Wikiversity dewikiversity https://de.wikiversity.org/wiki/Hauptseite MediaWiki 1.48.0-wmf.4 first-letter Medium Spezial Diskussion Benutzer Benutzer Diskussion Wikiversity Wikiversity Diskussion Datei Datei Diskussion MediaWiki MediaWiki Diskussion Vorlage Vorlage Diskussion Hilfe Hilfe Diskussion Kategorie Kategorie Diskussion Kurs Kurs Diskussion Projekt Projekt Diskussion TimedText TimedText talk Modul Modul Diskussion Veranstaltung Veranstaltung Diskussion 3 19022 1119399 133843 2026-11-11T14:53:15Z Manchiu 41985 Manchiu verschob die Seite [[Benutzer Diskussion:Era]] nach [[Benutzer Diskussion:Renamed user 62d2cf97aa680d22225099f2e2aeda11]], ohne dabei eine Weiterleitung anzulegen: Seite während der Umbenennung des Benutzers „[[Special:CentralAuth/Era|Era]]“ in „[[Special:CentralAuth/Renamed user 62d2cf97aa680d22225099f2e2aeda11|Renamed user 62d2cf97aa680d22225099f2e2aeda11]]“ automatisch verschoben 133843 wikitext text/x-wiki == Willkommen == [[Bild:Wikiversity-logo.svg|90px|left]] Hallo Era, herzlich Willkommen in der Wikiversity! Worum es hier geht und was wir hier machen, findest du auf den Seiten ''[[Wikiversity:Über Wikiversity|Über Wikiversity]]'' und ''[[Wikiversity:Beteiligen|Beteiligen]]''. Unser Slogan lautet: ''Lernen und Lehren''. Die [[Wikiversity:Cafeteria|Cafeteria]] ist unsere Anlaufstelle für Diskussionen. Falls du schon eine Idee für ein [[Wikiversity:Liste der Projekte|Projekt]] oder einen [[Wikiversity:Liste der Kurse|Kurs]] hast, nutze den [[Wikiversity:Projektinkubator|Projektinkubator]], um sie reifen zu lassen! Fachbezogene Fragen werden in den [[:Kategorie:Kolloquium|Kolloquien]] diskutiert. Einige von uns triffst du auch im [[Wikiversity:Chat|Chat]] an - Fragen lassen sich live meist schneller klären. Für einen schnellen Überblick lies dich einfach mal durch den [[Wikiversity:Schnelleinstieg|Schnelleinstieg]] – dort findest du auch die Bearbeitungshilfe! Sie umfasst unter anderem eine informative Seite zur [[Hilfe:Textgestaltung|Textgestaltung]] (Formatierung), eine Seite zur Arbeit mit [[Hilfe:Dateien|Bildern]] oder auch eine Anleitung, um [[Wikiversity:Quiz|Beispiel-Aufgaben]] zu erstellen. Du kannst auch nach Lust und Laune auf der [[Wikiversity:Spielwiese|Spielwiese]] experimentieren. Bei Diskussionsbeiträgen vergiss das [[Wikiversity:FAQ#Was_ist_eine_Signatur.2C_wie_erzeuge_ich_sie.3F|Signieren]] bitte nicht! Falls du Lust hast, kannst du auch auf deiner Benutzerseite etwas über dich erzählen. Dann können wir dich näher kennen lernen. Es gibt außerdem das [[Wikiversity:Mentorenprogramm|Mentorenprogramm]]. Dort helfen dir erfahrene Benutzer (Mentoren) mit dem Einstieg. Mehr erfährst du auf der [[Wikiversity:Mentorenprogramm|Hauptseite des Programms]]. Mit jeglichen Fragen kannst du dich aber auch gerne direkt an mich wenden. Viele Grüße und viel Spaß [[Benutzer:Michael Reschke|Michael Reschke]] 17:18, 28. Okt. 2008 (CET) == [[Übersicht Bilder]] == 11:01, 6. Dez. 2008 Michael Reschke (Diskussion | Beiträge | Sperren) hat „Übersicht Bilder“ gelöscht ‎ (Kopie, Entwurf zu [[Kurs:Urheberrecht im Internet/Webseiten-Analyse:Toyota-dessau]]) Ich kann die Seite jederzeit wiederherstellen. --[[Benutzer:Michael Reschke|Michael Reschke]] 11:02, 6. Dez. 2008 (CET) rx5zvs9cnpf8cbytm59c4rufu5q4pin 2 19037 1119400 130322 2026-11-11T14:53:15Z Manchiu 41985 Manchiu verschob die Seite [[Benutzer:Era]] nach [[Benutzer:Renamed user 62d2cf97aa680d22225099f2e2aeda11]], ohne dabei eine Weiterleitung anzulegen: Seite während der Umbenennung des Benutzers „[[Special:CentralAuth/Era|Era]]“ in „[[Special:CentralAuth/Renamed user 62d2cf97aa680d22225099f2e2aeda11|Renamed user 62d2cf97aa680d22225099f2e2aeda11]]“ automatisch verschoben 130322 wikitext text/x-wiki __toc__ ==Urheberrecht== * [[Kurs Diskussion:Urheberrecht im Internet‎]] * [[Kurs:Urheberrecht im Internet‎]] * [[Kurs:Urheberrecht im Internet/Webseiten-Analyse]] * [[Kurs:Urheberrecht im Internet/Webseiten-Analyse:Toyota-dessau]] qycocx9zo91qpnpgdbwpvqm0xto6m3c 2 19051 1119398 128172 2026-11-11T14:53:15Z Manchiu 41985 Manchiu verschob die Seite [[Benutzer:Era/Zettel]] nach [[Benutzer:Renamed user 62d2cf97aa680d22225099f2e2aeda11/Zettel]], ohne dabei eine Weiterleitung anzulegen: Seite während der Umbenennung des Benutzers „[[Special:CentralAuth/Era|Era]]“ in „[[Special:CentralAuth/Renamed user 62d2cf97aa680d22225099f2e2aeda11|Renamed user 62d2cf97aa680d22225099f2e2aeda11]]“ automatisch verschoben 128172 wikitext text/x-wiki Schreibfaul :-D mvp5lhquq950t1u95ihnl617zoy0n3m 0 61327 1119409 1105977 2026-11-11T17:58:57Z Bocardodarapti 2041 1119409 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{Seitenüberschrift|Zur Fußball-WM 2026}} {{ inputbild |FIFA World Cup Trophy at National Football Museum, Manchester 02|jpg| 230px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer= |Domäne= |Lizenz= |Bemerkung= }} {{Zwischenüberschrift|Das Einzelspiel}} {{ inputaufgabe |Fußballspiel/Begrüßung/Anzahl/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputbeispiel |Fußballspiel/Zweikampf/Bipartiter Graph/Beispiel|| }} {{ inputbild |Femalesoccerun02|jpg| 230px {{!}} right {{!}} | |Text=Bolzplatz |Autor= |Benutzer=Julián Ortega |Domäne= |Lizenz=CC-by sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputaufgabe |Fußballspiel/Zweikampf/Gleichzeitig/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Bolzplatz/Zweikampfketten/Team/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Pokal/Wildberg/Bayern München/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Fußballmannschaft/Auswahl/Kapitän/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|Der Ball}} {{ inputbild |Football_theorem_qtl1|svg| 230px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor= |Benutzer=Quartl |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Skriptformat=png |Bemerkung= }} {{ inputfaktbeweis |Lineare Isometrie/Raum/Fixpunkte auf Fußball/Fakt|Satz|| }} {{Zwischenüberschrift|Das Tor}} {{ inputbild |Götze kicks the match winning goal|jpg| 230px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer= |Domäne= |Lizenz= |Bemerkung= }} {{ inputaufgabe |Karl und Susanne/Tor/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputbeispiel |Abbildung/Fußballspiel/Torschütze/Beispiel|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Borussia Dortmund/5 zu 2/Möglichkeiten/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Fußball/8 zu 3/Möglichkeiten/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Die folgende Aufgabe gehört eher zur Analysis II. {{ inputaufgabe |Tor/Winkeloptimierung/Gradient/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|Die Gruppenphase}} Ein Turnier führt sowohl zu einem ungerichteten Graphen {{ Zusatz/Klammer |text=Spielrelation| |ISZ=|ESZ= }} als auch zu einem gerichteten Graphen {{ Zusatz/Klammer |text=Gewinnrelation| |ISZ=|ESZ=. }} {{ inputbeispiel |Spielgruppen (Fußball)/4/Darstellungsmöglichkeiten/Beispiel|| }} {{ inputaufgabe |Isomorphe Fußballgruppe/Klassifiziere/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{:Isomorphe Fußballgruppen/Fragen/Textabschnitt}} {{ inputaufgabe |Fußballgruppe/Euro 2016/C/Relation/Graph/Adjazenzmatrix/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Fußballgruppe/Euro 2016/C/Stochastische Matrix/Eigenverteilung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Fußballgruppe/3-1-Regel/Tabelle/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|Das KO-System}} {{ 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2016/Fußballgruppen/Drittplatzierte/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|Heimvorteil}} {{ inputaufgabe |Weltmeisterschaften/1970 bis 2014/Auswahl/Vollständige Metrik/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Weltmeisterschaften/1978 bis 2014/Ohne 1998/Vollständige Metrik/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Weltmeisterschaften/1978 bis 2014/Vollständige Metrik/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|Informationsverarbeitung}} {{ inputaufgabe |Fußball-Weltmeisterschaft/Teilinformation/Möglichkeiten/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Fußball-WM/Top 4/Spielreihenfolge/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|Die Liga}} {{ inputaufgabe |Rekordrekordmeister/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd |pdf= }} pv79l2solu8dqv3kxvbe8u12nhvzauo 106 82995 1119432 792229 2026-11-11T18:35:51Z Bocardodarapti 2041 1119432 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)/Teil I/Vorlesungsgestaltung|16| {{Zwischenüberschrift|Schriftliches Multiplizieren}} {{:Zehnersystem/Schriftliches Multiplizieren/Korrektheit/Textabschnitt|zusatz2=2}} {{Zwischenüberschrift|Schriftliches Subtrahieren}} {{:Zehnersystem/Schriftliches Subtrahieren/Korrektheit/Textabschnitt}} }} 7m07r34q8m7n3d47qnjj2hutzcclbth 0 83399 1119425 1092636 2026-11-11T18:30:48Z Bocardodarapti 2041 1119425 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Die Grundidee für das schriftliche Multiplizieren liegt {{ Faktlink |Präwort=im|allgemeinen Distributivgesetz|Faktseitenname= Kommutativer Halbring/Allgemeines Distributivgesetz/Fakt |Nr= |SZ=. }} Für zwei natürliche Zahlen der Form {{ Mathkor/display|term1= m= a_0+a_1 10+a_2 10^2 {{plusdots|}} a_{k}10^{k} |und|term2= n=b_0+b_1 10+b_2 10^2 {{plusdots|}} b_{\ell}10^{\ell} |SZ= }} ist {{ Relationskette/align/handlinks | m \cdot n || {{makl| a_0+a_1 10+a_2 10^2 {{plusdots|}} a_{k}10^{k} |}} \cdot {{makl| b_0+b_1 10+b_2 10^2 {{plusdots|}} b_{\ell}10^{\ell} |}} || \sum_{0 \leq i \leq k,\, 0 \leq j \leq \ell } a_i b_j 10^{i} \cdot 10^{j} || \sum_{0 \leq i \leq k,\, 0 \leq j \leq \ell } a_i b_j 10^{i + j} || \sum_{s {{=}} 0}^{k + \ell} {{makl| \sum_{i {{=}} 0}^{ k} a_i b_{s-i} |}} 10^s |SZ=. }} Hierbei ist im Allgemeinen der Vorfaktor {{mathl|term= \sum_{i {{=}} 0}^{ k} a_i b_{s-i} |SZ=}} nicht kleiner als {{math|term= 10 |SZ=,}} aus diesem Ausdruck ist also nicht unmittelbar die Ziffernentwicklung des Produktes ablesbar. In einer solchen Situation ist {{ Bemerkungslink |Bemerkungsseitenname= Zehnersystem/Beliebige Vorfaktoren/Umwandlung/Bemerkung |Nr= |SZ= }} anwendbar. Dies ist aber nicht das Verfahren zum schriftlichen Multiplizieren. {{ inputverfahren |Zehnersystem/Schriftliches Multiplizieren/Verfahren||zusatz1={{{zusatz1|}}} }} Das Problem, dass bei der distributiven Multiplikation von zwei natürlichen Zahlen im Dezimalsystem die Vorfaktoren zu groß sind, tritt schon dann auf, wenn die zweite Zahl {{ Relationskette | n || b_0 || || || |SZ= }} einstellig ist {{ Zusatz/Klammer |text=sogar wenn beide Zahlen einstellig sind; dies wird durch das kleine Einmaleins erledigt| |ISZ=|ESZ=. }} Diesen Fall betrachten wir zuerst. {{ inputfaktbeweis{{{zusatz2|}}} |Zehnersystem/Schriftliches Multiplizieren/Einstelliger Faktor/Korrekt/Fakt|Lemma|| }} Die folgenden Überlegungen beziehen sich auf die Überträge bei der Multiplikation mit einer einstelligen Zahl. {{ inputfaktbeweisaufgabe |Zehnersystem/Schriftliches Multiplizieren/Einstelliger Faktor/Übertrag/Abschätzung/Fakt|Lemma|| || }} Der Übertrag {{math|term= b-1 |SZ=}} tritt in der Tat auf, wie die Multiplikation der {{math|term= 9 |SZ=}} mit {{math|term= b |SZ=}} zeigt. {{ inputbeispiel |Zehnersystem/Schriftliches Multiplizieren/Einstelliger Faktor/3/Fortsetzung des Übertrages/Beispiel|| }} Im Gegensatz zur Multiplikation mit der {{math|term= 3 |SZ=}} ist die Multiplikation mit den beiden echten Teilern der {{math|term= 10 |SZ=,}} also mit {{ mathkor|term1= 2 |und|term2= 5 |SZ=, }} besonders einfach, da hier die Überträge nicht fortgesetzt werden können. Um die {{math|term= i |SZ=-}}te Ziffer des Produktes einer Zahl {{math|term= m |SZ=}} mit der {{math|term= 2 |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder der {{math|term= 5 |SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} auszurechnen, muss man nur die {{math|term= i |SZ=-}}te und die {{mathl|term= (i-1) |SZ=-}}te Ziffer der Zahl {{math|term= m |SZ=}} kennen. {{ inputbemerkung |Ziffernsystem/Verdopplung und Verfünfachung/Vereinfachtes Verfahren/Bemerkung|| }} Als nächstes Hilfsmittel betrachten wir die extreme Situation, wo der rechte Faktor eine Zehnerpotenz ist. Das Dezimalsystem verhält sich bei einer solchen Multiplikation besonders einfach. {{ inputfaktbeweis |Zehnersystem/Schriftliches Multiplizieren/Zehnerpotenz als Faktor/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktbeweis |Zehnersystem/Schriftliches Multiplizieren/Korrekt/Fakt|Satz|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der schriftlichen Multiplikation der natürlichen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} c89xnadqw7mw3ycn0w09sltx9b53t5q 0 83403 1119437 828253 2026-11-11T18:47:47Z Bocardodarapti 2041 1119437 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Führe{{n Sie}} die Addition {{ Math/display|term= 9+19+29+39+49+59+69+79+89+99+109+119 |SZ= }} schriftlich durch. Welche {{Anführung|Besonderheit|}} tritt dabei auf? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der schriftlichen Addition der natürlichen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2uv22bk86all7rz5i0qn3tp7nwc3m8v 0 83508 1119427 1109690 2026-11-11T18:32:09Z Bocardodarapti 2041 Bocardodarapti verschob die Seite [[Zehnersystem/Schriftliches Multiplizieren/Einstelliger Faktor/Korrekt/Fakt/Beweis]] nach [[Zehnersystem/Schriftliches Multiplizieren/Einstelliger Faktor/Korrekt/Fakt/Beweis2]], ohne dabei eine Weiterleitung anzulegen 1109690 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Die linke Faktor sei {{ Relationskette/display |m || a_0+a_1 10+a_2 10^2 {{plusdots|}} a_{k}10^{k} || || || |SZ= }} und der rechte Faktor sei {{math|term= b_0 |SZ=,}} wir haben also die schriftliche Multiplikation der Form {{ Math/display|term= a_k \ldots a_2a_1a_0 \, \, \cdot \, \, b_0 |SZ= }} im Sinne von {{ Verfahrenslink |Verfahrensseitenname= Zehnersystem/Schriftliches Multiplizieren/Verfahren |Nr= |SZ= }} durchzuführen. Das Ergebnis ist die Zahl {{mathl|term= c_{k+1}c_k \ldots c_2c_1c_0 |SZ=.}} Wir müssen zeigen, dass dies das wahre Produkt ist. Dies zeigen wir durch das folgende Invarianzprinzip des Multiplikationsalgorithmus, dass nämlich nach dem {{math|term= i |SZ=-}}ten Schritt {{ Zusatz/Klammer |text= {{ Relationskette/k |i || -1,0,1 {{kommadots|}} k+1 || || || |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} der Ausdruck {{ Relationskette/display/handlinks |P_i || {{makl| a_k 10^k {{plusdots}} a_{i+1} 10^{i+1} |}} \cdot b_0 + d_{i+1} 10^{i+1} + c_i 10^{i} {{plusdots|}} c_1 10 + c_0 || || || |SZ= }} konstant ist. Wegen {{ Relationskette/display |m \cdot b_0 || P_{-1} || || || |SZ= }} und da für {{ Relationskette/display |i | > | k || || || |SZ= }} das Produkt vollständig abgebaut ist, folgt daraus, dass die {{math|term= c_i |SZ=}} die Ziffern des Produktes sind. Die Konstanz ergibt sich unter Verwendung von {{ Relationskette/display |a_i b_0 +d_i || d_{i+1} \cdot 10 + c_i || || || |SZ= }} aus {{ Zusatz/Klammer |text=das beschreibt den {{math|term= i |SZ=-}}ten Rechenschritt| |ISZ=|ESZ= }} {{ Relationskette/align/handlinks |P_{i-1} || {{makl| a_k 10^k {{plusdots}} a_{i} 10^{i} |}} \cdot b_0 + d_{i} 10^{i} + c_{i-1} 10^{i-1} {{plusdots|}} c_1 10 + c_0 || {{makl| a_k 10^k {{plusdots}} a_{i+1} 10^{i+1} |}} \cdot b_0 + a_{i} b_0 10^{i} + d_{i} 10^{i} + c_{i-1} 10^{i-1} {{plusdots|}} c_1 10 + c_0 || {{makl| a_k 10^k {{plusdots}} a_{i+1} 10^{i+1} |}} \cdot b_0 + {{makl| a_{i} b_0 + d_{i} |}} 10^{i} + c_{i-1} 10^{i-1} {{plusdots|}} c_1 10 + c_0 || {{makl| a_k 10^k {{plusdots}} a_{i+1} 10^{i+1} |}} \cdot b_0 + {{makl| d_{i+1} 10 +c_i |}} 10^{i} + c_{i-1} 10^{i-1} {{plusdots|}} c_1 10 + c_0 || {{makl| a_k 10^k {{plusdots}} a_{i+1} 10^{i+1} |}} \cdot b_0 + d_{i+1} 10^{i+1} +c_i 10^{i} + c_{i-1} 10^{i-1} {{plusdots|}} c_1 10 + c_0 || P_{i} |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gvgmj4c092oezf8l99bkh042p3vynam 106 99362 1119431 792352 2026-11-11T18:35:30Z Bocardodarapti 2041 1119431 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Grundkurs Mathematik_(Osnabrück_2018-2019)/Teil_I/Vorlesungsgestaltung|16| {{Zwischenüberschrift|Schriftliches Multiplizieren}} {{:Zehnersystem/Schriftliches Multiplizieren/Korrektheit/Textabschnitt|zusatz1=Fußnote|zusatz2=2}} {{ inputbemerkung |Schriftliches Multiplizieren/Jalousie-Verfahren/Bemerkung|| }} {{Zwischenüberschrift|Schriftliches Subtrahieren}} {{:Zehnersystem/Schriftliches Subtrahieren/Korrektheit/Textabschnitt}} {{Fußnotenliste}} }} 10opl0pt2chj6mz1i6t6gxze8d7iesc 0 101961 1119401 1119327 2026-11-11T15:45:16Z Bert Niehaus 20843 /* Beweis - Erwartungswert für diskrete Zufallsvariablen */ 1119401 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite zum Thema ''Momente'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Momente&author=Wikipedia%20Authors&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Momente&coursetitle=Wikipedia%20Authors Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt: * (1) Definition von Momenten * (2) [[Erwartungswert|Erwartungswert]] * (3) [[Varianz|Varianz]] == Motivation - Erwartungswert == Vorbemerkung: Zwei Personen <math> A </math> und <math>B </math> vereinbaren ein Würfelspiel. * Ausgang '1': <math> A </math> zahlt an <math>B </math> 5€ * Ausgang '2', ..., '6': <math> B </math> zahlt an <math>A </math> 1€ Die Gewinnerwartung für die beiden Spieler beträgt hier Null: Erwarteter Gewinn von <math>B</math>: :<math> 5 \cdot \frac {1} {6} - 1 \cdot \frac {1} {6} - ... -1 \cdot \frac {1} {6} = 0 </math> ("faires Spiel"). === Bemerkung - Wahrscheinlichkeit und Wert der Zufallsgröße === In der obigen Gleichung :<math> 5 \cdot \frac {1} {6} - 1 \cdot \frac {1} {6} - ... -1 \cdot \frac {1} {6} = 0 </math> setzen sich die einzelnen Terme (z.B. <math> 5 \cdot \frac{1}{6} </math>) aus dem Wert der Zufallsgröße <math>X(1) = 5</math> und der Wahrscheinlichkeit <math> \frac{1}{6} </math> für das Eintretens des Ereignisse ("1 gewürfelt") zusammen. == Definition - Erwartungswert == Die Definition des Erwartungswertes wird in folgende Fälle unterteilt: * diskrete Zufallsgröße und * absolute stetige Zufallsgröße. === Definition - Erwartungswert - diskreter Fall === Sei <math> X : \Omega \to \mathbb{R} </math> eine auf einem diskreten [[Wahrscheinlichkeitsraum]] <math> (\Omega, \mathcal{S}, P) </math> definierte Zufallsvariable, dann heißt :<math> E(X) = \sum_{x \in X (\Omega)} x \cdot P(X=x) = \sum_{x \in X(\Omega)} x \cdot P^X (\lbrace x \rbrace)</math> Erwartungswert von <math> X </math>, vorausgesetzt, dass <math> \sum_{x \in X(\Omega)} |x| \cdot P(X=x) < \infty </math>. ==== Bemerkung - Anzahl Summanden - diskreter Fall ==== Die Zufallsgröße <math>X: \Omega \to \mathbb{R}</math> nimmt nur zwei Werte an, nämlich <math>X(\omega)=5</math> für <math>\omega =1</math> und <math>X(\omega)=-1</math> für <math>\omega =2,3,4,5,6</math>. Dabei besteht der Erwartungswert in der obigen Notation nur aus zwei Summanden, da <math>X(\Omega)=\{-1,5\}</math>. ==== Bemerkung 1 - Notation zum diskreten Beispiel ==== Möchte man den Erwartungswert analog zur obigen Notation mit 6 Summand definieren: :<math> \begin{array}{rcl} E(X) & = & \sum_{\omega \in \Omega} X(\omega) \cdot P(\{\omega\}) \\ & = & 5 \cdot \frac {1} {6} + \underbrace{(- 1) \cdot \frac {1} {6} + ... +(-1) \cdot \frac {1} {6}}_{=(-1) \cdot \frac {5} {6}} \\ & = & 5 \cdot \frac {1} {6} + -1 \cdot \frac {5} {6} = \displaystyle \sum_{x \in X(\Omega)=\{5,-1\}} x \cdot P^X(\{x\}) \\ & = & 0 \end{array} </math> ==== Bemerkung 2 - diskret verteilte Zufallsgröße ==== Die Reihe <math> \sum _x |x| \cdot P(X=x) < \infty</math> hat nur abzählbar viele Elemente <math>x</math> mit <math>P(X=x) \not= 0</math>, weil <math>X:\Omega \to\mathbb{R}</math> eine diskrete Zufallsgröße ist. ==== Bemerkung 3 - Erwartungswert - absolute Konvergenz ==== Mit <math> \sum _x |x| \cdot \underbrace{P(X=x)}_{\geq 0} </math> ist die Reihe in der Definition zum Erwartungswert absolut konvergent. Die Fälle <math> E(x) = + \infty </math> und <math> E(x) = - \infty </math> werden also ausgeschlossen. In solchen Fällen existiert der Erwartungswert nicht. === Definition - Erwartungswert - absolut stetig === Sei <math> X : \Omega \to \mathbb{R} </math> eine auf einem diskreten [[Wahrscheinlichkeitsraum]] <math> (\Omega, \mathcal{S}, P) </math> bei die Wahrscheinlichkeitsverteilung durch eine Dichtefunktion <math> p:\Omega \to \mathbb{R}_0^{+} </math> bzw. die induzierte Dichte <math> p^X:\mathbb{R} \to \mathbb{R}_0^{+} </math> gegeben ist. Dann heißt :<math> E(X) := \int_{\Omega} X(\omega) \cdot p(\omega) \, d(\omega) := \int_{\mathbb{R}} x \cdot p^X ( x ) \, dx</math> Erwartungswert der absolut stetigen Verteilung, wenn die Bedingung :<math> E(|X|) = \int_{\Omega} |X(\omega) | \cdot p(\omega) \, d(\omega) = \int_{\mathbb{R}} |x| \cdot p^X ( x ) \, dx < \infty </math> erfüllt ist. ==== Bemerkung - induzierte Dichtefunktion ==== Für die induzierte Dichtefunktion gilt alle <math>B</math> aus der Borelschen <math>\sigma</math>-Algebra <math>\mathcal{B}(\mathbb{R})</math>: :<math> \int_{X^{-1}(B)} X(\omega) \cdot p(\omega) \, d(\omega) := \int_{B} x \cdot p^X ( x ) \, dx</math> == Satz - Erwartungswert für diskrete Zufallsvariablen == Bezeichnet <math> p_\omega = P( \lbrace \omega \rbrace ) </math> die Wahrscheinlichkeitsfunktion von <math> P </math> auf <math> \Omega </math>, so gilt für eine auf <math> ( \Omega, \mathcal{S}, P)</math> definierte Zufallsvariable <math> X:\Omega \to \mathbb{R}</math>: :<math> E(X)= \sum_{\omega \in \Omega} X(\omega)\cdot p_\omega </math> (sofern <math> \sum |X(\omega)| \cdot p_\omega < \infty </math>). === Beweis - Erwartungswert für diskrete Zufallsvariablen === Es gilt mit <math>X^{-1}(\{x\})= \{\omega \in \Omega \ : \ X(\omega) = x \}</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \sum_{\omega \in \Omega} X(\omega) \cdot p_\omega & = & \displaystyle \sum_{x \in X(\Omega)} \ \sum _{\omega:X(\omega) = x} X(\omega) \cdot p_\omega \\ & = & \displaystyle \sum_{x \in X(\Omega)} x \cdot \sum_{\omega:X(\omega)=x} p_\omega \\ & = & \displaystyle \sum_{x \in X(\Omega)} x \cdot P^X(\lbrace x \rbrace) \\ & = & E(X) \\ \end{array} </math> ==== Bemerkung - sigma-additive Darstellung der Wahrscheinlichkeit ==== In der obigen Gleichungskette wird die <math>\sigma</math>-Additivät von [[Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaßen]] bei [[Wahrscheinlichkeitsraum|diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilung]] verwendet, um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen. Dabei gilt in der zweiten Gleichungszeile mit <math>A:= X^{-1}(\{x\})= \{\omega \in \Omega \ : \ X(\omega) = x \}</math> auch: :<math> \sum _{\omega:X(\omega) = x} p_\omega = \sum _{\omega \in A} p_\omega = P(A) = P^X(\{x\}) </math> === Bemerkung zum Beweis === In den Beweis geht der große Umordnungssatz für konvergente Reihen aus der Analysis ein. Die Anwendung Umordnungssatzes ist möglich, da <math> E(|X|) < \infty</math> gilt und damit die Reihe absolut konvergent ist. === Bemerkungen - Existenz Erwartungeswertes === Im Fall absoluter Konvergenz der Reihen (Beispiele oben) sagt man: * <math> X </math> besitzt einen Erwartungswert, oder * der Erwartungswert von <math> X</math> existiert. <math> X </math> besitzt genau dann einen Erwartungswert, falls <math> E\big( |X|\big) = \sum_{\omega \in \Omega} |X(\omega)| \cdot p_\omega < \infty </math>. <br> ==== Endlicher Ergebnisraum ==== Dies ist bei endlichen Ergebnisräumen <math> \Omega </math> immer der Fall. ==== Schreibweise ==== Statt <math>E(X)</math> auch <math>EX</math> oder <math>E_PX</math>, wenn man kenntlich machen möchte, bzgl. welchem Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> der Erwartungswert berechnet wurde. === Elementare Folgerungen === Aus dem obigen Satz zum Erwartungswert folgt: <math> E(1) = 1, E(X) \le E(Y)</math>, falls <math> X(w) \le Y(w)</math> für alle <math> w \in \Omega </math> gilt. ==== Beispiel ==== Ist <math> X(w) = \lbrace w_1, ..., w_m \rbrace</math>, und ist <math> P_X</math> die Gleichverteilung auf <math> X(\Omega)</math>, so lautet der Erwartungswert :<math> E(X)= \frac {1} {m} \sum _{i=1}^{m} x_i </math> ("arithmetisches Mittel"). <br> (Der Erwartungswert der Augenzahl beim Würfeln ist 3,5.) ==== Beispiel ==== Für die Indikatorvariable <math> X=1_A</math> eines Ereignisses <math> A \subset \Omega </math> gilt: :<math> E(1_A) = 0 \cdot P(1_A = 0) + 1 \cdot P(1_A = 1) = P(A)</math> Eine direkte Folgerung aus der Behauptung ist der folgende Satz. == Satz - Linearität des Erwartungswertes == Besitzen die Zufallsvariablen <math> X_1, X_2</math> Erwartungswerte, so auch die Zufallsvariablen <math> aX_1, bX_2, a,b \in \mathbb{R}</math>, und es gilt: :<math> E(a\cdot X_1+b\cdot X_2 ) = a\cdot E(X_1) + b\cdot E(X_2)</math> (siehe [[Kurs:Stochastik/Linearität Erwartungswert|Linearität des Erwartungswertes]]) === Bemerkung - Aufgabe - Beweis === Der [[Kurs:Stochastik/Linearität_Erwartungswert|Beweis der Linearität]] wird über das Einsetzen der Definition und der Anwendung elementaren Umformungen geführt. Versuchen Sie diesen Beweis zunächst ohne Hilfen selbst durchzuführen und sich erst danach bei Problemen den angegebenen Beweis in Wikiversity zur [[Kurs:Stochastik/Linearität_Erwartungswert|Linearität des Erwartungswertes]] anzusehen. Stellen Sie den Beweis in den Übungen mit allen Begründungen vor. === Anwendungsbeispiel für die Linearität des Erwartungswertes === Alle <math>n</math> Zufallsgrößen <math>X_k</math> mit <math>k\in \{1,\ldots , n\}</math> seinen <math> B(1,p)</math>-verteilt. Dann ist <math>X:= X_1 + \ldots + X_n</math> ein <math> B(n,p)</math>-verteilt und für den Erwartungswert erhält man mit der Linearität des Erwartungswertes <math>X</math> gilt: :<math> E(X) = n\cdot p</math> ===== Beweismöglichkeiten===== * <math> E(X)= \sum _{k=k}^{n} k \cdot \binom {n}{k} \cdot p^k (1-p)^{n-k} = ... = n \cdot p</math> * Für die Binominalverteilung gilt <math> X=X_1 + .. + X_n </math> mit <math> E(X_i) = p</math>. Dann ist :<math> E(X)=E(X_1) + ... + E(X_n) = n \cdot p </math> (wg. [[Kurs:Stochastik/Linearität Erwartungswert|Linearität]]). <br> == Satz - Verkettung von messbaren Abbildungen == Ist <math> X: \Omega \to \Omega'</math> Zufallsgröße auf <math> (\Omega,P) </math> und <math> \phi: \Omega' \to \mathbb{R}</math> eine Abbildung, dann gilt :<math> E(\phi \circ X)= \sum_{x \in X(\Omega)} \phi(x) \cdot P^X( \lbrace x \rbrace)</math> (Falls die Reihe absolut konvergiert). === Beweis - Verkettung von messbaren Abbildungen === :<math> \begin{array}{rcl} E_{\!_P}(\phi \circ X) & = & \displaystyle \sum_{\omega \in \Omega} \phi(X(w)) \cdot p_\omega \\ & = & \displaystyle \sum_{x \in X(\Omega)} \sum_{\omega:X(\omega) = x} \phi(X(\omega)) \cdot p_\omega \\ & = & \displaystyle \sum_{x \in X(\omega)} \phi(x) \sum _{\omega: X(\omega)=x} p_\omega \\ & = & \displaystyle \sum_{x \in X(\omega)} \phi(x) \cdot P^X(\lbrace x \rbrace) \\ \end{array} </math> (Großer Umordnungssatz für absolut konvergente Reihen) <br> === Beispiele === Gemäß der Behauptung gilt z.B. : Mit <math>\phi_1(x) := x^2</math> erhält man <math>E(\phi_1) = \sum_{x\in \mathbb{R}} x^2 \cdot P_X(\lbrace x \rbrace) </math> :Mit <math>\phi_2(x) := e^x</math> erhält man <math> E(\phi_2) = \sum_ {x\in \mathbb{R}} e^x \cdot P_X(\lbrace x \rbrace)</math> usw. ====Bemerkung ==== Die rechte Seite der Behauptung kann man auch als <math> E_{P_X} (\phi)</math> schreiben. <br> In der Tat, <math> P_X (\lbrace x \rbrace)</math> ist Wahrscheinlichkeitsfunktion auf <math> \Omega' </math> und <math> \phi</math> wird als Zufallsvariable auf <math> (\Omega', P_X)</math> aufgefasst: :<math> E_P(\phi \circ X)= E_{P_X}(\phi)</math> === Satz - Multipkikation von unabhängigen Zufallsgrößen === Die Zufallsvariablen <math> X,Y</math> mögen unabhängig sein und Erwartungswerte besitzen. Dann besitzt auch <math> X \cdot Y</math> einen Erwartungswert und es gilt :<math> E(X \cdot Y) = E(X) \cdot E(Y)</math> ====Beweis (i.1)==== Zur Existenz von <math> E(X \cdot Y)</math>: :<math> E(|X \cdot Y|)= \sum_{w \in \Omega } |X(w) \cdot Y(w)| p_w </math> :<math> = \sum_{x \in X(\Omega)} \sum _{y \in Y(\Omega)} \sum_{w:X(\omega)=x, Y(\omega) = y} |X(w) \cdot Y(w)| p_w </math> :<math> = \sum_{x \in X(\Omega)}\sum_{y \in Y(\Omega)} | x \cdot y | P(X=x, Y=y)</math> ==== Beweis (i.2) ==== :<math> = \sum_{x \in X(\Omega)} |x| \cdot P(X=x) \sum_{y \in Y(\Omega)} |y| \cdot P(Y=y)</math> :<math> = E|X| \cdot E|Y| < \infty </math> (Reihe links oben also absolut konvergent.) ==== Beweis (ii) ==== Die gleiche Rechnung wie in (i) ohne Betragsstriche liefert: :<math> E(X \cdot Y) = \sum_{\omega \in \Omega} X(\omega) \cdot Y(w) \cdot p_\omega </math> :<math> = ... = \sum_{x \in X(\Omega)} x \cdot P(X=x) \sum_{y \in Y(\Omega)} y \cdot P(Y=y) </math> :<math> = E(X) \cdot E(Y)</math> Es wurde angewandt: Doppelreihensatz und Umordnungssatz für Reihen mit nicht negativen Gliedern (in (i)) und für absolut konvergente Reihen (in (ii)). ====Bemerkung ==== 1. Allgemein gilt für unabhängige Zufallsvariablen <math> X_1, ..., X_n</math> mit existierenden Erwartungswerten: :<math> E(X_1 \cdot ... \cdot X_n) = E(X_1) \cdot ... \cdot E(X_n)</math> 2. Bei fehlender Unabhängigkeit folgt aus <math> P|X| < \infty, P|Y| < \infty </math> nicht notwendigerweise <math> P| X \cdot Y| <\infty </math>. === Definition - Bedingter Erwartungswert === Sei <math> (\Omega, \mathcal{S}, P) </math> diskreter Wahrscheinlichkeitsraum, <math>X</math> Zufallsvariable mit existierendem Erwartungswert und <math> A \subset \Omega </math> mit <math> P(A)> 0</math>. Dann heißt :<math> E(X|A) = E_{P_{(\cdot |A)}} (X)</math> der bedingte Erwartungswert von <math>X</math> unter (der Bedingung) <math>A</math>. <br> [ <math> P( \cdot|A)</math> ist die bedingte Wahrscheinlichkeitsverteilung auf <math> \Omega </math> unter <math> A </math>.] ==== Formeln zu Berechnung ==== :<math> E(X|A) = \sum_{\omega \in \Omega} X(\omega) P( \lbrace \omega \rbrace|A) = \sum X(\omega) \cdot \frac{P( \lbrace \omega \rbrace \cap A)} {P(A)} </math> :<math> = \frac {1} { P(A)} \sum_{\omega \in A} X(\omega) p_\omega = \frac {1} {P(A)} \sum_{\omega\in \Omega} 1_A (\omega) X(\omega) \cdot p_\omega = \frac {1} {P(A)} E(1_A X)</math> ==== Bemerkungen ==== * Da <math> \sum_{\omega \in \Omega} X(\omega )\cdot p_\omega </math> absolut konvergiert, so konvergiert auch <math>\sum_{\omega \in A} X(\omega ) \cdot p_\omega </math>. Damit existiert der bedingte Erwartungswert <math> E(X|A)</math>. * Spezialfälle: <math> E(1_A|A) =1, E(X|\Omega) = E(X)</math> <br> * Der hier eingeführte Begriff des bedingten Erwartungswertes spielt eine untergeordnete Rolle. In der allgemeinen Wahrscheinlichkeitstheorie definiert man bedingte Erwartungswerte der Art <math> E(X|Y)</math>, <math> Y </math> Zufallsvariable, welche von großer Wichtigkeit sind (jedoch hier in der Einführung nicht gebraucht werden). == Momente == In dem obigen Beispiel wurde der Erwartungswert <math>E(X)</math> als Spezialfall von Momenten <math>E(X^k)</math> betrachtet, die im Folgenden definiert werden. === Definition - Momente === Es sei <math>X</math> eine [[w:de:Zufallsvariable|Zufallsvariable]] und <math>k</math> eine [[w:de:natürliche Zahl|natürliche Zahl]]. Dann bezeichnet man als ''Moment der Ordnung <math>k</math> von <math>X</math>'' oder kürzer als ''<math>k</math>-tes Moment von <math>X</math>'' den Erwartungswert der <math>k</math>&#8209;ten Potenz von <math>X</math> (unter der Voraussetzung, dass dieser existiert): :<math> m_k := \operatorname{E}\left(X^k\right), </math> und als ''<math>k</math>-tes absolutes Moment von <math>X</math>'' wird der Erwartungswert der <math>k</math>-ten Potenz des Absolutbetrages <math>|X|</math> von <math>X</math> bezeichnet: :<math> M_k := \operatorname{E}\left(\left|X\right|^k\right). </math> === Bemerkung - nichtganzzahlige Momente === In theoretischen Untersuchungen werden mitunter auch Momente nichtganzzahliger Ordnung <math>\kappa</math> betrachtet. === Bemerkung - Existenz von Momenten === Die Existenz von Momenten einer bestimmten Ordnung liefert allgemein Aussagen über die Verteilung der Wahrscheinlichkeitsmasse. === Bemerkung - Erwartungswert als Moment 1. Ordnung === Das ''erste Moment'' ist der Erwartungswert. Er wird meist mit <math>\mu</math> bezeichnet und kann als Mittelwert angesehen werden. == Siehe auch == * [[Kurs:Stochastik/Linearität Erwartungswert|Linearität des Erwartungswertes]] * [[Kurs:Stochastik/Varianz|Varianz]] * [[Kurs:Stochastik/Kovarianz|Kovarianz]] * [[Kurs:Stochastik/Erzeugende Funktionen|Erzeugende Funktionen]] * [[Kurs:Stochastik]] == Seiteninformation == Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Momente&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Stochastik Kurs:Stochastik]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Momente https://de.wikiversity.org/wiki/Momente] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Momente Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Momente * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Momente&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] [[Category:Wiki2Reveal]] 5fz46ggtgg3jo2x64f90z6ym3ci0ftt 1119402 1119401 2026-11-11T15:51:49Z Bert Niehaus 20843 /* Bemerkung - sigma-additive Darstellung der Wahrscheinlichkeit */ 1119402 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite zum Thema ''Momente'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Momente&author=Wikipedia%20Authors&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Momente&coursetitle=Wikipedia%20Authors Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt: * (1) Definition von Momenten * (2) [[Erwartungswert|Erwartungswert]] * (3) [[Varianz|Varianz]] == Motivation - Erwartungswert == Vorbemerkung: Zwei Personen <math> A </math> und <math>B </math> vereinbaren ein Würfelspiel. * Ausgang '1': <math> A </math> zahlt an <math>B </math> 5€ * Ausgang '2', ..., '6': <math> B </math> zahlt an <math>A </math> 1€ Die Gewinnerwartung für die beiden Spieler beträgt hier Null: Erwarteter Gewinn von <math>B</math>: :<math> 5 \cdot \frac {1} {6} - 1 \cdot \frac {1} {6} - ... -1 \cdot \frac {1} {6} = 0 </math> ("faires Spiel"). === Bemerkung - Wahrscheinlichkeit und Wert der Zufallsgröße === In der obigen Gleichung :<math> 5 \cdot \frac {1} {6} - 1 \cdot \frac {1} {6} - ... -1 \cdot \frac {1} {6} = 0 </math> setzen sich die einzelnen Terme (z.B. <math> 5 \cdot \frac{1}{6} </math>) aus dem Wert der Zufallsgröße <math>X(1) = 5</math> und der Wahrscheinlichkeit <math> \frac{1}{6} </math> für das Eintretens des Ereignisse ("1 gewürfelt") zusammen. == Definition - Erwartungswert == Die Definition des Erwartungswertes wird in folgende Fälle unterteilt: * diskrete Zufallsgröße und * absolute stetige Zufallsgröße. === Definition - Erwartungswert - diskreter Fall === Sei <math> X : \Omega \to \mathbb{R} </math> eine auf einem diskreten [[Wahrscheinlichkeitsraum]] <math> (\Omega, \mathcal{S}, P) </math> definierte Zufallsvariable, dann heißt :<math> E(X) = \sum_{x \in X (\Omega)} x \cdot P(X=x) = \sum_{x \in X(\Omega)} x \cdot P^X (\lbrace x \rbrace)</math> Erwartungswert von <math> X </math>, vorausgesetzt, dass <math> \sum_{x \in X(\Omega)} |x| \cdot P(X=x) < \infty </math>. ==== Bemerkung - Anzahl Summanden - diskreter Fall ==== Die Zufallsgröße <math>X: \Omega \to \mathbb{R}</math> nimmt nur zwei Werte an, nämlich <math>X(\omega)=5</math> für <math>\omega =1</math> und <math>X(\omega)=-1</math> für <math>\omega =2,3,4,5,6</math>. Dabei besteht der Erwartungswert in der obigen Notation nur aus zwei Summanden, da <math>X(\Omega)=\{-1,5\}</math>. ==== Bemerkung 1 - Notation zum diskreten Beispiel ==== Möchte man den Erwartungswert analog zur obigen Notation mit 6 Summand definieren: :<math> \begin{array}{rcl} E(X) & = & \sum_{\omega \in \Omega} X(\omega) \cdot P(\{\omega\}) \\ & = & 5 \cdot \frac {1} {6} + \underbrace{(- 1) \cdot \frac {1} {6} + ... +(-1) \cdot \frac {1} {6}}_{=(-1) \cdot \frac {5} {6}} \\ & = & 5 \cdot \frac {1} {6} + -1 \cdot \frac {5} {6} = \displaystyle \sum_{x \in X(\Omega)=\{5,-1\}} x \cdot P^X(\{x\}) \\ & = & 0 \end{array} </math> ==== Bemerkung 2 - diskret verteilte Zufallsgröße ==== Die Reihe <math> \sum _x |x| \cdot P(X=x) < \infty</math> hat nur abzählbar viele Elemente <math>x</math> mit <math>P(X=x) \not= 0</math>, weil <math>X:\Omega \to\mathbb{R}</math> eine diskrete Zufallsgröße ist. ==== Bemerkung 3 - Erwartungswert - absolute Konvergenz ==== Mit <math> \sum _x |x| \cdot \underbrace{P(X=x)}_{\geq 0} </math> ist die Reihe in der Definition zum Erwartungswert absolut konvergent. Die Fälle <math> E(x) = + \infty </math> und <math> E(x) = - \infty </math> werden also ausgeschlossen. In solchen Fällen existiert der Erwartungswert nicht. === Definition - Erwartungswert - absolut stetig === Sei <math> X : \Omega \to \mathbb{R} </math> eine auf einem diskreten [[Wahrscheinlichkeitsraum]] <math> (\Omega, \mathcal{S}, P) </math> bei die Wahrscheinlichkeitsverteilung durch eine Dichtefunktion <math> p:\Omega \to \mathbb{R}_0^{+} </math> bzw. die induzierte Dichte <math> p^X:\mathbb{R} \to \mathbb{R}_0^{+} </math> gegeben ist. Dann heißt :<math> E(X) := \int_{\Omega} X(\omega) \cdot p(\omega) \, d(\omega) := \int_{\mathbb{R}} x \cdot p^X ( x ) \, dx</math> Erwartungswert der absolut stetigen Verteilung, wenn die Bedingung :<math> E(|X|) = \int_{\Omega} |X(\omega) | \cdot p(\omega) \, d(\omega) = \int_{\mathbb{R}} |x| \cdot p^X ( x ) \, dx < \infty </math> erfüllt ist. ==== Bemerkung - induzierte Dichtefunktion ==== Für die induzierte Dichtefunktion gilt alle <math>B</math> aus der Borelschen <math>\sigma</math>-Algebra <math>\mathcal{B}(\mathbb{R})</math>: :<math> \int_{X^{-1}(B)} X(\omega) \cdot p(\omega) \, d(\omega) := \int_{B} x \cdot p^X ( x ) \, dx</math> == Satz - Erwartungswert für diskrete Zufallsvariablen == Bezeichnet <math> p_\omega = P( \lbrace \omega \rbrace ) </math> die Wahrscheinlichkeitsfunktion von <math> P </math> auf <math> \Omega </math>, so gilt für eine auf <math> ( \Omega, \mathcal{S}, P)</math> definierte Zufallsvariable <math> X:\Omega \to \mathbb{R}</math>: :<math> E(X)= \sum_{\omega \in \Omega} X(\omega)\cdot p_\omega </math> (sofern <math> \sum |X(\omega)| \cdot p_\omega < \infty </math>). === Beweis - Erwartungswert für diskrete Zufallsvariablen === Es gilt mit <math>X^{-1}(\{x\})= \{\omega \in \Omega \ : \ X(\omega) = x \}</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \sum_{\omega \in \Omega} X(\omega) \cdot p_\omega & = & \displaystyle \sum_{x \in X(\Omega)} \ \sum _{\omega:X(\omega) = x} X(\omega) \cdot p_\omega \\ & = & \displaystyle \sum_{x \in X(\Omega)} x \cdot \sum_{\omega:X(\omega)=x} p_\omega \\ & = & \displaystyle \sum_{x \in X(\Omega)} x \cdot P^X(\lbrace x \rbrace) \\ & = & E(X) \\ \end{array} </math> ==== Bemerkung - sigma-additive Darstellung der Wahrscheinlichkeit ==== In der obigen Gleichungskette wird die <math>\sigma</math>-Additivät von [[Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaßen]] bei [[Wahrscheinlichkeitsraum|diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilung]] verwendet, um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen. Dabei gilt in der zweiten Gleichungszeile mit <math>A:= X^{-1}(\{x\})= \{\omega \in \Omega \ : \ X(\omega) = x \}</math> durch paarweise disjunkte Zerlegung einer Menge in die Wahrscheinlichkeit <math> P(\{\omega\})</math> der Einpunktmengen <math>\{\omega\}\in \mathcal{S}</math> auch: :<math> \sum _{\omega:X(\omega) = x} p_\omega = \sum _{\omega \in A} P(\{\omega\}) = P(A) = P^X(\{x\}) </math> ==== Bemerkung - sigma-Additivität ==== Diese additive Zerlegung einer Menge <math>A</math> in Einpunktmengen <math>\{\omega\}\in \mathcal{S}</math> funktioniert nicht bei [[diskrete und stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen|stetigen Verteilungen]], da die Summe von abzählbar vielen Einpunktmengen immer 0 ist, da Einpunktmengen bei stetigen Verteilungen keine Wahrscheinlichkeitsmasse <math>p_\omega > 0</math> tragen === Bemerkung zum Beweis === In den Beweis geht der große Umordnungssatz für konvergente Reihen aus der Analysis ein. Die Anwendung Umordnungssatzes ist möglich, da <math> E(|X|) < \infty</math> gilt und damit die Reihe absolut konvergent ist. === Bemerkungen - Existenz Erwartungeswertes === Im Fall absoluter Konvergenz der Reihen (Beispiele oben) sagt man: * <math> X </math> besitzt einen Erwartungswert, oder * der Erwartungswert von <math> X</math> existiert. <math> X </math> besitzt genau dann einen Erwartungswert, falls <math> E\big( |X|\big) = \sum_{\omega \in \Omega} |X(\omega)| \cdot p_\omega < \infty </math>. <br> ==== Endlicher Ergebnisraum ==== Dies ist bei endlichen Ergebnisräumen <math> \Omega </math> immer der Fall. ==== Schreibweise ==== Statt <math>E(X)</math> auch <math>EX</math> oder <math>E_PX</math>, wenn man kenntlich machen möchte, bzgl. welchem Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> der Erwartungswert berechnet wurde. === Elementare Folgerungen === Aus dem obigen Satz zum Erwartungswert folgt: <math> E(1) = 1, E(X) \le E(Y)</math>, falls <math> X(w) \le Y(w)</math> für alle <math> w \in \Omega </math> gilt. ==== Beispiel ==== Ist <math> X(w) = \lbrace w_1, ..., w_m \rbrace</math>, und ist <math> P_X</math> die Gleichverteilung auf <math> X(\Omega)</math>, so lautet der Erwartungswert :<math> E(X)= \frac {1} {m} \sum _{i=1}^{m} x_i </math> ("arithmetisches Mittel"). <br> (Der Erwartungswert der Augenzahl beim Würfeln ist 3,5.) ==== Beispiel ==== Für die Indikatorvariable <math> X=1_A</math> eines Ereignisses <math> A \subset \Omega </math> gilt: :<math> E(1_A) = 0 \cdot P(1_A = 0) + 1 \cdot P(1_A = 1) = P(A)</math> Eine direkte Folgerung aus der Behauptung ist der folgende Satz. == Satz - Linearität des Erwartungswertes == Besitzen die Zufallsvariablen <math> X_1, X_2</math> Erwartungswerte, so auch die Zufallsvariablen <math> aX_1, bX_2, a,b \in \mathbb{R}</math>, und es gilt: :<math> E(a\cdot X_1+b\cdot X_2 ) = a\cdot E(X_1) + b\cdot E(X_2)</math> (siehe [[Kurs:Stochastik/Linearität Erwartungswert|Linearität des Erwartungswertes]]) === Bemerkung - Aufgabe - Beweis === Der [[Kurs:Stochastik/Linearität_Erwartungswert|Beweis der Linearität]] wird über das Einsetzen der Definition und der Anwendung elementaren Umformungen geführt. Versuchen Sie diesen Beweis zunächst ohne Hilfen selbst durchzuführen und sich erst danach bei Problemen den angegebenen Beweis in Wikiversity zur [[Kurs:Stochastik/Linearität_Erwartungswert|Linearität des Erwartungswertes]] anzusehen. Stellen Sie den Beweis in den Übungen mit allen Begründungen vor. === Anwendungsbeispiel für die Linearität des Erwartungswertes === Alle <math>n</math> Zufallsgrößen <math>X_k</math> mit <math>k\in \{1,\ldots , n\}</math> seinen <math> B(1,p)</math>-verteilt. Dann ist <math>X:= X_1 + \ldots + X_n</math> ein <math> B(n,p)</math>-verteilt und für den Erwartungswert erhält man mit der Linearität des Erwartungswertes <math>X</math> gilt: :<math> E(X) = n\cdot p</math> ===== Beweismöglichkeiten===== * <math> E(X)= \sum _{k=k}^{n} k \cdot \binom {n}{k} \cdot p^k (1-p)^{n-k} = ... = n \cdot p</math> * Für die Binominalverteilung gilt <math> X=X_1 + .. + X_n </math> mit <math> E(X_i) = p</math>. Dann ist :<math> E(X)=E(X_1) + ... + E(X_n) = n \cdot p </math> (wg. [[Kurs:Stochastik/Linearität Erwartungswert|Linearität]]). <br> == Satz - Verkettung von messbaren Abbildungen == Ist <math> X: \Omega \to \Omega'</math> Zufallsgröße auf <math> (\Omega,P) </math> und <math> \phi: \Omega' \to \mathbb{R}</math> eine Abbildung, dann gilt :<math> E(\phi \circ X)= \sum_{x \in X(\Omega)} \phi(x) \cdot P^X( \lbrace x \rbrace)</math> (Falls die Reihe absolut konvergiert). === Beweis - Verkettung von messbaren Abbildungen === :<math> \begin{array}{rcl} E_{\!_P}(\phi \circ X) & = & \displaystyle \sum_{\omega \in \Omega} \phi(X(w)) \cdot p_\omega \\ & = & \displaystyle \sum_{x \in X(\Omega)} \sum_{\omega:X(\omega) = x} \phi(X(\omega)) \cdot p_\omega \\ & = & \displaystyle \sum_{x \in X(\omega)} \phi(x) \sum _{\omega: X(\omega)=x} p_\omega \\ & = & \displaystyle \sum_{x \in X(\omega)} \phi(x) \cdot P^X(\lbrace x \rbrace) \\ \end{array} </math> (Großer Umordnungssatz für absolut konvergente Reihen) <br> === Beispiele === Gemäß der Behauptung gilt z.B. : Mit <math>\phi_1(x) := x^2</math> erhält man <math>E(\phi_1) = \sum_{x\in \mathbb{R}} x^2 \cdot P_X(\lbrace x \rbrace) </math> :Mit <math>\phi_2(x) := e^x</math> erhält man <math> E(\phi_2) = \sum_ {x\in \mathbb{R}} e^x \cdot P_X(\lbrace x \rbrace)</math> usw. ====Bemerkung ==== Die rechte Seite der Behauptung kann man auch als <math> E_{P_X} (\phi)</math> schreiben. <br> In der Tat, <math> P_X (\lbrace x \rbrace)</math> ist Wahrscheinlichkeitsfunktion auf <math> \Omega' </math> und <math> \phi</math> wird als Zufallsvariable auf <math> (\Omega', P_X)</math> aufgefasst: :<math> E_P(\phi \circ X)= E_{P_X}(\phi)</math> === Satz - Multipkikation von unabhängigen Zufallsgrößen === Die Zufallsvariablen <math> X,Y</math> mögen unabhängig sein und Erwartungswerte besitzen. Dann besitzt auch <math> X \cdot Y</math> einen Erwartungswert und es gilt :<math> E(X \cdot Y) = E(X) \cdot E(Y)</math> ====Beweis (i.1)==== Zur Existenz von <math> E(X \cdot Y)</math>: :<math> E(|X \cdot Y|)= \sum_{w \in \Omega } |X(w) \cdot Y(w)| p_w </math> :<math> = \sum_{x \in X(\Omega)} \sum _{y \in Y(\Omega)} \sum_{w:X(\omega)=x, Y(\omega) = y} |X(w) \cdot Y(w)| p_w </math> :<math> = \sum_{x \in X(\Omega)}\sum_{y \in Y(\Omega)} | x \cdot y | P(X=x, Y=y)</math> ==== Beweis (i.2) ==== :<math> = \sum_{x \in X(\Omega)} |x| \cdot P(X=x) \sum_{y \in Y(\Omega)} |y| \cdot P(Y=y)</math> :<math> = E|X| \cdot E|Y| < \infty </math> (Reihe links oben also absolut konvergent.) ==== Beweis (ii) ==== Die gleiche Rechnung wie in (i) ohne Betragsstriche liefert: :<math> E(X \cdot Y) = \sum_{\omega \in \Omega} X(\omega) \cdot Y(w) \cdot p_\omega </math> :<math> = ... = \sum_{x \in X(\Omega)} x \cdot P(X=x) \sum_{y \in Y(\Omega)} y \cdot P(Y=y) </math> :<math> = E(X) \cdot E(Y)</math> Es wurde angewandt: Doppelreihensatz und Umordnungssatz für Reihen mit nicht negativen Gliedern (in (i)) und für absolut konvergente Reihen (in (ii)). ====Bemerkung ==== 1. Allgemein gilt für unabhängige Zufallsvariablen <math> X_1, ..., X_n</math> mit existierenden Erwartungswerten: :<math> E(X_1 \cdot ... \cdot X_n) = E(X_1) \cdot ... \cdot E(X_n)</math> 2. Bei fehlender Unabhängigkeit folgt aus <math> P|X| < \infty, P|Y| < \infty </math> nicht notwendigerweise <math> P| X \cdot Y| <\infty </math>. === Definition - Bedingter Erwartungswert === Sei <math> (\Omega, \mathcal{S}, P) </math> diskreter Wahrscheinlichkeitsraum, <math>X</math> Zufallsvariable mit existierendem Erwartungswert und <math> A \subset \Omega </math> mit <math> P(A)> 0</math>. Dann heißt :<math> E(X|A) = E_{P_{(\cdot |A)}} (X)</math> der bedingte Erwartungswert von <math>X</math> unter (der Bedingung) <math>A</math>. <br> [ <math> P( \cdot|A)</math> ist die bedingte Wahrscheinlichkeitsverteilung auf <math> \Omega </math> unter <math> A </math>.] ==== Formeln zu Berechnung ==== :<math> E(X|A) = \sum_{\omega \in \Omega} X(\omega) P( \lbrace \omega \rbrace|A) = \sum X(\omega) \cdot \frac{P( \lbrace \omega \rbrace \cap A)} {P(A)} </math> :<math> = \frac {1} { P(A)} \sum_{\omega \in A} X(\omega) p_\omega = \frac {1} {P(A)} \sum_{\omega\in \Omega} 1_A (\omega) X(\omega) \cdot p_\omega = \frac {1} {P(A)} E(1_A X)</math> ==== Bemerkungen ==== * Da <math> \sum_{\omega \in \Omega} X(\omega )\cdot p_\omega </math> absolut konvergiert, so konvergiert auch <math>\sum_{\omega \in A} X(\omega ) \cdot p_\omega </math>. Damit existiert der bedingte Erwartungswert <math> E(X|A)</math>. * Spezialfälle: <math> E(1_A|A) =1, E(X|\Omega) = E(X)</math> <br> * Der hier eingeführte Begriff des bedingten Erwartungswertes spielt eine untergeordnete Rolle. In der allgemeinen Wahrscheinlichkeitstheorie definiert man bedingte Erwartungswerte der Art <math> E(X|Y)</math>, <math> Y </math> Zufallsvariable, welche von großer Wichtigkeit sind (jedoch hier in der Einführung nicht gebraucht werden). == Momente == In dem obigen Beispiel wurde der Erwartungswert <math>E(X)</math> als Spezialfall von Momenten <math>E(X^k)</math> betrachtet, die im Folgenden definiert werden. === Definition - Momente === Es sei <math>X</math> eine [[w:de:Zufallsvariable|Zufallsvariable]] und <math>k</math> eine [[w:de:natürliche Zahl|natürliche Zahl]]. Dann bezeichnet man als ''Moment der Ordnung <math>k</math> von <math>X</math>'' oder kürzer als ''<math>k</math>-tes Moment von <math>X</math>'' den Erwartungswert der <math>k</math>&#8209;ten Potenz von <math>X</math> (unter der Voraussetzung, dass dieser existiert): :<math> m_k := \operatorname{E}\left(X^k\right), </math> und als ''<math>k</math>-tes absolutes Moment von <math>X</math>'' wird der Erwartungswert der <math>k</math>-ten Potenz des Absolutbetrages <math>|X|</math> von <math>X</math> bezeichnet: :<math> M_k := \operatorname{E}\left(\left|X\right|^k\right). </math> === Bemerkung - nichtganzzahlige Momente === In theoretischen Untersuchungen werden mitunter auch Momente nichtganzzahliger Ordnung <math>\kappa</math> betrachtet. === Bemerkung - Existenz von Momenten === Die Existenz von Momenten einer bestimmten Ordnung liefert allgemein Aussagen über die Verteilung der Wahrscheinlichkeitsmasse. === Bemerkung - Erwartungswert als Moment 1. Ordnung === Das ''erste Moment'' ist der Erwartungswert. Er wird meist mit <math>\mu</math> bezeichnet und kann als Mittelwert angesehen werden. == Siehe auch == * [[Kurs:Stochastik/Linearität Erwartungswert|Linearität des Erwartungswertes]] * [[Kurs:Stochastik/Varianz|Varianz]] * [[Kurs:Stochastik/Kovarianz|Kovarianz]] * [[Kurs:Stochastik/Erzeugende Funktionen|Erzeugende Funktionen]] * [[Kurs:Stochastik]] == Seiteninformation == Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Momente&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Stochastik Kurs:Stochastik]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Momente https://de.wikiversity.org/wiki/Momente] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Momente Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Momente * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Momente&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] [[Category:Wiki2Reveal]] m4qf2ve9krrrox5gijcwszslc1wn47w 0 103061 1119423 1097522 2026-11-11T18:21:32Z Bocardodarapti 2041 1119423 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Die Schüler sollen die Zahlen {{ Math/display|term= 31,28,31,30,31,30,31,31,30,31 |SZ= }} aufaddieren. Heinz Ngolo rechnet {{ Math/display|term= 300,301,299,300,301,302,303,\underline{304} |SZ=. }} Ist das Ergebnis richtig? Was geht in seinem Kopf vor? Mustafa Müller rechnet {{ Relationskette/display | 365-61 || 304 || || || |SZ=. }} Was geht in seinem Kopf vor? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Addition der natürlichen Zahlen |Kategorie2=Theorie der Differenz für natürliche Zahlen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Personenkategorie=Heinz Ngolo |Personenkategorie2=Mustafa Müller |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jo8fxwav4j9rimfqqq7a56ubouljch3 0 106839 1119407 1112164 2026-11-11T17:58:28Z Bocardodarapti 2041 Bocardodarapti verschob die Seite [[Fußballmanschaft/Auswahl/Kapitän/Aufgabe]] nach [[Fußballmannschaft/Auswahl/Kapitän/Aufgabe]], ohne dabei eine Weiterleitung anzulegen 1112164 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Die Fußballmannschaft des TSV Wildberg verfügt über drei Torwarte, sieben Verteidigungsspieler, sechs Mittelfeldspieler und vier Angreifer. Im anstehenden Spiel gegen Effringen will sie {{ Zusatz/Klammer |text=neben einem Torwart| |ISZ=|ESZ= }} mit vier Verteidigern, drei Mittelfeldspielern und drei Angreifern agieren. {{ Aufzählung3 |Wie viele Aufstellungsmöglichkeiten gibt es? |Wie viele Aufstellungsmöglichkeiten gibt es, wenn man zusätzlich noch berücksichtigt, dass einer der eingesetzten Spieler der Kapitän sein soll? |Wildberg geht in der {{math|term= 80.|SZ=}} Minute mit {{mathl|term= 1:0 |SZ=}} in Führung und entschließt sich, die Verteidigung zu stärken, indem zwei Angreifer durch zwei Verteidiger ersetzt werden. 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Also gibt es {{ Relationskette/display | {{op:Binomialkoeffizient| 3| 2}} {{op:Binomialkoeffizient| 3| 2}} || 9 || || || |SZ= }} Auswechselmöglichkeiten. }} |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Aufgabe= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0nagjhipka4ac8xzrygugajzwlz6shz 106 121960 1119411 1105063 2026-11-11T17:59:39Z Bocardodarapti 2041 1119411 wikitext text/x-wiki {{ Klausur19 |Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/24/Aufgabe|p||| |Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/24/Aufgabe|p||| |Knopfloch und Eisenbeis/Seeumrundung/Aufgabe|p||| |Fußballmannschaft/Auswahl/Kapitän/Aufgabe|p||| |Endliche Menge/Siebformel/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |5 Geraden/4 Schnittpunkte/Skizziere/Aufgabe|p||| |Endliche Permutation/Voller Zyklus/Anzahl/Aufgabe|p||| |Anfangsmenge/N/Minimum und Maximum/Kommutativer Halbring/Aufgabe|p||| |Potenzen/GgT und KgV/Aufgabe|p||| |Polynom/Begriffe/2/Aufgabe|p||| |Äquivalenzrelation/Modulo 6/Aufgabe|p||| 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|Textart=Klausur |Kategorie=Elementare Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} 3ofcq69fzr2i1ht10mq3ujyjneqyakd 1119413 1119410 2026-11-11T18:04:13Z Bocardodarapti 2041 1119413 wikitext text/x-wiki {{ Klausur22 |Elementare Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/30/Aufgabe|p||| |Elementare Mathematik 1/Gemischte Satzabfrage/30/Aufgabe|p||| |Bedingungen/Lösungsmenge/Alltag und mathematisch/Aufgabe|p||| |U-Bahn/Zugang und Ausgang/Aufgabe|p||| |Zug/Schiffe/Begegnungen/Aufgabe|p||| |Klassenarbeit/Abbildung/Aufgabe|p||| |Zahlentheorie/Beweisverfahren/Induktionsprinzip/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Natürliche Zahlen/Multiplikation/Selbstaddition/Produktmenge/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |See/Hecht/Angler/Aufgabe|p||| |Fußballmannschaft/Auswahl/Kapitän/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Wochentag/Vor 1000 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digitale und analoge Weltstrukturen im Kontext von Lernumgebungen. Digital Analogue World Equivalence (DAWE) bedeutet, dass der digitale Zugriffsbereich auf Daten und Software strukturell äquivalent zu dem außerhalb der IT liegenden Zugriffsbereich der verwendeten digitalen Lernumgebungen ist. Diese Lernressource basiert auf dem [[Open Community Approach]]. === Lernumgebung und digitale Zwillinge von Lernenden === Man geht davon aus, dass die Studierenden alleine an einer auf ihre Fähigkeiten und Kenntnisse zugeschnittenen Lernaufgabe arbeiten. Dies definiert eine Lernumgebung, in der die Studierenden nicht mit anderen Studierenden zusammenarbeiten. Wenn die IT-Umgebung entsprechend gestaltet ist, dann kann das mobile Gerät auch ohne Verbindung zu anderen Studierenden oder zum Backend des [[w:de:Lernmanagementsystem|Lernmanagementsystems]] arbeiten. Es liegt auf der Hand, dass eine Bewertung auch die Anforderung enthalten kann, dass die Aufgaben mit [[v:en:enOpen Source|Open Source Software]] und [[Open Educational Resources]], die nur auf dem Gerät verfügbar sind, bearbeitet werden sollten. === Strukturgleichheit - Einzelarbeit === Bei einer lokalen Bearbeitung werden nur lokal verfügbare Ressourcen verwendet und keine Services von externen Diensten außerhalb der lokalen Lernumgebung verwendet und Daten über die Arbeit der Lernenden fließen nicht an externe Server ab. === Strukturgleichheit - Lehrende - Zugriff auf Einarbeit === Wenn Lehrende Zugriff auf die Einzelarbeit der Lernenden möchten, so greifen diese transparent mit Zustimmung der Lernenden auf die Ergebnisse der Lernenden zu oder alternativ erlauben Lernende generell den Zugriff auf die Arbeitsergebnisse und wissen auch, dass das möglich ist. Datenzugriff wird externen Servern, z.B. die z.B. persönliche Daten von Lernenden abgreifen, werden prinzipiell nicht gewährt. Lehrende stellen sich auch nicht auf den "Marktplatz" und berichten dort über die Lernleistungen der Lernenden. === Bemerkung - OpenSource-Software === Über OpenSource-Software kann man Transparenz über den verwendeten Code erzeugen und die Gemeinschaft kann, Anpassung vornehmen, die den Datenschutz noch weiter erhöhen. === Strukturgleichheit - Gruppenarbeit === Diese Konzept kann auch auf Gruppenarbeit erweitert werden. Die Arbeit in einer Gruppe (z.B. von Schüler:innen oder Studierenden) erlaubt zunächst einmalsein, die an einer gemeinschaftlichen Lernaufgabe arbeiten. Digitale Analoge Weltäquivalenz bedeutet in diesem Zusammenhang, dass die Schülerinnen und Schüler als Gruppe mit einem mobilen Gerät oder PC an einer bestimmten Aufgabe arbeiten und von der restlichen IT-Infrastruktur abgekoppelt arbeiten können. Austausch von Materialien erfolgt nur zwischen den mobilen Endgeräten und nicht über entfernte Server in Analogie zum Austausch von Arbeitsergebnissen auf Papier zwischen Lernenden. === Speicherung auf Infrastruktur der Bildungseinrichtung === Speicheroptionen innerhalb der Einrichtung mit regelmäßigem Backup können verwendet werden, um verteilt nutzbare Open Educational Ressources für Lerneinheit zur Verfügung zu stellen. Zugriff kann personenbezogen zwischen Gruppen oder im Sinne einer Bibliothek als frei nutzbare Bildungsressource verwendet werden. == Lernaufgaben == * '''([[w:de:Mesh networking|Mesh Networks]])''' '''([[w:en:Mesh networking|Mesh Networks]])''', die zwischen mobilen Geräten eingerichtet werden können, ohne dass eine Client-Server-Infrastruktur erforderlich ist. Die SchülerInnen arbeiten zusammen und tauschen Ideen und Inhalte innerhalb des Mesh-Netzwerks aus. Wenn sie ihre Übung nicht beenden, teilen sich alle Clients eine Kopie der Zwischenergebnisse und können diese später unabhängig voneinander als Hausaufgabe bearbeiten. Einige Schülerinnen und Schüler möchten ihre Ergebnisse vielleicht nicht präsentieren, andere möchten sie mit der Lehrkraft teilen oder sogar im Mesh-Netzwerk im Klassenzimmer anwesend sein. Erklären Sie den Unterschied zwischen einer Client-Server-Infrastruktur, bei der alle digitalen Produkte über den Server gespeichert und ausgetauscht werden müssen. Was sind die Vor- und Nachteile beider Ansätze? Wie fühlen sich Ihre SchülerInnen, wenn alle Ergebnisse und Zwischenschritte auf einer Client-Server-Infrastruktur gespeichert sind? Schätzen Ihre Schülerinnen und Schüler einen Arbeitsablauf, bei dem die Offline-Privatsphäre der Ergebnisse gewahrt bleibt und die Möglichkeit besteht, die Ergebnisse vom eigenen Mobilgerät aus mit der Lehrkraft, der Gruppe oder der gesamten Klasse zu teilen, wenn sich die Schülerinnen und Schüler mit der Weitergabe von ihrem eigenen Gerät an eine Client-Server-Infrastruktur wohl fühlen. * '''([[w:de:KISS_principle|KISS Principle]])''' Keep It Small and Simple "[[w:en:KISS_principle|KISS]]" bedeutet, einfache Softwarelösungen zu erstellen, die einer bestimmten Aufgabe dienen und für einen bestimmten Zweck leicht gewartet und überwacht werden können. Identifizieren Sie die Bibliotheks-Pakete z.B. für [[v:en:LineageOS|LineageOS]], um eine Digital-Analog-Welt-Äquivalenz herzustellen. Betrachten Sie auch das Konzept des [[w:en:OSI-Modells|Schichten im OSI-Modell]] und leiten Sie die Auswahl der [[Open Source]]-Software/Bibliotheken aus Ihren Anforderungen und Einschränkungen ab. * '''(Synchronisierung und gemeinsame Nutzung)''' Angenommen, die Gruppe der Studierenden hat ein [[w:en:Mesh Networking|Mesh Network]] zwischen ihnen eingerichtet. In einer kollaborativen Arbeitsumgebung zwischen dieser Gruppe möchten die Studierenden die Ergebnisse und Zwischenergebnisse des Problemlösungsprozesses synchronisieren und gemeinsam nutzen. Beschäftigen Sie sich mit der Geschichte des Wikis oder den Arbeitsabläufen eines Versionskontrollsystems. Welche Anforderungen und Einschränkungen gibt es, damit die Schülergruppe den Überblick über ihre gemeinsamen Ergebnisse behält und ihre Versionen der Zwischenergebnisse synchronisiert. Ist das ohne ein Versionskontrollsystem im Hintergrund möglich? Ist es möglich, dass die Studierenden einen Studierenden auswählen, der eine Versionskontrolle im [[w:de:Mesh-Netzwerk|Mesh-Netzwerk]] hostet und alle Versionen in einem Master-Slave-Konzept der Datenbank mit allen anderen mobilen Geräten im [[w:de:Mesh-Netzwerk|Mesh-Netzwerk]] austauscht? Welche anderen Möglichkeiten gibt es, die Daten zwischen den Schülern zu synchronisieren und auszutauschen, ohne eine externe Client-Server-Infrastruktur zu verwenden? Leiten Sie Schlussfolgerungen ab, wann zentralisierte Open-Source-Dienste in Schulen oder lokalisierte Mesh-Lösungen eingesetzt werden sollten, die keine weitere Client-Server-Infrastruktur für die kollaborative Arbeit benötigen. * '''(Einreichung oder Veröffentlichung von Ergebnissen)''' Wenn ein Thema zusammen mit den Lernaufgaben abgeschlossen ist, möchten die Schülerinnen und Schüler vielleicht die individuellen Ergebnisse auf dem mobilen Gerät mit der Peergroup teilen, die Lehrkraft den gesamten Kurs oder sogar im Intranet innerhalb der Schule veröffentlichen (und z.B. nicht im Content Management System der Schule, Hochschule, Universität, ...). Betrachten Sie den Arbeitsablauf im Allgemeinen "Wer soll Zugang zu welchem Inhalt haben?" und übertragen Sie dies auf die digitale Infrastruktur in der Weise, dass der Zugang zu den Ergebnissen gleichbedeutend ist mit dem Hosten der entsprechenden Daten auf den digitalen Geräten (z.B. mobile Geräte von Schülern und Lehrern, Datenprojektor, Open Source Server in der Schule oder in einem Mesh Network, ...) * '''([[Real World Lab]]s)''' Erkunden Sie das Konzept der [[Real World Lab]]s und die Interaktion mit der realen Welt mit zusätzlichen digitalen Informationen. Erläutern Sie, wie Lernmodule in Wikiversity als [[Open Educational Resources]] auf einen bestimmten geografischen Ort zugeschnitten werden können. == Digital-Analog-Welt-Äquivalenz == Die '''Digital-Analog-Welt-Äquivalenz''' ist ein zentrales Konzept im Kontext der Digitalisierung und der damit verbundenen ethischen Überlegungen. Sie beschreibt die Annahme oder den Versuch, dass digitale Repräsentationen (z. B. Daten, Modelle, Simulationen) einer analogen, physischen Realität '''äquivalent''' sind – also dass sie dieselbe Bedeutung, Gültigkeit oder Wirkung haben wie die Originalobjekte oder Prozesse in der realen Welt. === Grenzen von Modellen und Simulationen === Doch diese Äquivalenz ist in komplexen dynamischen System '''nicht gegeben''', sondern muss kritisch hinterfragt werden, ob welche Aspekte aus der realen Welt tatsächlich in entsprechende Qualität abgebildet wurden und in welche Aspekt bewusst nicht berücksichtigt wurden bzw. nicht berücksichtigt werden konnten. Insbesonders im Hinblick auf '''Ethik, Verantwortung, Transparenz und menschliche Wahrnehmung'''. === Schnittstelle zwischen digitaler und analoger Welt === Äquivalenz bedeutet mathematisch und aus der Wortbedeutung "gleichwertig". Die Korrektheit eines digitalen Modells ist aber nicht klassisch wahr (=1) oder falsch (=0), sondern kann in der Gültigkeit der Äquivalenz graduelle Zwischenwert zwischen 0 und 1 annehmen. Die Gültigkeit der Äquivalenz versucht man über Sensornetzwerke zu messen, wobei in der Regel nicht alles messbar ist, was den Kern eines Systems ausmacht: * '''Analoge Welt''': Die physische, mit Sinnen wahrnehmbare Welt – Menschen, Prozesse, Natur, Objekte. * '''Digitale Welt''': Daten, Algorithmen, Modelle, Simulationen, die in Computern gespeichert und verarbeitet werden. * '''Messinstrumente''': Sensornetzwerke in der analogen Welt messen Teilaspekte und kalibrieren die Modelle in der digitalen Welt (siehe auch [[Maschinelles Lernen]]) Die '''Äquivalenz''' bedeutet: *„Was in der digitalen Welt passiert, hat dieselbe Relevanz, Wirkung und Verantwortung wie in der analogen Welt.“* === Beispiel - Digitaler Zwilling === Ein '''digitaler Zwilling''' eines Fabrikrobots wird in einer Simulation getestet. Wenn der digitale Zwilling „funktioniert“, wird angenommen, dass der echte Roboter auch funktionieren wird – also: digitale und analoge Welt sind äquivalent. === Probleme diese DAW-Äquivalenz === Die Annahme der DAW-Äquivalenz kann ethisch bedenklich sein, weil: === Problem 1 - Daten sind nicht die Realität=== Digitale Repräsentationen sind immer '''vereinfacht, selektiv und fehlerbehaftet'''. Sie berücksichtigen nur bestimmte Merkmale, die gemessen oder modelliert wurden. === Problem 2 - Verlust von Kontext und Nuance=== Die menschliche Erfahrung, Emotionen, Intuition oder kulturelle Bedeutung sind schwer digitalisierbar. Ein digitaler Zwilling eines Menschen kann z. B. dessen Verhalten vorhersagen, aber nicht dessen Motivation oder ethische Entscheidungen. === Problem 3 - Verantwortung wird verschoben=== Wenn ein digitaler Zwilling einen Fehler verursacht (z. B. ein autonomes Fahrzeug, das auf Basis eines digitalen Zwillinges falsch reagiert), wird die Verantwortung oft auf „die Daten“ oder „den Algorithmus“ abgeschoben – statt auf die Menschen, die den Zwilling erstellt, validiert oder einsetzt. === Problem 4 - Macht und Kontrolle=== Wer Daten erhebt, modelliert und interpretiert, hat Einfluss auf die digitale Repräsentation – und damit auf Entscheidungen in der analogen Welt. Dies kann zu '''Diskriminierung, Überwachung oder Manipulation''' führen. Dies beinhaltet auch die Auswahl von Teilaspekten, die bewusst nicht eine digitale Repräsentation aufgenommen werden. === Beispiel - Digitaler Zwilling in der Industrie === * '''Szenario''': Ein Unternehmen erstellt einen digitalen Zwilling einer Produktionsanlage, um Wartungsintervalle vorherzusagen und Ausfälle zu vermeiden. * '''Äquivalenzannahme''': Der digitale Zwilling ist so genau wie möglich struktur- und funktionsgleich zur echten Anlage erstellt worden – also können kann man auf Basis seiner gesammelten Daten Entscheidungen getroffen werden, die die reale Produktion betreffen. * '''Ethische Herausforderungen''': ** '''Datenqualität''': Wenn Sensoren fehlerhaft sind oder Daten nicht vollständig erfasst wurden, ist der Zwilling '''nicht äquivalent''' – er kann falsche Vorhersagen liefern. ** '''Verantwortung''': Wenn ein Ausfall trotz „gutem“ digitalen Zwilling eintritt, wer haftet? Der Ingenieur, der den Zwilling gebaut hat? Der Datenmanager? Der CEO, der auf die Vorhersage vertraute? ** '''Menschliche Arbeit''': Wenn der digitale Zwilling die Entscheidung über Wartung trifft, wird menschliche Erfahrung und Intuition ausgeblendet – was ethisch problematisch ist, wenn es um Sicherheit geht. ==== Fazit - digitale Zwillinge==== Der digitale Zwilling ist '''nicht äquivalent''' zur realen Anlage – er ist ein '''Modell''', das nützlich, aber begrenzt ist. Die Annahme der Äquivalenz führt zu Risiken, wenn sie nicht kritisch hinterfragt wird. === Ethik im Umgang mit DAW-Äquivalenz === Um ethisch verantwortungsvoll mit Digitalisierung umzugehen, sollten folgende Prinzipien gelten: ==== Anforderung 1 - Transparenz ==== Es muss klar sein, was im digitalen Modell erfasst, was weggelassen wurde und welche Annahmen zugrunde liegen. === Anforderung 2 - Verantwortlichkeit=== Menschen, nicht Algorithmen, tragen Verantwortung für Entscheidungen, die auf digitalen Modellen basieren. === Anforderung 3 - Human-in-the-Loop=== Digitale Systeme sollten '''unter menschlicher Aufsicht''' funktionieren – besonders bei kritischen Entscheidungen. === Anforderung 4 - Kritische Distanz=== Digitale Repräsentationen sind '''nicht die Realität''', sondern Hilfsmittel zur Entscheidungsfindung. Sie müssen stets mit kritischem Abstand betrachtet werden. === Anforderung 5 - Gerechtigkeit und Fairness=== Digitale Modelle dürfen nicht diskriminierend sein, z.B. wenn sie auf unvollständigen oder voreingenommenen Daten basieren. == Zusammenfassung == Die '''Digital-Analog-Welt-Äquivalenz''' darf nicht mit einer Annahme verwechselt werden, dass die Äquivalenz in der Digitalisierung tatsächlich zu erreichen ist. Der Begriff suggeriert, dass digitale Modelle wie digitale Zwillinge die reale Welt vollständig und genau abbilden, was ethisch potentiell zu Problemen führen kann. === Gründe für Probleme bzgl. DAW-Äquivalenz === Gründe für Probleme einer DAW-Äquivalenz liegen * Modelle sind vereinfacht. * Daten sind nicht neutral. * Verantwortung kann verschoben werden. * Menschliche Dimensionen gehen u.U. verloren und finden keine Berücksichtigung in Entscheidungsprozessen. === Ethisch verantwortungsvolle Digitalisierung === Ethisch verantwortungsvolle Digitalisierung bedeutet u.a. auch die Grenzen von Modellen wahrzunehmen und keine Absolutheitsanspruch für die modellierten Aspekte zu berücksichtigen. === Aufgabe 1 für Studierende === Diskutieren Sie die folgende Aussage und suchen Sie nach Beispielen aus Ihrem Umfeld, an dem Sie diese Aspekte erläutern können : ''„Menschen nutzen digitale Modelle als Werkzeuge und zur Entscheidungsunterstützung – aber berücksichtigen nicht notwendig betrachtet, wer diese Modelle erstellt hat, mit welcher Zielsetzung die Modelle geschaffen wurden, wer von den Einsatz der Modelle profitiert"'' Können durch einen Absolutheitsanspruch der Digital-Analog-Welt-Äquivalenz Menschenrechte verletzt werden. === Aufgabe 2 für Studierende === Wenn Digital-Analog-Äquivalenz eine Illusion ist und nur Teilaspekte und unvollständiger Form auf digitale Modelle übertragen werden, kann man dann dennoch Anstrengungen als Gesellschaft angehen, damit die ethische Risiken gemindert werden. Versuchen Sie die ethischen Risiken auch im Kontext von digitaler Entscheidungsunterstützung durch digitale Zwillingen als nützliche Hilfsmittels zu analysieren. Z.B. digitale Zwillinge von Ökosystemen zu verwenden, um Interventionen vor der Realisierung in einem digitalen Modell zu testen und die Konsequenzen einer Intervention besser abzuschätzen. == Siehe auch == * [[Digitale Lernumgebung]] * [[Digitaler Zwilling]] * [[w:en:Information systems|Informationssysteme]] * [[w:de:KISS-Prinzip|KISS-Prinzip]] * [[w:en:Lernmanagementsystem|Lernmanagementsystem (LMS)]] * [[v:en:LineageOS|LineageOS]] - ein maßgeschneidertes [[v:en:Open Source|Open Source]]-Betriebssystem für mobile Geräte für DAWE * [[w:de:OSI-Modell|Schichten im OSI-Modell]] * [[w:de:Mesh Networking|Mesh Network]] [[Kategorie:Lernen]] [[Kategorie:Informations- und Kommunikationstechnologien]] [[Kategorie:Informationssysteme]] <noinclude>[[en:Digital Analogue World Equivalence]]</noinclude> quh4euwbu7r6efodj974enay1cxcly8 1119470 1119468 2026-11-12T08:28:37Z Bert Niehaus 20843 /* Digital-Analog-Welt-Äquivalenz */ 1119470 wikitext text/x-wiki == Einführung == In dieser Lernressource geht es um äquivalente digitale und analoge Weltstrukturen im Kontext von Lernumgebungen. Digital Analogue World Equivalence (DAWE) bedeutet, dass der digitale Zugriffsbereich auf Daten und Software strukturell äquivalent zu dem außerhalb der IT liegenden Zugriffsbereich der verwendeten digitalen Lernumgebungen ist. Diese Lernressource basiert auf dem [[Open Community Approach]]. === Lernumgebung und digitale Zwillinge von Lernenden === Man geht davon aus, dass die Studierenden alleine an einer auf ihre Fähigkeiten und Kenntnisse zugeschnittenen Lernaufgabe arbeiten. Dies definiert eine Lernumgebung, in der die Studierenden nicht mit anderen Studierenden zusammenarbeiten. Wenn die IT-Umgebung entsprechend gestaltet ist, dann kann das mobile Gerät auch ohne Verbindung zu anderen Studierenden oder zum Backend des [[w:de:Lernmanagementsystem|Lernmanagementsystems]] arbeiten. Es liegt auf der Hand, dass eine Bewertung auch die Anforderung enthalten kann, dass die Aufgaben mit [[v:en:enOpen Source|Open Source Software]] und [[Open Educational Resources]], die nur auf dem Gerät verfügbar sind, bearbeitet werden sollten. === Strukturgleichheit - Einzelarbeit === Bei einer lokalen Bearbeitung werden nur lokal verfügbare Ressourcen verwendet und keine Services von externen Diensten außerhalb der lokalen Lernumgebung verwendet und Daten über die Arbeit der Lernenden fließen nicht an externe Server ab. === Strukturgleichheit - Lehrende - Zugriff auf Einarbeit === Wenn Lehrende Zugriff auf die Einzelarbeit der Lernenden möchten, so greifen diese transparent mit Zustimmung der Lernenden auf die Ergebnisse der Lernenden zu oder alternativ erlauben Lernende generell den Zugriff auf die Arbeitsergebnisse und wissen auch, dass das möglich ist. Datenzugriff wird externen Servern, z.B. die z.B. persönliche Daten von Lernenden abgreifen, werden prinzipiell nicht gewährt. Lehrende stellen sich auch nicht auf den "Marktplatz" und berichten dort über die Lernleistungen der Lernenden. === Bemerkung - OpenSource-Software === Über OpenSource-Software kann man Transparenz über den verwendeten Code erzeugen und die Gemeinschaft kann, Anpassung vornehmen, die den Datenschutz noch weiter erhöhen. === Strukturgleichheit - Gruppenarbeit === Diese Konzept kann auch auf Gruppenarbeit erweitert werden. Die Arbeit in einer Gruppe (z.B. von Schüler:innen oder Studierenden) erlaubt zunächst einmalsein, die an einer gemeinschaftlichen Lernaufgabe arbeiten. Digitale Analoge Weltäquivalenz bedeutet in diesem Zusammenhang, dass die Schülerinnen und Schüler als Gruppe mit einem mobilen Gerät oder PC an einer bestimmten Aufgabe arbeiten und von der restlichen IT-Infrastruktur abgekoppelt arbeiten können. Austausch von Materialien erfolgt nur zwischen den mobilen Endgeräten und nicht über entfernte Server in Analogie zum Austausch von Arbeitsergebnissen auf Papier zwischen Lernenden. === Speicherung auf Infrastruktur der Bildungseinrichtung === Speicheroptionen innerhalb der Einrichtung mit regelmäßigem Backup können verwendet werden, um verteilt nutzbare Open Educational Ressources für Lerneinheit zur Verfügung zu stellen. Zugriff kann personenbezogen zwischen Gruppen oder im Sinne einer Bibliothek als frei nutzbare Bildungsressource verwendet werden. == Lernaufgaben == * '''([[w:de:Mesh networking|Mesh Networks]])''' '''([[w:en:Mesh networking|Mesh Networks]])''', die zwischen mobilen Geräten eingerichtet werden können, ohne dass eine Client-Server-Infrastruktur erforderlich ist. Die SchülerInnen arbeiten zusammen und tauschen Ideen und Inhalte innerhalb des Mesh-Netzwerks aus. Wenn sie ihre Übung nicht beenden, teilen sich alle Clients eine Kopie der Zwischenergebnisse und können diese später unabhängig voneinander als Hausaufgabe bearbeiten. Einige Schülerinnen und Schüler möchten ihre Ergebnisse vielleicht nicht präsentieren, andere möchten sie mit der Lehrkraft teilen oder sogar im Mesh-Netzwerk im Klassenzimmer anwesend sein. Erklären Sie den Unterschied zwischen einer Client-Server-Infrastruktur, bei der alle digitalen Produkte über den Server gespeichert und ausgetauscht werden müssen. Was sind die Vor- und Nachteile beider Ansätze? Wie fühlen sich Ihre SchülerInnen, wenn alle Ergebnisse und Zwischenschritte auf einer Client-Server-Infrastruktur gespeichert sind? Schätzen Ihre Schülerinnen und Schüler einen Arbeitsablauf, bei dem die Offline-Privatsphäre der Ergebnisse gewahrt bleibt und die Möglichkeit besteht, die Ergebnisse vom eigenen Mobilgerät aus mit der Lehrkraft, der Gruppe oder der gesamten Klasse zu teilen, wenn sich die Schülerinnen und Schüler mit der Weitergabe von ihrem eigenen Gerät an eine Client-Server-Infrastruktur wohl fühlen. * '''([[w:de:KISS_principle|KISS Principle]])''' Keep It Small and Simple "[[w:en:KISS_principle|KISS]]" bedeutet, einfache Softwarelösungen zu erstellen, die einer bestimmten Aufgabe dienen und für einen bestimmten Zweck leicht gewartet und überwacht werden können. Identifizieren Sie die Bibliotheks-Pakete z.B. für [[v:en:LineageOS|LineageOS]], um eine Digital-Analog-Welt-Äquivalenz herzustellen. Betrachten Sie auch das Konzept des [[w:en:OSI-Modells|Schichten im OSI-Modell]] und leiten Sie die Auswahl der [[Open Source]]-Software/Bibliotheken aus Ihren Anforderungen und Einschränkungen ab. * '''(Synchronisierung und gemeinsame Nutzung)''' Angenommen, die Gruppe der Studierenden hat ein [[w:en:Mesh Networking|Mesh Network]] zwischen ihnen eingerichtet. In einer kollaborativen Arbeitsumgebung zwischen dieser Gruppe möchten die Studierenden die Ergebnisse und Zwischenergebnisse des Problemlösungsprozesses synchronisieren und gemeinsam nutzen. Beschäftigen Sie sich mit der Geschichte des Wikis oder den Arbeitsabläufen eines Versionskontrollsystems. Welche Anforderungen und Einschränkungen gibt es, damit die Schülergruppe den Überblick über ihre gemeinsamen Ergebnisse behält und ihre Versionen der Zwischenergebnisse synchronisiert. Ist das ohne ein Versionskontrollsystem im Hintergrund möglich? Ist es möglich, dass die Studierenden einen Studierenden auswählen, der eine Versionskontrolle im [[w:de:Mesh-Netzwerk|Mesh-Netzwerk]] hostet und alle Versionen in einem Master-Slave-Konzept der Datenbank mit allen anderen mobilen Geräten im [[w:de:Mesh-Netzwerk|Mesh-Netzwerk]] austauscht? Welche anderen Möglichkeiten gibt es, die Daten zwischen den Schülern zu synchronisieren und auszutauschen, ohne eine externe Client-Server-Infrastruktur zu verwenden? Leiten Sie Schlussfolgerungen ab, wann zentralisierte Open-Source-Dienste in Schulen oder lokalisierte Mesh-Lösungen eingesetzt werden sollten, die keine weitere Client-Server-Infrastruktur für die kollaborative Arbeit benötigen. * '''(Einreichung oder Veröffentlichung von Ergebnissen)''' Wenn ein Thema zusammen mit den Lernaufgaben abgeschlossen ist, möchten die Schülerinnen und Schüler vielleicht die individuellen Ergebnisse auf dem mobilen Gerät mit der Peergroup teilen, die Lehrkraft den gesamten Kurs oder sogar im Intranet innerhalb der Schule veröffentlichen (und z.B. nicht im Content Management System der Schule, Hochschule, Universität, ...). Betrachten Sie den Arbeitsablauf im Allgemeinen "Wer soll Zugang zu welchem Inhalt haben?" und übertragen Sie dies auf die digitale Infrastruktur in der Weise, dass der Zugang zu den Ergebnissen gleichbedeutend ist mit dem Hosten der entsprechenden Daten auf den digitalen Geräten (z.B. mobile Geräte von Schülern und Lehrern, Datenprojektor, Open Source Server in der Schule oder in einem Mesh Network, ...) * '''([[Real World Lab]]s)''' Erkunden Sie das Konzept der [[Real World Lab]]s und die Interaktion mit der realen Welt mit zusätzlichen digitalen Informationen. Erläutern Sie, wie Lernmodule in Wikiversity als [[Open Educational Resources]] auf einen bestimmten geografischen Ort zugeschnitten werden können. == Digital-Analog-Welt-Äquivalenz == Die '''Digital-Analog-Welt-Äquivalenz''' ist ein zentrales Konzept im Kontext der Digitalisierung und der damit verbundenen ethischen Überlegungen. Sie beschreibt die Annahme oder den Versuch, dass digitale Repräsentationen (z. B. Daten, Modelle, Simulationen) einer analogen, physischen Realität '''äquivalent''' sind – also dass sie dieselbe Bedeutung, Gültigkeit oder Wirkung haben wie die Originalobjekte oder Prozesse in der realen Welt === Beispiel im Kontext von Lernen === Das obige einführende Beispiel zeigt, wie Lernen in Einzel- oder Gruppenarbeit und der Zugriff von Lehrpersonen auf die Ergebnisse ein ''Digital-Analog-Welt-Äquivalenz'' berücksichtigen kann, dass analoger Zugriff auf Daten und Ergebnissen der Struktur der Gruppen und Einzelarbeit entspricht und diese Daten nicht mit externer Infrastruktur verbunden ist, wenn diese auch ohne externe Serverinfrastruktur möglich ist (siehe [[Privacy by Design]]). === Grenzen von Modellen und Simulationen === Doch diese Äquivalenz ist in komplexen dynamischen System '''nicht gegeben''', sondern muss kritisch hinterfragt werden, ob welche Aspekte aus der realen Welt tatsächlich in entsprechende Qualität abgebildet wurden und in welche Aspekt bewusst nicht berücksichtigt wurden bzw. nicht berücksichtigt werden konnten. Insbesonders im Hinblick auf '''Ethik, Verantwortung, Transparenz und menschliche Wahrnehmung'''. === Schnittstelle zwischen digitaler und analoger Welt === Äquivalenz bedeutet mathematisch und aus der Wortbedeutung "gleichwertig". Die Korrektheit eines digitalen Modells ist aber nicht klassisch wahr (=1) oder falsch (=0), sondern kann in der Gültigkeit der Äquivalenz graduelle Zwischenwert zwischen 0 und 1 annehmen. Die Gültigkeit der Äquivalenz versucht man über Sensornetzwerke zu messen, wobei in der Regel nicht alles messbar ist, was den Kern eines Systems ausmacht: * '''Analoge Welt''': Die physische, mit Sinnen wahrnehmbare Welt – Menschen, Prozesse, Natur, Objekte. * '''Digitale Welt''': Daten, Algorithmen, Modelle, Simulationen, die in Computern gespeichert und verarbeitet werden. * '''Messinstrumente''': Sensornetzwerke in der analogen Welt messen Teilaspekte und kalibrieren die Modelle in der digitalen Welt (siehe auch [[Maschinelles Lernen]]) Die '''Äquivalenz''' bedeutet: *„Was in der digitalen Welt passiert, hat dieselbe Relevanz, Wirkung und Verantwortung wie in der analogen Welt.“* === Beispiel - Digitaler Zwilling === Ein '''digitaler Zwilling''' eines Fabrikrobots wird in einer Simulation getestet. Wenn der digitale Zwilling „funktioniert“, wird angenommen, dass der echte Roboter auch funktionieren wird – also: digitale und analoge Welt sind äquivalent. === Probleme diese DAW-Äquivalenz === Die Annahme der DAW-Äquivalenz kann ethisch bedenklich sein, weil: === Problem 1 - Daten sind nicht die Realität=== Digitale Repräsentationen sind immer '''vereinfacht, selektiv und fehlerbehaftet'''. Sie berücksichtigen nur bestimmte Merkmale, die gemessen oder modelliert wurden. === Problem 2 - Verlust von Kontext und Nuance=== Die menschliche Erfahrung, Emotionen, Intuition oder kulturelle Bedeutung sind schwer digitalisierbar. Ein digitaler Zwilling eines Menschen kann z. B. dessen Verhalten vorhersagen, aber nicht dessen Motivation oder ethische Entscheidungen. === Problem 3 - Verantwortung wird verschoben=== Wenn ein digitaler Zwilling einen Fehler verursacht (z. B. ein autonomes Fahrzeug, das auf Basis eines digitalen Zwillinges falsch reagiert), wird die Verantwortung oft auf „die Daten“ oder „den Algorithmus“ abgeschoben – statt auf die Menschen, die den Zwilling erstellt, validiert oder einsetzt. === Problem 4 - Macht und Kontrolle=== Wer Daten erhebt, modelliert und interpretiert, hat Einfluss auf die digitale Repräsentation – und damit auf Entscheidungen in der analogen Welt. Dies kann zu '''Diskriminierung, Überwachung oder Manipulation''' führen. Dies beinhaltet auch die Auswahl von Teilaspekten, die bewusst nicht eine digitale Repräsentation aufgenommen werden. === Beispiel - Digitaler Zwilling in der Industrie === * '''Szenario''': Ein Unternehmen erstellt einen digitalen Zwilling einer Produktionsanlage, um Wartungsintervalle vorherzusagen und Ausfälle zu vermeiden. * '''Äquivalenzannahme''': Der digitale Zwilling ist so genau wie möglich struktur- und funktionsgleich zur echten Anlage erstellt worden – also können kann man auf Basis seiner gesammelten Daten Entscheidungen getroffen werden, die die reale Produktion betreffen. * '''Ethische Herausforderungen''': ** '''Datenqualität''': Wenn Sensoren fehlerhaft sind oder Daten nicht vollständig erfasst wurden, ist der Zwilling '''nicht äquivalent''' – er kann falsche Vorhersagen liefern. ** '''Verantwortung''': Wenn ein Ausfall trotz „gutem“ digitalen Zwilling eintritt, wer haftet? Der Ingenieur, der den Zwilling gebaut hat? Der Datenmanager? Der CEO, der auf die Vorhersage vertraute? ** '''Menschliche Arbeit''': Wenn der digitale Zwilling die Entscheidung über Wartung trifft, wird menschliche Erfahrung und Intuition ausgeblendet – was ethisch problematisch ist, wenn es um Sicherheit geht. ==== Fazit - digitale Zwillinge==== Der digitale Zwilling ist '''nicht äquivalent''' zur realen Anlage – er ist ein '''Modell''', das nützlich, aber begrenzt ist. Die Annahme der Äquivalenz führt zu Risiken, wenn sie nicht kritisch hinterfragt wird. === Ethik im Umgang mit DAW-Äquivalenz === Um ethisch verantwortungsvoll mit Digitalisierung umzugehen, sollten folgende Prinzipien gelten: ==== Anforderung 1 - Transparenz ==== Es muss klar sein, was im digitalen Modell erfasst, was weggelassen wurde und welche Annahmen zugrunde liegen. === Anforderung 2 - Verantwortlichkeit=== Menschen, nicht Algorithmen, tragen Verantwortung für Entscheidungen, die auf digitalen Modellen basieren. === Anforderung 3 - Human-in-the-Loop=== Digitale Systeme sollten '''unter menschlicher Aufsicht''' funktionieren – besonders bei kritischen Entscheidungen. === Anforderung 4 - Kritische Distanz=== Digitale Repräsentationen sind '''nicht die Realität''', sondern Hilfsmittel zur Entscheidungsfindung. Sie müssen stets mit kritischem Abstand betrachtet werden. === Anforderung 5 - Gerechtigkeit und Fairness=== Digitale Modelle dürfen nicht diskriminierend sein, z.B. wenn sie auf unvollständigen oder voreingenommenen Daten basieren. == Zusammenfassung == Die '''Digital-Analog-Welt-Äquivalenz''' darf nicht mit einer Annahme verwechselt werden, dass die Äquivalenz in der Digitalisierung tatsächlich zu erreichen ist. Der Begriff suggeriert, dass digitale Modelle wie digitale Zwillinge die reale Welt vollständig und genau abbilden, was ethisch potentiell zu Problemen führen kann. === Gründe für Probleme bzgl. DAW-Äquivalenz === Gründe für Probleme einer DAW-Äquivalenz liegen * Modelle sind vereinfacht. * Daten sind nicht neutral. * Verantwortung kann verschoben werden. * Menschliche Dimensionen gehen u.U. verloren und finden keine Berücksichtigung in Entscheidungsprozessen. === Ethisch verantwortungsvolle Digitalisierung === Ethisch verantwortungsvolle Digitalisierung bedeutet u.a. auch die Grenzen von Modellen wahrzunehmen und keine Absolutheitsanspruch für die modellierten Aspekte zu berücksichtigen. === Aufgabe 1 für Studierende === Diskutieren Sie die folgende Aussage und suchen Sie nach Beispielen aus Ihrem Umfeld, an dem Sie diese Aspekte erläutern können : ''„Menschen nutzen digitale Modelle als Werkzeuge und zur Entscheidungsunterstützung – aber berücksichtigen nicht notwendig betrachtet, wer diese Modelle erstellt hat, mit welcher Zielsetzung die Modelle geschaffen wurden, wer von den Einsatz der Modelle profitiert"'' Können durch einen Absolutheitsanspruch der Digital-Analog-Welt-Äquivalenz Menschenrechte verletzt werden. === Aufgabe 2 für Studierende === Wenn Digital-Analog-Äquivalenz eine Illusion ist und nur Teilaspekte und unvollständiger Form auf digitale Modelle übertragen werden, kann man dann dennoch Anstrengungen als Gesellschaft angehen, damit die ethische Risiken gemindert werden. Versuchen Sie die ethischen Risiken auch im Kontext von digitaler Entscheidungsunterstützung durch digitale Zwillingen als nützliche Hilfsmittels zu analysieren. Z.B. digitale Zwillinge von Ökosystemen zu verwenden, um Interventionen vor der Realisierung in einem digitalen Modell zu testen und die Konsequenzen einer Intervention besser abzuschätzen. == Siehe auch == * [[Digitale Lernumgebung]] * [[Digitaler Zwilling]] * [[w:en:Information systems|Informationssysteme]] * [[w:de:KISS-Prinzip|KISS-Prinzip]] * [[w:en:Lernmanagementsystem|Lernmanagementsystem (LMS)]] * [[v:en:LineageOS|LineageOS]] - ein maßgeschneidertes [[v:en:Open Source|Open Source]]-Betriebssystem für mobile Geräte für DAWE * [[w:de:OSI-Modell|Schichten im OSI-Modell]] * [[w:de:Mesh Networking|Mesh Network]] [[Kategorie:Lernen]] [[Kategorie:Informations- und Kommunikationstechnologien]] [[Kategorie:Informationssysteme]] <noinclude>[[en:Digital Analogue World Equivalence]]</noinclude> 5r57kp1pxsp4y2y03892pfbj8fkdx0g 1119471 1119470 2026-11-12T08:29:13Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1119471 wikitext text/x-wiki == Einführung == In dieser Lernressource geht es um äquivalente digitale und analoge Weltstrukturen im Kontext von Lernumgebungen. Digital Analogue World Equivalence (DAWE) bedeutet, dass der digitale Zugriffsbereich auf Daten und Software strukturell äquivalent zu dem außerhalb der IT liegenden Zugriffsbereich der verwendeten digitalen Lernumgebungen ist. Diese Lernressource basiert auf dem [[Open Community Approach]]. === Lernumgebung und digitale Zwillinge von Lernenden === Man geht davon aus, dass die Studierenden alleine an einer auf ihre Fähigkeiten und Kenntnisse zugeschnittenen Lernaufgabe arbeiten. Dies definiert eine Lernumgebung, in der die Studierenden nicht mit anderen Studierenden zusammenarbeiten. Wenn die IT-Umgebung entsprechend gestaltet ist, dann kann das mobile Gerät auch ohne Verbindung zu anderen Studierenden oder zum Backend des [[w:de:Lernmanagementsystem|Lernmanagementsystems]] arbeiten. Es liegt auf der Hand, dass eine Bewertung auch die Anforderung enthalten kann, dass die Aufgaben mit [[v:en:enOpen Source|Open Source Software]] und [[Open Educational Resources]], die nur auf dem Gerät verfügbar sind, bearbeitet werden sollten. === Strukturgleichheit - Einzelarbeit === Bei einer lokalen Bearbeitung werden nur lokal verfügbare Ressourcen verwendet und keine Services von externen Diensten außerhalb der lokalen Lernumgebung verwendet und Daten über die Arbeit der Lernenden fließen nicht an externe Server ab. === Strukturgleichheit - Lehrende - Zugriff auf Einarbeit === Wenn Lehrende Zugriff auf die Einzelarbeit der Lernenden möchten, so greifen diese transparent mit Zustimmung der Lernenden auf die Ergebnisse der Lernenden zu oder alternativ erlauben Lernende generell den Zugriff auf die Arbeitsergebnisse und wissen auch, dass das möglich ist. Datenzugriff wird externen Servern, z.B. die z.B. persönliche Daten von Lernenden abgreifen, werden prinzipiell nicht gewährt. Lehrende stellen sich auch nicht auf den "Marktplatz" und berichten dort über die Lernleistungen der Lernenden. === Bemerkung - OpenSource-Software === Über OpenSource-Software kann man Transparenz über den verwendeten Code erzeugen und die Gemeinschaft kann, Anpassung vornehmen, die den Datenschutz noch weiter erhöhen. === Strukturgleichheit - Gruppenarbeit === Diese Konzept kann auch auf Gruppenarbeit erweitert werden. Die Arbeit in einer Gruppe (z.B. von Schüler:innen oder Studierenden) erlaubt zunächst einmalsein, die an einer gemeinschaftlichen Lernaufgabe arbeiten. Digitale Analoge Weltäquivalenz bedeutet in diesem Zusammenhang, dass die Schülerinnen und Schüler als Gruppe mit einem mobilen Gerät oder PC an einer bestimmten Aufgabe arbeiten und von der restlichen IT-Infrastruktur abgekoppelt arbeiten können. Austausch von Materialien erfolgt nur zwischen den mobilen Endgeräten und nicht über entfernte Server in Analogie zum Austausch von Arbeitsergebnissen auf Papier zwischen Lernenden. === Speicherung auf Infrastruktur der Bildungseinrichtung === Speicheroptionen innerhalb der Einrichtung mit regelmäßigem Backup können verwendet werden, um verteilt nutzbare Open Educational Ressources für Lerneinheit zur Verfügung zu stellen. Zugriff kann personenbezogen zwischen Gruppen oder im Sinne einer Bibliothek als frei nutzbare Bildungsressource verwendet werden. == Lernaufgaben == * '''([[w:de:Mesh networking|Mesh Networks]])''' '''([[w:en:Mesh networking|Mesh Networks]])''', die zwischen mobilen Geräten eingerichtet werden können, ohne dass eine Client-Server-Infrastruktur erforderlich ist. Die SchülerInnen arbeiten zusammen und tauschen Ideen und Inhalte innerhalb des Mesh-Netzwerks aus. Wenn sie ihre Übung nicht beenden, teilen sich alle Clients eine Kopie der Zwischenergebnisse und können diese später unabhängig voneinander als Hausaufgabe bearbeiten. Einige Schülerinnen und Schüler möchten ihre Ergebnisse vielleicht nicht präsentieren, andere möchten sie mit der Lehrkraft teilen oder sogar im Mesh-Netzwerk im Klassenzimmer anwesend sein. Erklären Sie den Unterschied zwischen einer Client-Server-Infrastruktur, bei der alle digitalen Produkte über den Server gespeichert und ausgetauscht werden müssen. Was sind die Vor- und Nachteile beider Ansätze? Wie fühlen sich Ihre SchülerInnen, wenn alle Ergebnisse und Zwischenschritte auf einer Client-Server-Infrastruktur gespeichert sind? Schätzen Ihre Schülerinnen und Schüler einen Arbeitsablauf, bei dem die Offline-Privatsphäre der Ergebnisse gewahrt bleibt und die Möglichkeit besteht, die Ergebnisse vom eigenen Mobilgerät aus mit der Lehrkraft, der Gruppe oder der gesamten Klasse zu teilen, wenn sich die Schülerinnen und Schüler mit der Weitergabe von ihrem eigenen Gerät an eine Client-Server-Infrastruktur wohl fühlen. * '''([[w:de:KISS_principle|KISS Principle]])''' Keep It Small and Simple "[[w:en:KISS_principle|KISS]]" bedeutet, einfache Softwarelösungen zu erstellen, die einer bestimmten Aufgabe dienen und für einen bestimmten Zweck leicht gewartet und überwacht werden können. Identifizieren Sie die Bibliotheks-Pakete z.B. für [[v:en:LineageOS|LineageOS]], um eine Digital-Analog-Welt-Äquivalenz herzustellen. Betrachten Sie auch das Konzept des [[w:en:OSI-Modells|Schichten im OSI-Modell]] und leiten Sie die Auswahl der [[Open Source]]-Software/Bibliotheken aus Ihren Anforderungen und Einschränkungen ab. * '''(Synchronisierung und gemeinsame Nutzung)''' Angenommen, die Gruppe der Studierenden hat ein [[w:en:Mesh Networking|Mesh Network]] zwischen ihnen eingerichtet. In einer kollaborativen Arbeitsumgebung zwischen dieser Gruppe möchten die Studierenden die Ergebnisse und Zwischenergebnisse des Problemlösungsprozesses synchronisieren und gemeinsam nutzen. Beschäftigen Sie sich mit der Geschichte des Wikis oder den Arbeitsabläufen eines Versionskontrollsystems. Welche Anforderungen und Einschränkungen gibt es, damit die Schülergruppe den Überblick über ihre gemeinsamen Ergebnisse behält und ihre Versionen der Zwischenergebnisse synchronisiert. Ist das ohne ein Versionskontrollsystem im Hintergrund möglich? Ist es möglich, dass die Studierenden einen Studierenden auswählen, der eine Versionskontrolle im [[w:de:Mesh-Netzwerk|Mesh-Netzwerk]] hostet und alle Versionen in einem Master-Slave-Konzept der Datenbank mit allen anderen mobilen Geräten im [[w:de:Mesh-Netzwerk|Mesh-Netzwerk]] austauscht? Welche anderen Möglichkeiten gibt es, die Daten zwischen den Schülern zu synchronisieren und auszutauschen, ohne eine externe Client-Server-Infrastruktur zu verwenden? Leiten Sie Schlussfolgerungen ab, wann zentralisierte Open-Source-Dienste in Schulen oder lokalisierte Mesh-Lösungen eingesetzt werden sollten, die keine weitere Client-Server-Infrastruktur für die kollaborative Arbeit benötigen. * '''(Einreichung oder Veröffentlichung von Ergebnissen)''' Wenn ein Thema zusammen mit den Lernaufgaben abgeschlossen ist, möchten die Schülerinnen und Schüler vielleicht die individuellen Ergebnisse auf dem mobilen Gerät mit der Peergroup teilen, die Lehrkraft den gesamten Kurs oder sogar im Intranet innerhalb der Schule veröffentlichen (und z.B. nicht im Content Management System der Schule, Hochschule, Universität, ...). Betrachten Sie den Arbeitsablauf im Allgemeinen "Wer soll Zugang zu welchem Inhalt haben?" und übertragen Sie dies auf die digitale Infrastruktur in der Weise, dass der Zugang zu den Ergebnissen gleichbedeutend ist mit dem Hosten der entsprechenden Daten auf den digitalen Geräten (z.B. mobile Geräte von Schülern und Lehrern, Datenprojektor, Open Source Server in der Schule oder in einem Mesh Network, ...) * '''([[Real World Lab]]s)''' Erkunden Sie das Konzept der [[Real World Lab]]s und die Interaktion mit der realen Welt mit zusätzlichen digitalen Informationen. Erläutern Sie, wie Lernmodule in Wikiversity als [[Open Educational Resources]] auf einen bestimmten geografischen Ort zugeschnitten werden können. == Digital-Analog-Welt-Äquivalenz == Die '''Digital-Analog-Welt-Äquivalenz''' ist ein zentrales Konzept im Kontext der Digitalisierung und der damit verbundenen ethischen Überlegungen. Sie beschreibt die Annahme oder den Versuch, dass digitale Repräsentationen (z. B. Daten, Modelle, Simulationen) einer analogen, physischen Realität '''äquivalent''' sind – also dass sie dieselbe Bedeutung, Gültigkeit oder Wirkung haben wie die Originalobjekte oder Prozesse in der realen Welt === Beispiel im Kontext von Lernen === Das obige einführende Beispiel zeigt, wie Lernen in Einzel- oder Gruppenarbeit und der Zugriff von Lehrpersonen auf die Ergebnisse ein ''Digital-Analog-Welt-Äquivalenz'' berücksichtigen kann, dass analoger Zugriff auf Daten und Ergebnissen der Struktur der Gruppen und Einzelarbeit entspricht und diese Daten nicht mit externer Infrastruktur verbunden ist, wenn diese auch ohne externe Serverinfrastruktur möglich ist (siehe [[Privacy by Design]]). === Grenzen von Modellen und Simulationen === Doch diese Äquivalenz ist in komplexen dynamischen System '''nicht gegeben''', sondern muss kritisch hinterfragt werden, ob welche Aspekte aus der realen Welt tatsächlich in entsprechende Qualität abgebildet wurden und in welche Aspekt bewusst nicht berücksichtigt wurden bzw. nicht berücksichtigt werden konnten. Insbesonders im Hinblick auf '''Ethik, Verantwortung, Transparenz und menschliche Wahrnehmung'''. === Schnittstelle zwischen digitaler und analoger Welt === Äquivalenz bedeutet mathematisch und aus der Wortbedeutung "gleichwertig". Die Korrektheit eines digitalen Modells ist aber nicht klassisch wahr (=1) oder falsch (=0), sondern kann in der Gültigkeit der Äquivalenz graduelle Zwischenwert zwischen 0 und 1 annehmen. Die Gültigkeit der Äquivalenz versucht man über Sensornetzwerke zu messen, wobei in der Regel nicht alles messbar ist, was den Kern eines Systems ausmacht: * '''Analoge Welt''': Die physische, mit Sinnen wahrnehmbare Welt – Menschen, Prozesse, Natur, Objekte. * '''Digitale Welt''': Daten, Algorithmen, Modelle, Simulationen, die in Computern gespeichert und verarbeitet werden. * '''Messinstrumente''': Sensornetzwerke in der analogen Welt messen Teilaspekte und kalibrieren die Modelle in der digitalen Welt (siehe auch [[Maschinelles Lernen]]) Die '''Äquivalenz''' bedeutet: *„Was in der digitalen Welt passiert, hat dieselbe Relevanz, Wirkung und Verantwortung wie in der analogen Welt.“* === Beispiel - Digitaler Zwilling === Ein '''digitaler Zwilling''' eines Fabrikrobots wird in einer Simulation getestet. Wenn der digitale Zwilling „funktioniert“, wird angenommen, dass der echte Roboter auch funktionieren wird – also: digitale und analoge Welt sind äquivalent. === Probleme diese DAW-Äquivalenz === Die Annahme der DAW-Äquivalenz kann ethisch bedenklich sein, weil: === Problem 1 - Daten sind nicht die Realität=== Digitale Repräsentationen sind immer '''vereinfacht, selektiv und fehlerbehaftet'''. Sie berücksichtigen nur bestimmte Merkmale, die gemessen oder modelliert wurden. === Problem 2 - Verlust von Kontext und Nuance=== Die menschliche Erfahrung, Emotionen, Intuition oder kulturelle Bedeutung sind schwer digitalisierbar. Ein digitaler Zwilling eines Menschen kann z. B. dessen Verhalten vorhersagen, aber nicht dessen Motivation oder ethische Entscheidungen. === Problem 3 - Verantwortung wird verschoben=== Wenn ein digitaler Zwilling einen Fehler verursacht (z. B. ein autonomes Fahrzeug, das auf Basis eines digitalen Zwillinges falsch reagiert), wird die Verantwortung oft auf „die Daten“ oder „den Algorithmus“ abgeschoben – statt auf die Menschen, die den Zwilling erstellt, validiert oder einsetzt. === Problem 4 - Macht und Kontrolle=== Wer Daten erhebt, modelliert und interpretiert, hat Einfluss auf die digitale Repräsentation – und damit auf Entscheidungen in der analogen Welt. Dies kann zu '''Diskriminierung, Überwachung oder Manipulation''' führen. Dies beinhaltet auch die Auswahl von Teilaspekten, die bewusst nicht eine digitale Repräsentation aufgenommen werden. === Beispiel - Digitaler Zwilling in der Industrie === * '''Szenario''': Ein Unternehmen erstellt einen digitalen Zwilling einer Produktionsanlage, um Wartungsintervalle vorherzusagen und Ausfälle zu vermeiden. * '''Äquivalenzannahme''': Der digitale Zwilling ist so genau wie möglich struktur- und funktionsgleich zur echten Anlage erstellt worden – also können kann man auf Basis seiner gesammelten Daten Entscheidungen getroffen werden, die die reale Produktion betreffen. * '''Ethische Herausforderungen''': ** '''Datenqualität''': Wenn Sensoren fehlerhaft sind oder Daten nicht vollständig erfasst wurden, ist der Zwilling '''nicht äquivalent''' – er kann falsche Vorhersagen liefern. ** '''Verantwortung''': Wenn ein Ausfall trotz „gutem“ digitalen Zwilling eintritt, wer haftet? Der Ingenieur, der den Zwilling gebaut hat? Der Datenmanager? Der CEO, der auf die Vorhersage vertraute? ** '''Menschliche Arbeit''': Wenn der digitale Zwilling die Entscheidung über Wartung trifft, wird menschliche Erfahrung und Intuition ausgeblendet – was ethisch problematisch ist, wenn es um Sicherheit geht. ==== Fazit - digitale Zwillinge==== Der digitale Zwilling ist '''nicht äquivalent''' zur realen Anlage – er ist ein '''Modell''', das nützlich, aber begrenzt ist. Die Annahme der Äquivalenz führt zu Risiken, wenn sie nicht kritisch hinterfragt wird. === Ethik im Umgang mit DAW-Äquivalenz === Um ethisch verantwortungsvoll mit Digitalisierung umzugehen, sollten folgende Prinzipien gelten: ==== Anforderung 1 - Transparenz ==== Es muss klar sein, was im digitalen Modell erfasst, was weggelassen wurde und welche Annahmen zugrunde liegen. === Anforderung 2 - Verantwortlichkeit=== Menschen, nicht Algorithmen, tragen Verantwortung für Entscheidungen, die auf digitalen Modellen basieren. === Anforderung 3 - Human-in-the-Loop=== Digitale Systeme sollten '''unter menschlicher Aufsicht''' funktionieren – besonders bei kritischen Entscheidungen. === Anforderung 4 - Kritische Distanz=== Digitale Repräsentationen sind '''nicht die Realität''', sondern Hilfsmittel zur Entscheidungsfindung. Sie müssen stets mit kritischem Abstand betrachtet werden. === Anforderung 5 - Gerechtigkeit und Fairness=== Digitale Modelle dürfen nicht diskriminierend sein, z.B. wenn sie auf unvollständigen oder voreingenommenen Daten basieren. == Zusammenfassung == Die '''Digital-Analog-Welt-Äquivalenz''' darf nicht mit einer Annahme verwechselt werden, dass die Äquivalenz in der Digitalisierung tatsächlich zu erreichen ist. Der Begriff suggeriert, dass digitale Modelle wie digitale Zwillinge die reale Welt vollständig und genau abbilden, was ethisch potentiell zu Problemen führen kann. === Gründe für Probleme bzgl. DAW-Äquivalenz === Gründe für Probleme einer DAW-Äquivalenz liegen * Modelle sind vereinfacht. * Daten sind nicht neutral. * Verantwortung kann verschoben werden. * Menschliche Dimensionen gehen u.U. verloren und finden keine Berücksichtigung in Entscheidungsprozessen. === Ethisch verantwortungsvolle Digitalisierung === Ethisch verantwortungsvolle Digitalisierung bedeutet u.a. auch die Grenzen von Modellen wahrzunehmen und keine Absolutheitsanspruch für die modellierten Aspekte zu berücksichtigen. === Aufgabe 1 für Studierende === Diskutieren Sie die folgende Aussage und suchen Sie nach Beispielen aus Ihrem Umfeld, an dem Sie diese Aspekte erläutern können : ''„Menschen nutzen digitale Modelle als Werkzeuge und zur Entscheidungsunterstützung – aber berücksichtigen nicht notwendig betrachtet, wer diese Modelle erstellt hat, mit welcher Zielsetzung die Modelle geschaffen wurden, wer von den Einsatz der Modelle profitiert"'' Können durch einen Absolutheitsanspruch der Digital-Analog-Welt-Äquivalenz Menschenrechte verletzt werden. === Aufgabe 2 für Studierende === Wenn Digital-Analog-Äquivalenz eine Illusion ist und nur Teilaspekte und unvollständiger Form auf digitale Modelle übertragen werden, kann man dann dennoch Anstrengungen als Gesellschaft angehen, damit die ethische Risiken gemindert werden. Versuchen Sie die ethischen Risiken auch im Kontext von digitaler Entscheidungsunterstützung durch digitale Zwillingen als nützliche Hilfsmittels zu analysieren. Z.B. digitale Zwillinge von Ökosystemen zu verwenden, um Interventionen vor der Realisierung in einem digitalen Modell zu testen und die Konsequenzen einer Intervention besser abzuschätzen. == Siehe auch == * [[Digitale Lernumgebung]] * [[Digitaler Zwilling]] * [[w:en:Information systems|Informationssysteme]] * [[w:de:KISS-Prinzip|KISS-Prinzip]] * [[w:en:Lernmanagementsystem|Lernmanagementsystem (LMS)]] * [[v:en:LineageOS|LineageOS]] - ein maßgeschneidertes [[v:en:Open Source|Open Source]]-Betriebssystem für mobile Geräte für DAWE * [[w:de:OSI-Modell|Schichten im OSI-Modell]] * [[w:de:Mesh Networking|Mesh Network]] * [[Privacy by Design]] [[Kategorie:Lernen]] [[Kategorie:Informations- und Kommunikationstechnologien]] [[Kategorie:Informationssysteme]] <noinclude>[[en:Digital Analogue World Equivalence]]</noinclude> 137yaoo3l2muaamr8eh2uziskqqphav 1119472 1119471 2026-11-12T08:32:57Z Bert Niehaus 20843 /* Zusammenfassung */ 1119472 wikitext text/x-wiki == Einführung == In dieser Lernressource geht es um äquivalente digitale und analoge Weltstrukturen im Kontext von Lernumgebungen. Digital Analogue World Equivalence (DAWE) bedeutet, dass der digitale Zugriffsbereich auf Daten und Software strukturell äquivalent zu dem außerhalb der IT liegenden Zugriffsbereich der verwendeten digitalen Lernumgebungen ist. Diese Lernressource basiert auf dem [[Open Community Approach]]. === Lernumgebung und digitale Zwillinge von Lernenden === Man geht davon aus, dass die Studierenden alleine an einer auf ihre Fähigkeiten und Kenntnisse zugeschnittenen Lernaufgabe arbeiten. Dies definiert eine Lernumgebung, in der die Studierenden nicht mit anderen Studierenden zusammenarbeiten. Wenn die IT-Umgebung entsprechend gestaltet ist, dann kann das mobile Gerät auch ohne Verbindung zu anderen Studierenden oder zum Backend des [[w:de:Lernmanagementsystem|Lernmanagementsystems]] arbeiten. Es liegt auf der Hand, dass eine Bewertung auch die Anforderung enthalten kann, dass die Aufgaben mit [[v:en:enOpen Source|Open Source Software]] und [[Open Educational Resources]], die nur auf dem Gerät verfügbar sind, bearbeitet werden sollten. === Strukturgleichheit - Einzelarbeit === Bei einer lokalen Bearbeitung werden nur lokal verfügbare Ressourcen verwendet und keine Services von externen Diensten außerhalb der lokalen Lernumgebung verwendet und Daten über die Arbeit der Lernenden fließen nicht an externe Server ab. === Strukturgleichheit - Lehrende - Zugriff auf Einarbeit === Wenn Lehrende Zugriff auf die Einzelarbeit der Lernenden möchten, so greifen diese transparent mit Zustimmung der Lernenden auf die Ergebnisse der Lernenden zu oder alternativ erlauben Lernende generell den Zugriff auf die Arbeitsergebnisse und wissen auch, dass das möglich ist. Datenzugriff wird externen Servern, z.B. die z.B. persönliche Daten von Lernenden abgreifen, werden prinzipiell nicht gewährt. Lehrende stellen sich auch nicht auf den "Marktplatz" und berichten dort über die Lernleistungen der Lernenden. === Bemerkung - OpenSource-Software === Über OpenSource-Software kann man Transparenz über den verwendeten Code erzeugen und die Gemeinschaft kann, Anpassung vornehmen, die den Datenschutz noch weiter erhöhen. === Strukturgleichheit - Gruppenarbeit === Diese Konzept kann auch auf Gruppenarbeit erweitert werden. Die Arbeit in einer Gruppe (z.B. von Schüler:innen oder Studierenden) erlaubt zunächst einmalsein, die an einer gemeinschaftlichen Lernaufgabe arbeiten. Digitale Analoge Weltäquivalenz bedeutet in diesem Zusammenhang, dass die Schülerinnen und Schüler als Gruppe mit einem mobilen Gerät oder PC an einer bestimmten Aufgabe arbeiten und von der restlichen IT-Infrastruktur abgekoppelt arbeiten können. Austausch von Materialien erfolgt nur zwischen den mobilen Endgeräten und nicht über entfernte Server in Analogie zum Austausch von Arbeitsergebnissen auf Papier zwischen Lernenden. === Speicherung auf Infrastruktur der Bildungseinrichtung === Speicheroptionen innerhalb der Einrichtung mit regelmäßigem Backup können verwendet werden, um verteilt nutzbare Open Educational Ressources für Lerneinheit zur Verfügung zu stellen. Zugriff kann personenbezogen zwischen Gruppen oder im Sinne einer Bibliothek als frei nutzbare Bildungsressource verwendet werden. == Lernaufgaben == * '''([[w:de:Mesh networking|Mesh Networks]])''' '''([[w:en:Mesh networking|Mesh Networks]])''', die zwischen mobilen Geräten eingerichtet werden können, ohne dass eine Client-Server-Infrastruktur erforderlich ist. Die SchülerInnen arbeiten zusammen und tauschen Ideen und Inhalte innerhalb des Mesh-Netzwerks aus. Wenn sie ihre Übung nicht beenden, teilen sich alle Clients eine Kopie der Zwischenergebnisse und können diese später unabhängig voneinander als Hausaufgabe bearbeiten. Einige Schülerinnen und Schüler möchten ihre Ergebnisse vielleicht nicht präsentieren, andere möchten sie mit der Lehrkraft teilen oder sogar im Mesh-Netzwerk im Klassenzimmer anwesend sein. Erklären Sie den Unterschied zwischen einer Client-Server-Infrastruktur, bei der alle digitalen Produkte über den Server gespeichert und ausgetauscht werden müssen. Was sind die Vor- und Nachteile beider Ansätze? Wie fühlen sich Ihre SchülerInnen, wenn alle Ergebnisse und Zwischenschritte auf einer Client-Server-Infrastruktur gespeichert sind? Schätzen Ihre Schülerinnen und Schüler einen Arbeitsablauf, bei dem die Offline-Privatsphäre der Ergebnisse gewahrt bleibt und die Möglichkeit besteht, die Ergebnisse vom eigenen Mobilgerät aus mit der Lehrkraft, der Gruppe oder der gesamten Klasse zu teilen, wenn sich die Schülerinnen und Schüler mit der Weitergabe von ihrem eigenen Gerät an eine Client-Server-Infrastruktur wohl fühlen. * '''([[w:de:KISS_principle|KISS Principle]])''' Keep It Small and Simple "[[w:en:KISS_principle|KISS]]" bedeutet, einfache Softwarelösungen zu erstellen, die einer bestimmten Aufgabe dienen und für einen bestimmten Zweck leicht gewartet und überwacht werden können. Identifizieren Sie die Bibliotheks-Pakete z.B. für [[v:en:LineageOS|LineageOS]], um eine Digital-Analog-Welt-Äquivalenz herzustellen. Betrachten Sie auch das Konzept des [[w:en:OSI-Modells|Schichten im OSI-Modell]] und leiten Sie die Auswahl der [[Open Source]]-Software/Bibliotheken aus Ihren Anforderungen und Einschränkungen ab. * '''(Synchronisierung und gemeinsame Nutzung)''' Angenommen, die Gruppe der Studierenden hat ein [[w:en:Mesh Networking|Mesh Network]] zwischen ihnen eingerichtet. In einer kollaborativen Arbeitsumgebung zwischen dieser Gruppe möchten die Studierenden die Ergebnisse und Zwischenergebnisse des Problemlösungsprozesses synchronisieren und gemeinsam nutzen. Beschäftigen Sie sich mit der Geschichte des Wikis oder den Arbeitsabläufen eines Versionskontrollsystems. Welche Anforderungen und Einschränkungen gibt es, damit die Schülergruppe den Überblick über ihre gemeinsamen Ergebnisse behält und ihre Versionen der Zwischenergebnisse synchronisiert. Ist das ohne ein Versionskontrollsystem im Hintergrund möglich? Ist es möglich, dass die Studierenden einen Studierenden auswählen, der eine Versionskontrolle im [[w:de:Mesh-Netzwerk|Mesh-Netzwerk]] hostet und alle Versionen in einem Master-Slave-Konzept der Datenbank mit allen anderen mobilen Geräten im [[w:de:Mesh-Netzwerk|Mesh-Netzwerk]] austauscht? Welche anderen Möglichkeiten gibt es, die Daten zwischen den Schülern zu synchronisieren und auszutauschen, ohne eine externe Client-Server-Infrastruktur zu verwenden? Leiten Sie Schlussfolgerungen ab, wann zentralisierte Open-Source-Dienste in Schulen oder lokalisierte Mesh-Lösungen eingesetzt werden sollten, die keine weitere Client-Server-Infrastruktur für die kollaborative Arbeit benötigen. * '''(Einreichung oder Veröffentlichung von Ergebnissen)''' Wenn ein Thema zusammen mit den Lernaufgaben abgeschlossen ist, möchten die Schülerinnen und Schüler vielleicht die individuellen Ergebnisse auf dem mobilen Gerät mit der Peergroup teilen, die Lehrkraft den gesamten Kurs oder sogar im Intranet innerhalb der Schule veröffentlichen (und z.B. nicht im Content Management System der Schule, Hochschule, Universität, ...). Betrachten Sie den Arbeitsablauf im Allgemeinen "Wer soll Zugang zu welchem Inhalt haben?" und übertragen Sie dies auf die digitale Infrastruktur in der Weise, dass der Zugang zu den Ergebnissen gleichbedeutend ist mit dem Hosten der entsprechenden Daten auf den digitalen Geräten (z.B. mobile Geräte von Schülern und Lehrern, Datenprojektor, Open Source Server in der Schule oder in einem Mesh Network, ...) * '''([[Real World Lab]]s)''' Erkunden Sie das Konzept der [[Real World Lab]]s und die Interaktion mit der realen Welt mit zusätzlichen digitalen Informationen. Erläutern Sie, wie Lernmodule in Wikiversity als [[Open Educational Resources]] auf einen bestimmten geografischen Ort zugeschnitten werden können. == Digital-Analog-Welt-Äquivalenz == Die '''Digital-Analog-Welt-Äquivalenz''' ist ein zentrales Konzept im Kontext der Digitalisierung und der damit verbundenen ethischen Überlegungen. Sie beschreibt die Annahme oder den Versuch, dass digitale Repräsentationen (z. B. Daten, Modelle, Simulationen) einer analogen, physischen Realität '''äquivalent''' sind – also dass sie dieselbe Bedeutung, Gültigkeit oder Wirkung haben wie die Originalobjekte oder Prozesse in der realen Welt === Beispiel im Kontext von Lernen === Das obige einführende Beispiel zeigt, wie Lernen in Einzel- oder Gruppenarbeit und der Zugriff von Lehrpersonen auf die Ergebnisse ein ''Digital-Analog-Welt-Äquivalenz'' berücksichtigen kann, dass analoger Zugriff auf Daten und Ergebnissen der Struktur der Gruppen und Einzelarbeit entspricht und diese Daten nicht mit externer Infrastruktur verbunden ist, wenn diese auch ohne externe Serverinfrastruktur möglich ist (siehe [[Privacy by Design]]). === Grenzen von Modellen und Simulationen === Doch diese Äquivalenz ist in komplexen dynamischen System '''nicht gegeben''', sondern muss kritisch hinterfragt werden, ob welche Aspekte aus der realen Welt tatsächlich in entsprechende Qualität abgebildet wurden und in welche Aspekt bewusst nicht berücksichtigt wurden bzw. nicht berücksichtigt werden konnten. Insbesonders im Hinblick auf '''Ethik, Verantwortung, Transparenz und menschliche Wahrnehmung'''. === Schnittstelle zwischen digitaler und analoger Welt === Äquivalenz bedeutet mathematisch und aus der Wortbedeutung "gleichwertig". Die Korrektheit eines digitalen Modells ist aber nicht klassisch wahr (=1) oder falsch (=0), sondern kann in der Gültigkeit der Äquivalenz graduelle Zwischenwert zwischen 0 und 1 annehmen. Die Gültigkeit der Äquivalenz versucht man über Sensornetzwerke zu messen, wobei in der Regel nicht alles messbar ist, was den Kern eines Systems ausmacht: * '''Analoge Welt''': Die physische, mit Sinnen wahrnehmbare Welt – Menschen, Prozesse, Natur, Objekte. * '''Digitale Welt''': Daten, Algorithmen, Modelle, Simulationen, die in Computern gespeichert und verarbeitet werden. * '''Messinstrumente''': Sensornetzwerke in der analogen Welt messen Teilaspekte und kalibrieren die Modelle in der digitalen Welt (siehe auch [[Maschinelles Lernen]]) Die '''Äquivalenz''' bedeutet: *„Was in der digitalen Welt passiert, hat dieselbe Relevanz, Wirkung und Verantwortung wie in der analogen Welt.“* === Beispiel - Digitaler Zwilling === Ein '''digitaler Zwilling''' eines Fabrikrobots wird in einer Simulation getestet. Wenn der digitale Zwilling „funktioniert“, wird angenommen, dass der echte Roboter auch funktionieren wird – also: digitale und analoge Welt sind äquivalent. === Probleme diese DAW-Äquivalenz === Die Annahme der DAW-Äquivalenz kann ethisch bedenklich sein, weil: === Problem 1 - Daten sind nicht die Realität=== Digitale Repräsentationen sind immer '''vereinfacht, selektiv und fehlerbehaftet'''. Sie berücksichtigen nur bestimmte Merkmale, die gemessen oder modelliert wurden. === Problem 2 - Verlust von Kontext und Nuance=== Die menschliche Erfahrung, Emotionen, Intuition oder kulturelle Bedeutung sind schwer digitalisierbar. Ein digitaler Zwilling eines Menschen kann z. B. dessen Verhalten vorhersagen, aber nicht dessen Motivation oder ethische Entscheidungen. === Problem 3 - Verantwortung wird verschoben=== Wenn ein digitaler Zwilling einen Fehler verursacht (z. B. ein autonomes Fahrzeug, das auf Basis eines digitalen Zwillinges falsch reagiert), wird die Verantwortung oft auf „die Daten“ oder „den Algorithmus“ abgeschoben – statt auf die Menschen, die den Zwilling erstellt, validiert oder einsetzt. === Problem 4 - Macht und Kontrolle=== Wer Daten erhebt, modelliert und interpretiert, hat Einfluss auf die digitale Repräsentation – und damit auf Entscheidungen in der analogen Welt. Dies kann zu '''Diskriminierung, Überwachung oder Manipulation''' führen. Dies beinhaltet auch die Auswahl von Teilaspekten, die bewusst nicht eine digitale Repräsentation aufgenommen werden. === Beispiel - Digitaler Zwilling in der Industrie === * '''Szenario''': Ein Unternehmen erstellt einen digitalen Zwilling einer Produktionsanlage, um Wartungsintervalle vorherzusagen und Ausfälle zu vermeiden. * '''Äquivalenzannahme''': Der digitale Zwilling ist so genau wie möglich struktur- und funktionsgleich zur echten Anlage erstellt worden – also können kann man auf Basis seiner gesammelten Daten Entscheidungen getroffen werden, die die reale Produktion betreffen. * '''Ethische Herausforderungen''': ** '''Datenqualität''': Wenn Sensoren fehlerhaft sind oder Daten nicht vollständig erfasst wurden, ist der Zwilling '''nicht äquivalent''' – er kann falsche Vorhersagen liefern. ** '''Verantwortung''': Wenn ein Ausfall trotz „gutem“ digitalen Zwilling eintritt, wer haftet? Der Ingenieur, der den Zwilling gebaut hat? Der Datenmanager? Der CEO, der auf die Vorhersage vertraute? ** '''Menschliche Arbeit''': Wenn der digitale Zwilling die Entscheidung über Wartung trifft, wird menschliche Erfahrung und Intuition ausgeblendet – was ethisch problematisch ist, wenn es um Sicherheit geht. ==== Fazit - digitale Zwillinge==== Der digitale Zwilling ist '''nicht äquivalent''' zur realen Anlage – er ist ein '''Modell''', das nützlich, aber begrenzt ist. Die Annahme der Äquivalenz führt zu Risiken, wenn sie nicht kritisch hinterfragt wird. === Ethik im Umgang mit DAW-Äquivalenz === Um ethisch verantwortungsvoll mit Digitalisierung umzugehen, sollten folgende Prinzipien gelten: ==== Anforderung 1 - Transparenz ==== Es muss klar sein, was im digitalen Modell erfasst, was weggelassen wurde und welche Annahmen zugrunde liegen. === Anforderung 2 - Verantwortlichkeit=== Menschen, nicht Algorithmen, tragen Verantwortung für Entscheidungen, die auf digitalen Modellen basieren. === Anforderung 3 - Human-in-the-Loop=== Digitale Systeme sollten '''unter menschlicher Aufsicht''' funktionieren – besonders bei kritischen Entscheidungen. === Anforderung 4 - Kritische Distanz=== Digitale Repräsentationen sind '''nicht die Realität''', sondern Hilfsmittel zur Entscheidungsfindung. Sie müssen stets mit kritischem Abstand betrachtet werden. === Anforderung 5 - Gerechtigkeit und Fairness=== Digitale Modelle dürfen nicht diskriminierend sein, z.B. wenn sie auf unvollständigen oder voreingenommenen Daten basieren. == Zusammenfassung == Die '''Digital-Analog-Welt-Äquivalenz''' darf nicht mit einer Annahme verwechselt werden, dass die Äquivalenz in der Digitalisierung tatsächlich zu erreichen ist. Der Begriff suggeriert, dass digitale Modelle wie digitale Zwillinge die reale Welt vollständig und genau abbilden, was ethisch potentiell zu Problemen führen kann. Ferner muss man sich im Sinne eines [[Privacy by Design]]-Ansatzes immer fragen, ob eine Speicherung auf Servern ohne Kontrolle der Bildungseinrichtung oder der Lehrende für einen bestimmten Lernerfolg notwendig ist. Wenn z.B. ein lokaler direkter Austausch von Open Educational Resources und Arbeitsergebnissen zwischen Lernenden ausreichen ist, dann muss man diese Daten auch nicht über entfernte Server teilen. === Gründe für Probleme bzgl. DAW-Äquivalenz === Gründe für Probleme einer DAW-Äquivalenz liegen * Modelle sind vereinfacht. * Daten sind nicht neutral. * Verantwortung kann verschoben werden. * Menschliche Dimensionen gehen u.U. verloren und finden keine Berücksichtigung in Entscheidungsprozessen. === Ethisch verantwortungsvolle Digitalisierung === Ethisch verantwortungsvolle Digitalisierung bedeutet u.a. auch die Grenzen von Modellen wahrzunehmen und keine Absolutheitsanspruch für die modellierten Aspekte zu berücksichtigen. === Aufgabe 1 für Studierende === Diskutieren Sie die folgende Aussage und suchen Sie nach Beispielen aus Ihrem Umfeld, an dem Sie diese Aspekte erläutern können : ''„Menschen nutzen digitale Modelle als Werkzeuge und zur Entscheidungsunterstützung – aber berücksichtigen nicht notwendig betrachtet, wer diese Modelle erstellt hat, mit welcher Zielsetzung die Modelle geschaffen wurden, wer von den Einsatz der Modelle profitiert"'' Können durch einen Absolutheitsanspruch der Digital-Analog-Welt-Äquivalenz Menschenrechte verletzt werden. === Aufgabe 2 für Studierende === Wenn Digital-Analog-Äquivalenz eine Illusion ist und nur Teilaspekte und unvollständiger Form auf digitale Modelle übertragen werden, kann man dann dennoch Anstrengungen als Gesellschaft angehen, damit die ethische Risiken gemindert werden. Versuchen Sie die ethischen Risiken auch im Kontext von digitaler Entscheidungsunterstützung durch digitale Zwillingen als nützliche Hilfsmittels zu analysieren. Z.B. digitale Zwillinge von Ökosystemen zu verwenden, um Interventionen vor der Realisierung in einem digitalen Modell zu testen und die Konsequenzen einer Intervention besser abzuschätzen. == Siehe auch == * [[Digitale Lernumgebung]] * [[Digitaler Zwilling]] * [[w:en:Information systems|Informationssysteme]] * [[w:de:KISS-Prinzip|KISS-Prinzip]] * [[w:en:Lernmanagementsystem|Lernmanagementsystem (LMS)]] * [[v:en:LineageOS|LineageOS]] - ein maßgeschneidertes [[v:en:Open Source|Open Source]]-Betriebssystem für mobile Geräte für DAWE * [[w:de:OSI-Modell|Schichten im OSI-Modell]] * [[w:de:Mesh Networking|Mesh Network]] * [[Privacy by Design]] [[Kategorie:Lernen]] [[Kategorie:Informations- und Kommunikationstechnologien]] [[Kategorie:Informationssysteme]] <noinclude>[[en:Digital Analogue World Equivalence]]</noinclude> i1r9x1yj7zqphwopskm3khdazsqu6xy 1119473 1119472 2026-11-12T08:33:46Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1119473 wikitext text/x-wiki == Einführung == In dieser Lernressource geht es um äquivalente digitale und analoge Weltstrukturen im Kontext von Lernumgebungen. Digital Analogue World Equivalence (DAWE) bedeutet, dass der digitale Zugriffsbereich auf Daten und Software strukturell äquivalent zu dem außerhalb der IT liegenden Zugriffsbereich der verwendeten digitalen Lernumgebungen ist. Diese Lernressource basiert auf dem [[Open Community Approach]]. === Lernumgebung und digitale Zwillinge von Lernenden === Man geht davon aus, dass die Studierenden alleine an einer auf ihre Fähigkeiten und Kenntnisse zugeschnittenen Lernaufgabe arbeiten. Dies definiert eine Lernumgebung, in der die Studierenden nicht mit anderen Studierenden zusammenarbeiten. Wenn die IT-Umgebung entsprechend gestaltet ist, dann kann das mobile Gerät auch ohne Verbindung zu anderen Studierenden oder zum Backend des [[w:de:Lernmanagementsystem|Lernmanagementsystems]] arbeiten. Es liegt auf der Hand, dass eine Bewertung auch die Anforderung enthalten kann, dass die Aufgaben mit [[v:en:enOpen Source|Open Source Software]] und [[Open Educational Resources]], die nur auf dem Gerät verfügbar sind, bearbeitet werden sollten. === Strukturgleichheit - Einzelarbeit === Bei einer lokalen Bearbeitung werden nur lokal verfügbare Ressourcen verwendet und keine Services von externen Diensten außerhalb der lokalen Lernumgebung verwendet und Daten über die Arbeit der Lernenden fließen nicht an externe Server ab. === Strukturgleichheit - Lehrende - Zugriff auf Einarbeit === Wenn Lehrende Zugriff auf die Einzelarbeit der Lernenden möchten, so greifen diese transparent mit Zustimmung der Lernenden auf die Ergebnisse der Lernenden zu oder alternativ erlauben Lernende generell den Zugriff auf die Arbeitsergebnisse und wissen auch, dass das möglich ist. Datenzugriff wird externen Servern, z.B. die z.B. persönliche Daten von Lernenden abgreifen, werden prinzipiell nicht gewährt. Lehrende stellen sich auch nicht auf den "Marktplatz" und berichten dort über die Lernleistungen der Lernenden. === Bemerkung - OpenSource-Software === Über OpenSource-Software kann man Transparenz über den verwendeten Code erzeugen und die Gemeinschaft kann, Anpassung vornehmen, die den Datenschutz noch weiter erhöhen. === Strukturgleichheit - Gruppenarbeit === Diese Konzept kann auch auf Gruppenarbeit erweitert werden. Die Arbeit in einer Gruppe (z.B. von Schüler:innen oder Studierenden) erlaubt zunächst einmalsein, die an einer gemeinschaftlichen Lernaufgabe arbeiten. Digitale Analoge Weltäquivalenz bedeutet in diesem Zusammenhang, dass die Schülerinnen und Schüler als Gruppe mit einem mobilen Gerät oder PC an einer bestimmten Aufgabe arbeiten und von der restlichen IT-Infrastruktur abgekoppelt arbeiten können. Austausch von Materialien erfolgt nur zwischen den mobilen Endgeräten und nicht über entfernte Server in Analogie zum Austausch von Arbeitsergebnissen auf Papier zwischen Lernenden. === Speicherung auf Infrastruktur der Bildungseinrichtung === Speicheroptionen innerhalb der Einrichtung mit regelmäßigem Backup können verwendet werden, um verteilt nutzbare Open Educational Ressources für Lerneinheit zur Verfügung zu stellen. Zugriff kann personenbezogen zwischen Gruppen oder im Sinne einer Bibliothek als frei nutzbare Bildungsressource verwendet werden. == Lernaufgaben == * '''([[w:de:Mesh networking|Mesh Networks]])''' '''([[w:en:Mesh networking|Mesh Networks]])''', die zwischen mobilen Geräten eingerichtet werden können, ohne dass eine Client-Server-Infrastruktur erforderlich ist. Die SchülerInnen arbeiten zusammen und tauschen Ideen und Inhalte innerhalb des Mesh-Netzwerks aus. Wenn sie ihre Übung nicht beenden, teilen sich alle Clients eine Kopie der Zwischenergebnisse und können diese später unabhängig voneinander als Hausaufgabe bearbeiten. Einige Schülerinnen und Schüler möchten ihre Ergebnisse vielleicht nicht präsentieren, andere möchten sie mit der Lehrkraft teilen oder sogar im Mesh-Netzwerk im Klassenzimmer anwesend sein. Erklären Sie den Unterschied zwischen einer Client-Server-Infrastruktur, bei der alle digitalen Produkte über den Server gespeichert und ausgetauscht werden müssen. Was sind die Vor- und Nachteile beider Ansätze? Wie fühlen sich Ihre SchülerInnen, wenn alle Ergebnisse und Zwischenschritte auf einer Client-Server-Infrastruktur gespeichert sind? Schätzen Ihre Schülerinnen und Schüler einen Arbeitsablauf, bei dem die Offline-Privatsphäre der Ergebnisse gewahrt bleibt und die Möglichkeit besteht, die Ergebnisse vom eigenen Mobilgerät aus mit der Lehrkraft, der Gruppe oder der gesamten Klasse zu teilen, wenn sich die Schülerinnen und Schüler mit der Weitergabe von ihrem eigenen Gerät an eine Client-Server-Infrastruktur wohl fühlen. * '''([[w:de:KISS_principle|KISS Principle]])''' Keep It Small and Simple "[[w:en:KISS_principle|KISS]]" bedeutet, einfache Softwarelösungen zu erstellen, die einer bestimmten Aufgabe dienen und für einen bestimmten Zweck leicht gewartet und überwacht werden können. Identifizieren Sie die Bibliotheks-Pakete z.B. für [[v:en:LineageOS|LineageOS]], um eine Digital-Analog-Welt-Äquivalenz herzustellen. Betrachten Sie auch das Konzept des [[w:en:OSI-Modells|Schichten im OSI-Modell]] und leiten Sie die Auswahl der [[Open Source]]-Software/Bibliotheken aus Ihren Anforderungen und Einschränkungen ab. * '''(Synchronisierung und gemeinsame Nutzung)''' Angenommen, die Gruppe der Studierenden hat ein [[w:en:Mesh Networking|Mesh Network]] zwischen ihnen eingerichtet. In einer kollaborativen Arbeitsumgebung zwischen dieser Gruppe möchten die Studierenden die Ergebnisse und Zwischenergebnisse des Problemlösungsprozesses synchronisieren und gemeinsam nutzen. Beschäftigen Sie sich mit der Geschichte des Wikis oder den Arbeitsabläufen eines Versionskontrollsystems. Welche Anforderungen und Einschränkungen gibt es, damit die Schülergruppe den Überblick über ihre gemeinsamen Ergebnisse behält und ihre Versionen der Zwischenergebnisse synchronisiert. Ist das ohne ein Versionskontrollsystem im Hintergrund möglich? Ist es möglich, dass die Studierenden einen Studierenden auswählen, der eine Versionskontrolle im [[w:de:Mesh-Netzwerk|Mesh-Netzwerk]] hostet und alle Versionen in einem Master-Slave-Konzept der Datenbank mit allen anderen mobilen Geräten im [[w:de:Mesh-Netzwerk|Mesh-Netzwerk]] austauscht? Welche anderen Möglichkeiten gibt es, die Daten zwischen den Schülern zu synchronisieren und auszutauschen, ohne eine externe Client-Server-Infrastruktur zu verwenden? Leiten Sie Schlussfolgerungen ab, wann zentralisierte Open-Source-Dienste in Schulen oder lokalisierte Mesh-Lösungen eingesetzt werden sollten, die keine weitere Client-Server-Infrastruktur für die kollaborative Arbeit benötigen. * '''(Einreichung oder Veröffentlichung von Ergebnissen)''' Wenn ein Thema zusammen mit den Lernaufgaben abgeschlossen ist, möchten die Schülerinnen und Schüler vielleicht die individuellen Ergebnisse auf dem mobilen Gerät mit der Peergroup teilen, die Lehrkraft den gesamten Kurs oder sogar im Intranet innerhalb der Schule veröffentlichen (und z.B. nicht im Content Management System der Schule, Hochschule, Universität, ...). Betrachten Sie den Arbeitsablauf im Allgemeinen "Wer soll Zugang zu welchem Inhalt haben?" und übertragen Sie dies auf die digitale Infrastruktur in der Weise, dass der Zugang zu den Ergebnissen gleichbedeutend ist mit dem Hosten der entsprechenden Daten auf den digitalen Geräten (z.B. mobile Geräte von Schülern und Lehrern, Datenprojektor, Open Source Server in der Schule oder in einem Mesh Network, ...) * '''([[Real World Lab]]s)''' Erkunden Sie das Konzept der [[Real World Lab]]s und die Interaktion mit der realen Welt mit zusätzlichen digitalen Informationen. Erläutern Sie, wie Lernmodule in Wikiversity als [[Open Educational Resources]] auf einen bestimmten geografischen Ort zugeschnitten werden können. == Digital-Analog-Welt-Äquivalenz == Die '''Digital-Analog-Welt-Äquivalenz''' ist ein zentrales Konzept im Kontext der Digitalisierung und der damit verbundenen ethischen Überlegungen. Sie beschreibt die Annahme oder den Versuch, dass digitale Repräsentationen (z. B. Daten, Modelle, Simulationen) einer analogen, physischen Realität '''äquivalent''' sind – also dass sie dieselbe Bedeutung, Gültigkeit oder Wirkung haben wie die Originalobjekte oder Prozesse in der realen Welt === Beispiel im Kontext von Lernen === Das obige einführende Beispiel zeigt, wie Lernen in Einzel- oder Gruppenarbeit und der Zugriff von Lehrpersonen auf die Ergebnisse ein ''Digital-Analog-Welt-Äquivalenz'' berücksichtigen kann, dass analoger Zugriff auf Daten und Ergebnissen der Struktur der Gruppen und Einzelarbeit entspricht und diese Daten nicht mit externer Infrastruktur verbunden ist, wenn diese auch ohne externe Serverinfrastruktur möglich ist (siehe [[Privacy by Design]]). === Grenzen von Modellen und Simulationen === Doch diese Äquivalenz ist in komplexen dynamischen System '''nicht gegeben''', sondern muss kritisch hinterfragt werden, ob welche Aspekte aus der realen Welt tatsächlich in entsprechende Qualität abgebildet wurden und in welche Aspekt bewusst nicht berücksichtigt wurden bzw. nicht berücksichtigt werden konnten. Insbesonders im Hinblick auf '''Ethik, Verantwortung, Transparenz und menschliche Wahrnehmung'''. === Schnittstelle zwischen digitaler und analoger Welt === Äquivalenz bedeutet mathematisch und aus der Wortbedeutung "gleichwertig". Die Korrektheit eines digitalen Modells ist aber nicht klassisch wahr (=1) oder falsch (=0), sondern kann in der Gültigkeit der Äquivalenz graduelle Zwischenwert zwischen 0 und 1 annehmen. Die Gültigkeit der Äquivalenz versucht man über Sensornetzwerke zu messen, wobei in der Regel nicht alles messbar ist, was den Kern eines Systems ausmacht: * '''Analoge Welt''': Die physische, mit Sinnen wahrnehmbare Welt – Menschen, Prozesse, Natur, Objekte. * '''Digitale Welt''': Daten, Algorithmen, Modelle, Simulationen, die in Computern gespeichert und verarbeitet werden. * '''Messinstrumente''': Sensornetzwerke in der analogen Welt messen Teilaspekte und kalibrieren die Modelle in der digitalen Welt (siehe auch [[Maschinelles Lernen]]) Die '''Äquivalenz''' bedeutet: *„Was in der digitalen Welt passiert, hat dieselbe Relevanz, Wirkung und Verantwortung wie in der analogen Welt.“* === Beispiel - Digitaler Zwilling === Ein '''digitaler Zwilling''' eines Fabrikrobots wird in einer Simulation getestet. Wenn der digitale Zwilling „funktioniert“, wird angenommen, dass der echte Roboter auch funktionieren wird – also: digitale und analoge Welt sind äquivalent. === Probleme diese DAW-Äquivalenz === Die Annahme der DAW-Äquivalenz kann ethisch bedenklich sein, weil: === Problem 1 - Daten sind nicht die Realität=== Digitale Repräsentationen sind immer '''vereinfacht, selektiv und fehlerbehaftet'''. Sie berücksichtigen nur bestimmte Merkmale, die gemessen oder modelliert wurden. === Problem 2 - Verlust von Kontext und Nuance=== Die menschliche Erfahrung, Emotionen, Intuition oder kulturelle Bedeutung sind schwer digitalisierbar. Ein digitaler Zwilling eines Menschen kann z. B. dessen Verhalten vorhersagen, aber nicht dessen Motivation oder ethische Entscheidungen. === Problem 3 - Verantwortung wird verschoben=== Wenn ein digitaler Zwilling einen Fehler verursacht (z. B. ein autonomes Fahrzeug, das auf Basis eines digitalen Zwillinges falsch reagiert), wird die Verantwortung oft auf „die Daten“ oder „den Algorithmus“ abgeschoben – statt auf die Menschen, die den Zwilling erstellt, validiert oder einsetzt. === Problem 4 - Macht und Kontrolle=== Wer Daten erhebt, modelliert und interpretiert, hat Einfluss auf die digitale Repräsentation – und damit auf Entscheidungen in der analogen Welt. Dies kann zu '''Diskriminierung, Überwachung oder Manipulation''' führen. Dies beinhaltet auch die Auswahl von Teilaspekten, die bewusst nicht eine digitale Repräsentation aufgenommen werden. === Beispiel - Digitaler Zwilling in der Industrie === * '''Szenario''': Ein Unternehmen erstellt einen digitalen Zwilling einer Produktionsanlage, um Wartungsintervalle vorherzusagen und Ausfälle zu vermeiden. * '''Äquivalenzannahme''': Der digitale Zwilling ist so genau wie möglich struktur- und funktionsgleich zur echten Anlage erstellt worden – also können kann man auf Basis seiner gesammelten Daten Entscheidungen getroffen werden, die die reale Produktion betreffen. * '''Ethische Herausforderungen''': ** '''Datenqualität''': Wenn Sensoren fehlerhaft sind oder Daten nicht vollständig erfasst wurden, ist der Zwilling '''nicht äquivalent''' – er kann falsche Vorhersagen liefern. ** '''Verantwortung''': Wenn ein Ausfall trotz „gutem“ digitalen Zwilling eintritt, wer haftet? Der Ingenieur, der den Zwilling gebaut hat? Der Datenmanager? Der CEO, der auf die Vorhersage vertraute? ** '''Menschliche Arbeit''': Wenn der digitale Zwilling die Entscheidung über Wartung trifft, wird menschliche Erfahrung und Intuition ausgeblendet – was ethisch problematisch ist, wenn es um Sicherheit geht. ==== Fazit - digitale Zwillinge==== Der digitale Zwilling ist '''nicht äquivalent''' zur realen Anlage – er ist ein '''Modell''', das nützlich, aber begrenzt ist. Die Annahme der Äquivalenz führt zu Risiken, wenn sie nicht kritisch hinterfragt wird. === Ethik im Umgang mit DAW-Äquivalenz === Um ethisch verantwortungsvoll mit Digitalisierung umzugehen, sollten folgende Prinzipien gelten: ==== Anforderung 1 - Transparenz ==== Es muss klar sein, was im digitalen Modell erfasst, was weggelassen wurde und welche Annahmen zugrunde liegen. === Anforderung 2 - Verantwortlichkeit=== Menschen, nicht Algorithmen, tragen Verantwortung für Entscheidungen, die auf digitalen Modellen basieren. === Anforderung 3 - Human-in-the-Loop=== Digitale Systeme sollten '''unter menschlicher Aufsicht''' funktionieren – besonders bei kritischen Entscheidungen. === Anforderung 4 - Kritische Distanz=== Digitale Repräsentationen sind '''nicht die Realität''', sondern Hilfsmittel zur Entscheidungsfindung. Sie müssen stets mit kritischem Abstand betrachtet werden. === Anforderung 5 - Gerechtigkeit und Fairness=== Digitale Modelle dürfen nicht diskriminierend sein, z.B. wenn sie auf unvollständigen oder voreingenommenen Daten basieren. == Zusammenfassung == Die '''Digital-Analog-Welt-Äquivalenz''' darf nicht mit einer Annahme verwechselt werden, dass die Äquivalenz in der Digitalisierung tatsächlich zu erreichen ist. Der Begriff suggeriert, dass digitale Modelle wie digitale Zwillinge die reale Welt vollständig und genau abbilden, was ethisch potentiell zu Problemen führen kann. Ferner muss man sich im Sinne eines [[Privacy by Design]]-Ansatzes immer fragen, ob eine Speicherung auf Servern ohne Kontrolle der Bildungseinrichtung oder der Lehrende für einen bestimmten Lernerfolg notwendig ist. Wenn z.B. ein lokaler direkter Austausch von Open Educational Resources und Arbeitsergebnissen zwischen Lernenden ausreichen ist, dann muss man diese Daten auch nicht über entfernte Server teilen. === Gründe für Probleme bzgl. DAW-Äquivalenz === Gründe für Probleme einer DAW-Äquivalenz liegen * Modelle sind vereinfacht. * Daten sind nicht neutral. * Verantwortung kann verschoben werden. * Menschliche Dimensionen gehen u.U. verloren und finden keine Berücksichtigung in Entscheidungsprozessen. === Ethisch verantwortungsvolle Digitalisierung === Ethisch verantwortungsvolle Digitalisierung bedeutet u.a. auch die Grenzen von Modellen wahrzunehmen und keine Absolutheitsanspruch für die modellierten Aspekte zu berücksichtigen. === Aufgabe 1 für Studierende === Diskutieren Sie die folgende Aussage und suchen Sie nach Beispielen aus Ihrem Umfeld, an dem Sie diese Aspekte erläutern können : ''„Menschen nutzen digitale Modelle als Werkzeuge und zur Entscheidungsunterstützung – aber berücksichtigen nicht notwendig betrachtet, wer diese Modelle erstellt hat, mit welcher Zielsetzung die Modelle geschaffen wurden, wer von den Einsatz der Modelle profitiert"'' Können durch einen Absolutheitsanspruch der Digital-Analog-Welt-Äquivalenz Menschenrechte verletzt werden. === Aufgabe 2 für Studierende === Wenn Digital-Analog-Äquivalenz eine Illusion ist und nur Teilaspekte und unvollständiger Form auf digitale Modelle übertragen werden, kann man dann dennoch Anstrengungen als Gesellschaft angehen, damit die ethische Risiken gemindert werden. Versuchen Sie die ethischen Risiken auch im Kontext von digitaler Entscheidungsunterstützung durch digitale Zwillingen als nützliche Hilfsmittels zu analysieren. Z.B. digitale Zwillinge von Ökosystemen zu verwenden, um Interventionen vor der Realisierung in einem digitalen Modell zu testen und die Konsequenzen einer Intervention besser abzuschätzen. == Siehe auch == * [[Digitale Lernumgebung]] * [[Digitaler Zwilling]] * [[w:en:Information systems|Informationssysteme]] * [[w:de:KISS-Prinzip|KISS-Prinzip]] * [[w:en:Lernmanagementsystem|Lernmanagementsystem (LMS)]] * [[v:en:LineageOS|LineageOS]] - ein maßgeschneidertes [[v:en:Open Source|Open Source]]-Betriebssystem für mobile Geräte für DAWE * [[w:de:Mesh Networking|Mesh Network]] * [[Privacy by Design]] * [[w:de:OSI-Modell|Schichten im OSI-Modell]] [[Kategorie:Lernen]] [[Kategorie:Informations- und Kommunikationstechnologien]] [[Kategorie:Informationssysteme]] <noinclude>[[en:Digital Analogue World Equivalence]]</noinclude> 2hsgl6mpowsh87c1eyzg125ixkl8eer 106 142122 1119430 874837 2026-11-11T18:35:09Z Bocardodarapti 2041 1119430 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)/Teil I/Vorlesungsgestaltung|16| {{ inputbild |Waeller36|jpg|230px {{!}} right {{!}} |Text=Auch mit dem Ball spielt sie gern. |Autor= |Benutzer=Odatrulle |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 4.0 |Bemerkung= }} {{Zwischenüberschrift|Schriftliches Multiplizieren}} {{:Zehnersystem/Schriftliches Multiplizieren/Korrektheit/Textabschnitt|zusatz1=Fußnote}} {{ inputbemerkung |Schriftliches Multiplizieren/Jalousie-Verfahren/Bemerkung|| }} {{Zwischenüberschrift|Schriftliches Subtrahieren}} {{:Kleines Einsminuseins/Tabelle}} Das {{Stichwort|kleine Einsminuseins|msw=Kleines Einsminuseins|SZ=}} für {{math|term= x-y |SZ=.}} Diese Tabelle muss man auswendig kennen, um das schriftliche Subtrahieren effektiv durchführen zu können. Der Eintrag {{math|term= \times |SZ=}} bedeutet, dass diese Operation {{ Zusatz/Klammer |text=wie {{mathl|term= 3-7 |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} in {{math|term= \N |SZ=}} nicht durchgeführt werden kann, der Eintrag {{math|term= \star |SZ=}} bedeutet, dass diese Operation in {{math|term= \N |SZ=}} ausgeführt werden kann, dass sie aber auf eine Operation in der Einerstelle allein zurückgeführt werden kann {{ Zusatz/Klammer |text=wie bei {{mathl|term= 18-5 |SZ=}} | |ISZ=|ESZ=. }} {{:Zehnersystem/Schriftliches Subtrahieren/Korrektheit/Textabschnitt}} {{Fußnotenliste}} }} 0bq4gy26vdwaoan4evfalgvpf7bdp7c 0 147735 1119426 1109656 2026-11-11T18:31:50Z Bocardodarapti 2041 Bocardodarapti verschob die Seite [[Zehnersystem/Schriftliches Multiplizieren/Einstelliger Faktor/Korrekt/Fakt/Beweis2]] nach [[Zehnersystem/Schriftliches Multiplizieren/Einstelliger Faktor/Korrekt/Fakt/Beweis3]], ohne dabei eine Weiterleitung anzulegen 1109656 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Die linke Faktor sei {{ Relationskette/display |m || a_0+a_1 10+a_2 10^2 {{plusdots|}} a_{k}10^{k} || || || |SZ= }} und der rechte Faktor sei {{ Relationskette | b || b_0 || || || |SZ=, }} wir haben also die schriftliche Multiplikation der Form {{ Math/display|term= a_k \ldots a_2a_1a_0 \, \, \cdot \, \, b |SZ= }} im Sinne von {{ Verfahrenslink |Verfahrensseitenname= Zehnersystem/Schriftliches Multiplizieren/Verfahren |Nr= |SZ= }} durchzuführen. Das Ergebnis ist die Zahl {{mathl|term= c_{k+1}c_k \ldots c_2c_1c_0 |SZ=.}} Wir müssen zeigen, dass dies das wahre Produkt ist. 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Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= y |SZ=}} genau dann von {{math|term= 11 |SZ=}} geteilt wird, wenn {{math|term= m |SZ=}} gerade ist. |Es seien {{ Relationskette | \ell,m | \in | \N_+ || || || |SZ= }} und es sei {{math|term= x|SZ=}} die Zahl mit {{math|term= \ell|SZ=}} Einsen und {{math|term= y|SZ=}} die Zahl mit {{math|term= m|SZ=}} Einsen {{ Zusatz/Klammer |text=im Zehnersystem| |ISZ=|ESZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= y|SZ=}} genau dann von {{math|term= x|SZ=}} geteilt wird, wenn {{math|term= m|SZ=}} von {{math|term= \ell|SZ=}} geteilt wird. | }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Teilbarkeitstheorie (N) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=8 |p1=1 |p2=2 |p3=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} s8fcgu0zfq49913m6oi5i84wmwuurc5 0 156886 1119393 939107 2026-11-11T14:32:00Z Bert Niehaus 20843 /* Folgen im Matrizenraum */ 1119393 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite zum Thema ''Maschinelles Lernen/Hebbsche Lernregel'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Maschinelles%20Lernen/Hebbsche%20Lernregel&author=Maschinelles%20Lernen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Hebbsche%20Lernregel&coursetitle=Maschinelles%20Lernen Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt: * (1) Ursprung der Lernregel, * (2) Mathematische Modellbildung der Lernregel, * (3) Matrizen zur Darstellung von simultan aktiven Neuronen. == Zielsetzung == Diese Lernressource zu Thema ''Maschinelles Lernen/Hebbsche Lernregel'' hat das Ziel, eine elementare biologisch motivierte Lernregel zu behandeln, mit der man z.B. elementare [[Assoziative Netze|assoziative Netze]] trainieren kann. == Biologisches Vorbild für die Lernregel == Die '''hebbsche Lernregel''' ist eine vom Psychologen [[w:de:Donald O. Hebb|Donald Olding Hebb]] aufgestellte Regel für die Veränderung der Signalübertragung zwischen Nervenzellen in einem [[w:de:Neuronale Netze|biologischen neuronalen Netzwerken]] und der simultanen Aktivität von einzelnen über [[w:de:Synapse|Synapsen]] verbundenen [[w:de:Nervenzelle|Neuronen]]. == Geschichte == Hebb formulierte 1949 in seinem Buch ''The Organization of Behavior'': „Wenn ein [[w:de:Axon|Axon]] der [[w:de:Nervenzelle|Zelle]] A […] Zelle B erregt und wiederholt und dauerhaft zur Erzeugung von [[w:de:Aktionspotential|Aktionspotentialen]] in Zelle B beiträgt, so resultiert dies in Wachstumsprozessen oder [[w:de:Stoffwechsel|metabolischen]] Veränderungen in einer oder in beiden Zellen, die bewirken, dass die [[w:de:Wirkungsgrad|Effizienz]] von Zelle A in Bezug auf die Erzeugung Aktionspotentials in B größer wird.“ === Lernen als Veränderungen an Synapsen === Das bedeutet: Je häufiger ein Neuron A gleichzeitig mit Neuron B aktiv ist, umso bevorzugter werden die beiden Neuronen aufeinander reagieren („what fires together, wires together“). Dies hat Hebb anhand von Veränderungen der [[w:de:Synapse|synaptischen Übertragung]] zwischen Neuronen nachgewiesen. === Wissenschaftliche Bestätigung von Hebbs Lernregel === Als endgültige Bestätigung von Hebbs Thesen gelten die [[w:de:Langzeit-Potenzierung#Geschichte|Experimente von Terje Lømo]] und anderen in den 1960er und 1970er Jahren<ref>T. V. Bliss, T. Lomo: ''Long-lasting potentiation of synaptic transmission in the dentate area of the anaesthetized rabbit following stimulation of the perforant path.'' In: ''J Physiol.'' 232(2), 1973, S. 331–356, Free Full Text Online. PMID 4727084</ref> und der direkte Nachweis der Veränderung von Signalübertragung als Teil des Mechanismus für [[w:de:Lernen|Lernprozesse]] und [[w:de:Gedächtnis|Gedächtnis]] im Jahr 2014.<ref>G. Yang, C. S. Lai, J. Cichon, L. Ma, W. Li, W. B. Gan: ''Sleep promotes branch-specific formation of dendritic spines after learning.'' In: ''Science.'' 344(6188), 2014, S. 1173–1178. PMID 24904169</ref> === Synaptische Plastizität === Hebb gilt damit als der Entdecker des Modells der [[w:de:Synaptische Plastizität|synaptischen Plastizität]], welche die [[w:de:Neurophysiologie|neurophysiologische]] Grundlage von Lernen und Gedächtnis darstellt.<ref>[[w:de:Manfred Spitzer|Manfred Spitzer]]: ''Geist im Netz, Modelle für Lernen, Denken und Handeln''. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 1996, ISBN 3-8274-0109-7, S. 107.</ref>. Die hebbsche Lernregel ist die älteste und einfachste neuronale Lernregel, die biologisch beobachtbare Phänomene auf eine algorithmische Lernregel überträgt. == Mathematische Modellbildung == In [[w:de:Künstliches neuronales Netz|künstlichen neuronalen Netzen]] wird diese Veränderung der synaptischen Übertragung als Gewichtsänderung des neuronalen Graphen abgebildet. <math>\Delta w_{ij} = \eta \cdot a_{i} \cdot a_{j}</math> === Variablenbezeichnung === * <math>\Delta w_{ij}</math>: Veränderung des Gewichtes von Neuron&nbsp;i zu Neuron&nbsp;j (also die Änderung der Verbindungsstärke dieser beiden Neuronen) * <math>\eta</math>: ''Lernrate'' (ein geeignet zu wählender konstanter Faktor) * <math>a_i</math>: Aktivierung von Neuron&nbsp;i *<math>a_j</math>: Aktivierung von Neuron&nbsp;j, das mit Neuron&nbsp;i verbunden ist. === Beispiel - Assoziator === Als Beispiel soll nur ein Assoziator als Matrix mit der Hebbschen Lernregel trainiert werden. Gegeben ist eine Matrix <math> A\in Mat(m \times n, \mathbb{R}) </math>. In diesem Beispiel sei <math> m=3 </math> und <math> n=4 </math>. Die Matrix <math> A\in Mat(3 \times 4, \mathbb{R}) </math> stellt als Funktion eine Abbildung vom <math>\mathbb{R}^4 </math> in den <math>\mathbb{R}^3 </math> dar. ==== Matrix ==== <math display="block"> A:= \begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} & a_{1,4} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} & a_{2,4} \\ a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3} & a_{3,4} \\ \end{pmatrix} </math> ==== Koaktivitätsmatrix ==== Die Koaktivitätsmatrix <math> C\in Mat(3 \times 4, \mathbb{R}) </math> zeigt an, welche Neuronenpaare zeitlich synchron aktiv sind (also einen Impuls senden). :<math> C:= \begin{pmatrix} c_{1,1} & c_{1,2} & c_{1,3} & c_{1,4} \\ c_{2,1} & c_{2,2} & c_{2,3} & c_{2,4} \\ c_{3,1} & c_{3,2} & c_{3,3} & c_{3,4} \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \\ \end{pmatrix} \cdot (x_1,x_2,x_3,x_4) </math> ==== Aufgabe - Koaktivitätsmatrix ==== * Erläutern Sie, wie aus einem Eingabevektor <math> x\in \mathbb{R}^4 </math> und einem zugehörigen assoziierten Ausgabevektor <math> y\in \mathbb{R}^3 </math> eine Koaktivitätsmatrix durch Matrixmultiplikation entsteht? * Wie kann man die Koaktivitätsmatrix verwenden, um einen Lernschritt mit der Hebbschen Lernregel abzubilden? * Laden Sie eine CSV-Datei mit den Trainingsdaten für die obige Kooktivitätsmatrix mit der folgenden Spaltenstruktur <math>(x_1,x_2,x_3,x_4,y_1,y_2,y_3)</math> ==== Folgen im Matrizenraum ==== Die Ausgangsmatrix <math>A</math> wird durch den [[Maschinelles Lernen|maschinellen Lernprozess]] mit jeder Anwendung einer Lernregel verändert. Dadurch entsteht eine Folge <math>(A_n)_{n\in\mathbb{N}_0}</math> in dem [[topologischer Vektorraum|Vektorraum]] der Matrizen <math>Mat(m\times k , \mathbb{R})</math>. Die Ausgangsmatrix als Startzustand wird dann mit <math>A_0</math> gekennzeichnet. === Lernrate === Die Lernrate legt fest, wie stark die Veränderung die Koaktivitätsmatrix die Matrix verändert. Die Lernrate kann sich mit jedem Lernschritt verändern und liefert daher eine Folge <math>(\eta_n)_{n\in \mathbb{N_0}} \in \mathbb{R}_o^{\mathbb{N_0}}</math>. Ist <math> C_{n} </math> Koaktivitätsmatrix im <math>n</math> Lernschritt, so verändert sich die Matrix <math>A_n</math> wie folgt. <math>A_{n+1} = A_n + \eta_n \cdot C_{n} </math> ==== Lernratenfestlegung ==== Lernraten als monoton fallend Nullfolgen sorgen dafür, dass die Veränderungen der Matrix <math>A_n</math> mit wachsender Anzahl von Trainingsdaten immer geringer werden. Eine einfache Festlegung der Lernrate z.B. <math>(\eta_n)_{n\in \mathbb{N_0}} = \left( \frac{1}{n} \right)_{n\in \mathbb{N_0}}</math>. ==== Aufgabe - Lernraten ==== Erläutern Sie, wie man die Lernregel iterativ festlegen möchte, bei der <math> A_n</math> jeweils das arithmetische Mittel aller Koaktivitätsmatrizen darstellt. :<math> A_n := \frac{1}{n} \cdot \sum_{k=0}^{n} C_n </math> Welcher Zusammenhang besteht dabei zu [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]? == Umsetzung in R == Die [[b:de:GNU_R:_Matrix-_und_Listenoperationen|Umsetzung in R]] gliedert sich folgende Teilschritte: * Nutzung des [[Assoziative Netze|Assoziators]], * Erzeugen der [[Maschinelles Lernen/Koaktivitätsmatrix|Koaktivitätsmatrix]], * Laden von [[Maschinelles Lernen/Trainingsdaten|Trainingsdaten]], * Training des [[Assoziative Netze|Assoziators]]. === Linearer Assoziator als Matrixmultiplikation === Man verwendet eine Standardmatrixmultiplikation <math>A\cdot x = y </math>, die als linearer Assoziator durch die Matrix <math>A\in Mat(2 \times 3,\mathbb{R}) </math> gegeben ist. Dabei berechnet <math>A\cdot x = y </math> zu einem gegebenen Spaltenvektor <math> x \in \mathbb{R}^4 </math> den zugehörigen assoziierten Vektor y: <syntaxhighlight lang="r"> A <- matrix(c(1,2,3,4,5,6), ncol=3) x <- c(4,2,1) y = A %*% x </syntaxhighlight> === Darstellung in mathematischer Notation === In diesem Beispiel wird im ersten Befehl ein Spaltenvektor <kbd>c(1,2,3,4,5,6)</kbd> in eine Matrix mit 3 Spalten konvertiert (<kbd>ncol=3</kbd> number of columns 3), die dann als Matrix <math>A</math> zwei Zeilen besitzt. :<math> A \cdot x = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 5\\ 2 & 4 & 6 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 1 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 15 \\ 22 \\ \end{pmatrix} = y </math> === Erzeugen der Koaktivitätsmatrix === Die Koaktivitätsmatrix kann man durch Matrixmultiplikation aus zwei assoziierten Vektoren erzeugen. Dabei wird mit einem Trainingsvektor <math>(x^{(k)},y^{(k)}) \in \mathbb{R}^m \times \mathbb{R}^n </math> der Spaltenvektor <math>y^{(k)} \mathbb{R}^m </math> von links mit dem Zeilenvektor <math>{x^{(k)}}^{\top} \in \mathbb{R}^n </math> multipliziert und es entsteht die Koaktivitätsmatrix <math>K^{(k)}</math> als <math>m\times n</math>-Matrix. :<math> K^{(k)} := y^{(k)} \cdot x^{(k)^{\top}} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} </math> === Koaktivität === <syntaxhighlight lang="R"> koaktivitaetsmatrix <- function (px1,px2,px3,py1,py2) { vecx <- c(px1,px2,px3) vecy <- c(py1,py2); mat <- matrix(vecy , ncol=1) %*% matrix(vecx,ncol=3) # return Kooktivitaetsmatrix mat als Rueckgabewert mat } </syntaxhighlight> === Einlesen von tabellarischen Daten === Der Eingabevektor <math>x=(x_1,\dots x_n)\in \mathbb{R}</math> ist <math>n</math>-dimensional und assoziierte Ausgabevektor <math>y=(y_1,\dots y_n)\in \mathbb{R}</math> ist <math>m</math>-dimensional. [[Einlesen der Daten in R]] kann damit mit einer Tabelle erfolgen, die <math>m+n</math> Spalten besitzt. === Indikatoren als Eingabe - Vektoren === Wie können folgende Texteingaben zahlenmäßig beschrieben werden <pre> x1 , x2 , x3 , y1 , y2 1 , 0 , 0 , 1 , 1 0 , 1 , 0 , 0 , 1 0 , 0 , 1 , 1 , 0 1 , 1 , 0 , 0 , 1 </pre> === Aufgabe - Fuzzy-Logik === Wie kann das obige Beispiel auf die [[Fuzzylogik]] erweitern? === Aufgabe - Texte als Eingabe - Vektoren === Wie können folgende Texteingaben zahlenmäßig als Spaltenindikatoren mit 0 und 1 kodiert und beschrieben werden? <pre> xName , x2 , x3, y1 , yHilfe Anna , 10 , 15 , 13 , Hilfe1 Bert , 3.5 , 13 , 0 , Hilfe2 Camilla , 12 , 8 , 15 , Hilfe3 Dieter , 5 , 6 , 7 , Hilfe1 Emilia , 15 , 15 , 14.5, Hilfe1 </pre> == Einzelnachweise == <references /> == Literatur == * [[w:de:Donald Hebb|Donald Hebb]]: ''The organization of behavior. A neuropsychological theory''. Erlbaum Books, Mahwah, N.J. 2002, ISBN 0-8058-4300-0 (Nachdruck der Ausgabe New York 1949) == Siehe auch == * [[Assoziative Netze]] * [[Konvexkombination]] * [[topologischer Vektorraum]] * [[b:de:GNU_R:_Matrix-_und_Listenoperationen#Beispiel_-_Matrixmultiplikation|Matrixmultiplikation in R]] * [[Fuzzylogik]] [[Kategorie:Biopsychologie]] [[Kategorie:Neurobiologie]] [[Kategorie:Computational Neuroscience]] [[Kategorie:Neuroinformatik]] [[Kategorie:Kognitionswissenschaft]] == Seiteninformationen == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Maschinelles%20Lernen/Hebbsche%20Lernregel&author=Maschinelles%20Lernen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Hebbsche%20Lernregel&coursetitle=Maschinelles%20Lernen Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Maschinelles%20Lernen/Hebbsche%20Lernregel&author=Maschinelles%20Lernen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Hebbsche%20Lernregel&coursetitle=Maschinelles%20Lernen Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Maschinelles%20Lernen Maschinelles Lernen]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Maschinelles%20Lernen/Hebbsche%20Lernregel https://de.wikiversity.org/wiki/Maschinelles%20Lernen/Hebbsche%20Lernregel] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Maschinelles%20Lernen/Hebbsche%20Lernregel Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron- SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Maschinelles%20Lernen/Hebbsche%20Lernregel * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Maschinelles%20Lernen/Hebbsche%20Lernregel&author=Maschinelles%20Lernen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Hebbsche%20Lernregel&coursetitle=Maschinelles%20Lernen Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Hebbsche%20Lernregel Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Hebbsche%20Lernregel Hebbsche Lernregel] https://de.wikipedia.org/wiki/Hebbsche%20Lernregel * Datum: 2.5.2024 * [https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] [[Category:Maschinelles Lernen]] 8o769pobcbg2p8echy356st66xng4hs 1119394 1119393 2026-11-11T14:32:44Z Bert Niehaus 20843 /* Folgen im Matrizenraum */ 1119394 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite zum Thema ''Maschinelles Lernen/Hebbsche Lernregel'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Maschinelles%20Lernen/Hebbsche%20Lernregel&author=Maschinelles%20Lernen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Hebbsche%20Lernregel&coursetitle=Maschinelles%20Lernen Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt: * (1) Ursprung der Lernregel, * (2) Mathematische Modellbildung der Lernregel, * (3) Matrizen zur Darstellung von simultan aktiven Neuronen. == Zielsetzung == Diese Lernressource zu Thema ''Maschinelles Lernen/Hebbsche Lernregel'' hat das Ziel, eine elementare biologisch motivierte Lernregel zu behandeln, mit der man z.B. elementare [[Assoziative Netze|assoziative Netze]] trainieren kann. == Biologisches Vorbild für die Lernregel == Die '''hebbsche Lernregel''' ist eine vom Psychologen [[w:de:Donald O. Hebb|Donald Olding Hebb]] aufgestellte Regel für die Veränderung der Signalübertragung zwischen Nervenzellen in einem [[w:de:Neuronale Netze|biologischen neuronalen Netzwerken]] und der simultanen Aktivität von einzelnen über [[w:de:Synapse|Synapsen]] verbundenen [[w:de:Nervenzelle|Neuronen]]. == Geschichte == Hebb formulierte 1949 in seinem Buch ''The Organization of Behavior'': „Wenn ein [[w:de:Axon|Axon]] der [[w:de:Nervenzelle|Zelle]] A […] Zelle B erregt und wiederholt und dauerhaft zur Erzeugung von [[w:de:Aktionspotential|Aktionspotentialen]] in Zelle B beiträgt, so resultiert dies in Wachstumsprozessen oder [[w:de:Stoffwechsel|metabolischen]] Veränderungen in einer oder in beiden Zellen, die bewirken, dass die [[w:de:Wirkungsgrad|Effizienz]] von Zelle A in Bezug auf die Erzeugung Aktionspotentials in B größer wird.“ === Lernen als Veränderungen an Synapsen === Das bedeutet: Je häufiger ein Neuron A gleichzeitig mit Neuron B aktiv ist, umso bevorzugter werden die beiden Neuronen aufeinander reagieren („what fires together, wires together“). Dies hat Hebb anhand von Veränderungen der [[w:de:Synapse|synaptischen Übertragung]] zwischen Neuronen nachgewiesen. === Wissenschaftliche Bestätigung von Hebbs Lernregel === Als endgültige Bestätigung von Hebbs Thesen gelten die [[w:de:Langzeit-Potenzierung#Geschichte|Experimente von Terje Lømo]] und anderen in den 1960er und 1970er Jahren<ref>T. V. Bliss, T. Lomo: ''Long-lasting potentiation of synaptic transmission in the dentate area of the anaesthetized rabbit following stimulation of the perforant path.'' In: ''J Physiol.'' 232(2), 1973, S. 331–356, Free Full Text Online. PMID 4727084</ref> und der direkte Nachweis der Veränderung von Signalübertragung als Teil des Mechanismus für [[w:de:Lernen|Lernprozesse]] und [[w:de:Gedächtnis|Gedächtnis]] im Jahr 2014.<ref>G. Yang, C. S. Lai, J. Cichon, L. Ma, W. Li, W. B. Gan: ''Sleep promotes branch-specific formation of dendritic spines after learning.'' In: ''Science.'' 344(6188), 2014, S. 1173–1178. PMID 24904169</ref> === Synaptische Plastizität === Hebb gilt damit als der Entdecker des Modells der [[w:de:Synaptische Plastizität|synaptischen Plastizität]], welche die [[w:de:Neurophysiologie|neurophysiologische]] Grundlage von Lernen und Gedächtnis darstellt.<ref>[[w:de:Manfred Spitzer|Manfred Spitzer]]: ''Geist im Netz, Modelle für Lernen, Denken und Handeln''. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 1996, ISBN 3-8274-0109-7, S. 107.</ref>. Die hebbsche Lernregel ist die älteste und einfachste neuronale Lernregel, die biologisch beobachtbare Phänomene auf eine algorithmische Lernregel überträgt. == Mathematische Modellbildung == In [[w:de:Künstliches neuronales Netz|künstlichen neuronalen Netzen]] wird diese Veränderung der synaptischen Übertragung als Gewichtsänderung des neuronalen Graphen abgebildet. <math>\Delta w_{ij} = \eta \cdot a_{i} \cdot a_{j}</math> === Variablenbezeichnung === * <math>\Delta w_{ij}</math>: Veränderung des Gewichtes von Neuron&nbsp;i zu Neuron&nbsp;j (also die Änderung der Verbindungsstärke dieser beiden Neuronen) * <math>\eta</math>: ''Lernrate'' (ein geeignet zu wählender konstanter Faktor) * <math>a_i</math>: Aktivierung von Neuron&nbsp;i *<math>a_j</math>: Aktivierung von Neuron&nbsp;j, das mit Neuron&nbsp;i verbunden ist. === Beispiel - Assoziator === Als Beispiel soll nur ein Assoziator als Matrix mit der Hebbschen Lernregel trainiert werden. Gegeben ist eine Matrix <math> A\in Mat(m \times n, \mathbb{R}) </math>. In diesem Beispiel sei <math> m=3 </math> und <math> n=4 </math>. Die Matrix <math> A\in Mat(3 \times 4, \mathbb{R}) </math> stellt als Funktion eine Abbildung vom <math>\mathbb{R}^4 </math> in den <math>\mathbb{R}^3 </math> dar. ==== Matrix ==== <math display="block"> A:= \begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} & a_{1,4} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} & a_{2,4} \\ a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3} & a_{3,4} \\ \end{pmatrix} </math> ==== Koaktivitätsmatrix ==== Die Koaktivitätsmatrix <math> C\in Mat(3 \times 4, \mathbb{R}) </math> zeigt an, welche Neuronenpaare zeitlich synchron aktiv sind (also einen Impuls senden). :<math> C:= \begin{pmatrix} c_{1,1} & c_{1,2} & c_{1,3} & c_{1,4} \\ c_{2,1} & c_{2,2} & c_{2,3} & c_{2,4} \\ c_{3,1} & c_{3,2} & c_{3,3} & c_{3,4} \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \\ \end{pmatrix} \cdot (x_1,x_2,x_3,x_4) </math> ==== Aufgabe - Koaktivitätsmatrix ==== * Erläutern Sie, wie aus einem Eingabevektor <math> x\in \mathbb{R}^4 </math> und einem zugehörigen assoziierten Ausgabevektor <math> y\in \mathbb{R}^3 </math> eine Koaktivitätsmatrix durch Matrixmultiplikation entsteht? * Wie kann man die Koaktivitätsmatrix verwenden, um einen Lernschritt mit der Hebbschen Lernregel abzubilden? * Laden Sie eine CSV-Datei mit den Trainingsdaten für die obige Kooktivitätsmatrix mit der folgenden Spaltenstruktur <math>(x_1,x_2,x_3,x_4,y_1,y_2,y_3)</math> ==== Folgen im Matrizenraum ==== Die Ausgangsmatrix <math>A</math> wird durch den [[Maschinelles Lernen|maschinellen Lernprozess]] mit jeder Anwendung einer Lernregel verändert. Dadurch entsteht eine Folge <math>(A_n)_{n\in\mathbb{N}_0}</math> in dem [[topologischer Vektorraum|Vektorraum]] der Matrizen <math>Mat(3\times 4 , \mathbb{R})</math>. Die Ausgangsmatrix als Startzustand wird dann mit <math>A_0</math> gekennzeichnet. === Lernrate === Die Lernrate legt fest, wie stark die Veränderung die Koaktivitätsmatrix die Matrix verändert. Die Lernrate kann sich mit jedem Lernschritt verändern und liefert daher eine Folge <math>(\eta_n)_{n\in \mathbb{N_0}} \in \mathbb{R}_o^{\mathbb{N_0}}</math>. Ist <math> C_{n} </math> Koaktivitätsmatrix im <math>n</math> Lernschritt, so verändert sich die Matrix <math>A_n</math> wie folgt. <math>A_{n+1} = A_n + \eta_n \cdot C_{n} </math> ==== Lernratenfestlegung ==== Lernraten als monoton fallend Nullfolgen sorgen dafür, dass die Veränderungen der Matrix <math>A_n</math> mit wachsender Anzahl von Trainingsdaten immer geringer werden. Eine einfache Festlegung der Lernrate z.B. <math>(\eta_n)_{n\in \mathbb{N_0}} = \left( \frac{1}{n} \right)_{n\in \mathbb{N_0}}</math>. ==== Aufgabe - Lernraten ==== Erläutern Sie, wie man die Lernregel iterativ festlegen möchte, bei der <math> A_n</math> jeweils das arithmetische Mittel aller Koaktivitätsmatrizen darstellt. :<math> A_n := \frac{1}{n} \cdot \sum_{k=0}^{n} C_n </math> Welcher Zusammenhang besteht dabei zu [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]? == Umsetzung in R == Die [[b:de:GNU_R:_Matrix-_und_Listenoperationen|Umsetzung in R]] gliedert sich folgende Teilschritte: * Nutzung des [[Assoziative Netze|Assoziators]], * Erzeugen der [[Maschinelles Lernen/Koaktivitätsmatrix|Koaktivitätsmatrix]], * Laden von [[Maschinelles Lernen/Trainingsdaten|Trainingsdaten]], * Training des [[Assoziative Netze|Assoziators]]. === Linearer Assoziator als Matrixmultiplikation === Man verwendet eine Standardmatrixmultiplikation <math>A\cdot x = y </math>, die als linearer Assoziator durch die Matrix <math>A\in Mat(2 \times 3,\mathbb{R}) </math> gegeben ist. Dabei berechnet <math>A\cdot x = y </math> zu einem gegebenen Spaltenvektor <math> x \in \mathbb{R}^4 </math> den zugehörigen assoziierten Vektor y: <syntaxhighlight lang="r"> A <- matrix(c(1,2,3,4,5,6), ncol=3) x <- c(4,2,1) y = A %*% x </syntaxhighlight> === Darstellung in mathematischer Notation === In diesem Beispiel wird im ersten Befehl ein Spaltenvektor <kbd>c(1,2,3,4,5,6)</kbd> in eine Matrix mit 3 Spalten konvertiert (<kbd>ncol=3</kbd> number of columns 3), die dann als Matrix <math>A</math> zwei Zeilen besitzt. :<math> A \cdot x = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 5\\ 2 & 4 & 6 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 1 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 15 \\ 22 \\ \end{pmatrix} = y </math> === Erzeugen der Koaktivitätsmatrix === Die Koaktivitätsmatrix kann man durch Matrixmultiplikation aus zwei assoziierten Vektoren erzeugen. Dabei wird mit einem Trainingsvektor <math>(x^{(k)},y^{(k)}) \in \mathbb{R}^m \times \mathbb{R}^n </math> der Spaltenvektor <math>y^{(k)} \mathbb{R}^m </math> von links mit dem Zeilenvektor <math>{x^{(k)}}^{\top} \in \mathbb{R}^n </math> multipliziert und es entsteht die Koaktivitätsmatrix <math>K^{(k)}</math> als <math>m\times n</math>-Matrix. :<math> K^{(k)} := y^{(k)} \cdot x^{(k)^{\top}} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} </math> === Koaktivität === <syntaxhighlight lang="R"> koaktivitaetsmatrix <- function (px1,px2,px3,py1,py2) { vecx <- c(px1,px2,px3) vecy <- c(py1,py2); mat <- matrix(vecy , ncol=1) %*% matrix(vecx,ncol=3) # return Kooktivitaetsmatrix mat als Rueckgabewert mat } </syntaxhighlight> === Einlesen von tabellarischen Daten === Der Eingabevektor <math>x=(x_1,\dots x_n)\in \mathbb{R}</math> ist <math>n</math>-dimensional und assoziierte Ausgabevektor <math>y=(y_1,\dots y_n)\in \mathbb{R}</math> ist <math>m</math>-dimensional. [[Einlesen der Daten in R]] kann damit mit einer Tabelle erfolgen, die <math>m+n</math> Spalten besitzt. === Indikatoren als Eingabe - Vektoren === Wie können folgende Texteingaben zahlenmäßig beschrieben werden <pre> x1 , x2 , x3 , y1 , y2 1 , 0 , 0 , 1 , 1 0 , 1 , 0 , 0 , 1 0 , 0 , 1 , 1 , 0 1 , 1 , 0 , 0 , 1 </pre> === Aufgabe - Fuzzy-Logik === Wie kann das obige Beispiel auf die [[Fuzzylogik]] erweitern? === Aufgabe - Texte als Eingabe - Vektoren === Wie können folgende Texteingaben zahlenmäßig als Spaltenindikatoren mit 0 und 1 kodiert und beschrieben werden? <pre> xName , x2 , x3, y1 , yHilfe Anna , 10 , 15 , 13 , Hilfe1 Bert , 3.5 , 13 , 0 , Hilfe2 Camilla , 12 , 8 , 15 , Hilfe3 Dieter , 5 , 6 , 7 , Hilfe1 Emilia , 15 , 15 , 14.5, Hilfe1 </pre> == Einzelnachweise == <references /> == Literatur == * [[w:de:Donald Hebb|Donald Hebb]]: ''The organization of behavior. A neuropsychological theory''. Erlbaum Books, Mahwah, N.J. 2002, ISBN 0-8058-4300-0 (Nachdruck der Ausgabe New York 1949) == Siehe auch == * [[Assoziative Netze]] * [[Konvexkombination]] * [[topologischer Vektorraum]] * [[b:de:GNU_R:_Matrix-_und_Listenoperationen#Beispiel_-_Matrixmultiplikation|Matrixmultiplikation in R]] * [[Fuzzylogik]] [[Kategorie:Biopsychologie]] [[Kategorie:Neurobiologie]] [[Kategorie:Computational Neuroscience]] [[Kategorie:Neuroinformatik]] [[Kategorie:Kognitionswissenschaft]] == Seiteninformationen == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Maschinelles%20Lernen/Hebbsche%20Lernregel&author=Maschinelles%20Lernen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Hebbsche%20Lernregel&coursetitle=Maschinelles%20Lernen Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Maschinelles%20Lernen/Hebbsche%20Lernregel&author=Maschinelles%20Lernen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Hebbsche%20Lernregel&coursetitle=Maschinelles%20Lernen Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Maschinelles%20Lernen Maschinelles Lernen]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Maschinelles%20Lernen/Hebbsche%20Lernregel https://de.wikiversity.org/wiki/Maschinelles%20Lernen/Hebbsche%20Lernregel] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Maschinelles%20Lernen/Hebbsche%20Lernregel Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron- SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Maschinelles%20Lernen/Hebbsche%20Lernregel * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Maschinelles%20Lernen/Hebbsche%20Lernregel&author=Maschinelles%20Lernen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Hebbsche%20Lernregel&coursetitle=Maschinelles%20Lernen Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Hebbsche%20Lernregel Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Hebbsche%20Lernregel Hebbsche Lernregel] https://de.wikipedia.org/wiki/Hebbsche%20Lernregel * Datum: 2.5.2024 * [https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] [[Category:Maschinelles Lernen]] 8mmn9r85pjpyub6atstg2ntahi3er8y 1119395 1119394 2026-11-11T14:45:53Z Bert Niehaus 20843 /* Aufgabe - Lernraten */ 1119395 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite zum Thema ''Maschinelles Lernen/Hebbsche Lernregel'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Maschinelles%20Lernen/Hebbsche%20Lernregel&author=Maschinelles%20Lernen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Hebbsche%20Lernregel&coursetitle=Maschinelles%20Lernen Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. 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Hebb|Donald Olding Hebb]] aufgestellte Regel für die Veränderung der Signalübertragung zwischen Nervenzellen in einem [[w:de:Neuronale Netze|biologischen neuronalen Netzwerken]] und der simultanen Aktivität von einzelnen über [[w:de:Synapse|Synapsen]] verbundenen [[w:de:Nervenzelle|Neuronen]]. == Geschichte == Hebb formulierte 1949 in seinem Buch ''The Organization of Behavior'': „Wenn ein [[w:de:Axon|Axon]] der [[w:de:Nervenzelle|Zelle]] A […] Zelle B erregt und wiederholt und dauerhaft zur Erzeugung von [[w:de:Aktionspotential|Aktionspotentialen]] in Zelle B beiträgt, so resultiert dies in Wachstumsprozessen oder [[w:de:Stoffwechsel|metabolischen]] Veränderungen in einer oder in beiden Zellen, die bewirken, dass die [[w:de:Wirkungsgrad|Effizienz]] von Zelle A in Bezug auf die Erzeugung Aktionspotentials in B größer wird.“ === Lernen als Veränderungen an Synapsen === Das bedeutet: Je häufiger ein Neuron A gleichzeitig mit Neuron B aktiv ist, umso bevorzugter werden die beiden Neuronen aufeinander reagieren („what fires together, wires together“). Dies hat Hebb anhand von Veränderungen der [[w:de:Synapse|synaptischen Übertragung]] zwischen Neuronen nachgewiesen. === Wissenschaftliche Bestätigung von Hebbs Lernregel === Als endgültige Bestätigung von Hebbs Thesen gelten die [[w:de:Langzeit-Potenzierung#Geschichte|Experimente von Terje Lømo]] und anderen in den 1960er und 1970er Jahren<ref>T. V. Bliss, T. Lomo: ''Long-lasting potentiation of synaptic transmission in the dentate area of the anaesthetized rabbit following stimulation of the perforant path.'' In: ''J Physiol.'' 232(2), 1973, S. 331–356, Free Full Text Online. PMID 4727084</ref> und der direkte Nachweis der Veränderung von Signalübertragung als Teil des Mechanismus für [[w:de:Lernen|Lernprozesse]] und [[w:de:Gedächtnis|Gedächtnis]] im Jahr 2014.<ref>G. Yang, C. S. Lai, J. Cichon, L. Ma, W. Li, W. B. Gan: ''Sleep promotes branch-specific formation of dendritic spines after learning.'' In: ''Science.'' 344(6188), 2014, S. 1173–1178. PMID 24904169</ref> === Synaptische Plastizität === Hebb gilt damit als der Entdecker des Modells der [[w:de:Synaptische Plastizität|synaptischen Plastizität]], welche die [[w:de:Neurophysiologie|neurophysiologische]] Grundlage von Lernen und Gedächtnis darstellt.<ref>[[w:de:Manfred Spitzer|Manfred Spitzer]]: ''Geist im Netz, Modelle für Lernen, Denken und Handeln''. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 1996, ISBN 3-8274-0109-7, S. 107.</ref>. Die hebbsche Lernregel ist die älteste und einfachste neuronale Lernregel, die biologisch beobachtbare Phänomene auf eine algorithmische Lernregel überträgt. == Mathematische Modellbildung == In [[w:de:Künstliches neuronales Netz|künstlichen neuronalen Netzen]] wird diese Veränderung der synaptischen Übertragung als Gewichtsänderung des neuronalen Graphen abgebildet. <math>\Delta w_{ij} = \eta \cdot a_{i} \cdot a_{j}</math> === Variablenbezeichnung === * <math>\Delta w_{ij}</math>: Veränderung des Gewichtes von Neuron&nbsp;i zu Neuron&nbsp;j (also die Änderung der Verbindungsstärke dieser beiden Neuronen) * <math>\eta</math>: ''Lernrate'' (ein geeignet zu wählender konstanter Faktor) * <math>a_i</math>: Aktivierung von Neuron&nbsp;i *<math>a_j</math>: Aktivierung von Neuron&nbsp;j, das mit Neuron&nbsp;i verbunden ist. === Beispiel - Assoziator === Als Beispiel soll nur ein Assoziator als Matrix mit der Hebbschen Lernregel trainiert werden. Gegeben ist eine Matrix <math> A\in Mat(m \times n, \mathbb{R}) </math>. In diesem Beispiel sei <math> m=3 </math> und <math> n=4 </math>. Die Matrix <math> A\in Mat(3 \times 4, \mathbb{R}) </math> stellt als Funktion eine Abbildung vom <math>\mathbb{R}^4 </math> in den <math>\mathbb{R}^3 </math> dar. ==== Matrix ==== <math display="block"> A:= \begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} & a_{1,4} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} & a_{2,4} \\ a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3} & a_{3,4} \\ \end{pmatrix} </math> ==== Koaktivitätsmatrix ==== Die Koaktivitätsmatrix <math> C\in Mat(3 \times 4, \mathbb{R}) </math> zeigt an, welche Neuronenpaare zeitlich synchron aktiv sind (also einen Impuls senden). :<math> C:= \begin{pmatrix} c_{1,1} & c_{1,2} & c_{1,3} & c_{1,4} \\ c_{2,1} & c_{2,2} & c_{2,3} & c_{2,4} \\ c_{3,1} & c_{3,2} & c_{3,3} & c_{3,4} \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \\ \end{pmatrix} \cdot (x_1,x_2,x_3,x_4) </math> ==== Aufgabe - Koaktivitätsmatrix ==== * Erläutern Sie, wie aus einem Eingabevektor <math> x\in \mathbb{R}^4 </math> und einem zugehörigen assoziierten Ausgabevektor <math> y\in \mathbb{R}^3 </math> eine Koaktivitätsmatrix durch Matrixmultiplikation entsteht? * Wie kann man die Koaktivitätsmatrix verwenden, um einen Lernschritt mit der Hebbschen Lernregel abzubilden? * Laden Sie eine CSV-Datei mit den Trainingsdaten für die obige Kooktivitätsmatrix mit der folgenden Spaltenstruktur <math>(x_1,x_2,x_3,x_4,y_1,y_2,y_3)</math> ==== Folgen im Matrizenraum ==== Die Ausgangsmatrix <math>A</math> wird durch den [[Maschinelles Lernen|maschinellen Lernprozess]] mit jeder Anwendung einer Lernregel verändert. Dadurch entsteht eine Folge <math>(A_n)_{n\in\mathbb{N}_0}</math> in dem [[topologischer Vektorraum|Vektorraum]] der Matrizen <math>Mat(3\times 4 , \mathbb{R})</math>. Die Ausgangsmatrix als Startzustand wird dann mit <math>A_0</math> gekennzeichnet. === Lernrate === Die Lernrate legt fest, wie stark die Veränderung die Koaktivitätsmatrix die Matrix verändert. Die Lernrate kann sich mit jedem Lernschritt verändern und liefert daher eine Folge <math>(\eta_n)_{n\in \mathbb{N_0}} \in \mathbb{R}_o^{\mathbb{N_0}}</math>. Ist <math> C_{n} </math> Koaktivitätsmatrix im <math>n</math> Lernschritt, so verändert sich die Matrix <math>A_n</math> wie folgt. <math>A_{n+1} = A_n + \eta_n \cdot C_{n} </math> ==== Lernratenfestlegung ==== Lernraten als monoton fallend Nullfolgen sorgen dafür, dass die Veränderungen der Matrix <math>A_n</math> mit wachsender Anzahl von Trainingsdaten immer geringer werden. Eine einfache Festlegung der Lernrate z.B. <math>(\eta_n)_{n\in \mathbb{N_0}} = \left( \frac{1}{n} \right)_{n\in \mathbb{N_0}}</math>. ==== Aufgabe - Lernraten ==== Erläutern Sie, wie man die Lernregel iterativ festlegen möchte, bei der <math> A_n</math> jeweils das arithmetische Mittel aller Koaktivitätsmatrizen darstellt. :<math> A_{n+1} := A_{n} + \frac{1}{n} \cdot \sum_{k=0}^{n} C_n </math> Welcher Zusammenhang besteht dabei zu [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]? == Umsetzung in R == Die [[b:de:GNU_R:_Matrix-_und_Listenoperationen|Umsetzung in R]] gliedert sich folgende Teilschritte: * Nutzung des [[Assoziative Netze|Assoziators]], * Erzeugen der [[Maschinelles Lernen/Koaktivitätsmatrix|Koaktivitätsmatrix]], * Laden von [[Maschinelles Lernen/Trainingsdaten|Trainingsdaten]], * Training des [[Assoziative Netze|Assoziators]]. === Linearer Assoziator als Matrixmultiplikation === Man verwendet eine Standardmatrixmultiplikation <math>A\cdot x = y </math>, die als linearer Assoziator durch die Matrix <math>A\in Mat(2 \times 3,\mathbb{R}) </math> gegeben ist. Dabei berechnet <math>A\cdot x = y </math> zu einem gegebenen Spaltenvektor <math> x \in \mathbb{R}^4 </math> den zugehörigen assoziierten Vektor y: <syntaxhighlight lang="r"> A <- matrix(c(1,2,3,4,5,6), ncol=3) x <- c(4,2,1) y = A %*% x </syntaxhighlight> === Darstellung in mathematischer Notation === In diesem Beispiel wird im ersten Befehl ein Spaltenvektor <kbd>c(1,2,3,4,5,6)</kbd> in eine Matrix mit 3 Spalten konvertiert (<kbd>ncol=3</kbd> number of columns 3), die dann als Matrix <math>A</math> zwei Zeilen besitzt. :<math> A \cdot x = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 5\\ 2 & 4 & 6 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 1 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 15 \\ 22 \\ \end{pmatrix} = y </math> === Erzeugen der Koaktivitätsmatrix === Die Koaktivitätsmatrix kann man durch Matrixmultiplikation aus zwei assoziierten Vektoren erzeugen. Dabei wird mit einem Trainingsvektor <math>(x^{(k)},y^{(k)}) \in \mathbb{R}^m \times \mathbb{R}^n </math> der Spaltenvektor <math>y^{(k)} \mathbb{R}^m </math> von links mit dem Zeilenvektor <math>{x^{(k)}}^{\top} \in \mathbb{R}^n </math> multipliziert und es entsteht die Koaktivitätsmatrix <math>K^{(k)}</math> als <math>m\times n</math>-Matrix. :<math> K^{(k)} := y^{(k)} \cdot x^{(k)^{\top}} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} </math> === Koaktivität === <syntaxhighlight lang="R"> koaktivitaetsmatrix <- function (px1,px2,px3,py1,py2) { vecx <- c(px1,px2,px3) vecy <- c(py1,py2); mat <- matrix(vecy , ncol=1) %*% matrix(vecx,ncol=3) # return Kooktivitaetsmatrix mat als Rueckgabewert mat } </syntaxhighlight> === Einlesen von tabellarischen Daten === Der Eingabevektor <math>x=(x_1,\dots x_n)\in \mathbb{R}</math> ist <math>n</math>-dimensional und assoziierte Ausgabevektor <math>y=(y_1,\dots y_n)\in \mathbb{R}</math> ist <math>m</math>-dimensional. [[Einlesen der Daten in R]] kann damit mit einer Tabelle erfolgen, die <math>m+n</math> Spalten besitzt. === Indikatoren als Eingabe - Vektoren === Wie können folgende Texteingaben zahlenmäßig beschrieben werden <pre> x1 , x2 , x3 , y1 , y2 1 , 0 , 0 , 1 , 1 0 , 1 , 0 , 0 , 1 0 , 0 , 1 , 1 , 0 1 , 1 , 0 , 0 , 1 </pre> === Aufgabe - Fuzzy-Logik === Wie kann das obige Beispiel auf die [[Fuzzylogik]] erweitern? === Aufgabe - Texte als Eingabe - Vektoren === Wie können folgende Texteingaben zahlenmäßig als Spaltenindikatoren mit 0 und 1 kodiert und beschrieben werden? <pre> xName , x2 , x3, y1 , yHilfe Anna , 10 , 15 , 13 , Hilfe1 Bert , 3.5 , 13 , 0 , Hilfe2 Camilla , 12 , 8 , 15 , Hilfe3 Dieter , 5 , 6 , 7 , Hilfe1 Emilia , 15 , 15 , 14.5, Hilfe1 </pre> == Einzelnachweise == <references /> == Literatur == * [[w:de:Donald Hebb|Donald Hebb]]: ''The organization of behavior. A neuropsychological theory''. Erlbaum Books, Mahwah, N.J. 2002, ISBN 0-8058-4300-0 (Nachdruck der Ausgabe New York 1949) == Siehe auch == * [[Assoziative Netze]] * [[Konvexkombination]] * [[topologischer Vektorraum]] * [[b:de:GNU_R:_Matrix-_und_Listenoperationen#Beispiel_-_Matrixmultiplikation|Matrixmultiplikation in R]] * [[Fuzzylogik]] [[Kategorie:Biopsychologie]] [[Kategorie:Neurobiologie]] [[Kategorie:Computational Neuroscience]] [[Kategorie:Neuroinformatik]] [[Kategorie:Kognitionswissenschaft]] == Seiteninformationen == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Maschinelles%20Lernen/Hebbsche%20Lernregel&author=Maschinelles%20Lernen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Hebbsche%20Lernregel&coursetitle=Maschinelles%20Lernen Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Maschinelles%20Lernen/Hebbsche%20Lernregel&author=Maschinelles%20Lernen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Hebbsche%20Lernregel&coursetitle=Maschinelles%20Lernen Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Maschinelles%20Lernen Maschinelles Lernen]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Maschinelles%20Lernen/Hebbsche%20Lernregel https://de.wikiversity.org/wiki/Maschinelles%20Lernen/Hebbsche%20Lernregel] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Maschinelles%20Lernen/Hebbsche%20Lernregel Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron- SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Maschinelles%20Lernen/Hebbsche%20Lernregel * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Maschinelles%20Lernen/Hebbsche%20Lernregel&author=Maschinelles%20Lernen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Hebbsche%20Lernregel&coursetitle=Maschinelles%20Lernen Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Hebbsche%20Lernregel Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Hebbsche%20Lernregel Hebbsche Lernregel] https://de.wikipedia.org/wiki/Hebbsche%20Lernregel * Datum: 2.5.2024 * [https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] [[Category:Maschinelles Lernen]] cqq5q5osc87ec1whf909li3isvxm5hm 1119396 1119395 2026-11-11T14:47:00Z Bert Niehaus 20843 /* Aufgabe - Lernraten */ 1119396 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite zum Thema ''Maschinelles Lernen/Hebbsche Lernregel'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Maschinelles%20Lernen/Hebbsche%20Lernregel&author=Maschinelles%20Lernen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Hebbsche%20Lernregel&coursetitle=Maschinelles%20Lernen Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt: * (1) Ursprung der Lernregel, * (2) Mathematische Modellbildung der Lernregel, * (3) Matrizen zur Darstellung von simultan aktiven Neuronen. == Zielsetzung == Diese Lernressource zu Thema ''Maschinelles Lernen/Hebbsche Lernregel'' hat das Ziel, eine elementare biologisch motivierte Lernregel zu behandeln, mit der man z.B. elementare [[Assoziative Netze|assoziative Netze]] trainieren kann. == Biologisches Vorbild für die Lernregel == Die '''hebbsche Lernregel''' ist eine vom Psychologen [[w:de:Donald O. Hebb|Donald Olding Hebb]] aufgestellte Regel für die Veränderung der Signalübertragung zwischen Nervenzellen in einem [[w:de:Neuronale Netze|biologischen neuronalen Netzwerken]] und der simultanen Aktivität von einzelnen über [[w:de:Synapse|Synapsen]] verbundenen [[w:de:Nervenzelle|Neuronen]]. == Geschichte == Hebb formulierte 1949 in seinem Buch ''The Organization of Behavior'': „Wenn ein [[w:de:Axon|Axon]] der [[w:de:Nervenzelle|Zelle]] A […] Zelle B erregt und wiederholt und dauerhaft zur Erzeugung von [[w:de:Aktionspotential|Aktionspotentialen]] in Zelle B beiträgt, so resultiert dies in Wachstumsprozessen oder [[w:de:Stoffwechsel|metabolischen]] Veränderungen in einer oder in beiden Zellen, die bewirken, dass die [[w:de:Wirkungsgrad|Effizienz]] von Zelle A in Bezug auf die Erzeugung Aktionspotentials in B größer wird.“ === Lernen als Veränderungen an Synapsen === Das bedeutet: Je häufiger ein Neuron A gleichzeitig mit Neuron B aktiv ist, umso bevorzugter werden die beiden Neuronen aufeinander reagieren („what fires together, wires together“). Dies hat Hebb anhand von Veränderungen der [[w:de:Synapse|synaptischen Übertragung]] zwischen Neuronen nachgewiesen. === Wissenschaftliche Bestätigung von Hebbs Lernregel === Als endgültige Bestätigung von Hebbs Thesen gelten die [[w:de:Langzeit-Potenzierung#Geschichte|Experimente von Terje Lømo]] und anderen in den 1960er und 1970er Jahren<ref>T. V. Bliss, T. Lomo: ''Long-lasting potentiation of synaptic transmission in the dentate area of the anaesthetized rabbit following stimulation of the perforant path.'' In: ''J Physiol.'' 232(2), 1973, S. 331–356, Free Full Text Online. PMID 4727084</ref> und der direkte Nachweis der Veränderung von Signalübertragung als Teil des Mechanismus für [[w:de:Lernen|Lernprozesse]] und [[w:de:Gedächtnis|Gedächtnis]] im Jahr 2014.<ref>G. Yang, C. S. Lai, J. Cichon, L. Ma, W. Li, W. B. Gan: ''Sleep promotes branch-specific formation of dendritic spines after learning.'' In: ''Science.'' 344(6188), 2014, S. 1173–1178. PMID 24904169</ref> === Synaptische Plastizität === Hebb gilt damit als der Entdecker des Modells der [[w:de:Synaptische Plastizität|synaptischen Plastizität]], welche die [[w:de:Neurophysiologie|neurophysiologische]] Grundlage von Lernen und Gedächtnis darstellt.<ref>[[w:de:Manfred Spitzer|Manfred Spitzer]]: ''Geist im Netz, Modelle für Lernen, Denken und Handeln''. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 1996, ISBN 3-8274-0109-7, S. 107.</ref>. Die hebbsche Lernregel ist die älteste und einfachste neuronale Lernregel, die biologisch beobachtbare Phänomene auf eine algorithmische Lernregel überträgt. == Mathematische Modellbildung == In [[w:de:Künstliches neuronales Netz|künstlichen neuronalen Netzen]] wird diese Veränderung der synaptischen Übertragung als Gewichtsänderung des neuronalen Graphen abgebildet. <math>\Delta w_{ij} = \eta \cdot a_{i} \cdot a_{j}</math> === Variablenbezeichnung === * <math>\Delta w_{ij}</math>: Veränderung des Gewichtes von Neuron&nbsp;i zu Neuron&nbsp;j (also die Änderung der Verbindungsstärke dieser beiden Neuronen) * <math>\eta</math>: ''Lernrate'' (ein geeignet zu wählender konstanter Faktor) * <math>a_i</math>: Aktivierung von Neuron&nbsp;i *<math>a_j</math>: Aktivierung von Neuron&nbsp;j, das mit Neuron&nbsp;i verbunden ist. === Beispiel - Assoziator === Als Beispiel soll nur ein Assoziator als Matrix mit der Hebbschen Lernregel trainiert werden. Gegeben ist eine Matrix <math> A\in Mat(m \times n, \mathbb{R}) </math>. In diesem Beispiel sei <math> m=3 </math> und <math> n=4 </math>. Die Matrix <math> A\in Mat(3 \times 4, \mathbb{R}) </math> stellt als Funktion eine Abbildung vom <math>\mathbb{R}^4 </math> in den <math>\mathbb{R}^3 </math> dar. ==== Matrix ==== <math display="block"> A:= \begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} & a_{1,4} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} & a_{2,4} \\ a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3} & a_{3,4} \\ \end{pmatrix} </math> ==== Koaktivitätsmatrix ==== Die Koaktivitätsmatrix <math> C\in Mat(3 \times 4, \mathbb{R}) </math> zeigt an, welche Neuronenpaare zeitlich synchron aktiv sind (also einen Impuls senden). :<math> C:= \begin{pmatrix} c_{1,1} & c_{1,2} & c_{1,3} & c_{1,4} \\ c_{2,1} & c_{2,2} & c_{2,3} & c_{2,4} \\ c_{3,1} & c_{3,2} & c_{3,3} & c_{3,4} \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \\ \end{pmatrix} \cdot (x_1,x_2,x_3,x_4) </math> ==== Aufgabe - Koaktivitätsmatrix ==== * Erläutern Sie, wie aus einem Eingabevektor <math> x\in \mathbb{R}^4 </math> und einem zugehörigen assoziierten Ausgabevektor <math> y\in \mathbb{R}^3 </math> eine Koaktivitätsmatrix durch Matrixmultiplikation entsteht? * Wie kann man die Koaktivitätsmatrix verwenden, um einen Lernschritt mit der Hebbschen Lernregel abzubilden? * Laden Sie eine CSV-Datei mit den Trainingsdaten für die obige Kooktivitätsmatrix mit der folgenden Spaltenstruktur <math>(x_1,x_2,x_3,x_4,y_1,y_2,y_3)</math> ==== Folgen im Matrizenraum ==== Die Ausgangsmatrix <math>A</math> wird durch den [[Maschinelles Lernen|maschinellen Lernprozess]] mit jeder Anwendung einer Lernregel verändert. Dadurch entsteht eine Folge <math>(A_n)_{n\in\mathbb{N}_0}</math> in dem [[topologischer Vektorraum|Vektorraum]] der Matrizen <math>Mat(3\times 4 , \mathbb{R})</math>. Die Ausgangsmatrix als Startzustand wird dann mit <math>A_0</math> gekennzeichnet. === Lernrate === Die Lernrate legt fest, wie stark die Veränderung die Koaktivitätsmatrix die Matrix verändert. Die Lernrate kann sich mit jedem Lernschritt verändern und liefert daher eine Folge <math>(\eta_n)_{n\in \mathbb{N_0}} \in \mathbb{R}_o^{\mathbb{N_0}}</math>. Ist <math> C_{n} </math> Koaktivitätsmatrix im <math>n</math> Lernschritt, so verändert sich die Matrix <math>A_n</math> wie folgt. <math>A_{n+1} = A_n + \eta_n \cdot C_{n} </math> ==== Lernratenfestlegung ==== Lernraten als monoton fallend Nullfolgen sorgen dafür, dass die Veränderungen der Matrix <math>A_n</math> mit wachsender Anzahl von Trainingsdaten immer geringer werden. Eine einfache Festlegung der Lernrate z.B. <math>(\eta_n)_{n\in \mathbb{N_0}} = \left( \frac{1}{n} \right)_{n\in \mathbb{N_0}}</math>. ==== Aufgabe - Lernraten ==== Erläutern Sie, wie man die Lernregel iterativ festlegen möchte, bei der <math> A_n</math> jeweils das arithmetische Mittel aller Koaktivitätsmatrizen darstellt. :<math> A_{n+1} := A_{n} + \underbrace{\frac{1}{n} \cdot \sum_{k=0}^{n} C_n}_{=\Delta A_n} </math> Welcher Zusammenhang besteht dabei zu [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]? == Umsetzung in R == Die [[b:de:GNU_R:_Matrix-_und_Listenoperationen|Umsetzung in R]] gliedert sich folgende Teilschritte: * Nutzung des [[Assoziative Netze|Assoziators]], * Erzeugen der [[Maschinelles Lernen/Koaktivitätsmatrix|Koaktivitätsmatrix]], * Laden von [[Maschinelles Lernen/Trainingsdaten|Trainingsdaten]], * Training des [[Assoziative Netze|Assoziators]]. === Linearer Assoziator als Matrixmultiplikation === Man verwendet eine Standardmatrixmultiplikation <math>A\cdot x = y </math>, die als linearer Assoziator durch die Matrix <math>A\in Mat(2 \times 3,\mathbb{R}) </math> gegeben ist. Dabei berechnet <math>A\cdot x = y </math> zu einem gegebenen Spaltenvektor <math> x \in \mathbb{R}^4 </math> den zugehörigen assoziierten Vektor y: <syntaxhighlight lang="r"> A <- matrix(c(1,2,3,4,5,6), ncol=3) x <- c(4,2,1) y = A %*% x </syntaxhighlight> === Darstellung in mathematischer Notation === In diesem Beispiel wird im ersten Befehl ein Spaltenvektor <kbd>c(1,2,3,4,5,6)</kbd> in eine Matrix mit 3 Spalten konvertiert (<kbd>ncol=3</kbd> number of columns 3), die dann als Matrix <math>A</math> zwei Zeilen besitzt. :<math> A \cdot x = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 5\\ 2 & 4 & 6 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 1 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 15 \\ 22 \\ \end{pmatrix} = y </math> === Erzeugen der Koaktivitätsmatrix === Die Koaktivitätsmatrix kann man durch Matrixmultiplikation aus zwei assoziierten Vektoren erzeugen. Dabei wird mit einem Trainingsvektor <math>(x^{(k)},y^{(k)}) \in \mathbb{R}^m \times \mathbb{R}^n </math> der Spaltenvektor <math>y^{(k)} \mathbb{R}^m </math> von links mit dem Zeilenvektor <math>{x^{(k)}}^{\top} \in \mathbb{R}^n </math> multipliziert und es entsteht die Koaktivitätsmatrix <math>K^{(k)}</math> als <math>m\times n</math>-Matrix. :<math> K^{(k)} := y^{(k)} \cdot x^{(k)^{\top}} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} </math> === Koaktivität === <syntaxhighlight lang="R"> koaktivitaetsmatrix <- function (px1,px2,px3,py1,py2) { vecx <- c(px1,px2,px3) vecy <- c(py1,py2); mat <- matrix(vecy , ncol=1) %*% matrix(vecx,ncol=3) # return Kooktivitaetsmatrix mat als Rueckgabewert mat } </syntaxhighlight> === Einlesen von tabellarischen Daten === Der Eingabevektor <math>x=(x_1,\dots x_n)\in \mathbb{R}</math> ist <math>n</math>-dimensional und assoziierte Ausgabevektor <math>y=(y_1,\dots y_n)\in \mathbb{R}</math> ist <math>m</math>-dimensional. [[Einlesen der Daten in R]] kann damit mit einer Tabelle erfolgen, die <math>m+n</math> Spalten besitzt. === Indikatoren als Eingabe - Vektoren === Wie können folgende Texteingaben zahlenmäßig beschrieben werden <pre> x1 , x2 , x3 , y1 , y2 1 , 0 , 0 , 1 , 1 0 , 1 , 0 , 0 , 1 0 , 0 , 1 , 1 , 0 1 , 1 , 0 , 0 , 1 </pre> === Aufgabe - Fuzzy-Logik === Wie kann das obige Beispiel auf die [[Fuzzylogik]] erweitern? === Aufgabe - Texte als Eingabe - Vektoren === Wie können folgende Texteingaben zahlenmäßig als Spaltenindikatoren mit 0 und 1 kodiert und beschrieben werden? <pre> xName , x2 , x3, y1 , yHilfe Anna , 10 , 15 , 13 , Hilfe1 Bert , 3.5 , 13 , 0 , Hilfe2 Camilla , 12 , 8 , 15 , Hilfe3 Dieter , 5 , 6 , 7 , Hilfe1 Emilia , 15 , 15 , 14.5, Hilfe1 </pre> == Einzelnachweise == <references /> == Literatur == * [[w:de:Donald Hebb|Donald Hebb]]: ''The organization of behavior. A neuropsychological theory''. Erlbaum Books, Mahwah, N.J. 2002, ISBN 0-8058-4300-0 (Nachdruck der Ausgabe New York 1949) == Siehe auch == * [[Assoziative Netze]] * [[Konvexkombination]] * [[topologischer Vektorraum]] * [[b:de:GNU_R:_Matrix-_und_Listenoperationen#Beispiel_-_Matrixmultiplikation|Matrixmultiplikation in R]] * [[Fuzzylogik]] [[Kategorie:Biopsychologie]] [[Kategorie:Neurobiologie]] [[Kategorie:Computational Neuroscience]] [[Kategorie:Neuroinformatik]] [[Kategorie:Kognitionswissenschaft]] == Seiteninformationen == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Maschinelles%20Lernen/Hebbsche%20Lernregel&author=Maschinelles%20Lernen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Hebbsche%20Lernregel&coursetitle=Maschinelles%20Lernen Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Maschinelles%20Lernen/Hebbsche%20Lernregel&author=Maschinelles%20Lernen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Hebbsche%20Lernregel&coursetitle=Maschinelles%20Lernen Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Maschinelles%20Lernen Maschinelles Lernen]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Maschinelles%20Lernen/Hebbsche%20Lernregel https://de.wikiversity.org/wiki/Maschinelles%20Lernen/Hebbsche%20Lernregel] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Maschinelles%20Lernen/Hebbsche%20Lernregel Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron- SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Maschinelles%20Lernen/Hebbsche%20Lernregel * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Maschinelles%20Lernen/Hebbsche%20Lernregel&author=Maschinelles%20Lernen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Hebbsche%20Lernregel&coursetitle=Maschinelles%20Lernen Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Hebbsche%20Lernregel Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Hebbsche%20Lernregel Hebbsche Lernregel] https://de.wikipedia.org/wiki/Hebbsche%20Lernregel * Datum: 2.5.2024 * [https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] [[Category:Maschinelles Lernen]] 04yk8jv2x664a9lyglata0ebnhvn6ir 1119397 1119396 2026-11-11T14:52:50Z Bert Niehaus 20843 /* Aufgabe - Lernraten */ 1119397 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite zum Thema ''Maschinelles Lernen/Hebbsche Lernregel'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Maschinelles%20Lernen/Hebbsche%20Lernregel&author=Maschinelles%20Lernen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Hebbsche%20Lernregel&coursetitle=Maschinelles%20Lernen Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt: * (1) Ursprung der Lernregel, * (2) Mathematische Modellbildung der Lernregel, * (3) Matrizen zur Darstellung von simultan aktiven Neuronen. == Zielsetzung == Diese Lernressource zu Thema ''Maschinelles Lernen/Hebbsche Lernregel'' hat das Ziel, eine elementare biologisch motivierte Lernregel zu behandeln, mit der man z.B. elementare [[Assoziative Netze|assoziative Netze]] trainieren kann. == Biologisches Vorbild für die Lernregel == Die '''hebbsche Lernregel''' ist eine vom Psychologen [[w:de:Donald O. Hebb|Donald Olding Hebb]] aufgestellte Regel für die Veränderung der Signalübertragung zwischen Nervenzellen in einem [[w:de:Neuronale Netze|biologischen neuronalen Netzwerken]] und der simultanen Aktivität von einzelnen über [[w:de:Synapse|Synapsen]] verbundenen [[w:de:Nervenzelle|Neuronen]]. == Geschichte == Hebb formulierte 1949 in seinem Buch ''The Organization of Behavior'': „Wenn ein [[w:de:Axon|Axon]] der [[w:de:Nervenzelle|Zelle]] A […] Zelle B erregt und wiederholt und dauerhaft zur Erzeugung von [[w:de:Aktionspotential|Aktionspotentialen]] in Zelle B beiträgt, so resultiert dies in Wachstumsprozessen oder [[w:de:Stoffwechsel|metabolischen]] Veränderungen in einer oder in beiden Zellen, die bewirken, dass die [[w:de:Wirkungsgrad|Effizienz]] von Zelle A in Bezug auf die Erzeugung Aktionspotentials in B größer wird.“ === Lernen als Veränderungen an Synapsen === Das bedeutet: Je häufiger ein Neuron A gleichzeitig mit Neuron B aktiv ist, umso bevorzugter werden die beiden Neuronen aufeinander reagieren („what fires together, wires together“). Dies hat Hebb anhand von Veränderungen der [[w:de:Synapse|synaptischen Übertragung]] zwischen Neuronen nachgewiesen. === Wissenschaftliche Bestätigung von Hebbs Lernregel === Als endgültige Bestätigung von Hebbs Thesen gelten die [[w:de:Langzeit-Potenzierung#Geschichte|Experimente von Terje Lømo]] und anderen in den 1960er und 1970er Jahren<ref>T. V. Bliss, T. Lomo: ''Long-lasting potentiation of synaptic transmission in the dentate area of the anaesthetized rabbit following stimulation of the perforant path.'' In: ''J Physiol.'' 232(2), 1973, S. 331–356, Free Full Text Online. PMID 4727084</ref> und der direkte Nachweis der Veränderung von Signalübertragung als Teil des Mechanismus für [[w:de:Lernen|Lernprozesse]] und [[w:de:Gedächtnis|Gedächtnis]] im Jahr 2014.<ref>G. Yang, C. S. Lai, J. Cichon, L. Ma, W. Li, W. B. Gan: ''Sleep promotes branch-specific formation of dendritic spines after learning.'' In: ''Science.'' 344(6188), 2014, S. 1173–1178. PMID 24904169</ref> === Synaptische Plastizität === Hebb gilt damit als der Entdecker des Modells der [[w:de:Synaptische Plastizität|synaptischen Plastizität]], welche die [[w:de:Neurophysiologie|neurophysiologische]] Grundlage von Lernen und Gedächtnis darstellt.<ref>[[w:de:Manfred Spitzer|Manfred Spitzer]]: ''Geist im Netz, Modelle für Lernen, Denken und Handeln''. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 1996, ISBN 3-8274-0109-7, S. 107.</ref>. Die hebbsche Lernregel ist die älteste und einfachste neuronale Lernregel, die biologisch beobachtbare Phänomene auf eine algorithmische Lernregel überträgt. == Mathematische Modellbildung == In [[w:de:Künstliches neuronales Netz|künstlichen neuronalen Netzen]] wird diese Veränderung der synaptischen Übertragung als Gewichtsänderung des neuronalen Graphen abgebildet. <math>\Delta w_{ij} = \eta \cdot a_{i} \cdot a_{j}</math> === Variablenbezeichnung === * <math>\Delta w_{ij}</math>: Veränderung des Gewichtes von Neuron&nbsp;i zu Neuron&nbsp;j (also die Änderung der Verbindungsstärke dieser beiden Neuronen) * <math>\eta</math>: ''Lernrate'' (ein geeignet zu wählender konstanter Faktor) * <math>a_i</math>: Aktivierung von Neuron&nbsp;i *<math>a_j</math>: Aktivierung von Neuron&nbsp;j, das mit Neuron&nbsp;i verbunden ist. === Beispiel - Assoziator === Als Beispiel soll nur ein Assoziator als Matrix mit der Hebbschen Lernregel trainiert werden. Gegeben ist eine Matrix <math> A\in Mat(m \times n, \mathbb{R}) </math>. In diesem Beispiel sei <math> m=3 </math> und <math> n=4 </math>. Die Matrix <math> A\in Mat(3 \times 4, \mathbb{R}) </math> stellt als Funktion eine Abbildung vom <math>\mathbb{R}^4 </math> in den <math>\mathbb{R}^3 </math> dar. ==== Matrix ==== <math display="block"> A:= \begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} & a_{1,4} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} & a_{2,4} \\ a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3} & a_{3,4} \\ \end{pmatrix} </math> ==== Koaktivitätsmatrix ==== Die Koaktivitätsmatrix <math> C\in Mat(3 \times 4, \mathbb{R}) </math> zeigt an, welche Neuronenpaare zeitlich synchron aktiv sind (also einen Impuls senden). :<math> C:= \begin{pmatrix} c_{1,1} & c_{1,2} & c_{1,3} & c_{1,4} \\ c_{2,1} & c_{2,2} & c_{2,3} & c_{2,4} \\ c_{3,1} & c_{3,2} & c_{3,3} & c_{3,4} \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \\ \end{pmatrix} \cdot (x_1,x_2,x_3,x_4) </math> ==== Aufgabe - Koaktivitätsmatrix ==== * Erläutern Sie, wie aus einem Eingabevektor <math> x\in \mathbb{R}^4 </math> und einem zugehörigen assoziierten Ausgabevektor <math> y\in \mathbb{R}^3 </math> eine Koaktivitätsmatrix durch Matrixmultiplikation entsteht? * Wie kann man die Koaktivitätsmatrix verwenden, um einen Lernschritt mit der Hebbschen Lernregel abzubilden? * Laden Sie eine CSV-Datei mit den Trainingsdaten für die obige Kooktivitätsmatrix mit der folgenden Spaltenstruktur <math>(x_1,x_2,x_3,x_4,y_1,y_2,y_3)</math> ==== Folgen im Matrizenraum ==== Die Ausgangsmatrix <math>A</math> wird durch den [[Maschinelles Lernen|maschinellen Lernprozess]] mit jeder Anwendung einer Lernregel verändert. Dadurch entsteht eine Folge <math>(A_n)_{n\in\mathbb{N}_0}</math> in dem [[topologischer Vektorraum|Vektorraum]] der Matrizen <math>Mat(3\times 4 , \mathbb{R})</math>. Die Ausgangsmatrix als Startzustand wird dann mit <math>A_0</math> gekennzeichnet. === Lernrate === Die Lernrate legt fest, wie stark die Veränderung die Koaktivitätsmatrix die Matrix verändert. Die Lernrate kann sich mit jedem Lernschritt verändern und liefert daher eine Folge <math>(\eta_n)_{n\in \mathbb{N_0}} \in \mathbb{R}_o^{\mathbb{N_0}}</math>. Ist <math> C_{n} </math> Koaktivitätsmatrix im <math>n</math> Lernschritt, so verändert sich die Matrix <math>A_n</math> wie folgt. <math>A_{n+1} = A_n + \eta_n \cdot C_{n} </math> ==== Lernratenfestlegung ==== Lernraten als monoton fallend Nullfolgen sorgen dafür, dass die Veränderungen der Matrix <math>A_n</math> mit wachsender Anzahl von Trainingsdaten immer geringer werden. Eine einfache Festlegung der Lernrate z.B. <math>(\eta_n)_{n\in \mathbb{N_0}} = \left( \frac{1}{n} \right)_{n\in \mathbb{N_0}}</math>. ==== Aufgabe - Lernraten ==== Erläutern Sie, wie man die Lernregel iterativ festlegen möchte, bei der <math> A_n</math> jeweils das arithmetische Mittel aller Koaktivitätsmatrizen darstellt. :<math> A_{n+1} := A_{n} + \underbrace{\frac{1}{n} \cdot \sum_{k=0}^{n} C_n}_{=\Delta A_n} </math> Welcher Zusammenhang besteht dabei zwischen <math>\Delta(A_n)</math> zu [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]? == Umsetzung in R == Die [[b:de:GNU_R:_Matrix-_und_Listenoperationen|Umsetzung in R]] gliedert sich folgende Teilschritte: * Nutzung des [[Assoziative Netze|Assoziators]], * Erzeugen der [[Maschinelles Lernen/Koaktivitätsmatrix|Koaktivitätsmatrix]], * Laden von [[Maschinelles Lernen/Trainingsdaten|Trainingsdaten]], * Training des [[Assoziative Netze|Assoziators]]. === Linearer Assoziator als Matrixmultiplikation === Man verwendet eine Standardmatrixmultiplikation <math>A\cdot x = y </math>, die als linearer Assoziator durch die Matrix <math>A\in Mat(2 \times 3,\mathbb{R}) </math> gegeben ist. Dabei berechnet <math>A\cdot x = y </math> zu einem gegebenen Spaltenvektor <math> x \in \mathbb{R}^4 </math> den zugehörigen assoziierten Vektor y: <syntaxhighlight lang="r"> A <- matrix(c(1,2,3,4,5,6), ncol=3) x <- c(4,2,1) y = A %*% x </syntaxhighlight> === Darstellung in mathematischer Notation === In diesem Beispiel wird im ersten Befehl ein Spaltenvektor <kbd>c(1,2,3,4,5,6)</kbd> in eine Matrix mit 3 Spalten konvertiert (<kbd>ncol=3</kbd> number of columns 3), die dann als Matrix <math>A</math> zwei Zeilen besitzt. :<math> A \cdot x = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 5\\ 2 & 4 & 6 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 1 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 15 \\ 22 \\ \end{pmatrix} = y </math> === Erzeugen der Koaktivitätsmatrix === Die Koaktivitätsmatrix kann man durch Matrixmultiplikation aus zwei assoziierten Vektoren erzeugen. Dabei wird mit einem Trainingsvektor <math>(x^{(k)},y^{(k)}) \in \mathbb{R}^m \times \mathbb{R}^n </math> der Spaltenvektor <math>y^{(k)} \mathbb{R}^m </math> von links mit dem Zeilenvektor <math>{x^{(k)}}^{\top} \in \mathbb{R}^n </math> multipliziert und es entsteht die Koaktivitätsmatrix <math>K^{(k)}</math> als <math>m\times n</math>-Matrix. :<math> K^{(k)} := y^{(k)} \cdot x^{(k)^{\top}} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} </math> === Koaktivität === <syntaxhighlight lang="R"> koaktivitaetsmatrix <- function (px1,px2,px3,py1,py2) { vecx <- c(px1,px2,px3) vecy <- c(py1,py2); mat <- matrix(vecy , ncol=1) %*% matrix(vecx,ncol=3) # return Kooktivitaetsmatrix mat als Rueckgabewert mat } </syntaxhighlight> === Einlesen von tabellarischen Daten === Der Eingabevektor <math>x=(x_1,\dots x_n)\in \mathbb{R}</math> ist <math>n</math>-dimensional und assoziierte Ausgabevektor <math>y=(y_1,\dots y_n)\in \mathbb{R}</math> ist <math>m</math>-dimensional. [[Einlesen der Daten in R]] kann damit mit einer Tabelle erfolgen, die <math>m+n</math> Spalten besitzt. === Indikatoren als Eingabe - Vektoren === Wie können folgende Texteingaben zahlenmäßig beschrieben werden <pre> x1 , x2 , x3 , y1 , y2 1 , 0 , 0 , 1 , 1 0 , 1 , 0 , 0 , 1 0 , 0 , 1 , 1 , 0 1 , 1 , 0 , 0 , 1 </pre> === Aufgabe - Fuzzy-Logik === Wie kann das obige Beispiel auf die [[Fuzzylogik]] erweitern? === Aufgabe - Texte als Eingabe - Vektoren === Wie können folgende Texteingaben zahlenmäßig als Spaltenindikatoren mit 0 und 1 kodiert und beschrieben werden? <pre> xName , x2 , x3, y1 , yHilfe Anna , 10 , 15 , 13 , Hilfe1 Bert , 3.5 , 13 , 0 , Hilfe2 Camilla , 12 , 8 , 15 , Hilfe3 Dieter , 5 , 6 , 7 , Hilfe1 Emilia , 15 , 15 , 14.5, Hilfe1 </pre> == Einzelnachweise == <references /> == Literatur == * [[w:de:Donald Hebb|Donald Hebb]]: ''The organization of behavior. A neuropsychological theory''. Erlbaum Books, Mahwah, N.J. 2002, ISBN 0-8058-4300-0 (Nachdruck der Ausgabe New York 1949) == Siehe auch == * [[Assoziative Netze]] * [[Konvexkombination]] * [[topologischer Vektorraum]] * [[b:de:GNU_R:_Matrix-_und_Listenoperationen#Beispiel_-_Matrixmultiplikation|Matrixmultiplikation in R]] * [[Fuzzylogik]] [[Kategorie:Biopsychologie]] [[Kategorie:Neurobiologie]] [[Kategorie:Computational Neuroscience]] [[Kategorie:Neuroinformatik]] [[Kategorie:Kognitionswissenschaft]] == Seiteninformationen == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Maschinelles%20Lernen/Hebbsche%20Lernregel&author=Maschinelles%20Lernen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Hebbsche%20Lernregel&coursetitle=Maschinelles%20Lernen Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Maschinelles%20Lernen/Hebbsche%20Lernregel&author=Maschinelles%20Lernen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Hebbsche%20Lernregel&coursetitle=Maschinelles%20Lernen Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Maschinelles%20Lernen Maschinelles Lernen]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Maschinelles%20Lernen/Hebbsche%20Lernregel https://de.wikiversity.org/wiki/Maschinelles%20Lernen/Hebbsche%20Lernregel] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Maschinelles%20Lernen/Hebbsche%20Lernregel Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron- SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Maschinelles%20Lernen/Hebbsche%20Lernregel * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Maschinelles%20Lernen/Hebbsche%20Lernregel&author=Maschinelles%20Lernen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Hebbsche%20Lernregel&coursetitle=Maschinelles%20Lernen Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Hebbsche%20Lernregel Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Hebbsche%20Lernregel Hebbsche Lernregel] https://de.wikipedia.org/wiki/Hebbsche%20Lernregel * Datum: 2.5.2024 * [https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] [[Category:Maschinelles Lernen]] 6a2yfz1thl3anlmfmo79q59cze9bkis 106 158234 1119440 1119027 2026-11-11T18:56:34Z Bocardodarapti 2041 1119440 wikitext text/x-wiki {{ Klausur20 |Elementare Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/31/Aufgabe|p||| |Elementare Mathematik 1/Gemischte Satzabfrage/31/Aufgabe|p||| |Flußüberquerung/Wolf Schaf Kohl/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Fallunterscheidungsregel/Tautologie/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Pause/Essen/Mengen/Aufgabe|p||| |Abbildung/Hintereinanderschaltung/Assoziativ/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Dedekind-Peano-Axiome/Nachfolger/Iterationen/Fixpunktfrei/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Vereinigung/Abziehregel/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Natürliche Zahl/Eindeutige Darstellung im Zehnersystem/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Bernoullische Ungleichung/Exponent ist 2,3,4/Alle x/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Elementare Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= 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|Kategorie=Elementare Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} rkn37ruy4trwqh9hwc5ds1nfd95tl8x 106 158237 1119406 1119026 2026-11-11T17:56:24Z Bocardodarapti 2041 1119406 wikitext text/x-wiki {{ Klausur20 |Elementare Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/34/Aufgabe|p||| |Elementare Mathematik 1/Gemischte Satzabfrage/34/Aufgabe|p||| |Knopfloch und Eisenbeis/Seeumrundung/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Verknüpfung/Assoziativ/Diagramm/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Natürliche Zahlen/3456/Aufgabe|p||| |Natürliche Zahlen/Multiplikation/Selbstaddition/Integrität/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Teilbarkeitstheorie (Z)/Beziehungen zwischen ggT und kgV/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Eisenbeis/Bauer/Most/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Elementare Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} c5nm47u046wrclclzo6rx5t65djm3j0 106 158238 1119435 1118111 2026-11-11T18:41:20Z Bocardodarapti 2041 1119435 wikitext text/x-wiki {{ Klausur20 |Elementare Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/35/Aufgabe|p||| |Elementare Mathematik 1/Gemischte Satzabfrage/35/Aufgabe|p||| |Fußball-WM/Top 4/Spielreihenfolge/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Gruppe/abc ist 1/Inverses von b/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Zehnersystem/Schriftliches Multiplizieren/Einstelliger Faktor/Korrekt/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Regen Schnee Hagel/Umrechnung/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Corona/Impfung/Herdenimmunität/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Elementare Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} dxc9ig6d1ao55fc3l423lyydo8wbmly 1119438 1119435 2026-11-11T18:48:07Z Bocardodarapti 2041 1119438 wikitext text/x-wiki {{ Klausur20 |Elementare Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/35/Aufgabe|p||| |Elementare Mathematik 1/Gemischte Satzabfrage/35/Aufgabe|p||| |Fußball-WM/Top 4/Spielreihenfolge/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Gruppe/abc ist 1/Inverses von b/Aufgabe|p||| |Addition/12 Zahlen/Großer Übertrag/Aufgabe|p||| |Zehnersystem/Schriftliches Multiplizieren/Einstelliger Faktor/Korrekt/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Regen Schnee Hagel/Umrechnung/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Corona/Impfung/Herdenimmunität/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Elementare Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} 3mnyy63tz30jcugcqux24vmjkziqiix 106 164665 1119403 1119305 2026-11-11T16:03:40Z Bert Niehaus 20843 /* Lerneinheiten */ 1119403 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird der Zusammenhang zwischen der Funktion <math> \exp(z) </math> und <math> \frac{1}{z} </math> sowie die Definition eines Zweiges des Logarithmus und die Notwendigkeit der Einschränkung der Definitions- und Wertebereiche der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] betrachtet, um eine bijektive und holomorphe [[w:de:Umkehrfunktion|Umkehrfunktion]] der Exponentialfunktion zu erhalten. :<math> \exp(z) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{n!} </math> === Lerneinheiten === * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/algebraische Vollständigkeit|algebraische Vollständigkeit]] des Logarithmus * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige|Zweige des Logarithmus]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zweige%20des%20Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#Hauptzweig|Hauptzweig des Logarithmus]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#negativer_Hauptzweig|negativer Hauptzweig des Logarithmus]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#imaginaerer_Hauptzweig|imaginärer Hauptzweig des Logarithmus]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Zweige#negativer_imaginaerer_Hauptzweig|negativer imaginärer Hauptzweig des Logarithmus]] * [[/Argumentfunktion/|Argumentfunktion und Polarkoordinatendarstellung]] * [[/generalisiert/|generalisierter Logarithmus]] auf beliebigen [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] [[Gebiet (Mathematik)|Gebieten]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/algebraische Vervollständigung|algebraische Vervollständigung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/algebraische%20Vervollst%C3%A4ndigung&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=algebraische%20Vervollst%C3%A4ndigung&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/logmod|logmod-Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/logmod&author=Logarithmus&language=de&audioslide=yes&shorttitle=logmod-Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) und Periodizität der Exponentionalfunktion, * [[Identitätssatz für Logarithmen]] * [[/Äquivalenzklassen/]] des Logarithmus, * [[/Äquivalenzklassen/Topologie|Topologie des Wertebereichs vom Logarithmus]]. * [[Kurs:Funktionentheorie/Potenzfunktionen|Potenzfunktionen]] * [[/rlog/|rlog-Funktion]], beschreibt wie oft kann man einen Logarithmus als Verkettung "rekursiv" anwenden kann. * [[/rekursiver Logarithmus/]] als Mehrfachverkettung des Logarithmus mit sich selbst. * [[/Eulersche Nullstellen/]] * [[/einfach zusammenhängende LOG-Gebiete/]] === Zusammenhang zwischen Exponentialfunktion und Logarithmus === Die Exponentialfunktion <math> \exp(z) </math> ist eine ganze Funktion, dessen Definitionsbereich <math>\mathbb{D} \subset \mathbb{C}</math> und Wertebereich <math>\mathbb{D} \subset \mathbb{C}</math> einschränken muss, um eine bijektive Abbildung und <math> \exp : \mathbb{D} \to \mathbb{W}</math> zu erhalten, für die man eine Umkehrfunktion definieren kann. === Situation in der reellen Zahlen - Umkehrfunktion von exp(z) === <math> \exp : \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> ist injektiv aber nicht surjektiv. Durch die Einschränkung des Wertebereiches von <math>\mathbb{R}</math> auf <math>\mathbb{R}^{+}</math> ist die Funktion <math> \exp : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^{+}</math> bijektiv und man kann nach einer Umkehrfunktion (den [[w:de:natürlicher Logarithmus|natürliche Logarithmus]]) suchen. Diese Konzept der Suche nach potentiellen Umgekehrfunktionen kann in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] nicht eindeutig beantwortet werden. In den komplexen Zahlen gibt unabhängig von der Wahl der Konstanten einer Stammfunktion von <math>\tfrac{1}{z}</math> unterschiedliche Möglichkeiten Logarithmen zu definieren. == Aufgaben == * '''(A1)''' [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus#aufgabe1|Injektivität und Surjektivität]] * '''(A2)''' [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus#aufgabe2|Stammfunktion als Wegintegrale]] <span id="aufgabe1"></span> === Aufgabe 1 - Umkehrbarkeit der komplexen Exponentialfunktion === Erläutern Sie, warum <math> \exp : \mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> weder [[w:de:injektive Funktion|injektiv]] noch [[w:de:surjektive Funktion|surjektiv]] ist. Schränken Sie den Definitionsbereich und Wertebereich der komplexen [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] so ein, dass <math> \exp : \mathbb{D} \to \mathbb{W}</math> bijektiv ist und eine [[w:de:Umkehrfunktion|Umkehrfunktion]] besitzt! <span id="aufgabe2"></span> === Aufgabe 2 - Stammfunktion von 1/x in den reellen Zahlen === In den reellen Zahlen der Logarithmus z.B. auf den positiven reellen Zahlen die Stammfunktion von <math>\frac{1}{x} </math>. Welche Beziehung besteht zwischen eine Zweig des Logarithmus und einem Wegintegral über die Funktion <math>\frac{1}{x} </math>. === Eigenschaften 1/z im Komplexen === Die holomorphe Funktion <math> f(z)=\frac{1}{z} </math> ist eine rationale Funktion, die auf <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> definiert ist. Sie besitzt aber auf <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> keine Stammfunktion, denn sonst würde das Integral über den Kreis um 0 nicht den Wert <math>2\pi i</math> sondern 0 liefern. <math> f(z)=\frac{1}{z} </math> hat eine Polstelle bei <math> z = 0 </math>. === Einschränkung des Definitions- / Wertebereiches === * '''([[w:de:Injektivität|injektiv]])''' Um eine injektive Abbildung für Definition des Logarithmus zu erhalten, muss man den ''Definitionsbereich'' einschränken, damit die Element aus dem Definitionsbereich entfernt, die auf die gleichen Bildpunkt abgebildet werden. * '''([[w:de:Surjektivität|surjektiv]])''' Um eine surjektive Abbildung für Definition des Logarithmus zu erhalten, muss man den ''Wertebereich'' einschränken und "nicht getroffene" Elemente aus dem Wertebereich zu entfernen <span id="komplex"></span> == Definition des komplexen Logarithmus == Analog zur reellen Definition heißt jede komplexe Zahl <math>w</math> ein ''natürlicher Logarithmus'' von <math>z</math>, wenn <math>w</math> die folgende Gleichung bzgl. einem gegebenen <math>z</math> erfüllt: : <math>\mathrm{e}^w = z</math> === Existenz === Für jedes <math>z \in \mathbb{C} \setminus \{0\}</math> existiert ein solches <math>w</math>. Man stellt dazu das Element <math>z</math> in Polarkoordinaten mit <math>t\in [0,2\pi) </math> wie folgt dar: :<math> z= |z|\cdot e^{it} </math> Dann ist <math>w:=\underbrace{\ln(|z|)}_{\in \mathbb{R}} + i\cdot \underbrace{t}_{\in \mathbb{R}}</math> ein Logarithmus in <math>\mathbb{C}</math>, da mit [[w:de:Potenzgesetze|Potenzgesetzen]] folgende Gleichung gilt: :<math> e^w = e^{\ln(|z|) + i\cdot t} = e^{\ln(|z|)} \cdot e^{i\cdot t} = |z|\cdot e^{it} = z </math> === Eindeutigkeit === Im Unterschied zum reellen Logarithmus ist der komplexe Logarithmus wegen : <math>\mathrm{e}^{2k\pi \mathrm{i}} = 1, \quad k \in \mathbb{Z}</math>, nicht eindeutig bestimmt ist. Hat man also einen Logarithmus <math>w</math> von <math>z</math> gefunden, so ist damit auch : <math>w' =\,\! w + 2k\pi \mathrm{i}</math> mit jeder ganzen Zahl <math>k</math> ein Logarithmus von <math>z</math>, denn es gilt : <math>\mathrm{e}^{w'} = \mathrm{e}^{w + 2k\pi \mathrm{i}} = \mathrm{e}^w \cdot \mathrm{e}^{2k\pi \mathrm{i}} = \mathrm{e}^w \cdot 1 = \mathrm{e}^w = z</math>. === Komplexer Logarithmus als Abbildung === Für die Definition einer Abbildung muss man einen eindeutigen Funktionswerte <math>\ln(z):=w</math> definieren. Um Eindeutigkeit zu erreichen, wählt man aus den möglichen Werten für <math>w</math> solche Werte aus, die in einem geeigneten Streifen der komplexen Zahlenebene liegen. Man kann z.&nbsp;B. den Streifen : <math>\left\{w \in \mathbb{C}: -\pi < \mathfrak{Im}(w) < \pi \right\}</math> verwenden. Ein Wert <math>w</math> aus diesem Streifen heißt ''Hauptwert'' (engl. ''principal value'') des Logarithmus, und man schreibt <math>w = \ln(z)</math>. === Zweige des Logarithmus === Stellt man <math>z = |z| \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i} \arg(z)}</math> in [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|Polarform]] dar, so erhält man eine einfache Darstellung des ''k-ten Zweiges'' der Logarithmusfunktion: : <math>w = \ln |z| + \mathrm{i}\left(\arg(z) + 2k\pi\right), \quad k\in\mathbb{Z}</math> mit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] <math>\arg</math>. Im Summanden <math>\ln |z|</math> wird der bereits oben definierte reelle Logarithmus <math>\ln</math> verwendet. Für <math>k = 0</math> erhält man den ''Hauptzweig'' des komplexen Logarithmus zurück: : <math>\ln z = \ln|z| + \mathrm{i}\arg(z)</math>. === Stetigkeit von Zweigen des Logarithmus === <math>\ln: \mathbb{C}\setminus\{0\} \to \mathbb{C}</math> ist nicht stetig in den Punkten <math>\mathcal{N} := \{z \in \mathbb{C} \, \colon \, (z=x+i\cdot 0) \wedge (0 < x\in \mathbb{R}) \}</math>. Entfernt man jedoch die negative reelle Achse <math>\mathcal{N}</math>, so ist <math>\ln</math> auf dem Gebiet : <math>\mathbb{C}\setminus\{x \in \mathbb{R}: x\leq 0\}</math> stetig und sogar [[w:de:Holomorphe Funktion|holomorph]]. === Algebraisch vollständige Logarithmus === Für den [[Polynomialer Nullstellensatz|polynomialen Nullstellensatz]] === Vergleich - Rechenregeln reeller/komplexer Logarithmus === Für den Hauptzweig des komplexen Logarithmus <math>\ln</math> gelten nicht alle der weiter oben angeführten [[w:de:Logarithmus#Logarithmengesetze|Rechenregeln für die reelle Logarithmusfunktion]]. Sie gelten nur <math>\text{mod } 2\pi \mathrm{i}</math>. ==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 1 ==== Diese Mehrdeutigkeit ist eine direkte Folge aus der Periodizität seiner Umkehrfunktion, der komplexen Exponentialfunktion. Es gilt: : <math>\ln(x) + \ln(y) = \ln(x \cdot y)+ 2\pi n \, \,\, n\in \mathbb{Z} </math> ==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 2 ==== Der Vergleich von <math>\ln(x) + \ln(y)</math> und <math>\ln(x \cdot y)</math> zeigt: : <math> \begin{array}{rcl} \ln(\underbrace{-1+\mathrm{i}}_{=x}) + \ln(\underbrace{-1+\mathrm{i}}_{=y}) & = & \left(\ln\big(\sqrt{2}\big)+\frac{3\pi}4\mathrm{i}\right) + \left(\ln\sqrt2+\frac{3\pi}4\mathrm{i}\right) \\ & = & \ln(2)+\frac{3\pi}2\mathrm{i} \end{array} </math> und :<math> \ln\bigl(\underbrace{(-1+\mathrm{i}}_{=x})\cdot (\underbrace{-1+\mathrm{i}}_{=y})\bigr) = \ln(-2\mathrm{i})=\ln(2)-\frac\pi2\mathrm{i}</math> ==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 3 ==== Dies liefert ein Beispiel, dass <math>\ln x + \ln y = \ln(x \cdot y)</math> nicht für beliebige <math>x,y\in \mathbb{C}</math> gilt. Der rechte und linke Term unterscheiden sich, um Vielfache von <math>2\pi</math>, d.h. : <math>\ln (x) + \ln (y) = \ln(x \cdot y) + 2\pi n</math> ==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 4 ==== Auch die Gleichung : <math>y \cdot \ln (x) = \ln\left({x^y}\right)</math> ist nicht immer erfüllt, wie das Gegenbeispiel : <math>2\pi \cdot \mathrm{i} \ln (\mathrm{e}) = 2\pi \mathrm{i} \; \neq \; 0 = \ln (1) = \ln(\mathrm{e}^{2\pi \mathrm{i}})</math> beweist. === Graphen === <gallery widths="180" heights="120" perrow="3" caption="Grafische Darstellung des komplexen Logarithmus"> Ln abs.png|Betrag von <math>\ln z</math> Ln re.png|Realteil von <math>\ln z</math> Ln im.png|Imaginärteil von <math>\ln z</math> </gallery> ==== Hauptzweig - negative Zahlen ==== Mit dem oben definierten [[Hauptzweig des Logarithmus|Hauptzweig des komplexen Logarithmus]] kann man den Logarithmus für negative reellen Zahlen erklären: : <math>\log_{G_{1}}(-x) = \ln\left\vert-x\right\vert+ \mathrm{i}\arg(-x) = \ln x + \mathrm{i}\pi, \quad x\in\mathbb{R}^+\ .</math> Das setzt voraus, dass die [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] <math>\arg</math> negativen reellen Zahlen den Wert <math>\pi</math> zuweist. ==== Bemerkung - Argumentfunktion ==== Diese Betrachtungen zeigen, dass die Mehrdeutigkeit des komplexen Logarithmus letztlich auf die Mehrdeutigkeit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] zurückzuführen ist. <span id="Stammfunktion"></span> == Entwicklung in Potenzreihen == Jede auf einem Gebiet <math>G</math> [[holomorphe Funktion]] lässt sich lokal in eine Potenzreihe entwickelt. Durch den Zusammenhang von <math>\tfrac{1}{z}</math> und dem Logarithmus erhält man auch eine Potenzreihendarstellung für beliebige [[w:de:Potenzreihe|Entwicklungspunkte]] <math>z_o=|z_o|\cdot e^{it} \not=0</math> über die [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] mit <math>q=\frac{z-z_o}{-z_o}</math> und <math>|z-z_0| < |z_0|</math>: :<math>f(z)= \frac{1}{z} = \frac{1}{z_o} \cdot \frac{1}{ 1- \underbrace{\frac{z-z_o}{-z_o} }_{=q} } = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1}} }_{=a_n} \cdot (z-z_o)^n </math> === Stammfunktion - Konstante der Taylorreihe === Für den [[w:de:Potenzreihe|Entwicklungspunkt]] <math>z_o=|z_o|\cdot e^{it} \not=0</math> erhält man für einen Zweig des Logarithmus als Stammfunktion von von <math>\tfrac{1}{z}</math> folgende Potenzreihendarstellung auf <math>\overline{D_r(z_0)}</math> mit <math>r< |z_0|</math> und <math>c= \ln(|z_o|) + i\cdot t</math> mit <math>t\in \mathbb{R}</math>: :<math>\log_{_G}(z)= c + \sum_{n=0}^\infty \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1} \cdot (n+1)} \cdot (z-z_o)^{n+1} </math> Ein zugehöriger Zweig von <math>\log_{_G}</math> ist dann z.B. auf dem Gebiet <math>G:= \mathbb{C} \setminus \{ z\in \mathbb{C} \, : \, z=\lambda \cdot z_0 \mbox{ mit } 0 \geq \lambda \in \R \}</math> definiert. === Bemerkung - Eindeutigkeitlemma für Logarithmuszweige === Das [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] zeigt, dass in einem Gebiet <math>G</math> mit <math>0\notin G</math> eine Teilmenge <math>G_0</math> finden kann, die die Spur eine konkreten gegebenen [[w:de:injektive Funktion|injektiven]] Weges <math>\gamma</math> überdecken, wobei <math>G_0</math> einfach zusammenhängend ist. Mit der Wahl eines [[einfach zusammenhängend]]en <math>G</math> als gegebenes Gebiet mit <math>0\notin G</math> und der Festlegung des Imaginärteiles des Logarithmuszweige für ein bestimmtes <math>z_0\in G</math> ist der gesamte [[Zweig des Logarithmus]] bereits eindeutig auf <math>G</math> definiert. [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma]] definiert damit auf Teilmengen <math>G_0</math> eines '''nicht notwendigerweise''' [[einfach zusammenhängend]]en <math>G</math> einen [[Zweig des Logarithmus]], während beim Identitätssatz das gegebene Gebiet bereits [[einfach zusammenhängend]] ist mit <math>0\notin G</math>. == Siehe auch == * [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * [[/generalisiert/|generalisierte Logarithmen]] * [[w:de:injektive Funktion|injektive]] bzw. [[w:de:surjektive Funktion|surjektive]] Funktionen * [[Logarithmus]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Lokale_Entwicklung_in_Potenzreihen|Lokale Entwicklung in Potenzreihen]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus Logarithmus] https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus * Datum: 31.7.2025 * [https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis/Logarithm]]</noinclude> [[Kategorie:Funktionentheorie]] dnmxpv9rag4622966nkr56p1uau67t3 106 170585 1119429 1108543 2026-11-11T18:34:47Z Bocardodarapti 2041 1119429 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2026-2027)/Teil I/Vorlesungsgestaltung|17| {{Zwischenüberschrift|Schriftliches Multiplizieren}} {{:Zehnersystem/Schriftliches Multiplizieren/Korrektheit/Textabschnitt|zusatz1=Fußnote}} {{ inputbemerkung |Schriftliches Multiplizieren/Jalousie-Verfahren/Bemerkung|| }} {{Zwischenüberschrift|Schriftliches Subtrahieren}} {{:Kleines Einsminuseins/Tabelle}} Das {{Stichwort|kleine Einsminuseins|msw=Kleines Einsminuseins|SZ=}} für {{math|term= x-y |SZ=.}} Diese Tabelle muss man auswendig kennen, um das schriftliche Subtrahieren effektiv durchführen zu können. Der Eintrag {{math|term= \times |SZ=}} bedeutet, dass diese Operation {{ Zusatz/Klammer |text=wie {{mathl|term= 3-7 |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} in {{math|term= \N |SZ=}} nicht durchgeführt werden kann, der Eintrag {{math|term= \star |SZ=}} bedeutet, dass diese Operation in {{math|term= \N |SZ=}} ausgeführt werden kann, dass sie aber auf eine Operation in der Einerstelle allein zurückgeführt werden kann {{ Zusatz/Klammer |text=wie bei {{mathl|term= 18-5 |SZ=}} | |ISZ=|ESZ=. }} {{:Zehnersystem/Schriftliches Subtrahieren/Korrektheit/Textabschnitt}} {{Fußnotenliste}} }} iwb5j3talvyjlfazn9uq53utoqw1bwe 106 172144 1119433 1109655 2026-11-11T18:37:20Z Bocardodarapti 2041 1119433 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Verfahren|17|1|Kurs=|}} bonwby7pmq7zqp992raelonjnuxhvhl 106 172715 1119404 1119128 2026-11-11T17:36:04Z Nicole.pander 39567 /* Thema und Fragestellung */ 1119404 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Joey Becker * Marie-Thérèse Heitele * Nicole Pander = Thema = Gegenstand dieses Projekts ist die numerische Simulation der Blutströmung in einer verzweigten Halsschlagader ('''Carotis-Bifurkation''') unter dem Einfluss einer lokalen Gefäßverengung ('''Stenose'''). Im Vergleich zu einfachen Rohrströmungen wird hier die realitätsnahe Gefäßanatomie betrachtet: Die '''Arteria carotis communis (ACC)''' teilt sich in die '''Arteria carotis externa (ACE)''' und die '''Arteria carotis interna (ACI)''' auf. Während die '''ACE''' als gesunder, stenosefreier Ast dient, wird in der '''ACI''' eine Gefäßverengung modelliert. Als Referenz dient ein gesundes, unverengtes Gefäß, in dem sich die Poiseuille-Strömung mit ihrem charakteristischen parabolischen Geschwindigkeitsprofil ausbildet. Diese Strömung ist aus zwei Gründen der natürliche Ausgangspunkt. Sie beschreibt den physiologischen Normalfall, mit dem jeder Stenosegrad verglichen wird. == Fragestellung == Die Hauptfragestellung dieses Projektes lautet: Wie verändert eine symmetrische bzw. rotationssymmetrische Stenose in der '''Arteria carotis interna (ACI)''' die stationäre Strömung eines inkompressiblen Newton’schen Fluids in einer 2D-Carotis-Bifurkation hinsichtlich Geschwindigkeitsverteilung, Druckabfall, Wandschubspannung und Wirbelbildung im Vergleich zu den gesunden Gefäßabschnitten? Aus dieser Fragestellung ergeben sich drei Teilfragen, an denen sich der Aufbau der Seite orientiert: # Welche Strömungsgrößen reagieren empfindlich auf den Stenosegrad und welche nur träge? # Ab welchem Stenosegrad ändert sich das Strömungsmuster qualitativ, das heißt, ab wann löst die Strömung hinter der Engstelle von der Wand ab und bildet ein Rückströmgebiet? # Wie weit tragen die vereinfachenden Modellannahmen, insbesondere die Annahme einer stationären und laminaren Strömung, über den untersuchten Bereich der Stenosegrade? == Modellannahmen == Im Hinblick darauf werden für dieses Projekt einige Annahmen getroffen, um das Projekt möglichst isoliert zu untersuchen und zu simplifizieren: * '''Idealisierte Gefäßgeometrie''': Betrachtet wird ein Teilabbschnitt der ''Arteria carotis communis'', die sog. ''ACI''. Zudem werden Gefäßverkrümmungen, weitere Verzweigungen und patientenspezifische Strukturen nicht berücksichtigt. * '''Starre Gefäßwand''': Die Gefäßwand wird als unbeweglich und nicht verformbar angenommen. Eine Wechselwirkung zwischen elastischer Gefäßwand und Blutströmung wird nicht modelliert. * '''Stationäre Strömung''': Die Strömungsgrößen werden als zeitlich konstant angenommen. Die im realen Blutkreislauf vorhandene Pulsation durch den Herzschlag wird daher vernachlässigt: <math>\frac{\partial u}{\partial t}=0</math>. * '''Inkompressibles Fluid''': Die Dichte des Fluids wird als konstant angenommen. Damit gilt für die Geschwindigkeit <math>\nabla \cdot u=0</math>. Dies entspricht der in der Vorlesung behandelten Massenerhaltung für inkompressible Fluide: Was in das Gefäß einströmt, muss auch wieder ausströmen. * '''Newton'sche Näherung für Blut''': Reales Blut beseitzt ein nicht newton'sches Fließverhalten. Hier wird Blut als Newton'sches Fluid behandelt. * '''Konstante Stoffeigenschaften''': Dichte <math>\rho</math> und dynamische Viskosität μ werden als räumlich und zeitlich konstant angenommen. Temperaturabhängigkeiten werden nicht berücksichtigt. * '''Laminare Strömung''': Die Strömung wird mit dem COMSOL-Modul ''Laminar Flow'' beschrieben. Ein zusätzliches Turbulenzmodell wird nicht verwendet. * '''No-Slip-Bedingung an Gefäßwand''': Aufgrund der Viskosität wird angenommen, dass das Fluid direkt an der Gefäßwand haftet. Somit gilt <math>u=0</math>. * '''Vernachlässigung der Gravitation''': Gravitation wird nicht berücksichtigt. Die Strömung wird ausschließlich durch die gewählten Ein- und Auslassbedingungen bestimmt. = Relevanz = Die Untersuchung von Gefäßverengungen besitzt sowohl eine medizinische als auch eine methodische Bedeutung. Aus medizinischer Sicht sind arterielle Stenosen – etwa in der Halsschlagader, lat. ''arteria carotis communis'', – kritisch, da sie die Durchblutung beeinträchtigen und durch veränderte Wandschubspannungen sowie die Bildung von Wirbeln weitere Gefäßablagerungen begünstigen. Stenosen im Bereich der Karotisgabelung sind klinisch hochrelevant, da sie das Gehirn direkt versorgen und das Risiko für embolische Schlaganfälle erhöhen. Fachlich überträgt das Projekt damit die Prinzipien der Strömungsmechanik direkt auf eine biomedizinische Anwendung. Das Projekt verknüpft somit theoretische Grundlagen der Strömungsmechanik (Hagen-Poiseuille-Gleichung, Navier-Stokes-Gleichungen) mit der numerischen Simulation in COMSOL Multiphysics. Durch den Vergleich der '''gesunden Externa (ACE)''' mit der '''stenoisierten Interna (ACI)''' innerhalb desselben Rechengebiets wird die isolierte Wirkung der Stenose unter identischen Randbedingungen direkt sichtbar gemacht. == Medizinische Relevanz == Arterielle Stenosen entstehen überwiegend durch Atherosklerose, also durch Ablagerungen aus Lipiden, Bindegewebe und Kalk in der Gefäßwand. In der Halsschlagader sind sie klinisch besonders bedeutsam, weil sie die Durchblutung des Gehirns beeinträchtigen und weil sich an ihnen Thromben bilden können, die als Embolie einen Schlaganfall auslösen. Dass die operative Entfernung einer hochgradigen Karotisstenose das Schlaganfallrisiko symptomatischer Patienten deutlich senkt, hat die NASCET-Studie gezeigt, deren Einteilung der Stenosegrade dieses Projekt übernimmt.<ref name="nascet">North American Symptomatic Carotid Endarterectomy Trial Collaborators: ''Beneficial effect of carotid endarterectomy in symptomatic patients with high-grade carotid stenosis.'' New England Journal of Medicine 325 (1991), Nr. 7, S. 445-453.</ref> Strömungsmechanisch ist an einer Stenose vor allem die Wandschubspannung von Interesse, also die tangentiale Kraft je Fläche, die das strömende Blut auf die innerste Zellschicht der Gefäßwand ausübt. Gesunde Halsschlagadern weisen zeitlich gemittelte Werte von etwa 1,1 bis 1,5 Pa auf.<ref name="samijo">Samijo, S. K.; Willigers, J. M.; Barkhuysen, R.; Kitslaar, P. J. E. H. M.; Reneman, R. S.; Brands, P. J.; Hoeks, A. P. G.: ''Wall shear stress in the human common carotid artery as function of age and gender.'' Cardiovascular Research 39 (1998), Nr. 2, S. 515-522.</ref> In einer Engstelle steigt sie stark an, unmittelbar dahinter fällt sie im Ablösegebiet auf nahezu null und wechselt dort sogar das Vorzeichen. Niedrige und im Vorzeichen wechselnde Wandschubspannungen gelten als Bedingungen, unter denen sich weitere Ablagerungen bevorzugt bilden. Eine bestehende Stenose schafft also stromabwärts die Voraussetzungen für ihr eigenes Wachstum. Genau diese Verteilung lässt sich im Körper nur schwer messen, in einer Simulation dagegen unmittelbar auswerten. == Methodische Relevanz == Fachlich überträgt das Projekt die Prinzipien der Strömungsmechanik aus der Vorlesung auf eine biomedizinische Anwendung.<ref name="hundertmark">Hundertmark, A.: ''Fluiddynamik.'' Vorlesungsunterlagen zum Modul Räumliche Modellbildung, RPTU Kaiserslautern-Landau, Sommersemester 2026.</ref> Der methodische Mehrwert liegt in der Verknüpfung mehrerer Zugänge, die sich gegenseitig kontrollieren. Die analytische Poiseuille-Lösung liefert exakte Sollwerte für das gesunde Gefäß. Ein reduziertes Graphenmodell liefert für jeden Stenosegrad eine schnelle Abschätzung, die analytisch nachrechenbar ist. Die Simulationen in COMSOL Multiphysics lösen schließlich die vollständigen Navier-Stokes-Gleichungen in zwei und drei Raumdimensionen. Weil jede Stufe die Sollwerte der nächsten liefert, zeigt das Projekt nicht nur Ergebnisse, sondern auch, wie numerische Modelle aufgebaut, verifiziert und an ihren Grenzen bewertet werden. == Auswahl der Stenosegrade == Um die untersuchten Gefäßverengungen nicht willkürlich festzulegen, orientiert sich die Auswahl der Stenosegrade an der klinisch gebräuchlichen NASCET-Klassifikation von Karotisstenosen.<ref name="nascet" /> Zur klinischen Einordnung werden Karotisstenosen anhand der nach NASCET bestimmten Durchmesserreduktion in leichtgradige, mittelgradige und hochgradige Stenosen eingeteilt. Die angegebenen Prozentgrenzen dienen in diesem Projekt als Orientierung für die Auswahl der untersuchten Stenosegrade. Ein vollständiger Gefäßverschluss wird als Okklusion bezeichnet. {| class="wikitable" |+ Klinische Einteilung nach NASCET-gemessener Durchmesserreduktion und untersuchte Stenosegrade ! Schweregrad !! Durchmesserreduktion !! im Projekt gerechnete Stenosegrade !! hervorgehobener Vertreter |- | gesundes Gefäß || 0 % || 0 || 0 |- | leichtgradige Stenose || unter 50 % || 0,1 bis 0,4 || 0,3 |- | mittelgradige Stenose || 50 bis 69 % || 0,5 und 0,6 || 0,6 |- | hochgradige Stenose || 70 bis 99 % || 0,7 und 0,8 || 0,8 |- | Okklusion || 100 % || nicht gerechnet || entfällt |} '''Anmerkung''': Die Klassengrenzen dienen der Einordnung der Modellvarianten. Die in der Tabelle genannten Stenosegrade sind dimensionslose Werte, beispielsweise entspricht '''<math>s=0{,}6</math>''' einer Durchmesserreduktion von '''60 %'''. Für die numerische Untersuchung wird aus jeder Kategorie ein repräsentativer Stenosegrad hervorgehoben. Neben dem gesunden Gefäß mit '''0 %''' Stenose sind das eine '''30 %''' Stenose als Beispiel für eine leichtgradige, eine '''60 %''' Stenose als Beispiel für eine mittelgradige und eine '''80 %''' Stenose als Beispiel für eine hochgradige Verengung. Zusätzlich werden für das Graphenmodell und das achsensymmetrische Flächenmodell Stenosegrade von 0 bis 80 % in Schritten von zehn Prozentpunkten vorgesehen. Dadurch kann die Abhängigkeit der Strömungsgrößen vom Stenosegrad systematisch untersucht und grafisch dargestellt werden. Ob alle Modellvarianten tatsächlich berechnet wurden und wie hoch der Rechenaufwand war, wird anhand der durchgeführten Simulationen dokumentiert. Ein vollständiger Gefäßverschluss wird nicht simuliert, da in diesem Fall keine durchgängige Strömung mehr vorliegt. Der Stenosegrad wird in diesem Projekt wie bei NASCET über die Verringerung des Gefäßdurchmessers beschrieben, <math>s = 1 - \frac{d_{\min}}{d_{\mathrm{ref}}},</math> wobei <math>d_{\min}</math> der kleinste Durchmesser in der Engstelle und <math>d_{\mathrm{ref}}</math> ein Referenzdurchmesser ist. NASCET verwendet als Referenz den Durchmesser des gesunden Gefäßes stromabwärts der Stenose. Für das idealisierte gerade Gefäßmodell wird ein konstanter Referenzdurchmesser von <math>D_0=6\,\mathrm{mm}</math> angenommen. Da das Gefäß außerhalb der Stenose denselben Durchmesser besitzt, gilt in diesem Modell<math>d_{\mathrm{ref}}=D_0</math>. Bei der zusätzlich betrachteten Gefäßaufzweigung muss der Referenzdurchmesser dagegen gesondert festgelegt werden, da die Gefäßäste unterschiedliche Durchmesser besitzen. Wichtig für das Verständnis aller weiteren Ergebnisse ist der Unterschied zwischen Durchmesser- und Flächenreduktion. Da die Querschnittsfläche quadratisch vom Durchmesser abhängt, gilt für die Flächenreduktion <math>1-(1-s)^2</math>. Eine im klinischen Sinn nur mittelgradige Stenose von 60 % verschließt damit bereits 84 % der Querschnittsfläche. {| class="wikitable" |+ Durchmesser- und Flächenreduktion der gerechneten Stenosegrade ! Stenosegrad s !! 0 !! 0,1 !! 0,2 !! 0,3 !! 0,4 !! 0,5 !! 0,6 !! 0,7 !! 0,8 |- | engster Durchmesser in mm || 6,0 || 5,4 || 4,8 || 4,2 || 3,6 || 3,0 || 2,4 || 1,8 || 1,2 |- | Flächenreduktion || 0 % || 19 % || 36 % || 51 % || 64 % || 75 % || 84 % || 91 % || 96 % |} Eine Einschränkungen gehört zur ehrlichen Einordnung: # Mit zunehmendem Stenosegrad, insbesondere bei ausgeprägten Verengungen, können lokale Beschleunigungen, Strömungsablösungen und zeitabhängige Strömungsstrukturen auftreten. Daher muss bei den hochgradigen Stenosen geprüft werden, inwieweit die Annahme einer stationären, laminaren Strömung geeignet ist. Eine feste Grenze bei <math>s=0{,}6</math> lässt sich ohne entsprechende Simulationsergebnisse oder Literaturbelege nicht allgemein festlegen. Die hochgradigen Fälle werden deshalb unter besonderer Berücksichtigung der Modellannahmen diskutiert. Unter Modellierung wird in diesem Projekt die Übertragung der Blutströmung in einer verengten Arterie auf ein mathematisches und numerisch lösbares Strömungsproblem verstanden. Dazu werden die Gefäßgeometrie, die zugrunde liegenden Gleichungen, die physikalischen Materialparameter sowie die Anfangs- und Randbedingungen festgelegt. Jeder dieser Bestandteile beruht auf vereinfachenden Annahmen, die begründet und bei der Interpretation der Ergebnisse berücksichtigt werden müssen. Ziel ist es, den Einfluss unterschiedlicher Stenosegrade auf die Strömungsgeschwindigkeit, den Druckverlust und gegebenenfalls die Wandschubspannung systematisch zu untersuchen. Die Modellierung erfolgt anhand mehrerer Modellvarianten mit unterschiedlicher räumlicher Auflösung. Dadurch können zunächst grundlegende Zusammenhänge analytisch abgeschätzt und anschließend mit numerischen Strömungsberechnungen verglichen werden. Die verwendeten Parameter orientieren sich an den bereitgestellten Referenzdaten und werden in den folgenden Abschnitten erläutert. == Modellierung == Ziel der Modellierung ist es, die Blutströmung innerhalb einer Y-förmigen Aufzweigung der Halsschlagader mathematisch und numerisch zu untersuchen. Im Mittelpunkt steht eine Gefäßverengung (Stenose) in der Arteria carotis interna. Das betrachtete Gefäßmodell besteht aus der Arteria carotis communis, die sich in die Arteria carotis interna und die Arteria carotis externa aufteilt. Die Stenose befindet sich ausschließlich in der Arteria carotis interna. Durch die Verengung verändert sich der verfügbare Strömungsquerschnitt. Dies kann zu einer Erhöhung der lokalen Strömungsgeschwindigkeit, zu zusätzlichen Druckverlusten und zu einer Veränderung der Strömungsverteilung zwischen den beiden Gefäßästen führen. Ziel ist es, den Einfluss unterschiedlicher Stenosegrade auf die Strömungsgeschwindigkeit, die Druckverteilung und die Wandschubspannung zu untersuchen. Zusätzlich soll betrachtet werden, wie sich die Strömung innerhalb der Y-förmigen Gefäßaufzweigung verhält. Die numerische Modellierung erfolgt mit COMSOL Multiphysics. Dazu werden die Gefäßgeometrie, die Materialeigenschaften des Blutes, die Strömungsgleichungen und die Randbedingungen festgelegt. Zur Vereinfachung wird Blut zunächst als inkompressibles, Newtonsches Fluid betrachtet. Die Gefäßwände werden als starr angenommen. Diese Annahmen ermöglichen eine systematische Untersuchung der Stenose, schränken jedoch die Übertragbarkeit auf reale physiologische Bedingungen ein. === Modellhierarchie === Für die Untersuchung der Blutströmung innerhalb der Y-förmigen Karotisaufzweigung werden drei Modellvarianten betrachtet. Diese unterscheiden sich hinsichtlich ihrer räumlichen Dimension, ihrer mathematischen Beschreibung und der Genauigkeit, mit der die Strömungsverhältnisse dargestellt werden können. Das untersuchte Gefäß besteht aus der Arteria carotis communis, die sich in die Arteria carotis interna und die Arteria carotis externa aufteilt. Die Stenose befindet sich ausschließlich in der Arteria carotis interna. Alle drei Modellvarianten werden mit COMSOL Multiphysics umgesetzt. {| class="wikitable" style="width:100%;" |+ '''Die drei Modellvarianten des Projekts''' |- ! Modell ! Raumdimension ! Mathematische Grundlage ! Zweck ! Werkzeug |- | '''Graphenmodell''' | 1D, Gefäßnetzwerk mit einer Verzweigung | Massenerhaltung an der Verzweigung und vereinfachte Beschreibung der Strömungswiderstände | Abschätzung der Volumenstromverteilung und der Druckverluste in den Gefäßästen | COMSOL Multiphysics |- | '''Ebenes Flächenmodell''' | 2D, Y-förmige Gefäßgeometrie in kartesischen Koordinaten | Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen | Untersuchung der Geschwindigkeits- und Druckverteilung sowie der Auswirkungen der Stenose in der Arteria carotis interna | COMSOL Multiphysics, Laminare Strömung |- | '''Volumenmodell''' | 3D, räumliche Y-förmige Gefäßgeometrie | Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen | Räumliche Untersuchung des Geschwindigkeitsfeldes, des Druckverlustes und der Wandschubspannung | COMSOL Multiphysics, Laminare Strömung |} ==== Vergleich und Überprüfung der Modellvarianten ==== Die drei Modellvarianten bauen hinsichtlich ihrer räumlichen Beschreibung aufeinander auf. Das Graphenmodell ermöglicht zunächst eine vereinfachte Betrachtung der Volumenströme und Druckverluste. Die zwei- und dreidimensionalen Modelle erlauben anschließend eine detailliertere Untersuchung der Strömung innerhalb der Gefäßaufzweigung. Das '''Graphenmodell''' beschreibt die Arteria carotis communis sowie die beiden abzweigenden Gefäße als miteinander verbundenes Netzwerk. Dabei wird die Massenerhaltung an der Verzweigung berücksichtigt: :<math>Q_{\mathrm{CCA}}=Q_{\mathrm{ICA}}+Q_{\mathrm{ECA}}</math> Das Modell liefert vereinfachte Abschätzungen der Volumenstromverteilung. Lokale Strömungsablösungen und räumliche Geschwindigkeitsverteilungen können damit nicht detailliert dargestellt werden. Das '''ebene Flächenmodell''' bildet die Y-förmige Gefäßaufzweigung in zwei Raumdimensionen ab. Die Stenose wird innerhalb der Arteria carotis interna berücksichtigt. Dadurch können die Geschwindigkeits- und Druckverteilung sowie mögliche Rückströmungsbereiche untersucht werden. Das '''Volumenmodell''' erweitert die Untersuchung auf drei Raumdimensionen. Es ermöglicht eine räumliche Darstellung der Strömung und eine detailliertere Berechnung der Wandschubspannung. Die Ergebnisse des ebenen Flächenmodells und des Volumenmodells werden miteinander verglichen. Da das ebene Modell die räumliche Querschnittsgeometrie nur vereinfacht darstellt, müssen Unterschiede zwischen den beiden Modellen bei der Interpretation berücksichtigt werden. Ziel der Modellhierarchie ist es, die Aussagekraft der einzelnen Modellvarianten zu bewerten und den Einfluss des Stenosegrades auf die Strömung innerhalb der Y-förmigen Karotisaufzweigung zu untersuchen. === Simulationsgebiet und Geometrie === Das Simulationsgebiet besteht aus einer idealisierten Y-förmigen Aufzweigung der Arteria carotis. Die Arteria carotis communis teilt sich in die Arteria carotis interna und die Arteria carotis externa. Die Stenose befindet sich in der Arteria carotis interna. Die Arteria carotis externa wird ohne zusätzliche Verengung modelliert. Die Geometrie orientiert sich an den bereitgestellten Referenzdaten. Die Gefäßdurchmesser werden innerhalb der jeweiligen unverengten Abschnitte als konstant angenommen. {| class="wikitable" style="width:100%;" |+ '''Geometrische Referenzparameter der Y-förmigen Gefäßaufzweigung''' |- ! Gefäßabschnitt ! Durchmesser ! Länge |- | Arteria carotis communis | 6 mm | 60 mm |- | Arteria carotis interna | 5 mm | 60 mm |- | Arteria carotis externa | 4 mm | 60 mm |- | Stenose in der Arteria carotis interna | Abhängig vom Stenosegrad | 10 bzw. 20 mm |} Die Verengung wird über den Stenosegrad <math>s</math> beschrieben. Dieser gibt die relative Verringerung des Gefäßdurchmessers an: :<math>s=1-\frac{d_{\min}}{D_{\mathrm{ICA}}}</math> Dabei bezeichnet <math>d_{\min}</math> den minimalen Durchmesser innerhalb der Stenose und <math>D_{\mathrm{ICA}}</math> den unverengten Referenzdurchmesser der Arteria carotis interna. Für das Modell gilt: :<math>D_{\mathrm{ICA}}=5\,\mathrm{mm}</math> Der minimale Durchmesser ergibt sich damit zu: :<math>d_{\min}=D_{\mathrm{ICA}}(1-s)</math> {| class="wikitable" |+ '''Minimaler Durchmesser der Stenose in der Arteria carotis interna''' |- ! Stenosegrad ! Minimaler Durchmesser |- | 0 % | 5,0 mm |- | 10 % | 4,5 mm |- | 20 % | 4,0 mm |- | 30 % | 3,5 mm |- | 40 % | 3,0 mm |- | 50 % | 2,5 mm |- | 60 % | 2,0 mm |- | 70 % | 1,5 mm |- | 80 % | 1,0 mm |} Die angegebenen Stenosegrade beziehen sich ausschließlich auf den Durchmesser der Arteria carotis interna. Der Durchmesser der Arteria carotis communis wird nicht zur Berechnung des Stenosegrades verwendet. Die Y-förmige Geometrie ermöglicht es, die Auswirkungen der Verengung sowohl auf die lokale Strömung in der Arteria carotis interna als auch auf die Strömungsverteilung innerhalb der gesamten Gefäßaufzweigung zu untersuchen. Die genaue Form der Stenose, der Verzweigungswinkel und die Übergänge zwischen den Gefäßabschnitten müssen entsprechend der tatsächlich in COMSOL verwendeten Geometrie dokumentiert werden. == Stoff- und Strömungsparameter == Die Stoffwerte des Blutes und der Volumenstrom sind die einzigen Eingangsgrößen, die nicht aus der Geometrie folgen. Aus ihnen werden alle weiteren Strömungskennwerte berechnet. Die folgenden Schritte zeigen jede Rechnung einzeln, damit sich jeder Wert nachprüfen lässt. # Die '''Dichte''' wird mit <math>\rho = 1060\ \mathrm{kg/m^3}</math> angesetzt. Der Wert lässt sich als Mischungsregel plausibel machen. Plasma hat eine Dichte von etwa 1025 kg/m³, rote Blutkörperchen von etwa 1100 kg/m³. Bei einem Zellanteil von 45 % ergibt sich <math>0{,}55 \cdot 1025 + 0{,}45 \cdot 1100 \approx 1059\ \mathrm{kg/m^3}</math>. Die Dichte geht nur über die Reynoldszahl in die Rechnung ein, eine Abweichung von einem Prozent ändert die Ergebnisse daher kaum. <!-- FIXME Lehrbuchquelle fuer Plasma- und Erythrozytendichte ergaenzen --> # Die '''dynamische Viskosität''' wird mit <math>\mu = 3{,}5\ \mathrm{mPa\,s}</math> angesetzt. Das ist der Grenzwert der Blutviskosität bei hohen Scherraten, also genau der Wert, der zur Newtonschen Näherung gehört. Derselbe Wert von 0,035 Poise wird auch im Standardwerk zur Modellierung des Herz-Kreislauf-Systems verwendet.<ref name="quarteroni">Quarteroni, A.; Formaggia, L.: ''Mathematical Modelling and Numerical Simulation of the Cardiovascular System.'' In: Ayache, N. (Hrsg.): ''Computational Models for the Human Body.'' Handbook of Numerical Analysis, Bd. XII, Elsevier, Amsterdam 2004, S. 3-127. DOI 10.1016/S1570-8659(03)12001-7. Zur Newtonschen Näherung in großen Gefäßen siehe S. 30, zur Viskosität von 0,035 Poise die Parametertabelle auf S. 116.</ref> # Der '''mittlere Volumenstrom''' wird mit <math>Q_0 = 6\ \mathrm{ml/s}</math> angesetzt. Das ist der zeitlich gemittelte Volumenstrom, der in der gemeinsamen Halsschlagader gesunder Probanden gemessen wurde. # Die '''mittlere Geschwindigkeit''' folgt aus Volumenstrom und Querschnittsfläche, <math>U_0 = \frac{Q_0}{\pi R_0^2} = \frac{6 \cdot 10^{-6}\ \mathrm{m^3/s}}{\pi \cdot (0{,}003\ \mathrm{m})^2} = 0{,}2122\ \mathrm{m/s}</math>. # Die '''Reynoldszahl''' des gesunden Gefäßes ist <math>Re_0 = \frac{\rho\, U_0\, D_0}{\mu} = \frac{1060 \cdot 0{,}2122 \cdot 0{,}006}{0{,}0035} = 385{,}6</math>. Sie wird im Folgenden auf 386 gerundet. # Die '''Einlauflänge''', die eine anfangs gleichförmige Strömung bis zum voll entwickelten Parabelprofil bräuchte, beträgt nach der gebräuchlichen Abschätzung für laminare Rohrströmungen <math>L_e \approx 0{,}06\, Re_0\, D_0 \approx 0{,}06 \cdot 386 \cdot 6\ \mathrm{mm} \approx 139\ \mathrm{mm}</math>.<ref name="durst">Durst, F.; Ray, S.; Ünsal, B.; Bayoumi, O. A.: ''The development lengths of laminar pipe and channel flows.'' Journal of Fluids Engineering 127 (2005), Nr. 6, S. 1154-1160. Für große Reynoldszahlen nähert sich die dort angegebene Korrelation dem Wert 0,057·Re·D.</ref> Das ist fast die gesamte Länge des Rechengebiets. Ein konstantes Einlassprofil würde die Strömung an der Stenose also verfälschen, weshalb am Einlass das voll entwickelte Profil vorgegeben wird. Damit liegen alle globalen Parameter fest. Die folgende Tabelle enthält sie mit genau den Namen, unter denen sie in COMSOL und in den Octave-Skripten verwendet werden. {| class="wikitable" |+ Globale Parameter des Modells ! Name !! Ausdruck in COMSOL !! Wert !! Bedeutung !! Herkunft |- | R0 || 3[mm] || 3 mm || Gefäßradius || Messwerte nach Krejza u. a. 2006, gerundet |- | D0 || 2*R0 || 6 mm || Gefäßdurchmesser || abgeleitet |- | Ls || 2*D0 || 12 mm || Länge der Störstelle || Standardgeometrie nach Varghese u. a. 2007 |- | Lu || 5*D0 || 30 mm || Vorlaufstrecke vor der Stenosemitte || Abstand der Einlassbedingung von der Stenose |- | Ld || 20*D0 || 120 mm || Nachlaufstrecke hinter der Stenosemitte || Platz für das Rückströmgebiet |- | Lf || Ls/2+10*D0 || 66 mm || Ende des fein vernetzten Nachlaufs || erwartete Länge des Rückströmgebiets |- | s || 0 bis 0.8 || 0 bis 0,8 || Stenosegrad bezogen auf den Durchmesser || NASCET-Einteilung |- | rho_b || 1060[kg/m^3] || 1060 kg/m³ || Dichte des Blutes || Mischungsregel, Literaturwert |- | mu_b || 3.5[mPa*s] || 3,5 mPa·s || dynamische Viskosität des Blutes || Hochscherwert, Quarteroni und Formaggia 2004 |- | Q0 || 6[ml/s] || 6 ml/s || mittlerer Volumenstrom || Messwerte nach Holdsworth u. a. 1999 |- | U0 || Q0/(pi*R0^2) || 0,2122 m/s || mittlere Einströmgeschwindigkeit || abgeleitet |- | Re0 || rho_b*U0*D0/mu_b || 385,6 || Reynoldszahl des gesunden Gefäßes || abgeleitet |- | dp_ref || 8*mu_b*U0*(Lu+Ld)/R0^2 || 99,03 Pa || Poiseuille-Druckabfall des gesunden Gefäßes || abgeleitet, Hagen-Poiseuille |} = Implementierung des 2D-Modells in COMSOL Multiphysics = == Zielsetzung des zweidimensionalen Modells == Im Rahmen des Projekts wurde mit COMSOL Multiphysics ein zweidimensionales Modell der menschlichen Halsschlagader erstellt. Ziel ist es, die Blutströmung innerhalb einer Gefäßverzweigung zu untersuchen und insbesondere die Auswirkungen einer lokalen Gefäßverengung (Stenose) auf das Strömungsverhalten zu analysieren. Das Modell bildet die Aufzweigung der Arteria carotis communis (ACC) in die Arteria carotis interna (ACI) und die Arteria carotis externa (ACE) ab. Während die ACE als gesunder Gefäßabschnitt betrachtet wird, befindet sich in der ACI eine lokale Verengung. Dadurch können die Strömungsverhältnisse in beiden Ästen miteinander verglichen werden. Die zweidimensionale Modellierung dient dazu, die Geschwindigkeitsverteilung, den Druckabfall und die Wandschubspannung zu untersuchen. Zusätzlich soll festgestellt werden, ob sich hinter der Stenose Bereiche mit Strömungsablösungen oder Rückströmungen ausbilden. ==Vorgehen== Für die numerische Untersuchung in COMSOL Multiphysics 6.2 zunächst ein zweidimensionales Modell mit der Physik ''Laminare Strömung'' und einer ''stationären Studie'' angelegt. Die Gefäßgeometrie wurde vollständig parametrisiert, damit Durchmesser, Gefäßlängen, Verzweigungswinkel, Stenosegrad sowie die Stenoselänge veränderbar sind, ohne das Modell jeweils neu zu zeichnen. Das gemeinsame Zuflussgefäß stellt die Arteria carotis communis mit einem Durchmesser von <math>6\,\mathrm{mm}</math> dar. Nach einem geraden Einlaufabschnitt von <math>60\,\mathrm{mm}</math> teilt es sich V-förmig in die beiden Tochtergefäße auf. Die Arteria carotis interna wird mit einem Durchmesser von <math>5\,\mathrm{mm}</math>, die Arteria carotis externa mit <math>4\,\mathrm{mm}</math> modelliert. Beide Tochtergefäße sind jeweils <math>60\,\mathrm{mm}</math> lang. Die Grundgeometrie wurde als zusammenhängender zweidimensionaler Volumenkörper aufgebaut. Die beiden Tochtergefäße verlaufen nach der Bifurkation unter einem Winkel auseinander, sodass eine idealisierte Y-förmige Karotisgabel entsteht. Die Übergänge zwischen dem gemeinsamen Gefäß und den beiden Ästen wurden bewusst vereinfacht, aber ohne abrupte Querschnittssprünge gestaltet. Auf diese Weise bleibt die Geometrie ausreichend einfach für einen systematischen Vergleich verschiedener Modellvarianten, bildet die typische Aufzweigung einer Karotis. Die Stenose befindet sich ausschließlich in der Arteria carotis interna. Um die Verengung nicht durch gerade Polygonsegmente mit scharfen Knicken darzustellen, wurde ihre Kontur mithilfe von zwei parametrischen Kosinuskurven erzeugt. Zur Beschreibung der Stenose wird eine parametrische Kurve mit dem Hilfsparameter <math>t</math> verwendet. Dieser nimmt Werte zwischen <math>-1</math> und <math>1</math> an. Über die Beziehung <math>x(t)=x_\mathrm{st}+\frac{L_\mathrm{st}}{2}t</math> wird der Parameter auf die räumliche Position entlang des Gefäßes übertragen. Für <math>t=-1</math> liegt der Beginn der Stenose bei <math>x_\mathrm{st}-L_\mathrm{st}/2</math>, für <math>t=0</math> befindet sich die Kurve in der Stenosenmitte und für <math>t=1</math> am Ende bei <math>x_\mathrm{st}+L_\mathrm{st}/2</math>. Dadurch kann die Länge der Stenose über den Parameter <math>L_\mathrm{st}</math> verändert werden, ohne ihre Mittelpunktposition <math>x_\mathrm{st}</math> zu verschieben. Die Einengung wächst vom Beginn der Stenose kontinuierlich bis zur Engstelle an und nimmt danach ebenso kontinuierlich wieder ab. Dadurch entstehen glatte Wandübergänge. Die Stärke der Einengung wird über den dimensionslosen Stenosegrad <math>s</math> gesteuert. Für einen unverengten Durchmesser der Arteria carotis interna von <math>D_\mathrm{ACI}=5\,\mathrm{mm}</math> ergibt sich bei einem Stenosegrad von <math>s=0{,}3</math> eine minimale Gefäßweite von <math>3{,}5\,\mathrm{mm}</math>, bei <math>s=0{,}6</math> von <math>2{,}0\,\mathrm{mm}</math> und bei <math>s=0{,}8</math> von <math>1{,}0\,\mathrm{mm}</math>. Die minimale Gefäßweite ergibt sich allgemein aus <math>d_\mathrm{min}=D_\mathrm{ACI}(1-s)</math>. Die beiden parametrischen Kurven wurden mit Hilfslinien zu geschlossenen Flächen ergänzt und anschließend über „Umwandeln in Volumenkörper“ in Flächenobjekte überführt. Mithilfe einer Differenzoperation wurden diese Flächen aus dem Gefäßgebiet ausgeschnitten. Auf diese Weise bleibt die Grundgeometrie des Gefäßes unverändert, während Stenosegrad und Stenosenlänge allein über globale Parameter variiert werden können. Für die Strömung wurde Blut als inkompressibles Newtonsches Fluid mit konstanter Dichte und Viskosität angenähert. Verwendet werden eine Dichte von <math>\rho=1060\,\mathrm{kg/m^3}</math> und eine dynamische Viskosität von <math>\mu=3,5\,\mathrm{mPa s}</math>. Am Einlass wird ein voll entwickeltes Geschwindigkeitsprofil vorgegeben. Aus dem auf der Projektseite angesetzten mittleren Volumenstrom von <math>6\,\mathrm{ml/s}</math> ergibt sich für das <math>6\,\mathrm{mm}</math> breite Zuflussgefäß eine mittlere Geschwindigkeit von rund <math>0{,}21\,\mathrm{m/s}</math>. An beiden Auslässen wird derselbe Referenzdruck vorgegeben, während an sämtlichen Gefäßwänden die Haftbedingung (No Slip) gilt. Nach Fertigstellung der Geometrie wurde ein physikgesteuertes Finite-Elemente-Netz erzeugt und die stationäre Navier-Stokes-Strömung berechnet. Anschließend wurden insbesondere der Geschwindigkeitsbetrag, die Druckverteilung und die Stromlinien ausgewertet. Die Stromlinien dienen dabei nicht nur der Visualisierung der Aufteilung des Blutstroms an der Bifurkation, sondern auch zur Erkennung möglicher Ablöse- und Rückströmungsgebiete hinter der Stenose. Zusätzlich kann die Wandschubspannung entlang der Gefäßwand ausgewertet werden. Die verschiedenen Stenosegrade werden jeweils bei ansonsten identischen Randbedingungen miteinander und mit dem gesunden Referenzfall verglichen. == Ergebnisse der 2D-Strömungssimulation == Die zweidimensionale Strömungssimulation wurde mit COMSOL Multiphysics durchgeführt, um die Auswirkungen einer lokalen Gefäßverengung auf die Blutströmung innerhalb einer idealisierten Karotis-Bifurkation zu untersuchen. Im Mittelpunkt der Auswertung stehen die Geschwindigkeitsverteilung, die Druckverteilung sowie die Wandschubspannung. Ergänzend werden Stromlinien betrachtet, um mögliche Veränderungen des Strömungsverlaufs und das Auftreten von Rückströmungsgebieten hinter der Stenose zu untersuchen. Die Ergebnisse werden hinsichtlich ihrer strömungsmechanischen Bedeutung interpretiert und unter Berücksichtigung der vereinfachenden Modellannahmen bewertet. === Quantitative Auswertung der Strömungsgeschwindigkeit === Zur Untersuchung des Einflusses verschiedener Stenosegrade auf die Strömungsgeschwindigkeit wurde in COMSOL Multiphysics der Geschwindigkeitsbetrag <code>spf.U</code> mithilfe der Funktion ''Oberflächenmaximum'' ausgewertet. Dabei wurden Stenosegrade von 0 %, 30 %, 60 %, 80 % und 100 % betrachtet. Die Berechnungen erfolgten zunächst mit einer Druckrandbedingung von <math>p_0 = 0\,\mathrm{Pa}</math> und anschließend mit einer Resistenzrandbedingung bei <math>k_R = 1</math>. ==== Druckrandbedingung ==== Bei der Druckrandbedingung wurde die maximale Geschwindigkeit über das gesamte Strömungsgebiet bestimmt. {| class="wikitable" ! Stenosegrad ! Maximale Geschwindigkeit [m/s] |- | 0 % || 0,28385 |- | 30 % || 0,27091 |- | 60 % || 0,35036 |- | 80 % || 0,38530 |- | 100 % || 0,46125 |} Die Ergebnisse zeigen zunächst eine leichte Abnahme der maximalen Geschwindigkeit bei 30 % Stenose. Ab 60 % steigt diese mit zunehmender Verengung an. Dies ist mit einer lokalen Beschleunigung der Strömung infolge des verringerten Strömungsquerschnitts vereinbar. Bei 100 % Stenose beträgt das globale Geschwindigkeitsmaximum 0,46125 m/s. Da die Arteria carotis interna (ACI) vollständig verschlossen ist, beschreibt dieser Wert nicht die Strömung durch den Verschluss, sondern kann aus einem anderen, weiterhin durchströmten Gefäßbereich stammen. ==== Graphische Auswertungen in Comsol ==== [[Datei:0%, Geschwindigkeit, p0=0.png|mini|zentriert|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 0 % Stenose und einer Druckrandbedingung von p₀ = 0 Pa.]] <div style="display:flex; justify-content:center; gap:15px;"> <div> [[Datei:0,3%, Geschwindigkeit, p0=0.png|mini|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 30 % Stenose und einer Druckrandbedingung von p₀ = 0 Pa.]] </div> <div> [[Datei:0,3%, Geschwindigkeit, p0=0, Nah Stenose.png|mini|300px|Vergrößerte Geschwindigkeitsverteilung im Bereich der 30%igen Stenose bei p₀ = 0 Pa.]] </div> </div> <div style="display:flex; justify-content:center; gap:15px;"> <div> [[Datei:0,6%, Geschwindigkeit, p0=0.png|mini|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 60 % Stenose und einer Druckrandbedingung von p₀ = 0 Pa.]] </div> <div> [[Datei:0,6%, Geschwindigkeit, p0=0, Nah Stenose.png|mini|300px|Vergrößerte Geschwindigkeitsverteilung im Bereich der 60%igen Stenose bei p₀ = 0 Pa.]] </div> </div> <div style="display:flex; justify-content:center; gap:15px;"> <div> [[Datei:0,8%, Geschwindigkeit, p0=0.png|mini|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 80 % Stenose und einer Druckrandbedingung von p₀ = 0 Pa.]] </div> <div> [[Datei:0,8%, Geschwindigkeit, p0=0, Nah Stenose.png|mini|300px|Vergrößerte Geschwindigkeitsverteilung im Bereich der 80%igen Stenose bei p₀ = 0 Pa.]] </div> </div> <div style="display:flex; justify-content:center; gap:15px;"> <div> [[Datei:100%, Geschwindigkeit, p0=0.png|mini|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 100 % Stenose und einer Druckrandbedingung von p₀ = 0 Pa.]] </div> <div> [[Datei:100%, Geschwindigkeit, p0=0, Nah Stenose.png|mini|300px|Vergrößerte Darstellung des vollständig verschlossenen Bereichs der ACI bei 100 % Stenose und p₀ = 0 Pa.]] </div> </div> Die Farbskala zeigt den Betrag der Strömungsgeschwindigkeit in m/s. Blaue Bereiche kennzeichnen niedrige, grüne und gelbe mittlere sowie rote Bereiche hohe Geschwindigkeiten. Im unverengten Gefäß ist die Geschwindigkeit in der Gefäßmitte am höchsten und nimmt zu den Gefäßwänden hin ab. Mit zunehmendem Stenosegrad verändert sich die Geschwindigkeitsverteilung deutlich. Im Bereich der Engstelle wird die Strömung lokal beschleunigt, während hinter der Verengung Bereiche niedriger Geschwindigkeit auftreten können. Bei 100 % Stenose ist die ACI vollständig verschlossen, sodass die Strömung nur noch über den offenen Gefäßast abfließen kann. === Resistenzrandbedingung und Vergleich === Anschließend wurde die Strömung unter Verwendung einer Resistenzrandbedingung mit konstantem Parameter <math>k_R = 1</math> untersucht. Bei zunehmender Verengung traten Konvergenzprobleme auf. Ab ungefähr 73 % Stenose konnte keine konvergierende stationäre Lösung mehr bestimmt werden. Daher wurden für die hochgradigen Stenosen ergänzend zeitabhängige Simulationen durchgeführt. {| class="wikitable" ! Stenosegrad ! Druckrandbedingung <math>p_0 = 0\,\mathrm{Pa}</math> [m/s] ! Resistenzrandbedingung <math>k_R = 1</math> [m/s] |- | 0 % || 0,28385 || 0,32426 |- | 30 % || 0,27081 || 0,32219 |- | 60 % || 0,35036 || 0,53188 |- | 80 % || 0,3858 || 1,0674 |- | 100 % || 0,46125 || <math>\approx 0</math> * |} <small>* Bei 100 % Stenose wurde für die Resistenzrandbedingung ausschließlich das Gebiet hinter dem vollständigen Verschluss ausgewertet. Die maximale Geschwindigkeit beträgt dort <math>v_{\max} = 2{,}1416 \cdot 10^{-21}\,\mathrm{m/s} \approx 0\,\mathrm{m/s}</math>.</small> Der Vergleich zeigt, dass die maximale Geschwindigkeit bei der Resistenzrandbedingung insbesondere bei höheren Stenosegraden deutlich stärker ansteigt. Bei 80 % Stenose wird mit 1,0674 m/s ein wesentlich höherer Wert erreicht als bei der Druckrandbedingung mit 0,3858 m/s. Dies verdeutlicht den Einfluss der Auslassrandbedingungen auf die Strömungsverteilung innerhalb der Gefäßverzweigung. Bei vollständigem Gefäßverschluss ist ein direkter Vergleich der beiden Werte nicht möglich, da unterschiedliche Strömungsgebiete ausgewertet wurden. Während bei der Druckrandbedingung das globale Maximum betrachtet wurde, beschreibt der Wert der Resistenzrandbedingung die praktisch zum Stillstand gekommene Strömung hinter der Stenose. Insgesamt zeigen die Ergebnisse, dass sowohl der Stenosegrad als auch die gewählten Randbedingungen einen wesentlichen Einfluss auf die maximale Strömungsgeschwindigkeit besitzen. Die Konvergenzprobleme bei hochgradigen Stenosen verdeutlichen zudem die Notwendigkeit einer ergänzenden zeitabhängigen Untersuchung. ==== Graphische Auswertungen in Comsol ==== [[Datei:0%, Geschwindigkeit, Resbed..png|mini|zentriert|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 0 % Stenose mit Resistenzrandbedingung (k_R = 1).]] <div style="display:flex; justify-content:center; gap:15px;"> <div> [[Datei:0,3%, Geschwindigkeit, Resbed..png|mini|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 30 % Stenose mit Resistenzrandbedingung (k_R = 1).]] </div> <div> [[Datei:0,3%, Geschwindigkeit, Resbed., Nah Stenose.png|mini|300px|Vergrößerte Geschwindigkeitsverteilung im Bereich der 30%igen Stenose mit Resistenzrandbedingung (k_R = 1).]] </div> </div> <div style="display:flex; justify-content:center; gap:15px;"> <div> [[Datei:0,6%, Geschwindigkeit, Resbed..png|mini|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 60 % Stenose mit Resistenzrandbedingung (k_R = 1).]] </div> <div> [[Datei:0,6%, Geschwindigkeit, Resbed., Nah Stenose.png|mini|300px|Vergrößerte Geschwindigkeitsverteilung im Bereich der 60%igen Stenose mit Resistenzrandbedingung (k_R = 1).]] </div> </div> <div style="display:flex; justify-content:center; gap:15px;"> <div> [[Datei:0,8%, Geschwindigkeit, Resbed., zeitabh., Zeit 1 s.png|mini|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 80 % Stenose mit Resistenzrandbedingung (k_R = 1) zum Zeitpunkt t = 1 s.]] </div> <div> [[Datei:0,8%, Geschwindigkeit, Resbed., zeitabh., Zeit 1 s, Nah Stenose.png|mini|300px|Vergrößerte Geschwindigkeitsverteilung im Bereich der 80%igen Stenose mit Resistenzrandbedingung (k_R = 1) zum Zeitpunkt t = 1 s.]] </div> </div> <div style="display:flex; justify-content:center; gap:15px;"> <div> [[Datei:1%, Geschwindigkeit, Resbed., zeitabh., Zeit 1 s,.png|mini|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 100 % Stenose mit Resistenzrandbedingung (k_R = 1) zum Zeitpunkt t = 1 s.]] </div> <div> [[Datei:1%, Geschwindigkeit, Resbed., zeitabh., Zeit 1 s, nah Stenose.png|mini|300px|Vergrößerte Darstellung des vollständig verschlossenen ACI-Bereichs bei 100 % Stenose mit Resistenzrandbedingung (k_R = 1) zum Zeitpunkt t = 1 s.]] </div> </div> === Druckverteilung und Druckabfall === Die Druckverteilung wurde anhand der berechneten Isobaren innerhalb der zweidimensionalen Karotis-Bifurkation untersucht. Dabei zeigt sich eine Abnahme des statischen Drucks vom gemeinsamen Zuflussgefäß in Richtung der beiden Gefäßausgänge. Der maximale berechnete Druck beträgt etwa '''74,2 Pa''', während der minimale Druck bei etwa '''−19,9 Pa''' liegt. Daraus ergibt sich eine globale Druckspanne von ungefähr '''94,1 Pa'''. Besonders auffällig ist die Druckverteilung im Bereich der Stenose der Arteria carotis interna (ACI). Dort liegen die Isobaren deutlich enger beieinander, was auf einen ausgeprägten lokalen Druckgradienten hinweist. Stromabwärts der Engstelle treten zudem Bereiche mit niedrigem statischem Druck auf. '''Interpretation''': Die Ergebnisse zeigen, dass die Stenose die lokale Druckverteilung im ACI-Ast deutlich beeinflusst. Die Beschleunigung der Strömung innerhalb der Verengung geht mit einer Abnahme des statischen Drucks einher. Die globale Druckspanne von 94,1 Pa darf jedoch nicht mit dem irreversiblen Druckverlust über der Stenose gleichgesetzt werden. Die globale Druckspanne von 94,1 Pa ist nicht mit dem Druckabfall über der Stenose gleichzusetzen. Zur genaueren Untersuchung wurden deshalb zwei Messquerschnitte vor und hinter der Engstelle ausgewertet. Zwischen diesen ergibt sich eine mittlere statische Druckdifferenz von 36,24 Pa. <div style="text-align:center;"> [[Datei:Druckverteilung_2D.png|800px|zentriert|Druckverteilung der stationären 2D-Strömungssimulation einer idealisierten Karotis-Bifurkation mit 80 % Stenose in der Arteria carotis interna (ACI). Die Isobaren zeigen den Druckverlauf innerhalb der Gefäßgeometrie. Besonders im Bereich der Stenose ist ein ausgeprägter lokaler Druckgradient erkennbar. Der berechnete Druck liegt zwischen −19,9 Pa und 74,2 Pa.]] <small>'''Abbildung 3:''' Druckverteilung der stationären 2D-Strömungssimulation einer idealisierten Karotis-Bifurkation mit 80 % Stenose in der Arteria carotis interna (ACI). Die Isobaren zeigen den Druckverlauf innerhalb der Gefäßgeometrie. Besonders im Bereich der Stenose ist ein ausgeprägter lokaler Druckgradient erkennbar. Der berechnete Druck liegt zwischen −19,9 Pa und 74,2 Pa.</small> </div> ==== Quantitative Bestimmung der Druckdifferenz ==== Zur quantitativen Untersuchung des Druckabfalls wurden zwei Messquerschnitte im ACI-Ast definiert, einer vor und einer hinter der Stenose. Mithilfe der COMSOL-Funktion „Linienmittelwert“ wurde der mittlere statische Druck an beiden Positionen bestimmt. Vor der Stenose beträgt der mittlere Druck '''35,232 Pa''', während hinter der Stenose ein Wert von '''−1,0042 Pa''' ermittelt wurde. Daraus ergibt sich eine Druckdifferenz von '''36,24 Pa'''. Die Ergebnisse zeigen eine deutliche Abnahme des statischen Drucks zwischen den beiden Messquerschnitten. Diese Druckdifferenz verdeutlicht die Druckänderung entlang des stenotischen ACI-Astes. Sie ist jedoch nicht mit dem ausschließlich durch die Stenose verursachten irreversiblen Druckverlust gleichzusetzen, da auch die Strömungsentwicklung in den angrenzenden Gefäßabschnitten berücksichtigt wird. {| class="wikitable" style="text-align:center;" ! Stenosegrad ! <math>\bar p_\mathrm{vor}</math> [Pa] ! <math>\bar p_\mathrm{nach}</math> [Pa] ! <math>\Delta p</math> [Pa] |- | 0 % | 11,631 | 4,2461 | 7,3849 |- | 30 % | 16,919 | 2,9220 | 13,997 |- | 60 % | 35,835 | -0,58267 | 36,41767 |- | 80 % | 70,562 | -0,55906 | 71,12106 |} === Ausblick: Wandschubspannung im Vergleich === Zur Untersuchung der mechanischen Belastung der Gefäßwände wurde die Wandschubspannung (Wall Shear Stress, WSS) im zweidimensionalen Strömungsmodell ausgewertet. Sie beschreibt die tangentiale viskose Spannung, die durch die Strömung an der Gefäßwand entsteht. Die quantitative Auswertung erfolgte für die obere und untere Wand des stenotischen ACI-Abschnitts. Hierfür wurden die entsprechenden Wandkanten in COMSOL ausgewählt und der Betrag der Wandschubspannung bestimmt. Die Abbildung zeigt die Verteilung der Wandschubspannung (Wall Shear Stress, WSS) an den Gefäßwänden im Bereich der 80-%-Stenose der ACI. Die Auswertung erfolgte einmal mit und einmal ohne Resistenzrandbedingung. Für <math>p_0 = 0\,\mathrm{Pa}</math>: * Die Farbskala verdeutlicht die unterschiedlich starke Belastung der Gefäßwand durch die Blutströmung. '''Blaue Bereiche''' kennzeichnen geringe Wandschubspannungen von etwa 1 bis 2 Pa, während '''grüne und gelbe Bereiche''' mittlere Werte anzeigen. Im '''orange-roten Bereich''' nahe der stärksten Verengung steigt die Wandschubspannung deutlich an. Das mithilfe des Linienmaximums ermittelte Maximum beträgt '''6,0400 Pa'''. * Die erhöhten Werte im Bereich der Stenose lassen sich durch die starke Verengung des Gefäßquerschnitts erklären. Dadurch entstehen größere Geschwindigkeitsänderungen in Wandnähe, die zu einer erhöhten Wandschubspannung führen können. Die Abbildung zeigt somit, dass die mechanische Belastung der Gefäßwand innerhalb des untersuchten Stenosebereichs nicht gleichmäßig verteilt ist, sondern lokal deutlich zunimmt. [[Datei:WSS P0=0.png|300px|mini|zentriert|Verteilung der Wandschubspannung (WSS) im Bereich der 80-%-Stenose der Arteria carotis interna bei der Druckrandbedingung <math>p_0 = 0\,\mathrm{Pa}</math>.]] Mit Resistenzrandbedingung: * Die Abbildung zeigt die Verteilung der Wandschubspannung (Wall Shear Stress, WSS) an den Gefäßwänden im Bereich der 80-%-Stenose der Arteria carotis interna (ACI). Im Gegensatz zur vorherigen Untersuchung mit der Druckrandbedingung <math>p_0 = 0\,\mathrm{Pa}</math> wurde hier die Resistenzrandbedingung <math>k_R = 1</math> verwendet. * Da für diesen Fall keine stationäre Lösung erzielt werden konnte, erfolgte die Berechnung zeitabhängig. Die dargestellten Ergebnisse beziehen sich auf den Zeitpunkt <math>t = 1\,\mathrm{s}</math>. * Die Wandschubspannung ist innerhalb des Stenosebereichs unterschiedlich stark ausgeprägt. Bereiche mit niedrigen Werten kennzeichnen eine geringere tangentiale Belastung der Gefäßwand, während Bereiche mit höheren Werten auf eine stärkere Belastung hinweisen. * Das mithilfe des Linienmaximums ermittelte Maximum auf den ausgewählten Stenosewänden beträgt: <math>19{,}856\,\mathrm{Pa}</math>. * Die erhöhten Wandschubspannungen lassen sich durch die starke Verengung des Gefäßquerschnitts und die damit verbundenen Geschwindigkeitsänderungen in Wandnähe erklären. * Im Vergleich zur stationären Berechnung mit <math>p_0 = 0\,\mathrm{Pa}</math>, bei der eine maximale Wandschubspannung von <math>6{,}0400\,\mathrm{Pa}</math> ermittelt wurde, fällt der Maximalwert bei der Resistenzrandbedingung deutlich höher aus. * Dabei ist zu beachten, dass es sich bei <math>19{,}856\,\mathrm{Pa}</math> um einen Momentanwert bei <math>t = 1\,\mathrm{s}</math> handelt und nicht um einen stationären Wert. Die beiden Ergebnisse sind daher nur eingeschränkt direkt vergleichbar. * Die Farbverteilung zeigt, dass die Wandschubspannung im Bereich der Stenose von niedrigen Werten (Blau) zu höheren Werten (Grün, Gelb und Rot) ansteigt und insbesondere an der engsten Stelle der Gefäßverengung erhöht ist. [[Datei:WSS Resistenzrandbedingung.png|300px|mini|zentriert|Verteilung der Wandschubspannung (WSS) im Bereich der 80-%-Stenose der Arteria carotis interna bei der Resistenzrandbedingung <math>k_R = 1</math> zum Zeitpunkt <math>t = 1\,\mathrm{s}</math> (zeitabhängige Simulation).]] === Zusammenfassende Bewertung der 2D-Ergebnisse AKTUELLE DATEN NOCH REIN === Die stationäre zweidimensionale Strömungssimulation mit einem Stenosegrad von 80 % zeigt deutliche Veränderungen der Strömungsgrößen innerhalb der idealisierten Karotis-Bifurkation. Die maximale Geschwindigkeit beträgt 0,31853 m/s. Zwischen den ausgewählten Messquerschnitten vor und hinter der ACI-Stenose ergibt sich eine mittlere statische Druckdifferenz von 36,24 Pa. Die maximale Wandschubspannung auf den ausgewerteten Stenosewänden beträgt 3,2282 Pa. Die Untersuchung der Geschwindigkeitskomponenten liefert Hinweise auf lokale Strömungsanteile entgegen der Hauptströmungsrichtung. Ein eindeutig abgegrenztes Rezirkulationsgebiet konnte anhand der vorliegenden Darstellungen jedoch nicht sicher nachgewiesen werden. Die Ergebnisse beschreiben zunächst den untersuchten Fall einer hochgradigen Stenose. Aus diesem einzelnen Fall lässt sich weder eine allgemeine Abhängigkeit der Strömungsgrößen vom Stenosegrad noch ein kritischer Stenosegrad für den Beginn der Strömungsablösung bestimmen. Dafür wäre eine vergleichende Auswertung weiterer Stenosegrade erforderlich. == Resistenzrandbedingung am Auslass (2D-Modell) == === Motivation === Im ursprünglichen 2D-Modell wurde an beiden Auslässen eine Nulldruckbedingung <math>p = 0</math> gesetzt. Physikalisch bedeutet das, dass beide Äste in ein „offenes Becken“ mit gleichem, festem Druck münden. Der Auslassdruck hängt dabei nicht davon ab, wie viel Blut ankommt. Diese Annahme hat zwei Schwächen: * Die Flussaufteilung zwischen ACI und ACE ergibt sich nur aus den kleinen Strömungswiderständen der modellierten Gefäßabschnitte. Wird die ACI durch die Stenose verengt, weicht das Blut nahezu ungehindert in die ACE aus. Im Körper ist das nicht möglich, weil hinter der ACI das Gefäßbett des Gehirns mit einem eigenen, großen Widerstand liegt. * Das Druckniveau (Auslass bei 0 Pa) ist nicht physiologisch. Im 3D-Modell wurde deshalb an beiden Auslässen eine '''Resistenzrandbedingung''' verwendet. Damit 2D- und 3D-Modell vergleichbar sind, haben wir dieselbe Randbedingung auch im 2D-Modell eingebaut. === Formel und Herleitung === Das gesamte nachgeschaltete Gefäßbett hinter jedem Auslass wird durch einen einzigen peripheren Widerstand <math>R_p</math> ersetzt: :<math>p_{\text{aus}} = k_R \cdot R_p \cdot Q</math> Dabei ist <math>Q</math> der Volumenstrom durch den Auslass und <math>k_R</math> ein Schalter (<math>k_R = 1</math>: Widerstand, <math>k_R = 0</math>: ursprüngliche Bedingung <math>p = 0</math>). '''1. Gesunde Flussaufteilung nach dem Murray-Gesetz''' Der Volumenstrom eines Gefäßes ist nach Murray proportional zur dritten Potenz des Durchmessers. Für den Anteil der ACI am Gesamtfluss gilt damit: :<math>\varphi_0 = \frac{D_I^3}{D_I^3 + D_E^3} = \frac{(5\,\text{mm})^3}{(5\,\text{mm})^3 + (4\,\text{mm})^3} \approx 0{,}661</math> Mit dem mittleren Volumenstrom der A. carotis communis <math>Q_0 = 6\,\text{ml/s}</math> (Holdsworth u. a. 1999) folgt: :<math>Q_{I,0} = \varphi_0 \cdot Q_0 \approx 3{,}97\,\text{ml/s}, \qquad Q_{E,0} = (1-\varphi_0) \cdot Q_0 \approx 2{,}03\,\text{ml/s}</math> '''2. Bestimmung der peripheren Widerstände''' Die Widerstände werden so gewählt, dass im gesunden Zustand an beiden Auslässen der treibende Druck des peripheren Gefäßbetts <math>p_D = 90\,\text{mmHg} \approx 12\,000\,\text{Pa}</math> anliegt: :<math>R_{pI} = \frac{p_D}{Q_{I,0}} \approx 3{,}0 \cdot 10^{9}\,\frac{\text{Pa}\cdot\text{s}}{\text{m}^3}, \qquad R_{pE} = \frac{p_D}{Q_{E,0}} \approx 5{,}9 \cdot 10^{9}\,\frac{\text{Pa}\cdot\text{s}}{\text{m}^3}</math> Die Randbedingungen an den beiden Auslässen lauten damit: :<math>p_{\text{aus},I} = k_R \cdot R_{pI} \cdot Q_I, \qquad p_{\text{aus},E} = k_R \cdot R_{pE} \cdot Q_E</math> '''3. Umrechnung des Flusses im 2D-Modell''' Im 2D-Modell liefert das Integral der Normalgeschwindigkeit über den Auslassrand keinen Volumenstrom in m³/s, sondern einen Fluss pro Tiefe <math>q</math> in m²/s. Damit die Widerstände aus dem 3D-Modell verwendet werden können, wird <math>q</math> mit einer einheitlichen Ersatztiefe <math>b</math> in einen Volumenstrom umgerechnet: :<math>Q = q \cdot b, \qquad b = \frac{\pi \, D_{CC}}{4}</math> Die Ersatztiefe ist so gewählt, dass am Einlass mit der mittleren Einströmgeschwindigkeit <math>\bar{u}_{ein} = Q_0 / (\pi D_{CC}^2/4) \approx 0{,}21\,\text{m/s}</math> genau der Volumenstrom des 3D-Modells von 6 ml/s ankommt. Weil dieselbe Ersatztiefe für alle Ränder gilt, bleibt die Massenbilanz erhalten. === Ergebnisse mit Resistenzrandbedingung === {| class="wikitable" style="text-align:center" |+ Maximale Geschwindigkeit ! Stenosegrad S !! <math>u_{max}</math> [m/s] |- | 0 || 0,324^* |- | 0,3 || 0,323^* |- | 0,6 || 0,529 |- | 0,8 || 1,067 |} ^* Bei S = 0 und S = 0,3 liegt das Geschwindigkeitsmaximum nicht in der Stenose, sondern in der A. carotis communis. {| class="wikitable" style="text-align:center" |+ Druck vor und nach der Stenose ! Stenosegrad S !! <math>p_{vor}</math> [Pa] !! <math>p_{nach}</math> [Pa] !! Druckverlust <math>\Delta p = p_{vor} - p_{nach}</math> [Pa] !! <math>\Delta p</math> [mmHg] |- | 0 || 11 802 || 11 793 || 9 || 0,07 |- | 0,3 || 11 808 || 11 790 || 18 || 0,14 |- | 0,6 || 11 838 || 11 760 || 78 || 0,59 |- | 0,8 || 12 024 || 11 626 || 398 || 2,99 |} === Auswertung === * '''Druckniveau:''' Mit der Resistenzrandbedingung liegt der Druck bei etwa 11 800 Pa ≈ 88,5 mmHg. Das entspricht dem mittleren arteriellen Druck in der Carotis. Mit <math>p = 0</math> lagen die Drücke nur bei wenigen Pa bis einigen 100 Pa. * '''Flussaufteilung:''' Die peripheren Widerstände sind wesentlich größer als der Widerstand der Stenose. Deshalb bestimmen sie die Flussaufteilung, und die ACI behält auch bei 80 % Stenose nahezu ihren Anteil (Abnahme von <math>Q_I</math> nur um etwa 1 %). Im Gegensatz zu <math>p = 0</math> kann das Blut nicht einfach in die ACE ausweichen. Das entspricht dem physiologischen Verhalten bei nicht kritischen Stenosen. * '''Geschwindigkeit:''' Weil mehr Blut durch die Engstelle strömen muss, steigen die Geschwindigkeiten in der Stenose gegenüber <math>p = 0</math>. Von S = 0,6 auf S = 0,8 verdoppelt sich <math>u_{max}</math> etwa. * '''Druckverlust:''' Der Druckverlust steigt stark nichtlinear mit dem Stenosegrad. Von S = 0,6 auf S = 0,8 nimmt er etwa um den Faktor 5 zu. * '''Druckrückgewinnung:''' Bei S = 0,8 liegt <math>p_{nach}</math> mit 11 626 Pa sogar unter dem Auslassdruck (≈ 11 680 Pa). Direkt hinter der Engstelle ist die Geschwindigkeit des Strahls noch hoch und der statische Druck entsprechend niedrig. Stromabwärts verlangsamt sich die Strömung, und ein Teil des Drucks wird zurückgewonnen. Der bleibende Druckverlust ist daher etwas kleiner als 398 Pa. === Grenzen und Vergleich mit dem 3D-Modell === * Im 2D-Modell verringert eine Stenose von 80 % nur die '''Spaltbreite''' auf 20 %. Im 3D-Modell sinkt die '''Querschnittsfläche''' dagegen auf <math>0{,}2^2 = 4\,\%</math>. Das 2D-Modell unterschätzt deshalb Geschwindigkeit und Druckverlust in der Stenose systematisch. Klinisch gelten bei Stenosen ab 70 % systolische Spitzengeschwindigkeiten über 2,3 m/s; ab einem Druckgradienten von etwa 10–20 mmHg gilt eine Stenose als hämodynamisch relevant. Beide Grenzen erreicht das 2D-Modell nicht. * Die Umrechnung über die Ersatztiefe <math>\pi D_{CC}/4</math> ist eine Modellannahme. * Der periphere Widerstand ist konstant. Die Autoregulation des Gehirns und die Gefäßelastizität (Windkessel) werden nicht berücksichtigt, und die Rechnung ist stationär (keine Pulsatilität). == Beantwortung der Forschungsfragen == '''Welche Strömungsgrößen reagieren empfindlich auf den Stenosegrad?''' Die Untersuchung der 80-%-Stenose zeigt deutliche Veränderungen der Geschwindigkeitsverteilung, des statischen Drucks und der Wandschubspannung. Die maximale Strömungsgeschwindigkeit beträgt 0,31853 m/s. Zwischen den ausgewählten Messquerschnitten vor und hinter der Stenose ergibt sich eine mittlere statische Druckdifferenz von 36,24 Pa. Die maximale Wandschubspannung auf den untersuchten Stenosewänden beträgt 3,2282 Pa.Da bisher nur die 80-%-Stenose quantitativ ausgewertet wurde, lässt sich noch nicht feststellen, welche dieser Größen bei zunehmendem Stenosegrad am stärksten reagiert. '''Ab welchem Stenosegrad tritt eine Strömungsablösung auf?''' Bei der untersuchten 80-%-Stenose zeigen die Geschwindigkeitskomponenten und die vorzeichenbehaftete Wandschubspannung Hinweise auf Veränderungen der wandnahen Strömungsrichtung hinter der Engstelle. Ein eindeutig geschlossenes Rezirkulationsgebiet konnte jedoch nicht nachgewiesen werden. Ein kritischer Stenosegrad für den Beginn einer Strömungsablösung lässt sich aus dieser einzelnen Simulation daher nicht bestimmen. Hierfür müssten weitere Stenosegrade unter vergleichbaren Bedingungen ausgewertet werden. '''Inwieweit sind die Annahmen einer stationären und laminaren Strömung geeignet?''' Die stationäre, laminare Modellierung ermöglicht es, grundlegende Auswirkungen einer Gefäßverengung auf die Strömung in einer idealisierten Karotis-Bifurkation zu untersuchen. Bei hochgradigen Stenosen können allerdings zeitabhängige und dreidimensionale Strömungsstrukturen auftreten. Diese werden durch das vorliegende stationäre 2D-Modell nicht vollständig erfasst. Die Simulationsergebnisse sind deshalb auf die gewählten Modellannahmen und Randbedingungen beschränkt. '''Zusammenfassend''' liefert die 2D-Simulation eine erste quantitative Beschreibung der Strömungsverhältnisse bei einer hochgradigen ACI-Stenose. Für allgemeine Aussagen über die Abhängigkeit vom Stenosegrad und den Beginn einer Strömungsablösung sind zusätzliche Vergleichsrechnungen erforderlich. = Grenzen des Modells = * Die untersuchte Gefäßgeometrie ist eine idealisierte Darstellung der Karotisaufzweigung. Individuelle anatomische Unterschiede werden nicht berücksichtigt. * Darüber hinaus werden die Gefäßwände als starr angenommen und Blut wird durch ein inkompressibles Newtonsches Fluid mit konstanter Viskosität beschrieben. * Die Strömung wird stationär berechnet. Die natürliche Pulsation des Blutflusses und zeitabhängige Effekte bleiben damit unberücksichtigt. * Insbesondere bei hochgradigen Stenosen können zeitabhängige Strömungsablösungen auftreten, die durch eine stationäre Modellierung nicht vollständig beschrieben werden. * Das Graphenmodell kann lokale Strömungsphänomene nicht detailliert erfassen. Das ebene Flächenmodell vereinfacht die räumliche Gefäßgeometrie. Auch das dreidimensionale Modell bleibt aufgrund der idealisierten Geometrie und der vereinfachten Materialannahmen eine Annäherung an die reale Blutströmung. * Die Ergebnisse sind daher als strömungsmechanische Untersuchung eines idealisierten Modells zu interpretieren und nicht als patientenspezifische medizinische Vorhersage. = Literaturverzeichnis = Alle Quellen sind an den Stellen im Text angegeben, an denen die zugehörigen Werte oder Aussagen verwendet werden. Die Liste wird aus diesen Angaben automatisch erzeugt. <references /> ocl11uuplu51pqnazaaiakcpung62tu 1119405 1119404 2026-11-11T17:42:18Z Nicole.pander 39567 /* Thema */ 1119405 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Joey Becker * Marie-Thérèse Heitele * Nicole Pander = Thema = Gegenstand dieses Projekts ist die numerische Simulation der Blutströmung in einer verzweigten Halsschlagader ('''Carotis-Bifurkation''') unter dem Einfluss einer lokalen Gefäßverengung ('''Stenose'''). Im Vergleich zu einer einfachen Rohrströmungen wird hier die realitätsnahe Gefäßanatomie betrachtet: Die '''Arteria carotis communis (ACC)''' teilt sich in die '''Arteria carotis externa (ACE)''' und die '''Arteria carotis interna (ACI)''' auf. Während die '''ACE''' als gesunder, stenosefreier Ast dient, wird in der '''ACI''' eine Gefäßverengung modelliert. Hierbei werden unterschiedliche Stenosegrade betrachtet. Als Referenz dient ein gesundes, unverengtes Gefäß, in dem sich die Poiseuille-Strömung mit ihrem charakteristischen parabolischen Geschwindigkeitsprofil ausbildet. Diese Strömung ist aus zwei Gründen der natürliche Ausgangspunkt. Sie beschreibt den physiologischen Normalfall, mit dem jeder Stenosegrad verglichen wird. == Fragestellung == Die Hauptfragestellung dieses Projektes lautet: Wie verändert eine symmetrische bzw. rotationssymmetrische Stenose in der '''Arteria carotis interna (ACI)''' die stationäre Strömung eines inkompressiblen Newton’schen Fluids in einer 2D-Carotis-Bifurkation hinsichtlich Geschwindigkeitsverteilung, Druckabfall, Wandschubspannung und Wirbelbildung im Vergleich zu den gesunden Gefäßabschnitten? Aus dieser Fragestellung ergeben sich drei Teilfragen, an denen sich der Aufbau der Seite orientiert: # Welche Strömungsgrößen reagieren empfindlich auf den Stenosegrad und welche nur träge? # Ab welchem Stenosegrad ändert sich das Strömungsmuster qualitativ, das heißt, ab wann löst die Strömung hinter der Engstelle von der Wand ab und bildet ein Rückströmgebiet? # Wie weit tragen die vereinfachenden Modellannahmen, insbesondere die Annahme einer stationären und laminaren Strömung, über den untersuchten Bereich der Stenosegrade? == Modellannahmen == Im Hinblick darauf werden für dieses Projekt einige Annahmen getroffen, um das Projekt möglichst isoliert zu untersuchen und zu simplifizieren: * '''Idealisierte Gefäßgeometrie''': Betrachtet wird ein Teilabbschnitt der ''Arteria carotis communis'', die sog. ''ACI''. Zudem werden Gefäßverkrümmungen, weitere Verzweigungen und patientenspezifische Strukturen nicht berücksichtigt. * '''Starre Gefäßwand''': Die Gefäßwand wird als unbeweglich und nicht verformbar angenommen. Eine Wechselwirkung zwischen elastischer Gefäßwand und Blutströmung wird nicht modelliert. * '''Stationäre Strömung''': Die Strömungsgrößen werden als zeitlich konstant angenommen. Die im realen Blutkreislauf vorhandene Pulsation durch den Herzschlag wird daher vernachlässigt: <math>\frac{\partial u}{\partial t}=0</math>. * '''Inkompressibles Fluid''': Die Dichte des Fluids wird als konstant angenommen. Damit gilt für die Geschwindigkeit <math>\nabla \cdot u=0</math>. Dies entspricht der in der Vorlesung behandelten Massenerhaltung für inkompressible Fluide: Was in das Gefäß einströmt, muss auch wieder ausströmen. * '''Newton'sche Näherung für Blut''': Reales Blut beseitzt ein nicht newton'sches Fließverhalten. Hier wird Blut als Newton'sches Fluid behandelt. * '''Konstante Stoffeigenschaften''': Dichte <math>\rho</math> und dynamische Viskosität μ werden als räumlich und zeitlich konstant angenommen. Temperaturabhängigkeiten werden nicht berücksichtigt. * '''Laminare Strömung''': Die Strömung wird mit dem COMSOL-Modul ''Laminar Flow'' beschrieben. Ein zusätzliches Turbulenzmodell wird nicht verwendet. * '''No-Slip-Bedingung an Gefäßwand''': Aufgrund der Viskosität wird angenommen, dass das Fluid direkt an der Gefäßwand haftet. Somit gilt <math>u=0</math>. * '''Vernachlässigung der Gravitation''': Gravitation wird nicht berücksichtigt. Die Strömung wird ausschließlich durch die gewählten Ein- und Auslassbedingungen bestimmt. = Relevanz = Die Untersuchung von Gefäßverengungen besitzt sowohl eine medizinische als auch eine methodische Bedeutung. Aus medizinischer Sicht sind arterielle Stenosen – etwa in der Halsschlagader, lat. ''arteria carotis communis'', – kritisch, da sie die Durchblutung beeinträchtigen und durch veränderte Wandschubspannungen sowie die Bildung von Wirbeln weitere Gefäßablagerungen begünstigen. Stenosen im Bereich der Karotisgabelung sind klinisch hochrelevant, da sie das Gehirn direkt versorgen und das Risiko für embolische Schlaganfälle erhöhen. Fachlich überträgt das Projekt damit die Prinzipien der Strömungsmechanik direkt auf eine biomedizinische Anwendung. Das Projekt verknüpft somit theoretische Grundlagen der Strömungsmechanik (Hagen-Poiseuille-Gleichung, Navier-Stokes-Gleichungen) mit der numerischen Simulation in COMSOL Multiphysics. Durch den Vergleich der '''gesunden Externa (ACE)''' mit der '''stenoisierten Interna (ACI)''' innerhalb desselben Rechengebiets wird die isolierte Wirkung der Stenose unter identischen Randbedingungen direkt sichtbar gemacht. == Medizinische Relevanz == Arterielle Stenosen entstehen überwiegend durch Atherosklerose, also durch Ablagerungen aus Lipiden, Bindegewebe und Kalk in der Gefäßwand. In der Halsschlagader sind sie klinisch besonders bedeutsam, weil sie die Durchblutung des Gehirns beeinträchtigen und weil sich an ihnen Thromben bilden können, die als Embolie einen Schlaganfall auslösen. Dass die operative Entfernung einer hochgradigen Karotisstenose das Schlaganfallrisiko symptomatischer Patienten deutlich senkt, hat die NASCET-Studie gezeigt, deren Einteilung der Stenosegrade dieses Projekt übernimmt.<ref name="nascet">North American Symptomatic Carotid Endarterectomy Trial Collaborators: ''Beneficial effect of carotid endarterectomy in symptomatic patients with high-grade carotid stenosis.'' New England Journal of Medicine 325 (1991), Nr. 7, S. 445-453.</ref> Strömungsmechanisch ist an einer Stenose vor allem die Wandschubspannung von Interesse, also die tangentiale Kraft je Fläche, die das strömende Blut auf die innerste Zellschicht der Gefäßwand ausübt. Gesunde Halsschlagadern weisen zeitlich gemittelte Werte von etwa 1,1 bis 1,5 Pa auf.<ref name="samijo">Samijo, S. K.; Willigers, J. M.; Barkhuysen, R.; Kitslaar, P. J. E. H. M.; Reneman, R. S.; Brands, P. J.; Hoeks, A. P. G.: ''Wall shear stress in the human common carotid artery as function of age and gender.'' Cardiovascular Research 39 (1998), Nr. 2, S. 515-522.</ref> In einer Engstelle steigt sie stark an, unmittelbar dahinter fällt sie im Ablösegebiet auf nahezu null und wechselt dort sogar das Vorzeichen. Niedrige und im Vorzeichen wechselnde Wandschubspannungen gelten als Bedingungen, unter denen sich weitere Ablagerungen bevorzugt bilden. Eine bestehende Stenose schafft also stromabwärts die Voraussetzungen für ihr eigenes Wachstum. Genau diese Verteilung lässt sich im Körper nur schwer messen, in einer Simulation dagegen unmittelbar auswerten. == Methodische Relevanz == Fachlich überträgt das Projekt die Prinzipien der Strömungsmechanik aus der Vorlesung auf eine biomedizinische Anwendung.<ref name="hundertmark">Hundertmark, A.: ''Fluiddynamik.'' Vorlesungsunterlagen zum Modul Räumliche Modellbildung, RPTU Kaiserslautern-Landau, Sommersemester 2026.</ref> Der methodische Mehrwert liegt in der Verknüpfung mehrerer Zugänge, die sich gegenseitig kontrollieren. Die analytische Poiseuille-Lösung liefert exakte Sollwerte für das gesunde Gefäß. Ein reduziertes Graphenmodell liefert für jeden Stenosegrad eine schnelle Abschätzung, die analytisch nachrechenbar ist. Die Simulationen in COMSOL Multiphysics lösen schließlich die vollständigen Navier-Stokes-Gleichungen in zwei und drei Raumdimensionen. Weil jede Stufe die Sollwerte der nächsten liefert, zeigt das Projekt nicht nur Ergebnisse, sondern auch, wie numerische Modelle aufgebaut, verifiziert und an ihren Grenzen bewertet werden. == Auswahl der Stenosegrade == Um die untersuchten Gefäßverengungen nicht willkürlich festzulegen, orientiert sich die Auswahl der Stenosegrade an der klinisch gebräuchlichen NASCET-Klassifikation von Karotisstenosen.<ref name="nascet" /> Zur klinischen Einordnung werden Karotisstenosen anhand der nach NASCET bestimmten Durchmesserreduktion in leichtgradige, mittelgradige und hochgradige Stenosen eingeteilt. Die angegebenen Prozentgrenzen dienen in diesem Projekt als Orientierung für die Auswahl der untersuchten Stenosegrade. Ein vollständiger Gefäßverschluss wird als Okklusion bezeichnet. {| class="wikitable" |+ Klinische Einteilung nach NASCET-gemessener Durchmesserreduktion und untersuchte Stenosegrade ! Schweregrad !! Durchmesserreduktion !! im Projekt gerechnete Stenosegrade !! hervorgehobener Vertreter |- | gesundes Gefäß || 0 % || 0 || 0 |- | leichtgradige Stenose || unter 50 % || 0,1 bis 0,4 || 0,3 |- | mittelgradige Stenose || 50 bis 69 % || 0,5 und 0,6 || 0,6 |- | hochgradige Stenose || 70 bis 99 % || 0,7 und 0,8 || 0,8 |- | Okklusion || 100 % || nicht gerechnet || entfällt |} '''Anmerkung''': Die Klassengrenzen dienen der Einordnung der Modellvarianten. Die in der Tabelle genannten Stenosegrade sind dimensionslose Werte, beispielsweise entspricht '''<math>s=0{,}6</math>''' einer Durchmesserreduktion von '''60 %'''. Für die numerische Untersuchung wird aus jeder Kategorie ein repräsentativer Stenosegrad hervorgehoben. Neben dem gesunden Gefäß mit '''0 %''' Stenose sind das eine '''30 %''' Stenose als Beispiel für eine leichtgradige, eine '''60 %''' Stenose als Beispiel für eine mittelgradige und eine '''80 %''' Stenose als Beispiel für eine hochgradige Verengung. Zusätzlich werden für das Graphenmodell und das achsensymmetrische Flächenmodell Stenosegrade von 0 bis 80 % in Schritten von zehn Prozentpunkten vorgesehen. Dadurch kann die Abhängigkeit der Strömungsgrößen vom Stenosegrad systematisch untersucht und grafisch dargestellt werden. Ob alle Modellvarianten tatsächlich berechnet wurden und wie hoch der Rechenaufwand war, wird anhand der durchgeführten Simulationen dokumentiert. Ein vollständiger Gefäßverschluss wird nicht simuliert, da in diesem Fall keine durchgängige Strömung mehr vorliegt. Der Stenosegrad wird in diesem Projekt wie bei NASCET über die Verringerung des Gefäßdurchmessers beschrieben, <math>s = 1 - \frac{d_{\min}}{d_{\mathrm{ref}}},</math> wobei <math>d_{\min}</math> der kleinste Durchmesser in der Engstelle und <math>d_{\mathrm{ref}}</math> ein Referenzdurchmesser ist. NASCET verwendet als Referenz den Durchmesser des gesunden Gefäßes stromabwärts der Stenose. Für das idealisierte gerade Gefäßmodell wird ein konstanter Referenzdurchmesser von <math>D_0=6\,\mathrm{mm}</math> angenommen. Da das Gefäß außerhalb der Stenose denselben Durchmesser besitzt, gilt in diesem Modell<math>d_{\mathrm{ref}}=D_0</math>. Bei der zusätzlich betrachteten Gefäßaufzweigung muss der Referenzdurchmesser dagegen gesondert festgelegt werden, da die Gefäßäste unterschiedliche Durchmesser besitzen. Wichtig für das Verständnis aller weiteren Ergebnisse ist der Unterschied zwischen Durchmesser- und Flächenreduktion. Da die Querschnittsfläche quadratisch vom Durchmesser abhängt, gilt für die Flächenreduktion <math>1-(1-s)^2</math>. Eine im klinischen Sinn nur mittelgradige Stenose von 60 % verschließt damit bereits 84 % der Querschnittsfläche. {| class="wikitable" |+ Durchmesser- und Flächenreduktion der gerechneten Stenosegrade ! Stenosegrad s !! 0 !! 0,1 !! 0,2 !! 0,3 !! 0,4 !! 0,5 !! 0,6 !! 0,7 !! 0,8 |- | engster Durchmesser in mm || 6,0 || 5,4 || 4,8 || 4,2 || 3,6 || 3,0 || 2,4 || 1,8 || 1,2 |- | Flächenreduktion || 0 % || 19 % || 36 % || 51 % || 64 % || 75 % || 84 % || 91 % || 96 % |} Eine Einschränkungen gehört zur ehrlichen Einordnung: # Mit zunehmendem Stenosegrad, insbesondere bei ausgeprägten Verengungen, können lokale Beschleunigungen, Strömungsablösungen und zeitabhängige Strömungsstrukturen auftreten. Daher muss bei den hochgradigen Stenosen geprüft werden, inwieweit die Annahme einer stationären, laminaren Strömung geeignet ist. Eine feste Grenze bei <math>s=0{,}6</math> lässt sich ohne entsprechende Simulationsergebnisse oder Literaturbelege nicht allgemein festlegen. Die hochgradigen Fälle werden deshalb unter besonderer Berücksichtigung der Modellannahmen diskutiert. Unter Modellierung wird in diesem Projekt die Übertragung der Blutströmung in einer verengten Arterie auf ein mathematisches und numerisch lösbares Strömungsproblem verstanden. Dazu werden die Gefäßgeometrie, die zugrunde liegenden Gleichungen, die physikalischen Materialparameter sowie die Anfangs- und Randbedingungen festgelegt. Jeder dieser Bestandteile beruht auf vereinfachenden Annahmen, die begründet und bei der Interpretation der Ergebnisse berücksichtigt werden müssen. Ziel ist es, den Einfluss unterschiedlicher Stenosegrade auf die Strömungsgeschwindigkeit, den Druckverlust und gegebenenfalls die Wandschubspannung systematisch zu untersuchen. Die Modellierung erfolgt anhand mehrerer Modellvarianten mit unterschiedlicher räumlicher Auflösung. Dadurch können zunächst grundlegende Zusammenhänge analytisch abgeschätzt und anschließend mit numerischen Strömungsberechnungen verglichen werden. Die verwendeten Parameter orientieren sich an den bereitgestellten Referenzdaten und werden in den folgenden Abschnitten erläutert. == Modellierung == Ziel der Modellierung ist es, die Blutströmung innerhalb einer Y-förmigen Aufzweigung der Halsschlagader mathematisch und numerisch zu untersuchen. Im Mittelpunkt steht eine Gefäßverengung (Stenose) in der Arteria carotis interna. Das betrachtete Gefäßmodell besteht aus der Arteria carotis communis, die sich in die Arteria carotis interna und die Arteria carotis externa aufteilt. Die Stenose befindet sich ausschließlich in der Arteria carotis interna. Durch die Verengung verändert sich der verfügbare Strömungsquerschnitt. Dies kann zu einer Erhöhung der lokalen Strömungsgeschwindigkeit, zu zusätzlichen Druckverlusten und zu einer Veränderung der Strömungsverteilung zwischen den beiden Gefäßästen führen. Ziel ist es, den Einfluss unterschiedlicher Stenosegrade auf die Strömungsgeschwindigkeit, die Druckverteilung und die Wandschubspannung zu untersuchen. Zusätzlich soll betrachtet werden, wie sich die Strömung innerhalb der Y-förmigen Gefäßaufzweigung verhält. Die numerische Modellierung erfolgt mit COMSOL Multiphysics. Dazu werden die Gefäßgeometrie, die Materialeigenschaften des Blutes, die Strömungsgleichungen und die Randbedingungen festgelegt. Zur Vereinfachung wird Blut zunächst als inkompressibles, Newtonsches Fluid betrachtet. Die Gefäßwände werden als starr angenommen. Diese Annahmen ermöglichen eine systematische Untersuchung der Stenose, schränken jedoch die Übertragbarkeit auf reale physiologische Bedingungen ein. === Modellhierarchie === Für die Untersuchung der Blutströmung innerhalb der Y-förmigen Karotisaufzweigung werden drei Modellvarianten betrachtet. Diese unterscheiden sich hinsichtlich ihrer räumlichen Dimension, ihrer mathematischen Beschreibung und der Genauigkeit, mit der die Strömungsverhältnisse dargestellt werden können. Das untersuchte Gefäß besteht aus der Arteria carotis communis, die sich in die Arteria carotis interna und die Arteria carotis externa aufteilt. Die Stenose befindet sich ausschließlich in der Arteria carotis interna. Alle drei Modellvarianten werden mit COMSOL Multiphysics umgesetzt. {| class="wikitable" style="width:100%;" |+ '''Die drei Modellvarianten des Projekts''' |- ! Modell ! Raumdimension ! Mathematische Grundlage ! Zweck ! Werkzeug |- | '''Graphenmodell''' | 1D, Gefäßnetzwerk mit einer Verzweigung | Massenerhaltung an der Verzweigung und vereinfachte Beschreibung der Strömungswiderstände | Abschätzung der Volumenstromverteilung und der Druckverluste in den Gefäßästen | COMSOL Multiphysics |- | '''Ebenes Flächenmodell''' | 2D, Y-förmige Gefäßgeometrie in kartesischen Koordinaten | Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen | Untersuchung der Geschwindigkeits- und Druckverteilung sowie der Auswirkungen der Stenose in der Arteria carotis interna | COMSOL Multiphysics, Laminare Strömung |- | '''Volumenmodell''' | 3D, räumliche Y-förmige Gefäßgeometrie | Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen | Räumliche Untersuchung des Geschwindigkeitsfeldes, des Druckverlustes und der Wandschubspannung | COMSOL Multiphysics, Laminare Strömung |} ==== Vergleich und Überprüfung der Modellvarianten ==== Die drei Modellvarianten bauen hinsichtlich ihrer räumlichen Beschreibung aufeinander auf. Das Graphenmodell ermöglicht zunächst eine vereinfachte Betrachtung der Volumenströme und Druckverluste. Die zwei- und dreidimensionalen Modelle erlauben anschließend eine detailliertere Untersuchung der Strömung innerhalb der Gefäßaufzweigung. Das '''Graphenmodell''' beschreibt die Arteria carotis communis sowie die beiden abzweigenden Gefäße als miteinander verbundenes Netzwerk. Dabei wird die Massenerhaltung an der Verzweigung berücksichtigt: :<math>Q_{\mathrm{CCA}}=Q_{\mathrm{ICA}}+Q_{\mathrm{ECA}}</math> Das Modell liefert vereinfachte Abschätzungen der Volumenstromverteilung. Lokale Strömungsablösungen und räumliche Geschwindigkeitsverteilungen können damit nicht detailliert dargestellt werden. Das '''ebene Flächenmodell''' bildet die Y-förmige Gefäßaufzweigung in zwei Raumdimensionen ab. Die Stenose wird innerhalb der Arteria carotis interna berücksichtigt. Dadurch können die Geschwindigkeits- und Druckverteilung sowie mögliche Rückströmungsbereiche untersucht werden. Das '''Volumenmodell''' erweitert die Untersuchung auf drei Raumdimensionen. Es ermöglicht eine räumliche Darstellung der Strömung und eine detailliertere Berechnung der Wandschubspannung. Die Ergebnisse des ebenen Flächenmodells und des Volumenmodells werden miteinander verglichen. Da das ebene Modell die räumliche Querschnittsgeometrie nur vereinfacht darstellt, müssen Unterschiede zwischen den beiden Modellen bei der Interpretation berücksichtigt werden. Ziel der Modellhierarchie ist es, die Aussagekraft der einzelnen Modellvarianten zu bewerten und den Einfluss des Stenosegrades auf die Strömung innerhalb der Y-förmigen Karotisaufzweigung zu untersuchen. === Simulationsgebiet und Geometrie === Das Simulationsgebiet besteht aus einer idealisierten Y-förmigen Aufzweigung der Arteria carotis. Die Arteria carotis communis teilt sich in die Arteria carotis interna und die Arteria carotis externa. Die Stenose befindet sich in der Arteria carotis interna. Die Arteria carotis externa wird ohne zusätzliche Verengung modelliert. Die Geometrie orientiert sich an den bereitgestellten Referenzdaten. Die Gefäßdurchmesser werden innerhalb der jeweiligen unverengten Abschnitte als konstant angenommen. {| class="wikitable" style="width:100%;" |+ '''Geometrische Referenzparameter der Y-förmigen Gefäßaufzweigung''' |- ! Gefäßabschnitt ! Durchmesser ! Länge |- | Arteria carotis communis | 6 mm | 60 mm |- | Arteria carotis interna | 5 mm | 60 mm |- | Arteria carotis externa | 4 mm | 60 mm |- | Stenose in der Arteria carotis interna | Abhängig vom Stenosegrad | 10 bzw. 20 mm |} Die Verengung wird über den Stenosegrad <math>s</math> beschrieben. Dieser gibt die relative Verringerung des Gefäßdurchmessers an: :<math>s=1-\frac{d_{\min}}{D_{\mathrm{ICA}}}</math> Dabei bezeichnet <math>d_{\min}</math> den minimalen Durchmesser innerhalb der Stenose und <math>D_{\mathrm{ICA}}</math> den unverengten Referenzdurchmesser der Arteria carotis interna. Für das Modell gilt: :<math>D_{\mathrm{ICA}}=5\,\mathrm{mm}</math> Der minimale Durchmesser ergibt sich damit zu: :<math>d_{\min}=D_{\mathrm{ICA}}(1-s)</math> {| class="wikitable" |+ '''Minimaler Durchmesser der Stenose in der Arteria carotis interna''' |- ! Stenosegrad ! Minimaler Durchmesser |- | 0 % | 5,0 mm |- | 10 % | 4,5 mm |- | 20 % | 4,0 mm |- | 30 % | 3,5 mm |- | 40 % | 3,0 mm |- | 50 % | 2,5 mm |- | 60 % | 2,0 mm |- | 70 % | 1,5 mm |- | 80 % | 1,0 mm |} Die angegebenen Stenosegrade beziehen sich ausschließlich auf den Durchmesser der Arteria carotis interna. Der Durchmesser der Arteria carotis communis wird nicht zur Berechnung des Stenosegrades verwendet. Die Y-förmige Geometrie ermöglicht es, die Auswirkungen der Verengung sowohl auf die lokale Strömung in der Arteria carotis interna als auch auf die Strömungsverteilung innerhalb der gesamten Gefäßaufzweigung zu untersuchen. Die genaue Form der Stenose, der Verzweigungswinkel und die Übergänge zwischen den Gefäßabschnitten müssen entsprechend der tatsächlich in COMSOL verwendeten Geometrie dokumentiert werden. == Stoff- und Strömungsparameter == Die Stoffwerte des Blutes und der Volumenstrom sind die einzigen Eingangsgrößen, die nicht aus der Geometrie folgen. Aus ihnen werden alle weiteren Strömungskennwerte berechnet. Die folgenden Schritte zeigen jede Rechnung einzeln, damit sich jeder Wert nachprüfen lässt. # Die '''Dichte''' wird mit <math>\rho = 1060\ \mathrm{kg/m^3}</math> angesetzt. Der Wert lässt sich als Mischungsregel plausibel machen. Plasma hat eine Dichte von etwa 1025 kg/m³, rote Blutkörperchen von etwa 1100 kg/m³. Bei einem Zellanteil von 45 % ergibt sich <math>0{,}55 \cdot 1025 + 0{,}45 \cdot 1100 \approx 1059\ \mathrm{kg/m^3}</math>. Die Dichte geht nur über die Reynoldszahl in die Rechnung ein, eine Abweichung von einem Prozent ändert die Ergebnisse daher kaum. <!-- FIXME Lehrbuchquelle fuer Plasma- und Erythrozytendichte ergaenzen --> # Die '''dynamische Viskosität''' wird mit <math>\mu = 3{,}5\ \mathrm{mPa\,s}</math> angesetzt. Das ist der Grenzwert der Blutviskosität bei hohen Scherraten, also genau der Wert, der zur Newtonschen Näherung gehört. Derselbe Wert von 0,035 Poise wird auch im Standardwerk zur Modellierung des Herz-Kreislauf-Systems verwendet.<ref name="quarteroni">Quarteroni, A.; Formaggia, L.: ''Mathematical Modelling and Numerical Simulation of the Cardiovascular System.'' In: Ayache, N. (Hrsg.): ''Computational Models for the Human Body.'' Handbook of Numerical Analysis, Bd. XII, Elsevier, Amsterdam 2004, S. 3-127. DOI 10.1016/S1570-8659(03)12001-7. Zur Newtonschen Näherung in großen Gefäßen siehe S. 30, zur Viskosität von 0,035 Poise die Parametertabelle auf S. 116.</ref> # Der '''mittlere Volumenstrom''' wird mit <math>Q_0 = 6\ \mathrm{ml/s}</math> angesetzt. Das ist der zeitlich gemittelte Volumenstrom, der in der gemeinsamen Halsschlagader gesunder Probanden gemessen wurde. # Die '''mittlere Geschwindigkeit''' folgt aus Volumenstrom und Querschnittsfläche, <math>U_0 = \frac{Q_0}{\pi R_0^2} = \frac{6 \cdot 10^{-6}\ \mathrm{m^3/s}}{\pi \cdot (0{,}003\ \mathrm{m})^2} = 0{,}2122\ \mathrm{m/s}</math>. # Die '''Reynoldszahl''' des gesunden Gefäßes ist <math>Re_0 = \frac{\rho\, U_0\, D_0}{\mu} = \frac{1060 \cdot 0{,}2122 \cdot 0{,}006}{0{,}0035} = 385{,}6</math>. Sie wird im Folgenden auf 386 gerundet. # Die '''Einlauflänge''', die eine anfangs gleichförmige Strömung bis zum voll entwickelten Parabelprofil bräuchte, beträgt nach der gebräuchlichen Abschätzung für laminare Rohrströmungen <math>L_e \approx 0{,}06\, Re_0\, D_0 \approx 0{,}06 \cdot 386 \cdot 6\ \mathrm{mm} \approx 139\ \mathrm{mm}</math>.<ref name="durst">Durst, F.; Ray, S.; Ünsal, B.; Bayoumi, O. A.: ''The development lengths of laminar pipe and channel flows.'' Journal of Fluids Engineering 127 (2005), Nr. 6, S. 1154-1160. Für große Reynoldszahlen nähert sich die dort angegebene Korrelation dem Wert 0,057·Re·D.</ref> Das ist fast die gesamte Länge des Rechengebiets. Ein konstantes Einlassprofil würde die Strömung an der Stenose also verfälschen, weshalb am Einlass das voll entwickelte Profil vorgegeben wird. Damit liegen alle globalen Parameter fest. Die folgende Tabelle enthält sie mit genau den Namen, unter denen sie in COMSOL und in den Octave-Skripten verwendet werden. {| class="wikitable" |+ Globale Parameter des Modells ! Name !! Ausdruck in COMSOL !! Wert !! Bedeutung !! Herkunft |- | R0 || 3[mm] || 3 mm || Gefäßradius || Messwerte nach Krejza u. a. 2006, gerundet |- | D0 || 2*R0 || 6 mm || Gefäßdurchmesser || abgeleitet |- | Ls || 2*D0 || 12 mm || Länge der Störstelle || Standardgeometrie nach Varghese u. a. 2007 |- | Lu || 5*D0 || 30 mm || Vorlaufstrecke vor der Stenosemitte || Abstand der Einlassbedingung von der Stenose |- | Ld || 20*D0 || 120 mm || Nachlaufstrecke hinter der Stenosemitte || Platz für das Rückströmgebiet |- | Lf || Ls/2+10*D0 || 66 mm || Ende des fein vernetzten Nachlaufs || erwartete Länge des Rückströmgebiets |- | s || 0 bis 0.8 || 0 bis 0,8 || Stenosegrad bezogen auf den Durchmesser || NASCET-Einteilung |- | rho_b || 1060[kg/m^3] || 1060 kg/m³ || Dichte des Blutes || Mischungsregel, Literaturwert |- | mu_b || 3.5[mPa*s] || 3,5 mPa·s || dynamische Viskosität des Blutes || Hochscherwert, Quarteroni und Formaggia 2004 |- | Q0 || 6[ml/s] || 6 ml/s || mittlerer Volumenstrom || Messwerte nach Holdsworth u. a. 1999 |- | U0 || Q0/(pi*R0^2) || 0,2122 m/s || mittlere Einströmgeschwindigkeit || abgeleitet |- | Re0 || rho_b*U0*D0/mu_b || 385,6 || Reynoldszahl des gesunden Gefäßes || abgeleitet |- | dp_ref || 8*mu_b*U0*(Lu+Ld)/R0^2 || 99,03 Pa || Poiseuille-Druckabfall des gesunden Gefäßes || abgeleitet, Hagen-Poiseuille |} = Implementierung des 2D-Modells in COMSOL Multiphysics = == Zielsetzung des zweidimensionalen Modells == Im Rahmen des Projekts wurde mit COMSOL Multiphysics ein zweidimensionales Modell der menschlichen Halsschlagader erstellt. Ziel ist es, die Blutströmung innerhalb einer Gefäßverzweigung zu untersuchen und insbesondere die Auswirkungen einer lokalen Gefäßverengung (Stenose) auf das Strömungsverhalten zu analysieren. Das Modell bildet die Aufzweigung der Arteria carotis communis (ACC) in die Arteria carotis interna (ACI) und die Arteria carotis externa (ACE) ab. Während die ACE als gesunder Gefäßabschnitt betrachtet wird, befindet sich in der ACI eine lokale Verengung. Dadurch können die Strömungsverhältnisse in beiden Ästen miteinander verglichen werden. Die zweidimensionale Modellierung dient dazu, die Geschwindigkeitsverteilung, den Druckabfall und die Wandschubspannung zu untersuchen. Zusätzlich soll festgestellt werden, ob sich hinter der Stenose Bereiche mit Strömungsablösungen oder Rückströmungen ausbilden. ==Vorgehen== Für die numerische Untersuchung in COMSOL Multiphysics 6.2 zunächst ein zweidimensionales Modell mit der Physik ''Laminare Strömung'' und einer ''stationären Studie'' angelegt. Die Gefäßgeometrie wurde vollständig parametrisiert, damit Durchmesser, Gefäßlängen, Verzweigungswinkel, Stenosegrad sowie die Stenoselänge veränderbar sind, ohne das Modell jeweils neu zu zeichnen. Das gemeinsame Zuflussgefäß stellt die Arteria carotis communis mit einem Durchmesser von <math>6\,\mathrm{mm}</math> dar. Nach einem geraden Einlaufabschnitt von <math>60\,\mathrm{mm}</math> teilt es sich V-förmig in die beiden Tochtergefäße auf. Die Arteria carotis interna wird mit einem Durchmesser von <math>5\,\mathrm{mm}</math>, die Arteria carotis externa mit <math>4\,\mathrm{mm}</math> modelliert. Beide Tochtergefäße sind jeweils <math>60\,\mathrm{mm}</math> lang. Die Grundgeometrie wurde als zusammenhängender zweidimensionaler Volumenkörper aufgebaut. Die beiden Tochtergefäße verlaufen nach der Bifurkation unter einem Winkel auseinander, sodass eine idealisierte Y-förmige Karotisgabel entsteht. Die Übergänge zwischen dem gemeinsamen Gefäß und den beiden Ästen wurden bewusst vereinfacht, aber ohne abrupte Querschnittssprünge gestaltet. Auf diese Weise bleibt die Geometrie ausreichend einfach für einen systematischen Vergleich verschiedener Modellvarianten, bildet die typische Aufzweigung einer Karotis. Die Stenose befindet sich ausschließlich in der Arteria carotis interna. Um die Verengung nicht durch gerade Polygonsegmente mit scharfen Knicken darzustellen, wurde ihre Kontur mithilfe von zwei parametrischen Kosinuskurven erzeugt. Zur Beschreibung der Stenose wird eine parametrische Kurve mit dem Hilfsparameter <math>t</math> verwendet. Dieser nimmt Werte zwischen <math>-1</math> und <math>1</math> an. Über die Beziehung <math>x(t)=x_\mathrm{st}+\frac{L_\mathrm{st}}{2}t</math> wird der Parameter auf die räumliche Position entlang des Gefäßes übertragen. Für <math>t=-1</math> liegt der Beginn der Stenose bei <math>x_\mathrm{st}-L_\mathrm{st}/2</math>, für <math>t=0</math> befindet sich die Kurve in der Stenosenmitte und für <math>t=1</math> am Ende bei <math>x_\mathrm{st}+L_\mathrm{st}/2</math>. Dadurch kann die Länge der Stenose über den Parameter <math>L_\mathrm{st}</math> verändert werden, ohne ihre Mittelpunktposition <math>x_\mathrm{st}</math> zu verschieben. Die Einengung wächst vom Beginn der Stenose kontinuierlich bis zur Engstelle an und nimmt danach ebenso kontinuierlich wieder ab. Dadurch entstehen glatte Wandübergänge. Die Stärke der Einengung wird über den dimensionslosen Stenosegrad <math>s</math> gesteuert. Für einen unverengten Durchmesser der Arteria carotis interna von <math>D_\mathrm{ACI}=5\,\mathrm{mm}</math> ergibt sich bei einem Stenosegrad von <math>s=0{,}3</math> eine minimale Gefäßweite von <math>3{,}5\,\mathrm{mm}</math>, bei <math>s=0{,}6</math> von <math>2{,}0\,\mathrm{mm}</math> und bei <math>s=0{,}8</math> von <math>1{,}0\,\mathrm{mm}</math>. Die minimale Gefäßweite ergibt sich allgemein aus <math>d_\mathrm{min}=D_\mathrm{ACI}(1-s)</math>. Die beiden parametrischen Kurven wurden mit Hilfslinien zu geschlossenen Flächen ergänzt und anschließend über „Umwandeln in Volumenkörper“ in Flächenobjekte überführt. Mithilfe einer Differenzoperation wurden diese Flächen aus dem Gefäßgebiet ausgeschnitten. Auf diese Weise bleibt die Grundgeometrie des Gefäßes unverändert, während Stenosegrad und Stenosenlänge allein über globale Parameter variiert werden können. Für die Strömung wurde Blut als inkompressibles Newtonsches Fluid mit konstanter Dichte und Viskosität angenähert. Verwendet werden eine Dichte von <math>\rho=1060\,\mathrm{kg/m^3}</math> und eine dynamische Viskosität von <math>\mu=3,5\,\mathrm{mPa s}</math>. Am Einlass wird ein voll entwickeltes Geschwindigkeitsprofil vorgegeben. Aus dem auf der Projektseite angesetzten mittleren Volumenstrom von <math>6\,\mathrm{ml/s}</math> ergibt sich für das <math>6\,\mathrm{mm}</math> breite Zuflussgefäß eine mittlere Geschwindigkeit von rund <math>0{,}21\,\mathrm{m/s}</math>. An beiden Auslässen wird derselbe Referenzdruck vorgegeben, während an sämtlichen Gefäßwänden die Haftbedingung (No Slip) gilt. Nach Fertigstellung der Geometrie wurde ein physikgesteuertes Finite-Elemente-Netz erzeugt und die stationäre Navier-Stokes-Strömung berechnet. Anschließend wurden insbesondere der Geschwindigkeitsbetrag, die Druckverteilung und die Stromlinien ausgewertet. Die Stromlinien dienen dabei nicht nur der Visualisierung der Aufteilung des Blutstroms an der Bifurkation, sondern auch zur Erkennung möglicher Ablöse- und Rückströmungsgebiete hinter der Stenose. Zusätzlich kann die Wandschubspannung entlang der Gefäßwand ausgewertet werden. Die verschiedenen Stenosegrade werden jeweils bei ansonsten identischen Randbedingungen miteinander und mit dem gesunden Referenzfall verglichen. == Ergebnisse der 2D-Strömungssimulation == Die zweidimensionale Strömungssimulation wurde mit COMSOL Multiphysics durchgeführt, um die Auswirkungen einer lokalen Gefäßverengung auf die Blutströmung innerhalb einer idealisierten Karotis-Bifurkation zu untersuchen. Im Mittelpunkt der Auswertung stehen die Geschwindigkeitsverteilung, die Druckverteilung sowie die Wandschubspannung. Ergänzend werden Stromlinien betrachtet, um mögliche Veränderungen des Strömungsverlaufs und das Auftreten von Rückströmungsgebieten hinter der Stenose zu untersuchen. Die Ergebnisse werden hinsichtlich ihrer strömungsmechanischen Bedeutung interpretiert und unter Berücksichtigung der vereinfachenden Modellannahmen bewertet. === Quantitative Auswertung der Strömungsgeschwindigkeit === Zur Untersuchung des Einflusses verschiedener Stenosegrade auf die Strömungsgeschwindigkeit wurde in COMSOL Multiphysics der Geschwindigkeitsbetrag <code>spf.U</code> mithilfe der Funktion ''Oberflächenmaximum'' ausgewertet. Dabei wurden Stenosegrade von 0 %, 30 %, 60 %, 80 % und 100 % betrachtet. Die Berechnungen erfolgten zunächst mit einer Druckrandbedingung von <math>p_0 = 0\,\mathrm{Pa}</math> und anschließend mit einer Resistenzrandbedingung bei <math>k_R = 1</math>. ==== Druckrandbedingung ==== Bei der Druckrandbedingung wurde die maximale Geschwindigkeit über das gesamte Strömungsgebiet bestimmt. {| class="wikitable" ! Stenosegrad ! Maximale Geschwindigkeit [m/s] |- | 0 % || 0,28385 |- | 30 % || 0,27091 |- | 60 % || 0,35036 |- | 80 % || 0,38530 |- | 100 % || 0,46125 |} Die Ergebnisse zeigen zunächst eine leichte Abnahme der maximalen Geschwindigkeit bei 30 % Stenose. Ab 60 % steigt diese mit zunehmender Verengung an. Dies ist mit einer lokalen Beschleunigung der Strömung infolge des verringerten Strömungsquerschnitts vereinbar. Bei 100 % Stenose beträgt das globale Geschwindigkeitsmaximum 0,46125 m/s. Da die Arteria carotis interna (ACI) vollständig verschlossen ist, beschreibt dieser Wert nicht die Strömung durch den Verschluss, sondern kann aus einem anderen, weiterhin durchströmten Gefäßbereich stammen. ==== Graphische Auswertungen in Comsol ==== [[Datei:0%, Geschwindigkeit, p0=0.png|mini|zentriert|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 0 % Stenose und einer Druckrandbedingung von p₀ = 0 Pa.]] <div style="display:flex; justify-content:center; gap:15px;"> <div> [[Datei:0,3%, Geschwindigkeit, p0=0.png|mini|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 30 % Stenose und einer Druckrandbedingung von p₀ = 0 Pa.]] </div> <div> [[Datei:0,3%, Geschwindigkeit, p0=0, Nah Stenose.png|mini|300px|Vergrößerte Geschwindigkeitsverteilung im Bereich der 30%igen Stenose bei p₀ = 0 Pa.]] </div> </div> <div style="display:flex; justify-content:center; gap:15px;"> <div> [[Datei:0,6%, Geschwindigkeit, p0=0.png|mini|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 60 % Stenose und einer Druckrandbedingung von p₀ = 0 Pa.]] </div> <div> [[Datei:0,6%, Geschwindigkeit, p0=0, Nah Stenose.png|mini|300px|Vergrößerte Geschwindigkeitsverteilung im Bereich der 60%igen Stenose bei p₀ = 0 Pa.]] </div> </div> <div style="display:flex; justify-content:center; gap:15px;"> <div> [[Datei:0,8%, Geschwindigkeit, p0=0.png|mini|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 80 % Stenose und einer Druckrandbedingung von p₀ = 0 Pa.]] </div> <div> [[Datei:0,8%, Geschwindigkeit, p0=0, Nah Stenose.png|mini|300px|Vergrößerte Geschwindigkeitsverteilung im Bereich der 80%igen Stenose bei p₀ = 0 Pa.]] </div> </div> <div style="display:flex; justify-content:center; gap:15px;"> <div> [[Datei:100%, Geschwindigkeit, p0=0.png|mini|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 100 % Stenose und einer Druckrandbedingung von p₀ = 0 Pa.]] </div> <div> [[Datei:100%, Geschwindigkeit, p0=0, Nah Stenose.png|mini|300px|Vergrößerte Darstellung des vollständig verschlossenen Bereichs der ACI bei 100 % Stenose und p₀ = 0 Pa.]] </div> </div> Die Farbskala zeigt den Betrag der Strömungsgeschwindigkeit in m/s. Blaue Bereiche kennzeichnen niedrige, grüne und gelbe mittlere sowie rote Bereiche hohe Geschwindigkeiten. Im unverengten Gefäß ist die Geschwindigkeit in der Gefäßmitte am höchsten und nimmt zu den Gefäßwänden hin ab. Mit zunehmendem Stenosegrad verändert sich die Geschwindigkeitsverteilung deutlich. Im Bereich der Engstelle wird die Strömung lokal beschleunigt, während hinter der Verengung Bereiche niedriger Geschwindigkeit auftreten können. Bei 100 % Stenose ist die ACI vollständig verschlossen, sodass die Strömung nur noch über den offenen Gefäßast abfließen kann. === Resistenzrandbedingung und Vergleich === Anschließend wurde die Strömung unter Verwendung einer Resistenzrandbedingung mit konstantem Parameter <math>k_R = 1</math> untersucht. Bei zunehmender Verengung traten Konvergenzprobleme auf. Ab ungefähr 73 % Stenose konnte keine konvergierende stationäre Lösung mehr bestimmt werden. Daher wurden für die hochgradigen Stenosen ergänzend zeitabhängige Simulationen durchgeführt. {| class="wikitable" ! Stenosegrad ! Druckrandbedingung <math>p_0 = 0\,\mathrm{Pa}</math> [m/s] ! Resistenzrandbedingung <math>k_R = 1</math> [m/s] |- | 0 % || 0,28385 || 0,32426 |- | 30 % || 0,27081 || 0,32219 |- | 60 % || 0,35036 || 0,53188 |- | 80 % || 0,3858 || 1,0674 |- | 100 % || 0,46125 || <math>\approx 0</math> * |} <small>* Bei 100 % Stenose wurde für die Resistenzrandbedingung ausschließlich das Gebiet hinter dem vollständigen Verschluss ausgewertet. Die maximale Geschwindigkeit beträgt dort <math>v_{\max} = 2{,}1416 \cdot 10^{-21}\,\mathrm{m/s} \approx 0\,\mathrm{m/s}</math>.</small> Der Vergleich zeigt, dass die maximale Geschwindigkeit bei der Resistenzrandbedingung insbesondere bei höheren Stenosegraden deutlich stärker ansteigt. Bei 80 % Stenose wird mit 1,0674 m/s ein wesentlich höherer Wert erreicht als bei der Druckrandbedingung mit 0,3858 m/s. Dies verdeutlicht den Einfluss der Auslassrandbedingungen auf die Strömungsverteilung innerhalb der Gefäßverzweigung. Bei vollständigem Gefäßverschluss ist ein direkter Vergleich der beiden Werte nicht möglich, da unterschiedliche Strömungsgebiete ausgewertet wurden. Während bei der Druckrandbedingung das globale Maximum betrachtet wurde, beschreibt der Wert der Resistenzrandbedingung die praktisch zum Stillstand gekommene Strömung hinter der Stenose. Insgesamt zeigen die Ergebnisse, dass sowohl der Stenosegrad als auch die gewählten Randbedingungen einen wesentlichen Einfluss auf die maximale Strömungsgeschwindigkeit besitzen. Die Konvergenzprobleme bei hochgradigen Stenosen verdeutlichen zudem die Notwendigkeit einer ergänzenden zeitabhängigen Untersuchung. ==== Graphische Auswertungen in Comsol ==== [[Datei:0%, Geschwindigkeit, Resbed..png|mini|zentriert|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 0 % Stenose mit Resistenzrandbedingung (k_R = 1).]] <div style="display:flex; justify-content:center; gap:15px;"> <div> [[Datei:0,3%, Geschwindigkeit, Resbed..png|mini|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 30 % Stenose mit Resistenzrandbedingung (k_R = 1).]] </div> <div> [[Datei:0,3%, Geschwindigkeit, Resbed., Nah Stenose.png|mini|300px|Vergrößerte Geschwindigkeitsverteilung im Bereich der 30%igen Stenose mit Resistenzrandbedingung (k_R = 1).]] </div> </div> <div style="display:flex; justify-content:center; gap:15px;"> <div> [[Datei:0,6%, Geschwindigkeit, Resbed..png|mini|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 60 % Stenose mit Resistenzrandbedingung (k_R = 1).]] </div> <div> [[Datei:0,6%, Geschwindigkeit, Resbed., Nah Stenose.png|mini|300px|Vergrößerte Geschwindigkeitsverteilung im Bereich der 60%igen Stenose mit Resistenzrandbedingung (k_R = 1).]] </div> </div> <div style="display:flex; justify-content:center; gap:15px;"> <div> [[Datei:0,8%, Geschwindigkeit, Resbed., zeitabh., Zeit 1 s.png|mini|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 80 % Stenose mit Resistenzrandbedingung (k_R = 1) zum Zeitpunkt t = 1 s.]] </div> <div> [[Datei:0,8%, Geschwindigkeit, Resbed., zeitabh., Zeit 1 s, Nah Stenose.png|mini|300px|Vergrößerte Geschwindigkeitsverteilung im Bereich der 80%igen Stenose mit Resistenzrandbedingung (k_R = 1) zum Zeitpunkt t = 1 s.]] </div> </div> <div style="display:flex; justify-content:center; gap:15px;"> <div> [[Datei:1%, Geschwindigkeit, Resbed., zeitabh., Zeit 1 s,.png|mini|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 100 % Stenose mit Resistenzrandbedingung (k_R = 1) zum Zeitpunkt t = 1 s.]] </div> <div> [[Datei:1%, Geschwindigkeit, Resbed., zeitabh., Zeit 1 s, nah Stenose.png|mini|300px|Vergrößerte Darstellung des vollständig verschlossenen ACI-Bereichs bei 100 % Stenose mit Resistenzrandbedingung (k_R = 1) zum Zeitpunkt t = 1 s.]] </div> </div> === Druckverteilung und Druckabfall === Die Druckverteilung wurde anhand der berechneten Isobaren innerhalb der zweidimensionalen Karotis-Bifurkation untersucht. Dabei zeigt sich eine Abnahme des statischen Drucks vom gemeinsamen Zuflussgefäß in Richtung der beiden Gefäßausgänge. Der maximale berechnete Druck beträgt etwa '''74,2 Pa''', während der minimale Druck bei etwa '''−19,9 Pa''' liegt. Daraus ergibt sich eine globale Druckspanne von ungefähr '''94,1 Pa'''. Besonders auffällig ist die Druckverteilung im Bereich der Stenose der Arteria carotis interna (ACI). Dort liegen die Isobaren deutlich enger beieinander, was auf einen ausgeprägten lokalen Druckgradienten hinweist. Stromabwärts der Engstelle treten zudem Bereiche mit niedrigem statischem Druck auf. '''Interpretation''': Die Ergebnisse zeigen, dass die Stenose die lokale Druckverteilung im ACI-Ast deutlich beeinflusst. Die Beschleunigung der Strömung innerhalb der Verengung geht mit einer Abnahme des statischen Drucks einher. Die globale Druckspanne von 94,1 Pa darf jedoch nicht mit dem irreversiblen Druckverlust über der Stenose gleichgesetzt werden. Die globale Druckspanne von 94,1 Pa ist nicht mit dem Druckabfall über der Stenose gleichzusetzen. Zur genaueren Untersuchung wurden deshalb zwei Messquerschnitte vor und hinter der Engstelle ausgewertet. Zwischen diesen ergibt sich eine mittlere statische Druckdifferenz von 36,24 Pa. <div style="text-align:center;"> [[Datei:Druckverteilung_2D.png|800px|zentriert|Druckverteilung der stationären 2D-Strömungssimulation einer idealisierten Karotis-Bifurkation mit 80 % Stenose in der Arteria carotis interna (ACI). Die Isobaren zeigen den Druckverlauf innerhalb der Gefäßgeometrie. Besonders im Bereich der Stenose ist ein ausgeprägter lokaler Druckgradient erkennbar. Der berechnete Druck liegt zwischen −19,9 Pa und 74,2 Pa.]] <small>'''Abbildung 3:''' Druckverteilung der stationären 2D-Strömungssimulation einer idealisierten Karotis-Bifurkation mit 80 % Stenose in der Arteria carotis interna (ACI). Die Isobaren zeigen den Druckverlauf innerhalb der Gefäßgeometrie. Besonders im Bereich der Stenose ist ein ausgeprägter lokaler Druckgradient erkennbar. Der berechnete Druck liegt zwischen −19,9 Pa und 74,2 Pa.</small> </div> ==== Quantitative Bestimmung der Druckdifferenz ==== Zur quantitativen Untersuchung des Druckabfalls wurden zwei Messquerschnitte im ACI-Ast definiert, einer vor und einer hinter der Stenose. Mithilfe der COMSOL-Funktion „Linienmittelwert“ wurde der mittlere statische Druck an beiden Positionen bestimmt. Vor der Stenose beträgt der mittlere Druck '''35,232 Pa''', während hinter der Stenose ein Wert von '''−1,0042 Pa''' ermittelt wurde. Daraus ergibt sich eine Druckdifferenz von '''36,24 Pa'''. Die Ergebnisse zeigen eine deutliche Abnahme des statischen Drucks zwischen den beiden Messquerschnitten. Diese Druckdifferenz verdeutlicht die Druckänderung entlang des stenotischen ACI-Astes. Sie ist jedoch nicht mit dem ausschließlich durch die Stenose verursachten irreversiblen Druckverlust gleichzusetzen, da auch die Strömungsentwicklung in den angrenzenden Gefäßabschnitten berücksichtigt wird. {| class="wikitable" style="text-align:center;" ! Stenosegrad ! <math>\bar p_\mathrm{vor}</math> [Pa] ! <math>\bar p_\mathrm{nach}</math> [Pa] ! <math>\Delta p</math> [Pa] |- | 0 % | 11,631 | 4,2461 | 7,3849 |- | 30 % | 16,919 | 2,9220 | 13,997 |- | 60 % | 35,835 | -0,58267 | 36,41767 |- | 80 % | 70,562 | -0,55906 | 71,12106 |} === Ausblick: Wandschubspannung im Vergleich === Zur Untersuchung der mechanischen Belastung der Gefäßwände wurde die Wandschubspannung (Wall Shear Stress, WSS) im zweidimensionalen Strömungsmodell ausgewertet. Sie beschreibt die tangentiale viskose Spannung, die durch die Strömung an der Gefäßwand entsteht. Die quantitative Auswertung erfolgte für die obere und untere Wand des stenotischen ACI-Abschnitts. Hierfür wurden die entsprechenden Wandkanten in COMSOL ausgewählt und der Betrag der Wandschubspannung bestimmt. Die Abbildung zeigt die Verteilung der Wandschubspannung (Wall Shear Stress, WSS) an den Gefäßwänden im Bereich der 80-%-Stenose der ACI. Die Auswertung erfolgte einmal mit und einmal ohne Resistenzrandbedingung. Für <math>p_0 = 0\,\mathrm{Pa}</math>: * Die Farbskala verdeutlicht die unterschiedlich starke Belastung der Gefäßwand durch die Blutströmung. '''Blaue Bereiche''' kennzeichnen geringe Wandschubspannungen von etwa 1 bis 2 Pa, während '''grüne und gelbe Bereiche''' mittlere Werte anzeigen. Im '''orange-roten Bereich''' nahe der stärksten Verengung steigt die Wandschubspannung deutlich an. Das mithilfe des Linienmaximums ermittelte Maximum beträgt '''6,0400 Pa'''. * Die erhöhten Werte im Bereich der Stenose lassen sich durch die starke Verengung des Gefäßquerschnitts erklären. Dadurch entstehen größere Geschwindigkeitsänderungen in Wandnähe, die zu einer erhöhten Wandschubspannung führen können. Die Abbildung zeigt somit, dass die mechanische Belastung der Gefäßwand innerhalb des untersuchten Stenosebereichs nicht gleichmäßig verteilt ist, sondern lokal deutlich zunimmt. [[Datei:WSS P0=0.png|300px|mini|zentriert|Verteilung der Wandschubspannung (WSS) im Bereich der 80-%-Stenose der Arteria carotis interna bei der Druckrandbedingung <math>p_0 = 0\,\mathrm{Pa}</math>.]] Mit Resistenzrandbedingung: * Die Abbildung zeigt die Verteilung der Wandschubspannung (Wall Shear Stress, WSS) an den Gefäßwänden im Bereich der 80-%-Stenose der Arteria carotis interna (ACI). Im Gegensatz zur vorherigen Untersuchung mit der Druckrandbedingung <math>p_0 = 0\,\mathrm{Pa}</math> wurde hier die Resistenzrandbedingung <math>k_R = 1</math> verwendet. * Da für diesen Fall keine stationäre Lösung erzielt werden konnte, erfolgte die Berechnung zeitabhängig. Die dargestellten Ergebnisse beziehen sich auf den Zeitpunkt <math>t = 1\,\mathrm{s}</math>. * Die Wandschubspannung ist innerhalb des Stenosebereichs unterschiedlich stark ausgeprägt. Bereiche mit niedrigen Werten kennzeichnen eine geringere tangentiale Belastung der Gefäßwand, während Bereiche mit höheren Werten auf eine stärkere Belastung hinweisen. * Das mithilfe des Linienmaximums ermittelte Maximum auf den ausgewählten Stenosewänden beträgt: <math>19{,}856\,\mathrm{Pa}</math>. * Die erhöhten Wandschubspannungen lassen sich durch die starke Verengung des Gefäßquerschnitts und die damit verbundenen Geschwindigkeitsänderungen in Wandnähe erklären. * Im Vergleich zur stationären Berechnung mit <math>p_0 = 0\,\mathrm{Pa}</math>, bei der eine maximale Wandschubspannung von <math>6{,}0400\,\mathrm{Pa}</math> ermittelt wurde, fällt der Maximalwert bei der Resistenzrandbedingung deutlich höher aus. * Dabei ist zu beachten, dass es sich bei <math>19{,}856\,\mathrm{Pa}</math> um einen Momentanwert bei <math>t = 1\,\mathrm{s}</math> handelt und nicht um einen stationären Wert. Die beiden Ergebnisse sind daher nur eingeschränkt direkt vergleichbar. * Die Farbverteilung zeigt, dass die Wandschubspannung im Bereich der Stenose von niedrigen Werten (Blau) zu höheren Werten (Grün, Gelb und Rot) ansteigt und insbesondere an der engsten Stelle der Gefäßverengung erhöht ist. [[Datei:WSS Resistenzrandbedingung.png|300px|mini|zentriert|Verteilung der Wandschubspannung (WSS) im Bereich der 80-%-Stenose der Arteria carotis interna bei der Resistenzrandbedingung <math>k_R = 1</math> zum Zeitpunkt <math>t = 1\,\mathrm{s}</math> (zeitabhängige Simulation).]] === Zusammenfassende Bewertung der 2D-Ergebnisse AKTUELLE DATEN NOCH REIN === Die stationäre zweidimensionale Strömungssimulation mit einem Stenosegrad von 80 % zeigt deutliche Veränderungen der Strömungsgrößen innerhalb der idealisierten Karotis-Bifurkation. Die maximale Geschwindigkeit beträgt 0,31853 m/s. Zwischen den ausgewählten Messquerschnitten vor und hinter der ACI-Stenose ergibt sich eine mittlere statische Druckdifferenz von 36,24 Pa. Die maximale Wandschubspannung auf den ausgewerteten Stenosewänden beträgt 3,2282 Pa. Die Untersuchung der Geschwindigkeitskomponenten liefert Hinweise auf lokale Strömungsanteile entgegen der Hauptströmungsrichtung. Ein eindeutig abgegrenztes Rezirkulationsgebiet konnte anhand der vorliegenden Darstellungen jedoch nicht sicher nachgewiesen werden. Die Ergebnisse beschreiben zunächst den untersuchten Fall einer hochgradigen Stenose. Aus diesem einzelnen Fall lässt sich weder eine allgemeine Abhängigkeit der Strömungsgrößen vom Stenosegrad noch ein kritischer Stenosegrad für den Beginn der Strömungsablösung bestimmen. Dafür wäre eine vergleichende Auswertung weiterer Stenosegrade erforderlich. == Resistenzrandbedingung am Auslass (2D-Modell) == === Motivation === Im ursprünglichen 2D-Modell wurde an beiden Auslässen eine Nulldruckbedingung <math>p = 0</math> gesetzt. Physikalisch bedeutet das, dass beide Äste in ein „offenes Becken“ mit gleichem, festem Druck münden. Der Auslassdruck hängt dabei nicht davon ab, wie viel Blut ankommt. Diese Annahme hat zwei Schwächen: * Die Flussaufteilung zwischen ACI und ACE ergibt sich nur aus den kleinen Strömungswiderständen der modellierten Gefäßabschnitte. Wird die ACI durch die Stenose verengt, weicht das Blut nahezu ungehindert in die ACE aus. Im Körper ist das nicht möglich, weil hinter der ACI das Gefäßbett des Gehirns mit einem eigenen, großen Widerstand liegt. * Das Druckniveau (Auslass bei 0 Pa) ist nicht physiologisch. Im 3D-Modell wurde deshalb an beiden Auslässen eine '''Resistenzrandbedingung''' verwendet. Damit 2D- und 3D-Modell vergleichbar sind, haben wir dieselbe Randbedingung auch im 2D-Modell eingebaut. === Formel und Herleitung === Das gesamte nachgeschaltete Gefäßbett hinter jedem Auslass wird durch einen einzigen peripheren Widerstand <math>R_p</math> ersetzt: :<math>p_{\text{aus}} = k_R \cdot R_p \cdot Q</math> Dabei ist <math>Q</math> der Volumenstrom durch den Auslass und <math>k_R</math> ein Schalter (<math>k_R = 1</math>: Widerstand, <math>k_R = 0</math>: ursprüngliche Bedingung <math>p = 0</math>). '''1. Gesunde Flussaufteilung nach dem Murray-Gesetz''' Der Volumenstrom eines Gefäßes ist nach Murray proportional zur dritten Potenz des Durchmessers. Für den Anteil der ACI am Gesamtfluss gilt damit: :<math>\varphi_0 = \frac{D_I^3}{D_I^3 + D_E^3} = \frac{(5\,\text{mm})^3}{(5\,\text{mm})^3 + (4\,\text{mm})^3} \approx 0{,}661</math> Mit dem mittleren Volumenstrom der A. carotis communis <math>Q_0 = 6\,\text{ml/s}</math> (Holdsworth u. a. 1999) folgt: :<math>Q_{I,0} = \varphi_0 \cdot Q_0 \approx 3{,}97\,\text{ml/s}, \qquad Q_{E,0} = (1-\varphi_0) \cdot Q_0 \approx 2{,}03\,\text{ml/s}</math> '''2. Bestimmung der peripheren Widerstände''' Die Widerstände werden so gewählt, dass im gesunden Zustand an beiden Auslässen der treibende Druck des peripheren Gefäßbetts <math>p_D = 90\,\text{mmHg} \approx 12\,000\,\text{Pa}</math> anliegt: :<math>R_{pI} = \frac{p_D}{Q_{I,0}} \approx 3{,}0 \cdot 10^{9}\,\frac{\text{Pa}\cdot\text{s}}{\text{m}^3}, \qquad R_{pE} = \frac{p_D}{Q_{E,0}} \approx 5{,}9 \cdot 10^{9}\,\frac{\text{Pa}\cdot\text{s}}{\text{m}^3}</math> Die Randbedingungen an den beiden Auslässen lauten damit: :<math>p_{\text{aus},I} = k_R \cdot R_{pI} \cdot Q_I, \qquad p_{\text{aus},E} = k_R \cdot R_{pE} \cdot Q_E</math> '''3. Umrechnung des Flusses im 2D-Modell''' Im 2D-Modell liefert das Integral der Normalgeschwindigkeit über den Auslassrand keinen Volumenstrom in m³/s, sondern einen Fluss pro Tiefe <math>q</math> in m²/s. Damit die Widerstände aus dem 3D-Modell verwendet werden können, wird <math>q</math> mit einer einheitlichen Ersatztiefe <math>b</math> in einen Volumenstrom umgerechnet: :<math>Q = q \cdot b, \qquad b = \frac{\pi \, D_{CC}}{4}</math> Die Ersatztiefe ist so gewählt, dass am Einlass mit der mittleren Einströmgeschwindigkeit <math>\bar{u}_{ein} = Q_0 / (\pi D_{CC}^2/4) \approx 0{,}21\,\text{m/s}</math> genau der Volumenstrom des 3D-Modells von 6 ml/s ankommt. Weil dieselbe Ersatztiefe für alle Ränder gilt, bleibt die Massenbilanz erhalten. === Ergebnisse mit Resistenzrandbedingung === {| class="wikitable" style="text-align:center" |+ Maximale Geschwindigkeit ! Stenosegrad S !! <math>u_{max}</math> [m/s] |- | 0 || 0,324^* |- | 0,3 || 0,323^* |- | 0,6 || 0,529 |- | 0,8 || 1,067 |} ^* Bei S = 0 und S = 0,3 liegt das Geschwindigkeitsmaximum nicht in der Stenose, sondern in der A. carotis communis. {| class="wikitable" style="text-align:center" |+ Druck vor und nach der Stenose ! Stenosegrad S !! <math>p_{vor}</math> [Pa] !! <math>p_{nach}</math> [Pa] !! Druckverlust <math>\Delta p = p_{vor} - p_{nach}</math> [Pa] !! <math>\Delta p</math> [mmHg] |- | 0 || 11 802 || 11 793 || 9 || 0,07 |- | 0,3 || 11 808 || 11 790 || 18 || 0,14 |- | 0,6 || 11 838 || 11 760 || 78 || 0,59 |- | 0,8 || 12 024 || 11 626 || 398 || 2,99 |} === Auswertung === * '''Druckniveau:''' Mit der Resistenzrandbedingung liegt der Druck bei etwa 11 800 Pa ≈ 88,5 mmHg. Das entspricht dem mittleren arteriellen Druck in der Carotis. Mit <math>p = 0</math> lagen die Drücke nur bei wenigen Pa bis einigen 100 Pa. * '''Flussaufteilung:''' Die peripheren Widerstände sind wesentlich größer als der Widerstand der Stenose. Deshalb bestimmen sie die Flussaufteilung, und die ACI behält auch bei 80 % Stenose nahezu ihren Anteil (Abnahme von <math>Q_I</math> nur um etwa 1 %). Im Gegensatz zu <math>p = 0</math> kann das Blut nicht einfach in die ACE ausweichen. Das entspricht dem physiologischen Verhalten bei nicht kritischen Stenosen. * '''Geschwindigkeit:''' Weil mehr Blut durch die Engstelle strömen muss, steigen die Geschwindigkeiten in der Stenose gegenüber <math>p = 0</math>. Von S = 0,6 auf S = 0,8 verdoppelt sich <math>u_{max}</math> etwa. * '''Druckverlust:''' Der Druckverlust steigt stark nichtlinear mit dem Stenosegrad. Von S = 0,6 auf S = 0,8 nimmt er etwa um den Faktor 5 zu. * '''Druckrückgewinnung:''' Bei S = 0,8 liegt <math>p_{nach}</math> mit 11 626 Pa sogar unter dem Auslassdruck (≈ 11 680 Pa). Direkt hinter der Engstelle ist die Geschwindigkeit des Strahls noch hoch und der statische Druck entsprechend niedrig. Stromabwärts verlangsamt sich die Strömung, und ein Teil des Drucks wird zurückgewonnen. Der bleibende Druckverlust ist daher etwas kleiner als 398 Pa. === Grenzen und Vergleich mit dem 3D-Modell === * Im 2D-Modell verringert eine Stenose von 80 % nur die '''Spaltbreite''' auf 20 %. Im 3D-Modell sinkt die '''Querschnittsfläche''' dagegen auf <math>0{,}2^2 = 4\,\%</math>. Das 2D-Modell unterschätzt deshalb Geschwindigkeit und Druckverlust in der Stenose systematisch. Klinisch gelten bei Stenosen ab 70 % systolische Spitzengeschwindigkeiten über 2,3 m/s; ab einem Druckgradienten von etwa 10–20 mmHg gilt eine Stenose als hämodynamisch relevant. Beide Grenzen erreicht das 2D-Modell nicht. * Die Umrechnung über die Ersatztiefe <math>\pi D_{CC}/4</math> ist eine Modellannahme. * Der periphere Widerstand ist konstant. Die Autoregulation des Gehirns und die Gefäßelastizität (Windkessel) werden nicht berücksichtigt, und die Rechnung ist stationär (keine Pulsatilität). == Beantwortung der Forschungsfragen == '''Welche Strömungsgrößen reagieren empfindlich auf den Stenosegrad?''' Die Untersuchung der 80-%-Stenose zeigt deutliche Veränderungen der Geschwindigkeitsverteilung, des statischen Drucks und der Wandschubspannung. Die maximale Strömungsgeschwindigkeit beträgt 0,31853 m/s. Zwischen den ausgewählten Messquerschnitten vor und hinter der Stenose ergibt sich eine mittlere statische Druckdifferenz von 36,24 Pa. Die maximale Wandschubspannung auf den untersuchten Stenosewänden beträgt 3,2282 Pa.Da bisher nur die 80-%-Stenose quantitativ ausgewertet wurde, lässt sich noch nicht feststellen, welche dieser Größen bei zunehmendem Stenosegrad am stärksten reagiert. '''Ab welchem Stenosegrad tritt eine Strömungsablösung auf?''' Bei der untersuchten 80-%-Stenose zeigen die Geschwindigkeitskomponenten und die vorzeichenbehaftete Wandschubspannung Hinweise auf Veränderungen der wandnahen Strömungsrichtung hinter der Engstelle. Ein eindeutig geschlossenes Rezirkulationsgebiet konnte jedoch nicht nachgewiesen werden. Ein kritischer Stenosegrad für den Beginn einer Strömungsablösung lässt sich aus dieser einzelnen Simulation daher nicht bestimmen. Hierfür müssten weitere Stenosegrade unter vergleichbaren Bedingungen ausgewertet werden. '''Inwieweit sind die Annahmen einer stationären und laminaren Strömung geeignet?''' Die stationäre, laminare Modellierung ermöglicht es, grundlegende Auswirkungen einer Gefäßverengung auf die Strömung in einer idealisierten Karotis-Bifurkation zu untersuchen. Bei hochgradigen Stenosen können allerdings zeitabhängige und dreidimensionale Strömungsstrukturen auftreten. Diese werden durch das vorliegende stationäre 2D-Modell nicht vollständig erfasst. Die Simulationsergebnisse sind deshalb auf die gewählten Modellannahmen und Randbedingungen beschränkt. '''Zusammenfassend''' liefert die 2D-Simulation eine erste quantitative Beschreibung der Strömungsverhältnisse bei einer hochgradigen ACI-Stenose. Für allgemeine Aussagen über die Abhängigkeit vom Stenosegrad und den Beginn einer Strömungsablösung sind zusätzliche Vergleichsrechnungen erforderlich. = Grenzen des Modells = * Die untersuchte Gefäßgeometrie ist eine idealisierte Darstellung der Karotisaufzweigung. Individuelle anatomische Unterschiede werden nicht berücksichtigt. * Darüber hinaus werden die Gefäßwände als starr angenommen und Blut wird durch ein inkompressibles Newtonsches Fluid mit konstanter Viskosität beschrieben. * Die Strömung wird stationär berechnet. Die natürliche Pulsation des Blutflusses und zeitabhängige Effekte bleiben damit unberücksichtigt. * Insbesondere bei hochgradigen Stenosen können zeitabhängige Strömungsablösungen auftreten, die durch eine stationäre Modellierung nicht vollständig beschrieben werden. * Das Graphenmodell kann lokale Strömungsphänomene nicht detailliert erfassen. Das ebene Flächenmodell vereinfacht die räumliche Gefäßgeometrie. Auch das dreidimensionale Modell bleibt aufgrund der idealisierten Geometrie und der vereinfachten Materialannahmen eine Annäherung an die reale Blutströmung. * Die Ergebnisse sind daher als strömungsmechanische Untersuchung eines idealisierten Modells zu interpretieren und nicht als patientenspezifische medizinische Vorhersage. = Literaturverzeichnis = Alle Quellen sind an den Stellen im Text angegeben, an denen die zugehörigen Werte oder Aussagen verwendet werden. Die Liste wird aus diesen Angaben automatisch erzeugt. <references /> l42pdnz4jkuw5ma2md2r4cicx81e1em 1119412 1119405 2026-11-11T18:00:49Z Nicole.pander 39567 /* Fragestellung */ 1119412 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Joey Becker * Marie-Thérèse Heitele * Nicole Pander = Thema = Gegenstand dieses Projekts ist die numerische Simulation der Blutströmung in einer verzweigten Halsschlagader ('''Carotis-Bifurkation''') unter dem Einfluss einer lokalen Gefäßverengung ('''Stenose'''). Im Vergleich zu einer einfachen Rohrströmungen wird hier die realitätsnahe Gefäßanatomie betrachtet: Die '''Arteria carotis communis (ACC)''' teilt sich in die '''Arteria carotis externa (ACE)''' und die '''Arteria carotis interna (ACI)''' auf. Während die '''ACE''' als gesunder, stenosefreier Ast dient, wird in der '''ACI''' eine Gefäßverengung modelliert. Hierbei werden unterschiedliche Stenosegrade betrachtet. Als Referenz dient ein gesundes, unverengtes Gefäß, in dem sich die Poiseuille-Strömung mit ihrem charakteristischen parabolischen Geschwindigkeitsprofil ausbildet. Diese Strömung ist aus zwei Gründen der natürliche Ausgangspunkt. Sie beschreibt den physiologischen Normalfall, mit dem jeder Stenosegrad verglichen wird. == Fragestellung == Die Hauptfragestellung dieses Projektes lautet: Wie verändert eine Stenose in der '''Arteria carotis interna (ACI)''' die Strömung des Blutes hinsichtlich Strömungsgeschwindigkeit und des Druckabfalls über die Engstelle im Vergleich zum gesunden Gefäßabschnitt? Aus dieser Fragestellung ergeben sich drei Teilfragen, an denen sich der Aufbau der Seite orientiert: # Wie stark steigt die maximale Strömungsgeschwindigkeit in der Stenose mit zunehmendem Stenosegrad an? # Wie groß ist die Druckdifferenz vor und nach der Stenose bei den untersuchten Stenosegraden und ab welchem Stenosegrad nimmt sie deutlich zu? # Wie stark hängen Geschwindigkeitsmaximum und Druckdifferenz von der gewählten Auslassrandbedingung ab? == Modellannahmen == Im Hinblick darauf werden für dieses Projekt einige Annahmen getroffen, um das Projekt möglichst isoliert zu untersuchen und zu simplifizieren: * '''Idealisierte Gefäßgeometrie''': Betrachtet wird ein Teilabbschnitt der ''Arteria carotis communis'', die sog. ''ACI''. Zudem werden Gefäßverkrümmungen, weitere Verzweigungen und patientenspezifische Strukturen nicht berücksichtigt. * '''Starre Gefäßwand''': Die Gefäßwand wird als unbeweglich und nicht verformbar angenommen. Eine Wechselwirkung zwischen elastischer Gefäßwand und Blutströmung wird nicht modelliert. * '''Stationäre Strömung''': Die Strömungsgrößen werden als zeitlich konstant angenommen. Die im realen Blutkreislauf vorhandene Pulsation durch den Herzschlag wird daher vernachlässigt: <math>\frac{\partial u}{\partial t}=0</math>. * '''Inkompressibles Fluid''': Die Dichte des Fluids wird als konstant angenommen. Damit gilt für die Geschwindigkeit <math>\nabla \cdot u=0</math>. Dies entspricht der in der Vorlesung behandelten Massenerhaltung für inkompressible Fluide: Was in das Gefäß einströmt, muss auch wieder ausströmen. * '''Newton'sche Näherung für Blut''': Reales Blut beseitzt ein nicht newton'sches Fließverhalten. Hier wird Blut als Newton'sches Fluid behandelt. * '''Konstante Stoffeigenschaften''': Dichte <math>\rho</math> und dynamische Viskosität μ werden als räumlich und zeitlich konstant angenommen. Temperaturabhängigkeiten werden nicht berücksichtigt. * '''Laminare Strömung''': Die Strömung wird mit dem COMSOL-Modul ''Laminar Flow'' beschrieben. Ein zusätzliches Turbulenzmodell wird nicht verwendet. * '''No-Slip-Bedingung an Gefäßwand''': Aufgrund der Viskosität wird angenommen, dass das Fluid direkt an der Gefäßwand haftet. Somit gilt <math>u=0</math>. * '''Vernachlässigung der Gravitation''': Gravitation wird nicht berücksichtigt. Die Strömung wird ausschließlich durch die gewählten Ein- und Auslassbedingungen bestimmt. = Relevanz = Die Untersuchung von Gefäßverengungen besitzt sowohl eine medizinische als auch eine methodische Bedeutung. Aus medizinischer Sicht sind arterielle Stenosen – etwa in der Halsschlagader, lat. ''arteria carotis communis'', – kritisch, da sie die Durchblutung beeinträchtigen und durch veränderte Wandschubspannungen sowie die Bildung von Wirbeln weitere Gefäßablagerungen begünstigen. Stenosen im Bereich der Karotisgabelung sind klinisch hochrelevant, da sie das Gehirn direkt versorgen und das Risiko für embolische Schlaganfälle erhöhen. Fachlich überträgt das Projekt damit die Prinzipien der Strömungsmechanik direkt auf eine biomedizinische Anwendung. Das Projekt verknüpft somit theoretische Grundlagen der Strömungsmechanik (Hagen-Poiseuille-Gleichung, Navier-Stokes-Gleichungen) mit der numerischen Simulation in COMSOL Multiphysics. Durch den Vergleich der '''gesunden Externa (ACE)''' mit der '''stenoisierten Interna (ACI)''' innerhalb desselben Rechengebiets wird die isolierte Wirkung der Stenose unter identischen Randbedingungen direkt sichtbar gemacht. == Medizinische Relevanz == Arterielle Stenosen entstehen überwiegend durch Atherosklerose, also durch Ablagerungen aus Lipiden, Bindegewebe und Kalk in der Gefäßwand. In der Halsschlagader sind sie klinisch besonders bedeutsam, weil sie die Durchblutung des Gehirns beeinträchtigen und weil sich an ihnen Thromben bilden können, die als Embolie einen Schlaganfall auslösen. Dass die operative Entfernung einer hochgradigen Karotisstenose das Schlaganfallrisiko symptomatischer Patienten deutlich senkt, hat die NASCET-Studie gezeigt, deren Einteilung der Stenosegrade dieses Projekt übernimmt.<ref name="nascet">North American Symptomatic Carotid Endarterectomy Trial Collaborators: ''Beneficial effect of carotid endarterectomy in symptomatic patients with high-grade carotid stenosis.'' New England Journal of Medicine 325 (1991), Nr. 7, S. 445-453.</ref> Strömungsmechanisch ist an einer Stenose vor allem die Wandschubspannung von Interesse, also die tangentiale Kraft je Fläche, die das strömende Blut auf die innerste Zellschicht der Gefäßwand ausübt. Gesunde Halsschlagadern weisen zeitlich gemittelte Werte von etwa 1,1 bis 1,5 Pa auf.<ref name="samijo">Samijo, S. K.; Willigers, J. M.; Barkhuysen, R.; Kitslaar, P. J. E. H. M.; Reneman, R. S.; Brands, P. J.; Hoeks, A. P. G.: ''Wall shear stress in the human common carotid artery as function of age and gender.'' Cardiovascular Research 39 (1998), Nr. 2, S. 515-522.</ref> In einer Engstelle steigt sie stark an, unmittelbar dahinter fällt sie im Ablösegebiet auf nahezu null und wechselt dort sogar das Vorzeichen. Niedrige und im Vorzeichen wechselnde Wandschubspannungen gelten als Bedingungen, unter denen sich weitere Ablagerungen bevorzugt bilden. Eine bestehende Stenose schafft also stromabwärts die Voraussetzungen für ihr eigenes Wachstum. Genau diese Verteilung lässt sich im Körper nur schwer messen, in einer Simulation dagegen unmittelbar auswerten. == Methodische Relevanz == Fachlich überträgt das Projekt die Prinzipien der Strömungsmechanik aus der Vorlesung auf eine biomedizinische Anwendung.<ref name="hundertmark">Hundertmark, A.: ''Fluiddynamik.'' Vorlesungsunterlagen zum Modul Räumliche Modellbildung, RPTU Kaiserslautern-Landau, Sommersemester 2026.</ref> Der methodische Mehrwert liegt in der Verknüpfung mehrerer Zugänge, die sich gegenseitig kontrollieren. Die analytische Poiseuille-Lösung liefert exakte Sollwerte für das gesunde Gefäß. Ein reduziertes Graphenmodell liefert für jeden Stenosegrad eine schnelle Abschätzung, die analytisch nachrechenbar ist. Die Simulationen in COMSOL Multiphysics lösen schließlich die vollständigen Navier-Stokes-Gleichungen in zwei und drei Raumdimensionen. Weil jede Stufe die Sollwerte der nächsten liefert, zeigt das Projekt nicht nur Ergebnisse, sondern auch, wie numerische Modelle aufgebaut, verifiziert und an ihren Grenzen bewertet werden. == Auswahl der Stenosegrade == Um die untersuchten Gefäßverengungen nicht willkürlich festzulegen, orientiert sich die Auswahl der Stenosegrade an der klinisch gebräuchlichen NASCET-Klassifikation von Karotisstenosen.<ref name="nascet" /> Zur klinischen Einordnung werden Karotisstenosen anhand der nach NASCET bestimmten Durchmesserreduktion in leichtgradige, mittelgradige und hochgradige Stenosen eingeteilt. Die angegebenen Prozentgrenzen dienen in diesem Projekt als Orientierung für die Auswahl der untersuchten Stenosegrade. Ein vollständiger Gefäßverschluss wird als Okklusion bezeichnet. {| class="wikitable" |+ Klinische Einteilung nach NASCET-gemessener Durchmesserreduktion und untersuchte Stenosegrade ! Schweregrad !! Durchmesserreduktion !! im Projekt gerechnete Stenosegrade !! hervorgehobener Vertreter |- | gesundes Gefäß || 0 % || 0 || 0 |- | leichtgradige Stenose || unter 50 % || 0,1 bis 0,4 || 0,3 |- | mittelgradige Stenose || 50 bis 69 % || 0,5 und 0,6 || 0,6 |- | hochgradige Stenose || 70 bis 99 % || 0,7 und 0,8 || 0,8 |- | Okklusion || 100 % || nicht gerechnet || entfällt |} '''Anmerkung''': Die Klassengrenzen dienen der Einordnung der Modellvarianten. Die in der Tabelle genannten Stenosegrade sind dimensionslose Werte, beispielsweise entspricht '''<math>s=0{,}6</math>''' einer Durchmesserreduktion von '''60 %'''. Für die numerische Untersuchung wird aus jeder Kategorie ein repräsentativer Stenosegrad hervorgehoben. Neben dem gesunden Gefäß mit '''0 %''' Stenose sind das eine '''30 %''' Stenose als Beispiel für eine leichtgradige, eine '''60 %''' Stenose als Beispiel für eine mittelgradige und eine '''80 %''' Stenose als Beispiel für eine hochgradige Verengung. Zusätzlich werden für das Graphenmodell und das achsensymmetrische Flächenmodell Stenosegrade von 0 bis 80 % in Schritten von zehn Prozentpunkten vorgesehen. Dadurch kann die Abhängigkeit der Strömungsgrößen vom Stenosegrad systematisch untersucht und grafisch dargestellt werden. Ob alle Modellvarianten tatsächlich berechnet wurden und wie hoch der Rechenaufwand war, wird anhand der durchgeführten Simulationen dokumentiert. Ein vollständiger Gefäßverschluss wird nicht simuliert, da in diesem Fall keine durchgängige Strömung mehr vorliegt. Der Stenosegrad wird in diesem Projekt wie bei NASCET über die Verringerung des Gefäßdurchmessers beschrieben, <math>s = 1 - \frac{d_{\min}}{d_{\mathrm{ref}}},</math> wobei <math>d_{\min}</math> der kleinste Durchmesser in der Engstelle und <math>d_{\mathrm{ref}}</math> ein Referenzdurchmesser ist. NASCET verwendet als Referenz den Durchmesser des gesunden Gefäßes stromabwärts der Stenose. Für das idealisierte gerade Gefäßmodell wird ein konstanter Referenzdurchmesser von <math>D_0=6\,\mathrm{mm}</math> angenommen. Da das Gefäß außerhalb der Stenose denselben Durchmesser besitzt, gilt in diesem Modell<math>d_{\mathrm{ref}}=D_0</math>. Bei der zusätzlich betrachteten Gefäßaufzweigung muss der Referenzdurchmesser dagegen gesondert festgelegt werden, da die Gefäßäste unterschiedliche Durchmesser besitzen. Wichtig für das Verständnis aller weiteren Ergebnisse ist der Unterschied zwischen Durchmesser- und Flächenreduktion. Da die Querschnittsfläche quadratisch vom Durchmesser abhängt, gilt für die Flächenreduktion <math>1-(1-s)^2</math>. Eine im klinischen Sinn nur mittelgradige Stenose von 60 % verschließt damit bereits 84 % der Querschnittsfläche. {| class="wikitable" |+ Durchmesser- und Flächenreduktion der gerechneten Stenosegrade ! Stenosegrad s !! 0 !! 0,1 !! 0,2 !! 0,3 !! 0,4 !! 0,5 !! 0,6 !! 0,7 !! 0,8 |- | engster Durchmesser in mm || 6,0 || 5,4 || 4,8 || 4,2 || 3,6 || 3,0 || 2,4 || 1,8 || 1,2 |- | Flächenreduktion || 0 % || 19 % || 36 % || 51 % || 64 % || 75 % || 84 % || 91 % || 96 % |} Eine Einschränkungen gehört zur ehrlichen Einordnung: # Mit zunehmendem Stenosegrad, insbesondere bei ausgeprägten Verengungen, können lokale Beschleunigungen, Strömungsablösungen und zeitabhängige Strömungsstrukturen auftreten. Daher muss bei den hochgradigen Stenosen geprüft werden, inwieweit die Annahme einer stationären, laminaren Strömung geeignet ist. Eine feste Grenze bei <math>s=0{,}6</math> lässt sich ohne entsprechende Simulationsergebnisse oder Literaturbelege nicht allgemein festlegen. Die hochgradigen Fälle werden deshalb unter besonderer Berücksichtigung der Modellannahmen diskutiert. Unter Modellierung wird in diesem Projekt die Übertragung der Blutströmung in einer verengten Arterie auf ein mathematisches und numerisch lösbares Strömungsproblem verstanden. Dazu werden die Gefäßgeometrie, die zugrunde liegenden Gleichungen, die physikalischen Materialparameter sowie die Anfangs- und Randbedingungen festgelegt. Jeder dieser Bestandteile beruht auf vereinfachenden Annahmen, die begründet und bei der Interpretation der Ergebnisse berücksichtigt werden müssen. Ziel ist es, den Einfluss unterschiedlicher Stenosegrade auf die Strömungsgeschwindigkeit, den Druckverlust und gegebenenfalls die Wandschubspannung systematisch zu untersuchen. Die Modellierung erfolgt anhand mehrerer Modellvarianten mit unterschiedlicher räumlicher Auflösung. Dadurch können zunächst grundlegende Zusammenhänge analytisch abgeschätzt und anschließend mit numerischen Strömungsberechnungen verglichen werden. Die verwendeten Parameter orientieren sich an den bereitgestellten Referenzdaten und werden in den folgenden Abschnitten erläutert. == Modellierung == Ziel der Modellierung ist es, die Blutströmung innerhalb einer Y-förmigen Aufzweigung der Halsschlagader mathematisch und numerisch zu untersuchen. Im Mittelpunkt steht eine Gefäßverengung (Stenose) in der Arteria carotis interna. Das betrachtete Gefäßmodell besteht aus der Arteria carotis communis, die sich in die Arteria carotis interna und die Arteria carotis externa aufteilt. Die Stenose befindet sich ausschließlich in der Arteria carotis interna. Durch die Verengung verändert sich der verfügbare Strömungsquerschnitt. Dies kann zu einer Erhöhung der lokalen Strömungsgeschwindigkeit, zu zusätzlichen Druckverlusten und zu einer Veränderung der Strömungsverteilung zwischen den beiden Gefäßästen führen. Ziel ist es, den Einfluss unterschiedlicher Stenosegrade auf die Strömungsgeschwindigkeit, die Druckverteilung und die Wandschubspannung zu untersuchen. Zusätzlich soll betrachtet werden, wie sich die Strömung innerhalb der Y-förmigen Gefäßaufzweigung verhält. Die numerische Modellierung erfolgt mit COMSOL Multiphysics. Dazu werden die Gefäßgeometrie, die Materialeigenschaften des Blutes, die Strömungsgleichungen und die Randbedingungen festgelegt. Zur Vereinfachung wird Blut zunächst als inkompressibles, Newtonsches Fluid betrachtet. Die Gefäßwände werden als starr angenommen. Diese Annahmen ermöglichen eine systematische Untersuchung der Stenose, schränken jedoch die Übertragbarkeit auf reale physiologische Bedingungen ein. === Modellhierarchie === Für die Untersuchung der Blutströmung innerhalb der Y-förmigen Karotisaufzweigung werden drei Modellvarianten betrachtet. Diese unterscheiden sich hinsichtlich ihrer räumlichen Dimension, ihrer mathematischen Beschreibung und der Genauigkeit, mit der die Strömungsverhältnisse dargestellt werden können. Das untersuchte Gefäß besteht aus der Arteria carotis communis, die sich in die Arteria carotis interna und die Arteria carotis externa aufteilt. Die Stenose befindet sich ausschließlich in der Arteria carotis interna. Alle drei Modellvarianten werden mit COMSOL Multiphysics umgesetzt. {| class="wikitable" style="width:100%;" |+ '''Die drei Modellvarianten des Projekts''' |- ! Modell ! Raumdimension ! Mathematische Grundlage ! Zweck ! Werkzeug |- | '''Graphenmodell''' | 1D, Gefäßnetzwerk mit einer Verzweigung | Massenerhaltung an der Verzweigung und vereinfachte Beschreibung der Strömungswiderstände | Abschätzung der Volumenstromverteilung und der Druckverluste in den Gefäßästen | COMSOL Multiphysics |- | '''Ebenes Flächenmodell''' | 2D, Y-förmige Gefäßgeometrie in kartesischen Koordinaten | Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen | Untersuchung der Geschwindigkeits- und Druckverteilung sowie der Auswirkungen der Stenose in der Arteria carotis interna | COMSOL Multiphysics, Laminare Strömung |- | '''Volumenmodell''' | 3D, räumliche Y-förmige Gefäßgeometrie | Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen | Räumliche Untersuchung des Geschwindigkeitsfeldes, des Druckverlustes und der Wandschubspannung | COMSOL Multiphysics, Laminare Strömung |} ==== Vergleich und Überprüfung der Modellvarianten ==== Die drei Modellvarianten bauen hinsichtlich ihrer räumlichen Beschreibung aufeinander auf. Das Graphenmodell ermöglicht zunächst eine vereinfachte Betrachtung der Volumenströme und Druckverluste. Die zwei- und dreidimensionalen Modelle erlauben anschließend eine detailliertere Untersuchung der Strömung innerhalb der Gefäßaufzweigung. Das '''Graphenmodell''' beschreibt die Arteria carotis communis sowie die beiden abzweigenden Gefäße als miteinander verbundenes Netzwerk. Dabei wird die Massenerhaltung an der Verzweigung berücksichtigt: :<math>Q_{\mathrm{CCA}}=Q_{\mathrm{ICA}}+Q_{\mathrm{ECA}}</math> Das Modell liefert vereinfachte Abschätzungen der Volumenstromverteilung. Lokale Strömungsablösungen und räumliche Geschwindigkeitsverteilungen können damit nicht detailliert dargestellt werden. Das '''ebene Flächenmodell''' bildet die Y-förmige Gefäßaufzweigung in zwei Raumdimensionen ab. Die Stenose wird innerhalb der Arteria carotis interna berücksichtigt. Dadurch können die Geschwindigkeits- und Druckverteilung sowie mögliche Rückströmungsbereiche untersucht werden. Das '''Volumenmodell''' erweitert die Untersuchung auf drei Raumdimensionen. Es ermöglicht eine räumliche Darstellung der Strömung und eine detailliertere Berechnung der Wandschubspannung. Die Ergebnisse des ebenen Flächenmodells und des Volumenmodells werden miteinander verglichen. Da das ebene Modell die räumliche Querschnittsgeometrie nur vereinfacht darstellt, müssen Unterschiede zwischen den beiden Modellen bei der Interpretation berücksichtigt werden. Ziel der Modellhierarchie ist es, die Aussagekraft der einzelnen Modellvarianten zu bewerten und den Einfluss des Stenosegrades auf die Strömung innerhalb der Y-förmigen Karotisaufzweigung zu untersuchen. === Simulationsgebiet und Geometrie === Das Simulationsgebiet besteht aus einer idealisierten Y-förmigen Aufzweigung der Arteria carotis. Die Arteria carotis communis teilt sich in die Arteria carotis interna und die Arteria carotis externa. Die Stenose befindet sich in der Arteria carotis interna. Die Arteria carotis externa wird ohne zusätzliche Verengung modelliert. Die Geometrie orientiert sich an den bereitgestellten Referenzdaten. Die Gefäßdurchmesser werden innerhalb der jeweiligen unverengten Abschnitte als konstant angenommen. {| class="wikitable" style="width:100%;" |+ '''Geometrische Referenzparameter der Y-förmigen Gefäßaufzweigung''' |- ! Gefäßabschnitt ! Durchmesser ! Länge |- | Arteria carotis communis | 6 mm | 60 mm |- | Arteria carotis interna | 5 mm | 60 mm |- | Arteria carotis externa | 4 mm | 60 mm |- | Stenose in der Arteria carotis interna | Abhängig vom Stenosegrad | 10 bzw. 20 mm |} Die Verengung wird über den Stenosegrad <math>s</math> beschrieben. Dieser gibt die relative Verringerung des Gefäßdurchmessers an: :<math>s=1-\frac{d_{\min}}{D_{\mathrm{ICA}}}</math> Dabei bezeichnet <math>d_{\min}</math> den minimalen Durchmesser innerhalb der Stenose und <math>D_{\mathrm{ICA}}</math> den unverengten Referenzdurchmesser der Arteria carotis interna. Für das Modell gilt: :<math>D_{\mathrm{ICA}}=5\,\mathrm{mm}</math> Der minimale Durchmesser ergibt sich damit zu: :<math>d_{\min}=D_{\mathrm{ICA}}(1-s)</math> {| class="wikitable" |+ '''Minimaler Durchmesser der Stenose in der Arteria carotis interna''' |- ! Stenosegrad ! Minimaler Durchmesser |- | 0 % | 5,0 mm |- | 10 % | 4,5 mm |- | 20 % | 4,0 mm |- | 30 % | 3,5 mm |- | 40 % | 3,0 mm |- | 50 % | 2,5 mm |- | 60 % | 2,0 mm |- | 70 % | 1,5 mm |- | 80 % | 1,0 mm |} Die angegebenen Stenosegrade beziehen sich ausschließlich auf den Durchmesser der Arteria carotis interna. Der Durchmesser der Arteria carotis communis wird nicht zur Berechnung des Stenosegrades verwendet. Die Y-förmige Geometrie ermöglicht es, die Auswirkungen der Verengung sowohl auf die lokale Strömung in der Arteria carotis interna als auch auf die Strömungsverteilung innerhalb der gesamten Gefäßaufzweigung zu untersuchen. Die genaue Form der Stenose, der Verzweigungswinkel und die Übergänge zwischen den Gefäßabschnitten müssen entsprechend der tatsächlich in COMSOL verwendeten Geometrie dokumentiert werden. == Stoff- und Strömungsparameter == Die Stoffwerte des Blutes und der Volumenstrom sind die einzigen Eingangsgrößen, die nicht aus der Geometrie folgen. Aus ihnen werden alle weiteren Strömungskennwerte berechnet. Die folgenden Schritte zeigen jede Rechnung einzeln, damit sich jeder Wert nachprüfen lässt. # Die '''Dichte''' wird mit <math>\rho = 1060\ \mathrm{kg/m^3}</math> angesetzt. Der Wert lässt sich als Mischungsregel plausibel machen. Plasma hat eine Dichte von etwa 1025 kg/m³, rote Blutkörperchen von etwa 1100 kg/m³. Bei einem Zellanteil von 45 % ergibt sich <math>0{,}55 \cdot 1025 + 0{,}45 \cdot 1100 \approx 1059\ \mathrm{kg/m^3}</math>. Die Dichte geht nur über die Reynoldszahl in die Rechnung ein, eine Abweichung von einem Prozent ändert die Ergebnisse daher kaum. <!-- FIXME Lehrbuchquelle fuer Plasma- und Erythrozytendichte ergaenzen --> # Die '''dynamische Viskosität''' wird mit <math>\mu = 3{,}5\ \mathrm{mPa\,s}</math> angesetzt. Das ist der Grenzwert der Blutviskosität bei hohen Scherraten, also genau der Wert, der zur Newtonschen Näherung gehört. Derselbe Wert von 0,035 Poise wird auch im Standardwerk zur Modellierung des Herz-Kreislauf-Systems verwendet.<ref name="quarteroni">Quarteroni, A.; Formaggia, L.: ''Mathematical Modelling and Numerical Simulation of the Cardiovascular System.'' In: Ayache, N. (Hrsg.): ''Computational Models for the Human Body.'' Handbook of Numerical Analysis, Bd. XII, Elsevier, Amsterdam 2004, S. 3-127. DOI 10.1016/S1570-8659(03)12001-7. Zur Newtonschen Näherung in großen Gefäßen siehe S. 30, zur Viskosität von 0,035 Poise die Parametertabelle auf S. 116.</ref> # Der '''mittlere Volumenstrom''' wird mit <math>Q_0 = 6\ \mathrm{ml/s}</math> angesetzt. Das ist der zeitlich gemittelte Volumenstrom, der in der gemeinsamen Halsschlagader gesunder Probanden gemessen wurde. # Die '''mittlere Geschwindigkeit''' folgt aus Volumenstrom und Querschnittsfläche, <math>U_0 = \frac{Q_0}{\pi R_0^2} = \frac{6 \cdot 10^{-6}\ \mathrm{m^3/s}}{\pi \cdot (0{,}003\ \mathrm{m})^2} = 0{,}2122\ \mathrm{m/s}</math>. # Die '''Reynoldszahl''' des gesunden Gefäßes ist <math>Re_0 = \frac{\rho\, U_0\, D_0}{\mu} = \frac{1060 \cdot 0{,}2122 \cdot 0{,}006}{0{,}0035} = 385{,}6</math>. Sie wird im Folgenden auf 386 gerundet. # Die '''Einlauflänge''', die eine anfangs gleichförmige Strömung bis zum voll entwickelten Parabelprofil bräuchte, beträgt nach der gebräuchlichen Abschätzung für laminare Rohrströmungen <math>L_e \approx 0{,}06\, Re_0\, D_0 \approx 0{,}06 \cdot 386 \cdot 6\ \mathrm{mm} \approx 139\ \mathrm{mm}</math>.<ref name="durst">Durst, F.; Ray, S.; Ünsal, B.; Bayoumi, O. A.: ''The development lengths of laminar pipe and channel flows.'' Journal of Fluids Engineering 127 (2005), Nr. 6, S. 1154-1160. Für große Reynoldszahlen nähert sich die dort angegebene Korrelation dem Wert 0,057·Re·D.</ref> Das ist fast die gesamte Länge des Rechengebiets. Ein konstantes Einlassprofil würde die Strömung an der Stenose also verfälschen, weshalb am Einlass das voll entwickelte Profil vorgegeben wird. Damit liegen alle globalen Parameter fest. Die folgende Tabelle enthält sie mit genau den Namen, unter denen sie in COMSOL und in den Octave-Skripten verwendet werden. {| class="wikitable" |+ Globale Parameter des Modells ! Name !! Ausdruck in COMSOL !! Wert !! Bedeutung !! Herkunft |- | R0 || 3[mm] || 3 mm || Gefäßradius || Messwerte nach Krejza u. a. 2006, gerundet |- | D0 || 2*R0 || 6 mm || Gefäßdurchmesser || abgeleitet |- | Ls || 2*D0 || 12 mm || Länge der Störstelle || Standardgeometrie nach Varghese u. a. 2007 |- | Lu || 5*D0 || 30 mm || Vorlaufstrecke vor der Stenosemitte || Abstand der Einlassbedingung von der Stenose |- | Ld || 20*D0 || 120 mm || Nachlaufstrecke hinter der Stenosemitte || Platz für das Rückströmgebiet |- | Lf || Ls/2+10*D0 || 66 mm || Ende des fein vernetzten Nachlaufs || erwartete Länge des Rückströmgebiets |- | s || 0 bis 0.8 || 0 bis 0,8 || Stenosegrad bezogen auf den Durchmesser || NASCET-Einteilung |- | rho_b || 1060[kg/m^3] || 1060 kg/m³ || Dichte des Blutes || Mischungsregel, Literaturwert |- | mu_b || 3.5[mPa*s] || 3,5 mPa·s || dynamische Viskosität des Blutes || Hochscherwert, Quarteroni und Formaggia 2004 |- | Q0 || 6[ml/s] || 6 ml/s || mittlerer Volumenstrom || Messwerte nach Holdsworth u. a. 1999 |- | U0 || Q0/(pi*R0^2) || 0,2122 m/s || mittlere Einströmgeschwindigkeit || abgeleitet |- | Re0 || rho_b*U0*D0/mu_b || 385,6 || Reynoldszahl des gesunden Gefäßes || abgeleitet |- | dp_ref || 8*mu_b*U0*(Lu+Ld)/R0^2 || 99,03 Pa || Poiseuille-Druckabfall des gesunden Gefäßes || abgeleitet, Hagen-Poiseuille |} = Implementierung des 2D-Modells in COMSOL Multiphysics = == Zielsetzung des zweidimensionalen Modells == Im Rahmen des Projekts wurde mit COMSOL Multiphysics ein zweidimensionales Modell der menschlichen Halsschlagader erstellt. Ziel ist es, die Blutströmung innerhalb einer Gefäßverzweigung zu untersuchen und insbesondere die Auswirkungen einer lokalen Gefäßverengung (Stenose) auf das Strömungsverhalten zu analysieren. Das Modell bildet die Aufzweigung der Arteria carotis communis (ACC) in die Arteria carotis interna (ACI) und die Arteria carotis externa (ACE) ab. Während die ACE als gesunder Gefäßabschnitt betrachtet wird, befindet sich in der ACI eine lokale Verengung. Dadurch können die Strömungsverhältnisse in beiden Ästen miteinander verglichen werden. Die zweidimensionale Modellierung dient dazu, die Geschwindigkeitsverteilung, den Druckabfall und die Wandschubspannung zu untersuchen. Zusätzlich soll festgestellt werden, ob sich hinter der Stenose Bereiche mit Strömungsablösungen oder Rückströmungen ausbilden. ==Vorgehen== Für die numerische Untersuchung in COMSOL Multiphysics 6.2 zunächst ein zweidimensionales Modell mit der Physik ''Laminare Strömung'' und einer ''stationären Studie'' angelegt. Die Gefäßgeometrie wurde vollständig parametrisiert, damit Durchmesser, Gefäßlängen, Verzweigungswinkel, Stenosegrad sowie die Stenoselänge veränderbar sind, ohne das Modell jeweils neu zu zeichnen. Das gemeinsame Zuflussgefäß stellt die Arteria carotis communis mit einem Durchmesser von <math>6\,\mathrm{mm}</math> dar. Nach einem geraden Einlaufabschnitt von <math>60\,\mathrm{mm}</math> teilt es sich V-förmig in die beiden Tochtergefäße auf. Die Arteria carotis interna wird mit einem Durchmesser von <math>5\,\mathrm{mm}</math>, die Arteria carotis externa mit <math>4\,\mathrm{mm}</math> modelliert. Beide Tochtergefäße sind jeweils <math>60\,\mathrm{mm}</math> lang. Die Grundgeometrie wurde als zusammenhängender zweidimensionaler Volumenkörper aufgebaut. Die beiden Tochtergefäße verlaufen nach der Bifurkation unter einem Winkel auseinander, sodass eine idealisierte Y-förmige Karotisgabel entsteht. Die Übergänge zwischen dem gemeinsamen Gefäß und den beiden Ästen wurden bewusst vereinfacht, aber ohne abrupte Querschnittssprünge gestaltet. Auf diese Weise bleibt die Geometrie ausreichend einfach für einen systematischen Vergleich verschiedener Modellvarianten, bildet die typische Aufzweigung einer Karotis. Die Stenose befindet sich ausschließlich in der Arteria carotis interna. Um die Verengung nicht durch gerade Polygonsegmente mit scharfen Knicken darzustellen, wurde ihre Kontur mithilfe von zwei parametrischen Kosinuskurven erzeugt. Zur Beschreibung der Stenose wird eine parametrische Kurve mit dem Hilfsparameter <math>t</math> verwendet. Dieser nimmt Werte zwischen <math>-1</math> und <math>1</math> an. Über die Beziehung <math>x(t)=x_\mathrm{st}+\frac{L_\mathrm{st}}{2}t</math> wird der Parameter auf die räumliche Position entlang des Gefäßes übertragen. Für <math>t=-1</math> liegt der Beginn der Stenose bei <math>x_\mathrm{st}-L_\mathrm{st}/2</math>, für <math>t=0</math> befindet sich die Kurve in der Stenosenmitte und für <math>t=1</math> am Ende bei <math>x_\mathrm{st}+L_\mathrm{st}/2</math>. Dadurch kann die Länge der Stenose über den Parameter <math>L_\mathrm{st}</math> verändert werden, ohne ihre Mittelpunktposition <math>x_\mathrm{st}</math> zu verschieben. Die Einengung wächst vom Beginn der Stenose kontinuierlich bis zur Engstelle an und nimmt danach ebenso kontinuierlich wieder ab. Dadurch entstehen glatte Wandübergänge. Die Stärke der Einengung wird über den dimensionslosen Stenosegrad <math>s</math> gesteuert. Für einen unverengten Durchmesser der Arteria carotis interna von <math>D_\mathrm{ACI}=5\,\mathrm{mm}</math> ergibt sich bei einem Stenosegrad von <math>s=0{,}3</math> eine minimale Gefäßweite von <math>3{,}5\,\mathrm{mm}</math>, bei <math>s=0{,}6</math> von <math>2{,}0\,\mathrm{mm}</math> und bei <math>s=0{,}8</math> von <math>1{,}0\,\mathrm{mm}</math>. Die minimale Gefäßweite ergibt sich allgemein aus <math>d_\mathrm{min}=D_\mathrm{ACI}(1-s)</math>. Die beiden parametrischen Kurven wurden mit Hilfslinien zu geschlossenen Flächen ergänzt und anschließend über „Umwandeln in Volumenkörper“ in Flächenobjekte überführt. Mithilfe einer Differenzoperation wurden diese Flächen aus dem Gefäßgebiet ausgeschnitten. Auf diese Weise bleibt die Grundgeometrie des Gefäßes unverändert, während Stenosegrad und Stenosenlänge allein über globale Parameter variiert werden können. Für die Strömung wurde Blut als inkompressibles Newtonsches Fluid mit konstanter Dichte und Viskosität angenähert. Verwendet werden eine Dichte von <math>\rho=1060\,\mathrm{kg/m^3}</math> und eine dynamische Viskosität von <math>\mu=3,5\,\mathrm{mPa s}</math>. Am Einlass wird ein voll entwickeltes Geschwindigkeitsprofil vorgegeben. Aus dem auf der Projektseite angesetzten mittleren Volumenstrom von <math>6\,\mathrm{ml/s}</math> ergibt sich für das <math>6\,\mathrm{mm}</math> breite Zuflussgefäß eine mittlere Geschwindigkeit von rund <math>0{,}21\,\mathrm{m/s}</math>. An beiden Auslässen wird derselbe Referenzdruck vorgegeben, während an sämtlichen Gefäßwänden die Haftbedingung (No Slip) gilt. Nach Fertigstellung der Geometrie wurde ein physikgesteuertes Finite-Elemente-Netz erzeugt und die stationäre Navier-Stokes-Strömung berechnet. Anschließend wurden insbesondere der Geschwindigkeitsbetrag, die Druckverteilung und die Stromlinien ausgewertet. Die Stromlinien dienen dabei nicht nur der Visualisierung der Aufteilung des Blutstroms an der Bifurkation, sondern auch zur Erkennung möglicher Ablöse- und Rückströmungsgebiete hinter der Stenose. Zusätzlich kann die Wandschubspannung entlang der Gefäßwand ausgewertet werden. Die verschiedenen Stenosegrade werden jeweils bei ansonsten identischen Randbedingungen miteinander und mit dem gesunden Referenzfall verglichen. == Ergebnisse der 2D-Strömungssimulation == Die zweidimensionale Strömungssimulation wurde mit COMSOL Multiphysics durchgeführt, um die Auswirkungen einer lokalen Gefäßverengung auf die Blutströmung innerhalb einer idealisierten Karotis-Bifurkation zu untersuchen. Im Mittelpunkt der Auswertung stehen die Geschwindigkeitsverteilung, die Druckverteilung sowie die Wandschubspannung. Ergänzend werden Stromlinien betrachtet, um mögliche Veränderungen des Strömungsverlaufs und das Auftreten von Rückströmungsgebieten hinter der Stenose zu untersuchen. Die Ergebnisse werden hinsichtlich ihrer strömungsmechanischen Bedeutung interpretiert und unter Berücksichtigung der vereinfachenden Modellannahmen bewertet. === Quantitative Auswertung der Strömungsgeschwindigkeit === Zur Untersuchung des Einflusses verschiedener Stenosegrade auf die Strömungsgeschwindigkeit wurde in COMSOL Multiphysics der Geschwindigkeitsbetrag <code>spf.U</code> mithilfe der Funktion ''Oberflächenmaximum'' ausgewertet. Dabei wurden Stenosegrade von 0 %, 30 %, 60 %, 80 % und 100 % betrachtet. Die Berechnungen erfolgten zunächst mit einer Druckrandbedingung von <math>p_0 = 0\,\mathrm{Pa}</math> und anschließend mit einer Resistenzrandbedingung bei <math>k_R = 1</math>. ==== Druckrandbedingung ==== Bei der Druckrandbedingung wurde die maximale Geschwindigkeit über das gesamte Strömungsgebiet bestimmt. {| class="wikitable" ! Stenosegrad ! Maximale Geschwindigkeit [m/s] |- | 0 % || 0,28385 |- | 30 % || 0,27091 |- | 60 % || 0,35036 |- | 80 % || 0,38530 |- | 100 % || 0,46125 |} Die Ergebnisse zeigen zunächst eine leichte Abnahme der maximalen Geschwindigkeit bei 30 % Stenose. Ab 60 % steigt diese mit zunehmender Verengung an. Dies ist mit einer lokalen Beschleunigung der Strömung infolge des verringerten Strömungsquerschnitts vereinbar. Bei 100 % Stenose beträgt das globale Geschwindigkeitsmaximum 0,46125 m/s. Da die Arteria carotis interna (ACI) vollständig verschlossen ist, beschreibt dieser Wert nicht die Strömung durch den Verschluss, sondern kann aus einem anderen, weiterhin durchströmten Gefäßbereich stammen. ==== Graphische Auswertungen in Comsol ==== [[Datei:0%, Geschwindigkeit, p0=0.png|mini|zentriert|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 0 % Stenose und einer Druckrandbedingung von p₀ = 0 Pa.]] <div style="display:flex; justify-content:center; gap:15px;"> <div> [[Datei:0,3%, Geschwindigkeit, p0=0.png|mini|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 30 % Stenose und einer Druckrandbedingung von p₀ = 0 Pa.]] </div> <div> [[Datei:0,3%, Geschwindigkeit, p0=0, Nah Stenose.png|mini|300px|Vergrößerte Geschwindigkeitsverteilung im Bereich der 30%igen Stenose bei p₀ = 0 Pa.]] </div> </div> <div style="display:flex; justify-content:center; gap:15px;"> <div> [[Datei:0,6%, Geschwindigkeit, p0=0.png|mini|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 60 % Stenose und einer Druckrandbedingung von p₀ = 0 Pa.]] </div> <div> [[Datei:0,6%, Geschwindigkeit, p0=0, Nah Stenose.png|mini|300px|Vergrößerte Geschwindigkeitsverteilung im Bereich der 60%igen Stenose bei p₀ = 0 Pa.]] </div> </div> <div style="display:flex; justify-content:center; gap:15px;"> <div> [[Datei:0,8%, Geschwindigkeit, p0=0.png|mini|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 80 % Stenose und einer Druckrandbedingung von p₀ = 0 Pa.]] </div> <div> [[Datei:0,8%, Geschwindigkeit, p0=0, Nah Stenose.png|mini|300px|Vergrößerte Geschwindigkeitsverteilung im Bereich der 80%igen Stenose bei p₀ = 0 Pa.]] </div> </div> <div style="display:flex; justify-content:center; gap:15px;"> <div> [[Datei:100%, Geschwindigkeit, p0=0.png|mini|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 100 % Stenose und einer Druckrandbedingung von p₀ = 0 Pa.]] </div> <div> [[Datei:100%, Geschwindigkeit, p0=0, Nah Stenose.png|mini|300px|Vergrößerte Darstellung des vollständig verschlossenen Bereichs der ACI bei 100 % Stenose und p₀ = 0 Pa.]] </div> </div> Die Farbskala zeigt den Betrag der Strömungsgeschwindigkeit in m/s. Blaue Bereiche kennzeichnen niedrige, grüne und gelbe mittlere sowie rote Bereiche hohe Geschwindigkeiten. Im unverengten Gefäß ist die Geschwindigkeit in der Gefäßmitte am höchsten und nimmt zu den Gefäßwänden hin ab. Mit zunehmendem Stenosegrad verändert sich die Geschwindigkeitsverteilung deutlich. Im Bereich der Engstelle wird die Strömung lokal beschleunigt, während hinter der Verengung Bereiche niedriger Geschwindigkeit auftreten können. Bei 100 % Stenose ist die ACI vollständig verschlossen, sodass die Strömung nur noch über den offenen Gefäßast abfließen kann. === Resistenzrandbedingung und Vergleich === Anschließend wurde die Strömung unter Verwendung einer Resistenzrandbedingung mit konstantem Parameter <math>k_R = 1</math> untersucht. Bei zunehmender Verengung traten Konvergenzprobleme auf. Ab ungefähr 73 % Stenose konnte keine konvergierende stationäre Lösung mehr bestimmt werden. Daher wurden für die hochgradigen Stenosen ergänzend zeitabhängige Simulationen durchgeführt. {| class="wikitable" ! Stenosegrad ! Druckrandbedingung <math>p_0 = 0\,\mathrm{Pa}</math> [m/s] ! Resistenzrandbedingung <math>k_R = 1</math> [m/s] |- | 0 % || 0,28385 || 0,32426 |- | 30 % || 0,27081 || 0,32219 |- | 60 % || 0,35036 || 0,53188 |- | 80 % || 0,3858 || 1,0674 |- | 100 % || 0,46125 || <math>\approx 0</math> * |} <small>* Bei 100 % Stenose wurde für die Resistenzrandbedingung ausschließlich das Gebiet hinter dem vollständigen Verschluss ausgewertet. Die maximale Geschwindigkeit beträgt dort <math>v_{\max} = 2{,}1416 \cdot 10^{-21}\,\mathrm{m/s} \approx 0\,\mathrm{m/s}</math>.</small> Der Vergleich zeigt, dass die maximale Geschwindigkeit bei der Resistenzrandbedingung insbesondere bei höheren Stenosegraden deutlich stärker ansteigt. Bei 80 % Stenose wird mit 1,0674 m/s ein wesentlich höherer Wert erreicht als bei der Druckrandbedingung mit 0,3858 m/s. Dies verdeutlicht den Einfluss der Auslassrandbedingungen auf die Strömungsverteilung innerhalb der Gefäßverzweigung. Bei vollständigem Gefäßverschluss ist ein direkter Vergleich der beiden Werte nicht möglich, da unterschiedliche Strömungsgebiete ausgewertet wurden. Während bei der Druckrandbedingung das globale Maximum betrachtet wurde, beschreibt der Wert der Resistenzrandbedingung die praktisch zum Stillstand gekommene Strömung hinter der Stenose. Insgesamt zeigen die Ergebnisse, dass sowohl der Stenosegrad als auch die gewählten Randbedingungen einen wesentlichen Einfluss auf die maximale Strömungsgeschwindigkeit besitzen. Die Konvergenzprobleme bei hochgradigen Stenosen verdeutlichen zudem die Notwendigkeit einer ergänzenden zeitabhängigen Untersuchung. ==== Graphische Auswertungen in Comsol ==== [[Datei:0%, Geschwindigkeit, Resbed..png|mini|zentriert|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 0 % Stenose mit Resistenzrandbedingung (k_R = 1).]] <div style="display:flex; justify-content:center; gap:15px;"> <div> [[Datei:0,3%, Geschwindigkeit, Resbed..png|mini|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 30 % Stenose mit Resistenzrandbedingung (k_R = 1).]] </div> <div> [[Datei:0,3%, Geschwindigkeit, Resbed., Nah Stenose.png|mini|300px|Vergrößerte Geschwindigkeitsverteilung im Bereich der 30%igen Stenose mit Resistenzrandbedingung (k_R = 1).]] </div> </div> <div style="display:flex; justify-content:center; gap:15px;"> <div> [[Datei:0,6%, Geschwindigkeit, Resbed..png|mini|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 60 % Stenose mit Resistenzrandbedingung (k_R = 1).]] </div> <div> [[Datei:0,6%, Geschwindigkeit, Resbed., Nah Stenose.png|mini|300px|Vergrößerte Geschwindigkeitsverteilung im Bereich der 60%igen Stenose mit Resistenzrandbedingung (k_R = 1).]] </div> </div> <div style="display:flex; justify-content:center; gap:15px;"> <div> [[Datei:0,8%, Geschwindigkeit, Resbed., zeitabh., Zeit 1 s.png|mini|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 80 % Stenose mit Resistenzrandbedingung (k_R = 1) zum Zeitpunkt t = 1 s.]] </div> <div> [[Datei:0,8%, Geschwindigkeit, Resbed., zeitabh., Zeit 1 s, Nah Stenose.png|mini|300px|Vergrößerte Geschwindigkeitsverteilung im Bereich der 80%igen Stenose mit Resistenzrandbedingung (k_R = 1) zum Zeitpunkt t = 1 s.]] </div> </div> <div style="display:flex; justify-content:center; gap:15px;"> <div> [[Datei:1%, Geschwindigkeit, Resbed., zeitabh., Zeit 1 s,.png|mini|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 100 % Stenose mit Resistenzrandbedingung (k_R = 1) zum Zeitpunkt t = 1 s.]] </div> <div> [[Datei:1%, Geschwindigkeit, Resbed., zeitabh., Zeit 1 s, nah Stenose.png|mini|300px|Vergrößerte Darstellung des vollständig verschlossenen ACI-Bereichs bei 100 % Stenose mit Resistenzrandbedingung (k_R = 1) zum Zeitpunkt t = 1 s.]] </div> </div> === Druckverteilung und Druckabfall === Die Druckverteilung wurde anhand der berechneten Isobaren innerhalb der zweidimensionalen Karotis-Bifurkation untersucht. Dabei zeigt sich eine Abnahme des statischen Drucks vom gemeinsamen Zuflussgefäß in Richtung der beiden Gefäßausgänge. Der maximale berechnete Druck beträgt etwa '''74,2 Pa''', während der minimale Druck bei etwa '''−19,9 Pa''' liegt. Daraus ergibt sich eine globale Druckspanne von ungefähr '''94,1 Pa'''. Besonders auffällig ist die Druckverteilung im Bereich der Stenose der Arteria carotis interna (ACI). Dort liegen die Isobaren deutlich enger beieinander, was auf einen ausgeprägten lokalen Druckgradienten hinweist. Stromabwärts der Engstelle treten zudem Bereiche mit niedrigem statischem Druck auf. '''Interpretation''': Die Ergebnisse zeigen, dass die Stenose die lokale Druckverteilung im ACI-Ast deutlich beeinflusst. Die Beschleunigung der Strömung innerhalb der Verengung geht mit einer Abnahme des statischen Drucks einher. Die globale Druckspanne von 94,1 Pa darf jedoch nicht mit dem irreversiblen Druckverlust über der Stenose gleichgesetzt werden. Die globale Druckspanne von 94,1 Pa ist nicht mit dem Druckabfall über der Stenose gleichzusetzen. Zur genaueren Untersuchung wurden deshalb zwei Messquerschnitte vor und hinter der Engstelle ausgewertet. Zwischen diesen ergibt sich eine mittlere statische Druckdifferenz von 36,24 Pa. <div style="text-align:center;"> [[Datei:Druckverteilung_2D.png|800px|zentriert|Druckverteilung der stationären 2D-Strömungssimulation einer idealisierten Karotis-Bifurkation mit 80 % Stenose in der Arteria carotis interna (ACI). Die Isobaren zeigen den Druckverlauf innerhalb der Gefäßgeometrie. Besonders im Bereich der Stenose ist ein ausgeprägter lokaler Druckgradient erkennbar. Der berechnete Druck liegt zwischen −19,9 Pa und 74,2 Pa.]] <small>'''Abbildung 3:''' Druckverteilung der stationären 2D-Strömungssimulation einer idealisierten Karotis-Bifurkation mit 80 % Stenose in der Arteria carotis interna (ACI). Die Isobaren zeigen den Druckverlauf innerhalb der Gefäßgeometrie. Besonders im Bereich der Stenose ist ein ausgeprägter lokaler Druckgradient erkennbar. Der berechnete Druck liegt zwischen −19,9 Pa und 74,2 Pa.</small> </div> ==== Quantitative Bestimmung der Druckdifferenz ==== Zur quantitativen Untersuchung des Druckabfalls wurden zwei Messquerschnitte im ACI-Ast definiert, einer vor und einer hinter der Stenose. Mithilfe der COMSOL-Funktion „Linienmittelwert“ wurde der mittlere statische Druck an beiden Positionen bestimmt. Vor der Stenose beträgt der mittlere Druck '''35,232 Pa''', während hinter der Stenose ein Wert von '''−1,0042 Pa''' ermittelt wurde. Daraus ergibt sich eine Druckdifferenz von '''36,24 Pa'''. Die Ergebnisse zeigen eine deutliche Abnahme des statischen Drucks zwischen den beiden Messquerschnitten. Diese Druckdifferenz verdeutlicht die Druckänderung entlang des stenotischen ACI-Astes. Sie ist jedoch nicht mit dem ausschließlich durch die Stenose verursachten irreversiblen Druckverlust gleichzusetzen, da auch die Strömungsentwicklung in den angrenzenden Gefäßabschnitten berücksichtigt wird. {| class="wikitable" style="text-align:center;" ! Stenosegrad ! <math>\bar p_\mathrm{vor}</math> [Pa] ! <math>\bar p_\mathrm{nach}</math> [Pa] ! <math>\Delta p</math> [Pa] |- | 0 % | 11,631 | 4,2461 | 7,3849 |- | 30 % | 16,919 | 2,9220 | 13,997 |- | 60 % | 35,835 | -0,58267 | 36,41767 |- | 80 % | 70,562 | -0,55906 | 71,12106 |} === Ausblick: Wandschubspannung im Vergleich === Zur Untersuchung der mechanischen Belastung der Gefäßwände wurde die Wandschubspannung (Wall Shear Stress, WSS) im zweidimensionalen Strömungsmodell ausgewertet. Sie beschreibt die tangentiale viskose Spannung, die durch die Strömung an der Gefäßwand entsteht. Die quantitative Auswertung erfolgte für die obere und untere Wand des stenotischen ACI-Abschnitts. Hierfür wurden die entsprechenden Wandkanten in COMSOL ausgewählt und der Betrag der Wandschubspannung bestimmt. Die Abbildung zeigt die Verteilung der Wandschubspannung (Wall Shear Stress, WSS) an den Gefäßwänden im Bereich der 80-%-Stenose der ACI. Die Auswertung erfolgte einmal mit und einmal ohne Resistenzrandbedingung. Für <math>p_0 = 0\,\mathrm{Pa}</math>: * Die Farbskala verdeutlicht die unterschiedlich starke Belastung der Gefäßwand durch die Blutströmung. '''Blaue Bereiche''' kennzeichnen geringe Wandschubspannungen von etwa 1 bis 2 Pa, während '''grüne und gelbe Bereiche''' mittlere Werte anzeigen. Im '''orange-roten Bereich''' nahe der stärksten Verengung steigt die Wandschubspannung deutlich an. Das mithilfe des Linienmaximums ermittelte Maximum beträgt '''6,0400 Pa'''. * Die erhöhten Werte im Bereich der Stenose lassen sich durch die starke Verengung des Gefäßquerschnitts erklären. Dadurch entstehen größere Geschwindigkeitsänderungen in Wandnähe, die zu einer erhöhten Wandschubspannung führen können. Die Abbildung zeigt somit, dass die mechanische Belastung der Gefäßwand innerhalb des untersuchten Stenosebereichs nicht gleichmäßig verteilt ist, sondern lokal deutlich zunimmt. [[Datei:WSS P0=0.png|300px|mini|zentriert|Verteilung der Wandschubspannung (WSS) im Bereich der 80-%-Stenose der Arteria carotis interna bei der Druckrandbedingung <math>p_0 = 0\,\mathrm{Pa}</math>.]] Mit Resistenzrandbedingung: * Die Abbildung zeigt die Verteilung der Wandschubspannung (Wall Shear Stress, WSS) an den Gefäßwänden im Bereich der 80-%-Stenose der Arteria carotis interna (ACI). Im Gegensatz zur vorherigen Untersuchung mit der Druckrandbedingung <math>p_0 = 0\,\mathrm{Pa}</math> wurde hier die Resistenzrandbedingung <math>k_R = 1</math> verwendet. * Da für diesen Fall keine stationäre Lösung erzielt werden konnte, erfolgte die Berechnung zeitabhängig. Die dargestellten Ergebnisse beziehen sich auf den Zeitpunkt <math>t = 1\,\mathrm{s}</math>. * Die Wandschubspannung ist innerhalb des Stenosebereichs unterschiedlich stark ausgeprägt. Bereiche mit niedrigen Werten kennzeichnen eine geringere tangentiale Belastung der Gefäßwand, während Bereiche mit höheren Werten auf eine stärkere Belastung hinweisen. * Das mithilfe des Linienmaximums ermittelte Maximum auf den ausgewählten Stenosewänden beträgt: <math>19{,}856\,\mathrm{Pa}</math>. * Die erhöhten Wandschubspannungen lassen sich durch die starke Verengung des Gefäßquerschnitts und die damit verbundenen Geschwindigkeitsänderungen in Wandnähe erklären. * Im Vergleich zur stationären Berechnung mit <math>p_0 = 0\,\mathrm{Pa}</math>, bei der eine maximale Wandschubspannung von <math>6{,}0400\,\mathrm{Pa}</math> ermittelt wurde, fällt der Maximalwert bei der Resistenzrandbedingung deutlich höher aus. * Dabei ist zu beachten, dass es sich bei <math>19{,}856\,\mathrm{Pa}</math> um einen Momentanwert bei <math>t = 1\,\mathrm{s}</math> handelt und nicht um einen stationären Wert. Die beiden Ergebnisse sind daher nur eingeschränkt direkt vergleichbar. * Die Farbverteilung zeigt, dass die Wandschubspannung im Bereich der Stenose von niedrigen Werten (Blau) zu höheren Werten (Grün, Gelb und Rot) ansteigt und insbesondere an der engsten Stelle der Gefäßverengung erhöht ist. [[Datei:WSS Resistenzrandbedingung.png|300px|mini|zentriert|Verteilung der Wandschubspannung (WSS) im Bereich der 80-%-Stenose der Arteria carotis interna bei der Resistenzrandbedingung <math>k_R = 1</math> zum Zeitpunkt <math>t = 1\,\mathrm{s}</math> (zeitabhängige Simulation).]] === Zusammenfassende Bewertung der 2D-Ergebnisse AKTUELLE DATEN NOCH REIN === Die stationäre zweidimensionale Strömungssimulation mit einem Stenosegrad von 80 % zeigt deutliche Veränderungen der Strömungsgrößen innerhalb der idealisierten Karotis-Bifurkation. Die maximale Geschwindigkeit beträgt 0,31853 m/s. Zwischen den ausgewählten Messquerschnitten vor und hinter der ACI-Stenose ergibt sich eine mittlere statische Druckdifferenz von 36,24 Pa. Die maximale Wandschubspannung auf den ausgewerteten Stenosewänden beträgt 3,2282 Pa. Die Untersuchung der Geschwindigkeitskomponenten liefert Hinweise auf lokale Strömungsanteile entgegen der Hauptströmungsrichtung. Ein eindeutig abgegrenztes Rezirkulationsgebiet konnte anhand der vorliegenden Darstellungen jedoch nicht sicher nachgewiesen werden. Die Ergebnisse beschreiben zunächst den untersuchten Fall einer hochgradigen Stenose. Aus diesem einzelnen Fall lässt sich weder eine allgemeine Abhängigkeit der Strömungsgrößen vom Stenosegrad noch ein kritischer Stenosegrad für den Beginn der Strömungsablösung bestimmen. Dafür wäre eine vergleichende Auswertung weiterer Stenosegrade erforderlich. == Resistenzrandbedingung am Auslass (2D-Modell) == === Motivation === Im ursprünglichen 2D-Modell wurde an beiden Auslässen eine Nulldruckbedingung <math>p = 0</math> gesetzt. Physikalisch bedeutet das, dass beide Äste in ein „offenes Becken“ mit gleichem, festem Druck münden. Der Auslassdruck hängt dabei nicht davon ab, wie viel Blut ankommt. Diese Annahme hat zwei Schwächen: * Die Flussaufteilung zwischen ACI und ACE ergibt sich nur aus den kleinen Strömungswiderständen der modellierten Gefäßabschnitte. Wird die ACI durch die Stenose verengt, weicht das Blut nahezu ungehindert in die ACE aus. Im Körper ist das nicht möglich, weil hinter der ACI das Gefäßbett des Gehirns mit einem eigenen, großen Widerstand liegt. * Das Druckniveau (Auslass bei 0 Pa) ist nicht physiologisch. Im 3D-Modell wurde deshalb an beiden Auslässen eine '''Resistenzrandbedingung''' verwendet. Damit 2D- und 3D-Modell vergleichbar sind, haben wir dieselbe Randbedingung auch im 2D-Modell eingebaut. === Formel und Herleitung === Das gesamte nachgeschaltete Gefäßbett hinter jedem Auslass wird durch einen einzigen peripheren Widerstand <math>R_p</math> ersetzt: :<math>p_{\text{aus}} = k_R \cdot R_p \cdot Q</math> Dabei ist <math>Q</math> der Volumenstrom durch den Auslass und <math>k_R</math> ein Schalter (<math>k_R = 1</math>: Widerstand, <math>k_R = 0</math>: ursprüngliche Bedingung <math>p = 0</math>). '''1. Gesunde Flussaufteilung nach dem Murray-Gesetz''' Der Volumenstrom eines Gefäßes ist nach Murray proportional zur dritten Potenz des Durchmessers. Für den Anteil der ACI am Gesamtfluss gilt damit: :<math>\varphi_0 = \frac{D_I^3}{D_I^3 + D_E^3} = \frac{(5\,\text{mm})^3}{(5\,\text{mm})^3 + (4\,\text{mm})^3} \approx 0{,}661</math> Mit dem mittleren Volumenstrom der A. carotis communis <math>Q_0 = 6\,\text{ml/s}</math> (Holdsworth u. a. 1999) folgt: :<math>Q_{I,0} = \varphi_0 \cdot Q_0 \approx 3{,}97\,\text{ml/s}, \qquad Q_{E,0} = (1-\varphi_0) \cdot Q_0 \approx 2{,}03\,\text{ml/s}</math> '''2. Bestimmung der peripheren Widerstände''' Die Widerstände werden so gewählt, dass im gesunden Zustand an beiden Auslässen der treibende Druck des peripheren Gefäßbetts <math>p_D = 90\,\text{mmHg} \approx 12\,000\,\text{Pa}</math> anliegt: :<math>R_{pI} = \frac{p_D}{Q_{I,0}} \approx 3{,}0 \cdot 10^{9}\,\frac{\text{Pa}\cdot\text{s}}{\text{m}^3}, \qquad R_{pE} = \frac{p_D}{Q_{E,0}} \approx 5{,}9 \cdot 10^{9}\,\frac{\text{Pa}\cdot\text{s}}{\text{m}^3}</math> Die Randbedingungen an den beiden Auslässen lauten damit: :<math>p_{\text{aus},I} = k_R \cdot R_{pI} \cdot Q_I, \qquad p_{\text{aus},E} = k_R \cdot R_{pE} \cdot Q_E</math> '''3. Umrechnung des Flusses im 2D-Modell''' Im 2D-Modell liefert das Integral der Normalgeschwindigkeit über den Auslassrand keinen Volumenstrom in m³/s, sondern einen Fluss pro Tiefe <math>q</math> in m²/s. Damit die Widerstände aus dem 3D-Modell verwendet werden können, wird <math>q</math> mit einer einheitlichen Ersatztiefe <math>b</math> in einen Volumenstrom umgerechnet: :<math>Q = q \cdot b, \qquad b = \frac{\pi \, D_{CC}}{4}</math> Die Ersatztiefe ist so gewählt, dass am Einlass mit der mittleren Einströmgeschwindigkeit <math>\bar{u}_{ein} = Q_0 / (\pi D_{CC}^2/4) \approx 0{,}21\,\text{m/s}</math> genau der Volumenstrom des 3D-Modells von 6 ml/s ankommt. Weil dieselbe Ersatztiefe für alle Ränder gilt, bleibt die Massenbilanz erhalten. === Ergebnisse mit Resistenzrandbedingung === {| class="wikitable" style="text-align:center" |+ Maximale Geschwindigkeit ! Stenosegrad S !! <math>u_{max}</math> [m/s] |- | 0 || 0,324^* |- | 0,3 || 0,323^* |- | 0,6 || 0,529 |- | 0,8 || 1,067 |} ^* Bei S = 0 und S = 0,3 liegt das Geschwindigkeitsmaximum nicht in der Stenose, sondern in der A. carotis communis. {| class="wikitable" style="text-align:center" |+ Druck vor und nach der Stenose ! Stenosegrad S !! <math>p_{vor}</math> [Pa] !! <math>p_{nach}</math> [Pa] !! Druckverlust <math>\Delta p = p_{vor} - p_{nach}</math> [Pa] !! <math>\Delta p</math> [mmHg] |- | 0 || 11 802 || 11 793 || 9 || 0,07 |- | 0,3 || 11 808 || 11 790 || 18 || 0,14 |- | 0,6 || 11 838 || 11 760 || 78 || 0,59 |- | 0,8 || 12 024 || 11 626 || 398 || 2,99 |} === Auswertung === * '''Druckniveau:''' Mit der Resistenzrandbedingung liegt der Druck bei etwa 11 800 Pa ≈ 88,5 mmHg. Das entspricht dem mittleren arteriellen Druck in der Carotis. Mit <math>p = 0</math> lagen die Drücke nur bei wenigen Pa bis einigen 100 Pa. * '''Flussaufteilung:''' Die peripheren Widerstände sind wesentlich größer als der Widerstand der Stenose. Deshalb bestimmen sie die Flussaufteilung, und die ACI behält auch bei 80 % Stenose nahezu ihren Anteil (Abnahme von <math>Q_I</math> nur um etwa 1 %). Im Gegensatz zu <math>p = 0</math> kann das Blut nicht einfach in die ACE ausweichen. Das entspricht dem physiologischen Verhalten bei nicht kritischen Stenosen. * '''Geschwindigkeit:''' Weil mehr Blut durch die Engstelle strömen muss, steigen die Geschwindigkeiten in der Stenose gegenüber <math>p = 0</math>. Von S = 0,6 auf S = 0,8 verdoppelt sich <math>u_{max}</math> etwa. * '''Druckverlust:''' Der Druckverlust steigt stark nichtlinear mit dem Stenosegrad. Von S = 0,6 auf S = 0,8 nimmt er etwa um den Faktor 5 zu. * '''Druckrückgewinnung:''' Bei S = 0,8 liegt <math>p_{nach}</math> mit 11 626 Pa sogar unter dem Auslassdruck (≈ 11 680 Pa). Direkt hinter der Engstelle ist die Geschwindigkeit des Strahls noch hoch und der statische Druck entsprechend niedrig. Stromabwärts verlangsamt sich die Strömung, und ein Teil des Drucks wird zurückgewonnen. Der bleibende Druckverlust ist daher etwas kleiner als 398 Pa. === Grenzen und Vergleich mit dem 3D-Modell === * Im 2D-Modell verringert eine Stenose von 80 % nur die '''Spaltbreite''' auf 20 %. Im 3D-Modell sinkt die '''Querschnittsfläche''' dagegen auf <math>0{,}2^2 = 4\,\%</math>. Das 2D-Modell unterschätzt deshalb Geschwindigkeit und Druckverlust in der Stenose systematisch. Klinisch gelten bei Stenosen ab 70 % systolische Spitzengeschwindigkeiten über 2,3 m/s; ab einem Druckgradienten von etwa 10–20 mmHg gilt eine Stenose als hämodynamisch relevant. Beide Grenzen erreicht das 2D-Modell nicht. * Die Umrechnung über die Ersatztiefe <math>\pi D_{CC}/4</math> ist eine Modellannahme. * Der periphere Widerstand ist konstant. Die Autoregulation des Gehirns und die Gefäßelastizität (Windkessel) werden nicht berücksichtigt, und die Rechnung ist stationär (keine Pulsatilität). == Beantwortung der Forschungsfragen == '''Welche Strömungsgrößen reagieren empfindlich auf den Stenosegrad?''' Die Untersuchung der 80-%-Stenose zeigt deutliche Veränderungen der Geschwindigkeitsverteilung, des statischen Drucks und der Wandschubspannung. Die maximale Strömungsgeschwindigkeit beträgt 0,31853 m/s. Zwischen den ausgewählten Messquerschnitten vor und hinter der Stenose ergibt sich eine mittlere statische Druckdifferenz von 36,24 Pa. Die maximale Wandschubspannung auf den untersuchten Stenosewänden beträgt 3,2282 Pa.Da bisher nur die 80-%-Stenose quantitativ ausgewertet wurde, lässt sich noch nicht feststellen, welche dieser Größen bei zunehmendem Stenosegrad am stärksten reagiert. '''Ab welchem Stenosegrad tritt eine Strömungsablösung auf?''' Bei der untersuchten 80-%-Stenose zeigen die Geschwindigkeitskomponenten und die vorzeichenbehaftete Wandschubspannung Hinweise auf Veränderungen der wandnahen Strömungsrichtung hinter der Engstelle. Ein eindeutig geschlossenes Rezirkulationsgebiet konnte jedoch nicht nachgewiesen werden. Ein kritischer Stenosegrad für den Beginn einer Strömungsablösung lässt sich aus dieser einzelnen Simulation daher nicht bestimmen. Hierfür müssten weitere Stenosegrade unter vergleichbaren Bedingungen ausgewertet werden. '''Inwieweit sind die Annahmen einer stationären und laminaren Strömung geeignet?''' Die stationäre, laminare Modellierung ermöglicht es, grundlegende Auswirkungen einer Gefäßverengung auf die Strömung in einer idealisierten Karotis-Bifurkation zu untersuchen. Bei hochgradigen Stenosen können allerdings zeitabhängige und dreidimensionale Strömungsstrukturen auftreten. Diese werden durch das vorliegende stationäre 2D-Modell nicht vollständig erfasst. Die Simulationsergebnisse sind deshalb auf die gewählten Modellannahmen und Randbedingungen beschränkt. '''Zusammenfassend''' liefert die 2D-Simulation eine erste quantitative Beschreibung der Strömungsverhältnisse bei einer hochgradigen ACI-Stenose. Für allgemeine Aussagen über die Abhängigkeit vom Stenosegrad und den Beginn einer Strömungsablösung sind zusätzliche Vergleichsrechnungen erforderlich. = Grenzen des Modells = * Die untersuchte Gefäßgeometrie ist eine idealisierte Darstellung der Karotisaufzweigung. Individuelle anatomische Unterschiede werden nicht berücksichtigt. * Darüber hinaus werden die Gefäßwände als starr angenommen und Blut wird durch ein inkompressibles Newtonsches Fluid mit konstanter Viskosität beschrieben. * Die Strömung wird stationär berechnet. Die natürliche Pulsation des Blutflusses und zeitabhängige Effekte bleiben damit unberücksichtigt. * Insbesondere bei hochgradigen Stenosen können zeitabhängige Strömungsablösungen auftreten, die durch eine stationäre Modellierung nicht vollständig beschrieben werden. * Das Graphenmodell kann lokale Strömungsphänomene nicht detailliert erfassen. Das ebene Flächenmodell vereinfacht die räumliche Gefäßgeometrie. Auch das dreidimensionale Modell bleibt aufgrund der idealisierten Geometrie und der vereinfachten Materialannahmen eine Annäherung an die reale Blutströmung. * Die Ergebnisse sind daher als strömungsmechanische Untersuchung eines idealisierten Modells zu interpretieren und nicht als patientenspezifische medizinische Vorhersage. = Literaturverzeichnis = Alle Quellen sind an den Stellen im Text angegeben, an denen die zugehörigen Werte oder Aussagen verwendet werden. Die Liste wird aus diesen Angaben automatisch erzeugt. <references /> qpg0ccv2tq01fx6vveupmbqo4rvqo7z 1119414 1119412 2026-11-11T18:06:30Z Nicole.pander 39567 /* Fragestellung */ 1119414 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Joey Becker * Marie-Thérèse Heitele * Nicole Pander = Thema = Gegenstand dieses Projekts ist die numerische Simulation der Blutströmung in einer verzweigten Halsschlagader ('''Carotis-Bifurkation''') unter dem Einfluss einer lokalen Gefäßverengung ('''Stenose'''). Im Vergleich zu einer einfachen Rohrströmungen wird hier die realitätsnahe Gefäßanatomie betrachtet: Die '''Arteria carotis communis (ACC)''' teilt sich in die '''Arteria carotis externa (ACE)''' und die '''Arteria carotis interna (ACI)''' auf. Während die '''ACE''' als gesunder, stenosefreier Ast dient, wird in der '''ACI''' eine Gefäßverengung modelliert. Hierbei werden unterschiedliche Stenosegrade betrachtet. Als Referenz dient ein gesundes, unverengtes Gefäß, in dem sich die Poiseuille-Strömung mit ihrem charakteristischen parabolischen Geschwindigkeitsprofil ausbildet. Diese Strömung ist aus zwei Gründen der natürliche Ausgangspunkt. Sie beschreibt den physiologischen Normalfall, mit dem jeder Stenosegrad verglichen wird. == Fragestellung == Die Hauptfragestellung dieses Projektes lautet: Wie verändert eine Stenose in der '''Arteria carotis interna (ACI)''' die Strömung des Blutes hinsichtlich Strömungsgeschwindigkeit und des Druckabfalls über die Engstelle im Vergleich zum gesunden Gefäßabschnitt? Aus dieser Fragestellung ergeben sich drei Teilfragen, an denen sich der Aufbau der Seite orientiert: # Wie stark steigt die maximale Strömungsgeschwindigkeit in der Stenose mit zunehmendem Stenosegrad an? # Wie groß ist die Druckdifferenz vor und nach der Stenose bei den untersuchten Stenosegraden und ab welchem Stenosegrad nimmt sie deutlich zu? # Wie stark hängen Geschwindigkeitsmaximum und Druckdifferenz von der gewählten Auslassrandbedingung ab? = Relevanz = Die Untersuchung von Gefäßverengungen besitzt sowohl eine medizinische als auch eine methodische Bedeutung. Aus medizinischer Sicht sind arterielle Stenosen – etwa in der Halsschlagader – kritisch, da sie die Durchblutung beeinträchtigen und durch veränderte Wandschubspannungen sowie die Bildung von Wirbeln weitere Gefäßablagerungen begünstigen. Stenosen im Bereich der Karotisgabelung sind klinisch hochrelevant, da sie das Gehirn direkt versorgen und das Risiko für embolische Schlaganfälle erhöhen. Fachlich überträgt das Projekt damit die Prinzipien der Strömungsmechanik direkt auf eine biomedizinische Anwendung. Das Projekt verknüpft somit theoretische Grundlagen der Strömungsmechanik (Hagen-Poiseuille-Gleichung, Navier-Stokes-Gleichungen) mit der numerischen Simulation in COMSOL Multiphysics. Durch den Vergleich der '''gesunden Externa (ACE)''' mit der '''stenoisierten Interna (ACI)''' innerhalb desselben Rechengebiets wird die isolierte Wirkung der Stenose unter identischen Randbedingungen direkt sichtbar gemacht. == Modellannahmen == Im Hinblick darauf werden für dieses Projekt einige Annahmen getroffen, um das Projekt möglichst isoliert zu untersuchen und zu simplifizieren: * '''Idealisierte Gefäßgeometrie''': Betrachtet wird ein Teilabbschnitt der ''Arteria carotis communis'', die sog. ''ACI''. Zudem werden Gefäßverkrümmungen, weitere Verzweigungen und patientenspezifische Strukturen nicht berücksichtigt. * '''Starre Gefäßwand''': Die Gefäßwand wird als unbeweglich und nicht verformbar angenommen. Eine Wechselwirkung zwischen elastischer Gefäßwand und Blutströmung wird nicht modelliert. * '''Stationäre Strömung''': Die Strömungsgrößen werden als zeitlich konstant angenommen. Die im realen Blutkreislauf vorhandene Pulsation durch den Herzschlag wird daher vernachlässigt: <math>\frac{\partial u}{\partial t}=0</math>. * '''Inkompressibles Fluid''': Die Dichte des Fluids wird als konstant angenommen. Damit gilt für die Geschwindigkeit <math>\nabla \cdot u=0</math>. Dies entspricht der in der Vorlesung behandelten Massenerhaltung für inkompressible Fluide: Was in das Gefäß einströmt, muss auch wieder ausströmen. * '''Newton'sche Näherung für Blut''': Reales Blut beseitzt ein nicht newton'sches Fließverhalten. Hier wird Blut als Newton'sches Fluid behandelt. * '''Konstante Stoffeigenschaften''': Dichte <math>\rho</math> und dynamische Viskosität μ werden als räumlich und zeitlich konstant angenommen. Temperaturabhängigkeiten werden nicht berücksichtigt. * '''Laminare Strömung''': Die Strömung wird mit dem COMSOL-Modul ''Laminar Flow'' beschrieben. Ein zusätzliches Turbulenzmodell wird nicht verwendet. * '''No-Slip-Bedingung an Gefäßwand''': Aufgrund der Viskosität wird angenommen, dass das Fluid direkt an der Gefäßwand haftet. Somit gilt <math>u=0</math>. * '''Vernachlässigung der Gravitation''': Gravitation wird nicht berücksichtigt. Die Strömung wird ausschließlich durch die gewählten Ein- und Auslassbedingungen bestimmt. = Relevanz = Die Untersuchung von Gefäßverengungen besitzt sowohl eine medizinische als auch eine methodische Bedeutung. Aus medizinischer Sicht sind arterielle Stenosen – etwa in der Halsschlagader, lat. ''arteria carotis communis'', – kritisch, da sie die Durchblutung beeinträchtigen und durch veränderte Wandschubspannungen sowie die Bildung von Wirbeln weitere Gefäßablagerungen begünstigen. Stenosen im Bereich der Karotisgabelung sind klinisch hochrelevant, da sie das Gehirn direkt versorgen und das Risiko für embolische Schlaganfälle erhöhen. Fachlich überträgt das Projekt damit die Prinzipien der Strömungsmechanik direkt auf eine biomedizinische Anwendung. Das Projekt verknüpft somit theoretische Grundlagen der Strömungsmechanik (Hagen-Poiseuille-Gleichung, Navier-Stokes-Gleichungen) mit der numerischen Simulation in COMSOL Multiphysics. Durch den Vergleich der '''gesunden Externa (ACE)''' mit der '''stenoisierten Interna (ACI)''' innerhalb desselben Rechengebiets wird die isolierte Wirkung der Stenose unter identischen Randbedingungen direkt sichtbar gemacht. == Medizinische Relevanz == Arterielle Stenosen entstehen überwiegend durch Atherosklerose, also durch Ablagerungen aus Lipiden, Bindegewebe und Kalk in der Gefäßwand. In der Halsschlagader sind sie klinisch besonders bedeutsam, weil sie die Durchblutung des Gehirns beeinträchtigen und weil sich an ihnen Thromben bilden können, die als Embolie einen Schlaganfall auslösen. Dass die operative Entfernung einer hochgradigen Karotisstenose das Schlaganfallrisiko symptomatischer Patienten deutlich senkt, hat die NASCET-Studie gezeigt, deren Einteilung der Stenosegrade dieses Projekt übernimmt.<ref name="nascet">North American Symptomatic Carotid Endarterectomy Trial Collaborators: ''Beneficial effect of carotid endarterectomy in symptomatic patients with high-grade carotid stenosis.'' New England Journal of Medicine 325 (1991), Nr. 7, S. 445-453.</ref> Strömungsmechanisch ist an einer Stenose vor allem die Wandschubspannung von Interesse, also die tangentiale Kraft je Fläche, die das strömende Blut auf die innerste Zellschicht der Gefäßwand ausübt. Gesunde Halsschlagadern weisen zeitlich gemittelte Werte von etwa 1,1 bis 1,5 Pa auf.<ref name="samijo">Samijo, S. K.; Willigers, J. M.; Barkhuysen, R.; Kitslaar, P. J. E. H. M.; Reneman, R. S.; Brands, P. J.; Hoeks, A. P. G.: ''Wall shear stress in the human common carotid artery as function of age and gender.'' Cardiovascular Research 39 (1998), Nr. 2, S. 515-522.</ref> In einer Engstelle steigt sie stark an, unmittelbar dahinter fällt sie im Ablösegebiet auf nahezu null und wechselt dort sogar das Vorzeichen. Niedrige und im Vorzeichen wechselnde Wandschubspannungen gelten als Bedingungen, unter denen sich weitere Ablagerungen bevorzugt bilden. Eine bestehende Stenose schafft also stromabwärts die Voraussetzungen für ihr eigenes Wachstum. Genau diese Verteilung lässt sich im Körper nur schwer messen, in einer Simulation dagegen unmittelbar auswerten. == Methodische Relevanz == Fachlich überträgt das Projekt die Prinzipien der Strömungsmechanik aus der Vorlesung auf eine biomedizinische Anwendung.<ref name="hundertmark">Hundertmark, A.: ''Fluiddynamik.'' Vorlesungsunterlagen zum Modul Räumliche Modellbildung, RPTU Kaiserslautern-Landau, Sommersemester 2026.</ref> Der methodische Mehrwert liegt in der Verknüpfung mehrerer Zugänge, die sich gegenseitig kontrollieren. Die analytische Poiseuille-Lösung liefert exakte Sollwerte für das gesunde Gefäß. Ein reduziertes Graphenmodell liefert für jeden Stenosegrad eine schnelle Abschätzung, die analytisch nachrechenbar ist. Die Simulationen in COMSOL Multiphysics lösen schließlich die vollständigen Navier-Stokes-Gleichungen in zwei und drei Raumdimensionen. Weil jede Stufe die Sollwerte der nächsten liefert, zeigt das Projekt nicht nur Ergebnisse, sondern auch, wie numerische Modelle aufgebaut, verifiziert und an ihren Grenzen bewertet werden. == Auswahl der Stenosegrade == Um die untersuchten Gefäßverengungen nicht willkürlich festzulegen, orientiert sich die Auswahl der Stenosegrade an der klinisch gebräuchlichen NASCET-Klassifikation von Karotisstenosen.<ref name="nascet" /> Zur klinischen Einordnung werden Karotisstenosen anhand der nach NASCET bestimmten Durchmesserreduktion in leichtgradige, mittelgradige und hochgradige Stenosen eingeteilt. Die angegebenen Prozentgrenzen dienen in diesem Projekt als Orientierung für die Auswahl der untersuchten Stenosegrade. Ein vollständiger Gefäßverschluss wird als Okklusion bezeichnet. {| class="wikitable" |+ Klinische Einteilung nach NASCET-gemessener Durchmesserreduktion und untersuchte Stenosegrade ! Schweregrad !! Durchmesserreduktion !! im Projekt gerechnete Stenosegrade !! hervorgehobener Vertreter |- | gesundes Gefäß || 0 % || 0 || 0 |- | leichtgradige Stenose || unter 50 % || 0,1 bis 0,4 || 0,3 |- | mittelgradige Stenose || 50 bis 69 % || 0,5 und 0,6 || 0,6 |- | hochgradige Stenose || 70 bis 99 % || 0,7 und 0,8 || 0,8 |- | Okklusion || 100 % || nicht gerechnet || entfällt |} '''Anmerkung''': Die Klassengrenzen dienen der Einordnung der Modellvarianten. Die in der Tabelle genannten Stenosegrade sind dimensionslose Werte, beispielsweise entspricht '''<math>s=0{,}6</math>''' einer Durchmesserreduktion von '''60 %'''. Für die numerische Untersuchung wird aus jeder Kategorie ein repräsentativer Stenosegrad hervorgehoben. Neben dem gesunden Gefäß mit '''0 %''' Stenose sind das eine '''30 %''' Stenose als Beispiel für eine leichtgradige, eine '''60 %''' Stenose als Beispiel für eine mittelgradige und eine '''80 %''' Stenose als Beispiel für eine hochgradige Verengung. Zusätzlich werden für das Graphenmodell und das achsensymmetrische Flächenmodell Stenosegrade von 0 bis 80 % in Schritten von zehn Prozentpunkten vorgesehen. Dadurch kann die Abhängigkeit der Strömungsgrößen vom Stenosegrad systematisch untersucht und grafisch dargestellt werden. Ob alle Modellvarianten tatsächlich berechnet wurden und wie hoch der Rechenaufwand war, wird anhand der durchgeführten Simulationen dokumentiert. Ein vollständiger Gefäßverschluss wird nicht simuliert, da in diesem Fall keine durchgängige Strömung mehr vorliegt. Der Stenosegrad wird in diesem Projekt wie bei NASCET über die Verringerung des Gefäßdurchmessers beschrieben, <math>s = 1 - \frac{d_{\min}}{d_{\mathrm{ref}}},</math> wobei <math>d_{\min}</math> der kleinste Durchmesser in der Engstelle und <math>d_{\mathrm{ref}}</math> ein Referenzdurchmesser ist. NASCET verwendet als Referenz den Durchmesser des gesunden Gefäßes stromabwärts der Stenose. Für das idealisierte gerade Gefäßmodell wird ein konstanter Referenzdurchmesser von <math>D_0=6\,\mathrm{mm}</math> angenommen. Da das Gefäß außerhalb der Stenose denselben Durchmesser besitzt, gilt in diesem Modell<math>d_{\mathrm{ref}}=D_0</math>. Bei der zusätzlich betrachteten Gefäßaufzweigung muss der Referenzdurchmesser dagegen gesondert festgelegt werden, da die Gefäßäste unterschiedliche Durchmesser besitzen. Wichtig für das Verständnis aller weiteren Ergebnisse ist der Unterschied zwischen Durchmesser- und Flächenreduktion. Da die Querschnittsfläche quadratisch vom Durchmesser abhängt, gilt für die Flächenreduktion <math>1-(1-s)^2</math>. Eine im klinischen Sinn nur mittelgradige Stenose von 60 % verschließt damit bereits 84 % der Querschnittsfläche. {| class="wikitable" |+ Durchmesser- und Flächenreduktion der gerechneten Stenosegrade ! Stenosegrad s !! 0 !! 0,1 !! 0,2 !! 0,3 !! 0,4 !! 0,5 !! 0,6 !! 0,7 !! 0,8 |- | engster Durchmesser in mm || 6,0 || 5,4 || 4,8 || 4,2 || 3,6 || 3,0 || 2,4 || 1,8 || 1,2 |- | Flächenreduktion || 0 % || 19 % || 36 % || 51 % || 64 % || 75 % || 84 % || 91 % || 96 % |} Eine Einschränkungen gehört zur ehrlichen Einordnung: # Mit zunehmendem Stenosegrad, insbesondere bei ausgeprägten Verengungen, können lokale Beschleunigungen, Strömungsablösungen und zeitabhängige Strömungsstrukturen auftreten. Daher muss bei den hochgradigen Stenosen geprüft werden, inwieweit die Annahme einer stationären, laminaren Strömung geeignet ist. Eine feste Grenze bei <math>s=0{,}6</math> lässt sich ohne entsprechende Simulationsergebnisse oder Literaturbelege nicht allgemein festlegen. Die hochgradigen Fälle werden deshalb unter besonderer Berücksichtigung der Modellannahmen diskutiert. Unter Modellierung wird in diesem Projekt die Übertragung der Blutströmung in einer verengten Arterie auf ein mathematisches und numerisch lösbares Strömungsproblem verstanden. Dazu werden die Gefäßgeometrie, die zugrunde liegenden Gleichungen, die physikalischen Materialparameter sowie die Anfangs- und Randbedingungen festgelegt. Jeder dieser Bestandteile beruht auf vereinfachenden Annahmen, die begründet und bei der Interpretation der Ergebnisse berücksichtigt werden müssen. Ziel ist es, den Einfluss unterschiedlicher Stenosegrade auf die Strömungsgeschwindigkeit, den Druckverlust und gegebenenfalls die Wandschubspannung systematisch zu untersuchen. Die Modellierung erfolgt anhand mehrerer Modellvarianten mit unterschiedlicher räumlicher Auflösung. Dadurch können zunächst grundlegende Zusammenhänge analytisch abgeschätzt und anschließend mit numerischen Strömungsberechnungen verglichen werden. Die verwendeten Parameter orientieren sich an den bereitgestellten Referenzdaten und werden in den folgenden Abschnitten erläutert. == Modellierung == Ziel der Modellierung ist es, die Blutströmung innerhalb einer Y-förmigen Aufzweigung der Halsschlagader mathematisch und numerisch zu untersuchen. Im Mittelpunkt steht eine Gefäßverengung (Stenose) in der Arteria carotis interna. Das betrachtete Gefäßmodell besteht aus der Arteria carotis communis, die sich in die Arteria carotis interna und die Arteria carotis externa aufteilt. Die Stenose befindet sich ausschließlich in der Arteria carotis interna. Durch die Verengung verändert sich der verfügbare Strömungsquerschnitt. Dies kann zu einer Erhöhung der lokalen Strömungsgeschwindigkeit, zu zusätzlichen Druckverlusten und zu einer Veränderung der Strömungsverteilung zwischen den beiden Gefäßästen führen. Ziel ist es, den Einfluss unterschiedlicher Stenosegrade auf die Strömungsgeschwindigkeit, die Druckverteilung und die Wandschubspannung zu untersuchen. Zusätzlich soll betrachtet werden, wie sich die Strömung innerhalb der Y-förmigen Gefäßaufzweigung verhält. Die numerische Modellierung erfolgt mit COMSOL Multiphysics. Dazu werden die Gefäßgeometrie, die Materialeigenschaften des Blutes, die Strömungsgleichungen und die Randbedingungen festgelegt. Zur Vereinfachung wird Blut zunächst als inkompressibles, Newtonsches Fluid betrachtet. Die Gefäßwände werden als starr angenommen. Diese Annahmen ermöglichen eine systematische Untersuchung der Stenose, schränken jedoch die Übertragbarkeit auf reale physiologische Bedingungen ein. === Modellhierarchie === Für die Untersuchung der Blutströmung innerhalb der Y-förmigen Karotisaufzweigung werden drei Modellvarianten betrachtet. Diese unterscheiden sich hinsichtlich ihrer räumlichen Dimension, ihrer mathematischen Beschreibung und der Genauigkeit, mit der die Strömungsverhältnisse dargestellt werden können. Das untersuchte Gefäß besteht aus der Arteria carotis communis, die sich in die Arteria carotis interna und die Arteria carotis externa aufteilt. Die Stenose befindet sich ausschließlich in der Arteria carotis interna. Alle drei Modellvarianten werden mit COMSOL Multiphysics umgesetzt. {| class="wikitable" style="width:100%;" |+ '''Die drei Modellvarianten des Projekts''' |- ! Modell ! Raumdimension ! Mathematische Grundlage ! Zweck ! Werkzeug |- | '''Graphenmodell''' | 1D, Gefäßnetzwerk mit einer Verzweigung | Massenerhaltung an der Verzweigung und vereinfachte Beschreibung der Strömungswiderstände | Abschätzung der Volumenstromverteilung und der Druckverluste in den Gefäßästen | COMSOL Multiphysics |- | '''Ebenes Flächenmodell''' | 2D, Y-förmige Gefäßgeometrie in kartesischen Koordinaten | Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen | Untersuchung der Geschwindigkeits- und Druckverteilung sowie der Auswirkungen der Stenose in der Arteria carotis interna | COMSOL Multiphysics, Laminare Strömung |- | '''Volumenmodell''' | 3D, räumliche Y-förmige Gefäßgeometrie | Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen | Räumliche Untersuchung des Geschwindigkeitsfeldes, des Druckverlustes und der Wandschubspannung | COMSOL Multiphysics, Laminare Strömung |} ==== Vergleich und Überprüfung der Modellvarianten ==== Die drei Modellvarianten bauen hinsichtlich ihrer räumlichen Beschreibung aufeinander auf. Das Graphenmodell ermöglicht zunächst eine vereinfachte Betrachtung der Volumenströme und Druckverluste. Die zwei- und dreidimensionalen Modelle erlauben anschließend eine detailliertere Untersuchung der Strömung innerhalb der Gefäßaufzweigung. Das '''Graphenmodell''' beschreibt die Arteria carotis communis sowie die beiden abzweigenden Gefäße als miteinander verbundenes Netzwerk. Dabei wird die Massenerhaltung an der Verzweigung berücksichtigt: :<math>Q_{\mathrm{CCA}}=Q_{\mathrm{ICA}}+Q_{\mathrm{ECA}}</math> Das Modell liefert vereinfachte Abschätzungen der Volumenstromverteilung. Lokale Strömungsablösungen und räumliche Geschwindigkeitsverteilungen können damit nicht detailliert dargestellt werden. Das '''ebene Flächenmodell''' bildet die Y-förmige Gefäßaufzweigung in zwei Raumdimensionen ab. Die Stenose wird innerhalb der Arteria carotis interna berücksichtigt. Dadurch können die Geschwindigkeits- und Druckverteilung sowie mögliche Rückströmungsbereiche untersucht werden. Das '''Volumenmodell''' erweitert die Untersuchung auf drei Raumdimensionen. Es ermöglicht eine räumliche Darstellung der Strömung und eine detailliertere Berechnung der Wandschubspannung. Die Ergebnisse des ebenen Flächenmodells und des Volumenmodells werden miteinander verglichen. Da das ebene Modell die räumliche Querschnittsgeometrie nur vereinfacht darstellt, müssen Unterschiede zwischen den beiden Modellen bei der Interpretation berücksichtigt werden. Ziel der Modellhierarchie ist es, die Aussagekraft der einzelnen Modellvarianten zu bewerten und den Einfluss des Stenosegrades auf die Strömung innerhalb der Y-förmigen Karotisaufzweigung zu untersuchen. === Simulationsgebiet und Geometrie === Das Simulationsgebiet besteht aus einer idealisierten Y-förmigen Aufzweigung der Arteria carotis. Die Arteria carotis communis teilt sich in die Arteria carotis interna und die Arteria carotis externa. Die Stenose befindet sich in der Arteria carotis interna. Die Arteria carotis externa wird ohne zusätzliche Verengung modelliert. Die Geometrie orientiert sich an den bereitgestellten Referenzdaten. Die Gefäßdurchmesser werden innerhalb der jeweiligen unverengten Abschnitte als konstant angenommen. {| class="wikitable" style="width:100%;" |+ '''Geometrische Referenzparameter der Y-förmigen Gefäßaufzweigung''' |- ! Gefäßabschnitt ! Durchmesser ! Länge |- | Arteria carotis communis | 6 mm | 60 mm |- | Arteria carotis interna | 5 mm | 60 mm |- | Arteria carotis externa | 4 mm | 60 mm |- | Stenose in der Arteria carotis interna | Abhängig vom Stenosegrad | 10 bzw. 20 mm |} Die Verengung wird über den Stenosegrad <math>s</math> beschrieben. Dieser gibt die relative Verringerung des Gefäßdurchmessers an: :<math>s=1-\frac{d_{\min}}{D_{\mathrm{ICA}}}</math> Dabei bezeichnet <math>d_{\min}</math> den minimalen Durchmesser innerhalb der Stenose und <math>D_{\mathrm{ICA}}</math> den unverengten Referenzdurchmesser der Arteria carotis interna. Für das Modell gilt: :<math>D_{\mathrm{ICA}}=5\,\mathrm{mm}</math> Der minimale Durchmesser ergibt sich damit zu: :<math>d_{\min}=D_{\mathrm{ICA}}(1-s)</math> {| class="wikitable" |+ '''Minimaler Durchmesser der Stenose in der Arteria carotis interna''' |- ! Stenosegrad ! Minimaler Durchmesser |- | 0 % | 5,0 mm |- | 10 % | 4,5 mm |- | 20 % | 4,0 mm |- | 30 % | 3,5 mm |- | 40 % | 3,0 mm |- | 50 % | 2,5 mm |- | 60 % | 2,0 mm |- | 70 % | 1,5 mm |- | 80 % | 1,0 mm |} Die angegebenen Stenosegrade beziehen sich ausschließlich auf den Durchmesser der Arteria carotis interna. Der Durchmesser der Arteria carotis communis wird nicht zur Berechnung des Stenosegrades verwendet. Die Y-förmige Geometrie ermöglicht es, die Auswirkungen der Verengung sowohl auf die lokale Strömung in der Arteria carotis interna als auch auf die Strömungsverteilung innerhalb der gesamten Gefäßaufzweigung zu untersuchen. Die genaue Form der Stenose, der Verzweigungswinkel und die Übergänge zwischen den Gefäßabschnitten müssen entsprechend der tatsächlich in COMSOL verwendeten Geometrie dokumentiert werden. == Stoff- und Strömungsparameter == Die Stoffwerte des Blutes und der Volumenstrom sind die einzigen Eingangsgrößen, die nicht aus der Geometrie folgen. Aus ihnen werden alle weiteren Strömungskennwerte berechnet. Die folgenden Schritte zeigen jede Rechnung einzeln, damit sich jeder Wert nachprüfen lässt. # Die '''Dichte''' wird mit <math>\rho = 1060\ \mathrm{kg/m^3}</math> angesetzt. Der Wert lässt sich als Mischungsregel plausibel machen. Plasma hat eine Dichte von etwa 1025 kg/m³, rote Blutkörperchen von etwa 1100 kg/m³. Bei einem Zellanteil von 45 % ergibt sich <math>0{,}55 \cdot 1025 + 0{,}45 \cdot 1100 \approx 1059\ \mathrm{kg/m^3}</math>. Die Dichte geht nur über die Reynoldszahl in die Rechnung ein, eine Abweichung von einem Prozent ändert die Ergebnisse daher kaum. <!-- FIXME Lehrbuchquelle fuer Plasma- und Erythrozytendichte ergaenzen --> # Die '''dynamische Viskosität''' wird mit <math>\mu = 3{,}5\ \mathrm{mPa\,s}</math> angesetzt. Das ist der Grenzwert der Blutviskosität bei hohen Scherraten, also genau der Wert, der zur Newtonschen Näherung gehört. Derselbe Wert von 0,035 Poise wird auch im Standardwerk zur Modellierung des Herz-Kreislauf-Systems verwendet.<ref name="quarteroni">Quarteroni, A.; Formaggia, L.: ''Mathematical Modelling and Numerical Simulation of the Cardiovascular System.'' In: Ayache, N. (Hrsg.): ''Computational Models for the Human Body.'' Handbook of Numerical Analysis, Bd. XII, Elsevier, Amsterdam 2004, S. 3-127. DOI 10.1016/S1570-8659(03)12001-7. Zur Newtonschen Näherung in großen Gefäßen siehe S. 30, zur Viskosität von 0,035 Poise die Parametertabelle auf S. 116.</ref> # Der '''mittlere Volumenstrom''' wird mit <math>Q_0 = 6\ \mathrm{ml/s}</math> angesetzt. Das ist der zeitlich gemittelte Volumenstrom, der in der gemeinsamen Halsschlagader gesunder Probanden gemessen wurde. # Die '''mittlere Geschwindigkeit''' folgt aus Volumenstrom und Querschnittsfläche, <math>U_0 = \frac{Q_0}{\pi R_0^2} = \frac{6 \cdot 10^{-6}\ \mathrm{m^3/s}}{\pi \cdot (0{,}003\ \mathrm{m})^2} = 0{,}2122\ \mathrm{m/s}</math>. # Die '''Reynoldszahl''' des gesunden Gefäßes ist <math>Re_0 = \frac{\rho\, U_0\, D_0}{\mu} = \frac{1060 \cdot 0{,}2122 \cdot 0{,}006}{0{,}0035} = 385{,}6</math>. Sie wird im Folgenden auf 386 gerundet. # Die '''Einlauflänge''', die eine anfangs gleichförmige Strömung bis zum voll entwickelten Parabelprofil bräuchte, beträgt nach der gebräuchlichen Abschätzung für laminare Rohrströmungen <math>L_e \approx 0{,}06\, Re_0\, D_0 \approx 0{,}06 \cdot 386 \cdot 6\ \mathrm{mm} \approx 139\ \mathrm{mm}</math>.<ref name="durst">Durst, F.; Ray, S.; Ünsal, B.; Bayoumi, O. A.: ''The development lengths of laminar pipe and channel flows.'' Journal of Fluids Engineering 127 (2005), Nr. 6, S. 1154-1160. Für große Reynoldszahlen nähert sich die dort angegebene Korrelation dem Wert 0,057·Re·D.</ref> Das ist fast die gesamte Länge des Rechengebiets. Ein konstantes Einlassprofil würde die Strömung an der Stenose also verfälschen, weshalb am Einlass das voll entwickelte Profil vorgegeben wird. Damit liegen alle globalen Parameter fest. Die folgende Tabelle enthält sie mit genau den Namen, unter denen sie in COMSOL und in den Octave-Skripten verwendet werden. {| class="wikitable" |+ Globale Parameter des Modells ! Name !! Ausdruck in COMSOL !! Wert !! Bedeutung !! Herkunft |- | R0 || 3[mm] || 3 mm || Gefäßradius || Messwerte nach Krejza u. a. 2006, gerundet |- | D0 || 2*R0 || 6 mm || Gefäßdurchmesser || abgeleitet |- | Ls || 2*D0 || 12 mm || Länge der Störstelle || Standardgeometrie nach Varghese u. a. 2007 |- | Lu || 5*D0 || 30 mm || Vorlaufstrecke vor der Stenosemitte || Abstand der Einlassbedingung von der Stenose |- | Ld || 20*D0 || 120 mm || Nachlaufstrecke hinter der Stenosemitte || Platz für das Rückströmgebiet |- | Lf || Ls/2+10*D0 || 66 mm || Ende des fein vernetzten Nachlaufs || erwartete Länge des Rückströmgebiets |- | s || 0 bis 0.8 || 0 bis 0,8 || Stenosegrad bezogen auf den Durchmesser || NASCET-Einteilung |- | rho_b || 1060[kg/m^3] || 1060 kg/m³ || Dichte des Blutes || Mischungsregel, Literaturwert |- | mu_b || 3.5[mPa*s] || 3,5 mPa·s || dynamische Viskosität des Blutes || Hochscherwert, Quarteroni und Formaggia 2004 |- | Q0 || 6[ml/s] || 6 ml/s || mittlerer Volumenstrom || Messwerte nach Holdsworth u. a. 1999 |- | U0 || Q0/(pi*R0^2) || 0,2122 m/s || mittlere Einströmgeschwindigkeit || abgeleitet |- | Re0 || rho_b*U0*D0/mu_b || 385,6 || Reynoldszahl des gesunden Gefäßes || abgeleitet |- | dp_ref || 8*mu_b*U0*(Lu+Ld)/R0^2 || 99,03 Pa || Poiseuille-Druckabfall des gesunden Gefäßes || abgeleitet, Hagen-Poiseuille |} = Implementierung des 2D-Modells in COMSOL Multiphysics = == Zielsetzung des zweidimensionalen Modells == Im Rahmen des Projekts wurde mit COMSOL Multiphysics ein zweidimensionales Modell der menschlichen Halsschlagader erstellt. Ziel ist es, die Blutströmung innerhalb einer Gefäßverzweigung zu untersuchen und insbesondere die Auswirkungen einer lokalen Gefäßverengung (Stenose) auf das Strömungsverhalten zu analysieren. Das Modell bildet die Aufzweigung der Arteria carotis communis (ACC) in die Arteria carotis interna (ACI) und die Arteria carotis externa (ACE) ab. Während die ACE als gesunder Gefäßabschnitt betrachtet wird, befindet sich in der ACI eine lokale Verengung. Dadurch können die Strömungsverhältnisse in beiden Ästen miteinander verglichen werden. Die zweidimensionale Modellierung dient dazu, die Geschwindigkeitsverteilung, den Druckabfall und die Wandschubspannung zu untersuchen. Zusätzlich soll festgestellt werden, ob sich hinter der Stenose Bereiche mit Strömungsablösungen oder Rückströmungen ausbilden. ==Vorgehen== Für die numerische Untersuchung in COMSOL Multiphysics 6.2 zunächst ein zweidimensionales Modell mit der Physik ''Laminare Strömung'' und einer ''stationären Studie'' angelegt. Die Gefäßgeometrie wurde vollständig parametrisiert, damit Durchmesser, Gefäßlängen, Verzweigungswinkel, Stenosegrad sowie die Stenoselänge veränderbar sind, ohne das Modell jeweils neu zu zeichnen. Das gemeinsame Zuflussgefäß stellt die Arteria carotis communis mit einem Durchmesser von <math>6\,\mathrm{mm}</math> dar. Nach einem geraden Einlaufabschnitt von <math>60\,\mathrm{mm}</math> teilt es sich V-förmig in die beiden Tochtergefäße auf. Die Arteria carotis interna wird mit einem Durchmesser von <math>5\,\mathrm{mm}</math>, die Arteria carotis externa mit <math>4\,\mathrm{mm}</math> modelliert. Beide Tochtergefäße sind jeweils <math>60\,\mathrm{mm}</math> lang. Die Grundgeometrie wurde als zusammenhängender zweidimensionaler Volumenkörper aufgebaut. Die beiden Tochtergefäße verlaufen nach der Bifurkation unter einem Winkel auseinander, sodass eine idealisierte Y-förmige Karotisgabel entsteht. Die Übergänge zwischen dem gemeinsamen Gefäß und den beiden Ästen wurden bewusst vereinfacht, aber ohne abrupte Querschnittssprünge gestaltet. Auf diese Weise bleibt die Geometrie ausreichend einfach für einen systematischen Vergleich verschiedener Modellvarianten, bildet die typische Aufzweigung einer Karotis. Die Stenose befindet sich ausschließlich in der Arteria carotis interna. Um die Verengung nicht durch gerade Polygonsegmente mit scharfen Knicken darzustellen, wurde ihre Kontur mithilfe von zwei parametrischen Kosinuskurven erzeugt. Zur Beschreibung der Stenose wird eine parametrische Kurve mit dem Hilfsparameter <math>t</math> verwendet. Dieser nimmt Werte zwischen <math>-1</math> und <math>1</math> an. Über die Beziehung <math>x(t)=x_\mathrm{st}+\frac{L_\mathrm{st}}{2}t</math> wird der Parameter auf die räumliche Position entlang des Gefäßes übertragen. Für <math>t=-1</math> liegt der Beginn der Stenose bei <math>x_\mathrm{st}-L_\mathrm{st}/2</math>, für <math>t=0</math> befindet sich die Kurve in der Stenosenmitte und für <math>t=1</math> am Ende bei <math>x_\mathrm{st}+L_\mathrm{st}/2</math>. Dadurch kann die Länge der Stenose über den Parameter <math>L_\mathrm{st}</math> verändert werden, ohne ihre Mittelpunktposition <math>x_\mathrm{st}</math> zu verschieben. Die Einengung wächst vom Beginn der Stenose kontinuierlich bis zur Engstelle an und nimmt danach ebenso kontinuierlich wieder ab. Dadurch entstehen glatte Wandübergänge. Die Stärke der Einengung wird über den dimensionslosen Stenosegrad <math>s</math> gesteuert. Für einen unverengten Durchmesser der Arteria carotis interna von <math>D_\mathrm{ACI}=5\,\mathrm{mm}</math> ergibt sich bei einem Stenosegrad von <math>s=0{,}3</math> eine minimale Gefäßweite von <math>3{,}5\,\mathrm{mm}</math>, bei <math>s=0{,}6</math> von <math>2{,}0\,\mathrm{mm}</math> und bei <math>s=0{,}8</math> von <math>1{,}0\,\mathrm{mm}</math>. Die minimale Gefäßweite ergibt sich allgemein aus <math>d_\mathrm{min}=D_\mathrm{ACI}(1-s)</math>. Die beiden parametrischen Kurven wurden mit Hilfslinien zu geschlossenen Flächen ergänzt und anschließend über „Umwandeln in Volumenkörper“ in Flächenobjekte überführt. Mithilfe einer Differenzoperation wurden diese Flächen aus dem Gefäßgebiet ausgeschnitten. Auf diese Weise bleibt die Grundgeometrie des Gefäßes unverändert, während Stenosegrad und Stenosenlänge allein über globale Parameter variiert werden können. Für die Strömung wurde Blut als inkompressibles Newtonsches Fluid mit konstanter Dichte und Viskosität angenähert. Verwendet werden eine Dichte von <math>\rho=1060\,\mathrm{kg/m^3}</math> und eine dynamische Viskosität von <math>\mu=3,5\,\mathrm{mPa s}</math>. Am Einlass wird ein voll entwickeltes Geschwindigkeitsprofil vorgegeben. Aus dem auf der Projektseite angesetzten mittleren Volumenstrom von <math>6\,\mathrm{ml/s}</math> ergibt sich für das <math>6\,\mathrm{mm}</math> breite Zuflussgefäß eine mittlere Geschwindigkeit von rund <math>0{,}21\,\mathrm{m/s}</math>. An beiden Auslässen wird derselbe Referenzdruck vorgegeben, während an sämtlichen Gefäßwänden die Haftbedingung (No Slip) gilt. Nach Fertigstellung der Geometrie wurde ein physikgesteuertes Finite-Elemente-Netz erzeugt und die stationäre Navier-Stokes-Strömung berechnet. Anschließend wurden insbesondere der Geschwindigkeitsbetrag, die Druckverteilung und die Stromlinien ausgewertet. Die Stromlinien dienen dabei nicht nur der Visualisierung der Aufteilung des Blutstroms an der Bifurkation, sondern auch zur Erkennung möglicher Ablöse- und Rückströmungsgebiete hinter der Stenose. Zusätzlich kann die Wandschubspannung entlang der Gefäßwand ausgewertet werden. Die verschiedenen Stenosegrade werden jeweils bei ansonsten identischen Randbedingungen miteinander und mit dem gesunden Referenzfall verglichen. == Ergebnisse der 2D-Strömungssimulation == Die zweidimensionale Strömungssimulation wurde mit COMSOL Multiphysics durchgeführt, um die Auswirkungen einer lokalen Gefäßverengung auf die Blutströmung innerhalb einer idealisierten Karotis-Bifurkation zu untersuchen. Im Mittelpunkt der Auswertung stehen die Geschwindigkeitsverteilung, die Druckverteilung sowie die Wandschubspannung. Ergänzend werden Stromlinien betrachtet, um mögliche Veränderungen des Strömungsverlaufs und das Auftreten von Rückströmungsgebieten hinter der Stenose zu untersuchen. Die Ergebnisse werden hinsichtlich ihrer strömungsmechanischen Bedeutung interpretiert und unter Berücksichtigung der vereinfachenden Modellannahmen bewertet. === Quantitative Auswertung der Strömungsgeschwindigkeit === Zur Untersuchung des Einflusses verschiedener Stenosegrade auf die Strömungsgeschwindigkeit wurde in COMSOL Multiphysics der Geschwindigkeitsbetrag <code>spf.U</code> mithilfe der Funktion ''Oberflächenmaximum'' ausgewertet. Dabei wurden Stenosegrade von 0 %, 30 %, 60 %, 80 % und 100 % betrachtet. Die Berechnungen erfolgten zunächst mit einer Druckrandbedingung von <math>p_0 = 0\,\mathrm{Pa}</math> und anschließend mit einer Resistenzrandbedingung bei <math>k_R = 1</math>. ==== Druckrandbedingung ==== Bei der Druckrandbedingung wurde die maximale Geschwindigkeit über das gesamte Strömungsgebiet bestimmt. {| class="wikitable" ! Stenosegrad ! Maximale Geschwindigkeit [m/s] |- | 0 % || 0,28385 |- | 30 % || 0,27091 |- | 60 % || 0,35036 |- | 80 % || 0,38530 |- | 100 % || 0,46125 |} Die Ergebnisse zeigen zunächst eine leichte Abnahme der maximalen Geschwindigkeit bei 30 % Stenose. Ab 60 % steigt diese mit zunehmender Verengung an. Dies ist mit einer lokalen Beschleunigung der Strömung infolge des verringerten Strömungsquerschnitts vereinbar. Bei 100 % Stenose beträgt das globale Geschwindigkeitsmaximum 0,46125 m/s. Da die Arteria carotis interna (ACI) vollständig verschlossen ist, beschreibt dieser Wert nicht die Strömung durch den Verschluss, sondern kann aus einem anderen, weiterhin durchströmten Gefäßbereich stammen. ==== Graphische Auswertungen in Comsol ==== [[Datei:0%, Geschwindigkeit, p0=0.png|mini|zentriert|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 0 % Stenose und einer Druckrandbedingung von p₀ = 0 Pa.]] <div style="display:flex; justify-content:center; gap:15px;"> <div> [[Datei:0,3%, Geschwindigkeit, p0=0.png|mini|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 30 % Stenose und einer Druckrandbedingung von p₀ = 0 Pa.]] </div> <div> [[Datei:0,3%, Geschwindigkeit, p0=0, Nah Stenose.png|mini|300px|Vergrößerte Geschwindigkeitsverteilung im Bereich der 30%igen Stenose bei p₀ = 0 Pa.]] </div> </div> <div style="display:flex; justify-content:center; gap:15px;"> <div> [[Datei:0,6%, Geschwindigkeit, p0=0.png|mini|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 60 % Stenose und einer Druckrandbedingung von p₀ = 0 Pa.]] </div> <div> [[Datei:0,6%, Geschwindigkeit, p0=0, Nah Stenose.png|mini|300px|Vergrößerte Geschwindigkeitsverteilung im Bereich der 60%igen Stenose bei p₀ = 0 Pa.]] </div> </div> <div style="display:flex; justify-content:center; gap:15px;"> <div> [[Datei:0,8%, Geschwindigkeit, p0=0.png|mini|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 80 % Stenose und einer Druckrandbedingung von p₀ = 0 Pa.]] </div> <div> [[Datei:0,8%, Geschwindigkeit, p0=0, Nah Stenose.png|mini|300px|Vergrößerte Geschwindigkeitsverteilung im Bereich der 80%igen Stenose bei p₀ = 0 Pa.]] </div> </div> <div style="display:flex; justify-content:center; gap:15px;"> <div> [[Datei:100%, Geschwindigkeit, p0=0.png|mini|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 100 % Stenose und einer Druckrandbedingung von p₀ = 0 Pa.]] </div> <div> [[Datei:100%, Geschwindigkeit, p0=0, Nah Stenose.png|mini|300px|Vergrößerte Darstellung des vollständig verschlossenen Bereichs der ACI bei 100 % Stenose und p₀ = 0 Pa.]] </div> </div> Die Farbskala zeigt den Betrag der Strömungsgeschwindigkeit in m/s. Blaue Bereiche kennzeichnen niedrige, grüne und gelbe mittlere sowie rote Bereiche hohe Geschwindigkeiten. Im unverengten Gefäß ist die Geschwindigkeit in der Gefäßmitte am höchsten und nimmt zu den Gefäßwänden hin ab. Mit zunehmendem Stenosegrad verändert sich die Geschwindigkeitsverteilung deutlich. Im Bereich der Engstelle wird die Strömung lokal beschleunigt, während hinter der Verengung Bereiche niedriger Geschwindigkeit auftreten können. Bei 100 % Stenose ist die ACI vollständig verschlossen, sodass die Strömung nur noch über den offenen Gefäßast abfließen kann. === Resistenzrandbedingung und Vergleich === Anschließend wurde die Strömung unter Verwendung einer Resistenzrandbedingung mit konstantem Parameter <math>k_R = 1</math> untersucht. Bei zunehmender Verengung traten Konvergenzprobleme auf. Ab ungefähr 73 % Stenose konnte keine konvergierende stationäre Lösung mehr bestimmt werden. Daher wurden für die hochgradigen Stenosen ergänzend zeitabhängige Simulationen durchgeführt. {| class="wikitable" ! Stenosegrad ! Druckrandbedingung <math>p_0 = 0\,\mathrm{Pa}</math> [m/s] ! Resistenzrandbedingung <math>k_R = 1</math> [m/s] |- | 0 % || 0,28385 || 0,32426 |- | 30 % || 0,27081 || 0,32219 |- | 60 % || 0,35036 || 0,53188 |- | 80 % || 0,3858 || 1,0674 |- | 100 % || 0,46125 || <math>\approx 0</math> * |} <small>* Bei 100 % Stenose wurde für die Resistenzrandbedingung ausschließlich das Gebiet hinter dem vollständigen Verschluss ausgewertet. Die maximale Geschwindigkeit beträgt dort <math>v_{\max} = 2{,}1416 \cdot 10^{-21}\,\mathrm{m/s} \approx 0\,\mathrm{m/s}</math>.</small> Der Vergleich zeigt, dass die maximale Geschwindigkeit bei der Resistenzrandbedingung insbesondere bei höheren Stenosegraden deutlich stärker ansteigt. Bei 80 % Stenose wird mit 1,0674 m/s ein wesentlich höherer Wert erreicht als bei der Druckrandbedingung mit 0,3858 m/s. Dies verdeutlicht den Einfluss der Auslassrandbedingungen auf die Strömungsverteilung innerhalb der Gefäßverzweigung. Bei vollständigem Gefäßverschluss ist ein direkter Vergleich der beiden Werte nicht möglich, da unterschiedliche Strömungsgebiete ausgewertet wurden. Während bei der Druckrandbedingung das globale Maximum betrachtet wurde, beschreibt der Wert der Resistenzrandbedingung die praktisch zum Stillstand gekommene Strömung hinter der Stenose. Insgesamt zeigen die Ergebnisse, dass sowohl der Stenosegrad als auch die gewählten Randbedingungen einen wesentlichen Einfluss auf die maximale Strömungsgeschwindigkeit besitzen. Die Konvergenzprobleme bei hochgradigen Stenosen verdeutlichen zudem die Notwendigkeit einer ergänzenden zeitabhängigen Untersuchung. ==== Graphische Auswertungen in Comsol ==== [[Datei:0%, Geschwindigkeit, Resbed..png|mini|zentriert|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 0 % Stenose mit Resistenzrandbedingung (k_R = 1).]] <div style="display:flex; justify-content:center; gap:15px;"> <div> [[Datei:0,3%, Geschwindigkeit, Resbed..png|mini|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 30 % Stenose mit Resistenzrandbedingung (k_R = 1).]] </div> <div> [[Datei:0,3%, Geschwindigkeit, Resbed., Nah Stenose.png|mini|300px|Vergrößerte Geschwindigkeitsverteilung im Bereich der 30%igen Stenose mit Resistenzrandbedingung (k_R = 1).]] </div> </div> <div style="display:flex; justify-content:center; gap:15px;"> <div> [[Datei:0,6%, Geschwindigkeit, Resbed..png|mini|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 60 % Stenose mit Resistenzrandbedingung (k_R = 1).]] </div> <div> [[Datei:0,6%, Geschwindigkeit, Resbed., Nah Stenose.png|mini|300px|Vergrößerte Geschwindigkeitsverteilung im Bereich der 60%igen Stenose mit Resistenzrandbedingung (k_R = 1).]] </div> </div> <div style="display:flex; justify-content:center; gap:15px;"> <div> [[Datei:0,8%, Geschwindigkeit, Resbed., zeitabh., Zeit 1 s.png|mini|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 80 % Stenose mit Resistenzrandbedingung (k_R = 1) zum Zeitpunkt t = 1 s.]] </div> <div> [[Datei:0,8%, Geschwindigkeit, Resbed., zeitabh., Zeit 1 s, Nah Stenose.png|mini|300px|Vergrößerte Geschwindigkeitsverteilung im Bereich der 80%igen Stenose mit Resistenzrandbedingung (k_R = 1) zum Zeitpunkt t = 1 s.]] </div> </div> <div style="display:flex; justify-content:center; gap:15px;"> <div> [[Datei:1%, Geschwindigkeit, Resbed., zeitabh., Zeit 1 s,.png|mini|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 100 % Stenose mit Resistenzrandbedingung (k_R = 1) zum Zeitpunkt t = 1 s.]] </div> <div> [[Datei:1%, Geschwindigkeit, Resbed., zeitabh., Zeit 1 s, nah Stenose.png|mini|300px|Vergrößerte Darstellung des vollständig verschlossenen ACI-Bereichs bei 100 % Stenose mit Resistenzrandbedingung (k_R = 1) zum Zeitpunkt t = 1 s.]] </div> </div> === Druckverteilung und Druckabfall === Die Druckverteilung wurde anhand der berechneten Isobaren innerhalb der zweidimensionalen Karotis-Bifurkation untersucht. Dabei zeigt sich eine Abnahme des statischen Drucks vom gemeinsamen Zuflussgefäß in Richtung der beiden Gefäßausgänge. Der maximale berechnete Druck beträgt etwa '''74,2 Pa''', während der minimale Druck bei etwa '''−19,9 Pa''' liegt. Daraus ergibt sich eine globale Druckspanne von ungefähr '''94,1 Pa'''. Besonders auffällig ist die Druckverteilung im Bereich der Stenose der Arteria carotis interna (ACI). Dort liegen die Isobaren deutlich enger beieinander, was auf einen ausgeprägten lokalen Druckgradienten hinweist. Stromabwärts der Engstelle treten zudem Bereiche mit niedrigem statischem Druck auf. '''Interpretation''': Die Ergebnisse zeigen, dass die Stenose die lokale Druckverteilung im ACI-Ast deutlich beeinflusst. Die Beschleunigung der Strömung innerhalb der Verengung geht mit einer Abnahme des statischen Drucks einher. Die globale Druckspanne von 94,1 Pa darf jedoch nicht mit dem irreversiblen Druckverlust über der Stenose gleichgesetzt werden. Die globale Druckspanne von 94,1 Pa ist nicht mit dem Druckabfall über der Stenose gleichzusetzen. Zur genaueren Untersuchung wurden deshalb zwei Messquerschnitte vor und hinter der Engstelle ausgewertet. Zwischen diesen ergibt sich eine mittlere statische Druckdifferenz von 36,24 Pa. <div style="text-align:center;"> [[Datei:Druckverteilung_2D.png|800px|zentriert|Druckverteilung der stationären 2D-Strömungssimulation einer idealisierten Karotis-Bifurkation mit 80 % Stenose in der Arteria carotis interna (ACI). Die Isobaren zeigen den Druckverlauf innerhalb der Gefäßgeometrie. Besonders im Bereich der Stenose ist ein ausgeprägter lokaler Druckgradient erkennbar. Der berechnete Druck liegt zwischen −19,9 Pa und 74,2 Pa.]] <small>'''Abbildung 3:''' Druckverteilung der stationären 2D-Strömungssimulation einer idealisierten Karotis-Bifurkation mit 80 % Stenose in der Arteria carotis interna (ACI). Die Isobaren zeigen den Druckverlauf innerhalb der Gefäßgeometrie. Besonders im Bereich der Stenose ist ein ausgeprägter lokaler Druckgradient erkennbar. Der berechnete Druck liegt zwischen −19,9 Pa und 74,2 Pa.</small> </div> ==== Quantitative Bestimmung der Druckdifferenz ==== Zur quantitativen Untersuchung des Druckabfalls wurden zwei Messquerschnitte im ACI-Ast definiert, einer vor und einer hinter der Stenose. Mithilfe der COMSOL-Funktion „Linienmittelwert“ wurde der mittlere statische Druck an beiden Positionen bestimmt. Vor der Stenose beträgt der mittlere Druck '''35,232 Pa''', während hinter der Stenose ein Wert von '''−1,0042 Pa''' ermittelt wurde. Daraus ergibt sich eine Druckdifferenz von '''36,24 Pa'''. Die Ergebnisse zeigen eine deutliche Abnahme des statischen Drucks zwischen den beiden Messquerschnitten. Diese Druckdifferenz verdeutlicht die Druckänderung entlang des stenotischen ACI-Astes. Sie ist jedoch nicht mit dem ausschließlich durch die Stenose verursachten irreversiblen Druckverlust gleichzusetzen, da auch die Strömungsentwicklung in den angrenzenden Gefäßabschnitten berücksichtigt wird. {| class="wikitable" style="text-align:center;" ! Stenosegrad ! <math>\bar p_\mathrm{vor}</math> [Pa] ! <math>\bar p_\mathrm{nach}</math> [Pa] ! <math>\Delta p</math> [Pa] |- | 0 % | 11,631 | 4,2461 | 7,3849 |- | 30 % | 16,919 | 2,9220 | 13,997 |- | 60 % | 35,835 | -0,58267 | 36,41767 |- | 80 % | 70,562 | -0,55906 | 71,12106 |} === Ausblick: Wandschubspannung im Vergleich === Zur Untersuchung der mechanischen Belastung der Gefäßwände wurde die Wandschubspannung (Wall Shear Stress, WSS) im zweidimensionalen Strömungsmodell ausgewertet. Sie beschreibt die tangentiale viskose Spannung, die durch die Strömung an der Gefäßwand entsteht. Die quantitative Auswertung erfolgte für die obere und untere Wand des stenotischen ACI-Abschnitts. Hierfür wurden die entsprechenden Wandkanten in COMSOL ausgewählt und der Betrag der Wandschubspannung bestimmt. Die Abbildung zeigt die Verteilung der Wandschubspannung (Wall Shear Stress, WSS) an den Gefäßwänden im Bereich der 80-%-Stenose der ACI. Die Auswertung erfolgte einmal mit und einmal ohne Resistenzrandbedingung. Für <math>p_0 = 0\,\mathrm{Pa}</math>: * Die Farbskala verdeutlicht die unterschiedlich starke Belastung der Gefäßwand durch die Blutströmung. '''Blaue Bereiche''' kennzeichnen geringe Wandschubspannungen von etwa 1 bis 2 Pa, während '''grüne und gelbe Bereiche''' mittlere Werte anzeigen. Im '''orange-roten Bereich''' nahe der stärksten Verengung steigt die Wandschubspannung deutlich an. Das mithilfe des Linienmaximums ermittelte Maximum beträgt '''6,0400 Pa'''. * Die erhöhten Werte im Bereich der Stenose lassen sich durch die starke Verengung des Gefäßquerschnitts erklären. Dadurch entstehen größere Geschwindigkeitsänderungen in Wandnähe, die zu einer erhöhten Wandschubspannung führen können. Die Abbildung zeigt somit, dass die mechanische Belastung der Gefäßwand innerhalb des untersuchten Stenosebereichs nicht gleichmäßig verteilt ist, sondern lokal deutlich zunimmt. [[Datei:WSS P0=0.png|300px|mini|zentriert|Verteilung der Wandschubspannung (WSS) im Bereich der 80-%-Stenose der Arteria carotis interna bei der Druckrandbedingung <math>p_0 = 0\,\mathrm{Pa}</math>.]] Mit Resistenzrandbedingung: * Die Abbildung zeigt die Verteilung der Wandschubspannung (Wall Shear Stress, WSS) an den Gefäßwänden im Bereich der 80-%-Stenose der Arteria carotis interna (ACI). Im Gegensatz zur vorherigen Untersuchung mit der Druckrandbedingung <math>p_0 = 0\,\mathrm{Pa}</math> wurde hier die Resistenzrandbedingung <math>k_R = 1</math> verwendet. * Da für diesen Fall keine stationäre Lösung erzielt werden konnte, erfolgte die Berechnung zeitabhängig. Die dargestellten Ergebnisse beziehen sich auf den Zeitpunkt <math>t = 1\,\mathrm{s}</math>. * Die Wandschubspannung ist innerhalb des Stenosebereichs unterschiedlich stark ausgeprägt. Bereiche mit niedrigen Werten kennzeichnen eine geringere tangentiale Belastung der Gefäßwand, während Bereiche mit höheren Werten auf eine stärkere Belastung hinweisen. * Das mithilfe des Linienmaximums ermittelte Maximum auf den ausgewählten Stenosewänden beträgt: <math>19{,}856\,\mathrm{Pa}</math>. * Die erhöhten Wandschubspannungen lassen sich durch die starke Verengung des Gefäßquerschnitts und die damit verbundenen Geschwindigkeitsänderungen in Wandnähe erklären. * Im Vergleich zur stationären Berechnung mit <math>p_0 = 0\,\mathrm{Pa}</math>, bei der eine maximale Wandschubspannung von <math>6{,}0400\,\mathrm{Pa}</math> ermittelt wurde, fällt der Maximalwert bei der Resistenzrandbedingung deutlich höher aus. * Dabei ist zu beachten, dass es sich bei <math>19{,}856\,\mathrm{Pa}</math> um einen Momentanwert bei <math>t = 1\,\mathrm{s}</math> handelt und nicht um einen stationären Wert. Die beiden Ergebnisse sind daher nur eingeschränkt direkt vergleichbar. * Die Farbverteilung zeigt, dass die Wandschubspannung im Bereich der Stenose von niedrigen Werten (Blau) zu höheren Werten (Grün, Gelb und Rot) ansteigt und insbesondere an der engsten Stelle der Gefäßverengung erhöht ist. [[Datei:WSS Resistenzrandbedingung.png|300px|mini|zentriert|Verteilung der Wandschubspannung (WSS) im Bereich der 80-%-Stenose der Arteria carotis interna bei der Resistenzrandbedingung <math>k_R = 1</math> zum Zeitpunkt <math>t = 1\,\mathrm{s}</math> (zeitabhängige Simulation).]] === Zusammenfassende Bewertung der 2D-Ergebnisse AKTUELLE DATEN NOCH REIN === Die stationäre zweidimensionale Strömungssimulation mit einem Stenosegrad von 80 % zeigt deutliche Veränderungen der Strömungsgrößen innerhalb der idealisierten Karotis-Bifurkation. Die maximale Geschwindigkeit beträgt 0,31853 m/s. Zwischen den ausgewählten Messquerschnitten vor und hinter der ACI-Stenose ergibt sich eine mittlere statische Druckdifferenz von 36,24 Pa. Die maximale Wandschubspannung auf den ausgewerteten Stenosewänden beträgt 3,2282 Pa. Die Untersuchung der Geschwindigkeitskomponenten liefert Hinweise auf lokale Strömungsanteile entgegen der Hauptströmungsrichtung. Ein eindeutig abgegrenztes Rezirkulationsgebiet konnte anhand der vorliegenden Darstellungen jedoch nicht sicher nachgewiesen werden. Die Ergebnisse beschreiben zunächst den untersuchten Fall einer hochgradigen Stenose. Aus diesem einzelnen Fall lässt sich weder eine allgemeine Abhängigkeit der Strömungsgrößen vom Stenosegrad noch ein kritischer Stenosegrad für den Beginn der Strömungsablösung bestimmen. Dafür wäre eine vergleichende Auswertung weiterer Stenosegrade erforderlich. == Resistenzrandbedingung am Auslass (2D-Modell) == === Motivation === Im ursprünglichen 2D-Modell wurde an beiden Auslässen eine Nulldruckbedingung <math>p = 0</math> gesetzt. Physikalisch bedeutet das, dass beide Äste in ein „offenes Becken“ mit gleichem, festem Druck münden. Der Auslassdruck hängt dabei nicht davon ab, wie viel Blut ankommt. Diese Annahme hat zwei Schwächen: * Die Flussaufteilung zwischen ACI und ACE ergibt sich nur aus den kleinen Strömungswiderständen der modellierten Gefäßabschnitte. Wird die ACI durch die Stenose verengt, weicht das Blut nahezu ungehindert in die ACE aus. Im Körper ist das nicht möglich, weil hinter der ACI das Gefäßbett des Gehirns mit einem eigenen, großen Widerstand liegt. * Das Druckniveau (Auslass bei 0 Pa) ist nicht physiologisch. Im 3D-Modell wurde deshalb an beiden Auslässen eine '''Resistenzrandbedingung''' verwendet. Damit 2D- und 3D-Modell vergleichbar sind, haben wir dieselbe Randbedingung auch im 2D-Modell eingebaut. === Formel und Herleitung === Das gesamte nachgeschaltete Gefäßbett hinter jedem Auslass wird durch einen einzigen peripheren Widerstand <math>R_p</math> ersetzt: :<math>p_{\text{aus}} = k_R \cdot R_p \cdot Q</math> Dabei ist <math>Q</math> der Volumenstrom durch den Auslass und <math>k_R</math> ein Schalter (<math>k_R = 1</math>: Widerstand, <math>k_R = 0</math>: ursprüngliche Bedingung <math>p = 0</math>). '''1. Gesunde Flussaufteilung nach dem Murray-Gesetz''' Der Volumenstrom eines Gefäßes ist nach Murray proportional zur dritten Potenz des Durchmessers. Für den Anteil der ACI am Gesamtfluss gilt damit: :<math>\varphi_0 = \frac{D_I^3}{D_I^3 + D_E^3} = \frac{(5\,\text{mm})^3}{(5\,\text{mm})^3 + (4\,\text{mm})^3} \approx 0{,}661</math> Mit dem mittleren Volumenstrom der A. carotis communis <math>Q_0 = 6\,\text{ml/s}</math> (Holdsworth u. a. 1999) folgt: :<math>Q_{I,0} = \varphi_0 \cdot Q_0 \approx 3{,}97\,\text{ml/s}, \qquad Q_{E,0} = (1-\varphi_0) \cdot Q_0 \approx 2{,}03\,\text{ml/s}</math> '''2. Bestimmung der peripheren Widerstände''' Die Widerstände werden so gewählt, dass im gesunden Zustand an beiden Auslässen der treibende Druck des peripheren Gefäßbetts <math>p_D = 90\,\text{mmHg} \approx 12\,000\,\text{Pa}</math> anliegt: :<math>R_{pI} = \frac{p_D}{Q_{I,0}} \approx 3{,}0 \cdot 10^{9}\,\frac{\text{Pa}\cdot\text{s}}{\text{m}^3}, \qquad R_{pE} = \frac{p_D}{Q_{E,0}} \approx 5{,}9 \cdot 10^{9}\,\frac{\text{Pa}\cdot\text{s}}{\text{m}^3}</math> Die Randbedingungen an den beiden Auslässen lauten damit: :<math>p_{\text{aus},I} = k_R \cdot R_{pI} \cdot Q_I, \qquad p_{\text{aus},E} = k_R \cdot R_{pE} \cdot Q_E</math> '''3. Umrechnung des Flusses im 2D-Modell''' Im 2D-Modell liefert das Integral der Normalgeschwindigkeit über den Auslassrand keinen Volumenstrom in m³/s, sondern einen Fluss pro Tiefe <math>q</math> in m²/s. Damit die Widerstände aus dem 3D-Modell verwendet werden können, wird <math>q</math> mit einer einheitlichen Ersatztiefe <math>b</math> in einen Volumenstrom umgerechnet: :<math>Q = q \cdot b, \qquad b = \frac{\pi \, D_{CC}}{4}</math> Die Ersatztiefe ist so gewählt, dass am Einlass mit der mittleren Einströmgeschwindigkeit <math>\bar{u}_{ein} = Q_0 / (\pi D_{CC}^2/4) \approx 0{,}21\,\text{m/s}</math> genau der Volumenstrom des 3D-Modells von 6 ml/s ankommt. Weil dieselbe Ersatztiefe für alle Ränder gilt, bleibt die Massenbilanz erhalten. === Ergebnisse mit Resistenzrandbedingung === {| class="wikitable" style="text-align:center" |+ Maximale Geschwindigkeit ! Stenosegrad S !! <math>u_{max}</math> [m/s] |- | 0 || 0,324^* |- | 0,3 || 0,323^* |- | 0,6 || 0,529 |- | 0,8 || 1,067 |} ^* Bei S = 0 und S = 0,3 liegt das Geschwindigkeitsmaximum nicht in der Stenose, sondern in der A. carotis communis. {| class="wikitable" style="text-align:center" |+ Druck vor und nach der Stenose ! Stenosegrad S !! <math>p_{vor}</math> [Pa] !! <math>p_{nach}</math> [Pa] !! Druckverlust <math>\Delta p = p_{vor} - p_{nach}</math> [Pa] !! <math>\Delta p</math> [mmHg] |- | 0 || 11 802 || 11 793 || 9 || 0,07 |- | 0,3 || 11 808 || 11 790 || 18 || 0,14 |- | 0,6 || 11 838 || 11 760 || 78 || 0,59 |- | 0,8 || 12 024 || 11 626 || 398 || 2,99 |} === Auswertung === * '''Druckniveau:''' Mit der Resistenzrandbedingung liegt der Druck bei etwa 11 800 Pa ≈ 88,5 mmHg. Das entspricht dem mittleren arteriellen Druck in der Carotis. Mit <math>p = 0</math> lagen die Drücke nur bei wenigen Pa bis einigen 100 Pa. * '''Flussaufteilung:''' Die peripheren Widerstände sind wesentlich größer als der Widerstand der Stenose. Deshalb bestimmen sie die Flussaufteilung, und die ACI behält auch bei 80 % Stenose nahezu ihren Anteil (Abnahme von <math>Q_I</math> nur um etwa 1 %). Im Gegensatz zu <math>p = 0</math> kann das Blut nicht einfach in die ACE ausweichen. Das entspricht dem physiologischen Verhalten bei nicht kritischen Stenosen. * '''Geschwindigkeit:''' Weil mehr Blut durch die Engstelle strömen muss, steigen die Geschwindigkeiten in der Stenose gegenüber <math>p = 0</math>. Von S = 0,6 auf S = 0,8 verdoppelt sich <math>u_{max}</math> etwa. * '''Druckverlust:''' Der Druckverlust steigt stark nichtlinear mit dem Stenosegrad. Von S = 0,6 auf S = 0,8 nimmt er etwa um den Faktor 5 zu. * '''Druckrückgewinnung:''' Bei S = 0,8 liegt <math>p_{nach}</math> mit 11 626 Pa sogar unter dem Auslassdruck (≈ 11 680 Pa). Direkt hinter der Engstelle ist die Geschwindigkeit des Strahls noch hoch und der statische Druck entsprechend niedrig. Stromabwärts verlangsamt sich die Strömung, und ein Teil des Drucks wird zurückgewonnen. Der bleibende Druckverlust ist daher etwas kleiner als 398 Pa. === Grenzen und Vergleich mit dem 3D-Modell === * Im 2D-Modell verringert eine Stenose von 80 % nur die '''Spaltbreite''' auf 20 %. Im 3D-Modell sinkt die '''Querschnittsfläche''' dagegen auf <math>0{,}2^2 = 4\,\%</math>. Das 2D-Modell unterschätzt deshalb Geschwindigkeit und Druckverlust in der Stenose systematisch. Klinisch gelten bei Stenosen ab 70 % systolische Spitzengeschwindigkeiten über 2,3 m/s; ab einem Druckgradienten von etwa 10–20 mmHg gilt eine Stenose als hämodynamisch relevant. Beide Grenzen erreicht das 2D-Modell nicht. * Die Umrechnung über die Ersatztiefe <math>\pi D_{CC}/4</math> ist eine Modellannahme. * Der periphere Widerstand ist konstant. Die Autoregulation des Gehirns und die Gefäßelastizität (Windkessel) werden nicht berücksichtigt, und die Rechnung ist stationär (keine Pulsatilität). == Beantwortung der Forschungsfragen == '''Welche Strömungsgrößen reagieren empfindlich auf den Stenosegrad?''' Die Untersuchung der 80-%-Stenose zeigt deutliche Veränderungen der Geschwindigkeitsverteilung, des statischen Drucks und der Wandschubspannung. Die maximale Strömungsgeschwindigkeit beträgt 0,31853 m/s. Zwischen den ausgewählten Messquerschnitten vor und hinter der Stenose ergibt sich eine mittlere statische Druckdifferenz von 36,24 Pa. Die maximale Wandschubspannung auf den untersuchten Stenosewänden beträgt 3,2282 Pa.Da bisher nur die 80-%-Stenose quantitativ ausgewertet wurde, lässt sich noch nicht feststellen, welche dieser Größen bei zunehmendem Stenosegrad am stärksten reagiert. '''Ab welchem Stenosegrad tritt eine Strömungsablösung auf?''' Bei der untersuchten 80-%-Stenose zeigen die Geschwindigkeitskomponenten und die vorzeichenbehaftete Wandschubspannung Hinweise auf Veränderungen der wandnahen Strömungsrichtung hinter der Engstelle. Ein eindeutig geschlossenes Rezirkulationsgebiet konnte jedoch nicht nachgewiesen werden. Ein kritischer Stenosegrad für den Beginn einer Strömungsablösung lässt sich aus dieser einzelnen Simulation daher nicht bestimmen. Hierfür müssten weitere Stenosegrade unter vergleichbaren Bedingungen ausgewertet werden. '''Inwieweit sind die Annahmen einer stationären und laminaren Strömung geeignet?''' Die stationäre, laminare Modellierung ermöglicht es, grundlegende Auswirkungen einer Gefäßverengung auf die Strömung in einer idealisierten Karotis-Bifurkation zu untersuchen. Bei hochgradigen Stenosen können allerdings zeitabhängige und dreidimensionale Strömungsstrukturen auftreten. Diese werden durch das vorliegende stationäre 2D-Modell nicht vollständig erfasst. Die Simulationsergebnisse sind deshalb auf die gewählten Modellannahmen und Randbedingungen beschränkt. '''Zusammenfassend''' liefert die 2D-Simulation eine erste quantitative Beschreibung der Strömungsverhältnisse bei einer hochgradigen ACI-Stenose. Für allgemeine Aussagen über die Abhängigkeit vom Stenosegrad und den Beginn einer Strömungsablösung sind zusätzliche Vergleichsrechnungen erforderlich. = Grenzen des Modells = * Die untersuchte Gefäßgeometrie ist eine idealisierte Darstellung der Karotisaufzweigung. Individuelle anatomische Unterschiede werden nicht berücksichtigt. * Darüber hinaus werden die Gefäßwände als starr angenommen und Blut wird durch ein inkompressibles Newtonsches Fluid mit konstanter Viskosität beschrieben. * Die Strömung wird stationär berechnet. Die natürliche Pulsation des Blutflusses und zeitabhängige Effekte bleiben damit unberücksichtigt. * Insbesondere bei hochgradigen Stenosen können zeitabhängige Strömungsablösungen auftreten, die durch eine stationäre Modellierung nicht vollständig beschrieben werden. * Das Graphenmodell kann lokale Strömungsphänomene nicht detailliert erfassen. Das ebene Flächenmodell vereinfacht die räumliche Gefäßgeometrie. Auch das dreidimensionale Modell bleibt aufgrund der idealisierten Geometrie und der vereinfachten Materialannahmen eine Annäherung an die reale Blutströmung. * Die Ergebnisse sind daher als strömungsmechanische Untersuchung eines idealisierten Modells zu interpretieren und nicht als patientenspezifische medizinische Vorhersage. = Literaturverzeichnis = Alle Quellen sind an den Stellen im Text angegeben, an denen die zugehörigen Werte oder Aussagen verwendet werden. Die Liste wird aus diesen Angaben automatisch erzeugt. <references /> 2h8wefrlv6in0zwkz1oe7cu0ajexvdy 1119415 1119414 2026-11-11T18:07:20Z Nicole.pander 39567 /* Relevanz */ 1119415 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Joey Becker * Marie-Thérèse Heitele * Nicole Pander = Thema = Gegenstand dieses Projekts ist die numerische Simulation der Blutströmung in einer verzweigten Halsschlagader ('''Carotis-Bifurkation''') unter dem Einfluss einer lokalen Gefäßverengung ('''Stenose'''). Im Vergleich zu einer einfachen Rohrströmungen wird hier die realitätsnahe Gefäßanatomie betrachtet: Die '''Arteria carotis communis (ACC)''' teilt sich in die '''Arteria carotis externa (ACE)''' und die '''Arteria carotis interna (ACI)''' auf. Während die '''ACE''' als gesunder, stenosefreier Ast dient, wird in der '''ACI''' eine Gefäßverengung modelliert. Hierbei werden unterschiedliche Stenosegrade betrachtet. Als Referenz dient ein gesundes, unverengtes Gefäß, in dem sich die Poiseuille-Strömung mit ihrem charakteristischen parabolischen Geschwindigkeitsprofil ausbildet. Diese Strömung ist aus zwei Gründen der natürliche Ausgangspunkt. Sie beschreibt den physiologischen Normalfall, mit dem jeder Stenosegrad verglichen wird. == Fragestellung == Die Hauptfragestellung dieses Projektes lautet: Wie verändert eine Stenose in der '''Arteria carotis interna (ACI)''' die Strömung des Blutes hinsichtlich Strömungsgeschwindigkeit und des Druckabfalls über die Engstelle im Vergleich zum gesunden Gefäßabschnitt? Aus dieser Fragestellung ergeben sich drei Teilfragen, an denen sich der Aufbau der Seite orientiert: # Wie stark steigt die maximale Strömungsgeschwindigkeit in der Stenose mit zunehmendem Stenosegrad an? # Wie groß ist die Druckdifferenz vor und nach der Stenose bei den untersuchten Stenosegraden und ab welchem Stenosegrad nimmt sie deutlich zu? # Wie stark hängen Geschwindigkeitsmaximum und Druckdifferenz von der gewählten Auslassrandbedingung ab? = Relevanz = Die Untersuchung von Gefäßverengungen besitzt sowohl eine medizinische als auch eine methodische Bedeutung. Aus medizinischer Sicht sind arterielle Stenosen – etwa in der Halsschlagader – kritisch, da sie die Durchblutung beeinträchtigen und durch veränderte Wandschubspannungen sowie die Bildung von Wirbeln weitere Gefäßablagerungen begünstigen. Stenosen im Bereich der Karotisgabelung sind klinisch hochrelevant, da sie das Gehirn direkt versorgen und das Risiko für embolische Schlaganfälle erhöhen. Fachlich überträgt das Projekt damit die Prinzipien der Strömungsmechanik direkt auf eine biomedizinische Anwendung. Das Projekt verknüpft somit theoretische Grundlagen der Strömungsmechanik (Hagen-Poiseuille-Gleichung, Navier-Stokes-Gleichungen) mit der numerischen Simulation in COMSOL Multiphysics. Durch den Vergleich der '''gesunden Externa (ACE)''' mit der '''stenoisierten Interna (ACI)''' innerhalb desselben Rechengebiets wird die isolierte Wirkung der Stenose unter identischen Randbedingungen direkt sichtbar gemacht. == Modellannahmen == Im Hinblick darauf werden für dieses Projekt einige Annahmen getroffen, um das Projekt möglichst isoliert zu untersuchen und zu simplifizieren: * '''Idealisierte Gefäßgeometrie''': Betrachtet wird ein Teilabbschnitt der ''Arteria carotis communis'', die sog. ''ACI''. Zudem werden Gefäßverkrümmungen, weitere Verzweigungen und patientenspezifische Strukturen nicht berücksichtigt. * '''Starre Gefäßwand''': Die Gefäßwand wird als unbeweglich und nicht verformbar angenommen. Eine Wechselwirkung zwischen elastischer Gefäßwand und Blutströmung wird nicht modelliert. * '''Stationäre Strömung''': Die Strömungsgrößen werden als zeitlich konstant angenommen. Die im realen Blutkreislauf vorhandene Pulsation durch den Herzschlag wird daher vernachlässigt: <math>\frac{\partial u}{\partial t}=0</math>. * '''Inkompressibles Fluid''': Die Dichte des Fluids wird als konstant angenommen. Damit gilt für die Geschwindigkeit <math>\nabla \cdot u=0</math>. Dies entspricht der in der Vorlesung behandelten Massenerhaltung für inkompressible Fluide: Was in das Gefäß einströmt, muss auch wieder ausströmen. * '''Newton'sche Näherung für Blut''': Reales Blut beseitzt ein nicht newton'sches Fließverhalten. Hier wird Blut als Newton'sches Fluid behandelt. * '''Konstante Stoffeigenschaften''': Dichte <math>\rho</math> und dynamische Viskosität μ werden als räumlich und zeitlich konstant angenommen. Temperaturabhängigkeiten werden nicht berücksichtigt. * '''Laminare Strömung''': Die Strömung wird mit dem COMSOL-Modul ''Laminar Flow'' beschrieben. Ein zusätzliches Turbulenzmodell wird nicht verwendet. * '''No-Slip-Bedingung an Gefäßwand''': Aufgrund der Viskosität wird angenommen, dass das Fluid direkt an der Gefäßwand haftet. Somit gilt <math>u=0</math>. * '''Vernachlässigung der Gravitation''': Gravitation wird nicht berücksichtigt. Die Strömung wird ausschließlich durch die gewählten Ein- und Auslassbedingungen bestimmt. == Medizinische Relevanz == Arterielle Stenosen entstehen überwiegend durch Atherosklerose, also durch Ablagerungen aus Lipiden, Bindegewebe und Kalk in der Gefäßwand. In der Halsschlagader sind sie klinisch besonders bedeutsam, weil sie die Durchblutung des Gehirns beeinträchtigen und weil sich an ihnen Thromben bilden können, die als Embolie einen Schlaganfall auslösen. Dass die operative Entfernung einer hochgradigen Karotisstenose das Schlaganfallrisiko symptomatischer Patienten deutlich senkt, hat die NASCET-Studie gezeigt, deren Einteilung der Stenosegrade dieses Projekt übernimmt.<ref name="nascet">North American Symptomatic Carotid Endarterectomy Trial Collaborators: ''Beneficial effect of carotid endarterectomy in symptomatic patients with high-grade carotid stenosis.'' New England Journal of Medicine 325 (1991), Nr. 7, S. 445-453.</ref> Strömungsmechanisch ist an einer Stenose vor allem die Wandschubspannung von Interesse, also die tangentiale Kraft je Fläche, die das strömende Blut auf die innerste Zellschicht der Gefäßwand ausübt. Gesunde Halsschlagadern weisen zeitlich gemittelte Werte von etwa 1,1 bis 1,5 Pa auf.<ref name="samijo">Samijo, S. K.; Willigers, J. M.; Barkhuysen, R.; Kitslaar, P. J. E. H. M.; Reneman, R. S.; Brands, P. J.; Hoeks, A. P. G.: ''Wall shear stress in the human common carotid artery as function of age and gender.'' Cardiovascular Research 39 (1998), Nr. 2, S. 515-522.</ref> In einer Engstelle steigt sie stark an, unmittelbar dahinter fällt sie im Ablösegebiet auf nahezu null und wechselt dort sogar das Vorzeichen. Niedrige und im Vorzeichen wechselnde Wandschubspannungen gelten als Bedingungen, unter denen sich weitere Ablagerungen bevorzugt bilden. Eine bestehende Stenose schafft also stromabwärts die Voraussetzungen für ihr eigenes Wachstum. Genau diese Verteilung lässt sich im Körper nur schwer messen, in einer Simulation dagegen unmittelbar auswerten. == Methodische Relevanz == Fachlich überträgt das Projekt die Prinzipien der Strömungsmechanik aus der Vorlesung auf eine biomedizinische Anwendung.<ref name="hundertmark">Hundertmark, A.: ''Fluiddynamik.'' Vorlesungsunterlagen zum Modul Räumliche Modellbildung, RPTU Kaiserslautern-Landau, Sommersemester 2026.</ref> Der methodische Mehrwert liegt in der Verknüpfung mehrerer Zugänge, die sich gegenseitig kontrollieren. Die analytische Poiseuille-Lösung liefert exakte Sollwerte für das gesunde Gefäß. Ein reduziertes Graphenmodell liefert für jeden Stenosegrad eine schnelle Abschätzung, die analytisch nachrechenbar ist. Die Simulationen in COMSOL Multiphysics lösen schließlich die vollständigen Navier-Stokes-Gleichungen in zwei und drei Raumdimensionen. Weil jede Stufe die Sollwerte der nächsten liefert, zeigt das Projekt nicht nur Ergebnisse, sondern auch, wie numerische Modelle aufgebaut, verifiziert und an ihren Grenzen bewertet werden. == Auswahl der Stenosegrade == Um die untersuchten Gefäßverengungen nicht willkürlich festzulegen, orientiert sich die Auswahl der Stenosegrade an der klinisch gebräuchlichen NASCET-Klassifikation von Karotisstenosen.<ref name="nascet" /> Zur klinischen Einordnung werden Karotisstenosen anhand der nach NASCET bestimmten Durchmesserreduktion in leichtgradige, mittelgradige und hochgradige Stenosen eingeteilt. Die angegebenen Prozentgrenzen dienen in diesem Projekt als Orientierung für die Auswahl der untersuchten Stenosegrade. Ein vollständiger Gefäßverschluss wird als Okklusion bezeichnet. {| class="wikitable" |+ Klinische Einteilung nach NASCET-gemessener Durchmesserreduktion und untersuchte Stenosegrade ! Schweregrad !! Durchmesserreduktion !! im Projekt gerechnete Stenosegrade !! hervorgehobener Vertreter |- | gesundes Gefäß || 0 % || 0 || 0 |- | leichtgradige Stenose || unter 50 % || 0,1 bis 0,4 || 0,3 |- | mittelgradige Stenose || 50 bis 69 % || 0,5 und 0,6 || 0,6 |- | hochgradige Stenose || 70 bis 99 % || 0,7 und 0,8 || 0,8 |- | Okklusion || 100 % || nicht gerechnet || entfällt |} '''Anmerkung''': Die Klassengrenzen dienen der Einordnung der Modellvarianten. Die in der Tabelle genannten Stenosegrade sind dimensionslose Werte, beispielsweise entspricht '''<math>s=0{,}6</math>''' einer Durchmesserreduktion von '''60 %'''. Für die numerische Untersuchung wird aus jeder Kategorie ein repräsentativer Stenosegrad hervorgehoben. Neben dem gesunden Gefäß mit '''0 %''' Stenose sind das eine '''30 %''' Stenose als Beispiel für eine leichtgradige, eine '''60 %''' Stenose als Beispiel für eine mittelgradige und eine '''80 %''' Stenose als Beispiel für eine hochgradige Verengung. Zusätzlich werden für das Graphenmodell und das achsensymmetrische Flächenmodell Stenosegrade von 0 bis 80 % in Schritten von zehn Prozentpunkten vorgesehen. Dadurch kann die Abhängigkeit der Strömungsgrößen vom Stenosegrad systematisch untersucht und grafisch dargestellt werden. Ob alle Modellvarianten tatsächlich berechnet wurden und wie hoch der Rechenaufwand war, wird anhand der durchgeführten Simulationen dokumentiert. Ein vollständiger Gefäßverschluss wird nicht simuliert, da in diesem Fall keine durchgängige Strömung mehr vorliegt. Der Stenosegrad wird in diesem Projekt wie bei NASCET über die Verringerung des Gefäßdurchmessers beschrieben, <math>s = 1 - \frac{d_{\min}}{d_{\mathrm{ref}}},</math> wobei <math>d_{\min}</math> der kleinste Durchmesser in der Engstelle und <math>d_{\mathrm{ref}}</math> ein Referenzdurchmesser ist. NASCET verwendet als Referenz den Durchmesser des gesunden Gefäßes stromabwärts der Stenose. Für das idealisierte gerade Gefäßmodell wird ein konstanter Referenzdurchmesser von <math>D_0=6\,\mathrm{mm}</math> angenommen. Da das Gefäß außerhalb der Stenose denselben Durchmesser besitzt, gilt in diesem Modell<math>d_{\mathrm{ref}}=D_0</math>. Bei der zusätzlich betrachteten Gefäßaufzweigung muss der Referenzdurchmesser dagegen gesondert festgelegt werden, da die Gefäßäste unterschiedliche Durchmesser besitzen. Wichtig für das Verständnis aller weiteren Ergebnisse ist der Unterschied zwischen Durchmesser- und Flächenreduktion. Da die Querschnittsfläche quadratisch vom Durchmesser abhängt, gilt für die Flächenreduktion <math>1-(1-s)^2</math>. Eine im klinischen Sinn nur mittelgradige Stenose von 60 % verschließt damit bereits 84 % der Querschnittsfläche. {| class="wikitable" |+ Durchmesser- und Flächenreduktion der gerechneten Stenosegrade ! Stenosegrad s !! 0 !! 0,1 !! 0,2 !! 0,3 !! 0,4 !! 0,5 !! 0,6 !! 0,7 !! 0,8 |- | engster Durchmesser in mm || 6,0 || 5,4 || 4,8 || 4,2 || 3,6 || 3,0 || 2,4 || 1,8 || 1,2 |- | Flächenreduktion || 0 % || 19 % || 36 % || 51 % || 64 % || 75 % || 84 % || 91 % || 96 % |} Eine Einschränkungen gehört zur ehrlichen Einordnung: # Mit zunehmendem Stenosegrad, insbesondere bei ausgeprägten Verengungen, können lokale Beschleunigungen, Strömungsablösungen und zeitabhängige Strömungsstrukturen auftreten. Daher muss bei den hochgradigen Stenosen geprüft werden, inwieweit die Annahme einer stationären, laminaren Strömung geeignet ist. Eine feste Grenze bei <math>s=0{,}6</math> lässt sich ohne entsprechende Simulationsergebnisse oder Literaturbelege nicht allgemein festlegen. Die hochgradigen Fälle werden deshalb unter besonderer Berücksichtigung der Modellannahmen diskutiert. Unter Modellierung wird in diesem Projekt die Übertragung der Blutströmung in einer verengten Arterie auf ein mathematisches und numerisch lösbares Strömungsproblem verstanden. Dazu werden die Gefäßgeometrie, die zugrunde liegenden Gleichungen, die physikalischen Materialparameter sowie die Anfangs- und Randbedingungen festgelegt. Jeder dieser Bestandteile beruht auf vereinfachenden Annahmen, die begründet und bei der Interpretation der Ergebnisse berücksichtigt werden müssen. Ziel ist es, den Einfluss unterschiedlicher Stenosegrade auf die Strömungsgeschwindigkeit, den Druckverlust und gegebenenfalls die Wandschubspannung systematisch zu untersuchen. Die Modellierung erfolgt anhand mehrerer Modellvarianten mit unterschiedlicher räumlicher Auflösung. Dadurch können zunächst grundlegende Zusammenhänge analytisch abgeschätzt und anschließend mit numerischen Strömungsberechnungen verglichen werden. Die verwendeten Parameter orientieren sich an den bereitgestellten Referenzdaten und werden in den folgenden Abschnitten erläutert. == Modellierung == Ziel der Modellierung ist es, die Blutströmung innerhalb einer Y-förmigen Aufzweigung der Halsschlagader mathematisch und numerisch zu untersuchen. Im Mittelpunkt steht eine Gefäßverengung (Stenose) in der Arteria carotis interna. Das betrachtete Gefäßmodell besteht aus der Arteria carotis communis, die sich in die Arteria carotis interna und die Arteria carotis externa aufteilt. Die Stenose befindet sich ausschließlich in der Arteria carotis interna. Durch die Verengung verändert sich der verfügbare Strömungsquerschnitt. Dies kann zu einer Erhöhung der lokalen Strömungsgeschwindigkeit, zu zusätzlichen Druckverlusten und zu einer Veränderung der Strömungsverteilung zwischen den beiden Gefäßästen führen. Ziel ist es, den Einfluss unterschiedlicher Stenosegrade auf die Strömungsgeschwindigkeit, die Druckverteilung und die Wandschubspannung zu untersuchen. Zusätzlich soll betrachtet werden, wie sich die Strömung innerhalb der Y-förmigen Gefäßaufzweigung verhält. Die numerische Modellierung erfolgt mit COMSOL Multiphysics. Dazu werden die Gefäßgeometrie, die Materialeigenschaften des Blutes, die Strömungsgleichungen und die Randbedingungen festgelegt. Zur Vereinfachung wird Blut zunächst als inkompressibles, Newtonsches Fluid betrachtet. Die Gefäßwände werden als starr angenommen. Diese Annahmen ermöglichen eine systematische Untersuchung der Stenose, schränken jedoch die Übertragbarkeit auf reale physiologische Bedingungen ein. === Modellhierarchie === Für die Untersuchung der Blutströmung innerhalb der Y-förmigen Karotisaufzweigung werden drei Modellvarianten betrachtet. Diese unterscheiden sich hinsichtlich ihrer räumlichen Dimension, ihrer mathematischen Beschreibung und der Genauigkeit, mit der die Strömungsverhältnisse dargestellt werden können. Das untersuchte Gefäß besteht aus der Arteria carotis communis, die sich in die Arteria carotis interna und die Arteria carotis externa aufteilt. Die Stenose befindet sich ausschließlich in der Arteria carotis interna. Alle drei Modellvarianten werden mit COMSOL Multiphysics umgesetzt. {| class="wikitable" style="width:100%;" |+ '''Die drei Modellvarianten des Projekts''' |- ! Modell ! Raumdimension ! Mathematische Grundlage ! Zweck ! Werkzeug |- | '''Graphenmodell''' | 1D, Gefäßnetzwerk mit einer Verzweigung | Massenerhaltung an der Verzweigung und vereinfachte Beschreibung der Strömungswiderstände | Abschätzung der Volumenstromverteilung und der Druckverluste in den Gefäßästen | COMSOL Multiphysics |- | '''Ebenes Flächenmodell''' | 2D, Y-förmige Gefäßgeometrie in kartesischen Koordinaten | Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen | Untersuchung der Geschwindigkeits- und Druckverteilung sowie der Auswirkungen der Stenose in der Arteria carotis interna | COMSOL Multiphysics, Laminare Strömung |- | '''Volumenmodell''' | 3D, räumliche Y-förmige Gefäßgeometrie | Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen | Räumliche Untersuchung des Geschwindigkeitsfeldes, des Druckverlustes und der Wandschubspannung | COMSOL Multiphysics, Laminare Strömung |} ==== Vergleich und Überprüfung der Modellvarianten ==== Die drei Modellvarianten bauen hinsichtlich ihrer räumlichen Beschreibung aufeinander auf. Das Graphenmodell ermöglicht zunächst eine vereinfachte Betrachtung der Volumenströme und Druckverluste. Die zwei- und dreidimensionalen Modelle erlauben anschließend eine detailliertere Untersuchung der Strömung innerhalb der Gefäßaufzweigung. Das '''Graphenmodell''' beschreibt die Arteria carotis communis sowie die beiden abzweigenden Gefäße als miteinander verbundenes Netzwerk. Dabei wird die Massenerhaltung an der Verzweigung berücksichtigt: :<math>Q_{\mathrm{CCA}}=Q_{\mathrm{ICA}}+Q_{\mathrm{ECA}}</math> Das Modell liefert vereinfachte Abschätzungen der Volumenstromverteilung. Lokale Strömungsablösungen und räumliche Geschwindigkeitsverteilungen können damit nicht detailliert dargestellt werden. Das '''ebene Flächenmodell''' bildet die Y-förmige Gefäßaufzweigung in zwei Raumdimensionen ab. Die Stenose wird innerhalb der Arteria carotis interna berücksichtigt. Dadurch können die Geschwindigkeits- und Druckverteilung sowie mögliche Rückströmungsbereiche untersucht werden. Das '''Volumenmodell''' erweitert die Untersuchung auf drei Raumdimensionen. Es ermöglicht eine räumliche Darstellung der Strömung und eine detailliertere Berechnung der Wandschubspannung. Die Ergebnisse des ebenen Flächenmodells und des Volumenmodells werden miteinander verglichen. Da das ebene Modell die räumliche Querschnittsgeometrie nur vereinfacht darstellt, müssen Unterschiede zwischen den beiden Modellen bei der Interpretation berücksichtigt werden. Ziel der Modellhierarchie ist es, die Aussagekraft der einzelnen Modellvarianten zu bewerten und den Einfluss des Stenosegrades auf die Strömung innerhalb der Y-förmigen Karotisaufzweigung zu untersuchen. === Simulationsgebiet und Geometrie === Das Simulationsgebiet besteht aus einer idealisierten Y-förmigen Aufzweigung der Arteria carotis. Die Arteria carotis communis teilt sich in die Arteria carotis interna und die Arteria carotis externa. Die Stenose befindet sich in der Arteria carotis interna. Die Arteria carotis externa wird ohne zusätzliche Verengung modelliert. Die Geometrie orientiert sich an den bereitgestellten Referenzdaten. Die Gefäßdurchmesser werden innerhalb der jeweiligen unverengten Abschnitte als konstant angenommen. {| class="wikitable" style="width:100%;" |+ '''Geometrische Referenzparameter der Y-förmigen Gefäßaufzweigung''' |- ! Gefäßabschnitt ! Durchmesser ! Länge |- | Arteria carotis communis | 6 mm | 60 mm |- | Arteria carotis interna | 5 mm | 60 mm |- | Arteria carotis externa | 4 mm | 60 mm |- | Stenose in der Arteria carotis interna | Abhängig vom Stenosegrad | 10 bzw. 20 mm |} Die Verengung wird über den Stenosegrad <math>s</math> beschrieben. Dieser gibt die relative Verringerung des Gefäßdurchmessers an: :<math>s=1-\frac{d_{\min}}{D_{\mathrm{ICA}}}</math> Dabei bezeichnet <math>d_{\min}</math> den minimalen Durchmesser innerhalb der Stenose und <math>D_{\mathrm{ICA}}</math> den unverengten Referenzdurchmesser der Arteria carotis interna. Für das Modell gilt: :<math>D_{\mathrm{ICA}}=5\,\mathrm{mm}</math> Der minimale Durchmesser ergibt sich damit zu: :<math>d_{\min}=D_{\mathrm{ICA}}(1-s)</math> {| class="wikitable" |+ '''Minimaler Durchmesser der Stenose in der Arteria carotis interna''' |- ! Stenosegrad ! Minimaler Durchmesser |- | 0 % | 5,0 mm |- | 10 % | 4,5 mm |- | 20 % | 4,0 mm |- | 30 % | 3,5 mm |- | 40 % | 3,0 mm |- | 50 % | 2,5 mm |- | 60 % | 2,0 mm |- | 70 % | 1,5 mm |- | 80 % | 1,0 mm |} Die angegebenen Stenosegrade beziehen sich ausschließlich auf den Durchmesser der Arteria carotis interna. Der Durchmesser der Arteria carotis communis wird nicht zur Berechnung des Stenosegrades verwendet. Die Y-förmige Geometrie ermöglicht es, die Auswirkungen der Verengung sowohl auf die lokale Strömung in der Arteria carotis interna als auch auf die Strömungsverteilung innerhalb der gesamten Gefäßaufzweigung zu untersuchen. Die genaue Form der Stenose, der Verzweigungswinkel und die Übergänge zwischen den Gefäßabschnitten müssen entsprechend der tatsächlich in COMSOL verwendeten Geometrie dokumentiert werden. == Stoff- und Strömungsparameter == Die Stoffwerte des Blutes und der Volumenstrom sind die einzigen Eingangsgrößen, die nicht aus der Geometrie folgen. Aus ihnen werden alle weiteren Strömungskennwerte berechnet. Die folgenden Schritte zeigen jede Rechnung einzeln, damit sich jeder Wert nachprüfen lässt. # Die '''Dichte''' wird mit <math>\rho = 1060\ \mathrm{kg/m^3}</math> angesetzt. Der Wert lässt sich als Mischungsregel plausibel machen. Plasma hat eine Dichte von etwa 1025 kg/m³, rote Blutkörperchen von etwa 1100 kg/m³. Bei einem Zellanteil von 45 % ergibt sich <math>0{,}55 \cdot 1025 + 0{,}45 \cdot 1100 \approx 1059\ \mathrm{kg/m^3}</math>. Die Dichte geht nur über die Reynoldszahl in die Rechnung ein, eine Abweichung von einem Prozent ändert die Ergebnisse daher kaum. <!-- FIXME Lehrbuchquelle fuer Plasma- und Erythrozytendichte ergaenzen --> # Die '''dynamische Viskosität''' wird mit <math>\mu = 3{,}5\ \mathrm{mPa\,s}</math> angesetzt. Das ist der Grenzwert der Blutviskosität bei hohen Scherraten, also genau der Wert, der zur Newtonschen Näherung gehört. Derselbe Wert von 0,035 Poise wird auch im Standardwerk zur Modellierung des Herz-Kreislauf-Systems verwendet.<ref name="quarteroni">Quarteroni, A.; Formaggia, L.: ''Mathematical Modelling and Numerical Simulation of the Cardiovascular System.'' In: Ayache, N. (Hrsg.): ''Computational Models for the Human Body.'' Handbook of Numerical Analysis, Bd. XII, Elsevier, Amsterdam 2004, S. 3-127. DOI 10.1016/S1570-8659(03)12001-7. Zur Newtonschen Näherung in großen Gefäßen siehe S. 30, zur Viskosität von 0,035 Poise die Parametertabelle auf S. 116.</ref> # Der '''mittlere Volumenstrom''' wird mit <math>Q_0 = 6\ \mathrm{ml/s}</math> angesetzt. Das ist der zeitlich gemittelte Volumenstrom, der in der gemeinsamen Halsschlagader gesunder Probanden gemessen wurde. # Die '''mittlere Geschwindigkeit''' folgt aus Volumenstrom und Querschnittsfläche, <math>U_0 = \frac{Q_0}{\pi R_0^2} = \frac{6 \cdot 10^{-6}\ \mathrm{m^3/s}}{\pi \cdot (0{,}003\ \mathrm{m})^2} = 0{,}2122\ \mathrm{m/s}</math>. # Die '''Reynoldszahl''' des gesunden Gefäßes ist <math>Re_0 = \frac{\rho\, U_0\, D_0}{\mu} = \frac{1060 \cdot 0{,}2122 \cdot 0{,}006}{0{,}0035} = 385{,}6</math>. Sie wird im Folgenden auf 386 gerundet. # Die '''Einlauflänge''', die eine anfangs gleichförmige Strömung bis zum voll entwickelten Parabelprofil bräuchte, beträgt nach der gebräuchlichen Abschätzung für laminare Rohrströmungen <math>L_e \approx 0{,}06\, Re_0\, D_0 \approx 0{,}06 \cdot 386 \cdot 6\ \mathrm{mm} \approx 139\ \mathrm{mm}</math>.<ref name="durst">Durst, F.; Ray, S.; Ünsal, B.; Bayoumi, O. A.: ''The development lengths of laminar pipe and channel flows.'' Journal of Fluids Engineering 127 (2005), Nr. 6, S. 1154-1160. Für große Reynoldszahlen nähert sich die dort angegebene Korrelation dem Wert 0,057·Re·D.</ref> Das ist fast die gesamte Länge des Rechengebiets. Ein konstantes Einlassprofil würde die Strömung an der Stenose also verfälschen, weshalb am Einlass das voll entwickelte Profil vorgegeben wird. Damit liegen alle globalen Parameter fest. Die folgende Tabelle enthält sie mit genau den Namen, unter denen sie in COMSOL und in den Octave-Skripten verwendet werden. {| class="wikitable" |+ Globale Parameter des Modells ! Name !! Ausdruck in COMSOL !! Wert !! Bedeutung !! Herkunft |- | R0 || 3[mm] || 3 mm || Gefäßradius || Messwerte nach Krejza u. a. 2006, gerundet |- | D0 || 2*R0 || 6 mm || Gefäßdurchmesser || abgeleitet |- | Ls || 2*D0 || 12 mm || Länge der Störstelle || Standardgeometrie nach Varghese u. a. 2007 |- | Lu || 5*D0 || 30 mm || Vorlaufstrecke vor der Stenosemitte || Abstand der Einlassbedingung von der Stenose |- | Ld || 20*D0 || 120 mm || Nachlaufstrecke hinter der Stenosemitte || Platz für das Rückströmgebiet |- | Lf || Ls/2+10*D0 || 66 mm || Ende des fein vernetzten Nachlaufs || erwartete Länge des Rückströmgebiets |- | s || 0 bis 0.8 || 0 bis 0,8 || Stenosegrad bezogen auf den Durchmesser || NASCET-Einteilung |- | rho_b || 1060[kg/m^3] || 1060 kg/m³ || Dichte des Blutes || Mischungsregel, Literaturwert |- | mu_b || 3.5[mPa*s] || 3,5 mPa·s || dynamische Viskosität des Blutes || Hochscherwert, Quarteroni und Formaggia 2004 |- | Q0 || 6[ml/s] || 6 ml/s || mittlerer Volumenstrom || Messwerte nach Holdsworth u. a. 1999 |- | U0 || Q0/(pi*R0^2) || 0,2122 m/s || mittlere Einströmgeschwindigkeit || abgeleitet |- | Re0 || rho_b*U0*D0/mu_b || 385,6 || Reynoldszahl des gesunden Gefäßes || abgeleitet |- | dp_ref || 8*mu_b*U0*(Lu+Ld)/R0^2 || 99,03 Pa || Poiseuille-Druckabfall des gesunden Gefäßes || abgeleitet, Hagen-Poiseuille |} = Implementierung des 2D-Modells in COMSOL Multiphysics = == Zielsetzung des zweidimensionalen Modells == Im Rahmen des Projekts wurde mit COMSOL Multiphysics ein zweidimensionales Modell der menschlichen Halsschlagader erstellt. Ziel ist es, die Blutströmung innerhalb einer Gefäßverzweigung zu untersuchen und insbesondere die Auswirkungen einer lokalen Gefäßverengung (Stenose) auf das Strömungsverhalten zu analysieren. Das Modell bildet die Aufzweigung der Arteria carotis communis (ACC) in die Arteria carotis interna (ACI) und die Arteria carotis externa (ACE) ab. Während die ACE als gesunder Gefäßabschnitt betrachtet wird, befindet sich in der ACI eine lokale Verengung. Dadurch können die Strömungsverhältnisse in beiden Ästen miteinander verglichen werden. Die zweidimensionale Modellierung dient dazu, die Geschwindigkeitsverteilung, den Druckabfall und die Wandschubspannung zu untersuchen. Zusätzlich soll festgestellt werden, ob sich hinter der Stenose Bereiche mit Strömungsablösungen oder Rückströmungen ausbilden. ==Vorgehen== Für die numerische Untersuchung in COMSOL Multiphysics 6.2 zunächst ein zweidimensionales Modell mit der Physik ''Laminare Strömung'' und einer ''stationären Studie'' angelegt. Die Gefäßgeometrie wurde vollständig parametrisiert, damit Durchmesser, Gefäßlängen, Verzweigungswinkel, Stenosegrad sowie die Stenoselänge veränderbar sind, ohne das Modell jeweils neu zu zeichnen. Das gemeinsame Zuflussgefäß stellt die Arteria carotis communis mit einem Durchmesser von <math>6\,\mathrm{mm}</math> dar. Nach einem geraden Einlaufabschnitt von <math>60\,\mathrm{mm}</math> teilt es sich V-förmig in die beiden Tochtergefäße auf. Die Arteria carotis interna wird mit einem Durchmesser von <math>5\,\mathrm{mm}</math>, die Arteria carotis externa mit <math>4\,\mathrm{mm}</math> modelliert. Beide Tochtergefäße sind jeweils <math>60\,\mathrm{mm}</math> lang. Die Grundgeometrie wurde als zusammenhängender zweidimensionaler Volumenkörper aufgebaut. Die beiden Tochtergefäße verlaufen nach der Bifurkation unter einem Winkel auseinander, sodass eine idealisierte Y-förmige Karotisgabel entsteht. Die Übergänge zwischen dem gemeinsamen Gefäß und den beiden Ästen wurden bewusst vereinfacht, aber ohne abrupte Querschnittssprünge gestaltet. Auf diese Weise bleibt die Geometrie ausreichend einfach für einen systematischen Vergleich verschiedener Modellvarianten, bildet die typische Aufzweigung einer Karotis. Die Stenose befindet sich ausschließlich in der Arteria carotis interna. Um die Verengung nicht durch gerade Polygonsegmente mit scharfen Knicken darzustellen, wurde ihre Kontur mithilfe von zwei parametrischen Kosinuskurven erzeugt. Zur Beschreibung der Stenose wird eine parametrische Kurve mit dem Hilfsparameter <math>t</math> verwendet. Dieser nimmt Werte zwischen <math>-1</math> und <math>1</math> an. Über die Beziehung <math>x(t)=x_\mathrm{st}+\frac{L_\mathrm{st}}{2}t</math> wird der Parameter auf die räumliche Position entlang des Gefäßes übertragen. Für <math>t=-1</math> liegt der Beginn der Stenose bei <math>x_\mathrm{st}-L_\mathrm{st}/2</math>, für <math>t=0</math> befindet sich die Kurve in der Stenosenmitte und für <math>t=1</math> am Ende bei <math>x_\mathrm{st}+L_\mathrm{st}/2</math>. Dadurch kann die Länge der Stenose über den Parameter <math>L_\mathrm{st}</math> verändert werden, ohne ihre Mittelpunktposition <math>x_\mathrm{st}</math> zu verschieben. Die Einengung wächst vom Beginn der Stenose kontinuierlich bis zur Engstelle an und nimmt danach ebenso kontinuierlich wieder ab. Dadurch entstehen glatte Wandübergänge. Die Stärke der Einengung wird über den dimensionslosen Stenosegrad <math>s</math> gesteuert. Für einen unverengten Durchmesser der Arteria carotis interna von <math>D_\mathrm{ACI}=5\,\mathrm{mm}</math> ergibt sich bei einem Stenosegrad von <math>s=0{,}3</math> eine minimale Gefäßweite von <math>3{,}5\,\mathrm{mm}</math>, bei <math>s=0{,}6</math> von <math>2{,}0\,\mathrm{mm}</math> und bei <math>s=0{,}8</math> von <math>1{,}0\,\mathrm{mm}</math>. Die minimale Gefäßweite ergibt sich allgemein aus <math>d_\mathrm{min}=D_\mathrm{ACI}(1-s)</math>. Die beiden parametrischen Kurven wurden mit Hilfslinien zu geschlossenen Flächen ergänzt und anschließend über „Umwandeln in Volumenkörper“ in Flächenobjekte überführt. Mithilfe einer Differenzoperation wurden diese Flächen aus dem Gefäßgebiet ausgeschnitten. Auf diese Weise bleibt die Grundgeometrie des Gefäßes unverändert, während Stenosegrad und Stenosenlänge allein über globale Parameter variiert werden können. Für die Strömung wurde Blut als inkompressibles Newtonsches Fluid mit konstanter Dichte und Viskosität angenähert. Verwendet werden eine Dichte von <math>\rho=1060\,\mathrm{kg/m^3}</math> und eine dynamische Viskosität von <math>\mu=3,5\,\mathrm{mPa s}</math>. Am Einlass wird ein voll entwickeltes Geschwindigkeitsprofil vorgegeben. Aus dem auf der Projektseite angesetzten mittleren Volumenstrom von <math>6\,\mathrm{ml/s}</math> ergibt sich für das <math>6\,\mathrm{mm}</math> breite Zuflussgefäß eine mittlere Geschwindigkeit von rund <math>0{,}21\,\mathrm{m/s}</math>. An beiden Auslässen wird derselbe Referenzdruck vorgegeben, während an sämtlichen Gefäßwänden die Haftbedingung (No Slip) gilt. Nach Fertigstellung der Geometrie wurde ein physikgesteuertes Finite-Elemente-Netz erzeugt und die stationäre Navier-Stokes-Strömung berechnet. Anschließend wurden insbesondere der Geschwindigkeitsbetrag, die Druckverteilung und die Stromlinien ausgewertet. Die Stromlinien dienen dabei nicht nur der Visualisierung der Aufteilung des Blutstroms an der Bifurkation, sondern auch zur Erkennung möglicher Ablöse- und Rückströmungsgebiete hinter der Stenose. Zusätzlich kann die Wandschubspannung entlang der Gefäßwand ausgewertet werden. Die verschiedenen Stenosegrade werden jeweils bei ansonsten identischen Randbedingungen miteinander und mit dem gesunden Referenzfall verglichen. == Ergebnisse der 2D-Strömungssimulation == Die zweidimensionale Strömungssimulation wurde mit COMSOL Multiphysics durchgeführt, um die Auswirkungen einer lokalen Gefäßverengung auf die Blutströmung innerhalb einer idealisierten Karotis-Bifurkation zu untersuchen. Im Mittelpunkt der Auswertung stehen die Geschwindigkeitsverteilung, die Druckverteilung sowie die Wandschubspannung. Ergänzend werden Stromlinien betrachtet, um mögliche Veränderungen des Strömungsverlaufs und das Auftreten von Rückströmungsgebieten hinter der Stenose zu untersuchen. Die Ergebnisse werden hinsichtlich ihrer strömungsmechanischen Bedeutung interpretiert und unter Berücksichtigung der vereinfachenden Modellannahmen bewertet. === Quantitative Auswertung der Strömungsgeschwindigkeit === Zur Untersuchung des Einflusses verschiedener Stenosegrade auf die Strömungsgeschwindigkeit wurde in COMSOL Multiphysics der Geschwindigkeitsbetrag <code>spf.U</code> mithilfe der Funktion ''Oberflächenmaximum'' ausgewertet. Dabei wurden Stenosegrade von 0 %, 30 %, 60 %, 80 % und 100 % betrachtet. Die Berechnungen erfolgten zunächst mit einer Druckrandbedingung von <math>p_0 = 0\,\mathrm{Pa}</math> und anschließend mit einer Resistenzrandbedingung bei <math>k_R = 1</math>. ==== Druckrandbedingung ==== Bei der Druckrandbedingung wurde die maximale Geschwindigkeit über das gesamte Strömungsgebiet bestimmt. {| class="wikitable" ! Stenosegrad ! Maximale Geschwindigkeit [m/s] |- | 0 % || 0,28385 |- | 30 % || 0,27091 |- | 60 % || 0,35036 |- | 80 % || 0,38530 |- | 100 % || 0,46125 |} Die Ergebnisse zeigen zunächst eine leichte Abnahme der maximalen Geschwindigkeit bei 30 % Stenose. Ab 60 % steigt diese mit zunehmender Verengung an. Dies ist mit einer lokalen Beschleunigung der Strömung infolge des verringerten Strömungsquerschnitts vereinbar. Bei 100 % Stenose beträgt das globale Geschwindigkeitsmaximum 0,46125 m/s. Da die Arteria carotis interna (ACI) vollständig verschlossen ist, beschreibt dieser Wert nicht die Strömung durch den Verschluss, sondern kann aus einem anderen, weiterhin durchströmten Gefäßbereich stammen. ==== Graphische Auswertungen in Comsol ==== [[Datei:0%, Geschwindigkeit, p0=0.png|mini|zentriert|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 0 % Stenose und einer Druckrandbedingung von p₀ = 0 Pa.]] <div style="display:flex; justify-content:center; gap:15px;"> <div> [[Datei:0,3%, Geschwindigkeit, p0=0.png|mini|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 30 % Stenose und einer Druckrandbedingung von p₀ = 0 Pa.]] </div> <div> [[Datei:0,3%, Geschwindigkeit, p0=0, Nah Stenose.png|mini|300px|Vergrößerte Geschwindigkeitsverteilung im Bereich der 30%igen Stenose bei p₀ = 0 Pa.]] </div> </div> <div style="display:flex; justify-content:center; gap:15px;"> <div> [[Datei:0,6%, Geschwindigkeit, p0=0.png|mini|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 60 % Stenose und einer Druckrandbedingung von p₀ = 0 Pa.]] </div> <div> [[Datei:0,6%, Geschwindigkeit, p0=0, Nah Stenose.png|mini|300px|Vergrößerte Geschwindigkeitsverteilung im Bereich der 60%igen Stenose bei p₀ = 0 Pa.]] </div> </div> <div style="display:flex; justify-content:center; gap:15px;"> <div> [[Datei:0,8%, Geschwindigkeit, p0=0.png|mini|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 80 % Stenose und einer Druckrandbedingung von p₀ = 0 Pa.]] </div> <div> [[Datei:0,8%, Geschwindigkeit, p0=0, Nah Stenose.png|mini|300px|Vergrößerte Geschwindigkeitsverteilung im Bereich der 80%igen Stenose bei p₀ = 0 Pa.]] </div> </div> <div style="display:flex; justify-content:center; gap:15px;"> <div> [[Datei:100%, Geschwindigkeit, p0=0.png|mini|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 100 % Stenose und einer Druckrandbedingung von p₀ = 0 Pa.]] </div> <div> [[Datei:100%, Geschwindigkeit, p0=0, Nah Stenose.png|mini|300px|Vergrößerte Darstellung des vollständig verschlossenen Bereichs der ACI bei 100 % Stenose und p₀ = 0 Pa.]] </div> </div> Die Farbskala zeigt den Betrag der Strömungsgeschwindigkeit in m/s. Blaue Bereiche kennzeichnen niedrige, grüne und gelbe mittlere sowie rote Bereiche hohe Geschwindigkeiten. Im unverengten Gefäß ist die Geschwindigkeit in der Gefäßmitte am höchsten und nimmt zu den Gefäßwänden hin ab. Mit zunehmendem Stenosegrad verändert sich die Geschwindigkeitsverteilung deutlich. Im Bereich der Engstelle wird die Strömung lokal beschleunigt, während hinter der Verengung Bereiche niedriger Geschwindigkeit auftreten können. Bei 100 % Stenose ist die ACI vollständig verschlossen, sodass die Strömung nur noch über den offenen Gefäßast abfließen kann. === Resistenzrandbedingung und Vergleich === Anschließend wurde die Strömung unter Verwendung einer Resistenzrandbedingung mit konstantem Parameter <math>k_R = 1</math> untersucht. Bei zunehmender Verengung traten Konvergenzprobleme auf. Ab ungefähr 73 % Stenose konnte keine konvergierende stationäre Lösung mehr bestimmt werden. Daher wurden für die hochgradigen Stenosen ergänzend zeitabhängige Simulationen durchgeführt. {| class="wikitable" ! Stenosegrad ! Druckrandbedingung <math>p_0 = 0\,\mathrm{Pa}</math> [m/s] ! Resistenzrandbedingung <math>k_R = 1</math> [m/s] |- | 0 % || 0,28385 || 0,32426 |- | 30 % || 0,27081 || 0,32219 |- | 60 % || 0,35036 || 0,53188 |- | 80 % || 0,3858 || 1,0674 |- | 100 % || 0,46125 || <math>\approx 0</math> * |} <small>* Bei 100 % Stenose wurde für die Resistenzrandbedingung ausschließlich das Gebiet hinter dem vollständigen Verschluss ausgewertet. Die maximale Geschwindigkeit beträgt dort <math>v_{\max} = 2{,}1416 \cdot 10^{-21}\,\mathrm{m/s} \approx 0\,\mathrm{m/s}</math>.</small> Der Vergleich zeigt, dass die maximale Geschwindigkeit bei der Resistenzrandbedingung insbesondere bei höheren Stenosegraden deutlich stärker ansteigt. Bei 80 % Stenose wird mit 1,0674 m/s ein wesentlich höherer Wert erreicht als bei der Druckrandbedingung mit 0,3858 m/s. Dies verdeutlicht den Einfluss der Auslassrandbedingungen auf die Strömungsverteilung innerhalb der Gefäßverzweigung. Bei vollständigem Gefäßverschluss ist ein direkter Vergleich der beiden Werte nicht möglich, da unterschiedliche Strömungsgebiete ausgewertet wurden. Während bei der Druckrandbedingung das globale Maximum betrachtet wurde, beschreibt der Wert der Resistenzrandbedingung die praktisch zum Stillstand gekommene Strömung hinter der Stenose. Insgesamt zeigen die Ergebnisse, dass sowohl der Stenosegrad als auch die gewählten Randbedingungen einen wesentlichen Einfluss auf die maximale Strömungsgeschwindigkeit besitzen. Die Konvergenzprobleme bei hochgradigen Stenosen verdeutlichen zudem die Notwendigkeit einer ergänzenden zeitabhängigen Untersuchung. ==== Graphische Auswertungen in Comsol ==== [[Datei:0%, Geschwindigkeit, Resbed..png|mini|zentriert|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 0 % Stenose mit Resistenzrandbedingung (k_R = 1).]] <div style="display:flex; justify-content:center; gap:15px;"> <div> [[Datei:0,3%, Geschwindigkeit, Resbed..png|mini|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 30 % Stenose mit Resistenzrandbedingung (k_R = 1).]] </div> <div> [[Datei:0,3%, Geschwindigkeit, Resbed., Nah Stenose.png|mini|300px|Vergrößerte Geschwindigkeitsverteilung im Bereich der 30%igen Stenose mit Resistenzrandbedingung (k_R = 1).]] </div> </div> <div style="display:flex; justify-content:center; gap:15px;"> <div> [[Datei:0,6%, Geschwindigkeit, Resbed..png|mini|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 60 % Stenose mit Resistenzrandbedingung (k_R = 1).]] </div> <div> [[Datei:0,6%, Geschwindigkeit, Resbed., Nah Stenose.png|mini|300px|Vergrößerte Geschwindigkeitsverteilung im Bereich der 60%igen Stenose mit Resistenzrandbedingung (k_R = 1).]] </div> </div> <div style="display:flex; justify-content:center; gap:15px;"> <div> [[Datei:0,8%, Geschwindigkeit, Resbed., zeitabh., Zeit 1 s.png|mini|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 80 % Stenose mit Resistenzrandbedingung (k_R = 1) zum Zeitpunkt t = 1 s.]] </div> <div> [[Datei:0,8%, Geschwindigkeit, Resbed., zeitabh., Zeit 1 s, Nah Stenose.png|mini|300px|Vergrößerte Geschwindigkeitsverteilung im Bereich der 80%igen Stenose mit Resistenzrandbedingung (k_R = 1) zum Zeitpunkt t = 1 s.]] </div> </div> <div style="display:flex; justify-content:center; gap:15px;"> <div> [[Datei:1%, Geschwindigkeit, Resbed., zeitabh., Zeit 1 s,.png|mini|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 100 % Stenose mit Resistenzrandbedingung (k_R = 1) zum Zeitpunkt t = 1 s.]] </div> <div> [[Datei:1%, Geschwindigkeit, Resbed., zeitabh., Zeit 1 s, nah Stenose.png|mini|300px|Vergrößerte Darstellung des vollständig verschlossenen ACI-Bereichs bei 100 % Stenose mit Resistenzrandbedingung (k_R = 1) zum Zeitpunkt t = 1 s.]] </div> </div> === Druckverteilung und Druckabfall === Die Druckverteilung wurde anhand der berechneten Isobaren innerhalb der zweidimensionalen Karotis-Bifurkation untersucht. Dabei zeigt sich eine Abnahme des statischen Drucks vom gemeinsamen Zuflussgefäß in Richtung der beiden Gefäßausgänge. Der maximale berechnete Druck beträgt etwa '''74,2 Pa''', während der minimale Druck bei etwa '''−19,9 Pa''' liegt. Daraus ergibt sich eine globale Druckspanne von ungefähr '''94,1 Pa'''. Besonders auffällig ist die Druckverteilung im Bereich der Stenose der Arteria carotis interna (ACI). Dort liegen die Isobaren deutlich enger beieinander, was auf einen ausgeprägten lokalen Druckgradienten hinweist. Stromabwärts der Engstelle treten zudem Bereiche mit niedrigem statischem Druck auf. '''Interpretation''': Die Ergebnisse zeigen, dass die Stenose die lokale Druckverteilung im ACI-Ast deutlich beeinflusst. Die Beschleunigung der Strömung innerhalb der Verengung geht mit einer Abnahme des statischen Drucks einher. Die globale Druckspanne von 94,1 Pa darf jedoch nicht mit dem irreversiblen Druckverlust über der Stenose gleichgesetzt werden. Die globale Druckspanne von 94,1 Pa ist nicht mit dem Druckabfall über der Stenose gleichzusetzen. Zur genaueren Untersuchung wurden deshalb zwei Messquerschnitte vor und hinter der Engstelle ausgewertet. Zwischen diesen ergibt sich eine mittlere statische Druckdifferenz von 36,24 Pa. <div style="text-align:center;"> [[Datei:Druckverteilung_2D.png|800px|zentriert|Druckverteilung der stationären 2D-Strömungssimulation einer idealisierten Karotis-Bifurkation mit 80 % Stenose in der Arteria carotis interna (ACI). Die Isobaren zeigen den Druckverlauf innerhalb der Gefäßgeometrie. Besonders im Bereich der Stenose ist ein ausgeprägter lokaler Druckgradient erkennbar. Der berechnete Druck liegt zwischen −19,9 Pa und 74,2 Pa.]] <small>'''Abbildung 3:''' Druckverteilung der stationären 2D-Strömungssimulation einer idealisierten Karotis-Bifurkation mit 80 % Stenose in der Arteria carotis interna (ACI). Die Isobaren zeigen den Druckverlauf innerhalb der Gefäßgeometrie. Besonders im Bereich der Stenose ist ein ausgeprägter lokaler Druckgradient erkennbar. Der berechnete Druck liegt zwischen −19,9 Pa und 74,2 Pa.</small> </div> ==== Quantitative Bestimmung der Druckdifferenz ==== Zur quantitativen Untersuchung des Druckabfalls wurden zwei Messquerschnitte im ACI-Ast definiert, einer vor und einer hinter der Stenose. Mithilfe der COMSOL-Funktion „Linienmittelwert“ wurde der mittlere statische Druck an beiden Positionen bestimmt. Vor der Stenose beträgt der mittlere Druck '''35,232 Pa''', während hinter der Stenose ein Wert von '''−1,0042 Pa''' ermittelt wurde. Daraus ergibt sich eine Druckdifferenz von '''36,24 Pa'''. Die Ergebnisse zeigen eine deutliche Abnahme des statischen Drucks zwischen den beiden Messquerschnitten. Diese Druckdifferenz verdeutlicht die Druckänderung entlang des stenotischen ACI-Astes. Sie ist jedoch nicht mit dem ausschließlich durch die Stenose verursachten irreversiblen Druckverlust gleichzusetzen, da auch die Strömungsentwicklung in den angrenzenden Gefäßabschnitten berücksichtigt wird. {| class="wikitable" style="text-align:center;" ! Stenosegrad ! <math>\bar p_\mathrm{vor}</math> [Pa] ! <math>\bar p_\mathrm{nach}</math> [Pa] ! <math>\Delta p</math> [Pa] |- | 0 % | 11,631 | 4,2461 | 7,3849 |- | 30 % | 16,919 | 2,9220 | 13,997 |- | 60 % | 35,835 | -0,58267 | 36,41767 |- | 80 % | 70,562 | -0,55906 | 71,12106 |} === Ausblick: Wandschubspannung im Vergleich === Zur Untersuchung der mechanischen Belastung der Gefäßwände wurde die Wandschubspannung (Wall Shear Stress, WSS) im zweidimensionalen Strömungsmodell ausgewertet. Sie beschreibt die tangentiale viskose Spannung, die durch die Strömung an der Gefäßwand entsteht. Die quantitative Auswertung erfolgte für die obere und untere Wand des stenotischen ACI-Abschnitts. Hierfür wurden die entsprechenden Wandkanten in COMSOL ausgewählt und der Betrag der Wandschubspannung bestimmt. Die Abbildung zeigt die Verteilung der Wandschubspannung (Wall Shear Stress, WSS) an den Gefäßwänden im Bereich der 80-%-Stenose der ACI. Die Auswertung erfolgte einmal mit und einmal ohne Resistenzrandbedingung. Für <math>p_0 = 0\,\mathrm{Pa}</math>: * Die Farbskala verdeutlicht die unterschiedlich starke Belastung der Gefäßwand durch die Blutströmung. '''Blaue Bereiche''' kennzeichnen geringe Wandschubspannungen von etwa 1 bis 2 Pa, während '''grüne und gelbe Bereiche''' mittlere Werte anzeigen. Im '''orange-roten Bereich''' nahe der stärksten Verengung steigt die Wandschubspannung deutlich an. Das mithilfe des Linienmaximums ermittelte Maximum beträgt '''6,0400 Pa'''. * Die erhöhten Werte im Bereich der Stenose lassen sich durch die starke Verengung des Gefäßquerschnitts erklären. Dadurch entstehen größere Geschwindigkeitsänderungen in Wandnähe, die zu einer erhöhten Wandschubspannung führen können. Die Abbildung zeigt somit, dass die mechanische Belastung der Gefäßwand innerhalb des untersuchten Stenosebereichs nicht gleichmäßig verteilt ist, sondern lokal deutlich zunimmt. [[Datei:WSS P0=0.png|300px|mini|zentriert|Verteilung der Wandschubspannung (WSS) im Bereich der 80-%-Stenose der Arteria carotis interna bei der Druckrandbedingung <math>p_0 = 0\,\mathrm{Pa}</math>.]] Mit Resistenzrandbedingung: * Die Abbildung zeigt die Verteilung der Wandschubspannung (Wall Shear Stress, WSS) an den Gefäßwänden im Bereich der 80-%-Stenose der Arteria carotis interna (ACI). Im Gegensatz zur vorherigen Untersuchung mit der Druckrandbedingung <math>p_0 = 0\,\mathrm{Pa}</math> wurde hier die Resistenzrandbedingung <math>k_R = 1</math> verwendet. * Da für diesen Fall keine stationäre Lösung erzielt werden konnte, erfolgte die Berechnung zeitabhängig. Die dargestellten Ergebnisse beziehen sich auf den Zeitpunkt <math>t = 1\,\mathrm{s}</math>. * Die Wandschubspannung ist innerhalb des Stenosebereichs unterschiedlich stark ausgeprägt. Bereiche mit niedrigen Werten kennzeichnen eine geringere tangentiale Belastung der Gefäßwand, während Bereiche mit höheren Werten auf eine stärkere Belastung hinweisen. * Das mithilfe des Linienmaximums ermittelte Maximum auf den ausgewählten Stenosewänden beträgt: <math>19{,}856\,\mathrm{Pa}</math>. * Die erhöhten Wandschubspannungen lassen sich durch die starke Verengung des Gefäßquerschnitts und die damit verbundenen Geschwindigkeitsänderungen in Wandnähe erklären. * Im Vergleich zur stationären Berechnung mit <math>p_0 = 0\,\mathrm{Pa}</math>, bei der eine maximale Wandschubspannung von <math>6{,}0400\,\mathrm{Pa}</math> ermittelt wurde, fällt der Maximalwert bei der Resistenzrandbedingung deutlich höher aus. * Dabei ist zu beachten, dass es sich bei <math>19{,}856\,\mathrm{Pa}</math> um einen Momentanwert bei <math>t = 1\,\mathrm{s}</math> handelt und nicht um einen stationären Wert. Die beiden Ergebnisse sind daher nur eingeschränkt direkt vergleichbar. * Die Farbverteilung zeigt, dass die Wandschubspannung im Bereich der Stenose von niedrigen Werten (Blau) zu höheren Werten (Grün, Gelb und Rot) ansteigt und insbesondere an der engsten Stelle der Gefäßverengung erhöht ist. [[Datei:WSS Resistenzrandbedingung.png|300px|mini|zentriert|Verteilung der Wandschubspannung (WSS) im Bereich der 80-%-Stenose der Arteria carotis interna bei der Resistenzrandbedingung <math>k_R = 1</math> zum Zeitpunkt <math>t = 1\,\mathrm{s}</math> (zeitabhängige Simulation).]] === Zusammenfassende Bewertung der 2D-Ergebnisse AKTUELLE DATEN NOCH REIN === Die stationäre zweidimensionale Strömungssimulation mit einem Stenosegrad von 80 % zeigt deutliche Veränderungen der Strömungsgrößen innerhalb der idealisierten Karotis-Bifurkation. Die maximale Geschwindigkeit beträgt 0,31853 m/s. Zwischen den ausgewählten Messquerschnitten vor und hinter der ACI-Stenose ergibt sich eine mittlere statische Druckdifferenz von 36,24 Pa. Die maximale Wandschubspannung auf den ausgewerteten Stenosewänden beträgt 3,2282 Pa. Die Untersuchung der Geschwindigkeitskomponenten liefert Hinweise auf lokale Strömungsanteile entgegen der Hauptströmungsrichtung. Ein eindeutig abgegrenztes Rezirkulationsgebiet konnte anhand der vorliegenden Darstellungen jedoch nicht sicher nachgewiesen werden. Die Ergebnisse beschreiben zunächst den untersuchten Fall einer hochgradigen Stenose. Aus diesem einzelnen Fall lässt sich weder eine allgemeine Abhängigkeit der Strömungsgrößen vom Stenosegrad noch ein kritischer Stenosegrad für den Beginn der Strömungsablösung bestimmen. Dafür wäre eine vergleichende Auswertung weiterer Stenosegrade erforderlich. == Resistenzrandbedingung am Auslass (2D-Modell) == === Motivation === Im ursprünglichen 2D-Modell wurde an beiden Auslässen eine Nulldruckbedingung <math>p = 0</math> gesetzt. Physikalisch bedeutet das, dass beide Äste in ein „offenes Becken“ mit gleichem, festem Druck münden. Der Auslassdruck hängt dabei nicht davon ab, wie viel Blut ankommt. Diese Annahme hat zwei Schwächen: * Die Flussaufteilung zwischen ACI und ACE ergibt sich nur aus den kleinen Strömungswiderständen der modellierten Gefäßabschnitte. Wird die ACI durch die Stenose verengt, weicht das Blut nahezu ungehindert in die ACE aus. Im Körper ist das nicht möglich, weil hinter der ACI das Gefäßbett des Gehirns mit einem eigenen, großen Widerstand liegt. * Das Druckniveau (Auslass bei 0 Pa) ist nicht physiologisch. Im 3D-Modell wurde deshalb an beiden Auslässen eine '''Resistenzrandbedingung''' verwendet. Damit 2D- und 3D-Modell vergleichbar sind, haben wir dieselbe Randbedingung auch im 2D-Modell eingebaut. === Formel und Herleitung === Das gesamte nachgeschaltete Gefäßbett hinter jedem Auslass wird durch einen einzigen peripheren Widerstand <math>R_p</math> ersetzt: :<math>p_{\text{aus}} = k_R \cdot R_p \cdot Q</math> Dabei ist <math>Q</math> der Volumenstrom durch den Auslass und <math>k_R</math> ein Schalter (<math>k_R = 1</math>: Widerstand, <math>k_R = 0</math>: ursprüngliche Bedingung <math>p = 0</math>). '''1. Gesunde Flussaufteilung nach dem Murray-Gesetz''' Der Volumenstrom eines Gefäßes ist nach Murray proportional zur dritten Potenz des Durchmessers. Für den Anteil der ACI am Gesamtfluss gilt damit: :<math>\varphi_0 = \frac{D_I^3}{D_I^3 + D_E^3} = \frac{(5\,\text{mm})^3}{(5\,\text{mm})^3 + (4\,\text{mm})^3} \approx 0{,}661</math> Mit dem mittleren Volumenstrom der A. carotis communis <math>Q_0 = 6\,\text{ml/s}</math> (Holdsworth u. a. 1999) folgt: :<math>Q_{I,0} = \varphi_0 \cdot Q_0 \approx 3{,}97\,\text{ml/s}, \qquad Q_{E,0} = (1-\varphi_0) \cdot Q_0 \approx 2{,}03\,\text{ml/s}</math> '''2. Bestimmung der peripheren Widerstände''' Die Widerstände werden so gewählt, dass im gesunden Zustand an beiden Auslässen der treibende Druck des peripheren Gefäßbetts <math>p_D = 90\,\text{mmHg} \approx 12\,000\,\text{Pa}</math> anliegt: :<math>R_{pI} = \frac{p_D}{Q_{I,0}} \approx 3{,}0 \cdot 10^{9}\,\frac{\text{Pa}\cdot\text{s}}{\text{m}^3}, \qquad R_{pE} = \frac{p_D}{Q_{E,0}} \approx 5{,}9 \cdot 10^{9}\,\frac{\text{Pa}\cdot\text{s}}{\text{m}^3}</math> Die Randbedingungen an den beiden Auslässen lauten damit: :<math>p_{\text{aus},I} = k_R \cdot R_{pI} \cdot Q_I, \qquad p_{\text{aus},E} = k_R \cdot R_{pE} \cdot Q_E</math> '''3. Umrechnung des Flusses im 2D-Modell''' Im 2D-Modell liefert das Integral der Normalgeschwindigkeit über den Auslassrand keinen Volumenstrom in m³/s, sondern einen Fluss pro Tiefe <math>q</math> in m²/s. Damit die Widerstände aus dem 3D-Modell verwendet werden können, wird <math>q</math> mit einer einheitlichen Ersatztiefe <math>b</math> in einen Volumenstrom umgerechnet: :<math>Q = q \cdot b, \qquad b = \frac{\pi \, D_{CC}}{4}</math> Die Ersatztiefe ist so gewählt, dass am Einlass mit der mittleren Einströmgeschwindigkeit <math>\bar{u}_{ein} = Q_0 / (\pi D_{CC}^2/4) \approx 0{,}21\,\text{m/s}</math> genau der Volumenstrom des 3D-Modells von 6 ml/s ankommt. Weil dieselbe Ersatztiefe für alle Ränder gilt, bleibt die Massenbilanz erhalten. === Ergebnisse mit Resistenzrandbedingung === {| class="wikitable" style="text-align:center" |+ Maximale Geschwindigkeit ! Stenosegrad S !! <math>u_{max}</math> [m/s] |- | 0 || 0,324^* |- | 0,3 || 0,323^* |- | 0,6 || 0,529 |- | 0,8 || 1,067 |} ^* Bei S = 0 und S = 0,3 liegt das Geschwindigkeitsmaximum nicht in der Stenose, sondern in der A. carotis communis. {| class="wikitable" style="text-align:center" |+ Druck vor und nach der Stenose ! Stenosegrad S !! <math>p_{vor}</math> [Pa] !! <math>p_{nach}</math> [Pa] !! Druckverlust <math>\Delta p = p_{vor} - p_{nach}</math> [Pa] !! <math>\Delta p</math> [mmHg] |- | 0 || 11 802 || 11 793 || 9 || 0,07 |- | 0,3 || 11 808 || 11 790 || 18 || 0,14 |- | 0,6 || 11 838 || 11 760 || 78 || 0,59 |- | 0,8 || 12 024 || 11 626 || 398 || 2,99 |} === Auswertung === * '''Druckniveau:''' Mit der Resistenzrandbedingung liegt der Druck bei etwa 11 800 Pa ≈ 88,5 mmHg. Das entspricht dem mittleren arteriellen Druck in der Carotis. Mit <math>p = 0</math> lagen die Drücke nur bei wenigen Pa bis einigen 100 Pa. * '''Flussaufteilung:''' Die peripheren Widerstände sind wesentlich größer als der Widerstand der Stenose. Deshalb bestimmen sie die Flussaufteilung, und die ACI behält auch bei 80 % Stenose nahezu ihren Anteil (Abnahme von <math>Q_I</math> nur um etwa 1 %). Im Gegensatz zu <math>p = 0</math> kann das Blut nicht einfach in die ACE ausweichen. Das entspricht dem physiologischen Verhalten bei nicht kritischen Stenosen. * '''Geschwindigkeit:''' Weil mehr Blut durch die Engstelle strömen muss, steigen die Geschwindigkeiten in der Stenose gegenüber <math>p = 0</math>. Von S = 0,6 auf S = 0,8 verdoppelt sich <math>u_{max}</math> etwa. * '''Druckverlust:''' Der Druckverlust steigt stark nichtlinear mit dem Stenosegrad. Von S = 0,6 auf S = 0,8 nimmt er etwa um den Faktor 5 zu. * '''Druckrückgewinnung:''' Bei S = 0,8 liegt <math>p_{nach}</math> mit 11 626 Pa sogar unter dem Auslassdruck (≈ 11 680 Pa). Direkt hinter der Engstelle ist die Geschwindigkeit des Strahls noch hoch und der statische Druck entsprechend niedrig. Stromabwärts verlangsamt sich die Strömung, und ein Teil des Drucks wird zurückgewonnen. Der bleibende Druckverlust ist daher etwas kleiner als 398 Pa. === Grenzen und Vergleich mit dem 3D-Modell === * Im 2D-Modell verringert eine Stenose von 80 % nur die '''Spaltbreite''' auf 20 %. Im 3D-Modell sinkt die '''Querschnittsfläche''' dagegen auf <math>0{,}2^2 = 4\,\%</math>. Das 2D-Modell unterschätzt deshalb Geschwindigkeit und Druckverlust in der Stenose systematisch. Klinisch gelten bei Stenosen ab 70 % systolische Spitzengeschwindigkeiten über 2,3 m/s; ab einem Druckgradienten von etwa 10–20 mmHg gilt eine Stenose als hämodynamisch relevant. Beide Grenzen erreicht das 2D-Modell nicht. * Die Umrechnung über die Ersatztiefe <math>\pi D_{CC}/4</math> ist eine Modellannahme. * Der periphere Widerstand ist konstant. Die Autoregulation des Gehirns und die Gefäßelastizität (Windkessel) werden nicht berücksichtigt, und die Rechnung ist stationär (keine Pulsatilität). == Beantwortung der Forschungsfragen == '''Welche Strömungsgrößen reagieren empfindlich auf den Stenosegrad?''' Die Untersuchung der 80-%-Stenose zeigt deutliche Veränderungen der Geschwindigkeitsverteilung, des statischen Drucks und der Wandschubspannung. Die maximale Strömungsgeschwindigkeit beträgt 0,31853 m/s. Zwischen den ausgewählten Messquerschnitten vor und hinter der Stenose ergibt sich eine mittlere statische Druckdifferenz von 36,24 Pa. Die maximale Wandschubspannung auf den untersuchten Stenosewänden beträgt 3,2282 Pa.Da bisher nur die 80-%-Stenose quantitativ ausgewertet wurde, lässt sich noch nicht feststellen, welche dieser Größen bei zunehmendem Stenosegrad am stärksten reagiert. '''Ab welchem Stenosegrad tritt eine Strömungsablösung auf?''' Bei der untersuchten 80-%-Stenose zeigen die Geschwindigkeitskomponenten und die vorzeichenbehaftete Wandschubspannung Hinweise auf Veränderungen der wandnahen Strömungsrichtung hinter der Engstelle. Ein eindeutig geschlossenes Rezirkulationsgebiet konnte jedoch nicht nachgewiesen werden. Ein kritischer Stenosegrad für den Beginn einer Strömungsablösung lässt sich aus dieser einzelnen Simulation daher nicht bestimmen. Hierfür müssten weitere Stenosegrade unter vergleichbaren Bedingungen ausgewertet werden. '''Inwieweit sind die Annahmen einer stationären und laminaren Strömung geeignet?''' Die stationäre, laminare Modellierung ermöglicht es, grundlegende Auswirkungen einer Gefäßverengung auf die Strömung in einer idealisierten Karotis-Bifurkation zu untersuchen. Bei hochgradigen Stenosen können allerdings zeitabhängige und dreidimensionale Strömungsstrukturen auftreten. Diese werden durch das vorliegende stationäre 2D-Modell nicht vollständig erfasst. Die Simulationsergebnisse sind deshalb auf die gewählten Modellannahmen und Randbedingungen beschränkt. '''Zusammenfassend''' liefert die 2D-Simulation eine erste quantitative Beschreibung der Strömungsverhältnisse bei einer hochgradigen ACI-Stenose. Für allgemeine Aussagen über die Abhängigkeit vom Stenosegrad und den Beginn einer Strömungsablösung sind zusätzliche Vergleichsrechnungen erforderlich. = Grenzen des Modells = * Die untersuchte Gefäßgeometrie ist eine idealisierte Darstellung der Karotisaufzweigung. Individuelle anatomische Unterschiede werden nicht berücksichtigt. * Darüber hinaus werden die Gefäßwände als starr angenommen und Blut wird durch ein inkompressibles Newtonsches Fluid mit konstanter Viskosität beschrieben. * Die Strömung wird stationär berechnet. Die natürliche Pulsation des Blutflusses und zeitabhängige Effekte bleiben damit unberücksichtigt. * Insbesondere bei hochgradigen Stenosen können zeitabhängige Strömungsablösungen auftreten, die durch eine stationäre Modellierung nicht vollständig beschrieben werden. * Das Graphenmodell kann lokale Strömungsphänomene nicht detailliert erfassen. Das ebene Flächenmodell vereinfacht die räumliche Gefäßgeometrie. Auch das dreidimensionale Modell bleibt aufgrund der idealisierten Geometrie und der vereinfachten Materialannahmen eine Annäherung an die reale Blutströmung. * Die Ergebnisse sind daher als strömungsmechanische Untersuchung eines idealisierten Modells zu interpretieren und nicht als patientenspezifische medizinische Vorhersage. = Literaturverzeichnis = Alle Quellen sind an den Stellen im Text angegeben, an denen die zugehörigen Werte oder Aussagen verwendet werden. Die Liste wird aus diesen Angaben automatisch erzeugt. <references /> ryietq8m6nn4c0a1n9l3pjhbsav8d7i 1119416 1119415 2026-11-11T18:10:00Z Nicole.pander 39567 /* Medizinische Relevanz */ 1119416 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Joey Becker * Marie-Thérèse Heitele * Nicole Pander = Thema = Gegenstand dieses Projekts ist die numerische Simulation der Blutströmung in einer verzweigten Halsschlagader ('''Carotis-Bifurkation''') unter dem Einfluss einer lokalen Gefäßverengung ('''Stenose'''). Im Vergleich zu einer einfachen Rohrströmungen wird hier die realitätsnahe Gefäßanatomie betrachtet: Die '''Arteria carotis communis (ACC)''' teilt sich in die '''Arteria carotis externa (ACE)''' und die '''Arteria carotis interna (ACI)''' auf. Während die '''ACE''' als gesunder, stenosefreier Ast dient, wird in der '''ACI''' eine Gefäßverengung modelliert. Hierbei werden unterschiedliche Stenosegrade betrachtet. Als Referenz dient ein gesundes, unverengtes Gefäß, in dem sich die Poiseuille-Strömung mit ihrem charakteristischen parabolischen Geschwindigkeitsprofil ausbildet. Diese Strömung ist aus zwei Gründen der natürliche Ausgangspunkt. Sie beschreibt den physiologischen Normalfall, mit dem jeder Stenosegrad verglichen wird. == Fragestellung == Die Hauptfragestellung dieses Projektes lautet: Wie verändert eine Stenose in der '''Arteria carotis interna (ACI)''' die Strömung des Blutes hinsichtlich Strömungsgeschwindigkeit und des Druckabfalls über die Engstelle im Vergleich zum gesunden Gefäßabschnitt? Aus dieser Fragestellung ergeben sich drei Teilfragen, an denen sich der Aufbau der Seite orientiert: # Wie stark steigt die maximale Strömungsgeschwindigkeit in der Stenose mit zunehmendem Stenosegrad an? # Wie groß ist die Druckdifferenz vor und nach der Stenose bei den untersuchten Stenosegraden und ab welchem Stenosegrad nimmt sie deutlich zu? # Wie stark hängen Geschwindigkeitsmaximum und Druckdifferenz von der gewählten Auslassrandbedingung ab? = Relevanz = Die Untersuchung von Gefäßverengungen besitzt sowohl eine medizinische als auch eine methodische Bedeutung. Aus medizinischer Sicht sind arterielle Stenosen – etwa in der Halsschlagader – kritisch, da sie die Durchblutung beeinträchtigen und durch veränderte Wandschubspannungen sowie die Bildung von Wirbeln weitere Gefäßablagerungen begünstigen. Stenosen im Bereich der Karotisgabelung sind klinisch hochrelevant, da sie das Gehirn direkt versorgen und das Risiko für embolische Schlaganfälle erhöhen. Fachlich überträgt das Projekt damit die Prinzipien der Strömungsmechanik direkt auf eine biomedizinische Anwendung. Das Projekt verknüpft somit theoretische Grundlagen der Strömungsmechanik (Hagen-Poiseuille-Gleichung, Navier-Stokes-Gleichungen) mit der numerischen Simulation in COMSOL Multiphysics. Durch den Vergleich der '''gesunden Externa (ACE)''' mit der '''stenoisierten Interna (ACI)''' innerhalb desselben Rechengebiets wird die isolierte Wirkung der Stenose unter identischen Randbedingungen direkt sichtbar gemacht. == Modellannahmen == Im Hinblick darauf werden für dieses Projekt einige Annahmen getroffen, um das Projekt möglichst isoliert zu untersuchen und zu simplifizieren: * '''Idealisierte Gefäßgeometrie''': Betrachtet wird ein Teilabbschnitt der ''Arteria carotis communis'', die sog. ''ACI''. Zudem werden Gefäßverkrümmungen, weitere Verzweigungen und patientenspezifische Strukturen nicht berücksichtigt. * '''Starre Gefäßwand''': Die Gefäßwand wird als unbeweglich und nicht verformbar angenommen. Eine Wechselwirkung zwischen elastischer Gefäßwand und Blutströmung wird nicht modelliert. * '''Stationäre Strömung''': Die Strömungsgrößen werden als zeitlich konstant angenommen. Die im realen Blutkreislauf vorhandene Pulsation durch den Herzschlag wird daher vernachlässigt: <math>\frac{\partial u}{\partial t}=0</math>. * '''Inkompressibles Fluid''': Die Dichte des Fluids wird als konstant angenommen. Damit gilt für die Geschwindigkeit <math>\nabla \cdot u=0</math>. Dies entspricht der in der Vorlesung behandelten Massenerhaltung für inkompressible Fluide: Was in das Gefäß einströmt, muss auch wieder ausströmen. * '''Newton'sche Näherung für Blut''': Reales Blut beseitzt ein nicht newton'sches Fließverhalten. Hier wird Blut als Newton'sches Fluid behandelt. * '''Konstante Stoffeigenschaften''': Dichte <math>\rho</math> und dynamische Viskosität μ werden als räumlich und zeitlich konstant angenommen. Temperaturabhängigkeiten werden nicht berücksichtigt. * '''Laminare Strömung''': Die Strömung wird mit dem COMSOL-Modul ''Laminar Flow'' beschrieben. Ein zusätzliches Turbulenzmodell wird nicht verwendet. * '''No-Slip-Bedingung an Gefäßwand''': Aufgrund der Viskosität wird angenommen, dass das Fluid direkt an der Gefäßwand haftet. Somit gilt <math>u=0</math>. * '''Vernachlässigung der Gravitation''': Gravitation wird nicht berücksichtigt. Die Strömung wird ausschließlich durch die gewählten Ein- und Auslassbedingungen bestimmt. == Medizinische Relevanz == Arterielle Stenosen entstehen überwiegend durch Atherosklerose, also durch Ablagerungen aus Lipiden, Bindegewebe und Kalk in der Gefäßwand. In der Halsschlagader sind sie klinisch besonders bedeutsam, weil sie die Durchblutung des Gehirns beeinträchtigen und weil sich an ihnen Thromben bilden können, die als Embolie einen Schlaganfall auslösen. Dass die operative Entfernung einer hochgradigen Karotisstenose das Schlaganfallrisiko symptomatischer Patienten deutlich senkt, hat die NASCET-Studie gezeigt, deren Einteilung der Stenosegrade dieses Projekt übernimmt.<ref name="nascet">North American Symptomatic Carotid Endarterectomy Trial Collaborators: ''Beneficial effect of carotid endarterectomy in symptomatic patients with high-grade carotid stenosis.'' New England Journal of Medicine 325 (1991), Nr. 7, S. 445-453.</ref> == Methodische Relevanz == Fachlich überträgt das Projekt die Prinzipien der Strömungsmechanik aus der Vorlesung auf eine biomedizinische Anwendung.<ref name="hundertmark">Hundertmark, A.: ''Fluiddynamik.'' Vorlesungsunterlagen zum Modul Räumliche Modellbildung, RPTU Kaiserslautern-Landau, Sommersemester 2026.</ref> Der methodische Mehrwert liegt in der Verknüpfung mehrerer Zugänge, die sich gegenseitig kontrollieren. Die analytische Poiseuille-Lösung liefert exakte Sollwerte für das gesunde Gefäß. Ein reduziertes Graphenmodell liefert für jeden Stenosegrad eine schnelle Abschätzung, die analytisch nachrechenbar ist. Die Simulationen in COMSOL Multiphysics lösen schließlich die vollständigen Navier-Stokes-Gleichungen in zwei und drei Raumdimensionen. Weil jede Stufe die Sollwerte der nächsten liefert, zeigt das Projekt nicht nur Ergebnisse, sondern auch, wie numerische Modelle aufgebaut, verifiziert und an ihren Grenzen bewertet werden. == Auswahl der Stenosegrade == Um die untersuchten Gefäßverengungen nicht willkürlich festzulegen, orientiert sich die Auswahl der Stenosegrade an der klinisch gebräuchlichen NASCET-Klassifikation von Karotisstenosen.<ref name="nascet" /> Zur klinischen Einordnung werden Karotisstenosen anhand der nach NASCET bestimmten Durchmesserreduktion in leichtgradige, mittelgradige und hochgradige Stenosen eingeteilt. Die angegebenen Prozentgrenzen dienen in diesem Projekt als Orientierung für die Auswahl der untersuchten Stenosegrade. Ein vollständiger Gefäßverschluss wird als Okklusion bezeichnet. {| class="wikitable" |+ Klinische Einteilung nach NASCET-gemessener Durchmesserreduktion und untersuchte Stenosegrade ! Schweregrad !! Durchmesserreduktion !! im Projekt gerechnete Stenosegrade !! hervorgehobener Vertreter |- | gesundes Gefäß || 0 % || 0 || 0 |- | leichtgradige Stenose || unter 50 % || 0,1 bis 0,4 || 0,3 |- | mittelgradige Stenose || 50 bis 69 % || 0,5 und 0,6 || 0,6 |- | hochgradige Stenose || 70 bis 99 % || 0,7 und 0,8 || 0,8 |- | Okklusion || 100 % || nicht gerechnet || entfällt |} '''Anmerkung''': Die Klassengrenzen dienen der Einordnung der Modellvarianten. Die in der Tabelle genannten Stenosegrade sind dimensionslose Werte, beispielsweise entspricht '''<math>s=0{,}6</math>''' einer Durchmesserreduktion von '''60 %'''. Für die numerische Untersuchung wird aus jeder Kategorie ein repräsentativer Stenosegrad hervorgehoben. Neben dem gesunden Gefäß mit '''0 %''' Stenose sind das eine '''30 %''' Stenose als Beispiel für eine leichtgradige, eine '''60 %''' Stenose als Beispiel für eine mittelgradige und eine '''80 %''' Stenose als Beispiel für eine hochgradige Verengung. Zusätzlich werden für das Graphenmodell und das achsensymmetrische Flächenmodell Stenosegrade von 0 bis 80 % in Schritten von zehn Prozentpunkten vorgesehen. Dadurch kann die Abhängigkeit der Strömungsgrößen vom Stenosegrad systematisch untersucht und grafisch dargestellt werden. Ob alle Modellvarianten tatsächlich berechnet wurden und wie hoch der Rechenaufwand war, wird anhand der durchgeführten Simulationen dokumentiert. Ein vollständiger Gefäßverschluss wird nicht simuliert, da in diesem Fall keine durchgängige Strömung mehr vorliegt. Der Stenosegrad wird in diesem Projekt wie bei NASCET über die Verringerung des Gefäßdurchmessers beschrieben, <math>s = 1 - \frac{d_{\min}}{d_{\mathrm{ref}}},</math> wobei <math>d_{\min}</math> der kleinste Durchmesser in der Engstelle und <math>d_{\mathrm{ref}}</math> ein Referenzdurchmesser ist. NASCET verwendet als Referenz den Durchmesser des gesunden Gefäßes stromabwärts der Stenose. Für das idealisierte gerade Gefäßmodell wird ein konstanter Referenzdurchmesser von <math>D_0=6\,\mathrm{mm}</math> angenommen. Da das Gefäß außerhalb der Stenose denselben Durchmesser besitzt, gilt in diesem Modell<math>d_{\mathrm{ref}}=D_0</math>. Bei der zusätzlich betrachteten Gefäßaufzweigung muss der Referenzdurchmesser dagegen gesondert festgelegt werden, da die Gefäßäste unterschiedliche Durchmesser besitzen. Wichtig für das Verständnis aller weiteren Ergebnisse ist der Unterschied zwischen Durchmesser- und Flächenreduktion. Da die Querschnittsfläche quadratisch vom Durchmesser abhängt, gilt für die Flächenreduktion <math>1-(1-s)^2</math>. Eine im klinischen Sinn nur mittelgradige Stenose von 60 % verschließt damit bereits 84 % der Querschnittsfläche. {| class="wikitable" |+ Durchmesser- und Flächenreduktion der gerechneten Stenosegrade ! Stenosegrad s !! 0 !! 0,1 !! 0,2 !! 0,3 !! 0,4 !! 0,5 !! 0,6 !! 0,7 !! 0,8 |- | engster Durchmesser in mm || 6,0 || 5,4 || 4,8 || 4,2 || 3,6 || 3,0 || 2,4 || 1,8 || 1,2 |- | Flächenreduktion || 0 % || 19 % || 36 % || 51 % || 64 % || 75 % || 84 % || 91 % || 96 % |} Eine Einschränkungen gehört zur ehrlichen Einordnung: # Mit zunehmendem Stenosegrad, insbesondere bei ausgeprägten Verengungen, können lokale Beschleunigungen, Strömungsablösungen und zeitabhängige Strömungsstrukturen auftreten. Daher muss bei den hochgradigen Stenosen geprüft werden, inwieweit die Annahme einer stationären, laminaren Strömung geeignet ist. Eine feste Grenze bei <math>s=0{,}6</math> lässt sich ohne entsprechende Simulationsergebnisse oder Literaturbelege nicht allgemein festlegen. Die hochgradigen Fälle werden deshalb unter besonderer Berücksichtigung der Modellannahmen diskutiert. Unter Modellierung wird in diesem Projekt die Übertragung der Blutströmung in einer verengten Arterie auf ein mathematisches und numerisch lösbares Strömungsproblem verstanden. Dazu werden die Gefäßgeometrie, die zugrunde liegenden Gleichungen, die physikalischen Materialparameter sowie die Anfangs- und Randbedingungen festgelegt. Jeder dieser Bestandteile beruht auf vereinfachenden Annahmen, die begründet und bei der Interpretation der Ergebnisse berücksichtigt werden müssen. Ziel ist es, den Einfluss unterschiedlicher Stenosegrade auf die Strömungsgeschwindigkeit, den Druckverlust und gegebenenfalls die Wandschubspannung systematisch zu untersuchen. Die Modellierung erfolgt anhand mehrerer Modellvarianten mit unterschiedlicher räumlicher Auflösung. Dadurch können zunächst grundlegende Zusammenhänge analytisch abgeschätzt und anschließend mit numerischen Strömungsberechnungen verglichen werden. Die verwendeten Parameter orientieren sich an den bereitgestellten Referenzdaten und werden in den folgenden Abschnitten erläutert. == Modellierung == Ziel der Modellierung ist es, die Blutströmung innerhalb einer Y-förmigen Aufzweigung der Halsschlagader mathematisch und numerisch zu untersuchen. Im Mittelpunkt steht eine Gefäßverengung (Stenose) in der Arteria carotis interna. Das betrachtete Gefäßmodell besteht aus der Arteria carotis communis, die sich in die Arteria carotis interna und die Arteria carotis externa aufteilt. Die Stenose befindet sich ausschließlich in der Arteria carotis interna. Durch die Verengung verändert sich der verfügbare Strömungsquerschnitt. Dies kann zu einer Erhöhung der lokalen Strömungsgeschwindigkeit, zu zusätzlichen Druckverlusten und zu einer Veränderung der Strömungsverteilung zwischen den beiden Gefäßästen führen. Ziel ist es, den Einfluss unterschiedlicher Stenosegrade auf die Strömungsgeschwindigkeit, die Druckverteilung und die Wandschubspannung zu untersuchen. Zusätzlich soll betrachtet werden, wie sich die Strömung innerhalb der Y-förmigen Gefäßaufzweigung verhält. Die numerische Modellierung erfolgt mit COMSOL Multiphysics. Dazu werden die Gefäßgeometrie, die Materialeigenschaften des Blutes, die Strömungsgleichungen und die Randbedingungen festgelegt. Zur Vereinfachung wird Blut zunächst als inkompressibles, Newtonsches Fluid betrachtet. Die Gefäßwände werden als starr angenommen. Diese Annahmen ermöglichen eine systematische Untersuchung der Stenose, schränken jedoch die Übertragbarkeit auf reale physiologische Bedingungen ein. === Modellhierarchie === Für die Untersuchung der Blutströmung innerhalb der Y-förmigen Karotisaufzweigung werden drei Modellvarianten betrachtet. Diese unterscheiden sich hinsichtlich ihrer räumlichen Dimension, ihrer mathematischen Beschreibung und der Genauigkeit, mit der die Strömungsverhältnisse dargestellt werden können. Das untersuchte Gefäß besteht aus der Arteria carotis communis, die sich in die Arteria carotis interna und die Arteria carotis externa aufteilt. Die Stenose befindet sich ausschließlich in der Arteria carotis interna. Alle drei Modellvarianten werden mit COMSOL Multiphysics umgesetzt. {| class="wikitable" style="width:100%;" |+ '''Die drei Modellvarianten des Projekts''' |- ! Modell ! Raumdimension ! Mathematische Grundlage ! Zweck ! Werkzeug |- | '''Graphenmodell''' | 1D, Gefäßnetzwerk mit einer Verzweigung | Massenerhaltung an der Verzweigung und vereinfachte Beschreibung der Strömungswiderstände | Abschätzung der Volumenstromverteilung und der Druckverluste in den Gefäßästen | COMSOL Multiphysics |- | '''Ebenes Flächenmodell''' | 2D, Y-förmige Gefäßgeometrie in kartesischen Koordinaten | Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen | Untersuchung der Geschwindigkeits- und Druckverteilung sowie der Auswirkungen der Stenose in der Arteria carotis interna | COMSOL Multiphysics, Laminare Strömung |- | '''Volumenmodell''' | 3D, räumliche Y-förmige Gefäßgeometrie | Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen | Räumliche Untersuchung des Geschwindigkeitsfeldes, des Druckverlustes und der Wandschubspannung | COMSOL Multiphysics, Laminare Strömung |} ==== Vergleich und Überprüfung der Modellvarianten ==== Die drei Modellvarianten bauen hinsichtlich ihrer räumlichen Beschreibung aufeinander auf. Das Graphenmodell ermöglicht zunächst eine vereinfachte Betrachtung der Volumenströme und Druckverluste. Die zwei- und dreidimensionalen Modelle erlauben anschließend eine detailliertere Untersuchung der Strömung innerhalb der Gefäßaufzweigung. Das '''Graphenmodell''' beschreibt die Arteria carotis communis sowie die beiden abzweigenden Gefäße als miteinander verbundenes Netzwerk. Dabei wird die Massenerhaltung an der Verzweigung berücksichtigt: :<math>Q_{\mathrm{CCA}}=Q_{\mathrm{ICA}}+Q_{\mathrm{ECA}}</math> Das Modell liefert vereinfachte Abschätzungen der Volumenstromverteilung. Lokale Strömungsablösungen und räumliche Geschwindigkeitsverteilungen können damit nicht detailliert dargestellt werden. Das '''ebene Flächenmodell''' bildet die Y-förmige Gefäßaufzweigung in zwei Raumdimensionen ab. Die Stenose wird innerhalb der Arteria carotis interna berücksichtigt. Dadurch können die Geschwindigkeits- und Druckverteilung sowie mögliche Rückströmungsbereiche untersucht werden. Das '''Volumenmodell''' erweitert die Untersuchung auf drei Raumdimensionen. Es ermöglicht eine räumliche Darstellung der Strömung und eine detailliertere Berechnung der Wandschubspannung. Die Ergebnisse des ebenen Flächenmodells und des Volumenmodells werden miteinander verglichen. Da das ebene Modell die räumliche Querschnittsgeometrie nur vereinfacht darstellt, müssen Unterschiede zwischen den beiden Modellen bei der Interpretation berücksichtigt werden. Ziel der Modellhierarchie ist es, die Aussagekraft der einzelnen Modellvarianten zu bewerten und den Einfluss des Stenosegrades auf die Strömung innerhalb der Y-förmigen Karotisaufzweigung zu untersuchen. === Simulationsgebiet und Geometrie === Das Simulationsgebiet besteht aus einer idealisierten Y-förmigen Aufzweigung der Arteria carotis. Die Arteria carotis communis teilt sich in die Arteria carotis interna und die Arteria carotis externa. Die Stenose befindet sich in der Arteria carotis interna. Die Arteria carotis externa wird ohne zusätzliche Verengung modelliert. Die Geometrie orientiert sich an den bereitgestellten Referenzdaten. Die Gefäßdurchmesser werden innerhalb der jeweiligen unverengten Abschnitte als konstant angenommen. {| class="wikitable" style="width:100%;" |+ '''Geometrische Referenzparameter der Y-förmigen Gefäßaufzweigung''' |- ! Gefäßabschnitt ! Durchmesser ! Länge |- | Arteria carotis communis | 6 mm | 60 mm |- | Arteria carotis interna | 5 mm | 60 mm |- | Arteria carotis externa | 4 mm | 60 mm |- | Stenose in der Arteria carotis interna | Abhängig vom Stenosegrad | 10 bzw. 20 mm |} Die Verengung wird über den Stenosegrad <math>s</math> beschrieben. Dieser gibt die relative Verringerung des Gefäßdurchmessers an: :<math>s=1-\frac{d_{\min}}{D_{\mathrm{ICA}}}</math> Dabei bezeichnet <math>d_{\min}</math> den minimalen Durchmesser innerhalb der Stenose und <math>D_{\mathrm{ICA}}</math> den unverengten Referenzdurchmesser der Arteria carotis interna. Für das Modell gilt: :<math>D_{\mathrm{ICA}}=5\,\mathrm{mm}</math> Der minimale Durchmesser ergibt sich damit zu: :<math>d_{\min}=D_{\mathrm{ICA}}(1-s)</math> {| class="wikitable" |+ '''Minimaler Durchmesser der Stenose in der Arteria carotis interna''' |- ! Stenosegrad ! Minimaler Durchmesser |- | 0 % | 5,0 mm |- | 10 % | 4,5 mm |- | 20 % | 4,0 mm |- | 30 % | 3,5 mm |- | 40 % | 3,0 mm |- | 50 % | 2,5 mm |- | 60 % | 2,0 mm |- | 70 % | 1,5 mm |- | 80 % | 1,0 mm |} Die angegebenen Stenosegrade beziehen sich ausschließlich auf den Durchmesser der Arteria carotis interna. Der Durchmesser der Arteria carotis communis wird nicht zur Berechnung des Stenosegrades verwendet. Die Y-förmige Geometrie ermöglicht es, die Auswirkungen der Verengung sowohl auf die lokale Strömung in der Arteria carotis interna als auch auf die Strömungsverteilung innerhalb der gesamten Gefäßaufzweigung zu untersuchen. Die genaue Form der Stenose, der Verzweigungswinkel und die Übergänge zwischen den Gefäßabschnitten müssen entsprechend der tatsächlich in COMSOL verwendeten Geometrie dokumentiert werden. == Stoff- und Strömungsparameter == Die Stoffwerte des Blutes und der Volumenstrom sind die einzigen Eingangsgrößen, die nicht aus der Geometrie folgen. Aus ihnen werden alle weiteren Strömungskennwerte berechnet. Die folgenden Schritte zeigen jede Rechnung einzeln, damit sich jeder Wert nachprüfen lässt. # Die '''Dichte''' wird mit <math>\rho = 1060\ \mathrm{kg/m^3}</math> angesetzt. Der Wert lässt sich als Mischungsregel plausibel machen. Plasma hat eine Dichte von etwa 1025 kg/m³, rote Blutkörperchen von etwa 1100 kg/m³. Bei einem Zellanteil von 45 % ergibt sich <math>0{,}55 \cdot 1025 + 0{,}45 \cdot 1100 \approx 1059\ \mathrm{kg/m^3}</math>. Die Dichte geht nur über die Reynoldszahl in die Rechnung ein, eine Abweichung von einem Prozent ändert die Ergebnisse daher kaum. <!-- FIXME Lehrbuchquelle fuer Plasma- und Erythrozytendichte ergaenzen --> # Die '''dynamische Viskosität''' wird mit <math>\mu = 3{,}5\ \mathrm{mPa\,s}</math> angesetzt. Das ist der Grenzwert der Blutviskosität bei hohen Scherraten, also genau der Wert, der zur Newtonschen Näherung gehört. Derselbe Wert von 0,035 Poise wird auch im Standardwerk zur Modellierung des Herz-Kreislauf-Systems verwendet.<ref name="quarteroni">Quarteroni, A.; Formaggia, L.: ''Mathematical Modelling and Numerical Simulation of the Cardiovascular System.'' In: Ayache, N. (Hrsg.): ''Computational Models for the Human Body.'' Handbook of Numerical Analysis, Bd. XII, Elsevier, Amsterdam 2004, S. 3-127. DOI 10.1016/S1570-8659(03)12001-7. Zur Newtonschen Näherung in großen Gefäßen siehe S. 30, zur Viskosität von 0,035 Poise die Parametertabelle auf S. 116.</ref> # Der '''mittlere Volumenstrom''' wird mit <math>Q_0 = 6\ \mathrm{ml/s}</math> angesetzt. Das ist der zeitlich gemittelte Volumenstrom, der in der gemeinsamen Halsschlagader gesunder Probanden gemessen wurde. # Die '''mittlere Geschwindigkeit''' folgt aus Volumenstrom und Querschnittsfläche, <math>U_0 = \frac{Q_0}{\pi R_0^2} = \frac{6 \cdot 10^{-6}\ \mathrm{m^3/s}}{\pi \cdot (0{,}003\ \mathrm{m})^2} = 0{,}2122\ \mathrm{m/s}</math>. # Die '''Reynoldszahl''' des gesunden Gefäßes ist <math>Re_0 = \frac{\rho\, U_0\, D_0}{\mu} = \frac{1060 \cdot 0{,}2122 \cdot 0{,}006}{0{,}0035} = 385{,}6</math>. Sie wird im Folgenden auf 386 gerundet. # Die '''Einlauflänge''', die eine anfangs gleichförmige Strömung bis zum voll entwickelten Parabelprofil bräuchte, beträgt nach der gebräuchlichen Abschätzung für laminare Rohrströmungen <math>L_e \approx 0{,}06\, Re_0\, D_0 \approx 0{,}06 \cdot 386 \cdot 6\ \mathrm{mm} \approx 139\ \mathrm{mm}</math>.<ref name="durst">Durst, F.; Ray, S.; Ünsal, B.; Bayoumi, O. A.: ''The development lengths of laminar pipe and channel flows.'' Journal of Fluids Engineering 127 (2005), Nr. 6, S. 1154-1160. Für große Reynoldszahlen nähert sich die dort angegebene Korrelation dem Wert 0,057·Re·D.</ref> Das ist fast die gesamte Länge des Rechengebiets. Ein konstantes Einlassprofil würde die Strömung an der Stenose also verfälschen, weshalb am Einlass das voll entwickelte Profil vorgegeben wird. Damit liegen alle globalen Parameter fest. Die folgende Tabelle enthält sie mit genau den Namen, unter denen sie in COMSOL und in den Octave-Skripten verwendet werden. {| class="wikitable" |+ Globale Parameter des Modells ! Name !! Ausdruck in COMSOL !! Wert !! Bedeutung !! Herkunft |- | R0 || 3[mm] || 3 mm || Gefäßradius || Messwerte nach Krejza u. a. 2006, gerundet |- | D0 || 2*R0 || 6 mm || Gefäßdurchmesser || abgeleitet |- | Ls || 2*D0 || 12 mm || Länge der Störstelle || Standardgeometrie nach Varghese u. a. 2007 |- | Lu || 5*D0 || 30 mm || Vorlaufstrecke vor der Stenosemitte || Abstand der Einlassbedingung von der Stenose |- | Ld || 20*D0 || 120 mm || Nachlaufstrecke hinter der Stenosemitte || Platz für das Rückströmgebiet |- | Lf || Ls/2+10*D0 || 66 mm || Ende des fein vernetzten Nachlaufs || erwartete Länge des Rückströmgebiets |- | s || 0 bis 0.8 || 0 bis 0,8 || Stenosegrad bezogen auf den Durchmesser || NASCET-Einteilung |- | rho_b || 1060[kg/m^3] || 1060 kg/m³ || Dichte des Blutes || Mischungsregel, Literaturwert |- | mu_b || 3.5[mPa*s] || 3,5 mPa·s || dynamische Viskosität des Blutes || Hochscherwert, Quarteroni und Formaggia 2004 |- | Q0 || 6[ml/s] || 6 ml/s || mittlerer Volumenstrom || Messwerte nach Holdsworth u. a. 1999 |- | U0 || Q0/(pi*R0^2) || 0,2122 m/s || mittlere Einströmgeschwindigkeit || abgeleitet |- | Re0 || rho_b*U0*D0/mu_b || 385,6 || Reynoldszahl des gesunden Gefäßes || abgeleitet |- | dp_ref || 8*mu_b*U0*(Lu+Ld)/R0^2 || 99,03 Pa || Poiseuille-Druckabfall des gesunden Gefäßes || abgeleitet, Hagen-Poiseuille |} = Implementierung des 2D-Modells in COMSOL Multiphysics = == Zielsetzung des zweidimensionalen Modells == Im Rahmen des Projekts wurde mit COMSOL Multiphysics ein zweidimensionales Modell der menschlichen Halsschlagader erstellt. Ziel ist es, die Blutströmung innerhalb einer Gefäßverzweigung zu untersuchen und insbesondere die Auswirkungen einer lokalen Gefäßverengung (Stenose) auf das Strömungsverhalten zu analysieren. Das Modell bildet die Aufzweigung der Arteria carotis communis (ACC) in die Arteria carotis interna (ACI) und die Arteria carotis externa (ACE) ab. Während die ACE als gesunder Gefäßabschnitt betrachtet wird, befindet sich in der ACI eine lokale Verengung. Dadurch können die Strömungsverhältnisse in beiden Ästen miteinander verglichen werden. Die zweidimensionale Modellierung dient dazu, die Geschwindigkeitsverteilung, den Druckabfall und die Wandschubspannung zu untersuchen. Zusätzlich soll festgestellt werden, ob sich hinter der Stenose Bereiche mit Strömungsablösungen oder Rückströmungen ausbilden. ==Vorgehen== Für die numerische Untersuchung in COMSOL Multiphysics 6.2 zunächst ein zweidimensionales Modell mit der Physik ''Laminare Strömung'' und einer ''stationären Studie'' angelegt. Die Gefäßgeometrie wurde vollständig parametrisiert, damit Durchmesser, Gefäßlängen, Verzweigungswinkel, Stenosegrad sowie die Stenoselänge veränderbar sind, ohne das Modell jeweils neu zu zeichnen. Das gemeinsame Zuflussgefäß stellt die Arteria carotis communis mit einem Durchmesser von <math>6\,\mathrm{mm}</math> dar. Nach einem geraden Einlaufabschnitt von <math>60\,\mathrm{mm}</math> teilt es sich V-förmig in die beiden Tochtergefäße auf. Die Arteria carotis interna wird mit einem Durchmesser von <math>5\,\mathrm{mm}</math>, die Arteria carotis externa mit <math>4\,\mathrm{mm}</math> modelliert. Beide Tochtergefäße sind jeweils <math>60\,\mathrm{mm}</math> lang. Die Grundgeometrie wurde als zusammenhängender zweidimensionaler Volumenkörper aufgebaut. Die beiden Tochtergefäße verlaufen nach der Bifurkation unter einem Winkel auseinander, sodass eine idealisierte Y-förmige Karotisgabel entsteht. Die Übergänge zwischen dem gemeinsamen Gefäß und den beiden Ästen wurden bewusst vereinfacht, aber ohne abrupte Querschnittssprünge gestaltet. Auf diese Weise bleibt die Geometrie ausreichend einfach für einen systematischen Vergleich verschiedener Modellvarianten, bildet die typische Aufzweigung einer Karotis. Die Stenose befindet sich ausschließlich in der Arteria carotis interna. Um die Verengung nicht durch gerade Polygonsegmente mit scharfen Knicken darzustellen, wurde ihre Kontur mithilfe von zwei parametrischen Kosinuskurven erzeugt. Zur Beschreibung der Stenose wird eine parametrische Kurve mit dem Hilfsparameter <math>t</math> verwendet. Dieser nimmt Werte zwischen <math>-1</math> und <math>1</math> an. Über die Beziehung <math>x(t)=x_\mathrm{st}+\frac{L_\mathrm{st}}{2}t</math> wird der Parameter auf die räumliche Position entlang des Gefäßes übertragen. Für <math>t=-1</math> liegt der Beginn der Stenose bei <math>x_\mathrm{st}-L_\mathrm{st}/2</math>, für <math>t=0</math> befindet sich die Kurve in der Stenosenmitte und für <math>t=1</math> am Ende bei <math>x_\mathrm{st}+L_\mathrm{st}/2</math>. Dadurch kann die Länge der Stenose über den Parameter <math>L_\mathrm{st}</math> verändert werden, ohne ihre Mittelpunktposition <math>x_\mathrm{st}</math> zu verschieben. Die Einengung wächst vom Beginn der Stenose kontinuierlich bis zur Engstelle an und nimmt danach ebenso kontinuierlich wieder ab. Dadurch entstehen glatte Wandübergänge. Die Stärke der Einengung wird über den dimensionslosen Stenosegrad <math>s</math> gesteuert. Für einen unverengten Durchmesser der Arteria carotis interna von <math>D_\mathrm{ACI}=5\,\mathrm{mm}</math> ergibt sich bei einem Stenosegrad von <math>s=0{,}3</math> eine minimale Gefäßweite von <math>3{,}5\,\mathrm{mm}</math>, bei <math>s=0{,}6</math> von <math>2{,}0\,\mathrm{mm}</math> und bei <math>s=0{,}8</math> von <math>1{,}0\,\mathrm{mm}</math>. Die minimale Gefäßweite ergibt sich allgemein aus <math>d_\mathrm{min}=D_\mathrm{ACI}(1-s)</math>. Die beiden parametrischen Kurven wurden mit Hilfslinien zu geschlossenen Flächen ergänzt und anschließend über „Umwandeln in Volumenkörper“ in Flächenobjekte überführt. Mithilfe einer Differenzoperation wurden diese Flächen aus dem Gefäßgebiet ausgeschnitten. Auf diese Weise bleibt die Grundgeometrie des Gefäßes unverändert, während Stenosegrad und Stenosenlänge allein über globale Parameter variiert werden können. Für die Strömung wurde Blut als inkompressibles Newtonsches Fluid mit konstanter Dichte und Viskosität angenähert. Verwendet werden eine Dichte von <math>\rho=1060\,\mathrm{kg/m^3}</math> und eine dynamische Viskosität von <math>\mu=3,5\,\mathrm{mPa s}</math>. Am Einlass wird ein voll entwickeltes Geschwindigkeitsprofil vorgegeben. Aus dem auf der Projektseite angesetzten mittleren Volumenstrom von <math>6\,\mathrm{ml/s}</math> ergibt sich für das <math>6\,\mathrm{mm}</math> breite Zuflussgefäß eine mittlere Geschwindigkeit von rund <math>0{,}21\,\mathrm{m/s}</math>. An beiden Auslässen wird derselbe Referenzdruck vorgegeben, während an sämtlichen Gefäßwänden die Haftbedingung (No Slip) gilt. Nach Fertigstellung der Geometrie wurde ein physikgesteuertes Finite-Elemente-Netz erzeugt und die stationäre Navier-Stokes-Strömung berechnet. Anschließend wurden insbesondere der Geschwindigkeitsbetrag, die Druckverteilung und die Stromlinien ausgewertet. Die Stromlinien dienen dabei nicht nur der Visualisierung der Aufteilung des Blutstroms an der Bifurkation, sondern auch zur Erkennung möglicher Ablöse- und Rückströmungsgebiete hinter der Stenose. Zusätzlich kann die Wandschubspannung entlang der Gefäßwand ausgewertet werden. Die verschiedenen Stenosegrade werden jeweils bei ansonsten identischen Randbedingungen miteinander und mit dem gesunden Referenzfall verglichen. == Ergebnisse der 2D-Strömungssimulation == Die zweidimensionale Strömungssimulation wurde mit COMSOL Multiphysics durchgeführt, um die Auswirkungen einer lokalen Gefäßverengung auf die Blutströmung innerhalb einer idealisierten Karotis-Bifurkation zu untersuchen. Im Mittelpunkt der Auswertung stehen die Geschwindigkeitsverteilung, die Druckverteilung sowie die Wandschubspannung. Ergänzend werden Stromlinien betrachtet, um mögliche Veränderungen des Strömungsverlaufs und das Auftreten von Rückströmungsgebieten hinter der Stenose zu untersuchen. Die Ergebnisse werden hinsichtlich ihrer strömungsmechanischen Bedeutung interpretiert und unter Berücksichtigung der vereinfachenden Modellannahmen bewertet. === Quantitative Auswertung der Strömungsgeschwindigkeit === Zur Untersuchung des Einflusses verschiedener Stenosegrade auf die Strömungsgeschwindigkeit wurde in COMSOL Multiphysics der Geschwindigkeitsbetrag <code>spf.U</code> mithilfe der Funktion ''Oberflächenmaximum'' ausgewertet. Dabei wurden Stenosegrade von 0 %, 30 %, 60 %, 80 % und 100 % betrachtet. Die Berechnungen erfolgten zunächst mit einer Druckrandbedingung von <math>p_0 = 0\,\mathrm{Pa}</math> und anschließend mit einer Resistenzrandbedingung bei <math>k_R = 1</math>. ==== Druckrandbedingung ==== Bei der Druckrandbedingung wurde die maximale Geschwindigkeit über das gesamte Strömungsgebiet bestimmt. {| class="wikitable" ! Stenosegrad ! Maximale Geschwindigkeit [m/s] |- | 0 % || 0,28385 |- | 30 % || 0,27091 |- | 60 % || 0,35036 |- | 80 % || 0,38530 |- | 100 % || 0,46125 |} Die Ergebnisse zeigen zunächst eine leichte Abnahme der maximalen Geschwindigkeit bei 30 % Stenose. Ab 60 % steigt diese mit zunehmender Verengung an. Dies ist mit einer lokalen Beschleunigung der Strömung infolge des verringerten Strömungsquerschnitts vereinbar. Bei 100 % Stenose beträgt das globale Geschwindigkeitsmaximum 0,46125 m/s. Da die Arteria carotis interna (ACI) vollständig verschlossen ist, beschreibt dieser Wert nicht die Strömung durch den Verschluss, sondern kann aus einem anderen, weiterhin durchströmten Gefäßbereich stammen. ==== Graphische Auswertungen in Comsol ==== [[Datei:0%, Geschwindigkeit, p0=0.png|mini|zentriert|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 0 % Stenose und einer Druckrandbedingung von p₀ = 0 Pa.]] <div style="display:flex; justify-content:center; gap:15px;"> <div> [[Datei:0,3%, Geschwindigkeit, p0=0.png|mini|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 30 % Stenose und einer Druckrandbedingung von p₀ = 0 Pa.]] </div> <div> [[Datei:0,3%, Geschwindigkeit, p0=0, Nah Stenose.png|mini|300px|Vergrößerte Geschwindigkeitsverteilung im Bereich der 30%igen Stenose bei p₀ = 0 Pa.]] </div> </div> <div style="display:flex; justify-content:center; gap:15px;"> <div> [[Datei:0,6%, Geschwindigkeit, p0=0.png|mini|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 60 % Stenose und einer Druckrandbedingung von p₀ = 0 Pa.]] </div> <div> [[Datei:0,6%, Geschwindigkeit, p0=0, Nah Stenose.png|mini|300px|Vergrößerte Geschwindigkeitsverteilung im Bereich der 60%igen Stenose bei p₀ = 0 Pa.]] </div> </div> <div style="display:flex; justify-content:center; gap:15px;"> <div> [[Datei:0,8%, Geschwindigkeit, p0=0.png|mini|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 80 % Stenose und einer Druckrandbedingung von p₀ = 0 Pa.]] </div> <div> [[Datei:0,8%, Geschwindigkeit, p0=0, Nah Stenose.png|mini|300px|Vergrößerte Geschwindigkeitsverteilung im Bereich der 80%igen Stenose bei p₀ = 0 Pa.]] </div> </div> <div style="display:flex; justify-content:center; gap:15px;"> <div> [[Datei:100%, Geschwindigkeit, p0=0.png|mini|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 100 % Stenose und einer Druckrandbedingung von p₀ = 0 Pa.]] </div> <div> [[Datei:100%, Geschwindigkeit, p0=0, Nah Stenose.png|mini|300px|Vergrößerte Darstellung des vollständig verschlossenen Bereichs der ACI bei 100 % Stenose und p₀ = 0 Pa.]] </div> </div> Die Farbskala zeigt den Betrag der Strömungsgeschwindigkeit in m/s. Blaue Bereiche kennzeichnen niedrige, grüne und gelbe mittlere sowie rote Bereiche hohe Geschwindigkeiten. Im unverengten Gefäß ist die Geschwindigkeit in der Gefäßmitte am höchsten und nimmt zu den Gefäßwänden hin ab. Mit zunehmendem Stenosegrad verändert sich die Geschwindigkeitsverteilung deutlich. Im Bereich der Engstelle wird die Strömung lokal beschleunigt, während hinter der Verengung Bereiche niedriger Geschwindigkeit auftreten können. Bei 100 % Stenose ist die ACI vollständig verschlossen, sodass die Strömung nur noch über den offenen Gefäßast abfließen kann. === Resistenzrandbedingung und Vergleich === Anschließend wurde die Strömung unter Verwendung einer Resistenzrandbedingung mit konstantem Parameter <math>k_R = 1</math> untersucht. Bei zunehmender Verengung traten Konvergenzprobleme auf. Ab ungefähr 73 % Stenose konnte keine konvergierende stationäre Lösung mehr bestimmt werden. Daher wurden für die hochgradigen Stenosen ergänzend zeitabhängige Simulationen durchgeführt. {| class="wikitable" ! Stenosegrad ! Druckrandbedingung <math>p_0 = 0\,\mathrm{Pa}</math> [m/s] ! Resistenzrandbedingung <math>k_R = 1</math> [m/s] |- | 0 % || 0,28385 || 0,32426 |- | 30 % || 0,27081 || 0,32219 |- | 60 % || 0,35036 || 0,53188 |- | 80 % || 0,3858 || 1,0674 |- | 100 % || 0,46125 || <math>\approx 0</math> * |} <small>* Bei 100 % Stenose wurde für die Resistenzrandbedingung ausschließlich das Gebiet hinter dem vollständigen Verschluss ausgewertet. Die maximale Geschwindigkeit beträgt dort <math>v_{\max} = 2{,}1416 \cdot 10^{-21}\,\mathrm{m/s} \approx 0\,\mathrm{m/s}</math>.</small> Der Vergleich zeigt, dass die maximale Geschwindigkeit bei der Resistenzrandbedingung insbesondere bei höheren Stenosegraden deutlich stärker ansteigt. Bei 80 % Stenose wird mit 1,0674 m/s ein wesentlich höherer Wert erreicht als bei der Druckrandbedingung mit 0,3858 m/s. Dies verdeutlicht den Einfluss der Auslassrandbedingungen auf die Strömungsverteilung innerhalb der Gefäßverzweigung. Bei vollständigem Gefäßverschluss ist ein direkter Vergleich der beiden Werte nicht möglich, da unterschiedliche Strömungsgebiete ausgewertet wurden. Während bei der Druckrandbedingung das globale Maximum betrachtet wurde, beschreibt der Wert der Resistenzrandbedingung die praktisch zum Stillstand gekommene Strömung hinter der Stenose. Insgesamt zeigen die Ergebnisse, dass sowohl der Stenosegrad als auch die gewählten Randbedingungen einen wesentlichen Einfluss auf die maximale Strömungsgeschwindigkeit besitzen. Die Konvergenzprobleme bei hochgradigen Stenosen verdeutlichen zudem die Notwendigkeit einer ergänzenden zeitabhängigen Untersuchung. ==== Graphische Auswertungen in Comsol ==== [[Datei:0%, Geschwindigkeit, Resbed..png|mini|zentriert|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 0 % Stenose mit Resistenzrandbedingung (k_R = 1).]] <div style="display:flex; justify-content:center; gap:15px;"> <div> [[Datei:0,3%, Geschwindigkeit, Resbed..png|mini|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 30 % Stenose mit Resistenzrandbedingung (k_R = 1).]] </div> <div> [[Datei:0,3%, Geschwindigkeit, Resbed., Nah Stenose.png|mini|300px|Vergrößerte Geschwindigkeitsverteilung im Bereich der 30%igen Stenose mit Resistenzrandbedingung (k_R = 1).]] </div> </div> <div style="display:flex; justify-content:center; gap:15px;"> <div> [[Datei:0,6%, Geschwindigkeit, Resbed..png|mini|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 60 % Stenose mit Resistenzrandbedingung (k_R = 1).]] </div> <div> [[Datei:0,6%, Geschwindigkeit, Resbed., Nah Stenose.png|mini|300px|Vergrößerte Geschwindigkeitsverteilung im Bereich der 60%igen Stenose mit Resistenzrandbedingung (k_R = 1).]] </div> </div> <div style="display:flex; justify-content:center; gap:15px;"> <div> [[Datei:0,8%, Geschwindigkeit, Resbed., zeitabh., Zeit 1 s.png|mini|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 80 % Stenose mit Resistenzrandbedingung (k_R = 1) zum Zeitpunkt t = 1 s.]] </div> <div> [[Datei:0,8%, Geschwindigkeit, Resbed., zeitabh., Zeit 1 s, Nah Stenose.png|mini|300px|Vergrößerte Geschwindigkeitsverteilung im Bereich der 80%igen Stenose mit Resistenzrandbedingung (k_R = 1) zum Zeitpunkt t = 1 s.]] </div> </div> <div style="display:flex; justify-content:center; gap:15px;"> <div> [[Datei:1%, Geschwindigkeit, Resbed., zeitabh., Zeit 1 s,.png|mini|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 100 % Stenose mit Resistenzrandbedingung (k_R = 1) zum Zeitpunkt t = 1 s.]] </div> <div> [[Datei:1%, Geschwindigkeit, Resbed., zeitabh., Zeit 1 s, nah Stenose.png|mini|300px|Vergrößerte Darstellung des vollständig verschlossenen ACI-Bereichs bei 100 % Stenose mit Resistenzrandbedingung (k_R = 1) zum Zeitpunkt t = 1 s.]] </div> </div> === Druckverteilung und Druckabfall === Die Druckverteilung wurde anhand der berechneten Isobaren innerhalb der zweidimensionalen Karotis-Bifurkation untersucht. Dabei zeigt sich eine Abnahme des statischen Drucks vom gemeinsamen Zuflussgefäß in Richtung der beiden Gefäßausgänge. Der maximale berechnete Druck beträgt etwa '''74,2 Pa''', während der minimale Druck bei etwa '''−19,9 Pa''' liegt. Daraus ergibt sich eine globale Druckspanne von ungefähr '''94,1 Pa'''. Besonders auffällig ist die Druckverteilung im Bereich der Stenose der Arteria carotis interna (ACI). Dort liegen die Isobaren deutlich enger beieinander, was auf einen ausgeprägten lokalen Druckgradienten hinweist. Stromabwärts der Engstelle treten zudem Bereiche mit niedrigem statischem Druck auf. '''Interpretation''': Die Ergebnisse zeigen, dass die Stenose die lokale Druckverteilung im ACI-Ast deutlich beeinflusst. Die Beschleunigung der Strömung innerhalb der Verengung geht mit einer Abnahme des statischen Drucks einher. Die globale Druckspanne von 94,1 Pa darf jedoch nicht mit dem irreversiblen Druckverlust über der Stenose gleichgesetzt werden. Die globale Druckspanne von 94,1 Pa ist nicht mit dem Druckabfall über der Stenose gleichzusetzen. Zur genaueren Untersuchung wurden deshalb zwei Messquerschnitte vor und hinter der Engstelle ausgewertet. Zwischen diesen ergibt sich eine mittlere statische Druckdifferenz von 36,24 Pa. <div style="text-align:center;"> [[Datei:Druckverteilung_2D.png|800px|zentriert|Druckverteilung der stationären 2D-Strömungssimulation einer idealisierten Karotis-Bifurkation mit 80 % Stenose in der Arteria carotis interna (ACI). Die Isobaren zeigen den Druckverlauf innerhalb der Gefäßgeometrie. Besonders im Bereich der Stenose ist ein ausgeprägter lokaler Druckgradient erkennbar. Der berechnete Druck liegt zwischen −19,9 Pa und 74,2 Pa.]] <small>'''Abbildung 3:''' Druckverteilung der stationären 2D-Strömungssimulation einer idealisierten Karotis-Bifurkation mit 80 % Stenose in der Arteria carotis interna (ACI). Die Isobaren zeigen den Druckverlauf innerhalb der Gefäßgeometrie. Besonders im Bereich der Stenose ist ein ausgeprägter lokaler Druckgradient erkennbar. Der berechnete Druck liegt zwischen −19,9 Pa und 74,2 Pa.</small> </div> ==== Quantitative Bestimmung der Druckdifferenz ==== Zur quantitativen Untersuchung des Druckabfalls wurden zwei Messquerschnitte im ACI-Ast definiert, einer vor und einer hinter der Stenose. Mithilfe der COMSOL-Funktion „Linienmittelwert“ wurde der mittlere statische Druck an beiden Positionen bestimmt. Vor der Stenose beträgt der mittlere Druck '''35,232 Pa''', während hinter der Stenose ein Wert von '''−1,0042 Pa''' ermittelt wurde. Daraus ergibt sich eine Druckdifferenz von '''36,24 Pa'''. Die Ergebnisse zeigen eine deutliche Abnahme des statischen Drucks zwischen den beiden Messquerschnitten. Diese Druckdifferenz verdeutlicht die Druckänderung entlang des stenotischen ACI-Astes. Sie ist jedoch nicht mit dem ausschließlich durch die Stenose verursachten irreversiblen Druckverlust gleichzusetzen, da auch die Strömungsentwicklung in den angrenzenden Gefäßabschnitten berücksichtigt wird. {| class="wikitable" style="text-align:center;" ! Stenosegrad ! <math>\bar p_\mathrm{vor}</math> [Pa] ! <math>\bar p_\mathrm{nach}</math> [Pa] ! <math>\Delta p</math> [Pa] |- | 0 % | 11,631 | 4,2461 | 7,3849 |- | 30 % | 16,919 | 2,9220 | 13,997 |- | 60 % | 35,835 | -0,58267 | 36,41767 |- | 80 % | 70,562 | -0,55906 | 71,12106 |} === Ausblick: Wandschubspannung im Vergleich === Zur Untersuchung der mechanischen Belastung der Gefäßwände wurde die Wandschubspannung (Wall Shear Stress, WSS) im zweidimensionalen Strömungsmodell ausgewertet. Sie beschreibt die tangentiale viskose Spannung, die durch die Strömung an der Gefäßwand entsteht. Die quantitative Auswertung erfolgte für die obere und untere Wand des stenotischen ACI-Abschnitts. Hierfür wurden die entsprechenden Wandkanten in COMSOL ausgewählt und der Betrag der Wandschubspannung bestimmt. Die Abbildung zeigt die Verteilung der Wandschubspannung (Wall Shear Stress, WSS) an den Gefäßwänden im Bereich der 80-%-Stenose der ACI. Die Auswertung erfolgte einmal mit und einmal ohne Resistenzrandbedingung. Für <math>p_0 = 0\,\mathrm{Pa}</math>: * Die Farbskala verdeutlicht die unterschiedlich starke Belastung der Gefäßwand durch die Blutströmung. '''Blaue Bereiche''' kennzeichnen geringe Wandschubspannungen von etwa 1 bis 2 Pa, während '''grüne und gelbe Bereiche''' mittlere Werte anzeigen. Im '''orange-roten Bereich''' nahe der stärksten Verengung steigt die Wandschubspannung deutlich an. Das mithilfe des Linienmaximums ermittelte Maximum beträgt '''6,0400 Pa'''. * Die erhöhten Werte im Bereich der Stenose lassen sich durch die starke Verengung des Gefäßquerschnitts erklären. Dadurch entstehen größere Geschwindigkeitsänderungen in Wandnähe, die zu einer erhöhten Wandschubspannung führen können. Die Abbildung zeigt somit, dass die mechanische Belastung der Gefäßwand innerhalb des untersuchten Stenosebereichs nicht gleichmäßig verteilt ist, sondern lokal deutlich zunimmt. [[Datei:WSS P0=0.png|300px|mini|zentriert|Verteilung der Wandschubspannung (WSS) im Bereich der 80-%-Stenose der Arteria carotis interna bei der Druckrandbedingung <math>p_0 = 0\,\mathrm{Pa}</math>.]] Mit Resistenzrandbedingung: * Die Abbildung zeigt die Verteilung der Wandschubspannung (Wall Shear Stress, WSS) an den Gefäßwänden im Bereich der 80-%-Stenose der Arteria carotis interna (ACI). Im Gegensatz zur vorherigen Untersuchung mit der Druckrandbedingung <math>p_0 = 0\,\mathrm{Pa}</math> wurde hier die Resistenzrandbedingung <math>k_R = 1</math> verwendet. * Da für diesen Fall keine stationäre Lösung erzielt werden konnte, erfolgte die Berechnung zeitabhängig. Die dargestellten Ergebnisse beziehen sich auf den Zeitpunkt <math>t = 1\,\mathrm{s}</math>. * Die Wandschubspannung ist innerhalb des Stenosebereichs unterschiedlich stark ausgeprägt. Bereiche mit niedrigen Werten kennzeichnen eine geringere tangentiale Belastung der Gefäßwand, während Bereiche mit höheren Werten auf eine stärkere Belastung hinweisen. * Das mithilfe des Linienmaximums ermittelte Maximum auf den ausgewählten Stenosewänden beträgt: <math>19{,}856\,\mathrm{Pa}</math>. * Die erhöhten Wandschubspannungen lassen sich durch die starke Verengung des Gefäßquerschnitts und die damit verbundenen Geschwindigkeitsänderungen in Wandnähe erklären. * Im Vergleich zur stationären Berechnung mit <math>p_0 = 0\,\mathrm{Pa}</math>, bei der eine maximale Wandschubspannung von <math>6{,}0400\,\mathrm{Pa}</math> ermittelt wurde, fällt der Maximalwert bei der Resistenzrandbedingung deutlich höher aus. * Dabei ist zu beachten, dass es sich bei <math>19{,}856\,\mathrm{Pa}</math> um einen Momentanwert bei <math>t = 1\,\mathrm{s}</math> handelt und nicht um einen stationären Wert. Die beiden Ergebnisse sind daher nur eingeschränkt direkt vergleichbar. * Die Farbverteilung zeigt, dass die Wandschubspannung im Bereich der Stenose von niedrigen Werten (Blau) zu höheren Werten (Grün, Gelb und Rot) ansteigt und insbesondere an der engsten Stelle der Gefäßverengung erhöht ist. [[Datei:WSS Resistenzrandbedingung.png|300px|mini|zentriert|Verteilung der Wandschubspannung (WSS) im Bereich der 80-%-Stenose der Arteria carotis interna bei der Resistenzrandbedingung <math>k_R = 1</math> zum Zeitpunkt <math>t = 1\,\mathrm{s}</math> (zeitabhängige Simulation).]] === Zusammenfassende Bewertung der 2D-Ergebnisse AKTUELLE DATEN NOCH REIN === Die stationäre zweidimensionale Strömungssimulation mit einem Stenosegrad von 80 % zeigt deutliche Veränderungen der Strömungsgrößen innerhalb der idealisierten Karotis-Bifurkation. Die maximale Geschwindigkeit beträgt 0,31853 m/s. Zwischen den ausgewählten Messquerschnitten vor und hinter der ACI-Stenose ergibt sich eine mittlere statische Druckdifferenz von 36,24 Pa. Die maximale Wandschubspannung auf den ausgewerteten Stenosewänden beträgt 3,2282 Pa. Die Untersuchung der Geschwindigkeitskomponenten liefert Hinweise auf lokale Strömungsanteile entgegen der Hauptströmungsrichtung. Ein eindeutig abgegrenztes Rezirkulationsgebiet konnte anhand der vorliegenden Darstellungen jedoch nicht sicher nachgewiesen werden. Die Ergebnisse beschreiben zunächst den untersuchten Fall einer hochgradigen Stenose. Aus diesem einzelnen Fall lässt sich weder eine allgemeine Abhängigkeit der Strömungsgrößen vom Stenosegrad noch ein kritischer Stenosegrad für den Beginn der Strömungsablösung bestimmen. Dafür wäre eine vergleichende Auswertung weiterer Stenosegrade erforderlich. == Resistenzrandbedingung am Auslass (2D-Modell) == === Motivation === Im ursprünglichen 2D-Modell wurde an beiden Auslässen eine Nulldruckbedingung <math>p = 0</math> gesetzt. Physikalisch bedeutet das, dass beide Äste in ein „offenes Becken“ mit gleichem, festem Druck münden. Der Auslassdruck hängt dabei nicht davon ab, wie viel Blut ankommt. Diese Annahme hat zwei Schwächen: * Die Flussaufteilung zwischen ACI und ACE ergibt sich nur aus den kleinen Strömungswiderständen der modellierten Gefäßabschnitte. Wird die ACI durch die Stenose verengt, weicht das Blut nahezu ungehindert in die ACE aus. Im Körper ist das nicht möglich, weil hinter der ACI das Gefäßbett des Gehirns mit einem eigenen, großen Widerstand liegt. * Das Druckniveau (Auslass bei 0 Pa) ist nicht physiologisch. Im 3D-Modell wurde deshalb an beiden Auslässen eine '''Resistenzrandbedingung''' verwendet. Damit 2D- und 3D-Modell vergleichbar sind, haben wir dieselbe Randbedingung auch im 2D-Modell eingebaut. === Formel und Herleitung === Das gesamte nachgeschaltete Gefäßbett hinter jedem Auslass wird durch einen einzigen peripheren Widerstand <math>R_p</math> ersetzt: :<math>p_{\text{aus}} = k_R \cdot R_p \cdot Q</math> Dabei ist <math>Q</math> der Volumenstrom durch den Auslass und <math>k_R</math> ein Schalter (<math>k_R = 1</math>: Widerstand, <math>k_R = 0</math>: ursprüngliche Bedingung <math>p = 0</math>). '''1. Gesunde Flussaufteilung nach dem Murray-Gesetz''' Der Volumenstrom eines Gefäßes ist nach Murray proportional zur dritten Potenz des Durchmessers. Für den Anteil der ACI am Gesamtfluss gilt damit: :<math>\varphi_0 = \frac{D_I^3}{D_I^3 + D_E^3} = \frac{(5\,\text{mm})^3}{(5\,\text{mm})^3 + (4\,\text{mm})^3} \approx 0{,}661</math> Mit dem mittleren Volumenstrom der A. carotis communis <math>Q_0 = 6\,\text{ml/s}</math> (Holdsworth u. a. 1999) folgt: :<math>Q_{I,0} = \varphi_0 \cdot Q_0 \approx 3{,}97\,\text{ml/s}, \qquad Q_{E,0} = (1-\varphi_0) \cdot Q_0 \approx 2{,}03\,\text{ml/s}</math> '''2. Bestimmung der peripheren Widerstände''' Die Widerstände werden so gewählt, dass im gesunden Zustand an beiden Auslässen der treibende Druck des peripheren Gefäßbetts <math>p_D = 90\,\text{mmHg} \approx 12\,000\,\text{Pa}</math> anliegt: :<math>R_{pI} = \frac{p_D}{Q_{I,0}} \approx 3{,}0 \cdot 10^{9}\,\frac{\text{Pa}\cdot\text{s}}{\text{m}^3}, \qquad R_{pE} = \frac{p_D}{Q_{E,0}} \approx 5{,}9 \cdot 10^{9}\,\frac{\text{Pa}\cdot\text{s}}{\text{m}^3}</math> Die Randbedingungen an den beiden Auslässen lauten damit: :<math>p_{\text{aus},I} = k_R \cdot R_{pI} \cdot Q_I, \qquad p_{\text{aus},E} = k_R \cdot R_{pE} \cdot Q_E</math> '''3. Umrechnung des Flusses im 2D-Modell''' Im 2D-Modell liefert das Integral der Normalgeschwindigkeit über den Auslassrand keinen Volumenstrom in m³/s, sondern einen Fluss pro Tiefe <math>q</math> in m²/s. Damit die Widerstände aus dem 3D-Modell verwendet werden können, wird <math>q</math> mit einer einheitlichen Ersatztiefe <math>b</math> in einen Volumenstrom umgerechnet: :<math>Q = q \cdot b, \qquad b = \frac{\pi \, D_{CC}}{4}</math> Die Ersatztiefe ist so gewählt, dass am Einlass mit der mittleren Einströmgeschwindigkeit <math>\bar{u}_{ein} = Q_0 / (\pi D_{CC}^2/4) \approx 0{,}21\,\text{m/s}</math> genau der Volumenstrom des 3D-Modells von 6 ml/s ankommt. Weil dieselbe Ersatztiefe für alle Ränder gilt, bleibt die Massenbilanz erhalten. === Ergebnisse mit Resistenzrandbedingung === {| class="wikitable" style="text-align:center" |+ Maximale Geschwindigkeit ! Stenosegrad S !! <math>u_{max}</math> [m/s] |- | 0 || 0,324^* |- | 0,3 || 0,323^* |- | 0,6 || 0,529 |- | 0,8 || 1,067 |} ^* Bei S = 0 und S = 0,3 liegt das Geschwindigkeitsmaximum nicht in der Stenose, sondern in der A. carotis communis. {| class="wikitable" style="text-align:center" |+ Druck vor und nach der Stenose ! Stenosegrad S !! <math>p_{vor}</math> [Pa] !! <math>p_{nach}</math> [Pa] !! Druckverlust <math>\Delta p = p_{vor} - p_{nach}</math> [Pa] !! <math>\Delta p</math> [mmHg] |- | 0 || 11 802 || 11 793 || 9 || 0,07 |- | 0,3 || 11 808 || 11 790 || 18 || 0,14 |- | 0,6 || 11 838 || 11 760 || 78 || 0,59 |- | 0,8 || 12 024 || 11 626 || 398 || 2,99 |} === Auswertung === * '''Druckniveau:''' Mit der Resistenzrandbedingung liegt der Druck bei etwa 11 800 Pa ≈ 88,5 mmHg. Das entspricht dem mittleren arteriellen Druck in der Carotis. Mit <math>p = 0</math> lagen die Drücke nur bei wenigen Pa bis einigen 100 Pa. * '''Flussaufteilung:''' Die peripheren Widerstände sind wesentlich größer als der Widerstand der Stenose. Deshalb bestimmen sie die Flussaufteilung, und die ACI behält auch bei 80 % Stenose nahezu ihren Anteil (Abnahme von <math>Q_I</math> nur um etwa 1 %). Im Gegensatz zu <math>p = 0</math> kann das Blut nicht einfach in die ACE ausweichen. Das entspricht dem physiologischen Verhalten bei nicht kritischen Stenosen. * '''Geschwindigkeit:''' Weil mehr Blut durch die Engstelle strömen muss, steigen die Geschwindigkeiten in der Stenose gegenüber <math>p = 0</math>. Von S = 0,6 auf S = 0,8 verdoppelt sich <math>u_{max}</math> etwa. * '''Druckverlust:''' Der Druckverlust steigt stark nichtlinear mit dem Stenosegrad. Von S = 0,6 auf S = 0,8 nimmt er etwa um den Faktor 5 zu. * '''Druckrückgewinnung:''' Bei S = 0,8 liegt <math>p_{nach}</math> mit 11 626 Pa sogar unter dem Auslassdruck (≈ 11 680 Pa). Direkt hinter der Engstelle ist die Geschwindigkeit des Strahls noch hoch und der statische Druck entsprechend niedrig. Stromabwärts verlangsamt sich die Strömung, und ein Teil des Drucks wird zurückgewonnen. Der bleibende Druckverlust ist daher etwas kleiner als 398 Pa. === Grenzen und Vergleich mit dem 3D-Modell === * Im 2D-Modell verringert eine Stenose von 80 % nur die '''Spaltbreite''' auf 20 %. Im 3D-Modell sinkt die '''Querschnittsfläche''' dagegen auf <math>0{,}2^2 = 4\,\%</math>. Das 2D-Modell unterschätzt deshalb Geschwindigkeit und Druckverlust in der Stenose systematisch. Klinisch gelten bei Stenosen ab 70 % systolische Spitzengeschwindigkeiten über 2,3 m/s; ab einem Druckgradienten von etwa 10–20 mmHg gilt eine Stenose als hämodynamisch relevant. Beide Grenzen erreicht das 2D-Modell nicht. * Die Umrechnung über die Ersatztiefe <math>\pi D_{CC}/4</math> ist eine Modellannahme. * Der periphere Widerstand ist konstant. Die Autoregulation des Gehirns und die Gefäßelastizität (Windkessel) werden nicht berücksichtigt, und die Rechnung ist stationär (keine Pulsatilität). == Beantwortung der Forschungsfragen == '''Welche Strömungsgrößen reagieren empfindlich auf den Stenosegrad?''' Die Untersuchung der 80-%-Stenose zeigt deutliche Veränderungen der Geschwindigkeitsverteilung, des statischen Drucks und der Wandschubspannung. Die maximale Strömungsgeschwindigkeit beträgt 0,31853 m/s. Zwischen den ausgewählten Messquerschnitten vor und hinter der Stenose ergibt sich eine mittlere statische Druckdifferenz von 36,24 Pa. Die maximale Wandschubspannung auf den untersuchten Stenosewänden beträgt 3,2282 Pa.Da bisher nur die 80-%-Stenose quantitativ ausgewertet wurde, lässt sich noch nicht feststellen, welche dieser Größen bei zunehmendem Stenosegrad am stärksten reagiert. '''Ab welchem Stenosegrad tritt eine Strömungsablösung auf?''' Bei der untersuchten 80-%-Stenose zeigen die Geschwindigkeitskomponenten und die vorzeichenbehaftete Wandschubspannung Hinweise auf Veränderungen der wandnahen Strömungsrichtung hinter der Engstelle. Ein eindeutig geschlossenes Rezirkulationsgebiet konnte jedoch nicht nachgewiesen werden. Ein kritischer Stenosegrad für den Beginn einer Strömungsablösung lässt sich aus dieser einzelnen Simulation daher nicht bestimmen. Hierfür müssten weitere Stenosegrade unter vergleichbaren Bedingungen ausgewertet werden. '''Inwieweit sind die Annahmen einer stationären und laminaren Strömung geeignet?''' Die stationäre, laminare Modellierung ermöglicht es, grundlegende Auswirkungen einer Gefäßverengung auf die Strömung in einer idealisierten Karotis-Bifurkation zu untersuchen. Bei hochgradigen Stenosen können allerdings zeitabhängige und dreidimensionale Strömungsstrukturen auftreten. Diese werden durch das vorliegende stationäre 2D-Modell nicht vollständig erfasst. Die Simulationsergebnisse sind deshalb auf die gewählten Modellannahmen und Randbedingungen beschränkt. '''Zusammenfassend''' liefert die 2D-Simulation eine erste quantitative Beschreibung der Strömungsverhältnisse bei einer hochgradigen ACI-Stenose. Für allgemeine Aussagen über die Abhängigkeit vom Stenosegrad und den Beginn einer Strömungsablösung sind zusätzliche Vergleichsrechnungen erforderlich. = Grenzen des Modells = * Die untersuchte Gefäßgeometrie ist eine idealisierte Darstellung der Karotisaufzweigung. Individuelle anatomische Unterschiede werden nicht berücksichtigt. * Darüber hinaus werden die Gefäßwände als starr angenommen und Blut wird durch ein inkompressibles Newtonsches Fluid mit konstanter Viskosität beschrieben. * Die Strömung wird stationär berechnet. Die natürliche Pulsation des Blutflusses und zeitabhängige Effekte bleiben damit unberücksichtigt. * Insbesondere bei hochgradigen Stenosen können zeitabhängige Strömungsablösungen auftreten, die durch eine stationäre Modellierung nicht vollständig beschrieben werden. * Das Graphenmodell kann lokale Strömungsphänomene nicht detailliert erfassen. Das ebene Flächenmodell vereinfacht die räumliche Gefäßgeometrie. Auch das dreidimensionale Modell bleibt aufgrund der idealisierten Geometrie und der vereinfachten Materialannahmen eine Annäherung an die reale Blutströmung. * Die Ergebnisse sind daher als strömungsmechanische Untersuchung eines idealisierten Modells zu interpretieren und nicht als patientenspezifische medizinische Vorhersage. = Literaturverzeichnis = Alle Quellen sind an den Stellen im Text angegeben, an denen die zugehörigen Werte oder Aussagen verwendet werden. Die Liste wird aus diesen Angaben automatisch erzeugt. <references /> f0721fpsuahh7c5x9o1sgn8qmdog106 1119417 1119416 2026-11-11T18:10:26Z Nicole.pander 39567 /* Relevanz */ 1119417 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Joey Becker * Marie-Thérèse Heitele * Nicole Pander = Thema = Gegenstand dieses Projekts ist die numerische Simulation der Blutströmung in einer verzweigten Halsschlagader ('''Carotis-Bifurkation''') unter dem Einfluss einer lokalen Gefäßverengung ('''Stenose'''). Im Vergleich zu einer einfachen Rohrströmungen wird hier die realitätsnahe Gefäßanatomie betrachtet: Die '''Arteria carotis communis (ACC)''' teilt sich in die '''Arteria carotis externa (ACE)''' und die '''Arteria carotis interna (ACI)''' auf. Während die '''ACE''' als gesunder, stenosefreier Ast dient, wird in der '''ACI''' eine Gefäßverengung modelliert. Hierbei werden unterschiedliche Stenosegrade betrachtet. Als Referenz dient ein gesundes, unverengtes Gefäß, in dem sich die Poiseuille-Strömung mit ihrem charakteristischen parabolischen Geschwindigkeitsprofil ausbildet. Diese Strömung ist aus zwei Gründen der natürliche Ausgangspunkt. Sie beschreibt den physiologischen Normalfall, mit dem jeder Stenosegrad verglichen wird. == Fragestellung == Die Hauptfragestellung dieses Projektes lautet: Wie verändert eine Stenose in der '''Arteria carotis interna (ACI)''' die Strömung des Blutes hinsichtlich Strömungsgeschwindigkeit und des Druckabfalls über die Engstelle im Vergleich zum gesunden Gefäßabschnitt? Aus dieser Fragestellung ergeben sich drei Teilfragen, an denen sich der Aufbau der Seite orientiert: # Wie stark steigt die maximale Strömungsgeschwindigkeit in der Stenose mit zunehmendem Stenosegrad an? # Wie groß ist die Druckdifferenz vor und nach der Stenose bei den untersuchten Stenosegraden und ab welchem Stenosegrad nimmt sie deutlich zu? # Wie stark hängen Geschwindigkeitsmaximum und Druckdifferenz von der gewählten Auslassrandbedingung ab? = Relevanz = Die Untersuchung von Gefäßverengungen besitzt sowohl eine medizinische als auch eine methodische Bedeutung. Aus medizinischer Sicht sind arterielle Stenosen – etwa in der Halsschlagader – kritisch, da sie die Durchblutung beeinträchtigen und durch veränderte Wandschubspannungen sowie die Bildung von Wirbeln weitere Gefäßablagerungen begünstigen. Stenosen im Bereich der Karotisgabelung sind klinisch hochrelevant, da sie das Gehirn direkt versorgen und das Risiko für embolische Schlaganfälle erhöhen. Fachlich überträgt das Projekt damit die Prinzipien der Strömungsmechanik direkt auf eine biomedizinische Anwendung. Das Projekt verknüpft somit theoretische Grundlagen der Strömungsmechanik (Hagen-Poiseuille-Gleichung, Navier-Stokes-Gleichungen) mit der numerischen Simulation in COMSOL Multiphysics. Durch den Vergleich der '''gesunden Externa (ACE)''' mit der '''stenoisierten Interna (ACI)''' innerhalb desselben Rechengebiets wird die isolierte Wirkung der Stenose unter identischen Randbedingungen direkt sichtbar gemacht. == Medizinische Relevanz == Arterielle Stenosen entstehen überwiegend durch Atherosklerose, also durch Ablagerungen aus Lipiden, Bindegewebe und Kalk in der Gefäßwand. In der Halsschlagader sind sie klinisch besonders bedeutsam, weil sie die Durchblutung des Gehirns beeinträchtigen und weil sich an ihnen Thromben bilden können, die als Embolie einen Schlaganfall auslösen. Dass die operative Entfernung einer hochgradigen Karotisstenose das Schlaganfallrisiko symptomatischer Patienten deutlich senkt, hat die NASCET-Studie gezeigt, deren Einteilung der Stenosegrade dieses Projekt übernimmt.<ref name="nascet">North American Symptomatic Carotid Endarterectomy Trial Collaborators: ''Beneficial effect of carotid endarterectomy in symptomatic patients with high-grade carotid stenosis.'' New England Journal of Medicine 325 (1991), Nr. 7, S. 445-453.</ref> == Modellannahmen == Im Hinblick darauf werden für dieses Projekt einige Annahmen getroffen, um das Projekt möglichst isoliert zu untersuchen und zu simplifizieren: * '''Idealisierte Gefäßgeometrie''': Betrachtet wird ein Teilabbschnitt der ''Arteria carotis communis'', die sog. ''ACI''. Zudem werden Gefäßverkrümmungen, weitere Verzweigungen und patientenspezifische Strukturen nicht berücksichtigt. * '''Starre Gefäßwand''': Die Gefäßwand wird als unbeweglich und nicht verformbar angenommen. Eine Wechselwirkung zwischen elastischer Gefäßwand und Blutströmung wird nicht modelliert. * '''Stationäre Strömung''': Die Strömungsgrößen werden als zeitlich konstant angenommen. Die im realen Blutkreislauf vorhandene Pulsation durch den Herzschlag wird daher vernachlässigt: <math>\frac{\partial u}{\partial t}=0</math>. * '''Inkompressibles Fluid''': Die Dichte des Fluids wird als konstant angenommen. Damit gilt für die Geschwindigkeit <math>\nabla \cdot u=0</math>. Dies entspricht der in der Vorlesung behandelten Massenerhaltung für inkompressible Fluide: Was in das Gefäß einströmt, muss auch wieder ausströmen. * '''Newton'sche Näherung für Blut''': Reales Blut beseitzt ein nicht newton'sches Fließverhalten. Hier wird Blut als Newton'sches Fluid behandelt. * '''Konstante Stoffeigenschaften''': Dichte <math>\rho</math> und dynamische Viskosität μ werden als räumlich und zeitlich konstant angenommen. Temperaturabhängigkeiten werden nicht berücksichtigt. * '''Laminare Strömung''': Die Strömung wird mit dem COMSOL-Modul ''Laminar Flow'' beschrieben. Ein zusätzliches Turbulenzmodell wird nicht verwendet. * '''No-Slip-Bedingung an Gefäßwand''': Aufgrund der Viskosität wird angenommen, dass das Fluid direkt an der Gefäßwand haftet. Somit gilt <math>u=0</math>. * '''Vernachlässigung der Gravitation''': Gravitation wird nicht berücksichtigt. Die Strömung wird ausschließlich durch die gewählten Ein- und Auslassbedingungen bestimmt. == Medizinische Relevanz == Arterielle Stenosen entstehen überwiegend durch Atherosklerose, also durch Ablagerungen aus Lipiden, Bindegewebe und Kalk in der Gefäßwand. In der Halsschlagader sind sie klinisch besonders bedeutsam, weil sie die Durchblutung des Gehirns beeinträchtigen und weil sich an ihnen Thromben bilden können, die als Embolie einen Schlaganfall auslösen. Dass die operative Entfernung einer hochgradigen Karotisstenose das Schlaganfallrisiko symptomatischer Patienten deutlich senkt, hat die NASCET-Studie gezeigt, deren Einteilung der Stenosegrade dieses Projekt übernimmt.<ref name="nascet">North American Symptomatic Carotid Endarterectomy Trial Collaborators: ''Beneficial effect of carotid endarterectomy in symptomatic patients with high-grade carotid stenosis.'' New England Journal of Medicine 325 (1991), Nr. 7, S. 445-453.</ref> == Methodische Relevanz == Fachlich überträgt das Projekt die Prinzipien der Strömungsmechanik aus der Vorlesung auf eine biomedizinische Anwendung.<ref name="hundertmark">Hundertmark, A.: ''Fluiddynamik.'' Vorlesungsunterlagen zum Modul Räumliche Modellbildung, RPTU Kaiserslautern-Landau, Sommersemester 2026.</ref> Der methodische Mehrwert liegt in der Verknüpfung mehrerer Zugänge, die sich gegenseitig kontrollieren. Die analytische Poiseuille-Lösung liefert exakte Sollwerte für das gesunde Gefäß. Ein reduziertes Graphenmodell liefert für jeden Stenosegrad eine schnelle Abschätzung, die analytisch nachrechenbar ist. Die Simulationen in COMSOL Multiphysics lösen schließlich die vollständigen Navier-Stokes-Gleichungen in zwei und drei Raumdimensionen. Weil jede Stufe die Sollwerte der nächsten liefert, zeigt das Projekt nicht nur Ergebnisse, sondern auch, wie numerische Modelle aufgebaut, verifiziert und an ihren Grenzen bewertet werden. == Auswahl der Stenosegrade == Um die untersuchten Gefäßverengungen nicht willkürlich festzulegen, orientiert sich die Auswahl der Stenosegrade an der klinisch gebräuchlichen NASCET-Klassifikation von Karotisstenosen.<ref name="nascet" /> Zur klinischen Einordnung werden Karotisstenosen anhand der nach NASCET bestimmten Durchmesserreduktion in leichtgradige, mittelgradige und hochgradige Stenosen eingeteilt. Die angegebenen Prozentgrenzen dienen in diesem Projekt als Orientierung für die Auswahl der untersuchten Stenosegrade. Ein vollständiger Gefäßverschluss wird als Okklusion bezeichnet. {| class="wikitable" |+ Klinische Einteilung nach NASCET-gemessener Durchmesserreduktion und untersuchte Stenosegrade ! Schweregrad !! Durchmesserreduktion !! im Projekt gerechnete Stenosegrade !! hervorgehobener Vertreter |- | gesundes Gefäß || 0 % || 0 || 0 |- | leichtgradige Stenose || unter 50 % || 0,1 bis 0,4 || 0,3 |- | mittelgradige Stenose || 50 bis 69 % || 0,5 und 0,6 || 0,6 |- | hochgradige Stenose || 70 bis 99 % || 0,7 und 0,8 || 0,8 |- | Okklusion || 100 % || nicht gerechnet || entfällt |} '''Anmerkung''': Die Klassengrenzen dienen der Einordnung der Modellvarianten. Die in der Tabelle genannten Stenosegrade sind dimensionslose Werte, beispielsweise entspricht '''<math>s=0{,}6</math>''' einer Durchmesserreduktion von '''60 %'''. Für die numerische Untersuchung wird aus jeder Kategorie ein repräsentativer Stenosegrad hervorgehoben. Neben dem gesunden Gefäß mit '''0 %''' Stenose sind das eine '''30 %''' Stenose als Beispiel für eine leichtgradige, eine '''60 %''' Stenose als Beispiel für eine mittelgradige und eine '''80 %''' Stenose als Beispiel für eine hochgradige Verengung. Zusätzlich werden für das Graphenmodell und das achsensymmetrische Flächenmodell Stenosegrade von 0 bis 80 % in Schritten von zehn Prozentpunkten vorgesehen. Dadurch kann die Abhängigkeit der Strömungsgrößen vom Stenosegrad systematisch untersucht und grafisch dargestellt werden. Ob alle Modellvarianten tatsächlich berechnet wurden und wie hoch der Rechenaufwand war, wird anhand der durchgeführten Simulationen dokumentiert. Ein vollständiger Gefäßverschluss wird nicht simuliert, da in diesem Fall keine durchgängige Strömung mehr vorliegt. Der Stenosegrad wird in diesem Projekt wie bei NASCET über die Verringerung des Gefäßdurchmessers beschrieben, <math>s = 1 - \frac{d_{\min}}{d_{\mathrm{ref}}},</math> wobei <math>d_{\min}</math> der kleinste Durchmesser in der Engstelle und <math>d_{\mathrm{ref}}</math> ein Referenzdurchmesser ist. NASCET verwendet als Referenz den Durchmesser des gesunden Gefäßes stromabwärts der Stenose. Für das idealisierte gerade Gefäßmodell wird ein konstanter Referenzdurchmesser von <math>D_0=6\,\mathrm{mm}</math> angenommen. Da das Gefäß außerhalb der Stenose denselben Durchmesser besitzt, gilt in diesem Modell<math>d_{\mathrm{ref}}=D_0</math>. Bei der zusätzlich betrachteten Gefäßaufzweigung muss der Referenzdurchmesser dagegen gesondert festgelegt werden, da die Gefäßäste unterschiedliche Durchmesser besitzen. Wichtig für das Verständnis aller weiteren Ergebnisse ist der Unterschied zwischen Durchmesser- und Flächenreduktion. Da die Querschnittsfläche quadratisch vom Durchmesser abhängt, gilt für die Flächenreduktion <math>1-(1-s)^2</math>. Eine im klinischen Sinn nur mittelgradige Stenose von 60 % verschließt damit bereits 84 % der Querschnittsfläche. {| class="wikitable" |+ Durchmesser- und Flächenreduktion der gerechneten Stenosegrade ! Stenosegrad s !! 0 !! 0,1 !! 0,2 !! 0,3 !! 0,4 !! 0,5 !! 0,6 !! 0,7 !! 0,8 |- | engster Durchmesser in mm || 6,0 || 5,4 || 4,8 || 4,2 || 3,6 || 3,0 || 2,4 || 1,8 || 1,2 |- | Flächenreduktion || 0 % || 19 % || 36 % || 51 % || 64 % || 75 % || 84 % || 91 % || 96 % |} Eine Einschränkungen gehört zur ehrlichen Einordnung: # Mit zunehmendem Stenosegrad, insbesondere bei ausgeprägten Verengungen, können lokale Beschleunigungen, Strömungsablösungen und zeitabhängige Strömungsstrukturen auftreten. Daher muss bei den hochgradigen Stenosen geprüft werden, inwieweit die Annahme einer stationären, laminaren Strömung geeignet ist. Eine feste Grenze bei <math>s=0{,}6</math> lässt sich ohne entsprechende Simulationsergebnisse oder Literaturbelege nicht allgemein festlegen. Die hochgradigen Fälle werden deshalb unter besonderer Berücksichtigung der Modellannahmen diskutiert. Unter Modellierung wird in diesem Projekt die Übertragung der Blutströmung in einer verengten Arterie auf ein mathematisches und numerisch lösbares Strömungsproblem verstanden. Dazu werden die Gefäßgeometrie, die zugrunde liegenden Gleichungen, die physikalischen Materialparameter sowie die Anfangs- und Randbedingungen festgelegt. Jeder dieser Bestandteile beruht auf vereinfachenden Annahmen, die begründet und bei der Interpretation der Ergebnisse berücksichtigt werden müssen. Ziel ist es, den Einfluss unterschiedlicher Stenosegrade auf die Strömungsgeschwindigkeit, den Druckverlust und gegebenenfalls die Wandschubspannung systematisch zu untersuchen. Die Modellierung erfolgt anhand mehrerer Modellvarianten mit unterschiedlicher räumlicher Auflösung. Dadurch können zunächst grundlegende Zusammenhänge analytisch abgeschätzt und anschließend mit numerischen Strömungsberechnungen verglichen werden. Die verwendeten Parameter orientieren sich an den bereitgestellten Referenzdaten und werden in den folgenden Abschnitten erläutert. == Modellierung == Ziel der Modellierung ist es, die Blutströmung innerhalb einer Y-förmigen Aufzweigung der Halsschlagader mathematisch und numerisch zu untersuchen. Im Mittelpunkt steht eine Gefäßverengung (Stenose) in der Arteria carotis interna. Das betrachtete Gefäßmodell besteht aus der Arteria carotis communis, die sich in die Arteria carotis interna und die Arteria carotis externa aufteilt. Die Stenose befindet sich ausschließlich in der Arteria carotis interna. Durch die Verengung verändert sich der verfügbare Strömungsquerschnitt. Dies kann zu einer Erhöhung der lokalen Strömungsgeschwindigkeit, zu zusätzlichen Druckverlusten und zu einer Veränderung der Strömungsverteilung zwischen den beiden Gefäßästen führen. Ziel ist es, den Einfluss unterschiedlicher Stenosegrade auf die Strömungsgeschwindigkeit, die Druckverteilung und die Wandschubspannung zu untersuchen. Zusätzlich soll betrachtet werden, wie sich die Strömung innerhalb der Y-förmigen Gefäßaufzweigung verhält. Die numerische Modellierung erfolgt mit COMSOL Multiphysics. Dazu werden die Gefäßgeometrie, die Materialeigenschaften des Blutes, die Strömungsgleichungen und die Randbedingungen festgelegt. Zur Vereinfachung wird Blut zunächst als inkompressibles, Newtonsches Fluid betrachtet. Die Gefäßwände werden als starr angenommen. Diese Annahmen ermöglichen eine systematische Untersuchung der Stenose, schränken jedoch die Übertragbarkeit auf reale physiologische Bedingungen ein. === Modellhierarchie === Für die Untersuchung der Blutströmung innerhalb der Y-förmigen Karotisaufzweigung werden drei Modellvarianten betrachtet. Diese unterscheiden sich hinsichtlich ihrer räumlichen Dimension, ihrer mathematischen Beschreibung und der Genauigkeit, mit der die Strömungsverhältnisse dargestellt werden können. Das untersuchte Gefäß besteht aus der Arteria carotis communis, die sich in die Arteria carotis interna und die Arteria carotis externa aufteilt. Die Stenose befindet sich ausschließlich in der Arteria carotis interna. Alle drei Modellvarianten werden mit COMSOL Multiphysics umgesetzt. {| class="wikitable" style="width:100%;" |+ '''Die drei Modellvarianten des Projekts''' |- ! Modell ! Raumdimension ! Mathematische Grundlage ! Zweck ! Werkzeug |- | '''Graphenmodell''' | 1D, Gefäßnetzwerk mit einer Verzweigung | Massenerhaltung an der Verzweigung und vereinfachte Beschreibung der Strömungswiderstände | Abschätzung der Volumenstromverteilung und der Druckverluste in den Gefäßästen | COMSOL Multiphysics |- | '''Ebenes Flächenmodell''' | 2D, Y-förmige Gefäßgeometrie in kartesischen Koordinaten | Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen | Untersuchung der Geschwindigkeits- und Druckverteilung sowie der Auswirkungen der Stenose in der Arteria carotis interna | COMSOL Multiphysics, Laminare Strömung |- | '''Volumenmodell''' | 3D, räumliche Y-förmige Gefäßgeometrie | Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen | Räumliche Untersuchung des Geschwindigkeitsfeldes, des Druckverlustes und der Wandschubspannung | COMSOL Multiphysics, Laminare Strömung |} ==== Vergleich und Überprüfung der Modellvarianten ==== Die drei Modellvarianten bauen hinsichtlich ihrer räumlichen Beschreibung aufeinander auf. Das Graphenmodell ermöglicht zunächst eine vereinfachte Betrachtung der Volumenströme und Druckverluste. Die zwei- und dreidimensionalen Modelle erlauben anschließend eine detailliertere Untersuchung der Strömung innerhalb der Gefäßaufzweigung. Das '''Graphenmodell''' beschreibt die Arteria carotis communis sowie die beiden abzweigenden Gefäße als miteinander verbundenes Netzwerk. Dabei wird die Massenerhaltung an der Verzweigung berücksichtigt: :<math>Q_{\mathrm{CCA}}=Q_{\mathrm{ICA}}+Q_{\mathrm{ECA}}</math> Das Modell liefert vereinfachte Abschätzungen der Volumenstromverteilung. Lokale Strömungsablösungen und räumliche Geschwindigkeitsverteilungen können damit nicht detailliert dargestellt werden. Das '''ebene Flächenmodell''' bildet die Y-förmige Gefäßaufzweigung in zwei Raumdimensionen ab. Die Stenose wird innerhalb der Arteria carotis interna berücksichtigt. Dadurch können die Geschwindigkeits- und Druckverteilung sowie mögliche Rückströmungsbereiche untersucht werden. Das '''Volumenmodell''' erweitert die Untersuchung auf drei Raumdimensionen. Es ermöglicht eine räumliche Darstellung der Strömung und eine detailliertere Berechnung der Wandschubspannung. Die Ergebnisse des ebenen Flächenmodells und des Volumenmodells werden miteinander verglichen. Da das ebene Modell die räumliche Querschnittsgeometrie nur vereinfacht darstellt, müssen Unterschiede zwischen den beiden Modellen bei der Interpretation berücksichtigt werden. Ziel der Modellhierarchie ist es, die Aussagekraft der einzelnen Modellvarianten zu bewerten und den Einfluss des Stenosegrades auf die Strömung innerhalb der Y-förmigen Karotisaufzweigung zu untersuchen. === Simulationsgebiet und Geometrie === Das Simulationsgebiet besteht aus einer idealisierten Y-förmigen Aufzweigung der Arteria carotis. Die Arteria carotis communis teilt sich in die Arteria carotis interna und die Arteria carotis externa. Die Stenose befindet sich in der Arteria carotis interna. Die Arteria carotis externa wird ohne zusätzliche Verengung modelliert. Die Geometrie orientiert sich an den bereitgestellten Referenzdaten. Die Gefäßdurchmesser werden innerhalb der jeweiligen unverengten Abschnitte als konstant angenommen. {| class="wikitable" style="width:100%;" |+ '''Geometrische Referenzparameter der Y-förmigen Gefäßaufzweigung''' |- ! Gefäßabschnitt ! Durchmesser ! Länge |- | Arteria carotis communis | 6 mm | 60 mm |- | Arteria carotis interna | 5 mm | 60 mm |- | Arteria carotis externa | 4 mm | 60 mm |- | Stenose in der Arteria carotis interna | Abhängig vom Stenosegrad | 10 bzw. 20 mm |} Die Verengung wird über den Stenosegrad <math>s</math> beschrieben. Dieser gibt die relative Verringerung des Gefäßdurchmessers an: :<math>s=1-\frac{d_{\min}}{D_{\mathrm{ICA}}}</math> Dabei bezeichnet <math>d_{\min}</math> den minimalen Durchmesser innerhalb der Stenose und <math>D_{\mathrm{ICA}}</math> den unverengten Referenzdurchmesser der Arteria carotis interna. Für das Modell gilt: :<math>D_{\mathrm{ICA}}=5\,\mathrm{mm}</math> Der minimale Durchmesser ergibt sich damit zu: :<math>d_{\min}=D_{\mathrm{ICA}}(1-s)</math> {| class="wikitable" |+ '''Minimaler Durchmesser der Stenose in der Arteria carotis interna''' |- ! Stenosegrad ! Minimaler Durchmesser |- | 0 % | 5,0 mm |- | 10 % | 4,5 mm |- | 20 % | 4,0 mm |- | 30 % | 3,5 mm |- | 40 % | 3,0 mm |- | 50 % | 2,5 mm |- | 60 % | 2,0 mm |- | 70 % | 1,5 mm |- | 80 % | 1,0 mm |} Die angegebenen Stenosegrade beziehen sich ausschließlich auf den Durchmesser der Arteria carotis interna. Der Durchmesser der Arteria carotis communis wird nicht zur Berechnung des Stenosegrades verwendet. Die Y-förmige Geometrie ermöglicht es, die Auswirkungen der Verengung sowohl auf die lokale Strömung in der Arteria carotis interna als auch auf die Strömungsverteilung innerhalb der gesamten Gefäßaufzweigung zu untersuchen. Die genaue Form der Stenose, der Verzweigungswinkel und die Übergänge zwischen den Gefäßabschnitten müssen entsprechend der tatsächlich in COMSOL verwendeten Geometrie dokumentiert werden. == Stoff- und Strömungsparameter == Die Stoffwerte des Blutes und der Volumenstrom sind die einzigen Eingangsgrößen, die nicht aus der Geometrie folgen. Aus ihnen werden alle weiteren Strömungskennwerte berechnet. Die folgenden Schritte zeigen jede Rechnung einzeln, damit sich jeder Wert nachprüfen lässt. # Die '''Dichte''' wird mit <math>\rho = 1060\ \mathrm{kg/m^3}</math> angesetzt. Der Wert lässt sich als Mischungsregel plausibel machen. Plasma hat eine Dichte von etwa 1025 kg/m³, rote Blutkörperchen von etwa 1100 kg/m³. Bei einem Zellanteil von 45 % ergibt sich <math>0{,}55 \cdot 1025 + 0{,}45 \cdot 1100 \approx 1059\ \mathrm{kg/m^3}</math>. Die Dichte geht nur über die Reynoldszahl in die Rechnung ein, eine Abweichung von einem Prozent ändert die Ergebnisse daher kaum. <!-- FIXME Lehrbuchquelle fuer Plasma- und Erythrozytendichte ergaenzen --> # Die '''dynamische Viskosität''' wird mit <math>\mu = 3{,}5\ \mathrm{mPa\,s}</math> angesetzt. Das ist der Grenzwert der Blutviskosität bei hohen Scherraten, also genau der Wert, der zur Newtonschen Näherung gehört. Derselbe Wert von 0,035 Poise wird auch im Standardwerk zur Modellierung des Herz-Kreislauf-Systems verwendet.<ref name="quarteroni">Quarteroni, A.; Formaggia, L.: ''Mathematical Modelling and Numerical Simulation of the Cardiovascular System.'' In: Ayache, N. (Hrsg.): ''Computational Models for the Human Body.'' Handbook of Numerical Analysis, Bd. XII, Elsevier, Amsterdam 2004, S. 3-127. DOI 10.1016/S1570-8659(03)12001-7. Zur Newtonschen Näherung in großen Gefäßen siehe S. 30, zur Viskosität von 0,035 Poise die Parametertabelle auf S. 116.</ref> # Der '''mittlere Volumenstrom''' wird mit <math>Q_0 = 6\ \mathrm{ml/s}</math> angesetzt. Das ist der zeitlich gemittelte Volumenstrom, der in der gemeinsamen Halsschlagader gesunder Probanden gemessen wurde. # Die '''mittlere Geschwindigkeit''' folgt aus Volumenstrom und Querschnittsfläche, <math>U_0 = \frac{Q_0}{\pi R_0^2} = \frac{6 \cdot 10^{-6}\ \mathrm{m^3/s}}{\pi \cdot (0{,}003\ \mathrm{m})^2} = 0{,}2122\ \mathrm{m/s}</math>. # Die '''Reynoldszahl''' des gesunden Gefäßes ist <math>Re_0 = \frac{\rho\, U_0\, D_0}{\mu} = \frac{1060 \cdot 0{,}2122 \cdot 0{,}006}{0{,}0035} = 385{,}6</math>. Sie wird im Folgenden auf 386 gerundet. # Die '''Einlauflänge''', die eine anfangs gleichförmige Strömung bis zum voll entwickelten Parabelprofil bräuchte, beträgt nach der gebräuchlichen Abschätzung für laminare Rohrströmungen <math>L_e \approx 0{,}06\, Re_0\, D_0 \approx 0{,}06 \cdot 386 \cdot 6\ \mathrm{mm} \approx 139\ \mathrm{mm}</math>.<ref name="durst">Durst, F.; Ray, S.; Ünsal, B.; Bayoumi, O. A.: ''The development lengths of laminar pipe and channel flows.'' Journal of Fluids Engineering 127 (2005), Nr. 6, S. 1154-1160. Für große Reynoldszahlen nähert sich die dort angegebene Korrelation dem Wert 0,057·Re·D.</ref> Das ist fast die gesamte Länge des Rechengebiets. Ein konstantes Einlassprofil würde die Strömung an der Stenose also verfälschen, weshalb am Einlass das voll entwickelte Profil vorgegeben wird. Damit liegen alle globalen Parameter fest. Die folgende Tabelle enthält sie mit genau den Namen, unter denen sie in COMSOL und in den Octave-Skripten verwendet werden. {| class="wikitable" |+ Globale Parameter des Modells ! Name !! Ausdruck in COMSOL !! Wert !! Bedeutung !! Herkunft |- | R0 || 3[mm] || 3 mm || Gefäßradius || Messwerte nach Krejza u. a. 2006, gerundet |- | D0 || 2*R0 || 6 mm || Gefäßdurchmesser || abgeleitet |- | Ls || 2*D0 || 12 mm || Länge der Störstelle || Standardgeometrie nach Varghese u. a. 2007 |- | Lu || 5*D0 || 30 mm || Vorlaufstrecke vor der Stenosemitte || Abstand der Einlassbedingung von der Stenose |- | Ld || 20*D0 || 120 mm || Nachlaufstrecke hinter der Stenosemitte || Platz für das Rückströmgebiet |- | Lf || Ls/2+10*D0 || 66 mm || Ende des fein vernetzten Nachlaufs || erwartete Länge des Rückströmgebiets |- | s || 0 bis 0.8 || 0 bis 0,8 || Stenosegrad bezogen auf den Durchmesser || NASCET-Einteilung |- | rho_b || 1060[kg/m^3] || 1060 kg/m³ || Dichte des Blutes || Mischungsregel, Literaturwert |- | mu_b || 3.5[mPa*s] || 3,5 mPa·s || dynamische Viskosität des Blutes || Hochscherwert, Quarteroni und Formaggia 2004 |- | Q0 || 6[ml/s] || 6 ml/s || mittlerer Volumenstrom || Messwerte nach Holdsworth u. a. 1999 |- | U0 || Q0/(pi*R0^2) || 0,2122 m/s || mittlere Einströmgeschwindigkeit || abgeleitet |- | Re0 || rho_b*U0*D0/mu_b || 385,6 || Reynoldszahl des gesunden Gefäßes || abgeleitet |- | dp_ref || 8*mu_b*U0*(Lu+Ld)/R0^2 || 99,03 Pa || Poiseuille-Druckabfall des gesunden Gefäßes || abgeleitet, Hagen-Poiseuille |} = Implementierung des 2D-Modells in COMSOL Multiphysics = == Zielsetzung des zweidimensionalen Modells == Im Rahmen des Projekts wurde mit COMSOL Multiphysics ein zweidimensionales Modell der menschlichen Halsschlagader erstellt. Ziel ist es, die Blutströmung innerhalb einer Gefäßverzweigung zu untersuchen und insbesondere die Auswirkungen einer lokalen Gefäßverengung (Stenose) auf das Strömungsverhalten zu analysieren. Das Modell bildet die Aufzweigung der Arteria carotis communis (ACC) in die Arteria carotis interna (ACI) und die Arteria carotis externa (ACE) ab. Während die ACE als gesunder Gefäßabschnitt betrachtet wird, befindet sich in der ACI eine lokale Verengung. Dadurch können die Strömungsverhältnisse in beiden Ästen miteinander verglichen werden. Die zweidimensionale Modellierung dient dazu, die Geschwindigkeitsverteilung, den Druckabfall und die Wandschubspannung zu untersuchen. Zusätzlich soll festgestellt werden, ob sich hinter der Stenose Bereiche mit Strömungsablösungen oder Rückströmungen ausbilden. ==Vorgehen== Für die numerische Untersuchung in COMSOL Multiphysics 6.2 zunächst ein zweidimensionales Modell mit der Physik ''Laminare Strömung'' und einer ''stationären Studie'' angelegt. Die Gefäßgeometrie wurde vollständig parametrisiert, damit Durchmesser, Gefäßlängen, Verzweigungswinkel, Stenosegrad sowie die Stenoselänge veränderbar sind, ohne das Modell jeweils neu zu zeichnen. Das gemeinsame Zuflussgefäß stellt die Arteria carotis communis mit einem Durchmesser von <math>6\,\mathrm{mm}</math> dar. Nach einem geraden Einlaufabschnitt von <math>60\,\mathrm{mm}</math> teilt es sich V-förmig in die beiden Tochtergefäße auf. Die Arteria carotis interna wird mit einem Durchmesser von <math>5\,\mathrm{mm}</math>, die Arteria carotis externa mit <math>4\,\mathrm{mm}</math> modelliert. Beide Tochtergefäße sind jeweils <math>60\,\mathrm{mm}</math> lang. Die Grundgeometrie wurde als zusammenhängender zweidimensionaler Volumenkörper aufgebaut. Die beiden Tochtergefäße verlaufen nach der Bifurkation unter einem Winkel auseinander, sodass eine idealisierte Y-förmige Karotisgabel entsteht. Die Übergänge zwischen dem gemeinsamen Gefäß und den beiden Ästen wurden bewusst vereinfacht, aber ohne abrupte Querschnittssprünge gestaltet. Auf diese Weise bleibt die Geometrie ausreichend einfach für einen systematischen Vergleich verschiedener Modellvarianten, bildet die typische Aufzweigung einer Karotis. Die Stenose befindet sich ausschließlich in der Arteria carotis interna. Um die Verengung nicht durch gerade Polygonsegmente mit scharfen Knicken darzustellen, wurde ihre Kontur mithilfe von zwei parametrischen Kosinuskurven erzeugt. Zur Beschreibung der Stenose wird eine parametrische Kurve mit dem Hilfsparameter <math>t</math> verwendet. Dieser nimmt Werte zwischen <math>-1</math> und <math>1</math> an. Über die Beziehung <math>x(t)=x_\mathrm{st}+\frac{L_\mathrm{st}}{2}t</math> wird der Parameter auf die räumliche Position entlang des Gefäßes übertragen. Für <math>t=-1</math> liegt der Beginn der Stenose bei <math>x_\mathrm{st}-L_\mathrm{st}/2</math>, für <math>t=0</math> befindet sich die Kurve in der Stenosenmitte und für <math>t=1</math> am Ende bei <math>x_\mathrm{st}+L_\mathrm{st}/2</math>. Dadurch kann die Länge der Stenose über den Parameter <math>L_\mathrm{st}</math> verändert werden, ohne ihre Mittelpunktposition <math>x_\mathrm{st}</math> zu verschieben. Die Einengung wächst vom Beginn der Stenose kontinuierlich bis zur Engstelle an und nimmt danach ebenso kontinuierlich wieder ab. Dadurch entstehen glatte Wandübergänge. Die Stärke der Einengung wird über den dimensionslosen Stenosegrad <math>s</math> gesteuert. Für einen unverengten Durchmesser der Arteria carotis interna von <math>D_\mathrm{ACI}=5\,\mathrm{mm}</math> ergibt sich bei einem Stenosegrad von <math>s=0{,}3</math> eine minimale Gefäßweite von <math>3{,}5\,\mathrm{mm}</math>, bei <math>s=0{,}6</math> von <math>2{,}0\,\mathrm{mm}</math> und bei <math>s=0{,}8</math> von <math>1{,}0\,\mathrm{mm}</math>. Die minimale Gefäßweite ergibt sich allgemein aus <math>d_\mathrm{min}=D_\mathrm{ACI}(1-s)</math>. Die beiden parametrischen Kurven wurden mit Hilfslinien zu geschlossenen Flächen ergänzt und anschließend über „Umwandeln in Volumenkörper“ in Flächenobjekte überführt. Mithilfe einer Differenzoperation wurden diese Flächen aus dem Gefäßgebiet ausgeschnitten. Auf diese Weise bleibt die Grundgeometrie des Gefäßes unverändert, während Stenosegrad und Stenosenlänge allein über globale Parameter variiert werden können. Für die Strömung wurde Blut als inkompressibles Newtonsches Fluid mit konstanter Dichte und Viskosität angenähert. Verwendet werden eine Dichte von <math>\rho=1060\,\mathrm{kg/m^3}</math> und eine dynamische Viskosität von <math>\mu=3,5\,\mathrm{mPa s}</math>. Am Einlass wird ein voll entwickeltes Geschwindigkeitsprofil vorgegeben. Aus dem auf der Projektseite angesetzten mittleren Volumenstrom von <math>6\,\mathrm{ml/s}</math> ergibt sich für das <math>6\,\mathrm{mm}</math> breite Zuflussgefäß eine mittlere Geschwindigkeit von rund <math>0{,}21\,\mathrm{m/s}</math>. An beiden Auslässen wird derselbe Referenzdruck vorgegeben, während an sämtlichen Gefäßwänden die Haftbedingung (No Slip) gilt. Nach Fertigstellung der Geometrie wurde ein physikgesteuertes Finite-Elemente-Netz erzeugt und die stationäre Navier-Stokes-Strömung berechnet. Anschließend wurden insbesondere der Geschwindigkeitsbetrag, die Druckverteilung und die Stromlinien ausgewertet. Die Stromlinien dienen dabei nicht nur der Visualisierung der Aufteilung des Blutstroms an der Bifurkation, sondern auch zur Erkennung möglicher Ablöse- und Rückströmungsgebiete hinter der Stenose. Zusätzlich kann die Wandschubspannung entlang der Gefäßwand ausgewertet werden. Die verschiedenen Stenosegrade werden jeweils bei ansonsten identischen Randbedingungen miteinander und mit dem gesunden Referenzfall verglichen. == Ergebnisse der 2D-Strömungssimulation == Die zweidimensionale Strömungssimulation wurde mit COMSOL Multiphysics durchgeführt, um die Auswirkungen einer lokalen Gefäßverengung auf die Blutströmung innerhalb einer idealisierten Karotis-Bifurkation zu untersuchen. Im Mittelpunkt der Auswertung stehen die Geschwindigkeitsverteilung, die Druckverteilung sowie die Wandschubspannung. Ergänzend werden Stromlinien betrachtet, um mögliche Veränderungen des Strömungsverlaufs und das Auftreten von Rückströmungsgebieten hinter der Stenose zu untersuchen. Die Ergebnisse werden hinsichtlich ihrer strömungsmechanischen Bedeutung interpretiert und unter Berücksichtigung der vereinfachenden Modellannahmen bewertet. === Quantitative Auswertung der Strömungsgeschwindigkeit === Zur Untersuchung des Einflusses verschiedener Stenosegrade auf die Strömungsgeschwindigkeit wurde in COMSOL Multiphysics der Geschwindigkeitsbetrag <code>spf.U</code> mithilfe der Funktion ''Oberflächenmaximum'' ausgewertet. Dabei wurden Stenosegrade von 0 %, 30 %, 60 %, 80 % und 100 % betrachtet. Die Berechnungen erfolgten zunächst mit einer Druckrandbedingung von <math>p_0 = 0\,\mathrm{Pa}</math> und anschließend mit einer Resistenzrandbedingung bei <math>k_R = 1</math>. ==== Druckrandbedingung ==== Bei der Druckrandbedingung wurde die maximale Geschwindigkeit über das gesamte Strömungsgebiet bestimmt. {| class="wikitable" ! Stenosegrad ! Maximale Geschwindigkeit [m/s] |- | 0 % || 0,28385 |- | 30 % || 0,27091 |- | 60 % || 0,35036 |- | 80 % || 0,38530 |- | 100 % || 0,46125 |} Die Ergebnisse zeigen zunächst eine leichte Abnahme der maximalen Geschwindigkeit bei 30 % Stenose. Ab 60 % steigt diese mit zunehmender Verengung an. Dies ist mit einer lokalen Beschleunigung der Strömung infolge des verringerten Strömungsquerschnitts vereinbar. Bei 100 % Stenose beträgt das globale Geschwindigkeitsmaximum 0,46125 m/s. Da die Arteria carotis interna (ACI) vollständig verschlossen ist, beschreibt dieser Wert nicht die Strömung durch den Verschluss, sondern kann aus einem anderen, weiterhin durchströmten Gefäßbereich stammen. ==== Graphische Auswertungen in Comsol ==== [[Datei:0%, Geschwindigkeit, p0=0.png|mini|zentriert|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 0 % Stenose und einer Druckrandbedingung von p₀ = 0 Pa.]] <div style="display:flex; justify-content:center; gap:15px;"> <div> [[Datei:0,3%, Geschwindigkeit, p0=0.png|mini|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 30 % Stenose und einer Druckrandbedingung von p₀ = 0 Pa.]] </div> <div> [[Datei:0,3%, Geschwindigkeit, p0=0, Nah Stenose.png|mini|300px|Vergrößerte Geschwindigkeitsverteilung im Bereich der 30%igen Stenose bei p₀ = 0 Pa.]] </div> </div> <div style="display:flex; justify-content:center; gap:15px;"> <div> [[Datei:0,6%, Geschwindigkeit, p0=0.png|mini|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 60 % Stenose und einer Druckrandbedingung von p₀ = 0 Pa.]] </div> <div> [[Datei:0,6%, Geschwindigkeit, p0=0, Nah Stenose.png|mini|300px|Vergrößerte Geschwindigkeitsverteilung im Bereich der 60%igen Stenose bei p₀ = 0 Pa.]] </div> </div> <div style="display:flex; justify-content:center; gap:15px;"> <div> [[Datei:0,8%, Geschwindigkeit, p0=0.png|mini|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 80 % Stenose und einer Druckrandbedingung von p₀ = 0 Pa.]] </div> <div> [[Datei:0,8%, Geschwindigkeit, p0=0, Nah Stenose.png|mini|300px|Vergrößerte Geschwindigkeitsverteilung im Bereich der 80%igen Stenose bei p₀ = 0 Pa.]] </div> </div> <div style="display:flex; justify-content:center; gap:15px;"> <div> [[Datei:100%, Geschwindigkeit, p0=0.png|mini|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 100 % Stenose und einer Druckrandbedingung von p₀ = 0 Pa.]] </div> <div> [[Datei:100%, Geschwindigkeit, p0=0, Nah Stenose.png|mini|300px|Vergrößerte Darstellung des vollständig verschlossenen Bereichs der ACI bei 100 % Stenose und p₀ = 0 Pa.]] </div> </div> Die Farbskala zeigt den Betrag der Strömungsgeschwindigkeit in m/s. Blaue Bereiche kennzeichnen niedrige, grüne und gelbe mittlere sowie rote Bereiche hohe Geschwindigkeiten. Im unverengten Gefäß ist die Geschwindigkeit in der Gefäßmitte am höchsten und nimmt zu den Gefäßwänden hin ab. Mit zunehmendem Stenosegrad verändert sich die Geschwindigkeitsverteilung deutlich. Im Bereich der Engstelle wird die Strömung lokal beschleunigt, während hinter der Verengung Bereiche niedriger Geschwindigkeit auftreten können. Bei 100 % Stenose ist die ACI vollständig verschlossen, sodass die Strömung nur noch über den offenen Gefäßast abfließen kann. === Resistenzrandbedingung und Vergleich === Anschließend wurde die Strömung unter Verwendung einer Resistenzrandbedingung mit konstantem Parameter <math>k_R = 1</math> untersucht. Bei zunehmender Verengung traten Konvergenzprobleme auf. Ab ungefähr 73 % Stenose konnte keine konvergierende stationäre Lösung mehr bestimmt werden. Daher wurden für die hochgradigen Stenosen ergänzend zeitabhängige Simulationen durchgeführt. {| class="wikitable" ! Stenosegrad ! Druckrandbedingung <math>p_0 = 0\,\mathrm{Pa}</math> [m/s] ! Resistenzrandbedingung <math>k_R = 1</math> [m/s] |- | 0 % || 0,28385 || 0,32426 |- | 30 % || 0,27081 || 0,32219 |- | 60 % || 0,35036 || 0,53188 |- | 80 % || 0,3858 || 1,0674 |- | 100 % || 0,46125 || <math>\approx 0</math> * |} <small>* Bei 100 % Stenose wurde für die Resistenzrandbedingung ausschließlich das Gebiet hinter dem vollständigen Verschluss ausgewertet. Die maximale Geschwindigkeit beträgt dort <math>v_{\max} = 2{,}1416 \cdot 10^{-21}\,\mathrm{m/s} \approx 0\,\mathrm{m/s}</math>.</small> Der Vergleich zeigt, dass die maximale Geschwindigkeit bei der Resistenzrandbedingung insbesondere bei höheren Stenosegraden deutlich stärker ansteigt. Bei 80 % Stenose wird mit 1,0674 m/s ein wesentlich höherer Wert erreicht als bei der Druckrandbedingung mit 0,3858 m/s. Dies verdeutlicht den Einfluss der Auslassrandbedingungen auf die Strömungsverteilung innerhalb der Gefäßverzweigung. Bei vollständigem Gefäßverschluss ist ein direkter Vergleich der beiden Werte nicht möglich, da unterschiedliche Strömungsgebiete ausgewertet wurden. Während bei der Druckrandbedingung das globale Maximum betrachtet wurde, beschreibt der Wert der Resistenzrandbedingung die praktisch zum Stillstand gekommene Strömung hinter der Stenose. Insgesamt zeigen die Ergebnisse, dass sowohl der Stenosegrad als auch die gewählten Randbedingungen einen wesentlichen Einfluss auf die maximale Strömungsgeschwindigkeit besitzen. Die Konvergenzprobleme bei hochgradigen Stenosen verdeutlichen zudem die Notwendigkeit einer ergänzenden zeitabhängigen Untersuchung. ==== Graphische Auswertungen in Comsol ==== [[Datei:0%, Geschwindigkeit, Resbed..png|mini|zentriert|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 0 % Stenose mit Resistenzrandbedingung (k_R = 1).]] <div style="display:flex; justify-content:center; gap:15px;"> <div> [[Datei:0,3%, Geschwindigkeit, Resbed..png|mini|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 30 % Stenose mit Resistenzrandbedingung (k_R = 1).]] </div> <div> [[Datei:0,3%, Geschwindigkeit, Resbed., Nah Stenose.png|mini|300px|Vergrößerte Geschwindigkeitsverteilung im Bereich der 30%igen Stenose mit Resistenzrandbedingung (k_R = 1).]] </div> </div> <div style="display:flex; justify-content:center; gap:15px;"> <div> [[Datei:0,6%, Geschwindigkeit, Resbed..png|mini|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 60 % Stenose mit Resistenzrandbedingung (k_R = 1).]] </div> <div> [[Datei:0,6%, Geschwindigkeit, Resbed., Nah Stenose.png|mini|300px|Vergrößerte Geschwindigkeitsverteilung im Bereich der 60%igen Stenose mit Resistenzrandbedingung (k_R = 1).]] </div> </div> <div style="display:flex; justify-content:center; gap:15px;"> <div> [[Datei:0,8%, Geschwindigkeit, Resbed., zeitabh., Zeit 1 s.png|mini|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 80 % Stenose mit Resistenzrandbedingung (k_R = 1) zum Zeitpunkt t = 1 s.]] </div> <div> [[Datei:0,8%, Geschwindigkeit, Resbed., zeitabh., Zeit 1 s, Nah Stenose.png|mini|300px|Vergrößerte Geschwindigkeitsverteilung im Bereich der 80%igen Stenose mit Resistenzrandbedingung (k_R = 1) zum Zeitpunkt t = 1 s.]] </div> </div> <div style="display:flex; justify-content:center; gap:15px;"> <div> [[Datei:1%, Geschwindigkeit, Resbed., zeitabh., Zeit 1 s,.png|mini|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 100 % Stenose mit Resistenzrandbedingung (k_R = 1) zum Zeitpunkt t = 1 s.]] </div> <div> [[Datei:1%, Geschwindigkeit, Resbed., zeitabh., Zeit 1 s, nah Stenose.png|mini|300px|Vergrößerte Darstellung des vollständig verschlossenen ACI-Bereichs bei 100 % Stenose mit Resistenzrandbedingung (k_R = 1) zum Zeitpunkt t = 1 s.]] </div> </div> === Druckverteilung und Druckabfall === Die Druckverteilung wurde anhand der berechneten Isobaren innerhalb der zweidimensionalen Karotis-Bifurkation untersucht. Dabei zeigt sich eine Abnahme des statischen Drucks vom gemeinsamen Zuflussgefäß in Richtung der beiden Gefäßausgänge. Der maximale berechnete Druck beträgt etwa '''74,2 Pa''', während der minimale Druck bei etwa '''−19,9 Pa''' liegt. Daraus ergibt sich eine globale Druckspanne von ungefähr '''94,1 Pa'''. Besonders auffällig ist die Druckverteilung im Bereich der Stenose der Arteria carotis interna (ACI). Dort liegen die Isobaren deutlich enger beieinander, was auf einen ausgeprägten lokalen Druckgradienten hinweist. Stromabwärts der Engstelle treten zudem Bereiche mit niedrigem statischem Druck auf. '''Interpretation''': Die Ergebnisse zeigen, dass die Stenose die lokale Druckverteilung im ACI-Ast deutlich beeinflusst. Die Beschleunigung der Strömung innerhalb der Verengung geht mit einer Abnahme des statischen Drucks einher. Die globale Druckspanne von 94,1 Pa darf jedoch nicht mit dem irreversiblen Druckverlust über der Stenose gleichgesetzt werden. Die globale Druckspanne von 94,1 Pa ist nicht mit dem Druckabfall über der Stenose gleichzusetzen. Zur genaueren Untersuchung wurden deshalb zwei Messquerschnitte vor und hinter der Engstelle ausgewertet. Zwischen diesen ergibt sich eine mittlere statische Druckdifferenz von 36,24 Pa. <div style="text-align:center;"> [[Datei:Druckverteilung_2D.png|800px|zentriert|Druckverteilung der stationären 2D-Strömungssimulation einer idealisierten Karotis-Bifurkation mit 80 % Stenose in der Arteria carotis interna (ACI). Die Isobaren zeigen den Druckverlauf innerhalb der Gefäßgeometrie. Besonders im Bereich der Stenose ist ein ausgeprägter lokaler Druckgradient erkennbar. Der berechnete Druck liegt zwischen −19,9 Pa und 74,2 Pa.]] <small>'''Abbildung 3:''' Druckverteilung der stationären 2D-Strömungssimulation einer idealisierten Karotis-Bifurkation mit 80 % Stenose in der Arteria carotis interna (ACI). Die Isobaren zeigen den Druckverlauf innerhalb der Gefäßgeometrie. Besonders im Bereich der Stenose ist ein ausgeprägter lokaler Druckgradient erkennbar. Der berechnete Druck liegt zwischen −19,9 Pa und 74,2 Pa.</small> </div> ==== Quantitative Bestimmung der Druckdifferenz ==== Zur quantitativen Untersuchung des Druckabfalls wurden zwei Messquerschnitte im ACI-Ast definiert, einer vor und einer hinter der Stenose. Mithilfe der COMSOL-Funktion „Linienmittelwert“ wurde der mittlere statische Druck an beiden Positionen bestimmt. Vor der Stenose beträgt der mittlere Druck '''35,232 Pa''', während hinter der Stenose ein Wert von '''−1,0042 Pa''' ermittelt wurde. Daraus ergibt sich eine Druckdifferenz von '''36,24 Pa'''. Die Ergebnisse zeigen eine deutliche Abnahme des statischen Drucks zwischen den beiden Messquerschnitten. Diese Druckdifferenz verdeutlicht die Druckänderung entlang des stenotischen ACI-Astes. Sie ist jedoch nicht mit dem ausschließlich durch die Stenose verursachten irreversiblen Druckverlust gleichzusetzen, da auch die Strömungsentwicklung in den angrenzenden Gefäßabschnitten berücksichtigt wird. {| class="wikitable" style="text-align:center;" ! Stenosegrad ! <math>\bar p_\mathrm{vor}</math> [Pa] ! <math>\bar p_\mathrm{nach}</math> [Pa] ! <math>\Delta p</math> [Pa] |- | 0 % | 11,631 | 4,2461 | 7,3849 |- | 30 % | 16,919 | 2,9220 | 13,997 |- | 60 % | 35,835 | -0,58267 | 36,41767 |- | 80 % | 70,562 | -0,55906 | 71,12106 |} === Ausblick: Wandschubspannung im Vergleich === Zur Untersuchung der mechanischen Belastung der Gefäßwände wurde die Wandschubspannung (Wall Shear Stress, WSS) im zweidimensionalen Strömungsmodell ausgewertet. Sie beschreibt die tangentiale viskose Spannung, die durch die Strömung an der Gefäßwand entsteht. Die quantitative Auswertung erfolgte für die obere und untere Wand des stenotischen ACI-Abschnitts. Hierfür wurden die entsprechenden Wandkanten in COMSOL ausgewählt und der Betrag der Wandschubspannung bestimmt. Die Abbildung zeigt die Verteilung der Wandschubspannung (Wall Shear Stress, WSS) an den Gefäßwänden im Bereich der 80-%-Stenose der ACI. Die Auswertung erfolgte einmal mit und einmal ohne Resistenzrandbedingung. Für <math>p_0 = 0\,\mathrm{Pa}</math>: * Die Farbskala verdeutlicht die unterschiedlich starke Belastung der Gefäßwand durch die Blutströmung. '''Blaue Bereiche''' kennzeichnen geringe Wandschubspannungen von etwa 1 bis 2 Pa, während '''grüne und gelbe Bereiche''' mittlere Werte anzeigen. Im '''orange-roten Bereich''' nahe der stärksten Verengung steigt die Wandschubspannung deutlich an. Das mithilfe des Linienmaximums ermittelte Maximum beträgt '''6,0400 Pa'''. * Die erhöhten Werte im Bereich der Stenose lassen sich durch die starke Verengung des Gefäßquerschnitts erklären. Dadurch entstehen größere Geschwindigkeitsänderungen in Wandnähe, die zu einer erhöhten Wandschubspannung führen können. Die Abbildung zeigt somit, dass die mechanische Belastung der Gefäßwand innerhalb des untersuchten Stenosebereichs nicht gleichmäßig verteilt ist, sondern lokal deutlich zunimmt. [[Datei:WSS P0=0.png|300px|mini|zentriert|Verteilung der Wandschubspannung (WSS) im Bereich der 80-%-Stenose der Arteria carotis interna bei der Druckrandbedingung <math>p_0 = 0\,\mathrm{Pa}</math>.]] Mit Resistenzrandbedingung: * Die Abbildung zeigt die Verteilung der Wandschubspannung (Wall Shear Stress, WSS) an den Gefäßwänden im Bereich der 80-%-Stenose der Arteria carotis interna (ACI). Im Gegensatz zur vorherigen Untersuchung mit der Druckrandbedingung <math>p_0 = 0\,\mathrm{Pa}</math> wurde hier die Resistenzrandbedingung <math>k_R = 1</math> verwendet. * Da für diesen Fall keine stationäre Lösung erzielt werden konnte, erfolgte die Berechnung zeitabhängig. Die dargestellten Ergebnisse beziehen sich auf den Zeitpunkt <math>t = 1\,\mathrm{s}</math>. * Die Wandschubspannung ist innerhalb des Stenosebereichs unterschiedlich stark ausgeprägt. Bereiche mit niedrigen Werten kennzeichnen eine geringere tangentiale Belastung der Gefäßwand, während Bereiche mit höheren Werten auf eine stärkere Belastung hinweisen. * Das mithilfe des Linienmaximums ermittelte Maximum auf den ausgewählten Stenosewänden beträgt: <math>19{,}856\,\mathrm{Pa}</math>. * Die erhöhten Wandschubspannungen lassen sich durch die starke Verengung des Gefäßquerschnitts und die damit verbundenen Geschwindigkeitsänderungen in Wandnähe erklären. * Im Vergleich zur stationären Berechnung mit <math>p_0 = 0\,\mathrm{Pa}</math>, bei der eine maximale Wandschubspannung von <math>6{,}0400\,\mathrm{Pa}</math> ermittelt wurde, fällt der Maximalwert bei der Resistenzrandbedingung deutlich höher aus. * Dabei ist zu beachten, dass es sich bei <math>19{,}856\,\mathrm{Pa}</math> um einen Momentanwert bei <math>t = 1\,\mathrm{s}</math> handelt und nicht um einen stationären Wert. Die beiden Ergebnisse sind daher nur eingeschränkt direkt vergleichbar. * Die Farbverteilung zeigt, dass die Wandschubspannung im Bereich der Stenose von niedrigen Werten (Blau) zu höheren Werten (Grün, Gelb und Rot) ansteigt und insbesondere an der engsten Stelle der Gefäßverengung erhöht ist. [[Datei:WSS Resistenzrandbedingung.png|300px|mini|zentriert|Verteilung der Wandschubspannung (WSS) im Bereich der 80-%-Stenose der Arteria carotis interna bei der Resistenzrandbedingung <math>k_R = 1</math> zum Zeitpunkt <math>t = 1\,\mathrm{s}</math> (zeitabhängige Simulation).]] === Zusammenfassende Bewertung der 2D-Ergebnisse AKTUELLE DATEN NOCH REIN === Die stationäre zweidimensionale Strömungssimulation mit einem Stenosegrad von 80 % zeigt deutliche Veränderungen der Strömungsgrößen innerhalb der idealisierten Karotis-Bifurkation. Die maximale Geschwindigkeit beträgt 0,31853 m/s. Zwischen den ausgewählten Messquerschnitten vor und hinter der ACI-Stenose ergibt sich eine mittlere statische Druckdifferenz von 36,24 Pa. Die maximale Wandschubspannung auf den ausgewerteten Stenosewänden beträgt 3,2282 Pa. Die Untersuchung der Geschwindigkeitskomponenten liefert Hinweise auf lokale Strömungsanteile entgegen der Hauptströmungsrichtung. Ein eindeutig abgegrenztes Rezirkulationsgebiet konnte anhand der vorliegenden Darstellungen jedoch nicht sicher nachgewiesen werden. Die Ergebnisse beschreiben zunächst den untersuchten Fall einer hochgradigen Stenose. Aus diesem einzelnen Fall lässt sich weder eine allgemeine Abhängigkeit der Strömungsgrößen vom Stenosegrad noch ein kritischer Stenosegrad für den Beginn der Strömungsablösung bestimmen. Dafür wäre eine vergleichende Auswertung weiterer Stenosegrade erforderlich. == Resistenzrandbedingung am Auslass (2D-Modell) == === Motivation === Im ursprünglichen 2D-Modell wurde an beiden Auslässen eine Nulldruckbedingung <math>p = 0</math> gesetzt. Physikalisch bedeutet das, dass beide Äste in ein „offenes Becken“ mit gleichem, festem Druck münden. Der Auslassdruck hängt dabei nicht davon ab, wie viel Blut ankommt. Diese Annahme hat zwei Schwächen: * Die Flussaufteilung zwischen ACI und ACE ergibt sich nur aus den kleinen Strömungswiderständen der modellierten Gefäßabschnitte. Wird die ACI durch die Stenose verengt, weicht das Blut nahezu ungehindert in die ACE aus. Im Körper ist das nicht möglich, weil hinter der ACI das Gefäßbett des Gehirns mit einem eigenen, großen Widerstand liegt. * Das Druckniveau (Auslass bei 0 Pa) ist nicht physiologisch. Im 3D-Modell wurde deshalb an beiden Auslässen eine '''Resistenzrandbedingung''' verwendet. Damit 2D- und 3D-Modell vergleichbar sind, haben wir dieselbe Randbedingung auch im 2D-Modell eingebaut. === Formel und Herleitung === Das gesamte nachgeschaltete Gefäßbett hinter jedem Auslass wird durch einen einzigen peripheren Widerstand <math>R_p</math> ersetzt: :<math>p_{\text{aus}} = k_R \cdot R_p \cdot Q</math> Dabei ist <math>Q</math> der Volumenstrom durch den Auslass und <math>k_R</math> ein Schalter (<math>k_R = 1</math>: Widerstand, <math>k_R = 0</math>: ursprüngliche Bedingung <math>p = 0</math>). '''1. Gesunde Flussaufteilung nach dem Murray-Gesetz''' Der Volumenstrom eines Gefäßes ist nach Murray proportional zur dritten Potenz des Durchmessers. Für den Anteil der ACI am Gesamtfluss gilt damit: :<math>\varphi_0 = \frac{D_I^3}{D_I^3 + D_E^3} = \frac{(5\,\text{mm})^3}{(5\,\text{mm})^3 + (4\,\text{mm})^3} \approx 0{,}661</math> Mit dem mittleren Volumenstrom der A. carotis communis <math>Q_0 = 6\,\text{ml/s}</math> (Holdsworth u. a. 1999) folgt: :<math>Q_{I,0} = \varphi_0 \cdot Q_0 \approx 3{,}97\,\text{ml/s}, \qquad Q_{E,0} = (1-\varphi_0) \cdot Q_0 \approx 2{,}03\,\text{ml/s}</math> '''2. Bestimmung der peripheren Widerstände''' Die Widerstände werden so gewählt, dass im gesunden Zustand an beiden Auslässen der treibende Druck des peripheren Gefäßbetts <math>p_D = 90\,\text{mmHg} \approx 12\,000\,\text{Pa}</math> anliegt: :<math>R_{pI} = \frac{p_D}{Q_{I,0}} \approx 3{,}0 \cdot 10^{9}\,\frac{\text{Pa}\cdot\text{s}}{\text{m}^3}, \qquad R_{pE} = \frac{p_D}{Q_{E,0}} \approx 5{,}9 \cdot 10^{9}\,\frac{\text{Pa}\cdot\text{s}}{\text{m}^3}</math> Die Randbedingungen an den beiden Auslässen lauten damit: :<math>p_{\text{aus},I} = k_R \cdot R_{pI} \cdot Q_I, \qquad p_{\text{aus},E} = k_R \cdot R_{pE} \cdot Q_E</math> '''3. Umrechnung des Flusses im 2D-Modell''' Im 2D-Modell liefert das Integral der Normalgeschwindigkeit über den Auslassrand keinen Volumenstrom in m³/s, sondern einen Fluss pro Tiefe <math>q</math> in m²/s. Damit die Widerstände aus dem 3D-Modell verwendet werden können, wird <math>q</math> mit einer einheitlichen Ersatztiefe <math>b</math> in einen Volumenstrom umgerechnet: :<math>Q = q \cdot b, \qquad b = \frac{\pi \, D_{CC}}{4}</math> Die Ersatztiefe ist so gewählt, dass am Einlass mit der mittleren Einströmgeschwindigkeit <math>\bar{u}_{ein} = Q_0 / (\pi D_{CC}^2/4) \approx 0{,}21\,\text{m/s}</math> genau der Volumenstrom des 3D-Modells von 6 ml/s ankommt. Weil dieselbe Ersatztiefe für alle Ränder gilt, bleibt die Massenbilanz erhalten. === Ergebnisse mit Resistenzrandbedingung === {| class="wikitable" style="text-align:center" |+ Maximale Geschwindigkeit ! Stenosegrad S !! <math>u_{max}</math> [m/s] |- | 0 || 0,324^* |- | 0,3 || 0,323^* |- | 0,6 || 0,529 |- | 0,8 || 1,067 |} ^* Bei S = 0 und S = 0,3 liegt das Geschwindigkeitsmaximum nicht in der Stenose, sondern in der A. carotis communis. {| class="wikitable" style="text-align:center" |+ Druck vor und nach der Stenose ! Stenosegrad S !! <math>p_{vor}</math> [Pa] !! <math>p_{nach}</math> [Pa] !! Druckverlust <math>\Delta p = p_{vor} - p_{nach}</math> [Pa] !! <math>\Delta p</math> [mmHg] |- | 0 || 11 802 || 11 793 || 9 || 0,07 |- | 0,3 || 11 808 || 11 790 || 18 || 0,14 |- | 0,6 || 11 838 || 11 760 || 78 || 0,59 |- | 0,8 || 12 024 || 11 626 || 398 || 2,99 |} === Auswertung === * '''Druckniveau:''' Mit der Resistenzrandbedingung liegt der Druck bei etwa 11 800 Pa ≈ 88,5 mmHg. Das entspricht dem mittleren arteriellen Druck in der Carotis. Mit <math>p = 0</math> lagen die Drücke nur bei wenigen Pa bis einigen 100 Pa. * '''Flussaufteilung:''' Die peripheren Widerstände sind wesentlich größer als der Widerstand der Stenose. Deshalb bestimmen sie die Flussaufteilung, und die ACI behält auch bei 80 % Stenose nahezu ihren Anteil (Abnahme von <math>Q_I</math> nur um etwa 1 %). Im Gegensatz zu <math>p = 0</math> kann das Blut nicht einfach in die ACE ausweichen. Das entspricht dem physiologischen Verhalten bei nicht kritischen Stenosen. * '''Geschwindigkeit:''' Weil mehr Blut durch die Engstelle strömen muss, steigen die Geschwindigkeiten in der Stenose gegenüber <math>p = 0</math>. Von S = 0,6 auf S = 0,8 verdoppelt sich <math>u_{max}</math> etwa. * '''Druckverlust:''' Der Druckverlust steigt stark nichtlinear mit dem Stenosegrad. Von S = 0,6 auf S = 0,8 nimmt er etwa um den Faktor 5 zu. * '''Druckrückgewinnung:''' Bei S = 0,8 liegt <math>p_{nach}</math> mit 11 626 Pa sogar unter dem Auslassdruck (≈ 11 680 Pa). Direkt hinter der Engstelle ist die Geschwindigkeit des Strahls noch hoch und der statische Druck entsprechend niedrig. Stromabwärts verlangsamt sich die Strömung, und ein Teil des Drucks wird zurückgewonnen. Der bleibende Druckverlust ist daher etwas kleiner als 398 Pa. === Grenzen und Vergleich mit dem 3D-Modell === * Im 2D-Modell verringert eine Stenose von 80 % nur die '''Spaltbreite''' auf 20 %. Im 3D-Modell sinkt die '''Querschnittsfläche''' dagegen auf <math>0{,}2^2 = 4\,\%</math>. Das 2D-Modell unterschätzt deshalb Geschwindigkeit und Druckverlust in der Stenose systematisch. Klinisch gelten bei Stenosen ab 70 % systolische Spitzengeschwindigkeiten über 2,3 m/s; ab einem Druckgradienten von etwa 10–20 mmHg gilt eine Stenose als hämodynamisch relevant. Beide Grenzen erreicht das 2D-Modell nicht. * Die Umrechnung über die Ersatztiefe <math>\pi D_{CC}/4</math> ist eine Modellannahme. * Der periphere Widerstand ist konstant. Die Autoregulation des Gehirns und die Gefäßelastizität (Windkessel) werden nicht berücksichtigt, und die Rechnung ist stationär (keine Pulsatilität). == Beantwortung der Forschungsfragen == '''Welche Strömungsgrößen reagieren empfindlich auf den Stenosegrad?''' Die Untersuchung der 80-%-Stenose zeigt deutliche Veränderungen der Geschwindigkeitsverteilung, des statischen Drucks und der Wandschubspannung. Die maximale Strömungsgeschwindigkeit beträgt 0,31853 m/s. Zwischen den ausgewählten Messquerschnitten vor und hinter der Stenose ergibt sich eine mittlere statische Druckdifferenz von 36,24 Pa. Die maximale Wandschubspannung auf den untersuchten Stenosewänden beträgt 3,2282 Pa.Da bisher nur die 80-%-Stenose quantitativ ausgewertet wurde, lässt sich noch nicht feststellen, welche dieser Größen bei zunehmendem Stenosegrad am stärksten reagiert. '''Ab welchem Stenosegrad tritt eine Strömungsablösung auf?''' Bei der untersuchten 80-%-Stenose zeigen die Geschwindigkeitskomponenten und die vorzeichenbehaftete Wandschubspannung Hinweise auf Veränderungen der wandnahen Strömungsrichtung hinter der Engstelle. Ein eindeutig geschlossenes Rezirkulationsgebiet konnte jedoch nicht nachgewiesen werden. Ein kritischer Stenosegrad für den Beginn einer Strömungsablösung lässt sich aus dieser einzelnen Simulation daher nicht bestimmen. Hierfür müssten weitere Stenosegrade unter vergleichbaren Bedingungen ausgewertet werden. '''Inwieweit sind die Annahmen einer stationären und laminaren Strömung geeignet?''' Die stationäre, laminare Modellierung ermöglicht es, grundlegende Auswirkungen einer Gefäßverengung auf die Strömung in einer idealisierten Karotis-Bifurkation zu untersuchen. Bei hochgradigen Stenosen können allerdings zeitabhängige und dreidimensionale Strömungsstrukturen auftreten. Diese werden durch das vorliegende stationäre 2D-Modell nicht vollständig erfasst. Die Simulationsergebnisse sind deshalb auf die gewählten Modellannahmen und Randbedingungen beschränkt. '''Zusammenfassend''' liefert die 2D-Simulation eine erste quantitative Beschreibung der Strömungsverhältnisse bei einer hochgradigen ACI-Stenose. Für allgemeine Aussagen über die Abhängigkeit vom Stenosegrad und den Beginn einer Strömungsablösung sind zusätzliche Vergleichsrechnungen erforderlich. = Grenzen des Modells = * Die untersuchte Gefäßgeometrie ist eine idealisierte Darstellung der Karotisaufzweigung. Individuelle anatomische Unterschiede werden nicht berücksichtigt. * Darüber hinaus werden die Gefäßwände als starr angenommen und Blut wird durch ein inkompressibles Newtonsches Fluid mit konstanter Viskosität beschrieben. * Die Strömung wird stationär berechnet. Die natürliche Pulsation des Blutflusses und zeitabhängige Effekte bleiben damit unberücksichtigt. * Insbesondere bei hochgradigen Stenosen können zeitabhängige Strömungsablösungen auftreten, die durch eine stationäre Modellierung nicht vollständig beschrieben werden. * Das Graphenmodell kann lokale Strömungsphänomene nicht detailliert erfassen. Das ebene Flächenmodell vereinfacht die räumliche Gefäßgeometrie. Auch das dreidimensionale Modell bleibt aufgrund der idealisierten Geometrie und der vereinfachten Materialannahmen eine Annäherung an die reale Blutströmung. * Die Ergebnisse sind daher als strömungsmechanische Untersuchung eines idealisierten Modells zu interpretieren und nicht als patientenspezifische medizinische Vorhersage. = Literaturverzeichnis = Alle Quellen sind an den Stellen im Text angegeben, an denen die zugehörigen Werte oder Aussagen verwendet werden. Die Liste wird aus diesen Angaben automatisch erzeugt. <references /> 1haxjbtji2eq4yp2ax6etsmxvyrq0c3 1119418 1119417 2026-11-11T18:10:47Z Nicole.pander 39567 /* Medizinische Relevanz */ 1119418 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Joey Becker * Marie-Thérèse Heitele * Nicole Pander = Thema = Gegenstand dieses Projekts ist die numerische Simulation der Blutströmung in einer verzweigten Halsschlagader ('''Carotis-Bifurkation''') unter dem Einfluss einer lokalen Gefäßverengung ('''Stenose'''). Im Vergleich zu einer einfachen Rohrströmungen wird hier die realitätsnahe Gefäßanatomie betrachtet: Die '''Arteria carotis communis (ACC)''' teilt sich in die '''Arteria carotis externa (ACE)''' und die '''Arteria carotis interna (ACI)''' auf. Während die '''ACE''' als gesunder, stenosefreier Ast dient, wird in der '''ACI''' eine Gefäßverengung modelliert. Hierbei werden unterschiedliche Stenosegrade betrachtet. Als Referenz dient ein gesundes, unverengtes Gefäß, in dem sich die Poiseuille-Strömung mit ihrem charakteristischen parabolischen Geschwindigkeitsprofil ausbildet. Diese Strömung ist aus zwei Gründen der natürliche Ausgangspunkt. Sie beschreibt den physiologischen Normalfall, mit dem jeder Stenosegrad verglichen wird. == Fragestellung == Die Hauptfragestellung dieses Projektes lautet: Wie verändert eine Stenose in der '''Arteria carotis interna (ACI)''' die Strömung des Blutes hinsichtlich Strömungsgeschwindigkeit und des Druckabfalls über die Engstelle im Vergleich zum gesunden Gefäßabschnitt? Aus dieser Fragestellung ergeben sich drei Teilfragen, an denen sich der Aufbau der Seite orientiert: # Wie stark steigt die maximale Strömungsgeschwindigkeit in der Stenose mit zunehmendem Stenosegrad an? # Wie groß ist die Druckdifferenz vor und nach der Stenose bei den untersuchten Stenosegraden und ab welchem Stenosegrad nimmt sie deutlich zu? # Wie stark hängen Geschwindigkeitsmaximum und Druckdifferenz von der gewählten Auslassrandbedingung ab? = Relevanz = Die Untersuchung von Gefäßverengungen besitzt sowohl eine medizinische als auch eine methodische Bedeutung. Aus medizinischer Sicht sind arterielle Stenosen – etwa in der Halsschlagader – kritisch, da sie die Durchblutung beeinträchtigen und durch veränderte Wandschubspannungen sowie die Bildung von Wirbeln weitere Gefäßablagerungen begünstigen. Stenosen im Bereich der Karotisgabelung sind klinisch hochrelevant, da sie das Gehirn direkt versorgen und das Risiko für embolische Schlaganfälle erhöhen. Fachlich überträgt das Projekt damit die Prinzipien der Strömungsmechanik direkt auf eine biomedizinische Anwendung. Das Projekt verknüpft somit theoretische Grundlagen der Strömungsmechanik (Hagen-Poiseuille-Gleichung, Navier-Stokes-Gleichungen) mit der numerischen Simulation in COMSOL Multiphysics. Durch den Vergleich der '''gesunden Externa (ACE)''' mit der '''stenoisierten Interna (ACI)''' innerhalb desselben Rechengebiets wird die isolierte Wirkung der Stenose unter identischen Randbedingungen direkt sichtbar gemacht. == Medizinische Relevanz == Arterielle Stenosen entstehen überwiegend durch Atherosklerose, also durch Ablagerungen aus Lipiden, Bindegewebe und Kalk in der Gefäßwand. In der Halsschlagader sind sie klinisch besonders bedeutsam, weil sie die Durchblutung des Gehirns beeinträchtigen und weil sich an ihnen Thromben bilden können, die als Embolie einen Schlaganfall auslösen. Dass die operative Entfernung einer hochgradigen Karotisstenose das Schlaganfallrisiko symptomatischer Patienten deutlich senkt, hat die NASCET-Studie gezeigt, deren Einteilung der Stenosegrade dieses Projekt übernimmt.<ref name="nascet">North American Symptomatic Carotid Endarterectomy Trial Collaborators: ''Beneficial effect of carotid endarterectomy in symptomatic patients with high-grade carotid stenosis.'' New England Journal of Medicine 325 (1991), Nr. 7, S. 445-453.</ref> == Modellannahmen == Im Hinblick darauf werden für dieses Projekt einige Annahmen getroffen, um das Projekt möglichst isoliert zu untersuchen und zu simplifizieren: * '''Idealisierte Gefäßgeometrie''': Betrachtet wird ein Teilabbschnitt der ''Arteria carotis communis'', die sog. ''ACI''. Zudem werden Gefäßverkrümmungen, weitere Verzweigungen und patientenspezifische Strukturen nicht berücksichtigt. * '''Starre Gefäßwand''': Die Gefäßwand wird als unbeweglich und nicht verformbar angenommen. Eine Wechselwirkung zwischen elastischer Gefäßwand und Blutströmung wird nicht modelliert. * '''Stationäre Strömung''': Die Strömungsgrößen werden als zeitlich konstant angenommen. Die im realen Blutkreislauf vorhandene Pulsation durch den Herzschlag wird daher vernachlässigt: <math>\frac{\partial u}{\partial t}=0</math>. * '''Inkompressibles Fluid''': Die Dichte des Fluids wird als konstant angenommen. Damit gilt für die Geschwindigkeit <math>\nabla \cdot u=0</math>. Dies entspricht der in der Vorlesung behandelten Massenerhaltung für inkompressible Fluide: Was in das Gefäß einströmt, muss auch wieder ausströmen. * '''Newton'sche Näherung für Blut''': Reales Blut beseitzt ein nicht newton'sches Fließverhalten. Hier wird Blut als Newton'sches Fluid behandelt. * '''Konstante Stoffeigenschaften''': Dichte <math>\rho</math> und dynamische Viskosität μ werden als räumlich und zeitlich konstant angenommen. Temperaturabhängigkeiten werden nicht berücksichtigt. * '''Laminare Strömung''': Die Strömung wird mit dem COMSOL-Modul ''Laminar Flow'' beschrieben. Ein zusätzliches Turbulenzmodell wird nicht verwendet. * '''No-Slip-Bedingung an Gefäßwand''': Aufgrund der Viskosität wird angenommen, dass das Fluid direkt an der Gefäßwand haftet. Somit gilt <math>u=0</math>. * '''Vernachlässigung der Gravitation''': Gravitation wird nicht berücksichtigt. Die Strömung wird ausschließlich durch die gewählten Ein- und Auslassbedingungen bestimmt. == Methodische Relevanz == Fachlich überträgt das Projekt die Prinzipien der Strömungsmechanik aus der Vorlesung auf eine biomedizinische Anwendung.<ref name="hundertmark">Hundertmark, A.: ''Fluiddynamik.'' Vorlesungsunterlagen zum Modul Räumliche Modellbildung, RPTU Kaiserslautern-Landau, Sommersemester 2026.</ref> Der methodische Mehrwert liegt in der Verknüpfung mehrerer Zugänge, die sich gegenseitig kontrollieren. Die analytische Poiseuille-Lösung liefert exakte Sollwerte für das gesunde Gefäß. Ein reduziertes Graphenmodell liefert für jeden Stenosegrad eine schnelle Abschätzung, die analytisch nachrechenbar ist. Die Simulationen in COMSOL Multiphysics lösen schließlich die vollständigen Navier-Stokes-Gleichungen in zwei und drei Raumdimensionen. Weil jede Stufe die Sollwerte der nächsten liefert, zeigt das Projekt nicht nur Ergebnisse, sondern auch, wie numerische Modelle aufgebaut, verifiziert und an ihren Grenzen bewertet werden. == Auswahl der Stenosegrade == Um die untersuchten Gefäßverengungen nicht willkürlich festzulegen, orientiert sich die Auswahl der Stenosegrade an der klinisch gebräuchlichen NASCET-Klassifikation von Karotisstenosen.<ref name="nascet" /> Zur klinischen Einordnung werden Karotisstenosen anhand der nach NASCET bestimmten Durchmesserreduktion in leichtgradige, mittelgradige und hochgradige Stenosen eingeteilt. Die angegebenen Prozentgrenzen dienen in diesem Projekt als Orientierung für die Auswahl der untersuchten Stenosegrade. Ein vollständiger Gefäßverschluss wird als Okklusion bezeichnet. {| class="wikitable" |+ Klinische Einteilung nach NASCET-gemessener Durchmesserreduktion und untersuchte Stenosegrade ! Schweregrad !! Durchmesserreduktion !! im Projekt gerechnete Stenosegrade !! hervorgehobener Vertreter |- | gesundes Gefäß || 0 % || 0 || 0 |- | leichtgradige Stenose || unter 50 % || 0,1 bis 0,4 || 0,3 |- | mittelgradige Stenose || 50 bis 69 % || 0,5 und 0,6 || 0,6 |- | hochgradige Stenose || 70 bis 99 % || 0,7 und 0,8 || 0,8 |- | Okklusion || 100 % || nicht gerechnet || entfällt |} '''Anmerkung''': Die Klassengrenzen dienen der Einordnung der Modellvarianten. Die in der Tabelle genannten Stenosegrade sind dimensionslose Werte, beispielsweise entspricht '''<math>s=0{,}6</math>''' einer Durchmesserreduktion von '''60 %'''. Für die numerische Untersuchung wird aus jeder Kategorie ein repräsentativer Stenosegrad hervorgehoben. Neben dem gesunden Gefäß mit '''0 %''' Stenose sind das eine '''30 %''' Stenose als Beispiel für eine leichtgradige, eine '''60 %''' Stenose als Beispiel für eine mittelgradige und eine '''80 %''' Stenose als Beispiel für eine hochgradige Verengung. Zusätzlich werden für das Graphenmodell und das achsensymmetrische Flächenmodell Stenosegrade von 0 bis 80 % in Schritten von zehn Prozentpunkten vorgesehen. Dadurch kann die Abhängigkeit der Strömungsgrößen vom Stenosegrad systematisch untersucht und grafisch dargestellt werden. Ob alle Modellvarianten tatsächlich berechnet wurden und wie hoch der Rechenaufwand war, wird anhand der durchgeführten Simulationen dokumentiert. Ein vollständiger Gefäßverschluss wird nicht simuliert, da in diesem Fall keine durchgängige Strömung mehr vorliegt. Der Stenosegrad wird in diesem Projekt wie bei NASCET über die Verringerung des Gefäßdurchmessers beschrieben, <math>s = 1 - \frac{d_{\min}}{d_{\mathrm{ref}}},</math> wobei <math>d_{\min}</math> der kleinste Durchmesser in der Engstelle und <math>d_{\mathrm{ref}}</math> ein Referenzdurchmesser ist. NASCET verwendet als Referenz den Durchmesser des gesunden Gefäßes stromabwärts der Stenose. Für das idealisierte gerade Gefäßmodell wird ein konstanter Referenzdurchmesser von <math>D_0=6\,\mathrm{mm}</math> angenommen. Da das Gefäß außerhalb der Stenose denselben Durchmesser besitzt, gilt in diesem Modell<math>d_{\mathrm{ref}}=D_0</math>. Bei der zusätzlich betrachteten Gefäßaufzweigung muss der Referenzdurchmesser dagegen gesondert festgelegt werden, da die Gefäßäste unterschiedliche Durchmesser besitzen. Wichtig für das Verständnis aller weiteren Ergebnisse ist der Unterschied zwischen Durchmesser- und Flächenreduktion. Da die Querschnittsfläche quadratisch vom Durchmesser abhängt, gilt für die Flächenreduktion <math>1-(1-s)^2</math>. Eine im klinischen Sinn nur mittelgradige Stenose von 60 % verschließt damit bereits 84 % der Querschnittsfläche. {| class="wikitable" |+ Durchmesser- und Flächenreduktion der gerechneten Stenosegrade ! Stenosegrad s !! 0 !! 0,1 !! 0,2 !! 0,3 !! 0,4 !! 0,5 !! 0,6 !! 0,7 !! 0,8 |- | engster Durchmesser in mm || 6,0 || 5,4 || 4,8 || 4,2 || 3,6 || 3,0 || 2,4 || 1,8 || 1,2 |- | Flächenreduktion || 0 % || 19 % || 36 % || 51 % || 64 % || 75 % || 84 % || 91 % || 96 % |} Eine Einschränkungen gehört zur ehrlichen Einordnung: # Mit zunehmendem Stenosegrad, insbesondere bei ausgeprägten Verengungen, können lokale Beschleunigungen, Strömungsablösungen und zeitabhängige Strömungsstrukturen auftreten. Daher muss bei den hochgradigen Stenosen geprüft werden, inwieweit die Annahme einer stationären, laminaren Strömung geeignet ist. Eine feste Grenze bei <math>s=0{,}6</math> lässt sich ohne entsprechende Simulationsergebnisse oder Literaturbelege nicht allgemein festlegen. Die hochgradigen Fälle werden deshalb unter besonderer Berücksichtigung der Modellannahmen diskutiert. Unter Modellierung wird in diesem Projekt die Übertragung der Blutströmung in einer verengten Arterie auf ein mathematisches und numerisch lösbares Strömungsproblem verstanden. Dazu werden die Gefäßgeometrie, die zugrunde liegenden Gleichungen, die physikalischen Materialparameter sowie die Anfangs- und Randbedingungen festgelegt. Jeder dieser Bestandteile beruht auf vereinfachenden Annahmen, die begründet und bei der Interpretation der Ergebnisse berücksichtigt werden müssen. Ziel ist es, den Einfluss unterschiedlicher Stenosegrade auf die Strömungsgeschwindigkeit, den Druckverlust und gegebenenfalls die Wandschubspannung systematisch zu untersuchen. Die Modellierung erfolgt anhand mehrerer Modellvarianten mit unterschiedlicher räumlicher Auflösung. Dadurch können zunächst grundlegende Zusammenhänge analytisch abgeschätzt und anschließend mit numerischen Strömungsberechnungen verglichen werden. Die verwendeten Parameter orientieren sich an den bereitgestellten Referenzdaten und werden in den folgenden Abschnitten erläutert. == Modellierung == Ziel der Modellierung ist es, die Blutströmung innerhalb einer Y-förmigen Aufzweigung der Halsschlagader mathematisch und numerisch zu untersuchen. Im Mittelpunkt steht eine Gefäßverengung (Stenose) in der Arteria carotis interna. Das betrachtete Gefäßmodell besteht aus der Arteria carotis communis, die sich in die Arteria carotis interna und die Arteria carotis externa aufteilt. Die Stenose befindet sich ausschließlich in der Arteria carotis interna. Durch die Verengung verändert sich der verfügbare Strömungsquerschnitt. Dies kann zu einer Erhöhung der lokalen Strömungsgeschwindigkeit, zu zusätzlichen Druckverlusten und zu einer Veränderung der Strömungsverteilung zwischen den beiden Gefäßästen führen. Ziel ist es, den Einfluss unterschiedlicher Stenosegrade auf die Strömungsgeschwindigkeit, die Druckverteilung und die Wandschubspannung zu untersuchen. Zusätzlich soll betrachtet werden, wie sich die Strömung innerhalb der Y-förmigen Gefäßaufzweigung verhält. Die numerische Modellierung erfolgt mit COMSOL Multiphysics. Dazu werden die Gefäßgeometrie, die Materialeigenschaften des Blutes, die Strömungsgleichungen und die Randbedingungen festgelegt. Zur Vereinfachung wird Blut zunächst als inkompressibles, Newtonsches Fluid betrachtet. Die Gefäßwände werden als starr angenommen. Diese Annahmen ermöglichen eine systematische Untersuchung der Stenose, schränken jedoch die Übertragbarkeit auf reale physiologische Bedingungen ein. === Modellhierarchie === Für die Untersuchung der Blutströmung innerhalb der Y-förmigen Karotisaufzweigung werden drei Modellvarianten betrachtet. Diese unterscheiden sich hinsichtlich ihrer räumlichen Dimension, ihrer mathematischen Beschreibung und der Genauigkeit, mit der die Strömungsverhältnisse dargestellt werden können. Das untersuchte Gefäß besteht aus der Arteria carotis communis, die sich in die Arteria carotis interna und die Arteria carotis externa aufteilt. Die Stenose befindet sich ausschließlich in der Arteria carotis interna. Alle drei Modellvarianten werden mit COMSOL Multiphysics umgesetzt. {| class="wikitable" style="width:100%;" |+ '''Die drei Modellvarianten des Projekts''' |- ! Modell ! Raumdimension ! Mathematische Grundlage ! Zweck ! Werkzeug |- | '''Graphenmodell''' | 1D, Gefäßnetzwerk mit einer Verzweigung | Massenerhaltung an der Verzweigung und vereinfachte Beschreibung der Strömungswiderstände | Abschätzung der Volumenstromverteilung und der Druckverluste in den Gefäßästen | COMSOL Multiphysics |- | '''Ebenes Flächenmodell''' | 2D, Y-förmige Gefäßgeometrie in kartesischen Koordinaten | Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen | Untersuchung der Geschwindigkeits- und Druckverteilung sowie der Auswirkungen der Stenose in der Arteria carotis interna | COMSOL Multiphysics, Laminare Strömung |- | '''Volumenmodell''' | 3D, räumliche Y-förmige Gefäßgeometrie | Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen | Räumliche Untersuchung des Geschwindigkeitsfeldes, des Druckverlustes und der Wandschubspannung | COMSOL Multiphysics, Laminare Strömung |} ==== Vergleich und Überprüfung der Modellvarianten ==== Die drei Modellvarianten bauen hinsichtlich ihrer räumlichen Beschreibung aufeinander auf. Das Graphenmodell ermöglicht zunächst eine vereinfachte Betrachtung der Volumenströme und Druckverluste. Die zwei- und dreidimensionalen Modelle erlauben anschließend eine detailliertere Untersuchung der Strömung innerhalb der Gefäßaufzweigung. Das '''Graphenmodell''' beschreibt die Arteria carotis communis sowie die beiden abzweigenden Gefäße als miteinander verbundenes Netzwerk. Dabei wird die Massenerhaltung an der Verzweigung berücksichtigt: :<math>Q_{\mathrm{CCA}}=Q_{\mathrm{ICA}}+Q_{\mathrm{ECA}}</math> Das Modell liefert vereinfachte Abschätzungen der Volumenstromverteilung. Lokale Strömungsablösungen und räumliche Geschwindigkeitsverteilungen können damit nicht detailliert dargestellt werden. Das '''ebene Flächenmodell''' bildet die Y-förmige Gefäßaufzweigung in zwei Raumdimensionen ab. Die Stenose wird innerhalb der Arteria carotis interna berücksichtigt. Dadurch können die Geschwindigkeits- und Druckverteilung sowie mögliche Rückströmungsbereiche untersucht werden. Das '''Volumenmodell''' erweitert die Untersuchung auf drei Raumdimensionen. Es ermöglicht eine räumliche Darstellung der Strömung und eine detailliertere Berechnung der Wandschubspannung. Die Ergebnisse des ebenen Flächenmodells und des Volumenmodells werden miteinander verglichen. Da das ebene Modell die räumliche Querschnittsgeometrie nur vereinfacht darstellt, müssen Unterschiede zwischen den beiden Modellen bei der Interpretation berücksichtigt werden. Ziel der Modellhierarchie ist es, die Aussagekraft der einzelnen Modellvarianten zu bewerten und den Einfluss des Stenosegrades auf die Strömung innerhalb der Y-förmigen Karotisaufzweigung zu untersuchen. === Simulationsgebiet und Geometrie === Das Simulationsgebiet besteht aus einer idealisierten Y-förmigen Aufzweigung der Arteria carotis. Die Arteria carotis communis teilt sich in die Arteria carotis interna und die Arteria carotis externa. Die Stenose befindet sich in der Arteria carotis interna. Die Arteria carotis externa wird ohne zusätzliche Verengung modelliert. Die Geometrie orientiert sich an den bereitgestellten Referenzdaten. Die Gefäßdurchmesser werden innerhalb der jeweiligen unverengten Abschnitte als konstant angenommen. {| class="wikitable" style="width:100%;" |+ '''Geometrische Referenzparameter der Y-förmigen Gefäßaufzweigung''' |- ! Gefäßabschnitt ! Durchmesser ! Länge |- | Arteria carotis communis | 6 mm | 60 mm |- | Arteria carotis interna | 5 mm | 60 mm |- | Arteria carotis externa | 4 mm | 60 mm |- | Stenose in der Arteria carotis interna | Abhängig vom Stenosegrad | 10 bzw. 20 mm |} Die Verengung wird über den Stenosegrad <math>s</math> beschrieben. Dieser gibt die relative Verringerung des Gefäßdurchmessers an: :<math>s=1-\frac{d_{\min}}{D_{\mathrm{ICA}}}</math> Dabei bezeichnet <math>d_{\min}</math> den minimalen Durchmesser innerhalb der Stenose und <math>D_{\mathrm{ICA}}</math> den unverengten Referenzdurchmesser der Arteria carotis interna. Für das Modell gilt: :<math>D_{\mathrm{ICA}}=5\,\mathrm{mm}</math> Der minimale Durchmesser ergibt sich damit zu: :<math>d_{\min}=D_{\mathrm{ICA}}(1-s)</math> {| class="wikitable" |+ '''Minimaler Durchmesser der Stenose in der Arteria carotis interna''' |- ! Stenosegrad ! Minimaler Durchmesser |- | 0 % | 5,0 mm |- | 10 % | 4,5 mm |- | 20 % | 4,0 mm |- | 30 % | 3,5 mm |- | 40 % | 3,0 mm |- | 50 % | 2,5 mm |- | 60 % | 2,0 mm |- | 70 % | 1,5 mm |- | 80 % | 1,0 mm |} Die angegebenen Stenosegrade beziehen sich ausschließlich auf den Durchmesser der Arteria carotis interna. Der Durchmesser der Arteria carotis communis wird nicht zur Berechnung des Stenosegrades verwendet. Die Y-förmige Geometrie ermöglicht es, die Auswirkungen der Verengung sowohl auf die lokale Strömung in der Arteria carotis interna als auch auf die Strömungsverteilung innerhalb der gesamten Gefäßaufzweigung zu untersuchen. Die genaue Form der Stenose, der Verzweigungswinkel und die Übergänge zwischen den Gefäßabschnitten müssen entsprechend der tatsächlich in COMSOL verwendeten Geometrie dokumentiert werden. == Stoff- und Strömungsparameter == Die Stoffwerte des Blutes und der Volumenstrom sind die einzigen Eingangsgrößen, die nicht aus der Geometrie folgen. Aus ihnen werden alle weiteren Strömungskennwerte berechnet. Die folgenden Schritte zeigen jede Rechnung einzeln, damit sich jeder Wert nachprüfen lässt. # Die '''Dichte''' wird mit <math>\rho = 1060\ \mathrm{kg/m^3}</math> angesetzt. Der Wert lässt sich als Mischungsregel plausibel machen. Plasma hat eine Dichte von etwa 1025 kg/m³, rote Blutkörperchen von etwa 1100 kg/m³. Bei einem Zellanteil von 45 % ergibt sich <math>0{,}55 \cdot 1025 + 0{,}45 \cdot 1100 \approx 1059\ \mathrm{kg/m^3}</math>. Die Dichte geht nur über die Reynoldszahl in die Rechnung ein, eine Abweichung von einem Prozent ändert die Ergebnisse daher kaum. <!-- FIXME Lehrbuchquelle fuer Plasma- und Erythrozytendichte ergaenzen --> # Die '''dynamische Viskosität''' wird mit <math>\mu = 3{,}5\ \mathrm{mPa\,s}</math> angesetzt. Das ist der Grenzwert der Blutviskosität bei hohen Scherraten, also genau der Wert, der zur Newtonschen Näherung gehört. Derselbe Wert von 0,035 Poise wird auch im Standardwerk zur Modellierung des Herz-Kreislauf-Systems verwendet.<ref name="quarteroni">Quarteroni, A.; Formaggia, L.: ''Mathematical Modelling and Numerical Simulation of the Cardiovascular System.'' In: Ayache, N. (Hrsg.): ''Computational Models for the Human Body.'' Handbook of Numerical Analysis, Bd. XII, Elsevier, Amsterdam 2004, S. 3-127. DOI 10.1016/S1570-8659(03)12001-7. Zur Newtonschen Näherung in großen Gefäßen siehe S. 30, zur Viskosität von 0,035 Poise die Parametertabelle auf S. 116.</ref> # Der '''mittlere Volumenstrom''' wird mit <math>Q_0 = 6\ \mathrm{ml/s}</math> angesetzt. Das ist der zeitlich gemittelte Volumenstrom, der in der gemeinsamen Halsschlagader gesunder Probanden gemessen wurde. # Die '''mittlere Geschwindigkeit''' folgt aus Volumenstrom und Querschnittsfläche, <math>U_0 = \frac{Q_0}{\pi R_0^2} = \frac{6 \cdot 10^{-6}\ \mathrm{m^3/s}}{\pi \cdot (0{,}003\ \mathrm{m})^2} = 0{,}2122\ \mathrm{m/s}</math>. # Die '''Reynoldszahl''' des gesunden Gefäßes ist <math>Re_0 = \frac{\rho\, U_0\, D_0}{\mu} = \frac{1060 \cdot 0{,}2122 \cdot 0{,}006}{0{,}0035} = 385{,}6</math>. Sie wird im Folgenden auf 386 gerundet. # Die '''Einlauflänge''', die eine anfangs gleichförmige Strömung bis zum voll entwickelten Parabelprofil bräuchte, beträgt nach der gebräuchlichen Abschätzung für laminare Rohrströmungen <math>L_e \approx 0{,}06\, Re_0\, D_0 \approx 0{,}06 \cdot 386 \cdot 6\ \mathrm{mm} \approx 139\ \mathrm{mm}</math>.<ref name="durst">Durst, F.; Ray, S.; Ünsal, B.; Bayoumi, O. A.: ''The development lengths of laminar pipe and channel flows.'' Journal of Fluids Engineering 127 (2005), Nr. 6, S. 1154-1160. Für große Reynoldszahlen nähert sich die dort angegebene Korrelation dem Wert 0,057·Re·D.</ref> Das ist fast die gesamte Länge des Rechengebiets. Ein konstantes Einlassprofil würde die Strömung an der Stenose also verfälschen, weshalb am Einlass das voll entwickelte Profil vorgegeben wird. Damit liegen alle globalen Parameter fest. Die folgende Tabelle enthält sie mit genau den Namen, unter denen sie in COMSOL und in den Octave-Skripten verwendet werden. {| class="wikitable" |+ Globale Parameter des Modells ! Name !! Ausdruck in COMSOL !! Wert !! Bedeutung !! Herkunft |- | R0 || 3[mm] || 3 mm || Gefäßradius || Messwerte nach Krejza u. a. 2006, gerundet |- | D0 || 2*R0 || 6 mm || Gefäßdurchmesser || abgeleitet |- | Ls || 2*D0 || 12 mm || Länge der Störstelle || Standardgeometrie nach Varghese u. a. 2007 |- | Lu || 5*D0 || 30 mm || Vorlaufstrecke vor der Stenosemitte || Abstand der Einlassbedingung von der Stenose |- | Ld || 20*D0 || 120 mm || Nachlaufstrecke hinter der Stenosemitte || Platz für das Rückströmgebiet |- | Lf || Ls/2+10*D0 || 66 mm || Ende des fein vernetzten Nachlaufs || erwartete Länge des Rückströmgebiets |- | s || 0 bis 0.8 || 0 bis 0,8 || Stenosegrad bezogen auf den Durchmesser || NASCET-Einteilung |- | rho_b || 1060[kg/m^3] || 1060 kg/m³ || Dichte des Blutes || Mischungsregel, Literaturwert |- | mu_b || 3.5[mPa*s] || 3,5 mPa·s || dynamische Viskosität des Blutes || Hochscherwert, Quarteroni und Formaggia 2004 |- | Q0 || 6[ml/s] || 6 ml/s || mittlerer Volumenstrom || Messwerte nach Holdsworth u. a. 1999 |- | U0 || Q0/(pi*R0^2) || 0,2122 m/s || mittlere Einströmgeschwindigkeit || abgeleitet |- | Re0 || rho_b*U0*D0/mu_b || 385,6 || Reynoldszahl des gesunden Gefäßes || abgeleitet |- | dp_ref || 8*mu_b*U0*(Lu+Ld)/R0^2 || 99,03 Pa || Poiseuille-Druckabfall des gesunden Gefäßes || abgeleitet, Hagen-Poiseuille |} = Implementierung des 2D-Modells in COMSOL Multiphysics = == Zielsetzung des zweidimensionalen Modells == Im Rahmen des Projekts wurde mit COMSOL Multiphysics ein zweidimensionales Modell der menschlichen Halsschlagader erstellt. Ziel ist es, die Blutströmung innerhalb einer Gefäßverzweigung zu untersuchen und insbesondere die Auswirkungen einer lokalen Gefäßverengung (Stenose) auf das Strömungsverhalten zu analysieren. Das Modell bildet die Aufzweigung der Arteria carotis communis (ACC) in die Arteria carotis interna (ACI) und die Arteria carotis externa (ACE) ab. Während die ACE als gesunder Gefäßabschnitt betrachtet wird, befindet sich in der ACI eine lokale Verengung. Dadurch können die Strömungsverhältnisse in beiden Ästen miteinander verglichen werden. Die zweidimensionale Modellierung dient dazu, die Geschwindigkeitsverteilung, den Druckabfall und die Wandschubspannung zu untersuchen. Zusätzlich soll festgestellt werden, ob sich hinter der Stenose Bereiche mit Strömungsablösungen oder Rückströmungen ausbilden. ==Vorgehen== Für die numerische Untersuchung in COMSOL Multiphysics 6.2 zunächst ein zweidimensionales Modell mit der Physik ''Laminare Strömung'' und einer ''stationären Studie'' angelegt. Die Gefäßgeometrie wurde vollständig parametrisiert, damit Durchmesser, Gefäßlängen, Verzweigungswinkel, Stenosegrad sowie die Stenoselänge veränderbar sind, ohne das Modell jeweils neu zu zeichnen. Das gemeinsame Zuflussgefäß stellt die Arteria carotis communis mit einem Durchmesser von <math>6\,\mathrm{mm}</math> dar. Nach einem geraden Einlaufabschnitt von <math>60\,\mathrm{mm}</math> teilt es sich V-förmig in die beiden Tochtergefäße auf. Die Arteria carotis interna wird mit einem Durchmesser von <math>5\,\mathrm{mm}</math>, die Arteria carotis externa mit <math>4\,\mathrm{mm}</math> modelliert. Beide Tochtergefäße sind jeweils <math>60\,\mathrm{mm}</math> lang. Die Grundgeometrie wurde als zusammenhängender zweidimensionaler Volumenkörper aufgebaut. Die beiden Tochtergefäße verlaufen nach der Bifurkation unter einem Winkel auseinander, sodass eine idealisierte Y-förmige Karotisgabel entsteht. Die Übergänge zwischen dem gemeinsamen Gefäß und den beiden Ästen wurden bewusst vereinfacht, aber ohne abrupte Querschnittssprünge gestaltet. Auf diese Weise bleibt die Geometrie ausreichend einfach für einen systematischen Vergleich verschiedener Modellvarianten, bildet die typische Aufzweigung einer Karotis. Die Stenose befindet sich ausschließlich in der Arteria carotis interna. Um die Verengung nicht durch gerade Polygonsegmente mit scharfen Knicken darzustellen, wurde ihre Kontur mithilfe von zwei parametrischen Kosinuskurven erzeugt. Zur Beschreibung der Stenose wird eine parametrische Kurve mit dem Hilfsparameter <math>t</math> verwendet. Dieser nimmt Werte zwischen <math>-1</math> und <math>1</math> an. Über die Beziehung <math>x(t)=x_\mathrm{st}+\frac{L_\mathrm{st}}{2}t</math> wird der Parameter auf die räumliche Position entlang des Gefäßes übertragen. Für <math>t=-1</math> liegt der Beginn der Stenose bei <math>x_\mathrm{st}-L_\mathrm{st}/2</math>, für <math>t=0</math> befindet sich die Kurve in der Stenosenmitte und für <math>t=1</math> am Ende bei <math>x_\mathrm{st}+L_\mathrm{st}/2</math>. Dadurch kann die Länge der Stenose über den Parameter <math>L_\mathrm{st}</math> verändert werden, ohne ihre Mittelpunktposition <math>x_\mathrm{st}</math> zu verschieben. Die Einengung wächst vom Beginn der Stenose kontinuierlich bis zur Engstelle an und nimmt danach ebenso kontinuierlich wieder ab. Dadurch entstehen glatte Wandübergänge. Die Stärke der Einengung wird über den dimensionslosen Stenosegrad <math>s</math> gesteuert. Für einen unverengten Durchmesser der Arteria carotis interna von <math>D_\mathrm{ACI}=5\,\mathrm{mm}</math> ergibt sich bei einem Stenosegrad von <math>s=0{,}3</math> eine minimale Gefäßweite von <math>3{,}5\,\mathrm{mm}</math>, bei <math>s=0{,}6</math> von <math>2{,}0\,\mathrm{mm}</math> und bei <math>s=0{,}8</math> von <math>1{,}0\,\mathrm{mm}</math>. Die minimale Gefäßweite ergibt sich allgemein aus <math>d_\mathrm{min}=D_\mathrm{ACI}(1-s)</math>. Die beiden parametrischen Kurven wurden mit Hilfslinien zu geschlossenen Flächen ergänzt und anschließend über „Umwandeln in Volumenkörper“ in Flächenobjekte überführt. Mithilfe einer Differenzoperation wurden diese Flächen aus dem Gefäßgebiet ausgeschnitten. Auf diese Weise bleibt die Grundgeometrie des Gefäßes unverändert, während Stenosegrad und Stenosenlänge allein über globale Parameter variiert werden können. Für die Strömung wurde Blut als inkompressibles Newtonsches Fluid mit konstanter Dichte und Viskosität angenähert. Verwendet werden eine Dichte von <math>\rho=1060\,\mathrm{kg/m^3}</math> und eine dynamische Viskosität von <math>\mu=3,5\,\mathrm{mPa s}</math>. Am Einlass wird ein voll entwickeltes Geschwindigkeitsprofil vorgegeben. Aus dem auf der Projektseite angesetzten mittleren Volumenstrom von <math>6\,\mathrm{ml/s}</math> ergibt sich für das <math>6\,\mathrm{mm}</math> breite Zuflussgefäß eine mittlere Geschwindigkeit von rund <math>0{,}21\,\mathrm{m/s}</math>. An beiden Auslässen wird derselbe Referenzdruck vorgegeben, während an sämtlichen Gefäßwänden die Haftbedingung (No Slip) gilt. Nach Fertigstellung der Geometrie wurde ein physikgesteuertes Finite-Elemente-Netz erzeugt und die stationäre Navier-Stokes-Strömung berechnet. Anschließend wurden insbesondere der Geschwindigkeitsbetrag, die Druckverteilung und die Stromlinien ausgewertet. Die Stromlinien dienen dabei nicht nur der Visualisierung der Aufteilung des Blutstroms an der Bifurkation, sondern auch zur Erkennung möglicher Ablöse- und Rückströmungsgebiete hinter der Stenose. Zusätzlich kann die Wandschubspannung entlang der Gefäßwand ausgewertet werden. Die verschiedenen Stenosegrade werden jeweils bei ansonsten identischen Randbedingungen miteinander und mit dem gesunden Referenzfall verglichen. == Ergebnisse der 2D-Strömungssimulation == Die zweidimensionale Strömungssimulation wurde mit COMSOL Multiphysics durchgeführt, um die Auswirkungen einer lokalen Gefäßverengung auf die Blutströmung innerhalb einer idealisierten Karotis-Bifurkation zu untersuchen. Im Mittelpunkt der Auswertung stehen die Geschwindigkeitsverteilung, die Druckverteilung sowie die Wandschubspannung. Ergänzend werden Stromlinien betrachtet, um mögliche Veränderungen des Strömungsverlaufs und das Auftreten von Rückströmungsgebieten hinter der Stenose zu untersuchen. Die Ergebnisse werden hinsichtlich ihrer strömungsmechanischen Bedeutung interpretiert und unter Berücksichtigung der vereinfachenden Modellannahmen bewertet. === Quantitative Auswertung der Strömungsgeschwindigkeit === Zur Untersuchung des Einflusses verschiedener Stenosegrade auf die Strömungsgeschwindigkeit wurde in COMSOL Multiphysics der Geschwindigkeitsbetrag <code>spf.U</code> mithilfe der Funktion ''Oberflächenmaximum'' ausgewertet. Dabei wurden Stenosegrade von 0 %, 30 %, 60 %, 80 % und 100 % betrachtet. Die Berechnungen erfolgten zunächst mit einer Druckrandbedingung von <math>p_0 = 0\,\mathrm{Pa}</math> und anschließend mit einer Resistenzrandbedingung bei <math>k_R = 1</math>. ==== Druckrandbedingung ==== Bei der Druckrandbedingung wurde die maximale Geschwindigkeit über das gesamte Strömungsgebiet bestimmt. {| class="wikitable" ! Stenosegrad ! Maximale Geschwindigkeit [m/s] |- | 0 % || 0,28385 |- | 30 % || 0,27091 |- | 60 % || 0,35036 |- | 80 % || 0,38530 |- | 100 % || 0,46125 |} Die Ergebnisse zeigen zunächst eine leichte Abnahme der maximalen Geschwindigkeit bei 30 % Stenose. Ab 60 % steigt diese mit zunehmender Verengung an. Dies ist mit einer lokalen Beschleunigung der Strömung infolge des verringerten Strömungsquerschnitts vereinbar. Bei 100 % Stenose beträgt das globale Geschwindigkeitsmaximum 0,46125 m/s. Da die Arteria carotis interna (ACI) vollständig verschlossen ist, beschreibt dieser Wert nicht die Strömung durch den Verschluss, sondern kann aus einem anderen, weiterhin durchströmten Gefäßbereich stammen. ==== Graphische Auswertungen in Comsol ==== [[Datei:0%, Geschwindigkeit, p0=0.png|mini|zentriert|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 0 % Stenose und einer Druckrandbedingung von p₀ = 0 Pa.]] <div style="display:flex; justify-content:center; gap:15px;"> <div> [[Datei:0,3%, Geschwindigkeit, p0=0.png|mini|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 30 % Stenose und einer Druckrandbedingung von p₀ = 0 Pa.]] </div> <div> [[Datei:0,3%, Geschwindigkeit, p0=0, Nah Stenose.png|mini|300px|Vergrößerte Geschwindigkeitsverteilung im Bereich der 30%igen Stenose bei p₀ = 0 Pa.]] </div> </div> <div style="display:flex; justify-content:center; gap:15px;"> <div> [[Datei:0,6%, Geschwindigkeit, p0=0.png|mini|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 60 % Stenose und einer Druckrandbedingung von p₀ = 0 Pa.]] </div> <div> [[Datei:0,6%, Geschwindigkeit, p0=0, Nah Stenose.png|mini|300px|Vergrößerte Geschwindigkeitsverteilung im Bereich der 60%igen Stenose bei p₀ = 0 Pa.]] </div> </div> <div style="display:flex; justify-content:center; gap:15px;"> <div> [[Datei:0,8%, Geschwindigkeit, p0=0.png|mini|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 80 % Stenose und einer Druckrandbedingung von p₀ = 0 Pa.]] </div> <div> [[Datei:0,8%, Geschwindigkeit, p0=0, Nah Stenose.png|mini|300px|Vergrößerte Geschwindigkeitsverteilung im Bereich der 80%igen Stenose bei p₀ = 0 Pa.]] </div> </div> <div style="display:flex; justify-content:center; gap:15px;"> <div> [[Datei:100%, Geschwindigkeit, p0=0.png|mini|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 100 % Stenose und einer Druckrandbedingung von p₀ = 0 Pa.]] </div> <div> [[Datei:100%, Geschwindigkeit, p0=0, Nah Stenose.png|mini|300px|Vergrößerte Darstellung des vollständig verschlossenen Bereichs der ACI bei 100 % Stenose und p₀ = 0 Pa.]] </div> </div> Die Farbskala zeigt den Betrag der Strömungsgeschwindigkeit in m/s. Blaue Bereiche kennzeichnen niedrige, grüne und gelbe mittlere sowie rote Bereiche hohe Geschwindigkeiten. Im unverengten Gefäß ist die Geschwindigkeit in der Gefäßmitte am höchsten und nimmt zu den Gefäßwänden hin ab. Mit zunehmendem Stenosegrad verändert sich die Geschwindigkeitsverteilung deutlich. Im Bereich der Engstelle wird die Strömung lokal beschleunigt, während hinter der Verengung Bereiche niedriger Geschwindigkeit auftreten können. Bei 100 % Stenose ist die ACI vollständig verschlossen, sodass die Strömung nur noch über den offenen Gefäßast abfließen kann. === Resistenzrandbedingung und Vergleich === Anschließend wurde die Strömung unter Verwendung einer Resistenzrandbedingung mit konstantem Parameter <math>k_R = 1</math> untersucht. Bei zunehmender Verengung traten Konvergenzprobleme auf. Ab ungefähr 73 % Stenose konnte keine konvergierende stationäre Lösung mehr bestimmt werden. Daher wurden für die hochgradigen Stenosen ergänzend zeitabhängige Simulationen durchgeführt. {| class="wikitable" ! Stenosegrad ! Druckrandbedingung <math>p_0 = 0\,\mathrm{Pa}</math> [m/s] ! Resistenzrandbedingung <math>k_R = 1</math> [m/s] |- | 0 % || 0,28385 || 0,32426 |- | 30 % || 0,27081 || 0,32219 |- | 60 % || 0,35036 || 0,53188 |- | 80 % || 0,3858 || 1,0674 |- | 100 % || 0,46125 || <math>\approx 0</math> * |} <small>* Bei 100 % Stenose wurde für die Resistenzrandbedingung ausschließlich das Gebiet hinter dem vollständigen Verschluss ausgewertet. Die maximale Geschwindigkeit beträgt dort <math>v_{\max} = 2{,}1416 \cdot 10^{-21}\,\mathrm{m/s} \approx 0\,\mathrm{m/s}</math>.</small> Der Vergleich zeigt, dass die maximale Geschwindigkeit bei der Resistenzrandbedingung insbesondere bei höheren Stenosegraden deutlich stärker ansteigt. Bei 80 % Stenose wird mit 1,0674 m/s ein wesentlich höherer Wert erreicht als bei der Druckrandbedingung mit 0,3858 m/s. Dies verdeutlicht den Einfluss der Auslassrandbedingungen auf die Strömungsverteilung innerhalb der Gefäßverzweigung. Bei vollständigem Gefäßverschluss ist ein direkter Vergleich der beiden Werte nicht möglich, da unterschiedliche Strömungsgebiete ausgewertet wurden. Während bei der Druckrandbedingung das globale Maximum betrachtet wurde, beschreibt der Wert der Resistenzrandbedingung die praktisch zum Stillstand gekommene Strömung hinter der Stenose. Insgesamt zeigen die Ergebnisse, dass sowohl der Stenosegrad als auch die gewählten Randbedingungen einen wesentlichen Einfluss auf die maximale Strömungsgeschwindigkeit besitzen. Die Konvergenzprobleme bei hochgradigen Stenosen verdeutlichen zudem die Notwendigkeit einer ergänzenden zeitabhängigen Untersuchung. ==== Graphische Auswertungen in Comsol ==== [[Datei:0%, Geschwindigkeit, Resbed..png|mini|zentriert|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 0 % Stenose mit Resistenzrandbedingung (k_R = 1).]] <div style="display:flex; justify-content:center; gap:15px;"> <div> [[Datei:0,3%, Geschwindigkeit, Resbed..png|mini|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 30 % Stenose mit Resistenzrandbedingung (k_R = 1).]] </div> <div> [[Datei:0,3%, Geschwindigkeit, Resbed., Nah Stenose.png|mini|300px|Vergrößerte Geschwindigkeitsverteilung im Bereich der 30%igen Stenose mit Resistenzrandbedingung (k_R = 1).]] </div> </div> <div style="display:flex; justify-content:center; gap:15px;"> <div> [[Datei:0,6%, Geschwindigkeit, Resbed..png|mini|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 60 % Stenose mit Resistenzrandbedingung (k_R = 1).]] </div> <div> [[Datei:0,6%, Geschwindigkeit, Resbed., Nah Stenose.png|mini|300px|Vergrößerte Geschwindigkeitsverteilung im Bereich der 60%igen Stenose mit Resistenzrandbedingung (k_R = 1).]] </div> </div> <div style="display:flex; justify-content:center; gap:15px;"> <div> [[Datei:0,8%, Geschwindigkeit, Resbed., zeitabh., Zeit 1 s.png|mini|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 80 % Stenose mit Resistenzrandbedingung (k_R = 1) zum Zeitpunkt t = 1 s.]] </div> <div> [[Datei:0,8%, Geschwindigkeit, Resbed., zeitabh., Zeit 1 s, Nah Stenose.png|mini|300px|Vergrößerte Geschwindigkeitsverteilung im Bereich der 80%igen Stenose mit Resistenzrandbedingung (k_R = 1) zum Zeitpunkt t = 1 s.]] </div> </div> <div style="display:flex; justify-content:center; gap:15px;"> <div> [[Datei:1%, Geschwindigkeit, Resbed., zeitabh., Zeit 1 s,.png|mini|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 100 % Stenose mit Resistenzrandbedingung (k_R = 1) zum Zeitpunkt t = 1 s.]] </div> <div> [[Datei:1%, Geschwindigkeit, Resbed., zeitabh., Zeit 1 s, nah Stenose.png|mini|300px|Vergrößerte Darstellung des vollständig verschlossenen ACI-Bereichs bei 100 % Stenose mit Resistenzrandbedingung (k_R = 1) zum Zeitpunkt t = 1 s.]] </div> </div> === Druckverteilung und Druckabfall === Die Druckverteilung wurde anhand der berechneten Isobaren innerhalb der zweidimensionalen Karotis-Bifurkation untersucht. Dabei zeigt sich eine Abnahme des statischen Drucks vom gemeinsamen Zuflussgefäß in Richtung der beiden Gefäßausgänge. Der maximale berechnete Druck beträgt etwa '''74,2 Pa''', während der minimale Druck bei etwa '''−19,9 Pa''' liegt. Daraus ergibt sich eine globale Druckspanne von ungefähr '''94,1 Pa'''. Besonders auffällig ist die Druckverteilung im Bereich der Stenose der Arteria carotis interna (ACI). Dort liegen die Isobaren deutlich enger beieinander, was auf einen ausgeprägten lokalen Druckgradienten hinweist. Stromabwärts der Engstelle treten zudem Bereiche mit niedrigem statischem Druck auf. '''Interpretation''': Die Ergebnisse zeigen, dass die Stenose die lokale Druckverteilung im ACI-Ast deutlich beeinflusst. Die Beschleunigung der Strömung innerhalb der Verengung geht mit einer Abnahme des statischen Drucks einher. Die globale Druckspanne von 94,1 Pa darf jedoch nicht mit dem irreversiblen Druckverlust über der Stenose gleichgesetzt werden. Die globale Druckspanne von 94,1 Pa ist nicht mit dem Druckabfall über der Stenose gleichzusetzen. Zur genaueren Untersuchung wurden deshalb zwei Messquerschnitte vor und hinter der Engstelle ausgewertet. Zwischen diesen ergibt sich eine mittlere statische Druckdifferenz von 36,24 Pa. <div style="text-align:center;"> [[Datei:Druckverteilung_2D.png|800px|zentriert|Druckverteilung der stationären 2D-Strömungssimulation einer idealisierten Karotis-Bifurkation mit 80 % Stenose in der Arteria carotis interna (ACI). Die Isobaren zeigen den Druckverlauf innerhalb der Gefäßgeometrie. Besonders im Bereich der Stenose ist ein ausgeprägter lokaler Druckgradient erkennbar. Der berechnete Druck liegt zwischen −19,9 Pa und 74,2 Pa.]] <small>'''Abbildung 3:''' Druckverteilung der stationären 2D-Strömungssimulation einer idealisierten Karotis-Bifurkation mit 80 % Stenose in der Arteria carotis interna (ACI). Die Isobaren zeigen den Druckverlauf innerhalb der Gefäßgeometrie. Besonders im Bereich der Stenose ist ein ausgeprägter lokaler Druckgradient erkennbar. Der berechnete Druck liegt zwischen −19,9 Pa und 74,2 Pa.</small> </div> ==== Quantitative Bestimmung der Druckdifferenz ==== Zur quantitativen Untersuchung des Druckabfalls wurden zwei Messquerschnitte im ACI-Ast definiert, einer vor und einer hinter der Stenose. Mithilfe der COMSOL-Funktion „Linienmittelwert“ wurde der mittlere statische Druck an beiden Positionen bestimmt. Vor der Stenose beträgt der mittlere Druck '''35,232 Pa''', während hinter der Stenose ein Wert von '''−1,0042 Pa''' ermittelt wurde. Daraus ergibt sich eine Druckdifferenz von '''36,24 Pa'''. Die Ergebnisse zeigen eine deutliche Abnahme des statischen Drucks zwischen den beiden Messquerschnitten. Diese Druckdifferenz verdeutlicht die Druckänderung entlang des stenotischen ACI-Astes. Sie ist jedoch nicht mit dem ausschließlich durch die Stenose verursachten irreversiblen Druckverlust gleichzusetzen, da auch die Strömungsentwicklung in den angrenzenden Gefäßabschnitten berücksichtigt wird. {| class="wikitable" style="text-align:center;" ! Stenosegrad ! <math>\bar p_\mathrm{vor}</math> [Pa] ! <math>\bar p_\mathrm{nach}</math> [Pa] ! <math>\Delta p</math> [Pa] |- | 0 % | 11,631 | 4,2461 | 7,3849 |- | 30 % | 16,919 | 2,9220 | 13,997 |- | 60 % | 35,835 | -0,58267 | 36,41767 |- | 80 % | 70,562 | -0,55906 | 71,12106 |} === Ausblick: Wandschubspannung im Vergleich === Zur Untersuchung der mechanischen Belastung der Gefäßwände wurde die Wandschubspannung (Wall Shear Stress, WSS) im zweidimensionalen Strömungsmodell ausgewertet. Sie beschreibt die tangentiale viskose Spannung, die durch die Strömung an der Gefäßwand entsteht. Die quantitative Auswertung erfolgte für die obere und untere Wand des stenotischen ACI-Abschnitts. Hierfür wurden die entsprechenden Wandkanten in COMSOL ausgewählt und der Betrag der Wandschubspannung bestimmt. Die Abbildung zeigt die Verteilung der Wandschubspannung (Wall Shear Stress, WSS) an den Gefäßwänden im Bereich der 80-%-Stenose der ACI. Die Auswertung erfolgte einmal mit und einmal ohne Resistenzrandbedingung. Für <math>p_0 = 0\,\mathrm{Pa}</math>: * Die Farbskala verdeutlicht die unterschiedlich starke Belastung der Gefäßwand durch die Blutströmung. '''Blaue Bereiche''' kennzeichnen geringe Wandschubspannungen von etwa 1 bis 2 Pa, während '''grüne und gelbe Bereiche''' mittlere Werte anzeigen. Im '''orange-roten Bereich''' nahe der stärksten Verengung steigt die Wandschubspannung deutlich an. Das mithilfe des Linienmaximums ermittelte Maximum beträgt '''6,0400 Pa'''. * Die erhöhten Werte im Bereich der Stenose lassen sich durch die starke Verengung des Gefäßquerschnitts erklären. Dadurch entstehen größere Geschwindigkeitsänderungen in Wandnähe, die zu einer erhöhten Wandschubspannung führen können. Die Abbildung zeigt somit, dass die mechanische Belastung der Gefäßwand innerhalb des untersuchten Stenosebereichs nicht gleichmäßig verteilt ist, sondern lokal deutlich zunimmt. [[Datei:WSS P0=0.png|300px|mini|zentriert|Verteilung der Wandschubspannung (WSS) im Bereich der 80-%-Stenose der Arteria carotis interna bei der Druckrandbedingung <math>p_0 = 0\,\mathrm{Pa}</math>.]] Mit Resistenzrandbedingung: * Die Abbildung zeigt die Verteilung der Wandschubspannung (Wall Shear Stress, WSS) an den Gefäßwänden im Bereich der 80-%-Stenose der Arteria carotis interna (ACI). Im Gegensatz zur vorherigen Untersuchung mit der Druckrandbedingung <math>p_0 = 0\,\mathrm{Pa}</math> wurde hier die Resistenzrandbedingung <math>k_R = 1</math> verwendet. * Da für diesen Fall keine stationäre Lösung erzielt werden konnte, erfolgte die Berechnung zeitabhängig. Die dargestellten Ergebnisse beziehen sich auf den Zeitpunkt <math>t = 1\,\mathrm{s}</math>. * Die Wandschubspannung ist innerhalb des Stenosebereichs unterschiedlich stark ausgeprägt. Bereiche mit niedrigen Werten kennzeichnen eine geringere tangentiale Belastung der Gefäßwand, während Bereiche mit höheren Werten auf eine stärkere Belastung hinweisen. * Das mithilfe des Linienmaximums ermittelte Maximum auf den ausgewählten Stenosewänden beträgt: <math>19{,}856\,\mathrm{Pa}</math>. * Die erhöhten Wandschubspannungen lassen sich durch die starke Verengung des Gefäßquerschnitts und die damit verbundenen Geschwindigkeitsänderungen in Wandnähe erklären. * Im Vergleich zur stationären Berechnung mit <math>p_0 = 0\,\mathrm{Pa}</math>, bei der eine maximale Wandschubspannung von <math>6{,}0400\,\mathrm{Pa}</math> ermittelt wurde, fällt der Maximalwert bei der Resistenzrandbedingung deutlich höher aus. * Dabei ist zu beachten, dass es sich bei <math>19{,}856\,\mathrm{Pa}</math> um einen Momentanwert bei <math>t = 1\,\mathrm{s}</math> handelt und nicht um einen stationären Wert. Die beiden Ergebnisse sind daher nur eingeschränkt direkt vergleichbar. * Die Farbverteilung zeigt, dass die Wandschubspannung im Bereich der Stenose von niedrigen Werten (Blau) zu höheren Werten (Grün, Gelb und Rot) ansteigt und insbesondere an der engsten Stelle der Gefäßverengung erhöht ist. [[Datei:WSS Resistenzrandbedingung.png|300px|mini|zentriert|Verteilung der Wandschubspannung (WSS) im Bereich der 80-%-Stenose der Arteria carotis interna bei der Resistenzrandbedingung <math>k_R = 1</math> zum Zeitpunkt <math>t = 1\,\mathrm{s}</math> (zeitabhängige Simulation).]] === Zusammenfassende Bewertung der 2D-Ergebnisse AKTUELLE DATEN NOCH REIN === Die stationäre zweidimensionale Strömungssimulation mit einem Stenosegrad von 80 % zeigt deutliche Veränderungen der Strömungsgrößen innerhalb der idealisierten Karotis-Bifurkation. Die maximale Geschwindigkeit beträgt 0,31853 m/s. Zwischen den ausgewählten Messquerschnitten vor und hinter der ACI-Stenose ergibt sich eine mittlere statische Druckdifferenz von 36,24 Pa. Die maximale Wandschubspannung auf den ausgewerteten Stenosewänden beträgt 3,2282 Pa. Die Untersuchung der Geschwindigkeitskomponenten liefert Hinweise auf lokale Strömungsanteile entgegen der Hauptströmungsrichtung. Ein eindeutig abgegrenztes Rezirkulationsgebiet konnte anhand der vorliegenden Darstellungen jedoch nicht sicher nachgewiesen werden. Die Ergebnisse beschreiben zunächst den untersuchten Fall einer hochgradigen Stenose. Aus diesem einzelnen Fall lässt sich weder eine allgemeine Abhängigkeit der Strömungsgrößen vom Stenosegrad noch ein kritischer Stenosegrad für den Beginn der Strömungsablösung bestimmen. Dafür wäre eine vergleichende Auswertung weiterer Stenosegrade erforderlich. == Resistenzrandbedingung am Auslass (2D-Modell) == === Motivation === Im ursprünglichen 2D-Modell wurde an beiden Auslässen eine Nulldruckbedingung <math>p = 0</math> gesetzt. Physikalisch bedeutet das, dass beide Äste in ein „offenes Becken“ mit gleichem, festem Druck münden. Der Auslassdruck hängt dabei nicht davon ab, wie viel Blut ankommt. Diese Annahme hat zwei Schwächen: * Die Flussaufteilung zwischen ACI und ACE ergibt sich nur aus den kleinen Strömungswiderständen der modellierten Gefäßabschnitte. Wird die ACI durch die Stenose verengt, weicht das Blut nahezu ungehindert in die ACE aus. Im Körper ist das nicht möglich, weil hinter der ACI das Gefäßbett des Gehirns mit einem eigenen, großen Widerstand liegt. * Das Druckniveau (Auslass bei 0 Pa) ist nicht physiologisch. Im 3D-Modell wurde deshalb an beiden Auslässen eine '''Resistenzrandbedingung''' verwendet. Damit 2D- und 3D-Modell vergleichbar sind, haben wir dieselbe Randbedingung auch im 2D-Modell eingebaut. === Formel und Herleitung === Das gesamte nachgeschaltete Gefäßbett hinter jedem Auslass wird durch einen einzigen peripheren Widerstand <math>R_p</math> ersetzt: :<math>p_{\text{aus}} = k_R \cdot R_p \cdot Q</math> Dabei ist <math>Q</math> der Volumenstrom durch den Auslass und <math>k_R</math> ein Schalter (<math>k_R = 1</math>: Widerstand, <math>k_R = 0</math>: ursprüngliche Bedingung <math>p = 0</math>). '''1. Gesunde Flussaufteilung nach dem Murray-Gesetz''' Der Volumenstrom eines Gefäßes ist nach Murray proportional zur dritten Potenz des Durchmessers. Für den Anteil der ACI am Gesamtfluss gilt damit: :<math>\varphi_0 = \frac{D_I^3}{D_I^3 + D_E^3} = \frac{(5\,\text{mm})^3}{(5\,\text{mm})^3 + (4\,\text{mm})^3} \approx 0{,}661</math> Mit dem mittleren Volumenstrom der A. carotis communis <math>Q_0 = 6\,\text{ml/s}</math> (Holdsworth u. a. 1999) folgt: :<math>Q_{I,0} = \varphi_0 \cdot Q_0 \approx 3{,}97\,\text{ml/s}, \qquad Q_{E,0} = (1-\varphi_0) \cdot Q_0 \approx 2{,}03\,\text{ml/s}</math> '''2. Bestimmung der peripheren Widerstände''' Die Widerstände werden so gewählt, dass im gesunden Zustand an beiden Auslässen der treibende Druck des peripheren Gefäßbetts <math>p_D = 90\,\text{mmHg} \approx 12\,000\,\text{Pa}</math> anliegt: :<math>R_{pI} = \frac{p_D}{Q_{I,0}} \approx 3{,}0 \cdot 10^{9}\,\frac{\text{Pa}\cdot\text{s}}{\text{m}^3}, \qquad R_{pE} = \frac{p_D}{Q_{E,0}} \approx 5{,}9 \cdot 10^{9}\,\frac{\text{Pa}\cdot\text{s}}{\text{m}^3}</math> Die Randbedingungen an den beiden Auslässen lauten damit: :<math>p_{\text{aus},I} = k_R \cdot R_{pI} \cdot Q_I, \qquad p_{\text{aus},E} = k_R \cdot R_{pE} \cdot Q_E</math> '''3. Umrechnung des Flusses im 2D-Modell''' Im 2D-Modell liefert das Integral der Normalgeschwindigkeit über den Auslassrand keinen Volumenstrom in m³/s, sondern einen Fluss pro Tiefe <math>q</math> in m²/s. Damit die Widerstände aus dem 3D-Modell verwendet werden können, wird <math>q</math> mit einer einheitlichen Ersatztiefe <math>b</math> in einen Volumenstrom umgerechnet: :<math>Q = q \cdot b, \qquad b = \frac{\pi \, D_{CC}}{4}</math> Die Ersatztiefe ist so gewählt, dass am Einlass mit der mittleren Einströmgeschwindigkeit <math>\bar{u}_{ein} = Q_0 / (\pi D_{CC}^2/4) \approx 0{,}21\,\text{m/s}</math> genau der Volumenstrom des 3D-Modells von 6 ml/s ankommt. Weil dieselbe Ersatztiefe für alle Ränder gilt, bleibt die Massenbilanz erhalten. === Ergebnisse mit Resistenzrandbedingung === {| class="wikitable" style="text-align:center" |+ Maximale Geschwindigkeit ! Stenosegrad S !! <math>u_{max}</math> [m/s] |- | 0 || 0,324^* |- | 0,3 || 0,323^* |- | 0,6 || 0,529 |- | 0,8 || 1,067 |} ^* Bei S = 0 und S = 0,3 liegt das Geschwindigkeitsmaximum nicht in der Stenose, sondern in der A. carotis communis. {| class="wikitable" style="text-align:center" |+ Druck vor und nach der Stenose ! Stenosegrad S !! <math>p_{vor}</math> [Pa] !! <math>p_{nach}</math> [Pa] !! Druckverlust <math>\Delta p = p_{vor} - p_{nach}</math> [Pa] !! <math>\Delta p</math> [mmHg] |- | 0 || 11 802 || 11 793 || 9 || 0,07 |- | 0,3 || 11 808 || 11 790 || 18 || 0,14 |- | 0,6 || 11 838 || 11 760 || 78 || 0,59 |- | 0,8 || 12 024 || 11 626 || 398 || 2,99 |} === Auswertung === * '''Druckniveau:''' Mit der Resistenzrandbedingung liegt der Druck bei etwa 11 800 Pa ≈ 88,5 mmHg. Das entspricht dem mittleren arteriellen Druck in der Carotis. Mit <math>p = 0</math> lagen die Drücke nur bei wenigen Pa bis einigen 100 Pa. * '''Flussaufteilung:''' Die peripheren Widerstände sind wesentlich größer als der Widerstand der Stenose. Deshalb bestimmen sie die Flussaufteilung, und die ACI behält auch bei 80 % Stenose nahezu ihren Anteil (Abnahme von <math>Q_I</math> nur um etwa 1 %). Im Gegensatz zu <math>p = 0</math> kann das Blut nicht einfach in die ACE ausweichen. Das entspricht dem physiologischen Verhalten bei nicht kritischen Stenosen. * '''Geschwindigkeit:''' Weil mehr Blut durch die Engstelle strömen muss, steigen die Geschwindigkeiten in der Stenose gegenüber <math>p = 0</math>. Von S = 0,6 auf S = 0,8 verdoppelt sich <math>u_{max}</math> etwa. * '''Druckverlust:''' Der Druckverlust steigt stark nichtlinear mit dem Stenosegrad. Von S = 0,6 auf S = 0,8 nimmt er etwa um den Faktor 5 zu. * '''Druckrückgewinnung:''' Bei S = 0,8 liegt <math>p_{nach}</math> mit 11 626 Pa sogar unter dem Auslassdruck (≈ 11 680 Pa). Direkt hinter der Engstelle ist die Geschwindigkeit des Strahls noch hoch und der statische Druck entsprechend niedrig. Stromabwärts verlangsamt sich die Strömung, und ein Teil des Drucks wird zurückgewonnen. Der bleibende Druckverlust ist daher etwas kleiner als 398 Pa. === Grenzen und Vergleich mit dem 3D-Modell === * Im 2D-Modell verringert eine Stenose von 80 % nur die '''Spaltbreite''' auf 20 %. Im 3D-Modell sinkt die '''Querschnittsfläche''' dagegen auf <math>0{,}2^2 = 4\,\%</math>. Das 2D-Modell unterschätzt deshalb Geschwindigkeit und Druckverlust in der Stenose systematisch. Klinisch gelten bei Stenosen ab 70 % systolische Spitzengeschwindigkeiten über 2,3 m/s; ab einem Druckgradienten von etwa 10–20 mmHg gilt eine Stenose als hämodynamisch relevant. Beide Grenzen erreicht das 2D-Modell nicht. * Die Umrechnung über die Ersatztiefe <math>\pi D_{CC}/4</math> ist eine Modellannahme. * Der periphere Widerstand ist konstant. Die Autoregulation des Gehirns und die Gefäßelastizität (Windkessel) werden nicht berücksichtigt, und die Rechnung ist stationär (keine Pulsatilität). == Beantwortung der Forschungsfragen == '''Welche Strömungsgrößen reagieren empfindlich auf den Stenosegrad?''' Die Untersuchung der 80-%-Stenose zeigt deutliche Veränderungen der Geschwindigkeitsverteilung, des statischen Drucks und der Wandschubspannung. Die maximale Strömungsgeschwindigkeit beträgt 0,31853 m/s. Zwischen den ausgewählten Messquerschnitten vor und hinter der Stenose ergibt sich eine mittlere statische Druckdifferenz von 36,24 Pa. Die maximale Wandschubspannung auf den untersuchten Stenosewänden beträgt 3,2282 Pa.Da bisher nur die 80-%-Stenose quantitativ ausgewertet wurde, lässt sich noch nicht feststellen, welche dieser Größen bei zunehmendem Stenosegrad am stärksten reagiert. '''Ab welchem Stenosegrad tritt eine Strömungsablösung auf?''' Bei der untersuchten 80-%-Stenose zeigen die Geschwindigkeitskomponenten und die vorzeichenbehaftete Wandschubspannung Hinweise auf Veränderungen der wandnahen Strömungsrichtung hinter der Engstelle. Ein eindeutig geschlossenes Rezirkulationsgebiet konnte jedoch nicht nachgewiesen werden. Ein kritischer Stenosegrad für den Beginn einer Strömungsablösung lässt sich aus dieser einzelnen Simulation daher nicht bestimmen. Hierfür müssten weitere Stenosegrade unter vergleichbaren Bedingungen ausgewertet werden. '''Inwieweit sind die Annahmen einer stationären und laminaren Strömung geeignet?''' Die stationäre, laminare Modellierung ermöglicht es, grundlegende Auswirkungen einer Gefäßverengung auf die Strömung in einer idealisierten Karotis-Bifurkation zu untersuchen. Bei hochgradigen Stenosen können allerdings zeitabhängige und dreidimensionale Strömungsstrukturen auftreten. Diese werden durch das vorliegende stationäre 2D-Modell nicht vollständig erfasst. Die Simulationsergebnisse sind deshalb auf die gewählten Modellannahmen und Randbedingungen beschränkt. '''Zusammenfassend''' liefert die 2D-Simulation eine erste quantitative Beschreibung der Strömungsverhältnisse bei einer hochgradigen ACI-Stenose. Für allgemeine Aussagen über die Abhängigkeit vom Stenosegrad und den Beginn einer Strömungsablösung sind zusätzliche Vergleichsrechnungen erforderlich. = Grenzen des Modells = * Die untersuchte Gefäßgeometrie ist eine idealisierte Darstellung der Karotisaufzweigung. Individuelle anatomische Unterschiede werden nicht berücksichtigt. * Darüber hinaus werden die Gefäßwände als starr angenommen und Blut wird durch ein inkompressibles Newtonsches Fluid mit konstanter Viskosität beschrieben. * Die Strömung wird stationär berechnet. Die natürliche Pulsation des Blutflusses und zeitabhängige Effekte bleiben damit unberücksichtigt. * Insbesondere bei hochgradigen Stenosen können zeitabhängige Strömungsablösungen auftreten, die durch eine stationäre Modellierung nicht vollständig beschrieben werden. * Das Graphenmodell kann lokale Strömungsphänomene nicht detailliert erfassen. Das ebene Flächenmodell vereinfacht die räumliche Gefäßgeometrie. Auch das dreidimensionale Modell bleibt aufgrund der idealisierten Geometrie und der vereinfachten Materialannahmen eine Annäherung an die reale Blutströmung. * Die Ergebnisse sind daher als strömungsmechanische Untersuchung eines idealisierten Modells zu interpretieren und nicht als patientenspezifische medizinische Vorhersage. = Literaturverzeichnis = Alle Quellen sind an den Stellen im Text angegeben, an denen die zugehörigen Werte oder Aussagen verwendet werden. Die Liste wird aus diesen Angaben automatisch erzeugt. <references /> 7p0oou0qxy9oz2ghe2tjmi4bhueaa1o 1119419 1119418 2026-11-11T18:11:26Z Nicole.pander 39567 /* Medizinische Relevanz */ 1119419 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Joey Becker * Marie-Thérèse Heitele * Nicole Pander = Thema = Gegenstand dieses Projekts ist die numerische Simulation der Blutströmung in einer verzweigten Halsschlagader ('''Carotis-Bifurkation''') unter dem Einfluss einer lokalen Gefäßverengung ('''Stenose'''). Im Vergleich zu einer einfachen Rohrströmungen wird hier die realitätsnahe Gefäßanatomie betrachtet: Die '''Arteria carotis communis (ACC)''' teilt sich in die '''Arteria carotis externa (ACE)''' und die '''Arteria carotis interna (ACI)''' auf. Während die '''ACE''' als gesunder, stenosefreier Ast dient, wird in der '''ACI''' eine Gefäßverengung modelliert. Hierbei werden unterschiedliche Stenosegrade betrachtet. Als Referenz dient ein gesundes, unverengtes Gefäß, in dem sich die Poiseuille-Strömung mit ihrem charakteristischen parabolischen Geschwindigkeitsprofil ausbildet. Diese Strömung ist aus zwei Gründen der natürliche Ausgangspunkt. Sie beschreibt den physiologischen Normalfall, mit dem jeder Stenosegrad verglichen wird. == Fragestellung == Die Hauptfragestellung dieses Projektes lautet: Wie verändert eine Stenose in der '''Arteria carotis interna (ACI)''' die Strömung des Blutes hinsichtlich Strömungsgeschwindigkeit und des Druckabfalls über die Engstelle im Vergleich zum gesunden Gefäßabschnitt? Aus dieser Fragestellung ergeben sich drei Teilfragen, an denen sich der Aufbau der Seite orientiert: # Wie stark steigt die maximale Strömungsgeschwindigkeit in der Stenose mit zunehmendem Stenosegrad an? # Wie groß ist die Druckdifferenz vor und nach der Stenose bei den untersuchten Stenosegraden und ab welchem Stenosegrad nimmt sie deutlich zu? # Wie stark hängen Geschwindigkeitsmaximum und Druckdifferenz von der gewählten Auslassrandbedingung ab? = Relevanz = Die Untersuchung von Gefäßverengungen besitzt sowohl eine medizinische als auch eine methodische Bedeutung. Aus medizinischer Sicht sind arterielle Stenosen – etwa in der Halsschlagader – kritisch, da sie die Durchblutung beeinträchtigen und durch veränderte Wandschubspannungen sowie die Bildung von Wirbeln weitere Gefäßablagerungen begünstigen. Stenosen im Bereich der Karotisgabelung sind klinisch hochrelevant, da sie das Gehirn direkt versorgen und das Risiko für embolische Schlaganfälle erhöhen. Fachlich überträgt das Projekt damit die Prinzipien der Strömungsmechanik direkt auf eine biomedizinische Anwendung. Das Projekt verknüpft somit theoretische Grundlagen der Strömungsmechanik (Hagen-Poiseuille-Gleichung, Navier-Stokes-Gleichungen) mit der numerischen Simulation in COMSOL Multiphysics. Durch den Vergleich der '''gesunden Externa (ACE)''' mit der '''stenoisierten Interna (ACI)''' innerhalb desselben Rechengebiets wird die isolierte Wirkung der Stenose unter identischen Randbedingungen direkt sichtbar gemacht. == Medizinische Relevanz == Arterielle Stenosen entstehen überwiegend durch Atherosklerose, also durch Ablagerungen aus Lipiden, Bindegewebe und Kalk in der Gefäßwand. In der Halsschlagader sind sie klinisch besonders bedeutsam, weil sie die Durchblutung des Gehirns beeinträchtigen und weil sich an ihnen Thromben bilden können, die als Embolie einen Schlaganfall auslösen. Dass die operative Entfernung einer hochgradigen Karotisstenose das Schlaganfallrisiko symptomatischer Patienten deutlich senkt, hat die NASCET-Studie gezeigt, deren Einteilung der Stenosegrade dieses Projekt übernimmt.<ref name="nascet">North American Symptomatic Carotid Endarterectomy Trial Collaborators: ''Beneficial effect of carotid endarterectomy in symptomatic patients with high-grade carotid stenosis.'' New England Journal of Medicine 325 (1991), Nr. 7, S. 445-453.</ref> == Methodische Relevanz == Fachlich überträgt das Projekt die Prinzipien der Strömungsmechanik aus der Vorlesung auf eine biomedizinische Anwendung.<ref name="hundertmark">Hundertmark, A.: ''Fluiddynamik.'' Vorlesungsunterlagen zum Modul Räumliche Modellbildung, RPTU Kaiserslautern-Landau, Sommersemester 2026.</ref> Der methodische Mehrwert liegt in der Verknüpfung mehrerer Zugänge, die sich gegenseitig kontrollieren. Die analytische Poiseuille-Lösung liefert exakte Sollwerte für das gesunde Gefäß. Ein reduziertes Graphenmodell liefert für jeden Stenosegrad eine schnelle Abschätzung, die analytisch nachrechenbar ist. Die Simulationen in COMSOL Multiphysics lösen schließlich die vollständigen Navier-Stokes-Gleichungen in zwei und drei Raumdimensionen. Weil jede Stufe die Sollwerte der nächsten liefert, zeigt das Projekt nicht nur Ergebnisse, sondern auch, wie numerische Modelle aufgebaut, verifiziert und an ihren Grenzen bewertet werden. == Modellannahmen == Im Hinblick darauf werden für dieses Projekt einige Annahmen getroffen, um das Projekt möglichst isoliert zu untersuchen und zu simplifizieren: * '''Idealisierte Gefäßgeometrie''': Betrachtet wird ein Teilabbschnitt der ''Arteria carotis communis'', die sog. ''ACI''. Zudem werden Gefäßverkrümmungen, weitere Verzweigungen und patientenspezifische Strukturen nicht berücksichtigt. * '''Starre Gefäßwand''': Die Gefäßwand wird als unbeweglich und nicht verformbar angenommen. Eine Wechselwirkung zwischen elastischer Gefäßwand und Blutströmung wird nicht modelliert. * '''Stationäre Strömung''': Die Strömungsgrößen werden als zeitlich konstant angenommen. Die im realen Blutkreislauf vorhandene Pulsation durch den Herzschlag wird daher vernachlässigt: <math>\frac{\partial u}{\partial t}=0</math>. * '''Inkompressibles Fluid''': Die Dichte des Fluids wird als konstant angenommen. Damit gilt für die Geschwindigkeit <math>\nabla \cdot u=0</math>. Dies entspricht der in der Vorlesung behandelten Massenerhaltung für inkompressible Fluide: Was in das Gefäß einströmt, muss auch wieder ausströmen. * '''Newton'sche Näherung für Blut''': Reales Blut beseitzt ein nicht newton'sches Fließverhalten. Hier wird Blut als Newton'sches Fluid behandelt. * '''Konstante Stoffeigenschaften''': Dichte <math>\rho</math> und dynamische Viskosität μ werden als räumlich und zeitlich konstant angenommen. Temperaturabhängigkeiten werden nicht berücksichtigt. * '''Laminare Strömung''': Die Strömung wird mit dem COMSOL-Modul ''Laminar Flow'' beschrieben. Ein zusätzliches Turbulenzmodell wird nicht verwendet. * '''No-Slip-Bedingung an Gefäßwand''': Aufgrund der Viskosität wird angenommen, dass das Fluid direkt an der Gefäßwand haftet. Somit gilt <math>u=0</math>. * '''Vernachlässigung der Gravitation''': Gravitation wird nicht berücksichtigt. Die Strömung wird ausschließlich durch die gewählten Ein- und Auslassbedingungen bestimmt. == Methodische Relevanz == Fachlich überträgt das Projekt die Prinzipien der Strömungsmechanik aus der Vorlesung auf eine biomedizinische Anwendung.<ref name="hundertmark">Hundertmark, A.: ''Fluiddynamik.'' Vorlesungsunterlagen zum Modul Räumliche Modellbildung, RPTU Kaiserslautern-Landau, Sommersemester 2026.</ref> Der methodische Mehrwert liegt in der Verknüpfung mehrerer Zugänge, die sich gegenseitig kontrollieren. Die analytische Poiseuille-Lösung liefert exakte Sollwerte für das gesunde Gefäß. Ein reduziertes Graphenmodell liefert für jeden Stenosegrad eine schnelle Abschätzung, die analytisch nachrechenbar ist. Die Simulationen in COMSOL Multiphysics lösen schließlich die vollständigen Navier-Stokes-Gleichungen in zwei und drei Raumdimensionen. Weil jede Stufe die Sollwerte der nächsten liefert, zeigt das Projekt nicht nur Ergebnisse, sondern auch, wie numerische Modelle aufgebaut, verifiziert und an ihren Grenzen bewertet werden. == Auswahl der Stenosegrade == Um die untersuchten Gefäßverengungen nicht willkürlich festzulegen, orientiert sich die Auswahl der Stenosegrade an der klinisch gebräuchlichen NASCET-Klassifikation von Karotisstenosen.<ref name="nascet" /> Zur klinischen Einordnung werden Karotisstenosen anhand der nach NASCET bestimmten Durchmesserreduktion in leichtgradige, mittelgradige und hochgradige Stenosen eingeteilt. Die angegebenen Prozentgrenzen dienen in diesem Projekt als Orientierung für die Auswahl der untersuchten Stenosegrade. Ein vollständiger Gefäßverschluss wird als Okklusion bezeichnet. {| class="wikitable" |+ Klinische Einteilung nach NASCET-gemessener Durchmesserreduktion und untersuchte Stenosegrade ! Schweregrad !! Durchmesserreduktion !! im Projekt gerechnete Stenosegrade !! hervorgehobener Vertreter |- | gesundes Gefäß || 0 % || 0 || 0 |- | leichtgradige Stenose || unter 50 % || 0,1 bis 0,4 || 0,3 |- | mittelgradige Stenose || 50 bis 69 % || 0,5 und 0,6 || 0,6 |- | hochgradige Stenose || 70 bis 99 % || 0,7 und 0,8 || 0,8 |- | Okklusion || 100 % || nicht gerechnet || entfällt |} '''Anmerkung''': Die Klassengrenzen dienen der Einordnung der Modellvarianten. Die in der Tabelle genannten Stenosegrade sind dimensionslose Werte, beispielsweise entspricht '''<math>s=0{,}6</math>''' einer Durchmesserreduktion von '''60 %'''. Für die numerische Untersuchung wird aus jeder Kategorie ein repräsentativer Stenosegrad hervorgehoben. Neben dem gesunden Gefäß mit '''0 %''' Stenose sind das eine '''30 %''' Stenose als Beispiel für eine leichtgradige, eine '''60 %''' Stenose als Beispiel für eine mittelgradige und eine '''80 %''' Stenose als Beispiel für eine hochgradige Verengung. Zusätzlich werden für das Graphenmodell und das achsensymmetrische Flächenmodell Stenosegrade von 0 bis 80 % in Schritten von zehn Prozentpunkten vorgesehen. Dadurch kann die Abhängigkeit der Strömungsgrößen vom Stenosegrad systematisch untersucht und grafisch dargestellt werden. Ob alle Modellvarianten tatsächlich berechnet wurden und wie hoch der Rechenaufwand war, wird anhand der durchgeführten Simulationen dokumentiert. Ein vollständiger Gefäßverschluss wird nicht simuliert, da in diesem Fall keine durchgängige Strömung mehr vorliegt. Der Stenosegrad wird in diesem Projekt wie bei NASCET über die Verringerung des Gefäßdurchmessers beschrieben, <math>s = 1 - \frac{d_{\min}}{d_{\mathrm{ref}}},</math> wobei <math>d_{\min}</math> der kleinste Durchmesser in der Engstelle und <math>d_{\mathrm{ref}}</math> ein Referenzdurchmesser ist. NASCET verwendet als Referenz den Durchmesser des gesunden Gefäßes stromabwärts der Stenose. Für das idealisierte gerade Gefäßmodell wird ein konstanter Referenzdurchmesser von <math>D_0=6\,\mathrm{mm}</math> angenommen. Da das Gefäß außerhalb der Stenose denselben Durchmesser besitzt, gilt in diesem Modell<math>d_{\mathrm{ref}}=D_0</math>. Bei der zusätzlich betrachteten Gefäßaufzweigung muss der Referenzdurchmesser dagegen gesondert festgelegt werden, da die Gefäßäste unterschiedliche Durchmesser besitzen. Wichtig für das Verständnis aller weiteren Ergebnisse ist der Unterschied zwischen Durchmesser- und Flächenreduktion. Da die Querschnittsfläche quadratisch vom Durchmesser abhängt, gilt für die Flächenreduktion <math>1-(1-s)^2</math>. Eine im klinischen Sinn nur mittelgradige Stenose von 60 % verschließt damit bereits 84 % der Querschnittsfläche. {| class="wikitable" |+ Durchmesser- und Flächenreduktion der gerechneten Stenosegrade ! Stenosegrad s !! 0 !! 0,1 !! 0,2 !! 0,3 !! 0,4 !! 0,5 !! 0,6 !! 0,7 !! 0,8 |- | engster Durchmesser in mm || 6,0 || 5,4 || 4,8 || 4,2 || 3,6 || 3,0 || 2,4 || 1,8 || 1,2 |- | Flächenreduktion || 0 % || 19 % || 36 % || 51 % || 64 % || 75 % || 84 % || 91 % || 96 % |} Eine Einschränkungen gehört zur ehrlichen Einordnung: # Mit zunehmendem Stenosegrad, insbesondere bei ausgeprägten Verengungen, können lokale Beschleunigungen, Strömungsablösungen und zeitabhängige Strömungsstrukturen auftreten. Daher muss bei den hochgradigen Stenosen geprüft werden, inwieweit die Annahme einer stationären, laminaren Strömung geeignet ist. Eine feste Grenze bei <math>s=0{,}6</math> lässt sich ohne entsprechende Simulationsergebnisse oder Literaturbelege nicht allgemein festlegen. Die hochgradigen Fälle werden deshalb unter besonderer Berücksichtigung der Modellannahmen diskutiert. Unter Modellierung wird in diesem Projekt die Übertragung der Blutströmung in einer verengten Arterie auf ein mathematisches und numerisch lösbares Strömungsproblem verstanden. Dazu werden die Gefäßgeometrie, die zugrunde liegenden Gleichungen, die physikalischen Materialparameter sowie die Anfangs- und Randbedingungen festgelegt. Jeder dieser Bestandteile beruht auf vereinfachenden Annahmen, die begründet und bei der Interpretation der Ergebnisse berücksichtigt werden müssen. Ziel ist es, den Einfluss unterschiedlicher Stenosegrade auf die Strömungsgeschwindigkeit, den Druckverlust und gegebenenfalls die Wandschubspannung systematisch zu untersuchen. Die Modellierung erfolgt anhand mehrerer Modellvarianten mit unterschiedlicher räumlicher Auflösung. Dadurch können zunächst grundlegende Zusammenhänge analytisch abgeschätzt und anschließend mit numerischen Strömungsberechnungen verglichen werden. Die verwendeten Parameter orientieren sich an den bereitgestellten Referenzdaten und werden in den folgenden Abschnitten erläutert. == Modellierung == Ziel der Modellierung ist es, die Blutströmung innerhalb einer Y-förmigen Aufzweigung der Halsschlagader mathematisch und numerisch zu untersuchen. Im Mittelpunkt steht eine Gefäßverengung (Stenose) in der Arteria carotis interna. Das betrachtete Gefäßmodell besteht aus der Arteria carotis communis, die sich in die Arteria carotis interna und die Arteria carotis externa aufteilt. Die Stenose befindet sich ausschließlich in der Arteria carotis interna. Durch die Verengung verändert sich der verfügbare Strömungsquerschnitt. Dies kann zu einer Erhöhung der lokalen Strömungsgeschwindigkeit, zu zusätzlichen Druckverlusten und zu einer Veränderung der Strömungsverteilung zwischen den beiden Gefäßästen führen. Ziel ist es, den Einfluss unterschiedlicher Stenosegrade auf die Strömungsgeschwindigkeit, die Druckverteilung und die Wandschubspannung zu untersuchen. Zusätzlich soll betrachtet werden, wie sich die Strömung innerhalb der Y-förmigen Gefäßaufzweigung verhält. Die numerische Modellierung erfolgt mit COMSOL Multiphysics. Dazu werden die Gefäßgeometrie, die Materialeigenschaften des Blutes, die Strömungsgleichungen und die Randbedingungen festgelegt. Zur Vereinfachung wird Blut zunächst als inkompressibles, Newtonsches Fluid betrachtet. Die Gefäßwände werden als starr angenommen. Diese Annahmen ermöglichen eine systematische Untersuchung der Stenose, schränken jedoch die Übertragbarkeit auf reale physiologische Bedingungen ein. === Modellhierarchie === Für die Untersuchung der Blutströmung innerhalb der Y-förmigen Karotisaufzweigung werden drei Modellvarianten betrachtet. Diese unterscheiden sich hinsichtlich ihrer räumlichen Dimension, ihrer mathematischen Beschreibung und der Genauigkeit, mit der die Strömungsverhältnisse dargestellt werden können. Das untersuchte Gefäß besteht aus der Arteria carotis communis, die sich in die Arteria carotis interna und die Arteria carotis externa aufteilt. Die Stenose befindet sich ausschließlich in der Arteria carotis interna. Alle drei Modellvarianten werden mit COMSOL Multiphysics umgesetzt. {| class="wikitable" style="width:100%;" |+ '''Die drei Modellvarianten des Projekts''' |- ! Modell ! Raumdimension ! Mathematische Grundlage ! Zweck ! Werkzeug |- | '''Graphenmodell''' | 1D, Gefäßnetzwerk mit einer Verzweigung | Massenerhaltung an der Verzweigung und vereinfachte Beschreibung der Strömungswiderstände | Abschätzung der Volumenstromverteilung und der Druckverluste in den Gefäßästen | COMSOL Multiphysics |- | '''Ebenes Flächenmodell''' | 2D, Y-förmige Gefäßgeometrie in kartesischen Koordinaten | Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen | Untersuchung der Geschwindigkeits- und Druckverteilung sowie der Auswirkungen der Stenose in der Arteria carotis interna | COMSOL Multiphysics, Laminare Strömung |- | '''Volumenmodell''' | 3D, räumliche Y-förmige Gefäßgeometrie | Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen | Räumliche Untersuchung des Geschwindigkeitsfeldes, des Druckverlustes und der Wandschubspannung | COMSOL Multiphysics, Laminare Strömung |} ==== Vergleich und Überprüfung der Modellvarianten ==== Die drei Modellvarianten bauen hinsichtlich ihrer räumlichen Beschreibung aufeinander auf. Das Graphenmodell ermöglicht zunächst eine vereinfachte Betrachtung der Volumenströme und Druckverluste. Die zwei- und dreidimensionalen Modelle erlauben anschließend eine detailliertere Untersuchung der Strömung innerhalb der Gefäßaufzweigung. Das '''Graphenmodell''' beschreibt die Arteria carotis communis sowie die beiden abzweigenden Gefäße als miteinander verbundenes Netzwerk. Dabei wird die Massenerhaltung an der Verzweigung berücksichtigt: :<math>Q_{\mathrm{CCA}}=Q_{\mathrm{ICA}}+Q_{\mathrm{ECA}}</math> Das Modell liefert vereinfachte Abschätzungen der Volumenstromverteilung. Lokale Strömungsablösungen und räumliche Geschwindigkeitsverteilungen können damit nicht detailliert dargestellt werden. Das '''ebene Flächenmodell''' bildet die Y-förmige Gefäßaufzweigung in zwei Raumdimensionen ab. Die Stenose wird innerhalb der Arteria carotis interna berücksichtigt. Dadurch können die Geschwindigkeits- und Druckverteilung sowie mögliche Rückströmungsbereiche untersucht werden. Das '''Volumenmodell''' erweitert die Untersuchung auf drei Raumdimensionen. Es ermöglicht eine räumliche Darstellung der Strömung und eine detailliertere Berechnung der Wandschubspannung. Die Ergebnisse des ebenen Flächenmodells und des Volumenmodells werden miteinander verglichen. Da das ebene Modell die räumliche Querschnittsgeometrie nur vereinfacht darstellt, müssen Unterschiede zwischen den beiden Modellen bei der Interpretation berücksichtigt werden. Ziel der Modellhierarchie ist es, die Aussagekraft der einzelnen Modellvarianten zu bewerten und den Einfluss des Stenosegrades auf die Strömung innerhalb der Y-förmigen Karotisaufzweigung zu untersuchen. === Simulationsgebiet und Geometrie === Das Simulationsgebiet besteht aus einer idealisierten Y-förmigen Aufzweigung der Arteria carotis. Die Arteria carotis communis teilt sich in die Arteria carotis interna und die Arteria carotis externa. Die Stenose befindet sich in der Arteria carotis interna. Die Arteria carotis externa wird ohne zusätzliche Verengung modelliert. Die Geometrie orientiert sich an den bereitgestellten Referenzdaten. Die Gefäßdurchmesser werden innerhalb der jeweiligen unverengten Abschnitte als konstant angenommen. {| class="wikitable" style="width:100%;" |+ '''Geometrische Referenzparameter der Y-förmigen Gefäßaufzweigung''' |- ! Gefäßabschnitt ! Durchmesser ! Länge |- | Arteria carotis communis | 6 mm | 60 mm |- | Arteria carotis interna | 5 mm | 60 mm |- | Arteria carotis externa | 4 mm | 60 mm |- | Stenose in der Arteria carotis interna | Abhängig vom Stenosegrad | 10 bzw. 20 mm |} Die Verengung wird über den Stenosegrad <math>s</math> beschrieben. Dieser gibt die relative Verringerung des Gefäßdurchmessers an: :<math>s=1-\frac{d_{\min}}{D_{\mathrm{ICA}}}</math> Dabei bezeichnet <math>d_{\min}</math> den minimalen Durchmesser innerhalb der Stenose und <math>D_{\mathrm{ICA}}</math> den unverengten Referenzdurchmesser der Arteria carotis interna. Für das Modell gilt: :<math>D_{\mathrm{ICA}}=5\,\mathrm{mm}</math> Der minimale Durchmesser ergibt sich damit zu: :<math>d_{\min}=D_{\mathrm{ICA}}(1-s)</math> {| class="wikitable" |+ '''Minimaler Durchmesser der Stenose in der Arteria carotis interna''' |- ! Stenosegrad ! Minimaler Durchmesser |- | 0 % | 5,0 mm |- | 10 % | 4,5 mm |- | 20 % | 4,0 mm |- | 30 % | 3,5 mm |- | 40 % | 3,0 mm |- | 50 % | 2,5 mm |- | 60 % | 2,0 mm |- | 70 % | 1,5 mm |- | 80 % | 1,0 mm |} Die angegebenen Stenosegrade beziehen sich ausschließlich auf den Durchmesser der Arteria carotis interna. Der Durchmesser der Arteria carotis communis wird nicht zur Berechnung des Stenosegrades verwendet. Die Y-förmige Geometrie ermöglicht es, die Auswirkungen der Verengung sowohl auf die lokale Strömung in der Arteria carotis interna als auch auf die Strömungsverteilung innerhalb der gesamten Gefäßaufzweigung zu untersuchen. Die genaue Form der Stenose, der Verzweigungswinkel und die Übergänge zwischen den Gefäßabschnitten müssen entsprechend der tatsächlich in COMSOL verwendeten Geometrie dokumentiert werden. == Stoff- und Strömungsparameter == Die Stoffwerte des Blutes und der Volumenstrom sind die einzigen Eingangsgrößen, die nicht aus der Geometrie folgen. Aus ihnen werden alle weiteren Strömungskennwerte berechnet. Die folgenden Schritte zeigen jede Rechnung einzeln, damit sich jeder Wert nachprüfen lässt. # Die '''Dichte''' wird mit <math>\rho = 1060\ \mathrm{kg/m^3}</math> angesetzt. Der Wert lässt sich als Mischungsregel plausibel machen. Plasma hat eine Dichte von etwa 1025 kg/m³, rote Blutkörperchen von etwa 1100 kg/m³. Bei einem Zellanteil von 45 % ergibt sich <math>0{,}55 \cdot 1025 + 0{,}45 \cdot 1100 \approx 1059\ \mathrm{kg/m^3}</math>. Die Dichte geht nur über die Reynoldszahl in die Rechnung ein, eine Abweichung von einem Prozent ändert die Ergebnisse daher kaum. <!-- FIXME Lehrbuchquelle fuer Plasma- und Erythrozytendichte ergaenzen --> # Die '''dynamische Viskosität''' wird mit <math>\mu = 3{,}5\ \mathrm{mPa\,s}</math> angesetzt. Das ist der Grenzwert der Blutviskosität bei hohen Scherraten, also genau der Wert, der zur Newtonschen Näherung gehört. Derselbe Wert von 0,035 Poise wird auch im Standardwerk zur Modellierung des Herz-Kreislauf-Systems verwendet.<ref name="quarteroni">Quarteroni, A.; Formaggia, L.: ''Mathematical Modelling and Numerical Simulation of the Cardiovascular System.'' In: Ayache, N. (Hrsg.): ''Computational Models for the Human Body.'' Handbook of Numerical Analysis, Bd. XII, Elsevier, Amsterdam 2004, S. 3-127. DOI 10.1016/S1570-8659(03)12001-7. Zur Newtonschen Näherung in großen Gefäßen siehe S. 30, zur Viskosität von 0,035 Poise die Parametertabelle auf S. 116.</ref> # Der '''mittlere Volumenstrom''' wird mit <math>Q_0 = 6\ \mathrm{ml/s}</math> angesetzt. Das ist der zeitlich gemittelte Volumenstrom, der in der gemeinsamen Halsschlagader gesunder Probanden gemessen wurde. # Die '''mittlere Geschwindigkeit''' folgt aus Volumenstrom und Querschnittsfläche, <math>U_0 = \frac{Q_0}{\pi R_0^2} = \frac{6 \cdot 10^{-6}\ \mathrm{m^3/s}}{\pi \cdot (0{,}003\ \mathrm{m})^2} = 0{,}2122\ \mathrm{m/s}</math>. # Die '''Reynoldszahl''' des gesunden Gefäßes ist <math>Re_0 = \frac{\rho\, U_0\, D_0}{\mu} = \frac{1060 \cdot 0{,}2122 \cdot 0{,}006}{0{,}0035} = 385{,}6</math>. Sie wird im Folgenden auf 386 gerundet. # Die '''Einlauflänge''', die eine anfangs gleichförmige Strömung bis zum voll entwickelten Parabelprofil bräuchte, beträgt nach der gebräuchlichen Abschätzung für laminare Rohrströmungen <math>L_e \approx 0{,}06\, Re_0\, D_0 \approx 0{,}06 \cdot 386 \cdot 6\ \mathrm{mm} \approx 139\ \mathrm{mm}</math>.<ref name="durst">Durst, F.; Ray, S.; Ünsal, B.; Bayoumi, O. A.: ''The development lengths of laminar pipe and channel flows.'' Journal of Fluids Engineering 127 (2005), Nr. 6, S. 1154-1160. Für große Reynoldszahlen nähert sich die dort angegebene Korrelation dem Wert 0,057·Re·D.</ref> Das ist fast die gesamte Länge des Rechengebiets. Ein konstantes Einlassprofil würde die Strömung an der Stenose also verfälschen, weshalb am Einlass das voll entwickelte Profil vorgegeben wird. Damit liegen alle globalen Parameter fest. Die folgende Tabelle enthält sie mit genau den Namen, unter denen sie in COMSOL und in den Octave-Skripten verwendet werden. {| class="wikitable" |+ Globale Parameter des Modells ! Name !! Ausdruck in COMSOL !! Wert !! Bedeutung !! Herkunft |- | R0 || 3[mm] || 3 mm || Gefäßradius || Messwerte nach Krejza u. a. 2006, gerundet |- | D0 || 2*R0 || 6 mm || Gefäßdurchmesser || abgeleitet |- | Ls || 2*D0 || 12 mm || Länge der Störstelle || Standardgeometrie nach Varghese u. a. 2007 |- | Lu || 5*D0 || 30 mm || Vorlaufstrecke vor der Stenosemitte || Abstand der Einlassbedingung von der Stenose |- | Ld || 20*D0 || 120 mm || Nachlaufstrecke hinter der Stenosemitte || Platz für das Rückströmgebiet |- | Lf || Ls/2+10*D0 || 66 mm || Ende des fein vernetzten Nachlaufs || erwartete Länge des Rückströmgebiets |- | s || 0 bis 0.8 || 0 bis 0,8 || Stenosegrad bezogen auf den Durchmesser || NASCET-Einteilung |- | rho_b || 1060[kg/m^3] || 1060 kg/m³ || Dichte des Blutes || Mischungsregel, Literaturwert |- | mu_b || 3.5[mPa*s] || 3,5 mPa·s || dynamische Viskosität des Blutes || Hochscherwert, Quarteroni und Formaggia 2004 |- | Q0 || 6[ml/s] || 6 ml/s || mittlerer Volumenstrom || Messwerte nach Holdsworth u. a. 1999 |- | U0 || Q0/(pi*R0^2) || 0,2122 m/s || mittlere Einströmgeschwindigkeit || abgeleitet |- | Re0 || rho_b*U0*D0/mu_b || 385,6 || Reynoldszahl des gesunden Gefäßes || abgeleitet |- | dp_ref || 8*mu_b*U0*(Lu+Ld)/R0^2 || 99,03 Pa || Poiseuille-Druckabfall des gesunden Gefäßes || abgeleitet, Hagen-Poiseuille |} = Implementierung des 2D-Modells in COMSOL Multiphysics = == Zielsetzung des zweidimensionalen Modells == Im Rahmen des Projekts wurde mit COMSOL Multiphysics ein zweidimensionales Modell der menschlichen Halsschlagader erstellt. Ziel ist es, die Blutströmung innerhalb einer Gefäßverzweigung zu untersuchen und insbesondere die Auswirkungen einer lokalen Gefäßverengung (Stenose) auf das Strömungsverhalten zu analysieren. Das Modell bildet die Aufzweigung der Arteria carotis communis (ACC) in die Arteria carotis interna (ACI) und die Arteria carotis externa (ACE) ab. Während die ACE als gesunder Gefäßabschnitt betrachtet wird, befindet sich in der ACI eine lokale Verengung. Dadurch können die Strömungsverhältnisse in beiden Ästen miteinander verglichen werden. Die zweidimensionale Modellierung dient dazu, die Geschwindigkeitsverteilung, den Druckabfall und die Wandschubspannung zu untersuchen. Zusätzlich soll festgestellt werden, ob sich hinter der Stenose Bereiche mit Strömungsablösungen oder Rückströmungen ausbilden. ==Vorgehen== Für die numerische Untersuchung in COMSOL Multiphysics 6.2 zunächst ein zweidimensionales Modell mit der Physik ''Laminare Strömung'' und einer ''stationären Studie'' angelegt. Die Gefäßgeometrie wurde vollständig parametrisiert, damit Durchmesser, Gefäßlängen, Verzweigungswinkel, Stenosegrad sowie die Stenoselänge veränderbar sind, ohne das Modell jeweils neu zu zeichnen. Das gemeinsame Zuflussgefäß stellt die Arteria carotis communis mit einem Durchmesser von <math>6\,\mathrm{mm}</math> dar. Nach einem geraden Einlaufabschnitt von <math>60\,\mathrm{mm}</math> teilt es sich V-förmig in die beiden Tochtergefäße auf. Die Arteria carotis interna wird mit einem Durchmesser von <math>5\,\mathrm{mm}</math>, die Arteria carotis externa mit <math>4\,\mathrm{mm}</math> modelliert. Beide Tochtergefäße sind jeweils <math>60\,\mathrm{mm}</math> lang. Die Grundgeometrie wurde als zusammenhängender zweidimensionaler Volumenkörper aufgebaut. Die beiden Tochtergefäße verlaufen nach der Bifurkation unter einem Winkel auseinander, sodass eine idealisierte Y-förmige Karotisgabel entsteht. Die Übergänge zwischen dem gemeinsamen Gefäß und den beiden Ästen wurden bewusst vereinfacht, aber ohne abrupte Querschnittssprünge gestaltet. Auf diese Weise bleibt die Geometrie ausreichend einfach für einen systematischen Vergleich verschiedener Modellvarianten, bildet die typische Aufzweigung einer Karotis. Die Stenose befindet sich ausschließlich in der Arteria carotis interna. Um die Verengung nicht durch gerade Polygonsegmente mit scharfen Knicken darzustellen, wurde ihre Kontur mithilfe von zwei parametrischen Kosinuskurven erzeugt. Zur Beschreibung der Stenose wird eine parametrische Kurve mit dem Hilfsparameter <math>t</math> verwendet. Dieser nimmt Werte zwischen <math>-1</math> und <math>1</math> an. Über die Beziehung <math>x(t)=x_\mathrm{st}+\frac{L_\mathrm{st}}{2}t</math> wird der Parameter auf die räumliche Position entlang des Gefäßes übertragen. Für <math>t=-1</math> liegt der Beginn der Stenose bei <math>x_\mathrm{st}-L_\mathrm{st}/2</math>, für <math>t=0</math> befindet sich die Kurve in der Stenosenmitte und für <math>t=1</math> am Ende bei <math>x_\mathrm{st}+L_\mathrm{st}/2</math>. Dadurch kann die Länge der Stenose über den Parameter <math>L_\mathrm{st}</math> verändert werden, ohne ihre Mittelpunktposition <math>x_\mathrm{st}</math> zu verschieben. Die Einengung wächst vom Beginn der Stenose kontinuierlich bis zur Engstelle an und nimmt danach ebenso kontinuierlich wieder ab. Dadurch entstehen glatte Wandübergänge. Die Stärke der Einengung wird über den dimensionslosen Stenosegrad <math>s</math> gesteuert. Für einen unverengten Durchmesser der Arteria carotis interna von <math>D_\mathrm{ACI}=5\,\mathrm{mm}</math> ergibt sich bei einem Stenosegrad von <math>s=0{,}3</math> eine minimale Gefäßweite von <math>3{,}5\,\mathrm{mm}</math>, bei <math>s=0{,}6</math> von <math>2{,}0\,\mathrm{mm}</math> und bei <math>s=0{,}8</math> von <math>1{,}0\,\mathrm{mm}</math>. Die minimale Gefäßweite ergibt sich allgemein aus <math>d_\mathrm{min}=D_\mathrm{ACI}(1-s)</math>. Die beiden parametrischen Kurven wurden mit Hilfslinien zu geschlossenen Flächen ergänzt und anschließend über „Umwandeln in Volumenkörper“ in Flächenobjekte überführt. Mithilfe einer Differenzoperation wurden diese Flächen aus dem Gefäßgebiet ausgeschnitten. Auf diese Weise bleibt die Grundgeometrie des Gefäßes unverändert, während Stenosegrad und Stenosenlänge allein über globale Parameter variiert werden können. Für die Strömung wurde Blut als inkompressibles Newtonsches Fluid mit konstanter Dichte und Viskosität angenähert. Verwendet werden eine Dichte von <math>\rho=1060\,\mathrm{kg/m^3}</math> und eine dynamische Viskosität von <math>\mu=3,5\,\mathrm{mPa s}</math>. Am Einlass wird ein voll entwickeltes Geschwindigkeitsprofil vorgegeben. Aus dem auf der Projektseite angesetzten mittleren Volumenstrom von <math>6\,\mathrm{ml/s}</math> ergibt sich für das <math>6\,\mathrm{mm}</math> breite Zuflussgefäß eine mittlere Geschwindigkeit von rund <math>0{,}21\,\mathrm{m/s}</math>. An beiden Auslässen wird derselbe Referenzdruck vorgegeben, während an sämtlichen Gefäßwänden die Haftbedingung (No Slip) gilt. Nach Fertigstellung der Geometrie wurde ein physikgesteuertes Finite-Elemente-Netz erzeugt und die stationäre Navier-Stokes-Strömung berechnet. Anschließend wurden insbesondere der Geschwindigkeitsbetrag, die Druckverteilung und die Stromlinien ausgewertet. Die Stromlinien dienen dabei nicht nur der Visualisierung der Aufteilung des Blutstroms an der Bifurkation, sondern auch zur Erkennung möglicher Ablöse- und Rückströmungsgebiete hinter der Stenose. Zusätzlich kann die Wandschubspannung entlang der Gefäßwand ausgewertet werden. Die verschiedenen Stenosegrade werden jeweils bei ansonsten identischen Randbedingungen miteinander und mit dem gesunden Referenzfall verglichen. == Ergebnisse der 2D-Strömungssimulation == Die zweidimensionale Strömungssimulation wurde mit COMSOL Multiphysics durchgeführt, um die Auswirkungen einer lokalen Gefäßverengung auf die Blutströmung innerhalb einer idealisierten Karotis-Bifurkation zu untersuchen. Im Mittelpunkt der Auswertung stehen die Geschwindigkeitsverteilung, die Druckverteilung sowie die Wandschubspannung. Ergänzend werden Stromlinien betrachtet, um mögliche Veränderungen des Strömungsverlaufs und das Auftreten von Rückströmungsgebieten hinter der Stenose zu untersuchen. Die Ergebnisse werden hinsichtlich ihrer strömungsmechanischen Bedeutung interpretiert und unter Berücksichtigung der vereinfachenden Modellannahmen bewertet. === Quantitative Auswertung der Strömungsgeschwindigkeit === Zur Untersuchung des Einflusses verschiedener Stenosegrade auf die Strömungsgeschwindigkeit wurde in COMSOL Multiphysics der Geschwindigkeitsbetrag <code>spf.U</code> mithilfe der Funktion ''Oberflächenmaximum'' ausgewertet. Dabei wurden Stenosegrade von 0 %, 30 %, 60 %, 80 % und 100 % betrachtet. Die Berechnungen erfolgten zunächst mit einer Druckrandbedingung von <math>p_0 = 0\,\mathrm{Pa}</math> und anschließend mit einer Resistenzrandbedingung bei <math>k_R = 1</math>. ==== Druckrandbedingung ==== Bei der Druckrandbedingung wurde die maximale Geschwindigkeit über das gesamte Strömungsgebiet bestimmt. {| class="wikitable" ! Stenosegrad ! Maximale Geschwindigkeit [m/s] |- | 0 % || 0,28385 |- | 30 % || 0,27091 |- | 60 % || 0,35036 |- | 80 % || 0,38530 |- | 100 % || 0,46125 |} Die Ergebnisse zeigen zunächst eine leichte Abnahme der maximalen Geschwindigkeit bei 30 % Stenose. Ab 60 % steigt diese mit zunehmender Verengung an. Dies ist mit einer lokalen Beschleunigung der Strömung infolge des verringerten Strömungsquerschnitts vereinbar. Bei 100 % Stenose beträgt das globale Geschwindigkeitsmaximum 0,46125 m/s. Da die Arteria carotis interna (ACI) vollständig verschlossen ist, beschreibt dieser Wert nicht die Strömung durch den Verschluss, sondern kann aus einem anderen, weiterhin durchströmten Gefäßbereich stammen. ==== Graphische Auswertungen in Comsol ==== [[Datei:0%, Geschwindigkeit, p0=0.png|mini|zentriert|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 0 % Stenose und einer Druckrandbedingung von p₀ = 0 Pa.]] <div style="display:flex; justify-content:center; gap:15px;"> <div> [[Datei:0,3%, Geschwindigkeit, p0=0.png|mini|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 30 % Stenose und einer Druckrandbedingung von p₀ = 0 Pa.]] </div> <div> [[Datei:0,3%, Geschwindigkeit, p0=0, Nah Stenose.png|mini|300px|Vergrößerte Geschwindigkeitsverteilung im Bereich der 30%igen Stenose bei p₀ = 0 Pa.]] </div> </div> <div style="display:flex; justify-content:center; gap:15px;"> <div> [[Datei:0,6%, Geschwindigkeit, p0=0.png|mini|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 60 % Stenose und einer Druckrandbedingung von p₀ = 0 Pa.]] </div> <div> [[Datei:0,6%, Geschwindigkeit, p0=0, Nah Stenose.png|mini|300px|Vergrößerte Geschwindigkeitsverteilung im Bereich der 60%igen Stenose bei p₀ = 0 Pa.]] </div> </div> <div style="display:flex; justify-content:center; gap:15px;"> <div> [[Datei:0,8%, Geschwindigkeit, p0=0.png|mini|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 80 % Stenose und einer Druckrandbedingung von p₀ = 0 Pa.]] </div> <div> [[Datei:0,8%, Geschwindigkeit, p0=0, Nah Stenose.png|mini|300px|Vergrößerte Geschwindigkeitsverteilung im Bereich der 80%igen Stenose bei p₀ = 0 Pa.]] </div> </div> <div style="display:flex; justify-content:center; gap:15px;"> <div> [[Datei:100%, Geschwindigkeit, p0=0.png|mini|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 100 % Stenose und einer Druckrandbedingung von p₀ = 0 Pa.]] </div> <div> [[Datei:100%, Geschwindigkeit, p0=0, Nah Stenose.png|mini|300px|Vergrößerte Darstellung des vollständig verschlossenen Bereichs der ACI bei 100 % Stenose und p₀ = 0 Pa.]] </div> </div> Die Farbskala zeigt den Betrag der Strömungsgeschwindigkeit in m/s. Blaue Bereiche kennzeichnen niedrige, grüne und gelbe mittlere sowie rote Bereiche hohe Geschwindigkeiten. Im unverengten Gefäß ist die Geschwindigkeit in der Gefäßmitte am höchsten und nimmt zu den Gefäßwänden hin ab. Mit zunehmendem Stenosegrad verändert sich die Geschwindigkeitsverteilung deutlich. Im Bereich der Engstelle wird die Strömung lokal beschleunigt, während hinter der Verengung Bereiche niedriger Geschwindigkeit auftreten können. Bei 100 % Stenose ist die ACI vollständig verschlossen, sodass die Strömung nur noch über den offenen Gefäßast abfließen kann. === Resistenzrandbedingung und Vergleich === Anschließend wurde die Strömung unter Verwendung einer Resistenzrandbedingung mit konstantem Parameter <math>k_R = 1</math> untersucht. Bei zunehmender Verengung traten Konvergenzprobleme auf. Ab ungefähr 73 % Stenose konnte keine konvergierende stationäre Lösung mehr bestimmt werden. Daher wurden für die hochgradigen Stenosen ergänzend zeitabhängige Simulationen durchgeführt. {| class="wikitable" ! Stenosegrad ! Druckrandbedingung <math>p_0 = 0\,\mathrm{Pa}</math> [m/s] ! Resistenzrandbedingung <math>k_R = 1</math> [m/s] |- | 0 % || 0,28385 || 0,32426 |- | 30 % || 0,27081 || 0,32219 |- | 60 % || 0,35036 || 0,53188 |- | 80 % || 0,3858 || 1,0674 |- | 100 % || 0,46125 || <math>\approx 0</math> * |} <small>* Bei 100 % Stenose wurde für die Resistenzrandbedingung ausschließlich das Gebiet hinter dem vollständigen Verschluss ausgewertet. Die maximale Geschwindigkeit beträgt dort <math>v_{\max} = 2{,}1416 \cdot 10^{-21}\,\mathrm{m/s} \approx 0\,\mathrm{m/s}</math>.</small> Der Vergleich zeigt, dass die maximale Geschwindigkeit bei der Resistenzrandbedingung insbesondere bei höheren Stenosegraden deutlich stärker ansteigt. Bei 80 % Stenose wird mit 1,0674 m/s ein wesentlich höherer Wert erreicht als bei der Druckrandbedingung mit 0,3858 m/s. Dies verdeutlicht den Einfluss der Auslassrandbedingungen auf die Strömungsverteilung innerhalb der Gefäßverzweigung. Bei vollständigem Gefäßverschluss ist ein direkter Vergleich der beiden Werte nicht möglich, da unterschiedliche Strömungsgebiete ausgewertet wurden. Während bei der Druckrandbedingung das globale Maximum betrachtet wurde, beschreibt der Wert der Resistenzrandbedingung die praktisch zum Stillstand gekommene Strömung hinter der Stenose. Insgesamt zeigen die Ergebnisse, dass sowohl der Stenosegrad als auch die gewählten Randbedingungen einen wesentlichen Einfluss auf die maximale Strömungsgeschwindigkeit besitzen. Die Konvergenzprobleme bei hochgradigen Stenosen verdeutlichen zudem die Notwendigkeit einer ergänzenden zeitabhängigen Untersuchung. ==== Graphische Auswertungen in Comsol ==== [[Datei:0%, Geschwindigkeit, Resbed..png|mini|zentriert|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 0 % Stenose mit Resistenzrandbedingung (k_R = 1).]] <div style="display:flex; justify-content:center; gap:15px;"> <div> [[Datei:0,3%, Geschwindigkeit, Resbed..png|mini|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 30 % Stenose mit Resistenzrandbedingung (k_R = 1).]] </div> <div> [[Datei:0,3%, Geschwindigkeit, Resbed., Nah Stenose.png|mini|300px|Vergrößerte Geschwindigkeitsverteilung im Bereich der 30%igen Stenose mit Resistenzrandbedingung (k_R = 1).]] </div> </div> <div style="display:flex; justify-content:center; gap:15px;"> <div> [[Datei:0,6%, Geschwindigkeit, Resbed..png|mini|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 60 % Stenose mit Resistenzrandbedingung (k_R = 1).]] </div> <div> [[Datei:0,6%, Geschwindigkeit, Resbed., Nah Stenose.png|mini|300px|Vergrößerte Geschwindigkeitsverteilung im Bereich der 60%igen Stenose mit Resistenzrandbedingung (k_R = 1).]] </div> </div> <div style="display:flex; justify-content:center; gap:15px;"> <div> [[Datei:0,8%, Geschwindigkeit, Resbed., zeitabh., Zeit 1 s.png|mini|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 80 % Stenose mit Resistenzrandbedingung (k_R = 1) zum Zeitpunkt t = 1 s.]] </div> <div> [[Datei:0,8%, Geschwindigkeit, Resbed., zeitabh., Zeit 1 s, Nah Stenose.png|mini|300px|Vergrößerte Geschwindigkeitsverteilung im Bereich der 80%igen Stenose mit Resistenzrandbedingung (k_R = 1) zum Zeitpunkt t = 1 s.]] </div> </div> <div style="display:flex; justify-content:center; gap:15px;"> <div> [[Datei:1%, Geschwindigkeit, Resbed., zeitabh., Zeit 1 s,.png|mini|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 100 % Stenose mit Resistenzrandbedingung (k_R = 1) zum Zeitpunkt t = 1 s.]] </div> <div> [[Datei:1%, Geschwindigkeit, Resbed., zeitabh., Zeit 1 s, nah Stenose.png|mini|300px|Vergrößerte Darstellung des vollständig verschlossenen ACI-Bereichs bei 100 % Stenose mit Resistenzrandbedingung (k_R = 1) zum Zeitpunkt t = 1 s.]] </div> </div> === Druckverteilung und Druckabfall === Die Druckverteilung wurde anhand der berechneten Isobaren innerhalb der zweidimensionalen Karotis-Bifurkation untersucht. Dabei zeigt sich eine Abnahme des statischen Drucks vom gemeinsamen Zuflussgefäß in Richtung der beiden Gefäßausgänge. Der maximale berechnete Druck beträgt etwa '''74,2 Pa''', während der minimale Druck bei etwa '''−19,9 Pa''' liegt. Daraus ergibt sich eine globale Druckspanne von ungefähr '''94,1 Pa'''. Besonders auffällig ist die Druckverteilung im Bereich der Stenose der Arteria carotis interna (ACI). Dort liegen die Isobaren deutlich enger beieinander, was auf einen ausgeprägten lokalen Druckgradienten hinweist. Stromabwärts der Engstelle treten zudem Bereiche mit niedrigem statischem Druck auf. '''Interpretation''': Die Ergebnisse zeigen, dass die Stenose die lokale Druckverteilung im ACI-Ast deutlich beeinflusst. Die Beschleunigung der Strömung innerhalb der Verengung geht mit einer Abnahme des statischen Drucks einher. Die globale Druckspanne von 94,1 Pa darf jedoch nicht mit dem irreversiblen Druckverlust über der Stenose gleichgesetzt werden. Die globale Druckspanne von 94,1 Pa ist nicht mit dem Druckabfall über der Stenose gleichzusetzen. Zur genaueren Untersuchung wurden deshalb zwei Messquerschnitte vor und hinter der Engstelle ausgewertet. Zwischen diesen ergibt sich eine mittlere statische Druckdifferenz von 36,24 Pa. <div style="text-align:center;"> [[Datei:Druckverteilung_2D.png|800px|zentriert|Druckverteilung der stationären 2D-Strömungssimulation einer idealisierten Karotis-Bifurkation mit 80 % Stenose in der Arteria carotis interna (ACI). Die Isobaren zeigen den Druckverlauf innerhalb der Gefäßgeometrie. Besonders im Bereich der Stenose ist ein ausgeprägter lokaler Druckgradient erkennbar. Der berechnete Druck liegt zwischen −19,9 Pa und 74,2 Pa.]] <small>'''Abbildung 3:''' Druckverteilung der stationären 2D-Strömungssimulation einer idealisierten Karotis-Bifurkation mit 80 % Stenose in der Arteria carotis interna (ACI). Die Isobaren zeigen den Druckverlauf innerhalb der Gefäßgeometrie. Besonders im Bereich der Stenose ist ein ausgeprägter lokaler Druckgradient erkennbar. Der berechnete Druck liegt zwischen −19,9 Pa und 74,2 Pa.</small> </div> ==== Quantitative Bestimmung der Druckdifferenz ==== Zur quantitativen Untersuchung des Druckabfalls wurden zwei Messquerschnitte im ACI-Ast definiert, einer vor und einer hinter der Stenose. Mithilfe der COMSOL-Funktion „Linienmittelwert“ wurde der mittlere statische Druck an beiden Positionen bestimmt. Vor der Stenose beträgt der mittlere Druck '''35,232 Pa''', während hinter der Stenose ein Wert von '''−1,0042 Pa''' ermittelt wurde. Daraus ergibt sich eine Druckdifferenz von '''36,24 Pa'''. Die Ergebnisse zeigen eine deutliche Abnahme des statischen Drucks zwischen den beiden Messquerschnitten. Diese Druckdifferenz verdeutlicht die Druckänderung entlang des stenotischen ACI-Astes. Sie ist jedoch nicht mit dem ausschließlich durch die Stenose verursachten irreversiblen Druckverlust gleichzusetzen, da auch die Strömungsentwicklung in den angrenzenden Gefäßabschnitten berücksichtigt wird. {| class="wikitable" style="text-align:center;" ! Stenosegrad ! <math>\bar p_\mathrm{vor}</math> [Pa] ! <math>\bar p_\mathrm{nach}</math> [Pa] ! <math>\Delta p</math> [Pa] |- | 0 % | 11,631 | 4,2461 | 7,3849 |- | 30 % | 16,919 | 2,9220 | 13,997 |- | 60 % | 35,835 | -0,58267 | 36,41767 |- | 80 % | 70,562 | -0,55906 | 71,12106 |} === Ausblick: Wandschubspannung im Vergleich === Zur Untersuchung der mechanischen Belastung der Gefäßwände wurde die Wandschubspannung (Wall Shear Stress, WSS) im zweidimensionalen Strömungsmodell ausgewertet. Sie beschreibt die tangentiale viskose Spannung, die durch die Strömung an der Gefäßwand entsteht. Die quantitative Auswertung erfolgte für die obere und untere Wand des stenotischen ACI-Abschnitts. Hierfür wurden die entsprechenden Wandkanten in COMSOL ausgewählt und der Betrag der Wandschubspannung bestimmt. Die Abbildung zeigt die Verteilung der Wandschubspannung (Wall Shear Stress, WSS) an den Gefäßwänden im Bereich der 80-%-Stenose der ACI. Die Auswertung erfolgte einmal mit und einmal ohne Resistenzrandbedingung. Für <math>p_0 = 0\,\mathrm{Pa}</math>: * Die Farbskala verdeutlicht die unterschiedlich starke Belastung der Gefäßwand durch die Blutströmung. '''Blaue Bereiche''' kennzeichnen geringe Wandschubspannungen von etwa 1 bis 2 Pa, während '''grüne und gelbe Bereiche''' mittlere Werte anzeigen. Im '''orange-roten Bereich''' nahe der stärksten Verengung steigt die Wandschubspannung deutlich an. Das mithilfe des Linienmaximums ermittelte Maximum beträgt '''6,0400 Pa'''. * Die erhöhten Werte im Bereich der Stenose lassen sich durch die starke Verengung des Gefäßquerschnitts erklären. Dadurch entstehen größere Geschwindigkeitsänderungen in Wandnähe, die zu einer erhöhten Wandschubspannung führen können. Die Abbildung zeigt somit, dass die mechanische Belastung der Gefäßwand innerhalb des untersuchten Stenosebereichs nicht gleichmäßig verteilt ist, sondern lokal deutlich zunimmt. [[Datei:WSS P0=0.png|300px|mini|zentriert|Verteilung der Wandschubspannung (WSS) im Bereich der 80-%-Stenose der Arteria carotis interna bei der Druckrandbedingung <math>p_0 = 0\,\mathrm{Pa}</math>.]] Mit Resistenzrandbedingung: * Die Abbildung zeigt die Verteilung der Wandschubspannung (Wall Shear Stress, WSS) an den Gefäßwänden im Bereich der 80-%-Stenose der Arteria carotis interna (ACI). Im Gegensatz zur vorherigen Untersuchung mit der Druckrandbedingung <math>p_0 = 0\,\mathrm{Pa}</math> wurde hier die Resistenzrandbedingung <math>k_R = 1</math> verwendet. * Da für diesen Fall keine stationäre Lösung erzielt werden konnte, erfolgte die Berechnung zeitabhängig. Die dargestellten Ergebnisse beziehen sich auf den Zeitpunkt <math>t = 1\,\mathrm{s}</math>. * Die Wandschubspannung ist innerhalb des Stenosebereichs unterschiedlich stark ausgeprägt. Bereiche mit niedrigen Werten kennzeichnen eine geringere tangentiale Belastung der Gefäßwand, während Bereiche mit höheren Werten auf eine stärkere Belastung hinweisen. * Das mithilfe des Linienmaximums ermittelte Maximum auf den ausgewählten Stenosewänden beträgt: <math>19{,}856\,\mathrm{Pa}</math>. * Die erhöhten Wandschubspannungen lassen sich durch die starke Verengung des Gefäßquerschnitts und die damit verbundenen Geschwindigkeitsänderungen in Wandnähe erklären. * Im Vergleich zur stationären Berechnung mit <math>p_0 = 0\,\mathrm{Pa}</math>, bei der eine maximale Wandschubspannung von <math>6{,}0400\,\mathrm{Pa}</math> ermittelt wurde, fällt der Maximalwert bei der Resistenzrandbedingung deutlich höher aus. * Dabei ist zu beachten, dass es sich bei <math>19{,}856\,\mathrm{Pa}</math> um einen Momentanwert bei <math>t = 1\,\mathrm{s}</math> handelt und nicht um einen stationären Wert. Die beiden Ergebnisse sind daher nur eingeschränkt direkt vergleichbar. * Die Farbverteilung zeigt, dass die Wandschubspannung im Bereich der Stenose von niedrigen Werten (Blau) zu höheren Werten (Grün, Gelb und Rot) ansteigt und insbesondere an der engsten Stelle der Gefäßverengung erhöht ist. [[Datei:WSS Resistenzrandbedingung.png|300px|mini|zentriert|Verteilung der Wandschubspannung (WSS) im Bereich der 80-%-Stenose der Arteria carotis interna bei der Resistenzrandbedingung <math>k_R = 1</math> zum Zeitpunkt <math>t = 1\,\mathrm{s}</math> (zeitabhängige Simulation).]] === Zusammenfassende Bewertung der 2D-Ergebnisse AKTUELLE DATEN NOCH REIN === Die stationäre zweidimensionale Strömungssimulation mit einem Stenosegrad von 80 % zeigt deutliche Veränderungen der Strömungsgrößen innerhalb der idealisierten Karotis-Bifurkation. Die maximale Geschwindigkeit beträgt 0,31853 m/s. Zwischen den ausgewählten Messquerschnitten vor und hinter der ACI-Stenose ergibt sich eine mittlere statische Druckdifferenz von 36,24 Pa. Die maximale Wandschubspannung auf den ausgewerteten Stenosewänden beträgt 3,2282 Pa. Die Untersuchung der Geschwindigkeitskomponenten liefert Hinweise auf lokale Strömungsanteile entgegen der Hauptströmungsrichtung. Ein eindeutig abgegrenztes Rezirkulationsgebiet konnte anhand der vorliegenden Darstellungen jedoch nicht sicher nachgewiesen werden. Die Ergebnisse beschreiben zunächst den untersuchten Fall einer hochgradigen Stenose. Aus diesem einzelnen Fall lässt sich weder eine allgemeine Abhängigkeit der Strömungsgrößen vom Stenosegrad noch ein kritischer Stenosegrad für den Beginn der Strömungsablösung bestimmen. Dafür wäre eine vergleichende Auswertung weiterer Stenosegrade erforderlich. == Resistenzrandbedingung am Auslass (2D-Modell) == === Motivation === Im ursprünglichen 2D-Modell wurde an beiden Auslässen eine Nulldruckbedingung <math>p = 0</math> gesetzt. Physikalisch bedeutet das, dass beide Äste in ein „offenes Becken“ mit gleichem, festem Druck münden. Der Auslassdruck hängt dabei nicht davon ab, wie viel Blut ankommt. Diese Annahme hat zwei Schwächen: * Die Flussaufteilung zwischen ACI und ACE ergibt sich nur aus den kleinen Strömungswiderständen der modellierten Gefäßabschnitte. Wird die ACI durch die Stenose verengt, weicht das Blut nahezu ungehindert in die ACE aus. Im Körper ist das nicht möglich, weil hinter der ACI das Gefäßbett des Gehirns mit einem eigenen, großen Widerstand liegt. * Das Druckniveau (Auslass bei 0 Pa) ist nicht physiologisch. Im 3D-Modell wurde deshalb an beiden Auslässen eine '''Resistenzrandbedingung''' verwendet. Damit 2D- und 3D-Modell vergleichbar sind, haben wir dieselbe Randbedingung auch im 2D-Modell eingebaut. === Formel und Herleitung === Das gesamte nachgeschaltete Gefäßbett hinter jedem Auslass wird durch einen einzigen peripheren Widerstand <math>R_p</math> ersetzt: :<math>p_{\text{aus}} = k_R \cdot R_p \cdot Q</math> Dabei ist <math>Q</math> der Volumenstrom durch den Auslass und <math>k_R</math> ein Schalter (<math>k_R = 1</math>: Widerstand, <math>k_R = 0</math>: ursprüngliche Bedingung <math>p = 0</math>). '''1. Gesunde Flussaufteilung nach dem Murray-Gesetz''' Der Volumenstrom eines Gefäßes ist nach Murray proportional zur dritten Potenz des Durchmessers. Für den Anteil der ACI am Gesamtfluss gilt damit: :<math>\varphi_0 = \frac{D_I^3}{D_I^3 + D_E^3} = \frac{(5\,\text{mm})^3}{(5\,\text{mm})^3 + (4\,\text{mm})^3} \approx 0{,}661</math> Mit dem mittleren Volumenstrom der A. carotis communis <math>Q_0 = 6\,\text{ml/s}</math> (Holdsworth u. a. 1999) folgt: :<math>Q_{I,0} = \varphi_0 \cdot Q_0 \approx 3{,}97\,\text{ml/s}, \qquad Q_{E,0} = (1-\varphi_0) \cdot Q_0 \approx 2{,}03\,\text{ml/s}</math> '''2. Bestimmung der peripheren Widerstände''' Die Widerstände werden so gewählt, dass im gesunden Zustand an beiden Auslässen der treibende Druck des peripheren Gefäßbetts <math>p_D = 90\,\text{mmHg} \approx 12\,000\,\text{Pa}</math> anliegt: :<math>R_{pI} = \frac{p_D}{Q_{I,0}} \approx 3{,}0 \cdot 10^{9}\,\frac{\text{Pa}\cdot\text{s}}{\text{m}^3}, \qquad R_{pE} = \frac{p_D}{Q_{E,0}} \approx 5{,}9 \cdot 10^{9}\,\frac{\text{Pa}\cdot\text{s}}{\text{m}^3}</math> Die Randbedingungen an den beiden Auslässen lauten damit: :<math>p_{\text{aus},I} = k_R \cdot R_{pI} \cdot Q_I, \qquad p_{\text{aus},E} = k_R \cdot R_{pE} \cdot Q_E</math> '''3. Umrechnung des Flusses im 2D-Modell''' Im 2D-Modell liefert das Integral der Normalgeschwindigkeit über den Auslassrand keinen Volumenstrom in m³/s, sondern einen Fluss pro Tiefe <math>q</math> in m²/s. Damit die Widerstände aus dem 3D-Modell verwendet werden können, wird <math>q</math> mit einer einheitlichen Ersatztiefe <math>b</math> in einen Volumenstrom umgerechnet: :<math>Q = q \cdot b, \qquad b = \frac{\pi \, D_{CC}}{4}</math> Die Ersatztiefe ist so gewählt, dass am Einlass mit der mittleren Einströmgeschwindigkeit <math>\bar{u}_{ein} = Q_0 / (\pi D_{CC}^2/4) \approx 0{,}21\,\text{m/s}</math> genau der Volumenstrom des 3D-Modells von 6 ml/s ankommt. Weil dieselbe Ersatztiefe für alle Ränder gilt, bleibt die Massenbilanz erhalten. === Ergebnisse mit Resistenzrandbedingung === {| class="wikitable" style="text-align:center" |+ Maximale Geschwindigkeit ! Stenosegrad S !! <math>u_{max}</math> [m/s] |- | 0 || 0,324^* |- | 0,3 || 0,323^* |- | 0,6 || 0,529 |- | 0,8 || 1,067 |} ^* Bei S = 0 und S = 0,3 liegt das Geschwindigkeitsmaximum nicht in der Stenose, sondern in der A. carotis communis. {| class="wikitable" style="text-align:center" |+ Druck vor und nach der Stenose ! Stenosegrad S !! <math>p_{vor}</math> [Pa] !! <math>p_{nach}</math> [Pa] !! Druckverlust <math>\Delta p = p_{vor} - p_{nach}</math> [Pa] !! <math>\Delta p</math> [mmHg] |- | 0 || 11 802 || 11 793 || 9 || 0,07 |- | 0,3 || 11 808 || 11 790 || 18 || 0,14 |- | 0,6 || 11 838 || 11 760 || 78 || 0,59 |- | 0,8 || 12 024 || 11 626 || 398 || 2,99 |} === Auswertung === * '''Druckniveau:''' Mit der Resistenzrandbedingung liegt der Druck bei etwa 11 800 Pa ≈ 88,5 mmHg. Das entspricht dem mittleren arteriellen Druck in der Carotis. Mit <math>p = 0</math> lagen die Drücke nur bei wenigen Pa bis einigen 100 Pa. * '''Flussaufteilung:''' Die peripheren Widerstände sind wesentlich größer als der Widerstand der Stenose. Deshalb bestimmen sie die Flussaufteilung, und die ACI behält auch bei 80 % Stenose nahezu ihren Anteil (Abnahme von <math>Q_I</math> nur um etwa 1 %). Im Gegensatz zu <math>p = 0</math> kann das Blut nicht einfach in die ACE ausweichen. Das entspricht dem physiologischen Verhalten bei nicht kritischen Stenosen. * '''Geschwindigkeit:''' Weil mehr Blut durch die Engstelle strömen muss, steigen die Geschwindigkeiten in der Stenose gegenüber <math>p = 0</math>. Von S = 0,6 auf S = 0,8 verdoppelt sich <math>u_{max}</math> etwa. * '''Druckverlust:''' Der Druckverlust steigt stark nichtlinear mit dem Stenosegrad. Von S = 0,6 auf S = 0,8 nimmt er etwa um den Faktor 5 zu. * '''Druckrückgewinnung:''' Bei S = 0,8 liegt <math>p_{nach}</math> mit 11 626 Pa sogar unter dem Auslassdruck (≈ 11 680 Pa). Direkt hinter der Engstelle ist die Geschwindigkeit des Strahls noch hoch und der statische Druck entsprechend niedrig. Stromabwärts verlangsamt sich die Strömung, und ein Teil des Drucks wird zurückgewonnen. Der bleibende Druckverlust ist daher etwas kleiner als 398 Pa. === Grenzen und Vergleich mit dem 3D-Modell === * Im 2D-Modell verringert eine Stenose von 80 % nur die '''Spaltbreite''' auf 20 %. Im 3D-Modell sinkt die '''Querschnittsfläche''' dagegen auf <math>0{,}2^2 = 4\,\%</math>. Das 2D-Modell unterschätzt deshalb Geschwindigkeit und Druckverlust in der Stenose systematisch. Klinisch gelten bei Stenosen ab 70 % systolische Spitzengeschwindigkeiten über 2,3 m/s; ab einem Druckgradienten von etwa 10–20 mmHg gilt eine Stenose als hämodynamisch relevant. Beide Grenzen erreicht das 2D-Modell nicht. * Die Umrechnung über die Ersatztiefe <math>\pi D_{CC}/4</math> ist eine Modellannahme. * Der periphere Widerstand ist konstant. Die Autoregulation des Gehirns und die Gefäßelastizität (Windkessel) werden nicht berücksichtigt, und die Rechnung ist stationär (keine Pulsatilität). == Beantwortung der Forschungsfragen == '''Welche Strömungsgrößen reagieren empfindlich auf den Stenosegrad?''' Die Untersuchung der 80-%-Stenose zeigt deutliche Veränderungen der Geschwindigkeitsverteilung, des statischen Drucks und der Wandschubspannung. Die maximale Strömungsgeschwindigkeit beträgt 0,31853 m/s. Zwischen den ausgewählten Messquerschnitten vor und hinter der Stenose ergibt sich eine mittlere statische Druckdifferenz von 36,24 Pa. Die maximale Wandschubspannung auf den untersuchten Stenosewänden beträgt 3,2282 Pa.Da bisher nur die 80-%-Stenose quantitativ ausgewertet wurde, lässt sich noch nicht feststellen, welche dieser Größen bei zunehmendem Stenosegrad am stärksten reagiert. '''Ab welchem Stenosegrad tritt eine Strömungsablösung auf?''' Bei der untersuchten 80-%-Stenose zeigen die Geschwindigkeitskomponenten und die vorzeichenbehaftete Wandschubspannung Hinweise auf Veränderungen der wandnahen Strömungsrichtung hinter der Engstelle. Ein eindeutig geschlossenes Rezirkulationsgebiet konnte jedoch nicht nachgewiesen werden. Ein kritischer Stenosegrad für den Beginn einer Strömungsablösung lässt sich aus dieser einzelnen Simulation daher nicht bestimmen. Hierfür müssten weitere Stenosegrade unter vergleichbaren Bedingungen ausgewertet werden. '''Inwieweit sind die Annahmen einer stationären und laminaren Strömung geeignet?''' Die stationäre, laminare Modellierung ermöglicht es, grundlegende Auswirkungen einer Gefäßverengung auf die Strömung in einer idealisierten Karotis-Bifurkation zu untersuchen. Bei hochgradigen Stenosen können allerdings zeitabhängige und dreidimensionale Strömungsstrukturen auftreten. Diese werden durch das vorliegende stationäre 2D-Modell nicht vollständig erfasst. Die Simulationsergebnisse sind deshalb auf die gewählten Modellannahmen und Randbedingungen beschränkt. '''Zusammenfassend''' liefert die 2D-Simulation eine erste quantitative Beschreibung der Strömungsverhältnisse bei einer hochgradigen ACI-Stenose. Für allgemeine Aussagen über die Abhängigkeit vom Stenosegrad und den Beginn einer Strömungsablösung sind zusätzliche Vergleichsrechnungen erforderlich. = Grenzen des Modells = * Die untersuchte Gefäßgeometrie ist eine idealisierte Darstellung der Karotisaufzweigung. Individuelle anatomische Unterschiede werden nicht berücksichtigt. * Darüber hinaus werden die Gefäßwände als starr angenommen und Blut wird durch ein inkompressibles Newtonsches Fluid mit konstanter Viskosität beschrieben. * Die Strömung wird stationär berechnet. Die natürliche Pulsation des Blutflusses und zeitabhängige Effekte bleiben damit unberücksichtigt. * Insbesondere bei hochgradigen Stenosen können zeitabhängige Strömungsablösungen auftreten, die durch eine stationäre Modellierung nicht vollständig beschrieben werden. * Das Graphenmodell kann lokale Strömungsphänomene nicht detailliert erfassen. Das ebene Flächenmodell vereinfacht die räumliche Gefäßgeometrie. Auch das dreidimensionale Modell bleibt aufgrund der idealisierten Geometrie und der vereinfachten Materialannahmen eine Annäherung an die reale Blutströmung. * Die Ergebnisse sind daher als strömungsmechanische Untersuchung eines idealisierten Modells zu interpretieren und nicht als patientenspezifische medizinische Vorhersage. = Literaturverzeichnis = Alle Quellen sind an den Stellen im Text angegeben, an denen die zugehörigen Werte oder Aussagen verwendet werden. Die Liste wird aus diesen Angaben automatisch erzeugt. <references /> 24qwebvawaxilpyapvz3qtp0eluvrc6 1119420 1119419 2026-11-11T18:11:39Z Nicole.pander 39567 /* Methodische Relevanz */ 1119420 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Joey Becker * Marie-Thérèse Heitele * Nicole Pander = Thema = Gegenstand dieses Projekts ist die numerische Simulation der Blutströmung in einer verzweigten Halsschlagader ('''Carotis-Bifurkation''') unter dem Einfluss einer lokalen Gefäßverengung ('''Stenose'''). Im Vergleich zu einer einfachen Rohrströmungen wird hier die realitätsnahe Gefäßanatomie betrachtet: Die '''Arteria carotis communis (ACC)''' teilt sich in die '''Arteria carotis externa (ACE)''' und die '''Arteria carotis interna (ACI)''' auf. Während die '''ACE''' als gesunder, stenosefreier Ast dient, wird in der '''ACI''' eine Gefäßverengung modelliert. Hierbei werden unterschiedliche Stenosegrade betrachtet. Als Referenz dient ein gesundes, unverengtes Gefäß, in dem sich die Poiseuille-Strömung mit ihrem charakteristischen parabolischen Geschwindigkeitsprofil ausbildet. Diese Strömung ist aus zwei Gründen der natürliche Ausgangspunkt. Sie beschreibt den physiologischen Normalfall, mit dem jeder Stenosegrad verglichen wird. == Fragestellung == Die Hauptfragestellung dieses Projektes lautet: Wie verändert eine Stenose in der '''Arteria carotis interna (ACI)''' die Strömung des Blutes hinsichtlich Strömungsgeschwindigkeit und des Druckabfalls über die Engstelle im Vergleich zum gesunden Gefäßabschnitt? Aus dieser Fragestellung ergeben sich drei Teilfragen, an denen sich der Aufbau der Seite orientiert: # Wie stark steigt die maximale Strömungsgeschwindigkeit in der Stenose mit zunehmendem Stenosegrad an? # Wie groß ist die Druckdifferenz vor und nach der Stenose bei den untersuchten Stenosegraden und ab welchem Stenosegrad nimmt sie deutlich zu? # Wie stark hängen Geschwindigkeitsmaximum und Druckdifferenz von der gewählten Auslassrandbedingung ab? = Relevanz = Die Untersuchung von Gefäßverengungen besitzt sowohl eine medizinische als auch eine methodische Bedeutung. Aus medizinischer Sicht sind arterielle Stenosen – etwa in der Halsschlagader – kritisch, da sie die Durchblutung beeinträchtigen und durch veränderte Wandschubspannungen sowie die Bildung von Wirbeln weitere Gefäßablagerungen begünstigen. Stenosen im Bereich der Karotisgabelung sind klinisch hochrelevant, da sie das Gehirn direkt versorgen und das Risiko für embolische Schlaganfälle erhöhen. Fachlich überträgt das Projekt damit die Prinzipien der Strömungsmechanik direkt auf eine biomedizinische Anwendung. Das Projekt verknüpft somit theoretische Grundlagen der Strömungsmechanik (Hagen-Poiseuille-Gleichung, Navier-Stokes-Gleichungen) mit der numerischen Simulation in COMSOL Multiphysics. Durch den Vergleich der '''gesunden Externa (ACE)''' mit der '''stenoisierten Interna (ACI)''' innerhalb desselben Rechengebiets wird die isolierte Wirkung der Stenose unter identischen Randbedingungen direkt sichtbar gemacht. == Medizinische Relevanz == Arterielle Stenosen entstehen überwiegend durch Atherosklerose, also durch Ablagerungen aus Lipiden, Bindegewebe und Kalk in der Gefäßwand. In der Halsschlagader sind sie klinisch besonders bedeutsam, weil sie die Durchblutung des Gehirns beeinträchtigen und weil sich an ihnen Thromben bilden können, die als Embolie einen Schlaganfall auslösen. Dass die operative Entfernung einer hochgradigen Karotisstenose das Schlaganfallrisiko symptomatischer Patienten deutlich senkt, hat die NASCET-Studie gezeigt, deren Einteilung der Stenosegrade dieses Projekt übernimmt.<ref name="nascet">North American Symptomatic Carotid Endarterectomy Trial Collaborators: ''Beneficial effect of carotid endarterectomy in symptomatic patients with high-grade carotid stenosis.'' New England Journal of Medicine 325 (1991), Nr. 7, S. 445-453.</ref> == Methodische Relevanz == Fachlich überträgt das Projekt die Prinzipien der Strömungsmechanik aus der Vorlesung auf eine biomedizinische Anwendung.<ref name="hundertmark">Hundertmark, A.: ''Fluiddynamik.'' Vorlesungsunterlagen zum Modul Räumliche Modellbildung, RPTU Kaiserslautern-Landau, Sommersemester 2026.</ref> Der methodische Mehrwert liegt in der Verknüpfung mehrerer Zugänge, die sich gegenseitig kontrollieren. Die analytische Poiseuille-Lösung liefert exakte Sollwerte für das gesunde Gefäß. Ein reduziertes Graphenmodell liefert für jeden Stenosegrad eine schnelle Abschätzung, die analytisch nachrechenbar ist. Die Simulationen in COMSOL Multiphysics lösen schließlich die vollständigen Navier-Stokes-Gleichungen in zwei und drei Raumdimensionen. Weil jede Stufe die Sollwerte der nächsten liefert, zeigt das Projekt nicht nur Ergebnisse, sondern auch, wie numerische Modelle aufgebaut, verifiziert und an ihren Grenzen bewertet werden. == Modellannahmen == Im Hinblick darauf werden für dieses Projekt einige Annahmen getroffen, um das Projekt möglichst isoliert zu untersuchen und zu simplifizieren: * '''Idealisierte Gefäßgeometrie''': Betrachtet wird ein Teilabbschnitt der ''Arteria carotis communis'', die sog. ''ACI''. Zudem werden Gefäßverkrümmungen, weitere Verzweigungen und patientenspezifische Strukturen nicht berücksichtigt. * '''Starre Gefäßwand''': Die Gefäßwand wird als unbeweglich und nicht verformbar angenommen. Eine Wechselwirkung zwischen elastischer Gefäßwand und Blutströmung wird nicht modelliert. * '''Stationäre Strömung''': Die Strömungsgrößen werden als zeitlich konstant angenommen. Die im realen Blutkreislauf vorhandene Pulsation durch den Herzschlag wird daher vernachlässigt: <math>\frac{\partial u}{\partial t}=0</math>. * '''Inkompressibles Fluid''': Die Dichte des Fluids wird als konstant angenommen. Damit gilt für die Geschwindigkeit <math>\nabla \cdot u=0</math>. Dies entspricht der in der Vorlesung behandelten Massenerhaltung für inkompressible Fluide: Was in das Gefäß einströmt, muss auch wieder ausströmen. * '''Newton'sche Näherung für Blut''': Reales Blut beseitzt ein nicht newton'sches Fließverhalten. Hier wird Blut als Newton'sches Fluid behandelt. * '''Konstante Stoffeigenschaften''': Dichte <math>\rho</math> und dynamische Viskosität μ werden als räumlich und zeitlich konstant angenommen. Temperaturabhängigkeiten werden nicht berücksichtigt. * '''Laminare Strömung''': Die Strömung wird mit dem COMSOL-Modul ''Laminar Flow'' beschrieben. Ein zusätzliches Turbulenzmodell wird nicht verwendet. * '''No-Slip-Bedingung an Gefäßwand''': Aufgrund der Viskosität wird angenommen, dass das Fluid direkt an der Gefäßwand haftet. Somit gilt <math>u=0</math>. * '''Vernachlässigung der Gravitation''': Gravitation wird nicht berücksichtigt. Die Strömung wird ausschließlich durch die gewählten Ein- und Auslassbedingungen bestimmt. == Auswahl der Stenosegrade == Um die untersuchten Gefäßverengungen nicht willkürlich festzulegen, orientiert sich die Auswahl der Stenosegrade an der klinisch gebräuchlichen NASCET-Klassifikation von Karotisstenosen.<ref name="nascet" /> Zur klinischen Einordnung werden Karotisstenosen anhand der nach NASCET bestimmten Durchmesserreduktion in leichtgradige, mittelgradige und hochgradige Stenosen eingeteilt. Die angegebenen Prozentgrenzen dienen in diesem Projekt als Orientierung für die Auswahl der untersuchten Stenosegrade. Ein vollständiger Gefäßverschluss wird als Okklusion bezeichnet. {| class="wikitable" |+ Klinische Einteilung nach NASCET-gemessener Durchmesserreduktion und untersuchte Stenosegrade ! Schweregrad !! Durchmesserreduktion !! im Projekt gerechnete Stenosegrade !! hervorgehobener Vertreter |- | gesundes Gefäß || 0 % || 0 || 0 |- | leichtgradige Stenose || unter 50 % || 0,1 bis 0,4 || 0,3 |- | mittelgradige Stenose || 50 bis 69 % || 0,5 und 0,6 || 0,6 |- | hochgradige Stenose || 70 bis 99 % || 0,7 und 0,8 || 0,8 |- | Okklusion || 100 % || nicht gerechnet || entfällt |} '''Anmerkung''': Die Klassengrenzen dienen der Einordnung der Modellvarianten. Die in der Tabelle genannten Stenosegrade sind dimensionslose Werte, beispielsweise entspricht '''<math>s=0{,}6</math>''' einer Durchmesserreduktion von '''60 %'''. Für die numerische Untersuchung wird aus jeder Kategorie ein repräsentativer Stenosegrad hervorgehoben. Neben dem gesunden Gefäß mit '''0 %''' Stenose sind das eine '''30 %''' Stenose als Beispiel für eine leichtgradige, eine '''60 %''' Stenose als Beispiel für eine mittelgradige und eine '''80 %''' Stenose als Beispiel für eine hochgradige Verengung. Zusätzlich werden für das Graphenmodell und das achsensymmetrische Flächenmodell Stenosegrade von 0 bis 80 % in Schritten von zehn Prozentpunkten vorgesehen. Dadurch kann die Abhängigkeit der Strömungsgrößen vom Stenosegrad systematisch untersucht und grafisch dargestellt werden. Ob alle Modellvarianten tatsächlich berechnet wurden und wie hoch der Rechenaufwand war, wird anhand der durchgeführten Simulationen dokumentiert. Ein vollständiger Gefäßverschluss wird nicht simuliert, da in diesem Fall keine durchgängige Strömung mehr vorliegt. Der Stenosegrad wird in diesem Projekt wie bei NASCET über die Verringerung des Gefäßdurchmessers beschrieben, <math>s = 1 - \frac{d_{\min}}{d_{\mathrm{ref}}},</math> wobei <math>d_{\min}</math> der kleinste Durchmesser in der Engstelle und <math>d_{\mathrm{ref}}</math> ein Referenzdurchmesser ist. NASCET verwendet als Referenz den Durchmesser des gesunden Gefäßes stromabwärts der Stenose. Für das idealisierte gerade Gefäßmodell wird ein konstanter Referenzdurchmesser von <math>D_0=6\,\mathrm{mm}</math> angenommen. Da das Gefäß außerhalb der Stenose denselben Durchmesser besitzt, gilt in diesem Modell<math>d_{\mathrm{ref}}=D_0</math>. Bei der zusätzlich betrachteten Gefäßaufzweigung muss der Referenzdurchmesser dagegen gesondert festgelegt werden, da die Gefäßäste unterschiedliche Durchmesser besitzen. Wichtig für das Verständnis aller weiteren Ergebnisse ist der Unterschied zwischen Durchmesser- und Flächenreduktion. Da die Querschnittsfläche quadratisch vom Durchmesser abhängt, gilt für die Flächenreduktion <math>1-(1-s)^2</math>. Eine im klinischen Sinn nur mittelgradige Stenose von 60 % verschließt damit bereits 84 % der Querschnittsfläche. {| class="wikitable" |+ Durchmesser- und Flächenreduktion der gerechneten Stenosegrade ! Stenosegrad s !! 0 !! 0,1 !! 0,2 !! 0,3 !! 0,4 !! 0,5 !! 0,6 !! 0,7 !! 0,8 |- | engster Durchmesser in mm || 6,0 || 5,4 || 4,8 || 4,2 || 3,6 || 3,0 || 2,4 || 1,8 || 1,2 |- | Flächenreduktion || 0 % || 19 % || 36 % || 51 % || 64 % || 75 % || 84 % || 91 % || 96 % |} Eine Einschränkungen gehört zur ehrlichen Einordnung: # Mit zunehmendem Stenosegrad, insbesondere bei ausgeprägten Verengungen, können lokale Beschleunigungen, Strömungsablösungen und zeitabhängige Strömungsstrukturen auftreten. Daher muss bei den hochgradigen Stenosen geprüft werden, inwieweit die Annahme einer stationären, laminaren Strömung geeignet ist. Eine feste Grenze bei <math>s=0{,}6</math> lässt sich ohne entsprechende Simulationsergebnisse oder Literaturbelege nicht allgemein festlegen. Die hochgradigen Fälle werden deshalb unter besonderer Berücksichtigung der Modellannahmen diskutiert. Unter Modellierung wird in diesem Projekt die Übertragung der Blutströmung in einer verengten Arterie auf ein mathematisches und numerisch lösbares Strömungsproblem verstanden. Dazu werden die Gefäßgeometrie, die zugrunde liegenden Gleichungen, die physikalischen Materialparameter sowie die Anfangs- und Randbedingungen festgelegt. Jeder dieser Bestandteile beruht auf vereinfachenden Annahmen, die begründet und bei der Interpretation der Ergebnisse berücksichtigt werden müssen. Ziel ist es, den Einfluss unterschiedlicher Stenosegrade auf die Strömungsgeschwindigkeit, den Druckverlust und gegebenenfalls die Wandschubspannung systematisch zu untersuchen. Die Modellierung erfolgt anhand mehrerer Modellvarianten mit unterschiedlicher räumlicher Auflösung. Dadurch können zunächst grundlegende Zusammenhänge analytisch abgeschätzt und anschließend mit numerischen Strömungsberechnungen verglichen werden. Die verwendeten Parameter orientieren sich an den bereitgestellten Referenzdaten und werden in den folgenden Abschnitten erläutert. == Modellierung == Ziel der Modellierung ist es, die Blutströmung innerhalb einer Y-förmigen Aufzweigung der Halsschlagader mathematisch und numerisch zu untersuchen. Im Mittelpunkt steht eine Gefäßverengung (Stenose) in der Arteria carotis interna. Das betrachtete Gefäßmodell besteht aus der Arteria carotis communis, die sich in die Arteria carotis interna und die Arteria carotis externa aufteilt. Die Stenose befindet sich ausschließlich in der Arteria carotis interna. Durch die Verengung verändert sich der verfügbare Strömungsquerschnitt. Dies kann zu einer Erhöhung der lokalen Strömungsgeschwindigkeit, zu zusätzlichen Druckverlusten und zu einer Veränderung der Strömungsverteilung zwischen den beiden Gefäßästen führen. Ziel ist es, den Einfluss unterschiedlicher Stenosegrade auf die Strömungsgeschwindigkeit, die Druckverteilung und die Wandschubspannung zu untersuchen. Zusätzlich soll betrachtet werden, wie sich die Strömung innerhalb der Y-förmigen Gefäßaufzweigung verhält. Die numerische Modellierung erfolgt mit COMSOL Multiphysics. Dazu werden die Gefäßgeometrie, die Materialeigenschaften des Blutes, die Strömungsgleichungen und die Randbedingungen festgelegt. Zur Vereinfachung wird Blut zunächst als inkompressibles, Newtonsches Fluid betrachtet. Die Gefäßwände werden als starr angenommen. Diese Annahmen ermöglichen eine systematische Untersuchung der Stenose, schränken jedoch die Übertragbarkeit auf reale physiologische Bedingungen ein. === Modellhierarchie === Für die Untersuchung der Blutströmung innerhalb der Y-förmigen Karotisaufzweigung werden drei Modellvarianten betrachtet. Diese unterscheiden sich hinsichtlich ihrer räumlichen Dimension, ihrer mathematischen Beschreibung und der Genauigkeit, mit der die Strömungsverhältnisse dargestellt werden können. Das untersuchte Gefäß besteht aus der Arteria carotis communis, die sich in die Arteria carotis interna und die Arteria carotis externa aufteilt. Die Stenose befindet sich ausschließlich in der Arteria carotis interna. Alle drei Modellvarianten werden mit COMSOL Multiphysics umgesetzt. {| class="wikitable" style="width:100%;" |+ '''Die drei Modellvarianten des Projekts''' |- ! Modell ! Raumdimension ! Mathematische Grundlage ! Zweck ! Werkzeug |- | '''Graphenmodell''' | 1D, Gefäßnetzwerk mit einer Verzweigung | Massenerhaltung an der Verzweigung und vereinfachte Beschreibung der Strömungswiderstände | Abschätzung der Volumenstromverteilung und der Druckverluste in den Gefäßästen | COMSOL Multiphysics |- | '''Ebenes Flächenmodell''' | 2D, Y-förmige Gefäßgeometrie in kartesischen Koordinaten | Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen | Untersuchung der Geschwindigkeits- und Druckverteilung sowie der Auswirkungen der Stenose in der Arteria carotis interna | COMSOL Multiphysics, Laminare Strömung |- | '''Volumenmodell''' | 3D, räumliche Y-förmige Gefäßgeometrie | Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen | Räumliche Untersuchung des Geschwindigkeitsfeldes, des Druckverlustes und der Wandschubspannung | COMSOL Multiphysics, Laminare Strömung |} ==== Vergleich und Überprüfung der Modellvarianten ==== Die drei Modellvarianten bauen hinsichtlich ihrer räumlichen Beschreibung aufeinander auf. Das Graphenmodell ermöglicht zunächst eine vereinfachte Betrachtung der Volumenströme und Druckverluste. Die zwei- und dreidimensionalen Modelle erlauben anschließend eine detailliertere Untersuchung der Strömung innerhalb der Gefäßaufzweigung. Das '''Graphenmodell''' beschreibt die Arteria carotis communis sowie die beiden abzweigenden Gefäße als miteinander verbundenes Netzwerk. Dabei wird die Massenerhaltung an der Verzweigung berücksichtigt: :<math>Q_{\mathrm{CCA}}=Q_{\mathrm{ICA}}+Q_{\mathrm{ECA}}</math> Das Modell liefert vereinfachte Abschätzungen der Volumenstromverteilung. Lokale Strömungsablösungen und räumliche Geschwindigkeitsverteilungen können damit nicht detailliert dargestellt werden. Das '''ebene Flächenmodell''' bildet die Y-förmige Gefäßaufzweigung in zwei Raumdimensionen ab. Die Stenose wird innerhalb der Arteria carotis interna berücksichtigt. Dadurch können die Geschwindigkeits- und Druckverteilung sowie mögliche Rückströmungsbereiche untersucht werden. Das '''Volumenmodell''' erweitert die Untersuchung auf drei Raumdimensionen. Es ermöglicht eine räumliche Darstellung der Strömung und eine detailliertere Berechnung der Wandschubspannung. Die Ergebnisse des ebenen Flächenmodells und des Volumenmodells werden miteinander verglichen. Da das ebene Modell die räumliche Querschnittsgeometrie nur vereinfacht darstellt, müssen Unterschiede zwischen den beiden Modellen bei der Interpretation berücksichtigt werden. Ziel der Modellhierarchie ist es, die Aussagekraft der einzelnen Modellvarianten zu bewerten und den Einfluss des Stenosegrades auf die Strömung innerhalb der Y-förmigen Karotisaufzweigung zu untersuchen. === Simulationsgebiet und Geometrie === Das Simulationsgebiet besteht aus einer idealisierten Y-förmigen Aufzweigung der Arteria carotis. Die Arteria carotis communis teilt sich in die Arteria carotis interna und die Arteria carotis externa. Die Stenose befindet sich in der Arteria carotis interna. Die Arteria carotis externa wird ohne zusätzliche Verengung modelliert. Die Geometrie orientiert sich an den bereitgestellten Referenzdaten. Die Gefäßdurchmesser werden innerhalb der jeweiligen unverengten Abschnitte als konstant angenommen. {| class="wikitable" style="width:100%;" |+ '''Geometrische Referenzparameter der Y-förmigen Gefäßaufzweigung''' |- ! Gefäßabschnitt ! Durchmesser ! Länge |- | Arteria carotis communis | 6 mm | 60 mm |- | Arteria carotis interna | 5 mm | 60 mm |- | Arteria carotis externa | 4 mm | 60 mm |- | Stenose in der Arteria carotis interna | Abhängig vom Stenosegrad | 10 bzw. 20 mm |} Die Verengung wird über den Stenosegrad <math>s</math> beschrieben. Dieser gibt die relative Verringerung des Gefäßdurchmessers an: :<math>s=1-\frac{d_{\min}}{D_{\mathrm{ICA}}}</math> Dabei bezeichnet <math>d_{\min}</math> den minimalen Durchmesser innerhalb der Stenose und <math>D_{\mathrm{ICA}}</math> den unverengten Referenzdurchmesser der Arteria carotis interna. Für das Modell gilt: :<math>D_{\mathrm{ICA}}=5\,\mathrm{mm}</math> Der minimale Durchmesser ergibt sich damit zu: :<math>d_{\min}=D_{\mathrm{ICA}}(1-s)</math> {| class="wikitable" |+ '''Minimaler Durchmesser der Stenose in der Arteria carotis interna''' |- ! Stenosegrad ! Minimaler Durchmesser |- | 0 % | 5,0 mm |- | 10 % | 4,5 mm |- | 20 % | 4,0 mm |- | 30 % | 3,5 mm |- | 40 % | 3,0 mm |- | 50 % | 2,5 mm |- | 60 % | 2,0 mm |- | 70 % | 1,5 mm |- | 80 % | 1,0 mm |} Die angegebenen Stenosegrade beziehen sich ausschließlich auf den Durchmesser der Arteria carotis interna. Der Durchmesser der Arteria carotis communis wird nicht zur Berechnung des Stenosegrades verwendet. Die Y-förmige Geometrie ermöglicht es, die Auswirkungen der Verengung sowohl auf die lokale Strömung in der Arteria carotis interna als auch auf die Strömungsverteilung innerhalb der gesamten Gefäßaufzweigung zu untersuchen. Die genaue Form der Stenose, der Verzweigungswinkel und die Übergänge zwischen den Gefäßabschnitten müssen entsprechend der tatsächlich in COMSOL verwendeten Geometrie dokumentiert werden. == Stoff- und Strömungsparameter == Die Stoffwerte des Blutes und der Volumenstrom sind die einzigen Eingangsgrößen, die nicht aus der Geometrie folgen. Aus ihnen werden alle weiteren Strömungskennwerte berechnet. Die folgenden Schritte zeigen jede Rechnung einzeln, damit sich jeder Wert nachprüfen lässt. # Die '''Dichte''' wird mit <math>\rho = 1060\ \mathrm{kg/m^3}</math> angesetzt. Der Wert lässt sich als Mischungsregel plausibel machen. Plasma hat eine Dichte von etwa 1025 kg/m³, rote Blutkörperchen von etwa 1100 kg/m³. Bei einem Zellanteil von 45 % ergibt sich <math>0{,}55 \cdot 1025 + 0{,}45 \cdot 1100 \approx 1059\ \mathrm{kg/m^3}</math>. Die Dichte geht nur über die Reynoldszahl in die Rechnung ein, eine Abweichung von einem Prozent ändert die Ergebnisse daher kaum. <!-- FIXME Lehrbuchquelle fuer Plasma- und Erythrozytendichte ergaenzen --> # Die '''dynamische Viskosität''' wird mit <math>\mu = 3{,}5\ \mathrm{mPa\,s}</math> angesetzt. Das ist der Grenzwert der Blutviskosität bei hohen Scherraten, also genau der Wert, der zur Newtonschen Näherung gehört. Derselbe Wert von 0,035 Poise wird auch im Standardwerk zur Modellierung des Herz-Kreislauf-Systems verwendet.<ref name="quarteroni">Quarteroni, A.; Formaggia, L.: ''Mathematical Modelling and Numerical Simulation of the Cardiovascular System.'' In: Ayache, N. (Hrsg.): ''Computational Models for the Human Body.'' Handbook of Numerical Analysis, Bd. XII, Elsevier, Amsterdam 2004, S. 3-127. DOI 10.1016/S1570-8659(03)12001-7. Zur Newtonschen Näherung in großen Gefäßen siehe S. 30, zur Viskosität von 0,035 Poise die Parametertabelle auf S. 116.</ref> # Der '''mittlere Volumenstrom''' wird mit <math>Q_0 = 6\ \mathrm{ml/s}</math> angesetzt. Das ist der zeitlich gemittelte Volumenstrom, der in der gemeinsamen Halsschlagader gesunder Probanden gemessen wurde. # Die '''mittlere Geschwindigkeit''' folgt aus Volumenstrom und Querschnittsfläche, <math>U_0 = \frac{Q_0}{\pi R_0^2} = \frac{6 \cdot 10^{-6}\ \mathrm{m^3/s}}{\pi \cdot (0{,}003\ \mathrm{m})^2} = 0{,}2122\ \mathrm{m/s}</math>. # Die '''Reynoldszahl''' des gesunden Gefäßes ist <math>Re_0 = \frac{\rho\, U_0\, D_0}{\mu} = \frac{1060 \cdot 0{,}2122 \cdot 0{,}006}{0{,}0035} = 385{,}6</math>. Sie wird im Folgenden auf 386 gerundet. # Die '''Einlauflänge''', die eine anfangs gleichförmige Strömung bis zum voll entwickelten Parabelprofil bräuchte, beträgt nach der gebräuchlichen Abschätzung für laminare Rohrströmungen <math>L_e \approx 0{,}06\, Re_0\, D_0 \approx 0{,}06 \cdot 386 \cdot 6\ \mathrm{mm} \approx 139\ \mathrm{mm}</math>.<ref name="durst">Durst, F.; Ray, S.; Ünsal, B.; Bayoumi, O. A.: ''The development lengths of laminar pipe and channel flows.'' Journal of Fluids Engineering 127 (2005), Nr. 6, S. 1154-1160. Für große Reynoldszahlen nähert sich die dort angegebene Korrelation dem Wert 0,057·Re·D.</ref> Das ist fast die gesamte Länge des Rechengebiets. Ein konstantes Einlassprofil würde die Strömung an der Stenose also verfälschen, weshalb am Einlass das voll entwickelte Profil vorgegeben wird. Damit liegen alle globalen Parameter fest. Die folgende Tabelle enthält sie mit genau den Namen, unter denen sie in COMSOL und in den Octave-Skripten verwendet werden. {| class="wikitable" |+ Globale Parameter des Modells ! Name !! Ausdruck in COMSOL !! Wert !! Bedeutung !! Herkunft |- | R0 || 3[mm] || 3 mm || Gefäßradius || Messwerte nach Krejza u. a. 2006, gerundet |- | D0 || 2*R0 || 6 mm || Gefäßdurchmesser || abgeleitet |- | Ls || 2*D0 || 12 mm || Länge der Störstelle || Standardgeometrie nach Varghese u. a. 2007 |- | Lu || 5*D0 || 30 mm || Vorlaufstrecke vor der Stenosemitte || Abstand der Einlassbedingung von der Stenose |- | Ld || 20*D0 || 120 mm || Nachlaufstrecke hinter der Stenosemitte || Platz für das Rückströmgebiet |- | Lf || Ls/2+10*D0 || 66 mm || Ende des fein vernetzten Nachlaufs || erwartete Länge des Rückströmgebiets |- | s || 0 bis 0.8 || 0 bis 0,8 || Stenosegrad bezogen auf den Durchmesser || NASCET-Einteilung |- | rho_b || 1060[kg/m^3] || 1060 kg/m³ || Dichte des Blutes || Mischungsregel, Literaturwert |- | mu_b || 3.5[mPa*s] || 3,5 mPa·s || dynamische Viskosität des Blutes || Hochscherwert, Quarteroni und Formaggia 2004 |- | Q0 || 6[ml/s] || 6 ml/s || mittlerer Volumenstrom || Messwerte nach Holdsworth u. a. 1999 |- | U0 || Q0/(pi*R0^2) || 0,2122 m/s || mittlere Einströmgeschwindigkeit || abgeleitet |- | Re0 || rho_b*U0*D0/mu_b || 385,6 || Reynoldszahl des gesunden Gefäßes || abgeleitet |- | dp_ref || 8*mu_b*U0*(Lu+Ld)/R0^2 || 99,03 Pa || Poiseuille-Druckabfall des gesunden Gefäßes || abgeleitet, Hagen-Poiseuille |} = Implementierung des 2D-Modells in COMSOL Multiphysics = == Zielsetzung des zweidimensionalen Modells == Im Rahmen des Projekts wurde mit COMSOL Multiphysics ein zweidimensionales Modell der menschlichen Halsschlagader erstellt. Ziel ist es, die Blutströmung innerhalb einer Gefäßverzweigung zu untersuchen und insbesondere die Auswirkungen einer lokalen Gefäßverengung (Stenose) auf das Strömungsverhalten zu analysieren. Das Modell bildet die Aufzweigung der Arteria carotis communis (ACC) in die Arteria carotis interna (ACI) und die Arteria carotis externa (ACE) ab. Während die ACE als gesunder Gefäßabschnitt betrachtet wird, befindet sich in der ACI eine lokale Verengung. Dadurch können die Strömungsverhältnisse in beiden Ästen miteinander verglichen werden. Die zweidimensionale Modellierung dient dazu, die Geschwindigkeitsverteilung, den Druckabfall und die Wandschubspannung zu untersuchen. Zusätzlich soll festgestellt werden, ob sich hinter der Stenose Bereiche mit Strömungsablösungen oder Rückströmungen ausbilden. ==Vorgehen== Für die numerische Untersuchung in COMSOL Multiphysics 6.2 zunächst ein zweidimensionales Modell mit der Physik ''Laminare Strömung'' und einer ''stationären Studie'' angelegt. Die Gefäßgeometrie wurde vollständig parametrisiert, damit Durchmesser, Gefäßlängen, Verzweigungswinkel, Stenosegrad sowie die Stenoselänge veränderbar sind, ohne das Modell jeweils neu zu zeichnen. Das gemeinsame Zuflussgefäß stellt die Arteria carotis communis mit einem Durchmesser von <math>6\,\mathrm{mm}</math> dar. Nach einem geraden Einlaufabschnitt von <math>60\,\mathrm{mm}</math> teilt es sich V-förmig in die beiden Tochtergefäße auf. Die Arteria carotis interna wird mit einem Durchmesser von <math>5\,\mathrm{mm}</math>, die Arteria carotis externa mit <math>4\,\mathrm{mm}</math> modelliert. Beide Tochtergefäße sind jeweils <math>60\,\mathrm{mm}</math> lang. Die Grundgeometrie wurde als zusammenhängender zweidimensionaler Volumenkörper aufgebaut. Die beiden Tochtergefäße verlaufen nach der Bifurkation unter einem Winkel auseinander, sodass eine idealisierte Y-förmige Karotisgabel entsteht. Die Übergänge zwischen dem gemeinsamen Gefäß und den beiden Ästen wurden bewusst vereinfacht, aber ohne abrupte Querschnittssprünge gestaltet. Auf diese Weise bleibt die Geometrie ausreichend einfach für einen systematischen Vergleich verschiedener Modellvarianten, bildet die typische Aufzweigung einer Karotis. Die Stenose befindet sich ausschließlich in der Arteria carotis interna. Um die Verengung nicht durch gerade Polygonsegmente mit scharfen Knicken darzustellen, wurde ihre Kontur mithilfe von zwei parametrischen Kosinuskurven erzeugt. Zur Beschreibung der Stenose wird eine parametrische Kurve mit dem Hilfsparameter <math>t</math> verwendet. Dieser nimmt Werte zwischen <math>-1</math> und <math>1</math> an. Über die Beziehung <math>x(t)=x_\mathrm{st}+\frac{L_\mathrm{st}}{2}t</math> wird der Parameter auf die räumliche Position entlang des Gefäßes übertragen. Für <math>t=-1</math> liegt der Beginn der Stenose bei <math>x_\mathrm{st}-L_\mathrm{st}/2</math>, für <math>t=0</math> befindet sich die Kurve in der Stenosenmitte und für <math>t=1</math> am Ende bei <math>x_\mathrm{st}+L_\mathrm{st}/2</math>. Dadurch kann die Länge der Stenose über den Parameter <math>L_\mathrm{st}</math> verändert werden, ohne ihre Mittelpunktposition <math>x_\mathrm{st}</math> zu verschieben. Die Einengung wächst vom Beginn der Stenose kontinuierlich bis zur Engstelle an und nimmt danach ebenso kontinuierlich wieder ab. Dadurch entstehen glatte Wandübergänge. Die Stärke der Einengung wird über den dimensionslosen Stenosegrad <math>s</math> gesteuert. Für einen unverengten Durchmesser der Arteria carotis interna von <math>D_\mathrm{ACI}=5\,\mathrm{mm}</math> ergibt sich bei einem Stenosegrad von <math>s=0{,}3</math> eine minimale Gefäßweite von <math>3{,}5\,\mathrm{mm}</math>, bei <math>s=0{,}6</math> von <math>2{,}0\,\mathrm{mm}</math> und bei <math>s=0{,}8</math> von <math>1{,}0\,\mathrm{mm}</math>. Die minimale Gefäßweite ergibt sich allgemein aus <math>d_\mathrm{min}=D_\mathrm{ACI}(1-s)</math>. Die beiden parametrischen Kurven wurden mit Hilfslinien zu geschlossenen Flächen ergänzt und anschließend über „Umwandeln in Volumenkörper“ in Flächenobjekte überführt. Mithilfe einer Differenzoperation wurden diese Flächen aus dem Gefäßgebiet ausgeschnitten. Auf diese Weise bleibt die Grundgeometrie des Gefäßes unverändert, während Stenosegrad und Stenosenlänge allein über globale Parameter variiert werden können. Für die Strömung wurde Blut als inkompressibles Newtonsches Fluid mit konstanter Dichte und Viskosität angenähert. Verwendet werden eine Dichte von <math>\rho=1060\,\mathrm{kg/m^3}</math> und eine dynamische Viskosität von <math>\mu=3,5\,\mathrm{mPa s}</math>. Am Einlass wird ein voll entwickeltes Geschwindigkeitsprofil vorgegeben. Aus dem auf der Projektseite angesetzten mittleren Volumenstrom von <math>6\,\mathrm{ml/s}</math> ergibt sich für das <math>6\,\mathrm{mm}</math> breite Zuflussgefäß eine mittlere Geschwindigkeit von rund <math>0{,}21\,\mathrm{m/s}</math>. An beiden Auslässen wird derselbe Referenzdruck vorgegeben, während an sämtlichen Gefäßwänden die Haftbedingung (No Slip) gilt. Nach Fertigstellung der Geometrie wurde ein physikgesteuertes Finite-Elemente-Netz erzeugt und die stationäre Navier-Stokes-Strömung berechnet. Anschließend wurden insbesondere der Geschwindigkeitsbetrag, die Druckverteilung und die Stromlinien ausgewertet. Die Stromlinien dienen dabei nicht nur der Visualisierung der Aufteilung des Blutstroms an der Bifurkation, sondern auch zur Erkennung möglicher Ablöse- und Rückströmungsgebiete hinter der Stenose. Zusätzlich kann die Wandschubspannung entlang der Gefäßwand ausgewertet werden. Die verschiedenen Stenosegrade werden jeweils bei ansonsten identischen Randbedingungen miteinander und mit dem gesunden Referenzfall verglichen. == Ergebnisse der 2D-Strömungssimulation == Die zweidimensionale Strömungssimulation wurde mit COMSOL Multiphysics durchgeführt, um die Auswirkungen einer lokalen Gefäßverengung auf die Blutströmung innerhalb einer idealisierten Karotis-Bifurkation zu untersuchen. Im Mittelpunkt der Auswertung stehen die Geschwindigkeitsverteilung, die Druckverteilung sowie die Wandschubspannung. Ergänzend werden Stromlinien betrachtet, um mögliche Veränderungen des Strömungsverlaufs und das Auftreten von Rückströmungsgebieten hinter der Stenose zu untersuchen. Die Ergebnisse werden hinsichtlich ihrer strömungsmechanischen Bedeutung interpretiert und unter Berücksichtigung der vereinfachenden Modellannahmen bewertet. === Quantitative Auswertung der Strömungsgeschwindigkeit === Zur Untersuchung des Einflusses verschiedener Stenosegrade auf die Strömungsgeschwindigkeit wurde in COMSOL Multiphysics der Geschwindigkeitsbetrag <code>spf.U</code> mithilfe der Funktion ''Oberflächenmaximum'' ausgewertet. Dabei wurden Stenosegrade von 0 %, 30 %, 60 %, 80 % und 100 % betrachtet. Die Berechnungen erfolgten zunächst mit einer Druckrandbedingung von <math>p_0 = 0\,\mathrm{Pa}</math> und anschließend mit einer Resistenzrandbedingung bei <math>k_R = 1</math>. ==== Druckrandbedingung ==== Bei der Druckrandbedingung wurde die maximale Geschwindigkeit über das gesamte Strömungsgebiet bestimmt. {| class="wikitable" ! Stenosegrad ! Maximale Geschwindigkeit [m/s] |- | 0 % || 0,28385 |- | 30 % || 0,27091 |- | 60 % || 0,35036 |- | 80 % || 0,38530 |- | 100 % || 0,46125 |} Die Ergebnisse zeigen zunächst eine leichte Abnahme der maximalen Geschwindigkeit bei 30 % Stenose. Ab 60 % steigt diese mit zunehmender Verengung an. Dies ist mit einer lokalen Beschleunigung der Strömung infolge des verringerten Strömungsquerschnitts vereinbar. Bei 100 % Stenose beträgt das globale Geschwindigkeitsmaximum 0,46125 m/s. Da die Arteria carotis interna (ACI) vollständig verschlossen ist, beschreibt dieser Wert nicht die Strömung durch den Verschluss, sondern kann aus einem anderen, weiterhin durchströmten Gefäßbereich stammen. ==== Graphische Auswertungen in Comsol ==== [[Datei:0%, Geschwindigkeit, p0=0.png|mini|zentriert|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 0 % Stenose und einer Druckrandbedingung von p₀ = 0 Pa.]] <div style="display:flex; justify-content:center; gap:15px;"> <div> [[Datei:0,3%, Geschwindigkeit, p0=0.png|mini|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 30 % Stenose und einer Druckrandbedingung von p₀ = 0 Pa.]] </div> <div> [[Datei:0,3%, Geschwindigkeit, p0=0, Nah Stenose.png|mini|300px|Vergrößerte Geschwindigkeitsverteilung im Bereich der 30%igen Stenose bei p₀ = 0 Pa.]] </div> </div> <div style="display:flex; justify-content:center; gap:15px;"> <div> [[Datei:0,6%, Geschwindigkeit, p0=0.png|mini|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 60 % Stenose und einer Druckrandbedingung von p₀ = 0 Pa.]] </div> <div> [[Datei:0,6%, Geschwindigkeit, p0=0, Nah Stenose.png|mini|300px|Vergrößerte Geschwindigkeitsverteilung im Bereich der 60%igen Stenose bei p₀ = 0 Pa.]] </div> </div> <div style="display:flex; justify-content:center; gap:15px;"> <div> [[Datei:0,8%, Geschwindigkeit, p0=0.png|mini|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 80 % Stenose und einer Druckrandbedingung von p₀ = 0 Pa.]] </div> <div> [[Datei:0,8%, Geschwindigkeit, p0=0, Nah Stenose.png|mini|300px|Vergrößerte Geschwindigkeitsverteilung im Bereich der 80%igen Stenose bei p₀ = 0 Pa.]] </div> </div> <div style="display:flex; justify-content:center; gap:15px;"> <div> [[Datei:100%, Geschwindigkeit, p0=0.png|mini|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 100 % Stenose und einer Druckrandbedingung von p₀ = 0 Pa.]] </div> <div> [[Datei:100%, Geschwindigkeit, p0=0, Nah Stenose.png|mini|300px|Vergrößerte Darstellung des vollständig verschlossenen Bereichs der ACI bei 100 % Stenose und p₀ = 0 Pa.]] </div> </div> Die Farbskala zeigt den Betrag der Strömungsgeschwindigkeit in m/s. Blaue Bereiche kennzeichnen niedrige, grüne und gelbe mittlere sowie rote Bereiche hohe Geschwindigkeiten. Im unverengten Gefäß ist die Geschwindigkeit in der Gefäßmitte am höchsten und nimmt zu den Gefäßwänden hin ab. Mit zunehmendem Stenosegrad verändert sich die Geschwindigkeitsverteilung deutlich. Im Bereich der Engstelle wird die Strömung lokal beschleunigt, während hinter der Verengung Bereiche niedriger Geschwindigkeit auftreten können. Bei 100 % Stenose ist die ACI vollständig verschlossen, sodass die Strömung nur noch über den offenen Gefäßast abfließen kann. === Resistenzrandbedingung und Vergleich === Anschließend wurde die Strömung unter Verwendung einer Resistenzrandbedingung mit konstantem Parameter <math>k_R = 1</math> untersucht. Bei zunehmender Verengung traten Konvergenzprobleme auf. Ab ungefähr 73 % Stenose konnte keine konvergierende stationäre Lösung mehr bestimmt werden. Daher wurden für die hochgradigen Stenosen ergänzend zeitabhängige Simulationen durchgeführt. {| class="wikitable" ! Stenosegrad ! Druckrandbedingung <math>p_0 = 0\,\mathrm{Pa}</math> [m/s] ! Resistenzrandbedingung <math>k_R = 1</math> [m/s] |- | 0 % || 0,28385 || 0,32426 |- | 30 % || 0,27081 || 0,32219 |- | 60 % || 0,35036 || 0,53188 |- | 80 % || 0,3858 || 1,0674 |- | 100 % || 0,46125 || <math>\approx 0</math> * |} <small>* Bei 100 % Stenose wurde für die Resistenzrandbedingung ausschließlich das Gebiet hinter dem vollständigen Verschluss ausgewertet. Die maximale Geschwindigkeit beträgt dort <math>v_{\max} = 2{,}1416 \cdot 10^{-21}\,\mathrm{m/s} \approx 0\,\mathrm{m/s}</math>.</small> Der Vergleich zeigt, dass die maximale Geschwindigkeit bei der Resistenzrandbedingung insbesondere bei höheren Stenosegraden deutlich stärker ansteigt. Bei 80 % Stenose wird mit 1,0674 m/s ein wesentlich höherer Wert erreicht als bei der Druckrandbedingung mit 0,3858 m/s. Dies verdeutlicht den Einfluss der Auslassrandbedingungen auf die Strömungsverteilung innerhalb der Gefäßverzweigung. Bei vollständigem Gefäßverschluss ist ein direkter Vergleich der beiden Werte nicht möglich, da unterschiedliche Strömungsgebiete ausgewertet wurden. Während bei der Druckrandbedingung das globale Maximum betrachtet wurde, beschreibt der Wert der Resistenzrandbedingung die praktisch zum Stillstand gekommene Strömung hinter der Stenose. Insgesamt zeigen die Ergebnisse, dass sowohl der Stenosegrad als auch die gewählten Randbedingungen einen wesentlichen Einfluss auf die maximale Strömungsgeschwindigkeit besitzen. Die Konvergenzprobleme bei hochgradigen Stenosen verdeutlichen zudem die Notwendigkeit einer ergänzenden zeitabhängigen Untersuchung. ==== Graphische Auswertungen in Comsol ==== [[Datei:0%, Geschwindigkeit, Resbed..png|mini|zentriert|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 0 % Stenose mit Resistenzrandbedingung (k_R = 1).]] <div style="display:flex; justify-content:center; gap:15px;"> <div> [[Datei:0,3%, Geschwindigkeit, Resbed..png|mini|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 30 % Stenose mit Resistenzrandbedingung (k_R = 1).]] </div> <div> [[Datei:0,3%, Geschwindigkeit, Resbed., Nah Stenose.png|mini|300px|Vergrößerte Geschwindigkeitsverteilung im Bereich der 30%igen Stenose mit Resistenzrandbedingung (k_R = 1).]] </div> </div> <div style="display:flex; justify-content:center; gap:15px;"> <div> [[Datei:0,6%, Geschwindigkeit, Resbed..png|mini|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 60 % Stenose mit Resistenzrandbedingung (k_R = 1).]] </div> <div> [[Datei:0,6%, Geschwindigkeit, Resbed., Nah Stenose.png|mini|300px|Vergrößerte Geschwindigkeitsverteilung im Bereich der 60%igen Stenose mit Resistenzrandbedingung (k_R = 1).]] </div> </div> <div style="display:flex; justify-content:center; gap:15px;"> <div> [[Datei:0,8%, Geschwindigkeit, Resbed., zeitabh., Zeit 1 s.png|mini|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 80 % Stenose mit Resistenzrandbedingung (k_R = 1) zum Zeitpunkt t = 1 s.]] </div> <div> [[Datei:0,8%, Geschwindigkeit, Resbed., zeitabh., Zeit 1 s, Nah Stenose.png|mini|300px|Vergrößerte Geschwindigkeitsverteilung im Bereich der 80%igen Stenose mit Resistenzrandbedingung (k_R = 1) zum Zeitpunkt t = 1 s.]] </div> </div> <div style="display:flex; justify-content:center; gap:15px;"> <div> [[Datei:1%, Geschwindigkeit, Resbed., zeitabh., Zeit 1 s,.png|mini|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 100 % Stenose mit Resistenzrandbedingung (k_R = 1) zum Zeitpunkt t = 1 s.]] </div> <div> [[Datei:1%, Geschwindigkeit, Resbed., zeitabh., Zeit 1 s, nah Stenose.png|mini|300px|Vergrößerte Darstellung des vollständig verschlossenen ACI-Bereichs bei 100 % Stenose mit Resistenzrandbedingung (k_R = 1) zum Zeitpunkt t = 1 s.]] </div> </div> === Druckverteilung und Druckabfall === Die Druckverteilung wurde anhand der berechneten Isobaren innerhalb der zweidimensionalen Karotis-Bifurkation untersucht. Dabei zeigt sich eine Abnahme des statischen Drucks vom gemeinsamen Zuflussgefäß in Richtung der beiden Gefäßausgänge. Der maximale berechnete Druck beträgt etwa '''74,2 Pa''', während der minimale Druck bei etwa '''−19,9 Pa''' liegt. Daraus ergibt sich eine globale Druckspanne von ungefähr '''94,1 Pa'''. Besonders auffällig ist die Druckverteilung im Bereich der Stenose der Arteria carotis interna (ACI). Dort liegen die Isobaren deutlich enger beieinander, was auf einen ausgeprägten lokalen Druckgradienten hinweist. Stromabwärts der Engstelle treten zudem Bereiche mit niedrigem statischem Druck auf. '''Interpretation''': Die Ergebnisse zeigen, dass die Stenose die lokale Druckverteilung im ACI-Ast deutlich beeinflusst. Die Beschleunigung der Strömung innerhalb der Verengung geht mit einer Abnahme des statischen Drucks einher. Die globale Druckspanne von 94,1 Pa darf jedoch nicht mit dem irreversiblen Druckverlust über der Stenose gleichgesetzt werden. Die globale Druckspanne von 94,1 Pa ist nicht mit dem Druckabfall über der Stenose gleichzusetzen. Zur genaueren Untersuchung wurden deshalb zwei Messquerschnitte vor und hinter der Engstelle ausgewertet. Zwischen diesen ergibt sich eine mittlere statische Druckdifferenz von 36,24 Pa. <div style="text-align:center;"> [[Datei:Druckverteilung_2D.png|800px|zentriert|Druckverteilung der stationären 2D-Strömungssimulation einer idealisierten Karotis-Bifurkation mit 80 % Stenose in der Arteria carotis interna (ACI). Die Isobaren zeigen den Druckverlauf innerhalb der Gefäßgeometrie. Besonders im Bereich der Stenose ist ein ausgeprägter lokaler Druckgradient erkennbar. Der berechnete Druck liegt zwischen −19,9 Pa und 74,2 Pa.]] <small>'''Abbildung 3:''' Druckverteilung der stationären 2D-Strömungssimulation einer idealisierten Karotis-Bifurkation mit 80 % Stenose in der Arteria carotis interna (ACI). Die Isobaren zeigen den Druckverlauf innerhalb der Gefäßgeometrie. Besonders im Bereich der Stenose ist ein ausgeprägter lokaler Druckgradient erkennbar. Der berechnete Druck liegt zwischen −19,9 Pa und 74,2 Pa.</small> </div> ==== Quantitative Bestimmung der Druckdifferenz ==== Zur quantitativen Untersuchung des Druckabfalls wurden zwei Messquerschnitte im ACI-Ast definiert, einer vor und einer hinter der Stenose. Mithilfe der COMSOL-Funktion „Linienmittelwert“ wurde der mittlere statische Druck an beiden Positionen bestimmt. Vor der Stenose beträgt der mittlere Druck '''35,232 Pa''', während hinter der Stenose ein Wert von '''−1,0042 Pa''' ermittelt wurde. Daraus ergibt sich eine Druckdifferenz von '''36,24 Pa'''. Die Ergebnisse zeigen eine deutliche Abnahme des statischen Drucks zwischen den beiden Messquerschnitten. Diese Druckdifferenz verdeutlicht die Druckänderung entlang des stenotischen ACI-Astes. Sie ist jedoch nicht mit dem ausschließlich durch die Stenose verursachten irreversiblen Druckverlust gleichzusetzen, da auch die Strömungsentwicklung in den angrenzenden Gefäßabschnitten berücksichtigt wird. {| class="wikitable" style="text-align:center;" ! Stenosegrad ! <math>\bar p_\mathrm{vor}</math> [Pa] ! <math>\bar p_\mathrm{nach}</math> [Pa] ! <math>\Delta p</math> [Pa] |- | 0 % | 11,631 | 4,2461 | 7,3849 |- | 30 % | 16,919 | 2,9220 | 13,997 |- | 60 % | 35,835 | -0,58267 | 36,41767 |- | 80 % | 70,562 | -0,55906 | 71,12106 |} === Ausblick: Wandschubspannung im Vergleich === Zur Untersuchung der mechanischen Belastung der Gefäßwände wurde die Wandschubspannung (Wall Shear Stress, WSS) im zweidimensionalen Strömungsmodell ausgewertet. Sie beschreibt die tangentiale viskose Spannung, die durch die Strömung an der Gefäßwand entsteht. Die quantitative Auswertung erfolgte für die obere und untere Wand des stenotischen ACI-Abschnitts. Hierfür wurden die entsprechenden Wandkanten in COMSOL ausgewählt und der Betrag der Wandschubspannung bestimmt. Die Abbildung zeigt die Verteilung der Wandschubspannung (Wall Shear Stress, WSS) an den Gefäßwänden im Bereich der 80-%-Stenose der ACI. Die Auswertung erfolgte einmal mit und einmal ohne Resistenzrandbedingung. Für <math>p_0 = 0\,\mathrm{Pa}</math>: * Die Farbskala verdeutlicht die unterschiedlich starke Belastung der Gefäßwand durch die Blutströmung. '''Blaue Bereiche''' kennzeichnen geringe Wandschubspannungen von etwa 1 bis 2 Pa, während '''grüne und gelbe Bereiche''' mittlere Werte anzeigen. Im '''orange-roten Bereich''' nahe der stärksten Verengung steigt die Wandschubspannung deutlich an. Das mithilfe des Linienmaximums ermittelte Maximum beträgt '''6,0400 Pa'''. * Die erhöhten Werte im Bereich der Stenose lassen sich durch die starke Verengung des Gefäßquerschnitts erklären. Dadurch entstehen größere Geschwindigkeitsänderungen in Wandnähe, die zu einer erhöhten Wandschubspannung führen können. Die Abbildung zeigt somit, dass die mechanische Belastung der Gefäßwand innerhalb des untersuchten Stenosebereichs nicht gleichmäßig verteilt ist, sondern lokal deutlich zunimmt. [[Datei:WSS P0=0.png|300px|mini|zentriert|Verteilung der Wandschubspannung (WSS) im Bereich der 80-%-Stenose der Arteria carotis interna bei der Druckrandbedingung <math>p_0 = 0\,\mathrm{Pa}</math>.]] Mit Resistenzrandbedingung: * Die Abbildung zeigt die Verteilung der Wandschubspannung (Wall Shear Stress, WSS) an den Gefäßwänden im Bereich der 80-%-Stenose der Arteria carotis interna (ACI). Im Gegensatz zur vorherigen Untersuchung mit der Druckrandbedingung <math>p_0 = 0\,\mathrm{Pa}</math> wurde hier die Resistenzrandbedingung <math>k_R = 1</math> verwendet. * Da für diesen Fall keine stationäre Lösung erzielt werden konnte, erfolgte die Berechnung zeitabhängig. Die dargestellten Ergebnisse beziehen sich auf den Zeitpunkt <math>t = 1\,\mathrm{s}</math>. * Die Wandschubspannung ist innerhalb des Stenosebereichs unterschiedlich stark ausgeprägt. Bereiche mit niedrigen Werten kennzeichnen eine geringere tangentiale Belastung der Gefäßwand, während Bereiche mit höheren Werten auf eine stärkere Belastung hinweisen. * Das mithilfe des Linienmaximums ermittelte Maximum auf den ausgewählten Stenosewänden beträgt: <math>19{,}856\,\mathrm{Pa}</math>. * Die erhöhten Wandschubspannungen lassen sich durch die starke Verengung des Gefäßquerschnitts und die damit verbundenen Geschwindigkeitsänderungen in Wandnähe erklären. * Im Vergleich zur stationären Berechnung mit <math>p_0 = 0\,\mathrm{Pa}</math>, bei der eine maximale Wandschubspannung von <math>6{,}0400\,\mathrm{Pa}</math> ermittelt wurde, fällt der Maximalwert bei der Resistenzrandbedingung deutlich höher aus. * Dabei ist zu beachten, dass es sich bei <math>19{,}856\,\mathrm{Pa}</math> um einen Momentanwert bei <math>t = 1\,\mathrm{s}</math> handelt und nicht um einen stationären Wert. Die beiden Ergebnisse sind daher nur eingeschränkt direkt vergleichbar. * Die Farbverteilung zeigt, dass die Wandschubspannung im Bereich der Stenose von niedrigen Werten (Blau) zu höheren Werten (Grün, Gelb und Rot) ansteigt und insbesondere an der engsten Stelle der Gefäßverengung erhöht ist. [[Datei:WSS Resistenzrandbedingung.png|300px|mini|zentriert|Verteilung der Wandschubspannung (WSS) im Bereich der 80-%-Stenose der Arteria carotis interna bei der Resistenzrandbedingung <math>k_R = 1</math> zum Zeitpunkt <math>t = 1\,\mathrm{s}</math> (zeitabhängige Simulation).]] === Zusammenfassende Bewertung der 2D-Ergebnisse AKTUELLE DATEN NOCH REIN === Die stationäre zweidimensionale Strömungssimulation mit einem Stenosegrad von 80 % zeigt deutliche Veränderungen der Strömungsgrößen innerhalb der idealisierten Karotis-Bifurkation. Die maximale Geschwindigkeit beträgt 0,31853 m/s. Zwischen den ausgewählten Messquerschnitten vor und hinter der ACI-Stenose ergibt sich eine mittlere statische Druckdifferenz von 36,24 Pa. Die maximale Wandschubspannung auf den ausgewerteten Stenosewänden beträgt 3,2282 Pa. Die Untersuchung der Geschwindigkeitskomponenten liefert Hinweise auf lokale Strömungsanteile entgegen der Hauptströmungsrichtung. Ein eindeutig abgegrenztes Rezirkulationsgebiet konnte anhand der vorliegenden Darstellungen jedoch nicht sicher nachgewiesen werden. Die Ergebnisse beschreiben zunächst den untersuchten Fall einer hochgradigen Stenose. Aus diesem einzelnen Fall lässt sich weder eine allgemeine Abhängigkeit der Strömungsgrößen vom Stenosegrad noch ein kritischer Stenosegrad für den Beginn der Strömungsablösung bestimmen. Dafür wäre eine vergleichende Auswertung weiterer Stenosegrade erforderlich. == Resistenzrandbedingung am Auslass (2D-Modell) == === Motivation === Im ursprünglichen 2D-Modell wurde an beiden Auslässen eine Nulldruckbedingung <math>p = 0</math> gesetzt. Physikalisch bedeutet das, dass beide Äste in ein „offenes Becken“ mit gleichem, festem Druck münden. Der Auslassdruck hängt dabei nicht davon ab, wie viel Blut ankommt. Diese Annahme hat zwei Schwächen: * Die Flussaufteilung zwischen ACI und ACE ergibt sich nur aus den kleinen Strömungswiderständen der modellierten Gefäßabschnitte. Wird die ACI durch die Stenose verengt, weicht das Blut nahezu ungehindert in die ACE aus. Im Körper ist das nicht möglich, weil hinter der ACI das Gefäßbett des Gehirns mit einem eigenen, großen Widerstand liegt. * Das Druckniveau (Auslass bei 0 Pa) ist nicht physiologisch. Im 3D-Modell wurde deshalb an beiden Auslässen eine '''Resistenzrandbedingung''' verwendet. Damit 2D- und 3D-Modell vergleichbar sind, haben wir dieselbe Randbedingung auch im 2D-Modell eingebaut. === Formel und Herleitung === Das gesamte nachgeschaltete Gefäßbett hinter jedem Auslass wird durch einen einzigen peripheren Widerstand <math>R_p</math> ersetzt: :<math>p_{\text{aus}} = k_R \cdot R_p \cdot Q</math> Dabei ist <math>Q</math> der Volumenstrom durch den Auslass und <math>k_R</math> ein Schalter (<math>k_R = 1</math>: Widerstand, <math>k_R = 0</math>: ursprüngliche Bedingung <math>p = 0</math>). '''1. Gesunde Flussaufteilung nach dem Murray-Gesetz''' Der Volumenstrom eines Gefäßes ist nach Murray proportional zur dritten Potenz des Durchmessers. Für den Anteil der ACI am Gesamtfluss gilt damit: :<math>\varphi_0 = \frac{D_I^3}{D_I^3 + D_E^3} = \frac{(5\,\text{mm})^3}{(5\,\text{mm})^3 + (4\,\text{mm})^3} \approx 0{,}661</math> Mit dem mittleren Volumenstrom der A. carotis communis <math>Q_0 = 6\,\text{ml/s}</math> (Holdsworth u. a. 1999) folgt: :<math>Q_{I,0} = \varphi_0 \cdot Q_0 \approx 3{,}97\,\text{ml/s}, \qquad Q_{E,0} = (1-\varphi_0) \cdot Q_0 \approx 2{,}03\,\text{ml/s}</math> '''2. Bestimmung der peripheren Widerstände''' Die Widerstände werden so gewählt, dass im gesunden Zustand an beiden Auslässen der treibende Druck des peripheren Gefäßbetts <math>p_D = 90\,\text{mmHg} \approx 12\,000\,\text{Pa}</math> anliegt: :<math>R_{pI} = \frac{p_D}{Q_{I,0}} \approx 3{,}0 \cdot 10^{9}\,\frac{\text{Pa}\cdot\text{s}}{\text{m}^3}, \qquad R_{pE} = \frac{p_D}{Q_{E,0}} \approx 5{,}9 \cdot 10^{9}\,\frac{\text{Pa}\cdot\text{s}}{\text{m}^3}</math> Die Randbedingungen an den beiden Auslässen lauten damit: :<math>p_{\text{aus},I} = k_R \cdot R_{pI} \cdot Q_I, \qquad p_{\text{aus},E} = k_R \cdot R_{pE} \cdot Q_E</math> '''3. Umrechnung des Flusses im 2D-Modell''' Im 2D-Modell liefert das Integral der Normalgeschwindigkeit über den Auslassrand keinen Volumenstrom in m³/s, sondern einen Fluss pro Tiefe <math>q</math> in m²/s. Damit die Widerstände aus dem 3D-Modell verwendet werden können, wird <math>q</math> mit einer einheitlichen Ersatztiefe <math>b</math> in einen Volumenstrom umgerechnet: :<math>Q = q \cdot b, \qquad b = \frac{\pi \, D_{CC}}{4}</math> Die Ersatztiefe ist so gewählt, dass am Einlass mit der mittleren Einströmgeschwindigkeit <math>\bar{u}_{ein} = Q_0 / (\pi D_{CC}^2/4) \approx 0{,}21\,\text{m/s}</math> genau der Volumenstrom des 3D-Modells von 6 ml/s ankommt. Weil dieselbe Ersatztiefe für alle Ränder gilt, bleibt die Massenbilanz erhalten. === Ergebnisse mit Resistenzrandbedingung === {| class="wikitable" style="text-align:center" |+ Maximale Geschwindigkeit ! Stenosegrad S !! <math>u_{max}</math> [m/s] |- | 0 || 0,324^* |- | 0,3 || 0,323^* |- | 0,6 || 0,529 |- | 0,8 || 1,067 |} ^* Bei S = 0 und S = 0,3 liegt das Geschwindigkeitsmaximum nicht in der Stenose, sondern in der A. carotis communis. {| class="wikitable" style="text-align:center" |+ Druck vor und nach der Stenose ! Stenosegrad S !! <math>p_{vor}</math> [Pa] !! <math>p_{nach}</math> [Pa] !! Druckverlust <math>\Delta p = p_{vor} - p_{nach}</math> [Pa] !! <math>\Delta p</math> [mmHg] |- | 0 || 11 802 || 11 793 || 9 || 0,07 |- | 0,3 || 11 808 || 11 790 || 18 || 0,14 |- | 0,6 || 11 838 || 11 760 || 78 || 0,59 |- | 0,8 || 12 024 || 11 626 || 398 || 2,99 |} === Auswertung === * '''Druckniveau:''' Mit der Resistenzrandbedingung liegt der Druck bei etwa 11 800 Pa ≈ 88,5 mmHg. Das entspricht dem mittleren arteriellen Druck in der Carotis. Mit <math>p = 0</math> lagen die Drücke nur bei wenigen Pa bis einigen 100 Pa. * '''Flussaufteilung:''' Die peripheren Widerstände sind wesentlich größer als der Widerstand der Stenose. Deshalb bestimmen sie die Flussaufteilung, und die ACI behält auch bei 80 % Stenose nahezu ihren Anteil (Abnahme von <math>Q_I</math> nur um etwa 1 %). Im Gegensatz zu <math>p = 0</math> kann das Blut nicht einfach in die ACE ausweichen. Das entspricht dem physiologischen Verhalten bei nicht kritischen Stenosen. * '''Geschwindigkeit:''' Weil mehr Blut durch die Engstelle strömen muss, steigen die Geschwindigkeiten in der Stenose gegenüber <math>p = 0</math>. Von S = 0,6 auf S = 0,8 verdoppelt sich <math>u_{max}</math> etwa. * '''Druckverlust:''' Der Druckverlust steigt stark nichtlinear mit dem Stenosegrad. Von S = 0,6 auf S = 0,8 nimmt er etwa um den Faktor 5 zu. * '''Druckrückgewinnung:''' Bei S = 0,8 liegt <math>p_{nach}</math> mit 11 626 Pa sogar unter dem Auslassdruck (≈ 11 680 Pa). Direkt hinter der Engstelle ist die Geschwindigkeit des Strahls noch hoch und der statische Druck entsprechend niedrig. Stromabwärts verlangsamt sich die Strömung, und ein Teil des Drucks wird zurückgewonnen. Der bleibende Druckverlust ist daher etwas kleiner als 398 Pa. === Grenzen und Vergleich mit dem 3D-Modell === * Im 2D-Modell verringert eine Stenose von 80 % nur die '''Spaltbreite''' auf 20 %. Im 3D-Modell sinkt die '''Querschnittsfläche''' dagegen auf <math>0{,}2^2 = 4\,\%</math>. Das 2D-Modell unterschätzt deshalb Geschwindigkeit und Druckverlust in der Stenose systematisch. Klinisch gelten bei Stenosen ab 70 % systolische Spitzengeschwindigkeiten über 2,3 m/s; ab einem Druckgradienten von etwa 10–20 mmHg gilt eine Stenose als hämodynamisch relevant. Beide Grenzen erreicht das 2D-Modell nicht. * Die Umrechnung über die Ersatztiefe <math>\pi D_{CC}/4</math> ist eine Modellannahme. * Der periphere Widerstand ist konstant. Die Autoregulation des Gehirns und die Gefäßelastizität (Windkessel) werden nicht berücksichtigt, und die Rechnung ist stationär (keine Pulsatilität). == Beantwortung der Forschungsfragen == '''Welche Strömungsgrößen reagieren empfindlich auf den Stenosegrad?''' Die Untersuchung der 80-%-Stenose zeigt deutliche Veränderungen der Geschwindigkeitsverteilung, des statischen Drucks und der Wandschubspannung. Die maximale Strömungsgeschwindigkeit beträgt 0,31853 m/s. Zwischen den ausgewählten Messquerschnitten vor und hinter der Stenose ergibt sich eine mittlere statische Druckdifferenz von 36,24 Pa. Die maximale Wandschubspannung auf den untersuchten Stenosewänden beträgt 3,2282 Pa.Da bisher nur die 80-%-Stenose quantitativ ausgewertet wurde, lässt sich noch nicht feststellen, welche dieser Größen bei zunehmendem Stenosegrad am stärksten reagiert. '''Ab welchem Stenosegrad tritt eine Strömungsablösung auf?''' Bei der untersuchten 80-%-Stenose zeigen die Geschwindigkeitskomponenten und die vorzeichenbehaftete Wandschubspannung Hinweise auf Veränderungen der wandnahen Strömungsrichtung hinter der Engstelle. Ein eindeutig geschlossenes Rezirkulationsgebiet konnte jedoch nicht nachgewiesen werden. Ein kritischer Stenosegrad für den Beginn einer Strömungsablösung lässt sich aus dieser einzelnen Simulation daher nicht bestimmen. Hierfür müssten weitere Stenosegrade unter vergleichbaren Bedingungen ausgewertet werden. '''Inwieweit sind die Annahmen einer stationären und laminaren Strömung geeignet?''' Die stationäre, laminare Modellierung ermöglicht es, grundlegende Auswirkungen einer Gefäßverengung auf die Strömung in einer idealisierten Karotis-Bifurkation zu untersuchen. Bei hochgradigen Stenosen können allerdings zeitabhängige und dreidimensionale Strömungsstrukturen auftreten. Diese werden durch das vorliegende stationäre 2D-Modell nicht vollständig erfasst. Die Simulationsergebnisse sind deshalb auf die gewählten Modellannahmen und Randbedingungen beschränkt. '''Zusammenfassend''' liefert die 2D-Simulation eine erste quantitative Beschreibung der Strömungsverhältnisse bei einer hochgradigen ACI-Stenose. Für allgemeine Aussagen über die Abhängigkeit vom Stenosegrad und den Beginn einer Strömungsablösung sind zusätzliche Vergleichsrechnungen erforderlich. = Grenzen des Modells = * Die untersuchte Gefäßgeometrie ist eine idealisierte Darstellung der Karotisaufzweigung. Individuelle anatomische Unterschiede werden nicht berücksichtigt. * Darüber hinaus werden die Gefäßwände als starr angenommen und Blut wird durch ein inkompressibles Newtonsches Fluid mit konstanter Viskosität beschrieben. * Die Strömung wird stationär berechnet. Die natürliche Pulsation des Blutflusses und zeitabhängige Effekte bleiben damit unberücksichtigt. * Insbesondere bei hochgradigen Stenosen können zeitabhängige Strömungsablösungen auftreten, die durch eine stationäre Modellierung nicht vollständig beschrieben werden. * Das Graphenmodell kann lokale Strömungsphänomene nicht detailliert erfassen. Das ebene Flächenmodell vereinfacht die räumliche Gefäßgeometrie. Auch das dreidimensionale Modell bleibt aufgrund der idealisierten Geometrie und der vereinfachten Materialannahmen eine Annäherung an die reale Blutströmung. * Die Ergebnisse sind daher als strömungsmechanische Untersuchung eines idealisierten Modells zu interpretieren und nicht als patientenspezifische medizinische Vorhersage. = Literaturverzeichnis = Alle Quellen sind an den Stellen im Text angegeben, an denen die zugehörigen Werte oder Aussagen verwendet werden. Die Liste wird aus diesen Angaben automatisch erzeugt. <references /> ngpfvci4lk1pwo0o5x7rbr12bw25xqi 1119422 1119420 2026-11-11T18:11:58Z Nicole.pander 39567 /* Thema */ 1119422 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Joey Becker * Marie-Thérèse Heitele * Nicole Pander = Thema = Gegenstand dieses Projekts ist die numerische Simulation der Blutströmung in einer verzweigten Halsschlagader ('''Carotis-Bifurkation''') unter dem Einfluss einer lokalen Gefäßverengung ('''Stenose'''). Im Vergleich zu einer einfachen Rohrströmungen wird hier die realitätsnahe Gefäßanatomie betrachtet: Die '''Arteria carotis communis (ACC)''' teilt sich in die '''Arteria carotis externa (ACE)''' und die '''Arteria carotis interna (ACI)''' auf. Während die '''ACE''' als gesunder, stenosefreier Ast dient, wird in der '''ACI''' eine Gefäßverengung modelliert. Hierbei werden unterschiedliche Stenosegrade betrachtet. Als Referenz dient ein gesundes, unverengtes Gefäß, in dem sich die Poiseuille-Strömung mit ihrem charakteristischen parabolischen Geschwindigkeitsprofil ausbildet. Diese Strömung ist aus zwei Gründen der natürliche Ausgangspunkt. Sie beschreibt den physiologischen Normalfall, mit dem jeder Stenosegrad verglichen wird. == Fragestellung == Die Hauptfragestellung dieses Projektes lautet: Wie verändert eine Stenose in der '''Arteria carotis interna (ACI)''' die Strömung des Blutes hinsichtlich Strömungsgeschwindigkeit und des Druckabfalls über die Engstelle im Vergleich zum gesunden Gefäßabschnitt? Aus dieser Fragestellung ergeben sich drei Teilfragen, an denen sich der Aufbau der Seite orientiert: # Wie stark steigt die maximale Strömungsgeschwindigkeit in der Stenose mit zunehmendem Stenosegrad an? # Wie groß ist die Druckdifferenz vor und nach der Stenose bei den untersuchten Stenosegraden und ab welchem Stenosegrad nimmt sie deutlich zu? # Wie stark hängen Geschwindigkeitsmaximum und Druckdifferenz von der gewählten Auslassrandbedingung ab? = Relevanz = Die Untersuchung von Gefäßverengungen besitzt sowohl eine medizinische als auch eine methodische Bedeutung. Aus medizinischer Sicht sind arterielle Stenosen – etwa in der Halsschlagader – kritisch, da sie die Durchblutung beeinträchtigen und durch veränderte Wandschubspannungen sowie die Bildung von Wirbeln weitere Gefäßablagerungen begünstigen. Stenosen im Bereich der Karotisgabelung sind klinisch hochrelevant, da sie das Gehirn direkt versorgen und das Risiko für embolische Schlaganfälle erhöhen. Fachlich überträgt das Projekt damit die Prinzipien der Strömungsmechanik direkt auf eine biomedizinische Anwendung. Das Projekt verknüpft somit theoretische Grundlagen der Strömungsmechanik (Hagen-Poiseuille-Gleichung, Navier-Stokes-Gleichungen) mit der numerischen Simulation in COMSOL Multiphysics. Durch den Vergleich der '''gesunden Externa (ACE)''' mit der '''stenoisierten Interna (ACI)''' innerhalb desselben Rechengebiets wird die isolierte Wirkung der Stenose unter identischen Randbedingungen direkt sichtbar gemacht. == Medizinische Relevanz == Arterielle Stenosen entstehen überwiegend durch Atherosklerose, also durch Ablagerungen aus Lipiden, Bindegewebe und Kalk in der Gefäßwand. In der Halsschlagader sind sie klinisch besonders bedeutsam, weil sie die Durchblutung des Gehirns beeinträchtigen und weil sich an ihnen Thromben bilden können, die als Embolie einen Schlaganfall auslösen. Dass die operative Entfernung einer hochgradigen Karotisstenose das Schlaganfallrisiko symptomatischer Patienten deutlich senkt, hat die NASCET-Studie gezeigt, deren Einteilung der Stenosegrade dieses Projekt übernimmt.<ref name="nascet">North American Symptomatic Carotid Endarterectomy Trial Collaborators: ''Beneficial effect of carotid endarterectomy in symptomatic patients with high-grade carotid stenosis.'' New England Journal of Medicine 325 (1991), Nr. 7, S. 445-453.</ref> == Methodische Relevanz == Fachlich überträgt das Projekt die Prinzipien der Strömungsmechanik aus der Vorlesung auf eine biomedizinische Anwendung.<ref name="hundertmark">Hundertmark, A.: ''Fluiddynamik.'' Vorlesungsunterlagen zum Modul Räumliche Modellbildung, RPTU Kaiserslautern-Landau, Sommersemester 2026.</ref> Der methodische Mehrwert liegt in der Verknüpfung mehrerer Zugänge, die sich gegenseitig kontrollieren. Die analytische Poiseuille-Lösung liefert exakte Sollwerte für das gesunde Gefäß. Ein reduziertes Graphenmodell liefert für jeden Stenosegrad eine schnelle Abschätzung, die analytisch nachrechenbar ist. Die Simulationen in COMSOL Multiphysics lösen schließlich die vollständigen Navier-Stokes-Gleichungen in zwei und drei Raumdimensionen. Weil jede Stufe die Sollwerte der nächsten liefert, zeigt das Projekt nicht nur Ergebnisse, sondern auch, wie numerische Modelle aufgebaut, verifiziert und an ihren Grenzen bewertet werden. == Modellannahmen == Im Hinblick darauf werden für dieses Projekt einige Annahmen getroffen, um das Projekt möglichst isoliert zu untersuchen und zu simplifizieren: * '''Idealisierte Gefäßgeometrie''': Betrachtet wird ein Teilabbschnitt der ''Arteria carotis communis'', die sog. ''ACI''. Zudem werden Gefäßverkrümmungen, weitere Verzweigungen und patientenspezifische Strukturen nicht berücksichtigt. * '''Starre Gefäßwand''': Die Gefäßwand wird als unbeweglich und nicht verformbar angenommen. Eine Wechselwirkung zwischen elastischer Gefäßwand und Blutströmung wird nicht modelliert. * '''Stationäre Strömung''': Die Strömungsgrößen werden als zeitlich konstant angenommen. Die im realen Blutkreislauf vorhandene Pulsation durch den Herzschlag wird daher vernachlässigt: <math>\frac{\partial u}{\partial t}=0</math>. * '''Inkompressibles Fluid''': Die Dichte des Fluids wird als konstant angenommen. Damit gilt für die Geschwindigkeit <math>\nabla \cdot u=0</math>. Dies entspricht der in der Vorlesung behandelten Massenerhaltung für inkompressible Fluide: Was in das Gefäß einströmt, muss auch wieder ausströmen. * '''Newton'sche Näherung für Blut''': Reales Blut beseitzt ein nicht newton'sches Fließverhalten. Hier wird Blut als Newton'sches Fluid behandelt. * '''Konstante Stoffeigenschaften''': Dichte <math>\rho</math> und dynamische Viskosität μ werden als räumlich und zeitlich konstant angenommen. Temperaturabhängigkeiten werden nicht berücksichtigt. * '''Laminare Strömung''': Die Strömung wird mit dem COMSOL-Modul ''Laminar Flow'' beschrieben. Ein zusätzliches Turbulenzmodell wird nicht verwendet. * '''No-Slip-Bedingung an Gefäßwand''': Aufgrund der Viskosität wird angenommen, dass das Fluid direkt an der Gefäßwand haftet. Somit gilt <math>u=0</math>. * '''Vernachlässigung der Gravitation''': Gravitation wird nicht berücksichtigt. Die Strömung wird ausschließlich durch die gewählten Ein- und Auslassbedingungen bestimmt. == Auswahl der Stenosegrade == Um die untersuchten Gefäßverengungen nicht willkürlich festzulegen, orientiert sich die Auswahl der Stenosegrade an der klinisch gebräuchlichen NASCET-Klassifikation von Karotisstenosen.<ref name="nascet" /> Zur klinischen Einordnung werden Karotisstenosen anhand der nach NASCET bestimmten Durchmesserreduktion in leichtgradige, mittelgradige und hochgradige Stenosen eingeteilt. Die angegebenen Prozentgrenzen dienen in diesem Projekt als Orientierung für die Auswahl der untersuchten Stenosegrade. Ein vollständiger Gefäßverschluss wird als Okklusion bezeichnet. {| class="wikitable" |+ Klinische Einteilung nach NASCET-gemessener Durchmesserreduktion und untersuchte Stenosegrade ! Schweregrad !! Durchmesserreduktion !! im Projekt gerechnete Stenosegrade !! hervorgehobener Vertreter |- | gesundes Gefäß || 0 % || 0 || 0 |- | leichtgradige Stenose || unter 50 % || 0,1 bis 0,4 || 0,3 |- | mittelgradige Stenose || 50 bis 69 % || 0,5 und 0,6 || 0,6 |- | hochgradige Stenose || 70 bis 99 % || 0,7 und 0,8 || 0,8 |- | Okklusion || 100 % || nicht gerechnet || entfällt |} '''Anmerkung''': Die Klassengrenzen dienen der Einordnung der Modellvarianten. Die in der Tabelle genannten Stenosegrade sind dimensionslose Werte, beispielsweise entspricht '''<math>s=0{,}6</math>''' einer Durchmesserreduktion von '''60 %'''. Für die numerische Untersuchung wird aus jeder Kategorie ein repräsentativer Stenosegrad hervorgehoben. Neben dem gesunden Gefäß mit '''0 %''' Stenose sind das eine '''30 %''' Stenose als Beispiel für eine leichtgradige, eine '''60 %''' Stenose als Beispiel für eine mittelgradige und eine '''80 %''' Stenose als Beispiel für eine hochgradige Verengung. Zusätzlich werden für das Graphenmodell und das achsensymmetrische Flächenmodell Stenosegrade von 0 bis 80 % in Schritten von zehn Prozentpunkten vorgesehen. Dadurch kann die Abhängigkeit der Strömungsgrößen vom Stenosegrad systematisch untersucht und grafisch dargestellt werden. Ob alle Modellvarianten tatsächlich berechnet wurden und wie hoch der Rechenaufwand war, wird anhand der durchgeführten Simulationen dokumentiert. Ein vollständiger Gefäßverschluss wird nicht simuliert, da in diesem Fall keine durchgängige Strömung mehr vorliegt. Der Stenosegrad wird in diesem Projekt wie bei NASCET über die Verringerung des Gefäßdurchmessers beschrieben, <math>s = 1 - \frac{d_{\min}}{d_{\mathrm{ref}}},</math> wobei <math>d_{\min}</math> der kleinste Durchmesser in der Engstelle und <math>d_{\mathrm{ref}}</math> ein Referenzdurchmesser ist. NASCET verwendet als Referenz den Durchmesser des gesunden Gefäßes stromabwärts der Stenose. Für das idealisierte gerade Gefäßmodell wird ein konstanter Referenzdurchmesser von <math>D_0=6\,\mathrm{mm}</math> angenommen. Da das Gefäß außerhalb der Stenose denselben Durchmesser besitzt, gilt in diesem Modell<math>d_{\mathrm{ref}}=D_0</math>. Bei der zusätzlich betrachteten Gefäßaufzweigung muss der Referenzdurchmesser dagegen gesondert festgelegt werden, da die Gefäßäste unterschiedliche Durchmesser besitzen. Wichtig für das Verständnis aller weiteren Ergebnisse ist der Unterschied zwischen Durchmesser- und Flächenreduktion. Da die Querschnittsfläche quadratisch vom Durchmesser abhängt, gilt für die Flächenreduktion <math>1-(1-s)^2</math>. Eine im klinischen Sinn nur mittelgradige Stenose von 60 % verschließt damit bereits 84 % der Querschnittsfläche. {| class="wikitable" |+ Durchmesser- und Flächenreduktion der gerechneten Stenosegrade ! Stenosegrad s !! 0 !! 0,1 !! 0,2 !! 0,3 !! 0,4 !! 0,5 !! 0,6 !! 0,7 !! 0,8 |- | engster Durchmesser in mm || 6,0 || 5,4 || 4,8 || 4,2 || 3,6 || 3,0 || 2,4 || 1,8 || 1,2 |- | Flächenreduktion || 0 % || 19 % || 36 % || 51 % || 64 % || 75 % || 84 % || 91 % || 96 % |} Eine Einschränkungen gehört zur ehrlichen Einordnung: # Mit zunehmendem Stenosegrad, insbesondere bei ausgeprägten Verengungen, können lokale Beschleunigungen, Strömungsablösungen und zeitabhängige Strömungsstrukturen auftreten. Daher muss bei den hochgradigen Stenosen geprüft werden, inwieweit die Annahme einer stationären, laminaren Strömung geeignet ist. Eine feste Grenze bei <math>s=0{,}6</math> lässt sich ohne entsprechende Simulationsergebnisse oder Literaturbelege nicht allgemein festlegen. Die hochgradigen Fälle werden deshalb unter besonderer Berücksichtigung der Modellannahmen diskutiert. Unter Modellierung wird in diesem Projekt die Übertragung der Blutströmung in einer verengten Arterie auf ein mathematisches und numerisch lösbares Strömungsproblem verstanden. Dazu werden die Gefäßgeometrie, die zugrunde liegenden Gleichungen, die physikalischen Materialparameter sowie die Anfangs- und Randbedingungen festgelegt. Jeder dieser Bestandteile beruht auf vereinfachenden Annahmen, die begründet und bei der Interpretation der Ergebnisse berücksichtigt werden müssen. Ziel ist es, den Einfluss unterschiedlicher Stenosegrade auf die Strömungsgeschwindigkeit, den Druckverlust und gegebenenfalls die Wandschubspannung systematisch zu untersuchen. Die Modellierung erfolgt anhand mehrerer Modellvarianten mit unterschiedlicher räumlicher Auflösung. Dadurch können zunächst grundlegende Zusammenhänge analytisch abgeschätzt und anschließend mit numerischen Strömungsberechnungen verglichen werden. Die verwendeten Parameter orientieren sich an den bereitgestellten Referenzdaten und werden in den folgenden Abschnitten erläutert. == Modellierung == Ziel der Modellierung ist es, die Blutströmung innerhalb einer Y-förmigen Aufzweigung der Halsschlagader mathematisch und numerisch zu untersuchen. Im Mittelpunkt steht eine Gefäßverengung (Stenose) in der Arteria carotis interna. Das betrachtete Gefäßmodell besteht aus der Arteria carotis communis, die sich in die Arteria carotis interna und die Arteria carotis externa aufteilt. Die Stenose befindet sich ausschließlich in der Arteria carotis interna. Durch die Verengung verändert sich der verfügbare Strömungsquerschnitt. Dies kann zu einer Erhöhung der lokalen Strömungsgeschwindigkeit, zu zusätzlichen Druckverlusten und zu einer Veränderung der Strömungsverteilung zwischen den beiden Gefäßästen führen. Ziel ist es, den Einfluss unterschiedlicher Stenosegrade auf die Strömungsgeschwindigkeit, die Druckverteilung und die Wandschubspannung zu untersuchen. Zusätzlich soll betrachtet werden, wie sich die Strömung innerhalb der Y-förmigen Gefäßaufzweigung verhält. Die numerische Modellierung erfolgt mit COMSOL Multiphysics. Dazu werden die Gefäßgeometrie, die Materialeigenschaften des Blutes, die Strömungsgleichungen und die Randbedingungen festgelegt. Zur Vereinfachung wird Blut zunächst als inkompressibles, Newtonsches Fluid betrachtet. Die Gefäßwände werden als starr angenommen. Diese Annahmen ermöglichen eine systematische Untersuchung der Stenose, schränken jedoch die Übertragbarkeit auf reale physiologische Bedingungen ein. === Modellhierarchie === Für die Untersuchung der Blutströmung innerhalb der Y-förmigen Karotisaufzweigung werden drei Modellvarianten betrachtet. Diese unterscheiden sich hinsichtlich ihrer räumlichen Dimension, ihrer mathematischen Beschreibung und der Genauigkeit, mit der die Strömungsverhältnisse dargestellt werden können. Das untersuchte Gefäß besteht aus der Arteria carotis communis, die sich in die Arteria carotis interna und die Arteria carotis externa aufteilt. Die Stenose befindet sich ausschließlich in der Arteria carotis interna. Alle drei Modellvarianten werden mit COMSOL Multiphysics umgesetzt. {| class="wikitable" style="width:100%;" |+ '''Die drei Modellvarianten des Projekts''' |- ! Modell ! Raumdimension ! Mathematische Grundlage ! Zweck ! Werkzeug |- | '''Graphenmodell''' | 1D, Gefäßnetzwerk mit einer Verzweigung | Massenerhaltung an der Verzweigung und vereinfachte Beschreibung der Strömungswiderstände | Abschätzung der Volumenstromverteilung und der Druckverluste in den Gefäßästen | COMSOL Multiphysics |- | '''Ebenes Flächenmodell''' | 2D, Y-förmige Gefäßgeometrie in kartesischen Koordinaten | Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen | Untersuchung der Geschwindigkeits- und Druckverteilung sowie der Auswirkungen der Stenose in der Arteria carotis interna | COMSOL Multiphysics, Laminare Strömung |- | '''Volumenmodell''' | 3D, räumliche Y-förmige Gefäßgeometrie | Stationäre inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen | Räumliche Untersuchung des Geschwindigkeitsfeldes, des Druckverlustes und der Wandschubspannung | COMSOL Multiphysics, Laminare Strömung |} ==== Vergleich und Überprüfung der Modellvarianten ==== Die drei Modellvarianten bauen hinsichtlich ihrer räumlichen Beschreibung aufeinander auf. Das Graphenmodell ermöglicht zunächst eine vereinfachte Betrachtung der Volumenströme und Druckverluste. Die zwei- und dreidimensionalen Modelle erlauben anschließend eine detailliertere Untersuchung der Strömung innerhalb der Gefäßaufzweigung. Das '''Graphenmodell''' beschreibt die Arteria carotis communis sowie die beiden abzweigenden Gefäße als miteinander verbundenes Netzwerk. Dabei wird die Massenerhaltung an der Verzweigung berücksichtigt: :<math>Q_{\mathrm{CCA}}=Q_{\mathrm{ICA}}+Q_{\mathrm{ECA}}</math> Das Modell liefert vereinfachte Abschätzungen der Volumenstromverteilung. Lokale Strömungsablösungen und räumliche Geschwindigkeitsverteilungen können damit nicht detailliert dargestellt werden. Das '''ebene Flächenmodell''' bildet die Y-förmige Gefäßaufzweigung in zwei Raumdimensionen ab. Die Stenose wird innerhalb der Arteria carotis interna berücksichtigt. Dadurch können die Geschwindigkeits- und Druckverteilung sowie mögliche Rückströmungsbereiche untersucht werden. Das '''Volumenmodell''' erweitert die Untersuchung auf drei Raumdimensionen. Es ermöglicht eine räumliche Darstellung der Strömung und eine detailliertere Berechnung der Wandschubspannung. Die Ergebnisse des ebenen Flächenmodells und des Volumenmodells werden miteinander verglichen. Da das ebene Modell die räumliche Querschnittsgeometrie nur vereinfacht darstellt, müssen Unterschiede zwischen den beiden Modellen bei der Interpretation berücksichtigt werden. Ziel der Modellhierarchie ist es, die Aussagekraft der einzelnen Modellvarianten zu bewerten und den Einfluss des Stenosegrades auf die Strömung innerhalb der Y-förmigen Karotisaufzweigung zu untersuchen. === Simulationsgebiet und Geometrie === Das Simulationsgebiet besteht aus einer idealisierten Y-förmigen Aufzweigung der Arteria carotis. Die Arteria carotis communis teilt sich in die Arteria carotis interna und die Arteria carotis externa. Die Stenose befindet sich in der Arteria carotis interna. Die Arteria carotis externa wird ohne zusätzliche Verengung modelliert. Die Geometrie orientiert sich an den bereitgestellten Referenzdaten. Die Gefäßdurchmesser werden innerhalb der jeweiligen unverengten Abschnitte als konstant angenommen. {| class="wikitable" style="width:100%;" |+ '''Geometrische Referenzparameter der Y-förmigen Gefäßaufzweigung''' |- ! Gefäßabschnitt ! Durchmesser ! Länge |- | Arteria carotis communis | 6 mm | 60 mm |- | Arteria carotis interna | 5 mm | 60 mm |- | Arteria carotis externa | 4 mm | 60 mm |- | Stenose in der Arteria carotis interna | Abhängig vom Stenosegrad | 10 bzw. 20 mm |} Die Verengung wird über den Stenosegrad <math>s</math> beschrieben. Dieser gibt die relative Verringerung des Gefäßdurchmessers an: :<math>s=1-\frac{d_{\min}}{D_{\mathrm{ICA}}}</math> Dabei bezeichnet <math>d_{\min}</math> den minimalen Durchmesser innerhalb der Stenose und <math>D_{\mathrm{ICA}}</math> den unverengten Referenzdurchmesser der Arteria carotis interna. Für das Modell gilt: :<math>D_{\mathrm{ICA}}=5\,\mathrm{mm}</math> Der minimale Durchmesser ergibt sich damit zu: :<math>d_{\min}=D_{\mathrm{ICA}}(1-s)</math> {| class="wikitable" |+ '''Minimaler Durchmesser der Stenose in der Arteria carotis interna''' |- ! Stenosegrad ! Minimaler Durchmesser |- | 0 % | 5,0 mm |- | 10 % | 4,5 mm |- | 20 % | 4,0 mm |- | 30 % | 3,5 mm |- | 40 % | 3,0 mm |- | 50 % | 2,5 mm |- | 60 % | 2,0 mm |- | 70 % | 1,5 mm |- | 80 % | 1,0 mm |} Die angegebenen Stenosegrade beziehen sich ausschließlich auf den Durchmesser der Arteria carotis interna. Der Durchmesser der Arteria carotis communis wird nicht zur Berechnung des Stenosegrades verwendet. Die Y-förmige Geometrie ermöglicht es, die Auswirkungen der Verengung sowohl auf die lokale Strömung in der Arteria carotis interna als auch auf die Strömungsverteilung innerhalb der gesamten Gefäßaufzweigung zu untersuchen. Die genaue Form der Stenose, der Verzweigungswinkel und die Übergänge zwischen den Gefäßabschnitten müssen entsprechend der tatsächlich in COMSOL verwendeten Geometrie dokumentiert werden. == Stoff- und Strömungsparameter == Die Stoffwerte des Blutes und der Volumenstrom sind die einzigen Eingangsgrößen, die nicht aus der Geometrie folgen. Aus ihnen werden alle weiteren Strömungskennwerte berechnet. Die folgenden Schritte zeigen jede Rechnung einzeln, damit sich jeder Wert nachprüfen lässt. # Die '''Dichte''' wird mit <math>\rho = 1060\ \mathrm{kg/m^3}</math> angesetzt. Der Wert lässt sich als Mischungsregel plausibel machen. Plasma hat eine Dichte von etwa 1025 kg/m³, rote Blutkörperchen von etwa 1100 kg/m³. Bei einem Zellanteil von 45 % ergibt sich <math>0{,}55 \cdot 1025 + 0{,}45 \cdot 1100 \approx 1059\ \mathrm{kg/m^3}</math>. Die Dichte geht nur über die Reynoldszahl in die Rechnung ein, eine Abweichung von einem Prozent ändert die Ergebnisse daher kaum. <!-- FIXME Lehrbuchquelle fuer Plasma- und Erythrozytendichte ergaenzen --> # Die '''dynamische Viskosität''' wird mit <math>\mu = 3{,}5\ \mathrm{mPa\,s}</math> angesetzt. Das ist der Grenzwert der Blutviskosität bei hohen Scherraten, also genau der Wert, der zur Newtonschen Näherung gehört. Derselbe Wert von 0,035 Poise wird auch im Standardwerk zur Modellierung des Herz-Kreislauf-Systems verwendet.<ref name="quarteroni">Quarteroni, A.; Formaggia, L.: ''Mathematical Modelling and Numerical Simulation of the Cardiovascular System.'' In: Ayache, N. (Hrsg.): ''Computational Models for the Human Body.'' Handbook of Numerical Analysis, Bd. XII, Elsevier, Amsterdam 2004, S. 3-127. DOI 10.1016/S1570-8659(03)12001-7. Zur Newtonschen Näherung in großen Gefäßen siehe S. 30, zur Viskosität von 0,035 Poise die Parametertabelle auf S. 116.</ref> # Der '''mittlere Volumenstrom''' wird mit <math>Q_0 = 6\ \mathrm{ml/s}</math> angesetzt. Das ist der zeitlich gemittelte Volumenstrom, der in der gemeinsamen Halsschlagader gesunder Probanden gemessen wurde. # Die '''mittlere Geschwindigkeit''' folgt aus Volumenstrom und Querschnittsfläche, <math>U_0 = \frac{Q_0}{\pi R_0^2} = \frac{6 \cdot 10^{-6}\ \mathrm{m^3/s}}{\pi \cdot (0{,}003\ \mathrm{m})^2} = 0{,}2122\ \mathrm{m/s}</math>. # Die '''Reynoldszahl''' des gesunden Gefäßes ist <math>Re_0 = \frac{\rho\, U_0\, D_0}{\mu} = \frac{1060 \cdot 0{,}2122 \cdot 0{,}006}{0{,}0035} = 385{,}6</math>. Sie wird im Folgenden auf 386 gerundet. # Die '''Einlauflänge''', die eine anfangs gleichförmige Strömung bis zum voll entwickelten Parabelprofil bräuchte, beträgt nach der gebräuchlichen Abschätzung für laminare Rohrströmungen <math>L_e \approx 0{,}06\, Re_0\, D_0 \approx 0{,}06 \cdot 386 \cdot 6\ \mathrm{mm} \approx 139\ \mathrm{mm}</math>.<ref name="durst">Durst, F.; Ray, S.; Ünsal, B.; Bayoumi, O. A.: ''The development lengths of laminar pipe and channel flows.'' Journal of Fluids Engineering 127 (2005), Nr. 6, S. 1154-1160. Für große Reynoldszahlen nähert sich die dort angegebene Korrelation dem Wert 0,057·Re·D.</ref> Das ist fast die gesamte Länge des Rechengebiets. Ein konstantes Einlassprofil würde die Strömung an der Stenose also verfälschen, weshalb am Einlass das voll entwickelte Profil vorgegeben wird. Damit liegen alle globalen Parameter fest. Die folgende Tabelle enthält sie mit genau den Namen, unter denen sie in COMSOL und in den Octave-Skripten verwendet werden. {| class="wikitable" |+ Globale Parameter des Modells ! Name !! Ausdruck in COMSOL !! Wert !! Bedeutung !! Herkunft |- | R0 || 3[mm] || 3 mm || Gefäßradius || Messwerte nach Krejza u. a. 2006, gerundet |- | D0 || 2*R0 || 6 mm || Gefäßdurchmesser || abgeleitet |- | Ls || 2*D0 || 12 mm || Länge der Störstelle || Standardgeometrie nach Varghese u. a. 2007 |- | Lu || 5*D0 || 30 mm || Vorlaufstrecke vor der Stenosemitte || Abstand der Einlassbedingung von der Stenose |- | Ld || 20*D0 || 120 mm || Nachlaufstrecke hinter der Stenosemitte || Platz für das Rückströmgebiet |- | Lf || Ls/2+10*D0 || 66 mm || Ende des fein vernetzten Nachlaufs || erwartete Länge des Rückströmgebiets |- | s || 0 bis 0.8 || 0 bis 0,8 || Stenosegrad bezogen auf den Durchmesser || NASCET-Einteilung |- | rho_b || 1060[kg/m^3] || 1060 kg/m³ || Dichte des Blutes || Mischungsregel, Literaturwert |- | mu_b || 3.5[mPa*s] || 3,5 mPa·s || dynamische Viskosität des Blutes || Hochscherwert, Quarteroni und Formaggia 2004 |- | Q0 || 6[ml/s] || 6 ml/s || mittlerer Volumenstrom || Messwerte nach Holdsworth u. a. 1999 |- | U0 || Q0/(pi*R0^2) || 0,2122 m/s || mittlere Einströmgeschwindigkeit || abgeleitet |- | Re0 || rho_b*U0*D0/mu_b || 385,6 || Reynoldszahl des gesunden Gefäßes || abgeleitet |- | dp_ref || 8*mu_b*U0*(Lu+Ld)/R0^2 || 99,03 Pa || Poiseuille-Druckabfall des gesunden Gefäßes || abgeleitet, Hagen-Poiseuille |} = Implementierung des 2D-Modells in COMSOL Multiphysics = == Zielsetzung des zweidimensionalen Modells == Im Rahmen des Projekts wurde mit COMSOL Multiphysics ein zweidimensionales Modell der menschlichen Halsschlagader erstellt. Ziel ist es, die Blutströmung innerhalb einer Gefäßverzweigung zu untersuchen und insbesondere die Auswirkungen einer lokalen Gefäßverengung (Stenose) auf das Strömungsverhalten zu analysieren. Das Modell bildet die Aufzweigung der Arteria carotis communis (ACC) in die Arteria carotis interna (ACI) und die Arteria carotis externa (ACE) ab. Während die ACE als gesunder Gefäßabschnitt betrachtet wird, befindet sich in der ACI eine lokale Verengung. Dadurch können die Strömungsverhältnisse in beiden Ästen miteinander verglichen werden. Die zweidimensionale Modellierung dient dazu, die Geschwindigkeitsverteilung, den Druckabfall und die Wandschubspannung zu untersuchen. Zusätzlich soll festgestellt werden, ob sich hinter der Stenose Bereiche mit Strömungsablösungen oder Rückströmungen ausbilden. ==Vorgehen== Für die numerische Untersuchung in COMSOL Multiphysics 6.2 zunächst ein zweidimensionales Modell mit der Physik ''Laminare Strömung'' und einer ''stationären Studie'' angelegt. Die Gefäßgeometrie wurde vollständig parametrisiert, damit Durchmesser, Gefäßlängen, Verzweigungswinkel, Stenosegrad sowie die Stenoselänge veränderbar sind, ohne das Modell jeweils neu zu zeichnen. Das gemeinsame Zuflussgefäß stellt die Arteria carotis communis mit einem Durchmesser von <math>6\,\mathrm{mm}</math> dar. Nach einem geraden Einlaufabschnitt von <math>60\,\mathrm{mm}</math> teilt es sich V-förmig in die beiden Tochtergefäße auf. Die Arteria carotis interna wird mit einem Durchmesser von <math>5\,\mathrm{mm}</math>, die Arteria carotis externa mit <math>4\,\mathrm{mm}</math> modelliert. Beide Tochtergefäße sind jeweils <math>60\,\mathrm{mm}</math> lang. Die Grundgeometrie wurde als zusammenhängender zweidimensionaler Volumenkörper aufgebaut. Die beiden Tochtergefäße verlaufen nach der Bifurkation unter einem Winkel auseinander, sodass eine idealisierte Y-förmige Karotisgabel entsteht. Die Übergänge zwischen dem gemeinsamen Gefäß und den beiden Ästen wurden bewusst vereinfacht, aber ohne abrupte Querschnittssprünge gestaltet. Auf diese Weise bleibt die Geometrie ausreichend einfach für einen systematischen Vergleich verschiedener Modellvarianten, bildet die typische Aufzweigung einer Karotis. Die Stenose befindet sich ausschließlich in der Arteria carotis interna. Um die Verengung nicht durch gerade Polygonsegmente mit scharfen Knicken darzustellen, wurde ihre Kontur mithilfe von zwei parametrischen Kosinuskurven erzeugt. Zur Beschreibung der Stenose wird eine parametrische Kurve mit dem Hilfsparameter <math>t</math> verwendet. Dieser nimmt Werte zwischen <math>-1</math> und <math>1</math> an. Über die Beziehung <math>x(t)=x_\mathrm{st}+\frac{L_\mathrm{st}}{2}t</math> wird der Parameter auf die räumliche Position entlang des Gefäßes übertragen. Für <math>t=-1</math> liegt der Beginn der Stenose bei <math>x_\mathrm{st}-L_\mathrm{st}/2</math>, für <math>t=0</math> befindet sich die Kurve in der Stenosenmitte und für <math>t=1</math> am Ende bei <math>x_\mathrm{st}+L_\mathrm{st}/2</math>. Dadurch kann die Länge der Stenose über den Parameter <math>L_\mathrm{st}</math> verändert werden, ohne ihre Mittelpunktposition <math>x_\mathrm{st}</math> zu verschieben. Die Einengung wächst vom Beginn der Stenose kontinuierlich bis zur Engstelle an und nimmt danach ebenso kontinuierlich wieder ab. Dadurch entstehen glatte Wandübergänge. Die Stärke der Einengung wird über den dimensionslosen Stenosegrad <math>s</math> gesteuert. Für einen unverengten Durchmesser der Arteria carotis interna von <math>D_\mathrm{ACI}=5\,\mathrm{mm}</math> ergibt sich bei einem Stenosegrad von <math>s=0{,}3</math> eine minimale Gefäßweite von <math>3{,}5\,\mathrm{mm}</math>, bei <math>s=0{,}6</math> von <math>2{,}0\,\mathrm{mm}</math> und bei <math>s=0{,}8</math> von <math>1{,}0\,\mathrm{mm}</math>. Die minimale Gefäßweite ergibt sich allgemein aus <math>d_\mathrm{min}=D_\mathrm{ACI}(1-s)</math>. Die beiden parametrischen Kurven wurden mit Hilfslinien zu geschlossenen Flächen ergänzt und anschließend über „Umwandeln in Volumenkörper“ in Flächenobjekte überführt. Mithilfe einer Differenzoperation wurden diese Flächen aus dem Gefäßgebiet ausgeschnitten. Auf diese Weise bleibt die Grundgeometrie des Gefäßes unverändert, während Stenosegrad und Stenosenlänge allein über globale Parameter variiert werden können. Für die Strömung wurde Blut als inkompressibles Newtonsches Fluid mit konstanter Dichte und Viskosität angenähert. Verwendet werden eine Dichte von <math>\rho=1060\,\mathrm{kg/m^3}</math> und eine dynamische Viskosität von <math>\mu=3,5\,\mathrm{mPa s}</math>. Am Einlass wird ein voll entwickeltes Geschwindigkeitsprofil vorgegeben. Aus dem auf der Projektseite angesetzten mittleren Volumenstrom von <math>6\,\mathrm{ml/s}</math> ergibt sich für das <math>6\,\mathrm{mm}</math> breite Zuflussgefäß eine mittlere Geschwindigkeit von rund <math>0{,}21\,\mathrm{m/s}</math>. An beiden Auslässen wird derselbe Referenzdruck vorgegeben, während an sämtlichen Gefäßwänden die Haftbedingung (No Slip) gilt. Nach Fertigstellung der Geometrie wurde ein physikgesteuertes Finite-Elemente-Netz erzeugt und die stationäre Navier-Stokes-Strömung berechnet. Anschließend wurden insbesondere der Geschwindigkeitsbetrag, die Druckverteilung und die Stromlinien ausgewertet. Die Stromlinien dienen dabei nicht nur der Visualisierung der Aufteilung des Blutstroms an der Bifurkation, sondern auch zur Erkennung möglicher Ablöse- und Rückströmungsgebiete hinter der Stenose. Zusätzlich kann die Wandschubspannung entlang der Gefäßwand ausgewertet werden. Die verschiedenen Stenosegrade werden jeweils bei ansonsten identischen Randbedingungen miteinander und mit dem gesunden Referenzfall verglichen. == Ergebnisse der 2D-Strömungssimulation == Die zweidimensionale Strömungssimulation wurde mit COMSOL Multiphysics durchgeführt, um die Auswirkungen einer lokalen Gefäßverengung auf die Blutströmung innerhalb einer idealisierten Karotis-Bifurkation zu untersuchen. Im Mittelpunkt der Auswertung stehen die Geschwindigkeitsverteilung, die Druckverteilung sowie die Wandschubspannung. Ergänzend werden Stromlinien betrachtet, um mögliche Veränderungen des Strömungsverlaufs und das Auftreten von Rückströmungsgebieten hinter der Stenose zu untersuchen. Die Ergebnisse werden hinsichtlich ihrer strömungsmechanischen Bedeutung interpretiert und unter Berücksichtigung der vereinfachenden Modellannahmen bewertet. === Quantitative Auswertung der Strömungsgeschwindigkeit === Zur Untersuchung des Einflusses verschiedener Stenosegrade auf die Strömungsgeschwindigkeit wurde in COMSOL Multiphysics der Geschwindigkeitsbetrag <code>spf.U</code> mithilfe der Funktion ''Oberflächenmaximum'' ausgewertet. Dabei wurden Stenosegrade von 0 %, 30 %, 60 %, 80 % und 100 % betrachtet. Die Berechnungen erfolgten zunächst mit einer Druckrandbedingung von <math>p_0 = 0\,\mathrm{Pa}</math> und anschließend mit einer Resistenzrandbedingung bei <math>k_R = 1</math>. ==== Druckrandbedingung ==== Bei der Druckrandbedingung wurde die maximale Geschwindigkeit über das gesamte Strömungsgebiet bestimmt. {| class="wikitable" ! Stenosegrad ! Maximale Geschwindigkeit [m/s] |- | 0 % || 0,28385 |- | 30 % || 0,27091 |- | 60 % || 0,35036 |- | 80 % || 0,38530 |- | 100 % || 0,46125 |} Die Ergebnisse zeigen zunächst eine leichte Abnahme der maximalen Geschwindigkeit bei 30 % Stenose. Ab 60 % steigt diese mit zunehmender Verengung an. Dies ist mit einer lokalen Beschleunigung der Strömung infolge des verringerten Strömungsquerschnitts vereinbar. Bei 100 % Stenose beträgt das globale Geschwindigkeitsmaximum 0,46125 m/s. Da die Arteria carotis interna (ACI) vollständig verschlossen ist, beschreibt dieser Wert nicht die Strömung durch den Verschluss, sondern kann aus einem anderen, weiterhin durchströmten Gefäßbereich stammen. ==== Graphische Auswertungen in Comsol ==== [[Datei:0%, Geschwindigkeit, p0=0.png|mini|zentriert|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 0 % Stenose und einer Druckrandbedingung von p₀ = 0 Pa.]] <div style="display:flex; justify-content:center; gap:15px;"> <div> [[Datei:0,3%, Geschwindigkeit, p0=0.png|mini|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 30 % Stenose und einer Druckrandbedingung von p₀ = 0 Pa.]] </div> <div> [[Datei:0,3%, Geschwindigkeit, p0=0, Nah Stenose.png|mini|300px|Vergrößerte Geschwindigkeitsverteilung im Bereich der 30%igen Stenose bei p₀ = 0 Pa.]] </div> </div> <div style="display:flex; justify-content:center; gap:15px;"> <div> [[Datei:0,6%, Geschwindigkeit, p0=0.png|mini|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 60 % Stenose und einer Druckrandbedingung von p₀ = 0 Pa.]] </div> <div> [[Datei:0,6%, Geschwindigkeit, p0=0, Nah Stenose.png|mini|300px|Vergrößerte Geschwindigkeitsverteilung im Bereich der 60%igen Stenose bei p₀ = 0 Pa.]] </div> </div> <div style="display:flex; justify-content:center; gap:15px;"> <div> [[Datei:0,8%, Geschwindigkeit, p0=0.png|mini|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 80 % Stenose und einer Druckrandbedingung von p₀ = 0 Pa.]] </div> <div> [[Datei:0,8%, Geschwindigkeit, p0=0, Nah Stenose.png|mini|300px|Vergrößerte Geschwindigkeitsverteilung im Bereich der 80%igen Stenose bei p₀ = 0 Pa.]] </div> </div> <div style="display:flex; justify-content:center; gap:15px;"> <div> [[Datei:100%, Geschwindigkeit, p0=0.png|mini|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 100 % Stenose und einer Druckrandbedingung von p₀ = 0 Pa.]] </div> <div> [[Datei:100%, Geschwindigkeit, p0=0, Nah Stenose.png|mini|300px|Vergrößerte Darstellung des vollständig verschlossenen Bereichs der ACI bei 100 % Stenose und p₀ = 0 Pa.]] </div> </div> Die Farbskala zeigt den Betrag der Strömungsgeschwindigkeit in m/s. Blaue Bereiche kennzeichnen niedrige, grüne und gelbe mittlere sowie rote Bereiche hohe Geschwindigkeiten. Im unverengten Gefäß ist die Geschwindigkeit in der Gefäßmitte am höchsten und nimmt zu den Gefäßwänden hin ab. Mit zunehmendem Stenosegrad verändert sich die Geschwindigkeitsverteilung deutlich. Im Bereich der Engstelle wird die Strömung lokal beschleunigt, während hinter der Verengung Bereiche niedriger Geschwindigkeit auftreten können. Bei 100 % Stenose ist die ACI vollständig verschlossen, sodass die Strömung nur noch über den offenen Gefäßast abfließen kann. === Resistenzrandbedingung und Vergleich === Anschließend wurde die Strömung unter Verwendung einer Resistenzrandbedingung mit konstantem Parameter <math>k_R = 1</math> untersucht. Bei zunehmender Verengung traten Konvergenzprobleme auf. Ab ungefähr 73 % Stenose konnte keine konvergierende stationäre Lösung mehr bestimmt werden. Daher wurden für die hochgradigen Stenosen ergänzend zeitabhängige Simulationen durchgeführt. {| class="wikitable" ! Stenosegrad ! Druckrandbedingung <math>p_0 = 0\,\mathrm{Pa}</math> [m/s] ! Resistenzrandbedingung <math>k_R = 1</math> [m/s] |- | 0 % || 0,28385 || 0,32426 |- | 30 % || 0,27081 || 0,32219 |- | 60 % || 0,35036 || 0,53188 |- | 80 % || 0,3858 || 1,0674 |- | 100 % || 0,46125 || <math>\approx 0</math> * |} <small>* Bei 100 % Stenose wurde für die Resistenzrandbedingung ausschließlich das Gebiet hinter dem vollständigen Verschluss ausgewertet. Die maximale Geschwindigkeit beträgt dort <math>v_{\max} = 2{,}1416 \cdot 10^{-21}\,\mathrm{m/s} \approx 0\,\mathrm{m/s}</math>.</small> Der Vergleich zeigt, dass die maximale Geschwindigkeit bei der Resistenzrandbedingung insbesondere bei höheren Stenosegraden deutlich stärker ansteigt. Bei 80 % Stenose wird mit 1,0674 m/s ein wesentlich höherer Wert erreicht als bei der Druckrandbedingung mit 0,3858 m/s. Dies verdeutlicht den Einfluss der Auslassrandbedingungen auf die Strömungsverteilung innerhalb der Gefäßverzweigung. Bei vollständigem Gefäßverschluss ist ein direkter Vergleich der beiden Werte nicht möglich, da unterschiedliche Strömungsgebiete ausgewertet wurden. Während bei der Druckrandbedingung das globale Maximum betrachtet wurde, beschreibt der Wert der Resistenzrandbedingung die praktisch zum Stillstand gekommene Strömung hinter der Stenose. Insgesamt zeigen die Ergebnisse, dass sowohl der Stenosegrad als auch die gewählten Randbedingungen einen wesentlichen Einfluss auf die maximale Strömungsgeschwindigkeit besitzen. Die Konvergenzprobleme bei hochgradigen Stenosen verdeutlichen zudem die Notwendigkeit einer ergänzenden zeitabhängigen Untersuchung. ==== Graphische Auswertungen in Comsol ==== [[Datei:0%, Geschwindigkeit, Resbed..png|mini|zentriert|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 0 % Stenose mit Resistenzrandbedingung (k_R = 1).]] <div style="display:flex; justify-content:center; gap:15px;"> <div> [[Datei:0,3%, Geschwindigkeit, Resbed..png|mini|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 30 % Stenose mit Resistenzrandbedingung (k_R = 1).]] </div> <div> [[Datei:0,3%, Geschwindigkeit, Resbed., Nah Stenose.png|mini|300px|Vergrößerte Geschwindigkeitsverteilung im Bereich der 30%igen Stenose mit Resistenzrandbedingung (k_R = 1).]] </div> </div> <div style="display:flex; justify-content:center; gap:15px;"> <div> [[Datei:0,6%, Geschwindigkeit, Resbed..png|mini|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 60 % Stenose mit Resistenzrandbedingung (k_R = 1).]] </div> <div> [[Datei:0,6%, Geschwindigkeit, Resbed., Nah Stenose.png|mini|300px|Vergrößerte Geschwindigkeitsverteilung im Bereich der 60%igen Stenose mit Resistenzrandbedingung (k_R = 1).]] </div> </div> <div style="display:flex; justify-content:center; gap:15px;"> <div> [[Datei:0,8%, Geschwindigkeit, Resbed., zeitabh., Zeit 1 s.png|mini|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 80 % Stenose mit Resistenzrandbedingung (k_R = 1) zum Zeitpunkt t = 1 s.]] </div> <div> [[Datei:0,8%, Geschwindigkeit, Resbed., zeitabh., Zeit 1 s, Nah Stenose.png|mini|300px|Vergrößerte Geschwindigkeitsverteilung im Bereich der 80%igen Stenose mit Resistenzrandbedingung (k_R = 1) zum Zeitpunkt t = 1 s.]] </div> </div> <div style="display:flex; justify-content:center; gap:15px;"> <div> [[Datei:1%, Geschwindigkeit, Resbed., zeitabh., Zeit 1 s,.png|mini|300px|Geschwindigkeitsverteilung bei 100 % Stenose mit Resistenzrandbedingung (k_R = 1) zum Zeitpunkt t = 1 s.]] </div> <div> [[Datei:1%, Geschwindigkeit, Resbed., zeitabh., Zeit 1 s, nah Stenose.png|mini|300px|Vergrößerte Darstellung des vollständig verschlossenen ACI-Bereichs bei 100 % Stenose mit Resistenzrandbedingung (k_R = 1) zum Zeitpunkt t = 1 s.]] </div> </div> === Druckverteilung und Druckabfall === Die Druckverteilung wurde anhand der berechneten Isobaren innerhalb der zweidimensionalen Karotis-Bifurkation untersucht. Dabei zeigt sich eine Abnahme des statischen Drucks vom gemeinsamen Zuflussgefäß in Richtung der beiden Gefäßausgänge. Der maximale berechnete Druck beträgt etwa '''74,2 Pa''', während der minimale Druck bei etwa '''−19,9 Pa''' liegt. Daraus ergibt sich eine globale Druckspanne von ungefähr '''94,1 Pa'''. Besonders auffällig ist die Druckverteilung im Bereich der Stenose der Arteria carotis interna (ACI). Dort liegen die Isobaren deutlich enger beieinander, was auf einen ausgeprägten lokalen Druckgradienten hinweist. Stromabwärts der Engstelle treten zudem Bereiche mit niedrigem statischem Druck auf. '''Interpretation''': Die Ergebnisse zeigen, dass die Stenose die lokale Druckverteilung im ACI-Ast deutlich beeinflusst. Die Beschleunigung der Strömung innerhalb der Verengung geht mit einer Abnahme des statischen Drucks einher. Die globale Druckspanne von 94,1 Pa darf jedoch nicht mit dem irreversiblen Druckverlust über der Stenose gleichgesetzt werden. Die globale Druckspanne von 94,1 Pa ist nicht mit dem Druckabfall über der Stenose gleichzusetzen. Zur genaueren Untersuchung wurden deshalb zwei Messquerschnitte vor und hinter der Engstelle ausgewertet. Zwischen diesen ergibt sich eine mittlere statische Druckdifferenz von 36,24 Pa. <div style="text-align:center;"> [[Datei:Druckverteilung_2D.png|800px|zentriert|Druckverteilung der stationären 2D-Strömungssimulation einer idealisierten Karotis-Bifurkation mit 80 % Stenose in der Arteria carotis interna (ACI). Die Isobaren zeigen den Druckverlauf innerhalb der Gefäßgeometrie. Besonders im Bereich der Stenose ist ein ausgeprägter lokaler Druckgradient erkennbar. Der berechnete Druck liegt zwischen −19,9 Pa und 74,2 Pa.]] <small>'''Abbildung 3:''' Druckverteilung der stationären 2D-Strömungssimulation einer idealisierten Karotis-Bifurkation mit 80 % Stenose in der Arteria carotis interna (ACI). Die Isobaren zeigen den Druckverlauf innerhalb der Gefäßgeometrie. Besonders im Bereich der Stenose ist ein ausgeprägter lokaler Druckgradient erkennbar. Der berechnete Druck liegt zwischen −19,9 Pa und 74,2 Pa.</small> </div> ==== Quantitative Bestimmung der Druckdifferenz ==== Zur quantitativen Untersuchung des Druckabfalls wurden zwei Messquerschnitte im ACI-Ast definiert, einer vor und einer hinter der Stenose. Mithilfe der COMSOL-Funktion „Linienmittelwert“ wurde der mittlere statische Druck an beiden Positionen bestimmt. Vor der Stenose beträgt der mittlere Druck '''35,232 Pa''', während hinter der Stenose ein Wert von '''−1,0042 Pa''' ermittelt wurde. Daraus ergibt sich eine Druckdifferenz von '''36,24 Pa'''. Die Ergebnisse zeigen eine deutliche Abnahme des statischen Drucks zwischen den beiden Messquerschnitten. Diese Druckdifferenz verdeutlicht die Druckänderung entlang des stenotischen ACI-Astes. Sie ist jedoch nicht mit dem ausschließlich durch die Stenose verursachten irreversiblen Druckverlust gleichzusetzen, da auch die Strömungsentwicklung in den angrenzenden Gefäßabschnitten berücksichtigt wird. {| class="wikitable" style="text-align:center;" ! Stenosegrad ! <math>\bar p_\mathrm{vor}</math> [Pa] ! <math>\bar p_\mathrm{nach}</math> [Pa] ! <math>\Delta p</math> [Pa] |- | 0 % | 11,631 | 4,2461 | 7,3849 |- | 30 % | 16,919 | 2,9220 | 13,997 |- | 60 % | 35,835 | -0,58267 | 36,41767 |- | 80 % | 70,562 | -0,55906 | 71,12106 |} === Ausblick: Wandschubspannung im Vergleich === Zur Untersuchung der mechanischen Belastung der Gefäßwände wurde die Wandschubspannung (Wall Shear Stress, WSS) im zweidimensionalen Strömungsmodell ausgewertet. Sie beschreibt die tangentiale viskose Spannung, die durch die Strömung an der Gefäßwand entsteht. Die quantitative Auswertung erfolgte für die obere und untere Wand des stenotischen ACI-Abschnitts. Hierfür wurden die entsprechenden Wandkanten in COMSOL ausgewählt und der Betrag der Wandschubspannung bestimmt. Die Abbildung zeigt die Verteilung der Wandschubspannung (Wall Shear Stress, WSS) an den Gefäßwänden im Bereich der 80-%-Stenose der ACI. Die Auswertung erfolgte einmal mit und einmal ohne Resistenzrandbedingung. Für <math>p_0 = 0\,\mathrm{Pa}</math>: * Die Farbskala verdeutlicht die unterschiedlich starke Belastung der Gefäßwand durch die Blutströmung. '''Blaue Bereiche''' kennzeichnen geringe Wandschubspannungen von etwa 1 bis 2 Pa, während '''grüne und gelbe Bereiche''' mittlere Werte anzeigen. Im '''orange-roten Bereich''' nahe der stärksten Verengung steigt die Wandschubspannung deutlich an. Das mithilfe des Linienmaximums ermittelte Maximum beträgt '''6,0400 Pa'''. * Die erhöhten Werte im Bereich der Stenose lassen sich durch die starke Verengung des Gefäßquerschnitts erklären. Dadurch entstehen größere Geschwindigkeitsänderungen in Wandnähe, die zu einer erhöhten Wandschubspannung führen können. Die Abbildung zeigt somit, dass die mechanische Belastung der Gefäßwand innerhalb des untersuchten Stenosebereichs nicht gleichmäßig verteilt ist, sondern lokal deutlich zunimmt. [[Datei:WSS P0=0.png|300px|mini|zentriert|Verteilung der Wandschubspannung (WSS) im Bereich der 80-%-Stenose der Arteria carotis interna bei der Druckrandbedingung <math>p_0 = 0\,\mathrm{Pa}</math>.]] Mit Resistenzrandbedingung: * Die Abbildung zeigt die Verteilung der Wandschubspannung (Wall Shear Stress, WSS) an den Gefäßwänden im Bereich der 80-%-Stenose der Arteria carotis interna (ACI). Im Gegensatz zur vorherigen Untersuchung mit der Druckrandbedingung <math>p_0 = 0\,\mathrm{Pa}</math> wurde hier die Resistenzrandbedingung <math>k_R = 1</math> verwendet. * Da für diesen Fall keine stationäre Lösung erzielt werden konnte, erfolgte die Berechnung zeitabhängig. Die dargestellten Ergebnisse beziehen sich auf den Zeitpunkt <math>t = 1\,\mathrm{s}</math>. * Die Wandschubspannung ist innerhalb des Stenosebereichs unterschiedlich stark ausgeprägt. Bereiche mit niedrigen Werten kennzeichnen eine geringere tangentiale Belastung der Gefäßwand, während Bereiche mit höheren Werten auf eine stärkere Belastung hinweisen. * Das mithilfe des Linienmaximums ermittelte Maximum auf den ausgewählten Stenosewänden beträgt: <math>19{,}856\,\mathrm{Pa}</math>. * Die erhöhten Wandschubspannungen lassen sich durch die starke Verengung des Gefäßquerschnitts und die damit verbundenen Geschwindigkeitsänderungen in Wandnähe erklären. * Im Vergleich zur stationären Berechnung mit <math>p_0 = 0\,\mathrm{Pa}</math>, bei der eine maximale Wandschubspannung von <math>6{,}0400\,\mathrm{Pa}</math> ermittelt wurde, fällt der Maximalwert bei der Resistenzrandbedingung deutlich höher aus. * Dabei ist zu beachten, dass es sich bei <math>19{,}856\,\mathrm{Pa}</math> um einen Momentanwert bei <math>t = 1\,\mathrm{s}</math> handelt und nicht um einen stationären Wert. Die beiden Ergebnisse sind daher nur eingeschränkt direkt vergleichbar. * Die Farbverteilung zeigt, dass die Wandschubspannung im Bereich der Stenose von niedrigen Werten (Blau) zu höheren Werten (Grün, Gelb und Rot) ansteigt und insbesondere an der engsten Stelle der Gefäßverengung erhöht ist. [[Datei:WSS Resistenzrandbedingung.png|300px|mini|zentriert|Verteilung der Wandschubspannung (WSS) im Bereich der 80-%-Stenose der Arteria carotis interna bei der Resistenzrandbedingung <math>k_R = 1</math> zum Zeitpunkt <math>t = 1\,\mathrm{s}</math> (zeitabhängige Simulation).]] === Zusammenfassende Bewertung der 2D-Ergebnisse AKTUELLE DATEN NOCH REIN === Die stationäre zweidimensionale Strömungssimulation mit einem Stenosegrad von 80 % zeigt deutliche Veränderungen der Strömungsgrößen innerhalb der idealisierten Karotis-Bifurkation. Die maximale Geschwindigkeit beträgt 0,31853 m/s. Zwischen den ausgewählten Messquerschnitten vor und hinter der ACI-Stenose ergibt sich eine mittlere statische Druckdifferenz von 36,24 Pa. Die maximale Wandschubspannung auf den ausgewerteten Stenosewänden beträgt 3,2282 Pa. Die Untersuchung der Geschwindigkeitskomponenten liefert Hinweise auf lokale Strömungsanteile entgegen der Hauptströmungsrichtung. Ein eindeutig abgegrenztes Rezirkulationsgebiet konnte anhand der vorliegenden Darstellungen jedoch nicht sicher nachgewiesen werden. Die Ergebnisse beschreiben zunächst den untersuchten Fall einer hochgradigen Stenose. Aus diesem einzelnen Fall lässt sich weder eine allgemeine Abhängigkeit der Strömungsgrößen vom Stenosegrad noch ein kritischer Stenosegrad für den Beginn der Strömungsablösung bestimmen. Dafür wäre eine vergleichende Auswertung weiterer Stenosegrade erforderlich. == Resistenzrandbedingung am Auslass (2D-Modell) == === Motivation === Im ursprünglichen 2D-Modell wurde an beiden Auslässen eine Nulldruckbedingung <math>p = 0</math> gesetzt. Physikalisch bedeutet das, dass beide Äste in ein „offenes Becken“ mit gleichem, festem Druck münden. Der Auslassdruck hängt dabei nicht davon ab, wie viel Blut ankommt. Diese Annahme hat zwei Schwächen: * Die Flussaufteilung zwischen ACI und ACE ergibt sich nur aus den kleinen Strömungswiderständen der modellierten Gefäßabschnitte. Wird die ACI durch die Stenose verengt, weicht das Blut nahezu ungehindert in die ACE aus. Im Körper ist das nicht möglich, weil hinter der ACI das Gefäßbett des Gehirns mit einem eigenen, großen Widerstand liegt. * Das Druckniveau (Auslass bei 0 Pa) ist nicht physiologisch. Im 3D-Modell wurde deshalb an beiden Auslässen eine '''Resistenzrandbedingung''' verwendet. Damit 2D- und 3D-Modell vergleichbar sind, haben wir dieselbe Randbedingung auch im 2D-Modell eingebaut. === Formel und Herleitung === Das gesamte nachgeschaltete Gefäßbett hinter jedem Auslass wird durch einen einzigen peripheren Widerstand <math>R_p</math> ersetzt: :<math>p_{\text{aus}} = k_R \cdot R_p \cdot Q</math> Dabei ist <math>Q</math> der Volumenstrom durch den Auslass und <math>k_R</math> ein Schalter (<math>k_R = 1</math>: Widerstand, <math>k_R = 0</math>: ursprüngliche Bedingung <math>p = 0</math>). '''1. Gesunde Flussaufteilung nach dem Murray-Gesetz''' Der Volumenstrom eines Gefäßes ist nach Murray proportional zur dritten Potenz des Durchmessers. Für den Anteil der ACI am Gesamtfluss gilt damit: :<math>\varphi_0 = \frac{D_I^3}{D_I^3 + D_E^3} = \frac{(5\,\text{mm})^3}{(5\,\text{mm})^3 + (4\,\text{mm})^3} \approx 0{,}661</math> Mit dem mittleren Volumenstrom der A. carotis communis <math>Q_0 = 6\,\text{ml/s}</math> (Holdsworth u. a. 1999) folgt: :<math>Q_{I,0} = \varphi_0 \cdot Q_0 \approx 3{,}97\,\text{ml/s}, \qquad Q_{E,0} = (1-\varphi_0) \cdot Q_0 \approx 2{,}03\,\text{ml/s}</math> '''2. Bestimmung der peripheren Widerstände''' Die Widerstände werden so gewählt, dass im gesunden Zustand an beiden Auslässen der treibende Druck des peripheren Gefäßbetts <math>p_D = 90\,\text{mmHg} \approx 12\,000\,\text{Pa}</math> anliegt: :<math>R_{pI} = \frac{p_D}{Q_{I,0}} \approx 3{,}0 \cdot 10^{9}\,\frac{\text{Pa}\cdot\text{s}}{\text{m}^3}, \qquad R_{pE} = \frac{p_D}{Q_{E,0}} \approx 5{,}9 \cdot 10^{9}\,\frac{\text{Pa}\cdot\text{s}}{\text{m}^3}</math> Die Randbedingungen an den beiden Auslässen lauten damit: :<math>p_{\text{aus},I} = k_R \cdot R_{pI} \cdot Q_I, \qquad p_{\text{aus},E} = k_R \cdot R_{pE} \cdot Q_E</math> '''3. Umrechnung des Flusses im 2D-Modell''' Im 2D-Modell liefert das Integral der Normalgeschwindigkeit über den Auslassrand keinen Volumenstrom in m³/s, sondern einen Fluss pro Tiefe <math>q</math> in m²/s. Damit die Widerstände aus dem 3D-Modell verwendet werden können, wird <math>q</math> mit einer einheitlichen Ersatztiefe <math>b</math> in einen Volumenstrom umgerechnet: :<math>Q = q \cdot b, \qquad b = \frac{\pi \, D_{CC}}{4}</math> Die Ersatztiefe ist so gewählt, dass am Einlass mit der mittleren Einströmgeschwindigkeit <math>\bar{u}_{ein} = Q_0 / (\pi D_{CC}^2/4) \approx 0{,}21\,\text{m/s}</math> genau der Volumenstrom des 3D-Modells von 6 ml/s ankommt. Weil dieselbe Ersatztiefe für alle Ränder gilt, bleibt die Massenbilanz erhalten. === Ergebnisse mit Resistenzrandbedingung === {| class="wikitable" style="text-align:center" |+ Maximale Geschwindigkeit ! Stenosegrad S !! <math>u_{max}</math> [m/s] |- | 0 || 0,324^* |- | 0,3 || 0,323^* |- | 0,6 || 0,529 |- | 0,8 || 1,067 |} ^* Bei S = 0 und S = 0,3 liegt das Geschwindigkeitsmaximum nicht in der Stenose, sondern in der A. carotis communis. {| class="wikitable" style="text-align:center" |+ Druck vor und nach der Stenose ! Stenosegrad S !! <math>p_{vor}</math> [Pa] !! <math>p_{nach}</math> [Pa] !! Druckverlust <math>\Delta p = p_{vor} - p_{nach}</math> [Pa] !! <math>\Delta p</math> [mmHg] |- | 0 || 11 802 || 11 793 || 9 || 0,07 |- | 0,3 || 11 808 || 11 790 || 18 || 0,14 |- | 0,6 || 11 838 || 11 760 || 78 || 0,59 |- | 0,8 || 12 024 || 11 626 || 398 || 2,99 |} === Auswertung === * '''Druckniveau:''' Mit der Resistenzrandbedingung liegt der Druck bei etwa 11 800 Pa ≈ 88,5 mmHg. Das entspricht dem mittleren arteriellen Druck in der Carotis. Mit <math>p = 0</math> lagen die Drücke nur bei wenigen Pa bis einigen 100 Pa. * '''Flussaufteilung:''' Die peripheren Widerstände sind wesentlich größer als der Widerstand der Stenose. Deshalb bestimmen sie die Flussaufteilung, und die ACI behält auch bei 80 % Stenose nahezu ihren Anteil (Abnahme von <math>Q_I</math> nur um etwa 1 %). Im Gegensatz zu <math>p = 0</math> kann das Blut nicht einfach in die ACE ausweichen. Das entspricht dem physiologischen Verhalten bei nicht kritischen Stenosen. * '''Geschwindigkeit:''' Weil mehr Blut durch die Engstelle strömen muss, steigen die Geschwindigkeiten in der Stenose gegenüber <math>p = 0</math>. Von S = 0,6 auf S = 0,8 verdoppelt sich <math>u_{max}</math> etwa. * '''Druckverlust:''' Der Druckverlust steigt stark nichtlinear mit dem Stenosegrad. Von S = 0,6 auf S = 0,8 nimmt er etwa um den Faktor 5 zu. * '''Druckrückgewinnung:''' Bei S = 0,8 liegt <math>p_{nach}</math> mit 11 626 Pa sogar unter dem Auslassdruck (≈ 11 680 Pa). Direkt hinter der Engstelle ist die Geschwindigkeit des Strahls noch hoch und der statische Druck entsprechend niedrig. Stromabwärts verlangsamt sich die Strömung, und ein Teil des Drucks wird zurückgewonnen. Der bleibende Druckverlust ist daher etwas kleiner als 398 Pa. === Grenzen und Vergleich mit dem 3D-Modell === * Im 2D-Modell verringert eine Stenose von 80 % nur die '''Spaltbreite''' auf 20 %. Im 3D-Modell sinkt die '''Querschnittsfläche''' dagegen auf <math>0{,}2^2 = 4\,\%</math>. Das 2D-Modell unterschätzt deshalb Geschwindigkeit und Druckverlust in der Stenose systematisch. Klinisch gelten bei Stenosen ab 70 % systolische Spitzengeschwindigkeiten über 2,3 m/s; ab einem Druckgradienten von etwa 10–20 mmHg gilt eine Stenose als hämodynamisch relevant. Beide Grenzen erreicht das 2D-Modell nicht. * Die Umrechnung über die Ersatztiefe <math>\pi D_{CC}/4</math> ist eine Modellannahme. * Der periphere Widerstand ist konstant. Die Autoregulation des Gehirns und die Gefäßelastizität (Windkessel) werden nicht berücksichtigt, und die Rechnung ist stationär (keine Pulsatilität). == Beantwortung der Forschungsfragen == '''Welche Strömungsgrößen reagieren empfindlich auf den Stenosegrad?''' Die Untersuchung der 80-%-Stenose zeigt deutliche Veränderungen der Geschwindigkeitsverteilung, des statischen Drucks und der Wandschubspannung. Die maximale Strömungsgeschwindigkeit beträgt 0,31853 m/s. Zwischen den ausgewählten Messquerschnitten vor und hinter der Stenose ergibt sich eine mittlere statische Druckdifferenz von 36,24 Pa. Die maximale Wandschubspannung auf den untersuchten Stenosewänden beträgt 3,2282 Pa.Da bisher nur die 80-%-Stenose quantitativ ausgewertet wurde, lässt sich noch nicht feststellen, welche dieser Größen bei zunehmendem Stenosegrad am stärksten reagiert. '''Ab welchem Stenosegrad tritt eine Strömungsablösung auf?''' Bei der untersuchten 80-%-Stenose zeigen die Geschwindigkeitskomponenten und die vorzeichenbehaftete Wandschubspannung Hinweise auf Veränderungen der wandnahen Strömungsrichtung hinter der Engstelle. Ein eindeutig geschlossenes Rezirkulationsgebiet konnte jedoch nicht nachgewiesen werden. Ein kritischer Stenosegrad für den Beginn einer Strömungsablösung lässt sich aus dieser einzelnen Simulation daher nicht bestimmen. Hierfür müssten weitere Stenosegrade unter vergleichbaren Bedingungen ausgewertet werden. '''Inwieweit sind die Annahmen einer stationären und laminaren Strömung geeignet?''' Die stationäre, laminare Modellierung ermöglicht es, grundlegende Auswirkungen einer Gefäßverengung auf die Strömung in einer idealisierten Karotis-Bifurkation zu untersuchen. Bei hochgradigen Stenosen können allerdings zeitabhängige und dreidimensionale Strömungsstrukturen auftreten. Diese werden durch das vorliegende stationäre 2D-Modell nicht vollständig erfasst. Die Simulationsergebnisse sind deshalb auf die gewählten Modellannahmen und Randbedingungen beschränkt. '''Zusammenfassend''' liefert die 2D-Simulation eine erste quantitative Beschreibung der Strömungsverhältnisse bei einer hochgradigen ACI-Stenose. Für allgemeine Aussagen über die Abhängigkeit vom Stenosegrad und den Beginn einer Strömungsablösung sind zusätzliche Vergleichsrechnungen erforderlich. = Grenzen des Modells = * Die untersuchte Gefäßgeometrie ist eine idealisierte Darstellung der Karotisaufzweigung. Individuelle anatomische Unterschiede werden nicht berücksichtigt. * Darüber hinaus werden die Gefäßwände als starr angenommen und Blut wird durch ein inkompressibles Newtonsches Fluid mit konstanter Viskosität beschrieben. * Die Strömung wird stationär berechnet. Die natürliche Pulsation des Blutflusses und zeitabhängige Effekte bleiben damit unberücksichtigt. * Insbesondere bei hochgradigen Stenosen können zeitabhängige Strömungsablösungen auftreten, die durch eine stationäre Modellierung nicht vollständig beschrieben werden. * Das Graphenmodell kann lokale Strömungsphänomene nicht detailliert erfassen. Das ebene Flächenmodell vereinfacht die räumliche Gefäßgeometrie. Auch das dreidimensionale Modell bleibt aufgrund der idealisierten Geometrie und der vereinfachten Materialannahmen eine Annäherung an die reale Blutströmung. * Die Ergebnisse sind daher als strömungsmechanische Untersuchung eines idealisierten Modells zu interpretieren und nicht als patientenspezifische medizinische Vorhersage. = Literaturverzeichnis = Alle Quellen sind an den Stellen im Text angegeben, an denen die zugehörigen Werte oder Aussagen verwendet werden. Die Liste wird aus diesen Angaben automatisch erzeugt. <references /> 1q6woxe19cbv92xk4sqm1o4i4uvi5ph 0 172731 1119464 1119374 2026-11-12T07:19:22Z Bocardodarapti 2041 1119464 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ Abbildung/display |name= \delta |\Z^m | \Z || |SZ= }} die Standardgraduierung und {{ Abbildung/display |name=d | \Z^m | D || |SZ= }} mit {{math|term= D |SZ=}} endlich. Es ist {{ Relationskette/display | L_c || {{Mengebed| \nu \in \N^m| d( \nu) {{=}} c }} || || || |SZ= }} ein reflexiver Rang eins Modul über dem Invariantenring {{ Relationskette | L_0 || R || || || |SZ=. }} Die allgemeine Formel für die kumulative Hilbertfunktion von {{math|term= L_c |SZ=}} ist {{ Relationskette/display | A_c(N) || {{op:Anzahl| {{Mengebed|\nu| d(\nu) {{=}} c | {{op:Betrag| \nu|}} \leq N }} }} || || || |SZ=. }} Für jedes {{math|term= n |SZ=}} verteilt sich der Wert {{math|term= h(n) |SZ=}} der Hilbertfunktion des Polynomringens auf endlich viele {{math|term= c |SZ=,}} also {{ Relationskette/display | h(n) || \sum_{c \in D} {{op:Anzahl| {{Mengebed| \nu | d(\nu) {{=}} c | {{op:Betrag| \nu|}} {{=}} n }} }} || || || |SZ=. }} Es ist für den Polynomring {{ Relationskette/display | h (n) || {{op:Binomialkoeffizient|n+m-1|m-1}} || \alpha_{m-1} n^{m-1} + \alpha_{m-2} n^{m-2} {{plusdots}} \alpha_1 n+ \alpha_{0} || || |SZ= }} die nichtkumulative Hilbertfunktion für {{ Relationskette | n | \geq| 0 || || || |SZ=. }} {{ inputbemerkung |Polynomring/Standardgraduierung/Endliche Graduierung/Aufteilung/Hilbertfunktionen/Bemerkung|| }} {{ inputbemerkung |Polynomring/Standardgraduierung/Primäres Ideal/Totale Hilbert-Kunz Reihe/Bemerkung|| }} Feiner Ansatz {{ inputbemerkung |Polynomring/Standardgraduierung/Endliche_Graduierung/Aufteilung/Feiner Ansatz/Bemerkung|| }} {{ inputbeispiel |A_1-Singularität/Hilbertfunktion/Aufteilung/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |A_(k-1)-Singularität/Hilbertfunktion/Aufteilung/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |A_(k-1)-Singularität/Moduln/Hilbertreihe/Beispiel|| }} Wir betrachten die starke Bedingung, dass {{math|term= c |SZ=}} durch {{math|term= \delta |SZ=}} faktorisiert. Dann ist, für die Moduln {{mathl|term= L_d |SZ=}} zu {{ Relationskette | d | \in | D || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | h_{L_d} (n) || \begin{cases} h (n), \text{ falls } c(n) {{=}} d \, ,\\ 0 \text{ sonst} . \end{cases} || || || |SZ= }} Die Summe von {{math|term= 0 |SZ=}} bis {{math|term= N |SZ=}} ist dann für die einzelnen Koeffizienten {{ Math/display|term= \alpha_i \sum_{ n \in \{1 {{kommadots|}} N\}, \, c(n) {{=}} d } n^i |SZ=. }} {{ inputbeispiel |Veronesering/Zweidimensional/Auflösung/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Veronesering/Zweidimensional/Auflösung/Standardgraduierung/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Veronesering/Zweidimensional/Grad 3/Auflösung/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Veronesering/Dreidimensional/Grad 2/Auflösung/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Veronesering/Dreidimensional/Auflösung/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Veronesering/Dreidimensional/Grad 3/Auflösung/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Veronesering/Dreidimensional/Grad 4/Auflösung/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Veronesering/Dimension m/Aufteilung/Beispiel|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Hilbertfunktion graduierter Moduln |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd |pdf= }} 3hh8zlkli2bl6nwaniq5fimnbt3jssm 0 173210 1119442 1119009 2026-11-11T19:02:20Z C.Koltzenburg 13981 /* 1506 */ 1119442 wikitext text/x-wiki <div style="page-break-inside:avoid"> === 1540 === === 1539 === === 1538 === === 1537 === === 1536 === === 1535 === === 1534 === === 1533 === === ... === === 1530 === Karl V. wird Kaiser (bis 1558) === 1509 === Erasmus von Rotterdem weilt bei Thomas Morus in England, wo er sein ''Lob der Torheit'' (''Laus stultitiae'') fertigstellt, das 1511 in Paris und Straßburg publiziert wurde, dann 1515 in Basel (mit 83 Handzeichnungen des Malers Hans Holbein d. J.). === 1506 === 18. April: mit dem Bau des Petersdoms in Rom wird begonnen (Papst Julius II.) === 1503–1506 === Entstehung von Leonardo da Vincis "La Gioconda" ("Mona Lisa"). * [[Hilfe:Kartographer/VisualEditor|Karten]] * [[Hilfe:Kategorien/VisualEditor|Kategorien]] * [[Hilfe:Tags/Kommentar/VisualEditor|Kommentar]] * [[Hilfe:VisualEditor/Schrifteigenschaften#italic|Kursivschrift]] </div> 9zkybsegnz95mjq8xktgd0c0izc7ulf 1119443 1119442 2026-11-11T19:12:04Z C.Koltzenburg 13981 1119443 wikitext text/x-wiki <div style="page-break-inside:avoid"> === 1599 === === 1598 === === 1597 === === 1596 === === 1595 === === 1594 === === 1593 === === 1592 === === 1591 === === 1590 === === 1589 === === 1588 === === 1587 === === 1586 === === 1585 === === 1584 === === 1583 === === 1582 === === 1581 === === 1580 === === 1579 === === 1578 === === 1577 === === 1576 === === 1575 === === 1574 === === 1573 === === 1572 === === 1571 === === 1570 === === 1569 === === 1568 === === 1567 === === 1566 === === 1565 === === 1564 === === 1563 === === 1562 === === 1561 === === 1560 === === 1559 === === 1558 === === 1557 === === 1556 === === 1555 === === 1554 === === 1553 === === 1552 === === 1551 === === 1550 === === 1549 === === 1548 === === 1547 === === 1546 === === 1545 === === 1544 === === 1543 === === 1542 === === 1541 === === 1540 === === 1539 === === 1538 === === 1537 === === 1536 === === 1535 === === 1534 === === 1533 === === 1532 === === 1531 === === 1530 === Karl V. wird Kaiser (bis 1558) === 1529 === === 1528 === === 1527 === === 1526 === === 1525 === === 1524 === === 1523 === === 1522 === === 1521 === === 1520 === === 1519 === === 1518 === === 1517 === === 1516 === === 1515 === === 1514 === === 1513 === === 1512 === === 1511 === === 1510 === === 1509 === Erasmus von Rotterdem weilt bei Thomas Morus in England, wo er sein ''Lob der Torheit'' (''Laus stultitiae'') fertigstellt, das 1511 in Paris und Straßburg publiziert wurde, dann 1515 in Basel (mit 83 Handzeichnungen des Malers Hans Holbein d. J.). === 1506 === 18. April: mit dem Bau des Petersdoms in Rom wird begonnen (Papst Julius II.) === 1505 === === 1504 === === 1503–1506 === Entstehung von Leonardo da Vincis "La Gioconda" ("Mona Lisa"). === 1503 === === 1501 === === 1501 === * [[Hilfe:Kartographer/VisualEditor|Karten]] * [[Hilfe:Kategorien/VisualEditor|Kategorien]] * [[Hilfe:Tags/Kommentar/VisualEditor|Kommentar]] * [[Hilfe:VisualEditor/Schrifteigenschaften#italic|Kursivschrift]] </div> q8r5vwvmv30hgq5afobar64t7ys2meu 1119444 1119443 2026-11-11T19:13:33Z C.Koltzenburg 13981 /* 1501 */ 1119444 wikitext text/x-wiki <div style="page-break-inside:avoid"> === 1599 === === 1598 === === 1597 === === 1596 === === 1595 === === 1594 === === 1593 === === 1592 === === 1591 === === 1590 === === 1589 === === 1588 === === 1587 === === 1586 === === 1585 === === 1584 === === 1583 === === 1582 === === 1581 === === 1580 === === 1579 === === 1578 === === 1577 === === 1576 === === 1575 === === 1574 === === 1573 === === 1572 === === 1571 === === 1570 === === 1569 === === 1568 === === 1567 === === 1566 === === 1565 === === 1564 === === 1563 === === 1562 === === 1561 === === 1560 === === 1559 === === 1558 === === 1557 === === 1556 === === 1555 === === 1554 === === 1553 === === 1552 === === 1551 === === 1550 === === 1549 === === 1548 === === 1547 === === 1546 === === 1545 === === 1544 === === 1543 === === 1542 === === 1541 === === 1540 === === 1539 === === 1538 === === 1537 === === 1536 === === 1535 === === 1534 === === 1533 === === 1532 === === 1531 === === 1530 === Karl V. wird Kaiser (bis 1558) === 1529 === === 1528 === === 1527 === === 1526 === === 1525 === === 1524 === === 1523 === === 1522 === === 1521 === === 1520 === === 1519 === === 1518 === === 1517 === === 1516 === === 1515 === === 1514 === === 1513 === === 1512 === === 1511 === === 1510 === === 1509 === Erasmus von Rotterdem weilt bei Thomas Morus in England, wo er sein ''Lob der Torheit'' (''Laus stultitiae'') fertigstellt, das 1511 in Paris und Straßburg publiziert wurde, dann 1515 in Basel (mit 83 Handzeichnungen des Malers Hans Holbein d. J.). === 1506 === 18. April: mit dem Bau des Petersdoms in Rom wird begonnen (Papst Julius II.) === 1505 === === 1504 === === 1503–1506 === Entstehung von Leonardo da Vincis "La Gioconda" ("Mona Lisa"). === 1503 === === 1502 === === 1501 === * [[Hilfe:Kartographer/VisualEditor|Karten]] * [[Hilfe:Kategorien/VisualEditor|Kategorien]] * [[Hilfe:Tags/Kommentar/VisualEditor|Kommentar]] * [[Hilfe:VisualEditor/Schrifteigenschaften#italic|Kursivschrift]] </div> 2itwkt8wgtqsh2kxfjd8u8hgj0jc46r 1119445 1119444 2026-11-11T19:17:42Z C.Koltzenburg 13981 /* 1555 */ 1119445 wikitext text/x-wiki <div style="page-break-inside:avoid"> === 1599 === === 1598 === === 1597 === === 1596 === === 1595 === === 1594 === === 1593 === === 1592 === === 1591 === === 1590 === === 1589 === === 1588 === === 1587 === === 1586 === === 1585 === === 1584 === === 1583 === === 1582 === === 1581 === === 1580 === === 1579 === === 1578 === === 1577 === === 1576 === === 1575 === === 1574 === === 1573 === === 1572 === === 1571 === === 1570 === === 1569 === === 1568 === === 1567 === === 1566 === === 1565 === === 1564 === === 1563 === === 1562 === === 1561 === === 1560 === === 1559 === === 1558 === === 1557 === === 1556 === === 1555 === 25. September: Der "Augsburger Religionsfrieden", ein Reichsgesetz zum Verhältnis der Konfessionen wird verabschiedet (zwischen Kaiser und Reichsständen ausgehandelt). === 1554 === === 1553 === === 1552 === === 1551 === === 1550 === === 1549 === === 1548 === === 1547 === === 1546 === === 1545 === === 1544 === === 1543 === === 1542 === === 1541 === === 1540 === === 1539 === === 1538 === === 1537 === === 1536 === === 1535 === === 1534 === === 1533 === === 1532 === === 1531 === === 1530 === Karl V. wird Kaiser (bis 1558) === 1529 === === 1528 === === 1527 === === 1526 === === 1525 === === 1524 === === 1523 === === 1522 === === 1521 === === 1520 === === 1519 === === 1518 === === 1517 === === 1516 === === 1515 === === 1514 === === 1513 === === 1512 === === 1511 === === 1510 === === 1509 === Erasmus von Rotterdem weilt bei Thomas Morus in England, wo er sein ''Lob der Torheit'' (''Laus stultitiae'') fertigstellt, das 1511 in Paris und Straßburg publiziert wurde, dann 1515 in Basel (mit 83 Handzeichnungen des Malers Hans Holbein d. J.). === 1506 === 18. April: mit dem Bau des Petersdoms in Rom wird begonnen (Papst Julius II.) === 1505 === === 1504 === === 1503–1506 === Entstehung von Leonardo da Vincis "La Gioconda" ("Mona Lisa"). === 1503 === === 1502 === === 1501 === * [[Hilfe:Kartographer/VisualEditor|Karten]] * [[Hilfe:Kategorien/VisualEditor|Kategorien]] * [[Hilfe:Tags/Kommentar/VisualEditor|Kommentar]] * [[Hilfe:VisualEditor/Schrifteigenschaften#italic|Kursivschrift]] </div> t9sns8j3yzyd7y3qb37bj69dc0y7zgx 1119446 1119445 2026-11-11T19:21:23Z C.Koltzenburg 13981 /* 1531 */ 1119446 wikitext text/x-wiki <div style="page-break-inside:avoid"> === 1599 === === 1598 === === 1597 === === 1596 === === 1595 === === 1594 === === 1593 === === 1592 === === 1591 === === 1590 === === 1589 === === 1588 === === 1587 === === 1586 === === 1585 === === 1584 === === 1583 === === 1582 === === 1581 === === 1580 === === 1579 === === 1578 === === 1577 === === 1576 === === 1575 === === 1574 === === 1573 === === 1572 === === 1571 === === 1570 === === 1569 === === 1568 === === 1567 === === 1566 === === 1565 === === 1564 === === 1563 === === 1562 === === 1561 === === 1560 === === 1559 === === 1558 === === 1557 === === 1556 === === 1555 === 25. September: Der "Augsburger Religionsfrieden", ein Reichsgesetz zum Verhältnis der Konfessionen wird verabschiedet (zwischen Kaiser und Reichsständen ausgehandelt). === 1554 === === 1553 === === 1552 === === 1551 === === 1550 === === 1549 === === 1548 === === 1547 === === 1546 === === 1545 === === 1544 === === 1543 === === 1542 === === 1541 === === 1540 === === 1539 === === 1538 === === 1537 === === 1536 === === 1535 === === 1534 === === 1533 === === 1532 === === 1531 === 27. Februar: der "Schmalkaldische Bund" wird von den protestantischen Reichsständen gegründet, um eine mögliche militärische Rekatholisierung protestantischer Gebiete zu verhindern. <ref>https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Augsburger_Reichs-_und_Religionsfrieden&oldid=270434765<ref \> === 1530 === Karl V. wird Kaiser (bis 1558) === 1529 === === 1528 === === 1527 === === 1526 === === 1525 === === 1524 === === 1523 === === 1522 === === 1521 === === 1520 === === 1519 === === 1518 === === 1517 === === 1516 === === 1515 === === 1514 === === 1513 === === 1512 === === 1511 === === 1510 === === 1509 === Erasmus von Rotterdem weilt bei Thomas Morus in England, wo er sein ''Lob der Torheit'' (''Laus stultitiae'') fertigstellt, das 1511 in Paris und Straßburg publiziert wurde, dann 1515 in Basel (mit 83 Handzeichnungen des Malers Hans Holbein d. J.). === 1506 === 18. April: mit dem Bau des Petersdoms in Rom wird begonnen (Papst Julius II.) === 1505 === === 1504 === === 1503–1506 === Entstehung von Leonardo da Vincis "La Gioconda" ("Mona Lisa"). === 1503 === === 1502 === === 1501 === * [[Hilfe:Kartographer/VisualEditor|Karten]] * [[Hilfe:Kategorien/VisualEditor|Kategorien]] * [[Hilfe:Tags/Kommentar/VisualEditor|Kommentar]] * [[Hilfe:VisualEditor/Schrifteigenschaften#italic|Kursivschrift]] </div> osbk5duyn3ura04d8t75cnh40yjwjy5 1119447 1119446 2026-11-11T19:21:41Z C.Koltzenburg 13981 /* 1501 */ 1119447 wikitext text/x-wiki <div style="page-break-inside:avoid"> === 1599 === === 1598 === === 1597 === === 1596 === === 1595 === === 1594 === === 1593 === === 1592 === === 1591 === === 1590 === === 1589 === === 1588 === === 1587 === === 1586 === === 1585 === === 1584 === === 1583 === === 1582 === === 1581 === === 1580 === === 1579 === === 1578 === === 1577 === === 1576 === === 1575 === === 1574 === === 1573 === === 1572 === === 1571 === === 1570 === === 1569 === === 1568 === === 1567 === === 1566 === === 1565 === === 1564 === === 1563 === === 1562 === === 1561 === === 1560 === === 1559 === === 1558 === === 1557 === === 1556 === === 1555 === 25. September: Der "Augsburger Religionsfrieden", ein Reichsgesetz zum Verhältnis der Konfessionen wird verabschiedet (zwischen Kaiser und Reichsständen ausgehandelt). === 1554 === === 1553 === === 1552 === === 1551 === === 1550 === === 1549 === === 1548 === === 1547 === === 1546 === === 1545 === === 1544 === === 1543 === === 1542 === === 1541 === === 1540 === === 1539 === === 1538 === === 1537 === === 1536 === === 1535 === === 1534 === === 1533 === === 1532 === === 1531 === 27. Februar: der "Schmalkaldische Bund" wird von den protestantischen Reichsständen gegründet, um eine mögliche militärische Rekatholisierung protestantischer Gebiete zu verhindern. <ref>https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Augsburger_Reichs-_und_Religionsfrieden&oldid=270434765<ref \> === 1530 === Karl V. wird Kaiser (bis 1558) === 1529 === === 1528 === === 1527 === === 1526 === === 1525 === === 1524 === === 1523 === === 1522 === === 1521 === === 1520 === === 1519 === === 1518 === === 1517 === === 1516 === === 1515 === === 1514 === === 1513 === === 1512 === === 1511 === === 1510 === === 1509 === Erasmus von Rotterdem weilt bei Thomas Morus in England, wo er sein ''Lob der Torheit'' (''Laus stultitiae'') fertigstellt, das 1511 in Paris und Straßburg publiziert wurde, dann 1515 in Basel (mit 83 Handzeichnungen des Malers Hans Holbein d. J.). === 1506 === 18. April: mit dem Bau des Petersdoms in Rom wird begonnen (Papst Julius II.) === 1505 === === 1504 === === 1503–1506 === Entstehung von Leonardo da Vincis "La Gioconda" ("Mona Lisa"). === 1503 === === 1502 === === 1501 === * [[Hilfe:Kartographer/VisualEditor|Karten]] * [[Hilfe:Kategorien/VisualEditor|Kategorien]] * [[Hilfe:Tags/Kommentar/VisualEditor|Kommentar]] * [[Hilfe:VisualEditor/Schrifteigenschaften#italic|Kursivschrift]] </div> <references> aig8dx8o0h8d5qv4u7kyki49oyhj8aa 1119448 1119447 2026-11-11T19:22:23Z C.Koltzenburg 13981 /* 1501 */ 1119448 wikitext text/x-wiki <div style="page-break-inside:avoid"> === 1599 === === 1598 === === 1597 === === 1596 === === 1595 === === 1594 === === 1593 === === 1592 === === 1591 === === 1590 === === 1589 === === 1588 === === 1587 === === 1586 === === 1585 === === 1584 === === 1583 === === 1582 === === 1581 === === 1580 === === 1579 === === 1578 === === 1577 === === 1576 === === 1575 === === 1574 === === 1573 === === 1572 === === 1571 === === 1570 === === 1569 === === 1568 === === 1567 === === 1566 === === 1565 === === 1564 === === 1563 === === 1562 === === 1561 === === 1560 === === 1559 === === 1558 === === 1557 === === 1556 === === 1555 === 25. September: Der "Augsburger Religionsfrieden", ein Reichsgesetz zum Verhältnis der Konfessionen wird verabschiedet (zwischen Kaiser und Reichsständen ausgehandelt). === 1554 === === 1553 === === 1552 === === 1551 === === 1550 === === 1549 === === 1548 === === 1547 === === 1546 === === 1545 === === 1544 === === 1543 === === 1542 === === 1541 === === 1540 === === 1539 === === 1538 === === 1537 === === 1536 === === 1535 === === 1534 === === 1533 === === 1532 === === 1531 === 27. Februar: der "Schmalkaldische Bund" wird von den protestantischen Reichsständen gegründet, um eine mögliche militärische Rekatholisierung protestantischer Gebiete zu verhindern. <ref>https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Augsburger_Reichs-_und_Religionsfrieden&oldid=270434765<ref \> === 1530 === Karl V. wird Kaiser (bis 1558) === 1529 === === 1528 === === 1527 === === 1526 === === 1525 === === 1524 === === 1523 === === 1522 === === 1521 === === 1520 === === 1519 === === 1518 === === 1517 === === 1516 === === 1515 === === 1514 === === 1513 === === 1512 === === 1511 === === 1510 === === 1509 === Erasmus von Rotterdem weilt bei Thomas Morus in England, wo er sein ''Lob der Torheit'' (''Laus stultitiae'') fertigstellt, das 1511 in Paris und Straßburg publiziert wurde, dann 1515 in Basel (mit 83 Handzeichnungen des Malers Hans Holbein d. J.). === 1506 === 18. April: mit dem Bau des Petersdoms in Rom wird begonnen (Papst Julius II.) === 1505 === === 1504 === === 1503–1506 === Entstehung von Leonardo da Vincis "La Gioconda" ("Mona Lisa"). === 1503 === === 1502 === === 1501 === * [[Hilfe:Kartographer/VisualEditor|Karten]] * [[Hilfe:Kategorien/VisualEditor|Kategorien]] * [[Hilfe:Tags/Kommentar/VisualEditor|Kommentar]] * [[Hilfe:VisualEditor/Schrifteigenschaften#italic|Kursivschrift]] </div> <references /> angsr8t5cqm6rjqvrp0l4pos1zjehjj 1119449 1119448 2026-11-11T19:23:23Z C.Koltzenburg 13981 /* 1531 */ 1119449 wikitext text/x-wiki <div style="page-break-inside:avoid"> === 1599 === === 1598 === === 1597 === === 1596 === === 1595 === === 1594 === === 1593 === === 1592 === === 1591 === === 1590 === === 1589 === === 1588 === === 1587 === === 1586 === === 1585 === === 1584 === === 1583 === === 1582 === === 1581 === === 1580 === === 1579 === === 1578 === === 1577 === === 1576 === === 1575 === === 1574 === === 1573 === === 1572 === === 1571 === === 1570 === === 1569 === === 1568 === === 1567 === === 1566 === === 1565 === === 1564 === === 1563 === === 1562 === === 1561 === === 1560 === === 1559 === === 1558 === === 1557 === === 1556 === === 1555 === 25. September: Der "Augsburger Religionsfrieden", ein Reichsgesetz zum Verhältnis der Konfessionen wird verabschiedet (zwischen Kaiser und Reichsständen ausgehandelt). === 1554 === === 1553 === === 1552 === === 1551 === === 1550 === === 1549 === === 1548 === === 1547 === === 1546 === === 1545 === === 1544 === === 1543 === === 1542 === === 1541 === === 1540 === === 1539 === === 1538 === === 1537 === === 1536 === === 1535 === === 1534 === === 1533 === === 1532 === === 1531 === 27. Februar: der "Schmalkaldische Bund" wird von den protestantischen Reichsständen gegründet, um eine mögliche militärische Rekatholisierung protestantischer Gebiete zu verhindern.<ref>https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Augsburger_Reichs-_und_Religionsfrieden&oldid=270434765</ref> === 1530 === Karl V. wird Kaiser (bis 1558) === 1529 === === 1528 === === 1527 === === 1526 === === 1525 === === 1524 === === 1523 === === 1522 === === 1521 === === 1520 === === 1519 === === 1518 === === 1517 === === 1516 === === 1515 === === 1514 === === 1513 === === 1512 === === 1511 === === 1510 === === 1509 === Erasmus von Rotterdem weilt bei Thomas Morus in England, wo er sein ''Lob der Torheit'' (''Laus stultitiae'') fertigstellt, das 1511 in Paris und Straßburg publiziert wurde, dann 1515 in Basel (mit 83 Handzeichnungen des Malers Hans Holbein d. J.). === 1506 === 18. April: mit dem Bau des Petersdoms in Rom wird begonnen (Papst Julius II.) === 1505 === === 1504 === === 1503–1506 === Entstehung von Leonardo da Vincis "La Gioconda" ("Mona Lisa"). === 1503 === === 1502 === === 1501 === * [[Hilfe:Kartographer/VisualEditor|Karten]] * [[Hilfe:Kategorien/VisualEditor|Kategorien]] * [[Hilfe:Tags/Kommentar/VisualEditor|Kommentar]] * [[Hilfe:VisualEditor/Schrifteigenschaften#italic|Kursivschrift]] </div> <references /> 076dcfeudqy94hyxueqy45wzvw4uud9 1119450 1119449 2026-11-11T19:24:50Z C.Koltzenburg 13981 /* 1503–1506 */ 1119450 wikitext text/x-wiki <div style="page-break-inside:avoid"> === 1599 === === 1598 === === 1597 === === 1596 === === 1595 === === 1594 === === 1593 === === 1592 === === 1591 === === 1590 === === 1589 === === 1588 === === 1587 === === 1586 === === 1585 === === 1584 === === 1583 === === 1582 === === 1581 === === 1580 === === 1579 === === 1578 === === 1577 === === 1576 === === 1575 === === 1574 === === 1573 === === 1572 === === 1571 === === 1570 === === 1569 === === 1568 === === 1567 === === 1566 === === 1565 === === 1564 === === 1563 === === 1562 === === 1561 === === 1560 === === 1559 === === 1558 === === 1557 === === 1556 === === 1555 === 25. September: Der "Augsburger Religionsfrieden", ein Reichsgesetz zum Verhältnis der Konfessionen wird verabschiedet (zwischen Kaiser und Reichsständen ausgehandelt). === 1554 === === 1553 === === 1552 === === 1551 === === 1550 === === 1549 === === 1548 === === 1547 === === 1546 === === 1545 === === 1544 === === 1543 === === 1542 === === 1541 === === 1540 === === 1539 === === 1538 === === 1537 === === 1536 === === 1535 === === 1534 === === 1533 === === 1532 === === 1531 === 27. Februar: der "Schmalkaldische Bund" wird von den protestantischen Reichsständen gegründet, um eine mögliche militärische Rekatholisierung protestantischer Gebiete zu verhindern.<ref>https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Augsburger_Reichs-_und_Religionsfrieden&oldid=270434765</ref> === 1530 === Karl V. wird Kaiser (bis 1558) === 1529 === === 1528 === === 1527 === === 1526 === === 1525 === === 1524 === === 1523 === === 1522 === === 1521 === === 1520 === === 1519 === === 1518 === === 1517 === === 1516 === === 1515 === === 1514 === === 1513 === === 1512 === === 1511 === === 1510 === === 1509 === Erasmus von Rotterdem weilt bei Thomas Morus in England, wo er sein ''Lob der Torheit'' (''Laus stultitiae'') fertigstellt, das 1511 in Paris und Straßburg publiziert wurde, dann 1515 in Basel (mit 83 Handzeichnungen des Malers Hans Holbein d. J.). === 1506 === 18. April: mit dem Bau des Petersdoms in Rom wird begonnen (Papst Julius II.) === 1505 === === 1504 === === 1503–1506 === Entstehung von Leonardo da Vincis "La Gioconda" ("Mona Lisa").<ref>https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Mona_Lisa&oldid=271523127</ref> === 1503 === === 1502 === === 1501 === * [[Hilfe:Kartographer/VisualEditor|Karten]] * [[Hilfe:Kategorien/VisualEditor|Kategorien]] * [[Hilfe:Tags/Kommentar/VisualEditor|Kommentar]] * [[Hilfe:VisualEditor/Schrifteigenschaften#italic|Kursivschrift]] </div> <references /> i4ahty60usz23wpt3g4onoso9f0neww 1119451 1119450 2026-11-11T19:26:01Z C.Koltzenburg 13981 /* 1509 */ 1119451 wikitext text/x-wiki <div style="page-break-inside:avoid"> === 1599 === === 1598 === === 1597 === === 1596 === === 1595 === === 1594 === === 1593 === === 1592 === === 1591 === === 1590 === === 1589 === === 1588 === === 1587 === === 1586 === === 1585 === === 1584 === === 1583 === === 1582 === === 1581 === === 1580 === === 1579 === === 1578 === === 1577 === === 1576 === === 1575 === === 1574 === === 1573 === === 1572 === === 1571 === === 1570 === === 1569 === === 1568 === === 1567 === === 1566 === === 1565 === === 1564 === === 1563 === === 1562 === === 1561 === === 1560 === === 1559 === === 1558 === === 1557 === === 1556 === === 1555 === 25. September: Der "Augsburger Religionsfrieden", ein Reichsgesetz zum Verhältnis der Konfessionen wird verabschiedet (zwischen Kaiser und Reichsständen ausgehandelt). === 1554 === === 1553 === === 1552 === === 1551 === === 1550 === === 1549 === === 1548 === === 1547 === === 1546 === === 1545 === === 1544 === === 1543 === === 1542 === === 1541 === === 1540 === === 1539 === === 1538 === === 1537 === === 1536 === === 1535 === === 1534 === === 1533 === === 1532 === === 1531 === 27. Februar: der "Schmalkaldische Bund" wird von den protestantischen Reichsständen gegründet, um eine mögliche militärische Rekatholisierung protestantischer Gebiete zu verhindern.<ref>https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Augsburger_Reichs-_und_Religionsfrieden&oldid=270434765</ref> === 1530 === Karl V. wird Kaiser (bis 1558) === 1529 === === 1528 === === 1527 === === 1526 === === 1525 === === 1524 === === 1523 === === 1522 === === 1521 === === 1520 === === 1519 === === 1518 === === 1517 === === 1516 === === 1515 === === 1514 === === 1513 === === 1512 === === 1511 === === 1510 === === 1509 === Erasmus von Rotterdem weilt bei Thomas Morus in England, wo er sein ''Lob der Torheit'' (''Laus stultitiae'') fertigstellt, das 1511 in Paris und Straßburg publiziert wurde, dann 1515 in Basel (mit 83 Handzeichnungen des Malers Hans Holbein d. J.).<ref>https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Lob_der_Torheit&oldid=269091731</ref> === 1506 === 18. April: mit dem Bau des Petersdoms in Rom wird begonnen (Papst Julius II.) === 1505 === === 1504 === === 1503–1506 === Entstehung von Leonardo da Vincis "La Gioconda" ("Mona Lisa").<ref>https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Mona_Lisa&oldid=271523127</ref> === 1503 === === 1502 === === 1501 === * [[Hilfe:Kartographer/VisualEditor|Karten]] * [[Hilfe:Kategorien/VisualEditor|Kategorien]] * [[Hilfe:Tags/Kommentar/VisualEditor|Kommentar]] * [[Hilfe:VisualEditor/Schrifteigenschaften#italic|Kursivschrift]] </div> <references /> paiii57mq9bfm428eroivy6gt3q487v 1119452 1119451 2026-11-11T19:32:30Z C.Koltzenburg 13981 /* 1506 */ 1119452 wikitext text/x-wiki <div style="page-break-inside:avoid"> === 1599 === === 1598 === === 1597 === === 1596 === === 1595 === === 1594 === === 1593 === === 1592 === === 1591 === === 1590 === === 1589 === === 1588 === === 1587 === === 1586 === === 1585 === === 1584 === === 1583 === === 1582 === === 1581 === === 1580 === === 1579 === === 1578 === === 1577 === === 1576 === === 1575 === === 1574 === === 1573 === === 1572 === === 1571 === === 1570 === === 1569 === === 1568 === === 1567 === === 1566 === === 1565 === === 1564 === === 1563 === === 1562 === === 1561 === === 1560 === === 1559 === === 1558 === === 1557 === === 1556 === === 1555 === 25. September: Der "Augsburger Religionsfrieden", ein Reichsgesetz zum Verhältnis der Konfessionen wird verabschiedet (zwischen Kaiser und Reichsständen ausgehandelt). === 1554 === === 1553 === === 1552 === === 1551 === === 1550 === === 1549 === === 1548 === === 1547 === === 1546 === === 1545 === === 1544 === === 1543 === === 1542 === === 1541 === === 1540 === === 1539 === === 1538 === === 1537 === === 1536 === === 1535 === === 1534 === === 1533 === === 1532 === === 1531 === 27. Februar: der "Schmalkaldische Bund" wird von den protestantischen Reichsständen gegründet, um eine mögliche militärische Rekatholisierung protestantischer Gebiete zu verhindern.<ref>https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Augsburger_Reichs-_und_Religionsfrieden&oldid=270434765</ref> === 1530 === Karl V. wird Kaiser (bis 1558) === 1529 === === 1528 === === 1527 === === 1526 === === 1525 === === 1524 === === 1523 === === 1522 === === 1521 === === 1520 === === 1519 === === 1518 === === 1517 === === 1516 === === 1515 === === 1514 === === 1513 === === 1512 === === 1511 === === 1510 === === 1509 === Erasmus von Rotterdem weilt bei Thomas Morus in England, wo er sein ''Lob der Torheit'' (''Laus stultitiae'') fertigstellt, das 1511 in Paris und Straßburg publiziert wurde, dann 1515 in Basel (mit 83 Handzeichnungen des Malers Hans Holbein d. J.).<ref>https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Lob_der_Torheit&oldid=269091731</ref> === 1506 === 18. April: Papst Julius II lässt mit dem Bau des Petersdoms in Rom beginnen<ref>https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Julius_II.&oldid=257544697</ref> === 1505 === === 1504 === === 1503–1506 === Entstehung von Leonardo da Vincis "La Gioconda" ("Mona Lisa").<ref>https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Mona_Lisa&oldid=271523127</ref> === 1503 === === 1502 === === 1501 === * [[Hilfe:Kartographer/VisualEditor|Karten]] * [[Hilfe:Kategorien/VisualEditor|Kategorien]] * [[Hilfe:Tags/Kommentar/VisualEditor|Kommentar]] * [[Hilfe:VisualEditor/Schrifteigenschaften#italic|Kursivschrift]] </div> <references /> 6ue53kgp4tk59exmde8etweamrzuq9x 1119453 1119452 2026-11-11T19:34:13Z C.Koltzenburg 13981 /* 1501 */ 1119453 wikitext text/x-wiki <div style="page-break-inside:avoid"> === 1599 === === 1598 === === 1597 === === 1596 === === 1595 === === 1594 === === 1593 === === 1592 === === 1591 === === 1590 === === 1589 === === 1588 === === 1587 === === 1586 === === 1585 === === 1584 === === 1583 === === 1582 === === 1581 === === 1580 === === 1579 === === 1578 === === 1577 === === 1576 === === 1575 === === 1574 === === 1573 === === 1572 === === 1571 === === 1570 === === 1569 === === 1568 === === 1567 === === 1566 === === 1565 === === 1564 === === 1563 === === 1562 === === 1561 === === 1560 === === 1559 === === 1558 === === 1557 === === 1556 === === 1555 === 25. September: Der "Augsburger Religionsfrieden", ein Reichsgesetz zum Verhältnis der Konfessionen wird verabschiedet (zwischen Kaiser und Reichsständen ausgehandelt). === 1554 === === 1553 === === 1552 === === 1551 === === 1550 === === 1549 === === 1548 === === 1547 === === 1546 === === 1545 === === 1544 === === 1543 === === 1542 === === 1541 === === 1540 === === 1539 === === 1538 === === 1537 === === 1536 === === 1535 === === 1534 === === 1533 === === 1532 === === 1531 === 27. Februar: der "Schmalkaldische Bund" wird von den protestantischen Reichsständen gegründet, um eine mögliche militärische Rekatholisierung protestantischer Gebiete zu verhindern.<ref>https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Augsburger_Reichs-_und_Religionsfrieden&oldid=270434765</ref> === 1530 === Karl V. wird Kaiser (bis 1558) === 1529 === === 1528 === === 1527 === === 1526 === === 1525 === === 1524 === === 1523 === === 1522 === === 1521 === === 1520 === === 1519 === === 1518 === === 1517 === === 1516 === === 1515 === === 1514 === === 1513 === === 1512 === === 1511 === === 1510 === === 1509 === Erasmus von Rotterdem weilt bei Thomas Morus in England, wo er sein ''Lob der Torheit'' (''Laus stultitiae'') fertigstellt, das 1511 in Paris und Straßburg publiziert wurde, dann 1515 in Basel (mit 83 Handzeichnungen des Malers Hans Holbein d. J.).<ref>https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Lob_der_Torheit&oldid=269091731</ref> === 1506 === 18. April: Papst Julius II lässt mit dem Bau des Petersdoms in Rom beginnen<ref>https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Julius_II.&oldid=257544697</ref> === 1505 === === 1504 === === 1503–1506 === Entstehung von Leonardo da Vincis "La Gioconda" ("Mona Lisa").<ref>https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Mona_Lisa&oldid=271523127</ref> === 1503 === === 1502 === === 1501 === * [[Hilfe:Kartographer/VisualEditor|Karten]] * [[Hilfe:Kategorien/VisualEditor|Kategorien]] * [[Hilfe:Tags/Kommentar/VisualEditor|Kommentar]] * [[Hilfe:VisualEditor/Schrifteigenschaften#italic|Kursivschrift]] </div> Quellen weitere: * (in spe) Bryan Cussen: Pope Paul III and the Cultural Politics of Reform 1534-1549. Amsterdam University Press, Amsterdam 2020, S. Links <references /> 5mt022rygf8n40j7spn360eguo2vl2s 1119454 1119453 2026-11-11T19:34:37Z C.Koltzenburg 13981 /* 1501 */ 1119454 wikitext text/x-wiki <div style="page-break-inside:avoid"> === 1599 === === 1598 === === 1597 === === 1596 === === 1595 === === 1594 === === 1593 === === 1592 === === 1591 === === 1590 === === 1589 === === 1588 === === 1587 === === 1586 === === 1585 === === 1584 === === 1583 === === 1582 === === 1581 === === 1580 === === 1579 === === 1578 === === 1577 === === 1576 === === 1575 === === 1574 === === 1573 === === 1572 === === 1571 === === 1570 === === 1569 === === 1568 === === 1567 === === 1566 === === 1565 === === 1564 === === 1563 === === 1562 === === 1561 === === 1560 === === 1559 === === 1558 === === 1557 === === 1556 === === 1555 === 25. September: Der "Augsburger Religionsfrieden", ein Reichsgesetz zum Verhältnis der Konfessionen wird verabschiedet (zwischen Kaiser und Reichsständen ausgehandelt). === 1554 === === 1553 === === 1552 === === 1551 === === 1550 === === 1549 === === 1548 === === 1547 === === 1546 === === 1545 === === 1544 === === 1543 === === 1542 === === 1541 === === 1540 === === 1539 === === 1538 === === 1537 === === 1536 === === 1535 === === 1534 === === 1533 === === 1532 === === 1531 === 27. Februar: der "Schmalkaldische Bund" wird von den protestantischen Reichsständen gegründet, um eine mögliche militärische Rekatholisierung protestantischer Gebiete zu verhindern.<ref>https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Augsburger_Reichs-_und_Religionsfrieden&oldid=270434765</ref> === 1530 === Karl V. wird Kaiser (bis 1558) === 1529 === === 1528 === === 1527 === === 1526 === === 1525 === === 1524 === === 1523 === === 1522 === === 1521 === === 1520 === === 1519 === === 1518 === === 1517 === === 1516 === === 1515 === === 1514 === === 1513 === === 1512 === === 1511 === === 1510 === === 1509 === Erasmus von Rotterdem weilt bei Thomas Morus in England, wo er sein ''Lob der Torheit'' (''Laus stultitiae'') fertigstellt, das 1511 in Paris und Straßburg publiziert wurde, dann 1515 in Basel (mit 83 Handzeichnungen des Malers Hans Holbein d. J.).<ref>https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Lob_der_Torheit&oldid=269091731</ref> === 1506 === 18. April: Papst Julius II lässt mit dem Bau des Petersdoms in Rom beginnen<ref>https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Julius_II.&oldid=257544697</ref> === 1505 === === 1504 === === 1503–1506 === Entstehung von Leonardo da Vincis "La Gioconda" ("Mona Lisa").<ref>https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Mona_Lisa&oldid=271523127</ref> === 1503 === === 1502 === === 1501 === * [[Hilfe:Kartographer/VisualEditor|Karten]] * [[Hilfe:Kategorien/VisualEditor|Kategorien]] * [[Hilfe:Tags/Kommentar/VisualEditor|Kommentar]] * [[Hilfe:VisualEditor/Schrifteigenschaften#italic|Kursivschrift]] </div> '''Quellen''' weitere: * (in spe) Bryan Cussen: Pope Paul III and the Cultural Politics of Reform 1534-1549. Amsterdam University Press, Amsterdam 2020, S. Links <references /> 6u1jt9a49v3vsk1rugr8xht9nd3dfqc 1119455 1119454 2026-11-11T19:35:12Z C.Koltzenburg 13981 /* 1506 */ 1119455 wikitext text/x-wiki <div style="page-break-inside:avoid"> === 1599 === === 1598 === === 1597 === === 1596 === === 1595 === === 1594 === === 1593 === === 1592 === === 1591 === === 1590 === === 1589 === === 1588 === === 1587 === === 1586 === === 1585 === === 1584 === === 1583 === === 1582 === === 1581 === === 1580 === === 1579 === === 1578 === === 1577 === === 1576 === === 1575 === === 1574 === === 1573 === === 1572 === === 1571 === === 1570 === === 1569 === === 1568 === === 1567 === === 1566 === === 1565 === === 1564 === === 1563 === === 1562 === === 1561 === === 1560 === === 1559 === === 1558 === === 1557 === === 1556 === === 1555 === 25. September: Der "Augsburger Religionsfrieden", ein Reichsgesetz zum Verhältnis der Konfessionen wird verabschiedet (zwischen Kaiser und Reichsständen ausgehandelt). === 1554 === === 1553 === === 1552 === === 1551 === === 1550 === === 1549 === === 1548 === === 1547 === === 1546 === === 1545 === === 1544 === === 1543 === === 1542 === === 1541 === === 1540 === === 1539 === === 1538 === === 1537 === === 1536 === === 1535 === === 1534 === === 1533 === === 1532 === === 1531 === 27. Februar: der "Schmalkaldische Bund" wird von den protestantischen Reichsständen gegründet, um eine mögliche militärische Rekatholisierung protestantischer Gebiete zu verhindern.<ref>https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Augsburger_Reichs-_und_Religionsfrieden&oldid=270434765</ref> === 1530 === Karl V. wird Kaiser (bis 1558) === 1529 === === 1528 === === 1527 === === 1526 === === 1525 === === 1524 === === 1523 === === 1522 === === 1521 === === 1520 === === 1519 === === 1518 === === 1517 === === 1516 === === 1515 === === 1514 === === 1513 === === 1512 === === 1511 === === 1510 === === 1509 === Erasmus von Rotterdem weilt bei Thomas Morus in England, wo er sein ''Lob der Torheit'' (''Laus stultitiae'') fertigstellt, das 1511 in Paris und Straßburg publiziert wurde, dann 1515 in Basel (mit 83 Handzeichnungen des Malers Hans Holbein d. J.).<ref>https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Lob_der_Torheit&oldid=269091731</ref> === 1506 === 18. April: Papst Julius II lässt mit dem Bau des Petersdoms in Rom beginnen.<ref>https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Julius_II.&oldid=257544697</ref> === 1505 === === 1504 === === 1503–1506 === Entstehung von Leonardo da Vincis "La Gioconda" ("Mona Lisa").<ref>https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Mona_Lisa&oldid=271523127</ref> === 1503 === === 1502 === === 1501 === * [[Hilfe:Kartographer/VisualEditor|Karten]] * [[Hilfe:Kategorien/VisualEditor|Kategorien]] * [[Hilfe:Tags/Kommentar/VisualEditor|Kommentar]] * [[Hilfe:VisualEditor/Schrifteigenschaften#italic|Kursivschrift]] </div> '''Quellen''' weitere: * (in spe) Bryan Cussen: Pope Paul III and the Cultural Politics of Reform 1534-1549. Amsterdam University Press, Amsterdam 2020, S. Links <references /> itn4wqdxzf4qr8s8zehjf02782blz6s 1119456 1119455 2026-11-11T19:35:27Z C.Koltzenburg 13981 /* 1503–1506 */ 1119456 wikitext text/x-wiki <div style="page-break-inside:avoid"> === 1599 === === 1598 === === 1597 === === 1596 === === 1595 === === 1594 === === 1593 === === 1592 === === 1591 === === 1590 === === 1589 === === 1588 === === 1587 === === 1586 === === 1585 === === 1584 === === 1583 === === 1582 === === 1581 === === 1580 === === 1579 === === 1578 === === 1577 === === 1576 === === 1575 === === 1574 === === 1573 === === 1572 === === 1571 === === 1570 === === 1569 === === 1568 === === 1567 === === 1566 === === 1565 === === 1564 === === 1563 === === 1562 === === 1561 === === 1560 === === 1559 === === 1558 === === 1557 === === 1556 === === 1555 === 25. September: Der "Augsburger Religionsfrieden", ein Reichsgesetz zum Verhältnis der Konfessionen wird verabschiedet (zwischen Kaiser und Reichsständen ausgehandelt). === 1554 === === 1553 === === 1552 === === 1551 === === 1550 === === 1549 === === 1548 === === 1547 === === 1546 === === 1545 === === 1544 === === 1543 === === 1542 === === 1541 === === 1540 === === 1539 === === 1538 === === 1537 === === 1536 === === 1535 === === 1534 === === 1533 === === 1532 === === 1531 === 27. Februar: der "Schmalkaldische Bund" wird von den protestantischen Reichsständen gegründet, um eine mögliche militärische Rekatholisierung protestantischer Gebiete zu verhindern.<ref>https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Augsburger_Reichs-_und_Religionsfrieden&oldid=270434765</ref> === 1530 === Karl V. wird Kaiser (bis 1558) === 1529 === === 1528 === === 1527 === === 1526 === === 1525 === === 1524 === === 1523 === === 1522 === === 1521 === === 1520 === === 1519 === === 1518 === === 1517 === === 1516 === === 1515 === === 1514 === === 1513 === === 1512 === === 1511 === === 1510 === === 1509 === Erasmus von Rotterdem weilt bei Thomas Morus in England, wo er sein ''Lob der Torheit'' (''Laus stultitiae'') fertigstellt, das 1511 in Paris und Straßburg publiziert wurde, dann 1515 in Basel (mit 83 Handzeichnungen des Malers Hans Holbein d. J.).<ref>https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Lob_der_Torheit&oldid=269091731</ref> === 1506 === 18. April: Papst Julius II lässt mit dem Bau des Petersdoms in Rom beginnen.<ref>https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Julius_II.&oldid=257544697</ref> === 1505 === === 1504 === === 1503–1506 === Entstehung von Leonardo da Vincis "La Gioconda" ("Mona Lisa")<ref>https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Mona_Lisa&oldid=271523127</ref> === 1503 === === 1502 === === 1501 === * [[Hilfe:Kartographer/VisualEditor|Karten]] * [[Hilfe:Kategorien/VisualEditor|Kategorien]] * [[Hilfe:Tags/Kommentar/VisualEditor|Kommentar]] * [[Hilfe:VisualEditor/Schrifteigenschaften#italic|Kursivschrift]] </div> '''Quellen''' weitere: * (in spe) Bryan Cussen: Pope Paul III and the Cultural Politics of Reform 1534-1549. Amsterdam University Press, Amsterdam 2020, S. Links <references /> rytb7v0crnzmxw9cy5ksdgxa3goqdpg 1119457 1119456 2026-11-11T19:37:53Z C.Koltzenburg 13981 /* 1530 */ 1119457 wikitext text/x-wiki <div style="page-break-inside:avoid"> === 1599 === === 1598 === === 1597 === === 1596 === === 1595 === === 1594 === === 1593 === === 1592 === === 1591 === === 1590 === === 1589 === === 1588 === === 1587 === === 1586 === === 1585 === === 1584 === === 1583 === === 1582 === === 1581 === === 1580 === === 1579 === === 1578 === === 1577 === === 1576 === === 1575 === === 1574 === === 1573 === === 1572 === === 1571 === === 1570 === === 1569 === === 1568 === === 1567 === === 1566 === === 1565 === === 1564 === === 1563 === === 1562 === === 1561 === === 1560 === === 1559 === === 1558 === === 1557 === === 1556 === === 1555 === 25. September: Der "Augsburger Religionsfrieden", ein Reichsgesetz zum Verhältnis der Konfessionen wird verabschiedet (zwischen Kaiser und Reichsständen ausgehandelt). === 1554 === === 1553 === === 1552 === === 1551 === === 1550 === === 1549 === === 1548 === === 1547 === === 1546 === === 1545 === === 1544 === === 1543 === === 1542 === === 1541 === === 1540 === === 1539 === === 1538 === === 1537 === === 1536 === === 1535 === === 1534 === === 1533 === === 1532 === === 1531 === 27. Februar: der "Schmalkaldische Bund" wird von den protestantischen Reichsständen gegründet, um eine mögliche militärische Rekatholisierung protestantischer Gebiete zu verhindern.<ref>https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Augsburger_Reichs-_und_Religionsfrieden&oldid=270434765</ref> === 1530 === === 1530-1558 === Karl V. wird Kaiser des Heiligen Römischen Reiches und als Karl I. der erste König von Spanien (bis 1558).<ref>https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Karl_V._(HRR)&oldid=270428444</ref> === 1529 === === 1528 === === 1527 === === 1526 === === 1525 === === 1524 === === 1523 === === 1522 === === 1521 === === 1520 === === 1519 === === 1518 === === 1517 === === 1516 === === 1515 === === 1514 === === 1513 === === 1512 === === 1511 === === 1510 === === 1509 === Erasmus von Rotterdem weilt bei Thomas Morus in England, wo er sein ''Lob der Torheit'' (''Laus stultitiae'') fertigstellt, das 1511 in Paris und Straßburg publiziert wurde, dann 1515 in Basel (mit 83 Handzeichnungen des Malers Hans Holbein d. J.).<ref>https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Lob_der_Torheit&oldid=269091731</ref> === 1506 === 18. April: Papst Julius II lässt mit dem Bau des Petersdoms in Rom beginnen.<ref>https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Julius_II.&oldid=257544697</ref> === 1505 === === 1504 === === 1503–1506 === Entstehung von Leonardo da Vincis "La Gioconda" ("Mona Lisa")<ref>https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Mona_Lisa&oldid=271523127</ref> === 1503 === === 1502 === === 1501 === * [[Hilfe:Kartographer/VisualEditor|Karten]] * [[Hilfe:Kategorien/VisualEditor|Kategorien]] * [[Hilfe:Tags/Kommentar/VisualEditor|Kommentar]] * [[Hilfe:VisualEditor/Schrifteigenschaften#italic|Kursivschrift]] </div> '''Quellen''' weitere: * (in spe) Bryan Cussen: Pope Paul III and the Cultural Politics of Reform 1534-1549. Amsterdam University Press, Amsterdam 2020, S. Links <references /> tcu4j2i2bgywgz0yh6s6xzb1k6b68a2 1119458 1119457 2026-11-11T19:38:17Z C.Koltzenburg 13981 /* 1530-1558 */ 1119458 wikitext text/x-wiki <div style="page-break-inside:avoid"> === 1599 === === 1598 === === 1597 === === 1596 === === 1595 === === 1594 === === 1593 === === 1592 === === 1591 === === 1590 === === 1589 === === 1588 === === 1587 === === 1586 === === 1585 === === 1584 === === 1583 === === 1582 === === 1581 === === 1580 === === 1579 === === 1578 === === 1577 === === 1576 === === 1575 === === 1574 === === 1573 === === 1572 === === 1571 === === 1570 === === 1569 === === 1568 === === 1567 === === 1566 === === 1565 === === 1564 === === 1563 === === 1562 === === 1561 === === 1560 === === 1559 === === 1558 === === 1557 === === 1556 === === 1555 === 25. September: Der "Augsburger Religionsfrieden", ein Reichsgesetz zum Verhältnis der Konfessionen wird verabschiedet (zwischen Kaiser und Reichsständen ausgehandelt). === 1554 === === 1553 === === 1552 === === 1551 === === 1550 === === 1549 === === 1548 === === 1547 === === 1546 === === 1545 === === 1544 === === 1543 === === 1542 === === 1541 === === 1540 === === 1539 === === 1538 === === 1537 === === 1536 === === 1535 === === 1534 === === 1533 === === 1532 === === 1531 === 27. Februar: der "Schmalkaldische Bund" wird von den protestantischen Reichsständen gegründet, um eine mögliche militärische Rekatholisierung protestantischer Gebiete zu verhindern.<ref>https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Augsburger_Reichs-_und_Religionsfrieden&oldid=270434765</ref> === 1530 === ==== 1530-1558 ==== Karl V. wird Kaiser des Heiligen Römischen Reiches und als Karl I. der erste König von Spanien (bis 1558).<ref>https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Karl_V._(HRR)&oldid=270428444</ref> === 1529 === === 1528 === === 1527 === === 1526 === === 1525 === === 1524 === === 1523 === === 1522 === === 1521 === === 1520 === === 1519 === === 1518 === === 1517 === === 1516 === === 1515 === === 1514 === === 1513 === === 1512 === === 1511 === === 1510 === === 1509 === Erasmus von Rotterdem weilt bei Thomas Morus in England, wo er sein ''Lob der Torheit'' (''Laus stultitiae'') fertigstellt, das 1511 in Paris und Straßburg publiziert wurde, dann 1515 in Basel (mit 83 Handzeichnungen des Malers Hans Holbein d. J.).<ref>https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Lob_der_Torheit&oldid=269091731</ref> === 1506 === 18. April: Papst Julius II lässt mit dem Bau des Petersdoms in Rom beginnen.<ref>https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Julius_II.&oldid=257544697</ref> === 1505 === === 1504 === === 1503–1506 === Entstehung von Leonardo da Vincis "La Gioconda" ("Mona Lisa")<ref>https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Mona_Lisa&oldid=271523127</ref> === 1503 === === 1502 === === 1501 === * [[Hilfe:Kartographer/VisualEditor|Karten]] * [[Hilfe:Kategorien/VisualEditor|Kategorien]] * [[Hilfe:Tags/Kommentar/VisualEditor|Kommentar]] * [[Hilfe:VisualEditor/Schrifteigenschaften#italic|Kursivschrift]] </div> '''Quellen''' weitere: * (in spe) Bryan Cussen: Pope Paul III and the Cultural Politics of Reform 1534-1549. Amsterdam University Press, Amsterdam 2020, S. Links <references /> 3y06vlj1zm62eltu1mb3mfxnh38yfsd 1119459 1119458 2026-11-11T19:38:36Z C.Koltzenburg 13981 /* 1503–1506 */ 1119459 wikitext text/x-wiki <div style="page-break-inside:avoid"> === 1599 === === 1598 === === 1597 === === 1596 === === 1595 === === 1594 === === 1593 === === 1592 === === 1591 === === 1590 === === 1589 === === 1588 === === 1587 === === 1586 === === 1585 === === 1584 === === 1583 === === 1582 === === 1581 === === 1580 === === 1579 === === 1578 === === 1577 === === 1576 === === 1575 === === 1574 === === 1573 === === 1572 === === 1571 === === 1570 === === 1569 === === 1568 === === 1567 === === 1566 === === 1565 === === 1564 === === 1563 === === 1562 === === 1561 === === 1560 === === 1559 === === 1558 === === 1557 === === 1556 === === 1555 === 25. September: Der "Augsburger Religionsfrieden", ein Reichsgesetz zum Verhältnis der Konfessionen wird verabschiedet (zwischen Kaiser und Reichsständen ausgehandelt). === 1554 === === 1553 === === 1552 === === 1551 === === 1550 === === 1549 === === 1548 === === 1547 === === 1546 === === 1545 === === 1544 === === 1543 === === 1542 === === 1541 === === 1540 === === 1539 === === 1538 === === 1537 === === 1536 === === 1535 === === 1534 === === 1533 === === 1532 === === 1531 === 27. Februar: der "Schmalkaldische Bund" wird von den protestantischen Reichsständen gegründet, um eine mögliche militärische Rekatholisierung protestantischer Gebiete zu verhindern.<ref>https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Augsburger_Reichs-_und_Religionsfrieden&oldid=270434765</ref> === 1530 === ==== 1530-1558 ==== Karl V. wird Kaiser des Heiligen Römischen Reiches und als Karl I. der erste König von Spanien (bis 1558).<ref>https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Karl_V._(HRR)&oldid=270428444</ref> === 1529 === === 1528 === === 1527 === === 1526 === === 1525 === === 1524 === === 1523 === === 1522 === === 1521 === === 1520 === === 1519 === === 1518 === === 1517 === === 1516 === === 1515 === === 1514 === === 1513 === === 1512 === === 1511 === === 1510 === === 1509 === Erasmus von Rotterdem weilt bei Thomas Morus in England, wo er sein ''Lob der Torheit'' (''Laus stultitiae'') fertigstellt, das 1511 in Paris und Straßburg publiziert wurde, dann 1515 in Basel (mit 83 Handzeichnungen des Malers Hans Holbein d. J.).<ref>https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Lob_der_Torheit&oldid=269091731</ref> === 1506 === 18. April: Papst Julius II lässt mit dem Bau des Petersdoms in Rom beginnen.<ref>https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Julius_II.&oldid=257544697</ref> === 1505 === === 1504 === ==== 1503–1506 ==== Entstehung von Leonardo da Vincis "La Gioconda" ("Mona Lisa")<ref>https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Mona_Lisa&oldid=271523127</ref> === 1503 === === 1502 === === 1501 === * [[Hilfe:Kartographer/VisualEditor|Karten]] * [[Hilfe:Kategorien/VisualEditor|Kategorien]] * [[Hilfe:Tags/Kommentar/VisualEditor|Kommentar]] * [[Hilfe:VisualEditor/Schrifteigenschaften#italic|Kursivschrift]] </div> '''Quellen''' weitere: * (in spe) Bryan Cussen: Pope Paul III and the Cultural Politics of Reform 1534-1549. Amsterdam University Press, Amsterdam 2020, S. Links <references /> l6v7tkgeguage68aq61hgblpsolkpka 1119460 1119459 2026-11-11T19:45:46Z C.Koltzenburg 13981 /* 1501 */ 1119460 wikitext text/x-wiki <div style="page-break-inside:avoid"> === 1599 === === 1598 === === 1597 === === 1596 === === 1595 === === 1594 === === 1593 === === 1592 === === 1591 === === 1590 === === 1589 === === 1588 === === 1587 === === 1586 === === 1585 === === 1584 === === 1583 === === 1582 === === 1581 === === 1580 === === 1579 === === 1578 === === 1577 === === 1576 === === 1575 === === 1574 === === 1573 === === 1572 === === 1571 === === 1570 === === 1569 === === 1568 === === 1567 === === 1566 === === 1565 === === 1564 === === 1563 === === 1562 === === 1561 === === 1560 === === 1559 === === 1558 === === 1557 === === 1556 === === 1555 === 25. September: Der "Augsburger Religionsfrieden", ein Reichsgesetz zum Verhältnis der Konfessionen wird verabschiedet (zwischen Kaiser und Reichsständen ausgehandelt). === 1554 === === 1553 === === 1552 === === 1551 === === 1550 === === 1549 === === 1548 === === 1547 === === 1546 === === 1545 === === 1544 === === 1543 === === 1542 === === 1541 === === 1540 === === 1539 === === 1538 === === 1537 === === 1536 === === 1535 === === 1534 === === 1533 === === 1532 === === 1531 === 27. Februar: der "Schmalkaldische Bund" wird von den protestantischen Reichsständen gegründet, um eine mögliche militärische Rekatholisierung protestantischer Gebiete zu verhindern.<ref>https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Augsburger_Reichs-_und_Religionsfrieden&oldid=270434765</ref> === 1530 === ==== 1530-1558 ==== Karl V. wird Kaiser des Heiligen Römischen Reiches und als Karl I. der erste König von Spanien (bis 1558).<ref>https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Karl_V._(HRR)&oldid=270428444</ref> === 1529 === === 1528 === === 1527 === === 1526 === === 1525 === === 1524 === === 1523 === === 1522 === === 1521 === === 1520 === === 1519 === === 1518 === === 1517 === === 1516 === === 1515 === === 1514 === === 1513 === === 1512 === === 1511 === === 1510 === === 1509 === Erasmus von Rotterdem weilt bei Thomas Morus in England, wo er sein ''Lob der Torheit'' (''Laus stultitiae'') fertigstellt, das 1511 in Paris und Straßburg publiziert wurde, dann 1515 in Basel (mit 83 Handzeichnungen des Malers Hans Holbein d. J.).<ref>https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Lob_der_Torheit&oldid=269091731</ref> === 1506 === 18. April: Papst Julius II lässt mit dem Bau des Petersdoms in Rom beginnen.<ref>https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Julius_II.&oldid=257544697</ref> === 1505 === === 1504 === ==== 1503–1506 ==== Entstehung von Leonardo da Vincis "La Gioconda" ("Mona Lisa")<ref>https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Mona_Lisa&oldid=271523127</ref> === 1503 === === 1502 === === 1501 === === 1500 === Vittoria Colonna ist 8 Jahre alt (lebt bis 1547). <ref>https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Vittoria_Colonna&oldid=254652590</ref> </ref> * [[Hilfe:Kartographer/VisualEditor|Karten]] * [[Hilfe:Kategorien/VisualEditor|Kategorien]] * [[Hilfe:Tags/Kommentar/VisualEditor|Kommentar]] * [[Hilfe:VisualEditor/Schrifteigenschaften#italic|Kursivschrift]] </div> '''Quellen''' weitere: * (in spe) Bryan Cussen: Pope Paul III and the Cultural Politics of Reform 1534-1549. Amsterdam University Press, Amsterdam 2020, S. Links <references /> 45h2px3dyb9rdqongtictpnoxktei97 1119461 1119460 2026-11-11T19:46:49Z C.Koltzenburg 13981 1119461 wikitext text/x-wiki <div style="page-break-inside:avoid"> === 1599 === === 1598 === === 1597 === === 1596 === === 1595 === === 1594 === === 1593 === === 1592 === === 1591 === === 1590 === === 1589 === === 1588 === === 1587 === === 1586 === === 1585 === === 1584 === === 1583 === === 1582 === === 1581 === === 1580 === === 1579 === === 1578 === === 1577 === === 1576 === === 1575 === === 1574 === === 1573 === === 1572 === === 1571 === === 1570 === === 1569 === === 1568 === === 1567 === === 1566 === === 1565 === === 1564 === === 1563 === === 1562 === === 1561 === === 1560 === === 1559 === === 1558 === === 1557 === === 1556 === === 1555 === 25. September: Der "Augsburger Religionsfrieden", ein Reichsgesetz zum Verhältnis der Konfessionen wird verabschiedet (zwischen Kaiser und Reichsständen ausgehandelt). === 1554 === === 1553 === === 1552 === === 1551 === === 1550 === === 1549 === === 1548 === === 1547 === Vittoria Colonna stirbt im Alter von 53 Jahren (1492 geboren). <ref>https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Vittoria_Colonna&oldid=254652590</ref> === 1546 === === 1545 === === 1544 === === 1543 === === 1542 === === 1541 === === 1540 === === 1539 === === 1538 === === 1537 === === 1536 === === 1535 === === 1534 === === 1533 === === 1532 === === 1531 === 27. Februar: der "Schmalkaldische Bund" wird von den protestantischen Reichsständen gegründet, um eine mögliche militärische Rekatholisierung protestantischer Gebiete zu verhindern.<ref>https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Augsburger_Reichs-_und_Religionsfrieden&oldid=270434765</ref> === 1530 === ==== 1530-1558 ==== Karl V. wird Kaiser des Heiligen Römischen Reiches und als Karl I. der erste König von Spanien (bis 1558).<ref>https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Karl_V._(HRR)&oldid=270428444</ref> === 1529 === === 1528 === === 1527 === === 1526 === === 1525 === === 1524 === === 1523 === === 1522 === === 1521 === === 1520 === === 1519 === === 1518 === === 1517 === === 1516 === === 1515 === === 1514 === === 1513 === === 1512 === === 1511 === === 1510 === === 1509 === Erasmus von Rotterdem weilt bei Thomas Morus in England, wo er sein ''Lob der Torheit'' (''Laus stultitiae'') fertigstellt, das 1511 in Paris und Straßburg publiziert wurde, dann 1515 in Basel (mit 83 Handzeichnungen des Malers Hans Holbein d. J.).<ref>https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Lob_der_Torheit&oldid=269091731</ref> === 1506 === 18. April: Papst Julius II lässt mit dem Bau des Petersdoms in Rom beginnen.<ref>https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Julius_II.&oldid=257544697</ref> === 1505 === === 1504 === ==== 1503–1506 ==== Entstehung von Leonardo da Vincis "La Gioconda" ("Mona Lisa")<ref>https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Mona_Lisa&oldid=271523127</ref> === 1503 === === 1502 === === 1501 === === 1500 === Vittoria Colonna ist 8 Jahre alt (lebt bis 1547). <ref>https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Vittoria_Colonna&oldid=254652590</ref> </ref> * [[Hilfe:Kartographer/VisualEditor|Karten]] * [[Hilfe:Kategorien/VisualEditor|Kategorien]] * [[Hilfe:Tags/Kommentar/VisualEditor|Kommentar]] * [[Hilfe:VisualEditor/Schrifteigenschaften#italic|Kursivschrift]] </div> '''Quellen''' weitere: * (in spe) Bryan Cussen: Pope Paul III and the Cultural Politics of Reform 1534-1549. Amsterdam University Press, Amsterdam 2020, S. Links <references /> dk3kgj8uqmwcjrba7z53y7elcmvcwmw 1119462 1119461 2026-11-11T20:09:12Z C.Koltzenburg 13981 1119462 wikitext text/x-wiki <div style="page-break-inside:avoid"> === 1599 === === 1598 === === 1597 === === 1596 === === 1595 === === 1594 === === 1593 === === 1592 === === 1591 === === 1590 === === 1589 === === 1588 === === 1587 === === 1586 === === 1585 === === 1584 === === 1583 === === 1582 === === 1581 === === 1580 === === 1579 === === 1578 === === 1577 === === 1576 === === 1575 === === 1574 === === 1573 === === 1572 === === 1571 === === 1570 === === 1569 === === 1568 === === 1567 === === 1566 === === 1565 === === 1564 === === 1563 === === 1562 === === 1561 === === 1560 === === 1559 === === 1558 === === 1557 === === 1556 === === 1555 === 25. September: Der "Augsburger Religionsfrieden", ein Reichsgesetz zum Verhältnis der Konfessionen wird verabschiedet (zwischen Kaiser und Reichsständen ausgehandelt). === 1554 === === 1553 === === 1552 === === 1551 === === 1550 === === 1549 === === 1548 === === 1547 === Vittoria Colonna stirbt im Alter von 53 Jahren (1492 geboren).<ref>https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Vittoria_Colonna&oldid=254652590</ref> === 1546 === === 1545 === === 1544 === === 1543 === === 1542 === === 1541 === === 1540 === === 1539 === === 1538 === === 1537 === === 1536 === === 1535 === === 1534 === === 1533 === === 1532 === === 1531 === 27. Februar: der "Schmalkaldische Bund" wird von den protestantischen Reichsständen gegründet, um eine mögliche militärische Rekatholisierung protestantischer Gebiete zu verhindern.<ref>https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Augsburger_Reichs-_und_Religionsfrieden&oldid=270434765</ref> === 1530 === ==== 1530-1558 ==== Karl V. wird Kaiser des Heiligen Römischen Reiches und als Karl I. der erste König von Spanien (bis 1558).<ref>https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Karl_V._(HRR)&oldid=270428444</ref> === 1529 === === 1528 === === 1527 === Zwischen September und Dezember 1527 entsteht auf Anregung von Vittoria Colonna der "Dialogus de viris ac foeminis aetate nostra florentibus" von Paolo Giovio, in dem die Stellung der Frau in der Öffentlichkeit thematisiert wird, mit einer Huldigung der Gastgeberin (10 Seiten, in Buch III).<ref>https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Vittoria_Colonna&oldid=1377793304</ref><ref>https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Vittoria_Colonna&oldid=254652590</ref> === 1526 === === 1525 === === 1524 === Vittoria Colonna wird von Baldassare Castiglione gebeten, sein Manuskript "Il Libro del Cortegiano" zu beurteilen.<ref>https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Vittoria_Colonna&oldid=254652590</ref> === 1523 === === 1522 === === 1521 === === 1520 === === 1519 === === 1518 === === 1517 === === 1516 === === 1515 === === 1514 === === 1513 === === 1512 === === 1511 === === 1510 === === 1509 === Erasmus von Rotterdem weilt bei Thomas Morus in England, wo er sein ''Lob der Torheit'' (''Laus stultitiae'') fertigstellt, das 1511 in Paris und Straßburg publiziert wurde, dann 1515 in Basel (mit 83 Handzeichnungen des Malers Hans Holbein d. J.).<ref>https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Lob_der_Torheit&oldid=269091731</ref> === 1506 === 18. April: Papst Julius II lässt mit dem Bau des Petersdoms in Rom beginnen.<ref>https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Julius_II.&oldid=257544697</ref> === 1505 === === 1504 === ==== 1503–1506 ==== Entstehung von Leonardo da Vincis "La Gioconda" ("Mona Lisa")<ref>https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Mona_Lisa&oldid=271523127</ref> === 1503 === === 1502 === === 1501 === === 1500 === Vittoria Colonna ist 8 Jahre alt (lebt bis 1547).<ref>https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Vittoria_Colonna&oldid=254652590</ref> </ref> * [[Hilfe:Kartographer/VisualEditor|Karten]] * [[Hilfe:Kategorien/VisualEditor|Kategorien]] * [[Hilfe:Tags/Kommentar/VisualEditor|Kommentar]] * [[Hilfe:VisualEditor/Schrifteigenschaften#italic|Kursivschrift]] </div> '''Quellen''' weitere: * (in spe) Bryan Cussen: Pope Paul III and the Cultural Politics of Reform 1534-1549. Amsterdam University Press, Amsterdam 2020, S. Links <references /> cqbmccpp4dtsys9wsxspmbpigwlr9w8 1119463 1119462 2026-11-11T21:15:37Z C.Koltzenburg 13981 /* 1524 */ 1119463 wikitext text/x-wiki <div style="page-break-inside:avoid"> === 1599 === === 1598 === === 1597 === === 1596 === === 1595 === === 1594 === === 1593 === === 1592 === === 1591 === === 1590 === === 1589 === === 1588 === === 1587 === === 1586 === === 1585 === === 1584 === === 1583 === === 1582 === === 1581 === === 1580 === === 1579 === === 1578 === === 1577 === === 1576 === === 1575 === === 1574 === === 1573 === === 1572 === === 1571 === === 1570 === === 1569 === === 1568 === === 1567 === === 1566 === === 1565 === === 1564 === === 1563 === === 1562 === === 1561 === === 1560 === === 1559 === === 1558 === === 1557 === === 1556 === === 1555 === 25. September: Der "Augsburger Religionsfrieden", ein Reichsgesetz zum Verhältnis der Konfessionen wird verabschiedet (zwischen Kaiser und Reichsständen ausgehandelt). === 1554 === === 1553 === === 1552 === === 1551 === === 1550 === === 1549 === === 1548 === === 1547 === Vittoria Colonna stirbt im Alter von 53 Jahren (1492 geboren).<ref>https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Vittoria_Colonna&oldid=254652590</ref> === 1546 === === 1545 === === 1544 === === 1543 === === 1542 === === 1541 === === 1540 === === 1539 === === 1538 === === 1537 === === 1536 === === 1535 === === 1534 === === 1533 === === 1532 === === 1531 === 27. Februar: der "Schmalkaldische Bund" wird von den protestantischen Reichsständen gegründet, um eine mögliche militärische Rekatholisierung protestantischer Gebiete zu verhindern.<ref>https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Augsburger_Reichs-_und_Religionsfrieden&oldid=270434765</ref> === 1530 === ==== 1530-1558 ==== Karl V. wird Kaiser des Heiligen Römischen Reiches und als Karl I. der erste König von Spanien (bis 1558).<ref>https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Karl_V._(HRR)&oldid=270428444</ref> === 1529 === === 1528 === === 1527 === Zwischen September und Dezember 1527 entsteht auf Anregung von Vittoria Colonna der "Dialogus de viris ac foeminis aetate nostra florentibus" von Paolo Giovio, in dem die Stellung der Frau in der Öffentlichkeit thematisiert wird, mit einer Huldigung der Gastgeberin (10 Seiten, in Buch III).<ref>https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Vittoria_Colonna&oldid=1377793304</ref><ref>https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Vittoria_Colonna&oldid=254652590</ref> === 1526 === === 1525 === === 1524 === Vittoria Colonna (32 J.) wird von Baldassare Castiglione (46 J.) gebeten, sein Manuskript "Il Libro del Cortegiano" zu beurteilen.<ref>https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Vittoria_Colonna&oldid=254652590</ref> === 1523 === === 1522 === === 1521 === === 1520 === === 1519 === === 1518 === === 1517 === === 1516 === === 1515 === === 1514 === === 1513 === === 1512 === === 1511 === === 1510 === === 1509 === Erasmus von Rotterdem weilt bei Thomas Morus in England, wo er sein ''Lob der Torheit'' (''Laus stultitiae'') fertigstellt, das 1511 in Paris und Straßburg publiziert wurde, dann 1515 in Basel (mit 83 Handzeichnungen des Malers Hans Holbein d. J.).<ref>https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Lob_der_Torheit&oldid=269091731</ref> === 1506 === 18. April: Papst Julius II lässt mit dem Bau des Petersdoms in Rom beginnen.<ref>https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Julius_II.&oldid=257544697</ref> === 1505 === === 1504 === ==== 1503–1506 ==== Entstehung von Leonardo da Vincis "La Gioconda" ("Mona Lisa")<ref>https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Mona_Lisa&oldid=271523127</ref> === 1503 === === 1502 === === 1501 === === 1500 === Vittoria Colonna ist 8 Jahre alt (lebt bis 1547).<ref>https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Vittoria_Colonna&oldid=254652590</ref> </ref> * [[Hilfe:Kartographer/VisualEditor|Karten]] * [[Hilfe:Kategorien/VisualEditor|Kategorien]] * [[Hilfe:Tags/Kommentar/VisualEditor|Kommentar]] * [[Hilfe:VisualEditor/Schrifteigenschaften#italic|Kursivschrift]] </div> '''Quellen''' weitere: * (in spe) Bryan Cussen: Pope Paul III and the Cultural Politics of Reform 1534-1549. Amsterdam University Press, Amsterdam 2020, S. Links <references /> ocmisj74ilrblbnratu11d0nul0zw6g 106 173441 1119386 1119385 2026-11-11T11:59:25Z Bert Niehaus 20843 /* Zylindertransformation */ 1119386 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Um zunächst einmal die Stetigkeit auf der algebraischen Vervollständigung eines Logarithmus zu erhalten, darf man den Wertebereich nicht dem Relativitopologie von <math>\mathbb{C}</math> auf den Wertebereich topologisieren. In dieser Lerneinheit behandelt man zunächst <math>\mathbb{D}_1 := \mathbb{R} + i\cdot [0,2\pi)</math> der mit einer Zylindertopologie versehen wird. In allgemeier Form entstehen in Abhängigkeit von dem gewählten einfach zusammenhängenden Gebiet auch andere Topologien. === Repräsentantensystem === Der Wertebereich des [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus|algebraisch vervollständigten]] [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweigs]] <math>\mathbb{D}_1 := \mathbb{R} + i\cdot [0,2\pi)</math> wird im Folgenden als Einstiegsbeispiel topologisiert. Das das Repräsentantensystem topologisch einem Zylinder gleicht, gilt z.B. für [[Zweige des Logarithmus#Hauptzweige|Hauptzweige des Logarithmus]] bzw. für [[Zweige des Logarithmus]], dessen Gebiet durch [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus|algebraische Vervollständigung]] einer geschlitzten Ebene erzeugt wurde. === Veranschaulichung - Repräsentantensystem === [[File:ID 1 area.svg|350px|center|ID_1 logarithmic set of algebraic complete of negative principle branch]] === Zylindertransformation === Der oben dargestellte Wertebereich des [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus|algebraisch vervollständigten]] [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweigs]] <math>\mathbb{D}_1 := \mathbb{R} + i\cdot [0,2\pi)</math> hat die imaginäre Breite <math>2\pi i</math> nun verbindet man die Gerade <math>\mathbb{G}:= \mathbb{R} + i\cdot \{2\pi\}</math> als Parallele zur Realteilachse mit der Realteilachse. Damit entsteht geometrisch ein [[w:de:Zylinder (Mathematik)|Zylinder]] mit Zylinderradius <math>r=1</math>. Die Gerade <math>\mathbb{G}</math> parallel zur Realteilachse gehört nicht mehr zum Repräsentantensystem <math>\mathbb{D}_1</math> und es gilt <math>\mathbb{G} \cap \mathbb{D}_1 = \emptyset </math>. [[Datei:Dielectric cylinder geometry.png|250px|center|Zylinder - Topologisierung des Bildraumes]] === Veranschaulichung - Zylindergeometrie === Die folgende Veranschaulichung zeigt, wie die Ausgangstopologie von <math>\mathbb{D}_1</math> als grau markierter Streifen in der 3. Dimension zu einem Zylinder aufgerollt wird. [[File:ID 1 area cylinder.svg|350px|center|Transformation ID_1 into a cylinder for complex logarithm as range - OpenSource Geogebra - Export]] === Bemerkung zur Veranschaulichung - Zylindergeometrie === In der Abbildung sind zwei ausgezeichnete Punkte aus der komplexen Zahlenebene in blau markiert worden <math>2\pi i</math> und <math>4 + 2\pi i</math>. Diese werden durch "Aufrollen" des Streifens im dreidimensionalen Raum mit den rot markierten Punkten <math>0=2\pi i</math> und <math>4 = 4 + 2\pi i</math> identifziert. == Siehe auch == * [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus]] * [[negativer Hauptzweig des Logarithmus]] jk8zbi98rpk1sq25twsctxsgrc55tuw 1119387 1119386 2026-11-11T12:04:30Z Bert Niehaus 20843 /* Bemerkung zur Veranschaulichung - Zylindergeometrie */ 1119387 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Um zunächst einmal die Stetigkeit auf der algebraischen Vervollständigung eines Logarithmus zu erhalten, darf man den Wertebereich nicht dem Relativitopologie von <math>\mathbb{C}</math> auf den Wertebereich topologisieren. In dieser Lerneinheit behandelt man zunächst <math>\mathbb{D}_1 := \mathbb{R} + i\cdot [0,2\pi)</math> der mit einer Zylindertopologie versehen wird. In allgemeier Form entstehen in Abhängigkeit von dem gewählten einfach zusammenhängenden Gebiet auch andere Topologien. === Repräsentantensystem === Der Wertebereich des [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus|algebraisch vervollständigten]] [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweigs]] <math>\mathbb{D}_1 := \mathbb{R} + i\cdot [0,2\pi)</math> wird im Folgenden als Einstiegsbeispiel topologisiert. Das das Repräsentantensystem topologisch einem Zylinder gleicht, gilt z.B. für [[Zweige des Logarithmus#Hauptzweige|Hauptzweige des Logarithmus]] bzw. für [[Zweige des Logarithmus]], dessen Gebiet durch [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus|algebraische Vervollständigung]] einer geschlitzten Ebene erzeugt wurde. === Veranschaulichung - Repräsentantensystem === [[File:ID 1 area.svg|350px|center|ID_1 logarithmic set of algebraic complete of negative principle branch]] === Zylindertransformation === Der oben dargestellte Wertebereich des [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus|algebraisch vervollständigten]] [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweigs]] <math>\mathbb{D}_1 := \mathbb{R} + i\cdot [0,2\pi)</math> hat die imaginäre Breite <math>2\pi i</math> nun verbindet man die Gerade <math>\mathbb{G}:= \mathbb{R} + i\cdot \{2\pi\}</math> als Parallele zur Realteilachse mit der Realteilachse. Damit entsteht geometrisch ein [[w:de:Zylinder (Mathematik)|Zylinder]] mit Zylinderradius <math>r=1</math>. Die Gerade <math>\mathbb{G}</math> parallel zur Realteilachse gehört nicht mehr zum Repräsentantensystem <math>\mathbb{D}_1</math> und es gilt <math>\mathbb{G} \cap \mathbb{D}_1 = \emptyset </math>. [[Datei:Dielectric cylinder geometry.png|250px|center|Zylinder - Topologisierung des Bildraumes]] === Veranschaulichung - Zylindergeometrie === Die folgende Veranschaulichung zeigt, wie die Ausgangstopologie von <math>\mathbb{D}_1</math> als grau markierter Streifen in der 3. Dimension zu einem Zylinder aufgerollt wird. [[File:ID 1 area cylinder.svg|350px|center|Transformation ID_1 into a cylinder for complex logarithm as range - OpenSource Geogebra - Export]] === Bemerkung zur Veranschaulichung - Zylindergeometrie === In der Abbildung sind zwei ausgezeichnete Punkte aus der komplexen Zahlenebene in blau markiert worden <math>2\pi i</math> und <math>4 + 2\pi i</math>. Diese werden durch "Aufrollen" des Streifens im dreidimensionalen Raum mit den rot markierten Punkten <math>0=2\pi i</math> und <math>4 = 4 + 2\pi i</math> identifziert. Durch das Verbinden von <math>\mathbb{D}_1</math> zu einem Zylinder verändert sich die Topologie und die Nachbarschaftsbeziehung zwischen Punkten auf dem Zylinder. Die neue gesuchte Topologie auf <math>\mathbb{D}_1</math> stimmt nicht mehr mit der Relativtopologie von <math>\mathbb{C}</math> auf <math>\mathbb{D}_1</math> überein. == Siehe auch == * [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus]] * [[negativer Hauptzweig des Logarithmus]] c5y0ewkodgk1i3o0vw9qfut0kb1v2du 1119388 1119387 2026-11-11T12:36:07Z Bert Niehaus 20843 /* Bemerkung zur Veranschaulichung - Zylindergeometrie */ 1119388 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Um zunächst einmal die Stetigkeit auf der algebraischen Vervollständigung eines Logarithmus zu erhalten, darf man den Wertebereich nicht dem Relativitopologie von <math>\mathbb{C}</math> auf den Wertebereich topologisieren. In dieser Lerneinheit behandelt man zunächst <math>\mathbb{D}_1 := \mathbb{R} + i\cdot [0,2\pi)</math> der mit einer Zylindertopologie versehen wird. In allgemeier Form entstehen in Abhängigkeit von dem gewählten einfach zusammenhängenden Gebiet auch andere Topologien. === Repräsentantensystem === Der Wertebereich des [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus|algebraisch vervollständigten]] [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweigs]] <math>\mathbb{D}_1 := \mathbb{R} + i\cdot [0,2\pi)</math> wird im Folgenden als Einstiegsbeispiel topologisiert. Das das Repräsentantensystem topologisch einem Zylinder gleicht, gilt z.B. für [[Zweige des Logarithmus#Hauptzweige|Hauptzweige des Logarithmus]] bzw. für [[Zweige des Logarithmus]], dessen Gebiet durch [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus|algebraische Vervollständigung]] einer geschlitzten Ebene erzeugt wurde. === Veranschaulichung - Repräsentantensystem === [[File:ID 1 area.svg|350px|center|ID_1 logarithmic set of algebraic complete of negative principle branch]] === Zylindertransformation === Der oben dargestellte Wertebereich des [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus|algebraisch vervollständigten]] [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweigs]] <math>\mathbb{D}_1 := \mathbb{R} + i\cdot [0,2\pi)</math> hat die imaginäre Breite <math>2\pi i</math> nun verbindet man die Gerade <math>\mathbb{G}:= \mathbb{R} + i\cdot \{2\pi\}</math> als Parallele zur Realteilachse mit der Realteilachse. Damit entsteht geometrisch ein [[w:de:Zylinder (Mathematik)|Zylinder]] mit Zylinderradius <math>r=1</math>. Die Gerade <math>\mathbb{G}</math> parallel zur Realteilachse gehört nicht mehr zum Repräsentantensystem <math>\mathbb{D}_1</math> und es gilt <math>\mathbb{G} \cap \mathbb{D}_1 = \emptyset </math>. [[Datei:Dielectric cylinder geometry.png|250px|center|Zylinder - Topologisierung des Bildraumes]] === Veranschaulichung - Zylindergeometrie === Die folgende Veranschaulichung zeigt, wie die Ausgangstopologie von <math>\mathbb{D}_1</math> als grau markierter Streifen in der 3. Dimension zu einem Zylinder aufgerollt wird. [[File:ID 1 area cylinder.svg|350px|center|Transformation ID_1 into a cylinder for complex logarithm as range - OpenSource Geogebra - Export]] === Bemerkung zur Veranschaulichung - Zylindergeometrie === In der Abbildung sind zwei ausgezeichnete Punkte aus der komplexen Zahlenebene in blau markiert worden <math>2\pi i</math> und <math>4 + 2\pi i</math>. Diese werden durch "Aufrollen" des Streifens im dreidimensionalen Raum mit den rot markierten Punkten <math>0=2\pi i</math> und <math>4 = 4 + 2\pi i</math> identifziert. Durch das Verbinden von <math>\mathbb{D}_1</math> zu einem Zylinder verändert sich die Topologie und die Nachbarschaftsbeziehung zwischen Punkten auf dem Zylinder (siehe auch [[w:de:uniformer Raum|uniformer Raum]]). Die neue gesuchte Topologie auf <math>\mathbb{D}_1</math> stimmt nicht mehr mit der Relativtopologie von <math>\mathbb{C}</math> auf <math>\mathbb{D}_1</math> überein. == Siehe auch == * [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus]] * [[negativer Hauptzweig des Logarithmus]] g87d9wlhc48ykax6u9ttsb0q4kj9mjl 1119389 1119388 2026-11-11T12:48:25Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1119389 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Um zunächst einmal die Stetigkeit auf der algebraischen Vervollständigung eines Logarithmus zu erhalten, darf man den Wertebereich nicht dem Relativitopologie von <math>\mathbb{C}</math> auf den Wertebereich topologisieren. In dieser Lerneinheit behandelt man zunächst <math>\mathbb{D}_1 := \mathbb{R} + i\cdot [0,2\pi)</math> der mit einer Zylindertopologie versehen wird. In allgemeier Form entstehen in Abhängigkeit von dem gewählten einfach zusammenhängenden Gebiet auch andere Topologien. === Repräsentantensystem === Der Wertebereich des [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus|algebraisch vervollständigten]] [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweigs]] <math>\mathbb{D}_1 := \mathbb{R} + i\cdot [0,2\pi)</math> wird im Folgenden als Einstiegsbeispiel topologisiert. Das das Repräsentantensystem topologisch einem Zylinder gleicht, gilt z.B. für [[Zweige des Logarithmus#Hauptzweige|Hauptzweige des Logarithmus]] bzw. für [[Zweige des Logarithmus]], dessen Gebiet durch [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus|algebraische Vervollständigung]] einer geschlitzten Ebene erzeugt wurde. === Veranschaulichung - Repräsentantensystem === [[File:ID 1 area.svg|350px|center|ID_1 logarithmic set of algebraic complete of negative principle branch]] === Zylindertransformation === Der oben dargestellte Wertebereich des [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus|algebraisch vervollständigten]] [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweigs]] <math>\mathbb{D}_1 := \mathbb{R} + i\cdot [0,2\pi)</math> hat die imaginäre Breite <math>2\pi i</math> nun verbindet man die Gerade <math>\mathbb{G}:= \mathbb{R} + i\cdot \{2\pi\}</math> als Parallele zur Realteilachse mit der Realteilachse. Damit entsteht geometrisch ein [[w:de:Zylinder (Mathematik)|Zylinder]] mit Zylinderradius <math>r=1</math>. Die Gerade <math>\mathbb{G}</math> parallel zur Realteilachse gehört nicht mehr zum Repräsentantensystem <math>\mathbb{D}_1</math> und es gilt <math>\mathbb{G} \cap \mathbb{D}_1 = \emptyset </math>. [[Datei:Dielectric cylinder geometry.png|250px|center|Zylinder - Topologisierung des Bildraumes]] === Veranschaulichung - Zylindergeometrie === Die folgende Veranschaulichung zeigt, wie die Ausgangstopologie von <math>\mathbb{D}_1</math> als grau markierter Streifen in der 3. Dimension zu einem Zylinder aufgerollt wird. [[File:ID 1 area cylinder.svg|350px|center|Transformation ID_1 into a cylinder for complex logarithm as range - OpenSource Geogebra - Export]] === Bemerkung zur Veranschaulichung - Zylindergeometrie === In der Abbildung sind zwei ausgezeichnete Punkte aus der komplexen Zahlenebene in blau markiert worden <math>2\pi i</math> und <math>4 + 2\pi i</math>. Diese werden durch "Aufrollen" des Streifens im dreidimensionalen Raum mit den rot markierten Punkten <math>0=2\pi i</math> und <math>4 = 4 + 2\pi i</math> identifziert. Durch das Verbinden von <math>\mathbb{D}_1</math> zu einem Zylinder verändert sich die Topologie und die Nachbarschaftsbeziehung zwischen Punkten auf dem Zylinder (siehe auch [[w:de:uniformer Raum|uniformer Raum]]). Die neue gesuchte Topologie auf <math>\mathbb{D}_1</math> stimmt nicht mehr mit der Relativtopologie von <math>\mathbb{C}</math> auf <math>\mathbb{D}_1</math> überein. == Siehe auch == * [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus]] * [[negativer Hauptzweig des Logarithmus]] * [[w:de:uniformer Raum|uniforme Räume]] - Topologisierung und Nachbarschaft von Punkten 0qwi6zk6ru60qowtz2a8zv2njco7w86 1119390 1119389 2026-11-11T12:51:56Z Bert Niehaus 20843 /* Veranschaulichung - Zylindergeometrie */ 1119390 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Um zunächst einmal die Stetigkeit auf der algebraischen Vervollständigung eines Logarithmus zu erhalten, darf man den Wertebereich nicht dem Relativitopologie von <math>\mathbb{C}</math> auf den Wertebereich topologisieren. In dieser Lerneinheit behandelt man zunächst <math>\mathbb{D}_1 := \mathbb{R} + i\cdot [0,2\pi)</math> der mit einer Zylindertopologie versehen wird. In allgemeier Form entstehen in Abhängigkeit von dem gewählten einfach zusammenhängenden Gebiet auch andere Topologien. === Repräsentantensystem === Der Wertebereich des [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus|algebraisch vervollständigten]] [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweigs]] <math>\mathbb{D}_1 := \mathbb{R} + i\cdot [0,2\pi)</math> wird im Folgenden als Einstiegsbeispiel topologisiert. Das das Repräsentantensystem topologisch einem Zylinder gleicht, gilt z.B. für [[Zweige des Logarithmus#Hauptzweige|Hauptzweige des Logarithmus]] bzw. für [[Zweige des Logarithmus]], dessen Gebiet durch [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus|algebraische Vervollständigung]] einer geschlitzten Ebene erzeugt wurde. === Veranschaulichung - Repräsentantensystem === [[File:ID 1 area.svg|350px|center|ID_1 logarithmic set of algebraic complete of negative principle branch]] === Zylindertransformation === Der oben dargestellte Wertebereich des [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus|algebraisch vervollständigten]] [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweigs]] <math>\mathbb{D}_1 := \mathbb{R} + i\cdot [0,2\pi)</math> hat die imaginäre Breite <math>2\pi i</math> nun verbindet man die Gerade <math>\mathbb{G}:= \mathbb{R} + i\cdot \{2\pi\}</math> als Parallele zur Realteilachse mit der Realteilachse. Damit entsteht geometrisch ein [[w:de:Zylinder (Mathematik)|Zylinder]] mit Zylinderradius <math>r=1</math>. Die Gerade <math>\mathbb{G}</math> parallel zur Realteilachse gehört nicht mehr zum Repräsentantensystem <math>\mathbb{D}_1</math> und es gilt <math>\mathbb{G} \cap \mathbb{D}_1 = \emptyset </math>. [[Datei:Dielectric cylinder geometry.png|250px|center|Zylinder - Topologisierung des Bildraumes]] === Veranschaulichung - Zylindergeometrie === Die folgende Veranschaulichung zeigt, wie die Ausgangstopologie von <math>\mathbb{D}_1</math> als grau markierter Streifen, der dann anschaulich im dreidimensionalen Raum zu einem Zylinder aufgerollt wird. [[File:ID 1 area cylinder.svg|350px|center|Transformation ID_1 into a cylinder for complex logarithm as range - OpenSource Geogebra - Export]] === Bemerkung zur Veranschaulichung - Zylindergeometrie === In der Abbildung sind zwei ausgezeichnete Punkte aus der komplexen Zahlenebene in blau markiert worden <math>2\pi i</math> und <math>4 + 2\pi i</math>. Diese werden durch "Aufrollen" des Streifens im dreidimensionalen Raum mit den rot markierten Punkten <math>0=2\pi i</math> und <math>4 = 4 + 2\pi i</math> identifziert. Durch das Verbinden von <math>\mathbb{D}_1</math> zu einem Zylinder verändert sich die Topologie und die Nachbarschaftsbeziehung zwischen Punkten auf dem Zylinder (siehe auch [[w:de:uniformer Raum|uniformer Raum]]). Die neue gesuchte Topologie auf <math>\mathbb{D}_1</math> stimmt nicht mehr mit der Relativtopologie von <math>\mathbb{C}</math> auf <math>\mathbb{D}_1</math> überein. == Siehe auch == * [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus]] * [[negativer Hauptzweig des Logarithmus]] * [[w:de:uniformer Raum|uniforme Räume]] - Topologisierung und Nachbarschaft von Punkten r98d6bk8felib596gqoa9s5a6kkpdjy 1119391 1119390 2026-11-11T12:55:55Z Bert Niehaus 20843 /* Bemerkung zur Veranschaulichung - Zylindergeometrie */ 1119391 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Um zunächst einmal die Stetigkeit auf der algebraischen Vervollständigung eines Logarithmus zu erhalten, darf man den Wertebereich nicht dem Relativitopologie von <math>\mathbb{C}</math> auf den Wertebereich topologisieren. In dieser Lerneinheit behandelt man zunächst <math>\mathbb{D}_1 := \mathbb{R} + i\cdot [0,2\pi)</math> der mit einer Zylindertopologie versehen wird. In allgemeier Form entstehen in Abhängigkeit von dem gewählten einfach zusammenhängenden Gebiet auch andere Topologien. === Repräsentantensystem === Der Wertebereich des [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus|algebraisch vervollständigten]] [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweigs]] <math>\mathbb{D}_1 := \mathbb{R} + i\cdot [0,2\pi)</math> wird im Folgenden als Einstiegsbeispiel topologisiert. Das das Repräsentantensystem topologisch einem Zylinder gleicht, gilt z.B. für [[Zweige des Logarithmus#Hauptzweige|Hauptzweige des Logarithmus]] bzw. für [[Zweige des Logarithmus]], dessen Gebiet durch [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus|algebraische Vervollständigung]] einer geschlitzten Ebene erzeugt wurde. === Veranschaulichung - Repräsentantensystem === [[File:ID 1 area.svg|350px|center|ID_1 logarithmic set of algebraic complete of negative principle branch]] === Zylindertransformation === Der oben dargestellte Wertebereich des [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus|algebraisch vervollständigten]] [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweigs]] <math>\mathbb{D}_1 := \mathbb{R} + i\cdot [0,2\pi)</math> hat die imaginäre Breite <math>2\pi i</math> nun verbindet man die Gerade <math>\mathbb{G}:= \mathbb{R} + i\cdot \{2\pi\}</math> als Parallele zur Realteilachse mit der Realteilachse. Damit entsteht geometrisch ein [[w:de:Zylinder (Mathematik)|Zylinder]] mit Zylinderradius <math>r=1</math>. Die Gerade <math>\mathbb{G}</math> parallel zur Realteilachse gehört nicht mehr zum Repräsentantensystem <math>\mathbb{D}_1</math> und es gilt <math>\mathbb{G} \cap \mathbb{D}_1 = \emptyset </math>. [[Datei:Dielectric cylinder geometry.png|250px|center|Zylinder - Topologisierung des Bildraumes]] === Veranschaulichung - Zylindergeometrie === Die folgende Veranschaulichung zeigt, wie die Ausgangstopologie von <math>\mathbb{D}_1</math> als grau markierter Streifen, der dann anschaulich im dreidimensionalen Raum zu einem Zylinder aufgerollt wird. [[File:ID 1 area cylinder.svg|350px|center|Transformation ID_1 into a cylinder for complex logarithm as range - OpenSource Geogebra - Export]] === Bemerkung zur Veranschaulichung - Zylindergeometrie === Durch die Zylindergeometrie werden Punkte aus <math>\mathbb{C}</math> in dem Zylinder miteinander identifiziert, die sich in <math>\mathbb{C}</math> unterscheiden. In der Abbildung sind daher zwei ausgezeichnete Punkte aus der komplexen Zahlenebene in blau markiert worden <math>z_1 := 2\pi i</math> und <math>z_2 := 4 + 2\pi i</math>. Diese werden durch "Aufrollen" des Streifens im dreidimensionalen Raum zu dem rot markierten Zylinder wurden die rot markierten Punkten <math>0 = 2\pi i</math> und <math>4 = 4 + 2\pi i</math> identifziert (siehe [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen|Äquivalenzklassenbildung]]). Durch das Verbinden von <math>\mathbb{D}_1</math> zu einem Zylinder verändert sich die Topologie und die Nachbarschaftsbeziehung zwischen Punkten auf dem Zylinder (siehe auch [[w:de:uniformer Raum|uniformer Raum]]). Die neue gesuchte Topologie auf <math>\mathbb{D}_1</math> stimmt nicht mehr mit der Relativtopologie von <math>\mathbb{C}</math> auf <math>\mathbb{D}_1</math> überein. == Siehe auch == * [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus]] * [[negativer Hauptzweig des Logarithmus]] * [[w:de:uniformer Raum|uniforme Räume]] - Topologisierung und Nachbarschaft von Punkten p529md5v1hs4jlila55byet6txkoc1e 1119392 1119391 2026-11-11T12:56:11Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1119392 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Um zunächst einmal die Stetigkeit auf der algebraischen Vervollständigung eines Logarithmus zu erhalten, darf man den Wertebereich nicht dem Relativitopologie von <math>\mathbb{C}</math> auf den Wertebereich topologisieren. In dieser Lerneinheit behandelt man zunächst <math>\mathbb{D}_1 := \mathbb{R} + i\cdot [0,2\pi)</math> der mit einer Zylindertopologie versehen wird. In allgemeier Form entstehen in Abhängigkeit von dem gewählten einfach zusammenhängenden Gebiet auch andere Topologien. === Repräsentantensystem === Der Wertebereich des [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus|algebraisch vervollständigten]] [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweigs]] <math>\mathbb{D}_1 := \mathbb{R} + i\cdot [0,2\pi)</math> wird im Folgenden als Einstiegsbeispiel topologisiert. Das das Repräsentantensystem topologisch einem Zylinder gleicht, gilt z.B. für [[Zweige des Logarithmus#Hauptzweige|Hauptzweige des Logarithmus]] bzw. für [[Zweige des Logarithmus]], dessen Gebiet durch [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus|algebraische Vervollständigung]] einer geschlitzten Ebene erzeugt wurde. === Veranschaulichung - Repräsentantensystem === [[File:ID 1 area.svg|350px|center|ID_1 logarithmic set of algebraic complete of negative principle branch]] === Zylindertransformation === Der oben dargestellte Wertebereich des [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus|algebraisch vervollständigten]] [[negativer Hauptzweig des Logarithmus|negativen Hauptzweigs]] <math>\mathbb{D}_1 := \mathbb{R} + i\cdot [0,2\pi)</math> hat die imaginäre Breite <math>2\pi i</math> nun verbindet man die Gerade <math>\mathbb{G}:= \mathbb{R} + i\cdot \{2\pi\}</math> als Parallele zur Realteilachse mit der Realteilachse. Damit entsteht geometrisch ein [[w:de:Zylinder (Mathematik)|Zylinder]] mit Zylinderradius <math>r=1</math>. Die Gerade <math>\mathbb{G}</math> parallel zur Realteilachse gehört nicht mehr zum Repräsentantensystem <math>\mathbb{D}_1</math> und es gilt <math>\mathbb{G} \cap \mathbb{D}_1 = \emptyset </math>. [[Datei:Dielectric cylinder geometry.png|250px|center|Zylinder - Topologisierung des Bildraumes]] === Veranschaulichung - Zylindergeometrie === Die folgende Veranschaulichung zeigt, wie die Ausgangstopologie von <math>\mathbb{D}_1</math> als grau markierter Streifen, der dann anschaulich im dreidimensionalen Raum zu einem Zylinder aufgerollt wird. [[File:ID 1 area cylinder.svg|350px|center|Transformation ID_1 into a cylinder for complex logarithm as range - OpenSource Geogebra - Export]] === Bemerkung zur Veranschaulichung - Zylindergeometrie === Durch die Zylindergeometrie werden Punkte aus <math>\mathbb{C}</math> in dem Zylinder miteinander identifiziert, die sich in <math>\mathbb{C}</math> unterscheiden. In der Abbildung sind daher zwei ausgezeichnete Punkte aus der komplexen Zahlenebene in blau markiert worden <math>z_1 := 2\pi i</math> und <math>z_2 := 4 + 2\pi i</math>. Diese werden durch "Aufrollen" des Streifens im dreidimensionalen Raum zu dem rot markierten Zylinder wurden die rot markierten Punkten <math>0 = 2\pi i</math> und <math>4 = 4 + 2\pi i</math> identifziert (siehe [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen|Äquivalenzklassenbildung]]). Durch das Verbinden von <math>\mathbb{D}_1</math> zu einem Zylinder verändert sich die Topologie und die Nachbarschaftsbeziehung zwischen Punkten auf dem Zylinder (siehe auch [[w:de:uniformer Raum|uniformer Raum]]). Die neue gesuchte Topologie auf <math>\mathbb{D}_1</math> stimmt nicht mehr mit der Relativtopologie von <math>\mathbb{C}</math> auf <math>\mathbb{D}_1</math> überein. == Siehe auch == * [[algebraische Vervollständigung der Logarithmus]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Äquivalenzklassen|Äquivalenzklassenbildung für den Logarithmus]] * [[negativer Hauptzweig des Logarithmus]] * [[w:de:uniformer Raum|uniforme Räume]] - Topologisierung und Nachbarschaft von Punkten m2ka5y1ymygd2nfs0qz2rayd85n612c 0 173488 1119434 2026-11-11T18:40:20Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1119434 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass das schriftliche Multiplizieren mit einem einstelligen zweiten Faktor im Zehnersystem korrekt ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=7 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} 2kbtcatd5v5ta7ver34fk83k2csvg4l 0 173489 1119436 2026-11-11T18:42:11Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1119436 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= {{:Zehnersystem/Schriftliches Multiplizieren/Einstelliger Faktor/Korrekt/Fakt/Beweis|opt=Text}} |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} 1013ery78123egzkrpscy2df558sfux 0 173490 1119465 2026-11-12T07:36:11Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1119465 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es ist für den Polynomring {{ Relationskette/display | S || K[X_1 {{kommadots|}} X_m ] || || || |SZ= }} {{ Relationskette/display | h (n) || {{op:Binomialkoeffizient|n+m-1|m-1}} || \alpha_{m-1} n^{m-1} + \alpha_{m-2} n^{m-2} {{plusdots}} \alpha_1 n+ \alpha_{0} || || |SZ= }} die nichtkumulative Hilbertfunktion. 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Nov. 2026 (CET) cdp82y0ogqs35cu72pyc9tdofu096aq