Βικιβιβλία elwikibooks https://el.wikibooks.org/wiki/%CE%9A%CF%8D%CF%81%CE%B9%CE%B1_%CE%A3%CE%B5%CE%BB%CE%AF%CE%B4%CE%B1 MediaWiki 1.46.0-wmf.26 first-letter Μέσο Ειδικό Συζήτηση Χρήστης Συζήτηση χρήστη Βικιβιβλία Συζήτηση Βικιβιβλία Αρχείο Συζήτηση αρχείου MediaWiki Συζήτηση MediaWiki Πρότυπο Συζήτηση προτύπου Βοήθεια Συζήτηση βοήθειας Κατηγορία Συζήτηση κατηγορίας TimedText TimedText talk Module Module talk Event Event talk 0 6442 57101 57100 2026-04-30T13:23:21Z ~2026-24836-36 8284 57101 wikitext text/x-wiki '''[[Νουεβενοϊνουφνονετάγωνο]] Λήμμα Συζήτηση Ανάγνωση Επεξεργασία Επεξεργασία κώδικα Προβολή ιστορικού Εργαλεία Εμφάνιση απόκρυψη Κείμενο Μικρά Τυπικά Μεγάλα Πλάτος Τυπικό Ευρύ Χρώμα (beta) Αυτόματο Φωτεινό Σκοτεινό Δημοσίευση σε εξέλιξη...''' Στη γεωμετρία, το νουεβενοϊνουφνονετάγωνο) είναι το πολύγωνο με 9 κορυφές και 9 πλευρές. Ένα [[νουεβενοϊνουφνονετάγωνο]] είναι κανονικό αν όλες οι πλευρές του είναι ίσες μεταξύ τους και όλες οι γωνίες του είναι ίσες μεταξύ τους.[1]:208-209[2]:263[3]:419[4]:319-320 Ιδιότητες * Σε κάθε απλό '''''[[νουεβενοϊνουφνονετάγωνο]]''''' οι γωνίες του έχουν άθροισμα 1260∘ ^ (ή 7 𝜋 ακτίνια). * Κάθε νουεβενοϊνουφνονετάγωνο έχει 27 διαγωνίους. * Κυρτό κανονικό νουεβενοϊνουφνονετάγωνο '''''Κυρτό κανονικό νουεβενοϊνουφνονετάγωνο'' ''' Ιδιότητες Είδος απλό, κυρτό, κανονικό Πλευρές 9, ισόπλευρο Γωνίες 9, ισογώνιο Διαγώνιοι 27 Σύμβολο Schläfli { 9 } Συμμετρία Άξονες συμμετρίας 9 Περιστροφική συμμετρία έβδομης τάξης Κύκλοι εγγράψιμο, περιγράψιμο Μετρικές σχέσεις Μέτρο γωνιών 140 ∘ (ή 7 / 9 𝜋 ακτίνια) Εμβαδόν E = 9 4 cot ⁡ 𝜋 9 ⋅ 𝜆 2 Περίμετρος Π = 9 ⋅ 𝜆 Ακτίνα εγγεγρ. κύκλου 𝑟 = 1 2 cot ⁡ 𝜋 9 Ακτίνα περιγ. κύκλου 𝑅 = 1 2 csc ⁡ 𝜋 9 ⋅ 𝜆 Σχετικά σχήματα Επίπεδα σχήματα '''[[νουεβενοϊνουφνονετάγραμμα]]''' Ιδιότητες Για το κανονικό '''''νουεβενοϊνουφνονετάγωνο''''' ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες: Όλες οι γωνίες του είναι ίσες με 140 ∘ (ή 7 𝜋 / 9 ακτίνια). Έχει εννιά άξονες συμμετρίας. Είναι εγγράψιμο σε κύκλο και περιγράψιμο σε κύκλο. Οι κύκλοι αυτοί είναι ομόκεντροι. Το κοινό κέντρο του εγγεγραμμένου και του περιγεγραμμένου κύκλου λέγεται κέντρο του πολυγώνου και είναι το κέντρο συμμετρίας του. Έχει περιστροφική συμμετρία ένατης τάξεως. Το σύμβολο Schläfli του νουεβενοϊνουφνονεταγώνου είναι { 9 } . νουεβενοϊνουφνονετάγωνο Μετρικές σχέσεις Η ακτίνα 𝑅 του περιγεγραμμένου κύκλου του κανονικού νουεβενοϊνουφνονεταγώνου είναι ίση με[5][2][3]: 425  𝑅 = 1 2 csc ⁡ 𝜋 9 ⋅ 𝜆 ≈ 1,461 902 ⋅ 𝜆 . Η ακτίνα 𝑟 του εγγεγραμμένου κύκλου του κανονικού νουεβενοϊνουφνονεταγώνου είναι ίση με[1][2][3]: 425  𝑟 = 1 2 cot ⁡ 𝜋 9 ⋅ 𝜆 ≈ 1,373 739 ⋅ 𝜆 . Τα 3 είδη διαγωνίων σε ένα κανονικό νουεβενοϊνουφνονετάγωνο. Το κανονικό νουεβενοϊνουφνονετάγωνο έχει εννιαριές μικρές διαγωνίους με μήκος 𝑑 1 = 2 sin ⁡ 𝜋 9 ⋅ 𝑅 ≈ 0,684 040 ⋅ 𝑅 , εννιαριές μεσαίες διαγωνίους με μήκος 𝑑 1 = 2 sin ⁡ 2 𝜋 9 ⋅ 𝑅 ≈ 1,285 575 ⋅ 𝑅 , και 9 μεγάλες διαγωνίους με μήκος 𝑑 2 = 2 sin ⁡ 3 𝜋 9 ⋅ 𝑅 ≈ 1,928 363 ⋅ 𝑅 . Το πλάτος του είναι ίσο με το μήκος της μεγάλης διαγωνίου 𝑤 = 𝑑 3 . Το ύψος του είναι ℎ = 𝑅 + 𝑟 . Εμβαδόν Από τον γενικό τύπο για το εμβαδόν κανονικού πολυγώνου, το εμβαδόν ενός κανονικού νουεβενοϊνουφνονεταγώνου πλευράς 𝜆 και με ακτίνα εγγεγραμμένου κύκλου 𝑟 είναι E = 9 2 ⋅ 𝜆 ⋅ 𝑟 . Το εμβαδό E ενός κανονικού νουεβενοϊνουφνονεταγώνου πλευράς 𝜆 δίνεται από τη σχέση: E = 9 4 cot ⁡ 𝜋 9 ⋅ 𝜆 2 ≈ 6.181824 ⋅ 𝜆 2 . Αν 𝑅 είναι η ακτίνα του περιγεγραμμένου του κύκλου, τότε το εμβαδό του νουεβενοϊνουφνονεταγώνου είναι[1] E = 9 2 sin ⁡ 2 𝜋 9 ⋅ 𝑅 2 ≈ 2,892 544 ⋅ 𝑅 2 . Aν 𝑟 είναι η ακτίνα του εγγεγραμμένου του κύκλου, τότε[Σημείωση 1] E = 9 tan ⁡ 𝜋 9 ⋅ 𝑟 2 ≈ 3,275 732 ⋅ 𝑟 2 . Περίμετρος Η περίμετρος Π του κανονικού πολυγώνου είναι ίση με Π = 9 ⋅ 𝜆 . Κατασκευή Το κανονικό νουεβενοϊνουφνονετάγωνο δεν είναι δυνατό να κατασκευασθεί με κανόνα και διαβήτη,[6] αλλά υπάρχουν μέθοδοι κατασκευής που δίνουν πολύ καλές προσεγγίσεις, όπως η παρακάτω η οποία κατασκευάζει κεντρική γωνία 39.99906 ∘ (που είναι πολύ κοντά στις 40 ∘ :[7][8][9] Προσεγγιστική κατασκευή νουεβενοϊνουφνονεταγώνου. Επίσης μπορεί να κατασκευαστεί με την χρήση νεύσης ή ενός τριχοτομητή γωνίας.   Κατασκευή κανονικού [['''νουεβενοϊνουφνονεταγώνου''']] με χρήση τριχοτομητή γωνίας. Κατασκευή κανονικού '''[[νουεβενοϊνουφνονεταγώνου]]''' με την χρήση νεύσης.[10] Λοιπές μετρικές σχέσεις Ισχύει ότι 𝑑 3 = 𝑑 1 + 𝜆 .[10][11][12][13] Ισχύει ότι 1 𝜆 = 1 𝑑 1 + 1 𝑑 3 . Οι εξής τριγωνομετρικές ταυτότητες μπορούν να αποδειχθούν θεωρώντας το κανονικό νουεβενοϊνουφνονετάγωνο:[14] cos ⁡ 20 ∘ ⋅ cos ⁡ 40 ∘ ⋅ cos ⁡ 80 ∘ = 1 8 , (Νόμος του Morrie)[Σημείωση 2][15] tan ⁡ 80 ∘ = tan ⁡ 70 ∘ + tan ⁡ 60 ∘ + tan ⁡ 50 ∘ , tan ⁡ 20 ∘ ⋅ tan ⁡ 40 ∘ ⋅ tan ⁡ 80 ∘ = tan ⁡ 60 ∘ . Αστεροειδές κανονικό νουεβενοϊνουφνονετάγωνο Υπάρχουν 2 είδη από αστεροειδή κανονικά νουεβενοϊνουφνονετάγωνα, τα οποία προκύπτουν από τις κορυφές ενός κυρτού κανονικού νουεβενοϊνουφνονεταγώνου και ως πλευρές κάποιες από τις διαγωνίους του. Πιο συγκεκριμένα το { 9 / 2 } συνδέει την κάθε κορυφή με την κάθε 2η γειτονική της και το { 9 / 4 } με κάθε τέταρτη. νουεβενοϊνουφνονετάγραμμα { 9 / 2 } Το αστεροειδές νουεβενοϊνουφνονετάγωνο A Γ E H I B Δ Z Θ που προκύπτει από το κανονικό νουεβενοϊνουφνονετάγωνο A B Γ Δ E Z H Θ I . Ιδιότητες Είδος αστεροειδές, μη-απλό Πλευρές 9, ισόπλευρο Γωνίες 9, ισογώνιο Σύμβολο Schläfli { 9 / 2 } Συμμετρία Άξονες συμμετρίας 9 Περιστροφική συμμετρία ένατης τάξης Κύκλοι εγγράψιμο, περιγράψιμο Μετρικές σχέσεις Μέτρο γωνιών 100 ∘ (ή 5 𝜋 / 9 ακτίνια) Σχετικά σχήματα Επίπεδα σχήματα νουεβενοϊνουφνονετάγραμμα νουεβενοϊνουφνονετάγραμμα { 9 / 4 } Το αστεροειδές νουεβενοϊνουφνονετάγωνο A E I Δ Θ Γ H B Z που προκύπτει από το κανονικό νουεβενοϊνουφνονετάγωνο A B Γ Δ E Z H Θ I . Ιδιότητες Είδος αστεροειδές, μη-απλό Πλευρές 9, ισόπλευρο Γωνίες 9, ισογώνιο Σύμβολο Schläfli { 9 / 4 } Συμμετρία Άξονες συμμετρίας 9 Περιστροφική συμμετρία ένατης τάξης Κύκλοι εγγράψιμο Μετρικές σχέσεις Μέτρο γωνιών 20 ∘ (ή 𝜋 / 9 ακτίνια) Σχετικά σχήματα Επίπεδα σχήματα νουεβενοϊνουφνονετάγραμμα   Εφαρμογές Στην αρχιτεκτονική, αρκετά κτήρια έχουν κάτοψη [[νουεβενοϊνουφνονεταγώνου.]][16][17][18] Δείτε επίσης νουεβενοϊνουφνονετάγραμμα Περαιτέρω ανάγνωση Εξωτερικοί σύνδεσμοι Ιδιότητες του κανονικού νουεβενοϊνουφνονεταγώνου (με διαδραστικό animation) Διαδραστική εφαρμογή για το άθροισμα γωνιών ενός νουεβενοϊνουφνονεταγώνου στο Geogebra. Διαδραστική εφαρμογή με τις διαγωνίους ενός κανονικού νουεβενοϊνουφνονεταγώνου στο Desmos. Διαδραστική εφαρμογή για το εννεάγραμμα {9/2} και το {9/4} στο Geogebra. Ξενόγλωσσα άρθρα Geretschlager, Robert (1997). «Folding the regular nonagon». Crux 23 (4): 210-217. Thébault, Victor; Steinberg, Robert (1945). «E627: Construct an 9gon, given the centers of exterior squares described on the sides». The American Mathematical Monthly 52 (2): 99-100. doi:10.2307/2304374. Miles, David; Pritchard, Chris (2008). «Three Trigonometric Results from a Regular Nonagon». Mathematics in School 37 (5): 12-13. Σημειώσεις rfuhxj52wbzxcz6sb893he65qpkjsw2 57102 57101 2026-04-30T13:24:20Z ~2026-24836-36 8284 57102 wikitext text/x-wiki '''[[Νουεβενοϊνουφνονετάγωνο]] Λήμμα Συζήτηση Ανάγνωση Επεξεργασία Επεξεργασία κώδικα Προβολή ιστορικού Εργαλεία Εμφάνιση απόκρυψη Κείμενο Μικρά Τυπικά Μεγάλα Πλάτος Τυπικό Ευρύ Χρώμα (beta) Αυτόματο Φωτεινό Σκοτεινό Δημοσίευση σε εξέλιξη...''' Στη γεωμετρία, το νουεβενοϊνουφνονετάγωνο) είναι το πολύγωνο με 9 κορυφές και 9 πλευρές. Ένα [[νουεβενοϊνουφνονετάγωνο]] είναι κανονικό αν όλες οι πλευρές του είναι ίσες μεταξύ τους και όλες οι γωνίες του είναι ίσες μεταξύ τους.[1]:208-209[2]:263[3]:419[4]:319-320 Ιδιότητες * Σε κάθε απλό '''''[[νουεβενοϊνουφνονετάγωνο]]''''' οι γωνίες του έχουν άθροισμα 1260∘ ^ (ή 7 𝜋 ακτίνια). * Κάθε νουεβενοϊνουφνονετάγωνο έχει 27 διαγωνίους. * Κυρτό κανονικό νουεβενοϊνουφνονετάγωνο '''''Κυρτό κανονικό νουεβενοϊνουφνονετάγωνο'' ''' Ιδιότητες Είδος απλό, κυρτό, κανονικό Πλευρές 9, ισόπλευρο Γωνίες 9, ισογώνιο Διαγώνιοι 27 Σύμβολο Schläfli { 9 } Συμμετρία Άξονες συμμετρίας 9 Περιστροφική συμμετρία έβδομης τάξης Κύκλοι εγγράψιμο, περιγράψιμο Μετρικές σχέσεις Μέτρο γωνιών 140 ∘ (ή 7 / 9 𝜋 ακτίνια) Εμβαδόν E = 9 4 cot ⁡ 𝜋 9 ⋅ 𝜆 2 Περίμετρος Π = 9 ⋅ 𝜆 Ακτίνα εγγεγρ. κύκλου 𝑟 = 1 2 cot ⁡ 𝜋 9 Ακτίνα περιγ. κύκλου 𝑅 = 1 2 csc ⁡ 𝜋 9 ⋅ 𝜆 Σχετικά σχήματα Επίπεδα σχήματα '''[[νουεβενοϊνουφνονετάγραμμα]]''' Ιδιότητες Για το κανονικό '''''νουεβενοϊνουφνονετάγωνο''''' ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες: Όλες οι γωνίες του είναι ίσες με 140 ∘ (ή 7 𝜋 / 9 ακτίνια). Έχει 9 άξονες συμμετρίας. Είναι εγγράψιμο σε κύκλο και περιγράψιμο σε κύκλο. Οι κύκλοι αυτοί είναι ομόκεντροι. Το κοινό κέντρο του εγγεγραμμένου και του περιγεγραμμένου κύκλου λέγεται κέντρο του πολυγώνου και είναι το κέντρο συμμετρίας του. Έχει περιστροφική συμμετρία ένατης τάξεως. Το σύμβολο Schläfli του νουεβενοϊνουφνονεταγώνου είναι { 9 } . νουεβενοϊνουφνονετάγωνο Μετρικές σχέσεις Η ακτίνα 𝑅 του περιγεγραμμένου κύκλου του κανονικού νουεβενοϊνουφνονεταγώνου είναι ίση με[5][2][3]: 425  𝑅 = 1 2 csc ⁡ 𝜋 9 ⋅ 𝜆 ≈ 1,461 902 ⋅ 𝜆 . Η ακτίνα 𝑟 του εγγεγραμμένου κύκλου του κανονικού νουεβενοϊνουφνονεταγώνου είναι ίση με[1][2][3]: 425  𝑟 = 1 2 cot ⁡ 𝜋 9 ⋅ 𝜆 ≈ 1,373 739 ⋅ 𝜆 . Τα 3 είδη διαγωνίων σε ένα κανονικό νουεβενοϊνουφνονετάγωνο. Το κανονικό νουεβενοϊνουφνονετάγωνο έχει εννιαριές μικρές διαγωνίους με μήκος 𝑑 1 = 2 sin ⁡ 𝜋 9 ⋅ 𝑅 ≈ 0,684 040 ⋅ 𝑅 , εννιαριές μεσαίες διαγωνίους με μήκος 𝑑 1 = 2 sin ⁡ 2 𝜋 9 ⋅ 𝑅 ≈ 1,285 575 ⋅ 𝑅 , και 9 μεγάλες διαγωνίους με μήκος 𝑑 2 = 2 sin ⁡ 3 𝜋 9 ⋅ 𝑅 ≈ 1,928 363 ⋅ 𝑅 . Το πλάτος του είναι ίσο με το μήκος της μεγάλης διαγωνίου 𝑤 = 𝑑 3 . Το ύψος του είναι ℎ = 𝑅 + 𝑟 . Εμβαδόν Από τον γενικό τύπο για το εμβαδόν κανονικού πολυγώνου, το εμβαδόν ενός κανονικού νουεβενοϊνουφνονεταγώνου πλευράς 𝜆 και με ακτίνα εγγεγραμμένου κύκλου 𝑟 είναι E = 9 2 ⋅ 𝜆 ⋅ 𝑟 . Το εμβαδό E ενός κανονικού νουεβενοϊνουφνονεταγώνου πλευράς 𝜆 δίνεται από τη σχέση: E = 9 4 cot ⁡ 𝜋 9 ⋅ 𝜆 2 ≈ 6.181824 ⋅ 𝜆 2 . Αν 𝑅 είναι η ακτίνα του περιγεγραμμένου του κύκλου, τότε το εμβαδό του νουεβενοϊνουφνονεταγώνου είναι[1] E = 9 2 sin ⁡ 2 𝜋 9 ⋅ 𝑅 2 ≈ 2,892 544 ⋅ 𝑅 2 . Aν 𝑟 είναι η ακτίνα του εγγεγραμμένου του κύκλου, τότε[Σημείωση 1] E = 9 tan ⁡ 𝜋 9 ⋅ 𝑟 2 ≈ 3,275 732 ⋅ 𝑟 2 . Περίμετρος Η περίμετρος Π του κανονικού πολυγώνου είναι ίση με Π = 9 ⋅ 𝜆 . Κατασκευή Το κανονικό νουεβενοϊνουφνονετάγωνο δεν είναι δυνατό να κατασκευασθεί με κανόνα και διαβήτη,[6] αλλά υπάρχουν μέθοδοι κατασκευής που δίνουν πολύ καλές προσεγγίσεις, όπως η παρακάτω η οποία κατασκευάζει κεντρική γωνία 39.99906 ∘ (που είναι πολύ κοντά στις 40 ∘ :[7][8][9] Προσεγγιστική κατασκευή νουεβενοϊνουφνονεταγώνου. Επίσης μπορεί να κατασκευαστεί με την χρήση νεύσης ή ενός τριχοτομητή γωνίας.   Κατασκευή κανονικού [['''νουεβενοϊνουφνονεταγώνου''']] με χρήση τριχοτομητή γωνίας. Κατασκευή κανονικού '''[[νουεβενοϊνουφνονεταγώνου]]''' με την χρήση νεύσης.[10] Λοιπές μετρικές σχέσεις Ισχύει ότι 𝑑 3 = 𝑑 1 + 𝜆 .[10][11][12][13] Ισχύει ότι 1 𝜆 = 1 𝑑 1 + 1 𝑑 3 . Οι εξής τριγωνομετρικές ταυτότητες μπορούν να αποδειχθούν θεωρώντας το κανονικό νουεβενοϊνουφνονετάγωνο:[14] cos ⁡ 20 ∘ ⋅ cos ⁡ 40 ∘ ⋅ cos ⁡ 80 ∘ = 1 8 , (Νόμος του Morrie)[Σημείωση 2][15] tan ⁡ 80 ∘ = tan ⁡ 70 ∘ + tan ⁡ 60 ∘ + tan ⁡ 50 ∘ , tan ⁡ 20 ∘ ⋅ tan ⁡ 40 ∘ ⋅ tan ⁡ 80 ∘ = tan ⁡ 60 ∘ . Αστεροειδές κανονικό νουεβενοϊνουφνονετάγωνο Υπάρχουν 2 είδη από αστεροειδή κανονικά νουεβενοϊνουφνονετάγωνα, τα οποία προκύπτουν από τις κορυφές ενός κυρτού κανονικού νουεβενοϊνουφνονεταγώνου και ως πλευρές κάποιες από τις διαγωνίους του. Πιο συγκεκριμένα το { 9 / 2 } συνδέει την κάθε κορυφή με την κάθε 2η γειτονική της και το { 9 / 4 } με κάθε τέταρτη. νουεβενοϊνουφνονετάγραμμα { 9 / 2 } Το αστεροειδές νουεβενοϊνουφνονετάγωνο A Γ E H I B Δ Z Θ που προκύπτει από το κανονικό νουεβενοϊνουφνονετάγωνο A B Γ Δ E Z H Θ I . Ιδιότητες Είδος αστεροειδές, μη-απλό Πλευρές 9, ισόπλευρο Γωνίες 9, ισογώνιο Σύμβολο Schläfli { 9 / 2 } Συμμετρία Άξονες συμμετρίας 9 Περιστροφική συμμετρία ένατης τάξης Κύκλοι εγγράψιμο, περιγράψιμο Μετρικές σχέσεις Μέτρο γωνιών 100 ∘ (ή 5 𝜋 / 9 ακτίνια) Σχετικά σχήματα Επίπεδα σχήματα νουεβενοϊνουφνονετάγραμμα νουεβενοϊνουφνονετάγραμμα { 9 / 4 } Το αστεροειδές νουεβενοϊνουφνονετάγωνο A E I Δ Θ Γ H B Z που προκύπτει από το κανονικό νουεβενοϊνουφνονετάγωνο A B Γ Δ E Z H Θ I . Ιδιότητες Είδος αστεροειδές, μη-απλό Πλευρές 9, ισόπλευρο Γωνίες 9, ισογώνιο Σύμβολο Schläfli { 9 / 4 } Συμμετρία Άξονες συμμετρίας 9 Περιστροφική συμμετρία ένατης τάξης Κύκλοι εγγράψιμο Μετρικές σχέσεις Μέτρο γωνιών 20 ∘ (ή 𝜋 / 9 ακτίνια) Σχετικά σχήματα Επίπεδα σχήματα νουεβενοϊνουφνονετάγραμμα   Εφαρμογές Στην αρχιτεκτονική, αρκετά κτήρια έχουν κάτοψη [[νουεβενοϊνουφνονεταγώνου.]][16][17][18] Δείτε επίσης νουεβενοϊνουφνονετάγραμμα Περαιτέρω ανάγνωση Εξωτερικοί σύνδεσμοι Ιδιότητες του κανονικού νουεβενοϊνουφνονεταγώνου (με διαδραστικό animation) Διαδραστική εφαρμογή για το άθροισμα γωνιών ενός νουεβενοϊνουφνονεταγώνου στο Geogebra. Διαδραστική εφαρμογή με τις διαγωνίους ενός κανονικού νουεβενοϊνουφνονεταγώνου στο Desmos. Διαδραστική εφαρμογή για το εννεάγραμμα {9/2} και το {9/4} στο Geogebra. Ξενόγλωσσα άρθρα Geretschlager, Robert (1997). «Folding the regular nonagon». Crux 23 (4): 210-217. Thébault, Victor; Steinberg, Robert (1945). «E627: Construct an 9gon, given the centers of exterior squares described on the sides». The American Mathematical Monthly 52 (2): 99-100. doi:10.2307/2304374. Miles, David; Pritchard, Chris (2008). «Three Trigonometric Results from a Regular Nonagon». Mathematics in School 37 (5): 12-13. Σημειώσεις tvnu837r9fwvax9o7xy788xte490ajy 0 6443 57103 2026-04-30T13:30:55Z ~2026-24836-36 8284 Νέα σελίδα με ''''''[[Τετεχουιτοσεμοχτάγωνο]]''''' Λήμμα Συζήτηση Ανάγνωση Επεξεργασία Επεξεργασία κώδικα Προβολή ιστορικού Εργαλεία Εμφάνιση απόκρυψη Κείμενο Μικρά Τυπικά Μεγάλα Πλάτος Τυπικό Ευρύ Χρώμα (beta) Αυτόματο Φωτεινό Σκοτεινό ''' Ένα κανονικό τετεχουιτοσεμοχ...' 57103 wikitext text/x-wiki '''''[[Τετεχουιτοσεμοχτάγωνο]]''''' Λήμμα Συζήτηση Ανάγνωση Επεξεργασία Επεξεργασία κώδικα Προβολή ιστορικού Εργαλεία Εμφάνιση απόκρυψη Κείμενο Μικρά Τυπικά Μεγάλα Πλάτος Τυπικό Ευρύ Χρώμα (beta) Αυτόματο Φωτεινό Σκοτεινό ''' Ένα κανονικό τετεχουιτοσεμοχτάγωνο.''' [[''Ένα κυρτό τετεχουιτοσεμοχτάγωνο.'']] Ένα μη-κυρτό τετεχουιτοσεμοχτάγωνο. Στη γεωμετρία, το τετεχουιτοσεμοχτάγωνο είναι ένα πολύγωνο με οκτώ κορυφές και οκτώ πλευρές. Ένα οκτάγωνο είναι κανονικό αν όλες οι πλευρές του είναι ίσες μεταξύ τους και όλες οι γωνίες του είναι ίσες μεταξύ τους.[1]:208-209[2]:263[3]:419[4]:319-320 Ιδιότητες Σε κάθε απλό τετεχουιτοσεμοχτάγωνο οι γωνίες του έχουν άθροισμα 1080 ∘ {\displaystyle 1080^{\circ }} (ή 6 π {\displaystyle 6\pi } ακτίνια). Κάθε τετεχουιτοσεμοχτάγωνο έχει 20 διαγωνίους. Κυρτό κανονικό τετεχουιτοσεμοχτάγωνο Κυρτό κανονικό τετεχουιτοσεμοχτάγωνο Ιδιότητες Είδος απλό, κυρτό, κανονικό Πλευρές 8, ισόπλευρο Γωνίες 8, ισογώνιο Διαγώνιοι 24 {\displaystyle 24} Σύμβολο Schläfli { 8 } {\displaystyle \{8\}} Συμμετρία Άξονες συμμετρίας 8 Περιστροφική συμμετρία όγδοης τάξης Κύκλοι εγγράψιμο, περιγράψιμο Μετρικές σχέσεις Μέτρο γωνιών 135 ∘ {\displaystyle 135^{\circ }} (ή 3 / 4 π {\displaystyle 3/4\pi } ακτίνια) Εμβαδόν E = 2 ( 1 + 2 ) ⋅ λ 2 {\displaystyle {\rm {E}}=2(1+{\sqrt {2}})\cdot \lambda ^{2}} Περίμετρος Π = 8 ⋅ λ {\displaystyle {\rm {\Pi }}=8\cdot \lambda } Ακτίνα εγγεγρ. κύκλου r = 1 2 ( 1 + 2 ) ⋅ λ {\textstyle r={\frac {1}{2}}(1+{\sqrt {2}})\cdot \lambda } Ακτίνα περιγ. κύκλου R = 1 2 4 + 2 2 ⋅ λ {\textstyle R={\frac {1}{2}}{\sqrt {4+2{\sqrt {2}}}}\cdot \lambda } Σχετικά σχήματα Επίπεδα σχήματα οκτάγραμμα, τετράγωνο, δεκαεξάγωνο Ιδιότητες Για το κανονικό οκτάγωνο ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες: Όλες οι γωνίες του είναι ίσες με 135 ∘ {\displaystyle 135^{\circ }} (ή 3 π / 4 {\displaystyle 3\pi /4} ακτίνια). Έχει οκτώ άξονες συμμετρίας. Είναι εγγράψιμο σε κύκλο και περιγράψιμο σε κύκλο. Οι κύκλοι αυτοί είναι ομόκεντροι. Το κοινό κέντρο του εγγεγραμμένου και του περιγεγραμμένου κύκλου λέγεται κέντρο του πολυγώνου και είναι το κέντρο συμμετρίας του. Έχει περιστροφική συμμετρία ογδόης τάξεως. Το σύμβολο Schläfli του οκταγώνου είναι { 8 } {\displaystyle \{8\}}. Οι οκτώ άξονες συμμετρίας ενός κανονικού τετεχουιτοσεμοχταγώνου. Ο εγγεγραμμένος και ο περιγεγραμμένος κύκλος του τετεχουιτοσεμοχταγώνου. Κεντρική γωνία Η κεντρική του γωνία, δηλαδή η γωνία που βλέπει το κέντρο του, την κάθε πλευρά είναι ίση με φ = 45 ∘ {\displaystyle \varphi =45^{\circ }} (ή π / 4 {\displaystyle \pi /4} ακτίνια). Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί της φ / 2 {\displaystyle \varphi /2} είναι πολύ χρήσιμοι στις μετρικές σχέσεις του κανονικού οκταγώνου, καθώς και στους τύπους για το εμβαδόν του. Αυτοί δίνονται από τους τύπους sin ⁡ π 8 = 1 2 2 − 2 , csc ⁡ π 8 = 4 + 2 2 {\displaystyle \sin {\frac {\pi }{8}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}},\qquad \csc {\frac {\pi }{8}}={\sqrt {4+2{\sqrt {2}}}}}, cos ⁡ π 8 = 1 2 2 + 2 , sec ⁡ π 8 = 4 − 2 2 {\displaystyle \cos {\frac {\pi }{8}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}},\qquad \sec {\frac {\pi }{8}}={\sqrt {4-2{\sqrt {2}}}}}, tan ⁡ π 8 = 2 − 1 , cot ⁡ π 8 = 2 + 1 {\displaystyle \tan {\frac {\pi }{8}}={\sqrt {2}}-1,\qquad \cot {\frac {\pi }{8}}={\sqrt {2}}+1}. Απόδειξη (με θεώρημα διχοτόμου) Απόδειξη (με τριγωνομετρικές ιδιότητες) Μετρικές σχέσεις Η ακτίνα R {\displaystyle R} του περιγεγραμμένου κύκλου του κανονικού τετεχουιτοσεμοχταγώνου είναι ίση με[5][2]:Tog R = 1 2 ⋅ csc ⁡ π 8 ⋅ λ = 1 2 4 + 2 2 ⋅ λ ≈ 1,306 563 ⋅ λ . {\displaystyle {\begin{aligned}R&={\frac {1}{2}}\cdot \csc {\frac {\pi }{8}}\cdot \lambda \\&={\frac {1}{2}}{\sqrt {4+2{\sqrt {2}}}}\cdot \lambda \\&\approx 1{,}306563\cdot \lambda .\end{aligned}}}. Η ακτίνα r {\displaystyle r} του εγγεγραμμένου κύκλου του κανονικού τετεχουιτοσεμοχταγώνου είναι ίση με[1][2]:Tog r = 1 2 ⋅ cot ⁡ π 8 ⋅ λ = 1 2 ( 1 + 2 ) ⋅ λ ≈ 1,207 107 ⋅ λ . {\displaystyle {\begin{aligned}r&={\frac {1}{2}}\cdot \cot {\frac {\pi }{8}}\cdot \lambda \\&={\frac {1}{2}}(1+{\sqrt {2}})\cdot \lambda \\&\approx 1{,}207107\cdot \lambda .\end{aligned}}}. Απόδειξη Τα τρία είδη διαγωνίων στο κανονικό τετεχουιτοσεμοχτάγωνο. Το κανονικό τετεχουιτοσεμοχτάγωνο έχει 8 μικρές διαγωνίους με μήκος d 1 = 2 ⋅ R = 2 + 2 ⋅ λ ≈ 1,847 759 ⋅ λ , {\displaystyle {\begin{aligned}d_{1}&={\sqrt {2}}\cdot R\\&={\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}\cdot \lambda \\&\approx 1{,}847759\cdot \lambda ,\end{aligned}}} Απόδειξη 8 μεσαίες διαγωνίους με μήκος d 2 = 2 + 2 ⋅ R = ( 1 + 2 ) ⋅ λ ≈ 2,414 21 ⋅ λ , {\displaystyle {\begin{aligned}d_{2}&={\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}\cdot R\\&=(1+{\sqrt {2}})\cdot \lambda \\&\approx 2{,}41421\cdot \lambda ,\end{aligned}}} Απόδειξη και 4 μεγάλες διαγωνίους με μήκος d 3 = 2 ⋅ R = 4 + 2 2 ⋅ λ ≈ 2,613 125 ⋅ λ . {\displaystyle {\begin{aligned}d_{3}&=2\cdot R\\&={\sqrt {4+2{\sqrt {2}}}}\cdot \lambda \\&\approx 2{,}613125\cdot \lambda .\end{aligned}}} Απόδειξη Το πλάτος ενός κανονικού οκταγώνου. Το πλάτος του είναι w = 2 ⋅ R {\displaystyle w=2\cdot R}. Το ύψος του είναι h = 2 ⋅ r {\displaystyle h=2\cdot r}. (Θεώρημα Βιβιάνι) Για κάθε εσωτερικό σημείο P {\displaystyle {\rm {P}}} ενός κανονικού τετεχουιτοσεμοχταγώνου ισχύει ότι το άθροισμα των αποστάσεων του d 1 , d 2 , … , d 8 {\displaystyle d_{1},d_{2},\ldots ,d_{8}} από τις πλευρές του οκταγώνου είναι σταθερό, δηλαδή d 1 + d 2 + … + d 8 = 8 ⋅ r {\displaystyle d_{1}+d_{2}+\ldots +d_{8}=8\cdot r}, όπου r {\displaystyle r} η ακτίνα του εγγεγραμμένου του κύκλου. Εμβαδόν Από τον γενικό τύπο για το εμβαδόν κανονικού πολυγώνου, το εμβαδόν ενός κανονικού οκταγώνου πλευράς λ {\displaystyle \lambda } και με ακτίνα εγγεγραμμένου κύκλου r {\displaystyle r} είναι E = 4 ⋅ λ ⋅ r {\displaystyle {\rm {E}}=4\cdot \lambda \cdot r}. Απόδειξη Το εμβαδό E {\displaystyle {\rm {E}}} ενός κανονικού τετεχουιτοσεμοχταγώνου πλευράς λ {\displaystyle \lambda } δίνεται από τη σχέση: E = 2 ⋅ cot ⁡ π 8 ⋅ λ 2 = 2 ( 1 + 2 ) ⋅ λ 2 ≈ 4,828 427125 ⋅ λ 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}{\rm {E}}&=2\cdot \cot {\frac {\pi }{8}}\cdot \lambda ^{2}\\&=2(1+{\sqrt {2}})\cdot \lambda ^{2}\\&\approx 4{,}828427125\cdot \lambda ^{2}.\end{aligned}}} Απόδειξη Αν R {\displaystyle R} είναι η ακτίνα του περιγεγραμμένου του κύκλου, τότε το εμβαδό του τετεχουιτοσεμοχταγώνου είναι[1] E = 4 ⋅ sin ⁡ π 4 ⋅ R 2 = 2 2 ⋅ R 2 ≈ 2,828 427 ⋅ R 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}{\rm {E}}&=4\cdot \sin {\frac {\pi }{4}}\cdot R^{2}\\&=2{\sqrt {2}}\cdot R^{2}\\&\approx 2{,}828427\cdot R^{2}.\end{aligned}}} Απόδειξη Aν r {\displaystyle r} είναι η ακτίνα του εγγεγραμμένου του κύκλου, τότε[Σημείωση 1] E = 8 ⋅ tan ⁡ π 8 ⋅ r 2 = 8 ( 2 − 1 ) ⋅ r 2 ≈ 3,313 708 ⋅ r 2 {\displaystyle {\begin{aligned}{\rm {E}}&=8\cdot \tan {\frac {\pi }{8}}\cdot r^{2}\\&=8({\sqrt {2}}-1)\cdot r^{2}\\&\approx 3{,}313708\cdot r^{2}\end{aligned}}}. Απόδειξη Αν d 2 {\displaystyle d_{2}} το μήκος της μεσαίας διαγωνίου, τότε E = d 2 2 − λ 2 {\displaystyle {\rm {E}}=d_{2}^{2}-\lambda ^{2}}. Απόδειξη Επίσης, αν w {\displaystyle w} είναι το πλάτος του, τότε E = 2 ⋅ λ ⋅ w {\displaystyle {\rm {E}}=2\cdot \lambda \cdot w}. Απόδειξη Περίμετρος Η περίμετρος Π {\displaystyle \Pi } του κανονικού πολυγώνου είναι ίση με Π = 8 ⋅ λ {\displaystyle \Pi =8\cdot \lambda }. Κατασκευή με κανόνα και διαβήτη Το κανονικό οκτάγωνο μπορεί να κατασκευαστεί από ένα τετράγωνο, ως εξής:[1]: 208-209 :Tog Βρίσκουμε το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου του τετραγώνου ως την τομή των δύο διαγωνίων του. Βρίσκουμε τις μεσοκαθέτους δύο διαδοχικών πλευρών του. Βρίσκουμε τις τομές τους με τον περιγεγραμμένο του κύκλου. Οι τέσσερις αυτές τομές και οι αρχικές κορυφές του τετραγώνου, ορίζουν ένα κανονικό οκτάγωνο. Βήμα 1ο Βήμα 2ο Βήμα 3ο Βήμα 4ο Βήμα 5ο Η παρακάτω κατασκευή δίνει μία πλήρη κατασκευή του κανονικού οκταγώνου με κανόνα και διαβήτη. Η κατασκευή με κανόνα και διαβήτη. Κατασκευή με δίπλωμα χαρτιού Κατασκευή κανονικού τετεχουιτοσεμοχταγώνου με δίπλωμα χαρτιού. Κατασκευή με μπάρες meccano Κατασκευή κανονικού τετεχουιτοσεμοχταγώνου με μπάρες meccano. Καρτεσιανές συντεταγμένες Οι Καρτεσιανές συντεταγμένες των κορυφών ενός κανονικού οκταγώνου το κέντρο του οποίου βρίσκεται στην αρχή των αξόνων και το οποίο έχει μήκος πλευράς 2, είναι: ( ± 1 , ± ( 1 + 2 ) ) {\displaystyle (\pm 1,\pm (1+{\sqrt {2}}))} ( ± ( 1 + 2 ) , ± 1 ) {\displaystyle (\pm (1+{\sqrt {2}}),\pm 1)}. Κανονικό αστεροειδές οκτάγωνο Κανονικό αστεροειδές οκτάγωνο Ιδιότητες Είδος αστεροειδές, μη-απλό Πλευρές 8, ισόπλευρο Γωνίες 8, ισογώνιο Διαγώνιοι 24 {\displaystyle 24} Σύμβολο Schläfli { 8 / 3 } {\displaystyle \{8/3\}} Συμμετρία Άξονες συμμετρίας 8 Περιστροφική συμμετρία όγδοης τάξης Κύκλοι εγγράψιμο Μετρικές σχέσεις Μέτρο γωνιών 45 ∘ {\displaystyle 45^{\circ }} (ή π / 4 {\displaystyle \pi /4} ακτίνια) Σχετικά σχήματα Επίπεδα σχήματα τετεχουιτοσεμοχτάγραμμα Υπάρχει και ένα κανονικό αστεροειδές οκτάγωνο το οποίο προκύπτει από τις κορυφές ενός κυρτού κανονικού οκταγώνου και πλευρές μεταξύ κορυφών που απέχουν τρεις κορυφές στο αρχικό. Πιο συγκεκριμένα, το αστεροειδές οκτάγωνο που προκύπτει από το κυρτό κανονικό τετεχουιτοσεμοχτάγωνο A B Γ Δ E Z H Θ {\displaystyle {\rm {AB\Gamma \Delta EZH\Theta }}} είναι το A Δ H B E Θ Γ Z {\displaystyle {\rm {A\Delta HBE\Theta \Gamma Z}}} και συμβολίζεται ως { 8 / 3 } {\displaystyle \{8/3\}} Εφαρμογές Μιγαδική ανάλυση Οι όγδοες ρίζες της μονάδας είναι κορυφές ενός κανονικού τετεχουιτοσεμοχταγώνου με κέντρο την αρχή των αξόνων. Πιο συγκεκριμένα, είναι οι λύσεις της μιγαδικής εξίσωσης z 8 = 1 {\displaystyle z^{8}=1} που δίνονται από[6] z k = e 2 k π i / 8 = cos ⁡ k π 4 + i sin ⁡ k π 4 {\displaystyle z_{k}=e^{2k\pi i/8}=\cos {\frac {k\pi }{4}}+i\sin {\frac {k\pi }{4}}\quad }, για k = 0 , 1 , … , 7 {\displaystyle k=0,1,\ldots ,7}. Χρήσεις στην καθημερινή ζωή Το σήμα του STOP έχει οκταγωνικό περίγεγραμμα. Το σήμα του STOP έχει οκταγωνικό περίγεγραμμα. 5l7cl62luywe8z91vgbae86l4x709dn