Fuzzy-Operatoren.png|450px|UND-ODER-NICHT-Operatoren zur Verknüpfung von Zugehörigkeitsfunktionen (Teilmengen).]] === Erzeugendenfunktion - Fuzzy-NAND === Die Verknüpfung Fuzzy-NAND <math>NAND_\odot</math> ist eine Erzeugendenfunktion für alle fuzzylogischen Verknüpfungen, denn es gilt für <math>x,y\in [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{rcccl} x \ \widetilde{\wedge} \ y & := & NAND(1-x,1-y) & = & \min\{ x,y \} \\ \widetilde{\neg} \, x & := & NAND(x,x) & = & \min\{ 1-x,1-x \} = 1-x \\ x \ \widetilde{\vee} \, y & := & \widetilde{\neg} \big( \widetilde{\neg} \ x \ \widetilde{\wedge} \ \widetilde{\neg} \ y \big) & = & 1- \min\{ x, y \} = \max\{ x,y \} \\ x \ \widetilde{\rightarrow} \ y & := & \widetilde{\neg} \ x \ \widetilde{\vee} \ y & = & \max\{ 1-x,y \} \\ \end{array} </math> Das Fuzzy-ODER <math>\widetilde{\vee}</math> wird über die [[w:de:De-morgansche Gesetze|De-morganschen Gesetze]] erzeugt. === Fortsetzung der klassischen Logik nicht eindeutig === Die Fortsetzung der klassischen Logik ist allerding nicht eindeutig. Durch das die multiplikative Fuzzy-NAND-Funktion wird ebenfalls eine von der obigen Min-Max-Operator-Definition wesentlich verschiedene Definition der Fuzzyoperationen definiert, die ebenfalls konsistent zur klassischen Logik ist. === Multiplikatives Fuzzy-NAND === Man definiert das multiplikative Fuzzy-NAND wie folgt: :<math> \begin{array}{rrcl} NAND_\odot: & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & [0,1] \\ & \left( x,y \right) & \mapsto & NAND_\odot\left( x,y \right) = (1-x)\cdot (1-y) \end{array} </math> === Erzeugendenfunktion - multiplikatives Fuzzy-NAND === Das multiplikative Fuzzy-NAND <math>NAND_\odot</math> ist eine Erzeugendenfunktion für alle fuzzylogischen Verknüpfungen, denn es gilt für <math>x,y\in [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{rcl} x \ \widetilde{\wedge}_{_\odot} \ y & := & NAND_\odot(1-x,1-y) = x\cdot y \\ \widetilde{\neg}_{_\odot} \, x & := & NAND_\odot(x,x) \\ x \ \widetilde{\vee}_{\!\!_\odot} \, y & := & \widetilde{\neg}_{_\odot} (\widetilde{\neg}_{_\odot} \ x \ \widetilde{\wedge}_{_\odot} \ \widetilde{\neg}_{_\odot} \ y) \\ x \ \widetilde{\rightarrow}_{\!_\odot} \ y & := & \widetilde{\neg}_{_\odot} ( \ x \ \widetilde{\vee}_{\!\!_\odot} \ y) \\ \end{array} </math> === Aufgabe für Studierende === * Zeigen Sie, dass die obige Definition des multiplikativen NAND zu einer mit der klassischen Logik konsistenten Eigenschaft der Fuzzy-Verknüpfungen kommt. === Bemerkung - strengeres Fuzzy-UND === Das multiplikative Fuzzy-NAND <math>NAND_\odot</math> erzeugt ein strengeres Fuzzy-AND als fuzzylogische Verknüpfungen als die Min-Max-Definition der fuzzylogischen Verknüpfungen. Dies bedeutet, dass für alle <math>x,y\in [0,1]</math> gilt: :<math> x \ \widetilde{\wedge}_{_\odot} \, y \ \ \leq \ \ x \ \widetilde{\wedge} \ y </math> == Aufgaben - Zugehörigkeitsfunktion == Mit den folgenden Aufgaben zum Thema ''Fuzzy-Implikation'' als ''Operator'' auf Fuzzymengen behandelt: * Erzeugen Sie eine Zugehörigkeitsfunktion einer Fuzzymenge für den linguistischen Wert "alt" und "schnell" wobei die Grundmenge <math>\Omega := [0,100] </math> ein Alter zwischen 0 und 100 Jahren als Argument der Zugehörigkeitsfunktionen definiert. * Zeichnen Sie einen Graphen <math>\mu_{alt} : \Omega \to [0,1]</math> mit <math>\Omega := [0,100] </math> auf der x-Achse und <math>[0,1]</math> auf der y-Achse, wobei <math>\mu_{alt}(x) \in [0,1] </math> angibt, zu welchem Grad eine Alter <math>x</math> die Eigenschaft "alt" als linguistischen Wert erfüllt. * Zeichnen Sie einen Graphen <math>\mu_{schnell} : \Omega \to [0,1]</math> mit <math>\Omega := [0,100] </math> auf der x-Achse und <math>[0,1]</math> auf der y-Achse, wobei <math>\mu_{schnell}(x) \in [0,1] </math> angibt, zu welchem Grad eine Alter <math>x</math> die Eigenschaft "schnell" als linguistischen Wert erfüllt. == Aufgaben - Fuzzylogische Folgerung == Als einführendes Beispiel zum Thema ''fuzzylogische Operatoren'' dient dazu, sprachliche formuliert "WENN-DANN"-Aussagen in fuzzylogische zu übertragen und danach die resultierende Zugehörigkeitsfunktion zu interpretieren. <math>\Omega = [0,100] </math> ist das Alter in Jahren. * Nutzen Sie die obigen [[Fuzzylogik/Zugehörigkeitsfunktion|Zugehörigkeitsfunktionen]] von "alt" und "schnell". * Basierend auf den obigen [[Fuzzylogik/Zugehörigkeitsfunktion|Zugehörigkeitsfunktionen]] zeichnen Sie zunächst freihändig die Zugehörigkeitsfunktion ''"WENN alt DANN schnell"'' * Berechnen Sie dann die fuzzylogische Zugehörigkeitsfunktion von ''"WENN alt DANN schnell"''! Drücken Sie dabei die Folgerung zunächst durch UND, ODER und NICHT aus. * Falls sich Ihre "Freihandzeichnung" und der berechnete Graph der Zughörigkeitsfunktion unterscheiden, begründen Sie, warum die Freihandzeichnung von dem berechneten Graphen abweicht! <span id="Operatoren"></span> == Konsistenz zu klassischen Logik == Die Eigenschaft, dass fuzzylogische Operationen ''konsistent'' zu klassischen Logik sein müssen, bedeutet, dass in einem <math>n</math>-dimenesionalen Einheitswürfel für beliebige <math>n\in \mathbb{N}</math> die Funktionswerte der fuzzylogischen Operation in den [[w:de:Extremalpunkt|Extermalpunkten]] mit der klassischen Logik übereinstimmen müssen. === Extremalpunkte des Einheitswürfels === Man betrachtet den <math>n</math>-dimenesionalen Einheitswürfel <math>\Omega_n := [0,1]^n</math> mit: :<math> [0,1]^n := \{ (\omega_1 , \ldots , \omega_n) \in \mathbb{R}^n \ : \ \omega_1 , \ldots , \omega_n \in [0,1] \} </math> Die [[w:de:Extremalpunkt|Extermalpunkte]] <math> \mathfrak{E}(\Omega_n)</math> des <math>n</math>-dimenesionalen Einheitswürfels <math>\Omega_n</math> sind: :<math> \mathfrak{E}(\Omega_n)=\{0,1\}^n = \{ (\omega_1 , \ldots , \omega_n) \in \mathbb{R}^n \ : \ \omega_1 , \ldots , \omega_n \in \{0,1\} \} </math> === Bemerkung - Extremalpunkte === Ein Extremalpunkt <math>(\omega_1 , \ldots , \omega_n) \in \mathfrak{E}(\Omega_n) </math> besteht nur aus Komponenten <math>0</math> oder <math>1</math> (z.B. für <math>n=2</math> ist <math>\Omega_2</math> das Einheitsquadrat <math>[0,1] \times [0,1]\subset \mathbb{R}^2</math>. Die [[w:de:Extremalpunkt|Extermalpunkte]] <math> \mathfrak{E}(\Omega_2)</math> bestehen dann aus den 4 Eckpunkten, d.h. :<math> \mathfrak{E}(\Omega_2)=\{0,1\}^2 = \{ (0,0) ,(0,1), (1,0), (1,1) \} </math> Für das Einheitsintervall <math>\Omega_1 = [0,1]</math> gilt <math>\mathfrak{E}(\Omega_1)=\{0,1\}</math>. === Beispiele - Fuzzylogische Operationen === In dem obigen Beispiel wurden die fuzzylogischen Operationen einmal mit der <math>\min</math>-Definition von <math>NAND</math>-Verknüpfung und einmal mit dem multiplikativen <math>NAND_{\!\!_\odot}</math> erzeugt. Man betrachtet nun die Konsistenz mit der klassischen Logik, wobei die klassische Logik die Verknüpfung allein auf den [[w:de:Extremalpunkt|Extermalpunkten]] <math> \mathfrak{E}(\Omega_n)</math> von <math> \Omega_n</math> festlegt. ==== Konsistenz - Negation - logisches NICHT==== Das logische NICHT ändert den Wahrheitswert von ''wahr'' (=1) auf ''falsch'' (=0) und umgekehrt den Wahrheitswert von ''falsch'' (=0) auf ''wahr'' (=1). * Über die <math>\min</math>-Definition der <math>NAND</math>-Verknüpfung erhält man <math>\widetilde{\neg}\, \omega = 1-\omega </math> für <math>\omega \in [0,1]</math>. * Über die multiplikative Definition der <math>NAND_{\!\!_\odot}</math>-Verknüpfung erhält man <math>\widetilde{\neg}_{\!_\odot}\, \omega = 1-\omega^2 </math> für <math>\omega \in [0,1]</math>. In beiden Fällen erhält man die Konsistenz mit der klassischen Logik, da sowohl <math> \widetilde{\neg}\, 1 = \widetilde{\neg}_{\!_\odot}\, 1 = 0 </math> und <math> \widetilde{\neg}\, 0 = \widetilde{\neg}_{\!_\odot}\, 0 = 1 </math> gilt. ==== Konsistenz - Konjunktion - logisches UND ==== Betrachtet man das logische UND für bei erzeugende NAND-Verknüpfungen, dann erhält man: :<math> \begin{array}{rcccl} x \ \widetilde{\wedge} \, y & = & NAND(1-x,1-y) &= &\min\{ x,y \} \\ x \ \widetilde{\wedge}_{_\odot} \, y & = & NAND_\odot(1-x,1-y) & = & x\cdot y \\ \end{array} </math> Durch Einsetzen der [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte]] :<math> \mathfrak{E}(\Omega_2)=\{0,1\}^2 = \{ (0,0) ,(0,1), (1,0), (1,1) \} </math> aus <math>\Omega_2</math> erhält man analog für beide erzeugenden <math>NAND</math>-Verknüpfungen die Konsistenz mit der klassischen Logik. ==== Konsistenz - Disjunktion - logisches ODER ==== Betrachtet man das logische ODER für beide erzeugende NAND-Verknüpfungen, dann erhält man für die [[w:de:Diskunktion|Disjunktion]]: :<math> \begin{array}{rcccl} x \ \widetilde{\vee} \, y & = & 1-NAND(1-x,1-y) &= &\min\{ x,y \} \\ x \ \widetilde{\wedge}_{_\odot} \, y & = & 1-NAND_\odot(1-x,1-y) & = & x\cdot y \\ \end{array} </math> Durch Einsetzen der [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte]] :<math> \mathfrak{E}(\Omega_2)=\{0,1\}^2 = \{ (0,0) ,(0,1), (1,0), (1,1) \} </math> aus <math>\Omega_2</math> erhält man analog für beide erzeugenden <math>NAND</math>-Verknüpfungen die Konsistenz mit der klassischen Logik. == Logische Operationen == Analog zur klassischen (crispen) Logik kann man in der Fuzzylogik auch logische Operatoren definieren, die konsistent zu klassischen Logik sind, d.h. in den crispen Grenzfällen von 0 und 1 für falsch und wahr den Operatoren in der klassischen Logik nicht widersprechen. === Negation === Die Negation in der Fuzzylogik erfolgt durch Subtraktion der Eingabewerte von 1. Also ''' NOT(A)=1-A''' === Nicht ausschließende-ODER-Schaltung === Die Adjunktion erfolgt durch Wahl des jeweils höheren Wertes der Eingabewerte. Also ''' OR(A;B)=A wenn A>B''' ''' B wenn A<=B''' Dies kann man analog auch durch das Maximum ausdrücken <math>OR(A;B) := \max\{A,B\}</math> === UND-Schaltung === Die Konjunktion erfolgt durch Wahl des jeweils niedrigeren Wertes der Eingabewerte. Also ''' AND(A;B)=A wenn A&lt;B''' ''' B wenn A>=B''' Dies kann man analog auch durch das Minimum ausdrücken <math>AND(A;B) := \min\{A,B\}</math> === Ausschließende-ODER-Schaltung === Für die Disjunktion komplementiert man den kleineren zweier Werte und wählt den kleineren der beiden. Für mehr als zwei Eingabewerte setzt man das Ergebnis der letzten Operation rekursiv mit dem jeweils nächsten Eingabewert ein. Einfacher: man nimmt die Differenz des weniger Extremen von dem ihm gegenüberliegenden Extremwert. Also ''' XOR(A;B)=A wenn A>B und A<(1-B)''' ''' 1-B wenn A>B und A>=(1-B)''' ''' B wenn B>=A und B<(1-A)''' ''' 1-A wenn B>=A und B>=(1-A)''' === Wahrheitstafel von XOR === Das ausschließende ODER "XOR" besitzt in der klasssischen Logik die Wahrheitstafel von <math>\neg(A \leftrightarrow B) </math>. {| class="wikitable float-right" |- ! <math>A</math> ! <math>B</math> ! <math>\neg(A \leftrightarrow B) </math> |- | falsch | falsch |style="text-align:center"| falsch |- | falsch | wahr |style="text-align:center"| wahr |- | wahr | falsch |style="text-align:center"| wahr |- | wahr | wahr |style="text-align:center"| falsch |} === Fuzzylogische Berechnung von XOR === Um konsistent zur klassischen Logik zu bleiben, kann man eine ''"ausschließendes ODER"'' auch über die logischen Verknüpfungen "UND", "ODER" und "NICHT" ausdrücken. :<math> XOR(A,B) \Longleftrightarrow \neg (A \longleftrightarrow B) \Longleftrightarrow (A\wedge \neg B) \vee (B\wedge \neg A) </math> Mit die Verwendung <math>max</math> für ODER und <math>min</math> für UND kann man XOR(A,B) fuzzylogisch wie folgt darstellen: :<math> XOR(A,B) = max\big( min(\mu_{A},1-\mu_{B}) , min(\mu_{B},1-\mu_{A}) \big) </math> == Literatur/Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte einer Menge]] * [[w:de:Fuzzylogik/Operatoren|Fuzzylogik/Operatoren]] * [[Mathematische Modellbildung]] * [[Open Educational Resources]] * [[Wiki2Reveal]] === Kurse === * [[Kurs:Maschinelles Lernen]] * [[Kurs:Mathematische Modellbildung]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik/Operatoren&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Operatoren&coursetitle=Fuzzylogik Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik/Operatoren&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Operatoren&coursetitle=Fuzzylogik Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik Fuzzylogik]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Fuzzylogik/Operatoren https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik/Operatoren] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik/Operatoren Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik/Operatoren * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik/Operatoren&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Operatoren&coursetitle=Fuzzylogik Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 9skl4fudr1bkaz725lm2ny37h2a5ez1 1119292 1119291 2026-11-10T08:13:39Z Bert Niehaus 20843 /* Erzeugendenfunktion - multiplikatives Fuzzy-NAND */ 1119292 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite zum Thema ''Fuzzylogik/Operatoren'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik/Operatoren&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Operatoren&coursetitle=Fuzzylogik Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt: * (1) Klassische logische Operationen<ref>Suppes, P. (1999). Introduction to logic. Courier Corporation.</ref>, * (2) [[Fuzzylogik/Operatoren#Operatoren|Fuzzylogische Operatoren]]<ref>Buckley, J. J., & Eslami, E. (2002). An introduction to fuzzy logic and fuzzy sets (Vol. 13). Springer Science & Business Media.</ref>, * (3) [[Fuzzylogik/Operatoren#Konsistenz|Konsistenz zur klassischen Logik]]. === Konsistenz zur klassischen Logik === Die Konsistenz zur klassischen Logik besagt, dass die Fuzzylogik auf den [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkten]] des Einheitsquadrates <math>\Omega := [0,1]\times [0,1]</math> genauso funktionieren muss, wie die klassische Logik. Die == Zielsetzung == Diese Lernressource zu ''Fuzzylogik und Operatoren'' in der Wikiversity hat das Ziel, das klassische Konzept von logischen Operatoren UND, ODER, NICHT, WENN ... DANN, ...) (<math> \wedge, \vee, \neg, \Rightarrow </math>) auf fuzzylogische Operationen zu verallgemeinern. == Lernvoraussetzungen == Die Lernressource zum Thema ''Fuzzylogik/Operatoren'' hat die folgenden Lernvoraussetzungen, die zum Verständnis der nachfolgenden Ausführungen hilfreich bzw. notwendig sind. * '''([[Fuzzylogik/Zugehörigkeitsfunktion|Zugehörigkeitsfunktionen]])''' Funktionale Beschreibung unscharfer Mengen * '''(Wahrheitstafeln)''' Wahrheitstafeln für klassische logische Operatoren * '''(Implikationen/Folgerungen)''' klassische Implikationen/Folgerungen, da diese auf die Fuzzylogik übertragen werden == Operatoren für unscharfe Mengen == [[Datei:Fuzzy-Operatoren.png|450px|UND-ODER-NICHT-Operatoren zur Verknüpfung von Zugehörigkeitsfunktionen (Teilmengen).]] === Erzeugendenfunktion - Fuzzy-NAND === Die Verknüpfung Fuzzy-NAND <math>NAND_\odot</math> ist eine Erzeugendenfunktion für alle fuzzylogischen Verknüpfungen, denn es gilt für <math>x,y\in [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{rcccl} x \ \widetilde{\wedge} \ y & := & NAND(1-x,1-y) & = & \min\{ x,y \} \\ \widetilde{\neg} \, x & := & NAND(x,x) & = & \min\{ 1-x,1-x \} = 1-x \\ x \ \widetilde{\vee} \, y & := & \widetilde{\neg} \big( \widetilde{\neg} \ x \ \widetilde{\wedge} \ \widetilde{\neg} \ y \big) & = & 1- \min\{ x, y \} = \max\{ x,y \} \\ x \ \widetilde{\rightarrow} \ y & := & \widetilde{\neg} \ x \ \widetilde{\vee} \ y & = & \max\{ 1-x,y \} \\ \end{array} </math> Das Fuzzy-ODER <math>\widetilde{\vee}</math> wird über die [[w:de:De-morgansche Gesetze|De-morganschen Gesetze]] erzeugt. === Fortsetzung der klassischen Logik nicht eindeutig === Die Fortsetzung der klassischen Logik ist allerding nicht eindeutig. Durch das die multiplikative Fuzzy-NAND-Funktion wird ebenfalls eine von der obigen Min-Max-Operator-Definition wesentlich verschiedene Definition der Fuzzyoperationen definiert, die ebenfalls konsistent zur klassischen Logik ist. === Multiplikatives Fuzzy-NAND === Man definiert das multiplikative Fuzzy-NAND wie folgt: :<math> \begin{array}{rrcl} NAND_\odot: & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & [0,1] \\ & \left( x,y \right) & \mapsto & NAND_\odot\left( x,y \right) = (1-x)\cdot (1-y) \end{array} </math> === Erzeugendenfunktion - multiplikatives Fuzzy-NAND === Das multiplikative Fuzzy-NAND <math>NAND_\odot</math> ist eine Erzeugendenfunktion für alle fuzzylogischen Verknüpfungen, denn es gilt für <math>x,y\in [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{rcl} x \ \widetilde{\wedge}_{_\odot} \ y & := & NAND_\odot(1-x,1-y) = x\cdot y \\ \widetilde{\neg}_{_\odot} \, x & := & NAND_\odot(x,x) \\ x \ \widetilde{\vee}_{\!\!_\odot} \, y & := & \widetilde{\neg}_{_\odot} (\widetilde{\neg}_{_\odot} \ x \ \widetilde{\wedge}_{_\odot} \ \widetilde{\neg}_{_\odot} \ y) \\ x \ \widetilde{\rightarrow}_{\!_\odot} \ y & := & \widetilde{\neg}_{_\odot} ( \ x \ \widetilde{\vee}_{\!\!_\odot} \ y) \\ \end{array} </math> Das multiplikative Fuzzy-ODER <math>\widetilde{\vee}_{\!\!_\odot}</math> wird über die [[w:de:De-morgansche Gesetze|De-morganschen Gesetze]] erzeugt. === Aufgabe für Studierende === * Zeigen Sie, dass die obige Definition des multiplikativen NAND zu einer mit der klassischen Logik konsistenten Eigenschaft der Fuzzy-Verknüpfungen kommt. === Bemerkung - strengeres Fuzzy-UND === Das multiplikative Fuzzy-NAND <math>NAND_\odot</math> erzeugt ein strengeres Fuzzy-AND als fuzzylogische Verknüpfungen als die Min-Max-Definition der fuzzylogischen Verknüpfungen. Dies bedeutet, dass für alle <math>x,y\in [0,1]</math> gilt: :<math> x \ \widetilde{\wedge}_{_\odot} \, y \ \ \leq \ \ x \ \widetilde{\wedge} \ y </math> == Aufgaben - Zugehörigkeitsfunktion == Mit den folgenden Aufgaben zum Thema ''Fuzzy-Implikation'' als ''Operator'' auf Fuzzymengen behandelt: * Erzeugen Sie eine Zugehörigkeitsfunktion einer Fuzzymenge für den linguistischen Wert "alt" und "schnell" wobei die Grundmenge <math>\Omega := [0,100] </math> ein Alter zwischen 0 und 100 Jahren als Argument der Zugehörigkeitsfunktionen definiert. * Zeichnen Sie einen Graphen <math>\mu_{alt} : \Omega \to [0,1]</math> mit <math>\Omega := [0,100] </math> auf der x-Achse und <math>[0,1]</math> auf der y-Achse, wobei <math>\mu_{alt}(x) \in [0,1] </math> angibt, zu welchem Grad eine Alter <math>x</math> die Eigenschaft "alt" als linguistischen Wert erfüllt. * Zeichnen Sie einen Graphen <math>\mu_{schnell} : \Omega \to [0,1]</math> mit <math>\Omega := [0,100] </math> auf der x-Achse und <math>[0,1]</math> auf der y-Achse, wobei <math>\mu_{schnell}(x) \in [0,1] </math> angibt, zu welchem Grad eine Alter <math>x</math> die Eigenschaft "schnell" als linguistischen Wert erfüllt. == Aufgaben - Fuzzylogische Folgerung == Als einführendes Beispiel zum Thema ''fuzzylogische Operatoren'' dient dazu, sprachliche formuliert "WENN-DANN"-Aussagen in fuzzylogische zu übertragen und danach die resultierende Zugehörigkeitsfunktion zu interpretieren. <math>\Omega = [0,100] </math> ist das Alter in Jahren. * Nutzen Sie die obigen [[Fuzzylogik/Zugehörigkeitsfunktion|Zugehörigkeitsfunktionen]] von "alt" und "schnell". * Basierend auf den obigen [[Fuzzylogik/Zugehörigkeitsfunktion|Zugehörigkeitsfunktionen]] zeichnen Sie zunächst freihändig die Zugehörigkeitsfunktion ''"WENN alt DANN schnell"'' * Berechnen Sie dann die fuzzylogische Zugehörigkeitsfunktion von ''"WENN alt DANN schnell"''! Drücken Sie dabei die Folgerung zunächst durch UND, ODER und NICHT aus. * Falls sich Ihre "Freihandzeichnung" und der berechnete Graph der Zughörigkeitsfunktion unterscheiden, begründen Sie, warum die Freihandzeichnung von dem berechneten Graphen abweicht! <span id="Operatoren"></span> == Konsistenz zu klassischen Logik == Die Eigenschaft, dass fuzzylogische Operationen ''konsistent'' zu klassischen Logik sein müssen, bedeutet, dass in einem <math>n</math>-dimenesionalen Einheitswürfel für beliebige <math>n\in \mathbb{N}</math> die Funktionswerte der fuzzylogischen Operation in den [[w:de:Extremalpunkt|Extermalpunkten]] mit der klassischen Logik übereinstimmen müssen. === Extremalpunkte des Einheitswürfels === Man betrachtet den <math>n</math>-dimenesionalen Einheitswürfel <math>\Omega_n := [0,1]^n</math> mit: :<math> [0,1]^n := \{ (\omega_1 , \ldots , \omega_n) \in \mathbb{R}^n \ : \ \omega_1 , \ldots , \omega_n \in [0,1] \} </math> Die [[w:de:Extremalpunkt|Extermalpunkte]] <math> \mathfrak{E}(\Omega_n)</math> des <math>n</math>-dimenesionalen Einheitswürfels <math>\Omega_n</math> sind: :<math> \mathfrak{E}(\Omega_n)=\{0,1\}^n = \{ (\omega_1 , \ldots , \omega_n) \in \mathbb{R}^n \ : \ \omega_1 , \ldots , \omega_n \in \{0,1\} \} </math> === Bemerkung - Extremalpunkte === Ein Extremalpunkt <math>(\omega_1 , \ldots , \omega_n) \in \mathfrak{E}(\Omega_n) </math> besteht nur aus Komponenten <math>0</math> oder <math>1</math> (z.B. für <math>n=2</math> ist <math>\Omega_2</math> das Einheitsquadrat <math>[0,1] \times [0,1]\subset \mathbb{R}^2</math>. Die [[w:de:Extremalpunkt|Extermalpunkte]] <math> \mathfrak{E}(\Omega_2)</math> bestehen dann aus den 4 Eckpunkten, d.h. :<math> \mathfrak{E}(\Omega_2)=\{0,1\}^2 = \{ (0,0) ,(0,1), (1,0), (1,1) \} </math> Für das Einheitsintervall <math>\Omega_1 = [0,1]</math> gilt <math>\mathfrak{E}(\Omega_1)=\{0,1\}</math>. === Beispiele - Fuzzylogische Operationen === In dem obigen Beispiel wurden die fuzzylogischen Operationen einmal mit der <math>\min</math>-Definition von <math>NAND</math>-Verknüpfung und einmal mit dem multiplikativen <math>NAND_{\!\!_\odot}</math> erzeugt. Man betrachtet nun die Konsistenz mit der klassischen Logik, wobei die klassische Logik die Verknüpfung allein auf den [[w:de:Extremalpunkt|Extermalpunkten]] <math> \mathfrak{E}(\Omega_n)</math> von <math> \Omega_n</math> festlegt. ==== Konsistenz - Negation - logisches NICHT==== Das logische NICHT ändert den Wahrheitswert von ''wahr'' (=1) auf ''falsch'' (=0) und umgekehrt den Wahrheitswert von ''falsch'' (=0) auf ''wahr'' (=1). * Über die <math>\min</math>-Definition der <math>NAND</math>-Verknüpfung erhält man <math>\widetilde{\neg}\, \omega = 1-\omega </math> für <math>\omega \in [0,1]</math>. * Über die multiplikative Definition der <math>NAND_{\!\!_\odot}</math>-Verknüpfung erhält man <math>\widetilde{\neg}_{\!_\odot}\, \omega = 1-\omega^2 </math> für <math>\omega \in [0,1]</math>. In beiden Fällen erhält man die Konsistenz mit der klassischen Logik, da sowohl <math> \widetilde{\neg}\, 1 = \widetilde{\neg}_{\!_\odot}\, 1 = 0 </math> und <math> \widetilde{\neg}\, 0 = \widetilde{\neg}_{\!_\odot}\, 0 = 1 </math> gilt. ==== Konsistenz - Konjunktion - logisches UND ==== Betrachtet man das logische UND für bei erzeugende NAND-Verknüpfungen, dann erhält man: :<math> \begin{array}{rcccl} x \ \widetilde{\wedge} \, y & = & NAND(1-x,1-y) &= &\min\{ x,y \} \\ x \ \widetilde{\wedge}_{_\odot} \, y & = & NAND_\odot(1-x,1-y) & = & x\cdot y \\ \end{array} </math> Durch Einsetzen der [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte]] :<math> \mathfrak{E}(\Omega_2)=\{0,1\}^2 = \{ (0,0) ,(0,1), (1,0), (1,1) \} </math> aus <math>\Omega_2</math> erhält man analog für beide erzeugenden <math>NAND</math>-Verknüpfungen die Konsistenz mit der klassischen Logik. ==== Konsistenz - Disjunktion - logisches ODER ==== Betrachtet man das logische ODER für beide erzeugende NAND-Verknüpfungen, dann erhält man für die [[w:de:Diskunktion|Disjunktion]]: :<math> \begin{array}{rcccl} x \ \widetilde{\vee} \, y & = & 1-NAND(1-x,1-y) &= &\min\{ x,y \} \\ x \ \widetilde{\wedge}_{_\odot} \, y & = & 1-NAND_\odot(1-x,1-y) & = & x\cdot y \\ \end{array} </math> Durch Einsetzen der [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte]] :<math> \mathfrak{E}(\Omega_2)=\{0,1\}^2 = \{ (0,0) ,(0,1), (1,0), (1,1) \} </math> aus <math>\Omega_2</math> erhält man analog für beide erzeugenden <math>NAND</math>-Verknüpfungen die Konsistenz mit der klassischen Logik. == Logische Operationen == Analog zur klassischen (crispen) Logik kann man in der Fuzzylogik auch logische Operatoren definieren, die konsistent zu klassischen Logik sind, d.h. in den crispen Grenzfällen von 0 und 1 für falsch und wahr den Operatoren in der klassischen Logik nicht widersprechen. === Negation === Die Negation in der Fuzzylogik erfolgt durch Subtraktion der Eingabewerte von 1. Also ''' NOT(A)=1-A''' === Nicht ausschließende-ODER-Schaltung === Die Adjunktion erfolgt durch Wahl des jeweils höheren Wertes der Eingabewerte. Also ''' OR(A;B)=A wenn A>B''' ''' B wenn A<=B''' Dies kann man analog auch durch das Maximum ausdrücken <math>OR(A;B) := \max\{A,B\}</math> === UND-Schaltung === Die Konjunktion erfolgt durch Wahl des jeweils niedrigeren Wertes der Eingabewerte. Also ''' AND(A;B)=A wenn A&lt;B''' ''' B wenn A>=B''' Dies kann man analog auch durch das Minimum ausdrücken <math>AND(A;B) := \min\{A,B\}</math> === Ausschließende-ODER-Schaltung === Für die Disjunktion komplementiert man den kleineren zweier Werte und wählt den kleineren der beiden. Für mehr als zwei Eingabewerte setzt man das Ergebnis der letzten Operation rekursiv mit dem jeweils nächsten Eingabewert ein. Einfacher: man nimmt die Differenz des weniger Extremen von dem ihm gegenüberliegenden Extremwert. Also ''' XOR(A;B)=A wenn A>B und A<(1-B)''' ''' 1-B wenn A>B und A>=(1-B)''' ''' B wenn B>=A und B<(1-A)''' ''' 1-A wenn B>=A und B>=(1-A)''' === Wahrheitstafel von XOR === Das ausschließende ODER "XOR" besitzt in der klasssischen Logik die Wahrheitstafel von <math>\neg(A \leftrightarrow B) </math>. {| class="wikitable float-right" |- ! <math>A</math> ! <math>B</math> ! <math>\neg(A \leftrightarrow B) </math> |- | falsch | falsch |style="text-align:center"| falsch |- | falsch | wahr |style="text-align:center"| wahr |- | wahr | falsch |style="text-align:center"| wahr |- | wahr | wahr |style="text-align:center"| falsch |} === Fuzzylogische Berechnung von XOR === Um konsistent zur klassischen Logik zu bleiben, kann man eine ''"ausschließendes ODER"'' auch über die logischen Verknüpfungen "UND", "ODER" und "NICHT" ausdrücken. :<math> XOR(A,B) \Longleftrightarrow \neg (A \longleftrightarrow B) \Longleftrightarrow (A\wedge \neg B) \vee (B\wedge \neg A) </math> Mit die Verwendung <math>max</math> für ODER und <math>min</math> für UND kann man XOR(A,B) fuzzylogisch wie folgt darstellen: :<math> XOR(A,B) = max\big( min(\mu_{A},1-\mu_{B}) , min(\mu_{B},1-\mu_{A}) \big) </math> == Literatur/Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte einer Menge]] * [[w:de:Fuzzylogik/Operatoren|Fuzzylogik/Operatoren]] * [[Mathematische Modellbildung]] * [[Open Educational Resources]] * [[Wiki2Reveal]] === Kurse === * [[Kurs:Maschinelles Lernen]] * [[Kurs:Mathematische Modellbildung]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik/Operatoren&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Operatoren&coursetitle=Fuzzylogik Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik/Operatoren&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Operatoren&coursetitle=Fuzzylogik Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik Fuzzylogik]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Fuzzylogik/Operatoren https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik/Operatoren] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik/Operatoren Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik/Operatoren * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik/Operatoren&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Operatoren&coursetitle=Fuzzylogik Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 43grl8gozwg6r42aojrl6s6juotqvnr 1119293 1119292 2026-11-10T08:14:17Z Bert Niehaus 20843 /* Erzeugendenfunktion - multiplikatives Fuzzy-NAND */ 1119293 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite zum Thema ''Fuzzylogik/Operatoren'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik/Operatoren&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Operatoren&coursetitle=Fuzzylogik Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt: * (1) Klassische logische Operationen<ref>Suppes, P. (1999). Introduction to logic. Courier Corporation.</ref>, * (2) [[Fuzzylogik/Operatoren#Operatoren|Fuzzylogische Operatoren]]<ref>Buckley, J. J., & Eslami, E. (2002). An introduction to fuzzy logic and fuzzy sets (Vol. 13). Springer Science & Business Media.</ref>, * (3) [[Fuzzylogik/Operatoren#Konsistenz|Konsistenz zur klassischen Logik]]. === Konsistenz zur klassischen Logik === Die Konsistenz zur klassischen Logik besagt, dass die Fuzzylogik auf den [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkten]] des Einheitsquadrates <math>\Omega := [0,1]\times [0,1]</math> genauso funktionieren muss, wie die klassische Logik. Die == Zielsetzung == Diese Lernressource zu ''Fuzzylogik und Operatoren'' in der Wikiversity hat das Ziel, das klassische Konzept von logischen Operatoren UND, ODER, NICHT, WENN ... DANN, ...) (<math> \wedge, \vee, \neg, \Rightarrow </math>) auf fuzzylogische Operationen zu verallgemeinern. == Lernvoraussetzungen == Die Lernressource zum Thema ''Fuzzylogik/Operatoren'' hat die folgenden Lernvoraussetzungen, die zum Verständnis der nachfolgenden Ausführungen hilfreich bzw. notwendig sind. * '''([[Fuzzylogik/Zugehörigkeitsfunktion|Zugehörigkeitsfunktionen]])''' Funktionale Beschreibung unscharfer Mengen * '''(Wahrheitstafeln)''' Wahrheitstafeln für klassische logische Operatoren * '''(Implikationen/Folgerungen)''' klassische Implikationen/Folgerungen, da diese auf die Fuzzylogik übertragen werden == Operatoren für unscharfe Mengen == [[Datei:Fuzzy-Operatoren.png|450px|UND-ODER-NICHT-Operatoren zur Verknüpfung von Zugehörigkeitsfunktionen (Teilmengen).]] === Erzeugendenfunktion - Fuzzy-NAND === Die Verknüpfung Fuzzy-NAND <math>NAND_\odot</math> ist eine Erzeugendenfunktion für alle fuzzylogischen Verknüpfungen, denn es gilt für <math>x,y\in [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{rcccl} x \ \widetilde{\wedge} \ y & := & NAND(1-x,1-y) & = & \min\{ x,y \} \\ \widetilde{\neg} \, x & := & NAND(x,x) & = & \min\{ 1-x,1-x \} = 1-x \\ x \ \widetilde{\vee} \, y & := & \widetilde{\neg} \big( \widetilde{\neg} \ x \ \widetilde{\wedge} \ \widetilde{\neg} \ y \big) & = & 1- \min\{ x, y \} = \max\{ x,y \} \\ x \ \widetilde{\rightarrow} \ y & := & \widetilde{\neg} \ x \ \widetilde{\vee} \ y & = & \max\{ 1-x,y \} \\ \end{array} </math> Das Fuzzy-ODER <math>\widetilde{\vee}</math> wird über die [[w:de:De-morgansche Gesetze|De-morganschen Gesetze]] erzeugt. === Fortsetzung der klassischen Logik nicht eindeutig === Die Fortsetzung der klassischen Logik ist allerding nicht eindeutig. Durch das die multiplikative Fuzzy-NAND-Funktion wird ebenfalls eine von der obigen Min-Max-Operator-Definition wesentlich verschiedene Definition der Fuzzyoperationen definiert, die ebenfalls konsistent zur klassischen Logik ist. === Multiplikatives Fuzzy-NAND === Man definiert das multiplikative Fuzzy-NAND wie folgt: :<math> \begin{array}{rrcl} NAND_\odot: & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & [0,1] \\ & \left( x,y \right) & \mapsto & NAND_\odot\left( x,y \right) = (1-x)\cdot (1-y) \end{array} </math> === Erzeugendenfunktion - multiplikatives Fuzzy-NAND === Das multiplikative Fuzzy-NAND <math>NAND_\odot</math> ist eine Erzeugendenfunktion für alle fuzzylogischen Verknüpfungen, denn es gilt für <math>x,y\in [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{rcl} x \ \widetilde{\wedge}_{_\odot} \ y & := & NAND_\odot(1-x,1-y) = x\cdot y \\ \widetilde{\neg}_{_\odot} \, x & := & NAND_\odot(x,x) \\ x \ \widetilde{\vee}_{\!\!_\odot} \, y & := & \widetilde{\neg}_{_\odot} (\widetilde{\neg}_{_\odot} \ x \ \widetilde{\wedge}_{_\odot} \ \widetilde{\neg}_{_\odot} \ y) \\ x \ \widetilde{\rightarrow}_{\!_\odot} \ y & := & \widetilde{\neg}_{_\odot} \ x \ \widetilde{\vee}_{\!\!_\odot} \ y \\ \end{array} </math> Das multiplikative Fuzzy-ODER <math>\widetilde{\vee}_{\!\!_\odot}</math> wird über die [[w:de:De-morgansche Gesetze|De-morganschen Gesetze]] erzeugt. === Aufgabe für Studierende === * Zeigen Sie, dass die obige Definition des multiplikativen NAND zu einer mit der klassischen Logik konsistenten Eigenschaft der Fuzzy-Verknüpfungen kommt. === Bemerkung - strengeres Fuzzy-UND === Das multiplikative Fuzzy-NAND <math>NAND_\odot</math> erzeugt ein strengeres Fuzzy-AND als fuzzylogische Verknüpfungen als die Min-Max-Definition der fuzzylogischen Verknüpfungen. Dies bedeutet, dass für alle <math>x,y\in [0,1]</math> gilt: :<math> x \ \widetilde{\wedge}_{_\odot} \, y \ \ \leq \ \ x \ \widetilde{\wedge} \ y </math> == Aufgaben - Zugehörigkeitsfunktion == Mit den folgenden Aufgaben zum Thema ''Fuzzy-Implikation'' als ''Operator'' auf Fuzzymengen behandelt: * Erzeugen Sie eine Zugehörigkeitsfunktion einer Fuzzymenge für den linguistischen Wert "alt" und "schnell" wobei die Grundmenge <math>\Omega := [0,100] </math> ein Alter zwischen 0 und 100 Jahren als Argument der Zugehörigkeitsfunktionen definiert. * Zeichnen Sie einen Graphen <math>\mu_{alt} : \Omega \to [0,1]</math> mit <math>\Omega := [0,100] </math> auf der x-Achse und <math>[0,1]</math> auf der y-Achse, wobei <math>\mu_{alt}(x) \in [0,1] </math> angibt, zu welchem Grad eine Alter <math>x</math> die Eigenschaft "alt" als linguistischen Wert erfüllt. * Zeichnen Sie einen Graphen <math>\mu_{schnell} : \Omega \to [0,1]</math> mit <math>\Omega := [0,100] </math> auf der x-Achse und <math>[0,1]</math> auf der y-Achse, wobei <math>\mu_{schnell}(x) \in [0,1] </math> angibt, zu welchem Grad eine Alter <math>x</math> die Eigenschaft "schnell" als linguistischen Wert erfüllt. == Aufgaben - Fuzzylogische Folgerung == Als einführendes Beispiel zum Thema ''fuzzylogische Operatoren'' dient dazu, sprachliche formuliert "WENN-DANN"-Aussagen in fuzzylogische zu übertragen und danach die resultierende Zugehörigkeitsfunktion zu interpretieren. <math>\Omega = [0,100] </math> ist das Alter in Jahren. * Nutzen Sie die obigen [[Fuzzylogik/Zugehörigkeitsfunktion|Zugehörigkeitsfunktionen]] von "alt" und "schnell". * Basierend auf den obigen [[Fuzzylogik/Zugehörigkeitsfunktion|Zugehörigkeitsfunktionen]] zeichnen Sie zunächst freihändig die Zugehörigkeitsfunktion ''"WENN alt DANN schnell"'' * Berechnen Sie dann die fuzzylogische Zugehörigkeitsfunktion von ''"WENN alt DANN schnell"''! Drücken Sie dabei die Folgerung zunächst durch UND, ODER und NICHT aus. * Falls sich Ihre "Freihandzeichnung" und der berechnete Graph der Zughörigkeitsfunktion unterscheiden, begründen Sie, warum die Freihandzeichnung von dem berechneten Graphen abweicht! <span id="Operatoren"></span> == Konsistenz zu klassischen Logik == Die Eigenschaft, dass fuzzylogische Operationen ''konsistent'' zu klassischen Logik sein müssen, bedeutet, dass in einem <math>n</math>-dimenesionalen Einheitswürfel für beliebige <math>n\in \mathbb{N}</math> die Funktionswerte der fuzzylogischen Operation in den [[w:de:Extremalpunkt|Extermalpunkten]] mit der klassischen Logik übereinstimmen müssen. === Extremalpunkte des Einheitswürfels === Man betrachtet den <math>n</math>-dimenesionalen Einheitswürfel <math>\Omega_n := [0,1]^n</math> mit: :<math> [0,1]^n := \{ (\omega_1 , \ldots , \omega_n) \in \mathbb{R}^n \ : \ \omega_1 , \ldots , \omega_n \in [0,1] \} </math> Die [[w:de:Extremalpunkt|Extermalpunkte]] <math> \mathfrak{E}(\Omega_n)</math> des <math>n</math>-dimenesionalen Einheitswürfels <math>\Omega_n</math> sind: :<math> \mathfrak{E}(\Omega_n)=\{0,1\}^n = \{ (\omega_1 , \ldots , \omega_n) \in \mathbb{R}^n \ : \ \omega_1 , \ldots , \omega_n \in \{0,1\} \} </math> === Bemerkung - Extremalpunkte === Ein Extremalpunkt <math>(\omega_1 , \ldots , \omega_n) \in \mathfrak{E}(\Omega_n) </math> besteht nur aus Komponenten <math>0</math> oder <math>1</math> (z.B. für <math>n=2</math> ist <math>\Omega_2</math> das Einheitsquadrat <math>[0,1] \times [0,1]\subset \mathbb{R}^2</math>. Die [[w:de:Extremalpunkt|Extermalpunkte]] <math> \mathfrak{E}(\Omega_2)</math> bestehen dann aus den 4 Eckpunkten, d.h. :<math> \mathfrak{E}(\Omega_2)=\{0,1\}^2 = \{ (0,0) ,(0,1), (1,0), (1,1) \} </math> Für das Einheitsintervall <math>\Omega_1 = [0,1]</math> gilt <math>\mathfrak{E}(\Omega_1)=\{0,1\}</math>. === Beispiele - Fuzzylogische Operationen === In dem obigen Beispiel wurden die fuzzylogischen Operationen einmal mit der <math>\min</math>-Definition von <math>NAND</math>-Verknüpfung und einmal mit dem multiplikativen <math>NAND_{\!\!_\odot}</math> erzeugt. Man betrachtet nun die Konsistenz mit der klassischen Logik, wobei die klassische Logik die Verknüpfung allein auf den [[w:de:Extremalpunkt|Extermalpunkten]] <math> \mathfrak{E}(\Omega_n)</math> von <math> \Omega_n</math> festlegt. ==== Konsistenz - Negation - logisches NICHT==== Das logische NICHT ändert den Wahrheitswert von ''wahr'' (=1) auf ''falsch'' (=0) und umgekehrt den Wahrheitswert von ''falsch'' (=0) auf ''wahr'' (=1). * Über die <math>\min</math>-Definition der <math>NAND</math>-Verknüpfung erhält man <math>\widetilde{\neg}\, \omega = 1-\omega </math> für <math>\omega \in [0,1]</math>. * Über die multiplikative Definition der <math>NAND_{\!\!_\odot}</math>-Verknüpfung erhält man <math>\widetilde{\neg}_{\!_\odot}\, \omega = 1-\omega^2 </math> für <math>\omega \in [0,1]</math>. In beiden Fällen erhält man die Konsistenz mit der klassischen Logik, da sowohl <math> \widetilde{\neg}\, 1 = \widetilde{\neg}_{\!_\odot}\, 1 = 0 </math> und <math> \widetilde{\neg}\, 0 = \widetilde{\neg}_{\!_\odot}\, 0 = 1 </math> gilt. ==== Konsistenz - Konjunktion - logisches UND ==== Betrachtet man das logische UND für bei erzeugende NAND-Verknüpfungen, dann erhält man: :<math> \begin{array}{rcccl} x \ \widetilde{\wedge} \, y & = & NAND(1-x,1-y) &= &\min\{ x,y \} \\ x \ \widetilde{\wedge}_{_\odot} \, y & = & NAND_\odot(1-x,1-y) & = & x\cdot y \\ \end{array} </math> Durch Einsetzen der [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte]] :<math> \mathfrak{E}(\Omega_2)=\{0,1\}^2 = \{ (0,0) ,(0,1), (1,0), (1,1) \} </math> aus <math>\Omega_2</math> erhält man analog für beide erzeugenden <math>NAND</math>-Verknüpfungen die Konsistenz mit der klassischen Logik. ==== Konsistenz - Disjunktion - logisches ODER ==== Betrachtet man das logische ODER für beide erzeugende NAND-Verknüpfungen, dann erhält man für die [[w:de:Diskunktion|Disjunktion]]: :<math> \begin{array}{rcccl} x \ \widetilde{\vee} \, y & = & 1-NAND(1-x,1-y) &= &\min\{ x,y \} \\ x \ \widetilde{\wedge}_{_\odot} \, y & = & 1-NAND_\odot(1-x,1-y) & = & x\cdot y \\ \end{array} </math> Durch Einsetzen der [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte]] :<math> \mathfrak{E}(\Omega_2)=\{0,1\}^2 = \{ (0,0) ,(0,1), (1,0), (1,1) \} </math> aus <math>\Omega_2</math> erhält man analog für beide erzeugenden <math>NAND</math>-Verknüpfungen die Konsistenz mit der klassischen Logik. == Logische Operationen == Analog zur klassischen (crispen) Logik kann man in der Fuzzylogik auch logische Operatoren definieren, die konsistent zu klassischen Logik sind, d.h. in den crispen Grenzfällen von 0 und 1 für falsch und wahr den Operatoren in der klassischen Logik nicht widersprechen. === Negation === Die Negation in der Fuzzylogik erfolgt durch Subtraktion der Eingabewerte von 1. Also ''' NOT(A)=1-A''' === Nicht ausschließende-ODER-Schaltung === Die Adjunktion erfolgt durch Wahl des jeweils höheren Wertes der Eingabewerte. Also ''' OR(A;B)=A wenn A>B''' ''' B wenn A<=B''' Dies kann man analog auch durch das Maximum ausdrücken <math>OR(A;B) := \max\{A,B\}</math> === UND-Schaltung === Die Konjunktion erfolgt durch Wahl des jeweils niedrigeren Wertes der Eingabewerte. Also ''' AND(A;B)=A wenn A&lt;B''' ''' B wenn A>=B''' Dies kann man analog auch durch das Minimum ausdrücken <math>AND(A;B) := \min\{A,B\}</math> === Ausschließende-ODER-Schaltung === Für die Disjunktion komplementiert man den kleineren zweier Werte und wählt den kleineren der beiden. Für mehr als zwei Eingabewerte setzt man das Ergebnis der letzten Operation rekursiv mit dem jeweils nächsten Eingabewert ein. Einfacher: man nimmt die Differenz des weniger Extremen von dem ihm gegenüberliegenden Extremwert. Also ''' XOR(A;B)=A wenn A>B und A<(1-B)''' ''' 1-B wenn A>B und A>=(1-B)''' ''' B wenn B>=A und B<(1-A)''' ''' 1-A wenn B>=A und B>=(1-A)''' === Wahrheitstafel von XOR === Das ausschließende ODER "XOR" besitzt in der klasssischen Logik die Wahrheitstafel von <math>\neg(A \leftrightarrow B) </math>. {| class="wikitable float-right" |- ! <math>A</math> ! <math>B</math> ! <math>\neg(A \leftrightarrow B) </math> |- | falsch | falsch |style="text-align:center"| falsch |- | falsch | wahr |style="text-align:center"| wahr |- | wahr | falsch |style="text-align:center"| wahr |- | wahr | wahr |style="text-align:center"| falsch |} === Fuzzylogische Berechnung von XOR === Um konsistent zur klassischen Logik zu bleiben, kann man eine ''"ausschließendes ODER"'' auch über die logischen Verknüpfungen "UND", "ODER" und "NICHT" ausdrücken. :<math> XOR(A,B) \Longleftrightarrow \neg (A \longleftrightarrow B) \Longleftrightarrow (A\wedge \neg B) \vee (B\wedge \neg A) </math> Mit die Verwendung <math>max</math> für ODER und <math>min</math> für UND kann man XOR(A,B) fuzzylogisch wie folgt darstellen: :<math> XOR(A,B) = max\big( min(\mu_{A},1-\mu_{B}) , min(\mu_{B},1-\mu_{A}) \big) </math> == Literatur/Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte einer Menge]] * [[w:de:Fuzzylogik/Operatoren|Fuzzylogik/Operatoren]] * [[Mathematische Modellbildung]] * [[Open Educational Resources]] * [[Wiki2Reveal]] === Kurse === * [[Kurs:Maschinelles Lernen]] * [[Kurs:Mathematische Modellbildung]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik/Operatoren&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Operatoren&coursetitle=Fuzzylogik Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik/Operatoren&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Operatoren&coursetitle=Fuzzylogik Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik Fuzzylogik]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Fuzzylogik/Operatoren https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik/Operatoren] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik/Operatoren Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik/Operatoren * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik/Operatoren&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Operatoren&coursetitle=Fuzzylogik Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] mohyxcr87cxe473dspiddg8r83sw4gi 1119294 1119293 2026-11-10T08:16:25Z Bert Niehaus 20843 /* Konsistenz - Disjunktion - logisches ODER */ 1119294 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite zum Thema ''Fuzzylogik/Operatoren'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik/Operatoren&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Operatoren&coursetitle=Fuzzylogik Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt: * (1) Klassische logische Operationen<ref>Suppes, P. (1999). Introduction to logic. Courier Corporation.</ref>, * (2) [[Fuzzylogik/Operatoren#Operatoren|Fuzzylogische Operatoren]]<ref>Buckley, J. J., & Eslami, E. (2002). An introduction to fuzzy logic and fuzzy sets (Vol. 13). Springer Science & Business Media.</ref>, * (3) [[Fuzzylogik/Operatoren#Konsistenz|Konsistenz zur klassischen Logik]]. === Konsistenz zur klassischen Logik === Die Konsistenz zur klassischen Logik besagt, dass die Fuzzylogik auf den [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkten]] des Einheitsquadrates <math>\Omega := [0,1]\times [0,1]</math> genauso funktionieren muss, wie die klassische Logik. Die == Zielsetzung == Diese Lernressource zu ''Fuzzylogik und Operatoren'' in der Wikiversity hat das Ziel, das klassische Konzept von logischen Operatoren UND, ODER, NICHT, WENN ... DANN, ...) (<math> \wedge, \vee, \neg, \Rightarrow </math>) auf fuzzylogische Operationen zu verallgemeinern. == Lernvoraussetzungen == Die Lernressource zum Thema ''Fuzzylogik/Operatoren'' hat die folgenden Lernvoraussetzungen, die zum Verständnis der nachfolgenden Ausführungen hilfreich bzw. notwendig sind. * '''([[Fuzzylogik/Zugehörigkeitsfunktion|Zugehörigkeitsfunktionen]])''' Funktionale Beschreibung unscharfer Mengen * '''(Wahrheitstafeln)''' Wahrheitstafeln für klassische logische Operatoren * '''(Implikationen/Folgerungen)''' klassische Implikationen/Folgerungen, da diese auf die Fuzzylogik übertragen werden == Operatoren für unscharfe Mengen == [[Datei:Fuzzy-Operatoren.png|450px|UND-ODER-NICHT-Operatoren zur Verknüpfung von Zugehörigkeitsfunktionen (Teilmengen).]] === Erzeugendenfunktion - Fuzzy-NAND === Die Verknüpfung Fuzzy-NAND <math>NAND_\odot</math> ist eine Erzeugendenfunktion für alle fuzzylogischen Verknüpfungen, denn es gilt für <math>x,y\in [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{rcccl} x \ \widetilde{\wedge} \ y & := & NAND(1-x,1-y) & = & \min\{ x,y \} \\ \widetilde{\neg} \, x & := & NAND(x,x) & = & \min\{ 1-x,1-x \} = 1-x \\ x \ \widetilde{\vee} \, y & := & \widetilde{\neg} \big( \widetilde{\neg} \ x \ \widetilde{\wedge} \ \widetilde{\neg} \ y \big) & = & 1- \min\{ x, y \} = \max\{ x,y \} \\ x \ \widetilde{\rightarrow} \ y & := & \widetilde{\neg} \ x \ \widetilde{\vee} \ y & = & \max\{ 1-x,y \} \\ \end{array} </math> Das Fuzzy-ODER <math>\widetilde{\vee}</math> wird über die [[w:de:De-morgansche Gesetze|De-morganschen Gesetze]] erzeugt. === Fortsetzung der klassischen Logik nicht eindeutig === Die Fortsetzung der klassischen Logik ist allerding nicht eindeutig. Durch das die multiplikative Fuzzy-NAND-Funktion wird ebenfalls eine von der obigen Min-Max-Operator-Definition wesentlich verschiedene Definition der Fuzzyoperationen definiert, die ebenfalls konsistent zur klassischen Logik ist. === Multiplikatives Fuzzy-NAND === Man definiert das multiplikative Fuzzy-NAND wie folgt: :<math> \begin{array}{rrcl} NAND_\odot: & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & [0,1] \\ & \left( x,y \right) & \mapsto & NAND_\odot\left( x,y \right) = (1-x)\cdot (1-y) \end{array} </math> === Erzeugendenfunktion - multiplikatives Fuzzy-NAND === Das multiplikative Fuzzy-NAND <math>NAND_\odot</math> ist eine Erzeugendenfunktion für alle fuzzylogischen Verknüpfungen, denn es gilt für <math>x,y\in [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{rcl} x \ \widetilde{\wedge}_{_\odot} \ y & := & NAND_\odot(1-x,1-y) = x\cdot y \\ \widetilde{\neg}_{_\odot} \, x & := & NAND_\odot(x,x) \\ x \ \widetilde{\vee}_{\!\!_\odot} \, y & := & \widetilde{\neg}_{_\odot} (\widetilde{\neg}_{_\odot} \ x \ \widetilde{\wedge}_{_\odot} \ \widetilde{\neg}_{_\odot} \ y) \\ x \ \widetilde{\rightarrow}_{\!_\odot} \ y & := & \widetilde{\neg}_{_\odot} \ x \ \widetilde{\vee}_{\!\!_\odot} \ y \\ \end{array} </math> Das multiplikative Fuzzy-ODER <math>\widetilde{\vee}_{\!\!_\odot}</math> wird über die [[w:de:De-morgansche Gesetze|De-morganschen Gesetze]] erzeugt. === Aufgabe für Studierende === * Zeigen Sie, dass die obige Definition des multiplikativen NAND zu einer mit der klassischen Logik konsistenten Eigenschaft der Fuzzy-Verknüpfungen kommt. === Bemerkung - strengeres Fuzzy-UND === Das multiplikative Fuzzy-NAND <math>NAND_\odot</math> erzeugt ein strengeres Fuzzy-AND als fuzzylogische Verknüpfungen als die Min-Max-Definition der fuzzylogischen Verknüpfungen. Dies bedeutet, dass für alle <math>x,y\in [0,1]</math> gilt: :<math> x \ \widetilde{\wedge}_{_\odot} \, y \ \ \leq \ \ x \ \widetilde{\wedge} \ y </math> == Aufgaben - Zugehörigkeitsfunktion == Mit den folgenden Aufgaben zum Thema ''Fuzzy-Implikation'' als ''Operator'' auf Fuzzymengen behandelt: * Erzeugen Sie eine Zugehörigkeitsfunktion einer Fuzzymenge für den linguistischen Wert "alt" und "schnell" wobei die Grundmenge <math>\Omega := [0,100] </math> ein Alter zwischen 0 und 100 Jahren als Argument der Zugehörigkeitsfunktionen definiert. * Zeichnen Sie einen Graphen <math>\mu_{alt} : \Omega \to [0,1]</math> mit <math>\Omega := [0,100] </math> auf der x-Achse und <math>[0,1]</math> auf der y-Achse, wobei <math>\mu_{alt}(x) \in [0,1] </math> angibt, zu welchem Grad eine Alter <math>x</math> die Eigenschaft "alt" als linguistischen Wert erfüllt. * Zeichnen Sie einen Graphen <math>\mu_{schnell} : \Omega \to [0,1]</math> mit <math>\Omega := [0,100] </math> auf der x-Achse und <math>[0,1]</math> auf der y-Achse, wobei <math>\mu_{schnell}(x) \in [0,1] </math> angibt, zu welchem Grad eine Alter <math>x</math> die Eigenschaft "schnell" als linguistischen Wert erfüllt. == Aufgaben - Fuzzylogische Folgerung == Als einführendes Beispiel zum Thema ''fuzzylogische Operatoren'' dient dazu, sprachliche formuliert "WENN-DANN"-Aussagen in fuzzylogische zu übertragen und danach die resultierende Zugehörigkeitsfunktion zu interpretieren. <math>\Omega = [0,100] </math> ist das Alter in Jahren. * Nutzen Sie die obigen [[Fuzzylogik/Zugehörigkeitsfunktion|Zugehörigkeitsfunktionen]] von "alt" und "schnell". * Basierend auf den obigen [[Fuzzylogik/Zugehörigkeitsfunktion|Zugehörigkeitsfunktionen]] zeichnen Sie zunächst freihändig die Zugehörigkeitsfunktion ''"WENN alt DANN schnell"'' * Berechnen Sie dann die fuzzylogische Zugehörigkeitsfunktion von ''"WENN alt DANN schnell"''! Drücken Sie dabei die Folgerung zunächst durch UND, ODER und NICHT aus. * Falls sich Ihre "Freihandzeichnung" und der berechnete Graph der Zughörigkeitsfunktion unterscheiden, begründen Sie, warum die Freihandzeichnung von dem berechneten Graphen abweicht! <span id="Operatoren"></span> == Konsistenz zu klassischen Logik == Die Eigenschaft, dass fuzzylogische Operationen ''konsistent'' zu klassischen Logik sein müssen, bedeutet, dass in einem <math>n</math>-dimenesionalen Einheitswürfel für beliebige <math>n\in \mathbb{N}</math> die Funktionswerte der fuzzylogischen Operation in den [[w:de:Extremalpunkt|Extermalpunkten]] mit der klassischen Logik übereinstimmen müssen. === Extremalpunkte des Einheitswürfels === Man betrachtet den <math>n</math>-dimenesionalen Einheitswürfel <math>\Omega_n := [0,1]^n</math> mit: :<math> [0,1]^n := \{ (\omega_1 , \ldots , \omega_n) \in \mathbb{R}^n \ : \ \omega_1 , \ldots , \omega_n \in [0,1] \} </math> Die [[w:de:Extremalpunkt|Extermalpunkte]] <math> \mathfrak{E}(\Omega_n)</math> des <math>n</math>-dimenesionalen Einheitswürfels <math>\Omega_n</math> sind: :<math> \mathfrak{E}(\Omega_n)=\{0,1\}^n = \{ (\omega_1 , \ldots , \omega_n) \in \mathbb{R}^n \ : \ \omega_1 , \ldots , \omega_n \in \{0,1\} \} </math> === Bemerkung - Extremalpunkte === Ein Extremalpunkt <math>(\omega_1 , \ldots , \omega_n) \in \mathfrak{E}(\Omega_n) </math> besteht nur aus Komponenten <math>0</math> oder <math>1</math> (z.B. für <math>n=2</math> ist <math>\Omega_2</math> das Einheitsquadrat <math>[0,1] \times [0,1]\subset \mathbb{R}^2</math>. Die [[w:de:Extremalpunkt|Extermalpunkte]] <math> \mathfrak{E}(\Omega_2)</math> bestehen dann aus den 4 Eckpunkten, d.h. :<math> \mathfrak{E}(\Omega_2)=\{0,1\}^2 = \{ (0,0) ,(0,1), (1,0), (1,1) \} </math> Für das Einheitsintervall <math>\Omega_1 = [0,1]</math> gilt <math>\mathfrak{E}(\Omega_1)=\{0,1\}</math>. === Beispiele - Fuzzylogische Operationen === In dem obigen Beispiel wurden die fuzzylogischen Operationen einmal mit der <math>\min</math>-Definition von <math>NAND</math>-Verknüpfung und einmal mit dem multiplikativen <math>NAND_{\!\!_\odot}</math> erzeugt. Man betrachtet nun die Konsistenz mit der klassischen Logik, wobei die klassische Logik die Verknüpfung allein auf den [[w:de:Extremalpunkt|Extermalpunkten]] <math> \mathfrak{E}(\Omega_n)</math> von <math> \Omega_n</math> festlegt. ==== Konsistenz - Negation - logisches NICHT==== Das logische NICHT ändert den Wahrheitswert von ''wahr'' (=1) auf ''falsch'' (=0) und umgekehrt den Wahrheitswert von ''falsch'' (=0) auf ''wahr'' (=1). * Über die <math>\min</math>-Definition der <math>NAND</math>-Verknüpfung erhält man <math>\widetilde{\neg}\, \omega = 1-\omega </math> für <math>\omega \in [0,1]</math>. * Über die multiplikative Definition der <math>NAND_{\!\!_\odot}</math>-Verknüpfung erhält man <math>\widetilde{\neg}_{\!_\odot}\, \omega = 1-\omega^2 </math> für <math>\omega \in [0,1]</math>. In beiden Fällen erhält man die Konsistenz mit der klassischen Logik, da sowohl <math> \widetilde{\neg}\, 1 = \widetilde{\neg}_{\!_\odot}\, 1 = 0 </math> und <math> \widetilde{\neg}\, 0 = \widetilde{\neg}_{\!_\odot}\, 0 = 1 </math> gilt. ==== Konsistenz - Konjunktion - logisches UND ==== Betrachtet man das logische UND für bei erzeugende NAND-Verknüpfungen, dann erhält man: :<math> \begin{array}{rcccl} x \ \widetilde{\wedge} \, y & = & NAND(1-x,1-y) &= &\min\{ x,y \} \\ x \ \widetilde{\wedge}_{_\odot} \, y & = & NAND_\odot(1-x,1-y) & = & x\cdot y \\ \end{array} </math> Durch Einsetzen der [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte]] :<math> \mathfrak{E}(\Omega_2)=\{0,1\}^2 = \{ (0,0) ,(0,1), (1,0), (1,1) \} </math> aus <math>\Omega_2</math> erhält man analog für beide erzeugenden <math>NAND</math>-Verknüpfungen die Konsistenz mit der klassischen Logik. ==== Konsistenz - Disjunktion - logisches ODER ==== Betrachtet man das logische ODER für beide erzeugende NAND-Verknüpfungen, dann erhält man für die [[w:de:Diskunktion|Disjunktion]]: :<math> \begin{array}{rcccl} x \ \widetilde{\vee} \, y & = & \widetilde{\neg} \big( \widetilde{\neg} \ x \ \widetilde{\wedge} \ \widetilde{\neg} \ y \big) & = & 1- \min\{ x, y \} = \max\{ x,y \} \\ x \ \widetilde{\vee}_{_\odot} \, y & = & 1-NAND_\odot(1-x,1-y) & = & x\cdot y \\ \end{array} </math> Durch Einsetzen der [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte]] :<math> \mathfrak{E}(\Omega_2)=\{0,1\}^2 = \{ (0,0) ,(0,1), (1,0), (1,1) \} </math> aus <math>\Omega_2</math> erhält man analog für beide erzeugenden <math>NAND</math>-Verknüpfungen die Konsistenz mit der klassischen Logik. == Logische Operationen == Analog zur klassischen (crispen) Logik kann man in der Fuzzylogik auch logische Operatoren definieren, die konsistent zu klassischen Logik sind, d.h. in den crispen Grenzfällen von 0 und 1 für falsch und wahr den Operatoren in der klassischen Logik nicht widersprechen. === Negation === Die Negation in der Fuzzylogik erfolgt durch Subtraktion der Eingabewerte von 1. Also ''' NOT(A)=1-A''' === Nicht ausschließende-ODER-Schaltung === Die Adjunktion erfolgt durch Wahl des jeweils höheren Wertes der Eingabewerte. Also ''' OR(A;B)=A wenn A>B''' ''' B wenn A<=B''' Dies kann man analog auch durch das Maximum ausdrücken <math>OR(A;B) := \max\{A,B\}</math> === UND-Schaltung === Die Konjunktion erfolgt durch Wahl des jeweils niedrigeren Wertes der Eingabewerte. Also ''' AND(A;B)=A wenn A&lt;B''' ''' B wenn A>=B''' Dies kann man analog auch durch das Minimum ausdrücken <math>AND(A;B) := \min\{A,B\}</math> === Ausschließende-ODER-Schaltung === Für die Disjunktion komplementiert man den kleineren zweier Werte und wählt den kleineren der beiden. Für mehr als zwei Eingabewerte setzt man das Ergebnis der letzten Operation rekursiv mit dem jeweils nächsten Eingabewert ein. Einfacher: man nimmt die Differenz des weniger Extremen von dem ihm gegenüberliegenden Extremwert. Also ''' XOR(A;B)=A wenn A>B und A<(1-B)''' ''' 1-B wenn A>B und A>=(1-B)''' ''' B wenn B>=A und B<(1-A)''' ''' 1-A wenn B>=A und B>=(1-A)''' === Wahrheitstafel von XOR === Das ausschließende ODER "XOR" besitzt in der klasssischen Logik die Wahrheitstafel von <math>\neg(A \leftrightarrow B) </math>. {| class="wikitable float-right" |- ! <math>A</math> ! <math>B</math> ! <math>\neg(A \leftrightarrow B) </math> |- | falsch | falsch |style="text-align:center"| falsch |- | falsch | wahr |style="text-align:center"| wahr |- | wahr | falsch |style="text-align:center"| wahr |- | wahr | wahr |style="text-align:center"| falsch |} === Fuzzylogische Berechnung von XOR === Um konsistent zur klassischen Logik zu bleiben, kann man eine ''"ausschließendes ODER"'' auch über die logischen Verknüpfungen "UND", "ODER" und "NICHT" ausdrücken. :<math> XOR(A,B) \Longleftrightarrow \neg (A \longleftrightarrow B) \Longleftrightarrow (A\wedge \neg B) \vee (B\wedge \neg A) </math> Mit die Verwendung <math>max</math> für ODER und <math>min</math> für UND kann man XOR(A,B) fuzzylogisch wie folgt darstellen: :<math> XOR(A,B) = max\big( min(\mu_{A},1-\mu_{B}) , min(\mu_{B},1-\mu_{A}) \big) </math> == Literatur/Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte einer Menge]] * [[w:de:Fuzzylogik/Operatoren|Fuzzylogik/Operatoren]] * [[Mathematische Modellbildung]] * [[Open Educational Resources]] * [[Wiki2Reveal]] === Kurse === * [[Kurs:Maschinelles Lernen]] * [[Kurs:Mathematische Modellbildung]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik/Operatoren&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Operatoren&coursetitle=Fuzzylogik Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik/Operatoren&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Operatoren&coursetitle=Fuzzylogik Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik Fuzzylogik]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Fuzzylogik/Operatoren https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik/Operatoren] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik/Operatoren Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik/Operatoren * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik/Operatoren&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Operatoren&coursetitle=Fuzzylogik Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] kz0ppx5oaz84x6oqndx2qz5n43yh5vi 1119295 1119294 2026-11-10T08:21:14Z Bert Niehaus 20843 /* Erzeugendenfunktion - multiplikatives Fuzzy-NAND */ 1119295 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite zum Thema ''Fuzzylogik/Operatoren'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik/Operatoren&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Operatoren&coursetitle=Fuzzylogik Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt: * (1) Klassische logische Operationen<ref>Suppes, P. (1999). Introduction to logic. Courier Corporation.</ref>, * (2) [[Fuzzylogik/Operatoren#Operatoren|Fuzzylogische Operatoren]]<ref>Buckley, J. J., & Eslami, E. (2002). An introduction to fuzzy logic and fuzzy sets (Vol. 13). Springer Science & Business Media.</ref>, * (3) [[Fuzzylogik/Operatoren#Konsistenz|Konsistenz zur klassischen Logik]]. === Konsistenz zur klassischen Logik === Die Konsistenz zur klassischen Logik besagt, dass die Fuzzylogik auf den [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkten]] des Einheitsquadrates <math>\Omega := [0,1]\times [0,1]</math> genauso funktionieren muss, wie die klassische Logik. Die == Zielsetzung == Diese Lernressource zu ''Fuzzylogik und Operatoren'' in der Wikiversity hat das Ziel, das klassische Konzept von logischen Operatoren UND, ODER, NICHT, WENN ... DANN, ...) (<math> \wedge, \vee, \neg, \Rightarrow </math>) auf fuzzylogische Operationen zu verallgemeinern. == Lernvoraussetzungen == Die Lernressource zum Thema ''Fuzzylogik/Operatoren'' hat die folgenden Lernvoraussetzungen, die zum Verständnis der nachfolgenden Ausführungen hilfreich bzw. notwendig sind. * '''([[Fuzzylogik/Zugehörigkeitsfunktion|Zugehörigkeitsfunktionen]])''' Funktionale Beschreibung unscharfer Mengen * '''(Wahrheitstafeln)''' Wahrheitstafeln für klassische logische Operatoren * '''(Implikationen/Folgerungen)''' klassische Implikationen/Folgerungen, da diese auf die Fuzzylogik übertragen werden == Operatoren für unscharfe Mengen == [[Datei:Fuzzy-Operatoren.png|450px|UND-ODER-NICHT-Operatoren zur Verknüpfung von Zugehörigkeitsfunktionen (Teilmengen).]] === Erzeugendenfunktion - Fuzzy-NAND === Die Verknüpfung Fuzzy-NAND <math>NAND_\odot</math> ist eine Erzeugendenfunktion für alle fuzzylogischen Verknüpfungen, denn es gilt für <math>x,y\in [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{rcccl} x \ \widetilde{\wedge} \ y & := & NAND(1-x,1-y) & = & \min\{ x,y \} \\ \widetilde{\neg} \, x & := & NAND(x,x) & = & \min\{ 1-x,1-x \} = 1-x \\ x \ \widetilde{\vee} \, y & := & \widetilde{\neg} \big( \widetilde{\neg} \ x \ \widetilde{\wedge} \ \widetilde{\neg} \ y \big) & = & 1- \min\{ x, y \} = \max\{ x,y \} \\ x \ \widetilde{\rightarrow} \ y & := & \widetilde{\neg} \ x \ \widetilde{\vee} \ y & = & \max\{ 1-x,y \} \\ \end{array} </math> Das Fuzzy-ODER <math>\widetilde{\vee}</math> wird über die [[w:de:De-morgansche Gesetze|De-morganschen Gesetze]] erzeugt. === Fortsetzung der klassischen Logik nicht eindeutig === Die Fortsetzung der klassischen Logik ist allerding nicht eindeutig. Durch das die multiplikative Fuzzy-NAND-Funktion wird ebenfalls eine von der obigen Min-Max-Operator-Definition wesentlich verschiedene Definition der Fuzzyoperationen definiert, die ebenfalls konsistent zur klassischen Logik ist. === Multiplikatives Fuzzy-NAND === Man definiert das multiplikative Fuzzy-NAND wie folgt: :<math> \begin{array}{rrcl} NAND_\odot: & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & [0,1] \\ & \left( x,y \right) & \mapsto & NAND_\odot\left( x,y \right) = (1-x)\cdot (1-y) \end{array} </math> === Erzeugendenfunktion - multiplikatives Fuzzy-NAND === Das multiplikative Fuzzy-NAND <math>NAND_\odot</math> ist eine Erzeugendenfunktion für alle fuzzylogischen Verknüpfungen, denn es gilt für <math>x,y\in [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{rcccl} x \ \widetilde{\wedge}_{_\odot} \ y & := & NAND_\odot(1-x,1-y) & = & x\cdot y \\ \widetilde{\neg}_{_\odot} \, x & := & NAND_\odot(x,x) & = & (1-x)^2 \\ x \ \widetilde{\vee}_{\!\!_\odot} \, y & := & \widetilde{\neg}_{_\odot} (\widetilde{\neg}_{_\odot} \ x \ \widetilde{\wedge}_{_\odot} \ \widetilde{\neg}_{_\odot} \ y) & = & 1-\big( (1-x)^2\cdot (1-y)^2 \big) \\ x \ \widetilde{\rightarrow}_{\!_\odot} \ y & := & \widetilde{\neg}_{_\odot} \ x \ \widetilde{\vee}_{\!\!_\odot} \ y \\ \end{array} </math> Das multiplikative Fuzzy-ODER <math>\widetilde{\vee}_{\!\!_\odot}</math> wird über die [[w:de:De-morgansche Gesetze|De-morganschen Gesetze]] erzeugt. === Aufgabe für Studierende === * Zeigen Sie, dass die obige Definition des multiplikativen NAND zu einer mit der klassischen Logik konsistenten Eigenschaft der Fuzzy-Verknüpfungen kommt. === Bemerkung - strengeres Fuzzy-UND === Das multiplikative Fuzzy-NAND <math>NAND_\odot</math> erzeugt ein strengeres Fuzzy-AND als fuzzylogische Verknüpfungen als die Min-Max-Definition der fuzzylogischen Verknüpfungen. Dies bedeutet, dass für alle <math>x,y\in [0,1]</math> gilt: :<math> x \ \widetilde{\wedge}_{_\odot} \, y \ \ \leq \ \ x \ \widetilde{\wedge} \ y </math> == Aufgaben - Zugehörigkeitsfunktion == Mit den folgenden Aufgaben zum Thema ''Fuzzy-Implikation'' als ''Operator'' auf Fuzzymengen behandelt: * Erzeugen Sie eine Zugehörigkeitsfunktion einer Fuzzymenge für den linguistischen Wert "alt" und "schnell" wobei die Grundmenge <math>\Omega := [0,100] </math> ein Alter zwischen 0 und 100 Jahren als Argument der Zugehörigkeitsfunktionen definiert. * Zeichnen Sie einen Graphen <math>\mu_{alt} : \Omega \to [0,1]</math> mit <math>\Omega := [0,100] </math> auf der x-Achse und <math>[0,1]</math> auf der y-Achse, wobei <math>\mu_{alt}(x) \in [0,1] </math> angibt, zu welchem Grad eine Alter <math>x</math> die Eigenschaft "alt" als linguistischen Wert erfüllt. * Zeichnen Sie einen Graphen <math>\mu_{schnell} : \Omega \to [0,1]</math> mit <math>\Omega := [0,100] </math> auf der x-Achse und <math>[0,1]</math> auf der y-Achse, wobei <math>\mu_{schnell}(x) \in [0,1] </math> angibt, zu welchem Grad eine Alter <math>x</math> die Eigenschaft "schnell" als linguistischen Wert erfüllt. == Aufgaben - Fuzzylogische Folgerung == Als einführendes Beispiel zum Thema ''fuzzylogische Operatoren'' dient dazu, sprachliche formuliert "WENN-DANN"-Aussagen in fuzzylogische zu übertragen und danach die resultierende Zugehörigkeitsfunktion zu interpretieren. <math>\Omega = [0,100] </math> ist das Alter in Jahren. * Nutzen Sie die obigen [[Fuzzylogik/Zugehörigkeitsfunktion|Zugehörigkeitsfunktionen]] von "alt" und "schnell". * Basierend auf den obigen [[Fuzzylogik/Zugehörigkeitsfunktion|Zugehörigkeitsfunktionen]] zeichnen Sie zunächst freihändig die Zugehörigkeitsfunktion ''"WENN alt DANN schnell"'' * Berechnen Sie dann die fuzzylogische Zugehörigkeitsfunktion von ''"WENN alt DANN schnell"''! Drücken Sie dabei die Folgerung zunächst durch UND, ODER und NICHT aus. * Falls sich Ihre "Freihandzeichnung" und der berechnete Graph der Zughörigkeitsfunktion unterscheiden, begründen Sie, warum die Freihandzeichnung von dem berechneten Graphen abweicht! <span id="Operatoren"></span> == Konsistenz zu klassischen Logik == Die Eigenschaft, dass fuzzylogische Operationen ''konsistent'' zu klassischen Logik sein müssen, bedeutet, dass in einem <math>n</math>-dimenesionalen Einheitswürfel für beliebige <math>n\in \mathbb{N}</math> die Funktionswerte der fuzzylogischen Operation in den [[w:de:Extremalpunkt|Extermalpunkten]] mit der klassischen Logik übereinstimmen müssen. === Extremalpunkte des Einheitswürfels === Man betrachtet den <math>n</math>-dimenesionalen Einheitswürfel <math>\Omega_n := [0,1]^n</math> mit: :<math> [0,1]^n := \{ (\omega_1 , \ldots , \omega_n) \in \mathbb{R}^n \ : \ \omega_1 , \ldots , \omega_n \in [0,1] \} </math> Die [[w:de:Extremalpunkt|Extermalpunkte]] <math> \mathfrak{E}(\Omega_n)</math> des <math>n</math>-dimenesionalen Einheitswürfels <math>\Omega_n</math> sind: :<math> \mathfrak{E}(\Omega_n)=\{0,1\}^n = \{ (\omega_1 , \ldots , \omega_n) \in \mathbb{R}^n \ : \ \omega_1 , \ldots , \omega_n \in \{0,1\} \} </math> === Bemerkung - Extremalpunkte === Ein Extremalpunkt <math>(\omega_1 , \ldots , \omega_n) \in \mathfrak{E}(\Omega_n) </math> besteht nur aus Komponenten <math>0</math> oder <math>1</math> (z.B. für <math>n=2</math> ist <math>\Omega_2</math> das Einheitsquadrat <math>[0,1] \times [0,1]\subset \mathbb{R}^2</math>. Die [[w:de:Extremalpunkt|Extermalpunkte]] <math> \mathfrak{E}(\Omega_2)</math> bestehen dann aus den 4 Eckpunkten, d.h. :<math> \mathfrak{E}(\Omega_2)=\{0,1\}^2 = \{ (0,0) ,(0,1), (1,0), (1,1) \} </math> Für das Einheitsintervall <math>\Omega_1 = [0,1]</math> gilt <math>\mathfrak{E}(\Omega_1)=\{0,1\}</math>. === Beispiele - Fuzzylogische Operationen === In dem obigen Beispiel wurden die fuzzylogischen Operationen einmal mit der <math>\min</math>-Definition von <math>NAND</math>-Verknüpfung und einmal mit dem multiplikativen <math>NAND_{\!\!_\odot}</math> erzeugt. Man betrachtet nun die Konsistenz mit der klassischen Logik, wobei die klassische Logik die Verknüpfung allein auf den [[w:de:Extremalpunkt|Extermalpunkten]] <math> \mathfrak{E}(\Omega_n)</math> von <math> \Omega_n</math> festlegt. ==== Konsistenz - Negation - logisches NICHT==== Das logische NICHT ändert den Wahrheitswert von ''wahr'' (=1) auf ''falsch'' (=0) und umgekehrt den Wahrheitswert von ''falsch'' (=0) auf ''wahr'' (=1). * Über die <math>\min</math>-Definition der <math>NAND</math>-Verknüpfung erhält man <math>\widetilde{\neg}\, \omega = 1-\omega </math> für <math>\omega \in [0,1]</math>. * Über die multiplikative Definition der <math>NAND_{\!\!_\odot}</math>-Verknüpfung erhält man <math>\widetilde{\neg}_{\!_\odot}\, \omega = 1-\omega^2 </math> für <math>\omega \in [0,1]</math>. In beiden Fällen erhält man die Konsistenz mit der klassischen Logik, da sowohl <math> \widetilde{\neg}\, 1 = \widetilde{\neg}_{\!_\odot}\, 1 = 0 </math> und <math> \widetilde{\neg}\, 0 = \widetilde{\neg}_{\!_\odot}\, 0 = 1 </math> gilt. ==== Konsistenz - Konjunktion - logisches UND ==== Betrachtet man das logische UND für bei erzeugende NAND-Verknüpfungen, dann erhält man: :<math> \begin{array}{rcccl} x \ \widetilde{\wedge} \, y & = & NAND(1-x,1-y) &= &\min\{ x,y \} \\ x \ \widetilde{\wedge}_{_\odot} \, y & = & NAND_\odot(1-x,1-y) & = & x\cdot y \\ \end{array} </math> Durch Einsetzen der [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte]] :<math> \mathfrak{E}(\Omega_2)=\{0,1\}^2 = \{ (0,0) ,(0,1), (1,0), (1,1) \} </math> aus <math>\Omega_2</math> erhält man analog für beide erzeugenden <math>NAND</math>-Verknüpfungen die Konsistenz mit der klassischen Logik. ==== Konsistenz - Disjunktion - logisches ODER ==== Betrachtet man das logische ODER für beide erzeugende NAND-Verknüpfungen, dann erhält man für die [[w:de:Diskunktion|Disjunktion]]: :<math> \begin{array}{rcccl} x \ \widetilde{\vee} \, y & = & \widetilde{\neg} \big( \widetilde{\neg} \ x \ \widetilde{\wedge} \ \widetilde{\neg} \ y \big) & = & 1- \min\{ x, y \} = \max\{ x,y \} \\ x \ \widetilde{\vee}_{_\odot} \, y & = & 1-NAND_\odot(1-x,1-y) & = & x\cdot y \\ \end{array} </math> Durch Einsetzen der [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte]] :<math> \mathfrak{E}(\Omega_2)=\{0,1\}^2 = \{ (0,0) ,(0,1), (1,0), (1,1) \} </math> aus <math>\Omega_2</math> erhält man analog für beide erzeugenden <math>NAND</math>-Verknüpfungen die Konsistenz mit der klassischen Logik. == Logische Operationen == Analog zur klassischen (crispen) Logik kann man in der Fuzzylogik auch logische Operatoren definieren, die konsistent zu klassischen Logik sind, d.h. in den crispen Grenzfällen von 0 und 1 für falsch und wahr den Operatoren in der klassischen Logik nicht widersprechen. === Negation === Die Negation in der Fuzzylogik erfolgt durch Subtraktion der Eingabewerte von 1. Also ''' NOT(A)=1-A''' === Nicht ausschließende-ODER-Schaltung === Die Adjunktion erfolgt durch Wahl des jeweils höheren Wertes der Eingabewerte. Also ''' OR(A;B)=A wenn A>B''' ''' B wenn A<=B''' Dies kann man analog auch durch das Maximum ausdrücken <math>OR(A;B) := \max\{A,B\}</math> === UND-Schaltung === Die Konjunktion erfolgt durch Wahl des jeweils niedrigeren Wertes der Eingabewerte. Also ''' AND(A;B)=A wenn A&lt;B''' ''' B wenn A>=B''' Dies kann man analog auch durch das Minimum ausdrücken <math>AND(A;B) := \min\{A,B\}</math> === Ausschließende-ODER-Schaltung === Für die Disjunktion komplementiert man den kleineren zweier Werte und wählt den kleineren der beiden. Für mehr als zwei Eingabewerte setzt man das Ergebnis der letzten Operation rekursiv mit dem jeweils nächsten Eingabewert ein. Einfacher: man nimmt die Differenz des weniger Extremen von dem ihm gegenüberliegenden Extremwert. Also ''' XOR(A;B)=A wenn A>B und A<(1-B)''' ''' 1-B wenn A>B und A>=(1-B)''' ''' B wenn B>=A und B<(1-A)''' ''' 1-A wenn B>=A und B>=(1-A)''' === Wahrheitstafel von XOR === Das ausschließende ODER "XOR" besitzt in der klasssischen Logik die Wahrheitstafel von <math>\neg(A \leftrightarrow B) </math>. {| class="wikitable float-right" |- ! <math>A</math> ! <math>B</math> ! <math>\neg(A \leftrightarrow B) </math> |- | falsch | falsch |style="text-align:center"| falsch |- | falsch | wahr |style="text-align:center"| wahr |- | wahr | falsch |style="text-align:center"| wahr |- | wahr | wahr |style="text-align:center"| falsch |} === Fuzzylogische Berechnung von XOR === Um konsistent zur klassischen Logik zu bleiben, kann man eine ''"ausschließendes ODER"'' auch über die logischen Verknüpfungen "UND", "ODER" und "NICHT" ausdrücken. :<math> XOR(A,B) \Longleftrightarrow \neg (A \longleftrightarrow B) \Longleftrightarrow (A\wedge \neg B) \vee (B\wedge \neg A) </math> Mit die Verwendung <math>max</math> für ODER und <math>min</math> für UND kann man XOR(A,B) fuzzylogisch wie folgt darstellen: :<math> XOR(A,B) = max\big( min(\mu_{A},1-\mu_{B}) , min(\mu_{B},1-\mu_{A}) \big) </math> == Literatur/Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte einer Menge]] * [[w:de:Fuzzylogik/Operatoren|Fuzzylogik/Operatoren]] * [[Mathematische Modellbildung]] * [[Open Educational Resources]] * [[Wiki2Reveal]] === Kurse === * [[Kurs:Maschinelles Lernen]] * [[Kurs:Mathematische Modellbildung]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik/Operatoren&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Operatoren&coursetitle=Fuzzylogik Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik/Operatoren&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Operatoren&coursetitle=Fuzzylogik Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik Fuzzylogik]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Fuzzylogik/Operatoren https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik/Operatoren] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik/Operatoren Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik/Operatoren * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik/Operatoren&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Operatoren&coursetitle=Fuzzylogik Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 48or95csoot6359engecnt9oq3yyl0h 1119296 1119295 2026-11-10T08:22:18Z Bert Niehaus 20843 /* Konsistenz - Disjunktion - logisches ODER */ 1119296 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite zum Thema ''Fuzzylogik/Operatoren'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik/Operatoren&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Operatoren&coursetitle=Fuzzylogik Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt: * (1) Klassische logische Operationen<ref>Suppes, P. (1999). Introduction to logic. Courier Corporation.</ref>, * (2) [[Fuzzylogik/Operatoren#Operatoren|Fuzzylogische Operatoren]]<ref>Buckley, J. J., & Eslami, E. (2002). An introduction to fuzzy logic and fuzzy sets (Vol. 13). Springer Science & Business Media.</ref>, * (3) [[Fuzzylogik/Operatoren#Konsistenz|Konsistenz zur klassischen Logik]]. === Konsistenz zur klassischen Logik === Die Konsistenz zur klassischen Logik besagt, dass die Fuzzylogik auf den [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkten]] des Einheitsquadrates <math>\Omega := [0,1]\times [0,1]</math> genauso funktionieren muss, wie die klassische Logik. Die == Zielsetzung == Diese Lernressource zu ''Fuzzylogik und Operatoren'' in der Wikiversity hat das Ziel, das klassische Konzept von logischen Operatoren UND, ODER, NICHT, WENN ... DANN, ...) (<math> \wedge, \vee, \neg, \Rightarrow </math>) auf fuzzylogische Operationen zu verallgemeinern. == Lernvoraussetzungen == Die Lernressource zum Thema ''Fuzzylogik/Operatoren'' hat die folgenden Lernvoraussetzungen, die zum Verständnis der nachfolgenden Ausführungen hilfreich bzw. notwendig sind. * '''([[Fuzzylogik/Zugehörigkeitsfunktion|Zugehörigkeitsfunktionen]])''' Funktionale Beschreibung unscharfer Mengen * '''(Wahrheitstafeln)''' Wahrheitstafeln für klassische logische Operatoren * '''(Implikationen/Folgerungen)''' klassische Implikationen/Folgerungen, da diese auf die Fuzzylogik übertragen werden == Operatoren für unscharfe Mengen == [[Datei:Fuzzy-Operatoren.png|450px|UND-ODER-NICHT-Operatoren zur Verknüpfung von Zugehörigkeitsfunktionen (Teilmengen).]] === Erzeugendenfunktion - Fuzzy-NAND === Die Verknüpfung Fuzzy-NAND <math>NAND_\odot</math> ist eine Erzeugendenfunktion für alle fuzzylogischen Verknüpfungen, denn es gilt für <math>x,y\in [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{rcccl} x \ \widetilde{\wedge} \ y & := & NAND(1-x,1-y) & = & \min\{ x,y \} \\ \widetilde{\neg} \, x & := & NAND(x,x) & = & \min\{ 1-x,1-x \} = 1-x \\ x \ \widetilde{\vee} \, y & := & \widetilde{\neg} \big( \widetilde{\neg} \ x \ \widetilde{\wedge} \ \widetilde{\neg} \ y \big) & = & 1- \min\{ x, y \} = \max\{ x,y \} \\ x \ \widetilde{\rightarrow} \ y & := & \widetilde{\neg} \ x \ \widetilde{\vee} \ y & = & \max\{ 1-x,y \} \\ \end{array} </math> Das Fuzzy-ODER <math>\widetilde{\vee}</math> wird über die [[w:de:De-morgansche Gesetze|De-morganschen Gesetze]] erzeugt. === Fortsetzung der klassischen Logik nicht eindeutig === Die Fortsetzung der klassischen Logik ist allerding nicht eindeutig. Durch das die multiplikative Fuzzy-NAND-Funktion wird ebenfalls eine von der obigen Min-Max-Operator-Definition wesentlich verschiedene Definition der Fuzzyoperationen definiert, die ebenfalls konsistent zur klassischen Logik ist. === Multiplikatives Fuzzy-NAND === Man definiert das multiplikative Fuzzy-NAND wie folgt: :<math> \begin{array}{rrcl} NAND_\odot: & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & [0,1] \\ & \left( x,y \right) & \mapsto & NAND_\odot\left( x,y \right) = (1-x)\cdot (1-y) \end{array} </math> === Erzeugendenfunktion - multiplikatives Fuzzy-NAND === Das multiplikative Fuzzy-NAND <math>NAND_\odot</math> ist eine Erzeugendenfunktion für alle fuzzylogischen Verknüpfungen, denn es gilt für <math>x,y\in [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{rcccl} x \ \widetilde{\wedge}_{_\odot} \ y & := & NAND_\odot(1-x,1-y) & = & x\cdot y \\ \widetilde{\neg}_{_\odot} \, x & := & NAND_\odot(x,x) & = & (1-x)^2 \\ x \ \widetilde{\vee}_{\!\!_\odot} \, y & := & \widetilde{\neg}_{_\odot} (\widetilde{\neg}_{_\odot} \ x \ \widetilde{\wedge}_{_\odot} \ \widetilde{\neg}_{_\odot} \ y) & = & 1-\big( (1-x)^2\cdot (1-y)^2 \big) \\ x \ \widetilde{\rightarrow}_{\!_\odot} \ y & := & \widetilde{\neg}_{_\odot} \ x \ \widetilde{\vee}_{\!\!_\odot} \ y \\ \end{array} </math> Das multiplikative Fuzzy-ODER <math>\widetilde{\vee}_{\!\!_\odot}</math> wird über die [[w:de:De-morgansche Gesetze|De-morganschen Gesetze]] erzeugt. === Aufgabe für Studierende === * Zeigen Sie, dass die obige Definition des multiplikativen NAND zu einer mit der klassischen Logik konsistenten Eigenschaft der Fuzzy-Verknüpfungen kommt. === Bemerkung - strengeres Fuzzy-UND === Das multiplikative Fuzzy-NAND <math>NAND_\odot</math> erzeugt ein strengeres Fuzzy-AND als fuzzylogische Verknüpfungen als die Min-Max-Definition der fuzzylogischen Verknüpfungen. Dies bedeutet, dass für alle <math>x,y\in [0,1]</math> gilt: :<math> x \ \widetilde{\wedge}_{_\odot} \, y \ \ \leq \ \ x \ \widetilde{\wedge} \ y </math> == Aufgaben - Zugehörigkeitsfunktion == Mit den folgenden Aufgaben zum Thema ''Fuzzy-Implikation'' als ''Operator'' auf Fuzzymengen behandelt: * Erzeugen Sie eine Zugehörigkeitsfunktion einer Fuzzymenge für den linguistischen Wert "alt" und "schnell" wobei die Grundmenge <math>\Omega := [0,100] </math> ein Alter zwischen 0 und 100 Jahren als Argument der Zugehörigkeitsfunktionen definiert. * Zeichnen Sie einen Graphen <math>\mu_{alt} : \Omega \to [0,1]</math> mit <math>\Omega := [0,100] </math> auf der x-Achse und <math>[0,1]</math> auf der y-Achse, wobei <math>\mu_{alt}(x) \in [0,1] </math> angibt, zu welchem Grad eine Alter <math>x</math> die Eigenschaft "alt" als linguistischen Wert erfüllt. * Zeichnen Sie einen Graphen <math>\mu_{schnell} : \Omega \to [0,1]</math> mit <math>\Omega := [0,100] </math> auf der x-Achse und <math>[0,1]</math> auf der y-Achse, wobei <math>\mu_{schnell}(x) \in [0,1] </math> angibt, zu welchem Grad eine Alter <math>x</math> die Eigenschaft "schnell" als linguistischen Wert erfüllt. == Aufgaben - Fuzzylogische Folgerung == Als einführendes Beispiel zum Thema ''fuzzylogische Operatoren'' dient dazu, sprachliche formuliert "WENN-DANN"-Aussagen in fuzzylogische zu übertragen und danach die resultierende Zugehörigkeitsfunktion zu interpretieren. <math>\Omega = [0,100] </math> ist das Alter in Jahren. * Nutzen Sie die obigen [[Fuzzylogik/Zugehörigkeitsfunktion|Zugehörigkeitsfunktionen]] von "alt" und "schnell". * Basierend auf den obigen [[Fuzzylogik/Zugehörigkeitsfunktion|Zugehörigkeitsfunktionen]] zeichnen Sie zunächst freihändig die Zugehörigkeitsfunktion ''"WENN alt DANN schnell"'' * Berechnen Sie dann die fuzzylogische Zugehörigkeitsfunktion von ''"WENN alt DANN schnell"''! Drücken Sie dabei die Folgerung zunächst durch UND, ODER und NICHT aus. * Falls sich Ihre "Freihandzeichnung" und der berechnete Graph der Zughörigkeitsfunktion unterscheiden, begründen Sie, warum die Freihandzeichnung von dem berechneten Graphen abweicht! <span id="Operatoren"></span> == Konsistenz zu klassischen Logik == Die Eigenschaft, dass fuzzylogische Operationen ''konsistent'' zu klassischen Logik sein müssen, bedeutet, dass in einem <math>n</math>-dimenesionalen Einheitswürfel für beliebige <math>n\in \mathbb{N}</math> die Funktionswerte der fuzzylogischen Operation in den [[w:de:Extremalpunkt|Extermalpunkten]] mit der klassischen Logik übereinstimmen müssen. === Extremalpunkte des Einheitswürfels === Man betrachtet den <math>n</math>-dimenesionalen Einheitswürfel <math>\Omega_n := [0,1]^n</math> mit: :<math> [0,1]^n := \{ (\omega_1 , \ldots , \omega_n) \in \mathbb{R}^n \ : \ \omega_1 , \ldots , \omega_n \in [0,1] \} </math> Die [[w:de:Extremalpunkt|Extermalpunkte]] <math> \mathfrak{E}(\Omega_n)</math> des <math>n</math>-dimenesionalen Einheitswürfels <math>\Omega_n</math> sind: :<math> \mathfrak{E}(\Omega_n)=\{0,1\}^n = \{ (\omega_1 , \ldots , \omega_n) \in \mathbb{R}^n \ : \ \omega_1 , \ldots , \omega_n \in \{0,1\} \} </math> === Bemerkung - Extremalpunkte === Ein Extremalpunkt <math>(\omega_1 , \ldots , \omega_n) \in \mathfrak{E}(\Omega_n) </math> besteht nur aus Komponenten <math>0</math> oder <math>1</math> (z.B. für <math>n=2</math> ist <math>\Omega_2</math> das Einheitsquadrat <math>[0,1] \times [0,1]\subset \mathbb{R}^2</math>. Die [[w:de:Extremalpunkt|Extermalpunkte]] <math> \mathfrak{E}(\Omega_2)</math> bestehen dann aus den 4 Eckpunkten, d.h. :<math> \mathfrak{E}(\Omega_2)=\{0,1\}^2 = \{ (0,0) ,(0,1), (1,0), (1,1) \} </math> Für das Einheitsintervall <math>\Omega_1 = [0,1]</math> gilt <math>\mathfrak{E}(\Omega_1)=\{0,1\}</math>. === Beispiele - Fuzzylogische Operationen === In dem obigen Beispiel wurden die fuzzylogischen Operationen einmal mit der <math>\min</math>-Definition von <math>NAND</math>-Verknüpfung und einmal mit dem multiplikativen <math>NAND_{\!\!_\odot}</math> erzeugt. Man betrachtet nun die Konsistenz mit der klassischen Logik, wobei die klassische Logik die Verknüpfung allein auf den [[w:de:Extremalpunkt|Extermalpunkten]] <math> \mathfrak{E}(\Omega_n)</math> von <math> \Omega_n</math> festlegt. ==== Konsistenz - Negation - logisches NICHT==== Das logische NICHT ändert den Wahrheitswert von ''wahr'' (=1) auf ''falsch'' (=0) und umgekehrt den Wahrheitswert von ''falsch'' (=0) auf ''wahr'' (=1). * Über die <math>\min</math>-Definition der <math>NAND</math>-Verknüpfung erhält man <math>\widetilde{\neg}\, \omega = 1-\omega </math> für <math>\omega \in [0,1]</math>. * Über die multiplikative Definition der <math>NAND_{\!\!_\odot}</math>-Verknüpfung erhält man <math>\widetilde{\neg}_{\!_\odot}\, \omega = 1-\omega^2 </math> für <math>\omega \in [0,1]</math>. In beiden Fällen erhält man die Konsistenz mit der klassischen Logik, da sowohl <math> \widetilde{\neg}\, 1 = \widetilde{\neg}_{\!_\odot}\, 1 = 0 </math> und <math> \widetilde{\neg}\, 0 = \widetilde{\neg}_{\!_\odot}\, 0 = 1 </math> gilt. ==== Konsistenz - Konjunktion - logisches UND ==== Betrachtet man das logische UND für bei erzeugende NAND-Verknüpfungen, dann erhält man: :<math> \begin{array}{rcccl} x \ \widetilde{\wedge} \, y & = & NAND(1-x,1-y) &= &\min\{ x,y \} \\ x \ \widetilde{\wedge}_{_\odot} \, y & = & NAND_\odot(1-x,1-y) & = & x\cdot y \\ \end{array} </math> Durch Einsetzen der [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte]] :<math> \mathfrak{E}(\Omega_2)=\{0,1\}^2 = \{ (0,0) ,(0,1), (1,0), (1,1) \} </math> aus <math>\Omega_2</math> erhält man analog für beide erzeugenden <math>NAND</math>-Verknüpfungen die Konsistenz mit der klassischen Logik. ==== Konsistenz - Disjunktion - logisches ODER ==== Betrachtet man das logische ODER für beide erzeugende NAND-Verknüpfungen, dann erhält man für die [[w:de:Diskunktion|Disjunktion]]: :<math> \begin{array}{rcccl} x \ \widetilde{\vee} \, y & = & \widetilde{\neg} \big( \widetilde{\neg} \ x \ \widetilde{\wedge} \ \widetilde{\neg} \ y \big) & = & 1- \min\{ x, y \} = \max\{ x,y \} \\ x \ \widetilde{\vee}_{\!\!_\odot} \, y & := & \widetilde{\neg}_{_\odot} (\widetilde{\neg}_{_\odot} \ x \ \widetilde{\wedge}_{_\odot} \ \widetilde{\neg}_{_\odot} \ y) & = & 1-\big( (1-x)^2\cdot (1-y)^2 \big) \\ \end{array} </math> Durch Einsetzen der [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte]] :<math> \mathfrak{E}(\Omega_2)=\{0,1\}^2 = \{ (0,0) ,(0,1), (1,0), (1,1) \} </math> aus <math>\Omega_2</math> erhält man analog für beide erzeugenden <math>NAND</math>-Verknüpfungen die Konsistenz mit der klassischen Logik. == Logische Operationen == Analog zur klassischen (crispen) Logik kann man in der Fuzzylogik auch logische Operatoren definieren, die konsistent zu klassischen Logik sind, d.h. in den crispen Grenzfällen von 0 und 1 für falsch und wahr den Operatoren in der klassischen Logik nicht widersprechen. === Negation === Die Negation in der Fuzzylogik erfolgt durch Subtraktion der Eingabewerte von 1. Also ''' NOT(A)=1-A''' === Nicht ausschließende-ODER-Schaltung === Die Adjunktion erfolgt durch Wahl des jeweils höheren Wertes der Eingabewerte. Also ''' OR(A;B)=A wenn A>B''' ''' B wenn A<=B''' Dies kann man analog auch durch das Maximum ausdrücken <math>OR(A;B) := \max\{A,B\}</math> === UND-Schaltung === Die Konjunktion erfolgt durch Wahl des jeweils niedrigeren Wertes der Eingabewerte. Also ''' AND(A;B)=A wenn A&lt;B''' ''' B wenn A>=B''' Dies kann man analog auch durch das Minimum ausdrücken <math>AND(A;B) := \min\{A,B\}</math> === Ausschließende-ODER-Schaltung === Für die Disjunktion komplementiert man den kleineren zweier Werte und wählt den kleineren der beiden. Für mehr als zwei Eingabewerte setzt man das Ergebnis der letzten Operation rekursiv mit dem jeweils nächsten Eingabewert ein. Einfacher: man nimmt die Differenz des weniger Extremen von dem ihm gegenüberliegenden Extremwert. Also ''' XOR(A;B)=A wenn A>B und A<(1-B)''' ''' 1-B wenn A>B und A>=(1-B)''' ''' B wenn B>=A und B<(1-A)''' ''' 1-A wenn B>=A und B>=(1-A)''' === Wahrheitstafel von XOR === Das ausschließende ODER "XOR" besitzt in der klasssischen Logik die Wahrheitstafel von <math>\neg(A \leftrightarrow B) </math>. {| class="wikitable float-right" |- ! <math>A</math> ! <math>B</math> ! <math>\neg(A \leftrightarrow B) </math> |- | falsch | falsch |style="text-align:center"| falsch |- | falsch | wahr |style="text-align:center"| wahr |- | wahr | falsch |style="text-align:center"| wahr |- | wahr | wahr |style="text-align:center"| falsch |} === Fuzzylogische Berechnung von XOR === Um konsistent zur klassischen Logik zu bleiben, kann man eine ''"ausschließendes ODER"'' auch über die logischen Verknüpfungen "UND", "ODER" und "NICHT" ausdrücken. :<math> XOR(A,B) \Longleftrightarrow \neg (A \longleftrightarrow B) \Longleftrightarrow (A\wedge \neg B) \vee (B\wedge \neg A) </math> Mit die Verwendung <math>max</math> für ODER und <math>min</math> für UND kann man XOR(A,B) fuzzylogisch wie folgt darstellen: :<math> XOR(A,B) = max\big( min(\mu_{A},1-\mu_{B}) , min(\mu_{B},1-\mu_{A}) \big) </math> == Literatur/Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte einer Menge]] * [[w:de:Fuzzylogik/Operatoren|Fuzzylogik/Operatoren]] * [[Mathematische Modellbildung]] * [[Open Educational Resources]] * [[Wiki2Reveal]] === Kurse === * [[Kurs:Maschinelles Lernen]] * [[Kurs:Mathematische Modellbildung]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik/Operatoren&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Operatoren&coursetitle=Fuzzylogik Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik/Operatoren&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Operatoren&coursetitle=Fuzzylogik Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik Fuzzylogik]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Fuzzylogik/Operatoren https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik/Operatoren] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik/Operatoren Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik/Operatoren * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik/Operatoren&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Operatoren&coursetitle=Fuzzylogik Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] oz7vmoex7nybptp1w21brawqq0z6uzv 1119297 1119296 2026-11-10T08:24:29Z Bert Niehaus 20843 /* Konsistenz - Disjunktion - logisches ODER */ 1119297 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite zum Thema ''Fuzzylogik/Operatoren'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik/Operatoren&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Operatoren&coursetitle=Fuzzylogik Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt: * (1) Klassische logische Operationen<ref>Suppes, P. (1999). Introduction to logic. Courier Corporation.</ref>, * (2) [[Fuzzylogik/Operatoren#Operatoren|Fuzzylogische Operatoren]]<ref>Buckley, J. J., & Eslami, E. (2002). An introduction to fuzzy logic and fuzzy sets (Vol. 13). Springer Science & Business Media.</ref>, * (3) [[Fuzzylogik/Operatoren#Konsistenz|Konsistenz zur klassischen Logik]]. === Konsistenz zur klassischen Logik === Die Konsistenz zur klassischen Logik besagt, dass die Fuzzylogik auf den [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkten]] des Einheitsquadrates <math>\Omega := [0,1]\times [0,1]</math> genauso funktionieren muss, wie die klassische Logik. Die == Zielsetzung == Diese Lernressource zu ''Fuzzylogik und Operatoren'' in der Wikiversity hat das Ziel, das klassische Konzept von logischen Operatoren UND, ODER, NICHT, WENN ... DANN, ...) (<math> \wedge, \vee, \neg, \Rightarrow </math>) auf fuzzylogische Operationen zu verallgemeinern. == Lernvoraussetzungen == Die Lernressource zum Thema ''Fuzzylogik/Operatoren'' hat die folgenden Lernvoraussetzungen, die zum Verständnis der nachfolgenden Ausführungen hilfreich bzw. notwendig sind. * '''([[Fuzzylogik/Zugehörigkeitsfunktion|Zugehörigkeitsfunktionen]])''' Funktionale Beschreibung unscharfer Mengen * '''(Wahrheitstafeln)''' Wahrheitstafeln für klassische logische Operatoren * '''(Implikationen/Folgerungen)''' klassische Implikationen/Folgerungen, da diese auf die Fuzzylogik übertragen werden == Operatoren für unscharfe Mengen == [[Datei:Fuzzy-Operatoren.png|450px|UND-ODER-NICHT-Operatoren zur Verknüpfung von Zugehörigkeitsfunktionen (Teilmengen).]] === Erzeugendenfunktion - Fuzzy-NAND === Die Verknüpfung Fuzzy-NAND <math>NAND_\odot</math> ist eine Erzeugendenfunktion für alle fuzzylogischen Verknüpfungen, denn es gilt für <math>x,y\in [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{rcccl} x \ \widetilde{\wedge} \ y & := & NAND(1-x,1-y) & = & \min\{ x,y \} \\ \widetilde{\neg} \, x & := & NAND(x,x) & = & \min\{ 1-x,1-x \} = 1-x \\ x \ \widetilde{\vee} \, y & := & \widetilde{\neg} \big( \widetilde{\neg} \ x \ \widetilde{\wedge} \ \widetilde{\neg} \ y \big) & = & 1- \min\{ x, y \} = \max\{ x,y \} \\ x \ \widetilde{\rightarrow} \ y & := & \widetilde{\neg} \ x \ \widetilde{\vee} \ y & = & \max\{ 1-x,y \} \\ \end{array} </math> Das Fuzzy-ODER <math>\widetilde{\vee}</math> wird über die [[w:de:De-morgansche Gesetze|De-morganschen Gesetze]] erzeugt. === Fortsetzung der klassischen Logik nicht eindeutig === Die Fortsetzung der klassischen Logik ist allerding nicht eindeutig. Durch das die multiplikative Fuzzy-NAND-Funktion wird ebenfalls eine von der obigen Min-Max-Operator-Definition wesentlich verschiedene Definition der Fuzzyoperationen definiert, die ebenfalls konsistent zur klassischen Logik ist. === Multiplikatives Fuzzy-NAND === Man definiert das multiplikative Fuzzy-NAND wie folgt: :<math> \begin{array}{rrcl} NAND_\odot: & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & [0,1] \\ & \left( x,y \right) & \mapsto & NAND_\odot\left( x,y \right) = (1-x)\cdot (1-y) \end{array} </math> === Erzeugendenfunktion - multiplikatives Fuzzy-NAND === Das multiplikative Fuzzy-NAND <math>NAND_\odot</math> ist eine Erzeugendenfunktion für alle fuzzylogischen Verknüpfungen, denn es gilt für <math>x,y\in [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{rcccl} x \ \widetilde{\wedge}_{_\odot} \ y & := & NAND_\odot(1-x,1-y) & = & x\cdot y \\ \widetilde{\neg}_{_\odot} \, x & := & NAND_\odot(x,x) & = & (1-x)^2 \\ x \ \widetilde{\vee}_{\!\!_\odot} \, y & := & \widetilde{\neg}_{_\odot} (\widetilde{\neg}_{_\odot} \ x \ \widetilde{\wedge}_{_\odot} \ \widetilde{\neg}_{_\odot} \ y) & = & 1-\big( (1-x)^2\cdot (1-y)^2 \big) \\ x \ \widetilde{\rightarrow}_{\!_\odot} \ y & := & \widetilde{\neg}_{_\odot} \ x \ \widetilde{\vee}_{\!\!_\odot} \ y \\ \end{array} </math> Das multiplikative Fuzzy-ODER <math>\widetilde{\vee}_{\!\!_\odot}</math> wird über die [[w:de:De-morgansche Gesetze|De-morganschen Gesetze]] erzeugt. === Aufgabe für Studierende === * Zeigen Sie, dass die obige Definition des multiplikativen NAND zu einer mit der klassischen Logik konsistenten Eigenschaft der Fuzzy-Verknüpfungen kommt. === Bemerkung - strengeres Fuzzy-UND === Das multiplikative Fuzzy-NAND <math>NAND_\odot</math> erzeugt ein strengeres Fuzzy-AND als fuzzylogische Verknüpfungen als die Min-Max-Definition der fuzzylogischen Verknüpfungen. Dies bedeutet, dass für alle <math>x,y\in [0,1]</math> gilt: :<math> x \ \widetilde{\wedge}_{_\odot} \, y \ \ \leq \ \ x \ \widetilde{\wedge} \ y </math> == Aufgaben - Zugehörigkeitsfunktion == Mit den folgenden Aufgaben zum Thema ''Fuzzy-Implikation'' als ''Operator'' auf Fuzzymengen behandelt: * Erzeugen Sie eine Zugehörigkeitsfunktion einer Fuzzymenge für den linguistischen Wert "alt" und "schnell" wobei die Grundmenge <math>\Omega := [0,100] </math> ein Alter zwischen 0 und 100 Jahren als Argument der Zugehörigkeitsfunktionen definiert. * Zeichnen Sie einen Graphen <math>\mu_{alt} : \Omega \to [0,1]</math> mit <math>\Omega := [0,100] </math> auf der x-Achse und <math>[0,1]</math> auf der y-Achse, wobei <math>\mu_{alt}(x) \in [0,1] </math> angibt, zu welchem Grad eine Alter <math>x</math> die Eigenschaft "alt" als linguistischen Wert erfüllt. * Zeichnen Sie einen Graphen <math>\mu_{schnell} : \Omega \to [0,1]</math> mit <math>\Omega := [0,100] </math> auf der x-Achse und <math>[0,1]</math> auf der y-Achse, wobei <math>\mu_{schnell}(x) \in [0,1] </math> angibt, zu welchem Grad eine Alter <math>x</math> die Eigenschaft "schnell" als linguistischen Wert erfüllt. == Aufgaben - Fuzzylogische Folgerung == Als einführendes Beispiel zum Thema ''fuzzylogische Operatoren'' dient dazu, sprachliche formuliert "WENN-DANN"-Aussagen in fuzzylogische zu übertragen und danach die resultierende Zugehörigkeitsfunktion zu interpretieren. <math>\Omega = [0,100] </math> ist das Alter in Jahren. * Nutzen Sie die obigen [[Fuzzylogik/Zugehörigkeitsfunktion|Zugehörigkeitsfunktionen]] von "alt" und "schnell". * Basierend auf den obigen [[Fuzzylogik/Zugehörigkeitsfunktion|Zugehörigkeitsfunktionen]] zeichnen Sie zunächst freihändig die Zugehörigkeitsfunktion ''"WENN alt DANN schnell"'' * Berechnen Sie dann die fuzzylogische Zugehörigkeitsfunktion von ''"WENN alt DANN schnell"''! Drücken Sie dabei die Folgerung zunächst durch UND, ODER und NICHT aus. * Falls sich Ihre "Freihandzeichnung" und der berechnete Graph der Zughörigkeitsfunktion unterscheiden, begründen Sie, warum die Freihandzeichnung von dem berechneten Graphen abweicht! <span id="Operatoren"></span> == Konsistenz zu klassischen Logik == Die Eigenschaft, dass fuzzylogische Operationen ''konsistent'' zu klassischen Logik sein müssen, bedeutet, dass in einem <math>n</math>-dimenesionalen Einheitswürfel für beliebige <math>n\in \mathbb{N}</math> die Funktionswerte der fuzzylogischen Operation in den [[w:de:Extremalpunkt|Extermalpunkten]] mit der klassischen Logik übereinstimmen müssen. === Extremalpunkte des Einheitswürfels === Man betrachtet den <math>n</math>-dimenesionalen Einheitswürfel <math>\Omega_n := [0,1]^n</math> mit: :<math> [0,1]^n := \{ (\omega_1 , \ldots , \omega_n) \in \mathbb{R}^n \ : \ \omega_1 , \ldots , \omega_n \in [0,1] \} </math> Die [[w:de:Extremalpunkt|Extermalpunkte]] <math> \mathfrak{E}(\Omega_n)</math> des <math>n</math>-dimenesionalen Einheitswürfels <math>\Omega_n</math> sind: :<math> \mathfrak{E}(\Omega_n)=\{0,1\}^n = \{ (\omega_1 , \ldots , \omega_n) \in \mathbb{R}^n \ : \ \omega_1 , \ldots , \omega_n \in \{0,1\} \} </math> === Bemerkung - Extremalpunkte === Ein Extremalpunkt <math>(\omega_1 , \ldots , \omega_n) \in \mathfrak{E}(\Omega_n) </math> besteht nur aus Komponenten <math>0</math> oder <math>1</math> (z.B. für <math>n=2</math> ist <math>\Omega_2</math> das Einheitsquadrat <math>[0,1] \times [0,1]\subset \mathbb{R}^2</math>. Die [[w:de:Extremalpunkt|Extermalpunkte]] <math> \mathfrak{E}(\Omega_2)</math> bestehen dann aus den 4 Eckpunkten, d.h. :<math> \mathfrak{E}(\Omega_2)=\{0,1\}^2 = \{ (0,0) ,(0,1), (1,0), (1,1) \} </math> Für das Einheitsintervall <math>\Omega_1 = [0,1]</math> gilt <math>\mathfrak{E}(\Omega_1)=\{0,1\}</math>. === Beispiele - Fuzzylogische Operationen === In dem obigen Beispiel wurden die fuzzylogischen Operationen einmal mit der <math>\min</math>-Definition von <math>NAND</math>-Verknüpfung und einmal mit dem multiplikativen <math>NAND_{\!\!_\odot}</math> erzeugt. Man betrachtet nun die Konsistenz mit der klassischen Logik, wobei die klassische Logik die Verknüpfung allein auf den [[w:de:Extremalpunkt|Extermalpunkten]] <math> \mathfrak{E}(\Omega_n)</math> von <math> \Omega_n</math> festlegt. ==== Konsistenz - Negation - logisches NICHT==== Das logische NICHT ändert den Wahrheitswert von ''wahr'' (=1) auf ''falsch'' (=0) und umgekehrt den Wahrheitswert von ''falsch'' (=0) auf ''wahr'' (=1). * Über die <math>\min</math>-Definition der <math>NAND</math>-Verknüpfung erhält man <math>\widetilde{\neg}\, \omega = 1-\omega </math> für <math>\omega \in [0,1]</math>. * Über die multiplikative Definition der <math>NAND_{\!\!_\odot}</math>-Verknüpfung erhält man <math>\widetilde{\neg}_{\!_\odot}\, \omega = 1-\omega^2 </math> für <math>\omega \in [0,1]</math>. In beiden Fällen erhält man die Konsistenz mit der klassischen Logik, da sowohl <math> \widetilde{\neg}\, 1 = \widetilde{\neg}_{\!_\odot}\, 1 = 0 </math> und <math> \widetilde{\neg}\, 0 = \widetilde{\neg}_{\!_\odot}\, 0 = 1 </math> gilt. ==== Konsistenz - Konjunktion - logisches UND ==== Betrachtet man das logische UND für bei erzeugende NAND-Verknüpfungen, dann erhält man: :<math> \begin{array}{rcccl} x \ \widetilde{\wedge} \, y & = & NAND(1-x,1-y) &= &\min\{ x,y \} \\ x \ \widetilde{\wedge}_{_\odot} \, y & = & NAND_\odot(1-x,1-y) & = & x\cdot y \\ \end{array} </math> Durch Einsetzen der [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte]] :<math> \mathfrak{E}(\Omega_2)=\{0,1\}^2 = \{ (0,0) ,(0,1), (1,0), (1,1) \} </math> aus <math>\Omega_2</math> erhält man analog für beide erzeugenden <math>NAND</math>-Verknüpfungen die Konsistenz mit der klassischen Logik. ==== Konsistenz - Disjunktion - logisches ODER ==== Betrachtet man das [[w:de:Disjunktion|logische ODER]] für beide erzeugende NAND-Verknüpfungen, dann erhält man für die [[w:de:Disjunktion|Disjunktion]]: :<math> \begin{array}{rcccl} x \ \widetilde{\vee} \, y & = & \widetilde{\neg} \big( \widetilde{\neg} \ x \ \widetilde{\wedge} \ \widetilde{\neg} \ y \big) & = & 1- \min\{ x, y \} = \max\{ x,y \} \\ x \ \widetilde{\vee}_{\!\!_\odot} \, y & := & \widetilde{\neg}_{_\odot} (\widetilde{\neg}_{_\odot} \ x \ \widetilde{\wedge}_{_\odot} \ \widetilde{\neg}_{_\odot} \ y) & = & 1-\big( (1-x)^2\cdot (1-y)^2 \big) \\ \end{array} </math> Durch Einsetzen der [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte]] :<math> \mathfrak{E}(\Omega_2)=\{0,1\}^2 = \{ (0,0) ,(0,1), (1,0), (1,1) \} </math> aus <math>\Omega_2</math> erhält man analog für beide erzeugenden <math>NAND</math>-Verknüpfungen die Konsistenz mit der klassischen Logik. == Logische Operationen == Analog zur klassischen (crispen) Logik kann man in der Fuzzylogik auch logische Operatoren definieren, die konsistent zu klassischen Logik sind, d.h. in den crispen Grenzfällen von 0 und 1 für falsch und wahr den Operatoren in der klassischen Logik nicht widersprechen. === Negation === Die Negation in der Fuzzylogik erfolgt durch Subtraktion der Eingabewerte von 1. Also ''' NOT(A)=1-A''' === Nicht ausschließende-ODER-Schaltung === Die Adjunktion erfolgt durch Wahl des jeweils höheren Wertes der Eingabewerte. Also ''' OR(A;B)=A wenn A>B''' ''' B wenn A<=B''' Dies kann man analog auch durch das Maximum ausdrücken <math>OR(A;B) := \max\{A,B\}</math> === UND-Schaltung === Die Konjunktion erfolgt durch Wahl des jeweils niedrigeren Wertes der Eingabewerte. Also ''' AND(A;B)=A wenn A&lt;B''' ''' B wenn A>=B''' Dies kann man analog auch durch das Minimum ausdrücken <math>AND(A;B) := \min\{A,B\}</math> === Ausschließende-ODER-Schaltung === Für die Disjunktion komplementiert man den kleineren zweier Werte und wählt den kleineren der beiden. Für mehr als zwei Eingabewerte setzt man das Ergebnis der letzten Operation rekursiv mit dem jeweils nächsten Eingabewert ein. Einfacher: man nimmt die Differenz des weniger Extremen von dem ihm gegenüberliegenden Extremwert. Also ''' XOR(A;B)=A wenn A>B und A<(1-B)''' ''' 1-B wenn A>B und A>=(1-B)''' ''' B wenn B>=A und B<(1-A)''' ''' 1-A wenn B>=A und B>=(1-A)''' === Wahrheitstafel von XOR === Das ausschließende ODER "XOR" besitzt in der klasssischen Logik die Wahrheitstafel von <math>\neg(A \leftrightarrow B) </math>. {| class="wikitable float-right" |- ! <math>A</math> ! <math>B</math> ! <math>\neg(A \leftrightarrow B) </math> |- | falsch | falsch |style="text-align:center"| falsch |- | falsch | wahr |style="text-align:center"| wahr |- | wahr | falsch |style="text-align:center"| wahr |- | wahr | wahr |style="text-align:center"| falsch |} === Fuzzylogische Berechnung von XOR === Um konsistent zur klassischen Logik zu bleiben, kann man eine ''"ausschließendes ODER"'' auch über die logischen Verknüpfungen "UND", "ODER" und "NICHT" ausdrücken. :<math> XOR(A,B) \Longleftrightarrow \neg (A \longleftrightarrow B) \Longleftrightarrow (A\wedge \neg B) \vee (B\wedge \neg A) </math> Mit die Verwendung <math>max</math> für ODER und <math>min</math> für UND kann man XOR(A,B) fuzzylogisch wie folgt darstellen: :<math> XOR(A,B) = max\big( min(\mu_{A},1-\mu_{B}) , min(\mu_{B},1-\mu_{A}) \big) </math> == Literatur/Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte einer Menge]] * [[w:de:Fuzzylogik/Operatoren|Fuzzylogik/Operatoren]] * [[Mathematische Modellbildung]] * [[Open Educational Resources]] * [[Wiki2Reveal]] === Kurse === * [[Kurs:Maschinelles Lernen]] * [[Kurs:Mathematische Modellbildung]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik/Operatoren&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Operatoren&coursetitle=Fuzzylogik Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik/Operatoren&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Operatoren&coursetitle=Fuzzylogik Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik Fuzzylogik]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Fuzzylogik/Operatoren https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik/Operatoren] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik/Operatoren Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik/Operatoren * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik/Operatoren&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Operatoren&coursetitle=Fuzzylogik Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] qsn7hn30fl6h7yh0ac8m5l71ttgkj9c 1119298 1119297 2026-11-10T08:52:22Z Bert Niehaus 20843 /* Konsistenz - Disjunktion - logisches ODER */ 1119298 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite zum Thema ''Fuzzylogik/Operatoren'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik/Operatoren&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Operatoren&coursetitle=Fuzzylogik Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt: * (1) Klassische logische Operationen<ref>Suppes, P. (1999). Introduction to logic. Courier Corporation.</ref>, * (2) [[Fuzzylogik/Operatoren#Operatoren|Fuzzylogische Operatoren]]<ref>Buckley, J. J., & Eslami, E. (2002). An introduction to fuzzy logic and fuzzy sets (Vol. 13). Springer Science & Business Media.</ref>, * (3) [[Fuzzylogik/Operatoren#Konsistenz|Konsistenz zur klassischen Logik]]. === Konsistenz zur klassischen Logik === Die Konsistenz zur klassischen Logik besagt, dass die Fuzzylogik auf den [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkten]] des Einheitsquadrates <math>\Omega := [0,1]\times [0,1]</math> genauso funktionieren muss, wie die klassische Logik. Die == Zielsetzung == Diese Lernressource zu ''Fuzzylogik und Operatoren'' in der Wikiversity hat das Ziel, das klassische Konzept von logischen Operatoren UND, ODER, NICHT, WENN ... DANN, ...) (<math> \wedge, \vee, \neg, \Rightarrow </math>) auf fuzzylogische Operationen zu verallgemeinern. == Lernvoraussetzungen == Die Lernressource zum Thema ''Fuzzylogik/Operatoren'' hat die folgenden Lernvoraussetzungen, die zum Verständnis der nachfolgenden Ausführungen hilfreich bzw. notwendig sind. * '''([[Fuzzylogik/Zugehörigkeitsfunktion|Zugehörigkeitsfunktionen]])''' Funktionale Beschreibung unscharfer Mengen * '''(Wahrheitstafeln)''' Wahrheitstafeln für klassische logische Operatoren * '''(Implikationen/Folgerungen)''' klassische Implikationen/Folgerungen, da diese auf die Fuzzylogik übertragen werden == Operatoren für unscharfe Mengen == [[Datei:Fuzzy-Operatoren.png|450px|UND-ODER-NICHT-Operatoren zur Verknüpfung von Zugehörigkeitsfunktionen (Teilmengen).]] === Erzeugendenfunktion - Fuzzy-NAND === Die Verknüpfung Fuzzy-NAND <math>NAND_\odot</math> ist eine Erzeugendenfunktion für alle fuzzylogischen Verknüpfungen, denn es gilt für <math>x,y\in [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{rcccl} x \ \widetilde{\wedge} \ y & := & NAND(1-x,1-y) & = & \min\{ x,y \} \\ \widetilde{\neg} \, x & := & NAND(x,x) & = & \min\{ 1-x,1-x \} = 1-x \\ x \ \widetilde{\vee} \, y & := & \widetilde{\neg} \big( \widetilde{\neg} \ x \ \widetilde{\wedge} \ \widetilde{\neg} \ y \big) & = & 1- \min\{ x, y \} = \max\{ x,y \} \\ x \ \widetilde{\rightarrow} \ y & := & \widetilde{\neg} \ x \ \widetilde{\vee} \ y & = & \max\{ 1-x,y \} \\ \end{array} </math> Das Fuzzy-ODER <math>\widetilde{\vee}</math> wird über die [[w:de:De-morgansche Gesetze|De-morganschen Gesetze]] erzeugt. === Fortsetzung der klassischen Logik nicht eindeutig === Die Fortsetzung der klassischen Logik ist allerding nicht eindeutig. Durch das die multiplikative Fuzzy-NAND-Funktion wird ebenfalls eine von der obigen Min-Max-Operator-Definition wesentlich verschiedene Definition der Fuzzyoperationen definiert, die ebenfalls konsistent zur klassischen Logik ist. === Multiplikatives Fuzzy-NAND === Man definiert das multiplikative Fuzzy-NAND wie folgt: :<math> \begin{array}{rrcl} NAND_\odot: & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & [0,1] \\ & \left( x,y \right) & \mapsto & NAND_\odot\left( x,y \right) = (1-x)\cdot (1-y) \end{array} </math> === Erzeugendenfunktion - multiplikatives Fuzzy-NAND === Das multiplikative Fuzzy-NAND <math>NAND_\odot</math> ist eine Erzeugendenfunktion für alle fuzzylogischen Verknüpfungen, denn es gilt für <math>x,y\in [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{rcccl} x \ \widetilde{\wedge}_{_\odot} \ y & := & NAND_\odot(1-x,1-y) & = & x\cdot y \\ \widetilde{\neg}_{_\odot} \, x & := & NAND_\odot(x,x) & = & (1-x)^2 \\ x \ \widetilde{\vee}_{\!\!_\odot} \, y & := & \widetilde{\neg}_{_\odot} (\widetilde{\neg}_{_\odot} \ x \ \widetilde{\wedge}_{_\odot} \ \widetilde{\neg}_{_\odot} \ y) & = & 1-\big( (1-x)^2\cdot (1-y)^2 \big) \\ x \ \widetilde{\rightarrow}_{\!_\odot} \ y & := & \widetilde{\neg}_{_\odot} \ x \ \widetilde{\vee}_{\!\!_\odot} \ y \\ \end{array} </math> Das multiplikative Fuzzy-ODER <math>\widetilde{\vee}_{\!\!_\odot}</math> wird über die [[w:de:De-morgansche Gesetze|De-morganschen Gesetze]] erzeugt. === Aufgabe für Studierende === * Zeigen Sie, dass die obige Definition des multiplikativen NAND zu einer mit der klassischen Logik konsistenten Eigenschaft der Fuzzy-Verknüpfungen kommt. === Bemerkung - strengeres Fuzzy-UND === Das multiplikative Fuzzy-NAND <math>NAND_\odot</math> erzeugt ein strengeres Fuzzy-AND als fuzzylogische Verknüpfungen als die Min-Max-Definition der fuzzylogischen Verknüpfungen. Dies bedeutet, dass für alle <math>x,y\in [0,1]</math> gilt: :<math> x \ \widetilde{\wedge}_{_\odot} \, y \ \ \leq \ \ x \ \widetilde{\wedge} \ y </math> == Aufgaben - Zugehörigkeitsfunktion == Mit den folgenden Aufgaben zum Thema ''Fuzzy-Implikation'' als ''Operator'' auf Fuzzymengen behandelt: * Erzeugen Sie eine Zugehörigkeitsfunktion einer Fuzzymenge für den linguistischen Wert "alt" und "schnell" wobei die Grundmenge <math>\Omega := [0,100] </math> ein Alter zwischen 0 und 100 Jahren als Argument der Zugehörigkeitsfunktionen definiert. * Zeichnen Sie einen Graphen <math>\mu_{alt} : \Omega \to [0,1]</math> mit <math>\Omega := [0,100] </math> auf der x-Achse und <math>[0,1]</math> auf der y-Achse, wobei <math>\mu_{alt}(x) \in [0,1] </math> angibt, zu welchem Grad eine Alter <math>x</math> die Eigenschaft "alt" als linguistischen Wert erfüllt. * Zeichnen Sie einen Graphen <math>\mu_{schnell} : \Omega \to [0,1]</math> mit <math>\Omega := [0,100] </math> auf der x-Achse und <math>[0,1]</math> auf der y-Achse, wobei <math>\mu_{schnell}(x) \in [0,1] </math> angibt, zu welchem Grad eine Alter <math>x</math> die Eigenschaft "schnell" als linguistischen Wert erfüllt. == Aufgaben - Fuzzylogische Folgerung == Als einführendes Beispiel zum Thema ''fuzzylogische Operatoren'' dient dazu, sprachliche formuliert "WENN-DANN"-Aussagen in fuzzylogische zu übertragen und danach die resultierende Zugehörigkeitsfunktion zu interpretieren. <math>\Omega = [0,100] </math> ist das Alter in Jahren. * Nutzen Sie die obigen [[Fuzzylogik/Zugehörigkeitsfunktion|Zugehörigkeitsfunktionen]] von "alt" und "schnell". * Basierend auf den obigen [[Fuzzylogik/Zugehörigkeitsfunktion|Zugehörigkeitsfunktionen]] zeichnen Sie zunächst freihändig die Zugehörigkeitsfunktion ''"WENN alt DANN schnell"'' * Berechnen Sie dann die fuzzylogische Zugehörigkeitsfunktion von ''"WENN alt DANN schnell"''! Drücken Sie dabei die Folgerung zunächst durch UND, ODER und NICHT aus. * Falls sich Ihre "Freihandzeichnung" und der berechnete Graph der Zughörigkeitsfunktion unterscheiden, begründen Sie, warum die Freihandzeichnung von dem berechneten Graphen abweicht! <span id="Operatoren"></span> == Konsistenz zu klassischen Logik == Die Eigenschaft, dass fuzzylogische Operationen ''konsistent'' zu klassischen Logik sein müssen, bedeutet, dass in einem <math>n</math>-dimenesionalen Einheitswürfel für beliebige <math>n\in \mathbb{N}</math> die Funktionswerte der fuzzylogischen Operation in den [[w:de:Extremalpunkt|Extermalpunkten]] mit der klassischen Logik übereinstimmen müssen. === Extremalpunkte des Einheitswürfels === Man betrachtet den <math>n</math>-dimenesionalen Einheitswürfel <math>\Omega_n := [0,1]^n</math> mit: :<math> [0,1]^n := \{ (\omega_1 , \ldots , \omega_n) \in \mathbb{R}^n \ : \ \omega_1 , \ldots , \omega_n \in [0,1] \} </math> Die [[w:de:Extremalpunkt|Extermalpunkte]] <math> \mathfrak{E}(\Omega_n)</math> des <math>n</math>-dimenesionalen Einheitswürfels <math>\Omega_n</math> sind: :<math> \mathfrak{E}(\Omega_n)=\{0,1\}^n = \{ (\omega_1 , \ldots , \omega_n) \in \mathbb{R}^n \ : \ \omega_1 , \ldots , \omega_n \in \{0,1\} \} </math> === Bemerkung - Extremalpunkte === Ein Extremalpunkt <math>(\omega_1 , \ldots , \omega_n) \in \mathfrak{E}(\Omega_n) </math> besteht nur aus Komponenten <math>0</math> oder <math>1</math> (z.B. für <math>n=2</math> ist <math>\Omega_2</math> das Einheitsquadrat <math>[0,1] \times [0,1]\subset \mathbb{R}^2</math>. Die [[w:de:Extremalpunkt|Extermalpunkte]] <math> \mathfrak{E}(\Omega_2)</math> bestehen dann aus den 4 Eckpunkten, d.h. :<math> \mathfrak{E}(\Omega_2)=\{0,1\}^2 = \{ (0,0) ,(0,1), (1,0), (1,1) \} </math> Für das Einheitsintervall <math>\Omega_1 = [0,1]</math> gilt <math>\mathfrak{E}(\Omega_1)=\{0,1\}</math>. === Beispiele - Fuzzylogische Operationen === In dem obigen Beispiel wurden die fuzzylogischen Operationen einmal mit der <math>\min</math>-Definition von <math>NAND</math>-Verknüpfung und einmal mit dem multiplikativen <math>NAND_{\!\!_\odot}</math> erzeugt. Man betrachtet nun die Konsistenz mit der klassischen Logik, wobei die klassische Logik die Verknüpfung allein auf den [[w:de:Extremalpunkt|Extermalpunkten]] <math> \mathfrak{E}(\Omega_n)</math> von <math> \Omega_n</math> festlegt. ==== Konsistenz - Negation - logisches NICHT==== Das logische NICHT ändert den Wahrheitswert von ''wahr'' (=1) auf ''falsch'' (=0) und umgekehrt den Wahrheitswert von ''falsch'' (=0) auf ''wahr'' (=1). * Über die <math>\min</math>-Definition der <math>NAND</math>-Verknüpfung erhält man <math>\widetilde{\neg}\, \omega = 1-\omega </math> für <math>\omega \in [0,1]</math>. * Über die multiplikative Definition der <math>NAND_{\!\!_\odot}</math>-Verknüpfung erhält man <math>\widetilde{\neg}_{\!_\odot}\, \omega = 1-\omega^2 </math> für <math>\omega \in [0,1]</math>. In beiden Fällen erhält man die Konsistenz mit der klassischen Logik, da sowohl <math> \widetilde{\neg}\, 1 = \widetilde{\neg}_{\!_\odot}\, 1 = 0 </math> und <math> \widetilde{\neg}\, 0 = \widetilde{\neg}_{\!_\odot}\, 0 = 1 </math> gilt. ==== Konsistenz - Konjunktion - logisches UND ==== Betrachtet man das logische UND für bei erzeugende NAND-Verknüpfungen, dann erhält man: :<math> \begin{array}{rcccl} x \ \widetilde{\wedge} \, y & = & NAND(1-x,1-y) &= &\min\{ x,y \} \\ x \ \widetilde{\wedge}_{_\odot} \, y & = & NAND_\odot(1-x,1-y) & = & x\cdot y \\ \end{array} </math> Durch Einsetzen der [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte]] :<math> \mathfrak{E}(\Omega_2)=\{0,1\}^2 = \{ (0,0) ,(0,1), (1,0), (1,1) \} </math> aus <math>\Omega_2</math> erhält man analog für beide erzeugenden <math>NAND</math>-Verknüpfungen die Konsistenz mit der klassischen Logik. ==== Konsistenz - Disjunktion - logisches ODER ==== Betrachtet man das [[w:de:Disjunktion|logische ODER]] für beide erzeugende NAND-Verknüpfungen, dann erhält man für die [[w:de:Disjunktion|Disjunktion]]: :<math> \begin{array}{rcccl} x \ \widetilde{\vee} \, y & = & \widetilde{\neg} \big( \widetilde{\neg} \ x \ \widetilde{\wedge} \ \widetilde{\neg} \ y \big) & = & 1- \min\{ x, y \} = \max\{ x,y \} \\ x \ \widetilde{\vee}_{\!\!_\odot} \, y & := & \widetilde{\neg}_{_\odot} (\widetilde{\neg}_{_\odot} \ x \ \widetilde{\wedge}_{_\odot} \ \widetilde{\neg}_{_\odot} \ y) & = & \bigg(1-\big( (1-x)^2\cdot (1-y)^2 \big) \bigg)^2 \\ \end{array} </math> Durch Einsetzen der [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte]] :<math> \mathfrak{E}(\Omega_2)=\{0,1\}^2 = \{ (0,0) ,(0,1), (1,0), (1,1) \} </math> aus <math>\Omega_2</math> erhält man analog für beide erzeugenden <math>NAND</math>-Verknüpfungen die Konsistenz mit der klassischen Logik. == Logische Operationen == Analog zur klassischen (crispen) Logik kann man in der Fuzzylogik auch logische Operatoren definieren, die konsistent zu klassischen Logik sind, d.h. in den crispen Grenzfällen von 0 und 1 für falsch und wahr den Operatoren in der klassischen Logik nicht widersprechen. === Negation === Die Negation in der Fuzzylogik erfolgt durch Subtraktion der Eingabewerte von 1. Also ''' NOT(A)=1-A''' === Nicht ausschließende-ODER-Schaltung === Die Adjunktion erfolgt durch Wahl des jeweils höheren Wertes der Eingabewerte. Also ''' OR(A;B)=A wenn A>B''' ''' B wenn A<=B''' Dies kann man analog auch durch das Maximum ausdrücken <math>OR(A;B) := \max\{A,B\}</math> === UND-Schaltung === Die Konjunktion erfolgt durch Wahl des jeweils niedrigeren Wertes der Eingabewerte. Also ''' AND(A;B)=A wenn A&lt;B''' ''' B wenn A>=B''' Dies kann man analog auch durch das Minimum ausdrücken <math>AND(A;B) := \min\{A,B\}</math> === Ausschließende-ODER-Schaltung === Für die Disjunktion komplementiert man den kleineren zweier Werte und wählt den kleineren der beiden. Für mehr als zwei Eingabewerte setzt man das Ergebnis der letzten Operation rekursiv mit dem jeweils nächsten Eingabewert ein. Einfacher: man nimmt die Differenz des weniger Extremen von dem ihm gegenüberliegenden Extremwert. Also ''' XOR(A;B)=A wenn A>B und A<(1-B)''' ''' 1-B wenn A>B und A>=(1-B)''' ''' B wenn B>=A und B<(1-A)''' ''' 1-A wenn B>=A und B>=(1-A)''' === Wahrheitstafel von XOR === Das ausschließende ODER "XOR" besitzt in der klasssischen Logik die Wahrheitstafel von <math>\neg(A \leftrightarrow B) </math>. {| class="wikitable float-right" |- ! <math>A</math> ! <math>B</math> ! <math>\neg(A \leftrightarrow B) </math> |- | falsch | falsch |style="text-align:center"| falsch |- | falsch | wahr |style="text-align:center"| wahr |- | wahr | falsch |style="text-align:center"| wahr |- | wahr | wahr |style="text-align:center"| falsch |} === Fuzzylogische Berechnung von XOR === Um konsistent zur klassischen Logik zu bleiben, kann man eine ''"ausschließendes ODER"'' auch über die logischen Verknüpfungen "UND", "ODER" und "NICHT" ausdrücken. :<math> XOR(A,B) \Longleftrightarrow \neg (A \longleftrightarrow B) \Longleftrightarrow (A\wedge \neg B) \vee (B\wedge \neg A) </math> Mit die Verwendung <math>max</math> für ODER und <math>min</math> für UND kann man XOR(A,B) fuzzylogisch wie folgt darstellen: :<math> XOR(A,B) = max\big( min(\mu_{A},1-\mu_{B}) , min(\mu_{B},1-\mu_{A}) \big) </math> == Literatur/Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte einer Menge]] * [[w:de:Fuzzylogik/Operatoren|Fuzzylogik/Operatoren]] * [[Mathematische Modellbildung]] * [[Open Educational Resources]] * [[Wiki2Reveal]] === Kurse === * [[Kurs:Maschinelles Lernen]] * [[Kurs:Mathematische Modellbildung]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik/Operatoren&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Operatoren&coursetitle=Fuzzylogik Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik/Operatoren&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Operatoren&coursetitle=Fuzzylogik Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik Fuzzylogik]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Fuzzylogik/Operatoren https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik/Operatoren] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik/Operatoren Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik/Operatoren * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik/Operatoren&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Operatoren&coursetitle=Fuzzylogik Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 3extd645s2x1jllyzl2ziefjbcrm6vx 1119299 1119298 2026-11-10T08:53:29Z Bert Niehaus 20843 /* Konsistenz - Konjunktion - logisches UND */ 1119299 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite zum Thema ''Fuzzylogik/Operatoren'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik/Operatoren&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Operatoren&coursetitle=Fuzzylogik Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt: * (1) Klassische logische Operationen<ref>Suppes, P. (1999). Introduction to logic. Courier Corporation.</ref>, * (2) [[Fuzzylogik/Operatoren#Operatoren|Fuzzylogische Operatoren]]<ref>Buckley, J. J., & Eslami, E. (2002). An introduction to fuzzy logic and fuzzy sets (Vol. 13). Springer Science & Business Media.</ref>, * (3) [[Fuzzylogik/Operatoren#Konsistenz|Konsistenz zur klassischen Logik]]. === Konsistenz zur klassischen Logik === Die Konsistenz zur klassischen Logik besagt, dass die Fuzzylogik auf den [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkten]] des Einheitsquadrates <math>\Omega := [0,1]\times [0,1]</math> genauso funktionieren muss, wie die klassische Logik. Die == Zielsetzung == Diese Lernressource zu ''Fuzzylogik und Operatoren'' in der Wikiversity hat das Ziel, das klassische Konzept von logischen Operatoren UND, ODER, NICHT, WENN ... DANN, ...) (<math> \wedge, \vee, \neg, \Rightarrow </math>) auf fuzzylogische Operationen zu verallgemeinern. == Lernvoraussetzungen == Die Lernressource zum Thema ''Fuzzylogik/Operatoren'' hat die folgenden Lernvoraussetzungen, die zum Verständnis der nachfolgenden Ausführungen hilfreich bzw. notwendig sind. * '''([[Fuzzylogik/Zugehörigkeitsfunktion|Zugehörigkeitsfunktionen]])''' Funktionale Beschreibung unscharfer Mengen * '''(Wahrheitstafeln)''' Wahrheitstafeln für klassische logische Operatoren * '''(Implikationen/Folgerungen)''' klassische Implikationen/Folgerungen, da diese auf die Fuzzylogik übertragen werden == Operatoren für unscharfe Mengen == [[Datei:Fuzzy-Operatoren.png|450px|UND-ODER-NICHT-Operatoren zur Verknüpfung von Zugehörigkeitsfunktionen (Teilmengen).]] === Erzeugendenfunktion - Fuzzy-NAND === Die Verknüpfung Fuzzy-NAND <math>NAND_\odot</math> ist eine Erzeugendenfunktion für alle fuzzylogischen Verknüpfungen, denn es gilt für <math>x,y\in [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{rcccl} x \ \widetilde{\wedge} \ y & := & NAND(1-x,1-y) & = & \min\{ x,y \} \\ \widetilde{\neg} \, x & := & NAND(x,x) & = & \min\{ 1-x,1-x \} = 1-x \\ x \ \widetilde{\vee} \, y & := & \widetilde{\neg} \big( \widetilde{\neg} \ x \ \widetilde{\wedge} \ \widetilde{\neg} \ y \big) & = & 1- \min\{ x, y \} = \max\{ x,y \} \\ x \ \widetilde{\rightarrow} \ y & := & \widetilde{\neg} \ x \ \widetilde{\vee} \ y & = & \max\{ 1-x,y \} \\ \end{array} </math> Das Fuzzy-ODER <math>\widetilde{\vee}</math> wird über die [[w:de:De-morgansche Gesetze|De-morganschen Gesetze]] erzeugt. === Fortsetzung der klassischen Logik nicht eindeutig === Die Fortsetzung der klassischen Logik ist allerding nicht eindeutig. Durch das die multiplikative Fuzzy-NAND-Funktion wird ebenfalls eine von der obigen Min-Max-Operator-Definition wesentlich verschiedene Definition der Fuzzyoperationen definiert, die ebenfalls konsistent zur klassischen Logik ist. === Multiplikatives Fuzzy-NAND === Man definiert das multiplikative Fuzzy-NAND wie folgt: :<math> \begin{array}{rrcl} NAND_\odot: & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & [0,1] \\ & \left( x,y \right) & \mapsto & NAND_\odot\left( x,y \right) = (1-x)\cdot (1-y) \end{array} </math> === Erzeugendenfunktion - multiplikatives Fuzzy-NAND === Das multiplikative Fuzzy-NAND <math>NAND_\odot</math> ist eine Erzeugendenfunktion für alle fuzzylogischen Verknüpfungen, denn es gilt für <math>x,y\in [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{rcccl} x \ \widetilde{\wedge}_{_\odot} \ y & := & NAND_\odot(1-x,1-y) & = & x\cdot y \\ \widetilde{\neg}_{_\odot} \, x & := & NAND_\odot(x,x) & = & (1-x)^2 \\ x \ \widetilde{\vee}_{\!\!_\odot} \, y & := & \widetilde{\neg}_{_\odot} (\widetilde{\neg}_{_\odot} \ x \ \widetilde{\wedge}_{_\odot} \ \widetilde{\neg}_{_\odot} \ y) & = & 1-\big( (1-x)^2\cdot (1-y)^2 \big) \\ x \ \widetilde{\rightarrow}_{\!_\odot} \ y & := & \widetilde{\neg}_{_\odot} \ x \ \widetilde{\vee}_{\!\!_\odot} \ y \\ \end{array} </math> Das multiplikative Fuzzy-ODER <math>\widetilde{\vee}_{\!\!_\odot}</math> wird über die [[w:de:De-morgansche Gesetze|De-morganschen Gesetze]] erzeugt. === Aufgabe für Studierende === * Zeigen Sie, dass die obige Definition des multiplikativen NAND zu einer mit der klassischen Logik konsistenten Eigenschaft der Fuzzy-Verknüpfungen kommt. === Bemerkung - strengeres Fuzzy-UND === Das multiplikative Fuzzy-NAND <math>NAND_\odot</math> erzeugt ein strengeres Fuzzy-AND als fuzzylogische Verknüpfungen als die Min-Max-Definition der fuzzylogischen Verknüpfungen. Dies bedeutet, dass für alle <math>x,y\in [0,1]</math> gilt: :<math> x \ \widetilde{\wedge}_{_\odot} \, y \ \ \leq \ \ x \ \widetilde{\wedge} \ y </math> == Aufgaben - Zugehörigkeitsfunktion == Mit den folgenden Aufgaben zum Thema ''Fuzzy-Implikation'' als ''Operator'' auf Fuzzymengen behandelt: * Erzeugen Sie eine Zugehörigkeitsfunktion einer Fuzzymenge für den linguistischen Wert "alt" und "schnell" wobei die Grundmenge <math>\Omega := [0,100] </math> ein Alter zwischen 0 und 100 Jahren als Argument der Zugehörigkeitsfunktionen definiert. * Zeichnen Sie einen Graphen <math>\mu_{alt} : \Omega \to [0,1]</math> mit <math>\Omega := [0,100] </math> auf der x-Achse und <math>[0,1]</math> auf der y-Achse, wobei <math>\mu_{alt}(x) \in [0,1] </math> angibt, zu welchem Grad eine Alter <math>x</math> die Eigenschaft "alt" als linguistischen Wert erfüllt. * Zeichnen Sie einen Graphen <math>\mu_{schnell} : \Omega \to [0,1]</math> mit <math>\Omega := [0,100] </math> auf der x-Achse und <math>[0,1]</math> auf der y-Achse, wobei <math>\mu_{schnell}(x) \in [0,1] </math> angibt, zu welchem Grad eine Alter <math>x</math> die Eigenschaft "schnell" als linguistischen Wert erfüllt. == Aufgaben - Fuzzylogische Folgerung == Als einführendes Beispiel zum Thema ''fuzzylogische Operatoren'' dient dazu, sprachliche formuliert "WENN-DANN"-Aussagen in fuzzylogische zu übertragen und danach die resultierende Zugehörigkeitsfunktion zu interpretieren. <math>\Omega = [0,100] </math> ist das Alter in Jahren. * Nutzen Sie die obigen [[Fuzzylogik/Zugehörigkeitsfunktion|Zugehörigkeitsfunktionen]] von "alt" und "schnell". * Basierend auf den obigen [[Fuzzylogik/Zugehörigkeitsfunktion|Zugehörigkeitsfunktionen]] zeichnen Sie zunächst freihändig die Zugehörigkeitsfunktion ''"WENN alt DANN schnell"'' * Berechnen Sie dann die fuzzylogische Zugehörigkeitsfunktion von ''"WENN alt DANN schnell"''! Drücken Sie dabei die Folgerung zunächst durch UND, ODER und NICHT aus. * Falls sich Ihre "Freihandzeichnung" und der berechnete Graph der Zughörigkeitsfunktion unterscheiden, begründen Sie, warum die Freihandzeichnung von dem berechneten Graphen abweicht! <span id="Operatoren"></span> == Konsistenz zu klassischen Logik == Die Eigenschaft, dass fuzzylogische Operationen ''konsistent'' zu klassischen Logik sein müssen, bedeutet, dass in einem <math>n</math>-dimenesionalen Einheitswürfel für beliebige <math>n\in \mathbb{N}</math> die Funktionswerte der fuzzylogischen Operation in den [[w:de:Extremalpunkt|Extermalpunkten]] mit der klassischen Logik übereinstimmen müssen. === Extremalpunkte des Einheitswürfels === Man betrachtet den <math>n</math>-dimenesionalen Einheitswürfel <math>\Omega_n := [0,1]^n</math> mit: :<math> [0,1]^n := \{ (\omega_1 , \ldots , \omega_n) \in \mathbb{R}^n \ : \ \omega_1 , \ldots , \omega_n \in [0,1] \} </math> Die [[w:de:Extremalpunkt|Extermalpunkte]] <math> \mathfrak{E}(\Omega_n)</math> des <math>n</math>-dimenesionalen Einheitswürfels <math>\Omega_n</math> sind: :<math> \mathfrak{E}(\Omega_n)=\{0,1\}^n = \{ (\omega_1 , \ldots , \omega_n) \in \mathbb{R}^n \ : \ \omega_1 , \ldots , \omega_n \in \{0,1\} \} </math> === Bemerkung - Extremalpunkte === Ein Extremalpunkt <math>(\omega_1 , \ldots , \omega_n) \in \mathfrak{E}(\Omega_n) </math> besteht nur aus Komponenten <math>0</math> oder <math>1</math> (z.B. für <math>n=2</math> ist <math>\Omega_2</math> das Einheitsquadrat <math>[0,1] \times [0,1]\subset \mathbb{R}^2</math>. Die [[w:de:Extremalpunkt|Extermalpunkte]] <math> \mathfrak{E}(\Omega_2)</math> bestehen dann aus den 4 Eckpunkten, d.h. :<math> \mathfrak{E}(\Omega_2)=\{0,1\}^2 = \{ (0,0) ,(0,1), (1,0), (1,1) \} </math> Für das Einheitsintervall <math>\Omega_1 = [0,1]</math> gilt <math>\mathfrak{E}(\Omega_1)=\{0,1\}</math>. === Beispiele - Fuzzylogische Operationen === In dem obigen Beispiel wurden die fuzzylogischen Operationen einmal mit der <math>\min</math>-Definition von <math>NAND</math>-Verknüpfung und einmal mit dem multiplikativen <math>NAND_{\!\!_\odot}</math> erzeugt. Man betrachtet nun die Konsistenz mit der klassischen Logik, wobei die klassische Logik die Verknüpfung allein auf den [[w:de:Extremalpunkt|Extermalpunkten]] <math> \mathfrak{E}(\Omega_n)</math> von <math> \Omega_n</math> festlegt. ==== Konsistenz - Negation - logisches NICHT==== Das logische NICHT ändert den Wahrheitswert von ''wahr'' (=1) auf ''falsch'' (=0) und umgekehrt den Wahrheitswert von ''falsch'' (=0) auf ''wahr'' (=1). * Über die <math>\min</math>-Definition der <math>NAND</math>-Verknüpfung erhält man <math>\widetilde{\neg}\, \omega = 1-\omega </math> für <math>\omega \in [0,1]</math>. * Über die multiplikative Definition der <math>NAND_{\!\!_\odot}</math>-Verknüpfung erhält man <math>\widetilde{\neg}_{\!_\odot}\, \omega = 1-\omega^2 </math> für <math>\omega \in [0,1]</math>. In beiden Fällen erhält man die Konsistenz mit der klassischen Logik, da sowohl <math> \widetilde{\neg}\, 1 = \widetilde{\neg}_{\!_\odot}\, 1 = 0 </math> und <math> \widetilde{\neg}\, 0 = \widetilde{\neg}_{\!_\odot}\, 0 = 1 </math> gilt. ==== Konsistenz - Konjunktion - logisches UND ==== Betrachtet man das [[w:de:Konjunktion (Logik)|logische UND]] für bei erzeugende NAND-Verknüpfungen, dann erhält man für die [[w:de:Konjunktion (Logik)|Konjunktion]]: :<math> \begin{array}{rcccl} x \ \widetilde{\wedge} \, y & = & NAND(1-x,1-y) &= &\min\{ x,y \} \\ x \ \widetilde{\wedge}_{_\odot} \, y & = & NAND_\odot(1-x,1-y) & = & x\cdot y \\ \end{array} </math> Durch Einsetzen der [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte]] :<math> \mathfrak{E}(\Omega_2)=\{0,1\}^2 = \{ (0,0) ,(0,1), (1,0), (1,1) \} </math> aus <math>\Omega_2</math> erhält man analog für beide erzeugenden <math>NAND</math>-Verknüpfungen die Konsistenz mit der klassischen Logik. ==== Konsistenz - Disjunktion - logisches ODER ==== Betrachtet man das [[w:de:Disjunktion|logische ODER]] für beide erzeugende NAND-Verknüpfungen, dann erhält man für die [[w:de:Disjunktion|Disjunktion]]: :<math> \begin{array}{rcccl} x \ \widetilde{\vee} \, y & = & \widetilde{\neg} \big( \widetilde{\neg} \ x \ \widetilde{\wedge} \ \widetilde{\neg} \ y \big) & = & 1- \min\{ x, y \} = \max\{ x,y \} \\ x \ \widetilde{\vee}_{\!\!_\odot} \, y & := & \widetilde{\neg}_{_\odot} (\widetilde{\neg}_{_\odot} \ x \ \widetilde{\wedge}_{_\odot} \ \widetilde{\neg}_{_\odot} \ y) & = & \bigg(1-\big( (1-x)^2\cdot (1-y)^2 \big) \bigg)^2 \\ \end{array} </math> Durch Einsetzen der [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte]] :<math> \mathfrak{E}(\Omega_2)=\{0,1\}^2 = \{ (0,0) ,(0,1), (1,0), (1,1) \} </math> aus <math>\Omega_2</math> erhält man analog für beide erzeugenden <math>NAND</math>-Verknüpfungen die Konsistenz mit der klassischen Logik. == Logische Operationen == Analog zur klassischen (crispen) Logik kann man in der Fuzzylogik auch logische Operatoren definieren, die konsistent zu klassischen Logik sind, d.h. in den crispen Grenzfällen von 0 und 1 für falsch und wahr den Operatoren in der klassischen Logik nicht widersprechen. === Negation === Die Negation in der Fuzzylogik erfolgt durch Subtraktion der Eingabewerte von 1. Also ''' NOT(A)=1-A''' === Nicht ausschließende-ODER-Schaltung === Die Adjunktion erfolgt durch Wahl des jeweils höheren Wertes der Eingabewerte. Also ''' OR(A;B)=A wenn A>B''' ''' B wenn A<=B''' Dies kann man analog auch durch das Maximum ausdrücken <math>OR(A;B) := \max\{A,B\}</math> === UND-Schaltung === Die Konjunktion erfolgt durch Wahl des jeweils niedrigeren Wertes der Eingabewerte. Also ''' AND(A;B)=A wenn A&lt;B''' ''' B wenn A>=B''' Dies kann man analog auch durch das Minimum ausdrücken <math>AND(A;B) := \min\{A,B\}</math> === Ausschließende-ODER-Schaltung === Für die Disjunktion komplementiert man den kleineren zweier Werte und wählt den kleineren der beiden. Für mehr als zwei Eingabewerte setzt man das Ergebnis der letzten Operation rekursiv mit dem jeweils nächsten Eingabewert ein. Einfacher: man nimmt die Differenz des weniger Extremen von dem ihm gegenüberliegenden Extremwert. Also ''' XOR(A;B)=A wenn A>B und A<(1-B)''' ''' 1-B wenn A>B und A>=(1-B)''' ''' B wenn B>=A und B<(1-A)''' ''' 1-A wenn B>=A und B>=(1-A)''' === Wahrheitstafel von XOR === Das ausschließende ODER "XOR" besitzt in der klasssischen Logik die Wahrheitstafel von <math>\neg(A \leftrightarrow B) </math>. {| class="wikitable float-right" |- ! <math>A</math> ! <math>B</math> ! <math>\neg(A \leftrightarrow B) </math> |- | falsch | falsch |style="text-align:center"| falsch |- | falsch | wahr |style="text-align:center"| wahr |- | wahr | falsch |style="text-align:center"| wahr |- | wahr | wahr |style="text-align:center"| falsch |} === Fuzzylogische Berechnung von XOR === Um konsistent zur klassischen Logik zu bleiben, kann man eine ''"ausschließendes ODER"'' auch über die logischen Verknüpfungen "UND", "ODER" und "NICHT" ausdrücken. :<math> XOR(A,B) \Longleftrightarrow \neg (A \longleftrightarrow B) \Longleftrightarrow (A\wedge \neg B) \vee (B\wedge \neg A) </math> Mit die Verwendung <math>max</math> für ODER und <math>min</math> für UND kann man XOR(A,B) fuzzylogisch wie folgt darstellen: :<math> XOR(A,B) = max\big( min(\mu_{A},1-\mu_{B}) , min(\mu_{B},1-\mu_{A}) \big) </math> == Literatur/Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte einer Menge]] * [[w:de:Fuzzylogik/Operatoren|Fuzzylogik/Operatoren]] * [[Mathematische Modellbildung]] * [[Open Educational Resources]] * [[Wiki2Reveal]] === Kurse === * [[Kurs:Maschinelles Lernen]] * [[Kurs:Mathematische Modellbildung]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik/Operatoren&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Operatoren&coursetitle=Fuzzylogik Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik/Operatoren&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Operatoren&coursetitle=Fuzzylogik Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik Fuzzylogik]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Fuzzylogik/Operatoren https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik/Operatoren] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik/Operatoren Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik/Operatoren * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik/Operatoren&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Operatoren&coursetitle=Fuzzylogik Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] cuhsm258p9cuqsr60ksqr561gjyfgm7 1119300 1119299 2026-11-10T08:54:42Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1119300 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite zum Thema ''Fuzzylogik/Operatoren'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik/Operatoren&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Operatoren&coursetitle=Fuzzylogik Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt: * (1) Klassische logische Operationen<ref>Suppes, P. (1999). Introduction to logic. Courier Corporation.</ref>, * (2) [[Fuzzylogik/Operatoren#Operatoren|Fuzzylogische Operatoren]]<ref>Buckley, J. J., & Eslami, E. (2002). An introduction to fuzzy logic and fuzzy sets (Vol. 13). Springer Science & Business Media.</ref>, * (3) [[Fuzzylogik/Operatoren#Konsistenz|Konsistenz zur klassischen Logik]]. === Konsistenz zur klassischen Logik === Die Konsistenz zur klassischen Logik besagt, dass die Fuzzylogik auf den [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkten]] des Einheitsquadrates <math>\Omega := [0,1]\times [0,1]</math> genauso funktionieren muss, wie die klassische Logik. Die == Zielsetzung == Diese Lernressource zu ''Fuzzylogik und Operatoren'' in der Wikiversity hat das Ziel, das klassische Konzept von logischen Operatoren UND, ODER, NICHT, WENN ... DANN, ...) (<math> \wedge, \vee, \neg, \Rightarrow </math>) auf fuzzylogische Operationen zu verallgemeinern. == Lernvoraussetzungen == Die Lernressource zum Thema ''Fuzzylogik/Operatoren'' hat die folgenden Lernvoraussetzungen, die zum Verständnis der nachfolgenden Ausführungen hilfreich bzw. notwendig sind. * '''([[Fuzzylogik/Zugehörigkeitsfunktion|Zugehörigkeitsfunktionen]])''' Funktionale Beschreibung unscharfer Mengen * '''(Wahrheitstafeln)''' Wahrheitstafeln für klassische logische Operatoren * '''(Implikationen/Folgerungen)''' klassische Implikationen/Folgerungen, da diese auf die Fuzzylogik übertragen werden == Operatoren für unscharfe Mengen == [[Datei:Fuzzy-Operatoren.png|450px|UND-ODER-NICHT-Operatoren zur Verknüpfung von Zugehörigkeitsfunktionen (Teilmengen).]] === Erzeugendenfunktion - Fuzzy-NAND === Die Verknüpfung Fuzzy-NAND <math>NAND_\odot</math> ist eine Erzeugendenfunktion für alle fuzzylogischen Verknüpfungen, denn es gilt für <math>x,y\in [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{rcccl} x \ \widetilde{\wedge} \ y & := & NAND(1-x,1-y) & = & \min\{ x,y \} \\ \widetilde{\neg} \, x & := & NAND(x,x) & = & \min\{ 1-x,1-x \} = 1-x \\ x \ \widetilde{\vee} \, y & := & \widetilde{\neg} \big( \widetilde{\neg} \ x \ \widetilde{\wedge} \ \widetilde{\neg} \ y \big) & = & 1- \min\{ x, y \} = \max\{ x,y \} \\ x \ \widetilde{\rightarrow} \ y & := & \widetilde{\neg} \ x \ \widetilde{\vee} \ y & = & \max\{ 1-x,y \} \\ \end{array} </math> Das Fuzzy-ODER <math>\widetilde{\vee}</math> wird über die [[w:de:De-morgansche Gesetze|De-morganschen Gesetze]] erzeugt. === Fortsetzung der klassischen Logik nicht eindeutig === Die Fortsetzung der klassischen Logik ist allerding nicht eindeutig. Durch das die multiplikative Fuzzy-NAND-Funktion wird ebenfalls eine von der obigen Min-Max-Operator-Definition wesentlich verschiedene Definition der Fuzzyoperationen definiert, die ebenfalls konsistent zur klassischen Logik ist. === Multiplikatives Fuzzy-NAND === Man definiert das multiplikative Fuzzy-NAND wie folgt: :<math> \begin{array}{rrcl} NAND_\odot: & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & [0,1] \\ & \left( x,y \right) & \mapsto & NAND_\odot\left( x,y \right) = (1-x)\cdot (1-y) \end{array} </math> === Erzeugendenfunktion - multiplikatives Fuzzy-NAND === Das multiplikative Fuzzy-NAND <math>NAND_\odot</math> ist eine Erzeugendenfunktion für alle fuzzylogischen Verknüpfungen, denn es gilt für <math>x,y\in [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{rcccl} x \ \widetilde{\wedge}_{_\odot} \ y & := & NAND_\odot(1-x,1-y) & = & x\cdot y \\ \widetilde{\neg}_{_\odot} \, x & := & NAND_\odot(x,x) & = & (1-x)^2 \\ x \ \widetilde{\vee}_{\!\!_\odot} \, y & := & \widetilde{\neg}_{_\odot} (\widetilde{\neg}_{_\odot} \ x \ \widetilde{\wedge}_{_\odot} \ \widetilde{\neg}_{_\odot} \ y) & = & 1-\big( (1-x)^2\cdot (1-y)^2 \big) \\ x \ \widetilde{\rightarrow}_{\!_\odot} \ y & := & \widetilde{\neg}_{_\odot} \ x \ \widetilde{\vee}_{\!\!_\odot} \ y \\ \end{array} </math> Das multiplikative Fuzzy-ODER <math>\widetilde{\vee}_{\!\!_\odot}</math> wird über die [[w:de:De-morgansche Gesetze|De-morganschen Gesetze]] erzeugt. === Aufgabe für Studierende === * Zeigen Sie, dass die obige Definition des multiplikativen NAND zu einer mit der klassischen Logik konsistenten Eigenschaft der Fuzzy-Verknüpfungen kommt. === Bemerkung - strengeres Fuzzy-UND === Das multiplikative Fuzzy-NAND <math>NAND_\odot</math> erzeugt ein strengeres Fuzzy-AND als fuzzylogische Verknüpfungen als die Min-Max-Definition der fuzzylogischen Verknüpfungen. Dies bedeutet, dass für alle <math>x,y\in [0,1]</math> gilt: :<math> x \ \widetilde{\wedge}_{_\odot} \, y \ \ \leq \ \ x \ \widetilde{\wedge} \ y </math> == Aufgaben - Zugehörigkeitsfunktion == Mit den folgenden Aufgaben zum Thema ''Fuzzy-Implikation'' als ''Operator'' auf Fuzzymengen behandelt: * Erzeugen Sie eine Zugehörigkeitsfunktion einer Fuzzymenge für den linguistischen Wert "alt" und "schnell" wobei die Grundmenge <math>\Omega := [0,100] </math> ein Alter zwischen 0 und 100 Jahren als Argument der Zugehörigkeitsfunktionen definiert. * Zeichnen Sie einen Graphen <math>\mu_{alt} : \Omega \to [0,1]</math> mit <math>\Omega := [0,100] </math> auf der x-Achse und <math>[0,1]</math> auf der y-Achse, wobei <math>\mu_{alt}(x) \in [0,1] </math> angibt, zu welchem Grad eine Alter <math>x</math> die Eigenschaft "alt" als linguistischen Wert erfüllt. * Zeichnen Sie einen Graphen <math>\mu_{schnell} : \Omega \to [0,1]</math> mit <math>\Omega := [0,100] </math> auf der x-Achse und <math>[0,1]</math> auf der y-Achse, wobei <math>\mu_{schnell}(x) \in [0,1] </math> angibt, zu welchem Grad eine Alter <math>x</math> die Eigenschaft "schnell" als linguistischen Wert erfüllt. == Aufgaben - Fuzzylogische Folgerung == Als einführendes Beispiel zum Thema ''fuzzylogische Operatoren'' dient dazu, sprachliche formuliert "WENN-DANN"-Aussagen in fuzzylogische zu übertragen und danach die resultierende Zugehörigkeitsfunktion zu interpretieren. <math>\Omega = [0,100] </math> ist das Alter in Jahren. * Nutzen Sie die obigen [[Fuzzylogik/Zugehörigkeitsfunktion|Zugehörigkeitsfunktionen]] von "alt" und "schnell". * Basierend auf den obigen [[Fuzzylogik/Zugehörigkeitsfunktion|Zugehörigkeitsfunktionen]] zeichnen Sie zunächst freihändig die Zugehörigkeitsfunktion ''"WENN alt DANN schnell"'' * Berechnen Sie dann die fuzzylogische Zugehörigkeitsfunktion von ''"WENN alt DANN schnell"''! Drücken Sie dabei die Folgerung zunächst durch UND, ODER und NICHT aus. * Falls sich Ihre "Freihandzeichnung" und der berechnete Graph der Zughörigkeitsfunktion unterscheiden, begründen Sie, warum die Freihandzeichnung von dem berechneten Graphen abweicht! <span id="Operatoren"></span> == Konsistenz zu klassischen Logik == Die Eigenschaft, dass fuzzylogische Operationen ''konsistent'' zu klassischen Logik sein müssen, bedeutet, dass in einem <math>n</math>-dimenesionalen Einheitswürfel für beliebige <math>n\in \mathbb{N}</math> die Funktionswerte der fuzzylogischen Operation in den [[w:de:Extremalpunkt|Extermalpunkten]] mit der klassischen Logik übereinstimmen müssen. === Extremalpunkte des Einheitswürfels === Man betrachtet den <math>n</math>-dimenesionalen Einheitswürfel <math>\Omega_n := [0,1]^n</math> mit: :<math> [0,1]^n := \{ (\omega_1 , \ldots , \omega_n) \in \mathbb{R}^n \ : \ \omega_1 , \ldots , \omega_n \in [0,1] \} </math> Die [[w:de:Extremalpunkt|Extermalpunkte]] <math> \mathfrak{E}(\Omega_n)</math> des <math>n</math>-dimenesionalen Einheitswürfels <math>\Omega_n</math> sind: :<math> \mathfrak{E}(\Omega_n)=\{0,1\}^n = \{ (\omega_1 , \ldots , \omega_n) \in \mathbb{R}^n \ : \ \omega_1 , \ldots , \omega_n \in \{0,1\} \} </math> === Bemerkung - Extremalpunkte === Ein Extremalpunkt <math>(\omega_1 , \ldots , \omega_n) \in \mathfrak{E}(\Omega_n) </math> besteht nur aus Komponenten <math>0</math> oder <math>1</math> (z.B. für <math>n=2</math> ist <math>\Omega_2</math> das Einheitsquadrat <math>[0,1] \times [0,1]\subset \mathbb{R}^2</math>. Die [[w:de:Extremalpunkt|Extermalpunkte]] <math> \mathfrak{E}(\Omega_2)</math> bestehen dann aus den 4 Eckpunkten, d.h. :<math> \mathfrak{E}(\Omega_2)=\{0,1\}^2 = \{ (0,0) ,(0,1), (1,0), (1,1) \} </math> Für das Einheitsintervall <math>\Omega_1 = [0,1]</math> gilt <math>\mathfrak{E}(\Omega_1)=\{0,1\}</math>. === Beispiele - Fuzzylogische Operationen === In dem obigen Beispiel wurden die fuzzylogischen Operationen einmal mit der <math>\min</math>-Definition von <math>NAND</math>-Verknüpfung und einmal mit dem multiplikativen <math>NAND_{\!\!_\odot}</math> erzeugt. Man betrachtet nun die Konsistenz mit der klassischen Logik, wobei die klassische Logik die Verknüpfung allein auf den [[w:de:Extremalpunkt|Extermalpunkten]] <math> \mathfrak{E}(\Omega_n)</math> von <math> \Omega_n</math> festlegt. ==== Konsistenz - Negation - logisches NICHT==== Das logische NICHT ändert den Wahrheitswert von ''wahr'' (=1) auf ''falsch'' (=0) und umgekehrt den Wahrheitswert von ''falsch'' (=0) auf ''wahr'' (=1). * Über die <math>\min</math>-Definition der <math>NAND</math>-Verknüpfung erhält man <math>\widetilde{\neg}\, \omega = 1-\omega </math> für <math>\omega \in [0,1]</math>. * Über die multiplikative Definition der <math>NAND_{\!\!_\odot}</math>-Verknüpfung erhält man <math>\widetilde{\neg}_{\!_\odot}\, \omega = 1-\omega^2 </math> für <math>\omega \in [0,1]</math>. In beiden Fällen erhält man die Konsistenz mit der klassischen Logik, da sowohl <math> \widetilde{\neg}\, 1 = \widetilde{\neg}_{\!_\odot}\, 1 = 0 </math> und <math> \widetilde{\neg}\, 0 = \widetilde{\neg}_{\!_\odot}\, 0 = 1 </math> gilt. ==== Konsistenz - Konjunktion - logisches UND ==== Betrachtet man das [[w:de:Konjunktion (Logik)|logische UND]] für bei erzeugende NAND-Verknüpfungen, dann erhält man für die [[w:de:Konjunktion (Logik)|Konjunktion]]: :<math> \begin{array}{rcccl} x \ \widetilde{\wedge} \, y & = & NAND(1-x,1-y) &= &\min\{ x,y \} \\ x \ \widetilde{\wedge}_{_\odot} \, y & = & NAND_\odot(1-x,1-y) & = & x\cdot y \\ \end{array} </math> Durch Einsetzen der [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte]] :<math> \mathfrak{E}(\Omega_2)=\{0,1\}^2 = \{ (0,0) ,(0,1), (1,0), (1,1) \} </math> aus <math>\Omega_2</math> erhält man analog für beide erzeugenden <math>NAND</math>-Verknüpfungen die Konsistenz mit der klassischen Logik. ==== Konsistenz - Disjunktion - logisches ODER ==== Betrachtet man das [[w:de:Disjunktion|logische ODER]] für beide erzeugende NAND-Verknüpfungen, dann erhält man für die [[w:de:Disjunktion|Disjunktion]]: :<math> \begin{array}{rcccl} x \ \widetilde{\vee} \, y & = & \widetilde{\neg} \big( \widetilde{\neg} \ x \ \widetilde{\wedge} \ \widetilde{\neg} \ y \big) & = & 1- \min\{ x, y \} = \max\{ x,y \} \\ x \ \widetilde{\vee}_{\!\!_\odot} \, y & := & \widetilde{\neg}_{_\odot} (\widetilde{\neg}_{_\odot} \ x \ \widetilde{\wedge}_{_\odot} \ \widetilde{\neg}_{_\odot} \ y) & = & \bigg(1-\big( (1-x)^2\cdot (1-y)^2 \big) \bigg)^2 \\ \end{array} </math> Durch Einsetzen der [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte]] :<math> \mathfrak{E}(\Omega_2)=\{0,1\}^2 = \{ (0,0) ,(0,1), (1,0), (1,1) \} </math> aus <math>\Omega_2</math> erhält man analog für beide erzeugenden <math>NAND</math>-Verknüpfungen die Konsistenz mit der klassischen Logik. == Logische Operationen == Analog zur klassischen (crispen) Logik kann man in der Fuzzylogik auch logische Operatoren definieren, die konsistent zu klassischen Logik sind, d.h. in den crispen Grenzfällen von 0 und 1 für falsch und wahr den Operatoren in der klassischen Logik nicht widersprechen. === Negation === Die Negation in der Fuzzylogik erfolgt durch Subtraktion der Eingabewerte von 1. Also ''' NOT(A)=1-A''' === Nicht ausschließende-ODER-Schaltung === Die Adjunktion erfolgt durch Wahl des jeweils höheren Wertes der Eingabewerte. Also ''' OR(A;B)=A wenn A>B''' ''' B wenn A<=B''' Dies kann man analog auch durch das Maximum ausdrücken <math>OR(A;B) := \max\{A,B\}</math> === UND-Schaltung === Die Konjunktion erfolgt durch Wahl des jeweils niedrigeren Wertes der Eingabewerte. Also ''' AND(A;B)=A wenn A&lt;B''' ''' B wenn A>=B''' Dies kann man analog auch durch das Minimum ausdrücken <math>AND(A;B) := \min\{A,B\}</math> === Ausschließende-ODER-Schaltung === Für die Disjunktion komplementiert man den kleineren zweier Werte und wählt den kleineren der beiden. Für mehr als zwei Eingabewerte setzt man das Ergebnis der letzten Operation rekursiv mit dem jeweils nächsten Eingabewert ein. Einfacher: man nimmt die Differenz des weniger Extremen von dem ihm gegenüberliegenden Extremwert. Also ''' XOR(A;B)=A wenn A>B und A<(1-B)''' ''' 1-B wenn A>B und A>=(1-B)''' ''' B wenn B>=A und B<(1-A)''' ''' 1-A wenn B>=A und B>=(1-A)''' === Wahrheitstafel von XOR === Das ausschließende ODER "XOR" besitzt in der klasssischen Logik die Wahrheitstafel von <math>\neg(A \leftrightarrow B) </math>. {| class="wikitable float-right" |- ! <math>A</math> ! <math>B</math> ! <math>\neg(A \leftrightarrow B) </math> |- | falsch | falsch |style="text-align:center"| falsch |- | falsch | wahr |style="text-align:center"| wahr |- | wahr | falsch |style="text-align:center"| wahr |- | wahr | wahr |style="text-align:center"| falsch |} === Fuzzylogische Berechnung von XOR === Um konsistent zur klassischen Logik zu bleiben, kann man eine ''"ausschließendes ODER"'' auch über die logischen Verknüpfungen "UND", "ODER" und "NICHT" ausdrücken. :<math> XOR(A,B) \Longleftrightarrow \neg (A \longleftrightarrow B) \Longleftrightarrow (A\wedge \neg B) \vee (B\wedge \neg A) </math> Mit die Verwendung <math>max</math> für ODER und <math>min</math> für UND kann man XOR(A,B) fuzzylogisch wie folgt darstellen: :<math> XOR(A,B) = max\big( min(\mu_{A},1-\mu_{B}) , min(\mu_{B},1-\mu_{A}) \big) </math> == Literatur/Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[w:de:Disjunktion|Disjunktion (Logisches ODER)]] * [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte einer Menge]] * [[w:de:Fuzzylogik/Operatoren|Fuzzylogik/Operatoren]] * [[w:de:Konjunktion (Logik)|Konjunktion (Logisches UND)]] * [[Mathematische Modellbildung]] * [[Open Educational Resources]] * [[Wiki2Reveal]] === Kurse === * [[Kurs:Maschinelles Lernen]] * [[Kurs:Mathematische Modellbildung]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik/Operatoren&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Operatoren&coursetitle=Fuzzylogik Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik/Operatoren&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Operatoren&coursetitle=Fuzzylogik Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik Fuzzylogik]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Fuzzylogik/Operatoren https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik/Operatoren] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik/Operatoren Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik/Operatoren * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik/Operatoren&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Operatoren&coursetitle=Fuzzylogik Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] qam59sud17k6pbffmo3ddg8wtw3tpo7 1119301 1119300 2026-11-10T08:56:48Z Bert Niehaus 20843 /* Fuzzylogische Berechnung von XOR */ 1119301 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite zum Thema ''Fuzzylogik/Operatoren'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik/Operatoren&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Operatoren&coursetitle=Fuzzylogik Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt: * (1) Klassische logische Operationen<ref>Suppes, P. (1999). Introduction to logic. Courier Corporation.</ref>, * (2) [[Fuzzylogik/Operatoren#Operatoren|Fuzzylogische Operatoren]]<ref>Buckley, J. J., & Eslami, E. (2002). An introduction to fuzzy logic and fuzzy sets (Vol. 13). Springer Science & Business Media.</ref>, * (3) [[Fuzzylogik/Operatoren#Konsistenz|Konsistenz zur klassischen Logik]]. === Konsistenz zur klassischen Logik === Die Konsistenz zur klassischen Logik besagt, dass die Fuzzylogik auf den [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkten]] des Einheitsquadrates <math>\Omega := [0,1]\times [0,1]</math> genauso funktionieren muss, wie die klassische Logik. Die == Zielsetzung == Diese Lernressource zu ''Fuzzylogik und Operatoren'' in der Wikiversity hat das Ziel, das klassische Konzept von logischen Operatoren UND, ODER, NICHT, WENN ... DANN, ...) (<math> \wedge, \vee, \neg, \Rightarrow </math>) auf fuzzylogische Operationen zu verallgemeinern. == Lernvoraussetzungen == Die Lernressource zum Thema ''Fuzzylogik/Operatoren'' hat die folgenden Lernvoraussetzungen, die zum Verständnis der nachfolgenden Ausführungen hilfreich bzw. notwendig sind. * '''([[Fuzzylogik/Zugehörigkeitsfunktion|Zugehörigkeitsfunktionen]])''' Funktionale Beschreibung unscharfer Mengen * '''(Wahrheitstafeln)''' Wahrheitstafeln für klassische logische Operatoren * '''(Implikationen/Folgerungen)''' klassische Implikationen/Folgerungen, da diese auf die Fuzzylogik übertragen werden == Operatoren für unscharfe Mengen == [[Datei:Fuzzy-Operatoren.png|450px|UND-ODER-NICHT-Operatoren zur Verknüpfung von Zugehörigkeitsfunktionen (Teilmengen).]] === Erzeugendenfunktion - Fuzzy-NAND === Die Verknüpfung Fuzzy-NAND <math>NAND_\odot</math> ist eine Erzeugendenfunktion für alle fuzzylogischen Verknüpfungen, denn es gilt für <math>x,y\in [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{rcccl} x \ \widetilde{\wedge} \ y & := & NAND(1-x,1-y) & = & \min\{ x,y \} \\ \widetilde{\neg} \, x & := & NAND(x,x) & = & \min\{ 1-x,1-x \} = 1-x \\ x \ \widetilde{\vee} \, y & := & \widetilde{\neg} \big( \widetilde{\neg} \ x \ \widetilde{\wedge} \ \widetilde{\neg} \ y \big) & = & 1- \min\{ x, y \} = \max\{ x,y \} \\ x \ \widetilde{\rightarrow} \ y & := & \widetilde{\neg} \ x \ \widetilde{\vee} \ y & = & \max\{ 1-x,y \} \\ \end{array} </math> Das Fuzzy-ODER <math>\widetilde{\vee}</math> wird über die [[w:de:De-morgansche Gesetze|De-morganschen Gesetze]] erzeugt. === Fortsetzung der klassischen Logik nicht eindeutig === Die Fortsetzung der klassischen Logik ist allerding nicht eindeutig. Durch das die multiplikative Fuzzy-NAND-Funktion wird ebenfalls eine von der obigen Min-Max-Operator-Definition wesentlich verschiedene Definition der Fuzzyoperationen definiert, die ebenfalls konsistent zur klassischen Logik ist. === Multiplikatives Fuzzy-NAND === Man definiert das multiplikative Fuzzy-NAND wie folgt: :<math> \begin{array}{rrcl} NAND_\odot: & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & [0,1] \\ & \left( x,y \right) & \mapsto & NAND_\odot\left( x,y \right) = (1-x)\cdot (1-y) \end{array} </math> === Erzeugendenfunktion - multiplikatives Fuzzy-NAND === Das multiplikative Fuzzy-NAND <math>NAND_\odot</math> ist eine Erzeugendenfunktion für alle fuzzylogischen Verknüpfungen, denn es gilt für <math>x,y\in [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{rcccl} x \ \widetilde{\wedge}_{_\odot} \ y & := & NAND_\odot(1-x,1-y) & = & x\cdot y \\ \widetilde{\neg}_{_\odot} \, x & := & NAND_\odot(x,x) & = & (1-x)^2 \\ x \ \widetilde{\vee}_{\!\!_\odot} \, y & := & \widetilde{\neg}_{_\odot} (\widetilde{\neg}_{_\odot} \ x \ \widetilde{\wedge}_{_\odot} \ \widetilde{\neg}_{_\odot} \ y) & = & 1-\big( (1-x)^2\cdot (1-y)^2 \big) \\ x \ \widetilde{\rightarrow}_{\!_\odot} \ y & := & \widetilde{\neg}_{_\odot} \ x \ \widetilde{\vee}_{\!\!_\odot} \ y \\ \end{array} </math> Das multiplikative Fuzzy-ODER <math>\widetilde{\vee}_{\!\!_\odot}</math> wird über die [[w:de:De-morgansche Gesetze|De-morganschen Gesetze]] erzeugt. === Aufgabe für Studierende === * Zeigen Sie, dass die obige Definition des multiplikativen NAND zu einer mit der klassischen Logik konsistenten Eigenschaft der Fuzzy-Verknüpfungen kommt. === Bemerkung - strengeres Fuzzy-UND === Das multiplikative Fuzzy-NAND <math>NAND_\odot</math> erzeugt ein strengeres Fuzzy-AND als fuzzylogische Verknüpfungen als die Min-Max-Definition der fuzzylogischen Verknüpfungen. Dies bedeutet, dass für alle <math>x,y\in [0,1]</math> gilt: :<math> x \ \widetilde{\wedge}_{_\odot} \, y \ \ \leq \ \ x \ \widetilde{\wedge} \ y </math> == Aufgaben - Zugehörigkeitsfunktion == Mit den folgenden Aufgaben zum Thema ''Fuzzy-Implikation'' als ''Operator'' auf Fuzzymengen behandelt: * Erzeugen Sie eine Zugehörigkeitsfunktion einer Fuzzymenge für den linguistischen Wert "alt" und "schnell" wobei die Grundmenge <math>\Omega := [0,100] </math> ein Alter zwischen 0 und 100 Jahren als Argument der Zugehörigkeitsfunktionen definiert. * Zeichnen Sie einen Graphen <math>\mu_{alt} : \Omega \to [0,1]</math> mit <math>\Omega := [0,100] </math> auf der x-Achse und <math>[0,1]</math> auf der y-Achse, wobei <math>\mu_{alt}(x) \in [0,1] </math> angibt, zu welchem Grad eine Alter <math>x</math> die Eigenschaft "alt" als linguistischen Wert erfüllt. * Zeichnen Sie einen Graphen <math>\mu_{schnell} : \Omega \to [0,1]</math> mit <math>\Omega := [0,100] </math> auf der x-Achse und <math>[0,1]</math> auf der y-Achse, wobei <math>\mu_{schnell}(x) \in [0,1] </math> angibt, zu welchem Grad eine Alter <math>x</math> die Eigenschaft "schnell" als linguistischen Wert erfüllt. == Aufgaben - Fuzzylogische Folgerung == Als einführendes Beispiel zum Thema ''fuzzylogische Operatoren'' dient dazu, sprachliche formuliert "WENN-DANN"-Aussagen in fuzzylogische zu übertragen und danach die resultierende Zugehörigkeitsfunktion zu interpretieren. <math>\Omega = [0,100] </math> ist das Alter in Jahren. * Nutzen Sie die obigen [[Fuzzylogik/Zugehörigkeitsfunktion|Zugehörigkeitsfunktionen]] von "alt" und "schnell". * Basierend auf den obigen [[Fuzzylogik/Zugehörigkeitsfunktion|Zugehörigkeitsfunktionen]] zeichnen Sie zunächst freihändig die Zugehörigkeitsfunktion ''"WENN alt DANN schnell"'' * Berechnen Sie dann die fuzzylogische Zugehörigkeitsfunktion von ''"WENN alt DANN schnell"''! Drücken Sie dabei die Folgerung zunächst durch UND, ODER und NICHT aus. * Falls sich Ihre "Freihandzeichnung" und der berechnete Graph der Zughörigkeitsfunktion unterscheiden, begründen Sie, warum die Freihandzeichnung von dem berechneten Graphen abweicht! <span id="Operatoren"></span> == Konsistenz zu klassischen Logik == Die Eigenschaft, dass fuzzylogische Operationen ''konsistent'' zu klassischen Logik sein müssen, bedeutet, dass in einem <math>n</math>-dimenesionalen Einheitswürfel für beliebige <math>n\in \mathbb{N}</math> die Funktionswerte der fuzzylogischen Operation in den [[w:de:Extremalpunkt|Extermalpunkten]] mit der klassischen Logik übereinstimmen müssen. === Extremalpunkte des Einheitswürfels === Man betrachtet den <math>n</math>-dimenesionalen Einheitswürfel <math>\Omega_n := [0,1]^n</math> mit: :<math> [0,1]^n := \{ (\omega_1 , \ldots , \omega_n) \in \mathbb{R}^n \ : \ \omega_1 , \ldots , \omega_n \in [0,1] \} </math> Die [[w:de:Extremalpunkt|Extermalpunkte]] <math> \mathfrak{E}(\Omega_n)</math> des <math>n</math>-dimenesionalen Einheitswürfels <math>\Omega_n</math> sind: :<math> \mathfrak{E}(\Omega_n)=\{0,1\}^n = \{ (\omega_1 , \ldots , \omega_n) \in \mathbb{R}^n \ : \ \omega_1 , \ldots , \omega_n \in \{0,1\} \} </math> === Bemerkung - Extremalpunkte === Ein Extremalpunkt <math>(\omega_1 , \ldots , \omega_n) \in \mathfrak{E}(\Omega_n) </math> besteht nur aus Komponenten <math>0</math> oder <math>1</math> (z.B. für <math>n=2</math> ist <math>\Omega_2</math> das Einheitsquadrat <math>[0,1] \times [0,1]\subset \mathbb{R}^2</math>. Die [[w:de:Extremalpunkt|Extermalpunkte]] <math> \mathfrak{E}(\Omega_2)</math> bestehen dann aus den 4 Eckpunkten, d.h. :<math> \mathfrak{E}(\Omega_2)=\{0,1\}^2 = \{ (0,0) ,(0,1), (1,0), (1,1) \} </math> Für das Einheitsintervall <math>\Omega_1 = [0,1]</math> gilt <math>\mathfrak{E}(\Omega_1)=\{0,1\}</math>. === Beispiele - Fuzzylogische Operationen === In dem obigen Beispiel wurden die fuzzylogischen Operationen einmal mit der <math>\min</math>-Definition von <math>NAND</math>-Verknüpfung und einmal mit dem multiplikativen <math>NAND_{\!\!_\odot}</math> erzeugt. Man betrachtet nun die Konsistenz mit der klassischen Logik, wobei die klassische Logik die Verknüpfung allein auf den [[w:de:Extremalpunkt|Extermalpunkten]] <math> \mathfrak{E}(\Omega_n)</math> von <math> \Omega_n</math> festlegt. ==== Konsistenz - Negation - logisches NICHT==== Das logische NICHT ändert den Wahrheitswert von ''wahr'' (=1) auf ''falsch'' (=0) und umgekehrt den Wahrheitswert von ''falsch'' (=0) auf ''wahr'' (=1). * Über die <math>\min</math>-Definition der <math>NAND</math>-Verknüpfung erhält man <math>\widetilde{\neg}\, \omega = 1-\omega </math> für <math>\omega \in [0,1]</math>. * Über die multiplikative Definition der <math>NAND_{\!\!_\odot}</math>-Verknüpfung erhält man <math>\widetilde{\neg}_{\!_\odot}\, \omega = 1-\omega^2 </math> für <math>\omega \in [0,1]</math>. In beiden Fällen erhält man die Konsistenz mit der klassischen Logik, da sowohl <math> \widetilde{\neg}\, 1 = \widetilde{\neg}_{\!_\odot}\, 1 = 0 </math> und <math> \widetilde{\neg}\, 0 = \widetilde{\neg}_{\!_\odot}\, 0 = 1 </math> gilt. ==== Konsistenz - Konjunktion - logisches UND ==== Betrachtet man das [[w:de:Konjunktion (Logik)|logische UND]] für bei erzeugende NAND-Verknüpfungen, dann erhält man für die [[w:de:Konjunktion (Logik)|Konjunktion]]: :<math> \begin{array}{rcccl} x \ \widetilde{\wedge} \, y & = & NAND(1-x,1-y) &= &\min\{ x,y \} \\ x \ \widetilde{\wedge}_{_\odot} \, y & = & NAND_\odot(1-x,1-y) & = & x\cdot y \\ \end{array} </math> Durch Einsetzen der [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte]] :<math> \mathfrak{E}(\Omega_2)=\{0,1\}^2 = \{ (0,0) ,(0,1), (1,0), (1,1) \} </math> aus <math>\Omega_2</math> erhält man analog für beide erzeugenden <math>NAND</math>-Verknüpfungen die Konsistenz mit der klassischen Logik. ==== Konsistenz - Disjunktion - logisches ODER ==== Betrachtet man das [[w:de:Disjunktion|logische ODER]] für beide erzeugende NAND-Verknüpfungen, dann erhält man für die [[w:de:Disjunktion|Disjunktion]]: :<math> \begin{array}{rcccl} x \ \widetilde{\vee} \, y & = & \widetilde{\neg} \big( \widetilde{\neg} \ x \ \widetilde{\wedge} \ \widetilde{\neg} \ y \big) & = & 1- \min\{ x, y \} = \max\{ x,y \} \\ x \ \widetilde{\vee}_{\!\!_\odot} \, y & := & \widetilde{\neg}_{_\odot} (\widetilde{\neg}_{_\odot} \ x \ \widetilde{\wedge}_{_\odot} \ \widetilde{\neg}_{_\odot} \ y) & = & \bigg(1-\big( (1-x)^2\cdot (1-y)^2 \big) \bigg)^2 \\ \end{array} </math> Durch Einsetzen der [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte]] :<math> \mathfrak{E}(\Omega_2)=\{0,1\}^2 = \{ (0,0) ,(0,1), (1,0), (1,1) \} </math> aus <math>\Omega_2</math> erhält man analog für beide erzeugenden <math>NAND</math>-Verknüpfungen die Konsistenz mit der klassischen Logik. == Logische Operationen == Analog zur klassischen (crispen) Logik kann man in der Fuzzylogik auch logische Operatoren definieren, die konsistent zu klassischen Logik sind, d.h. in den crispen Grenzfällen von 0 und 1 für falsch und wahr den Operatoren in der klassischen Logik nicht widersprechen. === Negation === Die Negation in der Fuzzylogik erfolgt durch Subtraktion der Eingabewerte von 1. Also ''' NOT(A)=1-A''' === Nicht ausschließende-ODER-Schaltung === Die Adjunktion erfolgt durch Wahl des jeweils höheren Wertes der Eingabewerte. Also ''' OR(A;B)=A wenn A>B''' ''' B wenn A<=B''' Dies kann man analog auch durch das Maximum ausdrücken <math>OR(A;B) := \max\{A,B\}</math> === UND-Schaltung === Die Konjunktion erfolgt durch Wahl des jeweils niedrigeren Wertes der Eingabewerte. Also ''' AND(A;B)=A wenn A&lt;B''' ''' B wenn A>=B''' Dies kann man analog auch durch das Minimum ausdrücken <math>AND(A;B) := \min\{A,B\}</math> === Ausschließende-ODER-Schaltung === Für die Disjunktion komplementiert man den kleineren zweier Werte und wählt den kleineren der beiden. Für mehr als zwei Eingabewerte setzt man das Ergebnis der letzten Operation rekursiv mit dem jeweils nächsten Eingabewert ein. Einfacher: man nimmt die Differenz des weniger Extremen von dem ihm gegenüberliegenden Extremwert. Also ''' XOR(A;B)=A wenn A>B und A<(1-B)''' ''' 1-B wenn A>B und A>=(1-B)''' ''' B wenn B>=A und B<(1-A)''' ''' 1-A wenn B>=A und B>=(1-A)''' === Wahrheitstafel von XOR === Das ausschließende ODER "XOR" besitzt in der klasssischen Logik die Wahrheitstafel von <math>\neg(A \leftrightarrow B) </math>. {| class="wikitable float-right" |- ! <math>A</math> ! <math>B</math> ! <math>\neg(A \leftrightarrow B) </math> |- | falsch | falsch |style="text-align:center"| falsch |- | falsch | wahr |style="text-align:center"| wahr |- | wahr | falsch |style="text-align:center"| wahr |- | wahr | wahr |style="text-align:center"| falsch |} === Fuzzylogische Berechnung von XOR === Um konsistent zur klassischen Logik zu bleiben, kann man eine ''"ausschließendes ODER"'' auch über die logischen Verknüpfungen "UND", "ODER" und "NICHT" ausdrücken. :<math> XOR(A,B) \Longleftrightarrow (A\wedge \neg B) \vee (B\wedge \neg A) </math> Mit die Verwendung <math>max</math> für ODER und <math>min</math> für UND kann man XOR(A,B) fuzzylogisch wie folgt darstellen: :<math> XOR(A,B) = max\big( min(\mu_{A},1-\mu_{B}) , min(\mu_{B},1-\mu_{A}) \big) </math> == Literatur/Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[w:de:Disjunktion|Disjunktion (Logisches ODER)]] * [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte einer Menge]] * [[w:de:Fuzzylogik/Operatoren|Fuzzylogik/Operatoren]] * [[w:de:Konjunktion (Logik)|Konjunktion (Logisches UND)]] * [[Mathematische Modellbildung]] * [[Open Educational Resources]] * [[Wiki2Reveal]] === Kurse === * [[Kurs:Maschinelles Lernen]] * [[Kurs:Mathematische Modellbildung]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik/Operatoren&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Operatoren&coursetitle=Fuzzylogik Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik/Operatoren&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Operatoren&coursetitle=Fuzzylogik Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik Fuzzylogik]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Fuzzylogik/Operatoren https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik/Operatoren] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik/Operatoren Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik/Operatoren * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik/Operatoren&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Operatoren&coursetitle=Fuzzylogik Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] gonqq6h4kxj1znwqh81snie219p6vxb 1119302 1119301 2026-11-10T08:59:46Z Bert Niehaus 20843 /* Wahrheitstafel von XOR */ 1119302 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite zum Thema ''Fuzzylogik/Operatoren'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik/Operatoren&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Operatoren&coursetitle=Fuzzylogik Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt: * (1) Klassische logische Operationen<ref>Suppes, P. (1999). Introduction to logic. Courier Corporation.</ref>, * (2) [[Fuzzylogik/Operatoren#Operatoren|Fuzzylogische Operatoren]]<ref>Buckley, J. J., & Eslami, E. (2002). An introduction to fuzzy logic and fuzzy sets (Vol. 13). Springer Science & Business Media.</ref>, * (3) [[Fuzzylogik/Operatoren#Konsistenz|Konsistenz zur klassischen Logik]]. === Konsistenz zur klassischen Logik === Die Konsistenz zur klassischen Logik besagt, dass die Fuzzylogik auf den [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkten]] des Einheitsquadrates <math>\Omega := [0,1]\times [0,1]</math> genauso funktionieren muss, wie die klassische Logik. Die == Zielsetzung == Diese Lernressource zu ''Fuzzylogik und Operatoren'' in der Wikiversity hat das Ziel, das klassische Konzept von logischen Operatoren UND, ODER, NICHT, WENN ... DANN, ...) (<math> \wedge, \vee, \neg, \Rightarrow </math>) auf fuzzylogische Operationen zu verallgemeinern. == Lernvoraussetzungen == Die Lernressource zum Thema ''Fuzzylogik/Operatoren'' hat die folgenden Lernvoraussetzungen, die zum Verständnis der nachfolgenden Ausführungen hilfreich bzw. notwendig sind. * '''([[Fuzzylogik/Zugehörigkeitsfunktion|Zugehörigkeitsfunktionen]])''' Funktionale Beschreibung unscharfer Mengen * '''(Wahrheitstafeln)''' Wahrheitstafeln für klassische logische Operatoren * '''(Implikationen/Folgerungen)''' klassische Implikationen/Folgerungen, da diese auf die Fuzzylogik übertragen werden == Operatoren für unscharfe Mengen == [[Datei:Fuzzy-Operatoren.png|450px|UND-ODER-NICHT-Operatoren zur Verknüpfung von Zugehörigkeitsfunktionen (Teilmengen).]] === Erzeugendenfunktion - Fuzzy-NAND === Die Verknüpfung Fuzzy-NAND <math>NAND_\odot</math> ist eine Erzeugendenfunktion für alle fuzzylogischen Verknüpfungen, denn es gilt für <math>x,y\in [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{rcccl} x \ \widetilde{\wedge} \ y & := & NAND(1-x,1-y) & = & \min\{ x,y \} \\ \widetilde{\neg} \, x & := & NAND(x,x) & = & \min\{ 1-x,1-x \} = 1-x \\ x \ \widetilde{\vee} \, y & := & \widetilde{\neg} \big( \widetilde{\neg} \ x \ \widetilde{\wedge} \ \widetilde{\neg} \ y \big) & = & 1- \min\{ x, y \} = \max\{ x,y \} \\ x \ \widetilde{\rightarrow} \ y & := & \widetilde{\neg} \ x \ \widetilde{\vee} \ y & = & \max\{ 1-x,y \} \\ \end{array} </math> Das Fuzzy-ODER <math>\widetilde{\vee}</math> wird über die [[w:de:De-morgansche Gesetze|De-morganschen Gesetze]] erzeugt. === Fortsetzung der klassischen Logik nicht eindeutig === Die Fortsetzung der klassischen Logik ist allerding nicht eindeutig. Durch das die multiplikative Fuzzy-NAND-Funktion wird ebenfalls eine von der obigen Min-Max-Operator-Definition wesentlich verschiedene Definition der Fuzzyoperationen definiert, die ebenfalls konsistent zur klassischen Logik ist. === Multiplikatives Fuzzy-NAND === Man definiert das multiplikative Fuzzy-NAND wie folgt: :<math> \begin{array}{rrcl} NAND_\odot: & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & [0,1] \\ & \left( x,y \right) & \mapsto & NAND_\odot\left( x,y \right) = (1-x)\cdot (1-y) \end{array} </math> === Erzeugendenfunktion - multiplikatives Fuzzy-NAND === Das multiplikative Fuzzy-NAND <math>NAND_\odot</math> ist eine Erzeugendenfunktion für alle fuzzylogischen Verknüpfungen, denn es gilt für <math>x,y\in [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{rcccl} x \ \widetilde{\wedge}_{_\odot} \ y & := & NAND_\odot(1-x,1-y) & = & x\cdot y \\ \widetilde{\neg}_{_\odot} \, x & := & NAND_\odot(x,x) & = & (1-x)^2 \\ x \ \widetilde{\vee}_{\!\!_\odot} \, y & := & \widetilde{\neg}_{_\odot} (\widetilde{\neg}_{_\odot} \ x \ \widetilde{\wedge}_{_\odot} \ \widetilde{\neg}_{_\odot} \ y) & = & 1-\big( (1-x)^2\cdot (1-y)^2 \big) \\ x \ \widetilde{\rightarrow}_{\!_\odot} \ y & := & \widetilde{\neg}_{_\odot} \ x \ \widetilde{\vee}_{\!\!_\odot} \ y \\ \end{array} </math> Das multiplikative Fuzzy-ODER <math>\widetilde{\vee}_{\!\!_\odot}</math> wird über die [[w:de:De-morgansche Gesetze|De-morganschen Gesetze]] erzeugt. === Aufgabe für Studierende === * Zeigen Sie, dass die obige Definition des multiplikativen NAND zu einer mit der klassischen Logik konsistenten Eigenschaft der Fuzzy-Verknüpfungen kommt. === Bemerkung - strengeres Fuzzy-UND === Das multiplikative Fuzzy-NAND <math>NAND_\odot</math> erzeugt ein strengeres Fuzzy-AND als fuzzylogische Verknüpfungen als die Min-Max-Definition der fuzzylogischen Verknüpfungen. Dies bedeutet, dass für alle <math>x,y\in [0,1]</math> gilt: :<math> x \ \widetilde{\wedge}_{_\odot} \, y \ \ \leq \ \ x \ \widetilde{\wedge} \ y </math> == Aufgaben - Zugehörigkeitsfunktion == Mit den folgenden Aufgaben zum Thema ''Fuzzy-Implikation'' als ''Operator'' auf Fuzzymengen behandelt: * Erzeugen Sie eine Zugehörigkeitsfunktion einer Fuzzymenge für den linguistischen Wert "alt" und "schnell" wobei die Grundmenge <math>\Omega := [0,100] </math> ein Alter zwischen 0 und 100 Jahren als Argument der Zugehörigkeitsfunktionen definiert. * Zeichnen Sie einen Graphen <math>\mu_{alt} : \Omega \to [0,1]</math> mit <math>\Omega := [0,100] </math> auf der x-Achse und <math>[0,1]</math> auf der y-Achse, wobei <math>\mu_{alt}(x) \in [0,1] </math> angibt, zu welchem Grad eine Alter <math>x</math> die Eigenschaft "alt" als linguistischen Wert erfüllt. * Zeichnen Sie einen Graphen <math>\mu_{schnell} : \Omega \to [0,1]</math> mit <math>\Omega := [0,100] </math> auf der x-Achse und <math>[0,1]</math> auf der y-Achse, wobei <math>\mu_{schnell}(x) \in [0,1] </math> angibt, zu welchem Grad eine Alter <math>x</math> die Eigenschaft "schnell" als linguistischen Wert erfüllt. == Aufgaben - Fuzzylogische Folgerung == Als einführendes Beispiel zum Thema ''fuzzylogische Operatoren'' dient dazu, sprachliche formuliert "WENN-DANN"-Aussagen in fuzzylogische zu übertragen und danach die resultierende Zugehörigkeitsfunktion zu interpretieren. <math>\Omega = [0,100] </math> ist das Alter in Jahren. * Nutzen Sie die obigen [[Fuzzylogik/Zugehörigkeitsfunktion|Zugehörigkeitsfunktionen]] von "alt" und "schnell". * Basierend auf den obigen [[Fuzzylogik/Zugehörigkeitsfunktion|Zugehörigkeitsfunktionen]] zeichnen Sie zunächst freihändig die Zugehörigkeitsfunktion ''"WENN alt DANN schnell"'' * Berechnen Sie dann die fuzzylogische Zugehörigkeitsfunktion von ''"WENN alt DANN schnell"''! Drücken Sie dabei die Folgerung zunächst durch UND, ODER und NICHT aus. * Falls sich Ihre "Freihandzeichnung" und der berechnete Graph der Zughörigkeitsfunktion unterscheiden, begründen Sie, warum die Freihandzeichnung von dem berechneten Graphen abweicht! <span id="Operatoren"></span> == Konsistenz zu klassischen Logik == Die Eigenschaft, dass fuzzylogische Operationen ''konsistent'' zu klassischen Logik sein müssen, bedeutet, dass in einem <math>n</math>-dimenesionalen Einheitswürfel für beliebige <math>n\in \mathbb{N}</math> die Funktionswerte der fuzzylogischen Operation in den [[w:de:Extremalpunkt|Extermalpunkten]] mit der klassischen Logik übereinstimmen müssen. === Extremalpunkte des Einheitswürfels === Man betrachtet den <math>n</math>-dimenesionalen Einheitswürfel <math>\Omega_n := [0,1]^n</math> mit: :<math> [0,1]^n := \{ (\omega_1 , \ldots , \omega_n) \in \mathbb{R}^n \ : \ \omega_1 , \ldots , \omega_n \in [0,1] \} </math> Die [[w:de:Extremalpunkt|Extermalpunkte]] <math> \mathfrak{E}(\Omega_n)</math> des <math>n</math>-dimenesionalen Einheitswürfels <math>\Omega_n</math> sind: :<math> \mathfrak{E}(\Omega_n)=\{0,1\}^n = \{ (\omega_1 , \ldots , \omega_n) \in \mathbb{R}^n \ : \ \omega_1 , \ldots , \omega_n \in \{0,1\} \} </math> === Bemerkung - Extremalpunkte === Ein Extremalpunkt <math>(\omega_1 , \ldots , \omega_n) \in \mathfrak{E}(\Omega_n) </math> besteht nur aus Komponenten <math>0</math> oder <math>1</math> (z.B. für <math>n=2</math> ist <math>\Omega_2</math> das Einheitsquadrat <math>[0,1] \times [0,1]\subset \mathbb{R}^2</math>. Die [[w:de:Extremalpunkt|Extermalpunkte]] <math> \mathfrak{E}(\Omega_2)</math> bestehen dann aus den 4 Eckpunkten, d.h. :<math> \mathfrak{E}(\Omega_2)=\{0,1\}^2 = \{ (0,0) ,(0,1), (1,0), (1,1) \} </math> Für das Einheitsintervall <math>\Omega_1 = [0,1]</math> gilt <math>\mathfrak{E}(\Omega_1)=\{0,1\}</math>. === Beispiele - Fuzzylogische Operationen === In dem obigen Beispiel wurden die fuzzylogischen Operationen einmal mit der <math>\min</math>-Definition von <math>NAND</math>-Verknüpfung und einmal mit dem multiplikativen <math>NAND_{\!\!_\odot}</math> erzeugt. Man betrachtet nun die Konsistenz mit der klassischen Logik, wobei die klassische Logik die Verknüpfung allein auf den [[w:de:Extremalpunkt|Extermalpunkten]] <math> \mathfrak{E}(\Omega_n)</math> von <math> \Omega_n</math> festlegt. ==== Konsistenz - Negation - logisches NICHT==== Das logische NICHT ändert den Wahrheitswert von ''wahr'' (=1) auf ''falsch'' (=0) und umgekehrt den Wahrheitswert von ''falsch'' (=0) auf ''wahr'' (=1). * Über die <math>\min</math>-Definition der <math>NAND</math>-Verknüpfung erhält man <math>\widetilde{\neg}\, \omega = 1-\omega </math> für <math>\omega \in [0,1]</math>. * Über die multiplikative Definition der <math>NAND_{\!\!_\odot}</math>-Verknüpfung erhält man <math>\widetilde{\neg}_{\!_\odot}\, \omega = 1-\omega^2 </math> für <math>\omega \in [0,1]</math>. In beiden Fällen erhält man die Konsistenz mit der klassischen Logik, da sowohl <math> \widetilde{\neg}\, 1 = \widetilde{\neg}_{\!_\odot}\, 1 = 0 </math> und <math> \widetilde{\neg}\, 0 = \widetilde{\neg}_{\!_\odot}\, 0 = 1 </math> gilt. ==== Konsistenz - Konjunktion - logisches UND ==== Betrachtet man das [[w:de:Konjunktion (Logik)|logische UND]] für bei erzeugende NAND-Verknüpfungen, dann erhält man für die [[w:de:Konjunktion (Logik)|Konjunktion]]: :<math> \begin{array}{rcccl} x \ \widetilde{\wedge} \, y & = & NAND(1-x,1-y) &= &\min\{ x,y \} \\ x \ \widetilde{\wedge}_{_\odot} \, y & = & NAND_\odot(1-x,1-y) & = & x\cdot y \\ \end{array} </math> Durch Einsetzen der [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte]] :<math> \mathfrak{E}(\Omega_2)=\{0,1\}^2 = \{ (0,0) ,(0,1), (1,0), (1,1) \} </math> aus <math>\Omega_2</math> erhält man analog für beide erzeugenden <math>NAND</math>-Verknüpfungen die Konsistenz mit der klassischen Logik. ==== Konsistenz - Disjunktion - logisches ODER ==== Betrachtet man das [[w:de:Disjunktion|logische ODER]] für beide erzeugende NAND-Verknüpfungen, dann erhält man für die [[w:de:Disjunktion|Disjunktion]]: :<math> \begin{array}{rcccl} x \ \widetilde{\vee} \, y & = & \widetilde{\neg} \big( \widetilde{\neg} \ x \ \widetilde{\wedge} \ \widetilde{\neg} \ y \big) & = & 1- \min\{ x, y \} = \max\{ x,y \} \\ x \ \widetilde{\vee}_{\!\!_\odot} \, y & := & \widetilde{\neg}_{_\odot} (\widetilde{\neg}_{_\odot} \ x \ \widetilde{\wedge}_{_\odot} \ \widetilde{\neg}_{_\odot} \ y) & = & \bigg(1-\big( (1-x)^2\cdot (1-y)^2 \big) \bigg)^2 \\ \end{array} </math> Durch Einsetzen der [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte]] :<math> \mathfrak{E}(\Omega_2)=\{0,1\}^2 = \{ (0,0) ,(0,1), (1,0), (1,1) \} </math> aus <math>\Omega_2</math> erhält man analog für beide erzeugenden <math>NAND</math>-Verknüpfungen die Konsistenz mit der klassischen Logik. == Logische Operationen == Analog zur klassischen (crispen) Logik kann man in der Fuzzylogik auch logische Operatoren definieren, die konsistent zu klassischen Logik sind, d.h. in den crispen Grenzfällen von 0 und 1 für falsch und wahr den Operatoren in der klassischen Logik nicht widersprechen. === Negation === Die Negation in der Fuzzylogik erfolgt durch Subtraktion der Eingabewerte von 1. Also ''' NOT(A)=1-A''' === Nicht ausschließende-ODER-Schaltung === Die Adjunktion erfolgt durch Wahl des jeweils höheren Wertes der Eingabewerte. Also ''' OR(A;B)=A wenn A>B''' ''' B wenn A<=B''' Dies kann man analog auch durch das Maximum ausdrücken <math>OR(A;B) := \max\{A,B\}</math> === UND-Schaltung === Die Konjunktion erfolgt durch Wahl des jeweils niedrigeren Wertes der Eingabewerte. Also ''' AND(A;B)=A wenn A&lt;B''' ''' B wenn A>=B''' Dies kann man analog auch durch das Minimum ausdrücken <math>AND(A;B) := \min\{A,B\}</math> === Ausschließende-ODER-Schaltung === Für die Disjunktion komplementiert man den kleineren zweier Werte und wählt den kleineren der beiden. Für mehr als zwei Eingabewerte setzt man das Ergebnis der letzten Operation rekursiv mit dem jeweils nächsten Eingabewert ein. Einfacher: man nimmt die Differenz des weniger Extremen von dem ihm gegenüberliegenden Extremwert. Also ''' XOR(A;B)=A wenn A>B und A<(1-B)''' ''' 1-B wenn A>B und A>=(1-B)''' ''' B wenn B>=A und B<(1-A)''' ''' 1-A wenn B>=A und B>=(1-A)''' === Wahrheitstafel von XOR === Das ausschließende ODER "XOR" besitzt in der klasssischen Logik die gleiche Wahrheitstafel wie <math>\neg(A \leftrightarrow B) </math>. {| class="wikitable float-right" |- ! <math>A</math> ! <math>B</math> ! <math>\neg(A \leftrightarrow B) </math> |- | falsch | falsch |style="text-align:center"| falsch |- | falsch | wahr |style="text-align:center"| wahr |- | wahr | falsch |style="text-align:center"| wahr |- | wahr | wahr |style="text-align:center"| falsch |} === Fuzzylogische Berechnung von XOR === Um konsistent zur klassischen Logik zu bleiben, kann man eine ''"ausschließendes ODER"'' auch über die logischen Verknüpfungen "UND", "ODER" und "NICHT" ausdrücken. :<math> XOR(A,B) \Longleftrightarrow (A\wedge \neg B) \vee (B\wedge \neg A) </math> Mit die Verwendung <math>max</math> für ODER und <math>min</math> für UND kann man XOR(A,B) fuzzylogisch wie folgt darstellen: :<math> XOR(A,B) = max\big( min(\mu_{A},1-\mu_{B}) , min(\mu_{B},1-\mu_{A}) \big) </math> == Literatur/Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[w:de:Disjunktion|Disjunktion (Logisches ODER)]] * [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte einer Menge]] * [[w:de:Fuzzylogik/Operatoren|Fuzzylogik/Operatoren]] * [[w:de:Konjunktion (Logik)|Konjunktion (Logisches UND)]] * [[Mathematische Modellbildung]] * [[Open Educational Resources]] * [[Wiki2Reveal]] === Kurse === * [[Kurs:Maschinelles Lernen]] * [[Kurs:Mathematische Modellbildung]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik/Operatoren&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Operatoren&coursetitle=Fuzzylogik Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik/Operatoren&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Operatoren&coursetitle=Fuzzylogik Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik Fuzzylogik]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Fuzzylogik/Operatoren https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik/Operatoren] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik/Operatoren Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik/Operatoren * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik/Operatoren&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Operatoren&coursetitle=Fuzzylogik Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] j0e8hbdsce7rykkhorgipitif0soci4 1119303 1119302 2026-11-10T09:02:40Z Bert Niehaus 20843 /* Wahrheitstafel von XOR */ 1119303 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite zum Thema ''Fuzzylogik/Operatoren'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik/Operatoren&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Operatoren&coursetitle=Fuzzylogik Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt: * (1) Klassische logische Operationen<ref>Suppes, P. (1999). Introduction to logic. Courier Corporation.</ref>, * (2) [[Fuzzylogik/Operatoren#Operatoren|Fuzzylogische Operatoren]]<ref>Buckley, J. J., & Eslami, E. (2002). An introduction to fuzzy logic and fuzzy sets (Vol. 13). Springer Science & Business Media.</ref>, * (3) [[Fuzzylogik/Operatoren#Konsistenz|Konsistenz zur klassischen Logik]]. === Konsistenz zur klassischen Logik === Die Konsistenz zur klassischen Logik besagt, dass die Fuzzylogik auf den [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkten]] des Einheitsquadrates <math>\Omega := [0,1]\times [0,1]</math> genauso funktionieren muss, wie die klassische Logik. Die == Zielsetzung == Diese Lernressource zu ''Fuzzylogik und Operatoren'' in der Wikiversity hat das Ziel, das klassische Konzept von logischen Operatoren UND, ODER, NICHT, WENN ... DANN, ...) (<math> \wedge, \vee, \neg, \Rightarrow </math>) auf fuzzylogische Operationen zu verallgemeinern. == Lernvoraussetzungen == Die Lernressource zum Thema ''Fuzzylogik/Operatoren'' hat die folgenden Lernvoraussetzungen, die zum Verständnis der nachfolgenden Ausführungen hilfreich bzw. notwendig sind. * '''([[Fuzzylogik/Zugehörigkeitsfunktion|Zugehörigkeitsfunktionen]])''' Funktionale Beschreibung unscharfer Mengen * '''(Wahrheitstafeln)''' Wahrheitstafeln für klassische logische Operatoren * '''(Implikationen/Folgerungen)''' klassische Implikationen/Folgerungen, da diese auf die Fuzzylogik übertragen werden == Operatoren für unscharfe Mengen == [[Datei:Fuzzy-Operatoren.png|450px|UND-ODER-NICHT-Operatoren zur Verknüpfung von Zugehörigkeitsfunktionen (Teilmengen).]] === Erzeugendenfunktion - Fuzzy-NAND === Die Verknüpfung Fuzzy-NAND <math>NAND_\odot</math> ist eine Erzeugendenfunktion für alle fuzzylogischen Verknüpfungen, denn es gilt für <math>x,y\in [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{rcccl} x \ \widetilde{\wedge} \ y & := & NAND(1-x,1-y) & = & \min\{ x,y \} \\ \widetilde{\neg} \, x & := & NAND(x,x) & = & \min\{ 1-x,1-x \} = 1-x \\ x \ \widetilde{\vee} \, y & := & \widetilde{\neg} \big( \widetilde{\neg} \ x \ \widetilde{\wedge} \ \widetilde{\neg} \ y \big) & = & 1- \min\{ x, y \} = \max\{ x,y \} \\ x \ \widetilde{\rightarrow} \ y & := & \widetilde{\neg} \ x \ \widetilde{\vee} \ y & = & \max\{ 1-x,y \} \\ \end{array} </math> Das Fuzzy-ODER <math>\widetilde{\vee}</math> wird über die [[w:de:De-morgansche Gesetze|De-morganschen Gesetze]] erzeugt. === Fortsetzung der klassischen Logik nicht eindeutig === Die Fortsetzung der klassischen Logik ist allerding nicht eindeutig. Durch das die multiplikative Fuzzy-NAND-Funktion wird ebenfalls eine von der obigen Min-Max-Operator-Definition wesentlich verschiedene Definition der Fuzzyoperationen definiert, die ebenfalls konsistent zur klassischen Logik ist. === Multiplikatives Fuzzy-NAND === Man definiert das multiplikative Fuzzy-NAND wie folgt: :<math> \begin{array}{rrcl} NAND_\odot: & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & [0,1] \\ & \left( x,y \right) & \mapsto & NAND_\odot\left( x,y \right) = (1-x)\cdot (1-y) \end{array} </math> === Erzeugendenfunktion - multiplikatives Fuzzy-NAND === Das multiplikative Fuzzy-NAND <math>NAND_\odot</math> ist eine Erzeugendenfunktion für alle fuzzylogischen Verknüpfungen, denn es gilt für <math>x,y\in [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{rcccl} x \ \widetilde{\wedge}_{_\odot} \ y & := & NAND_\odot(1-x,1-y) & = & x\cdot y \\ \widetilde{\neg}_{_\odot} \, x & := & NAND_\odot(x,x) & = & (1-x)^2 \\ x \ \widetilde{\vee}_{\!\!_\odot} \, y & := & \widetilde{\neg}_{_\odot} (\widetilde{\neg}_{_\odot} \ x \ \widetilde{\wedge}_{_\odot} \ \widetilde{\neg}_{_\odot} \ y) & = & 1-\big( (1-x)^2\cdot (1-y)^2 \big) \\ x \ \widetilde{\rightarrow}_{\!_\odot} \ y & := & \widetilde{\neg}_{_\odot} \ x \ \widetilde{\vee}_{\!\!_\odot} \ y \\ \end{array} </math> Das multiplikative Fuzzy-ODER <math>\widetilde{\vee}_{\!\!_\odot}</math> wird über die [[w:de:De-morgansche Gesetze|De-morganschen Gesetze]] erzeugt. === Aufgabe für Studierende === * Zeigen Sie, dass die obige Definition des multiplikativen NAND zu einer mit der klassischen Logik konsistenten Eigenschaft der Fuzzy-Verknüpfungen kommt. === Bemerkung - strengeres Fuzzy-UND === Das multiplikative Fuzzy-NAND <math>NAND_\odot</math> erzeugt ein strengeres Fuzzy-AND als fuzzylogische Verknüpfungen als die Min-Max-Definition der fuzzylogischen Verknüpfungen. Dies bedeutet, dass für alle <math>x,y\in [0,1]</math> gilt: :<math> x \ \widetilde{\wedge}_{_\odot} \, y \ \ \leq \ \ x \ \widetilde{\wedge} \ y </math> == Aufgaben - Zugehörigkeitsfunktion == Mit den folgenden Aufgaben zum Thema ''Fuzzy-Implikation'' als ''Operator'' auf Fuzzymengen behandelt: * Erzeugen Sie eine Zugehörigkeitsfunktion einer Fuzzymenge für den linguistischen Wert "alt" und "schnell" wobei die Grundmenge <math>\Omega := [0,100] </math> ein Alter zwischen 0 und 100 Jahren als Argument der Zugehörigkeitsfunktionen definiert. * Zeichnen Sie einen Graphen <math>\mu_{alt} : \Omega \to [0,1]</math> mit <math>\Omega := [0,100] </math> auf der x-Achse und <math>[0,1]</math> auf der y-Achse, wobei <math>\mu_{alt}(x) \in [0,1] </math> angibt, zu welchem Grad eine Alter <math>x</math> die Eigenschaft "alt" als linguistischen Wert erfüllt. * Zeichnen Sie einen Graphen <math>\mu_{schnell} : \Omega \to [0,1]</math> mit <math>\Omega := [0,100] </math> auf der x-Achse und <math>[0,1]</math> auf der y-Achse, wobei <math>\mu_{schnell}(x) \in [0,1] </math> angibt, zu welchem Grad eine Alter <math>x</math> die Eigenschaft "schnell" als linguistischen Wert erfüllt. == Aufgaben - Fuzzylogische Folgerung == Als einführendes Beispiel zum Thema ''fuzzylogische Operatoren'' dient dazu, sprachliche formuliert "WENN-DANN"-Aussagen in fuzzylogische zu übertragen und danach die resultierende Zugehörigkeitsfunktion zu interpretieren. <math>\Omega = [0,100] </math> ist das Alter in Jahren. * Nutzen Sie die obigen [[Fuzzylogik/Zugehörigkeitsfunktion|Zugehörigkeitsfunktionen]] von "alt" und "schnell". * Basierend auf den obigen [[Fuzzylogik/Zugehörigkeitsfunktion|Zugehörigkeitsfunktionen]] zeichnen Sie zunächst freihändig die Zugehörigkeitsfunktion ''"WENN alt DANN schnell"'' * Berechnen Sie dann die fuzzylogische Zugehörigkeitsfunktion von ''"WENN alt DANN schnell"''! Drücken Sie dabei die Folgerung zunächst durch UND, ODER und NICHT aus. * Falls sich Ihre "Freihandzeichnung" und der berechnete Graph der Zughörigkeitsfunktion unterscheiden, begründen Sie, warum die Freihandzeichnung von dem berechneten Graphen abweicht! <span id="Operatoren"></span> == Konsistenz zu klassischen Logik == Die Eigenschaft, dass fuzzylogische Operationen ''konsistent'' zu klassischen Logik sein müssen, bedeutet, dass in einem <math>n</math>-dimenesionalen Einheitswürfel für beliebige <math>n\in \mathbb{N}</math> die Funktionswerte der fuzzylogischen Operation in den [[w:de:Extremalpunkt|Extermalpunkten]] mit der klassischen Logik übereinstimmen müssen. === Extremalpunkte des Einheitswürfels === Man betrachtet den <math>n</math>-dimenesionalen Einheitswürfel <math>\Omega_n := [0,1]^n</math> mit: :<math> [0,1]^n := \{ (\omega_1 , \ldots , \omega_n) \in \mathbb{R}^n \ : \ \omega_1 , \ldots , \omega_n \in [0,1] \} </math> Die [[w:de:Extremalpunkt|Extermalpunkte]] <math> \mathfrak{E}(\Omega_n)</math> des <math>n</math>-dimenesionalen Einheitswürfels <math>\Omega_n</math> sind: :<math> \mathfrak{E}(\Omega_n)=\{0,1\}^n = \{ (\omega_1 , \ldots , \omega_n) \in \mathbb{R}^n \ : \ \omega_1 , \ldots , \omega_n \in \{0,1\} \} </math> === Bemerkung - Extremalpunkte === Ein Extremalpunkt <math>(\omega_1 , \ldots , \omega_n) \in \mathfrak{E}(\Omega_n) </math> besteht nur aus Komponenten <math>0</math> oder <math>1</math> (z.B. für <math>n=2</math> ist <math>\Omega_2</math> das Einheitsquadrat <math>[0,1] \times [0,1]\subset \mathbb{R}^2</math>. Die [[w:de:Extremalpunkt|Extermalpunkte]] <math> \mathfrak{E}(\Omega_2)</math> bestehen dann aus den 4 Eckpunkten, d.h. :<math> \mathfrak{E}(\Omega_2)=\{0,1\}^2 = \{ (0,0) ,(0,1), (1,0), (1,1) \} </math> Für das Einheitsintervall <math>\Omega_1 = [0,1]</math> gilt <math>\mathfrak{E}(\Omega_1)=\{0,1\}</math>. === Beispiele - Fuzzylogische Operationen === In dem obigen Beispiel wurden die fuzzylogischen Operationen einmal mit der <math>\min</math>-Definition von <math>NAND</math>-Verknüpfung und einmal mit dem multiplikativen <math>NAND_{\!\!_\odot}</math> erzeugt. Man betrachtet nun die Konsistenz mit der klassischen Logik, wobei die klassische Logik die Verknüpfung allein auf den [[w:de:Extremalpunkt|Extermalpunkten]] <math> \mathfrak{E}(\Omega_n)</math> von <math> \Omega_n</math> festlegt. ==== Konsistenz - Negation - logisches NICHT==== Das logische NICHT ändert den Wahrheitswert von ''wahr'' (=1) auf ''falsch'' (=0) und umgekehrt den Wahrheitswert von ''falsch'' (=0) auf ''wahr'' (=1). * Über die <math>\min</math>-Definition der <math>NAND</math>-Verknüpfung erhält man <math>\widetilde{\neg}\, \omega = 1-\omega </math> für <math>\omega \in [0,1]</math>. * Über die multiplikative Definition der <math>NAND_{\!\!_\odot}</math>-Verknüpfung erhält man <math>\widetilde{\neg}_{\!_\odot}\, \omega = 1-\omega^2 </math> für <math>\omega \in [0,1]</math>. In beiden Fällen erhält man die Konsistenz mit der klassischen Logik, da sowohl <math> \widetilde{\neg}\, 1 = \widetilde{\neg}_{\!_\odot}\, 1 = 0 </math> und <math> \widetilde{\neg}\, 0 = \widetilde{\neg}_{\!_\odot}\, 0 = 1 </math> gilt. ==== Konsistenz - Konjunktion - logisches UND ==== Betrachtet man das [[w:de:Konjunktion (Logik)|logische UND]] für bei erzeugende NAND-Verknüpfungen, dann erhält man für die [[w:de:Konjunktion (Logik)|Konjunktion]]: :<math> \begin{array}{rcccl} x \ \widetilde{\wedge} \, y & = & NAND(1-x,1-y) &= &\min\{ x,y \} \\ x \ \widetilde{\wedge}_{_\odot} \, y & = & NAND_\odot(1-x,1-y) & = & x\cdot y \\ \end{array} </math> Durch Einsetzen der [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte]] :<math> \mathfrak{E}(\Omega_2)=\{0,1\}^2 = \{ (0,0) ,(0,1), (1,0), (1,1) \} </math> aus <math>\Omega_2</math> erhält man analog für beide erzeugenden <math>NAND</math>-Verknüpfungen die Konsistenz mit der klassischen Logik. ==== Konsistenz - Disjunktion - logisches ODER ==== Betrachtet man das [[w:de:Disjunktion|logische ODER]] für beide erzeugende NAND-Verknüpfungen, dann erhält man für die [[w:de:Disjunktion|Disjunktion]]: :<math> \begin{array}{rcccl} x \ \widetilde{\vee} \, y & = & \widetilde{\neg} \big( \widetilde{\neg} \ x \ \widetilde{\wedge} \ \widetilde{\neg} \ y \big) & = & 1- \min\{ x, y \} = \max\{ x,y \} \\ x \ \widetilde{\vee}_{\!\!_\odot} \, y & := & \widetilde{\neg}_{_\odot} (\widetilde{\neg}_{_\odot} \ x \ \widetilde{\wedge}_{_\odot} \ \widetilde{\neg}_{_\odot} \ y) & = & \bigg(1-\big( (1-x)^2\cdot (1-y)^2 \big) \bigg)^2 \\ \end{array} </math> Durch Einsetzen der [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte]] :<math> \mathfrak{E}(\Omega_2)=\{0,1\}^2 = \{ (0,0) ,(0,1), (1,0), (1,1) \} </math> aus <math>\Omega_2</math> erhält man analog für beide erzeugenden <math>NAND</math>-Verknüpfungen die Konsistenz mit der klassischen Logik. == Logische Operationen == Analog zur klassischen (crispen) Logik kann man in der Fuzzylogik auch logische Operatoren definieren, die konsistent zu klassischen Logik sind, d.h. in den crispen Grenzfällen von 0 und 1 für falsch und wahr den Operatoren in der klassischen Logik nicht widersprechen. === Negation === Die Negation in der Fuzzylogik erfolgt durch Subtraktion der Eingabewerte von 1. Also ''' NOT(A)=1-A''' === Nicht ausschließende-ODER-Schaltung === Die Adjunktion erfolgt durch Wahl des jeweils höheren Wertes der Eingabewerte. Also ''' OR(A;B)=A wenn A>B''' ''' B wenn A<=B''' Dies kann man analog auch durch das Maximum ausdrücken <math>OR(A;B) := \max\{A,B\}</math> === UND-Schaltung === Die Konjunktion erfolgt durch Wahl des jeweils niedrigeren Wertes der Eingabewerte. Also ''' AND(A;B)=A wenn A&lt;B''' ''' B wenn A>=B''' Dies kann man analog auch durch das Minimum ausdrücken <math>AND(A;B) := \min\{A,B\}</math> === Ausschließende-ODER-Schaltung === Für die Disjunktion komplementiert man den kleineren zweier Werte und wählt den kleineren der beiden. Für mehr als zwei Eingabewerte setzt man das Ergebnis der letzten Operation rekursiv mit dem jeweils nächsten Eingabewert ein. Einfacher: man nimmt die Differenz des weniger Extremen von dem ihm gegenüberliegenden Extremwert. Also ''' XOR(A;B)=A wenn A>B und A<(1-B)''' ''' 1-B wenn A>B und A>=(1-B)''' ''' B wenn B>=A und B<(1-A)''' ''' 1-A wenn B>=A und B>=(1-A)''' === Wahrheitstafel von XOR === Das [[w:de:Kontravalenz|ausschließende ODER]] "XOR" ([[w:de:Kontravalenz|Kontravalenz]]) besitzt in der klasssischen Logik die gleiche Wahrheitstafel wie <math>\neg(A \leftrightarrow B) </math>. {| class="wikitable float-right" |- ! <math>A</math> ! <math>B</math> ! <math>\neg(A \leftrightarrow B) </math> |- | falsch | falsch |style="text-align:center"| falsch |- | falsch | wahr |style="text-align:center"| wahr |- | wahr | falsch |style="text-align:center"| wahr |- | wahr | wahr |style="text-align:center"| falsch |} === Fuzzylogische Berechnung von XOR === Um konsistent zur klassischen Logik zu bleiben, kann man eine ''"ausschließendes ODER"'' auch über die logischen Verknüpfungen "UND", "ODER" und "NICHT" ausdrücken. :<math> XOR(A,B) \Longleftrightarrow (A\wedge \neg B) \vee (B\wedge \neg A) </math> Mit die Verwendung <math>max</math> für ODER und <math>min</math> für UND kann man XOR(A,B) fuzzylogisch wie folgt darstellen: :<math> XOR(A,B) = max\big( min(\mu_{A},1-\mu_{B}) , min(\mu_{B},1-\mu_{A}) \big) </math> == Literatur/Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[w:de:Disjunktion|Disjunktion (Logisches ODER)]] * [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte einer Menge]] * [[w:de:Fuzzylogik/Operatoren|Fuzzylogik/Operatoren]] * [[w:de:Konjunktion (Logik)|Konjunktion (Logisches UND)]] * [[Mathematische Modellbildung]] * [[Open Educational Resources]] * [[Wiki2Reveal]] === Kurse === * [[Kurs:Maschinelles Lernen]] * [[Kurs:Mathematische Modellbildung]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik/Operatoren&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Operatoren&coursetitle=Fuzzylogik Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik/Operatoren&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Operatoren&coursetitle=Fuzzylogik Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik Fuzzylogik]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Fuzzylogik/Operatoren https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik/Operatoren] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik/Operatoren Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Fuzzylogik/Operatoren * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik/Operatoren&author=Fuzzylogik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Operatoren&coursetitle=Fuzzylogik Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] lhp42xf8lsj323sabvm6bgchuyy0b1z 106 159620 1119320 1057698 2026-11-10T11:22:54Z Bert Niehaus 20843 /* Beispiele */ 1119320 wikitext text/x-wiki [[Datei:Demonstration of AI Voice Cloning.webm|mini|Demonstration für KI-gestütztes Fakes einer Stimme]] Deepfakes können die Persönlichkeitsrechte des Einzelnen auf mehrere Weisen verletzen: * Recht auf Wahrheit ** Identitätsverfälschung ** Verfälschung von Ereignissen oder deren Umdeutung * Recht auf Privatsphäre == Recht auf Wahrheit == Deepfakes können auch die Wahrheit über eine Person (Identitätsverfälschung) oder einen Ablauf eines Ereignisse falsch darstellen (Ereignisverfälschung) oder durch * das Weglassen von Informationen oder * die inkorrekte Kontextualisierung von eigentlich unzusammenhängen Informationen zu verfälschen. Dies kann zu einer Verletzung des Rechts auf Wahrheit und Transparenz führen, was für die Meinungsbildung und die politische Teilhabe und Entscheidungsprozesse von entscheidender Bedeutung ist. ===Identitätsverfälschung - Rufschädigung=== Deepfakes ermöglichen es, die Identität einer Person einzunehmen, indem Stimme und Gesicht mit Mimic und sogar zusätzlich die körperlichen Bewegungen in ein Computermodell übertragen wird. Das auditive und visuelle Computermodel kann dazu verwendet werden, mit einem Video- oder einem Audio-Clip Aussagen generieren kann, die die Person nie gesagt hat. Dies kann dazu führen, dass die Person in einer falschen oder schädlichen Situation dargestellt wird, was ihre Reputation und ihr Ansehen beeinträchtigen kann oder auch [[w:de:Trauma_(Psychologie)|traumatisierende Angriffe]] auf die Person (siehe [https://www.ted.com/talks/noelle_martin_online_predators_spread_fake_porn_of_me_here_s_how_i_fought_back/transcript Noelle Martin]<ref>Noelle Martin (2017) TedX Talk - Perth - Online predators spread fake porn of me. Here's how I fought back - URL: https://www.ted.com/talks/noelle_martin_online_predators_spread_fake_porn_of_me_here_s_how_i_fought_back/transcript (Zugriff: 2025/11/04)</ref>). === Ereignisverfälschung === Ein Beispiel für die Beeinflussung der Interpretation eines Ereignisses durch Deepfakes ist die Verfälschung eines politischen Redners oder Rednerin. Angenommen, ein politischer Kandidat hält eine Rede, in der er sich für eine bestimmte politische Position ausspricht. Ein Deepfake-Video kann erstellt werden, das den Kandidaten zeigt, wie er/sie * eine gegensätzliche Position vertritt oder * den Redner bzw. die Rednerin in einer Situation zeigt, die nicht zu der zuvor in der Rede genannten Haltung passt. Durch die Verbreitung von Videos in sozialen Medien würde die Reputation einer Person bewusst geschädigt und die Wähler werden bewusst getäuscht en und die Meinung über den Kandidaten zu beeinflussen. ==== Beispiel ==== * Ein politischer Kandidat, der sich für den Klimaschutz ausspricht, hält eine Rede, in der er die Bedeutung von erneuerbaren Energien betont. * Das Deepfake-Video wird gezeigt, dass der politische Kandidat aber in fossile Energieträger investiert. * Ein Deepfake-Video wird erstellt, das den Kandidaten zeigt, wie er sich gegen den Klimaschutz ausspricht und die Bedeutung von fossilen Brennstoffen betont. * Das Deepfake-Video wird in sozialen Medien verbreitet, um die Wähler zu täuschen und die Meinung über den Kandidaten zu beeinflussen. * Die Wähler, die das Deepfake-Video sehen, könnten denken, dass der Kandidat seine Meinung geändert hat oder dass er nicht ehrlich ist, was seine politischen Positionen angeht. ==== Verzerrung von Diskussion ==== Dieses Beispiel zeigt, wie Deepfakes die Interpretation eines Ereignisses beeinflussen können, indem sie die Wahrheit über eine Person oder ein Ereignis verfälschen. In diesem Fall kann das Deepfake-Video die Meinung über den politischen Kandidaten beeinflussen und die Wähler täuschen, was zu einer Verzerrung der politischen Diskussion führen kann. Es ist wichtig zu beachten, dass Deepfakes nicht nur in der Politik, sondern auch in anderen Bereichen wie der Wirtschaft, der Gesundheitsversorgung oder der Bildung verwendet werden können, um die Interpretation von Ereignissen zu beeinflussen. Es ist daher wichtig, dass wir uns mit den Risiken von Deepfakes auseinandersetzen und geeignete Maßnahmen ergreifen, um die Rechte der Betroffenen zu schützen. ==== Recht auf Schutz vor Rufschädigung==== Die oben genannten Aspekte von Deepfakes können auch zu einer Rufschädigung einer Person führen, indem sie falsche oder schädliche Informationen über sie verbreiten (siehe Identitätsverfälschung). Dies kann zu einer Verletzung des Rechts auf Schutz vor Rufschädigung führen. ==Recht auf Privatsphäre== Deepfakes können auch die Privatsphäre einer Person verletzen, indem sie persönliche Informationen oder Bilder ohne deren Zustimmung verwenden. Dies kann zu einer Verletzung des Rechts auf Privatsphäre und Autonomie führen. Im Vergleich zu einer Falschaussage (Identitätsverfälschung) können die Aussagen korrekt sein (Aussage über den Gesundheitszustand eines Menschen), aber die Person nie mit diesen Personen an die Öffentlichkeit gegangen wäre und dieses auch nicht wünscht. ==== Psychologische Auswirkungen==== Deepfakes können auch psychologische Auswirkungen auf die betroffene Person haben, wie z.B. Angst, Unsicherheit oder Scham. Dies kann zu einer Verletzung des Rechts auf psychische Gesundheit und Wohlbefinden führen. == Gegenmaßnahmen == Die Herausforderungen bei der Bekämpfung von Deepfakes, wie z.B.: * Die technische Entwicklung von Deepfakes ist sehr schnell vorangeschritten, was es schwierig macht, effektive Gegenmaßnahmen und Erkennung von Deepfakes zu entwickeln. Diese ist eine Art Wettrennen Deepfakes und deren Gegenmaßnahmen zu Verbreitung und deren Erkennung, * Die Verbreitung von Deepfakes kann sehr schnell erfolgen. Erkennung und Bekämpfung ist teuer bzgl. des Einsatzes menschlicher Arbeitskraft oder auch maschineller Mustererkennung, um diese zu stoppen oder zu entfernen. Um diese Herausforderungen zu überwinden, ist es wichtig, dass wir eine Kombination von technischen, rechtlichen und sozialen Maßnahmen ergreifen, um die Rechte der Betroffenen zu schützen und die Auswirkungen von Deepfakes zu minimieren. == Beispiele == * [https://www.youtube.com/watch?v=Sv4GKbmzjmM Deep-Fake mit Einstein]<ref> Harvard University CS50 (2020) Deep Fake of Einstein - - Youtube URL: https://www.youtube.com/watch?v=Sv4GKbmzjmM </ref> * [[Digital-Analog-Welt-Äquivalenz]] == Siehe auch == * [[w:de:Trauma_(Psychologie)|Trauma - Psychologie]] == Quellennachweise == <references/> oitp0siw24ja8123ncn73yrhn796mwj 106 164665 1119305 1118445 2026-11-10T09:10:00Z Bert Niehaus 20843 /* Lerneinheiten */ 1119305 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird der Zusammenhang zwischen der Funktion <math> \exp(z) </math> und <math> \frac{1}{z} </math> sowie die Definition eines Zweiges des Logarithmus und die Notwendigkeit der Einschränkung der Definitions- und Wertebereiche der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] betrachtet, um eine bijektive und holomorphe [[w:de:Umkehrfunktion|Umkehrfunktion]] der Exponentialfunktion zu erhalten. :<math> \exp(z) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{n!} </math> === Lerneinheiten === * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/algebraische Vollständigkeit|algebraische Vollständigkeit]] des Logarithmus * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige|Zweige des Logarithmus]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zweige%20des%20Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#Hauptzweig|Hauptzweig des Logarithmus]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#negativer_Hauptzweig|negativer Hauptzweig des Logarithmus]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#imaginaerer_Hauptzweig|imaginärer Hauptzweig des Logarithmus]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#negativer_imaginaerer_Hauptzweig|negativer imaginärer Hauptzweig des Logarithmus]] * [[/Argumentfunktion/|Argumentfunktion und Polarkoordinatendarstellung]] * [[/generalisiert/|generalisierter Logarithmus]] auf beliebigen [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] [[Gebiet (Mathematik)|Gebieten]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/algebraische Vervollständigung|algebraische Vervollständigung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/algebraische%20Vervollst%C3%A4ndigung&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=algebraische%20Vervollst%C3%A4ndigung&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/logmod|logmod-Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/logmod&author=Logarithmus&language=de&audioslide=yes&shorttitle=logmod-Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) und Periodizität der Exponentionalfunktion, * [[Identitätssatz für Logarithmen]] * [[/Äquivalenzklassen/]] des Logarithmus, * [[/Topologie im Wertebereich/]] des Logarithmus. * [[Kurs:Funktionentheorie/Potenzfunktionen|Potenzfunktionen]] * [[/rlog/|rlog-Funktion]], beschreibt wie oft kann man einen Logarithmus als Verkettung "rekursiv" anwenden kann. * [[/rekursiver Logarithmus/]] als Mehrfachverkettung des Logarithmus mit sich selbst. * [[/Eulersche Nullstellen/]] * [[/einfach zusammenhängende LOG-Gebiete/]] === Zusammenhang zwischen Exponentialfunktion und Logarithmus === Die Exponentialfunktion <math> \exp(z) </math> ist eine ganze Funktion, dessen Definitionsbereich <math>\mathbb{D} \subset \mathbb{C}</math> und Wertebereich <math>\mathbb{D} \subset \mathbb{C}</math> einschränken muss, um eine bijektive Abbildung und <math> \exp : \mathbb{D} \to \mathbb{W}</math> zu erhalten, für die man eine Umkehrfunktion definieren kann. === Situation in der reellen Zahlen - Umkehrfunktion von exp(z) === <math> \exp : \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> ist injektiv aber nicht surjektiv. Durch die Einschränkung des Wertebereiches von <math>\mathbb{R}</math> auf <math>\mathbb{R}^{+}</math> ist die Funktion <math> \exp : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^{+}</math> bijektiv und man kann nach einer Umkehrfunktion (den [[w:de:natürlicher Logarithmus|natürliche Logarithmus]]) suchen. Diese Konzept der Suche nach potentiellen Umgekehrfunktionen kann in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] nicht eindeutig beantwortet werden. In den komplexen Zahlen gibt unabhängig von der Wahl der Konstanten einer Stammfunktion von <math>\tfrac{1}{z}</math> unterschiedliche Möglichkeiten Logarithmen zu definieren. == Aufgaben == * '''(A1)''' [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus#aufgabe1|Injektivität und Surjektivität]] * '''(A2)''' [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus#aufgabe2|Stammfunktion als Wegintegrale]] <span id="aufgabe1"></span> === Aufgabe 1 - Umkehrbarkeit der komplexen Exponentialfunktion === Erläutern Sie, warum <math> \exp : \mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> weder [[w:de:injektive Funktion|injektiv]] noch [[w:de:surjektive Funktion|surjektiv]] ist. Schränken Sie den Definitionsbereich und Wertebereich der komplexen [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] so ein, dass <math> \exp : \mathbb{D} \to \mathbb{W}</math> bijektiv ist und eine [[w:de:Umkehrfunktion|Umkehrfunktion]] besitzt! <span id="aufgabe2"></span> === Aufgabe 2 - Stammfunktion von 1/x in den reellen Zahlen === In den reellen Zahlen der Logarithmus z.B. auf den positiven reellen Zahlen die Stammfunktion von <math>\frac{1}{x} </math>. Welche Beziehung besteht zwischen eine Zweig des Logarithmus und einem Wegintegral über die Funktion <math>\frac{1}{x} </math>. === Eigenschaften 1/z im Komplexen === Die holomorphe Funktion <math> f(z)=\frac{1}{z} </math> ist eine rationale Funktion, die auf <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> definiert ist. Sie besitzt aber auf <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> keine Stammfunktion, denn sonst würde das Integral über den Kreis um 0 nicht den Wert <math>2\pi i</math> sondern 0 liefern. <math> f(z)=\frac{1}{z} </math> hat eine Polstelle bei <math> z = 0 </math>. === Einschränkung des Definitions- / Wertebereiches === * '''([[w:de:Injektivität|injektiv]])''' Um eine injektive Abbildung für Definition des Logarithmus zu erhalten, muss man den ''Definitionsbereich'' einschränken, damit die Element aus dem Definitionsbereich entfernt, die auf die gleichen Bildpunkt abgebildet werden. * '''([[w:de:Surjektivität|surjektiv]])''' Um eine surjektive Abbildung für Definition des Logarithmus zu erhalten, muss man den ''Wertebereich'' einschränken und "nicht getroffene" Elemente aus dem Wertebereich zu entfernen <span id="komplex"></span> == Definition des komplexen Logarithmus == Analog zur reellen Definition heißt jede komplexe Zahl <math>w</math> ein ''natürlicher Logarithmus'' von <math>z</math>, wenn <math>w</math> die folgende Gleichung bzgl. einem gegebenen <math>z</math> erfüllt: : <math>\mathrm{e}^w = z</math> === Existenz === Für jedes <math>z \in \mathbb{C} \setminus \{0\}</math> existiert ein solches <math>w</math>. Man stellt dazu das Element <math>z</math> in Polarkoordinaten mit <math>t\in [0,2\pi) </math> wie folgt dar: :<math> z= |z|\cdot e^{it} </math> Dann ist <math>w:=\underbrace{\ln(|z|)}_{\in \mathbb{R}} + i\cdot \underbrace{t}_{\in \mathbb{R}}</math> ein Logarithmus in <math>\mathbb{C}</math>, da mit [[w:de:Potenzgesetze|Potenzgesetzen]] folgende Gleichung gilt: :<math> e^w = e^{\ln(|z|) + i\cdot t} = e^{\ln(|z|)} \cdot e^{i\cdot t} = |z|\cdot e^{it} = z </math> === Eindeutigkeit === Im Unterschied zum reellen Logarithmus ist der komplexe Logarithmus wegen : <math>\mathrm{e}^{2k\pi \mathrm{i}} = 1, \quad k \in \mathbb{Z}</math>, nicht eindeutig bestimmt ist. Hat man also einen Logarithmus <math>w</math> von <math>z</math> gefunden, so ist damit auch : <math>w' =\,\! w + 2k\pi \mathrm{i}</math> mit jeder ganzen Zahl <math>k</math> ein Logarithmus von <math>z</math>, denn es gilt : <math>\mathrm{e}^{w'} = \mathrm{e}^{w + 2k\pi \mathrm{i}} = \mathrm{e}^w \cdot \mathrm{e}^{2k\pi \mathrm{i}} = \mathrm{e}^w \cdot 1 = \mathrm{e}^w = z</math>. === Komplexer Logarithmus als Abbildung === Für die Definition einer Abbildung muss man einen eindeutigen Funktionswerte <math>\ln(z):=w</math> definieren. Um Eindeutigkeit zu erreichen, wählt man aus den möglichen Werten für <math>w</math> solche Werte aus, die in einem geeigneten Streifen der komplexen Zahlenebene liegen. Man kann z.&nbsp;B. den Streifen : <math>\left\{w \in \mathbb{C}: -\pi < \mathfrak{Im}(w) < \pi \right\}</math> verwenden. Ein Wert <math>w</math> aus diesem Streifen heißt ''Hauptwert'' (engl. ''principal value'') des Logarithmus, und man schreibt <math>w = \ln(z)</math>. === Zweige des Logarithmus === Stellt man <math>z = |z| \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i} \arg(z)}</math> in [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|Polarform]] dar, so erhält man eine einfache Darstellung des ''k-ten Zweiges'' der Logarithmusfunktion: : <math>w = \ln |z| + \mathrm{i}\left(\arg(z) + 2k\pi\right), \quad k\in\mathbb{Z}</math> mit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] <math>\arg</math>. Im Summanden <math>\ln |z|</math> wird der bereits oben definierte reelle Logarithmus <math>\ln</math> verwendet. Für <math>k = 0</math> erhält man den ''Hauptzweig'' des komplexen Logarithmus zurück: : <math>\ln z = \ln|z| + \mathrm{i}\arg(z)</math>. === Stetigkeit von Zweigen des Logarithmus === <math>\ln: \mathbb{C}\setminus\{0\} \to \mathbb{C}</math> ist nicht stetig in den Punkten <math>\mathcal{N} := \{z \in \mathbb{C} \, \colon \, (z=x+i\cdot 0) \wedge (0 < x\in \mathbb{R}) \}</math>. Entfernt man jedoch die negative reelle Achse <math>\mathcal{N}</math>, so ist <math>\ln</math> auf dem Gebiet : <math>\mathbb{C}\setminus\{x \in \mathbb{R}: x\leq 0\}</math> stetig und sogar [[w:de:Holomorphe Funktion|holomorph]]. === Algebraisch vollständige Logarithmus === Für den [[Polynomialer Nullstellensatz|polynomialen Nullstellensatz]] === Vergleich - Rechenregeln reeller/komplexer Logarithmus === Für den Hauptzweig des komplexen Logarithmus <math>\ln</math> gelten nicht alle der weiter oben angeführten [[w:de:Logarithmus#Logarithmengesetze|Rechenregeln für die reelle Logarithmusfunktion]]. Sie gelten nur <math>\text{mod } 2\pi \mathrm{i}</math>. ==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 1 ==== Diese Mehrdeutigkeit ist eine direkte Folge aus der Periodizität seiner Umkehrfunktion, der komplexen Exponentialfunktion. Es gilt: : <math>\ln(x) + \ln(y) = \ln(x \cdot y)+ 2\pi n \, \,\, n\in \mathbb{Z} </math> ==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 2 ==== Der Vergleich von <math>\ln(x) + \ln(y)</math> und <math>\ln(x \cdot y)</math> zeigt: : <math> \begin{array}{rcl} \ln(\underbrace{-1+\mathrm{i}}_{=x}) + \ln(\underbrace{-1+\mathrm{i}}_{=y}) & = & \left(\ln\big(\sqrt{2}\big)+\frac{3\pi}4\mathrm{i}\right) + \left(\ln\sqrt2+\frac{3\pi}4\mathrm{i}\right) \\ & = & \ln(2)+\frac{3\pi}2\mathrm{i} \end{array} </math> und :<math> \ln\bigl(\underbrace{(-1+\mathrm{i}}_{=x})\cdot (\underbrace{-1+\mathrm{i}}_{=y})\bigr) = \ln(-2\mathrm{i})=\ln(2)-\frac\pi2\mathrm{i}</math> ==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 3 ==== Dies liefert ein Beispiel, dass <math>\ln x + \ln y = \ln(x \cdot y)</math> nicht für beliebige <math>x,y\in \mathbb{C}</math> gilt. Der rechte und linke Term unterscheiden sich, um Vielfache von <math>2\pi</math>, d.h. : <math>\ln (x) + \ln (y) = \ln(x \cdot y) + 2\pi n</math> ==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 4 ==== Auch die Gleichung : <math>y \cdot \ln (x) = \ln\left({x^y}\right)</math> ist nicht immer erfüllt, wie das Gegenbeispiel : <math>2\pi \cdot \mathrm{i} \ln (\mathrm{e}) = 2\pi \mathrm{i} \; \neq \; 0 = \ln (1) = \ln(\mathrm{e}^{2\pi \mathrm{i}})</math> beweist. === Graphen === <gallery widths="180" heights="120" perrow="3" caption="Grafische Darstellung des komplexen Logarithmus"> Ln abs.png|Betrag von <math>\ln z</math> Ln re.png|Realteil von <math>\ln z</math> Ln im.png|Imaginärteil von <math>\ln z</math> </gallery> ==== Hauptzweig - negative Zahlen ==== Mit dem oben definierten [[Hauptzweig des Logarithmus|Hauptzweig des komplexen Logarithmus]] kann man den Logarithmus für negative reellen Zahlen erklären: : <math>\log_{G_{1}}(-x) = \ln\left\vert-x\right\vert+ \mathrm{i}\arg(-x) = \ln x + \mathrm{i}\pi, \quad x\in\mathbb{R}^+\ .</math> Das setzt voraus, dass die [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] <math>\arg</math> negativen reellen Zahlen den Wert <math>\pi</math> zuweist. ==== Bemerkung - Argumentfunktion ==== Diese Betrachtungen zeigen, dass die Mehrdeutigkeit des komplexen Logarithmus letztlich auf die Mehrdeutigkeit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] zurückzuführen ist. <span id="Stammfunktion"></span> == Entwicklung in Potenzreihen == Jede auf einem Gebiet <math>G</math> [[holomorphe Funktion]] lässt sich lokal in eine Potenzreihe entwickelt. Durch den Zusammenhang von <math>\tfrac{1}{z}</math> und dem Logarithmus erhält man auch eine Potenzreihendarstellung für beliebige [[w:de:Potenzreihe|Entwicklungspunkte]] <math>z_o=|z_o|\cdot e^{it} \not=0</math> über die [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] mit <math>q=\frac{z-z_o}{-z_o}</math> und <math>|z-z_0| < |z_0|</math>: :<math>f(z)= \frac{1}{z} = \frac{1}{z_o} \cdot \frac{1}{ 1- \underbrace{\frac{z-z_o}{-z_o} }_{=q} } = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1}} }_{=a_n} \cdot (z-z_o)^n </math> === Stammfunktion - Konstante der Taylorreihe === Für den [[w:de:Potenzreihe|Entwicklungspunkt]] <math>z_o=|z_o|\cdot e^{it} \not=0</math> erhält man für einen Zweig des Logarithmus als Stammfunktion von von <math>\tfrac{1}{z}</math> folgende Potenzreihendarstellung auf <math>\overline{D_r(z_0)}</math> mit <math>r< |z_0|</math> und <math>c= \ln(|z_o|) + i\cdot t</math> mit <math>t\in \mathbb{R}</math>: :<math>\log_{_G}(z)= c + \sum_{n=0}^\infty \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1} \cdot (n+1)} \cdot (z-z_o)^{n+1} </math> Ein zugehöriger Zweig von <math>\log_{_G}</math> ist dann z.B. auf dem Gebiet <math>G:= \mathbb{C} \setminus \{ z\in \mathbb{C} \, : \, z=\lambda \cdot z_0 \mbox{ mit } 0 \geq \lambda \in \R \}</math> definiert. === Bemerkung - Eindeutigkeitlemma für Logarithmuszweige === Das [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] zeigt, dass in einem Gebiet <math>G</math> mit <math>0\notin G</math> eine Teilmenge <math>G_0</math> finden kann, die die Spur eine konkreten gegebenen [[w:de:injektive Funktion|injektiven]] Weges <math>\gamma</math> überdecken, wobei <math>G_0</math> einfach zusammenhängend ist. Mit der Wahl eines [[einfach zusammenhängend]]en <math>G</math> als gegebenes Gebiet mit <math>0\notin G</math> und der Festlegung des Imaginärteiles des Logarithmuszweige für ein bestimmtes <math>z_0\in G</math> ist der gesamte [[Zweig des Logarithmus]] bereits eindeutig auf <math>G</math> definiert. [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma]] definiert damit auf Teilmengen <math>G_0</math> eines '''nicht notwendigerweise''' [[einfach zusammenhängend]]en <math>G</math> einen [[Zweig des Logarithmus]], während beim Identitätssatz das gegebene Gebiet bereits [[einfach zusammenhängend]] ist mit <math>0\notin G</math>. == Siehe auch == * [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * [[/generalisiert/|generalisierte Logarithmen]] * [[w:de:injektive Funktion|injektive]] bzw. [[w:de:surjektive Funktion|surjektive]] Funktionen * [[Logarithmus]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Lokale_Entwicklung_in_Potenzreihen|Lokale Entwicklung in Potenzreihen]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus Logarithmus] https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus * Datum: 31.7.2025 * [https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis/Logarithm]]</noinclude> [[Kategorie:Funktionentheorie]] n2afamvuo199i34jcg86kceeu3o2e4t 106 167013 1119234 1119177 2026-11-09T12:04:53Z Paul Sutermeister 37610 1119234 wikitext text/x-wiki Das Programm des Kurses '''Communication Skills''' (erstellt von [[Benutzer:Paul Sutermeister|Paul Sutermeister]]) zur Erlangung des [[Kurs:Handelsdiplom|Handelsdiploms]] des [[:w:Verband Schweizerischer Handelsschulen|Verbandes Schweizerischer Handelsschulen]] (VSH) basiert auf den Leistungszielen des VSH<ref>[https://www.vsh.swiss/assets/Downloads/Reglemente/VSH-Business/VSH-Reglement-HD-kZu-Kauffrau-Kaufmann-2025_rev_Brand_V1.pdf ''Reglement Handelsdiplom VSH Business Kaufmännische Zusatzausbildung.''] [[:w:Verband Schweizerischer Handelsschulen|Verband Schweizerischer Handelsschulen]], 2025, Seite 18</ref> <small>(Änderungen vorbehalten)</small>: {| class="wikitable" ! Kurstag (jeweils 2 Lektionen à 45 Minuten) ! Kursinhalt ! Lehrmittel |- | 10./11. August 2026 || '''[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Wortart|Wortarten]]''', <small>[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Wortschatz|Wortschatz]]</small>[[Datei:Duden_25Auflage.JPG|frameless|50px]] || Amoroso et al. (2010), Seiten 30-32<ref>Amoroso G., Graf A., Wegmann I., Bornand J.: ''Grundkompetenzen Deutsch: Theorie, Beispiele und Checklisten.'' Zürich: [[:w:Compendio Bildungsmedien|Compendio]], 2010.</ref></br>[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Duden|Duden]] |- | 17./18. August || '''[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Rechtschreibung|Rechtschreibung]]''' || Amoroso et al. (2010), Seiten 93-110 |- | 24./25. August || '''[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Satzglied|Satzglieder]]''' (Satzglieder sind nicht prüfungsrelevant): <small>Prädikat, Subjekt, Adverbial, [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Objekt|Objekt]]</small> || Seiten 10-14 |- | 31. August / 1. September || <small>[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Ellipse|Ellipse]]</small> → '''[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Satzbau|Satzbau]]''' || Seiten 15-16 |- | 7./8. September || '''[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Satzzeichen|Satzzeichen]]''' || |- | 14./15. September || Alte Diplomprüfung als Repetition für Rechtschreibung und Satzzeichen || |- | 21./22. September || <span style="color:red;">'''Zwischenklausur'''</span>: <small>Papier/Stift/Duden (gleich wie Modulprüfung)<ref name="hilfsmittelliste"/>, 45 Minuten:</br>Vier gleichgewichtete Themen: 1) Wortarten (nicht Wortschatz) 2) Rechtschreibung, 3) Satzbau, 4) Satzzeichen.</small> || |- | 12./13. Oktober || <small>[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Adressatenorientierung|Adressatenorientierung]]</small>, '''[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Feedback|Feedback]]''' || |- | 19./20. Oktober || [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Stil|Stil]] || |- | 26./27. Oktober || [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Modus|Modus]]/[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Partizip|Partizip]] → '''[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Indirekte Rede|Indirekte Rede]]''' || Seiten 66-69 |- | 2./3. November || Indirekte Rede → [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Protokoll|Protokoll]] || Seiten 66-69 |- | 9./10. November || Vorbereitung für Diplomprüfungsaufgabe 4: [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Textproduktion|Textproduktion]] → [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Textproduktion üben|üben]] |- | 16./17. November || [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Problem|Problem]] → [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Erörterung|Erörterung]] → [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Stellungnahme|Stellungnahme]] || Seiten 81-84 (Stellungnahme); Seiten 85-88 (Erörterung) |- | 24./25. November || [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Geschäftsbrief|Geschäftsbrief]] → [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Angebot|Angebot]] || Seiten 51-52 |- | 30. November / 1. Dezember || colspan="2" | <span style="color:red;">'''Zwischenklausur</span>:''' <small>Papier/Stift/Duden (gleich wie Modulprüfung)<ref name="hilfsmittelliste"/>, 45 Minuten:<br/>1. Aufgabe '''Modus → Indirekte Rede → Protokoll''': Lückentext und ev. Multiple-Choice-Fragen.</br><!--2. Thema '''STELLUNGNAHME''': Sie erhalten zur Auswahl fünf Themen und müssen in 90 bis 110 Wörtern zu einem dieser Themen strukturiert Stellung nehmen.<br/>-->2. Aufgabe '''GESCHÄFTSBRIEF:''' Sie bieten in 90 bis 110 Wörtern ein Produkt oder eine Dienstleistung an. Fünf Themen stehen zur Auswahl. Bewertungskriterien gleich wie bei ''Textproduktion'' der Modulprüfung: zwischen 90 und 110 Wörtern, Inhalt: 13 Punkte, Sprache: 7 Punkte.</small> || |- | 7./8. Dezember 2026 || '''Gesuch'''; <small>[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Verb|Verb]]</small> → [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Anleitung|Anleitung]] || Seiten 70-73 |- | '''14./15. Dezember 2026''' || [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Verständlichkeit|Verständlichkeit]], <small>[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Verständlichkeitsmodell|Verständlichkeitsmodell]]</small>; Textproduktion und Feedback (alte Diplomprüfungen) || |- | <span style="color:red;">'''4./5. Januar 2027'''</span> || colspan="2" | <span style="color:red;">'''MODULPRÜFUNG'''</span>: closed book, siehe Hilfsmittelliste des [[:w:Verband Schweizerischer Handelsschulen|VSH]] (nur Duden erlaubt)<ref name="hilfsmittelliste">[https://www.vsh.swiss/assets/Downloads/Reglemente/VSH-Business/VSH-Hilfsmittelliste-2025_HD-kZu_rev_Brand_V1.pdf Hilfsmittelliste] des [[:w:Verband Schweizerischer Handelsschulen|VSH]] (Stand 2025)</ref> |} = Lehrmittel = * Amoroso G., Graf A., Wegmann I., Bornand J.: ''Grundkompetenzen Deutsch: Theorie, Beispiele und Checklisten.'' Zürich: [[:w:Compendio Bildungsmedien|Compendio]], 2010. <!--= Vorbereitung Zwischenklausur vom 24.11. = == Aufgabe 1: Indirekte Rede (20 Minuten) == 20 Single-Choice-Fragen. 🏋️ '''Üben Sie hier die [[Benutzer:Paul_Sutermeister/Indirekte_Rede#Übungen|indirekte Rede]]''' == Aufgabe 2: [[Benutzer:Paul_Sutermeister/Stellungnahme#Peer-Feedback-Checkliste|Stellungnahme]] (20 Minuten) == '''Provokative Aussage:''' ''„In der Schweiz sollte die Vier-Tage-Woche ohne Lohnkürzung eingeführt werden.“'' '''Auftrag:''' Nehmen Sie strukturiert Stellung zu dieser Aussage. Gehen Sie dabei auf folgende Punkte ein: * mögliche Vorteile * mögliche Nachteile * eigene Schlussfolgerung Wortzahl: 90–110 (zu viel/zu wenig gibt Abzug). Bewertung: Inhalt 13 Punkte, Sprache 7 Punkte. {{:SCLO/ Vorlage: Klappbox | Titel= '''Musterlösung Stellungnahme''' | Inhalt= Soll in der Schweiz die Vier-Tage-Woche ohne Lohnkürzung eingeführt werden? Ich arbeite als Malerin in einer mittelgrossen Firma. Im Folgenden erkläre ich, warum diese Vier-Tage-Woche aus meiner Sicht sinnvoll ist.<br/>In meiner Arbeit gäbe es weniger Stress, unter meinen Kollegen gäbe es tiefere Krankheitsquote und höhere Motivation. Arbeitgeber werden allerdings nicht damit einverstanden sein, weil sie meinen, Lohn für ungeleistete Arbeit zu zahlen. Und nicht alle Branchen können die gleiche Produktivität in weniger Zeit aufrechterhalten, und kleinere Firmen hätten Mühe, Personalengpässe auszugleichen. Entscheidend wäre eine flexible Umsetzung, die branchenspezifische Unterschiede berücksichtigt.<br/>Insgesamt überwiegen für mich als Arbeitnehmerin die Vorteile, wenn die Einführung gut geplant und mit klaren Zielen verbunden ist. }} === Themenvorschläge === Für den Teil Stellungnahme wählen wir fünf der folgenden zwanzig Themen per Zufallsgenerator aus. Sie müssen dann eine Stellungnahme von 90 bis 110 Wörtern zu einem der ausgewählten fünf Themen schreiben. '''Arbeitswelt & Digitalisierung:''' # Sollten Bewerbungen komplett anonymisiert werden? # Ist das Homeoffice langfristig schädlich für die Teamkultur? # Sollten KI-Tools in Prüfungen erlaubt sein? # Braucht es eine Vier-Tage-Woche bei gleichem Lohn? # Sind unbezahlte Praktika ein notwendiges Übel? '''Gesellschaft & Zusammenleben:''' # Sollten Städte SUVs in Innenstädten verbieten? # Muss man Fleisch deutlich höher besteuern? # Sollte Rauchen auf öffentlichen Plätzen komplett verboten werden? # Sollten Social-Media-Accounts erst ab 16 erlaubt sein? # Ist Kinderkriegen in Zeiten der Klimakrise verantwortungslos? '''Wirtschaft & Konsum:''' # Sollten Fast-Fashion-Unternehmen strengere gesetzliche Auflagen bekommen? # Muss Onlinehandel höhere Umweltsteuern zahlen? # Sind Luxusmarken moralisch problematisch? # Sollten Lebensmittel, die noch gut sind, verschenkt werden müssen? '''Migration & Integration:''' # Sollten Einbürgerungsverfahren erleichtert werden? # Sollte die Schweiz mehr Geflüchtete aufnehmen? # Sollten Integrationskurse verpflichtend sein? '''Lebensstil & Werte:''' # Sollte jeder Mensch mindestens ein Jahr verpflichtenden Sozialdienst leisten? # Sollte man Haustiere nur mit einem “Tierführerschein” halten dürfen? # Ist Minimalismus nur ein Trend oder eine notwendige Lebensweise? '''Bildung & Beruf:''' # Sollten Schulen Smartphones komplett verbieten? (klassisch, aber immer wirksam) # Braucht es weniger Schulnoten und mehr Kompetenzen? # Sollten Lehrpersonen besser bezahlt werden? # Sind Hochschulabschlüsse überschätzt? == Aufgabe 3: [[Benutzer:Paul_Sutermeister/Angebot#Peer-Feedback-Checkliste|Angebot]] (20 Minuten) == '''Situation:''' Eine lokale Firma plant ein Firmen-Event mit rund 70 Personen und benötigt kurzfristig Unterstützung. '''Auftrag:''' Verfassen Sie ein Angebot zu einer der folgenden Dienstleistungen: * professionelles Catering * Event-Fotografie * technische Betreuung (Ton/Licht/Präsentation) Ihr Angebot soll enthalten: * kurze Vorstellung der Dienstleistung * wichtigste Leistungen * Preis oder Preisspanne * Bedingungen (z. B. Reservierung, Lieferzeit, Kontakt) Wortzahl: 90–110 ohne Anrede/Grussformel (zu viel/zu wenig gibt Abzug). Bewertung: Inhalt 13 Punkte, Sprache 7 Punkte. {{:SCLO/ Vorlage: Klappbox | Titel= '''Musterlösung Stellungnahme''' | Inhalt= Sehr geehrte Damen und Herren<br/>Gerne unterbreiten wir Ihnen unser Angebot für das Catering Ihres geplanten Firmen-Events mit rund 70 Teilnehmenden.<br/>Wir bieten ein hochwertiges Buffet mit warmen und kalten Speisen, vegetarischen Optionen sowie alkoholfreien Getränken. Zusätzlich übernehmen wir den Auf- und Abbau sowie die vollständige Betreuung während des Anlasses.<br/>Der Preis beträgt CHF 42.– pro Person, inklusive Material, Service und Transport im Raum Nordwestschweiz.<br/>Bei einer verbindlichen Reservation bis zehn Tage vor dem Event gewähren wir einen Rabatt von fünf Prozent.<br/>Für Rückfragen oder individuelle Anpassungen stehen wir Ihnen jederzeit gerne zur Verfügung.<br/>Freundliche Grüsse }} === Themenvorschläge === Für den Teil Angebot wählen wir fünf der folgenden zwanzig Themen per Zufallsgenerator aus. Sie müssen dann ein Angebot von 90 bis 110 Wörtern zu einem der fünf ausgewählten Themen schreiben. Beispiele für Waren- oder Dienstleistungsangebote (Prüfungsteil 2 - Angebot schreiben): '''Warenangebote (Produkte):''' # Bürobedarf: Sie bieten einem Start-up ein Paket aus Drucker, Papier, Ordnern, Toner an. # IT-Ausrüstung: Ein Kunde sucht 12 Laptops für sein Team, inkl. Garantie und Zubehör. # Gastronomiebedarf: Ein Restaurant möchte neue Kaffeemaschinen und Barista-Zubehör kaufen. # Gesundheitsprodukte: Ein Fitnessstudio benötigt Massagegeräte, Matten und Desinfektionsmittel. # Transport & Logistik: Ein Unternehmen braucht robuste Verpackungsmaterialien für Exporte. # Möbel: Eine Praxis möchte ergonomische Stühle und höhenverstellbare Tische. # Lebensmittel / Catering-Ware: Ein Eventunternehmen sucht Snacks, Getränke und Kühlboxen. # Reinigungsprodukte: Eine Schule benötigt Reinigungsmittel, Staubsauger, Bodenpflegemaschinen. # Verkaufsware: Ein kleiner Laden möchte regionale Produkte (Tee, Honig, Snacks). # Werkzeuge: Eine Bauunternehmung möchte Akkuschrauber, Helme, Schutzmaterial. '''Dienstleistungsangebote:''' # IT-Support / Cloud-Service: Sie bieten Wartung, Datensicherung und Helpdesk für ein KMU. # Eventorganisation: Sie organisieren ein Firmenjubiläum inkl. Catering, Technik und Deko. # Sprachkurse: Sie bieten einem Unternehmen interne Deutsch- oder Englischkurse an. # Reinigungsservice: Sie machen einem Bürohaus ein Angebot für tägliche Unterhaltsreinigung. # Marketing / Social Media: Sie erstellen und betreuen die Social-Media-Kanäle eines Start-ups. # Coaching / Weiterbildung: Sie bieten Verkaufsschulungen für das Verkaufsteam einer Firma an. # Gebäudetechnik / Handwerk: Sie offerieren Installation und Wartung einer neuen Alarmanlage. # Transportservice: Sie bieten wöchentliche Lieferungen für einen Blumenladen an. # Grafik- & Designservice: Sie gestalten Logo, Visitenkarten und Corporate Design für Neukunden. # Beratungsdienstleistung: Sie beraten ein KMU zur Optimierung interner Prozesse.--> == Einzelnachweise == <references/> [[Kategorie:Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)| ]] 5hil8ws06dtotolimit2obdza6uitbp 1119242 1119234 2026-11-09T13:11:10Z Paul Sutermeister 37610 1119242 wikitext text/x-wiki Das Programm des Kurses '''Communication Skills''' (erstellt von [[Benutzer:Paul Sutermeister|Paul Sutermeister]]) zur Erlangung des [[Kurs:Handelsdiplom|Handelsdiploms]] des [[:w:Verband Schweizerischer Handelsschulen|Verbandes Schweizerischer Handelsschulen]] (VSH) basiert auf den Leistungszielen des VSH<ref>[https://www.vsh.swiss/assets/Downloads/Reglemente/VSH-Business/VSH-Reglement-HD-kZu-Kauffrau-Kaufmann-2025_rev_Brand_V1.pdf ''Reglement Handelsdiplom VSH Business Kaufmännische Zusatzausbildung.''] [[:w:Verband Schweizerischer Handelsschulen|Verband Schweizerischer Handelsschulen]], 2025, Seite 18</ref> <small>(Änderungen vorbehalten)</small>: {| class="wikitable" ! Kurstag (jeweils 2 Lektionen à 45 Minuten) ! Kursinhalt ! Lehrmittel |- | 10./11. August 2026 || '''[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Wortart|Wortarten]]''', <small>[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Wortschatz|Wortschatz]]</small>[[Datei:Duden_25Auflage.JPG|frameless|50px]] || Amoroso et al. (2010), Seiten 30-32<ref>Amoroso G., Graf A., Wegmann I., Bornand J.: ''Grundkompetenzen Deutsch: Theorie, Beispiele und Checklisten.'' Zürich: [[:w:Compendio Bildungsmedien|Compendio]], 2010.</ref></br>[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Duden|Duden]] |- | 17./18. August || '''[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Rechtschreibung|Rechtschreibung]]''' || Amoroso et al. (2010), Seiten 93-110 |- | 24./25. August || '''[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Satzglied|Satzglieder]]''' (Satzglieder sind nicht prüfungsrelevant): <small>Prädikat, Subjekt, Adverbial, [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Objekt|Objekt]]</small> || Seiten 10-14 |- | 31. August / 1. September || <small>[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Ellipse|Ellipse]]</small> → '''[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Satzbau|Satzbau]]''' || Seiten 15-16 |- | 7./8. September || '''[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Satzzeichen|Satzzeichen]]''' || |- | 14./15. September || Alte Diplomprüfung als Repetition für Rechtschreibung und Satzzeichen || |- | 21./22. September || <span style="color:red;">'''Zwischenklausur'''</span>: <small>Papier/Stift/Duden (gleich wie Modulprüfung)<ref name="hilfsmittelliste"/>, 45 Minuten:</br>Vier gleichgewichtete Themen: 1) Wortarten (nicht Wortschatz) 2) Rechtschreibung, 3) Satzbau, 4) Satzzeichen.</small> || |- | 12./13. Oktober || <small>[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Adressatenorientierung|Adressatenorientierung]]</small>, '''[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Feedback|Feedback]]''' || |- | 19./20. Oktober || [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Stil|Stil]] || |- | 26./27. Oktober || [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Modus|Modus]]/[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Partizip|Partizip]] → '''[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Indirekte Rede|Indirekte Rede]]''' (→ [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Protokoll|Protokoll]]) || Seiten 66-69 |- | 2./3. November || Indirekte Rede üben || Seiten 66-69 |- | 9./10. November || Vorbereitung für Diplomprüfungsaufgabe 4: [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Textproduktion|Textproduktion]] → [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Textproduktion üben|üben]] |- | 16./17. November || Alte Diplomprüfungsaufgaben 4 (Textproduktion) üben || Seiten 81-84 (Stellungnahme); Seiten 85-88 (Erörterung) |- | 24./25. November || Alte Diplomprüfungsaufgaben 4 (Textproduktion) üben || Seiten 51-52 |- | 30. November / 1. Dezember || colspan="2" | <span style="color:red;">'''Zwischenklausur</span>:''' <small>Papier/Stift/Duden (gleich wie Modulprüfung)<ref name="hilfsmittelliste"/>, 45 Minuten:<br/>1. Aufgabe '''[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Indirekte Rede|Indirekte Rede]]''': Lückentext und ev. Multiple-Choice-Fragen.</br>2. Aufgabe '''Textproduktion:''' Sie verfassen in 90 bis 110 Wörtern einen Text im Stil der Aufgaben 4 der alten Diplomprüfungen (Bewertungskriterien gleich wie bei ''Textproduktion'' der Modulprüfung: zwischen 90 und 110 Wörtern, Inhalt: 13 Punkte, Sprache: 7 Punkte.)</small> || |- | 7./8. Dezember 2026 || '''Gesuch'''; <small>[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Verb|Verb]]</small> → [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Anleitung|Anleitung]] || Seiten 70-73 |- | '''14./15. Dezember 2026''' || Bedürfnisorientiert || |- | <span style="color:red;">'''4./5. Januar 2027'''</span> || colspan="2" | <span style="color:red;">'''MODULPRÜFUNG'''</span>: closed book, siehe Hilfsmittelliste des [[:w:Verband Schweizerischer Handelsschulen|VSH]] (nur Duden erlaubt)<ref name="hilfsmittelliste">[https://www.vsh.swiss/assets/Downloads/Reglemente/VSH-Business/VSH-Hilfsmittelliste-2025_HD-kZu_rev_Brand_V1.pdf Hilfsmittelliste] des [[:w:Verband Schweizerischer Handelsschulen|VSH]] (Stand 2025)</ref> |} = Sonstiges = * [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Problem|Problem]] → [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Erörterung|Erörterung]] → [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Stellungnahme|Stellungnahme]] * [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Geschäftsbrief|Geschäftsbrief]] → [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Angebot|Angebot]] * [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Verständlichkeit|Verständlichkeit]], <small>[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Verständlichkeitsmodell|Verständlichkeitsmodell]]</small> = Lehrmittel = * Amoroso G., Graf A., Wegmann I., Bornand J.: ''Grundkompetenzen Deutsch: Theorie, Beispiele und Checklisten.'' Zürich: [[:w:Compendio Bildungsmedien|Compendio]], 2010. <!--= Vorbereitung Zwischenklausur vom 24.11. = == Aufgabe 1: Indirekte Rede (20 Minuten) == 20 Single-Choice-Fragen. 🏋️ '''Üben Sie hier die [[Benutzer:Paul_Sutermeister/Indirekte_Rede#Übungen|indirekte Rede]]''' == Aufgabe 2: [[Benutzer:Paul_Sutermeister/Stellungnahme#Peer-Feedback-Checkliste|Stellungnahme]] (20 Minuten) == '''Provokative Aussage:''' ''„In der Schweiz sollte die Vier-Tage-Woche ohne Lohnkürzung eingeführt werden.“'' '''Auftrag:''' Nehmen Sie strukturiert Stellung zu dieser Aussage. Gehen Sie dabei auf folgende Punkte ein: * mögliche Vorteile * mögliche Nachteile * eigene Schlussfolgerung Wortzahl: 90–110 (zu viel/zu wenig gibt Abzug). Bewertung: Inhalt 13 Punkte, Sprache 7 Punkte. {{:SCLO/ Vorlage: Klappbox | Titel= '''Musterlösung Stellungnahme''' | Inhalt= Soll in der Schweiz die Vier-Tage-Woche ohne Lohnkürzung eingeführt werden? Ich arbeite als Malerin in einer mittelgrossen Firma. Im Folgenden erkläre ich, warum diese Vier-Tage-Woche aus meiner Sicht sinnvoll ist.<br/>In meiner Arbeit gäbe es weniger Stress, unter meinen Kollegen gäbe es tiefere Krankheitsquote und höhere Motivation. Arbeitgeber werden allerdings nicht damit einverstanden sein, weil sie meinen, Lohn für ungeleistete Arbeit zu zahlen. Und nicht alle Branchen können die gleiche Produktivität in weniger Zeit aufrechterhalten, und kleinere Firmen hätten Mühe, Personalengpässe auszugleichen. Entscheidend wäre eine flexible Umsetzung, die branchenspezifische Unterschiede berücksichtigt.<br/>Insgesamt überwiegen für mich als Arbeitnehmerin die Vorteile, wenn die Einführung gut geplant und mit klaren Zielen verbunden ist. }} === Themenvorschläge === Für den Teil Stellungnahme wählen wir fünf der folgenden zwanzig Themen per Zufallsgenerator aus. Sie müssen dann eine Stellungnahme von 90 bis 110 Wörtern zu einem der ausgewählten fünf Themen schreiben. '''Arbeitswelt & Digitalisierung:''' # Sollten Bewerbungen komplett anonymisiert werden? # Ist das Homeoffice langfristig schädlich für die Teamkultur? # Sollten KI-Tools in Prüfungen erlaubt sein? # Braucht es eine Vier-Tage-Woche bei gleichem Lohn? # Sind unbezahlte Praktika ein notwendiges Übel? '''Gesellschaft & Zusammenleben:''' # Sollten Städte SUVs in Innenstädten verbieten? # Muss man Fleisch deutlich höher besteuern? # Sollte Rauchen auf öffentlichen Plätzen komplett verboten werden? # Sollten Social-Media-Accounts erst ab 16 erlaubt sein? # Ist Kinderkriegen in Zeiten der Klimakrise verantwortungslos? '''Wirtschaft & Konsum:''' # Sollten Fast-Fashion-Unternehmen strengere gesetzliche Auflagen bekommen? # Muss Onlinehandel höhere Umweltsteuern zahlen? # Sind Luxusmarken moralisch problematisch? # Sollten Lebensmittel, die noch gut sind, verschenkt werden müssen? '''Migration & Integration:''' # Sollten Einbürgerungsverfahren erleichtert werden? # Sollte die Schweiz mehr Geflüchtete aufnehmen? # Sollten Integrationskurse verpflichtend sein? '''Lebensstil & Werte:''' # Sollte jeder Mensch mindestens ein Jahr verpflichtenden Sozialdienst leisten? # Sollte man Haustiere nur mit einem “Tierführerschein” halten dürfen? # Ist Minimalismus nur ein Trend oder eine notwendige Lebensweise? '''Bildung & Beruf:''' # Sollten Schulen Smartphones komplett verbieten? (klassisch, aber immer wirksam) # Braucht es weniger Schulnoten und mehr Kompetenzen? # Sollten Lehrpersonen besser bezahlt werden? # Sind Hochschulabschlüsse überschätzt? == Aufgabe 3: [[Benutzer:Paul_Sutermeister/Angebot#Peer-Feedback-Checkliste|Angebot]] (20 Minuten) == '''Situation:''' Eine lokale Firma plant ein Firmen-Event mit rund 70 Personen und benötigt kurzfristig Unterstützung. '''Auftrag:''' Verfassen Sie ein Angebot zu einer der folgenden Dienstleistungen: * professionelles Catering * Event-Fotografie * technische Betreuung (Ton/Licht/Präsentation) Ihr Angebot soll enthalten: * kurze Vorstellung der Dienstleistung * wichtigste Leistungen * Preis oder Preisspanne * Bedingungen (z. B. Reservierung, Lieferzeit, Kontakt) Wortzahl: 90–110 ohne Anrede/Grussformel (zu viel/zu wenig gibt Abzug). Bewertung: Inhalt 13 Punkte, Sprache 7 Punkte. {{:SCLO/ Vorlage: Klappbox | Titel= '''Musterlösung Stellungnahme''' | Inhalt= Sehr geehrte Damen und Herren<br/>Gerne unterbreiten wir Ihnen unser Angebot für das Catering Ihres geplanten Firmen-Events mit rund 70 Teilnehmenden.<br/>Wir bieten ein hochwertiges Buffet mit warmen und kalten Speisen, vegetarischen Optionen sowie alkoholfreien Getränken. Zusätzlich übernehmen wir den Auf- und Abbau sowie die vollständige Betreuung während des Anlasses.<br/>Der Preis beträgt CHF 42.– pro Person, inklusive Material, Service und Transport im Raum Nordwestschweiz.<br/>Bei einer verbindlichen Reservation bis zehn Tage vor dem Event gewähren wir einen Rabatt von fünf Prozent.<br/>Für Rückfragen oder individuelle Anpassungen stehen wir Ihnen jederzeit gerne zur Verfügung.<br/>Freundliche Grüsse }} === Themenvorschläge === Für den Teil Angebot wählen wir fünf der folgenden zwanzig Themen per Zufallsgenerator aus. Sie müssen dann ein Angebot von 90 bis 110 Wörtern zu einem der fünf ausgewählten Themen schreiben. Beispiele für Waren- oder Dienstleistungsangebote (Prüfungsteil 2 - Angebot schreiben): '''Warenangebote (Produkte):''' # Bürobedarf: Sie bieten einem Start-up ein Paket aus Drucker, Papier, Ordnern, Toner an. # IT-Ausrüstung: Ein Kunde sucht 12 Laptops für sein Team, inkl. Garantie und Zubehör. # Gastronomiebedarf: Ein Restaurant möchte neue Kaffeemaschinen und Barista-Zubehör kaufen. # Gesundheitsprodukte: Ein Fitnessstudio benötigt Massagegeräte, Matten und Desinfektionsmittel. # Transport & Logistik: Ein Unternehmen braucht robuste Verpackungsmaterialien für Exporte. # Möbel: Eine Praxis möchte ergonomische Stühle und höhenverstellbare Tische. # Lebensmittel / Catering-Ware: Ein Eventunternehmen sucht Snacks, Getränke und Kühlboxen. # Reinigungsprodukte: Eine Schule benötigt Reinigungsmittel, Staubsauger, Bodenpflegemaschinen. # Verkaufsware: Ein kleiner Laden möchte regionale Produkte (Tee, Honig, Snacks). # Werkzeuge: Eine Bauunternehmung möchte Akkuschrauber, Helme, Schutzmaterial. '''Dienstleistungsangebote:''' # IT-Support / Cloud-Service: Sie bieten Wartung, Datensicherung und Helpdesk für ein KMU. # Eventorganisation: Sie organisieren ein Firmenjubiläum inkl. Catering, Technik und Deko. # Sprachkurse: Sie bieten einem Unternehmen interne Deutsch- oder Englischkurse an. # Reinigungsservice: Sie machen einem Bürohaus ein Angebot für tägliche Unterhaltsreinigung. # Marketing / Social Media: Sie erstellen und betreuen die Social-Media-Kanäle eines Start-ups. # Coaching / Weiterbildung: Sie bieten Verkaufsschulungen für das Verkaufsteam einer Firma an. # Gebäudetechnik / Handwerk: Sie offerieren Installation und Wartung einer neuen Alarmanlage. # Transportservice: Sie bieten wöchentliche Lieferungen für einen Blumenladen an. # Grafik- & Designservice: Sie gestalten Logo, Visitenkarten und Corporate Design für Neukunden. # Beratungsdienstleistung: Sie beraten ein KMU zur Optimierung interner Prozesse.--> == Einzelnachweise == <references/> [[Kategorie:Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)| ]] p665hh857p2nlj9whl8p0xd1owedm8l 1119244 1119242 2026-11-09T13:23:47Z Paul Sutermeister 37610 1119244 wikitext text/x-wiki Das Programm des Kurses '''Communication Skills''' (erstellt von [[Benutzer:Paul Sutermeister|Paul Sutermeister]]) zur Erlangung des [[Kurs:Handelsdiplom|Handelsdiploms]] des [[:w:Verband Schweizerischer Handelsschulen|Verbandes Schweizerischer Handelsschulen]] (VSH) basiert auf den Leistungszielen des VSH<ref>[https://www.vsh.swiss/assets/Downloads/Reglemente/VSH-Business/VSH-Reglement-HD-kZu-Kauffrau-Kaufmann-2025_rev_Brand_V1.pdf ''Reglement Handelsdiplom VSH Business Kaufmännische Zusatzausbildung.''] [[:w:Verband Schweizerischer Handelsschulen|Verband Schweizerischer Handelsschulen]], 2025, Seite 18</ref> <small>(Änderungen vorbehalten)</small>: {| class="wikitable" ! Kurstag (jeweils 2 Lektionen à 45 Minuten) ! Kursinhalt ! Lehrmittel |- | 10./11. August 2026 || '''[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Wortart|Wortarten]]''', <small>[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Wortschatz|Wortschatz]]</small>[[Datei:Duden_25Auflage.JPG|frameless|50px]] || Amoroso et al. (2010), Seiten 30-32<ref>Amoroso G., Graf A., Wegmann I., Bornand J.: ''Grundkompetenzen Deutsch: Theorie, Beispiele und Checklisten.'' Zürich: [[:w:Compendio Bildungsmedien|Compendio]], 2010.</ref></br>[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Duden|Duden]] |- | 17./18. August || '''[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Rechtschreibung|Rechtschreibung]]''' || Amoroso et al. (2010), Seiten 93-110 |- | 24./25. August || '''[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Satzglied|Satzglieder]]''' (Satzglieder sind nicht prüfungsrelevant): <small>Prädikat, Subjekt, Adverbial, [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Objekt|Objekt]]</small> || Seiten 10-14 |- | 31. August / 1. September || <small>[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Ellipse|Ellipse]]</small> → '''[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Satzbau|Satzbau]]''' || Seiten 15-16 |- | 7./8. September || '''[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Satzzeichen|Satzzeichen]]''' || |- | 14./15. September || Alte Diplomprüfung als Repetition für Rechtschreibung und Satzzeichen || |- | 21./22. September || <span style="color:red;">'''Zwischenklausur'''</span>: <small>Papier/Stift/Duden (gleich wie Modulprüfung)<ref name="hilfsmittelliste"/>, 45 Minuten:</br>Vier gleichgewichtete Themen: 1) Wortarten (nicht Wortschatz) 2) Rechtschreibung, 3) Satzbau, 4) Satzzeichen.</small> || |- | 12./13. Oktober || <small>[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Adressatenorientierung|Adressatenorientierung]]</small>, '''[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Feedback|Feedback]]''' || |- | 19./20. Oktober || [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Stil|Stil]] || |- | 26./27. Oktober || [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Modus|Modus]]/[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Partizip|Partizip]] → '''[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Indirekte Rede|Indirekte Rede]]''' (→ [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Protokoll|Protokoll]]) || Seiten 66-69 |- | 2./3. November || Indirekte Rede üben || Seiten 66-69 |- | 9./10. November || Vorbereitung für Diplomprüfungsaufgabe 4: [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Textproduktion|Textproduktion]] → [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Textproduktion üben|üben]] |- | 16./17. November || Alte Diplomprüfungsaufgaben 4 (Textproduktion) üben || Seiten 81-84 (Stellungnahme); Seiten 85-88 (Erörterung) |- | 24./25. November || Alte Diplomprüfungsaufgaben 4 (Textproduktion) üben || Seiten 51-52 |- | 30. November / 1. Dezember || colspan="2" | <span style="color:red;">'''Zwischenklausur</span>:''' <small>Papier/Stift/Duden (gleich wie Modulprüfung)<ref name="hilfsmittelliste"/>, 45 Minuten:<br/>1. Aufgabe '''[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Indirekte Rede|Indirekte Rede]]''': Lückentext und ev. Multiple-Choice-Fragen.</br>2. Aufgabe '''Textproduktion:''' Sie verfassen in 90 bis 110 Wörtern einen Text im Stil der Aufgaben 4 der alten Diplomprüfungen (Bewertungskriterien gleich wie bei ''Textproduktion'' der Modulprüfung: zwischen 90 und 110 Wörtern, Inhalt: 13 Punkte, Sprache: 7 Punkte.)</small> || |- | 7./8. Dezember 2026 || Bedarfsorienter Kursinhalt (wird informiert) || Seiten 70-73 |- | '''14./15. Dezember 2026''' || Bedarfsorienter Kursinhalt (wird informiert) || |- | <span style="color:red;">'''4./5. Januar 2027'''</span> || colspan="2" | <span style="color:red;">'''MODULPRÜFUNG'''</span>: closed book, siehe Hilfsmittelliste des [[:w:Verband Schweizerischer Handelsschulen|VSH]] (nur Duden erlaubt)<ref name="hilfsmittelliste">[https://www.vsh.swiss/assets/Downloads/Reglemente/VSH-Business/VSH-Hilfsmittelliste-2025_HD-kZu_rev_Brand_V1.pdf Hilfsmittelliste] des [[:w:Verband Schweizerischer Handelsschulen|VSH]] (Stand 2025)</ref> |} = Sonstiges = * [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Problem|Problem]] → [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Erörterung|Erörterung]] → [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Stellungnahme|Stellungnahme]] * [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Geschäftsbrief|Geschäftsbrief]] → [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Angebot|Angebot]] * '''Gesuch'''; <small>[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Verb|Verb]]</small> → [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Anleitung|Anleitung]] * [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Verständlichkeit|Verständlichkeit]], <small>[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Verständlichkeitsmodell|Verständlichkeitsmodell]]</small> = Lehrmittel = * Amoroso G., Graf A., Wegmann I., Bornand J.: ''Grundkompetenzen Deutsch: Theorie, Beispiele und Checklisten.'' Zürich: [[:w:Compendio Bildungsmedien|Compendio]], 2010. <!--= Vorbereitung Zwischenklausur vom 24.11. = == Aufgabe 1: Indirekte Rede (20 Minuten) == 20 Single-Choice-Fragen. 🏋️ '''Üben Sie hier die [[Benutzer:Paul_Sutermeister/Indirekte_Rede#Übungen|indirekte Rede]]''' == Aufgabe 2: [[Benutzer:Paul_Sutermeister/Stellungnahme#Peer-Feedback-Checkliste|Stellungnahme]] (20 Minuten) == '''Provokative Aussage:''' ''„In der Schweiz sollte die Vier-Tage-Woche ohne Lohnkürzung eingeführt werden.“'' '''Auftrag:''' Nehmen Sie strukturiert Stellung zu dieser Aussage. Gehen Sie dabei auf folgende Punkte ein: * mögliche Vorteile * mögliche Nachteile * eigene Schlussfolgerung Wortzahl: 90–110 (zu viel/zu wenig gibt Abzug). Bewertung: Inhalt 13 Punkte, Sprache 7 Punkte. {{:SCLO/ Vorlage: Klappbox | Titel= '''Musterlösung Stellungnahme''' | Inhalt= Soll in der Schweiz die Vier-Tage-Woche ohne Lohnkürzung eingeführt werden? Ich arbeite als Malerin in einer mittelgrossen Firma. Im Folgenden erkläre ich, warum diese Vier-Tage-Woche aus meiner Sicht sinnvoll ist.<br/>In meiner Arbeit gäbe es weniger Stress, unter meinen Kollegen gäbe es tiefere Krankheitsquote und höhere Motivation. Arbeitgeber werden allerdings nicht damit einverstanden sein, weil sie meinen, Lohn für ungeleistete Arbeit zu zahlen. Und nicht alle Branchen können die gleiche Produktivität in weniger Zeit aufrechterhalten, und kleinere Firmen hätten Mühe, Personalengpässe auszugleichen. Entscheidend wäre eine flexible Umsetzung, die branchenspezifische Unterschiede berücksichtigt.<br/>Insgesamt überwiegen für mich als Arbeitnehmerin die Vorteile, wenn die Einführung gut geplant und mit klaren Zielen verbunden ist. }} === Themenvorschläge === Für den Teil Stellungnahme wählen wir fünf der folgenden zwanzig Themen per Zufallsgenerator aus. Sie müssen dann eine Stellungnahme von 90 bis 110 Wörtern zu einem der ausgewählten fünf Themen schreiben. '''Arbeitswelt & Digitalisierung:''' # Sollten Bewerbungen komplett anonymisiert werden? # Ist das Homeoffice langfristig schädlich für die Teamkultur? # Sollten KI-Tools in Prüfungen erlaubt sein? # Braucht es eine Vier-Tage-Woche bei gleichem Lohn? # Sind unbezahlte Praktika ein notwendiges Übel? '''Gesellschaft & Zusammenleben:''' # Sollten Städte SUVs in Innenstädten verbieten? # Muss man Fleisch deutlich höher besteuern? # Sollte Rauchen auf öffentlichen Plätzen komplett verboten werden? # Sollten Social-Media-Accounts erst ab 16 erlaubt sein? # Ist Kinderkriegen in Zeiten der Klimakrise verantwortungslos? '''Wirtschaft & Konsum:''' # Sollten Fast-Fashion-Unternehmen strengere gesetzliche Auflagen bekommen? # Muss Onlinehandel höhere Umweltsteuern zahlen? # Sind Luxusmarken moralisch problematisch? # Sollten Lebensmittel, die noch gut sind, verschenkt werden müssen? '''Migration & Integration:''' # Sollten Einbürgerungsverfahren erleichtert werden? # Sollte die Schweiz mehr Geflüchtete aufnehmen? # Sollten Integrationskurse verpflichtend sein? '''Lebensstil & Werte:''' # Sollte jeder Mensch mindestens ein Jahr verpflichtenden Sozialdienst leisten? # Sollte man Haustiere nur mit einem “Tierführerschein” halten dürfen? # Ist Minimalismus nur ein Trend oder eine notwendige Lebensweise? '''Bildung & Beruf:''' # Sollten Schulen Smartphones komplett verbieten? (klassisch, aber immer wirksam) # Braucht es weniger Schulnoten und mehr Kompetenzen? # Sollten Lehrpersonen besser bezahlt werden? # Sind Hochschulabschlüsse überschätzt? == Aufgabe 3: [[Benutzer:Paul_Sutermeister/Angebot#Peer-Feedback-Checkliste|Angebot]] (20 Minuten) == '''Situation:''' Eine lokale Firma plant ein Firmen-Event mit rund 70 Personen und benötigt kurzfristig Unterstützung. '''Auftrag:''' Verfassen Sie ein Angebot zu einer der folgenden Dienstleistungen: * professionelles Catering * Event-Fotografie * technische Betreuung (Ton/Licht/Präsentation) Ihr Angebot soll enthalten: * kurze Vorstellung der Dienstleistung * wichtigste Leistungen * Preis oder Preisspanne * Bedingungen (z. B. Reservierung, Lieferzeit, Kontakt) Wortzahl: 90–110 ohne Anrede/Grussformel (zu viel/zu wenig gibt Abzug). Bewertung: Inhalt 13 Punkte, Sprache 7 Punkte. {{:SCLO/ Vorlage: Klappbox | Titel= '''Musterlösung Stellungnahme''' | Inhalt= Sehr geehrte Damen und Herren<br/>Gerne unterbreiten wir Ihnen unser Angebot für das Catering Ihres geplanten Firmen-Events mit rund 70 Teilnehmenden.<br/>Wir bieten ein hochwertiges Buffet mit warmen und kalten Speisen, vegetarischen Optionen sowie alkoholfreien Getränken. Zusätzlich übernehmen wir den Auf- und Abbau sowie die vollständige Betreuung während des Anlasses.<br/>Der Preis beträgt CHF 42.– pro Person, inklusive Material, Service und Transport im Raum Nordwestschweiz.<br/>Bei einer verbindlichen Reservation bis zehn Tage vor dem Event gewähren wir einen Rabatt von fünf Prozent.<br/>Für Rückfragen oder individuelle Anpassungen stehen wir Ihnen jederzeit gerne zur Verfügung.<br/>Freundliche Grüsse }} === Themenvorschläge === Für den Teil Angebot wählen wir fünf der folgenden zwanzig Themen per Zufallsgenerator aus. Sie müssen dann ein Angebot von 90 bis 110 Wörtern zu einem der fünf ausgewählten Themen schreiben. Beispiele für Waren- oder Dienstleistungsangebote (Prüfungsteil 2 - Angebot schreiben): '''Warenangebote (Produkte):''' # Bürobedarf: Sie bieten einem Start-up ein Paket aus Drucker, Papier, Ordnern, Toner an. # IT-Ausrüstung: Ein Kunde sucht 12 Laptops für sein Team, inkl. Garantie und Zubehör. # Gastronomiebedarf: Ein Restaurant möchte neue Kaffeemaschinen und Barista-Zubehör kaufen. # Gesundheitsprodukte: Ein Fitnessstudio benötigt Massagegeräte, Matten und Desinfektionsmittel. # Transport & Logistik: Ein Unternehmen braucht robuste Verpackungsmaterialien für Exporte. # Möbel: Eine Praxis möchte ergonomische Stühle und höhenverstellbare Tische. # Lebensmittel / Catering-Ware: Ein Eventunternehmen sucht Snacks, Getränke und Kühlboxen. # Reinigungsprodukte: Eine Schule benötigt Reinigungsmittel, Staubsauger, Bodenpflegemaschinen. # Verkaufsware: Ein kleiner Laden möchte regionale Produkte (Tee, Honig, Snacks). # Werkzeuge: Eine Bauunternehmung möchte Akkuschrauber, Helme, Schutzmaterial. '''Dienstleistungsangebote:''' # IT-Support / Cloud-Service: Sie bieten Wartung, Datensicherung und Helpdesk für ein KMU. # Eventorganisation: Sie organisieren ein Firmenjubiläum inkl. Catering, Technik und Deko. # Sprachkurse: Sie bieten einem Unternehmen interne Deutsch- oder Englischkurse an. # Reinigungsservice: Sie machen einem Bürohaus ein Angebot für tägliche Unterhaltsreinigung. # Marketing / Social Media: Sie erstellen und betreuen die Social-Media-Kanäle eines Start-ups. # Coaching / Weiterbildung: Sie bieten Verkaufsschulungen für das Verkaufsteam einer Firma an. # Gebäudetechnik / Handwerk: Sie offerieren Installation und Wartung einer neuen Alarmanlage. # Transportservice: Sie bieten wöchentliche Lieferungen für einen Blumenladen an. # Grafik- & Designservice: Sie gestalten Logo, Visitenkarten und Corporate Design für Neukunden. # Beratungsdienstleistung: Sie beraten ein KMU zur Optimierung interner Prozesse.--> == Einzelnachweise == <references/> [[Kategorie:Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)| ]] jrfozj8ap3pq97skg04lvks6diztiwr 2 167730 1119307 1114678 2026-11-10T09:22:26Z Kdkeller 971 /* Klasse 9 */ 1119307 wikitext text/x-wiki {{Projektdaten| PROJEKTTITEL=GFS-Themen |ANSPRECHPARTNER=[[Benutzer:Kdkeller|Klaus-Dieter Keller]] |LAUFZEIT= |ZUSAMMENARBEIT= |KURZBESCHREIBUNG= |KEINEAUTOKATEGORIE=Ja |BILD=MSG_Logo_2015.svg }} Auf dieser Seite werden Vorschläge für '''GFS-Themen''' gesammelt. GFS sind in Baden-Württemberg „gleichwertige Feststellungen von Schülerleistungen“, das sind Referate und Hausarbeiten, die wie Klassenarbeiten zählen. ===Ablauf=== * Vortrag **Präsentation, evtl. mit Experiment **1 Folie Zusammenfassung **Textquellen angeben **Bildquellen angeben, evtl. in kleiner Schriftart auch direkt am Bild **KI-Einsatz angeben **Austeilen des Handouts *Reflexionsgespräch *Besprechung der Note ===Handout=== *maximal 2 DIN-A4-Seiten, wird schwarz-weiß kopiert *nicht nur das Inhaltsverzeichnis wiedergeben *die wichtigsten Erkenntnisse aus dem Vortrag zusammenfassen *nur wichtige Bilder und Diagramme, keine Deko *nur Bildquellen der Bilder auf dem Handout angeben *Handout spätestens am Tag vor dem Termin als PDF an den Lehrer mailen ===Tipps=== * Software: Zum Erstellen der Präsentation ist die freie kostenlose Software [[w:LibreOffice|LibreOffice]] zu empfehlen. Das Modul „Impress“ ist die Präsentationssoftware des Pakets. * Export auch als PDF; dieses Format kann im Notfall von jedem Browser angezeigt werden * Backup ** Die Präsentation und das PDF-Dokument auch auf einem 2. USB-Stick mitbringen. ** sich die Präsentation selbst mailen oder in eine Cloud laden, aber die Login-Daten dafür auch dabei haben * benutzte Abkürzungen muss man wissen * kurze Zeit davor mit einer Suchmaschine (z.B. Duckduckgo.com > Menü: Nachrichten) schauen, ob es etwas Neues zum GFS-Thema gibt ===Formeln=== Bei '''LibreOffice''' erstellt man eine Formel mit ''Einfügen'' > ''OLE-Objekt'' > ''Formel''. Dort kann man sich die Formeln zusammenklicken oder man tippt die Formeln als Code ein. Eine Befehlsliste gibt es unter [https://de.libreoffice.org/get-help/documentation/ Handbuch Math > Anhang A - Befehlsreferenz] Bei '''Microsoft''' geht es über ''Einfügen'' > ''Formel''. <!-- ==Mathematik== ===Klasse 7=== ===Klasse 8=== ===Klasse 9=== ===Klasse 10=== ===Klasse 11=== ===Kursstufe=== --> ==Physik== ===Klasse 7=== ===Klasse 8=== * Bestimmung der Schallgeschwindigkeit ** Phyphox-App * Akustische Illusionen ** Shepard-Ton, Tritonus-Paradoxon, [https://www.youtube.com/watch?v=2k8fHR9jKVM McGurk-Effekt], Yanny-Laurel-Phänomen, [https://www.youtube.com/watch?v=8FXQ38-ZQK0 Bart Simpson bouncing], Agathe Bauer * Bestimmung der Lichtgeschwindigkeit (2 Arten) * Mondphasen und Finsternisse * Warum ist der Himmel blau? Warum ist das Abendrot rot? (evtl. dazu noch Warum sind Wolken weiß? Warum ist der Himmel auf dem Mond schwarz?) * Regenbogen ** an einem kugelförmigen Tropfen den Verlauf des Lichtstrahls und die Farbzerlegung klären, Hauptregenbogen, Nebenregenbogen * Luftspiegelungen und Fata Morgana (nach dem Thema Totalreflexion) * Additive und subtraktive Farbmischung * Optische Geräte ===Klasse 9=== * Geschwindigkeitsmessung (Autotacho, Fahrradtacho, Lichtschrankenmessung, Radarmessung, Lasermessung) * Hebelgesetz und Flaschenzug * Impuls und Impulserhaltung * evtl. zusammen: Raketenantrieb * Spraydose * Bernoulli-Effekt * Gravitationsgesetz (+ Umgang mit wissenschaftlicher Schreibweise) ** + Kurzbiografie Isaac Newton * Satellitenbahn ===Klasse 10=== * Wirbelströme ** Wirbelstrombremse (Eisenbahn, Freefall-Tower), Induktionsherd * Erdatmosphäre (Treibhauseffekt, Klimawandel, evtl. Polarlichter) * Viertaktmotor & Co ist Teil einer Gruppenarbeit * Anomalie des Wassers * Stomverbundnetz und Transformator (Fernleitung, Wechselspannung) * Kernkraftwerk * Fusionskraftwerk ===Klasse 11=== * Galileo Galilei: Fallrinne und Goldene Regel der Mechanik * Herleitung der Formel für den Parabelwurf, schiefer Wurf * Raketengleichung und Raketentechnik * Wie funktioniert ein Flugzeugflügel? * Gravitationsgesetz * Geosynchrone Umlaufbahn (benötigt Gravitationsgesetz) **Material: [https://de.serlo.org/community/168394/geosynchrone-umlaufbahn Geosynchrone Umlaufbahn] von Satelliten auf serlo.org * Flaschenzug und Hebelgesetz * Looping ** Experiment in der Physiksammlung ** Material: [https://texercises.com/exercise/todesspirale-3/?col=kreisbewegung-7 Todesspirale] bei TeXercises.com > Dort auch auf „Solution“ gehen. * Doppelball-Experiment ===Kursstufe=== * Basiseinheiten und Neudefinition * Braunsche Röhre mit Parabelbahn im E-Feld * Millikan-Versuch (evtl. mit Zusatz Elektronenradius) * Elektromotor & Hybridantrieb (Frage danach: Totpunkt) * Reluktanzmotor (z.B. Motor eines Thermomix) evtl. am gleichen Tag wie "Elektromotor" * FEEP-Antrieb (Field-emission electric propulsion) Zusatzaufgabe: deutscher Wikipedia-Artikel * Supraleiter * Magnetische Kühlung (nicht Kühlung von Magneten, sondern durch Magneten) * Transformator * Gedämpfte Schwingung * Freier Fall mit Reibung * Resonanz und Rückkopplung * Dopplereffekt (evtl. mit Machscher Kegel) * Tsunamis (mit Formeln) * Ultraschall, Röntgenstrahlung und MRT * Radioaktivität in der Medizin * Antennentechnik, evtl. selbstgebasteltes Radio * Treibhauseffekt (Transmissionskoeffizient, ...) * GPS & Galileo * Keplersche Gesetze und Gravitationsgesetz (oder statt Gravitationsgesetz: 3 Kegelschnitte) * Raketentechnik und Raketengrundgleichung * Lagrangepunkte (nur im vierstündigen) * De-Broglie-Wellenlänge * Bestimmung der Lichtgeschwindigkeit: 3 verschiedene Arten (am Besten Jupitermond, Zahnrad, Drehspiegelmethode) * Atommodelle und deren Geschichte * Zwillingsparadoxon zeitunabhängig: * Korrelation und Kausalität ==Astronomie== * Ebbe und Flut ** Gezeiten bei der Erde ** Gezeiteneffekte bei Monden, Planeten und Galaxien * Venustransit 1761/1769 (Transit, Berechnung der AE; davor waren die Planetenabstände nur relativ) * Raketentechnik, Raketengrundgleichung und Fluchtgeschwindigkeiten (nach dem Thema Gravitationskraft) * Schwarze Löcher * Milchstraße und andere Galaxien * Globales Navigationssatellitensystem (GNSS) ** Galileo, GPS, weitere Systeme * Längenproblem ** Bestimmung der geografischen Länge: historisch, heute * Teleskope * Vera C. Rubin Observatory * Sonden * Gravitationswellen evtl.: *Exoplaneten ==Weblinks== {{Vorlage:W|Gleichwertige Feststellung von Schülerleistungen}} [[Kategorie:Gymnasium]] f1o14xet9ozlusoj6aqn6xqqbmyqcv0 0 172943 1119267 1115555 2026-11-09T19:31:18Z Bocardodarapti 2041 1119267 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten den Veronesering in drei Variablen zum Grad {{math|term= 2 |SZ=.}} Es gibt nur {{math|term= R |SZ=}} und {{math|term= L |SZ=.}} Die Hilbertfunktion des Polynomringes ist {{ Relationskette/display | h(n) || {{op:Binomialkoeffizient| n+1 | 2 }} || {{op:Bruch| n^2+3n+2 | 2 }} || || |SZ=, }} die Summationsfunktionen sind {{ Relationskette/align | A_0(N) || \sum_{n {{=}} 0 {{kommadots}} N,\, n \text{ gerade} } {{op:Bruch| n^2+3n+2 | 2 }} || \sum_{k {{=}} 0}^{ {{op:Gaußklammer| {{op:Bruch|N|2}} |}} } {{makl| 2 k^2+3k+1 |}} || {{op:Bruch|1|3}} {{op:Gaußklammer| {{op:Bruch|N|2}} |}} {{makl| {{op:Gaußklammer| {{op:Bruch|N|2}} |}}+1 |}} 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endliche projektive Auflösung des Erweiterungsideals zum maximalen Ideal ist {{ Zusatz/Klammer |text=für {{math|term= p |SZ=}} hinreichend groß| |ISZ=|ESZ= }} {{ Math/display|term= 0 \longrightarrow \bigoplus_{3} S(-4) \longrightarrow \bigoplus_{8} S(-3) \longrightarrow \bigoplus_{6} S(-2) \longrightarrow S \longrightarrow S/ {{makl| U^2,U V, UW, V^2, W^2, VW |}} |SZ= }} mit den Frobenius-Versionen {{ Math/display|term= 0 \longrightarrow \bigoplus_{3} S(-4q) \longrightarrow \bigoplus_{8} S(-3q) \longrightarrow \bigoplus_{6} S(-2q) \longrightarrow S \longrightarrow S/ {{makl| U^{2q},U^q V^q, U^qW^q, V^{2q}, W^{2q}, V^qW^q |}} |SZ=. }} Die Pseudoauflösung ist dann {{ Zusatz/Klammer |text= {{math|term= q |SZ=}} ungerade| |ISZ=|ESZ= }} {{ Math/display|term= 0 \longrightarrow \bigoplus_{3} R(-4q) \longrightarrow \bigoplus_{8} L(-3q) \longrightarrow \bigoplus_{6} R(-2q) \longrightarrow R \longrightarrow R/ {{idealm|}}^{[q]} |SZ=. }} Summe bis {{mathl|term= N= 4 q |SZ=.}} Ergibt {{ Math/display|term= A_0(4q) - 6 A_0(2q) +8 A_1 (q) - 3 |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Hilbertfunktion graduierter Moduln |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} 5dndbvq2s5n2egn358ymx8oeaq3lf2x 1119284 1119274 2026-11-10T08:01:59Z Bocardodarapti 2041 1119284 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten den Veronesering in drei Variablen zum Grad {{math|term= 2 |SZ=.}} Es gibt nur {{math|term= R |SZ=}} und {{math|term= L |SZ=.}} Die Hilbertfunktion des Polynomringes ist {{ Relationskette/display | h(n) || {{op:Binomialkoeffizient| n+1 | 2 }} || {{op:Bruch| n^2+3n+2 | 2 }} || || |SZ=, }} die Summationsfunktionen sind {{ Relationskette/align | A_0(N) || \sum_{n {{=}} 0 {{kommadots}} N,\, n \text{ gerade} } {{op:Bruch| n^2+3n+2 | 2 }} || \sum_{k {{=}} 0}^{ {{op:Gaußklammer| {{op:Bruch|N|2}} |}} } {{makl| 2 k^2+3k+1 |}} || {{op:Bruch|1|3}} {{op:Gaußklammer| {{op:Bruch|N|2}} |}} {{makl| {{op:Gaußklammer| {{op:Bruch|N|2}} |}}+1 |}} {{makl| 2 {{op:Gaußklammer| {{op:Bruch|N|2}} |}}+1 |}} + {{op:Bruch|3|2}} {{op:Gaußklammer| {{op:Bruch|N|2}} |}} {{makl| {{op:Gaußklammer| {{op:Bruch|N|2}} |}}+1 |}} + {{op:Gaußklammer| {{op:Bruch|N|2}} |}}+1 || {{makl| {{op:Gaußklammer| {{op:Bruch|N|2}} |}}+1 |}} {{makl| {{op:Bruch|1|3}} {{op:Gaußklammer| {{op:Bruch|N|2}} |}} {{makl| 2 {{op:Gaußklammer| {{op:Bruch|N|2}} |}}+1 |}} + {{op:Bruch|3|2}} {{op:Gaußklammer| {{op:Bruch|N|2}} |}} + 1 }} || {{op:Bruch|1|6}} {{makl| {{op:Gaußklammer| {{op:Bruch|N|2}} |}}+1 |}} {{makl| 2 {{op:Gaußklammer| {{op:Bruch|N|2}} |}} {{makl| 2 {{op:Gaußklammer| {{op:Bruch|N|2}} |}}+1 |}} +9 {{op:Gaußklammer| {{op:Bruch|N|2}} |}} + 6 }} ||{{op:Bruch|1|6}} {{makl| {{op:Gaußklammer| {{op:Bruch|N|2}} |}}+1 |}} {{makl| 4 {{op:Gaußklammer| {{op:Bruch|N|2}} |}}^2 +11 {{op:Gaußklammer| {{op:Bruch|N|2}} |}} + 6 }} || {{op:Bruch|1|6}} {{makl| {{op:Gaußklammer| {{op:Bruch|N|2}} |}}+1 |}} {{makl| {{op:Gaußklammer| {{op:Bruch|N|2}} |}}+2 }} {{makl| 4 {{op:Gaußklammer| {{op:Bruch|N|2}} |}} + 3 }} |SZ=, }} bzw. {{ Math/display|term= {{op:Bruch|1|6}} {{makl| 4 {{op:Gaußklammer| {{op:Bruch|N|2}} |}}^3 + 15 {{op:Gaußklammer| {{op:Bruch|N|2}} |}}^2 + 17 {{op:Gaußklammer| {{op:Bruch|N|2}} |}} + 6 |}} |SZ=, }} und {{ Relationskette/align | A_1(N) || \sum_{n {{=}} 0 {{kommadots}} N,\, n \text{ ungerade} } {{op:Bruch| n^2+3n+2 | 2 }} || ... || {{op:Bruch|1|6}} {{makl| 4 {{op:Gaußklammer| {{op:Bruch|N-1|2}} |}}^3 + 21 {{op:Gaußklammer| {{op:Bruch|N-1|2}} |}}^2 + 35 {{op:Gaußklammer| {{op:Bruch|N-1|2}} |}} + 18 |}} |SZ=. }} Die endliche projektive Auflösung des Erweiterungsideals zum maximalen Ideal ist {{ Zusatz/Klammer |text=für {{math|term= p |SZ=}} hinreichend groß| |ISZ=|ESZ= }} {{ Math/display|term= 0 \longrightarrow \bigoplus_{3} S(-4) \longrightarrow \bigoplus_{8} S(-3) \longrightarrow \bigoplus_{6} S(-2) \longrightarrow S \longrightarrow S/ {{makl| U^2,U V, UW, V^2, W^2, VW |}} |SZ= }} mit den Frobenius-Versionen {{ Math/display|term= 0 \longrightarrow \bigoplus_{3} S(-4q) \longrightarrow \bigoplus_{8} S(-3q) \longrightarrow \bigoplus_{6} S(-2q) \longrightarrow S \longrightarrow S/ {{makl| U^{2q},U^q V^q, U^qW^q, V^{2q}, W^{2q}, V^qW^q |}} |SZ=. }} Die Pseudoauflösung ist dann {{ Zusatz/Klammer |text= {{math|term= q |SZ=}} ungerade| |ISZ=|ESZ= }} {{ Math/display|term= 0 \longrightarrow \bigoplus_{3} R(-4q) \longrightarrow \bigoplus_{8} L(-3q) \longrightarrow \bigoplus_{6} R(-2q) \longrightarrow R \longrightarrow R/ {{idealm|}}^{[q]} |SZ=. }} Summe bis {{mathl|term= N= 4 q |SZ=.}} Ergibt {{ Math/display|term= A_0(4q) - 6 A_0(2q) +8 A_1 (q) - 3 |SZ=. }} {{ Relationskette/align/netzlinks | A_0(4q) - 6 A_0(2q) +8 A_1 (q) - 3 || {{op:Bruch|1|6}} {{makl| {{makl| 4 {{op:Gaußklammer| 2q |}}^3 + 15 {{op:Gaußklammer| 2q |}}^2 + 17 {{op:Gaußklammer| 2q |}} + 6 |}} -6 {{makl| 4 {{op:Gaußklammer| q |}}^3 + 15 {{op:Gaußklammer| q |}}^2 + 17 {{op:Gaußklammer| q |}} + 6}} +8 {{makl| 4 {{op:Gaußklammer| {{op:Bruch|q-1|2}} |}}^3 + 21 {{op:Gaußklammer| {{op:Bruch|q-1|2}} |}}^2 + 35 {{op:Gaußklammer| {{op:Bruch|q-1|2}} |}} + 18 |}} -18 |}} || {{op:Bruch|1|6}} {{makl| {{makl| 32 -24 +4 |}} q^3 + {{makl| 60-90 -12+ 42 |}} q^2 + {{makl| 34-102+ 12 - 84 + 140 |}} q +6-36 -4 +42 -140 +144-18 |}} || {{op:Bruch|1|6}} {{makl| 12 q^3 -6 |}} || 2q^3 -1 |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Hilbertfunktion graduierter Moduln |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} cnzdpizsetvwvz40mo7ir1kxin76gks 106 173069 1119306 1118438 2026-11-10T09:10:53Z Bert Niehaus 20843 1119306 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Lerneinheit behandelt die algebraische Vervollständigung von holomorphen [[Zweige des Logarithmus|Zweigen des Logarithmus]] <math>\log_{_G}:G\to \mathbb{C}</math>, wobei <math>G</math> ein [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängendes]] Gebiet <math>G\subset \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> ist. Dabei entsteht das [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängendes]] Gebiet <math>G</math> durch das Entfernen der Spur eines [[rechtsseitig parametrisch unendlicher Weg|rechtsseitig parametrisch unendlichen Weges]] <math>\gamma : [a,+\infty) \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(a) = 0</math>. Ferner liefert die imaginäre Periodizität um <math>k\cdot 2\pi i</math> der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] von [[Zweige des Logarithmus|Zweigen des Logarithmus]]durch die Normalisierung der Vervollständigung des Zweiges mit <math>\log_{_G}^\ast(1)=0</math> ist das <math>k\in \mathbb{Z}</math> bereits für den vervollständigten Zweig festgelegt. === Sprungstellen - Vervollständigung oder Riemannsche Fläche === Für die algebraische Vervollständigung eines [[Zweige des Logarithmus|Zweiges des Logarithmus]] gibt es genau an der <math>w\in Spur(\gamma)</math> eine Sprungstelle von <math>\pm 2\pi i</math>. Um mit den Sprungstellen weiter zu arbeiten, kann man entweder zu [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannschen Flächen]] oder zu einer in diesem Kontext weiter verfolgten algebraischen Vervollständigung überzugehen. Der Ersatz zielt darauf, auf dem Gebiet <math>G</math> noch die [[Holomorphie]] zur Verfügung zu haben und durch die algebraische Vervollständigung noch algebraische Eigenschaft auf dem Rand <math>\partial G \setminus \{0\}</math> nutzen zu können. Bereits vorab sei daher erwähnt, dass man dadurch nicht nur die [[Holomorphie]] auf <math>\mathbb{C} \setminus \{0\}</math> verliert, sondern auch die [[Stetigkeit]]. === Vorbereitende Lerneinheiten === Für die Lerneinheit ist es wesentlich, ausgehend von dem bekannten [[Logarithmus]] auf den reellen Zahlen den Transfer zum [[komplexer Logarithmus|komplexen Logarithmus]] und den Besonderheit in <math>\mathbb{C}</math> zu analysieren, weil dadurch die Notwendigkeit von einfach zusammenhängenden Gebieten <math>G</math>, der Periodizität des Exponentialfunktion und dem damit verbundenen Entfernen einer Spur zu verstehen. === Entfernen der Spur für Hauptzweige === Für die folgenden 4 Typen [[Hauptzweig des Logarithmus|Hauptzweigen]] des Logarithmus werden unterschiedliche Wege <math>\gamma_{+1}</math>, <math>\gamma_{-1}</math>, <math>\gamma_{+i}</math> und <math>\gamma_{-i}</math> verwendet und die zugehörige Spur <math>Spur(\gamma_k)</math> von <math>\mathbb{C}</math> entfernt mit <math>\gamma_k : [0,+\infty) \to \mathbb{C}</math>: * '''(Hauptzweig)''' <math> \gamma_{+1}(t) = -t </math> und der <math>Spur(\gamma_{+1}) = \mathbb{R}_0^{-}</math> mit dem Gebiet <math>G_{+1}=\mathbb{C}\setminus \mathbb{R}_0^{-}</math> * '''(negativer Hauptzweig)''' <math> \gamma_{-1}(t) = +t </math> und der <math>Spur(\gamma_{-1}) = \mathbb{R}_0^{+}</math> mit dem Gebiet <math>G_{-1}=\mathbb{C}\setminus \mathbb{R}_0^{+}</math> * '''(imaginärer Hauptzweig)''' <math> \gamma_{+i}(t) = -it </math> und der <math>Spur(\gamma_{+i}) = i\cdot \mathbb{R}_0^{-}</math> mit dem Gebiet <math>G_{+i}=\mathbb{C}\setminus ( i\cdot \mathbb{R}_0^{-})</math> * '''(negativer imaginärer Hauptzweig)''' <math> \gamma_{-i}(t) = +t </math>, <math>Spur(\gamma_{-i}) = i\cdot \mathbb{R}_0^{+}</math> und dem Gebiet <math>G_{-i}=\mathbb{C}\setminus (i\cdot \mathbb{R}_0^{+})</math> === Mengentheoretische algebraische Vervollständigung === Mengentheoretisch vervollständigt man z.B. bei den Hauptzweigen des [[komplexer Logarithmus|Logarithmus]] Funktionswerte auf dem entfernten Spurpunkten mit Ausnahme der 0. Beim [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweig]], beim die Spur von <math> \gamma_{-1}(t) = {\scriptstyle +}t </math> entfernt wurde, definiert man mit <math>Spur(\gamma_{-1}) = \mathbb{R}_0^{+}</math> nun auch Funktionswerte für die auf <math> \mathbb{R}^{+}</math> und erhält damit eine algebraische Vervollständigung des Logarithmus von <math>G_{-1}=\mathbb{C}\setminus \mathbb{R}_0^{+}</math> auf <math>\mathbb{C}\setminus \{0\}</math>. Da die [[Holomorphie]] und sogar [[Stetigkeit]] bei diesem Schritt verloren gehen, versucht man zumindest eine Stetigkeit aus einer Normalenvektorrichtung zu erhalten (siehe auch [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/algebraische Vervollständigung#Animation|Animation]]). Die beiden veranschaulichten Richtungen als [[w:de:Normalenvektor|Normalenvektor]] zeigen die beiden Optionen, eine einseitige Richtungsstetigkeit zu erreichen. === Bemerkung - negativer Hauptzweig - Vervollständigung === Im weiteren Verlauf der Lehrveranstaltung wird die algebraische Vervollständigung von dem [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweig des Logarithmus]] und die damit verbundene [[logmod-Äquivalenzklassen|Äquivalenzklassenbildung]] eine besondere Rolle spielen, um algebraische Rechenregeln auf Äquivalenzklassen im Zusammenhang mit dem [[rekursiver Logarithmus|rekursiven Logarithmus]] <math>\mathrm{lnr}(z)</math> zu erhalten. Prinzipiell kann die algebraische Vervollständigung für beliebige [[Zweige des Logarithmus]] durchgeführt werden, und so das <math>2\pi i</math>-Vielfache der imaginären Periodizität zu kontrollieren. Daher wird das Verfahren hier für [[generalisierter Logarithmus|generalisierte Logarithmen]] behandelt. == Integrationweg und Normalenvektor == Aus der [[w:de:lineare Algebra|linearen Algebra]] oder im Kontext der [[w:de:Support Vector Machine|Support Vector Machine]] sind [[w:de:Normalenvektor|Normalenvektoren]] bekannt. Für die algebraische Vervollständigung wird eine Art [[w:de:Normalenvektor|Normalenvektor]] <math>\gamma^{\bot}(t)</math> für die Richtungsableitung <math>\gamma{\,}'(t)</math> gebildet, der senkrecht zur Ableitung <math>\gamma{\,}'(t)</math> steht. Dieser Normalenvektor wird dazu verwendet, um analog zum rechtsseitigen bzw. linksseitigen Grenzwert in den reellen Zahlen <math>\mathbb{R}</math> ein Grenzwert in Richtung <math>+\gamma^{\bot}(t)</math> bzw. <math>-\,\gamma^{\bot}(t)</math> zu betrachten. === Voraussetzung für den Weg === Der Weg <math> \gamma: [a, b] \to \mathbb{C} </math> muss ein ''stetig differenzierbarer Weg'' sein, bei dem <math> \gamma{\,}'(t) \neq 0 </math> für alle <math> t \in [a,b] </math> gelten muss. <math> \gamma{\,}'(t) \neq 0 </math> ist notwendig, um an jedem Spurpunkt <math> \gamma(t) </math> einen Richtungsvektor <math> \gamma{\,}'(t) \neq 0 </math> zu haben, zu dem man eindeutig eine Orthogonale zeichnen kann. === Beispiel - Normalenvektor - archimedische Spirale === Für <math> \gamma(t) = t\cdot e^{i t} </math> gilt <math> \gamma{\,}'(t) = i t\cdot e^{i t} </math> für alle <math> t \in \left[\tfrac{\pi}{2}, 12\pi\right] </math>. Durch die Multiplikation mit <math>i </math> rotiert man den Richtungsvektor um <math>\tfrac{\pi}{2}</math> um den Mittelpunkt 0 des Einheitskreises. Damit gilt für die beiden Normalenvektoren * <math>{\scriptstyle +}\,\gamma^{\bot}(t)= {\scriptstyle +} i\cdot\gamma{\,}'(t) = {\scriptstyle +}i\cdot it \cdot e^{i t} = {\scriptstyle -}t\cdot e^{i t}</math> bzw. * <math>{\scriptstyle -}\,\gamma^{\bot}(t)= {\scriptstyle -}i\cdot\gamma{\,}'(t) = {\scriptstyle -}i\cdot it \cdot e^{i t} = {\scriptstyle +}t\cdot e^{i t}</math>. In diesem Fall hat der Normalenvektor den Betrag <math>|\gamma^{\bot}(t)|= |t|= t</math> für alle <math>t\in \left[\tfrac{\pi}{2}, 12\pi\right]</math>. ==== Animation mit 2 Normalenvektoren ==== Der rote Vektor ist der Tangentialvektor <math>\gamma{\,}(t)</math> an dem Spurpunkt <math>\gamma(t)</math> abgetragen. Die gestrichekten Vektoren sind die beiden Normalenvektoren <math>{\scriptstyle +}\gamma^{\bot}(t)</math> (grün) und <math>{\scriptstyle -}\gamma^{\bot}(t)</math> (blau).<span id="Animation"></span> [[File:Tangentialvektor spirale normalenvektor.gif|350px|center|orthogonal vectors for tangent vector assigned to curve as animation - Geogebra GIF export]] ==== Bemerkung - Animation ==== Die in der Animation darstellte Spur <math>Spur(\gamma)</math> ist nur ein Ausschnitt eines [[rechtsseitig parametrisch unendlicher Weg|rechtsseitig parametrisch unendlichen Weges]] <math>\widetilde{\gamma\,} : [0,+\infty) \to \mathbb{C}</math> mit <math>\widetilde{\gamma\,}(0) = 0</math> und <math>\widetilde{\gamma\,}(t)=t\cdot e^{it}</math>, der durch Spurentfernung einen [[einfach zusammenhängend]]es Gebiet <math>G=\mathbb{C}\setminus Spur(\widetilde{\gamma\,})</math> für einen [[generalisierter Logarithmus|generalisierten Logarithmus]] liefert. === Tangentenvektor === Der Tangentenvektor von <math> \gamma </math> an der Spurpunkt <math> \gamma(t) </math> ist zunächst einmal eine komplexe Zahl <math> \gamma'(t) \in \mathbb{C} </math>. In Polarkoordinaten <math>r_t \cdot e^{i\alpha_t}</math>, <math>r_t > 0</math> als Geschwindigkeit und <math>\alpha_t\in [0,2\pi) </math> Richtung interpretiert werden. Da <math> \mathbb{C} </math> isomorph zu <math> \mathbb{R}^2 </math> ist, kann man <math> \gamma'(t) </math> als Vektor in <math> \mathbb{R}^2 </math> auffassen und ein euklidische [[Skalarprodukt]] <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{_\mathbb{R}}</math> auffassen :<math> \langle v , w \rangle_{_\mathbb{R}} = \langle v_1+iv_2 , w_1+iw_2 \rangle_{_\mathbb{R}} = v_1w_1 + v_2w_2 </math> === Aufgabe für Studierende === Überprüfen Sie mit dem euklidische [[Skalarprodukt]] <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{_\mathbb{R}}</math>, ob <math>e^{it}</math> und <math>r\cdot i\cdot e^{it}</math> orthogonal zueinander sind. == Definition - Normalisierung eines Zweiges == Ein Zweig <math>\log_{_G} : G \to \mathbb{C}</math> mit <math>1\in G</math> eines Logarithmus auf einem [[einfach zusammenhängenden]] Gebietes heißt ''normalisiert'', wenn <math>\log_{_G}(1)=0</math> gilt. === Bemerkung - algebraische Vervollständigung === Eine algebraische Vervollständigung eines Logarithmus ist <math>\log_{_G}^{\ast} : \mathbb{C}\setminus \{0\} \to \mathbb{C}</math> ist auf ganz <math>\mathbb{C}\setminus \{0\}</math>, daher gilt immer <math>1\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math>. Für die <math>rlog</math>[[rlog-Funktion|-Funktion]] ist die Normalisierung wesentlich, damit eine Terminierung der rekursiven Anwendung von <math>\log_{_G}^{\ast}</math> auf ein <math>z\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> möglich ist. == Siehe auch == * [[einfach zusammenhängend]] * [[Gebiet (Mathematik)]] * [[generalisierter Logarithmus]] * [[komplexer Logarithmus]] * [[logmod-Funktion]] * [[logmod-Äquivalenzklassen]] * [[rlog-Funktion]] * [[w:de:Normalenvektor|Normalenvektor]] * [[w:de:Support Vector Machine|Support Vector Machine]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/algebraische%20Vervollst%C3%A4ndigung&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=algebraische%20Vervollst%C3%A4ndigung&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/algebraische%20Vervollst%C3%A4ndigung&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=algebraische%20Vervollst%C3%A4ndigung&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/algebraische%20Vervollst%C3%A4ndigung https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/algebraische%20Vervollst%C3%A4ndigung] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/algebraische%20Vervollst%C3%A4ndigung Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/algebraische%20Vervollst%C3%A4ndigung * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/algebraische%20Vervollst%C3%A4ndigung&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=algebraische%20Vervollst%C3%A4ndigung&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] [[Category:Funktionentheorie]] th43mh0vghrs8bu2jnrvleqgaaz658t 106 173375 1119315 1118422 2026-11-10T09:59:44Z Paul Sutermeister 37610 Paul Sutermeister verschob die Seite [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Partizip]] nach [[Kurs:Deutsche Grammatik/Partizip II]]: thematisch passend 1118422 wikitext text/x-wiki __TOC__ '''Partizip II – Schritt für Schritt''' ist eine einfache Lerneinheit zur deutschen Grammatik. Sie lernen hier, was ein Partizip II ist, wie man es bildet und wie man es im Alltag braucht. Jeder Schritt hat eine kurze Erklärung und danach ein kleines Quiz. {| class="wikitable" |- ! Lernziele |- | * Sie erkennen das Partizip II in einem Satz. * Sie können das Partizip II von regelmässigen und unregelmässigen Verben bilden. * Sie wissen, wann es '''kein''' ''ge-'' gibt und wann ''ge-'' in der Mitte steht. * Sie wissen, ob Sie '''haben''' oder '''sein''' brauchen. |} == Schritt 1: Was ist ein Partizip II? == Das '''Partizip II''' (auch ''Partizip 2'' oder ''Partizip Perfekt'') ist eine besondere Form des Verbs. Man braucht es vor allem, um über etwas zu sprechen, das '''schon passiert''' ist. Dazu kommt immer '''haben''' oder '''sein''': * Ich '''habe''' das Buch ''gelesen''. * Wir '''sind''' nach Bern ''gefahren''. * Sie '''hat''' die Rechnung ''bezahlt''. <div style="border:1px solid #2f6f8f; background:#e3eff5; padding:0.6em 1em; margin:1em 0;"> '''Merke:''' Das Partizip II steht im Satz meistens '''ganz am Ende'''. </div> === Quiz zu Schritt 1 === <quiz display=simple> {Welches Wort ist das Partizip II?<br />''Ich habe die Rechnung bezahlt.'' |type="()"} - habe || ''habe'' ist das Hilfsverb. - Rechnung || ''Rechnung'' ist ein Nomen. + bezahlt || Richtig! ''bezahlt'' steht am Ende, zusammen mit ''habe''. {Welches Wort ist das Partizip II?<br />''Sie ist gestern früh aufgestanden.'' |type="()"} - ist - gestern + aufgestanden {Wofür braucht man das Partizip II am häufigsten? |type="()"} - Um über die Zukunft zu sprechen + Um über Vergangenes zu sprechen - Um Fragen zu stellen </quiz> == Schritt 2: Regelmässige Verben == Bei '''regelmässigen''' Verben ist es einfach. Man nimmt den Stamm (das Verb ohne ''-en'') und baut einen «Rahmen» darum: <div style="border:1px dashed #2f6f8f; padding:0.4em 1em; margin:1em 0; display:inline-block; font-family:monospace;"> '''ge''' + Stamm + '''t''' </div> {| class="wikitable" ! Verb !! Partizip II |- | machen || '''ge'''mach'''t''' |- | lernen || '''ge'''lern'''t''' |- | kaufen || '''ge'''kauf'''t''' |- | arbeiten || '''ge'''arbeit'''et''' |} <div style="border:1px solid #2f6f8f; background:#e3eff5; padding:0.6em 1em; margin:1em 0;"> '''Merke:''' Endet der Stamm auf '''-t''' oder '''-d''', kommt ein '''e''' dazu. Sonst kann man es nicht gut aussprechen: gearbeit'''e'''t, gered'''e'''t, gewart'''e'''t. </div> === Quiz zu Schritt 2 === <quiz display=simple> {Bilden Sie das Partizip II von '''kaufen'''. |type="{}"} { gekauft _12 } {Bilden Sie das Partizip II von '''spielen'''. |type="{}"} { gespielt _12 } {Bilden Sie das Partizip II von '''warten'''. |type="{}"} { gewartet _12 } {Welche Form ist richtig? (antworten) |type="()"} + geantwortet || Richtig! Der Stamm endet auf -t, darum kommt ein e dazu. - geantwortt - antwortet </quiz> == Schritt 3: Unregelmässige Verben == Viele Verben, die wir oft brauchen, sind '''unregelmässig'''. Sie enden auf '''-en''', und oft ändert sich der Vokal in der Mitte: <div style="border:1px dashed #2f6f8f; padding:0.4em 1em; margin:1em 0; display:inline-block; font-family:monospace;"> '''ge''' + (oft veränderter) Stamm + '''en''' </div> {| class="wikitable" ! Verb !! Partizip II |- | lesen || '''ge'''les'''en''' |- | schreiben || '''ge'''schr''ie''b'''en''' |- | trinken || '''ge'''tr''u''nk'''en''' |- | gehen || '''ge'''g''ang'''''en''' |- | finden || '''ge'''f''u''nd'''en''' |} <div style="border:1px solid #2f6f8f; background:#e3eff5; padding:0.6em 1em; margin:1em 0;"> '''Merke:''' Diese Formen kann man nicht ausrechnen. Man muss sie '''lernen''', am besten mit einer Liste (siehe unten: «Wichtige unregelmässige Verben»). </div> === Quiz zu Schritt 3 === <quiz display=simple> {Partizip II von '''trinken'''? |type="()"} - getrinkt + getrunken - getrankt {Partizip II von '''schreiben'''? |type="()"} - geschreibt + geschrieben - geschrieben hat {Bilden Sie das Partizip II von '''sehen'''. |type="{}"} { gesehen _12 } {Partizip II von '''finden'''? |type="()"} - gefindet - gefanden + gefunden </quiz> == Schritt 4: Verben ohne ''ge-'' == Manche Verben bekommen '''kein''' ''ge-''. Das sind zwei Gruppen: '''1. Verben mit diesen Vorsilben:''' be-, er-, ver-, zer-, ent-, emp-, ge-, miss- {| class="wikitable" ! Verb !! Partizip II |- | bezahlen || bezahlt |- | verstehen || verstanden |- | erklären || erklärt |- | besuchen || besucht |} '''2. Verben auf -ieren:''' {| class="wikitable" ! Verb !! Partizip II |- | telefonieren || telefoniert |- | reservieren || reserviert |- | reparieren || repariert |} <div style="border:1px solid #2f6f8f; background:#e3eff5; padding:0.6em 1em; margin:1em 0;"> '''Tipp:''' Bei diesen Verben betont man '''nicht''' die erste Silbe: be'''zah'''len, ver'''ste'''hen, telefo'''nie'''ren. </div> === Quiz zu Schritt 4 === <quiz display=simple> {Welche Form ist richtig? (bezahlen) |type="()"} - gebezahlt + bezahlt || Richtig! ''be-'' ist eine Vorsilbe ohne ge-. - bezahlen {Bilden Sie das Partizip II von '''reparieren'''. |type="{}"} { repariert _12 } {Bilden Sie das Partizip II von '''besuchen'''. |type="{}"} { besucht _12 } {Welche Form ist richtig? (vergessen) |type="()"} - gevergessen + vergessen || Richtig! Hier sieht das Partizip gleich aus wie das Verb. - vergesst </quiz> == Schritt 5: Trennbare Verben == Manche Verben haben eine Vorsilbe, die man im Satz abtrennen kann: auf-, ein-, an-, ab-, mit-, aus-, zu- … ''Ich räume '''auf'''. Er ruft mich '''an'''.'' Bei diesen Verben steht ''ge-'' '''in der Mitte''': <div style="border:1px dashed #2f6f8f; padding:0.4em 1em; margin:1em 0; display:inline-block; font-family:monospace;"> Vorsilbe + '''ge''' + Stamm + t/en </div> {| class="wikitable" ! Verb !! Partizip II |- | aufräumen || auf'''ge'''räumt |- | einkaufen || ein'''ge'''kauft |- | anrufen || an'''ge'''rufen |- | ausfüllen || aus'''ge'''füllt |} <div style="border:1px solid #2f6f8f; background:#e3eff5; padding:0.6em 1em; margin:1em 0;"> '''Tipp:''' Bei trennbaren Verben betont man die '''Vorsilbe''': '''auf'''räumen, '''an'''rufen, '''ein'''kaufen. </div> === Quiz zu Schritt 5 === <quiz display=simple> {Welche Form ist richtig? (einkaufen) |type="()"} - geeinkauft + eingekauft - einkauft {Bilden Sie das Partizip II von '''abholen'''. |type="{}"} { abgeholt _14 } {Bilden Sie das Partizip II von '''mitnehmen'''. |type="{}"} { mitgenommen _14 } {Welche Form ist richtig? (ausfüllen) |type="()"} + ausgefüllt - geausfüllt - ausfüllt </quiz> == Schritt 6: ''haben'' oder ''sein''? == Das Partizip II steht zusammen mit '''haben''' oder '''sein'''. Die meisten Verben brauchen ''haben''. '''sein''' braucht man bei: * '''Bewegung''' von A nach B: gehen, fahren, fliegen, kommen<br />→ Ich '''bin''' nach Zürich gefahren. * '''Veränderung''': aufwachen, einschlafen, wachsen, sterben<br />→ Das Kind '''ist''' eingeschlafen. * den Verben '''sein''', '''werden''', '''bleiben'''<br />→ Sie '''ist''' zu Hause geblieben. '''haben''' braucht man bei fast allen anderen Verben: * Ich '''habe''' gegessen. Wir '''haben''' gearbeitet. Er '''hat''' telefoniert. <div style="border:1px solid #2f6f8f; background:#e3eff5; padding:0.6em 1em; margin:1em 0;"> '''Merke:''' Bewegt sich etwas von A nach B oder verändert sich etwas? Dann meistens '''sein'''. Sonst '''haben'''. </div> === Quiz zu Schritt 6 === <quiz display=simple> {Ich ___ nach Zürich gefahren. |type="()"} - habe + bin || Richtig! Bewegung von A nach B → sein. {Wir ___ eine Pizza gegessen. |type="()"} + haben - sind {Das Kind ___ schnell eingeschlafen. |type="()"} - hat + ist || Richtig! Veränderung (wach → schlafend) → sein. {Sie ___ den ganzen Tag zu Hause geblieben. |type="()"} - hat + ist || Richtig! ''bleiben'' steht immer mit sein. </quiz> == Schritt 7: Das Partizip II als Adjektiv == Das Partizip II kann auch '''vor einem Nomen''' stehen, wie ein Adjektiv. Dann bekommt es eine Endung: * die Rechnung ist bezahlt → die '''bezahlt'''''e'' Rechnung * das Ei ist gekocht → das '''gekocht'''''e'' Ei * der Brief ist geschrieben → der '''geschrieben'''''e'' Brief === Quiz zu Schritt 7 === <quiz display=simple> {Die ___ Rechnung liegt auf dem Tisch. (bezahlen) |type="()"} - gebezahlte + bezahlte - bezahlt {Das ___ Fenster muss repariert werden. (zerbrechen) |type="()"} + zerbrochene - gezerbrochene - zerbrecht </quiz> == Schlusstest: alles gemischt == Überlegen Sie bei jedem Verb: # Regelmässig (''-t'') oder unregelmässig (''-en'')? # Mit ''ge-'', ohne ''ge-'' oder ''ge-'' in der Mitte? # ''haben'' oder ''sein''? <quiz display=simple> {Setzen Sie das Partizip II ein. |type="{}"} Ich habe den Brief schon { geschickt _12 }. (schicken) {Setzen Sie das Partizip II ein. |type="{}"} Haben Sie die Aufgabe { verstanden _12 }? (verstehen) {Setzen Sie das Partizip II ein. |type="{}"} Er hat mich gestern { angerufen _12 }. (anrufen) {Setzen Sie das Partizip II ein. |type="{}"} Wir haben den Tisch { reserviert _12 }. (reservieren) {Setzen Sie das Partizip II ein. |type="{}"} Sie hat das Zimmer { aufgeräumt _12 }. (aufräumen) {Der Zug ___ pünktlich angekommen. |type="()"} - hat + ist {Welcher Satz ist richtig? |type="()"} - Ich habe gestern Fussball gespielen. + Ich habe gestern Fussball gespielt. - Ich bin gestern Fussball gespielt. {Welche Sätze sind richtig? (Mehrere Antworten möglich) |type="[]"} + Wir haben lange gewartet. - Er hat nach Basel gefahren. + Sie ist um 7 Uhr aufgewacht. - Ich habe die Rechnung gebezahlt. + Hast du den Film gesehen? </quiz> == Zusammenfassung == {| class="wikitable" ! Regel !! Bildung !! Beispiele |- | Regelmässige Verben || '''ge''' + Stamm + '''t''' || gemacht, gekauft, gearbeitet |- | Unregelmässige Verben || '''ge''' + Stamm + '''en''' (Vokal ändert oft) || gelesen, getrunken, geschrieben |- | Vorsilben be-, er-, ver-, zer-, ent-, emp-, ge-, miss- || '''kein''' ge- || bezahlt, verstanden, erklärt |- | Verben auf -ieren || '''kein''' ge- || telefoniert, repariert |- | Trennbare Verben || Vorsilbe + '''ge''' + Stamm + t/en || aufgeräumt, eingekauft, angerufen |- | Bewegung, Veränderung, sein/werden/bleiben || mit '''sein''' || ist gefahren, ist eingeschlafen |- | Alle anderen Verben || mit '''haben''' || hat gegessen, hat gelernt |} == Wichtige unregelmässige Verben == {| class="wikitable sortable" ! Verb !! Partizip II !! haben / sein |- | bleiben || geblieben || sein |- | bringen || gebracht || haben |- | essen || gegessen || haben |- | fahren || gefahren || sein |- | finden || gefunden || haben |- | fliegen || geflogen || sein |- | geben || gegeben || haben |- | gehen || gegangen || sein |- | helfen || geholfen || haben |- | kommen || gekommen || sein |- | lesen || gelesen || haben |- | nehmen || genommen || haben |- | schlafen || geschlafen || haben |- | schreiben || geschrieben || haben |- | sehen || gesehen || haben |- | sprechen || gesprochen || haben |- | trinken || getrunken || haben |- | werden || geworden || sein |- | wissen || gewusst || haben |} [[Kategorie:Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)]] 8hcnwes0uee5d801wcpjkidd5spbn3p 1119317 1119315 2026-11-10T10:00:21Z Paul Sutermeister 37610 1119317 wikitext text/x-wiki __TOC__ '''Partizip II – Schritt für Schritt''' ist eine einfache Lerneinheit zur deutschen Grammatik. Sie lernen hier, was ein Partizip II ist, wie man es bildet und wie man es im Alltag braucht. Jeder Schritt hat eine kurze Erklärung und danach ein kleines Quiz. {| class="wikitable" |- ! Lernziele |- | * Sie erkennen das Partizip II in einem Satz. * Sie können das Partizip II von regelmässigen und unregelmässigen Verben bilden. * Sie wissen, wann es '''kein''' ''ge-'' gibt und wann ''ge-'' in der Mitte steht. * Sie wissen, ob Sie '''haben''' oder '''sein''' brauchen. |} == Schritt 1: Was ist ein Partizip II? == Das '''Partizip II''' (auch ''Partizip 2'' oder ''Partizip Perfekt'') ist eine besondere Form des Verbs. Man braucht es vor allem, um über etwas zu sprechen, das '''schon passiert''' ist. Dazu kommt immer '''haben''' oder '''sein''': * Ich '''habe''' das Buch ''gelesen''. * Wir '''sind''' nach Bern ''gefahren''. * Sie '''hat''' die Rechnung ''bezahlt''. <div style="border:1px solid #2f6f8f; background:#e3eff5; padding:0.6em 1em; margin:1em 0;"> '''Merke:''' Das Partizip II steht im Satz meistens '''ganz am Ende'''. </div> === Quiz zu Schritt 1 === <quiz display=simple> {Welches Wort ist das Partizip II?<br />''Ich habe die Rechnung bezahlt.'' |type="()"} - habe || ''habe'' ist das Hilfsverb. - Rechnung || ''Rechnung'' ist ein Nomen. + bezahlt || Richtig! ''bezahlt'' steht am Ende, zusammen mit ''habe''. {Welches Wort ist das Partizip II?<br />''Sie ist gestern früh aufgestanden.'' |type="()"} - ist - gestern + aufgestanden {Wofür braucht man das Partizip II am häufigsten? |type="()"} - Um über die Zukunft zu sprechen + Um über Vergangenes zu sprechen - Um Fragen zu stellen </quiz> == Schritt 2: Regelmässige Verben == Bei '''regelmässigen''' Verben ist es einfach. Man nimmt den Stamm (das Verb ohne ''-en'') und baut einen «Rahmen» darum: <div style="border:1px dashed #2f6f8f; padding:0.4em 1em; margin:1em 0; display:inline-block; font-family:monospace;"> '''ge''' + Stamm + '''t''' </div> {| class="wikitable" ! Verb !! Partizip II |- | machen || '''ge'''mach'''t''' |- | lernen || '''ge'''lern'''t''' |- | kaufen || '''ge'''kauf'''t''' |- | arbeiten || '''ge'''arbeit'''et''' |} <div style="border:1px solid #2f6f8f; background:#e3eff5; padding:0.6em 1em; margin:1em 0;"> '''Merke:''' Endet der Stamm auf '''-t''' oder '''-d''', kommt ein '''e''' dazu. Sonst kann man es nicht gut aussprechen: gearbeit'''e'''t, gered'''e'''t, gewart'''e'''t. </div> === Quiz zu Schritt 2 === <quiz display=simple> {Bilden Sie das Partizip II von '''kaufen'''. |type="{}"} { gekauft _12 } {Bilden Sie das Partizip II von '''spielen'''. |type="{}"} { gespielt _12 } {Bilden Sie das Partizip II von '''warten'''. |type="{}"} { gewartet _12 } {Welche Form ist richtig? (antworten) |type="()"} + geantwortet || Richtig! Der Stamm endet auf -t, darum kommt ein e dazu. - geantwortt - antwortet </quiz> == Schritt 3: Unregelmässige Verben == Viele Verben, die wir oft brauchen, sind '''unregelmässig'''. Sie enden auf '''-en''', und oft ändert sich der Vokal in der Mitte: <div style="border:1px dashed #2f6f8f; padding:0.4em 1em; margin:1em 0; display:inline-block; font-family:monospace;"> '''ge''' + (oft veränderter) Stamm + '''en''' </div> {| class="wikitable" ! Verb !! Partizip II |- | lesen || '''ge'''les'''en''' |- | schreiben || '''ge'''schr''ie''b'''en''' |- | trinken || '''ge'''tr''u''nk'''en''' |- | gehen || '''ge'''g''ang'''''en''' |- | finden || '''ge'''f''u''nd'''en''' |} <div style="border:1px solid #2f6f8f; background:#e3eff5; padding:0.6em 1em; margin:1em 0;"> '''Merke:''' Diese Formen kann man nicht ausrechnen. Man muss sie '''lernen''', am besten mit einer Liste (siehe unten: «Wichtige unregelmässige Verben»). </div> === Quiz zu Schritt 3 === <quiz display=simple> {Partizip II von '''trinken'''? |type="()"} - getrinkt + getrunken - getrankt {Partizip II von '''schreiben'''? |type="()"} - geschreibt + geschrieben - geschrieben hat {Bilden Sie das Partizip II von '''sehen'''. |type="{}"} { gesehen _12 } {Partizip II von '''finden'''? |type="()"} - gefindet - gefanden + gefunden </quiz> == Schritt 4: Verben ohne ''ge-'' == Manche Verben bekommen '''kein''' ''ge-''. Das sind zwei Gruppen: '''1. Verben mit diesen Vorsilben:''' be-, er-, ver-, zer-, ent-, emp-, ge-, miss- {| class="wikitable" ! Verb !! Partizip II |- | bezahlen || bezahlt |- | verstehen || verstanden |- | erklären || erklärt |- | besuchen || besucht |} '''2. Verben auf -ieren:''' {| class="wikitable" ! Verb !! Partizip II |- | telefonieren || telefoniert |- | reservieren || reserviert |- | reparieren || repariert |} <div style="border:1px solid #2f6f8f; background:#e3eff5; padding:0.6em 1em; margin:1em 0;"> '''Tipp:''' Bei diesen Verben betont man '''nicht''' die erste Silbe: be'''zah'''len, ver'''ste'''hen, telefo'''nie'''ren. </div> === Quiz zu Schritt 4 === <quiz display=simple> {Welche Form ist richtig? (bezahlen) |type="()"} - gebezahlt + bezahlt || Richtig! ''be-'' ist eine Vorsilbe ohne ge-. - bezahlen {Bilden Sie das Partizip II von '''reparieren'''. |type="{}"} { repariert _12 } {Bilden Sie das Partizip II von '''besuchen'''. |type="{}"} { besucht _12 } {Welche Form ist richtig? (vergessen) |type="()"} - gevergessen + vergessen || Richtig! Hier sieht das Partizip gleich aus wie das Verb. - vergesst </quiz> == Schritt 5: Trennbare Verben == Manche Verben haben eine Vorsilbe, die man im Satz abtrennen kann: auf-, ein-, an-, ab-, mit-, aus-, zu- … ''Ich räume '''auf'''. Er ruft mich '''an'''.'' Bei diesen Verben steht ''ge-'' '''in der Mitte''': <div style="border:1px dashed #2f6f8f; padding:0.4em 1em; margin:1em 0; display:inline-block; font-family:monospace;"> Vorsilbe + '''ge''' + Stamm + t/en </div> {| class="wikitable" ! Verb !! Partizip II |- | aufräumen || auf'''ge'''räumt |- | einkaufen || ein'''ge'''kauft |- | anrufen || an'''ge'''rufen |- | ausfüllen || aus'''ge'''füllt |} <div style="border:1px solid #2f6f8f; background:#e3eff5; padding:0.6em 1em; margin:1em 0;"> '''Tipp:''' Bei trennbaren Verben betont man die '''Vorsilbe''': '''auf'''räumen, '''an'''rufen, '''ein'''kaufen. </div> === Quiz zu Schritt 5 === <quiz display=simple> {Welche Form ist richtig? (einkaufen) |type="()"} - geeinkauft + eingekauft - einkauft {Bilden Sie das Partizip II von '''abholen'''. |type="{}"} { abgeholt _14 } {Bilden Sie das Partizip II von '''mitnehmen'''. |type="{}"} { mitgenommen _14 } {Welche Form ist richtig? (ausfüllen) |type="()"} + ausgefüllt - geausfüllt - ausfüllt </quiz> == Schritt 6: ''haben'' oder ''sein''? == Das Partizip II steht zusammen mit '''haben''' oder '''sein'''. Die meisten Verben brauchen ''haben''. '''sein''' braucht man bei: * '''Bewegung''' von A nach B: gehen, fahren, fliegen, kommen<br />→ Ich '''bin''' nach Zürich gefahren. * '''Veränderung''': aufwachen, einschlafen, wachsen, sterben<br />→ Das Kind '''ist''' eingeschlafen. * den Verben '''sein''', '''werden''', '''bleiben'''<br />→ Sie '''ist''' zu Hause geblieben. '''haben''' braucht man bei fast allen anderen Verben: * Ich '''habe''' gegessen. Wir '''haben''' gearbeitet. Er '''hat''' telefoniert. <div style="border:1px solid #2f6f8f; background:#e3eff5; padding:0.6em 1em; margin:1em 0;"> '''Merke:''' Bewegt sich etwas von A nach B oder verändert sich etwas? Dann meistens '''sein'''. Sonst '''haben'''. </div> === Quiz zu Schritt 6 === <quiz display=simple> {Ich ___ nach Zürich gefahren. |type="()"} - habe + bin || Richtig! Bewegung von A nach B → sein. {Wir ___ eine Pizza gegessen. |type="()"} + haben - sind {Das Kind ___ schnell eingeschlafen. |type="()"} - hat + ist || Richtig! Veränderung (wach → schlafend) → sein. {Sie ___ den ganzen Tag zu Hause geblieben. |type="()"} - hat + ist || Richtig! ''bleiben'' steht immer mit sein. </quiz> == Schritt 7: Das Partizip II als Adjektiv == Das Partizip II kann auch '''vor einem Nomen''' stehen, wie ein Adjektiv. Dann bekommt es eine Endung: * die Rechnung ist bezahlt → die '''bezahlt'''''e'' Rechnung * das Ei ist gekocht → das '''gekocht'''''e'' Ei * der Brief ist geschrieben → der '''geschrieben'''''e'' Brief === Quiz zu Schritt 7 === <quiz display=simple> {Die ___ Rechnung liegt auf dem Tisch. (bezahlen) |type="()"} - gebezahlte + bezahlte - bezahlt {Das ___ Fenster muss repariert werden. (zerbrechen) |type="()"} + zerbrochene - gezerbrochene - zerbrecht </quiz> == Schlusstest: alles gemischt == Überlegen Sie bei jedem Verb: # Regelmässig (''-t'') oder unregelmässig (''-en'')? # Mit ''ge-'', ohne ''ge-'' oder ''ge-'' in der Mitte? # ''haben'' oder ''sein''? <quiz display=simple> {Setzen Sie das Partizip II ein. |type="{}"} Ich habe den Brief schon { geschickt _12 }. (schicken) {Setzen Sie das Partizip II ein. |type="{}"} Haben Sie die Aufgabe { verstanden _12 }? (verstehen) {Setzen Sie das Partizip II ein. |type="{}"} Er hat mich gestern { angerufen _12 }. (anrufen) {Setzen Sie das Partizip II ein. |type="{}"} Wir haben den Tisch { reserviert _12 }. (reservieren) {Setzen Sie das Partizip II ein. |type="{}"} Sie hat das Zimmer { aufgeräumt _12 }. (aufräumen) {Der Zug ___ pünktlich angekommen. |type="()"} - hat + ist {Welcher Satz ist richtig? |type="()"} - Ich habe gestern Fussball gespielen. + Ich habe gestern Fussball gespielt. - Ich bin gestern Fussball gespielt. {Welche Sätze sind richtig? (Mehrere Antworten möglich) |type="[]"} + Wir haben lange gewartet. - Er hat nach Basel gefahren. + Sie ist um 7 Uhr aufgewacht. - Ich habe die Rechnung gebezahlt. + Hast du den Film gesehen? </quiz> == Zusammenfassung == {| class="wikitable" ! Regel !! Bildung !! Beispiele |- | Regelmässige Verben || '''ge''' + Stamm + '''t''' || gemacht, gekauft, gearbeitet |- | Unregelmässige Verben || '''ge''' + Stamm + '''en''' (Vokal ändert oft) || gelesen, getrunken, geschrieben |- | Vorsilben be-, er-, ver-, zer-, ent-, emp-, ge-, miss- || '''kein''' ge- || bezahlt, verstanden, erklärt |- | Verben auf -ieren || '''kein''' ge- || telefoniert, repariert |- | Trennbare Verben || Vorsilbe + '''ge''' + Stamm + t/en || aufgeräumt, eingekauft, angerufen |- | Bewegung, Veränderung, sein/werden/bleiben || mit '''sein''' || ist gefahren, ist eingeschlafen |- | Alle anderen Verben || mit '''haben''' || hat gegessen, hat gelernt |} == Wichtige unregelmässige Verben == {| class="wikitable sortable" ! Verb !! Partizip II !! haben / sein |- | bleiben || geblieben || sein |- | bringen || gebracht || haben |- | essen || gegessen || haben |- | fahren || gefahren || sein |- | finden || gefunden || haben |- | fliegen || geflogen || sein |- | geben || gegeben || haben |- | gehen || gegangen || sein |- | helfen || geholfen || haben |- | kommen || gekommen || sein |- | lesen || gelesen || haben |- | nehmen || genommen || haben |- | schlafen || geschlafen || haben |- | schreiben || geschrieben || haben |- | sehen || gesehen || haben |- | sprechen || gesprochen || haben |- | trinken || getrunken || haben |- | werden || geworden || sein |- | wissen || gewusst || haben |} [[Kategorie:Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)]] [[Kategorie:Kurs:Deutsche Grammatik]] nf8cqbue480w8477luqnjtxdu475ltn 0 173400 1119243 1118649 2026-11-09T13:15:17Z ~2026-59439-79 42074 /* Verwendete Softwarewerkzeuge */ 1119243 wikitext text/x-wiki ==Einleitung== Wir wollen im Sekundarstufen 1 Niveau ein vereinfachtes Modell mit einer Brennregel verwenden, bei dem man eine erste Vorstellung von der räumlichen Ausbreitung eines Waldbrands gewinnt. Die Vereinfachungen sind: ===Unberücksichtigte Kriterien=== Nicht berücksichtigt wird: * Wind * Bäume brennen nicht in einem kontinuierlichen Modell ab, sondern auf einem Schachbrettmuster. * Feuchtigkeit und Bodenbeschaffenheit ===Berücksichtigte Kriterien=== Berücksichtigt wird: * Ein brennender Baum kann in seiner Brennperiode maximal 3 Nachbarbäume in Brand setzen. * Auf welche Nachbarzellen dei Funken übergehen, wird durch ein Zufallsexperiment beschrieben. * Die Bäume stehen in einem rasterförmigen Muster (wie ein Schachbrett). * Nur direkt benachbarte Bäume (oben, unten, links, rechts) können brennen. * Ein Baum brennt nur einmal – dann ist er „verbrannt“. * Es gibt 3 Zustände von Bäumen: unverbrannt, brennt, verbrannt. * Es gibt 4 Zustände von Zellen: Baum umverbrannt, Baum brennt, Baum verbrannt, kein Baum. * Jede Schachbrettzelle hat entweder einen Baum oder ist leer. ==Verwendete Softwarewerkzeuge== Die Tabellenkalkulation [[w:de:Libre Office|LibreOffice]] wird verwendet, um die Zellen auf dem Schachbrettmuster darzustellen. Die Einfärbung erfolgt über bedingte Formatierung: * Grün (<math> x = 0 </math>) = unverbrannt * rot (<math> 0 < x < 1 </math>) = brennt * schwarz (<math> x\geq 1 </math>)= verbrannt * weiß ( <math> x < 0 </math>) = kein Baum in der Zelle p1zcv04vu1uzokdppj0dqtgxtte5j7v 106 173438 1119311 1118984 2026-11-10T09:56:44Z Paul Sutermeister 37610 Paul Sutermeister verschob die Seite [[Benutzer:Paul Sutermeister/Reflexive Verben]] nach [[Kurs:Deutsche Grammatik/Reflexive Verben]]: ausgereifter Inhalt 1118984 wikitext text/x-wiki __NOTOC__ = Reflexive Verben – Schritt für Schritt = Das Wort «reflexiv» klingt kompliziert. Die Sache dahinter ist aber ganz einfach. In diesem Lernpfad gehen Sie in sechs kleinen Schritten vor. Nach jedem Schritt prüfen Sie mit einem kurzen Quiz, ob Sie es verstanden haben. == Schritt 1: Was heisst «reflexiv»? == «Reflexiv» kommt vom lateinischen Wort ''reflectere'' und bedeutet «zurückbiegen». Denken Sie an einen '''Spiegel''': Was Sie hineinschicken, kommt zu Ihnen zurück. Bei einem reflexiven Verb geht die Handlung also '''zurück zur Person, die sie macht'''. Vergleichen Sie: * Ich wasche '''das Auto'''. → Die Handlung geht zum Auto. * Ich wasche '''mich'''. → Die Handlung geht zu mir zurück. '''Das ist reflexiv.''' '''Merksatz:''' ''Reflexiv = Ich mache etwas mit mir selbst.'' <quiz display=simple> {In welchem Satz geht die Handlung zur Person zurück, die sie macht? |type="()"} - Lisa kämmt ihre kleine Schwester. || Hier kämmt Lisa eine andere Person. + Lisa kämmt sich. || Richtig! Lisa kämmt sich selbst. - Lisa kämmt den Hund. || Hier geht die Handlung zum Hund. {Was bedeutet «reflexiv» ungefähr? |type="()"} - schnell + zurückbezogen, wie bei einem Spiegel - in der Vergangenheit - höflich </quiz> == Schritt 2: Die kleinen Wörter – die Reflexivpronomen == Das Wort, das «zurück» zur Person zeigt, heisst '''Reflexivpronomen'''. Es ändert sich je nach Person: {| class="wikitable" ! Person !! Reflexivpronomen !! Beispiel |- | ich || '''mich''' || Ich freue '''mich'''. |- | du || '''dich''' || Du freust '''dich'''. |- | er / sie / es || '''sich''' || Er freut '''sich'''. |- | wir || '''uns''' || Wir freuen '''uns'''. |- | ihr || '''euch''' || Ihr freut '''euch'''. |- | sie / Sie || '''sich''' || Sie freuen '''sich'''. |} '''Tipp:''' Nur bei ''er, sie, es'' und ''sie/Sie'' (Mehrzahl und Höflichkeitsform) heisst es «sich». Darum schreibt man im Wörterbuch immer: '''sich''' freuen, '''sich''' beeilen usw. <quiz display=simple> {Ergänzen Sie das passende Reflexivpronomen. |type="{}"} Ich freue { mich _5 } auf das Wochenende. Du beeilst { dich _5 } am Morgen. Herr Meier erkundigt { sich _5 } nach dem Preis. Wir treffen { uns _5 } um 10 Uhr. Ihr meldet { euch _5 } bitte bis Freitag. Die Lernenden bewerben { sich _5 } um eine Stelle. </quiz> == Schritt 3: Echte reflexive Verben – «sich» muss immer dabei sein == Bei manchen Verben '''muss''' das Reflexivpronomen immer stehen. Ohne «sich» ergibt der Satz keinen Sinn. Das sind '''echte reflexive Verben'''. Beispiele aus dem Berufsalltag: * sich beeilen – ''Ich beeile mich.'' * sich bedanken – ''Wir bedanken uns für Ihre Bestellung.'' * sich bewerben – ''Sie bewirbt sich bei einer Bank.'' * sich erkundigen – ''Ich erkundige mich nach den Lieferzeiten.'' * sich verspäten – ''Der Zug verspätet sich.'' * sich erholen – ''Er erholt sich in den Ferien.'' '''Test:''' Streichen Sie das «sich». ''Ich beeile.'' – Das geht nicht! → echtes reflexives Verb. <quiz display=simple> {Welche Verben sind '''echte''' reflexive Verben? (Mehrere Antworten richtig) |type="[]"} + sich beeilen || Richtig: «Ich beeile.» geht nicht. - waschen || Man kann auch «Ich wasche das Auto» sagen. + sich bedanken || Richtig: «Ich bedanke.» geht nicht. + sich verspäten || Richtig: «Ich verspäte.» geht nicht. - kämmen || Man kann auch «Ich kämme den Hund» sagen. {Welcher Satz ist korrekt? |type="()"} - Ich erhole in den Ferien. + Ich erhole mich in den Ferien. - Ich erhole dich in den Ferien. || «Erholen» kann man nur sich selbst. </quiz> == Schritt 4: Unechte reflexive Verben – «sich» kann man austauschen == Andere Verben '''können''' reflexiv sein, müssen aber nicht. Statt «sich» kann auch eine andere Person oder Sache stehen. Das sind '''unechte reflexive Verben'''. {| class="wikitable" ! reflexiv (zu mir zurück) !! nicht reflexiv (zu etwas anderem) |- | Ich wasche '''mich'''. || Ich wasche '''das Auto'''. |- | Sie zieht '''sich''' an. || Sie zieht '''das Kind''' an. |- | Er stellt '''sich''' vor. || Er stellt '''den Kunden''' vor. |- | Wir informieren '''uns'''. || Wir informieren '''die Chefin'''. |} '''Test:''' Können Sie «sich» durch eine andere Person ersetzen? → Ja = unecht reflexiv. <quiz display=simple> {Ist das Verb in diesem Satz echt oder unecht reflexiv? «Ich informiere mich über das Angebot.» |type="()"} - echt reflexiv + unecht reflexiv || Richtig: Man kann auch «Ich informiere die Kundin» sagen. {Ist das Verb in diesem Satz echt oder unecht reflexiv? «Ich bedanke mich für die Hilfe.» |type="()"} + echt reflexiv || Richtig: «Ich bedanke die Kundin» geht nicht. - unecht reflexiv {Ist das Verb in diesem Satz echt oder unecht reflexiv? «Der Lehrling stellt sich vor.» |type="()"} - echt reflexiv + unecht reflexiv || Richtig: Man kann auch «Er stellt den neuen Kollegen vor» sagen. </quiz> == Schritt 5: mich oder mir? == Manchmal heisst es nicht «mich», sondern «mir». Die Regel ist einfach: * Steht '''nur''' das Reflexivpronomen da → '''mich / dich''' ** ''Ich wasche '''mich'''.'' * Steht '''zusätzlich''' noch eine Sache da → '''mir / dir''' ** ''Ich wasche '''mir''' '''die Hände'''.'' {| class="wikitable" ! Person !! nur Pronomen !! Pronomen + Sache |- | ich || Ich ziehe '''mich''' an. || Ich ziehe '''mir''' die Jacke an. |- | du || Du kämmst '''dich'''. || Du kämmst '''dir''' die Haare. |- | er / sie / es || Er wäscht '''sich'''. || Er wäscht '''sich''' die Hände. |- | wir || Wir merken es '''uns'''. || Wir merken '''uns''' den Termin. |} '''Gute Nachricht:''' Nur bei ''ich'' und ''du'' gibt es zwei Formen. Bei allen anderen bleibt es gleich (sich, uns, euch). <quiz display=simple> {Ergänzen Sie «mich» oder «mir». |type="{}"} Ich wasche { mich _5 } jeden Morgen. Ich wasche { mir _5 } die Hände. Ich ziehe { mir _5 } den Mantel an. Ich ärgere { mich _5 } über den Fehler. Ich merke { mir _5 } das Datum. {Ergänzen Sie «dich» oder «dir». |type="{}"} Kämmst du { dich _5 } noch? Putzt du { dir _5 } die Zähne? Hast du { dich _5 } schon beworben? </quiz> == Schritt 6: Wo steht das Reflexivpronomen? == Das Reflexivpronomen steht meistens '''direkt nach dem konjugierten Verb''': * Ich '''freue mich''' auf die Prüfung. * Morgen '''melde ich mich''' bei Ihnen. In der Vergangenheit (Perfekt) bilden reflexive Verben die Form fast immer mit '''haben''': * Ich '''habe mich''' beworben. * Wir '''haben uns''' verspätet. <quiz display=simple> {Welcher Satz ist korrekt? |type="()"} - Ich bin mich beworben. + Ich habe mich beworben. || Richtig: Reflexive Verben bilden das Perfekt mit «haben». - Ich habe beworben mich. {Welcher Satz ist korrekt? |type="()"} + Morgen melde ich mich bei Ihnen. - Morgen melde mich ich bei Ihnen. - Morgen ich melde mich bei Ihnen. </quiz> == Abschlussquiz == Jetzt kennen Sie alles Wichtige. Testen Sie Ihr Wissen! <quiz display=simple> {Was ist ein reflexives Verb? |type="()"} - Ein Verb, das in der Vergangenheit steht. + Ein Verb, bei dem die Handlung zur handelnden Person zurückgeht. - Ein Verb, das man nur in Fragen braucht. {Ergänzen Sie das richtige Reflexivpronomen. |type="{}"} Sehr geehrte Frau Keller, wir bedanken { uns _5 } für Ihre Anfrage. Ich habe { mich _5 } nach dem Liefertermin erkundigt. Der Kunde beschwert { sich _5 } über die Rechnung. Habt ihr { euch _5 } schon angemeldet? Ich lege { mir _5 } den Termin in die Agenda. Du musst { dich _5 } beeilen. {Welche Sätze sind korrekt? (Mehrere Antworten richtig) |type="[]"} + Wir haben uns gut erholt. - Ich wasche mich die Hände. || Hier steht noch eine Sache («die Hände») → «mir». + Sie entschuldigt sich für die Verspätung. - Ich freue dich auf die Ferien. || Bei «ich» heisst es «mich». + Er zieht sich die Krawatte an. {Welches Verb ist '''unecht''' reflexiv? |type="()"} - sich beeilen - sich bedanken + sich vorstellen || Richtig: Man kann sich selbst oder eine andere Person vorstellen. - sich verspäten </quiz> == Zusammenfassung == {| class="wikitable" ! Was? !! Erklärung !! Beispiel |- | reflexiv || Die Handlung geht zur Person zurück. || Ich wasche '''mich'''. |- | Reflexivpronomen || mich, dich, sich, uns, euch, sich || Wir freuen '''uns'''. |- | echt reflexiv || «sich» muss immer stehen. || '''sich''' beeilen, '''sich''' bedanken |- | unecht reflexiv || «sich» kann man ersetzen. || '''sich''' / '''das Auto''' waschen |- | mich oder mir? || Zusätzliche Sache im Satz → mir / dir || Ich wasche '''mir''' die Hände. |- | Perfekt || immer mit «haben» || Ich '''habe mich''' beworben. |} 2pdfse3jaqpyv55p03yd0g3lj09um90 1119318 1119311 2026-11-10T10:01:49Z Paul Sutermeister 37610 1119318 wikitext text/x-wiki __NOTOC__ = Reflexive Verben – Schritt für Schritt = Das Wort «reflexiv» klingt kompliziert. Die Sache dahinter ist aber ganz einfach. In diesem Lernpfad gehen Sie in sechs kleinen Schritten vor. Nach jedem Schritt prüfen Sie mit einem kurzen Quiz, ob Sie es verstanden haben. == Schritt 1: Was heisst «reflexiv»? == «Reflexiv» kommt vom lateinischen Wort ''reflectere'' und bedeutet «zurückbiegen». Denken Sie an einen '''Spiegel''': Was Sie hineinschicken, kommt zu Ihnen zurück. Bei einem reflexiven Verb geht die Handlung also '''zurück zur Person, die sie macht'''. Vergleichen Sie: * Ich wasche '''das Auto'''. → Die Handlung geht zum Auto. * Ich wasche '''mich'''. → Die Handlung geht zu mir zurück. '''Das ist reflexiv.''' '''Merksatz:''' ''Reflexiv = Ich mache etwas mit mir selbst.'' <quiz display=simple> {In welchem Satz geht die Handlung zur Person zurück, die sie macht? |type="()"} - Lisa kämmt ihre kleine Schwester. || Hier kämmt Lisa eine andere Person. + Lisa kämmt sich. || Richtig! Lisa kämmt sich selbst. - Lisa kämmt den Hund. || Hier geht die Handlung zum Hund. {Was bedeutet «reflexiv» ungefähr? |type="()"} - schnell + zurückbezogen, wie bei einem Spiegel - in der Vergangenheit - höflich </quiz> == Schritt 2: Die kleinen Wörter – die Reflexivpronomen == Das Wort, das «zurück» zur Person zeigt, heisst '''Reflexivpronomen'''. Es ändert sich je nach Person: {| class="wikitable" ! Person !! Reflexivpronomen !! Beispiel |- | ich || '''mich''' || Ich freue '''mich'''. |- | du || '''dich''' || Du freust '''dich'''. |- | er / sie / es || '''sich''' || Er freut '''sich'''. |- | wir || '''uns''' || Wir freuen '''uns'''. |- | ihr || '''euch''' || Ihr freut '''euch'''. |- | sie / Sie || '''sich''' || Sie freuen '''sich'''. |} '''Tipp:''' Nur bei ''er, sie, es'' und ''sie/Sie'' (Mehrzahl und Höflichkeitsform) heisst es «sich». Darum schreibt man im Wörterbuch immer: '''sich''' freuen, '''sich''' beeilen usw. <quiz display=simple> {Ergänzen Sie das passende Reflexivpronomen. |type="{}"} Ich freue { mich _5 } auf das Wochenende. Du beeilst { dich _5 } am Morgen. Herr Meier erkundigt { sich _5 } nach dem Preis. Wir treffen { uns _5 } um 10 Uhr. Ihr meldet { euch _5 } bitte bis Freitag. Die Lernenden bewerben { sich _5 } um eine Stelle. </quiz> == Schritt 3: Echte reflexive Verben – «sich» muss immer dabei sein == Bei manchen Verben '''muss''' das Reflexivpronomen immer stehen. Ohne «sich» ergibt der Satz keinen Sinn. Das sind '''echte reflexive Verben'''. Beispiele aus dem Berufsalltag: * sich beeilen – ''Ich beeile mich.'' * sich bedanken – ''Wir bedanken uns für Ihre Bestellung.'' * sich bewerben – ''Sie bewirbt sich bei einer Bank.'' * sich erkundigen – ''Ich erkundige mich nach den Lieferzeiten.'' * sich verspäten – ''Der Zug verspätet sich.'' * sich erholen – ''Er erholt sich in den Ferien.'' '''Test:''' Streichen Sie das «sich». ''Ich beeile.'' – Das geht nicht! → echtes reflexives Verb. <quiz display=simple> {Welche Verben sind '''echte''' reflexive Verben? (Mehrere Antworten richtig) |type="[]"} + sich beeilen || Richtig: «Ich beeile.» geht nicht. - waschen || Man kann auch «Ich wasche das Auto» sagen. + sich bedanken || Richtig: «Ich bedanke.» geht nicht. + sich verspäten || Richtig: «Ich verspäte.» geht nicht. - kämmen || Man kann auch «Ich kämme den Hund» sagen. {Welcher Satz ist korrekt? |type="()"} - Ich erhole in den Ferien. + Ich erhole mich in den Ferien. - Ich erhole dich in den Ferien. || «Erholen» kann man nur sich selbst. </quiz> == Schritt 4: Unechte reflexive Verben – «sich» kann man austauschen == Andere Verben '''können''' reflexiv sein, müssen aber nicht. Statt «sich» kann auch eine andere Person oder Sache stehen. Das sind '''unechte reflexive Verben'''. {| class="wikitable" ! reflexiv (zu mir zurück) !! nicht reflexiv (zu etwas anderem) |- | Ich wasche '''mich'''. || Ich wasche '''das Auto'''. |- | Sie zieht '''sich''' an. || Sie zieht '''das Kind''' an. |- | Er stellt '''sich''' vor. || Er stellt '''den Kunden''' vor. |- | Wir informieren '''uns'''. || Wir informieren '''die Chefin'''. |} '''Test:''' Können Sie «sich» durch eine andere Person ersetzen? → Ja = unecht reflexiv. <quiz display=simple> {Ist das Verb in diesem Satz echt oder unecht reflexiv? «Ich informiere mich über das Angebot.» |type="()"} - echt reflexiv + unecht reflexiv || Richtig: Man kann auch «Ich informiere die Kundin» sagen. {Ist das Verb in diesem Satz echt oder unecht reflexiv? «Ich bedanke mich für die Hilfe.» |type="()"} + echt reflexiv || Richtig: «Ich bedanke die Kundin» geht nicht. - unecht reflexiv {Ist das Verb in diesem Satz echt oder unecht reflexiv? «Der Lehrling stellt sich vor.» |type="()"} - echt reflexiv + unecht reflexiv || Richtig: Man kann auch «Er stellt den neuen Kollegen vor» sagen. </quiz> == Schritt 5: mich oder mir? == Manchmal heisst es nicht «mich», sondern «mir». Die Regel ist einfach: * Steht '''nur''' das Reflexivpronomen da → '''mich / dich''' ** ''Ich wasche '''mich'''.'' * Steht '''zusätzlich''' noch eine Sache da → '''mir / dir''' ** ''Ich wasche '''mir''' '''die Hände'''.'' {| class="wikitable" ! Person !! nur Pronomen !! Pronomen + Sache |- | ich || Ich ziehe '''mich''' an. || Ich ziehe '''mir''' die Jacke an. |- | du || Du kämmst '''dich'''. || Du kämmst '''dir''' die Haare. |- | er / sie / es || Er wäscht '''sich'''. || Er wäscht '''sich''' die Hände. |- | wir || Wir merken es '''uns'''. || Wir merken '''uns''' den Termin. |} '''Gute Nachricht:''' Nur bei ''ich'' und ''du'' gibt es zwei Formen. Bei allen anderen bleibt es gleich (sich, uns, euch). <quiz display=simple> {Ergänzen Sie «mich» oder «mir». |type="{}"} Ich wasche { mich _5 } jeden Morgen. Ich wasche { mir _5 } die Hände. Ich ziehe { mir _5 } den Mantel an. Ich ärgere { mich _5 } über den Fehler. Ich merke { mir _5 } das Datum. {Ergänzen Sie «dich» oder «dir». |type="{}"} Kämmst du { dich _5 } noch? Putzt du { dir _5 } die Zähne? Hast du { dich _5 } schon beworben? </quiz> == Schritt 6: Wo steht das Reflexivpronomen? == Das Reflexivpronomen steht meistens '''direkt nach dem konjugierten Verb''': * Ich '''freue mich''' auf die Prüfung. * Morgen '''melde ich mich''' bei Ihnen. In der Vergangenheit (Perfekt) bilden reflexive Verben die Form fast immer mit '''haben''': * Ich '''habe mich''' beworben. * Wir '''haben uns''' verspätet. <quiz display=simple> {Welcher Satz ist korrekt? |type="()"} - Ich bin mich beworben. + Ich habe mich beworben. || Richtig: Reflexive Verben bilden das Perfekt mit «haben». - Ich habe beworben mich. {Welcher Satz ist korrekt? |type="()"} + Morgen melde ich mich bei Ihnen. - Morgen melde mich ich bei Ihnen. - Morgen ich melde mich bei Ihnen. </quiz> == Abschlussquiz == Jetzt kennen Sie alles Wichtige. Testen Sie Ihr Wissen! <quiz display=simple> {Was ist ein reflexives Verb? |type="()"} - Ein Verb, das in der Vergangenheit steht. + Ein Verb, bei dem die Handlung zur handelnden Person zurückgeht. - Ein Verb, das man nur in Fragen braucht. {Ergänzen Sie das richtige Reflexivpronomen. |type="{}"} Sehr geehrte Frau Keller, wir bedanken { uns _5 } für Ihre Anfrage. Ich habe { mich _5 } nach dem Liefertermin erkundigt. Der Kunde beschwert { sich _5 } über die Rechnung. Habt ihr { euch _5 } schon angemeldet? Ich lege { mir _5 } den Termin in die Agenda. Du musst { dich _5 } beeilen. {Welche Sätze sind korrekt? (Mehrere Antworten richtig) |type="[]"} + Wir haben uns gut erholt. - Ich wasche mich die Hände. || Hier steht noch eine Sache («die Hände») → «mir». + Sie entschuldigt sich für die Verspätung. - Ich freue dich auf die Ferien. || Bei «ich» heisst es «mich». + Er zieht sich die Krawatte an. {Welches Verb ist '''unecht''' reflexiv? |type="()"} - sich beeilen - sich bedanken + sich vorstellen || Richtig: Man kann sich selbst oder eine andere Person vorstellen. - sich verspäten </quiz> == Zusammenfassung == {| class="wikitable" ! Was? !! Erklärung !! Beispiel |- | reflexiv || Die Handlung geht zur Person zurück. || Ich wasche '''mich'''. |- | Reflexivpronomen || mich, dich, sich, uns, euch, sich || Wir freuen '''uns'''. |- | echt reflexiv || «sich» muss immer stehen. || '''sich''' beeilen, '''sich''' bedanken |- | unecht reflexiv || «sich» kann man ersetzen. || '''sich''' / '''das Auto''' waschen |- | mich oder mir? || Zusätzliche Sache im Satz → mir / dir || Ich wasche '''mir''' die Hände. |- | Perfekt || immer mit «haben» || Ich '''habe mich''' beworben. |} [[Kategorie:Kurs:Deutsche Grammatik]] m702cfwhtwxjboc60m4l5lliovf1sws 106 173455 1119235 1119165 2026-11-09T12:05:37Z Paul Sutermeister 37610 1119235 wikitext text/x-wiki __NOTOC__ '''Textproduktion üben: Pflichtelemente erkennen und Texte verbessern''' Auf der ersten Seite haben Sie die Regeln der Aufgabe 4 kennengelernt. Jetzt wenden Sie sie an: Sie lesen eine Aufgabenstellung, prüfen einen schwachen Text und vergleichen ihn mit einem gelungenen. Am Schluss schreiben Sie selbst. == Schritt 1: Die Übungsaufgabe == Lesen Sie die folgende Aufgabenstellung genau. <div style="border:1px solid #aaa; padding:10px; background:#f8f9fa;"> Sie sind Mitglied im Vorstand des Unihockeyclubs Seeberg. Ihr Verein hat seine bisherige Trainingshalle verloren. Sie schreiben im Namen des Vereins ein '''Gesuch an die Gemeinde''', um die Turnhalle des Schulhauses Rain zu mieten. * Nennen Sie Ihr Anliegen klar (welche Halle, wann, ab wann). * Begründen Sie Ihr Gesuch mit '''drei Argumenten'''. * Schliessen Sie mit einer höflichen Bitte um Antwort. * Ihr Text ist '''90 bis 110 Wörter''' lang. </div> <quiz display=simple> {Welche Pflichtelemente verlangt diese Aufgabe? (Mehrere Antworten richtig) |type="[]"} + ein klar formuliertes Anliegen + drei Argumente + ein höflicher Schluss mit Bitte um Antwort + 90 bis 110 Wörter - eine Kritik an der Gemeinde - eine Geschichte des Vereins {Wer ist der Empfänger dieses Textes? |type="()"} - die Vereinsmitglieder + die Gemeinde (Behörde) - die Leserinnen und Leser einer Zeitung - die Eltern der Kinder {Welcher Ton passt deshalb? |type="()"} - locker und kumpelhaft - fordernd und drohend + höflich, formell und sachlich - witzig und ironisch </quiz> == Schritt 2: Ein schwacher Text == Marco hat folgendes Gesuch geschrieben: <div style="border:1px solid #c00; padding:10px; background:#fff5f5;"> Hallo<br/> Wir sind der Unihockeyclub Seeberg und wir brauchen dringend eine Turnhalle. Jugendliche bewegen sich heute deutlich weniger als noch vor zwanzig Jahren. Die Halle beim Schulhaus Rain steht am Abend ja eh leer. Wir wollen sie am Mittwoch. Unsere Halle in Neudorf ist nämlich zu teuer geworden und das ist echt mühsam. Wenn wir die Halle nicht kriegen, müssen wir den Verein wohl schliessen und dann ist die Gemeinde schuld.<br/> Tschüss<br/> Marco </div> ''(73 Wörter)'' <quiz display=simple> {Was stimmt mit der Anrede «Hallo» und dem Gruss «Tschüss» nicht? |type="()"} - Nichts, sie sind freundlich. + Sie sind zu umgangssprachlich für ein Gesuch an eine Behörde. - Sie sind zu formell. - Sie sind falsch geschrieben. {Welche Sätze sind im Ton unpassend? (Mehrere Antworten richtig) |type="[]"} + «Die Halle steht am Abend ja eh leer.» + «Das ist echt mühsam.» + «Dann ist die Gemeinde schuld.» - «Jugendliche bewegen sich heute deutlich weniger als noch vor zwanzig Jahren.» {Der Satz «Dann ist die Gemeinde schuld» ist … |type="()"} - eine gute Begründung. + eine Schuldzuweisung und versteckte Drohung. - eine höfliche Bitte. - ein Fazit. {Welche Angaben zum Anliegen fehlen? (Mehrere Antworten richtig) |type="[]"} + die genaue Uhrzeit + ab wann die Halle benötigt wird - der Name des Vereins - der Name der Halle {Welches Problem hat der Text bei der Länge? |type="()"} - Er ist genau richtig. - Er ist zu lang. + Er ist mehr als 10 Wörter zu kurz (−4 Punkte). - Er ist bis 10 Wörter zu kurz (−2 Punkte). {Fehlt im Text ein Pflichtelement? |type="()"} - Nein, alles ist da. + Ja, der höfliche Schluss mit Bitte um Antwort fehlt. - Ja, es fehlt eine Kritik an der Gemeinde. - Ja, es fehlt ein Zitat. </quiz> == Schritt 3: Sätze verbessern == Ein schwacher Satz lässt sich fast immer sachlich umformulieren. Wählen Sie jeweils die beste Verbesserung. <quiz display=simple> {«Wir wollen sie am Mittwoch.» |type="()"} - Wir wollen die Halle unbedingt am Mittwoch haben. + Gerne würden wir die Halle jeweils am Mittwoch von 19 bis 21 Uhr mieten. - Mittwoch wäre cool. - Geben Sie uns die Halle am Mittwoch. {«Unsere Halle in Neudorf ist nämlich zu teuer geworden und das ist echt mühsam.» |type="()"} + Unsere bisherige Halle in Neudorf können wir aus Kostengründen leider nicht mehr nutzen. - Neudorf ist einfach viel zu teuer, das nervt. - Neudorf will zu viel Geld, das ist eine Frechheit. - Wir haben keine Halle mehr. {«Wenn wir die Halle nicht kriegen, müssen wir den Verein wohl schliessen und dann ist die Gemeinde schuld.» |type="()"} - Ohne Halle ist alles vorbei. - Sie sind verantwortlich, wenn es uns bald nicht mehr gibt. + Mit einer neuen Trainingsmöglichkeit kann unser Verein sein Angebot für die Jugend weiterführen. - Bitte, bitte, wir brauchen die Halle wirklich. </quiz> == Schritt 4: Ein gelungener Text == So könnte ein gutes Gesuch aussehen: <div style="border:1px solid #080; padding:10px; background:#f5fff5;"> Sehr geehrte Damen und Herren<br/> Der Unihockeyclub Seeberg ersucht Sie höflich, uns die Turnhalle des Schulhauses Rain ab Januar jeweils am Mittwoch von 19 bis 21 Uhr zu vermieten.<br/> Unser Verein trainiert mit rund 25 Kindern und Jugendlichen. Gerade heute, wo viele junge Menschen ihre Freizeit am Bildschirm verbringen, bieten wir ihnen eine sinnvolle sportliche Beschäftigung. Zudem stärkt unser Verein das Dorfleben: Mehrere Eltern engagieren sich ehrenamtlich als Trainerinnen und Trainer. Unsere bisherige Halle in Neudorf ist leider nicht mehr verfügbar, weshalb wir auf Ihre Unterstützung angewiesen sind.<br/> Für die Prüfung unseres Gesuchs danken wir Ihnen bestens und freuen uns auf Ihre Antwort.<br/> Freundliche Grüsse<br/> Marco Keller, Präsident </div> ''(108 Wörter)'' <quiz display=simple> {Wo steht das Anliegen? |type="()"} + Gleich im ersten Satz nach der Anrede. - Erst am Schluss. - Mitten im Hauptteil. - Es fehlt. {Welche Argumente nennt der Text? (Mehrere Antworten richtig) |type="[]"} + Der Verein bietet Kindern und Jugendlichen sinnvolle Bewegung. + Der Verein stärkt das Dorfleben durch freiwilliges Engagement. + Die bisherige Halle ist nicht mehr verfügbar. - Die Turnhalle steht sowieso leer. - Die Gemeinde ist sonst schuld. {Ist die Länge in Ordnung? |type="()"} + Ja, 108 Wörter liegen zwischen 90 und 110. - Nein, der Text ist zu lang. - Nein, der Text ist zu kurz. - Die Länge spielt keine Rolle. {Was macht diesen Text besser als Marcos ersten Versuch? (Mehrere Antworten richtig) |type="[]"} + formelle Anrede und Grussformel + genaue Angaben zu Halle, Tag, Uhrzeit und Beginn + sachliche Begründungen statt Vorwürfe + höflicher Schluss mit Dank - mehr Ausrufezeichen </quiz> == Schritt 5: Ausführlich statt knapp == In Firmenzeitungsbeiträgen werden oft drei '''persönliche Erfahrungen''' verlangt. Ausführliche Erfahrungen geben 2 Punkte, knappe nur 1 Punkt. Eine ausführliche Erfahrung beantwortet meistens: '''Was''' ist passiert? '''Wann oder wo'''? '''Mit welcher Folge'''? <quiz display=simple> {Welche Erfahrung zum Thema Videokonferenzen ist ausführlich beschrieben? |type="()"} - Zoom war praktisch. - Ich mochte die Videokonferenzen nicht so. + Dank der Videokonferenzen konnte ich zweimal pro Woche an den Teamsitzungen teilnehmen, ohne eine Stunde nach Bern zu pendeln. - Videokonferenzen sind modern. {Welche Erfahrung zur geschlossenen Kantine ist ausführlich beschrieben? |type="()"} - Die Kantine war zu. + Weil die Kantine geschlossen war, ass ich mittags allein am Pult und vermisste die Gespräche mit Kolleginnen aus anderen Abteilungen. - Ich hatte Hunger. - Die Kantine fehlte mir. {Was beantwortet eine ausführliche Erfahrung? (Mehrere Antworten richtig) |type="[]"} + Was ist passiert? + Welche Folge hatte es? + In welcher Situation geschah es? - Was steht wörtlich im Lesetext? </quiz> == Schritt 6: Jetzt sind Sie dran == Schreiben Sie nun selbst einen Text. Gehen Sie so vor: # '''Aufgabe lesen:''' Markieren Sie alle Pflichtelemente. # '''Checkliste notieren:''' Schreiben Sie die Pflichtelemente als Liste auf ein Blatt. # '''Stichworte sammeln:''' Notieren Sie Ihre drei Argumente, Erfahrungen oder Ideen. # '''Schreiben:''' Einleitung – Hauptteil – Schluss (bei Briefen mit Anrede und Gruss). # '''Prüfen:''' Checkliste abhaken, Wörter zählen, Rechtschreibung kontrollieren. '''Übungsauftrag''' <div style="border:1px solid #aaa; padding:10px; background:#f8f9fa;"> Ihr Betrieb hat ein Jahr lang an zwei Tagen pro Woche Homeoffice erlaubt. Schreiben Sie einen Beitrag für die Firmenzeitung (90 bis 110 Wörter): * Äussern Sie sich positiv '''und''' kritisch zum Homeoffice. * Beschreiben Sie drei persönliche Erfahrungen. * Schliessen Sie mit einem Fazit: Soll der Betrieb das Homeoffice beibehalten? </div> <quiz display=simple> {Bevor Sie abgeben: Welche Kontrollen machen Sie? (Mehrere Antworten richtig) |type="[]"} + Sind positive und kritische Punkte enthalten? + Sind alle drei Erfahrungen ausführlich? + Gibt es ein Fazit? + Liegt der Text zwischen 90 und 110 Wörtern? - Habe ich möglichst viele Sätze aus dem Lesetext übernommen? </quiz> == Checkliste zum Ausdrucken == {| class="wikitable" ! Kontrolle !! erledigt |- | Texttyp und Empfänger richtig erkannt || ☐ |- | Passende Anrede und Grussformel (bei Briefen) || ☐ |- | Anliegen oder Thema in der Einleitung klar || ☐ |- | Bezug zum Lesetext, in eigenen Worten || ☐ |- | Drei Punkte, jeder ausführlich || ☐ |- | Positive und kritische Seite (falls verlangt) || ☐ |- | Fazit oder höflicher Schluss || ☐ |- | 90–110 Wörter (Zahl notiert) || ☐ |- | Rechtschreibung, Grammatik, Zeichensetzung geprüft || ☐ |} [[Kategorie:Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)]] 0q8lebq08bbvq14l704gzg9velmoasl 0 173469 1119264 2026-11-09T17:02:56Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1119264 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Induktion über die Ordnung {{math|term= n |SZ=,}} wobei im Fall {{ Relationskette | n || 1 || || || |SZ= }} nichts zu zeigen ist. Für den Induktionsschluss sei {{math|term= Z |SZ=}} das {{ Definitionslink |Prämath= |Zentrum| |Kontext=| |SZ= }} von {{math|term= G |SZ=.}} Wenn die Ordnung von {{math|term= Z |SZ=}} ein Vielfaches von {{math|term= p |SZ=}} ist, so gibt es nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Gruppentheorie/Kommutativ/Endlich erzeugt/Hauptsatz/Fakt |Nr= |SZ= }} eine Untergruppe {{ Relationskette | H | \subseteq | Z | \subseteq | G || || |SZ= }} mit {{math|term= p |SZ=}} Elementen. Als Untergruppe des Zentrums ist sie ein {{ Definitionslink |Prämath= |Normalteiler| |Kontext=| |SZ= }} von {{math|term= G |SZ=,}} und es liegt eine {{ Definitionslink |Prämath= |kurze exakte Sequenz| |Kontext=Guppe| |SZ= }} {{Kurze exakte Sequenz/display|H|G|G/H}} vor. Aufgrund der [[Gruppentheorie/Satz von Lagrange/Textabschnitt|Indexformel]] ist {{math|term= p^{r-1} |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=bei {{ Relationskette | r || 1 || || || |SZ= }} sind wir in diesem Fall schon fertig| |ISZ=|ESZ= }} ein Teiler der Gruppenordnung von {{mathl|term= G/H |SZ=,}} und diese ist kleiner als {{math|term= n |SZ=.}} Nach Induktionsvoraussetzung gibt es also eine Untergruppe {{ Relationskette/display | U | \subseteq | G/H || || || |SZ= }} mit {{math|term= p^{r-1} |SZ=}} Elementen. Die Urbildgruppe {{ Relationskette | U' | \subseteq | G || || || |SZ= }} ist eine Untergruppe von {{math|term= G |SZ=}} mit der Anzahl {{math|term= p^r |SZ=.}} {{parskip}} Es sei nun die Ordnung von {{math|term= Z |SZ=}} kein Vielfaches von {{math|term= p |SZ=.}} Aufgrund {{ Faktlink |Präwort=der|Klassengleichung|Faktseitenname= Konjugation/Klassengleichung/Fakt |Nr= |SZ= }} gibt es dann auch eine {{ Definitionslink |Prämath= |Konjugationsklasse| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= K |SZ=,}} deren Anzahl {{ Zusatz/Klammer |text=die zumindest {{math|term= 2 |SZ=}} ist| |ISZ=|ESZ= }} ebenfalls kein Vielfaches von {{math|term= p |SZ=}} ist. Nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Endliche Gruppe/Konjugationsklassen/Standgruppe und Anzahl/Fakt |Nr= |SZ= }} gibt es eine Untergruppe {{ Relationskette | H | \subseteq | G || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette/display | {{op:Anzahl| K |}} || {{op:Gruppenindex| H | G }} || || || |SZ=. }} Wegen {{ Relationskette/display | {{op:Anzahl| G |}} || {{op:Anzahl| H |}} \cdot {{op:Gruppenindex| H | G }} || || || |SZ= }} ist {{math|term= p^r |SZ=}} ein Teiler von {{math|term= {{op:Anzahl| H |}} |SZ=}} und daher gibt es nach Induktionsvoraussetzung in {{math|term= H |SZ=}} und erst recht in {{math|term= G |SZ=}} eine Untergruppe der Ordnung {{math|term= p^r |SZ=.}} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} js61znjwl4iwwngorei46ooh4qs6oqt 1119266 1119264 2026-11-09T17:03:54Z Bocardodarapti 2041 1119266 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Induktion über die Ordnung {{math|term= n |SZ=,}} wobei im Fall {{ Relationskette | n || 1 || || || |SZ= }} nichts zu zeigen ist. Für den Induktionsschluss sei {{math|term= Z |SZ=}} das {{ Definitionslink |Prämath= |Zentrum| |Kontext=| |SZ= }} von {{math|term= G |SZ=.}} Wenn die Ordnung von {{math|term= Z |SZ=}} ein Vielfaches von {{math|term= p |SZ=}} ist, so gibt es nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Gruppentheorie/Kommutativ/Endlich erzeugt/Hauptsatz/Fakt |Nr= |SZ= }} eine Untergruppe {{ Relationskette | H | \subseteq | Z | \subseteq | G || || |SZ= }} mit {{math|term= p |SZ=}} Elementen. Als Untergruppe des Zentrums ist sie ein {{ Definitionslink |Prämath= |Normalteiler| |Kontext=| |SZ= }} von {{math|term= G |SZ=,}} und es liegt eine {{ Definitionslink |Prämath= |kurze exakte Sequenz| |Kontext=Gruppe| |SZ= }} {{Kurze exakte Sequenz/display|H|G|G/H}} vor. Aufgrund der [[Gruppentheorie/Satz von Lagrange/Textabschnitt|Indexformel]] ist {{math|term= p^{r-1} |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=bei {{ Relationskette | r || 1 || || || |SZ= }} sind wir in diesem Fall schon fertig| |ISZ=|ESZ= }} ein Teiler der Gruppenordnung von {{mathl|term= G/H |SZ=,}} und diese ist kleiner als {{math|term= n |SZ=.}} Nach Induktionsvoraussetzung gibt es also eine Untergruppe {{ Relationskette/display | U | \subseteq | G/H || || || |SZ= }} mit {{math|term= p^{r-1} |SZ=}} Elementen. Die Urbildgruppe {{ Relationskette | U' | \subseteq | G || || || |SZ= }} ist eine Untergruppe von {{math|term= G |SZ=}} mit der Anzahl {{math|term= p^r |SZ=.}} {{parskip}} Es sei nun die Ordnung von {{math|term= Z |SZ=}} kein Vielfaches von {{math|term= p |SZ=.}} Aufgrund {{ Faktlink |Präwort=der|Klassengleichung|Faktseitenname= Konjugation/Klassengleichung/Fakt |Nr= |SZ= }} gibt es dann auch eine {{ Definitionslink |Prämath= |Konjugationsklasse| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= K |SZ=,}} deren Anzahl {{ Zusatz/Klammer |text=die zumindest {{math|term= 2 |SZ=}} ist| |ISZ=|ESZ= }} ebenfalls kein Vielfaches von {{math|term= p |SZ=}} ist. Nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Endliche Gruppe/Konjugationsklassen/Standgruppe und Anzahl/Fakt |Nr= |SZ= }} gibt es eine Untergruppe {{ Relationskette | H | \subseteq | G || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette/display | {{op:Anzahl| K |}} || {{op:Gruppenindex| H | G }} || || || |SZ=. }} Wegen {{ Relationskette/display | {{op:Anzahl| G |}} || {{op:Anzahl| H |}} \cdot {{op:Gruppenindex| H | G }} || || || |SZ= }} ist {{math|term= p^r |SZ=}} ein Teiler von {{math|term= {{op:Anzahl| H |}} |SZ=}} und daher gibt es nach Induktionsvoraussetzung in {{math|term= H |SZ=}} und erst recht in {{math|term= G |SZ=}} eine Untergruppe der Ordnung {{math|term= p^r |SZ=.}} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} 6jpnms5eq93dqxm982qa6g7rpm8oset 14 173470 1119265 2026-11-09T17:03:06Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1119265 wikitext text/x-wiki {{Beweis-Kategorie unter}} 33l06mtti6of7n1boxwu0pr328ga1mf 106 173471 1119308 2026-11-10T09:52:41Z Paul Sutermeister 37610 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1119308 wikitext text/x-wiki Zur Namenswahl «Kurs:Deutsche Grammatik» Der Titel übernimmt den etablierten Begriff der deutschsprachigen Wikipedia ([[:w:Kategorie:Deutsche Grammatik|Kategorie:Deutsche Grammatik]]) und ist kurz, eindeutig und leicht auffindbar. Die bestehende Seite «Grammatik» behandelt zwar inhaltlich nur das Deutsche, trägt aber einen allgemeinen Titel. Auf Wikiversity ist Platz für Grammatikkurse weiterer Sprachen (z. B. Französisch, Italienisch, Englisch). Der Zusatz «Deutsche» schafft deshalb von Anfang an Klarheit und lässt Raum für parallele Kurse wie «Kurs:Französische Grammatik». Der Kurs ist berufs- und niveauneutral angelegt und richtet sich an Lernende aus Berufsbildung, Deutsch als Zweitsprache und Erwachsenenbildung. [[Kategorie:Kurs:Deutsche Grammatik| ]] sh6l5u5qwvvwcw74z7ly3cjotdqe965 14 173472 1119309 2026-11-10T09:53:06Z Paul Sutermeister 37610 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1119309 wikitext text/x-wiki [[Kategorie:Kurs:Grammatik]] dkjdsv1is6xlu0z07qxomm2pkv87fzk 106 173473 1119310 2026-11-10T09:55:37Z Paul Sutermeister 37610 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1119310 wikitext text/x-wiki __NOTOC__ = Konjugierte Verben – Schritt für Schritt verstehen = Auf dieser Seite lernen Sie Schritt für Schritt, was '''konjugierte Verben''' sind, warum es sie gibt und wie sie funktionieren. Sie brauchen dafür '''kein Vorwissen'''. Lesen Sie zuerst die kurze Erklärung und lösen Sie danach das Quiz zu jedem Schritt. Jeder Schritt baut auf dem vorherigen auf. == Schritt 1: Was ist überhaupt ein Verb? == Ein '''Verb''' ist ein Wort, das sagt, '''was jemand tut''' oder '''was passiert'''. Beispiele: ''laufen, essen, schreiben, lachen, schlafen, regnen'' Ein einfacher Test: Kann man «Ich …» oder «Wir …» davor setzen und ergibt es einen Sinn? Dann ist es wahrscheinlich ein Verb. * «Wir laufen.» → ''laufen'' ist ein Verb. * «Wir Tisch.» → ergibt keinen Sinn, ''Tisch'' ist kein Verb. <quiz display=simple> {Welches Wort ist ein Verb? |type="()"} - Haus + schwimmen - grün - schnell {Welches Wort ist ein Verb? |type="()"} - Stuhl - müde + lesen - morgen {Welche Wörter sind Verben? (Mehrere Antworten sind richtig.) |type="[]"} + kochen - Apfel + tanzen - klein + arbeiten - Schule </quiz> == Schritt 2: Die Grundform des Verbs == Im Wörterbuch steht ein Verb immer in seiner '''Grundform'''. Die Grundform heisst auch '''Infinitiv'''. Die Grundform endet fast immer auf '''-en''' (manchmal nur auf '''-n'''): * spiel'''en''', lach'''en''', mach'''en''' * wander'''n''', sammel'''n''' Die Grundform sagt nur '''was''' getan wird. Sie sagt aber '''nicht''', '''wer''' es tut. <quiz display=simple> {Welches Wort steht in der Grundform (Infinitiv)? |type="()"} - spielt - spielst + spielen - spielte {Welches Wort steht in der Grundform (Infinitiv)? |type="()"} - kommst + kommen - kam - komme {Wie endet die Grundform eines Verbs meistens? |type="()"} - auf -t - auf -st + auf -en - auf -e </quiz> == Schritt 3: Wer tut etwas? Die Personen == In einem Satz wollen wir fast immer wissen, '''wer''' etwas tut. Dafür gibt es diese Wörter (Personalpronomen): {| class="wikitable" ! !! Einzahl (eine Person) !! Mehrzahl (mehrere Personen) |- | 1. Person (ich spreche) || ich || wir |- | 2. Person (ich spreche jemanden an) || du || ihr |- | 3. Person (ich spreche über jemanden) || er / sie / es || sie |- | Höflichkeitsform || colspan="2" | Sie (wird wie «sie», Mehrzahl, behandelt) |} <quiz display=simple> {Sie sprechen über Ihren Bruder. Welches Wort passt? |type="()"} - ich - du + er - wir {Sie sprechen über sich selbst und Ihre Freundin zusammen. Welches Wort passt? |type="()"} - ich + wir - ihr - sie {Sie sprechen Ihre beste Freundin direkt an. Welches Wort passt? |type="()"} - ich + du - sie - wir </quiz> == Schritt 4: Jetzt kommt das Konjugieren! == Das Verb '''verändert seine Endung''', je nachdem, '''wer''' etwas tut. Genau das nennt man '''konjugieren'''. Ein '''konjugiertes Verb''' ist also ein Verb, das an die Person '''angepasst''' ist. Beispiel mit ''spielen'': Man nimmt die Grundform weg (''spiel-en'') und hängt eine neue Endung an: {| class="wikitable" ! Person !! Endung !! Beispiel |- | ich || -e || ich spiel'''e''' |- | du || -st || du spiel'''st''' |- | er / sie / es || -t || er spiel'''t''' |- | wir || -en || wir spiel'''en''' |- | ihr || -t || ihr spiel'''t''' |- | sie / Sie || -en || sie spiel'''en''' |} '''Merksatz:''' ''Grundform = nur die Tätigkeit. Konjugiertes Verb = Tätigkeit + Person.'' <quiz display=simple> {Ergänzen Sie die richtige Form von «spielen». |type="{}"} Ich { spiele _8 } Fussball. {Ergänzen Sie die richtige Form von «machen». |type="{}"} Du { machst _8 } die Hausaufgaben. {Ergänzen Sie die richtige Form von «kochen». |type="{}"} Er { kocht _8 } das Abendessen. {Ergänzen Sie die richtige Form von «wohnen». |type="{}"} Wir { wohnen _8 } in Olten. {Ergänzen Sie die richtige Form von «lernen». |type="{}"} Ihr { lernt _8 } Deutsch. {Welche Endung gehört zu «du»? |type="()"} - -e + -st - -t - -en </quiz> == Schritt 5: Warum braucht es überhaupt konjugierte Verben? == Stellen Sie sich vor, man würde Verben nie konjugieren und immer die Grundform benutzen: * «Ich '''spielen''' Gitarre.» * «Mein Bruder '''kommen''' morgen.» Das klingt falsch und ist manchmal sogar '''unklar'''. Konjugierte Verben helfen so: # '''Klarheit:''' Die Endung zeigt, '''wer''' etwas tut. Wer «… spielst» hört, weiss sofort: Es geht um «du». # '''Ordnung im Satz:''' Das konjugierte Verb ist das '''Herz des Satzes'''. Ein vollständiger deutscher Satz braucht (fast) immer ein konjugiertes Verb. # '''Zeit:''' Das konjugierte Verb zeigt auch, '''wann''' etwas passiert (mehr dazu in Schritt 8). # '''Verstanden werden:''' Wer richtig konjugiert, wird schneller und besser verstanden – im Gespräch, in E-Mails, im Beruf. Darum lohnt es sich, die Endungen zu lernen: Sie kommen in '''jedem''' Satz vor. <quiz display=simple> {Warum verändert sich die Endung eines Verbs? |type="()"} - Damit das Wort länger wird. + Damit man erkennt, wer etwas tut. - Weil es schöner klingt. - Das passiert nur in Gedichten. {Welcher Satz ist richtig? |type="()"} - Ich trinken Kaffee. - Ich trinkst Kaffee. + Ich trinke Kaffee. - Ich trinkt Kaffee. {Welche Aussagen stimmen? (Mehrere Antworten sind richtig.) |type="[]"} + Das konjugierte Verb zeigt, wer etwas tut. + Ein vollständiger Satz braucht meistens ein konjugiertes Verb. - Konjugierte Verben braucht man nur in der Schule. + Das konjugierte Verb kann zeigen, wann etwas passiert. </quiz> == Schritt 6: Die wichtigsten Ausnahmen: «sein» und «haben» == Nicht alle Verben halten sich an die Regel. Die zwei wichtigsten Ausnahmen sollten Sie auswendig lernen, denn man braucht sie ständig: {| class="wikitable" ! Person !! sein !! haben |- | ich || bin || habe |- | du || bist || hast |- | er / sie / es || ist || hat |- | wir || sind || haben |- | ihr || seid || habt |- | sie / Sie || sind || haben |} <quiz display=simple> {Ergänzen Sie die richtige Form von «sein». |type="{}"} Ich { bin _6 } müde. {Ergänzen Sie die richtige Form von «sein». |type="{}"} Wir { sind _6 } zu Hause. {Ergänzen Sie die richtige Form von «haben». |type="{}"} Sie (eine Frau) { hat _6 } einen Hund. {Ergänzen Sie die richtige Form von «haben». |type="{}"} Du { hast _6 } Zeit. {Welche Form ist richtig? «Ihr ___ sehr nett.» |type="()"} - seit + seid - sind - ist </quiz> == Schritt 7: Verben, die den Vokal wechseln == Bei einigen Verben verändert sich bei '''du''' und '''er / sie / es''' nicht nur die Endung, sondern auch ein Buchstabe in der Mitte: * fahren → du f'''ä'''hrst, er f'''ä'''hrt * schlafen → du schl'''ä'''fst, er schl'''ä'''ft * essen → du '''i'''sst, er '''i'''sst * lesen → du l'''ie'''st, er l'''ie'''st * sprechen → du spr'''i'''chst, er spr'''i'''cht Bei '''ich''', '''wir''', '''ihr''' und '''sie''' bleibt der Vokal gleich: ich fahre, wir fahren. <quiz display=simple> {Ergänzen Sie die richtige Form von «fahren». |type="{}"} Er { fährt _8 } mit dem Zug. {Ergänzen Sie die richtige Form von «lesen». |type="{}"} Du { liest _8 } ein Buch. {Ergänzen Sie die richtige Form von «essen». |type="{}"} Sie (eine Frau) { isst _8 } einen Apfel. {Welche Form ist richtig? «Wir ___ Deutsch.» |type="()"} - sprichst - spricht + sprechen - sprecht </quiz> == Schritt 8: Das konjugierte Verb zeigt auch die Zeit == Das konjugierte Verb verrät nicht nur, '''wer''' etwas tut, sondern auch, '''wann''': * '''Gegenwart (jetzt):''' Ich '''spiele''' Fussball. * '''Vergangenheit (früher):''' Ich '''spielte''' Fussball. / Ich '''habe''' Fussball gespielt. * '''Zukunft (später):''' Ich '''werde''' Fussball spielen. Achtung: Wenn ein Satz zwei Verbteile hat (z. B. ''habe … gespielt''), dann ist nur '''ein''' Teil konjugiert – nämlich der Teil, der sich an die Person anpasst (''habe'', ''hast'', ''hat'' …). <quiz display=simple> {In welchem Satz passiert etwas in der Vergangenheit? |type="()"} - Ich koche heute. + Ich kochte gestern. - Ich werde morgen kochen. - Ich koche jeden Tag. {«Du hast gut gearbeitet.» Welches Wort ist das konjugierte Verb? |type="()"} - Du + hast - gut - gearbeitet {«Wir werden morgen wandern.» Welches Wort ist das konjugierte Verb? |type="()"} - Wir + werden - morgen - wandern </quiz> == Schritt 9: Das konjugierte Verb im Satz finden == Im deutschen Aussagesatz steht das konjugierte Verb fast immer an '''zweiter Stelle''' (Position 2). Eine «Stelle» kann aus mehreren Wörtern bestehen. * '''Ich''' | '''lerne''' | heute Deutsch. * '''Heute''' | '''lerne''' | ich Deutsch. * '''Am Morgen''' | '''trinkt''' | meine Mutter Kaffee. Bei einer Ja-/Nein-Frage steht das konjugierte Verb an '''erster''' Stelle: * '''Lernst''' du heute Deutsch? <quiz display=simple> {«Am Abend liest mein Vater die Zeitung.» Welches Wort ist das konjugierte Verb? |type="()"} - Abend + liest - Vater - Zeitung {Welcher Satz ist richtig gebaut? |type="()"} - Heute ich gehe ins Kino. + Heute gehe ich ins Kino. - Heute ich ins Kino gehe. - Gehe heute ich ins Kino. {Wo steht das konjugierte Verb bei einer Ja-/Nein-Frage? |type="()"} + an erster Stelle - an zweiter Stelle - am Ende - es gibt keines </quiz> == Abschlussquiz: Alles zusammen == Jetzt können Sie zeigen, was Sie gelernt haben. <quiz display=simple> {Was ist ein konjugiertes Verb? |type="()"} - Ein Verb in der Grundform + Ein Verb, das an die Person (und die Zeit) angepasst ist - Ein Nomen mit Artikel - Ein Wort, das beschreibt, wie etwas ist {Ergänzen Sie: «arbeiten» |type="{}"} Meine Kollegin { arbeitet _10 } in Aarau. {Ergänzen Sie: «sein» |type="{}"} Ihr { seid _6 } pünktlich. {Ergänzen Sie: «haben» |type="{}"} Ich { habe _6 } Hunger. {Ergänzen Sie: «schlafen» |type="{}"} Das Baby { schläft _10 } schon. {Ergänzen Sie: «gehen» |type="{}"} Wir { gehen _8 } nach Hause. {Welche Sätze sind richtig? (Mehrere Antworten sind richtig.) |type="[]"} + Du wohnst in Zürich. - Er wohnen in Bern. + Sie (Mehrzahl) kaufen Brot. - Ich isst Pizza. + Morgen fahre ich nach Basel. {Ordnen Sie zu: Welche Endung passt zu «er / sie / es» bei regelmässigen Verben? |type="()"} - -e - -st + -t - -en </quiz> == Zusammenfassung == * Ein '''Verb''' sagt, was jemand tut oder was passiert. * Die '''Grundform''' (Infinitiv) endet meist auf ''-en'' und sagt nicht, wer etwas tut. * '''Konjugieren''' heisst: das Verb an die Person anpassen (ich spiel'''e''', du spiel'''st''', er spiel'''t''' …). * Konjugierte Verben machen Sätze '''klar''': Man erkennt, '''wer''' etwas tut und '''wann'''. * '''sein''' und '''haben''' sind unregelmässig und müssen auswendig gelernt werden. * Manche Verben wechseln bei ''du'' und ''er/sie/es'' den Vokal (fahren → fährt). * Im Aussagesatz steht das konjugierte Verb an '''Position 2'''. [[Kategorie:Kurs:Deutsche Grammatik]] s5zlmhai4wwp7s0tbg6v6qjlniyuc2x 2 173474 1119312 2026-11-10T09:56:44Z Paul Sutermeister 37610 Paul Sutermeister verschob die Seite [[Benutzer:Paul Sutermeister/Reflexive Verben]] nach [[Kurs:Deutsche Grammatik/Reflexive Verben]]: ausgereifter Inhalt 1119312 wikitext text/x-wiki #WEITERLEITUNG [[Kurs:Deutsche Grammatik/Reflexive Verben]] cnqg60ob1m93uojcsrkvcap6myt2u5g 1119313 1119312 2026-11-10T09:57:14Z Paul Sutermeister 37610 Weiterleitung auf [[Kurs:Deutsche Grammatik/Reflexive Verben]] entfernt 1119313 wikitext text/x-wiki {{löschen}} 4cupriffjr3dvnm9mleg1812j33st7a 106 173475 1119316 2026-11-10T09:59:44Z Paul Sutermeister 37610 Paul Sutermeister verschob die Seite [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Partizip]] nach [[Kurs:Deutsche Grammatik/Partizip II]]: thematisch passend 1119316 wikitext text/x-wiki #WEITERLEITUNG [[Kurs:Deutsche Grammatik/Partizip II]] 2hpxfh0lj95o06lng5uurgvjyyf3fco 106 173476 1119319 2026-11-10T10:06:25Z Paul Sutermeister 37610 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1119319 wikitext text/x-wiki __NOTOC__ = Der Relativsatz – Schritt für Schritt = Auf dieser Seite lernen Sie den '''Relativsatz''' kennen. Sie brauchen kein Vorwissen. Gehen Sie die Schritte der Reihe nach durch: Lesen Sie zuerst die Erklärung und lösen Sie dann das Quiz. Jeder Schritt baut auf dem vorherigen auf. == Schritt 1: Was ist ein Relativsatz? == Schauen Sie sich diese zwei Sätze an: : Ich habe einen Freund. '''Der Freund''' wohnt in Basel. Das Wort ''Freund'' kommt zweimal vor. Das klingt nicht schön. Wir können die beiden Sätze zu '''einem''' Satz verbinden: : Ich habe einen Freund''', der in Basel wohnt'''. Der Teil '''«der in Basel wohnt»''' ist ein '''Relativsatz'''. Er sagt uns mehr über den Freund: Welcher Freund? – Der Freund, der in Basel wohnt. Weitere Beispiele: * Das ist die Katze''', die immer schläft'''. * Ich kaufe das Buch''', das sehr spannend ist'''. <div style="border:1px solid #a2a9b1; background:#f8f9fa; padding:0.5em 1em; margin:1em 0;"> '''Merke:''' Ein Relativsatz beschreibt eine Person oder eine Sache genauer. Er steht direkt nach dem Wort, das er beschreibt. </div> <quiz display=simple> {Was macht ein Relativsatz? |type="()"} + Er beschreibt eine Person oder eine Sache genauer. - Er stellt eine Frage. - Er sagt, wann etwas passiert. {Welcher Satz enthält einen Relativsatz? |type="()"} - Der Hund bellt laut. + Der Hund, der laut bellt, heisst Olaf. - Bellt der Hund laut? {Welche Sätze enthalten einen Relativsatz? (Mehrere Antworten sind richtig.) |type="[]"} + Das ist die Lehrerin, die Deutsch unterrichtet. - Die Lehrerin unterrichtet Deutsch. + Ich esse den Apfel, der auf dem Tisch liegt. + Das Kind, das dort spielt, ist mein Sohn. {«Das Buch, das auf dem Tisch liegt, gehört mir.» – Über welches Wort sagt der Relativsatz etwas? |type="()"} - Tisch + Buch - mir </quiz> == Schritt 2: Das erste Wort – der, die oder das? == Ein Relativsatz beginnt mit einem kleinen Wort: '''der''', '''die''' oder '''das'''. Dieses Wort heisst '''Relativpronomen'''. Welches Wort ist richtig? Das ist ganz einfach: Schauen Sie auf das Nomen davor. Nehmen Sie den '''gleichen Artikel'''. {| class="wikitable" ! Nomen !! Relativsatz |- | '''der''' Hund || Der Hund, '''der''' bellt, … |- | '''die''' Katze || Die Katze, '''die''' schläft, … |- | '''das''' Kind || Das Kind, '''das''' spielt, … |- | '''die''' Kinder (Mehrzahl) || Die Kinder, '''die''' spielen, … |} <div style="border:1px solid #a2a9b1; background:#f8f9fa; padding:0.5em 1em; margin:1em 0;"> '''Merke:''' der Hund → '''der''' / die Katze → '''die''' / das Kind → '''das''' / die Kinder → '''die''' </div> <quiz display=simple> {Der Tisch, ___ in der Küche steht, ist neu. |type="()"} + der - die - das {Die Lampe, ___ dort hängt, ist kaputt. |type="()"} - der + die - das {Das Auto, ___ vor dem Haus steht, ist rot. |type="()"} - der - die + das {Die Schüler, ___ im Zimmer sitzen, lernen Deutsch. |type="()"} - der + die - das {Ergänzen Sie das richtige Wort (der, die oder das). |type="{}"} Der Zug, { der _5 } nach Bern fährt, ist voll. Die Blume, { die _5 } im Garten wächst, ist gelb. Das Haus, { das _5 } am See steht, ist alt. Die Freunde, { die _5 } mich besuchen, kommen aus Italien. </quiz> == Schritt 3: Das Verb steht am Ende == Im Relativsatz steht das '''Verb ganz am Ende'''. : Normaler Satz: Der Freund '''wohnt''' in Basel. : Relativsatz: …, der in Basel '''wohnt'''. : Normaler Satz: Die Frau '''trinkt''' gerne Kaffee. : Relativsatz: …, die gerne Kaffee '''trinkt'''. <div style="border:1px solid #a2a9b1; background:#f8f9fa; padding:0.5em 1em; margin:1em 0;"> '''Merke:''' Im Relativsatz kommt das Verb an den Schluss. </div> <quiz display=simple> {Welcher Satz ist richtig? |type="()"} - Das ist der Mann, der wohnt in Olten. + Das ist der Mann, der in Olten wohnt. - Das ist der Mann, wohnt der in Olten. {Welcher Satz ist richtig? |type="()"} + Ich kenne eine Frau, die sehr gut kocht. - Ich kenne eine Frau, die kocht sehr gut. - Ich kenne eine Frau, kocht die sehr gut. {Welcher Satz ist richtig? |type="()"} - Das Kind, das spielt im Park, ist fröhlich. + Das Kind, das im Park spielt, ist fröhlich. - Das Kind, spielt das im Park, ist fröhlich. {Welches Wort steht im Relativsatz ganz am Ende? «Wir haben einen Lehrer, der viel ___.» |type="()"} + lacht - der - viel </quiz> == Schritt 4: Das Komma == Der Relativsatz wird mit einem '''Komma''' vom Rest des Satzes getrennt. * Steht der Relativsatz '''am Ende''', braucht es '''ein''' Komma: : Ich habe einen Hund''',''' der gerne schwimmt. * Steht der Relativsatz '''in der Mitte''', braucht es '''zwei''' Kommas (vorne und hinten): : Der Hund''',''' der gerne schwimmt''',''' heisst Olaf. <div style="border:1px solid #a2a9b1; background:#f8f9fa; padding:0.5em 1em; margin:1em 0;"> '''Merke:''' Der Relativsatz steht immer zwischen Kommas (oder zwischen Komma und Punkt). </div> <quiz display=simple> {Wo stehen die Kommas richtig? |type="()"} - Die Frau die dort steht, ist meine Mutter. - Die Frau, die dort steht ist meine Mutter. + Die Frau, die dort steht, ist meine Mutter. {Wo steht das Komma richtig? |type="()"} + Ich lese ein Buch, das sehr lustig ist. - Ich lese ein Buch das, sehr lustig ist. - Ich lese, ein Buch das sehr lustig ist. {Wie viele Kommas braucht dieser Satz? «Der Bus der nach Aarau fährt kommt gleich.» |type="()"} - keines - eines + zwei </quiz> == Schritt 5: Zwei Sätze verbinden == Jetzt können Sie selbst zwei Sätze zu einem Satz verbinden. So geht es: # Suchen Sie das Nomen, das in beiden Sätzen vorkommt. # Schreiben Sie den ersten Satz und setzen Sie ein Komma. # Ersetzen Sie im zweiten Satz das Nomen durch '''der''', '''die''' oder '''das'''. # Stellen Sie das Verb ans Ende. '''Beispiel:''' : Ich habe eine Tante. Die Tante wohnt in Zürich. : → Ich habe eine Tante''', die in Zürich wohnt'''. <quiz display=simple> {Verbinden Sie: «Ich trinke einen Kaffee. Der Kaffee ist sehr heiss.» |type="()"} - Ich trinke einen Kaffee, der ist sehr heiss. + Ich trinke einen Kaffee, der sehr heiss ist. - Ich trinke einen Kaffee, die sehr heiss ist. {Verbinden Sie: «Wir wohnen in einem Haus. Das Haus hat einen Garten.» |type="()"} + Wir wohnen in einem Haus, das einen Garten hat. - Wir wohnen in einem Haus, der einen Garten hat. - Wir wohnen in einem Haus, das hat einen Garten. {Verbinden Sie: «Meine Kollegin arbeitet in Bern. Die Kollegin spricht Französisch.» |type="()"} - Meine Kollegin, die Französisch spricht arbeitet in Bern. + Meine Kollegin, die Französisch spricht, arbeitet in Bern. - Meine Kollegin, das Französisch spricht, arbeitet in Bern. {Ergänzen Sie den Relativsatz. |type="{}"} Ich habe eine Katze. Die Katze ist schwarz. → Ich habe eine Katze, { die _5 } schwarz { ist _5 }. Das ist der Lehrer. Der Lehrer kommt aus Olten. → Das ist der Lehrer, { der _5 } aus Olten { kommt _6 }. </quiz> == Schritt 6: Den, nicht der – der Akkusativ == Bis jetzt hat die Person oder Sache im Relativsatz '''selbst etwas gemacht''': : Der Mann, '''der''' dort steht. (Der Mann steht.) Manchmal macht aber '''jemand anderes''' etwas mit der Person oder Sache: : Der Mann, '''den''' ich kenne. (Ich kenne den Mann.) '''Der einfache Trick:''' Bilden Sie im Kopf einen normalen Satz. Das Wort vor dem Nomen ist auch Ihr Relativpronomen. {| class="wikitable" ! Normaler Satz !! Relativsatz |- | Ich kenne '''den''' Mann. || Der Mann, '''den''' ich kenne, … |- | Ich kenne '''die''' Frau. || Die Frau, '''die''' ich kenne, … |- | Ich kenne '''das''' Kind. || Das Kind, '''das''' ich kenne, … |- | Ich kenne '''die''' Leute. || Die Leute, '''die''' ich kenne, … |} <div style="border:1px solid #a2a9b1; background:#f8f9fa; padding:0.5em 1em; margin:1em 0;"> '''Merke:''' Nur bei männlichen Nomen (der) ändert sich etwas: '''der → den'''. Bei die und das bleibt alles gleich. </div> <quiz display=simple> {Der Film, ___ ich gestern gesehen habe, war super. (Tipp: Ich habe ___ Film gesehen.) |type="()"} - der + den - das {Der Mann, ___ dort steht, ist mein Nachbar. (Tipp: ___ Mann steht dort.) |type="()"} + der - den - dem {Die Frau, ___ ich im Bus getroffen habe, war sehr nett. |type="()"} + die - den - der {Der Kuchen, ___ meine Mutter gebacken hat, schmeckt gut. |type="()"} - der + den - das {Ergänzen Sie: der, den, die oder das. |type="{}"} Das Buch, { das _5 } ich lese, ist spannend. Der Pullover, { den _5 } ich gekauft habe, ist warm. Der Pullover, { der _5 } im Schrank liegt, ist warm. Die Schuhe, { die _5 } ich trage, sind bequem. </quiz> == Schritt 7: Dem, der, denen – der Dativ == Bei manchen Verben fragt man '''Wem?''' Zum Beispiel: ''helfen, danken, gehören, geben, antworten''. Auch hier hilft der Trick mit dem normalen Satz: {| class="wikitable" ! Normaler Satz !! Relativsatz |- | Ich helfe '''dem''' Mann. || Der Mann, '''dem''' ich helfe, … |- | Ich helfe '''der''' Frau. || Die Frau, '''der''' ich helfe, … |- | Ich helfe '''dem''' Kind. || Das Kind, '''dem''' ich helfe, … |- | Ich helfe '''den''' Leuten. || Die Leute, '''denen''' ich helfe, … ⚠ |} <div style="border:1px solid #a2a9b1; background:#f8f9fa; padding:0.5em 1em; margin:1em 0;"> '''Merke:''' Der Trick funktioniert fast immer. '''Ausnahme:''' In der Mehrzahl heisst es '''denen''' (nicht «den»). </div> <quiz display=simple> {Der Kollege, ___ ich helfe, ist neu. (Tipp: Ich helfe ___ Kollegen.) |type="()"} - der - den + dem {Die Lehrerin, ___ ich danke, heisst Frau Meier. (Tipp: Ich danke ___ Lehrerin.) |type="()"} - die + der - dem {Das Kind, ___ der Ball gehört, weint. (Tipp: Der Ball gehört ___ Kind.) |type="()"} - das + dem - den {Die Kinder, ___ ich ein Geschenk gebe, freuen sich. |type="()"} - die - den + denen {Ergänzen Sie: dem, der oder denen. |type="{}"} Der Nachbar, { dem _6 } ich die Zeitung bringe, ist alt. Die Freundin, { der _6 } ich einen Brief schreibe, wohnt in Genf. Die Gäste, { denen _6 } ich Kaffee gebe, sind müde. </quiz> == Schritt 8: Mit Präposition – mit dem, in der, für den == Manchmal steht ein kleines Wort wie '''mit, in, bei, von, für, auf''' vor dem Relativpronomen. Diese Wörter heissen '''Präpositionen'''. Die Präposition steht im Relativsatz '''ganz vorne''', direkt nach dem Komma. {| class="wikitable" ! Normaler Satz !! Relativsatz |- | Ich wohne '''in der''' Stadt. || Die Stadt, '''in der''' ich wohne, … |- | Ich arbeite '''mit dem''' Kollegen. || Der Kollege, '''mit dem''' ich arbeite, … |- | Ich kaufe ein Geschenk '''für den''' Freund. || Der Freund, '''für den''' ich ein Geschenk kaufe, … |- | Ich spiele '''mit den''' Kindern. || Die Kinder, '''mit denen''' ich spiele, … ⚠ |} <div style="border:1px solid #a2a9b1; background:#f8f9fa; padding:0.5em 1em; margin:1em 0;"> '''Merke:''' Präposition + Relativpronomen. Auch hier hilft der Trick mit dem normalen Satz. Mehrzahl mit Dativ: '''denen'''. </div> <quiz display=simple> {Die Stadt, in ___ ich wohne, ist schön. (Tipp: Ich wohne in ___ Stadt.) |type="()"} - die + der - dem {Das Haus, in ___ wir wohnen, ist alt. |type="()"} - das - der + dem {Der Freund, für ___ ich ein Geschenk kaufe, hat Geburtstag. (Tipp: für ___ Freund) |type="()"} - der + den - dem {Welcher Satz ist richtig? |type="()"} - Der Stuhl, ich auf dem sitze, ist bequem. + Der Stuhl, auf dem ich sitze, ist bequem. - Der Stuhl, auf der ich sitze, ist bequem. {Ergänzen Sie das Relativpronomen. |type="{}"} Der Bus, mit { dem _6 } ich fahre, ist pünktlich. Die Freunde, mit { denen _6 } ich Fussball spiele, sind lustig. Die Firma, bei { der _6 } ich arbeite, ist gross. </quiz> == Schlussquiz: Alles zusammen == Jetzt kennen Sie die wichtigsten Regeln. Testen Sie Ihr Wissen! <quiz display=simple> {Ergänzen Sie das richtige Relativpronomen. |type="{}"} Das ist die Ärztin, { die _6 } mir geholfen hat. Der Apfel, { den _6 } ich esse, ist süss. Das Fahrrad, { das _6 } im Keller steht, ist kaputt. Der Mann, { dem _6 } das Auto gehört, ist nicht da. Die Schüler, { denen _6 } ich die Aufgabe erkläre, hören gut zu. Die Wohnung, in { der _6 } wir leben, hat drei Zimmer. {Welcher Satz ist ganz richtig? |type="()"} - Die Frau die dort wartet, ist meine Schwester. - Die Frau, die wartet dort, ist meine Schwester. + Die Frau, die dort wartet, ist meine Schwester. - Die Frau, der dort wartet, ist meine Schwester. {Welcher Satz ist ganz richtig? |type="()"} + Ich suche den Schlüssel, den ich gestern verloren habe. - Ich suche den Schlüssel, der ich gestern verloren habe. - Ich suche den Schlüssel, den ich habe gestern verloren. {Verbinden Sie: «Ich besuche meine Grossmutter. Ich bringe der Grossmutter Blumen.» |type="()"} - Ich besuche meine Grossmutter, die ich Blumen bringe. + Ich besuche meine Grossmutter, der ich Blumen bringe. - Ich besuche meine Grossmutter, der ich bringe Blumen. {Welche Sätze sind richtig? (Mehrere Antworten sind richtig.) |type="[]"} + Das Restaurant, in dem wir essen, ist teuer. - Das Restaurant, in das wir essen, ist teuer. + Die Leute, mit denen ich spreche, sind freundlich. - Die Leute, mit den ich spreche, sind freundlich. </quiz> == Zusammenfassung == {| class="wikitable" ! Regel !! Beispiel |- | Ein Relativsatz beschreibt eine Person oder Sache genauer. || Der Hund, '''der bellt''', … |- | Er beginnt mit '''der, die, das''' (gleicher Artikel wie das Nomen). || die Katze → '''die''' |- | Das Verb steht am Ende. || …, der in Basel '''wohnt'''. |- | Der Relativsatz steht zwischen Kommas. || Der Hund''',''' der bellt''',''' heisst Olaf. |- | Trick: Normalen Satz bilden und den Artikel übernehmen. || Ich kenne '''den''' Mann. → der Mann, '''den''' ich kenne |- | Ausnahme Mehrzahl mit «Wem?»: '''denen''' || die Kinder, '''denen''' ich helfe |- | Präposition steht vorne. || die Stadt, '''in der''' ich wohne |} [[Kategorie:Kurs:Deutsche Grammatik]] ho5nq99n7cy654vcrpd7lkj19xp729m