Vikiõpikud etwikibooks https://et.wikibooks.org/wiki/Esileht MediaWiki 1.48.0-wmf.1 first-letter Meedia Eri Arutelu Kasutaja Kasutaja arutelu Vikiõpikud Vikiõpikute arutelu Fail Faili arutelu MediaWiki MediaWiki arutelu Mall Malli arutelu Juhend Juhendi arutelu Kategooria Kategooria arutelu TimedText TimedText talk Moodul Mooduli arutelu Üritus Ürituse arutelu 0 4255 20559 20552 2026-10-30T22:16:42Z ~2026-57407-69 3201 /* Probleemülesannete tüübid matemaatikaõpetuses */ 20559 wikitext text/x-wiki Pólya aitab kirjeldada probleemilahenduse etappe ning Schoenfeld selgitab lahendaja teadmiste, metakognitsiooni ja uskumuste rolli. David H. Jonassen lisab õppedisaini vaatenurga: '''erinevat tüüpi probleemülesanded nõuavad erinevat lahendustegevust ning seetõttu ka erinevat õpetamist ja hindamist'''. Tema raamatus „Learning to Solve Problems“ tähendab probleemülesanne lahendamist väärivat teadmatust mingis kontekstis. Lisaks teadmata vastusele peab olema põhjus seda otsida: lahendusel on kellegi jaoks intellektuaalne, praktiline või sotsiaalne väärtus.<ref name="Jonassen2004">Jonassen, D. H. (2004). ''Learning to Solve Problems: An Instructional Design Guide''. San Francisco: Pfeiffer. Probleemide omadused ja tüpoloogia: 1. peatükk; õpikeskkondade kavandamine: 2. peatükk; hindamine: 8. peatükk.</ref> Matemaatikaõpetaja jaoks tähendab see, et ülesannete valimisel tasub arvutamise keerukuse kõrval küsida: mida peab õpilane selles ülesandes ise otsustama? Kas ta valib sobiva tehte, otsib vea põhjust, võrdleb võimalusi või kavandab piirangutele vastava lahenduse? === Mille poolest probleemülesanded erinevad? === Jonassen eristab probleemide nelja omadust: '''struktureeritust, keerukust, kohanduvust ja kontekstiseotust'''.<ref name="Jonassen2004" /> Neid võib käsitleda telgedena, millel probleemid paiknevad erinevates punktides. '''Hästi struktureeritud probleemülesandes''' on lähteolukord, eesmärk ja lahenduse hindamise alused selged. Näiteks võib ülesanne nõuda ristkülikukujulise põranda katmiseks vajalike plaatide arvu leidmist, kui kõik mõõtmed ja paigaldustingimused on antud. '''Nõrgalt struktureeritud probleemülesandes''' tuleb lahendajal ka eesmärki täpsustada, puuduvaid andmeid hankida (või liigseid lähteandmeid ignoreerida) ning võimalikke lahendusi mitme kriteeriumi järgi võrrelda. Näiteks kooli puhkeala kavandamisel tuleb otsustada, kuidas arvestada ruumi, eelarve ja erinevate kasutajate (sh väga noorte ja erivajadustega õppijate) vajadustega. Struktureeritus ei võrdu raskusastmega, sest raskusaste on subjektiivne (mis ühe õpilase jaoks on raske, pole seda teise jaoks). Selgete reeglitega loogikaülesanne võib olla väga keeruline, samal ajal kui mitme vastuvõetava lahendusega valik võib olla üsna lihtne. Ka mitu lahendusviisi ei muuda ülesannet iseenesest nõrgalt struktureerituks. '''Keerukus''' sõltub muu hulgas tegurite arvust, nendevahelistest seostest ja lahendusalgoritmi sammude arvust, aga ka mitme valdkonna teadmiste kombineerimise vajadusest. '''Kohanduvus''' tähendab, et tingimused võivad lahendamise ajal muutuda: näiteks eelarve koostamise järel selgub uus osalejate arv või alternatiivsed kokkuhoiukohad. '''Kontekstiseotus''' väljendub selles, milliseid valdkonnateadmisi on vaja arvude tõlgendamiseks. Sama jagamistehe võib anda eri olukordades erineva praktilise vastuse: busside arvu leidmisel tuleb arvestada tervete bussidega, keskmise arvutamisel võib murdarv olla täiesti sobiv. === Probleemülesannete tüübid matemaatikaõpetuses === Jonasseni tüpoloogia hõlmab ühtteist tüüpi: loogikaülesanded, algoritmi rakendamise ülesanded, tekstülesanded, reeglite kasutamise ülesanded, otsustusprobleemid, veaotsing, diagnoosimise ja lahenduse valiku probleemid, strateegiline tegutsemine, juhtumi- ja süsteemianalüüs, disainiprobleemid ning dilemmad. See on probleemide mõtestamise tüpoloogia, mitte jäik raskusastmete järjestus.<ref name="Jonassen2004" /> Jonassen kasutab probleemi mõistet laiemalt: see pole lihtsalt mitterutiinne ülesanne, milles lahendajal puudub valmis lahendusviis. Seetõttu kuulub tema tüpoloogiasse ka algoritmi rakendamine. Õpilasele tuttava algoritmi harjutamine või tavapärane tekstülesanne ei pruugi olla mitterutiinne, kuid Jonasseni tüpoloogias määratletakse probleeme laiemalt kui üksnes rutiinsuse või mitterutiinsuse alusel. Järgmine tabel esitab valiku tüüpe koos selle käsiraamatu jaoks koostatud näidetega. {| class="wikitable" ! Probleemülesande tüüp ! Näide matemaatikatundi ! Lahendamise keskne tegevus |- | Loogikaülesanne | Leia kõik kolmekohalised arvud, mille numbrite summa on 6 ja numbrid on rangelt kasvavas järjekorras. | Võimaluste süstemaatiline uurimine ning täielikkuse põhjendamine. |- | Tekstülesanne | Bussirent maksab 360 eurot. Kui kulud jagatakse 24 õpilase vahel võrdselt, kui palju maksab igaüks? | Olukorra seostamine matemaatilise mudeli ja tehtega. |- | Otsustusprobleem | Kumb kahest bussipakkumisest sobib klassi õppekäiguks paremini, arvestades hinda, istekohtade arvu ja väljasõiduaega? | Valikukriteeriumide sõnastamine, võrdlemine ja otsuse põhjendamine. |- | Veaotsing | Õppekäigu eelarvetabelis ei muutu kogukulu osalejate arvu muutmisel. Leia põhjus ja kontrolli parandust. | Võimalike veapõhjuste püstitamine ja katsetamine. |- | Disainiprobleem | Koosta kuni 25-eurose osalustasuga õppekäigu kava, mis täidab kokkulepitud õpieesmärgid. | Teostatava lahenduse loomine piirangute ja eesmärkide alusel. |- | Dilemma | Kuidas jagada piiratud toetussummat, kui soovitakse korraga võrdset kohtlemist ja väiksema maksevõimega perede toetamist? | Väärtuskonflikti ja alternatiivide tagajärgede analüüsimine. |} Viimases näites saab matemaatika abil võrrelda jaotusviise, kuid arvutus üksi ei otsusta, milline jaotus on õiglane. Õpetaja peab eristama matemaatilise põhjenduse kvaliteeti õpilase väärtusvalikust. === Probleemülesande koostamine õppedisainis === Jonasseni järgi tuleb kavandada ülesande ümber ka õppimist toetav keskkond: probleemiesitus, vajalikud teadmised, modelleerimisvahendid, näited, katsetamisvõimalused ja tagasiside. Ühes olukorras aitab läbitöötatud näidislahendus, teises erinevate juhtumite võrdlemine või võimalus oma oletusi katsetada. Kõigile probleemidele ei sobi sama toestus.<ref name="Jonassen2004" /> Õpetaja saab neid põhimõtteid rakendada järgmiste sammudena. Need on käsiraamatu koostamissoovitused, mitte Jonasseni poolt fikseeritud sammud. # '''Määra õppimise eesmärk.''' Kas õpilane õpib protsente arvutama, kulumudelit koostama või alternatiive põhjendatult võrdlema? # '''Vali eesmärgile vastav probleemülesande tüüp.''' Otsustamisoskuse harjutamiseks peab ülesandes olema sisuline valik; üksnes arvandmete paigutamisest jutukesse ei piisa. # '''Otsusta, mis antakse ette ja mida õpilane selgitab ise.''' Puuduvad andmed peavad looma mõtestatud uurimisvajaduse. Õpilasel peab olema võimalus neid hankida või põhjendatud eeldustega asendada. # '''Kavanda sobiv toestamine.''' Võimalda näiteks joonist, tabelit, arvutustabelit, vihjeid või sarnast näidislahendust. Toestamine (''scaffolding'') peaks aitama käivitada õpilase mõtlemisprotsessi, säilitades õpilasele kavandatud otsustusruumi ja agentsuse. # '''Määra sobiva lahenduse tunnused.''' Õpitulemus, nõutav sooritus ja hindamine peavad omavahel sobima. '''Näide: arvutusülesandest otsustusprobleemiks''' Rutiinse tavaülesande võib Jonasseni järgi muuta probleemülesandeks. Näide: õppekäiguks pakub ettevõte A 32-kohalist bussi hinnaga 320 eurot ning ettevõte B 48-kohalist bussi hinnaga 380 eurot. Mõlemad hinnad hõlmavad kogu sõitu. Osaleb 30 õpilast ja kaks õpetajat; bussikulu jagatakse õpilaste vahel võrdselt. Kui ülesande sõnastuses küsida ainult odavama bussi osalustasu, piisab arvutusest <math>320:30\approx10{,}67</math> eurot. Probleemülesandeks muutub see siis, kui lisada: „Liituda võib veel kaks õpilast. Valige pakkumine ning põhjendage, millistel tingimustel tuleks valikut muuta.“ Esialgne rühm mahub ettevõtte A bussi täpselt ära. Kahe õpilase lisandumisel ei piisa enam istekohtadest. Ettevõtte B bussi puhul oleks 32 maksva õpilase osalustasu <math>380:32=11{,}875</math> eurot ehk sendini ümardatult 11,88 eurot. Õpilased peavad nüüd siduma arvutuse mahutavuse ja ebakindla osalejate arvuga. Põhjendatud lahendus võib olla ka tingimuslik otsus: kinnitada esmalt osalejate arv ja valida seejärel buss. === Probleemilahenduse hindamine === Jonassen soovitab ühendada kolm hindamisvaadet: '''probleemi lahendamise sooritus, lahendamiseks vajalikud kognitiivsed osaoskused ning lahenduse argumenteerimine'''. Ainult lõppvastusest või mõistete meenutamisest ei piisa. Hindamine peab vastama sellele probleemilahendusele, mida õpilased õppisid.<ref name="Jonassen2004" /> Bussivaliku ülesandes võiks õpetaja koguda järgmisi tõendeid: * '''Sooritus:''' õpilase valitud buss mahutab kogu rühma ning esitatud kulumudel vastab tingimustele. * '''Osaoskused:''' õpilane eristab sõitjate ja maksjate arvu, arvutab osalustasu ning tõlgendab ümardamist. * '''Argumentatsioon:''' õpilane seob soovituse kriteeriumidega, võrdleb alternatiivi ja selgitab, kuidas osalejate arvu muutus mõjutab otsust. Hindamiskriteeriumid tuleb avada jälgitavate tunnustena. Näiteks kriteeriumi „otsuse põhjendatus“ puhul saab eristada kolme taset: # '''Vajab täiendamist:''' esitatud on valik, kuid puudub andmetega seotud põhjendus. # '''Põhjendatud:''' valik toetub asjakohastele arvutustele ja istekohtade piisavuse kontrollile. # '''Põhjendatud koos tingimuste analüüsiga:''' lisaks võrreldakse alternatiivi ning selgitatakse, millal soovitus muutuks. See on ühe kriteeriumi näide; matemaatilist korrektsust tuleb hinnata eraldi. Rühmatöö kõrval võib iga õpilane vastata lühikesele individuaalsele küsimusele, näiteks selgitada oma sõnadega, miks maksjate arv erineb sõitjate arvust. Nii ei jää arusaamise hindamine üksnes rühma ühise lõpptulemuse varju. Jonasseni käsitlus aitab õpetajal kujundada mitmekesist ülesandevalikut ning siduda iga ülesande eesmärgi sobiva toe ja hindamisega. Arvutus, vea leidmine, põhjendatud otsus ja uue lahenduse kavandamine annavad õpilase probleemilahendusoskusest erinevat teavet. === Allikad === <references /> ``` pgsq8ujfujf3q0ywmt54g067lbh0rb6 20560 20559 2026-10-30T22:21:14Z ~2026-57407-69 3201 /* Probleemülesande koostamine õppedisainis */ 20560 wikitext text/x-wiki Pólya aitab kirjeldada probleemilahenduse etappe ning Schoenfeld selgitab lahendaja teadmiste, metakognitsiooni ja uskumuste rolli. David H. Jonassen lisab õppedisaini vaatenurga: '''erinevat tüüpi probleemülesanded nõuavad erinevat lahendustegevust ning seetõttu ka erinevat õpetamist ja hindamist'''. Tema raamatus „Learning to Solve Problems“ tähendab probleemülesanne lahendamist väärivat teadmatust mingis kontekstis. Lisaks teadmata vastusele peab olema põhjus seda otsida: lahendusel on kellegi jaoks intellektuaalne, praktiline või sotsiaalne väärtus.<ref name="Jonassen2004">Jonassen, D. H. (2004). ''Learning to Solve Problems: An Instructional Design Guide''. San Francisco: Pfeiffer. Probleemide omadused ja tüpoloogia: 1. peatükk; õpikeskkondade kavandamine: 2. peatükk; hindamine: 8. peatükk.</ref> Matemaatikaõpetaja jaoks tähendab see, et ülesannete valimisel tasub arvutamise keerukuse kõrval küsida: mida peab õpilane selles ülesandes ise otsustama? Kas ta valib sobiva tehte, otsib vea põhjust, võrdleb võimalusi või kavandab piirangutele vastava lahenduse? === Mille poolest probleemülesanded erinevad? === Jonassen eristab probleemide nelja omadust: '''struktureeritust, keerukust, kohanduvust ja kontekstiseotust'''.<ref name="Jonassen2004" /> Neid võib käsitleda telgedena, millel probleemid paiknevad erinevates punktides. '''Hästi struktureeritud probleemülesandes''' on lähteolukord, eesmärk ja lahenduse hindamise alused selged. Näiteks võib ülesanne nõuda ristkülikukujulise põranda katmiseks vajalike plaatide arvu leidmist, kui kõik mõõtmed ja paigaldustingimused on antud. '''Nõrgalt struktureeritud probleemülesandes''' tuleb lahendajal ka eesmärki täpsustada, puuduvaid andmeid hankida (või liigseid lähteandmeid ignoreerida) ning võimalikke lahendusi mitme kriteeriumi järgi võrrelda. Näiteks kooli puhkeala kavandamisel tuleb otsustada, kuidas arvestada ruumi, eelarve ja erinevate kasutajate (sh väga noorte ja erivajadustega õppijate) vajadustega. Struktureeritus ei võrdu raskusastmega, sest raskusaste on subjektiivne (mis ühe õpilase jaoks on raske, pole seda teise jaoks). Selgete reeglitega loogikaülesanne võib olla väga keeruline, samal ajal kui mitme vastuvõetava lahendusega valik võib olla üsna lihtne. Ka mitu lahendusviisi ei muuda ülesannet iseenesest nõrgalt struktureerituks. '''Keerukus''' sõltub muu hulgas tegurite arvust, nendevahelistest seostest ja lahendusalgoritmi sammude arvust, aga ka mitme valdkonna teadmiste kombineerimise vajadusest. '''Kohanduvus''' tähendab, et tingimused võivad lahendamise ajal muutuda: näiteks eelarve koostamise järel selgub uus osalejate arv või alternatiivsed kokkuhoiukohad. '''Kontekstiseotus''' väljendub selles, milliseid valdkonnateadmisi on vaja arvude tõlgendamiseks. Sama jagamistehe võib anda eri olukordades erineva praktilise vastuse: busside arvu leidmisel tuleb arvestada tervete bussidega, keskmise arvutamisel võib murdarv olla täiesti sobiv. === Probleemülesannete tüübid matemaatikaõpetuses === Jonasseni tüpoloogia hõlmab ühtteist tüüpi: loogikaülesanded, algoritmi rakendamise ülesanded, tekstülesanded, reeglite kasutamise ülesanded, otsustusprobleemid, veaotsing, diagnoosimise ja lahenduse valiku probleemid, strateegiline tegutsemine, juhtumi- ja süsteemianalüüs, disainiprobleemid ning dilemmad. See on probleemide mõtestamise tüpoloogia, mitte jäik raskusastmete järjestus.<ref name="Jonassen2004" /> Jonassen kasutab probleemi mõistet laiemalt: see pole lihtsalt mitterutiinne ülesanne, milles lahendajal puudub valmis lahendusviis. Seetõttu kuulub tema tüpoloogiasse ka algoritmi rakendamine. Õpilasele tuttava algoritmi harjutamine või tavapärane tekstülesanne ei pruugi olla mitterutiinne, kuid Jonasseni tüpoloogias määratletakse probleeme laiemalt kui üksnes rutiinsuse või mitterutiinsuse alusel. Järgmine tabel esitab valiku tüüpe koos selle käsiraamatu jaoks koostatud näidetega. {| class="wikitable" ! Probleemülesande tüüp ! Näide matemaatikatundi ! Lahendamise keskne tegevus |- | Loogikaülesanne | Leia kõik kolmekohalised arvud, mille numbrite summa on 6 ja numbrid on rangelt kasvavas järjekorras. | Võimaluste süstemaatiline uurimine ning täielikkuse põhjendamine. |- | Tekstülesanne | Bussirent maksab 360 eurot. Kui kulud jagatakse 24 õpilase vahel võrdselt, kui palju maksab igaüks? | Olukorra seostamine matemaatilise mudeli ja tehtega. |- | Otsustusprobleem | Kumb kahest bussipakkumisest sobib klassi õppekäiguks paremini, arvestades hinda, istekohtade arvu ja väljasõiduaega? | Valikukriteeriumide sõnastamine, võrdlemine ja otsuse põhjendamine. |- | Veaotsing | Õppekäigu eelarvetabelis ei muutu kogukulu osalejate arvu muutmisel. Leia põhjus ja kontrolli parandust. | Võimalike veapõhjuste püstitamine ja katsetamine. |- | Disainiprobleem | Koosta kuni 25-eurose osalustasuga õppekäigu kava, mis täidab kokkulepitud õpieesmärgid. | Teostatava lahenduse loomine piirangute ja eesmärkide alusel. |- | Dilemma | Kuidas jagada piiratud toetussummat, kui soovitakse korraga võrdset kohtlemist ja väiksema maksevõimega perede toetamist? | Väärtuskonflikti ja alternatiivide tagajärgede analüüsimine. |} Viimases näites saab matemaatika abil võrrelda jaotusviise, kuid arvutus üksi ei otsusta, milline jaotus on õiglane. Õpetaja peab eristama matemaatilise põhjenduse kvaliteeti õpilase väärtusvalikust. === Probleemülesande koostamine õppedisainis === Jonasseni järgi tuleb kavandada ülesande ümber ka õppimist toetav keskkond: probleemiesitus, vajalikud teadmised, modelleerimisvahendid, näited, katsetamisvõimalused ja tagasiside. Ühes olukorras aitab läbitöötatud näidislahendus, teises erinevate juhtumite võrdlemine või võimalus oma oletusi katsetada. Kõigile probleemidele ei sobi sama toestus.<ref name="Jonassen2004" /> Õpetaja saab neid põhimõtteid rakendada järgmiste sammudena. Need on käsiraamatu koostamissoovitused, mitte Jonasseni poolt fikseeritud sammud. # '''Määra õppimise eesmärk.''' Kas õpilane õpib protsente arvutama, kulumudelit koostama või alternatiive põhjendatult võrdlema? # '''Vali eesmärgile vastav probleemülesande tüüp.''' Otsustamisoskuse harjutamiseks peab ülesandes olema sisuline valik; üksnes arvandmete paigutamisest jutukesse ei piisa. # '''Otsusta, mis antakse ette ja mida õpilane selgitab ise.''' Puuduvad andmed peavad looma mõtestatud uurimisvajaduse. Õpilasel peab olema võimalus neid hankida või põhjendatud eeldustega asendada. # '''Kavanda sobiv toestamine.''' Võimalda näiteks joonist, tabelit, arvutustabelit, vihjeid või sarnast näidislahendust. Toestamine (''scaffolding'') peaks aitama käivitada õpilase mõtlemisprotsessi, säilitades talle ülesandes kavandatud otsustusruumi. # '''Määra sobiva lahenduse tunnused.''' Õpitulemus, nõutav sooritus ja hindamine peavad omavahel sobima. '''Näide: arvutusülesandest otsustusprobleemiks''' Rutiinse tavaülesande võib Jonasseni järgi muuta probleemülesandeks. Näide: õppekäiguks pakub ettevõte A 32-kohalist bussi hinnaga 320 eurot ning ettevõte B 48-kohalist bussi hinnaga 380 eurot. Mõlemad hinnad hõlmavad kogu sõitu. Osaleb 30 õpilast ja kaks õpetajat; bussikulu jagatakse õpilaste vahel võrdselt. Kui ülesande sõnastuses küsida ainult odavama bussi osalustasu, piisab arvutusest <math>320:30\approx10{,}67</math> eurot. Probleemülesandeks muutub see siis, kui lisada: „Liituda võib veel kaks õpilast. Valige pakkumine ning põhjendage, millistel tingimustel tuleks valikut muuta.“ Esialgne rühm mahub ettevõtte A bussi täpselt ära. Kahe õpilase lisandumisel ei piisa enam istekohtadest. Ettevõtte B bussi puhul oleks 32 maksva õpilase osalustasu <math>380:32=11{,}875</math> eurot ehk sendini ümardatult 11,88 eurot. Õpilased peavad nüüd siduma arvutuse mahutavuse ja ebakindla osalejate arvuga. Põhjendatud lahendus võib olla ka tingimuslik otsus: kinnitada esmalt osalejate arv ja valida seejärel buss. === Probleemilahenduse hindamine === Jonassen soovitab ühendada kolm hindamisvaadet: '''probleemi lahendamise sooritus, lahendamiseks vajalikud kognitiivsed osaoskused ning lahenduse argumenteerimine'''. Ainult lõppvastusest või mõistete meenutamisest ei piisa. Hindamine peab vastama sellele probleemilahendusele, mida õpilased õppisid.<ref name="Jonassen2004" /> Bussivaliku ülesandes võiks õpetaja koguda järgmisi tõendeid: * '''Sooritus:''' õpilase valitud buss mahutab kogu rühma ning esitatud kulumudel vastab tingimustele. * '''Osaoskused:''' õpilane eristab sõitjate ja maksjate arvu, arvutab osalustasu ning tõlgendab ümardamist. * '''Argumentatsioon:''' õpilane seob soovituse kriteeriumidega, võrdleb alternatiivi ja selgitab, kuidas osalejate arvu muutus mõjutab otsust. Hindamiskriteeriumid tuleb avada jälgitavate tunnustena. Näiteks kriteeriumi „otsuse põhjendatus“ puhul saab eristada kolme taset: # '''Vajab täiendamist:''' esitatud on valik, kuid puudub andmetega seotud põhjendus. # '''Põhjendatud:''' valik toetub asjakohastele arvutustele ja istekohtade piisavuse kontrollile. # '''Põhjendatud koos tingimuste analüüsiga:''' lisaks võrreldakse alternatiivi ning selgitatakse, millal soovitus muutuks. See on ühe kriteeriumi näide; matemaatilist korrektsust tuleb hinnata eraldi. Rühmatöö kõrval võib iga õpilane vastata lühikesele individuaalsele küsimusele, näiteks selgitada oma sõnadega, miks maksjate arv erineb sõitjate arvust. Nii ei jää arusaamise hindamine üksnes rühma ühise lõpptulemuse varju. Jonasseni käsitlus aitab õpetajal kujundada mitmekesist ülesandevalikut ning siduda iga ülesande eesmärgi sobiva toe ja hindamisega. Arvutus, vea leidmine, põhjendatud otsus ja uue lahenduse kavandamine annavad õpilase probleemilahendusoskusest erinevat teavet. === Allikad === <references /> ``` l37iuhc2j5xw8i0o2jh3n0b7geoyu7a 20561 20560 2026-10-30T22:39:52Z ~2026-57407-69 3201 20561 wikitext text/x-wiki Pólya aitab kirjeldada probleemilahenduse etappe<ref>Pólya, G. (1945). ''How to Solve It: A New Aspect of Mathematical Method''. Princeton University Press.</ref> ning Schoenfeld selgitab lahendaja teadmiste, metakognitsiooni ja uskumuste rolli<ref>Schoenfeld, A. H. (1985). ''Mathematical Problem Solving''. Academic Press.</ref>. David H. Jonassen lisab õppedisaini vaatenurga: '''erinevat tüüpi probleemülesanded nõuavad erinevat lahendustegevust ning seetõttu ka erinevat õpetamist ja hindamist'''. Tema raamatus „Learning to Solve Problems“ tähendab probleemülesanne lahendamist väärivat teadmatust mingis kontekstis. Lisaks teadmata vastusele peab olema põhjus seda otsida: lahendusel on kellegi jaoks intellektuaalne, praktiline või sotsiaalne väärtus.<ref name="Jonassen2004">Jonassen, D. H. (2004). ''Learning to Solve Problems: An Instructional Design Guide''. San Francisco: Pfeiffer. Probleemide omadused ja tüpoloogia: 1. peatükk; õpikeskkondade kavandamine: 2. peatükk; hindamine: 8. peatükk.</ref> Matemaatikaõpetaja jaoks tähendab see, et ülesannete valimisel tasub arvutamise keerukuse kõrval küsida: mida peab õpilane selles ülesandes ise otsustama? Kas ta valib sobiva tehte, otsib vea põhjust, võrdleb võimalusi või kavandab piirangutele vastava lahenduse? === Mille poolest probleemülesanded erinevad? === Jonassen eristab probleemide nelja omadust: '''struktureeritust, keerukust, kohanduvust ja kontekstiseotust'''.<ref name="Jonassen2004" /> Neid võib käsitleda telgedena, millel probleemid paiknevad erinevates punktides. '''Hästi struktureeritud probleemülesandes''' on lähteolukord, eesmärk ja lahenduse hindamise alused selged. Näiteks võib ülesanne nõuda ristkülikukujulise põranda katmiseks vajalike plaatide arvu leidmist, kui kõik mõõtmed ja paigaldustingimused on antud. '''Nõrgalt struktureeritud probleemülesandes''' tuleb lahendajal ka eesmärki täpsustada, puuduvaid andmeid hankida (või liigseid lähteandmeid ignoreerida) ning võimalikke lahendusi mitme kriteeriumi järgi võrrelda. Näiteks kooli puhkeala kavandamisel tuleb otsustada, kuidas arvestada ruumi, eelarve ja erinevate kasutajate (sh väga noorte ja erivajadustega õppijate) vajadustega. Struktureeritus ei võrdu raskusastmega, sest raskusaste on subjektiivne (mis ühe õpilase jaoks on raske, pole seda teise jaoks). Selgete reeglitega loogikaülesanne võib olla väga keeruline, samal ajal kui mitme vastuvõetava lahendusega valik võib olla üsna lihtne. Ka mitu lahendusviisi ei muuda ülesannet iseenesest nõrgalt struktureerituks. '''Keerukus''' sõltub muu hulgas tegurite arvust, nendevahelistest seostest ja lahendusalgoritmi sammude arvust, aga ka mitme valdkonna teadmiste kombineerimise vajadusest. '''Kohanduvus''' tähendab, et tingimused võivad lahendamise ajal muutuda: näiteks eelarve koostamise järel selgub uus osalejate arv või alternatiivsed kokkuhoiukohad. '''Kontekstiseotus''' väljendub selles, milliseid valdkonnateadmisi on vaja arvude tõlgendamiseks. Sama jagamistehe võib anda eri olukordades erineva praktilise vastuse: busside arvu leidmisel tuleb arvestada tervete bussidega, keskmise arvutamisel võib murdarv olla täiesti sobiv. === Probleemülesannete tüübid matemaatikaõpetuses === Jonasseni tüpoloogia hõlmab ühtteist tüüpi: loogikaülesanded, algoritmi rakendamise ülesanded, tekstülesanded, reeglite kasutamise ülesanded, otsustusprobleemid, veaotsing, diagnoosimise ja lahenduse valiku probleemid, strateegiline tegutsemine, juhtumi- ja süsteemianalüüs, disainiprobleemid ning dilemmad. See on probleemide mõtestamise tüpoloogia, mitte jäik raskusastmete järjestus.<ref name="Jonassen2004" /> Jonassen kasutab probleemi mõistet laiemalt: see pole lihtsalt mitterutiinne ülesanne, milles lahendajal puudub valmis lahendusviis. Seetõttu kuulub tema tüpoloogiasse ka algoritmi rakendamine. Õpilasele tuttava algoritmi harjutamine või tavapärane tekstülesanne ei pruugi olla mitterutiinne, kuid Jonasseni tüpoloogias määratletakse probleeme laiemalt kui üksnes rutiinsuse või mitterutiinsuse alusel. Järgmine tabel esitab valiku tüüpe koos selle käsiraamatu jaoks koostatud näidetega. {| class="wikitable" ! Probleemülesande tüüp ! Näide matemaatikatundi ! Lahendamise keskne tegevus |- | Loogikaülesanne | Leia kõik kolmekohalised arvud, mille numbrite summa on 6 ja numbrid on rangelt kasvavas järjekorras. | Võimaluste süstemaatiline uurimine ning täielikkuse põhjendamine. |- | Tekstülesanne | Bussirent maksab 360 eurot. Kui kulud jagatakse 24 õpilase vahel võrdselt, kui palju maksab igaüks? | Olukorra seostamine matemaatilise mudeli ja tehtega. |- | Otsustusprobleem | Kumb kahest bussipakkumisest sobib klassi õppekäiguks paremini, arvestades hinda, istekohtade arvu ja väljasõiduaega? | Valikukriteeriumide sõnastamine, võrdlemine ja otsuse põhjendamine. |- | Veaotsing | Õppekäigu eelarvetabelis ei muutu kogukulu osalejate arvu muutmisel. Leia põhjus ja kontrolli parandust. | Võimalike veapõhjuste püstitamine ja katsetamine. |- | Disainiprobleem | Koosta kuni 25-eurose osalustasuga õppekäigu kava, mis täidab kokkulepitud õpieesmärgid. | Teostatava lahenduse loomine piirangute ja eesmärkide alusel. |- | Dilemma | Kuidas jagada piiratud toetussummat, kui soovitakse korraga võrdset kohtlemist ja väiksema maksevõimega perede toetamist? | Väärtuskonflikti ja alternatiivide tagajärgede analüüsimine. |} Viimases näites saab matemaatika abil võrrelda jaotusviise, kuid arvutus üksi ei otsusta, milline jaotus on õiglane. Õpetaja peab eristama matemaatilise põhjenduse kvaliteeti õpilase väärtusvalikust. === Probleemülesande koostamine õppedisainis === Jonasseni järgi tuleb kavandada ülesande ümber ka õppimist toetav keskkond: probleemiesitus, vajalikud teadmised, modelleerimisvahendid, näited, katsetamisvõimalused ja tagasiside. Ühes olukorras aitab läbitöötatud näidislahendus, teises erinevate juhtumite võrdlemine või võimalus oma oletusi katsetada. Kõigile probleemidele ei sobi sama toestus.<ref name="Jonassen2004" /> Õpetaja saab neid põhimõtteid rakendada järgmiste sammudena. Need on käsiraamatu koostamissoovitused, mitte Jonasseni poolt fikseeritud sammud. # '''Määra õppimise eesmärk.''' Kas õpilane õpib protsente arvutama, kulumudelit koostama või alternatiive põhjendatult võrdlema? # '''Vali eesmärgile vastav probleemülesande tüüp.''' Otsustamisoskuse harjutamiseks peab ülesandes olema sisuline valik; üksnes arvandmete paigutamisest jutukesse ei piisa. # '''Otsusta, mis antakse ette ja mida õpilane selgitab ise.''' Puuduvad andmed peavad looma mõtestatud uurimisvajaduse. Õpilasel peab olema võimalus neid hankida või põhjendatud eeldustega asendada. # '''Kavanda sobiv toestamine.''' Võimalda näiteks joonist, tabelit, arvutustabelit, vihjeid või sarnast näidislahendust. Toestamine (''scaffolding'') peaks aitama käivitada õpilase mõtlemisprotsessi, säilitades talle ülesandes kavandatud otsustusruumi. # '''Määra sobiva lahenduse tunnused.''' Õpitulemus, nõutav sooritus ja hindamine peavad omavahel sobima. '''Näide: arvutusülesandest otsustusprobleemiks''' Rutiinse tavaülesande võib Jonasseni järgi muuta probleemülesandeks. Näide: õppekäiguks pakub ettevõte A 32-kohalist bussi hinnaga 320 eurot ning ettevõte B 48-kohalist bussi hinnaga 380 eurot. Mõlemad hinnad hõlmavad kogu sõitu. Osaleb 30 õpilast ja kaks õpetajat; bussikulu jagatakse õpilaste vahel võrdselt. Kui ülesande sõnastuses küsida ainult odavama bussi osalustasu, piisab arvutusest <math>320:30\approx10{,}67</math> eurot. Probleemülesandeks muutub see siis, kui lisada: „Liituda võib veel kaks õpilast. Valige pakkumine ning põhjendage, millistel tingimustel tuleks valikut muuta.“ Esialgne rühm mahub ettevõtte A bussi täpselt ära. Kahe õpilase lisandumisel ei piisa enam istekohtadest. Ettevõtte B bussi puhul oleks 32 maksva õpilase osalustasu <math>380:32=11{,}875</math> eurot ehk sendini ümardatult 11,88 eurot. Õpilased peavad nüüd siduma arvutuse mahutavuse ja ebakindla osalejate arvuga. Põhjendatud lahendus võib olla ka tingimuslik otsus: kinnitada esmalt osalejate arv ja valida seejärel buss. === Probleemilahenduse hindamine === Jonassen soovitab ühendada kolm hindamisvaadet: '''probleemi lahendamise sooritus, lahendamiseks vajalikud kognitiivsed osaoskused ning lahenduse argumenteerimine'''. Ainult lõppvastusest või mõistete meenutamisest ei piisa. Hindamine peab vastama sellele probleemilahendusele, mida õpilased õppisid.<ref name="Jonassen2004" /> Bussivaliku ülesandes võiks õpetaja koguda järgmisi tõendeid: * '''Sooritus:''' õpilase valitud buss mahutab kogu rühma ning esitatud kulumudel vastab tingimustele. * '''Osaoskused:''' õpilane eristab sõitjate ja maksjate arvu, arvutab osalustasu ning tõlgendab ümardamist. * '''Argumentatsioon:''' õpilane seob soovituse kriteeriumidega, võrdleb alternatiivi ja selgitab, kuidas osalejate arvu muutus mõjutab otsust. Hindamiskriteeriumid tuleb avada jälgitavate tunnustena. Näiteks kriteeriumi „otsuse põhjendatus“ puhul saab eristada kolme taset: # '''Vajab täiendamist:''' esitatud on valik, kuid puudub andmetega seotud põhjendus. # '''Põhjendatud:''' valik toetub asjakohastele arvutustele ja istekohtade piisavuse kontrollile. # '''Põhjendatud koos tingimuste analüüsiga:''' lisaks võrreldakse alternatiivi ning selgitatakse, millal soovitus muutuks. See on ühe kriteeriumi näide; matemaatilist korrektsust tuleb hinnata eraldi. Rühmatöö kõrval võib iga õpilane vastata lühikesele individuaalsele küsimusele, näiteks selgitada oma sõnadega, miks maksjate arv erineb sõitjate arvust. Nii ei jää arusaamise hindamine üksnes rühma ühise lõpptulemuse varju. Jonasseni käsitlus aitab õpetajal kujundada mitmekesist ülesandevalikut ning siduda iga ülesande eesmärgi sobiva toe ja hindamisega. Arvutus, vea leidmine, põhjendatud otsus ja uue lahenduse kavandamine annavad õpilase probleemilahendusoskusest erinevat teavet. === Allikad === <references /> ``` 3estosghxdvi8wbjw57dytdt3nekhdi