Wikiversity dewikiversity https://de.wikiversity.org/wiki/Hauptseite MediaWiki 1.48.0-wmf.4 first-letter Medium Spezial Diskussion Benutzer Benutzer Diskussion Wikiversity Wikiversity Diskussion Datei Datei Diskussion MediaWiki MediaWiki Diskussion Vorlage Vorlage Diskussion Hilfe Hilfe Diskussion Kategorie Kategorie Diskussion Kurs Kurs Diskussion Projekt Projekt Diskussion TimedText TimedText talk Modul Modul Diskussion Veranstaltung Veranstaltung Diskussion 0 27375 1119335 1050582 2026-11-10T14:39:12Z Bocardodarapti 2041 1119335 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= S |SZ=}} eine Menge und {{ Relationskette/display | M || {{op:Abbildungsmenge| S | S}} || || || |SZ= }} sei versehen mit der {{ Definitionslink |Hintereinanderschaltung von Abbildungen| |Kontext=| |SZ= }} als {{ Definitionslink |Verknüpfung| |Kontext=| |SZ=. }} Ist die Verknüpfung {{ Definitionslink |assoziativ| |Kontext=| |SZ=, }} {{ Definitionslink |kommutativ| |Kontext=| |SZ=, }} gibt es ein {{ Zusatz/Klammer |text=eindeutiges| |SZ= }} {{ Definitionslink |neutrales Element| |Kontext=| |SZ=, }} für welche {{ Relationskette | F | \in | M || || || |SZ= }} gibt es ein {{ Definitionslink |inverses Element| |Kontext=| |SZ=? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie_der_Abbildungsmonoide |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Abbildung |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rjfxmegevff75ncta4m91hvzgrboo6p 0 101961 1119325 1119263 2026-11-10T13:15:06Z Bert Niehaus 20843 /* Beweis (ii) */ 1119325 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite zum Thema ''Momente'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Momente&author=Wikipedia%20Authors&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Momente&coursetitle=Wikipedia%20Authors Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt: * (1) Definition von Momenten * (2) [[Erwartungswert|Erwartungswert]] * (3) [[Varianz|Varianz]] == Motivation - Erwartungswert == Vorbemerkung: Zwei Personen <math> A </math> und <math>B </math> vereinbaren ein Würfelspiel. * Ausgang '1': <math> A </math> zahlt an <math>B </math> 5€ * Ausgang '2', ..., '6': <math> B </math> zahlt an <math>A </math> 1€ Die Gewinnerwartung für die beiden Spieler beträgt hier Null: Erwarteter Gewinn von <math>B</math>: :<math> 5 \cdot \frac {1} {6} - 1 \cdot \frac {1} {6} - ... -1 \cdot \frac {1} {6} = 0 </math> ("faires Spiel"). === Bemerkung - Wahrscheinlichkeit und Wert der Zufallsgröße === In der obigen Gleichung :<math> 5 \cdot \frac {1} {6} - 1 \cdot \frac {1} {6} - ... -1 \cdot \frac {1} {6} = 0 </math> setzen sich die einzelnen Terme (z.B. <math> 5 \cdot \frac{1}{6} </math>) aus dem Wert der Zufallsgröße <math>X(1) = 5</math> und der Wahrscheinlichkeit <math> \frac{1}{6} </math> für das Eintretens des Ereignisse ("1 gewürfelt") zusammen. == Definition - Erwartungswert == Die Definition des Erwartungswertes wird in folgende Fälle unterteilt: * diskrete Zufallsgröße und * absolute stetige Zufallsgröße. === Definition - Erwartungswert - diskreter Fall === Sei <math> X : \Omega \to \mathbb{R} </math> eine auf einem diskreten [[Wahrscheinlichkeitsraum]] <math> (\Omega, \mathcal{S}, P) </math> definierte Zufallsvariable, dann heißt :<math> E(X) = \sum_{x \in X (\Omega)} x \cdot P(X=x) = \sum_{x \in X(\Omega)} x \cdot P^X (\lbrace x \rbrace)</math> Erwartungswert von <math> X </math>, vorausgesetzt, dass <math> \sum_{x \in X(\Omega)} |x| \cdot P(X=x) < \infty </math>. ==== Bemerkung - Anzahl Summanden - diskreter Fall ==== Die Zufallsgröße <math>X: \Omega \to \mathbb{R}</math> nimmt nur zwei Werte an, nämlich <math>X(\omega)=5</math> für <math>\omega =1</math> und <math>X(\omega)=-1</math> für <math>\omega =2,3,4,5,6</math>. Dabei besteht der Erwartungswert in der obigen Notation nur aus zwei Summanden, da <math>X(\Omega)=\{-1,5\}</math>. ==== Bemerkung 1 - Notation zum diskreten Beispiel ==== Möchte man den Erwartungswert analog zur obigen Notation mit 6 Summand definieren: :<math> \begin{array}{rcl} E(X) & = & \sum_{\omega \in \Omega} X(\omega) \cdot P(\{\omega\}) \\ & = & 5 \cdot \frac {1} {6} + \underbrace{(- 1) \cdot \frac {1} {6} + ... +(-1) \cdot \frac {1} {6}}_{=(-1) \cdot \frac {5} {6}} \\ & = & 5 \cdot \frac {1} {6} + -1 \cdot \frac {5} {6} = \displaystyle \sum_{x \in X(\Omega)=\{5,-1\}} x \cdot P^X(\{x\}) \\ & = & 0 \end{array} </math> ==== Bemerkung 2 - diskret verteilte Zufallsgröße ==== Die Reihe <math> \sum _x |x| \cdot P(X=x) < \infty</math> hat nur abzählbar viele Elemente <math>x</math> mit <math>P(X=x) \not= 0</math>, weil <math>X:\Omega \to\mathbb{R}</math> eine diskrete Zufallsgröße ist. ==== Bemerkung 3 - Erwartungswert - absolute Konvergenz ==== Mit <math> \sum _x |x| \cdot \underbrace{P(X=x)}_{\geq 0} </math> ist die Reihe in der Definition zum Erwartungswert absolut konvergent. Die Fälle <math> E(x) = + \infty </math> und <math> E(x) = - \infty </math> werden also ausgeschlossen. In solchen Fällen existiert der Erwartungswert nicht. === Definition - Erwartungswert - absolut stetig === Sei <math> X : \Omega \to \mathbb{R} </math> eine auf einem diskreten [[Wahrscheinlichkeitsraum]] <math> (\Omega, \mathcal{S}, P) </math> bei die Wahrscheinlichkeitsverteilung durch eine Dichtefunktion <math> p:\Omega \to \mathbb{R}_0^{+} </math> bzw. die induzierte Dichte <math> p^X:\mathbb{R} \to \mathbb{R}_0^{+} </math> gegeben ist. Dann heißt :<math> E(X) := \int_{\Omega} X(\omega) \cdot p(\omega) \, d(\omega) := \int_{\mathbb{R}} x \cdot p^X ( x ) \, dx</math> Erwartungswert der absolut stetigen Verteilung, wenn die Bedingung :<math> E(|X|) = \int_{\Omega} |X(\omega) | \cdot p(\omega) \, d(\omega) = \int_{\mathbb{R}} |x| \cdot p^X ( x ) \, dx < \infty </math> erfüllt ist. ==== Bemerkung - induzierte Dichtefunktion ==== Für die induzierte Dichtefunktion gilt alle <math>B</math> aus der Borelschen <math>\sigma</math>-Algebra <math>\mathcal{B}(\mathbb{R})</math>: :<math> \int_{X^{-1}(B)} X(\omega) \cdot p(\omega) \, d(\omega) := \int_{B} x \cdot p^X ( x ) \, dx</math> == Satz - Erwartungswert für diskrete Zufallsvariablen == Bezeichnet <math> p_\omega = P( \lbrace \omega \rbrace ) </math> die Wahrscheinlichkeitsfunktion von <math> P </math> auf <math> \Omega </math>, so gilt für eine auf <math> ( \Omega, \mathcal{S}, P)</math> definierte Zufallsvariable <math> X:\Omega \to \mathbb{R}</math>: :<math> E(X)= \sum_{\omega \in \Omega} X(\omega)\cdot p_\omega </math> (sofern <math> \sum |X(\omega)| \cdot p_\omega < \infty </math>). === Beweis - Erwartungswert für diskrete Zufallsvariablen === Es ist :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \sum_{\omega \in \Omega} X(\omega) \cdot p_\omega & = & \displaystyle \sum_{x \in X(\Omega)} \sum _{\omega:X(\omega) = x} X(\omega) \cdot p_\omega \\ & = & \displaystyle \sum_{x \in X(\Omega)} x \sum_{\omega:X(\omega)=x} p_\omega \\ & = & \displaystyle \sum_{x \in X(\Omega)} x \cdot P^X(\lbrace x \rbrace) \\ & = & E(X) \\ \end{array} </math> === Bemerkung zum Beweis === In den Beweis geht der große Umordnungssatz für konvergente Reihen aus der Analysis ein. Die Anwendung Umordnungssatzes ist möglich, da <math> E(|X|) < \infty</math> gilt und damit die Reihe absolut konvergent ist. === Bemerkungen - Existenz Erwartungeswertes === Im Fall absoluter Konvergenz der Reihen (Beispiele oben) sagt man: * <math> X </math> besitzt einen Erwartungswert, oder * der Erwartungswert von <math> X</math> existiert. <math> X </math> besitzt genau dann einen Erwartungswert, falls <math> E\big( |X|\big) = \sum_{\omega \in \Omega} |X(\omega)| \cdot p_\omega < \infty </math>. <br> ==== Endlicher Ergebnisraum ==== Dies ist bei endlichen Ergebnisräumen <math> \Omega </math> immer der Fall. ==== Schreibweise ==== Statt <math>E(X)</math> auch <math>EX</math> oder <math>E_PX</math>, wenn man kenntlich machen möchte, bzgl. welchem Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> der Erwartungswert berechnet wurde. === Elementare Folgerungen === Aus dem obigen Satz zum Erwartungswert folgt: <math> E(1) = 1, E(X) \le E(Y)</math>, falls <math> X(w) \le Y(w)</math> für alle <math> w \in \Omega </math> gilt. ==== Beispiel ==== Ist <math> X(w) = \lbrace w_1, ..., w_m \rbrace</math>, und ist <math> P_X</math> die Gleichverteilung auf <math> X(\Omega)</math>, so lautet der Erwartungswert :<math> E(X)= \frac {1} {m} \sum _{i=1}^{m} x_i </math> ("arithmetisches Mittel"). <br> (Der Erwartungswert der Augenzahl beim Würfeln ist 3,5.) ==== Beispiel ==== Für die Indikatorvariable <math> X=1_A</math> eines Ereignisses <math> A \subset \Omega </math> gilt: :<math> E(1_A) = 0 \cdot P(1_A = 0) + 1 \cdot P(1_A = 1) = P(A)</math> Eine direkte Folgerung aus der Behauptung ist der folgende Satz. == Satz - Linearität des Erwartungswertes == Besitzen die Zufallsvariablen <math> X_1, X_2</math> Erwartungswerte, so auch die Zufallsvariablen <math> aX_1, bX_2, a,b \in \mathbb{R}</math>, und es gilt: :<math> E(a\cdot X_1+b\cdot X_2 ) = a\cdot E(X_1) + b\cdot E(X_2)</math> (siehe [[Kurs:Stochastik/Linearität Erwartungswert|Linearität des Erwartungswertes]]) === Bemerkung - Aufgabe - Beweis === Der [[Kurs:Stochastik/Linearität_Erwartungswert|Beweis der Linearität]] wird über das Einsetzen der Definition und der Anwendung elementaren Umformungen geführt. Versuchen Sie diesen Beweis zunächst ohne Hilfen selbst durchzuführen und sich erst danach bei Problemen den angegebenen Beweis in Wikiversity zur [[Kurs:Stochastik/Linearität_Erwartungswert|Linearität des Erwartungswertes]] anzusehen. Stellen Sie den Beweis in den Übungen mit allen Begründungen vor. === Anwendungsbeispiel für die Linearität des Erwartungswertes === Alle <math>n</math> Zufallsgrößen <math>X_k</math> mit <math>k\in \{1,\ldots , n\}</math> seinen <math> B(1,p)</math>-verteilt. Dann ist <math>X:= X_1 + \ldots + X_n</math> ein <math> B(n,p)</math>-verteilt und für den Erwartungswert erhält man mit der Linearität des Erwartungswertes <math>X</math> gilt: :<math> E(X) = n\cdot p</math> ===== Beweismöglichkeiten===== * <math> E(X)= \sum _{k=k}^{n} k \cdot \binom {n}{k} \cdot p^k (1-p)^{n-k} = ... = n \cdot p</math> * Für die Binominalverteilung gilt <math> X=X_1 + .. + X_n </math> mit <math> E(X_i) = p</math>. Dann ist :<math> E(X)=E(X_1) + ... + E(X_n) = n \cdot p </math> (wg. [[Kurs:Stochastik/Linearität Erwartungswert|Linearität]]). <br> == Satz - Verkettung von messbaren Abbildungen == Ist <math> X: \Omega \to \Omega'</math> Zufallsgröße auf <math> (\Omega,P) </math> und <math> \phi: \Omega' \to \mathbb{R}</math> eine Abbildung, dann gilt :<math> E(\phi \circ X)= \sum_{x \in X(\Omega)} \phi(x) \cdot P^X( \lbrace x \rbrace)</math> (Falls die Reihe absolut konvergiert). === Beweis - Verkettung von messbaren Abbildungen === :<math> \begin{array}{rcl} E_{\!_P}(\phi \circ X) & = & \displaystyle \sum_{\omega \in \Omega} \phi(X(w)) \cdot p_\omega \\ & = & \displaystyle \sum_{x \in X(\Omega)} \sum_{\omega:X(\omega) = x} \phi(X(\omega)) \cdot p_\omega \\ & = & \displaystyle \sum_{x \in X(\omega)} \phi(x) \sum _{\omega: X(\omega)=x} p_\omega \\ & = & \displaystyle \sum_{x \in X(\omega)} \phi(x) \cdot P^X(\lbrace x \rbrace) \\ \end{array} </math> (Großer Umordnungssatz für absolut konvergente Reihen) <br> === Beispiele === Gemäß der Behauptung gilt z.B. : Mit <math>\phi_1(x) := x^2</math> erhält man <math>E(\phi_1) = \sum_{x\in \mathbb{R}} x^2 \cdot P_X(\lbrace x \rbrace) </math> :Mit <math>\phi_2(x) := e^x</math> erhält man <math> E(\phi_2) = \sum_ {x\in \mathbb{R}} e^x \cdot P_X(\lbrace x \rbrace)</math> usw. ====Bemerkung ==== Die rechte Seite der Behauptung kann man auch als <math> E_{P_X} (\phi)</math> schreiben. <br> In der Tat, <math> P_X (\lbrace x \rbrace)</math> ist Wahrscheinlichkeitsfunktion auf <math> \Omega' </math> und <math> \phi</math> wird als Zufallsvariable auf <math> (\Omega', P_X)</math> aufgefasst: :<math> E_P(\phi \circ X)= E_{P_X}(\phi)</math> === Satz - Multipkikation von unabhängigen Zufallsgrößen === Die Zufallsvariablen <math> X,Y</math> mögen unabhängig sein und Erwartungswerte besitzen. Dann besitzt auch <math> X \cdot Y</math> einen Erwartungswert und es gilt :<math> E(X \cdot Y) = E(X) \cdot E(Y)</math> ====Beweis (i.1)==== Zur Existenz von <math> E(X \cdot Y)</math>: :<math> E(|X \cdot Y|)= \sum_{w \in \Omega } |X(w) \cdot Y(w)| p_w </math> :<math> = \sum_{x \in X(\Omega)} \sum _{y \in Y(\Omega)} \sum_{w:X(\omega)=x, Y(\omega) = y} |X(w) \cdot Y(w)| p_w </math> :<math> = \sum_{x \in X(\Omega)}\sum_{y \in Y(\Omega)} | x \cdot y | P(X=x, Y=y)</math> ==== Beweis (i.2) ==== :<math> = \sum_{x \in X(\Omega)} |x| \cdot P(X=x) \sum_{y \in Y(\Omega)} |y| \cdot P(Y=y)</math> :<math> = E|X| \cdot E|Y| < \infty </math> (Reihe links oben also absolut konvergent.) ==== Beweis (ii) ==== Die gleiche Rechnung wie in (i) ohne Betragsstriche liefert: :<math> E(X \cdot Y) = \sum_{\omega \in \Omega} X(\omega) \cdot Y(w) \cdot p_\omega </math> :<math> = ... = \sum_{x \in X(\Omega)} x \cdot P(X=x) \sum_{y \in Y(\Omega)} y \cdot P(Y=y) </math> :<math> = E(X) \cdot E(Y)</math> Es wurde angewandt: Doppelreihensatz und Umordnungssatz für Reihen mit nicht negativen Gliedern (in (i)) und für absolut konvergente Reihen (in (ii)). ====Bemerkung ==== 1. Allgemein gilt für unabhängige Zufallsvariablen <math> X_1, ..., X_n</math> mit existierenden Erwartungswerten: :<math> E(X_1 \cdot ... \cdot X_n) = E(X_1) \cdot ... \cdot E(X_n)</math> 2. Bei fehlender Unabhängigkeit folgt aus <math> P|X| < \infty, P|Y| < \infty </math> nicht notwendigerweise <math> P| X \cdot Y| <\infty </math>. === Definition - Bedingter Erwartungswert === Sei <math> (\Omega, \mathcal{S}, P) </math> diskreter Wahrscheinlichkeitsraum, <math>X</math> Zufallsvariable mit existierendem Erwartungswert und <math> A \subset \Omega </math> mit <math> P(A)> 0</math>. Dann heißt :<math> E(X|A) = E_{P_{(\cdot |A)}} (X)</math> der bedingte Erwartungswert von <math>X</math> unter (der Bedingung) <math>A</math>. <br> [ <math> P( \cdot|A)</math> ist die bedingte Wahrscheinlichkeitsverteilung auf <math> \Omega </math> unter <math> A </math>.] ==== Formeln zu Berechnung ==== :<math> E(X|A) = \sum_{w \in \Omega} X(w) P( \lbrace w \rbrace|A) = \sum X(w) \frac {P( \lbrace w \rbrace \cap A)} {P(A)} </math> :<math> = \frac {1} { P(A)} \sum_{w \in A} X(w) p_w = \frac {1} {P(A)} \sum_{w \in \Omega} 1_A (w) X(w) p_w = \frac {1} {P(A)} E(1_A X)</math> ==== Bemerkungen ==== * Da <math> \sum_{\omega \in \Omega} X(\omega )\cdot p_\omega </math> absolut konvergiert, so konvergiert auch <math>\sum_{\omega \in A} X(\omega ) \cdot p_\omega </math>. Damit existiert der bedingte Erwartungswert <math> E(X|A)</math>. * Spezialfälle: <math> E(1_A|A) =1, E(X|\Omega) = E(X)</math> <br> * Der hier eingeführte Begriff des bedingten Erwartungswertes spielt eine untergeordnete Rolle. In der allgemeinen Wahrscheinlichkeitstheorie definiert man bedingte Erwartungswerte der Art <math> E(X|Y)</math>, <math> Y </math> Zufallsvariable, welche von großer Wichtigkeit sind (jedoch hier in der Einführung nicht gebraucht werden). == Momente == In dem obigen Beispiel wurde der Erwartungswert <math>E(X)</math> als Spezialfall von Momenten <math>E(X^k)</math> betrachtet, die im Folgenden definiert werden. === Definition - Momente === Es sei <math>X</math> eine [[w:de:Zufallsvariable|Zufallsvariable]] und <math>k</math> eine [[w:de:natürliche Zahl|natürliche Zahl]]. Dann bezeichnet man als ''Moment der Ordnung <math>k</math> von <math>X</math>'' oder kürzer als ''<math>k</math>-tes Moment von <math>X</math>'' den Erwartungswert der <math>k</math>&#8209;ten Potenz von <math>X</math> (unter der Voraussetzung, dass dieser existiert): :<math> m_k := \operatorname{E}\left(X^k\right), </math> und als ''<math>k</math>-tes absolutes Moment von <math>X</math>'' wird der Erwartungswert der <math>k</math>-ten Potenz des Absolutbetrages <math>|X|</math> von <math>X</math> bezeichnet: :<math> M_k := \operatorname{E}\left(\left|X\right|^k\right). </math> === Bemerkung - nichtganzzahlige Momente === In theoretischen Untersuchungen werden mitunter auch Momente nichtganzzahliger Ordnung <math>\kappa</math> betrachtet. === Bemerkung - Existenz von Momenten === Die Existenz von Momenten einer bestimmten Ordnung liefert allgemein Aussagen über die Verteilung der Wahrscheinlichkeitsmasse. === Bemerkung - Erwartungswert als Moment 1. Ordnung === Das ''erste Moment'' ist der Erwartungswert. Er wird meist mit <math>\mu</math> bezeichnet und kann als Mittelwert angesehen werden. == Siehe auch == * [[Kurs:Stochastik/Linearität Erwartungswert|Linearität des Erwartungswertes]] * [[Kurs:Stochastik/Varianz|Varianz]] * [[Kurs:Stochastik/Kovarianz|Kovarianz]] * [[Kurs:Stochastik/Erzeugende Funktionen|Erzeugende Funktionen]] * [[Kurs:Stochastik]] == Seiteninformation == Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Momente&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Stochastik Kurs:Stochastik]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Momente https://de.wikiversity.org/wiki/Momente] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Momente Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Momente * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Momente&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] [[Category:Wiki2Reveal]] lwsowmicbksgnkyo951mnqq0pqkmkpy 1119326 1119325 2026-11-10T13:16:35Z Bert Niehaus 20843 /* Formeln zu Berechnung */ 1119326 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite zum Thema ''Momente'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Momente&author=Wikipedia%20Authors&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Momente&coursetitle=Wikipedia%20Authors Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt: * (1) Definition von Momenten * (2) [[Erwartungswert|Erwartungswert]] * (3) [[Varianz|Varianz]] == Motivation - Erwartungswert == Vorbemerkung: Zwei Personen <math> A </math> und <math>B </math> vereinbaren ein Würfelspiel. * Ausgang '1': <math> A </math> zahlt an <math>B </math> 5€ * Ausgang '2', ..., '6': <math> B </math> zahlt an <math>A </math> 1€ Die Gewinnerwartung für die beiden Spieler beträgt hier Null: Erwarteter Gewinn von <math>B</math>: :<math> 5 \cdot \frac {1} {6} - 1 \cdot \frac {1} {6} - ... -1 \cdot \frac {1} {6} = 0 </math> ("faires Spiel"). === Bemerkung - Wahrscheinlichkeit und Wert der Zufallsgröße === In der obigen Gleichung :<math> 5 \cdot \frac {1} {6} - 1 \cdot \frac {1} {6} - ... -1 \cdot \frac {1} {6} = 0 </math> setzen sich die einzelnen Terme (z.B. <math> 5 \cdot \frac{1}{6} </math>) aus dem Wert der Zufallsgröße <math>X(1) = 5</math> und der Wahrscheinlichkeit <math> \frac{1}{6} </math> für das Eintretens des Ereignisse ("1 gewürfelt") zusammen. == Definition - Erwartungswert == Die Definition des Erwartungswertes wird in folgende Fälle unterteilt: * diskrete Zufallsgröße und * absolute stetige Zufallsgröße. === Definition - Erwartungswert - diskreter Fall === Sei <math> X : \Omega \to \mathbb{R} </math> eine auf einem diskreten [[Wahrscheinlichkeitsraum]] <math> (\Omega, \mathcal{S}, P) </math> definierte Zufallsvariable, dann heißt :<math> E(X) = \sum_{x \in X (\Omega)} x \cdot P(X=x) = \sum_{x \in X(\Omega)} x \cdot P^X (\lbrace x \rbrace)</math> Erwartungswert von <math> X </math>, vorausgesetzt, dass <math> \sum_{x \in X(\Omega)} |x| \cdot P(X=x) < \infty </math>. ==== Bemerkung - Anzahl Summanden - diskreter Fall ==== Die Zufallsgröße <math>X: \Omega \to \mathbb{R}</math> nimmt nur zwei Werte an, nämlich <math>X(\omega)=5</math> für <math>\omega =1</math> und <math>X(\omega)=-1</math> für <math>\omega =2,3,4,5,6</math>. Dabei besteht der Erwartungswert in der obigen Notation nur aus zwei Summanden, da <math>X(\Omega)=\{-1,5\}</math>. ==== Bemerkung 1 - Notation zum diskreten Beispiel ==== Möchte man den Erwartungswert analog zur obigen Notation mit 6 Summand definieren: :<math> \begin{array}{rcl} E(X) & = & \sum_{\omega \in \Omega} X(\omega) \cdot P(\{\omega\}) \\ & = & 5 \cdot \frac {1} {6} + \underbrace{(- 1) \cdot \frac {1} {6} + ... +(-1) \cdot \frac {1} {6}}_{=(-1) \cdot \frac {5} {6}} \\ & = & 5 \cdot \frac {1} {6} + -1 \cdot \frac {5} {6} = \displaystyle \sum_{x \in X(\Omega)=\{5,-1\}} x \cdot P^X(\{x\}) \\ & = & 0 \end{array} </math> ==== Bemerkung 2 - diskret verteilte Zufallsgröße ==== Die Reihe <math> \sum _x |x| \cdot P(X=x) < \infty</math> hat nur abzählbar viele Elemente <math>x</math> mit <math>P(X=x) \not= 0</math>, weil <math>X:\Omega \to\mathbb{R}</math> eine diskrete Zufallsgröße ist. ==== Bemerkung 3 - Erwartungswert - absolute Konvergenz ==== Mit <math> \sum _x |x| \cdot \underbrace{P(X=x)}_{\geq 0} </math> ist die Reihe in der Definition zum Erwartungswert absolut konvergent. Die Fälle <math> E(x) = + \infty </math> und <math> E(x) = - \infty </math> werden also ausgeschlossen. In solchen Fällen existiert der Erwartungswert nicht. === Definition - Erwartungswert - absolut stetig === Sei <math> X : \Omega \to \mathbb{R} </math> eine auf einem diskreten [[Wahrscheinlichkeitsraum]] <math> (\Omega, \mathcal{S}, P) </math> bei die Wahrscheinlichkeitsverteilung durch eine Dichtefunktion <math> p:\Omega \to \mathbb{R}_0^{+} </math> bzw. die induzierte Dichte <math> p^X:\mathbb{R} \to \mathbb{R}_0^{+} </math> gegeben ist. Dann heißt :<math> E(X) := \int_{\Omega} X(\omega) \cdot p(\omega) \, d(\omega) := \int_{\mathbb{R}} x \cdot p^X ( x ) \, dx</math> Erwartungswert der absolut stetigen Verteilung, wenn die Bedingung :<math> E(|X|) = \int_{\Omega} |X(\omega) | \cdot p(\omega) \, d(\omega) = \int_{\mathbb{R}} |x| \cdot p^X ( x ) \, dx < \infty </math> erfüllt ist. ==== Bemerkung - induzierte Dichtefunktion ==== Für die induzierte Dichtefunktion gilt alle <math>B</math> aus der Borelschen <math>\sigma</math>-Algebra <math>\mathcal{B}(\mathbb{R})</math>: :<math> \int_{X^{-1}(B)} X(\omega) \cdot p(\omega) \, d(\omega) := \int_{B} x \cdot p^X ( x ) \, dx</math> == Satz - Erwartungswert für diskrete Zufallsvariablen == Bezeichnet <math> p_\omega = P( \lbrace \omega \rbrace ) </math> die Wahrscheinlichkeitsfunktion von <math> P </math> auf <math> \Omega </math>, so gilt für eine auf <math> ( \Omega, \mathcal{S}, P)</math> definierte Zufallsvariable <math> X:\Omega \to \mathbb{R}</math>: :<math> E(X)= \sum_{\omega \in \Omega} X(\omega)\cdot p_\omega </math> (sofern <math> \sum |X(\omega)| \cdot p_\omega < \infty </math>). === Beweis - Erwartungswert für diskrete Zufallsvariablen === Es ist :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \sum_{\omega \in \Omega} X(\omega) \cdot p_\omega & = & \displaystyle \sum_{x \in X(\Omega)} \sum _{\omega:X(\omega) = x} X(\omega) \cdot p_\omega \\ & = & \displaystyle \sum_{x \in X(\Omega)} x \sum_{\omega:X(\omega)=x} p_\omega \\ & = & \displaystyle \sum_{x \in X(\Omega)} x \cdot P^X(\lbrace x \rbrace) \\ & = & E(X) \\ \end{array} </math> === Bemerkung zum Beweis === In den Beweis geht der große Umordnungssatz für konvergente Reihen aus der Analysis ein. Die Anwendung Umordnungssatzes ist möglich, da <math> E(|X|) < \infty</math> gilt und damit die Reihe absolut konvergent ist. === Bemerkungen - Existenz Erwartungeswertes === Im Fall absoluter Konvergenz der Reihen (Beispiele oben) sagt man: * <math> X </math> besitzt einen Erwartungswert, oder * der Erwartungswert von <math> X</math> existiert. <math> X </math> besitzt genau dann einen Erwartungswert, falls <math> E\big( |X|\big) = \sum_{\omega \in \Omega} |X(\omega)| \cdot p_\omega < \infty </math>. <br> ==== Endlicher Ergebnisraum ==== Dies ist bei endlichen Ergebnisräumen <math> \Omega </math> immer der Fall. ==== Schreibweise ==== Statt <math>E(X)</math> auch <math>EX</math> oder <math>E_PX</math>, wenn man kenntlich machen möchte, bzgl. welchem Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> der Erwartungswert berechnet wurde. === Elementare Folgerungen === Aus dem obigen Satz zum Erwartungswert folgt: <math> E(1) = 1, E(X) \le E(Y)</math>, falls <math> X(w) \le Y(w)</math> für alle <math> w \in \Omega </math> gilt. ==== Beispiel ==== Ist <math> X(w) = \lbrace w_1, ..., w_m \rbrace</math>, und ist <math> P_X</math> die Gleichverteilung auf <math> X(\Omega)</math>, so lautet der Erwartungswert :<math> E(X)= \frac {1} {m} \sum _{i=1}^{m} x_i </math> ("arithmetisches Mittel"). <br> (Der Erwartungswert der Augenzahl beim Würfeln ist 3,5.) ==== Beispiel ==== Für die Indikatorvariable <math> X=1_A</math> eines Ereignisses <math> A \subset \Omega </math> gilt: :<math> E(1_A) = 0 \cdot P(1_A = 0) + 1 \cdot P(1_A = 1) = P(A)</math> Eine direkte Folgerung aus der Behauptung ist der folgende Satz. == Satz - Linearität des Erwartungswertes == Besitzen die Zufallsvariablen <math> X_1, X_2</math> Erwartungswerte, so auch die Zufallsvariablen <math> aX_1, bX_2, a,b \in \mathbb{R}</math>, und es gilt: :<math> E(a\cdot X_1+b\cdot X_2 ) = a\cdot E(X_1) + b\cdot E(X_2)</math> (siehe [[Kurs:Stochastik/Linearität Erwartungswert|Linearität des Erwartungswertes]]) === Bemerkung - Aufgabe - Beweis === Der [[Kurs:Stochastik/Linearität_Erwartungswert|Beweis der Linearität]] wird über das Einsetzen der Definition und der Anwendung elementaren Umformungen geführt. Versuchen Sie diesen Beweis zunächst ohne Hilfen selbst durchzuführen und sich erst danach bei Problemen den angegebenen Beweis in Wikiversity zur [[Kurs:Stochastik/Linearität_Erwartungswert|Linearität des Erwartungswertes]] anzusehen. Stellen Sie den Beweis in den Übungen mit allen Begründungen vor. === Anwendungsbeispiel für die Linearität des Erwartungswertes === Alle <math>n</math> Zufallsgrößen <math>X_k</math> mit <math>k\in \{1,\ldots , n\}</math> seinen <math> B(1,p)</math>-verteilt. Dann ist <math>X:= X_1 + \ldots + X_n</math> ein <math> B(n,p)</math>-verteilt und für den Erwartungswert erhält man mit der Linearität des Erwartungswertes <math>X</math> gilt: :<math> E(X) = n\cdot p</math> ===== Beweismöglichkeiten===== * <math> E(X)= \sum _{k=k}^{n} k \cdot \binom {n}{k} \cdot p^k (1-p)^{n-k} = ... = n \cdot p</math> * Für die Binominalverteilung gilt <math> X=X_1 + .. + X_n </math> mit <math> E(X_i) = p</math>. Dann ist :<math> E(X)=E(X_1) + ... + E(X_n) = n \cdot p </math> (wg. [[Kurs:Stochastik/Linearität Erwartungswert|Linearität]]). <br> == Satz - Verkettung von messbaren Abbildungen == Ist <math> X: \Omega \to \Omega'</math> Zufallsgröße auf <math> (\Omega,P) </math> und <math> \phi: \Omega' \to \mathbb{R}</math> eine Abbildung, dann gilt :<math> E(\phi \circ X)= \sum_{x \in X(\Omega)} \phi(x) \cdot P^X( \lbrace x \rbrace)</math> (Falls die Reihe absolut konvergiert). === Beweis - Verkettung von messbaren Abbildungen === :<math> \begin{array}{rcl} E_{\!_P}(\phi \circ X) & = & \displaystyle \sum_{\omega \in \Omega} \phi(X(w)) \cdot p_\omega \\ & = & \displaystyle \sum_{x \in X(\Omega)} \sum_{\omega:X(\omega) = x} \phi(X(\omega)) \cdot p_\omega \\ & = & \displaystyle \sum_{x \in X(\omega)} \phi(x) \sum _{\omega: X(\omega)=x} p_\omega \\ & = & \displaystyle \sum_{x \in X(\omega)} \phi(x) \cdot P^X(\lbrace x \rbrace) \\ \end{array} </math> (Großer Umordnungssatz für absolut konvergente Reihen) <br> === Beispiele === Gemäß der Behauptung gilt z.B. : Mit <math>\phi_1(x) := x^2</math> erhält man <math>E(\phi_1) = \sum_{x\in \mathbb{R}} x^2 \cdot P_X(\lbrace x \rbrace) </math> :Mit <math>\phi_2(x) := e^x</math> erhält man <math> E(\phi_2) = \sum_ {x\in \mathbb{R}} e^x \cdot P_X(\lbrace x \rbrace)</math> usw. ====Bemerkung ==== Die rechte Seite der Behauptung kann man auch als <math> E_{P_X} (\phi)</math> schreiben. <br> In der Tat, <math> P_X (\lbrace x \rbrace)</math> ist Wahrscheinlichkeitsfunktion auf <math> \Omega' </math> und <math> \phi</math> wird als Zufallsvariable auf <math> (\Omega', P_X)</math> aufgefasst: :<math> E_P(\phi \circ X)= E_{P_X}(\phi)</math> === Satz - Multipkikation von unabhängigen Zufallsgrößen === Die Zufallsvariablen <math> X,Y</math> mögen unabhängig sein und Erwartungswerte besitzen. Dann besitzt auch <math> X \cdot Y</math> einen Erwartungswert und es gilt :<math> E(X \cdot Y) = E(X) \cdot E(Y)</math> ====Beweis (i.1)==== Zur Existenz von <math> E(X \cdot Y)</math>: :<math> E(|X \cdot Y|)= \sum_{w \in \Omega } |X(w) \cdot Y(w)| p_w </math> :<math> = \sum_{x \in X(\Omega)} \sum _{y \in Y(\Omega)} \sum_{w:X(\omega)=x, Y(\omega) = y} |X(w) \cdot Y(w)| p_w </math> :<math> = \sum_{x \in X(\Omega)}\sum_{y \in Y(\Omega)} | x \cdot y | P(X=x, Y=y)</math> ==== Beweis (i.2) ==== :<math> = \sum_{x \in X(\Omega)} |x| \cdot P(X=x) \sum_{y \in Y(\Omega)} |y| \cdot P(Y=y)</math> :<math> = E|X| \cdot E|Y| < \infty </math> (Reihe links oben also absolut konvergent.) ==== Beweis (ii) ==== Die gleiche Rechnung wie in (i) ohne Betragsstriche liefert: :<math> E(X \cdot Y) = \sum_{\omega \in \Omega} X(\omega) \cdot Y(w) \cdot p_\omega </math> :<math> = ... = \sum_{x \in X(\Omega)} x \cdot P(X=x) \sum_{y \in Y(\Omega)} y \cdot P(Y=y) </math> :<math> = E(X) \cdot E(Y)</math> Es wurde angewandt: Doppelreihensatz und Umordnungssatz für Reihen mit nicht negativen Gliedern (in (i)) und für absolut konvergente Reihen (in (ii)). ====Bemerkung ==== 1. Allgemein gilt für unabhängige Zufallsvariablen <math> X_1, ..., X_n</math> mit existierenden Erwartungswerten: :<math> E(X_1 \cdot ... \cdot X_n) = E(X_1) \cdot ... \cdot E(X_n)</math> 2. Bei fehlender Unabhängigkeit folgt aus <math> P|X| < \infty, P|Y| < \infty </math> nicht notwendigerweise <math> P| X \cdot Y| <\infty </math>. === Definition - Bedingter Erwartungswert === Sei <math> (\Omega, \mathcal{S}, P) </math> diskreter Wahrscheinlichkeitsraum, <math>X</math> Zufallsvariable mit existierendem Erwartungswert und <math> A \subset \Omega </math> mit <math> P(A)> 0</math>. Dann heißt :<math> E(X|A) = E_{P_{(\cdot |A)}} (X)</math> der bedingte Erwartungswert von <math>X</math> unter (der Bedingung) <math>A</math>. <br> [ <math> P( \cdot|A)</math> ist die bedingte Wahrscheinlichkeitsverteilung auf <math> \Omega </math> unter <math> A </math>.] ==== Formeln zu Berechnung ==== :<math> E(X|A) = \sum_{\omega \in \Omega} X(\omega) P( \lbrace \omega \rbrace|A) = \sum X(\omega) \cdot \frac{P( \lbrace w \rbrace \cap A)} {P(A)} </math> :<math> = \frac {1} { P(A)} \sum_{\omega \in A} X(\omega) p_\omega = \frac {1} {P(A)} \sum_{\omega\in \Omega} 1_A (\omega) X(\omega) \cdot p_\omega = \frac {1} {P(A)} E(1_A X)</math> ==== Bemerkungen ==== * Da <math> \sum_{\omega \in \Omega} X(\omega )\cdot p_\omega </math> absolut konvergiert, so konvergiert auch <math>\sum_{\omega \in A} X(\omega ) \cdot p_\omega </math>. Damit existiert der bedingte Erwartungswert <math> E(X|A)</math>. * Spezialfälle: <math> E(1_A|A) =1, E(X|\Omega) = E(X)</math> <br> * Der hier eingeführte Begriff des bedingten Erwartungswertes spielt eine untergeordnete Rolle. In der allgemeinen Wahrscheinlichkeitstheorie definiert man bedingte Erwartungswerte der Art <math> E(X|Y)</math>, <math> Y </math> Zufallsvariable, welche von großer Wichtigkeit sind (jedoch hier in der Einführung nicht gebraucht werden). == Momente == In dem obigen Beispiel wurde der Erwartungswert <math>E(X)</math> als Spezialfall von Momenten <math>E(X^k)</math> betrachtet, die im Folgenden definiert werden. === Definition - Momente === Es sei <math>X</math> eine [[w:de:Zufallsvariable|Zufallsvariable]] und <math>k</math> eine [[w:de:natürliche Zahl|natürliche Zahl]]. Dann bezeichnet man als ''Moment der Ordnung <math>k</math> von <math>X</math>'' oder kürzer als ''<math>k</math>-tes Moment von <math>X</math>'' den Erwartungswert der <math>k</math>&#8209;ten Potenz von <math>X</math> (unter der Voraussetzung, dass dieser existiert): :<math> m_k := \operatorname{E}\left(X^k\right), </math> und als ''<math>k</math>-tes absolutes Moment von <math>X</math>'' wird der Erwartungswert der <math>k</math>-ten Potenz des Absolutbetrages <math>|X|</math> von <math>X</math> bezeichnet: :<math> M_k := \operatorname{E}\left(\left|X\right|^k\right). </math> === Bemerkung - nichtganzzahlige Momente === In theoretischen Untersuchungen werden mitunter auch Momente nichtganzzahliger Ordnung <math>\kappa</math> betrachtet. === Bemerkung - Existenz von Momenten === Die Existenz von Momenten einer bestimmten Ordnung liefert allgemein Aussagen über die Verteilung der Wahrscheinlichkeitsmasse. === Bemerkung - Erwartungswert als Moment 1. Ordnung === Das ''erste Moment'' ist der Erwartungswert. Er wird meist mit <math>\mu</math> bezeichnet und kann als Mittelwert angesehen werden. == Siehe auch == * [[Kurs:Stochastik/Linearität Erwartungswert|Linearität des Erwartungswertes]] * [[Kurs:Stochastik/Varianz|Varianz]] * [[Kurs:Stochastik/Kovarianz|Kovarianz]] * [[Kurs:Stochastik/Erzeugende Funktionen|Erzeugende Funktionen]] * [[Kurs:Stochastik]] == Seiteninformation == Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Momente&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Stochastik Kurs:Stochastik]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Momente https://de.wikiversity.org/wiki/Momente] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Momente Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Momente * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Momente&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] [[Category:Wiki2Reveal]] flu0v1eofscls3hxoeew3wjydvtinpm 1119327 1119326 2026-11-10T13:17:02Z Bert Niehaus 20843 /* Formeln zu Berechnung */ 1119327 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite zum Thema ''Momente'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Momente&author=Wikipedia%20Authors&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Momente&coursetitle=Wikipedia%20Authors Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt: * (1) Definition von Momenten * (2) [[Erwartungswert|Erwartungswert]] * (3) [[Varianz|Varianz]] == Motivation - Erwartungswert == Vorbemerkung: Zwei Personen <math> A </math> und <math>B </math> vereinbaren ein Würfelspiel. * Ausgang '1': <math> A </math> zahlt an <math>B </math> 5€ * Ausgang '2', ..., '6': <math> B </math> zahlt an <math>A </math> 1€ Die Gewinnerwartung für die beiden Spieler beträgt hier Null: Erwarteter Gewinn von <math>B</math>: :<math> 5 \cdot \frac {1} {6} - 1 \cdot \frac {1} {6} - ... -1 \cdot \frac {1} {6} = 0 </math> ("faires Spiel"). === Bemerkung - Wahrscheinlichkeit und Wert der Zufallsgröße === In der obigen Gleichung :<math> 5 \cdot \frac {1} {6} - 1 \cdot \frac {1} {6} - ... -1 \cdot \frac {1} {6} = 0 </math> setzen sich die einzelnen Terme (z.B. <math> 5 \cdot \frac{1}{6} </math>) aus dem Wert der Zufallsgröße <math>X(1) = 5</math> und der Wahrscheinlichkeit <math> \frac{1}{6} </math> für das Eintretens des Ereignisse ("1 gewürfelt") zusammen. == Definition - Erwartungswert == Die Definition des Erwartungswertes wird in folgende Fälle unterteilt: * diskrete Zufallsgröße und * absolute stetige Zufallsgröße. === Definition - Erwartungswert - diskreter Fall === Sei <math> X : \Omega \to \mathbb{R} </math> eine auf einem diskreten [[Wahrscheinlichkeitsraum]] <math> (\Omega, \mathcal{S}, P) </math> definierte Zufallsvariable, dann heißt :<math> E(X) = \sum_{x \in X (\Omega)} x \cdot P(X=x) = \sum_{x \in X(\Omega)} x \cdot P^X (\lbrace x \rbrace)</math> Erwartungswert von <math> X </math>, vorausgesetzt, dass <math> \sum_{x \in X(\Omega)} |x| \cdot P(X=x) < \infty </math>. ==== Bemerkung - Anzahl Summanden - diskreter Fall ==== Die Zufallsgröße <math>X: \Omega \to \mathbb{R}</math> nimmt nur zwei Werte an, nämlich <math>X(\omega)=5</math> für <math>\omega =1</math> und <math>X(\omega)=-1</math> für <math>\omega =2,3,4,5,6</math>. Dabei besteht der Erwartungswert in der obigen Notation nur aus zwei Summanden, da <math>X(\Omega)=\{-1,5\}</math>. ==== Bemerkung 1 - Notation zum diskreten Beispiel ==== Möchte man den Erwartungswert analog zur obigen Notation mit 6 Summand definieren: :<math> \begin{array}{rcl} E(X) & = & \sum_{\omega \in \Omega} X(\omega) \cdot P(\{\omega\}) \\ & = & 5 \cdot \frac {1} {6} + \underbrace{(- 1) \cdot \frac {1} {6} + ... +(-1) \cdot \frac {1} {6}}_{=(-1) \cdot \frac {5} {6}} \\ & = & 5 \cdot \frac {1} {6} + -1 \cdot \frac {5} {6} = \displaystyle \sum_{x \in X(\Omega)=\{5,-1\}} x \cdot P^X(\{x\}) \\ & = & 0 \end{array} </math> ==== Bemerkung 2 - diskret verteilte Zufallsgröße ==== Die Reihe <math> \sum _x |x| \cdot P(X=x) < \infty</math> hat nur abzählbar viele Elemente <math>x</math> mit <math>P(X=x) \not= 0</math>, weil <math>X:\Omega \to\mathbb{R}</math> eine diskrete Zufallsgröße ist. ==== Bemerkung 3 - Erwartungswert - absolute Konvergenz ==== Mit <math> \sum _x |x| \cdot \underbrace{P(X=x)}_{\geq 0} </math> ist die Reihe in der Definition zum Erwartungswert absolut konvergent. Die Fälle <math> E(x) = + \infty </math> und <math> E(x) = - \infty </math> werden also ausgeschlossen. In solchen Fällen existiert der Erwartungswert nicht. === Definition - Erwartungswert - absolut stetig === Sei <math> X : \Omega \to \mathbb{R} </math> eine auf einem diskreten [[Wahrscheinlichkeitsraum]] <math> (\Omega, \mathcal{S}, P) </math> bei die Wahrscheinlichkeitsverteilung durch eine Dichtefunktion <math> p:\Omega \to \mathbb{R}_0^{+} </math> bzw. die induzierte Dichte <math> p^X:\mathbb{R} \to \mathbb{R}_0^{+} </math> gegeben ist. Dann heißt :<math> E(X) := \int_{\Omega} X(\omega) \cdot p(\omega) \, d(\omega) := \int_{\mathbb{R}} x \cdot p^X ( x ) \, dx</math> Erwartungswert der absolut stetigen Verteilung, wenn die Bedingung :<math> E(|X|) = \int_{\Omega} |X(\omega) | \cdot p(\omega) \, d(\omega) = \int_{\mathbb{R}} |x| \cdot p^X ( x ) \, dx < \infty </math> erfüllt ist. ==== Bemerkung - induzierte Dichtefunktion ==== Für die induzierte Dichtefunktion gilt alle <math>B</math> aus der Borelschen <math>\sigma</math>-Algebra <math>\mathcal{B}(\mathbb{R})</math>: :<math> \int_{X^{-1}(B)} X(\omega) \cdot p(\omega) \, d(\omega) := \int_{B} x \cdot p^X ( x ) \, dx</math> == Satz - Erwartungswert für diskrete Zufallsvariablen == Bezeichnet <math> p_\omega = P( \lbrace \omega \rbrace ) </math> die Wahrscheinlichkeitsfunktion von <math> P </math> auf <math> \Omega </math>, so gilt für eine auf <math> ( \Omega, \mathcal{S}, P)</math> definierte Zufallsvariable <math> X:\Omega \to \mathbb{R}</math>: :<math> E(X)= \sum_{\omega \in \Omega} X(\omega)\cdot p_\omega </math> (sofern <math> \sum |X(\omega)| \cdot p_\omega < \infty </math>). === Beweis - Erwartungswert für diskrete Zufallsvariablen === Es ist :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \sum_{\omega \in \Omega} X(\omega) \cdot p_\omega & = & \displaystyle \sum_{x \in X(\Omega)} \sum _{\omega:X(\omega) = x} X(\omega) \cdot p_\omega \\ & = & \displaystyle \sum_{x \in X(\Omega)} x \sum_{\omega:X(\omega)=x} p_\omega \\ & = & \displaystyle \sum_{x \in X(\Omega)} x \cdot P^X(\lbrace x \rbrace) \\ & = & E(X) \\ \end{array} </math> === Bemerkung zum Beweis === In den Beweis geht der große Umordnungssatz für konvergente Reihen aus der Analysis ein. Die Anwendung Umordnungssatzes ist möglich, da <math> E(|X|) < \infty</math> gilt und damit die Reihe absolut konvergent ist. === Bemerkungen - Existenz Erwartungeswertes === Im Fall absoluter Konvergenz der Reihen (Beispiele oben) sagt man: * <math> X </math> besitzt einen Erwartungswert, oder * der Erwartungswert von <math> X</math> existiert. <math> X </math> besitzt genau dann einen Erwartungswert, falls <math> E\big( |X|\big) = \sum_{\omega \in \Omega} |X(\omega)| \cdot p_\omega < \infty </math>. <br> ==== Endlicher Ergebnisraum ==== Dies ist bei endlichen Ergebnisräumen <math> \Omega </math> immer der Fall. ==== Schreibweise ==== Statt <math>E(X)</math> auch <math>EX</math> oder <math>E_PX</math>, wenn man kenntlich machen möchte, bzgl. welchem Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> der Erwartungswert berechnet wurde. === Elementare Folgerungen === Aus dem obigen Satz zum Erwartungswert folgt: <math> E(1) = 1, E(X) \le E(Y)</math>, falls <math> X(w) \le Y(w)</math> für alle <math> w \in \Omega </math> gilt. ==== Beispiel ==== Ist <math> X(w) = \lbrace w_1, ..., w_m \rbrace</math>, und ist <math> P_X</math> die Gleichverteilung auf <math> X(\Omega)</math>, so lautet der Erwartungswert :<math> E(X)= \frac {1} {m} \sum _{i=1}^{m} x_i </math> ("arithmetisches Mittel"). <br> (Der Erwartungswert der Augenzahl beim Würfeln ist 3,5.) ==== Beispiel ==== Für die Indikatorvariable <math> X=1_A</math> eines Ereignisses <math> A \subset \Omega </math> gilt: :<math> E(1_A) = 0 \cdot P(1_A = 0) + 1 \cdot P(1_A = 1) = P(A)</math> Eine direkte Folgerung aus der Behauptung ist der folgende Satz. == Satz - Linearität des Erwartungswertes == Besitzen die Zufallsvariablen <math> X_1, X_2</math> Erwartungswerte, so auch die Zufallsvariablen <math> aX_1, bX_2, a,b \in \mathbb{R}</math>, und es gilt: :<math> E(a\cdot X_1+b\cdot X_2 ) = a\cdot E(X_1) + b\cdot E(X_2)</math> (siehe [[Kurs:Stochastik/Linearität Erwartungswert|Linearität des Erwartungswertes]]) === Bemerkung - Aufgabe - Beweis === Der [[Kurs:Stochastik/Linearität_Erwartungswert|Beweis der Linearität]] wird über das Einsetzen der Definition und der Anwendung elementaren Umformungen geführt. Versuchen Sie diesen Beweis zunächst ohne Hilfen selbst durchzuführen und sich erst danach bei Problemen den angegebenen Beweis in Wikiversity zur [[Kurs:Stochastik/Linearität_Erwartungswert|Linearität des Erwartungswertes]] anzusehen. Stellen Sie den Beweis in den Übungen mit allen Begründungen vor. === Anwendungsbeispiel für die Linearität des Erwartungswertes === Alle <math>n</math> Zufallsgrößen <math>X_k</math> mit <math>k\in \{1,\ldots , n\}</math> seinen <math> B(1,p)</math>-verteilt. Dann ist <math>X:= X_1 + \ldots + X_n</math> ein <math> B(n,p)</math>-verteilt und für den Erwartungswert erhält man mit der Linearität des Erwartungswertes <math>X</math> gilt: :<math> E(X) = n\cdot p</math> ===== Beweismöglichkeiten===== * <math> E(X)= \sum _{k=k}^{n} k \cdot \binom {n}{k} \cdot p^k (1-p)^{n-k} = ... = n \cdot p</math> * Für die Binominalverteilung gilt <math> X=X_1 + .. + X_n </math> mit <math> E(X_i) = p</math>. Dann ist :<math> E(X)=E(X_1) + ... + E(X_n) = n \cdot p </math> (wg. [[Kurs:Stochastik/Linearität Erwartungswert|Linearität]]). <br> == Satz - Verkettung von messbaren Abbildungen == Ist <math> X: \Omega \to \Omega'</math> Zufallsgröße auf <math> (\Omega,P) </math> und <math> \phi: \Omega' \to \mathbb{R}</math> eine Abbildung, dann gilt :<math> E(\phi \circ X)= \sum_{x \in X(\Omega)} \phi(x) \cdot P^X( \lbrace x \rbrace)</math> (Falls die Reihe absolut konvergiert). === Beweis - Verkettung von messbaren Abbildungen === :<math> \begin{array}{rcl} E_{\!_P}(\phi \circ X) & = & \displaystyle \sum_{\omega \in \Omega} \phi(X(w)) \cdot p_\omega \\ & = & \displaystyle \sum_{x \in X(\Omega)} \sum_{\omega:X(\omega) = x} \phi(X(\omega)) \cdot p_\omega \\ & = & \displaystyle \sum_{x \in X(\omega)} \phi(x) \sum _{\omega: X(\omega)=x} p_\omega \\ & = & \displaystyle \sum_{x \in X(\omega)} \phi(x) \cdot P^X(\lbrace x \rbrace) \\ \end{array} </math> (Großer Umordnungssatz für absolut konvergente Reihen) <br> === Beispiele === Gemäß der Behauptung gilt z.B. : Mit <math>\phi_1(x) := x^2</math> erhält man <math>E(\phi_1) = \sum_{x\in \mathbb{R}} x^2 \cdot P_X(\lbrace x \rbrace) </math> :Mit <math>\phi_2(x) := e^x</math> erhält man <math> E(\phi_2) = \sum_ {x\in \mathbb{R}} e^x \cdot P_X(\lbrace x \rbrace)</math> usw. ====Bemerkung ==== Die rechte Seite der Behauptung kann man auch als <math> E_{P_X} (\phi)</math> schreiben. <br> In der Tat, <math> P_X (\lbrace x \rbrace)</math> ist Wahrscheinlichkeitsfunktion auf <math> \Omega' </math> und <math> \phi</math> wird als Zufallsvariable auf <math> (\Omega', P_X)</math> aufgefasst: :<math> E_P(\phi \circ X)= E_{P_X}(\phi)</math> === Satz - Multipkikation von unabhängigen Zufallsgrößen === Die Zufallsvariablen <math> X,Y</math> mögen unabhängig sein und Erwartungswerte besitzen. Dann besitzt auch <math> X \cdot Y</math> einen Erwartungswert und es gilt :<math> E(X \cdot Y) = E(X) \cdot E(Y)</math> ====Beweis (i.1)==== Zur Existenz von <math> E(X \cdot Y)</math>: :<math> E(|X \cdot Y|)= \sum_{w \in \Omega } |X(w) \cdot Y(w)| p_w </math> :<math> = \sum_{x \in X(\Omega)} \sum _{y \in Y(\Omega)} \sum_{w:X(\omega)=x, Y(\omega) = y} |X(w) \cdot Y(w)| p_w </math> :<math> = \sum_{x \in X(\Omega)}\sum_{y \in Y(\Omega)} | x \cdot y | P(X=x, Y=y)</math> ==== Beweis (i.2) ==== :<math> = \sum_{x \in X(\Omega)} |x| \cdot P(X=x) \sum_{y \in Y(\Omega)} |y| \cdot P(Y=y)</math> :<math> = E|X| \cdot E|Y| < \infty </math> (Reihe links oben also absolut konvergent.) ==== Beweis (ii) ==== Die gleiche Rechnung wie in (i) ohne Betragsstriche liefert: :<math> E(X \cdot Y) = \sum_{\omega \in \Omega} X(\omega) \cdot Y(w) \cdot p_\omega </math> :<math> = ... = \sum_{x \in X(\Omega)} x \cdot P(X=x) \sum_{y \in Y(\Omega)} y \cdot P(Y=y) </math> :<math> = E(X) \cdot E(Y)</math> Es wurde angewandt: Doppelreihensatz und Umordnungssatz für Reihen mit nicht negativen Gliedern (in (i)) und für absolut konvergente Reihen (in (ii)). ====Bemerkung ==== 1. Allgemein gilt für unabhängige Zufallsvariablen <math> X_1, ..., X_n</math> mit existierenden Erwartungswerten: :<math> E(X_1 \cdot ... \cdot X_n) = E(X_1) \cdot ... \cdot E(X_n)</math> 2. Bei fehlender Unabhängigkeit folgt aus <math> P|X| < \infty, P|Y| < \infty </math> nicht notwendigerweise <math> P| X \cdot Y| <\infty </math>. === Definition - Bedingter Erwartungswert === Sei <math> (\Omega, \mathcal{S}, P) </math> diskreter Wahrscheinlichkeitsraum, <math>X</math> Zufallsvariable mit existierendem Erwartungswert und <math> A \subset \Omega </math> mit <math> P(A)> 0</math>. Dann heißt :<math> E(X|A) = E_{P_{(\cdot |A)}} (X)</math> der bedingte Erwartungswert von <math>X</math> unter (der Bedingung) <math>A</math>. <br> [ <math> P( \cdot|A)</math> ist die bedingte Wahrscheinlichkeitsverteilung auf <math> \Omega </math> unter <math> A </math>.] ==== Formeln zu Berechnung ==== :<math> E(X|A) = \sum_{\omega \in \Omega} X(\omega) P( \lbrace \omega \rbrace|A) = \sum X(\omega) \cdot \frac{P( \lbrace \omega \rbrace \cap A)} {P(A)} </math> :<math> = \frac {1} { P(A)} \sum_{\omega \in A} X(\omega) p_\omega = \frac {1} {P(A)} \sum_{\omega\in \Omega} 1_A (\omega) X(\omega) \cdot p_\omega = \frac {1} {P(A)} E(1_A X)</math> ==== Bemerkungen ==== * Da <math> \sum_{\omega \in \Omega} X(\omega )\cdot p_\omega </math> absolut konvergiert, so konvergiert auch <math>\sum_{\omega \in A} X(\omega ) \cdot p_\omega </math>. Damit existiert der bedingte Erwartungswert <math> E(X|A)</math>. * Spezialfälle: <math> E(1_A|A) =1, E(X|\Omega) = E(X)</math> <br> * Der hier eingeführte Begriff des bedingten Erwartungswertes spielt eine untergeordnete Rolle. In der allgemeinen Wahrscheinlichkeitstheorie definiert man bedingte Erwartungswerte der Art <math> E(X|Y)</math>, <math> Y </math> Zufallsvariable, welche von großer Wichtigkeit sind (jedoch hier in der Einführung nicht gebraucht werden). == Momente == In dem obigen Beispiel wurde der Erwartungswert <math>E(X)</math> als Spezialfall von Momenten <math>E(X^k)</math> betrachtet, die im Folgenden definiert werden. === Definition - Momente === Es sei <math>X</math> eine [[w:de:Zufallsvariable|Zufallsvariable]] und <math>k</math> eine [[w:de:natürliche Zahl|natürliche Zahl]]. Dann bezeichnet man als ''Moment der Ordnung <math>k</math> von <math>X</math>'' oder kürzer als ''<math>k</math>-tes Moment von <math>X</math>'' den Erwartungswert der <math>k</math>&#8209;ten Potenz von <math>X</math> (unter der Voraussetzung, dass dieser existiert): :<math> m_k := \operatorname{E}\left(X^k\right), </math> und als ''<math>k</math>-tes absolutes Moment von <math>X</math>'' wird der Erwartungswert der <math>k</math>-ten Potenz des Absolutbetrages <math>|X|</math> von <math>X</math> bezeichnet: :<math> M_k := \operatorname{E}\left(\left|X\right|^k\right). </math> === Bemerkung - nichtganzzahlige Momente === In theoretischen Untersuchungen werden mitunter auch Momente nichtganzzahliger Ordnung <math>\kappa</math> betrachtet. === Bemerkung - Existenz von Momenten === Die Existenz von Momenten einer bestimmten Ordnung liefert allgemein Aussagen über die Verteilung der Wahrscheinlichkeitsmasse. === Bemerkung - Erwartungswert als Moment 1. Ordnung === Das ''erste Moment'' ist der Erwartungswert. Er wird meist mit <math>\mu</math> bezeichnet und kann als Mittelwert angesehen werden. == Siehe auch == * [[Kurs:Stochastik/Linearität Erwartungswert|Linearität des Erwartungswertes]] * [[Kurs:Stochastik/Varianz|Varianz]] * [[Kurs:Stochastik/Kovarianz|Kovarianz]] * [[Kurs:Stochastik/Erzeugende Funktionen|Erzeugende Funktionen]] * [[Kurs:Stochastik]] == Seiteninformation == Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Momente&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Stochastik Kurs:Stochastik]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Momente https://de.wikiversity.org/wiki/Momente] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Momente Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Momente * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Momente&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] [[Category:Wiki2Reveal]] exkpe6kgip14t6hori47rx87uz3mcqs 0 102739 1119328 1050160 2026-11-10T13:44:17Z Bocardodarapti 2041 1119328 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} eine Menge mit {{math|term= m|SZ=}} Elementen und {{math|term= t|SZ=}} eine natürliche Zahl. Zeige{{n Sie}}, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind. {{ Aufzählung3 | {{math|term= t|SZ=}} ist ein Teiler von {{math|term= m|SZ=.}} |Es gibt eine Zerlegung von {{math|term= M|SZ=}} in disjunkte Teilmengen {{mathl|term= M_1 ,M_2 {{kommadots|}} M_n |SZ=,}} wobei sämtliche beteiligten Teilmengen {{math|term= M_i |SZ=}} genau {{math|term= t|SZ=}} Elemente besitzen. |Es gibt eine Zerlegung von {{math|term= M|SZ=}} in {{math|term= t|SZ=}} disjunkte gleichgroße Teilmengen. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Teilbarkeitstheorie (N) |Kategorie2=Theorie der Anzahl von endlichen Mengen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ospb6poaz7v7emwhisyrt6k75lqb3go 0 136032 1119323 1119322 2026-11-10T12:20:02Z Bert Niehaus 20843 /* Problem 4 - Macht und Kontrolle */ 1119323 wikitext text/x-wiki == Einführung == In dieser Lernressource geht es um äquivalente digitale und analoge Weltstrukturen im Kontext von Lernumgebungen. Digital Analogue World Equivalence (DAWE) bedeutet, dass der digitale Zugriffsbereich auf Daten und Software strukturell äquivalent zu dem außerhalb der I T liegenden Zugriffsbereich der verwendeten digitalen Lernumgebungen ist. Diese Lernressource basiert auf dem [[Open Community Approach]]. === Lernumgebung und digitale Zwillinge von Lernenden === Man geht davon aus, dass die Studierenden alleine an einer auf ihre Fähigkeiten und Kenntnisse zugeschnittenen Lernaufgabe arbeiten. Dies definiert eine Lernumgebung, in der die Studierenden nicht mit anderen Studierenden zusammenarbeiten. Wenn die IT-Umgebung entsprechend gestaltet ist, dann kann das mobile Gerät auch ohne Verbindung zu anderen Studierenden oder zum Backend des [[w:de:Lernmanagementsystem|Lernmanagementsystem]]s arbeiten. Es liegt auf der Hand, dass eine Bewertung auch die Anforderung enthalten kann, dass die Aufgaben mit [[v:en:enOpen Source|Open Source Software]] und [[Open Educational Resources]], die nur auf dem Gerät verfügbar sind, bearbeitet werden sollten. Dies kann eine erweiterte Arbeit in einer Gruppe von Schülern sein, die an einer gemeinschaftlichen Lernaufgabe arbeiten. Digitale Analoge Weltäquivalenz bedeutet in diesem Zusammenhang, dass die Schülerinnen und Schüler als Gruppe mit einem mobilen Gerät oder PC an einer bestimmten Aufgabe arbeiten und von der restlichen IT-Infrastruktur abgekoppelt arbeiten können, == Lernaufgaben == * '''([[w:de:Mesh networking|Mesh Networks]])''' '''([[w:en:Mesh networking|Mesh Networks]])''', die zwischen mobilen Geräten eingerichtet werden können, ohne dass eine Client-Server-Infrastruktur erforderlich ist. Die SchülerInnen arbeiten zusammen und tauschen Ideen und Inhalte innerhalb des Mesh-Netzwerks aus. Wenn sie ihre Übung nicht beenden, teilen sich alle Clients eine Kopie der Zwischenergebnisse und können diese später unabhängig voneinander als Hausaufgabe bearbeiten. Einige Schülerinnen und Schüler möchten ihre Ergebnisse vielleicht nicht präsentieren, andere möchten sie mit der Lehrkraft teilen oder sogar im Mesh-Netzwerk im Klassenzimmer anwesend sein. Erklären Sie den Unterschied zwischen einer Client-Server-Infrastruktur, bei der alle digitalen Produkte über den Server gespeichert und ausgetauscht werden müssen. Was sind die Vor- und Nachteile beider Ansätze? Wie fühlen sich Ihre SchülerInnen, wenn alle Ergebnisse und Zwischenschritte auf einer Client-Server-Infrastruktur gespeichert sind? Schätzen Ihre Schülerinnen und Schüler einen Arbeitsablauf, bei dem die Offline-Privatsphäre der Ergebnisse gewahrt bleibt und die Möglichkeit besteht, die Ergebnisse vom eigenen Mobilgerät aus mit der Lehrkraft, der Gruppe oder der gesamten Klasse zu teilen, wenn sich die Schülerinnen und Schüler mit der Weitergabe von ihrem eigenen Gerät an eine Client-Server-Infrastruktur wohl fühlen. * '''([[w:de:KISS_principle|KISS Principle]])''' Keep It Small and Simple "[[w:en:KISS_principle|KISS]]" bedeutet, einfache Softwarelösungen zu erstellen, die einer bestimmten Aufgabe dienen und für einen bestimmten Zweck leicht gewartet und überwacht werden können. Identifizieren Sie die Bibliotheks-Pakete z.B. für [[v:en:LineageOS|LineageOS]], um eine Digital-Analog-Welt-Äquivalenz herzustellen. Betrachten Sie auch das Konzept des [[w:en:OSI-Modells|Schichten im OSI-Modell]] und leiten Sie die Auswahl der [[Open Source]]-Software/Bibliotheken aus Ihren Anforderungen und Einschränkungen ab. * '''(Synchronisierung und gemeinsame Nutzung)''' Angenommen, die Gruppe der Studierenden hat ein [[w:en:Mesh Networking|Mesh Network]] zwischen ihnen eingerichtet. In einer kollaborativen Arbeitsumgebung zwischen dieser Gruppe möchten die Studierenden die Ergebnisse und Zwischenergebnisse des Problemlösungsprozesses synchronisieren und gemeinsam nutzen. Beschäftigen Sie sich mit der Geschichte des Wikis oder den Arbeitsabläufen eines Versionskontrollsystems. Welche Anforderungen und Einschränkungen gibt es, damit die Schülergruppe den Überblick über ihre gemeinsamen Ergebnisse behält und ihre Versionen der Zwischenergebnisse synchronisiert. Ist das ohne ein Versionskontrollsystem im Hintergrund möglich? Ist es möglich, dass die Studierenden einen Studierenden auswählen, der eine Versionskontrolle im [[w:de:Mesh-Netzwerk|Mesh-Netzwerk]] hostet und alle Versionen in einem Master-Slave-Konzept der Datenbank mit allen anderen mobilen Geräten im [[w:de:Mesh-Netzwerk|Mesh-Netzwerk]] austauscht? Welche anderen Möglichkeiten gibt es, die Daten zwischen den Schülern zu synchronisieren und auszutauschen, ohne eine externe Client-Server-Infrastruktur zu verwenden? Leiten Sie Schlussfolgerungen ab, wann zentralisierte Open-Source-Dienste in Schulen oder lokalisierte Mesh-Lösungen eingesetzt werden sollten, die keine weitere Client-Server-Infrastruktur für die kollaborative Arbeit benötigen. * '''(Einreichung oder Veröffentlichung von Ergebnissen)''' Wenn ein Thema zusammen mit den Lernaufgaben abgeschlossen ist, möchten die Schülerinnen und Schüler vielleicht die individuellen Ergebnisse auf dem mobilen Gerät mit der Peergroup teilen, die Lehrkraft den gesamten Kurs oder sogar im Intranet innerhalb der Schule veröffentlichen (und z.B. nicht im Content Management System der Schule, Hochschule, Universität, ...). Betrachten Sie den Arbeitsablauf im Allgemeinen "Wer soll Zugang zu welchem Inhalt haben?" und übertragen Sie dies auf die digitale Infrastruktur in der Weise, dass der Zugang zu den Ergebnissen gleichbedeutend ist mit dem Hosten der entsprechenden Daten auf den digitalen Geräten (z.B. mobile Geräte von Schülern und Lehrern, Datenprojektor, Open Source Server in der Schule oder in einem Mesh Network, ...) * '''([[Real World Lab]]s)''' Erkunden Sie das Konzept der [[Real World Lab]]s und die Interaktion mit der realen Welt mit zusätzlichen digitalen Informationen. Erläutern Sie, wie Lernmodule in Wikiversity als [[Open Educational Resources]] auf einen bestimmten geografischen Ort zugeschnitten werden können. == Digital-Analog-Welt-Äquivalenz == Die '''Digital-Analog-Welt-Äquivalenz''' ist ein zentrales Konzept im Kontext der Digitalisierung und der damit verbundenen ethischen Überlegungen. Sie beschreibt die Annahme oder den Versuch, dass digitale Repräsentationen (z. B. Daten, Modelle, Simulationen) einer analogen, physischen Realität '''äquivalent''' sind – also dass sie dieselbe Bedeutung, Gültigkeit oder Wirkung haben wie die Originalobjekte oder Prozesse in der realen Welt. === Grenzen von Modellen und Simulationen === Doch diese Äquivalenz ist in komplexen dynamischen System '''nicht gegeben''', sondern muss kritisch hinterfragt werden, ob welche Aspekte aus der realen Welt tatsächlich in entsprechende Qualität abgebildet wurden und in welche Aspekt bewusst nicht berücksichtigt wurden bzw. nicht berücksichtigt werden konnten. Insbesonders im Hinblick auf '''Ethik, Verantwortung, Transparenz und menschliche Wahrnehmung'''. === Schnittstelle zwischen digitaler und analoger Welt === Äquivalenz bedeutet mathematisch und aus der Wortbedeutung "gleichwertig". Die Korrektheit eines digitalen Modells ist aber nicht klassisch wahr (=1) oder falsch (=0), sondern kann in der Gültigkeit der Äquivalenz graduelle Zwischenwert zwischen 0 und 1 annehmen. Die Gültigkeit der Äquivalenz versucht man über Sensornetzwerke zu messen, wobei in der Regel nicht alles messbar ist, was den Kern eines Systems ausmacht: * '''Analoge Welt''': Die physische, mit Sinnen wahrnehmbare Welt – Menschen, Prozesse, Natur, Objekte. * '''Digitale Welt''': Daten, Algorithmen, Modelle, Simulationen, die in Computern gespeichert und verarbeitet werden. * '''Messinstrumente''': Sensornetzwerke in der analogen Welt messen Teilaspekte und kalibrieren die Modelle in der digitalen Welt (siehe auch [[Maschinelles Lernen]]) Die '''Äquivalenz''' bedeutet: *„Was in der digitalen Welt passiert, hat dieselbe Relevanz, Wirkung und Verantwortung wie in der analogen Welt.“* === Beispiel - Digitaler Zwilling === Ein '''digitaler Zwilling''' eines Fabrikrobots wird in einer Simulation getestet. Wenn der digitale Zwilling „funktioniert“, wird angenommen, dass der echte Roboter auch funktionieren wird – also: digitale und analoge Welt sind äquivalent. === Probleme diese DAW-Äquivalenz === Die Annahme der DAW-Äquivalenz kann ethisch bedenklich sein, weil: === Problem 1 - Daten sind nicht die Realität=== Digitale Repräsentationen sind immer '''vereinfacht, selektiv und fehlerbehaftet'''. Sie berücksichtigen nur bestimmte Merkmale, die gemessen oder modelliert wurden. === Problem 2 - Verlust von Kontext und Nuance=== Die menschliche Erfahrung, Emotionen, Intuition oder kulturelle Bedeutung sind schwer digitalisierbar. Ein digitaler Zwilling eines Menschen kann z. B. dessen Verhalten vorhersagen, aber nicht dessen Motivation oder ethische Entscheidungen. === Problem 3 - Verantwortung wird verschoben=== Wenn ein digitaler Zwilling einen Fehler verursacht (z. B. ein autonomes Fahrzeug, das auf Basis eines digitalen Zwillinges falsch reagiert), wird die Verantwortung oft auf „die Daten“ oder „den Algorithmus“ abgeschoben – statt auf die Menschen, die den Zwilling erstellt, validiert oder einsetzt. === Problem 4 - Macht und Kontrolle=== Wer Daten erhebt, modelliert und interpretiert, hat Einfluss auf die digitale Repräsentation – und damit auf Entscheidungen in der analogen Welt. Dies kann zu '''Diskriminierung, Überwachung oder Manipulation''' führen. Dies beinhaltet auch die Auswahl von Teilaspekten, die bewusst nicht eine digitale Repräsentation aufgenommen werden. === Beispiel - Digitaler Zwilling in der Industrie === '''Szenario''': Ein Unternehmen erstellt einen digitalen Zwilling einer Produktionsanlage, um Wartungsintervalle vorherzusagen und Ausfälle zu vermeiden. * '''Äquivalenzannahme''': „Der digitale Zwilling ist so genau wie die echte Anlage – also können wir auf Basis seiner Daten Entscheidungen treffen, die die reale Produktion betreffen.“ * '''Ethische Herausforderungen''': ** '''Datenqualität''': Wenn Sensoren fehlerhaft sind oder Daten nicht vollständig erfasst wurden, ist der Zwilling '''nicht äquivalent''' – er kann falsche Vorhersagen liefern. ** '''Verantwortung''': Wenn ein Ausfall trotz „gutem“ digitalen Zwilling eintritt, wer haftet? Der Ingenieur, der den Zwilling gebaut hat? Der Datenmanager? Der CEO, der auf die Vorhersage vertraute? ** '''Menschliche Arbeit''': Wenn der digitale Zwilling die Entscheidung über Wartung trifft, wird menschliche Erfahrung und Intuition ausgeblendet – was ethisch problematisch ist, wenn es um Sicherheit geht. ==== Fazit - digitale Zwillinge==== Der digitale Zwilling ist '''nicht äquivalent''' zur realen Anlage – er ist ein '''Modell''', das nützlich, aber begrenzt ist. Die Annahme der Äquivalenz führt zu Risiken, wenn sie nicht kritisch hinterfragt wird. === Ethik im Umgang mit DAW-Äquivalenz === Um ethisch verantwortungsvoll mit Digitalisierung umzugehen, sollten folgende Prinzipien gelten: ==== Anforderung 1 - Transparenz ==== Es muss klar sein, was im digitalen Modell erfasst, was weggelassen wurde und welche Annahmen zugrunde liegen. === Anforderung 2 - Verantwortlichkeit=== Menschen, nicht Algorithmen, tragen Verantwortung für Entscheidungen, die auf digitalen Modellen basieren. === Anforderung 3 - Human-in-the-Loop=== Digitale Systeme sollten '''unter menschlicher Aufsicht''' funktionieren – besonders bei kritischen Entscheidungen. === Anforderung 4 - Kritische Distanz=== Digitale Repräsentationen sind '''nicht die Realität''', sondern Hilfsmittel zur Entscheidungsfindung. Sie müssen stets mit kritischem Abstand betrachtet werden. === Anforderung 5 - Gerechtigkeit und Fairness=== Digitale Modelle dürfen nicht diskriminierend sein, z.B. wenn sie auf unvollständigen oder voreingenommenen Daten basieren. == Zusammenfassung == Die '''Digital-Analog-Welt-Äquivalenz''' darf nicht mit einer Annahme verwechselt werden, dass die Äquivalenz in der Digitalisierung tatsächlich zu erreichen ist. Der Begriff suggeriert, dass digitale Modelle wie digitale Zwillinge die reale Welt vollständig und genau abbilden, was ethisch potentiell zu Problemen führen kann. === Gründe für Probleme bzgl. DAW-Äquivalenz === Gründe für Probleme einer DAW-Äquivalenz liegen * Modelle sind vereinfacht. * Daten sind nicht neutral. * Verantwortung kann verschoben werden. * Menschliche Dimensionen gehen u.U. verloren und finden keine Berücksichtigung in Entscheidungsprozessen. === Ethisch verantwortungsvolle Digitalisierung === Ethisch verantwortungsvolle Digitalisierung bedeutet u.a. auch die Grenzen von Modellen wahrzunehmen und keine Absolutheitsanspruch für die modellierten Aspekte zu berücksichtigen. === Aufgabe 1 für Studierende === Diskutieren Sie die folgende Aussage und suchen Sie nach Beispielen aus Ihrem Umfeld, an dem Sie diese Aspekte erläutern können : ''„Menschen nutzen digitale Modelle als Werkzeuge und zur Entscheidungsunterstützung – aber berücksichtigen nicht notwendig betrachtet, wer diese Modelle erstellt hat, mit welcher Zielsetzung die Modelle geschaffen wurden, wer von den Einsatz der Modelle profitiert"'' Können durch einen Absolutheitsanspruch der Digital-Analog-Welt-Äquivalenz Menschenrechte verletzt werden. === Aufgabe 2 für Studierende === Wenn Digital-Analog-Äquivalenz eine Illusion ist und nur Teilaspekte und unvollständiger Form auf digitale Modelle übertragen werden, kann man dann dennoch Anstrengungen als Gesellschaft angehen, damit die ethische Risiken gemindert werden. Versuchen Sie die ethischen Risiken auch im Kontext von digitaler Entscheidungsunterstützung durch digitale Zwillingen als nützliche Hilfsmittels zu analysieren. Z.B. digitale Zwillinge von Ökosystemen zu verwenden, um Interventionen vor der Realisierung in einem digitalen Modell zu testen und die Konsequenzen einer Intervention besser abzuschätzen. == Siehe auch == * [[Digitale Lernumgebung]] * [[Digitaler Zwilling]] * [[w:en:Information systems|Informationssysteme]] * [[w:de:KISS-Prinzip|KISS-Prinzip]] * [[w:en:Lernmanagementsystem|Lernmanagementsystem (LMS)]] * [[v:en:LineageOS|LineageOS]] - ein maßgeschneidertes [[v:en:Open Source|Open Source]]-Betriebssystem für mobile Geräte für DAWE * [[w:de:OSI-Modell|Schichten im OSI-Modell]] * [[w:de:Mesh Networking|Mesh Network]] [[Kategorie:Lernen]] [[Kategorie:Informations- und Kommunikationstechnologien]] [[Kategorie:Informationssysteme]] <noinclude>[[en:Digital Analogue World Equivalence]]</noinclude> 7zndl01l25snlvnrq5nian4p7cyzmhh 1119324 1119323 2026-11-10T12:22:17Z Bert Niehaus 20843 /* Beispiel - Digitaler Zwilling in der Industrie */ 1119324 wikitext text/x-wiki == Einführung == In dieser Lernressource geht es um äquivalente digitale und analoge Weltstrukturen im Kontext von Lernumgebungen. Digital Analogue World Equivalence (DAWE) bedeutet, dass der digitale Zugriffsbereich auf Daten und Software strukturell äquivalent zu dem außerhalb der I T liegenden Zugriffsbereich der verwendeten digitalen Lernumgebungen ist. Diese Lernressource basiert auf dem [[Open Community Approach]]. === Lernumgebung und digitale Zwillinge von Lernenden === Man geht davon aus, dass die Studierenden alleine an einer auf ihre Fähigkeiten und Kenntnisse zugeschnittenen Lernaufgabe arbeiten. Dies definiert eine Lernumgebung, in der die Studierenden nicht mit anderen Studierenden zusammenarbeiten. Wenn die IT-Umgebung entsprechend gestaltet ist, dann kann das mobile Gerät auch ohne Verbindung zu anderen Studierenden oder zum Backend des [[w:de:Lernmanagementsystem|Lernmanagementsystem]]s arbeiten. Es liegt auf der Hand, dass eine Bewertung auch die Anforderung enthalten kann, dass die Aufgaben mit [[v:en:enOpen Source|Open Source Software]] und [[Open Educational Resources]], die nur auf dem Gerät verfügbar sind, bearbeitet werden sollten. Dies kann eine erweiterte Arbeit in einer Gruppe von Schülern sein, die an einer gemeinschaftlichen Lernaufgabe arbeiten. Digitale Analoge Weltäquivalenz bedeutet in diesem Zusammenhang, dass die Schülerinnen und Schüler als Gruppe mit einem mobilen Gerät oder PC an einer bestimmten Aufgabe arbeiten und von der restlichen IT-Infrastruktur abgekoppelt arbeiten können, == Lernaufgaben == * '''([[w:de:Mesh networking|Mesh Networks]])''' '''([[w:en:Mesh networking|Mesh Networks]])''', die zwischen mobilen Geräten eingerichtet werden können, ohne dass eine Client-Server-Infrastruktur erforderlich ist. Die SchülerInnen arbeiten zusammen und tauschen Ideen und Inhalte innerhalb des Mesh-Netzwerks aus. Wenn sie ihre Übung nicht beenden, teilen sich alle Clients eine Kopie der Zwischenergebnisse und können diese später unabhängig voneinander als Hausaufgabe bearbeiten. Einige Schülerinnen und Schüler möchten ihre Ergebnisse vielleicht nicht präsentieren, andere möchten sie mit der Lehrkraft teilen oder sogar im Mesh-Netzwerk im Klassenzimmer anwesend sein. Erklären Sie den Unterschied zwischen einer Client-Server-Infrastruktur, bei der alle digitalen Produkte über den Server gespeichert und ausgetauscht werden müssen. Was sind die Vor- und Nachteile beider Ansätze? Wie fühlen sich Ihre SchülerInnen, wenn alle Ergebnisse und Zwischenschritte auf einer Client-Server-Infrastruktur gespeichert sind? Schätzen Ihre Schülerinnen und Schüler einen Arbeitsablauf, bei dem die Offline-Privatsphäre der Ergebnisse gewahrt bleibt und die Möglichkeit besteht, die Ergebnisse vom eigenen Mobilgerät aus mit der Lehrkraft, der Gruppe oder der gesamten Klasse zu teilen, wenn sich die Schülerinnen und Schüler mit der Weitergabe von ihrem eigenen Gerät an eine Client-Server-Infrastruktur wohl fühlen. * '''([[w:de:KISS_principle|KISS Principle]])''' Keep It Small and Simple "[[w:en:KISS_principle|KISS]]" bedeutet, einfache Softwarelösungen zu erstellen, die einer bestimmten Aufgabe dienen und für einen bestimmten Zweck leicht gewartet und überwacht werden können. Identifizieren Sie die Bibliotheks-Pakete z.B. für [[v:en:LineageOS|LineageOS]], um eine Digital-Analog-Welt-Äquivalenz herzustellen. Betrachten Sie auch das Konzept des [[w:en:OSI-Modells|Schichten im OSI-Modell]] und leiten Sie die Auswahl der [[Open Source]]-Software/Bibliotheken aus Ihren Anforderungen und Einschränkungen ab. * '''(Synchronisierung und gemeinsame Nutzung)''' Angenommen, die Gruppe der Studierenden hat ein [[w:en:Mesh Networking|Mesh Network]] zwischen ihnen eingerichtet. In einer kollaborativen Arbeitsumgebung zwischen dieser Gruppe möchten die Studierenden die Ergebnisse und Zwischenergebnisse des Problemlösungsprozesses synchronisieren und gemeinsam nutzen. Beschäftigen Sie sich mit der Geschichte des Wikis oder den Arbeitsabläufen eines Versionskontrollsystems. Welche Anforderungen und Einschränkungen gibt es, damit die Schülergruppe den Überblick über ihre gemeinsamen Ergebnisse behält und ihre Versionen der Zwischenergebnisse synchronisiert. Ist das ohne ein Versionskontrollsystem im Hintergrund möglich? Ist es möglich, dass die Studierenden einen Studierenden auswählen, der eine Versionskontrolle im [[w:de:Mesh-Netzwerk|Mesh-Netzwerk]] hostet und alle Versionen in einem Master-Slave-Konzept der Datenbank mit allen anderen mobilen Geräten im [[w:de:Mesh-Netzwerk|Mesh-Netzwerk]] austauscht? Welche anderen Möglichkeiten gibt es, die Daten zwischen den Schülern zu synchronisieren und auszutauschen, ohne eine externe Client-Server-Infrastruktur zu verwenden? Leiten Sie Schlussfolgerungen ab, wann zentralisierte Open-Source-Dienste in Schulen oder lokalisierte Mesh-Lösungen eingesetzt werden sollten, die keine weitere Client-Server-Infrastruktur für die kollaborative Arbeit benötigen. * '''(Einreichung oder Veröffentlichung von Ergebnissen)''' Wenn ein Thema zusammen mit den Lernaufgaben abgeschlossen ist, möchten die Schülerinnen und Schüler vielleicht die individuellen Ergebnisse auf dem mobilen Gerät mit der Peergroup teilen, die Lehrkraft den gesamten Kurs oder sogar im Intranet innerhalb der Schule veröffentlichen (und z.B. nicht im Content Management System der Schule, Hochschule, Universität, ...). Betrachten Sie den Arbeitsablauf im Allgemeinen "Wer soll Zugang zu welchem Inhalt haben?" und übertragen Sie dies auf die digitale Infrastruktur in der Weise, dass der Zugang zu den Ergebnissen gleichbedeutend ist mit dem Hosten der entsprechenden Daten auf den digitalen Geräten (z.B. mobile Geräte von Schülern und Lehrern, Datenprojektor, Open Source Server in der Schule oder in einem Mesh Network, ...) * '''([[Real World Lab]]s)''' Erkunden Sie das Konzept der [[Real World Lab]]s und die Interaktion mit der realen Welt mit zusätzlichen digitalen Informationen. Erläutern Sie, wie Lernmodule in Wikiversity als [[Open Educational Resources]] auf einen bestimmten geografischen Ort zugeschnitten werden können. == Digital-Analog-Welt-Äquivalenz == Die '''Digital-Analog-Welt-Äquivalenz''' ist ein zentrales Konzept im Kontext der Digitalisierung und der damit verbundenen ethischen Überlegungen. Sie beschreibt die Annahme oder den Versuch, dass digitale Repräsentationen (z. B. Daten, Modelle, Simulationen) einer analogen, physischen Realität '''äquivalent''' sind – also dass sie dieselbe Bedeutung, Gültigkeit oder Wirkung haben wie die Originalobjekte oder Prozesse in der realen Welt. === Grenzen von Modellen und Simulationen === Doch diese Äquivalenz ist in komplexen dynamischen System '''nicht gegeben''', sondern muss kritisch hinterfragt werden, ob welche Aspekte aus der realen Welt tatsächlich in entsprechende Qualität abgebildet wurden und in welche Aspekt bewusst nicht berücksichtigt wurden bzw. nicht berücksichtigt werden konnten. Insbesonders im Hinblick auf '''Ethik, Verantwortung, Transparenz und menschliche Wahrnehmung'''. === Schnittstelle zwischen digitaler und analoger Welt === Äquivalenz bedeutet mathematisch und aus der Wortbedeutung "gleichwertig". Die Korrektheit eines digitalen Modells ist aber nicht klassisch wahr (=1) oder falsch (=0), sondern kann in der Gültigkeit der Äquivalenz graduelle Zwischenwert zwischen 0 und 1 annehmen. Die Gültigkeit der Äquivalenz versucht man über Sensornetzwerke zu messen, wobei in der Regel nicht alles messbar ist, was den Kern eines Systems ausmacht: * '''Analoge Welt''': Die physische, mit Sinnen wahrnehmbare Welt – Menschen, Prozesse, Natur, Objekte. * '''Digitale Welt''': Daten, Algorithmen, Modelle, Simulationen, die in Computern gespeichert und verarbeitet werden. * '''Messinstrumente''': Sensornetzwerke in der analogen Welt messen Teilaspekte und kalibrieren die Modelle in der digitalen Welt (siehe auch [[Maschinelles Lernen]]) Die '''Äquivalenz''' bedeutet: *„Was in der digitalen Welt passiert, hat dieselbe Relevanz, Wirkung und Verantwortung wie in der analogen Welt.“* === Beispiel - Digitaler Zwilling === Ein '''digitaler Zwilling''' eines Fabrikrobots wird in einer Simulation getestet. Wenn der digitale Zwilling „funktioniert“, wird angenommen, dass der echte Roboter auch funktionieren wird – also: digitale und analoge Welt sind äquivalent. === Probleme diese DAW-Äquivalenz === Die Annahme der DAW-Äquivalenz kann ethisch bedenklich sein, weil: === Problem 1 - Daten sind nicht die Realität=== Digitale Repräsentationen sind immer '''vereinfacht, selektiv und fehlerbehaftet'''. Sie berücksichtigen nur bestimmte Merkmale, die gemessen oder modelliert wurden. === Problem 2 - Verlust von Kontext und Nuance=== Die menschliche Erfahrung, Emotionen, Intuition oder kulturelle Bedeutung sind schwer digitalisierbar. Ein digitaler Zwilling eines Menschen kann z. B. dessen Verhalten vorhersagen, aber nicht dessen Motivation oder ethische Entscheidungen. === Problem 3 - Verantwortung wird verschoben=== Wenn ein digitaler Zwilling einen Fehler verursacht (z. B. ein autonomes Fahrzeug, das auf Basis eines digitalen Zwillinges falsch reagiert), wird die Verantwortung oft auf „die Daten“ oder „den Algorithmus“ abgeschoben – statt auf die Menschen, die den Zwilling erstellt, validiert oder einsetzt. === Problem 4 - Macht und Kontrolle=== Wer Daten erhebt, modelliert und interpretiert, hat Einfluss auf die digitale Repräsentation – und damit auf Entscheidungen in der analogen Welt. Dies kann zu '''Diskriminierung, Überwachung oder Manipulation''' führen. Dies beinhaltet auch die Auswahl von Teilaspekten, die bewusst nicht eine digitale Repräsentation aufgenommen werden. === Beispiel - Digitaler Zwilling in der Industrie === * '''Szenario''': Ein Unternehmen erstellt einen digitalen Zwilling einer Produktionsanlage, um Wartungsintervalle vorherzusagen und Ausfälle zu vermeiden. * '''Äquivalenzannahme''': Der digitale Zwilling ist so genau wie möglich struktur- und funktionsgleich zur echten Anlage erstellt worden – also können kann man auf Basis seiner gesammelten Daten Entscheidungen getroffen werden, die die reale Produktion betreffen. * '''Ethische Herausforderungen''': ** '''Datenqualität''': Wenn Sensoren fehlerhaft sind oder Daten nicht vollständig erfasst wurden, ist der Zwilling '''nicht äquivalent''' – er kann falsche Vorhersagen liefern. ** '''Verantwortung''': Wenn ein Ausfall trotz „gutem“ digitalen Zwilling eintritt, wer haftet? Der Ingenieur, der den Zwilling gebaut hat? Der Datenmanager? Der CEO, der auf die Vorhersage vertraute? ** '''Menschliche Arbeit''': Wenn der digitale Zwilling die Entscheidung über Wartung trifft, wird menschliche Erfahrung und Intuition ausgeblendet – was ethisch problematisch ist, wenn es um Sicherheit geht. ==== Fazit - digitale Zwillinge==== Der digitale Zwilling ist '''nicht äquivalent''' zur realen Anlage – er ist ein '''Modell''', das nützlich, aber begrenzt ist. Die Annahme der Äquivalenz führt zu Risiken, wenn sie nicht kritisch hinterfragt wird. === Ethik im Umgang mit DAW-Äquivalenz === Um ethisch verantwortungsvoll mit Digitalisierung umzugehen, sollten folgende Prinzipien gelten: ==== Anforderung 1 - Transparenz ==== Es muss klar sein, was im digitalen Modell erfasst, was weggelassen wurde und welche Annahmen zugrunde liegen. === Anforderung 2 - Verantwortlichkeit=== Menschen, nicht Algorithmen, tragen Verantwortung für Entscheidungen, die auf digitalen Modellen basieren. === Anforderung 3 - Human-in-the-Loop=== Digitale Systeme sollten '''unter menschlicher Aufsicht''' funktionieren – besonders bei kritischen Entscheidungen. === Anforderung 4 - Kritische Distanz=== Digitale Repräsentationen sind '''nicht die Realität''', sondern Hilfsmittel zur Entscheidungsfindung. Sie müssen stets mit kritischem Abstand betrachtet werden. === Anforderung 5 - Gerechtigkeit und Fairness=== Digitale Modelle dürfen nicht diskriminierend sein, z.B. wenn sie auf unvollständigen oder voreingenommenen Daten basieren. == Zusammenfassung == Die '''Digital-Analog-Welt-Äquivalenz''' darf nicht mit einer Annahme verwechselt werden, dass die Äquivalenz in der Digitalisierung tatsächlich zu erreichen ist. Der Begriff suggeriert, dass digitale Modelle wie digitale Zwillinge die reale Welt vollständig und genau abbilden, was ethisch potentiell zu Problemen führen kann. === Gründe für Probleme bzgl. DAW-Äquivalenz === Gründe für Probleme einer DAW-Äquivalenz liegen * Modelle sind vereinfacht. * Daten sind nicht neutral. * Verantwortung kann verschoben werden. * Menschliche Dimensionen gehen u.U. verloren und finden keine Berücksichtigung in Entscheidungsprozessen. === Ethisch verantwortungsvolle Digitalisierung === Ethisch verantwortungsvolle Digitalisierung bedeutet u.a. auch die Grenzen von Modellen wahrzunehmen und keine Absolutheitsanspruch für die modellierten Aspekte zu berücksichtigen. === Aufgabe 1 für Studierende === Diskutieren Sie die folgende Aussage und suchen Sie nach Beispielen aus Ihrem Umfeld, an dem Sie diese Aspekte erläutern können : ''„Menschen nutzen digitale Modelle als Werkzeuge und zur Entscheidungsunterstützung – aber berücksichtigen nicht notwendig betrachtet, wer diese Modelle erstellt hat, mit welcher Zielsetzung die Modelle geschaffen wurden, wer von den Einsatz der Modelle profitiert"'' Können durch einen Absolutheitsanspruch der Digital-Analog-Welt-Äquivalenz Menschenrechte verletzt werden. === Aufgabe 2 für Studierende === Wenn Digital-Analog-Äquivalenz eine Illusion ist und nur Teilaspekte und unvollständiger Form auf digitale Modelle übertragen werden, kann man dann dennoch Anstrengungen als Gesellschaft angehen, damit die ethische Risiken gemindert werden. Versuchen Sie die ethischen Risiken auch im Kontext von digitaler Entscheidungsunterstützung durch digitale Zwillingen als nützliche Hilfsmittels zu analysieren. Z.B. digitale Zwillinge von Ökosystemen zu verwenden, um Interventionen vor der Realisierung in einem digitalen Modell zu testen und die Konsequenzen einer Intervention besser abzuschätzen. == Siehe auch == * [[Digitale Lernumgebung]] * [[Digitaler Zwilling]] * [[w:en:Information systems|Informationssysteme]] * [[w:de:KISS-Prinzip|KISS-Prinzip]] * [[w:en:Lernmanagementsystem|Lernmanagementsystem (LMS)]] * [[v:en:LineageOS|LineageOS]] - ein maßgeschneidertes [[v:en:Open Source|Open Source]]-Betriebssystem für mobile Geräte für DAWE * [[w:de:OSI-Modell|Schichten im OSI-Modell]] * [[w:de:Mesh Networking|Mesh Network]] [[Kategorie:Lernen]] [[Kategorie:Informations- und Kommunikationstechnologien]] [[Kategorie:Informationssysteme]] <noinclude>[[en:Digital Analogue World Equivalence]]</noinclude> g2mxwj8lf2m1g0drcfxirqckmm9sy24 0 147444 1119334 1113211 2026-11-10T14:34:09Z Bocardodarapti 2041 1119334 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir zählen im Strichsystem und addieren gemäß der Definition über das Nachfolgernehmen. Was ist einfacher zu berechnen, {{ mathkor/display|term1= \mid \mid \mid \mid \mid \mid \mid + \mid \mid \mid \mid |oder|term2= \mid \mid \mid \mid \mid \mid \mid \mid + \mid \mid \mid |SZ=? }} Was bedeutet im Strichsystem das Umlegeprinzip? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Addition der natürlichen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} 46k5tzciu4xvhglcy4di3987f6f32y3 106 156232 1119341 1060731 2026-11-10T14:54:18Z Bert Niehaus 20843 /* Beweis zu (i) - Teil 1 */ 1119341 wikitext text/x-wiki == Varianz == Der Erwartungswert <math> E(X) </math> dient als Maß der zentralen Lage der Verteilung <math> P_X</math> von <math>X</math>. Wir definieren ein Streuungs- (Schwankungs-) Maß der Verteilung <math> P_X </math>. === Definition - Varianz, Standardabweichung === Ist <math> X: \Omega \to \mathbb{R} </math> Zufallsvariable auf <math>( \Omega,\mathcal S, P)</math> und ist <math> E(X^2) < \infty </math>, so heißt <math> Var(X) = E(X - E(X))^2 = E((X-E(X))^2) </math> Varianz von <math>X</math>, und <math>\sigma (X) = \sqrt {Var(X)}</math> Standardabweichung von <math> X </math>. Zur Existenz der Erwartungswerte siehe obigen Satz i). === Satz === i) Falls <math> E(X^2) < \infty</math>, so auch <math>E(X) <\infty, E(X-a)^2 < \infty </math>, für alle <math> a \in \mathbb {R}</math>. <br> ii) Es gilt <math> E(X^2) = 0 </math> und <math> Var (X) = 0</math> genau dann, wenn <math> X=0 </math> und <math> X= const.</math>, <math> P</math> fast überall. ==== Beweis zu (i) - Teil 1 ==== Wegen <math> |x| < 1 + x^2 </math> gilt :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \sum_{x\in X(\Omega)} |x| \cdot P^X( \lbrace x \rbrace) & \le & \displaystyle \sum_{x\in X(\Omega)} (1 + x^2) \cdot P^X( \lbrace x \rbrace) \\ & = & \displaystyle \underbrace{\sum_{x\in X(\Omega)} 1 \cdot P^X( \lbrace x \rbrace)}_{=1} + \underbrace{\sum_{x\in X(\Omega)} x^2 \cdot P^X( \lbrace x \rbrace)}_{=E(X^2)} \\ & = & \displaystyle 1 + E(X^2) < \infty . \\ \end{array} </math> ==== Beweis zu (i) - Teil 2 ==== Um die folgende Ungleichung zu zeigen, verwendet :<math> (x-a) ^2 = x^2 - 2ax + a^2 \le 2x^2 + 2a^2 </math> kann man äquivalent dazu zeigen, dass :<math>-2ax \leq x^2 + a^2</math> gilt. ==== Beweis zu (i) - Teil 3 ==== Die obige Aussage erhält man unimittelbar aus :<math> 0 \leq (x + a)^2 = x^2 + 2ax + a^2 </math> Damit gilt <math> - 2ax \leq x^2 + a^2 </math> und mit Addition von <math>x^2</math> und <math>a^2</math> gilt die Ungleichung <math> (x-a) ^2 \le 2x^2 + 2a^2 </math>. ==== Beweis zu (i) - Teil 4 ==== Wegen <math> (x-a) ^2 \le 2x^2 + 2a^2 </math> gilt :<math> \sum_X (x-a)^2 P_X(\lbrace x \rbrace) \le 2 \sum _X x^2 P_X(\lbrace x \rbrace )+2a^2 < \infty. </math> <br> ==== Beweis zu (ii) ==== Die Darstellung <math> E(X^2) = \sum_w X^2(w)\cdot p_w =0</math>, bzw. Formel 2 zur Varianz. === Aufgaben === * Führen Sie den Beweis für stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen! * Betrachten Sie die [[Cauchy-Verteilung]] und begründen Sie, warum die Varianz der Cauchy-Verteilung nicht existiert. === Formeln zur Varianz von X === * <math> Var(X) = \sum_{x \in X (\Omega)} ((x-E(X))^2) P_x( \lbrace x \rbrace)</math> * <math> Var (X) = \sum_{w \in \Omega} ((X(w) - E(X))^2)\cdot p_w</math> * <math> Var(X) = E(X^2) - (E(X))^2</math> :denn: <math> Var(X) = E(X^2 -2\cdot X \cdot E(X) + E(X)^2) = E(X^2) - E(X)^2</math> :(allgemein: <math> E(X-a)^2 = Var (X) + (E(X)-a)^2, a=0</math> liefert die untere Gleichung.) :<math>Var(aX +b) = a^2 Var(X)</math> für <math>a,b \in P, \sigma(aX+b) = (a(\sigma(X)))</math> ====Bemerkung==== * Denkt man sich <math>P_X\lbrace X \rbrace</math> als eine Massenverteilung (Gesamtmasse =1), so entspricht <math>E(X)</math> dem Schwerpunkt und <math> Var (X) </math> dem Trägheitsmoment. <br> * Ist <math> X </math> eine Zufallsvariable mit <math> E(X^2) < \infty</math>, so gilt für die sogenannte Standardisierte von <math> X </math>, d.i. <math> X^* = \frac {X-E(X)} {\sigma (X)}</math>, <math> E(X^*) =0, Var (X^*) = 1 = \sigma (X^*)</math>. ==== Beispiel ==== :<math> X: \Omega \to \Omega' = \lbrace 1, ..., n \rbrace, P_X </math> Gleichverteilung auf <math> \Omega'</math>. Dann ist: :<math> E(X) = \frac {1} {2} (n+1) </math> :<math> E(X^2) = \frac {1} {4} \sum _{i=1} ^n i^2 = \frac {1} {6} (n+1) (2n+1)</math> :<math> Var(X) \frac {1} {6} (n+1) (2n+1) - \frac {1} {4} n(+1)^2 = \frac {1} {12} (n^2-1)</math> == Siehe auch == * [[Kurs:Stochastik]] * [[Momente]] * [[Kurs:Stochastik/Kovarianz|Kovarianz]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Varianz&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Varianz&coursetitle=Kurs:Stochastik Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Varianz&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Varianz&coursetitle=Kurs:Stochastik Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Stochastik Kurs:Stochastik]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Stochastik/Varianz https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Stochastik/Varianz] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Stochastik/Varianz Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Stochastik/Varianz * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Varianz&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Varianz&coursetitle=Kurs:Stochastik Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 6tbh117uzyot781v5ey5fgthzbxhax2 1119342 1119341 2026-11-10T15:11:29Z Bert Niehaus 20843 /* Satz */ 1119342 wikitext text/x-wiki == Varianz == Der Erwartungswert <math> E(X) </math> dient als Maß der zentralen Lage der Verteilung <math> P_X</math> von <math>X</math>. Wir definieren ein Streuungs- (Schwankungs-) Maß der Verteilung <math> P_X </math>. === Definition - Varianz, Standardabweichung === Ist <math> X: \Omega \to \mathbb{R} </math> Zufallsvariable auf <math>( \Omega,\mathcal S, P)</math> und ist <math> E(X^2) < \infty </math>, so heißt <math> Var(X) = E(X - E(X))^2 = E((X-E(X))^2) </math> Varianz von <math>X</math>, und <math>\sigma (X) = \sqrt {Var(X)}</math> Standardabweichung von <math> X </math>. Zur Existenz der Erwartungswerte siehe obigen Satz i). == Satz - Eigenschaften der Momente == Für die Momente gelten die folgenden beiden Eigenschaften: * '''(EM1)''' Falls <math> E(X^2) < \infty</math>, so auch <math>E(X) <\infty, E(X-a)^2 < \infty </math>, für alle <math> a \in \mathbb {R}</math>. <br> * '''(EM2)''' Es gilt <math> E(X^2) = 0 </math> und <math> Var (X) = 0</math> genau dann, wenn <math> X=0 </math> und <math> X= const.</math>, <math> P</math> fast überall. === Beweis zu (EM1) - Teil 1 === Wegen <math> |x| < 1 + x^2 </math> gilt :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \sum_{x\in X(\Omega)} |x| \cdot P^X( \lbrace x \rbrace) & \le & \displaystyle \sum_{x\in X(\Omega)} (1 + x^2) \cdot P^X( \lbrace x \rbrace) \\ & = & \displaystyle \underbrace{\sum_{x\in X(\Omega)} 1 \cdot P^X( \lbrace x \rbrace)}_{=1} + \underbrace{\sum_{x\in X(\Omega)} x^2 \cdot P^X( \lbrace x \rbrace)}_{=E(X^2)} \\ & = & \displaystyle 1 + E(X^2) < \infty . \\ \end{array} </math> === Beweis zu (EM1) - Teil 2 === Für den Beweis (EM1) wird die folgenden Abschätzung <math> (x-a) ^2 \le 2x^2 + 2a^2 </math>. Diese kann man über die Anwendung von binomischen Formeln erhalten: :<math> 0 \leq (x + a)^2 = x^2 + 2ax + a^2 </math> Durch Subtraktion von <math>2ax</math> als Äquivalenzumformung gilt damit auch <math> - 2ax \leq x^2 + a^2 </math>. === Beweis zu (EM1) - Teil 3 === Nun verwendet man die 2. binomische Formel und setzt die Ungleichung aus Beweisschritt 2 in die folgende Ungleichung ein: :<math> (x-a) ^2 = x^2 \underbrace{- 2ax}_{\leq x^2 + a^2 } + a^2 \le 2x^2 + 2a^2 </math> Insgesamt erhält man dadurch die gesuchte Ungleichung aus Beweisschritt 2 mit: :<math> (x-a) ^2 \le 2x^2 + 2a^2 </math> === Beweis zu (EM1) - Teil 4 === Durch Einsetzen von <math> (x-a) ^2 \le 2x^2 + 2a^2 </math> in die Definiertion des Erwartungswertes für <math> E\big((X-a)^2\big)</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} E\big((X-a)^2\big) & = & \displaystyle \sum_{x \in X(\Omega)} (x-a)^2 P_X(\lbrace x \rbrace) \\ & \le & \displaystyle 2 \cdot \sum _{x \in X(\Omega)} x^2 P_X(\lbrace x \rbrace )+2a^2 \\ & = & \displaystyle 2\cdot \underbrace{E(X^2)}_{ < \infty} + 2a^2 < \infty \\ \end{array} < \infty. </math> === Beweis zu (EM2) === Die Darstellung <math> E(X^2) = \sum_{\omega\in \Omega} X^2(\omega)\cdot p_\omega =0</math>, bzw. Formel 2 zur Varianz. === Aufgaben === * Führen Sie den Beweis für stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen! * Betrachten Sie die [[Cauchy-Verteilung]] und begründen Sie, warum die Varianz der Cauchy-Verteilung nicht existiert. === Formeln zur Varianz von X === * <math> Var(X) = \sum_{x \in X (\Omega)} ((x-E(X))^2) P_x( \lbrace x \rbrace)</math> * <math> Var (X) = \sum_{w \in \Omega} ((X(w) - E(X))^2)\cdot p_w</math> * <math> Var(X) = E(X^2) - (E(X))^2</math> :denn: <math> Var(X) = E(X^2 -2\cdot X \cdot E(X) + E(X)^2) = E(X^2) - E(X)^2</math> :(allgemein: <math> E(X-a)^2 = Var (X) + (E(X)-a)^2, a=0</math> liefert die untere Gleichung.) :<math>Var(aX +b) = a^2 Var(X)</math> für <math>a,b \in P, \sigma(aX+b) = (a(\sigma(X)))</math> ====Bemerkung==== * Denkt man sich <math>P_X\lbrace X \rbrace</math> als eine Massenverteilung (Gesamtmasse =1), so entspricht <math>E(X)</math> dem Schwerpunkt und <math> Var (X) </math> dem Trägheitsmoment. <br> * Ist <math> X </math> eine Zufallsvariable mit <math> E(X^2) < \infty</math>, so gilt für die sogenannte Standardisierte von <math> X </math>, d.i. <math> X^* = \frac {X-E(X)} {\sigma (X)}</math>, <math> E(X^*) =0, Var (X^*) = 1 = \sigma (X^*)</math>. ==== Beispiel ==== :<math> X: \Omega \to \Omega' = \lbrace 1, ..., n \rbrace, P_X </math> Gleichverteilung auf <math> \Omega'</math>. Dann ist: :<math> E(X) = \frac {1} {2} (n+1) </math> :<math> E(X^2) = \frac {1} {4} \sum _{i=1} ^n i^2 = \frac {1} {6} (n+1) (2n+1)</math> :<math> Var(X) \frac {1} {6} (n+1) (2n+1) - \frac {1} {4} n(+1)^2 = \frac {1} {12} (n^2-1)</math> == Siehe auch == * [[Kurs:Stochastik]] * [[Momente]] * [[Kurs:Stochastik/Kovarianz|Kovarianz]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Varianz&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Varianz&coursetitle=Kurs:Stochastik Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Varianz&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Varianz&coursetitle=Kurs:Stochastik Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Stochastik Kurs:Stochastik]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Stochastik/Varianz https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Stochastik/Varianz] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Stochastik/Varianz Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Stochastik/Varianz * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Varianz&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Varianz&coursetitle=Kurs:Stochastik Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 7c9ayxcelg99zvoxn8dy8jed7q0b5rx 1119343 1119342 2026-11-10T15:14:44Z Bert Niehaus 20843 /* Beweis zu (EM2) */ 1119343 wikitext text/x-wiki == Varianz == Der Erwartungswert <math> E(X) </math> dient als Maß der zentralen Lage der Verteilung <math> P_X</math> von <math>X</math>. Wir definieren ein Streuungs- (Schwankungs-) Maß der Verteilung <math> P_X </math>. === Definition - Varianz, Standardabweichung === Ist <math> X: \Omega \to \mathbb{R} </math> Zufallsvariable auf <math>( \Omega,\mathcal S, P)</math> und ist <math> E(X^2) < \infty </math>, so heißt <math> Var(X) = E(X - E(X))^2 = E((X-E(X))^2) </math> Varianz von <math>X</math>, und <math>\sigma (X) = \sqrt {Var(X)}</math> Standardabweichung von <math> X </math>. Zur Existenz der Erwartungswerte siehe obigen Satz i). == Satz - Eigenschaften der Momente == Für die Momente gelten die folgenden beiden Eigenschaften: * '''(EM1)''' Falls <math> E(X^2) < \infty</math>, so auch <math>E(X) <\infty, E(X-a)^2 < \infty </math>, für alle <math> a \in \mathbb {R}</math>. <br> * '''(EM2)''' Es gilt <math> E(X^2) = 0 </math> und <math> Var (X) = 0</math> genau dann, wenn <math> X=0 </math> und <math> X= const.</math>, <math> P</math> fast überall. === Beweis zu (EM1) - Teil 1 === Wegen <math> |x| < 1 + x^2 </math> gilt :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \sum_{x\in X(\Omega)} |x| \cdot P^X( \lbrace x \rbrace) & \le & \displaystyle \sum_{x\in X(\Omega)} (1 + x^2) \cdot P^X( \lbrace x \rbrace) \\ & = & \displaystyle \underbrace{\sum_{x\in X(\Omega)} 1 \cdot P^X( \lbrace x \rbrace)}_{=1} + \underbrace{\sum_{x\in X(\Omega)} x^2 \cdot P^X( \lbrace x \rbrace)}_{=E(X^2)} \\ & = & \displaystyle 1 + E(X^2) < \infty . \\ \end{array} </math> === Beweis zu (EM1) - Teil 2 === Für den Beweis (EM1) wird die folgenden Abschätzung <math> (x-a) ^2 \le 2x^2 + 2a^2 </math>. Diese kann man über die Anwendung von binomischen Formeln erhalten: :<math> 0 \leq (x + a)^2 = x^2 + 2ax + a^2 </math> Durch Subtraktion von <math>2ax</math> als Äquivalenzumformung gilt damit auch <math> - 2ax \leq x^2 + a^2 </math>. === Beweis zu (EM1) - Teil 3 === Nun verwendet man die 2. binomische Formel und setzt die Ungleichung aus Beweisschritt 2 in die folgende Ungleichung ein: :<math> (x-a) ^2 = x^2 \underbrace{- 2ax}_{\leq x^2 + a^2 } + a^2 \le 2x^2 + 2a^2 </math> Insgesamt erhält man dadurch die gesuchte Ungleichung aus Beweisschritt 2 mit: :<math> (x-a) ^2 \le 2x^2 + 2a^2 </math> === Beweis zu (EM1) - Teil 4 === Durch Einsetzen von <math> (x-a) ^2 \le 2x^2 + 2a^2 </math> in die Definiertion des Erwartungswertes für <math> E\big((X-a)^2\big)</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} E\big((X-a)^2\big) & = & \displaystyle \sum_{x \in X(\Omega)} (x-a)^2 P_X(\lbrace x \rbrace) \\ & \le & \displaystyle 2 \cdot \sum _{x \in X(\Omega)} x^2 P_X(\lbrace x \rbrace )+2a^2 \\ & = & \displaystyle 2\cdot \underbrace{E(X^2)}_{ < \infty} + 2a^2 < \infty \\ \end{array} < \infty. </math> === Beweis zu (EM2) === Die Darstellung <math> E(X^2) = \sum_{\omega\in \Omega} X^2(\omega)\cdot p_\omega =0</math> liefert auch, dass <math> E(|X|) = \sum_{\omega\in \Omega} |X(\omega)|\cdot p_\omega =0</math> und damit auch <math> E(X) = 0</math> gilt. Über die Formel <math>Var(X)=E(X^2) - E(X)^2</math>, erhält man die Varianzeigenschaft. === Aufgaben === * Führen Sie den Beweis für stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen! * Betrachten Sie die [[Cauchy-Verteilung]] und begründen Sie, warum die Varianz der Cauchy-Verteilung nicht existiert. === Formeln zur Varianz von X === * <math> Var(X) = \sum_{x \in X (\Omega)} ((x-E(X))^2) P_x( \lbrace x \rbrace)</math> * <math> Var (X) = \sum_{w \in \Omega} ((X(w) - E(X))^2)\cdot p_w</math> * <math> Var(X) = E(X^2) - (E(X))^2</math> :denn: <math> Var(X) = E(X^2 -2\cdot X \cdot E(X) + E(X)^2) = E(X^2) - E(X)^2</math> :(allgemein: <math> E(X-a)^2 = Var (X) + (E(X)-a)^2, a=0</math> liefert die untere Gleichung.) :<math>Var(aX +b) = a^2 Var(X)</math> für <math>a,b \in P, \sigma(aX+b) = (a(\sigma(X)))</math> ====Bemerkung==== * Denkt man sich <math>P_X\lbrace X \rbrace</math> als eine Massenverteilung (Gesamtmasse =1), so entspricht <math>E(X)</math> dem Schwerpunkt und <math> Var (X) </math> dem Trägheitsmoment. <br> * Ist <math> X </math> eine Zufallsvariable mit <math> E(X^2) < \infty</math>, so gilt für die sogenannte Standardisierte von <math> X </math>, d.i. <math> X^* = \frac {X-E(X)} {\sigma (X)}</math>, <math> E(X^*) =0, Var (X^*) = 1 = \sigma (X^*)</math>. ==== Beispiel ==== :<math> X: \Omega \to \Omega' = \lbrace 1, ..., n \rbrace, P_X </math> Gleichverteilung auf <math> \Omega'</math>. Dann ist: :<math> E(X) = \frac {1} {2} (n+1) </math> :<math> E(X^2) = \frac {1} {4} \sum _{i=1} ^n i^2 = \frac {1} {6} (n+1) (2n+1)</math> :<math> Var(X) \frac {1} {6} (n+1) (2n+1) - \frac {1} {4} n(+1)^2 = \frac {1} {12} (n^2-1)</math> == Siehe auch == * [[Kurs:Stochastik]] * [[Momente]] * [[Kurs:Stochastik/Kovarianz|Kovarianz]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Varianz&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Varianz&coursetitle=Kurs:Stochastik Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Varianz&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Varianz&coursetitle=Kurs:Stochastik Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Stochastik Kurs:Stochastik]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Stochastik/Varianz https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Stochastik/Varianz] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Stochastik/Varianz Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Stochastik/Varianz * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Varianz&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Varianz&coursetitle=Kurs:Stochastik Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] p7nzv1ucsjzysftnzvd9naucmm2cah5 1119349 1119343 2026-11-10T17:28:53Z Bert Niehaus 20843 /* Beispiel */ 1119349 wikitext text/x-wiki == Varianz == Der Erwartungswert <math> E(X) </math> dient als Maß der zentralen Lage der Verteilung <math> P_X</math> von <math>X</math>. Wir definieren ein Streuungs- (Schwankungs-) Maß der Verteilung <math> P_X </math>. === Definition - Varianz, Standardabweichung === Ist <math> X: \Omega \to \mathbb{R} </math> Zufallsvariable auf <math>( \Omega,\mathcal S, P)</math> und ist <math> E(X^2) < \infty </math>, so heißt <math> Var(X) = E(X - E(X))^2 = E((X-E(X))^2) </math> Varianz von <math>X</math>, und <math>\sigma (X) = \sqrt {Var(X)}</math> Standardabweichung von <math> X </math>. Zur Existenz der Erwartungswerte siehe obigen Satz i). == Satz - Eigenschaften der Momente == Für die Momente gelten die folgenden beiden Eigenschaften: * '''(EM1)''' Falls <math> E(X^2) < \infty</math>, so auch <math>E(X) <\infty, E(X-a)^2 < \infty </math>, für alle <math> a \in \mathbb {R}</math>. <br> * '''(EM2)''' Es gilt <math> E(X^2) = 0 </math> und <math> Var (X) = 0</math> genau dann, wenn <math> X=0 </math> und <math> X= const.</math>, <math> P</math> fast überall. === Beweis zu (EM1) - Teil 1 === Wegen <math> |x| < 1 + x^2 </math> gilt :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \sum_{x\in X(\Omega)} |x| \cdot P^X( \lbrace x \rbrace) & \le & \displaystyle \sum_{x\in X(\Omega)} (1 + x^2) \cdot P^X( \lbrace x \rbrace) \\ & = & \displaystyle \underbrace{\sum_{x\in X(\Omega)} 1 \cdot P^X( \lbrace x \rbrace)}_{=1} + \underbrace{\sum_{x\in X(\Omega)} x^2 \cdot P^X( \lbrace x \rbrace)}_{=E(X^2)} \\ & = & \displaystyle 1 + E(X^2) < \infty . \\ \end{array} </math> === Beweis zu (EM1) - Teil 2 === Für den Beweis (EM1) wird die folgenden Abschätzung <math> (x-a) ^2 \le 2x^2 + 2a^2 </math>. Diese kann man über die Anwendung von binomischen Formeln erhalten: :<math> 0 \leq (x + a)^2 = x^2 + 2ax + a^2 </math> Durch Subtraktion von <math>2ax</math> als Äquivalenzumformung gilt damit auch <math> - 2ax \leq x^2 + a^2 </math>. === Beweis zu (EM1) - Teil 3 === Nun verwendet man die 2. binomische Formel und setzt die Ungleichung aus Beweisschritt 2 in die folgende Ungleichung ein: :<math> (x-a) ^2 = x^2 \underbrace{- 2ax}_{\leq x^2 + a^2 } + a^2 \le 2x^2 + 2a^2 </math> Insgesamt erhält man dadurch die gesuchte Ungleichung aus Beweisschritt 2 mit: :<math> (x-a) ^2 \le 2x^2 + 2a^2 </math> === Beweis zu (EM1) - Teil 4 === Durch Einsetzen von <math> (x-a) ^2 \le 2x^2 + 2a^2 </math> in die Definiertion des Erwartungswertes für <math> E\big((X-a)^2\big)</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} E\big((X-a)^2\big) & = & \displaystyle \sum_{x \in X(\Omega)} (x-a)^2 P_X(\lbrace x \rbrace) \\ & \le & \displaystyle 2 \cdot \sum _{x \in X(\Omega)} x^2 P_X(\lbrace x \rbrace )+2a^2 \\ & = & \displaystyle 2\cdot \underbrace{E(X^2)}_{ < \infty} + 2a^2 < \infty \\ \end{array} < \infty. </math> === Beweis zu (EM2) === Die Darstellung <math> E(X^2) = \sum_{\omega\in \Omega} X^2(\omega)\cdot p_\omega =0</math> liefert auch, dass <math> E(|X|) = \sum_{\omega\in \Omega} |X(\omega)|\cdot p_\omega =0</math> und damit auch <math> E(X) = 0</math> gilt. Über die Formel <math>Var(X)=E(X^2) - E(X)^2</math>, erhält man die Varianzeigenschaft. === Aufgaben === * Führen Sie den Beweis für stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen! * Betrachten Sie die [[Cauchy-Verteilung]] und begründen Sie, warum die Varianz der Cauchy-Verteilung nicht existiert. === Formeln zur Varianz von X === * <math> Var(X) = \sum_{x \in X (\Omega)} ((x-E(X))^2) P_x( \lbrace x \rbrace)</math> * <math> Var (X) = \sum_{w \in \Omega} ((X(w) - E(X))^2)\cdot p_w</math> * <math> Var(X) = E(X^2) - (E(X))^2</math> :denn: <math> Var(X) = E(X^2 -2\cdot X \cdot E(X) + E(X)^2) = E(X^2) - E(X)^2</math> :(allgemein: <math> E(X-a)^2 = Var (X) + (E(X)-a)^2, a=0</math> liefert die untere Gleichung.) :<math>Var(aX +b) = a^2 Var(X)</math> für <math>a,b \in P, \sigma(aX+b) = (a(\sigma(X)))</math> ====Bemerkung==== * Denkt man sich <math>P_X\lbrace X \rbrace</math> als eine Massenverteilung (Gesamtmasse =1), so entspricht <math>E(X)</math> dem Schwerpunkt und <math> Var (X) </math> dem Trägheitsmoment. <br> * Ist <math> X </math> eine Zufallsvariable mit <math> E(X^2) < \infty</math>, so gilt für die sogenannte Standardisierte von <math> X </math>, d.i. <math> X^* = \frac {X-E(X)} {\sigma (X)}</math>, <math> E(X^*) =0, Var (X^*) = 1 = \sigma (X^*)</math>. === Beispiel - Gleichverteilung === Sei <math> X: \Omega \to \Omega' = \lbrace 1, ..., n \rbrace, P_X </math> Gleichverteilung auf <math> \Omega'\subset \mathbb{R} </math>. ==== Beispiel - Berechnung des Erwartungswertes ==== Dann gelten die folgenden Eigenschaften: :<math> E(X) = \sum _{\omega =1}^n \frac {1}{n}\cdot \omega = \frac{n+1}{2} </math> Dabei wurde verwendet, dass <math>\sum _{\omega =1}^n \omega = \frac{n\cdot (n+1)}{2}</math> gilt. ==== Beispiel - Berechnung des 2. Moment für Varianz ==== Für die Berechnung wird die Summenformel für die ersten <math>n</math> Quadratzahlen verwendet, wobei gilt: :<math> \sum _{\omega =1}^n \omega^2 = \frac{n\cdot (n+1)\cdot (2n+1)}{6}.</math> Bei der Berechnung des Erwartungswertes <math>E(X^2)</math> kürzt sich ein <math>\tfrac{1}{n}</math> aus der Summenformel und man erhält: :<math> E(X^2) = \sum _{\omega =1}^n \frac {1}{n}\cdot \omega^2 = \frac {1}{n}\cdot \sum _{\omega=1} ^n \omega^2 = \frac{(n+1)\cdot (2n+1)}{6}</math> ==== Beispiel - Berechnung der Varianz ==== Über die Berechnung von <math>Var(X)=E(X^2)- E(X)^2</math> kann man nun die Varianz der Zufallsgröße berechnen: :<math> Var(X) = \frac{(n+1) (2n+1)}{6} - \left( \frac{(n+1)^2}{2}\right)^2 = \frac {1} {12} (n^2-1)</math> == Siehe auch == * [[Kurs:Stochastik]] * [[Momente]] * [[Kurs:Stochastik/Kovarianz|Kovarianz]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Varianz&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Varianz&coursetitle=Kurs:Stochastik Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Varianz&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Varianz&coursetitle=Kurs:Stochastik Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Stochastik Kurs:Stochastik]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Stochastik/Varianz https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Stochastik/Varianz] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Stochastik/Varianz Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Stochastik/Varianz * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Varianz&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Varianz&coursetitle=Kurs:Stochastik Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] cozras9g3iixkso7595cyvjos7g841d 1119350 1119349 2026-11-10T17:29:56Z Bert Niehaus 20843 /* Beispiel - Berechnung der Varianz */ 1119350 wikitext text/x-wiki == Varianz == Der Erwartungswert <math> E(X) </math> dient als Maß der zentralen Lage der Verteilung <math> P_X</math> von <math>X</math>. Wir definieren ein Streuungs- (Schwankungs-) Maß der Verteilung <math> P_X </math>. === Definition - Varianz, Standardabweichung === Ist <math> X: \Omega \to \mathbb{R} </math> Zufallsvariable auf <math>( \Omega,\mathcal S, P)</math> und ist <math> E(X^2) < \infty </math>, so heißt <math> Var(X) = E(X - E(X))^2 = E((X-E(X))^2) </math> Varianz von <math>X</math>, und <math>\sigma (X) = \sqrt {Var(X)}</math> Standardabweichung von <math> X </math>. Zur Existenz der Erwartungswerte siehe obigen Satz i). == Satz - Eigenschaften der Momente == Für die Momente gelten die folgenden beiden Eigenschaften: * '''(EM1)''' Falls <math> E(X^2) < \infty</math>, so auch <math>E(X) <\infty, E(X-a)^2 < \infty </math>, für alle <math> a \in \mathbb {R}</math>. <br> * '''(EM2)''' Es gilt <math> E(X^2) = 0 </math> und <math> Var (X) = 0</math> genau dann, wenn <math> X=0 </math> und <math> X= const.</math>, <math> P</math> fast überall. === Beweis zu (EM1) - Teil 1 === Wegen <math> |x| < 1 + x^2 </math> gilt :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \sum_{x\in X(\Omega)} |x| \cdot P^X( \lbrace x \rbrace) & \le & \displaystyle \sum_{x\in X(\Omega)} (1 + x^2) \cdot P^X( \lbrace x \rbrace) \\ & = & \displaystyle \underbrace{\sum_{x\in X(\Omega)} 1 \cdot P^X( \lbrace x \rbrace)}_{=1} + \underbrace{\sum_{x\in X(\Omega)} x^2 \cdot P^X( \lbrace x \rbrace)}_{=E(X^2)} \\ & = & \displaystyle 1 + E(X^2) < \infty . \\ \end{array} </math> === Beweis zu (EM1) - Teil 2 === Für den Beweis (EM1) wird die folgenden Abschätzung <math> (x-a) ^2 \le 2x^2 + 2a^2 </math>. Diese kann man über die Anwendung von binomischen Formeln erhalten: :<math> 0 \leq (x + a)^2 = x^2 + 2ax + a^2 </math> Durch Subtraktion von <math>2ax</math> als Äquivalenzumformung gilt damit auch <math> - 2ax \leq x^2 + a^2 </math>. === Beweis zu (EM1) - Teil 3 === Nun verwendet man die 2. binomische Formel und setzt die Ungleichung aus Beweisschritt 2 in die folgende Ungleichung ein: :<math> (x-a) ^2 = x^2 \underbrace{- 2ax}_{\leq x^2 + a^2 } + a^2 \le 2x^2 + 2a^2 </math> Insgesamt erhält man dadurch die gesuchte Ungleichung aus Beweisschritt 2 mit: :<math> (x-a) ^2 \le 2x^2 + 2a^2 </math> === Beweis zu (EM1) - Teil 4 === Durch Einsetzen von <math> (x-a) ^2 \le 2x^2 + 2a^2 </math> in die Definiertion des Erwartungswertes für <math> E\big((X-a)^2\big)</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} E\big((X-a)^2\big) & = & \displaystyle \sum_{x \in X(\Omega)} (x-a)^2 P_X(\lbrace x \rbrace) \\ & \le & \displaystyle 2 \cdot \sum _{x \in X(\Omega)} x^2 P_X(\lbrace x \rbrace )+2a^2 \\ & = & \displaystyle 2\cdot \underbrace{E(X^2)}_{ < \infty} + 2a^2 < \infty \\ \end{array} < \infty. </math> === Beweis zu (EM2) === Die Darstellung <math> E(X^2) = \sum_{\omega\in \Omega} X^2(\omega)\cdot p_\omega =0</math> liefert auch, dass <math> E(|X|) = \sum_{\omega\in \Omega} |X(\omega)|\cdot p_\omega =0</math> und damit auch <math> E(X) = 0</math> gilt. Über die Formel <math>Var(X)=E(X^2) - E(X)^2</math>, erhält man die Varianzeigenschaft. === Aufgaben === * Führen Sie den Beweis für stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen! * Betrachten Sie die [[Cauchy-Verteilung]] und begründen Sie, warum die Varianz der Cauchy-Verteilung nicht existiert. === Formeln zur Varianz von X === * <math> Var(X) = \sum_{x \in X (\Omega)} ((x-E(X))^2) P_x( \lbrace x \rbrace)</math> * <math> Var (X) = \sum_{w \in \Omega} ((X(w) - E(X))^2)\cdot p_w</math> * <math> Var(X) = E(X^2) - (E(X))^2</math> :denn: <math> Var(X) = E(X^2 -2\cdot X \cdot E(X) + E(X)^2) = E(X^2) - E(X)^2</math> :(allgemein: <math> E(X-a)^2 = Var (X) + (E(X)-a)^2, a=0</math> liefert die untere Gleichung.) :<math>Var(aX +b) = a^2 Var(X)</math> für <math>a,b \in P, \sigma(aX+b) = (a(\sigma(X)))</math> ====Bemerkung==== * Denkt man sich <math>P_X\lbrace X \rbrace</math> als eine Massenverteilung (Gesamtmasse =1), so entspricht <math>E(X)</math> dem Schwerpunkt und <math> Var (X) </math> dem Trägheitsmoment. <br> * Ist <math> X </math> eine Zufallsvariable mit <math> E(X^2) < \infty</math>, so gilt für die sogenannte Standardisierte von <math> X </math>, d.i. <math> X^* = \frac {X-E(X)} {\sigma (X)}</math>, <math> E(X^*) =0, Var (X^*) = 1 = \sigma (X^*)</math>. === Beispiel - Gleichverteilung === Sei <math> X: \Omega \to \Omega' = \lbrace 1, ..., n \rbrace, P_X </math> Gleichverteilung auf <math> \Omega'\subset \mathbb{R} </math>. ==== Beispiel - Berechnung des Erwartungswertes ==== Dann gelten die folgenden Eigenschaften: :<math> E(X) = \sum _{\omega =1}^n \frac {1}{n}\cdot \omega = \frac{n+1}{2} </math> Dabei wurde verwendet, dass <math>\sum _{\omega =1}^n \omega = \frac{n\cdot (n+1)}{2}</math> gilt. ==== Beispiel - Berechnung des 2. Moment für Varianz ==== Für die Berechnung wird die Summenformel für die ersten <math>n</math> Quadratzahlen verwendet, wobei gilt: :<math> \sum _{\omega =1}^n \omega^2 = \frac{n\cdot (n+1)\cdot (2n+1)}{6}.</math> Bei der Berechnung des Erwartungswertes <math>E(X^2)</math> kürzt sich ein <math>\tfrac{1}{n}</math> aus der Summenformel und man erhält: :<math> E(X^2) = \sum _{\omega =1}^n \frac {1}{n}\cdot \omega^2 = \frac {1}{n}\cdot \sum _{\omega=1} ^n \omega^2 = \frac{(n+1)\cdot (2n+1)}{6}</math> ==== Beispiel - Berechnung der Varianz ==== Über die Berechnung von <math>Var(X)=E(X^2)- E(X)^2</math> kann man nun die Varianz der Zufallsgröße berechnen: :<math> Var(X) = \underbrace{\frac{(n+1) (2n+1)}{6}}_{=E(X^2)} - \underbrace{\left( \frac{(n+1)^2}{2}\right)^2}_{=E(X)^2} = \frac {1} {12} (n^2-1)</math> == Siehe auch == * [[Kurs:Stochastik]] * [[Momente]] * [[Kurs:Stochastik/Kovarianz|Kovarianz]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Varianz&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Varianz&coursetitle=Kurs:Stochastik Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Varianz&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Varianz&coursetitle=Kurs:Stochastik Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Stochastik Kurs:Stochastik]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Stochastik/Varianz https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Stochastik/Varianz] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Stochastik/Varianz Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Stochastik/Varianz * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Varianz&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Varianz&coursetitle=Kurs:Stochastik Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 1yet21p17c72hb9dtrco19o1qqxw1ya 1119351 1119350 2026-11-10T17:31:49Z Bert Niehaus 20843 /* Satz - Eigenschaften der Momente */ 1119351 wikitext text/x-wiki == Varianz == Der Erwartungswert <math> E(X) </math> dient als Maß der zentralen Lage der Verteilung <math> P_X</math> von <math>X</math>. Wir definieren ein Streuungs- (Schwankungs-) Maß der Verteilung <math> P_X </math>. === Definition - Varianz, Standardabweichung === Ist <math> X: \Omega \to \mathbb{R} </math> Zufallsvariable auf <math>( \Omega,\mathcal S, P)</math> und ist <math> E(X^2) < \infty </math>, so heißt <math> Var(X) = E(X - E(X))^2 = E((X-E(X))^2) </math> Varianz von <math>X</math>, und <math>\sigma (X) = \sqrt {Var(X)}</math> Standardabweichung von <math> X </math>. Zur Existenz der Erwartungswerte siehe obigen Satz i). == Satz - Eigenschaften der Momente == Für die Momente gelten die folgenden beiden Eigenschaften: * '''(EM1)''' Falls <math> E(X^2) < \infty</math>, so auch <math>E(X) <\infty, E(X-a)^2 < \infty </math>, für alle <math> a \in \mathbb {R}</math>. <br> * '''(EM2)''' Es gilt <math> E(X^2) = 0 </math> und <math> Var (X) = 0</math> genau dann, wenn <math> X=0 </math> und <math> X= const.</math>, <math> P</math>[[P-fast überall|-fast überall]]. === Beweis zu (EM1) - Teil 1 === Wegen <math> |x| < 1 + x^2 </math> gilt :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \sum_{x\in X(\Omega)} |x| \cdot P^X( \lbrace x \rbrace) & \le & \displaystyle \sum_{x\in X(\Omega)} (1 + x^2) \cdot P^X( \lbrace x \rbrace) \\ & = & \displaystyle \underbrace{\sum_{x\in X(\Omega)} 1 \cdot P^X( \lbrace x \rbrace)}_{=1} + \underbrace{\sum_{x\in X(\Omega)} x^2 \cdot P^X( \lbrace x \rbrace)}_{=E(X^2)} \\ & = & \displaystyle 1 + E(X^2) < \infty . \\ \end{array} </math> === Beweis zu (EM1) - Teil 2 === Für den Beweis (EM1) wird die folgenden Abschätzung <math> (x-a) ^2 \le 2x^2 + 2a^2 </math>. Diese kann man über die Anwendung von binomischen Formeln erhalten: :<math> 0 \leq (x + a)^2 = x^2 + 2ax + a^2 </math> Durch Subtraktion von <math>2ax</math> als Äquivalenzumformung gilt damit auch <math> - 2ax \leq x^2 + a^2 </math>. === Beweis zu (EM1) - Teil 3 === Nun verwendet man die 2. binomische Formel und setzt die Ungleichung aus Beweisschritt 2 in die folgende Ungleichung ein: :<math> (x-a) ^2 = x^2 \underbrace{- 2ax}_{\leq x^2 + a^2 } + a^2 \le 2x^2 + 2a^2 </math> Insgesamt erhält man dadurch die gesuchte Ungleichung aus Beweisschritt 2 mit: :<math> (x-a) ^2 \le 2x^2 + 2a^2 </math> === Beweis zu (EM1) - Teil 4 === Durch Einsetzen von <math> (x-a) ^2 \le 2x^2 + 2a^2 </math> in die Definiertion des Erwartungswertes für <math> E\big((X-a)^2\big)</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} E\big((X-a)^2\big) & = & \displaystyle \sum_{x \in X(\Omega)} (x-a)^2 P_X(\lbrace x \rbrace) \\ & \le & \displaystyle 2 \cdot \sum _{x \in X(\Omega)} x^2 P_X(\lbrace x \rbrace )+2a^2 \\ & = & \displaystyle 2\cdot \underbrace{E(X^2)}_{ < \infty} + 2a^2 < \infty \\ \end{array} < \infty. </math> === Beweis zu (EM2) === Die Darstellung <math> E(X^2) = \sum_{\omega\in \Omega} X^2(\omega)\cdot p_\omega =0</math> liefert auch, dass <math> E(|X|) = \sum_{\omega\in \Omega} |X(\omega)|\cdot p_\omega =0</math> und damit auch <math> E(X) = 0</math> gilt. Über die Formel <math>Var(X)=E(X^2) - E(X)^2</math>, erhält man die Varianzeigenschaft. === Aufgaben === * Führen Sie den Beweis für stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen! * Betrachten Sie die [[Cauchy-Verteilung]] und begründen Sie, warum die Varianz der Cauchy-Verteilung nicht existiert. === Formeln zur Varianz von X === * <math> Var(X) = \sum_{x \in X (\Omega)} ((x-E(X))^2) P_x( \lbrace x \rbrace)</math> * <math> Var (X) = \sum_{w \in \Omega} ((X(w) - E(X))^2)\cdot p_w</math> * <math> Var(X) = E(X^2) - (E(X))^2</math> :denn: <math> Var(X) = E(X^2 -2\cdot X \cdot E(X) + E(X)^2) = E(X^2) - E(X)^2</math> :(allgemein: <math> E(X-a)^2 = Var (X) + (E(X)-a)^2, a=0</math> liefert die untere Gleichung.) :<math>Var(aX +b) = a^2 Var(X)</math> für <math>a,b \in P, \sigma(aX+b) = (a(\sigma(X)))</math> ====Bemerkung==== * Denkt man sich <math>P_X\lbrace X \rbrace</math> als eine Massenverteilung (Gesamtmasse =1), so entspricht <math>E(X)</math> dem Schwerpunkt und <math> Var (X) </math> dem Trägheitsmoment. <br> * Ist <math> X </math> eine Zufallsvariable mit <math> E(X^2) < \infty</math>, so gilt für die sogenannte Standardisierte von <math> X </math>, d.i. <math> X^* = \frac {X-E(X)} {\sigma (X)}</math>, <math> E(X^*) =0, Var (X^*) = 1 = \sigma (X^*)</math>. === Beispiel - Gleichverteilung === Sei <math> X: \Omega \to \Omega' = \lbrace 1, ..., n \rbrace, P_X </math> Gleichverteilung auf <math> \Omega'\subset \mathbb{R} </math>. ==== Beispiel - Berechnung des Erwartungswertes ==== Dann gelten die folgenden Eigenschaften: :<math> E(X) = \sum _{\omega =1}^n \frac {1}{n}\cdot \omega = \frac{n+1}{2} </math> Dabei wurde verwendet, dass <math>\sum _{\omega =1}^n \omega = \frac{n\cdot (n+1)}{2}</math> gilt. ==== Beispiel - Berechnung des 2. Moment für Varianz ==== Für die Berechnung wird die Summenformel für die ersten <math>n</math> Quadratzahlen verwendet, wobei gilt: :<math> \sum _{\omega =1}^n \omega^2 = \frac{n\cdot (n+1)\cdot (2n+1)}{6}.</math> Bei der Berechnung des Erwartungswertes <math>E(X^2)</math> kürzt sich ein <math>\tfrac{1}{n}</math> aus der Summenformel und man erhält: :<math> E(X^2) = \sum _{\omega =1}^n \frac {1}{n}\cdot \omega^2 = \frac {1}{n}\cdot \sum _{\omega=1} ^n \omega^2 = \frac{(n+1)\cdot (2n+1)}{6}</math> ==== Beispiel - Berechnung der Varianz ==== Über die Berechnung von <math>Var(X)=E(X^2)- E(X)^2</math> kann man nun die Varianz der Zufallsgröße berechnen: :<math> Var(X) = \underbrace{\frac{(n+1) (2n+1)}{6}}_{=E(X^2)} - \underbrace{\left( \frac{(n+1)^2}{2}\right)^2}_{=E(X)^2} = \frac {1} {12} (n^2-1)</math> == Siehe auch == * [[Kurs:Stochastik]] * [[Momente]] * [[Kurs:Stochastik/Kovarianz|Kovarianz]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Varianz&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Varianz&coursetitle=Kurs:Stochastik Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Varianz&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Varianz&coursetitle=Kurs:Stochastik Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Stochastik Kurs:Stochastik]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Stochastik/Varianz https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Stochastik/Varianz] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Stochastik/Varianz Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Stochastik/Varianz * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Varianz&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Varianz&coursetitle=Kurs:Stochastik Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] b9aieeoec7539t4mxtoig7cladoo8ta 106 156233 1119337 1104899 2026-11-10T14:45:41Z Bert Niehaus 20843 /* Teil 3: Nicht unabhängige Zufallsgrößen mit \mathrm{Cov}(A, B) = 0 */ 1119337 wikitext text/x-wiki == Einführung == Betrachtet man nun verschiedene Zufallsvariablen, so bilden nach der Betrachtung der Verteilungsparameter einzelner Zufallsgrößen nun Maße für den Zusammenhang zweier Zufallsvariablen <math> X </math> und <math> Y </math>. Die Kovarianz ist eine [[Skalarprodukt#Kovarianz|positiv semidefiniter Bilinearform]] == Definition - Kovarianz == Für Zufallsvariablen <math> X </math> und <math> Y </math> auf <math> (\Omega,\mathcal S, P)</math> mit <math> E(X^2) < \infty, E(Y^2) < \infty </math> definiert :<math> Cov (X,Y) = E\big( (X-E(X)) \cdot (Y-E(Y)) \big) </math> die Kovarianz von <math> X </math> und <math> Y </math> == Definition - Korrelationskoeffizienten == Für Zufallsvariablen <math> X </math> und <math> Y </math> auf <math> (\Omega,\mathcal S, P)</math> mit <math> E(X^2) < \infty, E(Y^2) < \infty </math> definiert : <math> \rho (X,Y) = \frac {Cov(X,Y)} {\sigma (X) \cdot \sigma (Y)} \quad \text{mit } \rho(X,Y) \in [-1,1]</math> (sofern <math> \sigma (X) \cdot \sigma (Y) > 0</math>) den Korrelationskoeffizienten (nach Pearson) von <math> X </math> und <math> Y </math>, welcher angibt, ob ein positiver/negativer linearer Zusammehang zwischen den ZV existiert. <br> == Definition - unkorrelliert == Zwei Zufallsvariablen <math> X </math> und <math> Y </math> auf <math> (\Omega,\mathcal S, P)</math> mit <math> E(X^2) < \infty, E(Y^2) < \infty </math> heißen unkorreliert, falls <math> Cov(X,Y) = 0</math>. === Bemerkung - Kovarianz und Korrelationskoeffizient === Zum Studium der Größen <math> Cov </math> und <math> \rho </math> benötien wir den folgenden Satz. == Satz - Cauchy-Schwarz-Ungleichung == Für die Zufallsvariablen <math> X,Y </math> mit <math> E(X^2) < \infty , E(Y^2) < \infty </math> gilt: <br> * '''(CS1)''' <math> E|X \cdot Y| <\infty </math> <br> * '''(CS2)''' Cauchy-Schwarzsche-Ungleichung: ::<math> (E(X \cdot Y))^2 \le E(X^2) \cdot E(Y^2) </math> <br> * '''(CS3)''' Das Gleichheitszeichen in (CS2) gilt genau dann, wenn es Zahlen <math> a,b \in \mathbb{R} </math> gibt mit <math> a^2 + b^2 > 0 </math> und ::<math> a \cdot X(w) + b \cdot Y(w) = 0 </math> . === Bemerkung zu CS3 === Die Bedingung (CS3) bedeutet, dass die Zufallsgrößen <math>X</math> und <math>Y</math> den Nullvektor <math>0_\Omega</math> als Zufallsgröße <math>0_\Omega : \Omega \to \mathbb{R}</math> mit <math> a^2 + b^2 > 0 </math> <math>P</math>-[[Kurs:Stochastik/P-fast überall|fast überall]] mit Koeffizienten <math>a\not=0</math> oder <math>b\not=0</math> nicht-trivial darstellen kann. Dies bedeutet, dass die Zufallsgrößen <math>X</math> und <math>Y</math> <math>P</math>-[[Kurs:Stochastik/P-fast überall|fast überall]] linear abhängig sind. == Beweis - Cauchy-Scharzsche Ungleichung == Für den Beweisschritt (CS1) und (CS2) wird die Ungleichung :<math> 2\cdot |x \cdot y| \le x^2 + y^2 </math> verwendet. Dazu wird im Beweis die folgende Vorüberlegung erläutert. === Vorüberlegung CS1 und CS2 === Zunächst einmal gilt für alle <math>x,y \in \mathbb{R}</math>: :<math> 0\leq (x-y)^2 \quad \wedge \quad 0\leq (x+y)^2 </math> Mit der Anwendung der [[w:de:binomische Formeln|binomischen Formeln]] erhält man: :<math> 2xy \leq x^2 + y^2 \quad \wedge \quad 2xy \leq x^2 + y^2 </math> und damit <math> 2\cdot |x \cdot y| \le x^2 + y^2 </math> für alle <math>x,y\in \mathbb{R}</math>. === Beweis (CS1) === Durch Einsetzen der Ungleichung <math> 2xy \leq x^2 + y^2 \quad \wedge \quad 2xy \leq x^2 + y^2 </math> in die Definition des [[Erwartungswert|Erwartungswertes]] und der Verwendung der [[Kurs:Stochastik/Linearität des Erwartungswert|Linearität des Erwartungswertes]] erhält man: :<math>2\cdot E(|X\cdot Y|) \leq \underbrace{E(X^2)}_{< \infty} + \underbrace{E(Y^2)}_{< \infty} < \infty </math> === Beweis (CS2) === 2. Sei <math> E(X^2) =0</math>. Dann ist nach 2.2 i) <math> X(w) = 0</math> für alle <math> w </math> mit <math> p_w > 0</math> und es gilt <math> E(X \cdot Y ) =0 </math> und das Gleichheitszeichen in der Cauchy-Schwarzschen-Ungleichung. Ferner ist die Gleichung erfüllt (mit <math> a = 1, b=0</math>). ==== Beweis (3) - Schritt 1 ==== Sei <math> E(X^2) > 0 </math>. Zunächst gilt für ein beliebiges <math> c \in \mathbb{R}</math> unter Anwendung der Linearität vom Erwartungswert: :<math> 0 \le E\big( (cX -Y)^2 \big) = c^2 E(X^2) - 2cE(X \cdot Y) + E(Y^2) \quad (\ast) </math> ==== Beweis (3) - Schritt 2 ==== Da die obige Ungleichung <math>(\ast)</math> für ein beliebiges <math> c \in \mathbb{R}</math> erfüllt ist, gilt diese insbesondere für ein speziell gewähltes <math> \textstyle c := \frac {E(X \cdot Y) }{E(X^2)}</math>. Durch Einsetzen in die Ungleichung <math>(\ast)</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rclc} 0 & \leq & \frac { (E(X \cdot Y))^2}{E(X^2)} - 2 \cdot \frac {(E(X \cdot Y))^2} {E(X^2)} + E(Y^2) & \\ & = & E(Y^2) - \frac {(E(X \cdot Y))^2} { E(X^2)} & \Longrightarrow \\ (E(X \cdot Y))^2 & \leq & E(Y^2) \cdot E(X^2) \end{array} </math> d.h. die [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Schwarz-Ungleichung|Cauchy-Schwarzsche Ungleichung]]. ==== Beweis (4) ==== Hier gilt das Gleichheitszeichen genau dann, wenn es in (*) gilt, d. h. wenn glt: <br> (**) <math> E(cX -Y)^2 = 0 </math> <br> Aus (**) folgt über ii) die Gleichung aus iii) mit <math> a=c, b= -1</math>. Umgekehrt folgt auch aus iii) die Gleichung (**). <br> ==== Folgerungen (1)==== 1. Aus <br> (+) <math> E(X^2) < \infty , E(Y^2) < \infty </math> <br> folgt also die Existenz des Erwartungswertes von <math> X \cdot Y </math>: <math>E(X \cdot Y) < \infty</math>. <br> Im Fall der Unabhängigkeit der <math> X,Y</math> benötigen wir in 1.5 anstatt (+) nur <math>E|X| < \infty, E|Y| < \infty</math>. <br> Aus (+) folgt die Existenz der Kovarianz (<math> Cov(X,Y) </math>). In der Tat, in der Formel <br> (++) <math> Cov(X,Y) = E[ X \cdot Y - Y \cdot E(X) - X(E(Y) + E(X) \cdot E(Y)]</math> <br> existieren gemäß 2.2 i) und i) sämtliche Erwartungswerte. <br> ==== Folgerungen (2 - 3) ==== 2. Formel (++) vereinfacht sich zur "Verschiebungsformel": <br> :<math> Cov(X,Y) = E(X \cdot Y) - E(X) \cdot E(Y)</math> <br> 3. Setzt man in die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung <math> X - E(X), Y-E(Y) </math> ein (anstatt <math> X,Y</math>), so erhält man <br> :<math> (Cov( X,Y))^2 \le \sigma^2(X) \cdot \sigma^2(Y) </math> <br> d.h. es gilt <math> -1 \le \rho(X,Y) \le 1 </math>. <br> ==== Folgerungen (4) ==== 4. <math>|\rho(X,Y)| = 1</math> genau dann, wenn <br> :<math> Y(w) - E(Y) = c(X(w) - E(X)) </math> <br> für alle <math> w </math> mit <math> p_w > 0</math>. <br> Interpretation: <math> \rho (X,Y) </math> ist ein Maß für den linearen Zusammenhang von <math> X </math> und <math> Y </math>. === Eigenschaften der Varianz und Kovarianz (1)=== Sei <math> E(X^2) < \infty, E(Y^2) < \infty</math> vorausgesetzt. <br> a) <math> Cov (aX + b, a'Y+b') = a \cdot a' Cov ( X,Y)</math> <br> Insbesondere: <br> :<math> Cov(X^*, Y^*) = \rho (X^*, Y^*) = \rho (X,Y)</math> für <math> X^* = (X -E(X))/\sigma (X)</math>, <math> Y^* = (Y - E(Y))/\sigma (Y).</math> <br> b) <math> Cov (X,Y) = Cov (Y,X), Cov (X,X) = Var (X)</math> <br> === Eigenschaften der Varianz und Kovarianz (2) === c) <math> Var (X_1 + ... + X_n) = \sum_{i = 1} ^n Var (X_i )+ \sum_{i \neq j} Cov (X_i, X_j)</math> <br> Insbesondere gilt für paarweise unkorrelierte (d.h. <math> Cov(X_i, X_j) = 0</math>, für <math>i \neq j</math>) <math>X_1, ..., X_n</math> die "Formel von Bienaymé": :<math> Var(X_1 + ... + X_n) = \sum _{i = 1} ^n Var (X_i) </math> d) <math>X,Y </math> unabhängig <math> \Rightarrow X,Y </math> unkorreliert. ==== Beweis ==== Zu c): Wegen der letzten Formel im Abschnitt "Formeln zur Varianz von X" und a) können wir annehmen, dass <math> E(X_i) = 0</math>. Dann gilt: :<math> Var(X_1 + ... X_n) = E(X_1 + ... + X_n)^2 = E(\sum_{i = 1} ^n X_i^2 + \sum_{i \neq j} X_i \cdot X_j)</math> :<math> = \sum_{i=1} ^n E(X_i^2) + \sum_{ i \neq j} E(X_i \cdot X_j)</math> Zu d): <math> X,Y </math> unabhängig <math> \Rightarrow E(X \cdot Y) = E(X) \cdot E(Y) \Rightarrow Cov(X,Y) =0 </math> (Verschiebungsformel). == Aufgaben für Studierende == === Teil 1: Kovarianz ungleich null === Gegeben sind zwei Zufallsgrößen <math display="inline">X</math> und <math display="inline">Y</math>, die gemeinsam verteilt sind. Die '''gemeinsame''' Wahrscheinlichkeitsverteilung ist durch die folgende Tabelle gegeben: <div class="center"> {| class="wikitable" |- ! style="text-align: center;"| <math display="inline">X \backslash Y</math> ! style="text-align: center;"| 0 ! style="text-align: center;"| 1 ! style="text-align: center;"| 2 |- | style="text-align: center;"| 0 | style="text-align: center;"| 0.1 | style="text-align: center;"| 0.2 | style="text-align: center;"| 0.1 |- | style="text-align: center;"| 1 | style="text-align: center;"| 0.1 | style="text-align: center;"| 0.3 | style="text-align: center;"| 0.2 |} </div> Die Verteilung von <math display="inline">X</math> und <math display="inline">Y</math> erhält man durch Summieren der einzelnen Spalten oder Zeilen.Dies wird auch als Randverteilung einer gemeinsamen Verteilung bezeichnet. Also beispielsweise: <math display="block">P(X=0)=P(X=0,Y=0)+P(X=0,Y=1)+P(X=0,Y=2)=0.1+0.2+0.1=0.4</math> # Bestimme die Randverteilungen von <math display="inline">X</math> und <math display="inline">Y</math>. # Berechne die Erwartungswerte <math display="inline">E[X]</math> und <math display="inline">E[Y]</math>. # Berechne die Kovarianz <math display="inline">\mathrm{Cov}(X, Y) = E[XY] - E[X]E[Y]</math>. # Interpretiere das Ergebnis: Ist <math display="inline">\mathrm{Cov}(X, Y) \ne 0</math>? Was bedeutet das für die Abhängigkeit von <math display="inline">X</math> und <math display="inline">Y</math>? <span id="teil-2-unabhängige-zufallsgrößen-mit-mathrmcovx-y-0"></span> === Teil 2: Unabhängige Zufallsgrößen mit <math display="inline">\mathrm{Cov}(X, Y) = 0</math> === Betrachte nun zwei neue Zufallsgrößen <math display="inline">U</math> und <math display="inline">V</math>, die unabhängig sind. Ihre gemeinsame Verteilung sei gegeben durch: * <math display="inline">U</math> nimmt die Werte <math display="inline">-1</math> und <math display="inline">1</math> mit jeweils Wahrscheinlichkeit <math display="inline">0.5</math>. * <math display="inline">V</math> nimmt die Werte <math display="inline">-1</math> und <math display="inline">1</math> mit jeweils Wahrscheinlichkeit <math display="inline">0.5</math>. * <math display="inline">U</math> und <math display="inline">V</math> sind unabhängig. # Erstelle eine Tabelle der gemeinsamen Verteilung <math display="inline">P(X=x,Y=y)</math>. # Zeige, dass <math display="inline">\mathrm{Cov}(U, V) = 0</math>. # Beweise, dass bei Unabhängigkeit von X,Y folgende Beziehung gilt: <math display="inline">E(X\cdot Y))=E(X)\cdot E(Y)</math>. Folgere daraus <math display="inline">\mathrm{Cov}(U, V) = 0</math>. <span id="teil-3-nicht-unabhängige-zufallsgrößen-mit-mathrmcova-b-0"></span> === Teil 3: Nicht unabhängige Zufallsgrößen mit <math display="inline">\mathrm{Cov}(A, B) = 0</math> === Gegeben sei eine Zufallsgröße <math display="inline">X</math>, die gleichverteilt auf den Werten <math display="inline">-1</math>, <math display="inline">0</math> und <math display="inline">1</math> ist: <math display="inline">P(X = -1) = P(X = 0) = P(X = 1) = \frac{1}{3}.</math> Definiere eine neue Zufallsgröße <math display="inline">Y = X^2</math>. * Bestimme die gemeinsame Verteilung von <math display="inline">X</math> und <math display="inline">Y</math> in Form einer Tabelle. Gib auch die Randverteilung von <math display="inline">Y</math> an. * Berechne die Erwartungswerte: <math display="inline">E(X), \quad E(Y), \quad E(X\cdot Y).</math> * Berechne die Kovarianz: <math display="inline">\mathrm{Cov}(X, Y) = E(XY) - E(X)E(Y).</math> Was kann man über die lineare Abhängigkeit von <math display="inline">X</math> und <math display="inline">Y</math> sagen? * Prüfe, ob <math display="inline">X</math> und <math display="inline">Y</math> unabhängig sind. Vergleiche dazu: <math display="inline">P(X = 1, Y = 1) \quad \text{und} \quad P(X = 1) \cdot P(Y = 1).</math> Begründe, warum die stochastische Unabhängigkeit nicht vorliegt. * Erklären Sie, warum die Kovarianz null ist, obwohl eine stochastische Abhängigkeit zwischen <math display="inline">X</math> und <math display="inline">Y</math> besteht. Welche Art von Abhängigkeit wird von der Kovarianz nicht erfasst? == Siehe auch == * [[Momente]] * [[Kurs:Stochastik/Varianz|Varianz]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Schwarz-Ungleichung|Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Kovarianz&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kovarianz&coursetitle=Kurs:Stochastik Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Kovarianz&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kovarianz&coursetitle=Kurs:Stochastik Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Stochastik Kurs:Stochastik]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Stochastik/Kovarianz https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Stochastik/Kovarianz] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Stochastik/Kovarianz Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Stochastik/Kovarianz * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Kovarianz&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kovarianz&coursetitle=Kurs:Stochastik Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 7ocv99to7i1lutws720snzypuuxm90g 1119339 1119337 2026-11-10T14:46:57Z Bert Niehaus 20843 /* Satz - Cauchy-Schwarz-Ungleichung */ 1119339 wikitext text/x-wiki == Einführung == Betrachtet man nun verschiedene Zufallsvariablen, so bilden nach der Betrachtung der Verteilungsparameter einzelner Zufallsgrößen nun Maße für den Zusammenhang zweier Zufallsvariablen <math> X </math> und <math> Y </math>. Die Kovarianz ist eine [[Skalarprodukt#Kovarianz|positiv semidefiniter Bilinearform]] == Definition - Kovarianz == Für Zufallsvariablen <math> X </math> und <math> Y </math> auf <math> (\Omega,\mathcal S, P)</math> mit <math> E(X^2) < \infty, E(Y^2) < \infty </math> definiert :<math> Cov (X,Y) = E\big( (X-E(X)) \cdot (Y-E(Y)) \big) </math> die Kovarianz von <math> X </math> und <math> Y </math> == Definition - Korrelationskoeffizienten == Für Zufallsvariablen <math> X </math> und <math> Y </math> auf <math> (\Omega,\mathcal S, P)</math> mit <math> E(X^2) < \infty, E(Y^2) < \infty </math> definiert : <math> \rho (X,Y) = \frac {Cov(X,Y)} {\sigma (X) \cdot \sigma (Y)} \quad \text{mit } \rho(X,Y) \in [-1,1]</math> (sofern <math> \sigma (X) \cdot \sigma (Y) > 0</math>) den Korrelationskoeffizienten (nach Pearson) von <math> X </math> und <math> Y </math>, welcher angibt, ob ein positiver/negativer linearer Zusammehang zwischen den ZV existiert. <br> == Definition - unkorrelliert == Zwei Zufallsvariablen <math> X </math> und <math> Y </math> auf <math> (\Omega,\mathcal S, P)</math> mit <math> E(X^2) < \infty, E(Y^2) < \infty </math> heißen unkorreliert, falls <math> Cov(X,Y) = 0</math>. === Bemerkung - Kovarianz und Korrelationskoeffizient === Zum Studium der Größen <math> Cov </math> und <math> \rho </math> benötien wir den folgenden Satz. == Satz - Cauchy-Schwarz-Ungleichung == Für die Zufallsvariablen <math> X,Y </math> mit <math> E(X^2) < \infty , E(Y^2) < \infty </math> gilt: <br> * '''(CS1)''' <math> E|X \cdot Y| <\infty </math> <br> * '''(CS2)''' Cauchy-Schwarzsche-Ungleichung: ::<math> (E(X \cdot Y))^2 \le E(X^2) \cdot E(Y^2) </math> <br> * '''(CS3)''' Das Gleichheitszeichen in (CS2) gilt genau dann, wenn es Zahlen <math> a,b \in \mathbb{R} </math> gibt mit <math> a^2 + b^2 > 0 </math> und ::<math> a \cdot X(w) + b \cdot Y(w) = 0 </math> . === Bemerkung zu CS3 === Die Bedingung (CS3) bedeutet, dass die Zufallsgrößen <math>X</math> und <math>Y</math> den Nullvektor <math>0_\Omega</math> als Zufallsgröße <math>0_\Omega : \Omega \to \mathbb{R}</math> mit <math> a^2 + b^2 > 0 </math> <math>P</math>-[[Kurs:Stochastik/P-fast sicher|fast sicher]] mit Koeffizienten <math>a\not=0</math> oder <math>b\not=0</math> nicht-trivial darstellen kann. Dies bedeutet, dass die Zufallsgrößen <math>X</math> und <math>Y</math> <math>P</math>-[[Kurs:Stochastik/P-fast sicher|fast sicher]] linear abhängig sind. == Beweis - Cauchy-Scharzsche Ungleichung == Für den Beweisschritt (CS1) und (CS2) wird die Ungleichung :<math> 2\cdot |x \cdot y| \le x^2 + y^2 </math> verwendet. Dazu wird im Beweis die folgende Vorüberlegung erläutert. === Vorüberlegung CS1 und CS2 === Zunächst einmal gilt für alle <math>x,y \in \mathbb{R}</math>: :<math> 0\leq (x-y)^2 \quad \wedge \quad 0\leq (x+y)^2 </math> Mit der Anwendung der [[w:de:binomische Formeln|binomischen Formeln]] erhält man: :<math> 2xy \leq x^2 + y^2 \quad \wedge \quad 2xy \leq x^2 + y^2 </math> und damit <math> 2\cdot |x \cdot y| \le x^2 + y^2 </math> für alle <math>x,y\in \mathbb{R}</math>. === Beweis (CS1) === Durch Einsetzen der Ungleichung <math> 2xy \leq x^2 + y^2 \quad \wedge \quad 2xy \leq x^2 + y^2 </math> in die Definition des [[Erwartungswert|Erwartungswertes]] und der Verwendung der [[Kurs:Stochastik/Linearität des Erwartungswert|Linearität des Erwartungswertes]] erhält man: :<math>2\cdot E(|X\cdot Y|) \leq \underbrace{E(X^2)}_{< \infty} + \underbrace{E(Y^2)}_{< \infty} < \infty </math> === Beweis (CS2) === 2. Sei <math> E(X^2) =0</math>. Dann ist nach 2.2 i) <math> X(w) = 0</math> für alle <math> w </math> mit <math> p_w > 0</math> und es gilt <math> E(X \cdot Y ) =0 </math> und das Gleichheitszeichen in der Cauchy-Schwarzschen-Ungleichung. Ferner ist die Gleichung erfüllt (mit <math> a = 1, b=0</math>). ==== Beweis (3) - Schritt 1 ==== Sei <math> E(X^2) > 0 </math>. Zunächst gilt für ein beliebiges <math> c \in \mathbb{R}</math> unter Anwendung der Linearität vom Erwartungswert: :<math> 0 \le E\big( (cX -Y)^2 \big) = c^2 E(X^2) - 2cE(X \cdot Y) + E(Y^2) \quad (\ast) </math> ==== Beweis (3) - Schritt 2 ==== Da die obige Ungleichung <math>(\ast)</math> für ein beliebiges <math> c \in \mathbb{R}</math> erfüllt ist, gilt diese insbesondere für ein speziell gewähltes <math> \textstyle c := \frac {E(X \cdot Y) }{E(X^2)}</math>. Durch Einsetzen in die Ungleichung <math>(\ast)</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rclc} 0 & \leq & \frac { (E(X \cdot Y))^2}{E(X^2)} - 2 \cdot \frac {(E(X \cdot Y))^2} {E(X^2)} + E(Y^2) & \\ & = & E(Y^2) - \frac {(E(X \cdot Y))^2} { E(X^2)} & \Longrightarrow \\ (E(X \cdot Y))^2 & \leq & E(Y^2) \cdot E(X^2) \end{array} </math> d.h. die [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Schwarz-Ungleichung|Cauchy-Schwarzsche Ungleichung]]. ==== Beweis (4) ==== Hier gilt das Gleichheitszeichen genau dann, wenn es in (*) gilt, d. h. wenn glt: <br> (**) <math> E(cX -Y)^2 = 0 </math> <br> Aus (**) folgt über ii) die Gleichung aus iii) mit <math> a=c, b= -1</math>. Umgekehrt folgt auch aus iii) die Gleichung (**). <br> ==== Folgerungen (1)==== 1. Aus <br> (+) <math> E(X^2) < \infty , E(Y^2) < \infty </math> <br> folgt also die Existenz des Erwartungswertes von <math> X \cdot Y </math>: <math>E(X \cdot Y) < \infty</math>. <br> Im Fall der Unabhängigkeit der <math> X,Y</math> benötigen wir in 1.5 anstatt (+) nur <math>E|X| < \infty, E|Y| < \infty</math>. <br> Aus (+) folgt die Existenz der Kovarianz (<math> Cov(X,Y) </math>). In der Tat, in der Formel <br> (++) <math> Cov(X,Y) = E[ X \cdot Y - Y \cdot E(X) - X(E(Y) + E(X) \cdot E(Y)]</math> <br> existieren gemäß 2.2 i) und i) sämtliche Erwartungswerte. <br> ==== Folgerungen (2 - 3) ==== 2. Formel (++) vereinfacht sich zur "Verschiebungsformel": <br> :<math> Cov(X,Y) = E(X \cdot Y) - E(X) \cdot E(Y)</math> <br> 3. Setzt man in die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung <math> X - E(X), Y-E(Y) </math> ein (anstatt <math> X,Y</math>), so erhält man <br> :<math> (Cov( X,Y))^2 \le \sigma^2(X) \cdot \sigma^2(Y) </math> <br> d.h. es gilt <math> -1 \le \rho(X,Y) \le 1 </math>. <br> ==== Folgerungen (4) ==== 4. <math>|\rho(X,Y)| = 1</math> genau dann, wenn <br> :<math> Y(w) - E(Y) = c(X(w) - E(X)) </math> <br> für alle <math> w </math> mit <math> p_w > 0</math>. <br> Interpretation: <math> \rho (X,Y) </math> ist ein Maß für den linearen Zusammenhang von <math> X </math> und <math> Y </math>. === Eigenschaften der Varianz und Kovarianz (1)=== Sei <math> E(X^2) < \infty, E(Y^2) < \infty</math> vorausgesetzt. <br> a) <math> Cov (aX + b, a'Y+b') = a \cdot a' Cov ( X,Y)</math> <br> Insbesondere: <br> :<math> Cov(X^*, Y^*) = \rho (X^*, Y^*) = \rho (X,Y)</math> für <math> X^* = (X -E(X))/\sigma (X)</math>, <math> Y^* = (Y - E(Y))/\sigma (Y).</math> <br> b) <math> Cov (X,Y) = Cov (Y,X), Cov (X,X) = Var (X)</math> <br> === Eigenschaften der Varianz und Kovarianz (2) === c) <math> Var (X_1 + ... + X_n) = \sum_{i = 1} ^n Var (X_i )+ \sum_{i \neq j} Cov (X_i, X_j)</math> <br> Insbesondere gilt für paarweise unkorrelierte (d.h. <math> Cov(X_i, X_j) = 0</math>, für <math>i \neq j</math>) <math>X_1, ..., X_n</math> die "Formel von Bienaymé": :<math> Var(X_1 + ... + X_n) = \sum _{i = 1} ^n Var (X_i) </math> d) <math>X,Y </math> unabhängig <math> \Rightarrow X,Y </math> unkorreliert. ==== Beweis ==== Zu c): Wegen der letzten Formel im Abschnitt "Formeln zur Varianz von X" und a) können wir annehmen, dass <math> E(X_i) = 0</math>. Dann gilt: :<math> Var(X_1 + ... X_n) = E(X_1 + ... + X_n)^2 = E(\sum_{i = 1} ^n X_i^2 + \sum_{i \neq j} X_i \cdot X_j)</math> :<math> = \sum_{i=1} ^n E(X_i^2) + \sum_{ i \neq j} E(X_i \cdot X_j)</math> Zu d): <math> X,Y </math> unabhängig <math> \Rightarrow E(X \cdot Y) = E(X) \cdot E(Y) \Rightarrow Cov(X,Y) =0 </math> (Verschiebungsformel). == Aufgaben für Studierende == === Teil 1: Kovarianz ungleich null === Gegeben sind zwei Zufallsgrößen <math display="inline">X</math> und <math display="inline">Y</math>, die gemeinsam verteilt sind. Die '''gemeinsame''' Wahrscheinlichkeitsverteilung ist durch die folgende Tabelle gegeben: <div class="center"> {| class="wikitable" |- ! style="text-align: center;"| <math display="inline">X \backslash Y</math> ! style="text-align: center;"| 0 ! style="text-align: center;"| 1 ! style="text-align: center;"| 2 |- | style="text-align: center;"| 0 | style="text-align: center;"| 0.1 | style="text-align: center;"| 0.2 | style="text-align: center;"| 0.1 |- | style="text-align: center;"| 1 | style="text-align: center;"| 0.1 | style="text-align: center;"| 0.3 | style="text-align: center;"| 0.2 |} </div> Die Verteilung von <math display="inline">X</math> und <math display="inline">Y</math> erhält man durch Summieren der einzelnen Spalten oder Zeilen.Dies wird auch als Randverteilung einer gemeinsamen Verteilung bezeichnet. Also beispielsweise: <math display="block">P(X=0)=P(X=0,Y=0)+P(X=0,Y=1)+P(X=0,Y=2)=0.1+0.2+0.1=0.4</math> # Bestimme die Randverteilungen von <math display="inline">X</math> und <math display="inline">Y</math>. # Berechne die Erwartungswerte <math display="inline">E[X]</math> und <math display="inline">E[Y]</math>. # Berechne die Kovarianz <math display="inline">\mathrm{Cov}(X, Y) = E[XY] - E[X]E[Y]</math>. # Interpretiere das Ergebnis: Ist <math display="inline">\mathrm{Cov}(X, Y) \ne 0</math>? Was bedeutet das für die Abhängigkeit von <math display="inline">X</math> und <math display="inline">Y</math>? <span id="teil-2-unabhängige-zufallsgrößen-mit-mathrmcovx-y-0"></span> === Teil 2: Unabhängige Zufallsgrößen mit <math display="inline">\mathrm{Cov}(X, Y) = 0</math> === Betrachte nun zwei neue Zufallsgrößen <math display="inline">U</math> und <math display="inline">V</math>, die unabhängig sind. Ihre gemeinsame Verteilung sei gegeben durch: * <math display="inline">U</math> nimmt die Werte <math display="inline">-1</math> und <math display="inline">1</math> mit jeweils Wahrscheinlichkeit <math display="inline">0.5</math>. * <math display="inline">V</math> nimmt die Werte <math display="inline">-1</math> und <math display="inline">1</math> mit jeweils Wahrscheinlichkeit <math display="inline">0.5</math>. * <math display="inline">U</math> und <math display="inline">V</math> sind unabhängig. # Erstelle eine Tabelle der gemeinsamen Verteilung <math display="inline">P(X=x,Y=y)</math>. # Zeige, dass <math display="inline">\mathrm{Cov}(U, V) = 0</math>. # Beweise, dass bei Unabhängigkeit von X,Y folgende Beziehung gilt: <math display="inline">E(X\cdot Y))=E(X)\cdot E(Y)</math>. Folgere daraus <math display="inline">\mathrm{Cov}(U, V) = 0</math>. <span id="teil-3-nicht-unabhängige-zufallsgrößen-mit-mathrmcova-b-0"></span> === Teil 3: Nicht unabhängige Zufallsgrößen mit <math display="inline">\mathrm{Cov}(A, B) = 0</math> === Gegeben sei eine Zufallsgröße <math display="inline">X</math>, die gleichverteilt auf den Werten <math display="inline">-1</math>, <math display="inline">0</math> und <math display="inline">1</math> ist: <math display="inline">P(X = -1) = P(X = 0) = P(X = 1) = \frac{1}{3}.</math> Definiere eine neue Zufallsgröße <math display="inline">Y = X^2</math>. * Bestimme die gemeinsame Verteilung von <math display="inline">X</math> und <math display="inline">Y</math> in Form einer Tabelle. Gib auch die Randverteilung von <math display="inline">Y</math> an. * Berechne die Erwartungswerte: <math display="inline">E(X), \quad E(Y), \quad E(X\cdot Y).</math> * Berechne die Kovarianz: <math display="inline">\mathrm{Cov}(X, Y) = E(XY) - E(X)E(Y).</math> Was kann man über die lineare Abhängigkeit von <math display="inline">X</math> und <math display="inline">Y</math> sagen? * Prüfe, ob <math display="inline">X</math> und <math display="inline">Y</math> unabhängig sind. Vergleiche dazu: <math display="inline">P(X = 1, Y = 1) \quad \text{und} \quad P(X = 1) \cdot P(Y = 1).</math> Begründe, warum die stochastische Unabhängigkeit nicht vorliegt. * Erklären Sie, warum die Kovarianz null ist, obwohl eine stochastische Abhängigkeit zwischen <math display="inline">X</math> und <math display="inline">Y</math> besteht. Welche Art von Abhängigkeit wird von der Kovarianz nicht erfasst? == Siehe auch == * [[Momente]] * [[Kurs:Stochastik/Varianz|Varianz]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Schwarz-Ungleichung|Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Kovarianz&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kovarianz&coursetitle=Kurs:Stochastik Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Kovarianz&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kovarianz&coursetitle=Kurs:Stochastik Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Stochastik Kurs:Stochastik]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Stochastik/Kovarianz https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Stochastik/Kovarianz] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Stochastik/Kovarianz Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Stochastik/Kovarianz * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Kovarianz&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kovarianz&coursetitle=Kurs:Stochastik Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] t1cl69588uz47s193wzbh12fh3zf6do 1119340 1119339 2026-11-10T14:47:31Z Bert Niehaus 20843 /* Beweis (CS1) */ 1119340 wikitext text/x-wiki == Einführung == Betrachtet man nun verschiedene Zufallsvariablen, so bilden nach der Betrachtung der Verteilungsparameter einzelner Zufallsgrößen nun Maße für den Zusammenhang zweier Zufallsvariablen <math> X </math> und <math> Y </math>. Die Kovarianz ist eine [[Skalarprodukt#Kovarianz|positiv semidefiniter Bilinearform]] == Definition - Kovarianz == Für Zufallsvariablen <math> X </math> und <math> Y </math> auf <math> (\Omega,\mathcal S, P)</math> mit <math> E(X^2) < \infty, E(Y^2) < \infty </math> definiert :<math> Cov (X,Y) = E\big( (X-E(X)) \cdot (Y-E(Y)) \big) </math> die Kovarianz von <math> X </math> und <math> Y </math> == Definition - Korrelationskoeffizienten == Für Zufallsvariablen <math> X </math> und <math> Y </math> auf <math> (\Omega,\mathcal S, P)</math> mit <math> E(X^2) < \infty, E(Y^2) < \infty </math> definiert : <math> \rho (X,Y) = \frac {Cov(X,Y)} {\sigma (X) \cdot \sigma (Y)} \quad \text{mit } \rho(X,Y) \in [-1,1]</math> (sofern <math> \sigma (X) \cdot \sigma (Y) > 0</math>) den Korrelationskoeffizienten (nach Pearson) von <math> X </math> und <math> Y </math>, welcher angibt, ob ein positiver/negativer linearer Zusammehang zwischen den ZV existiert. <br> == Definition - unkorrelliert == Zwei Zufallsvariablen <math> X </math> und <math> Y </math> auf <math> (\Omega,\mathcal S, P)</math> mit <math> E(X^2) < \infty, E(Y^2) < \infty </math> heißen unkorreliert, falls <math> Cov(X,Y) = 0</math>. === Bemerkung - Kovarianz und Korrelationskoeffizient === Zum Studium der Größen <math> Cov </math> und <math> \rho </math> benötien wir den folgenden Satz. == Satz - Cauchy-Schwarz-Ungleichung == Für die Zufallsvariablen <math> X,Y </math> mit <math> E(X^2) < \infty , E(Y^2) < \infty </math> gilt: <br> * '''(CS1)''' <math> E|X \cdot Y| <\infty </math> <br> * '''(CS2)''' Cauchy-Schwarzsche-Ungleichung: ::<math> (E(X \cdot Y))^2 \le E(X^2) \cdot E(Y^2) </math> <br> * '''(CS3)''' Das Gleichheitszeichen in (CS2) gilt genau dann, wenn es Zahlen <math> a,b \in \mathbb{R} </math> gibt mit <math> a^2 + b^2 > 0 </math> und ::<math> a \cdot X(w) + b \cdot Y(w) = 0 </math> . === Bemerkung zu CS3 === Die Bedingung (CS3) bedeutet, dass die Zufallsgrößen <math>X</math> und <math>Y</math> den Nullvektor <math>0_\Omega</math> als Zufallsgröße <math>0_\Omega : \Omega \to \mathbb{R}</math> mit <math> a^2 + b^2 > 0 </math> <math>P</math>-[[Kurs:Stochastik/P-fast sicher|fast sicher]] mit Koeffizienten <math>a\not=0</math> oder <math>b\not=0</math> nicht-trivial darstellen kann. Dies bedeutet, dass die Zufallsgrößen <math>X</math> und <math>Y</math> <math>P</math>-[[Kurs:Stochastik/P-fast sicher|fast sicher]] linear abhängig sind. == Beweis - Cauchy-Scharzsche Ungleichung == Für den Beweisschritt (CS1) und (CS2) wird die Ungleichung :<math> 2\cdot |x \cdot y| \le x^2 + y^2 </math> verwendet. Dazu wird im Beweis die folgende Vorüberlegung erläutert. === Vorüberlegung CS1 und CS2 === Zunächst einmal gilt für alle <math>x,y \in \mathbb{R}</math>: :<math> 0\leq (x-y)^2 \quad \wedge \quad 0\leq (x+y)^2 </math> Mit der Anwendung der [[w:de:binomische Formeln|binomischen Formeln]] erhält man: :<math> 2xy \leq x^2 + y^2 \quad \wedge \quad 2xy \leq x^2 + y^2 </math> und damit <math> 2\cdot |x \cdot y| \le x^2 + y^2 </math> für alle <math>x,y\in \mathbb{R}</math>. === Beweis (CS1) === Durch Einsetzen der Ungleichung <math> 2xy \leq x^2 + y^2 \quad \wedge \quad 2xy \leq x^2 + y^2 </math> in die Definition des [[Erwartungswert|Erwartungswertes]] und der Verwendung der [[Kurs:Stochastik/Linearität Erwartungswert|Linearität des Erwartungswertes]] erhält man: :<math>2\cdot E(|X\cdot Y|) \leq \underbrace{E(X^2)}_{< \infty} + \underbrace{E(Y^2)}_{< \infty} < \infty </math> === Beweis (CS2) === 2. Sei <math> E(X^2) =0</math>. Dann ist nach 2.2 i) <math> X(w) = 0</math> für alle <math> w </math> mit <math> p_w > 0</math> und es gilt <math> E(X \cdot Y ) =0 </math> und das Gleichheitszeichen in der Cauchy-Schwarzschen-Ungleichung. Ferner ist die Gleichung erfüllt (mit <math> a = 1, b=0</math>). ==== Beweis (3) - Schritt 1 ==== Sei <math> E(X^2) > 0 </math>. Zunächst gilt für ein beliebiges <math> c \in \mathbb{R}</math> unter Anwendung der Linearität vom Erwartungswert: :<math> 0 \le E\big( (cX -Y)^2 \big) = c^2 E(X^2) - 2cE(X \cdot Y) + E(Y^2) \quad (\ast) </math> ==== Beweis (3) - Schritt 2 ==== Da die obige Ungleichung <math>(\ast)</math> für ein beliebiges <math> c \in \mathbb{R}</math> erfüllt ist, gilt diese insbesondere für ein speziell gewähltes <math> \textstyle c := \frac {E(X \cdot Y) }{E(X^2)}</math>. Durch Einsetzen in die Ungleichung <math>(\ast)</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rclc} 0 & \leq & \frac { (E(X \cdot Y))^2}{E(X^2)} - 2 \cdot \frac {(E(X \cdot Y))^2} {E(X^2)} + E(Y^2) & \\ & = & E(Y^2) - \frac {(E(X \cdot Y))^2} { E(X^2)} & \Longrightarrow \\ (E(X \cdot Y))^2 & \leq & E(Y^2) \cdot E(X^2) \end{array} </math> d.h. die [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Schwarz-Ungleichung|Cauchy-Schwarzsche Ungleichung]]. ==== Beweis (4) ==== Hier gilt das Gleichheitszeichen genau dann, wenn es in (*) gilt, d. h. wenn glt: <br> (**) <math> E(cX -Y)^2 = 0 </math> <br> Aus (**) folgt über ii) die Gleichung aus iii) mit <math> a=c, b= -1</math>. Umgekehrt folgt auch aus iii) die Gleichung (**). <br> ==== Folgerungen (1)==== 1. Aus <br> (+) <math> E(X^2) < \infty , E(Y^2) < \infty </math> <br> folgt also die Existenz des Erwartungswertes von <math> X \cdot Y </math>: <math>E(X \cdot Y) < \infty</math>. <br> Im Fall der Unabhängigkeit der <math> X,Y</math> benötigen wir in 1.5 anstatt (+) nur <math>E|X| < \infty, E|Y| < \infty</math>. <br> Aus (+) folgt die Existenz der Kovarianz (<math> Cov(X,Y) </math>). In der Tat, in der Formel <br> (++) <math> Cov(X,Y) = E[ X \cdot Y - Y \cdot E(X) - X(E(Y) + E(X) \cdot E(Y)]</math> <br> existieren gemäß 2.2 i) und i) sämtliche Erwartungswerte. <br> ==== Folgerungen (2 - 3) ==== 2. Formel (++) vereinfacht sich zur "Verschiebungsformel": <br> :<math> Cov(X,Y) = E(X \cdot Y) - E(X) \cdot E(Y)</math> <br> 3. Setzt man in die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung <math> X - E(X), Y-E(Y) </math> ein (anstatt <math> X,Y</math>), so erhält man <br> :<math> (Cov( X,Y))^2 \le \sigma^2(X) \cdot \sigma^2(Y) </math> <br> d.h. es gilt <math> -1 \le \rho(X,Y) \le 1 </math>. <br> ==== Folgerungen (4) ==== 4. <math>|\rho(X,Y)| = 1</math> genau dann, wenn <br> :<math> Y(w) - E(Y) = c(X(w) - E(X)) </math> <br> für alle <math> w </math> mit <math> p_w > 0</math>. <br> Interpretation: <math> \rho (X,Y) </math> ist ein Maß für den linearen Zusammenhang von <math> X </math> und <math> Y </math>. === Eigenschaften der Varianz und Kovarianz (1)=== Sei <math> E(X^2) < \infty, E(Y^2) < \infty</math> vorausgesetzt. <br> a) <math> Cov (aX + b, a'Y+b') = a \cdot a' Cov ( X,Y)</math> <br> Insbesondere: <br> :<math> Cov(X^*, Y^*) = \rho (X^*, Y^*) = \rho (X,Y)</math> für <math> X^* = (X -E(X))/\sigma (X)</math>, <math> Y^* = (Y - E(Y))/\sigma (Y).</math> <br> b) <math> Cov (X,Y) = Cov (Y,X), Cov (X,X) = Var (X)</math> <br> === Eigenschaften der Varianz und Kovarianz (2) === c) <math> Var (X_1 + ... + X_n) = \sum_{i = 1} ^n Var (X_i )+ \sum_{i \neq j} Cov (X_i, X_j)</math> <br> Insbesondere gilt für paarweise unkorrelierte (d.h. <math> Cov(X_i, X_j) = 0</math>, für <math>i \neq j</math>) <math>X_1, ..., X_n</math> die "Formel von Bienaymé": :<math> Var(X_1 + ... + X_n) = \sum _{i = 1} ^n Var (X_i) </math> d) <math>X,Y </math> unabhängig <math> \Rightarrow X,Y </math> unkorreliert. ==== Beweis ==== Zu c): Wegen der letzten Formel im Abschnitt "Formeln zur Varianz von X" und a) können wir annehmen, dass <math> E(X_i) = 0</math>. Dann gilt: :<math> Var(X_1 + ... X_n) = E(X_1 + ... + X_n)^2 = E(\sum_{i = 1} ^n X_i^2 + \sum_{i \neq j} X_i \cdot X_j)</math> :<math> = \sum_{i=1} ^n E(X_i^2) + \sum_{ i \neq j} E(X_i \cdot X_j)</math> Zu d): <math> X,Y </math> unabhängig <math> \Rightarrow E(X \cdot Y) = E(X) \cdot E(Y) \Rightarrow Cov(X,Y) =0 </math> (Verschiebungsformel). == Aufgaben für Studierende == === Teil 1: Kovarianz ungleich null === Gegeben sind zwei Zufallsgrößen <math display="inline">X</math> und <math display="inline">Y</math>, die gemeinsam verteilt sind. Die '''gemeinsame''' Wahrscheinlichkeitsverteilung ist durch die folgende Tabelle gegeben: <div class="center"> {| class="wikitable" |- ! style="text-align: center;"| <math display="inline">X \backslash Y</math> ! style="text-align: center;"| 0 ! style="text-align: center;"| 1 ! style="text-align: center;"| 2 |- | style="text-align: center;"| 0 | style="text-align: center;"| 0.1 | style="text-align: center;"| 0.2 | style="text-align: center;"| 0.1 |- | style="text-align: center;"| 1 | style="text-align: center;"| 0.1 | style="text-align: center;"| 0.3 | style="text-align: center;"| 0.2 |} </div> Die Verteilung von <math display="inline">X</math> und <math display="inline">Y</math> erhält man durch Summieren der einzelnen Spalten oder Zeilen.Dies wird auch als Randverteilung einer gemeinsamen Verteilung bezeichnet. Also beispielsweise: <math display="block">P(X=0)=P(X=0,Y=0)+P(X=0,Y=1)+P(X=0,Y=2)=0.1+0.2+0.1=0.4</math> # Bestimme die Randverteilungen von <math display="inline">X</math> und <math display="inline">Y</math>. # Berechne die Erwartungswerte <math display="inline">E[X]</math> und <math display="inline">E[Y]</math>. # Berechne die Kovarianz <math display="inline">\mathrm{Cov}(X, Y) = E[XY] - E[X]E[Y]</math>. # Interpretiere das Ergebnis: Ist <math display="inline">\mathrm{Cov}(X, Y) \ne 0</math>? Was bedeutet das für die Abhängigkeit von <math display="inline">X</math> und <math display="inline">Y</math>? <span id="teil-2-unabhängige-zufallsgrößen-mit-mathrmcovx-y-0"></span> === Teil 2: Unabhängige Zufallsgrößen mit <math display="inline">\mathrm{Cov}(X, Y) = 0</math> === Betrachte nun zwei neue Zufallsgrößen <math display="inline">U</math> und <math display="inline">V</math>, die unabhängig sind. Ihre gemeinsame Verteilung sei gegeben durch: * <math display="inline">U</math> nimmt die Werte <math display="inline">-1</math> und <math display="inline">1</math> mit jeweils Wahrscheinlichkeit <math display="inline">0.5</math>. * <math display="inline">V</math> nimmt die Werte <math display="inline">-1</math> und <math display="inline">1</math> mit jeweils Wahrscheinlichkeit <math display="inline">0.5</math>. * <math display="inline">U</math> und <math display="inline">V</math> sind unabhängig. # Erstelle eine Tabelle der gemeinsamen Verteilung <math display="inline">P(X=x,Y=y)</math>. # Zeige, dass <math display="inline">\mathrm{Cov}(U, V) = 0</math>. # Beweise, dass bei Unabhängigkeit von X,Y folgende Beziehung gilt: <math display="inline">E(X\cdot Y))=E(X)\cdot E(Y)</math>. Folgere daraus <math display="inline">\mathrm{Cov}(U, V) = 0</math>. <span id="teil-3-nicht-unabhängige-zufallsgrößen-mit-mathrmcova-b-0"></span> === Teil 3: Nicht unabhängige Zufallsgrößen mit <math display="inline">\mathrm{Cov}(A, B) = 0</math> === Gegeben sei eine Zufallsgröße <math display="inline">X</math>, die gleichverteilt auf den Werten <math display="inline">-1</math>, <math display="inline">0</math> und <math display="inline">1</math> ist: <math display="inline">P(X = -1) = P(X = 0) = P(X = 1) = \frac{1}{3}.</math> Definiere eine neue Zufallsgröße <math display="inline">Y = X^2</math>. * Bestimme die gemeinsame Verteilung von <math display="inline">X</math> und <math display="inline">Y</math> in Form einer Tabelle. Gib auch die Randverteilung von <math display="inline">Y</math> an. * Berechne die Erwartungswerte: <math display="inline">E(X), \quad E(Y), \quad E(X\cdot Y).</math> * Berechne die Kovarianz: <math display="inline">\mathrm{Cov}(X, Y) = E(XY) - E(X)E(Y).</math> Was kann man über die lineare Abhängigkeit von <math display="inline">X</math> und <math display="inline">Y</math> sagen? * Prüfe, ob <math display="inline">X</math> und <math display="inline">Y</math> unabhängig sind. Vergleiche dazu: <math display="inline">P(X = 1, Y = 1) \quad \text{und} \quad P(X = 1) \cdot P(Y = 1).</math> Begründe, warum die stochastische Unabhängigkeit nicht vorliegt. * Erklären Sie, warum die Kovarianz null ist, obwohl eine stochastische Abhängigkeit zwischen <math display="inline">X</math> und <math display="inline">Y</math> besteht. Welche Art von Abhängigkeit wird von der Kovarianz nicht erfasst? == Siehe auch == * [[Momente]] * [[Kurs:Stochastik/Varianz|Varianz]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Schwarz-Ungleichung|Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Kovarianz&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kovarianz&coursetitle=Kurs:Stochastik Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Kovarianz&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kovarianz&coursetitle=Kurs:Stochastik Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Stochastik Kurs:Stochastik]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Stochastik/Kovarianz https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Stochastik/Kovarianz] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Stochastik/Kovarianz Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Stochastik/Kovarianz * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Kovarianz&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kovarianz&coursetitle=Kurs:Stochastik Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] jrdot9ykgmpswuvmhia7aecjseg6idj 106 158235 1119356 1118110 2026-11-11T06:32:49Z Bocardodarapti 2041 1119356 wikitext text/x-wiki {{ Klausur20 |Elementare Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/32/Aufgabe|p||| |Elementare Mathematik 1/Gemischte Satzabfrage/32/Aufgabe|p||| |Quadratzahl/Idempotente Defintion/Aufgabe|p||| |Klausuren/Rundung/Korrektur/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Gruppe/abc ist 1/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Flug/Tokio/Frankfurt/Zeitzonen/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Elementare Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} sj5zagytzse3ia4y6g2x00g40qddzrh 1119373 1119356 2026-11-11T09:41:11Z Bocardodarapti 2041 1119373 wikitext text/x-wiki {{ Klausur20 |Elementare Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/32/Aufgabe|p||| |Elementare Mathematik 1/Gemischte Satzabfrage/32/Aufgabe|p||| |Quadratzahl/Idempotente Defintion/Aufgabe|p||| |Klausuren/Rundung/Korrektur/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Gruppe/abc ist 1/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Binomialkoeffizient/Summe in Pascaldreieck/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Flug/Tokio/Frankfurt/Zeitzonen/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Elementare Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} 7ot9r5k0quk0axvzyoevphbpue5wn23 0 162012 1119344 1117780 2026-11-10T15:14:52Z C.Koltzenburg 13981 /* D */ 1119344 wikitext text/x-wiki Siehe auch [[FSP-Material|TOC]] -- [[Anamnesegespräche]] -- [[Diagnosenrätsel|Diagnosenrätsel]] -- [[Anamneseberichte/Grammatikcheck|Checklisten für die FSP]] -- [[Anamneseberichte/Schreibtraining|Schreibtraining in 5 Schritten]] -- [[Anamneseberichte/Verben_trainieren|Verben richtig trainieren: PS =/= FS]] -- [[Anamneseberichte]] -- [[Anamneseberichte/Beispielformulierungen|Beispielformulierungen für Berichte]] -- [[Patientenvorstellungen]] -- [[Patientenvorstellungen/Beispielformulierungen_1._Satz|6 Modelle für den 1. Satz einer Patientenvorstellung]] Zu dieser Fachbegriffe-Liste: 1000 Dank an Ch. und Th. für die Vorarbeiten, die Protokolle gründlich auszuwerten - und vielen Dank an die Verfasser*innen der Protokolle! [[Fachbegriffe FSP Freiburg Karlsruhe Stuttgart (bis inkl. Januar 2025)#A|A]] - [[Fachbegriffe FSP Freiburg Karlsruhe Stuttgart (bis inkl. Januar 2025)#B|B]] - [[Fachbegriffe FSP Freiburg Karlsruhe Stuttgart (bis inkl. Januar 2025)#C|C]] - [[Fachbegriffe FSP Freiburg Karlsruhe Stuttgart (bis inkl. Januar 2025)#D|D]] - [[Fachbegriffe FSP Freiburg Karlsruhe Stuttgart (bis inkl. Januar 2025)#E|E]] - [[Fachbegriffe FSP Freiburg Karlsruhe Stuttgart (bis inkl. Januar 2025)#F|F]] - [[Fachbegriffe FSP Freiburg Karlsruhe Stuttgart (bis inkl. Januar 2025)#G|G]] - [[Fachbegriffe FSP Freiburg Karlsruhe Stuttgart (bis inkl. Januar 2025)#H|H]] - [[Fachbegriffe FSP Freiburg Karlsruhe Stuttgart (bis inkl. Januar 2025)#I|I]] - [[Fachbegriffe FSP Freiburg Karlsruhe Stuttgart (bis inkl. 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Hirnnerv, r '''Abduktion''', e –– Abspreizung von Körperteilen, (Hin)Wegführung / Wegspreizen einer Extremität nach außen '''Ablatio mammae''', e –– Brustamputation '''Ablatio retinae''', e –– Netzhautablösung Ablation, e –– Entfernung von Körpergewebe bzw. Körperteilen abnorm (Adj./ Adv.) –– pathologisch, krankhaft '''Abort''', r –– Fehlgeburt, e Abortus completus, r –– vollständige Fehlgeburt, e '''Abortus imminens''', r –– drohende Fehlgeburt, e '''Abortus incipiens''', r –– beginnende Fehlgeburt, e '''Abszess''', r –– eitrige Geschwulst, Eiteransammlung in einem nicht vorbestehenden Hohlraum, r '''Abusus''', r –– Missbrauch (Noxen (Tabak, Alkohol, Drogen), Medikamente) Acetabulum, s –– Hüftpfanne, e '''Acidose''' siehe '''Azidose''' Achalasie, e –– Funktionsstörung der Speiseröhre (Erschlaffung der glatten Muskulatur) ACS, s –– Akutes Koronarsyndrom '''Adaptation''', e –– Anpassung '''adäquat''' (Adj./ Adv.) –– passend '''Adduktoren''', r –– anziehende Muskeln, Muskeln, die eine Extremität zur Körpermittellinie ziehen Adenom, s –– gutartige Geschwulst des Drüsengewebes oder der Schleimhaut '''Adenotomie''', e –– operative Entfernung der Rachenmandel '''Adhäsion''', e –– Verwachsung, Verklebung '''adipös''' (Adj./ Adv.) –– fettleibig '''Adipositas''', e –– Fettsucht, e, Fettleibigkeit, e '''Adnexe''' (Pl.), e –– Eierstock, r, und Eileiter, r '''Adnexitis''', e –– Entzündung der Eileiter und Eierstöcke '''Adoleszenz''', e -– Jugendalter, s adrenal (Adj./ Adv.) –– die Nebennieren betreffend '''Adrenalektomie''', e –– operative Entfernung der Nebenniere adult (Adj./ Adv.) –– Erwachsene betreffend '''Adventitia''', e –– äußere Schicht der Blutgefäßwand, e '''Adynamie''', e –– Antriebslosigkeit, e aerob (Adj./ Adv.) –– Sauerstoff (O2), r (+ Akk), benötigend '''Aerobier''', r –– von Sauerstoff abhängiger Mikroorganismus, sauerstoffabhängiger Organismus '''Aerosol''', s –– Inhalationsmittel, s afebril (Adj./ Adv.) –– ohne Fieber '''Affekt''', r –– starke, kurz andauernde Gemütsbewegung '''Agglutination''', e –– Verklumpung '''aggravieren''' (Verb) –– eine Krankheit übertrieben darstellen '''Aggregation''', e –– Zusammenlagerung Aglossie, e –– Fehlen, s der Zunge '''Agonie''', e –– Todeskampf, r '''Agranulozytose''', e –– Verminderung der Granulozyten [Pl.] AHB –– Anschlussheilbehandlung, Anschlussrehabilitation, "Reha" '''Akkommodation''', e –– Anpassung, Scharfeinstellung des Auges Akne rosacea, e –– Kupferrose, e '''Akren''' [Pl.] –– die äußersten Teile des Körpers '''Akromegalie''', e –– Vergrößerung der äußersten Körperteile Akromion, s –– Schulterdach, s '''akut''' (Adj./ Adv.) –– plötzlich auftretend akute Sinusitis, e –– akute Nasennebenhöhlenentzündung '''Albino''', s –– Lebewesen mit angeborenem Pigmentmangel '''Albumin''', s –– ein Eiweißstoff im Blut Algesie, e –– Schmerz, r Algurie, e –– Schmerzen beim Wasserlassen, s, schmerzhaftes Wasserlassen '''alkalisch''' (Adj./ Adv.) –– basisch, laugenhaft '''Alkalose''', e –– Basenüberschuss, r, Erhöhung des pH-Werts im Blut, krankhafte Anhäufung von Basen im Blut '''Allergen''', s –– Stoff, der eine Allergie hervorrufen kann '''Allergie''', e –– krankhafte Überempfindlichkeit (auf einen bestimmten Stoff) '''allergisch''' (Adj./ Adv.) –– krankhaft überempfindlich (auf einen bestimmten Stoff) allergische Rhinokonjunktivitis, e -- Heuschnupfen, r '''allergischer Schock''', r –– lebensbedrohliche, allergische Überreaktion, e '''Alopezie''', e –– Haarausfall, e ALS –– amyotrophe Lateralsklerose, e Alteration, e –– krankhafte Veränderung, krankhafte Abweichung Alternative, e –– andere Möglichkeit, Option '''Altinsulin''', s –– Normalinsulin (Insulin ohne verzögernde Zusätze) '''Alveolen''', e [Pl.] –– Lungenbläschen, s [Sing./ Pl.] '''Amaurose''', e –– totale Erblindung '''Amenorrhoe/ ö''', e –– Ausbleiben, s, der Regelblutung '''Amnesie''', e –– Erinnerungslücke, e, Gedächtnisverlust, r '''Amnioskopie''', e –– Fruchtwasserspiegelung Amputation, e –– Abtrennung von Gliedmaßen anaerob (Adj./ Adv.) –– ohne Sauerstoff, keinen Sauerstoff benötigend '''anal''' (Adj./ Adv.) –– den After betreffend Analabszess, r –– Eiteransammlung im/am After, s Analfissur, e –– Einriss der Haut des Afters '''Analgesie''', e –– Schmerzbekämpfung, Schmerzlosigkeit, e '''Analgetika''', e [Pl.] –– Schmerzmittel, e [Pl.] '''Analgetikum''', s [Sing.] –– Schmerzmittel, s [Sing.] '''analgetisch''' (Adj./ Adv.) –– schmerzstillend / schmerzlindernd '''analog''' (Adj./ Adv.) –– ähnlich Analprolaps, r –– Vorfall, r, der Haut des Afters, r Analpruritus, r –– Juckreiz am After, r '''Analsphinkter''', r –– Schließmuskel des Afters '''Anämie''', e –– Blutarmut, e '''anämisch''' (Adj./ Adv.) –– blutarm Anamnese, e –– Krankengeschichte, e '''anamnestisch''' (Adj./ Adv.) –– zur Vorgeschichte des/der Kranken gehörend '''anaphylaktischer Schock''', r –– schweres allergisches Kreislaufversagen, s, lebensbedrohliche, allergische Überreaktion des Kreislaufs Anarthrie, e –– Sprechstörung (schwerste Form, e) '''Anästhesie''', e –– Betäubung, Narkose, e '''Anastomose''', e –– Verbindung zwischen anatomischen Strukturen '''Anatomie''', e –– Lehre vom Bau des Körpers, vom Körperbau '''Androgene''' [Pl.] –– männliche Sexualhormone '''Aneurysma''', s –– Aussackung der Gefäßwand, e (Schlagader, e) Angina Pectoris, e –– Brustenge, e Angina tonsillaris, e –– Mandelentzündung '''Angiographie''', e –– die radiologische Darstellung der Gefäße '''Angiologie''', e –– Lehre von den Gefäßen '''angiologisch''' (Adj./ Adv.) –– die Blutgefäße betreffend Angiom, s –– Blutschwamm, r Angiopathie, e –– krankhafte Veränderung von Gefäßen [Pl.] '''Angulation''', e –– Winkelung '''Angulus''', r –– Winkel, r Anhidrose, e –– fehlende Schweißbildung, Schweißdrüsenfunktionsstörung Anisokorie, e –– Pupillendifferenz, e '''Anomalie''', e –– Entwicklungsstörung, Abweichung vom Normalen Anorexia, Inappetenz, e –– Appetitlosigkeit, e '''Anorexia nervosa''', e –– Magersucht, e Anosmie, e –– Verlust, r des Geruchssinns '''Antagonist''', r –– Gegenspieler, r, gegensätzlich wirkendes Organ oder Medikament, s '''Antazida, e [Pl.] –– Arzneimittel, e [Pl.] zur Neutralisation der Magensäure, Magensäurebinder, r '''Antazidum, s [Sing.] –– Arzneimittel, s [Sing.] zur Neutralisation der Magensäure, Magensäurebinder, r '''anterior''' (Adj./ Adv.) –– vordere/r, vorn(e) Anthelminthika, e [Pl.] –– Mittel, e [Pl.] gegen Würmer, Mittel, e [Pl.] zur Bekämpfung von Würmern Anthelminthikum, s [Sing.] –– Mittel, s [Sing.] gegen Würmer, Mittel, s [Sing.] zur Bekämpfung von Würmern Anthrax, r –– Milzbrand, r Anthropologie, e –– Menschenkunde, e '''Antiarrhythmika''', e [Pl.] –– Arzneimittel, e [Pl.] gegen Herzrhythmusstörungen '''Antiarrhythmikum''', s [Sing.] –– Arzneimittel, s [Sing.] gegen Herzrhythmusstörungen '''Antibiotika''', e [Pl.] –– Arzneimittel, e [Pl.] gegen Bakterien '''Antibiotikum''', s [Sing.] –– Arzneimittel, s [Sing.] gegen Bakterien '''Anticholinergika''', e [Pl.] –– Wirkstoffe, e, die die Wirkung von Acetylcholin unterdrückt, Medikament gegen Nervenreizübertragung '''Anticholinergikum''', s [Sing.] –– Wirkstoff, r, der die Wirkung von Acetylcholin unterdrückt, Medikament gegen Nervenreizübertragung '''Antidiabetika''', e [Pl.] –– Arzneimittel, e [Pl.] gegen Zuckerkrankheit '''Antidiabetikum''', s [Sing.] –– Arzneimittel, s [Sing.] gegen Zuckerkrankheit Antidot, s –– Gegenmittel, s, Gegengift, s '''Antiemetika''', e [Pl.] –– Arzneimittel, e [Pl.] gegen Erbrechen, Übelkeit und Brechreiz '''Antiemetikum''', s [Sing.] –– Arzneimittel, s [Sing.] gegen Erbrechen, Übelkeit und Brechreiz '''Antiepileptika''', e [Pl.], Antikonvulsiva, e [Pl.] –– Arzneimittel [Pl.] gegen epileptische Anfälle (Krampfleiden, Krampfanfälle ) '''Antiepileptikum''', s [Sing.], Antikonvulsivum, s [Sing.] –– Arzneimittel [Sing.] gegen epileptische Anfälle (Krampfleiden, Krampfanfälle ) Antigen, s –– Stoff, der die Bildung von Antikörpern bewirkt, Stoff, der das Immunsystem aktiviert '''Antihypertensiva''', e [Pl.] –– Arzneimittel, e [Pl.] gegen Bluthochdruck '''Antihypertensivum''', s [Sing.] –– Arzneimittel, s [Sing.] gegen Bluthochdruck Antikoagulation, e –– Blutverdünnung '''Antikonvulsiva''', e [Pl.] -- Arzneimittel, e [Pl.] gegen epileptische Anfälle, krampflösende Mittel '''Antikonvulsivum''', s [Sing.] -- Arzneimittel, s [Sing.] gegen epileptische Anfälle, krampflösended Mittel [Sing.] '''Antikörper''' [Pl.] –– Abwehrstoffe im Blut (gegen artfremde Eiweiße) '''Antimykotika''', e [Pl.] –– Mittel, e, [Pl.] gegen Pilzerkrankungen '''Antimykotikum''', s [Sing.] –– Mittel, s, [Sing.] gegen Pilzerkrankungen '''Antiphlogistika''', e [Pl.] –– Arzneimittel, e, [Pl.] gegen Entzündungen '''Antiphlogistikum''', s [Sing.] –– Arzneimittel, s, [Sing.] gegen Entzündungen '''antiphlogistisch''' (Adj./ Adv.) –– entzündungshemmend '''Antipyretika''', e [Pl.] –– fiebersenkende Mittel [Pl.] '''Antipyretikum''', s [Sing.] –– fiebersenkendes Mittel [Sing.] antipyretisch (Adj./ Adv.) –– fiebersenkend '''Antiseptika''', e [Pl.] –– keimtötende Mittel [Pl.] '''Antiseptikum''', s [Sing.] –– keimtötendes Mittel [Sing.] '''Antitussiva''', e [Pl] –– Arzneimittel, e [Pl.] gegen Husten '''Antitussivum''', s [Sing.] –– Arzneimittel, s [Sing.] gegen Husten '''Anurie''', e –– Harnproduktion unter (<) 100 ml pro Tag '''Anus''', r –– After, r '''Anus praeter''', r, '''Anus praeternaturalis''', r –– künstlicher Darmausgang, r '''Anxiolyse''', e –– Beseitigung nervöser Unruhe, e (durch Medikamente), medikamentöse Linderung von Nervosität '''Anxiolytika''', s [Pl.] –– angstlösende Mittel, s, Beruhigungsmittel, s [Pl.] '''Anxiolytikum''', s [Sing.] –– angstlösendes Mittel, s, Beruhigungsmittel, s [Sing.] Aorta, e –– Hauptschlagader, e '''Aortenaneurysma''', s –– Aussackung der Hauptschlagader, e '''Aortenklappeninsuffizienz''', e –– mangelhafte Schließfähigkeit, e, / Schließunfähigkeit, e, der Aortenklappe, e, des Herzens, s Aortenklappenstenose, e –– Einengung der Aortenklappe, e, Verengung '''Apathie''', e –– Teilnahmslosigkeit, e, Antriebslosigkeit, e '''apathogen''' (Adj./ Adv.) –– nicht krankmachend, keine Krankheit hervorrufend '''Apex cordis''', r –– Herzspitze, e '''Apgar-Schema'', s –– Schema zur Vitalitätsbeurteilung des Neugeborenen, s [Akronym: Atmung, Puls, Grundtonus, Aussehen, Reflexe, nach Virginia Apgar (1909-1974), Chirurgin und Anästhesistin] Aphagie, e –– Unvermögen, s, Unfähigkeit, e, zu schlucken '''Aphasie''', e –– Verlust des Sprechvermögens bei Gehirnstörung, Sprachverlust durch Störung des Sprachzentrums '''Aphthen''' [Pl.] –– Mundausschlag, r, schmerzhaftes Mundgeschwür, s '''Aphthoid''', s –– Mundfäule, e Apnoe, e –– Atemstillstand, r '''Apoplex''', r, '''apoplektischer Insult''', r –– Schlaganfall, r '''Appendektomie''', e –– Blinddarmentfernung, operative Entfernung des Wurmfortsatzes, r Appendix (vermiformis), r –– Wurmfortsatz, r, „Blinddarm", r '''Appendizitis''', e –– Entzündung des Wurmfortsatzes, Wurmfortsatzentzündung, Blinddarmentzündung '''applizieren''' (Verb) –– verabreichen Arrhythmie, e –– Herzrhythmusstörung art. Coxae, s –– Hüftgelenk, s art. Cubiti, s –– Ellenbogengelenk, s art. Genus, s –– Kniegelenk, s art. Glenohumerale, s –– Schultergelenk, s Arteria carotis, e –– Halsschlagader, e '''Arteria iliaca communis''', e –– gemeinsame Hüftschlagader, e, Beckenarterie, e '''Arteria poplitea''', e –– Kniekehlenschlagader, e '''Arteria pulmonalis''', e –– Lungenschlagader, e Arteria renalis, e –– Nierenarterie, e Arterie, e –– Schlagader, e arterielle Hypertonie, e –– Bluthochdruck, r '''Arteriosklerose''', e –– Gefäßverkalkung, Arterienverkalkung Arteritiis, e –– Entzündung der Arterie, e Arthralgie, e –– Gelenkschmerz, r '''Arthritis urica''', Hyperurikämie, e –– Gicht, e, akute Gelenkentzündung bei Gicht, e Arthrodese, e –– Gelenkversteifung Arthrose, e –– Gelenkverschleiß, r '''Arthroskopie''', e –– Gelenkspiegelung articularis (Adj./ Adv.) –– zum Gelenk gehörend ascendens (Adj./ Adv.) –– aufsteigend '''Asepsis''', e –– Keimfreiheit, e '''aseptisch''' (Adj./ Adv.) –– keimfrei Asomnie, e –– Schlaflosigkeit, e Asphyxie, e –– Erstickung Aspiration, e –– Ansaugen, s, Verschlucken, s ASR –– Achillessehnenreflex, r '''Asthma''', s –– Atemnoterkrankung, chronisch-entzündliche Erkrankung der Atemwege Astrozytom, s –– Gehirntumor, r Asystolie, e –– Herzstillstand, r aszendierend (Adj./ Adv.) –– aufsteigend '''Aszites''', e –– Bauchödem, s, Bauchwassersucht, e, Flüssigkeitsansammlung in der freien Bauchhöhle, e '''Ataxie''', e –– Störung der Bewegungskoordination, e '''Atelektase''', e –– Lungenkollaps, r, kollabierter Lungenabschnitt, r '''Ätiologie''', e –– Lehre von den Krankheitsursachen '''ätiologisch''' (Adj./ Adv.) –– die Krankheitsursachen betreffend Atresie, e –– fehlende natürliche Körperöffnung Atrium, s –– Herzvorhof, r Atrial Fibrillation, e –– Vorhofflimmern, s Atriumseptumdefekt, r –– Loch, s, in der Scheidewand zwischen den Vorhöfen des Herzen '''Atrophie''', e –– Gewebeschwund, r / Schwund, r AU –– Arbeitsunfähigkeit, e, Abdomenumfang, r '''Auricula''' auris, e –– Ohrmuschel, e '''aurikular''' (Adj./ Adv.) –– die Ohren betreffend, zum Ohr gehörig '''Auskultation''', e –– Untersuchung durch Abhorchen (Abhören) '''auskultatorisch''' (Adj./ Adv.) –– durch Abhorchen '''Axilla''', e –– Achselhöhle, -e axillär (Adj./ Adv.) –– die Achselhöhle betreffend / in der Achselhöhle AZ, r –– Allgemeinzustand, r '''Azidose''', e –– Übersäuerung des Blutes, Steigerung des Säuregehaltes im Blut = B = '''Bakteriämie''', e –– (Vorhandensein von) Bakterien im Blut '''Bakteriostase''', e –– Keimwachstumshemmung ohne Abtötung '''bakterizid''' (Adj./ Adv.) –– bakterientötend / keimtötend Balanitis, e –– Eichelentzündung, Vorhautentzündung Barotrauma, s –– Druckverletzung (aufgrund von Druckdifferenzen, z.B. beim Tauchen) '''Basaliom''', s –– weißer Hautkrebs, r, bösartiger Hauttumor, r basilar (Adj./ Adv.) –– grundlegend Beinödem, s –– Wassereinlagerung im Bein, s benigne (Adj./ Adv.) –– gutartig BGA –– Blutgasanalyse, e '''bilateral''' (Adj./ Adv.) –– beidseitig '''bimanuell''' (Adj./ Adv.) –– mit beiden Händen, an beiden Händen Biopsie, e –– Entnahme, e, und Untersuchung einer Gewebeprobe, e '''Bipolare Störung''' –– manisch-depressive Erkrankung '''Bluttransfusion''', e –– Blutübertragung '''Body-Mass-Index''', r (BMI) –– Körpermasseindex, r '''Brachialgie''', e –– Oberarmschmerzen, e [Pl.] Brachium, s –– Oberarm, r Bradykardie, e –– verlangsamter Herzschlag, r '''Bride''', e, intraabdominale Adhäsion, e –– Verwachsung '''Bronchiales Asthma''', s –– Atemnoterkrankung '''Bronchialkarzinom''', s –– Lungenkrebs, r '''Bronchialkonstriktion''', e –– Verengung der Luftwege in der Lunge '''Bronchiektase''', e –– krankhafte Erweiterung(en) der Bronchien Bronchitis, e –– Entzündung der Bronchien, Atemwegsentzündung '''Bronchoskopie''', e –– Atemwegsspiegelung, Lungenspiegelung '''Bronchospasmus''', r –– Bronchialkrampf, r BSG, e –– Blutsenkungsgeschwindigkeit, e Bulimia nervosa, e –– Ess-Brechsucht, e '''Bursa''', e –– Schleimbeutel, r, Beutel, r '''Bursitis''', e –– Schleimbeutelentzündung, e BWS, e –– Brustwirbelsäule, e BZ, r –– Blutzucker, r = C = C2 –– Alkohol, r, Ethanol, s '''Calcaneus''', r –– Fersenbein, s Calor, r –– Wärme, e, Hitze, e, Überwärmung '''Capitulum''', s –– Köpfchen, s (z. B. eines Knochens), Gelenkköpfchen, s '''Carcinoma in situ''', s –– Frühstadium eines Tumors ohne invasives Wachstum '''Cardia''', e –– Mageneingang, r cardiogen (Adj./ Adv.) –– vom Herz ausgehend, am Herzen entstehend Cardiomegalie, e –– Herzvergrößerung '''Carotisstenose''', e –– Verengung der Halsschlagader, e Cartilago, e –– Knorpel, r '''Cartilago thyroidea''', e –– Schilddrüsenknorpel, r '''Cava''', e, Cavum, s –– Hohlraum, r '''cave!''' –– 1) „Vorsicht!“, 2) „vermeide!“ Cavitas abdominalis, e –– Bauchhöhle, e Cavitas glenoidales scapulae, e –– Schultergelenkspfanne, e CED, e –– chronisch-entzündliche Darmerkrankung '''Cephalgie''', e –– Kopfschmerzen [Pl.] '''cerebral(is)''' (Adj./ Adv.) –– das Gehirn betreffend, zum Großhirn gehörig '''Cerebrum''', s –– das Großhirn, das Gehirn Cerumen, s –– Ohrenschmalz, r Cervix, e –– Gebärmutterhals, r Cheilitis angularis, e –– Einriss, r, des Mundwinkels, r, Mundwinkelrhagade, e '''Chemotherapie''', e –– medikamentöse Behandlung gegen Krebs, r Chiragra, e –– akuter Gichtanfall, r, der Hand- und Fingergelenke '''Chloasma''' (Melasma), Hyperpigmentierung –– brauner Hautfleck, r '''Cholangiom''', s –– Geschwulst, e, im Bereich der Gallenwege '''Cholangitis''', e –– Entzündung der Gallenwege Choledochusstenose, e –– Verrenkung des Hauptgallengangs, r Cholelithiasis, e –– Gallensteine [Pl.] '''Cholestase''', e –– Gallestauung Cholesterin, s –– Blutfette [Pl.] Cholezystitis, s –– Gallenblasenentzündung Chondritis, e –– Knorpelentzündung '''chronisch''' (Adj./ Adv.) –– langdauernd, lange dauern chronische Niereninsuffizienz, e –– chronisches Nierenversagen, s '''Claudicatio intermittens''', e –– Schaufensterkrankheit, e '''Clavicula''', e –– Schlüsselbein, s CLL –– Chronisch-lymphatische Leukämie, e '''Cochlea''', e –– Hörschnecke, e, Ohrschnecke, e '''Colitis''', e –– Dickdarmentzündung '''Colitis ulcerosa''', e –– chronische Entzündung des Dickdarms, r, mit Geschwürbildung Collum femoris, s –– Schenkelhals, r '''Colon''', s –– Grimmdarm, r, Dickdarm, r '''Colon irritabile''', s –– Reizdarmsyndrom (RDS), s '''Commissura''', e –– Weichteilverbindung '''Commotio cerebri''', e –– Gehirnerschütterung '''Compliance''', e –– Einhaltung der Therapie, Beachten der Therapievorgaben Compressio cerebri, e –– Gehirnquetschung Contusio cerebri, e –– Gehirnprellung COPD, chronisch-obstruktive pulmonale Dysfunktion –– chronische Verengung der Atemwege, „Raucherhusten" (ugs.), r Cor pulmonale, s –– Rechtsherzbelastung aufgrund von Drucksteigerung im Lungenkreislauf, r Cornea, e –– Hornhaut, e, des Auges Corpus lutem, s –– Gelbkörper, r Cortex, r –– Gehirnrinde, e Costae [Pl.] –– Rippen [Pl.] '''Coxa''', e –– Hüfte, e '''Coxa valga''' –– Fehlstellung des Oberschenkelhalses (mehr als 140°) '''Coxalgie''', e –– Hüftschmerz, r '''cranial''' (Adj./ Adv.) –– kopfwärts, in Richtung des Kopfes, zum Kopf gehörig '''Cranium''', s –– Schädel, r Crampus, r -- Wadenkrampf, r '''Cruralgie''', e –– Beinschmerzen [Pl.] '''Crusta''', e –– Kruste, e CTG –– Kardiotokographie '''Cutis''', e –– Haut, e = D = '''Defibrillation''', e –– Beseitigung von Herzrhythmusstörungen durch Elektroschocks, Wiederbelebung durch Elektroschocks, r '''Defibrillator''', r –– Schockgeber, r degenerativ (Adj./ Adv.) –– sich zurückbildend, abbauend '''Dehydratation''', e –– Austrocknung, Flüssigkeitsmangel, r '''Dekade''' –– zehn Stück, s, Zeitraum, r, von zehn Tagen, Wochen, Monaten oder Jahren '''Dekubitus''', e –– Druckgeschwür, s, Wundliegen, s delirant (Adj./ Adv.) –– verwirrt '''Delirium''', s –– Bewusstseinstrübung mit Verwirrtheit, e '''Delirium tremens''', s –– Alkoholdelir, r, Alkoholentzugsdelir, r '''Demenz''', e –– Verlust der geistigen Leistungsfähigkeit, e, erworbene Geistesschwäche, e '''Dens''', r –– Zahn, r '''depressiv''' (Adj./ Adv.) –– niedergeschlagen '''Dermatitis''', e –– Hautentzündung Dermatitis solaris, e –– Sonnenbrand, r Dermatologe, r –– Hautarzt, r '''Dermatose''', e –– Hautkrankheit '''Dermis''', e –– Lederhaut, e '''Descensus uteri''', r –– Gebärmuttersenkung '''Deviation''', e –– Abweichung dexter, dextra –– rechts, rechtsseitig (cave! =/= rechtzeitig ) diabetische Retinopathie, e –– Netzhauterkrankung aufgrund von Zuckerkrankheit, e Diagnose, e –– Krankheitsfeststellung '''Diagnosis ex juvantibus''' –– Diagnose, e, anhand eines Heilerfolgs, r/ Therapierfolgs, r '''Dialyse''', e –– Blutwäsche, e '''Diaphragma''', s –– Zwerchfell, s Diaphyse, e –– Knochenschaft, r '''Diarrhö''', e –– Durchfall, r digestiv (Adj./ Adv.) –– die Verdauung betreffend digitale Untersuchung –– Untersuchung mit dem Finger '''digital-rektale Untersuchung''' (DRU) –– Untersuchung des Afters mit dem Finger Dignität, e –– Wertigkeit im Hinblick auf die Bösartigkeit von Tumoren Diphterie, e –– ansteckende Infektionskrankheit des Halses (mit Mandel- und Kehlkopfschwellung) '''Diplopie''', e –– Doppelsehen, s Diskusprolaps, r –– Bandscheibenvorfall, r '''Dislokation''', e –– Verschiebung oder Verlagerung von Knochenbruchstücken '''Disposition''', e –– Anfälligkeit, e, Veranlagung für bestimmte Krankheiten distal (Adj./ Adv.) –– körperfern '''Distorsion''', e –– Zerrung, Verstauchung, Verdrehung '''Diurese''', e -- Harnproduktion und -ausscheidung, e '''Diuretika''', e [Pl.] –– harntreibende Arzneimittel [Pl.], Wassertabletten [Pl.] '''Diuretikum''', s [Sing.] –– harntreibendes Arzneimittel [Sing.], Wassertablette [Sing.] '''Divertikulitis''', e –– Entzündung von Ausstülpungen im Dickdarm, r '''dorsal''' (Adj. /Adv.) –– rückenseitig, rückenwärts '''Dorsum''', s –– Rücken, r '''Drainage''', e –– Ableitung von Flüssigkeit, Schlauch zur Ableitung von Wundsekret, Abfluss '''drainieren / dränieren''' (Verb) –– ableiten (z.B. von Wundflüssigkeit) Ductus, r –– Gang, r '''Ductus choledochus''', r –– Hauptgallengang, r '''Duodenalsonde''', e –– Zwölffingerdarmsonde, e Duodenoskopie (ÖGD), e –– Magenspiegelung Duodenum, s –– Zwölffingerdarm, r '''duplex''' (Adj./ Adv.) –– doppelt Duplexsonographie, e, farbkodierte –– Ultraschall, r, der Gefäße, s '''Dysarthrie''', e –– Sprachstörung Dysästhesie, e –– Missempfindung (bei leichter Berührung kommt es zur Auslösung eines Schmerzes oder unangenehmen Gefühls) Dyskrinie, e –– abnormale Produktion eines Drüsensekrets (Menge, Beschaffenheit) Dyslexie, e –– Lesestörung '''Dysmenorrhoe / ö''', e –– schmerzhafte Regelblutung Dyspareunie, e –– schmerzhafter Geschlechtsverkehr, r Dyspepsie, e –– Verdauungsstörung Dysphagie, e –– Schluckstörung aufgrund eines Hindernisses im Hals =/= Odynophagie '''Dysphonie''', e –– Heiserkeit, e, Stimmstörung, e '''Dyspnoe''', e –– Atemnot, e '''Dysurie''', e –– schmerzhaftes Wasserlassen = E = EEG, s –– Elektroenzephalographie, e, Aufzeichnung der Hirnströme, r '''Ejakulation''', e –– Samenerguss, r '''Ektropionieren''', s –– Untersuchung der Innenseite des Augenlids, allg.: Ausstülpen, s, einer Struktur, e (z. B. eines Augenlids oder einer Schleimhaut) '''Ekzem''', s –– Hautentzündung, Juckflechte, entzündlicher Hautausschlag '''Elektrokardiogramm''' (EKG), s –– Aufzeichnung der Herzmuskelströme, Messung der elektrischen Herzaktivität Elevation, e –– Anheben, s, (des Armes) '''Embolie''', e –– Gefäßverschluss durch Blutgerinnsel von einem anderen Ort '''Embolus''', r –– Gefäßpfropf, r '''Emesis''', e –– Erbrechen, s Emphysem, s –– Überblähung der Lunge, e '''Empyem''', a –– Eiteransammlung in einer Körperhöhle, e Endokard, s –– Herzinnenhaut, e '''Endokarditis''', e –– Entzündung der Herzinnenhaut, e '''Endometrium''', s –– Gebärmutterschleimhaut, e Endophthalmus, r –– Einsinken des Augapfels in die Augenhöhle, e Endoprothese, e –– künstliches Gelenk, s, künstlicher Gelenkersatz, r '''endotracheal''' (Adj./ Adv.) –– in die Luftröhre, in(nerhalb) der Luftröhre Enteritis, e –– Darmentzündung '''Enuresis''' nocturna, e –– (nächtliches) Bettnässen, Einnässen Enzephalomyelitis, e –– Entzündung von Gehirn, s, und Rückenmark, s Enzephalomyelitis disseminata (ED), e –– Multiple Sklerose, e Enzephalopathie, e –– krankhafte Veränderung des Gehirns, s '''Epididymistorsion''', e –– Nebenhodenverdrehung '''Epididymitis''', e –– Nebenhodenentzündung epidurale Anästhesie, e –– Spritze in den Rückenmarksraum, r '''epigastrisch''' (Adj./ Adv.) –– den Oberbauch betreffend, r Epigastrium, s –– Bereich, r, zwischen Rippenbogen, r, und Bauchnabel, r '''Epiglottis''', e –– Kehldeckel, r Epiglottitis, e –– Kehldeckelentzündung Epilepsie, e –– Krampfleiden, s, Krampfanfall, r (obsolet: Fallsucht, e) Epinephron, s, Glandula suprarenalis, e –– Nebenniere, e Epiphora, e –– tränendes Auge, s, Tränenfluss, r Epiphyse, e –– Knochenendstück, s '''Episiotomie''', e –– Dammschnitt, r (zw. Scheide und Anus) '''Epistaxis''', e –– Nasenbluten, s ERCP –– Endoskopisch-retrograde Cholangiopankreatikographie Ergometrie, e –– Belastungs-EKG, s Erysipel, e –– Wundrose, e Erythem, e –– Hautrötung, e Erythrozyten [Pl.] –– rote Blutkörperchen [Pl.] Exanthem, s –– Hautausschlag, r '''Exartikulation''', e –– operative Entfernung eines Gliedes, s, im Gelenk, s '''Exazerbation''', e –– Verschlimmerung einer Krankheit, e exazerbiert (Adj./ Adv.) –– verschlimmert Exkoriation, e –– Abschürfung '''Exophthalmus''', r –– krankhaftes Vortreten, s, des Augapfels, r '''Exostose''', e –– Knochenauswuchs, r '''Expektorantien''' [Pl.] –– auswurffördernde Mittel [Pl.] '''Expektorantium''' [Sing.] –– auswurfförderndes Mittel [Sing.] '''exsikkiert''' (Adj./ Adv.) –– ausgetrocknet '''Exsikkose''', e –– Austrocknung Exstirpation, e, Ektomie, e –– vollständige Entfernung von Organen, s Extension, e –– Streckung extra (Adv.) –– außerhalb Extraktion, e –– Entfernung Extrasystole, e –– Extraschlag, r, zusätzliche Herzschläge [Pl.], Herzstolpern, s Extrauteringravidität, e, extrauterine Gravidität, e –– Bauchhöhlenschwangerschaft, e = F = '''Facies''', e –– Gesicht, s '''Falx cerebri''', e –– größte Verdoppelung der Hirnhaut, e '''Fascia lata''', e –– Bindegewebshülle, e, am Oberschenkel, r '''Faszie''', e –– Bindegewebshülle, e Faszikel, e –– (Nervenfaser-) Bündel, s Fatigue (franz.), e –– chronische Müdigkeit, e '''Fazialis''', r –– Gesichtsnerv, r Feinnadelbiopsie, e –– Punktion, e, für Abstrich, r, Gewebeprobenentnahme, e '''Femur''', r –– Oberschenkelknochen, r '''Femurfraktur''', r –– Oberschenkelknochenbruch, r '''Fibromyalgie''', e –– chronische Erkrankung mit Muskel- und Sehnenschmerzen '''Fibrose''', e –– Gewebsverhärtung, Vermehrung von Bindegewebe, s '''Fibula''', e –– Wadenbein, s '''Fissur''', e –– Riss, r '''Flatulenz, Meteorismus''', e –– Blähsucht, Blähungen '''Flexion''', e –– Beugung, e '''Flexur''', e –– Biegung, e '''fluktuierend''' (Adj./Adv.) –– wechselnd, schwankend, Flüssigkeiten: hin und her schwappend Foeter ex ore, r, Halitosis, e –– Mundgeruch, r '''Follikulitis''', e –– Haarbalgentzündung Foramen, s –– Loch, s '''Foramen magnum''', s –– Hinterhauptsloch, s '''Fornix cerebri''', s –– Struktur, e, des Limbischen Systems, s, im Großhirn, s '''Fragment''', s –– Bruchstück, s (z. B. Knochenbruchstück, s) '''Fraktur''', e –– Knochenbruch, r '''frontal''' (Adj./Adv.) –– an der Stirn / stirnseitig '''Fundus oculi''', r -– Augenhintergrund,r Funiculus umbilicalis, r -– Nabelschnur, e = G = Galaktorrhoe, e –– Milchfluss, r Gallensteinileus, r –– Darmverschluss, r, aufgrund von Gallenstein, r '''Gangrän''', e –– Gewebsnekrose, e, Zerfall, r, des Gewebes, s, abgestorbene Körperteile, Sonderform, e, der Koagulationsnekrose, e '''gastral''' (Adj./Adv.) –– den Magen betreffend Gastrektasie, e –– Magenerweiterung '''Gastrektomie''', e –– operative Entfernung des Magens, r Gastritis, e –– Magenschleimhautentzündung, e gastroenterologisch (Adj./Adv.) –– Magen, r, und Darm, r, betreffend gastroösophageale Refluxkrankheit, e –– gesteigerter Rückfluss, r, von Magensäure, e, in die Speiseröhre, e '''Gastroskopie''', e –– Magenspiegelung, e '''Gastrostomie''', e –– Anlegung eines Magenschlauches, r, zur künstlichen Ernährung GCS, e (Glasgow Coma Scale) –– Glasgow Koma Skala, e Gefäß, s (Arterie/Vene) –– Ader, e '''Genese''', e –– Entstehung Genetik, e –– Vererbungslehre, e '''genetisch''' (Adj./Adv.) –– erblich (bedingt) '''Genitalien''' [Pl.] – Geschlechtsorgane [Pl.] '''Genom''', s –– Erbgut, s '''Genum''', s –– Knie, s '''Genum valgum''', s –– X-Bein, s Genum varus, e –– O-Bein, s '''Geriatrie''', e –– Altersmedizin, e '''Germinom''', s –– Keimzelltumor, r, bösartiges Tumor, r, des Gehirns, s Gestagen, s –– Gelbkörperhormon, s '''Gibbus''', r (Hyperkyphose), e –– Buckel, r, Spitzbuckel, r '''Gingiva''', e –– Zahnfleisch, s '''Glandula''', e –– Drüse, e '''Glandula lacrimalis''', e –– Tränendrüse, e '''Glandula parotidea/parotis''', e –– Ohrspeicheldrüse, e Glandula salivatoria, e –– Speicheldrüse, e Glandula suprarenale, e –– Nebenniere, e '''Glandula thyroidea''', e –– Schilddrüse, e '''Glaukom''', s –– grüner Star, r Globusgefühl, s –– Fremdkörpergefühl, s, im Rachen, r '''Gonade''', e –– Geschlechtsdrüse, e (Eierstöcke und Hoden) '''Gonarthrose''', e –– Kniegelenkverschleiß, r, Arthrose, e, des Kniegelenks, s '''Gonorrhoe''', e –– Tripper, r '''Grand mal''', r [Frz.] –– großer epileptischer Anfall, r Granulozyt, r –– Art von weißen Blutkörperchen '''Gravidität''', e –– Schwangerschaft, e '''grippaler Infekt''', r –– Erkältung Grünholzfraktur, e –– Fraktur, e mit intakter Knochenhaut, e Gynäkologie, e –– Frauenheilkunde, e Gynäkomastie, e –– Vergrößerung der Brustdrüse, e, beim Mann, r = H = '''habituelle Luxation''', e –– ständig vorkommende Ausrenkung Halitosis, e –– Mundgeruch, r '''Hallux valgus''', r –– Großzeh-Fehlstellung, -Schiefstand (bei dem dieser in Richtung der kleinen Zehen abweicht) '''Halluzination''', e –– Sinnestäuschung Hämangiom, s –– Blutschwamm, r Hämarthrose, e –– Blutansammlung im Gelenk, s '''Hämatemesis''', e –– Bluterbrechen, s, Erbrechen von Blut '''Hämatochezie''', e –– Blut, s, im Stuhl, r '''Hämatokolpos''', r –– Blutansammlung in der Scheide, e Hämatom, s –– Bluterguss, r Hämatoperikard, s –– Blutansammlung im Herzbeutel, r Hämatothorax, r –– Blutansammlung zwischen Lunge, e und Rippenfell, s (Pleuraspalt, r) '''Hämaturie''', e –– Blut, s, im Urin, r Hämoglobin, s –– roter Blutfarbstoff, r Hämoglobinurie, e, [s.a. Mikro/Makrohämaturie, e] –– Blutfarbstoff, r im Urin, r Hämophilie, e –– Blut(er)krankheit, e Hämoptoe, e –– Bluthusten, r '''Hämorrhagie''', e –– Blutung Hämorrhagischer Insult, r –– Hirnblutung nach Schlaganfall, r Harninkontinenz, e –– Blasenschwäche, e Hautabszess, r –– Eiteransammlung in der Haut, e HCT, s –– Hydrochlorothiazid, s Hemianopsie, e –– halbseitiger Gesichtsfeldausfall, r '''Hemikolektomie''', e –– operative Entfernung einer Dickdarmhälfte, e '''Hemiparese''', e –– unvollständige Lähmung einer Körperhälfte, unvollständige halbseitige Lähmung '''Hemiplegie''', e –– vollständige Lähmung einer Körperhälfte, vollständige halbseitige Lähmung '''Hepar''', s –– Leber, e '''Hepatitis''', e –– Leberentzündung Hepatojugulärer Reflux, r –– Halsvenenstauung '''Hepatomegalie''', e –– Lebervergrößerung '''Hepatopathie''', e –– Lebererkrankung '''hereditär''' (Adj./ Adv.) –– erblich '''Heredität''', e –– Erblichkeit, e '''Hernia inguinalis''', e –– Leistenbruch, r '''Hernia umbilicalis''', e –– Nabelbruch, r '''Hernie''', e –– Eingeweide(-Bruch), r Herpes Zoster, r –– Gürtelrose, e '''Herzinfarkt''', r –– Absterben, s, von Teilen, r, des Herzmuskels, r Herzinsuffizienz, e –– Herzschwäche, e Hiatushernie, e –– Zwerchfellbruch, r Hirninfarkt, r, Apoplex, r –– Schlaganfall, r, Absterben, s, von Hirngewebe, s Hirnödem, e –– Flüssigkeitseinlagerung im Gehirn, s Hirsutismus, r –– vermehrte Behaarung HKT, Hkt, r –– Hämatokrit, r '''Hodentorsion''', e –– Hodenverdrehung Hordeolum, s –– Gerstenkorn, s (akute Entzündung des Augenlids, s) H-TEP, e –– Hüftgelenk-Totalendoprothese, Totalendoprothese des Hüftgelenks '''Humerus''', r –– Oberarmknochen, r '''Humerusfraktur''', e –– Knochenbruch, r, des Oberarmknochens, r, Oberarmbruch HWI, r –– Hinterwandinfarkt, r // Harnwegsinfekt, r Hydronephrose, e –– Wassersackniere, e, Harnstauungniere, e '''Hydrops''', r –– Flüssigkeitsansammlung in einer Körperhöhle, e Hydroureter, r –– Harnleitererweiterung (durch Harnrückstau, r) Hydrozele, e –– Wasserbruch, r, Flüssigkeitsansammlung im Hodensack, r '''Hydrozephalus''', r –– Wasserkopf, r '''Hygiene''', e –– Gesundheitslehre, e Hymen, e –– Jungfernhaut, e, Jungfernhäutchen, s Hypakusis, e –– Schwerhörigkeit, e, Hörminderung '''Hypalgesie''', e –– verminderte Schmerzempfindlichkeit, e Hypästhesie, e –– Taubheitsgefühl, s hyper- (Vorsilbe) –– erhöht Hyperästhesie, e –– Überempfindlichkeit, e, für Berührungsreize [Pl.] '''Hypercholesterinämie''', e [Sing.] –– erhöhte Blutfettwerte [Pl.] '''Hyperemesis''', e –– starkes Erbrechen, s '''Hyperemesis gravidarum''', e –– unstillbares, starkes Erbrechen, s, in der Schwangerschaft, e Schwangerschaftserbrechen, s Hyperglykämie, e –– Überzuckerung, erhöhte Blutzuckerwerte '''Hyperhidrose''', e –– krankhaft übermäßiges Schwitzen, s '''Hyperkaliämie''', e –– erhöhter Kaliumgehalt, r, des Blutes, s '''Hyperkapnie''', e –– übermäßiger Kohlensäuregehalt, r, des Blutes, s '''Hyperkeratose''', e –– Verdickung der Hornschicht, e, der Haut, e Hyperkyphose, e, (Gibbus, r) –– Buckel, r, Spitzbuckel, r '''Hyperopie''', e –– Weitsichtigkeit, e '''Hyperparathyreoidismus''', r –– Überfunktion der Nebenschilddrüsen [Pl.], Nebenschilddrüsenüberfunktion, e Hyperthermie, e –– unphysiologische Überwärmung des Organismus, r '''Hyperthyreose''', e –– Überfunktion der Schilddrüse, e Hyperurikämie, e –– erhöhte Harnsäurewerte im Blut (oft bei Gicht) Hyperventilation, e –– übermäßige schnelle Atmung '''Hyperventilationstetanie''', e –– schnelle und flache Atmung mit Muskelkrämpfen [Pl.] '''hyperventilieren''' –– schnell und flach atmen hypo- (Vorsilbe) –– vermindert Hypoglykämie, e –– Unterzuckerung '''Hypophyse''', e –– Hirnanhangsdrüse, e '''Hyposensibilisierung''', e –– durch Allergieimpfung weniger sensibel machen '''Hyposensibilität''', e –– verminderte Empfindlichkeit, e Hyposomnie, e –– Schlafmangel, r Hypothermie, e –– Unterkühlung '''Hypothyreose''', e –– Unterfunktion der Schilddrüse, e hypovolämischer Schock, r –– Volumenmangelschock, r Hypoxie, e –– Sauerstoffmangel, r, Verminderung von Sauerstoff im Körper, r '''Hysterektomie''', e –– operative Entfernung der Gebärmutter, operative Gebärmutterentfernung, „Total-OP" (ugs.), e = I = '''iatrogen''' (Adj./Adv.) –– durch ärztliche Maßnahmen [Pl.] verursacht intramuskulär (Adj./Adv.), '''i.m.''' –– in den Muskel, r '''Ichthyosis, e –– Fischschuppenkrankheit, e '''Ikterus''', r, Hepatitis A/ B, e –– Gelbsucht, e Ileostoma, s –– künstlicher Darmausgang, r Ileum, s –– Krummdarm, r '''Ileus''', r –– Darmverschluss, r '''imperative Miktion''', e –– Harndrang, r in vitro Fertilisation, e –– künstliche Befruchtung Inappetenz, e –– Appetitlosigkeit, e '''incompliance''' (Engl.) –– Nichtbeachtung (einer Therapie) '''incompliant''' (Engl.) (Adj./Adv.) –– nicht beachtend Index, r –– Zeigefinger, r indolent (Adj./Adv.) –– schmerzlos '''Indolenz''', e –– Schmerzlosigkeit, e, Unempfindlichkeit, e, gegenüber Schmerzen [Pl.] '''Induration''', e –– Verhärtung, Verdickung von Gewebe, s '''infaust''' (Adj./Adv.) –– hoffnungslos, mit ungünstiger Vorhersage, e, (Prognose, e), mit einem schlechten Verlauf, r Infekt, r –– Erkältung infektiös (Adj./Adv.) –– ansteckend, übertragbar infertil (Adj./Adv.) –– unfruchtbar Infertilität, e –– Unfruchtbarkeit, e Inflammation, e –– Entzündung '''Influenza''', e –– Grippe, e inframandibular (Adj./Adv.) –– unterhalb des Unterkiefers, r '''Infusion''', e –– Flüssigkeitsgabe, e, in die Vene, e Inguinalhernie, e –– Leistenbruch, r '''Inhalation''', e –– Einatmung von Heilmitteln [Pl.] (in Form von Dämpfen) '''Inhaler''', r [Engl.] –– Inhalationsapparat, r, Inhalationsgerät, s '''inhalieren''' (Verb) –– einatmen Injektion, e –– Einspritzung in eine Ader, e, oder ins Gewebe, s '''Inkarzeration''', e –– Einklemmung eines Eingeweidebruchs, r '''inkontinent''' (Adj./Adv.) –– unfähig, Harn oder Stihl zurückzuhalten '''Inkontinenz''', e –– Unfähigkeit, e, Harn, r, oder Stuhl, r, zurückzuhalten Inoperabilität, e –– Unmöglichkeit, e, eine OP durchzuführen Insomnie, e –– Schlafstörung (Einschlafstörung, Durchschlafstörung) inspiratorisch (Adj./Adv.) –– bei der Einatmung '''Insult''', r –– Anfall, r, Schlaganfall, r '''intercostal''' (Adj./Adv.) –– zwischen den Rippen [Pl.] Interkostalfraktur, e -- Rippenbruch, r '''Interkostalneuralgie''', e –– Schmerzen im Bereich, r, der Zwischenrippennerven [Pl.] '''intermittierend''' (Adj./Adv.) –– zeitweise (aussetzend), kommt und geht '''Interruptio''', e –– Schwangerschaftsabbruch, r intervertebral (Adj./Adv.) –– zwischen den Wirbeln [Pl.] Intestinum tenue, s –– Dünndarm, r Intima, e –– Gefäßinnenschicht, e '''Intoxikation''', e –– Vergiftung intra- (Vorsilbe) –– innerhalb '''intraabdominelle Gravidität''' –– Bauchhöhlenschwangerschaft intrakraniell (Adj./Adv.) –– innerhalb des Schädels intrakutan, perkutan (Adj./Adv.) –– durch die Haut '''intramuskulär''' (Adj./Adv.) –– im Muskel, r intramuskuläre Injektion, e, i.m. –– Einspritzung, „Spritze", e, in den Skelettmuskel, r '''intraokular''' (Adj./Adv.) –– innerhalb des Auges, s intravenös Injektion, e, i.v. –– Einspritzung in eine Ader, e, oder Vene, e intravenös, intravasal (Adj./Adv.) –– in eine Vene, e, hinein '''intrazerebrale Blutung''', e –– Gehirnblutung '''Intubation''', e –– Einführung eines Beatmungsschlauchs, r, einer Sonde, e, in die Luftröhre, e invasiv (Adj./Adv.) –– eindringend '''Inzidenz''', e –– Häufigkeit, e, der Neuerkrankungen [Pl.] '''Inzision''', e –– Einschnitt, r Iris, e –– Regenbogenhaut, e '''irreversibel''' (Adj./Adv.) –– nicht umkehrbar '''Irritabile Bowel Syndrom''' (IBS), s –– Reizdarmsyndrom, s (RDS) '''Ischämie''', e –– Minderdurchblutung, Mangeldurchblutung '''Ischialgie''', e (ugs. '''Ischias''', r) –– Schmerzen im Bereich des Ischiasnervs, Schmerzen im unteren Rücken oder Gesäß ITN, e –– Intubationsnarkose, e = J = '''Jejunitis''', e –– Entzündung des Leerdarms, r Jejunum, s –– Leerdarm, r '''juvenil''' (Adj./Adv.) –– jugendlich = K = '''kachektisch''' (Adj./Adv.) –– abgemagert / ausgezehrt '''Kachexie''', e –– Auszehrung, starke Abmagerung mit Kräfteverfall, r Kalkaneusfraktur, e –– Fersenbeinbruch, r Kallus, r –– Narbengewebe, s, des Knochens, r Kapillar, s –– Haargefäß, s, kleinstes Blutgefäß, s Karbunkel, r –– Haarbalgentzündung '''kardial''' (Adj./Adv.) –– das Herz betreffend '''kardinal''' (Adj./Adv.) –– hauptsächlich Kardia, e –– Herz, s '''kardio-''' (Vorsilbe) –– auf das Herz bezogen, das Herz betreffend '''kardiogen''' (Adj./Adv.) –– vom Herzen ausgehend '''Kardiomegalie''', e –– Herzvergrößerung Kardiomyopathie, e –– Herzmuskelschwäche, e kardiotoxisch (Adj./Adv.) –– herzschädigend, herzschädigende Wirkung einer Substanz, e '''Karenz''', e, Abstinenz, e –– Verzicht auf, r, Meiden von, s Karies, e –– Zahnfäule, e Karotis (Arteria carotis), e –– Halsschlagader, e '''Karotisstenose''', e –– Verengung der Halsschlagader, e Karzinom, s –– bösartiger Tumor, r, Krebsgeschwulst, e '''Katarakt''', r –– grauer Star, r '''kaudal''' (Adj./Adv.) –– in Richtung des Steißbeins (Os coccygis), s, steißwärts kausal (Adj./Adv.) –– ursächlich '''Keratitis''', e –– Hornhautentzündung KHK, e –– koronare Herzkrankheit Klavikula, e –– Schlüsselbein, s '''Klistier''' (Klysma), s –– Einlauf, r (Einlaufmittel, s), Darm-Einlauf, s KM –– Kontrastmittel, s, Knochenmark, s '''Koagulation''', e –– Blutgerinnung '''Kolektomie''', e –– operative Dickdarmentfernung Kolik, e –– krampfartige und wellenförmige Schmerzen '''Kolon''', s –– Grimmdarm, r, Dickdarm, r '''Koloskopie''', e –– Darmspiegelung, Dickdarmspiegelung '''Kolpitis''', e –– Scheidenentzündung Komorbidität, e –– Begleiterkrankung Konfusion, e –– Verwirrung, e, Verwirrtheit, e '''kongenital''' (Adj./Adv.) –– angeboren '''Konjunktivitis''', e –– Bindehautentzündung Konkrement, s –– Stein, r (z.B. in der Gallenblase, e) '''kontagiös''' (Adj./Adv.) –– ansteckend Kontagiosität, e –– Ansteckungskraft, e, Übertragbarkeit, e '''Kontamination''', e –– Verunreinigung (durch Mikroorganismen [Pl.]) Kontraindikation, e –– Gegenanzeige, e '''Kontraktur''', e –– Gelenksteife, e (infolge einer Verkürzung der Muskeln [Pl.] und Sehnen [Pl.]) Kontrazeptivum, s –– Verhütungsmittel, s, Pille, e [TM] '''Kontusion''', e –– Prellung Kornea, e –– Hornhaut Koronarangiographie, e –– Darstellung der Herzkranzgefäße [Pl.] Koronararterie, e –– Herzkranzgefäß, s '''Koronararterienstenose''', e –– Gefäßverengung der Herzkranzgefäße [Pl.] '''Koxalgie''', e –– Hüftschmerz, r Koxarthrose, e –– Arthrose, e, des Hüftgelenks, s '''kranial''' (Adj./Adv.) –– zum Kopf gehörig, kopfwärts, in Richtung des Kopfes '''Kropf''', r (ugs.) –– Schilddrüsenvergrößerung '''Kryochirurgie''', e –– Kältechirurgie, e K-TEP, e –– Kniegelenkstotalendoprothese, -e '''kurativ''' (Adj./ Adv.) –– heilend = L = Laparoskopie, e –– Bauchspiegelung '''Laryngitis''', e –– Kehlkopfentzündung '''Larynx''', e –– Kehlkopf, r Larynxödem, s –– Kehlkopfschwellung '''Läsion''', e –– Verletzung; Schädigung lateral (Adj./Adv.) –– seitlich, an der Seite Laxantien [Pl.] –– Abführmittel, e [Pl.] '''Laxativum''' [Sing.] –– Abführmittel, s [Sing.] '''Leberzirrhose''', e –– Verhärtung des Lebergewebes, s, „Schrumpfleber", e, Leberschrumpfung Leistenhernie, e –– Leistenbruch, r '''letal''' (Adj./Adv.) –– tödlich '''Letalität''', e –– Tödlichkeit, e, einer Erkrankung '''Leukämie''', e –– Blutkrebs, r '''Leukozyten''' [Pl.] –– weiße Blutkörperchen [Pl.] Leukozytopenie/ Leukopenie, e –– verminderte Anzahl, e, von weißen Blutkörperchen [Pl.] '''Ligament(um)''', s –– Band, s Ligamentum cruciatum anterior/posterior, s –– vorderes/hinteres Kreuzband, s Ligatur, e –– Unterbindung '''Linea anocutanea''', e –– untere Grenze, e, des Analkanals, r '''Lipidose''', e –– Störung des Fettstoffwechsels, r '''Lipom''', s –– gutartige Fettgeschwulst, e '''liquid(e)''' (Adj./Adv.) –– flüssig '''Liquor''' cerebrospinale, r –– Gehirn-/ Rückenmarksflüssigkeit, e '''Livor(es)''', r –– rotblauer Fleck, e, Leichenflecken [Pl.]/ Totenfleck, r '''Lobektomie''', e –– operative Entfernung eines Organlappens, r (z.B. Lungenlappen, r) '''Lobulus''', r –– kleiner Lappen, r (Teil eines Organs oder einer Drüse) '''Lobus''', r –– Lappen, r (z.B. Lungenlappen) '''Logopädie''', e –– Sprachtherapie, e '''Lokalanästhesie''', e –– örtliche Betäubung Lues (venerea), e –– Syphilis, e (sexuell übertragbare Infektion) '''Lumbago''', r, Lumbalgie, e –– Hexenschuss, r Lumbalpunktion, e –– Entnahme, e, von Rückenmarksflüssigkeit, e, mittels Nadel, e '''Lumboischialgie''', e –– Rückenschmerzen [Pl.] mit Ursprung, r, in der Lendenwirbelsäule, e '''Lungenatelektase''', e –– kollabierter Lungenabschnitt, r '''Lungenembolie''', e –– Verschluss, r, einer (oder mehrerer) Lungenarterien [Pl.] durch ein verschlepptes Blutgerinnsel, s Luxation, e –– Verrenkung, Ausrenkung, Auskugelung Lymphadenitis, e –– Lymphknotenentzündung Lymphadenopathie, e –– Erkrankung der Lymphknoten [Pl.] Lymphangitis, e –– Lymphgefäßentzündung '''Lymphödem''', s –– Verdickung (Schwellung) der Haut, e, infolge von Lymphstauungen [Pl.] '''Lymphom''', s –– Lymphdrüsenkrebs, r, Lymphknotengeschwulst, e = M = Magnetresonanztomografie (MRT), e –– Kernspintomographie, die '''Makroglossie''', e –– Vergrößerung der Zunge Makrohämaturie, e –– mit bloßem Auge, s, sichtbares Blut, s, (rote Blutkörperchen [Pl.]) im Urin, r makroskopisch (Adj./Adv.) –– mit bloßem Auge sichtbar '''Makula''', e –– gelber Fleck, r '''maligne''' (Adj./Adv.) –– bösartig '''Malignom''', s –– bösartige Geschwulst, e (Tumor, r) Malleolus lateralis, r –– Außenknöchel, r '''Malleolus medialis''', r –– Innenknöchel, r '''Malrotation''', e –– gestörte Darmdrehung Mamma, e –– Brustdrüse, e, Brust, e Mammaablation, e –– Entfernung der Brustdrüse, e Mammakarzinom, e –– Brustkrebs, r '''Mandibula''', e –– Unterkiefer, r Manometer, s –– Druckmessgerät, s Manometrie, e –– Diagnostik, e, der Motilitätsstörung '''Mastektomie''', e –– Brustamputation '''Mastitis''', e –– Entzündung der weiblichen Brust, e '''Maxilla''', e –– Oberkiefer, r Meatus acusticus externus, r –– äußerer Gehörgang, r '''Meckel-Divertikel''', s –– Ausstülpung des Dünndarms, r (Leerdarms, r, oder Krummdarms, r) '''medial''' (Adj./Adv.) –– zur Körpermitte gerichtet, zur Mitte hin '''Medulla oblongata''', e –– verlängertes Mark, s Medulla renalis, e –– Nierenmark, s Medulla spinalis, e –– Rückenmark, s Mekonium, s –– erster Stuhl, r, eines Neugeborenen, s '''Meläna''', e –– Teerstuhl, r (durch Blut, s, schwarz gefärbter Stuhl, r) Melanom, s –– schwarzer Hautkrebs, r Membrana tympani, e –– Trommelfell, s '''Menarche''', e –– erste Regelblutung Mendelson-Syndrom, s –– Lungenentzündung infolge Erbrechen, s, Aspirationspneumonie, e, nach Aspiration, e, von Magensaft, r Meningen [Pl.] –– Hirnhäute [Pl.] '''Meningitis''', e –– Hirnhautentzündung, e '''Menopause''', e –– Aufhören, s, der Regelblutung in den Wechseljahren [Pl.] / Wechseljahre [Pl.] '''Menstruation''', e –– Regelblutung '''metabolisch''' (Adj./Adv.) –– stoffwechselbedingt '''Metabolismus''', r –– Stoffwechsel, r Metastase, e –– Tochtergeschwulst, e, eines Tumors, r '''Meteorismus''', r, Flatulenz, e –– übermäßige Gasansammlung im Darm, r / Blähsucht, e / Blähungen [Pl.] '''Metrorrhagie''', e –– Zwischenblutung / Blutung außerhalb des Menstruationszyklus, r Mikrohämaturie, e –– mit bloßem Auge, s, nicht sichtbares Blut, s (rote Blutkörperchen [Pl.]) im Urin, r Miktion, e –– Wasserlassen, s Miosis, e –– Pupillenverengung Mitralstenose, e –– Verengung der Mitralklappe, e / der Herzklappe, e MMR, e –– Impfung gegen Masern [Pl.], Mumps, r, und Röteln [Pl.] '''Monoarthritis''', e –– Entzündung eines einzelnen Gelenks, s Mononucleosis infectiosa, e –– Pfeiffer-Drüsenfieber, s / Pfeiffersches Drüsenfieber, s Monoplegie, e –– Lähmung einer Extremität, e '''Morbidität''', e –– Erkrankungshäufigkeit, e Morbus Crohn, r –– chronisch–entzündliche Darmerkrankung Morbus Parkinson, r –– Schüttellähmung / Zitterlähmung '''mortal''' (Adj./Adv.) –– tödlich MRSA, r –– Methicillin-resistenter Staphylococcus aureus '''Mukolytika''', e –– schleimlösende Medikamente, e '''Mukolytikum''', s –– schleimlösendes Medikament, s '''multimorbid''' (Adj./Adv.) –– an mehreren Krankheiten erkrankt '''Multimorbidität''', e –– Mehrfacherkrankung Multiple Sklerose, e, MS, e –– chronische Erkrankung des Nervensystems, s / Muskelschwund, r Mumps, r –– Ziegenpeter, r Myasthenia gravis, e –– Autoimmunerkrankung der Muskulatur, e '''Mycosis fungoides''', e –– bösartige Geschwulst, e, der Haut, e '''Mydriase''', e –– Pupillenerweiterung Myelopathie, e –– Gehirn- oder Rückenmarkserkrankung '''Mykose''', e –– Pilzinfektion, e mykotisch, fungal (Adj./Adv.) –– durch Pilze verursacht '''Mykotoxin''', s –– Schimmelpilzgift, s '''Myokardinfarkt''', r –– Herzinfarkt, r '''Myokarditis''', e –– Herzmuskelentzündung Myokardium, s –– Herzmuskel, r '''Myom''', s –– gutartiger Muskeltumor, r / Geschwulst, e, in der Gebärmutter, e '''Myopie''', e –– Kurzsichtigkeit, e Myose, e –– Pupillenverengung '''Myositis''', e –– Muskelentzündung '''Myxödem''', e –– Unterhautschwellung infolge einer Schilddrüsenfunktionsstörung = N = NaCl, Natriumchlorid, s –– Kochsalz, s (Nahrungsmittel) Narkolepsie, e –– Schlafkrankheit, e / Schlummersucht, e Nasenseptum, s –– Nasenscheidewand, e Nävus, r –– Muttermal, s / Leberfleck, r Nekrose, e –– lokaler Gewebstod, r '''Neoplasma''', s –– / '''Neoplasie''', e –– Gewebeneubildung / Neubildung von Körpergeweben [Pl.] (gutartig oder bösartig) '''Nephrektomie''', e –– operative Entfernung einer Niere, e '''Nephritis''', e –– Nierenentzündung '''Nephrolithiasis''', e –– Nierensteinleiden, s / Nierensteinkrankheit, e nephrotoxisch (Adj./Adv.) –– die Nieren schädigend, nierenschädigend Nervus ischiadicus, r –– Ischiasnerv, r Nervus olfactorius, r –– Riechnerv, r Nervus opticus, r –– Sehnerv, r Nervus phrenicus, r –– Zwerchfellnerv, r Nervus splanchnicus, r –– Eingeweidenerv, r '''Neuralgie''' (interkostale), e –– Nervenschmerz (zwischen den Rippen) '''neurogen''' (Adj./Adv.) –– von den Nerven [Pl.] ausgehend Neuropathie, e –– Erkrankung des peripheren Nervensystems, s neurotoxisch (Adj./Adv.) –– nervenschädigend neurotrop(isch) (Adj./Adv.) –– auf das Nervensystem wirkend Niereninsuffizienz, e –– finales Nierenversagen, s / Nierenfunktionsstörung Nodulus, r –– Knötchen, s Nodus, r –– Knoten, r '''Noncompliance''' [Engl.], e –– Nichtbefolgen, s, medizinischer Anweisungen, Nichtbeachtung / Nichteinhaltung der Therapie, e '''nosokomial (Adj./Adv.)''' –– das Krankenhaus betreffend Noxen [Pl.] –– Schadstoffe [Pl.] '''Nucleus''', r –– Kern, r nullpara –– (noch) kein Kind geboren '''Nykturie''', e –– vermehrtes nächtliches Wasserlassen, s '''Nystagmus''', r –– Augenzittern, s = O = observieren (Verb) –– beobachten, unter Beobachtung stellen '''Obstipation''', e –– Verstopfung '''Ödem''', s –– Schwellung / Wasseransammlung / krankhafte Flüssigkeitsansammlung im Gewebe Odynophagie, e –– Schmerzen beim Schlucken (auch ohne physisches Hindernis) =/= Dysphagie '''ÖGD''', e –– Ösophago-Gastro-Duodenoskopie, e '''ökonomisch''' (Adj./Adv.) –– wirtschaftlich (Englisch: sparsam = economical) '''okzipital''' (Adj./Adv.) –– in Richtung Hinterhaupt, zum Hinterhaupt gehörend '''Olecranon''', s –– Ellenfortsatz, r Omarthrose, e –– Arthrose, e, des Schultergelenkes, s '''Onanie''', e / Masturbation, e –– Selbstbefriedigung Oncychomykose, e –– Nagelpilz, r Oophoritis, e -- Eierstockentzündung opB -- ohne pathologischen Befund '''Ophthalmoplegie''', e –– Augenmuskellähmung oral (Adj./Adv.) –– durch den Mund, r Orbita, e –– Augenhöhle, e orbital (Adj./Adv.) –– die Augenhöhle betreffend Orchis, e /Testis, r –– Hoden, r '''Orchitis''', e –– Hodenentzündung ORSA –– Oxacillin-resistenter-Staphylococcus aureus Orthopnoe, e –– Luftnot, e, im Liegen, s '''Os carpi''', s –– Handwurzelknochen, r '''Os coccygis''', s/ Coccyx, e –– Steißbein, s '''Os frontale''', s –– Stirnbein, s '''Os ilium''', s –– Darmbein, s Os metacarpale, s –– Mittelhandknochen, r '''Os metatarsale''', s –– Mittelfußknochen, r Os naviculare, s –– Kahnbein, s '''Os occipitale''', s –– Hinterhauptbein, s '''Os pubis''', s –– Schambein, s Os sacrum, s –– Kreuzbein, Os schaphoidem, s –– Kahnbein, s '''Os tarsi''', s –– Fußwurzelknochen, r '''Ösophagitis''', e –– Speiseröhrenentzündung '''Ösophago-Gastro-Duodenoskopie''' (ÖGD), e –– Magendarmspiegelung '''Ösophagus''', r –– Speiseröhre, e Ösophagusatresie, s, ÖA –– Fehlbildung der Speiseröhre, e (angeborener Verschluss, r, der Speiseröhre, e) Ösophagusvarizen [Pl.] –– Krampfadern [Pl.] der Speiseröhre, e '''Ossa''', e –– Knochen, r '''Osteogenese''', e –– Knochenbildung Osteogenesis imperfecta, e –– Glasknochenkrankheit, e Osteomalazie, e –– Knochenerweichung '''Osteoporose''', e –– Knochenschwund, r Osteosarkom, s –– bösartiger Tumor, r, aus Knochen gehend / Knochenkrebs, r '''Osteosynthese''', e –– operative Knochenzusammenfügung / operative Verbindung von Knochenfragmenten [Pl.] Östrogen, s –– Follikelhormon, s / weibliches Hormon, s '''Otitis''', e –– Ohrenentzündung '''Otitis externa''', e –– Entzündung des äußeren Gehörgangs, r Otitis interna, e –– Innenohrentzündung '''Otitis media''', e –– Mittelohrentzündung ovariell/ ovarial (Adj./ Adv.) -- den Eierstock, r, betreffend, vom Eierstock, r, ausgehend bzw. durch ihn bedingt '''Ovarium''', s / Ovar, s –– Eierstock, r Ovulation, e –– Eisprung, r = P = Palatine, e –– Gaumen, r Palliation, e –– Linderung '''palliativ''' (Adj./ Adv.) –– lindernd, nicht heilend, symptomatische Therapie '''palliative Therapie''', e / Palliativtherapie, e –– lindernde Behandlung (ohne zu heilen) '''palmar''' (Adj./ Adv.) –– handflächenseitig, die Handfläche betreffen '''Palpation''', e –– Untersuchung durch Betasten, s / Abtasten, s Palpitation, e –– Herzpochen, s / Herzklopfen, s pan (Adv.) –– überall, an allen Orten '''Panikattacke''', e –– Angstanfall, r '''Pankreas''', s –– Bauchspeicheldrüse, e Pankreaskarzinom, s –– Bauchspeicheldrüsenkrebs, r '''Pankreaszyste''', e –– Bauchspeicheldrüsenzyste, mit Flüssigkeit gefüllter Hohlraum in der Bauchspeicheldrüse '''Pankreatitis''', e –– Bauchspeicheldrüsenentzündung Panzytopenie, e –– Zellzahlabnahme, e Paralyse, e –– Lähmung, vollständige motorische Lähmung paraneoplastisch (Adj./ Adv.) –– Begleiterscheinungen eines Tumors, r, betreffend Paranoia, e –– Verfolgungswahn, r, anhaltende wahnhafte Störung Paraplegie, e –– vollständige Lähmung beider Beine [Pl.], Querschnittslähmung Parästhesie, e –– Kribbelgefühl, s, Ameisenlaufen, s, Missempfindung '''Parathyreoidea''', e –– Nebenschilddrüse, e parenteral (Adj./ Adv.) –– Gabe, e, von Nährstoffen [Pl.] direkt in den Blutkreislauf, r Parese, e –– teilweise motorische Lähmung / unvollständige Lähmung '''Parkinson''', r –– Zitterlähung '''Parotis''', e –– Ohrspeicheldrüse, e Patella, e –– Kniescheibe, e '''pathologisch''' (Adj./ Adv.) –– krankhaft PCO, s –– polyzystisches Ovarialsyndrom, s, PCOS, PCO-Syndrom, s '''pCO2''', r –– Kohlendioxid-Partialdruck, r '''Pediculosis capitis''', e –– Kopfläuse [Pl.], Läusebefall, r, auf dem Kopf, r Pelvis renalis, r –– Nierenbecken, s Pelvis, s –– Becken, s Penetration, e –– Durchdringen, s, Eindringen, s '''per oral''' (p.o) (Adj./ Adv.) –– durch den Mund, r '''percutan''' / perkutan (Adj./ Adv.) –– durch die Haut '''Perforation''', e –– Durchbohrung des Gewebes, s, Durchbruch, r perianal (Adj./ Adv.) –– rund um den After, um den After herum Periduralanästheise (PDA), Epiduralanästhesie, e –– Rückenmarksnarkose, e Perikard, s –– Herzbeutel, r Perikarderguss, r –– Flüssigkeitsansammlung im Herzbeutel, r perinatal (Adj./Adv.) –– um die Geburt herum Perios, s –– Knochenhaut, e '''peripher''' (Adj./Adv.) –– am Rand, r, gelegen Peristaltik, e –– Bewegung von Hohlorganen [Pl.] '''Peritoneum''', s –– Bauchfell, s Peritonitis, e –– Bauchfellentzündung '''periumbilikal''' (Adj./Adv.) –– um den Bauchnabel, r, herum Perkussion, e –– Abklopfen, s '''perkussorisch''' / '''perkutorisch''' (Adj./Adv.) –– durch Abklopfen, s '''perkutan''' (Adj./Adv.) –– durch die Haut, e Permeabilität, e –– Durchlässigkeit, e persistierend (Adj./Adv.) –– andauernd (z.B. persistierender Schmerz, r) '''pertrochantäre Femurfraktur''', e –– Knochenbruch, r, der Oberseite, e, des Oberschenkelknochens, r '''Pertussis''', e –– Keuchhusten, r Pes, r –– Fuß, r Pescetarier:innen, e [Pl.] –– Menschen [Pl.], die Fleisch meiden (vgl. Vegetarier [Pl.] weder Fisch noch Fleisch) Petechien [Pl.] –– punktförmige Hautblutungen aus Kapillaren [Pl.] (den kleinsten Gefäßen [Pl.]) Phalanx distalis, e –– Fingerendglied, s Phalanx media, e –– Fingermittelglied, s Phalanx proximalis, e –– Fingergrundglied, s '''Phäochromozytom''', s –– Geschwulst, e, des Nebennierenmarks, s '''Pharyngitis''', e –– Rachenentzündung '''Pharynx''', r –– Rachen, r Pharynxkarzinom, s –– Rachenkrebs, r '''Phimose''', e –– Vorhautverengung '''Phlebitis''', e –– Venenentzündung Phlebographie, e –– röntgenologische Darstellung von Venen [Pl.] '''Phobie''', e –– Angststörung / krankhafte übermäßige Angst, e Phonohypersensibilität, e –– Lärm(über)empfindlichkeit, e Phonophobie, e –– Angst, e, vor Lärm, r '''Physiotherapie''', e –– Krankengymnastik, e '''Placebo''', r –– Scheinmedikament, s, ohne Wirkstoffe [Pl.] '''Placeboeffekt''', r –– Wirkung eines Medikaments, s, ohne Wirkstoff, r '''Plazenta''', e –– Mutterkuchen, r Plegie, e –– vollständige Lähmung '''Pleura''', s –– Brustfell, s / Rippenfell, s / Lungenfell, s Pleuraerguss, r –– pathologische Flüssigkeitsansammlung zwischen den Blättern [Pl.] des Brustfells, s Pleuraspalt, r –– Raum zwischen den Blättern [Pl.] des Brustfells, s '''Pleurektomie''', e –– operative Entfernung des Brustfells, s '''Pleuritis''', e –– Brustfellentzündung / Rippenfellentzündung Plexus, r –– Nervengeflecht, s Plexus brachialis, r –– Armgeflecht, s Pneumatose, e –– Luftansammlung im Bauch, r '''Pneum(on)ektomie''' / Lungenresektion, e –– operative Entfernung eines Lungenflügels, r '''Pneumonie''', e –– Lungenentzündung Pneumoperitoneum, e –– Ansammlung von Luft, e, in der Bauchhöhle, e '''Pneumothorax''', e –– Luftansammlung zwischen den Blättern [Pl.] des Brustfells, s POCD –– postoperative kognitive Dysfunktion, e '''Podagra''', e –– Fußgicht, e Poliomyelitis, e –– Kinderlähmung Pollakisurie, e –– häufiges Wasserlassen, s, in kleinen Mengen [Pl.] '''Pollinose''', e –– Heuschnupfen, r polymorph (Adj./Adv.) –– vielgestaltig Polyp, e –– (Gewebs-)Wucherung Polytrauma, s –– Mehrfachverletzung Polyurie, e –– erhöhte Urinausscheidung Posthitis, e –– Vorhautentzündung postiktal (Adj./ Adv.) –– nach einem (epileptischen) Anfall, r postnatal (Adj./Adv.) –– nach der Geburt, e postpartum (Adv.) –– nach der Geburt, e postprandial (Adj./Adv.) –– nach dem Essen, s / nach einer Mahlzeit, e Präeklampsie, e –– Schwangerschaftsvergiftung / hypertensive Schwangerschaftserkrankung '''präfinal''' (Adj./ Adv.) –– kurz vor dem Tod präprandial (Adj./ Adv.) –– vor dem Essen, s / vor einer Mahlzeit, e Präputium, s –– Vorhaut, e Prävalenz, e –– Häufigkeit, e, einer (bestehenden) Erkrankung / Anzahl, e, aller Fälle [Pl.] einer Erkrankung '''Prävention''', e –– Vorbeugung [im weiteren Sinn =/= Nachvornbeugen, s] '''präventiv''' (Adj./ Adv.) –– vorbeugend '''Presbyakusis''', e –– Altersschwerhörigkeit Presbyopie, e –– Alterssichtigkeit Processus styloideus ulnae, r –– Griffelfortsatz, r (der Elle, e) Prognose, e –– Vorhersage, e, erwarteter Verlauf, r '''progredient''' (Adj./ Adv.) –– fortschreitend, sich verschlimmernd, zunehmend Proktoskopie, e –– Untersuchung des Mastdarms, r, bzw. Dickdarms, r '''Prolaps''', r –– Organvorfall, Vorfall, r, (Heraustreten, s) von inneren Organen [Pl.], Pronation, e –– Einwärtsdrehung von Hand, e, und Fuß, r Prophylaxie, e –– Vorbeugung / Schutzmaßnahme, e Prostata, e –– Vorsteherdrüse, e '''Prostatitis''', e –– Prostataentzündung, Vorsteherdrüsenentzündung '''Protein''', s –– Eiweiß, s Proteinurie, e –– Eiweiß, s, im Urin, r '''Protrusion''', r –– Vorsprung, r / Hervortreten, s / Verlagerung eines Organs, s, nach außen proximal (Adj./ Adv.) –– körperzentrumnah Pruritus, r –– Juckreiz, r Pseudarthrose, e –– Falschgelenk, s '''Psoriasis''', e –– Schuppenflechte, e PSR, r –– Patellarsehnenreflex, r '''psychiatrisch''' (Adj./ Adv.) –– seelische Erkrankungen betreffend Ptosis, e –– hängendes Lid, s / herabhängendes oberes Augenlid, s '''Pulmo''', r –– Lunge, e pulmonale Hypertonie, e –– Lungenhochdruck, r Punktion, e –– Nadelentnahme, e, krankhafter Flüssigkeit, e '''Pus''', r –– Eiter, r '''Pyelonephritis''', e –– Nierenbeckenentzündung Pylorus, r –– Magenpförtner, r Pyrosis, e –– Sodbrennen, s / saures Aufstoßen, s Pyurie, e –– Eiter im Urin, r = R = '''Rabies''' / Lyssa, e –– Tollwut, e '''radial'''/ radialis (Adj./Adv.) –– auf die Speiche bezogen '''Radiatio''', e –– Bestrahlung '''radiatus''' (Adj./ Adv.) –– strahlenförmig / strahlenartig / strahlend radikulär (Adj./ Adv.) –– die Nervenwurzel (den Radix) betreffend '''Radiologe''', r, Radiologin, e –– Facharzt/-ärztin für Strahlenkunde, e / Röntgenarzt/ -ärztin Radiologie, e –– Strahlenheilkunde, e '''Radius''', r –– Speiche, e Ranula, e –– „Froschgeschwulst", e, Mundbodenzyste, e / Zyste, e unter der Zunge, e / Entzündung der Unterzungenspeicheldrüse, e Reanimation, e –– Wiederbelebung '''Reflux''', r –– Rückfluss, r (von Magensäure, e) regredient (Adj./ Adv.) –– sich zurückentwickelnd, etwas rückgängig machend Rekonvaleszenz, e –– Erholungsphase, e / Genesung nach einer Erkrankung '''Rektoskopie''', e –– Mastdarmspiegelung Rektum, s –– Mastdarm, r '''Rektumexstirpation''', e / Rektumamputation, e –– chirurgische Entfernung des Mastdarmes, r Rektumprolaps, r –– Vorfall, r, des Mastdarms, r '''Rekurrensparese''', e –– Stimmbandlähmung (Schwäche, e, eines Nervs, r, der für die Bewegung der Stimmbänder [Pl.] zuständig ist) Remission, e –– Abklingen, s / Besserung / Rückgang der Symptome [Pl.] Ren, r –– Niere, e '''Reposition''', e –– Einrenkung, Zurückverlagerung in eine normale Stellung, Wiedereinrichtung (von Knochenbrüchen [Pl.], Eingeweidebrüchen [Pl.] oder Verrenkungen) '''Resektion''', e –– teilweise operative Entfernung eines Organs, s '''resezieren''' (Verb) - chirurgisch entfernen '''resistieren''' (Verb) - widerstehen Resorption, e –– Aufnahme, e, von Nährstoffen [Pl.] Restitutio ad integrum, e –– vollständige Wiederherstellung, vollständige Heilung Restless-legs-Syndrom, s –– unruhige Beine [Pl.] '''Restriktion''', e –– Beschränkung, Einschränkung '''Retina''', e –– Netzhaut, e retropatellar (Adj./ Adv.) –– hinter der Kniescheibe, e '''retrosternal''' (Adj./ Adv.) –– hinter dem Brustbein, s reversibel (Adj./ Adv.) –– umkehrbar/ wieder normal machbar Rezidiv, s –– Rückfall, r '''rezidivierend''' (Adj./ Adv.) –– [für Diagnosen und Symptome] wiederkehrend (im Sinne von Rückfall nach einer Behandlung und einer beschwerdefreien Zeit) RG –– Rasselgeräusch, s '''Rh-Inkompatibilität''', e –– Blutgruppeninkompatibilität, e '''Rhagade''', e –– Einriss, r, Risswunde, e Rhinitis, e –– Schnupfen, r, Nasenschleimhautentzündung '''Rigidität''', e –– Steifigkeit, e, und Starre, e, der Muskeln [Pl.] Rigor mortis, r –– Leichenstarre, e, Totenstarre, e rostral (Adj./ Adv.) –– schnabelförmig, nach vorn(e) Rostrum, r –– Schnabel, r Rotation, e –– Drehung RR –– Relatives Risiko / Riva-Rocci (Blutdruckmesstechnik) Rubella, e –– Röteln [Pl.] '''Rubor''', r –– Rötung '''Ructus''', r, Ruktus –– Aufstoßen, s Ruptur, e –– Riss, r = S = sakral (Adj./ Adv.) –– zum Kreuzbein, r, gehörend '''Salpingektomie''', e –– operative Entfernung eines Eileiters, r Salpingitis, e –– Eileiterentzündung '''Sarkom''', s –– bösartige Bindegewebsgeschwulst, e '''SAS bzw. S.A.S.''' (OSAS) –– Schlafapnoe-Syndrom, s (obstruktives Schlafapnoesnydrom) '''Scapula''', e –– Schulterblatt, s '''Schizophrenie''', e –– Bewusstseinsspaltung, Persönlichkeitspaltung '''Schlafapnoe''', e –– Atemstillstand, r, im Schlaf, r Sectio caesarea, e –– Kaiserschnitt, r Sedation, e –– Beruhigung, e '''Sedativa''', e [Pl.] –– Beruhigungsmittel, s, schlaffördernde Mittel, s [Pl.] '''Sedativum''', s [Sing.] –– Beruhigungsmittel, s, schlafförderndes Mittel, s [Sing.] Sedierung, e –– Beruhigung Sekretolytika / Mukolytika, e –– Schleimlöser [Pl.], schleimlösende Mittel [Pl.] sensibel (Adj./ Adv.) –– empfindlich '''Sensibilität''', e –– Empfindlichkeit, s '''Sepsis''', e –– Blutvergiftung Sibilanz, s –– Pfeifen, s (=/= Stridor, r –– zischendes Atemgeräusch, s) '''Singultus''', r –– Schluckauf, r sinister, sinistra (Adj./ Adv.) –– links '''Sinus maxillaris''', r –– Kieferhöhle, e (Nasennebenhöhle, e) Sinusitis, e –– Nasennebenhöhlenentzündung '''Sinusitis frontalis''', e –– Entzündung der Stirnhöhlen [Pl.] (die vorderen Nasennebenhöhlen [Pl.]) '''Situs inversus''', r –– spiegelbildliche Lageanomalie, e, der Organe '''Skabies''', e –– Krätze, e Sklera, e –– Lederhaut, s, des Auges, s Sklerose, e –– Verhärtung von Geweben [Pl.] und Organen [Pl.] '''Skotom''', s –– Gesichtsfeldausfall, r Skrotum, s –– Hodensack, r '''solitär''' (Adj./ Adv.) –– einzeln '''somnolent''' (Adj./ Adv.) –– schläfrig '''Somnolenz''', e –– krankhafte Schläfrigkeit, e Spasmolytikum, s –– krampflösendes Mittel, s '''Spasmus''', r –– Krampf, r (z.B. in den Muskeln [Pl.]) '''Spatium''', a –– Zwischenraum, r '''Sperma''', s –– Samenflüssigkeit, e '''Sphinkter''', r –– Schließmuskel, r '''Sphinkter ani''', r –– After-Schließmuskel, r '''Spina bifida''', e –– offener Rücken, r / Spaltung der Wirbelsäule, e spinal (Adj./ Adv.) –– Wirbelsäule, e, oder Rückenmark, s, betreffend Spinalanästhesie, e –– rückenmarksnahe Regionalbetäubung '''Spinalstenose''', e –– Verengung des Wirbelkanals, r '''Splenektomie''', e –– Milzentfernung '''Splenomegalie''', e –– Milzvergrößerung '''Spondylitis''', e –– Wirbelentzündung Spongiosa, e –– Knochenbälkchen / rotes Knochenmark SSW –– Schwangerschaftswoche, e Stase, Stagnation, e –– Stillstand / Stauung Stauung der vena jugularis externa, e –– Halsvenenstauung '''Stauungsdermatitis''', e –– Hautentzündung durch schlechte Blutzirkulation / Entzündung der Haut, e, an den Unterschenkeln [Pl.] durch Stauung von Blut, s, und Flüssigkeit, e Steatosis hepatis, e –– Fettleber, e STEMI, r –– ST-Hebungs-Myokardinfarkt, r '''Stenose''', e –– Verengung '''Sterilität''', e –– 1. Keimfreiheit, e / 2. Unfruchtbarkeit, e '''Sternum''', s –– Brustbein, s '''STIKO''', e –– Ständige Impfkommission am Robert-Koch-Institut (Berlin), eine ehrenamtliche, derzeit 18-köpfige Expertengruppe Stoma, s –– Mund, r, Öffnung Stomatitis, e –– Entzündung der Mundschleimhaut, e, Mundschleimhautentzündung '''Strabismus''', r –– Schielen, s Stridor, r –– zischendes Atemgeräusch, s (=/= Sibilanz, e –– Pfeifen, s) Struma, e –– "Kropf", Schilddrüsenvergrößerung, geschwollener Hals, r Struma nodosa, e –– knotige Schilddrüsenvergrößerung Subarachnoidalblutung, e –– "Hirnblutung", Blutung zwischen der mittleren und inneren Hirnhaut, e '''Subcutis''', e –– Unterhautfettgewebe, s '''Subduralhämatom''', s –– Einblutung zwischen der Hirnhaut, s, und Gehirn, s '''subfebril''' (Adj./ Adv.) –– mit leicht erhöhter Körpertemperatur, e (bis 38 °C) '''Subileus''', r –– unvollständiger Darmverschluss, r '''subkutan''' (Adj./ Adv.) –– unter der Haut (wo?), unter die Haut (wohin?) sublingual (Adj./ Adv.) –– unter der Zunge, e, unter die Zunge, e '''Subluxation''', e –– unvollständige Ausrenkung / Auskugelung / unvollständige Verrenkung Subsitution, Substituierung, e –– Ersatz, r, Ersetzen, s '''Sugillation''', e –– oberflächlicher Bluterguss, r '''Suizid''', e –– Selbsttötung, e, Selbstmord, r superfiziell (Adj./ Adv.), e –– oberflächlich '''Supination''', e –– Auswärtsdrehung von Hand, e, und Fuß, r '''Sympathikolyse''', e –– Ausschaltung der sympathischen Innervierung '''Symptom''', s –– Krankheitszeichen, s [Pl.] / Beschwerden [Pl.] Syndrom, s –– Symptomkomplex, mehrere Krankheitszeichen zusammen '''Synechie''' (Adhäsion, Bride), e –– Verklebung, Verwachsung '''Synkope''', e –– kurze Bewusstlosigkeit, e, plötzliche, kurz andauernde Ohnmacht, e Synovia, e –– Gelenksflüssigkeit, e, Gelenkschmiere, e = T = Tachykardie, e –– Herzrasen, s / erhöhte Herzfrequenz von mehr als 100 Schlag/Min. Tachypnoe, e –– Kurzatmigkeit, e, erhöhte Atemfrequenz, e tachypnoeisch (Adj./ Adv.) –– kurzatmig Tendinitis, e –– Sehnenentzündung Tendovaginitis, e –– Sehnenscheidenentzündung Tenesmus, r –– schmerzhafter Stuhl- oder Harndrang, r '''teratogen''' (Adj./Adv.) –– Missbildungen erzeugend, Fehlbildungen verursachend '''terminal''' (Adj./ Adv.) –– final / das Ende betreffend // im Endstadium, s '''terminale Niereninsuffizienz''', e –– finales Nierenversagen, s '''Tetanus''', r –– Wundstarrkrampf, r Tetraplegie, e –– Lähmung aller vier Extremitäten Therapie, e –– Behandlung thorakal (Adj./ Adv.) –– den Brustkorb/-raum betreffend Thorax, r –– Brustkorb, r '''Thrombektomie''', e –– Entfernung eines Blutpfropfs, r '''Thromboembolie''', e –– Verschluss, r, eines Blutgefäßes, s, durch einen Blutpfropf, r Thrombopenie / Thrombozytopenie, e –– Mangel an Blutplättchen [Pl.] Thrombophlebitis, e –– Entzündung der oberflächlichen Venen [Pl.], akute Thrombose, e '''Thrombose''', e –– Gefäßverschluss, r, durch ein Blutgerinnsel, s '''Thrombozyten''', e [Pl.] –– Blutplättchen [Pl.] '''Thrombozytopenie''', e –– Mangel an Blutplättchen '''Thyreoidea''', e –– Schilddrüse, e '''Thyreoidektomie''', e –– operative Entfernung der Schilddrüse, e Thyreoiditis, e –– Schilddrüsenentzündung '''TIA''', e –– transitorische ischämische Attacke, e '''Tibia''', e –– Schienbein, s '''Tic''', r –– Zucken, s / unwillkürliche, nervöse Muskelzuckung, nicht unterdrückbares Muskelzucken, s Tinea pedis, e –– Fußpilz, r '''Tinnitus''', r –– Ohrgeräusche [Pl.], „Ohrensausen" Tonsilla, e –– Gaumenmandel, e '''Tonsillektomie''', e –– operative Entfernung der Mandeln [Pl.] '''Tonsillitis''' / Angina tonsillaris, e –– Mandelentzündung '''Tonsillitis''' purulenta, e –– eitrige Mandelentzündung Tonus, r –– Spannung Tophus, r –– Knoten, r (z. B. Gichtknoten, r) '''Tophus''', r [Sing.] / Tophi [Pl.] –– entzündlicher Knoten, r (bei Gicht, e) Torsion, e –– Drehung Torsionsfraktur, e –– Spiralfraktur, e '''Tortikollis''', r –– Schiefhals, r / verkrampfter Hals, r (bei Kindern [Dativ Pl.]) '''toxisch''' (Adj./ Adv.) –– giftig '''Trachea''', e –– Luftröhre, e Tracheostoma, s –– Luftröhrenschnitt, r (dauerhafte Öffnung) '''Tracheotomie''', e –– Luftröhrenschnitt, r '''Tranquilizer''', r –– Beruhigungsmittel, s [auch Pl.] Transfusion, e –– Blutübertragung '''transitorische Ischämie''', e –– vorübergehende Durchblutungsstörung, “Mini-Schlaganfall’’, r Transpiration, e –– Schwitzen, s transversal (Adj./ Adv.) –– quer transversum (Adj./ Adv.) –– querlaufend '''Trauma''', s –– körperliche oder seelische Verletzung '''Tremor''', r –– Zittern, s / Muskelzittern, s '''Trepanation''', e –– Schädelöffnung durch Anbohren, s '''Trigeminusneuralgie''', e –– Gesichtsschmerz, r, Nervenschmerz, r, im Gesicht, s '''Trikuspidalinsuffizienz''', e –– Herzklappenfehler, r, Schließunfähigkeit, e, der Trikuspidalklappe, e, des Herzens, s TSH, s –– Thyreoidea-stimulierendes Hormon, s Tuba auditiva, e –– Ohrtrompete, e Tuba uterina, e –– Eileiter, r '''Tubargravidität''', e –– Eileiterschwangerschaft, e Tube / Tuba, e –– Röhre, e Tuber ischiadicum, r –– Sitzbeinhöcker, r Tuberkulose (kurz: TB), e –– Schwindsucht, e Tumor, r –– Geschwulst, e Tunica media, e –– mittlere Schicht, e, der Gefäßwand, e TUR, e –– transurethrale Resektion, e Tussis, e –– Husten, r TVT, e –– tiefe Venenthrombose, e, Phlebothrombose, e = U = UAG, e –– Unterarmgehstütze, e, Krücke, e '''ubiquitär''' (Adj./ Adv.) –– überall verbreitet Ulcus, r –– Geschwür, s '''Ulcus cruris''', r –– Unterschenkelgeschwür, s / offenes Bein, s '''Ulcus duodeni''', r –– Zwölffingerdarmgeschwür, s '''Ulcus ventriculi''', r –– Magengeschwür, s '''Ulna''', e –– Elle, e Umbilicus, r –– Bauchnabel, r Umbilikalhernie, e –– Nabelbruch, r '''Urämie''', e –– Harnansammlung im Blut '''Ureter''', r –– Harnleiter, r '''Urethra''', e –– Harnröhre, e Urikämie, e –– erhöhte Harnsäure, e, im Blut, s Urin, r –– Harn, r '''Urosepsis''', e –– lebensbedrohliche Blutvergiftung durch eine Harnwegsinfektion Urtika, e –– Quaddel, e / Quaddeln [Pl.] Urtikaria, e –– Nesselsucht, e, Nesselfieber, e '''Uterus''', r –– Gebärmutter, e Uteruskarzinom, s –– Gebärmutterkrebs, r Uterusmyom, s –– gutartiger Tumor, r, der Gebärmutter, e Uterusprolaps, r –– Gebärmuttervorfall, r = V = Vagina, e –– Scheide, e Vaginitis, e / Kolpitis, e –– Scheidenentzündung '''Valva''', e –– Klappe, e '''Valva aortae''', e –– Aortenklappe, e Varizen [Pl.] –– Krampfadern [Pl.], krankhafte Erweiterung der Venen [Pl.] Varikose, e / Varikosis, e –– Krampfaderleiden, s '''Variola''', e –– Pocken [Pl.] '''Varizellen''' [Pl.] –– Windpocken [Pl.] '''Varizen''' [Pl.] –– Krampfadern [Pl.] '''Vaskulitis [Pl.] –– Gefäßentzündung Veganer:innen [Pl.] –– Menschen [Pl.], die keine tierischen Produkte essen oder verwenden Vegetarier:innen [Pl.] –– Menschen [Pl.], die Fleisch, s, und Fisch, r, meiden (vgl. Pescetarier:innen, kein Fleisch, aber Fisch) '''Vena cava inferior''', e –– untere Hohlvene, e '''Vena cava superior''', e –– obere Hohlvene, e Vena iliaca externa, e –– äußere Beckenvene, e '''Vena pulmonalis''', e –– Lungenvene, e '''Veneninsuffizienz''', e –– Venenschwäche, e, mangelhafte Funktion der Blutadern [Pl.] '''Venenthrombose''', e –– Blutgerinnsel, s, in den Hauptvenen [Pl.] (Blutadern [Pl.]) '''Venter''', r –– Muskelbauch, r '''ventral''' (Adj./ Adv.) –– bauchseitig, bauchwärts, zum Bauch gehörend, den Bauch betreffend Ventriculus, r –– Magen, r Ventriculi cerebri [Pl.] –– Hirnkammern [Pl.] Ventriculus cordis, Herzventrikel, s –– Herzkammer, e '''Verrucae''' [Pl.] –– Warzen [Pl.] '''vertebragen''' (Adj./Adv.) –– von der Wirbelsäule, e, ausgehend / wirbelsäulenbedingt (bei Erkrankungen) vertebral (Adj./Adv.) –– die Wirbel betreffend Vertigo, r –– Schwindel, r '''Vesica biliaris''', e –– Gallenblase, e Vesica urinaria, e –– Harnblase, e '''Vigilanz''', e –– Wachheit, e, Wachsamkeit, e, Daueraufmerksamkeit, e Viszera, e –– Eingeweide, s Vitiligo, e –– Weißfleckenkrankheit, e '''Volvulus''', r –– Darmverdrehung, Darmverschlingung Vulnus, r –– Wunde, e = W = Wheezing (Engl.) -- Giemen, s, = X = '''Xerodermie''', e –– Trockenheit, e, der Haut, e / Hauttrockenheit, e Xerostomie, e –– Mundtrockenheit, e = Z = Zenker Divertikel, s –– Ausstülpung der Speiseröhre, e '''zerebral''' (Adj./Adv.) –– zum Gehirn gehörend, das Gehirn betreffend '''Zervikalgie''', e –– Nackenschmerz, r Zervix, e –– Gebärmutterhals, r Zervixkarzinom, e –– Gebärmutterhalskrebs, r ZNS, s –– Zentralnervensystem, s, zentrales Nervensystem, s Zöliakie, e –– Unverträglichkeit, e, von Gluten, s, Glutenunverträglichkeit, e '''Zoster''', r / Herpes Zoster, r –– Gürtelrose, e '''Zoster oticus''', r –– Gürtelrose, e, am Ohr, s Zyanose, e –– Blaufärbung der Haut, e, (Lippen [Pl.], Zunge, e) '''zyanotisch''' (Adj./Adv.) –– bläulich verfärbt Zygote, e –– befruchtete Eizelle, e '''Zyklothymie''', e –– Stimmungsschwankungen [Pl.] '''Zyste''', e –– mit Flüssigkeit, e, gefüllter Gewebehohlraum, r '''Zystitis''', e –– Blasenentzündung Zystoskopie, e –– Blasenspiegelung '''Zystostatika''', e [Pl.] –– Zellwachstum, s, hemmende Medikamente [Pl.] / Medikamente zur Krebsbehandlung '''Zystostatikum''', e [Sing.] –– Zellwachstum, s, hemmendes Medikament [Sing.] / Medikament zur Krebsbehandlung = U = UAG, e –– Unterarmgehstütze, e, Krücke, e ubiquitär (Adj./ Adv.) –– überall verbreitet Ulcus, r –– Geschwür, s Ulcus cruris, r –– Unterschenkelgeschwür, s / offenes Bein, s Ulcus duodeni, r –– Zwölffingerdarmgeschwür, s Ulcus ventriculi, r –– Magengeschwür, s Ulna, e –– Elle, e Umbilicus, r –– Bauchnabel, r Umbilikalhernie, e –– Nabelbruch, r Urämie, e –– Harnvergiftung (Anhäufung von harnpflichtigen Stoffen [Pl.] im Blut, s) Ureter, r –– Harnleiter, r Urethra, e –– Harnröhre, e Urikämie, e –– erhöhte Harnsäure, e, im Blut, s Urin, r –– Harn, r Urosepsis, e –– lebensbedrohliche Blutvergiftung durch eine Harnwegsinfektion Urtika, e –– Quaddel, e / Quaddeln [Pl.] Urtikaria, e –– Nesselsucht, e, Nesselfieber, e Uterus, r –– Gebärmutter, e Uteruskarzinom, s –– Gebärmutterkrebs, r Uterusmyom, s –– gutartiger Tumor, r, der Gebärmutter, e Uterusprolaps, r –– Gebärmuttervorfall, r = V = Vagina, e –– Scheide, e Vaginitis, e / Kolpitis, e –– Scheidenentzündung '''Valva''', e –– Klappe, e '''Valva aortae''', e –– Aortenklappe, e Varizen [Pl.] –– Krampfadern [Pl.], krankhafte Erweiterung der Venen [Pl.] Varikose, e / Varikosis, e –– Krampfaderleiden, s '''Variola''', e –– Pocken [Pl.] '''Varizellen''' [Pl.] –– Windpocken [Pl.] '''Varizen''' [Pl.] –– Krampfadern [Pl.] '''Vaskulitis [Pl.] –– Gefäßentzündung Veganer:innen [Pl.] –– Menschen [Pl.], die keine tierischen Produkte essen oder verwenden Vegetarier:innen [Pl.] –– Menschen [Pl.], die Fleisch, s, und Fisch, r, meiden (vgl. Pescetarier:innen, kein Fleisch, aber Fisch) '''Vena cava inferior''', e –– untere Hohlvene, e '''Vena cava superior''', e –– obere Hohlvene, e Vena iliaca externa, e –– äußere Beckenvene, e '''Vena pulmonalis''', e –– Lungenvene, e '''Veneninsuffizienz''', e –– Venenschwäche, e, mangelhafte Funktion der Blutadern [Pl.] '''Venenthrombose''', e –– Blutgerinnsel, s, in den Hauptvenen [Pl.] (Blutadern [Pl.]) '''Venter''', r –– Muskelbauch, r '''ventral''' (Adj./ Adv.) –– bauchseitig, bauchwärts, zum Bauch gehörend, den Bauch betreffend Ventriculus, r –– Magen, r Ventrikel [Pl.] –– Hirnkammern [Pl.] Ventrikel (Herz), s –– Herzkammer, e '''Verrucae''' [Pl.] –– Warzen [Pl.] '''vertebragen''' (Adj./Adv.) –– von der Wirbelsäule, e, ausgehend / wirbelsäulenbedingt (bei Erkrankungen) vertebral (Adj./Adv.) –– die Wirbel betreffend Vertigo, r –– Schwindel, r '''Vesica biliaris''', e –– Gallenblase, e Vesica urinaria, e –– Harnblase, e '''Vigilanz''', e –– Wachheit, e, Wachsamkeit, e, Daueraufmerksamkeit, e Viszera, e –– Eingeweide, s Vitiligo, e –– Weißfleckenkrankheit, e '''Volvulus''', r –– Darmverdrehung, Darmverschlingung Vulnus, r –– Wunde, e = X = Xerodermie, e –– Trockenheit, e, der Haut, e / Hauttrockenheit, e Xerostomie, e –– Mundtrockenheit, e = Z = Zenker Divertikel, s –– Ausstülpung der Speiseröhre, e zerebral (Adj./Adv.) –– zum Gehirn gehörend, das Gehirn betreffend Zervikalgie, e –– Nackenschmerz, r Zervix, e –– Gebärmutterhals, r Zervixkarzinom, e –– Gebärmutterhalskrebs, r ZNS, s –– Zentralnervensystem, s, zentrales Nervensystem, s Zöliakie, e –– Unverträglichkeit, e, von Gluten, s, Glutenunverträglichkeit, e Zoster, r –– Gürtelrose, e Zoster oticus, r –– Gürtelrose, e, am Ohr, s Zyanose, e –– Blaufärbung der Haut, e, (Lippen [Pl.], Zunge, e) zyanotisch (Adj./Adv.) –– bläulich verfärbt Zygote, e –– befruchtete Eizelle, e Zyklothymie, e –– Stimmungsschwankungen [Pl.] Zyste, e –– mit Flüssigkeit, e, gefüllter Gewebehohlraum, r Zystitis, e –– Blasenentzündung Zystoskopie, e –– Blasenspiegelung Zystostatika, e –– Zellwachstum, s, hemmende Medikamente [Pl.] / Medikamente zur Krebsbehandlung ahp7l2dt7021kjmp9rjsddp0j5ali3g 106 167810 1119383 1071646 2026-11-11T11:32:00Z Paul Sutermeister 37610 1119383 wikitext text/x-wiki __NOTOC__ = Das Pareto-Prinzip – Schritt für Schritt = Auf dieser Seite lernen Sie das '''Pareto-Prinzip''' kennen. Es hilft Ihnen, Ihre Zeit und Ihre Kraft klug einzusetzen. Sie brauchen dafür '''kein Vorwissen'''. Lesen Sie zuerst jeweils den kurzen Text und beantworten Sie danach die Fragen. Gehen Sie die Schritte der Reihe nach durch. == Schritt 1: Ein Alltagsbeispiel == Stellen Sie sich Ihren Kleiderschrank vor. Darin hängen viele Kleider. Aber die meiste Zeit tragen Sie '''immer wieder dieselben wenigen''' Lieblingsstücke. Viele andere Kleider tragen Sie fast nie. Das zeigt eine wichtige Beobachtung: '''Nicht alles ist gleich wichtig.''' Oft machen '''wenige Dinge''' den '''grössten Teil''' aus. <quiz display=simple> {Was zeigt das Beispiel mit dem Kleiderschrank? |type="()"} - Alle Kleider werden gleich oft getragen. + Wenige Kleider werden sehr oft getragen, viele fast nie. - Man sollte jeden Tag neue Kleider kaufen. - Kleider sind nicht wichtig. {Welcher Satz passt zur Beobachtung aus Schritt 1? |type="()"} - Alles ist immer gleich wichtig. + Oft machen wenige Dinge den grössten Teil aus. - Viele Dinge sind immer wichtiger als wenige. - Man kann nie sagen, was wichtig ist. </quiz> == Schritt 2: Wer war Pareto? == '''Vilfredo Pareto''' (1848–1923) war ein italienischer Wirtschaftswissenschaftler. Er lebte und lehrte lange in '''Lausanne''' in der Schweiz. Pareto stellte fest: In Italien gehörte ungefähr '''80 % des Bodens''' nur etwa '''20 % der Menschen'''. Später merkte man: Ähnliche ungleiche Verteilungen gibt es an vielen Orten. Nach ihm wurde das '''Pareto-Prinzip''' benannt. Man nennt es auch '''80/20-Regel'''. <quiz display=simple> {Wer war Vilfredo Pareto? |type="()"} - Ein Fussballspieler + Ein italienischer Wirtschaftswissenschaftler - Ein Erfinder des Computers - Ein Koch aus Rom {In welcher Schweizer Stadt lehrte Pareto? |type="()"} - Zürich - Basel + Lausanne - Olten {Was hat Pareto in Italien beobachtet? |type="()"} - Alle Menschen besassen gleich viel Boden. + Ungefähr 20 % der Menschen besassen etwa 80 % des Bodens. - 80 % der Menschen besassen gar keinen Boden und 80 % des Bodens war leer. - Niemand besass Boden. {Wie nennt man das Pareto-Prinzip auch? |type="()"} - 50/50-Regel + 80/20-Regel - 100/0-Regel - 10/90-Regel </quiz> == Schritt 3: Was sagt das Pareto-Prinzip? == Das Pareto-Prinzip sagt: '''Mit etwa 20 % des Aufwands erreicht man oft etwa 80 % des Ergebnisses.''' Anders gesagt: * '''Wenige Ursachen''' (ca. 20 %) bewirken den '''grössten Teil''' der Wirkung (ca. 80 %). * Die '''restlichen 20 %''' des Ergebnisses brauchen dagegen '''sehr viel''' Aufwand (ca. 80 %). {| class="wikitable" ! Aufwand !! Ergebnis |- | ca. '''20 %''' || ca. '''80 %''' |- | ca. '''80 %''' || ca. '''20 %''' |} <quiz display=simple> {Was sagt das Pareto-Prinzip? |type="()"} - Mit 80 % Aufwand erreicht man 80 % des Ergebnisses. + Mit etwa 20 % des Aufwands erreicht man oft etwa 80 % des Ergebnisses. - Mit 20 % Aufwand erreicht man 20 % des Ergebnisses. - Ohne Aufwand erreicht man alles. {Wie viel Aufwand braucht es ungefähr für die '''letzten''' 20 % des Ergebnisses? |type="()"} - Etwa 5 % - Etwa 20 % - Etwa 50 % + Etwa 80 % {Ergänzen Sie den Satz mit Zahlen. |type="{}"} Mit etwa { 20 _3 } % des Aufwands erreicht man oft etwa { 80 _3 } % des Ergebnisses. {Welche Aussagen passen zum Pareto-Prinzip? (Mehrere Antworten möglich) |type="[]"} + Wenige Ursachen haben oft eine grosse Wirkung. + Die letzten Prozente bis zur Perfektion kosten viel Aufwand. - Jede Aufgabe ist genau gleich wichtig. - Viel Aufwand bringt immer gleich viel Ergebnis. </quiz> == Schritt 4: Wichtig – 80/20 ist eine Faustregel == Die Zahlen 80 und 20 sind '''nicht genau'''. Sie sind eine '''Faustregel''', also ein grober Richtwert. * Manchmal ist es 70/30, manchmal 90/10. * Die zwei Zahlen müssen '''nicht''' zusammen 100 ergeben – es sind zwei verschiedene Dinge (Aufwand und Ergebnis). * Die wichtigste Idee ist: '''Wenige Dinge sind besonders wichtig. Diese soll man zuerst finden.''' <quiz display=simple> {Ist die 80/20-Verteilung immer ganz genau so? |type="()"} - Ja, es sind immer genau 80 % und 20 %. + Nein, es ist eine Faustregel (ein grober Richtwert). - Nein, es ist immer genau 50/50. - Ja, das ist ein Naturgesetz. {Was ist eine Faustregel? |type="()"} - Eine Regel für Boxkämpfe + Ein grober Richtwert, der oft ungefähr stimmt - Ein Gesetz, das man befolgen muss - Eine genaue mathematische Formel {Was ist die wichtigste Idee des Pareto-Prinzips? |type="()"} - Man muss immer genau 20 % arbeiten. - Man soll alles perfekt machen. + Wenige Dinge sind besonders wichtig – diese soll man zuerst finden. - Man soll nur 80 % der Zeit arbeiten. </quiz> == Schritt 5: Beispiele aus der Wirtschaft == Das Pareto-Prinzip sieht man oft im Geschäftsleben: * '''Kunden:''' Etwa 20 % der Kundinnen und Kunden bringen etwa 80 % des Umsatzes. * '''Produkte:''' Etwa 20 % der Produkte bringen etwa 80 % des Gewinns. * '''Reklamationen:''' Etwa 20 % der Fehler verursachen etwa 80 % der Beschwerden. Darum kümmern sich Firmen besonders gut um ihre '''wichtigsten Kunden''' und lösen zuerst die '''häufigsten Probleme'''. <quiz display=simple> {Eine Firma hat 100 Kundinnen und Kunden. Wie viele bringen nach dem Pareto-Prinzip ungefähr 80 % des Umsatzes? |type="()"} - Etwa 5 + Etwa 20 - Etwa 50 - Etwa 80 {Ein Laden verkauft 50 verschiedene Produkte. Wie viele davon bringen nach dem Pareto-Prinzip ungefähr 80 % des Gewinns? |type="()"} - Etwa 2 + Etwa 10 - Etwa 25 - Etwa 40 {Ein Kundendienst erhält viele Reklamationen. Was sollte er nach dem Pareto-Prinzip zuerst tun? |type="()"} - Alle Reklamationen ignorieren. - Die seltensten Probleme zuerst lösen. + Die wenigen Probleme finden und lösen, die die meisten Reklamationen verursachen. - Jede Reklamation genau gleich lange bearbeiten. {Wofür kann eine Firma das Pareto-Prinzip nutzen? (Mehrere Antworten möglich) |type="[]"} + Um die wichtigsten Kunden zu erkennen. + Um die erfolgreichsten Produkte zu finden. + Um die häufigsten Fehler zuerst zu beheben. - Um allen Mitarbeitenden den gleichen Lohn zu zahlen. </quiz> == Schritt 6: Pareto beim Lernen und Arbeiten == Auch für Sie persönlich ist das Pareto-Prinzip nützlich: * '''Prüfung vorbereiten:''' Ein kleiner Teil des Stoffs kommt oft sehr häufig vor. Lernen Sie diesen '''zuerst''' gut. * '''Aufgabenliste:''' Von zehn Aufgaben sind oft '''zwei''' besonders wichtig. Erledigen Sie diese zuerst. * '''Sprache lernen:''' Mit den häufigsten Wörtern versteht man schon einen grossen Teil der Alltagsgespräche. Wichtig: Das heisst '''nicht''', dass man den Rest einfach weglässt! Man setzt nur '''Prioritäten''': '''Das Wichtigste zuerst.''' <quiz display=simple> {Sie haben 10 Aufgaben auf Ihrer Liste. Was empfiehlt das Pareto-Prinzip? |type="()"} - Mit der einfachsten und unwichtigsten Aufgabe beginnen. + Die wenigen wichtigsten Aufgaben finden und zuerst erledigen. - Alle Aufgaben gleichzeitig beginnen. - Gar keine Aufgabe machen. {Sie lernen für eine Prüfung. Was ist nach dem Pareto-Prinzip sinnvoll? |type="()"} - Nur die Fussnoten im Lehrbuch lernen. - Zuerst die seltensten Details auswendig lernen. + Zuerst die wichtigsten und häufigsten Themen gut lernen. - Erst am Abend vor der Prüfung anfangen. {Bedeutet das Pareto-Prinzip, dass man 80 % der Arbeit einfach weglassen darf? |type="()"} - Ja, man muss nur 20 % machen. + Nein, man setzt Prioritäten: das Wichtigste zuerst. - Ja, der Rest ist immer unwichtig. - Nein, man muss immer alles gleichzeitig machen. {Was bedeutet «Prioritäten setzen»? |type="()"} - Alles gleich behandeln. + Festlegen, was zuerst und was später erledigt wird. - Die Arbeit anderen geben. - Pausen machen. </quiz> == Schritt 7: Grenzen des Pareto-Prinzips == Das Pareto-Prinzip ist hilfreich, aber es hat '''Grenzen''': * '''Nicht überall passend:''' In manchen Bereichen muss '''alles''' stimmen, z. B. bei der Sicherheit (Bremsen eines Autos) oder bei einer Lohnabrechnung. 80 % richtig reicht dort nicht! * '''Keine genauen Zahlen:''' 80/20 ist nur ein Richtwert (siehe Schritt 4). * '''Die kleinen Dinge können auch wichtig sein:''' Kleine Kunden können später grosse Kunden werden. <quiz display=simple> {In welchem Fall reicht «80 % richtig» '''nicht'''? |type="()"} - Beim Aufräumen des eigenen Pults + Bei den Bremsen eines Autos - Beim ersten Entwurf eines Textes - Beim Sortieren der eigenen Fotos {Welche Aussagen beschreiben Grenzen des Pareto-Prinzips? (Mehrere Antworten möglich) |type="[]"} + Die Zahlen 80 und 20 sind nicht genau. + Bei Sicherheit und Genauigkeit muss alles stimmen. + Auch kleine Dinge können später wichtig werden. - Das Pareto-Prinzip gilt immer und überall ganz genau. {Eine Kauffrau erstellt eine Rechnung für einen Kunden. Darf sie nach dem Pareto-Prinzip nur 80 % der Beträge richtig ausrechnen? |type="()"} - Ja, 80 % reicht immer. + Nein, bei einer Rechnung müssen alle Beträge stimmen. - Ja, wenn sie wenig Zeit hat. - Nein, sie muss nur 20 % richtig ausrechnen. </quiz> == Schritt 8: Anwenden – Fälle aus dem Alltag == Jetzt wenden Sie das Gelernte an. Überlegen Sie bei jeder Frage: '''Welches sind die wenigen wichtigen Dinge?''' <quiz display=simple> {Ein Online-Shop stellt fest: 3 von 15 Produkten werden sehr oft gekauft. Was ist eine sinnvolle Entscheidung nach dem Pareto-Prinzip? |type="()"} - Die 3 beliebten Produkte aus dem Angebot nehmen. + Darauf achten, dass die 3 beliebten Produkte immer an Lager sind. - Für alle 15 Produkte gleich viel Werbung machen. - Den Shop schliessen. {Sie schreiben eine Bewerbung und haben wenig Zeit. Worauf konzentrieren Sie sich zuerst? |type="()"} - Auf die Farbe des Briefpapiers. - Auf eine besonders schöne Schriftart. + Auf einen fehlerfreien, klaren Lebenslauf und ein gutes Motivationsschreiben. - Auf ein lustiges Hintergrundbild. {In einem Büro gibt es viele Unterbrechungen. Eine Analyse zeigt: Die meisten Unterbrechungen kommen von zwei Ursachen. Was ist sinnvoll? |type="()"} + Zuerst diese zwei Ursachen angehen. - Alle Ursachen gleichzeitig angehen. - Nur die seltensten Ursachen angehen. - Nichts ändern. {Ordnen Sie die Schritte der Pareto-Denkweise richtig. Welche Reihenfolge stimmt? |type="()"} - Alles gleich behandeln → Ergebnis abwarten → aufhören + Aufgaben oder Ursachen sammeln → die wenigen wichtigsten erkennen → diese zuerst bearbeiten - Die unwichtigsten zuerst erledigen → die wichtigsten vergessen → neu beginnen - Zuerst arbeiten → dann sammeln → dann nichts bearbeiten </quiz> == Zusammenfassung == {| class="wikitable" ! Begriff !! Bedeutung |- | '''Vilfredo Pareto''' || Italienischer Wirtschaftswissenschaftler, lehrte in Lausanne |- | '''Pareto-Prinzip / 80/20-Regel''' || Mit ca. 20 % des Aufwands erreicht man oft ca. 80 % des Ergebnisses. |- | '''Faustregel''' || Die Zahlen sind nur ein grober Richtwert, nicht genau. |- | '''Prioritäten setzen''' || Das Wichtigste zuerst erledigen – den Rest nicht vergessen. |- | '''Grenzen''' || Bei Sicherheit und Genauigkeit (z. B. Rechnungen) muss alles stimmen. |} '''Eigene Übung:''' Schreiben Sie Ihre Aufgaben für diese Woche auf. Markieren Sie die zwei oder drei wichtigsten. Erledigen Sie diese zuerst. = Weiteres = Das [[:w:Paretoprinzip|Pareto-Prinzip]] heisst auch '''80–20-Regel''': ; Zweck : Konzentration auf das Wesentliche / Wenige Aufgaben bringen den grössten Effekt. ; Erklärung : 80 % des Ergebnisses entstehen durch 20 % des Aufwandes. == Beispiel 1: Störungen im Unterricht == In einer Schulklasse machen '''2 von 10 Schülerinnen und Schülern''' rund '''80 % aller Störungen'''. * Es gibt '''10''' Schülerinnen und Schüler. * Nur '''2''' davon stören immer wieder. * Diese 2 sorgen aber für fast den ganzen Lärm und die Unterbrechungen. '''Merksatz:''' Wenige verursachen den grössten Teil des Problems (20 % der Personen verursachen 80 % der Störungen). == Beispiel 2: Kleiderschrank == In einem Kleiderschrank trägt eine Person '''3 von 15 T-Shirts''' fast immer. * Es gibt '''15''' T-Shirts. * Die Person trägt fast immer dieselben '''3'''. * Die anderen 12 liegen die meiste Zeit im Schrank. '''Merksatz:''' Ein kleiner Teil der Sachen wird am meisten genutzt (20 % der Kleidungsstücke werden 80 % der Zeit getragen). == Kurze Zusammenfassung == Das Pareto-Prinzip sagt vereinfacht: :'''Ein kleiner Teil (ca. 20 %) verursacht oder bringt den grössten Teil (ca. 80 %).''' [[Kategorie:Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)]] i5ilglada2zf37e0dm9vwp9zrsl20jn 106 167811 1119382 1071665 2026-11-11T11:26:18Z Paul Sutermeister 37610 1119382 wikitext text/x-wiki __NOTOC__ = SMART-Ziele – Schritt für Schritt = Auf dieser Seite lernen Sie, wie man ein Ziel so formuliert, dass es klar ist und man es wirklich erreichen kann. Sie brauchen dafür '''kein Vorwissen'''. Lesen Sie zuerst jeweils den kurzen Text und beantworten Sie danach die Fragen. Gehen Sie die Schritte der Reihe nach durch. == Schritt 1: Was ist ein Ziel? == Ein '''Ziel''' ist etwas, das man in der Zukunft erreichen möchte. Beispiele: * «Ich möchte die Lehrabschlussprüfung bestehen.» * «Ich möchte fitter werden.» * «Ich möchte mehr Geld sparen.» Viele Ziele sind aber '''zu ungenau'''. Beim Ziel «Ich möchte fitter werden» weiss man nicht: Was genau? Wie viel? Bis wann? Darum erreicht man solche Ziele oft nicht. <quiz display=simple> {Was ist ein Ziel? |type="()"} + Etwas, das man in der Zukunft erreichen möchte. - Etwas, das gestern passiert ist. - Eine Aufgabe, die jemand anders für mich erledigt. - Ein Problem, das man nicht lösen kann. {Warum erreicht man viele Ziele nicht? |type="()"} - Weil Ziele immer zu leicht sind. + Weil sie oft zu ungenau formuliert sind. - Weil man Ziele nie aufschreiben darf. - Weil nur Chefinnen und Chefs Ziele haben dürfen. </quiz> == Schritt 2: Was bedeutet SMART? == '''SMART''' ist eine Hilfe (eine Methode), um Ziele gut zu formulieren. Das Wort besteht aus fünf Buchstaben. Jeder Buchstabe steht für eine Eigenschaft, die ein gutes Ziel haben soll: {| class="wikitable" ! Buchstabe !! Bedeutung !! Frage dazu |- | '''S''' || '''Spezifisch''' || Was genau will ich erreichen? |- | '''M''' || '''Messbar''' || Woran sehe ich, dass ich es geschafft habe? |- | '''A''' || '''Attraktiv''' || Will ich das wirklich? Lohnt es sich für mich? |- | '''R''' || '''Realistisch''' || Kann ich das überhaupt schaffen? |- | '''T''' || '''Terminiert''' || Bis wann will ich es erreicht haben? |} Hinweis: Manchmal liest man beim '''A''' auch «akzeptiert» oder «erreichbar». Die Idee ist ähnlich. Auf dieser Seite verwenden wir '''attraktiv'''. Merksatz: '''Ein Ziel ist dann SMART, wenn alle fünf Punkte erfüllt sind.''' <quiz display=simple> {Wofür braucht man die SMART-Methode? |type="()"} - Um Rechnungen zu schreiben. + Um Ziele klar und gut zu formulieren. - Um ein Handy schneller zu machen. - Um Wörter zu übersetzen. {Aus wie vielen Teilen besteht SMART? |type="()"} - Aus drei Teilen. - Aus vier Teilen. + Aus fünf Teilen. - Aus sechs Teilen. {Wofür steht das '''S'''? |type="()"} - Schnell + Spezifisch - Schwierig - Sicher {Wofür steht das '''M'''? |type="()"} + Messbar - Modern - Mutig - Möglich {Wofür steht das '''A'''? |type="()"} - Anstrengend - Alt + Attraktiv - Allein {Wofür steht das '''R'''? |type="()"} - Richtig - Rasch - Ruhig + Realistisch {Wofür steht das '''T'''? |type="()"} - Toll + Terminiert - Teuer - Theoretisch {Ergänzen Sie die fünf Wörter (Kleinschreibung oder Grossschreibung ist beides möglich). |type="{}"} S = { Spezifisch|spezifisch _12 } M = { Messbar|messbar _12 } A = { Attraktiv|attraktiv _12 } R = { Realistisch|realistisch _12 } T = { Terminiert|terminiert _12 } </quiz> == Schritt 3: S – Spezifisch == '''Spezifisch''' heisst: '''genau'''. Das Ziel sagt klar, '''was''' man erreichen will. Niemand muss raten. * Ungenau: «Ich will besser in Englisch werden.» * Spezifisch: «Ich will jeden Tag 10 neue englische Wörter lernen.» Prüffrage: '''Was genau will ich erreichen?''' <quiz display=simple> {Was bedeutet «spezifisch»? |type="()"} - Schnell + Genau, klar beschrieben - Lustig - Teuer {Welches Ziel ist spezifisch? |type="()"} - «Ich will gesünder leben.» - «Ich will mehr lernen.» + «Ich will jeden Morgen zu Fuss zur Arbeit gehen.» - «Ich will besser werden.» {Welche Ziele sind '''nicht''' spezifisch? (Mehrere Antworten möglich) |type="[]"} + «Ich will ordentlicher sein.» + «Ich will mehr Sport machen.» - «Ich will jeden Freitag mein Pult aufräumen.» - «Ich will zweimal pro Woche 30 Minuten joggen.» </quiz> == Schritt 4: M – Messbar == '''Messbar''' heisst: Man kann '''zählen oder prüfen''', ob das Ziel erreicht ist. Oft braucht es dafür eine '''Zahl''' (z. B. Note, Anzahl, Franken, Minuten, Kilometer). * Nicht messbar: «Ich will mehr sparen.» * Messbar: «Ich will jeden Monat 100 Franken sparen.» Prüffrage: '''Woran erkenne ich, dass ich es geschafft habe?''' <quiz display=simple> {Was bedeutet «messbar»? |type="()"} - Das Ziel ist schön formuliert. + Man kann prüfen oder zählen, ob das Ziel erreicht ist. - Das Ziel ist geheim. - Das Ziel ist für alle gleich. {Was hilft oft, damit ein Ziel messbar wird? |type="()"} + Eine Zahl, z. B. eine Note, eine Anzahl oder einen Betrag. - Ein schönes Bild. - Viele Adjektive wie «toll» oder «super». - Ein langer Text. {Welches Ziel ist messbar? |type="()"} - «Ich will viel lesen.» - «Ich will freundlicher sein.» + «Ich will in der nächsten Mathematikprüfung mindestens eine 4,5 erreichen.» - «Ich will weniger am Handy sein.» {Welche Ziele sind messbar? (Mehrere Antworten möglich) |type="[]"} + «Ich will pro Monat ein Buch lesen.» - «Ich will ein bisschen mehr trinken.» + «Ich will täglich höchstens 2 Stunden am Handy sein.» - «Ich will besser schlafen.» </quiz> == Schritt 5: A – Attraktiv == '''Attraktiv''' heisst: Das Ziel ist '''für mich wichtig''' und '''lohnt sich'''. Ich habe einen guten Grund dafür und bin motiviert. Wenn mir ein Ziel egal ist, gebe ich schnell auf. * Wenig attraktiv: Ein Ziel, das nur jemand anders will und das mir nichts bringt. * Attraktiv: «Ich will 10 englische Wörter pro Tag lernen, weil ich im Sommer in London arbeiten möchte.» Prüffrage: '''Will ich das wirklich? Was habe ich davon?''' <quiz display=simple> {Was bedeutet «attraktiv» bei einem Ziel? |type="()"} - Das Ziel sieht schön aus. - Das Ziel ist sehr schwierig. + Das Ziel ist mir wichtig und ich bin motiviert, es zu erreichen. - Das Ziel ist für andere Menschen wichtig, aber nicht für mich. {Warum ist es wichtig, dass ein Ziel attraktiv ist? |type="()"} + Weil man sonst schnell die Lust verliert und aufgibt. - Weil man es sonst nicht aufschreiben kann. - Weil man sonst keine Zahl braucht. - Das ist nicht wichtig. {Welche Frage passt zum Buchstaben '''A'''? |type="()"} - Bis wann will ich es schaffen? - Woran sehe ich, dass ich es geschafft habe? + Was habe ich davon? Will ich das wirklich? - Was genau will ich erreichen? </quiz> == Schritt 6: R – Realistisch == '''Realistisch''' heisst: Ich '''kann''' das Ziel mit meiner Zeit, meinem Geld und meinem Können wirklich '''erreichen'''. Das Ziel darf eine Herausforderung sein, aber nicht unmöglich. * Nicht realistisch: «Ich will in einer Woche perfekt Chinesisch sprechen.» * Realistisch: «Ich will in drei Monaten die 200 wichtigsten chinesischen Wörter kennen.» Prüffrage: '''Kann ich das wirklich schaffen?''' <quiz display=simple> {Was bedeutet «realistisch»? |type="()"} - Das Ziel ist sehr leicht und ohne Anstrengung erreichbar. + Das Ziel ist anspruchsvoll, aber mit meinen Möglichkeiten erreichbar. - Das Ziel ist unmöglich. - Das Ziel ist nur ein Traum. {Welches Ziel ist realistisch? |type="()"} - «Ich will morgen einen Marathon laufen, obwohl ich nie jogge.» - «Ich will diesen Monat eine Million Franken sparen.» + «Ich will in 8 Wochen 5 Kilometer ohne Pause joggen können.» - «Ich will in zwei Tagen fünf Sprachen lernen.» {Welche Frage passt zum Buchstaben '''R'''? |type="()"} + Kann ich das wirklich schaffen? - Was genau will ich erreichen? - Bis wann will ich es erreicht haben? - Woran sehe ich, dass ich es geschafft habe? </quiz> == Schritt 7: T – Terminiert == '''Terminiert''' heisst: Das Ziel hat einen '''Termin''', also ein '''Datum oder eine Frist'''. Man weiss, '''bis wann''' das Ziel erreicht sein soll. Ohne Termin schiebt man das Ziel oft immer weiter hinaus. * Nicht terminiert: «Ich will irgendwann meinen Lebenslauf schreiben.» * Terminiert: «Ich will meinen Lebenslauf bis am 30. November fertig schreiben.» Prüffrage: '''Bis wann will ich es erreicht haben?''' <quiz display=simple> {Was bedeutet «terminiert»? |type="()"} - Das Ziel ist beendet und vergessen. + Das Ziel hat ein Datum oder eine Frist (bis wann). - Das Ziel ist sehr wichtig. - Das Ziel ist geheim. {Welches Ziel ist terminiert? |type="()"} - «Ich will bald mein Zimmer streichen.» - «Ich will später einmal den Führerschein machen.» + «Ich will bis Ende März die Theorieprüfung für den Führerschein bestehen.» - «Ich will irgendwann umziehen.» {Welche Wörter zeigen, dass ein Ziel '''nicht''' terminiert ist? (Mehrere Antworten möglich) |type="[]"} + irgendwann + bald + später einmal - bis am 15. Juni - bis Ende Semester </quiz> == Schritt 8: Ganze Ziele prüfen == Jetzt kennen Sie alle fünf Buchstaben. Ein Ziel ist erst dann '''SMART''', wenn '''alle fünf''' Punkte erfüllt sind. Lesen Sie die Ziele genau und prüfen Sie jeden Buchstaben einzeln: * S – Was genau? * M – Woran messe ich es? * A – Will ich das wirklich? * R – Schaffe ich das? * T – Bis wann? <quiz display=simple> {Welches Ziel ist '''ganz''' SMART? |type="()"} - «Ich will besser in Excel werden.» - «Ich will bis nächste Woche alle Excel-Funktionen der Welt auswendig können.» + «Ich will bis Ende Monat die Funktionen SUMME, MITTELWERT und WENN sicher anwenden können, weil ich sie im Praktikum brauche.» - «Ich will irgendwann mehr Excel üben.» {Ziel: «Ich will mehr Sport machen.» Was fehlt? (Mehrere Antworten möglich) |type="[]"} + Es ist nicht spezifisch (welcher Sport? wie oft?). + Es ist nicht messbar (keine Zahl). + Es ist nicht terminiert (kein Datum). - Es fehlt nichts, das Ziel ist SMART. {Ziel: «Ich will jeden Tag 5 Stunden Vokabeln lernen, obwohl ich daneben 100 % arbeite.» Welcher Punkt ist '''vor allem''' nicht erfüllt? |type="()"} - S – Spezifisch - M – Messbar + R – Realistisch - T – Terminiert {Ziel: «Ich will 20 Bewerbungen schreiben.» Welcher Punkt fehlt '''vor allem'''? |type="()"} - S – Spezifisch - M – Messbar - R – Realistisch + T – Terminiert {Ziel: «Ich will bis am 31. Januar jeden Monat 150 Franken auf mein Sparkonto legen, damit ich mir im Sommer eine Reise leisten kann.» Welche Punkte sind erfüllt? (Mehrere Antworten möglich) |type="[]"} + S – Spezifisch + M – Messbar + A – Attraktiv + R – Realistisch + T – Terminiert </quiz> == Schritt 9: Ein Ziel verbessern == Aus einem ungenauen Ziel kann man Schritt für Schritt ein SMART-Ziel machen. Beispiel: # Ungenau: «Ich will besser in Deutsch werden.» # '''S''' dazu: «Ich will meine Rechtschreibung verbessern.» # '''M''' dazu: «… und im nächsten Diktat höchstens 5 Fehler machen.» # '''A''' dazu: «… weil ich gute Bewerbungen schreiben möchte.» # '''R''' prüfen: Bisher hatte ich etwa 12 Fehler. 5 Fehler sind mit Üben machbar. # '''T''' dazu: «… bis zum Diktat am 15. Dezember.» '''Fertiges SMART-Ziel:''' «Ich will bis zum Diktat am 15. Dezember meine Rechtschreibung so verbessern, dass ich höchstens 5 Fehler mache, weil ich gute Bewerbungen schreiben möchte.» <quiz display=simple> {Ausgangsziel: «Ich will pünktlicher sein.» Welche Version ist die beste SMART-Version? |type="()"} - «Ich will viel pünktlicher sein.» - «Ich will ab sofort nie mehr in meinem Leben zu spät kommen.» + «Ich will in den nächsten 4 Wochen an allen Schultagen spätestens um 7.55 Uhr im Schulzimmer sein, damit ich den Anfang des Unterrichts nicht verpasse.» - «Ich will irgendwann pünktlicher werden.» {Ausgangsziel: «Ich will gesünder essen.» Welche Ergänzung macht das Ziel '''messbar'''? |type="()"} - «… weil es mir wichtig ist.» + «… und an mindestens 5 Tagen pro Woche Gemüse zum Mittagessen essen.» - «… so gut wie möglich.» - «… irgendwann einmal.» {Ausgangsziel: «Ich will mein Zimmer aufräumen.» Welche Ergänzung macht das Ziel '''terminiert'''? |type="()"} - «… gründlich.» - «… weil ich Ordnung mag.» + «… bis Samstag um 12 Uhr.» - «… mit Musik.» {In welcher Reihenfolge stehen die Buchstaben bei SMART? |type="()"} - Messbar – Spezifisch – Terminiert – Attraktiv – Realistisch + Spezifisch – Messbar – Attraktiv – Realistisch – Terminiert - Realistisch – Attraktiv – Spezifisch – Messbar – Terminiert - Terminiert – Realistisch – Attraktiv – Messbar – Spezifisch </quiz> == Zusammenfassung == {| class="wikitable" ! Buchstabe !! Bedeutung !! Prüffrage |- | '''S''' || Spezifisch || Was genau will ich erreichen? |- | '''M''' || Messbar || Woran sehe ich, dass ich es geschafft habe? |- | '''A''' || Attraktiv || Will ich das wirklich? Was habe ich davon? |- | '''R''' || Realistisch || Kann ich das wirklich schaffen? |- | '''T''' || Terminiert || Bis wann will ich es erreicht haben? |} '''Eigene Übung:''' Schreiben Sie ein eigenes Ziel für dieses Semester auf und prüfen Sie es mit den fünf Fragen oben. = Weiteres = '''[[:w:SMART (Projektmanagement)|SMART]]''': ; Zweck : '''Gute Zielsetzung:''' Wenn klar ist, was wichtig ist, folgt die Formulierung guter Ziele. → Priorisierte Aufgaben werden zu überprüfbaren Zielen. ; Bedeutung : '''S'''pezifisch – klar formuliert : '''M'''essbar – überprüfbar : '''A'''kzeptiert – von allen getragen : '''R'''ealistisch – machbar : '''T'''erminiert – klare Frist == Beispiel == ; Nicht SMART : „Ich will mehr Sport machen.“ : → zu unklar: Was, wie oft, wie lange? ; SMART-Ziel : „Ich gehe ab nächstem Montag 3-mal pro Woche jeweils 30 Minuten spazieren – für die nächsten 4 Wochen.“ === Erklärung === {| class="wikitable" ! Buchstabe !! Bedeutung !! Im Beispiel |- | S – Spezifisch || Genau sagen, was || Spazieren gehen |- | M – Messbar || Zählbar machen || 3-mal pro Woche, 30 Minuten |- | A – Attraktiv || Machbar und motivierend || Spazieren ist leicht |- | R – Realistisch || Wirklich schaffbar || 30 Minuten ist nicht zu viel |- | T – Terminiert || Mit genauer Zeitangabe || 4 Wochen lang |} '''Merksatz:''' SMART bedeutet: genau – zählbar – machbar – sinnvoll – mit Termin. [[Kategorie:Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)]] pscwbq23wie3v5kc6k32nsikct7uhga 106 170557 1119329 1118982 2026-11-10T14:24:29Z Bocardodarapti 2041 1119329 wikitext text/x-wiki *[[Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2026-2027)/Teil I/Definitionsliste|Definitionsliste]] *[[Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2026-2027)/Teil I/Definitionsabfrage|Definitionsabfrage]] *[[Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2026-2027)/Teil I/Liste der Hauptsätze|Wichtigste Aussagen]] *[[Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2026-2027)/Teil I/Liste der Hauptsätze/Zufallsabfrage|Aussagen (Abfrage)]] *[[Mathematik/Hilfsmittel/Griechisches Alphabet|Griechisches Alphabet]] *[[Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/2. Drittel/1/Klausur|Beispiel für eine zweite Testklausur]] *[[Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/2. Drittel/2/Klausur|Beispiel für eine zweite Testklausur]] *[[Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/2. Drittel/3/Klausur|Beispiel für eine zweite Testklausur]] *[[Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/1. Drittel/4/Klausur|Erste Testklausur von Freitag]] *[[Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/Klausuren|Beispielklausuren]] *[[Benutzer:Bocardodarapti/Klausurbewertung/Linear|Klausurbewertung]] * [[Kurs:Grundkurs_Mathematik_(Osnabrück_2026-2027)/Teil_I/Information/Lernbegleitungsquiz|Lernbegleitungsquiz]] <noinclude>[[Kategorie:Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2026-2027)/Teil I/Hilfsstruktur]]</noinclude> 7avvflf48sipy3af3nicow1x5l4c4lc 106 170608 1119336 1119028 2026-11-10T14:40:30Z Bocardodarapti 2041 1119336 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2026-2027)/Teil I/Arbeitsblattgestaltung|9| {{Zwischenüberschrift|Die Pausenaufgabe}} {{ inputaufgabe |Produktmenge/NxN/Reell/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|Übungsaufgaben}} {{ inputaufgabe |Lehrpersonen/Titel/Nachnamen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputbild |Black cat sitting on a round straw bale|jpg|230px {{!}} right {{!}} | |Zusname=Black_cat_sitting_on_a_round_straw_bale |Text=Wie kann man den runden Strohballen (ohne die Katze) als eine Produktmenge beschreiben? |Autor= |Benutzer=Flickr upload bot |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 2.0 |Bemerkung= }} {{ inputaufgabe |Produktmenge/Geometrische Beispiele/2/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Es empfiehlt sich, die in den folgenden Aufgaben formulierten Mengenidentitäten zu veranschaulichen. {{ inputaufgabe |Produktmenge/Distributivgesetz/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Produktmenge/Durchschnitt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Produktmenge/Durchschnitt/2/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Produktmenge/Binomische Formel/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Produktmenge/Reihenfolge/Bijektion/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Personen/Vornamen und Nachnamen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Verschiedene Teilmengen im R^2/Skizziere/3/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Natürliche Zahlen/Nachfolgernehmen/Wertetabelle/Graph/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Graph (Abbildung)/R nach R/Schule/Beispiele/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Externer Algorithmus/Polynomgraph/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputbild |Non-injective function|svg|230px {{!}} right {{!}} | |Zusname=Non-injective_function| |Text= |Autor= |Benutzer=Fulvio314 |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 1.0 |Bemerkung= }} {{ inputaufgabe |Graph (Abbildung)/R nach R/Injektiv und surjektiv/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Verknüpfung/Neutrales Element/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Verknüpfung/Farbenmischen/Assoziativ/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Verknüpfung/Namensverbindung/Assoziativ/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Verknüpfung/Doppelnamen/Endseitige Namensverbindung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Menge/Abbildungsmonoid/Verknüpfungseigenschaften/Erläutert/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Rechengesetze wie das Kommutativgesetz oder das Assoziativgesetz kann man so verstehen, dass verschiedene Verarbeitungsprozesse {{ Zusatz/Klammer |text=von Eingangsdaten| |ISZ=|ESZ= }} zum gleichen Ergebnis führen. Verarbeitungsprozesse kann man in einem Verarbeitungsdiagramm {{ Zusatz/Klammer |text=work-flow| |ISZ=|ESZ= }} darstellen. Die Gesetzmäßigkeit zeigt sich im Verarbeitungsdiagramm darin, dass die Verarbeitungen entlang der verschiedenen erlaubten Pfeilreihenfolgen die gleichen Ergebnisse besitzen. {{ inputaufgabe |Verknüpfung/Kommutativ/Diagramm/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Verknüpfung/Assoziativ/Diagramm/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Verknüpfung/Assoziativ/4 Faktoren/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Zählen/Addition/Einsundeins/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Zählen/Strichsystem/Addition/Reihenfolge/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Zählen/Heute_und_Morgen/Addition/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} In der folgenden Aufgabe bedeutet {{ Relationskette | k | \leq | n || || || |SZ=, }} dass man von {{math|term= k |SZ=}} ausgehend durch mehrfaches Nachfolgernehmen zu {{math|term= n |SZ=}} gelangen kann. {{ inputaufgabe |Natürliche Zahlen/Intervalle/Nachfolgerintervall/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Natürliche Zahlen/Intervalle/Zahlsysteme/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Natürliche Zahl/Feste Addition/Abbildungseigenschaften/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kleine Einsundeins/Anzahl der Additionen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Zählen/Addition/Strichsystem/1/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Natürliche Zahl/5/Summendarstellung/Anzahl/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Additionstabelle/N/Volle Summe/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Addition/Multiplikation/Abbildungseigenschaften/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Addition/N/Nicht tragfähig für Q/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Vereinigung/Abziehregel/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kapitän/Alter/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|Aufgaben zum Abgeben}} {{ inputaufgabe |Verschiedene Teilmengen im R^2/Skizziere/2/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Verknüpfung/Assoziativ/5 Faktoren/1/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Natürliche Zahlen/Intervalle/Addition/Bijektion/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= Anleitung: Führe{{n Sie}} Induktion nach {{math|term= n |SZ=}} unter Verwendung von {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Natürliche Zahlen/Intervalle/Nachfolgerintervall/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} }} {{ inputaufgabe |Endliche Menge/Formel für Durchschnitt und Vereinigung/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} }} jh1bjf8kg4yfbenvx62w1paxff92ga8 106 172013 1119378 1115214 2026-11-11T10:59:13Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1119378 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Aufgabe|9|26|Kurs=|}} 4hpxpzd4xfq19r45azf1jfr7uz00zer 106 172115 1119379 1119225 2026-11-11T10:59:23Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1119379 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Aufgabe|9|39|Kurs=|}} jzq0ks08rynmxl9fd61ogwck1pxc9t4 106 172192 1119380 1119226 2026-11-11T10:59:33Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1119380 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Aufgabe|9|40|Kurs=|}} 9p0mymezmxft1g79grwbnw1pr10wa0k 0 172731 1119345 1118131 2026-11-10T16:05:11Z Bocardodarapti 2041 1119345 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ Abbildung/display |name= \delta |\Z^m | \Z || |SZ= }} die Standardgraduierung und {{ Abbildung/display |name=d | \Z^m | D || |SZ= }} mit {{math|term= D |SZ=}} endlich. 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Es ist {{ Relationskette/display | L_c || {{Mengebed| \nu \in \N^m| d( \nu) {{=}} c }} || || || |SZ= }} ein reflexiver Rang eins Modul über dem Invariantenring {{ Relationskette | L_0 || R || || || |SZ=. }} Die allgemeine Formel für die kumulative Hilbertfunktion von {{math|term= L_c |SZ=}} ist {{ Relationskette/display | A_c(N) || {{op:Anzahl| {{Mengebed|\nu| d(\nu) {{=}} c | {{op:Betrag| \nu|}} \leq N }} }} || || || |SZ=. }} Für jedes {{math|term= n |SZ=}} verteilt sich der Wert {{math|term= h(n) |SZ=}} der Hilbertfunktion des Polynomringens auf endlich viele {{math|term= c |SZ=,}} also {{ Relationskette/display | h(n) || \sum_{c \in D} {{op:Anzahl| {{Mengebed| \nu | d(\nu) {{=}} c | {{op:Betrag| \nu|}} {{=}} n }} }} || || || |SZ=. }} Es ist für den Polynomring {{ Relationskette/display | h (n) || {{op:Binomialkoeffizient|n+m-1|m-1}} || \alpha_{m-1} n^{m-1} + \alpha_{m-2} n^{m-2} {{plusdots}} \alpha_1 n+ \alpha_{0} || || |SZ= }} die nichtkumulative Hilbertfunktion für {{ Relationskette | n | \geq| 0 || || || |SZ=. }} {{ inputbemerkung |Polynomring/Standardgraduierung/Endliche Graduierung/Aufteilung/Hilbertfunktionen/Bemerkung|| }} {{ inputbemerkung |Polynomring/Standardgraduierung/Primäres Ideal/Totale Hilbert-Kunz Reihe/Bemerkung|| }} Feiner Ansatz {{ inputbemerkung |Polynomring/Standardgraduierung/Endliche_Graduierung/Aufteilung/Feiner Ansatz/Bemerkung|| }} {{ inputbeispiel |A_1-Singularität/Hilbertfunktion/Aufteilung/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |A_(k-1)-Singularität/Hilbertfunktion/Aufteilung/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |A_(k-1)-Singularität/Moduln/Hilbertreihe/Beispiel|| }} Wir betrachten die starke Bedingung, dass {{math|term= c |SZ=}} durch {{math|term= \delta |SZ=}} faktorisiert. Dann ist, für die Moduln {{mathl|term= L_d |SZ=}} zu {{ Relationskette | d | \in | D || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | h_{L_d} (n) || \begin{cases} h (n), \text{ falls } c(n) {{=}} d \, ,\\ 0 \text{ sonst} . \end{cases} || || || |SZ= }} Die Summe von {{math|term= 0 |SZ=}} bis {{math|term= N |SZ=}} ist dann für die einzelnen Koeffizienten {{ Math/display|term= \alpha_i \sum_{ n \in \{1 {{kommadots|}} N\}, \, c(n) {{=}} d } n^i |SZ=. }} {{ inputbeispiel |Veronesering/Zweidimensional/Auflösung/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Veronesering/Zweidimensional/Auflösung/Standardgraduierung/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Veronesering/Zweidimensional/Grad 3/Auflösung/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Veronesering/Dreidimensional/Grad 2/Auflösung/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Veronesering/Dreidimensional/Auflösung/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Veronesering/Dreidimensional/Grad 3/Auflösung/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Veronesering/Dreidimensional/Grad 4/Auflösung/Beispiel|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Hilbertfunktion graduierter Moduln |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd |pdf= }} 1eiapv8m83dguuha7vlsh03ir6epyut 1119374 1119362 2026-11-11T09:56:54Z Bocardodarapti 2041 1119374 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ Abbildung/display |name= \delta |\Z^m | \Z || |SZ= }} die Standardgraduierung und {{ Abbildung/display |name=d | \Z^m | D || |SZ= }} mit {{math|term= D |SZ=}} endlich. 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Weiterleitung anzulegen 1119284 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten den Veronesering in drei Variablen zum Grad {{math|term= 2 |SZ=.}} Es gibt nur {{math|term= R |SZ=}} und {{math|term= L |SZ=.}} Die Hilbertfunktion des Polynomringes ist {{ Relationskette/display | h(n) || {{op:Binomialkoeffizient| n+1 | 2 }} || {{op:Bruch| n^2+3n+2 | 2 }} || || |SZ=, }} die Summationsfunktionen sind {{ Relationskette/align | A_0(N) || \sum_{n {{=}} 0 {{kommadots}} N,\, n \text{ gerade} } {{op:Bruch| n^2+3n+2 | 2 }} || \sum_{k {{=}} 0}^{ {{op:Gaußklammer| {{op:Bruch|N|2}} |}} } {{makl| 2 k^2+3k+1 |}} || {{op:Bruch|1|3}} {{op:Gaußklammer| {{op:Bruch|N|2}} |}} {{makl| {{op:Gaußklammer| {{op:Bruch|N|2}} |}}+1 |}} {{makl| 2 {{op:Gaußklammer| {{op:Bruch|N|2}} |}}+1 |}} + {{op:Bruch|3|2}} {{op:Gaußklammer| {{op:Bruch|N|2}} |}} {{makl| {{op:Gaußklammer| {{op:Bruch|N|2}} |}}+1 |}} + {{op:Gaußklammer| {{op:Bruch|N|2}} |}}+1 || {{makl| {{op:Gaußklammer| 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}} und {{ Relationskette/align | A_1(N) || \sum_{n {{=}} 0 {{kommadots}} N,\, n \text{ ungerade} } {{op:Bruch| n^2+3n+2 | 2 }} || ... || {{op:Bruch|1|6}} {{makl| 4 {{op:Gaußklammer| {{op:Bruch|N-1|2}} |}}^3 + 21 {{op:Gaußklammer| {{op:Bruch|N-1|2}} |}}^2 + 35 {{op:Gaußklammer| {{op:Bruch|N-1|2}} |}} + 18 |}} |SZ=. }} Die endliche projektive Auflösung des Erweiterungsideals zum maximalen Ideal ist {{ Zusatz/Klammer |text=für {{math|term= p |SZ=}} hinreichend groß| |ISZ=|ESZ= }} {{ Math/display|term= 0 \longrightarrow \bigoplus_{3} S(-4) \longrightarrow \bigoplus_{8} S(-3) \longrightarrow \bigoplus_{6} S(-2) \longrightarrow S \longrightarrow S/ {{makl| U^2,U V, UW, V^2, W^2, VW |}} |SZ= }} mit den Frobenius-Versionen {{ Math/display|term= 0 \longrightarrow \bigoplus_{3} S(-4q) \longrightarrow \bigoplus_{8} S(-3q) \longrightarrow \bigoplus_{6} S(-2q) \longrightarrow S \longrightarrow S/ {{makl| U^{2q},U^q V^q, U^qW^q, V^{2q}, W^{2q}, V^qW^q |}} |SZ=. }} Die Pseudoauflösung ist dann {{ Zusatz/Klammer |text= {{math|term= q |SZ=}} ungerade| |ISZ=|ESZ= }} {{ Math/display|term= 0 \longrightarrow \bigoplus_{3} R(-4q) \longrightarrow \bigoplus_{8} L(-3q) \longrightarrow \bigoplus_{6} R(-2q) \longrightarrow R \longrightarrow R/ {{idealm|}}^{[q]} |SZ=. }} Summe bis {{mathl|term= N= 4 q |SZ=.}} Ergibt {{ Math/display|term= A_0(4q) - 6 A_0(2q) +8 A_1 (q) - 3 |SZ=. }} {{ Relationskette/align/netzlinks | A_0(4q) - 6 A_0(2q) +8 A_1 (q) - 3 || {{op:Bruch|1|6}} {{makl| {{makl| 4 {{op:Gaußklammer| 2q |}}^3 + 15 {{op:Gaußklammer| 2q |}}^2 + 17 {{op:Gaußklammer| 2q |}} + 6 |}} -6 {{makl| 4 {{op:Gaußklammer| q |}}^3 + 15 {{op:Gaußklammer| q |}}^2 + 17 {{op:Gaußklammer| q |}} + 6}} +8 {{makl| 4 {{op:Gaußklammer| {{op:Bruch|q-1|2}} |}}^3 + 21 {{op:Gaußklammer| {{op:Bruch|q-1|2}} |}}^2 + 35 {{op:Gaußklammer| {{op:Bruch|q-1|2}} |}} + 18 |}} -18 |}} || {{op:Bruch|1|6}} {{makl| {{makl| 32 -24 +4 |}} q^3 + {{makl| 60-90 -12+ 42 |}} q^2 + {{makl| 34-102+ 12 - 84 + 140 |}} q +6-36 -4 +42 -140 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Drittel/3/Aufgabe|p||| |Elementare Mathematik 1/Gemischte Satzabfrage/2. 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Unternehmensform | GmbH |- ! Gründung | 1900 bei Athen, Griechenland |- ! Sitz | Darmstadt, [[Datei:Flag of Germany.svg|20px]] Deutschland |- ! Leitung | Thomas Born |- ! Branche | Unternehmensberatung |} = Unser Unternehmen = Wir sind '''Anthropos''', ihr Büro für Unternemensführung! Im Jahr 1900 in der Nähe von Athen gegründet bieten wir ausgewählten Kundinnen und Kunden Unterstützung bei der Realisierung ihrer Unternehmensziele. Bis 1951 waren wir rein am Mittelmeer ansässig. Aber bereits kurz danach expandierten wir in die DACH-Region und etablierten mit unserer langen Erfahrung Konzepte für den Unternemer von morgen. Anthropos ist eine [[Kurs:Sozialwissenschaften/Einführung BWL (h da)/Unternehmen WS26 27/Anthropos/Gmbh|GmbH]]. [[Kategorie:Kurs:Sozialwissenschaften/Einführung BWL (h da)]] = Unser Team = Einzelheiten über unser [[Kurs:Sozialwissenschaften/Einführung BWL (h da)/Unternehmen WS26 27/Anthropos-Team|Team]] und unsere Unternehmensorganisation finden Sie unter dem Link. == Unser Angebot == Seit über 125 Jahren begleiten wir Unternehmen auf ihrem Weg zum Erfolg. Was einst am Mittelmeer begann, verbinden wir heute mit modernen Methoden aus Betriebswirtschaft und Sozialwissenschaften. Denn bei uns steht der Mensch im Mittelpunkt, nicht ohne Grund heißen wir Anthropos. * '''Strategie & Unternehmensführung:''' Wir entwickeln mit Ihnen Strategien und Leitbilder und analysieren Markt, Wettbewerb und Standort. * '''Gründung & Nachfolge:''' Von der Geschäftsidee über Businessplan, Rechtsformwahl und Finanzierung bis zur Übergabe an die nächste Generation. * '''Organisation & Personal:''' Wir begleiten Veränderungsprozesse, führen Mitarbeiterbefragungen durch und coachen Führungskräfte. * '''Markt- und Meinungsforschung:''' Kunden-, Haushalts- und Bürgerbefragungen sowie Interviews, wissenschaftlich fundiert und verständlich aufbereitet. '''So arbeiten wir:''' Nach einem kostenlosen Erstgespräch analysieren wir Ihre Ausgangslage, erstellen ein individuelles Konzept und setzen es gemeinsam mit Ihnen um. Ob kleines Familienunternehmen oder Großkonzern: Wir freuen uns auf Ihre Anfrage! ==Individuelles Angebot== [[Kurs:Sozialwissenschaften/Einführung_BWL_(h_da)/Unternehmen_WS26_27/Antrophos|erstes Angebot]] [[Kategorie:Kurs:Sozialwissenschaften:Einführung BWL (h da)]] dpn8305do1pp909xwivpnlypymhulcl 106 173441 1119359 1119169 2026-11-11T07:21:29Z Bert Niehaus 20843 /* Einleitung */ 1119359 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Um zunächst einmal die Stetigkeit auf der algebraischen Vervollständigung eines Logarithmus zu erhalten, darf man den Wertebereich nicht dem Relativitopologie von <math>\mathbb{C}</math> auf den Wertebereich topologisieren. In dieser Lerneinheit behandelt man zunächst <math>\mathbb{D}_1 := \mathbb{R} + i\cdot [0,2\pi)</math> der mit einer Zylindertopologie versehen wird. In allgemeier Form entstehen in Abhängigkeit von dem gewählten einfach zusammenhängenden Gebiet auch andere Topologien. === Repräsentantensystem === Der Wertebereich des [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus|algebraisch vervollständigten]] [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweigs]] <math>\mathbb{D}_1 := \mathbb{R} + i\cdot [0,2\pi)</math> wird im Folgenden als Einstiegsbeispiel topologisiert. Das das Repräsentantensystem topologisch einem Zylinder gleicht, gilt z.B. für [[Zweige des Logarithmus#Hauptzweige|Hauptzweige des Logarithmus]] bzw. für [[Zweige des Logarithmus]], dessen Gebiet durch [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus|algebraische Vervollständigung]] einer geschlitzten Ebene erzeugt wurde. === Veranschaulichung - Repräsentantensystem === [[Datei:Dielectric cylinder geometry.png|mini|Zylinder - Topologisierung des Bildraumes]] [[Datei:Cylinder geometry.svg|mini|Zylindertopologisierung der Wertbereiches]] == Siehe auch == * [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus]] * [[negativer Hauptzweig des Logarithmus]] am64afmcvp0tgm1hmgxv5zoep0h56h5 1119361 1119359 2026-11-11T07:35:51Z Bert Niehaus 20843 /* Veranschaulichung - Repräsentantensystem */ 1119361 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Um zunächst einmal die Stetigkeit auf der algebraischen Vervollständigung eines Logarithmus zu erhalten, darf man den Wertebereich nicht dem Relativitopologie von <math>\mathbb{C}</math> auf den Wertebereich topologisieren. In dieser Lerneinheit behandelt man zunächst <math>\mathbb{D}_1 := \mathbb{R} + i\cdot [0,2\pi)</math> der mit einer Zylindertopologie versehen wird. In allgemeier Form entstehen in Abhängigkeit von dem gewählten einfach zusammenhängenden Gebiet auch andere Topologien. === Repräsentantensystem === Der Wertebereich des [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus|algebraisch vervollständigten]] [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweigs]] <math>\mathbb{D}_1 := \mathbb{R} + i\cdot [0,2\pi)</math> wird im Folgenden als Einstiegsbeispiel topologisiert. Das das Repräsentantensystem topologisch einem Zylinder gleicht, gilt z.B. für [[Zweige des Logarithmus#Hauptzweige|Hauptzweige des Logarithmus]] bzw. für [[Zweige des Logarithmus]], dessen Gebiet durch [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus|algebraische Vervollständigung]] einer geschlitzten Ebene erzeugt wurde. === Veranschaulichung - Repräsentantensystem === [[File:ID 1 area.svg|350px|center|ID_1 logarithmic set of algebraic complete of negative principle branch]] [[Datei:Dielectric cylinder geometry.png|mini|Zylinder - Topologisierung des Bildraumes]] [[Datei:Cylinder geometry.svg|mini|Zylindertopologisierung der Wertbereiches]] == Siehe auch == * [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus]] * [[negativer Hauptzweig des Logarithmus]] g9kbz0a7wx3ohymucp5pd5ns70btn5b 1119375 1119361 2026-11-11T10:47:14Z Bert Niehaus 20843 /* Veranschaulichung - Repräsentantensystem */ 1119375 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Um zunächst einmal die Stetigkeit auf der algebraischen Vervollständigung eines Logarithmus zu erhalten, darf man den Wertebereich nicht dem Relativitopologie von <math>\mathbb{C}</math> auf den Wertebereich topologisieren. In dieser Lerneinheit behandelt man zunächst <math>\mathbb{D}_1 := \mathbb{R} + i\cdot [0,2\pi)</math> der mit einer Zylindertopologie versehen wird. In allgemeier Form entstehen in Abhängigkeit von dem gewählten einfach zusammenhängenden Gebiet auch andere Topologien. === Repräsentantensystem === Der Wertebereich des [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus|algebraisch vervollständigten]] [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweigs]] <math>\mathbb{D}_1 := \mathbb{R} + i\cdot [0,2\pi)</math> wird im Folgenden als Einstiegsbeispiel topologisiert. Das das Repräsentantensystem topologisch einem Zylinder gleicht, gilt z.B. für [[Zweige des Logarithmus#Hauptzweige|Hauptzweige des Logarithmus]] bzw. für [[Zweige des Logarithmus]], dessen Gebiet durch [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus|algebraische Vervollständigung]] einer geschlitzten Ebene erzeugt wurde. === Veranschaulichung - Repräsentantensystem === [[File:ID 1 area.svg|350px|center|ID_1 logarithmic set of algebraic complete of negative principle branch]] === Zylindertransformation === [[Datei:Dielectric cylinder geometry.png|mini|Zylinder - Topologisierung des Bildraumes]] [[Datei:Cylinder geometry.svg|mini|Zylindertopologisierung der Wertbereiches]] == Siehe auch == * [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus]] * [[negativer Hauptzweig des Logarithmus]] p7exmcxnfov2chazg5x0fzt5ru0mles 1119376 1119375 2026-11-11T10:53:51Z Bert Niehaus 20843 /* Zylindertransformation */ 1119376 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Um zunächst einmal die Stetigkeit auf der algebraischen Vervollständigung eines Logarithmus zu erhalten, darf man den Wertebereich nicht dem Relativitopologie von <math>\mathbb{C}</math> auf den Wertebereich topologisieren. In dieser Lerneinheit behandelt man zunächst <math>\mathbb{D}_1 := \mathbb{R} + i\cdot [0,2\pi)</math> der mit einer Zylindertopologie versehen wird. In allgemeier Form entstehen in Abhängigkeit von dem gewählten einfach zusammenhängenden Gebiet auch andere Topologien. === Repräsentantensystem === Der Wertebereich des [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus|algebraisch vervollständigten]] [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweigs]] <math>\mathbb{D}_1 := \mathbb{R} + i\cdot [0,2\pi)</math> wird im Folgenden als Einstiegsbeispiel topologisiert. Das das Repräsentantensystem topologisch einem Zylinder gleicht, gilt z.B. für [[Zweige des Logarithmus#Hauptzweige|Hauptzweige des Logarithmus]] bzw. für [[Zweige des Logarithmus]], dessen Gebiet durch [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus|algebraische Vervollständigung]] einer geschlitzten Ebene erzeugt wurde. === Veranschaulichung - Repräsentantensystem === [[File:ID 1 area.svg|350px|center|ID_1 logarithmic set of algebraic complete of negative principle branch]] === Zylindertransformation === Der oben dargestellte Wertebereich des [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus|algebraisch vervollständigten]] [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweigs]] <math>\mathbb{D}_1 := \mathbb{R} + i\cdot [0,2\pi)</math> hat die imaginäre Breite <math>2\pi i</math> nun verbindet man die Gerade <math>\mathbb{G}:= \mathbb{R} + i\cdot \{2\pi\}</math> als Parallele zur Realteilachse mit der Realteilachse. Damit entsteht geometrisch ein [[w:de:Zylinder (Mathematik)|Zylinder]] mit Zylinderradius <math>r=1</math>. Für die Gerade <math>\mathbb{G}</math> gilt ferner <math>\mathbb{G} \cap \mathbb{D}_1 = \emptyset </math> [[Datei:Dielectric cylinder geometry.png|mini|Zylinder - Topologisierung des Bildraumes]] [[Datei:Cylinder geometry.svg|mini|Zylindertopologisierung der Wertbereiches]] == Siehe auch == * [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus]] * [[negativer Hauptzweig des Logarithmus]] 91zq2e1yimjrcdquorngsdmnskhkq5q 1119377 1119376 2026-11-11T10:54:09Z Bert Niehaus 20843 /* Zylindertransformation */ 1119377 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Um zunächst einmal die Stetigkeit auf der algebraischen Vervollständigung eines Logarithmus zu erhalten, darf man den Wertebereich nicht dem Relativitopologie von <math>\mathbb{C}</math> auf den Wertebereich topologisieren. In dieser Lerneinheit behandelt man zunächst <math>\mathbb{D}_1 := \mathbb{R} + i\cdot [0,2\pi)</math> der mit einer Zylindertopologie versehen wird. In allgemeier Form entstehen in Abhängigkeit von dem gewählten einfach zusammenhängenden Gebiet auch andere Topologien. === Repräsentantensystem === Der Wertebereich des [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus|algebraisch vervollständigten]] [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweigs]] <math>\mathbb{D}_1 := \mathbb{R} + i\cdot [0,2\pi)</math> wird im Folgenden als Einstiegsbeispiel topologisiert. Das das Repräsentantensystem topologisch einem Zylinder gleicht, gilt z.B. für [[Zweige des Logarithmus#Hauptzweige|Hauptzweige des Logarithmus]] bzw. für [[Zweige des Logarithmus]], dessen Gebiet durch [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus|algebraische Vervollständigung]] einer geschlitzten Ebene erzeugt wurde. === Veranschaulichung - Repräsentantensystem === [[File:ID 1 area.svg|350px|center|ID_1 logarithmic set of algebraic complete of negative principle branch]] === Zylindertransformation === Der oben dargestellte Wertebereich des [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus|algebraisch vervollständigten]] [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweigs]] <math>\mathbb{D}_1 := \mathbb{R} + i\cdot [0,2\pi)</math> hat die imaginäre Breite <math>2\pi i</math> nun verbindet man die Gerade <math>\mathbb{G}:= \mathbb{R} + i\cdot \{2\pi\}</math> als Parallele zur Realteilachse mit der Realteilachse. Damit entsteht geometrisch ein [[w:de:Zylinder (Mathematik)|Zylinder]] mit Zylinderradius <math>r=1</math>. Für die Gerade <math>\mathbb{G}</math> gilt ferner <math>\mathbb{G} \cap \mathbb{D}_1 = \emptyset </math>. [[Datei:Dielectric cylinder geometry.png|mini|Zylinder - Topologisierung des Bildraumes]] [[Datei:Cylinder geometry.svg|mini|Zylindertopologisierung der Wertbereiches]] == Siehe auch == * [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus]] * [[negativer Hauptzweig des Logarithmus]] mlw5osf9kl1ykxwc117tk0ecylylvcu 1119384 1119377 2026-11-11T11:55:56Z Bert Niehaus 20843 /* Zylindertransformation */ 1119384 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Um zunächst einmal die Stetigkeit auf der algebraischen Vervollständigung eines Logarithmus zu erhalten, darf man den Wertebereich nicht dem Relativitopologie von <math>\mathbb{C}</math> auf den Wertebereich topologisieren. In dieser Lerneinheit behandelt man zunächst <math>\mathbb{D}_1 := \mathbb{R} + i\cdot [0,2\pi)</math> der mit einer Zylindertopologie versehen wird. In allgemeier Form entstehen in Abhängigkeit von dem gewählten einfach zusammenhängenden Gebiet auch andere Topologien. === Repräsentantensystem === Der Wertebereich des [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus|algebraisch vervollständigten]] [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweigs]] <math>\mathbb{D}_1 := \mathbb{R} + i\cdot [0,2\pi)</math> wird im Folgenden als Einstiegsbeispiel topologisiert. Das das Repräsentantensystem topologisch einem Zylinder gleicht, gilt z.B. für [[Zweige des Logarithmus#Hauptzweige|Hauptzweige des Logarithmus]] bzw. für [[Zweige des Logarithmus]], dessen Gebiet durch [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus|algebraische Vervollständigung]] einer geschlitzten Ebene erzeugt wurde. === Veranschaulichung - Repräsentantensystem === [[File:ID 1 area.svg|350px|center|ID_1 logarithmic set of algebraic complete of negative principle branch]] === Zylindertransformation === Der oben dargestellte Wertebereich des [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus|algebraisch vervollständigten]] [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweigs]] <math>\mathbb{D}_1 := \mathbb{R} + i\cdot [0,2\pi)</math> hat die imaginäre Breite <math>2\pi i</math> nun verbindet man die Gerade <math>\mathbb{G}:= \mathbb{R} + i\cdot \{2\pi\}</math> als Parallele zur Realteilachse mit der Realteilachse. Damit entsteht geometrisch ein [[w:de:Zylinder (Mathematik)|Zylinder]] mit Zylinderradius <math>r=1</math>. Für die Gerade <math>\mathbb{G}</math> gilt ferner <math>\mathbb{G} \cap \mathbb{D}_1 = \emptyset </math>. === Veranschaulichung - Zylindergeometrie === Die folgende Veranschaulichung zeigt, wie die Ausgangstopologie von <math>\mathbb{D}_1</math> als grau markierter Streifen in der 3. Dimension zu einem Zylinder aufgerollt wird. [[File:ID 1 area cylinder.svg|350px|center|Transformation ID_1 into a cylinder for complex logarithm as range - OpenSource Geogebra - Export]] === Bemerkung zur Veranschaulichung - Zylindergeometrie === In der Abbildung sind zwei ausgezeichnete Punkte aus der komplexen Zahlenebene in blau markiert worden <math>2\pi i</math> und <math>4 + 2\pi i</math>. Diese werden durch "Aufrollen" des Streifens im dreidimensionalen Raum mit den rot markierten Punkten <math>0=2\pi i</math> und <math>4 = 4 + 2\pi i</math> identifziert. [[Datei:Dielectric cylinder geometry.png|250px|center|Zylinder - Topologisierung des Bildraumes]] == Siehe auch == * [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus]] * [[negativer Hauptzweig des Logarithmus]] h5aphlnrtd82sjcjal2du1njk6ffzr5 1119385 1119384 2026-11-11T11:56:46Z Bert Niehaus 20843 1119385 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Um zunächst einmal die Stetigkeit auf der algebraischen Vervollständigung eines Logarithmus zu erhalten, darf man den Wertebereich nicht dem Relativitopologie von <math>\mathbb{C}</math> auf den Wertebereich topologisieren. In dieser Lerneinheit behandelt man zunächst <math>\mathbb{D}_1 := \mathbb{R} + i\cdot [0,2\pi)</math> der mit einer Zylindertopologie versehen wird. In allgemeier Form entstehen in Abhängigkeit von dem gewählten einfach zusammenhängenden Gebiet auch andere Topologien. === Repräsentantensystem === Der Wertebereich des [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus|algebraisch vervollständigten]] [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweigs]] <math>\mathbb{D}_1 := \mathbb{R} + i\cdot [0,2\pi)</math> wird im Folgenden als Einstiegsbeispiel topologisiert. 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Damit entsteht geometrisch ein [[w:de:Zylinder (Mathematik)|Zylinder]] mit Zylinderradius <math>r=1</math>. Für die Gerade <math>\mathbb{G}</math> gilt ferner <math>\mathbb{G} \cap \mathbb{D}_1 = \emptyset </math>. [[Datei:Dielectric cylinder geometry.png|250px|center|Zylinder - Topologisierung des Bildraumes]] === Veranschaulichung - Zylindergeometrie === Die folgende Veranschaulichung zeigt, wie die Ausgangstopologie von <math>\mathbb{D}_1</math> als grau markierter Streifen in der 3. Dimension zu einem Zylinder aufgerollt wird. [[File:ID 1 area cylinder.svg|350px|center|Transformation ID_1 into a cylinder for complex logarithm as range - OpenSource Geogebra - Export]] === Bemerkung zur Veranschaulichung - Zylindergeometrie === In der Abbildung sind zwei ausgezeichnete Punkte aus der komplexen Zahlenebene in blau markiert worden <math>2\pi i</math> und <math>4 + 2\pi i</math>. Diese werden durch "Aufrollen" des Streifens im dreidimensionalen Raum mit den rot markierten Punkten <math>0=2\pi i</math> und <math>4 = 4 + 2\pi i</math> identifziert. == Siehe auch == * [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus]] * [[negativer Hauptzweig des Logarithmus]] j8j9lnze797h6trt9urrtm60l96sj4v 0 173477 1119338 2026-11-10T14:46:01Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1119338 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= S |SZ=}} eine Menge und sei {{ Relationskette/display | M || {{op:Abbildungsmenge| S | S}} || || || |SZ= }} die Menge aller Abbildungen von {{math|term= S |SZ=}} nach {{math|term= S |SZ=.}} Wir definieren eine Verknüpfung auf {{math|term= M |SZ=}} durch die {{ Definitionslink |Hintereinanderschaltung von Abbildungen| |Kontext=| |SZ=, }} also {{ Abbildung/display |name= | M \times M | M | (f,g) | f \circ g |SZ=. }} {{ Aufzählung3 |Zeige{{n Sie}}, dass diese 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|Bearbeitungsstand=wd }} hoxhryya5528351fp7yre9tmidulww0 1119353 1119352 2026-11-10T17:53:55Z Bocardodarapti 2041 1119353 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten den Veronesering in drei Variablen zum Grad {{math|term= k |SZ=.}} Es gibt {{math|term= R |SZ=}} und {{math|term= L_i |SZ=.}} Die Hilbertfunktion des Polynomringes ist {{ Relationskette/display | h(n) || {{op:Binomialkoeffizient| n+1 | 2 }} || {{op:Bruch| n^2+3n+2 | 2 }} || || |SZ=, }} die Summationsfunktionen sind {{ Relationskette/align | A_i(N) || \sum_{n {{=}} 0 {{kommadots}} N,\, n {{=}} i \mod k } {{op:Bruch| n^2+3n+2 | 2 }} || \sum_{j {{=}} 0}^{ {{op:Gaußklammer| {{op:Bruch|N-i|k}} |}} } {{op:Bruch| (jk+i)^2+3 (jk+i)+2 | 2 }} || \sum_{j {{=}} 0}^{ {{op:Gaußklammer| {{op:Bruch|N-i|k}} |}} } {{op:Bruch| j^2k^2 + 2ijk +3 jk | 2 }} + {{op:Bruch|i^2+3i+2|2}} {{makl| {{op:Gaußklammer| {{op:Bruch|N-i|k}} |}}+1 |}} || k^2 {{op:Bruch| 2 {{op:Gaußklammer| {{op:Bruch|N-i|k}} }}^3 + 3 {{op:Gaußklammer| {{op:Bruch|N-i|k}} }}^2 + {{op:Gaußklammer| {{op:Bruch|N-i|k}} }} | 12 }} + k {{op:Bruch| 2i+3 | 2 }} \cdot {{op:Bruch| {{op:Gaußklammer| {{op:Bruch|N-i|k}} }}^2 + {{op:Gaußklammer| {{op:Bruch|N-i|k}} }} | 2}} + {{op:Bruch|i^2+3i+2|2}} {{makl| {{op:Gaußklammer| {{op:Bruch|N-i|k}} |}}+1 |}} || {{op:Bruch| k^2 | 6 }} {{op:Gaußklammer| {{op:Bruch|N-i|k}} }}^3 + {{op:Bruch| k^2 +k (2i+3) | 4 }} {{op:Gaußklammer| {{op:Bruch|N-i|k}} }}^2 + {{op:Bruch| k^2 + 3 k(2i+3) + 6i^2 +18 i +12 | 12 }} {{op:Gaußklammer| {{op:Bruch|N-i|k}} |}} + {{op:Bruch|i^2+3i+2|2}} |SZ=. }} Die endliche projektive Auflösung des Erweiterungsideals zum maximalen Ideal ist linear und gleich {{ Math/display|term= 0 \longrightarrow \bigoplus_{ {{op:Binomialkoeffizient|k+1|2}} } S(-k-2 ) \longrightarrow \bigoplus_{ k(k+2) } S(-k-1) \longrightarrow \bigoplus_{ {{op:Binomialkoeffizient|k+2|2}} } S(-k) \longrightarrow S \longrightarrow S/ {{makl| U^i V^j W^\ell , \, i+j+ \ell {{=}} k |}} |SZ= }} mit den 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Bocardodarapti 2041 1119367 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten den Veronesering in drei Variablen zum Grad {{math|term= k |SZ=.}} Es gibt {{math|term= R |SZ=}} und {{math|term= L_i |SZ=.}} Die Hilbertfunktion des Polynomringes ist {{ Relationskette/display | h(n) || {{op:Binomialkoeffizient| n+1 | 2 }} || {{op:Bruch| n^2+3n+2 | 2 }} || || |SZ=, }} die Summationsfunktionen sind {{ Relationskette/align | A_i(N) || \sum_{n {{=}} 0 {{kommadots}} N,\, n {{=}} i \mod k } {{op:Bruch| n^2+3n+2 | 2 }} || \sum_{j {{=}} 0}^{ {{op:Gaußklammer| {{op:Bruch|N-i|k}} |}} } {{op:Bruch| (jk+i)^2+3 (jk+i)+2 | 2 }} || \sum_{j {{=}} 0}^{ {{op:Gaußklammer| {{op:Bruch|N-i|k}} |}} } {{op:Bruch| j^2k^2 + 2ijk +3 jk | 2 }} + {{op:Bruch|i^2+3i+2|2}} {{makl| {{op:Gaußklammer| {{op:Bruch|N-i|k}} |}}+1 |}} || k^2 {{op:Bruch| 2 {{op:Gaußklammer| {{op:Bruch|N-i|k}} }}^3 + 3 {{op:Gaußklammer| {{op:Bruch|N-i|k}} }}^2 + {{op:Gaußklammer| {{op:Bruch|N-i|k}} }} | 12 }} + k {{op:Bruch| 2i+3 | 2 }} \cdot {{op:Bruch| {{op:Gaußklammer| {{op:Bruch|N-i|k}} }}^2 + {{op:Gaußklammer| {{op:Bruch|N-i|k}} }} | 2}} + {{op:Bruch|i^2+3i+2|2}} {{makl| {{op:Gaußklammer| {{op:Bruch|N-i|k}} |}}+1 |}} || {{op:Bruch| k^2 | 6 }} {{op:Gaußklammer| {{op:Bruch|N-i|k}} }}^3 + {{op:Bruch| k^2 +k (2i+3) | 4 }} {{op:Gaußklammer| {{op:Bruch|N-i|k}} }}^2 + {{op:Bruch| k^2 + 3 k(2i+3) + 6i^2 +18 i +12 | 12 }} {{op:Gaußklammer| {{op:Bruch|N-i|k}} |}} + {{op:Bruch|i^2+3i+2|2}} |SZ=. }} Die endliche projektive Auflösung des Erweiterungsideals zum maximalen Ideal ist linear und gleich {{ Math/display|term= 0 \longrightarrow \bigoplus_{ {{op:Binomialkoeffizient|k+1|2}} } S(-k-2 ) \longrightarrow \bigoplus_{ k(k+2) } S(-k-1) \longrightarrow \bigoplus_{ {{op:Binomialkoeffizient|k+2|2}} } S(-k) \longrightarrow S \longrightarrow S/ {{makl| U^i V^j W^\ell , \, i+j+ \ell {{=}} k |}} |SZ= }} mit den Frobenius-Versionen {{ Math/display|term= 0 \longrightarrow \bigoplus_{ 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betrachten den Veronesering in drei Variablen zum Grad {{math|term= 3 |SZ=}} und verwenden {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Veronesering/Dreidimensional/Auflösung/Beispiel |Nr= |SZ=. }} Es ist {{ Relationskette/align | A_0 (N) || {{op:Bruch| 3 | 2}} {{op:Gaußklammer| {{op:Bruch|N|3}} }}^3 + {{op:Bruch| 9 | 2 }} {{op:Gaußklammer| {{op:Bruch|N|3}} }}^2 + 4 {{op:Gaußklammer| {{op:Bruch|N|3}} |}} + 1 |SZ=, }} {{ Relationskette/align | A_1 (N) || {{op:Bruch| 3 | 2}} {{op:Gaußklammer| {{op:Bruch|N-1|3}} }}^3 + 6 {{op:Gaußklammer| {{op:Bruch|N-1|3}} }}^2 + {{op:Bruch| 15 | 2 }} {{op:Gaußklammer| {{op:Bruch|N-1|3}} |}} + 3 |SZ=, }} {{ Relationskette/align | A_2 (N) || {{op:Bruch| 3 | 2}} {{op:Gaußklammer| {{op:Bruch|N-2|3}} }}^3 + {{op:Bruch| 15 | 2 }} {{op:Gaußklammer| {{op:Bruch|N-2|3}} }}^2 + 12 {{op:Gaußklammer| {{op:Bruch|N-2|3}} |}} + 6 |SZ=. }} Die Pseudoauflösung ist {{ Math/display|term= 0 \longrightarrow \bigoplus_{ 6 } L_{\delta (-2q)} (-5 q ) \longrightarrow \bigoplus_{ 15 } 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Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1119357 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Jemand möchte Quadratzahlen definieren und sagt: {{Anführung|Das ist eine natürliche Zahl {{math|term= n |SZ=,}} die man in der Form {{math|term= n^2 |SZ=}} schreiben kann|SZ=.}} {{ Aufzählung2 |Was ist davon zu halten? |Charakterisiere{{n Sie}} die natürlichen Zahlen, die die Gleichung {{ Relationskette | n^2 || n || || || |SZ= }} erfüllen. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Prinzipien der Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |p1=1 |p2=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} 12h4cl53cc2xsrwslnw4iq1h4myul6v 0 173481 1119358 2026-11-11T06:40:29Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1119358 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= {{ Aufzählung2 | {{math|term= \, |SZ=}} |Das sind nur die Zahlen {{ mathkor|term1= 0 |und|term2= 1 |SZ=. }} Diese erfüllen offenbar die Gleichung. Für {{ Relationskette | n |>| 1 || || || |SZ= }} folgt durch Multiplikation mit {{math|term= n |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=vergleiche {{ Faktlink |Faktseitenname= Natürliche Zahlen/Ordnungsrelation/Verträglichkeit/Fakt |Nr=3 |SZ= }} |ISZ=|ESZ= }} {{ Relationskette | n^2 |>| n || || || |SZ= }} }} |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} p05i3ngt5omaeswdjsiivub6lpvuno9 0 173482 1119364 2026-11-11T07:49:21Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1119364 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten den Veronesering in drei Variablen zum Grad {{math|term= 4 |SZ=}} und verwenden {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Veronesering/Dreidimensional/Auflösung/Beispiel |Nr= |SZ=. }} Es ist {{ Relationskette/display | A_0 (N) || {{op:Bruch| 8 | 3}} {{op:Gaußklammer| {{op:Bruch|N|3}} }}^3 + 7 {{op:Gaußklammer| {{op:Bruch|N|3}} }}^2 + {{op:Bruch| 16 | 3 }} {{op:Gaußklammer| {{op:Bruch|N|3}} |}} + 1 |SZ=, }} {{ Relationskette/display | A_1 (N) || {{op:Bruch| 8 | 3}} {{op:Gaußklammer| {{op:Bruch|N-1|3}} }}^3 + 9 {{op:Gaußklammer| {{op:Bruch|N-1|3}} }}^2 + {{op:Bruch| 28 | 3 }} {{op:Gaußklammer| {{op:Bruch|N-1|3}} |}} + 3 |SZ=, }} {{ Relationskette/display | A_2 (N) || {{op:Bruch| 8 | 3}} {{op:Gaußklammer| {{op:Bruch|N-2|3}} }}^3 + 11 {{op:Gaußklammer| {{op:Bruch|N-2|3}} }}^2 + {{op:Bruch| 43 | 3 }} {{op:Gaußklammer| {{op:Bruch|N-2|3}} |}} + 6 |SZ=, }} {{ Relationskette/display | A_3 (N) || {{op:Bruch| 8 | 3}} {{op:Gaußklammer| {{op:Bruch|N-3|3}} }}^3 + 13 {{op:Gaußklammer| {{op:Bruch|N-3|3}} }}^2 + {{op:Bruch| 61 | 3 }} {{op:Gaußklammer| {{op:Bruch|N-3|3}} |}} + 10 |SZ=. }} Die Pseudoauflösung ist {{ Math/display|term= 0 \longrightarrow \bigoplus_{ 10 } L_{\delta (-2q)} (-6 q ) \longrightarrow \bigoplus_{ 24 } L_{\delta (-q)} (-5 q) \longrightarrow \bigoplus_{ 30 } R(-4q) \longrightarrow R \longrightarrow R/ {{idealm}}^{[q]} |SZ=. }} Summe bis {{ Relationskette | N || 6 q || || || |SZ=. }} Als Formel ergibt sich {{ Relationskette/align | A_0(6q) - 30 A_0 (2q) +24 A_{-q \mod 4} (q) - 10 A_{-2q \mod 4}(0) || || || || |SZ= }} Das ergibt {{mathl|term= |SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Hilbertfunktion graduierter Moduln |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} fczisjhvxl5w87dhwfay1nduqm4qes7 1119365 1119364 2026-11-11T07:55:17Z Bocardodarapti 2041 1119365 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten den Veronesering in drei Variablen zum Grad {{math|term= 4 |SZ=}} und verwenden {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Veronesering/Dreidimensional/Auflösung/Beispiel |Nr= |SZ=. }} Es ist {{ Relationskette/display | A_0 (N) || {{op:Bruch| 8 | 3}} {{op:Gaußklammer| {{op:Bruch|N|3}} }}^3 + 7 {{op:Gaußklammer| {{op:Bruch|N|3}} }}^2 + {{op:Bruch| 16 | 3 }} {{op:Gaußklammer| {{op:Bruch|N|3}} |}} + 1 |SZ=, }} {{ Relationskette/display | A_1 (N) || {{op:Bruch| 8 | 3}} {{op:Gaußklammer| {{op:Bruch|N-1|3}} }}^3 + 9 {{op:Gaußklammer| {{op:Bruch|N-1|3}} }}^2 + {{op:Bruch| 28 | 3 }} {{op:Gaußklammer| {{op:Bruch|N-1|3}} |}} + 3 |SZ=, }} {{ Relationskette/display | A_2 (N) || {{op:Bruch| 8 | 3}} {{op:Gaußklammer| {{op:Bruch|N-2|3}} }}^3 + 11 {{op:Gaußklammer| {{op:Bruch|N-2|3}} }}^2 + {{op:Bruch| 43 | 3 }} {{op:Gaußklammer| {{op:Bruch|N-2|3}} |}} + 6 |SZ=, }} {{ Relationskette/display | A_3 (N) || {{op:Bruch| 8 | 3}} {{op:Gaußklammer| {{op:Bruch|N-3|3}} }}^3 + 13 {{op:Gaußklammer| {{op:Bruch|N-3|3}} }}^2 + {{op:Bruch| 61 | 3 }} {{op:Gaußklammer| {{op:Bruch|N-3|3}} |}} + 10 |SZ=. }} Die Pseudoauflösung ist {{ Math/display|term= 0 \longrightarrow \bigoplus_{ 10 } L_{\delta (-2q)} (-6 q ) \longrightarrow \bigoplus_{ 24 } L_{\delta (-q)} (-5 q) \longrightarrow \bigoplus_{ 30 } R(-4q) \longrightarrow R \longrightarrow R/ {{idealm}}^{[q]} |SZ=. }} Summe bis {{ Relationskette | N || 6 q || || || |SZ=. }} Als Formel ergibt sich {{ Relationskette/align | A_0(6q) - 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Drittel/4/Aufgabe|opt1=Lösung}} |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Aufgabe= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 346kkmeft4j2ivcmodmf3bo2cdolj3q 0 173485 1119371 2026-11-11T09:37:47Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1119371 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Satzabfrage3{{{opt1|}}} |Natürliche Zahlen/Nachfolger/Addition und disjunkte Vereinigung/Fakt| |Kommutativer Halbring/Allgemeines Distributivgesetz/Fakt| |Zahlentheorie/Primfaktorzerlegung/Existenz/Fakt| }} |Textart= |Kategorie=Elementare Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bnyak68tjifgfoxc2opad4rizf8xu1i 0 173486 1119372 2026-11-11T09:38:07Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1119372 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= {{:Elementare Mathematik 1/Gemischte Satzabfrage/2. Drittel/4/Aufgabe|opt1=Lösung}} |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Aufgabe= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3bpvu3xsb126sxqezw7agr1dw82rw7q 106 173487 1119381 2026-11-11T11:22:35Z Paul Sutermeister 37610 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1119381 wikitext text/x-wiki __NOTOC__ = Excel: Texte verketten – Lernquiz Schritt für Schritt = Auf dieser Seite lernen Sie Schritt für Schritt, wie man in Excel Texte aus mehreren Zellen zusammenfügt. Lesen Sie jeweils zuerst die kurze Erklärung und beantworten Sie danach die Fragen. Für alle Beispiele verwenden wir diese kleine Tabelle: {| class="wikitable" ! !! A !! B !! C |- ! 1 | Vorname || Nachname || Ort |- ! 2 | Anna || Meier || Olten |- ! 3 | Luca || Rossi || Aarau |} == Schritt 1: Was bedeutet «verketten»? == '''Verketten''' heisst: Man hängt Texte aneinander – wie Glieder einer Kette. Aus «Anna» und «Meier» wird zum Beispiel «Anna Meier». <quiz display=simple> {Was bedeutet «verketten» in Excel? |type="()"} + Texte aus mehreren Zellen zusammenfügen - Zahlen zusammenzählen - Zellen farbig markieren - Eine Tabelle sortieren {Sie haben «Anna» in A2 und «Meier» in B2. Was könnte das Ergebnis einer Verkettung sein? |type="()"} + Anna Meier - Anna - 2 - A2B2 </quiz> == Schritt 2: Jede Formel beginnt mit = == In Excel beginnt jede Formel mit einem Gleichheitszeichen <code>=</code>. Ohne <code>=</code> zeigt Excel nur den eingetippten Text an und rechnet nichts. <quiz display=simple> {Mit welchem Zeichen beginnt jede Formel in Excel? |type="()"} - + + = - & - " {Sie tippen <code>A2&B2</code> (ohne Gleichheitszeichen) in eine Zelle. Was passiert? |type="()"} - Excel zeigt «AnnaMeier» an. + Excel zeigt einfach den Text «A2&B2» an. - Excel zeigt eine Fehlermeldung an. </quiz> == Schritt 3: Verketten mit dem &-Zeichen == Das einfachste Werkzeug zum Verketten ist das Zeichen <code>&</code> (sprich: «und»). Es klebt zwei Inhalte direkt aneinander. Beispiel: <code>=A2&B2</code> ergibt '''AnnaMeier''' <quiz display=simple> {Welches Zeichen verwendet man zum Verketten? |type="()"} - + - * + & - # {Was ergibt die Formel <code>=A3&B3</code>? |type="()"} - Luca Rossi + LucaRossi - A3B3 - Rossi Luca {Was ergibt die Formel <code>=B2&C2</code>? |type="()"} + MeierOlten - Meier Olten - AnnaOlten - OltenMeier </quiz> == Schritt 4: Ein Leerzeichen einfügen == Bei <code>=A2&B2</code> fehlt der Abstand: «AnnaMeier». Ein Leerzeichen fügt man als '''Text in Anführungszeichen''' ein: <code>" "</code> Beispiel: <code>=A2&" "&B2</code> ergibt '''Anna Meier''' Merke: Eigener Text steht in Excel-Formeln '''immer in Anführungszeichen'''. <quiz display=simple> {Wie schreibt man ein Leerzeichen in einer Formel? |type="()"} - Leer + " " - && - ( ) {Welche Formel ergibt «Anna Meier» (mit Leerzeichen)? |type="()"} - <code>=A2&B2</code> + <code>=A2&" "&B2</code> - <code>=A2 B2</code> - <code>=A2+" "+B2</code> {Was ergibt die Formel <code>=B3&" "&A3</code>? |type="()"} - Luca Rossi + Rossi Luca - RossiLuca - B3 A3 </quiz> == Schritt 5: Eigenen Text einfügen == Man kann nicht nur ein Leerzeichen, sondern beliebigen Text einfügen – auch er steht in Anführungszeichen. Beispiel: <code>=A2&" wohnt in "&C2</code> ergibt '''Anna wohnt in Olten''' <quiz display=simple> {Warum steht <code>" wohnt in "</code> in Anführungszeichen? |type="()"} + Weil es eigener Text ist und kein Zellbezug. - Weil Excel sonst rechnet. - Weil es eine Zahl ist. - Das braucht es nicht, es ist freiwillig. {Was ergibt die Formel <code>="Hallo "&A3</code>? |type="()"} - HalloLuca + Hallo Luca - Hallo A3 - Luca Hallo {Welche Formel ergibt «Meier aus Olten»? |type="()"} - <code>=B2&aus&C2</code> - <code>=B2&"aus"&C2</code> + <code>=B2&" aus "&C2</code> - <code>=B2" aus "C2</code> </quiz> == Schritt 6: Die Funktion VERKETTEN == Statt mit <code>&</code> kann man auch die Funktion '''VERKETTEN''' benutzen. Die einzelnen Teile stehen in Klammern und werden mit einem '''Semikolon''' <code>;</code> getrennt. Beispiel: <code>=VERKETTEN(A2;" ";B2)</code> ergibt '''Anna Meier''' Das ist genau dasselbe wie <code>=A2&" "&B2</code>. <quiz display=simple> {Womit werden die Teile in der Funktion VERKETTEN getrennt (Schweizer/deutsches Excel)? |type="()"} - mit & + mit ; - mit + - mit einem Leerzeichen {Was ergibt <code>=VERKETTEN(A3;B3)</code>? |type="()"} + LucaRossi - Luca Rossi - A3B3 - Rossi Luca {Welche Formel ergibt «Luca Rossi»? |type="()"} - <code>=VERKETTEN(A3 B3)</code> - <code>=VERKETTEN(A3;B3)</code> + <code>=VERKETTEN(A3;" ";B3)</code> - <code>=VERKETTEN("A3";" ";"B3")</code> {Welche beiden Formeln liefern dasselbe Ergebnis? |type="[]"} + <code>=A2&" "&B2</code> + <code>=VERKETTEN(A2;" ";B2)</code> - <code>=A2+B2</code> - <code>=VERKETTEN(A2+B2)</code> </quiz> == Schritt 7: Die neuere Funktion TEXTKETTE == In neueren Excel-Versionen gibt es zusätzlich die Funktion '''TEXTKETTE'''. Sie funktioniert wie VERKETTEN, kann aber auch einen ganzen Bereich auf einmal zusammenfügen. Beispiel: <code>=TEXTKETTE(A2:C2)</code> ergibt '''AnnaMeierOlten''' <quiz display=simple> {Was ergibt <code>=TEXTKETTE(A3:C3)</code>? |type="()"} - Luca Rossi Aarau + LucaRossiAarau - A3C3 - Aarau {Was ist der Vorteil von TEXTKETTE gegenüber VERKETTEN? |type="()"} - Sie fügt automatisch Leerzeichen ein. + Man kann einen ganzen Zellbereich (z. B. A2:C2) angeben. - Sie rechnet Zahlen zusammen. - Sie braucht kein Gleichheitszeichen. </quiz> == Schlusstest: Alles zusammen == <quiz display=simple> {Welche Formel ergibt «Anna Meier, Olten»? |type="()"} - <code>=A2&B2&C2</code> - <code>=A2&" "&B2&" "&C2</code> + <code>=A2&" "&B2&", "&C2</code> - <code>=A2" "B2", "C2</code> {Was ergibt <code>=C3&": "&A3</code>? |type="()"} + Aarau: Luca - Aarau:Luca - Luca: Aarau - C3: A3 {Was ergibt <code>=VERKETTEN("Frau ";B2)</code>? |type="()"} - FrauMeier + Frau Meier - Frau B2 - Anna Meier {In der Formel <code>=A2&B2</code> fehlt ein Leerzeichen. Was müssen Sie einfügen? |type="()"} - <code>&&</code> - <code>" "</code> ohne weitere Zeichen + <code>&" "&</code> zwischen A2 und B2 - <code>;</code> zwischen A2 und B2 {Welche Aussagen sind richtig? |type="[]"} + Jede Formel beginnt mit =. + Eigener Text steht in Anführungszeichen. + Mit & kann man Texte aneinanderhängen. - Bei VERKETTEN trennt man die Teile mit &. - Zellbezüge wie A2 schreibt man in Anführungszeichen. </quiz> [[Kategorie:Kurs:Tabellenkalkulation]] lxxgcgmrw4n4ruxiz74pa54856uehij