1.1.Pólya: kuidas seda lahendada?

<mediawiki xmlns="http://www.mediawiki.org/xml/export-0.11/" xmlns:xsi="http://www.w3.org/2001/XMLSchema-instance" xsi:schemaLocation="http://www.mediawiki.org/xml/export-0.11/ http://www.mediawiki.org/xml/export-0.11.xsd" version="0.11" xml:lang="et">
  <siteinfo>
    <sitename>Vikiõpikud</sitename>
    <dbname>etwikibooks</dbname>
    <base>https://et.wikibooks.org/wiki/Esileht</base>
    <generator>MediaWiki 1.48.0-wmf.1</generator>
    <case>first-letter</case>
    <namespaces>
      <namespace key="-2" case="first-letter">Meedia</namespace>
      <namespace key="-1" case="first-letter">Eri</namespace>
      <namespace key="0" case="first-letter" />
      <namespace key="1" case="first-letter">Arutelu</namespace>
      <namespace key="2" case="first-letter">Kasutaja</namespace>
      <namespace key="3" case="first-letter">Kasutaja arutelu</namespace>
      <namespace key="4" case="first-letter">Vikiõpikud</namespace>
      <namespace key="5" case="first-letter">Vikiõpikute arutelu</namespace>
      <namespace key="6" case="first-letter">Fail</namespace>
      <namespace key="7" case="first-letter">Faili arutelu</namespace>
      <namespace key="8" case="first-letter">MediaWiki</namespace>
      <namespace key="9" case="first-letter">MediaWiki arutelu</namespace>
      <namespace key="10" case="first-letter">Mall</namespace>
      <namespace key="11" case="first-letter">Malli arutelu</namespace>
      <namespace key="12" case="first-letter">Juhend</namespace>
      <namespace key="13" case="first-letter">Juhendi arutelu</namespace>
      <namespace key="14" case="first-letter">Kategooria</namespace>
      <namespace key="15" case="first-letter">Kategooria arutelu</namespace>
      <namespace key="710" case="first-letter">TimedText</namespace>
      <namespace key="711" case="first-letter">TimedText talk</namespace>
      <namespace key="828" case="first-letter">Moodul</namespace>
      <namespace key="829" case="first-letter">Mooduli arutelu</namespace>
      <namespace key="1728" case="first-letter">Üritus</namespace>
      <namespace key="1729" case="first-letter">Ürituse arutelu</namespace>
    </namespaces>
  </siteinfo>
  <page>
    <title>1.1.Pólya: kuidas seda lahendada?</title>
    <ns>0</ns>
    <id>4253</id>
    <revision>
      <id>20553</id>
      <parentid>20317</parentid>
      <timestamp>2026-10-30T11:06:00Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>~2026-57977-95</username>
        <id>3203</id>
      </contributor>
      <comment>/* Allikas */</comment>
      <origin>20553</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="9421" sha1="9qlfwbzzn2b1gumhuixrib20sqdxbed" xml:space="preserve">George Pólya raamatu „[https://en.wikipedia.org/wiki/How_to_Solve_It How to Solve It]“ (1945; eesti keeles „[https://www.ester.ee/record=b1538228*est Kuidas seda lahendada]“, 2001) keskne küsimus on, kuidas õppida ja õpetada probleemide lahendamist. Pólya eristab nelja etappi: probleemi mõistmine, lahendusplaani koostamine, plaani teostamine ning lahendusele tagasivaatamine. Etappe toetavad küsimused, mis aitavad lahendajal oma mõtlemist suunata. Neid ei tule käsitada jäiga järjestusena: lahenduskatse võib näidata, et ülesannet tuleb uuesti tõlgendada või esialgset plaani muuta.

Pólya käsitluses on olulisel kohal heuristikud: lahenduse otsimist toetavad mõtlemisvõtted, näiteks joonise tegemine, lihtsama seotud probleemi lahendamine, analoogia kasutamine ja tagantpoolt alustamine. Erinevalt kindla ülesandetüübi lahendusalgoritmist ei taga heuristik vastuseni jõudmist. See aitab leida paljutõotavat suunda. Õpetaja ülesanne on toetada õpilase iseseisvat otsingut sobivate küsimustega, jättes talle võimaluse teha lahendust edasi viiv avastus ise. Pólya, 1957, „How to Solve It“

Järgnevalt avame nelja etapi tähenduse ühe läbiva ülesande abil. Näide sobib kasutamiseks enne, kui õpilased on vastava loendamisreegli selgeks õppinud.

=== Näidisülesanne: klassi maleturniir ===

Klassi maleturniiril osaleb kaheksa õpilast. Iga osaleja mängib iga teise osalejaga täpselt ühe partii. Mitu partiid tuleb kokku korraldada? Selgita, kuidas tead, et oled arvestanud kõiki partiisid ja igaüht ainult ühe korra.

==== 1. Probleemi mõistmine: mida tuleb tegelikult leida? ====

Õpilane võib alustada kohe arvutusega 8 × 8 või 8 × 7. Enne arvutamist tasub aga selgitada, mida üks partii tähendab ja millised tingimused ülesandes kehtivad. Siin on otsitavaks suuruseks erinevate mängijapaaride arv. Keegi ei mängi iseendaga ning Anna mäng Bertiga ja Berti mäng Annaga tähistavad sama partiid.

Õpetaja võib küsida:

„Näita kahe osaleja abil, mis on selles ülesandes üks partii.“

„Kas mängijate nimetamise järjekord muudab partii teiseks?“

„Kuidas saaksid turniiri korraldajale näidata, millised mängud peavad toimuma?“

Õpilased võivad kujutada osalejaid punktidena ja partiisid punkte ühendavate joontena. Teine võimalus on kirjutada osalejate nimed tabeli ridadesse ja veergudesse. Mõlemal juhul aitab esitusviis ülesande tingimusi nähtavaks teha: punktist iseendasse joont ei tõmmata ning tabeli sümmeetrilistes lahtrites kordub sama mäng.

Probleemi mõistmine ei piirdu seega arvandmete allajoonimisega. Õpilane peab looma olukorrast sellise ettekujutuse, mille põhjal saab otsustada, mida loendada. Kui ta oskab ülesande oma sõnadega ümber jutustada ja selgitada, mis läheb arvesse ühe mänguna, on tekkinud alus lahendusplaani koostamiseks.

==== 2. Lahendusplaani koostamine: milline lähenemine võiks töötada? ====

Kaheksa osaleja kõigi mängude korraga kirjapanek võib tunduda keeruline. Siin saab rakendada lihtsama juhu uurimist: mitu partiid oleks kahe, kolme või nelja osalejaga turniiril?

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Osalejate ja partiide arv
! Osalejate arv
! Partiide arv
! Kuidas tulemus saadi?
|-
| 2
| 1
| Kaks osalejat mängivad omavahel.
|-
| 3
| 3
| Kolmas osaleja lisab kaks uut mängu.
|-
| 4
| 6
| Neljas osaleja lisab kolm uut mängu.
|-
| 5
| 10
| Viies osaleja lisab neli uut mängu.
|}

Nii võib õpilane märgata, et iga uus osaleja peab mängima kõigi seniste osalejatega. Sellest tekib plaan: kasvatada turniiri ühe osaleja kaupa kuni kaheksani.

Teine õpilane võib kavandada loendamise mängijate järgi: esimese mängija seitse partiid, seejärel teise mängija veel arvestamata partiid ja nii edasi. Kolmas võib lähtuda sellest, et igal mängijal on seitse vastast, ning uurida, miks korrutis 8 × 7 ei pruugi anda erinevate partiide arvu.

Õpetaja saab paluda rühmadel enne arvutamist oma plaani lühidalt sõnastada: „Mida te loendate ja kuidas väldite kordusi?“ Nii muutub lahendusviisi valik arutelu objektiks. Õpetaja ei pea kohe ütlema, milline plaan on kõige lühem; erinevad lähenemised annavad hiljem võimaluse tulemusi võrrelda.

==== 3. Plaani teostamine: kas iga samm on põhjendatud? ====

Loendame partiisid mängijate kaupa. Esimesel osalejal on seitse vastast. Teisel on samuti seitse vastast, kuid tema mäng esimesega on juba arvestatud, seega lisandub kuus uut partiid. Kolmanda puhul lisandub viis uut partiid. Jätkates saame:

7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 28.

Teise lahendusviisi korral alustame kõigi osalejate mängude loendamisest:

8 × 7 = 56.

Selles arvus on iga partii arvestatud kaks korda: üks kord kummagi mängija juures. Erinevate partiide leidmiseks jagame tulemuse kahega:

56 ÷ 2 = 28.

Mõlema lahenduse juures on arvutusest olulisem selgitada, mida tehted tähendavad. Näiteks küsimusele „Miks jagasid kahega?“ ei piisa vastusest „Sest nii tuleb õige vastus“. Õpilane peaks suutma osutada konkreetsele mängijapaarile ja näidata, kus seda kaks korda loendati.

Kui rühm saab vastuseks 56, võib õpetaja paluda neil oma loendamisviisi kolme osalejaga läbi proovida. Väikeses näites on korduvloendamist lihtsam märgata. See annab õpilastele võimaluse ise oma lahendust parandada.

==== 4. Tagasivaatamine: mida lahendusest õppida? ====

Vastus „28 partiid“ lõpetab turniiri korraldaja arvutusülesande, kuid klassis tasub arutelu jätkata. Õpilased saavad võrrelda kahte lahendust: miks annavad järjest vähenevate liidetavate summa ja korrutise poolitamine sama tulemuse?

Seejärel võib uurida ülesande variante:
* „Kui turniirile lisandub üheksas osaleja, mitu uut partiid tekib?“
* „Mis muutub, kui iga paar mängib kaks partiid?“
* „Kuidas leiaksid partiide arvu 20 osaleja korral?“
* „Millistes teistes olukordades tuleb samuti loendada erinevaid paare?“

Üheksanda osaleja lisandumisel tekib kaheksa uut partiid, kokku 36. Kahekümne osaleja korral saab kasutada sama põhjendust: igal osalejal on 19 vastast ning iga partii satub loendusse kaks korda. Tulemuseks on 20 × 19 ÷ 2 = 190.

Üldistades n osalejale jõuame seoseni: partiide arv = n(n − 1) ÷ 2.

Valem võtab siin kokku õpilaste põhjenduse. Sama mõttekäiku saab kasutada näiteks inimestevaheliste käepigistuste või punktipaare ühendavate lõikude loendamisel. Ülekandmine eeldab siiski tingimuste kontrollimist: kas iga paar esineb täpselt ühe korra ning kas järjestus on oluline?

=== Heuristikute õppimine erinevate ülesannete kaudu ===

Maleturniiri ülesandes olid kasulikud joonistamine, lihtsamate juhtude uurimine ja süstemaatiline loendamine. Et õpilane õpiks võtteid iseseisvalt valima, vajab ta võimalust katsetada neid eri olukordades. Järgmised näited illustreerivad veel kolme võimalikku otsingusuunda.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Heuristikute kasutamise näited
! Heuristik
! Näidisülesanne
! Võimalik mõttekäik
|-
| '''Tööta tagantpoolt.'''
| Mõeldud arv korrutati kolmega ja tulemusele liideti seitse. Saadi 40. Mis arv mõeldi?
| Alusta tulemusest: 40 − 7 = 33 ja 33 ÷ 3 = 11. Kontrolli algsete tehetega.
|-
| '''Jaota probleem osadeks.'''
| Ristkülikust mõõtmetega 8 × 6 cm on ühest nurgast eemaldatud ristkülik mõõtmetega 3 × 2 cm. Leia allesjäänud kujundi pindala kahel viisil.
| Võrdle suurest ristkülikust väikese lahutamist kujundi jagamisega kaheks ristkülikuks. Mõlemal juhul saad 42 cm².
|-
| '''Muuda esitust.'''
| Talunikul on kanad ja küülikud: kokku kümme looma ning 28 jalga. Mitu on kumbagi?
| Kujuta esmalt kõiki loomi kahejalgsena. Saad 20 jalga. Iga kana asendamine küülikuga lisab kaks jalga; kaheksa lisajala jaoks on vaja nelja küülikut.
|}

Need ülesanded on probleemid ainult nende õpilaste jaoks, kellel pole lahendusviis veel valmis kujul käepärast. Kui õpilane tunneb vastavat tüüpvõtet, saab õpetaja paluda leida teise lahenduse, põhjendada võtte toimimist või muuta ülesande tingimusi.

=== Pólya käsitluse kasutamine õpetaja igapäevatöös ===

LAHEMATE tundides võiks nelja etappi kasutada ühise arutelukeele ja õpetaja vaatlusraamina. Kui rühm takerdub, tasub enne vihje andmist uurida, kas raskus seisneb tingimuste mõistmises, sobiva plaani leidmises või valitud plaani teostamises. Sellest sõltub ka abi: mõnikord on vaja olukord läbi mängida, teinekord uurida väiksemat juhtu või kontrollida üht arvutussammu.

Õpilastelt ei pea nõudma iga ülesande puhul nelja pealkirjaga aruannet. Kasulikum võib olla paluda lahendamise järel kirjeldada üht otsustavat hetke: „Mis aitas sul edasi liikuda?“, „Miks sa oma plaani muutsid?“ või „Millal võiks sama võte uuesti kasulik olla?“ Nii seostuvad etappide nimetused õpilase enda kogemusega.

See käsitlus loob ka lähtekoha Schoenfeldi raamistiku juurde liikumiseks. Õpetaja saab hakata jälgima, kuidas õpilane otsustab, millal valitud suunda jätkata, millal seda muuta ning mille põhjal ta oma lahendust usaldab.

=== Allikas ===

Pólya, G. (1957). How to Solve It: A New Aspect of Mathematical Method (2. trükk). Princeton University Press. Esmatrükk 1945. Teose digikoopia.
University of California, Berkeley, GSI Teaching &amp; Resource Center. (2011). Alan Schoenfeld: Learning to Think Mathematically (or like a scientist, or like a writer, or…). Ettekande ülevaade.</text>
      <sha1>9qlfwbzzn2b1gumhuixrib20sqdxbed</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>20554</id>
      <parentid>20553</parentid>
      <timestamp>2026-10-30T11:07:39Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>~2026-57977-95</username>
        <id>3203</id>
      </contributor>
      <comment>/* Allikas */</comment>
      <origin>20554</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="9424" sha1="htggvjsaqryu2q4n75ui07hoapb1fqy" xml:space="preserve">George Pólya raamatu „[https://en.wikipedia.org/wiki/How_to_Solve_It How to Solve It]“ (1945; eesti keeles „[https://www.ester.ee/record=b1538228*est Kuidas seda lahendada]“, 2001) keskne küsimus on, kuidas õppida ja õpetada probleemide lahendamist. Pólya eristab nelja etappi: probleemi mõistmine, lahendusplaani koostamine, plaani teostamine ning lahendusele tagasivaatamine. Etappe toetavad küsimused, mis aitavad lahendajal oma mõtlemist suunata. Neid ei tule käsitada jäiga järjestusena: lahenduskatse võib näidata, et ülesannet tuleb uuesti tõlgendada või esialgset plaani muuta.

Pólya käsitluses on olulisel kohal heuristikud: lahenduse otsimist toetavad mõtlemisvõtted, näiteks joonise tegemine, lihtsama seotud probleemi lahendamine, analoogia kasutamine ja tagantpoolt alustamine. Erinevalt kindla ülesandetüübi lahendusalgoritmist ei taga heuristik vastuseni jõudmist. See aitab leida paljutõotavat suunda. Õpetaja ülesanne on toetada õpilase iseseisvat otsingut sobivate küsimustega, jättes talle võimaluse teha lahendust edasi viiv avastus ise. Pólya, 1957, „How to Solve It“

Järgnevalt avame nelja etapi tähenduse ühe läbiva ülesande abil. Näide sobib kasutamiseks enne, kui õpilased on vastava loendamisreegli selgeks õppinud.

=== Näidisülesanne: klassi maleturniir ===

Klassi maleturniiril osaleb kaheksa õpilast. Iga osaleja mängib iga teise osalejaga täpselt ühe partii. Mitu partiid tuleb kokku korraldada? Selgita, kuidas tead, et oled arvestanud kõiki partiisid ja igaüht ainult ühe korra.

==== 1. Probleemi mõistmine: mida tuleb tegelikult leida? ====

Õpilane võib alustada kohe arvutusega 8 × 8 või 8 × 7. Enne arvutamist tasub aga selgitada, mida üks partii tähendab ja millised tingimused ülesandes kehtivad. Siin on otsitavaks suuruseks erinevate mängijapaaride arv. Keegi ei mängi iseendaga ning Anna mäng Bertiga ja Berti mäng Annaga tähistavad sama partiid.

Õpetaja võib küsida:

„Näita kahe osaleja abil, mis on selles ülesandes üks partii.“

„Kas mängijate nimetamise järjekord muudab partii teiseks?“

„Kuidas saaksid turniiri korraldajale näidata, millised mängud peavad toimuma?“

Õpilased võivad kujutada osalejaid punktidena ja partiisid punkte ühendavate joontena. Teine võimalus on kirjutada osalejate nimed tabeli ridadesse ja veergudesse. Mõlemal juhul aitab esitusviis ülesande tingimusi nähtavaks teha: punktist iseendasse joont ei tõmmata ning tabeli sümmeetrilistes lahtrites kordub sama mäng.

Probleemi mõistmine ei piirdu seega arvandmete allajoonimisega. Õpilane peab looma olukorrast sellise ettekujutuse, mille põhjal saab otsustada, mida loendada. Kui ta oskab ülesande oma sõnadega ümber jutustada ja selgitada, mis läheb arvesse ühe mänguna, on tekkinud alus lahendusplaani koostamiseks.

==== 2. Lahendusplaani koostamine: milline lähenemine võiks töötada? ====

Kaheksa osaleja kõigi mängude korraga kirjapanek võib tunduda keeruline. Siin saab rakendada lihtsama juhu uurimist: mitu partiid oleks kahe, kolme või nelja osalejaga turniiril?

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Osalejate ja partiide arv
! Osalejate arv
! Partiide arv
! Kuidas tulemus saadi?
|-
| 2
| 1
| Kaks osalejat mängivad omavahel.
|-
| 3
| 3
| Kolmas osaleja lisab kaks uut mängu.
|-
| 4
| 6
| Neljas osaleja lisab kolm uut mängu.
|-
| 5
| 10
| Viies osaleja lisab neli uut mängu.
|}

Nii võib õpilane märgata, et iga uus osaleja peab mängima kõigi seniste osalejatega. Sellest tekib plaan: kasvatada turniiri ühe osaleja kaupa kuni kaheksani.

Teine õpilane võib kavandada loendamise mängijate järgi: esimese mängija seitse partiid, seejärel teise mängija veel arvestamata partiid ja nii edasi. Kolmas võib lähtuda sellest, et igal mängijal on seitse vastast, ning uurida, miks korrutis 8 × 7 ei pruugi anda erinevate partiide arvu.

Õpetaja saab paluda rühmadel enne arvutamist oma plaani lühidalt sõnastada: „Mida te loendate ja kuidas väldite kordusi?“ Nii muutub lahendusviisi valik arutelu objektiks. Õpetaja ei pea kohe ütlema, milline plaan on kõige lühem; erinevad lähenemised annavad hiljem võimaluse tulemusi võrrelda.

==== 3. Plaani teostamine: kas iga samm on põhjendatud? ====

Loendame partiisid mängijate kaupa. Esimesel osalejal on seitse vastast. Teisel on samuti seitse vastast, kuid tema mäng esimesega on juba arvestatud, seega lisandub kuus uut partiid. Kolmanda puhul lisandub viis uut partiid. Jätkates saame:

7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 28.

Teise lahendusviisi korral alustame kõigi osalejate mängude loendamisest:

8 × 7 = 56.

Selles arvus on iga partii arvestatud kaks korda: üks kord kummagi mängija juures. Erinevate partiide leidmiseks jagame tulemuse kahega:

56 ÷ 2 = 28.

Mõlema lahenduse juures on arvutusest olulisem selgitada, mida tehted tähendavad. Näiteks küsimusele „Miks jagasid kahega?“ ei piisa vastusest „Sest nii tuleb õige vastus“. Õpilane peaks suutma osutada konkreetsele mängijapaarile ja näidata, kus seda kaks korda loendati.

Kui rühm saab vastuseks 56, võib õpetaja paluda neil oma loendamisviisi kolme osalejaga läbi proovida. Väikeses näites on korduvloendamist lihtsam märgata. See annab õpilastele võimaluse ise oma lahendust parandada.

==== 4. Tagasivaatamine: mida lahendusest õppida? ====

Vastus „28 partiid“ lõpetab turniiri korraldaja arvutusülesande, kuid klassis tasub arutelu jätkata. Õpilased saavad võrrelda kahte lahendust: miks annavad järjest vähenevate liidetavate summa ja korrutise poolitamine sama tulemuse?

Seejärel võib uurida ülesande variante:
* „Kui turniirile lisandub üheksas osaleja, mitu uut partiid tekib?“
* „Mis muutub, kui iga paar mängib kaks partiid?“
* „Kuidas leiaksid partiide arvu 20 osaleja korral?“
* „Millistes teistes olukordades tuleb samuti loendada erinevaid paare?“

Üheksanda osaleja lisandumisel tekib kaheksa uut partiid, kokku 36. Kahekümne osaleja korral saab kasutada sama põhjendust: igal osalejal on 19 vastast ning iga partii satub loendusse kaks korda. Tulemuseks on 20 × 19 ÷ 2 = 190.

Üldistades n osalejale jõuame seoseni: partiide arv = n(n − 1) ÷ 2.

Valem võtab siin kokku õpilaste põhjenduse. Sama mõttekäiku saab kasutada näiteks inimestevaheliste käepigistuste või punktipaare ühendavate lõikude loendamisel. Ülekandmine eeldab siiski tingimuste kontrollimist: kas iga paar esineb täpselt ühe korra ning kas järjestus on oluline?

=== Heuristikute õppimine erinevate ülesannete kaudu ===

Maleturniiri ülesandes olid kasulikud joonistamine, lihtsamate juhtude uurimine ja süstemaatiline loendamine. Et õpilane õpiks võtteid iseseisvalt valima, vajab ta võimalust katsetada neid eri olukordades. Järgmised näited illustreerivad veel kolme võimalikku otsingusuunda.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Heuristikute kasutamise näited
! Heuristik
! Näidisülesanne
! Võimalik mõttekäik
|-
| '''Tööta tagantpoolt.'''
| Mõeldud arv korrutati kolmega ja tulemusele liideti seitse. Saadi 40. Mis arv mõeldi?
| Alusta tulemusest: 40 − 7 = 33 ja 33 ÷ 3 = 11. Kontrolli algsete tehetega.
|-
| '''Jaota probleem osadeks.'''
| Ristkülikust mõõtmetega 8 × 6 cm on ühest nurgast eemaldatud ristkülik mõõtmetega 3 × 2 cm. Leia allesjäänud kujundi pindala kahel viisil.
| Võrdle suurest ristkülikust väikese lahutamist kujundi jagamisega kaheks ristkülikuks. Mõlemal juhul saad 42 cm².
|-
| '''Muuda esitust.'''
| Talunikul on kanad ja küülikud: kokku kümme looma ning 28 jalga. Mitu on kumbagi?
| Kujuta esmalt kõiki loomi kahejalgsena. Saad 20 jalga. Iga kana asendamine küülikuga lisab kaks jalga; kaheksa lisajala jaoks on vaja nelja küülikut.
|}

Need ülesanded on probleemid ainult nende õpilaste jaoks, kellel pole lahendusviis veel valmis kujul käepärast. Kui õpilane tunneb vastavat tüüpvõtet, saab õpetaja paluda leida teise lahenduse, põhjendada võtte toimimist või muuta ülesande tingimusi.

=== Pólya käsitluse kasutamine õpetaja igapäevatöös ===

LAHEMATE tundides võiks nelja etappi kasutada ühise arutelukeele ja õpetaja vaatlusraamina. Kui rühm takerdub, tasub enne vihje andmist uurida, kas raskus seisneb tingimuste mõistmises, sobiva plaani leidmises või valitud plaani teostamises. Sellest sõltub ka abi: mõnikord on vaja olukord läbi mängida, teinekord uurida väiksemat juhtu või kontrollida üht arvutussammu.

Õpilastelt ei pea nõudma iga ülesande puhul nelja pealkirjaga aruannet. Kasulikum võib olla paluda lahendamise järel kirjeldada üht otsustavat hetke: „Mis aitas sul edasi liikuda?“, „Miks sa oma plaani muutsid?“ või „Millal võiks sama võte uuesti kasulik olla?“ Nii seostuvad etappide nimetused õpilase enda kogemusega.

See käsitlus loob ka lähtekoha Schoenfeldi raamistiku juurde liikumiseks. Õpetaja saab hakata jälgima, kuidas õpilane otsustab, millal valitud suunda jätkata, millal seda muuta ning mille põhjal ta oma lahendust usaldab.

=== Allikas ===

/*Pólya, G. (1957). How to Solve It: A New Aspect of Mathematical Method (2. trükk). Princeton University Press. Esmatrükk 1945. Teose digikoopia./
University of California, Berkeley, GSI Teaching &amp; Resource Center. (2011). Alan Schoenfeld: Learning to Think Mathematically (or like a scientist, or like a writer, or…). Ettekande ülevaade.</text>
      <sha1>htggvjsaqryu2q4n75ui07hoapb1fqy</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>20555</id>
      <parentid>20554</parentid>
      <timestamp>2026-10-30T11:07:58Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>~2026-57977-95</username>
        <id>3203</id>
      </contributor>
      <comment>/* Allikas */</comment>
      <origin>20555</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="9425" sha1="jiqq2q1e4jycsns05hq1ajj1hzwurir" xml:space="preserve">George Pólya raamatu „[https://en.wikipedia.org/wiki/How_to_Solve_It How to Solve It]“ (1945; eesti keeles „[https://www.ester.ee/record=b1538228*est Kuidas seda lahendada]“, 2001) keskne küsimus on, kuidas õppida ja õpetada probleemide lahendamist. Pólya eristab nelja etappi: probleemi mõistmine, lahendusplaani koostamine, plaani teostamine ning lahendusele tagasivaatamine. Etappe toetavad küsimused, mis aitavad lahendajal oma mõtlemist suunata. Neid ei tule käsitada jäiga järjestusena: lahenduskatse võib näidata, et ülesannet tuleb uuesti tõlgendada või esialgset plaani muuta.

Pólya käsitluses on olulisel kohal heuristikud: lahenduse otsimist toetavad mõtlemisvõtted, näiteks joonise tegemine, lihtsama seotud probleemi lahendamine, analoogia kasutamine ja tagantpoolt alustamine. Erinevalt kindla ülesandetüübi lahendusalgoritmist ei taga heuristik vastuseni jõudmist. See aitab leida paljutõotavat suunda. Õpetaja ülesanne on toetada õpilase iseseisvat otsingut sobivate küsimustega, jättes talle võimaluse teha lahendust edasi viiv avastus ise. Pólya, 1957, „How to Solve It“

Järgnevalt avame nelja etapi tähenduse ühe läbiva ülesande abil. Näide sobib kasutamiseks enne, kui õpilased on vastava loendamisreegli selgeks õppinud.

=== Näidisülesanne: klassi maleturniir ===

Klassi maleturniiril osaleb kaheksa õpilast. Iga osaleja mängib iga teise osalejaga täpselt ühe partii. Mitu partiid tuleb kokku korraldada? Selgita, kuidas tead, et oled arvestanud kõiki partiisid ja igaüht ainult ühe korra.

==== 1. Probleemi mõistmine: mida tuleb tegelikult leida? ====

Õpilane võib alustada kohe arvutusega 8 × 8 või 8 × 7. Enne arvutamist tasub aga selgitada, mida üks partii tähendab ja millised tingimused ülesandes kehtivad. Siin on otsitavaks suuruseks erinevate mängijapaaride arv. Keegi ei mängi iseendaga ning Anna mäng Bertiga ja Berti mäng Annaga tähistavad sama partiid.

Õpetaja võib küsida:

„Näita kahe osaleja abil, mis on selles ülesandes üks partii.“

„Kas mängijate nimetamise järjekord muudab partii teiseks?“

„Kuidas saaksid turniiri korraldajale näidata, millised mängud peavad toimuma?“

Õpilased võivad kujutada osalejaid punktidena ja partiisid punkte ühendavate joontena. Teine võimalus on kirjutada osalejate nimed tabeli ridadesse ja veergudesse. Mõlemal juhul aitab esitusviis ülesande tingimusi nähtavaks teha: punktist iseendasse joont ei tõmmata ning tabeli sümmeetrilistes lahtrites kordub sama mäng.

Probleemi mõistmine ei piirdu seega arvandmete allajoonimisega. Õpilane peab looma olukorrast sellise ettekujutuse, mille põhjal saab otsustada, mida loendada. Kui ta oskab ülesande oma sõnadega ümber jutustada ja selgitada, mis läheb arvesse ühe mänguna, on tekkinud alus lahendusplaani koostamiseks.

==== 2. Lahendusplaani koostamine: milline lähenemine võiks töötada? ====

Kaheksa osaleja kõigi mängude korraga kirjapanek võib tunduda keeruline. Siin saab rakendada lihtsama juhu uurimist: mitu partiid oleks kahe, kolme või nelja osalejaga turniiril?

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Osalejate ja partiide arv
! Osalejate arv
! Partiide arv
! Kuidas tulemus saadi?
|-
| 2
| 1
| Kaks osalejat mängivad omavahel.
|-
| 3
| 3
| Kolmas osaleja lisab kaks uut mängu.
|-
| 4
| 6
| Neljas osaleja lisab kolm uut mängu.
|-
| 5
| 10
| Viies osaleja lisab neli uut mängu.
|}

Nii võib õpilane märgata, et iga uus osaleja peab mängima kõigi seniste osalejatega. Sellest tekib plaan: kasvatada turniiri ühe osaleja kaupa kuni kaheksani.

Teine õpilane võib kavandada loendamise mängijate järgi: esimese mängija seitse partiid, seejärel teise mängija veel arvestamata partiid ja nii edasi. Kolmas võib lähtuda sellest, et igal mängijal on seitse vastast, ning uurida, miks korrutis 8 × 7 ei pruugi anda erinevate partiide arvu.

Õpetaja saab paluda rühmadel enne arvutamist oma plaani lühidalt sõnastada: „Mida te loendate ja kuidas väldite kordusi?“ Nii muutub lahendusviisi valik arutelu objektiks. Õpetaja ei pea kohe ütlema, milline plaan on kõige lühem; erinevad lähenemised annavad hiljem võimaluse tulemusi võrrelda.

==== 3. Plaani teostamine: kas iga samm on põhjendatud? ====

Loendame partiisid mängijate kaupa. Esimesel osalejal on seitse vastast. Teisel on samuti seitse vastast, kuid tema mäng esimesega on juba arvestatud, seega lisandub kuus uut partiid. Kolmanda puhul lisandub viis uut partiid. Jätkates saame:

7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 28.

Teise lahendusviisi korral alustame kõigi osalejate mängude loendamisest:

8 × 7 = 56.

Selles arvus on iga partii arvestatud kaks korda: üks kord kummagi mängija juures. Erinevate partiide leidmiseks jagame tulemuse kahega:

56 ÷ 2 = 28.

Mõlema lahenduse juures on arvutusest olulisem selgitada, mida tehted tähendavad. Näiteks küsimusele „Miks jagasid kahega?“ ei piisa vastusest „Sest nii tuleb õige vastus“. Õpilane peaks suutma osutada konkreetsele mängijapaarile ja näidata, kus seda kaks korda loendati.

Kui rühm saab vastuseks 56, võib õpetaja paluda neil oma loendamisviisi kolme osalejaga läbi proovida. Väikeses näites on korduvloendamist lihtsam märgata. See annab õpilastele võimaluse ise oma lahendust parandada.

==== 4. Tagasivaatamine: mida lahendusest õppida? ====

Vastus „28 partiid“ lõpetab turniiri korraldaja arvutusülesande, kuid klassis tasub arutelu jätkata. Õpilased saavad võrrelda kahte lahendust: miks annavad järjest vähenevate liidetavate summa ja korrutise poolitamine sama tulemuse?

Seejärel võib uurida ülesande variante:
* „Kui turniirile lisandub üheksas osaleja, mitu uut partiid tekib?“
* „Mis muutub, kui iga paar mängib kaks partiid?“
* „Kuidas leiaksid partiide arvu 20 osaleja korral?“
* „Millistes teistes olukordades tuleb samuti loendada erinevaid paare?“

Üheksanda osaleja lisandumisel tekib kaheksa uut partiid, kokku 36. Kahekümne osaleja korral saab kasutada sama põhjendust: igal osalejal on 19 vastast ning iga partii satub loendusse kaks korda. Tulemuseks on 20 × 19 ÷ 2 = 190.

Üldistades n osalejale jõuame seoseni: partiide arv = n(n − 1) ÷ 2.

Valem võtab siin kokku õpilaste põhjenduse. Sama mõttekäiku saab kasutada näiteks inimestevaheliste käepigistuste või punktipaare ühendavate lõikude loendamisel. Ülekandmine eeldab siiski tingimuste kontrollimist: kas iga paar esineb täpselt ühe korra ning kas järjestus on oluline?

=== Heuristikute õppimine erinevate ülesannete kaudu ===

Maleturniiri ülesandes olid kasulikud joonistamine, lihtsamate juhtude uurimine ja süstemaatiline loendamine. Et õpilane õpiks võtteid iseseisvalt valima, vajab ta võimalust katsetada neid eri olukordades. Järgmised näited illustreerivad veel kolme võimalikku otsingusuunda.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Heuristikute kasutamise näited
! Heuristik
! Näidisülesanne
! Võimalik mõttekäik
|-
| '''Tööta tagantpoolt.'''
| Mõeldud arv korrutati kolmega ja tulemusele liideti seitse. Saadi 40. Mis arv mõeldi?
| Alusta tulemusest: 40 − 7 = 33 ja 33 ÷ 3 = 11. Kontrolli algsete tehetega.
|-
| '''Jaota probleem osadeks.'''
| Ristkülikust mõõtmetega 8 × 6 cm on ühest nurgast eemaldatud ristkülik mõõtmetega 3 × 2 cm. Leia allesjäänud kujundi pindala kahel viisil.
| Võrdle suurest ristkülikust väikese lahutamist kujundi jagamisega kaheks ristkülikuks. Mõlemal juhul saad 42 cm².
|-
| '''Muuda esitust.'''
| Talunikul on kanad ja küülikud: kokku kümme looma ning 28 jalga. Mitu on kumbagi?
| Kujuta esmalt kõiki loomi kahejalgsena. Saad 20 jalga. Iga kana asendamine küülikuga lisab kaks jalga; kaheksa lisajala jaoks on vaja nelja küülikut.
|}

Need ülesanded on probleemid ainult nende õpilaste jaoks, kellel pole lahendusviis veel valmis kujul käepärast. Kui õpilane tunneb vastavat tüüpvõtet, saab õpetaja paluda leida teise lahenduse, põhjendada võtte toimimist või muuta ülesande tingimusi.

=== Pólya käsitluse kasutamine õpetaja igapäevatöös ===

LAHEMATE tundides võiks nelja etappi kasutada ühise arutelukeele ja õpetaja vaatlusraamina. Kui rühm takerdub, tasub enne vihje andmist uurida, kas raskus seisneb tingimuste mõistmises, sobiva plaani leidmises või valitud plaani teostamises. Sellest sõltub ka abi: mõnikord on vaja olukord läbi mängida, teinekord uurida väiksemat juhtu või kontrollida üht arvutussammu.

Õpilastelt ei pea nõudma iga ülesande puhul nelja pealkirjaga aruannet. Kasulikum võib olla paluda lahendamise järel kirjeldada üht otsustavat hetke: „Mis aitas sul edasi liikuda?“, „Miks sa oma plaani muutsid?“ või „Millal võiks sama võte uuesti kasulik olla?“ Nii seostuvad etappide nimetused õpilase enda kogemusega.

See käsitlus loob ka lähtekoha Schoenfeldi raamistiku juurde liikumiseks. Õpetaja saab hakata jälgima, kuidas õpilane otsustab, millal valitud suunda jätkata, millal seda muuta ning mille põhjal ta oma lahendust usaldab.

=== Allikas ===

/*Pólya, G. (1957). How to Solve It: A New Aspect of Mathematical Method (2. trükk). Princeton University Press. Esmatrükk 1945. Teose digikoopia.*/
University of California, Berkeley, GSI Teaching &amp; Resource Center. (2011). Alan Schoenfeld: Learning to Think Mathematically (or like a scientist, or like a writer, or…). Ettekande ülevaade.</text>
      <sha1>jiqq2q1e4jycsns05hq1ajj1hzwurir</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>20556</id>
      <parentid>20555</parentid>
      <timestamp>2026-10-30T11:09:53Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>~2026-57977-95</username>
        <id>3203</id>
      </contributor>
      <comment>/* Allikas */</comment>
      <origin>20556</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="9425" sha1="musfxboq9h2ey6kif2koay9ph93jnad" xml:space="preserve">George Pólya raamatu „[https://en.wikipedia.org/wiki/How_to_Solve_It How to Solve It]“ (1945; eesti keeles „[https://www.ester.ee/record=b1538228*est Kuidas seda lahendada]“, 2001) keskne küsimus on, kuidas õppida ja õpetada probleemide lahendamist. Pólya eristab nelja etappi: probleemi mõistmine, lahendusplaani koostamine, plaani teostamine ning lahendusele tagasivaatamine. Etappe toetavad küsimused, mis aitavad lahendajal oma mõtlemist suunata. Neid ei tule käsitada jäiga järjestusena: lahenduskatse võib näidata, et ülesannet tuleb uuesti tõlgendada või esialgset plaani muuta.

Pólya käsitluses on olulisel kohal heuristikud: lahenduse otsimist toetavad mõtlemisvõtted, näiteks joonise tegemine, lihtsama seotud probleemi lahendamine, analoogia kasutamine ja tagantpoolt alustamine. Erinevalt kindla ülesandetüübi lahendusalgoritmist ei taga heuristik vastuseni jõudmist. See aitab leida paljutõotavat suunda. Õpetaja ülesanne on toetada õpilase iseseisvat otsingut sobivate küsimustega, jättes talle võimaluse teha lahendust edasi viiv avastus ise. Pólya, 1957, „How to Solve It“

Järgnevalt avame nelja etapi tähenduse ühe läbiva ülesande abil. Näide sobib kasutamiseks enne, kui õpilased on vastava loendamisreegli selgeks õppinud.

=== Näidisülesanne: klassi maleturniir ===

Klassi maleturniiril osaleb kaheksa õpilast. Iga osaleja mängib iga teise osalejaga täpselt ühe partii. Mitu partiid tuleb kokku korraldada? Selgita, kuidas tead, et oled arvestanud kõiki partiisid ja igaüht ainult ühe korra.

==== 1. Probleemi mõistmine: mida tuleb tegelikult leida? ====

Õpilane võib alustada kohe arvutusega 8 × 8 või 8 × 7. Enne arvutamist tasub aga selgitada, mida üks partii tähendab ja millised tingimused ülesandes kehtivad. Siin on otsitavaks suuruseks erinevate mängijapaaride arv. Keegi ei mängi iseendaga ning Anna mäng Bertiga ja Berti mäng Annaga tähistavad sama partiid.

Õpetaja võib küsida:

„Näita kahe osaleja abil, mis on selles ülesandes üks partii.“

„Kas mängijate nimetamise järjekord muudab partii teiseks?“

„Kuidas saaksid turniiri korraldajale näidata, millised mängud peavad toimuma?“

Õpilased võivad kujutada osalejaid punktidena ja partiisid punkte ühendavate joontena. Teine võimalus on kirjutada osalejate nimed tabeli ridadesse ja veergudesse. Mõlemal juhul aitab esitusviis ülesande tingimusi nähtavaks teha: punktist iseendasse joont ei tõmmata ning tabeli sümmeetrilistes lahtrites kordub sama mäng.

Probleemi mõistmine ei piirdu seega arvandmete allajoonimisega. Õpilane peab looma olukorrast sellise ettekujutuse, mille põhjal saab otsustada, mida loendada. Kui ta oskab ülesande oma sõnadega ümber jutustada ja selgitada, mis läheb arvesse ühe mänguna, on tekkinud alus lahendusplaani koostamiseks.

==== 2. Lahendusplaani koostamine: milline lähenemine võiks töötada? ====

Kaheksa osaleja kõigi mängude korraga kirjapanek võib tunduda keeruline. Siin saab rakendada lihtsama juhu uurimist: mitu partiid oleks kahe, kolme või nelja osalejaga turniiril?

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Osalejate ja partiide arv
! Osalejate arv
! Partiide arv
! Kuidas tulemus saadi?
|-
| 2
| 1
| Kaks osalejat mängivad omavahel.
|-
| 3
| 3
| Kolmas osaleja lisab kaks uut mängu.
|-
| 4
| 6
| Neljas osaleja lisab kolm uut mängu.
|-
| 5
| 10
| Viies osaleja lisab neli uut mängu.
|}

Nii võib õpilane märgata, et iga uus osaleja peab mängima kõigi seniste osalejatega. Sellest tekib plaan: kasvatada turniiri ühe osaleja kaupa kuni kaheksani.

Teine õpilane võib kavandada loendamise mängijate järgi: esimese mängija seitse partiid, seejärel teise mängija veel arvestamata partiid ja nii edasi. Kolmas võib lähtuda sellest, et igal mängijal on seitse vastast, ning uurida, miks korrutis 8 × 7 ei pruugi anda erinevate partiide arvu.

Õpetaja saab paluda rühmadel enne arvutamist oma plaani lühidalt sõnastada: „Mida te loendate ja kuidas väldite kordusi?“ Nii muutub lahendusviisi valik arutelu objektiks. Õpetaja ei pea kohe ütlema, milline plaan on kõige lühem; erinevad lähenemised annavad hiljem võimaluse tulemusi võrrelda.

==== 3. Plaani teostamine: kas iga samm on põhjendatud? ====

Loendame partiisid mängijate kaupa. Esimesel osalejal on seitse vastast. Teisel on samuti seitse vastast, kuid tema mäng esimesega on juba arvestatud, seega lisandub kuus uut partiid. Kolmanda puhul lisandub viis uut partiid. Jätkates saame:

7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 28.

Teise lahendusviisi korral alustame kõigi osalejate mängude loendamisest:

8 × 7 = 56.

Selles arvus on iga partii arvestatud kaks korda: üks kord kummagi mängija juures. Erinevate partiide leidmiseks jagame tulemuse kahega:

56 ÷ 2 = 28.

Mõlema lahenduse juures on arvutusest olulisem selgitada, mida tehted tähendavad. Näiteks küsimusele „Miks jagasid kahega?“ ei piisa vastusest „Sest nii tuleb õige vastus“. Õpilane peaks suutma osutada konkreetsele mängijapaarile ja näidata, kus seda kaks korda loendati.

Kui rühm saab vastuseks 56, võib õpetaja paluda neil oma loendamisviisi kolme osalejaga läbi proovida. Väikeses näites on korduvloendamist lihtsam märgata. See annab õpilastele võimaluse ise oma lahendust parandada.

==== 4. Tagasivaatamine: mida lahendusest õppida? ====

Vastus „28 partiid“ lõpetab turniiri korraldaja arvutusülesande, kuid klassis tasub arutelu jätkata. Õpilased saavad võrrelda kahte lahendust: miks annavad järjest vähenevate liidetavate summa ja korrutise poolitamine sama tulemuse?

Seejärel võib uurida ülesande variante:
* „Kui turniirile lisandub üheksas osaleja, mitu uut partiid tekib?“
* „Mis muutub, kui iga paar mängib kaks partiid?“
* „Kuidas leiaksid partiide arvu 20 osaleja korral?“
* „Millistes teistes olukordades tuleb samuti loendada erinevaid paare?“

Üheksanda osaleja lisandumisel tekib kaheksa uut partiid, kokku 36. Kahekümne osaleja korral saab kasutada sama põhjendust: igal osalejal on 19 vastast ning iga partii satub loendusse kaks korda. Tulemuseks on 20 × 19 ÷ 2 = 190.

Üldistades n osalejale jõuame seoseni: partiide arv = n(n − 1) ÷ 2.

Valem võtab siin kokku õpilaste põhjenduse. Sama mõttekäiku saab kasutada näiteks inimestevaheliste käepigistuste või punktipaare ühendavate lõikude loendamisel. Ülekandmine eeldab siiski tingimuste kontrollimist: kas iga paar esineb täpselt ühe korra ning kas järjestus on oluline?

=== Heuristikute õppimine erinevate ülesannete kaudu ===

Maleturniiri ülesandes olid kasulikud joonistamine, lihtsamate juhtude uurimine ja süstemaatiline loendamine. Et õpilane õpiks võtteid iseseisvalt valima, vajab ta võimalust katsetada neid eri olukordades. Järgmised näited illustreerivad veel kolme võimalikku otsingusuunda.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Heuristikute kasutamise näited
! Heuristik
! Näidisülesanne
! Võimalik mõttekäik
|-
| '''Tööta tagantpoolt.'''
| Mõeldud arv korrutati kolmega ja tulemusele liideti seitse. Saadi 40. Mis arv mõeldi?
| Alusta tulemusest: 40 − 7 = 33 ja 33 ÷ 3 = 11. Kontrolli algsete tehetega.
|-
| '''Jaota probleem osadeks.'''
| Ristkülikust mõõtmetega 8 × 6 cm on ühest nurgast eemaldatud ristkülik mõõtmetega 3 × 2 cm. Leia allesjäänud kujundi pindala kahel viisil.
| Võrdle suurest ristkülikust väikese lahutamist kujundi jagamisega kaheks ristkülikuks. Mõlemal juhul saad 42 cm².
|-
| '''Muuda esitust.'''
| Talunikul on kanad ja küülikud: kokku kümme looma ning 28 jalga. Mitu on kumbagi?
| Kujuta esmalt kõiki loomi kahejalgsena. Saad 20 jalga. Iga kana asendamine küülikuga lisab kaks jalga; kaheksa lisajala jaoks on vaja nelja küülikut.
|}

Need ülesanded on probleemid ainult nende õpilaste jaoks, kellel pole lahendusviis veel valmis kujul käepärast. Kui õpilane tunneb vastavat tüüpvõtet, saab õpetaja paluda leida teise lahenduse, põhjendada võtte toimimist või muuta ülesande tingimusi.

=== Pólya käsitluse kasutamine õpetaja igapäevatöös ===

LAHEMATE tundides võiks nelja etappi kasutada ühise arutelukeele ja õpetaja vaatlusraamina. Kui rühm takerdub, tasub enne vihje andmist uurida, kas raskus seisneb tingimuste mõistmises, sobiva plaani leidmises või valitud plaani teostamises. Sellest sõltub ka abi: mõnikord on vaja olukord läbi mängida, teinekord uurida väiksemat juhtu või kontrollida üht arvutussammu.

Õpilastelt ei pea nõudma iga ülesande puhul nelja pealkirjaga aruannet. Kasulikum võib olla paluda lahendamise järel kirjeldada üht otsustavat hetke: „Mis aitas sul edasi liikuda?“, „Miks sa oma plaani muutsid?“ või „Millal võiks sama võte uuesti kasulik olla?“ Nii seostuvad etappide nimetused õpilase enda kogemusega.

See käsitlus loob ka lähtekoha Schoenfeldi raamistiku juurde liikumiseks. Õpetaja saab hakata jälgima, kuidas õpilane otsustab, millal valitud suunda jätkata, millal seda muuta ning mille põhjal ta oma lahendust usaldab.

=== Allikas ===

''Pólya, G. (1957). How to Solve It: A New Aspect of Mathematical Method (2. trükk). Princeton University Press. Esmatrükk 1945. Teose digikoopia.''
University of California, Berkeley, GSI Teaching &amp; Resource Center. (2011). Alan Schoenfeld: Learning to Think Mathematically (or like a scientist, or like a writer, or…). Ettekande ülevaade.</text>
      <sha1>musfxboq9h2ey6kif2koay9ph93jnad</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>20557</id>
      <parentid>20556</parentid>
      <timestamp>2026-10-30T11:15:32Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>~2026-57977-95</username>
        <id>3203</id>
      </contributor>
      <comment>/* Allikas */</comment>
      <origin>20557</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="9426" sha1="kjjr5b5011b7p7337h3p2m43cms9mbs" xml:space="preserve">George Pólya raamatu „[https://en.wikipedia.org/wiki/How_to_Solve_It How to Solve It]“ (1945; eesti keeles „[https://www.ester.ee/record=b1538228*est Kuidas seda lahendada]“, 2001) keskne küsimus on, kuidas õppida ja õpetada probleemide lahendamist. Pólya eristab nelja etappi: probleemi mõistmine, lahendusplaani koostamine, plaani teostamine ning lahendusele tagasivaatamine. Etappe toetavad küsimused, mis aitavad lahendajal oma mõtlemist suunata. Neid ei tule käsitada jäiga järjestusena: lahenduskatse võib näidata, et ülesannet tuleb uuesti tõlgendada või esialgset plaani muuta.

Pólya käsitluses on olulisel kohal heuristikud: lahenduse otsimist toetavad mõtlemisvõtted, näiteks joonise tegemine, lihtsama seotud probleemi lahendamine, analoogia kasutamine ja tagantpoolt alustamine. Erinevalt kindla ülesandetüübi lahendusalgoritmist ei taga heuristik vastuseni jõudmist. See aitab leida paljutõotavat suunda. Õpetaja ülesanne on toetada õpilase iseseisvat otsingut sobivate küsimustega, jättes talle võimaluse teha lahendust edasi viiv avastus ise. Pólya, 1957, „How to Solve It“

Järgnevalt avame nelja etapi tähenduse ühe läbiva ülesande abil. Näide sobib kasutamiseks enne, kui õpilased on vastava loendamisreegli selgeks õppinud.

=== Näidisülesanne: klassi maleturniir ===

Klassi maleturniiril osaleb kaheksa õpilast. Iga osaleja mängib iga teise osalejaga täpselt ühe partii. Mitu partiid tuleb kokku korraldada? Selgita, kuidas tead, et oled arvestanud kõiki partiisid ja igaüht ainult ühe korra.

==== 1. Probleemi mõistmine: mida tuleb tegelikult leida? ====

Õpilane võib alustada kohe arvutusega 8 × 8 või 8 × 7. Enne arvutamist tasub aga selgitada, mida üks partii tähendab ja millised tingimused ülesandes kehtivad. Siin on otsitavaks suuruseks erinevate mängijapaaride arv. Keegi ei mängi iseendaga ning Anna mäng Bertiga ja Berti mäng Annaga tähistavad sama partiid.

Õpetaja võib küsida:

„Näita kahe osaleja abil, mis on selles ülesandes üks partii.“

„Kas mängijate nimetamise järjekord muudab partii teiseks?“

„Kuidas saaksid turniiri korraldajale näidata, millised mängud peavad toimuma?“

Õpilased võivad kujutada osalejaid punktidena ja partiisid punkte ühendavate joontena. Teine võimalus on kirjutada osalejate nimed tabeli ridadesse ja veergudesse. Mõlemal juhul aitab esitusviis ülesande tingimusi nähtavaks teha: punktist iseendasse joont ei tõmmata ning tabeli sümmeetrilistes lahtrites kordub sama mäng.

Probleemi mõistmine ei piirdu seega arvandmete allajoonimisega. Õpilane peab looma olukorrast sellise ettekujutuse, mille põhjal saab otsustada, mida loendada. Kui ta oskab ülesande oma sõnadega ümber jutustada ja selgitada, mis läheb arvesse ühe mänguna, on tekkinud alus lahendusplaani koostamiseks.

==== 2. Lahendusplaani koostamine: milline lähenemine võiks töötada? ====

Kaheksa osaleja kõigi mängude korraga kirjapanek võib tunduda keeruline. Siin saab rakendada lihtsama juhu uurimist: mitu partiid oleks kahe, kolme või nelja osalejaga turniiril?

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Osalejate ja partiide arv
! Osalejate arv
! Partiide arv
! Kuidas tulemus saadi?
|-
| 2
| 1
| Kaks osalejat mängivad omavahel.
|-
| 3
| 3
| Kolmas osaleja lisab kaks uut mängu.
|-
| 4
| 6
| Neljas osaleja lisab kolm uut mängu.
|-
| 5
| 10
| Viies osaleja lisab neli uut mängu.
|}

Nii võib õpilane märgata, et iga uus osaleja peab mängima kõigi seniste osalejatega. Sellest tekib plaan: kasvatada turniiri ühe osaleja kaupa kuni kaheksani.

Teine õpilane võib kavandada loendamise mängijate järgi: esimese mängija seitse partiid, seejärel teise mängija veel arvestamata partiid ja nii edasi. Kolmas võib lähtuda sellest, et igal mängijal on seitse vastast, ning uurida, miks korrutis 8 × 7 ei pruugi anda erinevate partiide arvu.

Õpetaja saab paluda rühmadel enne arvutamist oma plaani lühidalt sõnastada: „Mida te loendate ja kuidas väldite kordusi?“ Nii muutub lahendusviisi valik arutelu objektiks. Õpetaja ei pea kohe ütlema, milline plaan on kõige lühem; erinevad lähenemised annavad hiljem võimaluse tulemusi võrrelda.

==== 3. Plaani teostamine: kas iga samm on põhjendatud? ====

Loendame partiisid mängijate kaupa. Esimesel osalejal on seitse vastast. Teisel on samuti seitse vastast, kuid tema mäng esimesega on juba arvestatud, seega lisandub kuus uut partiid. Kolmanda puhul lisandub viis uut partiid. Jätkates saame:

7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 28.

Teise lahendusviisi korral alustame kõigi osalejate mängude loendamisest:

8 × 7 = 56.

Selles arvus on iga partii arvestatud kaks korda: üks kord kummagi mängija juures. Erinevate partiide leidmiseks jagame tulemuse kahega:

56 ÷ 2 = 28.

Mõlema lahenduse juures on arvutusest olulisem selgitada, mida tehted tähendavad. Näiteks küsimusele „Miks jagasid kahega?“ ei piisa vastusest „Sest nii tuleb õige vastus“. Õpilane peaks suutma osutada konkreetsele mängijapaarile ja näidata, kus seda kaks korda loendati.

Kui rühm saab vastuseks 56, võib õpetaja paluda neil oma loendamisviisi kolme osalejaga läbi proovida. Väikeses näites on korduvloendamist lihtsam märgata. See annab õpilastele võimaluse ise oma lahendust parandada.

==== 4. Tagasivaatamine: mida lahendusest õppida? ====

Vastus „28 partiid“ lõpetab turniiri korraldaja arvutusülesande, kuid klassis tasub arutelu jätkata. Õpilased saavad võrrelda kahte lahendust: miks annavad järjest vähenevate liidetavate summa ja korrutise poolitamine sama tulemuse?

Seejärel võib uurida ülesande variante:
* „Kui turniirile lisandub üheksas osaleja, mitu uut partiid tekib?“
* „Mis muutub, kui iga paar mängib kaks partiid?“
* „Kuidas leiaksid partiide arvu 20 osaleja korral?“
* „Millistes teistes olukordades tuleb samuti loendada erinevaid paare?“

Üheksanda osaleja lisandumisel tekib kaheksa uut partiid, kokku 36. Kahekümne osaleja korral saab kasutada sama põhjendust: igal osalejal on 19 vastast ning iga partii satub loendusse kaks korda. Tulemuseks on 20 × 19 ÷ 2 = 190.

Üldistades n osalejale jõuame seoseni: partiide arv = n(n − 1) ÷ 2.

Valem võtab siin kokku õpilaste põhjenduse. Sama mõttekäiku saab kasutada näiteks inimestevaheliste käepigistuste või punktipaare ühendavate lõikude loendamisel. Ülekandmine eeldab siiski tingimuste kontrollimist: kas iga paar esineb täpselt ühe korra ning kas järjestus on oluline?

=== Heuristikute õppimine erinevate ülesannete kaudu ===

Maleturniiri ülesandes olid kasulikud joonistamine, lihtsamate juhtude uurimine ja süstemaatiline loendamine. Et õpilane õpiks võtteid iseseisvalt valima, vajab ta võimalust katsetada neid eri olukordades. Järgmised näited illustreerivad veel kolme võimalikku otsingusuunda.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Heuristikute kasutamise näited
! Heuristik
! Näidisülesanne
! Võimalik mõttekäik
|-
| '''Tööta tagantpoolt.'''
| Mõeldud arv korrutati kolmega ja tulemusele liideti seitse. Saadi 40. Mis arv mõeldi?
| Alusta tulemusest: 40 − 7 = 33 ja 33 ÷ 3 = 11. Kontrolli algsete tehetega.
|-
| '''Jaota probleem osadeks.'''
| Ristkülikust mõõtmetega 8 × 6 cm on ühest nurgast eemaldatud ristkülik mõõtmetega 3 × 2 cm. Leia allesjäänud kujundi pindala kahel viisil.
| Võrdle suurest ristkülikust väikese lahutamist kujundi jagamisega kaheks ristkülikuks. Mõlemal juhul saad 42 cm².
|-
| '''Muuda esitust.'''
| Talunikul on kanad ja küülikud: kokku kümme looma ning 28 jalga. Mitu on kumbagi?
| Kujuta esmalt kõiki loomi kahejalgsena. Saad 20 jalga. Iga kana asendamine küülikuga lisab kaks jalga; kaheksa lisajala jaoks on vaja nelja küülikut.
|}

Need ülesanded on probleemid ainult nende õpilaste jaoks, kellel pole lahendusviis veel valmis kujul käepärast. Kui õpilane tunneb vastavat tüüpvõtet, saab õpetaja paluda leida teise lahenduse, põhjendada võtte toimimist või muuta ülesande tingimusi.

=== Pólya käsitluse kasutamine õpetaja igapäevatöös ===

LAHEMATE tundides võiks nelja etappi kasutada ühise arutelukeele ja õpetaja vaatlusraamina. Kui rühm takerdub, tasub enne vihje andmist uurida, kas raskus seisneb tingimuste mõistmises, sobiva plaani leidmises või valitud plaani teostamises. Sellest sõltub ka abi: mõnikord on vaja olukord läbi mängida, teinekord uurida väiksemat juhtu või kontrollida üht arvutussammu.

Õpilastelt ei pea nõudma iga ülesande puhul nelja pealkirjaga aruannet. Kasulikum võib olla paluda lahendamise järel kirjeldada üht otsustavat hetke: „Mis aitas sul edasi liikuda?“, „Miks sa oma plaani muutsid?“ või „Millal võiks sama võte uuesti kasulik olla?“ Nii seostuvad etappide nimetused õpilase enda kogemusega.

See käsitlus loob ka lähtekoha Schoenfeldi raamistiku juurde liikumiseks. Õpetaja saab hakata jälgima, kuidas õpilane otsustab, millal valitud suunda jätkata, millal seda muuta ning mille põhjal ta oma lahendust usaldab.

=== Allikas ===

''Pólya, G. (1957). How to Solve It: A New Aspect of Mathematical Method (2. trükk). Princeton University Press. Esmatrükk 1945. Teose digikoopia.''

University of California, Berkeley, GSI Teaching &amp; Resource Center. (2011). Alan Schoenfeld: Learning to Think Mathematically (or like a scientist, or like a writer, or…). Ettekande ülevaade.</text>
      <sha1>kjjr5b5011b7p7337h3p2m43cms9mbs</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>20558</id>
      <parentid>20557</parentid>
      <timestamp>2026-10-30T11:26:57Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>~2026-57977-95</username>
        <id>3203</id>
      </contributor>
      <comment>/* Allikas */</comment>
      <origin>20558</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="9226" sha1="k65jg91rmh7kmyh1te4s20s522goa6f" xml:space="preserve">George Pólya raamatu „[https://en.wikipedia.org/wiki/How_to_Solve_It How to Solve It]“ (1945; eesti keeles „[https://www.ester.ee/record=b1538228*est Kuidas seda lahendada]“, 2001) keskne küsimus on, kuidas õppida ja õpetada probleemide lahendamist. Pólya eristab nelja etappi: probleemi mõistmine, lahendusplaani koostamine, plaani teostamine ning lahendusele tagasivaatamine. Etappe toetavad küsimused, mis aitavad lahendajal oma mõtlemist suunata. Neid ei tule käsitada jäiga järjestusena: lahenduskatse võib näidata, et ülesannet tuleb uuesti tõlgendada või esialgset plaani muuta.

Pólya käsitluses on olulisel kohal heuristikud: lahenduse otsimist toetavad mõtlemisvõtted, näiteks joonise tegemine, lihtsama seotud probleemi lahendamine, analoogia kasutamine ja tagantpoolt alustamine. Erinevalt kindla ülesandetüübi lahendusalgoritmist ei taga heuristik vastuseni jõudmist. See aitab leida paljutõotavat suunda. Õpetaja ülesanne on toetada õpilase iseseisvat otsingut sobivate küsimustega, jättes talle võimaluse teha lahendust edasi viiv avastus ise. Pólya, 1957, „How to Solve It“

Järgnevalt avame nelja etapi tähenduse ühe läbiva ülesande abil. Näide sobib kasutamiseks enne, kui õpilased on vastava loendamisreegli selgeks õppinud.

=== Näidisülesanne: klassi maleturniir ===

Klassi maleturniiril osaleb kaheksa õpilast. Iga osaleja mängib iga teise osalejaga täpselt ühe partii. Mitu partiid tuleb kokku korraldada? Selgita, kuidas tead, et oled arvestanud kõiki partiisid ja igaüht ainult ühe korra.

==== 1. Probleemi mõistmine: mida tuleb tegelikult leida? ====

Õpilane võib alustada kohe arvutusega 8 × 8 või 8 × 7. Enne arvutamist tasub aga selgitada, mida üks partii tähendab ja millised tingimused ülesandes kehtivad. Siin on otsitavaks suuruseks erinevate mängijapaaride arv. Keegi ei mängi iseendaga ning Anna mäng Bertiga ja Berti mäng Annaga tähistavad sama partiid.

Õpetaja võib küsida:

„Näita kahe osaleja abil, mis on selles ülesandes üks partii.“

„Kas mängijate nimetamise järjekord muudab partii teiseks?“

„Kuidas saaksid turniiri korraldajale näidata, millised mängud peavad toimuma?“

Õpilased võivad kujutada osalejaid punktidena ja partiisid punkte ühendavate joontena. Teine võimalus on kirjutada osalejate nimed tabeli ridadesse ja veergudesse. Mõlemal juhul aitab esitusviis ülesande tingimusi nähtavaks teha: punktist iseendasse joont ei tõmmata ning tabeli sümmeetrilistes lahtrites kordub sama mäng.

Probleemi mõistmine ei piirdu seega arvandmete allajoonimisega. Õpilane peab looma olukorrast sellise ettekujutuse, mille põhjal saab otsustada, mida loendada. Kui ta oskab ülesande oma sõnadega ümber jutustada ja selgitada, mis läheb arvesse ühe mänguna, on tekkinud alus lahendusplaani koostamiseks.

==== 2. Lahendusplaani koostamine: milline lähenemine võiks töötada? ====

Kaheksa osaleja kõigi mängude korraga kirjapanek võib tunduda keeruline. Siin saab rakendada lihtsama juhu uurimist: mitu partiid oleks kahe, kolme või nelja osalejaga turniiril?

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Osalejate ja partiide arv
! Osalejate arv
! Partiide arv
! Kuidas tulemus saadi?
|-
| 2
| 1
| Kaks osalejat mängivad omavahel.
|-
| 3
| 3
| Kolmas osaleja lisab kaks uut mängu.
|-
| 4
| 6
| Neljas osaleja lisab kolm uut mängu.
|-
| 5
| 10
| Viies osaleja lisab neli uut mängu.
|}

Nii võib õpilane märgata, et iga uus osaleja peab mängima kõigi seniste osalejatega. Sellest tekib plaan: kasvatada turniiri ühe osaleja kaupa kuni kaheksani.

Teine õpilane võib kavandada loendamise mängijate järgi: esimese mängija seitse partiid, seejärel teise mängija veel arvestamata partiid ja nii edasi. Kolmas võib lähtuda sellest, et igal mängijal on seitse vastast, ning uurida, miks korrutis 8 × 7 ei pruugi anda erinevate partiide arvu.

Õpetaja saab paluda rühmadel enne arvutamist oma plaani lühidalt sõnastada: „Mida te loendate ja kuidas väldite kordusi?“ Nii muutub lahendusviisi valik arutelu objektiks. Õpetaja ei pea kohe ütlema, milline plaan on kõige lühem; erinevad lähenemised annavad hiljem võimaluse tulemusi võrrelda.

==== 3. Plaani teostamine: kas iga samm on põhjendatud? ====

Loendame partiisid mängijate kaupa. Esimesel osalejal on seitse vastast. Teisel on samuti seitse vastast, kuid tema mäng esimesega on juba arvestatud, seega lisandub kuus uut partiid. Kolmanda puhul lisandub viis uut partiid. Jätkates saame:

7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 28.

Teise lahendusviisi korral alustame kõigi osalejate mängude loendamisest:

8 × 7 = 56.

Selles arvus on iga partii arvestatud kaks korda: üks kord kummagi mängija juures. Erinevate partiide leidmiseks jagame tulemuse kahega:

56 ÷ 2 = 28.

Mõlema lahenduse juures on arvutusest olulisem selgitada, mida tehted tähendavad. Näiteks küsimusele „Miks jagasid kahega?“ ei piisa vastusest „Sest nii tuleb õige vastus“. Õpilane peaks suutma osutada konkreetsele mängijapaarile ja näidata, kus seda kaks korda loendati.

Kui rühm saab vastuseks 56, võib õpetaja paluda neil oma loendamisviisi kolme osalejaga läbi proovida. Väikeses näites on korduvloendamist lihtsam märgata. See annab õpilastele võimaluse ise oma lahendust parandada.

==== 4. Tagasivaatamine: mida lahendusest õppida? ====

Vastus „28 partiid“ lõpetab turniiri korraldaja arvutusülesande, kuid klassis tasub arutelu jätkata. Õpilased saavad võrrelda kahte lahendust: miks annavad järjest vähenevate liidetavate summa ja korrutise poolitamine sama tulemuse?

Seejärel võib uurida ülesande variante:
* „Kui turniirile lisandub üheksas osaleja, mitu uut partiid tekib?“
* „Mis muutub, kui iga paar mängib kaks partiid?“
* „Kuidas leiaksid partiide arvu 20 osaleja korral?“
* „Millistes teistes olukordades tuleb samuti loendada erinevaid paare?“

Üheksanda osaleja lisandumisel tekib kaheksa uut partiid, kokku 36. Kahekümne osaleja korral saab kasutada sama põhjendust: igal osalejal on 19 vastast ning iga partii satub loendusse kaks korda. Tulemuseks on 20 × 19 ÷ 2 = 190.

Üldistades n osalejale jõuame seoseni: partiide arv = n(n − 1) ÷ 2.

Valem võtab siin kokku õpilaste põhjenduse. Sama mõttekäiku saab kasutada näiteks inimestevaheliste käepigistuste või punktipaare ühendavate lõikude loendamisel. Ülekandmine eeldab siiski tingimuste kontrollimist: kas iga paar esineb täpselt ühe korra ning kas järjestus on oluline?

=== Heuristikute õppimine erinevate ülesannete kaudu ===

Maleturniiri ülesandes olid kasulikud joonistamine, lihtsamate juhtude uurimine ja süstemaatiline loendamine. Et õpilane õpiks võtteid iseseisvalt valima, vajab ta võimalust katsetada neid eri olukordades. Järgmised näited illustreerivad veel kolme võimalikku otsingusuunda.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Heuristikute kasutamise näited
! Heuristik
! Näidisülesanne
! Võimalik mõttekäik
|-
| '''Tööta tagantpoolt.'''
| Mõeldud arv korrutati kolmega ja tulemusele liideti seitse. Saadi 40. Mis arv mõeldi?
| Alusta tulemusest: 40 − 7 = 33 ja 33 ÷ 3 = 11. Kontrolli algsete tehetega.
|-
| '''Jaota probleem osadeks.'''
| Ristkülikust mõõtmetega 8 × 6 cm on ühest nurgast eemaldatud ristkülik mõõtmetega 3 × 2 cm. Leia allesjäänud kujundi pindala kahel viisil.
| Võrdle suurest ristkülikust väikese lahutamist kujundi jagamisega kaheks ristkülikuks. Mõlemal juhul saad 42 cm².
|-
| '''Muuda esitust.'''
| Talunikul on kanad ja küülikud: kokku kümme looma ning 28 jalga. Mitu on kumbagi?
| Kujuta esmalt kõiki loomi kahejalgsena. Saad 20 jalga. Iga kana asendamine küülikuga lisab kaks jalga; kaheksa lisajala jaoks on vaja nelja küülikut.
|}

Need ülesanded on probleemid ainult nende õpilaste jaoks, kellel pole lahendusviis veel valmis kujul käepärast. Kui õpilane tunneb vastavat tüüpvõtet, saab õpetaja paluda leida teise lahenduse, põhjendada võtte toimimist või muuta ülesande tingimusi.

=== Pólya käsitluse kasutamine õpetaja igapäevatöös ===

LAHEMATE tundides võiks nelja etappi kasutada ühise arutelukeele ja õpetaja vaatlusraamina. Kui rühm takerdub, tasub enne vihje andmist uurida, kas raskus seisneb tingimuste mõistmises, sobiva plaani leidmises või valitud plaani teostamises. Sellest sõltub ka abi: mõnikord on vaja olukord läbi mängida, teinekord uurida väiksemat juhtu või kontrollida üht arvutussammu.

Õpilastelt ei pea nõudma iga ülesande puhul nelja pealkirjaga aruannet. Kasulikum võib olla paluda lahendamise järel kirjeldada üht otsustavat hetke: „Mis aitas sul edasi liikuda?“, „Miks sa oma plaani muutsid?“ või „Millal võiks sama võte uuesti kasulik olla?“ Nii seostuvad etappide nimetused õpilase enda kogemusega.

See käsitlus loob ka lähtekoha Schoenfeldi raamistiku juurde liikumiseks. Õpetaja saab hakata jälgima, kuidas õpilane otsustab, millal valitud suunda jätkata, millal seda muuta ning mille põhjal ta oma lahendust usaldab.

=== Allikas ===

Pólya, G. (1957). How to Solve It: A New Aspect of Mathematical Method (2. trükk). Princeton University Press. Esmatrükk 1945. Teose digikoopia.</text>
      <sha1>k65jg91rmh7kmyh1te4s20s522goa6f</sha1>
    </revision>
  </page>
</mediawiki>