Modèle:Ébauche

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    <title>Modèle:Ébauche</title>
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Cette page est considérée comme une [[Wikilivres:Ébauches à compléter|ébauche à compléter]] {{#if:{{{sujet|}}}|concernant {{{sujet|}}}}}. Si vous possédez quelques connaissances sur {{{sujet|le sujet}}}, vous pouvez les partager en éditant dès à présent cette page (en cliquant sur le lien &lt;span class=&quot;plainlinks&quot;&gt;'''«&amp;nbsp;[{{fullurl:{{FULLPAGENAME}}|action=edit}} modifier]&amp;nbsp;»'''&lt;/span&gt;).

Ressources suggérées : {{{ressources|{{{1|Aucune (vous pouvez indiquer les ressources que vous suggérez qui pourraient aider d'autres personnes à compléter cette page dans le paramètre « ressources » du modèle&lt;sup&gt;[[Aide:Modèles|?]]&lt;/sup&gt; engendrant ce cadre)}}}}}}

{{Méta-bandeau-fin}}&lt;includeonly&gt;
{{#ifexpr:{{NAMESPACENUMBER}}=2 or {{NAMESPACENUMBER}}=3||{{#if:{{{nocat|}}}|| {{#if:{{{ressources|{{{1|}}}}}}||[[Catégorie:Ébauches sans ressources suggérées]]}} [[catégorie:À faire]][[Catégorie:Wikilivres:{{{cat|ébauches}}}]]}}}}&lt;/includeonly&gt;&lt;noinclude&gt;

Ce modèle est utilisé dans les livres pour indiquer que la page est une ébauche à compléter.

== Syntaxe ==

 &lt;nowiki&gt;{{&lt;/nowiki&gt;Ébauche|ressources=&lt;var&gt;ressources&lt;/var&gt;|sujet=&lt;var&gt;sujet&lt;/var&gt;|left=1}}

== Paramètres ==

;sujet=&lt;var&gt;sujet&lt;/var&gt;:(optionnel) Sujet de la page à compléter (non spécifié par défaut).
;ressources=&lt;var&gt;ressources&lt;/var&gt;:(optionnel) Ressources pour compléter la page (aucune par défaut).
;left=1:(optionnel) Positionner le bandeau sur le côté gauche au lieu de le centrer. Cette option est utilisée en haut des chapitres des livres avec la liste des chapitres à droite.

[[Catégorie:Modèles ébauche]]
[[Catégorie:Exclure lors de l'impression]]
[[Catégorie:Modèles bandeau]]
&lt;/noinclude&gt;</text>
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    <title>Le langage CSS/Glossaire</title>
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      <contributor>
        <username>DavidL</username>
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      </contributor>
      <comment>/* D */</comment>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="10382" xml:space="preserve">&lt;noinclude&gt;{{Sommaire CSS}}&lt;/noinclude&gt;

== A ==
;Arborescence:Un document HTML définit une structure hiérarchique sous la forme d'un arbre d'éléments : chaque élément peut en contenir plusieurs autres. En CSS, il est possible d'enchaîner les [[../Les sélecteurs|sélecteurs]] pour sélectionner les éléments parents (directs ou non) avant l'élément ciblé :
:Exemple 1 : Tous les éléments p enfants directs d'un élément de classe &lt;code&gt;info&lt;/code&gt; : &lt;syntaxhighlight lang=&quot;css&quot; inline&gt;.info &gt; p&lt;/syntaxhighlight&gt;
:Exemple 2 : Tous les éléments de classe &lt;code&gt;item&lt;/code&gt; enfants directs ou indirects d'un élément de classe &lt;code&gt;menu&lt;/code&gt; : &lt;syntaxhighlight lang=&quot;css&quot; inline&gt;.menu .item&lt;/syntaxhighlight&gt;

;{{wt|attribut|Attribut}}:Un attribut est une propriété associée à un élément HTML. Par exemple, l'attribut &lt;code&gt;style&lt;/code&gt; définit une série de propriétés CSS appliquées à l'élément.
:Exemple : &lt;syntaxhighlight lang=&quot;html&quot; inline&gt;&lt;div style=&quot;border: solid 1px; font-weight:bold;&quot;&gt;Zone avec bordure, en gras&lt;/div&gt;&lt;/syntaxhighlight&gt;
:Un [[../Les sélecteurs|sélecteur]] peut [[../Les sélecteurs#Sélecteur d'attribut|utiliser les attributs]] en encadrant le nom avec des crochets, et peut aussi tester la valeur associée.
:Exemple 1 : Tous les éléments ayant un attribut style défini : &lt;syntaxhighlight lang=&quot;css&quot; inline&gt;[style]&lt;/syntaxhighlight&gt;
:Exemple 2 : Tous les éléments ayant un attribut style défini et contenant la chaîne &quot;color:&quot; : &lt;syntaxhighlight lang=&quot;css&quot; inline&gt;[style*=&quot;color:&quot;]&lt;/syntaxhighlight&gt;

== B ==
;BEM:Bonne pratique du CSS consistant à organiser les styles en arborescence. Par exemple, &lt;code&gt;__&lt;/code&gt; dans un nom de sélecteur signifie &quot;enfant direct&quot;.
;Bordure:Zone entourant un élément comprise entre la marge et l'espace interne dans le modèle de boîte. Par défaut, cette zone est vide (aucune bordure).
:Voir [[../Le modèle de boîte|le chapitre « Le modèle de boîte »]]

== C ==

;Canevas:Représente l'espace fermé dans lequel la [[#Structure|structure de formatage]] est traitée. Pour l'écran d'ordinateur, il s'agira de la zone de visualisation du navigateur ; pour une page papier, il s'agira de l'espace imprimable de la page ; etc.
:[http://www.yoyodesign.org/doc/w3c/css2/intro.html#q4 Recommandation CSS2 - Le canevas] (FR)
;Chrome:Navigateur de Google basé sur le moteur Chromium.
;Couleur:La couleur est définie par un ensemble de composants, en général RVB : Rouge, Vert, Bleu (en anglais : RGB = Red, Green, Blue), et potentiellement une composante alpha indiquant l'opacité. Les propriétés CSS permettent de définir différentes couleurs :
:* Couleur de texte : &lt;syntaxhighlight lang=&quot;css&quot; inline&gt;color: blue;&lt;/syntaxhighlight&gt;
:* Couleur de fond : &lt;syntaxhighlight lang=&quot;css&quot; inline&gt;background-color: #432;&lt;/syntaxhighlight&gt;
:* Couleur de bordure : &lt;syntaxhighlight lang=&quot;css&quot; inline&gt;border-color: rgb(100%, 50%, 0%);&lt;/syntaxhighlight&gt;
:Voir [[../Valeurs et unités#Les couleurs|la section « Les couleurs » du chapitre « Valeurs et unités »]]

== D ==
;Dégradé de couleur:Les règles de style CSS permettent de mettre un dégradé de couleur en fond d'un élément en utilisant l'une des fonctions &lt;code&gt;gradient&lt;/code&gt; pour la propriété &lt;code&gt;background-image&lt;/code&gt; : &lt;code&gt;linear-gradient&lt;/code&gt;, &lt;code&gt;repeating-linear-gradient&lt;/code&gt;, &lt;code&gt;radial-gradient&lt;/code&gt;, &lt;code&gt;repeating-radial-gradient&lt;/code&gt; ou &lt;code&gt;conic-gradient&lt;/code&gt;.
:Voir [[../Fonds, bordures, marges et espacements#Fond en dégradé de couleur|la section « Fond en dégradé de couleur » du chapitre « Fonds, bordures, marges et espacements »]]
;Document:Les règles de style CSS s'applique à un document HTML ou XHTML. Ce document définit un ensemble d'éléments imbriqués. Les règles CSS ciblent des éléments particulier à styliser en utilisant des sélecteurs.

== E ==
;Edge:Navigateur de Microsoft successeur d'Internet Explorer. Les dernières versions sont basées sur le moteur Chromium.
;Élément:Nœud de l'arborescence des documents HTML, XHTML ou XML défini par une balise d'ouverture et une balise de fermeture.
:Un [[../Les sélecteurs|sélecteur]] peut désigner tous les éléments ayant le même nom:
:Exemple 1 : Tous les éléments nommés &lt;code&gt;div&lt;/code&gt; : &lt;syntaxhighlight lang=&quot;css&quot; inline&gt;div&lt;/syntaxhighlight&gt;
:Exemple 2 : Tous les éléments : &lt;syntaxhighlight lang=&quot;css&quot; inline&gt;*&lt;/syntaxhighlight&gt;

== F ==
;Feuille de style:Une feuille de style est un ensemble de règles CSS. Elle peut être un fichier séparé (extension &lt;code&gt;.css&lt;/code&gt;) ou incluse dans un document HTML dans un élément &lt;syntaxhighlight lang=&quot;html&quot; inline&gt;&lt;style&gt;&lt;/syntaxhighlight&gt;.
:Voir [[../Interface HTML|le chapitre « Interface HTML »]]
;FF:Firefox, navigateur de la fondation Mozilla.

== G ==
== H ==
;Héritage:La plupart des propriétés appliquées à un élément s'appliquent également aux éléments qu'il contient : police de caractère, couleur de texte et de fond, ... D'autres ne sont pas héritées ; par exemple les propriétés sur la bordure ne s'appliquent qu'à l'élément ciblé.
:La valeur spéciale &lt;code&gt;inherit&lt;/code&gt; permet d'écraser la valeur d'une propriété pour utiliser la même valeur que celle de l'élément parent.
:Voir [[../Héritage|le chapitre « Héritage »]]
;HTML:HyperText Markup Language ; langage utilisé pour les documents web, définissant une structure hiérarchique d'éléments dont le style est définissable par une feuille de style CSS.
:Voir [[Le langage HTML|le livre sur le langage HTML]].

== I ==
;IE:Internet Explorer ; navigateur ancien de Microsoft très peu utilisé et ne supportant pas complètement les standards récents. Il a été remplacé par Edge.

== J ==
== K ==
== L ==
== M ==
;Modèle de boîte:Le rendu des éléments de type bloc peut être modélisé par un ensemble de zone rectangulaire imbriquées appelées boîtes.
:Voir [[../Le modèle de boîte|le chapitre « Le modèle de boîte »]]

== N ==
== O ==
;Ordre:L'ordre d'application des règles de style est défini par :
:*
:* la spécificité des sélecteurs : plus le sélecteur est précis plus il a la priorité,
:* l'attribut &lt;code&gt;style&lt;/code&gt; a la priorité sur les feuilles de styles (sauf les valeurs marquées avec &lt;code&gt;!important&lt;/code&gt;),
:* l'ordre d'inclusion des feuilles de style en cas d'égalité : la nouvelle règle écrase l'ancienne valeur.
:Voir [[../Structure et syntaxe#Ordre d'interprétation des styles et cascade|la section « Ordre d'interprétation des styles et cascade » du chapitre « Structure et syntaxe »]] pour plus de détails.

== P ==
;Plate-forme:Désigne généralement le type de système d'exploitation d'un ordinateur. On parlera de la plate-forme Linux, la plate-forme Macintosh, la plate-forme Windows, etc.
;{{wt|propriété|Propriété}}:Une propriété définit une valeur à un attribut changeant l'apparence : &lt;syntaxhighlight lang=&quot;css&quot; inline&gt;color, background-color, margin, padding, font-family&lt;/syntaxhighlight&gt;, ...
:Voir [[../Structure et syntaxe#Structure générale|la section « Structure générale » dans le chapitre « Structure et syntaxe »]]

== Q ==
== R ==
== S ==
;{{wt|sélecteur|Sélecteur}}:Un sélecteur désigne les éléments auxquels s'appliquent les propriétés regroupées dans le bloc qui suit le sélecteur. Il peut désigner les éléments par leur nom, une classe CSS particulière, un identifiants, une combinaison de sélecteurs, ...
:Voir [[../Les sélecteurs|le chapitre « Les sélecteurs »]]
;Spécificité:La spécificité est la précision d'un sélecteur. Elle est utilisée pour définir la priorité des règles de style. Quand plusieurs valeurs différentes existe pour une même propriété, le sélecteur plus spécifique a la priorité.
:Voir [[../Structure et syntaxe#Ordre des spécificités des règles|la section « Ordre des spécificités des règles » du chapitre « Structure et syntaxe »]]
;Structure de formatage:Tout document HTML ou XML donne lieu à la construction d'un ''arbre du document'' reflétant l'organisation de ses contenus et de leur structure. À partir de l'arbre du document, le moteur de rendu CSS d'un navigateur produit une structure dite « de formatage » qui est utilisée pour appliquer les règles de style aux éléments. La structure de formatage est déduite de l'arbre du document, mais peut en différer lorsque des contenus sont générés ou supprimés via CSS.

== T ==
;Taille de police:La taille de la police de caractères définit la hauteur des caractères d'une ligne de texte. En unité absolue, celle-ci est couramment exprimée en points ; elle peut utiliser d'autres unités absolues ou des unités relatives.
:Voir [[../Valeurs et unités|le chapitre « Valeurs et unités »]] et les sections « [[../Texte#Police et taille de police|Police et taille de police]] » et « [[../Texte#font-size : taille des caractères|font-size : taille des caractères]] » du chapitre « [[../Texte|Texte]] ».

== U ==
;Unité:Les valeurs de certains propriété sont exprimées en différentes unités spécifiées en général après la valeur.
:Voir [[../Valeurs et unités|le chapitre « Valeurs et unités »]]

== V ==
;Variable:Une variable permet de stocker une valeur utilisée plusieurs fois. cela facilite la maintenance car la modification de la valeur ne se fait qu'à un seul endroit : la définition de la variable.
:Voir [[../Structure et syntaxe#Déclaration de variable|la section « Déclaration de variable » dans le chapitre « Structure et syntaxe »]]

== W ==
== X ==
;XHTML:eXtensible HyperText Markup Language ; langage utilisé pour les documents web, définissant une structure hiérarchique d'éléments dont le style est définissable par une feuille de style CSS. Il s'agit de HTML utilisant la syntaxe plus stricte du XML.
:Voir [[Le langage HTML|le livre sur le langage HTML]].
;XML:eXtensible Markup Language ; langage générique définissant une structure hiérarchique d'éléments. Ce langage est d'utilisation plus générale pour définir des structures de données. Le rendu peut être stylisé pour le transformer en XHTML en utilisant des feuilles de style XSLT.
:Voir [[Programmation XML|le livre sur le langage XML]].

== Y ==
== Z ==

== Voir aussi ==
* {{WT|Catégorie:Lexique en français de la programmation}}</text>
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        <username>DavidL</username>
        <id>1746</id>
      </contributor>
      <comment>/* O */</comment>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="10799" xml:space="preserve">&lt;noinclude&gt;{{Sommaire CSS}}&lt;/noinclude&gt;

== A ==
;Arborescence:Un document HTML définit une structure hiérarchique sous la forme d'un arbre d'éléments : chaque élément peut en contenir plusieurs autres. En CSS, il est possible d'enchaîner les [[../Les sélecteurs|sélecteurs]] pour sélectionner les éléments parents (directs ou non) avant l'élément ciblé :
:Exemple 1 : Tous les éléments p enfants directs d'un élément de classe &lt;code&gt;info&lt;/code&gt; : &lt;syntaxhighlight lang=&quot;css&quot; inline&gt;.info &gt; p&lt;/syntaxhighlight&gt;
:Exemple 2 : Tous les éléments de classe &lt;code&gt;item&lt;/code&gt; enfants directs ou indirects d'un élément de classe &lt;code&gt;menu&lt;/code&gt; : &lt;syntaxhighlight lang=&quot;css&quot; inline&gt;.menu .item&lt;/syntaxhighlight&gt;

;{{wt|attribut|Attribut}}:Un attribut est une propriété associée à un élément HTML. Par exemple, l'attribut &lt;code&gt;style&lt;/code&gt; définit une série de propriétés CSS appliquées à l'élément.
:Exemple : &lt;syntaxhighlight lang=&quot;html&quot; inline&gt;&lt;div style=&quot;border: solid 1px; font-weight:bold;&quot;&gt;Zone avec bordure, en gras&lt;/div&gt;&lt;/syntaxhighlight&gt;
:Un [[../Les sélecteurs|sélecteur]] peut [[../Les sélecteurs#Sélecteur d'attribut|utiliser les attributs]] en encadrant le nom avec des crochets, et peut aussi tester la valeur associée.
:Exemple 1 : Tous les éléments ayant un attribut style défini : &lt;syntaxhighlight lang=&quot;css&quot; inline&gt;[style]&lt;/syntaxhighlight&gt;
:Exemple 2 : Tous les éléments ayant un attribut style défini et contenant la chaîne &quot;color:&quot; : &lt;syntaxhighlight lang=&quot;css&quot; inline&gt;[style*=&quot;color:&quot;]&lt;/syntaxhighlight&gt;

== B ==
;BEM:Bonne pratique du CSS consistant à organiser les styles en arborescence. Par exemple, &lt;code&gt;__&lt;/code&gt; dans un nom de sélecteur signifie &quot;enfant direct&quot;.
;Bordure:Zone entourant un élément comprise entre la marge et l'espace interne dans le modèle de boîte. Par défaut, cette zone est vide (aucune bordure).
:Voir [[../Le modèle de boîte|le chapitre « Le modèle de boîte »]]

== C ==

;Canevas:Représente l'espace fermé dans lequel la [[#Structure|structure de formatage]] est traitée. Pour l'écran d'ordinateur, il s'agira de la zone de visualisation du navigateur ; pour une page papier, il s'agira de l'espace imprimable de la page ; etc.
:[http://www.yoyodesign.org/doc/w3c/css2/intro.html#q4 Recommandation CSS2 - Le canevas] (FR)
;Chrome:Navigateur de Google basé sur le moteur Chromium.
;Couleur:La couleur est définie par un ensemble de composants, en général RVB : Rouge, Vert, Bleu (en anglais : RGB = Red, Green, Blue), et potentiellement une composante alpha indiquant l'opacité. Les propriétés CSS permettent de définir différentes couleurs :
:* Couleur de texte : &lt;syntaxhighlight lang=&quot;css&quot; inline&gt;color: blue;&lt;/syntaxhighlight&gt;
:* Couleur de fond : &lt;syntaxhighlight lang=&quot;css&quot; inline&gt;background-color: #432;&lt;/syntaxhighlight&gt;
:* Couleur de bordure : &lt;syntaxhighlight lang=&quot;css&quot; inline&gt;border-color: rgb(100%, 50%, 0%);&lt;/syntaxhighlight&gt;
:Voir [[../Valeurs et unités#Les couleurs|la section « Les couleurs » du chapitre « Valeurs et unités »]]

== D ==
;Dégradé de couleur:Les règles de style CSS permettent de mettre un dégradé de couleur en fond d'un élément en utilisant l'une des fonctions &lt;code&gt;gradient&lt;/code&gt; pour la propriété &lt;code&gt;background-image&lt;/code&gt; : &lt;code&gt;linear-gradient&lt;/code&gt;, &lt;code&gt;repeating-linear-gradient&lt;/code&gt;, &lt;code&gt;radial-gradient&lt;/code&gt;, &lt;code&gt;repeating-radial-gradient&lt;/code&gt; ou &lt;code&gt;conic-gradient&lt;/code&gt;.
:Voir [[../Fonds, bordures, marges et espacements#Fond en dégradé de couleur|la section « Fond en dégradé de couleur » du chapitre « Fonds, bordures, marges et espacements »]]
;Document:Les règles de style CSS s'applique à un document HTML ou XHTML. Ce document définit un ensemble d'éléments imbriqués. Les règles CSS ciblent des éléments particulier à styliser en utilisant des sélecteurs.

== E ==
;Edge:Navigateur de Microsoft successeur d'Internet Explorer. Les dernières versions sont basées sur le moteur Chromium.
;Élément:Nœud de l'arborescence des documents HTML, XHTML ou XML défini par une balise d'ouverture et une balise de fermeture.
:Un [[../Les sélecteurs|sélecteur]] peut désigner tous les éléments ayant le même nom:
:Exemple 1 : Tous les éléments nommés &lt;code&gt;div&lt;/code&gt; : &lt;syntaxhighlight lang=&quot;css&quot; inline&gt;div&lt;/syntaxhighlight&gt;
:Exemple 2 : Tous les éléments : &lt;syntaxhighlight lang=&quot;css&quot; inline&gt;*&lt;/syntaxhighlight&gt;

== F ==
;Feuille de style:Une feuille de style est un ensemble de règles CSS. Elle peut être un fichier séparé (extension &lt;code&gt;.css&lt;/code&gt;) ou incluse dans un document HTML dans un élément &lt;syntaxhighlight lang=&quot;html&quot; inline&gt;&lt;style&gt;&lt;/syntaxhighlight&gt;.
:Voir [[../Interface HTML|le chapitre « Interface HTML »]]
;FF:Firefox, navigateur de la fondation Mozilla.

== G ==
== H ==
;Héritage:La plupart des propriétés appliquées à un élément s'appliquent également aux éléments qu'il contient : police de caractère, couleur de texte et de fond, ... D'autres ne sont pas héritées ; par exemple les propriétés sur la bordure ne s'appliquent qu'à l'élément ciblé.
:La valeur spéciale &lt;code&gt;inherit&lt;/code&gt; permet d'écraser la valeur d'une propriété pour utiliser la même valeur que celle de l'élément parent.
:Voir [[../Héritage|le chapitre « Héritage »]]
;HTML:HyperText Markup Language ; langage utilisé pour les documents web, définissant une structure hiérarchique d'éléments dont le style est définissable par une feuille de style CSS.
:Voir [[Le langage HTML|le livre sur le langage HTML]].

== I ==
;IE:Internet Explorer ; navigateur ancien de Microsoft très peu utilisé et ne supportant pas complètement les standards récents. Il a été remplacé par Edge.

== J ==
== K ==
== L ==
== M ==
;Modèle de boîte:Le rendu des éléments de type bloc peut être modélisé par un ensemble de zone rectangulaire imbriquées appelées boîtes.
:Voir [[../Le modèle de boîte|le chapitre « Le modèle de boîte »]]

== N ==
== O ==
;Opacité:L'opacité permet de rendre un élément plus ou moins opaque : 100% = opaque (par défaut), 0% = transparent. Elle s'applique à tous l'élément : fond et contenu. Pour ne l'appliquer que sur le fond, il faut utiliser une couleur de fond avec composante alpha pour indiquer l'opacité de la couleur.
:Voir [[../Fonds, bordures, marges et espacements#Opacité|la section « Opacité » du chapitre « Fonds, 
;Ordre:L'ordre d'application des règles de style est défini par :
:* la spécificité des sélecteurs : plus le sélecteur est précis plus il a la priorité,
:* l'attribut &lt;code&gt;style&lt;/code&gt; a la priorité sur les feuilles de styles (sauf les valeurs marquées avec &lt;code&gt;!important&lt;/code&gt;),
:* l'ordre d'inclusion des feuilles de style en cas d'égalité : la nouvelle règle écrase l'ancienne valeur.
:Voir [[../Structure et syntaxe#Ordre d'interprétation des styles et cascade|la section « Ordre d'interprétation des styles et cascade » du chapitre « Structure et syntaxe »]] pour plus de détails.

== P ==
;Plate-forme:Désigne généralement le type de système d'exploitation d'un ordinateur. On parlera de la plate-forme Linux, la plate-forme Macintosh, la plate-forme Windows, etc.
;{{wt|propriété|Propriété}}:Une propriété définit une valeur à un attribut changeant l'apparence : &lt;syntaxhighlight lang=&quot;css&quot; inline&gt;color, background-color, margin, padding, font-family&lt;/syntaxhighlight&gt;, ...
:Voir [[../Structure et syntaxe#Structure générale|la section « Structure générale » dans le chapitre « Structure et syntaxe »]]

== Q ==
== R ==
== S ==
;{{wt|sélecteur|Sélecteur}}:Un sélecteur désigne les éléments auxquels s'appliquent les propriétés regroupées dans le bloc qui suit le sélecteur. Il peut désigner les éléments par leur nom, une classe CSS particulière, un identifiants, une combinaison de sélecteurs, ...
:Voir [[../Les sélecteurs|le chapitre « Les sélecteurs »]]
;Spécificité:La spécificité est la précision d'un sélecteur. Elle est utilisée pour définir la priorité des règles de style. Quand plusieurs valeurs différentes existe pour une même propriété, le sélecteur plus spécifique a la priorité.
:Voir [[../Structure et syntaxe#Ordre des spécificités des règles|la section « Ordre des spécificités des règles » du chapitre « Structure et syntaxe »]]
;Structure de formatage:Tout document HTML ou XML donne lieu à la construction d'un ''arbre du document'' reflétant l'organisation de ses contenus et de leur structure. À partir de l'arbre du document, le moteur de rendu CSS d'un navigateur produit une structure dite « de formatage » qui est utilisée pour appliquer les règles de style aux éléments. La structure de formatage est déduite de l'arbre du document, mais peut en différer lorsque des contenus sont générés ou supprimés via CSS.

== T ==
;Taille de police:La taille de la police de caractères définit la hauteur des caractères d'une ligne de texte. En unité absolue, celle-ci est couramment exprimée en points ; elle peut utiliser d'autres unités absolues ou des unités relatives.
:Voir [[../Valeurs et unités|le chapitre « Valeurs et unités »]] et les sections « [[../Texte#Police et taille de police|Police et taille de police]] » et « [[../Texte#font-size : taille des caractères|font-size : taille des caractères]] » du chapitre « [[../Texte|Texte]] ».

== U ==
;Unité:Les valeurs de certains propriété sont exprimées en différentes unités spécifiées en général après la valeur.
:Voir [[../Valeurs et unités|le chapitre « Valeurs et unités »]]

== V ==
;Variable:Une variable permet de stocker une valeur utilisée plusieurs fois. cela facilite la maintenance car la modification de la valeur ne se fait qu'à un seul endroit : la définition de la variable.
:Voir [[../Structure et syntaxe#Déclaration de variable|la section « Déclaration de variable » dans le chapitre « Structure et syntaxe »]]

== W ==
== X ==
;XHTML:eXtensible HyperText Markup Language ; langage utilisé pour les documents web, définissant une structure hiérarchique d'éléments dont le style est définissable par une feuille de style CSS. Il s'agit de HTML utilisant la syntaxe plus stricte du XML.
:Voir [[Le langage HTML|le livre sur le langage HTML]].
;XML:eXtensible Markup Language ; langage générique définissant une structure hiérarchique d'éléments. Ce langage est d'utilisation plus générale pour définir des structures de données. Le rendu peut être stylisé pour le transformer en XHTML en utilisant des feuilles de style XSLT.
:Voir [[Programmation XML|le livre sur le langage XML]].

== Y ==
== Z ==

== Voir aussi ==
* {{WT|Catégorie:Lexique en français de la programmation}}</text>
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      <contributor>
        <username>DavidL</username>
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      </contributor>
      <comment>/* O */</comment>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="10835" xml:space="preserve">&lt;noinclude&gt;{{Sommaire CSS}}&lt;/noinclude&gt;

== A ==
;Arborescence:Un document HTML définit une structure hiérarchique sous la forme d'un arbre d'éléments : chaque élément peut en contenir plusieurs autres. En CSS, il est possible d'enchaîner les [[../Les sélecteurs|sélecteurs]] pour sélectionner les éléments parents (directs ou non) avant l'élément ciblé :
:Exemple 1 : Tous les éléments p enfants directs d'un élément de classe &lt;code&gt;info&lt;/code&gt; : &lt;syntaxhighlight lang=&quot;css&quot; inline&gt;.info &gt; p&lt;/syntaxhighlight&gt;
:Exemple 2 : Tous les éléments de classe &lt;code&gt;item&lt;/code&gt; enfants directs ou indirects d'un élément de classe &lt;code&gt;menu&lt;/code&gt; : &lt;syntaxhighlight lang=&quot;css&quot; inline&gt;.menu .item&lt;/syntaxhighlight&gt;

;{{wt|attribut|Attribut}}:Un attribut est une propriété associée à un élément HTML. Par exemple, l'attribut &lt;code&gt;style&lt;/code&gt; définit une série de propriétés CSS appliquées à l'élément.
:Exemple : &lt;syntaxhighlight lang=&quot;html&quot; inline&gt;&lt;div style=&quot;border: solid 1px; font-weight:bold;&quot;&gt;Zone avec bordure, en gras&lt;/div&gt;&lt;/syntaxhighlight&gt;
:Un [[../Les sélecteurs|sélecteur]] peut [[../Les sélecteurs#Sélecteur d'attribut|utiliser les attributs]] en encadrant le nom avec des crochets, et peut aussi tester la valeur associée.
:Exemple 1 : Tous les éléments ayant un attribut style défini : &lt;syntaxhighlight lang=&quot;css&quot; inline&gt;[style]&lt;/syntaxhighlight&gt;
:Exemple 2 : Tous les éléments ayant un attribut style défini et contenant la chaîne &quot;color:&quot; : &lt;syntaxhighlight lang=&quot;css&quot; inline&gt;[style*=&quot;color:&quot;]&lt;/syntaxhighlight&gt;

== B ==
;BEM:Bonne pratique du CSS consistant à organiser les styles en arborescence. Par exemple, &lt;code&gt;__&lt;/code&gt; dans un nom de sélecteur signifie &quot;enfant direct&quot;.
;Bordure:Zone entourant un élément comprise entre la marge et l'espace interne dans le modèle de boîte. Par défaut, cette zone est vide (aucune bordure).
:Voir [[../Le modèle de boîte|le chapitre « Le modèle de boîte »]]

== C ==

;Canevas:Représente l'espace fermé dans lequel la [[#Structure|structure de formatage]] est traitée. Pour l'écran d'ordinateur, il s'agira de la zone de visualisation du navigateur ; pour une page papier, il s'agira de l'espace imprimable de la page ; etc.
:[http://www.yoyodesign.org/doc/w3c/css2/intro.html#q4 Recommandation CSS2 - Le canevas] (FR)
;Chrome:Navigateur de Google basé sur le moteur Chromium.
;Couleur:La couleur est définie par un ensemble de composants, en général RVB : Rouge, Vert, Bleu (en anglais : RGB = Red, Green, Blue), et potentiellement une composante alpha indiquant l'opacité. Les propriétés CSS permettent de définir différentes couleurs :
:* Couleur de texte : &lt;syntaxhighlight lang=&quot;css&quot; inline&gt;color: blue;&lt;/syntaxhighlight&gt;
:* Couleur de fond : &lt;syntaxhighlight lang=&quot;css&quot; inline&gt;background-color: #432;&lt;/syntaxhighlight&gt;
:* Couleur de bordure : &lt;syntaxhighlight lang=&quot;css&quot; inline&gt;border-color: rgb(100%, 50%, 0%);&lt;/syntaxhighlight&gt;
:Voir [[../Valeurs et unités#Les couleurs|la section « Les couleurs » du chapitre « Valeurs et unités »]]

== D ==
;Dégradé de couleur:Les règles de style CSS permettent de mettre un dégradé de couleur en fond d'un élément en utilisant l'une des fonctions &lt;code&gt;gradient&lt;/code&gt; pour la propriété &lt;code&gt;background-image&lt;/code&gt; : &lt;code&gt;linear-gradient&lt;/code&gt;, &lt;code&gt;repeating-linear-gradient&lt;/code&gt;, &lt;code&gt;radial-gradient&lt;/code&gt;, &lt;code&gt;repeating-radial-gradient&lt;/code&gt; ou &lt;code&gt;conic-gradient&lt;/code&gt;.
:Voir [[../Fonds, bordures, marges et espacements#Fond en dégradé de couleur|la section « Fond en dégradé de couleur » du chapitre « Fonds, bordures, marges et espacements »]]
;Document:Les règles de style CSS s'applique à un document HTML ou XHTML. Ce document définit un ensemble d'éléments imbriqués. Les règles CSS ciblent des éléments particulier à styliser en utilisant des sélecteurs.

== E ==
;Edge:Navigateur de Microsoft successeur d'Internet Explorer. Les dernières versions sont basées sur le moteur Chromium.
;Élément:Nœud de l'arborescence des documents HTML, XHTML ou XML défini par une balise d'ouverture et une balise de fermeture.
:Un [[../Les sélecteurs|sélecteur]] peut désigner tous les éléments ayant le même nom:
:Exemple 1 : Tous les éléments nommés &lt;code&gt;div&lt;/code&gt; : &lt;syntaxhighlight lang=&quot;css&quot; inline&gt;div&lt;/syntaxhighlight&gt;
:Exemple 2 : Tous les éléments : &lt;syntaxhighlight lang=&quot;css&quot; inline&gt;*&lt;/syntaxhighlight&gt;

== F ==
;Feuille de style:Une feuille de style est un ensemble de règles CSS. Elle peut être un fichier séparé (extension &lt;code&gt;.css&lt;/code&gt;) ou incluse dans un document HTML dans un élément &lt;syntaxhighlight lang=&quot;html&quot; inline&gt;&lt;style&gt;&lt;/syntaxhighlight&gt;.
:Voir [[../Interface HTML|le chapitre « Interface HTML »]]
;FF:Firefox, navigateur de la fondation Mozilla.

== G ==
== H ==
;Héritage:La plupart des propriétés appliquées à un élément s'appliquent également aux éléments qu'il contient : police de caractère, couleur de texte et de fond, ... D'autres ne sont pas héritées ; par exemple les propriétés sur la bordure ne s'appliquent qu'à l'élément ciblé.
:La valeur spéciale &lt;code&gt;inherit&lt;/code&gt; permet d'écraser la valeur d'une propriété pour utiliser la même valeur que celle de l'élément parent.
:Voir [[../Héritage|le chapitre « Héritage »]]
;HTML:HyperText Markup Language ; langage utilisé pour les documents web, définissant une structure hiérarchique d'éléments dont le style est définissable par une feuille de style CSS.
:Voir [[Le langage HTML|le livre sur le langage HTML]].

== I ==
;IE:Internet Explorer ; navigateur ancien de Microsoft très peu utilisé et ne supportant pas complètement les standards récents. Il a été remplacé par Edge.

== J ==
== K ==
== L ==
== M ==
;Modèle de boîte:Le rendu des éléments de type bloc peut être modélisé par un ensemble de zone rectangulaire imbriquées appelées boîtes.
:Voir [[../Le modèle de boîte|le chapitre « Le modèle de boîte »]]

== N ==
== O ==
;Opacité:L'opacité permet de rendre un élément plus ou moins opaque : 100% = opaque (par défaut), 0% = transparent. Elle s'applique à tous l'élément : fond et contenu. Pour ne l'appliquer que sur le fond, il faut utiliser une couleur de fond avec composante alpha pour indiquer l'opacité de la couleur.
:Voir [[../Fonds, bordures, marges et espacements#Opacité|la section « Opacité » du chapitre « Fonds, bordures, marges et espacements »]]
;Ordre:L'ordre d'application des règles de style est défini par :
:* la spécificité des sélecteurs : plus le sélecteur est précis plus il a la priorité,
:* l'attribut &lt;code&gt;style&lt;/code&gt; a la priorité sur les feuilles de styles (sauf les valeurs marquées avec &lt;code&gt;!important&lt;/code&gt;),
:* l'ordre d'inclusion des feuilles de style en cas d'égalité : la nouvelle règle écrase l'ancienne valeur.
:Voir [[../Structure et syntaxe#Ordre d'interprétation des styles et cascade|la section « Ordre d'interprétation des styles et cascade » du chapitre « Structure et syntaxe »]] pour plus de détails.

== P ==
;Plate-forme:Désigne généralement le type de système d'exploitation d'un ordinateur. On parlera de la plate-forme Linux, la plate-forme Macintosh, la plate-forme Windows, etc.
;{{wt|propriété|Propriété}}:Une propriété définit une valeur à un attribut changeant l'apparence : &lt;syntaxhighlight lang=&quot;css&quot; inline&gt;color, background-color, margin, padding, font-family&lt;/syntaxhighlight&gt;, ...
:Voir [[../Structure et syntaxe#Structure générale|la section « Structure générale » dans le chapitre « Structure et syntaxe »]]

== Q ==
== R ==
== S ==
;{{wt|sélecteur|Sélecteur}}:Un sélecteur désigne les éléments auxquels s'appliquent les propriétés regroupées dans le bloc qui suit le sélecteur. Il peut désigner les éléments par leur nom, une classe CSS particulière, un identifiants, une combinaison de sélecteurs, ...
:Voir [[../Les sélecteurs|le chapitre « Les sélecteurs »]]
;Spécificité:La spécificité est la précision d'un sélecteur. Elle est utilisée pour définir la priorité des règles de style. Quand plusieurs valeurs différentes existe pour une même propriété, le sélecteur plus spécifique a la priorité.
:Voir [[../Structure et syntaxe#Ordre des spécificités des règles|la section « Ordre des spécificités des règles » du chapitre « Structure et syntaxe »]]
;Structure de formatage:Tout document HTML ou XML donne lieu à la construction d'un ''arbre du document'' reflétant l'organisation de ses contenus et de leur structure. À partir de l'arbre du document, le moteur de rendu CSS d'un navigateur produit une structure dite « de formatage » qui est utilisée pour appliquer les règles de style aux éléments. La structure de formatage est déduite de l'arbre du document, mais peut en différer lorsque des contenus sont générés ou supprimés via CSS.

== T ==
;Taille de police:La taille de la police de caractères définit la hauteur des caractères d'une ligne de texte. En unité absolue, celle-ci est couramment exprimée en points ; elle peut utiliser d'autres unités absolues ou des unités relatives.
:Voir [[../Valeurs et unités|le chapitre « Valeurs et unités »]] et les sections « [[../Texte#Police et taille de police|Police et taille de police]] » et « [[../Texte#font-size : taille des caractères|font-size : taille des caractères]] » du chapitre « [[../Texte|Texte]] ».

== U ==
;Unité:Les valeurs de certains propriété sont exprimées en différentes unités spécifiées en général après la valeur.
:Voir [[../Valeurs et unités|le chapitre « Valeurs et unités »]]

== V ==
;Variable:Une variable permet de stocker une valeur utilisée plusieurs fois. cela facilite la maintenance car la modification de la valeur ne se fait qu'à un seul endroit : la définition de la variable.
:Voir [[../Structure et syntaxe#Déclaration de variable|la section « Déclaration de variable » dans le chapitre « Structure et syntaxe »]]

== W ==
== X ==
;XHTML:eXtensible HyperText Markup Language ; langage utilisé pour les documents web, définissant une structure hiérarchique d'éléments dont le style est définissable par une feuille de style CSS. Il s'agit de HTML utilisant la syntaxe plus stricte du XML.
:Voir [[Le langage HTML|le livre sur le langage HTML]].
;XML:eXtensible Markup Language ; langage générique définissant une structure hiérarchique d'éléments. Ce langage est d'utilisation plus générale pour définir des structures de données. Le rendu peut être stylisé pour le transformer en XHTML en utilisant des feuilles de style XSLT.
:Voir [[Programmation XML|le livre sur le langage XML]].

== Y ==
== Z ==

== Voir aussi ==
* {{WT|Catégorie:Lexique en français de la programmation}}</text>
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        <username>DavidL</username>
        <id>1746</id>
      </contributor>
      <comment>/* O */</comment>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="10835" xml:space="preserve">&lt;noinclude&gt;{{Sommaire CSS}}&lt;/noinclude&gt;

== A ==
;Arborescence:Un document HTML définit une structure hiérarchique sous la forme d'un arbre d'éléments : chaque élément peut en contenir plusieurs autres. En CSS, il est possible d'enchaîner les [[../Les sélecteurs|sélecteurs]] pour sélectionner les éléments parents (directs ou non) avant l'élément ciblé :
:Exemple 1 : Tous les éléments p enfants directs d'un élément de classe &lt;code&gt;info&lt;/code&gt; : &lt;syntaxhighlight lang=&quot;css&quot; inline&gt;.info &gt; p&lt;/syntaxhighlight&gt;
:Exemple 2 : Tous les éléments de classe &lt;code&gt;item&lt;/code&gt; enfants directs ou indirects d'un élément de classe &lt;code&gt;menu&lt;/code&gt; : &lt;syntaxhighlight lang=&quot;css&quot; inline&gt;.menu .item&lt;/syntaxhighlight&gt;

;{{wt|attribut|Attribut}}:Un attribut est une propriété associée à un élément HTML. Par exemple, l'attribut &lt;code&gt;style&lt;/code&gt; définit une série de propriétés CSS appliquées à l'élément.
:Exemple : &lt;syntaxhighlight lang=&quot;html&quot; inline&gt;&lt;div style=&quot;border: solid 1px; font-weight:bold;&quot;&gt;Zone avec bordure, en gras&lt;/div&gt;&lt;/syntaxhighlight&gt;
:Un [[../Les sélecteurs|sélecteur]] peut [[../Les sélecteurs#Sélecteur d'attribut|utiliser les attributs]] en encadrant le nom avec des crochets, et peut aussi tester la valeur associée.
:Exemple 1 : Tous les éléments ayant un attribut style défini : &lt;syntaxhighlight lang=&quot;css&quot; inline&gt;[style]&lt;/syntaxhighlight&gt;
:Exemple 2 : Tous les éléments ayant un attribut style défini et contenant la chaîne &quot;color:&quot; : &lt;syntaxhighlight lang=&quot;css&quot; inline&gt;[style*=&quot;color:&quot;]&lt;/syntaxhighlight&gt;

== B ==
;BEM:Bonne pratique du CSS consistant à organiser les styles en arborescence. Par exemple, &lt;code&gt;__&lt;/code&gt; dans un nom de sélecteur signifie &quot;enfant direct&quot;.
;Bordure:Zone entourant un élément comprise entre la marge et l'espace interne dans le modèle de boîte. Par défaut, cette zone est vide (aucune bordure).
:Voir [[../Le modèle de boîte|le chapitre « Le modèle de boîte »]]

== C ==

;Canevas:Représente l'espace fermé dans lequel la [[#Structure|structure de formatage]] est traitée. Pour l'écran d'ordinateur, il s'agira de la zone de visualisation du navigateur ; pour une page papier, il s'agira de l'espace imprimable de la page ; etc.
:[http://www.yoyodesign.org/doc/w3c/css2/intro.html#q4 Recommandation CSS2 - Le canevas] (FR)
;Chrome:Navigateur de Google basé sur le moteur Chromium.
;Couleur:La couleur est définie par un ensemble de composants, en général RVB : Rouge, Vert, Bleu (en anglais : RGB = Red, Green, Blue), et potentiellement une composante alpha indiquant l'opacité. Les propriétés CSS permettent de définir différentes couleurs :
:* Couleur de texte : &lt;syntaxhighlight lang=&quot;css&quot; inline&gt;color: blue;&lt;/syntaxhighlight&gt;
:* Couleur de fond : &lt;syntaxhighlight lang=&quot;css&quot; inline&gt;background-color: #432;&lt;/syntaxhighlight&gt;
:* Couleur de bordure : &lt;syntaxhighlight lang=&quot;css&quot; inline&gt;border-color: rgb(100%, 50%, 0%);&lt;/syntaxhighlight&gt;
:Voir [[../Valeurs et unités#Les couleurs|la section « Les couleurs » du chapitre « Valeurs et unités »]]

== D ==
;Dégradé de couleur:Les règles de style CSS permettent de mettre un dégradé de couleur en fond d'un élément en utilisant l'une des fonctions &lt;code&gt;gradient&lt;/code&gt; pour la propriété &lt;code&gt;background-image&lt;/code&gt; : &lt;code&gt;linear-gradient&lt;/code&gt;, &lt;code&gt;repeating-linear-gradient&lt;/code&gt;, &lt;code&gt;radial-gradient&lt;/code&gt;, &lt;code&gt;repeating-radial-gradient&lt;/code&gt; ou &lt;code&gt;conic-gradient&lt;/code&gt;.
:Voir [[../Fonds, bordures, marges et espacements#Fond en dégradé de couleur|la section « Fond en dégradé de couleur » du chapitre « Fonds, bordures, marges et espacements »]]
;Document:Les règles de style CSS s'applique à un document HTML ou XHTML. Ce document définit un ensemble d'éléments imbriqués. Les règles CSS ciblent des éléments particulier à styliser en utilisant des sélecteurs.

== E ==
;Edge:Navigateur de Microsoft successeur d'Internet Explorer. Les dernières versions sont basées sur le moteur Chromium.
;Élément:Nœud de l'arborescence des documents HTML, XHTML ou XML défini par une balise d'ouverture et une balise de fermeture.
:Un [[../Les sélecteurs|sélecteur]] peut désigner tous les éléments ayant le même nom:
:Exemple 1 : Tous les éléments nommés &lt;code&gt;div&lt;/code&gt; : &lt;syntaxhighlight lang=&quot;css&quot; inline&gt;div&lt;/syntaxhighlight&gt;
:Exemple 2 : Tous les éléments : &lt;syntaxhighlight lang=&quot;css&quot; inline&gt;*&lt;/syntaxhighlight&gt;

== F ==
;Feuille de style:Une feuille de style est un ensemble de règles CSS. Elle peut être un fichier séparé (extension &lt;code&gt;.css&lt;/code&gt;) ou incluse dans un document HTML dans un élément &lt;syntaxhighlight lang=&quot;html&quot; inline&gt;&lt;style&gt;&lt;/syntaxhighlight&gt;.
:Voir [[../Interface HTML|le chapitre « Interface HTML »]]
;FF:Firefox, navigateur de la fondation Mozilla.

== G ==
== H ==
;Héritage:La plupart des propriétés appliquées à un élément s'appliquent également aux éléments qu'il contient : police de caractère, couleur de texte et de fond, ... D'autres ne sont pas héritées ; par exemple les propriétés sur la bordure ne s'appliquent qu'à l'élément ciblé.
:La valeur spéciale &lt;code&gt;inherit&lt;/code&gt; permet d'écraser la valeur d'une propriété pour utiliser la même valeur que celle de l'élément parent.
:Voir [[../Héritage|le chapitre « Héritage »]]
;HTML:HyperText Markup Language ; langage utilisé pour les documents web, définissant une structure hiérarchique d'éléments dont le style est définissable par une feuille de style CSS.
:Voir [[Le langage HTML|le livre sur le langage HTML]].

== I ==
;IE:Internet Explorer ; navigateur ancien de Microsoft très peu utilisé et ne supportant pas complètement les standards récents. Il a été remplacé par Edge.

== J ==
== K ==
== L ==
== M ==
;Modèle de boîte:Le rendu des éléments de type bloc peut être modélisé par un ensemble de zone rectangulaire imbriquées appelées boîtes.
:Voir [[../Le modèle de boîte|le chapitre « Le modèle de boîte »]]

== N ==
== O ==
;Opacité:L'opacité permet de rendre un élément plus ou moins opaque : 100% = opaque (par défaut), 0% = transparent. Elle s'applique à tout l'élément : fond et contenu. Pour ne l'appliquer que sur le fond, il faut utiliser une couleur de fond avec composante alpha pour indiquer l'opacité de la couleur.
:Voir [[../Fonds, bordures, marges et espacements#Opacité|la section « Opacité » du chapitre « Fonds, bordures, marges et espacements »]]
;Ordre:L'ordre d'application des règles de style est défini par :
:* la spécificité des sélecteurs : plus le sélecteur est précis plus il a la priorité,
:* l'attribut &lt;code&gt;style&lt;/code&gt; a la priorité sur les feuilles de styles (sauf les valeurs marquées avec &lt;code&gt;!important&lt;/code&gt;),
:* l'ordre d'inclusion des feuilles de style en cas d'égalité : la nouvelle règle écrase l'ancienne valeur.
:Voir [[../Structure et syntaxe#Ordre d'interprétation des styles et cascade|la section « Ordre d'interprétation des styles et cascade » du chapitre « Structure et syntaxe »]] pour plus de détails.

== P ==
;Plate-forme:Désigne généralement le type de système d'exploitation d'un ordinateur. On parlera de la plate-forme Linux, la plate-forme Macintosh, la plate-forme Windows, etc.
;{{wt|propriété|Propriété}}:Une propriété définit une valeur à un attribut changeant l'apparence : &lt;syntaxhighlight lang=&quot;css&quot; inline&gt;color, background-color, margin, padding, font-family&lt;/syntaxhighlight&gt;, ...
:Voir [[../Structure et syntaxe#Structure générale|la section « Structure générale » dans le chapitre « Structure et syntaxe »]]

== Q ==
== R ==
== S ==
;{{wt|sélecteur|Sélecteur}}:Un sélecteur désigne les éléments auxquels s'appliquent les propriétés regroupées dans le bloc qui suit le sélecteur. Il peut désigner les éléments par leur nom, une classe CSS particulière, un identifiants, une combinaison de sélecteurs, ...
:Voir [[../Les sélecteurs|le chapitre « Les sélecteurs »]]
;Spécificité:La spécificité est la précision d'un sélecteur. Elle est utilisée pour définir la priorité des règles de style. Quand plusieurs valeurs différentes existe pour une même propriété, le sélecteur plus spécifique a la priorité.
:Voir [[../Structure et syntaxe#Ordre des spécificités des règles|la section « Ordre des spécificités des règles » du chapitre « Structure et syntaxe »]]
;Structure de formatage:Tout document HTML ou XML donne lieu à la construction d'un ''arbre du document'' reflétant l'organisation de ses contenus et de leur structure. À partir de l'arbre du document, le moteur de rendu CSS d'un navigateur produit une structure dite « de formatage » qui est utilisée pour appliquer les règles de style aux éléments. La structure de formatage est déduite de l'arbre du document, mais peut en différer lorsque des contenus sont générés ou supprimés via CSS.

== T ==
;Taille de police:La taille de la police de caractères définit la hauteur des caractères d'une ligne de texte. En unité absolue, celle-ci est couramment exprimée en points ; elle peut utiliser d'autres unités absolues ou des unités relatives.
:Voir [[../Valeurs et unités|le chapitre « Valeurs et unités »]] et les sections « [[../Texte#Police et taille de police|Police et taille de police]] » et « [[../Texte#font-size : taille des caractères|font-size : taille des caractères]] » du chapitre « [[../Texte|Texte]] ».

== U ==
;Unité:Les valeurs de certains propriété sont exprimées en différentes unités spécifiées en général après la valeur.
:Voir [[../Valeurs et unités|le chapitre « Valeurs et unités »]]

== V ==
;Variable:Une variable permet de stocker une valeur utilisée plusieurs fois. cela facilite la maintenance car la modification de la valeur ne se fait qu'à un seul endroit : la définition de la variable.
:Voir [[../Structure et syntaxe#Déclaration de variable|la section « Déclaration de variable » dans le chapitre « Structure et syntaxe »]]

== W ==
== X ==
;XHTML:eXtensible HyperText Markup Language ; langage utilisé pour les documents web, définissant une structure hiérarchique d'éléments dont le style est définissable par une feuille de style CSS. Il s'agit de HTML utilisant la syntaxe plus stricte du XML.
:Voir [[Le langage HTML|le livre sur le langage HTML]].
;XML:eXtensible Markup Language ; langage générique définissant une structure hiérarchique d'éléments. Ce langage est d'utilisation plus générale pour définir des structures de données. Le rendu peut être stylisé pour le transformer en XHTML en utilisant des feuilles de style XSLT.
:Voir [[Programmation XML|le livre sur le langage XML]].

== Y ==
== Z ==

== Voir aussi ==
* {{WT|Catégorie:Lexique en français de la programmation}}</text>
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    <title>Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences</title>
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{{BlocCitation|
La science affouille, bafouille, cafouille ; Clairement, elle progresse.
|auteur=pseudo-maxime d'Histoire des Sciences}}

Alors, il importe de garder trace des hésitations antérieures, des faux-pas, car tout &quot;ante&quot; est balayé outrageusement, et l'Histoire des Sciences y est perdante.

Ce cheminement chaotique de la science en marche, il faut le maîtriser pour oser être scientifique soi-même. Il convient donc de l'enseigner.

Il y a résistance intellectuelle à toute théorie nouvelle assez audacieuse, belle mais souvent plus que réaliste : il y a donc un '''TEMPS de RÉCEPTION''' de la théorie.

Quoi d'original dans cet petit opuscule ?
pas grand-chose en définitive, mais néanmoins :
* '''la notion d'homogénéité, analyse dimensionnelle et S.U.R. (Système d'unités réduites), est cruciale, ainsi que celle de symétrie'''.
* une Joie, pleine, de toucher la science en train de se faire : puissance de l'esprit ; mais aussi que d'essais, erreurs, que de choses misérables, bien humaines : hormis des personnes d'exception comme Newton, la science ne progresse qu'à petits pas.
* pas mal d'exercices (le niveau déclaré est post-bac).

== Table des Matières , liste des leçons ==
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Remarques-en-vrac|Remarques en vrac]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/La chute libre|La chute libre]] 
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Le choc frontal|Le choc frontal]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/La chute libre, avec vitesse initiale|La chute libre, avec vitesse initiale]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/La chute ralentie sur plan incliné|La chute ralentie sur plan incliné]] 
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/La chute ralentie sur plan incliné (suite)|La chute ralentie sur plan incliné (suite)]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Diagramme horaire|Diagramme horaire]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Plan de phase|Plan de phase]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Intermède: la symétrie|Intermède: la symétrie]]
* [[mécanique, enseignée via l'histoire des Sciences/La chute avec résistance de l'air|La chute avec résistance de l'air]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Devoir surveillé 1|Devoir surveillé 1]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/La balistique extérieure |la Balistique extérieure]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Statique|Statique]]

* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Les Principes avant 1687|Les Principes avant 1687]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/PFD|Principe Fondamental de la Dynamique]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Quelques exercices|Quelques exercices]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Mouvement de Hooke|Mouvement de Hooke]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Mouvement de Kepler|Mouvement de Kepler]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Mouvement dans un champ central|Mouvement dans un champ central]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Devoir surveillé 3|Devoir surveillé 3]]
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* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/L'inertie à la rotation|L'inertie à la rotation]]

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Annexes :
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/La pression cinétique des fluides|La pression cinétique des fluides]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Résonances en astronomie|Résonances en astronomie]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Quelques exercices d'astronomie|Quelques exercices d'astronomie]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Le problème de Schwarzschild|Le problème de Schwarzschild]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Le système solaire|Le système solaire]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/La gravimétrie|La gravimétrie]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/L'information|L'information]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Le vide|Le vide]]

== Préface ==

Ce cours est le contre-pied d'une physique pour les nuls. Le niveau déclaré est propédeutique. Répétons :

{{exemple|(pseudo-maxime d'Histoire des Sciences)||'''La science affouille, bafouille, cafffouille ; Clairement, elle progresse'''}}

Ce cheminement chaotique de la science en marche, il faut le maîtriser pour oser être scientifique soi-même. Il convient donc de l'enseigner.

Voulant poursuivre le travail de Pierre Provost (ancien professeur au lycée Louis-Le-Grand, Paris), ce cours désire faire comprendre en profondeur la mécanique.Il ne s'agira pas tant de formules, mais au contraire de réflexions sur les fondements.

La pensée directrice de ce petit opuscule est claire : 
éviter le contact abrupt et traumatisant avec le Principe Fondamental de la Dynamique { F = dp/dt = m a} :

'''Pierre Provost''', dans la &quot;Mécanique, présentée autrement&quot; (édition L'Harmattan), défendait la thèse soutenue ici : '''par définition''',  '''F''' est la cause de d'''p'''/dt, cause à trouver expérimentalement, de façon à obtenir des '''équations différentielles''' (du second ordre, couplées éventuellement) à résoudre, dont la solution doit être vérifiée par l'expérience. Cette démarche est proche de celle de Newton et de Poincaré.

*Beaucoup d'exercices corrigés permettront aussi d'acquérir un minimum de technicité. 
Ces exercices font partie intégrante du cours. Ils sont là pour illustrer le principe Shadok suivant : pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué ? ''La réponse est'' : quand une théorie est juste, '''TOUT ce qui s'en déduit''' doit mener à des conclusions auto-cohérentes. La plupart du temps, c'est en confrontant la théorie à ses propres contradictions par des gedanken-experiments que l'on est amené à la récuser : par exemple, Einstein raisonnait souvent ainsi, mais bien d'autres avant lui. On forme ainsi ce qui est le plus important en physique : contre une '''intuition spontanée''' (parfois fausse), on parvient à construire un '''raisonnement éduqué''' ; ce qui est un des principes formateurs en science. Koyré disait: une théorie même fausse, c'est déjà beaucoup mieux qu'une avant-théorie : on peut la contredire et progresser.


Quelques points qui méritent d'être signalés :
*l'idée non nouvelle que Newton n'a rien inventé[ cf en 2005, diatribes stériles : Poincaré versus Einstein ; car évidemment, il y a TOUJOURS une histoire avant l'histoire]. Newton a magnifiquement remis en forme les postulats de la mécanique (puis il les a largement appliqués à tout ce qui avait déjà été écrit auparavant, y compris par lui-même); il ne s'est crédité lui-même que de l'invention de la Loi de gravitation universelle ( et des théorèmes dits &quot;remarquables&quot; (1685)) et de la compréhension  de la force_centripète. Mais ayant écrit ce prodigieux traité que sont les &quot;Principia&quot; (1687), il est de ceux qui ont le plus de distance vis à vis de ces mêmes Principes et même la notion de temps absolu y est discutée ; et nous verrons que c'est l'approche de Laplace, Poincaré et V.I.Arnold qui servira de guide d'enseignement, via la notion d''''ESPACE  DES PHASES''', beaucoup plus que les 3 lois de Newton, difficiles à enseigner. 
*la '''symétrie de Corinne''' (la transformation dite du temps euclidien en physique théorique : t -&gt; i.t) peu connue, la '''transmutation''' de la force de Newton par changement d'échelle de temps (Arnold-Needham vers 1980), une manière assez originale de &quot;transmuter&quot; la loi de Hooke-Hamilton, ''' le droit aux changements d'échelle''' (surtout ceux symplectiques évidemment). 
*la notion d'homogénéité et d'&quot;unités réduites&quot; sera sans cesse utilisée, car elle SIMPLIFIE les calculs, si bien utilisée.

== Introduction ==

Historiquement, la mécanique ne sort pas ex nihilo de la tête d'un mécanicien génial. Les années ont permis de dégager l'essentiel ; mais on peut dire qu'à la fin du {{s-|XVII|e}}, on a compris que les phénomènes terrestres '''ET''' l'astrophysique se déduisent des mêmes principes et des mêmes lois ; dès lors, la mécanique (science des mouvements) prend son envol grâce au travail gigantesque de [[Isaac Newton|Newton]] (1642-1727)qui publie ses [[Principia]] en 1687. Il lui faut bien sûr comprendre-inventer le calcul différentiel et intégral (en anglais : le calculus).


#La science qui décrit le mouvement s'appelle la '''Cinématique'''. En caricaturant, c'est géométrie + temps (Il Saggiatore de Galilée : nul n'entre ici s'il n'a une âme de géomètre). Elle sera plutôt la première partie du cours (on excepte la dynamique du choc : lois empiriques de Huygens(1619-1695)).
#La science qui décrit comment les forces se compensent pour atteindre un état de non-mouvement s'appelle la '''Statique''' (un des grands fondateurs fût Stevin(1548-1620)).
#Enfin, la '''Dynamique''' explique comment la description de ces forces permet de les interpréter comme les Causes du mouvement.


Néanmoins le parcours tortueux d'une science n'est pas celui-là ! et bien se rappeler hélas ceci :
 
'''La vérité finit toujours par triompher...''' ........... (Jan Hus, brûlé vif en 1415, mort cette année-là) ;

'''Quand ses contradicteurs sont tous morts.''' ..... (Planck(1858-1947)).

Autant dire, que nous faisons notre cet aphorisme de Faraday(1791-1867):

'''Ne crois que ce que tu peux vérifier. Sinon, reste sceptique et éveillé.'''

L'auteur collectif de cet ouvrage désire que cette introduction soit courte : il rend néanmoins un hommage souriant aux préfaces de H. Bouasse, célèbre professeur de Toulouse, auteur d'un traité de physique aussi impressionnant que passionnant (quoique parfois criticable).

___________________________________________

== Quelques titres de leçons ==
* Expérience fondamentale du tube de Newton : la plus belle du cours de physique élémentaire ; Brunold a dit qu'elle a éveillé plus d'une vocation !
'''Leçon : La chute libre verticale''' 

*[[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences, la chute libre|La chute libre]]
La loi de la chute libre verticale est, '''avec les conditions initiales  { &lt;math&gt;z_0 = 0 m ;v_0 =0 m/s&lt;/math&gt;}'''

{{exemple|Enoncé-simplifié|loi de Galilée(1564-1642)|&lt;math&gt; \frac {d^2z}{dt^2} = g   &lt;=&gt;  v = \frac{dz}{dt} = g t + 0 &lt;=&gt; z =\frac{1}{2}g t^2 +0 t+0 &lt;=&gt; v^2 = 2gz&lt;/math&gt;}}

Sans perte de généralité. On peut remonter aux conditions initiales (C.I) quelconques : (z_0,v_0) : &lt;math&gt; z(t) = z =\frac{1}{2}gt^2 + v_0 t + z_0&lt;/math&gt;
*Exercices et Solutions : beaucoup , beaucoup sont présentées. Un élève de seconde devra éviter les exercices les plus difficiles, certes !

'''Leçon : le choc frontal : lois de Huygens(1619-1695)''' 
*[[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences, le choc frontal|Le choc frontal]]
* Expjavascript:insertTags(&quot;'''&quot;,&quot;'''&quot;,&quot;Texte%20gras&quot;);érience princeps: &quot;le carreau&quot;. 
* Généralisation ; TP-Cours.
* Chocs inélastiques. 
* Résumé
 
{{exemple|Enoncé-simplifié|loi de Huygens(1619-1695)|&lt;math&gt; dans R^* , [P ; -P]_{before}^* = [-P ; P]_{after}^* &lt;/math&gt;}}
Si le choc est non -élastique, Loi de Newton : remplacer after[-eP ; eP] avec e coefficient de restitution (inférieur à 1)
*Exercices et Solutions
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

'''Leçon : la chute libre, avec vitesse initiale'''
*[[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences, la chute libre, avec vitesse initiale|La chute libre, avec vitesse initiale]]
Reprendre dans la wikipedia, l'article sur [[parabole de sûreté]]
 
* Résumé 

{{exemple|Enoncé|loi de Galilée-Torricelli|&lt;math&gt; \vec{OM} = \frac{1}{2} \vec {g} t^2 + \vec {V_0} t &lt;/math&gt;}}

{{exemple|Enoncé|Parabole de sûreté de Torricelli(1608-1647) |&lt;math&gt; OP = OH \cdot {2 \over (1+\cos\theta)}; avec OH := \frac{V_0^2}{2g}&lt;/math&gt;}}
*Exercices et Solutions.

'''Leçon : chute ralentie le long d'un plan incliné''' 
*[[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences, la chute ralentie sur plan incliné|La chute ralentie sur plan incliné]]

*[[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences, la chute ralentie sur plan incliné (suite)|La chute ralentie sur plan incliné (suite)]]
*Résumé
{{exemple|Enoncé|loi des cordes de Galilée(1564-1642)|&lt;math&gt; g(\alpha) = g \cdot \sin\alpha &lt;/math&gt;}}

 '''Leçon : la notion de diagramme horaire''' 

*[[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences, diagramme horaire|Diagramme horaire]]
reprendre l'article de la WP sur [[diagramme horaire]] :
Beaucoup d'exemples y sont traités.
* Résumé 
{{exemple|Enoncé|loi de Torricelli(1608-1647),notation moderne|&lt;math&gt; \vec{V}(t)= \vec{f}(t) &lt;=&gt; \vec{OM}(t)= \int_0^t \vec{f}(u)du &lt;/math&gt;}}

'''Leçon : diagramme des espaces; plan de phase''' 
*[[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences, plan de phase|Plan de phase]]
reprendre l'article de la WP sur [[diagramme des espaces]] 
* Résumé 
{{exemple|Enoncé|loi de Torricelli(1608-1647), notation moderne|&lt;math&gt; V(x):= \frac{dx}{dt} = f_{donnee}(x) &lt;=&gt; t = \int_0^x \frac{1}{f(u)} du&lt;/math&gt;}}

Et aussi

{{exemple|Enoncé|2eme loi de Torricelli(1608-1647), notation moderne|&lt;math&gt; V(x):= \frac{dx}{dt} = f(x) &lt;=&gt; \frac{1}{2}V^2(x) + (-1) \cdot\int_0^x f(\xi) d\xi = cste&lt;/math&gt;}}

'''Leçon intermède : la symétrie'''
*[[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences, intermède: la symétrie|Intermède: la symétrie]]
* la symétrie de scaling et le théorème du viriel 
*exercices
* la symétrie de Corinne 
datant sans doute de de Moivre, cette symétrie montre pourquoi changer le champ de pesanteur g en son opposé consiste à changer le temps réel en son imaginaire pur (i.t). Bien plus tard, la notion de &quot;temps euclidien&quot; en physique théorique sera peu ou prou analogue.

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*devoir n°1
*[[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences, devoir surveillé1|Devoir surveillé 1]]
Ce devoir fût prévu pour être fait après ces leçons préparatoires à l'étude du principe fondamental de la dynamique. Il n'y a encore pas de temps_dynamique_de_Newton , le temps est juste un paramètre cinématique_unicursal... et il faudra expliquer ce que cela signifie ! 

== Conlusion provisoire ==

Au-delà du Principe de Torricelli, Huygens, via Descartes, a su dégager l'essence de la dynamique :

Soit un système isolé, composé de deux sous-sytèmes S1 et S2.
Ils échangent entre eux des descartes [1 descartes = 1 N.s], si bien que l'Impulsion Totale se conserve. Si on connaît le taux horaire d'échange, F2/1 , alors l'équation différentielle d'évolution de S1 sera : 

{{exemple|Enoncé|'''Définition''' de Newton(1642-1727)|&lt;math&gt;\ \Delta P_1/\Delta t ::= F_{2/1}= - \Delta P_2/\Delta t&lt;/math&gt;}}

*Le chapitre de Statique qui suit n'est pas Fondamental, mais permet utilement de se familiariser avec la notion de Forces (en newtons : N), de &quot;moment&quot; de force (en m.N) et surtout avec le travail (en joule : = 1N.m) et '''le principe des travaux virtuels'''. On passe trop sous silence l'immense apport de  [[Simon Stevin]] (1548-1620)dans la statique(1586) et l'hydrostatique(1586).

*Une leçon est difficile : l'inertie à la rotation. S'y révèle le théorème du &quot;moment&quot; cinétique, via l'isotropie de l'espace.

*Puis, la leçon suivante récapitule ce que l'on peut déduire des Principes d'avant 1687.

*La Dynamique s'achève (et '''commence''' !) par ce momument que sont les Principia (1687): une fois énoncé le PFD (Principe Fondamental de la Dynamique), il ne restera plus qu'à développer les calculs (parfois '''fort astronomiques''' : de Clairaut ( et Madame LePaute) à Le Verrier ; parfois de '''subtile analyse''' : de Poincaré au théorème KAM, notion de chaos déterministe ; plus récemment calcul des trajectoires périodiques d'étoiles type Chenciner-Montgomery).

* Bien sûr on n'oubliera pas la contribution d'Euler-Lagrange.
* Non plus que l'admirable travail d' Hamilton(1805-1865).

La ToC et ses annexes permettront de naviguer aisément dans les chapitres supplémentaires.
*En savoir plus ? Cliquer dans la ToC (Table of Contents)-TdM(Table des Matières) : leçon remarques-en-vrac.

[[Catégorie:Mécanique]]
[[Catégorie:Classe 5 - Mathématique. Sciences exactes et naturelles]]
[[Catégorie:Histoire]]
[[Catégorie:Livres en cours de rédaction]]
[[Catégorie:Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences (livre)|*]]</text>
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      <contributor>
        <username>DavidL</username>
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      <format>text/x-wiki</format>
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{{BlocCitation|
La science affouille, bafouille, cafouille ; Clairement, elle progresse.
|auteur=pseudo-maxime d'Histoire des Sciences}}

Alors, il importe de garder trace des hésitations antérieures, des faux-pas, car tout « ''ante'' » est balayé outrageusement, et l'Histoire des Sciences y est perdante.

Ce cheminement chaotique de la science en marche, il faut le maîtriser pour oser être scientifique soi-même. Il convient donc de l'enseigner.

Il y a résistance intellectuelle à toute théorie nouvelle assez audacieuse, belle mais souvent plus que réaliste : il y a donc un '''TEMPS de RÉCEPTION''' de la théorie.

Quoi d'original dans cet petit opuscule ?
pas grand-chose en définitive, mais néanmoins :
* '''la notion d'homogénéité, analyse dimensionnelle et S.U.R. (Système d'unités réduites), est cruciale, ainsi que celle de symétrie'''.
* une Joie, pleine, de toucher la science en train de se faire : puissance de l'esprit ; mais aussi que d'essais, erreurs, que de choses misérables, bien humaines : hormis des personnes d'exception comme Newton, la science ne progresse qu'à petits pas.
* pas mal d'exercices (le niveau déclaré est post-bac).

== Table des Matières , liste des leçons ==
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Remarques-en-vrac|Remarques en vrac]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/La chute libre|La chute libre]] 
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Le choc frontal|Le choc frontal]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/La chute libre, avec vitesse initiale|La chute libre, avec vitesse initiale]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/La chute ralentie sur plan incliné|La chute ralentie sur plan incliné]] 
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/La chute ralentie sur plan incliné (suite)|La chute ralentie sur plan incliné (suite)]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Diagramme horaire|Diagramme horaire]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Plan de phase|Plan de phase]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Intermède: la symétrie|Intermède: la symétrie]]
* [[mécanique, enseignée via l'histoire des Sciences/La chute avec résistance de l'air|La chute avec résistance de l'air]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Devoir surveillé 1|Devoir surveillé 1]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/La balistique extérieure |la Balistique extérieure]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Statique|Statique]]

* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Les Principes avant 1687|Les Principes avant 1687]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/PFD|Principe Fondamental de la Dynamique]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Quelques exercices|Quelques exercices]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Mouvement de Hooke|Mouvement de Hooke]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Mouvement de Kepler|Mouvement de Kepler]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Mouvement dans un champ central|Mouvement dans un champ central]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Devoir surveillé 3|Devoir surveillé 3]]
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* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/L'inertie à la rotation|L'inertie à la rotation]]

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Annexes :
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/La pression cinétique des fluides|La pression cinétique des fluides]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Résonances en astronomie|Résonances en astronomie]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Quelques exercices d'astronomie|Quelques exercices d'astronomie]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Le problème de Schwarzschild|Le problème de Schwarzschild]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Le système solaire|Le système solaire]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/La gravimétrie|La gravimétrie]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/L'information|L'information]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Le vide|Le vide]]

== Préface ==

Ce cours est le contre-pied d'une physique pour les nuls. Le niveau déclaré est propédeutique. Répétons :

{{exemple|(pseudo-maxime d'Histoire des Sciences)||'''La science affouille, bafouille, cafffouille ; Clairement, elle progresse'''}}

Ce cheminement chaotique de la science en marche, il faut le maîtriser pour oser être scientifique soi-même. Il convient donc de l'enseigner.

Voulant poursuivre le travail de Pierre Provost (ancien professeur au lycée Louis-Le-Grand, Paris), ce cours désire faire comprendre en profondeur la mécanique.Il ne s'agira pas tant de formules, mais au contraire de réflexions sur les fondements.

La pensée directrice de ce petit opuscule est claire : 
éviter le contact abrupt et traumatisant avec le Principe Fondamental de la Dynamique { F = dp/dt = m a} :

'''Pierre Provost''', dans la &quot;Mécanique, présentée autrement&quot; (édition L'Harmattan), défendait la thèse soutenue ici : '''par définition''',  '''F''' est la cause de d'''p'''/dt, cause à trouver expérimentalement, de façon à obtenir des '''équations différentielles''' (du second ordre, couplées éventuellement) à résoudre, dont la solution doit être vérifiée par l'expérience. Cette démarche est proche de celle de Newton et de Poincaré.

*Beaucoup d'exercices corrigés permettront aussi d'acquérir un minimum de technicité. 
Ces exercices font partie intégrante du cours. Ils sont là pour illustrer le principe Shadok suivant : pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué ? ''La réponse est'' : quand une théorie est juste, '''TOUT ce qui s'en déduit''' doit mener à des conclusions auto-cohérentes. La plupart du temps, c'est en confrontant la théorie à ses propres contradictions par des gedanken-experiments que l'on est amené à la récuser : par exemple, Einstein raisonnait souvent ainsi, mais bien d'autres avant lui. On forme ainsi ce qui est le plus important en physique : contre une '''intuition spontanée''' (parfois fausse), on parvient à construire un '''raisonnement éduqué''' ; ce qui est un des principes formateurs en science. Koyré disait: une théorie même fausse, c'est déjà beaucoup mieux qu'une avant-théorie : on peut la contredire et progresser.


Quelques points qui méritent d'être signalés :
*l'idée non nouvelle que Newton n'a rien inventé[ cf en 2005, diatribes stériles : Poincaré versus Einstein ; car évidemment, il y a TOUJOURS une histoire avant l'histoire]. Newton a magnifiquement remis en forme les postulats de la mécanique (puis il les a largement appliqués à tout ce qui avait déjà été écrit auparavant, y compris par lui-même); il ne s'est crédité lui-même que de l'invention de la Loi de gravitation universelle ( et des théorèmes dits &quot;remarquables&quot; (1685)) et de la compréhension  de la force_centripète. Mais ayant écrit ce prodigieux traité que sont les &quot;Principia&quot; (1687), il est de ceux qui ont le plus de distance vis à vis de ces mêmes Principes et même la notion de temps absolu y est discutée ; et nous verrons que c'est l'approche de Laplace, Poincaré et V.I.Arnold qui servira de guide d'enseignement, via la notion d''''ESPACE  DES PHASES''', beaucoup plus que les 3 lois de Newton, difficiles à enseigner. 
*la '''symétrie de Corinne''' (la transformation dite du temps euclidien en physique théorique : t -&gt; i.t) peu connue, la '''transmutation''' de la force de Newton par changement d'échelle de temps (Arnold-Needham vers 1980), une manière assez originale de &quot;transmuter&quot; la loi de Hooke-Hamilton, ''' le droit aux changements d'échelle''' (surtout ceux symplectiques évidemment). 
*la notion d'homogénéité et d'&quot;unités réduites&quot; sera sans cesse utilisée, car elle SIMPLIFIE les calculs, si bien utilisée.

== Introduction ==

Historiquement, la mécanique ne sort pas ex nihilo de la tête d'un mécanicien génial. Les années ont permis de dégager l'essentiel ; mais on peut dire qu'à la fin du {{s-|XVII|e}}, on a compris que les phénomènes terrestres '''ET''' l'astrophysique se déduisent des mêmes principes et des mêmes lois ; dès lors, la mécanique (science des mouvements) prend son envol grâce au travail gigantesque de [[Isaac Newton|Newton]] (1642-1727)qui publie ses [[Principia]] en 1687. Il lui faut bien sûr comprendre-inventer le calcul différentiel et intégral (en anglais : le calculus).


#La science qui décrit le mouvement s'appelle la '''Cinématique'''. En caricaturant, c'est géométrie + temps (Il Saggiatore de Galilée : nul n'entre ici s'il n'a une âme de géomètre). Elle sera plutôt la première partie du cours (on excepte la dynamique du choc : lois empiriques de Huygens(1619-1695)).
#La science qui décrit comment les forces se compensent pour atteindre un état de non-mouvement s'appelle la '''Statique''' (un des grands fondateurs fût Stevin(1548-1620)).
#Enfin, la '''Dynamique''' explique comment la description de ces forces permet de les interpréter comme les Causes du mouvement.


Néanmoins le parcours tortueux d'une science n'est pas celui-là ! et bien se rappeler hélas ceci :
 
'''La vérité finit toujours par triompher...''' ........... (Jan Hus, brûlé vif en 1415, mort cette année-là) ;

'''Quand ses contradicteurs sont tous morts.''' ..... (Planck(1858-1947)).

Autant dire, que nous faisons notre cet aphorisme de Faraday(1791-1867):

'''Ne crois que ce que tu peux vérifier. Sinon, reste sceptique et éveillé.'''

L'auteur collectif de cet ouvrage désire que cette introduction soit courte : il rend néanmoins un hommage souriant aux préfaces de H. Bouasse, célèbre professeur de Toulouse, auteur d'un traité de physique aussi impressionnant que passionnant (quoique parfois criticable).

___________________________________________

== Quelques titres de leçons ==
* Expérience fondamentale du tube de Newton : la plus belle du cours de physique élémentaire ; Brunold a dit qu'elle a éveillé plus d'une vocation !
'''Leçon : La chute libre verticale''' 

*[[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences, la chute libre|La chute libre]]
La loi de la chute libre verticale est, '''avec les conditions initiales  { &lt;math&gt;z_0 = 0 m ;v_0 =0 m/s&lt;/math&gt;}'''

{{exemple|Enoncé-simplifié|loi de Galilée(1564-1642)|&lt;math&gt; \frac {d^2z}{dt^2} = g   &lt;=&gt;  v = \frac{dz}{dt} = g t + 0 &lt;=&gt; z =\frac{1}{2}g t^2 +0 t+0 &lt;=&gt; v^2 = 2gz&lt;/math&gt;}}

Sans perte de généralité. On peut remonter aux conditions initiales (C.I) quelconques : (z_0,v_0) : &lt;math&gt; z(t) = z =\frac{1}{2}gt^2 + v_0 t + z_0&lt;/math&gt;
*Exercices et Solutions : beaucoup , beaucoup sont présentées. Un élève de seconde devra éviter les exercices les plus difficiles, certes !

'''Leçon : le choc frontal : lois de Huygens(1619-1695)''' 
*[[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences, le choc frontal|Le choc frontal]]
* Expjavascript:insertTags(&quot;'''&quot;,&quot;'''&quot;,&quot;Texte%20gras&quot;);érience princeps: &quot;le carreau&quot;. 
* Généralisation ; TP-Cours.
* Chocs inélastiques. 
* Résumé
 
{{exemple|Enoncé-simplifié|loi de Huygens(1619-1695)|&lt;math&gt; dans R^* , [P ; -P]_{before}^* = [-P ; P]_{after}^* &lt;/math&gt;}}
Si le choc est non -élastique, Loi de Newton : remplacer after[-eP ; eP] avec e coefficient de restitution (inférieur à 1)
*Exercices et Solutions
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'''Leçon : la chute libre, avec vitesse initiale'''
*[[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences, la chute libre, avec vitesse initiale|La chute libre, avec vitesse initiale]]
Reprendre dans la wikipedia, l'article sur [[parabole de sûreté]]
 
* Résumé 

{{exemple|Enoncé|loi de Galilée-Torricelli|&lt;math&gt; \vec{OM} = \frac{1}{2} \vec {g} t^2 + \vec {V_0} t &lt;/math&gt;}}

{{exemple|Enoncé|Parabole de sûreté de Torricelli(1608-1647) |&lt;math&gt; OP = OH \cdot {2 \over (1+\cos\theta)}; avec OH := \frac{V_0^2}{2g}&lt;/math&gt;}}
*Exercices et Solutions.

'''Leçon : chute ralentie le long d'un plan incliné''' 
*[[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences, la chute ralentie sur plan incliné|La chute ralentie sur plan incliné]]

*[[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences, la chute ralentie sur plan incliné (suite)|La chute ralentie sur plan incliné (suite)]]
*Résumé
{{exemple|Enoncé|loi des cordes de Galilée(1564-1642)|&lt;math&gt; g(\alpha) = g \cdot \sin\alpha &lt;/math&gt;}}

 '''Leçon : la notion de diagramme horaire''' 

*[[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences, diagramme horaire|Diagramme horaire]]
reprendre l'article de la WP sur [[diagramme horaire]] :
Beaucoup d'exemples y sont traités.
* Résumé 
{{exemple|Enoncé|loi de Torricelli(1608-1647),notation moderne|&lt;math&gt; \vec{V}(t)= \vec{f}(t) &lt;=&gt; \vec{OM}(t)= \int_0^t \vec{f}(u)du &lt;/math&gt;}}

'''Leçon : diagramme des espaces; plan de phase''' 
*[[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences, plan de phase|Plan de phase]]
reprendre l'article de la WP sur [[diagramme des espaces]] 
* Résumé 
{{exemple|Enoncé|loi de Torricelli(1608-1647), notation moderne|&lt;math&gt; V(x):= \frac{dx}{dt} = f_{donnee}(x) &lt;=&gt; t = \int_0^x \frac{1}{f(u)} du&lt;/math&gt;}}

Et aussi

{{exemple|Enoncé|2eme loi de Torricelli(1608-1647), notation moderne|&lt;math&gt; V(x):= \frac{dx}{dt} = f(x) &lt;=&gt; \frac{1}{2}V^2(x) + (-1) \cdot\int_0^x f(\xi) d\xi = cste&lt;/math&gt;}}

'''Leçon intermède : la symétrie'''
*[[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences, intermède: la symétrie|Intermède: la symétrie]]
* la symétrie de scaling et le théorème du viriel 
*exercices
* la symétrie de Corinne 
datant sans doute de de Moivre, cette symétrie montre pourquoi changer le champ de pesanteur g en son opposé consiste à changer le temps réel en son imaginaire pur (i.t). Bien plus tard, la notion de &quot;temps euclidien&quot; en physique théorique sera peu ou prou analogue.

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*devoir n°1
*[[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences, devoir surveillé1|Devoir surveillé 1]]
Ce devoir fût prévu pour être fait après ces leçons préparatoires à l'étude du principe fondamental de la dynamique. Il n'y a encore pas de temps_dynamique_de_Newton , le temps est juste un paramètre cinématique_unicursal... et il faudra expliquer ce que cela signifie ! 

== Conlusion provisoire ==

Au-delà du Principe de Torricelli, Huygens, via Descartes, a su dégager l'essence de la dynamique :

Soit un système isolé, composé de deux sous-sytèmes S1 et S2.
Ils échangent entre eux des descartes [1 descartes = 1 N.s], si bien que l'Impulsion Totale se conserve. Si on connaît le taux horaire d'échange, F2/1 , alors l'équation différentielle d'évolution de S1 sera : 

{{exemple|Enoncé|'''Définition''' de Newton(1642-1727)|&lt;math&gt;\ \Delta P_1/\Delta t ::= F_{2/1}= - \Delta P_2/\Delta t&lt;/math&gt;}}

*Le chapitre de Statique qui suit n'est pas Fondamental, mais permet utilement de se familiariser avec la notion de Forces (en newtons : N), de &quot;moment&quot; de force (en m.N) et surtout avec le travail (en joule : = 1N.m) et '''le principe des travaux virtuels'''. On passe trop sous silence l'immense apport de  [[Simon Stevin]] (1548-1620)dans la statique(1586) et l'hydrostatique(1586).

*Une leçon est difficile : l'inertie à la rotation. S'y révèle le théorème du &quot;moment&quot; cinétique, via l'isotropie de l'espace.

*Puis, la leçon suivante récapitule ce que l'on peut déduire des Principes d'avant 1687.

*La Dynamique s'achève (et '''commence''' !) par ce momument que sont les Principia (1687): une fois énoncé le PFD (Principe Fondamental de la Dynamique), il ne restera plus qu'à développer les calculs (parfois '''fort astronomiques''' : de Clairaut ( et Madame LePaute) à Le Verrier ; parfois de '''subtile analyse''' : de Poincaré au théorème KAM, notion de chaos déterministe ; plus récemment calcul des trajectoires périodiques d'étoiles type Chenciner-Montgomery).

* Bien sûr on n'oubliera pas la contribution d'Euler-Lagrange.
* Non plus que l'admirable travail d' Hamilton(1805-1865).

La ToC et ses annexes permettront de naviguer aisément dans les chapitres supplémentaires.
*En savoir plus ? Cliquer dans la ToC (Table of Contents)-TdM(Table des Matières) : leçon remarques-en-vrac.

[[Catégorie:Mécanique]]
[[Catégorie:Classe 5 - Mathématique. Sciences exactes et naturelles]]
[[Catégorie:Histoire]]
[[Catégorie:Livres en cours de rédaction]]
[[Catégorie:Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences (livre)|*]]</text>
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{{BlocCitation|
La science affouille, bafouille, cafouille ; Clairement, elle progresse.
|auteur=pseudo-maxime d'Histoire des Sciences}}

Alors, il importe de garder trace des hésitations antérieures, des faux-pas, car tout « ''ante'' » est balayé outrageusement, et l'Histoire des Sciences y est perdante.

Ce cheminement chaotique de la science en marche, il faut le maîtriser pour oser être scientifique soi-même. Il convient donc de l'enseigner.

Il y a résistance intellectuelle à toute théorie nouvelle assez audacieuse, belle mais souvent plus que réaliste : il y a donc un '''TEMPS de RÉCEPTION''' de la théorie.

Quoi d'original dans cet petit opuscule ?
pas grand-chose en définitive, mais néanmoins :
* '''la notion d'homogénéité, analyse dimensionnelle et S.U.R. (Système d'unités réduites), est cruciale, ainsi que celle de symétrie'''.
* une Joie, pleine, de toucher la science en train de se faire : puissance de l'esprit ; mais aussi que d'essais, erreurs, que de choses misérables, bien humaines : hormis des personnes d'exception comme Newton, la science ne progresse qu'à petits pas.
* pas mal d'exercices (le niveau déclaré est post-bac).

== Table des Matières , liste des leçons ==
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Remarques-en-vrac|Remarques en vrac]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/La chute libre|La chute libre]] 
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Le choc frontal|Le choc frontal]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/La chute libre, avec vitesse initiale|La chute libre, avec vitesse initiale]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/La chute ralentie sur plan incliné|La chute ralentie sur plan incliné]] 
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/La chute ralentie sur plan incliné (suite)|La chute ralentie sur plan incliné (suite)]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Diagramme horaire|Diagramme horaire]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Plan de phase|Plan de phase]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Intermède: la symétrie|Intermède: la symétrie]]
* [[mécanique, enseignée via l'histoire des Sciences/La chute avec résistance de l'air|La chute avec résistance de l'air]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Devoir surveillé 1|Devoir surveillé 1]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/La balistique extérieure |la Balistique extérieure]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Statique|Statique]]

* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Les Principes avant 1687|Les Principes avant 1687]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/PFD|Principe Fondamental de la Dynamique]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Quelques exercices|Quelques exercices]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Mouvement de Hooke|Mouvement de Hooke]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Mouvement de Kepler|Mouvement de Kepler]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Mouvement dans un champ central|Mouvement dans un champ central]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Devoir surveillé 3|Devoir surveillé 3]]
----
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/L'inertie à la rotation|L'inertie à la rotation]]

----
Annexes :
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/La pression cinétique des fluides|La pression cinétique des fluides]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Résonances en astronomie|Résonances en astronomie]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Quelques exercices d'astronomie|Quelques exercices d'astronomie]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Le problème de Schwarzschild|Le problème de Schwarzschild]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Le système solaire|Le système solaire]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/La gravimétrie|La gravimétrie]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/L'information|L'information]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Le vide|Le vide]]

== Préface ==

Ce cours est le contre-pied d'une physique pour les nuls. Le niveau déclaré est propédeutique. Répétons :

{{exemple|(pseudo-maxime d'Histoire des Sciences)||'''La science affouille, bafouille, cafffouille ; Clairement, elle progresse'''}}

Ce cheminement chaotique de la science en marche, il faut le maîtriser pour oser être scientifique soi-même. Il convient donc de l'enseigner.

Voulant poursuivre le travail de Pierre Provost (ancien professeur au lycée Louis-Le-Grand, Paris), ce cours désire faire comprendre en profondeur la mécanique.Il ne s'agira pas tant de formules, mais au contraire de réflexions sur les fondements.

La pensée directrice de ce petit opuscule est claire : 
éviter le contact abrupt et traumatisant avec le Principe Fondamental de la Dynamique { F = dp/dt = m a} :

'''Pierre Provost''', dans la &quot;Mécanique, présentée autrement&quot; (édition L'Harmattan), défendait la thèse soutenue ici : '''par définition''',  '''F''' est la cause de d'''p'''/dt, cause à trouver expérimentalement, de façon à obtenir des '''équations différentielles''' (du second ordre, couplées éventuellement) à résoudre, dont la solution doit être vérifiée par l'expérience. Cette démarche est proche de celle de Newton et de Poincaré.

*Beaucoup d'exercices corrigés permettront aussi d'acquérir un minimum de technicité. 
Ces exercices font partie intégrante du cours. Ils sont là pour illustrer le principe Shadok suivant : pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué ? ''La réponse est'' : quand une théorie est juste, '''TOUT ce qui s'en déduit''' doit mener à des conclusions auto-cohérentes. La plupart du temps, c'est en confrontant la théorie à ses propres contradictions par des gedanken-experiments que l'on est amené à la récuser : par exemple, Einstein raisonnait souvent ainsi, mais bien d'autres avant lui. On forme ainsi ce qui est le plus important en physique : contre une '''intuition spontanée''' (parfois fausse), on parvient à construire un '''raisonnement éduqué''' ; ce qui est un des principes formateurs en science. Koyré disait: une théorie même fausse, c'est déjà beaucoup mieux qu'une avant-théorie : on peut la contredire et progresser.


Quelques points qui méritent d'être signalés :
*l'idée non nouvelle que Newton n'a rien inventé[ cf en 2005, diatribes stériles : Poincaré versus Einstein ; car évidemment, il y a TOUJOURS une histoire avant l'histoire]. Newton a magnifiquement remis en forme les postulats de la mécanique (puis il les a largement appliqués à tout ce qui avait déjà été écrit auparavant, y compris par lui-même); il ne s'est crédité lui-même que de l'invention de la Loi de gravitation universelle ( et des théorèmes dits &quot;remarquables&quot; (1685)) et de la compréhension  de la force_centripète. Mais ayant écrit ce prodigieux traité que sont les &quot;Principia&quot; (1687), il est de ceux qui ont le plus de distance vis à vis de ces mêmes Principes et même la notion de temps absolu y est discutée ; et nous verrons que c'est l'approche de Laplace, Poincaré et V.I.Arnold qui servira de guide d'enseignement, via la notion d''''ESPACE  DES PHASES''', beaucoup plus que les 3 lois de Newton, difficiles à enseigner. 
*la '''symétrie de Corinne''' (la transformation dite du temps euclidien en physique théorique : t -&gt; i.t) peu connue, la '''transmutation''' de la force de Newton par changement d'échelle de temps (Arnold-Needham vers 1980), une manière assez originale de &quot;transmuter&quot; la loi de Hooke-Hamilton, ''' le droit aux changements d'échelle''' (surtout ceux symplectiques évidemment). 
*la notion d'homogénéité et d'&quot;unités réduites&quot; sera sans cesse utilisée, car elle SIMPLIFIE les calculs, si bien utilisée.

== Introduction ==

Historiquement, la mécanique ne sort pas ex nihilo de la tête d'un mécanicien génial. Les années ont permis de dégager l'essentiel ; mais on peut dire qu'à la fin du {{s-|XVII|e}}, on a compris que les phénomènes terrestres '''ET''' l'astrophysique se déduisent des mêmes principes et des mêmes lois ; dès lors, la mécanique (science des mouvements) prend son envol grâce au travail gigantesque de [[Isaac Newton|Newton]] (1642-1727)qui publie ses [[Principia]] en 1687. Il lui faut bien sûr comprendre-inventer le calcul différentiel et intégral (en anglais : le calculus).


#La science qui décrit le mouvement s'appelle la '''Cinématique'''. En caricaturant, c'est géométrie + temps (Il Saggiatore de Galilée : nul n'entre ici s'il n'a une âme de géomètre). Elle sera plutôt la première partie du cours (on excepte la dynamique du choc : lois empiriques de Huygens(1619-1695)).
#La science qui décrit comment les forces se compensent pour atteindre un état de non-mouvement s'appelle la '''Statique''' (un des grands fondateurs fût Stevin(1548-1620)).
#Enfin, la '''Dynamique''' explique comment la description de ces forces permet de les interpréter comme les Causes du mouvement.


Néanmoins le parcours tortueux d'une science n'est pas celui-là ! et bien se rappeler hélas ceci :
 
'''La vérité finit toujours par triompher...''' ........... (Jan Hus, brûlé vif en 1415, mort cette année-là) ;

'''Quand ses contradicteurs sont tous morts.''' ..... (Planck(1858-1947)).

Autant dire, que nous faisons notre cet aphorisme de Faraday(1791-1867):

'''Ne crois que ce que tu peux vérifier. Sinon, reste sceptique et éveillé.'''

L'auteur collectif de cet ouvrage désire que cette introduction soit courte : il rend néanmoins un hommage souriant aux préfaces de H. Bouasse, célèbre professeur de Toulouse, auteur d'un traité de physique aussi impressionnant que passionnant (quoique parfois criticable).

___________________________________________

== Quelques titres de leçons ==
* Expérience fondamentale du tube de Newton : la plus belle du cours de physique élémentaire ; Brunold a dit qu'elle a éveillé plus d'une vocation !
'''Leçon : La chute libre verticale''' 

*[[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences, la chute libre|La chute libre]]
La loi de la chute libre verticale est, '''avec les conditions initiales  { &lt;math&gt;z_0 = 0 m ;v_0 =0 m/s&lt;/math&gt;}'''

{{exemple|Enoncé-simplifié|loi de Galilée(1564-1642)|&lt;math&gt; \frac {d^2z}{dt^2} = g   &lt;=&gt;  v = \frac{dz}{dt} = g t + 0 &lt;=&gt; z =\frac{1}{2}g t^2 +0 t+0 &lt;=&gt; v^2 = 2gz&lt;/math&gt;}}

Sans perte de généralité. On peut remonter aux conditions initiales (C.I) quelconques : (z_0,v_0) : &lt;math&gt; z(t) = z =\frac{1}{2}gt^2 + v_0 t + z_0&lt;/math&gt;
*Exercices et Solutions : beaucoup , beaucoup sont présentées. Un élève de seconde devra éviter les exercices les plus difficiles, certes !

'''Leçon : le choc frontal : lois de Huygens(1619-1695)''' 
*[[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences, le choc frontal|Le choc frontal]]
* Expjavascript:insertTags(&quot;'''&quot;,&quot;'''&quot;,&quot;Texte%20gras&quot;);érience princeps: &quot;le carreau&quot;. 
* Généralisation ; TP-Cours.
* Chocs inélastiques. 
* Résumé
 
{{exemple|Enoncé-simplifié|loi de Huygens(1619-1695)|&lt;math&gt; dans R^* , [P ; -P]_{before}^* = [-P ; P]_{after}^* &lt;/math&gt;}}
Si le choc est non -élastique, Loi de Newton : remplacer after[-eP ; eP] avec e coefficient de restitution (inférieur à 1)
*Exercices et Solutions
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

'''Leçon : la chute libre, avec vitesse initiale'''
*[[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences, la chute libre, avec vitesse initiale|La chute libre, avec vitesse initiale]]
Reprendre dans la wikipedia, l'article sur [[parabole de sûreté]]
 
* Résumé 

{{exemple|Enoncé|loi de Galilée-Torricelli|&lt;math&gt; \vec{OM} = \frac{1}{2} \vec {g} t^2 + \vec {V_0} t &lt;/math&gt;}}

{{exemple|Enoncé|Parabole de sûreté de Torricelli(1608-1647) |&lt;math&gt; OP = OH \cdot {2 \over (1+\cos\theta)}; avec OH := \frac{V_0^2}{2g}&lt;/math&gt;}}
*Exercices et Solutions.

'''Leçon : chute ralentie le long d'un plan incliné''' 
*[[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences, la chute ralentie sur plan incliné|La chute ralentie sur plan incliné]]

*[[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences, la chute ralentie sur plan incliné (suite)|La chute ralentie sur plan incliné (suite)]]
*Résumé
{{exemple|Enoncé|loi des cordes de Galilée(1564-1642)|&lt;math&gt; g(\alpha) = g \cdot \sin\alpha &lt;/math&gt;}}

 '''Leçon : la notion de diagramme horaire''' 

*[[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences, diagramme horaire|Diagramme horaire]]
reprendre l'article de la WP sur [[diagramme horaire]] :
Beaucoup d'exemples y sont traités.
* Résumé 
{{exemple|Enoncé|loi de Torricelli(1608-1647),notation moderne|&lt;math&gt; \vec{V}(t)= \vec{f}(t) &lt;=&gt; \vec{OM}(t)= \int_0^t \vec{f}(u)du &lt;/math&gt;}}

'''Leçon : diagramme des espaces; plan de phase''' 
*[[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences, plan de phase|Plan de phase]]
reprendre l'article de la WP sur [[diagramme des espaces]] 
* Résumé 
{{exemple|Enoncé|loi de Torricelli(1608-1647), notation moderne|&lt;math&gt; V(x):= \frac{dx}{dt} = f_{donnee}(x) &lt;=&gt; t = \int_0^x \frac{1}{f(u)} du&lt;/math&gt;}}

Et aussi

{{exemple|Enoncé|2eme loi de Torricelli(1608-1647), notation moderne|&lt;math&gt; V(x):= \frac{dx}{dt} = f(x) &lt;=&gt; \frac{1}{2}V^2(x) + (-1) \cdot\int_0^x f(\xi) d\xi = cste&lt;/math&gt;}}

'''Leçon intermède : la symétrie'''
*[[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences, intermède: la symétrie|Intermède: la symétrie]]
* la symétrie de scaling et le théorème du viriel 
*exercices
* la symétrie de Corinne 
datant sans doute de de Moivre, cette symétrie montre pourquoi changer le champ de pesanteur g en son opposé consiste à changer le temps réel en son imaginaire pur (i.t). Bien plus tard, la notion de &quot;temps euclidien&quot; en physique théorique sera peu ou prou analogue.

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*devoir n°1
*[[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences, devoir surveillé1|Devoir surveillé 1]]
Ce devoir fût prévu pour être fait après ces leçons préparatoires à l'étude du principe fondamental de la dynamique. Il n'y a encore pas de temps_dynamique_de_Newton , le temps est juste un paramètre cinématique_unicursal... et il faudra expliquer ce que cela signifie ! 

== Conclusion provisoire ==

Au-delà du Principe de Torricelli, Huygens, via Descartes, a su dégager l'essence de la dynamique :

Soit un système isolé, composé de deux sous-systèmes S1 et S2.
Ils échangent entre eux des descartes [1 descartes = 1 N.s], si bien que l'Impulsion Totale se conserve. Si on connaît le taux horaire d'échange, F2/1 , alors l'équation différentielle d'évolution de S1 sera : 

{{exemple|Énoncé|'''Définition''' de Newton(1642-1727)|&lt;math&gt;\ \Delta P_1/\Delta t ::= F_{2/1}= - \Delta P_2/\Delta t&lt;/math&gt;}}

*Le chapitre de Statique qui suit n'est pas Fondamental, mais permet utilement de se familiariser avec la notion de Forces (en newtons : N), de &quot;moment&quot; de force (en m.N) et surtout avec le travail (en joule : = 1N.m) et '''le principe des travaux virtuels'''. On passe trop sous silence l'immense apport de  [[Simon Stevin]] (1548-1620)dans la statique(1586) et l'hydrostatique(1586).

*Une leçon est difficile : l'inertie à la rotation. S'y révèle le théorème du &quot;moment&quot; cinétique, via l'isotropie de l'espace.

*Puis, la leçon suivante récapitule ce que l'on peut déduire des Principes d'avant 1687.

*La Dynamique s'achève (et '''commence''' !) par ce monument que sont les Principia (1687): une fois énoncé le PFD (Principe Fondamental de la Dynamique), il ne restera plus qu'à développer les calculs (parfois '''fort astronomiques''' : de Clairaut ( et Madame LePaute) à Le Verrier ; parfois de '''subtile analyse''' : de Poincaré au théorème KAM, notion de chaos déterministe ; plus récemment calcul des trajectoires périodiques d'étoiles type Chenciner-Montgomery).

* Bien sûr on n'oubliera pas la contribution d'Euler-Lagrange.
* Non plus que l'admirable travail d' Hamilton(1805-1865).

La ToC et ses annexes permettront de naviguer aisément dans les chapitres supplémentaires.
* En savoir plus ? Cliquer dans la ToC (Table of Contents)-TdM(Table des Matières) : leçon [[/Remarques-en-vrac/]].

[[Catégorie:Mécanique]]
[[Catégorie:Classe 5 - Mathématique. Sciences exactes et naturelles]]
[[Catégorie:Histoire]]
[[Catégorie:Livres en cours de rédaction]]
[[Catégorie:Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences (livre)|*]]</text>
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{{BlocCitation|
La science affouille, bafouille, cafouille ; Clairement, elle progresse.
|auteur=pseudo-maxime d'Histoire des Sciences}}

Alors, il importe de garder trace des hésitations antérieures, des faux-pas, car tout « ''ante'' » est balayé outrageusement, et l'Histoire des Sciences y est perdante.

Ce cheminement chaotique de la science en marche, il faut le maîtriser pour oser être scientifique soi-même. Il convient donc de l'enseigner.

Il y a résistance intellectuelle à toute théorie nouvelle assez audacieuse, belle mais souvent plus que réaliste : il y a donc un '''TEMPS de RÉCEPTION''' de la théorie.

Quoi d'original dans cet petit opuscule ?
pas grand-chose en définitive, mais néanmoins :
* '''la notion d'homogénéité, analyse dimensionnelle et S.U.R. (Système d'unités réduites), est cruciale, ainsi que celle de symétrie'''.
* une Joie, pleine, de toucher la science en train de se faire : puissance de l'esprit ; mais aussi que d'essais, erreurs, que de choses misérables, bien humaines : hormis des personnes d'exception comme Newton, la science ne progresse qu'à petits pas.
* pas mal d'exercices (le niveau déclaré est post-bac).

== Table des Matières , liste des leçons ==
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Remarques-en-vrac|Remarques en vrac]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/La chute libre|La chute libre]] 
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Le choc frontal|Le choc frontal]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/La chute libre, avec vitesse initiale|La chute libre, avec vitesse initiale]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/La chute ralentie sur plan incliné|La chute ralentie sur plan incliné]] 
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/La chute ralentie sur plan incliné (suite)|La chute ralentie sur plan incliné (suite)]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Diagramme horaire|Diagramme horaire]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Plan de phase|Plan de phase]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Intermède: la symétrie|Intermède: la symétrie]]
* [[mécanique, enseignée via l'histoire des Sciences/La chute avec résistance de l'air|La chute avec résistance de l'air]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Devoir surveillé 1|Devoir surveillé 1]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/La balistique extérieure |la Balistique extérieure]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Statique|Statique]]

* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Les Principes avant 1687|Les Principes avant 1687]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/PFD|Principe Fondamental de la Dynamique]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Quelques exercices|Quelques exercices]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Mouvement de Hooke|Mouvement de Hooke]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Mouvement de Kepler|Mouvement de Kepler]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Mouvement dans un champ central|Mouvement dans un champ central]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Devoir surveillé 3|Devoir surveillé 3]]
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* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/L'inertie à la rotation|L'inertie à la rotation]]

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Annexes :
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/La pression cinétique des fluides|La pression cinétique des fluides]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Résonances en astronomie|Résonances en astronomie]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Quelques exercices d'astronomie|Quelques exercices d'astronomie]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Le problème de Schwarzschild|Le problème de Schwarzschild]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Le système solaire|Le système solaire]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/La gravimétrie|La gravimétrie]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/L'information|L'information]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Le vide|Le vide]]

[[Catégorie:Mécanique]]
[[Catégorie:Classe 5 - Mathématique. Sciences exactes et naturelles]]
[[Catégorie:Histoire]]
[[Catégorie:Livres en cours de rédaction]]
[[Catégorie:Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences (livre)|*]]</text>
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      <format>text/x-wiki</format>
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{{BlocCitation|
La science affouille, bafouille, cafouille ; Clairement, elle progresse.
|auteur=pseudo-maxime d'Histoire des Sciences}}

Alors, il importe de garder trace des hésitations antérieures, des faux-pas, car tout « ''ante'' » est balayé outrageusement, et l'Histoire des Sciences y est perdante.

Ce cheminement chaotique de la science en marche, il faut le maîtriser pour oser être scientifique soi-même. Il convient donc de l'enseigner.

Il y a résistance intellectuelle à toute théorie nouvelle assez audacieuse, belle mais souvent plus que réaliste : il y a donc un '''TEMPS de RÉCEPTION''' de la théorie.

Quoi d'original dans cet petit opuscule ?
pas grand-chose en définitive, mais néanmoins :
* '''la notion d'homogénéité, analyse dimensionnelle et S.U.R. (Système d'unités réduites), est cruciale, ainsi que celle de symétrie'''.
* une Joie, pleine, de toucher la science en train de se faire : puissance de l'esprit ; mais aussi que d'essais, erreurs, que de choses misérables, bien humaines : hormis des personnes d'exception comme Newton, la science ne progresse qu'à petits pas.
* pas mal d'exercices (le niveau déclaré est post-bac).

== Table des Matières , liste des leçons ==
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Remarques-en-vrac|Remarques en vrac]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/La chute libre|La chute libre]] 
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Le choc frontal|Le choc frontal]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/La chute libre, avec vitesse initiale|La chute libre, avec vitesse initiale]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/La chute ralentie sur plan incliné|La chute ralentie sur plan incliné]] 
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/La chute ralentie sur plan incliné (suite)|La chute ralentie sur plan incliné (suite)]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Diagramme horaire|Diagramme horaire]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Plan de phase|Plan de phase]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Intermède: la symétrie|Intermède: la symétrie]]
* [[mécanique, enseignée via l'histoire des Sciences/La chute avec résistance de l'air|La chute avec résistance de l'air]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Devoir surveillé 1|Devoir surveillé 1]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/La balistique extérieure |la Balistique extérieure]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Statique|Statique]]

* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Les Principes avant 1687|Les Principes avant 1687]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/PFD|Principe Fondamental de la Dynamique]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Quelques exercices|Quelques exercices]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Mouvement de Hooke|Mouvement de Hooke]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Mouvement de Kepler|Mouvement de Kepler]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Mouvement dans un champ central|Mouvement dans un champ central]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Devoir surveillé 3|Devoir surveillé 3]]
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* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/L'inertie à la rotation|L'inertie à la rotation]]

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Annexes :
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/La pression cinétique des fluides|La pression cinétique des fluides]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Résonances en astronomie|Résonances en astronomie]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Quelques exercices d'astronomie|Quelques exercices d'astronomie]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Le problème de Schwarzschild|Le problème de Schwarzschild]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Le système solaire|Le système solaire]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/La gravimétrie|La gravimétrie]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/L'information|L'information]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Le vide|Le vide]]

{{/Préface}}

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[[Catégorie:Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences (livre)|*]]</text>
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{{BlocCitation|
La science affouille, bafouille, cafouille ; Clairement, elle progresse.
|auteur=pseudo-maxime d'Histoire des Sciences}}

Alors, il importe de garder trace des hésitations antérieures, des faux-pas, car tout « ''ante'' » est balayé outrageusement, et l'Histoire des Sciences y est perdante.

Ce cheminement chaotique de la science en marche, il faut le maîtriser pour oser être scientifique soi-même. Il convient donc de l'enseigner.

Il y a résistance intellectuelle à toute théorie nouvelle assez audacieuse, belle mais souvent plus que réaliste : il y a donc un '''TEMPS de RÉCEPTION''' de la théorie.

Quoi d'original dans cet petit opuscule ?
pas grand-chose en définitive, mais néanmoins :
* '''la notion d'homogénéité, analyse dimensionnelle et S.U.R. (Système d'unités réduites), est cruciale, ainsi que celle de symétrie'''.
* une Joie, pleine, de toucher la science en train de se faire : puissance de l'esprit ; mais aussi que d'essais, erreurs, que de choses misérables, bien humaines : hormis des personnes d'exception comme Newton, la science ne progresse qu'à petits pas.
* pas mal d'exercices (le niveau déclaré est post-bac).

== Table des Matières , liste des leçons ==
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Remarques-en-vrac|Remarques en vrac]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/La chute libre|La chute libre]] 
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Le choc frontal|Le choc frontal]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/La chute libre, avec vitesse initiale|La chute libre, avec vitesse initiale]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/La chute ralentie sur plan incliné|La chute ralentie sur plan incliné]] 
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/La chute ralentie sur plan incliné (suite)|La chute ralentie sur plan incliné (suite)]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Diagramme horaire|Diagramme horaire]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Plan de phase|Plan de phase]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Intermède: la symétrie|Intermède: la symétrie]]
* [[mécanique, enseignée via l'histoire des Sciences/La chute avec résistance de l'air|La chute avec résistance de l'air]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Devoir surveillé 1|Devoir surveillé 1]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/La balistique extérieure |la Balistique extérieure]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Statique|Statique]]

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* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Mouvement dans un champ central|Mouvement dans un champ central]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Devoir surveillé 3|Devoir surveillé 3]]
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* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/L'inertie à la rotation|L'inertie à la rotation]]

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Annexes :
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{{BlocCitation|
La science affouille, bafouille, cafouille ; Clairement, elle progresse.
|auteur=pseudo-maxime d'Histoire des Sciences}}

Alors, il importe de garder trace des hésitations antérieures, des faux-pas, car tout « ''ante'' » est balayé outrageusement, et l'Histoire des Sciences y est perdante.

Ce cheminement chaotique de la science en marche, il faut le maîtriser pour oser être scientifique soi-même. Il convient donc de l'enseigner.

Il y a résistance intellectuelle à toute théorie nouvelle assez audacieuse, belle mais souvent plus que réaliste : il y a donc un '''TEMPS de RÉCEPTION''' de la théorie.

Quoi d'original dans cet petit opuscule ?
pas grand-chose en définitive, mais néanmoins :
* '''la notion d'homogénéité, analyse dimensionnelle et S.U.R. (Système d'unités réduites), est cruciale, ainsi que celle de symétrie'''.
* une Joie, pleine, de toucher la science en train de se faire : puissance de l'esprit ; mais aussi que d'essais, erreurs, que de choses misérables, bien humaines : hormis des personnes d'exception comme Newton, la science ne progresse qu'à petits pas.
* pas mal d'exercices (le niveau déclaré est post-bac).

== Table des Matières, liste des leçons ==
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Remarques-en-vrac|Remarques en vrac]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/La chute libre|La chute libre]] 
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Le choc frontal|Le choc frontal]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/La chute libre, avec vitesse initiale|La chute libre, avec vitesse initiale]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/La chute ralentie sur plan incliné|La chute ralentie sur plan incliné]] 
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/La chute ralentie sur plan incliné (suite)|La chute ralentie sur plan incliné (suite)]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Diagramme horaire|Diagramme horaire]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Plan de phase|Plan de phase]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Intermède: la symétrie|Intermède: la symétrie]]
* [[mécanique, enseignée via l'histoire des Sciences/La chute avec résistance de l'air|La chute avec résistance de l'air]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Devoir surveillé 1|Devoir surveillé 1]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/La balistique extérieure |la Balistique extérieure]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Statique|Statique]]

* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Les Principes avant 1687|Les Principes avant 1687]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/PFD|Principe Fondamental de la Dynamique]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Quelques exercices|Quelques exercices]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Mouvement de Hooke|Mouvement de Hooke]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Mouvement de Kepler|Mouvement de Kepler]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Mouvement dans un champ central|Mouvement dans un champ central]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Devoir surveillé 3|Devoir surveillé 3]]
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* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/L'inertie à la rotation|L'inertie à la rotation]]

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Annexes :
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* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Résonances en astronomie|Résonances en astronomie]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Quelques exercices d'astronomie|Quelques exercices d'astronomie]]
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* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/La gravimétrie|La gravimétrie]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/L'information|L'information]]
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La science affouille, bafouille, cafouille ; Clairement, elle progresse.
|auteur=pseudo-maxime d'Histoire des Sciences}}

Alors, il importe de garder trace des hésitations antérieures, des faux-pas, car tout « ''ante'' » est balayé outrageusement, et l'Histoire des Sciences y est perdante.

Ce cheminement chaotique de la science en marche, il faut le maîtriser pour oser être scientifique soi-même. Il convient donc de l'enseigner.

Il y a résistance intellectuelle à toute théorie nouvelle assez audacieuse, belle mais souvent plus que réaliste : il y a donc un '''TEMPS de RÉCEPTION''' de la théorie.

Quoi d'original dans cet petit opuscule ?
pas grand-chose en définitive, mais néanmoins :
* '''la notion d'homogénéité, analyse dimensionnelle et S.U.R. (Système d'unités réduites), est cruciale, ainsi que celle de symétrie'''.
* une Joie, pleine, de toucher la science en train de se faire : puissance de l'esprit ; mais aussi que d'essais, erreurs, que de choses misérables, bien humaines : hormis des personnes d'exception comme Newton, la science ne progresse qu'à petits pas.
* pas mal d'exercices (le niveau déclaré est post-bac).

== Table des Matières, liste des leçons ==
{{/Sommaire}}

{{/Préface et introduction}}

[[Catégorie:Mécanique]]
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La science affouille, bafouille, cafouille ; Clairement, elle progresse.
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Alors, il importe de garder trace des hésitations antérieures, des faux-pas, car tout « ''ante'' » est balayé outrageusement, et l'Histoire des Sciences y est perdante.

Ce cheminement chaotique de la science en marche, il faut le maîtriser pour oser être scientifique soi-même. Il convient donc de l'enseigner.

Il y a résistance intellectuelle à toute théorie nouvelle assez audacieuse, belle mais souvent plus que réaliste : il y a donc un '''TEMPS de RÉCEPTION''' de la théorie.
|avancement=Bon début
|cdu=
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}}

Quoi d'original dans cet petit opuscule ?
pas grand-chose en définitive, mais néanmoins :
* '''la notion d'homogénéité, analyse dimensionnelle et S.U.R. (Système d'unités réduites), est cruciale, ainsi que celle de symétrie'''.
* une Joie, pleine, de toucher la science en train de se faire : puissance de l'esprit ; mais aussi que d'essais, erreurs, que de choses misérables, bien humaines : hormis des personnes d'exception comme Newton, la science ne progresse qu'à petits pas.
* pas mal d'exercices (le niveau déclaré est post-bac).

== Table des Matières, liste des leçons ==
{{/Sommaire}}

{{/Préface et introduction}}

[[Catégorie:Mécanique]]
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La science affouille, bafouille, cafouille ; Clairement, elle progresse.
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Alors, il importe de garder trace des hésitations antérieures, des faux-pas, car tout « ''ante'' » est balayé outrageusement, et l'Histoire des Sciences y est perdante.

Ce cheminement chaotique de la science en marche, il faut le maîtriser pour oser être scientifique soi-même. Il convient donc de l'enseigner.

Il y a résistance intellectuelle à toute théorie nouvelle assez audacieuse, belle mais souvent plus que réaliste : il y a donc un '''TEMPS de RÉCEPTION''' de la théorie.
|avancement=Bon début
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}}

Quoi d'original dans cet petit opuscule ?
pas grand-chose en définitive, mais néanmoins :
* '''la notion d'homogénéité, analyse dimensionnelle et S.U.R. (Système d'unités réduites), est cruciale, ainsi que celle de symétrie'''.
* une Joie, pleine, de toucher la science en train de se faire : puissance de l'esprit ; mais aussi que d'essais, erreurs, que de choses misérables, bien humaines : hormis des personnes d'exception comme Newton, la science ne progresse qu'à petits pas.
* pas mal d'exercices (le niveau déclaré est post-bac).

== Table des Matières, liste des leçons ==
{{/Sommaire}}

{{/Préface et introduction}}

[[Catégorie:Mécanique]]
[[Catégorie:Classe 5 - Mathématique. Sciences exactes et naturelles]]
[[Catégorie:Histoire]]
[[Catégorie:Livres en cours de rédaction]]
[[Catégorie:Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences (livre)|*]]</text>
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; Partie 1 - Introduction
# [[Programmation Python/Avant-propos|Avant-propos à l'attention des non-programmeurs]] {{100}}
# [[Programmation Python/Introduction|Introduction]] {{100}}
# [[Programmation Python/Installation|Installation]] {{100}}
# [[Programmation Python/Éditeurs|Éditeurs]] {{100}}
# [[Programmation Python/Programmer en deux minutes|Programmer en deux minutes]] {{100}}
#* [[Programmation Python/Programmer en deux minutes/une messagerie instantanée|''une messagerie instantanée'']] {{100}}
#* [[Programmation Python/Programmer en deux minutes/l'interface de Wikipédia pour programmer|''un programme interfacé avec Wikipédia'']] {{100}}
#* [[Programmation Python/Programmer en deux minutes/un serveur Web|''un serveur Web'']] {{100}}

; Partie 2 - Le langage
# [[Programmation Python/Afficher un texte|Afficher un texte]] {{100}}
# [[Programmation Python/Structure d'un programme|Structure d'un programme]] {{100}}
# [[Programmation Python/Variables|Variables]] {{100}}
# [[Programmation Python/Opérateurs|Opérateurs]] {{100}}
# [[Programmation Python/Structures de contrôle|Structures de contrôle]] {{100}}
# [[Programmation Python/Instructions répétitives|Instructions répétitives]] {{100}}
# [[Programmation Python/Types|Types]] {{100}}
#* [[Programmation Python/Numériques|Numériques]] {{100}}
#* [[Programmation Python/Booléens|Booléens]] {{100}}
#* [[Programmation Python/Chaines de caractères|Chaines de caractères]] {{100}}
#* [[Programmation Python/Listes|Listes]] {{100}}
#* [[Programmation Python/Tuples|Tuples]] {{100}}
#* [[Programmation Python/Dictionnaires|Dictionnaires]] {{100}}
#* [[Programmation Python/Dates|Dates]] {{100}}
#* [[Programmation Python/Ensembles|Ensembles]] {{100}}
# [[Programmation Python/Fonctions|Fonctions]] {{100}}
# [[Programmation Python/Modules|Modules]] {{100}}
# [[Programmation Python/Exercices sur les bases du langage|Exercices]] {{100}}
#* [[Programmation Python/Exercices sur les bases du langage/Palindrome|Palindrome]] {{100}}
# [[Programmation Python/Regex|Regex]] {{100}}
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    <title>Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/La chute libre</title>
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      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="26756" xml:space="preserve">*Attention : une bonne partie de la réflexion est actuellement dans la discussion. Elle en sortira quand elle aura été suffisamment critiquée.

Cette première leçon est élémentaire. Son niveau est bac-2, bac-1, bac , et bac+1. Les exercices et les commentaires sont de niveau variable.

== Loi de Galilée==
=== Expérience=== 
Soit un plomb, P, soutenu par une ficelle mince.

On le laisse bien au repos, au ras du sol. On marque à la craie la position au sol, disons A . Le plomb est relevé de 2m environ, bien à la verticale de A en un point O.

Il est immobile en O. On brûle la ficelle. Le plomb tombe de O en A. En &quot;chute libre&quot;, dit-on ; en réalité, l'air perturbe le mouvement en le ralentissant.

Galilée(1564-1642) eût l'idée, '''géniale pour l'époque''', d'imaginer ce mouvement '''''à la limite''''' où il n'y aurait pas d'air ! Le plomb tomberait alors dans le vide : c'est la chute libre verticale, dont Galilée donna la loi en 1604.

=== La loi  ===
Soit z(t) la hauteur de chute, v  la vitesse de chute, et a l'accélération.  

'''L'accélération est constante'''. 

On l'appelle g.
À Paris, elle vaut 9.81 m/s². 
La vitesse initiale est nulle.

On en déduit :
 
:&lt;math&gt; \frac {d^2z}{dt^2} = g  &lt;=&gt;   \frac{dz}{dt} = gt &lt;=&gt; z =\frac{1}{2}gt^2  &lt;/math&gt;


( De plus, si on élimine la variable t entre v(t) et z(t), on obtient :  v² = 2gz ; Torricelli(1640)).

Avec des conditions initiales quelconques, on obtiendrait :

&lt;math&gt;v = v_0 + gt &lt;=&gt; z =\frac{1}{2}gt^2 + v_0 t + z_0  &lt;/math&gt;

''Remarque'' : en réalité, le pivotement de la Terre en un jour sidéral provoque une minuscule déviation vers l'Est.

==Notes historiques==

===penser le vide ===

Aujourd'hui, on sait faire cette expérience dans un tube privé d'air (grâce à une pompe aspirante). On a des caméras pour enregistrer le mouvement. On peut refaire l'expérience à loisir avec d'autres dispositifs. On l'a même refaite sur la Lune, qui n'a pas d'atmosphère. À l'époque ( avant 1644 ), '''penser le vide''' était assez '''révolutionnaire''', voire hérétique (la discussion en est passionnante, cf article sur le vide) ; Galilée lui-même n'y croyait pas trop ; son élève Torricelli(1609-1647) mit en évidence le &quot;vide grosso&quot; dans la &quot;chambre barométrique&quot; en 1644, ceci après avoir compris le problème des fontainiers (de la ville de Sienne) qui n'arrivaient pas à faire fonctionner leurs siphons.

Le génie de Galilée fût de penser la loi comme une loi-limite qui existerait à la limite du vide absolu. En effet, dès que la vitesse est grande, la résistance de l'air vient '''limiter''' la vitesse. Cette vitesse-limite est différente selon les corps. La loi de Galilée devient fausse. Chacun peut le vérifier ; et Galilée, et ses contemporains, le savaient. L'affirmation de Galilée , v = g.t , est donc une décision, correspondant à une loi approximative de début de mouvement dans l'air résiduel.

===la masse n'intervient pas ===

La lettre de Galilée à Sarpi (16/10/1604) présente en réalité '''deux''' Lois:
 
#Le mouvement a une accélération constante 
#'''Un fait extraordinaire''', '''peu crédible''' mais pourtant vrai : la loi ne dépend pas du plomb ! 

On peut prendre une pierre, un sac lesté de plomb, de sable ou de papier, ou de polystyrène, une fleur de pissenlit, une plume. Dans un tube de verre de 2m de long, dont l'air a été pompé, on fait chuter la plume et le plomb ; on parle de l'expérience du &quot;tube de Newton&quot;. Il faut avoir vu cette plume tomber vertigineusement vite :

#'''elle accélère de 10 m/s chaque seconde ;''' 
#'''La plume tombe exactement comme le plomb !''' 

Évidemment, ce qui est le plus curieux dans cette loi est que ni la masse ni la densité du corps n'interviennent : ceci paraît absurde. Et la lumière tombe-t-elle dans le vide ? et l'air, pourquoi ne tombe-t-il pas ? Voir l'exercice.

En réalité, Galilée n'a pas pu vérifier la loi. Il a même &quot;triché&quot; sciemment. Ses contemporains avaient déjà vérifié amplement certaines caractéristiques de la chute dans l'air. Galilée a ignoré ces critiques. Comme il l'a réaffirmé dans le Dialogo, il se place dans une situation théorique, où le vide est '''parfait'''.

Que la masse inerte soit égale à la masse pesante sera la base du Principe d’Équivalence, en théorie de la Relativité Générale d'Einstein, en 1915 ; mais c'est bien plus savant.

===  la Tour de Pise ===
Il faut tordre le coup à ce faux compte-rendu de Viviani dans son hagiographie de la vie du grand Maître : Galilée n'a vraisemblablement jamais vérifié sa loi à la tour de Pise. Koyré le démontre très bien : Galilée , tout comme Beeckman, sait l'existence d'une vitesse-limite. Plomb et sureau ne tombent pas à la même vitesse. Deux billes de plomb non plus. À quoi eût donc servi une telle expérience ? 

De fait, la grande idée expérimentale de Galilée fût en réalité celle de ralentir la chute, via le plan incliné (voir leçon ultérieure), et de penser théoriquement une gedanken-experiment : faire remonter ensuite la masse sur un autre plan incliné : alors, il était '''crédible''' que la bille allait remonter à la même hauteur, ''' à supposer''' que l'influence des frottements fût négligeable. '''Cette supposition est ce qui permet d'épurer le mouvement : la loi devient simple'''. Puis dans une seconde partie (laissée inachevée!), la perturbation due à l'air vient modifier le comportement. D'autres que Galilée eurent des idées, elles aussi très ingénieuses, plus proches même de la réalité expérimentale. L'Histoire n'a retenu que Galilée, parce que sa démarche s'est avérée la plus fructueuse. Mais ne pas oublier les autres.

===les difficultés liées au calculus===

La présentation donnée, v=gt ; z=1/2 gt², est ''anachronique'', très loin de la formulation de 1604. S'il faut attendre 1640 pour trouver la formule de Torricelli, v²=2gz, c'est que ce n'est pas simple, pour l'époque. Il y a au moins trois difficultés :

La notion d'unité, de dimension est précaire (les ''Discorsi'' sont écrits en 1638). Nos montres n'existent pas. La mesure du temps est rudimentaire : on fait chanter une chorale et on se base sur son tempo. Un peu plus tard, on utilisera le pendule ( sans même discuter la circularité du raisonnement, car le pendule utilise aussi la chute ). Galilée n'utilisera jamais &quot;l'axe des temps&quot;. Et bien sûr, la notation g n'existe pas en 1604 ! 

La notion de fonction n'existe pas vraiment. On a simplement deux tableaux numériques : z(k) positions échelonnées aussi régulièrement que possible versus temps de passage t(k). Mais pourquoi ne pas utiliser des temps espacés régulièrement ? Comment intrapoler pour passer d'un tableau à l'autre ? etc. Et on se rend compte très vite que le point initial est grande source d'erreur, à cause du déclenchement du &quot;&quot;chronomètre&quot;&quot;. D'où l'idée de procéder avec les différences_premières ; l'erreur systématique est moindre ; mais alors mesurer des différences augmente l'erreur expérimentale. Mais doit-on afficher les temps à des positions espacées régulièrement ? ou bien les positions à des dates échelonnées régulièrement ? Ce que Galilée va finalement privilégier, ce sont des dates échelonnées : alors, les différences d'espace augmentent comme 1,3,5,7,...(et ceci, ''quel que soit le choix de l'intervalle de temps''). Or il sait que la somme des impairs est un carré. Il en déduit z ~ t². 

La troisième difficulté est la notion de ''calculus'' ( le calcul différentiel et intégral ) : la notion de vitesse instantanée, à la date t, à un instant déterminé, dans le &quot;moment&quot; examiné, etc , n'existe pas encore.Il faudra attendre Newton, et surtout Leibniz pour écrire la dérivée v = dz /dt, via la limite ultime des durées petites, ou des distances infimes ; et comment la déduire des t(k),z(k) ? Et si on définit la lenteur comme limite de Δt/Δz, a-t-on la lenteur égale à 1/v ?  

Admettons que l'on forme un tableau de ces v_i &quot;au mieux&quot; ; ce tableau formé, faut-il considérer les v(k) fonction des t(k) ou bien des z(k) ? Galilée est hésitant. Cela en est touchant. Mais l'affaire est importante, car au coup suivant, pour la &quot;différence des différences&quot;, il faudra aussi faire attention ; est-ce v(t) ou bien lenteur(z)? auquel cas d(lenteur(z))/dz ne donne rien de bien simple! C'est bien dv(t)/dt qui est simple. On affouille, bafouille, cafouille. On patouille. Clairement, 50 après, on a progressé. Mais combien d'efforts de savants illustres ! Le terrain aplani, nous perdons conscience de cette difficulté immense : la construction du calculus.

== Exercices ==

On prendra g = 10 m/s² approximativement.

===quelques exercices simples===
1/. '''exAN''' : Trouver la hauteur de chute si le temps de chute est 2s .

'''Réponse''' : h = 1/2 . 10 . 4 = 20 m ! et la vitesse à l'arrivée est v= 20 m/s soit 72 km/h : malheur à vous, c'est fatal ! 
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2/. '''ex.RelationV(x)''' : Éliminer le temps entre z(t) et v(t) pour trouver la relation dite de Torricelli(1608-1647) : v² = 2g.z (c'est la quatrième formulation de la loi, dans le résumé).

En déduire la compréhension du slogan de la Sécurité routière : arriver sur un obstacle à 36 km/h &quot;c'est comme&quot; chuter de 5 m (2ème étage environ), mais à 72 km/h , c'est comme chuter de 20 m! mortel sans ceinture et air-bag.

Montrer plus généralement que V² -Vo² = 2g (z-zo) [ loi de Torricelli(1608-1647).

'''solution''' : 
en reportant t= v/g dans z = 1/2 gt², on obtient z = 1/2 g(v/g)² , soit v²= 2gz.

2g(z-zo) = 2gVot +g²t² ; et V² = (Vo+gt)² = Vo² + 2gVot + g²t² , d'où V²-Vo² = 2g(z-zo).
:Appliquer le théorème de l'énergie cinétique serait ici anachronique. Leibniz ne l'énoncera que vers 1700 ! 
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3/. '''ex.Croisement''' : c'est un teaser classique. On lance une pierre P vers le haut. Elle atteint la hauteur H . Juste à cet instant, on lance une deuxième pierre Q de la même manière. De tête, où les 2 pierres se rencontrent-elles ?

'''solution ex.Croisement''' :
Tracer le diagramme horaire de P, zP(t) et celui de Q, zQ(t) : ces deux courbes identiques sont décalées de sorte que le sommet de l'une est au pied de l'autre, la symétrie montre que la rencontre a lieu à T/2 ; le résultat devient évident :[Réponse : rencontre à z =3/4 . H].
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(* signale un exercice plus difficile)

===Puits===
Pour avoir la hauteur H d'un puits, on y laisse tomber un caillou au temps t = 0 ; on entend le son au temps T = 2 s : trouver la hauteur H (on appellera c , la célérité du son, égale à 1000/3 m/s).

'''solution ex.Puits'''  : On aura le temps de chute t1 tel que H = ½ g t1² et H = ct2 ; soit 
T = temps total = t1 +t2 = sqrt(2H/g) + H/c , équation du deuxième degré en sqrtH = x &gt; 0 ; soit x² + x. sqrt(2c²/g)-cT = 0 et l'on prend la racine positive.

Allyson prend alors sa calculette et trouve x= 4,34546 ; puis H = 18,883 m

Alliette, elle, pousse les calculs littéraux et trouve x² = H = 1/2 gT².[ 2 / (1 + sqrt(1+2gT/c))]² = 20. (0,94415) = 18,883 m 
 
Après moult calculs, l'équation en x²= H peut se réécrire  :  H = 1/2 g(T-H/c)² ;

Béatrice dit : mais alors il suffit de dire que si t2= H/c, alors t1 = T- H/c , donc H = 1/2 g(T-H/c)². 

L'équation du second degré obtenue est alors : H² - 2H(c²/g + cT) + c²T² = 0

En poursuivant les calculs littéraux, on retrouve le résultat exact d' Alliette.

Catherine dit : t1 &lt; T donc H = 1/2 g.(t1)² &lt; 1/2 gT² = 20 m = Ho ; elle ajoute : donc   t2 = H/c &lt; Ho/c = 60 ms ; donc t1 &gt; T-Ho/c ; puis H &gt; 1/2 g (T-Ho/c)² = 18,82 m ( := H1 ) .

Daisy s'empresse : donc H &lt; H2 = 1/2 g (T-H1/c)². Le démontrer.

Emmy finit : soit y(x) = 1/2 g (T- x/c)² ; la suite récurrente Hn converge en &quot;araignée&quot; vers la solution d'autant plus vite que [y'(x)| est inférieure à 1. On a 20, puis 18,82 , puis 18,88 m . 

remarque : la résistance de l'air rend ces calculs au centimètre près fictifs. Par ailleurs, on n'a pas poussé au-delà du millimètre, car il y a ambiguïté sur les ChS : on aurait dû donner T = 2,0000 s par exemple ; passons, car on a pris g = 10.

Fanny pragmatique conclut : bon, dans ces conditions, je reprends juste le calcul de Catherine : H &lt; 20 m , la première correction est -1,2 m ; DONC , SI c'est une progression géométrique alternée, H = 20 (20/21,2) = 18,87 ; soit H = 18,9 m avec 3 ChS. D'ailleurs, numériquement, Béa a trouvé : H = 20 (1-3H/100)², soit sensiblement H = 20 ( 1-6/100 ), c'est ce que j'ai écrit.

Chaque élève a son bout de vérité. C'est souvent l'ensemble des réponses qui donne une compréhension harmonieuse. Un problème a rarement une solution exacte et la méthode initiée par Catherine est donc très appréciée ; elle conduit aussi, par itération, au résultat exact et une itération de cette sorte est très aisée à conduire avec les calculettes usuelles. En conclusion, on a besoin : 1/. de mettre en équations  et, éventuellement, de sortir la physique hors des équations pour mettre tout sous forme d'un pb de math 2/. résoudre alors comme en math, avec toute les capacités des math, y compris l'analyse numérique  3/. exploiter la solution du point de vue physique. 
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=== Expérimentation(*)===
Une caméra prend des photos d'une bille en chute libre à des tops réguliers, d'intervalle T. Une règle verticale photographiée en même temps que la bille donne 3 valeurs z1, z2 et z3 pour des temps t1, t2 = t1 + T , t3 = t1 + T .Montrer que , quel que soit t1 et T , [(z3-z2)/T - (z2-z1)/T ]/T = g . En déduire une manière de mesurer g avec avantage. La réciproque est-elle vraie(**), c'est à dire : si l'accélération discrète est constante, le mouvement discret est-il celui de Galilée ?


'''solution expérimentation : '''
 
Comme la vitesse Vo n'intervient pas,cela se vérifie d'ailleurs aisément, il reste en prenant t2 comme origine,

z3-2z2+z1 = 1/2.g[(t2+T)² -2(t2)² + (t2-T)²] = 1/2. g [ 2 T²].

On appelle dérivée discrète seconde au point z2 , la quantité (z3-2z2+z1)/T² .

On constate qu'elle vaut g , ceci quel que soit z2 et T !

(**)Et réciproquement, une suite récurrente z(n+1) = 2 z(n) - z(n-1) + Go(T)² est effectivement une suite du type z(n) = ½Go (n.T)² + A (n.T) + B.

Tout ceci permet d'intéressantes comparaisons expérimentales et permet de valoriser certains TP(travaux pratiques). Admettons par exemple que la caméra donne 25+1 photos sur une seconde (soit une chute de 5m devant une règle graduée): Voici une méthode parmi d'autres, via un logiciel de traitement de données : la caméra a donné la k-ième photo au temps k/25 . 
Donc, on possède un '''tableau de valeurs numériques''', 26 valeurs de l'abscisse z(k) au temps t(k). De ces 26 valeurs, il faut tirer une valeur de g. C'est de manière très usuelle le problème d'un TP : la théorie est faite. On veut la vérifier et en tirer la valeur d'un paramètre du problème, au mieux.

Pour cela, on calcule les 24 dérivées discrètes. Par exemple, pour calculer a(4) on calcule les valeurs sensiblement identiques : (z(0)-2z(4)+z(8))/16 ; (z(1)-2z(4)+z(7))/9 ; (z(2)-2z(4)+z(6))/4 ; (z(3)-2z(4)+z(5))/1 ; et on extrapolera. On portera alors ces valeurs a(k) en fonction de v(k)² [avec les v(k) calculées de même façon ]: la courbe est &quot;sensiblement linéaire&quot; : son extrapolation pour les faibles vitesses donne LA valeur de g. On a ainsi défini une '''procédure algorithmique''', qui, éventuellement, peut s'automatiser.
Les résultats d'une classe (2 *2* 12 élèves) sont honnêtes et valent bien le résultat obtenu avec le pendule réversible, dit de Kater. Ne pas espérer 3 ChS (chiffres significatifs) ! 

D'autres dispositifs équipés de photodiodes donnent le temps de passage à telle ou telle altitude (t(k) = T(z(k)) ). Certaines méthodes lancent le projectile vers le haut ; il retombe ; au passage il a coupé les deux faisceaux de deux photodiodes distantes de H, aux temps t1, t2, t3, et t4. On forme les deux durées D1 = t4-t1 et D2 = t3-t2. Montrer que g = 8H / (D1²-D2²). 

'''note''' : Actuellement(2015), la méthode de chute libre est utilisée mais en faisant tomber &quot;le coin de cube d'un Michelson&quot;, servant de miroir réflecteur : les franges défilent et sont enregistrées. On arrive à une précision relative de 11 ChS(Chiffres Significatifs), depuis la mise au point du dispositif par Sakuma, en 1970, au BIPM (Bureau International des Poids et mesures , installé au parc de Saint-Cloud, Paris). Inutile de dire qu'il faut de multiples précautions. La gravimétrie est donc devenue une science très précise, utilisée par les géologues. Voir plus loin, leçon sur la gravimétrie (de niveau nettement plus élevé).

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=== Un raisonnement de Torricelli(**)===
 
Galilée défendit la thèse suivante, appelée depuis Principe de Relativité galiléenne : si un bateau se déplace à la vitesse constante Vo, alors on ne peut pas s'en apercevoir depuis l'intérieur du bateau ; on pourrait continuer à jouer au ping-pong, à faire de la GRS, etc. RIEN ne permet de distinguer le mouvement du bateau. &quot;Un mouvement uniforme , c'est comme RIEN &quot;. Familièrement, on dirait aujourd'hui, ça compte pour du beurre. 

Torricelli(1608-1647) est le premier à avoir appliqué ce principe à la chute libre. 

*[ '''''Note historique''''' : dans son deMotu, 1641,il l'a signalé à Castelli (1577-1644) , qui en rendit compte à Galilée. Galilée , très admiratif, demanda à Torricelli de devenir son élève, en 1641 ; bien que très fier d'être choisi, Torricelli était mort de trouille, à cause de l'Inquisition : rappelons que dire du mouvement de la Terre, c'est comme rien , revenait à accréditer la thèse de Copernic. Or le Vatican venait de condamner cette thèse en 1618 ].

Torricelli '''admet''' que z(t) = h(t)+Vot+Zo , avec h(t) fonction inconnue, mais indépendante de Zo ET de Vo. Ce faisant, il admet beaucoup. Mais alors, grâce au principe de relativité, montrer que h(t) = kt²

'''solution :'''
  
Commençons par le résultat suivant :
 
si le mouvement d'un corps chutant au départ comme z = 1/2.g.t² est avec une nouvelle origine des temps, z = f(t, Zo, Vo)= 1/2 gt² + Vot +Zo , 

alors à un instant T1, il sera en Z1 = f(T1, Zo, Vo) avec la vitesse V1 = g.T1 + Vo. 

Puisque la vitesse V1 joue à cet instant '''le même rôle''' que Vo à l'instant t=0 pris pour origine, Torricelli dit que :
z= f(t+T1, Zo, Vo) = f(t,Z1, V1), avec la même fonction f(., . , .), soit :
 
1/2 g (t+T1)² + Vo.(t+T1) + Zo = ? = 1/2 g.t² + V1.t + Z1 ,
avec V1 = g.T1 + Vo et Z1 = 1/2 g.T1² + Vo.T1 + Zo :

Après simplification, Zo s'élimine ainsi que Vo.t , puis Vo.T1 .
Il reste à vérifier : 

1/2 g (t+T1)² = ? = 1/2 g.t² + g.T1.t + 1/2 g.T1² , ce qui est vrai.

'''Mais ce n'est pas la réponse demandée''' ! bien que cela soit perçu par beaucoup d'étudiants comme la bonne réponse ! le calcul est en effet pertinent et exact; mais il ne répond pas à la question ! On ne fait que vérifier l'auto-pertinence de la formule, mais on ne démontre pas h(t) = k t² !  

Voici ce que Torricelli a dit :

z = h(t+T1) + Zo + Vo.(t + T1) = h(t)+ Z1 + V1.t , ceci quel que soit t , avec Z1 = h(T1) + Zo + Vo.T1 , et avec V1 = h'(T1) + Vo (exprimé en formalisme moderne). Ce qui conduit à l'équation fonctionnelle:

h(t+T1) = h(t) + h(T1) + h'(T1).t , 

pour tout t et pour tout T1.

Alors , par symétrie de rôle de t et de T1 , on peut écrire :

h(t+T1) = h(T1) + h(t) + h'(t).T1

ce qui conduit à h'(t).T1 = h'(T1).t et donc h'(t)/t = h'(T1)/T1 = cste donc , appelons-la ...g ! Alors h'(t) = g.t

'''La vitesse ne pouvait être que linéaire en t'''.

Du reste, si on prend l'origine du référentiel galiléen tangent à l'instant de départ , donc avec une vitesse nulle, cela paraît &quot;naturel&quot; ! Remarquable raisonnement de Torricelli en 1641(De Motu).

Au final, si h'(t) = g.t , h(t) = 1/2.g.t² :

Rappelons ce qui a été utilisé : l'invariance galiléenne et l'invariance du mouvement par translation (ce qui revient à dire : pesanteur constante).

Il est évident que Galilée fût ravi que son ami Castelli eût un élève aussi doué ! D'autant que Torricelli n'avait pas ces notations modernes !
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== Exercices, deuxième série ==


=== exPseudoparadoxe de la vitesse nulle(**) ===
Marin Mersenne (1588-1648) [un des plus célèbres correspondants scientifiques de l'époque] n'arrivait pas à comprendre la loi V = g.t , car disait-il, si V = 0 au départ , le plomb ne peut pas avancer ! Huygens(à 17ans!) lui répondit(1646). Imaginer sa lettre de réponse.

Mersenne ne comprenait pas non plus v² = 2gx , et en x=0, v est nulle. Donc le mobile n'avance pas.

''' Solution :  '''
Essentiellement, le jeune Huygens répondit que la loi générale était V = Vo + gt , même si Vo est négatif (la pierre est lancée vers le haut) : la loi est tout aussi vraie , mais c'est une loi affine dans ce cas, avec '''vraiment rien de particulier''' au moment où V(t) = Vo. Au sommet de la parabole du diagramme horaire, il ne se passe donc strictement rien de particulier, même si ce point fût l'objet de spéculations intellectuelles très passionnées, pour savoir si le temps passé en ce point était FINI.

Torricelli, lui, invoquera le raisonnement suivant : par invariance galiléenne, on peut se placer dans n'importe quel référentiel de vitesse Vo ; alors le sommet du diagramme horaire est n'importe quel point. Le &quot;sommet&quot; devient un point ordinaire ; ainsi on a banalisé ce point. Alors, plus personne n'a d'objection ; on dit qu'on a &quot;réduit&quot; le pseudo-paradoxe. Progressivement, avec les siècles, la question n'est même plus soulevée.'''Les contradicteurs sont morts'''. 

La deuxième question est plus délicate, pour l'époque : si v(x) = sqrt( 2gx ) , comment l'intégrer ? De nos jours, on dit l'équation est de Cauchy-Lipschitz, et le tour est joué. En 1620, dt = dx/sqrt(2gx) n'est pas encore intégrable en t = sqrt(2x/g).

Quelques années auparavant, la confusion v(x) ou v(t) est bien plus grande. Il faut bien voir que la notion de fonction n'est pas affermie. On a des tableaux numériques : à t(k) correspond z(k). On peut en faire des tableaux de différences, les dt et les dx. Puis dt/dx ( càd 1/v ) fonction de t ou de x ? Pourquoi est-ce v =dx/dt = f(t) qui s'impose ; et 1/v = f(x) ? Ces questions n'ont rien d'anodin. Galilée s'est fait piéger. Descartes aussi. La science cafouille souvent , mais progresse ! 
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=== ex_sur la loi de Sarpi(***) ===
La loi de Galilée dans son deuxième énoncé semble absurde : quelle que soit la masse du corps, le corps tombe de la même manière dans le vide !  Question 1 : la lumière(c'est-à-dire un photon) tombe-t-elle dans le vide ? Question 2 : l'air tombe-t-il ? 

'''Solution : '''
Oui ! ce sont des questions un peu shadok, quasi-impertinentes ! Mais il convient de les poser.

'''Question 1 :'''  oui , la lumière tombe dans le vide, MAIS ce n'est pas sa vitesse qui change , puisqu'elle reste immuable : c = 299 792 458 m/s. C'est son impulsion ; il vaut mieux parler de photon : ainsi l'impulsion du photon change, c'est parfaitement vérifié aujourd'hui (il faut en tenir compte dans l'envoi des signaux [[w:GPS|GPS]], sous peine de voir la qualité des résultats être entâchée d'une erreur systématique). Par ailleurs, l'énergie change corrélativement, c'est le red-shift gravitationnel d'Einstein, vérifié lui aussi. 

'''Question 2 :''' oui bien sûr , une molécule de dioxygène tombe. Si l'air globalement ne tombe pas , c'est qu'il est déjà tombé depuis longtemps : on sait bien que l'air est situé essentiellement à basse altitude ; mais précisément comme il y en a plus en bas qu'en haut, la '''diffusion thermique''' en fait plus remonter du bas vers le haut que du haut vers le bas ; ce que nous voyons est l'équilibre dynamique stationnaire entre ces deux phénomènes : la chute vers le bas et la diffusion globalement vers le haut (Einstein,1905). On peut relire l'explication magnifique de Feynman , dans Lectures on physics.

== À quoi est due la pesanteur ? ==
Bonne question !

La pesanteur est essentiellement due à l'attraction terrestre et partiellement au pivotement de la Terre ( et encore un peu à tous les Astres, mais usuellement, on met cette partie dans &quot;l'action de marée&quot; ).

Il est hors de question dans cette première leçon de parler de la gravimétrie.

Pour faire simple, on peut dire ceci : si la Terre était sphérique et ne pivotait pas, alors la pesanteur se réduirait à une attraction (verticale par définition), centrale ( c'est à dire dirigée vers le centre O de la Terre) de valeur : G.M / r² = g(r)  (théorème dit ''remarquable'' de Newton, 1685 ); comme la Terre pivote, elle s'aplatit légèrement en forme de géoïde (aplatissement =~ 1/298), et la gravité est légèrement plus élevée au pôle qu'à l'équateur.

Cavendish(1731-1810) mesurera G en 1798 avec énormément de difficulté : G = 6.67 10^-11 N.m²/kg² environ. On en déduit la valeur de la masse de la Terre si l'on connaît son rayon : M = ~6 10^24 kg . Truc mnémotechnique , retenir que la masse_volumique de la Terre est intermédiaire entre celle de l'eau (1kg/L) et dix fois plus (10kg/L) , soit 5.5 kg/L . 

Ceci dit, à quoi est due l'attraction de la Terre, cette étrange action à distance ? '''Newton''', après y avoir réfléchi longtemps, déclara forfait : ''hypotheses non fingo'', je ne fais aucune hypothèse. Il la posa comme postulat, il en généralisa la portée. Il en formula toutes les conséquences. Il fondait ainsi une discipline, la mécanique dite &quot;rationnelle&quot; qui sera, pour des siècles et des siècles, la discipline-phare des sciences physiques. '''Euler, Lagrange, Hamilton, Poincaré''' et des milliers d'autres poursuivront les travaux de '''Newton'''. Puis '''Einstein''', en 1915, donna une interprétation de l'attraction gravitationnelle, en termes géométriques : la matière distord l'espace-temps, et tous calculs faits, on retrouve dans le cas de faible distorsion, la loi de Newton. Satisfaisant, mais cette théorie ne cadre pas encore avec la ''mécanique quantique''. La science doit continuer à progresser.

== Retour ==

Rappel : la page de discussion contient pas mal de matériaux bibliographiques.

*[[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences|Mécanique , enseignée via l'Histoire des Sciences]]

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*Attention : une bonne partie de la réflexion est actuellement dans la discussion. Elle en sortira quand elle aura été suffisamment critiquée.

Cette première leçon est élémentaire. Son niveau est bac-2, bac-1, bac , et bac+1. Les exercices et les commentaires sont de niveau variable.

== Loi de Galilée==
=== Expérience=== 
Soit un plomb, P, soutenu par une ficelle mince.

On le laisse bien au repos, au ras du sol. On marque à la craie la position au sol, disons A . Le plomb est relevé de 2m environ, bien à la verticale de A en un point O.

Il est immobile en O. On brûle la ficelle. Le plomb tombe de O en A. En &quot;chute libre&quot;, dit-on ; en réalité, l'air perturbe le mouvement en le ralentissant.

Galilée(1564-1642) eût l'idée, '''géniale pour l'époque''', d'imaginer ce mouvement '''''à la limite''''' où il n'y aurait pas d'air ! Le plomb tomberait alors dans le vide : c'est la chute libre verticale, dont Galilée donna la loi en 1604.

=== La loi  ===
Soit z(t) la hauteur de chute, v  la vitesse de chute, et a l'accélération.  

'''L'accélération est constante'''. 

On l'appelle g.
À Paris, elle vaut 9.81 m/s². 
La vitesse initiale est nulle.

On en déduit :
 
:&lt;math&gt; \frac {d^2z}{dt^2} = g  &lt;=&gt;   \frac{dz}{dt} = gt &lt;=&gt; z =\frac{1}{2}gt^2  &lt;/math&gt;


( De plus, si on élimine la variable t entre v(t) et z(t), on obtient :  v² = 2gz ; Torricelli(1640)).

Avec des conditions initiales quelconques, on obtiendrait :

&lt;math&gt;v = v_0 + gt &lt;=&gt; z =\frac{1}{2}gt^2 + v_0 t + z_0  &lt;/math&gt;

''Remarque'' : en réalité, le pivotement de la Terre en un jour sidéral provoque une minuscule déviation vers l'Est.

==Notes historiques==

===penser le vide ===

Aujourd'hui, on sait faire cette expérience dans un tube privé d'air (grâce à une pompe aspirante). On a des caméras pour enregistrer le mouvement. On peut refaire l'expérience à loisir avec d'autres dispositifs. On l'a même refaite sur la Lune, qui n'a pas d'atmosphère. À l'époque ( avant 1644 ), '''penser le vide''' était assez '''révolutionnaire''', voire hérétique (la discussion en est passionnante, cf article sur le vide) ; Galilée lui-même n'y croyait pas trop ; son élève Torricelli(1609-1647) mit en évidence le &quot;vide grosso&quot; dans la &quot;chambre barométrique&quot; en 1644, ceci après avoir compris le problème des fontainiers (de la ville de Sienne) qui n'arrivaient pas à faire fonctionner leurs siphons.

Le génie de Galilée fût de penser la loi comme une loi-limite qui existerait à la limite du vide absolu. En effet, dès que la vitesse est grande, la résistance de l'air vient '''limiter''' la vitesse. Cette vitesse-limite est différente selon les corps. La loi de Galilée devient fausse. Chacun peut le vérifier ; et Galilée, et ses contemporains, le savaient. L'affirmation de Galilée , v = g.t , est donc une décision, correspondant à une loi approximative de début de mouvement dans l'air résiduel.

===la masse n'intervient pas ===

La lettre de Galilée à Sarpi (16/10/1604) présente en réalité '''deux''' Lois:
 
#Le mouvement a une accélération constante 
#'''Un fait extraordinaire''', '''peu crédible''' mais pourtant vrai : la loi ne dépend pas du plomb ! 

On peut prendre une pierre, un sac lesté de plomb, de sable ou de papier, ou de polystyrène, une fleur de pissenlit, une plume. Dans un tube de verre de 2m de long, dont l'air a été pompé, on fait chuter la plume et le plomb ; on parle de l'expérience du &quot;tube de Newton&quot;. Il faut avoir vu cette plume tomber vertigineusement vite :

#'''elle accélère de 10 m/s chaque seconde ;''' 
#'''La plume tombe exactement comme le plomb !''' 

Évidemment, ce qui est le plus curieux dans cette loi est que ni la masse ni la densité du corps n'interviennent : ceci paraît absurde. Et la lumière tombe-t-elle dans le vide ? et l'air, pourquoi ne tombe-t-il pas ? Voir l'exercice.

En réalité, Galilée n'a pas pu vérifier la loi. Il a même &quot;triché&quot; sciemment. Ses contemporains avaient déjà vérifié amplement certaines caractéristiques de la chute dans l'air. Galilée a ignoré ces critiques. Comme il l'a réaffirmé dans le Dialogo, il se place dans une situation théorique, où le vide est '''parfait'''.

Que la masse inerte soit égale à la masse pesante sera la base du Principe d’Équivalence, en théorie de la Relativité Générale d'Einstein, en 1915 ; mais c'est bien plus savant.

===  la Tour de Pise ===
Il faut tordre le coup à ce faux compte-rendu de Viviani dans son hagiographie de la vie du grand Maître : Galilée n'a vraisemblablement jamais vérifié sa loi à la tour de Pise. Koyré le démontre très bien : Galilée , tout comme Beeckman, sait l'existence d'une vitesse-limite. Plomb et sureau ne tombent pas à la même vitesse. Deux billes de plomb non plus. À quoi eût donc servi une telle expérience ? 

De fait, la grande idée expérimentale de Galilée fût en réalité celle de ralentir la chute, via le plan incliné (voir leçon ultérieure), et de penser théoriquement une gedanken-experiment : faire remonter ensuite la masse sur un autre plan incliné : alors, il était '''crédible''' que la bille allait remonter à la même hauteur, ''' à supposer''' que l'influence des frottements fût négligeable. '''Cette supposition est ce qui permet d'épurer le mouvement : la loi devient simple'''. Puis dans une seconde partie (laissée inachevée!), la perturbation due à l'air vient modifier le comportement. D'autres que Galilée eurent des idées, elles aussi très ingénieuses, plus proches même de la réalité expérimentale. L'Histoire n'a retenu que Galilée, parce que sa démarche s'est avérée la plus fructueuse. Mais ne pas oublier les autres.

===les difficultés liées au calculus===

La présentation donnée, v=gt ; z=1/2 gt², est ''anachronique'', très loin de la formulation de 1604. S'il faut attendre 1640 pour trouver la formule de Torricelli, v²=2gz, c'est que ce n'est pas simple, pour l'époque. Il y a au moins trois difficultés :

La notion d'unité, de dimension est précaire (les ''Discorsi'' sont écrits en 1638). Nos montres n'existent pas. La mesure du temps est rudimentaire : on fait chanter une chorale et on se base sur son tempo. Un peu plus tard, on utilisera le pendule ( sans même discuter la circularité du raisonnement, car le pendule utilise aussi la chute ). Galilée n'utilisera jamais &quot;l'axe des temps&quot;. Et bien sûr, la notation g n'existe pas en 1604 ! 

La notion de fonction n'existe pas vraiment. On a simplement deux tableaux numériques : z(k) positions échelonnées aussi régulièrement que possible versus temps de passage t(k). Mais pourquoi ne pas utiliser des temps espacés régulièrement ? Comment intrapoler pour passer d'un tableau à l'autre ? etc. Et on se rend compte très vite que le point initial est grande source d'erreur, à cause du déclenchement du &quot;&quot;chronomètre&quot;&quot;. D'où l'idée de procéder avec les différences_premières ; l'erreur systématique est moindre ; mais alors mesurer des différences augmente l'erreur expérimentale. Mais doit-on afficher les temps à des positions espacées régulièrement ? ou bien les positions à des dates échelonnées régulièrement ? Ce que Galilée va finalement privilégier, ce sont des dates échelonnées : alors, les différences d'espace augmentent comme 1,3,5,7,...(et ceci, ''quel que soit le choix de l'intervalle de temps''). Or il sait que la somme des impairs est un carré. Il en déduit z ~ t². 

La troisième difficulté est la notion de ''calculus'' ( le calcul différentiel et intégral ) : la notion de vitesse instantanée, à la date t, à un instant déterminé, dans le &quot;moment&quot; examiné, etc , n'existe pas encore.Il faudra attendre Newton, et surtout Leibniz pour écrire la dérivée v = dz /dt, via la limite ultime des durées petites, ou des distances infimes ; et comment la déduire des t(k),z(k) ? Et si on définit la lenteur comme limite de Δt/Δz, a-t-on la lenteur égale à 1/v ?  

Admettons que l'on forme un tableau de ces v_i &quot;au mieux&quot; ; ce tableau formé, faut-il considérer les v(k) fonction des t(k) ou bien des z(k) ? Galilée est hésitant. Cela en est touchant. Mais l'affaire est importante, car au coup suivant, pour la &quot;différence des différences&quot;, il faudra aussi faire attention ; est-ce v(t) ou bien lenteur(z)? auquel cas d(lenteur(z))/dz ne donne rien de bien simple! C'est bien dv(t)/dt qui est simple. On affouille, bafouille, cafouille. On patouille. Clairement, 50 après, on a progressé. Mais combien d'efforts de savants illustres ! Le terrain aplani, nous perdons conscience de cette difficulté immense : la construction du calculus.

== Exercices ==

On prendra g = 10 m/s² approximativement.

===quelques exercices simples===
1/. '''exAN''' : Trouver la hauteur de chute si le temps de chute est 2s .

'''Réponse''' : h = 1/2 . 10 . 4 = 20 m ! et la vitesse à l'arrivée est v= 20 m/s soit 72 km/h : malheur à vous, c'est fatal ! 
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2/. '''ex.RelationV(x)''' : Éliminer le temps entre z(t) et v(t) pour trouver la relation dite de Torricelli(1608-1647) : v² = 2g.z (c'est la quatrième formulation de la loi, dans le résumé).

En déduire la compréhension du slogan de la Sécurité routière : arriver sur un obstacle à 36 km/h &quot;c'est comme&quot; chuter de 5 m (2ème étage environ), mais à 72 km/h , c'est comme chuter de 20 m! mortel sans ceinture et air-bag.

Montrer plus généralement que V² -Vo² = 2g (z-zo) [ loi de Torricelli(1608-1647).

'''solution''' : 
en reportant t= v/g dans z = 1/2 gt², on obtient z = 1/2 g(v/g)² , soit v²= 2gz.

2g(z-zo) = 2gVot +g²t² ; et V² = (Vo+gt)² = Vo² + 2gVot + g²t² , d'où V²-Vo² = 2g(z-zo).
:Appliquer le théorème de l'énergie cinétique serait ici anachronique. Leibniz ne l'énoncera que vers 1700 ! 
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3/. '''ex.Croisement''' : c'est un teaser classique. On lance une pierre P vers le haut. Elle atteint la hauteur H . Juste à cet instant, on lance une deuxième pierre Q de la même manière. De tête, où les 2 pierres se rencontrent-elles ?

'''solution ex.Croisement''' :
Tracer le diagramme horaire de P, zP(t) et celui de Q, zQ(t) : ces deux courbes identiques sont décalées de sorte que le sommet de l'une est au pied de l'autre, la symétrie montre que la rencontre a lieu à T/2 ; le résultat devient évident :[Réponse : rencontre à z =3/4 . H].
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(* signale un exercice plus difficile)

===Puits===
Pour avoir la hauteur H d'un puits, on y laisse tomber un caillou au temps t = 0 ; on entend le son au temps T = 2 s : trouver la hauteur H (on appellera c , la célérité du son, égale à 1000/3 m/s).

'''solution ex.Puits'''  : On aura le temps de chute t1 tel que H = ½ g t1² et H = ct2 ; soit 
T = temps total = t1 +t2 = sqrt(2H/g) + H/c , équation du deuxième degré en sqrtH = x &gt; 0 ; soit x² + x. sqrt(2c²/g)-cT = 0 et l'on prend la racine positive.

Allyson prend alors sa calculette et trouve x= 4,34546 ; puis H = 18,883 m

Alliette, elle, pousse les calculs littéraux et trouve x² = H = 1/2 gT².[ 2 / (1 + sqrt(1+2gT/c))]² = 20. (0,94415) = 18,883 m 
 
Après moult calculs, l'équation en x²= H peut se réécrire  :  H = 1/2 g(T-H/c)² ;

Béatrice dit : mais alors il suffit de dire que si t2= H/c, alors t1 = T- H/c , donc H = 1/2 g(T-H/c)². 

L'équation du second degré obtenue est alors : H² - 2H(c²/g + cT) + c²T² = 0

En poursuivant les calculs littéraux, on retrouve le résultat exact d' Alliette.

Catherine dit : t1 &lt; T donc H = 1/2 g.(t1)² &lt; 1/2 gT² = 20 m = Ho ; elle ajoute : donc   t2 = H/c &lt; Ho/c = 60 ms ; donc t1 &gt; T-Ho/c ; puis H &gt; 1/2 g (T-Ho/c)² = 18,82 m ( := H1 ) .

Daisy s'empresse : donc H &lt; H2 = 1/2 g (T-H1/c)². Le démontrer.

Emmy finit : soit y(x) = 1/2 g (T- x/c)² ; la suite récurrente Hn converge en &quot;araignée&quot; vers la solution d'autant plus vite que [y'(x)| est inférieure à 1. On a 20, puis 18,82 , puis 18,88 m . 

remarque : la résistance de l'air rend ces calculs au centimètre près fictifs. Par ailleurs, on n'a pas poussé au-delà du millimètre, car il y a ambiguïté sur les ChS : on aurait dû donner T = 2,0000 s par exemple ; passons, car on a pris g = 10.

Fanny pragmatique conclut : bon, dans ces conditions, je reprends juste le calcul de Catherine : H &lt; 20 m , la première correction est -1,2 m ; DONC , SI c'est une progression géométrique alternée, H = 20 (20/21,2) = 18,87 ; soit H = 18,9 m avec 3 ChS. D'ailleurs, numériquement, Béa a trouvé : H = 20 (1-3H/100)², soit sensiblement H = 20 ( 1-6/100 ), c'est ce que j'ai écrit.

Chaque élève a son bout de vérité. C'est souvent l'ensemble des réponses qui donne une compréhension harmonieuse. Un problème a rarement une solution exacte et la méthode initiée par Catherine est donc très appréciée ; elle conduit aussi, par itération, au résultat exact et une itération de cette sorte est très aisée à conduire avec les calculettes usuelles. En conclusion, on a besoin : 1/. de mettre en équations  et, éventuellement, de sortir la physique hors des équations pour mettre tout sous forme d'un pb de math 2/. résoudre alors comme en math, avec toute les capacités des math, y compris l'analyse numérique  3/. exploiter la solution du point de vue physique. 
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=== Expérimentation(*)===
Une caméra prend des photos d'une bille en chute libre à des tops réguliers, d'intervalle T. Une règle verticale photographiée en même temps que la bille donne 3 valeurs z1, z2 et z3 pour des temps t1, t2 = t1 + T , t3 = t1 + T .Montrer que , quel que soit t1 et T , [(z3-z2)/T - (z2-z1)/T ]/T = g . En déduire une manière de mesurer g avec avantage. La réciproque est-elle vraie(**), c'est à dire : si l'accélération discrète est constante, le mouvement discret est-il celui de Galilée ?


'''solution expérimentation : '''
 
Comme la vitesse Vo n'intervient pas,cela se vérifie d'ailleurs aisément, il reste en prenant t2 comme origine,

z3-2z2+z1 = 1/2.g[(t2+T)² -2(t2)² + (t2-T)²] = 1/2. g [ 2 T²].

On appelle dérivée discrète seconde au point z2 , la quantité (z3-2z2+z1)/T² .

On constate qu'elle vaut g , ceci quel que soit z2 et T !

(**)Et réciproquement, une suite récurrente z(n+1) = 2 z(n) - z(n-1) + Go(T)² est effectivement une suite du type z(n) = ½Go (n.T)² + A (n.T) + B.

Tout ceci permet d'intéressantes comparaisons expérimentales et permet de valoriser certains TP(travaux pratiques). Admettons par exemple que la caméra donne 25+1 photos sur une seconde (soit une chute de 5m devant une règle graduée): Voici une méthode parmi d'autres, via un logiciel de traitement de données : la caméra a donné la k-ième photo au temps k/25 . 
Donc, on possède un '''tableau de valeurs numériques''', 26 valeurs de l'abscisse z(k) au temps t(k). De ces 26 valeurs, il faut tirer une valeur de g. C'est de manière très usuelle le problème d'un TP : la théorie est faite. On veut la vérifier et en tirer la valeur d'un paramètre du problème, au mieux.

Pour cela, on calcule les 24 dérivées discrètes. Par exemple, pour calculer a(4) on calcule les valeurs sensiblement identiques : (z(0)-2z(4)+z(8))/16 ; (z(1)-2z(4)+z(7))/9 ; (z(2)-2z(4)+z(6))/4 ; (z(3)-2z(4)+z(5))/1 ; et on extrapolera. On portera alors ces valeurs a(k) en fonction de v(k)² [avec les v(k) calculées de même façon ]: la courbe est &quot;sensiblement linéaire&quot; : son extrapolation pour les faibles vitesses donne LA valeur de g. On a ainsi défini une '''procédure algorithmique''', qui, éventuellement, peut s'automatiser.
Les résultats d'une classe (2 *2* 12 élèves) sont honnêtes et valent bien le résultat obtenu avec le pendule réversible, dit de Kater. Ne pas espérer 3 ChS (chiffres significatifs) ! 

D'autres dispositifs équipés de photodiodes donnent le temps de passage à telle ou telle altitude (t(k) = T(z(k)) ). Certaines méthodes lancent le projectile vers le haut ; il retombe ; au passage il a coupé les deux faisceaux de deux photodiodes distantes de H, aux temps t1, t2, t3, et t4. On forme les deux durées D1 = t4-t1 et D2 = t3-t2. Montrer que g = 8H / (D1²-D2²). 

'''note''' : Actuellement(2015), la méthode de chute libre est utilisée mais en faisant tomber &quot;le coin de cube d'un Michelson&quot;, servant de miroir réflecteur : les franges défilent et sont enregistrées. On arrive à une précision relative de 11 ChS(Chiffres Significatifs), depuis la mise au point du dispositif par Sakuma, en 1970, au BIPM (Bureau International des Poids et mesures , installé au parc de Saint-Cloud, Paris). Inutile de dire qu'il faut de multiples précautions. La gravimétrie est donc devenue une science très précise, utilisée par les géologues. Voir plus loin, leçon sur la gravimétrie (de niveau nettement plus élevé).

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=== Un raisonnement de Torricelli(**)===
 
Galilée défendit la thèse suivante, appelée depuis Principe de Relativité galiléenne : si un bateau se déplace à la vitesse constante Vo, alors on ne peut pas s'en apercevoir depuis l'intérieur du bateau ; on pourrait continuer à jouer au ping-pong, à faire de la GRS, etc. RIEN ne permet de distinguer le mouvement du bateau. &quot;Un mouvement uniforme , c'est comme RIEN &quot;. Familièrement, on dirait aujourd'hui, ça compte pour du beurre. 

Torricelli(1608-1647) est le premier à avoir appliqué ce principe à la chute libre. 

*[ '''''Note historique''''' : dans son deMotu, 1641,il l'a signalé à Castelli (1577-1644) , qui en rendit compte à Galilée. Galilée , très admiratif, demanda à Torricelli de devenir son élève, en 1641 ; bien que très fier d'être choisi, Torricelli était mort de trouille, à cause de l'Inquisition : rappelons que dire du mouvement de la Terre, c'est comme rien , revenait à accréditer la thèse de Copernic. Or le Vatican venait de condamner cette thèse en 1618 ].

Torricelli '''admet''' que z(t) = h(t)+Vot+Zo , avec h(t) fonction inconnue, mais indépendante de Zo ET de Vo. Ce faisant, il admet beaucoup. Mais alors, grâce au principe de relativité, montrer que h(t) = kt²

'''solution :'''
  
Commençons par le résultat suivant :
 
si le mouvement d'un corps chutant au départ comme z = 1/2.g.t² est avec une nouvelle origine des temps, z = f(t, Zo, Vo)= 1/2 gt² + Vot +Zo , 

alors à un instant T1, il sera en Z1 = f(T1, Zo, Vo) avec la vitesse V1 = g.T1 + Vo. 

Puisque la vitesse V1 joue à cet instant '''le même rôle''' que Vo à l'instant t=0 pris pour origine, Torricelli dit que :
z= f(t+T1, Zo, Vo) = f(t,Z1, V1), avec la même fonction f(., . , .), soit :
 
1/2 g (t+T1)² + Vo.(t+T1) + Zo = ? = 1/2 g.t² + V1.t + Z1 ,
avec V1 = g.T1 + Vo et Z1 = 1/2 g.T1² + Vo.T1 + Zo :

Après simplification, Zo s'élimine ainsi que Vo.t , puis Vo.T1 .
Il reste à vérifier : 

1/2 g (t+T1)² = ? = 1/2 g.t² + g.T1.t + 1/2 g.T1² , ce qui est vrai.

'''Mais ce n'est pas la réponse demandée''' ! bien que cela soit perçu par beaucoup d'étudiants comme la bonne réponse ! le calcul est en effet pertinent et exact; mais il ne répond pas à la question ! On ne fait que vérifier l'auto-pertinence de la formule, mais on ne démontre pas h(t) = k t² !  

Voici ce que Torricelli a dit :

z = h(t+T1) + Zo + Vo.(t + T1) = h(t)+ Z1 + V1.t , ceci quel que soit t , avec Z1 = h(T1) + Zo + Vo.T1 , et avec V1 = h'(T1) + Vo (exprimé en formalisme moderne). Ce qui conduit à l'équation fonctionnelle:

h(t+T1) = h(t) + h(T1) + h'(T1).t , 

pour tout t et pour tout T1.

Alors , par symétrie de rôle de t et de T1 , on peut écrire :

h(t+T1) = h(T1) + h(t) + h'(t).T1

ce qui conduit à h'(t).T1 = h'(T1).t et donc h'(t)/t = h'(T1)/T1 = cste donc , appelons-la ...g ! Alors h'(t) = g.t

'''La vitesse ne pouvait être que linéaire en t'''.

Du reste, si on prend l'origine du référentiel galiléen tangent à l'instant de départ , donc avec une vitesse nulle, cela paraît &quot;naturel&quot; ! Remarquable raisonnement de Torricelli en 1641(De Motu).

Au final, si h'(t) = g.t , h(t) = 1/2.g.t² :

Rappelons ce qui a été utilisé : l'invariance galiléenne et l'invariance du mouvement par translation (ce qui revient à dire : pesanteur constante).

Il est évident que Galilée fût ravi que son ami Castelli eût un élève aussi doué ! D'autant que Torricelli n'avait pas ces notations modernes !
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== Exercices, deuxième série ==


=== exPseudoparadoxe de la vitesse nulle(**) ===
Marin Mersenne (1588-1648) [un des plus célèbres correspondants scientifiques de l'époque] n'arrivait pas à comprendre la loi V = g.t , car disait-il, si V = 0 au départ , le plomb ne peut pas avancer ! Huygens(à 17ans!) lui répondit(1646). Imaginer sa lettre de réponse.

Mersenne ne comprenait pas non plus v² = 2gx , et en x=0, v est nulle. Donc le mobile n'avance pas.

''' Solution :  '''
Essentiellement, le jeune Huygens répondit que la loi générale était V = Vo + gt , même si Vo est négatif (la pierre est lancée vers le haut) : la loi est tout aussi vraie , mais c'est une loi affine dans ce cas, avec '''vraiment rien de particulier''' au moment où V(t) = Vo. Au sommet de la parabole du diagramme horaire, il ne se passe donc strictement rien de particulier, même si ce point fût l'objet de spéculations intellectuelles très passionnées, pour savoir si le temps passé en ce point était FINI.

Torricelli, lui, invoquera le raisonnement suivant : par invariance galiléenne, on peut se placer dans n'importe quel référentiel de vitesse Vo ; alors le sommet du diagramme horaire est n'importe quel point. Le &quot;sommet&quot; devient un point ordinaire ; ainsi on a banalisé ce point. Alors, plus personne n'a d'objection ; on dit qu'on a &quot;réduit&quot; le pseudo-paradoxe. Progressivement, avec les siècles, la question n'est même plus soulevée.'''Les contradicteurs sont morts'''. 

La deuxième question est plus délicate, pour l'époque : si v(x) = sqrt( 2gx ) , comment l'intégrer ? De nos jours, on dit l'équation est de Cauchy-Lipschitz, et le tour est joué. En 1620, dt = dx/sqrt(2gx) n'est pas encore intégrable en t = sqrt(2x/g).

Quelques années auparavant, la confusion v(x) ou v(t) est bien plus grande. Il faut bien voir que la notion de fonction n'est pas affermie. On a des tableaux numériques : à t(k) correspond z(k). On peut en faire des tableaux de différences, les dt et les dx. Puis dt/dx ( càd 1/v ) fonction de t ou de x ? Pourquoi est-ce v =dx/dt = f(t) qui s'impose ; et 1/v = f(x) ? Ces questions n'ont rien d'anodin. Galilée s'est fait piéger. Descartes aussi. La science cafouille souvent , mais progresse ! 
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=== ex_sur la loi de Sarpi(***) ===
La loi de Galilée dans son deuxième énoncé semble absurde : quelle que soit la masse du corps, le corps tombe de la même manière dans le vide !  Question 1 : la lumière(c'est-à-dire un photon) tombe-t-elle dans le vide ? Question 2 : l'air tombe-t-il ? 

'''Solution : '''
Oui ! ce sont des questions un peu shadok, quasi-impertinentes ! Mais il convient de les poser.

'''Question 1 :'''  oui , la lumière tombe dans le vide, MAIS ce n'est pas sa vitesse qui change , puisqu'elle reste immuable : c = 299 792 458 m/s. C'est son impulsion ; il vaut mieux parler de photon : ainsi l'impulsion du photon change, c'est parfaitement vérifié aujourd'hui (il faut en tenir compte dans l'envoi des signaux [[w:GPS|GPS]], sous peine de voir la qualité des résultats être entâchée d'une erreur systématique). Par ailleurs, l'énergie change corrélativement, c'est le red-shift gravitationnel d'Einstein, vérifié lui aussi. 

'''Question 2 :''' oui bien sûr , une molécule de dioxygène tombe. Si l'air globalement ne tombe pas , c'est qu'il est déjà tombé depuis longtemps : on sait bien que l'air est situé essentiellement à basse altitude ; mais précisément comme il y en a plus en bas qu'en haut, la '''diffusion thermique''' en fait plus remonter du bas vers le haut que du haut vers le bas ; ce que nous voyons est l'équilibre dynamique stationnaire entre ces deux phénomènes : la chute vers le bas et la diffusion globalement vers le haut (Einstein,1905). On peut relire l'explication magnifique de Feynman , dans Lectures on physics.

== À quoi est due la pesanteur ? ==
Bonne question !

La pesanteur est essentiellement due à l'attraction terrestre et partiellement au pivotement de la Terre ( et encore un peu à tous les Astres, mais usuellement, on met cette partie dans &quot;l'action de marée&quot; ).

Il est hors de question dans cette première leçon de parler de la gravimétrie.

Pour faire simple, on peut dire ceci : si la Terre était sphérique et ne pivotait pas, alors la pesanteur se réduirait à une attraction (verticale par définition), centrale ( c'est à dire dirigée vers le centre O de la Terre) de valeur : G.M / r² = g(r)  (théorème dit ''remarquable'' de Newton, 1685 ); comme la Terre pivote, elle s'aplatit légèrement en forme de géoïde (aplatissement =~ 1/298), et la gravité est légèrement plus élevée au pôle qu'à l'équateur.

Cavendish(1731-1810) mesurera G en 1798 avec énormément de difficulté : G = 6.67 10^-11 N.m²/kg² environ. On en déduit la valeur de la masse de la Terre si l'on connaît son rayon : M = ~6 10^24 kg . Truc mnémotechnique , retenir que la masse_volumique de la Terre est intermédiaire entre celle de l'eau (1kg/L) et dix fois plus (10kg/L) , soit 5.5 kg/L . 

Ceci dit, à quoi est due l'attraction de la Terre, cette étrange action à distance ? '''Newton''', après y avoir réfléchi longtemps, déclara forfait : ''hypotheses non fingo'', je ne fais aucune hypothèse. Il la posa comme postulat, il en généralisa la portée. Il en formula toutes les conséquences. Il fondait ainsi une discipline, la mécanique dite &quot;rationnelle&quot; qui sera, pour des siècles et des siècles, la discipline-phare des sciences physiques. '''Euler, Lagrange, Hamilton, Poincaré''' et des milliers d'autres poursuivront les travaux de '''Newton'''. Puis '''Einstein''', en 1915, donna une interprétation de l'attraction gravitationnelle, en termes géométriques : la matière distord l'espace-temps, et tous calculs faits, on retrouve dans le cas de faible distorsion, la loi de Newton. Satisfaisant, mais cette théorie ne cadre pas encore avec la ''mécanique quantique''. La science doit continuer à progresser.

== Retour ==

Rappel : la page de discussion contient pas mal de matériaux bibliographiques.

*[[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences|Mécanique , enseignée via l'Histoire des Sciences]]

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*Attention : une bonne partie de la réflexion est actuellement dans la discussion. Elle en sortira quand elle aura été suffisamment critiquée.

Cette première leçon est élémentaire. Son niveau est bac-2, bac-1, bac , et bac+1. Les exercices et les commentaires sont de niveau variable.

== Loi de Galilée==
=== Expérience=== 
Soit un plomb, P, soutenu par une ficelle mince.

On le laisse bien au repos, au ras du sol. On marque à la craie la position au sol, disons A . Le plomb est relevé de 2m environ, bien à la verticale de A en un point O.

Il est immobile en O. On brûle la ficelle. Le plomb tombe de O en A. En &quot;chute libre&quot;, dit-on ; en réalité, l'air perturbe le mouvement en le ralentissant.

Galilée(1564-1642) eût l'idée, '''géniale pour l'époque''', d'imaginer ce mouvement '''''à la limite''''' où il n'y aurait pas d'air ! Le plomb tomberait alors dans le vide : c'est la chute libre verticale, dont Galilée donna la loi en 1604.

=== La loi  ===
Soit z(t) la hauteur de chute, v  la vitesse de chute, et a l'accélération.  

'''L'accélération est constante'''. 

On l'appelle g.
À Paris, elle vaut 9.81 m/s². 
La vitesse initiale est nulle.

On en déduit :
 
:&lt;math&gt; \frac {d^2z}{dt^2} = g  &lt;=&gt;   \frac{dz}{dt} = gt &lt;=&gt; z =\frac{1}{2}gt^2  &lt;/math&gt;


( De plus, si on élimine la variable t entre v(t) et z(t), on obtient :  v² = 2gz ; Torricelli(1640)).

Avec des conditions initiales quelconques, on obtiendrait :

&lt;math&gt;v = v_0 + gt &lt;=&gt; z =\frac{1}{2}gt^2 + v_0 t + z_0  &lt;/math&gt;

''Remarque'' : en réalité, le pivotement de la Terre en un jour sidéral provoque une minuscule déviation vers l'Est.

==Notes historiques==

===penser le vide ===

Aujourd'hui, on sait faire cette expérience dans un tube privé d'air (grâce à une pompe aspirante). On a des caméras pour enregistrer le mouvement. On peut refaire l'expérience à loisir avec d'autres dispositifs. On l'a même refaite sur la Lune, qui n'a pas d'atmosphère. À l'époque ( avant 1644 ), '''penser le vide''' était assez '''révolutionnaire''', voire hérétique (la discussion en est passionnante, cf article sur le vide) ; Galilée lui-même n'y croyait pas trop ; son élève Torricelli(1609-1647) mit en évidence le &quot;vide grosso&quot; dans la &quot;chambre barométrique&quot; en 1644, ceci après avoir compris le problème des fontainiers (de la ville de Sienne) qui n'arrivaient pas à faire fonctionner leurs siphons.

Le génie de Galilée fût de penser la loi comme une loi-limite qui existerait à la limite du vide absolu. En effet, dès que la vitesse est grande, la résistance de l'air vient '''limiter''' la vitesse. Cette vitesse-limite est différente selon les corps. La loi de Galilée devient fausse. Chacun peut le vérifier ; et Galilée, et ses contemporains, le savaient. L'affirmation de Galilée , v = g.t , est donc une décision, correspondant à une loi approximative de début de mouvement dans l'air résiduel.

===la masse n'intervient pas ===

La lettre de Galilée à Sarpi (16/10/1604) présente en réalité '''deux''' Lois:
 
#Le mouvement a une accélération constante 
#'''Un fait extraordinaire''', '''peu crédible''' mais pourtant vrai : la loi ne dépend pas du plomb ! 

On peut prendre une pierre, un sac lesté de plomb, de sable ou de papier, ou de polystyrène, une fleur de pissenlit, une plume. Dans un tube de verre de 2m de long, dont l'air a été pompé, on fait chuter la plume et le plomb ; on parle de l'expérience du &quot;tube de Newton&quot;. Il faut avoir vu cette plume tomber vertigineusement vite :

#'''elle accélère de 10 m/s chaque seconde ;''' 
#'''La plume tombe exactement comme le plomb !''' 

Évidemment, ce qui est le plus curieux dans cette loi est que ni la masse ni la densité du corps n'interviennent : ceci paraît absurde. Et la lumière tombe-t-elle dans le vide ? et l'air, pourquoi ne tombe-t-il pas ? Voir l'exercice.

En réalité, Galilée n'a pas pu vérifier la loi. Il a même &quot;triché&quot; sciemment. Ses contemporains avaient déjà vérifié amplement certaines caractéristiques de la chute dans l'air. Galilée a ignoré ces critiques. Comme il l'a réaffirmé dans le Dialogo, il se place dans une situation théorique, où le vide est '''parfait'''.

Que la masse inerte soit égale à la masse pesante sera la base du Principe d’Équivalence, en théorie de la Relativité Générale d'Einstein, en 1915 ; mais c'est bien plus savant.

===  la Tour de Pise ===
Il faut tordre le coup à ce faux compte-rendu de Viviani dans son hagiographie de la vie du grand Maître : Galilée n'a vraisemblablement jamais vérifié sa loi à la tour de Pise. Koyré le démontre très bien : Galilée , tout comme Beeckman, sait l'existence d'une vitesse-limite. Plomb et sureau ne tombent pas à la même vitesse. Deux billes de plomb non plus. À quoi eût donc servi une telle expérience ? 

De fait, la grande idée expérimentale de Galilée fût en réalité celle de ralentir la chute, via le plan incliné (voir leçon ultérieure), et de penser théoriquement une gedanken-experiment : faire remonter ensuite la masse sur un autre plan incliné : alors, il était '''crédible''' que la bille allait remonter à la même hauteur, ''' à supposer''' que l'influence des frottements fût négligeable. '''Cette supposition est ce qui permet d'épurer le mouvement : la loi devient simple'''. Puis dans une seconde partie (laissée inachevée!), la perturbation due à l'air vient modifier le comportement. D'autres que Galilée eurent des idées, elles aussi très ingénieuses, plus proches même de la réalité expérimentale. L'Histoire n'a retenu que Galilée, parce que sa démarche s'est avérée la plus fructueuse. Mais ne pas oublier les autres.

===les difficultés liées au calculus===

La présentation donnée, v=gt ; z=1/2 gt², est ''anachronique'', très loin de la formulation de 1604. S'il faut attendre 1640 pour trouver la formule de Torricelli, v²=2gz, c'est que ce n'est pas simple, pour l'époque. Il y a au moins trois difficultés :

La notion d'unité, de dimension est précaire (les ''Discorsi'' sont écrits en 1638). Nos montres n'existent pas. La mesure du temps est rudimentaire : on fait chanter une chorale et on se base sur son tempo. Un peu plus tard, on utilisera le pendule ( sans même discuter la circularité du raisonnement, car le pendule utilise aussi la chute ). Galilée n'utilisera jamais &quot;l'axe des temps&quot;. Et bien sûr, la notation g n'existe pas en 1604 ! 

La notion de fonction n'existe pas vraiment. On a simplement deux tableaux numériques : z(k) positions échelonnées aussi régulièrement que possible versus temps de passage t(k). Mais pourquoi ne pas utiliser des temps espacés régulièrement ? Comment intrapoler pour passer d'un tableau à l'autre ? etc. Et on se rend compte très vite que le point initial est grande source d'erreur, à cause du déclenchement du &quot;&quot;chronomètre&quot;&quot;. D'où l'idée de procéder avec les différences_premières ; l'erreur systématique est moindre ; mais alors mesurer des différences augmente l'erreur expérimentale. Mais doit-on afficher les temps à des positions espacées régulièrement ? ou bien les positions à des dates échelonnées régulièrement ? Ce que Galilée va finalement privilégier, ce sont des dates échelonnées : alors, les différences d'espace augmentent comme 1,3,5,7,...(et ceci, ''quel que soit le choix de l'intervalle de temps''). Or il sait que la somme des impairs est un carré. Il en déduit z ~ t². 

La troisième difficulté est la notion de ''calculus'' ( le calcul différentiel et intégral ) : la notion de vitesse instantanée, à la date t, à un instant déterminé, dans le &quot;moment&quot; examiné, etc , n'existe pas encore.Il faudra attendre Newton, et surtout Leibniz pour écrire la dérivée v = dz /dt, via la limite ultime des durées petites, ou des distances infimes ; et comment la déduire des t(k),z(k) ? Et si on définit la lenteur comme limite de Δt/Δz, a-t-on la lenteur égale à 1/v ?  

Admettons que l'on forme un tableau de ces v_i &quot;au mieux&quot; ; ce tableau formé, faut-il considérer les v(k) fonction des t(k) ou bien des z(k) ? Galilée est hésitant. Cela en est touchant. Mais l'affaire est importante, car au coup suivant, pour la &quot;différence des différences&quot;, il faudra aussi faire attention ; est-ce v(t) ou bien lenteur(z)? auquel cas d(lenteur(z))/dz ne donne rien de bien simple! C'est bien dv(t)/dt qui est simple. On affouille, bafouille, cafouille. On patouille. Clairement, 50 après, on a progressé. Mais combien d'efforts de savants illustres ! Le terrain aplani, nous perdons conscience de cette difficulté immense : la construction du calculus.

== Exercices ==

On prendra g = 10 m/s² approximativement.

===quelques exercices simples===
1/. '''exAN''' : Trouver la hauteur de chute si le temps de chute est 2s .

'''Réponse''' : h = 1/2 . 10 . 4 = 20 m ! et la vitesse à l'arrivée est v= 20 m/s soit 72 km/h : malheur à vous, c'est fatal ! 
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2/. '''ex.RelationV(x)''' : Éliminer le temps entre z(t) et v(t) pour trouver la relation dite de Torricelli(1608-1647) : v² = 2g.z (c'est la quatrième formulation de la loi, dans le résumé).

En déduire la compréhension du slogan de la Sécurité routière : arriver sur un obstacle à 36 km/h &quot;c'est comme&quot; chuter de 5 m (2ème étage environ), mais à 72 km/h , c'est comme chuter de 20 m! mortel sans ceinture et air-bag.

Montrer plus généralement que V² -Vo² = 2g (z-zo) [ loi de Torricelli(1608-1647).

'''solution''' : 
en reportant t= v/g dans z = 1/2 gt², on obtient z = 1/2 g(v/g)² , soit v²= 2gz.

2g(z-zo) = 2gVot +g²t² ; et V² = (Vo+gt)² = Vo² + 2gVot + g²t² , d'où V²-Vo² = 2g(z-zo).
:Appliquer le théorème de l'énergie cinétique serait ici anachronique. Leibniz ne l'énoncera que vers 1700 ! 
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3/. '''ex.Croisement''' : c'est un teaser classique. On lance une pierre P vers le haut. Elle atteint la hauteur H . Juste à cet instant, on lance une deuxième pierre Q de la même manière. De tête, où les 2 pierres se rencontrent-elles ?

'''solution ex.Croisement''' :
Tracer le diagramme horaire de P, zP(t) et celui de Q, zQ(t) : ces deux courbes identiques sont décalées de sorte que le sommet de l'une est au pied de l'autre, la symétrie montre que la rencontre a lieu à T/2 ; le résultat devient évident :[Réponse : rencontre à z =3/4 . H].
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(* signale un exercice plus difficile)

===Puits===
Pour avoir la hauteur H d'un puits, on y laisse tomber un caillou au temps t = 0 ; on entend le son au temps T = 2 s : trouver la hauteur H (on appellera c , la célérité du son, égale à 1000/3 m/s).

'''solution ex.Puits'''  : On aura la durée de chute t₁ telle que H = ½ g t₁² , et la durée de retour du son t₂ telle que H = ct₂ ; soit 
T = durée totale = t₁ +t₂ = sqrt(2H/g) + H/c , équation du deuxième degré en sqrtH = x &gt; 0 ; soit x² + x. sqrt(2c²/g)-cT = 0  et on en prend la racine positive.

Allyson prend alors sa calculette et trouve x= 4,34546 ; puis H = 18,883 m

Alliette, elle, pousse les calculs littéraux jusqu'au bout et trouve x² = H = 1/2 gT².[ 2 / (1 + sqrt(1+2gT/c))]² = 20. (0,94415) = 18,883 m 
 
De même, après moult calculs, l'équation en x²= H peut se réécrire  :  H = 1/2 g(T-H/c)² = 1/2 gT² ( 1 - H gT/2c)^2

Béatrice dit : maiz'alors, il suffit de dire que si t₂= H/c, alors t₁ = T- H/c , donc H = 1/2 g(T-H/c)²  

L'équation du second degré obtenue est alors : H² - 2H(c²/g + cT) + c²T² = 0

En poursuivant les calculs littéraux, on retrouve le résultat exact d' Alliette.

Catherine dit : t₁ &lt; T donc H = 1/2 g.(t₁)² &lt; 1/2 gT² = 20 m = Ho ; elle ajoute finement : donc   t₂ = H/c &lt; Ho/c = 60 ms ; mesalors t1 &gt; T-Ho/c ; et H &gt; 1/2 g (T-Ho/c)² , soit H1 = 18.82m .

Daisy s'empresse : donc H &lt; H2 = 1/2 g (T-H1/c)². Le démontrer.

Emmy, matheuse, finit : soit y(x) = 1/2 g (T- x/c)² et y = x ; la suite récurrente Hn converge en &quot;araignée&quot; vers la solution d'autant plus vite que [y'(x)| est inférieure à 1. On a successivement 20, puis 18,82 , puis 18,88 m . 

remarque-annexe sur les chiffres significatifs : la résistance de l'air rend ces calculs au centimètre près fictifs. Par ailleurs, on n'a pas poussé au-delà, ( et la margelle du puits ? ), et car il y a ambiguïté sur les ChS : on aurait dû donner T = 2,0000 s par exemple ; passons, d'ailleurs on a pris g = 10.

Fanny, pragmatique, conclut : bon, dans ces conditions, je reprends juste le calcul de Catherine : H &lt; 20 m , la première correction est -1,2 m ; DONC , SI c'est une progression géométrique alternée, de raison k = -6/100, alors H = 20/ (1+k) = 18,87 ; soit H = 18,9 m avec 3 ChS. D'ailleurs, numériquement, Béa a trouvé : H = 20 (1-3H/100)², soit sensiblement H = 20 ( 1-6/100 ), c'est pareil.

Chaque élève a son bout de vérité. C'est souvent l'ensemble des réponses qui donne une compréhension harmonieuse. Un problème a rarement une solution exacte et la méthode initiée par Catherine est donc très appréciée ; elle conduit aussi, par itération, au résultat exact et une itération de cette sorte est très aisée à conduire avec les calculettes usuelles. En conclusion, on a besoin : 1/. de mettre en équations  et, éventuellement, de sortir la physique hors des équations pour mettre tout sous forme d'un pb de math 2/. résoudre alors comme en math, avec toute les capacités des math, y compris l'analyse numérique  3/. exploiter la solution du point de vue physique.

Reprenons le tout pour fixer la démarche : 

Un puits , 2s , g = 10 et c = 333 m/s . Donc en gros H = 20m , et le retour du son en 60ms : le prof nous fait calculer des clopinettes..., soit !

mise en équation : H = 1/2 g (T -H/c )² 

et sortir la physique des équations : H = 1/2 gT². Z , soit Z = ( 1 - gT/2c .Z )^2 , et on passe aux maths

résoudre l'éq en Z : c'est une éq du 2eme degré =&gt; résultat 

ou résoudre Z = f(Z) = f(f(Z)) , etc , point-fixe =&gt; résultat 

interprétation-du résultat : pas la peine d'aller au delà du cm ! on a pris g = 10 m/s²
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=== Expérimentation(*)===
Une caméra prend des photos d'une bille en chute libre à des tops réguliers, d'intervalle T. Une règle verticale photographiée en même temps que la bille donne 3 valeurs z1, z2 et z3 pour des temps t1, t2 = t1 + T , t3 = t1 + T .Montrer que , quel que soit t1 et T , [(z3-z2)/T - (z2-z1)/T ]/T = g . En déduire une manière de mesurer g avec avantage. La réciproque est-elle vraie(**), c'est à dire : si l'accélération discrète est constante, le mouvement discret est-il celui de Galilée ?


'''solution expérimentation : '''
 
Comme la vitesse Vo n'intervient pas,cela se vérifie d'ailleurs aisément, il reste en prenant t2 comme origine,

z3-2z2+z1 = 1/2.g[(t2+T)² -2(t2)² + (t2-T)²] = 1/2. g [ 2 T²].

On appelle dérivée discrète seconde au point z2 , la quantité (z3-2z2+z1)/T² .

On constate qu'elle vaut g , ceci quel que soit z2 et T !

(**)Et réciproquement, une suite récurrente z(n+1) = 2 z(n) - z(n-1) + Go(T)² est effectivement une suite du type z(n) = ½Go (n.T)² + A (n.T) + B.

Tout ceci permet d'intéressantes comparaisons expérimentales et permet de valoriser certains TP(travaux pratiques). Admettons par exemple que la caméra donne 25+1 photos sur une seconde (soit une chute de 5m devant une règle graduée): Voici une méthode parmi d'autres, via un logiciel de traitement de données : la caméra a donné la k-ième photo au temps k/25 . 
Donc, on possède un '''tableau de valeurs numériques''', 26 valeurs de l'abscisse z(k) au temps t(k). De ces 26 valeurs, il faut tirer une valeur de g. C'est de manière très usuelle le problème d'un TP : la théorie est faite. On veut la vérifier et en tirer la valeur d'un paramètre du problème, au mieux.

Pour cela, on calcule les 24 dérivées discrètes. Par exemple, pour calculer a(4) on calcule les valeurs sensiblement identiques : (z(0)-2z(4)+z(8))/16 ; (z(1)-2z(4)+z(7))/9 ; (z(2)-2z(4)+z(6))/4 ; (z(3)-2z(4)+z(5))/1 ; et on extrapolera. On portera alors ces valeurs a(k) en fonction de v(k)² [avec les v(k) calculées de même façon ]: la courbe est &quot;sensiblement linéaire&quot; : son extrapolation pour les faibles vitesses donne LA valeur de g. On a ainsi défini une '''procédure algorithmique''', qui, éventuellement, peut s'automatiser.
Les résultats d'une classe (2 *2* 12 élèves) sont honnêtes et valent bien le résultat obtenu avec le pendule réversible, dit de Kater. Ne pas espérer 3 ChS (chiffres significatifs) ! 

D'autres dispositifs équipés de photodiodes donnent le temps de passage à telle ou telle altitude (t(k) = T(z(k)) ). Certaines méthodes lancent le projectile vers le haut ; il retombe ; au passage il a coupé les deux faisceaux de deux photodiodes distantes de H, aux temps t1, t2, t3, et t4. On forme les deux durées D1 = t4-t1 et D2 = t3-t2. Montrer que g = 8H / (D1²-D2²). 

'''note''' : Actuellement(2015), la méthode de chute libre est utilisée mais en faisant tomber &quot;le coin de cube d'un Michelson&quot;, servant de miroir réflecteur : les franges défilent et sont enregistrées. On arrive à une précision relative de 11 ChS(Chiffres Significatifs), depuis la mise au point du dispositif par Sakuma, en 1970, au BIPM (Bureau International des Poids et mesures , installé au parc de Saint-Cloud, Paris). Inutile de dire qu'il faut de multiples précautions. La gravimétrie est donc devenue une science très précise, utilisée par les géologues. Voir plus loin, leçon sur la gravimétrie (de niveau nettement plus élevé).

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=== Un raisonnement de Torricelli(**)===
 
Galilée défendit la thèse suivante, appelée depuis Principe de Relativité galiléenne : si un bateau se déplace à la vitesse constante Vo, alors on ne peut pas s'en apercevoir depuis l'intérieur du bateau ; on pourrait continuer à jouer au ping-pong, à faire de la GRS, etc. RIEN ne permet de distinguer le mouvement du bateau. &quot;Un mouvement uniforme , c'est comme RIEN &quot;. Familièrement, on dirait aujourd'hui, ça compte pour du beurre. 

Torricelli(1608-1647) est le premier à avoir appliqué ce principe à la chute libre. 

*[ '''''Note historique''''' : dans son deMotu, 1641,il l'a signalé à Castelli (1577-1644) , qui en rendit compte à Galilée. Galilée , très admiratif, demanda à Torricelli de devenir son élève, en 1641 ; bien que très fier d'être choisi, Torricelli était mort de trouille, à cause de l'Inquisition : rappelons que dire du mouvement de la Terre, c'est comme rien , revenait à accréditer la thèse de Copernic. Or le Vatican venait de condamner cette thèse en 1618 ].

Torricelli '''admet''' que z(t) = h(t)+Vot+Zo , avec h(t) fonction inconnue, mais indépendante de Zo ET de Vo. Ce faisant, il admet beaucoup. Mais alors, grâce au principe de relativité, montrer que h(t) = kt²

'''solution :'''
  
Commençons par le résultat suivant :
 
si le mouvement d'un corps chutant au départ comme z = 1/2.g.t² est avec une nouvelle origine des temps, z = f(t, Zo, Vo)= 1/2 gt² + Vot +Zo , 

alors à un instant T1, il sera en Z1 = f(T1, Zo, Vo) avec la vitesse V1 = g.T1 + Vo. 

Puisque la vitesse V1 joue à cet instant '''le même rôle''' que Vo à l'instant t=0 pris pour origine, Torricelli dit que :
z= f(t+T1, Zo, Vo) = f(t,Z1, V1), avec la même fonction f(., . , .), soit :
 
1/2 g (t+T1)² + Vo.(t+T1) + Zo = ? = 1/2 g.t² + V1.t + Z1 ,
avec V1 = g.T1 + Vo et Z1 = 1/2 g.T1² + Vo.T1 + Zo :

Après simplification, Zo s'élimine ainsi que Vo.t , puis Vo.T1 .
Il reste à vérifier : 

1/2 g (t+T1)² = ? = 1/2 g.t² + g.T1.t + 1/2 g.T1² , ce qui est vrai.

'''Mais ce n'est pas la réponse demandée''' ! bien que cela soit perçu par beaucoup d'étudiants comme la bonne réponse ! le calcul est en effet pertinent et exact; mais il ne répond pas à la question ! On ne fait que vérifier l'auto-pertinence de la formule, mais on ne démontre pas h(t) = k t² !  

Voici ce que Torricelli a dit :

z = h(t+T1) + Zo + Vo.(t + T1) = h(t)+ Z1 + V1.t , ceci quel que soit t , avec Z1 = h(T1) + Zo + Vo.T1 , et avec V1 = h'(T1) + Vo (exprimé en formalisme moderne). Ce qui conduit à l'équation fonctionnelle:

h(t+T1) = h(t) + h(T1) + h'(T1).t , 

pour tout t et pour tout T1.

Alors , par symétrie de rôle de t et de T1 , on peut écrire :

h(t+T1) = h(T1) + h(t) + h'(t).T1

ce qui conduit à h'(t).T1 = h'(T1).t et donc h'(t)/t = h'(T1)/T1 = cste donc , appelons-la ...g ! Alors h'(t) = g.t

'''La vitesse ne pouvait être que linéaire en t'''.

Du reste, si on prend l'origine du référentiel galiléen tangent à l'instant de départ , donc avec une vitesse nulle, cela paraît &quot;naturel&quot; ! Remarquable raisonnement de Torricelli en 1641(De Motu).

Au final, si h'(t) = g.t , h(t) = 1/2.g.t² :

Rappelons ce qui a été utilisé : l'invariance galiléenne et l'invariance du mouvement par translation (ce qui revient à dire : pesanteur constante).

Il est évident que Galilée fût ravi que son ami Castelli eût un élève aussi doué ! D'autant que Torricelli n'avait pas ces notations modernes !
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== Exercices, deuxième série ==


=== exPseudoparadoxe de la vitesse nulle(**) ===
Marin Mersenne (1588-1648) [un des plus célèbres correspondants scientifiques de l'époque] n'arrivait pas à comprendre la loi V = g.t , car disait-il, si V = 0 au départ , le plomb ne peut pas avancer ! Huygens(à 17ans!) lui répondit(1646). Imaginer sa lettre de réponse.

Mersenne ne comprenait pas non plus v² = 2gx , et en x=0, v est nulle. Donc le mobile n'avance pas.

''' Solution :  '''
Essentiellement, le jeune Huygens répondit que la loi générale était V = Vo + gt , même si Vo est négatif (la pierre est lancée vers le haut) : la loi est tout aussi vraie , mais c'est une loi affine dans ce cas, avec '''vraiment rien de particulier''' au moment où V(t) = Vo. Au sommet de la parabole du diagramme horaire, il ne se passe donc strictement rien de particulier, même si ce point fût l'objet de spéculations intellectuelles très passionnées, pour savoir si le temps passé en ce point était FINI.

Torricelli, lui, invoquera le raisonnement suivant : par invariance galiléenne, on peut se placer dans n'importe quel référentiel de vitesse Vo ; alors le sommet du diagramme horaire est n'importe quel point. Le &quot;sommet&quot; devient un point ordinaire ; ainsi on a banalisé ce point. Alors, plus personne n'a d'objection ; on dit qu'on a &quot;réduit&quot; le pseudo-paradoxe. Progressivement, avec les siècles, la question n'est même plus soulevée.'''Les contradicteurs sont morts'''. 

La deuxième question est plus délicate, pour l'époque : si v(x) = sqrt( 2gx ) , comment l'intégrer ? De nos jours, on dit l'équation est de Cauchy-Lipschitz, et le tour est joué. En 1620, dt = dx/sqrt(2gx) n'est pas encore intégrable en t = sqrt(2x/g).

Quelques années auparavant, la confusion v(x) ou v(t) est bien plus grande. Il faut bien voir que la notion de fonction n'est pas affermie. On a des tableaux numériques : à t(k) correspond z(k). On peut en faire des tableaux de différences, les dt et les dx. Puis dt/dx ( càd 1/v ) fonction de t ou de x ? Pourquoi est-ce v =dx/dt = f(t) qui s'impose ; et 1/v = f(x) ? Ces questions n'ont rien d'anodin. Galilée s'est fait piéger. Descartes aussi. La science cafouille souvent , mais progresse ! 
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=== ex_sur la loi de Sarpi(***) ===
La loi de Galilée dans son deuxième énoncé semble absurde : quelle que soit la masse du corps, le corps tombe de la même manière dans le vide !  Question 1 : la lumière(c'est-à-dire un photon) tombe-t-elle dans le vide ? Question 2 : l'air tombe-t-il ? 

'''Solution : '''
Oui ! ce sont des questions un peu shadok, quasi-impertinentes ! Mais il convient de les poser.

'''Question 1 :'''  oui , la lumière tombe dans le vide, MAIS ce n'est pas sa vitesse qui change , puisqu'elle reste immuable : c = 299 792 458 m/s. C'est son impulsion ; il vaut mieux parler de photon : ainsi l'impulsion du photon change, c'est parfaitement vérifié aujourd'hui (il faut en tenir compte dans l'envoi des signaux [[w:GPS|GPS]], sous peine de voir la qualité des résultats être entâchée d'une erreur systématique). Par ailleurs, l'énergie change corrélativement, c'est le red-shift gravitationnel d'Einstein, vérifié lui aussi. 

'''Question 2 :''' oui bien sûr , une molécule de dioxygène tombe. Si l'air globalement ne tombe pas , c'est qu'il est déjà tombé depuis longtemps : on sait bien que l'air est situé essentiellement à basse altitude ; mais précisément comme il y en a plus en bas qu'en haut, la '''diffusion thermique''' en fait plus remonter du bas vers le haut que du haut vers le bas ; ce que nous voyons est l'équilibre dynamique stationnaire entre ces deux phénomènes : la chute vers le bas et la diffusion globalement vers le haut (Einstein,1905). On peut relire l'explication magnifique de Feynman , dans Lectures on physics.

== À quoi est due la pesanteur ? ==
Bonne question !

La pesanteur est essentiellement due à l'attraction terrestre et partiellement au pivotement de la Terre ( et encore un peu à tous les Astres, mais usuellement, on met cette partie dans &quot;l'action de marée&quot; ).

Il est hors de question dans cette première leçon de parler de la gravimétrie.

Pour faire simple, on peut dire ceci : si la Terre était sphérique et ne pivotait pas, alors la pesanteur se réduirait à une attraction (verticale par définition), centrale ( c'est à dire dirigée vers le centre O de la Terre) de valeur : G.M / r² = g(r)  (théorème dit ''remarquable'' de Newton, 1685 ); comme la Terre pivote, elle s'aplatit légèrement en forme de géoïde (aplatissement =~ 1/298), et la gravité est légèrement plus élevée au pôle qu'à l'équateur.

Cavendish(1731-1810) mesurera G en 1798 avec énormément de difficulté : G = 6.67 10^-11 N.m²/kg² environ. On en déduit la valeur de la masse de la Terre si l'on connaît son rayon : M = ~6 10^24 kg . Truc mnémotechnique , retenir que la masse_volumique de la Terre est intermédiaire entre celle de l'eau (1kg/L) et dix fois plus (10kg/L) , soit 5.5 kg/L . 

Ceci dit, à quoi est due l'attraction de la Terre, cette étrange action à distance ? '''Newton''', après y avoir réfléchi longtemps, déclara forfait : ''hypotheses non fingo'', je ne fais aucune hypothèse. Il la posa comme postulat, il en généralisa la portée. Il en formula toutes les conséquences. Il fondait ainsi une discipline, la mécanique dite &quot;rationnelle&quot; qui sera, pour des siècles et des siècles, la discipline-phare des sciences physiques. '''Euler, Lagrange, Hamilton, Poincaré''' et des milliers d'autres poursuivront les travaux de '''Newton'''. Puis '''Einstein''', en 1915, donna une interprétation de l'attraction gravitationnelle, en termes géométriques : la matière distord l'espace-temps, et tous calculs faits, on retrouve dans le cas de faible distorsion, la loi de Newton. Satisfaisant, mais cette théorie ne cadre pas encore avec la ''mécanique quantique''. La science doit continuer à progresser.

== Retour ==

Rappel : la page de discussion contient pas mal de matériaux bibliographiques.

*[[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences|Mécanique , enseignée via l'Histoire des Sciences]]

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        <username>Guerinsylvie</username>
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*Attention : une bonne partie de la réflexion est actuellement dans la discussion. Elle en sortira quand elle aura été suffisamment critiquée.

Cette première leçon est élémentaire. Son niveau est bac-2, bac-1, bac , et bac+1. Les exercices et les commentaires sont de niveau variable.

== Loi de Galilée==
=== Expérience=== 
Soit un plomb, P, soutenu par une ficelle mince.

On le laisse bien au repos, au ras du sol. On marque à la craie la position au sol, disons A . Le plomb est relevé de 2m environ, bien à la verticale de A en un point O.

Il est immobile en O. On brûle la ficelle. Le plomb tombe de O en A. En &quot;chute libre&quot;, dit-on ; en réalité, l'air perturbe le mouvement en le ralentissant.

Galilée(1564-1642) eût l'idée, '''géniale pour l'époque''', d'imaginer ce mouvement '''''à la limite''''' où il n'y aurait pas d'air ! Le plomb tomberait alors dans le vide : c'est la chute libre verticale, dont Galilée donna la loi en 1604.

=== La loi  ===
Soit z(t) la hauteur de chute, v  la vitesse de chute, et a l'accélération.  

'''L'accélération est constante'''. 

On l'appelle g.
À Paris, elle vaut 9.81 m/s². 
La vitesse initiale est nulle.

On en déduit :
 
:&lt;math&gt; \frac {d^2z}{dt^2} = g  &lt;=&gt;   \frac{dz}{dt} = gt &lt;=&gt; z =\frac{1}{2}gt^2  &lt;/math&gt;


( De plus, si on élimine la variable t entre v(t) et z(t), on obtient :  v² = 2gz ; Torricelli(1640)).

Avec des conditions initiales quelconques, on obtiendrait :

&lt;math&gt;v = v_0 + gt &lt;=&gt; z =\frac{1}{2}gt^2 + v_0 t + z_0  &lt;/math&gt;

''Remarque'' : en réalité, le pivotement de la Terre en un jour sidéral provoque une minuscule déviation vers l'Est.

==Notes historiques==

===penser le vide ===

Aujourd'hui, on sait faire cette expérience dans un tube privé d'air (grâce à une pompe aspirante). On a des caméras pour enregistrer le mouvement. On peut refaire l'expérience à loisir avec d'autres dispositifs. On l'a même refaite sur la Lune, qui n'a pas d'atmosphère. À l'époque ( avant 1644 ), '''penser le vide''' était assez '''révolutionnaire''', voire hérétique (la discussion en est passionnante, cf article sur le vide) ; Galilée lui-même n'y croyait pas trop ; son élève Torricelli(1609-1647) mit en évidence le &quot;vide grosso&quot; dans la &quot;chambre barométrique&quot; en 1644, ceci après avoir compris le problème des fontainiers (de la ville de Sienne) qui n'arrivaient pas à faire fonctionner leurs siphons.

Le génie de Galilée fût de penser la loi comme une loi-limite qui existerait à la limite du vide absolu. En effet, dès que la vitesse est grande, la résistance de l'air vient '''limiter''' la vitesse. Cette vitesse-limite est différente selon les corps. La loi de Galilée devient fausse. Chacun peut le vérifier ; et Galilée, et ses contemporains, le savaient. L'affirmation de Galilée , v = g.t , est donc une décision, correspondant à une loi approximative de début de mouvement dans l'air résiduel.

===la masse n'intervient pas ===

La lettre de Galilée à Sarpi (16/10/1604) présente en réalité '''deux''' Lois:
 
#Le mouvement a une accélération constante 
#'''Un fait extraordinaire''', '''peu crédible''' mais pourtant vrai : la loi ne dépend pas du plomb ! 

On peut prendre une pierre, un sac lesté de plomb, de sable ou de papier, ou de polystyrène, une fleur de pissenlit, une plume. Dans un tube de verre de 2m de long, dont l'air a été pompé, on fait chuter la plume et le plomb ; on parle de l'expérience du &quot;tube de Newton&quot;. Il faut avoir vu cette plume tomber vertigineusement vite :

#'''elle accélère de 10 m/s chaque seconde ;''' 
#'''La plume tombe exactement comme le plomb !''' 

Évidemment, ce qui est le plus curieux dans cette loi est que ni la masse ni la densité du corps n'interviennent : ceci paraît absurde. Et la lumière tombe-t-elle dans le vide ? et l'air, pourquoi ne tombe-t-il pas ? Voir l'exercice.

En réalité, Galilée n'a pas pu vérifier la loi. Il a même &quot;triché&quot; sciemment. Ses contemporains avaient déjà vérifié amplement certaines caractéristiques de la chute dans l'air. Galilée a ignoré ces critiques. Comme il l'a réaffirmé dans le Dialogo, il se place dans une situation théorique, où le vide est '''parfait'''.

Que la masse inerte soit égale à la masse pesante sera la base du Principe d’Équivalence, en théorie de la Relativité Générale d'Einstein, en 1915 ; mais c'est bien plus savant.

===  la Tour de Pise ===
Il faut tordre le coup à ce faux compte-rendu de Viviani dans son hagiographie de la vie du grand Maître : Galilée n'a vraisemblablement jamais vérifié sa loi à la tour de Pise. Koyré le démontre très bien : Galilée , tout comme Beeckman, sait l'existence d'une vitesse-limite. Plomb et sureau ne tombent pas à la même vitesse. Deux billes de plomb non plus. À quoi eût donc servi une telle expérience ? 

De fait, la grande idée expérimentale de Galilée fût en réalité celle de ralentir la chute, via le plan incliné (voir leçon ultérieure), et de penser théoriquement une gedanken-experiment : faire remonter ensuite la masse sur un autre plan incliné : alors, il était '''crédible''' que la bille allait remonter à la même hauteur, ''' à supposer''' que l'influence des frottements fût négligeable. '''Cette supposition est ce qui permet d'épurer le mouvement : la loi devient simple'''. Puis dans une seconde partie (laissée inachevée!), la perturbation due à l'air vient modifier le comportement. D'autres que Galilée eurent des idées, elles aussi très ingénieuses, plus proches même de la réalité expérimentale. L'Histoire n'a retenu que Galilée, parce que sa démarche s'est avérée la plus fructueuse. Mais ne pas oublier les autres.

===les difficultés liées au calculus===

La présentation donnée, v=gt ; z=1/2 gt², est ''anachronique'', très loin de la formulation de 1604. S'il faut attendre 1640 pour trouver la formule de Torricelli, v²=2gz, c'est que ce n'est pas simple, pour l'époque. Il y a au moins trois difficultés :

La notion d'unité, de dimension est précaire (les ''Discorsi'' sont écrits en 1638). Nos montres n'existent pas. La mesure du temps est rudimentaire : on fait chanter une chorale et on se base sur son tempo. Un peu plus tard, on utilisera le pendule ( sans même discuter la circularité du raisonnement, car le pendule utilise aussi la chute ). Galilée n'utilisera jamais &quot;l'axe des temps&quot;. Et bien sûr, la notation g n'existe pas en 1604 ! 

La notion de fonction n'existe pas vraiment. On a simplement deux tableaux numériques : z(k) positions échelonnées aussi régulièrement que possible versus temps de passage t(k). Mais pourquoi ne pas utiliser des temps espacés régulièrement ? Comment intrapoler pour passer d'un tableau à l'autre ? etc. Et on se rend compte très vite que le point initial est grande source d'erreur, à cause du déclenchement du &quot;&quot;chronomètre&quot;&quot;. D'où l'idée de procéder avec les différences_premières ; l'erreur systématique est moindre ; mais alors mesurer des différences augmente l'erreur expérimentale. Mais doit-on afficher les temps à des positions espacées régulièrement ? ou bien les positions à des dates échelonnées régulièrement ? Ce que Galilée va finalement privilégier, ce sont des dates échelonnées : alors, les différences d'espace augmentent comme 1,3,5,7,...(et ceci, ''quel que soit le choix de l'intervalle de temps''). Or il sait que la somme des impairs est un carré. Il en déduit z ~ t². 

La troisième difficulté est la notion de ''calculus'' ( le calcul différentiel et intégral ) : la notion de vitesse instantanée, à la date t, à un instant déterminé, dans le &quot;moment&quot; examiné, etc , n'existe pas encore.Il faudra attendre Newton, et surtout Leibniz pour écrire la dérivée v = dz /dt, via la limite ultime des durées petites, ou des distances infimes ; et comment la déduire des t(k),z(k) ? Et si on définit la lenteur comme limite de Δt/Δz, a-t-on la lenteur égale à 1/v ?  

Admettons que l'on forme un tableau de ces v_i &quot;au mieux&quot; ; ce tableau formé, faut-il considérer les v(k) fonction des t(k) ou bien des z(k) ? Galilée est hésitant. Cela en est touchant. Mais l'affaire est importante, car au coup suivant, pour la &quot;différence des différences&quot;, il faudra aussi faire attention ; est-ce v(t) ou bien lenteur(z)? auquel cas d(lenteur(z))/dz ne donne rien de bien simple! C'est bien dv(t)/dt qui est simple. On affouille, bafouille, cafouille. On patouille. Clairement, 50 après, on a progressé. Mais combien d'efforts de savants illustres ! Le terrain aplani, nous perdons conscience de cette difficulté immense : la construction du calculus.

== Exercices ==

On prendra g = 10 m/s² approximativement.

===quelques exercices simples===
1/. '''exAN''' : Trouver la hauteur de chute si le temps de chute est 2s .

'''Réponse''' : h = 1/2 . 10 . 4 = 20 m ! et la vitesse à l'arrivée est v= 20 m/s soit 72 km/h : malheur à vous, c'est fatal ! 
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2/. '''ex.RelationV(x)''' : Éliminer le temps entre z(t) et v(t) pour trouver la relation dite de Torricelli(1608-1647) : v² = 2g.z (c'est la quatrième formulation de la loi, dans le résumé).

En déduire la compréhension du slogan de la Sécurité routière : arriver sur un obstacle à 36 km/h &quot;c'est comme&quot; chuter de 5 m (2ème étage environ), mais à 72 km/h , c'est comme chuter de 20 m! mortel sans ceinture et air-bag.

Montrer plus généralement que V² -Vo² = 2g (z-zo) [ loi de Torricelli(1608-1647).

'''solution''' : 
en reportant t= v/g dans z = 1/2 gt², on obtient z = 1/2 g(v/g)² , soit v²= 2gz.

2g(z-zo) = 2gVot +g²t² ; et V² = (Vo+gt)² = Vo² + 2gVot + g²t² , d'où V²-Vo² = 2g(z-zo).
:Appliquer le théorème de l'énergie cinétique serait ici anachronique. Leibniz ne l'énoncera que vers 1700 ! 
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3/. '''ex.Croisement''' : c'est un teaser classique. On lance une pierre P vers le haut. Elle atteint la hauteur H . Juste à cet instant, on lance une deuxième pierre Q de la même manière. De tête, où les 2 pierres se rencontrent-elles ?

'''solution ex.Croisement''' :
Tracer le diagramme horaire de P, zP(t) et celui de Q, zQ(t) : ces deux courbes identiques sont décalées de sorte que le sommet de l'une est au pied de l'autre, la symétrie montre que la rencontre a lieu à T/2 ; le résultat devient évident :[Réponse : rencontre à z =3/4 . H].
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(* signale un exercice plus difficile)

===Puits===
Pour avoir la hauteur H d'un puits, on y laisse tomber un caillou au temps t = 0 ; on entend le son au temps T = 2 s : trouver la hauteur H (on appellera c , la célérité du son, égale à 1000/3 m/s).

'''solution ex.Puits'''  : On aura la durée de chute t₁ telle que H = ½ g t₁² , et la durée de retour du son t₂ telle que H = ct₂ ; soit 
T = durée totale = t₁ +t₂ = sqrt(2H/g) + H/c , équation du deuxième degré en sqrtH = x &gt; 0 ; soit x² + x. sqrt(2c²/g)-cT = 0  et on en prend la racine positive.

Allyson prend alors sa calculette et trouve x= 4,34546 ; puis H = 18,883 m

Alliette, elle, pousse les calculs littéraux jusqu'au bout et trouve x² = H = 1/2 gT².[ 2 / (1 + sqrt(1+2gT/c))]² = 20. (0,94415) = 18,883 m 
 
De même, après moult calculs, l'équation en x²= H peut se réécrire  :  H = 1/2 g(T-H/c)² = 1/2 gT² ( 1 - H gT/2c)^2

Béatrice dit : maiz'alors, il suffit de dire que si t₂= H/c, alors t₁ = T- H/c , donc H = 1/2 g(T-H/c)²  

L'équation du second degré obtenue est alors : H² - 2H(c²/g + cT) + c²T² = 0

En poursuivant les calculs littéraux, on retrouve le résultat exact d' Alliette.

Catherine dit : t₁ &lt; T donc H = 1/2 g.(t₁)² &lt; 1/2 gT² = 20 m = Ho ; elle ajoute finement : donc   t₂ = H/c &lt; Ho/c = 60 ms ; mesalors t1 &gt; T-Ho/c ; et H &gt; 1/2 g (T-Ho/c)² , soit H1 = 18.82m .

Daisy s'empresse : donc H &lt; H2 = 1/2 g (T-H1/c)². Le démontrer.

Emmy, matheuse, finit : soit y(x) = 1/2 g (T- x/c)² et y = x ; la suite récurrente Hn converge en &quot;araignée&quot; vers la solution d'autant plus vite que [y'(x)| est inférieure à 1. On a successivement 20, puis 18,82 , puis 18,88 m . 

remarque-annexe sur les chiffres significatifs : la résistance de l'air rend ces calculs au centimètre près fictifs. Par ailleurs, on n'a pas poussé au-delà, ( et la margelle du puits ? ), et car il y a ambiguïté sur les ChS : on aurait dû donner T = 2,0000 s par exemple ; passons, d'ailleurs on a pris g = 10.

Fanny, pragmatique, conclut : bon, dans ces conditions, je reprends juste le calcul de Catherine : H &lt; 20 m , la première correction est -1,2 m ; DONC , SI c'est une progression géométrique alternée, de raison k = -6/100, alors H = 20/ (1+k) = 18,87 ; soit H = 18,9 m avec 3 ChS. D'ailleurs, numériquement, Béa a trouvé : H = 20 (1-3H/100)², soit sensiblement H = 20 ( 1-6/100 ), c'est pareil.

Chaque élève a son bout de vérité. C'est souvent l'ensemble des réponses qui donne une compréhension harmonieuse. Un problème a rarement une solution exacte et la méthode initiée par Catherine est donc très appréciée ; elle conduit aussi, par itération, au résultat exact et une itération de cette sorte est très aisée à conduire avec les calculettes usuelles. En conclusion, on a besoin : 1/. de mettre en équations  et, éventuellement, de sortir la physique hors des équations pour mettre tout sous forme d'un pb de math 2/. résoudre alors comme en math, avec toute les capacités des math, y compris l'analyse numérique  3/. exploiter la solution du point de vue physique.

Reprenons le tout pour fixer la démarche : 

Un puits , 2s , g = 10 et c = 333 m/s . Donc en gros H = 20m , et le retour du son en 60ms : le prof nous fait calculer des clopinettes..., soit !

mise en équation : H = 1/2 g (T -H/c )² 

et sortir la physique des équations : H = 1/2 gT². Z , soit Z = ( 1 - gT/2c .Z )^2 , et on passe aux maths

résoudre l'éq en Z : c'est une éq du 2eme degré =&gt; résultat 

ou résoudre Z = f(Z) = f(f(Z)) , etc , point-fixe =&gt; résultat 

interprétation-du résultat : pas la peine d'aller au delà du cm ! on a pris g = 10 m/s²
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=== Expérimentation(*)===
Une caméra prend des photos d'une bille en chute libre à des tops réguliers, d'intervalle T. Une règle verticale photographiée en même temps que la bille donne 3 valeurs z1, z2 et z3 pour des temps t1, t2 = t1 + T , t3 = t1 + T .Montrer que , quel que soit t1 et T , [(z3-z2)/T - (z2-z1)/T ]/T = g . En déduire une manière de mesurer g avec avantage. La réciproque est-elle vraie(**), c'est à dire : si l'accélération discrète est constante, le mouvement discret est-il celui de Galilée ?


'''solution expérimentation : '''
 
Comme la vitesse Vo n'intervient pas,cela se vérifie d'ailleurs aisément, il reste en prenant t2 comme origine,

z3-2z2+z1 = 1/2.g[(t2+T)² -2(t2)² + (t2-T)²] = 1/2. g [ 2 T²].

On appelle dérivée discrète seconde au point z2 , la quantité (z3-2z2+z1)/T² .

On constate qu'elle vaut g , ceci quel que soit z2 et T !

(**)Et réciproquement, une suite récurrente z(n+1) = 2 z(n) - z(n-1) + Go(T)² est effectivement une suite du type z(n) = ½Go (n.T)² + A (n.T) + B.

Tout ceci permet d'intéressantes comparaisons expérimentales et permet de valoriser certains TP(travaux pratiques). Admettons par exemple que la caméra donne 25+1 photos sur une seconde (soit une chute de 5m devant une règle graduée): Voici une méthode parmi d'autres, via un logiciel de traitement de données : la caméra a donné la k-ième photo au temps k/25 . 
Donc, on possède un '''tableau de valeurs numériques''', 26 valeurs de l'abscisse z(k) au temps t(k). De ces 26 valeurs, il faut tirer une valeur de g. C'est de manière très usuelle le problème d'un TP : la théorie est faite. On veut la vérifier et en tirer la valeur d'un paramètre du problème, au mieux.

Pour cela, on calcule les 24 dérivées discrètes. Par exemple, pour calculer a(4) on calcule les valeurs sensiblement identiques : (z(0)-2z(4)+z(8))/16 ; (z(1)-2z(4)+z(7))/9 ; (z(2)-2z(4)+z(6))/4 ; (z(3)-2z(4)+z(5))/1 ; et on extrapolera. On portera alors ces valeurs a(k) en fonction de v(k)² [avec les v(k) calculées de même façon ]: la courbe est &quot;sensiblement linéaire&quot; : son extrapolation pour les faibles vitesses donne LA valeur de g. On a ainsi défini une '''procédure algorithmique''', qui, éventuellement, peut s'automatiser.
Les résultats d'une classe (2 *2* 12 élèves) sont honnêtes et valent bien le résultat obtenu avec le pendule réversible, dit de Kater. Ne pas espérer 3 ChS (chiffres significatifs) ! 

D'autres dispositifs équipés de photodiodes donnent le temps de passage à telle ou telle altitude (t(k) = T(z(k)) ). Certaines méthodes lancent le projectile vers le haut ; il retombe ; au passage il a coupé les deux faisceaux de deux photodiodes distantes de H, aux temps t1, t2, t3, et t4. On forme les deux durées D1 = t4-t1 et D2 = t3-t2. Montrer que g = 8H / (D1²-D2²). 

'''note''' : Actuellement(2015), la méthode de chute libre est utilisée mais en faisant tomber &quot;le coin de cube d'un Michelson&quot;, servant de miroir réflecteur : les franges défilent et sont enregistrées. On arrive à une précision relative de 11 ChS(Chiffres Significatifs), depuis la mise au point du dispositif par Sakuma, en 1970, au BIPM (Bureau International des Poids et mesures , installé au parc de Saint-Cloud, Paris).Inutile de dire qu'il faut de multiples précautions. 

Une autre méthode consiste à laisser tomber un &quot;atome-froid&quot; , et on étudie sa fonction d'onde quantique :précision , 10^(-12).

La gravimétrie est donc devenue une science très précise, utilisée par les géologues. Voir plus loin, leçon sur la gravimétrie (de niveau nettement plus élevé).

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=== Un raisonnement de Torricelli(**)===
 
Galilée défendit la thèse suivante, appelée depuis Principe de Relativité galiléenne : si un bateau se déplace à la vitesse constante Vo, alors on ne peut pas s'en apercevoir depuis l'intérieur du bateau ; on pourrait continuer à jouer au ping-pong, à faire de la GRS, etc. RIEN ne permet de distinguer le mouvement du bateau. &quot;Un mouvement uniforme , c'est comme RIEN &quot;. Familièrement, on dirait aujourd'hui, ça compte pour du beurre. 

Torricelli(1608-1647) est le premier à avoir appliqué ce principe à la chute libre. 

*[ '''''Note historique''''' : dans son deMotu, 1641,il l'a signalé à Castelli (1577-1644) , qui en rendit compte à Galilée. Galilée , très admiratif, demanda à Torricelli de devenir son élève, en 1641 ; bien que très fier d'être choisi, Torricelli était mort de trouille, à cause de l'Inquisition : rappelons que dire du mouvement de la Terre, c'est comme rien , revenait à accréditer la thèse de Copernic. Or le Vatican venait de condamner cette thèse en 1618 ].

Torricelli '''admet''' que z(t) = h(t)+Vot+Zo , avec h(t) fonction inconnue, mais indépendante de Zo ET de Vo. Ce faisant, il admet beaucoup. Mais alors, grâce au principe de relativité, montrer que h(t) = kt²

'''solution :'''
  
Commençons par le résultat suivant :
 
si le mouvement d'un corps chutant au départ comme z = 1/2.g.t² est avec une nouvelle origine des temps, z = f(t, Zo, Vo)= 1/2 gt² + Vot +Zo , 

alors à un instant T1, il sera en Z1 = f(T1, Zo, Vo) avec la vitesse V1 = g.T1 + Vo. 

Puisque la vitesse V1 joue à cet instant '''le même rôle''' que Vo à l'instant t=0 pris pour origine, Torricelli dit que :
z= f(t+T1, Zo, Vo) = f(t,Z1, V1), avec la même fonction f(., . , .), soit :
 
1/2 g (t+T1)² + Vo.(t+T1) + Zo = ? = 1/2 g.t² + V1.t + Z1 ,
avec V1 = g.T1 + Vo et Z1 = 1/2 g.T1² + Vo.T1 + Zo :

Après simplification, Zo s'élimine ainsi que Vo.t , puis Vo.T1 .
Il reste à vérifier : 

1/2 g (t+T1)² = ? = 1/2 g.t² + g.T1.t + 1/2 g.T1² , ce qui est vrai.

'''Mais ce n'est pas la réponse demandée''' ! bien que cela soit perçu par beaucoup d'étudiants comme la bonne réponse ! le calcul est en effet pertinent et exact; mais il ne répond pas à la question ! On ne fait que vérifier l'auto-pertinence de la formule, mais on ne démontre pas h(t) = k t² !  

Voici ce que Torricelli a dit :

z = h(t+T1) + Zo + Vo.(t + T1) = h(t)+ Z1 + V1.t , ceci quel que soit t , avec Z1 = h(T1) + Zo + Vo.T1 , et avec V1 = h'(T1) + Vo (exprimé en formalisme moderne). Ce qui conduit à l'équation fonctionnelle:

h(t+T1) = h(t) + h(T1) + h'(T1).t , 

pour tout t et pour tout T1.

Alors , par symétrie de rôle de t et de T1 , on peut écrire :

h(t+T1) = h(T1) + h(t) + h'(t).T1

ce qui conduit à h'(t).T1 = h'(T1).t et donc h'(t)/t = h'(T1)/T1 = cste donc , appelons-la ...g ! Alors h'(t) = g.t

'''La vitesse ne pouvait être que linéaire en t'''.

Du reste, si on prend l'origine du référentiel galiléen tangent à l'instant de départ , donc avec une vitesse nulle, cela paraît &quot;naturel&quot; ! Remarquable raisonnement de Torricelli en 1641(De Motu).

Au final, si h'(t) = g.t , h(t) = 1/2.g.t² :

Rappelons ce qui a été utilisé : l'invariance galiléenne et l'invariance du mouvement par translation (ce qui revient à dire : pesanteur constante).

Il est évident que Galilée fût ravi que son ami Castelli eût un élève aussi doué ! D'autant que Torricelli n'avait pas ces notations modernes !
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== Exercices, deuxième série ==


=== exPseudoparadoxe de la vitesse nulle(**) ===
Marin Mersenne (1588-1648) [un des plus célèbres correspondants scientifiques de l'époque] n'arrivait pas à comprendre la loi V = g.t , car disait-il, si V = 0 au départ , le plomb ne peut pas avancer ! Huygens(à 17ans!) lui répondit(1646). Imaginer sa lettre de réponse.

Mersenne ne comprenait pas non plus v² = 2gx , et en x=0, v est nulle. Donc le mobile n'avance pas.

''' Solution :  '''
Essentiellement, le jeune Huygens répondit que la loi générale était V = Vo + gt , même si Vo est négatif (la pierre est lancée vers le haut) : la loi est tout aussi vraie , mais c'est une loi affine dans ce cas, avec '''vraiment rien de particulier''' au moment où V(t) = Vo. Au sommet de la parabole du diagramme horaire, il ne se passe donc strictement rien de particulier, même si ce point fût l'objet de spéculations intellectuelles très passionnées, pour savoir si le temps passé en ce point était FINI.

Torricelli, lui, invoquera le raisonnement suivant : par invariance galiléenne, on peut se placer dans n'importe quel référentiel de vitesse Vo ; alors le sommet du diagramme horaire est n'importe quel point. Le &quot;sommet&quot; devient un point ordinaire ; ainsi on a banalisé ce point. Alors, plus personne n'a d'objection ; on dit qu'on a &quot;réduit&quot; le pseudo-paradoxe. Progressivement, avec les siècles, la question n'est même plus soulevée.'''Les contradicteurs sont morts'''. 

La deuxième question est plus délicate, pour l'époque : si v(x) = sqrt( 2gx ) , comment l'intégrer ? De nos jours, on dit l'équation est de Cauchy-Lipschitz, et le tour est joué. En 1620, dt = dx/sqrt(2gx) n'est pas encore intégrable en t = sqrt(2x/g).

Quelques années auparavant, la confusion v(x) ou v(t) est bien plus grande. Il faut bien voir que la notion de fonction n'est pas affermie. On a des tableaux numériques : à t(k) correspond z(k). On peut en faire des tableaux de différences, les dt et les dx. Puis dt/dx ( càd 1/v ) fonction de t ou de x ? Pourquoi est-ce v =dx/dt = f(t) qui s'impose ; et 1/v = f(x) ? Ces questions n'ont rien d'anodin. Galilée s'est fait piéger. Descartes aussi. La science cafouille souvent , mais progresse ! 
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=== ex_sur la loi de Sarpi(***) ===
La loi de Galilée dans son deuxième énoncé semble absurde : quelle que soit la masse du corps, le corps tombe de la même manière dans le vide !  Question 1 : la lumière(c'est-à-dire un photon) tombe-t-elle dans le vide ? Question 2 : l'air tombe-t-il ? 

'''Solution : '''
Oui ! ce sont des questions un peu shadok, quasi-impertinentes ! Mais il convient de les poser.

'''Question 1 :'''  oui , la lumière tombe dans le vide, MAIS ce n'est pas sa vitesse qui change , puisqu'elle reste immuable : c = 299 792 458 m/s. C'est son impulsion ; il vaut mieux parler de photon : ainsi l'impulsion du photon change, c'est parfaitement vérifié aujourd'hui (il faut en tenir compte dans l'envoi des signaux [[w:GPS|GPS]], sous peine de voir la qualité des résultats être entâchée d'une erreur systématique). Par ailleurs, l'énergie change corrélativement, c'est le red-shift gravitationnel d'Einstein, vérifié lui aussi. 

'''Question 2 :''' oui bien sûr , une molécule de dioxygène tombe. Si l'air globalement ne tombe pas , c'est qu'il est déjà tombé depuis longtemps : on sait bien que l'air est situé essentiellement à basse altitude ; mais précisément comme il y en a plus en bas qu'en haut, la '''diffusion thermique''' en fait plus remonter du bas vers le haut que du haut vers le bas ; ce que nous voyons est l'équilibre dynamique stationnaire entre ces deux phénomènes : la chute vers le bas et la diffusion globalement vers le haut (Einstein,1905). On peut relire l'explication magnifique de Feynman , dans Lectures on physics.

== À quoi est due la pesanteur ? ==
Bonne question !

La pesanteur est essentiellement due à l'attraction terrestre et partiellement au pivotement de la Terre ( et encore un peu à tous les Astres, mais usuellement, on met cette partie dans &quot;l'action de marée&quot; ).

Il est hors de question dans cette première leçon de parler de la gravimétrie.

Pour faire simple, on peut dire ceci : si la Terre était sphérique et ne pivotait pas, alors la pesanteur se réduirait à une attraction (verticale par définition), centrale ( c'est à dire dirigée vers le centre O de la Terre) de valeur : G.M / r² = g(r)  (théorème dit ''remarquable'' de Newton, 1685 ); comme la Terre pivote, elle s'aplatit légèrement en forme de géoïde (aplatissement =~ 1/298), et la gravité est légèrement plus élevée au pôle qu'à l'équateur.

Cavendish(1731-1810) mesurera G en 1798 avec énormément de difficulté : G = 6.67 10^-11 N.m²/kg² environ. On en déduit la valeur de la masse de la Terre si l'on connaît son rayon : M = ~6 10^24 kg . Truc mnémotechnique , retenir que la masse_volumique de la Terre est intermédiaire entre celle de l'eau (1kg/L) et dix fois plus (10kg/L) , soit 5.5 kg/L . 

Ceci dit, à quoi est due l'attraction de la Terre, cette étrange action à distance ? '''Newton''', après y avoir réfléchi longtemps, déclara forfait : ''hypotheses non fingo'', je ne fais aucune hypothèse. Il la posa comme postulat, il en généralisa la portée. Il en formula toutes les conséquences. Il fondait ainsi une discipline, la mécanique dite &quot;rationnelle&quot; qui sera, pour des siècles et des siècles, la discipline-phare des sciences physiques. '''Euler, Lagrange, Hamilton, Poincaré''' et des milliers d'autres poursuivront les travaux de '''Newton'''. Puis '''Einstein''', en 1915, donna une interprétation de l'attraction gravitationnelle, en termes géométriques : la matière distord l'espace-temps, et tous calculs faits, on retrouve dans le cas de faible distorsion, la loi de Newton. Satisfaisant, mais cette théorie ne cadre pas encore avec la ''mécanique quantique''. La science doit continuer à progresser.

== Retour ==

Rappel : la page de discussion contient pas mal de matériaux bibliographiques.

*[[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences|Mécanique , enseignée via l'Histoire des Sciences]]

[[Catégorie:Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences (livre)]]</text>
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*Attention : une bonne partie de la réflexion est actuellement dans la discussion. Elle en sortira quand elle aura été suffisamment critiquée.

Cette première leçon est élémentaire. Son niveau est bac-2, bac-1, bac , et bac+1. Les exercices et les commentaires sont de niveau variable.

== Loi de Galilée==
=== Expérience=== 
Soit un plomb, P, soutenu par une ficelle mince.

On le laisse bien au repos, au ras du sol. On marque à la craie la position au sol, disons A . Le plomb est relevé de 2m environ, bien à la verticale de A en un point O.

Il est immobile en O. On brûle la ficelle. Le plomb tombe de O en A. En &quot;chute libre&quot;, dit-on ; en réalité, l'air perturbe le mouvement en le ralentissant.

Galilée(1564-1642) eût l'idée, '''géniale pour l'époque''', d'imaginer ce mouvement '''''à la limite''''' où il n'y aurait pas d'air ! Le plomb tomberait alors dans le vide : c'est la chute libre verticale, dont Galilée donna la loi en 1604.

=== La loi  ===
Soit z(t) la hauteur de chute, v  la vitesse de chute, et a l'accélération.  

'''L'accélération est constante'''. 

On l'appelle g.
À Paris, elle vaut 9.81 m/s². 
La vitesse initiale est nulle.

On en déduit :
 
:&lt;math&gt; \frac {d^2z}{dt^2} = g  &lt;=&gt;   \frac{dz}{dt} = gt &lt;=&gt; z =\frac{1}{2}gt^2  &lt;/math&gt;


( De plus, si on élimine la variable t entre v(t) et z(t), on obtient :  v² = 2gz ; Torricelli(1640)).

Avec des conditions initiales quelconques, on obtiendrait :

&lt;math&gt;v = v_0 + gt &lt;=&gt; z =\frac{1}{2}gt^2 + v_0 t + z_0  &lt;/math&gt;

''Remarque'' : en réalité, le pivotement de la Terre en un jour sidéral provoque une minuscule déviation vers l'Est.

==Notes historiques==

===penser le vide ===

Aujourd'hui, on sait faire cette expérience dans un tube privé d'air (grâce à une pompe aspirante). On a des caméras pour enregistrer le mouvement. On peut refaire l'expérience à loisir avec d'autres dispositifs. On l'a même refaite sur la Lune, qui n'a pas d'atmosphère. À l'époque ( avant 1644 ), '''penser le vide''' était assez '''révolutionnaire''', voire hérétique (la discussion en est passionnante, cf article sur le vide) ; Galilée lui-même n'y croyait pas trop ; son élève Torricelli(1609-1647) mit en évidence le &quot;vide grosso&quot; dans la &quot;chambre barométrique&quot; en 1644, ceci après avoir compris le problème des fontainiers (de la ville de Sienne) qui n'arrivaient pas à faire fonctionner leurs siphons.

Le génie de Galilée fût de penser la loi comme une loi-limite qui existerait à la limite du vide absolu. En effet, dès que la vitesse est grande, la résistance de l'air vient '''limiter''' la vitesse. Cette vitesse-limite est différente selon les corps. La loi de Galilée devient fausse. Chacun peut le vérifier ; et Galilée, et ses contemporains, le savaient. L'affirmation de Galilée , v = g.t , est donc une décision, correspondant à une loi approximative de début de mouvement dans l'air résiduel.

===la masse n'intervient pas ===

La lettre de Galilée à Sarpi (16/10/1604) présente en réalité '''deux''' Lois:
 
#Le mouvement a une accélération constante 
#'''Un fait extraordinaire''', '''peu crédible''' mais pourtant vrai : la loi ne dépend pas du plomb ! 

On peut prendre une pierre, un sac lesté de plomb, de sable ou de papier, ou de polystyrène, une fleur de pissenlit, une plume. Dans un tube de verre de 2m de long, dont l'air a été pompé, on fait chuter la plume et le plomb ; on parle de l'expérience du &quot;tube de Newton&quot;. Il faut avoir vu cette plume tomber vertigineusement vite :

#'''elle accélère de 10 m/s chaque seconde ;''' 
#'''La plume tombe exactement comme le plomb !''' 

Évidemment, ce qui est le plus curieux dans cette loi est que ni la masse ni la densité du corps n'interviennent : ceci paraît absurde. Et la lumière tombe-t-elle dans le vide ? et l'air, pourquoi ne tombe-t-il pas ? Voir l'exercice.

En réalité, Galilée n'a pas pu vérifier la loi. Il a même &quot;triché&quot; sciemment. Ses contemporains avaient déjà vérifié amplement certaines caractéristiques de la chute dans l'air. Galilée a ignoré ces critiques. Comme il l'a réaffirmé dans le Dialogo, il se place dans une situation théorique, où le vide est '''parfait'''.

Que la masse inerte soit égale à la masse pesante sera la base du Principe d’Équivalence, en théorie de la Relativité Générale d'Einstein, en 1915 ; mais c'est bien plus savant.

===  la Tour de Pise ===
Il faut tordre le coup à ce faux compte-rendu de Viviani dans son hagiographie de la vie du grand Maître : Galilée n'a vraisemblablement jamais vérifié sa loi à la tour de Pise. Koyré le démontre très bien : Galilée , tout comme Beeckman, sait l'existence d'une vitesse-limite. Plomb et sureau ne tombent pas à la même vitesse. Deux billes de plomb non plus. À quoi eût donc servi une telle expérience ? 

De fait, la grande idée expérimentale de Galilée fût en réalité celle de ralentir la chute, via le plan incliné (voir leçon ultérieure), et de penser théoriquement une gedanken-experiment : faire remonter ensuite la masse sur un autre plan incliné : alors, il était '''crédible''' que la bille allait remonter à la même hauteur, ''' à supposer''' que l'influence des frottements fût négligeable. '''Cette supposition est ce qui permet d'épurer le mouvement : la loi devient simple'''. Puis dans une seconde partie (laissée inachevée!), la perturbation due à l'air vient modifier le comportement. D'autres que Galilée eurent des idées, elles aussi très ingénieuses, plus proches même de la réalité expérimentale. L'Histoire n'a retenu que Galilée, parce que sa démarche s'est avérée la plus fructueuse. Mais ne pas oublier les autres.

===les difficultés liées au calculus===

La présentation donnée, v=gt ; z=1/2 gt², est ''anachronique'', très loin de la formulation de 1604. S'il faut attendre 1640 pour trouver la formule de Torricelli, v²=2gz, c'est que ce n'est pas simple, pour l'époque. Il y a au moins trois difficultés :

La notion d'unité, de dimension est précaire (les ''Discorsi'' sont écrits en 1638). Nos montres n'existent pas. La mesure du temps est rudimentaire : on fait chanter une chorale et on se base sur son tempo. Un peu plus tard, on utilisera le pendule ( sans même discuter la circularité du raisonnement, car le pendule utilise aussi la chute ). Galilée n'utilisera jamais &quot;l'axe des temps&quot;. Et bien sûr, la notation g n'existe pas en 1604 ! 

La notion de fonction n'existe pas vraiment. On a simplement deux tableaux numériques : z(k) positions échelonnées aussi régulièrement que possible versus temps de passage t(k). Mais pourquoi ne pas utiliser des temps espacés régulièrement ? Comment intrapoler pour passer d'un tableau à l'autre ? etc. Et on se rend compte très vite que le point initial est grande source d'erreur, à cause du déclenchement du &quot;&quot;chronomètre&quot;&quot;. D'où l'idée de procéder avec les différences_premières ; l'erreur systématique est moindre ; mais alors mesurer des différences augmente l'erreur expérimentale. Mais doit-on afficher les temps à des positions espacées régulièrement ? ou bien les positions à des dates échelonnées régulièrement ? Ce que Galilée va finalement privilégier, ce sont des dates échelonnées : alors, les différences d'espace augmentent comme 1,3,5,7,...(et ceci, ''quel que soit le choix de l'intervalle de temps''). Or il sait que la somme des impairs est un carré. Il en déduit z ~ t². 

La troisième difficulté est la notion de ''calculus'' ( le calcul différentiel et intégral ) : la notion de vitesse instantanée, à la date t, à un instant déterminé, dans le &quot;moment&quot; examiné, etc , n'existe pas encore.Il faudra attendre Newton, et surtout Leibniz pour écrire la dérivée v = dz /dt, via la limite ultime des durées petites, ou des distances infimes ; et comment la déduire des t(k),z(k) ? Et si on définit la lenteur comme limite de Δt/Δz, a-t-on la lenteur égale à 1/v ?  

Admettons que l'on forme un tableau de ces v_i &quot;au mieux&quot; ; ce tableau formé, faut-il considérer les v(k) fonction des t(k) ou bien des z(k) ? Galilée est hésitant. Cela en est touchant. Mais l'affaire est importante, car au coup suivant, pour la &quot;différence des différences&quot;, il faudra aussi faire attention ; est-ce v(t) ou bien lenteur(z)? auquel cas d(lenteur(z))/dz ne donne rien de bien simple! C'est bien dv(t)/dt qui est simple. On affouille, bafouille, cafouille. On patouille. Clairement, 50 après, on a progressé. Mais combien d'efforts de savants illustres ! Le terrain aplani, nous perdons conscience de cette difficulté immense : la construction du calculus.

== Exercices ==

On prendra g = 10 m/s² approximativement.

===quelques exercices simples===
1/. '''exAN''' : Trouver la hauteur de chute si le temps de chute est 2s .

'''Réponse''' : h = 1/2 . 10 . 4 = 20 m ! et la vitesse à l'arrivée est v= 20 m/s soit 72 km/h : malheur à vous, c'est fatal ! 
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2/. '''ex.RelationV(x)''' : Éliminer le temps entre z(t) et v(t) pour trouver la relation dite de Torricelli(1608-1647) : v² = 2g.z (c'est la quatrième formulation de la loi, dans le résumé).

En déduire la compréhension du slogan de la Sécurité routière : arriver sur un obstacle à 36 km/h &quot;c'est comme&quot; chuter de 5 m (2ème étage environ), mais à 72 km/h , c'est comme chuter de 20 m! mortel sans ceinture et air-bag.

Montrer plus généralement que V² -Vo² = 2g (z-zo) [ loi de Torricelli(1608-1647).

'''solution''' : 
en reportant t= v/g dans z = 1/2 gt², on obtient z = 1/2 g(v/g)² , soit v²= 2gz.

2g(z-zo) = 2gVot +g²t² ; et V² = (Vo+gt)² = Vo² + 2gVot + g²t² , d'où V²-Vo² = 2g(z-zo).
:Appliquer le théorème de l'énergie cinétique serait ici anachronique. Leibniz ne l'énoncera que vers 1700 ! 
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3/. '''ex.Croisement''' : c'est un teaser classique. On lance une pierre P vers le haut. Elle atteint la hauteur H . Juste à cet instant, on lance une deuxième pierre Q de la même manière. De tête, où les 2 pierres se rencontrent-elles ?

'''solution ex.Croisement''' :
Tracer le diagramme horaire de P, zP(t) et celui de Q, zQ(t) : ces deux courbes identiques sont décalées de sorte que le sommet de l'une est au pied de l'autre, la symétrie montre que la rencontre a lieu à T/2 ; le résultat devient évident :[Réponse : rencontre à z =3/4 . H].
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(* signale un exercice plus difficile)

===Puits===
Pour avoir la hauteur H d'un puits, on y laisse tomber un caillou au temps t = 0 ; on entend le son au temps T = 2 s : trouver la hauteur H (on appellera c , la célérité du son, égale à 1000/3 m/s).

'''solution ex.Puits'''  : On aura la durée de chute t₁ telle que H = ½ g t₁² , et la durée de retour du son t₂ telle que H = ct₂ ; soit 
T = durée totale = t₁ +t₂ = sqrt(2H/g) + H/c , équation du deuxième degré en sqrtH = x &gt; 0 ; soit x² + x. sqrt(2c²/g)-cT = 0  et on en prend la racine positive.

Allyson prend alors sa calculette et trouve x= 4,34546 ; puis H = 18,883 m

Alliette, elle, pousse les calculs littéraux jusqu'au bout et trouve x² = H = 1/2 gT².[ 2 / (1 + sqrt(1+2gT/c))]² = 20. (0,94415) = 18,883 m 
 
De même, après moult calculs, l'équation en x²= H peut se réécrire  :  H = 1/2 g(T-H/c)² = 1/2 gT² ( 1 - H gT/2c)^2

Béatrice dit : maiz'alors, il suffit de dire que si t₂= H/c, alors t₁ = T- H/c , donc H = 1/2 g(T-H/c)²  

L'équation du second degré obtenue est alors : H² - 2H(c²/g + cT) + c²T² = 0

En poursuivant les calculs littéraux, on retrouve le résultat exact d' Alliette.

Catherine dit : t₁ &lt; T donc H = 1/2 g.(t₁)² &lt; 1/2 gT² = 20 m = Ho ; elle ajoute finement : donc   t₂ = H/c &lt; Ho/c = 60 ms ; mesalors t1 &gt; T-Ho/c ; et H &gt; 1/2 g (T-Ho/c)² , soit H1 = 18.82m .

Daisy s'empresse : donc H &lt; H2 = 1/2 g (T-H1/c)². Le démontrer.

Emmy, matheuse, finit : soit y(x) = 1/2 g (T- x/c)² et y = x ; la suite récurrente Hn converge en &quot;araignée&quot; vers la solution d'autant plus vite que [y'(x)| est inférieure à 1. On a successivement 20, puis 18,82 , puis 18,88 m . 

remarque-annexe sur les chiffres significatifs : la résistance de l'air rend ces calculs au centimètre près fictifs. Par ailleurs, on n'a pas poussé au-delà, ( et la margelle du puits ? ), et car il y a ambiguïté sur les ChS : on aurait dû donner T = 2,0000 s par exemple ; passons, d'ailleurs on a pris g = 10.

Fanny, pragmatique, conclut : bon, dans ces conditions, je reprends juste le calcul de Catherine : H &lt; 20 m , la première correction est -1,2 m ; DONC , SI c'est une progression géométrique alternée, de raison k = -6/100, alors H = 20/ (1+k) = 18,87 ; soit H = 18,9 m avec 3 ChS. D'ailleurs, numériquement, Béa a trouvé : H = 20 (1-3H/100)², soit sensiblement H = 20 ( 1-6/100 ), c'est pareil.

Chaque élève a son bout de vérité. C'est souvent l'ensemble des réponses qui donne une compréhension harmonieuse. Un problème a rarement une solution exacte et la méthode initiée par Catherine est donc très appréciée ; elle conduit aussi, par itération, au résultat exact et une itération de cette sorte est très aisée à conduire avec les calculettes usuelles. En conclusion, on a besoin : 1/. de mettre en équations  et, éventuellement, de sortir la physique hors des équations pour mettre tout sous forme d'un pb de math 2/. résoudre alors comme en math, avec toute les capacités des math, y compris l'analyse numérique  3/. exploiter la solution du point de vue physique.

Reprenons le tout pour fixer la démarche : 

Un puits , 2s , g = 10 et c = 333 m/s . Donc en gros H = 20m , et le retour du son en 60ms : le prof nous fait calculer des clopinettes..., soit !

mise en équation : H = 1/2 g (T -H/c )² 

et sortir la physique des équations : H = 1/2 gT². Z , soit Z = ( 1 - gT/2c .Z )^2 , et on passe aux maths

résoudre l'éq en Z : c'est une éq du 2eme degré =&gt; résultat 

ou résoudre Z = f(Z) = f(f(Z)) , etc , point-fixe =&gt; résultat 

interprétation-du résultat : pas la peine d'aller au delà du cm ! on a pris g = 10 m/s²
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=== Expérimentation(*)===
Une caméra prend des photos d'une bille en chute libre à des tops réguliers, d'intervalle T. Une règle verticale photographiée en même temps que la bille donne 3 valeurs z1, z2 et z3 pour des temps t1, t2 = t1 + T , t3 = t1 + T .Montrer que , quel que soit t1 et T , [(z3-z2)/T - (z2-z1)/T ]/T = g . En déduire une manière de mesurer g avec avantage. La réciproque est-elle vraie(**), c'est à dire : si l'accélération discrète est constante, le mouvement discret est-il celui de Galilée ?


'''solution expérimentation : '''
 
Comme la vitesse Vo n'intervient pas,cela se vérifie d'ailleurs aisément, il reste en prenant t2 comme origine,

z3-2z2+z1 = 1/2.g[(t2+T)² -2(t2)² + (t2-T)²] = 1/2. g [ 2 T²].

On appelle dérivée discrète seconde au point z2 , la quantité (z3-2z2+z1)/T² .

On constate qu'elle vaut g , ceci quel que soit z2 et T !

(**)Et réciproquement, une suite récurrente z(n+1) = 2 z(n) - z(n-1) + Go(T)² est effectivement une suite du type z(n) = ½Go (n.T)² + A (n.T) + B.

Tout ceci permet d'intéressantes comparaisons expérimentales et permet de valoriser certains TP(travaux pratiques). Admettons par exemple que la caméra donne 25+1 photos sur une seconde (soit une chute de 5m devant une règle graduée): Voici une méthode parmi d'autres, via un logiciel de traitement de données : la caméra a donné la k-ième photo au temps k/25 . 
Donc, on possède un '''tableau de valeurs numériques''', 26 valeurs de l'abscisse z(k) au temps t(k). De ces 26 valeurs, il faut tirer une valeur de g. C'est de manière très usuelle le problème d'un TP : la théorie est faite. On veut la vérifier et en tirer la valeur d'un paramètre du problème, au mieux.

Pour cela, on calcule les 24 dérivées discrètes. Par exemple, pour calculer a(4) on calcule les valeurs sensiblement identiques : (z(0)-2z(4)+z(8))/16 ; (z(1)-2z(4)+z(7))/9 ; (z(2)-2z(4)+z(6))/4 ; (z(3)-2z(4)+z(5))/1 ; et on extrapolera. On portera alors ces valeurs a(k) en fonction de v(k)² [avec les v(k) calculées de même façon ]: la courbe est &quot;sensiblement linéaire&quot; : son extrapolation pour les faibles vitesses donne LA valeur de g. On a ainsi défini une '''procédure algorithmique''', qui, éventuellement, peut s'automatiser.
Les résultats d'une classe (2 *2* 12 élèves) sont honnêtes et valent bien le résultat obtenu avec le pendule réversible, dit de Kater. Ne pas espérer 3 ChS (chiffres significatifs) ! 

D'autres dispositifs équipés de photodiodes donnent le temps de passage à telle ou telle altitude (t(k) = T(z(k)) ). Certaines méthodes lancent le projectile vers le haut ; il retombe ; au passage il a coupé les deux faisceaux de deux photodiodes distantes de H, aux temps t1, t2, t3, et t4. On forme les deux durées D1 = t4-t1 et D2 = t3-t2. Montrer que g = 8H / (D1²-D2²). 

'''note''' : Actuellement(2015), la méthode de chute libre est utilisée mais en faisant tomber &quot;le coin de cube d'un Michelson&quot;, servant de miroir réflecteur : les franges défilent et sont enregistrées. On arrive à une précision relative de 11 ChS(Chiffres Significatifs), depuis la mise au point du dispositif par Sakuma, en 1970, au BIPM (Bureau International des Poids et mesures , installé au parc de Saint-Cloud, Paris).Inutile de dire qu'il faut de multiples précautions. 

Une autre méthode consiste à laisser tomber un &quot;atome-froid&quot; , et on étudie sa fonction d'onde quantique :précision , 10^(-12).

La gravimétrie est donc devenue une science très précise, utilisée par les géologues. Voir plus loin, leçon sur la gravimétrie (de niveau nettement plus élevé).

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=== Un raisonnement de Torricelli(**)===
 
Galilée défendit la thèse suivante, appelée depuis Principe de Relativité galiléenne : si un bateau se déplace à la vitesse constante Vo, alors on ne peut pas s'en apercevoir depuis l'intérieur du bateau ; on pourrait continuer à jouer au ping-pong, à faire de la GRS, etc. RIEN ne permet de distinguer le mouvement du bateau. &quot;Un mouvement uniforme , c'est comme RIEN &quot;. Familièrement, on dirait aujourd'hui, ça compte pour du beurre. 

Torricelli(1608-1647) est le premier à avoir appliqué ce principe à la chute libre. 

*[ '''''Note historique''''' : dans son deMotu, 1641,il l'a signalé à Castelli (1577-1644) , qui en rendit compte à Galilée. Galilée , très admiratif, demanda à Torricelli de devenir son élève, en 1641 ; bien que très fier d'être choisi, Torricelli était mort de trouille, à cause de l'Inquisition : rappelons que dire du mouvement de la Terre, c'est comme rien , revenait à accréditer la thèse de Copernic. Or le Vatican venait de condamner cette thèse en 1618 ].

Torricelli '''admet''' que z(t) = h(t)+Vot+Zo , avec h(t) fonction inconnue, mais indépendante de Zo ET de Vo. Ce faisant, il admet beaucoup. Mais alors, grâce au principe de relativité, montrer que h(t) = kt²

'''solution :'''
  
Commençons par le résultat suivant :
 
si le mouvement d'un corps chutant au départ comme z = 1/2.g.t² est avec une nouvelle origine des temps, z = f(t, Zo, Vo)= 1/2 gt² + Vot +Zo , 

alors à un instant T1, il sera en Z1 = f(T1, Zo, Vo) avec la vitesse V1 = g.T1 + Vo. 

Puisque la vitesse V1 joue à cet instant '''le même rôle''' que Vo à l'instant t=0 pris pour origine, Torricelli dit que :
z= f(t+T1, Zo, Vo) = f(t,Z1, V1), avec la même fonction f(., . , .), soit :
 
1/2 g (t+T1)² + Vo.(t+T1) + Zo = ? = 1/2 g.t² + V1.t + Z1 ,
avec V1 = g.T1 + Vo et Z1 = 1/2 g.T1² + Vo.T1 + Zo :

Après simplification, Zo s'élimine ainsi que Vo.t , puis Vo.T1 .
Il reste à vérifier : 

1/2 g (t+T1)² = ? = 1/2 g.t² + g.T1.t + 1/2 g.T1² , ce qui est vrai.

'''Mais ce n'est pas la réponse demandée''' ! bien que cela soit perçu par beaucoup d'étudiants comme la bonne réponse ! le calcul est en effet pertinent et exact; mais il ne répond pas à la question ! On ne fait que vérifier l'auto-pertinence de la formule, mais on ne démontre pas h(t) = k t² !  

Voici ce que Torricelli a dit :

z = h(t+T1) + Zo + Vo.(t + T1) = h(t)+ Z1 + V1.t , ceci quel que soit t , avec Z1 = h(T1) + Zo + Vo.T1 , et avec V1 = h'(T1) + Vo (exprimé en formalisme moderne). Ce qui conduit à l'équation fonctionnelle:

h(t+T1) = h(t) + h(T1) + h'(T1).t , 

pour tout t et pour tout T1.

Alors , par symétrie de rôle de t et de T1 , on peut écrire :

h(t+T1) = h(T1) + h(t) + h'(t).T1

ce qui conduit à h'(t).T1 = h'(T1).t et donc h'(t)/t = h'(T1)/T1 = cste donc , appelons-la ...g ! Alors h'(t) = g.t

'''La vitesse ne pouvait être que linéaire en t'''.

Du reste, si on prend l'origine du référentiel galiléen tangent à l'instant de départ , donc avec une vitesse nulle, cela paraît &quot;naturel&quot; ! Remarquable raisonnement de Torricelli en 1641(De Motu).

Au final, si h'(t) = g.t , h(t) = 1/2.g.t² :

Rappelons ce qui a été utilisé : l'invariance galiléenne et l'invariance du mouvement par translation (ce qui revient à dire : pesanteur constante).

Il est évident que Galilée fût ravi que son ami Castelli eût un élève aussi doué ! D'autant que Torricelli n'avait pas ces notations modernes !
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== Exercices, deuxième série ==


=== exPseudoparadoxe de la vitesse nulle(**) ===
Marin Mersenne (1588-1648) [un des plus célèbres correspondants scientifiques de l'époque] n'arrivait pas à comprendre la loi V = g.t , car disait-il, si V = 0 au départ , le plomb ne peut pas avancer ! Huygens(à 17ans!) lui répondit(1646). Imaginer sa lettre de réponse.

Mersenne ne comprenait pas non plus v² = 2gx , et en x=0, v est nulle. Donc le mobile n'avance pas.

''' Solution :  '''
Essentiellement, le jeune Huygens répondit que la loi générale était V = Vo + gt , même si Vo est négatif (la pierre est lancée vers le haut) : la loi est tout aussi vraie , mais c'est une loi affine dans ce cas, avec '''vraiment rien de particulier''' au moment où V(t) = Vo. Au sommet de la parabole du diagramme horaire, il ne se passe donc strictement rien de particulier, même si ce point fût l'objet de spéculations intellectuelles très passionnées, pour savoir si le temps passé en ce point était FINI.

Torricelli, lui, invoquera le raisonnement suivant : par invariance galiléenne, on peut se placer dans n'importe quel référentiel de vitesse Vo ; alors le sommet du diagramme horaire est n'importe quel point. Le &quot;sommet&quot; devient un point ordinaire ; ainsi on a banalisé ce point. Alors, plus personne n'a d'objection ; on dit qu'on a &quot;réduit&quot; le pseudo-paradoxe. Progressivement, avec les siècles, la question n'est même plus soulevée.'''Les contradicteurs sont morts'''. 

La deuxième question est plus délicate, pour l'époque : si v(x) = sqrt( 2gx ) , comment l'intégrer ? De nos jours, on dit l'équation est de Cauchy-Lipschitz, et le tour est joué. En 1620, dt = dx/sqrt(2gx) n'est pas encore intégrable en t = sqrt(2x/g).

Quelques années auparavant, la confusion v(x) ou v(t) est bien plus grande. Il faut bien voir que la notion de fonction n'est pas affermie. On a des tableaux numériques : à t(k) correspond z(k). On peut en faire des tableaux de différences, les Δt et les Δx. Puis dt/dx ( càd 1/v ) fonction de t ou de x ? Pourquoi est-ce v =dx/dt = f(t) qui s'impose ; et non pas 1/v = f(x) ? Ces questions n'ont rien d'anodin. Galilée s'est fait piéger. Descartes aussi. La science cafouille souvent , mais progresse ! 
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=== ex_sur la loi de Sarpi(***) ===
La loi de Galilée dans son deuxième énoncé semble absurde : quelle que soit la masse du corps, le corps tombe de la même manière dans le vide !  Question 1 : la lumière(c'est-à-dire un photon) tombe-t-elle dans le vide ? Question 2 : l'air tombe-t-il ? 

'''Solution : '''
Oui ! ce sont des questions un peu shadok, quasi-impertinentes ! Mais il convient de les poser.

'''Question 1 :'''  oui , la lumière tombe dans le vide, MAIS ce n'est pas sa vitesse qui change , puisqu'elle reste immuable : c = 299 792 458 m/s. C'est son impulsion ; il vaut mieux parler de photon : ainsi l'impulsion du photon change, c'est parfaitement vérifié aujourd'hui (il faut en tenir compte dans l'envoi des signaux [[w:GPS|GPS]], sous peine de voir la qualité des résultats être entâchée d'une erreur systématique). Par ailleurs, l'énergie change corrélativement, c'est le red-shift gravitationnel d'Einstein, vérifié lui aussi. 

'''Question 2 :''' oui bien sûr , une molécule de dioxygène tombe. Si l'air globalement ne tombe pas , c'est qu'il est déjà tombé depuis longtemps : on sait bien que l'air est situé essentiellement à basse altitude ; mais précisément comme il y en a plus en bas qu'en haut, la '''diffusion thermique''' en fait plus remonter du bas vers le haut que du haut vers le bas ; ce que nous voyons est l'équilibre dynamique stationnaire entre ces deux phénomènes : la chute vers le bas et la diffusion globalement vers le haut (Einstein,1905). On peut relire l'explication magnifique de Feynman , dans Lectures on physics.

== À quoi est due la pesanteur ? ==
Bonne question !

La pesanteur est essentiellement due à l'attraction terrestre et partiellement au pivotement de la Terre ( et encore un peu à tous les Astres, mais usuellement, on met cette partie dans &quot;l'action de marée&quot; ).

Il est hors de question dans cette première leçon de parler de la gravimétrie.

Pour faire simple, on peut dire ceci : si la Terre était sphérique et ne pivotait pas, alors la pesanteur se réduirait à une attraction (verticale par définition), centrale ( c'est à dire dirigée vers le centre O de la Terre) de valeur : G.M / r² = g(r)  (théorème dit ''remarquable'' de Newton, 1685 ); comme la Terre pivote, elle s'aplatit légèrement en forme de géoïde (aplatissement =~ 1/298), et la gravité est légèrement plus élevée au pôle qu'à l'équateur.

Cavendish(1731-1810) mesurera G en 1798 avec énormément de difficulté : G = 6.67 10^-11 N.m²/kg² environ. On en déduit la valeur de la masse de la Terre si l'on connaît son rayon : M = ~6 10^24 kg . Truc mnémotechnique , retenir que la masse_volumique de la Terre est intermédiaire entre celle de l'eau (1kg/L) et dix fois plus (10kg/L) , soit 5.5 kg/L . 

Ceci dit, à quoi est due l'attraction de la Terre, cette étrange action à distance ? '''Newton''', après y avoir réfléchi longtemps, déclara forfait : ''hypotheses non fingo'', je ne fais aucune hypothèse. Il la posa comme postulat, il en généralisa la portée. Il en formula toutes les conséquences. Il fondait ainsi une discipline, la mécanique dite &quot;rationnelle&quot; qui sera, pour des siècles et des siècles, la discipline-phare des sciences physiques. '''Euler, Lagrange, Hamilton, Poincaré''' et des milliers d'autres poursuivront les travaux de '''Newton'''. Puis '''Einstein''', en 1915, donna une interprétation de l'attraction gravitationnelle, en termes géométriques : la matière distord l'espace-temps, et tous calculs faits, on retrouve dans le cas de faible distorsion, la loi de Newton. Satisfaisant, mais cette théorie ne cadre pas encore avec la ''mécanique quantique''. La science doit continuer à progresser.

== Retour ==

Rappel : la page de discussion contient pas mal de matériaux bibliographiques.

*[[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences|Mécanique , enseignée via l'Histoire des Sciences]]

[[Catégorie:Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences (livre)]]</text>
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        <username>Guerinsylvie</username>
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      <comment>/* quelques exercices simples */ one more , suite à une lecture de Beeckman</comment>
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*Attention : une bonne partie de la réflexion est actuellement dans la discussion. Elle en sortira quand elle aura été suffisamment critiquée.

Cette première leçon est élémentaire. Son niveau est bac-2, bac-1, bac , et bac+1. Les exercices et les commentaires sont de niveau variable.

== Loi de Galilée==
=== Expérience=== 
Soit un plomb, P, soutenu par une ficelle mince.

On le laisse bien au repos, au ras du sol. On marque à la craie la position au sol, disons A . Le plomb est relevé de 2m environ, bien à la verticale de A en un point O.

Il est immobile en O. On brûle la ficelle. Le plomb tombe de O en A. En &quot;chute libre&quot;, dit-on ; en réalité, l'air perturbe le mouvement en le ralentissant.

Galilée(1564-1642) eût l'idée, '''géniale pour l'époque''', d'imaginer ce mouvement '''''à la limite''''' où il n'y aurait pas d'air ! Le plomb tomberait alors dans le vide : c'est la chute libre verticale, dont Galilée donna la loi en 1604.

=== La loi  ===
Soit z(t) la hauteur de chute, v  la vitesse de chute, et a l'accélération.  

'''L'accélération est constante'''. 

On l'appelle g.
À Paris, elle vaut 9.81 m/s². 
La vitesse initiale est nulle.

On en déduit :
 
:&lt;math&gt; \frac {d^2z}{dt^2} = g  &lt;=&gt;   \frac{dz}{dt} = gt &lt;=&gt; z =\frac{1}{2}gt^2  &lt;/math&gt;


( De plus, si on élimine la variable t entre v(t) et z(t), on obtient :  v² = 2gz ; Torricelli(1640)).

Avec des conditions initiales quelconques, on obtiendrait :

&lt;math&gt;v = v_0 + gt &lt;=&gt; z =\frac{1}{2}gt^2 + v_0 t + z_0  &lt;/math&gt;

''Remarque'' : en réalité, le pivotement de la Terre en un jour sidéral provoque une minuscule déviation vers l'Est.

==Notes historiques==

===penser le vide ===

Aujourd'hui, on sait faire cette expérience dans un tube privé d'air (grâce à une pompe aspirante). On a des caméras pour enregistrer le mouvement. On peut refaire l'expérience à loisir avec d'autres dispositifs. On l'a même refaite sur la Lune, qui n'a pas d'atmosphère. À l'époque ( avant 1644 ), '''penser le vide''' était assez '''révolutionnaire''', voire hérétique (la discussion en est passionnante, cf article sur le vide) ; Galilée lui-même n'y croyait pas trop ; son élève Torricelli(1609-1647) mit en évidence le &quot;vide grosso&quot; dans la &quot;chambre barométrique&quot; en 1644, ceci après avoir compris le problème des fontainiers (de la ville de Sienne) qui n'arrivaient pas à faire fonctionner leurs siphons.

Le génie de Galilée fût de penser la loi comme une loi-limite qui existerait à la limite du vide absolu. En effet, dès que la vitesse est grande, la résistance de l'air vient '''limiter''' la vitesse. Cette vitesse-limite est différente selon les corps. La loi de Galilée devient fausse. Chacun peut le vérifier ; et Galilée, et ses contemporains, le savaient. L'affirmation de Galilée , v = g.t , est donc une décision, correspondant à une loi approximative de début de mouvement dans l'air résiduel.

===la masse n'intervient pas ===

La lettre de Galilée à Sarpi (16/10/1604) présente en réalité '''deux''' Lois:
 
#Le mouvement a une accélération constante 
#'''Un fait extraordinaire''', '''peu crédible''' mais pourtant vrai : la loi ne dépend pas du plomb ! 

On peut prendre une pierre, un sac lesté de plomb, de sable ou de papier, ou de polystyrène, une fleur de pissenlit, une plume. Dans un tube de verre de 2m de long, dont l'air a été pompé, on fait chuter la plume et le plomb ; on parle de l'expérience du &quot;tube de Newton&quot;. Il faut avoir vu cette plume tomber vertigineusement vite :

#'''elle accélère de 10 m/s chaque seconde ;''' 
#'''La plume tombe exactement comme le plomb !''' 

Évidemment, ce qui est le plus curieux dans cette loi est que ni la masse ni la densité du corps n'interviennent : ceci paraît absurde. Et la lumière tombe-t-elle dans le vide ? et l'air, pourquoi ne tombe-t-il pas ? Voir l'exercice.

En réalité, Galilée n'a pas pu vérifier la loi. Il a même &quot;triché&quot; sciemment. Ses contemporains avaient déjà vérifié amplement certaines caractéristiques de la chute dans l'air. Galilée a ignoré ces critiques. Comme il l'a réaffirmé dans le Dialogo, il se place dans une situation théorique, où le vide est '''parfait'''.

Que la masse inerte soit égale à la masse pesante sera la base du Principe d’Équivalence, en théorie de la Relativité Générale d'Einstein, en 1915 ; mais c'est bien plus savant.

===  la Tour de Pise ===
Il faut tordre le coup à ce faux compte-rendu de Viviani dans son hagiographie de la vie du grand Maître : Galilée n'a vraisemblablement jamais vérifié sa loi à la tour de Pise. Koyré le démontre très bien : Galilée , tout comme Beeckman, sait l'existence d'une vitesse-limite. Plomb et sureau ne tombent pas à la même vitesse. Deux billes de plomb non plus. À quoi eût donc servi une telle expérience ? 

De fait, la grande idée expérimentale de Galilée fût en réalité celle de ralentir la chute, via le plan incliné (voir leçon ultérieure), et de penser théoriquement une gedanken-experiment : faire remonter ensuite la masse sur un autre plan incliné : alors, il était '''crédible''' que la bille allait remonter à la même hauteur, ''' à supposer''' que l'influence des frottements fût négligeable. '''Cette supposition est ce qui permet d'épurer le mouvement : la loi devient simple'''. Puis dans une seconde partie (laissée inachevée!), la perturbation due à l'air vient modifier le comportement. D'autres que Galilée eurent des idées, elles aussi très ingénieuses, plus proches même de la réalité expérimentale. L'Histoire n'a retenu que Galilée, parce que sa démarche s'est avérée la plus fructueuse. Mais ne pas oublier les autres.

===les difficultés liées au calculus===

La présentation donnée, v=gt ; z=1/2 gt², est ''anachronique'', très loin de la formulation de 1604. S'il faut attendre 1640 pour trouver la formule de Torricelli, v²=2gz, c'est que ce n'est pas simple, pour l'époque. Il y a au moins trois difficultés :

La notion d'unité, de dimension est précaire (les ''Discorsi'' sont écrits en 1638). Nos montres n'existent pas. La mesure du temps est rudimentaire : on fait chanter une chorale et on se base sur son tempo. Un peu plus tard, on utilisera le pendule ( sans même discuter la circularité du raisonnement, car le pendule utilise aussi la chute ). Galilée n'utilisera jamais &quot;l'axe des temps&quot;. Et bien sûr, la notation g n'existe pas en 1604 ! 

La notion de fonction n'existe pas vraiment. On a simplement deux tableaux numériques : z(k) positions échelonnées aussi régulièrement que possible versus temps de passage t(k). Mais pourquoi ne pas utiliser des temps espacés régulièrement ? Comment intrapoler pour passer d'un tableau à l'autre ? etc. Et on se rend compte très vite que le point initial est grande source d'erreur, à cause du déclenchement du &quot;&quot;chronomètre&quot;&quot;. D'où l'idée de procéder avec les différences_premières ; l'erreur systématique est moindre ; mais alors mesurer des différences augmente l'erreur expérimentale. Mais doit-on afficher les temps à des positions espacées régulièrement ? ou bien les positions à des dates échelonnées régulièrement ? Ce que Galilée va finalement privilégier, ce sont des dates échelonnées : alors, les différences d'espace augmentent comme 1,3,5,7,...(et ceci, ''quel que soit le choix de l'intervalle de temps''). Or il sait que la somme des impairs est un carré. Il en déduit z ~ t². 

La troisième difficulté est la notion de ''calculus'' ( le calcul différentiel et intégral ) : la notion de vitesse instantanée, à la date t, à un instant déterminé, dans le &quot;moment&quot; examiné, etc , n'existe pas encore.Il faudra attendre Newton, et surtout Leibniz pour écrire la dérivée v = dz /dt, via la limite ultime des durées petites, ou des distances infimes ; et comment la déduire des t(k),z(k) ? Et si on définit la lenteur comme limite de Δt/Δz, a-t-on la lenteur égale à 1/v ?  

Admettons que l'on forme un tableau de ces v_i &quot;au mieux&quot; ; ce tableau formé, faut-il considérer les v(k) fonction des t(k) ou bien des z(k) ? Galilée est hésitant. Cela en est touchant. Mais l'affaire est importante, car au coup suivant, pour la &quot;différence des différences&quot;, il faudra aussi faire attention ; est-ce v(t) ou bien lenteur(z)? auquel cas d(lenteur(z))/dz ne donne rien de bien simple! C'est bien dv(t)/dt qui est simple. On affouille, bafouille, cafouille. On patouille. Clairement, 50 après, on a progressé. Mais combien d'efforts de savants illustres ! Le terrain aplani, nous perdons conscience de cette difficulté immense : la construction du calculus.

== Exercices ==

On prendra g = 10 m/s² approximativement.

===quelques exercices simples===
1/. '''exAN''' : Trouver la hauteur de chute si le temps de chute est 2s .

'''Réponse''' : h = 1/2 . 10 . 4 = 20 m ! et la vitesse à l'arrivée est v= 20 m/s soit 72 km/h : malheur à vous, c'est fatal ! 
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2/. '''ex.RelationV(x)''' : Éliminer le temps entre z(t) et v(t) pour trouver la relation dite de Torricelli(1608-1647) : v² = 2g.z (c'est la quatrième formulation de la loi, dans le résumé).

En déduire la compréhension du slogan de la Sécurité routière : arriver sur un obstacle à 36 km/h &quot;c'est comme&quot; chuter de 5 m (2ème étage environ), mais à 72 km/h , c'est comme chuter de 20 m! mortel sans ceinture et air-bag.

Montrer plus généralement que V² -Vo² = 2g (z-zo) [ loi de Torricelli(1608-1647).

'''solution''' : 
en reportant t= v/g dans z = 1/2 gt², on obtient z = 1/2 g(v/g)² , soit v²= 2gz.

2g(z-zo) = 2gVot +g²t² ; et V² = (Vo+gt)² = Vo² + 2gVot + g²t² , d'où V²-Vo² = 2g(z-zo).
:Appliquer le théorème de l'énergie cinétique serait ici anachronique. Leibniz ne l'énoncera que vers 1700 ! 
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3/. '''ex.Croisement''' : c'est un teaser classique. On lance une pierre P vers le haut. Elle atteint la hauteur H . Juste à cet instant, on lance une deuxième pierre Q de la même manière. De tête, où les 2 pierres se rencontrent-elles ?

'''solution ex.Croisement''' :
Tracer le diagramme horaire de P, zP(t) et celui de Q, zQ(t) : ces deux courbes identiques sont décalées de sorte que le sommet de l'une est au pied de l'autre, la symétrie montre que la rencontre a lieu à T/2 ; le résultat devient évident :[Réponse : rencontre à z =3/4 . H].

4/. '''exercice Beeckman(1618)''' : Beeckman connaît x ~ t² , mais pas encore v² ~ x . Alors il se pose la question suivante : on lâche une pierre du 8eme étage et le temps de chute est T =2s , et sa vitesse vo . Quelle est la durée du 4eme au sol ? et la vitesse au 4eme ? 

réponse : pour Beeckman , le raisonnement est tout à fait laborieux ; en 1641 , pour Torricelli c'est évident. En 20 ans, il y a grand progrès sur la notion de vitesse instantanée ! Ici, pour la moitié d'espace, le temps de passage au 4eme est T/ sqrt(2) , et donc la durée demandée est T( 1 - 1/sqrt(2)) . La vitesse est linéaire en temps , donc V( au 4eme ) = vo / sqrt(2)  
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(* signale un exercice plus difficile)

===Puits===
Pour avoir la hauteur H d'un puits, on y laisse tomber un caillou au temps t = 0 ; on entend le son au temps T = 2 s : trouver la hauteur H (on appellera c , la célérité du son, égale à 1000/3 m/s).

'''solution ex.Puits'''  : On aura la durée de chute t₁ telle que H = ½ g t₁² , et la durée de retour du son t₂ telle que H = ct₂ ; soit 
T = durée totale = t₁ +t₂ = sqrt(2H/g) + H/c , équation du deuxième degré en sqrtH = x &gt; 0 ; soit x² + x. sqrt(2c²/g)-cT = 0  et on en prend la racine positive.

Allyson prend alors sa calculette et trouve x= 4,34546 ; puis H = 18,883 m

Alliette, elle, pousse les calculs littéraux jusqu'au bout et trouve x² = H = 1/2 gT².[ 2 / (1 + sqrt(1+2gT/c))]² = 20. (0,94415) = 18,883 m 
 
De même, après moult calculs, l'équation en x²= H peut se réécrire  :  H = 1/2 g(T-H/c)² = 1/2 gT² ( 1 - H gT/2c)^2

Béatrice dit : maiz'alors, il suffit de dire que si t₂= H/c, alors t₁ = T- H/c , donc H = 1/2 g(T-H/c)²  

L'équation du second degré obtenue est alors : H² - 2H(c²/g + cT) + c²T² = 0

En poursuivant les calculs littéraux, on retrouve le résultat exact d' Alliette.

Catherine dit : t₁ &lt; T donc H = 1/2 g.(t₁)² &lt; 1/2 gT² = 20 m = Ho ; elle ajoute finement : donc   t₂ = H/c &lt; Ho/c = 60 ms ; mesalors t1 &gt; T-Ho/c ; et H &gt; 1/2 g (T-Ho/c)² , soit H1 = 18.82m .

Daisy s'empresse : donc H &lt; H2 = 1/2 g (T-H1/c)². Le démontrer.

Emmy, matheuse, finit : soit y(x) = 1/2 g (T- x/c)² et y = x ; la suite récurrente Hn converge en &quot;araignée&quot; vers la solution d'autant plus vite que [y'(x)| est inférieure à 1. On a successivement 20, puis 18,82 , puis 18,88 m . 

remarque-annexe sur les chiffres significatifs : la résistance de l'air rend ces calculs au centimètre près fictifs. Par ailleurs, on n'a pas poussé au-delà, ( et la margelle du puits ? ), et car il y a ambiguïté sur les ChS : on aurait dû donner T = 2,0000 s par exemple ; passons, d'ailleurs on a pris g = 10.

Fanny, pragmatique, conclut : bon, dans ces conditions, je reprends juste le calcul de Catherine : H &lt; 20 m , la première correction est -1,2 m ; DONC , SI c'est une progression géométrique alternée, de raison k = -6/100, alors H = 20/ (1+k) = 18,87 ; soit H = 18,9 m avec 3 ChS. D'ailleurs, numériquement, Béa a trouvé : H = 20 (1-3H/100)², soit sensiblement H = 20 ( 1-6/100 ), c'est pareil.

Chaque élève a son bout de vérité. C'est souvent l'ensemble des réponses qui donne une compréhension harmonieuse. Un problème a rarement une solution exacte et la méthode initiée par Catherine est donc très appréciée ; elle conduit aussi, par itération, au résultat exact et une itération de cette sorte est très aisée à conduire avec les calculettes usuelles. En conclusion, on a besoin : 1/. de mettre en équations  et, éventuellement, de sortir la physique hors des équations pour mettre tout sous forme d'un pb de math 2/. résoudre alors comme en math, avec toute les capacités des math, y compris l'analyse numérique  3/. exploiter la solution du point de vue physique.

Reprenons le tout pour fixer la démarche : 

Un puits , 2s , g = 10 et c = 333 m/s . Donc en gros H = 20m , et le retour du son en 60ms : le prof nous fait calculer des clopinettes..., soit !

mise en équation : H = 1/2 g (T -H/c )² 

et sortir la physique des équations : H = 1/2 gT². Z , soit Z = ( 1 - gT/2c .Z )^2 , et on passe aux maths

résoudre l'éq en Z : c'est une éq du 2eme degré =&gt; résultat 

ou résoudre Z = f(Z) = f(f(Z)) , etc , point-fixe =&gt; résultat 

interprétation-du résultat : pas la peine d'aller au delà du cm ! on a pris g = 10 m/s²
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=== Expérimentation(*)===
Une caméra prend des photos d'une bille en chute libre à des tops réguliers, d'intervalle T. Une règle verticale photographiée en même temps que la bille donne 3 valeurs z1, z2 et z3 pour des temps t1, t2 = t1 + T , t3 = t1 + T .Montrer que , quel que soit t1 et T , [(z3-z2)/T - (z2-z1)/T ]/T = g . En déduire une manière de mesurer g avec avantage. La réciproque est-elle vraie(**), c'est à dire : si l'accélération discrète est constante, le mouvement discret est-il celui de Galilée ?


'''solution expérimentation : '''
 
Comme la vitesse Vo n'intervient pas,cela se vérifie d'ailleurs aisément, il reste en prenant t2 comme origine,

z3-2z2+z1 = 1/2.g[(t2+T)² -2(t2)² + (t2-T)²] = 1/2. g [ 2 T²].

On appelle dérivée discrète seconde au point z2 , la quantité (z3-2z2+z1)/T² .

On constate qu'elle vaut g , ceci quel que soit z2 et T !

(**)Et réciproquement, une suite récurrente z(n+1) = 2 z(n) - z(n-1) + Go(T)² est effectivement une suite du type z(n) = ½Go (n.T)² + A (n.T) + B.

Tout ceci permet d'intéressantes comparaisons expérimentales et permet de valoriser certains TP(travaux pratiques). Admettons par exemple que la caméra donne 25+1 photos sur une seconde (soit une chute de 5m devant une règle graduée): Voici une méthode parmi d'autres, via un logiciel de traitement de données : la caméra a donné la k-ième photo au temps k/25 . 
Donc, on possède un '''tableau de valeurs numériques''', 26 valeurs de l'abscisse z(k) au temps t(k). De ces 26 valeurs, il faut tirer une valeur de g. C'est de manière très usuelle le problème d'un TP : la théorie est faite. On veut la vérifier et en tirer la valeur d'un paramètre du problème, au mieux.

Pour cela, on calcule les 24 dérivées discrètes. Par exemple, pour calculer a(4) on calcule les valeurs sensiblement identiques : (z(0)-2z(4)+z(8))/16 ; (z(1)-2z(4)+z(7))/9 ; (z(2)-2z(4)+z(6))/4 ; (z(3)-2z(4)+z(5))/1 ; et on extrapolera. On portera alors ces valeurs a(k) en fonction de v(k)² [avec les v(k) calculées de même façon ]: la courbe est &quot;sensiblement linéaire&quot; : son extrapolation pour les faibles vitesses donne LA valeur de g. On a ainsi défini une '''procédure algorithmique''', qui, éventuellement, peut s'automatiser.
Les résultats d'une classe (2 *2* 12 élèves) sont honnêtes et valent bien le résultat obtenu avec le pendule réversible, dit de Kater. Ne pas espérer 3 ChS (chiffres significatifs) ! 

D'autres dispositifs équipés de photodiodes donnent le temps de passage à telle ou telle altitude (t(k) = T(z(k)) ). Certaines méthodes lancent le projectile vers le haut ; il retombe ; au passage il a coupé les deux faisceaux de deux photodiodes distantes de H, aux temps t1, t2, t3, et t4. On forme les deux durées D1 = t4-t1 et D2 = t3-t2. Montrer que g = 8H / (D1²-D2²). 

'''note''' : Actuellement(2015), la méthode de chute libre est utilisée mais en faisant tomber &quot;le coin de cube d'un Michelson&quot;, servant de miroir réflecteur : les franges défilent et sont enregistrées. On arrive à une précision relative de 11 ChS(Chiffres Significatifs), depuis la mise au point du dispositif par Sakuma, en 1970, au BIPM (Bureau International des Poids et mesures , installé au parc de Saint-Cloud, Paris).Inutile de dire qu'il faut de multiples précautions. 

Une autre méthode consiste à laisser tomber un &quot;atome-froid&quot; , et on étudie sa fonction d'onde quantique :précision , 10^(-12).

La gravimétrie est donc devenue une science très précise, utilisée par les géologues. Voir plus loin, leçon sur la gravimétrie (de niveau nettement plus élevé).

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=== Un raisonnement de Torricelli(**)===
 
Galilée défendit la thèse suivante, appelée depuis Principe de Relativité galiléenne : si un bateau se déplace à la vitesse constante Vo, alors on ne peut pas s'en apercevoir depuis l'intérieur du bateau ; on pourrait continuer à jouer au ping-pong, à faire de la GRS, etc. RIEN ne permet de distinguer le mouvement du bateau. &quot;Un mouvement uniforme , c'est comme RIEN &quot;. Familièrement, on dirait aujourd'hui, ça compte pour du beurre. 

Torricelli(1608-1647) est le premier à avoir appliqué ce principe à la chute libre. 

*[ '''''Note historique''''' : dans son deMotu, 1641,il l'a signalé à Castelli (1577-1644) , qui en rendit compte à Galilée. Galilée , très admiratif, demanda à Torricelli de devenir son élève, en 1641 ; bien que très fier d'être choisi, Torricelli était mort de trouille, à cause de l'Inquisition : rappelons que dire du mouvement de la Terre, c'est comme rien , revenait à accréditer la thèse de Copernic. Or le Vatican venait de condamner cette thèse en 1618 ].

Torricelli '''admet''' que z(t) = h(t)+Vot+Zo , avec h(t) fonction inconnue, mais indépendante de Zo ET de Vo. Ce faisant, il admet beaucoup. Mais alors, grâce au principe de relativité, montrer que h(t) = kt²

'''solution :'''
  
Commençons par le résultat suivant :
 
si le mouvement d'un corps chutant au départ comme z = 1/2.g.t² est avec une nouvelle origine des temps, z = f(t, Zo, Vo)= 1/2 gt² + Vot +Zo , 

alors à un instant T1, il sera en Z1 = f(T1, Zo, Vo) avec la vitesse V1 = g.T1 + Vo. 

Puisque la vitesse V1 joue à cet instant '''le même rôle''' que Vo à l'instant t=0 pris pour origine, Torricelli dit que :
z= f(t+T1, Zo, Vo) = f(t,Z1, V1), avec la même fonction f(., . , .), soit :
 
1/2 g (t+T1)² + Vo.(t+T1) + Zo = ? = 1/2 g.t² + V1.t + Z1 ,
avec V1 = g.T1 + Vo et Z1 = 1/2 g.T1² + Vo.T1 + Zo :

Après simplification, Zo s'élimine ainsi que Vo.t , puis Vo.T1 .
Il reste à vérifier : 

1/2 g (t+T1)² = ? = 1/2 g.t² + g.T1.t + 1/2 g.T1² , ce qui est vrai.

'''Mais ce n'est pas la réponse demandée''' ! bien que cela soit perçu par beaucoup d'étudiants comme la bonne réponse ! le calcul est en effet pertinent et exact; mais il ne répond pas à la question ! On ne fait que vérifier l'auto-pertinence de la formule, mais on ne démontre pas h(t) = k t² !  

Voici ce que Torricelli a dit :

z = h(t+T1) + Zo + Vo.(t + T1) = h(t)+ Z1 + V1.t , ceci quel que soit t , avec Z1 = h(T1) + Zo + Vo.T1 , et avec V1 = h'(T1) + Vo (exprimé en formalisme moderne). Ce qui conduit à l'équation fonctionnelle:

h(t+T1) = h(t) + h(T1) + h'(T1).t , 

pour tout t et pour tout T1.

Alors , par symétrie de rôle de t et de T1 , on peut écrire :

h(t+T1) = h(T1) + h(t) + h'(t).T1

ce qui conduit à h'(t).T1 = h'(T1).t et donc h'(t)/t = h'(T1)/T1 = cste donc , appelons-la ...g ! Alors h'(t) = g.t

'''La vitesse ne pouvait être que linéaire en t'''.

Du reste, si on prend l'origine du référentiel galiléen tangent à l'instant de départ , donc avec une vitesse nulle, cela paraît &quot;naturel&quot; ! Remarquable raisonnement de Torricelli en 1641(De Motu).

Au final, si h'(t) = g.t , h(t) = 1/2.g.t² :

Rappelons ce qui a été utilisé : l'invariance galiléenne et l'invariance du mouvement par translation (ce qui revient à dire : pesanteur constante).

Il est évident que Galilée fût ravi que son ami Castelli eût un élève aussi doué ! D'autant que Torricelli n'avait pas ces notations modernes !
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== Exercices, deuxième série ==


=== exPseudoparadoxe de la vitesse nulle(**) ===
Marin Mersenne (1588-1648) [un des plus célèbres correspondants scientifiques de l'époque] n'arrivait pas à comprendre la loi V = g.t , car disait-il, si V = 0 au départ , le plomb ne peut pas avancer ! Huygens(à 17ans!) lui répondit(1646). Imaginer sa lettre de réponse.

Mersenne ne comprenait pas non plus v² = 2gx , et en x=0, v est nulle. Donc le mobile n'avance pas.

''' Solution :  '''
Essentiellement, le jeune Huygens répondit que la loi générale était V = Vo + gt , même si Vo est négatif (la pierre est lancée vers le haut) : la loi est tout aussi vraie , mais c'est une loi affine dans ce cas, avec '''vraiment rien de particulier''' au moment où V(t) = Vo. Au sommet de la parabole du diagramme horaire, il ne se passe donc strictement rien de particulier, même si ce point fût l'objet de spéculations intellectuelles très passionnées, pour savoir si le temps passé en ce point était FINI.

Torricelli, lui, invoquera le raisonnement suivant : par invariance galiléenne, on peut se placer dans n'importe quel référentiel de vitesse Vo ; alors le sommet du diagramme horaire est n'importe quel point. Le &quot;sommet&quot; devient un point ordinaire ; ainsi on a banalisé ce point. Alors, plus personne n'a d'objection ; on dit qu'on a &quot;réduit&quot; le pseudo-paradoxe. Progressivement, avec les siècles, la question n'est même plus soulevée.'''Les contradicteurs sont morts'''. 

La deuxième question est plus délicate, pour l'époque : si v(x) = sqrt( 2gx ) , comment l'intégrer ? De nos jours, on dit l'équation est de Cauchy-Lipschitz, et le tour est joué. En 1620, dt = dx/sqrt(2gx) n'est pas encore intégrable en t = sqrt(2x/g).

Quelques années auparavant, la confusion v(x) ou v(t) est bien plus grande. Il faut bien voir que la notion de fonction n'est pas affermie. On a des tableaux numériques : à t(k) correspond z(k). On peut en faire des tableaux de différences, les Δt et les Δx. Puis dt/dx ( càd 1/v ) fonction de t ou de x ? Pourquoi est-ce v =dx/dt = f(t) qui s'impose ; et non pas 1/v = f(x) ? Ces questions n'ont rien d'anodin. Galilée s'est fait piéger. Descartes aussi. La science cafouille souvent , mais progresse ! 
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=== ex_sur la loi de Sarpi(***) ===
La loi de Galilée dans son deuxième énoncé semble absurde : quelle que soit la masse du corps, le corps tombe de la même manière dans le vide !  Question 1 : la lumière(c'est-à-dire un photon) tombe-t-elle dans le vide ? Question 2 : l'air tombe-t-il ? 

'''Solution : '''
Oui ! ce sont des questions un peu shadok, quasi-impertinentes ! Mais il convient de les poser.

'''Question 1 :'''  oui , la lumière tombe dans le vide, MAIS ce n'est pas sa vitesse qui change , puisqu'elle reste immuable : c = 299 792 458 m/s. C'est son impulsion ; il vaut mieux parler de photon : ainsi l'impulsion du photon change, c'est parfaitement vérifié aujourd'hui (il faut en tenir compte dans l'envoi des signaux [[w:GPS|GPS]], sous peine de voir la qualité des résultats être entâchée d'une erreur systématique). Par ailleurs, l'énergie change corrélativement, c'est le red-shift gravitationnel d'Einstein, vérifié lui aussi. 

'''Question 2 :''' oui bien sûr , une molécule de dioxygène tombe. Si l'air globalement ne tombe pas , c'est qu'il est déjà tombé depuis longtemps : on sait bien que l'air est situé essentiellement à basse altitude ; mais précisément comme il y en a plus en bas qu'en haut, la '''diffusion thermique''' en fait plus remonter du bas vers le haut que du haut vers le bas ; ce que nous voyons est l'équilibre dynamique stationnaire entre ces deux phénomènes : la chute vers le bas et la diffusion globalement vers le haut (Einstein,1905). On peut relire l'explication magnifique de Feynman , dans Lectures on physics.

== À quoi est due la pesanteur ? ==
Bonne question !

La pesanteur est essentiellement due à l'attraction terrestre et partiellement au pivotement de la Terre ( et encore un peu à tous les Astres, mais usuellement, on met cette partie dans &quot;l'action de marée&quot; ).

Il est hors de question dans cette première leçon de parler de la gravimétrie.

Pour faire simple, on peut dire ceci : si la Terre était sphérique et ne pivotait pas, alors la pesanteur se réduirait à une attraction (verticale par définition), centrale ( c'est à dire dirigée vers le centre O de la Terre) de valeur : G.M / r² = g(r)  (théorème dit ''remarquable'' de Newton, 1685 ); comme la Terre pivote, elle s'aplatit légèrement en forme de géoïde (aplatissement =~ 1/298), et la gravité est légèrement plus élevée au pôle qu'à l'équateur.

Cavendish(1731-1810) mesurera G en 1798 avec énormément de difficulté : G = 6.67 10^-11 N.m²/kg² environ. On en déduit la valeur de la masse de la Terre si l'on connaît son rayon : M = ~6 10^24 kg . Truc mnémotechnique , retenir que la masse_volumique de la Terre est intermédiaire entre celle de l'eau (1kg/L) et dix fois plus (10kg/L) , soit 5.5 kg/L . 

Ceci dit, à quoi est due l'attraction de la Terre, cette étrange action à distance ? '''Newton''', après y avoir réfléchi longtemps, déclara forfait : ''hypotheses non fingo'', je ne fais aucune hypothèse. Il la posa comme postulat, il en généralisa la portée. Il en formula toutes les conséquences. Il fondait ainsi une discipline, la mécanique dite &quot;rationnelle&quot; qui sera, pour des siècles et des siècles, la discipline-phare des sciences physiques. '''Euler, Lagrange, Hamilton, Poincaré''' et des milliers d'autres poursuivront les travaux de '''Newton'''. Puis '''Einstein''', en 1915, donna une interprétation de l'attraction gravitationnelle, en termes géométriques : la matière distord l'espace-temps, et tous calculs faits, on retrouve dans le cas de faible distorsion, la loi de Newton. Satisfaisant, mais cette théorie ne cadre pas encore avec la ''mécanique quantique''. La science doit continuer à progresser.

== Retour ==

Rappel : la page de discussion contient pas mal de matériaux bibliographiques.

*[[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences|Mécanique , enseignée via l'Histoire des Sciences]]

[[Catégorie:Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences (livre)]]</text>
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*Attention : une bonne partie de la réflexion est actuellement dans la discussion. Elle en sortira quand elle aura été suffisamment critiquée.

Cette première leçon est élémentaire. Son niveau est bac-2, bac-1, bac , et bac+1. Les exercices et les commentaires sont de niveau variable.

== Loi de Galilée==
=== Expérience=== 
Soit un plomb, P, soutenu par une ficelle mince.

On le laisse bien au repos, au ras du sol. On marque à la craie la position au sol, disons A . Le plomb est relevé de 2m environ, bien à la verticale de A en un point O.

Il est immobile en O. On brûle la ficelle. Le plomb tombe de O en A. En &quot;chute libre&quot;, dit-on ; en réalité, l'air perturbe le mouvement en le ralentissant.

Galilée(1564-1642) eût l'idée, '''géniale pour l'époque''', d'imaginer ce mouvement '''''à la limite''''' où il n'y aurait pas d'air ! Le plomb tomberait alors dans le vide : c'est la chute libre verticale, dont Galilée donna la loi en 1604.

=== La loi  ===
Soit z(t) la hauteur de chute, v  la vitesse de chute, et a l'accélération.  

'''L'accélération est constante'''. 

On l'appelle g.
À Paris, elle vaut 9.81 m/s². 
La vitesse initiale est nulle.

On en déduit :
 
:&lt;math&gt; \frac {d^2z}{dt^2} = g  &lt;=&gt;   \frac{dz}{dt} = gt &lt;=&gt; z =\frac{1}{2}gt^2  &lt;/math&gt;


( De plus, si on élimine la variable t entre v(t) et z(t), on obtient :  v² = 2gz ; Torricelli(1640)).

Avec des conditions initiales quelconques, on obtiendrait :

&lt;math&gt;v = v_0 + gt &lt;=&gt; z =\frac{1}{2}gt^2 + v_0 t + z_0  &lt;/math&gt;

''Remarque'' : en réalité, le pivotement de la Terre en un jour sidéral provoque une minuscule déviation vers l'Est.

==Notes historiques==

===penser le vide ===

Aujourd'hui, on sait faire cette expérience dans un tube privé d'air (grâce à une pompe aspirante). On a des caméras pour enregistrer le mouvement. On peut refaire l'expérience à loisir avec d'autres dispositifs. On l'a même refaite sur la Lune, qui n'a pas d'atmosphère. À l'époque ( avant 1644 ), '''penser le vide''' était assez '''révolutionnaire''', voire hérétique (la discussion en est passionnante, cf article sur le vide) ; Galilée lui-même n'y croyait pas trop ; son élève Torricelli(1609-1647) mit en évidence le &quot;vide grosso&quot; dans la &quot;chambre barométrique&quot; en 1644, ceci après avoir compris le problème des fontainiers (de la ville de Sienne) qui n'arrivaient pas à faire fonctionner leurs siphons.

Le génie de Galilée fût de penser la loi comme une loi-limite qui existerait à la limite du vide absolu. En effet, dès que la vitesse est grande, la résistance de l'air vient '''limiter''' la vitesse. Cette vitesse-limite est différente selon les corps. La loi de Galilée devient fausse. Chacun peut le vérifier ; et Galilée, et ses contemporains, le savaient. L'affirmation de Galilée , v = g.t , est donc une décision, correspondant à une loi approximative de début de mouvement dans l'air résiduel.

===la masse n'intervient pas ===

La lettre de Galilée à Sarpi (16/10/1604) présente en réalité '''deux''' Lois:
 
#Le mouvement a une accélération constante 
#'''Un fait extraordinaire''', '''peu crédible''' mais pourtant vrai : la loi ne dépend pas du plomb ! 

On peut prendre une pierre, un sac lesté de plomb, de sable ou de papier, ou de polystyrène, une fleur de pissenlit, une plume. Dans un tube de verre de 2m de long, dont l'air a été pompé, on fait chuter la plume et le plomb ; on parle de l'expérience du &quot;tube de Newton&quot;. Il faut avoir vu cette plume tomber vertigineusement vite :

#'''elle accélère de 10 m/s chaque seconde ;''' 
#'''La plume tombe exactement comme le plomb !''' 

Évidemment, ce qui est le plus curieux dans cette loi est que ni la masse ni la densité du corps n'interviennent : ceci paraît absurde. Et la lumière tombe-t-elle dans le vide ? et l'air, pourquoi ne tombe-t-il pas ? Voir l'exercice.

En réalité, Galilée n'a pas pu vérifier la loi. Il a même &quot;triché&quot; sciemment. Ses contemporains avaient déjà vérifié amplement certaines caractéristiques de la chute dans l'air. Galilée a ignoré ces critiques. Comme il l'a réaffirmé dans le Dialogo, il se place dans une situation théorique, où le vide est '''parfait'''.

Que la masse inerte soit égale à la masse pesante sera la base du Principe d’Équivalence, en théorie de la Relativité Générale d'Einstein, en 1915 ; mais c'est bien plus savant.

===  la Tour de Pise ===
Il faut tordre le coup à ce faux compte-rendu de Viviani dans son hagiographie de la vie du grand Maître : Galilée n'a vraisemblablement jamais vérifié sa loi à la tour de Pise. Koyré le démontre très bien : Galilée , tout comme Beeckman, sait l'existence d'une vitesse-limite. Plomb et sureau ne tombent pas à la même vitesse. Deux billes de plomb non plus. À quoi eût donc servi une telle expérience ? 

De fait, la grande idée expérimentale de Galilée fût en réalité celle de ralentir la chute, via le plan incliné (voir leçon ultérieure), et de penser théoriquement une gedanken-experiment : faire remonter ensuite la masse sur un autre plan incliné : alors, il était '''crédible''' que la bille allait remonter à la même hauteur, ''' à supposer''' que l'influence des frottements fût négligeable. '''Cette supposition est ce qui permet d'épurer le mouvement : la loi devient simple'''. Puis dans une seconde partie (laissée inachevée!), la perturbation due à l'air vient modifier le comportement. D'autres que Galilée eurent des idées, elles aussi très ingénieuses, plus proches même de la réalité expérimentale. L'Histoire n'a retenu que Galilée, parce que sa démarche s'est avérée la plus fructueuse. Mais ne pas oublier les autres.

===les difficultés liées au calculus===

La présentation donnée, v=gt ; z=1/2 gt², est ''anachronique'', très loin de la formulation de 1604. S'il faut attendre 1640 pour trouver la formule de Torricelli, v²=2gz, c'est que ce n'est pas simple, pour l'époque. Il y a au moins trois difficultés :

La notion d'unité, de dimension est précaire (les ''Discorsi'' sont écrits en 1638). Nos montres n'existent pas. La mesure du temps est rudimentaire : on fait chanter une chorale et on se base sur son tempo. Un peu plus tard, on utilisera le pendule ( sans même discuter la circularité du raisonnement, car le pendule utilise aussi la chute ). Galilée n'utilisera jamais &quot;l'axe des temps&quot;. Et bien sûr, la notation g n'existe pas en 1604 ! 

La notion de fonction n'existe pas vraiment. On a simplement deux tableaux numériques : z(k) positions échelonnées aussi régulièrement que possible versus temps de passage t(k). Mais pourquoi ne pas utiliser des temps espacés régulièrement ? Comment intrapoler pour passer d'un tableau à l'autre ? etc. Et on se rend compte très vite que le point initial est grande source d'erreur, à cause du déclenchement du &quot;&quot;chronomètre&quot;&quot;. D'où l'idée de procéder avec les différences_premières ; l'erreur systématique est moindre ; mais alors mesurer des différences augmente l'erreur expérimentale. Mais doit-on afficher les temps à des positions espacées régulièrement ? ou bien les positions à des dates échelonnées régulièrement ? Ce que Galilée va finalement privilégier, ce sont des dates échelonnées : alors, les différences d'espace augmentent comme 1,3,5,7,...(et ceci, ''quel que soit le choix de l'intervalle de temps''). Or il sait que la somme des impairs est un carré. Il en déduit z ~ t². 

La troisième difficulté est la notion de ''calculus'' ( le calcul différentiel et intégral ) : la notion de vitesse instantanée, à la date t, à un instant déterminé, dans le &quot;moment&quot; examiné, etc , n'existe pas encore.Il faudra attendre Newton, et surtout Leibniz pour écrire la dérivée v = dz /dt, via la limite ultime des durées petites, ou des distances infimes ; et comment la déduire des t(k),z(k) ? Et si on définit la lenteur comme limite de Δt/Δz, a-t-on la lenteur égale à 1/v ?  

Admettons que l'on forme un tableau de ces v_i &quot;au mieux&quot; ; ce tableau formé, faut-il considérer les v(k) fonction des t(k) ou bien des z(k) ? Galilée est hésitant. Cela en est touchant. Mais l'affaire est importante, car au coup suivant, pour la &quot;différence des différences&quot;, il faudra aussi faire attention ; est-ce v(t) ou bien lenteur(z)? auquel cas d(lenteur(z))/dz ne donne rien de bien simple! C'est bien dv(t)/dt qui est simple. On affouille, bafouille, cafouille. On patouille. Clairement, 50 après, on a progressé. Mais combien d'efforts de savants illustres ! Le terrain aplani, nous perdons conscience de cette difficulté immense : la construction du calculus.

== Exercices ==

On prendra g = 10 m/s² approximativement.

===quelques exercices simples===
1/. '''simple AN''' : Trouver la hauteur de chute si le temps de chute est 2s .

'''Réponse''' : h = 1/2 . 10 . 4 = 20 m ! et la vitesse à l'arrivée est v= 20 m/s soit 72 km/h : malheur à vous, c'est fatal ! 
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2/. '''ex.RelationV(x)''' : Éliminer le temps entre z(t) et v(t) pour trouver la relation dite de Torricelli(1608-1647) : v² = 2g.z (c'est la quatrième formulation de la loi, dans le résumé).

En déduire la compréhension du slogan de la Sécurité routière : arriver sur un obstacle à 36 km/h &quot;c'est comme&quot; chuter de 5 m (2ème étage environ), mais à 72 km/h , c'est comme chuter de 20 m! mortel sans ceinture et air-bag.

Montrer plus généralement que V² -Vo² = 2g (z-zo) [ loi de Torricelli(1608-1647).

'''solution''' : 
en reportant t= v/g dans z = 1/2 gt², on obtient z = 1/2 g(v/g)² , soit v²= 2gz.

2g(z-zo) = 2gVot +g²t² ; et V² = (Vo+gt)² = Vo² + 2gVot + g²t² , d'où V²-Vo² = 2g(z-zo).
:Appliquer le théorème de l'énergie cinétique serait ici anachronique. Leibniz ne l'énoncera que vers 1700 ! 
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3/. '''ex.Croisement''' : c'est un teaser classique. On lance une pierre P vers le haut. Elle atteint la hauteur H . Juste à cet instant, on lance une deuxième pierre Q de la même manière. De tête, où les 2 pierres se rencontrent-elles ?

'''solution ex.Croisement''' :
Tracer le diagramme horaire de P, zP(t) et celui de Q, zQ(t) : ces deux courbes identiques sont décalées de sorte que le sommet de l'une est au pied de l'autre, la symétrie montre que la rencontre a lieu à T/2 ; le résultat devient évident :[Réponse : rencontre à z =3/4 . H].

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4/. '''exercice Beeckman(1618)''' : Beeckman connaît x ~ t² , mais pas encore v² ~ x . Alors il se pose la question suivante : on lâche une pierre du 8eme étage et le temps de chute est T =2s , et sa vitesse vo . Quelle est la durée du 4eme au sol ? et la vitesse au 4eme ? 

réponse : pour Beeckman , le raisonnement est tout à fait laborieux ; en 1641 , pour Torricelli c'est évident. En 20 ans, il y a grand progrès sur la notion de vitesse instantanée ! Ici, pour la moitié d'espace, le temps de passage au 4eme est T/ sqrt(2) , et donc la durée demandée est T( 1 - 1/sqrt(2)) . La vitesse est linéaire en temps , donc V( au 4eme ) = vo / sqrt(2)  
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5/  '''exercice saut à la perche''' : On dit que la perche sert juste à transférer la vitesse horizontale en vitesse verticale vo . En ordre de grandeur, montrer qu'un record sportif H = 8 m est improbable. 

réponse : oui , improbable, car H = 8m correspond à une vitesse vo ~ 12 à 13 m/s , soit 43-46 km/h , pas trop crédible. De fait, il faudrait pouvoir alors maîtriser le saut... 

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(* signale un exercice plus difficile)

===Puits===
Pour avoir la hauteur H d'un puits, on y laisse tomber un caillou au temps t = 0 ; on entend le son au temps T = 2 s : trouver la hauteur H (on appellera c , la célérité du son, égale à 1000/3 m/s).

'''solution ex.Puits'''  : On aura la durée de chute t₁ telle que H = ½ g t₁² , et la durée de retour du son t₂ telle que H = ct₂ ; soit 
T = durée totale = t₁ +t₂ = sqrt(2H/g) + H/c , équation du deuxième degré en sqrtH = x &gt; 0 ; soit x² + x. sqrt(2c²/g)-cT = 0  et on en prend la racine positive.

Allyson prend alors sa calculette et trouve x= 4,34546 ; puis H = 18,883 m

Alliette, elle, pousse les calculs littéraux jusqu'au bout et trouve x² = H = 1/2 gT².[ 2 / (1 + sqrt(1+2gT/c))]² = 20. (0,94415) = 18,883 m 
 
De même, après moult calculs, l'équation en x²= H peut se réécrire  :  H = 1/2 g(T-H/c)² = 1/2 gT² ( 1 - H gT/2c)^2

Béatrice dit : maiz'alors, il suffit de dire que si t₂= H/c, alors t₁ = T- H/c , donc H = 1/2 g(T-H/c)²  

L'équation du second degré obtenue est alors : H² - 2H(c²/g + cT) + c²T² = 0

En poursuivant les calculs littéraux, on retrouve le résultat exact d' Alliette.

Catherine dit : t₁ &lt; T donc H = 1/2 g.(t₁)² &lt; 1/2 gT² = 20 m = Ho ; elle ajoute finement : donc   t₂ = H/c &lt; Ho/c = 60 ms ; mesalors t1 &gt; T-Ho/c ; et H &gt; 1/2 g (T-Ho/c)² , soit H1 = 18.82m .

Daisy s'empresse : donc H &lt; H2 = 1/2 g (T-H1/c)². Le démontrer.

Emmy, matheuse, finit : soit y(x) = 1/2 g (T- x/c)² et y = x ; la suite récurrente Hn converge en &quot;araignée&quot; vers la solution d'autant plus vite que [y'(x)| est inférieure à 1. On a successivement 20, puis 18,82 , puis 18,88 m . 

remarque-annexe sur les chiffres significatifs : la résistance de l'air rend ces calculs au centimètre près fictifs. Par ailleurs, on n'a pas poussé au-delà, ( et la margelle du puits ? ), et car il y a ambiguïté sur les ChS : on aurait dû donner T = 2,0000 s par exemple ; passons, d'ailleurs on a pris g = 10.

Fanny, pragmatique, conclut : bon, dans ces conditions, je reprends juste le calcul de Catherine : H &lt; 20 m , la première correction est -1,2 m ; DONC , SI c'est une progression géométrique alternée, de raison k = -6/100, alors H = 20/ (1+k) = 18,87 ; soit H = 18,9 m avec 3 ChS. D'ailleurs, numériquement, Béa a trouvé : H = 20 (1-3H/100)², soit sensiblement H = 20 ( 1-6/100 ), c'est pareil.

Chaque élève a son bout de vérité. C'est souvent l'ensemble des réponses qui donne une compréhension harmonieuse. Un problème a rarement une solution exacte et la méthode initiée par Catherine est donc très appréciée ; elle conduit aussi, par itération, au résultat exact et une itération de cette sorte est très aisée à conduire avec les calculettes usuelles. En conclusion, on a besoin : 1/. de mettre en équations  et, éventuellement, de sortir la physique hors des équations pour mettre tout sous forme d'un pb de math 2/. résoudre alors comme en math, avec toute les capacités des math, y compris l'analyse numérique  3/. exploiter la solution du point de vue physique.

Reprenons le tout pour fixer la démarche : 

Un puits , 2s , g = 10 et c = 333 m/s . Donc en gros H = 20m , et le retour du son en 60ms : le prof nous fait calculer des clopinettes..., soit !

mise en équation : H = 1/2 g (T -H/c )² 

et sortir la physique des équations : H = 1/2 gT². Z , soit Z = ( 1 - gT/2c .Z )^2 , et on passe aux maths

résoudre l'éq en Z : c'est une éq du 2eme degré =&gt; résultat 

ou résoudre Z = f(Z) = f(f(Z)) , etc , point-fixe =&gt; résultat 

interprétation-du résultat : pas la peine d'aller au delà du cm ! on a pris g = 10 m/s²
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=== Expérimentation(*)===
Une caméra prend des photos d'une bille en chute libre à des tops réguliers, d'intervalle T. Une règle verticale photographiée en même temps que la bille donne 3 valeurs z1, z2 et z3 pour des temps t1, t2 = t1 + T , t3 = t1 + T .Montrer que , quel que soit t1 et T , [(z3-z2)/T - (z2-z1)/T ]/T = g . En déduire une manière de mesurer g avec avantage. La réciproque est-elle vraie(**), c'est à dire : si l'accélération discrète est constante, le mouvement discret est-il celui de Galilée ?


'''solution expérimentation : '''
 
Comme la vitesse Vo n'intervient pas,cela se vérifie d'ailleurs aisément, il reste en prenant t2 comme origine,

z3-2z2+z1 = 1/2.g[(t2+T)² -2(t2)² + (t2-T)²] = 1/2. g [ 2 T²].

On appelle dérivée discrète seconde au point z2 , la quantité (z3-2z2+z1)/T² .

On constate qu'elle vaut g , ceci quel que soit z2 et T !

(**)Et réciproquement, une suite récurrente z(n+1) = 2 z(n) - z(n-1) + Go(T)² est effectivement une suite du type z(n) = ½Go (n.T)² + A (n.T) + B.

Tout ceci permet d'intéressantes comparaisons expérimentales et permet de valoriser certains TP(travaux pratiques). Admettons par exemple que la caméra donne 25+1 photos sur une seconde (soit une chute de 5m devant une règle graduée): Voici une méthode parmi d'autres, via un logiciel de traitement de données : la caméra a donné la k-ième photo au temps k/25 . 
Donc, on possède un '''tableau de valeurs numériques''', 26 valeurs de l'abscisse z(k) au temps t(k). De ces 26 valeurs, il faut tirer une valeur de g. C'est de manière très usuelle le problème d'un TP : la théorie est faite. On veut la vérifier et en tirer la valeur d'un paramètre du problème, au mieux.

Pour cela, on calcule les 24 dérivées discrètes. Par exemple, pour calculer a(4) on calcule les valeurs sensiblement identiques : (z(0)-2z(4)+z(8))/16 ; (z(1)-2z(4)+z(7))/9 ; (z(2)-2z(4)+z(6))/4 ; (z(3)-2z(4)+z(5))/1 ; et on extrapolera. On portera alors ces valeurs a(k) en fonction de v(k)² [avec les v(k) calculées de même façon ]: la courbe est &quot;sensiblement linéaire&quot; : son extrapolation pour les faibles vitesses donne LA valeur de g. On a ainsi défini une '''procédure algorithmique''', qui, éventuellement, peut s'automatiser.
Les résultats d'une classe (2 *2* 12 élèves) sont honnêtes et valent bien le résultat obtenu avec le pendule réversible, dit de Kater. Ne pas espérer 3 ChS (chiffres significatifs) ! 

D'autres dispositifs équipés de photodiodes donnent le temps de passage à telle ou telle altitude (t(k) = T(z(k)) ). Certaines méthodes lancent le projectile vers le haut ; il retombe ; au passage il a coupé les deux faisceaux de deux photodiodes distantes de H, aux temps t1, t2, t3, et t4. On forme les deux durées D1 = t4-t1 et D2 = t3-t2. Montrer que g = 8H / (D1²-D2²). 

'''note''' : Actuellement(2015), la méthode de chute libre est utilisée mais en faisant tomber &quot;le coin de cube d'un Michelson&quot;, servant de miroir réflecteur : les franges défilent et sont enregistrées. On arrive à une précision relative de 11 ChS(Chiffres Significatifs), depuis la mise au point du dispositif par Sakuma, en 1970, au BIPM (Bureau International des Poids et mesures , installé au parc de Saint-Cloud, Paris).Inutile de dire qu'il faut de multiples précautions. 

Une autre méthode consiste à laisser tomber un &quot;atome-froid&quot; , et on étudie sa fonction d'onde quantique :précision , 10^(-12).

La gravimétrie est donc devenue une science très précise, utilisée par les géologues. Voir plus loin, leçon sur la gravimétrie (de niveau nettement plus élevé).

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=== Un raisonnement de Torricelli(**)===
 
Galilée défendit la thèse suivante, appelée depuis Principe de Relativité galiléenne : si un bateau se déplace à la vitesse constante Vo, alors on ne peut pas s'en apercevoir depuis l'intérieur du bateau ; on pourrait continuer à jouer au ping-pong, à faire de la GRS, etc. RIEN ne permet de distinguer le mouvement du bateau. &quot;Un mouvement uniforme , c'est comme RIEN &quot;. Familièrement, on dirait aujourd'hui, ça compte pour du beurre. 

Torricelli(1608-1647) est le premier à avoir appliqué ce principe à la chute libre. 

*[ '''''Note historique''''' : dans son deMotu, 1641,il l'a signalé à Castelli (1577-1644) , qui en rendit compte à Galilée. Galilée , très admiratif, demanda à Torricelli de devenir son élève, en 1641 ; bien que très fier d'être choisi, Torricelli était mort de trouille, à cause de l'Inquisition : rappelons que dire du mouvement de la Terre, c'est comme rien , revenait à accréditer la thèse de Copernic. Or le Vatican venait de condamner cette thèse en 1618 ].

Torricelli '''admet''' que z(t) = h(t)+Vot+Zo , avec h(t) fonction inconnue, mais indépendante de Zo ET de Vo. Ce faisant, il admet beaucoup. Mais alors, grâce au principe de relativité, montrer que h(t) = kt²

'''solution :'''
  
Commençons par le résultat suivant :
 
si le mouvement d'un corps chutant au départ comme z = 1/2.g.t² est avec une nouvelle origine des temps, z = f(t, Zo, Vo)= 1/2 gt² + Vot +Zo , 

alors à un instant T1, il sera en Z1 = f(T1, Zo, Vo) avec la vitesse V1 = g.T1 + Vo. 

Puisque la vitesse V1 joue à cet instant '''le même rôle''' que Vo à l'instant t=0 pris pour origine, Torricelli dit que :
z= f(t+T1, Zo, Vo) = f(t,Z1, V1), avec la même fonction f(., . , .), soit :
 
1/2 g (t+T1)² + Vo.(t+T1) + Zo = ? = 1/2 g.t² + V1.t + Z1 ,
avec V1 = g.T1 + Vo et Z1 = 1/2 g.T1² + Vo.T1 + Zo :

Après simplification, Zo s'élimine ainsi que Vo.t , puis Vo.T1 .
Il reste à vérifier : 

1/2 g (t+T1)² = ? = 1/2 g.t² + g.T1.t + 1/2 g.T1² , ce qui est vrai.

'''Mais ce n'est pas la réponse demandée''' ! bien que cela soit perçu par beaucoup d'étudiants comme la bonne réponse ! le calcul est en effet pertinent et exact; mais il ne répond pas à la question ! On ne fait que vérifier l'auto-pertinence de la formule, mais on ne démontre pas h(t) = k t² !  

Voici ce que Torricelli a dit :

z = h(t+T1) + Zo + Vo.(t + T1) = h(t)+ Z1 + V1.t , ceci quel que soit t , avec Z1 = h(T1) + Zo + Vo.T1 , et avec V1 = h'(T1) + Vo (exprimé en formalisme moderne). Ce qui conduit à l'équation fonctionnelle:

h(t+T1) = h(t) + h(T1) + h'(T1).t , 

pour tout t et pour tout T1.

Alors , par symétrie de rôle de t et de T1 , on peut écrire :

h(t+T1) = h(T1) + h(t) + h'(t).T1

ce qui conduit à h'(t).T1 = h'(T1).t et donc h'(t)/t = h'(T1)/T1 = cste donc , appelons-la ...g ! Alors h'(t) = g.t

'''La vitesse ne pouvait être que linéaire en t'''.

Du reste, si on prend l'origine du référentiel galiléen tangent à l'instant de départ , donc avec une vitesse nulle, cela paraît &quot;naturel&quot; ! Remarquable raisonnement de Torricelli en 1641(De Motu).

Au final, si h'(t) = g.t , h(t) = 1/2.g.t² :

Rappelons ce qui a été utilisé : l'invariance galiléenne et l'invariance du mouvement par translation (ce qui revient à dire : pesanteur constante).

Il est évident que Galilée fût ravi que son ami Castelli eût un élève aussi doué ! D'autant que Torricelli n'avait pas ces notations modernes !
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== Exercices, deuxième série ==


=== exPseudoparadoxe de la vitesse nulle(**) ===
Marin Mersenne (1588-1648) [un des plus célèbres correspondants scientifiques de l'époque] n'arrivait pas à comprendre la loi V = g.t , car disait-il, si V = 0 au départ , le plomb ne peut pas avancer ! Huygens(à 17ans!) lui répondit(1646). Imaginer sa lettre de réponse.

Mersenne ne comprenait pas non plus v² = 2gx , et en x=0, v est nulle. Donc le mobile n'avance pas.

''' Solution :  '''
Essentiellement, le jeune Huygens répondit que la loi générale était V = Vo + gt , même si Vo est négatif (la pierre est lancée vers le haut) : la loi est tout aussi vraie , mais c'est une loi affine dans ce cas, avec '''vraiment rien de particulier''' au moment où V(t) = Vo. Au sommet de la parabole du diagramme horaire, il ne se passe donc strictement rien de particulier, même si ce point fût l'objet de spéculations intellectuelles très passionnées, pour savoir si le temps passé en ce point était FINI.

Torricelli, lui, invoquera le raisonnement suivant : par invariance galiléenne, on peut se placer dans n'importe quel référentiel de vitesse Vo ; alors le sommet du diagramme horaire est n'importe quel point. Le &quot;sommet&quot; devient un point ordinaire ; ainsi on a banalisé ce point. Alors, plus personne n'a d'objection ; on dit qu'on a &quot;réduit&quot; le pseudo-paradoxe. Progressivement, avec les siècles, la question n'est même plus soulevée.'''Les contradicteurs sont morts'''. 

La deuxième question est plus délicate, pour l'époque : si v(x) = sqrt( 2gx ) , comment l'intégrer ? De nos jours, on dit l'équation est de Cauchy-Lipschitz, et le tour est joué. En 1620, dt = dx/sqrt(2gx) n'est pas encore intégrable en t = sqrt(2x/g).

Quelques années auparavant, la confusion v(x) ou v(t) est bien plus grande. Il faut bien voir que la notion de fonction n'est pas affermie. On a des tableaux numériques : à t(k) correspond z(k). On peut en faire des tableaux de différences, les Δt et les Δx. Puis dt/dx ( càd 1/v ) fonction de t ou de x ? Pourquoi est-ce v =dx/dt = f(t) qui s'impose ; et non pas 1/v = f(x) ? Ces questions n'ont rien d'anodin. Galilée s'est fait piéger. Descartes aussi. La science cafouille souvent , mais progresse ! 
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=== ex_sur la loi de Sarpi(***) ===
La loi de Galilée dans son deuxième énoncé semble absurde : quelle que soit la masse du corps, le corps tombe de la même manière dans le vide !  Question 1 : la lumière(c'est-à-dire un photon) tombe-t-elle dans le vide ? Question 2 : l'air tombe-t-il ? 

'''Solution : '''
Oui ! ce sont des questions un peu shadok, quasi-impertinentes ! Mais il convient de les poser.

'''Question 1 :'''  oui , la lumière tombe dans le vide, MAIS ce n'est pas sa vitesse qui change , puisqu'elle reste immuable : c = 299 792 458 m/s. C'est son impulsion ; il vaut mieux parler de photon : ainsi l'impulsion du photon change, c'est parfaitement vérifié aujourd'hui (il faut en tenir compte dans l'envoi des signaux [[w:GPS|GPS]], sous peine de voir la qualité des résultats être entâchée d'une erreur systématique). Par ailleurs, l'énergie change corrélativement, c'est le red-shift gravitationnel d'Einstein, vérifié lui aussi. 

'''Question 2 :''' oui bien sûr , une molécule de dioxygène tombe. Si l'air globalement ne tombe pas , c'est qu'il est déjà tombé depuis longtemps : on sait bien que l'air est situé essentiellement à basse altitude ; mais précisément comme il y en a plus en bas qu'en haut, la '''diffusion thermique''' en fait plus remonter du bas vers le haut que du haut vers le bas ; ce que nous voyons est l'équilibre dynamique stationnaire entre ces deux phénomènes : la chute vers le bas et la diffusion globalement vers le haut (Einstein,1905). On peut relire l'explication magnifique de Feynman , dans Lectures on physics.

== À quoi est due la pesanteur ? ==
Bonne question !

La pesanteur est essentiellement due à l'attraction terrestre et partiellement au pivotement de la Terre ( et encore un peu à tous les Astres, mais usuellement, on met cette partie dans &quot;l'action de marée&quot; ).

Il est hors de question dans cette première leçon de parler de la gravimétrie.

Pour faire simple, on peut dire ceci : si la Terre était sphérique et ne pivotait pas, alors la pesanteur se réduirait à une attraction (verticale par définition), centrale ( c'est à dire dirigée vers le centre O de la Terre) de valeur : G.M / r² = g(r)  (théorème dit ''remarquable'' de Newton, 1685 ); comme la Terre pivote, elle s'aplatit légèrement en forme de géoïde (aplatissement =~ 1/298), et la gravité est légèrement plus élevée au pôle qu'à l'équateur.

Cavendish(1731-1810) mesurera G en 1798 avec énormément de difficulté : G = 6.67 10^-11 N.m²/kg² environ. On en déduit la valeur de la masse de la Terre si l'on connaît son rayon : M = ~6 10^24 kg . Truc mnémotechnique , retenir que la masse_volumique de la Terre est intermédiaire entre celle de l'eau (1kg/L) et dix fois plus (10kg/L) , soit 5.5 kg/L . 

Ceci dit, à quoi est due l'attraction de la Terre, cette étrange action à distance ? '''Newton''', après y avoir réfléchi longtemps, déclara forfait : ''hypotheses non fingo'', je ne fais aucune hypothèse. Il la posa comme postulat, il en généralisa la portée. Il en formula toutes les conséquences. Il fondait ainsi une discipline, la mécanique dite &quot;rationnelle&quot; qui sera, pour des siècles et des siècles, la discipline-phare des sciences physiques. '''Euler, Lagrange, Hamilton, Poincaré''' et des milliers d'autres poursuivront les travaux de '''Newton'''. Puis '''Einstein''', en 1915, donna une interprétation de l'attraction gravitationnelle, en termes géométriques : la matière distord l'espace-temps, et tous calculs faits, on retrouve dans le cas de faible distorsion, la loi de Newton. Satisfaisant, mais cette théorie ne cadre pas encore avec la ''mécanique quantique''. La science doit continuer à progresser.

== Retour ==

Rappel : la page de discussion contient pas mal de matériaux bibliographiques.

*[[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences|Mécanique , enseignée via l'Histoire des Sciences]]

[[Catégorie:Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences (livre)]]</text>
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*Attention : une bonne partie de la réflexion est actuellement dans la discussion. Elle en sortira quand elle aura été suffisamment critiquée.

Cette première leçon est élémentaire. Son niveau est bac-2, bac-1, bac , et bac+1. Les exercices et les commentaires sont de niveau variable.

== Loi de Galilée==
=== Expérience=== 
Soit un plomb, P, soutenu par une ficelle mince.

On le laisse bien au repos, au ras du sol. On marque à la craie la position au sol, disons A . Le plomb est relevé de 2m environ, bien à la verticale de A en un point O.

Il est immobile en O. On brûle la ficelle. Le plomb tombe de O en A. En &quot;chute libre&quot;, dit-on ; en réalité, l'air perturbe le mouvement en le ralentissant.

Galilée(1564-1642) eût l'idée, '''géniale pour l'époque''', d'imaginer ce mouvement '''''à la limite''''' où il n'y aurait pas d'air ! Le plomb tomberait alors dans le vide : c'est la chute libre verticale, dont Galilée donna la loi en 1604.

=== La loi  ===
Soit z(t) la hauteur de chute, v  la vitesse de chute, et a l'accélération.  

'''L'accélération est constante'''. 

On l'appelle g.
À Paris, elle vaut 9.81 m/s². 
La vitesse initiale est nulle.

On en déduit :
 
:&lt;math&gt; \frac {d^2z}{dt^2} = g  &lt;=&gt;   \frac{dz}{dt} = gt &lt;=&gt; z =\frac{1}{2}gt^2  &lt;/math&gt;


( De plus, si on élimine la variable t entre v(t) et z(t), on obtient :  v² = 2gz ; Torricelli(1640)).

Avec des conditions initiales quelconques, on obtiendrait :

&lt;math&gt;v = v_0 + gt &lt;=&gt; z =\frac{1}{2}gt^2 + v_0 t + z_0  &lt;/math&gt;

''Remarque'' : en réalité, le pivotement de la Terre en un jour sidéral provoque une minuscule déviation vers l'Est.

==Notes historiques==

===penser le vide ===

Aujourd'hui, on sait faire cette expérience dans un tube privé d'air (grâce à une pompe aspirante). On a des caméras pour enregistrer le mouvement. On peut refaire l'expérience à loisir avec d'autres dispositifs. On l'a même refaite sur la Lune, qui n'a pas d'atmosphère. À l'époque ( avant 1644 ), '''penser le vide''' était assez '''révolutionnaire''', voire hérétique (la discussion en est passionnante, cf article sur le vide) ; Galilée lui-même n'y croyait pas trop ; son élève Torricelli(1609-1647) mit en évidence le &quot;vide grosso&quot; dans la &quot;chambre barométrique&quot; en 1644, ceci après avoir compris le problème des fontainiers (de la ville de Sienne) qui n'arrivaient pas à faire fonctionner leurs siphons.

Le génie de Galilée fût de penser la loi comme une loi-limite qui existerait à la limite du vide absolu. En effet, dès que la vitesse est grande, la résistance de l'air vient '''limiter''' la vitesse. Cette vitesse-limite est différente selon les corps. La loi de Galilée devient fausse. Chacun peut le vérifier ; et Galilée, et ses contemporains, le savaient. L'affirmation de Galilée , v = g.t , est donc une décision, correspondant à une loi approximative de début de mouvement dans l'air résiduel.

===la masse n'intervient pas ===

La lettre de Galilée à Sarpi (16/10/1604) présente en réalité '''deux''' Lois:
 
#Le mouvement a une accélération constante 
#'''Un fait extraordinaire''', '''peu crédible''' mais pourtant vrai : la loi ne dépend pas du plomb ! 

On peut prendre une pierre, un sac lesté de plomb, de sable ou de papier, ou de polystyrène, une fleur de pissenlit, une plume. Dans un tube de verre de 2m de long, dont l'air a été pompé, on fait chuter la plume et le plomb ; on parle de l'expérience du &quot;tube de Newton&quot;. Il faut avoir vu cette plume tomber vertigineusement vite :

#'''elle accélère de 10 m/s chaque seconde ;''' 
#'''La plume tombe exactement comme le plomb !''' 

Évidemment, ce qui est le plus curieux dans cette loi est que ni la masse ni la densité du corps n'interviennent : ceci paraît absurde. Et la lumière tombe-t-elle dans le vide ? et l'air, pourquoi ne tombe-t-il pas ? Voir l'exercice.

En réalité, Galilée n'a pas pu vérifier la loi. Il a même &quot;triché&quot; sciemment. Ses contemporains avaient déjà vérifié amplement certaines caractéristiques de la chute dans l'air. Galilée a ignoré ces critiques. Comme il l'a réaffirmé dans le Dialogo, il se place dans une situation théorique, où le vide est '''parfait'''.

Que la masse inerte soit égale à la masse pesante sera la base du Principe d’Équivalence, en théorie de la Relativité Générale d'Einstein, en 1915 ; mais c'est bien plus savant.

===  la Tour de Pise ===
Il faut tordre le coup à ce faux compte-rendu de Viviani dans son hagiographie de la vie du grand Maître : Galilée n'a vraisemblablement jamais vérifié sa loi à la tour de Pise. Koyré le démontre très bien : Galilée , tout comme Beeckman, sait l'existence d'une vitesse-limite. Plomb et sureau ne tombent pas à la même vitesse. Deux billes de plomb non plus. À quoi eût donc servi une telle expérience ? 

De fait, la grande idée expérimentale de Galilée fût en réalité celle de ralentir la chute, via le plan incliné (voir leçon ultérieure), et de penser théoriquement une gedanken-experiment : faire remonter ensuite la masse sur un autre plan incliné : alors, il était '''crédible''' que la bille allait remonter à la même hauteur, ''' à supposer''' que l'influence des frottements fût négligeable. '''Cette supposition est ce qui permet d'épurer le mouvement : la loi devient simple'''. Puis dans une seconde partie (laissée inachevée!), la perturbation due à l'air vient modifier le comportement. D'autres que Galilée eurent des idées, elles aussi très ingénieuses, plus proches même de la réalité expérimentale. L'Histoire n'a retenu que Galilée, parce que sa démarche s'est avérée la plus fructueuse. Mais ne pas oublier les autres.

===les difficultés liées au calculus===

La présentation donnée, v=gt ; z=1/2 gt², est ''anachronique'', très loin de la formulation de 1604. S'il faut attendre 1640 pour trouver la formule de Torricelli, v²=2gz, c'est que ce n'est pas simple, pour l'époque. Il y a au moins trois difficultés :

La notion d'unité, de dimension est précaire (les ''Discorsi'' sont écrits en 1638). Nos montres n'existent pas. La mesure du temps est rudimentaire : on fait chanter une chorale et on se base sur son tempo. Un peu plus tard, on utilisera le pendule ( sans même discuter la circularité du raisonnement, car le pendule utilise aussi la chute ). Galilée n'utilisera jamais &quot;l'axe des temps&quot;. Et bien sûr, la notation g n'existe pas en 1604 ! 

La notion de fonction n'existe pas vraiment. On a simplement deux tableaux numériques : z(k) positions échelonnées aussi régulièrement que possible versus temps de passage t(k). Mais pourquoi ne pas utiliser des temps espacés régulièrement ? Comment intrapoler pour passer d'un tableau à l'autre ? etc. Et on se rend compte très vite que le point initial est grande source d'erreur, à cause du déclenchement du &quot;&quot;chronomètre&quot;&quot;. D'où l'idée de procéder avec les différences_premières ; l'erreur systématique est moindre ; mais alors mesurer des différences augmente l'erreur expérimentale. Mais doit-on afficher les temps à des positions espacées régulièrement ? ou bien les positions à des dates échelonnées régulièrement ? Ce que Galilée va finalement privilégier, ce sont des dates échelonnées : alors, les différences d'espace augmentent comme 1,3,5,7,...(et ceci, ''quel que soit le choix de l'intervalle de temps''). Or il sait que la somme des impairs est un carré. Il en déduit z ~ t². 

La troisième difficulté est la notion de ''calculus'' ( le calcul différentiel et intégral ) : la notion de vitesse instantanée, à la date t, à un instant déterminé, dans le &quot;moment&quot; examiné, etc , n'existe pas encore.Il faudra attendre Newton, et surtout Leibniz pour écrire la dérivée v = dz /dt, via la limite ultime des durées petites, ou des distances infimes ; et comment la déduire des t(k),z(k) ? Et si on définit la lenteur comme limite de Δt/Δz, a-t-on la lenteur égale à 1/v ?  

Admettons que l'on forme un tableau de ces v_i &quot;au mieux&quot; ; ce tableau formé, faut-il considérer les v(k) fonction des t(k) ou bien des z(k) ? Galilée est hésitant. Cela en est touchant. Mais l'affaire est importante, car au coup suivant, pour la &quot;différence des différences&quot;, il faudra aussi faire attention ; est-ce v(t) ou bien lenteur(z)? auquel cas d(lenteur(z))/dz ne donne rien de bien simple! C'est bien dv(t)/dt qui est simple. On affouille, bafouille, cafouille. On patouille. Clairement, 50 après, on a progressé. Mais combien d'efforts de savants illustres ! Le terrain aplani, nous perdons conscience de cette difficulté immense : la construction du calculus.

== Exercices ==

On prendra g = 10 m/s² approximativement.

===quelques exercices simples===
1/. '''simple AN''' : Trouver la hauteur de chute si le temps de chute est 2s .

'''Réponse''' : h = 1/2 . 10 . 4 = 20 m ! et la vitesse à l'arrivée est v= 20 m/s soit 72 km/h : malheur à vous, c'est fatal ! 
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2/. '''ex.RelationV(x)''' : Éliminer le temps entre z(t) et v(t) pour trouver la relation dite de Torricelli(1608-1647) : v² = 2g.z (c'est la quatrième formulation de la loi, dans le résumé).

En déduire la compréhension du slogan de la Sécurité routière : arriver sur un obstacle à 36 km/h &quot;c'est comme&quot; chuter de 5 m (2ème étage environ), mais à 72 km/h , c'est comme chuter de 20 m! mortel sans ceinture et air-bag.

Montrer plus généralement que V² -Vo² = 2g (z-zo) [ loi de Torricelli(1608-1647).

'''solution''' : 
en reportant t= v/g dans z = 1/2 gt², on obtient z = 1/2 g(v/g)² , soit v²= 2gz.

2g(z-zo) = 2gVot +g²t² ; et V² = (Vo+gt)² = Vo² + 2gVot + g²t² , d'où V²-Vo² = 2g(z-zo).
:Appliquer le théorème de l'énergie cinétique serait ici anachronique. Leibniz ne l'énoncera que vers 1700 ! 
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3/. '''ex.Croisement''' : c'est un teaser classique. On lance une pierre P vers le haut. Elle atteint la hauteur H . Juste à cet instant, on lance une deuxième pierre Q de la même manière. De tête, où les 2 pierres se rencontrent-elles ?

'''solution ex.Croisement''' :
Tracer le diagramme horaire de P, zP(t) et celui de Q, zQ(t) : ces deux courbes identiques sont décalées de sorte que le sommet de l'une est au pied de l'autre, la symétrie montre que la rencontre a lieu à T/2 ; le résultat devient évident :[Réponse : rencontre à z =3/4 . H].

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4/. '''exercice Beeckman(1618)''' : Beeckman connaît x ~ t² , mais pas encore v² ~ x . Alors il se pose la question suivante : on lâche une pierre du 8eme étage et le temps de chute est T =2s , et sa vitesse vo . Quelle est la durée du 4eme au sol ? et la vitesse au 4eme ? 

réponse : pour Beeckman , le raisonnement est tout à fait laborieux ; en 1641 , pour Torricelli c'est évident. En 20 ans, il y a grand progrès sur la notion de vitesse instantanée ! Ici, pour la moitié d'espace, le temps de passage au 4eme est T/ sqrt(2) , et donc la durée demandée est T( 1 - 1/sqrt(2)) . La vitesse est linéaire en temps , donc V( au 4eme ) = vo / sqrt(2)  
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5/  '''exercice saut à la perche''' : On dit que la perche sert juste à transférer la vitesse horizontale en vitesse verticale vo . En ordre de grandeur, montrer qu'un record sportif H = 8 m est improbable. 

réponse : oui , improbable, car H = 8m correspond à une vitesse vo ~ 12 à 13 m/s , soit 43-46 km/h , pas trop crédible. De fait, il faudrait pouvoir alors maîtriser le saut... 

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(* signale un exercice plus difficile)

===Puits===
Pour avoir la hauteur H d'un puits, on y laisse tomber un caillou au temps t = 0 ; on entend le son au temps T = 2 s : trouver la hauteur H (on appellera c , la célérité du son, égale à 1000/3 m/s).

'''solution ex.Puits'''  : On aura la durée de chute t₁ telle que H = ½ g t₁² , et la durée de retour du son t₂ telle que H = ct₂ ; soit 
T = durée totale = t₁ +t₂ = sqrt(2H/g) + H/c , équation du deuxième degré en sqrtH = x &gt; 0 ; soit x² + x. sqrt(2c²/g)-cT = 0  et on en prend la racine positive.

Allyson prend alors sa calculette et trouve x= 4,34546 ; puis H = 18,883 m

Alliette, elle, pousse les calculs littéraux jusqu'au bout et trouve x² = H = 1/2 gT².[ 2 / (1 + sqrt(1+2gT/c))]² = 20. (0,94415) = 18,883 m 
 
De même, après moult calculs, l'équation en x²= H peut se réécrire  :  H = 1/2 g(T-H/c)² = 1/2 gT² ( 1 - H gT/2c)^2

Béatrice dit : maiz'alors, il suffit de dire que si t₂= H/c, alors t₁ = T- H/c , donc H = 1/2 g(T-H/c)²  

L'équation du second degré obtenue est alors : H² - 2H(c²/g + cT) + c²T² = 0

En poursuivant les calculs littéraux, on retrouve le résultat exact d' Alliette.

Catherine dit : t₁ &lt; T donc H = 1/2 g.(t₁)² &lt; 1/2 gT² = 20 m = Ho ; elle ajoute finement : donc   t₂ = H/c &lt; Ho/c = 60 ms ; mesalors t1 &gt; T-Ho/c ; et H &gt; 1/2 g (T-Ho/c)² , soit H1 = 18.82m .

Daisy s'empresse : donc H &lt; H2 = 1/2 g (T-H1/c)². Le démontrer.

Emmy, matheuse, finit : soit y(x) = 1/2 g (T- x/c)² et y = x ; la suite récurrente Hn converge en &quot;araignée&quot; vers la solution d'autant plus vite que [y'(x)| est inférieure à 1. On a successivement 20, puis 18,82 , puis 18,88 m . 

remarque-annexe sur les chiffres significatifs : la résistance de l'air rend ces calculs au centimètre près fictifs. Par ailleurs, on n'a pas poussé au-delà, ( et la margelle du puits ? ), et car il y a ambiguïté sur les ChS : on aurait dû donner T = 2,0000 s par exemple ; passons, d'ailleurs on a pris g = 10.

Fanny, pragmatique, conclut : bon, dans ces conditions, je reprends juste le calcul de Catherine : H &lt; 20 m , la première correction est -1,2 m ; DONC , SI c'est une progression géométrique alternée, de raison k = -6/100, alors H = 20/ (1+k) = 18,87 ; soit H = 18,9 m avec 3 ChS. D'ailleurs, numériquement, Béa a trouvé : H = 20 (1-3H/100)², soit sensiblement H = 20 ( 1-6/100 ), c'est pareil.

Chaque élève a son bout de vérité. C'est souvent l'ensemble des réponses qui donne une compréhension harmonieuse. Un problème a rarement une solution exacte et la méthode initiée par Catherine est donc très appréciée ; elle conduit aussi, par itération, au résultat exact et une itération de cette sorte est très aisée à conduire avec les calculettes usuelles. En conclusion, on a besoin : 1/. de mettre en équations  et, éventuellement, de sortir la physique hors des équations pour mettre tout sous forme d'un pb de math 2/. résoudre alors comme en math, avec toute les capacités des math, y compris l'analyse numérique  3/. exploiter la solution du point de vue physique.

Reprenons le tout pour fixer la démarche : 

Un puits , 2s , g = 10 et c = 333 m/s . Donc en gros H = 20m , et le retour du son en 60ms : le prof nous fait calculer des clopinettes..., soit !

mise en équation : H = 1/2 g (T -H/c )² 

et sortir la physique des équations : H = 1/2 gT². Z , soit Z = ( 1 - gT/2c .Z )^2 , et on passe aux maths

résoudre l'éq en Z : c'est une éq du 2eme degré =&gt; résultat 

ou résoudre Z = f(Z) = f(f(Z)) , etc , point-fixe =&gt; résultat 

interprétation-du résultat : pas la peine d'aller au delà du cm ! on a pris g = 10 m/s²
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=== Expérimentation(*)===
Une caméra prend des photos d'une bille en chute libre à des tops réguliers, d'intervalle T. Une règle verticale photographiée en même temps que la bille donne 3 valeurs z1, z2 et z3 pour des temps t1, t2 = t1 + T , t3 = t1 + T .Montrer que , quel que soit t1 et T , [(z3-z2)/T - (z2-z1)/T ]/T = g . En déduire une manière de mesurer g avec avantage. La réciproque est-elle vraie(**), c'est à dire : si l'accélération discrète est constante, le mouvement discret est-il celui de Galilée ?


'''solution expérimentation : '''
 
Comme la vitesse Vo n'intervient pas,cela se vérifie d'ailleurs aisément, il reste en prenant t2 comme origine,

z3-2z2+z1 = 1/2.g[(t2+T)² -2(t2)² + (t2-T)²] = 1/2. g [ 2 T²].

On appelle dérivée discrète seconde au point z2 , la quantité (z3-2z2+z1)/T² .

On constate qu'elle vaut g , ceci quel que soit z2 et T !

(**)Et réciproquement, une suite récurrente z(n+1) = 2 z(n) - z(n-1) + Go(T)² est effectivement une suite du type z(n) = ½Go (n.T)² + A (n.T) + B.

Tout ceci permet d'intéressantes comparaisons expérimentales et permet de valoriser certains TP(travaux pratiques). Admettons par exemple que la caméra donne 25+1 photos sur une seconde (soit une chute de 5m devant une règle graduée): Voici une méthode parmi d'autres, via un logiciel de traitement de données : la caméra a donné la k-ième photo au temps k/25 . 
Donc, on possède un '''tableau de valeurs numériques''', 26 valeurs de l'abscisse z(k) au temps t(k). De ces 26 valeurs, il faut tirer une valeur de g. C'est de manière très usuelle le problème d'un TP : la théorie est faite. On veut la vérifier et en tirer la valeur d'un paramètre du problème, au mieux.

Pour cela, on calcule les 24 dérivées discrètes. Par exemple, pour calculer a(4) on calcule les valeurs sensiblement identiques : (z(0)-2z(4)+z(8))/16 ; (z(1)-2z(4)+z(7))/9 ; (z(2)-2z(4)+z(6))/4 ; (z(3)-2z(4)+z(5))/1 ; et on extrapolera. On portera alors ces valeurs a(k) en fonction de v(k)² [avec les v(k) calculées de même façon ]: la courbe est &quot;sensiblement linéaire&quot; : son extrapolation pour les faibles vitesses donne LA valeur de g. On a ainsi défini une '''procédure algorithmique''', qui, éventuellement, peut s'automatiser.
Les résultats d'une classe (2 *2* 12 élèves) sont honnêtes et valent bien le résultat obtenu avec le pendule réversible, dit de Kater. Ne pas espérer 3 ChS (chiffres significatifs) ! 

D'autres dispositifs équipés de photodiodes donnent le temps de passage à telle ou telle altitude (t(k) = T(z(k)) ). Certaines méthodes lancent le projectile vers le haut ; il retombe ; au passage il a coupé les deux faisceaux de deux photodiodes distantes de H, aux temps t1, t2, t3, et t4. On forme les deux durées D1 = t4-t1 et D2 = t3-t2. Montrer que g = 8H / (D1²-D2²). 

'''note''' : Actuellement(2015), la méthode de chute libre est utilisée mais en faisant tomber &quot;le coin de cube d'un Michelson&quot;, servant de miroir réflecteur : les franges défilent et sont enregistrées. On arrive à une précision relative de 11 ChS(Chiffres Significatifs), depuis la mise au point du dispositif par Sakuma, en 1970, au BIPM (Bureau International des Poids et mesures , installé au parc de Saint-Cloud, Paris).Inutile de dire qu'il faut de multiples précautions. 

Une autre méthode consiste à laisser tomber un &quot;atome-froid&quot; , et on étudie sa fonction d'onde quantique :précision , 10^(-12).

La gravimétrie est donc devenue une science très précise, utilisée par les géologues. Voir plus loin, leçon sur la gravimétrie (de niveau nettement plus élevé).

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=== Un raisonnement de Torricelli(**)===
 
Galilée défendit la thèse suivante, appelée depuis Principe de Relativité galiléenne : si un bateau se déplace à la vitesse constante Vo, alors on ne peut pas s'en apercevoir depuis l'intérieur du bateau ; on pourrait continuer à jouer au ping-pong, à faire de la GRS, etc. RIEN ne permet de distinguer le mouvement du bateau. &quot;Un mouvement uniforme , c'est comme RIEN &quot;. Familièrement, on dirait aujourd'hui, ça compte pour du beurre. 

Torricelli(1608-1647) est le premier à avoir appliqué ce principe à la chute libre. 

*[ '''''Note historique''''' : dans son deMotu, 1641,il l'a signalé à Castelli (1577-1644) , qui en rendit compte à Galilée. Galilée , très admiratif, demanda à Torricelli de devenir son élève, en 1641 ; bien que très fier d'être choisi, Torricelli était mort de trouille, à cause de l'Inquisition : rappelons que dire du mouvement de la Terre, c'est comme rien , revenait à accréditer la thèse de Copernic. Or le Vatican venait de condamner cette thèse en 1618 ].

Torricelli '''admet''' que z(t) = h(t)+Vot+Zo , avec h(t) fonction inconnue, mais indépendante de Zo ET de Vo. Ce faisant, il admet beaucoup. Mais alors, grâce au principe de relativité, montrer que h(t) = kt²

'''solution :'''
  
Commençons par le résultat suivant :
 
si le mouvement d'un corps chutant au départ comme z = 1/2.g.t² est avec une nouvelle origine des temps, z = f(t, Zo, Vo)= 1/2 gt² + Vot +Zo , 

alors à un instant T1, il sera en Z1 = f(T1, Zo, Vo) avec la vitesse V1 = g.T1 + Vo. 

Puisque la vitesse V1 joue à cet instant '''le même rôle''' que Vo à l'instant t=0 pris pour origine, Torricelli dit que :
z= f(t+T1, Zo, Vo) = f(t,Z1, V1), avec la même fonction f(., . , .), soit :
 
1/2 g (t+T1)² + Vo.(t+T1) + Zo = ? = 1/2 g.t² + V1.t + Z1 ,
avec V1 = g.T1 + Vo et Z1 = 1/2 g.T1² + Vo.T1 + Zo :

Après simplification, Zo s'élimine ainsi que Vo.t , puis Vo.T1 .
Il reste à vérifier : 

1/2 g (t+T1)² = ? = 1/2 g.t² + g.T1.t + 1/2 g.T1² , ce qui est vrai.

'''Mais ce n'est pas la réponse demandée''' ! bien que cela soit perçu par beaucoup d'étudiants comme la bonne réponse ! le calcul est en effet pertinent et exact; mais il ne répond pas à la question ! On ne fait que vérifier l'auto-pertinence de la formule, mais on ne démontre pas h(t) = k t² !  

Voici ce que Torricelli a dit :

z = h(t+T1) + Zo + Vo.(t + T1) = h(t)+ Z1 + V1.t , ceci quel que soit t , avec Z1 = h(T1) + Zo + Vo.T1 , et avec V1 = h'(T1) + Vo (exprimé en formalisme moderne). Ce qui conduit à l'équation fonctionnelle:

h(t+T1) = h(t) + h(T1) + h'(T1).t , 

pour tout t et pour tout T1.

Alors , par symétrie de rôle de t et de T1 , on peut écrire :

h(t+T1) = h(T1) + h(t) + h'(t).T1

ce qui conduit à h'(t).T1 = h'(T1).t et donc h'(t)/t = h'(T1)/T1 = cste donc , appelons-la ...g ! Alors h'(t) = g.t

'''La vitesse ne pouvait être que linéaire en t'''.

Du reste, si on prend l'origine du référentiel galiléen tangent à l'instant de départ , donc avec une vitesse nulle, cela paraît &quot;naturel&quot; ! Remarquable raisonnement de Torricelli en 1641(De Motu).

Au final, si h'(t) = g.t , h(t) = 1/2.g.t² :

Rappelons ce qui a été utilisé : l'invariance galiléenne et l'invariance du mouvement par translation (ce qui revient à dire : pesanteur constante).

Il est évident que Galilée fût ravi que son ami Castelli eût un élève aussi doué ! D'autant que Torricelli n'avait pas ces notations modernes !
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'''Un autre joli raisonnement de Torricelli(1647) :''' 
à la veille de sa mort, Torricelli possédait très bien la relation v² = 2 gx , et même v² - vo² = 2g ( z-zo ). Voici ce qu'il disait du cas g(z) , pesanteur non uniforme. Lâchons une pierre sur une hauteur 2H , où sur le premier intervalle H , g = g1 , et sur le deuxième g = g2 . Trouver la vitesse finale . Généraliser à 3 intervalles , puis N intervalles . Conclure si g = g(z) , v² = ∫ g(z) dz . 

réponse : sur le premier intervalle , v1² = 2 g1 H ; sur le deuxième , la vitesse s'accroît et devient telle que v2² = v1² + 2 g2 H = 2 ( g1+ g2 ) H .
Ceci se généralise en v(nH)² = 2 ( somme des gi ) Δz . Ce que des étudiants de L1 comprendront vite comme v² = 2 ∫ g(z) dz . Malheureusement, Torricelli , qui vient de publier un livre de stéréotomie ( la découpe des pierres ), et qui a parfaitement maîtrisé l'enseignement de son maître, Cavalieri , meurt subitement en 1647 . Mersenne meurt peu après. Et Pascal ne saura pas récupérer cet héritage ; ni Fermat ; ni Huygens ; dommage...il s'agissait des prémisses du calculus.

== Exercices, deuxième série ==


=== exPseudoparadoxe de la vitesse nulle(**) ===
Marin Mersenne (1588-1648) [un des plus célèbres correspondants scientifiques de l'époque] n'arrivait pas à comprendre la loi V = g.t , car disait-il, si V = 0 au départ , le plomb ne peut pas avancer ! Huygens(à 17ans!) lui répondit(1646). Imaginer sa lettre de réponse.

Mersenne ne comprenait pas non plus v² = 2gx , et en x=0, v est nulle. Donc le mobile n'avance pas.

''' Solution :  '''
Essentiellement, le jeune Huygens répondit que la loi générale était V = Vo + gt , même si Vo est négatif (la pierre est lancée vers le haut) : la loi est tout aussi vraie , mais c'est une loi affine dans ce cas, avec '''vraiment rien de particulier''' au moment où V(t) = Vo. Au sommet de la parabole du diagramme horaire, il ne se passe donc strictement rien de particulier, même si ce point fût l'objet de spéculations intellectuelles très passionnées, pour savoir si le temps passé en ce point était FINI.

Torricelli, lui, invoquera le raisonnement suivant : par invariance galiléenne, on peut se placer dans n'importe quel référentiel de vitesse Vo ; alors le sommet du diagramme horaire est n'importe quel point. Le &quot;sommet&quot; devient un point ordinaire ; ainsi on a banalisé ce point. Alors, plus personne n'a d'objection ; on dit qu'on a &quot;réduit&quot; le pseudo-paradoxe. Progressivement, avec les siècles, la question n'est même plus soulevée.'''Les contradicteurs sont morts'''. 

La deuxième question est plus délicate, pour l'époque : si v(x) = sqrt( 2gx ) , comment l'intégrer ? De nos jours, on dit l'équation est de Cauchy-Lipschitz, et le tour est joué. En 1620, dt = dx/sqrt(2gx) n'est pas encore intégrable en t = sqrt(2x/g).

Quelques années auparavant, la confusion v(x) ou v(t) est bien plus grande. Il faut bien voir que la notion de fonction n'est pas affermie. On a des tableaux numériques : à t(k) correspond z(k). On peut en faire des tableaux de différences, les Δt et les Δx. Puis dt/dx ( càd 1/v ) fonction de t ou de x ? Pourquoi est-ce v =dx/dt = f(t) qui s'impose ; et non pas 1/v = f(x) ? Ces questions n'ont rien d'anodin. Galilée s'est fait piéger. Descartes aussi. La science cafouille souvent , mais progresse ! 
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=== ex_sur la loi de Sarpi(***) ===
La loi de Galilée dans son deuxième énoncé semble absurde : quelle que soit la masse du corps, le corps tombe de la même manière dans le vide !  Question 1 : la lumière(c'est-à-dire un photon) tombe-t-elle dans le vide ? Question 2 : l'air tombe-t-il ? 

'''Solution : '''
Oui ! ce sont des questions un peu shadok, quasi-impertinentes ! Mais il convient de les poser.

'''Question 1 :'''  oui , la lumière tombe dans le vide, MAIS ce n'est pas sa vitesse qui change , puisqu'elle reste immuable : c = 299 792 458 m/s. C'est son impulsion ; il vaut mieux parler de photon : ainsi l'impulsion du photon change, c'est parfaitement vérifié aujourd'hui (il faut en tenir compte dans l'envoi des signaux [[w:GPS|GPS]], sous peine de voir la qualité des résultats être entâchée d'une erreur systématique). Par ailleurs, l'énergie change corrélativement, c'est le red-shift gravitationnel d'Einstein, vérifié lui aussi. 

'''Question 2 :''' oui bien sûr , une molécule de dioxygène tombe. Si l'air globalement ne tombe pas , c'est qu'il est déjà tombé depuis longtemps : on sait bien que l'air est situé essentiellement à basse altitude ; mais précisément comme il y en a plus en bas qu'en haut, la '''diffusion thermique''' en fait plus remonter du bas vers le haut que du haut vers le bas ; ce que nous voyons est l'équilibre dynamique stationnaire entre ces deux phénomènes : la chute vers le bas et la diffusion globalement vers le haut (Einstein,1905). On peut relire l'explication magnifique de Feynman , dans Lectures on physics.

== À quoi est due la pesanteur ? ==
Bonne question !

La pesanteur est essentiellement due à l'attraction terrestre et partiellement au pivotement de la Terre ( et encore un peu à tous les Astres, mais usuellement, on met cette partie dans &quot;l'action de marée&quot; ).

Il est hors de question dans cette première leçon de parler de la gravimétrie.

Pour faire simple, on peut dire ceci : si la Terre était sphérique et ne pivotait pas, alors la pesanteur se réduirait à une attraction (verticale par définition), centrale ( c'est à dire dirigée vers le centre O de la Terre) de valeur : G.M / r² = g(r)  (théorème dit ''remarquable'' de Newton, 1685 ); comme la Terre pivote, elle s'aplatit légèrement en forme de géoïde (aplatissement =~ 1/298), et la gravité est légèrement plus élevée au pôle qu'à l'équateur.

Cavendish(1731-1810) mesurera G en 1798 avec énormément de difficulté : G = 6.67 10^-11 N.m²/kg² environ. On en déduit la valeur de la masse de la Terre si l'on connaît son rayon : M = ~6 10^24 kg . Truc mnémotechnique , retenir que la masse_volumique de la Terre est intermédiaire entre celle de l'eau (1kg/L) et dix fois plus (10kg/L) , soit 5.5 kg/L . 

Ceci dit, à quoi est due l'attraction de la Terre, cette étrange action à distance ? '''Newton''', après y avoir réfléchi longtemps, déclara forfait : ''hypotheses non fingo'', je ne fais aucune hypothèse. Il la posa comme postulat, il en généralisa la portée. Il en formula toutes les conséquences. Il fondait ainsi une discipline, la mécanique dite &quot;rationnelle&quot; qui sera, pour des siècles et des siècles, la discipline-phare des sciences physiques. '''Euler, Lagrange, Hamilton, Poincaré''' et des milliers d'autres poursuivront les travaux de '''Newton'''. Puis '''Einstein''', en 1915, donna une interprétation de l'attraction gravitationnelle, en termes géométriques : la matière distord l'espace-temps, et tous calculs faits, on retrouve dans le cas de faible distorsion, la loi de Newton. Satisfaisant, mais cette théorie ne cadre pas encore avec la ''mécanique quantique''. La science doit continuer à progresser.

== Retour ==

Rappel : la page de discussion contient pas mal de matériaux bibliographiques.

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      <text bytes="30012" xml:space="preserve">&lt;noinclude&gt;{{Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences}}&lt;/noinclude&gt;

*Attention : une bonne partie de la réflexion est actuellement dans la discussion. Elle en sortira quand elle aura été suffisamment critiquée.

Cette première leçon est élémentaire. Son niveau est bac-2, bac-1, bac , et bac+1. Les exercices et les commentaires sont de niveau variable.

== Loi de Galilée==
=== Expérience=== 
Soit un plomb, P, soutenu par une ficelle mince.

On le laisse bien au repos, au ras du sol. On marque à la craie la position au sol, disons A . Le plomb est relevé de 2m environ, bien à la verticale de A en un point O.

Il est immobile en O. On brûle la ficelle. Le plomb tombe de O en A. En &quot;chute libre&quot;, dit-on ; en réalité, l'air perturbe le mouvement en le ralentissant.

Galilée(1564-1642) eût l'idée, '''géniale pour l'époque''', d'imaginer ce mouvement '''''à la limite''''' où il n'y aurait pas d'air ! Le plomb tomberait alors dans le vide : c'est la chute libre verticale, dont Galilée donna la loi en 1604.

=== La loi  ===
Soit z(t) la hauteur de chute, v  la vitesse de chute, et a l'accélération.  

'''L'accélération est constante'''. 

On l'appelle g.
À Paris, elle vaut 9.81 m/s². 
La vitesse initiale est nulle.

On en déduit :
 
:&lt;math&gt; \frac {d^2z}{dt^2} = g  &lt;=&gt;   \frac{dz}{dt} = gt &lt;=&gt; z =\frac{1}{2}gt^2  &lt;/math&gt;


( De plus, si on élimine la variable t entre v(t) et z(t), on obtient :  v² = 2gz ; Torricelli(1640)).

Avec des conditions initiales quelconques, on obtiendrait :

&lt;math&gt;v = v_0 + gt &lt;=&gt; z =\frac{1}{2}gt^2 + v_0 t + z_0  &lt;/math&gt;

''Remarque'' : en réalité, le pivotement de la Terre en un jour sidéral provoque une minuscule déviation vers l'Est.

==Notes historiques==

===penser le vide ===

Aujourd'hui, on sait faire cette expérience dans un tube privé d'air (grâce à une pompe aspirante). On a des caméras pour enregistrer le mouvement. On peut refaire l'expérience à loisir avec d'autres dispositifs. On l'a même refaite sur la Lune, qui n'a pas d'atmosphère. À l'époque ( avant 1644 ), '''penser le vide''' était assez '''révolutionnaire''', voire hérétique (la discussion en est passionnante, cf article sur le vide) ; Galilée lui-même n'y croyait pas trop ; son élève Torricelli(1609-1647) mit en évidence le &quot;vide grosso&quot; dans la &quot;chambre barométrique&quot; en 1644, ceci après avoir compris le problème des fontainiers (de la ville de Sienne) qui n'arrivaient pas à faire fonctionner leurs siphons.

Le génie de Galilée fût de penser la loi comme une loi-limite qui existerait à la limite du vide absolu. En effet, dès que la vitesse est grande, la résistance de l'air vient '''limiter''' la vitesse. Cette vitesse-limite est différente selon les corps. La loi de Galilée devient fausse. Chacun peut le vérifier ; et Galilée, et ses contemporains, le savaient. L'affirmation de Galilée , v = g.t , est donc une décision, correspondant à une loi approximative de début de mouvement dans l'air résiduel.

===la masse n'intervient pas ===

La lettre de Galilée à Sarpi (16/10/1604) présente en réalité '''deux''' Lois:
 
#Le mouvement a une accélération constante 
#'''Un fait extraordinaire''', '''peu crédible''' mais pourtant vrai : la loi ne dépend pas du plomb ! 

On peut prendre une pierre, un sac lesté de plomb, de sable ou de papier, ou de polystyrène, une fleur de pissenlit, une plume. Dans un tube de verre de 2m de long, dont l'air a été pompé, on fait chuter la plume et le plomb ; on parle de l'expérience du &quot;tube de Newton&quot;. Il faut avoir vu cette plume tomber vertigineusement vite :

#'''elle accélère de 10 m/s chaque seconde ;''' 
#'''La plume tombe exactement comme le plomb !''' 

Évidemment, ce qui est le plus curieux dans cette loi est que ni la masse ni la densité du corps n'interviennent : ceci paraît absurde. Et la lumière tombe-t-elle dans le vide ? et l'air, pourquoi ne tombe-t-il pas ? Voir l'exercice.

En réalité, Galilée n'a pas pu vérifier la loi. Il a même &quot;triché&quot; sciemment. Ses contemporains avaient déjà vérifié amplement certaines caractéristiques de la chute dans l'air. Galilée a ignoré ces critiques. Comme il l'a réaffirmé dans le Dialogo, il se place dans une situation théorique, où le vide est '''parfait'''.

Que la masse inerte soit égale à la masse pesante sera la base du Principe d’Équivalence, en théorie de la Relativité Générale d'Einstein, en 1915 ; mais c'est bien plus savant.

===  la Tour de Pise ===
Il faut tordre le coup à ce faux compte-rendu de Viviani dans son hagiographie de la vie du grand Maître : Galilée n'a vraisemblablement jamais vérifié sa loi à la tour de Pise. Koyré le démontre très bien : Galilée , tout comme Beeckman, sait l'existence d'une vitesse-limite. Plomb et sureau ne tombent pas à la même vitesse. Deux billes de plomb non plus. À quoi eût donc servi une telle expérience ? 

De fait, la grande idée expérimentale de Galilée fût en réalité celle de ralentir la chute, via le plan incliné (voir leçon ultérieure), et de penser théoriquement une gedanken-experiment : faire remonter ensuite la masse sur un autre plan incliné : alors, il était '''crédible''' que la bille allait remonter à la même hauteur, ''' à supposer''' que l'influence des frottements fût négligeable. '''Cette supposition est ce qui permet d'épurer le mouvement : la loi devient simple'''. Puis dans une seconde partie (laissée inachevée!), la perturbation due à l'air vient modifier le comportement. D'autres que Galilée eurent des idées, elles aussi très ingénieuses, plus proches même de la réalité expérimentale. L'Histoire n'a retenu que Galilée, parce que sa démarche s'est avérée la plus fructueuse. Mais ne pas oublier les autres.

===les difficultés liées au calculus===

La présentation donnée, v=gt ; z=1/2 gt², est ''anachronique'', très loin de la formulation de 1604. S'il faut attendre 1640 pour trouver la formule de Torricelli, v²=2gz, c'est que ce n'est pas simple, pour l'époque. Il y a au moins trois difficultés :

La notion d'unité, de dimension est précaire (les ''Discorsi'' sont écrits en 1638). Nos montres n'existent pas. La mesure du temps est rudimentaire : on fait chanter une chorale et on se base sur son tempo. Un peu plus tard, on utilisera le pendule ( sans même discuter la circularité du raisonnement, car le pendule utilise aussi la chute ). Galilée n'utilisera jamais &quot;l'axe des temps&quot;. Et bien sûr, la notation g n'existe pas en 1604 ! 

La notion de fonction n'existe pas vraiment. On a simplement deux tableaux numériques : z(k) positions échelonnées aussi régulièrement que possible versus temps de passage t(k). Mais pourquoi ne pas utiliser des temps espacés régulièrement ? Comment intrapoler pour passer d'un tableau à l'autre ? etc. Et on se rend compte très vite que le point initial est grande source d'erreur, à cause du déclenchement du &quot;&quot;chronomètre&quot;&quot;. D'où l'idée de procéder avec les différences_premières ; l'erreur systématique est moindre ; mais alors mesurer des différences augmente l'erreur expérimentale. Mais doit-on afficher les temps à des positions espacées régulièrement ? ou bien les positions à des dates échelonnées régulièrement ? Ce que Galilée va finalement privilégier, ce sont des dates échelonnées : alors, les différences d'espace augmentent comme 1,3,5,7,...(et ceci, ''quel que soit le choix de l'intervalle de temps''). Or il sait que la somme des impairs est un carré. Il en déduit z ~ t². 

La troisième difficulté est la notion de ''calculus'' ( le calcul différentiel et intégral ) : la notion de vitesse instantanée, à la date t, à un instant déterminé, dans le &quot;moment&quot; examiné, etc , n'existe pas encore.Il faudra attendre Newton, et surtout Leibniz pour écrire la dérivée v = dz /dt, via la limite ultime des durées petites, ou des distances infimes ; et comment la déduire des t(k),z(k) ? Et si on définit la lenteur comme limite de Δt/Δz, a-t-on la lenteur égale à 1/v ?  

Admettons que l'on forme un tableau de ces v_i &quot;au mieux&quot; ; ce tableau formé, faut-il considérer les v(k) fonction des t(k) ou bien des z(k) ? Galilée est hésitant. Cela en est touchant. Mais l'affaire est importante, car au coup suivant, pour la &quot;différence des différences&quot;, il faudra aussi faire attention ; est-ce v(t) ou bien lenteur(z)? auquel cas d(lenteur(z))/dz ne donne rien de bien simple! C'est bien dv(t)/dt qui est simple. On affouille, bafouille, cafouille. On patouille. Clairement, 50 après, on a progressé. Mais combien d'efforts de savants illustres ! Le terrain aplani, nous perdons conscience de cette difficulté immense : la construction du calculus.

== Exercices ==

On prendra g = 10 m/s² approximativement.

===quelques exercices simples===
1/. '''simple AN''' : Trouver la hauteur de chute si le temps de chute est 2s .

'''Réponse''' : h = 1/2 . 10 . 4 = 20 m ! et la vitesse à l'arrivée est v= 20 m/s soit 72 km/h : malheur à vous, c'est fatal ! 
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2/. '''ex.RelationV(x)''' : Éliminer le temps entre z(t) et v(t) pour trouver la relation dite de Torricelli(1608-1647) : v² = 2g.z (c'est la quatrième formulation de la loi, dans le résumé).

En déduire la compréhension du slogan de la Sécurité routière : arriver sur un obstacle à 36 km/h &quot;c'est comme&quot; chuter de 5 m (2ème étage environ), mais à 72 km/h , c'est comme chuter de 20 m! mortel sans ceinture et air-bag.

Montrer plus généralement que V² -Vo² = 2g (z-zo) [ loi de Torricelli(1608-1647).

'''solution''' : 
en reportant t= v/g dans z = 1/2 gt², on obtient z = 1/2 g(v/g)² , soit v²= 2gz.

2g(z-zo) = 2gVot +g²t² ; et V² = (Vo+gt)² = Vo² + 2gVot + g²t² , d'où V²-Vo² = 2g(z-zo).
:Appliquer le théorème de l'énergie cinétique serait ici anachronique. Leibniz ne l'énoncera que vers 1700 ! 
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3/. '''ex.Croisement''' : c'est un teaser classique. On lance une pierre P vers le haut. Elle atteint la hauteur H . Juste à cet instant, on lance une deuxième pierre Q de la même manière. De tête, où les 2 pierres se rencontrent-elles ?

'''solution ex.Croisement''' :
Tracer le diagramme horaire de P, zP(t) et celui de Q, zQ(t) : ces deux courbes identiques sont décalées de sorte que le sommet de l'une est au pied de l'autre, la symétrie montre que la rencontre a lieu à T/2 ; le résultat devient évident :[Réponse : rencontre à z =3/4 . H].

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4/. '''exercice Beeckman(1618)''' : Beeckman connaît x ~ t² , mais pas encore v² ~ x . Alors il se pose la question suivante : on lâche une pierre du 8eme étage et le temps de chute est T =2s , et sa vitesse vo . Quelle est la durée du 4eme au sol ? et la vitesse au 4eme ? 

réponse : pour Beeckman , le raisonnement est tout à fait laborieux ; en 1641 , pour Torricelli c'est évident. En 20 ans, il y a grand progrès sur la notion de vitesse instantanée ! Ici, pour la moitié d'espace, le temps de passage au 4eme est T/ sqrt(2) , et donc la durée demandée est T( 1 - 1/sqrt(2)) . La vitesse est linéaire en temps , donc V( au 4eme ) = vo / sqrt(2)  
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5/  '''exercice saut à la perche''' : On dit que la perche sert juste à transférer la vitesse horizontale en vitesse verticale vo . En ordre de grandeur, montrer qu'un record sportif H = 8 m est improbable. 

réponse : oui , improbable, car H = 8m correspond à une vitesse vo ~ 12 à 13 m/s , soit 43-46 km/h , pas trop crédible. De fait, il faudrait pouvoir alors maîtriser le saut... 

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(* signale un exercice plus difficile)

===Puits===
Pour avoir la hauteur H d'un puits, on y laisse tomber un caillou au temps t = 0 ; on entend le son au temps T = 2 s : trouver la hauteur H (on appellera c , la célérité du son, égale à 1000/3 m/s).

'''solution ex.Puits'''  : On aura la durée de chute t₁ telle que H = ½ g t₁² , et la durée de retour du son t₂ telle que H = ct₂ ; soit 
T = durée totale = t₁ +t₂ = sqrt(2H/g) + H/c , équation du deuxième degré en sqrtH = x &gt; 0 ; soit x² + x. sqrt(2c²/g)-cT = 0  et on en prend la racine positive.

Allyson prend alors sa calculette et trouve x= 4,34546 ; puis H = 18,883 m

Alliette, elle, pousse les calculs littéraux jusqu'au bout et trouve x² = H = 1/2 gT².[ 2 / (1 + sqrt(1+2gT/c))]² = 20. (0,94415) = 18,883 m 
 
De même, après moult calculs, l'équation en x²= H peut se réécrire  :  H = 1/2 g(T-H/c)² = 1/2 gT² ( 1 - H gT/2c)^2

Béatrice dit : maiz'alors, il suffit de dire que si t₂= H/c, alors t₁ = T- H/c , donc H = 1/2 g(T-H/c)²  

L'équation du second degré obtenue est alors : H² - 2H(c²/g + cT) + c²T² = 0

En poursuivant les calculs littéraux, on retrouve le résultat exact d' Alliette.

Catherine dit : t₁ &lt; T donc H = 1/2 g.(t₁)² &lt; 1/2 gT² = 20 m = Ho ; elle ajoute finement : donc   t₂ = H/c &lt; Ho/c = 60 ms ; mesalors t1 &gt; T-Ho/c ; et H &gt; 1/2 g (T-Ho/c)² , soit H1 = 18.82m .

Daisy s'empresse : donc H &lt; H2 = 1/2 g (T-H1/c)². Le démontrer.

Emmy, matheuse, finit : soit y(x) = 1/2 g (T- x/c)² et y = x ; la suite récurrente Hn converge en &quot;araignée&quot; vers la solution d'autant plus vite que [y'(x)| est inférieure à 1. On a successivement 20, puis 18,82 , puis 18,88 m . 

remarque-annexe sur les chiffres significatifs : la résistance de l'air rend ces calculs au centimètre près fictifs. Par ailleurs, on n'a pas poussé au-delà, ( et la margelle du puits ? ), et car il y a ambiguïté sur les ChS : on aurait dû donner T = 2,0000 s par exemple ; passons, d'ailleurs on a pris g = 10.

Fanny, pragmatique, conclut : bon, dans ces conditions, je reprends juste le calcul de Catherine : H &lt; 20 m , la première correction est -1,2 m ; DONC , SI c'est une progression géométrique alternée, de raison k = -6/100, alors H = 20/ (1+k) = 18,87 ; soit H = 18,9 m avec 3 ChS. D'ailleurs, numériquement, Béa a trouvé : H = 20 (1-3H/100)², soit sensiblement H = 20 ( 1-6/100 ), c'est pareil.

Chaque élève a son bout de vérité. C'est souvent l'ensemble des réponses qui donne une compréhension harmonieuse. Un problème a rarement une solution exacte et la méthode initiée par Catherine est donc très appréciée ; elle conduit aussi, par itération, au résultat exact et une itération de cette sorte est très aisée à conduire avec les calculettes usuelles. En conclusion, on a besoin : 1/. de mettre en équations  et, éventuellement, de sortir la physique hors des équations pour mettre tout sous forme d'un pb de math 2/. résoudre alors comme en math, avec toute les capacités des math, y compris l'analyse numérique  3/. exploiter la solution du point de vue physique.

Reprenons le tout pour fixer la démarche : 

Un puits , 2s , g = 10 et c = 333 m/s . Donc en gros H = 20m , et le retour du son en 60ms : le prof nous fait calculer des clopinettes..., soit !

mise en équation : H = 1/2 g (T -H/c )² 

et sortir la physique des équations : H = 1/2 gT². Z , soit Z = ( 1 - gT/2c .Z )^2 , et on passe aux maths

résoudre l'éq en Z : c'est une éq du 2eme degré =&gt; résultat 

ou résoudre Z = f(Z) = f(f(Z)) , etc , point-fixe =&gt; résultat 

interprétation-du résultat : pas la peine d'aller au delà du cm ! on a pris g = 10 m/s²
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=== Expérimentation(*)===
Une caméra prend des photos d'une bille en chute libre à des tops réguliers, d'intervalle T. Une règle verticale photographiée en même temps que la bille donne 3 valeurs z1, z2 et z3 pour des temps t1, t2 = t1 + T , t3 = t1 + T .Montrer que , quel que soit t1 et T , [(z3-z2)/T - (z2-z1)/T ]/T = g . En déduire une manière de mesurer g avec avantage. La réciproque est-elle vraie(**), c'est à dire : si l'accélération discrète est constante, le mouvement discret est-il celui de Galilée ?


'''solution expérimentation : '''
 
Comme la vitesse Vo n'intervient pas,cela se vérifie d'ailleurs aisément, il reste en prenant t2 comme origine,

z3-2z2+z1 = 1/2.g[(t2+T)² -2(t2)² + (t2-T)²] = 1/2. g [ 2 T²].

On appelle dérivée discrète seconde au point z2 , la quantité (z3-2z2+z1)/T² .

On constate qu'elle vaut g , ceci quel que soit z2 et T !

(**)Et réciproquement, une suite récurrente z(n+1) = 2 z(n) - z(n-1) + Go(T)² est effectivement une suite du type z(n) = ½Go (n.T)² + A (n.T) + B.

Tout ceci permet d'intéressantes comparaisons expérimentales et permet de valoriser certains TP(travaux pratiques). Admettons par exemple que la caméra donne 25+1 photos sur une seconde (soit une chute de 5m devant une règle graduée): Voici une méthode parmi d'autres, via un logiciel de traitement de données : la caméra a donné la k-ième photo au temps k/25 . 
Donc, on possède un '''tableau de valeurs numériques''', 26 valeurs de l'abscisse z(k) au temps t(k). De ces 26 valeurs, il faut tirer une valeur de g. C'est de manière très usuelle le problème d'un TP : la théorie est faite. On veut la vérifier et en tirer la valeur d'un paramètre du problème, au mieux.

Pour cela, on calcule les 24 dérivées discrètes. Par exemple, pour calculer a(4) on calcule les valeurs sensiblement identiques : (z(0)-2z(4)+z(8))/16 ; (z(1)-2z(4)+z(7))/9 ; (z(2)-2z(4)+z(6))/4 ; (z(3)-2z(4)+z(5))/1 ; et on extrapolera. On portera alors ces valeurs a(k) en fonction de v(k)² [avec les v(k) calculées de même façon ]: la courbe est &quot;sensiblement linéaire&quot; : son extrapolation pour les faibles vitesses donne LA valeur de g. On a ainsi défini une '''procédure algorithmique''', qui, éventuellement, peut s'automatiser.
Les résultats d'une classe (2 *2* 12 élèves) sont honnêtes et valent bien le résultat obtenu avec le pendule réversible, dit de Kater. Ne pas espérer 3 ChS (chiffres significatifs) ! 

D'autres dispositifs équipés de photodiodes donnent le temps de passage à telle ou telle altitude (t(k) = T(z(k)) ). Certaines méthodes lancent le projectile vers le haut ; il retombe ; au passage il a coupé les deux faisceaux de deux photodiodes distantes de H, aux temps t1, t2, t3, et t4. On forme les deux durées D1 = t4-t1 et D2 = t3-t2. Montrer que g = 8H / (D1²-D2²). 

'''note''' : Actuellement(2015), la méthode de chute libre est utilisée mais en faisant tomber &quot;le coin de cube d'un Michelson&quot;, servant de miroir réflecteur : les franges défilent et sont enregistrées. On arrive à une précision relative de 11 ChS(Chiffres Significatifs), depuis la mise au point du dispositif par Sakuma, en 1970, au BIPM (Bureau International des Poids et mesures , installé au parc de Saint-Cloud, Paris).Inutile de dire qu'il faut de multiples précautions. 

Une autre méthode consiste à laisser tomber un &quot;atome-froid&quot; , et on étudie sa fonction d'onde quantique :précision , 10^(-12).

La gravimétrie est donc devenue une science très précise, utilisée par les géologues. Voir plus loin, leçon sur la gravimétrie (de niveau nettement plus élevé).

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=== Un raisonnement de Torricelli(**)===
 
Galilée défendit la thèse suivante, appelée depuis Principe de Relativité galiléenne : si un bateau se déplace à la vitesse constante Vo, alors on ne peut pas s'en apercevoir depuis l'intérieur du bateau ; on pourrait continuer à jouer au ping-pong, à faire de la GRS, etc. RIEN ne permet de distinguer le mouvement du bateau. &quot;Un mouvement uniforme , c'est comme RIEN &quot;. Familièrement, on dirait aujourd'hui, ça compte pour du beurre. 

Torricelli(1608-1647) est le premier à avoir appliqué ce principe à la chute libre. 

*[ '''''Note historique''''' : dans son deMotu, 1641,il l'a signalé à Castelli (1577-1644) , qui en rendit compte à Galilée. Galilée , très admiratif, demanda à Torricelli de devenir son élève, en 1641 ; bien que très fier d'être choisi, Torricelli était mort de trouille, à cause de l'Inquisition : rappelons que dire du mouvement de la Terre, c'est comme rien , revenait à accréditer la thèse de Copernic. Or le Vatican venait de condamner cette thèse en 1618 ].

Torricelli '''admet''' que z(t) = h(t)+Vot+Zo , avec h(t) fonction inconnue, mais indépendante de Zo ET de Vo. Ce faisant, il admet beaucoup. Mais alors, grâce au principe de relativité, montrer que h(t) = kt²

'''solution :'''
  
Commençons par le résultat suivant :
 
si le mouvement d'un corps chutant au départ comme z = 1/2.g.t² est avec une nouvelle origine des temps, z = f(t, Zo, Vo)= 1/2 gt² + Vot +Zo , 

alors à un instant T1, il sera en Z1 = f(T1, Zo, Vo) avec la vitesse V1 = g.T1 + Vo. 

Puisque la vitesse V1 joue à cet instant '''le même rôle''' que Vo à l'instant t=0 pris pour origine, Torricelli dit que :
z= f(t+T1, Zo, Vo) = f(t,Z1, V1), avec la même fonction f(., . , .), soit :
 
1/2 g (t+T1)² + Vo.(t+T1) + Zo = ? = 1/2 g.t² + V1.t + Z1 ,
avec V1 = g.T1 + Vo et Z1 = 1/2 g.T1² + Vo.T1 + Zo :

Après simplification, Zo s'élimine ainsi que Vo.t , puis Vo.T1 .
Il reste à vérifier : 

1/2 g (t+T1)² = ? = 1/2 g.t² + g.T1.t + 1/2 g.T1² , ce qui est vrai.

'''Mais ce n'est pas la réponse demandée''' ! bien que cela soit perçu par beaucoup d'étudiants comme la bonne réponse ! le calcul est en effet pertinent et exact; mais il ne répond pas à la question ! On ne fait que vérifier l'auto-pertinence de la formule, mais on ne démontre pas h(t) = k t² !  

Voici ce que Torricelli a dit :

z = h(t+T1) + Zo + Vo.(t + T1) = h(t)+ Z1 + V1.t , ceci quel que soit t , avec Z1 = h(T1) + Zo + Vo.T1 , et avec V1 = h'(T1) + Vo (exprimé en formalisme moderne). Ce qui conduit à l'équation fonctionnelle:

h(t+T1) = h(t) + h(T1) + h'(T1).t , 

pour tout t et pour tout T1.

Alors , par symétrie de rôle de t et de T1 , on peut écrire :

h(t+T1) = h(T1) + h(t) + h'(t).T1

ce qui conduit à h'(t).T1 = h'(T1).t et donc h'(t)/t = h'(T1)/T1 = cste donc , appelons-la ...g ! Alors h'(t) = g.t

'''La vitesse ne pouvait être que linéaire en t'''.

Du reste, si on prend l'origine du référentiel galiléen tangent à l'instant de départ , donc avec une vitesse nulle, cela paraît &quot;naturel&quot; ! Remarquable raisonnement de Torricelli en 1641(De Motu).

Au final, si h'(t) = g.t , h(t) = 1/2.g.t² :

Rappelons ce qui a été utilisé : l'invariance galiléenne et l'invariance du mouvement par translation (ce qui revient à dire : pesanteur constante).

Il est évident que Galilée fût ravi que son ami Castelli eût un élève aussi doué ! D'autant que Torricelli n'avait pas ces notations modernes !
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'''Un autre joli raisonnement de Torricelli(1647) :''' 
à la veille de sa mort, Torricelli possédait très bien la relation v² = 2 gx , et même v² - vo² = 2g ( z-zo ). Voici ce qu'il disait du cas g(z) , pesanteur non uniforme. Lâchons une pierre sur une hauteur 2H , où sur le premier intervalle H , g = g1 , et sur le deuxième g = g2 . Trouver la vitesse finale . Généraliser à 3 intervalles , puis N intervalles . Conclure si g = g(z) , v² = 2∫ g(z) dz . 

réponse : sur le premier intervalle , v1² = 2 g1 H ; sur le deuxième , la vitesse s'accroît et devient telle que v2² = v1² + 2 g2 H = 2 ( g1+ g2 ) H .
Ceci se généralise en v(nH)² = 2 ( somme des gi ) Δz . Ce que des étudiants de L1 comprendront vite comme v² = 2 ∫ g(z) dz . Malheureusement, Torricelli , qui vient de publier un livre de stéréotomie ( la découpe des pierres ), et qui a parfaitement maîtrisé l'enseignement de son maître, Cavalieri , meurt subitement en 1647 . Mersenne meurt peu après. Et Pascal ne saura pas récupérer cet héritage ; ni Fermat ; ni Huygens ; dommage...il s'agissait des prémisses du calculus.

== Exercices, deuxième série ==


=== exPseudoparadoxe de la vitesse nulle(**) ===
Marin Mersenne (1588-1648) [un des plus célèbres correspondants scientifiques de l'époque] n'arrivait pas à comprendre la loi V = g.t , car disait-il, si V = 0 au départ , le plomb ne peut pas avancer ! Huygens(à 17ans!) lui répondit(1646). Imaginer sa lettre de réponse.

Mersenne ne comprenait pas non plus v² = 2gx , et en x=0, v est nulle. Donc le mobile n'avance pas.

''' Solution :  '''
Essentiellement, le jeune Huygens répondit que la loi générale était V = Vo + gt , même si Vo est négatif (la pierre est lancée vers le haut) : la loi est tout aussi vraie , mais c'est une loi affine dans ce cas, avec '''vraiment rien de particulier''' au moment où V(t) = Vo. Au sommet de la parabole du diagramme horaire, il ne se passe donc strictement rien de particulier, même si ce point fût l'objet de spéculations intellectuelles très passionnées, pour savoir si le temps passé en ce point était FINI.

Torricelli, lui, invoquera le raisonnement suivant : par invariance galiléenne, on peut se placer dans n'importe quel référentiel de vitesse Vo ; alors le sommet du diagramme horaire est n'importe quel point. Le &quot;sommet&quot; devient un point ordinaire ; ainsi on a banalisé ce point. Alors, plus personne n'a d'objection ; on dit qu'on a &quot;réduit&quot; le pseudo-paradoxe. Progressivement, avec les siècles, la question n'est même plus soulevée.'''Les contradicteurs sont morts'''. 

La deuxième question est plus délicate, pour l'époque : si v(x) = sqrt( 2gx ) , comment l'intégrer ? De nos jours, on dit l'équation est de Cauchy-Lipschitz, et le tour est joué. En 1620, dt = dx/sqrt(2gx) n'est pas encore intégrable en t = sqrt(2x/g).

Quelques années auparavant, la confusion v(x) ou v(t) est bien plus grande. Il faut bien voir que la notion de fonction n'est pas affermie. On a des tableaux numériques : à t(k) correspond z(k). On peut en faire des tableaux de différences, les Δt et les Δx. Puis dt/dx ( càd 1/v ) fonction de t ou de x ? Pourquoi est-ce v =dx/dt = f(t) qui s'impose ; et non pas 1/v = f(x) ? Ces questions n'ont rien d'anodin. Galilée s'est fait piéger. Descartes aussi. La science cafouille souvent , mais progresse ! 
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=== ex_sur la loi de Sarpi(***) ===
La loi de Galilée dans son deuxième énoncé semble absurde : quelle que soit la masse du corps, le corps tombe de la même manière dans le vide !  Question 1 : la lumière(c'est-à-dire un photon) tombe-t-elle dans le vide ? Question 2 : l'air tombe-t-il ? 

'''Solution : '''
Oui ! ce sont des questions un peu shadok, quasi-impertinentes ! Mais il convient de les poser.

'''Question 1 :'''  oui , la lumière tombe dans le vide, MAIS ce n'est pas sa vitesse qui change , puisqu'elle reste immuable : c = 299 792 458 m/s. C'est son impulsion ; il vaut mieux parler de photon : ainsi l'impulsion du photon change, c'est parfaitement vérifié aujourd'hui (il faut en tenir compte dans l'envoi des signaux [[w:GPS|GPS]], sous peine de voir la qualité des résultats être entâchée d'une erreur systématique). Par ailleurs, l'énergie change corrélativement, c'est le red-shift gravitationnel d'Einstein, vérifié lui aussi. 

'''Question 2 :''' oui bien sûr , une molécule de dioxygène tombe. Si l'air globalement ne tombe pas , c'est qu'il est déjà tombé depuis longtemps : on sait bien que l'air est situé essentiellement à basse altitude ; mais précisément comme il y en a plus en bas qu'en haut, la '''diffusion thermique''' en fait plus remonter du bas vers le haut que du haut vers le bas ; ce que nous voyons est l'équilibre dynamique stationnaire entre ces deux phénomènes : la chute vers le bas et la diffusion globalement vers le haut (Einstein,1905). On peut relire l'explication magnifique de Feynman , dans Lectures on physics.

== À quoi est due la pesanteur ? ==
Bonne question !

La pesanteur est essentiellement due à l'attraction terrestre et partiellement au pivotement de la Terre ( et encore un peu à tous les Astres, mais usuellement, on met cette partie dans &quot;l'action de marée&quot; ).

Il est hors de question dans cette première leçon de parler de la gravimétrie.

Pour faire simple, on peut dire ceci : si la Terre était sphérique et ne pivotait pas, alors la pesanteur se réduirait à une attraction (verticale par définition), centrale ( c'est à dire dirigée vers le centre O de la Terre) de valeur : G.M / r² = g(r)  (théorème dit ''remarquable'' de Newton, 1685 ); comme la Terre pivote, elle s'aplatit légèrement en forme de géoïde (aplatissement =~ 1/298), et la gravité est légèrement plus élevée au pôle qu'à l'équateur.

Cavendish(1731-1810) mesurera G en 1798 avec énormément de difficulté : G = 6.67 10^-11 N.m²/kg² environ. On en déduit la valeur de la masse de la Terre si l'on connaît son rayon : M = ~6 10^24 kg . Truc mnémotechnique , retenir que la masse_volumique de la Terre est intermédiaire entre celle de l'eau (1kg/L) et dix fois plus (10kg/L) , soit 5.5 kg/L . 

Ceci dit, à quoi est due l'attraction de la Terre, cette étrange action à distance ? '''Newton''', après y avoir réfléchi longtemps, déclara forfait : ''hypotheses non fingo'', je ne fais aucune hypothèse. Il la posa comme postulat, il en généralisa la portée. Il en formula toutes les conséquences. Il fondait ainsi une discipline, la mécanique dite &quot;rationnelle&quot; qui sera, pour des siècles et des siècles, la discipline-phare des sciences physiques. '''Euler, Lagrange, Hamilton, Poincaré''' et des milliers d'autres poursuivront les travaux de '''Newton'''. Puis '''Einstein''', en 1915, donna une interprétation de l'attraction gravitationnelle, en termes géométriques : la matière distord l'espace-temps, et tous calculs faits, on retrouve dans le cas de faible distorsion, la loi de Newton. Satisfaisant, mais cette théorie ne cadre pas encore avec la ''mécanique quantique''. La science doit continuer à progresser.

== Retour ==

Rappel : la page de discussion contient pas mal de matériaux bibliographiques.

*[[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences|Mécanique , enseignée via l'Histoire des Sciences]]

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*Attention : une bonne partie de la réflexion est actuellement dans la discussion. Elle en sortira quand elle aura été suffisamment critiquée.

Cette première leçon est élémentaire. Son niveau est bac-2, bac-1, bac , et bac+1. Les exercices et les commentaires sont de niveau variable.

== Loi de Galilée==
=== Expérience=== 
Soit un plomb, P, soutenu par une ficelle mince.

On le laisse bien au repos, au ras du sol. On marque à la craie la position au sol, disons A . Le plomb est relevé de 2m environ, bien à la verticale de A en un point O.

Il est immobile en O. On brûle la ficelle. Le plomb tombe de O en A. En &quot;chute libre&quot;, dit-on ; en réalité, l'air perturbe le mouvement en le ralentissant.

Galilée(1564-1642) eût l'idée, '''géniale pour l'époque''', d'imaginer ce mouvement '''''à la limite''''' où il n'y aurait pas d'air ! Le plomb tomberait alors dans le vide : c'est la chute libre verticale, dont Galilée donna la loi en 1604.

=== La loi  ===
Soit z(t) la hauteur de chute, v  la vitesse de chute, et a l'accélération.  

'''L'accélération est constante'''. 

On l'appelle g.
À Paris, elle vaut 9.81 m/s². 
La vitesse initiale est nulle.

On en déduit :
 
:&lt;math&gt; \frac {d^2z}{dt^2} = g  &lt;=&gt;   \frac{dz}{dt} = gt &lt;=&gt; z =\frac{1}{2}gt^2  &lt;/math&gt;


( De plus, si on élimine la variable t entre v(t) et z(t), on obtient :  v² = 2gz ; Torricelli(1640)).

Avec des conditions initiales quelconques, on obtiendrait :

&lt;math&gt;v = v_0 + gt &lt;=&gt; z =\frac{1}{2}gt^2 + v_0 t + z_0  &lt;/math&gt;

''Remarque'' : en réalité, le pivotement de la Terre en un jour sidéral provoque une minuscule déviation vers l'Est.

==Notes historiques==

===penser le vide ===

Aujourd'hui, on sait faire cette expérience dans un tube privé d'air (grâce à une pompe aspirante). On a des caméras pour enregistrer le mouvement. On peut refaire l'expérience à loisir avec d'autres dispositifs. On l'a même refaite sur la Lune, qui n'a pas d'atmosphère. À l'époque ( avant 1644 ), '''penser le vide''' était assez '''révolutionnaire''', voire hérétique (la discussion en est passionnante, cf article sur le vide) ; Galilée lui-même n'y croyait pas trop ; son élève Torricelli(1609-1647) mit en évidence le &quot;vide grosso&quot; dans la &quot;chambre barométrique&quot; en 1644, ceci après avoir compris le problème des fontainiers (de la ville de Sienne) qui n'arrivaient pas à faire fonctionner leurs siphons.

Le génie de Galilée fût de penser la loi comme une loi-limite qui existerait à la limite du vide absolu. En effet, dès que la vitesse est grande, la résistance de l'air vient '''limiter''' la vitesse. Cette vitesse-limite est différente selon les corps. La loi de Galilée devient fausse. Chacun peut le vérifier ; et Galilée, et ses contemporains, le savaient. L'affirmation de Galilée , v = g.t , est donc une décision, correspondant à une loi approximative de début de mouvement dans l'air résiduel.

===la masse n'intervient pas ===

La lettre de Galilée à Sarpi (16/10/1604) présente en réalité '''deux''' Lois:
 
#Le mouvement a une accélération constante 
#'''Un fait extraordinaire''', '''peu crédible''' mais pourtant vrai : la loi ne dépend pas du plomb ! 

On peut prendre une pierre, un sac lesté de plomb, de sable ou de papier, ou de polystyrène, une fleur de pissenlit, une plume. Dans un tube de verre de 2m de long, dont l'air a été pompé, on fait chuter la plume et le plomb ; on parle de l'expérience du &quot;tube de Newton&quot;. Il faut avoir vu cette plume tomber vertigineusement vite :

#'''elle accélère de 10 m/s chaque seconde ;''' 
#'''La plume tombe exactement comme le plomb !''' 

Évidemment, ce qui est le plus curieux dans cette loi est que ni la masse ni la densité du corps n'interviennent : ceci paraît absurde. Et la lumière tombe-t-elle dans le vide ? et l'air, pourquoi ne tombe-t-il pas ? Voir l'exercice.

En réalité, Galilée n'a pas pu vérifier la loi. Il a même &quot;triché&quot; sciemment. Ses contemporains avaient déjà vérifié amplement certaines caractéristiques de la chute dans l'air. Galilée a ignoré ces critiques. Comme il l'a réaffirmé dans le Dialogo, il se place dans une situation théorique, où le vide est '''parfait'''.

Que la masse inerte soit égale à la masse pesante sera la base du Principe d’Équivalence, en théorie de la Relativité Générale d'Einstein, en 1915 ; mais c'est bien plus savant.

===  la Tour de Pise ===
Il faut tordre le coup à ce faux compte-rendu de Viviani dans son hagiographie de la vie du grand Maître : Galilée n'a vraisemblablement jamais vérifié sa loi à la tour de Pise. Koyré le démontre très bien : Galilée , tout comme Beeckman, sait l'existence d'une vitesse-limite. Plomb et sureau ne tombent pas à la même vitesse. Deux billes de plomb non plus. À quoi eût donc servi une telle expérience ? 

De fait, la grande idée expérimentale de Galilée fût en réalité celle de ralentir la chute, via le plan incliné (voir leçon ultérieure), et de penser théoriquement une gedanken-experiment : faire remonter ensuite la masse sur un autre plan incliné : alors, il était '''crédible''' que la bille allait remonter à la même hauteur, ''' à supposer''' que l'influence des frottements fût négligeable. '''Cette supposition est ce qui permet d'épurer le mouvement : la loi devient simple'''. Puis dans une seconde partie (laissée inachevée!), la perturbation due à l'air vient modifier le comportement. D'autres que Galilée eurent des idées, elles aussi très ingénieuses, plus proches même de la réalité expérimentale. L'Histoire n'a retenu que Galilée, parce que sa démarche s'est avérée la plus fructueuse. Mais ne pas oublier les autres.

===les difficultés liées au calculus===

La présentation donnée, v=gt ; z=1/2 gt², est ''anachronique'', très loin de la formulation de 1604. S'il faut attendre 1640 pour trouver la formule de Torricelli, v²=2gz, c'est que ce n'est pas simple, pour l'époque. Il y a au moins trois difficultés :

La notion d'unité, de dimension est précaire (les ''Discorsi'' sont écrits en 1638). Nos montres n'existent pas. La mesure du temps est rudimentaire : on fait chanter une chorale et on se base sur son tempo. Un peu plus tard, on utilisera le pendule ( sans même discuter la circularité du raisonnement, car le pendule utilise aussi la chute ). Galilée n'utilisera jamais &quot;l'axe des temps&quot;. Et bien sûr, la notation g n'existe pas en 1604 ! 

La notion de fonction n'existe pas vraiment. On a simplement deux tableaux numériques : z(k) positions échelonnées aussi régulièrement que possible versus temps de passage t(k). Mais pourquoi ne pas utiliser des temps espacés régulièrement ? Comment intrapoler pour passer d'un tableau à l'autre ? etc. Et on se rend compte très vite que le point initial est grande source d'erreur, à cause du déclenchement du &quot;&quot;chronomètre&quot;&quot;. D'où l'idée de procéder avec les différences_premières ; l'erreur systématique est moindre ; mais alors mesurer des différences augmente l'erreur expérimentale. Mais doit-on afficher les temps à des positions espacées régulièrement ? ou bien les positions à des dates échelonnées régulièrement ? Ce que Galilée va finalement privilégier, ce sont des dates échelonnées : alors, les différences d'espace augmentent comme 1,3,5,7,...(et ceci, ''quel que soit le choix de l'intervalle de temps''). Or il sait que la somme des impairs est un carré. Il en déduit z ~ t². 

La troisième difficulté est la notion de ''calculus'' ( le calcul différentiel et intégral ) : la notion de vitesse instantanée, à la date t, à un instant déterminé, dans le &quot;moment&quot; examiné, etc , n'existe pas encore.Il faudra attendre Newton, et surtout Leibniz pour écrire la dérivée v = dz /dt, via la limite ultime des durées petites, ou des distances infimes ; et comment la déduire des t(k),z(k) ? Et si on définit la lenteur comme limite de Δt/Δz, a-t-on la lenteur égale à 1/v ?  

Admettons que l'on forme un tableau de ces v_i &quot;au mieux&quot; ; ce tableau formé, faut-il considérer les v(k) fonction des t(k) ou bien des z(k) ? Galilée est hésitant. Cela en est touchant. Mais l'affaire est importante, car au coup suivant, pour la &quot;différence des différences&quot;, il faudra aussi faire attention ; est-ce v(t) ou bien lenteur(z)? auquel cas d(lenteur(z))/dz ne donne rien de bien simple! C'est bien dv(t)/dt qui est simple. On affouille, bafouille, cafouille. On patouille. Clairement, 50 après, on a progressé. Mais combien d'efforts de savants illustres ! Le terrain aplani, nous perdons conscience de cette difficulté immense : la construction du calculus.

== Exercices ==

On prendra g = 10 m/s² approximativement.

===quelques exercices simples===
1/. '''simple AN''' : Trouver la hauteur de chute si le temps de chute est 2s .

'''Réponse''' : h = 1/2 . 10 . 4 = 20 m ! et la vitesse à l'arrivée est v= 20 m/s soit 72 km/h : malheur à vous, c'est fatal ! 
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2/. '''ex.RelationV(x)''' : Éliminer le temps entre z(t) et v(t) pour trouver la relation dite de Torricelli(1608-1647) : v² = 2g.z (c'est la quatrième formulation de la loi, dans le résumé).

En déduire la compréhension du slogan de la Sécurité routière : arriver sur un obstacle à 36 km/h &quot;c'est comme&quot; chuter de 5 m (2ème étage environ), mais à 72 km/h , c'est comme chuter de 20 m! mortel sans ceinture et air-bag.

Montrer plus généralement que V² -Vo² = 2g (z-zo) [ loi de Torricelli(1608-1647).

'''solution''' : 
en reportant t= v/g dans z = 1/2 gt², on obtient z = 1/2 g(v/g)² , soit v²= 2gz.

2g(z-zo) = 2gVot +g²t² ; et V² = (Vo+gt)² = Vo² + 2gVot + g²t² , d'où V²-Vo² = 2g(z-zo).
:Appliquer le théorème de l'énergie cinétique serait ici anachronique. Leibniz ne l'énoncera que vers 1700 ! 
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3/. '''ex.Croisement''' : c'est un teaser classique. On lance une pierre P vers le haut. Elle atteint la hauteur H . Juste à cet instant, on lance une deuxième pierre Q de la même manière. De tête, où les 2 pierres se rencontrent-elles ?

'''solution ex.Croisement''' :
Tracer le diagramme horaire de P, zP(t) et celui de Q, zQ(t) : ces deux courbes identiques sont décalées de sorte que le sommet de l'une est au pied de l'autre, la symétrie montre que la rencontre a lieu à T/2 ; le résultat devient évident :[Réponse : rencontre à z =3/4 . H].

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4/. '''exercice Beeckman(1618)''' : Beeckman connaît x ~ t² , mais pas encore v² ~ x . Alors il se pose la question suivante : on lâche une pierre du 8eme étage et le temps de chute est T =2s , et sa vitesse vo . Quelle est la durée du 4eme au sol ? et la vitesse au 4eme ? 

réponse : pour Beeckman , le raisonnement est tout à fait laborieux ; en 1641 , pour Torricelli c'est évident. En 20 ans, il y a grand progrès sur la notion de vitesse instantanée ! Ici, pour la moitié d'espace, le temps de passage au 4eme est T/ sqrt(2) , et donc la durée demandée est T( 1 - 1/sqrt(2)) . La vitesse est linéaire en temps , donc V( au 4eme ) = vo / sqrt(2)  
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5/  '''exercice saut à la perche''' : On dit que la perche sert juste à transférer la vitesse horizontale en vitesse verticale vo . En ordre de grandeur, montrer qu'un record sportif H = 8 m est improbable. 

réponse : oui , improbable, car H = 8m correspond à une vitesse vo ~ 12 à 13 m/s , soit 43-46 km/h , pas trop crédible. De fait, il faudrait pouvoir alors maîtriser le saut... 

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(* signale un exercice plus difficile)

===Puits===
Pour avoir la hauteur H d'un puits, on y laisse tomber un caillou au temps t = 0 ; on entend le son au temps T = 2 s : trouver la hauteur H (on appellera c , la célérité du son, égale à 1000/3 m/s).

'''solution ex.Puits'''  : On aura la durée de chute t₁ telle que H = ½ g t₁² , et la durée de retour du son t₂ telle que H = ct₂ ; soit 
T = durée totale = t₁ +t₂ = sqrt(2H/g) + H/c , équation du deuxième degré en sqrtH = x &gt; 0 ; soit x² + x. sqrt(2c²/g)-cT = 0  et on en prend la racine positive.

Allyson prend alors sa calculette et trouve x= 4,34546 ; puis H = 18,883 m

Alliette, elle, pousse les calculs littéraux jusqu'au bout et trouve x² = H = 1/2 gT².[ 2 / (1 + sqrt(1+2gT/c))]² = 20. (0,94415) = 18,883 m 
 
De même, après moult calculs, l'équation en x²= H peut se réécrire  :  H = 1/2 g(T-H/c)² = 1/2 gT² ( 1 - H gT/2c)^2

Béatrice dit : maiz'alors, il suffit de dire que si t₂= H/c, alors t₁ = T- H/c , donc H = 1/2 g(T-H/c)²  

L'équation du second degré obtenue est alors : H² - 2H(c²/g + cT) + c²T² = 0

En poursuivant les calculs littéraux, on retrouve le résultat exact d' Alliette.

Catherine dit : t₁ &lt; T donc H = 1/2 g.(t₁)² &lt; 1/2 gT² = 20 m = Ho ; elle ajoute finement : donc   t₂ = H/c &lt; Ho/c = 60 ms ; mesalors t1 &gt; T-Ho/c ; et H &gt; 1/2 g (T-Ho/c)² , soit H1 = 18.82m .

Daisy s'empresse : donc H &lt; H2 = 1/2 g (T-H1/c)². Le démontrer.

Emmy, matheuse, finit : soit y(x) = 1/2 g (T- x/c)² et y = x ; la suite récurrente Hn converge en &quot;araignée&quot; vers la solution d'autant plus vite que [y'(x)| est inférieure à 1. On a successivement 20, puis 18,82 , puis 18,88 m . 

remarque-annexe sur les chiffres significatifs : la résistance de l'air rend ces calculs au centimètre près fictifs. Par ailleurs, on n'a pas poussé au-delà, ( et la margelle du puits ? ), et car il y a ambiguïté sur les ChS : on aurait dû donner T = 2,0000 s par exemple ; passons, d'ailleurs on a pris g = 10.

Fanny, pragmatique, conclut : bon, dans ces conditions, je reprends juste le calcul de Catherine : H &lt; 20 m , la première correction est -1,2 m ; DONC , SI c'est une progression géométrique alternée, de raison k = -6/100, alors H = 20/ (1+k) = 18,87 ; soit H = 18,9 m avec 3 ChS. D'ailleurs, numériquement, Béa a trouvé : H = 20 (1-3H/100)², soit sensiblement H = 20 ( 1-6/100 ), c'est pareil.

Chaque élève a son bout de vérité. C'est souvent l'ensemble des réponses qui donne une compréhension harmonieuse. Un problème a rarement une solution exacte et la méthode initiée par Catherine est donc très appréciée ; elle conduit aussi, par itération, au résultat exact et une itération de cette sorte est très aisée à conduire avec les calculettes usuelles. En conclusion, on a besoin : 1/. de mettre en équations  et, éventuellement, de sortir la physique hors des équations pour mettre tout sous forme d'un pb de math 2/. résoudre alors comme en math, avec toute les capacités des math, y compris l'analyse numérique  3/. exploiter la solution du point de vue physique.

Reprenons le tout pour fixer la démarche : 

Un puits , 2s , g = 10 et c = 333 m/s . Donc en gros H = 20m , et le retour du son en 60ms : le prof nous fait calculer des clopinettes..., soit !

mise en équation : H = 1/2 g (T -H/c )² 

et sortir la physique des équations : H = 1/2 gT². Z , soit Z = ( 1 - gT/2c .Z )^2 , et on passe aux maths

résoudre l'éq en Z : c'est une éq du 2eme degré =&gt; résultat 

ou résoudre Z = f(Z) = f(f(Z)) , etc , point-fixe =&gt; résultat 

interprétation-du résultat : pas la peine d'aller au delà du cm ! on a pris g = 10 m/s²

''Ou bien'', selon la première méthode via sqrt(H) = x :

mise en équation :  x sqrt(2/g) + x²/c = T , et sortir la physique des équations : poser x = T.sqrt(g/2). X ; soit X = 1 - α X², avec α = gT/2c,

évidemment la même équation que précédemment ( car Z = X² )

Puis résoudre en math : l'avantage pour un matheux expérimenté est qu'il reconnaît l'équation X = 1 - α X² ! dont la solution-ici est X = c(-α) , où c(x) désigne la fonction génératrice des nombres de Catalan , donc X = 1 - α  + 2α² - 5α³ + ... . On pourra vérifier. Certes , ici pour un exercice de début, il est prétentieux d'invoquer les nb de Catalan, mais c'est juste pour indiquer qu'un exercice bien &quot;normalisé&quot; peut se ramener à une étude connue. 

Ici, la phase essentielle fût : repérer le paramètre sans dimension, petit, gT/2c . Cette analyse dimensionnelle se retrouvera dans moult exercices ultérieurs.
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=== Expérimentation(*)===
Une caméra prend des photos d'une bille en chute libre à des tops réguliers, d'intervalle T. Une règle verticale photographiée en même temps que la bille donne 3 valeurs z1, z2 et z3 pour des temps t1, t2 = t1 + T , t3 = t1 + T .Montrer que , quel que soit t1 et T , [(z3-z2)/T - (z2-z1)/T ]/T = g . En déduire une manière de mesurer g avec avantage. La réciproque est-elle vraie(**), c'est à dire : si l'accélération discrète est constante, le mouvement discret est-il celui de Galilée ?


'''solution expérimentation : '''
 
Comme la vitesse Vo n'intervient pas,cela se vérifie d'ailleurs aisément, il reste en prenant t2 comme origine,

z3-2z2+z1 = 1/2.g[(t2+T)² -2(t2)² + (t2-T)²] = 1/2. g [ 2 T²].

On appelle dérivée discrète seconde au point z2 , la quantité (z3-2z2+z1)/T² .

On constate qu'elle vaut g , ceci quel que soit z2 et T !

(**)Et réciproquement, une suite récurrente z(n+1) = 2 z(n) - z(n-1) + Go(T)² est effectivement une suite du type z(n) = ½Go (n.T)² + A (n.T) + B.

Tout ceci permet d'intéressantes comparaisons expérimentales et permet de valoriser certains TP(travaux pratiques). Admettons par exemple que la caméra donne 25+1 photos sur une seconde (soit une chute de 5m devant une règle graduée): Voici une méthode parmi d'autres, via un logiciel de traitement de données : la caméra a donné la k-ième photo au temps k/25 . 
Donc, on possède un '''tableau de valeurs numériques''', 26 valeurs de l'abscisse z(k) au temps t(k). De ces 26 valeurs, il faut tirer une valeur de g. C'est de manière très usuelle le problème d'un TP : la théorie est faite. On veut la vérifier et en tirer la valeur d'un paramètre du problème, au mieux.

Pour cela, on calcule les 24 dérivées discrètes. Par exemple, pour calculer a(4) on calcule les valeurs sensiblement identiques : (z(0)-2z(4)+z(8))/16 ; (z(1)-2z(4)+z(7))/9 ; (z(2)-2z(4)+z(6))/4 ; (z(3)-2z(4)+z(5))/1 ; et on extrapolera. On portera alors ces valeurs a(k) en fonction de v(k)² [avec les v(k) calculées de même façon ]: la courbe est &quot;sensiblement linéaire&quot; : son extrapolation pour les faibles vitesses donne LA valeur de g. On a ainsi défini une '''procédure algorithmique''', qui, éventuellement, peut s'automatiser.
Les résultats d'une classe (2 *2* 12 élèves) sont honnêtes et valent bien le résultat obtenu avec le pendule réversible, dit de Kater. Ne pas espérer 3 ChS (chiffres significatifs) ! 

D'autres dispositifs équipés de photodiodes donnent le temps de passage à telle ou telle altitude (t(k) = T(z(k)) ). Certaines méthodes lancent le projectile vers le haut ; il retombe ; au passage il a coupé les deux faisceaux de deux photodiodes distantes de H, aux temps t1, t2, t3, et t4. On forme les deux durées D1 = t4-t1 et D2 = t3-t2. Montrer que g = 8H / (D1²-D2²). 

'''note''' : Actuellement(2015), la méthode de chute libre est utilisée mais en faisant tomber &quot;le coin de cube d'un Michelson&quot;, servant de miroir réflecteur : les franges défilent et sont enregistrées. On arrive à une précision relative de 11 ChS(Chiffres Significatifs), depuis la mise au point du dispositif par Sakuma, en 1970, au BIPM (Bureau International des Poids et mesures , installé au parc de Saint-Cloud, Paris).Inutile de dire qu'il faut de multiples précautions. 

Une autre méthode consiste à laisser tomber un &quot;atome-froid&quot; , et on étudie sa fonction d'onde quantique :précision , 10^(-12).

La gravimétrie est donc devenue une science très précise, utilisée par les géologues. Voir plus loin, leçon sur la gravimétrie (de niveau nettement plus élevé).

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=== Un raisonnement de Torricelli(**)===
 
Galilée défendit la thèse suivante, appelée depuis Principe de Relativité galiléenne : si un bateau se déplace à la vitesse constante Vo, alors on ne peut pas s'en apercevoir depuis l'intérieur du bateau ; on pourrait continuer à jouer au ping-pong, à faire de la GRS, etc. RIEN ne permet de distinguer le mouvement du bateau. &quot;Un mouvement uniforme , c'est comme RIEN &quot;. Familièrement, on dirait aujourd'hui, ça compte pour du beurre. 

Torricelli(1608-1647) est le premier à avoir appliqué ce principe à la chute libre. 

*[ '''''Note historique''''' : dans son deMotu, 1641,il l'a signalé à Castelli (1577-1644) , qui en rendit compte à Galilée. Galilée , très admiratif, demanda à Torricelli de devenir son élève, en 1641 ; bien que très fier d'être choisi, Torricelli était mort de trouille, à cause de l'Inquisition : rappelons que dire du mouvement de la Terre, c'est comme rien , revenait à accréditer la thèse de Copernic. Or le Vatican venait de condamner cette thèse en 1618 ].

Torricelli '''admet''' que z(t) = h(t)+Vot+Zo , avec h(t) fonction inconnue, mais indépendante de Zo ET de Vo. Ce faisant, il admet beaucoup. Mais alors, grâce au principe de relativité, montrer que h(t) = kt²

'''solution :'''
  
Commençons par le résultat suivant :
 
si le mouvement d'un corps chutant au départ comme z = 1/2.g.t² est avec une nouvelle origine des temps, z = f(t, Zo, Vo)= 1/2 gt² + Vot +Zo , 

alors à un instant T1, il sera en Z1 = f(T1, Zo, Vo) avec la vitesse V1 = g.T1 + Vo. 

Puisque la vitesse V1 joue à cet instant '''le même rôle''' que Vo à l'instant t=0 pris pour origine, Torricelli dit que :
z= f(t+T1, Zo, Vo) = f(t,Z1, V1), avec la même fonction f(., . , .), soit :
 
1/2 g (t+T1)² + Vo.(t+T1) + Zo = ? = 1/2 g.t² + V1.t + Z1 ,
avec V1 = g.T1 + Vo et Z1 = 1/2 g.T1² + Vo.T1 + Zo :

Après simplification, Zo s'élimine ainsi que Vo.t , puis Vo.T1 .
Il reste à vérifier : 

1/2 g (t+T1)² = ? = 1/2 g.t² + g.T1.t + 1/2 g.T1² , ce qui est vrai.

'''Mais ce n'est pas la réponse demandée''' ! bien que cela soit perçu par beaucoup d'étudiants comme la bonne réponse ! le calcul est en effet pertinent et exact; mais il ne répond pas à la question ! On ne fait que vérifier l'auto-pertinence de la formule, mais on ne démontre pas h(t) = k t² !  

Voici ce que Torricelli a dit :

z = h(t+T1) + Zo + Vo.(t + T1) = h(t)+ Z1 + V1.t , ceci quel que soit t , avec Z1 = h(T1) + Zo + Vo.T1 , et avec V1 = h'(T1) + Vo (exprimé en formalisme moderne). Ce qui conduit à l'équation fonctionnelle:

h(t+T1) = h(t) + h(T1) + h'(T1).t , 

pour tout t et pour tout T1.

Alors , par symétrie de rôle de t et de T1 , on peut écrire :

h(t+T1) = h(T1) + h(t) + h'(t).T1

ce qui conduit à h'(t).T1 = h'(T1).t et donc h'(t)/t = h'(T1)/T1 = cste donc , appelons-la ...g ! Alors h'(t) = g.t

'''La vitesse ne pouvait être que linéaire en t'''.

Du reste, si on prend l'origine du référentiel galiléen tangent à l'instant de départ , donc avec une vitesse nulle, cela paraît &quot;naturel&quot; ! Remarquable raisonnement de Torricelli en 1641(De Motu).

Au final, si h'(t) = g.t , h(t) = 1/2.g.t² :

Rappelons ce qui a été utilisé : l'invariance galiléenne et l'invariance du mouvement par translation (ce qui revient à dire : pesanteur constante).

Il est évident que Galilée fût ravi que son ami Castelli eût un élève aussi doué ! D'autant que Torricelli n'avait pas ces notations modernes !
----
'''Un autre joli raisonnement de Torricelli(1647) :''' 
à la veille de sa mort, Torricelli possédait très bien la relation v² = 2 gx , et même v² - vo² = 2g ( z-zo ). Voici ce qu'il disait du cas g(z) , pesanteur non uniforme. Lâchons une pierre sur une hauteur 2H , où sur le premier intervalle H , g = g1 , et sur le deuxième g = g2 . Trouver la vitesse finale . Généraliser à 3 intervalles , puis N intervalles . Conclure si g = g(z) , v² = 2∫ g(z) dz . 

réponse : sur le premier intervalle , v1² = 2 g1 H ; sur le deuxième , la vitesse s'accroît et devient telle que v2² = v1² + 2 g2 H = 2 ( g1+ g2 ) H .
Ceci se généralise en v(nH)² = 2 ( somme des gi ) Δz . Ce que des étudiants de L1 comprendront vite comme v² = 2 ∫ g(z) dz . Malheureusement, Torricelli , qui vient de publier un livre de stéréotomie ( la découpe des pierres ), et qui a parfaitement maîtrisé l'enseignement de son maître, Cavalieri , meurt subitement en 1647 . Mersenne meurt peu après. Et Pascal ne saura pas récupérer cet héritage ; ni Fermat ; ni Huygens ; dommage...il s'agissait des prémisses du calculus.

== Exercices, deuxième série ==


=== exPseudoparadoxe de la vitesse nulle(**) ===
Marin Mersenne (1588-1648) [un des plus célèbres correspondants scientifiques de l'époque] n'arrivait pas à comprendre la loi V = g.t , car disait-il, si V = 0 au départ , le plomb ne peut pas avancer ! Huygens(à 17ans!) lui répondit(1646). Imaginer sa lettre de réponse.

Mersenne ne comprenait pas non plus v² = 2gx , et en x=0, v est nulle. Donc le mobile n'avance pas.

''' Solution :  '''
Essentiellement, le jeune Huygens répondit que la loi générale était V = Vo + gt , même si Vo est négatif (la pierre est lancée vers le haut) : la loi est tout aussi vraie , mais c'est une loi affine dans ce cas, avec '''vraiment rien de particulier''' au moment où V(t) = Vo. Au sommet de la parabole du diagramme horaire, il ne se passe donc strictement rien de particulier, même si ce point fût l'objet de spéculations intellectuelles très passionnées, pour savoir si le temps passé en ce point était FINI.

Torricelli, lui, invoquera le raisonnement suivant : par invariance galiléenne, on peut se placer dans n'importe quel référentiel de vitesse Vo ; alors le sommet du diagramme horaire est n'importe quel point. Le &quot;sommet&quot; devient un point ordinaire ; ainsi on a banalisé ce point. Alors, plus personne n'a d'objection ; on dit qu'on a &quot;réduit&quot; le pseudo-paradoxe. Progressivement, avec les siècles, la question n'est même plus soulevée.'''Les contradicteurs sont morts'''. 

La deuxième question est plus délicate, pour l'époque : si v(x) = sqrt( 2gx ) , comment l'intégrer ? De nos jours, on dit l'équation est de Cauchy-Lipschitz, et le tour est joué. En 1620, dt = dx/sqrt(2gx) n'est pas encore intégrable en t = sqrt(2x/g).

Quelques années auparavant, la confusion v(x) ou v(t) est bien plus grande. Il faut bien voir que la notion de fonction n'est pas affermie. On a des tableaux numériques : à t(k) correspond z(k). On peut en faire des tableaux de différences, les Δt et les Δx. Puis dt/dx ( càd 1/v ) fonction de t ou de x ? Pourquoi est-ce v =dx/dt = f(t) qui s'impose ; et non pas 1/v = f(x) ? Ces questions n'ont rien d'anodin. Galilée s'est fait piéger. Descartes aussi. La science cafouille souvent , mais progresse ! 
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=== ex_sur la loi de Sarpi(***) ===
La loi de Galilée dans son deuxième énoncé semble absurde : quelle que soit la masse du corps, le corps tombe de la même manière dans le vide !  Question 1 : la lumière(c'est-à-dire un photon) tombe-t-elle dans le vide ? Question 2 : l'air tombe-t-il ? 

'''Solution : '''
Oui ! ce sont des questions un peu shadok, quasi-impertinentes ! Mais il convient de les poser.

'''Question 1 :'''  oui , la lumière tombe dans le vide, MAIS ce n'est pas sa vitesse qui change , puisqu'elle reste immuable : c = 299 792 458 m/s. C'est son impulsion ; il vaut mieux parler de photon : ainsi l'impulsion du photon change, c'est parfaitement vérifié aujourd'hui (il faut en tenir compte dans l'envoi des signaux [[w:GPS|GPS]], sous peine de voir la qualité des résultats être entâchée d'une erreur systématique). Par ailleurs, l'énergie change corrélativement, c'est le red-shift gravitationnel d'Einstein, vérifié lui aussi. 

'''Question 2 :''' oui bien sûr , une molécule de dioxygène tombe. Si l'air globalement ne tombe pas , c'est qu'il est déjà tombé depuis longtemps : on sait bien que l'air est situé essentiellement à basse altitude ; mais précisément comme il y en a plus en bas qu'en haut, la '''diffusion thermique''' en fait plus remonter du bas vers le haut que du haut vers le bas ; ce que nous voyons est l'équilibre dynamique stationnaire entre ces deux phénomènes : la chute vers le bas et la diffusion globalement vers le haut (Einstein,1905). On peut relire l'explication magnifique de Feynman , dans Lectures on physics.

== À quoi est due la pesanteur ? ==
Bonne question !

La pesanteur est essentiellement due à l'attraction terrestre et partiellement au pivotement de la Terre ( et encore un peu à tous les Astres, mais usuellement, on met cette partie dans &quot;l'action de marée&quot; ).

Il est hors de question dans cette première leçon de parler de la gravimétrie.

Pour faire simple, on peut dire ceci : si la Terre était sphérique et ne pivotait pas, alors la pesanteur se réduirait à une attraction (verticale par définition), centrale ( c'est à dire dirigée vers le centre O de la Terre) de valeur : G.M / r² = g(r)  (théorème dit ''remarquable'' de Newton, 1685 ); comme la Terre pivote, elle s'aplatit légèrement en forme de géoïde (aplatissement =~ 1/298), et la gravité est légèrement plus élevée au pôle qu'à l'équateur.

Cavendish(1731-1810) mesurera G en 1798 avec énormément de difficulté : G = 6.67 10^-11 N.m²/kg² environ. On en déduit la valeur de la masse de la Terre si l'on connaît son rayon : M = ~6 10^24 kg . Truc mnémotechnique , retenir que la masse_volumique de la Terre est intermédiaire entre celle de l'eau (1kg/L) et dix fois plus (10kg/L) , soit 5.5 kg/L . 

Ceci dit, à quoi est due l'attraction de la Terre, cette étrange action à distance ? '''Newton''', après y avoir réfléchi longtemps, déclara forfait : ''hypotheses non fingo'', je ne fais aucune hypothèse. Il la posa comme postulat, il en généralisa la portée. Il en formula toutes les conséquences. Il fondait ainsi une discipline, la mécanique dite &quot;rationnelle&quot; qui sera, pour des siècles et des siècles, la discipline-phare des sciences physiques. '''Euler, Lagrange, Hamilton, Poincaré''' et des milliers d'autres poursuivront les travaux de '''Newton'''. Puis '''Einstein''', en 1915, donna une interprétation de l'attraction gravitationnelle, en termes géométriques : la matière distord l'espace-temps, et tous calculs faits, on retrouve dans le cas de faible distorsion, la loi de Newton. Satisfaisant, mais cette théorie ne cadre pas encore avec la ''mécanique quantique''. La science doit continuer à progresser.

== Retour ==

Rappel : la page de discussion contient pas mal de matériaux bibliographiques.

*[[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences|Mécanique , enseignée via l'Histoire des Sciences]]

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    <title>Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Le choc frontal</title>
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      <comment>DavidL a déplacé la page [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/le choc frontal]] vers [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Le choc frontal]]</comment>
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      <text bytes="25502" xml:space="preserve">Leçon : le choc frontal : lois de Huygens (1629-1695).

== Introduction et notation ==

Cette leçon ne fait pas partie du cours de cinématique; mais historiquement, elle a joué un rôle très important dans la formation conceptuelle de la mécanique. Elle constitue aussi une source d'exercices conséquente.

Galilée s'en préoccupe, mais sans arriver à conclure (ce qui se passe lors de la percussion est un obstacle expérimental très difficile).

Descartes introduit le concept fondamental : quand un corps ponctuel se déplace, son action ultérieure va dépendre non seulement de sa vitesse mais aussi de sa masse : cela est bien clair , lorsque l'on reçoit un projectile ; mais quelle quantité choisir mv², mv^3 , m²v^5 ? il choisira mv : 

''' NOMMER cette quantité mV, l'IMPULSION (ou quantité de mouvement) et LUI AFFECTER une unité : le kg.(m/s) := le descartes := 1N.s'''. C'est un avantage indéniable en TP.

Ainsi, une masse de 8 kg à la vitesse de 10 m/s possèdera une impulsion de 80 descartes.

Huygens reprendra les travaux de Descartes et les corrigera. Il aboutira à une belle théorie dès 1654 ('''''note historique''''' : mais ne la publiera pas ; c'est un trait caractéristique du XVIIème siècle ; on signe d'un anagramme, la découverte), et cela le rendit célèbre dans ses tournées-démonstrations , à Paris décembre 1659 , à Londres janvier 1660 . Mais voyant que l'architecte-mathématicien Wren a trouvé aussi la solution sous forme d'une épure très élégante, Huygens se décide à publier ses travaux .

Leibniz(1646-1716) les reformulera . Puis NEWTON (1642-1725) publiera dans les Principia(1687) une théorie plus complète ; mais on est encore loin de la réalité ( choc élastique-visco-plastique ).

== Expérience princeps ==

Lors d'un choc élastique de deux masses, l'idée est:
  

si l'on connaît leur impulsion before le choc &lt;math&gt; [P_1^b,P_2^b]&lt;/math&gt;, 

trouver leur implusion after le choc &lt;math&gt; [P_1^a,P_2^a]&lt;/math&gt;.


On considère le '''cas le plus simple''', suivant en cela la philosophie cartésienne:

deux boules égales avec des vitesses opposées donc des impulsions opposées &lt;math&gt; [P_1^b = P ; P_2^b = -P]&lt;/math&gt;: 

assez intuitivement, &quot;par symétrie&quot;, Descartes admet la loi : after le choc, les deux boules repartent avec des impulsions dans l'autre sens : &lt;math&gt; [P_1^a = -P ;P_2^aP]&lt;/math&gt;

Alors Huygens fait jouer le principe de relativité de Galilée. Le MÊME PHÉNOMÈNE est décrit par un observateur de vitesse constante Vo comme ceci :

La boule B1 avait l'impulsion m(V-Vo) , la boule B2 avait l'impulsion - m(V+Vo) ; after le choc, B1 repart avec l'impulsion (m(-Vo-V) et B2
avec l'impulsion m(V-Vo) . Et ceci est valable, QUEL QUE SOIT Vo ! Soit réécrit : 

&lt;math&gt; [ P1 ; P2]&lt;/math&gt; =&gt; &lt;math&gt; [ P2 ; P1 ]&lt;/math&gt; :

'''les boules échangent leur impulsion, c'est LA règle pour des boules de même masse'''.

En particulier , si Vo = -V ! Alors la conclusion est spectaculaire et tout le monde l'a vue à la pétanque : B2 est immobile, B1 vient la percuter avec la vitesse 2V : après le choc B1 est IMMOBILE et B2 part en arrière avec la vitesse 2V : c'est ce qu'on appelle &quot;faire carreau parfait&quot; :&lt;math&gt; [ P1 ; 0]&lt;/math&gt; =&gt; &lt;math&gt; [ 0 ; P1 ]&lt;/math&gt;

'''Le cas du carreau parfait se déduit donc du choc symétrique, via le principe de relativité galiléenne.'''

== Expérience m1 =3m et m2=m ==

Si les masses sont inégales , le problème est plus difficile. 

[Note expérimentale : Le dispositif expérimental utilise des bancs à coussin d'air sur lesquels glissent sans frottements des chariots-cavaliers de masse différente]. 

''[Note 2: On peut aussi s'affranchir de ce matériel assez onéreux par une construction soigneuse de pendule &quot;en translation&quot; : une planchette possède sur son épaisseur quatre crochets symétriques ; 2.2fils assurent la suspension en translation circulaire . On clampe alors sur la planchette un fort aimant permanent en ferrite. Le tout sera orienté dans le sens du champ magnétique terrestre. 

''On fabrique deux de ces planchettes . Et on les surcharge de la façon que l'on veut.'' 

''Si on monte la planchette B1 de H , alors passant à la verticale elle aura la vitesse sqrt(2gH) , cela était connu de Torricelli , donc de Huygens.'' 

''Comme les aimants permanents se repoussent sans &quot;consommer d'énergie&quot;, on est placé dans des conditions quasi-idéales (à la résistance de l'air près. De plus , avec des fils de 1m et des masses de 1kg , les oscillations durent longtemps), et on est prêt à expérimenter]''.''

*On peut organiser le TP-Cours suivant : donner la relation de Kircher(1602-1680) pour guide de départ. Laisser alors expérimenter.

'''Guide de Kircher''' : on conçoit que la plus massique l'emporte, et si on veut que B1 et B2 repartent avec des vitesses égales et opposées , il faut donner quelque vitesse supplémentaire vers la gauche au barreau B2 : laquelle ? la réponse, trouvée par tâtonnement par Kircher fût : il découvrit que si B1 était immobile et qu'il lançait B2 avec la vitesse -2V , alors B1 reculait à la vitesse -V et B2 se trouvait rejetée à la vitesse +V.[En fait il utilisait la règle de Torricelli : B2 était lâchée de 4H , et on constatait que B1 et B2 remontaient chacune de H]

Alors symboliquement cette expérience s'écrit:

[3m*0 ; m(-2V)]before =&gt; [3m(-V) ; mV]after.

On remarque très vite que le problème est LINÉAIRE en V , donc inutile de procéder avec de grandes vitesses.

Huygens , utilisant le principe de relativité galiléenne, généralisa en [3m(-Vo) ; m(-2V-Vo)]before =&gt; [3m(-V-Vo) ; m(V-Vo)]after , quelle que soit Vo ! 

Et donc le &quot;carreau&quot; était obtenu pour [3m.(2V) ; 0]before =&gt; [3m.V ; m.3V]after (On a utilisé le changement d'axe x/-x), ce que l'expérience confirme : cela se traduit en hauteur des barreaux par [4H ; 0 ]before =&gt; [H ; 9H]after ; et réciproquement par renversement du temps : cela est spectaculaire à voir ; pour les élèves les plus doués, essayer de voir s'ils intuitent : comme 3mg.4H = 12mgH et 3mgH + mg.9H = 12 mgH , on voit que &quot;l'énergie se conserve&quot; [les élèves ne savent pas ce qu'est l'énergie, mais ce &quot;principe&quot; de Torricelli leur semble &quot;assez naturel&quot; ].

== Généralisation ==

Pour Huygens, la généralisation lui vînt de la considération de la vitesse Vo = -V/2 : dans ce cas : before , [P1 = 3mV/2 ; P2 = -3mV/2] =&gt;after [P1=-3mV/2 ; P2 = +3mV/2] ; soit différemment écrit : before[P ; -P] =&gt; after [-P ; P]. Et il se dit que c'était là peut-être la loi généralisable à toutes les masses : 

{{exemple|Enoncé|loi du choc élastique de Huygens(1619-1695)|&lt;math&gt; [ P ; -P]_{before} =&gt; [-P ; P]_{after}~&lt;/math&gt;}}

Et en appliquant le principe de relativité de Galilée , [P + m1.Vo , - P + m2.Vo]before =&gt; [-P +m1.Vo ; P +m2.Vo ]after , ce qui englobe tous les cas possibles , puisque c'est vrai quelles que soient P et Vo ! Il suffit de prendre P et Vo tels que m1.(V1-Vo) = P et m2.(V2-Vo) = -P !


Ainsi Huygens a-t-il découvert une loi très importante : 

 &lt;div style=&quot;text-align: center;&quot;&gt; '''{l'impulsion totale se conserve}'''   &lt;/div&gt;


Mais Huygens nota plus encore dans ses équations : la vitesse relative des deux boules P/m1 +P/m2 se transformait en son opposée , lors du choc. Mais pas forcément dans ses expériences!

=== le centre de masse ===

Huygens en considérant un point purement mathématique , appelé G , barycentre de masse , tel que OG = (m1 OB1 + m2 OB2)/(m1+m2) trouva une loi, appelée par lui '''LA Loi Remarquable''' : 

ce point mathématique G , quelle que soit la violence du choc , '''continuait sans &quot;frémir&quot; son mouvement uniforme !'''

[note historique : la notion de centre de gravité est bien connue à l'époque, mais pour un solide . Horrocks fût sans doute un des premiers à avoir appliqué la notion de centre de masse à celui du couple Terre-Lune et son mouvement.]

Enfin , il nota un effet qui généralisait une proposition déjà faite par Torricelli (-1647) : si les boules étaient lancées par gravité pendulaire , la première de la hauteur H1 et l'autre de la hauteur H2 , après le choc les hauteurs H'1 et H'2 étaient telles que m1.H.+m2.H2 se conservait. Autrement dit par la loi de Torricelli : 

soit la quantité 1/2 mV^2 := P^2/2m appelée l'énergie cinétique : l'énergie cinétique totale se conservait ! hélas les expériences n'étaient pas concluantes à son époque.

(Bien plus tard , Leibniz reprît cette proposition à son compte pour les chocs élastiques).

Newton fît mieux encore, ce qui sera vu ensuite.

== Exercice de TP-cours ==
Soit le cas [m1.V. ; 0 ] : trouver les vitesses après le choc . 

En écrivant la conservation de la quantité de mouvement totale et celle en module de la vitesse relative , les 2 équations linéaires donnent : 

V'2 = 2.m1.V/M et V'1 = (m1-m2).V/M (avec M = m1+m2).

Sans être très compliquée, ces deux résultats ne sont pas si simples à mettre en évidence par une classe de seconde en TP-cours. Ce que les élèves mettent très vite en évidence est le signe (m1-m2) pour le barreau B1 ; introduire la masse totale M est peu évident et l'écrire en pourcentage des masses est mieux perçu : 

V'2 =2 p1 .V et V'1 = (p1-p2).V. 

Pour Huygens , qui ensuite les mît en pratique dans moult expériences, cela lui prît environ 1 an (en 1654 sans doute ; il a 25 ans !)

== Chocs inélastiques ==

Newton comprît ce qui était inexact dans la proposition de Huygens : 

le cas [P ; -P] donnait en réalité [-P' ; P'] avec P' = e P 

et le facteur de restitution e compris entre 0 et 1; 

Si e= 0 on dit que le choc est complètement inélastique (les deux Boules restent collées). Évidemment dans ce cas , il y a perte d'énergie cinétique . Bien plus tard , Sadi Carnot(-1832) indiqua la perte d'énergie : 1/2 m1 (V'1-V1)^2 +1/2 m2(V'2-V2)^2 (à faire en exercice ; on voit déjà que cette perte est indépendante du référentiel galiléen choisi).

Ainsi , entre les premiers travaux de Galilée , puis de Torricelli , de Kircher , de Huygens , de Wren , de Newton , il s'écoula 80 ans , juste pour établir les résultats d'une expérience qui ne nous apparaît simple aujourd'hui que parce que le concept d'impulsion est bien compris, et parce que sera généralisé le Principe de la conservation de la quantité de mouvement.

== Résumé ==

Pour tout système isolé , l'impulsion totale se conserve :

{{exemple|Énoncé|Principe de la conservation de l'impulsion|&lt;math&gt; P_{totale}^{Systeme \cdot isole} = cste&lt;/math&gt;}} 

On peut aussi le dire, comme l'a dit Huygens : pour un système isolé , décomposé en deux sous systèmes S1 et S2 , on aura échange d'impulsion :


{{exemple|Énoncé|Principe de la conservation de l'impulsion|&lt;math&gt; \Delta P_1^{S1} = - \Delta P_2^{S2}&lt;/math&gt;}}

Et cette loi ne dépend pas du référentiel galiléen choisi.


De plus :


Dans un choc élastique , l'énergie cinétique (1/2mv²) totale se conserve. Sinon, il y a perte d'énergie. 

_______________________________

== Exercices ==

Attention : en combinant la leçon chute libre et la leçon choc frontal , on arrive déjà à cette chose remarquable : on ne sait pas résoudre certains exercices d'énoncés simples : même en 2006, la mécanique est redoutablement difficile. Et surtout, on ne maîtrise pas bien ce que l'on sait faire et ce que l'on ne sait pas faire , même si des progrès récents ont permis de progresser. Néanmoins, on s'attachera à la règle de modestie prudente : donner les solutions des exercices posés .

=== Exercice m&lt;&lt;M ===
Montrer que si une balle légère(masse m1 = m) rencontre un traîneau (parfaitement glissant) de masse m2 = M &gt;&gt;m , avec la vitesse v , alors la balle rebondit avec une vitesse -v et le traîneau recule un peu : examiner la conservation de l'énergie soigneusement.(Exercice que Huygens résolût contre l'opinion de son maître à penser, Descartes).

=== Exercice balle de Zénon. ===
Une balle lancée verticalement avec la vitesse Vo monte d'une hauteur h et heurte le sol horizontal avec un coefficient de restitution e . Montrer que bien qu'il y ait une infinité de chocs , la balle reste au sol au bout d'un temps fini (célèbre pseudo-paradoxe des Eléates).

=== Exercice Rebonds ===
Une balle de ping-pong est placée sur une balle super-élastique et on lâche le tout d'une hauteur de 1m : à quelle hauteur remonte la balle de ping-pong ? (Attention : ne pas faire l'expérience avec une petite bille d'acier : cela peut être dangereux!). **Généraliser .

=== Exercice Ascenseur.** ===
Une super-balle(e=1) est dans un ascenseur. Elle rebondit toujours à la hauteur H . L'ascenseur monte avec une accélération g0 (c'est à dire V= g0.t). Qu'arrive-t-il ? Puis l'ascenseur continue avec la vitesse constante Vo ; et enfin s'arrête avec la même décélération : qu'arrive-t-il ?

=== Exercice pendules de Kircher. ===
5 billes sont placées côte à côte entre deux murs parfaitement élastiques: On prend la première et on l'envoie avec la vitesse Vo : montrer que le mouvement sera périodique. (ce jouet est souvent réalisé avec 5 petits pendules identiques. Kircher est le premier (? ou bien Marci?) à avoir étudié assez loin des cas de ce genre.

=== Exercice thermalisation ===
Montrer que dans un choc élastique les différences d'énergie cinétique après le choc sont moindre qu'avant le choc.

En déduire que si des balles sont coincées dans deux récipients, de part et d'autre d'un piston libre de masse M , elles finiront par avoir la même énergie cinétique , via le transfert du piston.

== Solutions ==

=== Exercice m&lt;&lt; M. ===
Cela résulte de l'exercice de cours : V'1 = m-M .V/(m+M) = -V[1 -2m/(M+m)] ; Cependant que la raquette recule de V 2m/(M+m).

L'énergie cinétique*2 est donc mV²(1-eps)² + M V² 4m²/(m+M)² : il faut donc vérifier que (1-eps)² + 4Mm/(m+M)² = 1 ; soit : 

-4m/(m+M) + 4 m²/ (m+M)² + 4 Mm/(m+M)²= 0 ? soit -(m+M) +m + M = 0 ;OK. (l'erreur est souvent de négliger des termes o(m²) sans en négliger d'autres, ce qui fût le cas de Descartes).

=== Exercice Zénon. ===
La balle retombe avec la vitesse Vo en un temps 2Vo/g ; et tout recommence avec la vitesse e.Vo :le pseudo-paradoxe de la série infinie géométrique donne une convergence très rapide et donne le temps limite (2Vo/g)/(1-e) , qui est FINI , malgré l'infinité de chocs. Une remarque de pertinence :juste après le choc , le sol a fourni la percussion me.Vo Descartes pour faire remonter la balle et reçu la percussion me.Vo au demi-choc suivant, soit un reçu de Delta-P = 2emVo vers le bas , et le rebond dure Delta-t =2eVo secondes. Si bien que &lt;math&gt;\frac{\Delta P}{\Delta t} = mg &lt;/math&gt;. Ce genre de remarque a précédé les Principia(1687) de plusieurs décennies.

=== Exercice Rebonds. ===
Cette petite expérience est étonnante : la balle remonte à environ 9m !En effet la super-balle remonte avec la vitesse V et éjecte la balle de ping-pong avec la vitesse relative 2V , donc 3V par rapport au sol : donc H =3².h : surprenant ! Évidemment il y a conservation de l'énergie car la super-balle ne remonte pas tout à fait à 1m et la balle pas tout à fait à 9m (Voir l'exercice 1). 

De manière plus réaliste , on trouve dans le commerce des super-balles de rayon double donc de masses M et m =M/8 . On trouve alors : 

dans le référentiel (R) qui monte à la vitesse de rebond Vo , la grosse balle de masse M part en arrière à la vitesse -2/9 .2 .Vo = -4/9 Vo , soit au total vers le haut avec une vitesse 5/9 .Vo . La petite remonte dans (R) avec la vitesse 14/9 .Vo , soit au total de 23/9 Vo donc remonte à seulement 529/81 H (= 6.53m quand même) , et la grosse remonte à 25/81 H ; évidemment 1 . 529/81 + 8.(25/81) = 9.

On peut imaginer mettre une balle de ping-pong sur la petite balle : l'expérience est plus dure à faire mais donnerait + de36m (au lieu des 49m théoriques pour M &gt;&gt;M1&gt;&gt;m)

Évidemment les élèves les plus shadoks mettent la balle de ping-pong dessous : la balle ainsi &quot;adiabatiquement comprimée&quot; peut atteindre des vitesses gigantesques. Dans le cas réaliste m = M/15 , dès que la grosse boule est arrêtée, la petite a l'énergie totale 16mgh et pourrait remonter à 16.h en enlevant prestement la grosse boule : il y faut une certaine adresse! Remarque : le sol n'a pu fournir aucune énergie. Par contre il a fourni de l'impulsion, et on l'a supposé sans recul.

=== Exercice Ascenseur. ===
Balle dans ascenseur :

Prenons comme moment de départ, la date t=0 où la balle rebondit vers le haut avec la vitesse Vo , donc OB = -1/2gt² +Vo.t et le sol de l'ascenseur monte comme OS =1/2 a t². 

Le choc C1 a donc lieu au temps t1 = 2Vo/g' avec g' = g+a . La balle remonte alors à la vitesse relative à l'ascenseur qu'on calcule : on trouve Vo! et son mouvement absolu (avec nouvelle origine des temps t= t1 +t') sera OB = OC1 + (Vo+at1)t' -1/2 g t'² et celui de l'ascenseur continue à être : OS = 1/2.a (t1+t')² . Le choc 2 aura donc &quot;lieu&quot; au temps t1+t2 tel que : 
1/2 a.t1² +Vot2 +at1t2 -1/2 g t2² = 1/2 a t1² + at1t2 +1/2 a t2² ; soit : 

t2 = 2Vo/g' = t1 ! Et la balle rebondira à nouveau avec la vitesse relative à l'ascenseur égale à Vo , donc vitesse absolue Vo + a.(t1+t2) = Vo + a.(2t1) ! etc . 

Autant dire que dans le référentiel accéléré de l'ascenseur , la balle exécute des rebonds réguliers à intervalles de temps 2Vo/(g+a): c'est &quot;comme si le poids de la balle était apparemment m(g+a)&quot;.

=== Exercice Kircher. ===
B1 touche B2 et s'arrête. B2 fait de même , etc. B5 est éjectée à la vitesse Vo , atteint le mur et revient . Le processus reprend en sens inverse.

=== Exercice Thermalisation. ===
Soit une masse m de vitesse grande u , et une masse M assez lente de vitesse V. 
La différence d'énergie est D = 1/2.mu² - 1/2.MV² avant le choc.

Après le choc élastique, les vitesses sont u' et V' et la différence est D'.

On calcule : u' = 2M/S .V -(M-m)/S .u

et de même V' = 2m/S .u +(M-m)/S .V ; avec S = M+m.

En calculant D', on trouve D' = D[ 1-8mM/(m+M)²]= -D (1 -2(M-m)²/S²) et un terme en uV , dont statistiquement on peut supposer la moyenne nulle. En module , il reste donc |D'| = |D| R avec R &lt;1 . Typiquement en envoyant des neutrons sur des deutons R = 7/9 : on dit qu'on a thermalisé les neutrons rapides via de l'eau lourde. On reverra ce calcul plus loin en introduisant des chocs non frontaux.

Il est clair que dans le cas d'un piston &quot;ballotté&quot; par des particules d'énergie cinétique différentes , il y aura transfert d'énergie des &quot;plus chaudes&quot; vers les &quot;plus froides&quot;.

== Exercices deuxième série ==
=== Exercice Zénon. ===
Une balle lancée horizontalement conserve indéfiniment dans le vide sa vitesse horizontale. Montrer qu'elle parcourt une distance finie avant de glisser au sol (cf exercice 2).

=== Exercice Escalier.* ===
Une balle lancée comme en (6/.) est non-élastique (e&lt;1). À un moment elle arrive sur un escalier descendant de marches égales (a = largeur = hauteur) : montrer que le mouvement est périodique si Vo est assez lent [Vo.(2V1/g)/(1-e) &lt; a].

=== Exercice Billards. ===

On admet que lors d'un choc élastique , le rebond suit la loi de Descartes : la vitesse est conservée en module , et l'angle d'incidence donne un angle de réflexion égal. ce rebond caractérise en mathématique un BILLARD.
les problèmes de Billards sont redoutables. On peut aussi considérer que c'est un rayon de lumière qui se réfléchit.
 
Soit un billard circulaire: montrer que le cercle central enveloppe des cordes n'est jamais atteint. 
Soit un billard elliptique** : montrer qu'il existe une petite ellipse de sûreté en général.

=== Exercice Fermi, Pasta , Ulam** ===
Un problème non résolu ! c'est le problème de Fermi, Pasta et Ulam : une bille élastique est lâchée sur un sol dont le mouvement vertical est z = a sin wt , avec w &quot;assez&quot; grand. Montrer qu'il existe des cas périodiques. mais surtout montrer que le mouvement de la bille va être en général une succession d'&quot;amortis&quot; ou de forçage. (Il existe des logiciels qui montrent magnifiquement le &quot;chaos&quot; résultant).

=== Exercice détente adiabatique.* ===
Sur un axe horizontal glissent 2 Grosses Masses (M) identiques (les raquettes), au départ immobiles. On injecte entre les deux , une balle de tennis de masse m , de vitesse Vo : montrer que la vitesse de la balle diminue progressivement (m &lt;&lt; M).

=== Exercice Compression adiabatique. ===
Soit une balle allant élastiquement entre deux murs distants de L. Montrer que si l'on rapproche doucement à la vitesse u , un des murs, alors l'énergie cinétique de la balle E augmente doucement comme (L-u.t)^k : trouver k

== Solutions, deuxième série ==

=== Exercice Zénon. ===
puisque on a trouvé un temps-fini en (2/.) , la réponse est : X= Vo.t(fini).

Escalier large : 
C'est assez fascinant mais banal : la balle à chaque marche fait une infinité de rebonds mais à distance finie, puis glisse uniformément jusqu'à X = a , tombe et le processus recommence avec la période T = a/Vo , bien que l'on ne puisse pas tracer la trajectoire !

=== Exercice escalier ===
mais où est passée la solution que j'ai donnée ?

=== Exercice Billards. ===
le cas du cercle est le seul facile : si la bille passe juste par le centre elle ne décrit qu'un diamètre. Sinon , soit AB la première corde et 2 alpha l'angle qu'elle sous-tend : si alpha = p/q . 2Pi , la trajectoire sera fermée et un polygone sera préservé. Sinon, l'ensemble des cordes est dense dans la couronne et ne seront préservés que les points à l'intérieur du cercle de rayon R cos(alpha).

==== Ellipse ====
Plus subtil.Soit AB un rayon lumineux et BC son réfléchi. La bissectrice de l'angle ABc est celle de F1BF2. Soit F'1 le réfléchi de F1 dans AB , et de même F'2 celui de F2 dans BC . Alors l'angle F'1 B F'2 a toujours la même médiatrice. On passe donc du triangle F'1BF2 au triangle F1BF'2 par simple rotation autour de B et donc F'1F2 = F1F'2 (:=2a)
le point de contact de l'ellipse de foyers F1 et F2 avec le rayon AB est le point Q intersection de AB avec F2F'1 :

car F1QA = AQF'1 (par médiatrice) et = BQF2 (opposés par le sommet Q : donc AB est bissectrice extérieure de F1QF2. ce qui démontre la propriété.

On rebelote côté BC et intersection avec F1F'2 , qu'on appelle R .

Il reste à démontrer que Q et R appartiennent à la même ellipse ; mais oui puisque F1Q +QF2 = F'1Q+QF2 = F'1F2 = 2a . idem pour R et F'2RF1 en ligne doite et vaut aussi 2a.

Soit une carte de flot du billard représentant en abscisse l'abscisse curviligne s de A , et l'angle alpha de AB avec la normale en A. Korsch et Jodl (1998,{{ISBN|3-540-57457-3}} présentent joliment cette carte : 

Évidemment si on tire en rasant, pour alpha voisin de Pi/2, on aura alpha quasi constant.

si on augmente , il se produira de petites ondulations. 

Enfin si le tir est focal, il passera par l'autre foyer : on obtient ainsi la séparatrice .

car au-delà le tir croisera F1F2 , et il faut refaire tout, pour montrer que cette fois les rayons restent tangents à une hyperbole de foyers F1 et F2 : donc les rayons resteront localisés dans cette cavité : c'est une propriété bien connue en optique catoptrique de Gauss pour deux cavités de même courbure; À la limite le petit axe est une orbite à 2 points.
ce qui complète la description de ce système dynamique.

(Un bon livre sur les billards est le Tabachnikov (2006) {{ISBN|0-8218-3919-5}}. Nous reverrons cela dans le cadre du pendule pesant.

=== Exercice FermiPastaUlam** ===
Sont périodiques les cas où en N périodes la balle monte et descend et rebondit sur un maximum ou un minimum du plancher. En général à part ces cas, le mouvement peut être très compliqué , soit en accroissant l'amplitude , soit en accroissant la période : un tel système a été un des premiers modèles de chaos ( on ne disait pas chaos à l'époque : on disait mouvement irrégulier. Ce qui est fascinant est de voir que par &quot;diffusion d'Arnold&quot; la balle finit par pénétrer des régions de très grandes hauteurs.

=== Exercice détente adiabatique.* ===
Comme les raquettes s'écartent , la balle subit des amortis successifs , cependant que les raquettes s'éloignent de plus en plus : en admettant que la balle ait cédé équitablement son énergie , chaque raquette part à la vitesse V telle que : MV² = 1/2 mVo². Assez récemment, on a pu montrer (Xia en 1994?) que par &quot;chocs successifs&quot; la gravité permettait d'envoyer des masses à l'infini en un temps fini (en mécanique classique).

=== Exercice compression adiabatique : ===
on trouve PV^3 = cste et PV ~ E donc E .V^2 = cste

=== Fin de leçon ===
Il est clair que l'on s'est limité ici à des cas très simples : tout le monde sait que le &quot;choc&quot; d'une balle e nni et d'une raquette est terriblement plus compliqué : la balle s'écrase, le cordage recule, etc. néanmoins il convient de repousser ce type d'analyse à plus tard.

== Retour ==
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Leçon : le choc frontal : lois de Huygens (1629-1695).

== Introduction et notation ==

Cette leçon ne fait pas partie du cours de cinématique; mais historiquement, elle a joué un rôle très important dans la formation conceptuelle de la mécanique. Elle constitue aussi une source d'exercices conséquente.

Galilée s'en préoccupe, mais sans arriver à conclure (ce qui se passe lors de la percussion est un obstacle expérimental très difficile).

Descartes introduit le concept fondamental : quand un corps ponctuel se déplace, son action ultérieure va dépendre non seulement de sa vitesse mais aussi de sa masse : cela est bien clair , lorsque l'on reçoit un projectile ; mais quelle quantité choisir mv², mv^3 , m²v^5 ? il choisira mv : 

''' NOMMER cette quantité mV, l'IMPULSION (ou quantité de mouvement) et LUI AFFECTER une unité : le kg.(m/s) := le descartes := 1N.s'''. C'est un avantage indéniable en TP.

Ainsi, une masse de 8 kg à la vitesse de 10 m/s possèdera une impulsion de 80 descartes.

Huygens reprendra les travaux de Descartes et les corrigera. Il aboutira à une belle théorie dès 1654 ('''''note historique''''' : mais ne la publiera pas ; c'est un trait caractéristique du XVIIème siècle ; on signe d'un anagramme, la découverte), et cela le rendit célèbre dans ses tournées-démonstrations , à Paris décembre 1659 , à Londres janvier 1660 . Mais voyant que l'architecte-mathématicien Wren a trouvé aussi la solution sous forme d'une épure très élégante, Huygens se décide à publier ses travaux .

Leibniz(1646-1716) les reformulera . Puis NEWTON (1642-1725) publiera dans les Principia(1687) une théorie plus complète ; mais on est encore loin de la réalité ( choc élastique-visco-plastique ).

== Expérience princeps ==

Lors d'un choc élastique de deux masses, l'idée est:
  

si l'on connaît leur impulsion before le choc &lt;math&gt; [P_1^b,P_2^b]&lt;/math&gt;, 

trouver leur implusion after le choc &lt;math&gt; [P_1^a,P_2^a]&lt;/math&gt;.


On considère le '''cas le plus simple''', suivant en cela la philosophie cartésienne:

deux boules égales avec des vitesses opposées donc des impulsions opposées &lt;math&gt; [P_1^b = P ; P_2^b = -P]&lt;/math&gt;: 

assez intuitivement, &quot;par symétrie&quot;, Descartes admet la loi : after le choc, les deux boules repartent avec des impulsions dans l'autre sens : &lt;math&gt; [P_1^a = -P ;P_2^aP]&lt;/math&gt;

Alors Huygens fait jouer le principe de relativité de Galilée. Le MÊME PHÉNOMÈNE est décrit par un observateur de vitesse constante Vo comme ceci :

La boule B1 avait l'impulsion m(V-Vo) , la boule B2 avait l'impulsion - m(V+Vo) ; after le choc, B1 repart avec l'impulsion (m(-Vo-V) et B2
avec l'impulsion m(V-Vo) . Et ceci est valable, QUEL QUE SOIT Vo ! Soit réécrit : 

&lt;math&gt; [ P1 ; P2]&lt;/math&gt; =&gt; &lt;math&gt; [ P2 ; P1 ]&lt;/math&gt; :

'''les boules échangent leur impulsion, c'est LA règle pour des boules de même masse'''.

En particulier , si Vo = -V ! Alors la conclusion est spectaculaire et tout le monde l'a vue à la pétanque : B2 est immobile, B1 vient la percuter avec la vitesse 2V : après le choc B1 est IMMOBILE et B2 part en arrière avec la vitesse 2V : c'est ce qu'on appelle &quot;faire carreau parfait&quot; :&lt;math&gt; [ P1 ; 0]&lt;/math&gt; =&gt; &lt;math&gt; [ 0 ; P1 ]&lt;/math&gt;

'''Le cas du carreau parfait se déduit donc du choc symétrique, via le principe de relativité galiléenne.'''

== Expérience m1 =3m et m2=m ==

Si les masses sont inégales , le problème est plus difficile. 

[Note expérimentale : Le dispositif expérimental utilise des bancs à coussin d'air sur lesquels glissent sans frottements des chariots-cavaliers de masse différente]. 

''[Note 2: On peut aussi s'affranchir de ce matériel assez onéreux par une construction soigneuse de pendule &quot;en translation&quot; : une planchette possède sur son épaisseur quatre crochets symétriques ; 2.2fils assurent la suspension en translation circulaire . On clampe alors sur la planchette un fort aimant permanent en ferrite. Le tout sera orienté dans le sens du champ magnétique terrestre. 

''On fabrique deux de ces planchettes . Et on les surcharge de la façon que l'on veut.'' 

''Si on monte la planchette B1 de H , alors passant à la verticale elle aura la vitesse sqrt(2gH) , cela était connu de Torricelli , donc de Huygens.'' 

''Comme les aimants permanents se repoussent sans &quot;consommer d'énergie&quot;, on est placé dans des conditions quasi-idéales (à la résistance de l'air près. De plus , avec des fils de 1m et des masses de 1kg , les oscillations durent longtemps), et on est prêt à expérimenter]''.''

*On peut organiser le TP-Cours suivant : donner la relation de Kircher(1602-1680) pour guide de départ. Laisser alors expérimenter.

'''Guide de Kircher''' : on conçoit que la plus massique l'emporte, et si on veut que B1 et B2 repartent avec des vitesses égales et opposées , il faut donner quelque vitesse supplémentaire vers la gauche au barreau B2 : laquelle ? la réponse, trouvée par tâtonnement par Kircher fût : il découvrit que si B1 était immobile et qu'il lançait B2 avec la vitesse -2V , alors B1 reculait à la vitesse -V et B2 se trouvait rejetée à la vitesse +V.[En fait il utilisait la règle de Torricelli : B2 était lâchée de 4H , et on constatait que B1 et B2 remontaient chacune de H]

Alors symboliquement cette expérience s'écrit:

[3m*0 ; m(-2V)]before =&gt; [3m(-V) ; mV]after.

On remarque très vite que le problème est LINÉAIRE en V , donc inutile de procéder avec de grandes vitesses.

Huygens , utilisant le principe de relativité galiléenne, généralisa en [3m(-Vo) ; m(-2V-Vo)]before =&gt; [3m(-V-Vo) ; m(V-Vo)]after , quelle que soit Vo ! 

Et donc le &quot;carreau&quot; était obtenu pour [3m.(2V) ; 0]before =&gt; [3m.V ; m.3V]after (On a utilisé le changement d'axe x/-x), ce que l'expérience confirme : cela se traduit en hauteur des barreaux par [4H ; 0 ]before =&gt; [H ; 9H]after ; et réciproquement par renversement du temps : cela est spectaculaire à voir ; pour les élèves les plus doués, essayer de voir s'ils intuitent : comme 3mg.4H = 12mgH et 3mgH + mg.9H = 12 mgH , on voit que &quot;l'énergie se conserve&quot; [les élèves ne savent pas ce qu'est l'énergie, mais ce &quot;principe&quot; de Torricelli leur semble &quot;assez naturel&quot; ].

== Généralisation ==

Pour Huygens, la généralisation lui vînt de la considération de la vitesse Vo = -V/2 : dans ce cas : before , [P1 = 3mV/2 ; P2 = -3mV/2] =&gt;after [P1=-3mV/2 ; P2 = +3mV/2] ; soit différemment écrit : before[P ; -P] =&gt; after [-P ; P]. Et il se dit que c'était là peut-être la loi généralisable à toutes les masses : 

{{exemple|Enoncé|loi du choc élastique de Huygens(1619-1695)|&lt;math&gt; [ P ; -P]_{before} =&gt; [-P ; P]_{after}~&lt;/math&gt;}}

Et en appliquant le principe de relativité de Galilée , [P + m1.Vo , - P + m2.Vo]before =&gt; [-P +m1.Vo ; P +m2.Vo ]after , ce qui englobe tous les cas possibles , puisque c'est vrai quelles que soient P et Vo ! Il suffit de prendre P et Vo tels que m1.(V1-Vo) = P et m2.(V2-Vo) = -P !


Ainsi Huygens a-t-il découvert une loi très importante : 

 &lt;div style=&quot;text-align: center;&quot;&gt; '''{l'impulsion totale se conserve}'''   &lt;/div&gt;


Mais Huygens nota plus encore dans ses équations : la vitesse relative des deux boules P/m1 +P/m2 se transformait en son opposée , lors du choc. Mais pas forcément dans ses expériences!

=== le centre de masse ===

Huygens en considérant un point purement mathématique , appelé G , barycentre de masse , tel que OG = (m1 OB1 + m2 OB2)/(m1+m2) trouva une loi, appelée par lui '''LA Loi Remarquable''' : 

ce point mathématique G , quelle que soit la violence du choc , '''continuait sans &quot;frémir&quot; son mouvement uniforme !'''

[note historique : la notion de centre de gravité est bien connue à l'époque, mais pour un solide . Horrocks fût sans doute un des premiers à avoir appliqué la notion de centre de masse à celui du couple Terre-Lune et son mouvement.]

Enfin , il nota un effet qui généralisait une proposition déjà faite par Torricelli (-1647) : si les boules étaient lancées par gravité pendulaire , la première de la hauteur H1 et l'autre de la hauteur H2 , après le choc les hauteurs H'1 et H'2 étaient telles que m1.H.+m2.H2 se conservait. Autrement dit par la loi de Torricelli : 

soit la quantité 1/2 mV^2 := P^2/2m appelée l'énergie cinétique : l'énergie cinétique totale se conservait ! hélas les expériences n'étaient pas concluantes à son époque.

(Bien plus tard , Leibniz reprît cette proposition à son compte pour les chocs élastiques).

Newton fît mieux encore, ce qui sera vu ensuite.

== Exercice de TP-cours ==
Soit le cas [m1.V. ; 0 ] : trouver les vitesses après le choc . 

En écrivant la conservation de la quantité de mouvement totale et celle en module de la vitesse relative , les 2 équations linéaires donnent : 

V'2 = 2.m1.V/M et V'1 = (m1-m2).V/M (avec M = m1+m2).

Sans être très compliquée, ces deux résultats ne sont pas si simples à mettre en évidence par une classe de seconde en TP-cours. Ce que les élèves mettent très vite en évidence est le signe (m1-m2) pour le barreau B1 ; introduire la masse totale M est peu évident et l'écrire en pourcentage des masses est mieux perçu : 

V'2 =2 p1 .V et V'1 = (p1-p2).V. 

Pour Huygens , qui ensuite les mît en pratique dans moult expériences, cela lui prît environ 1 an (en 1654 sans doute ; il a 25 ans !)

== Chocs inélastiques ==

Newton comprît ce qui était inexact dans la proposition de Huygens : 

le cas [P ; -P] donnait en réalité [-P' ; P'] avec P' = e P 

et le facteur de restitution e compris entre 0 et 1; 

Si e= 0 on dit que le choc est complètement inélastique (les deux Boules restent collées). Évidemment dans ce cas , il y a perte d'énergie cinétique . Bien plus tard , Sadi Carnot(-1832) indiqua la perte d'énergie : 1/2 m1 (V'1-V1)^2 +1/2 m2(V'2-V2)^2 (à faire en exercice ; on voit déjà que cette perte est indépendante du référentiel galiléen choisi).

Ainsi , entre les premiers travaux de Galilée , puis de Torricelli , de Kircher , de Huygens , de Wren , de Newton , il s'écoula 80 ans , juste pour établir les résultats d'une expérience qui ne nous apparaît simple aujourd'hui que parce que le concept d'impulsion est bien compris, et parce que sera généralisé le Principe de la conservation de la quantité de mouvement.

== Résumé ==

Pour tout système isolé , l'impulsion totale se conserve :

{{exemple|Énoncé|Principe de la conservation de l'impulsion|&lt;math&gt; P_{totale}^{Systeme \cdot isole} = cste&lt;/math&gt;}} 

On peut aussi le dire, comme l'a dit Huygens : pour un système isolé , décomposé en deux sous systèmes S1 et S2 , on aura échange d'impulsion :


{{exemple|Énoncé|Principe de la conservation de l'impulsion|&lt;math&gt; \Delta P_1^{S1} = - \Delta P_2^{S2}&lt;/math&gt;}}

Et cette loi ne dépend pas du référentiel galiléen choisi.


De plus :


Dans un choc élastique , l'énergie cinétique (1/2mv²) totale se conserve. Sinon, il y a perte d'énergie. 

_______________________________

== Exercices ==

Attention : en combinant la leçon chute libre et la leçon choc frontal , on arrive déjà à cette chose remarquable : on ne sait pas résoudre certains exercices d'énoncés simples : même en 2006, la mécanique est redoutablement difficile. Et surtout, on ne maîtrise pas bien ce que l'on sait faire et ce que l'on ne sait pas faire , même si des progrès récents ont permis de progresser. Néanmoins, on s'attachera à la règle de modestie prudente : donner les solutions des exercices posés .

=== Exercice m&lt;&lt;M ===
Montrer que si une balle légère(masse m1 = m) rencontre un traîneau (parfaitement glissant) de masse m2 = M &gt;&gt;m , avec la vitesse v , alors la balle rebondit avec une vitesse -v et le traîneau recule un peu : examiner la conservation de l'énergie soigneusement.(Exercice que Huygens résolût contre l'opinion de son maître à penser, Descartes).

=== Exercice balle de Zénon. ===
Une balle lancée verticalement avec la vitesse Vo monte d'une hauteur h et heurte le sol horizontal avec un coefficient de restitution e . Montrer que bien qu'il y ait une infinité de chocs , la balle reste au sol au bout d'un temps fini (célèbre pseudo-paradoxe des Eléates).

=== Exercice Rebonds ===
Une balle de ping-pong est placée sur une balle super-élastique et on lâche le tout d'une hauteur de 1m : à quelle hauteur remonte la balle de ping-pong ? (Attention : ne pas faire l'expérience avec une petite bille d'acier : cela peut être dangereux!). **Généraliser .

=== Exercice Ascenseur.** ===
Une super-balle(e=1) est dans un ascenseur. Elle rebondit toujours à la hauteur H . L'ascenseur monte avec une accélération g0 (c'est à dire V= g0.t). Qu'arrive-t-il ? Puis l'ascenseur continue avec la vitesse constante Vo ; et enfin s'arrête avec la même décélération : qu'arrive-t-il ?

=== Exercice pendules de Kircher. ===
5 billes sont placées côte à côte entre deux murs parfaitement élastiques: On prend la première et on l'envoie avec la vitesse Vo : montrer que le mouvement sera périodique. (ce jouet est souvent réalisé avec 5 petits pendules identiques. Kircher est le premier (? ou bien Marci?) à avoir étudié assez loin des cas de ce genre.

=== Exercice thermalisation ===
Montrer que dans un choc élastique les différences d'énergie cinétique après le choc sont moindre qu'avant le choc.

En déduire que si des balles sont coincées dans deux récipients, de part et d'autre d'un piston libre de masse M , elles finiront par avoir la même énergie cinétique , via le transfert du piston.

== Solutions ==

=== Exercice m&lt;&lt; M. ===
Cela résulte de l'exercice de cours : V'1 = m-M .V/(m+M) = -V[1 -2m/(M+m)] ; Cependant que la raquette recule de V 2m/(M+m).

L'énergie cinétique*2 est donc mV²(1-eps)² + M V² 4m²/(m+M)² : il faut donc vérifier que (1-eps)² + 4Mm/(m+M)² = 1 ; soit : 

-4m/(m+M) + 4 m²/ (m+M)² + 4 Mm/(m+M)²= 0 ? soit -(m+M) +m + M = 0 ;OK. (l'erreur est souvent de négliger des termes o(m²) sans en négliger d'autres, ce qui fût le cas de Descartes).

=== Exercice Zénon. ===
La balle retombe avec la vitesse Vo en un temps 2Vo/g ; et tout recommence avec la vitesse e.Vo :le pseudo-paradoxe de la série infinie géométrique donne une convergence très rapide et donne le temps limite (2Vo/g)/(1-e) , qui est FINI , malgré l'infinité de chocs. Une remarque de pertinence :juste après le choc , le sol a fourni la percussion me.Vo Descartes pour faire remonter la balle et reçu la percussion me.Vo au demi-choc suivant, soit un reçu de Delta-P = 2emVo vers le bas , et le rebond dure Delta-t =2eVo secondes. Si bien que &lt;math&gt;\frac{\Delta P}{\Delta t} = mg &lt;/math&gt;. Ce genre de remarque a précédé les Principia(1687) de plusieurs décennies.

=== Exercice Rebonds. ===
Cette petite expérience est étonnante : la balle remonte à environ 9m !En effet la super-balle remonte avec la vitesse V et éjecte la balle de ping-pong avec la vitesse relative 2V , donc 3V par rapport au sol : donc H =3².h : surprenant ! Évidemment il y a conservation de l'énergie car la super-balle ne remonte pas tout à fait à 1m et la balle pas tout à fait à 9m (Voir l'exercice 1). 

De manière plus réaliste , on trouve dans le commerce des super-balles de rayon double donc de masses M et m =M/8 . On trouve alors : 

dans le référentiel (R) qui monte à la vitesse de rebond Vo , la grosse balle de masse M part en arrière à la vitesse -2/9 .2 .Vo = -4/9 Vo , soit au total vers le haut avec une vitesse 5/9 .Vo . La petite remonte dans (R) avec la vitesse 14/9 .Vo , soit au total de 23/9 Vo donc remonte à seulement 529/81 H (= 6.53m quand même) , et la grosse remonte à 25/81 H ; évidemment 1 . 529/81 + 8.(25/81) = 9.

On peut imaginer mettre une balle de ping-pong sur la petite balle : l'expérience est plus dure à faire mais donnerait + de36m (au lieu des 49m théoriques pour M &gt;&gt;M1&gt;&gt;m)

Évidemment les élèves les plus shadoks mettent la balle de ping-pong dessous : la balle ainsi &quot;adiabatiquement comprimée&quot; peut atteindre des vitesses gigantesques. Dans le cas réaliste m = M/15 , dès que la grosse boule est arrêtée, la petite a l'énergie totale 16mgh et pourrait remonter à 16.h en enlevant prestement la grosse boule : il y faut une certaine adresse! Remarque : le sol n'a pu fournir aucune énergie. Par contre il a fourni de l'impulsion, et on l'a supposé sans recul.

=== Exercice Ascenseur. ===
Balle dans ascenseur :

Prenons comme moment de départ, la date t=0 où la balle rebondit vers le haut avec la vitesse Vo , donc OB = -1/2gt² +Vo.t et le sol de l'ascenseur monte comme OS =1/2 a t². 

Le choc C1 a donc lieu au temps t1 = 2Vo/g' avec g' = g+a . La balle remonte alors à la vitesse relative à l'ascenseur qu'on calcule : on trouve Vo! et son mouvement absolu (avec nouvelle origine des temps t= t1 +t') sera OB = OC1 + (Vo+at1)t' -1/2 g t'² et celui de l'ascenseur continue à être : OS = 1/2.a (t1+t')² . Le choc 2 aura donc &quot;lieu&quot; au temps t1+t2 tel que : 
1/2 a.t1² +Vot2 +at1t2 -1/2 g t2² = 1/2 a t1² + at1t2 +1/2 a t2² ; soit : 

t2 = 2Vo/g' = t1 ! Et la balle rebondira à nouveau avec la vitesse relative à l'ascenseur égale à Vo , donc vitesse absolue Vo + a.(t1+t2) = Vo + a.(2t1) ! etc . 

Autant dire que dans le référentiel accéléré de l'ascenseur , la balle exécute des rebonds réguliers à intervalles de temps 2Vo/(g+a): c'est &quot;comme si le poids de la balle était apparemment m(g+a)&quot;.

=== Exercice Kircher. ===
B1 touche B2 et s'arrête. B2 fait de même , etc. B5 est éjectée à la vitesse Vo , atteint le mur et revient . Le processus reprend en sens inverse.

=== Exercice Thermalisation. ===
Soit une masse m de vitesse grande u , et une masse M assez lente de vitesse V. 
La différence d'énergie est D = 1/2.mu² - 1/2.MV² avant le choc.

Après le choc élastique, les vitesses sont u' et V' et la différence est D'.

On calcule : u' = 2M/S .V -(M-m)/S .u

et de même V' = 2m/S .u +(M-m)/S .V ; avec S = M+m.

En calculant D', on trouve D' = D[ 1-8mM/(m+M)²]= -D (1 -2(M-m)²/S²) et un terme en uV , dont statistiquement on peut supposer la moyenne nulle. En module , il reste donc |D'| = |D| R avec R &lt;1 . Typiquement en envoyant des neutrons sur des deutons R = 7/9 : on dit qu'on a thermalisé les neutrons rapides via de l'eau lourde. On reverra ce calcul plus loin en introduisant des chocs non frontaux.

Il est clair que dans le cas d'un piston &quot;ballotté&quot; par des particules d'énergie cinétique différentes , il y aura transfert d'énergie des &quot;plus chaudes&quot; vers les &quot;plus froides&quot;.

== Exercices deuxième série ==
=== Exercice Zénon. ===
Une balle lancée horizontalement conserve indéfiniment dans le vide sa vitesse horizontale. Montrer qu'elle parcourt une distance finie avant de glisser au sol (cf exercice 2).

=== Exercice Escalier.* ===
Une balle lancée comme en (6/.) est non-élastique (e&lt;1). À un moment elle arrive sur un escalier descendant de marches égales (a = largeur = hauteur) : montrer que le mouvement est périodique si Vo est assez lent [Vo.(2V1/g)/(1-e) &lt; a].

=== Exercice Billards. ===

On admet que lors d'un choc élastique , le rebond suit la loi de Descartes : la vitesse est conservée en module , et l'angle d'incidence donne un angle de réflexion égal. ce rebond caractérise en mathématique un BILLARD.
les problèmes de Billards sont redoutables. On peut aussi considérer que c'est un rayon de lumière qui se réfléchit.
 
Soit un billard circulaire: montrer que le cercle central enveloppe des cordes n'est jamais atteint. 
Soit un billard elliptique** : montrer qu'il existe une petite ellipse de sûreté en général.

=== Exercice Fermi, Pasta , Ulam** ===
Un problème non résolu ! c'est le problème de Fermi, Pasta et Ulam : une bille élastique est lâchée sur un sol dont le mouvement vertical est z = a sin wt , avec w &quot;assez&quot; grand. Montrer qu'il existe des cas périodiques. mais surtout montrer que le mouvement de la bille va être en général une succession d'&quot;amortis&quot; ou de forçage. (Il existe des logiciels qui montrent magnifiquement le &quot;chaos&quot; résultant).

=== Exercice détente adiabatique.* ===
Sur un axe horizontal glissent 2 Grosses Masses (M) identiques (les raquettes), au départ immobiles. On injecte entre les deux , une balle de tennis de masse m , de vitesse Vo : montrer que la vitesse de la balle diminue progressivement (m &lt;&lt; M).

=== Exercice Compression adiabatique. ===
Soit une balle allant élastiquement entre deux murs distants de L. Montrer que si l'on rapproche doucement à la vitesse u , un des murs, alors l'énergie cinétique de la balle E augmente doucement comme (L-u.t)^k : trouver k

== Solutions, deuxième série ==

=== Exercice Zénon. ===
puisque on a trouvé un temps-fini en (2/.) , la réponse est : X= Vo.t(fini).

Escalier large : 
C'est assez fascinant mais banal : la balle à chaque marche fait une infinité de rebonds mais à distance finie, puis glisse uniformément jusqu'à X = a , tombe et le processus recommence avec la période T = a/Vo , bien que l'on ne puisse pas tracer la trajectoire !

=== Exercice escalier ===
mais où est passée la solution que j'ai donnée ?

=== Exercice Billards. ===
le cas du cercle est le seul facile : si la bille passe juste par le centre elle ne décrit qu'un diamètre. Sinon , soit AB la première corde et 2 alpha l'angle qu'elle sous-tend : si alpha = p/q . 2Pi , la trajectoire sera fermée et un polygone sera préservé. Sinon, l'ensemble des cordes est dense dans la couronne et ne seront préservés que les points à l'intérieur du cercle de rayon R cos(alpha).

==== Ellipse ====
Plus subtil.Soit AB un rayon lumineux et BC son réfléchi. La bissectrice de l'angle ABc est celle de F1BF2. Soit F'1 le réfléchi de F1 dans AB , et de même F'2 celui de F2 dans BC . Alors l'angle F'1 B F'2 a toujours la même médiatrice. On passe donc du triangle F'1BF2 au triangle F1BF'2 par simple rotation autour de B et donc F'1F2 = F1F'2 (:=2a)
le point de contact de l'ellipse de foyers F1 et F2 avec le rayon AB est le point Q intersection de AB avec F2F'1 :

car F1QA = AQF'1 (par médiatrice) et = BQF2 (opposés par le sommet Q : donc AB est bissectrice extérieure de F1QF2. ce qui démontre la propriété.

On rebelote côté BC et intersection avec F1F'2 , qu'on appelle R .

Il reste à démontrer que Q et R appartiennent à la même ellipse ; mais oui puisque F1Q +QF2 = F'1Q+QF2 = F'1F2 = 2a . idem pour R et F'2RF1 en ligne doite et vaut aussi 2a.

Soit une carte de flot du billard représentant en abscisse l'abscisse curviligne s de A , et l'angle alpha de AB avec la normale en A. Korsch et Jodl (1998,{{ISBN|3-540-57457-3}} présentent joliment cette carte : 

Évidemment si on tire en rasant, pour alpha voisin de Pi/2, on aura alpha quasi constant.

si on augmente , il se produira de petites ondulations. 

Enfin si le tir est focal, il passera par l'autre foyer : on obtient ainsi la séparatrice .

car au-delà le tir croisera F1F2 , et il faut refaire tout, pour montrer que cette fois les rayons restent tangents à une hyperbole de foyers F1 et F2 : donc les rayons resteront localisés dans cette cavité : c'est une propriété bien connue en optique catoptrique de Gauss pour deux cavités de même courbure; À la limite le petit axe est une orbite à 2 points.
ce qui complète la description de ce système dynamique.

(Un bon livre sur les billards est le Tabachnikov (2006) {{ISBN|0-8218-3919-5}}. Nous reverrons cela dans le cadre du pendule pesant.

=== Exercice FermiPastaUlam** ===
Sont périodiques les cas où en N périodes la balle monte et descend et rebondit sur un maximum ou un minimum du plancher. En général à part ces cas, le mouvement peut être très compliqué , soit en accroissant l'amplitude , soit en accroissant la période : un tel système a été un des premiers modèles de chaos ( on ne disait pas chaos à l'époque : on disait mouvement irrégulier. Ce qui est fascinant est de voir que par &quot;diffusion d'Arnold&quot; la balle finit par pénétrer des régions de très grandes hauteurs.

=== Exercice détente adiabatique.* ===
Comme les raquettes s'écartent , la balle subit des amortis successifs , cependant que les raquettes s'éloignent de plus en plus : en admettant que la balle ait cédé équitablement son énergie , chaque raquette part à la vitesse V telle que : MV² = 1/2 mVo². Assez récemment, on a pu montrer (Xia en 1994?) que par &quot;chocs successifs&quot; la gravité permettait d'envoyer des masses à l'infini en un temps fini (en mécanique classique).

=== Exercice compression adiabatique : ===
on trouve PV^3 = cste et PV ~ E donc E .V^2 = cste

=== Fin de leçon ===
Il est clair que l'on s'est limité ici à des cas très simples : tout le monde sait que le &quot;choc&quot; d'une balle e nni et d'une raquette est terriblement plus compliqué : la balle s'écrase, le cordage recule, etc. néanmoins il convient de repousser ce type d'analyse à plus tard.

== Retour ==
*[[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences|Mécanique , enseignée via l'Histoire des Sciences]] 


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[[Catégorie:Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences (livre)]]</text>
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    <title>Discussion:Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/La chute libre</title>
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        <username>DavidL</username>
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      <comment>DavidL a déplacé la page [[Discussion:Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/la chute libre]] vers [[Discussion:Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/La chute libre]]</comment>
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      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="52151" xml:space="preserve">== Avertissement==

Ici beaucoup de matériaux perso.A vous de les modifier en fonction de vos desiderata, c'est le principe même de la WP. J'ai écrit ceci dans l'esprit de la préparation de la leçon d'agrégation de physique : ici &quot;la Chute libre&quot;.

* --[[Utilisateur:Guerinsylvie|Guerinsylvie]] 20 juin 2009 à 18:47 (CEST) : je vais relire toute cette lesson et peaufiner la présentation. Voilà qui est fait. Il restera cette page. Apparemment, cela n'intéresse pas grand-monde ... ! Wikialement Sylvie.

*--[[Utilisateur:Guerinsylvie|Guerinsylvie]] 19 mars 2008 à 17:05 (CET) : déjà ! On m'a demandé de relire ces notes et de les commenter. Ok, je vais le refaire, mais il est vrai que j'ai d'autres chantiers...

*[[Utilisateur:Guerinsylvie|Guerinsylvie]] 20 août 2006 à 16:34 (CEST) . Je place ici bcp de matériaux perso : ces lectures ne sont point si faciles. Ceci dit, j'ai conscience d'utiliser la WP en carnet de notes ; je ne m'en donne le droit que pour marquer mon désir d'avoir une démarche aussi transparente que possible. Wikialement sylvie--

==Lettre de Huygens à Mersenne(28 octobre 1646)==
[[Utilisateur:Guerinsylvie|Guerinsylvie]] 3 août 2006 à 17:53 (CEST) : Bonjour, ci-dessous la lettre Huygens à Mersenne de 1646 ( Huygens a alors 17 ans ! aux âmes bien nées, la valeur ... ).
on attend les commentaires ici [[Utilisateur:Guerinsylvie|Guerinsylvie]] 29 juin 2006 à 17:37 (CEST)

Voilà , j'ai pu réemprunter le livre de Yoder(1988)unrolling time : 

On y lit : p10,12Oct1646 de Mersenne à Huygens : j'attends votre solution ; puis 16Nov 1646 : je vous remercie de votre démonstration.

*La &quot;démonstration&quot; présuppose : z(0)=0, avec Vo=0; z(2t)-z(t) = k.z(t) quelque soit t(28Oct1646 de H à M).Je la case en exercice? [11/. Loi de Huygens(1646) : partant du repos ,  supposons que z(2t)-z(t) = k z(t) quel que soit t (A vous de jouer!]Bizarre, j'ai dû mal noter ; avec k=3 ,ça marche, sinon , cela m'échappe). Montrer que z(t) = 1/2gt².
11/ Enoncer cela à 17 ans n'est pas banal ; mais c'est Huygens qui l'a dit!
Hint : &lt;math&gt;\frac{1}{3} = \frac{1+3}{5+7} = \frac{1+3+5}{7+9+11}&lt;/math&gt;.

=== copie de la lettre ===
Voici la lettre ( de Christiaan Huygens(1629-1695) à Marin.Mersenne,[28 octobre 1646]:

...vous dites en premier lieu que tout grave n'est pas capable de recevoir un mouvement si vite que soit celui du corps qui serait descendu d'une lieue de haut. Je ne puis pas confentir a cela, et m'en rapporte à la Philofophie de Monsr. des Cartes, qui entre autres loix de la nature a remarqué cellecy, a fcavoir que toute chofe continue fon mouvement de la mefme viteffe que luy a esté donnée une fois, si quelque aucre chofe ne l'empefche; si donc là où il n'y avoit point d'air ni autre empefchement nous fuppofions quelq'un qui avec un arc tiroit deux flefches à la fois, l'une de bois pefant et l'autre de paille ou chofe femblable, il eft manifefte qu'elles iroient de vitesse efgale, à fcavoir de celle qu'avoit la chorde de l'arc en retournant en fa premiere posture, et ne ceffèroyent jamais, car il n'y a caufe imaginable qui les arrefteroit; je dis donques que tout corps eft capable de quelconque vitesse, et que ce que la paille et la laine tirees hors d'un Canon tombent tout court, ne procede d'autre chofe que de l'empefchement de l'air. 

La feconde objection eftoit, que pour garder in vacuo les proportions des nombres 1, 3, 5,7,il eftoit necessaire que le grave tombaft par tous les degrez de tardité ec que cela n'elloit point, à caufe que la pierre avoit au commencement de fa cheute defja une certaine vitesse. Je dis que fans doute elle passe par tous les degréz de tardite, er qu'elle a eu moindre vitesse que quelconque vitesse donnee. Car foit donnee la balle de plomb A qui roule fur le plan horizontal AB de B vers A avecq foit peu de vitesse contre le bras de la balance DCA, dont C eft le point fixe, il eft evident que le poids F. lié de la corde FED qui passe par dessùs la poulie, peut eftre fi peu pefant quc la balle A le pourra leuer quelque peu. 

Or tel eft le principe fur lequel eft fondee ma raifon, que fi la gravite P en commencant fa cheute passe en certain temps par l'efpace PS, et au temps fuivanc par l'efpace SR; et que la mefme en un autre temps du com- mencement de sa chute paffe par l'efpace PV, et au temps fuivant par l'efpace VM; et que le temps de la chute par l'efpace PS foit au temps par SR comme le temps par PV au temps par VM; que alors l'efpace PS est à SR comme PV à VM. Comme par exemple, si une pierre en tombant passe au premier minute de fa cheute un pied de mefure, et au fecond minute 5 pieds; que la mefme pierre parce qu'aux deux premiers minutes elle a donc passé 6 pieds, aussi aux deux fuivants minutes elle en passera 30; car 1 eft a 5 comme 6 à 30. 

Cecy eftant concedé, foient passés en egals temps les efpaces AB, BC, CD, etc. il eft donc manifefte que comme l'efpace AB à BC, ainfi est l'efpace AC à CE, et AD à DG. Car comme le temps par AB a efté egal au temps par BC ainsi le temps par AD a esté égal au temps par DG. 

Voions a cette heure s'il ij a quelque progreffion Geometrique, que puif- fent avoir les efpaces AB, BC, CD etc, passés en temps efgaux. Soit donc l'efpace AB ~ a  BC ~ b ; fi c'est donc une progreflion Geometrique 
CD fera ~b²/a  et aussi DE ~ b^3/a²; mais il éft neceffaire par le principe fufdit que comme AB à BC aussi AC est à  CE Donc le reftangle AB* CE doit eftre efgal au reftangle BC* AC , soit :

b²+b^3/a ~ ab +b² , d'où a ~b


De cette Analyfe s'enfuit que les dits efpaces ne peuvenc eftre en aucune progreffion Geomecrique que de l'efgalité. L'opinion donc que de ceux qui difent, qu'ils font en la progreffion 1, 2, 4, 8 est fort rîdicule. Car par exemple, pofons que le poids N passe au premier temps par l'efpace N0, 1, au fecond OP 2, au 3me PQ 4, au 4me QR 8 : Et prenons a cette heure les deux premiers temps auxquels il a paffé par l'efpace NP, pour le premier; ayant doncque passé au premier temps par l'efpace NP 3 (car N0 1, et OP 2, font 3) il paffera au fecond temps a fcavoir au 3me et 4me, felon leur progreffion 6, mais au 3me et 4me il a passé par l'efpace PR 12 (car PQ 4 ct QR 8 font 12), il faudrait donc que 6 fust esgal à 12; ce qui est absurde.

Voions donc s'il y a quelque progression arithmétique en la quelle les espaces puisent estre. Que le poids L aye pasé au premier temps par l'espace LM~a , au second MN a+x , au troisième NO a+2x , au quatrième OP a +3x ; il faut donc selon mon principe que comme LM à MN [ a à a+x] alors ainsi LN à NP [2a+x à 2a+5x] soit LM*NP [2a²+5ax] ~ MN*LN [2a²+3ax+x²] d'où 2ax ~ x² puis 2a ~ x.

Nous avons doncq trouvé la progreffion arithmetique en laquelle font 
les dits espaces, car x étant trouvé égal à 2a, alors MN sera 3a, NO 5a et OP 7a : il n' y a point d'autre solution.
----

*[Suit la démonstration que la suite 1.2.3.4 est absurde ]
Enfin remarquons que la suite 1.3.5.7.9.11 est au contraire logique, puisque 1et3 donnent 4 comme 5et7 donnent 12 et 1et3et5 donnent 9 comme 7et9et11 donnent 27, etc.

Voilà ! 

Ce garçon-là a 17 ans ! et en prime, sa lettre se finit par : je vous enverrai qu'une corde pendue ne fait point une parabole, ou bien qu'il faut charger la corde différemment que de son propre poids [ce sera la lettre de Novembre 1646 , sur la chaînette . Gaudi l'a-t-il jamais lue ?]!

*Note aux IUFM : '''A vous maintenant de commenter cette lettre en discussion , et de percevoir que ce n'est pas bien clair, ou alors il faut réinterpréter.'''

== Koyré:chute des corps==
(ed Vrin,1973)
Sans doute un livre à exploiter à fond !

* Introduction ..... , Kepler, Locher, Galilée (1614-1632) ...... Galilée, Mersenne, Fermat (1635-1638) ...... Boulliaud (1639) ........ Riccioli (1651) ........ Le rapport de Gregory (1668) ........ . Borelli (1667) ........ &quot; S. degli Angeli contre Borelli et Riccioli (1667- 1668) ....... M. Manfredi contre S. degli Angeli (1668) ...... :. S. degli Angeli contre M. Manfredi (1668) ...... Borelli contre S. degli Angeli (1668) ....... , Zerilli contre S. degli Angeli (1668) .......... ;. S. degli Angeli contre Zerilli (1669) ....... . Riccioli contre S. degli Angeli (1669) ........

ON VOIT DONC que la Bataille fait rage en Italie, et que Huygens était épaulé, et que c'est bien sur ce terreau que se hissera l'école anglaise et particulièrement NEWTON ( 1642-1726).
- - - 
===INDEX DES NOMS=== 

ANGELI, Stefano degli (1623-1697) : 
ARCHIMÈDE (287-212 av. J.-C.) : 
ARISTARQUE DE SAMOS (310-230 av. 
ARISTOTE (384-322 av. 
AUZOUT, Adrien (1622-1691) : lî 
BENEDETTI, Giambattista (1530- 1590) : 68 n. 
BONINO, Giovanni (xixe s.) : 198 n. 
BORELLI, Giovanni Alfonso (1608- 1679) : 
BOULLIAUD, Ismael [BILLIALDUS] (1605.1694) : 
BRAHE,' Tycho (1546-1601) : 
CAMPANI, Giuseppe (fl. 1654-1666) : 
CAPRARA, Francesco Carlo (fl. 1668) : I 
CARCAVY [CARCAVI], Pierre de ( 1600-1684) : 24 n 
CASSINI, Jean-Dominique [CASSINI I] (1625-1712) : 
CASSINI, Jacques [CASSINI II] (1677.1756) : l' 
CASSINI DE THURY, César-François [CASSINI III] (1714-1784) : 198 n 
CASSINI, (Jacques - Dominique) [CASSINI IV] (1748-1845) : 
CASTELLI, Benedetto (1578-1643) 
CAVALIERI, Bonaventure Frances (c. 1598-1647) : 
CHARLES (abbé) (né en 1604) : 
CHARLES-EMMANUEL II (1634-1675) : 
CHIARAMONTI [CLARAMONTIUS], Scipione (1565-1652)^&lt; 
COPERNIC, Nicolas (1473-1543) : 1 
DESCARTES, René (1596-1650) : : 
DIGGES, Thomas (1525-1595) : 
FABRI, le P. Honoré (c. 1607-1688) : 
FERMAT, Pierre de (1601-1665) : 
GALILÉE [GALiLEI, Galileo] (1564- 1642) : &lt; 
GASSENDI [Pierre GASSEND, dif\ (1592-1655) : 
GIACOMELLI, Raffaelle (c.) : 201 n. 
GILBERT, William (1544-1603) 
GRASSI,' ORAZIO (1582-1654) 
GREGORY, James (1638-1675) : 
GRIMALDI, le P. Francesco Ma- rîa (1618-1663) : 
 

HAUBY/Edmund (1656-1742) :  
HOOKE, Robert'(1635-1703) : 
HUYGENS, Christiaan (1629-1695) : 
INGOLI, Francesco (1578-1649) : 20. 
INNOCENT X, pape de 1644-1655 : 
JOHNSON, Francis R. (c.) &quot;&quot; 68 n. 
KEPLER, Johannes (1571-1630) : 1 
  
LA NOUE, Jean (fl. 1672) : 197 n. 
LESZCZINSKY, Bohislav (1633/4- 1691) : 101-102. 
LOCHER, Johann Geoi-g (xvn' s.) : 
LOHNE, J.A. (c.) : 11 n.
 
MAESTLIN, Michael (1550-1631)  
MAGALOITI, FiUppo (1558. c. 1632)  
MANFREDI, Michele, pseudonyme de Riccioli  
RICCIOLI, Giovanni Battista (1598- 1671)  
MEDICIS, Cosme III de (1639- 1723) : 
MERSENNE, le P. Marin (1588- 1648) 
MONTANARI, Geminiano (1633- 1687) : K 
OLDONI (xvn' s.) : 198 n. 

PATIN, Charles (1633-1693) : 177 n. 
Sur Rinaldini, cf. CharlesPatin, 1682
(1796-1877) : 101 n. 
PTOLÉMÉE, Claude (c. 90 - c. 168) : 
RICCI, Michelangelo (1619-1682) : 
ROBERVAL, &lt; (1602-1675) : 
SAGREDO : 25-28. 
SALVIATI, Filippo (1582-1614) : 22, 25-29, 73. 
SCHEINER, Ie P.Christopher(1575- 1650) : 1 
SIMPLICIO : 18, 19, 27, 28. 
STEVIN, Simon (1548-1620) 
 
TACQUET, André (1512-1660) 
TORRICELLI, Evangelista (1608- 1647) : 143. 
URBAIN VIII [Mafîeo BARBERINI] (1568-1644). pape de 1623-1644 : 
VICTOR-AMÉDÉE Ier, duc de Savoie (1587-1637) :  
ZERILLI, Diego (xvii s.) 
VIVIANI, Vincenzo (1622-1703) : 
- - -
DE WAARD, Cornelis (1879-1963)
DUHEM, Pierre (1861-1916) :
FAVARO, Antonio (1847-1922) :
HAGEN, Johann Georg (1847-1930) : 
KOYRÉ, Alexandre (1892-1964)
LENOBLE, Robert (1902-1959) : 30 n.

*Ya du boulot ! C'est incroyable de voir tous ces gens qui publient à cette époque ; c'est un vrai foisonnement ! Tout cela en pleine &quot;Inquisition&quot; !?

==liste JP Maury sur Mersenne ==
===Index des noms ===

Je compare à la liste du MAURY sur Mersenne :
 
AGRIPPA DE NETTESHEIM Henri Cologne 1486 - Grenoble 1535), I, un des « Mages » de la Renaissance. ; médecin personnel de Louise de Savoie (1524-28), 
AMAMA Sbcte (Franeker 1593 - ibid. 1629), attaquel'autorité de laVulgate (1618), 
ARCOS Thomas d' (La Ciotat 1565 - Tunis après 1636) savant provençal, réduit en esclavage et une fois affranchi, sous le nom d'Osmann , Correspondant de Peiresc, il  participe à l'observation collective de l'éclipse de 1635.
 
*AUZOUT Adrien (Rouen 1622 - Rome 1691), e Rouen:t l'ami du pedt groupe de chercheurs qui compte B. Pascal, Hallé de Monflaines, Pecquet et qui se passionne pour les expériences sur le vide. ( C'est lui qui aurait eu l'idée de l'expérience du Puy-de-Dôme. II  [I est l'inventeur du micromètre à fils mobiles, se 1669-1670, il est avec îean Picard le mesureur du méridien

*BAGNI Gian Francesco, Guidi di Bagno, dit (1578 -Rome 1641)^
À sa mort, Patin écrit « la France perd un bon ami. » . II protège 1 notamment Naudé qui devient son secrétaire. A il laisse Wendelin soutenir devant lui l'opinion du mouvement de la terre)
WENDELIN Godefroy (Herck 1580-Gand 1667), astron ;. Connu pour ses observations célestes quoddiennes, il détermine la parallaxe du soleil et enonce la troisieme loi des mouvements planétaires huit ans avant Kepler. II publie en 1626.

*BALlANlJean-Baptiste (G234nes 1582 - ibid. 1666), savai disciple de Galilée. '. publie ses Opere diverse en 1666, (il attribue la montée de l'eau à la pression uniforme de l'air),  

*BARBERINI Maffeo (Florence 1568- Rome 1644), cardinal et pape sous le nom d'Urbain VIII en 1623. Grand ami de Peiresc, hi , La famille es perd toute puissance en 1644 par l'élection d'Innocent X .

*BEAUGRANDjean de (Paris 1595-ibid. 1640), fait connaître Fermat.l'auteur d'une Géostatique (1636), qui lui vaut l'hostilité de Descartes, doi prétend qu'il a copié le travail d'Harriot. II larticipe aux réunions savantes chez Mersenne et compte parmi les membres de la commission désignée pour l'examen des longitudes. 

===='''BEECKMAN'''====
Isaac (Middelbourg 1588-Dordrecht 1637). II tient un registre de tous les événements de la science de son temps à pardr de 1604 (le journal de Beeckman est à lire ; pb c'est en néerlandais!).
*[http://poortman.kb.nl/zoek2.php?begin=1&amp;eind=20&amp;VELD[]=8&amp;QUERY[]=&amp;OPERATOR[]=&amp;doc[]=4&amp;FREEQUERY=Q_NAAM2.TN_ID=1252&amp;OPDRACHT=Publicaties+over+Isaac++Beeckman&amp;YEQ=&amp;YEAR=&amp;YEAR1=&amp;YEAR2=] 
*[http://www.xs4all.nl/~adcs/beeckman/index.html#noten]
*[http://www.humanities.mcmaster.ca/~rarthur/papers/BDFM.pdf]

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BERIGARD Claude Guillermet de (Moulins 1578-Padoue 1664),  Partisan de l'immobilité de la terre, il la défend contre Galilée.

BERNEGGER Matthias (Hallstadt 1582 - Strasbourg 1640),le plus fidèle et le plus loyal ami de Kepler.

*BERTI Gasparo (Mantoue 1600-Rome 1643), ] collabore entre autres avec Holste, Kircher, Magiotd. À la mort de Benedetto Castelli en 1643, il est nommé à sa place.II contribue à la grande observadon de l'éclipse de 1635.il collabore étroitement avec Torricelli  à mettre en évidence empiriquement l'existence du vide. 

BLAEU Willem Janszoon (Alcmar 1571 - Amsterdam 1638), éditeur de cartes

BOUCHARD Jean-Jacques (Paris 1606-Rome 1641assassiné)II obtient grâce à Peiresc un emploi auprès de Francesco Barberini en 1634 ; il sert d'intermédiaire entre les mathématiciens de Paris et Galilée ;

BOULLIAU Ismaêl (Loudun 1605-Paris 1696), traverse le siècle !;il prend position pour le mouvement de la Terre). 

BOURDELOT Pierre, ou Pierre Michon(Sens 1610-Paris 1695), II fréquente les réunions savantes et forme plus tard lui- même une académie-salon. II se rend chez Peiresc en 1634 et lui rend par la suite bien des services.

'''BRAHÉ''' Tycho (Knudsû-up 1546-Prague 1601), veut remplacer les tables prussiennes de Reinhold(1551): Kepler publiera les tables rudolphines en 1627

BROSCIUS (Brozek)Jan (Kurzelow 1588-Bronowize 1652), ) plus de trente ouvrages, dont un important traité d'arithmétique 

****BRUNO Giordano (Nola près de Naples 1548-Rome 1600) il vit cinq années stables, professeur au Collège royal. Vie incroyable,sans concession

BURRATTINI Tito Livio (Agorto 1617-Cracovie 1681) ,egyptologue :Tous ses matériaux publiés dans sa Pyramidographia (1646) sont ensuite utilisés par Kircher (Rdipus Êgyptiacus, 1653) ; i ). Il fabrique le plus grand télescope d'Hevelius (Maximus tubus). 

CAMPANELLA Tommaso (Stillo en Calabre 1568-Paris 1639), vie dingue ! aidé par Peiresc.

CARDAN (Pavie 1501-Rome 1576)  En mécanique, il affirme l'impossibilité du mouvement perpétuel +  deux cents ouvrages 

CAVALIERI Bonaventura (Milan 1598 - Bologne 1647) ( (recherche sur le calcul infinitésimal et sur les indivisibles) , sur les logarithmes. Ami de Galilée ; riche correspondance avec Mersenne. 

CORNIER Robert ( ?-Rouen 1623), 1 correspondant régulier de Mersenne. 

DELLA PORTA Giambapdsta (Naples 1541 -ibid. 1615), { usage de la force d'expansion de la vapeur d'eau. 

DESARGUES Girard (Lyon Ï59ï-ibid. 1661), savanf  la perspective ( 1636) c cadrans solaires (1640). t publie le Brouillon proB. Pascal qui reprend ses résultats et Mais le Brouillon se perd : on ne le retrouve qu'en 1854. 

DESCARTES René 1637 le Discours de la méthode et ses trois essais (Dioptrique, Météores et Géométrie): une catastrophe pour la france (???)

DUPUY : Bouillau vient rejoindre rue de la harpe la + grande bibliothèque de paris ; academie putéane.

DU VERDUS(1621-1675) élève de Roberval , va voir Torricelli , mais ne communique rien(1641(?) : cf Itard et la cycloïde. Publie Roberval à l'Ac des Sc(68-69); disciple de Hobbes.

Clusius introduit les tulipes de Turquie

Faulhaber (1580-1635) publie Brigg en allemand ( rappel : les logarithmes). + Note de Knuth sur le calcul des puissances et nb de Bernoulli

Fermat(1601-1665)

Ferrier taille pour Descartes le verre , selon l'hyperbole.

Ficin(1433-1499) met en accord Platon et le christ.

Frenicle(1605-1675)calculateur rapide

Gaffarel procure à Peiresc nb de livres de Rome

Gassendi(1592-1655) of course : regarder CdF.

Gaston (Monsieur le frère cadet) épousera mademoiselle d'où naît la Grande Demoiselle

Gaultier(Rians1564-Aix 1647)prieur de la Valette,observe les satellites de J , neuf mois après Galilée.

GILBERT (1544-1603) publie le de magnete en 1600.

Grandier de Loudun brûlé en 1634 (cf les ursulines)

Grotius (1583-1645) : crée le droit international.

Guericke (1583-1645) hémisphères en 1654 ; machine électrostatique.

Haak(1605-1690): Mersenne anglais! jamais vu !

Hardy(1605-1678) date les évangiles !

HOBBES(1588-1679)publie le de Cive en 1642.

Hevelius ( Howeleke) (1611-1687): prouve que les comètes décrivent des paraboles !!(1652-1664)

'''KIRCHER'''(1602-1680):cf Burrattini; universel curieux , genre Young plus tard.

LA MOTHE-LE-VAYER précepteur de Monsieur le frère de LouisXIV. forme la tétrade avec Naudé, Gassendi et Diodati.

LIBAVIUS(1560-1616) : premier chimiste ! al chemia :1597; bon !

MAGIOTTI(1597-1656-peste de Naples) lettre du 12 mars 1648 à Mersenne, ludion , publié par Borelli

MAGNI (1586-1661)publie de 1647 sur le Vide.

MAIGNAN : cf NICERON

MOLETI(1531-1588) réforme grégorienne du calendrier

MORIN(1583-1656) geocentriste très influent.

*MYDORGE(1585-1647) fait tailler pour descartes les meilleurs verres.donne en 1621 la latitude de Paris. Enorme ouvrage sur les coniques , lu par Pascal. partisan de l'Académie.

Nardi : cf triumvirat avec magiotti

NAUDE(1600-1653) fonde la Mazarine.

NICERON(1613-1646), maître des anamorphoses ( cf Balsutratis);voir aussi Salomon de Caus 

NOEL (le plein du Vide 1648)!

PACIUS(1550-1635) , prof de Peiresc; relit Aristote via Zabarella

PEIRESC(1580-1637) : gassendi : vie de Peiresc(1641)

PETIT(1598-1677) aide Pascal (1647)

PIC de la MIRANDOLE : disciple de Ficin

PINELLI(1535-1601) grand humaniste de Padoue

Pozzo(1598-1657) voyage en France (1625)

Reneri (1593-1639) diffuse descartes en Hollande

Rey : dilatation des métaux

Ricci '1619-1682) élève de castelli, ami de Torricelli , mais  pauvre , préfère être nommé cardinal ...

RIVET ,(1572-1651) précepteur de guillaumeII (1632-1646), grand érudit.

ROBERVAL(1602-1675) le Géomètre ; esprit acariâtre surtout contre Descartes.

SAGREDO(1571-1620):consul de Venise; galilée lui dédicace les taches du Soleil

SALVIATI(1582-1614)entre en 1612 à la lincei, disgrâcié, part en espagne.

Santorio(1561-1636): appartient au cercle de galilée avec Sagredo et Sarpi.

SARPI(1552-1623assassiné)

'''SCHEINER'''(1575-1650)publie les taches du Soleil(1630), Oculus(1619), point de départ de Gassendi&amp;Peiresc sur la vision. Anticopernicien , demande à Zucchi et Noel de poursuivre la lutte.

SCHICKARD(1592-1635): trigo sans tables !

SNELL(1581-1626): loi de la réfraction ; mesure du méridien.(suivi de Van den Hohe(1605-1639))


STEVIN(1548-1620): 11 livres, tous prodigieux.

de THOU(1553-1617tranché par Richelieu):bilbiothécaire du roi

Van DREBBEL(1572-1633) pompe et sous-marine sec.

VIETE(1540-1603) ,dans les guerres de religion !

VIVIANI(1622-1703) : biographe de Galilée.

ZUCCHI(1586-1670) : regarde via un oculaire un miroir parabolique : le télescope est né (&lt;1652); s'opposera au vide ; élève de Scheiner

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*'''Conclusion''' : peu d'espagnols et de portugais; mais Pologne et Zurich s'en sortent pas mal . LA GRANDE VITALITE est en Hollande. pas trop étonnant qu'ils aient eu un Huygens.

Il reste à mettre en ordre les correspondances de chacun de ces cercles. Ce qui m'intéresserait le plus , c'est Beeckman ( le journal).A suivre
--[[Utilisateur:Guerinsylvie|Guerinsylvie]] 10 août 2006 à 13:49 (CEST)
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===Piste de réflexion? et malaise===
Après relecture du Koyré et du JP Maury , j'ai le sentiment ( donc réfutable) suivant : 

La production épistolaire de Mersenne couvre en gros la guerre de 30 ans ( défenestration de Prague 1618 - traité de 1648). L'Est de l'Europe est ravagé et cela n'a que peu de répercussions sur l'Oeuvre de Mersenne. 

Au cours de cette période, L'ÉVOLUTION qui m'apparaît fondamentale est celle de la &quot;progressive épuration du raisonnement&quot; via les gedanken-experiment et l'avancement technique [ plus de fontaines et de fontainiers, plus de maîtres d'oeuvre en Ars_et_métiers ] :
* '''Stevin''' DIT : '''s'il n'y avait pas de frottements''', les machines simples transfereraient du travail avec rendement 100% . Il déclare impossible le mouvement perpétuel, sauf dans ces conditions limites, et il a bien conscience qu'un moteur perpétuel n'existe pas. Tout ceci a eu le temps de maturer amplement au moins un siècle dans les ars&amp;métiers.
*'''Beeckmann'''(1588-1637) dans son journal (1604-1637) a quasiment tout trouvé et énoncé bien avant Descartes ou Galilée ( sans doute vers 1613): c'est donc que l'activité intellectuelle était, dans bien des lieux, très avancée.
* '''Galilée''' (1564-1642) énonce son EPUR-ation sans doute vers 1602 : '''s'il n'y avait pas de frottements de l'air''', alors ...

Mais comment imaginer la raréfaction de l'air ? Eh bien parce que les pompes existent : les fontainiers le savent depuis longtemps ; le 10m,33 est la limite : après il faut mettre du plâtre , mais c'est la capillarité qui entre en jeu! '''Donc'''(?) s'il n'y a plus d'air , il y a le VIDE : 

Là , l'esprit résiste : Aristote n'a pas été contredit depuis 2000 ans. Et puis l'air pèse-t-il ? S'il pèse, pèse-t-il 10m.33 d'eau (Baliani vers 1616). S'il pèse , pourquoi ne tombe-t-il pas ? Cette question ne semble pas être abordée ( pourtant, Feynman l'explique admirablement).
 
*'''La GRANDE IMPASSE''' dans laquelle '''Descartes''' engage une génération est &quot;la matière subtile et ses tourbillons&quot;.

Quelques rares physiciens en réchappent: Huygens difficilement, et surtout Newton ( de Gravitatio )

Il y a donc une évolution logique de Stevin à Galilée puis Torricelli. Pascal ne fait que confirmer et rédiger (et il le fait avec une clarté admirable): le &quot;plein de vide&quot; convainc.

Une fois admis le VIDE, le pas fondamental est l'inflexion de la trajectoire : c'est Huygens et la vis centrifuga. Newton le dira autrement, mais c'est la même idée. Au fond Kepler ne dit rien d'autre , avec Gilbert : il y a une force &quot;magnétique&quot; qui force à aller vers le centre des corps . Mais PAS de la Terre : Mersenne disait déjà que si on lâchait un corps sur la Lune , il tomberait sur la Lune et pas sur la Terre.

Pour moi, qui ne crois pas au génie ( mais aux gens très intelligents, oui), l'oeuvre de Newton n'est rien d'autre qu'une Somme. Il n'y a pas d'idée nouvelle ( 1684, le de Motu est déjà écrit), hormis les &quot;théorèmes remarquables&quot; ( ceux dits de Newton-Gauss), ce qui va conduire à l'attraction universelle à distance, même des petits grains [incompréhensible : hypotheses non fingo]: la physique , de gedanken en gedanken , a découvert le vide où se transmet à distance , instantanément, une force d'attraction universelle : il faut bien avouer qu'avaler une EPURATION pareille est très ELOIGNEE du laboratoire ( il faudra attendre Cavendish !): ce n'est pas parce que l'on VOIT tomber un corps que l'on comprend Newton. C'est parce qu'on EPURE la chute. 

Il y a réellement CONFLIT entre bombardieri (disons Tartaglia) et Torricelli , entre  cartésiens et Newton, etc.

Autre chose, due à mon manque de culture : où sont Portugais et Espagnols ? et plus rien chez les Ottomans ? rien en Inde  &amp; Chine ? j'ai un malaise : 

et s'il n'y avait pas de Dieu ? Sire, je n'en ai pas eu besoin. 

Pas de scolastique mais un simple positivisme? non ça ne marche pas : personne n'a vu de forces : on voit des fils tendus , on ressent la tension ; mais le formalisme des vecteurs , c'est une gedanken-construction, et l'on force(sic) les écoliers à l'apprendre : la règle du parallélogramme , je n'ai jamais trouvé cela facile à enseigner.

La science marche sur 2 jambes : la théorie et l'expérience? je ne pense pas : elle titube : ars&amp;métiers en lutte contre le gedanken , puis expérience de labo épurée , puis sortie de labo, réception de la théorie , ars&amp;métiers alors compris, et on avance : affouille, bafouille, cafffouille, &quot;peu clairement&quot; on progresse.

----[[Utilisateur:Guerinsylvie|Guerinsylvie]] 17 août 2006 à 10:17 (CEST)

relu le --[[Utilisateur:Guerinsylvie|Guerinsylvie]] 19 mars 2008 à 17:05 (CET) :

Oui , je reste d'accord avec moi-même au bout de 2 ans.

Oui, je continue à ressentir le manque de matériaux venant de l'étranger. A ressentir aussi la solitude :  peu de gens cherchent à fouiller épistémologiquement l'histoire des sciences : il est vrai que les progrès récents de métrologie captivent.

Oui, je continue à penser qu'il faut fouiller les cas simples, parangons : la chute-libre, la déviation vers l'Est , la cycloïde etc. 
Rien ne sert de dire : z&quot; = g =&gt; z = 1/2 g t² .point final et c'est mon dernier mot. je reprends à mon compte la &quot;gueulante&quot; de Curien : si de Benedetti à Galilée puis Newton, puis Sakuma , la chute libre a occupé TOUS les plus grands esprits pendant 400 ans, un agrégatif doit pouvoir en 4 h sortir une lesson de 45minutes qui ne soit pas &quot;creuse&quot; ! Il est clair qu'un physicien de 50 ans avait plus de culture qu'un agrégatif de 22 ans ! ceci dit, cela n'a pas l'air de passionner les foules . Il faut donc Développer, développer encore Koyré, et Costabel , et en 2010, Michel Blay.--[[Utilisateur:Guerinsylvie|Guerinsylvie]] 23 juillet 2010 à 18:05 (CEST)

==qq matériaux des Koyré ==
Je préfère les mettre ici : après tout, ces notes perso peuvent peut-être aider un autre chercheur.

Il est clair qu'il faut scinder 2 pb : 
*1/. La chute du mât ( souvent dite de Gassendi, à cause de l'expérience de la galère dans le port de Marseille), qui conduit à : le mouvement uniforme c'est comme Rien. 
*2/.a/ Le fait que le centre de la Terre est en translation quasi-circulaire , et non pas en translation uniforme (=&gt;théorie des marées). Et surtout le pivotement de la Terre, 464m/s à l'équateur, soit 40 000 km/jour-sidéral entraîne chute non verticale!

b/. qu'en est-il de la croyance (ou non) au faux-principe de rotation uniforme (Beeckmann y croyait; Galilée c'est flou.)

Le premier est traité assez abondamment dans &quot;études galiléennes&quot;
le deuxième dans &quot;chute libre et mvt de la Terre&quot; .

Ensuite , il y a cette philosophie de Koyré à repositionner : on peut être ou non d'accord avec lui. De toute façon lui-m n'est pas si catégorique que cela .
En gros, il dit qu'on ne peut pas observer si l'on ne sait pas ce que l'on doit observer : la théorie précède l'observation , éventuellement via une gedanken-experiment, épure une expérience jusqu'à réaliser en labo au mieux cette gedanken-expériment ; et l'on continue à progresser. Il y a donc prééminence de la théorie sur l'expérience ; mais ce n'est pas aussi caricatural. En tout cas, je n'adhère pas  tout à fait à ce scénario caricatural( L'observation de Fleming n'est pas due à la théorie, par exemple ; le hasard  orienté de Pasteur n'est pas à rejeter , la sérendipity existe aussi. Si on lit Duhem, il y a encore une sensibilité distincte, etc.).Il y a aussi ces phrases sévères sur Descartes : (p119des E.G. ) une conception clairement imaginée peut être une physique imaginative ( quasiment imaginaire et folle-dingue): on voit donc que gedanken est à prendre avec précaution: revoir éloge des théories fausses de JM LL. Substituer la trajectoire et le diagramme horaire est UNE FAUTE récurrente que les auteurs classiques ont souvent commise. Donc, je ne suis pas fixée sur ce genre d'analyse. Je me recontenterai de reporter des analyses et mettrai en [{...}] mon opinion perso.

===Etudes Galiléennes===
A L'AUBE DE LA SCIENGE CLASSIQUE 
LA LOI DE LA CHUTE DES CORPS. DESCARTBS ET GALILÉE 
GALILÉE ET LA LOI D'INERTIE 
CONCLUSION . . . 
APPENDICE. L'ÉLIMINATION DE LA PESANTEUR. ......
 
plus précisément :

'''A L'AUBE DE LA SCIENCE CLASSIQUE''' :

1. Aristote .. 2. Les discussions médiévales : Bonamico... 3. La physique de l'impetus : Benedetti........ 4. Galilée ....... 

'''LA LOI DE LA CHUTE DES CORPS. DESCARTES ET GALILÉE''' :

1. Galilée ... 2. Descartes ....... 3. Encore Galilée.... DÉFINITION..... CONCLUSION .... 

'''GALILÉE ET LA LOI D'INERTIE''' 

LE PROBLÊME PHYSIQUB DU COPERNICANISME ......... 
1. Copemic ..... 2. Bruno ...., 
3. Tycho Brahe........ 4. Kepler ........ LE DlALOGUE  ET LA POLÉMIQUE ANTI-ARISTOTÉLICIENNE. ...... LA PHYSIQUE DE GALILÉE ... . CONCLUSION ......... 
 
'''APPENDICE. L'ÉLIMINATION DE LA PESANTEUR'''.

A -Les Galiléens..... 1. Cavalieri ...... 2. Torricelli .....&quot;&quot; 3. Gasseadi .. B - Descartes .. 1. Le Monde ...... 2. Les Principes....

____________________________________

Qu'en retirer ? 

Mutation : je n'aime pas malgré Bachelard ( Nouvel esprit sc 1934 et la formation de l'esprit sc 1938): je préfère temps de réception , qui évoque une diffusion ( non-uniforme ni spatialement , ni temporellement); j'adhère bien sûr à : 
&quot;à une véritable « mutation » de l'intellect hu- main (2) ; transformation grâce à laquelle des notions, pénible- ment « inventées » par les plus grands génies, deviennent non seule- ment accessibles, mais encore faciles, évidentes pour les écoliers. &quot;p11

p13: 1ère attaque en règle :le mécanisme de la physiq classique, loin d'être une conception de l'artisan (1), ou de l'ingénieur, en est justement la négation (2). ET BOUM ! 1. La scicnce cartésienne et galUéenne a, sans doute, profité à l'ingénieur et fut utilisée par la technique, avec le succès que l'on sait. Mais elle n'a été créée ni par des techniciens ni pour la technique. ET REBOUM contre Leroy et Borkenau , et OLSCHKI:&quot; Emile MEYERSON a déjà remarqué (v. Identité et Réalité *, Paris, 1926, p. 156) combien peu les expériences concordaient avec les principes de la physique classique. &quot;

===la chute libre===

La loi de la chute des corps, la première des lois de la physique classique a été formulée par Galilée ds la lettre à Sarpi , du 16Oct  1604(1). Quinze ans plus tard, en 1619, elle le fut aussi par Beeckman (2)[ il a dû faire appel à l'aide de Descartes].Double erreur ( cf Mach):

en déduisant une loi extrêmement simple, Descartes et Galilée se sont trompés. Ne serait-ce pas, par hasard, un indice que cette simplicité n'est qu'apparente ?


En gros , l'idée est : si l'on dit que la vitesse d'arrivée est f(h), h := hauteur de chute , diriez-vous que la vitesse est double si l'on tombe du quatrième que du premier étage , ou bien le contraire v(h) est quadruple si l'on tombe du second étage , sachant que l'on tombe de plus en plus vite : et très vite là , on se mélange un peu les pédales entre notion de diagramme horaire ou diagramme spatial. Surtout dans une époque où le temps est représenté  par une distance ! et où la notion d'unité n'existe pas encore vraiment.
*p98:l'idée de faire dépendre la vitesse avec laquelle un corps-qui-tombe parcourt l'espace qu'il franchit, non de cet espace, mais du temps qu'il mettra à le parcourir [ lequel temps visiblement, est lui-même fonction de sa vitesse], ne parait pas peu « naturelle » et même extrêmement, et inutilement, compliquée (1) ; cet amphigouri, Galilée s'en rend bien compte : 

Sagredo(Discorsop203) l'explique bien , et Salviati va le consoler puis répondre

===Que dit Descartes?===
Ref : SIRVEN1928; DUHEM vinci1913;Milhaud(1920)
 
p108 : Beeckman (1613): principe d'inertie admis , on ajoute à V(t) un deltaV '''chaque delta t''', car l'attraction joue elle par rapport au temps qu'elle agit et non par rapport à l'espace parcouru. Alors , même si Beeckman ne sait pas le dire , la loi est trouvée : V(t + t) = V(t) +a.t

Je voudrais bien savoir la relation Beeckman et Constantin Huygens (?) .p109 : éloge de Beeckman (et de son inventeur de Waard (1936!)).p110 : Beeckman n'aurait pas connu la formule d'Oresme, soit !

remarque p112et113: il faudra un jour faire l'éxégèse de cet affreux &quot;moment&quot; : il y a le degré de vitesse , il y a le moment de vitesse : cela veut-il dire v(à ce moment) , ie v(t) , ie vitesse instantanée ?  En fait , moment veut dire durée de temps ( &quot;en un moment de temps&quot;) mais aussi date ( &quot;à ce moment-là&quot;) : on oscille ; il me semble (?) que degré de vitesse ( c-à-d v(t)instantanée) est traduit par Descartes comme moment de vitesse ( la vitesse à cette date) . Evidemment comme on le sait pour le mouvement unifomément accéléré, v(t)/2 = x(t)/t = v(moyen) et comme on parle en terme de proportionalité le facteur 2 tombe ; enfin , comment cela devient-il le momentum anglais , [then , the horrible momentum of momentum ! dear God!]

===analyse page à page ===

p110 : remarquer le questionnement de Beeckman : la pierre partant du 4eme étage , je mesure la durée de chute T : puis-je connaître la durée jusqu'au 2eme ? c'est à dire qu'il part d'un trajet AB de durée observable. Et remonte au non observé. Galilée va oujours vers les x croissants.

p111 : T =&gt; X et V ; 2T =&gt; X+ VT +VT et 2V ou bien X +X + VT et 2V ? , ce qui au temps 3T donnerait : 2X +VT + X + 2VT : il me semble que les deux raisonnements marchent : à vérifier.

p112 : serait-ce un des premiers raisonnements différentiels  ? Demander à HB .

p114 : il me semble que Descartes répond à F = kt ; trouver x(t) : cela donnerait v(t) = kt²/2 , puis x(t) = kt³/3 , ce qui est bien la pyramide. Evidemment avc F = kx , on retombe sur la fameuse erreur!

Par contre , je n'ai pas vu l'erreur de Descartes p114 : à revoir.

En tout cas , les 2 diagrammes ne sont pas les memes du tout ; car la verticale de Descartes AB est le chemin parcouru et la verticale de Beeckman est AB durée de chute !et en fait Descartes dit que v croit comme x ! faute de Benedetti , de michel Varron , etc.

p118 : raisonnement différentiel de D , et cf Jean Wahl(1920)
cf aussi Gradi dans Caverni(1895)

p121 : la conclusion est que Beeckman ne fait pas la différence dans le raisonnement entre v(t) et v(x). Oui, peut-être, pas convaincue

p122 : lettre à Mersenne du 14 aout 1644 : j'ai feuilleté le Dialogo, pr^été par beeckman (du samedi au lundi !): Descartes redonne une autre démo , et tjs v= k x ! au lieu de g.t ; lettre à M du 13 nov 1629 : Koyré réitère que Descartes n'a jamais formulé le principe d'inertie dans les textes cités. D'autre part Descartes à nouveau commet une inadvertance(p124): c'est impressionnant pour des gens aussi  forts! et en 1644 , il ne s'en souviendra pas ! Non plus que de ses lettres avec Beeckman !

et rebelote lettre à M du 18dec1629, avec encore une inadvertance.

'''MAIS, p 126 , en note , KOYRÉ fait la même remarque malheureuse''' :&quot;Ce qui, en un certain sens est parfaitement juste : l'accélération se produit effectivement en chaque point de parcours.CERTES MAIS C'EST LA PHRASE '''DANGEREUSE''':l'accélération se produit à chaque date [date à laquelle le point est en x(t)]. IL EST évidemment clair que c'est cet écheveau v(x) ou v(t) qu'il faut démêler   : cela conditionne dv/dx ou bien dv/dt : quelle est la loi de base ? Si l'on oublie que le mot &quot;vis&quot; est employé à toutes les sauces , et qu'il n'y a pas d'unités en physique , le v.dv/dx c'est bien g et dv/dt aussi. Comment distinguer ces choses alors que v ne l'oublions pas c'est 2.x/t ! On est bien au coeur du problème : le champ de pesanteur est bien g(x) , mais l'accélération c'est bien dv/dt et au CHOIX on peut intégrer dv(t)/dt = g(x(t)), mais il faudrait connaître x(t): comme x(t) est fonction croissante du temps , on peut le prendre comme échelle de temps , alors via la formule de composition de Leibniz , on trouve une équation de Newton : x&quot; = (x) =&gt; v²(x)/2 -int(g(x)dx) = cste . Ou bien dv/dt = g(x(t)) est facile à &quot;deviner&quot; : ici v(t) = g.t.

Donc deviner , si accélération veut dire dv/dx ou bien dv/dt n'est pas évident à l'époque. Toute tentative de DÉMONTRER la loi de la chute des corps me semble donc vaine. De plus , il faut expliquer la 2ème loi qui manifestement va à l'encontre du quotidien.

p128: lettre à M du 12sept1638 : D a fait le saut .Il cogite ! et ne s'intéresse plus trop à la matière.Il construit &quot;son&quot; Monde.

p129 : lettre à M du 11 oct 1638 : la lettre classique du cours de philo : il y critique la manière de travailler de Galilée.

p129 lettre de oct-nov1631 : D a compris la vitesse limite de Beeckman.Donc , il ne croît plus à 1/2gt² sauf aux premiers instants. Ensuite il y a vitesse limite. Le Dialogo est donc en retard sur la pensée de Descartes-Beeckman.

p131 : donc D a bien défini le principe d'inertie ( qui n'est donc pas le principe de relativité galiléenne): du coup , il détruit l'espace clos de la sphère du Cosmos , et place les trajectoires dans R^3 : c'est la révolution décrite dans &quot; du monde clos à l'espace infini&quot;.

p132 : l'expérience cruciale du bocal d'eau avec grenaille et gros cailloux : astucieux , mais fait entrer dans la fausse vi=oie des tourbillons :lettre à M 16oct1639.( cf MOUY1934).

p132 : lettre à M oct-nov 1631 : plus v est grand , moins la gravité agit ! C'en est fini du 1/2 gt². Descartes n'y croît plus. donc recevant le Dialogo en 1632 , c'est trop tard. Il a changé. Il a trouvé SA Méthode.

p133 : D connaît pourtant le principe de relativité. Il n'admet plus que les actions de contact ,les chocs. Et le raisonnement suit ( lettre à M du 11 mars 1640 et 11juin 1640.

p134 : nie la deuxième Loi. Nie à juste titre l'expérience des deux boulets à même Vy mais Vx différents. etc.

===Encore Galilée ===
le Galilée de 1638 :
 
p138 : Il apert que nous sommes conduits à : la vitesse augmente avec l'extension du temps. La datation de ce document par Alberi pose pb : car il y a des indivisibles dedans. Caverni date de 1622-1623 le document. Wohlwill de 1609. : difficile !!!

p139 : glissement très rare de Koyré : la référence à la mécanique quantique ! pour justifier Beeckman et Cavalieri

et p141 : v(t) continue est bien embarrassant à cause de v(0)=0 voudrait dire qu'on ne bouge pas. et p142 Sagredo n'arrive pas à imaginer cela : exact répond Koyré : ce sont des math !!!

et encore deux pages 142 &amp; 143 sur les Éléates : v = v(0) +gt  emp^che-til ou non d'avancer à t = -v(0)/g ? Benedetti a déjà donné des cas où on peut ralentir sans cesse sans jamais s'arrêter. Le sommet de la trajectoire se passe sans durée . la raison la plus éloquente est p144 : si v constant pendant une durée , alors reprendre à l'infini ce t argument conduit à la faillite.

p144 : définition du mouvement uniformément accéléré : v(t) = g. t,
qui laisse Frénicle dubitatif , Descartes aussi , et donc Mersenne peu satisfait. descartes prend appui sur sa réflexion sur la boule et le mail.

p147 : il se trouve bien que l'exemple de la montée symétrique de la descente est utile  (mais gedanken à cette époque).

suivent les pages sur la démo classique de x ~ t² via le triangle. puis les nb impairs .

Alors , Sagredo demande la confirmation expérimentale . Et là KOYRÉ enfonce son clou préféré : Galilée donne à nouveau le schéma d'une gedanken-experiment via le plan incliné  et p154 :

l'expérience a été répétée cent fois , avec tjs le m résultat.

faux , se récriera Mersenne. Mais Galilée le sait bien ! (c'est là cet &quot;artifice&quot; agaçant : Galilée affirme vrai des choses qu'il admet comme vraies à la limite, de ce que ne peut précisément PAS FAIRE une exp réelle. Ce négationisme le conduira à dire des bêtises avec la même belle assurance ( isochronisme du pendule )).

===conclusion===

p156 : pour G , le réel incarne les math ! ah, bon ! pour moi ces deux pages sont oiseuses : v(x) ou v(t), dv/dx ou dv/dt : bof ! On retient Galilée parce qu'il s'est trouvé qu'il avait raison . Mais on a retenu Descartes pour le principe d'inertie parce qu'il avait raison et qu'il a été clair sur ce point et Galilée hésitant : bref , et cela est bien normal : 

l'histoire des sciences appartient au vainqueur ! Comme en histoire ! FIN.

==Koyré: Galilée et la loi d'inertie ==

Koyré prétend nous démontrer que Galilée ne l'a pas assimilée , mais que c'est Descartes qui a fait la clarté.  Je suis dubitative ...

p227 : la bonne physique se fait a priori. On construit l'expérience réelle à partir de la gedanken , pour voir ce que l'on DOIT voir. p225 : l'expérience du mât de Gassendi en 1641, à Marseille en présence du comte d'Allais DOIT donner raison à Galilée &quot;a priori&quot; : je vous le ferai confesser de vive force dit Salviati à Simplicio qui réclame l'expérience .     

p236 : expression délicieuse : expérience &quot;vue avec les yeux de la raison&quot; et non pas faite réellement. Il s'agit tjs de gedanken.(dialogo p 196)  

p238 : En principe, le privilège du mouvement circulaire est battu i brèche : c'est le mouvement en tant que tel qui se conserve, et no ]e mouvement circulaire. En principe. Mais, en fait, le Dialogue v va pas plus loin. Et quoiqu'on l'ait dit, jamais nous ne glisson ni ne glisserons jusqu'au principe d'inertie. Jamais, dans les Discoa pas plus que dans le Dialogue, Galilée n'affirmera la conservatioi éternélle du mouvement rectiligne. Ceci pour la simple raiso qu'un tel mouvement rectiligne des graves est une chose impossible, &lt; que . pour Galilée  des corps nou-graves cesseraient d'être de 
etre des corps et ne pourraient se mouvoir du tout. FIN

A relire et relire : cette histoire de g constant en module et RADIAL , cette histoire de mouvement circulaire au début immuable , qui se transforme en mouvemnt galiléen comme rien : il y a tour de passe-passe à TRES bien décortiquer.(p205-238)

===la physique de Galilée ===
Conçue comme physique des graves.

p239-276

La conclusion est péremptoire : 

Ainsi, nous venons de le voir, Galilée n'a pas formulé de principe d'inertie. Sur la route qui, du Cosmos bien ordonné de la science médiévale et antique, mène à l'Univers infini de la science classique,il n'est pas allé jusqu'au bout. C'est à Descartes qu'il fut donné de le faire. 

OK; OK : à relire !

===Conclusion des 3 essais ===
p277-291
--------
--------

== Conclusion provisoire ==

--[[Utilisateur:Guerinsylvie|Guerinsylvie]] 19 mars 2008 à 17:05 (CET) : pas facile de se détacher de Koyré et de le dominer par absorption progressive.On le voit bien, il faut une ténacité et une persévérance sans faille. Tout cela est très long, très fatras !

La science affouille, bafouille, cafffouille
clairement elle ne progresse pas sur ses deux pieds [théorie et expérience] : elle titube.

et tout cela pour répondre honnètement à 1 seul exercice z&quot; = g !

Tout est donc à poursuivre !avec calme et assurance.Ceci dit , il est évident que cet opuscule d'histoire des sciences ne verra le jour que très tard ! je n'ai pas vraiment les moyens d'un chercheur appointé pour réfléchir à tout cela !

Et la Wikipedia bat de l'aile : démarrée initialement, comme un travail d'approfondissement qu'on espérait collectif, elle devient banale répétition de ce que sait tout le monde , bof ...--[[Utilisateur:Guerinsylvie|Guerinsylvie]] 20 juin 2009 à 21:16 (CEST)&lt;/math&gt;

==Nouveaux regards==
--[[Utilisateur:Guerinsylvie|Guerinsylvie]] 26 juillet 2010 à 19:07 (CEST) :- bonjour, je reprends cette page, car Kropotkine suggère de re-rédiger la [[chute libre]], dans la WP . Je crains ceci : chute libre c'est a=g. On intègre deux fois, donc z = 1/2 gt² . FIN. 

Or cela n'est même pas du Varignon(1700).

Quant aux prédécesseurs de Galilée, je m'étonne encore du fait que la recherche subsiste encore : je croyais qu'avec les études sur Baliani, de Soto, Bonamico, Benedetti, on avait &quot;fait le tour&quot;. J'avais tort. Il y a encore des articles. Comme quoi, il ne faut pas se laisser impressionner par Koyré : il a fait avancer le débat (et avec quelle maestria), mais Hérivel, Wallace et les autres ont bien travaillé : l'article [[Galilée]]in WP-en est excellent ; ceci dit, aurait-on dû tout mettre sous cet item : il n'est pas sain de tout discuter dans le m article : il devient pléthorique. Certes la résistance des matériaux ou la percussion ont un &quot;petit&quot; rapport avec [[chute]], mais ...petit.

En tout cas, à rajouter dans la liste des noms :
ALVARUS THOMAS qui a influencé deSOTO, par son traité de 1501 ( tout comme Oresme). Cela pourrait intéresser H.B. , car c'est l'analyse-calculus qui démarre, via l'étude du mouvement : pour dire vite : v(x) ou v(t) et même déjà v_instantanée ...de v(t), il apparaît assez vite que x(t) = somme de v(t).dt Mais de v(x), il est tardif de tirer t= somme de 1/v(x).dx = t(x). Plus tard, vers 1650, il y aura la m sorte d'hésitation avec dv/dt = F(t) ou F(x).

Je reste donc persuadée qu'il faut regarder encore et encore. Je vais relire Baliani, cela me fera du bien : les pseudo-raisonnements sont une mine...

Wikialement.

==Lifting==
--[[Utilisateur:Guerinsylvie|Guerinsylvie]] ([[Discussion utilisateur:Guerinsylvie|discussion]]) 24 mars 2015 à 14:37 (CET) : bonjour, je vais reprendre cette toute première leçon, car j'ai un peu de temps devant moi. Il est clair que si on respecte le niveau scolaire français actuel, il faut en rabattre ; certains exercices sont trop difficiles. A très bientôt.

== jerk ==
--[[Utilisateur:Guerinsylvie|Guerinsylvie]] ([[Discussion utilisateur:Guerinsylvie|discussion]]) 25 mars 2015 à 18:17 (CET) : le lifting a démarré. Ayant une imprimante, je m'aperçois que les formules encadrées ne passent pas. Donc je les supprime.

Le jerk est la dérivée de l'accélération. Cela ne me paraît pas une notion de début, donc je vire ; et je replace ici la version obsolète : 
*
{{boîte déroulante début|align=left|titre= note très annexe, le jerk}}
*Il ne paraît pas illogique de dire aussi que la dérivée de l'accélération ( le jerk) est nulle : &lt;math&gt; \frac {d^3z}{dt^3} = 0&lt;/math&gt;

Mais on verra plus tard qu'il vaut mieux s'arrêter à l'énoncé précédent. C'est ce que dira Newton ( 1687 !) : '''il faut et il suffit''' de connaître la position initiale et la vitesse initiale pour déterminer la position ultérieure d'un mobile : évidemment, il faut la donnée de l'accélération à tout instant! On dit que la description du mouvement est donnée par sa position-vitesse, celle d'un point de l'espace des &quot;phases&quot; ou espace des positions-impulsions. Plus tard (plus avant dans ce texte), nous revenons sur ce point car c'est une question pertinente mais délicate.


{{boîte déroulante fin}}

==Bertozzi==
--[[Utilisateur:Guerinsylvie|Guerinsylvie]] ([[Discussion utilisateur:Guerinsylvie|discussion]]) 25 mars 2015 à 20:07 (CET) : suppression car inapproprié dans une leçon de début. Recopié ici, si remords.
Même si l'on ne connaît rien aux travaux d'Einstein, on sait que c'est lui qui a dit : aucun corps matériel ne peut dépasser la vitesse c . En déduire que la loi de Galilée ne peut être juste aux grandes vitesses. (Dans une prochaine leçon , cela sera étudié et la loi de Galilée sera corrigée en loi de Galilée-Einstein).

'''Solution: ex.Bertozzi '''
avec v= gt , la vitesse est v=c au temps c/g , soit 3.10^7 s , c'est à dire environ un an. Mais la loi continue et donc v dépasserait c : contradiction avec Einstein, et l'expérience valide Einstein. On verra que la loi de Galilée-Torricelli sera légèrement modifiée :
{{exemple|Enoncé|loi de Torricelli-Einstein(1879-1955), modification de 1905|&lt;math&gt; \gamma(V) \cdot c^2 -\gamma(V_0)\cdot c^2 = g (z-z_0);avec, \cdot \gamma(v) : = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{V^2}{c^2}}}&lt;/math&gt;}}.


On retrouvera ce résultat dans une très prochaine leçon (Expérience de Bertozzi).

*Note et exercice : sachant que (1+eps)^a = 1 +eps*a + eps^2*a(a-1)/2+... ( formule dite de Newton, et que l'on pourra aisément mémoriser-mnémotechniquement en pensant à a=2,1,0,-1), vérifier que la loi de Bertozzi redonne la loi de Torricelli aux &quot;basses vitesses&quot; ; montrer que la correction est en V²/c² [ note: un célèbre raisonnement de Mascart montre que l'on ne peut pas avoir de correction en V/c ; voir plus tard ].

==fin de lifting==
--[[Utilisateur:Guerinsylvie|Guerinsylvie]] ([[Discussion utilisateur:Guerinsylvie|discussion]]) 25 mars 2015 à 20:55 (CET): bonsoir, je viens de finir : la leçon est plus modeste ; ET plus courte. J'ai ratiboisé 2 pages. Il est même probable que plus tard, j'en enlèverai encore ; c'est pas mal verbeux. De plus, brr..., je viens de tirer la page pdf, et c'est encore une autre manière de présenter ! OUPS ! Il va encore falloir faire attention à la présentation. Je savais que cela était un de mes principaux défauts, mais là c'est patent. Ne pas se décourager.

== on continue : suppression de '''momentum''' ==
--[[Utilisateur:Guerinsylvie|Guerinsylvie]] ([[Discussion utilisateur:Guerinsylvie|discussion]]) 26 mars 2015 à 11:47 (CET) : oui, cela n'avait plus trop de sens, hic et nunc.


*['''''note historique''''' : le momentum : la notion de vitesse instantanée,à une date donnée, a été difficile à dégager : Galilée l'appelait &quot;le degré de vitesse&quot; , Descartes, &quot;la vitesse à ce moment-là&quot;, ce qui a donné &quot;moment de vitesse&quot;, et par une traduction malheureuse en anglais : &quot;momentum&quot; de vitesse pour &quot;quantité de&quot; vitesse. Si on avait respecté le langage d'époque, on ne dirait pas la quantité de matière mais le moment de matière. Le terme &quot;momento&quot; chez Galilée n'a pas encore une signification très ferme. Il faut bien reconnaître que la difficulté de ces premiers pas en physique est de bien définir les concepts qui vont être pertinents ; à une époque où le calculus est encore dans les limbes, et où la notion d'analyse dimensionnelle est à ses débuts, il convient d'être non seulement indulgent mais admiratif : ce sont ces savants qui, à grand peine, nous ont permis de nous sortir de la gangue d'une énonciation approximative. Rappelons que Galilée n'a jamais représenté un intervalle de temps que comme un segment de longueur placé comme il pouvait sur ses figures.</text>
      <sha1>7h6q45iparh8canoe65zjtkaa66vfpm</sha1>
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    <title>Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/La chute libre, avec vitesse initiale</title>
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      <contributor>
        <username>DavidL</username>
        <id>1746</id>
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      <minor />
      <comment>DavidL a déplacé la page [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/la chute libre, avec vitesse initiale]] vers [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/La chute libre, avec vitesse initiale]]</comment>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="18428" xml:space="preserve">Soit un boulet B, tombant dans le vide, dans un champ de pesanteur uniforme '''g''', depuis un point O , avec une vitesse initiale '''Vo'''.
Sa trajectoire sera, dans le plan vertical (O, '''Vo''', '''g'''), la parabole :

&lt;math&gt; \vec{OB}(t)= \frac {1}{2}.\vec{g}.t^2+\vec{V_0}.t&lt;/math&gt;
== Parabole de chute ==
===La trajectoire===

La célèbre loi de la [[chute libre]] est énoncée par [[Galileo Galilei|Galilée]] (1568-1642), pour la première fois dans la lettre à Sarpi (1604) ; elle sera complétée ultérieurement . La double intégration de  &lt;math&gt; \vec{a} = \vec{g}&lt;/math&gt; donne le résultat . Mais bien sûr, Mersenne ne procédera pas ainsi en 1635, alors que les &quot;dérivées&quot; ne sont pas connues.

{''note'' : le mouvement du boulet B ne dépend ni de sa masse, ni de sa densité, ce qui est indéfendable expérimentalement: c'est pourquoi le qualificatif &quot;dans le vide&quot; est essentiel ; sinon, la résistance de l'air intervient et cela sera étudié ultérieurement dans la leçon : balistique extérieure}.

Cette équation est celle d'une parabole en coordonnées affines (de vecteurs de base ''' g''' et '''Vo''').

Le cours de géométrie affine permet d'en déduire tout. En particulier, on pose H {0, zo} avec zo= Vo²/2g := h .
La parabole a pour directrice z = zo.

Toutes les paraboles obtenues en changeant seulement la direction de Vo ont un foyer tel que OF = OH , donc ce foyer est situé sur le demi-cercle-des-foyers de centre O et de rayon h. Le vecteur vitesse Vo étant bissectrice de zOF , la '''position du foyer F''' s'en déduit. Toutes ces paraboles ont même directrice, z= zo. 

La donnée de F et de la directrice achève la description géométrique de la parabole.

=== Parabole de sûreté ===
'''Pour un module Vo donné''', quelle que soit la direction donnée à la « hausse » du canon, certains points seront hors de portée du canon. L'ensemble de ces points forme une région du plan limitée par une courbe (S), dite de sécurité, qui « entoure » le point O : au-delà de (S), « on est en sûreté ». Dans le cas présent, (S) est une '''parabole''', d'où le titre : '''parabole de sûreté''' :

*En '''coordonnées polaires''',( φ, r(φ)), partant de l'apex H de la parabole(S), l'équation est :
&lt;math&gt; OP = r(\phi) = \frac {2\cdot OH}{1+\cos \phi}&lt;/math&gt; 
*En '''coordonnées cartésiennes''', son équation est : &lt;math&gt; z = h - x^2/4h&lt;/math&gt; 

*''démonstration géométrique'' : Pour qu'un point P puisse être atteint par un boulet, il doit se trouver sur une des trajectoires paraboliques possibles, et donc on doit refaire à partir de P les mêmes constructions géométriques qu'en O : soit, mener un cercle de centre P, tangent à la directrice qui va couper le demi-cercle, lieu des foyers,  en deux points F1 et F2 : le foyer le plus haut correspond à la trajectoire plombée, l'autre à la trajectoire tendue, si connues des pétanqueurs; 

le cas limite F1=F2 (:=Fo) donne OFoPo en ligne droite : '''la corde est focale''', les tangentes en O et Po se coupent donc perpendiculairement sur la directrice (qui est la droite z = h), en un point I ; OIP est orthoptique à la trajectoire.

donc l'ensemble des points Po décrit l'antipodaire (de centre O) de la droite z=h ; ce qui est la parabole de foyer O et de directrice z = 2h. 

On peut aussi calculer : 

&lt;math&gt;OI = h/cos \alpha&lt;/math&gt; ; donc &lt;math&gt;OP = OI/cos \alpha = h/cos^2 \alpha&lt;/math&gt; 

donc avec φ = 2α, on retrouve bien la parabole (S). 

''remarque'' : OI = V_o t_o/2  et OP = 1/2 g t_o^2 .

== Exercices ==
Cette loi est tout aussi absurde que la loi de chute verticale, car elle néglige la résistance de l'air. Néanmoins les jets d'eau et les feux d'artifice sont tous cités comme exemple. Historiquement, cette loi opposa les bombardieri et Torricelli qui répondit avec une superbe un peu fate : &quot;les boulets peuvent tomber où ils veulent ; ma théorie est une belle spéculation mathématique&quot; (1642).

Et il est vrai qu'elle donne les éléments qui permettront dans une très prochaine leçon, d'étudier la &quot;balistique&quot;.

=== Exercice-Portée_maximale ===
C'est le classique : démontrer qu'en géométrie affine, pour avoir la portée maximale horizontale , il faut tirer selon la bissectrice. 
Prenons OP horizontal : alors le temps balistique est t= 2 Vy/g ; puis OP = Vx.t . On veut donc Vx².Vy² max avec Vo² = Vx² + Vy² donnés : d'où la réponse de Didon Vx=Vy :

Il faut tirer à 45°, ce que tout le monde pressent intuitivement (mais il fallait le démontrer !).

La démonstration, dite par réciprocité, est : en P , la tangente est la même qu'en O en renversant t en -t. Et de plus elles sont perpendiculaires (voir parabole de sûreté) ! Donc c'est 45°!
* La portée maximale est Vo²/g , soit deux fois la hauteur maximale, ce qui est bien conforme au dessin de la parabole de sûreté.

*Le raisonnement tient aussi pour une portée maximale sur un plan incliné de pente angulaire 90°-\theta ! le réitérer.La portée est évidemment donnée par la courbe de sûreté en polaires.

=== Exercice-lancer de poids ===
Tout aussi classique : montrer qu'un lanceur de poids qui lance un poids à environ 20m d'une hauteur d'environ h= 1.50m ne lance évidemment pas à 45° mais un peu moins

'''Solution :''' lancer de poids
 
certes, soit O le point de lancement: le lanceur va chercher l'intersection Po de (S), courbe sûreté et du sol situé h = 1.50m plus bas: l'angle zOPo étant plus grand que 90°, l'angle de la vitesse avec la verticale sera supérieur à 45°.
D'autre part , la tangente en O' étant voisine de 45° , on peut dire que sa portée a été augmentée d'environ h.L'angle de lancer est plus petit que 45° d'un petit angle ~ = h/2H

Si on écrit l'équation rigoureusement on trouve :

soit H = Vo²/2g ; alors la portée horizontale est : 

x = sqrt[4H(H+h)]= 2H+h-h²/2H +o(h²/H²) ; et l'angle est diminué de  Arctan [ h / x ].

Noter qu'il s'agit de la portée comptée à partir des pieds du lanceur et non de la distance OPo, de O à l'arrivée au sol Po.

Nous avons pris h= 1.5 m ; il est clair que si le lanceur peut développer toute sa &quot;force&quot; et transmettre Vo maximale depuis h= 2m, il a intérêt à le faire. En fait il aura un compromis à trouver ; aucun lanceur ne smashe le poids de 6 kg !

=== Exercice-citadelle ===
Tout aussi classique est l'exercice suivant : Quel est l'avantage de la position haute d'une citadelle de hauteur h = 50m ? C'est celui-ci : avec les mêmes canons, un citadellin peut tirer plus loin qu'un assaillant : quelle est la  différence? 

* '''Solution-citadelle''' 
La parabole de sûreté étant z = h + H -x²/4H, le boulet de la  citadelle atteint x = sqrt(4H²+ 4Hh) mais, &quot;symétriquement&quot;, les assaillants devront être à x' = sqrt(4H²-4Hh);il est clair que la lutte pour ces (x-x')~ 2h = 100 m sera très âpre. C'est dans cet espace que les &quot;citadellins&quot; placeront le maximum de barbelés, pour se défendre au mieux.

=== Exercice-Roméo&amp;Juliette ===
Juliette veut envoyer les clefs à Roméo par dessus le mur du jardin de hauteur h : où doit-elle se placer pour effectuer au mieux la manœuvre ?
Et si le mur a une épaisseur e , montrer qu'il lui faut au moins lancer avec une énergie mg(h+e/2)

* '''Solution-Roméo&amp;Juliette''' 
Clairement,elle doit se coller au mur et lancer les clefs par un mouvement en lancer de grenade avec l'énergie mgh.
Si le mur est très épais , il faut nécessairement atteindre l'arête A du mur (donc avec la vitesse V'²= Vo²-2gh) de manière que la portée AA' soit e , soit V'²/g =e : cela sera d'ailleurs suffisant ; d'où la réponse. Si le mur est un toit de longueur a et de hauteur de faîte h', on démontrera que le résultat est (h+a+h')mg . Elle doit alors s'écarter du mur pour lancer au mieux.

=== Exercice-Tir-au-pigeon ===
Soit un tir au pigeon d'argile , gedanken sur la Lune : montrer que le tireur doit tirer de même que sur terre, légèrement en avant de la soucoupe.

* Solution-Tir au pigeon 
Oui en effet : on doit avoir la balle '''ToB''' = 1/2 '''g'''t² + '''V1'''t qui rencontre la soucoupe envoyée selon '''EoS''' = 1/2 '''g'''t² +'''Vo'''t et donc '''V1'''t = '''Vo'''t + '''ToEo'''. 

Condition où n'intervient pas '''g''' ( ceci, évidemment en admettant que le tireur tire instantanément : ce n'est pas le cas ; en réalité il suit à l’œilleton la soucoupe, la dépasse légèrement et tire).

== Exercices deuxième série** ==
=== Chute dans un escalier* ===
Un balle chute dans un escalier (marche de largeur l , de hauteur h), avec un coefficient de restitution e . Trouver la relation entre vitesse initiale horizontale Vo et e pour que la trajectoire soit une succession d'arcs de parabole égaux.

'''Solution:''' chute dans un escalier
 
Soit T la période du mouvement : on prendra Vo.T = a .
D'autre part soit V la composante verticale descendante d'impact; la balle repartira avec la vitesse V.e , d'où le temps de chute T.g = V(1+e), et l'on veut que e².V² +2g.h = V² , d'où la valeur de e : (1-e)/(1+e) = 2h /[g.(a/V0)²] , bien sûr cela exige que Vo soit &quot;assez faible&quot;, si l'on veut sauter de marche en marche. Sinon , il faudra prendre 2h(ou 3h) au lieu de h.

=== Chute dans une cuvette de Torricelli** ===
Voici un énoncé terrifiant : soit une cuvette formée de 2 plans (A et B)inclinés d'angle alpha, joints en O. On y lâche une balle de la hauteur h au-dessus de A. La balle cognant A fait tic , puis cognant B fera tac. Montrer qu'on peut lâcher la balle de sorte que l'on entende tic-tactac-tictic-tactac ... périodiquement. 

Mais montrer aussi que l'on pourra entendre une succession de tics et de tacs assez ahurissante : voilà un très bel exemple de chaos très simple [ une visualisation via scilab est instructive , en faisant varier le paramètre alpha. Cf aussi le Korsch et Jodl déjà cité!].

Maintenant, on incline &quot;doucement&quot; les deux plans jusqu'à alpha = 0 : à quelle hauteur remonte la balle ?

'''Solution :'''cuvette de Torricelli
 
Soit A le premier point d'impact et OA = a . Alors , il faut a = h .&lt;math&gt;{sin4\alpha \over cos\alpha}&lt;/math&gt;.

Oui, sinon la trajectoire est &quot;tumultueuse&quot; bien que très déterministe!

Si on abaisse &quot;adiabatiquement&quot; les plans de la cuvette, on comprend bien que l'on amortit la balle , de sorte que le rebond sera plus faible.

=== Saut en longueur ===
Exercice piégeux : dans un saut en longueur, on admet que le saut se décompose en acquisition d'une vitesse Vo jusqu' à la planche d'appel ; Puis action sur les cuisses pour ajouter une vitesse supplémentaire de module Vo : quel est l'optimum de la direction de cette vitesse ( ce n'est pas bien sûr 45° ; ni 90° comme répondent souvent des élèves étourdis.

'''solution''' saut en longueur : évidemment 90° donne une vitesse Vo.sqrt(2) à 45° et donc une portée P= 2Vo²/g. Il y a mieux à faire! en fonction de l'angle A de la direction , la durée de chute sera 2Vo sinA /g et donc la portée sera : L = Vo(1+cosA)2VosinA/g . Or  sinA. (1+cosA) est maximum pour A = 60° et donc une portée L = P sqrt(3). En fait quand on regarde les films de saut en longueur, cette analyse n'est pas la bonne. L'athlète calcule sa vitesse de course et son élan de manière à optimiser Vxo, Vyo , et la hauteur de son centre de gravité ; et lors de la chute, il va essayer de &quot;se ramasser &quot; en levant au maximum les jambes et en jetant les bras d'avant en arrière : il s'est donc donné un optimum de moment cinétique aussi. L'analyse est donc plus compliquée que ce simple exercice.
* Démontrer que A=60° : 4P sin(A/2)cos^3(A/2) = 4P sqrt [ x (1-x)^3], avec x := sin²(A/2) max pour x/1 = (1-x)/3 = 1/4 (théorème de Didon) ; donc sin A/2 = 1/2

=== exerciceGassendi*** ===
Dès 1616 , les relations se gâtent entre l'Inquisition et Galilée à cause de son livre, le Messager Céleste, trop distant de la doctrine de l’Église. Le monde scientifique se sépare progressivement en deux camps : en 1600, Bruno était mort courageusement, n'abjurant pas l'idée de la pluralité des mondes. Dorénavant, on est pour ou contre Copernic. Si la Terre tourne autour du Soleil, Ptolémée avait analysé un certain nombre d'absurdités (dont la plus évidente était que l'on aurait dû voir la parallaxe des étoiles , mais qui ne sera découverte que par Bessel, tant elle est petite!). Si la Terre pivote sur elle-même, alors à l'équateur, une pierre lâchée de 5m de haut retomberait en une seconde, à l'Ouest de environ 464m ! Vient alors la célèbre &quot;démonstration&quot; du mât, qui fait frémir (Dialogo II,p171-195): de Salviati à Sagredo : -&quot;je n'ai pas fait l'expérience , mais je vous ferai confesser de vive force que vous pensez que j'ai raison&quot;. Bigre, la vive force comme argument !

heureusement l'expérience sera faite par Gassendi en 1641 dans le Port de Marseille (elle est retranscrite dans le de Motu de 1641): d'une galère on laisse tomber du haut du mât un boulet : montrer qu'il tombe au pied du mât.

la réponse est &quot;évidente&quot; : le boulet a la vitesse Vx du bateau, donc son abscisse reste la même que celle du bateau.
Tycho avait posé en 1600 la question à la mode : certes , mais qu'en serait-il d'un tir à l'équateur vers l'Est ou l'Ouest : bénéficierait-on des 464 m/s de pivotement de la Terre ? prenons un canon de portée 1km et une vitesse de pivot égale à 500m/s et g= 10m/s²: cela ferait 500m/s vers l'Ouest et 1500m/s vers l'Est. Rien de plus facile à expérimenter. Tartaglia avait déjà expérimenté ce fait ; et sans doute beaucoup d'autres : aucune déviation ni vers l'Est , l'Ouest ou quelque direction, quel que soit l'azimut. ET cela était bien plus probant que n'importe quelle expérience de Pierre Gassendi. L'affaire était &quot;entendue&quot;, depuis longtemps.

Mais, faussement &quot;entendue&quot;, car, de ce fait, on a cru aussi que le pivotement uniforme, c'était aussi &quot;comme rien&quot;. En tout cas, chez Galilée, il semble bien qu'il en soit ainsi. Mais '''cela est faux'''. Comme la Terre pivote, on aurait dû voir un léger effet vers l'Est : un corps ne chute pas verticalement, enfin pas tout à fait. 
Tout ceci prouve les limites expérimentales de l'époque. 

* '''exercice''' : On demande de discuter la réponse pour le tir vers le Nord et le Sud : vitesse pivot : 500 m/s et Vo = 500 m/s ; g =10 m/s². Puis dans un tir en retour.

*solution-exGassendi :

A 500 m/s, la portée sera 25 km. On considérera le plan tangent horizontal passant par O, et la Terre plate. Si l'on tire vers le Nord, la vitesse &quot;absolue&quot; serait Nord-Ouest avec 500m/s.{-1,1,1}. Pendant les 100s de chute, l'obus se serait déplacé de 50km{-1,1} , le canon s'étant déplacé de 500m.100s = 50 km sur l'équateur : donc l'obus pas d'avance vers l'Ouest. Tiré vers le Sud , même raisonnement et m résultat. En gros, on ne voit rien. 
Il faut donc être plus subtil. 
On le voit, ces raisonnements font abstraction de la variation de direction de '''g''' .Il faudra y revenir. Et cela est TRÈS intéressant et TRÈS instructif , et en particulier , on peut comparer aussi avec les ellipses des missiles[ par exemple, expliquer de tête pourquoi la variation angulaire de g réduit la déviation d'un facteur 1/3 : why 1/3 , sans calcul  ].

=== Exercice-funéparabole*** ===
Se reporter à la leçon chute libre verticale, exercice Torricelli. Montrer que la courbe funiculaire est nécessairement une parabole.

* Solution-funéparabole ====
On obtient la parabole discrète...c'est la très célèbre figure en &quot;funiculaire&quot;.

Voici le raisonnement de Torricelli(1608-1647) vers 1641, sans doute.

A chaque instant, on se place dans le référentiel galiléen tangent de vitesse '''V'''(t0),d'origine Mo, et on déclare que c'est &quot;comme rien&quot; , et par conséquent, la pierre tombe avec un mouvement uniformément accéléré vers le bas: z= -1/2 g (t-to)² : cela redonne bien la loi de chute générale énoncée au début, en effet : 

'''OMo''' -1/2 '''g'''.(t-to)² + (-'''g'''.to +'''Vo''')(t-to) = après développement = -1/2 '''g'''.t² + '''Vo'''.t 

En fait, Torricelli fît beaucoup mieux: il savait composer deux vecteurs : &lt;math&gt;\vec{OP} = \vec{OP_1} +\vec{P_1P}&lt;/math&gt;. 

Le raisonnement est calqué sur celui de la leçon_1 :

'''OP'''(t+T) = '''h'''(t) + '''OP'''(T) + '''V'''(T).t avec '''OP'''(T) = '''h'''(T) + '''OPo''' +'''Vo'''.T et '''V'''(T) = '''h''''(T) + '''Vo'''.

Développer : 

h(t+T) + OPo + Vo.(t+T) = h(t) + [h(T) + OPo + Vo.T ] + (h'(T)+Vo).t

Simplifier : 

h(t+T) = h(t) +h(T) +h'(T).t , vraie pour tout t et T.

Compte-tenu de la symétrie de t et T , il vient h'(T).t = h'(t).T

Soit '''h''''(T)/T = '''h''''t)/t = '''cste''' donc ; l'appeler '''g''' : il reste '''h''''(t) = '''g'''.t

A l'instant kT , la pierre P est en P(k) , avec la vitesse vecteur_V(k) , &quot;comptée comme rien&quot;.

Donc à l'instant (k+1)T , la pierre P est en P(k+1), tel que :

&lt;math&gt;\vec{P_kP_{k+1}} = \vec{V_k}\cdot T +\vec{K_0}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\vec{V_{k+1}} = \vec{V_k} +  2\vec{K_0}/T&lt;/math&gt; : 

Ainsi , il énonçait un ALGORITHME de TRACÉ du mouvement, connaissant la position et la vitesse initiales : 

On voit se tracer (avec scilab, par exemple), la parabole de chute DISCRÈTE : autrement dit , sans avoir rien supposé d'autre que la constance de ce vecteur_Ko, il obtenait vecteur_V(kT) = V(0) + 2(Ko/T).(kT) et puis :

&lt;math&gt;\vec{OP}(kT) = \vec{OP}(0) + \vec{V}(0)\cdot kT  + \vec{K_0}\cdot k^2&lt;/math&gt; .
  
simplement disait-il , parce que , je sais que si la vitesse augmente comme 1,3,5,7 ,  ,la SOMME vaut k². 
 
¤¤¤¤¤

Torricelli disait (1646) qu'à chaque mesure de temps, '''la quantité de mouvement s'enfle de l'action de la force''' : il faudra 50 ans pour écrire cela ainsi :

&lt;math&gt; \Delta\vec{P}(t) : = \vec{P}(t+\tau) - \vec{P}(t) = \vec{F}(t)\cdot \tau&lt;/math&gt;

mais il est clair que des &quot;discours&quot; tels que celui de Torricelli, il y en eût beaucoup : déjà Bonamico , Benedetti , Beeckman disait des choses de plus en plus proches , et on peut considérer que celui qui le dit le mieux est Torricelli (discours à l'Académie de Florence). Mais entre &quot;discours&quot; et mise en équation, eh bien , il faudra ces 50 ans.

== Retour ==
*[[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences|Mécanique , enseignée via l'Histoire des Sciences]]

[[Catégorie:Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences (livre)]]</text>
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      <text bytes="18507" xml:space="preserve">&lt;noinclude&gt;{{Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences}}&lt;/noinclude&gt;

Soit un boulet B, tombant dans le vide, dans un champ de pesanteur uniforme '''g''', depuis un point O , avec une vitesse initiale '''Vo'''.
Sa trajectoire sera, dans le plan vertical (O, '''Vo''', '''g'''), la parabole :

&lt;math&gt; \vec{OB}(t)= \frac {1}{2}.\vec{g}.t^2+\vec{V_0}.t&lt;/math&gt;
== Parabole de chute ==
===La trajectoire===

La célèbre loi de la [[chute libre]] est énoncée par [[Galileo Galilei|Galilée]] (1568-1642), pour la première fois dans la lettre à Sarpi (1604) ; elle sera complétée ultérieurement . La double intégration de  &lt;math&gt; \vec{a} = \vec{g}&lt;/math&gt; donne le résultat . Mais bien sûr, Mersenne ne procédera pas ainsi en 1635, alors que les &quot;dérivées&quot; ne sont pas connues.

{''note'' : le mouvement du boulet B ne dépend ni de sa masse, ni de sa densité, ce qui est indéfendable expérimentalement: c'est pourquoi le qualificatif &quot;dans le vide&quot; est essentiel ; sinon, la résistance de l'air intervient et cela sera étudié ultérieurement dans la leçon : balistique extérieure}.

Cette équation est celle d'une parabole en coordonnées affines (de vecteurs de base ''' g''' et '''Vo''').

Le cours de géométrie affine permet d'en déduire tout. En particulier, on pose H {0, zo} avec zo= Vo²/2g := h .
La parabole a pour directrice z = zo.

Toutes les paraboles obtenues en changeant seulement la direction de Vo ont un foyer tel que OF = OH , donc ce foyer est situé sur le demi-cercle-des-foyers de centre O et de rayon h. Le vecteur vitesse Vo étant bissectrice de zOF , la '''position du foyer F''' s'en déduit. Toutes ces paraboles ont même directrice, z= zo. 

La donnée de F et de la directrice achève la description géométrique de la parabole.

=== Parabole de sûreté ===
'''Pour un module Vo donné''', quelle que soit la direction donnée à la « hausse » du canon, certains points seront hors de portée du canon. L'ensemble de ces points forme une région du plan limitée par une courbe (S), dite de sécurité, qui « entoure » le point O : au-delà de (S), « on est en sûreté ». Dans le cas présent, (S) est une '''parabole''', d'où le titre : '''parabole de sûreté''' :

*En '''coordonnées polaires''',( φ, r(φ)), partant de l'apex H de la parabole(S), l'équation est :
&lt;math&gt; OP = r(\phi) = \frac {2\cdot OH}{1+\cos \phi}&lt;/math&gt; 
*En '''coordonnées cartésiennes''', son équation est : &lt;math&gt; z = h - x^2/4h&lt;/math&gt; 

*''démonstration géométrique'' : Pour qu'un point P puisse être atteint par un boulet, il doit se trouver sur une des trajectoires paraboliques possibles, et donc on doit refaire à partir de P les mêmes constructions géométriques qu'en O : soit, mener un cercle de centre P, tangent à la directrice qui va couper le demi-cercle, lieu des foyers,  en deux points F1 et F2 : le foyer le plus haut correspond à la trajectoire plombée, l'autre à la trajectoire tendue, si connues des pétanqueurs; 

le cas limite F1=F2 (:=Fo) donne OFoPo en ligne droite : '''la corde est focale''', les tangentes en O et Po se coupent donc perpendiculairement sur la directrice (qui est la droite z = h), en un point I ; OIP est orthoptique à la trajectoire.

donc l'ensemble des points Po décrit l'antipodaire (de centre O) de la droite z=h ; ce qui est la parabole de foyer O et de directrice z = 2h. 

On peut aussi calculer : 

&lt;math&gt;OI = h/cos \alpha&lt;/math&gt; ; donc &lt;math&gt;OP = OI/cos \alpha = h/cos^2 \alpha&lt;/math&gt; 

donc avec φ = 2α, on retrouve bien la parabole (S). 

''remarque'' : OI = V_o t_o/2  et OP = 1/2 g t_o^2 .

== Exercices ==
Cette loi est tout aussi absurde que la loi de chute verticale, car elle néglige la résistance de l'air. Néanmoins les jets d'eau et les feux d'artifice sont tous cités comme exemple. Historiquement, cette loi opposa les bombardieri et Torricelli qui répondit avec une superbe un peu fate : &quot;les boulets peuvent tomber où ils veulent ; ma théorie est une belle spéculation mathématique&quot; (1642).

Et il est vrai qu'elle donne les éléments qui permettront dans une très prochaine leçon, d'étudier la &quot;balistique&quot;.

=== Exercice-Portée_maximale ===
C'est le classique : démontrer qu'en géométrie affine, pour avoir la portée maximale horizontale , il faut tirer selon la bissectrice. 
Prenons OP horizontal : alors le temps balistique est t= 2 Vy/g ; puis OP = Vx.t . On veut donc Vx².Vy² max avec Vo² = Vx² + Vy² donnés : d'où la réponse de Didon Vx=Vy :

Il faut tirer à 45°, ce que tout le monde pressent intuitivement (mais il fallait le démontrer !).

La démonstration, dite par réciprocité, est : en P , la tangente est la même qu'en O en renversant t en -t. Et de plus elles sont perpendiculaires (voir parabole de sûreté) ! Donc c'est 45°!
* La portée maximale est Vo²/g , soit deux fois la hauteur maximale, ce qui est bien conforme au dessin de la parabole de sûreté.

*Le raisonnement tient aussi pour une portée maximale sur un plan incliné de pente angulaire 90°-\theta ! le réitérer.La portée est évidemment donnée par la courbe de sûreté en polaires.

=== Exercice-lancer de poids ===
Tout aussi classique : montrer qu'un lanceur de poids qui lance un poids à environ 20m d'une hauteur d'environ h= 1.50m ne lance évidemment pas à 45° mais un peu moins

'''Solution :''' lancer de poids
 
certes, soit O le point de lancement: le lanceur va chercher l'intersection Po de (S), courbe sûreté et du sol situé h = 1.50m plus bas: l'angle zOPo étant plus grand que 90°, l'angle de la vitesse avec la verticale sera supérieur à 45°.
D'autre part , la tangente en O' étant voisine de 45° , on peut dire que sa portée a été augmentée d'environ h.L'angle de lancer est plus petit que 45° d'un petit angle ~ = h/2H

Si on écrit l'équation rigoureusement on trouve :

soit H = Vo²/2g ; alors la portée horizontale est : 

x = sqrt[4H(H+h)]= 2H+h-h²/2H +o(h²/H²) ; et l'angle est diminué de  Arctan [ h / x ].

Noter qu'il s'agit de la portée comptée à partir des pieds du lanceur et non de la distance OPo, de O à l'arrivée au sol Po.

Nous avons pris h= 1.5 m ; il est clair que si le lanceur peut développer toute sa &quot;force&quot; et transmettre Vo maximale depuis h= 2m, il a intérêt à le faire. En fait il aura un compromis à trouver ; aucun lanceur ne smashe le poids de 6 kg !

=== Exercice-citadelle ===
Tout aussi classique est l'exercice suivant : Quel est l'avantage de la position haute d'une citadelle de hauteur h = 50m ? C'est celui-ci : avec les mêmes canons, un citadellin peut tirer plus loin qu'un assaillant : quelle est la  différence? 

* '''Solution-citadelle''' 
La parabole de sûreté étant z = h + H -x²/4H, le boulet de la  citadelle atteint x = sqrt(4H²+ 4Hh) mais, &quot;symétriquement&quot;, les assaillants devront être à x' = sqrt(4H²-4Hh);il est clair que la lutte pour ces (x-x')~ 2h = 100 m sera très âpre. C'est dans cet espace que les &quot;citadellins&quot; placeront le maximum de barbelés, pour se défendre au mieux.

=== Exercice-Roméo&amp;Juliette ===
Juliette veut envoyer les clefs à Roméo par dessus le mur du jardin de hauteur h : où doit-elle se placer pour effectuer au mieux la manœuvre ?
Et si le mur a une épaisseur e , montrer qu'il lui faut au moins lancer avec une énergie mg(h+e/2)

* '''Solution-Roméo&amp;Juliette''' 
Clairement,elle doit se coller au mur et lancer les clefs par un mouvement en lancer de grenade avec l'énergie mgh.
Si le mur est très épais , il faut nécessairement atteindre l'arête A du mur (donc avec la vitesse V'²= Vo²-2gh) de manière que la portée AA' soit e , soit V'²/g =e : cela sera d'ailleurs suffisant ; d'où la réponse. Si le mur est un toit de longueur a et de hauteur de faîte h', on démontrera que le résultat est (h+a+h')mg . Elle doit alors s'écarter du mur pour lancer au mieux.

=== Exercice-Tir-au-pigeon ===
Soit un tir au pigeon d'argile , gedanken sur la Lune : montrer que le tireur doit tirer de même que sur terre, légèrement en avant de la soucoupe.

* Solution-Tir au pigeon 
Oui en effet : on doit avoir la balle '''ToB''' = 1/2 '''g'''t² + '''V1'''t qui rencontre la soucoupe envoyée selon '''EoS''' = 1/2 '''g'''t² +'''Vo'''t et donc '''V1'''t = '''Vo'''t + '''ToEo'''. 

Condition où n'intervient pas '''g''' ( ceci, évidemment en admettant que le tireur tire instantanément : ce n'est pas le cas ; en réalité il suit à l’œilleton la soucoupe, la dépasse légèrement et tire).

== Exercices deuxième série** ==
=== Chute dans un escalier* ===
Un balle chute dans un escalier (marche de largeur l , de hauteur h), avec un coefficient de restitution e . Trouver la relation entre vitesse initiale horizontale Vo et e pour que la trajectoire soit une succession d'arcs de parabole égaux.

'''Solution:''' chute dans un escalier
 
Soit T la période du mouvement : on prendra Vo.T = a .
D'autre part soit V la composante verticale descendante d'impact; la balle repartira avec la vitesse V.e , d'où le temps de chute T.g = V(1+e), et l'on veut que e².V² +2g.h = V² , d'où la valeur de e : (1-e)/(1+e) = 2h /[g.(a/V0)²] , bien sûr cela exige que Vo soit &quot;assez faible&quot;, si l'on veut sauter de marche en marche. Sinon , il faudra prendre 2h(ou 3h) au lieu de h.

=== Chute dans une cuvette de Torricelli** ===
Voici un énoncé terrifiant : soit une cuvette formée de 2 plans (A et B)inclinés d'angle alpha, joints en O. On y lâche une balle de la hauteur h au-dessus de A. La balle cognant A fait tic , puis cognant B fera tac. Montrer qu'on peut lâcher la balle de sorte que l'on entende tic-tactac-tictic-tactac ... périodiquement. 

Mais montrer aussi que l'on pourra entendre une succession de tics et de tacs assez ahurissante : voilà un très bel exemple de chaos très simple [ une visualisation via scilab est instructive , en faisant varier le paramètre alpha. Cf aussi le Korsch et Jodl déjà cité!].

Maintenant, on incline &quot;doucement&quot; les deux plans jusqu'à alpha = 0 : à quelle hauteur remonte la balle ?

'''Solution :'''cuvette de Torricelli
 
Soit A le premier point d'impact et OA = a . Alors , il faut a = h .&lt;math&gt;{sin4\alpha \over cos\alpha}&lt;/math&gt;.

Oui, sinon la trajectoire est &quot;tumultueuse&quot; bien que très déterministe!

Si on abaisse &quot;adiabatiquement&quot; les plans de la cuvette, on comprend bien que l'on amortit la balle , de sorte que le rebond sera plus faible.

=== Saut en longueur ===
Exercice piégeux : dans un saut en longueur, on admet que le saut se décompose en acquisition d'une vitesse Vo jusqu' à la planche d'appel ; Puis action sur les cuisses pour ajouter une vitesse supplémentaire de module Vo : quel est l'optimum de la direction de cette vitesse ( ce n'est pas bien sûr 45° ; ni 90° comme répondent souvent des élèves étourdis.

'''solution''' saut en longueur : évidemment 90° donne une vitesse Vo.sqrt(2) à 45° et donc une portée P= 2Vo²/g. Il y a mieux à faire! en fonction de l'angle A de la direction , la durée de chute sera 2Vo sinA /g et donc la portée sera : L = Vo(1+cosA)2VosinA/g . Or  sinA. (1+cosA) est maximum pour A = 60° et donc une portée L = P sqrt(3). En fait quand on regarde les films de saut en longueur, cette analyse n'est pas la bonne. L'athlète calcule sa vitesse de course et son élan de manière à optimiser Vxo, Vyo , et la hauteur de son centre de gravité ; et lors de la chute, il va essayer de &quot;se ramasser &quot; en levant au maximum les jambes et en jetant les bras d'avant en arrière : il s'est donc donné un optimum de moment cinétique aussi. L'analyse est donc plus compliquée que ce simple exercice.
* Démontrer que A=60° : 4P sin(A/2)cos^3(A/2) = 4P sqrt [ x (1-x)^3], avec x := sin²(A/2) max pour x/1 = (1-x)/3 = 1/4 (théorème de Didon) ; donc sin A/2 = 1/2

=== exerciceGassendi*** ===
Dès 1616 , les relations se gâtent entre l'Inquisition et Galilée à cause de son livre, le Messager Céleste, trop distant de la doctrine de l’Église. Le monde scientifique se sépare progressivement en deux camps : en 1600, Bruno était mort courageusement, n'abjurant pas l'idée de la pluralité des mondes. Dorénavant, on est pour ou contre Copernic. Si la Terre tourne autour du Soleil, Ptolémée avait analysé un certain nombre d'absurdités (dont la plus évidente était que l'on aurait dû voir la parallaxe des étoiles , mais qui ne sera découverte que par Bessel, tant elle est petite!). Si la Terre pivote sur elle-même, alors à l'équateur, une pierre lâchée de 5m de haut retomberait en une seconde, à l'Ouest de environ 464m ! Vient alors la célèbre &quot;démonstration&quot; du mât, qui fait frémir (Dialogo II,p171-195): de Salviati à Sagredo : -&quot;je n'ai pas fait l'expérience , mais je vous ferai confesser de vive force que vous pensez que j'ai raison&quot;. Bigre, la vive force comme argument !

heureusement l'expérience sera faite par Gassendi en 1641 dans le Port de Marseille (elle est retranscrite dans le de Motu de 1641): d'une galère on laisse tomber du haut du mât un boulet : montrer qu'il tombe au pied du mât.

la réponse est &quot;évidente&quot; : le boulet a la vitesse Vx du bateau, donc son abscisse reste la même que celle du bateau.
Tycho avait posé en 1600 la question à la mode : certes , mais qu'en serait-il d'un tir à l'équateur vers l'Est ou l'Ouest : bénéficierait-on des 464 m/s de pivotement de la Terre ? prenons un canon de portée 1km et une vitesse de pivot égale à 500m/s et g= 10m/s²: cela ferait 500m/s vers l'Ouest et 1500m/s vers l'Est. Rien de plus facile à expérimenter. Tartaglia avait déjà expérimenté ce fait ; et sans doute beaucoup d'autres : aucune déviation ni vers l'Est , l'Ouest ou quelque direction, quel que soit l'azimut. ET cela était bien plus probant que n'importe quelle expérience de Pierre Gassendi. L'affaire était &quot;entendue&quot;, depuis longtemps.

Mais, faussement &quot;entendue&quot;, car, de ce fait, on a cru aussi que le pivotement uniforme, c'était aussi &quot;comme rien&quot;. En tout cas, chez Galilée, il semble bien qu'il en soit ainsi. Mais '''cela est faux'''. Comme la Terre pivote, on aurait dû voir un léger effet vers l'Est : un corps ne chute pas verticalement, enfin pas tout à fait. 
Tout ceci prouve les limites expérimentales de l'époque. 

* '''exercice''' : On demande de discuter la réponse pour le tir vers le Nord et le Sud : vitesse pivot : 500 m/s et Vo = 500 m/s ; g =10 m/s². Puis dans un tir en retour.

*solution-exGassendi :

A 500 m/s, la portée sera 25 km. On considérera le plan tangent horizontal passant par O, et la Terre plate. Si l'on tire vers le Nord, la vitesse &quot;absolue&quot; serait Nord-Ouest avec 500m/s.{-1,1,1}. Pendant les 100s de chute, l'obus se serait déplacé de 50km{-1,1} , le canon s'étant déplacé de 500m.100s = 50 km sur l'équateur : donc l'obus pas d'avance vers l'Ouest. Tiré vers le Sud , même raisonnement et m résultat. En gros, on ne voit rien. 
Il faut donc être plus subtil. 
On le voit, ces raisonnements font abstraction de la variation de direction de '''g''' .Il faudra y revenir. Et cela est TRÈS intéressant et TRÈS instructif , et en particulier , on peut comparer aussi avec les ellipses des missiles[ par exemple, expliquer de tête pourquoi la variation angulaire de g réduit la déviation d'un facteur 1/3 : why 1/3 , sans calcul  ].

=== Exercice-funéparabole*** ===
Se reporter à la leçon chute libre verticale, exercice Torricelli. Montrer que la courbe funiculaire est nécessairement une parabole.

* Solution-funéparabole ====
On obtient la parabole discrète...c'est la très célèbre figure en &quot;funiculaire&quot;.

Voici le raisonnement de Torricelli(1608-1647) vers 1641, sans doute.

A chaque instant, on se place dans le référentiel galiléen tangent de vitesse '''V'''(t0),d'origine Mo, et on déclare que c'est &quot;comme rien&quot; , et par conséquent, la pierre tombe avec un mouvement uniformément accéléré vers le bas: z= -1/2 g (t-to)² : cela redonne bien la loi de chute générale énoncée au début, en effet : 

'''OMo''' -1/2 '''g'''.(t-to)² + (-'''g'''.to +'''Vo''')(t-to) = après développement = -1/2 '''g'''.t² + '''Vo'''.t 

En fait, Torricelli fît beaucoup mieux: il savait composer deux vecteurs : &lt;math&gt;\vec{OP} = \vec{OP_1} +\vec{P_1P}&lt;/math&gt;. 

Le raisonnement est calqué sur celui de la leçon_1 :

'''OP'''(t+T) = '''h'''(t) + '''OP'''(T) + '''V'''(T).t avec '''OP'''(T) = '''h'''(T) + '''OPo''' +'''Vo'''.T et '''V'''(T) = '''h''''(T) + '''Vo'''.

Développer : 

h(t+T) + OPo + Vo.(t+T) = h(t) + [h(T) + OPo + Vo.T ] + (h'(T)+Vo).t

Simplifier : 

h(t+T) = h(t) +h(T) +h'(T).t , vraie pour tout t et T.

Compte-tenu de la symétrie de t et T , il vient h'(T).t = h'(t).T

Soit '''h''''(T)/T = '''h''''t)/t = '''cste''' donc ; l'appeler '''g''' : il reste '''h''''(t) = '''g'''.t

A l'instant kT , la pierre P est en P(k) , avec la vitesse vecteur_V(k) , &quot;comptée comme rien&quot;.

Donc à l'instant (k+1)T , la pierre P est en P(k+1), tel que :

&lt;math&gt;\vec{P_kP_{k+1}} = \vec{V_k}\cdot T +\vec{K_0}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\vec{V_{k+1}} = \vec{V_k} +  2\vec{K_0}/T&lt;/math&gt; : 

Ainsi , il énonçait un ALGORITHME de TRACÉ du mouvement, connaissant la position et la vitesse initiales : 

On voit se tracer (avec scilab, par exemple), la parabole de chute DISCRÈTE : autrement dit , sans avoir rien supposé d'autre que la constance de ce vecteur_Ko, il obtenait vecteur_V(kT) = V(0) + 2(Ko/T).(kT) et puis :

&lt;math&gt;\vec{OP}(kT) = \vec{OP}(0) + \vec{V}(0)\cdot kT  + \vec{K_0}\cdot k^2&lt;/math&gt; .
  
simplement disait-il , parce que , je sais que si la vitesse augmente comme 1,3,5,7 ,  ,la SOMME vaut k². 
 
¤¤¤¤¤

Torricelli disait (1646) qu'à chaque mesure de temps, '''la quantité de mouvement s'enfle de l'action de la force''' : il faudra 50 ans pour écrire cela ainsi :

&lt;math&gt; \Delta\vec{P}(t) : = \vec{P}(t+\tau) - \vec{P}(t) = \vec{F}(t)\cdot \tau&lt;/math&gt;

mais il est clair que des &quot;discours&quot; tels que celui de Torricelli, il y en eût beaucoup : déjà Bonamico , Benedetti , Beeckman disait des choses de plus en plus proches , et on peut considérer que celui qui le dit le mieux est Torricelli (discours à l'Académie de Florence). Mais entre &quot;discours&quot; et mise en équation, eh bien , il faudra ces 50 ans.

== Retour ==
*[[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences|Mécanique , enseignée via l'Histoire des Sciences]]

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    <title>Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Diagramme horaire</title>
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      <text bytes="20785" xml:space="preserve">{{ébauche}}

&lt;!--reprendre [[diagramme horaire]] dans la wikipedia--&gt;

On considère un point se déplaçant sur une courbe. On repère la position de ce point à une date t, par son abscisse curviligne s(t). En cinématique, le graphe [t,s(t)] s'appelle diagramme horaire du mouvement.

On s'en sert utilement pour les croisements des trains et l'évaluation des correspondances ou les aiguillages.

En outre, il est essentiel de bien comprendre la différence entre la donnée de v= f(t) ou de v=g(s).


== Croisements ==

=== *'''Le TGV''' ===

c'est un exemple classique: 
le TGV fait Paris-Marseille en 3H 05min avec 05 min
d'arrêt à Avignon; 

et le TGV Marseille-Lyon-Paris en 3H 10min avec 10min
d'arrêt à Lyon. 

On se demande où et quand se croisent le train T1 et le
train T2 sachant que T1 part à 15H et T2 part à 16H.

'''Réponse''': le diagramme montre que les arrêts ne jouent aucun rôle dans
ce problème : les trains se croisent donc à 17H, à Valence, ville telle que
Paris-Valence=480km, Valence-Marseille=240km.

Il existe multitude de problèmes de même sorte dans les recueils de
préparation au Certificat d'Études Primaires.

=== *'''La jonglerie''' ===

Un cas un peu plus difficile est celui-ci:

Un jongleur lance verticalement la balle B1 qui monte à la hauteur H. 

De l'autre main , il lance la balle B2 d'un mouvement identique, juste au moment où la balle B1 commence à redescendre: 

où se croisent les balles?

La réponse est : à (3/4) H car le croisement aura lieu à la moitié du temps de descente de la balle B2 (il suffit de tracer les 2 diagrammes horaires, pour s'en assurer). Ceci était l'exercice d'une précédente leçon.

La cinématique de la [[jonglerie]] est un joli exercice de permutation entre les différents mouvements de mains et de balles.

=== Les trains de Foucault ===

Cet exemple est célèbre, car il permet de voir &quot;tourner la Terre&quot; (cf [[pendule de Foucault]]), sans regarder les étoiles, mais simplement en regardant un phénomène cinématique interne au référentiel Terre. Pour simplifier l'explication, nous supposerons l'expérience faite au pôle Sud S: sur deux voies circulaires, centrées sur l'axe des pôles, circulent deux scooters des neiges de même vitesse angulaire ABSOLUE,&lt;math&gt;\omega_o&lt;/math&gt; (par rapport aux étoiles, par conséquent), mais l'un vers l'Est et l'autre vers l'Ouest. Ils se croisent en un point qui dérive continuellement vers l'Est, et qui fait 15° par heure, c'est à dire un tour par jour. Pour s'en convaincre, refaire le raisonnement en Arctique, au pôle Nord. 
*D'autre part, les traces des 2 scooters ne seront pas les mêmes : ce qui est une '''preuve évidente''' de la Rotation terrestre  car, par rapport au sol de la Terre qui tourne, leur vitesse n'est pas la même : 

&lt;math&gt;\omega_1 : = \omega_o + \Omega_T  \cdot ;\cdot et :  \omega_2 : = \omega_o - \Omega_T&lt;/math&gt; , en particulier on peut prendre pour le deuxième scooter une vitesse relative de rotation infime : il creusera beaucoup moins la neige sur le bord intérieur.


==== Aparté:Complément de plaidoyer en faveur de Galilée : ====


Galilée croyait que la Terre tournait: il fut condamné par l'Inquisition à abjurer le 22 juin 1633;

Or évidemment , on peut reprendre le même raisonnement à l'équateur. Dans le cas balistique, il est clair qu'envoyer , par rapport à la Terre, un obus vers l'Est avec la vitesse 8.2km/s lui permet de décoller (certes péniblement :). Envoyé vers l'Ouest, ce même obus s'écraserait au sol. La différence de vitesse +/- 0.464 km/s fait la différence. En appliquant les formules de Kepler, le calcul donne :

vers l'Est, ellipse de grand axe 2a = 2R.(1.32), soit une apogée à une altitude H =0.64 . R 

vers l'Ouest, ellipse de grand axe 2a = 2R.(0.814), soit un périgée à une altitude négative H = - 0.372 . R

'''Il n'y a pas Equivalence des Hypothèses ! L'Église a menti effrontément très longtemps ; en fait, elle a délibérément menti dès que la déviation vers l'Est fût comprise'''

Plus tard, le raisonnement dans le référentiel Terre, correctement mené avec force centrifuge et force de Coriolis, nous donnera le même résultat. Car on montre que vers l'Est, la force de Coriolis soulève l'obus. Vers l'Ouest, la force de Coriolis &quot;force&quot; sur le satellite vers le bas.

Donc, La [[Grosse Bertha]] aurait dû tirer sur Paris à partir de Pontoise plutôt que de Meaux !

Et Mersenne eût été plus inspiré de tirer d'une éminence son boulet vers l'Est, puis l'Ouest et de comparer (cf [[boulet de Mersenne]]): cela a d'ailleurs été fait par Tartaglia au XVIe, mais sans théorie!(et sans résultat!).

En tout cas, de Kourou ou du cap Canaveral , on lance les fusées vers l'EST : autant profiter de ces 464 m/s , &quot;offerts&quot; par le pivotement terrestre.

Il est étrange (en 2005 !), de penser que Galilée n'ait pas su convaincre les juges de Rome. Quoi qu'en dise Minois (Galilée et l'église, un malentendu), l'Église a dû être prise à contre-pied dans sa contre-réforme , dominicains et jésuites unis. Gassendi, le père minime [[Marin Mersenne]] (1588-1648), et bien d'autres certes, l'ont désavouée, mais sous le manteau. Descartes, très lâchement, ne fera pas connaître sa position, une fois Galilée condamné.

'''Fin d'aparté''' ]

== Distinction v(t) et v(s) ==
Le problème n'est pas le même sur une route, si on relève 
*la vitesse en chaque lieu v(s) ou 
*la vitesse à chaque moment v(t).

=== Cas v(t) ===

Dans ce second cas(le plus facile), on trace la courbe v(t) de t=0 à to. L'aire sous la courbe donne l'espace parcouru s(to):

'''Exemple de Galilée''': si la vitesse augmente linéairement v(t) = gt , le déplacement sera s(to) = to*gto/2 (aire du triangle rectangle); soit s(t0) = 1/2 g to^2: le mouvement est dit uniformément accéléré.

=== Cas v(s) ===

Dans ce cas, on parle de [[diagramme des espaces]] : il faut considérer que, pendant un petit chemin ds , le temps dt mis pour le parcourir est dt = ds/v(s). 

Il faut donc sommer tous les dt pour obtenir la durée du parcours(de s=0 à so). Il faut donc tracer 1/v(s), et prendre l'aire sous la courbe, qui cette fois sera un temps. 

Si l'on reprend l'exemple précédent, il faut utiliser la formule de Torricelli : v(s) = sqrt(2gs); donc ds/sqrt(s) =sqrt(2g).dt ; soit après intégration :

s = 1/2 . g t² : évidemment le même résultat. 

*Ceci dit, Galilée ne sût jamais faire ce raisonnement ! Car il n'admettait pas le calcul &quot;à la Cavalieri&quot; (le calculus d'aujourd'hui!).Torricelli, élève d'abord de Castelli, puis de Cavalieri, n'avait pas ces scrupules et a dépassé le Maître. Il faut d'autre part reconnaître que Galilée n'avait pas tort, du point de vue mathématique : l'équation différentielle n'étant pas de Cauchy-Lipschitz, la solution n'est pas unique : il y a en effet x= 0 comme solution ! Mersenne soutenait Galilée, en cette occasion.

=== Exemple classique ===
Il convient de bien faire la distinction entre v(t) et v(s), et souvent les jeunes enfants s'y laissent prendre: 

Pierre fait le chemin aller de A à B (AB = 10km) à la vitesse de 12km/h. Au retour, plus fatigué, il court à 8 km/h. Question: arrivera-t-il avant ou après Jacques qui court l'aller-retour à 10km/h?

La réponse est: Pierre arrive après Jacques; en effet il a couru moins d'une heure à 12km/h et plus d'une heure à 8km/h, donc sa moyenne de vitesse est inférieure à 10km/h.

Ce raisonnement qualitatif est à bien maîtriser: la moyenne harmonique de vitesse est toujours plus petite que la moyenne arithmétique (cf [[moyenne]]).


=== Isomorphisme ===

Remarque : Il faut bien comprendre qu'en cinématique, le problème se réduit à résoudre 2 '''équations différentielles''' simple : v= f(t) et v = g(x) et il convient de ne pas les confondre. Il n'est pas très évident au départ de passer de l'une à l'autre. 

Reprenons l'exemple de Galilée d'accélération constante , disons ao. On en déduit v(t) = ao t + v(0) = f(t), puis x(t) = F(t) où F(t) est primitive de f(t. 
En éliminant t entre v=f(t) et x=F(t) , on aura la relation v = g(x), ici v²(x) -v²(0) = +2ao (x-x(0)), soit v = g(x) = sqrt(2ao.x), dans le cas le plus simple.

De même, si on a v = g(x) alors dt = dx/v = dx/g(x) et soit un primitive H(x) de cette fonction ; alors on peut en déduire x(t)= F(t) puis v= g(F(t))= f(t) [qui se trouve être égal à F'(t), certes!]. 

Mais il est vrai que si ces deux cheminements sont exacts, techniquement ils seront plus ou moins faciles à réaliser.

* Alors intervient là une notion capitale : Descartes a dit : commence par le plus simple ; puis va par ordre de difficulté croissante. Donc , on commence par v = gt ou v = sqrt(2gx); et l'une des résolutions aide l'autre éventuellement. 

*Descartes a d'autre part dit : peu importe les '''lettres''' d'un problème. Si on sait résoudre dx/dt = sqrt(2gx), on sait aussi résoudre &lt;math&gt; \frac{d\aleph(\kappa)}{d\kappa}= \sqrt{ A_0 \cdot \kappa}&lt;/math&gt; ; ce sera &lt;math&gt; \aleph^2 = 2A_0 \cdot \kappa + cste&lt;/math&gt; ,sous la simple réserve de savoir que &lt;math&gt; \kappa -&gt; \aleph(\kappa)&lt;/math&gt; est une fonction réelle C1 de la variable réelle. S'habituer à changer les lettres d'un problème est une bonne habitude à prendre. Depuis le CM2 , les élèves sachant réciter leur table de Pythagore en anglais ou en grec , ont pris de l'avance sur leur petits camarades.

*Voici un exemple vécu sur lequel ont achoppé beaucoup d'élèves (même des bons) : 

résoudre &lt;math&gt; \frac{d^2 \theta}{dx^2} + e^{\theta} = 0&lt;/math&gt; . 

Beaucoup ont déclaré : on ne sait pas faire ! 

Alors même que l'exercice &lt;math&gt; \frac{d^2 x}{dt^2} + e^{x} = 0&lt;/math&gt; avait donné 80% de succès ! 

Évidemment un correcteur ne sait que dire ! il constate ! l'équation du second degré b y²+ cy +a =0 est plus dure à résoudre , paraît-il ! Le constat est là . Tout professeur qui n'explique pas '''longtemps''' tout cela aux élèves faillit à sa mission. Il est logique après d'en récolter les fruits amers.

=== (Exemple relativiste de Bertozzi) ===

cet exemple est de niveau nettement plus élevé et peut être sauté en première lecture. 

'''C'est la modification en relativité restreinte de l'exemple de Torricelli'''. On ne s'étonnera point de ce que, au début du mouvement, le résultat soit voisin de celui de Torricelli, mais qu'à la fin du mouvement, v reste limitée par la vitesse-limite c.

L'expérience fut réalisée par Bertozzi et donna les résultats escomptés par la relativité restreinte avec une précision remarquable.

v(z) est donnée par l'équation [ dite théorème d'énergie cinétique d'Einstein] : 

&lt;math&gt;\frac{mc^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}}  = mc^2 +mgz&lt;/math&gt;

On en tire v(z), et il &quot;ne reste plus qu'à faire&quot; les calculs : on conseille d'utiliser la méthode graphique ou numérique; mais ceux qui possèdent plus d'habileté mathématique retrouveront les expressions suivantes : 

 *z = c²/g(sqrt[1+(gt/c)²]-1)  
 *dz/dt = v(t) = gt/sqrt[1+(gt/c)²]

qui satisfont l'équation précédente dont la solution était unique : c'est donc la bonne (c'est un bon exercice de terminaleS de le vérifier, si on sait manier les dérivées).

Que constater ? si gt/c &lt;&lt;1, v= gt et z = 1/2gt² : Galilée avait raison.

Mais si t devient grand devant c/g, v sature à la vitesse-limite c et 

x = ct -c²/g + O(c²/gt): Einstein a raison : la particule ne peut pas être plus loin que ct.

'''Note:''' les Gens Savants auront reconnu que si on pose la &quot;rapidité&quot; r [telle que v = c th r] , alors c'est la rapidité qui croît linéairement r = g.T avec le temps &quot;propre&quot; T , ce qui est conforme au principe de relativité galiléenne (il suffit de raisonner à chaque instant t dans le référentiel galiléen tangent : cette solution en effet très élégante est d'Einstein lui-même !)

On constate que t = c/g sh gT/c ['''remarque:''' T(t), fonction monotone de t, est donc une échelle de temps ; c'est le grand mérite d'Einstein et de Poincaré d'avoir fait réfléchir profondément sur cette notion des différentes échelles de temps] ; et donc au bout de T = 3c/g , t = ~ c/2g exp gT/c , c'est à dire que l'horloge de la particule ralentit énormément T~ c/g Ln (2gt/c)

enfin on peut vérifier que z = c²/g [ch(gT/c) -1]

Ainsi va le monde un peu étrange des particules rapides : c'est vérifié des milliers de fois dans les accélérateurs; Einstein a simplement amélioré Galilée et Newton : la Relativité Restreinte est une réalité, banale pour qui voyage à une vitesse proche de c .

*Et voici plus SPECTACULAIRE : 

la démonstration de Torricelli continue donc de marcher, c'est ce qu' a affirmé Einstein : quand la particule, au temps to, a la vitesse v(to)= g.to/sqrt[1+(g.to/c)²], à la position z(to) = c²/g(sqrt[1+(gto/c)²]-1), Torricelli dit : ceci est &quot;comme rien&quot; dans le référentiel de vitesse v(to); je peux donc écrire dans ce référentiel V= gt' et Z = 1/2 g t'²; et ceci est exact !

mais attention ! dans la cinématique d'Einstein, l'intervalle de temps t' apparaît comme un intervalle dilaté : t = t'/sqrt(1-v(to)²/c²) ET D'AUTRE PART la formule d'addition des vitesses est légèrement changée en relativité restreinte : [v(to) ^+^ V] vaut en fait [v(to)+V]/(1+v(to).V/c²), soit ici puisque V est très petite : v(to)+ V(1- v(to)²/c²) + ... = v(to) + gt (1-v(to)²/c²)^3/2 : 

Torricelli (-corrigé par Einstein-) trouve donc que v(to+t)-v(to) = gt .(1-v(to)²/c²)^3/2 pour t très petit (devant c/g!): c'est donc écrire dv/dt = g (1-v²/c²)^3/2 , ce qui redonne en intégrant , merveille : v(t) = gt/sqrt(1+g²t²/c²), soit le résultat escompté! 

Torricelli, je pense, aurait tiré son chapeau devant Einstein : 

'''le principe de Relativité de Galilée continue de marcher !'''

mais avec une condition supplémentaire qui fait toute la beauté de la relativité restreinte : la contrainte [v &lt; c toujours] a bouleversé la cinématique de Newton de fond en comble. Nous verrons plus tard que la théorie d'Einstein est pourtant la plus simple qui soit, compte-tenu de cette contrainte.

== Conclusion-Résumé ==
Cette leçon n'apporte pas grand-chose du point de vue physique; mais évidemment du point de vue philosophie-naturelle, lorsque le temps était représenté par une longueur sans unité, ce fût &quot;une prise de tête&quot; considérable pour distinguer ce qui nous semble évident aujourd'hui: v= f(t) et v= g(x) et donc écrire :

&lt;math&gt; x(t) = \int_0^t f(u)du &lt;/math&gt; ET &lt;math&gt; t = \int_0^s \frac{1}{g(x)}dx &lt;/math&gt;

En fait, cela a pris quelques dizaines d'années après que Galilée et Cavalieri aient commencé à y réfléchir ET bien sûr, la magnifique notation de Leibniz a contribué à bien l'assimiler. Il faut par exemple lire le traité &quot;de la Roulette&quot; par Pascal, qui est d'une beauté extraordinaire, mais qui montre à quel point un homme même extraordinairement intelligent reste limité par un manque de notation (ici le calculus!).

On verra dans la prochaine leçon-6 (plan de phase)que l'équation dx/dt = g(x) est très commune et qu'il convient de bien savoir &quot; l'intégrer&quot;.

---

 
[aparté:Par contre, pour passer à la relativité restreinte, il a fallu qu'expérimentalement des particules commencent à avoisiner la vitesse c : dans le monde astronomique, cela n'a pas été le cas dans le système solaire ; donc on ne s'en est pas préoccupé, durant deux siècles]. 

Aujourd'hui, on sait même qu'il existe des trous noirs dans Notre Galaxie. L'astrophysique relativiste est un savoir nécessaire. 

Mais il est clair que ce sont des geganken-chefs de gare regardant passer des gedanken-trains qui ont guidé Einstein, à partir du moment où il voulait résoudre ce paradoxe : v &lt; c toujours ! fin d'aparté]

== Exercices ==
Heureusement , les exercices ne sont pas tous du niveau de l'exemple de Bertozzi!

En voici de plus faciles, tous fondés sur la loi de Torricelli : sur une courbe située dans un plan vertical , où se déplace une perle sans frottement, la perle ne peut jamais remonter plus haut que le point de vitesse nulle, et si on part de ce point, v² = 2g h(s), quand la particule descend de h.
Nous avons déjà traité certains de ces cas dans la leçon plan-incliné.
Plus généralement, et écrit un peu différemment compte-tenu du concept d'énergie cinétique et en orientant l'axe des z vers le haut, le principe de Torricelli , repris par Huygens , s'écrit :

{{exemple|Enoncé|loi de conservation énergétique de Torricelli(1608-1647)|&lt;math&gt; \frac{1}{2}mV^2 + mgz(s) = cste &lt;/math&gt;}}

=== Exercice-vallon ===
Une perle se déplace sur une ligne horizontale sans frottement avec la vitesse Vo ; elle glisse alors dans un vallon demi-circulaire de rayon R , au point A et ressort au point B , 2R plus loin avec la même vitesse Vo (on suppose bien sûr que les virages ont été alésés!). A-t-elle gagné ou perdu du temps ? Ceci reste-t-il vrai pour toute forme de vallon? 

==== Solution-vallon ====
Le puits étant symétrique, il faut et il suffit de savoir si le temps de remontée T est supérieur à R/Vo . Or à la remontée la vitesse v(s) vaut sqrt[ Vo²+2g cos (s/R)] . Le problème se ramène donc à savoir si : &lt;math&gt;\int_0^{\frac{\pi}{2}} d\theta \cdot \frac{1}{\sqrt(1 + k cos \theta)} &gt; 1 ; avec, \cdot k = 2gR/V_o^2&lt;/math&gt;.

La réponse est donc : si la perle va vite (k &lt; 1), alors elle est retardée (minorer par k=1 donne sqrt(2) .Ln(1+sqrt(2) qui est plus grand que 1 . Par contre si k est très grand, c'est à dire à la limite, si la particule tombe dans le vallon avec une vitesse quasi-nulle , elle mettra une demi-période pendulaire pour arriver sur l'autre bord , ce qui sera beaucoup moins que 2R/Vo :

conclusion : il y a une vitesse critique Vo pour laquelle c'est équivalent; au-delà la perle perd du temps.

=== Exercice- monticule de Huygens ===
Même exercice que précédemment mais la perle doit escalader un monticule en forme d'arche de cycloïde (là encore les coudes ont été alésés): bien sûr Vo &gt; sqrt(2ga).De combien retarde-t-elle?

==== Solution monticule de Huygens ====
Là , c'est clair, elle monte la cote plus lentement sur un chemin plus long : il y a retard sur la moitié. Le retard double sur l'autre moitié. Le calcul est aisé si Vo est très grand : il suffit de dire que V =~Vo tout le temps , et donc que le retard est [L-2Pi.a]/Vo et la longueur de l'arche d'une cycloïde est le problème de Pascal-Dettonville : L = 8a . Soit retard = (8-2Pi).a/Vo . Si Vo = sqrt(2ga +eps) , le retard peut être aussi long qu'on veut.

=== Exercice crucial du code de la route : la distance de freinage ===
Quand les pneus ne dérapent sur de l'huile ou du verglas, ils ont été calculés pour donner la meilleure adhérence possible avec l'asphalte. néanmoins au mieux , la décélération ne peut dépasser 0.6 g. Compter un quart de seconde(soit to) le temps d'appuyer sur le frein , et calculer la distance d'arrêt .
==== distance de freinage ====
Soit Vo la vitesse initiale de la voiture, la voiture parcourt Vo.to + Vo²/(1.2 g). Application numérique: à 144km/h , soit 40m/s , Voto fait 10m. et le deuxième terme fait 400/3 =399/3 = 133 m !

=== la mort d'Ayrton Senna ===

Le grand pilote Ayrton Senna a heurté à 288km/h un poteau bordant la piste: on peut estimer la durée du crash à 1 seconde . La cervelle est molle et se déforme à 4.g .La tête des conducteurs est assez bien fixée dans le cockpitt. Montrer qu'on a retrouvé Senna sur son siège, la cervelle ayant pressé sur les orbites oculaires.

Montrer qu'un crash à 144km/h a similairement opéré sur Albert Camus.

Montrer que une voiture &quot;pliable&quot; + un air-bag , permettant un &quot;amorti en 2s &quot;, l'aurait peut-être sauvé.

==== réponse ====
c'est trop simple ! réduction de 80m/s en 1s , cela fait 8g. Le crâne ne bouge pas , la cervelle oui.
A 4g , c'est le fameux voile noir sur les yeux; 

pour Albert Camus , les tractions avant de l'époque étaient plutôt rigides et c'était l'habitacle qui ne l'était pas . De nos jours, l'habitacle très rigide écrase &quot;doucement&quot; l'avant ; les air-bags font le reste , dans la mesure du possible. 

Évidemment on ne peut pas rendre l'habitacle rigide et bien &quot;encaisser&quot; les chocs latéraux.Il faut absolument que la voiture ne dérape pas de manière inégale avec un frein avant puissant et déséquilibré: les révisions des freins , c'est une nécessité. L'alcool et le shit c'est une affaire de civisme.

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*[[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences|Mécanique , enseignée via l'Histoire des Sciences]]

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{{ébauche|left=1}}

&lt;!--reprendre [[diagramme horaire]] dans la wikipedia--&gt;

On considère un point se déplaçant sur une courbe. On repère la position de ce point à une date t, par son abscisse curviligne s(t). En cinématique, le graphe [t,s(t)] s'appelle diagramme horaire du mouvement.

On s'en sert utilement pour les croisements des trains et l'évaluation des correspondances ou les aiguillages.

En outre, il est essentiel de bien comprendre la différence entre la donnée de v= f(t) ou de v=g(s).


== Croisements ==

=== *'''Le TGV''' ===

c'est un exemple classique: 
le TGV fait Paris-Marseille en 3H 05min avec 05 min
d'arrêt à Avignon; 

et le TGV Marseille-Lyon-Paris en 3H 10min avec 10min
d'arrêt à Lyon. 

On se demande où et quand se croisent le train T1 et le
train T2 sachant que T1 part à 15H et T2 part à 16H.

'''Réponse''': le diagramme montre que les arrêts ne jouent aucun rôle dans
ce problème : les trains se croisent donc à 17H, à Valence, ville telle que
Paris-Valence=480km, Valence-Marseille=240km.

Il existe multitude de problèmes de même sorte dans les recueils de
préparation au Certificat d'Études Primaires.

=== *'''La jonglerie''' ===

Un cas un peu plus difficile est celui-ci:

Un jongleur lance verticalement la balle B1 qui monte à la hauteur H. 

De l'autre main , il lance la balle B2 d'un mouvement identique, juste au moment où la balle B1 commence à redescendre: 

où se croisent les balles?

La réponse est : à (3/4) H car le croisement aura lieu à la moitié du temps de descente de la balle B2 (il suffit de tracer les 2 diagrammes horaires, pour s'en assurer). Ceci était l'exercice d'une précédente leçon.

La cinématique de la [[jonglerie]] est un joli exercice de permutation entre les différents mouvements de mains et de balles.

=== Les trains de Foucault ===

Cet exemple est célèbre, car il permet de voir &quot;tourner la Terre&quot; (cf [[pendule de Foucault]]), sans regarder les étoiles, mais simplement en regardant un phénomène cinématique interne au référentiel Terre. Pour simplifier l'explication, nous supposerons l'expérience faite au pôle Sud S: sur deux voies circulaires, centrées sur l'axe des pôles, circulent deux scooters des neiges de même vitesse angulaire ABSOLUE,&lt;math&gt;\omega_o&lt;/math&gt; (par rapport aux étoiles, par conséquent), mais l'un vers l'Est et l'autre vers l'Ouest. Ils se croisent en un point qui dérive continuellement vers l'Est, et qui fait 15° par heure, c'est à dire un tour par jour. Pour s'en convaincre, refaire le raisonnement en Arctique, au pôle Nord. 
*D'autre part, les traces des 2 scooters ne seront pas les mêmes : ce qui est une '''preuve évidente''' de la Rotation terrestre  car, par rapport au sol de la Terre qui tourne, leur vitesse n'est pas la même : 

&lt;math&gt;\omega_1 : = \omega_o + \Omega_T  \cdot ;\cdot et :  \omega_2 : = \omega_o - \Omega_T&lt;/math&gt; , en particulier on peut prendre pour le deuxième scooter une vitesse relative de rotation infime : il creusera beaucoup moins la neige sur le bord intérieur.


==== Aparté:Complément de plaidoyer en faveur de Galilée : ====


Galilée croyait que la Terre tournait: il fut condamné par l'Inquisition à abjurer le 22 juin 1633;

Or évidemment , on peut reprendre le même raisonnement à l'équateur. Dans le cas balistique, il est clair qu'envoyer , par rapport à la Terre, un obus vers l'Est avec la vitesse 8.2km/s lui permet de décoller (certes péniblement :). Envoyé vers l'Ouest, ce même obus s'écraserait au sol. La différence de vitesse +/- 0.464 km/s fait la différence. En appliquant les formules de Kepler, le calcul donne :

vers l'Est, ellipse de grand axe 2a = 2R.(1.32), soit une apogée à une altitude H =0.64 . R 

vers l'Ouest, ellipse de grand axe 2a = 2R.(0.814), soit un périgée à une altitude négative H = - 0.372 . R

'''Il n'y a pas Equivalence des Hypothèses ! L'Église a menti effrontément très longtemps ; en fait, elle a délibérément menti dès que la déviation vers l'Est fût comprise'''

Plus tard, le raisonnement dans le référentiel Terre, correctement mené avec force centrifuge et force de Coriolis, nous donnera le même résultat. Car on montre que vers l'Est, la force de Coriolis soulève l'obus. Vers l'Ouest, la force de Coriolis &quot;force&quot; sur le satellite vers le bas.

Donc, La [[Grosse Bertha]] aurait dû tirer sur Paris à partir de Pontoise plutôt que de Meaux !

Et Mersenne eût été plus inspiré de tirer d'une éminence son boulet vers l'Est, puis l'Ouest et de comparer (cf [[boulet de Mersenne]]): cela a d'ailleurs été fait par Tartaglia au XVIe, mais sans théorie!(et sans résultat!).

En tout cas, de Kourou ou du cap Canaveral , on lance les fusées vers l'EST : autant profiter de ces 464 m/s , &quot;offerts&quot; par le pivotement terrestre.

Il est étrange (en 2005 !), de penser que Galilée n'ait pas su convaincre les juges de Rome. Quoi qu'en dise Minois (Galilée et l'église, un malentendu), l'Église a dû être prise à contre-pied dans sa contre-réforme , dominicains et jésuites unis. Gassendi, le père minime [[Marin Mersenne]] (1588-1648), et bien d'autres certes, l'ont désavouée, mais sous le manteau. Descartes, très lâchement, ne fera pas connaître sa position, une fois Galilée condamné.

'''Fin d'aparté''' ]

== Distinction v(t) et v(s) ==
Le problème n'est pas le même sur une route, si on relève 
*la vitesse en chaque lieu v(s) ou 
*la vitesse à chaque moment v(t).

=== Cas v(t) ===

Dans ce second cas(le plus facile), on trace la courbe v(t) de t=0 à to. L'aire sous la courbe donne l'espace parcouru s(to):

'''Exemple de Galilée''': si la vitesse augmente linéairement v(t) = gt , le déplacement sera s(to) = to*gto/2 (aire du triangle rectangle); soit s(t0) = 1/2 g to^2: le mouvement est dit uniformément accéléré.

=== Cas v(s) ===

Dans ce cas, on parle de [[diagramme des espaces]] : il faut considérer que, pendant un petit chemin ds , le temps dt mis pour le parcourir est dt = ds/v(s). 

Il faut donc sommer tous les dt pour obtenir la durée du parcours(de s=0 à so). Il faut donc tracer 1/v(s), et prendre l'aire sous la courbe, qui cette fois sera un temps. 

Si l'on reprend l'exemple précédent, il faut utiliser la formule de Torricelli : v(s) = sqrt(2gs); donc ds/sqrt(s) =sqrt(2g).dt ; soit après intégration :

s = 1/2 . g t² : évidemment le même résultat. 

*Ceci dit, Galilée ne sût jamais faire ce raisonnement ! Car il n'admettait pas le calcul &quot;à la Cavalieri&quot; (le calculus d'aujourd'hui!).Torricelli, élève d'abord de Castelli, puis de Cavalieri, n'avait pas ces scrupules et a dépassé le Maître. Il faut d'autre part reconnaître que Galilée n'avait pas tort, du point de vue mathématique : l'équation différentielle n'étant pas de Cauchy-Lipschitz, la solution n'est pas unique : il y a en effet x= 0 comme solution ! Mersenne soutenait Galilée, en cette occasion.

=== Exemple classique ===
Il convient de bien faire la distinction entre v(t) et v(s), et souvent les jeunes enfants s'y laissent prendre: 

Pierre fait le chemin aller de A à B (AB = 10km) à la vitesse de 12km/h. Au retour, plus fatigué, il court à 8 km/h. Question: arrivera-t-il avant ou après Jacques qui court l'aller-retour à 10km/h?

La réponse est: Pierre arrive après Jacques; en effet il a couru moins d'une heure à 12km/h et plus d'une heure à 8km/h, donc sa moyenne de vitesse est inférieure à 10km/h.

Ce raisonnement qualitatif est à bien maîtriser: la moyenne harmonique de vitesse est toujours plus petite que la moyenne arithmétique (cf [[moyenne]]).


=== Isomorphisme ===

Remarque : Il faut bien comprendre qu'en cinématique, le problème se réduit à résoudre 2 '''équations différentielles''' simple : v= f(t) et v = g(x) et il convient de ne pas les confondre. Il n'est pas très évident au départ de passer de l'une à l'autre. 

Reprenons l'exemple de Galilée d'accélération constante , disons ao. On en déduit v(t) = ao t + v(0) = f(t), puis x(t) = F(t) où F(t) est primitive de f(t. 
En éliminant t entre v=f(t) et x=F(t) , on aura la relation v = g(x), ici v²(x) -v²(0) = +2ao (x-x(0)), soit v = g(x) = sqrt(2ao.x), dans le cas le plus simple.

De même, si on a v = g(x) alors dt = dx/v = dx/g(x) et soit un primitive H(x) de cette fonction ; alors on peut en déduire x(t)= F(t) puis v= g(F(t))= f(t) [qui se trouve être égal à F'(t), certes!]. 

Mais il est vrai que si ces deux cheminements sont exacts, techniquement ils seront plus ou moins faciles à réaliser.

* Alors intervient là une notion capitale : Descartes a dit : commence par le plus simple ; puis va par ordre de difficulté croissante. Donc , on commence par v = gt ou v = sqrt(2gx); et l'une des résolutions aide l'autre éventuellement. 

*Descartes a d'autre part dit : peu importe les '''lettres''' d'un problème. Si on sait résoudre dx/dt = sqrt(2gx), on sait aussi résoudre &lt;math&gt; \frac{d\aleph(\kappa)}{d\kappa}= \sqrt{ A_0 \cdot \kappa}&lt;/math&gt; ; ce sera &lt;math&gt; \aleph^2 = 2A_0 \cdot \kappa + cste&lt;/math&gt; ,sous la simple réserve de savoir que &lt;math&gt; \kappa -&gt; \aleph(\kappa)&lt;/math&gt; est une fonction réelle C1 de la variable réelle. S'habituer à changer les lettres d'un problème est une bonne habitude à prendre. Depuis le CM2 , les élèves sachant réciter leur table de Pythagore en anglais ou en grec , ont pris de l'avance sur leur petits camarades.

*Voici un exemple vécu sur lequel ont achoppé beaucoup d'élèves (même des bons) : 

résoudre &lt;math&gt; \frac{d^2 \theta}{dx^2} + e^{\theta} = 0&lt;/math&gt; . 

Beaucoup ont déclaré : on ne sait pas faire ! 

Alors même que l'exercice &lt;math&gt; \frac{d^2 x}{dt^2} + e^{x} = 0&lt;/math&gt; avait donné 80% de succès ! 

Évidemment un correcteur ne sait que dire ! il constate ! l'équation du second degré b y²+ cy +a =0 est plus dure à résoudre , paraît-il ! Le constat est là . Tout professeur qui n'explique pas '''longtemps''' tout cela aux élèves faillit à sa mission. Il est logique après d'en récolter les fruits amers.

=== (Exemple relativiste de Bertozzi) ===

cet exemple est de niveau nettement plus élevé et peut être sauté en première lecture. 

'''C'est la modification en relativité restreinte de l'exemple de Torricelli'''. On ne s'étonnera point de ce que, au début du mouvement, le résultat soit voisin de celui de Torricelli, mais qu'à la fin du mouvement, v reste limitée par la vitesse-limite c.

L'expérience fut réalisée par Bertozzi et donna les résultats escomptés par la relativité restreinte avec une précision remarquable.

v(z) est donnée par l'équation [ dite théorème d'énergie cinétique d'Einstein] : 

&lt;math&gt;\frac{mc^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}}  = mc^2 +mgz&lt;/math&gt;

On en tire v(z), et il &quot;ne reste plus qu'à faire&quot; les calculs : on conseille d'utiliser la méthode graphique ou numérique; mais ceux qui possèdent plus d'habileté mathématique retrouveront les expressions suivantes : 

 *z = c²/g(sqrt[1+(gt/c)²]-1)  
 *dz/dt = v(t) = gt/sqrt[1+(gt/c)²]

qui satisfont l'équation précédente dont la solution était unique : c'est donc la bonne (c'est un bon exercice de terminaleS de le vérifier, si on sait manier les dérivées).

Que constater ? si gt/c &lt;&lt;1, v= gt et z = 1/2gt² : Galilée avait raison.

Mais si t devient grand devant c/g, v sature à la vitesse-limite c et 

x = ct -c²/g + O(c²/gt): Einstein a raison : la particule ne peut pas être plus loin que ct.

'''Note:''' les Gens Savants auront reconnu que si on pose la &quot;rapidité&quot; r [telle que v = c th r] , alors c'est la rapidité qui croît linéairement r = g.T avec le temps &quot;propre&quot; T , ce qui est conforme au principe de relativité galiléenne (il suffit de raisonner à chaque instant t dans le référentiel galiléen tangent : cette solution en effet très élégante est d'Einstein lui-même !)

On constate que t = c/g sh gT/c ['''remarque:''' T(t), fonction monotone de t, est donc une échelle de temps ; c'est le grand mérite d'Einstein et de Poincaré d'avoir fait réfléchir profondément sur cette notion des différentes échelles de temps] ; et donc au bout de T = 3c/g , t = ~ c/2g exp gT/c , c'est à dire que l'horloge de la particule ralentit énormément T~ c/g Ln (2gt/c)

enfin on peut vérifier que z = c²/g [ch(gT/c) -1]

Ainsi va le monde un peu étrange des particules rapides : c'est vérifié des milliers de fois dans les accélérateurs; Einstein a simplement amélioré Galilée et Newton : la Relativité Restreinte est une réalité, banale pour qui voyage à une vitesse proche de c .

*Et voici plus SPECTACULAIRE : 

la démonstration de Torricelli continue donc de marcher, c'est ce qu' a affirmé Einstein : quand la particule, au temps to, a la vitesse v(to)= g.to/sqrt[1+(g.to/c)²], à la position z(to) = c²/g(sqrt[1+(gto/c)²]-1), Torricelli dit : ceci est &quot;comme rien&quot; dans le référentiel de vitesse v(to); je peux donc écrire dans ce référentiel V= gt' et Z = 1/2 g t'²; et ceci est exact !

mais attention ! dans la cinématique d'Einstein, l'intervalle de temps t' apparaît comme un intervalle dilaté : t = t'/sqrt(1-v(to)²/c²) ET D'AUTRE PART la formule d'addition des vitesses est légèrement changée en relativité restreinte : [v(to) ^+^ V] vaut en fait [v(to)+V]/(1+v(to).V/c²), soit ici puisque V est très petite : v(to)+ V(1- v(to)²/c²) + ... = v(to) + gt (1-v(to)²/c²)^3/2 : 

Torricelli (-corrigé par Einstein-) trouve donc que v(to+t)-v(to) = gt .(1-v(to)²/c²)^3/2 pour t très petit (devant c/g!): c'est donc écrire dv/dt = g (1-v²/c²)^3/2 , ce qui redonne en intégrant , merveille : v(t) = gt/sqrt(1+g²t²/c²), soit le résultat escompté! 

Torricelli, je pense, aurait tiré son chapeau devant Einstein : 

'''le principe de Relativité de Galilée continue de marcher !'''

mais avec une condition supplémentaire qui fait toute la beauté de la relativité restreinte : la contrainte [v &lt; c toujours] a bouleversé la cinématique de Newton de fond en comble. Nous verrons plus tard que la théorie d'Einstein est pourtant la plus simple qui soit, compte-tenu de cette contrainte.

== Conclusion-Résumé ==
Cette leçon n'apporte pas grand-chose du point de vue physique; mais évidemment du point de vue philosophie-naturelle, lorsque le temps était représenté par une longueur sans unité, ce fût &quot;une prise de tête&quot; considérable pour distinguer ce qui nous semble évident aujourd'hui: v= f(t) et v= g(x) et donc écrire :

&lt;math&gt; x(t) = \int_0^t f(u)du &lt;/math&gt; ET &lt;math&gt; t = \int_0^s \frac{1}{g(x)}dx &lt;/math&gt;

En fait, cela a pris quelques dizaines d'années après que Galilée et Cavalieri aient commencé à y réfléchir ET bien sûr, la magnifique notation de Leibniz a contribué à bien l'assimiler. Il faut par exemple lire le traité &quot;de la Roulette&quot; par Pascal, qui est d'une beauté extraordinaire, mais qui montre à quel point un homme même extraordinairement intelligent reste limité par un manque de notation (ici le calculus!).

On verra dans la prochaine leçon-6 (plan de phase)que l'équation dx/dt = g(x) est très commune et qu'il convient de bien savoir &quot; l'intégrer&quot;.

---

 
[aparté:Par contre, pour passer à la relativité restreinte, il a fallu qu'expérimentalement des particules commencent à avoisiner la vitesse c : dans le monde astronomique, cela n'a pas été le cas dans le système solaire ; donc on ne s'en est pas préoccupé, durant deux siècles]. 

Aujourd'hui, on sait même qu'il existe des trous noirs dans Notre Galaxie. L'astrophysique relativiste est un savoir nécessaire. 

Mais il est clair que ce sont des geganken-chefs de gare regardant passer des gedanken-trains qui ont guidé Einstein, à partir du moment où il voulait résoudre ce paradoxe : v &lt; c toujours ! fin d'aparté]

== Exercices ==
Heureusement , les exercices ne sont pas tous du niveau de l'exemple de Bertozzi!

En voici de plus faciles, tous fondés sur la loi de Torricelli : sur une courbe située dans un plan vertical , où se déplace une perle sans frottement, la perle ne peut jamais remonter plus haut que le point de vitesse nulle, et si on part de ce point, v² = 2g h(s), quand la particule descend de h.
Nous avons déjà traité certains de ces cas dans la leçon plan-incliné.
Plus généralement, et écrit un peu différemment compte-tenu du concept d'énergie cinétique et en orientant l'axe des z vers le haut, le principe de Torricelli , repris par Huygens , s'écrit :

{{exemple|Enoncé|loi de conservation énergétique de Torricelli(1608-1647)|&lt;math&gt; \frac{1}{2}mV^2 + mgz(s) = cste &lt;/math&gt;}}

=== Exercice-vallon ===
Une perle se déplace sur une ligne horizontale sans frottement avec la vitesse Vo ; elle glisse alors dans un vallon demi-circulaire de rayon R , au point A et ressort au point B , 2R plus loin avec la même vitesse Vo (on suppose bien sûr que les virages ont été alésés!). A-t-elle gagné ou perdu du temps ? Ceci reste-t-il vrai pour toute forme de vallon? 

==== Solution-vallon ====
Le puits étant symétrique, il faut et il suffit de savoir si le temps de remontée T est supérieur à R/Vo . Or à la remontée la vitesse v(s) vaut sqrt[ Vo²+2g cos (s/R)] . Le problème se ramène donc à savoir si : &lt;math&gt;\int_0^{\frac{\pi}{2}} d\theta \cdot \frac{1}{\sqrt(1 + k cos \theta)} &gt; 1 ; avec, \cdot k = 2gR/V_o^2&lt;/math&gt;.

La réponse est donc : si la perle va vite (k &lt; 1), alors elle est retardée (minorer par k=1 donne sqrt(2) .Ln(1+sqrt(2) qui est plus grand que 1 . Par contre si k est très grand, c'est à dire à la limite, si la particule tombe dans le vallon avec une vitesse quasi-nulle , elle mettra une demi-période pendulaire pour arriver sur l'autre bord , ce qui sera beaucoup moins que 2R/Vo :

conclusion : il y a une vitesse critique Vo pour laquelle c'est équivalent; au-delà la perle perd du temps.

=== Exercice- monticule de Huygens ===
Même exercice que précédemment mais la perle doit escalader un monticule en forme d'arche de cycloïde (là encore les coudes ont été alésés): bien sûr Vo &gt; sqrt(2ga).De combien retarde-t-elle?

==== Solution monticule de Huygens ====
Là , c'est clair, elle monte la cote plus lentement sur un chemin plus long : il y a retard sur la moitié. Le retard double sur l'autre moitié. Le calcul est aisé si Vo est très grand : il suffit de dire que V =~Vo tout le temps , et donc que le retard est [L-2Pi.a]/Vo et la longueur de l'arche d'une cycloïde est le problème de Pascal-Dettonville : L = 8a . Soit retard = (8-2Pi).a/Vo . Si Vo = sqrt(2ga +eps) , le retard peut être aussi long qu'on veut.

=== Exercice crucial du code de la route : la distance de freinage ===
Quand les pneus ne dérapent sur de l'huile ou du verglas, ils ont été calculés pour donner la meilleure adhérence possible avec l'asphalte. néanmoins au mieux , la décélération ne peut dépasser 0.6 g. Compter un quart de seconde(soit to) le temps d'appuyer sur le frein , et calculer la distance d'arrêt .
==== distance de freinage ====
Soit Vo la vitesse initiale de la voiture, la voiture parcourt Vo.to + Vo²/(1.2 g). Application numérique: à 144km/h , soit 40m/s , Voto fait 10m. et le deuxième terme fait 400/3 =399/3 = 133 m !

=== la mort d'Ayrton Senna ===

Le grand pilote Ayrton Senna a heurté à 288km/h un poteau bordant la piste: on peut estimer la durée du crash à 1 seconde . La cervelle est molle et se déforme à 4.g .La tête des conducteurs est assez bien fixée dans le cockpitt. Montrer qu'on a retrouvé Senna sur son siège, la cervelle ayant pressé sur les orbites oculaires.

Montrer qu'un crash à 144km/h a similairement opéré sur Albert Camus.

Montrer que une voiture &quot;pliable&quot; + un air-bag , permettant un &quot;amorti en 2s &quot;, l'aurait peut-être sauvé.

==== réponse ====
c'est trop simple ! réduction de 80m/s en 1s , cela fait 8g. Le crâne ne bouge pas , la cervelle oui.
A 4g , c'est le fameux voile noir sur les yeux; 

pour Albert Camus , les tractions avant de l'époque étaient plutôt rigides et c'était l'habitacle qui ne l'était pas . De nos jours, l'habitacle très rigide écrase &quot;doucement&quot; l'avant ; les air-bags font le reste , dans la mesure du possible. 

Évidemment on ne peut pas rendre l'habitacle rigide et bien &quot;encaisser&quot; les chocs latéraux.Il faut absolument que la voiture ne dérape pas de manière inégale avec un frein avant puissant et déséquilibré: les révisions des freins , c'est une nécessité. L'alcool et le shit c'est une affaire de civisme.

== Retour ==
*[[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences|Mécanique , enseignée via l'Histoire des Sciences]]

[[Catégorie:Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences (livre)]]</text>
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    <title>Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Plan de phase</title>
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        <username>DavidL</username>
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      <comment>DavidL a déplacé la page [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/plan de phase]] vers [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Plan de phase]]</comment>
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il faut que je rapatrie non le fond , mais la forme !

Leçon : diagramme des espaces; plan de phase

Nous suivons la démarche de Poincaré : il s'agit ici de faire comprendre , à travers des exemples sur une droite x'Ox, que la donnée de [x0,v0] et de la règle donnant [x(t+dt);v(t+dt)]= f([x(t);v(t)],t) est l'algorithme fondamental de la dynamique: alors appliquant la méthode point par point de Picard, cette équation différentielle a une solution unique, sous réserve de régularité sur la fonction f.

== Mouvement de Torricelli(1608-1647) ==

C'est historiquement le premier cas de mouvement périodique, pouvant théoriquement constituer une HORLOGE. Mais Torricelli n'en considérait pas la réalisation pratique: seul le phénomène mathématique l'intéressait (de Motu, 1641).

Il s'agit du cas: v^2(z) = Vo^2-2.g.|z|.

Prendre le cas où au temps initial, le mobile M se trouve en z=0, avec la vitesse +V0 : il se dirigera vers le haut jusqu'à ce que z = H1 = sqrt(Vo^2/2a). Ce parcours aura pris le temps t1 = V0/2g = sqrt(2H1/g).

Mais le mobile ne s'arrête pas là, comme l'a bien analysé Galilée. L'accélération restant négative, le mobile repart dans l'autre sens, avec la même vitesse aux mêmes points: donc c'est juste le même mouvement mais en sens inverse , et le mobile se retrouve à l'origine au temps 2t1, avec la vitesse -Vo. Il refait ainsi vers le bas exactement ce qui s'est passé vers le haut.Puis , il y a rebond élastique. Au total, le mouvement est périodique de période T = 4t1.

Expérimentalement, Galilée opérait sur deux plans inclinés formant un V; pour des raisons pratiques, le coin est alésé, et il vaut mieux prendre un boulet lourd qui roule sans glisser, avec une faible résistance au roulement. On peut &quot;tricher&quot;, pour compenser le léger amortissement, en inclinant en cadence le chemin de roulement en V, de manière que S1 reste le même.

Si une balle rebondissait de manière élastique sur une raquette parfaite, on aurait exactement le même type d'horloge, à condition de contrôler le mouvement de la raquette (cf Problème de Fermi-Pasta-Ulam [[chaos contrôlé]]).

Ceci est un exemple très simple de mouvement dans un [[puits de potentiel]]

== Mouvement de Kepler selon Leibniz(1689) ==

C'est un cas très célèbre de mouvement dans un [[puits de potentiel]].

Dès 1689, Leibniz a su comprendre le mouvement radial d'un satellite en écrivant SON équation de l'énergie cinétique (à l'époque, on disait équation des forces vives) :

 &lt;math&gt;m \ddot{r} = -\frac{mgR^2}{r^2} + \frac{L_o^2}{mr^3}&lt;/math&gt;

soit après intégration (on multiplie par v des 2 côtés et on intègre par rapport au temps) :

 &lt;math&gt;E_0 = \frac{1}{2} m \cdot \dot{r}^2 + \frac{C^2}{2mr^2} - \frac{mgR^2}{r}&lt;/math&gt;

Il s'agit donc du mouvement dans un [[puits de potentiel]] U(r), si Eo est négative.

Les limites de ce puits s'appellent SP = r minimum = distance périgée et SA = r maximum = distance apogée, racines de l'équation U(r) = Eo.

Soit Lo²/2m (1/r)² - mgR² (1/r) - Eo = 0 , équation du second degré en 1/r :

Leibniz remarqua immédiatement que la demi-somme 1/2(1/SA +1/SP) , appelée moyenne harmonique et égale à 1/p est indépendante de Eo (règle 1 de Leibniz), 
et que la somme (SA +SP) = 2a était indépendante de Lo (règle 2 de Leibniz) : cf [[mouvement keplerien]] dans la WP.

L'équation réécrite avec 2a et p devient :

U(r)/m - Eo/m = Lo²/2m² (1/r² - 2/pr + 1/pa) = -1/2 (dr/dt)².

L'&quot;astuce&quot; usuelle dans ce genre de problème est de considérer la variable phi telle que r= a -c.cos&lt;math&gt;\phi&lt;/math&gt; , phi variant de 0 à Pi en passant du périgée à l'apogée. Alors l'intégration est beaucoup plus facile , et donne la célèbre équation de Kepler :

&lt;math&gt;\omega t = \phi - e \cdot\sin\phi&lt;/math&gt;

En exprimant la fonction réciproque, on obtient phi(t) et donc r(t). (cf [[mouvement keplerien]]). Ici &lt;math&gt;\omega&lt;/math&gt; représente la pulsation du mouvement périodique dans le puits. On retrouve la troisième loi de Kepler :

&lt;math&gt;\omega^2 \cdot a^3 = gR^2&lt;/math&gt; , indépendante de l'excentricité de la trajectoire elliptique décrite. 

L'équation donnant l'angle polaire se trouve via l'intégration de la deuxième loi de Kepler :
 
&lt;math&gt; C = \frac{\pi a b}{T} = r^2\dot{\theta}&lt;/math&gt;

== Un nouveau concept: l'Action S(E) en joule-seconde ==
dans le cas de ces deux exemples, où l'orbite dans le plan de phase est périodique, chaque orbite (C(E)) est caractérisée par son énergie E qui reste constante(E = mgH1 dans le premier exemple , et E= -mgR^2/2a dans le cas de Kepler) et la période T(E) pour faire le tour de l'orbite dépend de cette orbite (C(E)). On peut aussi calculer la surface de l'aire enclose dans cette orbite &lt;math&gt; S(E) = \int_{C(E)} p(x)\cdot dx&lt;/math&gt; . Cette quantité est fonction croissante de E , et l'on peut aussi bien indicer les orbites par S : on notera sans qu'il y ait ambiguité l'orbite par (C(S(E)))ou plus simplement (C(S)). 

L'unité d'Action est le joule-seconde. On verra bien plus tard que toute la mécanique pourra se résumer en le &quot;Principe de moindre Action&quot;, énoncé par Maupertuis et repris par Euler et Lagrange.


===Exercice: T = dS(E)/dE ===
Voilà quelque chose qui peut surprendre au premier abord! Du point de vue homogénéité non ; du point de vue du signe non plus , puisque plus l'aire enclose est grande et plus E est grande , donc T est positive!

Dans le cas qui nous préoccupe l'orbite est symétrique p/-p , donc &lt;math&gt; S(E) = 2\int_{x=a}^{x=b} p(x)\cdot dx&lt;/math&gt; avec p= sqrt[ 2m(E-V(x))], dont la dérivée par rapport à E est p.dp/dE =m ; soit donc dp/dE = m/p = 1/v(x). Donc &lt;math&gt; dS(E)/dE = 2\int_{x=a}^{x=b} \frac{1}{v(x)} dx&lt;/math&gt; . On reconnaît la période du diagramme des espaces aller-retour dans un puits de potentiel, soit T(E).

=== S(E) et la mécanique quantique ===
* En mécanique quantique, on montre qu'aucune orbite de l'espace des phases ne peut se réduire à un point. Il y a une surface minimale, disons So =1/2 . h , h étant la constante de Planck. De ce fait, il y aura toujours une énergie minimale à ce niveau fondamental Eo ; ensuite il est habituel de graduer les aires de niveau S par nombre entier de h : S(n) = So + n.h. À la limite des grandes valeurs de n , on aura donc dE/dn = h/T(E) , ce qui est une des règles de correspondance entre mécanique classique et mécanique quantique.En particulier, on peut retenir, pour un oscillateur harmonique : 

E(n) = (n+1/2) \hbar \cdot _omega_0

* Une autre raison de connaître n(E)= S(E)/h -So/h est que cela servira pour mémoriser facilement toutes les formules d'effet tunnel qui sont si importantes dans les applications (transistor, Microscope à effet tunnel, Écrans plats de télévision à émission de champ, etc.).

== Puits de Potentiel ==
Soit une courbe plane, située dans un plan vertical, en forme de cuvette. Un point matériel, de masse m, s'y meut, en glissant sans frottement. La conservation de l'énergie (c'est à dire le Principe de Torricelli, ici) donne, en prenant l'abscisse curviligne s(t) comme inconnue, l'équation du mouvement de ce point :

&lt;math&gt;\dot{s^2} + 2g h(s) = 2E/m := 2gH&lt;/math&gt;

qui s'appelle en mathématiques une équation différentielle de Leibniz , liée à l'équation différentielle de Newton du second ordre :

&lt;math&gt;\ddot{s} + g \frac{dh}{ds}= 0&lt;/math&gt;.

De l'équation de Leibniz, on tire la vitesse v(s)= (+/-) sqrt(2g.[H-h(s)]).

Ce qui ramène à l'étude d'un diagramme horaire. Par exemple le cas simple (dit de Torricelli) de h(s)=|s| y est étudié.

Il arrive que l'on considère en physique une équation similaire : le mouvement d'un point matériel sur un axe x'Ox, sous l'action d'une force F(x) :

&lt;math&gt;\ddot{x} = F/m := g(x)&lt;/math&gt;

(On appelle énergie potentielle V(x) est l'opposée de la primitive de F(x)). La conservation de l'énergie donne le même type d'équation de Leibniz:

&lt;math&gt; \frac{1}{2} m{\dot{}x}^2 +V(x) = E_0&lt;/math&gt;

On dit alors que la particule est confinée dans un puits de potentiel, sur l'intervalle [a,b], a et b, racines contiguës de V(x)= Eo.

Sur cet intervalle , la particule exécutera un parcours périodique. Dans le plan de phase l'orbite sera périodique.

== Cuvette symétrique ==

Soit l'origine O, au fond de la cuvette, sans restriction de généralité. Soit A le point d'abscisse s = a telle que h(A)= H.

Le mouvement se décrit qualitativement fort bien : la vitesse, maximale en O, ne cesse de décroître jusqu'à l'arrivée en A, au temps t1. Puis la particule rétrograde selon le même mouvement, et arrive en O, avec la vitesse opposée. Elle décrit alors l'autre bord de la cuvette,symétriquement, jusqu'au point symétrique A' et revient : le mouvement est périodique de période T = 4 t1. La méthode du diagramme horaire s'applique bien à ce cas qui peut donc s'expliquer et s'expérimenter sans de hautes mathématiques; ensuite, on peut ainsi tracer T(H).
=== Exemple: la cycloïde de Huygens (1659) ===
Huygens a trouvé quelle devait être la forme de la courbe pour que les oscillations soient isochrones : il fallait une cuvette qui se relevât plus vite que le cercle osculateur en O, de rayon R = 4a; il trouva que la cycloïde convenait. Alors &lt;math&gt;T(H) = cste = T_o = 2\pi \sqrt {R/g}&lt;/math&gt;.

Le phénomène est tout à fait extraordinaire et splendide à regarder avec 2 cycloïdes identiques, parallèles, de R = 4 mètres, d'envergure 12.5m environ. Il est aussi très somptueux de procéder avec une troisième cycloïde, de R= 1m :

Une joue étant celle de la première cycloïde et l'autre celle de la troisième, le signal entendu est tic-tac-tic---toc---tic-tac-tic---toc, de période 3s environ , ceci quelle que soit l'envergure du mouvement, depuis quelque 10cm à quelques m: c'est assez extraordinaire à voir et entendre. Pour le montage, on aura soin de calculer la bonne longueur de la suspension bifilaire associée à la masse d'environ 1kg (détails techniques : penser à l'ajustement compte-tenu de l'effet pendule-double; sinon, il faut que la masse soit un disque monté sur d'excellents roulements à bille, dont l'axe sera serti dans une perle oblongue passée dans le bi-fil. De plus, il faut évidemment prendre du fil INEXTENSIBLE, sous une charge de 3kg. Enfin, il faut fixer solidement l'ensemble des joues pour éviter tout mouvement du support, en définitive assez lourd).

=== Taux d'Harmoniques ===

l'oscillation n'est pas en général harmonique. Il est usuel de poser:

&lt;math&gt; v^2(s) = N^2(s)(a^2-s^2)&lt;/math&gt;, et s=a.cosφ.Ainsi:

&lt;math&gt;t= \int_0^{\phi}\frac{du}{N[a(H)cos(u)]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;T(H)= 4\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{du}{N[a(H)cos(u)]} &lt;/math&gt;

la fonction N(s) (en Hertz) étant généralement bornée:N1 &lt; N &lt; N2 , alors T2 &lt; T(H) &lt; T1.

* Le cas du pendule cycloïdal, vu dans le paragraphe précédent, est le plus facile, car N(s)= cste = No , donc T(H)= cste= To.

* Niveau plus élevé : Le cas du pendule simple , beaucoup plus difficile à analyser, est assez banal (on dit générique): si la cuvette présente un sommet arrondi concave, de hauteur Hmax, alors usuellement T(H) tend vers l'infini logarithmiquement quand H tend vers Hmax . Cet effet de ralentissement est appelé effet Ramsauer en physique nucléaire et a son correspondant en mécanique quantique. Il ressemble beaucoup à l'effet &quot;soliton&quot; , analysé dans l'article pendule simple:

soit la décomposition en série de Fourier de s(t): 

&lt;math&gt;s(t)= \Sigma b_n cos [\frac{2\pi n t}{T(H)}]&lt;/math&gt;,

le taux d'harmoniques est pratiquement non décroissant jusqu'à une valeur &lt;math&gt;\aleph_0(H)&lt;/math&gt;, puis s'écroule exponentiellement (donc très vite),dès que n &gt; &lt;math&gt;\aleph_0(H)&lt;/math&gt; : cela est essentiellement dû au caractère indéfiniment dérivable de s(t), c'est à dire à la &quot;régularité&quot; de la cuvette (cf Appell, mécanique, 1915).


* {{Note annexe : préciser, néanmoins, qu'il ne faudrait pas croire que l'anharmonicité soit toujours dû à ce mécanisme de ralentissement T(H); on connaît des cas de cuvettes (non-symétrique) où T(H) = cste= To , mais où l'anharmonicité devient très grande (la fonction périodique s(t) ressemble alors à de la houle très pointue; un exemple est V(x) = x -sqrt(x)),étudié en physique des plasmas)]].

* Enfin , il reste les cas où V(x) présente des singularités : le cas évident est celui d'une particule simplement bloquée entre deux murs reflecteurs: |x|&lt;a .

Alors on a évidemment la vitesse v(x) constante (au signe près), égale à sqrt(2E/m) et la période T(E) = 2 a/sqrt(2E/m). L'analyse de Fourier de s(t), qui est une fonction &quot;triangle&quot;, donne des coefficients qui décroissent comme 1/n^2 et non pas exponentiellement.

* D'autres types de puits de potentiel plus complexes existent [ on pensera à (exp-x²).x^10.(x-a)².sin a²/(x-a)², où le nombre de racines de V'(x) augmente indéfiniment quand x tend vers a] :

ces problèmes à plusieurs &quot;fenêtres de sortie&quot; donneront du mal à être quantifiés en mécanique quantique : c'est le problème des barrières de potentiel double , voire triple en radio-activité.

Fin de note annexe}}.

=== Quelques cas de cuvettes symétriques ===

* La cuvette soliton : U(x) = -g²/ch²x

On trouve : x(t) = argsh [sha.sin wt] ; avec sha = sqrt[(g²+E)/(-E)] et la période T(E) = sqrt(2).Pi/ sqrt(-E)

* la cuvette soliton modifiée : U(x) = g²/sin²(x)

On trouve : x(t) =arc cos (cosa .cos wt) avec cosa = sqrt(1-g²/E) et la période T(E) = sqrt(2)Pi/sqrt(E)

* la cuvette de Jacobi : U(x) = g²/sn(x,k)

On trouve la période T = 4/c K(k&quot;) avec c²= 2(E-g²k²) et k&quot; =k²(E-g²)/(E-g²k²), K(k) étant la fonction elliptique de première espèce.

* la cuvette U(x) =g².ch(2x) :

On trouve la période d'oscillation T = 4/a K(k) , avec a = sqrt(E+g²) et k² = (E-g²)/(E+g²)

* Remarque : par symétrie de Corinne, à ces cuvettes correspondent des barrière de potentiel , dont on peut évaluer en mécanique quantique l'effet tunnel ; c'est une des raisons de trouver un maximum d'exemples pour pouvoir interpréter nombre d'expériences.


=== **Détermination de h(s) gràce à l'observation de T(H) ===

Cela s'appelle résoudre un problème inverse. Landau et Lifschitz (mécanique, ed Mir) traite ce '''problème difficile'''.

La notion mathématique qui s'applique bien ici est la notion de dérivée fractionnaire d'ordre 1/2, dite d'Abel. En fait c'est la fonction réciproque s(h) que l'on détermine (on a déjà vu dans le cas du pendule simple que h (et non s) est la bonne fonction inconnue, et alors on en déduit s(h(t)) ):la formule est :

&lt;math&gt;s(h) = \frac{1}{2\pi}\sqrt g \int_0^h \frac{T(H)dH}{\sqrt{h-H}}&lt;/math&gt; ,

dont on vérifie immédiatement l'homogénéité s= sqrt(gHo)To. Voir ci-dessous la démonstration.


==== Expérimentation ====

Ayant récupéré la courbe T(H) expérimentalement, il n'est pas trop difficile sur une calculette de programmer la courbe précedente s(h). C'est en principe ce qui termine un Travail Pratique expérimental. Le soin à apporter au tracé de T(H) n'est pas trop crucial, mais on a parfois des surprises!

==== quelques vérifications de cas connus ====

* la cuvette de Torricelli (cf diagramme horaire)avec T=4sqrt(2H/gsinα: s= h/sinα.
* la cycloïde isochrone : s(h) telle que s^2(h) = 16 a h.
* et aussi toutes les cuvettes de potentiel en V(x) = x^k , qui satisfont automatiquement au théorème du viriel, dont
* le mouvement de Kepler : T² =a³ = 1/(-E)³ , qui donne bien U ~ -1/|s|.
* si on rajoute la barrière centrifuge, la cuvette est non symétrique, mais le raisonnement (adapté)donne bien , quel que soit le moment cinétique, le résultat, U ~ -1/r.
* la cuvette h= Ho tan²(s/a) qui donne: gT² : = 4π².a²/(Ho+H).

==== démonstration de la formule ====

La primitive fractionnaire 1/2 de la dérivée f'(x) est la dérivée 1/2 de f(x) (Théorème de réciprocité d'Abel);

mais on peut opter pour une démonstration sans l'artillerie lourde (des dérivées fractionnaires!); voici celle empruntée à Landau (on a pris g=1) :

* remarquer que &lt;math&gt;\int_a^b \frac{dx}{\sqrt{(b-x)(x-a)} }= \pi&lt;/math&gt;

(penser à HM²= HA.HB, dans le triangle-rectangle AMB, inscrit dans le demi-cercle de diamètre AB : alors dx/HM = dφ ; d'où la réponse).

* remarquer que T(H) s'écrit &lt;math&gt;T(H) = \int_0^H \frac{s'(z)dz}{\sqrt{H-z}}&lt;/math&gt; , et donc
* &lt;math&gt;\frac{T(H)} {\sqrt{h-H}} = \int_0^H  \frac{s'(z)dz}{\sqrt{(h-H)(H-z)}}&lt;/math&gt;,

soit en intégrant sur la nouvelle variable H, de 0 à h, puis en intervertissant l'ordre d'intégration , d'abord en H , puis en z, l'obtention de la formule de réciprocité d'Abel.

On pourra s'exercer avec les résultats précédents.

== Cuvettes non symétriques ==

Il suffit de remarquer avec Newton que seule importe la section du puits de potentiel V(x) par la droite d'énergie E. On se ramène alors, &quot; à la Cavalieri&quot;, à un puits de potentiel symétrique.

Sont de ce type :

* le potentiel (1-2)(dit de Newton radial ou de Leibniz),-g²/x + h²/x²
* le potentiel harmonique: g² x² +h²/x²
* le potentiel de Lenard-Jones(6-12),
* le potentiel interatomique dans une molécule diatomique, dit de Morse :

U(x) = g²(2exp(x) + exp(-2x) -3 )

* le potentiel nucléaire :

U(x) = g²/sh²x -h²/ch²x

* Remarque : U(x)=-g².x^4 amène la particule à l'infini en un temps fini ; il est donc assez irréaliste d'avoir des telles forces répulsives.


==== Remarque : supersymétrie ====

à compléter éventuellement

Les potentiels précités ne sont pas trouvés au hasard ; ils résultent plus ou moins d'une sorte de factorisation, déjà remarquée par Schrodinger en 1940, et puis retrouvée par Witten sous le nom de supersymétrie N=2, pour des besoins bien différents.

Évidemment, il se trouve que l'oscillateur harmonique radial et l'atome de Rutherford en font partie.

==== Formule de perturbation ====

Très souvent en physique, le puits de potentiel est légèrement perturbé par l'adjonction d'un paramètre que l'on peut contrôler (champ magnétique:effet Zeeman classique; champ électrique: effet Stark classique, etc.).Il est alors intéressant de savoir quelle est la nouvelle période T(H).

La règle est la suivante :

* soit le mouvement non perturbé s(t,H), de période T(H). Dans le plan de phase, l'orbite fermée, d'énergie H est décrite dans le sens rétrograde avec la période T(H) en enserrant une aire S(H),(en joule.seconde), appelée l'Action S(H). UN résultat classique de mécanique hamiltonienne est T(H) = dS/dH.
* Soit le nouveau potentiel V(x) + k V1(x), où k est un réel sans dimension très petit.
* soit k.S1(H) la petite action (en joule.seconde)= T(H).[moyenne temporelle de k V1(x)].
* La variation de période T1(H) est:

&lt;math&gt;T_1(H) = - k\frac{dS_1}{dH}&lt;/math&gt;.

* si on veut le deuxième ordre, en k², il faudra rajouter :

&lt;math&gt; (1/2!).k^2. \frac{d^2S_2(H)}{dH^2}&lt;/math&gt; avec S2 (en joule².seconde) = T(H).[moyenne temporelle de k²V1²(x)]; etc.

'''Application''': la formule de Borda du pendule simple est retrouvée: En effet , les calculs montrent que &lt;math&gt;T_1 =T_o \cdot \frac{\theta_o^2}{16}&lt;/math&gt;

On trouve aussi les formules du ressort mou , ou du ressort dur. On pourra aussi tester les développements limités des formules exactes des puits de potentiel précédents.

== Conclusion et Résumé ==

cette leçon sur le plan de phase est un des chapitres fondamentaux de la mécanique : 

Selon une analyse très fine de Poincaré, la mécanique classique ne dit rien d'autre : elle affirme qu'un point matériel sur une ligne est défini par le doublet [abscisse so et vitesse vo] et l'équation différentielle du premier ordre v(t) := ds/dt = f(s,t).L'orbite dans le plan de phase [s(t) et v(t)] représente TOUT l'état du système.

Deux révolutions conceptuelles viendront modifier cette affirmation : 
l'une , pas trop difficile est celle de la relativité restreinte(1905).
l'autre , la mécanique quantique(1926) qui fera exploser cette notion d'orbite dans l'espace des phases en la remplaçant par des cheminements qui interfèrent, pour le dire vite.

== Exercices ==
Il y a évidemment des dizaines d'exercices sur le plan de phase , c'est à dire la résolution de d²x/dt² = g(x) ou ce qui est équivalent Ec + V(x) = Eo.
On peut même dire un peu plus : plus on saura décrire les solutions dans le plan de phase , et plus on aura de maîtrise des équations différentielles.
En particulier, il convient de maîtriser l'équation de Liénard :

=== équation de Liénard ===

d²x/dt² = g(x) - f(dx/dt) ou v.dv/dx = g(x) -f(v).
 
À supposer qu'il existe une orbite fermée, il apparaît que somme sur l'orbite de -f(v) doit être nulle : cela donne un critère très puissant, puisque par ailleurs les orbites ne peuvent se couper.

Si de plus g(x) = -x , v ne change pas le long de la courbe (dite de Liénard (L)) x + f(v)=0 qu'il est donc intéressant de tracer (les tangentes à l'orbite y sont horizontales); mais on peut dire plus : à droite de la courbe, v² diminue, et on peut donner la règle qui mène de M au point M' voisin et donc avoir une intuition assez précise de la forme de la courbe. Montrer que cette règle est la suivante: du point M tracer l'horizontale qui coupe (L) en L (point de Liénard); soit l'abscisse H du point L : alors MM' est perpendiculaire en M à HM. On trace ainsi rapidement au compas les petits arcs tangents à la courbe.

=== Oscillateur à frottement solide ===
Appliquer la méthode de Lienard à -f(v) = -a sgn(v).

==== Solution ====
si a était nul , on trouverait x = Xo cos(t) et v = -Xo sin(t) , c'est à dire l'oscillateur de pulsation unité.

S'il y a frottement a , la construction de Liénard montre immédiatement que les demi-cercles du demi-plan x &gt;0 (resp x&lt;0)sont centrés en A' (-a,0) (resp: A(a,0)).

le tracé au compas s'en déduit, et s'arrête quand M se trouve dans le segment A'A : l'amplitude a diminué de 2a à chaque demi-oscillation : donc l'amplitude décroît linéairement avec le temps, ce qui est manifestement différent du cas -f(v) = -v/Q (oscillateur linéairement amorti): dans ce cas, le tracé qualitatif montre une orbite autosimilaire entre un point d'intersection haut L et un point bas L': la courbe ressemble donc à un escargot qui s'enroule vers le point O , ceci si Q est assez élevé : ceci sera retrouvé, dans l'étude des oscillateurs harmoniques amortis.

=== Chute libre avec résistance de l'air ===
L'existence des parachutes (et l'expérience de ceux-ci date de bien avant Galilée) montre bien l'inanité de la loi z= 1/2.g.t².
Quand un objet tombe dans l'air, outre le fait de décompter la légère poussée d'Archimède, il faut surtout &quot;intuiter&quot; la loi de Reynolds : celui-ci indiqua que pour une forme donnée et une texture de contact identique, alors la masse ou la densité du corps n'intervenait pas , et ce qu'il importait c'était de &quot;fendre l'air&quot; au mieux, pour une section apparente (on parle du maître-couple S en m²) donnée : la résistance était alors du type : -Cx.a .S.v² , avec a la masse volumique de l'air et le Cx le coefficient dit aérodynamique du corps (on a tous vu des casques de vélo!). Typiquement pour une sphère, Cx = 0.25 ; mais attention, pour une balle de golf alvéolée, il n'en va pas de même ! Idem des samares , ou des splendides fleurs de pissenlit: les regarder remplit d'émerveillement.
les parachutes sont différents des parapentes , et le faucon différent de la buse.Etc. Par ailleurs la loi n'est pas rigoureuse, car si v devient très grand , il faut modifier le Cx!

Néanmoins pour faire bref nous considèrerons ici seulement l'équation : 

d²x/dt² = g - k.v² : on appellera g/k = Vo² et la droite de Liénard sera v= Vo : Si le mobile part plus vite que Vo , il ralentira , jusqu'à cette valeur limite. Si le mobile part moins vite, il augmentera sa vitesse jusqu'à cette limite. 

==== Solution ====
L'équation à résoudre est donc : 
1/2 d(v²)/dx = g (1- v²/Vo²) ; Bien sûr , il apparaît naturel de mesurer x en fonction du paramère Vo²/g , ce qui ramène à 4dX/du = 2/(1-u²)= 1/(1+u) + 1/1-u, dont la primitive est connue : ce qui permet de tracer l'orbite.

On peut aussi vouloir l'échelle temporelle : on résout de même : 

dV/dt' = (1-V²) en ayant pris t' = gt/Vo : d'où t' = 1/2 Ln(1+V)/(1-V), soit V = tanh(t') et puis X = Ln(cosh(t') : bien sûr , il faut vérifier qu'au début du mouvement v = gt et x = 1/2 .g.t² !

Du point de vue expérimental, tout dépendra donc de la précision voulue. Voici une méthode qui ne donne pas de mauvais résultats : changer de balle pour un même rayon ; changer l'air en gaz carbonique ou en hexafluorure de soufre dans le tube de Newton. On procède par la méthode de la dérivée discrète et on élimine le kv² : on recouvre ainsi une assez bonne valeur de g.

=== Exercice: montée puis chute ===
On lance la balle avec la vitesse Vo vers le haut. Elle intercepte un premier faisceau lumineux horizontal puis au retour le même : durée T2 . Un peu plus haut elle a intercepté un deuxième faisceau : durée T1. La distance entre les faisceaux est d : 
trouver la valeur de g

==== Solution ====
Si kv² est nul , la réponse est aisée : si on se place au point le plus haut , d1= 1/2 g (T1/2)², idem d2 : donc g = 8d/(T1²-T2²).
Si on ne néglige plus kv² , il faut être prudent et écrire -kv².sgn(v) : l'équation différentielle à la montée n'est PLUS la même! C'est piègeux . 

En effet , dv/dt = -g (1 +k v²) donnera en coordonnées réduites : dV/dt' = -(1+V²) , V fera donc intervenir tan (t')et non plus tanh (t'). Et la formule décrite devient grossièrement fausse , car la montée et la descente ne mesurent pas des g-apparents que l'on pourrait déduire facilement.

Une question délicate est: la balle met-elle plus ou moins de temps que Vo/g à descendre? On reste pris entre deux arguments contraires : certes elle va moins vite, mais elle descend de moins que zo = Vo²/2g ! Je ne vois pas comment faire autrement que par le calcul.
    
Enfin , signalons ce résultat assez surprenant dans le cas de chute d'une sphère de masse M dans un superfluide (donc de viscosité nulle): on peut oublier le superfluide et rajouter à M , la masse du fluide soit -a.(4/3)R. Pi.R² .dv/dt : ce joli résultat est dû à Greene vers 1838 : c'est un des premiers résultats de '''Renormalisation''' avant la lettre(cf cours Connes 2005 CdF).

*remarque : nou reviendrons plus tard sur cet exercice et la '''symétrie de Corinne'''.

== Retour ==
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{{Ébauche|left=1}}

il faut que je rapatrie non le fond , mais la forme !

Leçon : diagramme des espaces; plan de phase

Nous suivons la démarche de Poincaré : il s'agit ici de faire comprendre , à travers des exemples sur une droite x'Ox, que la donnée de [x0,v0] et de la règle donnant [x(t+dt);v(t+dt)]= f([x(t);v(t)],t) est l'algorithme fondamental de la dynamique: alors appliquant la méthode point par point de Picard, cette équation différentielle a une solution unique, sous réserve de régularité sur la fonction f.

== Mouvement de Torricelli(1608-1647) ==

C'est historiquement le premier cas de mouvement périodique, pouvant théoriquement constituer une HORLOGE. Mais Torricelli n'en considérait pas la réalisation pratique: seul le phénomène mathématique l'intéressait (de Motu, 1641).

Il s'agit du cas: v^2(z) = Vo^2-2.g.|z|.

Prendre le cas où au temps initial, le mobile M se trouve en z=0, avec la vitesse +V0 : il se dirigera vers le haut jusqu'à ce que z = H1 = sqrt(Vo^2/2a). Ce parcours aura pris le temps t1 = V0/2g = sqrt(2H1/g).

Mais le mobile ne s'arrête pas là, comme l'a bien analysé Galilée. L'accélération restant négative, le mobile repart dans l'autre sens, avec la même vitesse aux mêmes points: donc c'est juste le même mouvement mais en sens inverse , et le mobile se retrouve à l'origine au temps 2t1, avec la vitesse -Vo. Il refait ainsi vers le bas exactement ce qui s'est passé vers le haut.Puis , il y a rebond élastique. Au total, le mouvement est périodique de période T = 4t1.

Expérimentalement, Galilée opérait sur deux plans inclinés formant un V; pour des raisons pratiques, le coin est alésé, et il vaut mieux prendre un boulet lourd qui roule sans glisser, avec une faible résistance au roulement. On peut &quot;tricher&quot;, pour compenser le léger amortissement, en inclinant en cadence le chemin de roulement en V, de manière que S1 reste le même.

Si une balle rebondissait de manière élastique sur une raquette parfaite, on aurait exactement le même type d'horloge, à condition de contrôler le mouvement de la raquette (cf Problème de Fermi-Pasta-Ulam [[chaos contrôlé]]).

Ceci est un exemple très simple de mouvement dans un [[puits de potentiel]]

== Mouvement de Kepler selon Leibniz(1689) ==

C'est un cas très célèbre de mouvement dans un [[puits de potentiel]].

Dès 1689, Leibniz a su comprendre le mouvement radial d'un satellite en écrivant SON équation de l'énergie cinétique (à l'époque, on disait équation des forces vives) :

 &lt;math&gt;m \ddot{r} = -\frac{mgR^2}{r^2} + \frac{L_o^2}{mr^3}&lt;/math&gt;

soit après intégration (on multiplie par v des 2 côtés et on intègre par rapport au temps) :

 &lt;math&gt;E_0 = \frac{1}{2} m \cdot \dot{r}^2 + \frac{C^2}{2mr^2} - \frac{mgR^2}{r}&lt;/math&gt;

Il s'agit donc du mouvement dans un [[puits de potentiel]] U(r), si Eo est négative.

Les limites de ce puits s'appellent SP = r minimum = distance périgée et SA = r maximum = distance apogée, racines de l'équation U(r) = Eo.

Soit Lo²/2m (1/r)² - mgR² (1/r) - Eo = 0 , équation du second degré en 1/r :

Leibniz remarqua immédiatement que la demi-somme 1/2(1/SA +1/SP) , appelée moyenne harmonique et égale à 1/p est indépendante de Eo (règle 1 de Leibniz), 
et que la somme (SA +SP) = 2a était indépendante de Lo (règle 2 de Leibniz) : cf [[mouvement keplerien]] dans la WP.

L'équation réécrite avec 2a et p devient :

U(r)/m - Eo/m = Lo²/2m² (1/r² - 2/pr + 1/pa) = -1/2 (dr/dt)².

L'&quot;astuce&quot; usuelle dans ce genre de problème est de considérer la variable phi telle que r= a -c.cos&lt;math&gt;\phi&lt;/math&gt; , phi variant de 0 à Pi en passant du périgée à l'apogée. Alors l'intégration est beaucoup plus facile , et donne la célèbre équation de Kepler :

&lt;math&gt;\omega t = \phi - e \cdot\sin\phi&lt;/math&gt;

En exprimant la fonction réciproque, on obtient phi(t) et donc r(t). (cf [[mouvement keplerien]]). Ici &lt;math&gt;\omega&lt;/math&gt; représente la pulsation du mouvement périodique dans le puits. On retrouve la troisième loi de Kepler :

&lt;math&gt;\omega^2 \cdot a^3 = gR^2&lt;/math&gt; , indépendante de l'excentricité de la trajectoire elliptique décrite. 

L'équation donnant l'angle polaire se trouve via l'intégration de la deuxième loi de Kepler :
 
&lt;math&gt; C = \frac{\pi a b}{T} = r^2\dot{\theta}&lt;/math&gt;

== Un nouveau concept: l'Action S(E) en joule-seconde ==
dans le cas de ces deux exemples, où l'orbite dans le plan de phase est périodique, chaque orbite (C(E)) est caractérisée par son énergie E qui reste constante(E = mgH1 dans le premier exemple , et E= -mgR^2/2a dans le cas de Kepler) et la période T(E) pour faire le tour de l'orbite dépend de cette orbite (C(E)). On peut aussi calculer la surface de l'aire enclose dans cette orbite &lt;math&gt; S(E) = \int_{C(E)} p(x)\cdot dx&lt;/math&gt; . Cette quantité est fonction croissante de E , et l'on peut aussi bien indicer les orbites par S : on notera sans qu'il y ait ambiguité l'orbite par (C(S(E)))ou plus simplement (C(S)). 

L'unité d'Action est le joule-seconde. On verra bien plus tard que toute la mécanique pourra se résumer en le &quot;Principe de moindre Action&quot;, énoncé par Maupertuis et repris par Euler et Lagrange.


===Exercice: T = dS(E)/dE ===
Voilà quelque chose qui peut surprendre au premier abord! Du point de vue homogénéité non ; du point de vue du signe non plus , puisque plus l'aire enclose est grande et plus E est grande , donc T est positive!

Dans le cas qui nous préoccupe l'orbite est symétrique p/-p , donc &lt;math&gt; S(E) = 2\int_{x=a}^{x=b} p(x)\cdot dx&lt;/math&gt; avec p= sqrt[ 2m(E-V(x))], dont la dérivée par rapport à E est p.dp/dE =m ; soit donc dp/dE = m/p = 1/v(x). Donc &lt;math&gt; dS(E)/dE = 2\int_{x=a}^{x=b} \frac{1}{v(x)} dx&lt;/math&gt; . On reconnaît la période du diagramme des espaces aller-retour dans un puits de potentiel, soit T(E).

=== S(E) et la mécanique quantique ===
* En mécanique quantique, on montre qu'aucune orbite de l'espace des phases ne peut se réduire à un point. Il y a une surface minimale, disons So =1/2 . h , h étant la constante de Planck. De ce fait, il y aura toujours une énergie minimale à ce niveau fondamental Eo ; ensuite il est habituel de graduer les aires de niveau S par nombre entier de h : S(n) = So + n.h. À la limite des grandes valeurs de n , on aura donc dE/dn = h/T(E) , ce qui est une des règles de correspondance entre mécanique classique et mécanique quantique.En particulier, on peut retenir, pour un oscillateur harmonique : 

E(n) = (n+1/2) \hbar \cdot _omega_0

* Une autre raison de connaître n(E)= S(E)/h -So/h est que cela servira pour mémoriser facilement toutes les formules d'effet tunnel qui sont si importantes dans les applications (transistor, Microscope à effet tunnel, Écrans plats de télévision à émission de champ, etc.).

== Puits de Potentiel ==
Soit une courbe plane, située dans un plan vertical, en forme de cuvette. Un point matériel, de masse m, s'y meut, en glissant sans frottement. La conservation de l'énergie (c'est à dire le Principe de Torricelli, ici) donne, en prenant l'abscisse curviligne s(t) comme inconnue, l'équation du mouvement de ce point :

&lt;math&gt;\dot{s^2} + 2g h(s) = 2E/m := 2gH&lt;/math&gt;

qui s'appelle en mathématiques une équation différentielle de Leibniz , liée à l'équation différentielle de Newton du second ordre :

&lt;math&gt;\ddot{s} + g \frac{dh}{ds}= 0&lt;/math&gt;.

De l'équation de Leibniz, on tire la vitesse v(s)= (+/-) sqrt(2g.[H-h(s)]).

Ce qui ramène à l'étude d'un diagramme horaire. Par exemple le cas simple (dit de Torricelli) de h(s)=|s| y est étudié.

Il arrive que l'on considère en physique une équation similaire : le mouvement d'un point matériel sur un axe x'Ox, sous l'action d'une force F(x) :

&lt;math&gt;\ddot{x} = F/m := g(x)&lt;/math&gt;

(On appelle énergie potentielle V(x) est l'opposée de la primitive de F(x)). La conservation de l'énergie donne le même type d'équation de Leibniz:

&lt;math&gt; \frac{1}{2} m{\dot{}x}^2 +V(x) = E_0&lt;/math&gt;

On dit alors que la particule est confinée dans un puits de potentiel, sur l'intervalle [a,b], a et b, racines contiguës de V(x)= Eo.

Sur cet intervalle , la particule exécutera un parcours périodique. Dans le plan de phase l'orbite sera périodique.

== Cuvette symétrique ==

Soit l'origine O, au fond de la cuvette, sans restriction de généralité. Soit A le point d'abscisse s = a telle que h(A)= H.

Le mouvement se décrit qualitativement fort bien : la vitesse, maximale en O, ne cesse de décroître jusqu'à l'arrivée en A, au temps t1. Puis la particule rétrograde selon le même mouvement, et arrive en O, avec la vitesse opposée. Elle décrit alors l'autre bord de la cuvette,symétriquement, jusqu'au point symétrique A' et revient : le mouvement est périodique de période T = 4 t1. La méthode du diagramme horaire s'applique bien à ce cas qui peut donc s'expliquer et s'expérimenter sans de hautes mathématiques; ensuite, on peut ainsi tracer T(H).
=== Exemple: la cycloïde de Huygens (1659) ===
Huygens a trouvé quelle devait être la forme de la courbe pour que les oscillations soient isochrones : il fallait une cuvette qui se relevât plus vite que le cercle osculateur en O, de rayon R = 4a; il trouva que la cycloïde convenait. Alors &lt;math&gt;T(H) = cste = T_o = 2\pi \sqrt {R/g}&lt;/math&gt;.

Le phénomène est tout à fait extraordinaire et splendide à regarder avec 2 cycloïdes identiques, parallèles, de R = 4 mètres, d'envergure 12.5m environ. Il est aussi très somptueux de procéder avec une troisième cycloïde, de R= 1m :

Une joue étant celle de la première cycloïde et l'autre celle de la troisième, le signal entendu est tic-tac-tic---toc---tic-tac-tic---toc, de période 3s environ , ceci quelle que soit l'envergure du mouvement, depuis quelque 10cm à quelques m: c'est assez extraordinaire à voir et entendre. Pour le montage, on aura soin de calculer la bonne longueur de la suspension bifilaire associée à la masse d'environ 1kg (détails techniques : penser à l'ajustement compte-tenu de l'effet pendule-double; sinon, il faut que la masse soit un disque monté sur d'excellents roulements à bille, dont l'axe sera serti dans une perle oblongue passée dans le bi-fil. De plus, il faut évidemment prendre du fil INEXTENSIBLE, sous une charge de 3kg. Enfin, il faut fixer solidement l'ensemble des joues pour éviter tout mouvement du support, en définitive assez lourd).

=== Taux d'Harmoniques ===

l'oscillation n'est pas en général harmonique. Il est usuel de poser:

&lt;math&gt; v^2(s) = N^2(s)(a^2-s^2)&lt;/math&gt;, et s=a.cosφ.Ainsi:

&lt;math&gt;t= \int_0^{\phi}\frac{du}{N[a(H)cos(u)]}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;T(H)= 4\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{du}{N[a(H)cos(u)]} &lt;/math&gt;

la fonction N(s) (en Hertz) étant généralement bornée:N1 &lt; N &lt; N2 , alors T2 &lt; T(H) &lt; T1.

* Le cas du pendule cycloïdal, vu dans le paragraphe précédent, est le plus facile, car N(s)= cste = No , donc T(H)= cste= To.

* Niveau plus élevé : Le cas du pendule simple , beaucoup plus difficile à analyser, est assez banal (on dit générique): si la cuvette présente un sommet arrondi concave, de hauteur Hmax, alors usuellement T(H) tend vers l'infini logarithmiquement quand H tend vers Hmax . Cet effet de ralentissement est appelé effet Ramsauer en physique nucléaire et a son correspondant en mécanique quantique. Il ressemble beaucoup à l'effet &quot;soliton&quot; , analysé dans l'article pendule simple:

soit la décomposition en série de Fourier de s(t): 

&lt;math&gt;s(t)= \Sigma b_n cos [\frac{2\pi n t}{T(H)}]&lt;/math&gt;,

le taux d'harmoniques est pratiquement non décroissant jusqu'à une valeur &lt;math&gt;\aleph_0(H)&lt;/math&gt;, puis s'écroule exponentiellement (donc très vite),dès que n &gt; &lt;math&gt;\aleph_0(H)&lt;/math&gt; : cela est essentiellement dû au caractère indéfiniment dérivable de s(t), c'est à dire à la &quot;régularité&quot; de la cuvette (cf Appell, mécanique, 1915).


* {{Note annexe : préciser, néanmoins, qu'il ne faudrait pas croire que l'anharmonicité soit toujours dû à ce mécanisme de ralentissement T(H); on connaît des cas de cuvettes (non-symétrique) où T(H) = cste= To , mais où l'anharmonicité devient très grande (la fonction périodique s(t) ressemble alors à de la houle très pointue; un exemple est V(x) = x -sqrt(x)),étudié en physique des plasmas)]].

* Enfin , il reste les cas où V(x) présente des singularités : le cas évident est celui d'une particule simplement bloquée entre deux murs reflecteurs: |x|&lt;a .

Alors on a évidemment la vitesse v(x) constante (au signe près), égale à sqrt(2E/m) et la période T(E) = 2 a/sqrt(2E/m). L'analyse de Fourier de s(t), qui est une fonction &quot;triangle&quot;, donne des coefficients qui décroissent comme 1/n^2 et non pas exponentiellement.

* D'autres types de puits de potentiel plus complexes existent [ on pensera à (exp-x²).x^10.(x-a)².sin a²/(x-a)², où le nombre de racines de V'(x) augmente indéfiniment quand x tend vers a] :

ces problèmes à plusieurs &quot;fenêtres de sortie&quot; donneront du mal à être quantifiés en mécanique quantique : c'est le problème des barrières de potentiel double , voire triple en radio-activité.

Fin de note annexe}}.

=== Quelques cas de cuvettes symétriques ===

* La cuvette soliton : U(x) = -g²/ch²x

On trouve : x(t) = argsh [sha.sin wt] ; avec sha = sqrt[(g²+E)/(-E)] et la période T(E) = sqrt(2).Pi/ sqrt(-E)

* la cuvette soliton modifiée : U(x) = g²/sin²(x)

On trouve : x(t) =arc cos (cosa .cos wt) avec cosa = sqrt(1-g²/E) et la période T(E) = sqrt(2)Pi/sqrt(E)

* la cuvette de Jacobi : U(x) = g²/sn(x,k)

On trouve la période T = 4/c K(k&quot;) avec c²= 2(E-g²k²) et k&quot; =k²(E-g²)/(E-g²k²), K(k) étant la fonction elliptique de première espèce.

* la cuvette U(x) =g².ch(2x) :

On trouve la période d'oscillation T = 4/a K(k) , avec a = sqrt(E+g²) et k² = (E-g²)/(E+g²)

* Remarque : par symétrie de Corinne, à ces cuvettes correspondent des barrière de potentiel , dont on peut évaluer en mécanique quantique l'effet tunnel ; c'est une des raisons de trouver un maximum d'exemples pour pouvoir interpréter nombre d'expériences.


=== **Détermination de h(s) gràce à l'observation de T(H) ===

Cela s'appelle résoudre un problème inverse. Landau et Lifschitz (mécanique, ed Mir) traite ce '''problème difficile'''.

La notion mathématique qui s'applique bien ici est la notion de dérivée fractionnaire d'ordre 1/2, dite d'Abel. En fait c'est la fonction réciproque s(h) que l'on détermine (on a déjà vu dans le cas du pendule simple que h (et non s) est la bonne fonction inconnue, et alors on en déduit s(h(t)) ):la formule est :

&lt;math&gt;s(h) = \frac{1}{2\pi}\sqrt g \int_0^h \frac{T(H)dH}{\sqrt{h-H}}&lt;/math&gt; ,

dont on vérifie immédiatement l'homogénéité s= sqrt(gHo)To. Voir ci-dessous la démonstration.


==== Expérimentation ====

Ayant récupéré la courbe T(H) expérimentalement, il n'est pas trop difficile sur une calculette de programmer la courbe précedente s(h). C'est en principe ce qui termine un Travail Pratique expérimental. Le soin à apporter au tracé de T(H) n'est pas trop crucial, mais on a parfois des surprises!

==== quelques vérifications de cas connus ====

* la cuvette de Torricelli (cf diagramme horaire)avec T=4sqrt(2H/gsinα: s= h/sinα.
* la cycloïde isochrone : s(h) telle que s^2(h) = 16 a h.
* et aussi toutes les cuvettes de potentiel en V(x) = x^k , qui satisfont automatiquement au théorème du viriel, dont
* le mouvement de Kepler : T² =a³ = 1/(-E)³ , qui donne bien U ~ -1/|s|.
* si on rajoute la barrière centrifuge, la cuvette est non symétrique, mais le raisonnement (adapté)donne bien , quel que soit le moment cinétique, le résultat, U ~ -1/r.
* la cuvette h= Ho tan²(s/a) qui donne: gT² : = 4π².a²/(Ho+H).

==== démonstration de la formule ====

La primitive fractionnaire 1/2 de la dérivée f'(x) est la dérivée 1/2 de f(x) (Théorème de réciprocité d'Abel);

mais on peut opter pour une démonstration sans l'artillerie lourde (des dérivées fractionnaires!); voici celle empruntée à Landau (on a pris g=1) :

* remarquer que &lt;math&gt;\int_a^b \frac{dx}{\sqrt{(b-x)(x-a)} }= \pi&lt;/math&gt;

(penser à HM²= HA.HB, dans le triangle-rectangle AMB, inscrit dans le demi-cercle de diamètre AB : alors dx/HM = dφ ; d'où la réponse).

* remarquer que T(H) s'écrit &lt;math&gt;T(H) = \int_0^H \frac{s'(z)dz}{\sqrt{H-z}}&lt;/math&gt; , et donc
* &lt;math&gt;\frac{T(H)} {\sqrt{h-H}} = \int_0^H  \frac{s'(z)dz}{\sqrt{(h-H)(H-z)}}&lt;/math&gt;,

soit en intégrant sur la nouvelle variable H, de 0 à h, puis en intervertissant l'ordre d'intégration , d'abord en H , puis en z, l'obtention de la formule de réciprocité d'Abel.

On pourra s'exercer avec les résultats précédents.

== Cuvettes non symétriques ==

Il suffit de remarquer avec Newton que seule importe la section du puits de potentiel V(x) par la droite d'énergie E. On se ramène alors, &quot; à la Cavalieri&quot;, à un puits de potentiel symétrique.

Sont de ce type :

* le potentiel (1-2)(dit de Newton radial ou de Leibniz),-g²/x + h²/x²
* le potentiel harmonique: g² x² +h²/x²
* le potentiel de Lenard-Jones(6-12),
* le potentiel interatomique dans une molécule diatomique, dit de Morse :

U(x) = g²(2exp(x) + exp(-2x) -3 )

* le potentiel nucléaire :

U(x) = g²/sh²x -h²/ch²x

* Remarque : U(x)=-g².x^4 amène la particule à l'infini en un temps fini ; il est donc assez irréaliste d'avoir des telles forces répulsives.


==== Remarque : supersymétrie ====

à compléter éventuellement

Les potentiels précités ne sont pas trouvés au hasard ; ils résultent plus ou moins d'une sorte de factorisation, déjà remarquée par Schrodinger en 1940, et puis retrouvée par Witten sous le nom de supersymétrie N=2, pour des besoins bien différents.

Évidemment, il se trouve que l'oscillateur harmonique radial et l'atome de Rutherford en font partie.

==== Formule de perturbation ====

Très souvent en physique, le puits de potentiel est légèrement perturbé par l'adjonction d'un paramètre que l'on peut contrôler (champ magnétique:effet Zeeman classique; champ électrique: effet Stark classique, etc.).Il est alors intéressant de savoir quelle est la nouvelle période T(H).

La règle est la suivante :

* soit le mouvement non perturbé s(t,H), de période T(H). Dans le plan de phase, l'orbite fermée, d'énergie H est décrite dans le sens rétrograde avec la période T(H) en enserrant une aire S(H),(en joule.seconde), appelée l'Action S(H). UN résultat classique de mécanique hamiltonienne est T(H) = dS/dH.
* Soit le nouveau potentiel V(x) + k V1(x), où k est un réel sans dimension très petit.
* soit k.S1(H) la petite action (en joule.seconde)= T(H).[moyenne temporelle de k V1(x)].
* La variation de période T1(H) est:

&lt;math&gt;T_1(H) = - k\frac{dS_1}{dH}&lt;/math&gt;.

* si on veut le deuxième ordre, en k², il faudra rajouter :

&lt;math&gt; (1/2!).k^2. \frac{d^2S_2(H)}{dH^2}&lt;/math&gt; avec S2 (en joule².seconde) = T(H).[moyenne temporelle de k²V1²(x)]; etc.

'''Application''': la formule de Borda du pendule simple est retrouvée: En effet , les calculs montrent que &lt;math&gt;T_1 =T_o \cdot \frac{\theta_o^2}{16}&lt;/math&gt;

On trouve aussi les formules du ressort mou , ou du ressort dur. On pourra aussi tester les développements limités des formules exactes des puits de potentiel précédents.

== Conclusion et Résumé ==

cette leçon sur le plan de phase est un des chapitres fondamentaux de la mécanique : 

Selon une analyse très fine de Poincaré, la mécanique classique ne dit rien d'autre : elle affirme qu'un point matériel sur une ligne est défini par le doublet [abscisse so et vitesse vo] et l'équation différentielle du premier ordre v(t) := ds/dt = f(s,t).L'orbite dans le plan de phase [s(t) et v(t)] représente TOUT l'état du système.

Deux révolutions conceptuelles viendront modifier cette affirmation : 
l'une , pas trop difficile est celle de la relativité restreinte(1905).
l'autre , la mécanique quantique(1926) qui fera exploser cette notion d'orbite dans l'espace des phases en la remplaçant par des cheminements qui interfèrent, pour le dire vite.

== Exercices ==
Il y a évidemment des dizaines d'exercices sur le plan de phase , c'est à dire la résolution de d²x/dt² = g(x) ou ce qui est équivalent Ec + V(x) = Eo.
On peut même dire un peu plus : plus on saura décrire les solutions dans le plan de phase , et plus on aura de maîtrise des équations différentielles.
En particulier, il convient de maîtriser l'équation de Liénard :

=== équation de Liénard ===

d²x/dt² = g(x) - f(dx/dt) ou v.dv/dx = g(x) -f(v).
 
À supposer qu'il existe une orbite fermée, il apparaît que somme sur l'orbite de -f(v) doit être nulle : cela donne un critère très puissant, puisque par ailleurs les orbites ne peuvent se couper.

Si de plus g(x) = -x , v ne change pas le long de la courbe (dite de Liénard (L)) x + f(v)=0 qu'il est donc intéressant de tracer (les tangentes à l'orbite y sont horizontales); mais on peut dire plus : à droite de la courbe, v² diminue, et on peut donner la règle qui mène de M au point M' voisin et donc avoir une intuition assez précise de la forme de la courbe. Montrer que cette règle est la suivante: du point M tracer l'horizontale qui coupe (L) en L (point de Liénard); soit l'abscisse H du point L : alors MM' est perpendiculaire en M à HM. On trace ainsi rapidement au compas les petits arcs tangents à la courbe.

=== Oscillateur à frottement solide ===
Appliquer la méthode de Lienard à -f(v) = -a sgn(v).

==== Solution ====
si a était nul , on trouverait x = Xo cos(t) et v = -Xo sin(t) , c'est à dire l'oscillateur de pulsation unité.

S'il y a frottement a , la construction de Liénard montre immédiatement que les demi-cercles du demi-plan x &gt;0 (resp x&lt;0)sont centrés en A' (-a,0) (resp: A(a,0)).

le tracé au compas s'en déduit, et s'arrête quand M se trouve dans le segment A'A : l'amplitude a diminué de 2a à chaque demi-oscillation : donc l'amplitude décroît linéairement avec le temps, ce qui est manifestement différent du cas -f(v) = -v/Q (oscillateur linéairement amorti): dans ce cas, le tracé qualitatif montre une orbite autosimilaire entre un point d'intersection haut L et un point bas L': la courbe ressemble donc à un escargot qui s'enroule vers le point O , ceci si Q est assez élevé : ceci sera retrouvé, dans l'étude des oscillateurs harmoniques amortis.

=== Chute libre avec résistance de l'air ===
L'existence des parachutes (et l'expérience de ceux-ci date de bien avant Galilée) montre bien l'inanité de la loi z= 1/2.g.t².
Quand un objet tombe dans l'air, outre le fait de décompter la légère poussée d'Archimède, il faut surtout &quot;intuiter&quot; la loi de Reynolds : celui-ci indiqua que pour une forme donnée et une texture de contact identique, alors la masse ou la densité du corps n'intervenait pas , et ce qu'il importait c'était de &quot;fendre l'air&quot; au mieux, pour une section apparente (on parle du maître-couple S en m²) donnée : la résistance était alors du type : -Cx.a .S.v² , avec a la masse volumique de l'air et le Cx le coefficient dit aérodynamique du corps (on a tous vu des casques de vélo!). Typiquement pour une sphère, Cx = 0.25 ; mais attention, pour une balle de golf alvéolée, il n'en va pas de même ! Idem des samares , ou des splendides fleurs de pissenlit: les regarder remplit d'émerveillement.
les parachutes sont différents des parapentes , et le faucon différent de la buse.Etc. Par ailleurs la loi n'est pas rigoureuse, car si v devient très grand , il faut modifier le Cx!

Néanmoins pour faire bref nous considèrerons ici seulement l'équation : 

d²x/dt² = g - k.v² : on appellera g/k = Vo² et la droite de Liénard sera v= Vo : Si le mobile part plus vite que Vo , il ralentira , jusqu'à cette valeur limite. Si le mobile part moins vite, il augmentera sa vitesse jusqu'à cette limite. 

==== Solution ====
L'équation à résoudre est donc : 
1/2 d(v²)/dx = g (1- v²/Vo²) ; Bien sûr , il apparaît naturel de mesurer x en fonction du paramère Vo²/g , ce qui ramène à 4dX/du = 2/(1-u²)= 1/(1+u) + 1/1-u, dont la primitive est connue : ce qui permet de tracer l'orbite.

On peut aussi vouloir l'échelle temporelle : on résout de même : 

dV/dt' = (1-V²) en ayant pris t' = gt/Vo : d'où t' = 1/2 Ln(1+V)/(1-V), soit V = tanh(t') et puis X = Ln(cosh(t') : bien sûr , il faut vérifier qu'au début du mouvement v = gt et x = 1/2 .g.t² !

Du point de vue expérimental, tout dépendra donc de la précision voulue. Voici une méthode qui ne donne pas de mauvais résultats : changer de balle pour un même rayon ; changer l'air en gaz carbonique ou en hexafluorure de soufre dans le tube de Newton. On procède par la méthode de la dérivée discrète et on élimine le kv² : on recouvre ainsi une assez bonne valeur de g.

=== Exercice: montée puis chute ===
On lance la balle avec la vitesse Vo vers le haut. Elle intercepte un premier faisceau lumineux horizontal puis au retour le même : durée T2 . Un peu plus haut elle a intercepté un deuxième faisceau : durée T1. La distance entre les faisceaux est d : 
trouver la valeur de g

==== Solution ====
Si kv² est nul , la réponse est aisée : si on se place au point le plus haut , d1= 1/2 g (T1/2)², idem d2 : donc g = 8d/(T1²-T2²).
Si on ne néglige plus kv² , il faut être prudent et écrire -kv².sgn(v) : l'équation différentielle à la montée n'est PLUS la même! C'est piègeux . 

En effet , dv/dt = -g (1 +k v²) donnera en coordonnées réduites : dV/dt' = -(1+V²) , V fera donc intervenir tan (t')et non plus tanh (t'). Et la formule décrite devient grossièrement fausse , car la montée et la descente ne mesurent pas des g-apparents que l'on pourrait déduire facilement.

Une question délicate est: la balle met-elle plus ou moins de temps que Vo/g à descendre? On reste pris entre deux arguments contraires : certes elle va moins vite, mais elle descend de moins que zo = Vo²/2g ! Je ne vois pas comment faire autrement que par le calcul.
    
Enfin , signalons ce résultat assez surprenant dans le cas de chute d'une sphère de masse M dans un superfluide (donc de viscosité nulle): on peut oublier le superfluide et rajouter à M , la masse du fluide soit -a.(4/3)R. Pi.R² .dv/dt : ce joli résultat est dû à Greene vers 1838 : c'est un des premiers résultats de '''Renormalisation''' avant la lettre(cf cours Connes 2005 CdF).

*remarque : nou reviendrons plus tard sur cet exercice et la '''symétrie de Corinne'''.

== Retour ==
*[[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences|Mécanique , enseignée via l'Histoire des Sciences]]

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    <title>Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/La chute ralentie sur plan incliné</title>
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      <comment>DavidL a déplacé la page [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/la chute ralentie sur plan incliné]] vers [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/La chute ralentie sur plan incliné]]</comment>
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      <text bytes="18086" xml:space="preserve">Leçon : la chute ralentie le long d'un plan incliné 

Cette leçon est une des plus importantes du cours car on y présente la philosophie d'un physicien en action.

Pour faire bref, disons que Galilée reprend l'idée de Stevin que pour une masse glissant sans frottement sur un plan incliné d'angle &lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt; , l'accélération était g .sin &lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt;. 

Tout le reste est semblable aux paragraphes de la leçon chute libre avec a = g .

[Note historique: il est évident qu'obtenir un glissement sans frottement est quasi-impossible. On se demande alors si Galilée a vraiment vérifié expérimentalement sa loi; bien sûr la notation g est un anachronisme, puisque les unités n'existaient pas encore à cette époque ; mais ce n'est pas cela qui est en cause. Bien sûr, il y a aussi des prédecesseurs de Stevin].

== Expérience de pensée ==
La loi : accélération = g. sin &lt;math&gt;\alpha &lt;/math&gt; dite loi des cordes est typiquement une gedanken-loi . Voici pourquoi Galilée y &quot;croyait&quot; :

imaginons 2 pistes de skate-board face à face d'angle différents &lt;math&gt;\alpha &lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\beta &lt;/math&gt;. Imaginons qu'une planche de skate &quot;soit comme&quot; une luge sans frottement(les petites roues bien huilées servant à cela). Le planchiste partant du haut de la piste de gauche , nonobstant la résistance de l'air, remonte exactement de la même hauteur sur la piste de droite; pas plus disait Galilée, sinon il suffirait de mettre des pierres sur le skate , on monterait progressivement des pierres en recommençant, aussi haut que l'on voudrait, en allant de gauche à droite : cela se saurait depuis longtemps ! 
Mais pas moins, a dit Galilée: car s'il n'y a pas de frottement du tout, l'opération inverse se produisant, on pourrait amener les pierres plus haut de droite à gauche.

La conclusion fût donc : il n'y a aucun moyen (sans frottement) d'aller plus haut ou plus bas.
Ce genre de &quot;raisonnement&quot; est très puissant. Il est gedanken , car il y a toujours la résistance de l'air à vaincre ; mais Galilée y avait déjà répondu : &quot;je me place dans la situation idéale, où elle n'existe pas. Je ne dis pas que c'est possible, mais je l'imagine possible&quot;.

Évidemment , en prenant &lt;math&gt;\beta &lt;/math&gt; très petit, cela permet d'amener les pierres très loin à droite, et même très, très loin si &lt;math&gt;\beta &lt;/math&gt; est très très petit, et même si &lt;math&gt;\beta &lt;/math&gt; est nul , alors les pierres sont lancées à une vitesse Vo et ne peuvent pas s'arrêter : on dit qu'elles ont de l'INERTIE : toute personne qui a manipulé une brouette de terre le sait bien : en allant assez vite, avec la vitesse Vo , il pourra remonter , en gros, à la hauteur h = Vo²/2g , grâce à la quantité d'inertie (cela s'appelle la masse en physique) de la brouette(et il est très bizarre-et cela s'appelle la Loi de Galilée- que cette hauteur soit indépendante de la quantité d'inertie : cette apparente contradiction est choquante. C'est le grand mérite de Galilée d'avoir insisté sur ce point : il n'y a pas de contradiction!).

Il faut que tout ceci , avec les lois du choc (leçon choc frontal) forme un système de lois auto-cohérentes : il restera à les vérifier expérimentalement, en se rapprochant aussi parfaitement que possible de ces conditions idéales.

==== Aparté : La pensée philosophique de Galilée : ====

Ainsi se présente Galilée :

Je suis un philosophe des choses de la Nature ; je pense et je dialogue sur des idées et des concepts, et je vais aussi loin que je peux dans les conséquences MATHÉMATIQUES de ce que je dis : s'il n'y a pas d'auto-contradiction , je continue , car cette construction , ce JEU de l'esprit est BEAU et m'enchante.

Évidemment , cela n'est admissible que si l'expérience le CONFIRME.

Un système auto-cohérent dans TOUT ce à quoi il peut conduire et que l'expérience confirme , voilà une partie du sens des DIALOGUES de Galilée en 1638. 

Certes, LORD IS SUBTLE (dixit Einstein):le Grand Horloger qui a minutieusement donné ce système de compréhension de la Nature à l'Homme est subtil . Même aujourd'hui encore , des physiciens imaginent des gedanken-experiments pour tester l'auto-cohérence de cette &quot;re-présentation&quot; du monde. 

Le monde existe avec ses Lois : le philosophe de la Nature doit mener une enquête très serrée pour les découvrir, &quot;soulever un coin du voile&quot; ; dans cette QUÊTE , les mathématiques l'aident beaucoup à les re-présenter.
 
Les a priori aident très peu.Il faut de temps à autre les bousculer : jamais personne n'a vu une brouette lancée à Vo continuer éternellement à transporter ses pierres vers la droite ; 

et pourtant chacun sent bien, qu'on n'a pas à laisser un poids lourd chargé dans une descente : il y aura du dégât à l'arrivée, s'il ne peut freiner! on installe même sur les descentes d'autoroute des voies de dégagement pour cela.

Cette tension permanente entre un réel épuré, re-construit et le réel vécu est LA caractéristique fondamentale du philosophe de la Nature : ces axiomes seront des Principes. S'ils s'avèrent auto-logiquement faux ou en contradiction avec l'expérience menée parfois de manière très sophistiquée dans des laboratoires spécialisés (par exemple des tours à vide aussi vides que possible pour vérifier la loi de chute), alors il faudra ABANDONNER ces Principes , et les modifier de manière à obtenir une nouvelle présentation de la Nature, plus précise que la première. 

L'exemple est resté fort célèbre : après que Galilée eût énoncé cette manière de discourir, on a construit la mécanique ici décrite (dite newtonienne). En 1905 , Einstein a démontré qu'elle était logiquement fausse, pour le mouvement : aucune particule ne peut aller plus vite que la vitesse de la lumière (et cela est parfaitement vérifié expérimentalement). Et il a rebâti toute une autre mécanique en 1905. La réaction fût la même que du temps de Galilée : on mît un &quot;certain temps&quot; à le croire , comme pour les dialogues et les discours de Galilée. Mais sa théorie était auto-cohérente, de très belle architecture et surtout expliquait mieux la Nature aux très grandes vitesses.

Il a fallu abandonner certaines choses dites par Galilée , mais le schéma de base du raisonnement [ la tension entre le penser auto-cohérent re-présentant la Nature et l'expérience] n'a absolument jamais été remis en cause , bien au contraire : Galilée est ENCORE présent parmi nous.

==Résumé: loi des cordes : a = g.sin&lt;math&gt;\alpha &lt;/math&gt;==

== Exercices ==

En combinant les leçons 1 , 2 et 3 , il y a beaucoup de jolis exercices ; on supposera toujours qu'à la jointure entre deux plans inclinés, un alésage permet de passer la jointure sans perdre de vitesse. 

=== Exercice : triangle égyptien ===
Deux skieurs Tortor et Jeannot partent de D (départ) pour arriver en A (arrivée) : T suit la piste rectiligne DA de longueur 5. Mais J est un fou de la glisse : il se laisse tomber quasi-verticalement de D en O (DO = 3) , et glisse horizontalement selon OA = 4 : lequel arrive premier ?

{{Boîte déroulante|titre=Solution|contenu =
J met le temps To pour parcourir DO de longueur 3 et mettra le temps (4/3)/2To pour parcourir OA : soit au total : To ( 1+ 2/3)= 5/3 To . 
Tortor met le temps To ( 5/3) pour parcourir DA ( par le théorème de Merton : le mouvement moyen est à la moitié de la vitesse finale ) 
Les deux arriveront donc en m temps ! On laisse le soin au lecteur de modifier le parcours pour voir gagner ou bien Jeannot ou bien Tortor.
}}

=== Parcours d'Alexandre le Bienheureux ===
On convient d'appeler ainsi un parcours tel que chaque étape dure le même temps. Évidemment comme, dans la réalité, il y a un peu de frottement, un mécanisme extérieur écrase la mémoire du premier tour et injecte la particule au début du parcours. En voici un assez jubilatoire: à vous de jouer!

Un petit skate (pour l'instant , on le considérera comme un palet glissant sans frottement ; on verra la différence plus tard) est lancé à la vitesse Vo sur une voie horizontale de longueur a ; il met donc le temps T = a/Vo à la parcourir. Et voilà , c'est parti , à vous d'imaginer ce qui va arriver à ce petit esquif !

Un exemple : 

*il descend un plan incliné d'un petit angle alpha donné (enroulé en spirale (mais cela ne change rien ici)sur une hauteur h.

*il arrive en terrain plat de longueur b , 
*remonte une piste de longueur c et arrive à la hauteur h/2 , 
*à nouveau un terrain plat de longueur d , 
*tombe dans le vide sur une plaque parfaitement rebondissante située en aval à la distance l et 
*rebondit dans un petit entonnoir et en sort sur un petit logement où il est bloqué, cette étape étant calibrée pour durer le temps T. 
*Un ascenseur le remonte en un temps T à la case départ où il sera lancé à la vitesse Vo.

Sur ce rythme à 8.T , il continue perpétuellement :

Calculer h , b , c , d ,l 

==== Solution du parcours d'Alexandre ====

* h /sin&lt;math&gt;\alpha &lt;/math&gt; = 1/2. g .sin&lt;math&gt;\alpha &lt;/math&gt;.T²
* V1 = Vo +sqrt(2gh) ; donc b = V1.T
* au bout de la piste c , sa vitesse sera V2 = V1- sqrt(2g.h/2); donc 
c = [(V1+V2)/2].T
* d = V2.T
* chute parabolique de vitesse horizontale V2 pendant le temps T :l =V2.T
* rebond ,remontée , et rechute dans l'entonnoir pendant le temps T.
*ascenseur durée T
*soit 8.T
Ludique , non ? Alors , on continue?

=== Exercice choc sur plans inclinés ===
Une descente inclinée d'angle 30°, raccordée à une montée d'angle beta dont le sinus vaut 1/4. Même hauteur h . 
A gauche un skate G de masse 2m , à droite un skate D de masse 3m , lâchés de sorte que le choc ait lieu à droite à l'altitude h/2. 
Si le choc a un coefficient de restitution e= 1/2 , trouver l'altitude où remonte chaque skate.

==== Solution choc sur plans inclinés ====
Évidemment l'exercice est largement simplifié par les mots [&quot;de sorte que&quot;]!
Alors G a une vitesse sqrt(gh)=Vo et D la vitesse opposée. La vitesse relative est donc 2Vo avant le choc et devient Vo après le choc.
La conservation de l'impulsion donne alors, après le choc , Vg = -4/5.Vo et Vd = 1/5 .Vo (on peut vérifier, la solution est unique !).
Donc G remonte à gauche jusqu'à l'altitude h/2 +8/25 h = h(41/50); et D remonte à h/2+ 1/50 .h = 26/50 .h : l'effet sur le skate de Gauche est donc très spectaculaire. Évidemment, il y a eu perte d'énergie.

=== Exercice:horloge de Torricelli ===
Il s'agit tout simplement d'une cuvette symétrique formée de deux plans inclinés d'angle 30°, de hauteur h , de longueur 2h : un skate y glisse perpétuellement avec la période T = 4. sqrt(2.2h/(g/2)) = sqrt(h/g).8sqrt(2).Le vérifier.
En fait, il faut maintenir la remontée à la hauteur h par une légère manœuvre du V , que l'on incline à droite dans la descente à droite et à gauche dans la descente à gauche, très légèrement. L'horloge est donc légèrement fausse, mais erreur de justesse n'est point grave : il suffit qu'elle soit régulière : pas d'irrégularité sur sa période T'(légèrement voisine de T), c'est tout ce qu'on demande à une horloge!

== Horloge de Galilée ==
Galilée dès 1602 énonça une célèbre loi, dont on dit qu'il l'établit en regardant les oscillations des luminaires dans les églises. Effectivement, à la Sainte-Chapelle de Paris, par grand vent, on peut voir de telles oscillations; et on peut chronométrer leurs oscillations : elles ont toutes à peu près la même période , MEME si leur amplitude (de qq centimètres !) est différente. Il s'agit de la très célèbre loi : 
le long d'une cuvette circulaire de rayon l , les petites oscillations ont pour période: 

 &lt;math&gt; T = 2\pi \sqrt \frac{l}{g} &lt;/math&gt;

Évidemment , Galilée ne trouva pas cette formule (les unités n'existaient pas, non plus que l'expression accélération de la pesanteur = g =~9.81 m/s²). C'est Huygens qui trouva le facteur 2Pi ; et enfin Galilée croyait que la formule était vraie pour toute amplitude &quot;raisonnable&quot;, ce qui est &quot;presque vrai&quot; , donc FAUX.

Un pas en direction de cette formule fût fait par Torricelli : il imagina que la cuvette était une succession infinie de plans inclinés.
Nous reverrons ce problème un peu plus tard (Leçon : diagramme des espaces). Néanmoins par ce type d'argument en choisissant convenablement les plans inclinés , on trouve des résultats approchés tels que Pi =~ 2+sqrt(2), ce qui n'est pas si mal, pour une théorie aussi simpliste.

=== Exercice : une horloge de Huygens (1609-1695) : la courbe tautochrone ===
Huygens avait parfaitement assimilé, enfant, les leçons de Torricelli.
Il imagina une cuvette symétrique où la vitesse v(s) à la distance curviligne s du fond [donc v(s)= sqrt(v(0)² -2gh(s))] soit telle que v²(s) + w² s² = cste : une telle horloge est telle que s varie sinusoïdalement : s = a cos wt est solution : le vérifier!
Il réalisa une telle horloge dont la période était exactement T =2Pi/w .
malheureusement, elle aussi s'amortissait, et l'on revînt à l'horloge à balancier munie de son échappement à ancre (inventée elle aussi par Huygens, et qui est le principe des franc-comtoises).

=== Exercice : la brachistochrone de Johan Bernoulli ===

Johan Bernoulli a remarqué que la même courbe ( la cycloïde retournée en cuvette ) était la courbe brachistochrone , à savoir : soient deux points Départ-D et Arrivée-A , situés à des cotes différentes et tels que V(D)² + 2g y(D) = V(M)² + 2g. y = cste . Montrer que la courbe qui donne le minimum de temps entre les deux points ( càd le trajet devant être suivi par un skieur pour gagner, départ lancé, est celui de LA cycloïde passant par D et A .

Ce problème est très beau, dans le cas suivant : les points D et A sont à la même cote et distants de DA = d = 2b . De plus, la vitesse en D est &quot;négligeable ( V(D) &lt;&lt; sqrt( g.b) ). Alors , la trajectoire est assez majestueuse, car le skieur devra descendre jusqu'à la cote - d/ PI , càd si d = 400 m , une chute de 4*31.8 m  ~ 120 m assez spectaculaire , et que l'on voit dans les grands spectacles de ski ; mais la vitesse théorique de sqrt(2g. d/PI) = ~ 200 km/h est rarement atteinte à cause de la résistance de l'air, (il faut aussi réduire par le facteur sqrt(sin(alpha)) pour un pendage alpha, ce qui ramène pour 30° à &quot;seulement&quot; 140 km/h ! ). Ce faisant, le skieur le plus rapide exécute un chemin &quot;optimal&quot; , càd suffisamment &quot;profond&quot; , mais pas au point d'allonger trop le trajet ; le skieur parcourt le trajet 8/2PI . d = 4/PI d = 4 hauteurs de chute. Ce résultat fût obtenu, pour la première fois, par WREN ( 16xx - 16yy), architecte connu de la reconstruction de Londres après le Grand-Incendie, et par ailleurs fin mathématicien.En effet , l'analyse de la rectification des courbes était à son balbutiement à cette époque. Pascal ( sous le pseudo de Dettonville ) fût aussi un très grand promoteur de la &quot;roulette&quot; ( cf la WP ).

Juste pour rappel, sans reprendre dans le détail toute cette analyse pourtant admirable ( mais peut-être un jour... ), voici qq éléments sur la cycloïde : (on pourra trouver dans des livres sur les &quot;courbes remarquables&quot; , énormément de détails subtils, qui faisaient les délices des taupins d'autrefois ! ) :

il s'agit d'un cercle qui roule sans glisser ; soit u l'angle dont il a tourné ( il a donc avancé de R.u ), alors le point le plus bas est venu en {x = R[u-sin u] et y = R[1 - cos u ]}. D'où la vitesse MH . w, puis l'accélération MC w² + w.(dw/dt)^ CM ( résultats somptueux obtenu par Huygens en 1673 !). Le rayon de courbure est 2 MI , donc l'accélération normale est w². MH² / 2MI = w²R. sin(u/2); on en déduit facilement l'accélération tangentielle. Comme s² = 4.MI², on obtient s² = 4 rho² ( équation dite caractéristique(1));  et aussi s² = ky(2) ; on obtient aussi v² + 2w²R.y = cste ( équation caractéristique(3))  et v² + w²s²/4 = cste(4) ; et enfin v/ cos(alpha) = cste ( équation (5)caractéristique aussi ).Ces résultats se déduisent tous des 2 équations de départ, et seront bien utiles pour comprendre la &quot;physique&quot; .

La propriété tautochrone se déduit aisément de (4) et la propriété brachistochrone de (5). Remarque : on voit souvent ces deux propriétés être démontrées à grand renfort d'équations différentielles. CE N'EST PAS DU TOUT dans l'esprit de l'époque, où les propriétés sont considérées comme &quot;d'évidence&quot; conduisant à une solution qui existe-et-est-unique. Il &quot;suffit&quot; donc alors d'exhiber LA solution , ce qui vient d'être fait précédemment.

Rappelons que tous ces résultats étaient obtenus au XVII ème , uniquement par la géométrie ! Aussi quand JohanB. posa son challenge à la communauté scientifique, LEIBNIZ, JacquesB, l'HOPITAL et bien sûr NEWTON répondirent.( Ne pas s'étonner de l'absence de Huygens, il décède en 1695 ! Gageons qu'il aurait trouvé aussi ! )

C'est avec ce problème, puis le conflit qui va opposer Johan et Jacques, que va se construire en Allemagne le calcul-des-variations, bientôt dominé par EULER, et enfin par LAGRANGE. Avec ces deux génies,l'histoire du calculus est consommée. Il restera certes des progrès à accomplir, mais il viendra plus de la théorie de la variable complexe ( Cauchy, 1821 ); les physiciens-mécaniciens ont désormais , avec la &quot;mechanique-analytique&quot; de Lagrange, puis le &quot;système du monde&quot; de Laplace, les outils essentiels pour travailler 2 siècles. Le renouveau apparaît vers 1980, avec de nouvelles solutions, dites périodiques dans des espaces de phases plus complexes ( la notion d'espace des phases fût introduite par Hamilton et Jacobi vers 1830).

Qui pourrait croire que d'un simple problème de chute ralentie ..., cherrerait une telle profusion de résultats !


== Retour ==
*[[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences]]

[[Catégorie:Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences (livre)]]
[[Catégorie:Exercices de physique]]</text>
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Leçon : la chute ralentie le long d'un plan incliné 

Cette leçon est une des plus importantes du cours car on y présente la philosophie d'un physicien en action.

Pour faire bref, disons que Galilée reprend l'idée de Stevin que pour une masse glissant sans frottement sur un plan incliné d'angle &lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt; , l'accélération était g .sin &lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt;. 

Tout le reste est semblable aux paragraphes de la leçon chute libre avec a = g .

[Note historique: il est évident qu'obtenir un glissement sans frottement est quasi-impossible. On se demande alors si Galilée a vraiment vérifié expérimentalement sa loi; bien sûr la notation g est un anachronisme, puisque les unités n'existaient pas encore à cette époque ; mais ce n'est pas cela qui est en cause. Bien sûr, il y a aussi des prédecesseurs de Stevin].

== Expérience de pensée ==
La loi : accélération = g. sin &lt;math&gt;\alpha &lt;/math&gt; dite loi des cordes est typiquement une gedanken-loi . Voici pourquoi Galilée y &quot;croyait&quot; :

imaginons 2 pistes de skate-board face à face d'angle différents &lt;math&gt;\alpha &lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\beta &lt;/math&gt;. Imaginons qu'une planche de skate &quot;soit comme&quot; une luge sans frottement(les petites roues bien huilées servant à cela). Le planchiste partant du haut de la piste de gauche , nonobstant la résistance de l'air, remonte exactement de la même hauteur sur la piste de droite; pas plus disait Galilée, sinon il suffirait de mettre des pierres sur le skate , on monterait progressivement des pierres en recommençant, aussi haut que l'on voudrait, en allant de gauche à droite : cela se saurait depuis longtemps ! 
Mais pas moins, a dit Galilée: car s'il n'y a pas de frottement du tout, l'opération inverse se produisant, on pourrait amener les pierres plus haut de droite à gauche.

La conclusion fût donc : il n'y a aucun moyen (sans frottement) d'aller plus haut ou plus bas.
Ce genre de &quot;raisonnement&quot; est très puissant. Il est gedanken , car il y a toujours la résistance de l'air à vaincre ; mais Galilée y avait déjà répondu : &quot;je me place dans la situation idéale, où elle n'existe pas. Je ne dis pas que c'est possible, mais je l'imagine possible&quot;.

Évidemment , en prenant &lt;math&gt;\beta &lt;/math&gt; très petit, cela permet d'amener les pierres très loin à droite, et même très, très loin si &lt;math&gt;\beta &lt;/math&gt; est très très petit, et même si &lt;math&gt;\beta &lt;/math&gt; est nul , alors les pierres sont lancées à une vitesse Vo et ne peuvent pas s'arrêter : on dit qu'elles ont de l'INERTIE : toute personne qui a manipulé une brouette de terre le sait bien : en allant assez vite, avec la vitesse Vo , il pourra remonter , en gros, à la hauteur h = Vo²/2g , grâce à la quantité d'inertie (cela s'appelle la masse en physique) de la brouette(et il est très bizarre-et cela s'appelle la Loi de Galilée- que cette hauteur soit indépendante de la quantité d'inertie : cette apparente contradiction est choquante. C'est le grand mérite de Galilée d'avoir insisté sur ce point : il n'y a pas de contradiction!).

Il faut que tout ceci , avec les lois du choc (leçon choc frontal) forme un système de lois auto-cohérentes : il restera à les vérifier expérimentalement, en se rapprochant aussi parfaitement que possible de ces conditions idéales.

==== Aparté : La pensée philosophique de Galilée : ====

Ainsi se présente Galilée :

Je suis un philosophe des choses de la Nature ; je pense et je dialogue sur des idées et des concepts, et je vais aussi loin que je peux dans les conséquences MATHÉMATIQUES de ce que je dis : s'il n'y a pas d'auto-contradiction , je continue , car cette construction , ce JEU de l'esprit est BEAU et m'enchante.

Évidemment , cela n'est admissible que si l'expérience le CONFIRME.

Un système auto-cohérent dans TOUT ce à quoi il peut conduire et que l'expérience confirme , voilà une partie du sens des DIALOGUES de Galilée en 1638. 

Certes, LORD IS SUBTLE (dixit Einstein):le Grand Horloger qui a minutieusement donné ce système de compréhension de la Nature à l'Homme est subtil . Même aujourd'hui encore , des physiciens imaginent des gedanken-experiments pour tester l'auto-cohérence de cette &quot;re-présentation&quot; du monde. 

Le monde existe avec ses Lois : le philosophe de la Nature doit mener une enquête très serrée pour les découvrir, &quot;soulever un coin du voile&quot; ; dans cette QUÊTE , les mathématiques l'aident beaucoup à les re-présenter.
 
Les a priori aident très peu.Il faut de temps à autre les bousculer : jamais personne n'a vu une brouette lancée à Vo continuer éternellement à transporter ses pierres vers la droite ; 

et pourtant chacun sent bien, qu'on n'a pas à laisser un poids lourd chargé dans une descente : il y aura du dégât à l'arrivée, s'il ne peut freiner! on installe même sur les descentes d'autoroute des voies de dégagement pour cela.

Cette tension permanente entre un réel épuré, re-construit et le réel vécu est LA caractéristique fondamentale du philosophe de la Nature : ces axiomes seront des Principes. S'ils s'avèrent auto-logiquement faux ou en contradiction avec l'expérience menée parfois de manière très sophistiquée dans des laboratoires spécialisés (par exemple des tours à vide aussi vides que possible pour vérifier la loi de chute), alors il faudra ABANDONNER ces Principes , et les modifier de manière à obtenir une nouvelle présentation de la Nature, plus précise que la première. 

L'exemple est resté fort célèbre : après que Galilée eût énoncé cette manière de discourir, on a construit la mécanique ici décrite (dite newtonienne). En 1905 , Einstein a démontré qu'elle était logiquement fausse, pour le mouvement : aucune particule ne peut aller plus vite que la vitesse de la lumière (et cela est parfaitement vérifié expérimentalement). Et il a rebâti toute une autre mécanique en 1905. La réaction fût la même que du temps de Galilée : on mît un &quot;certain temps&quot; à le croire , comme pour les dialogues et les discours de Galilée. Mais sa théorie était auto-cohérente, de très belle architecture et surtout expliquait mieux la Nature aux très grandes vitesses.

Il a fallu abandonner certaines choses dites par Galilée , mais le schéma de base du raisonnement [ la tension entre le penser auto-cohérent re-présentant la Nature et l'expérience] n'a absolument jamais été remis en cause , bien au contraire : Galilée est ENCORE présent parmi nous.

==Résumé: loi des cordes : a = g.sin&lt;math&gt;\alpha &lt;/math&gt;==

== Exercices ==

En combinant les leçons 1 , 2 et 3 , il y a beaucoup de jolis exercices ; on supposera toujours qu'à la jointure entre deux plans inclinés, un alésage permet de passer la jointure sans perdre de vitesse. 

=== Exercice : triangle égyptien ===
Deux skieurs Tortor et Jeannot partent de D (départ) pour arriver en A (arrivée) : T suit la piste rectiligne DA de longueur 5. Mais J est un fou de la glisse : il se laisse tomber quasi-verticalement de D en O (DO = 3) , et glisse horizontalement selon OA = 4 : lequel arrive premier ?

{{Boîte déroulante|titre=Solution|contenu =
J met le temps To pour parcourir DO de longueur 3 et mettra le temps (4/3)/2To pour parcourir OA : soit au total : To ( 1+ 2/3)= 5/3 To . 
Tortor met le temps To ( 5/3) pour parcourir DA ( par le théorème de Merton : le mouvement moyen est à la moitié de la vitesse finale ) 
Les deux arriveront donc en m temps ! On laisse le soin au lecteur de modifier le parcours pour voir gagner ou bien Jeannot ou bien Tortor.
}}

=== Parcours d'Alexandre le Bienheureux ===
On convient d'appeler ainsi un parcours tel que chaque étape dure le même temps. Évidemment comme, dans la réalité, il y a un peu de frottement, un mécanisme extérieur écrase la mémoire du premier tour et injecte la particule au début du parcours. En voici un assez jubilatoire: à vous de jouer!

Un petit skate (pour l'instant , on le considérera comme un palet glissant sans frottement ; on verra la différence plus tard) est lancé à la vitesse Vo sur une voie horizontale de longueur a ; il met donc le temps T = a/Vo à la parcourir. Et voilà , c'est parti , à vous d'imaginer ce qui va arriver à ce petit esquif !

Un exemple : 

*il descend un plan incliné d'un petit angle alpha donné (enroulé en spirale (mais cela ne change rien ici)sur une hauteur h.

*il arrive en terrain plat de longueur b , 
*remonte une piste de longueur c et arrive à la hauteur h/2 , 
*à nouveau un terrain plat de longueur d , 
*tombe dans le vide sur une plaque parfaitement rebondissante située en aval à la distance l et 
*rebondit dans un petit entonnoir et en sort sur un petit logement où il est bloqué, cette étape étant calibrée pour durer le temps T. 
*Un ascenseur le remonte en un temps T à la case départ où il sera lancé à la vitesse Vo.

Sur ce rythme à 8.T , il continue perpétuellement :

Calculer h , b , c , d ,l 

==== Solution du parcours d'Alexandre ====

* h /sin&lt;math&gt;\alpha &lt;/math&gt; = 1/2. g .sin&lt;math&gt;\alpha &lt;/math&gt;.T²
* V1 = Vo +sqrt(2gh) ; donc b = V1.T
* au bout de la piste c , sa vitesse sera V2 = V1- sqrt(2g.h/2); donc 
c = [(V1+V2)/2].T
* d = V2.T
* chute parabolique de vitesse horizontale V2 pendant le temps T :l =V2.T
* rebond ,remontée , et rechute dans l'entonnoir pendant le temps T.
*ascenseur durée T
*soit 8.T
Ludique , non ? Alors , on continue?

=== Exercice choc sur plans inclinés ===
Une descente inclinée d'angle 30°, raccordée à une montée d'angle beta dont le sinus vaut 1/4. Même hauteur h . 
A gauche un skate G de masse 2m , à droite un skate D de masse 3m , lâchés de sorte que le choc ait lieu à droite à l'altitude h/2. 
Si le choc a un coefficient de restitution e= 1/2 , trouver l'altitude où remonte chaque skate.

==== Solution choc sur plans inclinés ====
Évidemment l'exercice est largement simplifié par les mots [&quot;de sorte que&quot;]!
Alors G a une vitesse sqrt(gh)=Vo et D la vitesse opposée. La vitesse relative est donc 2Vo avant le choc et devient Vo après le choc.
La conservation de l'impulsion donne alors, après le choc , Vg = -4/5.Vo et Vd = 1/5 .Vo (on peut vérifier, la solution est unique !).
Donc G remonte à gauche jusqu'à l'altitude h/2 +8/25 h = h(41/50); et D remonte à h/2+ 1/50 .h = 26/50 .h : l'effet sur le skate de Gauche est donc très spectaculaire. Évidemment, il y a eu perte d'énergie.

=== Exercice:horloge de Torricelli ===
Il s'agit tout simplement d'une cuvette symétrique formée de deux plans inclinés d'angle 30°, de hauteur h , de longueur 2h : un skate y glisse perpétuellement avec la période T = 4. sqrt(2.2h/(g/2)) = sqrt(h/g).8sqrt(2).Le vérifier.
En fait, il faut maintenir la remontée à la hauteur h par une légère manœuvre du V , que l'on incline à droite dans la descente à droite et à gauche dans la descente à gauche, très légèrement. L'horloge est donc légèrement fausse, mais erreur de justesse n'est point grave : il suffit qu'elle soit régulière : pas d'irrégularité sur sa période T'(légèrement voisine de T), c'est tout ce qu'on demande à une horloge!

== Horloge de Galilée ==
Galilée dès 1602 énonça une célèbre loi, dont on dit qu'il l'établit en regardant les oscillations des luminaires dans les églises. Effectivement, à la Sainte-Chapelle de Paris, par grand vent, on peut voir de telles oscillations; et on peut chronométrer leurs oscillations : elles ont toutes à peu près la même période , MEME si leur amplitude (de qq centimètres !) est différente. Il s'agit de la très célèbre loi : 
le long d'une cuvette circulaire de rayon l , les petites oscillations ont pour période: 

 &lt;math&gt; T = 2\pi \sqrt \frac{l}{g} &lt;/math&gt;

Évidemment , Galilée ne trouva pas cette formule (les unités n'existaient pas, non plus que l'expression accélération de la pesanteur = g =~9.81 m/s²). C'est Huygens qui trouva le facteur 2Pi ; et enfin Galilée croyait que la formule était vraie pour toute amplitude &quot;raisonnable&quot;, ce qui est &quot;presque vrai&quot; , donc FAUX.

Un pas en direction de cette formule fût fait par Torricelli : il imagina que la cuvette était une succession infinie de plans inclinés.
Nous reverrons ce problème un peu plus tard (Leçon : diagramme des espaces). Néanmoins par ce type d'argument en choisissant convenablement les plans inclinés , on trouve des résultats approchés tels que Pi =~ 2+sqrt(2), ce qui n'est pas si mal, pour une théorie aussi simpliste.

=== Exercice : une horloge de Huygens (1609-1695) : la courbe tautochrone ===
Huygens avait parfaitement assimilé, enfant, les leçons de Torricelli.
Il imagina une cuvette symétrique où la vitesse v(s) à la distance curviligne s du fond [donc v(s)= sqrt(v(0)² -2gh(s))] soit telle que v²(s) + w² s² = cste : une telle horloge est telle que s varie sinusoïdalement : s = a cos wt est solution : le vérifier!
Il réalisa une telle horloge dont la période était exactement T =2Pi/w .
malheureusement, elle aussi s'amortissait, et l'on revînt à l'horloge à balancier munie de son échappement à ancre (inventée elle aussi par Huygens, et qui est le principe des franc-comtoises).

=== Exercice : la brachistochrone de Johan Bernoulli ===

Johan Bernoulli a remarqué que la même courbe ( la cycloïde retournée en cuvette ) était la courbe brachistochrone , à savoir : soient deux points Départ-D et Arrivée-A , situés à des cotes différentes et tels que V(D)² + 2g y(D) = V(M)² + 2g. y = cste . Montrer que la courbe qui donne le minimum de temps entre les deux points ( càd le trajet devant être suivi par un skieur pour gagner, départ lancé, est celui de LA cycloïde passant par D et A .

Ce problème est très beau, dans le cas suivant : les points D et A sont à la même cote et distants de DA = d = 2b . De plus, la vitesse en D est &quot;négligeable ( V(D) &lt;&lt; sqrt( g.b) ). Alors , la trajectoire est assez majestueuse, car le skieur devra descendre jusqu'à la cote - d/ PI , càd si d = 400 m , une chute de 4*31.8 m  ~ 120 m assez spectaculaire , et que l'on voit dans les grands spectacles de ski ; mais la vitesse théorique de sqrt(2g. d/PI) = ~ 200 km/h est rarement atteinte à cause de la résistance de l'air, (il faut aussi réduire par le facteur sqrt(sin(alpha)) pour un pendage alpha, ce qui ramène pour 30° à &quot;seulement&quot; 140 km/h ! ). Ce faisant, le skieur le plus rapide exécute un chemin &quot;optimal&quot; , càd suffisamment &quot;profond&quot; , mais pas au point d'allonger trop le trajet ; le skieur parcourt le trajet 8/2PI . d = 4/PI d = 4 hauteurs de chute. Ce résultat fût obtenu, pour la première fois, par WREN ( 16xx - 16yy), architecte connu de la reconstruction de Londres après le Grand-Incendie, et par ailleurs fin mathématicien.En effet , l'analyse de la rectification des courbes était à son balbutiement à cette époque. Pascal ( sous le pseudo de Dettonville ) fût aussi un très grand promoteur de la &quot;roulette&quot; ( cf la WP ).

Juste pour rappel, sans reprendre dans le détail toute cette analyse pourtant admirable ( mais peut-être un jour... ), voici qq éléments sur la cycloïde : (on pourra trouver dans des livres sur les &quot;courbes remarquables&quot; , énormément de détails subtils, qui faisaient les délices des taupins d'autrefois ! ) :

il s'agit d'un cercle qui roule sans glisser ; soit u l'angle dont il a tourné ( il a donc avancé de R.u ), alors le point le plus bas est venu en {x = R[u-sin u] et y = R[1 - cos u ]}. D'où la vitesse MH . w, puis l'accélération MC w² + w.(dw/dt)^ CM ( résultats somptueux obtenu par Huygens en 1673 !). Le rayon de courbure est 2 MI , donc l'accélération normale est w². MH² / 2MI = w²R. sin(u/2); on en déduit facilement l'accélération tangentielle. Comme s² = 4.MI², on obtient s² = 4 rho² ( équation dite caractéristique(1));  et aussi s² = ky(2) ; on obtient aussi v² + 2w²R.y = cste ( équation caractéristique(3))  et v² + w²s²/4 = cste(4) ; et enfin v/ cos(alpha) = cste ( équation (5)caractéristique aussi ).Ces résultats se déduisent tous des 2 équations de départ, et seront bien utiles pour comprendre la &quot;physique&quot; .

La propriété tautochrone se déduit aisément de (4) et la propriété brachistochrone de (5). Remarque : on voit souvent ces deux propriétés être démontrées à grand renfort d'équations différentielles. CE N'EST PAS DU TOUT dans l'esprit de l'époque, où les propriétés sont considérées comme &quot;d'évidence&quot; conduisant à une solution qui existe-et-est-unique. Il &quot;suffit&quot; donc alors d'exhiber LA solution , ce qui vient d'être fait précédemment.

Rappelons que tous ces résultats étaient obtenus au XVII ème , uniquement par la géométrie ! Aussi quand JohanB. posa son challenge à la communauté scientifique, LEIBNIZ, JacquesB, l'HOPITAL et bien sûr NEWTON répondirent.( Ne pas s'étonner de l'absence de Huygens, il décède en 1695 ! Gageons qu'il aurait trouvé aussi ! )

C'est avec ce problème, puis le conflit qui va opposer Johan et Jacques, que va se construire en Allemagne le calcul-des-variations, bientôt dominé par EULER, et enfin par LAGRANGE. Avec ces deux génies,l'histoire du calculus est consommée. Il restera certes des progrès à accomplir, mais il viendra plus de la théorie de la variable complexe ( Cauchy, 1821 ); les physiciens-mécaniciens ont désormais , avec la &quot;mechanique-analytique&quot; de Lagrange, puis le &quot;système du monde&quot; de Laplace, les outils essentiels pour travailler 2 siècles. Le renouveau apparaît vers 1980, avec de nouvelles solutions, dites périodiques dans des espaces de phases plus complexes ( la notion d'espace des phases fût introduite par Hamilton et Jacobi vers 1830).

Qui pourrait croire que d'un simple problème de chute ralentie ..., cherrerait une telle profusion de résultats !


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*[[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences]]

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    <title>Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Intermède : la symétrie</title>
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      <comment>DavidL a déplacé la page [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/intermède: la symétrie]] vers [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Intermède: la symétrie]]</comment>
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      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="19711" xml:space="preserve">Le raisonnement par symétrie est toujours un supplément non négligeable.
Il ne s'agira ici que de simples symétries élémentaires.

== Symétrie d'échelle (scaling) ==

Il a déjà été signalé précédemment que toute équation qui pouvait se réduire à une autre, par simple changement des lettres , était dite « identique », en un certain sens : il y avait '''isomorphisme'''. Soit un problème 2 rendu isomorphe avec un problème 1, déjà résolu : alors, une économie de pensée considérable est de ne pas tout refaire : soit on révise le raisonnement qui a permis de résoudre le problème 1, soit on « calque », on « transporte », on « transpose », on « conjugue » le problème 2 par la déclinaison de la même conjugaison : c'est un processus mental acquis, dès l'enfance, sous le nom de « conjugaison grammaticale » : dans les verbes du premier groupe, chanter « se conjugue » comme cuisiner.

La symétrie est une opération intellectuelle du même ordre, mais juste un plus élaborée.

Soit une équation du mouvement du type d{{exp|2}}x/dt{{exp|2}} = g(x) (équation dite de Newton) avec la primitive de g(x) de forme -k|x|{{exp|n}}.
Soit une solution dans le plan de phase correspondant à (Xo,Vo). On a déjà vu le cas n=1, qui était « l'horloge de Torricelli ». On avait vu que pour une énergie E, l'action était en E{{exp|3/2}} et T(E) en E{{exp|1/2}}.

Très vite Newton, puis d'autres (cf Whittaker ou Appell) ont compris que ce résultat ne dépendait pas de l'équation différentielle, mais simplement de sa structure dimensionnelle ou scaling. 

=== Aparté historique ===
Historiquement, le raisonnement par scaling (changement d'échelle) se perd dans la nuit des temps : un champ de blé de longueur et largeur 2 fois plus grande est 4 fois plus grand (il « suffit » de le couper en quatre) et pour les volumes, une pyramide « isomorphe » exigera 2{{exp|3}} fois plus de pierres, un tonneau contiendra 8 fois plus de grains. Néanmoins, la mathématique grecque se refuse ce type de raisonnement en géométrie pour des raisons très profondes, liées à « l'acte de démonstration ». Caveeing, Kahane, Chemla en France sont des grands spécialistes de ces questions historiques. Et par exemple, la démonstration dite « élégante » du théorème de Pythagore (a{{exp|2}} = b{{exp|2}} + c{{exp|2}}) par scaling, faite en physique, n'en est pas une pour un grec.

Plus subtile est l'avancée de Galilée (bien qu'il y ait des précédents), dans les « deux nouvelles sciences » : en germe, l'analyse dimensionnelle y est. 

Newton va abondamment l'utiliser : dès 1666 (et d'autres dont Huygens, avec lui sans doute) il sait que loi en 1/r{{exp|2}} « concorde » avec 3ème loi de Kepler, que des ellipses de grand axe 2a se « transforment » en ellipses homothétiques parcourues dans des temps similaires d'un facteur a{{exp|3/2}}. Mais la loi de Kepler dit beaucoup plus : cela est vrai quelle que soit l'excentricité. Et là, pas de symétrie connue qui ramènerait le problème au précédent. Et pourquoi des ellipses ? Le cas du cercle est connu depuis Huygens et sa « force axifuge » (concrètement, cela veut dire que la courbure de la trajectoire entraîne une composante normale du vecteur dérivée du vecteur tangent T(s), soit dT(s)/ds = N(s). d(alpha)/ds = N(s)/R, avec R rayon de courbure). Passer du cercle à l'ellipse sera la GLOIRE expérimentale-semi-empirique de Kepler et la gloire mathématique de Newton (écrasant Hooke en particulier) et suscitera l'admiration de Halley. On connaît la suite : l'écriture des Principia , un « honneur de l'esprit humain ».

=== L'analyse dimensionnelle ou scaling ===
'''Étant donné un système d'équations , si changer les lettres (ET les UNITÉS des lettres) transforme ce système en un système connu, alors on peut (et on ne va pas s'en priver !) « translater », « traduire » les résultats'''. 

C'est ce que dit Descartes dans son traité de géométrie analytique : l'analyse née de l'algèbre permet de rendre compte de la géométrie ; la symétrie algébrique de ce fait entre en action de même que les droites de symétrie en géométrie. Et depuis 1638, cela n'a plus jamais été pareil : un élan nouveau était donné aux mathématiques, et en particulier, via Galilée 1638 aussi, vers la Philosophie de la Nature, c'est-à-dire la description physique du mouvement : la Mécanique est née historiquement à cette date, même s'il faut encore 50 ans pour que Newton l'écrive dans un marbre très pur (1687).

Le scaling ne dit que cela : mais '''aucune confusion possible''' ; CELA N'A RIEN à VOIR avec un système d'unités internationales et RIEN à VOIR avec le S.I. Confondre analyse dimensionnelle et homogénéité-via-le-S.I. est une bévue simpliste qui gâche nombre d'élèves en France qui désirent être bacheliers. Les ravages engendrés par cette bévue pédagogique sont énormes. L'obligation de communication des résultats numériques en S.I. (qui, elle, est une vraie obligation, d'utilité publique, tout comme les normes ISO et autres certifications de traçabilité) N'A RIEN à VOIR avec l'opération de scaling décrite ici.

Les écrits de Whittaker ou d'Appell sont sans appel (sic !) : 

c'est une FAUTE LOGIQUE de raisonnement que de faire intervenir une horloge à césium dans la mécanique rationnelle d'avant 1960, et donc d'après 1960 !

Si nous sommes aussi attachées à écrire ce wikibook, c'est ESSENTIELLEMENT pour dénoncer cette bévue pédagogique, qui a des racines historiques profondément ancrées dans le déchirement des années 1950-60 où les équations aux dimensions étaient enseignées de façon stupidement liées au MKSA et où le débat faisait rage entre partisans du CGS-es, du CGS-em, du Système de Gauss, du Système rationalisé : il fallait bien du courage à CASIMIR pour dominer ce concert de casseroles éculées : si nous retrouvons cet article, il sera publié : il est instructif que 50 ans après, nous n'ayons pas entendu cette mélodie cristalline émerger de la cacophonie ambiante ! Les '''Ordres de Grandeur Littéraux''' n'ont RIEN à VOIR avec le S.I., ni avec quelque système d'unité arbitraire extérieur aux équations de la physique : ils n'ont à voir qu'avec les LETTRES écrites dans les équations pour re-présenter à la Descartes, la Mécanique (ultérieurement l'électricité, etc.). Cela a été magnifiquement écrit en Géométrie par le célèbre Programme d'Erlangen de KLEIN. Il est tristounet de constater qu'aujourd'hui (2006), très peu d'enseignants de mécanique savent utiliser que &lt;math&gt; m \vec{a} = \vec{F}&lt;/math&gt; est linéaire en '''F''' , avec m{{exp|-1}} opérateur linéaire scalaire (cf leçon antérieure : géométrie affine et chute libre). Et surtout beaucoup confondent le S.I.-analyse dimensionnelle et l'analyse de scaling : les énoncés du baccalauréat en sont l'amer reflet : « On demande de vérifier que le résultat est correct du point de vue de l'homogénéité... etc. ».

=== Exercices ===
==== Exercice Beeckman-Descartes ====
Où l'on voit la différence entre un physicien (Beeckman) et un mathématicien (Descartes) : 
Beeckman préoccupé de démontrer, vers 1613, la loi de la chute des corps dans le vide sous la forme v = g.t (mais ne connaissant pas la notion de dérivée) fait appel à Descartes.
De manière assez amusante, il lui suggère l'énoncé suivant : 
Si un mouvement accéléré est tel que v(2t) = 2v(t), trouver v(t) (avec v(0)=0).
Descartes lui répond : je peux le faire avec v(2t) = k.v(t) et même vous donner v(x).

Sauriez-vous le refaire ? (ref Koyré p110 à physico-mathematica de Descartes &amp; Beeckman)

==== Solution Beeckman-Descartes ====
Il est clair que si Descartes trouve une loi puissance v(t) = A.t{{exp|n}}, on aura v(x) = K x{{exp|1+1/n}}.

Si v(2t) = k.v(t), on aura v(t) = A . t{{exp|Ln k/Ln 2}}, ce que demandait B était tout simplement k= 2 donc v(t) = A.t puis v(x) = B sqrt(x). Au fond, en même temps que l'on cherchait du côté f(x+h)-f(x), on cherchait aussi du côté du « ''quantum calculus'' », [f(qx)-f(x)]/[q-1] (voir par exemple Kac &amp; Cheung, 2002, {{ISBN|0-387-95341-8}}.

Ce qu'il y a de remarquable dans la demande de Beeckman, c'est la formulation en fonction du temps v(2t)-v(t) = v(t). Dans sa lettre à Sarpi de 1604, Galilée se trompe car il écrit tout comme fonction de x, ce qui conduit à v(x) = kx et donc à l'exponentielle et l'impossibilité de démarrer de la vitesse nulle. Descartes tombera aussi dans ce piège (il faut le dire très usuel à l'époque). Il fallût bien 10 ans pour que ces choses s'éclaircissent. Mais entre temps (1609-1610), Galilée est happé par la lunette et l'astronomie. Il prendra donc un certain retard.

=== Le théorème du viriel ===

ébauche

Ce théorème est directement lié à la symétrie de ''scaling'' des lois-puissance s&quot; = -k s{{exp|n}}

== Symétrie de Corinne ==
Corinne fît remarquer que si t était changé en i.t = sqrt(-1).t dans 1/2 gt{{exp|2}}, alors il suffisait de changer g en -g pour retomber sur l'équation initiale. D'une manière générale d{{exp|2}}x/dt{{exp|2}} = g(x) ne change pas si on prend g(x) changé en -g(x). 
Inutile donc de refaire les raisonnements pour -g(x) !

Si par exemple la forme d'une corde est une chaînette sous l'action de son poids, alors la chaînette opposée tient sans culée de voûte. L'architecte catalan Gaudi s'en servira pour construire la Sagreda Familia à Barcelone.

Dans le cas de l'attraction de Newton, si la solution est « elliptique », elle deviendra « hyperbolique », si l'attraction est changée en répulsion (expérience de Rutherford,1911). Etc.

C'est tout ce qu'a dit Corinne : voilà un ''scaling'' bien inoffensif et qui n'a rien à voir avec les unités, sauf (peut-être ?) à dire que cela transforme un becquerel en un hertz !

== Exercices ==

=== Exercice-chute avec résistance de l'air en v{{exp|2}} ===
Soit à résoudre la chute sans vitesse initiale z&quot; = g (1-v{{exp|2}}/V{{exp|2}}) ; [v(0)=0 ; z(0)=0]
Beeckman (vers 1610) avait déjà compris que la vitesse limite serait V. On pose donc les unités naturelles de ce problème de cinématique : v' = v/V et t' = V/g .t, puis on supprime les prime pour simplifier : dv/dt = 1-v{{exp|2}}. D'où la solution : 
v = Arg tanh t ; soit en rétablissant les unités : v(t) = V .Arg tanh (gt/V).
On peut en déduire z(t) par intégration , mais en général on préfère demander : 
trouver v(z). En particulier, trouver la vitesse V(H) à la hauteur H.

Puis, on demande : lancer la pierre vers le haut avec la vitesse Vo = V(H) : mouvement ? temps de montée ? altitude atteinte ?

==== Solution-chute avec résistance de l'air en v{{exp|2}} ====
En f(z), on obtient : vdv/dz= 1-v{{exp|2}}, soit -Ln(1-v{{exp|2}})= 2z ; soit v{{exp|2}} = 1 - exp(-2z) et avec les unités : v{{exp|2}}/V{{exp|2}} = 1 -exp(-z/h) avec h = V{{exp|2}}/2g. On en tire v{{exp|2}}(H) = V{{exp|2}}.(1-exp-H/h)

*Remarque : on peut en déduire une autre manière de réaliser le TP sur la chute, soit en réalisant la régression sur les paramètres V et V/g si l'on a une caméra, soit sur V et V{{exp|2}}/2g si l'on a des photodiodes. Il est évident que cette manière de faire est plus adaptée à un bac+1.

2/. Bien sûr, c'est exactement ce que disait Corinne : z&quot; = g(1+v{{exp|2}}/V{{exp|2}}) et avec les bonnes unités : dv/dt = 1+v{{exp|2}} donc v(t)= V.Argtan (g(t-tau)/V) ; soit t-tau = V/g tan (v/V). On en tire le temps de montée : t =tau = V/g tan V(H)/V = V/g tan (Arg tanh g td/V), soit la solution de Corinne : 

Arc tan g tm/V = Arg tanh g td/V d'où la réponse immédiate pour V très grand : 

tm = td (1 +2/3 td{{exp|2}} g{{exp|2}}/V{{exp|2}}).

En f(z), on aura vdv/dz = -(1+v{{exp|2}}) ; donc Log(1+v{{exp|2}}) = -2(z-d), soit 1+v{{exp|2}}/V{{exp|2}} = (1+Vo{{exp|2}}/V{{exp|2}}).exp(-z/h) : l'altitude de remontée, L, est donc L/h = Ln (1+Vo{{exp|2}}/V{{exp|2}}).

Au final la symétrie de Corinne donne donc :

exp-(H/h) + exp+(L/h) = 2, soit en développement limité : L = H - H{{exp|2}}/h

=== L'ovale de Huygens ===

Soit un ovale de Huygens, c'est-à-dire, la courbe fermée formée de deux cycloïdes z = (+/-)a (1- cos phi) et x = a(phi- sin phi) ; quelques calculs classiques de Dettonville (1659) montrent que la longueur d'une demi-arche est 4a (soit pour l'ovale entier 16a). 

Soit une perle pesante glissant le long de cette courbe verticale ; la masse n'intervenant pas (loi de Galilée(1564-1642)) on prendra m=1. La pesanteur est constante, égale à g. 

On demande de tracer les orbites de phase (cf leçon plan de phase, OQ := (s ; ds/dt)) en fonction de l'énergie E, de trouver l'action S(E) et la période T(E) du mouvement périodique (Huygens(1659)).

On comparera avec l'exercice suivant (plus difficile !) : l'ovale est cette fois le cercle de rayon 4R. 

==== Réponse : ovale de Huygens ====
ébauche

Il est remarquable que ce genre d'exercice se résolve seulement avec le principe de Torricelli : v{{exp|2}} + 2g z(s) = Vo{{exp|2}}.

Il y a bien sûr une très forte analogie entre les deux mouvements, l'ovale et le cercle ; et les orbites de phase vont donc se ressembler beaucoup. Le cas circulaire (dit du pendule simple) est évidemment beaucoup plus difficile à résoudre, et on est redevable au génie inventif de Huygens d'avoir pensé aux travaux de géométrie de Roberval et Torricelli, [puis sans doute au concours proposé par Dettonville (1658-1659) ?], pour faire sa théorie du pendule cycloïdal, puis du pendule simple (1659).

Repérons rapidement le qualitatif de la description : l'ovale a quatre parties : l'arc AO [avec A(Pi.a ; -2a) et O(0;0)]. L'arc OB symétrique par rapport à x'Ox . Puis BO' et O'A symétriques par rapport à l'axe AB. 

La symétrie géométrique rend compte du mouvement à droite de AB .
 
'''La symétrie de Corinne''' rend compte du mouvement selon BO', connaissant celui selon AO : un quart de l'ovale est donc à prendre en compte, l'arc AO.

==== Résolution ====
Pour avoir des notations symétriques-de-Corinne, prendre l'énergie potentielle nulle en z=0. Soit v{{exp|2}} +2g z(s) = V{{exp|2}}(O) = V{{exp|2}}(O'). 

Le premier cas évident est celui de la révolution très rapide d'énergie E très grande (donc V{{exp|2}}(O) très grande) : 

La particule, sans restriction de généralité est décrite dans son mouvement à partir A, avec une vitesse V(A) = Vo. Elle met un temps T pour décrire cet arc.

Elle arrive en O avec la vitesse V(O) = sqrt(Vo{{exp|2}}-2g(2a)) ; 
puis en B avec la vitesse V(B) = V'o = sqrt (Vo{{exp|2}}-2g(4a)); elle met un temps T' pour décrire l' arc BO'.

Elle décrit le circuit complet de longueur 16a en 2(T+T').

   
Dans le cas de l'ovale, partant de A (avec s=0), quelques calculs très classiques de géométrie donnent :

z(s) = -2a +h(s) = -2a + s{{exp|2}}/8a 

Huygens attendait une telle courbe depuis sa bonne compréhension de l'énoncé du principe de Torricelli ; sa solution fût immédiate (pas mal de ratures quand même si l'on voit le fac-similé !) :

{{exemple|Enoncé|Equation de Torricelli(1608-1647)-Huygens(1659)|&lt;math&gt; V^2(s) + \omega^2 \cdot s^2 = cste &lt;=&gt; \frac{d^2s}{dt^2} + \omega^2 \cdot s = 0 et V(s=0) = V_0&lt;=&gt; s = \frac{V_0)}{\omega}\sin \omega t&lt;/math&gt;}} 

On a posé w{{exp|2}} = g/4a.

La durée du trajet AO est donc : 

T = 1/w .arcsin(4aw/V(A)) ;

par symétrie-de-Corinne, la durée du trajet BO' est donc :

T' = 1/w . argsinh (4aw/V(B))

posons E = V{{exp|2}}(O)/4ga , alors V(A)= sqrt(4ga (E+1))

et donc on obtient pour période de révolution le long de la trajectoire AOBO'A : 

&lt;math&gt; Periode = \sqrt{4a/g}\cdot [ 2 arccotan \sqrt E + 2 argcotanh \sqrt E] &lt;/math&gt; 

Remarquons que 2 argcotanh x = -Ln(1+x)+ Ln(|1-x|) : 

il est alors clair que la séparatrice sera pour l'énergie V{{exp|2}}(O) = 4ga , qui permet de parcourir l'arc AOB en un temps infini.

ET pour E = 1+eps , la particule tournoie tout le long de la trajectoire en un temps voisin de \sqrt(4a/g)[Pi/2 - Ln(eps)], 
ET pour E = 1-eps , la particule oscille mais la description temporelle de |V(t)| en module est la même. La période est donc la même ; elle diverge logarithmiquement ! 

SIMPLEMENT IL CONVIENT DE FAIRE ATTENTION : usuellement, en oscillation, la convention prise en 1882 a été de prendre comme période un ALLER-RETOUR. Pour pouvoir comparer, il faut alors prendre la durée de DEUX tournoiements. Ceci doit être dit explicitement, sinon, dans le cas plus difficile du pendule circulaire qui fera intervenir des fonctions elliptiques de Jacobi, on risque d'être perdu.

Enfin, chose remarquable, bien connue, si la particule n'a pas d'énergie pour atteindre le point O en partant de A [V{{exp|2}}(A)&lt; 2.g.2a], alors la période ne dépend pas de V(A) ! Les oscillations sont isochrones. La courbe T(E) depuis le fond du puits jusqu'au tournoiement à la période 16a/Vo peut donc être décrite totalement avec les fonctions élémentaires. On comparera avec profit cette courbe avec la même tracée pour le pendule circulaire. Le tracé des orbites dans le plan de phase sont de même très semblables.

40 ans encore plus tard (1699), cette cycloïde deviendra la brachistochrone, mais c'est encore une autre jolie histoire, entre Bernoulli et Gregory&amp;Newton.

==Un petit bout de théorie de la symétrie==
Niveau plus élevé, ébauche :

Soit un groupe fini G à n éléments (e sera l'élément neutre).

Soit E, ev et f application de G dans e ; et &lt;f(g)&gt; = 1/n somme ( f(g)) sur tous les éléments de G.

&lt;f1|f2&gt; = 1/n  somme f1(g).f2(g)*

Enfin, Eo est l'ensemble des ''rep-lin'' appli de G dans le corps des complexes, telles que : f(e)=1 et f(g1g2) = f(g1)f(g2).
Eo est un anneau et un ev hermitien.

Montrer que &lt;f(g)&gt; = &lt;f(g.go)&gt;

soit T(g) appli de Eo dans Eo telle que T(g)f = f° &lt;math&gt;\tau&lt;/math&gt;(g).

Trouver Eo quang G est le groupe de classes d'entiers modulo n.

Le problème sera plus tard de généraliser cette notion de rep-lin d'un groupe G , et d'arriver à la notion essentielle de rep-lin-irréductible.

== Conclusion provisoire ==

Ces chapitres successifs forment à eux seuls un tout assez cohérent.
Ils seront suivis par des exercices de statique, qui, eux, sont historiquement plus anciens : on y notera les contributions d'Archimède, puis des mécaniciens des machines simples du XVIème siècle : les Stevin et autres théoriciens d'une pratique issue des constructions de la Renaissance. Il y sera question du travail virtuel de ces forces.

Il restera à écrire L' ARTICLE FONDAMENTAL : ce sont ces mêmes forces de la statique qui vont être prises comme permettant l'échange de quantité de mouvement par unité de temps :

{{exemple|Enoncé|Équation de Torricelli(1608-1647)-Newton(1687)|&lt;math&gt; \Delta \vec{P_1} := \vec{F_{2/1}}\cdot \Delta t= - \Delta \vec{P_2}&lt;/math&gt;}}.

Il ne restera plus qu'à décrire les Principia et les Grandes Œuvres qui ont suivi. Mais l'essentiel aura été dit : 

'''il n' y a pas de Principe Fondamental de la Dynamique ;''' 

il y a une conservation de la quantité de mouvement d'un système isolé et « simple description EMPIRIQUE » de la loi de force qui permet d'écrire l'équation différentielle d''''échange d'impulsion''' entre les deux sous-systèmes dont l'union est isolée : on connaîtra ainsi le taux temporel d'échange d'impulsion. 

C'est ce à quoi se résume la Dynamique.

== Retour ==
*[[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences|Mécanique , enseignée via l'Histoire des Sciences]]

[[Catégorie:Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences (livre)]]</text>
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      <contributor>
        <username>DavidL</username>
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      <comment>DavidL a déplacé la page [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Intermède: la symétrie]] vers [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Intermède : la symétrie]] : Règle typographique</comment>
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      <text bytes="19711" xml:space="preserve">Le raisonnement par symétrie est toujours un supplément non négligeable.
Il ne s'agira ici que de simples symétries élémentaires.

== Symétrie d'échelle (scaling) ==

Il a déjà été signalé précédemment que toute équation qui pouvait se réduire à une autre, par simple changement des lettres , était dite « identique », en un certain sens : il y avait '''isomorphisme'''. Soit un problème 2 rendu isomorphe avec un problème 1, déjà résolu : alors, une économie de pensée considérable est de ne pas tout refaire : soit on révise le raisonnement qui a permis de résoudre le problème 1, soit on « calque », on « transporte », on « transpose », on « conjugue » le problème 2 par la déclinaison de la même conjugaison : c'est un processus mental acquis, dès l'enfance, sous le nom de « conjugaison grammaticale » : dans les verbes du premier groupe, chanter « se conjugue » comme cuisiner.

La symétrie est une opération intellectuelle du même ordre, mais juste un plus élaborée.

Soit une équation du mouvement du type d{{exp|2}}x/dt{{exp|2}} = g(x) (équation dite de Newton) avec la primitive de g(x) de forme -k|x|{{exp|n}}.
Soit une solution dans le plan de phase correspondant à (Xo,Vo). On a déjà vu le cas n=1, qui était « l'horloge de Torricelli ». On avait vu que pour une énergie E, l'action était en E{{exp|3/2}} et T(E) en E{{exp|1/2}}.

Très vite Newton, puis d'autres (cf Whittaker ou Appell) ont compris que ce résultat ne dépendait pas de l'équation différentielle, mais simplement de sa structure dimensionnelle ou scaling. 

=== Aparté historique ===
Historiquement, le raisonnement par scaling (changement d'échelle) se perd dans la nuit des temps : un champ de blé de longueur et largeur 2 fois plus grande est 4 fois plus grand (il « suffit » de le couper en quatre) et pour les volumes, une pyramide « isomorphe » exigera 2{{exp|3}} fois plus de pierres, un tonneau contiendra 8 fois plus de grains. Néanmoins, la mathématique grecque se refuse ce type de raisonnement en géométrie pour des raisons très profondes, liées à « l'acte de démonstration ». Caveeing, Kahane, Chemla en France sont des grands spécialistes de ces questions historiques. Et par exemple, la démonstration dite « élégante » du théorème de Pythagore (a{{exp|2}} = b{{exp|2}} + c{{exp|2}}) par scaling, faite en physique, n'en est pas une pour un grec.

Plus subtile est l'avancée de Galilée (bien qu'il y ait des précédents), dans les « deux nouvelles sciences » : en germe, l'analyse dimensionnelle y est. 

Newton va abondamment l'utiliser : dès 1666 (et d'autres dont Huygens, avec lui sans doute) il sait que loi en 1/r{{exp|2}} « concorde » avec 3ème loi de Kepler, que des ellipses de grand axe 2a se « transforment » en ellipses homothétiques parcourues dans des temps similaires d'un facteur a{{exp|3/2}}. Mais la loi de Kepler dit beaucoup plus : cela est vrai quelle que soit l'excentricité. Et là, pas de symétrie connue qui ramènerait le problème au précédent. Et pourquoi des ellipses ? Le cas du cercle est connu depuis Huygens et sa « force axifuge » (concrètement, cela veut dire que la courbure de la trajectoire entraîne une composante normale du vecteur dérivée du vecteur tangent T(s), soit dT(s)/ds = N(s). d(alpha)/ds = N(s)/R, avec R rayon de courbure). Passer du cercle à l'ellipse sera la GLOIRE expérimentale-semi-empirique de Kepler et la gloire mathématique de Newton (écrasant Hooke en particulier) et suscitera l'admiration de Halley. On connaît la suite : l'écriture des Principia , un « honneur de l'esprit humain ».

=== L'analyse dimensionnelle ou scaling ===
'''Étant donné un système d'équations , si changer les lettres (ET les UNITÉS des lettres) transforme ce système en un système connu, alors on peut (et on ne va pas s'en priver !) « translater », « traduire » les résultats'''. 

C'est ce que dit Descartes dans son traité de géométrie analytique : l'analyse née de l'algèbre permet de rendre compte de la géométrie ; la symétrie algébrique de ce fait entre en action de même que les droites de symétrie en géométrie. Et depuis 1638, cela n'a plus jamais été pareil : un élan nouveau était donné aux mathématiques, et en particulier, via Galilée 1638 aussi, vers la Philosophie de la Nature, c'est-à-dire la description physique du mouvement : la Mécanique est née historiquement à cette date, même s'il faut encore 50 ans pour que Newton l'écrive dans un marbre très pur (1687).

Le scaling ne dit que cela : mais '''aucune confusion possible''' ; CELA N'A RIEN à VOIR avec un système d'unités internationales et RIEN à VOIR avec le S.I. Confondre analyse dimensionnelle et homogénéité-via-le-S.I. est une bévue simpliste qui gâche nombre d'élèves en France qui désirent être bacheliers. Les ravages engendrés par cette bévue pédagogique sont énormes. L'obligation de communication des résultats numériques en S.I. (qui, elle, est une vraie obligation, d'utilité publique, tout comme les normes ISO et autres certifications de traçabilité) N'A RIEN à VOIR avec l'opération de scaling décrite ici.

Les écrits de Whittaker ou d'Appell sont sans appel (sic !) : 

c'est une FAUTE LOGIQUE de raisonnement que de faire intervenir une horloge à césium dans la mécanique rationnelle d'avant 1960, et donc d'après 1960 !

Si nous sommes aussi attachées à écrire ce wikibook, c'est ESSENTIELLEMENT pour dénoncer cette bévue pédagogique, qui a des racines historiques profondément ancrées dans le déchirement des années 1950-60 où les équations aux dimensions étaient enseignées de façon stupidement liées au MKSA et où le débat faisait rage entre partisans du CGS-es, du CGS-em, du Système de Gauss, du Système rationalisé : il fallait bien du courage à CASIMIR pour dominer ce concert de casseroles éculées : si nous retrouvons cet article, il sera publié : il est instructif que 50 ans après, nous n'ayons pas entendu cette mélodie cristalline émerger de la cacophonie ambiante ! Les '''Ordres de Grandeur Littéraux''' n'ont RIEN à VOIR avec le S.I., ni avec quelque système d'unité arbitraire extérieur aux équations de la physique : ils n'ont à voir qu'avec les LETTRES écrites dans les équations pour re-présenter à la Descartes, la Mécanique (ultérieurement l'électricité, etc.). Cela a été magnifiquement écrit en Géométrie par le célèbre Programme d'Erlangen de KLEIN. Il est tristounet de constater qu'aujourd'hui (2006), très peu d'enseignants de mécanique savent utiliser que &lt;math&gt; m \vec{a} = \vec{F}&lt;/math&gt; est linéaire en '''F''' , avec m{{exp|-1}} opérateur linéaire scalaire (cf leçon antérieure : géométrie affine et chute libre). Et surtout beaucoup confondent le S.I.-analyse dimensionnelle et l'analyse de scaling : les énoncés du baccalauréat en sont l'amer reflet : « On demande de vérifier que le résultat est correct du point de vue de l'homogénéité... etc. ».

=== Exercices ===
==== Exercice Beeckman-Descartes ====
Où l'on voit la différence entre un physicien (Beeckman) et un mathématicien (Descartes) : 
Beeckman préoccupé de démontrer, vers 1613, la loi de la chute des corps dans le vide sous la forme v = g.t (mais ne connaissant pas la notion de dérivée) fait appel à Descartes.
De manière assez amusante, il lui suggère l'énoncé suivant : 
Si un mouvement accéléré est tel que v(2t) = 2v(t), trouver v(t) (avec v(0)=0).
Descartes lui répond : je peux le faire avec v(2t) = k.v(t) et même vous donner v(x).

Sauriez-vous le refaire ? (ref Koyré p110 à physico-mathematica de Descartes &amp; Beeckman)

==== Solution Beeckman-Descartes ====
Il est clair que si Descartes trouve une loi puissance v(t) = A.t{{exp|n}}, on aura v(x) = K x{{exp|1+1/n}}.

Si v(2t) = k.v(t), on aura v(t) = A . t{{exp|Ln k/Ln 2}}, ce que demandait B était tout simplement k= 2 donc v(t) = A.t puis v(x) = B sqrt(x). Au fond, en même temps que l'on cherchait du côté f(x+h)-f(x), on cherchait aussi du côté du « ''quantum calculus'' », [f(qx)-f(x)]/[q-1] (voir par exemple Kac &amp; Cheung, 2002, {{ISBN|0-387-95341-8}}.

Ce qu'il y a de remarquable dans la demande de Beeckman, c'est la formulation en fonction du temps v(2t)-v(t) = v(t). Dans sa lettre à Sarpi de 1604, Galilée se trompe car il écrit tout comme fonction de x, ce qui conduit à v(x) = kx et donc à l'exponentielle et l'impossibilité de démarrer de la vitesse nulle. Descartes tombera aussi dans ce piège (il faut le dire très usuel à l'époque). Il fallût bien 10 ans pour que ces choses s'éclaircissent. Mais entre temps (1609-1610), Galilée est happé par la lunette et l'astronomie. Il prendra donc un certain retard.

=== Le théorème du viriel ===

ébauche

Ce théorème est directement lié à la symétrie de ''scaling'' des lois-puissance s&quot; = -k s{{exp|n}}

== Symétrie de Corinne ==
Corinne fît remarquer que si t était changé en i.t = sqrt(-1).t dans 1/2 gt{{exp|2}}, alors il suffisait de changer g en -g pour retomber sur l'équation initiale. D'une manière générale d{{exp|2}}x/dt{{exp|2}} = g(x) ne change pas si on prend g(x) changé en -g(x). 
Inutile donc de refaire les raisonnements pour -g(x) !

Si par exemple la forme d'une corde est une chaînette sous l'action de son poids, alors la chaînette opposée tient sans culée de voûte. L'architecte catalan Gaudi s'en servira pour construire la Sagreda Familia à Barcelone.

Dans le cas de l'attraction de Newton, si la solution est « elliptique », elle deviendra « hyperbolique », si l'attraction est changée en répulsion (expérience de Rutherford,1911). Etc.

C'est tout ce qu'a dit Corinne : voilà un ''scaling'' bien inoffensif et qui n'a rien à voir avec les unités, sauf (peut-être ?) à dire que cela transforme un becquerel en un hertz !

== Exercices ==

=== Exercice-chute avec résistance de l'air en v{{exp|2}} ===
Soit à résoudre la chute sans vitesse initiale z&quot; = g (1-v{{exp|2}}/V{{exp|2}}) ; [v(0)=0 ; z(0)=0]
Beeckman (vers 1610) avait déjà compris que la vitesse limite serait V. On pose donc les unités naturelles de ce problème de cinématique : v' = v/V et t' = V/g .t, puis on supprime les prime pour simplifier : dv/dt = 1-v{{exp|2}}. D'où la solution : 
v = Arg tanh t ; soit en rétablissant les unités : v(t) = V .Arg tanh (gt/V).
On peut en déduire z(t) par intégration , mais en général on préfère demander : 
trouver v(z). En particulier, trouver la vitesse V(H) à la hauteur H.

Puis, on demande : lancer la pierre vers le haut avec la vitesse Vo = V(H) : mouvement ? temps de montée ? altitude atteinte ?

==== Solution-chute avec résistance de l'air en v{{exp|2}} ====
En f(z), on obtient : vdv/dz= 1-v{{exp|2}}, soit -Ln(1-v{{exp|2}})= 2z ; soit v{{exp|2}} = 1 - exp(-2z) et avec les unités : v{{exp|2}}/V{{exp|2}} = 1 -exp(-z/h) avec h = V{{exp|2}}/2g. On en tire v{{exp|2}}(H) = V{{exp|2}}.(1-exp-H/h)

*Remarque : on peut en déduire une autre manière de réaliser le TP sur la chute, soit en réalisant la régression sur les paramètres V et V/g si l'on a une caméra, soit sur V et V{{exp|2}}/2g si l'on a des photodiodes. Il est évident que cette manière de faire est plus adaptée à un bac+1.

2/. Bien sûr, c'est exactement ce que disait Corinne : z&quot; = g(1+v{{exp|2}}/V{{exp|2}}) et avec les bonnes unités : dv/dt = 1+v{{exp|2}} donc v(t)= V.Argtan (g(t-tau)/V) ; soit t-tau = V/g tan (v/V). On en tire le temps de montée : t =tau = V/g tan V(H)/V = V/g tan (Arg tanh g td/V), soit la solution de Corinne : 

Arc tan g tm/V = Arg tanh g td/V d'où la réponse immédiate pour V très grand : 

tm = td (1 +2/3 td{{exp|2}} g{{exp|2}}/V{{exp|2}}).

En f(z), on aura vdv/dz = -(1+v{{exp|2}}) ; donc Log(1+v{{exp|2}}) = -2(z-d), soit 1+v{{exp|2}}/V{{exp|2}} = (1+Vo{{exp|2}}/V{{exp|2}}).exp(-z/h) : l'altitude de remontée, L, est donc L/h = Ln (1+Vo{{exp|2}}/V{{exp|2}}).

Au final la symétrie de Corinne donne donc :

exp-(H/h) + exp+(L/h) = 2, soit en développement limité : L = H - H{{exp|2}}/h

=== L'ovale de Huygens ===

Soit un ovale de Huygens, c'est-à-dire, la courbe fermée formée de deux cycloïdes z = (+/-)a (1- cos phi) et x = a(phi- sin phi) ; quelques calculs classiques de Dettonville (1659) montrent que la longueur d'une demi-arche est 4a (soit pour l'ovale entier 16a). 

Soit une perle pesante glissant le long de cette courbe verticale ; la masse n'intervenant pas (loi de Galilée(1564-1642)) on prendra m=1. La pesanteur est constante, égale à g. 

On demande de tracer les orbites de phase (cf leçon plan de phase, OQ := (s ; ds/dt)) en fonction de l'énergie E, de trouver l'action S(E) et la période T(E) du mouvement périodique (Huygens(1659)).

On comparera avec l'exercice suivant (plus difficile !) : l'ovale est cette fois le cercle de rayon 4R. 

==== Réponse : ovale de Huygens ====
ébauche

Il est remarquable que ce genre d'exercice se résolve seulement avec le principe de Torricelli : v{{exp|2}} + 2g z(s) = Vo{{exp|2}}.

Il y a bien sûr une très forte analogie entre les deux mouvements, l'ovale et le cercle ; et les orbites de phase vont donc se ressembler beaucoup. Le cas circulaire (dit du pendule simple) est évidemment beaucoup plus difficile à résoudre, et on est redevable au génie inventif de Huygens d'avoir pensé aux travaux de géométrie de Roberval et Torricelli, [puis sans doute au concours proposé par Dettonville (1658-1659) ?], pour faire sa théorie du pendule cycloïdal, puis du pendule simple (1659).

Repérons rapidement le qualitatif de la description : l'ovale a quatre parties : l'arc AO [avec A(Pi.a ; -2a) et O(0;0)]. L'arc OB symétrique par rapport à x'Ox . Puis BO' et O'A symétriques par rapport à l'axe AB. 

La symétrie géométrique rend compte du mouvement à droite de AB .
 
'''La symétrie de Corinne''' rend compte du mouvement selon BO', connaissant celui selon AO : un quart de l'ovale est donc à prendre en compte, l'arc AO.

==== Résolution ====
Pour avoir des notations symétriques-de-Corinne, prendre l'énergie potentielle nulle en z=0. Soit v{{exp|2}} +2g z(s) = V{{exp|2}}(O) = V{{exp|2}}(O'). 

Le premier cas évident est celui de la révolution très rapide d'énergie E très grande (donc V{{exp|2}}(O) très grande) : 

La particule, sans restriction de généralité est décrite dans son mouvement à partir A, avec une vitesse V(A) = Vo. Elle met un temps T pour décrire cet arc.

Elle arrive en O avec la vitesse V(O) = sqrt(Vo{{exp|2}}-2g(2a)) ; 
puis en B avec la vitesse V(B) = V'o = sqrt (Vo{{exp|2}}-2g(4a)); elle met un temps T' pour décrire l' arc BO'.

Elle décrit le circuit complet de longueur 16a en 2(T+T').

   
Dans le cas de l'ovale, partant de A (avec s=0), quelques calculs très classiques de géométrie donnent :

z(s) = -2a +h(s) = -2a + s{{exp|2}}/8a 

Huygens attendait une telle courbe depuis sa bonne compréhension de l'énoncé du principe de Torricelli ; sa solution fût immédiate (pas mal de ratures quand même si l'on voit le fac-similé !) :

{{exemple|Enoncé|Equation de Torricelli(1608-1647)-Huygens(1659)|&lt;math&gt; V^2(s) + \omega^2 \cdot s^2 = cste &lt;=&gt; \frac{d^2s}{dt^2} + \omega^2 \cdot s = 0 et V(s=0) = V_0&lt;=&gt; s = \frac{V_0)}{\omega}\sin \omega t&lt;/math&gt;}} 

On a posé w{{exp|2}} = g/4a.

La durée du trajet AO est donc : 

T = 1/w .arcsin(4aw/V(A)) ;

par symétrie-de-Corinne, la durée du trajet BO' est donc :

T' = 1/w . argsinh (4aw/V(B))

posons E = V{{exp|2}}(O)/4ga , alors V(A)= sqrt(4ga (E+1))

et donc on obtient pour période de révolution le long de la trajectoire AOBO'A : 

&lt;math&gt; Periode = \sqrt{4a/g}\cdot [ 2 arccotan \sqrt E + 2 argcotanh \sqrt E] &lt;/math&gt; 

Remarquons que 2 argcotanh x = -Ln(1+x)+ Ln(|1-x|) : 

il est alors clair que la séparatrice sera pour l'énergie V{{exp|2}}(O) = 4ga , qui permet de parcourir l'arc AOB en un temps infini.

ET pour E = 1+eps , la particule tournoie tout le long de la trajectoire en un temps voisin de \sqrt(4a/g)[Pi/2 - Ln(eps)], 
ET pour E = 1-eps , la particule oscille mais la description temporelle de |V(t)| en module est la même. La période est donc la même ; elle diverge logarithmiquement ! 

SIMPLEMENT IL CONVIENT DE FAIRE ATTENTION : usuellement, en oscillation, la convention prise en 1882 a été de prendre comme période un ALLER-RETOUR. Pour pouvoir comparer, il faut alors prendre la durée de DEUX tournoiements. Ceci doit être dit explicitement, sinon, dans le cas plus difficile du pendule circulaire qui fera intervenir des fonctions elliptiques de Jacobi, on risque d'être perdu.

Enfin, chose remarquable, bien connue, si la particule n'a pas d'énergie pour atteindre le point O en partant de A [V{{exp|2}}(A)&lt; 2.g.2a], alors la période ne dépend pas de V(A) ! Les oscillations sont isochrones. La courbe T(E) depuis le fond du puits jusqu'au tournoiement à la période 16a/Vo peut donc être décrite totalement avec les fonctions élémentaires. On comparera avec profit cette courbe avec la même tracée pour le pendule circulaire. Le tracé des orbites dans le plan de phase sont de même très semblables.

40 ans encore plus tard (1699), cette cycloïde deviendra la brachistochrone, mais c'est encore une autre jolie histoire, entre Bernoulli et Gregory&amp;Newton.

==Un petit bout de théorie de la symétrie==
Niveau plus élevé, ébauche :

Soit un groupe fini G à n éléments (e sera l'élément neutre).

Soit E, ev et f application de G dans e ; et &lt;f(g)&gt; = 1/n somme ( f(g)) sur tous les éléments de G.

&lt;f1|f2&gt; = 1/n  somme f1(g).f2(g)*

Enfin, Eo est l'ensemble des ''rep-lin'' appli de G dans le corps des complexes, telles que : f(e)=1 et f(g1g2) = f(g1)f(g2).
Eo est un anneau et un ev hermitien.

Montrer que &lt;f(g)&gt; = &lt;f(g.go)&gt;

soit T(g) appli de Eo dans Eo telle que T(g)f = f° &lt;math&gt;\tau&lt;/math&gt;(g).

Trouver Eo quang G est le groupe de classes d'entiers modulo n.

Le problème sera plus tard de généraliser cette notion de rep-lin d'un groupe G , et d'arriver à la notion essentielle de rep-lin-irréductible.

== Conclusion provisoire ==

Ces chapitres successifs forment à eux seuls un tout assez cohérent.
Ils seront suivis par des exercices de statique, qui, eux, sont historiquement plus anciens : on y notera les contributions d'Archimède, puis des mécaniciens des machines simples du XVIème siècle : les Stevin et autres théoriciens d'une pratique issue des constructions de la Renaissance. Il y sera question du travail virtuel de ces forces.

Il restera à écrire L' ARTICLE FONDAMENTAL : ce sont ces mêmes forces de la statique qui vont être prises comme permettant l'échange de quantité de mouvement par unité de temps :

{{exemple|Enoncé|Équation de Torricelli(1608-1647)-Newton(1687)|&lt;math&gt; \Delta \vec{P_1} := \vec{F_{2/1}}\cdot \Delta t= - \Delta \vec{P_2}&lt;/math&gt;}}.

Il ne restera plus qu'à décrire les Principia et les Grandes Œuvres qui ont suivi. Mais l'essentiel aura été dit : 

'''il n' y a pas de Principe Fondamental de la Dynamique ;''' 

il y a une conservation de la quantité de mouvement d'un système isolé et « simple description EMPIRIQUE » de la loi de force qui permet d'écrire l'équation différentielle d''''échange d'impulsion''' entre les deux sous-systèmes dont l'union est isolée : on connaîtra ainsi le taux temporel d'échange d'impulsion. 

C'est ce à quoi se résume la Dynamique.

== Retour ==
*[[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences|Mécanique , enseignée via l'Histoire des Sciences]]

[[Catégorie:Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences (livre)]]</text>
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Le raisonnement par symétrie est toujours un supplément non négligeable.
Il ne s'agira ici que de simples symétries élémentaires.

== Symétrie d'échelle (scaling) ==

Il a déjà été signalé précédemment que toute équation qui pouvait se réduire à une autre, par simple changement des lettres , était dite « identique », en un certain sens : il y avait '''isomorphisme'''. Soit un problème 2 rendu isomorphe avec un problème 1, déjà résolu : alors, une économie de pensée considérable est de ne pas tout refaire : soit on révise le raisonnement qui a permis de résoudre le problème 1, soit on « calque », on « transporte », on « transpose », on « conjugue » le problème 2 par la déclinaison de la même conjugaison : c'est un processus mental acquis, dès l'enfance, sous le nom de « conjugaison grammaticale » : dans les verbes du premier groupe, chanter « se conjugue » comme cuisiner.

La symétrie est une opération intellectuelle du même ordre, mais juste un plus élaborée.

Soit une équation du mouvement du type d{{exp|2}}x/dt{{exp|2}} = g(x) (équation dite de Newton) avec la primitive de g(x) de forme -k|x|{{exp|n}}.
Soit une solution dans le plan de phase correspondant à (Xo,Vo). On a déjà vu le cas n=1, qui était « l'horloge de Torricelli ». On avait vu que pour une énergie E, l'action était en E{{exp|3/2}} et T(E) en E{{exp|1/2}}.

Très vite Newton, puis d'autres (cf Whittaker ou Appell) ont compris que ce résultat ne dépendait pas de l'équation différentielle, mais simplement de sa structure dimensionnelle ou scaling. 

=== Aparté historique ===
Historiquement, le raisonnement par scaling (changement d'échelle) se perd dans la nuit des temps : un champ de blé de longueur et largeur 2 fois plus grande est 4 fois plus grand (il « suffit » de le couper en quatre) et pour les volumes, une pyramide « isomorphe » exigera 2{{exp|3}} fois plus de pierres, un tonneau contiendra 8 fois plus de grains. Néanmoins, la mathématique grecque se refuse ce type de raisonnement en géométrie pour des raisons très profondes, liées à « l'acte de démonstration ». Caveeing, Kahane, Chemla en France sont des grands spécialistes de ces questions historiques. Et par exemple, la démonstration dite « élégante » du théorème de Pythagore (a{{exp|2}} = b{{exp|2}} + c{{exp|2}}) par scaling, faite en physique, n'en est pas une pour un grec.

Plus subtile est l'avancée de Galilée (bien qu'il y ait des précédents), dans les « deux nouvelles sciences » : en germe, l'analyse dimensionnelle y est. 

Newton va abondamment l'utiliser : dès 1666 (et d'autres dont Huygens, avec lui sans doute) il sait que loi en 1/r{{exp|2}} « concorde » avec 3ème loi de Kepler, que des ellipses de grand axe 2a se « transforment » en ellipses homothétiques parcourues dans des temps similaires d'un facteur a{{exp|3/2}}. Mais la loi de Kepler dit beaucoup plus : cela est vrai quelle que soit l'excentricité. Et là, pas de symétrie connue qui ramènerait le problème au précédent. Et pourquoi des ellipses ? Le cas du cercle est connu depuis Huygens et sa « force axifuge » (concrètement, cela veut dire que la courbure de la trajectoire entraîne une composante normale du vecteur dérivée du vecteur tangent T(s), soit dT(s)/ds = N(s). d(alpha)/ds = N(s)/R, avec R rayon de courbure). Passer du cercle à l'ellipse sera la GLOIRE expérimentale-semi-empirique de Kepler et la gloire mathématique de Newton (écrasant Hooke en particulier) et suscitera l'admiration de Halley. On connaît la suite : l'écriture des Principia , un « honneur de l'esprit humain ».

=== L'analyse dimensionnelle ou scaling ===
'''Étant donné un système d'équations , si changer les lettres (ET les UNITÉS des lettres) transforme ce système en un système connu, alors on peut (et on ne va pas s'en priver !) « translater », « traduire » les résultats'''. 

C'est ce que dit Descartes dans son traité de géométrie analytique : l'analyse née de l'algèbre permet de rendre compte de la géométrie ; la symétrie algébrique de ce fait entre en action de même que les droites de symétrie en géométrie. Et depuis 1638, cela n'a plus jamais été pareil : un élan nouveau était donné aux mathématiques, et en particulier, via Galilée 1638 aussi, vers la Philosophie de la Nature, c'est-à-dire la description physique du mouvement : la Mécanique est née historiquement à cette date, même s'il faut encore 50 ans pour que Newton l'écrive dans un marbre très pur (1687).

Le scaling ne dit que cela : mais '''aucune confusion possible''' ; CELA N'A RIEN à VOIR avec un système d'unités internationales et RIEN à VOIR avec le S.I. Confondre analyse dimensionnelle et homogénéité-via-le-S.I. est une bévue simpliste qui gâche nombre d'élèves en France qui désirent être bacheliers. Les ravages engendrés par cette bévue pédagogique sont énormes. L'obligation de communication des résultats numériques en S.I. (qui, elle, est une vraie obligation, d'utilité publique, tout comme les normes ISO et autres certifications de traçabilité) N'A RIEN à VOIR avec l'opération de scaling décrite ici.

Les écrits de Whittaker ou d'Appell sont sans appel (sic !) : 

c'est une FAUTE LOGIQUE de raisonnement que de faire intervenir une horloge à césium dans la mécanique rationnelle d'avant 1960, et donc d'après 1960 !

Si nous sommes aussi attachées à écrire ce wikibook, c'est ESSENTIELLEMENT pour dénoncer cette bévue pédagogique, qui a des racines historiques profondément ancrées dans le déchirement des années 1950-60 où les équations aux dimensions étaient enseignées de façon stupidement liées au MKSA et où le débat faisait rage entre partisans du CGS-es, du CGS-em, du Système de Gauss, du Système rationalisé : il fallait bien du courage à CASIMIR pour dominer ce concert de casseroles éculées : si nous retrouvons cet article, il sera publié : il est instructif que 50 ans après, nous n'ayons pas entendu cette mélodie cristalline émerger de la cacophonie ambiante ! Les '''Ordres de Grandeur Littéraux''' n'ont RIEN à VOIR avec le S.I., ni avec quelque système d'unité arbitraire extérieur aux équations de la physique : ils n'ont à voir qu'avec les LETTRES écrites dans les équations pour re-présenter à la Descartes, la Mécanique (ultérieurement l'électricité, etc.). Cela a été magnifiquement écrit en Géométrie par le célèbre Programme d'Erlangen de KLEIN. Il est tristounet de constater qu'aujourd'hui (2006), très peu d'enseignants de mécanique savent utiliser que &lt;math&gt; m \vec{a} = \vec{F}&lt;/math&gt; est linéaire en '''F''' , avec m{{exp|-1}} opérateur linéaire scalaire (cf leçon antérieure : géométrie affine et chute libre). Et surtout beaucoup confondent le S.I.-analyse dimensionnelle et l'analyse de scaling : les énoncés du baccalauréat en sont l'amer reflet : « On demande de vérifier que le résultat est correct du point de vue de l'homogénéité... etc. ».

=== Exercices ===
==== Exercice Beeckman-Descartes ====
Où l'on voit la différence entre un physicien (Beeckman) et un mathématicien (Descartes) : 
Beeckman préoccupé de démontrer, vers 1613, la loi de la chute des corps dans le vide sous la forme v = g.t (mais ne connaissant pas la notion de dérivée) fait appel à Descartes.
De manière assez amusante, il lui suggère l'énoncé suivant : 
Si un mouvement accéléré est tel que v(2t) = 2v(t), trouver v(t) (avec v(0)=0).
Descartes lui répond : je peux le faire avec v(2t) = k.v(t) et même vous donner v(x).

Sauriez-vous le refaire ? (ref Koyré p110 à physico-mathematica de Descartes &amp; Beeckman)

==== Solution Beeckman-Descartes ====
Il est clair que si Descartes trouve une loi puissance v(t) = A.t{{exp|n}}, on aura v(x) = K x{{exp|1+1/n}}.

Si v(2t) = k.v(t), on aura v(t) = A . t{{exp|Ln k/Ln 2}}, ce que demandait B était tout simplement k= 2 donc v(t) = A.t puis v(x) = B sqrt(x). Au fond, en même temps que l'on cherchait du côté f(x+h)-f(x), on cherchait aussi du côté du « ''quantum calculus'' », [f(qx)-f(x)]/[q-1] (voir par exemple Kac &amp; Cheung, 2002, {{ISBN|0-387-95341-8}}.

Ce qu'il y a de remarquable dans la demande de Beeckman, c'est la formulation en fonction du temps v(2t)-v(t) = v(t). Dans sa lettre à Sarpi de 1604, Galilée se trompe car il écrit tout comme fonction de x, ce qui conduit à v(x) = kx et donc à l'exponentielle et l'impossibilité de démarrer de la vitesse nulle. Descartes tombera aussi dans ce piège (il faut le dire très usuel à l'époque). Il fallût bien 10 ans pour que ces choses s'éclaircissent. Mais entre temps (1609-1610), Galilée est happé par la lunette et l'astronomie. Il prendra donc un certain retard.

=== Le théorème du viriel ===

ébauche

Ce théorème est directement lié à la symétrie de ''scaling'' des lois-puissance s&quot; = -k s{{exp|n}}

== Symétrie de Corinne ==
Corinne fît remarquer que si t était changé en i.t = sqrt(-1).t dans 1/2 gt{{exp|2}}, alors il suffisait de changer g en -g pour retomber sur l'équation initiale. D'une manière générale d{{exp|2}}x/dt{{exp|2}} = g(x) ne change pas si on prend g(x) changé en -g(x). 
Inutile donc de refaire les raisonnements pour -g(x) !

Si par exemple la forme d'une corde est une chaînette sous l'action de son poids, alors la chaînette opposée tient sans culée de voûte. L'architecte catalan Gaudi s'en servira pour construire la Sagreda Familia à Barcelone.

Dans le cas de l'attraction de Newton, si la solution est « elliptique », elle deviendra « hyperbolique », si l'attraction est changée en répulsion (expérience de Rutherford,1911). Etc.

C'est tout ce qu'a dit Corinne : voilà un ''scaling'' bien inoffensif et qui n'a rien à voir avec les unités, sauf (peut-être ?) à dire que cela transforme un becquerel en un hertz !

== Exercices ==

=== Exercice-chute avec résistance de l'air en v{{exp|2}} ===
Soit à résoudre la chute sans vitesse initiale z&quot; = g (1-v{{exp|2}}/V{{exp|2}}) ; [v(0)=0 ; z(0)=0]
Beeckman (vers 1610) avait déjà compris que la vitesse limite serait V. On pose donc les unités naturelles de ce problème de cinématique : v' = v/V et t' = V/g .t, puis on supprime les prime pour simplifier : dv/dt = 1-v{{exp|2}}. D'où la solution : 
v = Arg tanh t ; soit en rétablissant les unités : v(t) = V .Arg tanh (gt/V).
On peut en déduire z(t) par intégration , mais en général on préfère demander : 
trouver v(z). En particulier, trouver la vitesse V(H) à la hauteur H.

Puis, on demande : lancer la pierre vers le haut avec la vitesse Vo = V(H) : mouvement ? temps de montée ? altitude atteinte ?

==== Solution-chute avec résistance de l'air en v{{exp|2}} ====
En f(z), on obtient : vdv/dz= 1-v{{exp|2}}, soit -Ln(1-v{{exp|2}})= 2z ; soit v{{exp|2}} = 1 - exp(-2z) et avec les unités : v{{exp|2}}/V{{exp|2}} = 1 -exp(-z/h) avec h = V{{exp|2}}/2g. On en tire v{{exp|2}}(H) = V{{exp|2}}.(1-exp-H/h)

*Remarque : on peut en déduire une autre manière de réaliser le TP sur la chute, soit en réalisant la régression sur les paramètres V et V/g si l'on a une caméra, soit sur V et V{{exp|2}}/2g si l'on a des photodiodes. Il est évident que cette manière de faire est plus adaptée à un bac+1.

2/. Bien sûr, c'est exactement ce que disait Corinne : z&quot; = g(1+v{{exp|2}}/V{{exp|2}}) et avec les bonnes unités : dv/dt = 1+v{{exp|2}} donc v(t)= V.Argtan (g(t-tau)/V) ; soit t-tau = V/g tan (v/V). On en tire le temps de montée : t =tau = V/g tan V(H)/V = V/g tan (Arg tanh g td/V), soit la solution de Corinne : 

Arc tan g tm/V = Arg tanh g td/V d'où la réponse immédiate pour V très grand : 

tm = td (1 +2/3 td{{exp|2}} g{{exp|2}}/V{{exp|2}}).

En f(z), on aura vdv/dz = -(1+v{{exp|2}}) ; donc Log(1+v{{exp|2}}) = -2(z-d), soit 1+v{{exp|2}}/V{{exp|2}} = (1+Vo{{exp|2}}/V{{exp|2}}).exp(-z/h) : l'altitude de remontée, L, est donc L/h = Ln (1+Vo{{exp|2}}/V{{exp|2}}).

Au final la symétrie de Corinne donne donc :

exp-(H/h) + exp+(L/h) = 2, soit en développement limité : L = H - H{{exp|2}}/h

=== L'ovale de Huygens ===

Soit un ovale de Huygens, c'est-à-dire, la courbe fermée formée de deux cycloïdes z = (+/-)a (1- cos phi) et x = a(phi- sin phi) ; quelques calculs classiques de Dettonville (1659) montrent que la longueur d'une demi-arche est 4a (soit pour l'ovale entier 16a). 

Soit une perle pesante glissant le long de cette courbe verticale ; la masse n'intervenant pas (loi de Galilée(1564-1642)) on prendra m=1. La pesanteur est constante, égale à g. 

On demande de tracer les orbites de phase (cf leçon plan de phase, OQ := (s ; ds/dt)) en fonction de l'énergie E, de trouver l'action S(E) et la période T(E) du mouvement périodique (Huygens(1659)).

On comparera avec l'exercice suivant (plus difficile !) : l'ovale est cette fois le cercle de rayon 4R. 

==== Réponse : ovale de Huygens ====
ébauche

Il est remarquable que ce genre d'exercice se résolve seulement avec le principe de Torricelli : v{{exp|2}} + 2g z(s) = Vo{{exp|2}}.

Il y a bien sûr une très forte analogie entre les deux mouvements, l'ovale et le cercle ; et les orbites de phase vont donc se ressembler beaucoup. Le cas circulaire (dit du pendule simple) est évidemment beaucoup plus difficile à résoudre, et on est redevable au génie inventif de Huygens d'avoir pensé aux travaux de géométrie de Roberval et Torricelli, [puis sans doute au concours proposé par Dettonville (1658-1659) ?], pour faire sa théorie du pendule cycloïdal, puis du pendule simple (1659).

Repérons rapidement le qualitatif de la description : l'ovale a quatre parties : l'arc AO [avec A(Pi.a ; -2a) et O(0;0)]. L'arc OB symétrique par rapport à x'Ox . Puis BO' et O'A symétriques par rapport à l'axe AB. 

La symétrie géométrique rend compte du mouvement à droite de AB .
 
'''La symétrie de Corinne''' rend compte du mouvement selon BO', connaissant celui selon AO : un quart de l'ovale est donc à prendre en compte, l'arc AO.

==== Résolution ====
Pour avoir des notations symétriques-de-Corinne, prendre l'énergie potentielle nulle en z=0. Soit v{{exp|2}} +2g z(s) = V{{exp|2}}(O) = V{{exp|2}}(O'). 

Le premier cas évident est celui de la révolution très rapide d'énergie E très grande (donc V{{exp|2}}(O) très grande) : 

La particule, sans restriction de généralité est décrite dans son mouvement à partir A, avec une vitesse V(A) = Vo. Elle met un temps T pour décrire cet arc.

Elle arrive en O avec la vitesse V(O) = sqrt(Vo{{exp|2}}-2g(2a)) ; 
puis en B avec la vitesse V(B) = V'o = sqrt (Vo{{exp|2}}-2g(4a)); elle met un temps T' pour décrire l' arc BO'.

Elle décrit le circuit complet de longueur 16a en 2(T+T').

   
Dans le cas de l'ovale, partant de A (avec s=0), quelques calculs très classiques de géométrie donnent :

z(s) = -2a +h(s) = -2a + s{{exp|2}}/8a 

Huygens attendait une telle courbe depuis sa bonne compréhension de l'énoncé du principe de Torricelli ; sa solution fût immédiate (pas mal de ratures quand même si l'on voit le fac-similé !) :

{{exemple|Enoncé|Equation de Torricelli(1608-1647)-Huygens(1659)|&lt;math&gt; V^2(s) + \omega^2 \cdot s^2 = cste &lt;=&gt; \frac{d^2s}{dt^2} + \omega^2 \cdot s = 0 et V(s=0) = V_0&lt;=&gt; s = \frac{V_0)}{\omega}\sin \omega t&lt;/math&gt;}} 

On a posé w{{exp|2}} = g/4a.

La durée du trajet AO est donc : 

T = 1/w .arcsin(4aw/V(A)) ;

par symétrie-de-Corinne, la durée du trajet BO' est donc :

T' = 1/w . argsinh (4aw/V(B))

posons E = V{{exp|2}}(O)/4ga , alors V(A)= sqrt(4ga (E+1))

et donc on obtient pour période de révolution le long de la trajectoire AOBO'A : 

&lt;math&gt; Periode = \sqrt{4a/g}\cdot [ 2 arccotan \sqrt E + 2 argcotanh \sqrt E] &lt;/math&gt; 

Remarquons que 2 argcotanh x = -Ln(1+x)+ Ln(|1-x|) : 

il est alors clair que la séparatrice sera pour l'énergie V{{exp|2}}(O) = 4ga , qui permet de parcourir l'arc AOB en un temps infini.

ET pour E = 1+eps , la particule tournoie tout le long de la trajectoire en un temps voisin de \sqrt(4a/g)[Pi/2 - Ln(eps)], 
ET pour E = 1-eps , la particule oscille mais la description temporelle de |V(t)| en module est la même. La période est donc la même ; elle diverge logarithmiquement ! 

SIMPLEMENT IL CONVIENT DE FAIRE ATTENTION : usuellement, en oscillation, la convention prise en 1882 a été de prendre comme période un ALLER-RETOUR. Pour pouvoir comparer, il faut alors prendre la durée de DEUX tournoiements. Ceci doit être dit explicitement, sinon, dans le cas plus difficile du pendule circulaire qui fera intervenir des fonctions elliptiques de Jacobi, on risque d'être perdu.

Enfin, chose remarquable, bien connue, si la particule n'a pas d'énergie pour atteindre le point O en partant de A [V{{exp|2}}(A)&lt; 2.g.2a], alors la période ne dépend pas de V(A) ! Les oscillations sont isochrones. La courbe T(E) depuis le fond du puits jusqu'au tournoiement à la période 16a/Vo peut donc être décrite totalement avec les fonctions élémentaires. On comparera avec profit cette courbe avec la même tracée pour le pendule circulaire. Le tracé des orbites dans le plan de phase sont de même très semblables.

40 ans encore plus tard (1699), cette cycloïde deviendra la brachistochrone, mais c'est encore une autre jolie histoire, entre Bernoulli et Gregory&amp;Newton.

==Un petit bout de théorie de la symétrie==
Niveau plus élevé, ébauche :

Soit un groupe fini G à n éléments (e sera l'élément neutre).

Soit E, ev et f application de G dans e ; et &lt;f(g)&gt; = 1/n somme ( f(g)) sur tous les éléments de G.

&lt;f1|f2&gt; = 1/n  somme f1(g).f2(g)*

Enfin, Eo est l'ensemble des ''rep-lin'' appli de G dans le corps des complexes, telles que : f(e)=1 et f(g1g2) = f(g1)f(g2).
Eo est un anneau et un ev hermitien.

Montrer que &lt;f(g)&gt; = &lt;f(g.go)&gt;

soit T(g) appli de Eo dans Eo telle que T(g)f = f° &lt;math&gt;\tau&lt;/math&gt;(g).

Trouver Eo quang G est le groupe de classes d'entiers modulo n.

Le problème sera plus tard de généraliser cette notion de rep-lin d'un groupe G , et d'arriver à la notion essentielle de rep-lin-irréductible.

== Conclusion provisoire ==

Ces chapitres successifs forment à eux seuls un tout assez cohérent.
Ils seront suivis par des exercices de statique, qui, eux, sont historiquement plus anciens : on y notera les contributions d'Archimède, puis des mécaniciens des machines simples du XVIème siècle : les Stevin et autres théoriciens d'une pratique issue des constructions de la Renaissance. Il y sera question du travail virtuel de ces forces.

Il restera à écrire L' ARTICLE FONDAMENTAL : ce sont ces mêmes forces de la statique qui vont être prises comme permettant l'échange de quantité de mouvement par unité de temps :

{{exemple|Enoncé|Équation de Torricelli(1608-1647)-Newton(1687)|&lt;math&gt; \Delta \vec{P_1} := \vec{F_{2/1}}\cdot \Delta t= - \Delta \vec{P_2}&lt;/math&gt;}}.

Il ne restera plus qu'à décrire les Principia et les Grandes Œuvres qui ont suivi. Mais l'essentiel aura été dit : 

'''il n' y a pas de Principe Fondamental de la Dynamique ;''' 

il y a une conservation de la quantité de mouvement d'un système isolé et « simple description EMPIRIQUE » de la loi de force qui permet d'écrire l'équation différentielle d''''échange d'impulsion''' entre les deux sous-systèmes dont l'union est isolée : on connaîtra ainsi le taux temporel d'échange d'impulsion. 

C'est ce à quoi se résume la Dynamique.

== Retour ==
*[[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences|Mécanique , enseignée via l'Histoire des Sciences]]

[[Catégorie:Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences (livre)]]</text>
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    <title>Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Devoir surveillé 1</title>
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        <username>DavidL</username>
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      <comment>DavidL a déplacé la page [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/devoir surveillé1]] vers [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Devoir surveillé 1]]</comment>
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      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="11718" xml:space="preserve">Ce devoir porte sur les 6 leçons précédentes + l'intermède. 

Relire les leçons, et mémoriser les résumés. 

Ce devoir est prévu pour 3 heures. (exercice : 6 points ; problème 14 points). Bon courage.

== Exercice : théorème des cordes (6pts) ==

Soit un cercle de centre C , de diamètres horizontal OE , vertical SN.
*1/. On lâche sans vitesse initiale un perle sur une corde NM : montrer que le temps mis pour parcourir la corde est indépendant de M .
*2/. On lâche sans vitesse initiale un point matériel sur une corde MS : temps mis pour parcourir MS.
*3/. Votre commentaire ?
*4/. Temps mis pour parcourir OSE ?
*5/. Temps mis pour parcourir NMS , le coude rectangulaire en M étant alésé.
*6/. Cas du circuit NOSEN ?

== Problème : chute avec résistance de l'air(14pts) ==

On lance un plomb P, sphérique de rayon R , du point O , verticalement, avec la vitesse Vo. On néglige la légère correction de poussée d'Archimède.
La résistance de l'air est -kaSV², a masse volumique de l'air, S = Pi.R² , si bien que l'équation différentielle donnant le mouvement s'écrit : 

z&quot; = -g - k a S V²/m 

*1/. Donner l'expression de la vitesse V1 telle que l'équation s'écrive : 

z&quot; = -g(1 + V²/ V1²).

*2/. Cette vitesse V1 est-elle plus grande si R est grand ? Qu'en serait-il pour une balle de ping-pong? En ordre de grandeur, quelle est la valeur de k ? Trouver V1 pour un faucon (on prendra masse volumique 1kg/L et rayon R = 5cm.

*3/. Trouver la hauteur OH = h dont s'élève le plomb. Vérifier que h &lt; sqrt(Vo²/g). Quelle est la petite différence si a est très faible?

*4/. Le plomb redescend : comparer le temps de chute, Tc et le temps de montée, Tm ; en particulier si a est très faible. Commentaire, dans ce cas, sur la somme des temps (2Tc -Tm)/ ?

*5/. Comment proposeriez-vous de vous affranchir de l'erreur systématique sur g , due à la résistance de l'air ?

*6/. Le rebond en O s'effectue avec un coefficient de restitution e : décrire sommairement le mouvement ultérieur.

*7/. Montrer que si le projectile n'est pas lancé verticalement, la trajectoire plane présente une asymptote verticale.

Conclure sur le dialogue de sourds entre les Bombardieri et Torricelli.

______________________________________________________________________________________________________

== Correction de l'exercice ==
*1/.NM = 2R.sinA = 1/2 .g.sinA.t² =&gt; t = T = sqrt(4R/g) , indépendant de M : c'est le théorème des cordes de Galilée, dit aussi théorème des géomètres par Newton.

*2/. Soit M' diamétralement opposé à M ; le trajet M'S est parcouru dans le même temps par symétrie, soit à nouveau T , sans refaire de calcul.

*3/. commentaire : la symétrie permet concision, donc une certaine élégance .

*4/. OS est parallèle à NE : même temps ; t/-t =&gt; SE même temps que EN : total [0SE]= 2T

*5/. tous calculs faits , t1+t2 = T (1 + cosA/(1+sinA))= T(1+ tan(B/2)) , avec B = Pi/2 - A ; évidemment inférieur à 2T, décroissant quand A augmente.

*6/. NMS donne donc T sqrt(2) et le tour complet T.2sqrt(2).

== Correction du problème ==
 *1/. ===
V1² = mg/kaS ~ R ;
----

 *2/. ===
si balle de ping-pong, m~S donc V1 indépendante de R [ceci dit , les balles de ping-pong ont un rayon et une masse normalisées].

k~0.25. Alors la vitesse limite pour un faucon, considéré comme une boule de rayon R= 5cm, donne V1² = (r/a)gR/3k ~ 1000. 10.(0.05)4/3 = 100.(20/3), soit V1 = ~ 30m/s (je pense que c'est plus, à cause du k et du maître-couple : à confirmer via lecture sur faucons).
----

 *3/. ===
soit u := V²/V1² , l'équation devient : V1² du/(1+u)= -2g dz ; donc h = V1²/2g . Ln(1+Vo²/V1²); pertinent avec Vo très petit : h = Vo²/2g.(1-Vo²/2V1²) (très léger ralentissement). 

Le temps de montée Tm est Tm = V1/g . arctan(Vo/V1) = Vo/g (1-V0²/3V1²), plus court que Vo/g [mais on monte moins haut que Vo²/2g].
----

*4/. ===
Le temps de chute est après un calcul identique : Tc = Vo/g (1-Vo²/6V1²)&gt; Tm et 2Tc-Tm = 2Vo/g +o(Vo^4/V1^4) (on remarque la symétrie de Corinne en montée et descente, mais attention : celle-ci donne la comparaison entre le temps de montée Tm et le temps de descente T'd pour atteindre la '''même''' vitesse et non pas la '''même''' distance; il faut donc adapter le raisonnement de la Wikipédia [[chute avec résistance de l'air]]).
----

*5/. ===
k=~0.25 , sans dimension . On peut prendre du gaz SF6 , du gaz CO2 , et aussi jouer sur les pressions : ainsi , on peut espérer compenser les erreurs systématiques à 2Vo/g.
----

*6/. ===
la particule rebondit avec la vitesse e.Vo' qui joue le rôle du nouveau Vo ; ainsi la progression et plus rapide que géométrique et donc la balle s'arrête aussi au bout d'un '''temps Fini'''.
----


*7/. ===
Cette question est de niveau plus difficile.

Cette démonstration est faite en [[balistique extérieure]] de la Wikipédia. Torricelli ne la trouva pas. En particulier, la trajectoire parabolique donne le même angle de la vitesse d'arrivée que celui de départ (symétrie t/-t). Les bombardieri savaient depuis longtemps que le tir par mortier donnait une différence significative, et que l'arrivée était quasi-verticale. Torricelli, mathématicien, aurait dû être plus modeste et aurait dû répondre: solution provisoire, sans résistance de l'air ; en attente d'un Bernoulli, qui, avec le calculus à sa disposition , sût résoudre ce problème : 

Appelons la résistance par unité de masse g.f(v), dirigée selon la tangente. La gravité donne donc une concavité vers le bas : quand l'abscisse curviligne augmente , l'angle A(t) de la vitesse avec l'horizontale diminue de A(t=0) à -90° : par conséquent -A(t), fonction monotone croissante du temps peut être choisi comme &quot;échelle de temps&quot; [changer d'échelle est souvent une &quot;astuce&quot; judicieuse]: dt = -dA. v/g cosA ; l'équation du mouvement le long de la tangente devient donc : 
dv/dt = -g sinA -g f(v) soit : 

&lt;div style=&quot;text-align: center;&quot;&gt; '''dv/dA = v tanA + v.f(v)/cosA''' (equation (B alistique))&lt;/div&gt;


équation du premier ordre, avec C.I. de Cauchy (Ao, Vo).


D'où v = V(A), ce qui est l'[[hodographe]] en coordonnées polaires.

Quand A tend vers -90°, v tend vers une limite :f(V1) = 1.

La trajectoire en coordonnées intrinsèques est R = V²(A)/(g.cosA).

Cette trajectoire est dissymétrique par rapport à sa culmination (qui correspond à A = 0), car l'équation (B) donne v(A) &gt; v(-A) et x(t) représente l'aire balayée par l'hodographe (cf. [[Vitesse#Coordonnées polaires|vitesse aréolaire]]).


L'immense différence avec le cas de Torricelli est que :
* la vitesse est bornée par V1 et ne croît donc pas indéfiniment.
* et x(A) est donc borné ! y(A) tendant vers -&lt;math&gt;\infty&lt;/math&gt;

C'est bien ce qu'affirmaient les artilleurs : il y a une asymptote.

L'équation (B) s'appelle équation fondamentale de la Balistique.

*Le cas le plus facile d'intégrabilité est donné par Lagrange : f(v) = kv^n = (v/V1)^n . L'équation (B) est alors une équation de Bernoulli, et s'intègre comme telle (la nouvelle fonction inconnue est X(A)= 1/f), et on obtient une équation différentielle linéaire du premier ordre en X(A).
* En pratique, les artilleurs préfèrent une intégration numérique de (B), compte-tenu de la formule empirique de f(V) déterminée en soufflerie.

==Lecture : sur la brachistochrone==
Ici est donnée une lecture pour se reposer un peu et ADMIRER le travail accompli en 1 siècle, de 1610 à 1710 : 
*en 1610, Galilée trouve la loi que nous appelons : v = g.t soit z = 1/2 gt^2 .
*en 1710, Bernoulli et Newton ont résolu le problème de la brachistochrone. Cela ouvre la voie à EULER, certainement le plus prolifique des scientifiques du XVIIIème siècle.

Rappelons en deux mots quel est le problème de la brachistochrone :
Soit un point de départ D (coordonnées 0,0) ; il s'agit de trouver la &quot;meilleure piste de ski&quot; pour rejoindre le point A ( a,-y°), meilleure voulant dire : celle qui permet d'y aller dans le moindre temps.
Ce problème est donc de nature un peu différente de celui du calculus, car il porte sur une infinité de fonctions, trouver &quot;la meilleure&quot; s'appelle calcul-des-variations , et cela sera l’œuvre d'Euler et de Lagrange au XVIIIème siècle. Néanmoins, Newton donne qq exemple dans les Principia, mais ne maîtrise pas encore le sujet.

Voyons comment se résout le problème de la brachistochrone.

'''Le problème de Bernoulli''' : en fait Bernoulli comprend vite que le problème se ramène au suivant :
Soit un point de départ D(0,0), et un départ lancé de vitesse V°. Quelle est la meilleure piste de ski pour atteindre le point d'arrivée A(a,0) situé plus loin ? Très banalement, ceci se ramène au problème suivant : soit b = a/2 . Comment atteindre la droite d'abscisse x = b &quot;au mieux&quot;, et trouver le point B(b, -z°) où passe la piste : on comprend aisément que le reste de la piste sera la piste symétrique par rapport à x = b .
Il reste donc à trouver la piste de ski optimale entre D et B(B est encore inconnu!).
On perçoit intuitivement le problème : si on prend une pente trop grande, on ira plus vite, mais on sera moins propulsé vers les grandes abscisses. Il y a donc &quot;optimum&quot; à trouver. Si on trouve la bonne pente de départ, comme le processus se reproduit au temps ultérieur, cette indication sera sans doute suffisante ! On répétera le raisonnement et donc on adaptera à chaque position la trajectoire de la même manière [ il s'agit de programmation-dynamique avant la lettre, si on le dit comme ça, façon Pontryagine-Bellman]. Mais sitôt dit cette phrase, il apparaît qu'il suffit de savoir résoudre le problème pour V°=0!

'''Le problème de Bernoulli, départ arrêté ''' : on comprend immédiatement qu'il vaut mieux se laisser tomber en chute libre depuis le point-départ D,et sitôt après commencer à progresser vers le point B ,où la trajectoire est horizontale ( par symétrie, voir plus haut) ; la trajectoire va ressembler à une piste-de-ski-de-saut.Montrer que le point B est à (b, -z°= -2/Pi. b) n'est pas immédiatement évident.Pour simplifier,on va montrer que cette constante cste = 2/Pi peut être approchée par 1/2 : en effet le problème peut se considérer approximativement comme un problème déjà examiné plus haut : se laisser tomber de z° ,puis avec la vitesse acquise sqrt(2g.z°) parcourir la distance b ,soit le temps sqrt(2z°/g) + b /sqrt(2g.z°),minimum pour sqrt(2z°) = sqrt(b),d'où z° = b/2 ; puis Tmin ~ 2sqrt(b/g) (''remarque'' : beaucoup plus court que le temps mis le long du plan icliné DB,qui aurait été sqrt(5) .sqrt(b/g)).Il ne reste plus qu'à traiter le problème réel dont la solution (unique) est : la demi-arche de cycloïde,de pied le point D,et de sommet le point B,soit x = 2/Pi .b.u et -y = 2/Pi.b.(u-sin(u)),avec u variant de 0 à Pi/2.Le résultat est classique : le temps mis pour parcourir cette arche est 1/4 . 2Pi.sqrt(2z°/g), comme le démontra par un vrai tour-de-force le célèbre Huygens, en 1651 ! Soit au final, '''Tmin = Pi/2 . sqrt(b/g)'''.

'''Comparons''' : plan incliné : sqrt(5) ; coude : 2 ; arche : Pi/2 .Le gain est conséquent !
On aurait pu aussi choisir la gouttière circulaire en quart-de-cercle conduisant à (b,-b) : le résultat de Mersenne (vers 1638!) était alors : 18% de plus !! ( K(k);la formule-de-Borda donne ~Pi^2/64 =17% d'augmentation, ce qui n'est pas si mal pour une théorie approchée )

== Retour ==
*[[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences|Mécanique , enseignée via l'Histoire des Sciences]]

[[Catégorie:Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences (livre)]]</text>
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      <text bytes="11797" xml:space="preserve">&lt;noinclude&gt;{{Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences}}&lt;/noinclude&gt;

Ce devoir porte sur les 6 leçons précédentes + l'intermède. 

Relire les leçons, et mémoriser les résumés. 

Ce devoir est prévu pour 3 heures. (exercice : 6 points ; problème 14 points). Bon courage.

== Exercice : théorème des cordes (6pts) ==

Soit un cercle de centre C , de diamètres horizontal OE , vertical SN.
*1/. On lâche sans vitesse initiale un perle sur une corde NM : montrer que le temps mis pour parcourir la corde est indépendant de M .
*2/. On lâche sans vitesse initiale un point matériel sur une corde MS : temps mis pour parcourir MS.
*3/. Votre commentaire ?
*4/. Temps mis pour parcourir OSE ?
*5/. Temps mis pour parcourir NMS , le coude rectangulaire en M étant alésé.
*6/. Cas du circuit NOSEN ?

== Problème : chute avec résistance de l'air(14pts) ==

On lance un plomb P, sphérique de rayon R , du point O , verticalement, avec la vitesse Vo. On néglige la légère correction de poussée d'Archimède.
La résistance de l'air est -kaSV², a masse volumique de l'air, S = Pi.R² , si bien que l'équation différentielle donnant le mouvement s'écrit : 

z&quot; = -g - k a S V²/m 

*1/. Donner l'expression de la vitesse V1 telle que l'équation s'écrive : 

z&quot; = -g(1 + V²/ V1²).

*2/. Cette vitesse V1 est-elle plus grande si R est grand ? Qu'en serait-il pour une balle de ping-pong? En ordre de grandeur, quelle est la valeur de k ? Trouver V1 pour un faucon (on prendra masse volumique 1kg/L et rayon R = 5cm.

*3/. Trouver la hauteur OH = h dont s'élève le plomb. Vérifier que h &lt; sqrt(Vo²/g). Quelle est la petite différence si a est très faible?

*4/. Le plomb redescend : comparer le temps de chute, Tc et le temps de montée, Tm ; en particulier si a est très faible. Commentaire, dans ce cas, sur la somme des temps (2Tc -Tm)/ ?

*5/. Comment proposeriez-vous de vous affranchir de l'erreur systématique sur g , due à la résistance de l'air ?

*6/. Le rebond en O s'effectue avec un coefficient de restitution e : décrire sommairement le mouvement ultérieur.

*7/. Montrer que si le projectile n'est pas lancé verticalement, la trajectoire plane présente une asymptote verticale.

Conclure sur le dialogue de sourds entre les Bombardieri et Torricelli.

______________________________________________________________________________________________________

== Correction de l'exercice ==
*1/.NM = 2R.sinA = 1/2 .g.sinA.t² =&gt; t = T = sqrt(4R/g) , indépendant de M : c'est le théorème des cordes de Galilée, dit aussi théorème des géomètres par Newton.

*2/. Soit M' diamétralement opposé à M ; le trajet M'S est parcouru dans le même temps par symétrie, soit à nouveau T , sans refaire de calcul.

*3/. commentaire : la symétrie permet concision, donc une certaine élégance .

*4/. OS est parallèle à NE : même temps ; t/-t =&gt; SE même temps que EN : total [0SE]= 2T

*5/. tous calculs faits , t1+t2 = T (1 + cosA/(1+sinA))= T(1+ tan(B/2)) , avec B = Pi/2 - A ; évidemment inférieur à 2T, décroissant quand A augmente.

*6/. NMS donne donc T sqrt(2) et le tour complet T.2sqrt(2).

== Correction du problème ==
 *1/. ===
V1² = mg/kaS ~ R ;
----

 *2/. ===
si balle de ping-pong, m~S donc V1 indépendante de R [ceci dit , les balles de ping-pong ont un rayon et une masse normalisées].

k~0.25. Alors la vitesse limite pour un faucon, considéré comme une boule de rayon R= 5cm, donne V1² = (r/a)gR/3k ~ 1000. 10.(0.05)4/3 = 100.(20/3), soit V1 = ~ 30m/s (je pense que c'est plus, à cause du k et du maître-couple : à confirmer via lecture sur faucons).
----

 *3/. ===
soit u := V²/V1² , l'équation devient : V1² du/(1+u)= -2g dz ; donc h = V1²/2g . Ln(1+Vo²/V1²); pertinent avec Vo très petit : h = Vo²/2g.(1-Vo²/2V1²) (très léger ralentissement). 

Le temps de montée Tm est Tm = V1/g . arctan(Vo/V1) = Vo/g (1-V0²/3V1²), plus court que Vo/g [mais on monte moins haut que Vo²/2g].
----

*4/. ===
Le temps de chute est après un calcul identique : Tc = Vo/g (1-Vo²/6V1²)&gt; Tm et 2Tc-Tm = 2Vo/g +o(Vo^4/V1^4) (on remarque la symétrie de Corinne en montée et descente, mais attention : celle-ci donne la comparaison entre le temps de montée Tm et le temps de descente T'd pour atteindre la '''même''' vitesse et non pas la '''même''' distance; il faut donc adapter le raisonnement de la Wikipédia [[chute avec résistance de l'air]]).
----

*5/. ===
k=~0.25 , sans dimension . On peut prendre du gaz SF6 , du gaz CO2 , et aussi jouer sur les pressions : ainsi , on peut espérer compenser les erreurs systématiques à 2Vo/g.
----

*6/. ===
la particule rebondit avec la vitesse e.Vo' qui joue le rôle du nouveau Vo ; ainsi la progression et plus rapide que géométrique et donc la balle s'arrête aussi au bout d'un '''temps Fini'''.
----


*7/. ===
Cette question est de niveau plus difficile.

Cette démonstration est faite en [[balistique extérieure]] de la Wikipédia. Torricelli ne la trouva pas. En particulier, la trajectoire parabolique donne le même angle de la vitesse d'arrivée que celui de départ (symétrie t/-t). Les bombardieri savaient depuis longtemps que le tir par mortier donnait une différence significative, et que l'arrivée était quasi-verticale. Torricelli, mathématicien, aurait dû être plus modeste et aurait dû répondre: solution provisoire, sans résistance de l'air ; en attente d'un Bernoulli, qui, avec le calculus à sa disposition , sût résoudre ce problème : 

Appelons la résistance par unité de masse g.f(v), dirigée selon la tangente. La gravité donne donc une concavité vers le bas : quand l'abscisse curviligne augmente , l'angle A(t) de la vitesse avec l'horizontale diminue de A(t=0) à -90° : par conséquent -A(t), fonction monotone croissante du temps peut être choisi comme &quot;échelle de temps&quot; [changer d'échelle est souvent une &quot;astuce&quot; judicieuse]: dt = -dA. v/g cosA ; l'équation du mouvement le long de la tangente devient donc : 
dv/dt = -g sinA -g f(v) soit : 

&lt;div style=&quot;text-align: center;&quot;&gt; '''dv/dA = v tanA + v.f(v)/cosA''' (equation (B alistique))&lt;/div&gt;


équation du premier ordre, avec C.I. de Cauchy (Ao, Vo).


D'où v = V(A), ce qui est l'[[hodographe]] en coordonnées polaires.

Quand A tend vers -90°, v tend vers une limite :f(V1) = 1.

La trajectoire en coordonnées intrinsèques est R = V²(A)/(g.cosA).

Cette trajectoire est dissymétrique par rapport à sa culmination (qui correspond à A = 0), car l'équation (B) donne v(A) &gt; v(-A) et x(t) représente l'aire balayée par l'hodographe (cf. [[Vitesse#Coordonnées polaires|vitesse aréolaire]]).


L'immense différence avec le cas de Torricelli est que :
* la vitesse est bornée par V1 et ne croît donc pas indéfiniment.
* et x(A) est donc borné ! y(A) tendant vers -&lt;math&gt;\infty&lt;/math&gt;

C'est bien ce qu'affirmaient les artilleurs : il y a une asymptote.

L'équation (B) s'appelle équation fondamentale de la Balistique.

*Le cas le plus facile d'intégrabilité est donné par Lagrange : f(v) = kv^n = (v/V1)^n . L'équation (B) est alors une équation de Bernoulli, et s'intègre comme telle (la nouvelle fonction inconnue est X(A)= 1/f), et on obtient une équation différentielle linéaire du premier ordre en X(A).
* En pratique, les artilleurs préfèrent une intégration numérique de (B), compte-tenu de la formule empirique de f(V) déterminée en soufflerie.

==Lecture : sur la brachistochrone==
Ici est donnée une lecture pour se reposer un peu et ADMIRER le travail accompli en 1 siècle, de 1610 à 1710 : 
*en 1610, Galilée trouve la loi que nous appelons : v = g.t soit z = 1/2 gt^2 .
*en 1710, Bernoulli et Newton ont résolu le problème de la brachistochrone. Cela ouvre la voie à EULER, certainement le plus prolifique des scientifiques du XVIIIème siècle.

Rappelons en deux mots quel est le problème de la brachistochrone :
Soit un point de départ D (coordonnées 0,0) ; il s'agit de trouver la &quot;meilleure piste de ski&quot; pour rejoindre le point A ( a,-y°), meilleure voulant dire : celle qui permet d'y aller dans le moindre temps.
Ce problème est donc de nature un peu différente de celui du calculus, car il porte sur une infinité de fonctions, trouver &quot;la meilleure&quot; s'appelle calcul-des-variations , et cela sera l’œuvre d'Euler et de Lagrange au XVIIIème siècle. Néanmoins, Newton donne qq exemple dans les Principia, mais ne maîtrise pas encore le sujet.

Voyons comment se résout le problème de la brachistochrone.

'''Le problème de Bernoulli''' : en fait Bernoulli comprend vite que le problème se ramène au suivant :
Soit un point de départ D(0,0), et un départ lancé de vitesse V°. Quelle est la meilleure piste de ski pour atteindre le point d'arrivée A(a,0) situé plus loin ? Très banalement, ceci se ramène au problème suivant : soit b = a/2 . Comment atteindre la droite d'abscisse x = b &quot;au mieux&quot;, et trouver le point B(b, -z°) où passe la piste : on comprend aisément que le reste de la piste sera la piste symétrique par rapport à x = b .
Il reste donc à trouver la piste de ski optimale entre D et B(B est encore inconnu!).
On perçoit intuitivement le problème : si on prend une pente trop grande, on ira plus vite, mais on sera moins propulsé vers les grandes abscisses. Il y a donc &quot;optimum&quot; à trouver. Si on trouve la bonne pente de départ, comme le processus se reproduit au temps ultérieur, cette indication sera sans doute suffisante ! On répétera le raisonnement et donc on adaptera à chaque position la trajectoire de la même manière [ il s'agit de programmation-dynamique avant la lettre, si on le dit comme ça, façon Pontryagine-Bellman]. Mais sitôt dit cette phrase, il apparaît qu'il suffit de savoir résoudre le problème pour V°=0!

'''Le problème de Bernoulli, départ arrêté ''' : on comprend immédiatement qu'il vaut mieux se laisser tomber en chute libre depuis le point-départ D,et sitôt après commencer à progresser vers le point B ,où la trajectoire est horizontale ( par symétrie, voir plus haut) ; la trajectoire va ressembler à une piste-de-ski-de-saut.Montrer que le point B est à (b, -z°= -2/Pi. b) n'est pas immédiatement évident.Pour simplifier,on va montrer que cette constante cste = 2/Pi peut être approchée par 1/2 : en effet le problème peut se considérer approximativement comme un problème déjà examiné plus haut : se laisser tomber de z° ,puis avec la vitesse acquise sqrt(2g.z°) parcourir la distance b ,soit le temps sqrt(2z°/g) + b /sqrt(2g.z°),minimum pour sqrt(2z°) = sqrt(b),d'où z° = b/2 ; puis Tmin ~ 2sqrt(b/g) (''remarque'' : beaucoup plus court que le temps mis le long du plan icliné DB,qui aurait été sqrt(5) .sqrt(b/g)).Il ne reste plus qu'à traiter le problème réel dont la solution (unique) est : la demi-arche de cycloïde,de pied le point D,et de sommet le point B,soit x = 2/Pi .b.u et -y = 2/Pi.b.(u-sin(u)),avec u variant de 0 à Pi/2.Le résultat est classique : le temps mis pour parcourir cette arche est 1/4 . 2Pi.sqrt(2z°/g), comme le démontra par un vrai tour-de-force le célèbre Huygens, en 1651 ! Soit au final, '''Tmin = Pi/2 . sqrt(b/g)'''.

'''Comparons''' : plan incliné : sqrt(5) ; coude : 2 ; arche : Pi/2 .Le gain est conséquent !
On aurait pu aussi choisir la gouttière circulaire en quart-de-cercle conduisant à (b,-b) : le résultat de Mersenne (vers 1638!) était alors : 18% de plus !! ( K(k);la formule-de-Borda donne ~Pi^2/64 =17% d'augmentation, ce qui n'est pas si mal pour une théorie approchée )

== Retour ==
*[[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences|Mécanique , enseignée via l'Histoire des Sciences]]

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Historiquement, la Statique précède la dynamique, car on y a peu besoin du calculus. 

Une fois identifiée la notion de force (en newton) comme un vecteur, et donc la loi de composition dite du parallélogramme, bien dégagée par {{w|Simon Stevin|Stevin}} (1548-1620), remarquable novateur, puis celle du produit d.F comme déterminant de rotation autour d'un axe (on dit &quot;moment&quot; du produit vectoriel), l'essentiel est fait. Roberval , puis Varignon(1687) finiront de codifier cette discipline de pratique très ancienne, dont l'application la plus remarquable est celle de démultiplication des forces [via la règle des travaux virtuels ; dont d'Alembert , puis surtout Lagrange seront les champions]: 

la Statique est alors la partie de la Dynamique où le moindre DÉSÉQUILIBRE entraînerait un MINUSCULE mouvement commençant, '''ce qui permet d'éviter tout calcul cinétique'''. C'est uniquement dans cet esprit qu'est la valeur formatrice de la Statique : on y forme une capacité d' analyse des forces soigneuse, de travail infime déterminé , '''le tout sans calculs ou résolution d'équations différentielles''' ; cela justifie donc que nous lui assignons cette place dans ce cours. Elle eût pu être évacuée, mais le concept de travail (1 joule = 1 N.m) aurait été moins bien assimilé. 

Nous ne poursuivrons pas les applications , le projet étant simplement de bien analyser et composer les forces. Alors la Dynamique prendra toute sa puissance, via les analyses de Huygens(1629-1695)(1 descartes /s = 1 newton) et surtout de Newton(les Principia ,1687).

Bibliographie : Mach, Duhem, Bottema, P.Provost

== Préliminaires ==

On ne saurait attaquer un programme de statique, sans une bonne connaissance des vecteurs de R² et de la trigonométrie.

Par exemple, on fera l'exercice suivant : 

Soit un repère orthonormé ('''i , j''') . Soit '''k''' unitaire , d'angle polaire 30° : exprimer i en fonction de j et k.

Recommencer avec k' d'angle polaire 60°.


Solution de l'exercice : 

'''k''' s'exprime à l'aide de '''i''' et''' j''' d'où '''i''' en fonction de '''j''' et '''k''' :
 
'''k''' = cosA .'''i''' +sinA .'''j''' donc '''i'''= k/cosA - tanA. '''j'''

De même avec A = 60°

== Statique du point matériel ==
=== Expérimentation ===

Soit un plomb P attaché à une ficelle OP, laquelle est suspendue par deux fils dynamométriques (un appareil indique leur tension) AO et BO . A, B, O, et P sont dans le même plan et en déplaçant les points A et B, on peut constater que la disposition des fils AO et BO suivent une règle dite PFS (principe fondamental de la statique) du point matériel : les Tensions des fils , Ta et Tb s'ajoutent vectoriellement pour donner -mg , l'opposé du poids du plomb.

L'ancien appareil didactique de Varignon permettait la même manipulation.

=== Enoncé général du PFS (prinicipe fondamental de la Statique) ===

Pour qu'un point matériel, O, soit en équilibre, il faut que la somme des forces agissant en O soit nulle.

=== Exercices ===

;Remorqueurs:Un navire est tiré par deux remorqueurs R1 et R2 par la proue P du navire. l'angle R1PR2 est de 30° et la tension de chaque câble est T = 30 000 N : quelle est la force nécessaire pour tirer le navire.

;Extraction d'un anneau:Un anneau A est chevillé au mur. Une force de 300 N exercée à 30° est insuffisante. On applique cette force par l'intermédiaire une ficelle passant dans l'anneau et attachée en un point B avec AB faisant un angle de 60°. la force de 300N est alors juste suffisante pour extraire l'anneau : quelle force retenait l'anneau?

;Chemin de Halage:0n doit remorquer un canot sur le bord d'une rivière. Deux chemins de halage existent, et l'angle des deux élingues est 15° et 30°. La résistance au flot est de 500 N : trouver la force exercée par les 2 bateliers.

;Chariot sur plan incliné de 15°:si le chariot pèse 500N, quelle force horizontale doit -on exercer ? Existe-t-il une force inférieure possible ? 

==== Correction des exercices ====

;Remorqueurs:

2T.sin(15°)= .

;Extraction d'un anneau:L'utilisation de la ficelle fait gagner 300N.cos60° = 150 N. Donc il fallait 150 +300.(sqrt3 /2)N.

;Chemin de halage:Le parallélogramme de forces donne via la règle des sinus : 500/sin45° = F1/sin30° = F2/sin15°.

;Chariot:F horizontale = 500N.tan15° et F minimale = 500N.sin15°

== Statique du corps rigide dans le plan ==

=== la faute logique du palonnier ===

Mach, dans sa très fine analyse critique du développement de la mécanique, met bien l'accent sur la progression assez caractéristique de celle-ci : l'expérience ancestrale des machines se transmet et est vécue comme &quot;normale&quot;. Puis des &quot;théoriciens&quot; viennent rendre idéales ces machines pour tenter d'y déceler leur principe commun ; il y a accrétion progressive d'un savoir-faire à un savoir, qui conduit lui-même à d'autres inventions, puis d'autres remarques, en une succession d'avancées, d'impasses, de fautes logiques corrigées. 

*La statique du corps rigide peut froidement être énoncée : reste statique tout corps rigide soumis à un torseur nul. Suivent alors les exercices d'applications.Au fond c'est la méthode suivie dans le paragraphe précédent : après une manipulation sommaire de l'appareil didactique de Varignon, on abstrait un PFS , qu'on applique ensuite.

On peut aussi graduellement persuader que tel ou tel énoncé n'est que le reflet de faits pratiques ancestraux : la méthode est plus longue, mais laissent plus d'élèves convaincus (?). Voire.

Voici une jolie histoire de cette sorte : 

*J'ai deux grands bœufs dans mon étable. Pour tirer la charrue je fixe leur joug J1 et J2 au palonnier P de moyeu O , symétriquement en A1 et A2: OA1 = OA2 : la charrue bénéficie ainsi d'une force de traction double.

Ayant 3 bœufs, on fixera un attelage en ligne de 2 bœufs en A1 , mais on placera le joug du troisième en B2 tel que OB2 = 2 OA2. Le palonnier sera équilibré.

De même fonctionnent les balances dites romaines : la somme des di.Fi permet de calculer le poids P à peser : -d.P + somme(di.Fi).

*Vient un théoricien nommé Archimède(-287;-212Syracuse), suivi par Stevin(-1620) , Galilée(1568-1642) et Lagrange(1736-1813): on obtient la gedanken experiment suivante :
 
Soit une plinthe de longueur 2l+2n , suspendue par un point médian de son côté peu épais.
Elle est en équilibre horizontal.

Scier un trait vertical à la distance 2l de l'extrémité ne change rien. Scier un trait horizontal qui partage la plinthe en trois morceaux : un fléau de longueur AB = 2l+2n , et deux plaquettes de longueur respectives 2l et 2n , que l'on continue à faire tenir en leur position initiale par deux fils verticaux traversant le fléau en AF1 = l et AF2 = 2l+n. Tout restant en place identiquement, on admet volontiers que l'équilibre subsiste, chaque plaquette étant d'ailleurs en équilibre puisqu'également suspendue par son milieu. Tourner alors chaque plaquette de 90° ne doit pas changer l'équilibre, ce qui se voit aisément (en répétant l'opération, ad libitum , on obtient un &quot;mobile&quot; de Calder !). Reste le calcul magique : La plaquette P1 est de poids 2l.K et le fil F1 est à la distance OF1 := d1 = l+n -l = n . De même la plaquette P2 de poids 2n.K est suspendue au fil F2 à la distance OF2 := d2 = -l .

L'équilibre a donc lieu pour d1.P1 -d2.P2 = 0 . Dit autrement , l'expression d1.P1 -d2.P2 est le déterminant de l'équilibre autour de O : fût-il positif (resp. négatif), il s'en suivrait un basculement côté P1 (resp. côté P2). 

Convaincu ? si oui, relire Mach et '''chercher l'erreur'''.

=== la Samaritaine ===

*Continuons en invoquant l'argument de la poulie d'[[Archytas]](~ -400JC): si les deux brins d'une corde passant sur une poulie sont soumis à des tractions égales, par symétrie (le bord inférieur de la poulie fût-il ébréché fortement).

Alors reprenant le fléau du palonnier F1OF2 et faisant tourner la figure autour de O, transformons-le en un treuil différentiel de deux poulies de rayon d1 et d2 : les forces des poids P1 et P2 n'ont plus besoin d'être verticales : le déterminant de rotation est donc la distance de O à la direction de la force , les points d'action F1 et F2 n'ayant plus de raison d'être alignés.

*La représentation exacte du phénomène surgit alors : si un seau d'eau suspendu par le brin F1 est en non-déséquilibre par l'action du brin F2 tendu par la samaritaine , c'est que lors d'un infime déplacement, la samaritaine aura tiré de d2 . (d&lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt;) et le seau se sera élevé de d1.((d&lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt;), tels que d2.P2-d1.P1 = 0 : aucune machine simple (sans frottement) ne permet de gagner d'énergie : le TRAVAIL de la samaritaine a été intégralement transmis au seau d'eau.

*Précédemment, nous avons utilisé la loi de Galilée du plan incliné (la loi des cordes : l'accélération est g. sin&lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt;). Son raisonnement tient au fond via l'argument de Stevin(1548-1620): la chaîne fermée de [[Stevin]] posée sur le plan incliné tient en équilibre indifférent, quel que soit la forme du prisme triangulaire AOB sur laquelle elle est posée : car par symétrie les extrémités de la portion suspendue de chaînette suspendue tirent également sur les brins OA de masse P = OA.K et OB de masse Q = OB.K et si l'ensemble tourne un peu , alors le brin court (disons OB) est descendu de l/sinB et le brin long est monté de l/sinA , la portion de chaînette étant resté invariante : il faut bien visionner (pour un prisme demi-équilatéral)ces x chaînons côté B descendre, alors que dans le même temps évidemment 2x chaînons sont montés de la même distance , donc de la HAUTEUR moitié, et prendre du TEMPS pour bien assimiler tout cela. Ainsi

&lt;div style=&quot;text-align: center;&quot;&gt; '''Wonder en is gheen Wonder''' &lt;/div&gt;

Nous renvoyons en discussion cette magnifique leçon d'humilité de Stevin.

=== Expérience ===

Soit un corps rigide mobile dans un plan. Soit G son centre de masse. Exerçons une force F horizontale dont la ligne d'action passe par G : le solide sera translaté sans tourner.
par contre , si on exerce une force F' égale mais parallèle à F de la distance d , le point G se translatera de même, MAIS le solide tournera. On dit que le glisseur-force F' détermine un '''&quot;déterminant-de-rotation&quot;''' d.F (appelé aussi : moment par rapport à G) , ce qui causera une rotation autour de G.Une autre force F&quot; parallèle à F mais de déterminant de rotation opposé fera que ce solide sera translaté sans tourner,la somme des déterminants-de-rotation s'annulant. Il suffira d'ancrer G sur un piton pour que le solide se trouve en équilibre, la &quot;réaction du piton&quot; s'ajustant de manière à équilibrer F' + F&quot;

== Théorème de Varignon ==
Seuls comptent :
* la résultante F' et 
*son déterminant-de-rotation d.F' : 
*on parle d'un vecteur-glisseur.
 
*L'ensemble des vecteurs glisseurs agissant sur un solide s'appelle '''un torseur'''. 

*Deux torseurs sont considérés identiques si ils ont même résultante et même déterminant-de-rotation en un point. Si F' est décomposé sur deux axes en vecP +vecQ de distances d1 et d2 au point G , on aurait la même action : d.F' = d1.P + d2.Q. Le point d'application exact d'un glisseur sur sa droite de glissement est ainsi considéré comme inimportant [dans la mesure ou l'on considère le solide comme infracturable ; en pratique tout le monde sait que le point d'attache d'une caravane sur une voiture est renforcé pour subir les efforts exigés!].

=== Couple et torseur ===

2 forces opposées mais situées sur deux droites d'application de distance d s'appellent un couple C = F.d: elles ne provoquent aucune translation, mais seulement une rotation.

- - -

Tout ensemble de glisseurs-Forces coplanaires peut se {{g|réduire}} à une résultante '''S''' (on dit aussi somme '''S''') et un déterminant-de-rotation (en France , on dit moment de rotation ou par abrégé, moment) en A égal à '''M''' . En un autre point B , le moment sera '''M' = M + BA/\S''' . Si '''S= 0''' , alors le système de forces est dit réduit à un couple C dont le déterminant-de-rotation est indépendant du point de calcul.

== Principe fondamental de la Statique ==

le Principe Fondamental de la Statique (PFS) sera alors : 


 {{exemple|Principe Fondamental|Statique|'''Tout solide en non-déséquilibre est soumis à un torseur de forces nul'''}}

== Machines simples et travaux virtuels ==

ébauche : cf Mach p58 (Jean Bernoulli, 1717)

Ce paragraphe sera étudié dans le cadre purement théorique des liaisons sans frottement. On accède ainsi à une notion très importante de la mécanique : la puissance (en watt) d'une force et son travail (en joule = 1 N.m).

*exemple du moufle d'Archimède : 
ébauche (Mach p 53) :
 
Rien n'incommode plus la raison que de voir tirer les deux hémisphères de Magdebourg par deux fois 8 chevaux : un simple piton scellé dans un mur aurait économisé 8 chevaux.

Une poulie scellée à un plafond supporte deux poids égaux P1 = P et P2 = P et le mur supporte 2P .

Remplaçons le poids P1 par une poulie supportant un poids 2P , l'autre brin étant fixé au mur qui supporte alors au total 3P : l'ouvrier qui tire avec la force F= P supporte ainsi 2P.

Évidemment, Archimède itère le processus : 2P est remplacée par une poulie supportant 4P, le brin fixé au mur supportant 2P . Le mur supporte donc 5P , l'ouvrier ne tire toujours que P.

Et une autre poulie permettra à l'ouvrier de supporter 8P et ne tirant que F = P . 

Mais dût-il élever cette charge 8P d'une hauteur l , la géométrie du mouvement des poulies montre immédiatement qu'il doit déplacer F de 8l : '''la démultiplication des forces n'a été gagnée que dans le rapport inverse des déplacements virtuels''' :
{{exemple|Principe Fondamental|Travail en Statique|'''une machine simple ne crée aucun travail : elle le transfère'''}} 


Encore dans la réalité faut-il compter le poids des câbles, leur raideur ,les frottements ! Mais '''ABSTRACTION faite''' de tous ces embarras, Stevin montre que la profonde réalité est bien là . Et Jean Bernouilli le dira haut et clair en 1717 ; Maupertuis le reprendra en 1740 ; Euler l'utilisera en 1751 ; Lagrange , dans sa mechanique analytique, reprendra avec encore plus d'astuce ce &quot;principe de repos&quot; en montrant que dW = somme des Fi.dli = 0 correspond bien à la variation d'une &quot;énergie potentielle d'un poids décrivant une courbe située dans un plan vertical : aux extrema de cette courbe correspondent les positions d'équilibre : les minima aux équilibres stables; les maxima aux instables ; les points d'inflexion aux mixtes ; les méplats aux indifférents. Voilà à quoi se réduit finalement la Statique. De ce fait, beaucoup de systèmes trouvent une explication plus simple.['''''Remarque historique''' : il n'est pas assez souligné que Stevin est un des tous premiers savants à dire : abstraction faite . La &quot;Gedanken Experiment&quot; est bien née là et non chez Galilée. Le transfert de la force statique en force dynamique ne sera pas un passage trop difficile intellectuellement, c'est plutôt un passage &quot;paresseux&quot;. Mais il ne faut pas s'y tromper : le piège se referme dans la machine d'Atwood sur ceux qui croient que la tension du fil à plomb (mais non , mais non) soit égale au poids du plomb. Ce n'est pas le principal intérêt de cet antique instrument mis au rebut, mais c'était un pont-aux-ânes qu'il fallait franchir pour avoir son bachot]''.

* le treuil différentiel de Weston :
il est constitué de deux poulies clavetées tournant sur le même axe, et de rayons R1 et R2 :la courroie fermée en deux boucles part du manœuvre M passe sur la poulie R1 , descend prendre le seau du puits via une poulie mobile, le brin remonte sur la poulie R2 , s'enroule dans le même sens que le premier et enfin se ferme dans les mains du manœuvre. Celui-ci tire le brin moteur avec la force F = P .(R1-R2)/2R1 , pouvoir démultiplicateur énorme au prix d'un déplacement énorme.

* la balance de Roberval :

Elle représente un mystère pour la plupart des écoliers ! après qu'on leur ait bien parlé de l'équilibre du levier et de la balance romaine , que l'on comprend aisément , on leur dit qu'ils peuvent poser n'importe où leur plateau ou leurs poids dans le plateau. Toute l'argumentation d'Archimède foutue en l'air! 
faites l'expérience avec un prof des écoles : vous verrez la classe effarée : 
c'est quoi ce double fléau lié par deux barres verticales (où sont soudées deux barres horizontales), formant un parallélogramme en équilibre indifférent, quelle que soit la distance où l'on place deux poids égaux sur les barres horizontales, nommées comble de confusion le fléau virtuel horizontal.

Par contre l'explication via le travail des déplacements rassure (?) tout le monde.

== Exercices ==
*exMalle : 

deux porteurs Alex et Bob montent une pente de 30° ayant sur leurs épaules une grosse plaque de poids P = 500 N , de dimension l = AB = CD = 2m d'épaisseur e = AD = BC = 10 cm , de largeur inimportante. La force exercée par Alex est selon AD.

Trouver les forces exercées par Alex et Bob.En quoi un simple chariot à roulettes eût-il soulagé les porteurs ?

- - - - -

*exBoule dans dièdre :
 
Soit deux murs verticaux formant un dièdre droit. Un piton A dans le coin soutien une décoration, soit une &quot;boule de marin&quot; de rayon R, de centre O , la direction du fil OA étant de 30° par rapport à l'arête des murs.

Trouver la tension du fil.

- - - - -

*exPasserelle : 

deux ouvriers Alex et Bob se trouvent sur deux échafaudages distants de L = 2.5 m.Chaque ouvrier pèse 700N . Chacun possède un madrier de 2m de 200N. Comment Alex peut-il rejoindre Bob?

- - - - -

*exPotence :

Une simple barre AB articulée en A fait un angle de 45° avec la verticale , en supportant en B un poids P = 1000 N et la traction horizontale en T étant de 1100 N. Le chef de chantier ne comprend pas , jusqu'au moment où il pense au poids de la barre p. Quel est le poids p de cette barre? 

- - - - -

*exMât télescopique :

Un mât télescopique en 3 morceaux , OA = 3m de poids 2000 N , AB = 3m de poids 1800 N et BC de poids 1600 N doit être dressé verticalement; On dispose d'un treillis de deux barres de 3m pouvant s'accrocher en O et en A formant donc un triangle équilatéral OAD : un Treuil T tire un câble en D, l'angle OTD étant de 30°, la distance TO étant donc de 3m.

Comparer le travail du treuil selon que le mât est ou non déplié.


=== Correction des exercices ===
*exMalle :

Décomposons la force de Bob exercée en B en Fx selon BA et Fy selon BC : par les travaux virtuels , Fx = P/2 = 250 N . D'autre part, Fa +Fy = P .sqrt(3) /2 , et (Fy-Fa).l/2 =Fx.e/2 = P.e/4 ; soit 2eq-lin à 2inc : Fy = P/2 (sqrt(3)/2 +e/2l)et Fa = P/2 (sqrt(3)/2 -e/2l): Bob doit être payé plus qu'Alex !Mais c'est difficile à évaluer : Alex n'a servi que de soutien et n'a effectué aucun travail! Doit-il pour cela n'être rien payé ?

néanmoins un simple chariot à roulettes éliminerait les soucis de portage, et réduirait l'effort de Bob et Alex à P/4 = 125 N.

- - - - -

*exBoule dans dièdre : 
la symétrie de la figure donne égalité pour les 2 forces d'appui qui se composent donc en une seule de valeur F.sqrt(2) , horizontale , dans le plan médian . La nullité de l'&quot;étoile&quot;des 3 forces donne : Tension du fil T = P sqrt(3)/2 et F. sqrt(2) =T/2.

- - - - -

*exPasserelle : 
Si Bob place son madrier de 0.5 m +qq cm dans le vide et se place à l'extrémité pour l'affermir. Alex pose alors son madrier juste sur celui de Bob, soit 0.5m sur son échafaudage et 1.5m reposant juste sur l'autre. Problème : arrivera-t-il à passer ? On imagine sans conteste que le point le plus critique sera quand il sera à 2m au point de superposition des madriers : par rapport au point de bascule, le moment est -Pbob*1.5m -(1.5/2).200N.0.75m + 2*200N*0.5m + Palex* 0.5m , soit :
Palex -3Pbob + 400 N - 225 N. Donc Palex doit être inférieur à 3Pbob -185N : ouf!Alex peut passer : il peut même se donner un peu de marge, Bob avançant son madrier de qq cm de plus !

- - - - - 

*exPotence :
On peut sans changer le problème remplacer p par deux glisseurs égaux p/2 en A et en B : le poids effectif est donc P+p/2 que T doit équilibrer : p = 200 N.

- - - - -

*exMât télescopique : 
À dire vrai, cet exercice n'est pas un exercice de statique.
La question devrait être simplement : comparer la traction du treuil , mât déployé ou non .
Répondons d'abord à cette question :

mât non déployé , le moment du poids en O est 1.5m * (2000+1800+1600)N = 9600 m.N . La distance d'action du fil de traction est aussi 1.5m : donc T = 6400 N = poids du mât.

mât déployé le moment de force devient 1.5*2000 +3*1.5*1800 +5*1.5*1600 et donc T = 2000 +3*1800 +5*1600 = 15400 N 

Si on répond à la question posée (hors programme!), il faut compter que le travail se transfère sans perte dans une machine simple : pour dresser le mât replié , il faut tourner OA de 90° ce qui correspond à un travail de 6400 N élevé de 1.5m soit 9600 J.

Pour dresser le mât déplié, il faudra 15400 *1.5 = 23100J , ceci est bien normal, car dans le premier cas , il faudra bien déplier le mât , ce qui correspond à élever 1800N de 3*1.5m +1600N de 5*1.5m , ce qui représente bien le complément à 9600J.

Dans le cas de machines simples, peu importe la manière de lever le mât. Par contre du point de vue pratique, il convient de prendre la ou les machines de meilleur rendement , compte-tenu des imperfections diverses.

== Exercices complémentaires ==
* exVerre d'eau :
Un verre d'eau de masse m ; on y verse de l'eau : montrer que le minimum d'altitude de G se produit quand G est à la surface de l'eau.

- - - - -

*exEquilibre règles plates :
Voici un exercice couramment pratiqué durant l'ennui d'un cours de Statique : prendre un crayon de section circulaire ; y déposer sa règle plate par le milieu ; constater l'équilibre. Prendre celle du voisin et la superposer; cela marche encore. Prendre celle du prof : ça ne marche plus.

- - - - -

*exDemicylindres :
Un demi cylindre de rayon R2 est posé sur un demi-cylindre de rayon R1, les côtés plats vers le haut. Stabilité ? Et si on continue avec un 3eme de rayon R3 ? 

- - - - -

*exSceauxMontsouris :
Un ouvrier du bâtiment monte un seau de ciment de poids P= 300 N ,d'une hauteur h = 10 m , via une poulie et une corde de chantier de 20m de poids p= 200 N . Une souris (un petit fil d'acier de masse négligeable) lui permet de redescendre son seau. 

Calculer le travail de l'ouvrier lorsqu’il a monté N = 30 seaux.

Un camarade de chantier lui propose , au lieu de la souris, d'utiliser en boucle sa corde de chantier ; compte-tenu de vos connaissances sur le travail dans les machines simples , y a-t’il un avantage ? si oui, justifier.

- - - - -

*exHexagone :
Un hexagone régulier de centre O , formé de 6 barres égales, de poids P, articulées sans frottement formant le pourtour ABCDEFA est suspendu en A , un fil AD maintenant la forme régulière de l’hexagone ;

Trouver la tension du fil AD.

Reprendre avec un pentagone suspendu en A et le fil vertical AM passant à la moitié de la 3ème barre.

=== Corrigé des exercices complémentaires ===
*exVerre d'eau :
En effet , si on rajoute un peu d'eau , le nouveau G est au-dessus de Go;

Si en en retire un peu, le raisonnement avec une masse négative d'eau, montre que le nouveau G est aussi au-dessus de Go !

- - - - -

*exEquilibres règles plates : 
la réponse est que la règle du prof est à section carrée de côté a : si a/2 &gt; r, alors le centre de gravité de la règle n'est pas dans une position minimale , mais au contraire maximale : équilibre instable , pan sur les doigts !(Il &quot;suffit&quot; de dessiner les parallèles à la développante de cercle au niveau de x=0).

- - - - -

*exDemicylindres : 
la règle est toujours la même, mais cette fois il y a deux degrés de liberté, la rotation A1 et la rotation A2 de chaque demi-cylindre. Soit z(A1,A2) la cote du centre de gravité : il faut z convexe !
Même réponse pour trois. Cet exercice sera revu lors de l'étude des petites oscillations.

- - - - -

*exSceauxMontsouris : 
La réponse immédiate est P.h.N = 90 000 J (ce qui est, entre parenthèse, très peu pour une machine : brûler une mole de méthane rapporte 400 kJ environ). Mais il faut justifier la réponse ! Car il faut tenir compte de la corde. En effet l'ouvrier laisse la corde à terre une fois tirée.Au départ, il y a une corde de 20m et G à 5m. À la fin une corde de 10m et G à 5m. L'ouvrier a donc gagné 500 J sur les 3000 J. Mais à la redescente il tire la souris pour remonter la corde et effectue le travail de 500 J ; la réponse est bien 90 000 J . 

On peut le vérifier en sommant la force exercée par l'ouvrier à chaque altitude z :

F(z) = P + p(h-z)/2h - p/2 d'où le travail Ph -p h²/4h = Ph -ph/4 = 3000-500 N

mais au retour il doit fournir 500 N.

La proposition du camarade est donc mal venue , sinon que le travail exercé sera plus régulier et de ce fait peut-être physiologiquement moins dur. 

De même la solution de laisser le bout tiré tomber via une plaque d'égout de 10m , ne sert à rien : on y gagne plus à la montée, mais on reperd tout à la descente : encore une fois , avec un rendement de 100%, de quelque façon que l'on procède (en physique , on dit quel que soit le chemin suivi), le travail sera le même.

- - - - -

*exHexagone :
Pour un petit déplacement élémentaire dl , le fil travaille de F.dl et le treillis voit son centre de masse s'abaisser de dl/2 : donc F = 6P/2

Pour le pentagone régulier, F = 5P/2.(1+1/sqrt(5)). Y a-t’il une raison pour laquelle cette tension est minimale pour l'ensemble des pentagones?(Hint: penser à associer deux configurations de même tension).

== Treillis, poutres et câbles ==
ébauche :

ce paragraphe concerne les spécialistes de sciences industrielles. Nous ne prétendons pas y faire remarque bien nouvelle.

== Frottement de Coulomb ==

Il va de soi que le comportement réaliste des machines simples ne peut éviter d'étudier la notion de frottement (modèle idéalisé par le frottement de Coulomb). Ce chapitre exige à lui seul un ouvrage : il existe dans les wikilivres un excellent traité de tribologie ; s'y reporter.
Sera ici simplement énoncé la loi de Coulomb : 

le torseur de contact exercé sur le solide (S1) par le solide (S2 , appelé le sol) au point A où les plans tangents sont confondus comporte un vecteur somme : '''R''' et un moment '''M''' qui se décomposent en 2 :

'''N''' la composante normale , empêchant (S1) de pénétrer le sol et '''T''' dans le plan tangent, dite résistance au glissement.

'''Mn''' un moment de résistance au pivotement, et '''Mt''' moment de résistance au roulement.

La loi de Coulomb indique :

s'il y a glissement relatif de vitesse V , alors T = k N et de direction -V , avec k coefficient de frottement (très variable selon les matériaux : 0.6 sera pris pour la gomme des pneus sur l'asphalte sec).

si V =0 , alors T &lt; kN 

On en déduit des lois analogues pour Mn et Mt.

Dans le cas où il y a glissement, pivotement ou roulement, il y a évidemment perte d'énergie (qu'il faut évacuer, (ce qui n'est pas rien pour des freins de locomotive!)). 

Évidemment, le torseur de (S1) sur (S2) est l'opposé (2ème loi de Newton).

Rappel bref : ce sont les patins de freins qui stoppent la roue de vélo , mais le pneu qui permet au vélo de ralentir. De même , c'est le travail sur le pédalier qui permet d'avancer, mais c'est la route qui tire la roue arrière gràce au frottement. Il existe une manière (plus ou moins instable) de rouler &quot;rodéo&quot; sur la roue arrière ; néanmoins, on voit de plus en plus ces petits véhicules individuels à deux roues de même moyeu dont on règle la vitesse par changement d'appui, un peu comme dans une planche à voile.

== Conclusion ==

Le PFS se résume à : tout corps rigide immobile est soumis à un torseur nul. Cela assure que la puissance virtuelle appliquée au système entier est nulle.

Cela sera plus tard utilisé par d'Alembert , puis Euler-Lagrange dans leur construction dite lagrangienne de la mécanique analytique.

== Devoir surveillé2 ==
*1/.ExerciceMoore : 
soit un trièdre orthonormé Ox,y,z , Oz verticale ascendante. Soit deux T identiques de 200 N , chacun formé de deux barres identiques de longueur a = 1m et de poids P = 100N . La barre horizontale du premier T, OA est située selon Ox, et l'inclinaison de la barre &quot;verticale&quot; a été tilté de l'angle alpha(&lt; 90°). De même le deuxième T : OB est situé selon Oy et le tilt est beta. Les deux T sont soudés en O. Et la structure présentée dans un musée (mais oui!) est suspendue par trois fils en O , A et B : trouver la tension des 3 fils.(3 points)
*2/.ExerciceTreillis hexagonal :
Soit un treillis hexagonal vertical de centre O , suspendu en A (contour ABCDEFA), 4 barres OB, OC, OE et OF rigidifiant le treillis. On charge le treillis sans masse en D, par un poids P. Résoudre le treillis (3 points)
*3/. Problème :
On considère une barre AB = 2l , de masse m, reposant sur une table horizontale. Le coefficient de frottement de Coulomb est f. Au point P de cette barre, on applique la plus petite force PF nécessaire pour déplacer la barre: dessiner le lieu des points F quand P varie de A à B.

On considère maintenant un triangle équilatéral,ABC , de côté a. Même question.

Pour déplacer la barre AB, on utilise généralement le procédé suivant : on tire vers le haut via une force Qo en B et on pousse avec une force F'horizontale : même problème.

Idem avec le triangle équilatéral.(14pts)

=== Corrigé du devoir ===

== Retour ==
*[[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences|Mécanique , enseignée via l'Histoire des Sciences]]

[[Catégorie:Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences (livre)]]

[[en:Statics]]
[[es:Física/Estática]]
[[pt:Introdução à Física/Estática]]</text>
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    <title>Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/PFD</title>
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C'est évidemment LA leçon principale ; mais nous avions choisi de l'introduire par toutes les leçons précédentes
== Énoncé du PFD ==
Le PFD (Principe Fondamental de la Dynamique) a été énoncé par Newton (1687) dans les Principia.
Aujourd'hui, on lui donne une forme plus compacte via l'objet mathématique le plus adapté : les torseurs. Il s'énonce donc simplement : 

*le mouvement d'un système (S) dans un référentiel galiléen est donné par les six équations scalaires:

*'''Torseur dynamique = Torseur des forces extérieures agissant sur (S).'''

*Si le point O où sont calculés les éléments du Torseur dynamique est fixe dans le galiléen , alors :

*Torseur dynamique = d/dt Torseur cinétique.

Il ne reste plus qu'à donner la définition du Torseur cinétique :

sa somme est &lt;math&gt; \vec{P} = M \vec{V_G} = \Sigma m_i \vec{v_i}&lt;/math&gt;.

son moment en O est &lt;math&gt;\vec{L_O} = \Sigma \vec{L_i} = \Sigma \vec{OM_i} \wedge m_i\vec v(M_i)&lt;/math&gt;.

Ensuite appliquer cette &quot;recette&quot; pour obtenir les équations différentielles à résoudre , et les résoudre compte-tenu des C.I. (conditions initiales).le reste est une affaire de mathématiques: comment les résoudre? sont-elles intégrables? problèmes redoutables où la théorie de Galois différentielle (Ramis-Morales,1998) a apporté une contribution notable.

*'''Dans le cas du point matériel''', le PFD se réduit aux 3 premières équations , souvent appelées PFDT (Principe Fondamental de la Dynamique de Translation) puisqu'un point ne peut tourner par définition !(on sait comment adapter la situation aux ferrofluides):

alors étant donné '''F(M,v(M)''',t), on a 3 équations différentielles du second ordre à résoudre, ce qui revient à dire (sous condition de régularité de Cauchy-Lipschitz) : toute la mécanique du point M se réduit à la connaissance à chaque instant de sa position (l'ensemble constitue la Trajectoire de M) ET de sa vitesse (l'ensemble constitue l'Hodographe), soit donc d'un point de l'espace des phases (R^6) (l'ensemble constituant l'orbite de phase qui ne se recoupe jamais : Principe du Déterminisme causal)

On démontre alors le théorème du moment cinétique : 

&lt;math&gt;{d\vec{L} \over dt} = \vec{OM}\wedge \vec{F}&lt;/math&gt;

*Pour n points matériels, il suffit d'ajouter toutes les équations pour obtenir la deuxième partie du PFD, MAIS il faut rajouter le torseur des forces intérieures !
Or c'est ce que précise la deuxième loi de Newton : F1/2 +F2/1 = 0 , donc le torseur des forces intérieures est NUL. D'où l'expression condensée donnée au début.

*'''Note d'histoire''' : Newton n'a jamais revendiqué être l'auteur de cet énoncé, non plus que d'être l'inventeur de la loi de gravitation [ Hooke l'avait énoncée avant lui (1667)], loi dont il n'était pas fier (Hypothèses non fingo résume sa détresse : il n'a trouvé aucun moyen d'expliquer la CAUSE de cette extraordinaire loi à distance, d'action instantanée : cela était invraisemblable à l'époque et même pour nous, et il fallût l'effort d'Einstein(1915) pour progresser). Par contre les Principia sont une somme formidable de travaux somptueux, mais extrêmement difficiles à comprendre : la réception des Principia prît environ 30 ans, des noms prestigieux du XVIIème les ayant cautionnés : Leibniz, Euler , Bernoulli, Mac Laurin, d'Alembert, Clairaut,...

En France, la traduction tardive des Principia par Émilie du Châtelet, en 1756, est l'aveu d'un retard français dû aux conceptions de Descartes, s'appuyant sur Aristote, qui contestait l'action à distance instantanée comme &quot;magique&quot; : il fallait au moins des lignes d'action, des tourbillons,...

Mais ce retard se rattrape grâce à d'Alembert, Maupertuis, Clairaut et surtout LAGRANGE (mécanique analytique) , puis Laplace (mécanique , traité du système du monde). 

Néanmoins l'immense figure d'Euler (1707-1783) domine le XVIIIème siècle.

*Actuellement, grâce à quelques petites corrections relativistes, les éphémérides de la Lune sont connues à quelques mètres près (Chapront 1997). Par contre , dans le domaine des atomes, la mécanique newtonienne perd tout sens, car '''l'ESPACE des PHASES n'existe pas''' : une particule ne peut avoir à la fois position et vitesse déterminées. Une refonte gigantesque via '''la géométrie non commutative''' permet de reformuler toute la mécanique dite quantique et la théorie quantique des champs (Quantum Fields Theory) (Connes 2003). Néanmoins, on ne sait toujours pas allier les équations d'Einstein et théorie quantique des champs en 2006 (même si des espoirs considérables sont mis sur la théorie des supercordes et leur tore non commutatif).

== Désacralisation des travaux de Newton ==

Il ne s'agit en rien d'attaquer les Principia. Simplement, il existe un contre-sens indigne dans l'enseignement du PFD : F = m.a ne signifie rien pour un élève . What is F : it is m.a . What is a : it is F/m . Et l'on tourne en rond!

En fait, tout l'objectif de ce Wikilivre est de saper ce cercle vicieux pédagogique. Poincaré est de loin celui qui l'a le mieux analysé en introduisant après Laplace la notion d'espace des phases, notion introduite dès le début de ce cours.

Voyons donc pourquoi Newton, si susceptible sur les questions de priorité, n'a pas revendiqué haut et fort SES lois du mouvement : 

Au fond, c'est parce qu'ont maturé tout au long du XVIIème siècle des principes qui ont mâché le travail , et que des esprits très puissants les ont utilisés pour peu à peu résoudre les problèmes. 
*'''Le travail de Newton est néanmoins prodigieux''', car après l'écriture du deMotu(1684), il demande permission à Halley de réécrire un opus mathématique , qui dans sa deuxième partie expliquera la philosophie naturelle (nom de la physique à l'époque): la découverte des théorèmes &quot;remarquables&quot; (les théorèmes de Newton-Gauss sur les objets sphériques), l'essai d'expliquer les éphémérides de la Lune vont l'amener à énoncer comme universelle la loi de Gravitation (c'est à dire la généraliser au plus infime grain de poussière ( et cela Hooke était loin de l'avoir deviné !) ), à résoudre nombre d'équations différentielles, puis à reformuler tout cela dans un langage géométrique, puisque les notions de fluxions et fluentes étaient de l'hébreu pour le commun des mortels.

*'''Cela dit, hormis ce gigantesque travail de remise en forme, il n'y a rien de plus que ce qui avait été dit''' : 
*Principe de relativité de Galilée , repris par Torricelli, Huygens et bien d'autres : c'est la loi 1 de Newton 
*Principe de la quantité de mouvement qui se conservant est échangée entre systèmes, la variation temporelle de cet échange s'appelant la Force : Torricelli disait , a contrario, que la force exercée sur un système gonflait sa quantité de mouvement : &lt;math&gt;\Delta \vec{P} = \int_0^t dt \cdot \vec{F}(t)&lt;/math&gt; : c'est la loi F1/2 +F2/1 de Newton et la DÉFINITION de la force.
*Principe de Torricelli : si un système &quot;descend&quot;, il acquerra de l'énergie cinétique, mais jamais son centre de gravité ne pourra remonter plus haut : Leibniz le ré-exprimera sous forme de théorème de l'énergie cinétique (laissons tomber l'expression forces vives).

A l'aide de ces trois principes, Huygens avait pu tout déduire sur le pendule pesant ; Hooke avait pu résoudre le problème du champ central harmonique. Le problème du pendule spiral était résolu. La statique de Stevin était bien assimilée comme un dynamique du mouvement négligeable, mais où tout déséquilibre donnait une énergie cinétique. Varignon le réécrira correctement dès 1699.

*Alors , qu'a dit Newton ? 

Rien d'autre, dit Poincaré, que : '''d/dt P est la définition de la force F''' et il faut trouver par l'observation l'expression analytique de cette force. '''Cela conduit à une équation différentielle''' qui donne l'orbite sans nœud '''dans l'espace des phases'''. Dans la première partie de ce cours, nombre de ces équations différentielles ont été résolues pour le mouvement d'un point sur une trajectoire dans un champ de pesanteur. La grande gloire de Newton a été de résoudre celle régissant le mouvement d'une planète et conduisant aux lois de Kepler (le deMotu 1684); les Principia ne disent rien de plus au niveau de la physique, même si le nombre d'exemples et de théorèmes est faramineux et témoigne de la virtuosité du génie de Newton.

Cette mise au point faite, il reste à traiter toute la dynamique, c'est à dire la résolution de ces équations différentielles : certaines fois cela sera possible ; le problème est dit intégrable. Certaines fois, cela a été reconnu impossible (Poincaré(1888), Ramis-Moralès(1998) ).

== Le problème à deux corps ==
Pour bien réaffirmer ce qui a été dit, donnons deux exemples du choc frontal de deux masses M et m ayant une impulsion totale nulle (on peut toujours se placer dans ce cadre d'après le Principe de relativité galiléen) , mais en précisant cette fois la loi de transfert de la quantité de mouvement. Nous prendrons deux cas : la loi répulsive de Hooke , et la loi répulsive de Rutherford.

*exercice : choc selon la loi de Hooke 

les deux corps se repoussent selon la loi F2/1 = -k M1M2 = -k(x(t)-X(t)), si la distance est inférieure à D;
Le PFDT donne donc : 

* M X&quot; = -k(x-X)
* m x&quot; = +k(x-X)

en ajoutant et en prenant les C.I. , cela donne G immobile ; pris comme origine , on trouve donc :
x = +M/m X , puis x&quot; = +w² x avec w² = k/ (m//M). Soit un mouvement aller puis retour au point initial avec la vitesse opposée : ce qu'avait décrit Huygens.

- - - - -

* exercice : choc selon la loi de Rutherford
Le PFDT donne donc : 
* MX&quot; = -k/(x-X) = -mx&quot;. Soit : 
* x&quot; = +ga²/x , avec ga² :=k/(m//M). Si les C.I sont xo et -Vo, le point M2 atteindra donc le point B tel que OB = b avec ga²(1/b-1/xo) = 1/2 m Vo², puis retournera en xo avec la vitesse Vo et s'éloignera à l'infini avec la vitesse Vfinale telle que 1/2mVf² = 1/2mVo² +ga²/xo.

- - - - -

Ce que donne de plus la loi de Newton , c'est l'orbite dans le plan de phase, càd v(t) et x(t)et donc l'échange d'impulsion entre les deux particules.

* réduction du pb à 2 corps 
Dans le référentiel R*, où l'impulsion totale est nulle, G est immobile et les mouvements des 2 corps sont homothétiques; de plus le mouvement de M1M2 est dans R(M1;w=0) celui dû à la force réelle à condition de prendre comme masse la masse réduite (m1//m2).

== Retour sur le Principe de l'action et de la réaction ==

Selon notre énoncé , ce Principe n'existe plus que sous le nom de Théorème de la nullité du Torseur des forces intérieures T[Fint].

C'est évidemment un choix de pure forme ! C'est parce que ['''F'''1/2+'''F'''2/1] est un torseur nul que l'on a pu, en sommant sur tous les points d'un système, regrouper les 3 lois de Newton, via la notion d'ensemble de vecteurs glissants (les torseurs) en un seul énoncé : Torseur-dynamique = Torseur-des-forces-extérieures.

Et cela suffit à démontrer que le Torseur-des-Forces-Intérieures est nul. En effet , quelle que soit la décomposition d'un système en (S1-union-S2) , on aura :

T-dyn(S) = T[Force ext(S1-union-S2)]

T-dyn(S1) +T-dyn(S2) = T[Force(S1-union-S2)] + T[(S1 sur S2)] + T[(S2 sur S1)].

Il en résulte T[(S1 sur S2)] +T[(S2 sur S1)] = [0].

Remarquons bien que {[F1/2 + F2/1] = [torseur nul]} dit beaucoup plus que les vecteurs bi-points F1/2 et F2/1 sont opposés! Il dit que '''leur droite d'action est la même''' : ils forment un couple de moment nul. Que la loi de l'isotropie de l'espace soit camouflée derrière cette phrase ne sera compris que bien plus tard (Théorème d'Emmy Noether vers 1910, en toute généralité sur la symétrie hamiltonienne).

Dans le cours de Berkeley, il est dit que c'est parce que l'énergie potentielle de deux points V(d) ne dépend que de la distance d = | r1-r2| de deux points. Ce qui donne effectivement une réponse juste : homogénéité et isotropie de l'espace y sont in-voquées (con-voquées). Cette réponse &quot;à faible coût pédagogique&quot; nous convient présentement.

== Équilibre ==
Une condition nécessaire d'équilibre d'un système S est que le Torseur des forces extérieures soit nul ; mais il faut aussi que cela soit vrai de toute sous-partie de S.

== Référentiel et temps absolu ==
Nous suivrons Chandrasekhar (Newton's Principia for the common reader, 1995, OxUP , ISBN 0-19-851744-0): 

La longue Scholie qui termine le chapitre des Définitions peut se résumer provisoirement à dire : l'espace-temps est considéré comme le produit cartésien de E^3 par le temps (mesuré en secondes par un réel). Il est évident que nous reviendrons abondamment sur cette notion.

Signalons tout de suite simplement, que compte-tenu des définitions du torseur dynamique , celui-ci ne change pas si un référentiel est en translation uniforme par rapport au référentiel dit Absolu : tous ces référentiels sont dits galiléens et sont équivalents . On ne parlera donc plus dorénavant que de référentiels galiléens. C'est donc admettre le Principe de Relativité galiléenne (encore que celui-ci ne l'ait jamais énoncé comme tel, dixit Koyré).

* Note : La Scholie fait 6 pages dans la traduction d'Émilie du Châtelet (1756) : nous la reproduirons, ainsi que la description faite par B.Cohen en discussion pour ne pas alourdir cette leçon.

== Théorèmes généraux ==
Il est coutume immédiatement après avoir énoncer le PFD , de démontrer quelques théorèmes liés au barycentre G du système S : 
*la résultante cinétique vaut M '''V'''(G); la résultante dynamique vaut M '''a'''(G).

Conséquence : le mouvement de G est celui d'un matériel de masse M soumis à R(ext), résultante du torseur T(Fext).

Attention: la résultante R(ext) est à calculer évidemment sur chaque point du système, ce qui fait qu'il faut calculer malgré tout le mouvement de chaque point en général !

* le théorème du moment cinétique :
d/dt '''L'''(P) = '''M'''(Fext, P) + M '''V'''(G) /\''' V'''(P) , quand P est mobile.

Le moment cinétique en G dans un galiléen est égal au moment cinétique en G calculé dans R* (référentiel barycentrique) : en effet '''V'''(M,Rg) = '''V'''(M,R*) + '''V'''(G) .
Donc le torseur T(sigma Mi'''V'''(G)) se réduit à M'''V'''(G)passant par G.

Théorème de Koenig : d/dt '''L'''(G,R*) = '''M''' (Fext, G)
*Deuxième théorème de Koenig sur l'énergie cinétique :
Ec(S, Rg) = 1/2 M V²(G) + Ec(S, R*) , facile à démontrer.

== Théorème de l'énergie cinétique-Puissance : ==
d/dt Ec(S) = Puissance(T(Fext)) + Puissance(T(Fint)

il suffit de sommer 1/2 d/dt (mv²) = '''F.v'''

ATTENTION ! Le Torseur T(Fint) des forces intérieures travaille en général : le cas d'un seul solide est assez particulier.

== Cours ultérieurs ==
Il est convenu de scinder alors la mécanique en mécanique du point matériel , puis en mécanique du solide et des systèmes de solides (C'est typiquement sur ces parties que portent l'essentiel de la mécanique usuellement enseignée à Bac , Bac+2).

Ensuite viendra la mécanique analytique de Lagrange qui est une autre manière très puissante de réécrire les équations de Newton.

Ensuite le cours prendra en compte le renouveau apporté par la formulation hamiltonienne et le traitement des perturbations.

Il se finira par des considérations sur l'intégrabilité des systèmes, relativement récentes.

== L’œuvre de Newton : les Principia ==
ébauche : 

c'est une partie du projet que de faire l’exégèse des Principia , à l'aide de la Marquise et des travaux de B Cohen et de Koyré.

== Retour ==
*[[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences|Mécanique , enseignée via l'Histoire des Sciences]]

[[Catégorie:Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences (livre)]]</text>
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C'est évidemment LA leçon principale ; mais nous avions choisi de l'introduire par toutes les leçons précédentes
== Énoncé du PFD ==
Le PFD (Principe Fondamental de la Dynamique) a été énoncé par Newton (1687) dans les Principia.
Aujourd'hui, on lui donne une forme plus compacte via l'objet mathématique le plus adapté : les torseurs. Il s'énonce donc simplement : 

*le mouvement d'un système (S) dans un référentiel galiléen est donné par les six équations scalaires :

*'''Torseur dynamique = Torseur des forces extérieures agissant sur (S).'''

*Si le point O où sont calculés les éléments du Torseur dynamique est fixe dans le galiléen , alors :

*Torseur dynamique = d/dt Torseur cinétique.

Il ne reste plus qu'à donner la définition du Torseur cinétique :

sa somme est &lt;math&gt; \vec{P} = M \vec{V_G} = \Sigma m_i \vec{v_i}&lt;/math&gt;.

son moment en O est &lt;math&gt;\vec{L_O} = \Sigma \vec{L_i} = \Sigma \vec{OM_i} \wedge m_i\vec v(M_i)&lt;/math&gt;.

Ensuite appliquer cette &quot;recette&quot; pour obtenir les équations différentielles à résoudre , et les résoudre compte-tenu des C.I. (conditions initiales).le reste est une affaire de mathématiques: comment les résoudre? sont-elles intégrables? problèmes redoutables où la théorie de Galois différentielle (Ramis-Morales,1998) a apporté une contribution notable.

*'''Dans le cas du point matériel''', le PFD se réduit aux 3 premières équations , souvent appelées PFDT (Principe Fondamental de la Dynamique de Translation) puisqu'un point ne peut tourner par définition !(on sait comment adapter la situation aux ferrofluides):

alors étant donné '''F(M,v(M)''',t), on a 3 équations différentielles du second ordre à résoudre, ce qui revient à dire (sous condition de régularité de Cauchy-Lipschitz) : toute la mécanique du point M se réduit à la connaissance à chaque instant de sa position (l'ensemble constitue la Trajectoire de M) ET de sa vitesse (l'ensemble constitue l'Hodographe), soit donc d'un point de l'espace des phases (R^6) (l'ensemble constituant l'orbite de phase qui ne se recoupe jamais : Principe du Déterminisme causal)

On démontre alors le théorème du moment cinétique : 

&lt;math&gt;{d\vec{L} \over dt} = \vec{OM}\wedge \vec{F}&lt;/math&gt;

*Pour n points matériels, il suffit d'ajouter toutes les équations pour obtenir la deuxième partie du PFD, MAIS il faut rajouter le torseur des forces intérieures !
Or c'est ce que précise la deuxième loi de Newton : F1/2 +F2/1 = 0 , donc le torseur des forces intérieures est NUL. D'où l'expression condensée donnée au début.

*'''Note d'histoire''' : Newton n'a jamais revendiqué être l'auteur de cet énoncé, non plus que d'être l'inventeur de la loi de gravitation [ Hooke l'avait énoncée avant lui (1667)], loi dont il n'était pas fier (Hypothèses ''non fingo'' résume sa détresse : il n'a trouvé aucun moyen d'expliquer la CAUSE de cette extraordinaire loi à distance, d'action instantanée : cela était invraisemblable à l'époque et même pour nous, et il fallût l'effort d'Einstein(1915) pour progresser). Par contre les ''Principia'' sont une somme formidable de travaux somptueux, mais extrêmement difficiles à comprendre : la réception des Principia prît environ 30 ans, des noms prestigieux du XVII{{ème}} siècle les ayant cautionnés : Leibniz, Euler , Bernoulli, Mac Laurin, d'Alembert, Clairaut,...

En France, la traduction tardive des ''Principia'' par Émilie du Châtelet, en 1756, est l'aveu d'un retard français dû aux conceptions de Descartes, s'appuyant sur Aristote, qui contestait l'action à distance instantanée comme &quot;magique&quot; : il fallait au moins des lignes d'action, des tourbillons,...

Mais ce retard se rattrape grâce à d'Alembert, Maupertuis, Clairaut et surtout LAGRANGE (mécanique analytique) , puis Laplace (mécanique , traité du système du monde). 

Néanmoins l'immense figure d'Euler (1707-1783) domine le XVIIIème siècle.

*Actuellement, grâce à quelques petites corrections relativistes, les éphémérides de la Lune sont connues à quelques mètres près (Chapront 1997). Par contre , dans le domaine des atomes, la mécanique newtonienne perd tout sens, car '''l'ESPACE des PHASES n'existe pas''' : une particule ne peut avoir à la fois position et vitesse déterminées. Une refonte gigantesque via '''la géométrie non commutative''' permet de reformuler toute la mécanique dite quantique et la théorie quantique des champs (''Quantum Fields Theory'') (Connes 2003). Néanmoins, on ne sait toujours pas allier les équations d'Einstein et théorie quantique des champs en 2006 (même si des espoirs considérables sont mis sur la théorie des supercordes et leur tore non commutatif).

== Désacralisation des travaux de Newton ==

Il ne s'agit en rien d'attaquer les Principia. Simplement, il existe un contre-sens indigne dans l'enseignement du PFD : F = m.a ne signifie rien pour un élève . What is F : it is m.a . What is a : it is F/m . Et l'on tourne en rond!

En fait, tout l'objectif de ce Wikilivre est de saper ce cercle vicieux pédagogique. Poincaré est de loin celui qui l'a le mieux analysé en introduisant après Laplace la notion d'espace des phases, notion introduite dès le début de ce cours.

Voyons donc pourquoi Newton, si susceptible sur les questions de priorité, n'a pas revendiqué haut et fort SES lois du mouvement : 

Au fond, c'est parce qu'ont maturé tout au long du XVIIème siècle des principes qui ont mâché le travail , et que des esprits très puissants les ont utilisés pour peu à peu résoudre les problèmes. 
*'''Le travail de Newton est néanmoins prodigieux''', car après l'écriture du deMotu(1684), il demande permission à Halley de réécrire un opus mathématique , qui dans sa deuxième partie expliquera la philosophie naturelle (nom de la physique à l'époque): la découverte des théorèmes &quot;remarquables&quot; (les théorèmes de Newton-Gauss sur les objets sphériques), l'essai d'expliquer les éphémérides de la Lune vont l'amener à énoncer comme universelle la loi de Gravitation (c'est à dire la généraliser au plus infime grain de poussière ( et cela Hooke était loin de l'avoir deviné !) ), à résoudre nombre d'équations différentielles, puis à reformuler tout cela dans un langage géométrique, puisque les notions de fluxions et fluentes étaient de l'hébreu pour le commun des mortels.

*'''Cela dit, hormis ce gigantesque travail de remise en forme, il n'y a rien de plus que ce qui avait été dit''' : 
*Principe de relativité de Galilée , repris par Torricelli, Huygens et bien d'autres : c'est la loi 1 de Newton 
*Principe de la quantité de mouvement qui se conservant est échangée entre systèmes, la variation temporelle de cet échange s'appelant la Force : Torricelli disait , a contrario, que la force exercée sur un système gonflait sa quantité de mouvement : &lt;math&gt;\Delta \vec{P} = \int_0^t dt \cdot \vec{F}(t)&lt;/math&gt; : c'est la loi F1/2 +F2/1 de Newton et la DÉFINITION de la force.
*Principe de Torricelli : si un système &quot;descend&quot;, il acquerra de l'énergie cinétique, mais jamais son centre de gravité ne pourra remonter plus haut : Leibniz le ré-exprimera sous forme de théorème de l'énergie cinétique (laissons tomber l'expression forces vives).

A l'aide de ces trois principes, Huygens avait pu tout déduire sur le pendule pesant ; Hooke avait pu résoudre le problème du champ central harmonique. Le problème du pendule spiral était résolu. La statique de Stevin était bien assimilée comme un dynamique du mouvement négligeable, mais où tout déséquilibre donnait une énergie cinétique. Varignon le réécrira correctement dès 1699.

*Alors , qu'a dit Newton ? 

Rien d'autre, dit Poincaré, que : '''d/dt P est la définition de la force F''' et il faut trouver par l'observation l'expression analytique de cette force. '''Cela conduit à une équation différentielle''' qui donne l'orbite sans nœud '''dans l'espace des phases'''. Dans la première partie de ce cours, nombre de ces équations différentielles ont été résolues pour le mouvement d'un point sur une trajectoire dans un champ de pesanteur. La grande gloire de Newton a été de résoudre celle régissant le mouvement d'une planète et conduisant aux lois de Kepler (le deMotu 1684); les Principia ne disent rien de plus au niveau de la physique, même si le nombre d'exemples et de théorèmes est faramineux et témoigne de la virtuosité du génie de Newton.

Cette mise au point faite, il reste à traiter toute la dynamique, c'est à dire la résolution de ces équations différentielles : certaines fois cela sera possible ; le problème est dit intégrable. Certaines fois, cela a été reconnu impossible (Poincaré(1888), Ramis-Moralès(1998) ).

== Le problème à deux corps ==
Pour bien réaffirmer ce qui a été dit, donnons deux exemples du choc frontal de deux masses M et m ayant une impulsion totale nulle (on peut toujours se placer dans ce cadre d'après le Principe de relativité galiléen) , mais en précisant cette fois la loi de transfert de la quantité de mouvement. Nous prendrons deux cas : la loi répulsive de Hooke , et la loi répulsive de Rutherford.

*exercice : choc selon la loi de Hooke 

les deux corps se repoussent selon la loi F2/1 = -k M1M2 = -k(x(t)-X(t)), si la distance est inférieure à D;
Le PFDT donne donc : 

* M X&quot; = -k(x-X)
* m x&quot; = +k(x-X)

en ajoutant et en prenant les C.I. , cela donne G immobile ; pris comme origine , on trouve donc :
x = +M/m X , puis x&quot; = +w² x avec w² = k/ (m//M). Soit un mouvement aller puis retour au point initial avec la vitesse opposée : ce qu'avait décrit Huygens.

- - - - -

* exercice : choc selon la loi de Rutherford
Le PFDT donne donc : 
* MX&quot; = -k/(x-X) = -mx&quot;. Soit : 
* x&quot; = +ga²/x , avec ga² :=k/(m//M). Si les C.I sont xo et -Vo, le point M2 atteindra donc le point B tel que OB = b avec ga²(1/b-1/xo) = 1/2 m Vo², puis retournera en xo avec la vitesse Vo et s'éloignera à l'infini avec la vitesse Vfinale telle que 1/2mVf² = 1/2mVo² +ga²/xo.

- - - - -

Ce que donne de plus la loi de Newton , c'est l'orbite dans le plan de phase, càd v(t) et x(t)et donc l'échange d'impulsion entre les deux particules.

* réduction du pb à 2 corps 
Dans le référentiel R*, où l'impulsion totale est nulle, G est immobile et les mouvements des 2 corps sont homothétiques; de plus le mouvement de M1M2 est dans R(M1;w=0) celui dû à la force réelle à condition de prendre comme masse la masse réduite (m1//m2).

== Retour sur le Principe de l'action et de la réaction ==

Selon notre énoncé , ce Principe n'existe plus que sous le nom de Théorème de la nullité du Torseur des forces intérieures T[Fint].

C'est évidemment un choix de pure forme ! C'est parce que ['''F'''1/2+'''F'''2/1] est un torseur nul que l'on a pu, en sommant sur tous les points d'un système, regrouper les 3 lois de Newton, via la notion d'ensemble de vecteurs glissants (les torseurs) en un seul énoncé : Torseur-dynamique = Torseur-des-forces-extérieures.

Et cela suffit à démontrer que le Torseur-des-Forces-Intérieures est nul. En effet , quelle que soit la décomposition d'un système en (S1-union-S2) , on aura :

T-dyn(S) = T[Force ext(S1-union-S2)]

T-dyn(S1) +T-dyn(S2) = T[Force(S1-union-S2)] + T[(S1 sur S2)] + T[(S2 sur S1)].

Il en résulte T[(S1 sur S2)] +T[(S2 sur S1)] = [0].

Remarquons bien que {[F1/2 + F2/1] = [torseur nul]} dit beaucoup plus que les vecteurs bi-points F1/2 et F2/1 sont opposés! Il dit que '''leur droite d'action est la même''' : ils forment un couple de moment nul. Que la loi de l'isotropie de l'espace soit camouflée derrière cette phrase ne sera compris que bien plus tard (Théorème d'Emmy Noether vers 1910, en toute généralité sur la symétrie hamiltonienne).

Dans le cours de Berkeley, il est dit que c'est parce que l'énergie potentielle de deux points V(d) ne dépend que de la distance d = | r1-r2| de deux points. Ce qui donne effectivement une réponse juste : homogénéité et isotropie de l'espace y sont in-voquées (con-voquées). Cette réponse &quot;à faible coût pédagogique&quot; nous convient présentement.

== Équilibre ==
Une condition nécessaire d'équilibre d'un système S est que le Torseur des forces extérieures soit nul ; mais il faut aussi que cela soit vrai de toute sous-partie de S.

== Référentiel et temps absolu ==
Nous suivrons Chandrasekhar (Newton's Principia for the common reader, 1995, OxUP , ISBN 0-19-851744-0): 

La longue Scholie qui termine le chapitre des Définitions peut se résumer provisoirement à dire : l'espace-temps est considéré comme le produit cartésien de E^3 par le temps (mesuré en secondes par un réel). Il est évident que nous reviendrons abondamment sur cette notion.

Signalons tout de suite simplement, que compte-tenu des définitions du torseur dynamique , celui-ci ne change pas si un référentiel est en translation uniforme par rapport au référentiel dit Absolu : tous ces référentiels sont dits galiléens et sont équivalents . On ne parlera donc plus dorénavant que de référentiels galiléens. C'est donc admettre le Principe de Relativité galiléenne (encore que celui-ci ne l'ait jamais énoncé comme tel, dixit Koyré).

* Note : La Scholie fait 6 pages dans la traduction d'Émilie du Châtelet (1756) : nous la reproduirons, ainsi que la description faite par B.Cohen en discussion pour ne pas alourdir cette leçon.

== Théorèmes généraux ==
Il est coutume immédiatement après avoir énoncer le PFD , de démontrer quelques théorèmes liés au barycentre G du système S : 
*la résultante cinétique vaut M '''V'''(G); la résultante dynamique vaut M '''a'''(G).

Conséquence : le mouvement de G est celui d'un matériel de masse M soumis à R(ext), résultante du torseur T(Fext).

Attention: la résultante R(ext) est à calculer évidemment sur chaque point du système, ce qui fait qu'il faut calculer malgré tout le mouvement de chaque point en général !

* le théorème du moment cinétique :
d/dt '''L'''(P) = '''M'''(Fext, P) + M '''V'''(G) /\''' V'''(P) , quand P est mobile.

Le moment cinétique en G dans un galiléen est égal au moment cinétique en G calculé dans R* (référentiel barycentrique) : en effet '''V'''(M,Rg) = '''V'''(M,R*) + '''V'''(G) .
Donc le torseur T(sigma Mi'''V'''(G)) se réduit à M'''V'''(G)passant par G.

Théorème de Koenig : d/dt '''L'''(G,R*) = '''M''' (Fext, G)
*Deuxième théorème de Koenig sur l'énergie cinétique :
Ec(S, Rg) = 1/2 M V²(G) + Ec(S, R*) , facile à démontrer.

== Théorème de l'énergie cinétique-Puissance : ==
d/dt Ec(S) = Puissance(T(Fext)) + Puissance(T(Fint)

il suffit de sommer 1/2 d/dt (mv²) = '''F.v'''

ATTENTION ! Le Torseur T(Fint) des forces intérieures travaille en général : le cas d'un seul solide est assez particulier.

== Cours ultérieurs ==
Il est convenu de scinder alors la mécanique en mécanique du point matériel , puis en mécanique du solide et des systèmes de solides (C'est typiquement sur ces parties que portent l'essentiel de la mécanique usuellement enseignée à Bac , Bac+2).

Ensuite viendra la mécanique analytique de Lagrange qui est une autre manière très puissante de réécrire les équations de Newton.

Ensuite le cours prendra en compte le renouveau apporté par la formulation hamiltonienne et le traitement des perturbations.

Il se finira par des considérations sur l'intégrabilité des systèmes, relativement récentes.

== L’œuvre de Newton : les Principia ==
ébauche : 

c'est une partie du projet que de faire l’exégèse des Principia , à l'aide de la Marquise et des travaux de B Cohen et de Koyré.

== Retour ==
*[[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences|Mécanique , enseignée via l'Histoire des Sciences]]

[[Catégorie:Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences (livre)]]</text>
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        <username>DavidL</username>
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      <comment>/* Énoncé du PFD */</comment>
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      <text bytes="16065" xml:space="preserve">&lt;noinclude&gt;{{Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences}}&lt;/noinclude&gt;

C'est évidemment LA leçon principale ; mais nous avions choisi de l'introduire par toutes les leçons précédentes
== Énoncé du PFD ==
Le PFD (Principe Fondamental de la Dynamique) a été énoncé par Newton (1687) dans les Principia.
Aujourd'hui, on lui donne une forme plus compacte via l'objet mathématique le plus adapté : les torseurs. Il s'énonce donc simplement : 

*le mouvement d'un système (S) dans un référentiel galiléen est donné par les six équations scalaires :

*'''Torseur dynamique = Torseur des forces extérieures agissant sur (S).'''

*Si le point O où sont calculés les éléments du Torseur dynamique est fixe dans le galiléen , alors :

*Torseur dynamique = d/dt Torseur cinétique.

Il ne reste plus qu'à donner la définition du Torseur cinétique :

sa somme est &lt;math&gt; \vec{P} = M \vec{V_G} = \Sigma m_i \vec{v_i}&lt;/math&gt;.

son moment en O est &lt;math&gt;\vec{L_O} = \Sigma \vec{L_i} = \Sigma \vec{OM_i} \wedge m_i\vec v(M_i)&lt;/math&gt;.

Ensuite appliquer cette &quot;recette&quot; pour obtenir les équations différentielles à résoudre , et les résoudre compte-tenu des C.I. (conditions initiales).le reste est une affaire de mathématiques: comment les résoudre? sont-elles intégrables? problèmes redoutables où la théorie de Galois différentielle (Ramis-Morales,1998) a apporté une contribution notable.

*'''Dans le cas du point matériel''', le PFD se réduit aux 3 premières équations , souvent appelées PFDT (Principe Fondamental de la Dynamique de Translation) puisqu'un point ne peut tourner par définition !(on sait comment adapter la situation aux ferrofluides):

alors étant donné '''F(M,v(M)''',t), on a 3 équations différentielles du second ordre à résoudre, ce qui revient à dire (sous condition de régularité de Cauchy-Lipschitz) : toute la mécanique du point M se réduit à la connaissance à chaque instant de sa position (l'ensemble constitue la Trajectoire de M) ET de sa vitesse (l'ensemble constitue l'Hodographe), soit donc d'un point de l'espace des phases (R^6) (l'ensemble constituant l'orbite de phase qui ne se recoupe jamais : Principe du Déterminisme causal)

On démontre alors le théorème du moment cinétique : 

&lt;math&gt;{d\vec{L} \over dt} = \vec{OM}\wedge \vec{F}&lt;/math&gt;

*Pour n points matériels, il suffit d'ajouter toutes les équations pour obtenir la deuxième partie du PFD, MAIS il faut rajouter le torseur des forces intérieures !
Or c'est ce que précise la deuxième loi de Newton : F1/2 +F2/1 = 0 , donc le torseur des forces intérieures est NUL. D'où l'expression condensée donnée au début.

*'''Note d'histoire''' : Newton n'a jamais revendiqué être l'auteur de cet énoncé, non plus que d'être l'inventeur de la loi de gravitation [ Hooke l'avait énoncée avant lui (1667)], loi dont il n'était pas fier (Hypothèses ''non fingo'' résume sa détresse : il n'a trouvé aucun moyen d'expliquer la CAUSE de cette extraordinaire loi à distance, d'action instantanée : cela était invraisemblable à l'époque et même pour nous, et il fallût l'effort d'Einstein(1915) pour progresser). Par contre les ''Principia'' sont une somme formidable de travaux somptueux, mais extrêmement difficiles à comprendre : la réception des Principia prît environ 30 ans, des noms prestigieux du XVII{{ème}} siècle les ayant cautionnés : Leibniz, Euler , Bernoulli, Mac Laurin, d'Alembert, Clairaut,...

En France, la traduction tardive des ''Principia'' par Émilie du Châtelet, en 1756, est l'aveu d'un retard français dû aux conceptions de Descartes, s'appuyant sur Aristote, qui contestait l'action à distance instantanée comme &quot;magique&quot; : il fallait au moins des lignes d'action, des tourbillons,...

Mais ce retard se rattrape grâce à d'Alembert, Maupertuis, Clairaut et surtout LAGRANGE (mécanique analytique) , puis Laplace (mécanique , traité du système du monde). 

Néanmoins l'immense figure d'Euler (1707-1783) domine le XVIII{{ème}} siècle.

*Actuellement, grâce à quelques petites corrections relativistes, les éphémérides de la Lune sont connues à quelques mètres près (Chapront 1997). Par contre , dans le domaine des atomes, la mécanique newtonienne perd tout sens, car '''l'ESPACE des PHASES n'existe pas''' : une particule ne peut avoir à la fois position et vitesse déterminées. Une refonte gigantesque via '''la géométrie non commutative''' permet de reformuler toute la mécanique dite quantique et la théorie quantique des champs (''Quantum Fields Theory'') (Connes 2003). Néanmoins, on ne sait toujours pas allier les équations d'Einstein et théorie quantique des champs en 2006 (même si des espoirs considérables sont mis sur la théorie des supercordes et leur tore non commutatif).

== Désacralisation des travaux de Newton ==

Il ne s'agit en rien d'attaquer les Principia. Simplement, il existe un contre-sens indigne dans l'enseignement du PFD : F = m.a ne signifie rien pour un élève . What is F : it is m.a . What is a : it is F/m . Et l'on tourne en rond!

En fait, tout l'objectif de ce Wikilivre est de saper ce cercle vicieux pédagogique. Poincaré est de loin celui qui l'a le mieux analysé en introduisant après Laplace la notion d'espace des phases, notion introduite dès le début de ce cours.

Voyons donc pourquoi Newton, si susceptible sur les questions de priorité, n'a pas revendiqué haut et fort SES lois du mouvement : 

Au fond, c'est parce qu'ont maturé tout au long du XVIIème siècle des principes qui ont mâché le travail , et que des esprits très puissants les ont utilisés pour peu à peu résoudre les problèmes. 
*'''Le travail de Newton est néanmoins prodigieux''', car après l'écriture du deMotu(1684), il demande permission à Halley de réécrire un opus mathématique , qui dans sa deuxième partie expliquera la philosophie naturelle (nom de la physique à l'époque): la découverte des théorèmes &quot;remarquables&quot; (les théorèmes de Newton-Gauss sur les objets sphériques), l'essai d'expliquer les éphémérides de la Lune vont l'amener à énoncer comme universelle la loi de Gravitation (c'est à dire la généraliser au plus infime grain de poussière ( et cela Hooke était loin de l'avoir deviné !) ), à résoudre nombre d'équations différentielles, puis à reformuler tout cela dans un langage géométrique, puisque les notions de fluxions et fluentes étaient de l'hébreu pour le commun des mortels.

*'''Cela dit, hormis ce gigantesque travail de remise en forme, il n'y a rien de plus que ce qui avait été dit''' : 
*Principe de relativité de Galilée , repris par Torricelli, Huygens et bien d'autres : c'est la loi 1 de Newton 
*Principe de la quantité de mouvement qui se conservant est échangée entre systèmes, la variation temporelle de cet échange s'appelant la Force : Torricelli disait , a contrario, que la force exercée sur un système gonflait sa quantité de mouvement : &lt;math&gt;\Delta \vec{P} = \int_0^t dt \cdot \vec{F}(t)&lt;/math&gt; : c'est la loi F1/2 +F2/1 de Newton et la DÉFINITION de la force.
*Principe de Torricelli : si un système &quot;descend&quot;, il acquerra de l'énergie cinétique, mais jamais son centre de gravité ne pourra remonter plus haut : Leibniz le ré-exprimera sous forme de théorème de l'énergie cinétique (laissons tomber l'expression forces vives).

A l'aide de ces trois principes, Huygens avait pu tout déduire sur le pendule pesant ; Hooke avait pu résoudre le problème du champ central harmonique. Le problème du pendule spiral était résolu. La statique de Stevin était bien assimilée comme un dynamique du mouvement négligeable, mais où tout déséquilibre donnait une énergie cinétique. Varignon le réécrira correctement dès 1699.

*Alors , qu'a dit Newton ? 

Rien d'autre, dit Poincaré, que : '''d/dt P est la définition de la force F''' et il faut trouver par l'observation l'expression analytique de cette force. '''Cela conduit à une équation différentielle''' qui donne l'orbite sans nœud '''dans l'espace des phases'''. Dans la première partie de ce cours, nombre de ces équations différentielles ont été résolues pour le mouvement d'un point sur une trajectoire dans un champ de pesanteur. La grande gloire de Newton a été de résoudre celle régissant le mouvement d'une planète et conduisant aux lois de Kepler (le deMotu 1684); les Principia ne disent rien de plus au niveau de la physique, même si le nombre d'exemples et de théorèmes est faramineux et témoigne de la virtuosité du génie de Newton.

Cette mise au point faite, il reste à traiter toute la dynamique, c'est à dire la résolution de ces équations différentielles : certaines fois cela sera possible ; le problème est dit intégrable. Certaines fois, cela a été reconnu impossible (Poincaré(1888), Ramis-Moralès(1998) ).

== Le problème à deux corps ==
Pour bien réaffirmer ce qui a été dit, donnons deux exemples du choc frontal de deux masses M et m ayant une impulsion totale nulle (on peut toujours se placer dans ce cadre d'après le Principe de relativité galiléen) , mais en précisant cette fois la loi de transfert de la quantité de mouvement. Nous prendrons deux cas : la loi répulsive de Hooke , et la loi répulsive de Rutherford.

*exercice : choc selon la loi de Hooke 

les deux corps se repoussent selon la loi F2/1 = -k M1M2 = -k(x(t)-X(t)), si la distance est inférieure à D;
Le PFDT donne donc : 

* M X&quot; = -k(x-X)
* m x&quot; = +k(x-X)

en ajoutant et en prenant les C.I. , cela donne G immobile ; pris comme origine , on trouve donc :
x = +M/m X , puis x&quot; = +w² x avec w² = k/ (m//M). Soit un mouvement aller puis retour au point initial avec la vitesse opposée : ce qu'avait décrit Huygens.

- - - - -

* exercice : choc selon la loi de Rutherford
Le PFDT donne donc : 
* MX&quot; = -k/(x-X) = -mx&quot;. Soit : 
* x&quot; = +ga²/x , avec ga² :=k/(m//M). Si les C.I sont xo et -Vo, le point M2 atteindra donc le point B tel que OB = b avec ga²(1/b-1/xo) = 1/2 m Vo², puis retournera en xo avec la vitesse Vo et s'éloignera à l'infini avec la vitesse Vfinale telle que 1/2mVf² = 1/2mVo² +ga²/xo.

- - - - -

Ce que donne de plus la loi de Newton , c'est l'orbite dans le plan de phase, càd v(t) et x(t)et donc l'échange d'impulsion entre les deux particules.

* réduction du pb à 2 corps 
Dans le référentiel R*, où l'impulsion totale est nulle, G est immobile et les mouvements des 2 corps sont homothétiques; de plus le mouvement de M1M2 est dans R(M1;w=0) celui dû à la force réelle à condition de prendre comme masse la masse réduite (m1//m2).

== Retour sur le Principe de l'action et de la réaction ==

Selon notre énoncé , ce Principe n'existe plus que sous le nom de Théorème de la nullité du Torseur des forces intérieures T[Fint].

C'est évidemment un choix de pure forme ! C'est parce que ['''F'''1/2+'''F'''2/1] est un torseur nul que l'on a pu, en sommant sur tous les points d'un système, regrouper les 3 lois de Newton, via la notion d'ensemble de vecteurs glissants (les torseurs) en un seul énoncé : Torseur-dynamique = Torseur-des-forces-extérieures.

Et cela suffit à démontrer que le Torseur-des-Forces-Intérieures est nul. En effet , quelle que soit la décomposition d'un système en (S1-union-S2) , on aura :

T-dyn(S) = T[Force ext(S1-union-S2)]

T-dyn(S1) +T-dyn(S2) = T[Force(S1-union-S2)] + T[(S1 sur S2)] + T[(S2 sur S1)].

Il en résulte T[(S1 sur S2)] +T[(S2 sur S1)] = [0].

Remarquons bien que {[F1/2 + F2/1] = [torseur nul]} dit beaucoup plus que les vecteurs bi-points F1/2 et F2/1 sont opposés! Il dit que '''leur droite d'action est la même''' : ils forment un couple de moment nul. Que la loi de l'isotropie de l'espace soit camouflée derrière cette phrase ne sera compris que bien plus tard (Théorème d'Emmy Noether vers 1910, en toute généralité sur la symétrie hamiltonienne).

Dans le cours de Berkeley, il est dit que c'est parce que l'énergie potentielle de deux points V(d) ne dépend que de la distance d = | r1-r2| de deux points. Ce qui donne effectivement une réponse juste : homogénéité et isotropie de l'espace y sont in-voquées (con-voquées). Cette réponse &quot;à faible coût pédagogique&quot; nous convient présentement.

== Équilibre ==
Une condition nécessaire d'équilibre d'un système S est que le Torseur des forces extérieures soit nul ; mais il faut aussi que cela soit vrai de toute sous-partie de S.

== Référentiel et temps absolu ==
Nous suivrons Chandrasekhar (Newton's Principia for the common reader, 1995, OxUP , ISBN 0-19-851744-0): 

La longue Scholie qui termine le chapitre des Définitions peut se résumer provisoirement à dire : l'espace-temps est considéré comme le produit cartésien de E^3 par le temps (mesuré en secondes par un réel). Il est évident que nous reviendrons abondamment sur cette notion.

Signalons tout de suite simplement, que compte-tenu des définitions du torseur dynamique , celui-ci ne change pas si un référentiel est en translation uniforme par rapport au référentiel dit Absolu : tous ces référentiels sont dits galiléens et sont équivalents . On ne parlera donc plus dorénavant que de référentiels galiléens. C'est donc admettre le Principe de Relativité galiléenne (encore que celui-ci ne l'ait jamais énoncé comme tel, dixit Koyré).

* Note : La Scholie fait 6 pages dans la traduction d'Émilie du Châtelet (1756) : nous la reproduirons, ainsi que la description faite par B.Cohen en discussion pour ne pas alourdir cette leçon.

== Théorèmes généraux ==
Il est coutume immédiatement après avoir énoncer le PFD , de démontrer quelques théorèmes liés au barycentre G du système S : 
*la résultante cinétique vaut M '''V'''(G); la résultante dynamique vaut M '''a'''(G).

Conséquence : le mouvement de G est celui d'un matériel de masse M soumis à R(ext), résultante du torseur T(Fext).

Attention: la résultante R(ext) est à calculer évidemment sur chaque point du système, ce qui fait qu'il faut calculer malgré tout le mouvement de chaque point en général !

* le théorème du moment cinétique :
d/dt '''L'''(P) = '''M'''(Fext, P) + M '''V'''(G) /\''' V'''(P) , quand P est mobile.

Le moment cinétique en G dans un galiléen est égal au moment cinétique en G calculé dans R* (référentiel barycentrique) : en effet '''V'''(M,Rg) = '''V'''(M,R*) + '''V'''(G) .
Donc le torseur T(sigma Mi'''V'''(G)) se réduit à M'''V'''(G)passant par G.

Théorème de Koenig : d/dt '''L'''(G,R*) = '''M''' (Fext, G)
*Deuxième théorème de Koenig sur l'énergie cinétique :
Ec(S, Rg) = 1/2 M V²(G) + Ec(S, R*) , facile à démontrer.

== Théorème de l'énergie cinétique-Puissance : ==
d/dt Ec(S) = Puissance(T(Fext)) + Puissance(T(Fint)

il suffit de sommer 1/2 d/dt (mv²) = '''F.v'''

ATTENTION ! Le Torseur T(Fint) des forces intérieures travaille en général : le cas d'un seul solide est assez particulier.

== Cours ultérieurs ==
Il est convenu de scinder alors la mécanique en mécanique du point matériel , puis en mécanique du solide et des systèmes de solides (C'est typiquement sur ces parties que portent l'essentiel de la mécanique usuellement enseignée à Bac , Bac+2).

Ensuite viendra la mécanique analytique de Lagrange qui est une autre manière très puissante de réécrire les équations de Newton.

Ensuite le cours prendra en compte le renouveau apporté par la formulation hamiltonienne et le traitement des perturbations.

Il se finira par des considérations sur l'intégrabilité des systèmes, relativement récentes.

== L’œuvre de Newton : les Principia ==
ébauche : 

c'est une partie du projet que de faire l’exégèse des Principia , à l'aide de la Marquise et des travaux de B Cohen et de Koyré.

== Retour ==
*[[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences|Mécanique , enseignée via l'Histoire des Sciences]]

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C'est évidemment LA leçon principale ; mais nous avions choisi de l'introduire par toutes les leçons précédentes
== Énoncé du PFD ==
Le PFD (Principe Fondamental de la Dynamique) a été énoncé par Newton (1687) dans les Principia.
Aujourd'hui, on lui donne une forme plus compacte via l'objet mathématique le plus adapté : les torseurs. Il s'énonce donc simplement : 

*le mouvement d'un système (S) dans un référentiel galiléen est donné par les six équations scalaires :

*'''Torseur dynamique = Torseur des forces extérieures agissant sur (S).'''

*Si le point O où sont calculés les éléments du Torseur dynamique est fixe dans le galiléen , alors :

*Torseur dynamique = d/dt Torseur cinétique.

Il ne reste plus qu'à donner la définition du Torseur cinétique :

sa somme est &lt;math&gt; \vec{P} = M \vec{V_G} = \Sigma m_i \vec{v_i}&lt;/math&gt;.

son moment en O est &lt;math&gt;\vec{L_O} = \Sigma \vec{L_i} = \Sigma \vec{OM_i} \wedge m_i\vec v(M_i)&lt;/math&gt;.

Ensuite appliquer cette &quot;recette&quot; pour obtenir les équations différentielles à résoudre , et les résoudre compte-tenu des C.I. (conditions initiales).le reste est une affaire de mathématiques: comment les résoudre? sont-elles intégrables? problèmes redoutables où la théorie de Galois différentielle (Ramis-Morales,1998) a apporté une contribution notable.

*'''Dans le cas du point matériel''', le PFD se réduit aux 3 premières équations , souvent appelées PFDT (Principe Fondamental de la Dynamique de Translation) puisqu'un point ne peut tourner par définition !(on sait comment adapter la situation aux ferrofluides):

alors étant donné '''F(M,v(M)''',t), on a 3 équations différentielles du second ordre à résoudre, ce qui revient à dire (sous condition de régularité de Cauchy-Lipschitz) : toute la mécanique du point M se réduit à la connaissance à chaque instant de sa position (l'ensemble constitue la Trajectoire de M) ET de sa vitesse (l'ensemble constitue l'Hodographe), soit donc d'un point de l'espace des phases (R^6) (l'ensemble constituant l'orbite de phase qui ne se recoupe jamais : Principe du Déterminisme causal)

On démontre alors le théorème du moment cinétique : 

&lt;math&gt;{d\vec{L} \over dt} = \vec{OM}\wedge \vec{F}&lt;/math&gt;

*Pour n points matériels, il suffit d'ajouter toutes les équations pour obtenir la deuxième partie du PFD, MAIS il faut rajouter le torseur des forces intérieures !
Or c'est ce que précise la deuxième loi de Newton : F1/2 +F2/1 = 0 , donc le torseur des forces intérieures est NUL. D'où l'expression condensée donnée au début.

*'''Note d'histoire''' : Newton n'a jamais revendiqué être l'auteur de cet énoncé, non plus que d'être l'inventeur de la loi de gravitation [ Hooke l'avait énoncée avant lui (1667)], loi dont il n'était pas fier (Hypothèses ''non fingo'' résume sa détresse : il n'a trouvé aucun moyen d'expliquer la CAUSE de cette extraordinaire loi à distance, d'action instantanée : cela était invraisemblable à l'époque et même pour nous, et il fallût l'effort d'Einstein(1915) pour progresser). Par contre les ''Principia'' sont une somme formidable de travaux somptueux, mais extrêmement difficiles à comprendre : la réception des Principia prît environ 30 ans, des noms prestigieux du XVII{{ème}} siècle les ayant cautionnés : Leibniz, Euler , Bernoulli, Mac Laurin, d'Alembert, Clairaut,...

En France, la traduction tardive des ''Principia'' par Émilie du Châtelet, en 1756, est l'aveu d'un retard français dû aux conceptions de Descartes, s'appuyant sur Aristote, qui contestait l'action à distance instantanée comme &quot;magique&quot; : il fallait au moins des lignes d'action, des tourbillons,...

Mais ce retard se rattrape grâce à d'Alembert, Maupertuis, Clairaut et surtout LAGRANGE (mécanique analytique) , puis Laplace (mécanique , traité du système du monde). 

Néanmoins l'immense figure d'Euler (1707-1783) domine le XVIII{{ème}} siècle.

*Actuellement, grâce à quelques petites corrections relativistes, les éphémérides de la Lune sont connues à quelques mètres près (Chapront 1997). Par contre , dans le domaine des atomes, la mécanique newtonienne perd tout sens, car '''l'ESPACE des PHASES n'existe pas''' : une particule ne peut avoir à la fois position et vitesse déterminées. Une refonte gigantesque via '''la géométrie non commutative''' permet de reformuler toute la mécanique dite quantique et la théorie quantique des champs (''Quantum Fields Theory'') (Connes 2003). Néanmoins, on ne sait toujours pas allier les équations d'Einstein et théorie quantique des champs en 2006 (même si des espoirs considérables sont mis sur la théorie des supercordes et leur tore non commutatif).

== Désacralisation des travaux de Newton ==

Il ne s'agit en rien d'attaquer les ''Principia''.
Simplement, il existe un contre-sens indigne dans l'enseignement du PFD : F = m.a ne signifie rien pour un élève.
What is F : it is m.a . What is a : it is F/m . Et l'on tourne en rond !

En fait, tout l'objectif de ce Wikilivre est de saper ce cercle vicieux pédagogique.
Poincaré est de loin celui qui l'a le mieux analysé en introduisant après Laplace la notion d'espace des phases, notion introduite dès le début de ce cours.

Voyons donc pourquoi Newton, si susceptible sur les questions de priorité, n'a pas revendiqué haut et fort SES lois du mouvement :

Au fond, c'est parce qu'ont maturé tout au long du XVII{{ème}} siècle des principes qui ont mâché le travail , et que des esprits très puissants les ont utilisés pour peu à peu résoudre les problèmes.
*'''Le travail de Newton est néanmoins prodigieux''', car après l'écriture du deMotu(1684), il demande permission à Halley de réécrire un opus mathématique , qui dans sa deuxième partie expliquera la philosophie naturelle (nom de la physique à l'époque): la découverte des théorèmes &quot;remarquables&quot; (les théorèmes de Newton-Gauss sur les objets sphériques), l'essai d'expliquer les éphémérides de la Lune vont l'amener à énoncer comme universelle la loi de Gravitation (c'est à dire la généraliser au plus infime grain de poussière ( et cela Hooke était loin de l'avoir deviné !) ), à résoudre nombre d'équations différentielles, puis à reformuler tout cela dans un langage géométrique, puisque les notions de fluxions et fluentes étaient de l'hébreu pour le commun des mortels.

*'''Cela dit, hormis ce gigantesque travail de remise en forme, il n'y a rien de plus que ce qui avait été dit''' : 
*Principe de relativité de Galilée , repris par Torricelli, Huygens et bien d'autres : c'est la loi 1 de Newton 
*Principe de la quantité de mouvement qui se conservant est échangée entre systèmes, la variation temporelle de cet échange s'appelant la Force : Torricelli disait , a contrario, que la force exercée sur un système gonflait sa quantité de mouvement : &lt;math&gt;\Delta \vec{P} = \int_0^t dt \cdot \vec{F}(t)&lt;/math&gt; : c'est la loi F1/2 +F2/1 de Newton et la DÉFINITION de la force.
*Principe de Torricelli : si un système &quot;descend&quot;, il acquerra de l'énergie cinétique, mais jamais son centre de gravité ne pourra remonter plus haut : Leibniz le ré-exprimera sous forme de théorème de l'énergie cinétique (laissons tomber l'expression forces vives).

À l'aide de ces trois principes, Huygens avait pu tout déduire sur le pendule pesant ; Hooke avait pu résoudre le problème du champ central harmonique. Le problème du pendule spiral était résolu. La statique de Stevin était bien assimilée comme un dynamique du mouvement négligeable, mais où tout déséquilibre donnait une énergie cinétique. Varignon le réécrira correctement dès 1699.

*Alors , qu'a dit Newton ? 

Rien d'autre, dit Poincaré, que : '''d/dt P est la définition de la force F''' et il faut trouver par l'observation l'expression analytique de cette force. '''Cela conduit à une équation différentielle''' qui donne l'orbite sans nœud '''dans l'espace des phases'''. Dans la première partie de ce cours, nombre de ces équations différentielles ont été résolues pour le mouvement d'un point sur une trajectoire dans un champ de pesanteur. La grande gloire de Newton a été de résoudre celle régissant le mouvement d'une planète et conduisant aux lois de Kepler (le deMotu 1684); les ''Principia'' ne disent rien de plus au niveau de la physique, même si le nombre d'exemples et de théorèmes est faramineux et témoigne de la virtuosité du génie de Newton.

Cette mise au point faite, il reste à traiter toute la dynamique, c'est à dire la résolution de ces équations différentielles : certaines fois cela sera possible ; le problème est dit intégrable. Certaines fois, cela a été reconnu impossible (Poincaré(1888), Ramis-Moralès(1998) ).

== Le problème à deux corps ==
Pour bien réaffirmer ce qui a été dit, donnons deux exemples du choc frontal de deux masses M et m ayant une impulsion totale nulle (on peut toujours se placer dans ce cadre d'après le Principe de relativité galiléen) , mais en précisant cette fois la loi de transfert de la quantité de mouvement. Nous prendrons deux cas : la loi répulsive de Hooke , et la loi répulsive de Rutherford.

*exercice : choc selon la loi de Hooke 

les deux corps se repoussent selon la loi F2/1 = -k M1M2 = -k(x(t)-X(t)), si la distance est inférieure à D;
Le PFDT donne donc : 

* M X&quot; = -k(x-X)
* m x&quot; = +k(x-X)

en ajoutant et en prenant les C.I. , cela donne G immobile ; pris comme origine , on trouve donc :
x = +M/m X , puis x&quot; = +w² x avec w² = k/ (m//M). Soit un mouvement aller puis retour au point initial avec la vitesse opposée : ce qu'avait décrit Huygens.

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* exercice : choc selon la loi de Rutherford
Le PFDT donne donc : 
* MX&quot; = -k/(x-X) = -mx&quot;. Soit : 
* x&quot; = +ga²/x , avec ga² :=k/(m//M). Si les C.I sont xo et -Vo, le point M2 atteindra donc le point B tel que OB = b avec ga²(1/b-1/xo) = 1/2 m Vo², puis retournera en xo avec la vitesse Vo et s'éloignera à l'infini avec la vitesse Vfinale telle que 1/2mVf² = 1/2mVo² +ga²/xo.

- - - - -

Ce que donne de plus la loi de Newton , c'est l'orbite dans le plan de phase, càd v(t) et x(t)et donc l'échange d'impulsion entre les deux particules.

* réduction du pb à 2 corps 
Dans le référentiel R*, où l'impulsion totale est nulle, G est immobile et les mouvements des 2 corps sont homothétiques; de plus le mouvement de M1M2 est dans R(M1;w=0) celui dû à la force réelle à condition de prendre comme masse la masse réduite (m1//m2).

== Retour sur le Principe de l'action et de la réaction ==

Selon notre énoncé , ce Principe n'existe plus que sous le nom de Théorème de la nullité du Torseur des forces intérieures T[Fint].

C'est évidemment un choix de pure forme ! C'est parce que ['''F'''1/2+'''F'''2/1] est un torseur nul que l'on a pu, en sommant sur tous les points d'un système, regrouper les 3 lois de Newton, via la notion d'ensemble de vecteurs glissants (les torseurs) en un seul énoncé : Torseur-dynamique = Torseur-des-forces-extérieures.

Et cela suffit à démontrer que le Torseur-des-Forces-Intérieures est nul. En effet , quelle que soit la décomposition d'un système en (S1-union-S2) , on aura :

T-dyn(S) = T[Force ext(S1-union-S2)]

T-dyn(S1) +T-dyn(S2) = T[Force(S1-union-S2)] + T[(S1 sur S2)] + T[(S2 sur S1)].

Il en résulte T[(S1 sur S2)] +T[(S2 sur S1)] = [0].

Remarquons bien que {[F1/2 + F2/1] = [torseur nul]} dit beaucoup plus que les vecteurs bi-points F1/2 et F2/1 sont opposés! Il dit que '''leur droite d'action est la même''' : ils forment un couple de moment nul. Que la loi de l'isotropie de l'espace soit camouflée derrière cette phrase ne sera compris que bien plus tard (Théorème d'Emmy Noether vers 1910, en toute généralité sur la symétrie hamiltonienne).

Dans le cours de Berkeley, il est dit que c'est parce que l'énergie potentielle de deux points V(d) ne dépend que de la distance d = | r1-r2| de deux points. Ce qui donne effectivement une réponse juste : homogénéité et isotropie de l'espace y sont in-voquées (con-voquées). Cette réponse &quot;à faible coût pédagogique&quot; nous convient présentement.

== Équilibre ==
Une condition nécessaire d'équilibre d'un système S est que le Torseur des forces extérieures soit nul ; mais il faut aussi que cela soit vrai de toute sous-partie de S.

== Référentiel et temps absolu ==
Nous suivrons Chandrasekhar (Newton's Principia for the common reader, 1995, OxUP , ISBN 0-19-851744-0): 

La longue Scholie qui termine le chapitre des Définitions peut se résumer provisoirement à dire : l'espace-temps est considéré comme le produit cartésien de E^3 par le temps (mesuré en secondes par un réel). Il est évident que nous reviendrons abondamment sur cette notion.

Signalons tout de suite simplement, que compte-tenu des définitions du torseur dynamique , celui-ci ne change pas si un référentiel est en translation uniforme par rapport au référentiel dit Absolu : tous ces référentiels sont dits galiléens et sont équivalents . On ne parlera donc plus dorénavant que de référentiels galiléens. C'est donc admettre le Principe de Relativité galiléenne (encore que celui-ci ne l'ait jamais énoncé comme tel, dixit Koyré).

* Note : La Scholie fait 6 pages dans la traduction d'Émilie du Châtelet (1756) : nous la reproduirons, ainsi que la description faite par B.Cohen en discussion pour ne pas alourdir cette leçon.

== Théorèmes généraux ==
Il est coutume immédiatement après avoir énoncer le PFD , de démontrer quelques théorèmes liés au barycentre G du système S : 
*la résultante cinétique vaut M '''V'''(G); la résultante dynamique vaut M '''a'''(G).

Conséquence : le mouvement de G est celui d'un matériel de masse M soumis à R(ext), résultante du torseur T(Fext).

Attention: la résultante R(ext) est à calculer évidemment sur chaque point du système, ce qui fait qu'il faut calculer malgré tout le mouvement de chaque point en général !

* le théorème du moment cinétique :
d/dt '''L'''(P) = '''M'''(Fext, P) + M '''V'''(G) /\''' V'''(P) , quand P est mobile.

Le moment cinétique en G dans un galiléen est égal au moment cinétique en G calculé dans R* (référentiel barycentrique) : en effet '''V'''(M,Rg) = '''V'''(M,R*) + '''V'''(G) .
Donc le torseur T(sigma Mi'''V'''(G)) se réduit à M'''V'''(G)passant par G.

Théorème de Koenig : d/dt '''L'''(G,R*) = '''M''' (Fext, G)
*Deuxième théorème de Koenig sur l'énergie cinétique :
Ec(S, Rg) = 1/2 M V²(G) + Ec(S, R*) , facile à démontrer.

== Théorème de l'énergie cinétique-Puissance : ==
d/dt Ec(S) = Puissance(T(Fext)) + Puissance(T(Fint)

il suffit de sommer 1/2 d/dt (mv²) = '''F.v'''

ATTENTION ! Le Torseur T(Fint) des forces intérieures travaille en général : le cas d'un seul solide est assez particulier.

== Cours ultérieurs ==
Il est convenu de scinder alors la mécanique en mécanique du point matériel , puis en mécanique du solide et des systèmes de solides (C'est typiquement sur ces parties que portent l'essentiel de la mécanique usuellement enseignée à Bac , Bac+2).

Ensuite viendra la mécanique analytique de Lagrange qui est une autre manière très puissante de réécrire les équations de Newton.

Ensuite le cours prendra en compte le renouveau apporté par la formulation hamiltonienne et le traitement des perturbations.

Il se finira par des considérations sur l'intégrabilité des systèmes, relativement récentes.

== L’œuvre de Newton : les Principia ==
ébauche : 

c'est une partie du projet que de faire l’exégèse des Principia , à l'aide de la Marquise et des travaux de B Cohen et de Koyré.

== Retour ==
*[[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences|Mécanique , enseignée via l'Histoire des Sciences]]

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    <title>Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Mouvement de Hooke</title>
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        <username>DavidL</username>
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      <comment>DavidL a déplacé la page [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/mouvement de Hooke]] vers [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Mouvement de Hooke]]</comment>
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      <text bytes="1791" xml:space="preserve">Il s'agit du mouvement d'un corps dans un champ central &lt;math&gt;-k \cdot \overrightarrow{\mathrm{OM}}&lt;/math&gt;.

la linéarité du PFD ramène ce problème à celui de ''x''&quot; + ω²''x'' = 0 trois fois. 

Il en résulte que la trajectoire est plane : on choisit donc ''z''(''t''&amp;thinsp;) = 0

Il reste par choix d'origine du temps : ''x''(''t''&amp;thinsp;) = A cos ω''t'' ; ''y''(''t''&amp;thinsp;) = B cos(ωt + φ).

C'est l'équation d'une ellipse de Hooke (dite de Lissajous en France). 

Hooke en a laissé une épure remarquable, malgré son faible niveau mathématique.

De nos jours, on utilise la construction par diamètres conjugués :
: &lt;math&gt;\overrightarrow{\mathrm{OM}}(t) = \overrightarrow{\mathrm{OM}}_0 \cdot \cos \omega t + \frac{\vec{\mathrm{V}}_0}{\omega} \cdot \sin \omega t&lt;/math&gt;


La figure d'Apollonius (et donc les théorèmes correspondants) donne absolument tout : 
* conservation du moment cinétique ;
* conservation de l'énergie mécanique ;
* invariant tensoriel dynamique.

Il convient donc de réviser la théorie affine de l'ellipse ; ce qui est du ressort (''sic'' !) de la géométrie. Il ne reste plus qu'à…

Cet exemple doit être parfaitement connu, car il est ''simple'' et il servira de modèle en physique (surtout en physique atomique), chaque fois qu'on le pourra , pour donner des OdGL (ordres de grandeur littéraux), qui sont le pain quotidien des physiciens : un physicien est essentiellement qq'un qui doit pouvoir expliquer un phénomène naturel en en faisant ressortir clairement les « bons » paramètres, i.e. ceux qui donnent les bons OdGL.

== Retour ==

*[[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences|Mécanique , enseignée via l'Histoire des Sciences]]

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      <text bytes="1870" xml:space="preserve">&lt;noinclude&gt;{{Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences}}&lt;/noinclude&gt;

Il s'agit du mouvement d'un corps dans un champ central &lt;math&gt;-k \cdot \overrightarrow{\mathrm{OM}}&lt;/math&gt;.

la linéarité du PFD ramène ce problème à celui de ''x''&quot; + ω²''x'' = 0 trois fois. 

Il en résulte que la trajectoire est plane : on choisit donc ''z''(''t''&amp;thinsp;) = 0

Il reste par choix d'origine du temps : ''x''(''t''&amp;thinsp;) = A cos ω''t'' ; ''y''(''t''&amp;thinsp;) = B cos(ωt + φ).

C'est l'équation d'une ellipse de Hooke (dite de Lissajous en France). 

Hooke en a laissé une épure remarquable, malgré son faible niveau mathématique.

De nos jours, on utilise la construction par diamètres conjugués :
: &lt;math&gt;\overrightarrow{\mathrm{OM}}(t) = \overrightarrow{\mathrm{OM}}_0 \cdot \cos \omega t + \frac{\vec{\mathrm{V}}_0}{\omega} \cdot \sin \omega t&lt;/math&gt;


La figure d'Apollonius (et donc les théorèmes correspondants) donne absolument tout : 
* conservation du moment cinétique ;
* conservation de l'énergie mécanique ;
* invariant tensoriel dynamique.

Il convient donc de réviser la théorie affine de l'ellipse ; ce qui est du ressort (''sic'' !) de la géométrie. Il ne reste plus qu'à…

Cet exemple doit être parfaitement connu, car il est ''simple'' et il servira de modèle en physique (surtout en physique atomique), chaque fois qu'on le pourra , pour donner des OdGL (ordres de grandeur littéraux), qui sont le pain quotidien des physiciens : un physicien est essentiellement qq'un qui doit pouvoir expliquer un phénomène naturel en en faisant ressortir clairement les « bons » paramètres, i.e. ceux qui donnent les bons OdGL.

== Retour ==

*[[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences|Mécanique , enseignée via l'Histoire des Sciences]]

[[Catégorie:Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences (livre)]]</text>
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    <title>Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Mouvement de Kepler</title>
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      <comment>DavidL a déplacé la page [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/mouvement de Kepler]] vers [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Mouvement de Kepler]]</comment>
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      <text bytes="68887" xml:space="preserve">Il s'agit du mouvement d'un point dans un champ central '''F'''('''OM''') = - GMm. '''OM'''/OM³, dit Newtonien.
Kepler en a énoncé les 3 lois principales : 
*La planète P a pour trajectoire une ellipse dont le soleil O est un foyer.
*Le rayon vecteur '''OP''' balaye des surfaces égales dans des temps égaux.
*Le carré de la période T du mouvement est comme le cube du grand axe, 2a, de l'ellipse.

La démonstration de ces faits revient à Newton (1684).

L'article mouvement keplerien de la Wiki a été beaucoup modifié.
Nous en rapatrions l'essentiel.

== Le mouvement est central ==
les conséquences immédiates sont : 
* Le moment cinétique '''L''' est une constante '''Lo'''.(On pose '''L''' = m.'''C''')
* Donc la trajectoire est plane, perpendiculaire en O à Lo
* Dans ce plan , le mouvement tourne autour de O ('''toujours dans le même sens''', choisi comme positif). 
* La loi des aires de Kepler est satisfaite : dS/dt = C/2 = 1/2 r².d&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;/dt.
* Comme C est non nul, theta est une échelle de temps (non linéaire) mais souvent utilisée(cf Note).
* L'hodographe et la trajectoire sont en '''correspondance directe''' : l'un donne l'autre. L'espace des phases sera donc bien R^2 x R^2 , mais de manière très simplifiée.

Note-annexe : historiquement,Ptolémée a utilisé theta' = MF'O = ~ t (+ O(t^3)), car cela suffisait pour les observations de l'époque : cela s'appelle la théorie de l'équant, elle sera vue en exercice.

Note 2 : on a excepté le cas L=0 comme physiquement irréalisable : on doit toujours pouvoir s'y ramener à la limite, et c'est un joli-exercice.

== L'hodographe est un cercle ; donc la trajectoire est une ellipse ==
==='''l'hodographe est un cercle :'''===

Poser p = Co²/GM (on verra que c'est la longueur du semi-latus-rectum (on dit aussi &quot;paramètre&quot; de l'ellipse), et Vo = Co/p (qui est donc une vitesse, par ailleurs pseudo-scalaire). Alors, on trouve :

 &lt;div style=&quot;text-align: center;&quot;&gt;
{| border=0
|-----
|
{| border=1 cellpadding=10 style=&quot;border-collapse:collapse&quot;
|-----
| &lt;math&gt; \vec{V} =   \vec{V_0} \wedge \vec{u}+ \vec{V_1} &lt;/math&gt;
|}
| 
| |
|}&lt;/div&gt; 

multiplier par vecteur(k).wedge et diviser par Vo ; on obtient :

=== la trajectoire est l'ellipse : ===
&lt;div style=&quot;text-align: center;&quot;&gt;
{| border=0
|-----
|
{| border=1 cellpadding=10 style=&quot;border-collapse:collapse&quot;
|-----
| &lt;math&gt; \vec{e}\cdot \vec{r} =  r - p &lt;/math&gt;
|}
| 
| |
|}&lt;/div&gt; 


===Démonstration :===
 prendre comme échelle de temps theta(t) ; le Principe Fondamental de la Dynamique de Translation (PFDT) donne : 

&lt;div style=&quot;text-align: center;&quot;&gt;
&lt;math&gt; \frac{d\vec{V}}  {d\theta} = - V_0 \cdot \vec{u} &lt;/math&gt;.&lt;/div&gt; 

donc, par intégration sur la variable theta : 

&lt;div style=&quot;text-align: center;&quot;&gt;&lt;math&gt; \vec{V} = \vec{V_0} \wedge \vec{u} + \vec{cste}&lt;/math&gt;.&lt;/div&gt;

soit :


&lt;div style=&quot;text-align: center;&quot;&gt;&lt;math&gt; \vec{V} = \vec{V_0} \wedge \vec{u} + \vec{V_1}&lt;/math&gt;.&lt;/div&gt;

Il y a évidemment beaucoup de manière de retrouver le vecteur constant &quot;cste = V1&quot; , en prenant deux valeurs de u opposées ; par exemple, l'apogée et le périgée donnent: V(A) = Vo + V1 et V(A') = Vo - V1 , d'où Vo et V1.


'''''nota bene''''' :''Et Voilà ! C'est fini'' ! L'hodographe est bien un cercle ( de rayon Vo = Co/p) ! La trajectoire sera donc FERMEE ! On obtient donc cette caractéristique FONDAMENTALE du mouvement dès le début du raisonnement. Cette simple remarque a été faite en 1713, mais est passée relativement inaperçue. Il en est résulté des dizaines de re-découvertes ! Jusqu'en 2000, on peut voir des articles ( cf par exemple Butikov, etc.)signalant cette &quot;trouvaille&quot;. On peut s'amuser à exploiter cet hodographe, sans doute comme l'a fait Hooke ( tentative dite des elliptoïdes ; rappelons que Hooke n'avait pas grande culture mathématique, mais il avait compris le principe de l'hodographe, puisque c'est cette méthode de l'hodographe qu'il utilise pour l'ellipse-dite-de-Hooke ).

==== '''Vecteur excentricité''', &lt;math&gt;\vec{e_o}&lt;/math&gt;, constant ====


&lt;div style=&quot;text-align: center;&quot;&gt;
{| border=0
|-----
|
{| border=1 cellpadding=10 style=&quot;border-collapse:collapse&quot;
|-----
| &lt;math&gt; \vec{e} =  \vec{u} + \vec{V/V_0} \wedge \vec {k} &lt;/math&gt;
|}
| 
| |
|}&lt;/div&gt; 

C'est l'extra-ordinaire intégrale première de Hermann(1713)- retrouvée par Laplace-Runge-Lenz,etc.! Il en sera question plus tard.

La démonstration est immédiate : multiplier l'équation de l'hodographe par vec(r)/Vo.wedge, et la réécrire . 


===='''donc la trajectoire est une ellipse :'''====
Car en multipliant scalairement le vecteur-excentricité &lt;math&gt;\vec{e}&lt;/math&gt; par le rayon-vecteur, on obtient : 

&lt;math&gt;e \cdot r cos\theta = r - p&lt;/math&gt; , soit :

&lt;div style=&quot;text-align: center;&quot;&gt;
{| border=0
|-----
|
{| border=1 cellpadding=10 style=&quot;border-collapse:collapse&quot;
|-----
| &lt;math&gt; r = \frac{p}{1 - e \cos \theta} &lt;/math&gt;
|}
| 
| |
|}&lt;/div&gt;


Ce qui est l'équation polaire d'une ellipse d'excentricité e , et de paramètre p , le vecteur-excentricité pointant vers l'apogée.La valeur de p ( demi-latus rectum := b^2/a := a(1-e^2)) est :

&lt;div style=&quot;text-align: center;&quot;&gt;
{| border=0
|-----
|
{| border=1 cellpadding=10 style=&quot;border-collapse:collapse&quot;
|-----
| &lt;math&gt; p = \frac{C_o^2}{(GM)}&lt;/math&gt;
|}
| 
| |
|}&lt;/div&gt;


Evidemment, on peut prendre la convention, '''origine au périgée''' ; soit &lt;math&gt; r = \frac{p}{1 + e \cos \theta}&lt;/math&gt;,


==='''La conservation de l'énergie''' ===
si l'on introduit l'énergie potentielle -GMm/r , elle conduit à :
1/2 V² - (GM)/r = Eo/m = cste , d'où 

&lt;div style=&quot;text-align: center;&quot;&gt;'''Eo négative == - GMm/2a.'''&lt;/div&gt;

'''Exercice''' : montrer que 2a est le grand-axe de l'ellipse.

Donc dans le plan de la trajectoire, les deux quantités physiques '''Lo''' et Eo déterminent la forme de l'ellipse. Bien sûr '''OMo''' et '''Vo''' aussi.

==='''moyens mnémotechniques''' par @d ===
il importe, dans les exercices, de ne pas toujours tout redémontrer, et de savoir retenir les formules encadrées : la méthode d'A.D., dite des d@hus, sert en ce genre de situation :

les seuls paramètres sont cinématiques : GM (cste de Gauss) , Eo/m (énergie massique), et Co (cste des aires).
Donc, un de trop ! 

'''MAIS''' il suffit de retenir 

*p = @d[GM, Co]   ( et pas de Eo) ; et de retrouver la cste par le cas particulier du cercle ( donc cste =1)
*2a= @d[GM, Eo/m] ( et pas de Co) ; et de retrouver la cste par le cas particulier du cercle ( donc cste =-1)

=== remarque de Hooke-Hamilton ===

Signalons à titre de curiosité ce raisonnement de Hooke, qui a peut-être des résurgences dans la pensée de Allais ( nobel économie quand même ! ) :
Si l'on considère que le mouvement est plan central, de centre O , pourquoi ne pas dire que la force est centrale et proportionnelle à l'angle balayé par unité de temps, soit &lt;math&gt;\dot{\theta}&lt;/math&gt; , alors on retrouve tous les résultats antérieurs. Il est fort possible que ce soit par cette méthode que Hooke ait essayé de retrouver &quot;la fameuse loi en 1/r²&quot; , en appliquant sa méthode du second ordre : se donner la position initiale, puis la position voisine. Alors appliquer la loi et trouver la position ultérieure. Itérer. Il trouva par cette méthode des &quot;elliptoides&quot;, ce que méprisa Newton. Plus fin, mais quel mérite en 1820? , Hamilton tirera de cette loi le fait que l'hodographe est un cercle, et tout le reste s'ensuit comme on l'a vu.

Ainsi les lois de Newton seraient simplement liées à un &lt;math&gt;\dot{\theta}&lt;/math&gt;. Cette méthode serait plus &quot;économique&quot;. Par contre, elle induirait peut-être un malaise, si on l'interprète à la manière Allais, car alors l'interposition de la Lune entre Soleil et Terre pourrait modifier l'angle sous lequel le Soleil serait vu de la Terre, et ainsi modifier &quot;G&quot; : une telle manière de faire serait alors en contradiction avec l'astronomie des trois corps. Il faudrait aussi retrouver la gravimétrie et les &quot;théorèmes remarquables de newton-gauss&quot;. Dans cette problématique, on serait alors entrainés fort loin...Cela est bien curieux et ne vaut que pour l'anecdote : il est sain d'avoir toujours des visions différentes ( mais si elles débouchent...sur quelque chose de tangible).

== Mouvement sur la trajectoire ==

* La loi des aires donne S/T = Pi.a.b/T = Co/2 , ce qui donne :
{{exemple||loi de Kepler(1628)|&lt;math&gt;\omega^2 \cdot a^3 = (GM) &lt;/math&gt;}}


* Partant du périhélie, et en introduisant l'angle dit [[anomalie excentrique]] E(t)(cf dessin), géométriquement :

&lt;math&gt;tan \theta/2 = tan E/2 \cdot \sqrt \frac{1+e}{1-e}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt; r = a (1- e \cdot \cos E)&lt;/math&gt;;

On calcule géométriquement l'aire balayée depuis le passage au péricentre :

par affinité , S(t) = (b/a)[a²E/2 -ac. sinE /2] = ba(E-e.sinE)/2

Il s'ensuit :

{{exemple||Equation_du_temps de Kepler|&lt;math&gt;\omega t = E - e \cdot \sin E &lt;/math&gt;}} 

La fonction réciproque donne E(t), et de là '''OM'''(t).
----

===Fin du Cours===

Il est évident que l'on a cherché ici la compaction maximum du cours.Des dizaines d'ouvrages reprennent ce problème.
Pour nous, 2 ressortent du lot : Chandrasekhar si on aime la géométrie . Tisserand ou Winter si on veut plus exhaustif.Quelques exercices classiques suivent, pour &quot;se faire la main&quot;.
----

==Exercices ==
Il y a des dizaines d'exercices sur ce sujet, évidemment très important; soit de satellites artificiels, soit d'astronomie. Nous &quot;essaierons&quot; de les classer.

=== satellites de la Terre ===
'''exMersenne-Descartes-Laplace :'''
 
Mersenne posa à Descartes la question suivante : si on tire un boulet verticalement, est-il possible que le boulet ne redescende pas? 

Soit h = Vo²/2g . Montrer que l'altitude H atteinte est :
1/H = 1/h-1/R . que se passe-t-il pour h &gt; R .

Que penser du cas Vo&lt;c et c²&lt; 2gR (Laplace vers 1800).

----
 
'''exSystème d'unités :''' pour la Terre , nous éviterons GM remplacé par gR² avec profit. Du fait de La loi de Galilée, la masse du satellite m n'intervient jamais. On se retrouve donc avec un système d'unités adapté ( un d@hu) tronqué à la cinématique.

*R étant l'unité de longueur, on prendra 2π.R = 40 000 km.
*On conviendra de prendre g = 9,80 m/s².
*La pulsation unitaire sera donc &lt;math&gt;w = \sqrt{\frac{g}{R}}&lt;/math&gt;, dite pulsation de Schuler. Il lui correspond une '''période''' &lt;math&gt;T(R)= 2 \pi \sqrt{\frac{R}{g}}&lt;/math&gt;, dite période basse altitude (84,4 min).
*La vitesse unitaire est &lt;math&gt;Vo = wR = \sqrt{gR}&lt;/math&gt;= 1re vitesse cosmique = 8.2 km/s (vitesse d'un satellite basse altitude).
*L'énergie massique du satellite est donc -1/2 .gR 
*Le pivotement sidéral de la Terre est 24h * (365.25/366.25) = 86164 s =17.0 To.En un jour les astronautes voient donc environ 18 fois le Soleil se lever.

En pratique, les satellites d'observation , type Spot orbitent à ~ 800 km d'altitude.
Reprendre le système d'unités de ces satellites. 
---- 

'''exLégère erreur de trajectoire :'''

Au lieu de la bonne vitesse Vo de Spot, on donne une vitesse de bonne direction (i.e perpendiculaire au rayon) mais trop forte : V1 = Vo(1+eps). Trouver la trajectoire et la période.

- - - - -

'''exFenêtre de tir :'''

m ex que le précédent mais la bonne vitesse Vo est mal orientée dans le plan d'un angle A , petit. Trouver le périgée.

- - - - - 

'''exErreur radiale :'''
 
m ex que le précédent, mais il y a en sus de Vo , une erreur de vitesse radiale Vo.eps.

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'''exLâcher-Chute libre :''' 

On n' a pas attendu Newton (le 24 Nov 1679) pour réfléchir à la déviation vers l'Est (ou l'ouest!) d'une pierre lâchée de l'équateur; c'était la dispute favorite des Coperniciens et antiCoperniciens. La vitesse due au pivotement est à l'équateur de 40 000 km/86164 s soit 464 m/s . Selon les antiCoperniciens, une chute de 5m (environ 1s) eût placé le mobile vers l'Ouest de 464 m ! Galilée (mais il avait tort) disait que le corps tomberait toujours à la verticale. Koyré catalogue les différents types de solutions (chute des graves et mouvement de la Terre): l'imagination au pouvoir ! mais c'est Newton qui donna la solution.

Soit h &lt;&lt; R , retrouver le résultat de Newton.

Si h est assez grand, la déviation vers l'est sera si grande que la pierre sera satellite.

Si h = altitude geostationnaire = H , la pierre ne tombe plus !

Si h est encore plus grand , la pierre est à son périgée : elle remonte, périodiquement.

Si h &gt; (R+H) .2^(1/3) - R , qu'arrive-t-il ? 

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'''exBalistique :''' voir la WP ( [[ellipse de sûreté]] )

revoir la leçon sur la chute libre avec violence (avec vitesse initiale dit-on aujourd'hui).
Dès que l'on veut une certaine précision (théorique) , il faut tenir compte de ce que la Terre est sphérique et donc prendre comme trajectoire de l'obus une ellipse lancé d'une base B avec une vitesse Vo faisant l'angle A avec la verticale. Soit u = Vo/sqrt(gR).

1/. Relation u et A pour que l'obus tombe à l'antipode.

2/. Déterminer la portée 2R.Beta , via tan B = f(u, tan A).

3/. Pour B donné, combien y a-t-il de trajectoires possibles ? et quelle est la portée maximale.

(Hint: soit H le point d'altitude maximale (pour A=0 !). La trajectoire a pour deuxième foyer un point situé sur le cercle [centre B ; rayon BH]).
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=== Corrigé des exercices ===

'''exMersenne-Descartes :'''

Appliquer le théorème de l'Energie cinétique :
-gR²/r +1/2 V² = cste , ce qui conduit au résultat.
Descartes évidemment ne savait rien de tout cela ; mais il se doutait &quot;intuitivement&quot; que si g(z) décroissait alors il y aurait possiblement une &quot;vitesse de libération&quot;.

De même , Laplace , très heuristiquement , remarqua que si aucun corps ne pouvait dépasser la vitesse-limite c , alors si c² &lt; 2gR , l'astre serait un trou noir !

Enfin, l'expérience a été tentée ( plus pour tester la relativité galiléenne et/ou la déviation vers l'Est(cf exo plus loin)): bien sûr on n'a jamais retrouvé le boulet! )
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'''exSystème d'unités Spot :'''
 
Ro = 40 000/2Pi +800 = 7166 km.
To via Kepler est : 84.4 (7166/6366)^3/2 = 100 min.
Tout le reste s'en déduit (attention , c'est la pulsation qui a été choisie unitaire).

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'''exLégère erreur de trajectoire :''' 

Si eps = sqrt(2) -1 , la trajectoire est parabolique et le satellite part à l'infini.

Sinon , Mo est le périgée: a-c = Ro. D'autre part, E1/m = 1/2 V1² - gR²/Ro ; donc on obtient le grand axe , puis l'apogée en A1 : OA1 = Ro.(V1²/2Vo²-V1²) (On retrouve le cas V1 = Vo.sqrt(2)).

Si eps est petit : l'énergie massique a peu varié : dE/m = mVo².eps . Puis dE/Eo = - da/Ro = -2/3 . dT/To . Donc OA1 = 4Ro.eps et l'excentricité est e = 2eps ; enfin dT = To.3eps

- - - - -

'''exFenêtre de tir :'''

Cette fois, l'Energie massique n'a pas changé, donc le grand axe vaut 2Ro . Comme OMo = Ro , c'est l'extrémité du petit axe. donc k/\OMo donne la direction du grand axe. La projection de Mo sur celui-ci donne le centre de l'ellipse : l'excentricité vaut donc e = sin A ; d'où le périgée OP1 = Ro(1-sinA) : on ne peut se tromper que de 100 km :cela donne une fenêtre sin A = 100/7166 rad = 0.8°. Assez large , car les pointeurs donnent la seconde d'arc.

- - - - -

'''exErreur radiale :'''

Si eps = 1 , la trajectoire est parabolique !

Cette fois, le moment cinétique Lo est le bon ; donc le paramètre p est le bon . Donc OMo est perpendiculaire au grand axe , dont la direction est connue. Il est facile de calculer le vecteur excentricité qui donne en module eps.
On en déduit a = Ro/(1-eps²) (on retrouve eps = 1 comme limite).

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'''exLâcher-Chute libre :'''

le Cours donne D = déviation vers l' Est de 2/3.wt.h .

Démontrons-le , façon Newton : la trajectoire est une ellipse , mais où r varie sensiblement comme R+h-1/2gt². La conservation du moment cinétique donne :

d&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;/dt = [(R+h)/R+h-z)]² .w = w (1+ 2z/R),
soit une déviation w.R. int(2z/R) = 1/3 w.gt².t = 2/3 wt.h

Si h= H , c'est l'exercice classique du géostationnaire : 

R+H = R .17^(2/3) = 6.6 R = 42 000 km

Si h &lt; H , il existe des trajectoires elliptiques dont Mo est l'apogée : la plus petite aura pour périgée OP = R , donc un grand axe 2a = 2R+H , d'où l'énergie massique . En posant r = Rx , on trouve x^4 + x^3 = 1/2 (289) , soit x = 4.67 et donc h = 3.67 R.

Si h &gt; H , la pierre remonte ! résultat curieux qui aurait sans doute amusé Mersenne, et elle part à l'Ouest (si l'on ose dire).

enfin si h &gt; H. 2^(1/3)= 8.36 R, alors E &gt; 0 , donc trajectoire hyperbolique (limite : parabolique).

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'''exBalistique :'''
V= 8.2km/s := sqrt(gR) a signé le début de la Guerre Froide.
mais déjà les canons longue portée obligeaient à prendre une trajectoire elliptique et non parabolique : 111.111 km c'est déjà 1° à l'équateur!

1/.Si l'obus arrive à l'antipode B' , OB = OB' = paramètre p = Lo²/m²gR² = R soit u.sinA = 1 . (évidemment trajectoire avec A&lt; 45° : il faut une apogée!)

2/.La portée s'évalue en calculant la direction du vecteur-excentricité 1 + i.Lo.Vo.exp(iA)/mgR² = [1-u²sin²A] +i[u²sinAcosA]=&gt; tanB = 1/2 u².sin2A / (1-u²sin²A).

Pertinence : on retrouve Torricelli pour u &lt;&lt;1 ; et le §1.

3/.Pour B donné , équation en tan A : 

tan²A (1-u²) - tan A (u²/tanB) + 1 = 0 d'où deux angles B1 et B2 tels que tan(B1+B2) = (tanB1+tanB2)/(1-tanB1.tanB2) = S/(1-P) = -1/tanB, donc A1+A2 = Pi/2+ B : il existe une trajectoire tendue et une plongeante. Portée maximale : tan B = u²/2(1-u²) [pertinent avec u=1 ]

'''Géométriquement''', tout ceci est relatif à la courbe de sûreté qui est l'ellipse de foyers T et B et d'apogée BH (rappel 1/H = 1/h -1/R , exercice sur l'energie potentielle). En effet , toutes les trajectoires Tr(A) ont m énergie , donc m grand axe , soit TH+HB . Le lieu du deuxième foyer est donc le cercle [centre B, rayon BH]: pour une portée donnée (donc angle B donné , il y a deux solutions : à l'intersection de la droite d'apogée avec ce cercle ; soient F1 et F2 : alors la vitesse initiale étant bissectrice de TBF , les deux vitesses sont telles que A1+A2 = Pi/2+ B. La racine double est lorsque sinB = H/R ( = u²/(2-u²)).

L'ellipse de sûreté est donc telle que MT+MB = HO+HB, et dans ce cas, BM est corde focale [les raisonnements sont calqués sur ceux de Torricelli].
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=== Exercices d'astronomie ===
==== Étoiles doubles ====
Montrer que dans le cas d'une étoile double, la troisième loi de Kepler s'écrit assez naturellement :
w² . a³ = G (m1+m2)

Que penser des planètes du soleil ?

'''Réponse :'''

Le problème à deux corps donne la réponse : (masse-réduite).w² a = G.m1.m2/a². Ainsi , on obtient une formule symétrique en m1 et m2 , ce qui est pertinent.

Dans le cas des planètes du Soleil , la plus grosse, Jupiter, n'apporte qu'une petite correction m2&lt;&lt; M(Soleil) , ce qui justifie la loi de Kepler. Pour les calculs précis, on fait les corrections, étant entendu que le barycentre du système solaire est quasiment en mouvement uniforme (pour plus de corrections, par exemple pour la ceinture de Kuiper ou le nuage de Oort, il faut envisager la &quot;marée galactique&quot;).

==== Conjonction Mars -Terre ====
La distance T-Soleil = 1UA ,période 1an, excentricité e(T); mars-Soleil = d UA,période k ans, excentricité e(M). Montrer que '''TM''': = '''OD''' ne peut varier que dans une couronne &gt;d1 et &lt;d2. Le point D est-il dense dans la couronne? Si k était rationnel := p/q quel serait le mouvement de D.

'''Réponse :''' 

Consulter exercices de l'IMCCE.

==== équant de Ptolémée ====
Soit une planète, disons Mars, de trajectoire elliptique d'excentricité e ( = 0.093).
On prend comme échelle de temps l'angle polaire compté à partir du deuxième Foyer F', où &quot;il n'y a rien!&quot;.
Est-ce mieux ou moins bien que de compter theta(t) comme temps &quot;uniforme&quot; ?

'''Réponse :'''

Historiquement, cet exercice a beaucoup d'importance : on ne distingue pas un cercle d'une ellipse dès que e&lt;0.1.
Donc Ptolémée croyait que la trajectoire était circulaire. MAIS il avait bien vu que theta(t) n'était pas uniforme ; par contre theta ' (t) l'était à la précision des mesures de l'époque. C'est ce que l'on demande de prouver.

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== Rapatriement provisoire de la WP:historique de démonstrations ==
Ici est placé tout le travail de recherche historique qui n'intéresse pas forcément tout le monde : il y eût moult &quot;démonstrations&quot; du cours précédent.

=== Newton (1684) ===

*1/. '''la première''', celle de Newton en novembre 1684, est géométrique, le temps étant évalué par l'aire balayée (2ème loi de Kepler) : l'analyse en est faite dans l'[[Exégèse des Principia]].

=== Hermann (1710) ===

*2/. '''la plus simple''' (1710 &amp; 1713) est celle de [[Jakob Hermann]] (1678-1733), élève de [[Jacques Bernoulli]] (1654-1705) : il écrit à [[Jean Bernoulli]] (1667-1748) : on remarque que l'hodographe est un cercle (notion de vecteur excentricité) : en calculant le produit scalaire '''e.r''', on trouve l'ellipse et son péricentre. L'analyse est faite dans [[Invariant de Runge Lenz]].

Laplace la reprendra dans son traité de « Mécanique Céleste ».

Que cela est vite dit dans notre langage moderne ! En réalité, la démonstration géométrique est la remarque classique sur le rôle des podaires dans le cas de champs centraux. Danjon remarque (avec Hamilton) que l'antipodaire de l'inverse d'un cercle est une conique : cela était enseigné encore au baccalauréat des années 60 (Cf. LEBOSSÉ &amp; EMERY, cours de mathématiques élémentaires).

Quant à Hermann, c'est un tour de force : 

Il possède trois intégrales premières en coordonnées cartésiennes tirées de &lt;math&gt;\ddot{x} = -gR^2\cdot x \cdot r^{-3}&lt;/math&gt; et idem en y.
* &lt;math&gt;C := x\dot{y} -y\dot{x}&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;E_x := \frac{x}{r} - \frac{C}{gR^2}\cdot \dot{y}&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;E_y := \frac{y}{r} - \frac{C}{gR^2}\cdot \dot{x}&lt;/math&gt;

Eliminer la vitesse : on trouve &lt;math&gt; x \cdot E_x +y\cdot E_y = r- p &lt;/math&gt; : c'est une ellipse (Cf.discussion [[conique]], Kepler).
Mais comment a-t-il trouvé les deux intégrales premières du vecteur excentricité ? par un raisonnement analytico-géométrique horriblement compliqué ! On sait aujourd'hui le faire par la théorie de la représentation linéaire des groupes (Moser et SO(4) :1968)

=== Transmutation de la force par Newton ===

*3/. '''la plus surprenante''' est celle de la [[Transmutation de la force]] (Newton, retrouvé par Goursat (1889)): ce théorème est EXTRAORDINAIRE et apprécié des afficionados des Principia.

=== Keill (1708) ===

* 4/. '''la classique''' : Newton-Keill (en 1708) - Bernoulli (1719)

&quot;Classique&quot;, elle est bien &quot;chencitournée&quot;.

Le problème est plan, si la force est centrale. Le plan de phase est donc (&lt;math&gt; x,y,\dot{x} , \dot{y}&lt;/math&gt;). Les deux équations du PFD (principe fondamental de la dynamique) sont :

&lt;math&gt;\ddot{x} = - \Omega^2 \cdot x&lt;/math&gt;

et la même en y.[Evidemment &lt;math&gt;\Omega &lt;/math&gt; dépend de r!].
Cette notation est évidemment très réminiscente de celle de Hooke. Mais elle n'a rien à voir, sinon que la symétrie est centrale.

Choisir trois fonctions invariantes par rotation : 
*&lt;math&gt;I := 1 \cdot (x^2+ y^2) = r^2&lt;/math&gt;, strictement positif,
*&lt;math&gt;J := 1 \cdot (x\dot{x} + y\dot{y})&lt;/math&gt;, de sorte que &lt;math&gt; \dot I = 2J (= 2r\dot{r})&lt;/math&gt;,
*&lt;math&gt; \ K := {v^2}/{2}&lt;/math&gt;, énergie cinétique.

Remarquer cette particularité : r² est choisie comme variable, et non r. Et comme J est non-nulle, I va jouer '''le rôle d'une échelle de temps''' au moins sur une demi-période, du périgée à l'apogée. 

Démontrer que le problème se réduit au système différentiel (S) : 

*&lt;math&gt;\dot{I} = 2J&lt;/math&gt; 
*&lt;math&gt;2\dot{J} = K -I \Omega^2(I)/2&lt;/math&gt; (th du viriel !)
*&lt;math&gt;\dot{K} = - J \Omega^2(I)&lt;/math&gt; (loi de Newton!)

- - -
Keill utilise alors '''l'échelle de temps I''' ; le système se réduit à : 

*&lt;math&gt; 4\frac{d(J^2)}{dI} = 2K - I \Omega^2&lt;/math&gt;
*&lt;math&gt;\frac {dK}{dI} = - \Omega^2/2&lt;/math&gt;

En éliminant Omega² (et quelle que soit sa valeur ! donc c'est vrai pour toute force centrale!)

&lt;math&gt; K = \frac{J^2}{2I} + \frac{C_o^2}{2I}&lt;/math&gt;.

C'est un vrai ''tour de force'' : au début du XVIIIème , on vient de réécrire : 

&lt;math&gt;2KI = v^2\cdot r^2 = [\vec r \cdot \vec v]^2 + [\vec r \wedge \vec v]^2  = [\vec r \cdot \vec v]^2 +C_o^2&lt;/math&gt; 

Emmy Noether connaissait-elle cette démonstration due à l'invariance par rotation ?

- - -

Puis, l'invariance temporelle donne la conservation de l'énergie :

&lt;math&gt;1.\cdot H = K + V(I)&lt;/math&gt;, où V(I) est l'énergie potentielle relative à la force centrale (= &lt;math&gt;-\frac{1}{2}\int \Omega^2  dI)&lt;/math&gt;

- - -

Ces deux ensembles de surfaces feuillettent l'espace (I,J,K) et leur intersection donne l'orbite du mouvement dans cet espace.

Éliminer K conduit à travailler dans le demi-plan (&lt;math&gt;I, 2J = \dot{I}&lt;/math&gt;), c'est à dire dans un plan de phase presque usuel (on joue avec r² plutôt qu'avec r) :

&lt;math&gt; H =  \frac{J^2}{2I} + \frac{C_o^2}{2I} + V(I)&lt;/math&gt;, 

ce qui est '''l'équation de Leibniz(1689)''', mais en notation I = r². (Remarquer que tout résulte de cette circonstance (non évidente du temps où les vecteurs n'existaient pas) : 

&lt;math&gt;x \dot{x}  + y \dot{y} = r \dot{r}&lt;/math&gt;)

et pour finir, ''as usual'', dt = dI/2J donne le mouvement sur cette orbite de phase et la primitive de 2J(I) donne l'action S(I) du problème.

Evidemment, actuellement, nous repasserions immédiatement en coordonnées (r et r'). 

Il n'empêche que voilà décrite la solution incroyable de Keill qui témoigne d'une virtuosité tombée dans l'oubli de l'Histoire.

*'''Note d'histoire''': 
cette équation ayant été écrite par Lagrange sous cette forme, le H ne saurait signifier « valeur de l'Hamiltonien » ! Peut-être faut-il y voir un hommage à Huygens (?), premier à utiliser la généralisation du théorème de l'énergie cinétique de Torricelli ? peut-être est-ce une simple notation fortuite...

La suite est très classique et correspond à différents paramétrages dans le cas de Kepler : 

L'équation de Leibniz se réécrit dans ce cas : 

&lt;math&gt; H \cdot 8r^2 -4C_o^2 + 8(GM) \cdot r = 4J^2 &lt;/math&gt; 

qui est une conique en J et r, ellipse si H est négatif de grand axe &lt;math&gt;2a = - \frac{(GM)}{H}&lt;/math&gt; :

Il est usuel alors de paramétrer via l' »anomalie excentrique » : 

&lt;math&gt;r = a \cdot(1- e \cos{\phi})&lt;/math&gt;,

et « miraculeusement » : 

&lt;math&gt;\omega \cdot dt = \frac{r}{a} \cdot d\phi&lt;/math&gt; ,

qui s'intègre en donnant la fameuse équation de Kepler.
En contrepartie l'équation en theta est légèrement plus compliquée à intégrer (primitive de &lt;math&gt;\frac{1}{r}&lt;/math&gt;) d'où :

&lt;math&gt;tan \frac{\theta}{2} = \sqrt{\frac{1+e}{1-e}} \cdot tan \frac{\phi}{2}&lt;/math&gt;.

Note de détail: certains préfèrent la notation i = I/2 , et/ou j = J/2.

=== Clairaut (1741) ===

*5/. '''la méthode de Clairaut''' (1741), reprise par Binet consiste à écrire l'équation de Leibniz à l'aide de u := 1/r : 

&lt;math&gt; \dot{r}^2 = 2H + 2gR^2 \cdot u - C^2 \cdot u^2&lt;/math&gt;

et cette fois le paramétrage adéquat est :

&lt;math&gt;u := 1+e\cdot \cos \alpha&lt;/math&gt; et &lt;math&gt; \dot{r}: = e\cdot \sin \alpha&lt;/math&gt;

ce qui conduit au « miraculeux » &lt;math&gt;d \theta = d\alpha&lt;/math&gt; ! la trajectoire est donc une ellipse.
Mais la deuxième intégration conduit à &lt;math&gt;dt = k d\alpha \cdot 1/u^2&lt;/math&gt; plus difficile à intégrer (mais tout à fait faisable !)

=== Lagrange (1778) ===

*6/. '''la méthode de Lagrange''' est originale (1778) et n'utilise que la linéarité de F = m.a ! 
Partant de l'équation radiale de Leibniz(1689) : 

&lt;math&gt;\ddot{r} = C^2 u^3 - e^2u^2&lt;/math&gt;

il pose comme nouvelle variable z = C²-r et trouve :
 
&lt;math&gt;\ddot{z} = -(GM) \cdot z \cdot u^3 &lt;/math&gt;, 

'''identique''' aux deux équations de départ en x &amp; y !! 
donc il obtient : z (:= C²-r) &amp; x &amp; y linéairement liés, ce qui est la définition d'une ellipse (Cf. [[conique]], discussion). CQFD

=== Laplace (1798) ===

*7/. ''' Laplace''', sans citer Lagrange, calcule, en force brutale, sans aucune intégrale première, l'équation en I = x² + y² du troisième ordre issue du système de Keill : d'où il tire 

&lt;math&gt;\frac{d^3I}{dt^3} = - \frac{\dot I}{I^{3/2}}&lt;/math&gt; 

(comme quoi , le jerk ne date pas d'hier!)

Laplace en tire cette fois '''quatre''' équations '''linéaires''' identiques : 
d/dt(r^3.Z&quot;) = - Z', avec Z = r, x, y, cste. 
D'où r = a x + by + c.cste : c'est une conique !

Il reste à trouver une interprétation physique à ce calcul!

=== Hamilton (1846) et autres ===
*8/. Soit une ellipse ; le foyer F et sa polaire, la directrice (D). Soit P le point courant de l'ellipse et PH sa projection sur la polaire. Le [[théorème de Newton-Hamilton]] donne immédiatement la force centrale F ~ r/PH^3 soit ~ 1/r².e³.

*9/. Hamilton démontre aussi que pour toute mouvement sur une ellipse de paramètre Po, on obtient |'''a/\v'''|.Po = C^3/r^3. Donc si le mouvement est central de foyer F, |a/\v| = a.C/r d'où a ~ 1/r².

*10/. Hamilton est aussi le promoteur du renouveau de la méthode de l'hodographe circulaire que Feynman reprendra à son compte dans ses « lectures on Physics »

*11/ Hamilton va inspirer le [[Théorème de Siacci]] et puis Minkovski qui donnera beaucoup de propriétés des ovales : ceci donne encore une autre démonstration.

=== Goursat et régularisation dite de Levi-Civita ===

*12/. Goursat (1889), Bohlin(1911), AKN {Arnold &amp; Kozlov, Neishtadt} reprennent la méthode z-&gt; sqrt(z) = U (complexe) et le changement d'échelle de temps (dit de Levi-Civita ou de Sundman) dt/dT = 4 |z| : quelques lignes de calcul donnent via le théorème de l'énergie cinétique :

|dU/dT|² = 8 GM + 8 E |U|² ; soit par dérivation 
&lt;math&gt; {d^2U \over dT^2} +(-8E)\cdot U = 0&lt;/math&gt;, avec E négatif.

Donc U décrit '''une ellipse de Hooke''' et z =sqrt(U) l'ellipse de Kepler. 

On aura reconnu en T(t), l'anomalie excentrique. Ce n'est donc qu'une des méthodes précédentes : mais cette méthode a des prolongements plus importants (Cf. [[théorème de Bertrand]]).Voir aussi plus bas.

===régularisation===
cette transformation du problème de Kepler en problème de Hooke est assez stupéfiante. Saari(p141) s'y attarde un peu plus qu'Arnold(Barrow,H,H,Newton); peut-être est-ce justifié ; voici:

Le problème de régularisation se pose s'il y a collision , c'est à dire , C très voisin de zéro. Saari dit : la collision entraîne un changement brutal de 2Pi . Afin de garder la particule sur la droite sans singularité , il &quot;suffit de penser&quot; à garder l'arc -moitié ; soit
de changer de jauge (de fonction inconnue): &lt;math&gt;\ U = \sqrt z&lt;/math&gt; et de variable (transmutation d'échelle de temps) dT = dt/r(t)(ATTENTION au facteur 4!)

La conservation de l'énergie s'écrit 2|U'|²-1 = Eo.r

et l'équation du mouvement : &lt;math&gt;\ddot z = -z/r^3&lt;/math&gt; devient :

&lt;math&gt;r \frac{d^2z}{dT^2} - \frac{dr}{dT}\cdot \frac{dz}{dT} +z = 0&lt;/math&gt; , 

équation LINEAIRE sans le r^3 ! Elle conduit à :

U&quot; -U/r [2|U'|²-1] =0 

soit &lt;math&gt;\frac{d^2U}{dT^2}+ (-Eo/2)\cdot U = 0&lt;/math&gt; (équation de Hooke).

Le gros avantage de cette solution est qu'elle est stable-numérique : les solutions restent sur la même iso-énergie.

===Kustaanheimo(1924-1997) et Stiefel(1909-1978)===
en 1964, ils utilisèrent les quaternions pour transformer le problème de Kepler dans R^3 en celui de Hooke dans R^3, via R^4! (congrès d'Oberwolfach): ils leur a suffi de prendre la quatrième coordonnées x4 = cste : alors le quaternion U se déplaçait sur la sphère; ceci mit en exergue la symétrie SO(4) et mieux SO(4,2) qui correspondait à la version spinorielle du problème de Kepler (liée à la solution en coordonnées paraboliques) et mettait en avant le vecteur excentricité. Immédiatement, le traitement des perturbations fût amélioré (Stiefel et Scheifel,1971), mais aussi la quantification (methode dite de Pauli (SO(4)), et surtout la quantification lagrangienne SO(4,2),avec ses orbitales &quot;paraboliques&quot; de Kleinert (1967-1998)(cf Kleinert 2006).

*Saari donne des '''raisons topologiques à l'obstruction du passage de R^2 à R^3''' et la nécessité de passer à R^4 (les quaternions): la relation U^2 = z , ne pouvait se régulariser sur la sphère à cause du célèbre théorème du hérisson de Brouwer-Poincaré. Mais si on ne peut &quot;peigner&quot; S2 , on peut peigner S3 (et même S7:octonions), ce qui avec les trois vecteurs tangents donne la fameuse matrice 4-4 de la transformation K-S : rappelons que le maître de Stiefel était Hopf lui-même qui dressa la carte de S3 vers S2 : il n'y a pas de hasard, posséder une bonne formation, cela sert! (cf Oliver(2004)). 

 
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Voilà donc 12 démonstrations assez mal connues. En existe-til d'autres, de cette époque ?

Bien sûr, ont été exclues ici toutes les méthodes de mécanique lagrangienne et hamiltonienne, en particulier celle de [[Max Born]] (cf plus bas).

== Equation du temps, de Kepler : résolution ==

Dans le [[mouvement keplerien]], l''''[[équation du temps, de Kepler]]''' relie l'[[anomalie moyenne]] M = nt à l'[[anomalie excentrique]] E par l'équation 
&lt;div style=&quot;text-align: center;&quot;&gt;
{| border=0
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|
{| border=1 cellpadding=10 style=&quot;border-collapse:collapse&quot;
|-----
| &lt;math&gt; M = E - e \cdot \sin E&lt;/math&gt;
|}
| 
| |
|}&lt;/div&gt; 

où e est l'[[excentricité orbitale|excentricité]] de la planète.
 
'''Résoudre cette équation, c'est trouver E(e,M) :'''
* comme série de Fourier puisque c'est une fonction périodique impaire de M
* comme série de puissance de e, si e &lt; eo := 0.6627..., rayon de convergence de la série.
* comme une valeur numérique avec un nombre de chiffres (d), pour un temps de calcul tc(d) optimisé.

=== Série de Fourier ===
C'est [[Joseph-Louis Lagrange|Lagrange]] qui trouve l'expression, bien que le nom J&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;(x) soit associé au nom de [[Friedrich Wilhelm Bessel|Bessel]].

* E-M = fonction impaire périodique de M :

&lt;div style=&quot;text-align: center;&quot;&gt;
{| border=0
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{| border=1 cellpadding=10 style=&quot;border-collapse:collapse&quot;
|-----
| &lt;math&gt; E-M = e\cdot sinE = 2 \cdot \Sigma_{n=1} \frac{J_n(ne)}{n} \sin(nM)&lt;/math&gt;
|}
| 
| |
|}&lt;/div&gt; 

'''Démonstration :'''

On rappelle la définition de Jn(z) :

&lt;div style=&quot;text-align: center;&quot;&gt;
{| border=0
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{| border=1 cellpadding=10 style=&quot;border-collapse:collapse&quot;
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| &lt;math&gt; J_n(z) = \frac{1}{2\pi}\int_0^{\pi} \cos(nx-zsinx)dx&lt;/math&gt;
|}
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|}&lt;/div&gt;

et le développement classique de 1/[1-e.cosE] -1 , fonction paire périodique de moyenne nulle vaut: 

&lt;math&gt;\Sigma a_n \cdot cos (nM)&lt;/math&gt;
avec &lt;math&gt; \ a_n = 2 J_n(ne)&lt;/math&gt; 

car &lt;math&gt;\pi a_n = \int_0^{2\pi} cos (nM)/(1-e cos E)\cdot dM = \int_0^{2\pi} cos(n[x-esinx]) dx &lt;/math&gt;

 
*On reconnaît (a/r)-1 = 2&lt;math&gt; \Sigma_{n=1}J_n(ne)\cdot \cos (nM)&lt;/math&gt;

=== Série entière de l'excentricité ===
C'est encore Lagrange qui trouve la solution en inventant pour l'occasion son théorème d'inversion des fonctions holomorphes ; et [[Pierre-Simon Laplace|Laplace]] donnera le rayon de convergence : mais [[Augustin Louis Cauchy|Cauchy]], pas content du tout, fonde la théorie des séries analytiques pour résoudre ce problème épineux, qui verra son aboutissement avec les travaux de [[Victor Puiseux|Puiseux]].

&lt;div style=&quot;text-align: center;&quot;&gt;
{| border=0
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{| border=1 cellpadding=10 style=&quot;border-collapse:collapse&quot;
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| &lt;math&gt; E-M = \Sigma_{n=1} {e^n \over n!}\cdot a_n(M)&lt;/math&gt;
|}
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|}&lt;/div&gt;


avec &lt;math&gt;\ a_n(M) = D^{n-1} (\sin^n M)&lt;/math&gt; et D := opérateur dérivée.

C'est l'application du théorème d'inversion de Lagrange.

*Le rayon de convergence de la série est : eo = 0.6627434193

{{Boîte déroulante|titre= note historique |contenu= 
indiqué par Laplace ([[1823]]) et démontré par Cauchy et Puiseux : eo = '''max (x/chx)''' ; soit eo = 1/sh(xo) avec 1/xo = th(xo);démonstration in Wintner, sur l'analyticité de la série.}} 

==== Cas des comètes : &lt;math&gt;e &gt; \ e_o&lt;/math&gt; ====
Le premier à se confronter au problème est [[Jeremiah Horrocks|Horrocks]], puis surtout [[Edmond Halley|Halley]] ([[1705]]), pour les calculs sur sa comète d'excentricité e = 0,9673.

Il faut modifier légèrement la solution de Barker (e = 1). Et Bessel([[1805]]) résout ce cas, mais pour e &gt; 0.997

[[Carl Friedrich Gauss|Gauss]] ([[1809]]) s'illustra en donnant une belle solution pour 0,2 &lt; e &lt; 0,95

Autant dire que le voisinage de (0,95 ; 0,98) est fertile en problèmes, en cas d'itération !

=== Calcul numérique ===
Les calculs via les [[intégrateur symplectique]]s exigent de rester toujours en butée du nombre de digits, dans le moindre coût de calcul.&lt;br/&gt;
Depuis 300 ans, on cherche la « meilleure » méthode. Elle reste à trouver !

Bien sûr, cela dépend beaucoup du doublet (M,e), M compris entre 0 et Pi et de e, surtout quand e est voisin de 1. 

Nijenhuis (1991) adopte la methode de Mikkola (1987) qui est la méthode de Newton d'ordre 4, en choisissant « adéquatement » le germe Eo en fonction du doublet (M,e).

Il est clair que dans les calculs numériques, le volume de calculs est essentiel, autant que le nombre de décimales, vu l'instabilité du système solaire évaluée à un [[exposant de Lyapunov|coefficient de Liapunov]] de 10^(t/5Myr). On se heurte à une muraille exponentielle : difficile d'aller plus loin que 25 Myr, même avec un traitement 128 bits.

Ce sont ces calculs (astronomiques... mais informatisés) qui tournent sur les machines de l'IMCCE-Paris. Le calcul de l'ensoleillement terrestre à la latitude 65°Nord, I(65,t) est calculé et on essaie d'en déduire la corrélation avec le climat passé : l'échelle géologique jusqu'au Néogène (25M ans) en est déduite(échelle géologique Gradstein 2004). Prochaine étape prévue : les 65 M ans.

=== Histoire des sciences ===
Avant Kepler, l'équation est déjà étudiée ! bien sûr, pas pour le même problème, mais pour la même équation : 

c'est le problème de la réduction des coordonnées locales aux cordonnées géocentriques : il faut réduire la correction de parallaxe. Habash al Hasib s'y est déjà attaqué.

Avant 1700, il y a déjà beaucoup de tentatives : Kepler naturellement, Curtz (1626), Niele, [[Ismaël Bouillau|Bouillau]] (1645, 1657), [[Seth Ward]] (1653), Paganus (1657), Horrebow (1717), [[Jean-Dominique Cassini (Cassini I)|Cassini]] (1669), Newton (1665?), [[Christopher Wren|Wren]] (1658), [[John Wallis|Wallis]] (1659),... De toutes, celle de [[Jeremiah Horrocks]] (1638) est de plus grande beauté. Cf le Colwell, déjà cité.

==== compléments ====
En 1770, Lagrange trouve les deux séries, mais le changement des termes dans les séries le laisse perplexe. 1821 : Cauchy enfin ! Sitôt après, 1824, [[Bessel]] (1784-1846)fera une étude extensive de &quot;ses&quot; fonctions , déjà apparues en 1703 dans une lettre de jean Bernouilli à Leibniz. Daniel Bernouilli fait la théorie du mode propre de la corde suspendue et introduit Jo(x); Euler généralisant a besoin des In(x) , les bessel-modifiées.

*Les calculs de développements approchés donnent :
* E-M = e.sin M[1-e^2/8 +1/192 e^4]+(e²/2). sin(2M)[1-e^2/3 +e^4/24] +e^3.sin (3M)[3/8 -27 e²/128] +e^4/3 .sin(4M)[1-4e²/5] + 125 e^5/384 . sin (5M) + 27 e^6/80 .sin (6M) +O(e^7) (p202 Battin) 

* OM/a = 1 - e cos wt +e²/2(1- cos(2wt)) + 3/8e³[cos(wt)-cos(3wt)] + 1/3e⁴[cos(2wt)-cos(4wt)]+ O(e⁵)

* angle POM = θ(t) = wt +2e sin(wt) +5/2 e² sin(2wt) + e³[13/12sin(3wt) -1/4 sin (wt)] +e⁴ [103/96 sin (4wt) -11/24 sin(2wt)] + O(e⁵).

*La solution d'Horrocks(1638) fût :Translater Delphine du déférent de (-2c,0) en D' et prendre E = angle (CP,CD')où C est le centre du déférent

On montre que E(Horrocks) = M + e/1sin M +e²/2 sin 2M +e³/3 sin3M +... et E(H) -E = 1/6 .e³sin³M ; pas si mal!

*La méthode la plus simple est évidemment &quot;regula falsi&quot; (interpolation linéaire inverse ou méthode dite de l'artilleur):
la fonction étant croissante , on &quot;tire&quot; trop bas avec x0 (F(x) est négatif), trop haut avec x1 (F(x) est positif) : alors la racine est entre les deux et on prend la corde.

* On peut montrer que E-M satisfait l'équation cartésienne de Newton : en effet c'est e sin E et donc proportionnelle à y(E) 

* (Gudermann(1798-1852)): le cas des orbites hyperboliques se traite par Corinne et donc le Gudermannien :

x = a ch u et y = b sh u ; r = a(1-e ch u)

On pose 1/cos g = ch u et tg g = sh u 

soit g = gudermannien (u) = gd(u) = 2 arctg(exp u) -Pi/2.

* Sundman (1873-1949)introduisit en 1912 le temps régularisant :

=== Voir aussi ===
*[[mouvement keplerien]]
*[[intégrateur symplectique]]
*[[Jeremiah Horrocks]], cf discussion.
*Colwell (1993) : solving Kepler's equation over three centuries, ed Willmann-Bell, {{ISBN|0-943396-40-9}}
*Brinkley (1803) : trans roy irish ac, 7,321-356.

== Après Lagrange, jusqu'à Born-Sommerfeld ==

== Les transformations hamiltoniennes du problème de Kepler et SO(4) ==

== En attente , les perturbations , pour faire de mon mieux ==

les perturbations du mvt de Kepler sont parmi les plus &quot;dures&quot; car il ya la dégénérescence banale de SO(3), mais aussi la dégénéréscence de SO(4) pour les états liés : du coup il faut comprendre la structure de la sphère S3 dont on sait qu'elle se retourne comme un gant ou peut se transformer en une foliation torique de Hopf, etc. Comment la perturbation agit sur chacun de ces aspects est encore à inventorier, même si on en connaît pas mal sur le sujet, en particulier gràce aux travaux de Poincaré, KAM, Mather, etc. Il est vrai que le niveau est plus élevé ici, puisqu'il s'agit de problèmes le plus souvent non intégrables.

=== à la manière directe : Danjon-Pollard-Duriez ===

la perturbation F est installée au temps t=0 , avec OMo et Vo donnés , càd Lo,Eo et eo données et passage au périgée donné.On appellera '''ko''' la direction de Lo, et '''uo''' = '''OMo'''/ro, et &lt;math&gt;\vec{u_{\theta_o}}&lt;/math&gt; pour compléter le trièdre, dont le vecteur-rotation instantanée sera &lt;math&gt;\vec{\Omega_o}&lt;/math&gt; ( '''v''' signifiera donc '''vecteur-vitesse'''). Sept équations sont bien compréhensibles :

* &lt;math&gt;\dot{\vec{L}} = \vec{OM}\wedge \vec{F}&lt;/math&gt; (théorème du moment cinétique)
* &lt;math&gt; \dot{E} = \vec{v}\cdot\vec{F}&lt;/math&gt;   (théorème de l'énerie cinétique)
*&lt;math&gt; \dot{\vec{e}} = \vec{F}\wedge \vec{C} + \vec{v}\wedge \vec{C} &lt;/math&gt; (théorème du moment&quot;excentricité&quot;)

Moins évidente est la variation de l'anomalie moyenne :

*&lt;math&gt; \omega \cdot a^2 \cdot \dot{M} + \vec{\Omega} \cdot \vec{C} = -2E -2\vec{OM}\cdot \vec{F} &lt;/math&gt; que l'on &quot;extrait&quot; du viriel en force.

Il en résulte les équations de Gauss.

==== équations de Gauss ====

le quintuplet [a,e,i,&lt;math&gt;\Omega, \omega &lt;/math&gt;]s'en déduit projeté sur le reférentiel initial et final :

* &lt;math&gt;C \cdot \dot{a}= 2a^2\cdot\vec{F}(\vec{u_{\theta} }+e \vec{u_{\theta_o}})&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt; C \cdot \dot {e} =  r (e+cos\theta) \vec{F}\cdot \vec{u_{\theta}}+ p \cdot \vec{F}\cdot \vec{u_{\theta_o}}&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt; C \cdot (\dot{\omega} +cos( i) \cdot \dot{\Omega}) =  r sin \theta \cdot \vec{F}\vec{u_{\theta}} -p \cdot \vec{F} \cdot \vec{u_o}&lt;/math&gt; et
* &lt;math&gt;C \cdot (sin (i)\cdot \dot{\Omega}) = r \cdot sin(\omega +\theta)\cdot (\vec{F}\cdot \vec{k})   &lt;/math&gt;
* &lt;math&gt; C  \cdot\dot{i} = r cos(\omega +\theta)\cdot (\vec{F}\cdot \vec{k})   &lt;/math&gt; et bien sûr C varie comme :
*&lt;math&gt;\dot{C} = r \cdot \vec{F}\vec{u_{\theta}} &lt;/math&gt;

Et il reste encore dM/dt à écrire !
Comme de plus il faut projeter l perturbation sur la base initiale et la base finale , l'interprétation est sévère.

heureusement, la perturbation dérive souvent d'un potentiel : cela simplifie l'écriture et la compréhension de ces 6 équations, sur lesquelles il faut se pencher qq temps pour les assimiler.

==== pertinence des équations de Gauss ====

demandée ici, pour &quot;souffler un peu&quot; : le cours est construit ainsi ! ne rien faire que l'on ne puisse refaire ou retenir ! Pour retenir, il faut manipuler et croiser les équations jusqu'à ce que cela devienne &quot;machinal&quot; et au fond &quot;intuitif&quot; . Donc la question posée est : en quoi les 6 équations précédentes vous semblent-elles pertinentes ?

{{Boîte déroulante|titre= pertinence des équations de Gauss ; dissertation en 3heures  | contenu= d'adord et toujours l'homogénéité ! ensuite prendre des cas particuliers &quot;évidents&quot;, etc. }}

=== Perturbation de Kepler : effet Stark classique ===

Si à la force newtonienne vient se rajouter une petite force F, la trajectoire va être légèrement perturbée. Néanmoins si F est parallèle au vecteur excentricité, la symétrie ne sera pas entièrement détruite.
Il convient de prendre les bonnes coordonnées pour traiter ce problème. Comme on sait traiter le mouvement keplerien en [[système de coordonnées paraboliques]], il faut évidemment en profiter.

Mais si F devient trop grand, il apparaît clairement que l'atome va pouvoir s'ioniser plus facilement. 

En mécanique quantique cela sera encore plus évident via l'effet tunnel, conduisant à l'ionisation Stark, fragilisant surtout les [[atome de Rydberg]].

=== Mouvement d'Euler à 2 centres d'attraction ===

Euler a vite compris que la composante du vecteur excentricité permettait d'intégrer le problème à 2 soleils fixes et une planète. Cela s'opère grâce à un [[système de coordonnées bifocales]].

Vinti s'est fait le promoteur de cette méthode : ébauche

=== Mouvement si Terre-galette (Béletskii) ===

Beletskii a fait remarquer que le problème d'Euler pouvait s'appliquer à un Soleil légèrement allongé de forme cigare. Par prolongation analytique, avec des masses « imaginaires », il a proposé une interprétation simple du mouvement d'un satellite terrestre sous l'action perturbante du bourrelet (le terme J2(P2(cos(theta)/r³) dans le potentiel gravitationnel. On retrouve les effets décrits dans [[satellite artificiel]].

=== Perturbation de Kepler par planète proche : Terre &amp; Lune ===

Ce problème est ardu : Newton disait que cela lui donnait mal à la tête.

Il a fallu attendre Clairaut (1741) pour avoir une première théorie de la Lune.

Aujourd'hui avec les miroirs posés sur la Lune (Apollo et Lunakhod), on peut comparer la théorie analytique à celle numérique. La précision théorique des LLR (laser lunar range: tir laser vers la Lune) est de quelques centimètres. La théorie analytique comprend plusieurs milliers de termes, mais donne aussi une précision de quelques mètres.
à compléter (séminaire Laskar du 09/03/06).

=== Perturbation de Kepler par planète lointaine : Terre &amp; Jupiter ===
Là, le problème est plus facile . L'essentiel de la méthode consiste en une méthode variable rapide- variable lente, due à Legendre, puis Gauss.
à compléter.

=== Perturbation de Kepler et symétries ===

Bien sûr, chaque fois qu'un système possède une symétrie continue, le théorème de Noether donne une intégrale première, ce qui permet d'éliminer une variable de l'espace des phases.

Comment s'opère cette réduction ? 

Le livre de Cordani, celui de Marsden &amp; Ratiu expliquent cette réduction.

Enfin, le problème garde toujours sa symétrie symplectique : il faudra expliquer comment fonctionnent les [[intégrateur symplectique]] (Laskar &amp; Robutel, Celestial Mechanics, 2001,80, 39-62). 
------------

== Applications ==
Elles sont innombrables : 
*les principales historiquement sont celles de l'astronomie, et prosaïquement des éphémérides solaire et lunaire de notre calendrier des postes. 
*les plus utiles sont celles des satellites artificiels.
* le modèle de Rutherford-Bohr de l'atome s'appuie sur cette théorie.

== Perturbations du mouvement de Kepler ==
C'est évidemment essentiel.

Pour les satellites artificiels, il faut tenir compte de la forme non sphérique de la Terre , ET de toutes les autres petites perturbations ( pression de radiation du Soleil sur les panneaux solaires, action de gravité différentielle de la Lune et du Soleil, etc.

Pour l'astronome , il y a essentiellement deux problèmes : 
* la perturbation du mouvement Terre-Lune dû au Soleil
* la perturbation de Saturne par Jupiter.

A l'heure actuelle, les programmes de calculs peuvent envisager de traiter (sur un temps pas &quot;trop grand&quot;) le mouvement de l'ensemble des planètes. On sait depuis peu que Pluton n'est pas une vraie planète. Ceci dit, le mouvement des planètes sur des échelles de qq 10^6 années commence à être sensible aux conditions initiales (la Terre est un cas particulier car la Lune vient stabiliser son inclinaison et son excentricité).

Pour le programme [[w:Galileo (système de positionnement)|Galileo]] (le [[w:GPS|GPS]] européen), la précision sur le positionnement de la constellation de satellites artificiels est assez impressionnante(inférieure au centimètre).
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== insert provisoire:atome d'hydrogène ==


Cet article suit l'article [[atome d'hydrogène]].

La résolution de l'équation de Schrodinger, écrite en coordonnées polaires, se découple des variables (&lt;math&gt;\theta, \phi&lt;/math&gt;) et conduit à une équation à une dimension en r, appelée équation radiale de Leibniz-Schrödinger, puisque ce n'est jamais que la célèbre équation de Leibniz de 1685 traduite en mécanique quantique.

Mais l'équation de Schrödinger (1926) peut se résoudre autrement comme Pauli l'a montré en 1925 !

== Équation radiale ==

L'équation radiale 1D de Leibniz-Schrödinger s'écrit pour r&gt;0:

&lt;div style=&quot;text-align: center;&quot;&gt;
{| border=0
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{| border=1 cellpadding=10 style=&quot;border-collapse:collapse&quot;
|-----
| &lt;math&gt;-{\hbar^2 \over 2m}S^{''} + ({\hbar^2l(l+1) \over 2r^2} - {e^2 \over r} )S(r) = E \cdot S(r)&lt;/math&gt;
|}
| 
| |
|}&lt;/div&gt;

avec E valeur propre négative ,

et S(r) s'annulant &quot;vite&quot; à l'infini, et S(0) =0 :il s'agit donc d'un problème aux limites dit de Sturm (par opposition à un problème aux conditions initiales, dit de Cauchy); de plus &lt;math&gt;\int_0^{\infty} S^2(r) dr = 1&lt;/math&gt;.

[On reconnaît dans &lt;math&gt;{ \hbar^2 l(l+1) \over 2m r^2} &lt;/math&gt; la barrière centrifuge de Leibniz (l entier positif) (l=0 correspond à L =0 ; le problème classique n'a pas de correspondant simple en mécanique quantique, encore que ...)].

*Comment arrive-t-on à cette équation '''radiale''' de Leibniz-Schrodinger ?

Il SUFFIT de chercher la fonction d'onde &lt;math&gt;\Psi(x, y, z, t)&lt;/math&gt; en coordonnées sphériques sous la forme :

* &lt;math&gt;\Psi = {S(r) \over r}\cdot Y_{l,m} (\theta, \phi) e^{-i{Et \over \hbar}}&lt;/math&gt; ,

où les Y(l,m) sont les fonctions [[harmoniques sphériques]]. On appelle ce procédé courant dans les équations aux dérivées partielles, la séparation des variables. Souvent, on appelle R(r) := S(r)/r , la partie radiale de la fonction d'onde.
 
*'''Note importante annexe''' :

=== Harmoniques sphériques ===

Il n'y a '''rien de mystérieux''' (et surtout rien à voir avec la MÉCANIQUE quantique) dans ce qui semble être un tour de passe-passe. L'étude en électrostatique '''classique''' de l'opérateur Laplacien conduit à ces mêmes fonction Y(l,m) , appelées [[harmoniques sphériques]], qui sont des fonctions '''usuelles''' dès que la symétrie sphérique entre en jeu. L'entier relatif m ne peut prendre que 2l+1 valeurs, de m = -l à m = +l , l étant un entier positif. 

Ce sont ces harmoniques sphériques qui &quot;quantifient&quot; le problème sphérique par les deux nombres quantiques l et m (comme il est '''usuel''' dans tout problème de Sturm, dit &quot;aux limites&quot;, des équations différentielles), ces deux entiers l et m qui auront tant d'importance dans l'étude de l'[[atome à N électrons]] et donc de la [[Classification périodique]].

*Pour rester en continuité de lecture(sinon voir l'article [[Harmonique sphérique]]), est expliqué ici juste le minimum pour comprendre comment elles interviennent à ce niveau modeste (l=0,1,2,3):les (2l+1)polynômes &lt;math&gt;r^l Y_{l,m}&lt;/math&gt; forment une base sur l'ensemble des polynômes homogènes P(x,y,z) de degré l, harmoniques(c’est-à-dire dont le laplacien est nul)
*l=0 :&lt;math&gt;Y_{0,0}= {1\over sqrt(4\pi)}&lt;/math&gt; : c'est bien un polynôme de degré zéro, normé sur la sphère unité puisque son carré vaut 1/4Pi.

'''''Dorénavant, nous n'indiquerons plus ce facteur dit de normalisation'''''.

*l=1 :3 fonctions
 
&lt;math&gt;rY_{1,0} = rcos \vartheta = z&lt;/math&gt; ;

&lt;math&gt;rY_{1,1}+rY_{1,-1} = 2rsin \vartheta cos\varphi =2x &lt;/math&gt;;

&lt;math&gt;rY_{1,1}-rY_{1,-1} = 2irsin \vartheta sin\varphi =2iy &lt;/math&gt;;

soit la base {x,y,z} dite orbitales &lt;math&gt;p_x&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;p_y&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;p_z&lt;/math&gt;
----
*l=2: cinq fonctions 

&lt;math&gt;r^2Y_{2,0} = r^2(3cos^2 \vartheta -1) = 2z^2-x^2-y^2&lt;/math&gt; ;

&lt;math&gt;r^2Y_{1,1}+r^2Y_{2,-1} = 2r^2sin \vartheta cos\vartheta cos\varphi = 2xz&lt;/math&gt;; et avec moins , 2i yz ;

&lt;math&gt;r^2Y_{2,2}-r^2Y_{2,-2} = 2ir^2sin^2 \vartheta sin2\varphi =4i xy &lt;/math&gt;;

&lt;math&gt;r^2Y_{2,2}+r^2Y_{2,-2} = 2ir^2sin^2 \vartheta cos2\varphi =4(x^2-y^2) &lt;/math&gt;;

Soit la base {3z^2-r^2, xz, zy, yx, x^2-y^2) dont chaque fonction est de laplacien nul.
----

*l=3: 7 fonctions
soit la base { z(5z^2-3r^2), x(5z^2-3r^2), y(5z^2-3r^2),zxy,z(x^2-y^2),x(x^2-y^2), y(x^2-y^2)}dont chaque fonction est de laplacien nul.

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* l quelconque : on trouve une base de (2l+1) polynômes réels, mais bien sûr toute combinaison linéaire complexe reste dans ce sous-espace vectoriel sur le corps des complexes.

{{Boîte déroulante|titre=Pourquoi (2l+1)?|contenu=la raison en est aisée :effectuons le décompte : il y a (l+1)(l+2)/2 polynômes homogènes de 3 variables (c'est le nombre de manières d'avoir avec un triplet d'entiers{m,n,p]avec la relation m+n+p = l). Quand on calcule le laplacien on tombe sur l'espace des polynômes homogènes de degré (l-2),de dimension (l-1)l/2 ,pour l &gt;1 ce qui donne pour l'annulation du Laplacien autant de conditions. Donc il ne reste, pour les polynômes homogènes harmoniques qu'un sous-ev de dimension (l²+3l+2 -l²+l)/2 = 2l+1.}}

*Théorème: &lt;math&gt;{P_l(x,y,z) \over r^{l+1}}&lt;/math&gt; est fonction propre du laplacien avec la valeur propre -l(l+1): 

C'est ce théorème qui est sans arrêt utilisé pour la théorie de l'atome d'hydrogène.

En chimie ,on représente souvent les fonctions 1/r^(l+1) . Pl comme les harmoniques sphériques des oribtales l ; parfois on prend leur carré; etc. 

Dans l'[[atome à N électrons]] pour N&lt; 119, l&lt; 5 : donc cela suffit au physicien de l'atome, qui leur a donné des noms et des représentations mnémotechniques diverses. Ne pas oublier que l'on peut combiner à volonté ces fonctions, pour former ce que les chimistes appellent des orbitales hybridées du sous espace propre du niveau d'énergie En( en particulier les fameuses orbitales paraboliques de Kleinert).

=== Multiplicité (2l+1) ===

Le nombre quantique l est appelé '''nombre quantique azimutal''' (on voit qu'il joue, par son terme l(l+1), le même rôle que le carré du moment cinétique, L², en mécanique classique). Évidemment l'équation radiale a ramené le mouvement à UNE seule dimension, la variable radiale, avec la fonction S(r) qui doit s'annuler en r=0 (n'oublions pas c'est S(r)/r qui intervient ) et qui doit être de carré sommable sur l'intervalle r&gt;0 . 
On aura donc des valeurs propres de cette équation linéaire, dépendant donc de l , &lt;math&gt; E_{k, l}&lt;/math&gt; , mais pas de m (on dit que la multiplicité de la valeur propre est : 2l+1 ; en physique &amp; chimie on dit : il y a dégénérescence du multiplet égale à 2l+1). 

Le nombre quantique m s'appelle '''nombre quantique magnétique''', car sous l'effet d'un champ magnétique ([[effet Zeeman]]) l'énergie dépend alors de la valeur de m, et l'on voit une multiplicité de niveaux d'énergie, d'où la dénomination .

Enfin le nombre k , entier positif, s'appelle '''nombre quantique radial''' et donne le nombre de nœuds (k pour knots !) de S(r) pour r &gt; 0 .

Comme la spectroscopie est née un siècle avant la mécanique quantique, la tradition est restée d'appeler le nombre quantique azimutal l par des lettres latines : 

l= 1 -&gt; s ; l=2-&gt; p ; l=3 -&gt; d ; l=4 -&gt; f et ensuite g, h .

=== Résultat final ===

Au final, on trouve une énergie E(l,m,k) indépendante de m, soit E(l,k), mais, de façon incroyable (sauf pour Pauli), ne dépendant que de la somme l+k-1 = n , qui doit être un entier positif, et appelé '''nombre quantique principal'''.

C'est la fameuse équation déjà trouvée par Bohr en 1913:
 
&lt;div style=&quot;text-align: center;&quot;&gt;
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{| border=1 cellpadding=10 style=&quot;border-collapse:collapse&quot;
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| &lt;math&gt;E_n = {E_1 \over n^2}= -{me^4 \over 2n^2\hbar^2}&lt;/math&gt;
|}
| 
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|}&lt;/div&gt;

Il y a ce qu'on appelait une '''dégénérescence accidentelle''', avant l'introduction par Pauli en mécanique quantique du vecteur [[invariant de Runge Lenz]].

La multiplicité, g, du niveau d'énergie En est donc :
 
pour l variant de 0 à n-1 et

pour m variant de -l à +l

&lt;math&gt; g =\Sigma_0^{n-1} (2l+1)=  n^2&lt;/math&gt; .

Et, compte-tenu du spin (1/2) de l'électron ,g vaut le double , soit 2.n²

*Ce qui donne simplement : couche K, g=2 ; L, g=8 ; M, g=18 ; O, g= 32 ; P, g = 50 ; Q, g=72 ; R, g = 98 ; S, g= 128.
Inutile d'aller plus loin pour décrire la [[classification périodique]], la configuration de l'élément Z= 119 est celle d'un alcalin :

&lt;math&gt;(1s^2) (2s^2) (2p^6) (3s^2) (3p^6) (4s^2) (3d^{10}) (4p^6)&lt;/math&gt; soit Kr(Z=36) puis,

&lt;math&gt;(5s^2) (4d^{10}) (5p^6) (6s^2) (4f^{14}) (5d^{10}) (6p^6)&lt;/math&gt; Rn(Z=86) , puis

&lt;math&gt;(7s^2) (5f^{14}) (6d^{10}) (7p^6)&lt;/math&gt; Uuo(Z=118), 

puis 8s.

Sur les 64 orbitales de la couche S, n= 8 , on n'a besoin de connaître que l'orbitale (8s): ce calcul requiert impérativement la [[mécanique quantique relativiste]] , car les électrons (1s²) de la première couche sont soumis à des vitesses non négligeables devant c .

De même, la configuration de l'élément Z= 121 est Uuo,(8s²,5g), la sous-couche 5g pouvant contenir jusqu'à 2*9 =18 électrons.

- -

Ce faisant, on obtiendra ainsi tous les niveaux d'énergie des éléments '''ET des séries isoélectroniques''', ce qui permettra de décrire certains traits de la [[classification périodique]].

* Pour en revenir à l'atome d'hydrogène, il ne reste plus qu'à introduire le vecteur [[invariant de Runge Lenz]] quantique pour comprendre que la dégénérescence dite &quot;accidentelle&quot; ne l'est pas : il y a bien une symétrie de plus que la simple symétrie centrale dans le cas de ce modèle de Rutherford quantique (cf [[théorème de Bertrand]]).

Auparavant, on va finir le raisonnement de Schrodinger(1926); puis on reviendra sur celui, plus subtil, de Pauli (1925).

=== Équation radiale-réduite et Polynômes de Laguerre ===

Si l'on revient à l'équation radiale de Leibniz-Schrodinger, on peut démontrer que pour r voisin de zéro, S(r) varie comme r^(l+1) , et que pour r très grand, S&quot; + 2E S = 0 . 
Il est courant de poser 2E = -1/n² et donc S(r) varie comme exp (- r/n) à l'infini : n pour l'instant n'est qu'un réel!

Alors le dernier changement de fonction inconnue est logiquement l'essai suivant qui se révèle fructueux : S(r) = r^(l+1).exp(-r/n).g(r) ; mais on s'aperçoit qu'en changeant la variable r en s : = 2r/n l'équation s'arrange mieux :

L'équation radiale-réduite devient :
 
s f&quot;(s) + (2l+2-s) f'(s) + (n-l-1) f(s) = 0 , avec g(r) = f(2r/n) = f(s) 

Les matheux et Schrodinger ont reconnu cette équation immédiatement (?) : elle conduit à la fonction hypergéométrique dégénérée de Kummer, qui conduit aux [[polynômes de Laguerre]], '''ssi''' n-l-1 est un '''entier positif''' : donc '''n est un entier positif''' et l = 0, 1 , 2 , .. ,n-1 . Et le nombre k est simplement k = n+l-1.

*Pour le cas l= n-1 (les états de Rydberg (cf. [[atome de Rydberg]]), elle devient r .g &quot; + (2n-r) g' = 0 satisfaite par g = cste (en effet S(r) ne doit avoir aucun nœud quand le nombre quantique radial k est nul !).
*Ici, on fera les calculs &quot;à la main&quot; pour les faibles valeurs de n .Mais sinon, les afficionados des équations différentielles chercheront un développement de f(s) en série entière qui se STOPPE en un polynôme P(s): cela marche, c'est le raisonnement typiquement utilisé avec l'équation hypergéométrique !

=== Infeld-Hull et la &quot;factorisation&quot; ===
dans RevModPhys 23,1951,21-68 , on constate que la méthode des opérateurs d'échelle était bien connue à l'époque (cf aussi Durand, CRAS1950,230,273):

L'idée est classique : 

soit A = 1/2 -a/r -d/dr et B = 1/2 - b/r +d/dr en unités &quot;bien choisies&quot;.

A et B sont opérateurs sur les fonctions de carrés sommables sur [0, infty[.


Ils sont opérateurs conjugués pour a = b .

et l'équation de Leibniz-S s'écrit :

A(l+1)B(l+1) Snl = (n-l-1)Snl/r

En multipliant par Snl et en sommant il apparaît immédiatement que n-1&gt; l ;
et B S = 0 pour l = n-1 d'où la valeur de S &quot;circulaire&quot; :
S(r) = r^n .exp (-r/2)

Qq calculs permettent de trouver que 

S(n+1, l) = r A(n) S(n,l)
S(n-1,l) = rB(n) S(n,l) .1/[(n-1-l)n+l)]


et toutes sortes de relations sur les polynômes de Laguerre.
 
Noter aussi que l'équation du second ordre peut s'écrire , comme assez souvent : 
K(n,l) S(n, l-1) = A S(n,l)
K(n,l) S(n,l) = B S(n, l-1) (Durand p 449)

*Les relations de Pasternak permettant de calculer &lt;r^k &gt; =((n, l,k)) s'en déduisent : 
k+1)&lt;r^k&gt; -2n(2k+1)&lt;r^(k-1)&gt; +[(2l+1)²-k²]&lt;r^(k-2)&gt; = 0

*exemples classiques 
*(n,l,3) = n²/8[ 35 n^4 -35 n² -30 n²(l+2)(l-1)-3(l+2)(l+1)l(l-1)]
*(n,l,4) = n^4/8[63 n^4 -35n²(2l²+2l-3)+5l(l+1)(3l²+3l -10) +12]
*(n,l,-1) = viriel = 1/n² 
*(n,l,-2) = force = 1/n^3(l+1/2)
*(n,l,-3) = force de barrière et LS = 1/n^3(l+1/2)l(l+1)
*(n,l,-4) = ion-dipôle =&gt; cf Kondratiev = [3n²-l(l+1)]/2n^5(l-1/2)l(l+1)(l+1/2)(l+3/2)
*noter l=0 pour -3 et -4 ! il faudra être prudent avec les électrons s !
*(n,l,2) = n²(5n²+1-3l(l+1))/2
*(n,l,1) = 3n²-l(l+1)]/2

Certaines se trouvent dans [[atome d'hydrogène]]

== [[Invariant de Runge Lenz]], quantique ==

=== Champ coulombien ===

*Le cas de la force coulombienne (cf. [[mouvement keplerien]] ; le [[puits de potentiel]] a déjà été étudié en mécanique classique) est TRÈS PARTICULIER car il montre que n DOIT être un '''entier positif''', '''indépendant de l''' , alors que les fonctions propres g(n,l,r) dépendent bien de deux indices n et l :
les valeurs propres de l'énergie ne dépendent pas séparément de n et de l , mais '''seulement de n''' , entier positif, qui de ce fait est appelé nombre quantique principal de couche (avec n= 1 -&gt; couche K , n=2 -&gt; couche L ,..). 

Ce fait, très exceptionnel pour l'énergie, ne sera plus vrai pour un potentiel V(r) quelconque, même voisin de -e²/r. Il convient donc de ne pas trop s'y attacher, sauf si l'on veut s'expliquer cette dégénérescence (anciennement appelée dégénérescence accidentelle), via le raisonnement de Pauli.

=== vecteur excentricité quantique ===
Le vecteur excentricité (cf. [[mouvement keplerien]] et [[invariant de Runge Lenz]])vaut :

&lt;div style=&quot;text-align: center;&quot;&gt;
{| border=0
|-----
|
{| border=1 cellpadding=10 style=&quot;border-collapse:collapse&quot;
|-----
| &lt;math&gt; \vec{e} =  \vec{V} \wedge \vec {L} / (GMm) -\vec{r}/r &lt;/math&gt;
|}
| 
| |
|}&lt;/div&gt; 


Il existe aussi en mécanique quantique, en tant qu'opérateur observable. Il vaut en unités convenables (unités atomiques)

&lt;div style=&quot;text-align: center;&quot;&gt;
{| border=0
|-----
|
{| border=1 cellpadding=10 style=&quot;border-collapse:collapse&quot;
|-----
| &lt;math&gt; \hat{\vec e} = [\hat {\vec {p}} \wedge \hat {\vec {L}}-\hat {\vec {L}} \wedge \hat {\vec {p}}]/2- \hat {\vec {r}}/r&lt;/math&gt;
|}
| 
| |
|}&lt;/div&gt; 

 
Or rappelons qu'en termes d'opérateur:
'''p^L +L^p''' = 2i.'''p'''.&lt;math&gt;\hbar&lt;/math&gt;

ce qui rend légèrement différent le vecteur quantique , subtilité de l'algèbre non commutative !

=== propriétés de la Q-excentricité ===

Toujours en faisant les calculs d'opérateurs,
 
on retrouve e.L = 0 , L.e = 0 , e.H = H.e (donc e est bon nombre quantique , et donc dans un ss-ev de la valeur propre de H , e sera stable).

&lt;div style=&quot;text-align: center;&quot;&gt;&lt;math&gt;e^2 -1 = -(H/E_o)\cdot [L^2/\hbar^2 + 1]&lt;/math&gt;&lt;/div&gt;

Là encore un terme (+1) vient subrepticement se glisser dans les calculs (on a pris Eo = -13.6eV): 

Et [e^2,Lz]=0

Mais alors ,dans l'ECOC [H, L², Lz], e² est un bon nombre quantique, et sa valeur est, dans le niveau n :
 
&lt;div style=&quot;text-align: center;&quot;&gt;e² = 1 -1/n² -l(l+1)/n²&lt;/div&gt;

et par conséquent l ne peut dépasser n-1 ;

Mais on n'attendait pas cette bizarre formule !

=== Boost et Q-excentricité ===

*Et maintenant, la REVELATION pour tous ceux qui ont fait de la relativité restreinte : 

Multiplions le vecteur excentricité par \hbar pour lui donner l'unité d'un moment cinétique et par n par pure commodité dans les calculs.

Nous appellerons ce vecteur &lt;math&gt;\hat{\vec E}&lt;/math&gt; ,le vecteur excentricité-boost , qui est un vecteur polaire et non axial.

E commute avec L² , mais pas avec Lz ; et E² est un bon nombre quantique dans l'ECOC [H,L²,Lz], '''mais pas E''' ! 

MAIS, dans le sous-ev de la couche n , 

&lt;math&gt;[F_{\lambda \mu},F_{\mu \nu}] = F_{\lambda \nu}&lt;/math&gt;

où le tenseur antisymétrique 4-4, F est :
(0,E) en première ligne et la matrice 3-3 antisymétrique correspondant à L^ .

VOILA ! l'atome d'hydrogène est invariant par SO(4) [ évidemment pour les états d'énergie positive, par SO(3,1) c'est à dire le groupe de Lorentz ! d'où l'idée de la notation excentricité-boost ! ]: cela était connu de Pauli , de Fock , de Bargmann , etc. Mais à l'époque, peu connaissaient aussi bien que Pauli la relativité restreinte !

Pour démontrer ces relations, il vaut mieux avoir qq notions d'algèbre de Lie (et des formules de trigo correspondantes), car sinon cela peut être un peu long (11 pages dans le X ; et une page dans le Y : X et Y par courtoisie).

=== opérateurs S et D, valeurs propres de H ===

Il &quot;suffit&quot; maintenant de se rendre compte que [H, Lz, Ez] forme un ECOC ( ce qui correspond en mécanique classique aux coordonnées paraboliques et à la vision spinorielle : 

soit 2S = L + E et 2D = L- E ; 
Alors S² - D² = 0

S et D sont deux moments cinétiques de carrés égaux : s(s+1)
et :


&lt;div style=&quot;text-align: center;&quot;&gt;
{| border=0
|-----
|
{| border=1 cellpadding=10 style=&quot;border-collapse:collapse&quot;
|-----
| &lt;math&gt; [S^2 + D^2 + \hbar^2]\hat{H} = E_o \cdot \hbar^2&lt;/math&gt;
|}
| 
| |
|}&lt;/div&gt;
 

C'EST FINI : H a pour valeurs propres : E_o/n² avec 4s(s+1) +1 = n²

soit n = s+s+1 , donc de dégénérescence : n² (faire ce petit calcul !).

Voici comment depuis 1926, on eût pu enseigner l'atome d'hydrogène de Pauli (nobel en 1945 après Heisenberg, Schrodinger et Dirac en 1933).

Pourquoi cela ne s'est-il pas produit ? Vraisemblablement parce que les orbitales paraboliques étaient moins utiles que les orbitales- harmoniques sphériques qui privilégiaient donc l'ecoc [H,L²,Lz].

== Voir aussi ==
* [[atome]]
* [[atome d'hydrogène]]
* [[Théorie de Schrodinger de l'atome d'hydrogène]]
* [[atome à N électrons]]
* [[Classification périodique]]
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== Compléments sur SO(6)et SO(4,2) ==
vacances closes après avoir vendu mes merguez, je fais le point sur SO(6). Cf Oliver.

SO(6) comporte &lt;math&gt;C_6^2&lt;/math&gt; = 15 générateurs de rotation.
(P. Kustaanheimo and E. Stiefel, J. Reine Angew. Math. 218, 204 (1965). )
la transformation K-S amène l'eq de Schrodinger sous une forme simple : 

multiplions tout par r : 
&lt;math&gt;-1/2 r \Delta +1 = E\cdot r&lt;/math&gt;
et opérons le chgt de variables ; il vient :
 
&lt;math&gt;[L_{56}+ L_{46}-2E \cdot (L_{56}- L_{46})-1]|\psi&gt;=0&lt;/math&gt;

En utilisant le &quot;tilt&quot; usuel A , tel que -2E = exp2A et les relations de commutation avec L(45) , l'équation se réécrit : 

&lt;math&gt;[e^{i A L_{45}}L_{56}e^{-i A L_{45}}-e^{-A}]|\psi&gt;=0&lt;/math&gt;

La solution est immédiate : 

les vecteurs propres de L(56) sont &lt;math&gt; \ |\phi_n&gt;&lt;/math&gt; de valeur propres n= 1,2,3,... et donc A = - ln n et on en tire 

&lt;math&gt; \ E_n = -1/2n^2&lt;/math&gt; , 

puis en opérant la transformation réciproque de K-S , on retrouve les états propres paraboliques &lt;math&gt; \ |n_1,n_2,m&gt;&lt;/math&gt;, puis via les symboles 3j-de-Wigner , les états sphériques &lt;math&gt;\ |n,l,m&gt;&lt;/math&gt; (Kleinert p 964): 

Que tout cela paraît naïvement facile! Néanmoins rappelons que Feynman avait calé sur ce problème et que le déblocage de situation s'effectua de 1967 à 1998.

== Retour ==
*[[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences|Mécanique , enseignée via l'Histoire des Sciences]]

[[Catégorie:Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences (livre)]]</text>
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        <username>DavidL</username>
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      </contributor>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="68966" xml:space="preserve">&lt;noinclude&gt;{{Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences}}&lt;/noinclude&gt;

Il s'agit du mouvement d'un point dans un champ central '''F'''('''OM''') = - GMm. '''OM'''/OM³, dit Newtonien.
Kepler en a énoncé les 3 lois principales : 
*La planète P a pour trajectoire une ellipse dont le soleil O est un foyer.
*Le rayon vecteur '''OP''' balaye des surfaces égales dans des temps égaux.
*Le carré de la période T du mouvement est comme le cube du grand axe, 2a, de l'ellipse.

La démonstration de ces faits revient à Newton (1684).

L'article mouvement keplerien de la Wiki a été beaucoup modifié.
Nous en rapatrions l'essentiel.

== Le mouvement est central ==
les conséquences immédiates sont : 
* Le moment cinétique '''L''' est une constante '''Lo'''.(On pose '''L''' = m.'''C''')
* Donc la trajectoire est plane, perpendiculaire en O à Lo
* Dans ce plan , le mouvement tourne autour de O ('''toujours dans le même sens''', choisi comme positif). 
* La loi des aires de Kepler est satisfaite : dS/dt = C/2 = 1/2 r².d&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;/dt.
* Comme C est non nul, theta est une échelle de temps (non linéaire) mais souvent utilisée(cf Note).
* L'hodographe et la trajectoire sont en '''correspondance directe''' : l'un donne l'autre. L'espace des phases sera donc bien R^2 x R^2 , mais de manière très simplifiée.

Note-annexe : historiquement,Ptolémée a utilisé theta' = MF'O = ~ t (+ O(t^3)), car cela suffisait pour les observations de l'époque : cela s'appelle la théorie de l'équant, elle sera vue en exercice.

Note 2 : on a excepté le cas L=0 comme physiquement irréalisable : on doit toujours pouvoir s'y ramener à la limite, et c'est un joli-exercice.

== L'hodographe est un cercle ; donc la trajectoire est une ellipse ==
==='''l'hodographe est un cercle :'''===

Poser p = Co²/GM (on verra que c'est la longueur du semi-latus-rectum (on dit aussi &quot;paramètre&quot; de l'ellipse), et Vo = Co/p (qui est donc une vitesse, par ailleurs pseudo-scalaire). Alors, on trouve :

 &lt;div style=&quot;text-align: center;&quot;&gt;
{| border=0
|-----
|
{| border=1 cellpadding=10 style=&quot;border-collapse:collapse&quot;
|-----
| &lt;math&gt; \vec{V} =   \vec{V_0} \wedge \vec{u}+ \vec{V_1} &lt;/math&gt;
|}
| 
| |
|}&lt;/div&gt; 

multiplier par vecteur(k).wedge et diviser par Vo ; on obtient :

=== la trajectoire est l'ellipse : ===
&lt;div style=&quot;text-align: center;&quot;&gt;
{| border=0
|-----
|
{| border=1 cellpadding=10 style=&quot;border-collapse:collapse&quot;
|-----
| &lt;math&gt; \vec{e}\cdot \vec{r} =  r - p &lt;/math&gt;
|}
| 
| |
|}&lt;/div&gt; 


===Démonstration :===
 prendre comme échelle de temps theta(t) ; le Principe Fondamental de la Dynamique de Translation (PFDT) donne : 

&lt;div style=&quot;text-align: center;&quot;&gt;
&lt;math&gt; \frac{d\vec{V}}  {d\theta} = - V_0 \cdot \vec{u} &lt;/math&gt;.&lt;/div&gt; 

donc, par intégration sur la variable theta : 

&lt;div style=&quot;text-align: center;&quot;&gt;&lt;math&gt; \vec{V} = \vec{V_0} \wedge \vec{u} + \vec{cste}&lt;/math&gt;.&lt;/div&gt;

soit :


&lt;div style=&quot;text-align: center;&quot;&gt;&lt;math&gt; \vec{V} = \vec{V_0} \wedge \vec{u} + \vec{V_1}&lt;/math&gt;.&lt;/div&gt;

Il y a évidemment beaucoup de manière de retrouver le vecteur constant &quot;cste = V1&quot; , en prenant deux valeurs de u opposées ; par exemple, l'apogée et le périgée donnent: V(A) = Vo + V1 et V(A') = Vo - V1 , d'où Vo et V1.


'''''nota bene''''' :''Et Voilà ! C'est fini'' ! L'hodographe est bien un cercle ( de rayon Vo = Co/p) ! La trajectoire sera donc FERMEE ! On obtient donc cette caractéristique FONDAMENTALE du mouvement dès le début du raisonnement. Cette simple remarque a été faite en 1713, mais est passée relativement inaperçue. Il en est résulté des dizaines de re-découvertes ! Jusqu'en 2000, on peut voir des articles ( cf par exemple Butikov, etc.)signalant cette &quot;trouvaille&quot;. On peut s'amuser à exploiter cet hodographe, sans doute comme l'a fait Hooke ( tentative dite des elliptoïdes ; rappelons que Hooke n'avait pas grande culture mathématique, mais il avait compris le principe de l'hodographe, puisque c'est cette méthode de l'hodographe qu'il utilise pour l'ellipse-dite-de-Hooke ).

==== '''Vecteur excentricité''', &lt;math&gt;\vec{e_o}&lt;/math&gt;, constant ====


&lt;div style=&quot;text-align: center;&quot;&gt;
{| border=0
|-----
|
{| border=1 cellpadding=10 style=&quot;border-collapse:collapse&quot;
|-----
| &lt;math&gt; \vec{e} =  \vec{u} + \vec{V/V_0} \wedge \vec {k} &lt;/math&gt;
|}
| 
| |
|}&lt;/div&gt; 

C'est l'extra-ordinaire intégrale première de Hermann(1713)- retrouvée par Laplace-Runge-Lenz,etc.! Il en sera question plus tard.

La démonstration est immédiate : multiplier l'équation de l'hodographe par vec(r)/Vo.wedge, et la réécrire . 


===='''donc la trajectoire est une ellipse :'''====
Car en multipliant scalairement le vecteur-excentricité &lt;math&gt;\vec{e}&lt;/math&gt; par le rayon-vecteur, on obtient : 

&lt;math&gt;e \cdot r cos\theta = r - p&lt;/math&gt; , soit :

&lt;div style=&quot;text-align: center;&quot;&gt;
{| border=0
|-----
|
{| border=1 cellpadding=10 style=&quot;border-collapse:collapse&quot;
|-----
| &lt;math&gt; r = \frac{p}{1 - e \cos \theta} &lt;/math&gt;
|}
| 
| |
|}&lt;/div&gt;


Ce qui est l'équation polaire d'une ellipse d'excentricité e , et de paramètre p , le vecteur-excentricité pointant vers l'apogée.La valeur de p ( demi-latus rectum := b^2/a := a(1-e^2)) est :

&lt;div style=&quot;text-align: center;&quot;&gt;
{| border=0
|-----
|
{| border=1 cellpadding=10 style=&quot;border-collapse:collapse&quot;
|-----
| &lt;math&gt; p = \frac{C_o^2}{(GM)}&lt;/math&gt;
|}
| 
| |
|}&lt;/div&gt;


Evidemment, on peut prendre la convention, '''origine au périgée''' ; soit &lt;math&gt; r = \frac{p}{1 + e \cos \theta}&lt;/math&gt;,


==='''La conservation de l'énergie''' ===
si l'on introduit l'énergie potentielle -GMm/r , elle conduit à :
1/2 V² - (GM)/r = Eo/m = cste , d'où 

&lt;div style=&quot;text-align: center;&quot;&gt;'''Eo négative == - GMm/2a.'''&lt;/div&gt;

'''Exercice''' : montrer que 2a est le grand-axe de l'ellipse.

Donc dans le plan de la trajectoire, les deux quantités physiques '''Lo''' et Eo déterminent la forme de l'ellipse. Bien sûr '''OMo''' et '''Vo''' aussi.

==='''moyens mnémotechniques''' par @d ===
il importe, dans les exercices, de ne pas toujours tout redémontrer, et de savoir retenir les formules encadrées : la méthode d'A.D., dite des d@hus, sert en ce genre de situation :

les seuls paramètres sont cinématiques : GM (cste de Gauss) , Eo/m (énergie massique), et Co (cste des aires).
Donc, un de trop ! 

'''MAIS''' il suffit de retenir 

*p = @d[GM, Co]   ( et pas de Eo) ; et de retrouver la cste par le cas particulier du cercle ( donc cste =1)
*2a= @d[GM, Eo/m] ( et pas de Co) ; et de retrouver la cste par le cas particulier du cercle ( donc cste =-1)

=== remarque de Hooke-Hamilton ===

Signalons à titre de curiosité ce raisonnement de Hooke, qui a peut-être des résurgences dans la pensée de Allais ( nobel économie quand même ! ) :
Si l'on considère que le mouvement est plan central, de centre O , pourquoi ne pas dire que la force est centrale et proportionnelle à l'angle balayé par unité de temps, soit &lt;math&gt;\dot{\theta}&lt;/math&gt; , alors on retrouve tous les résultats antérieurs. Il est fort possible que ce soit par cette méthode que Hooke ait essayé de retrouver &quot;la fameuse loi en 1/r²&quot; , en appliquant sa méthode du second ordre : se donner la position initiale, puis la position voisine. Alors appliquer la loi et trouver la position ultérieure. Itérer. Il trouva par cette méthode des &quot;elliptoides&quot;, ce que méprisa Newton. Plus fin, mais quel mérite en 1820? , Hamilton tirera de cette loi le fait que l'hodographe est un cercle, et tout le reste s'ensuit comme on l'a vu.

Ainsi les lois de Newton seraient simplement liées à un &lt;math&gt;\dot{\theta}&lt;/math&gt;. Cette méthode serait plus &quot;économique&quot;. Par contre, elle induirait peut-être un malaise, si on l'interprète à la manière Allais, car alors l'interposition de la Lune entre Soleil et Terre pourrait modifier l'angle sous lequel le Soleil serait vu de la Terre, et ainsi modifier &quot;G&quot; : une telle manière de faire serait alors en contradiction avec l'astronomie des trois corps. Il faudrait aussi retrouver la gravimétrie et les &quot;théorèmes remarquables de newton-gauss&quot;. Dans cette problématique, on serait alors entrainés fort loin...Cela est bien curieux et ne vaut que pour l'anecdote : il est sain d'avoir toujours des visions différentes ( mais si elles débouchent...sur quelque chose de tangible).

== Mouvement sur la trajectoire ==

* La loi des aires donne S/T = Pi.a.b/T = Co/2 , ce qui donne :
{{exemple||loi de Kepler(1628)|&lt;math&gt;\omega^2 \cdot a^3 = (GM) &lt;/math&gt;}}


* Partant du périhélie, et en introduisant l'angle dit [[anomalie excentrique]] E(t)(cf dessin), géométriquement :

&lt;math&gt;tan \theta/2 = tan E/2 \cdot \sqrt \frac{1+e}{1-e}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt; r = a (1- e \cdot \cos E)&lt;/math&gt;;

On calcule géométriquement l'aire balayée depuis le passage au péricentre :

par affinité , S(t) = (b/a)[a²E/2 -ac. sinE /2] = ba(E-e.sinE)/2

Il s'ensuit :

{{exemple||Equation_du_temps de Kepler|&lt;math&gt;\omega t = E - e \cdot \sin E &lt;/math&gt;}} 

La fonction réciproque donne E(t), et de là '''OM'''(t).
----

===Fin du Cours===

Il est évident que l'on a cherché ici la compaction maximum du cours.Des dizaines d'ouvrages reprennent ce problème.
Pour nous, 2 ressortent du lot : Chandrasekhar si on aime la géométrie . Tisserand ou Winter si on veut plus exhaustif.Quelques exercices classiques suivent, pour &quot;se faire la main&quot;.
----

==Exercices ==
Il y a des dizaines d'exercices sur ce sujet, évidemment très important; soit de satellites artificiels, soit d'astronomie. Nous &quot;essaierons&quot; de les classer.

=== satellites de la Terre ===
'''exMersenne-Descartes-Laplace :'''
 
Mersenne posa à Descartes la question suivante : si on tire un boulet verticalement, est-il possible que le boulet ne redescende pas? 

Soit h = Vo²/2g . Montrer que l'altitude H atteinte est :
1/H = 1/h-1/R . que se passe-t-il pour h &gt; R .

Que penser du cas Vo&lt;c et c²&lt; 2gR (Laplace vers 1800).

----
 
'''exSystème d'unités :''' pour la Terre , nous éviterons GM remplacé par gR² avec profit. Du fait de La loi de Galilée, la masse du satellite m n'intervient jamais. On se retrouve donc avec un système d'unités adapté ( un d@hu) tronqué à la cinématique.

*R étant l'unité de longueur, on prendra 2π.R = 40 000 km.
*On conviendra de prendre g = 9,80 m/s².
*La pulsation unitaire sera donc &lt;math&gt;w = \sqrt{\frac{g}{R}}&lt;/math&gt;, dite pulsation de Schuler. Il lui correspond une '''période''' &lt;math&gt;T(R)= 2 \pi \sqrt{\frac{R}{g}}&lt;/math&gt;, dite période basse altitude (84,4 min).
*La vitesse unitaire est &lt;math&gt;Vo = wR = \sqrt{gR}&lt;/math&gt;= 1re vitesse cosmique = 8.2 km/s (vitesse d'un satellite basse altitude).
*L'énergie massique du satellite est donc -1/2 .gR 
*Le pivotement sidéral de la Terre est 24h * (365.25/366.25) = 86164 s =17.0 To.En un jour les astronautes voient donc environ 18 fois le Soleil se lever.

En pratique, les satellites d'observation , type Spot orbitent à ~ 800 km d'altitude.
Reprendre le système d'unités de ces satellites. 
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'''exLégère erreur de trajectoire :'''

Au lieu de la bonne vitesse Vo de Spot, on donne une vitesse de bonne direction (i.e perpendiculaire au rayon) mais trop forte : V1 = Vo(1+eps). Trouver la trajectoire et la période.

- - - - -

'''exFenêtre de tir :'''

m ex que le précédent mais la bonne vitesse Vo est mal orientée dans le plan d'un angle A , petit. Trouver le périgée.

- - - - - 

'''exErreur radiale :'''
 
m ex que le précédent, mais il y a en sus de Vo , une erreur de vitesse radiale Vo.eps.

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'''exLâcher-Chute libre :''' 

On n' a pas attendu Newton (le 24 Nov 1679) pour réfléchir à la déviation vers l'Est (ou l'ouest!) d'une pierre lâchée de l'équateur; c'était la dispute favorite des Coperniciens et antiCoperniciens. La vitesse due au pivotement est à l'équateur de 40 000 km/86164 s soit 464 m/s . Selon les antiCoperniciens, une chute de 5m (environ 1s) eût placé le mobile vers l'Ouest de 464 m ! Galilée (mais il avait tort) disait que le corps tomberait toujours à la verticale. Koyré catalogue les différents types de solutions (chute des graves et mouvement de la Terre): l'imagination au pouvoir ! mais c'est Newton qui donna la solution.

Soit h &lt;&lt; R , retrouver le résultat de Newton.

Si h est assez grand, la déviation vers l'est sera si grande que la pierre sera satellite.

Si h = altitude geostationnaire = H , la pierre ne tombe plus !

Si h est encore plus grand , la pierre est à son périgée : elle remonte, périodiquement.

Si h &gt; (R+H) .2^(1/3) - R , qu'arrive-t-il ? 

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'''exBalistique :''' voir la WP ( [[ellipse de sûreté]] )

revoir la leçon sur la chute libre avec violence (avec vitesse initiale dit-on aujourd'hui).
Dès que l'on veut une certaine précision (théorique) , il faut tenir compte de ce que la Terre est sphérique et donc prendre comme trajectoire de l'obus une ellipse lancé d'une base B avec une vitesse Vo faisant l'angle A avec la verticale. Soit u = Vo/sqrt(gR).

1/. Relation u et A pour que l'obus tombe à l'antipode.

2/. Déterminer la portée 2R.Beta , via tan B = f(u, tan A).

3/. Pour B donné, combien y a-t-il de trajectoires possibles ? et quelle est la portée maximale.

(Hint: soit H le point d'altitude maximale (pour A=0 !). La trajectoire a pour deuxième foyer un point situé sur le cercle [centre B ; rayon BH]).
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=== Corrigé des exercices ===

'''exMersenne-Descartes :'''

Appliquer le théorème de l'Energie cinétique :
-gR²/r +1/2 V² = cste , ce qui conduit au résultat.
Descartes évidemment ne savait rien de tout cela ; mais il se doutait &quot;intuitivement&quot; que si g(z) décroissait alors il y aurait possiblement une &quot;vitesse de libération&quot;.

De même , Laplace , très heuristiquement , remarqua que si aucun corps ne pouvait dépasser la vitesse-limite c , alors si c² &lt; 2gR , l'astre serait un trou noir !

Enfin, l'expérience a été tentée ( plus pour tester la relativité galiléenne et/ou la déviation vers l'Est(cf exo plus loin)): bien sûr on n'a jamais retrouvé le boulet! )
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'''exSystème d'unités Spot :'''
 
Ro = 40 000/2Pi +800 = 7166 km.
To via Kepler est : 84.4 (7166/6366)^3/2 = 100 min.
Tout le reste s'en déduit (attention , c'est la pulsation qui a été choisie unitaire).

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'''exLégère erreur de trajectoire :''' 

Si eps = sqrt(2) -1 , la trajectoire est parabolique et le satellite part à l'infini.

Sinon , Mo est le périgée: a-c = Ro. D'autre part, E1/m = 1/2 V1² - gR²/Ro ; donc on obtient le grand axe , puis l'apogée en A1 : OA1 = Ro.(V1²/2Vo²-V1²) (On retrouve le cas V1 = Vo.sqrt(2)).

Si eps est petit : l'énergie massique a peu varié : dE/m = mVo².eps . Puis dE/Eo = - da/Ro = -2/3 . dT/To . Donc OA1 = 4Ro.eps et l'excentricité est e = 2eps ; enfin dT = To.3eps

- - - - -

'''exFenêtre de tir :'''

Cette fois, l'Energie massique n'a pas changé, donc le grand axe vaut 2Ro . Comme OMo = Ro , c'est l'extrémité du petit axe. donc k/\OMo donne la direction du grand axe. La projection de Mo sur celui-ci donne le centre de l'ellipse : l'excentricité vaut donc e = sin A ; d'où le périgée OP1 = Ro(1-sinA) : on ne peut se tromper que de 100 km :cela donne une fenêtre sin A = 100/7166 rad = 0.8°. Assez large , car les pointeurs donnent la seconde d'arc.

- - - - -

'''exErreur radiale :'''

Si eps = 1 , la trajectoire est parabolique !

Cette fois, le moment cinétique Lo est le bon ; donc le paramètre p est le bon . Donc OMo est perpendiculaire au grand axe , dont la direction est connue. Il est facile de calculer le vecteur excentricité qui donne en module eps.
On en déduit a = Ro/(1-eps²) (on retrouve eps = 1 comme limite).

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'''exLâcher-Chute libre :'''

le Cours donne D = déviation vers l' Est de 2/3.wt.h .

Démontrons-le , façon Newton : la trajectoire est une ellipse , mais où r varie sensiblement comme R+h-1/2gt². La conservation du moment cinétique donne :

d&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;/dt = [(R+h)/R+h-z)]² .w = w (1+ 2z/R),
soit une déviation w.R. int(2z/R) = 1/3 w.gt².t = 2/3 wt.h

Si h= H , c'est l'exercice classique du géostationnaire : 

R+H = R .17^(2/3) = 6.6 R = 42 000 km

Si h &lt; H , il existe des trajectoires elliptiques dont Mo est l'apogée : la plus petite aura pour périgée OP = R , donc un grand axe 2a = 2R+H , d'où l'énergie massique . En posant r = Rx , on trouve x^4 + x^3 = 1/2 (289) , soit x = 4.67 et donc h = 3.67 R.

Si h &gt; H , la pierre remonte ! résultat curieux qui aurait sans doute amusé Mersenne, et elle part à l'Ouest (si l'on ose dire).

enfin si h &gt; H. 2^(1/3)= 8.36 R, alors E &gt; 0 , donc trajectoire hyperbolique (limite : parabolique).

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'''exBalistique :'''
V= 8.2km/s := sqrt(gR) a signé le début de la Guerre Froide.
mais déjà les canons longue portée obligeaient à prendre une trajectoire elliptique et non parabolique : 111.111 km c'est déjà 1° à l'équateur!

1/.Si l'obus arrive à l'antipode B' , OB = OB' = paramètre p = Lo²/m²gR² = R soit u.sinA = 1 . (évidemment trajectoire avec A&lt; 45° : il faut une apogée!)

2/.La portée s'évalue en calculant la direction du vecteur-excentricité 1 + i.Lo.Vo.exp(iA)/mgR² = [1-u²sin²A] +i[u²sinAcosA]=&gt; tanB = 1/2 u².sin2A / (1-u²sin²A).

Pertinence : on retrouve Torricelli pour u &lt;&lt;1 ; et le §1.

3/.Pour B donné , équation en tan A : 

tan²A (1-u²) - tan A (u²/tanB) + 1 = 0 d'où deux angles B1 et B2 tels que tan(B1+B2) = (tanB1+tanB2)/(1-tanB1.tanB2) = S/(1-P) = -1/tanB, donc A1+A2 = Pi/2+ B : il existe une trajectoire tendue et une plongeante. Portée maximale : tan B = u²/2(1-u²) [pertinent avec u=1 ]

'''Géométriquement''', tout ceci est relatif à la courbe de sûreté qui est l'ellipse de foyers T et B et d'apogée BH (rappel 1/H = 1/h -1/R , exercice sur l'energie potentielle). En effet , toutes les trajectoires Tr(A) ont m énergie , donc m grand axe , soit TH+HB . Le lieu du deuxième foyer est donc le cercle [centre B, rayon BH]: pour une portée donnée (donc angle B donné , il y a deux solutions : à l'intersection de la droite d'apogée avec ce cercle ; soient F1 et F2 : alors la vitesse initiale étant bissectrice de TBF , les deux vitesses sont telles que A1+A2 = Pi/2+ B. La racine double est lorsque sinB = H/R ( = u²/(2-u²)).

L'ellipse de sûreté est donc telle que MT+MB = HO+HB, et dans ce cas, BM est corde focale [les raisonnements sont calqués sur ceux de Torricelli].
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=== Exercices d'astronomie ===
==== Étoiles doubles ====
Montrer que dans le cas d'une étoile double, la troisième loi de Kepler s'écrit assez naturellement :
w² . a³ = G (m1+m2)

Que penser des planètes du soleil ?

'''Réponse :'''

Le problème à deux corps donne la réponse : (masse-réduite).w² a = G.m1.m2/a². Ainsi , on obtient une formule symétrique en m1 et m2 , ce qui est pertinent.

Dans le cas des planètes du Soleil , la plus grosse, Jupiter, n'apporte qu'une petite correction m2&lt;&lt; M(Soleil) , ce qui justifie la loi de Kepler. Pour les calculs précis, on fait les corrections, étant entendu que le barycentre du système solaire est quasiment en mouvement uniforme (pour plus de corrections, par exemple pour la ceinture de Kuiper ou le nuage de Oort, il faut envisager la &quot;marée galactique&quot;).

==== Conjonction Mars -Terre ====
La distance T-Soleil = 1UA ,période 1an, excentricité e(T); mars-Soleil = d UA,période k ans, excentricité e(M). Montrer que '''TM''': = '''OD''' ne peut varier que dans une couronne &gt;d1 et &lt;d2. Le point D est-il dense dans la couronne? Si k était rationnel := p/q quel serait le mouvement de D.

'''Réponse :''' 

Consulter exercices de l'IMCCE.

==== équant de Ptolémée ====
Soit une planète, disons Mars, de trajectoire elliptique d'excentricité e ( = 0.093).
On prend comme échelle de temps l'angle polaire compté à partir du deuxième Foyer F', où &quot;il n'y a rien!&quot;.
Est-ce mieux ou moins bien que de compter theta(t) comme temps &quot;uniforme&quot; ?

'''Réponse :'''

Historiquement, cet exercice a beaucoup d'importance : on ne distingue pas un cercle d'une ellipse dès que e&lt;0.1.
Donc Ptolémée croyait que la trajectoire était circulaire. MAIS il avait bien vu que theta(t) n'était pas uniforme ; par contre theta ' (t) l'était à la précision des mesures de l'époque. C'est ce que l'on demande de prouver.

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== Rapatriement provisoire de la WP:historique de démonstrations ==
Ici est placé tout le travail de recherche historique qui n'intéresse pas forcément tout le monde : il y eût moult &quot;démonstrations&quot; du cours précédent.

=== Newton (1684) ===

*1/. '''la première''', celle de Newton en novembre 1684, est géométrique, le temps étant évalué par l'aire balayée (2ème loi de Kepler) : l'analyse en est faite dans l'[[Exégèse des Principia]].

=== Hermann (1710) ===

*2/. '''la plus simple''' (1710 &amp; 1713) est celle de [[Jakob Hermann]] (1678-1733), élève de [[Jacques Bernoulli]] (1654-1705) : il écrit à [[Jean Bernoulli]] (1667-1748) : on remarque que l'hodographe est un cercle (notion de vecteur excentricité) : en calculant le produit scalaire '''e.r''', on trouve l'ellipse et son péricentre. L'analyse est faite dans [[Invariant de Runge Lenz]].

Laplace la reprendra dans son traité de « Mécanique Céleste ».

Que cela est vite dit dans notre langage moderne ! En réalité, la démonstration géométrique est la remarque classique sur le rôle des podaires dans le cas de champs centraux. Danjon remarque (avec Hamilton) que l'antipodaire de l'inverse d'un cercle est une conique : cela était enseigné encore au baccalauréat des années 60 (Cf. LEBOSSÉ &amp; EMERY, cours de mathématiques élémentaires).

Quant à Hermann, c'est un tour de force : 

Il possède trois intégrales premières en coordonnées cartésiennes tirées de &lt;math&gt;\ddot{x} = -gR^2\cdot x \cdot r^{-3}&lt;/math&gt; et idem en y.
* &lt;math&gt;C := x\dot{y} -y\dot{x}&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;E_x := \frac{x}{r} - \frac{C}{gR^2}\cdot \dot{y}&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;E_y := \frac{y}{r} - \frac{C}{gR^2}\cdot \dot{x}&lt;/math&gt;

Eliminer la vitesse : on trouve &lt;math&gt; x \cdot E_x +y\cdot E_y = r- p &lt;/math&gt; : c'est une ellipse (Cf.discussion [[conique]], Kepler).
Mais comment a-t-il trouvé les deux intégrales premières du vecteur excentricité ? par un raisonnement analytico-géométrique horriblement compliqué ! On sait aujourd'hui le faire par la théorie de la représentation linéaire des groupes (Moser et SO(4) :1968)

=== Transmutation de la force par Newton ===

*3/. '''la plus surprenante''' est celle de la [[Transmutation de la force]] (Newton, retrouvé par Goursat (1889)): ce théorème est EXTRAORDINAIRE et apprécié des afficionados des Principia.

=== Keill (1708) ===

* 4/. '''la classique''' : Newton-Keill (en 1708) - Bernoulli (1719)

&quot;Classique&quot;, elle est bien &quot;chencitournée&quot;.

Le problème est plan, si la force est centrale. Le plan de phase est donc (&lt;math&gt; x,y,\dot{x} , \dot{y}&lt;/math&gt;). Les deux équations du PFD (principe fondamental de la dynamique) sont :

&lt;math&gt;\ddot{x} = - \Omega^2 \cdot x&lt;/math&gt;

et la même en y.[Evidemment &lt;math&gt;\Omega &lt;/math&gt; dépend de r!].
Cette notation est évidemment très réminiscente de celle de Hooke. Mais elle n'a rien à voir, sinon que la symétrie est centrale.

Choisir trois fonctions invariantes par rotation : 
*&lt;math&gt;I := 1 \cdot (x^2+ y^2) = r^2&lt;/math&gt;, strictement positif,
*&lt;math&gt;J := 1 \cdot (x\dot{x} + y\dot{y})&lt;/math&gt;, de sorte que &lt;math&gt; \dot I = 2J (= 2r\dot{r})&lt;/math&gt;,
*&lt;math&gt; \ K := {v^2}/{2}&lt;/math&gt;, énergie cinétique.

Remarquer cette particularité : r² est choisie comme variable, et non r. Et comme J est non-nulle, I va jouer '''le rôle d'une échelle de temps''' au moins sur une demi-période, du périgée à l'apogée. 

Démontrer que le problème se réduit au système différentiel (S) : 

*&lt;math&gt;\dot{I} = 2J&lt;/math&gt; 
*&lt;math&gt;2\dot{J} = K -I \Omega^2(I)/2&lt;/math&gt; (th du viriel !)
*&lt;math&gt;\dot{K} = - J \Omega^2(I)&lt;/math&gt; (loi de Newton!)

- - -
Keill utilise alors '''l'échelle de temps I''' ; le système se réduit à : 

*&lt;math&gt; 4\frac{d(J^2)}{dI} = 2K - I \Omega^2&lt;/math&gt;
*&lt;math&gt;\frac {dK}{dI} = - \Omega^2/2&lt;/math&gt;

En éliminant Omega² (et quelle que soit sa valeur ! donc c'est vrai pour toute force centrale!)

&lt;math&gt; K = \frac{J^2}{2I} + \frac{C_o^2}{2I}&lt;/math&gt;.

C'est un vrai ''tour de force'' : au début du XVIIIème , on vient de réécrire : 

&lt;math&gt;2KI = v^2\cdot r^2 = [\vec r \cdot \vec v]^2 + [\vec r \wedge \vec v]^2  = [\vec r \cdot \vec v]^2 +C_o^2&lt;/math&gt; 

Emmy Noether connaissait-elle cette démonstration due à l'invariance par rotation ?

- - -

Puis, l'invariance temporelle donne la conservation de l'énergie :

&lt;math&gt;1.\cdot H = K + V(I)&lt;/math&gt;, où V(I) est l'énergie potentielle relative à la force centrale (= &lt;math&gt;-\frac{1}{2}\int \Omega^2  dI)&lt;/math&gt;

- - -

Ces deux ensembles de surfaces feuillettent l'espace (I,J,K) et leur intersection donne l'orbite du mouvement dans cet espace.

Éliminer K conduit à travailler dans le demi-plan (&lt;math&gt;I, 2J = \dot{I}&lt;/math&gt;), c'est à dire dans un plan de phase presque usuel (on joue avec r² plutôt qu'avec r) :

&lt;math&gt; H =  \frac{J^2}{2I} + \frac{C_o^2}{2I} + V(I)&lt;/math&gt;, 

ce qui est '''l'équation de Leibniz(1689)''', mais en notation I = r². (Remarquer que tout résulte de cette circonstance (non évidente du temps où les vecteurs n'existaient pas) : 

&lt;math&gt;x \dot{x}  + y \dot{y} = r \dot{r}&lt;/math&gt;)

et pour finir, ''as usual'', dt = dI/2J donne le mouvement sur cette orbite de phase et la primitive de 2J(I) donne l'action S(I) du problème.

Evidemment, actuellement, nous repasserions immédiatement en coordonnées (r et r'). 

Il n'empêche que voilà décrite la solution incroyable de Keill qui témoigne d'une virtuosité tombée dans l'oubli de l'Histoire.

*'''Note d'histoire''': 
cette équation ayant été écrite par Lagrange sous cette forme, le H ne saurait signifier « valeur de l'Hamiltonien » ! Peut-être faut-il y voir un hommage à Huygens (?), premier à utiliser la généralisation du théorème de l'énergie cinétique de Torricelli ? peut-être est-ce une simple notation fortuite...

La suite est très classique et correspond à différents paramétrages dans le cas de Kepler : 

L'équation de Leibniz se réécrit dans ce cas : 

&lt;math&gt; H \cdot 8r^2 -4C_o^2 + 8(GM) \cdot r = 4J^2 &lt;/math&gt; 

qui est une conique en J et r, ellipse si H est négatif de grand axe &lt;math&gt;2a = - \frac{(GM)}{H}&lt;/math&gt; :

Il est usuel alors de paramétrer via l' »anomalie excentrique » : 

&lt;math&gt;r = a \cdot(1- e \cos{\phi})&lt;/math&gt;,

et « miraculeusement » : 

&lt;math&gt;\omega \cdot dt = \frac{r}{a} \cdot d\phi&lt;/math&gt; ,

qui s'intègre en donnant la fameuse équation de Kepler.
En contrepartie l'équation en theta est légèrement plus compliquée à intégrer (primitive de &lt;math&gt;\frac{1}{r}&lt;/math&gt;) d'où :

&lt;math&gt;tan \frac{\theta}{2} = \sqrt{\frac{1+e}{1-e}} \cdot tan \frac{\phi}{2}&lt;/math&gt;.

Note de détail: certains préfèrent la notation i = I/2 , et/ou j = J/2.

=== Clairaut (1741) ===

*5/. '''la méthode de Clairaut''' (1741), reprise par Binet consiste à écrire l'équation de Leibniz à l'aide de u := 1/r : 

&lt;math&gt; \dot{r}^2 = 2H + 2gR^2 \cdot u - C^2 \cdot u^2&lt;/math&gt;

et cette fois le paramétrage adéquat est :

&lt;math&gt;u := 1+e\cdot \cos \alpha&lt;/math&gt; et &lt;math&gt; \dot{r}: = e\cdot \sin \alpha&lt;/math&gt;

ce qui conduit au « miraculeux » &lt;math&gt;d \theta = d\alpha&lt;/math&gt; ! la trajectoire est donc une ellipse.
Mais la deuxième intégration conduit à &lt;math&gt;dt = k d\alpha \cdot 1/u^2&lt;/math&gt; plus difficile à intégrer (mais tout à fait faisable !)

=== Lagrange (1778) ===

*6/. '''la méthode de Lagrange''' est originale (1778) et n'utilise que la linéarité de F = m.a ! 
Partant de l'équation radiale de Leibniz(1689) : 

&lt;math&gt;\ddot{r} = C^2 u^3 - e^2u^2&lt;/math&gt;

il pose comme nouvelle variable z = C²-r et trouve :
 
&lt;math&gt;\ddot{z} = -(GM) \cdot z \cdot u^3 &lt;/math&gt;, 

'''identique''' aux deux équations de départ en x &amp; y !! 
donc il obtient : z (:= C²-r) &amp; x &amp; y linéairement liés, ce qui est la définition d'une ellipse (Cf. [[conique]], discussion). CQFD

=== Laplace (1798) ===

*7/. ''' Laplace''', sans citer Lagrange, calcule, en force brutale, sans aucune intégrale première, l'équation en I = x² + y² du troisième ordre issue du système de Keill : d'où il tire 

&lt;math&gt;\frac{d^3I}{dt^3} = - \frac{\dot I}{I^{3/2}}&lt;/math&gt; 

(comme quoi , le jerk ne date pas d'hier!)

Laplace en tire cette fois '''quatre''' équations '''linéaires''' identiques : 
d/dt(r^3.Z&quot;) = - Z', avec Z = r, x, y, cste. 
D'où r = a x + by + c.cste : c'est une conique !

Il reste à trouver une interprétation physique à ce calcul!

=== Hamilton (1846) et autres ===
*8/. Soit une ellipse ; le foyer F et sa polaire, la directrice (D). Soit P le point courant de l'ellipse et PH sa projection sur la polaire. Le [[théorème de Newton-Hamilton]] donne immédiatement la force centrale F ~ r/PH^3 soit ~ 1/r².e³.

*9/. Hamilton démontre aussi que pour toute mouvement sur une ellipse de paramètre Po, on obtient |'''a/\v'''|.Po = C^3/r^3. Donc si le mouvement est central de foyer F, |a/\v| = a.C/r d'où a ~ 1/r².

*10/. Hamilton est aussi le promoteur du renouveau de la méthode de l'hodographe circulaire que Feynman reprendra à son compte dans ses « lectures on Physics »

*11/ Hamilton va inspirer le [[Théorème de Siacci]] et puis Minkovski qui donnera beaucoup de propriétés des ovales : ceci donne encore une autre démonstration.

=== Goursat et régularisation dite de Levi-Civita ===

*12/. Goursat (1889), Bohlin(1911), AKN {Arnold &amp; Kozlov, Neishtadt} reprennent la méthode z-&gt; sqrt(z) = U (complexe) et le changement d'échelle de temps (dit de Levi-Civita ou de Sundman) dt/dT = 4 |z| : quelques lignes de calcul donnent via le théorème de l'énergie cinétique :

|dU/dT|² = 8 GM + 8 E |U|² ; soit par dérivation 
&lt;math&gt; {d^2U \over dT^2} +(-8E)\cdot U = 0&lt;/math&gt;, avec E négatif.

Donc U décrit '''une ellipse de Hooke''' et z =sqrt(U) l'ellipse de Kepler. 

On aura reconnu en T(t), l'anomalie excentrique. Ce n'est donc qu'une des méthodes précédentes : mais cette méthode a des prolongements plus importants (Cf. [[théorème de Bertrand]]).Voir aussi plus bas.

===régularisation===
cette transformation du problème de Kepler en problème de Hooke est assez stupéfiante. Saari(p141) s'y attarde un peu plus qu'Arnold(Barrow,H,H,Newton); peut-être est-ce justifié ; voici:

Le problème de régularisation se pose s'il y a collision , c'est à dire , C très voisin de zéro. Saari dit : la collision entraîne un changement brutal de 2Pi . Afin de garder la particule sur la droite sans singularité , il &quot;suffit de penser&quot; à garder l'arc -moitié ; soit
de changer de jauge (de fonction inconnue): &lt;math&gt;\ U = \sqrt z&lt;/math&gt; et de variable (transmutation d'échelle de temps) dT = dt/r(t)(ATTENTION au facteur 4!)

La conservation de l'énergie s'écrit 2|U'|²-1 = Eo.r

et l'équation du mouvement : &lt;math&gt;\ddot z = -z/r^3&lt;/math&gt; devient :

&lt;math&gt;r \frac{d^2z}{dT^2} - \frac{dr}{dT}\cdot \frac{dz}{dT} +z = 0&lt;/math&gt; , 

équation LINEAIRE sans le r^3 ! Elle conduit à :

U&quot; -U/r [2|U'|²-1] =0 

soit &lt;math&gt;\frac{d^2U}{dT^2}+ (-Eo/2)\cdot U = 0&lt;/math&gt; (équation de Hooke).

Le gros avantage de cette solution est qu'elle est stable-numérique : les solutions restent sur la même iso-énergie.

===Kustaanheimo(1924-1997) et Stiefel(1909-1978)===
en 1964, ils utilisèrent les quaternions pour transformer le problème de Kepler dans R^3 en celui de Hooke dans R^3, via R^4! (congrès d'Oberwolfach): ils leur a suffi de prendre la quatrième coordonnées x4 = cste : alors le quaternion U se déplaçait sur la sphère; ceci mit en exergue la symétrie SO(4) et mieux SO(4,2) qui correspondait à la version spinorielle du problème de Kepler (liée à la solution en coordonnées paraboliques) et mettait en avant le vecteur excentricité. Immédiatement, le traitement des perturbations fût amélioré (Stiefel et Scheifel,1971), mais aussi la quantification (methode dite de Pauli (SO(4)), et surtout la quantification lagrangienne SO(4,2),avec ses orbitales &quot;paraboliques&quot; de Kleinert (1967-1998)(cf Kleinert 2006).

*Saari donne des '''raisons topologiques à l'obstruction du passage de R^2 à R^3''' et la nécessité de passer à R^4 (les quaternions): la relation U^2 = z , ne pouvait se régulariser sur la sphère à cause du célèbre théorème du hérisson de Brouwer-Poincaré. Mais si on ne peut &quot;peigner&quot; S2 , on peut peigner S3 (et même S7:octonions), ce qui avec les trois vecteurs tangents donne la fameuse matrice 4-4 de la transformation K-S : rappelons que le maître de Stiefel était Hopf lui-même qui dressa la carte de S3 vers S2 : il n'y a pas de hasard, posséder une bonne formation, cela sert! (cf Oliver(2004)). 

 
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Voilà donc 12 démonstrations assez mal connues. En existe-til d'autres, de cette époque ?

Bien sûr, ont été exclues ici toutes les méthodes de mécanique lagrangienne et hamiltonienne, en particulier celle de [[Max Born]] (cf plus bas).

== Equation du temps, de Kepler : résolution ==

Dans le [[mouvement keplerien]], l''''[[équation du temps, de Kepler]]''' relie l'[[anomalie moyenne]] M = nt à l'[[anomalie excentrique]] E par l'équation 
&lt;div style=&quot;text-align: center;&quot;&gt;
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{| border=1 cellpadding=10 style=&quot;border-collapse:collapse&quot;
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| &lt;math&gt; M = E - e \cdot \sin E&lt;/math&gt;
|}
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|}&lt;/div&gt; 

où e est l'[[excentricité orbitale|excentricité]] de la planète.
 
'''Résoudre cette équation, c'est trouver E(e,M) :'''
* comme série de Fourier puisque c'est une fonction périodique impaire de M
* comme série de puissance de e, si e &lt; eo := 0.6627..., rayon de convergence de la série.
* comme une valeur numérique avec un nombre de chiffres (d), pour un temps de calcul tc(d) optimisé.

=== Série de Fourier ===
C'est [[Joseph-Louis Lagrange|Lagrange]] qui trouve l'expression, bien que le nom J&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;(x) soit associé au nom de [[Friedrich Wilhelm Bessel|Bessel]].

* E-M = fonction impaire périodique de M :

&lt;div style=&quot;text-align: center;&quot;&gt;
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{| border=1 cellpadding=10 style=&quot;border-collapse:collapse&quot;
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| &lt;math&gt; E-M = e\cdot sinE = 2 \cdot \Sigma_{n=1} \frac{J_n(ne)}{n} \sin(nM)&lt;/math&gt;
|}
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|}&lt;/div&gt; 

'''Démonstration :'''

On rappelle la définition de Jn(z) :

&lt;div style=&quot;text-align: center;&quot;&gt;
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{| border=1 cellpadding=10 style=&quot;border-collapse:collapse&quot;
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| &lt;math&gt; J_n(z) = \frac{1}{2\pi}\int_0^{\pi} \cos(nx-zsinx)dx&lt;/math&gt;
|}
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|}&lt;/div&gt;

et le développement classique de 1/[1-e.cosE] -1 , fonction paire périodique de moyenne nulle vaut: 

&lt;math&gt;\Sigma a_n \cdot cos (nM)&lt;/math&gt;
avec &lt;math&gt; \ a_n = 2 J_n(ne)&lt;/math&gt; 

car &lt;math&gt;\pi a_n = \int_0^{2\pi} cos (nM)/(1-e cos E)\cdot dM = \int_0^{2\pi} cos(n[x-esinx]) dx &lt;/math&gt;

 
*On reconnaît (a/r)-1 = 2&lt;math&gt; \Sigma_{n=1}J_n(ne)\cdot \cos (nM)&lt;/math&gt;

=== Série entière de l'excentricité ===
C'est encore Lagrange qui trouve la solution en inventant pour l'occasion son théorème d'inversion des fonctions holomorphes ; et [[Pierre-Simon Laplace|Laplace]] donnera le rayon de convergence : mais [[Augustin Louis Cauchy|Cauchy]], pas content du tout, fonde la théorie des séries analytiques pour résoudre ce problème épineux, qui verra son aboutissement avec les travaux de [[Victor Puiseux|Puiseux]].

&lt;div style=&quot;text-align: center;&quot;&gt;
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| &lt;math&gt; E-M = \Sigma_{n=1} {e^n \over n!}\cdot a_n(M)&lt;/math&gt;
|}
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|}&lt;/div&gt;


avec &lt;math&gt;\ a_n(M) = D^{n-1} (\sin^n M)&lt;/math&gt; et D := opérateur dérivée.

C'est l'application du théorème d'inversion de Lagrange.

*Le rayon de convergence de la série est : eo = 0.6627434193

{{Boîte déroulante|titre= note historique |contenu= 
indiqué par Laplace ([[1823]]) et démontré par Cauchy et Puiseux : eo = '''max (x/chx)''' ; soit eo = 1/sh(xo) avec 1/xo = th(xo);démonstration in Wintner, sur l'analyticité de la série.}} 

==== Cas des comètes : &lt;math&gt;e &gt; \ e_o&lt;/math&gt; ====
Le premier à se confronter au problème est [[Jeremiah Horrocks|Horrocks]], puis surtout [[Edmond Halley|Halley]] ([[1705]]), pour les calculs sur sa comète d'excentricité e = 0,9673.

Il faut modifier légèrement la solution de Barker (e = 1). Et Bessel([[1805]]) résout ce cas, mais pour e &gt; 0.997

[[Carl Friedrich Gauss|Gauss]] ([[1809]]) s'illustra en donnant une belle solution pour 0,2 &lt; e &lt; 0,95

Autant dire que le voisinage de (0,95 ; 0,98) est fertile en problèmes, en cas d'itération !

=== Calcul numérique ===
Les calculs via les [[intégrateur symplectique]]s exigent de rester toujours en butée du nombre de digits, dans le moindre coût de calcul.&lt;br/&gt;
Depuis 300 ans, on cherche la « meilleure » méthode. Elle reste à trouver !

Bien sûr, cela dépend beaucoup du doublet (M,e), M compris entre 0 et Pi et de e, surtout quand e est voisin de 1. 

Nijenhuis (1991) adopte la methode de Mikkola (1987) qui est la méthode de Newton d'ordre 4, en choisissant « adéquatement » le germe Eo en fonction du doublet (M,e).

Il est clair que dans les calculs numériques, le volume de calculs est essentiel, autant que le nombre de décimales, vu l'instabilité du système solaire évaluée à un [[exposant de Lyapunov|coefficient de Liapunov]] de 10^(t/5Myr). On se heurte à une muraille exponentielle : difficile d'aller plus loin que 25 Myr, même avec un traitement 128 bits.

Ce sont ces calculs (astronomiques... mais informatisés) qui tournent sur les machines de l'IMCCE-Paris. Le calcul de l'ensoleillement terrestre à la latitude 65°Nord, I(65,t) est calculé et on essaie d'en déduire la corrélation avec le climat passé : l'échelle géologique jusqu'au Néogène (25M ans) en est déduite(échelle géologique Gradstein 2004). Prochaine étape prévue : les 65 M ans.

=== Histoire des sciences ===
Avant Kepler, l'équation est déjà étudiée ! bien sûr, pas pour le même problème, mais pour la même équation : 

c'est le problème de la réduction des coordonnées locales aux cordonnées géocentriques : il faut réduire la correction de parallaxe. Habash al Hasib s'y est déjà attaqué.

Avant 1700, il y a déjà beaucoup de tentatives : Kepler naturellement, Curtz (1626), Niele, [[Ismaël Bouillau|Bouillau]] (1645, 1657), [[Seth Ward]] (1653), Paganus (1657), Horrebow (1717), [[Jean-Dominique Cassini (Cassini I)|Cassini]] (1669), Newton (1665?), [[Christopher Wren|Wren]] (1658), [[John Wallis|Wallis]] (1659),... De toutes, celle de [[Jeremiah Horrocks]] (1638) est de plus grande beauté. Cf le Colwell, déjà cité.

==== compléments ====
En 1770, Lagrange trouve les deux séries, mais le changement des termes dans les séries le laisse perplexe. 1821 : Cauchy enfin ! Sitôt après, 1824, [[Bessel]] (1784-1846)fera une étude extensive de &quot;ses&quot; fonctions , déjà apparues en 1703 dans une lettre de jean Bernouilli à Leibniz. Daniel Bernouilli fait la théorie du mode propre de la corde suspendue et introduit Jo(x); Euler généralisant a besoin des In(x) , les bessel-modifiées.

*Les calculs de développements approchés donnent :
* E-M = e.sin M[1-e^2/8 +1/192 e^4]+(e²/2). sin(2M)[1-e^2/3 +e^4/24] +e^3.sin (3M)[3/8 -27 e²/128] +e^4/3 .sin(4M)[1-4e²/5] + 125 e^5/384 . sin (5M) + 27 e^6/80 .sin (6M) +O(e^7) (p202 Battin) 

* OM/a = 1 - e cos wt +e²/2(1- cos(2wt)) + 3/8e³[cos(wt)-cos(3wt)] + 1/3e⁴[cos(2wt)-cos(4wt)]+ O(e⁵)

* angle POM = θ(t) = wt +2e sin(wt) +5/2 e² sin(2wt) + e³[13/12sin(3wt) -1/4 sin (wt)] +e⁴ [103/96 sin (4wt) -11/24 sin(2wt)] + O(e⁵).

*La solution d'Horrocks(1638) fût :Translater Delphine du déférent de (-2c,0) en D' et prendre E = angle (CP,CD')où C est le centre du déférent

On montre que E(Horrocks) = M + e/1sin M +e²/2 sin 2M +e³/3 sin3M +... et E(H) -E = 1/6 .e³sin³M ; pas si mal!

*La méthode la plus simple est évidemment &quot;regula falsi&quot; (interpolation linéaire inverse ou méthode dite de l'artilleur):
la fonction étant croissante , on &quot;tire&quot; trop bas avec x0 (F(x) est négatif), trop haut avec x1 (F(x) est positif) : alors la racine est entre les deux et on prend la corde.

* On peut montrer que E-M satisfait l'équation cartésienne de Newton : en effet c'est e sin E et donc proportionnelle à y(E) 

* (Gudermann(1798-1852)): le cas des orbites hyperboliques se traite par Corinne et donc le Gudermannien :

x = a ch u et y = b sh u ; r = a(1-e ch u)

On pose 1/cos g = ch u et tg g = sh u 

soit g = gudermannien (u) = gd(u) = 2 arctg(exp u) -Pi/2.

* Sundman (1873-1949)introduisit en 1912 le temps régularisant :

=== Voir aussi ===
*[[mouvement keplerien]]
*[[intégrateur symplectique]]
*[[Jeremiah Horrocks]], cf discussion.
*Colwell (1993) : solving Kepler's equation over three centuries, ed Willmann-Bell, {{ISBN|0-943396-40-9}}
*Brinkley (1803) : trans roy irish ac, 7,321-356.

== Après Lagrange, jusqu'à Born-Sommerfeld ==

== Les transformations hamiltoniennes du problème de Kepler et SO(4) ==

== En attente , les perturbations , pour faire de mon mieux ==

les perturbations du mvt de Kepler sont parmi les plus &quot;dures&quot; car il ya la dégénérescence banale de SO(3), mais aussi la dégénéréscence de SO(4) pour les états liés : du coup il faut comprendre la structure de la sphère S3 dont on sait qu'elle se retourne comme un gant ou peut se transformer en une foliation torique de Hopf, etc. Comment la perturbation agit sur chacun de ces aspects est encore à inventorier, même si on en connaît pas mal sur le sujet, en particulier gràce aux travaux de Poincaré, KAM, Mather, etc. Il est vrai que le niveau est plus élevé ici, puisqu'il s'agit de problèmes le plus souvent non intégrables.

=== à la manière directe : Danjon-Pollard-Duriez ===

la perturbation F est installée au temps t=0 , avec OMo et Vo donnés , càd Lo,Eo et eo données et passage au périgée donné.On appellera '''ko''' la direction de Lo, et '''uo''' = '''OMo'''/ro, et &lt;math&gt;\vec{u_{\theta_o}}&lt;/math&gt; pour compléter le trièdre, dont le vecteur-rotation instantanée sera &lt;math&gt;\vec{\Omega_o}&lt;/math&gt; ( '''v''' signifiera donc '''vecteur-vitesse'''). Sept équations sont bien compréhensibles :

* &lt;math&gt;\dot{\vec{L}} = \vec{OM}\wedge \vec{F}&lt;/math&gt; (théorème du moment cinétique)
* &lt;math&gt; \dot{E} = \vec{v}\cdot\vec{F}&lt;/math&gt;   (théorème de l'énerie cinétique)
*&lt;math&gt; \dot{\vec{e}} = \vec{F}\wedge \vec{C} + \vec{v}\wedge \vec{C} &lt;/math&gt; (théorème du moment&quot;excentricité&quot;)

Moins évidente est la variation de l'anomalie moyenne :

*&lt;math&gt; \omega \cdot a^2 \cdot \dot{M} + \vec{\Omega} \cdot \vec{C} = -2E -2\vec{OM}\cdot \vec{F} &lt;/math&gt; que l'on &quot;extrait&quot; du viriel en force.

Il en résulte les équations de Gauss.

==== équations de Gauss ====

le quintuplet [a,e,i,&lt;math&gt;\Omega, \omega &lt;/math&gt;]s'en déduit projeté sur le reférentiel initial et final :

* &lt;math&gt;C \cdot \dot{a}= 2a^2\cdot\vec{F}(\vec{u_{\theta} }+e \vec{u_{\theta_o}})&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt; C \cdot \dot {e} =  r (e+cos\theta) \vec{F}\cdot \vec{u_{\theta}}+ p \cdot \vec{F}\cdot \vec{u_{\theta_o}}&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt; C \cdot (\dot{\omega} +cos( i) \cdot \dot{\Omega}) =  r sin \theta \cdot \vec{F}\vec{u_{\theta}} -p \cdot \vec{F} \cdot \vec{u_o}&lt;/math&gt; et
* &lt;math&gt;C \cdot (sin (i)\cdot \dot{\Omega}) = r \cdot sin(\omega +\theta)\cdot (\vec{F}\cdot \vec{k})   &lt;/math&gt;
* &lt;math&gt; C  \cdot\dot{i} = r cos(\omega +\theta)\cdot (\vec{F}\cdot \vec{k})   &lt;/math&gt; et bien sûr C varie comme :
*&lt;math&gt;\dot{C} = r \cdot \vec{F}\vec{u_{\theta}} &lt;/math&gt;

Et il reste encore dM/dt à écrire !
Comme de plus il faut projeter l perturbation sur la base initiale et la base finale , l'interprétation est sévère.

heureusement, la perturbation dérive souvent d'un potentiel : cela simplifie l'écriture et la compréhension de ces 6 équations, sur lesquelles il faut se pencher qq temps pour les assimiler.

==== pertinence des équations de Gauss ====

demandée ici, pour &quot;souffler un peu&quot; : le cours est construit ainsi ! ne rien faire que l'on ne puisse refaire ou retenir ! Pour retenir, il faut manipuler et croiser les équations jusqu'à ce que cela devienne &quot;machinal&quot; et au fond &quot;intuitif&quot; . Donc la question posée est : en quoi les 6 équations précédentes vous semblent-elles pertinentes ?

{{Boîte déroulante|titre= pertinence des équations de Gauss ; dissertation en 3heures  | contenu= d'adord et toujours l'homogénéité ! ensuite prendre des cas particuliers &quot;évidents&quot;, etc. }}

=== Perturbation de Kepler : effet Stark classique ===

Si à la force newtonienne vient se rajouter une petite force F, la trajectoire va être légèrement perturbée. Néanmoins si F est parallèle au vecteur excentricité, la symétrie ne sera pas entièrement détruite.
Il convient de prendre les bonnes coordonnées pour traiter ce problème. Comme on sait traiter le mouvement keplerien en [[système de coordonnées paraboliques]], il faut évidemment en profiter.

Mais si F devient trop grand, il apparaît clairement que l'atome va pouvoir s'ioniser plus facilement. 

En mécanique quantique cela sera encore plus évident via l'effet tunnel, conduisant à l'ionisation Stark, fragilisant surtout les [[atome de Rydberg]].

=== Mouvement d'Euler à 2 centres d'attraction ===

Euler a vite compris que la composante du vecteur excentricité permettait d'intégrer le problème à 2 soleils fixes et une planète. Cela s'opère grâce à un [[système de coordonnées bifocales]].

Vinti s'est fait le promoteur de cette méthode : ébauche

=== Mouvement si Terre-galette (Béletskii) ===

Beletskii a fait remarquer que le problème d'Euler pouvait s'appliquer à un Soleil légèrement allongé de forme cigare. Par prolongation analytique, avec des masses « imaginaires », il a proposé une interprétation simple du mouvement d'un satellite terrestre sous l'action perturbante du bourrelet (le terme J2(P2(cos(theta)/r³) dans le potentiel gravitationnel. On retrouve les effets décrits dans [[satellite artificiel]].

=== Perturbation de Kepler par planète proche : Terre &amp; Lune ===

Ce problème est ardu : Newton disait que cela lui donnait mal à la tête.

Il a fallu attendre Clairaut (1741) pour avoir une première théorie de la Lune.

Aujourd'hui avec les miroirs posés sur la Lune (Apollo et Lunakhod), on peut comparer la théorie analytique à celle numérique. La précision théorique des LLR (laser lunar range: tir laser vers la Lune) est de quelques centimètres. La théorie analytique comprend plusieurs milliers de termes, mais donne aussi une précision de quelques mètres.
à compléter (séminaire Laskar du 09/03/06).

=== Perturbation de Kepler par planète lointaine : Terre &amp; Jupiter ===
Là, le problème est plus facile . L'essentiel de la méthode consiste en une méthode variable rapide- variable lente, due à Legendre, puis Gauss.
à compléter.

=== Perturbation de Kepler et symétries ===

Bien sûr, chaque fois qu'un système possède une symétrie continue, le théorème de Noether donne une intégrale première, ce qui permet d'éliminer une variable de l'espace des phases.

Comment s'opère cette réduction ? 

Le livre de Cordani, celui de Marsden &amp; Ratiu expliquent cette réduction.

Enfin, le problème garde toujours sa symétrie symplectique : il faudra expliquer comment fonctionnent les [[intégrateur symplectique]] (Laskar &amp; Robutel, Celestial Mechanics, 2001,80, 39-62). 
------------

== Applications ==
Elles sont innombrables : 
*les principales historiquement sont celles de l'astronomie, et prosaïquement des éphémérides solaire et lunaire de notre calendrier des postes. 
*les plus utiles sont celles des satellites artificiels.
* le modèle de Rutherford-Bohr de l'atome s'appuie sur cette théorie.

== Perturbations du mouvement de Kepler ==
C'est évidemment essentiel.

Pour les satellites artificiels, il faut tenir compte de la forme non sphérique de la Terre , ET de toutes les autres petites perturbations ( pression de radiation du Soleil sur les panneaux solaires, action de gravité différentielle de la Lune et du Soleil, etc.

Pour l'astronome , il y a essentiellement deux problèmes : 
* la perturbation du mouvement Terre-Lune dû au Soleil
* la perturbation de Saturne par Jupiter.

A l'heure actuelle, les programmes de calculs peuvent envisager de traiter (sur un temps pas &quot;trop grand&quot;) le mouvement de l'ensemble des planètes. On sait depuis peu que Pluton n'est pas une vraie planète. Ceci dit, le mouvement des planètes sur des échelles de qq 10^6 années commence à être sensible aux conditions initiales (la Terre est un cas particulier car la Lune vient stabiliser son inclinaison et son excentricité).

Pour le programme [[w:Galileo (système de positionnement)|Galileo]] (le [[w:GPS|GPS]] européen), la précision sur le positionnement de la constellation de satellites artificiels est assez impressionnante(inférieure au centimètre).
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== insert provisoire:atome d'hydrogène ==


Cet article suit l'article [[atome d'hydrogène]].

La résolution de l'équation de Schrodinger, écrite en coordonnées polaires, se découple des variables (&lt;math&gt;\theta, \phi&lt;/math&gt;) et conduit à une équation à une dimension en r, appelée équation radiale de Leibniz-Schrödinger, puisque ce n'est jamais que la célèbre équation de Leibniz de 1685 traduite en mécanique quantique.

Mais l'équation de Schrödinger (1926) peut se résoudre autrement comme Pauli l'a montré en 1925 !

== Équation radiale ==

L'équation radiale 1D de Leibniz-Schrödinger s'écrit pour r&gt;0:

&lt;div style=&quot;text-align: center;&quot;&gt;
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| &lt;math&gt;-{\hbar^2 \over 2m}S^{''} + ({\hbar^2l(l+1) \over 2r^2} - {e^2 \over r} )S(r) = E \cdot S(r)&lt;/math&gt;
|}
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| |
|}&lt;/div&gt;

avec E valeur propre négative ,

et S(r) s'annulant &quot;vite&quot; à l'infini, et S(0) =0 :il s'agit donc d'un problème aux limites dit de Sturm (par opposition à un problème aux conditions initiales, dit de Cauchy); de plus &lt;math&gt;\int_0^{\infty} S^2(r) dr = 1&lt;/math&gt;.

[On reconnaît dans &lt;math&gt;{ \hbar^2 l(l+1) \over 2m r^2} &lt;/math&gt; la barrière centrifuge de Leibniz (l entier positif) (l=0 correspond à L =0 ; le problème classique n'a pas de correspondant simple en mécanique quantique, encore que ...)].

*Comment arrive-t-on à cette équation '''radiale''' de Leibniz-Schrodinger ?

Il SUFFIT de chercher la fonction d'onde &lt;math&gt;\Psi(x, y, z, t)&lt;/math&gt; en coordonnées sphériques sous la forme :

* &lt;math&gt;\Psi = {S(r) \over r}\cdot Y_{l,m} (\theta, \phi) e^{-i{Et \over \hbar}}&lt;/math&gt; ,

où les Y(l,m) sont les fonctions [[harmoniques sphériques]]. On appelle ce procédé courant dans les équations aux dérivées partielles, la séparation des variables. Souvent, on appelle R(r) := S(r)/r , la partie radiale de la fonction d'onde.
 
*'''Note importante annexe''' :

=== Harmoniques sphériques ===

Il n'y a '''rien de mystérieux''' (et surtout rien à voir avec la MÉCANIQUE quantique) dans ce qui semble être un tour de passe-passe. L'étude en électrostatique '''classique''' de l'opérateur Laplacien conduit à ces mêmes fonction Y(l,m) , appelées [[harmoniques sphériques]], qui sont des fonctions '''usuelles''' dès que la symétrie sphérique entre en jeu. L'entier relatif m ne peut prendre que 2l+1 valeurs, de m = -l à m = +l , l étant un entier positif. 

Ce sont ces harmoniques sphériques qui &quot;quantifient&quot; le problème sphérique par les deux nombres quantiques l et m (comme il est '''usuel''' dans tout problème de Sturm, dit &quot;aux limites&quot;, des équations différentielles), ces deux entiers l et m qui auront tant d'importance dans l'étude de l'[[atome à N électrons]] et donc de la [[Classification périodique]].

*Pour rester en continuité de lecture(sinon voir l'article [[Harmonique sphérique]]), est expliqué ici juste le minimum pour comprendre comment elles interviennent à ce niveau modeste (l=0,1,2,3):les (2l+1)polynômes &lt;math&gt;r^l Y_{l,m}&lt;/math&gt; forment une base sur l'ensemble des polynômes homogènes P(x,y,z) de degré l, harmoniques(c’est-à-dire dont le laplacien est nul)
*l=0 :&lt;math&gt;Y_{0,0}= {1\over sqrt(4\pi)}&lt;/math&gt; : c'est bien un polynôme de degré zéro, normé sur la sphère unité puisque son carré vaut 1/4Pi.

'''''Dorénavant, nous n'indiquerons plus ce facteur dit de normalisation'''''.

*l=1 :3 fonctions
 
&lt;math&gt;rY_{1,0} = rcos \vartheta = z&lt;/math&gt; ;

&lt;math&gt;rY_{1,1}+rY_{1,-1} = 2rsin \vartheta cos\varphi =2x &lt;/math&gt;;

&lt;math&gt;rY_{1,1}-rY_{1,-1} = 2irsin \vartheta sin\varphi =2iy &lt;/math&gt;;

soit la base {x,y,z} dite orbitales &lt;math&gt;p_x&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;p_y&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;p_z&lt;/math&gt;
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*l=2: cinq fonctions 

&lt;math&gt;r^2Y_{2,0} = r^2(3cos^2 \vartheta -1) = 2z^2-x^2-y^2&lt;/math&gt; ;

&lt;math&gt;r^2Y_{1,1}+r^2Y_{2,-1} = 2r^2sin \vartheta cos\vartheta cos\varphi = 2xz&lt;/math&gt;; et avec moins , 2i yz ;

&lt;math&gt;r^2Y_{2,2}-r^2Y_{2,-2} = 2ir^2sin^2 \vartheta sin2\varphi =4i xy &lt;/math&gt;;

&lt;math&gt;r^2Y_{2,2}+r^2Y_{2,-2} = 2ir^2sin^2 \vartheta cos2\varphi =4(x^2-y^2) &lt;/math&gt;;

Soit la base {3z^2-r^2, xz, zy, yx, x^2-y^2) dont chaque fonction est de laplacien nul.
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*l=3: 7 fonctions
soit la base { z(5z^2-3r^2), x(5z^2-3r^2), y(5z^2-3r^2),zxy,z(x^2-y^2),x(x^2-y^2), y(x^2-y^2)}dont chaque fonction est de laplacien nul.

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* l quelconque : on trouve une base de (2l+1) polynômes réels, mais bien sûr toute combinaison linéaire complexe reste dans ce sous-espace vectoriel sur le corps des complexes.

{{Boîte déroulante|titre=Pourquoi (2l+1)?|contenu=la raison en est aisée :effectuons le décompte : il y a (l+1)(l+2)/2 polynômes homogènes de 3 variables (c'est le nombre de manières d'avoir avec un triplet d'entiers{m,n,p]avec la relation m+n+p = l). Quand on calcule le laplacien on tombe sur l'espace des polynômes homogènes de degré (l-2),de dimension (l-1)l/2 ,pour l &gt;1 ce qui donne pour l'annulation du Laplacien autant de conditions. Donc il ne reste, pour les polynômes homogènes harmoniques qu'un sous-ev de dimension (l²+3l+2 -l²+l)/2 = 2l+1.}}

*Théorème: &lt;math&gt;{P_l(x,y,z) \over r^{l+1}}&lt;/math&gt; est fonction propre du laplacien avec la valeur propre -l(l+1): 

C'est ce théorème qui est sans arrêt utilisé pour la théorie de l'atome d'hydrogène.

En chimie ,on représente souvent les fonctions 1/r^(l+1) . Pl comme les harmoniques sphériques des oribtales l ; parfois on prend leur carré; etc. 

Dans l'[[atome à N électrons]] pour N&lt; 119, l&lt; 5 : donc cela suffit au physicien de l'atome, qui leur a donné des noms et des représentations mnémotechniques diverses. Ne pas oublier que l'on peut combiner à volonté ces fonctions, pour former ce que les chimistes appellent des orbitales hybridées du sous espace propre du niveau d'énergie En( en particulier les fameuses orbitales paraboliques de Kleinert).

=== Multiplicité (2l+1) ===

Le nombre quantique l est appelé '''nombre quantique azimutal''' (on voit qu'il joue, par son terme l(l+1), le même rôle que le carré du moment cinétique, L², en mécanique classique). Évidemment l'équation radiale a ramené le mouvement à UNE seule dimension, la variable radiale, avec la fonction S(r) qui doit s'annuler en r=0 (n'oublions pas c'est S(r)/r qui intervient ) et qui doit être de carré sommable sur l'intervalle r&gt;0 . 
On aura donc des valeurs propres de cette équation linéaire, dépendant donc de l , &lt;math&gt; E_{k, l}&lt;/math&gt; , mais pas de m (on dit que la multiplicité de la valeur propre est : 2l+1 ; en physique &amp; chimie on dit : il y a dégénérescence du multiplet égale à 2l+1). 

Le nombre quantique m s'appelle '''nombre quantique magnétique''', car sous l'effet d'un champ magnétique ([[effet Zeeman]]) l'énergie dépend alors de la valeur de m, et l'on voit une multiplicité de niveaux d'énergie, d'où la dénomination .

Enfin le nombre k , entier positif, s'appelle '''nombre quantique radial''' et donne le nombre de nœuds (k pour knots !) de S(r) pour r &gt; 0 .

Comme la spectroscopie est née un siècle avant la mécanique quantique, la tradition est restée d'appeler le nombre quantique azimutal l par des lettres latines : 

l= 1 -&gt; s ; l=2-&gt; p ; l=3 -&gt; d ; l=4 -&gt; f et ensuite g, h .

=== Résultat final ===

Au final, on trouve une énergie E(l,m,k) indépendante de m, soit E(l,k), mais, de façon incroyable (sauf pour Pauli), ne dépendant que de la somme l+k-1 = n , qui doit être un entier positif, et appelé '''nombre quantique principal'''.

C'est la fameuse équation déjà trouvée par Bohr en 1913:
 
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{| border=1 cellpadding=10 style=&quot;border-collapse:collapse&quot;
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| &lt;math&gt;E_n = {E_1 \over n^2}= -{me^4 \over 2n^2\hbar^2}&lt;/math&gt;
|}
| 
| |
|}&lt;/div&gt;

Il y a ce qu'on appelait une '''dégénérescence accidentelle''', avant l'introduction par Pauli en mécanique quantique du vecteur [[invariant de Runge Lenz]].

La multiplicité, g, du niveau d'énergie En est donc :
 
pour l variant de 0 à n-1 et

pour m variant de -l à +l

&lt;math&gt; g =\Sigma_0^{n-1} (2l+1)=  n^2&lt;/math&gt; .

Et, compte-tenu du spin (1/2) de l'électron ,g vaut le double , soit 2.n²

*Ce qui donne simplement : couche K, g=2 ; L, g=8 ; M, g=18 ; O, g= 32 ; P, g = 50 ; Q, g=72 ; R, g = 98 ; S, g= 128.
Inutile d'aller plus loin pour décrire la [[classification périodique]], la configuration de l'élément Z= 119 est celle d'un alcalin :

&lt;math&gt;(1s^2) (2s^2) (2p^6) (3s^2) (3p^6) (4s^2) (3d^{10}) (4p^6)&lt;/math&gt; soit Kr(Z=36) puis,

&lt;math&gt;(5s^2) (4d^{10}) (5p^6) (6s^2) (4f^{14}) (5d^{10}) (6p^6)&lt;/math&gt; Rn(Z=86) , puis

&lt;math&gt;(7s^2) (5f^{14}) (6d^{10}) (7p^6)&lt;/math&gt; Uuo(Z=118), 

puis 8s.

Sur les 64 orbitales de la couche S, n= 8 , on n'a besoin de connaître que l'orbitale (8s): ce calcul requiert impérativement la [[mécanique quantique relativiste]] , car les électrons (1s²) de la première couche sont soumis à des vitesses non négligeables devant c .

De même, la configuration de l'élément Z= 121 est Uuo,(8s²,5g), la sous-couche 5g pouvant contenir jusqu'à 2*9 =18 électrons.

- -

Ce faisant, on obtiendra ainsi tous les niveaux d'énergie des éléments '''ET des séries isoélectroniques''', ce qui permettra de décrire certains traits de la [[classification périodique]].

* Pour en revenir à l'atome d'hydrogène, il ne reste plus qu'à introduire le vecteur [[invariant de Runge Lenz]] quantique pour comprendre que la dégénérescence dite &quot;accidentelle&quot; ne l'est pas : il y a bien une symétrie de plus que la simple symétrie centrale dans le cas de ce modèle de Rutherford quantique (cf [[théorème de Bertrand]]).

Auparavant, on va finir le raisonnement de Schrodinger(1926); puis on reviendra sur celui, plus subtil, de Pauli (1925).

=== Équation radiale-réduite et Polynômes de Laguerre ===

Si l'on revient à l'équation radiale de Leibniz-Schrodinger, on peut démontrer que pour r voisin de zéro, S(r) varie comme r^(l+1) , et que pour r très grand, S&quot; + 2E S = 0 . 
Il est courant de poser 2E = -1/n² et donc S(r) varie comme exp (- r/n) à l'infini : n pour l'instant n'est qu'un réel!

Alors le dernier changement de fonction inconnue est logiquement l'essai suivant qui se révèle fructueux : S(r) = r^(l+1).exp(-r/n).g(r) ; mais on s'aperçoit qu'en changeant la variable r en s : = 2r/n l'équation s'arrange mieux :

L'équation radiale-réduite devient :
 
s f&quot;(s) + (2l+2-s) f'(s) + (n-l-1) f(s) = 0 , avec g(r) = f(2r/n) = f(s) 

Les matheux et Schrodinger ont reconnu cette équation immédiatement (?) : elle conduit à la fonction hypergéométrique dégénérée de Kummer, qui conduit aux [[polynômes de Laguerre]], '''ssi''' n-l-1 est un '''entier positif''' : donc '''n est un entier positif''' et l = 0, 1 , 2 , .. ,n-1 . Et le nombre k est simplement k = n+l-1.

*Pour le cas l= n-1 (les états de Rydberg (cf. [[atome de Rydberg]]), elle devient r .g &quot; + (2n-r) g' = 0 satisfaite par g = cste (en effet S(r) ne doit avoir aucun nœud quand le nombre quantique radial k est nul !).
*Ici, on fera les calculs &quot;à la main&quot; pour les faibles valeurs de n .Mais sinon, les afficionados des équations différentielles chercheront un développement de f(s) en série entière qui se STOPPE en un polynôme P(s): cela marche, c'est le raisonnement typiquement utilisé avec l'équation hypergéométrique !

=== Infeld-Hull et la &quot;factorisation&quot; ===
dans RevModPhys 23,1951,21-68 , on constate que la méthode des opérateurs d'échelle était bien connue à l'époque (cf aussi Durand, CRAS1950,230,273):

L'idée est classique : 

soit A = 1/2 -a/r -d/dr et B = 1/2 - b/r +d/dr en unités &quot;bien choisies&quot;.

A et B sont opérateurs sur les fonctions de carrés sommables sur [0, infty[.


Ils sont opérateurs conjugués pour a = b .

et l'équation de Leibniz-S s'écrit :

A(l+1)B(l+1) Snl = (n-l-1)Snl/r

En multipliant par Snl et en sommant il apparaît immédiatement que n-1&gt; l ;
et B S = 0 pour l = n-1 d'où la valeur de S &quot;circulaire&quot; :
S(r) = r^n .exp (-r/2)

Qq calculs permettent de trouver que 

S(n+1, l) = r A(n) S(n,l)
S(n-1,l) = rB(n) S(n,l) .1/[(n-1-l)n+l)]


et toutes sortes de relations sur les polynômes de Laguerre.
 
Noter aussi que l'équation du second ordre peut s'écrire , comme assez souvent : 
K(n,l) S(n, l-1) = A S(n,l)
K(n,l) S(n,l) = B S(n, l-1) (Durand p 449)

*Les relations de Pasternak permettant de calculer &lt;r^k &gt; =((n, l,k)) s'en déduisent : 
k+1)&lt;r^k&gt; -2n(2k+1)&lt;r^(k-1)&gt; +[(2l+1)²-k²]&lt;r^(k-2)&gt; = 0

*exemples classiques 
*(n,l,3) = n²/8[ 35 n^4 -35 n² -30 n²(l+2)(l-1)-3(l+2)(l+1)l(l-1)]
*(n,l,4) = n^4/8[63 n^4 -35n²(2l²+2l-3)+5l(l+1)(3l²+3l -10) +12]
*(n,l,-1) = viriel = 1/n² 
*(n,l,-2) = force = 1/n^3(l+1/2)
*(n,l,-3) = force de barrière et LS = 1/n^3(l+1/2)l(l+1)
*(n,l,-4) = ion-dipôle =&gt; cf Kondratiev = [3n²-l(l+1)]/2n^5(l-1/2)l(l+1)(l+1/2)(l+3/2)
*noter l=0 pour -3 et -4 ! il faudra être prudent avec les électrons s !
*(n,l,2) = n²(5n²+1-3l(l+1))/2
*(n,l,1) = 3n²-l(l+1)]/2

Certaines se trouvent dans [[atome d'hydrogène]]

== [[Invariant de Runge Lenz]], quantique ==

=== Champ coulombien ===

*Le cas de la force coulombienne (cf. [[mouvement keplerien]] ; le [[puits de potentiel]] a déjà été étudié en mécanique classique) est TRÈS PARTICULIER car il montre que n DOIT être un '''entier positif''', '''indépendant de l''' , alors que les fonctions propres g(n,l,r) dépendent bien de deux indices n et l :
les valeurs propres de l'énergie ne dépendent pas séparément de n et de l , mais '''seulement de n''' , entier positif, qui de ce fait est appelé nombre quantique principal de couche (avec n= 1 -&gt; couche K , n=2 -&gt; couche L ,..). 

Ce fait, très exceptionnel pour l'énergie, ne sera plus vrai pour un potentiel V(r) quelconque, même voisin de -e²/r. Il convient donc de ne pas trop s'y attacher, sauf si l'on veut s'expliquer cette dégénérescence (anciennement appelée dégénérescence accidentelle), via le raisonnement de Pauli.

=== vecteur excentricité quantique ===
Le vecteur excentricité (cf. [[mouvement keplerien]] et [[invariant de Runge Lenz]])vaut :

&lt;div style=&quot;text-align: center;&quot;&gt;
{| border=0
|-----
|
{| border=1 cellpadding=10 style=&quot;border-collapse:collapse&quot;
|-----
| &lt;math&gt; \vec{e} =  \vec{V} \wedge \vec {L} / (GMm) -\vec{r}/r &lt;/math&gt;
|}
| 
| |
|}&lt;/div&gt; 


Il existe aussi en mécanique quantique, en tant qu'opérateur observable. Il vaut en unités convenables (unités atomiques)

&lt;div style=&quot;text-align: center;&quot;&gt;
{| border=0
|-----
|
{| border=1 cellpadding=10 style=&quot;border-collapse:collapse&quot;
|-----
| &lt;math&gt; \hat{\vec e} = [\hat {\vec {p}} \wedge \hat {\vec {L}}-\hat {\vec {L}} \wedge \hat {\vec {p}}]/2- \hat {\vec {r}}/r&lt;/math&gt;
|}
| 
| |
|}&lt;/div&gt; 

 
Or rappelons qu'en termes d'opérateur:
'''p^L +L^p''' = 2i.'''p'''.&lt;math&gt;\hbar&lt;/math&gt;

ce qui rend légèrement différent le vecteur quantique , subtilité de l'algèbre non commutative !

=== propriétés de la Q-excentricité ===

Toujours en faisant les calculs d'opérateurs,
 
on retrouve e.L = 0 , L.e = 0 , e.H = H.e (donc e est bon nombre quantique , et donc dans un ss-ev de la valeur propre de H , e sera stable).

&lt;div style=&quot;text-align: center;&quot;&gt;&lt;math&gt;e^2 -1 = -(H/E_o)\cdot [L^2/\hbar^2 + 1]&lt;/math&gt;&lt;/div&gt;

Là encore un terme (+1) vient subrepticement se glisser dans les calculs (on a pris Eo = -13.6eV): 

Et [e^2,Lz]=0

Mais alors ,dans l'ECOC [H, L², Lz], e² est un bon nombre quantique, et sa valeur est, dans le niveau n :
 
&lt;div style=&quot;text-align: center;&quot;&gt;e² = 1 -1/n² -l(l+1)/n²&lt;/div&gt;

et par conséquent l ne peut dépasser n-1 ;

Mais on n'attendait pas cette bizarre formule !

=== Boost et Q-excentricité ===

*Et maintenant, la REVELATION pour tous ceux qui ont fait de la relativité restreinte : 

Multiplions le vecteur excentricité par \hbar pour lui donner l'unité d'un moment cinétique et par n par pure commodité dans les calculs.

Nous appellerons ce vecteur &lt;math&gt;\hat{\vec E}&lt;/math&gt; ,le vecteur excentricité-boost , qui est un vecteur polaire et non axial.

E commute avec L² , mais pas avec Lz ; et E² est un bon nombre quantique dans l'ECOC [H,L²,Lz], '''mais pas E''' ! 

MAIS, dans le sous-ev de la couche n , 

&lt;math&gt;[F_{\lambda \mu},F_{\mu \nu}] = F_{\lambda \nu}&lt;/math&gt;

où le tenseur antisymétrique 4-4, F est :
(0,E) en première ligne et la matrice 3-3 antisymétrique correspondant à L^ .

VOILA ! l'atome d'hydrogène est invariant par SO(4) [ évidemment pour les états d'énergie positive, par SO(3,1) c'est à dire le groupe de Lorentz ! d'où l'idée de la notation excentricité-boost ! ]: cela était connu de Pauli , de Fock , de Bargmann , etc. Mais à l'époque, peu connaissaient aussi bien que Pauli la relativité restreinte !

Pour démontrer ces relations, il vaut mieux avoir qq notions d'algèbre de Lie (et des formules de trigo correspondantes), car sinon cela peut être un peu long (11 pages dans le X ; et une page dans le Y : X et Y par courtoisie).

=== opérateurs S et D, valeurs propres de H ===

Il &quot;suffit&quot; maintenant de se rendre compte que [H, Lz, Ez] forme un ECOC ( ce qui correspond en mécanique classique aux coordonnées paraboliques et à la vision spinorielle : 

soit 2S = L + E et 2D = L- E ; 
Alors S² - D² = 0

S et D sont deux moments cinétiques de carrés égaux : s(s+1)
et :


&lt;div style=&quot;text-align: center;&quot;&gt;
{| border=0
|-----
|
{| border=1 cellpadding=10 style=&quot;border-collapse:collapse&quot;
|-----
| &lt;math&gt; [S^2 + D^2 + \hbar^2]\hat{H} = E_o \cdot \hbar^2&lt;/math&gt;
|}
| 
| |
|}&lt;/div&gt;
 

C'EST FINI : H a pour valeurs propres : E_o/n² avec 4s(s+1) +1 = n²

soit n = s+s+1 , donc de dégénérescence : n² (faire ce petit calcul !).

Voici comment depuis 1926, on eût pu enseigner l'atome d'hydrogène de Pauli (nobel en 1945 après Heisenberg, Schrodinger et Dirac en 1933).

Pourquoi cela ne s'est-il pas produit ? Vraisemblablement parce que les orbitales paraboliques étaient moins utiles que les orbitales- harmoniques sphériques qui privilégiaient donc l'ecoc [H,L²,Lz].

== Voir aussi ==
* [[atome]]
* [[atome d'hydrogène]]
* [[Théorie de Schrodinger de l'atome d'hydrogène]]
* [[atome à N électrons]]
* [[Classification périodique]]
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== Compléments sur SO(6)et SO(4,2) ==
vacances closes après avoir vendu mes merguez, je fais le point sur SO(6). Cf Oliver.

SO(6) comporte &lt;math&gt;C_6^2&lt;/math&gt; = 15 générateurs de rotation.
(P. Kustaanheimo and E. Stiefel, J. Reine Angew. Math. 218, 204 (1965). )
la transformation K-S amène l'eq de Schrodinger sous une forme simple : 

multiplions tout par r : 
&lt;math&gt;-1/2 r \Delta +1 = E\cdot r&lt;/math&gt;
et opérons le chgt de variables ; il vient :
 
&lt;math&gt;[L_{56}+ L_{46}-2E \cdot (L_{56}- L_{46})-1]|\psi&gt;=0&lt;/math&gt;

En utilisant le &quot;tilt&quot; usuel A , tel que -2E = exp2A et les relations de commutation avec L(45) , l'équation se réécrit : 

&lt;math&gt;[e^{i A L_{45}}L_{56}e^{-i A L_{45}}-e^{-A}]|\psi&gt;=0&lt;/math&gt;

La solution est immédiate : 

les vecteurs propres de L(56) sont &lt;math&gt; \ |\phi_n&gt;&lt;/math&gt; de valeur propres n= 1,2,3,... et donc A = - ln n et on en tire 

&lt;math&gt; \ E_n = -1/2n^2&lt;/math&gt; , 

puis en opérant la transformation réciproque de K-S , on retrouve les états propres paraboliques &lt;math&gt; \ |n_1,n_2,m&gt;&lt;/math&gt;, puis via les symboles 3j-de-Wigner , les états sphériques &lt;math&gt;\ |n,l,m&gt;&lt;/math&gt; (Kleinert p 964): 

Que tout cela paraît naïvement facile! Néanmoins rappelons que Feynman avait calé sur ce problème et que le déblocage de situation s'effectua de 1967 à 1998.

== Retour ==
*[[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences|Mécanique , enseignée via l'Histoire des Sciences]]

[[Catégorie:Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences (livre)]]</text>
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    <title>Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Les Principes avant 1687</title>
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        <username>DavidL</username>
        <id>1746</id>
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      <minor />
      <comment>DavidL a déplacé la page [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/les Principes avant 1687]] vers [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Les Principes avant 1687]]</comment>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="19731" xml:space="preserve">Il est clair que les Principia (1687) ne sont pas sortis par divination du cortex de Newton. Ce travail titanesque est au contraire un traité abouti, reconstruit, de tout ce que l'on savait à son époque, plus (et ce n'est pas rien !)des dizaines de théorèmes inventés par Newton, qui sont venus confortés son deMotu(1684).

De quoi disposait-on en 1684, 50 ans environ après l'abjuration de Galilée, le 22 juillet 1633,devant l'Inquisition romaine ? D'une quantité invraisemblable de travaux: 
*dès fin 1633, Mersenne diffuse les mechaniques, soit le Dialogo de Galilée ; 1638, les 2 nouvelles sciences (le Discorso de Galilée) sont publiées par l'éditeur Elzevir en Hollande ; 1644-1648 : le vide est entré en physique, via Torricelli et Pascal.Ce qu'a dit l'ESSAYEUR (Il Staggiatore) est acquis : le monde se décrit en termes mathématiques.
 
*Le monde sublunaire et supra-lunaire sont unifiés : Koyré relève plus d'une centaine de noms juste pour la chute des graves! '''LA grande idée''' que la mécanique des ars&amp;métiers puisse s'appliquer à la philosophie naturelle, la Terre et les Cieux, a déjà fait sa percée depuis quelques décennies. La philosophie naturelle est devenue matérialiste (Beeckman , Hobbes); la scolastique est tombée, comme peau morte. Certes, trouver les causes reste un objectif ; l'explication par les tourbillons de Descartes est une impasse ; et il y faudra un Huygens, et surtout un Newton (de Gravitatio).
 
*La géométrie de Descartes s'est répandue :
 
les mathématiques ont fait d'immenses progrès via la géométrie analytique; des traités d'analyse ont déjà vu le jour : certes, peu de gens savent manipuler le calculus, mais Leibniz a effectué(1674-1684), grâce aux éléments fournis par Newton et connus (via Collins et Oldenburg) à Paris, un superbe travail de notation qui éclaire ces notions.
 
1634-1684 : quelle magnifique période ! 

Résumons: 

== Les Principes avant 1687 ==
*le Principe de relativité galiléenne est clairement admis : un point matériel dans son référentiel galiléen tangent reste au repos s'il n'est soumis à aucune force; si la force est comme celle de pesanteur, il prend une petite quantité de mouvement supplémentaire , et on recommence : c'est la trajectoire &quot;funiculaire à rochets&quot;.

*le Principe de Torricelli(1608-1647) , généralisé par Huygens(1629-1695), dit qu'un système dont le centre de gravité descend de h gagne une &quot;énergie&quot; Mgh, mais jamais son centre de gravité ne pourra remonter plus haut.[le mot énergie n'est pas encore utilisé, mais l'énergie cinétique existe sous le nom de &quot;demi-force vive&quot;].

*le Principe des travaux virtuels en statique n'est pas encore énoncé, mais les travaux de Pascal sur la presse hydraulique vers 1650, et les dizaines de machines simples en fonctionnement montrent que , (Stevin(1548-1620) :'''frottement oublié, elles transfèrent du travail'''.On voit donc que Galilée n'est pas le seul (ni le premier) à dire :que se passe-t-il à la limite du frottement nul?

*le Principe du Raisonnement d’Échelle (ie d'analyse dimensionnelle) est acquis : le temps en seconde est différent de la distance en mètre. On sait mieux la notion d'unités (et donc la phoronomie, comme on dit à l'époque). Huygens s'en sert très bien dans sa théorie de la force centrifuge (il vaut mieux dire axifuge).

*'''La Méthode scientifique est acquise''' : la mécanique s'écrit en langage mathématique (Galilée et Descartes) ; on propose une gedanken-experiment pour approfondir ou tester la théorie. Si sa réalisation pratique (&quot;au mieux&quot;) infirme la théorie, il vaut mieux changer la théorie, EN CONSERVANT &quot;au mieux&quot; les résultats antérieurs. Une théorie n'est jamais acquise définitivement, mais si elle se constitue via un faible nombre de principes de base qui constituent un moyen déductif d'interpréter TOUTES les expériences réalisées, alors ce critère d'auto-cohérence rend crédible, pour l'heure, la théorie. Si de plus , elle permet de prévoir certains faits à l'avance, c'est le succès (prévoir le retour de la comète de Halley est un des premiers grands succès de la mécanique de Newton), provisoire comme toujours.

- - -

Alors, dans un procédé tout à fait interdit en histoire des sciences, que peut-on faire dire à partir de ces principes ? Peut-on montrer que l'on est déjà en germe dans les Principia, '''que ceux-ci ne sont pas une coupure, mais une mise en forme''' ? Du coup, la leçon prochaine (sur le PFD) sera un éclair lumineux de beauté par sa concision, mais n'aura rien que de naturel ; c'est ce que dit [[Ernst Mach]] : la pensée s'est tellement épurée au contact du réel, que l'on reconnaît en elle l'expression des lois qui collent au réel ; c'est la désillusion de la chose finie. Poincaré, après Laplace, dira des lois de Newton qu'elles expriment simplement le déterminisme dans l'espace des phases(c'est à dire, il suffit de connaître position et vitesse initiales, mais pas l'accélération , ni le jerk, etc.) ; c'est aussi la préface du livre d'Arnold : l'anagramme de Newton confié à Oldenburg est : il convient de savoir résoudre les équations différentielles.

== Application à la force centrifuge ==
Le &quot;de Vi centrifuga&quot; (1659) de Huygens est magnifiquement décrit par Yoder (1988).

Les travaux de Huygens(1629-1695)sont parmi les plus importants dans ceux qui précédèrent 1684.

En particulier celui sur la force centrifuge. Suivant MACH(§3), Huygens a hérité de Torricelli la composition du mouvement galiléen tangent et de l'action de la force comme ce qui modifie la quantité de mouvement, car toute force peut se ramener à un poids via une tension de corde ou une machine simple, et ensuite on applique la &quot;formule de Galilée&quot;. Dans le cas d'un mouvement circulaire, la corde qui à chaque instant tire le point matériel vers le centre O exerce, par sa tension T une force centripète et donc ramène sans cesse le point matériel de son mouvement sur la tangente au mouvement sur le cercle (c'est la fameuse figure dite de la roue à rochets).

*Soit s l'abscisse parcourue. Il a fallu ramener sur le cercle la particule d'une hauteur h = s²/2R cela par la tension qui a donc créé une accélération a = 2h/t² = 2(s²/2R)/t² = (s/t)²/R = v²/R.

Il existe bien d'autres démonstrations ; Bernoulli railla, quelques décennies plus tard, Huygens qui ne savait pas dériver :

'''OM'''(t) = '''i''' cos wt + '''j''' sin wt ;

'''V'''(t)/w = '''i''' cos (wt+Pi/2) + '''j''' sin(wt+Pi/2)

'''a'''(t)/w² = -'''OM'''

De fait, Huygens fût maladroit en calculus. Un peu comme Pascal, il était parmi les derniers à raisonner en termes géométriques seulement. Newton le surpassait car il savait faire les deux.
D'autre part, nous avons triché un peu : Huygens n'a pas trouvé la tension de la corde CENTRIPÈTE : il a trouvé la force qui arrachait les bras de qui tournait la corde et qui est l'opposée : la force centrifuge. Son raisonnement s'est beaucoup appuyé aussi sur le pendule conique, que nous n'avons pas encore traité.

*Remarque : on notera qu'il vaut mieux dire force &quot;axifuge&quot;. Cela sera revu ultérieurement.

== Mouvement du pendule composé selon Huygens ==

(Horologium,1658 ; Horologium oscillatorium,1673):15 ans séparent les deux traités ; la découverte , puis la mise en forme patiente.

C'est qu'il n'a pas été facile de répondre à Mersenne:

Soit une barre de longueur OA = L. Sa période est T = K.sqrt(L).

On y fixe une barre identique AB : le centre de gravité a été abaissé d'un facteur 2 ; mais la période est T.sqrt(2): donc la barre AB a ralenti le mouvement de OA ; mais &quot;évidemment&quot; OA a &quot;poussé&quot; AB. Quel est le pendule simple de longueur l dont la période est T ? cette question , ainsi que celle du centre percussion, avait déjà été posée par Mersenne au jeune Huygens(1646); mais il faudra que ce problème mature. Dès 1654, Huygens avance ,puis fait une progression rapide en 1659 ; l'achèvement est 1673 (et le traité est envoyé immédiatement à Newton!).

Le raisonnement de Huygens s'appuiera sur le principe de Torricelli généralisé : 

Quand le pendule descend, les vitesses acquises dans la descente doivent permettre au centre de gravité de remonter exactement à la même altitude, QUE les LIAISONS INTERNES PERSISTENT ou NON! Cet énoncé est dangereux (le théorème de l'énergie cinétique implique le travail du torseur des forces intérieures! la phrase précédente sortie de son contexte est FAUSSE); mais il va permettre à Huygens de trouver la solution dans ce cas. 

Soit à étudier le cas du pendule composé d'une barre OB , de centre de gravité OG = OB/2 = a.

Élever G sur le cercle de centre O , de la hauteur H . Quand G passe à la verticale avec la vitesse V = aw, la particule située à la distance r aura la vitesse (r/a)V et la somme des &quot;énergies cinétiques&quot; sera : 1/2 (somme miri²)w², ce qui permettra à G de remonter à la hauteur H. Plus généralement, à tout instant, on devra avoir , en appelant J = somme(miri²) l'inertie à la rotation :
1/2 J w² +M g h = cste. Cette équation différentielle est de nos jours interprétée comme la Conservation de l'énergie mécanique, s'il n'y a pas de frottement. Huygens l'avait déjà reconnue être l'équation des oscillations du mouvement pendulaire d'un pendule simple de période de petite oscillation T = 2Pi sqrt(J/Mga); donc la longueur du pendule simple équivalent est l = J/Ma.

*Théorème de Huygens : J(O) = Ma² + J(G):
 
*démonstration : ri² = ('''OG+ GMi''')² = OG² + GMi² + 2 '''OG.GMi''' . Le troisième terme s'annule par sommation. Leibniz réutilisera ce résultat en géométrie.

*Définition :On appelle souvent r le rayon de giration tel que J : = Mr²

La longueur du pendule simple synchrone est donc OO' = a + J(G)/Ma = a +r²/a &gt;2r. Le pendule pesant a donc même période suspendu en O'(dit point conjugué). La période est la plus courte si a = r et alors G est milieu de OO'=2r : le cercle de centre G de rayon r s'appelle le cercle de giration (voir plus bas exercice du cerceau de Huygens). 

Par l'intermédiaire d'une masselotte coulissante, Huygens pouvait régler avec précision et à volonté l'inertie à la rotation J(O) du pendule, donc la période : une fois mis au point l'échappement à ancre, l'horloge à balancier était née ! 300 ans durant, elle offrira ses services à la science, avant d'être supplantée par l'horloge atomique.

* [Note de métrologie : Un pendule construit de manière que deux couteaux parallèles de distance L donne suspendu à chacun de ses couteaux la même période a pour période T = 2Pi sqrt(L/g). On s'arrange techniquement pour que cette période soit minimale : le pendule s'appelle alors pendule de Kater : jusqu'à l'invention de gravimètres à chute libre , le pendule de Kater donnait g à 10^-4 , voire 10^-5 près. Huygens avait donc permis d'accomplir le vœu de Mersenne : mesurer g (bien que cette rédaction soit anachronique)].

== Principe fondamental de la rotation ==
Outrepassons Huygens ?

Au fond, sans le comprendre, Huygens venait d'énoncer le principe fondamental de la rotation, attendu qu'il savait que la force de pesanteur n'était en rien particulière.

Reprenons ce qui a été dit :
Si le moment C d'une force par rapport à l'axe d'un solide délivre une puissance P = C.d(&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;/dt) , alors P = d/dt (1/2 J (&lt;math&gt;d\theta/dt&lt;/math&gt;)²).

Soit, en dérivant (ce qui est encore anachronique pour Huygens, peu familier avec le calculus!) :

{{exemple|Énoncé|PFDR (Newton 1687)|&lt;math&gt; J\frac {d^2\theta}{dt^2} = C(\theta); et [CI :(\theta(t=0);\dot{\theta}(t=0)] &lt;/math&gt;}}

Oui, nous préférons marquer PFDR de Newton (1687): les travaux sont amplement avancés sur ce sujet, puisque le pendule spiral des montres est déjà en fonction. Mais nos connaissances historiques sur le théorème du moment cinétique (puisque c'est bien de cela qu'il s'agit) sont floues.

== Conclusion-Résumé ==

Il n'y a plus qu'un petit pas à franchir pour obtenir les Principia. 

Certes , nous avons minimisé le travail de Newton , de 1664 à 1684, que l'on peut trouver analysé par l'historien Hérivel(OxUP1975). 

Mais assez clairement, entre le travail mené par Mersenne pour diffuser les travaux de Galilée, le travail immense de gedanken experiment mené par Huygens, cherchant sa réalisation expérimentale ensuite, l'idée de ramener toute force à un poids, l'assimilation intime de la statique &quot;déséquilibrée&quot; comme fournissant un mouvement mesuré par une énergie cinétique, tel que le mouvement perpétuel fût impossible(c'est à dire d'une certaine manière, la conservation de l'énergie mécanique),l'interprétation des chocs (élastiques et non élastiques par Beeckman) et la conservation de l'impulsion, l'examen d'objets tournants comme le pendule composé, donc d'une certaine manière le PFDR via le moment cinétique, la meilleure compréhension de la percussion répétée comme transférant de l'impulsion à un système (et la célèbre courbe funiculaire à rochets). 

 alors,
 
 il y avait lieu et temps d'écrire ce monument : 

 les PRINCIPIA de NEWTON (1684-1686, publiés en 1687)

== Exercices ==
Il existe des dizaines d'exercices, utilisant les principes que nous avons indiqués. Nous citerons les plus classiques, quitte à approfondir les solutions après la leçon capitale sur le PFD.

=== exPenduleCerceau de Huygens : ===
Cet exercice fait partie du cours du paragraphe : pendule . En effet, c'est encore une gedanken-experiment qui a guidé Huygens. Ceci dit, contrairement à Galilée, il cherchait aussitôt la réalisation expérimentale.

Soit une plaque verticale de masse négligeable sur laquelle est fixée un cerceau de rayon a , de centre O . Le moment d'inertie J(O) est évidemment Ma²; donc r= a.Les points intérieurs sont conjugués des points extérieurs et par évidence les points symétriques du cerceau sont conjugués, et la période du pendule y est la plus courte, et la longueur du pendule simple synchrone est donc précisément 2a. Ceci sans calcul. 
Suspendre alors par un point A de son contour ; soit A' le point diamétralement opposé. AA' est vertical. Montrer que si l'on rajoute deux masselottes égales en 2 points symétriques par rapport à la verticale, rien n'est changé. En déduire que pour un cerceau de masse linéique quelconque symétrique par rapport à A, rien n'est changé, en particulier pour l'arc de cerceau supérieur,SI PETIT soit-il , et pour l'arc inférieur , résultat qui intrigue souvent.

- - - - -

* SolutionPenduleCerceau :

Soit l = 2a : Ce qui veut dire que l'on peut plomber le cerceau en A', rien ne changera. Bien sûr , on peut aussi l'évider. Peut-on tailler un arc fini ? oui, car voici la réponse à la deuxième question: 
Soit un compas de deux masses égales ,de demi_angle au sommet A égal à MAM'/2 := phi, avec AM = AM' = 2a cos phi ; donc J(A) = 2m.(2a cos phi)² et AG = 2a cos²phi : on retrouve l= 2a . Donc on peut scotcher ce compas sur le cerceau sans rien changer . Et donc une multitude de compas ! D'où la troisième question , puis aussi la quatrième et la cinquième : le petit &quot;porte-manteau&quot; circulaire a même période que &quot;l'ancre&quot; de même rayon.

Huygens était friand et prolifique dans ce genre de calcul-gedanken.

- - - - -

=== ex&quot;Poids&quot; du pendule : ===

Mersenne savait qu'un pendule simple lâché depuis l'horizontale avait une tension de ficelle égale à 3 mg au passage de la verticale (ce qui exigeait des fils sans élasticité!). Il n'en savait pas la raison ; mais Huygens donna la réponse.
Si maintenant on lâche un pendule pesant avec une élongation de 90° , quelle sera la réaction au point de suspension A?
De manière plus étonnante : décomposer cette réaction en deux vecteurs, l'un porté par la verticale et l'autre par AG : montrer que la composante verticale est constante ! Réfléchir et conclure.

- - - - -

*solutionPoids du pendule : 
Mersenne eût été content de connaître la force centrifuge mv²/R , avec ici v² = 2ga et R = a , donc la réaction: mg +2mg.

Plus généralement TOUT corps pendulaire de même J et même OG = a , aura la même période.
En particulier, une haltère de masse m1 en A et de masse m2 en A' (AA' = l = a + r²/a): en effet il suffit de prendre m1+m2 = m et m1a = m2.r²/a (2 équations lin à 2 inc m1 et m2, de solutions positives).

Alors la réponse est : la réaction supporte le poids immobile de m1 et la composante de la tension du fil : 
Réaction = m1.g + 3m2.g est donc la réponse.

Si maintenant, on étudie la moyenne temporelle de R(t) via une jauge de contrainte (de temps de réponse très rapide), on trouvera bien sûr (m1+m2).g

*Remarque : ce remplacement d'un système par un autre qui donne les MÊMES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES va être un mode de production d'explications simples, qui s'appelle l'isomorphisme : vulgairement, &quot;on se ramène au cas précédent&quot;.

=== exercice-Pendule conique ===
Attention piège : 
Une pièce en T se balance librement selon la barre horizontale BOB' du T, la partie OA jouant le rôle de pendule de masse m de longueur OA = 2a = 2OG

1/. Calculer la période des petites oscillations, c'est à dire la longueur du pendule simple synchrone.

2/. BOB' est mis en rotation constante (w) autour de l'axe vertical Oz. À partir d'une certaine valeur de w, le pendule &quot;décroche de la position horizontale&quot; et se stabilise en prenant une position inclinée, décrivant ainsi un cône de demi-angle au sommet alpha . Trouver alpha(w).

*'''Solution :'''

1/. La période des petites oscillations est liée à J/mg(a). Comme J(G) = ma²/3 (démonstration en annexe, mais il vaut mieux le retenir par cœur), l = a + (a²/3)/(a) = 2/3 . 2a , cqfd 

2/. Si la barre est en équilibre , c'est que le mouvement de G est un mouvement circulaire de rayon a sin(alpha), sous l'action de deux forces : la tension de la barre et le poids mg : d'où tan(alpha)= mw².(a sin(alpha))/mg ; soit cos(alpha) = g/w²a si w² est plus grand que g/a .

Ce raisonnement est FAUX : on avait prévenu : attention piège !
L'action sur le solide est le poids et l'action en O sur la barre QUI n'EST PAS EN DIRECTION de OG.

L'ensemble des actions axifuges dans le référentiel tournant est un ensemble de forces parallèles croissant linéairement le long de la barre : elle se réduisent donc à une force unique passant au 2/3 de la barre et valant mw²(a).sin(alpha)). le PFDR autour de BOB' donne donc J.0 = 0 = -mga sin(alpha) + lcos(alpha).mw²(a)sin(alpha) :

 soit cos(alpha) = g/w²l


[le raisonnement n'est pas rigoureux, car il convient d'appliquer le théorème du moment cinétique dans un référentiel tournant, et cela est délicat. Néanmoins ici, la barre du point de vue de son inertie est assimilable à une haltère (déjà vu plus haut): on est ramené au cas du pendule simple conique avec le résultat usuel. 

Remarques : la force d'inertie axifuge m1.w²(l).sin(alpha) est bien m.w²(a).sin(alpha), car m1l = ma. Remarque2 : la réaction R en O est bien non dirigée vers OG puisqu'il s'y rajoute le poids m2g. Remarque3 : s'occuper du mouvement de la barre autour de cette position d'équilibre relatif fera l'objet d'un examen plus attentif plus tard.]

== Retour ==
*[[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences|Mécanique , enseignée via l'Histoire des Sciences]]

Cf discussion, pour la pensée de Torricelli sur la variation delta P = somme des percussions.

[[Catégorie:Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences (livre)]]</text>
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Il est clair que les Principia (1687) ne sont pas sortis par divination du cortex de Newton. Ce travail titanesque est au contraire un traité abouti, reconstruit, de tout ce que l'on savait à son époque, plus (et ce n'est pas rien !)des dizaines de théorèmes inventés par Newton, qui sont venus confortés son deMotu(1684).

De quoi disposait-on en 1684, 50 ans environ après l'abjuration de Galilée, le 22 juillet 1633,devant l'Inquisition romaine ? D'une quantité invraisemblable de travaux: 
*dès fin 1633, Mersenne diffuse les mechaniques, soit le Dialogo de Galilée ; 1638, les 2 nouvelles sciences (le Discorso de Galilée) sont publiées par l'éditeur Elzevir en Hollande ; 1644-1648 : le vide est entré en physique, via Torricelli et Pascal.Ce qu'a dit l'ESSAYEUR (Il Staggiatore) est acquis : le monde se décrit en termes mathématiques.
 
*Le monde sublunaire et supra-lunaire sont unifiés : Koyré relève plus d'une centaine de noms juste pour la chute des graves! '''LA grande idée''' que la mécanique des ars&amp;métiers puisse s'appliquer à la philosophie naturelle, la Terre et les Cieux, a déjà fait sa percée depuis quelques décennies. La philosophie naturelle est devenue matérialiste (Beeckman , Hobbes); la scolastique est tombée, comme peau morte. Certes, trouver les causes reste un objectif ; l'explication par les tourbillons de Descartes est une impasse ; et il y faudra un Huygens, et surtout un Newton (de Gravitatio).
 
*La géométrie de Descartes s'est répandue :
 
les mathématiques ont fait d'immenses progrès via la géométrie analytique; des traités d'analyse ont déjà vu le jour : certes, peu de gens savent manipuler le calculus, mais Leibniz a effectué(1674-1684), grâce aux éléments fournis par Newton et connus (via Collins et Oldenburg) à Paris, un superbe travail de notation qui éclaire ces notions.
 
1634-1684 : quelle magnifique période ! 

Résumons: 

== Les Principes avant 1687 ==
*le Principe de relativité galiléenne est clairement admis : un point matériel dans son référentiel galiléen tangent reste au repos s'il n'est soumis à aucune force; si la force est comme celle de pesanteur, il prend une petite quantité de mouvement supplémentaire , et on recommence : c'est la trajectoire &quot;funiculaire à rochets&quot;.

*le Principe de Torricelli(1608-1647) , généralisé par Huygens(1629-1695), dit qu'un système dont le centre de gravité descend de h gagne une &quot;énergie&quot; Mgh, mais jamais son centre de gravité ne pourra remonter plus haut.[le mot énergie n'est pas encore utilisé, mais l'énergie cinétique existe sous le nom de &quot;demi-force vive&quot;].

*le Principe des travaux virtuels en statique n'est pas encore énoncé, mais les travaux de Pascal sur la presse hydraulique vers 1650, et les dizaines de machines simples en fonctionnement montrent que , (Stevin(1548-1620) :'''frottement oublié, elles transfèrent du travail'''.On voit donc que Galilée n'est pas le seul (ni le premier) à dire :que se passe-t-il à la limite du frottement nul?

*le Principe du Raisonnement d’Échelle (ie d'analyse dimensionnelle) est acquis : le temps en seconde est différent de la distance en mètre. On sait mieux la notion d'unités (et donc la phoronomie, comme on dit à l'époque). Huygens s'en sert très bien dans sa théorie de la force centrifuge (il vaut mieux dire axifuge).

*'''La Méthode scientifique est acquise''' : la mécanique s'écrit en langage mathématique (Galilée et Descartes) ; on propose une gedanken-experiment pour approfondir ou tester la théorie. Si sa réalisation pratique (&quot;au mieux&quot;) infirme la théorie, il vaut mieux changer la théorie, EN CONSERVANT &quot;au mieux&quot; les résultats antérieurs. Une théorie n'est jamais acquise définitivement, mais si elle se constitue via un faible nombre de principes de base qui constituent un moyen déductif d'interpréter TOUTES les expériences réalisées, alors ce critère d'auto-cohérence rend crédible, pour l'heure, la théorie. Si de plus , elle permet de prévoir certains faits à l'avance, c'est le succès (prévoir le retour de la comète de Halley est un des premiers grands succès de la mécanique de Newton), provisoire comme toujours.

- - -

Alors, dans un procédé tout à fait interdit en histoire des sciences, que peut-on faire dire à partir de ces principes ? Peut-on montrer que l'on est déjà en germe dans les Principia, '''que ceux-ci ne sont pas une coupure, mais une mise en forme''' ? Du coup, la leçon prochaine (sur le PFD) sera un éclair lumineux de beauté par sa concision, mais n'aura rien que de naturel ; c'est ce que dit [[Ernst Mach]] : la pensée s'est tellement épurée au contact du réel, que l'on reconnaît en elle l'expression des lois qui collent au réel ; c'est la désillusion de la chose finie. Poincaré, après Laplace, dira des lois de Newton qu'elles expriment simplement le déterminisme dans l'espace des phases(c'est à dire, il suffit de connaître position et vitesse initiales, mais pas l'accélération , ni le jerk, etc.) ; c'est aussi la préface du livre d'Arnold : l'anagramme de Newton confié à Oldenburg est : il convient de savoir résoudre les équations différentielles.

== Application à la force centrifuge ==
Le &quot;de Vi centrifuga&quot; (1659) de Huygens est magnifiquement décrit par Yoder (1988).

Les travaux de Huygens(1629-1695)sont parmi les plus importants dans ceux qui précédèrent 1684.

En particulier celui sur la force centrifuge. Suivant MACH(§3), Huygens a hérité de Torricelli la composition du mouvement galiléen tangent et de l'action de la force comme ce qui modifie la quantité de mouvement, car toute force peut se ramener à un poids via une tension de corde ou une machine simple, et ensuite on applique la &quot;formule de Galilée&quot;. Dans le cas d'un mouvement circulaire, la corde qui à chaque instant tire le point matériel vers le centre O exerce, par sa tension T une force centripète et donc ramène sans cesse le point matériel de son mouvement sur la tangente au mouvement sur le cercle (c'est la fameuse figure dite de la roue à rochets).

*Soit s l'abscisse parcourue. Il a fallu ramener sur le cercle la particule d'une hauteur h = s²/2R cela par la tension qui a donc créé une accélération a = 2h/t² = 2(s²/2R)/t² = (s/t)²/R = v²/R.

Il existe bien d'autres démonstrations ; Bernoulli railla, quelques décennies plus tard, Huygens qui ne savait pas dériver :

'''OM'''(t) = '''i''' cos wt + '''j''' sin wt ;

'''V'''(t)/w = '''i''' cos (wt+Pi/2) + '''j''' sin(wt+Pi/2)

'''a'''(t)/w² = -'''OM'''

De fait, Huygens fût maladroit en calculus. Un peu comme Pascal, il était parmi les derniers à raisonner en termes géométriques seulement. Newton le surpassait car il savait faire les deux.
D'autre part, nous avons triché un peu : Huygens n'a pas trouvé la tension de la corde CENTRIPÈTE : il a trouvé la force qui arrachait les bras de qui tournait la corde et qui est l'opposée : la force centrifuge. Son raisonnement s'est beaucoup appuyé aussi sur le pendule conique, que nous n'avons pas encore traité.

*Remarque : on notera qu'il vaut mieux dire force &quot;axifuge&quot;. Cela sera revu ultérieurement.

== Mouvement du pendule composé selon Huygens ==

(Horologium,1658 ; Horologium oscillatorium,1673):15 ans séparent les deux traités ; la découverte , puis la mise en forme patiente.

C'est qu'il n'a pas été facile de répondre à Mersenne:

Soit une barre de longueur OA = L. Sa période est T = K.sqrt(L).

On y fixe une barre identique AB : le centre de gravité a été abaissé d'un facteur 2 ; mais la période est T.sqrt(2): donc la barre AB a ralenti le mouvement de OA ; mais &quot;évidemment&quot; OA a &quot;poussé&quot; AB. Quel est le pendule simple de longueur l dont la période est T ? cette question , ainsi que celle du centre percussion, avait déjà été posée par Mersenne au jeune Huygens(1646); mais il faudra que ce problème mature. Dès 1654, Huygens avance ,puis fait une progression rapide en 1659 ; l'achèvement est 1673 (et le traité est envoyé immédiatement à Newton!).

Le raisonnement de Huygens s'appuiera sur le principe de Torricelli généralisé : 

Quand le pendule descend, les vitesses acquises dans la descente doivent permettre au centre de gravité de remonter exactement à la même altitude, QUE les LIAISONS INTERNES PERSISTENT ou NON! Cet énoncé est dangereux (le théorème de l'énergie cinétique implique le travail du torseur des forces intérieures! la phrase précédente sortie de son contexte est FAUSSE); mais il va permettre à Huygens de trouver la solution dans ce cas. 

Soit à étudier le cas du pendule composé d'une barre OB , de centre de gravité OG = OB/2 = a.

Élever G sur le cercle de centre O , de la hauteur H . Quand G passe à la verticale avec la vitesse V = aw, la particule située à la distance r aura la vitesse (r/a)V et la somme des &quot;énergies cinétiques&quot; sera : 1/2 (somme miri²)w², ce qui permettra à G de remonter à la hauteur H. Plus généralement, à tout instant, on devra avoir , en appelant J = somme(miri²) l'inertie à la rotation :
1/2 J w² +M g h = cste. Cette équation différentielle est de nos jours interprétée comme la Conservation de l'énergie mécanique, s'il n'y a pas de frottement. Huygens l'avait déjà reconnue être l'équation des oscillations du mouvement pendulaire d'un pendule simple de période de petite oscillation T = 2Pi sqrt(J/Mga); donc la longueur du pendule simple équivalent est l = J/Ma.

*Théorème de Huygens : J(O) = Ma² + J(G):
 
*démonstration : ri² = ('''OG+ GMi''')² = OG² + GMi² + 2 '''OG.GMi''' . Le troisième terme s'annule par sommation. Leibniz réutilisera ce résultat en géométrie.

*Définition :On appelle souvent r le rayon de giration tel que J : = Mr²

La longueur du pendule simple synchrone est donc OO' = a + J(G)/Ma = a +r²/a &gt;2r. Le pendule pesant a donc même période suspendu en O'(dit point conjugué). La période est la plus courte si a = r et alors G est milieu de OO'=2r : le cercle de centre G de rayon r s'appelle le cercle de giration (voir plus bas exercice du cerceau de Huygens). 

Par l'intermédiaire d'une masselotte coulissante, Huygens pouvait régler avec précision et à volonté l'inertie à la rotation J(O) du pendule, donc la période : une fois mis au point l'échappement à ancre, l'horloge à balancier était née ! 300 ans durant, elle offrira ses services à la science, avant d'être supplantée par l'horloge atomique.

* [Note de métrologie : Un pendule construit de manière que deux couteaux parallèles de distance L donne suspendu à chacun de ses couteaux la même période a pour période T = 2Pi sqrt(L/g). On s'arrange techniquement pour que cette période soit minimale : le pendule s'appelle alors pendule de Kater : jusqu'à l'invention de gravimètres à chute libre , le pendule de Kater donnait g à 10^-4 , voire 10^-5 près. Huygens avait donc permis d'accomplir le vœu de Mersenne : mesurer g (bien que cette rédaction soit anachronique)].

== Principe fondamental de la rotation ==
Outrepassons Huygens ?

Au fond, sans le comprendre, Huygens venait d'énoncer le principe fondamental de la rotation, attendu qu'il savait que la force de pesanteur n'était en rien particulière.

Reprenons ce qui a été dit :
Si le moment C d'une force par rapport à l'axe d'un solide délivre une puissance P = C.d(&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;/dt) , alors P = d/dt (1/2 J (&lt;math&gt;d\theta/dt&lt;/math&gt;)²).

Soit, en dérivant (ce qui est encore anachronique pour Huygens, peu familier avec le calculus!) :

{{exemple|Énoncé|PFDR (Newton 1687)|&lt;math&gt; J\frac {d^2\theta}{dt^2} = C(\theta); et [CI :(\theta(t=0);\dot{\theta}(t=0)] &lt;/math&gt;}}

Oui, nous préférons marquer PFDR de Newton (1687): les travaux sont amplement avancés sur ce sujet, puisque le pendule spiral des montres est déjà en fonction. Mais nos connaissances historiques sur le théorème du moment cinétique (puisque c'est bien de cela qu'il s'agit) sont floues.

== Conclusion-Résumé ==

Il n'y a plus qu'un petit pas à franchir pour obtenir les Principia. 

Certes , nous avons minimisé le travail de Newton , de 1664 à 1684, que l'on peut trouver analysé par l'historien Hérivel(OxUP1975). 

Mais assez clairement, entre le travail mené par Mersenne pour diffuser les travaux de Galilée, le travail immense de gedanken experiment mené par Huygens, cherchant sa réalisation expérimentale ensuite, l'idée de ramener toute force à un poids, l'assimilation intime de la statique &quot;déséquilibrée&quot; comme fournissant un mouvement mesuré par une énergie cinétique, tel que le mouvement perpétuel fût impossible(c'est à dire d'une certaine manière, la conservation de l'énergie mécanique),l'interprétation des chocs (élastiques et non élastiques par Beeckman) et la conservation de l'impulsion, l'examen d'objets tournants comme le pendule composé, donc d'une certaine manière le PFDR via le moment cinétique, la meilleure compréhension de la percussion répétée comme transférant de l'impulsion à un système (et la célèbre courbe funiculaire à rochets). 

 alors,
 
 il y avait lieu et temps d'écrire ce monument : 

 les PRINCIPIA de NEWTON (1684-1686, publiés en 1687)

== Exercices ==
Il existe des dizaines d'exercices, utilisant les principes que nous avons indiqués. Nous citerons les plus classiques, quitte à approfondir les solutions après la leçon capitale sur le PFD.

=== exPenduleCerceau de Huygens : ===
Cet exercice fait partie du cours du paragraphe : pendule . En effet, c'est encore une gedanken-experiment qui a guidé Huygens. Ceci dit, contrairement à Galilée, il cherchait aussitôt la réalisation expérimentale.

Soit une plaque verticale de masse négligeable sur laquelle est fixée un cerceau de rayon a , de centre O . Le moment d'inertie J(O) est évidemment Ma²; donc r= a.Les points intérieurs sont conjugués des points extérieurs et par évidence les points symétriques du cerceau sont conjugués, et la période du pendule y est la plus courte, et la longueur du pendule simple synchrone est donc précisément 2a. Ceci sans calcul. 
Suspendre alors par un point A de son contour ; soit A' le point diamétralement opposé. AA' est vertical. Montrer que si l'on rajoute deux masselottes égales en 2 points symétriques par rapport à la verticale, rien n'est changé. En déduire que pour un cerceau de masse linéique quelconque symétrique par rapport à A, rien n'est changé, en particulier pour l'arc de cerceau supérieur,SI PETIT soit-il , et pour l'arc inférieur , résultat qui intrigue souvent.

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* SolutionPenduleCerceau :

Soit l = 2a : Ce qui veut dire que l'on peut plomber le cerceau en A', rien ne changera. Bien sûr , on peut aussi l'évider. Peut-on tailler un arc fini ? oui, car voici la réponse à la deuxième question: 
Soit un compas de deux masses égales ,de demi_angle au sommet A égal à MAM'/2 := phi, avec AM = AM' = 2a cos phi ; donc J(A) = 2m.(2a cos phi)² et AG = 2a cos²phi : on retrouve l= 2a . Donc on peut scotcher ce compas sur le cerceau sans rien changer . Et donc une multitude de compas ! D'où la troisième question , puis aussi la quatrième et la cinquième : le petit &quot;porte-manteau&quot; circulaire a même période que &quot;l'ancre&quot; de même rayon.

Huygens était friand et prolifique dans ce genre de calcul-gedanken.

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=== ex&quot;Poids&quot; du pendule : ===

Mersenne savait qu'un pendule simple lâché depuis l'horizontale avait une tension de ficelle égale à 3 mg au passage de la verticale (ce qui exigeait des fils sans élasticité!). Il n'en savait pas la raison ; mais Huygens donna la réponse.
Si maintenant on lâche un pendule pesant avec une élongation de 90° , quelle sera la réaction au point de suspension A?
De manière plus étonnante : décomposer cette réaction en deux vecteurs, l'un porté par la verticale et l'autre par AG : montrer que la composante verticale est constante ! Réfléchir et conclure.

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*solutionPoids du pendule : 
Mersenne eût été content de connaître la force centrifuge mv²/R , avec ici v² = 2ga et R = a , donc la réaction: mg +2mg.

Plus généralement TOUT corps pendulaire de même J et même OG = a , aura la même période.
En particulier, une haltère de masse m1 en A et de masse m2 en A' (AA' = l = a + r²/a): en effet il suffit de prendre m1+m2 = m et m1a = m2.r²/a (2 équations lin à 2 inc m1 et m2, de solutions positives).

Alors la réponse est : la réaction supporte le poids immobile de m1 et la composante de la tension du fil : 
Réaction = m1.g + 3m2.g est donc la réponse.

Si maintenant, on étudie la moyenne temporelle de R(t) via une jauge de contrainte (de temps de réponse très rapide), on trouvera bien sûr (m1+m2).g

*Remarque : ce remplacement d'un système par un autre qui donne les MÊMES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES va être un mode de production d'explications simples, qui s'appelle l'isomorphisme : vulgairement, &quot;on se ramène au cas précédent&quot;.

=== exercice-Pendule conique ===
Attention piège : 
Une pièce en T se balance librement selon la barre horizontale BOB' du T, la partie OA jouant le rôle de pendule de masse m de longueur OA = 2a = 2OG

1/. Calculer la période des petites oscillations, c'est à dire la longueur du pendule simple synchrone.

2/. BOB' est mis en rotation constante (w) autour de l'axe vertical Oz. À partir d'une certaine valeur de w, le pendule &quot;décroche de la position horizontale&quot; et se stabilise en prenant une position inclinée, décrivant ainsi un cône de demi-angle au sommet alpha . Trouver alpha(w).

*'''Solution :'''

1/. La période des petites oscillations est liée à J/mg(a). Comme J(G) = ma²/3 (démonstration en annexe, mais il vaut mieux le retenir par cœur), l = a + (a²/3)/(a) = 2/3 . 2a , cqfd 

2/. Si la barre est en équilibre , c'est que le mouvement de G est un mouvement circulaire de rayon a sin(alpha), sous l'action de deux forces : la tension de la barre et le poids mg : d'où tan(alpha)= mw².(a sin(alpha))/mg ; soit cos(alpha) = g/w²a si w² est plus grand que g/a .

Ce raisonnement est FAUX : on avait prévenu : attention piège !
L'action sur le solide est le poids et l'action en O sur la barre QUI n'EST PAS EN DIRECTION de OG.

L'ensemble des actions axifuges dans le référentiel tournant est un ensemble de forces parallèles croissant linéairement le long de la barre : elle se réduisent donc à une force unique passant au 2/3 de la barre et valant mw²(a).sin(alpha)). le PFDR autour de BOB' donne donc J.0 = 0 = -mga sin(alpha) + lcos(alpha).mw²(a)sin(alpha) :

 soit cos(alpha) = g/w²l


[le raisonnement n'est pas rigoureux, car il convient d'appliquer le théorème du moment cinétique dans un référentiel tournant, et cela est délicat. Néanmoins ici, la barre du point de vue de son inertie est assimilable à une haltère (déjà vu plus haut): on est ramené au cas du pendule simple conique avec le résultat usuel. 

Remarques : la force d'inertie axifuge m1.w²(l).sin(alpha) est bien m.w²(a).sin(alpha), car m1l = ma. Remarque2 : la réaction R en O est bien non dirigée vers OG puisqu'il s'y rajoute le poids m2g. Remarque3 : s'occuper du mouvement de la barre autour de cette position d'équilibre relatif fera l'objet d'un examen plus attentif plus tard.]

== Retour ==
*[[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences|Mécanique , enseignée via l'Histoire des Sciences]]

Cf discussion, pour la pensée de Torricelli sur la variation delta P = somme des percussions.

[[Catégorie:Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences (livre)]]</text>
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    <title>Discussion:Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Les Principes avant 1687</title>
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      <comment>DavidL a déplacé la page [[Discussion:Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/les Principes avant 1687]] vers [[Discussion:Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Les Principes avant 1687]]</comment>
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      <text bytes="6387" xml:space="preserve">==I apologize ==
Celles et ceux qui voudront bien m'aider sont les bienvenus.

Je ne suis pas du tout sûre de moi dans cette &quot;philosophie&quot; : faire dire aux gens, après coup, ce qu'ils ont eu en tête est une faute grave en histoire des sciences. 

Pourtant, je reste assez convaincue , pour le vivre autour de moi, que le génie n'existe pas. Dire de quelqu'un qu'il est génial est une manière de dire. Certes, il a une profondeur de pensée qui laisse pantois, mais ce qu'il dit n'est pas fou et appartient bien à la culture présente : sa culture en témoigne , et elle est effarente. Réunir tout ce magmas de connaissances et l'ordonner pour en tirer qq ch de plus qui clarifie tout, ce sont quand même des heures et des heures de reflexion.

Puis il en est convaincu, il le rédigera ou pas selon le temps dont il dispose ; mais il continuera d'avancer. D'autres dévoreront ces connaissances , les digèreront , puis iront plus loin. Lui, aura été simplement &quot;génial&quot;. 

Mais l'humanité ne s'est pas troublée : entre E= mc² et la Bombe, c'est la Bombe qui a troublé les gens. 

La &quot;folle journée&quot; de l'IHES 1998 marque le début de la fin des travaux en vue de comprendre les diagrammes de Feynman, mais en 2006, tout le monde s'en fout : les physiciens étaient convaincus  que ces règles de Feynman étaient justes. Viendra un jour où l'on s'étonnera que 50ans aient été nécessaires. Einstein,Feynman, Connes, Gromov géniaux ? Oui , certes. Mais leurs collègues disent simplement : oui, c'est très fort! comme on peut dire de Hedlinger en grimpe : oui, c'est très fort! Il ne viendrait à personne l'idée de dire que Hedlinger est génial ; cela n'enlève rien à ses qualités de grimpeur.

devant les Principia, j'ai un peu le même sentiment : c'est très fort! exceptionnel! mais une fois les Principia décortiqués par un Bernard Cohen, on ne peut plus parler de génie. Newton est bien dans la lignée des géants qui l'ont précédé.

Puis la formulation de la mécanique selon Arnold paraît même plus simple, et surtout permet d'aller plus loin , plus vite. Alors ...

désenchantement à la Mach , --[[Utilisateur:Guerinsylvie|Guerinsylvie]] 3 août 2006 à 17:06 (CEST)


== Yoder(1988), unrolling time==
{{ISBN|05-21-34140-X}}

Notes de lecture :p6 : 1659 :evolute := unroll := developpée : à partir d'elle ,on déroule l'involute ( la développante: l'evolute de la involute est lieu des centres de courbure de l'involute.

p9:17ans;1646 : la catenaire (via Stevin annoté par Girard 1634).

p10: pourquoi les 2 nouvelles sciences ne sont pas à son programme?

--[[Utilisateur:Guerinsylvie|Guerinsylvie]] 3 août 2006 à 17:40 (CEST)

==Yoder notes==

Passer du pendule composé au pendule simple n'est pas si facile!(dec1659:OH16:384-391: abandon ; Moray l'informe que la RS va tenter d'utiliser le pendule comme time-measurer! Et Huygens répond(OH16:414-433): j'ai le &quot;curseur&quot; ; qui me permet réglage fin (30dec1661 :OH3:438). Puis la lentille sphère est comprise (dec1664;OH16:434-555 et OH5:120 lettre à Moray,10oct1664).Partie 4 de l'HO de 1773 est alors finie.Ill during 1670-1671(OH:7;9-13); Richer à Cayenne 1671-1672.Invasion dela Hollande : 1673. Publication du HO !Ziggelaar sur Brouncker et Pardies(Centaurus1965 et 1967).Il est clair que le manuscrit de 1673 n'intéresse plus !la cycloide date de 1659( Dettonville)! bcp ont retrouvé Huygens!Newton ss doute en 1671. Cf Herivel1965(newton1664-1684). Plan pour livre sur Gravitation en 1674(OH18:360-361), alors que le Discours est du 28aout1669!N'oublions pas 1666 et newton et Leibniz à paris1672-1676 (Hofmann,CUP1974)!1678:epicycloides!OH18:489-498: m a , m force , quelle que soit la force : à bien relire!!1675: ressort spiral, mais ne convient pas comme horloge de marine, OH7:408-425 et OH18:522-526!1683:tjs plus:OH18:527-535!

--[[Utilisateur:Guerinsylvie|Guerinsylvie]] 8 août 2006 à 17:09 (CEST)


==Mach's notes==
p140: une vitesse a une &quot;capacité d'action&quot; en terme de diagramme horaire proportionnelle au temps et en terme de diagramme d'espace comme v² (D'Alembert, peu clair , paraît-il!).

== Percussion chez Torricelli ==
Voici copie partielle des conférences académiques de Torricelli sur la PERCUSSION , tirées de l'oeuvre de Torricelli , de Gandt ; ed les Belles Lettres,1987, {{ISBN|2-252-62032-X }}, p207-224 :
 
Deuxième Conférence &quot;De la force de la Percussion&quot; (27/08/1642):
Soit à obtenir cent barriques d'eau de la fontaine, disons, de Santa Croce, et je trouve que cette source ne donne pas plus d'une barrique d'eau par heure. Devrais-je alors tout à fait désespérer de pouvoir obtenir les cent barriques d'eau de cette fontaine ? Certainement pas. Qu'on attende cent heures, que l'on conserve au fùr et à mesure l'eau quijaillit continuellement, et on aura ainsi les cent barriques de l'eau qu'on désirait.

Dans les corps naturels '''la gravité est une fontaine d'où  jaillissent continuellement des moments'''...Qu'on ouvre la source d'où jaillit la gravité. Que l'on soulève haut la boule pesante de manière qu'ensuite, lorsqu'elle reviendra vers le bas, elle puisse rester en l'air pendant dix instants de temps et engendrer ainsi dix de ces moments qui lui son propres. '''Je dis que ces moments se conserveront et s'agrègeront ensemble'''...lui donnant non une force de cent livres, fille d'un seul instant , mais les forces cumulées, filles de dix instants.

Tout cela , au vocabulaire près , est très moderne : momentum signifie à l'époque : quantité à l'instant t , Q(t). Et au lieu d'instants de temps , notre langue dit durée ou laps de temps. Il me semble entendre : la source de l'impulsion est la somme cumulée des percussions acquises durant chaque laps de temps :


{{exemple|Enoncé|loi de Torricelli(1642)?|&lt;math&gt; m\vec{V}(t) = \int_0^t \vec{F}\cdot dt &lt;/math&gt;}}

Ainsi, au moment où naît Newton(1642), sa Loi aurait été énoncée par Torricelli. Pour ma part , il y a eu un fabuleux contre-temps avec la mort prématurée de Torricelli. Mais, en Histoire des Sciences, on ne reconstruit pas le monde à sa façon. Donc disons prudemment : lisez ce texte , il vous donnera sans doute l'impression que :
 
la Science affouille , bafouille , cafffouille

Clairement elle progresse

Wikialement sylvie --[[Utilisateur:Guerinsylvie|Guerinsylvie]] 23 septembre 2006 à 18:21 (CEST)</text>
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    <title>Mecanique, enseignée via l'Histoire des Sciences, la chute libre (Section 1)</title>
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    <title>Discussion:Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/L'inertie à la rotation</title>
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      <text bytes="1394" xml:space="preserve">== Remarque historique==

La logique spontanée ( celle de Beeckman par exemple) eût voulu ceci : un référentiel en rotation constante est comme Rien , c'est à dire est galiléen. '''Cela EST FAUX''' : une petite bille placée sur un plateau tourant s'éloigne en décrivant une développante de cercle. 

Pourtant sur une sphère terrestre parfaite englacée ,le palet de Galilée décrirait bien indéfiniment une géodésique, c'est à dire un grand cercle. Cela n'avait pas échappé à la sagacité de Galilée, mais il écarte la question : elle l'eût conduit à la chute libre non verticale ( cf Koyré : chute libre et mouvement de la Terre ).Huygens s'enlise dans sa recherche de la Relativité Totale, qui eût conduit à la force de Coriolis.Mais non , il faudra attendre qu'un Foucault en 1851 montre son pendule à une Académie médusée et un peu vexée, pour que l'on revienne sur l'affirmation péremptoire de Newton : l'Espace et le Temps sont absolus. On avait peu à peu (à part MacLaurin) oublié le principe du bateau de Huygens. Nul doute que les travaux de Lorentz , et surtout de Mach, ont influencé Einstein, mais voilà 1687-1915, c'est quand même bien long ! Il existe peu d'études historiques sur ce point obscur : pourquoi le XVIIIème écrante la notion de référentiel galiléen?--[[Utilisateur:Guerinsylvie|Guerinsylvie]] 18 août 2006 à 09:46 (CEST)</text>
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    <title>Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/L'inertie à la rotation</title>
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      <comment>DavidL a déplacé la page [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/l'inertie à la rotation]] vers [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/L'inertie à la rotation]]</comment>
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      <text bytes="3602" xml:space="preserve">Ebauche

Cette leçon est une des plus difficiles. 

== Introduction , histoire ==

La conquête de cette notion est délicate, et si les progrès décisifs ont bien été faits avant 1687, essentiellement gràce à Huygens (de Vis centrifuga et Horologium 1673 , tentative de Relativité Totale), il est clair que l'énoncé du Principe Fondamental de la Rotation ou théorème du moment cinétique [selon que l'on considère ou non comme principe ou comme théorème : le torseur des forces intérieures est nul] est loin d'être clarifié en 1687.

Que l'invariance galiléenne entraîne l'existence des théorèmes du référentiel barycentrique est une idée du XXème siècle , même si les théorèmes sont connus bien avant.
Que l'Equivalence des Hypothèses n'ait pas été dénoncée avec force plus tôt est curieuse : un référentiel en rotation se distingue immédiatement d'un référentiel en translation : le pendule de Foucault mettra clairement en évidence de manière interne à la Terre la rotation de la Terre. Le gyroscope de Foucault fût construit pour démontrer aussi ce pivotement. De nos jours (2006), tous les avions ou satellites ont des &quot;stations inertielles&quot; avec 2 ou 3 petits gyroscopes-laser. Mais cela reste peu étudié !

Les exemples seront donc choisis simples. Plus tard, seront repris des faits autrement difficiles (toupies et gyroscopes).

== Une expérience décisive ==
Soit un solide à symétrie de révolution, d'axe vertical, reposant sur des crapaudines C et C' sans frottement. S'il est lancé avec la vitesse de rotation w , il tourne indéfiniment (bien sûr, toujours dans la fiction du sans-frottement): autrement dit, il garde son énergie cinétique.
Cette énergie cinétique vaut : &lt;math&gt;\frac{1}{2}\Sigma m_i d_i^2 \cdot\omega^2  = \frac{1}{2} J \dot{\theta}^2&lt;/math&gt;.

Remarquer maintenant que cela est vrai aussi si l'axe est horizontal , ou d'ailleurs quelconque.

MAIS , tenir à deux mains C et C', par exemple en position verticale ; essayer de basculer l'axe à l'horizontale disons ouest-est : surprise ! S'il s'agit d'une roue de vélo qui tourne assez vite, comme C et C' sont proches, il faut FORCER des deux côtés pour y arriver, mais PAS dans le sens intuitif.

Idem si l'on part de l'axe ouest-est : essayer de tourner, en gardant la position horizontale, l'axe vers la position nord-sud : surprise ! Puis au contraire vers la position sud-nord : surprise mais moins grande : les mains ressentent une RÉGULARITÉ. On doit exercer un couple opposé au précédent.

Enfin , grosse surprise : si la roue légère tourne très vite, qu'on la tienne en axe horizontal à deux doigts , lâcher un des doigts : et la roue ne tombe pas! mais l'axe se met en rotation, et il faut se tenir prêt à suivre.La première fois qu'on le ressent , c'est assez spectaculaire. La régularité s'installe : on peut laisser les deux doigts mais avec une force inégale, de façon à RÉGLER la vitesse de rotation de l'axe. &quot;Évidemment&quot; , on peut tout inverser en inversant le sens de pivotement de la roue. C'est bizarre, mais c'est RÉGULIER.

En laboratoire de physique, il existe un appareil appelé gyroscope, réalisé spécialement pour mettre au mieux en évidence toutes ces expériences sensitives qualitatives , et les MESURER.

== Résumé ==
reprendre les articles WP

== Exercices ==
Evidemment au moins la balance gyroscopique.

== Retour ==
*[[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences|Mécanique , enseignée via l'Histoire des Sciences]]

[[Catégorie:Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences (livre)]]</text>
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      <text bytes="3693" xml:space="preserve">&lt;noinclude&gt;{{Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences}}&lt;/noinclude&gt;

{{Ébauche|left=1}}

Cette leçon est une des plus difficiles. 

== Introduction , histoire ==

La conquête de cette notion est délicate, et si les progrès décisifs ont bien été faits avant 1687, essentiellement gràce à Huygens (de Vis centrifuga et Horologium 1673 , tentative de Relativité Totale), il est clair que l'énoncé du Principe Fondamental de la Rotation ou théorème du moment cinétique [selon que l'on considère ou non comme principe ou comme théorème : le torseur des forces intérieures est nul] est loin d'être clarifié en 1687.

Que l'invariance galiléenne entraîne l'existence des théorèmes du référentiel barycentrique est une idée du XXème siècle , même si les théorèmes sont connus bien avant.
Que l'Equivalence des Hypothèses n'ait pas été dénoncée avec force plus tôt est curieuse : un référentiel en rotation se distingue immédiatement d'un référentiel en translation : le pendule de Foucault mettra clairement en évidence de manière interne à la Terre la rotation de la Terre. Le gyroscope de Foucault fût construit pour démontrer aussi ce pivotement. De nos jours (2006), tous les avions ou satellites ont des &quot;stations inertielles&quot; avec 2 ou 3 petits gyroscopes-laser. Mais cela reste peu étudié !

Les exemples seront donc choisis simples. Plus tard, seront repris des faits autrement difficiles (toupies et gyroscopes).

== Une expérience décisive ==
Soit un solide à symétrie de révolution, d'axe vertical, reposant sur des crapaudines C et C' sans frottement. S'il est lancé avec la vitesse de rotation w , il tourne indéfiniment (bien sûr, toujours dans la fiction du sans-frottement): autrement dit, il garde son énergie cinétique.
Cette énergie cinétique vaut : &lt;math&gt;\frac{1}{2}\Sigma m_i d_i^2 \cdot\omega^2  = \frac{1}{2} J \dot{\theta}^2&lt;/math&gt;.

Remarquer maintenant que cela est vrai aussi si l'axe est horizontal , ou d'ailleurs quelconque.

MAIS , tenir à deux mains C et C', par exemple en position verticale ; essayer de basculer l'axe à l'horizontale disons ouest-est : surprise ! S'il s'agit d'une roue de vélo qui tourne assez vite, comme C et C' sont proches, il faut FORCER des deux côtés pour y arriver, mais PAS dans le sens intuitif.

Idem si l'on part de l'axe ouest-est : essayer de tourner, en gardant la position horizontale, l'axe vers la position nord-sud : surprise ! Puis au contraire vers la position sud-nord : surprise mais moins grande : les mains ressentent une RÉGULARITÉ. On doit exercer un couple opposé au précédent.

Enfin , grosse surprise : si la roue légère tourne très vite, qu'on la tienne en axe horizontal à deux doigts , lâcher un des doigts : et la roue ne tombe pas! mais l'axe se met en rotation, et il faut se tenir prêt à suivre.La première fois qu'on le ressent , c'est assez spectaculaire. La régularité s'installe : on peut laisser les deux doigts mais avec une force inégale, de façon à RÉGLER la vitesse de rotation de l'axe. &quot;Évidemment&quot; , on peut tout inverser en inversant le sens de pivotement de la roue. C'est bizarre, mais c'est RÉGULIER.

En laboratoire de physique, il existe un appareil appelé gyroscope, réalisé spécialement pour mettre au mieux en évidence toutes ces expériences sensitives qualitatives , et les MESURER.

== Résumé ==
reprendre les articles WP

== Exercices ==
Evidemment au moins la balance gyroscopique.

== Retour ==
*[[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences|Mécanique , enseignée via l'Histoire des Sciences]]

[[Catégorie:Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences (livre)]]</text>
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== Retour ==
*[[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences|Mécanique , enseignée via l'Histoire des Sciences]]

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ébauche : cf discussion

== Retour ==
*[[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences|Mécanique , enseignée via l'Histoire des Sciences]]

[[Catégorie:Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences (livre)]]</text>
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      <text bytes="9694" xml:space="preserve">qq notes 
==Morbidelli==
cf modern Modern Celestial Mechanics ISBN 0-415-27938-0 (pbk) ? 2002 Taylor &amp; Francis 

Contents :
*PREFACE INTRODUCTION 
*ELEMENTARY CELESTIAL AND HAMILTONIAN MECHANICS 
*QUASI-INTEGRABLE HAMILTONIAN SYSTEMS 
*KAM TORI 
*SINGLE RESONANCE DYNAMICS 
*NUMERICAL TOOLS FOR THE DETECTION 0F CHAOS 8! 
*INTERACTIONS AMONG RESONANCES 
*SECULAR DYNAMICS 0F THE PLANETS 
*SECULAR DYNAMICS 0F SMALL BODIES 
*MEAN MOTION RESONANCES 
*THREE-BODY RESONANCES 
*SECULAR DYNAMICS INSIDE MEAN MOTION RESONANCES 
*GLOBAL DYNAMICAL STRUCTURE 0F THE BELTS 0F SMALL BODIES 

il se trouve que j'ai ce livre jusqu'à Lundi28/08/06 , alors , je vais essayer d'en profiter un max ; Wikialement sylvie--[[Utilisateur:Guerinsylvie|Guerinsylvie]] 23 août 2006 à 15:48 (CEST)

*PREFACE INTRODUCTION :

In the last 20 years, three spectacular results are:
* chaotic dynamics of the planets, 
*asteroids escape from the main belt and reach Earth-threatening orbits, 
*origin of the internal heating of the Galilean satellites,

the first six chapters present what one should know of Hamiltonian theory to work at ease in Celestial M

3hapter 2 explains Hamiltonian perturbation theory based on Lie series. Chs 

Chapters 3 and 4 illustrate the properties of invariant tori and resonances, respectively. 

^hapter 5 to discussin: the numerical tools that are useful for the detection of chaos. 

Chapter 6 :1 the interaction of its resonances, &lt; 1 details how these structures can bi identified with numerical explorations. 

The second part ol is more technical, 

Chapters 9-12, conversely, are devoted to the difficult subject of mean motion resonances. 

Chapter 11 discusses the secular dynamics inside mean motion resonances, which in my opinion is one of the most complicated topics
thanks to :I. Festou and C. Froeschlé. -. Guzzo, D. Nesvorny and F. Thomas - f&lt; - A. Giorgiliï, V. Gurzadyan, J. Henrard and J. Laskar - to thank A. Cellino, S. Ferraz-Mello, J. Henrard, M. Holman, Z. Knezevic, J. Laskar, E. Lega, A. Lemaitre, C. Murray, N. Murray and 
D. Nesvorny for p Farinella, Migliorini, Michèle Moons. 

===Introduction=== 
general overview of the Solar System 
Newtonannouncement (1687):. Since then, the computation of precise ephemerides has become essentially a mathematical challange. Lagrange and Laplace :a quasi-resonance between the orbital periods ofjupiter and Saturn. 

the motion of the planets is in fact chaotic. 

Since then,  a major goal has been to understand the reasons for this chaotic motion- 

even more interesting is the dynamics of the asteroids. 
called the main belt^&gt;ome puzzling features immediately appear e\ These features are named Kirkwood gaps, from in 1866. They coincides with the location ofthe main mean motion resonances with Jupiter,but concnetration with the location of the 3:2

Only recently has quite a complete solution for the problem of the origin of the Kirkwood gaps been provided. 

resonance ofa new type, called secular resonance. Secular resonance occurs when an integer combination of the precession rates ofthe asteroid

close encounters with the ter- restrial planets. &quot; named Apollos, Amors, Atens and Mars-crossers (fig3p5):near-Earth asteroid popu (NEAs). he typical lifetime of NEAs is 10 My. 

Beyond the orbit of Neptune, , second belt o as the Kuiper belt. As J As June 9, 2000, 279 trans-Neptunian o The &quot;planet&quot; Pluto is also in the Kuiper belt. In : Pluto should be better regarded as the biggest object 1 r in the Kuiper belt. 

Kuiper belt is believed to be responsible for sustaining the population of the so-called Jupiter-family comets. low-inclined, short-period comi 

The long-period comets and the so-called Halley-type comets, rather form a quasi-spherical reser- voir, called the Oort cloud. Th( at the frontier of the Solar Sys- semimajor axis ~10,000 AU. At such a distance from the Sun, the gravitational potential of the entire galaxy becomes a strong perturbation ol the dynamical effect of this Galactic tide is crucial to understand the for
nation of the Oort cloud, a 

The ring systems of Jupiter, Sat For instance, the Cassini division is determined by the the 2:1nance with Mimas, while the outer edge of the A ring is produced by the7:6 resonance with the co-orbital satellites Janus and Epimetheus.

ratios of large integer numbers, as in the case of the 32:31resonance with Prometheus, at the location of the so-called Keeler gap.

The shape of this ring seems to be dictated by the presence of the so-called shepherding satellites, orbiting along each of its sides. 

, the systems of satellites of the giant planets c &gt; can be considered as miniature solar systems, ; + &quot; the tides exerted by the planet force the satellitesslow outward migration. Because the relative orbital peri- ods change with the semimajor axes, the satellites must pass through several resonant configurations :: lo orbits twice around Jupiter for each orbit of Europa, which in turn orbits twice for each orbit of Ganymede. 

The interplay between tidal forces and orbital dynamics also explainsthe large inclination ofthe Urania.n satellite Miranda resonance with Umbriel, 

The tides also tend to slow down the spin frequ ; But sometimes , chaos : Hyperion.

And also to heat : ex : Io

End.Bon , ya rien à glaner que l on ne sache . C est une bonne révision . point.


===Hamiltonian mecha ===
Equations of motion . . . 
3rbital elements . 
Perturbations of the two-body probk 
amiltonian systems and the two-body problec 
Perturbations in Hamiltonian form . . . 
uionical transformations . . . 
Integrable Hamiltonians 
Action-angle variables 
[ntegrable dynamics . 

Voyons voir : 

cf DANBY1962; Kepler laws; a &amp; e ; theta et E ; E(t) tq E-e sinE )= wt = M(t)  , w² = G(m1+m2):a^3 ; Omega, omega, finally {a,e,i,Omega, omega et M)

si i =0 , then pi-surligné = Omega +omega ; si e=0 , omega perd sa signification et on prend lambda = M +pi-

H(E) est l énergie conservée . G le moment cinétique et H= G.cosi

Ok

==== Perturbations====
de lagrange inutilisable à hamilton :Whittaker(1937) donne la solution:
pb restreint : Ho + Hperturb, si on se donne le mvt des grosses ,alors H= H(t) = Ho+h1(t)

trans de contact : 3 critères :
Crochets de Poisson cf (Whittaker 1937 , Gantmacher1975, 131)

democratic heliocentric(p24): Koseleff(Koseleff, 1993, 1996; Touma and Wisdom, 1994b; Duncan et al., 1998; Chambers, 1999

critère2 : the transformation (v, x) -^(v
) is canonical if there exis1 a function S(vf, x) (called a generating function) such that : ordinary

critère3 : the transformation ) is canonical if there exists a Hamiltonian &quot;-alled a generating Hamiltonian) and a parameter epsilon such that : cf Gantmacher1975,133-134)

DoncGantmacher F. (1975) Lectures in Analytical Mechanics. MIR,

====H flow====
Th de Liouville : div F = 0 : donc interdiction de voir la dimension diminuer ( un volume reste un volume. cf chap 4.

Th de H(t) : ok ; attention à T1 et à To non nuls !

Th df:dt = {f, H}
Alors le développement en série sera via Taylor :

f(t) = f(0) + (t:1!)L1f (0) + (t²:2!)L2f (0) + ...
 soit f( v(t), x(t)) = g(v(0),x(0), t ) ; ceci utilisé en particulier via le critère 3
pour avoir un &quot;temps&quot; dit epsilon.

==== Integrable H ====

def d'Arnold chap 4.
donc difficile.

mais 
Th2 de Liouville : si on a n cstes PHI1, PHIn en involution ( un ECOC).
Mais c'est dur à trouver : Hénon (1964) impossible pour Cub-galactique et Hénon (1974) possible pour Toda ! Poincaré (1892) désespéré. Mais existe critère de non-intégrabilité.

Donc on intègre ceux qu'on sait :
Ceux H(I1, ...,In) (actions-angles.
Celui H(v,x) 1D , of course
Celui H(v1, I2 I3 ,  ,x1) puisque H et (I2 I3 In)=cstes donc c'est simplement le cas 2.

====Action-angles ====
th2d'Arnold-Liouville :
si PHI1, PHIn est compacte alors  existent I et phi avec H(I) et les angles phi(t) = wi.t

Alors les H-intégrables seront H(I) et on étudiera les H(I) + perturb

Pour un H(I) , on aura la notion de TORES commutatifs.
Les I seront construits sur chacun des cycles.
Puis la fonction S sera S(I,x) = int sigma v(I,x) dx et alors phi sera d-rond S(p,x) / d-rond p. On sera donc passé de H(v,x) à H(I). Dnc on a un moyen constructif de construire H(I) .

*Delaunay : (Epstein1916), Sommerfeld1922, Born1927the mechanics of the atom.
C'est incroyable de voir que Born a déjà fait le travail en 1927 ( Pauli date de 1925-1926). c'est la première fois que je lis ce travail : il me reste àl 'apprendre.
Cela paraît tellement proche du Cordani !

*Delauney et perturb :pb restreint et pb planétaire

*Règles quantiques de d'Alembert : 
on examine le développement en sériede Fourier , et ses symétries : coef réels, invariance par rotation Oz ; invariance par rapport Oz /Oz', non-singularités =&gt; Poincaré variables  et à nouveau des règles quantiques 

=== Int dynamics ===
H(I) et phi' = w(I) et I' = 0
Donc mvt sur un tore invariant et l'espace est feuilleté par ces tores.
Mvt non résonant ou quasi-périodique.
Mvt complètement résonant
Mvt à résonance de multiplicité m avec ORDRE de la résonance : = min |k|
Comme les w sont des w(I), on se préoccupe de la '''dégénérescence''' du système . 
Si non-dégénéré , c'est facile .
Mais Kepler est deux fois dégénéré , donc les perturb seront atroces à classifier .

Nous voilà prévenus !

==Laskar ==
cf Goutelas

== Autres==
le Gallavotti, bien sûr
le Ramis-Morales, bien sûr.
les séries de Lie .

il est clair que le cours SICARDY contient déjà beaucoup. Il faudrait qu'un informaticien_graphique prenne en charge les animations.

--[[Utilisateur:Guerinsylvie|Guerinsylvie]] 19 mars 2008 à 17:10 (CET)</text>
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    <title>Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Quelques exercices</title>
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      <contributor>
        <username>DavidL</username>
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      <minor />
      <comment>DavidL a déplacé la page [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/quelques exercices]] vers [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Quelques exercices]]</comment>
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      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="7087" xml:space="preserve">Nous noterons ici quelques exercices (classiques ?) , de niveau très variable. Ils se ramènent presque tous à des équations différentielles que l'on doit (?) connaître.

== Exercices de cinématique ==

=== Lièvre et Tortue ===
Cet exercice fait très vite comprendre la différence entre diagramme horaire et diagramme de phase :

Le lièvre L ne fait d'abord que 100 m en une heure. Il s'aperçoit alors de son retard sur dame Tortue T qui trotte à 200 m/h.
Deux cas : il double sa vitesse toutes les heures ; ou il double sa vitesse tous les hectomètres ultérieurs.
Où et quand croise-t-il dame Tortue ? 

'''Réponse :'''

1er cas : en gros sa vitesse est exponentielle du temps ; donc x(t) aussi.
2e cas : sa vitesse est exp kx ! il arrive à l'infini en un temps fini!

plus précisément :

*1/.tracer x(t) : 1 h -&gt; 100 m ; 2 h -&gt; 100 + 200 = 300 m et T à 400 m ; 3 h -&gt; 100 + 200 + 400 = 700 m et T à 600 m : donc croisement entre 2 h et 3 h :

x(t) = 200 t = 300 + 400 (t - 2) solution : t = 2,5 h et x = 500 m.

*2/.tracer t(x) : 100 m -&gt; 1 h ; 200 m -&gt; 1 + 1/2 h ; 300 m -&gt;1 + 1/2 + 1/4 h ; l'infini en 2 h ! donc t &lt; 2 h : à 300 m, T a 50 m d'avance, qu'elle perd en 5 min : solution : t = 60 + 30 + 15 + 5 = 1 h 50 min et x = 366,7 m (référence : entendu sur F-musique).

=== L'âne et la rivière ===
la rivière (R) est droite : y = kx (disons k = 1/2). L'âne Aliboron à t = 0 en x = a (disons 2 km) doit porter son bât au douar D (x = b ; disons 10 km), mais doit se désaltérer une fois à la rivière (t compté négligeable). Date d'arrivée ? (vitesse V : disons 4 km/h)

Réponse :

Prendre le symétrique de D par rapport à (R), soit D' : date d'arrivée = AD'/V (A.N. : sqrt[ (6-2)² + (8-0)²)/4 ] = sqrt(5) = 2.23 h ) (référence : cours d'optique X , ou tout cours sur Fermat et chemin minimal).

=== Vent et avion ===
3 villes A, B, C forment un triangle équilatéral de côté a. Un vent de vitesse '''V''' souffle. Un avion volant ordinairement à la vitesse u met le temps T pour joindre AB , mais 3/2.T pour joindre BC et 3/2.T pour regagner A : déterminer '''V''' en fonction de a/T = v

Plus dur ? AB en T1 , BC en T2 et CA en T3 : déterminer V

'''Réponse :''' 

Soit A(0;0) B(a;0) : la symétrie du problème indique que '''V''' = + V.'''i''' . Composer alors les vitesses et trouver V(A-&gt;B) par Al-Kashi : u + V = v . De même V(B-&gt;C) = V(C-&gt;B) = sqrt[u²+ V² - uV sqrt(3)] = 2/3.v , soit uV = v.5/9.(2-sqrt(3)) : somme et produit donnent u et V (u&gt;V).

Plus dur ? Oui, c'est vrai . D'un point O quelconque tracer a/T1. '''AB'''/a = OH1 ; de même OH2 et OH3 . Tracer I centre du cercle circonscrit au triangle H1H2H3 : la vitesse du vent est '''OI'''. On pourra recalculer la vitesse précédente pour contrôle. (référence : Metcherskii et ESG)

=== Un Problème de Laplace ===
L'énoncé est très simple ; la solution est dure ; la réponse très difficile.

Dans le plan , tois vecteurs tournants V1 = A1.expi(w1t) , V2 et V3 . Et A1, A2 et A3 peuvent former un triangle, et les 3 pulsations sont incommensurables (w1.k1 +w2.k2 +w3.k3 = 0 , K : = (k1,k2,k3) sur Z^3 donne K = 0).

Soit S le vecteur somme d'argument theta(t) : trouver lim [theta(t)/t ] pour t grand.

'''Réponse :'''

classique.Bohl , Weyl , Arnold, ...

Solution : moyenne des wi pondérées par les angles du triangle (évidemment divisés par Pi). Pour s'en convaincre, prendre suffisamment de cas particuliers , et les traiter avec un logiciel (Scilab par exemple).

la réponse est vraiment plus difficile à cause du mot incommensurable !

==Hooke et ses elliptoïdes==
''je ne sais si cela est vrai ; il faut que je vérifie encore'' ; voici : 

Hooke est réputé avoir trouvé la solution de l'ellipse de Hooke pour le mouvement de rappel selon la force-de-Hooke. On sait par ailleurs la célèbre querelle qui l'opposa à Newton pour essayer de savoir si le mouvement des planètes correspondait à une attraction en 1/d^2. Il est sûr que cette loi en 1/d^2 avait déjà été proposée. Ce qui est en cause est : Hooke l'avait-il &quot;démontré&quot; ? Il est probable qu'il a utilisé la même méthode graphique que celle qu'il avait utilisée antérieurement. Il a parlé d'elliptoïdes ! On sait que Newton a rageusement détruit pas mal de papiers de Hooke, dès qu'il le remplaça à la Royal Society. On &quot;doit&quot; à Hooke de le réhabiliter, face au grand-Newton. C'est l'objet de ce petit exercice ( à développer).

Soit un phare O et un mouvement autour de ce phare O, tel que la vitesse V du point M soit constante Vo et perpendiculaire à la direction du vecteur &lt;math&gt;\vec{OM}&lt;/math&gt;.

On montre aisément que le mouvement est circulaire uniforme autour de O.

Maintenant voici &quot;l'astuce&quot; : 

imaginer qu'un courant descendant ( selon -Oy) croisse doucement de 0 pour se stabiliser à la valeur V1 ( inférieure à Vo, disons égale à e.Vo): montrer que la trajectoire se décale progressivement vers la droite , et qu'elle reste ELLIPTIQUE. Cela est très joli à voir en animation sous Maple. Qui plus est, montrer que ce mouvement correspond à une accélération en 1/d² où d = OM.

Peut-on trouver qualitativement les symétries de ce mouvement :

&lt;math&gt; \vec{V}(M) =  \vec{V_0}   \wedge  \vec{u}(M) +  \vec{V_1}&lt;/math&gt;,

avec vec{Vo} = k . Vo perpendiculaire au plan.


== Exercices de dynamique , très classiques ==

=== Résonance cyclotron ===
Dans le plan xOy , une charge q de masse m est soumise au champ magnétique Bo. '''k''' et au champ électrique Eo('''i''' . cos (wt) +''' j''' . son(wt) ) et à une résistance fluide -m/tau .V . On appellera Wo = -q/m Bo la pulsation cyclotron . Trouver le régime stationnaire .Discuter la puissance absorbée.

'''Réponse :''' 

classique

=== Larmor ===
Dans le plan xOy une charge q de masse m est soumise au champ magnétique Bo''' k'''. Ayant la vitesse Vo.i (à t=0, x=0;y=0), trouver son mouvement. 

On examine maintenant ce mouvement dans le référentiel R' qui tourne aotour de l'axe (O, '''k''') à la vitesse angulaire de Larmor = -1/2 . q/m. Bo. '''k''' . Dans ce référentiel montrer que le mouvement est perçu comme rectiligne en appliquant les formules du PFD dans R'. Retrouver alors la question 1 , géométriquement.

'''Réponse :''' 

classique.

=== monopôle magnétique et Stormer ===
Touver le mouvement de (q, m) régit par m '''a''' = q '''V/\B''' , avec '''B''' = '''OM'''/ OM^3 .Bo.ro².
Il s'agit du problème des aurores polaires; historiquement Stormer a trouvé l'intégrale première qui &quot; débloque la solution&quot; (penser au vecteur excentricité pour Kepler qui avait eu le même effet. La réponse &quot;moderne&quot; est liée à une &quot;symétrie cachée&quot;; cf par exemple CORDANI).

Réponse : 

classique

== Conclusion ==
Evidemment le problème est : où s'arrêter ? dans ce répertoire quasiment sans fin.


== Retour ==
*[[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences|Mécanique , enseignée via l'Histoire des Sciences]]

[[Catégorie:Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences (livre)]]
[[Catégorie:Exercices de physique]]</text>
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Nous noterons ici quelques exercices (classiques ?) , de niveau très variable. Ils se ramènent presque tous à des équations différentielles que l'on doit (?) connaître.

== Exercices de cinématique ==

=== Lièvre et Tortue ===
Cet exercice fait très vite comprendre la différence entre diagramme horaire et diagramme de phase :

Le lièvre L ne fait d'abord que 100 m en une heure. Il s'aperçoit alors de son retard sur dame Tortue T qui trotte à 200 m/h.
Deux cas : il double sa vitesse toutes les heures ; ou il double sa vitesse tous les hectomètres ultérieurs.
Où et quand croise-t-il dame Tortue ? 

'''Réponse :'''

1er cas : en gros sa vitesse est exponentielle du temps ; donc x(t) aussi.
2e cas : sa vitesse est exp kx ! il arrive à l'infini en un temps fini!

plus précisément :

*1/.tracer x(t) : 1 h -&gt; 100 m ; 2 h -&gt; 100 + 200 = 300 m et T à 400 m ; 3 h -&gt; 100 + 200 + 400 = 700 m et T à 600 m : donc croisement entre 2 h et 3 h :

x(t) = 200 t = 300 + 400 (t - 2) solution : t = 2,5 h et x = 500 m.

*2/.tracer t(x) : 100 m -&gt; 1 h ; 200 m -&gt; 1 + 1/2 h ; 300 m -&gt;1 + 1/2 + 1/4 h ; l'infini en 2 h ! donc t &lt; 2 h : à 300 m, T a 50 m d'avance, qu'elle perd en 5 min : solution : t = 60 + 30 + 15 + 5 = 1 h 50 min et x = 366,7 m (référence : entendu sur F-musique).

=== L'âne et la rivière ===
la rivière (R) est droite : y = kx (disons k = 1/2). L'âne Aliboron à t = 0 en x = a (disons 2 km) doit porter son bât au douar D (x = b ; disons 10 km), mais doit se désaltérer une fois à la rivière (t compté négligeable). Date d'arrivée ? (vitesse V : disons 4 km/h)

Réponse :

Prendre le symétrique de D par rapport à (R), soit D' : date d'arrivée = AD'/V (A.N. : sqrt[ (6-2)² + (8-0)²)/4 ] = sqrt(5) = 2.23 h ) (référence : cours d'optique X , ou tout cours sur Fermat et chemin minimal).

=== Vent et avion ===
3 villes A, B, C forment un triangle équilatéral de côté a. Un vent de vitesse '''V''' souffle. Un avion volant ordinairement à la vitesse u met le temps T pour joindre AB , mais 3/2.T pour joindre BC et 3/2.T pour regagner A : déterminer '''V''' en fonction de a/T = v

Plus dur ? AB en T1 , BC en T2 et CA en T3 : déterminer V

'''Réponse :''' 

Soit A(0;0) B(a;0) : la symétrie du problème indique que '''V''' = + V.'''i''' . Composer alors les vitesses et trouver V(A-&gt;B) par Al-Kashi : u + V = v . De même V(B-&gt;C) = V(C-&gt;B) = sqrt[u²+ V² - uV sqrt(3)] = 2/3.v , soit uV = v.5/9.(2-sqrt(3)) : somme et produit donnent u et V (u&gt;V).

Plus dur ? Oui, c'est vrai . D'un point O quelconque tracer a/T1. '''AB'''/a = OH1 ; de même OH2 et OH3 . Tracer I centre du cercle circonscrit au triangle H1H2H3 : la vitesse du vent est '''OI'''. On pourra recalculer la vitesse précédente pour contrôle. (référence : Metcherskii et ESG)

=== Un Problème de Laplace ===
L'énoncé est très simple ; la solution est dure ; la réponse très difficile.

Dans le plan , tois vecteurs tournants V1 = A1.expi(w1t) , V2 et V3 . Et A1, A2 et A3 peuvent former un triangle, et les 3 pulsations sont incommensurables (w1.k1 +w2.k2 +w3.k3 = 0 , K : = (k1,k2,k3) sur Z^3 donne K = 0).

Soit S le vecteur somme d'argument theta(t) : trouver lim [theta(t)/t ] pour t grand.

'''Réponse :'''

classique.Bohl , Weyl , Arnold, ...

Solution : moyenne des wi pondérées par les angles du triangle (évidemment divisés par Pi). Pour s'en convaincre, prendre suffisamment de cas particuliers , et les traiter avec un logiciel (Scilab par exemple).

la réponse est vraiment plus difficile à cause du mot incommensurable !

==Hooke et ses elliptoïdes==
''je ne sais si cela est vrai ; il faut que je vérifie encore'' ; voici : 

Hooke est réputé avoir trouvé la solution de l'ellipse de Hooke pour le mouvement de rappel selon la force-de-Hooke. On sait par ailleurs la célèbre querelle qui l'opposa à Newton pour essayer de savoir si le mouvement des planètes correspondait à une attraction en 1/d^2. Il est sûr que cette loi en 1/d^2 avait déjà été proposée. Ce qui est en cause est : Hooke l'avait-il &quot;démontré&quot; ? Il est probable qu'il a utilisé la même méthode graphique que celle qu'il avait utilisée antérieurement. Il a parlé d'elliptoïdes ! On sait que Newton a rageusement détruit pas mal de papiers de Hooke, dès qu'il le remplaça à la Royal Society. On &quot;doit&quot; à Hooke de le réhabiliter, face au grand-Newton. C'est l'objet de ce petit exercice ( à développer).

Soit un phare O et un mouvement autour de ce phare O, tel que la vitesse V du point M soit constante Vo et perpendiculaire à la direction du vecteur &lt;math&gt;\vec{OM}&lt;/math&gt;.

On montre aisément que le mouvement est circulaire uniforme autour de O.

Maintenant voici &quot;l'astuce&quot; : 

imaginer qu'un courant descendant ( selon -Oy) croisse doucement de 0 pour se stabiliser à la valeur V1 ( inférieure à Vo, disons égale à e.Vo): montrer que la trajectoire se décale progressivement vers la droite , et qu'elle reste ELLIPTIQUE. Cela est très joli à voir en animation sous Maple. Qui plus est, montrer que ce mouvement correspond à une accélération en 1/d² où d = OM.

Peut-on trouver qualitativement les symétries de ce mouvement :

&lt;math&gt; \vec{V}(M) =  \vec{V_0}   \wedge  \vec{u}(M) +  \vec{V_1}&lt;/math&gt;,

avec vec{Vo} = k . Vo perpendiculaire au plan.


== Exercices de dynamique , très classiques ==

=== Résonance cyclotron ===
Dans le plan xOy , une charge q de masse m est soumise au champ magnétique Bo. '''k''' et au champ électrique Eo('''i''' . cos (wt) +''' j''' . son(wt) ) et à une résistance fluide -m/tau .V . On appellera Wo = -q/m Bo la pulsation cyclotron . Trouver le régime stationnaire .Discuter la puissance absorbée.

'''Réponse :''' 

classique

=== Larmor ===
Dans le plan xOy une charge q de masse m est soumise au champ magnétique Bo''' k'''. Ayant la vitesse Vo.i (à t=0, x=0;y=0), trouver son mouvement. 

On examine maintenant ce mouvement dans le référentiel R' qui tourne aotour de l'axe (O, '''k''') à la vitesse angulaire de Larmor = -1/2 . q/m. Bo. '''k''' . Dans ce référentiel montrer que le mouvement est perçu comme rectiligne en appliquant les formules du PFD dans R'. Retrouver alors la question 1 , géométriquement.

'''Réponse :''' 

classique.

=== monopôle magnétique et Stormer ===
Touver le mouvement de (q, m) régit par m '''a''' = q '''V/\B''' , avec '''B''' = '''OM'''/ OM^3 .Bo.ro².
Il s'agit du problème des aurores polaires; historiquement Stormer a trouvé l'intégrale première qui &quot; débloque la solution&quot; (penser au vecteur excentricité pour Kepler qui avait eu le même effet. La réponse &quot;moderne&quot; est liée à une &quot;symétrie cachée&quot;; cf par exemple CORDANI).

Réponse : 

classique

== Conclusion ==
Evidemment le problème est : où s'arrêter ? dans ce répertoire quasiment sans fin.


== Retour ==
*[[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences|Mécanique , enseignée via l'Histoire des Sciences]]

[[Catégorie:Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences (livre)]]
[[Catégorie:Exercices de physique]]</text>
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    <title>Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Devoir surveillé 3</title>
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      <text bytes="4275" xml:space="preserve">ébauche

durée 3 h + 15 min + 15 min ; 
Ce problème examine quelques particularités du mouvement de Spot 

== Mouvement d'un Satellite d'observation ==
La Terre est supposée sphérique, de centre O, de circonférence 40 000 km.
*1/ Calculer le rayon terrestre R.
*2/ Calculer l'altitude h du satellite pour que sa trajectoire circulaire ait une durée de révolution égale à 90 min ; quelle est alors sa vitesse?
*3/ La trajectoire passe au-dessus du pôle nord. Quelles sont les positions des nœuds équatoriaux ascendants (noté avec une croix) et descendants (noté avec un rond) (on admet que la Terre pivote en 24 h. Facultatif : quelle serait la conséquence du fait que c'est en réalité plus proche de 86164s?
*4/ Si une erreur s'était produite dans la direction de la vitesse mais non pas dans celle de son module, quelle serait la trajectoire ? quel serait le mouvement ? Si on doit passer à date fixe au-dessus d'un point du globe, est-ce grave (par exemple, on prendra l'excentricité e = 0.001)?
*5/ Quel serait le mouvement relatif du satellite S relativement mal lancé par rapport au satellite circulaire de référence So, dans le référentiel tournant d'origine So, où O reste fixe (le vecteur unitaire '''SoO''' / SoO : =''' i'''). On considérera seulement le cas où les deux trajectoires (&quot;absolues&quot;) sont coplanaires, de perpendiculaire '''k'''. On utilisera la linéarisation des équations (rappel : e= 0.001!).

== Satellite et sa trace au sol ==
En fait, Spot est fait pour réaliser des &quot;photographies&quot; de la Terre. Le problème pour qu'à chaque passage au dessus d'un point, il y ait les mêmes ombres (ce qui est utile pour interpréter les clichés),est que la satellite doit y parvenir à la même heure solaire. L'ensemble des points de la Terre survolés forme un réseau de &quot;traces&quot;. On s'arrange en fait pour qu'en 26 jours, le satellite survole les mêmes points après 369 tours. 
*1/ En déduire l'altitude du satellite.
*2/ Deux appareils de prise de vue réalisent en fait une &quot;fauchée&quot; de 4,13°, en visant à 1,8° et -1,8° : Quel est est l'intérêt de deux prises de vue ?
*3/ Montrer que les deux fauchées permettent un recouvrement assez optimal de la Terre et &quot;Vendre le produit&quot; : pour qui, pour quoi ?
*4/ Encore faut-il que la définition de la photographie soit convenable : combien de pixels devrait avoir la barrette numérique pour avoir une définition de 1m par pixel ?
*5/ Encore faut-il transmettre ses informations : expliquer le problème du flux de données à transmettre.

== Satellite héliosynchrone ==
*1/ La Terre n'est pas en réalité sphérique (il y a un bourrelet équatorial &lt;=&gt; aplatissement des pôles) du fait de son pivotement;
On prend comme valeur caractéristique de l'aplatissement du géoïde, la cause m = w²a/g(a), g(a) étant la gravité à l'équateur et T = 86164s. 
Calculer m
*2/ Huygens et Newton ont tous deux donnés deux valeurs de l'aplatissement p = (a-b)/a. la théorie de Huygens supposait que la masse de la Terre était concentrée au centre. Donner p = f(m).
*3/ Newton supposait la Terre, ellipsoïdale, de masse volumique uniforme : trouver p = f(m).
*4/ Dans le cadre actuel, on admet que le potentiel de gravité terrestre est - GM/r (1+ J2 /r². (3cos²(thêta) -1)/2 +...) : on prendra J2 =0.001
La trajectoire de Kepler est donc légèrement perturbée. On ne demande pas d'appliquer la méthode de Lagrange, mais simplement de décrire l'évolution du vecteur moment cinétique L sous l'effet de la perturbation.
*5/ En considérant la petitesse de J2, montrer qu'on peut dire que la trajectoire est dans un plan qui précesse régulièrement : montrer que l'inclinaison des capesiens(98.7°) correspond à l'orbite héliosynchrone.


== Conclusion ==
Ramassage des copies du problème.

Puis, vous avez libre choix de consulter le Web 15 min, pour établir un rapport (15 min) [dans la discussion de l'article Spot de la Wikipédia], sur le secteur activité de Spot. On fera ensuite une synthèse, et on nettoiera la WP.

== Solution et correction ==

== Retour ==
*[[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences|Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences]]

[[Catégorie:Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences (livre)]]</text>
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{{Ébauche|left=1}}

durée 3 h + 15 min + 15 min ; 
Ce problème examine quelques particularités du mouvement de Spot 

== Mouvement d'un Satellite d'observation ==
La Terre est supposée sphérique, de centre O, de circonférence 40 000 km.
*1/ Calculer le rayon terrestre R.
*2/ Calculer l'altitude h du satellite pour que sa trajectoire circulaire ait une durée de révolution égale à 90 min ; quelle est alors sa vitesse?
*3/ La trajectoire passe au-dessus du pôle nord. Quelles sont les positions des nœuds équatoriaux ascendants (noté avec une croix) et descendants (noté avec un rond) (on admet que la Terre pivote en 24 h. Facultatif : quelle serait la conséquence du fait que c'est en réalité plus proche de 86164s?
*4/ Si une erreur s'était produite dans la direction de la vitesse mais non pas dans celle de son module, quelle serait la trajectoire ? quel serait le mouvement ? Si on doit passer à date fixe au-dessus d'un point du globe, est-ce grave (par exemple, on prendra l'excentricité e = 0.001)?
*5/ Quel serait le mouvement relatif du satellite S relativement mal lancé par rapport au satellite circulaire de référence So, dans le référentiel tournant d'origine So, où O reste fixe (le vecteur unitaire '''SoO''' / SoO : =''' i'''). On considérera seulement le cas où les deux trajectoires (&quot;absolues&quot;) sont coplanaires, de perpendiculaire '''k'''. On utilisera la linéarisation des équations (rappel : e= 0.001!).

== Satellite et sa trace au sol ==
En fait, Spot est fait pour réaliser des &quot;photographies&quot; de la Terre. Le problème pour qu'à chaque passage au dessus d'un point, il y ait les mêmes ombres (ce qui est utile pour interpréter les clichés),est que la satellite doit y parvenir à la même heure solaire. L'ensemble des points de la Terre survolés forme un réseau de &quot;traces&quot;. On s'arrange en fait pour qu'en 26 jours, le satellite survole les mêmes points après 369 tours. 
*1/ En déduire l'altitude du satellite.
*2/ Deux appareils de prise de vue réalisent en fait une &quot;fauchée&quot; de 4,13°, en visant à 1,8° et -1,8° : Quel est est l'intérêt de deux prises de vue ?
*3/ Montrer que les deux fauchées permettent un recouvrement assez optimal de la Terre et &quot;Vendre le produit&quot; : pour qui, pour quoi ?
*4/ Encore faut-il que la définition de la photographie soit convenable : combien de pixels devrait avoir la barrette numérique pour avoir une définition de 1m par pixel ?
*5/ Encore faut-il transmettre ses informations : expliquer le problème du flux de données à transmettre.

== Satellite héliosynchrone ==
*1/ La Terre n'est pas en réalité sphérique (il y a un bourrelet équatorial &lt;=&gt; aplatissement des pôles) du fait de son pivotement;
On prend comme valeur caractéristique de l'aplatissement du géoïde, la cause m = w²a/g(a), g(a) étant la gravité à l'équateur et T = 86164s. 
Calculer m
*2/ Huygens et Newton ont tous deux donnés deux valeurs de l'aplatissement p = (a-b)/a. la théorie de Huygens supposait que la masse de la Terre était concentrée au centre. Donner p = f(m).
*3/ Newton supposait la Terre, ellipsoïdale, de masse volumique uniforme : trouver p = f(m).
*4/ Dans le cadre actuel, on admet que le potentiel de gravité terrestre est - GM/r (1+ J2 /r². (3cos²(thêta) -1)/2 +...) : on prendra J2 =0.001
La trajectoire de Kepler est donc légèrement perturbée. On ne demande pas d'appliquer la méthode de Lagrange, mais simplement de décrire l'évolution du vecteur moment cinétique L sous l'effet de la perturbation.
*5/ En considérant la petitesse de J2, montrer qu'on peut dire que la trajectoire est dans un plan qui précesse régulièrement : montrer que l'inclinaison des capesiens(98.7°) correspond à l'orbite héliosynchrone.


== Conclusion ==
Ramassage des copies du problème.

Puis, vous avez libre choix de consulter le Web 15 min, pour établir un rapport (15 min) [dans la discussion de l'article Spot de la Wikipédia], sur le secteur activité de Spot. On fera ensuite une synthèse, et on nettoiera la WP.

== Solution et correction ==

== Retour ==
*[[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences|Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences]]

[[Catégorie:Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences (livre)]]</text>
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    <title>Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Mouvement dans un champ central</title>
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      <text bytes="7646" xml:space="preserve">ébauche 

La leçon {d'agreg} : mouvement dans un champ central est une aberration si c'est pour traiter du mouvement de Hooke ( cuvette V(r) = 1/2 k r²) et du mouvement keplerien ( V(r) = -k/r), car ces deux problèmes sont précisément les deux cas de Bertrand où l'intégration directe est immédiate.

Usuellement , dans la grande tradition française ( du général au particulier ), on traite V(r) puis Hooke et Kepler.

Arnold dit que l'inverse est parfois meilleur.

==Introduction : Méthode traditionnelle==

A la française, on traiterait donc de 

*1/. Conservation du moment cinétique et conséquences(mouvement plan , espace des phases R2xR2).
Il suffit donc en sus de L = Lo d'une autre intégrale première fournie par :
*2/. Conservation de l'énergie.

* '''Conclusion''' : le pb est donc intégrable ( à une quadrature près).
On consulte alors le Goldstein pour connaître tous les cas connus d'intégration effective ( via par exemple les intégrales elliptiques ou autres fonctions hypergéométriques).

Cette leçon est déjà amplement traitée ailleurs.
Moins connue est la '''transmutation de la force''' qui permet de traiter deux cas de V(r) à la fois, et qui permet la meilleure démonstration du théorème de Bertrand.

Encore moins connue est la méthode de Newton-Siacci qui met en œuvre les vrais paramètres du problème : la distance radiale r(ou 1/r)  et la vitesse v := Co/p , p = OP étant la longueur de la podaire de la trajectoire vue de O . À une rotation de 90° près, l'hodographe est en correspondance avec l'inverse (inversion de centre O) de la podaire ( vue de O) de la trajectoire. Et réciproquement.

Nous placerons en &quot;discussion&quot; des compléments &quot;culturels&quot;.

On ne lit que trop peu la seconde section du de Motu, Livre 1 , portant sur :
&lt;div style=&quot;text-align: center;&quot;&gt;'''de la recherche des forces centripètes''' &lt;/div&gt;

C'est ce regard que nous allons porter dans cette leçon : apprendre les sciences à travers les textes n'est pas inutile : cela permet d'appréhender une autre façon, certes de façon plus sophistiquée, de traiter un pb.Il se trouve que ces regards croisés sont ferment de &quot;trouvailles&quot;.

==Rappel de géométrie : les podaires ==
Le théorème de Siacci et l'accélération de Siacci contiennent l'essence de cette leçon.

Rappel : 

*&lt;math&gt; \vec{\gamma}  = -\vec{u}\cdot \frac{C^2dp}{p^3dr} + \vec{V} \frac{C\dot{C}}{C^2} &lt;/math&gt; 

donc dans le cas central :

*&lt;math&gt; \vec{\gamma}  = -\vec{u}\cdot \frac{C^2dp}{p^3dr}  &lt;/math&gt; 

La démonstration, dans ce cas dit de Newton-Siacci, est aisée, via Leibniz (!!) : 

le travail de la force est F(r).dr .

Le théorème de Leibniz sur la force_vive donne :

F(r).dr = d( 1/2 m v^2) avec v^2 = C^2/p^2 ; d'où le résultat.

==méthode de Newton ==

biblio : p33 de la marquise et la courbe &quot;funiculaire&quot; p.34.

regarder en correspondance le Chandrasekhar: p64 §20 : LA FIGURE (à adapter à la terminologie française)

L'article de Pourciau(Arch Hist Exact Sc 44(1992)125,146).

ébauche de leçon :

*I. '''Conservation du moment cinétique; vitesse aréolaire''' :

1/. Symétrie centrale : Le théorème du moment cinétique donne &lt;math&gt;\vec{L}=\vec{cste}&lt;/math&gt;

soit&lt;math&gt; r^2 \dot{\theta} = C_0&lt;/math&gt;

2/. Conséquence 1 : le mvt est dans LE plan perpendiculaire en O au moment cinétique :

l'espace des phases est réduit à &lt;math&gt; \R^2 \cdot \R^2&lt;/math&gt;. (La conservation de l'énergie donne une autre intégrale première : donc le mvt est intégrable).

3/. Le cas C = 0 ne sera pas étudié. Si petit soit-il, on peut le prendre positif.Il existe donc une barrière centrifuge en mC^2/2 r^2 qui empêche la particule de tomber sur le centre si la force n'est pas en 1/ r^n (n&gt;ou = 3): il existe donc un cercle péricentrique d'où est exclue la trajectoire dans ce cas.Exit(provisoirement) la singularité r = 0.

4/. vitesse aréolaire : 2ème loi de Kepler ! toutes ces vitesses donnent le même temps ABSOLU : le [[temps newtonien]] 

theta est fonction croissante de t : l'apside constitue donc une échelle de temps (penser cadran solaire : voir exercice de mouvement keplerien ). On pourra déterminer la trajectoire et/ou le mouvement sur la trajectoire.

5/. la trajectoire aura toujours sa concavité dirigée vers le centre.

6/. comme c'est r^2 qui intervient, l'axe péricentrique sera axe de symétrie : si entre deux positions péricentres l'angle/pi n'est pas un rationnel, la trajectoire ne pourra pas se refermer : courbe en rosette ; sinon , ce sera une rosace : Newton passe bcp de temps sur ce problème, car il doit répondre à Hooke ( la controverse dite du 2pi/3 ).

5et6/. Cela permet des tas de considérations sur les &quot;orbes concaves&quot; , dues à Clairaut, Euler, Legendre, Hamilton, Maxwell et Minkovski : en particulier sur les podaires.

*II. '''podaires''' :

Il existe des ouvrages entiers sur les podaires ; la culture en 2008 est plutôt pauvre, sauf si on a eu besoin de la concavité et de la transformée de Legendre.

LA figure à bien mémoriser est celle du Chandrasekhar, p.64.

*.L'[[accélération de Newton-Leibniz-Sciacci]] est : 

&lt;math&gt; \gamma\vec{u} = C^2 \frac{d(1/p^2)}{dr}\vec{u}&lt;/math&gt;

de démonstration évidente : F(r).dr = m.v.dv

1/. Conséquence : l'orbe donne par sa podaire p= f(r) la résolution du '''problème direct''' : connaissant l'orbe ET le centre , trouver la loi de force.

2/. Conséquence 2 : assez mal connue, et pourtant combien importante, quand on n'a que l'orbe sous les yeux : autant de centres , autant de lois de force : c'est le problème de la [[transmutation de la force]]

3/. Conséquence 3 : évidemment, si on connaît de plus le mouvement, on aura le centre de force. Newton va, là encore, consacrer beaucoup de pages à cette détermination du centre.

4/. Consulter le Pourciau pour litaner tous les cas de podaires ( quasiment plus de la moitié se trouvent dans les Principia.

5/. La LINÉARITÉ de [F = m . a] entraîne le &quot;théorème de Newton-Binet&quot; : on peut obtenir certaines orbes du problème à plusieurs centres : il &quot;suffit&quot; d'ajouter les énergies cinétiques !

* '''CONCLUSION''' :

Certes, cette leçon convient plus au problème direct qu'au problème inverse, dit de Cauchy.

Se priver de l'énergie cinétique est un manque , et la notion d'énergie radiale effective est importante ( surtout ensuite en mécanique quantique des atomes ).

Par contre, se concentrer sur le problème direct et la podaire amène à la [[transmutation de la force]], qui est certainement ce sur quoi s'est appuyé la force de conviction de Newton : Hooke avait raison, mais LUI, NEWTON, le démontrait.

Ce qu'on ne comprend pas très bien, c'est pourquoi Newton &quot;passe à côté&quot; du théorème des forces vives de Leibniz : point historique à creuser.

*EXERCICES : 

Relever dans le Mantion , etc. et les Principia, les cas évidents par la méthode de la podaire.

==Conclusion==
Porter un autre regard permet de mieux comprendre la pensée de Newton et comment cela retentit sur la rédaction des Principia. Sinon la rédaction paraît très embrouillée ; en réalité, c'est simplement que la culture a évolué et que publier d'un seul coup toute la mécanique comme nous l'enseignons au {XXI} était impossible : tout auteur est immergé dans la culture de son époque. ne pas confondre philo et onto : on af-baf-cafffouille , le cheminement historique n'est pas un long fleuve tranquille.

== Retour ==
*[[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences|Mécanique , enseignée via l'Histoire des Sciences]]

[[Catégorie:Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences (livre)]]</text>
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{{Ébauche|left=1}}

La leçon {d'agreg} : mouvement dans un champ central est une aberration si c'est pour traiter du mouvement de Hooke ( cuvette V(r) = 1/2 k r²) et du mouvement keplerien ( V(r) = -k/r), car ces deux problèmes sont précisément les deux cas de Bertrand où l'intégration directe est immédiate.

Usuellement , dans la grande tradition française ( du général au particulier ), on traite V(r) puis Hooke et Kepler.

Arnold dit que l'inverse est parfois meilleur.

==Introduction : Méthode traditionnelle==

A la française, on traiterait donc de 

*1/. Conservation du moment cinétique et conséquences(mouvement plan , espace des phases R2xR2).
Il suffit donc en sus de L = Lo d'une autre intégrale première fournie par :
*2/. Conservation de l'énergie.

* '''Conclusion''' : le pb est donc intégrable ( à une quadrature près).
On consulte alors le Goldstein pour connaître tous les cas connus d'intégration effective ( via par exemple les intégrales elliptiques ou autres fonctions hypergéométriques).

Cette leçon est déjà amplement traitée ailleurs.
Moins connue est la '''transmutation de la force''' qui permet de traiter deux cas de V(r) à la fois, et qui permet la meilleure démonstration du théorème de Bertrand.

Encore moins connue est la méthode de Newton-Siacci qui met en œuvre les vrais paramètres du problème : la distance radiale r(ou 1/r)  et la vitesse v := Co/p , p = OP étant la longueur de la podaire de la trajectoire vue de O . À une rotation de 90° près, l'hodographe est en correspondance avec l'inverse (inversion de centre O) de la podaire ( vue de O) de la trajectoire. Et réciproquement.

Nous placerons en &quot;discussion&quot; des compléments &quot;culturels&quot;.

On ne lit que trop peu la seconde section du de Motu, Livre 1 , portant sur :
&lt;div style=&quot;text-align: center;&quot;&gt;'''de la recherche des forces centripètes''' &lt;/div&gt;

C'est ce regard que nous allons porter dans cette leçon : apprendre les sciences à travers les textes n'est pas inutile : cela permet d'appréhender une autre façon, certes de façon plus sophistiquée, de traiter un pb.Il se trouve que ces regards croisés sont ferment de &quot;trouvailles&quot;.

==Rappel de géométrie : les podaires ==
Le théorème de Siacci et l'accélération de Siacci contiennent l'essence de cette leçon.

Rappel : 

*&lt;math&gt; \vec{\gamma}  = -\vec{u}\cdot \frac{C^2dp}{p^3dr} + \vec{V} \frac{C\dot{C}}{C^2} &lt;/math&gt; 

donc dans le cas central :

*&lt;math&gt; \vec{\gamma}  = -\vec{u}\cdot \frac{C^2dp}{p^3dr}  &lt;/math&gt; 

La démonstration, dans ce cas dit de Newton-Siacci, est aisée, via Leibniz (!!) : 

le travail de la force est F(r).dr .

Le théorème de Leibniz sur la force_vive donne :

F(r).dr = d( 1/2 m v^2) avec v^2 = C^2/p^2 ; d'où le résultat.

==méthode de Newton ==

biblio : p33 de la marquise et la courbe &quot;funiculaire&quot; p.34.

regarder en correspondance le Chandrasekhar: p64 §20 : LA FIGURE (à adapter à la terminologie française)

L'article de Pourciau(Arch Hist Exact Sc 44(1992)125,146).

ébauche de leçon :

*I. '''Conservation du moment cinétique; vitesse aréolaire''' :

1/. Symétrie centrale : Le théorème du moment cinétique donne &lt;math&gt;\vec{L}=\vec{cste}&lt;/math&gt;

soit&lt;math&gt; r^2 \dot{\theta} = C_0&lt;/math&gt;

2/. Conséquence 1 : le mvt est dans LE plan perpendiculaire en O au moment cinétique :

l'espace des phases est réduit à &lt;math&gt; \R^2 \cdot \R^2&lt;/math&gt;. (La conservation de l'énergie donne une autre intégrale première : donc le mvt est intégrable).

3/. Le cas C = 0 ne sera pas étudié. Si petit soit-il, on peut le prendre positif.Il existe donc une barrière centrifuge en mC^2/2 r^2 qui empêche la particule de tomber sur le centre si la force n'est pas en 1/ r^n (n&gt;ou = 3): il existe donc un cercle péricentrique d'où est exclue la trajectoire dans ce cas.Exit(provisoirement) la singularité r = 0.

4/. vitesse aréolaire : 2ème loi de Kepler ! toutes ces vitesses donnent le même temps ABSOLU : le [[temps newtonien]] 

theta est fonction croissante de t : l'apside constitue donc une échelle de temps (penser cadran solaire : voir exercice de mouvement keplerien ). On pourra déterminer la trajectoire et/ou le mouvement sur la trajectoire.

5/. la trajectoire aura toujours sa concavité dirigée vers le centre.

6/. comme c'est r^2 qui intervient, l'axe péricentrique sera axe de symétrie : si entre deux positions péricentres l'angle/pi n'est pas un rationnel, la trajectoire ne pourra pas se refermer : courbe en rosette ; sinon , ce sera une rosace : Newton passe bcp de temps sur ce problème, car il doit répondre à Hooke ( la controverse dite du 2pi/3 ).

5et6/. Cela permet des tas de considérations sur les &quot;orbes concaves&quot; , dues à Clairaut, Euler, Legendre, Hamilton, Maxwell et Minkovski : en particulier sur les podaires.

*II. '''podaires''' :

Il existe des ouvrages entiers sur les podaires ; la culture en 2008 est plutôt pauvre, sauf si on a eu besoin de la concavité et de la transformée de Legendre.

LA figure à bien mémoriser est celle du Chandrasekhar, p.64.

*.L'[[accélération de Newton-Leibniz-Sciacci]] est : 

&lt;math&gt; \gamma\vec{u} = C^2 \frac{d(1/p^2)}{dr}\vec{u}&lt;/math&gt;

de démonstration évidente : F(r).dr = m.v.dv

1/. Conséquence : l'orbe donne par sa podaire p= f(r) la résolution du '''problème direct''' : connaissant l'orbe ET le centre , trouver la loi de force.

2/. Conséquence 2 : assez mal connue, et pourtant combien importante, quand on n'a que l'orbe sous les yeux : autant de centres , autant de lois de force : c'est le problème de la [[transmutation de la force]]

3/. Conséquence 3 : évidemment, si on connaît de plus le mouvement, on aura le centre de force. Newton va, là encore, consacrer beaucoup de pages à cette détermination du centre.

4/. Consulter le Pourciau pour litaner tous les cas de podaires ( quasiment plus de la moitié se trouvent dans les Principia.

5/. La LINÉARITÉ de [F = m . a] entraîne le &quot;théorème de Newton-Binet&quot; : on peut obtenir certaines orbes du problème à plusieurs centres : il &quot;suffit&quot; d'ajouter les énergies cinétiques !

* '''CONCLUSION''' :

Certes, cette leçon convient plus au problème direct qu'au problème inverse, dit de Cauchy.

Se priver de l'énergie cinétique est un manque , et la notion d'énergie radiale effective est importante ( surtout ensuite en mécanique quantique des atomes ).

Par contre, se concentrer sur le problème direct et la podaire amène à la [[transmutation de la force]], qui est certainement ce sur quoi s'est appuyé la force de conviction de Newton : Hooke avait raison, mais LUI, NEWTON, le démontrait.

Ce qu'on ne comprend pas très bien, c'est pourquoi Newton &quot;passe à côté&quot; du théorème des forces vives de Leibniz : point historique à creuser.

*EXERCICES : 

Relever dans le Mantion , etc. et les Principia, les cas évidents par la méthode de la podaire.

==Conclusion==
Porter un autre regard permet de mieux comprendre la pensée de Newton et comment cela retentit sur la rédaction des Principia. Sinon la rédaction paraît très embrouillée ; en réalité, c'est simplement que la culture a évolué et que publier d'un seul coup toute la mécanique comme nous l'enseignons au {XXI} était impossible : tout auteur est immergé dans la culture de son époque. ne pas confondre philo et onto : on af-baf-cafffouille , le cheminement historique n'est pas un long fleuve tranquille.

== Retour ==
*[[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences|Mécanique , enseignée via l'Histoire des Sciences]]

[[Catégorie:Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences (livre)]]</text>
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    <title>Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Remarques-en-vrac</title>
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      <text bytes="3318" xml:space="preserve">&lt;noinclude&gt;{{Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences}}&lt;/noinclude&gt;

Voilà, la rédaction s'achève.

== L'époque 1634-1684 ==

En fait l'époque à laquelle on s'intéressait était : 1634-1684 , soit un demi-siècle , où la mécanique se met en place.

Les leçons après le PFD-de-1687 sont un autre aspect, &quot;la réception de la théorie de Newton&quot; :

* d'une part , on sort des cinquante ans en question , et du coup où s'arrêter ?

* d'autre part , le niveau monte très vite et le nombre d'articles à dépouiller est énorme : certains (Mr Chapront &amp; col ) ont entrepris la rédaction des œuvres complètes de d'Alembert : cet ouvrage est très riche et permet de défricher le chemin.

* Le principe de moindre action se met alors vraiment en place : Mauterpuis et surtout Euler-Lagrange . Or de très bons livres existent sur ce sujet .

* ''Last not least'' : si ce principe de moindre action doit être le sujet , alors il faudrait le pousser jusqu'à Dirac-Feynman-Connes , ce qui est la vraie mécanique de 2007 : 320 ans à parcourir, ...oui, peut-être un jour,...

== Qu'espérer de plus ? ==

*sans doute l'enrichissement dû à la lecture approfondie des Principia et des commentateurs. Il y a vraiment de fort beaux théorèmes peu connus.

* une meilleure rédaction de : l'inertie à la rotation . Il y a relativement moins d'ouvrages qui parlent de cela : sans doute parce que le produit vectoriel ne &quot;s'écrit pas encore &quot;. De Beeckman à Varignon : oui , ce serait un bon sujet ...(?)

En attendant donc de futures remarques, il suffit de peaufiner les leçons.

== Nota ==
Beaucoup de réflexions ont été recasées en Discussion. De même que certains textes (juste pour les avoir à disposition , cela peut être pratique...).

== Quoi d'original ? ==
*Honnêtement, la symétrie de Corinne a été une découverte (merci encore à Alain Chenciner, IMCCE).

*Redécouvrir la quête simultanée des unités et du f(x). '''dx''' chez Torricelli était escomptée (merci à HB et [[Dettonville]]).

*Redécouvrir que Newton &quot;n'a été que le jeune prodige&quot; et que tout avait été dit avant , est un petit jeu un peu stérile , vu l'avalanche en 2005 des polémiques sur l'avant-Einstein et Lorentz-Poincaré-Hilbert.
 
À raison de 2h par leçon , ce programme d'apprentissage de la mécanique tient en 2*15,soit 30h. Cela est déjà lourd à caser : qui voudrait de la mécanique à ce prix-là ? Mais ...

== Recueil d'exercices de mécanique élémentaire ==

On n'apprend qu'en faisant soi-même beaucoup d'exercices , puis en en fabriquant soi-même. Quand on interroge oralement dans un examen ou un concours, il est raisonnable d'avoir deux énoncés quasi-identiques, pour comparer au moins deux élèves. Restera à comparer ce couple aux autres. Pour l'avoir expérimenté maintes fois, on s'y retrouve mieux car on se remémore plus facilement le comportement '''différentiel''' des deux candidats , et donc cela compense l'imprécision du jugement du comportement absolu du seul candidat.

D'où le répertoire : 

[[Recueil d'exercices de mécanique élémentaire]]

== Retour ==
*[[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences|Mécanique , enseignée via l'Histoire des Sciences]]

[[Catégorie:Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences (livre)]]</text>
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    <title>Discussion:Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Devoir surveillé 3</title>
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      <comment>DavidL a déplacé la page [[Discussion:Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/devoir surveillé3]] vers [[Discussion:Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Devoir surveillé 3]]</comment>
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      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="389" xml:space="preserve">== Problèmes avec ce problème==
J'ai &quot;raclé&quot; un sujet dans les fonds de tiroir : Spot c'était 1986, je crois ! donc ce sujet est paléo-graphique. Mais , bon , as usual , on manque de temps . Trouvé dans le Kibble + doc du CNES (bien faite : leur service communication fonctionne bien ).

wikialement sylvie --[[Utilisateur:Guerinsylvie|Guerinsylvie]] 7 septembre 2006 à 13:31 (CEST)</text>
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    <title>Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Le problème de Schwarzschild</title>
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      <comment>DavidL a déplacé la page [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/le problème de Schwarzschild]] vers [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Le problème de Schwarzschild]]</comment>
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      <text bytes="2660" xml:space="preserve">Personnellement, aucun intérêt. 

mais camouflet : oui , mais vous ne savez pas traiter le 43&quot;/siècle de l'avance du périhélie! 
Certes! Voici la solution :

== Notations ==
soit E un évènement (x, y, z, t) de R^4 , muni d'une métrique riemannienne , de sorte que à une géodésique corresponde un mouvement d'une particule-test dans le champ central d'une masse M .
La correction à apporter à la métrique de la relativité restreinte [ ds² = c² dt² - dx²- dy²-dz²] est :
ds² = [c²-2 GM/r]dt² - dr²(correction) +r² dtheta²], avec correction := 1/(1-2GM/c²r).

(on a supposé pour simplifier la trajectoire plane , et pris les coordonnées polaires).

Dans ces conditions, le problème s'écrit dans les variables de Clairaut-Binet : 

[du/d(theta)]² + u² - (2GM/K) u = E -correction , avec correction : = 2GM/c² .u^3

== Résolution ==

A part la correction, on reconnaît le problème usuel , et la résolution conduit donc à l'ellipse de Kepler usuelle.

La correction introduit donc un polynôme du 3ème degré ; donc la solution s'exprime à l'aide des fonctions elliptiques de Jacobi.

ce qui conduit à la solution de Schwarzschild.

== Cas de Mercure ==
Dans ce cas , périhélie et aphélie sont de distances voisines , soit u = A et u = P .

Donc l'équation s'écrit : 

[du/d(theta)]² = 2GM/c²(u-A)(P-u)(C-u) avec 1/(2GM/c²) = A+P + C , donc C très grand (le rayon de Schwarzschild du Soleil 2GM/c² = Ro étant très petit).

On est donc ramené au problème usuel d'une &quot;équation dite de Newton&quot; (cf leçon sur diagramme des espaces).

De l'aphélie au périhélie, la trajectoire tourne autour de O d'un angle qui n'est pas Pi , mais très légèrement différent : 

&lt;math&gt;\Delta \theta = \int_A^P du \cdot {1 \over \sqrt(u-A)(P-u)[1- (A+P+u)R_0]}&lt;/math&gt; 

Dans le crochet, remplaçons approximativement u par (A+P)/2 ; et il vient la correction : 

theta : = Pi /sqrt[1- 3/2(A+P)Ro] soit une AVANCE du périhélie qui est la formule usuelle donnée en pâture aux braves gens :

'''6Pi . (v²/c²)/(1-e²)'''

elle donne bien 43&quot;/siècle dans le cas de Mercure (a = 0.38709 UA; e= 0.20562). Et on peut même faire le calcul pour la Terre (prendre v = 30km/s et e = 0.01674) et se trouver fort savant.

== Conclusion ==
Einstein a bricolé qq ch dans ce goût. Bien sûr, ce sont ces mêmes équations qui interviennent dans la théorie des trous noirs. Mais on n'apprend pas la relativité générale comme cela!

== Retour ==
*[[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences|Mécanique , enseignée via l'Histoire des Sciences]]

[[Catégorie:Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences (livre)]]</text>
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      <text bytes="2738" xml:space="preserve">&lt;noinclude&gt;{{Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences}}&lt;/noinclude&gt;

Personnellement, aucun intérêt.

mais camouflet : oui , mais vous ne savez pas traiter le 43&quot;/siècle de l'avance du périhélie! 
Certes! Voici la solution :

== Notations ==
soit E un évènement (x, y, z, t) de R^4 , muni d'une métrique riemannienne , de sorte que à une géodésique corresponde un mouvement d'une particule-test dans le champ central d'une masse M .
La correction à apporter à la métrique de la relativité restreinte [ ds² = c² dt² - dx²- dy²-dz²] est :
ds² = [c²-2 GM/r]dt² - dr²(correction) +r² dtheta²], avec correction := 1/(1-2GM/c²r).

(on a supposé pour simplifier la trajectoire plane , et pris les coordonnées polaires).

Dans ces conditions, le problème s'écrit dans les variables de Clairaut-Binet : 

[du/d(theta)]² + u² - (2GM/K) u = E -correction , avec correction : = 2GM/c² .u^3

== Résolution ==

A part la correction, on reconnaît le problème usuel , et la résolution conduit donc à l'ellipse de Kepler usuelle.

La correction introduit donc un polynôme du 3ème degré ; donc la solution s'exprime à l'aide des fonctions elliptiques de Jacobi.

ce qui conduit à la solution de Schwarzschild.

== Cas de Mercure ==
Dans ce cas , périhélie et aphélie sont de distances voisines , soit u = A et u = P .

Donc l'équation s'écrit : 

[du/d(theta)]² = 2GM/c²(u-A)(P-u)(C-u) avec 1/(2GM/c²) = A+P + C , donc C très grand (le rayon de Schwarzschild du Soleil 2GM/c² = Ro étant très petit).

On est donc ramené au problème usuel d'une &quot;équation dite de Newton&quot; (cf leçon sur diagramme des espaces).

De l'aphélie au périhélie, la trajectoire tourne autour de O d'un angle qui n'est pas Pi , mais très légèrement différent : 

&lt;math&gt;\Delta \theta = \int_A^P du \cdot {1 \over \sqrt(u-A)(P-u)[1- (A+P+u)R_0]}&lt;/math&gt; 

Dans le crochet, remplaçons approximativement u par (A+P)/2 ; et il vient la correction : 

theta : = Pi /sqrt[1- 3/2(A+P)Ro] soit une AVANCE du périhélie qui est la formule usuelle donnée en pâture aux braves gens :

'''6Pi . (v²/c²)/(1-e²)'''

elle donne bien 43&quot;/siècle dans le cas de Mercure (a = 0.38709 UA; e= 0.20562). Et on peut même faire le calcul pour la Terre (prendre v = 30km/s et e = 0.01674) et se trouver fort savant.

== Conclusion ==
Einstein a bricolé qq ch dans ce goût. Bien sûr, ce sont ces mêmes équations qui interviennent dans la théorie des trous noirs. Mais on n'apprend pas la relativité générale comme cela!

== Retour ==
*[[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences|Mécanique , enseignée via l'Histoire des Sciences]]

[[Catégorie:Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences (livre)]]</text>
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    <title>Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Quelques exercices d'astronomie</title>
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      <text bytes="40707" xml:space="preserve">Ébauche en cours 

Ici , quelques exercices d'astronomie , niveau licence. Certains exigent déjà des modifications !


Ils sont tous basés sur la connaissance minimale de l'analyse dimensionnelle [ cf OdGL (Ordres de Grandeur Littéraux) et SUN (Système d'unités naturel) et autre [[dahu]]s de la WP ].
L'article séminal est celui de Weisskopf dans Am.J.Phys. : why the sun shines ? 

La notion fondamentale à retenir est :

ce qui ramène tout à une échelle raisonnable est la &quot;constante d'Avogadro stellaire&quot;:


{{exemple||Nombre d'Avogadro stellaire|&lt;math&gt; N_0 = [\frac{\hbar c}{Gm^2}]^{3/2} = 2 \cdot 10^{57} &lt;/math&gt;}} 


*C'est ce nombre gigantesque qui est sensiblement l'OdG de protons dans une étoile qui fait apparemment rendre toutes les valeurs astronomiques. En fait les grandeurs ramenées à un proton se trouvent dans des OdG Littéraux raisonnables et ne sont plus astronomiques mais bien de l'OdG de la physique nucléaire ; prendre pour &quot;preuve&quot; ce seul exemple : une section caractéristique de la physique nucléaire est 1fm.1fm = 10^-30 m² et le rayon du Soleil au carré R² = (700 000 km)² = 5 10^17 m² : le rapport est donc gigantesque 5 10^47 [ Évidemment, il FAUT justifier le rayon du Soleil, et celui du proton , et pourquoi prendre R²:ro² plutôt que la puissance énième ]

C'est bien là l'utilité principale des '''dahus''' ('''dimensionnal analysis of HEURISTIC unit systems'''): éviter au maximum l'attitude copernicienne de tout ramener à l'Homme (par exemple le nombre d'Avogadro ordinaire n'est ni grand , ni petit : c'est la taille de ce qui tient dans la main , exprimé en atomes) ou à NOTRE Soleil (étoile TRÈS ordinaire), ou Notre Galaxie, etc. , mais bien au contraire essayer de tout expliquer (&quot;au maximum&quot;), via les constantes fondamentales, caractéristiques du processus.

== quelques constantes fondamentales et leurs combinaisons utiles ==
cette rubrique est là juste pour apprendre à calculer en OdG numérique, et s'étoffera au fur et à mesure de l'enrichissement de cet article.

'''On peut donc la passer en première lecture.'''

=== Exercice Anthropos : ===
calculer &lt;math&gt; \hbar c , e^2 ,  \alpha = 1/137 ,Gm^2 , N_0 ,N_p N_0\cdot \alpha^{3/2}, sqrt(N_p), N_H &lt;/math&gt; , avec N_H = nombre de nucléons dans 70kg et comparer à sqrt(N_p).

=== Exercice Luminosité d'Eddington : ===
Calculer une luminosité &lt;math&gt;L_o = N_o \cdot F_0 c&lt;/math&gt; avec Fo la force gravitationnelle entre deux protons distants de ro = d.u[e²,m, c].(Cette luminosité a à voir avec un calcul de luminosité d'Eddington)

=== Exercice section de Thomson : ===
la section efficace de Thomson est &lt;math&gt;s = \frac{8\pi}{3}r_o^2&lt;/math&gt; . Montrer que le temps mis par un photon pour sortir d'un disque de rayon R contenant N électrons et N protons est indépendant de R. ! 

Souvent en astrophysique , on préfère utiliser l'opacité (s/m) en m²/kg.

En fait celle de Thomson ne joue que pour les étoiles très lumineuses, et en fait , c'est plus une opacité de Rosseland-Gaunt-Kramers (p 274Carroll) qu'il convient d'utiliser dans la majorité des cas. On en verra plus tard la répercussion.

=== Exercice  pic de Gamow(1928): ===
un paramètre fondamental de la théorie stellaire est la température d'un réacteur de fusion :
nous verrons que la théorie de Gamow conduit à l'optimiser (pour la fusion de l'hydrogène) à : 
kT tel que : f(E) = sqrt(Eo/E) + E/ kT minimum.
Montrer que le théorème de Didon conduit immédiatement à une énergie optimale : [ Eo^2.kT/2]^(2/3). Cela conduit ensuite à des calculs de physique nucléaire à environ kT* = 10keV qui sera prise comme référence par la suite [ en fait ces calculs font intervenir à la fois l'interaction faible et l'interaction forte, et il faudrait donc introduire leurs paramètres ici] 
  
=== Exercice Four isentropique  : ===
montrer que si un four a pour taille R telle que kT.R = cste = &lt;math&gt;\hbar c \cdot N&lt;/math&gt;, le nombre de photons qu'il contient est indépendant de sa température.

*Solution : N^3/No^2

=== Exercice Pression : ===
Évaluer la pression P* = d.u[kT*, hbar,c]; puis évaluer la pression d.u.[G, M , R ] ; prendre ensuite M = mNo. N/No , puis R = Ro M/Mo ; comment varie cette pression centrale avec N ?

*Solution : on trouve P = P* (No/N)^2 , avec 
P* = kT*^4/hbar^3c^3 = d.u [corps noir]. Il peut sembler étonnant que les étoiles les plus grosses aient une pression au centre plus petite , mais on réfléchira au fait que la densité baisse avec les grosses étoiles (R ~ M !). On peut aussi appliquer brutalement 
PV = 2N.kT* avec V = Vo (N/No)^3.

A.N. : environ 1 Gbar. Ce qui est très curieux est que la masse volumique reste dans des zones proches de la matière ordinaire : typiquement pour le soleil 2kg/L , et certes 160 kg/L au centre.


=== Exercice chimie : ===
cet exercice est du niveau seconde :

Si l'Hydrogène est ionisé , trouver la masse molaire.

Si on désigne par X la proportion d'hydrogène et Y celle d'hélium , trouver la masse molaire.

S on désigne par Z la métallicité (proportion des atomes tels que A = 2Z) , trouver la masse molaire.

*Solution :

== Échelle des masses stellaires ==

La masse du Soleil  est M = 2 10^30 kg 
Calculer le rapport M/m où m est la masse d'un proton. Comparer à No

* Les étoiles ont typiquement une masse M de 0.1 à 50 No.m , ce qui représente à peine 3 OdG.
* Les quantités qui varieront comme M^k varieront donc de (3.k) OdG.

par exemple dans le diagramme de Hertzprung-Russell (Luminosité = f(T de surface) ), la Tde surface varie comme k=1/4 et la Luminosité comme k=3; donc L =~ T^12.

== Échelles de temps ==

=== Exercice Petit Prince ===

Le petit Prince est en survol basse altitude de son petit astéroïde ( de rayon R , de masse volumique &lt;math&gt;\rho&lt;/math&gt;.
Montrer que le temps de révolution est indépendant de R , donc c'est le même que sur Terre , si &lt;math&gt;\rho&lt;/math&gt; est le même.

'''Solution''' : 

&lt;math&gt; -m \omega^2 a = - GMm/a^2&lt;/math&gt;, par la deuxième loi de Kepler. Appliquée à a = R , cette loi donne : &lt;math&gt;T = 2\pi \sqrt(R/g)&lt;/math&gt; avec g = GM/R² donc 


{{exemple|Résultat|Temps petit Prince|&lt;math&gt; T_{petit Prince} = \sqrt{ {3\pi \over G \rho}}  &lt;/math&gt;}}

=== Exercice temps free fall ===

Par rapport à l'exercice précédent, montrer que le temps d'effondrement , dit de chute libre, d'une boule de gaz de rayon R, de masse volumique &lt;math&gt;\rho&lt;/math&gt;, est 1/sqrt(32) du temps précédent.

'''Solution''' : 

Utiliser le Théorème-remarquable-de-Newton (repris par Gauss) : mr&quot; = GM(ro)/r² , avec r = ro et v= 0 comme C.I. (conditions initiales) , pour tour ro &lt; R . 


Via la deuxième loi de Kepler c'est donc un mouvement identique pour toutes les couches (mvt isochrone, auto-similaire), dont la période 2 &lt;math&gt;T_{free-fall}&lt;/math&gt; est celle d'une ellipse de demi-grand axe a= R/2 donc période 1/sqrt(8) &lt;math&gt;T_{petit Prince}&lt;/math&gt; ; soit :

{{exemple|Résultat|Temps free fall|&lt;math&gt; 2 T_{free-fall} = {1 \over \sqrt 8} \cdot T_{petit Prince} &lt;/math&gt;}} 

&lt;math&gt;2 \cdot T_{free-fall} = {1 \over \sqrt 8} \cdot T_{petit Prince}&lt;/math&gt;

=== Exercice échelle de temps : Kelvin-Helmholtz ===

On prend une étoile standard , le Soleil, de rayon R = 700 000 km , de masse M = 2e30kg ,de température de surface Te = 5800K; à supposer &lt;math&gt;\rho&lt;/math&gt; = cste , quel temps a mis l'étoile à acquérir toute son énergie gravitationnelle (depuis la dispersion où R était très grand) en dissipant sa Luminosité actuelle. Ce temps est appelé &lt;math&gt;t_{K-H}&lt;/math&gt;.

'''Solution''' : 

L'énergie gravitationnelle est Eg = -GM²/R (3/5) , donc si R diminue, l'étoile libère de l'énergie , émise par luminosité de corps noir : &lt;math&gt;L = 4\pi R^2 \cdot \sigma T_e^4&lt;/math&gt;

d'où le résultat :


{{exemple||Temps Kelvin-Helmholtz|&lt;math&gt; T_{K-H} = \frac{E_g}{L} &lt;/math&gt;}}

*AN : Eg = (3/5).(2/3 e-10)(2e30)²/(7e8) = calculette = 8/35 e42 J et L = 4e26 W : t(K-H) = 2/35 e16 s

l'habitude est de travailler en année (yr) = 3.e7 s soit t(K-H) = 2e7 yr [soit 20 M yr (dixit K-H vers ~1854)]

*Or le père de la Géologie , Lyell disait (~1840) que les terrains sédimentaires avaient plus de 500 Myr =&gt; contradiction à lever : 

cela fût fait progressivement :via E= mc² (1905), Aston (défaut de masse:1919), réacteur nucléaire d'Eddington(1920), effet tunnel de Gamow (1928), cycle nucléaire de Bethe (1938) : donc un certain temps avant de lever cette contradiction. Actuellement , on ne comprend pas encore tout, mais l'essentiel, oui (théorème d'unicité de Russell-Vogt, 1928).

=== Exercice échelle de temps: t nucléaire ===

On sait aujourd'hui que la puissance du Soleil vient de la fusion nucléaire (disons pour simplifier : 4p -&gt; He + 2 positons + 2 neutrinos) .
Trouver la durée de vie du Soleil , puis d'une étoile plus massive. 

Solution :

t nucléaire = E(disponible)/Luminosité = k. (M/m)/ L = 3.2 e17 s =~ 10 Gyr (on a appelé k l' apport d'énergie de fusion par proton,soit 0.007.mc² ; et M/m ~ 1e57 est l'OdG du nb de protons dans le soleil ; la luminosité du soleil est 4. 10^(36) W).

Or L = Lo (M/Mo)^3 et E(disponible) = Eo .(M/Mo) donc 


{{exemple|Résultat|durée de vie|&lt;math&gt; t_{vie} = t_o \cdot \frac{M_0^2}{M^2}  &lt;/math&gt;}}


* Conséquence : une étoile de 10 Mo vivra 1/100 de 10 Gyr soit 100 Myr : évidemment très peu ! Les étoiles de première génération doivent être peu nombreuses. D'où la nécessité de considérer le problème de la &quot;métallicité &quot; (étoiles de &quot;seconde génération&quot;) avec attention.

* Remarque : on a pris le coefficient 0.007 correspondant à 4H -&gt; He ; si on avait pris 
56H -&gt; Fe, on devrait prendre 0.008 , ce qui n'est guère différent : on se doute qu'après avoir brûlé son hydrogène en hélium, tout se déroulera plus vite : stades stables de combustion entrecoupés d'effondrement-sursauts de Kelvin-Helmholtz.

=== Exercice échelle de temps: t de sortie d'un photon (Thomson) ===

On suppose que le Soleil est une boule de gaz ionisé où les photons sont sans arrêt absorbés puis réémis par les électrons avec une section efficace de Thomson (&lt;math&gt;\sigma = (8/3) \pi r_o^2 &lt;/math&gt;avec e²/mc² = ro et e² = q²/&lt;math&gt;4\pi \epsilon_o&lt;/math&gt;).

Ils subissent donc une marche au hasard : quel est le temps de sortie ?

Solution : 

la loi de la diffusion est t /&lt;math&gt;\tau&lt;/math&gt; = (R/l)² avec l = c&lt;math&gt;\tau &lt;/math&gt; = 1/ sqrt(2) n&lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt; 

D'où t = ~ R/c .R/l = R/c . R.n&lt;math&gt;\sigma \sqrt{2}&lt;/math&gt; = R/c. (ro/R)². N .[(8Pi/3)/(4Pi/3)]sqrt(2) 

A.N : =10 000 yr (et ~ 1/R , ce qui est pseudo-paradoxal: réfléchir à ce pseudo paradoxe en 2D par exemple)


{{exemple|Résultat|durée de sortie photon|&lt;math&gt;  t_{sortie} = t_0 (Ro/R) = ~ t_0.(M_0/M) &lt;/math&gt;}}

[ si l'on admet qu' en gros R ~ M et non en M^(1/3)]

* Si l'on ne veut retenir que des nombres universels , alors &lt;math&gt; (t_0 R_0) = {r_0 \over c} \cdot N_0r_0&lt;/math&gt;.

Le problème est que dans la réalité, l'opacité (liée à la section efficace !) n'est pas donnée par la formule de Thomson, mais par la formule de Kramers , plus compliquée.

* Élément de réponse au pseudo-paradoxe : dans une forêt 2D , le temps serait proportionnel à la taille au carré , R² et à la densité des arbres : N/ pi R² : donc en 2D , le temps de sortie est un invariant d'échelle.

=== Échelle de temps de Kramers ===
C'est plus proche de la réalité : la section de diffusion de Thomson ne convient qu'aux très hautes énergie et densité . Si l'on trace un diagramme la section efficace fonction de kT et pour différentes valeurs de densité, on trouve que pour la Séquence Principale , les deux processus les plus influents sont le brems-strahlung (inverse) et dans les régions externes la photoionisation. La section efficace est nettement plus grande. L'opacité aussi , donc la luminosité sera réduite. Donc la durée de vie augmentée.

== Échelle de longueur ; l'uniformité, possible ? ==

Le Soleil a pour rayon R = 700 000 km ; ce qui est très petit par rapport à la taille du Système Solaire = ~ distance de Oort , et à la distance entre étoiles (~ qq A.L.). Ne pas oublier néanmoins que beaucoup d'étoiles binaires existent , et même des binaires serrées !

*Il semble raisonnable d'effectuer une théorie négligeant la rotation du Soleil (si on n'étudie pas l'effet dynamo et le champ magnétique). Par suite, on suppose tout à symétrie sphérique et un seul paramètre comptera : la profondeur :
On compte 0&lt; r &lt; R , à partir du centre.

*Peut-on négliger les variations avec la profondeur (càd faire une théorie sans profondeur : tout est uniforme !) ? 

Il est évident que si l'on pense que le système est en équilibre hydrostatique dans un champ de pesanteur, le dahus donne P(0) = (GM²/R) /R^3 = GM²/R^4 donc en gros 10 000 fois celle au centre de la Terre, et bien sur P(R) ~ 0 (ne veut rien dire ! mettons qq bars!). DONC , ne pas considérer la profondeur est illusoire. Il faudra écrire les équations radiales.

De même, pour la température , on sait qu'au centre du Soleil se produisent des réactions de fusion nucléaire, et on établira qu'elles se situent aux environ de 10 keV ; alors que la température de surface nous est connue (le soleil est jaune : T(R) = 5600 K = ~1/2 eV : il faudra aussi reconstruire T(r).

Pour ce qui est de la densité et donc de la distance a(r) entre protons, les effets se compensent et les variations ne sont pas aussi extrêmes :au centre une densité de 100 , à l'extérieur une densité de 0.01 : à la limite considérer densité constante ne serait pas trop ridicule.

Afin de mieux se rendre compte de cette notion de profondeur on regardera attentivement la figure de coupe suivante : fig p 42.

La luminosité est 1 pour M(r) = 0.6 , r = 0.3 , T = 1keV-10 keV , rho = 10 (tonne/m^3) et P = 10^15 Pa .

Si il fallait faire une théorie &quot;sans profondeur&quot;, ce serait en gros les paramètres à prendre. Il conviendra donc de prendre en compte ce qu'on appelle des &quot;facteurs de forme&quot;.

Nous allons donner un exemple simple de gravimétrie terrestre juste pour tester ce que cela veut dire : 

=== la discontinuité de Bullard ===

L'intérieur de la Terre est &quot;assez bien&quot; connu grâce à la sismologie. Pour mettre en évidence ce qu'est un facteur de forme on va juste tester deux modèles : 
modèle à une couche : densité constante = 5.5 
et modèle simple : g(r) linéaire jusqu'à R/2 , puis constant = go de R/2 à R . 

Trouver la pression au centre ? 

* Solution : 

*Dans le premier cas , g(r) = gor/R via le théorème de Newton-Gauss . Et P(0) = 1/2 rho.go.R : on a bien GM²/R^4 . coef num.

* dans le deuxième cas, puisque g est linéaire, rho est constant et P(0)-P(R/2) = 1/2 rho(0).go.R/2.

Ensuite comme g(r) = cste = go ; rho varie en 1/r  comme rho(R).R/r , et on en déduit :

P(R/2) -P(R) == P(R/2) = rho(R).R.go. Ln2 .

D'autre part la masse totale M = M(R/2) + 4pi/3 . rho(R).R^3. 9/8 .

En combinant ces deux équations, on voit apparaître la discontinuité noyau-manteau et malgré tout :

P(0) = GM²/R^4 .coef.num2 .

On voit donc que dans ce cas , les modèles &quot;uniformes&quot; (à une zone) donnent bien des choses &quot;raisonnables&quot;.

=== le modèle archi-simpliste ===
&quot;A la louche&quot; , en déclarant que l'énergie nucléaire dégagée varie très vite avec T, comme T^n , avec n très élevé , voici ce que le raisonnement d'analyse dimensionnelle &quot;dahus&quot; donnerait : 


* Réacteur nucléaire de fusion  : kT(0) = quasi-constante = 10 keV =kT*;

*Hydrostatique : P = Gm²/R^4. N² (1)

* équation d'état : P V = 2N. kT soit P.R^3 ~ N. kT(0) (2)

Les équations (1) et (2) donnent : 

l'équation très importante, qui va &quot;conditionner&quot; la physique du problème.

{{exemple||Relation du viriel |&lt;math&gt; kT(0)\cdot a = \hbar c \cdot (\frac{N}{N_o})^{2/3}   &lt;/math&gt;}}

où l'on a pris R^3 = a^3 . N
 
  *[d'où la pression en 1/N²].

*Luminosité : 

{{exemple||Luminosité |&lt;math&gt; L = L_o \cdot (\frac{N}{N_o})^3   &lt;/math&gt;}}


(voir plus loin : Lo = Gm²/ro².c. No est 3OdG trop grande à cause de Kramers versus Thomson, mais quand même, elle a le mérite de se trouver vers les 10^30 W)

*Puis la Température de surface Teff telle que : L = 4pi.R².(U(photons)/V) .4/c  avec U/V = a T^4 (cf corps noir) ; donc  


{{exemple||T de surface |&lt;math&gt; T_{eff} = T_o \cdot (\frac{N}{N_o})^{1/4}   &lt;/math&gt;}}


'''L'ESSENTIEL du diagramme Hertzprung-Russell est trouvé :'''

*La température de surface des étoiles ne varie que faiblement d'à peine 1 OdG de 40 000K à 4 000 K (oh be a fine girl , kiss me).
*La luminosité de 9 OdG de 10^23 W à 10^31 W

mais on n'attachera pas plus de valeur qu'il ne faut à ce modèle dit &quot;ordre zéro&quot; , car on l'a vu les facteurs de forme sont importants : il importe d'étudier l'étoile dans sa profondeur.

== SUN du corps noir ==

Ce système d'unités naturelles est fondamental ; il est basé sur le dahus d.u.[kT , c et &lt;math&gt;\hbar&lt;/math&gt;] , on en déduit beaucoup de choses.

On demande donc de rétablir d'adord ce dahus : 

distance moyenne entre photons d : kT = &lt;math&gt;\hbar&lt;/math&gt;c/d , donc n ~ 1/d³

temps caractéristique = d/c

masse caractéristique : kT/c² (ce qui est bizarre pour des corps de masse nulle ! Évidemment, il faut plutôt penser impulsion !)

On en déduit : 

{{exemple|Résultat exact|Énergie U corps noir |&lt;math&gt; U = V.(\frac{\pi^2}{15}) kT. (kT/\hbar c)^3 = 3 \cdot PV = (4/3)\cdot TS   &lt;/math&gt;}}


car l'entropie S est telle que G := U +PV - TS = 0 car potentiel chimique nul : 

Il en résulte donc S/k = n.V = Nb de photons.

L'exemple classique est celui de l'extension adiabatique d'un corps noir : Nb de photons reste constant soit 
V.(kT)³ = cste.

Or dans une étoile, le théorème du viriel conduit à kT. R = cste : on en déduit que le nombre de photons dans une étoile est un nombre universel : cela est évidemment trop simpliste , mais donne l'OdG.

=== Nb de Photons constant ! ===

Montrer que si kT.a = cste  = &lt;math&gt; \hbar c \cdot (\frac{N}{N_o})^{2/3}&lt;/math&gt;, alors le nb de photons dans l'étoile est constant: 

  
 {{exemple||Nb de Photons|&lt;math&gt; N_{photons} = N^3/ N_o^2 &lt;/math&gt;}}

Pour les &lt;math&gt;\zeta(s)&lt;/math&gt;, voir le Landau par exemple.

== Effet tunnel de Gamow-Corinne-Wick ==

En utilisant la symétrie de Corinne (cf la WP), et donc l'astuce de Wick , alors le facteur de transmission d'une barrière est : 

{{exemple||loi de Gamow-Corinne-Wick|&lt;math&gt;  T_{GCW} = tt* = e^{ -2 \pi \cdot n(E)} &lt;/math&gt;}}

avec n(E) = nombre de niveaux d’énergie contenus dans la cuvette de Corinne obtenue par renversement de la barrière (cf la WP et la symétrie de Corinne).

'''Exemple usuel : Barrière haute de Vo et large de a''' . Calculer T 

Solution : Un puits de profondeur Vo large de a a ses niveaux tels que &lt;math&gt;E_n = \hbar^2 \pi^2 / 2ma^2 \cdot n^2&lt;/math&gt; donc T = exp - 2Pi sqrt(E/E1) indépendant de Vo si Vo très grand devant E.

*'''Émission de champ de Fowler''' : un métal dans un champ électrique externe E est photo-émissif: calculer T 

Solution : 

Appelons le potentiel de sortie Vs : la barrière est donc Vs - q.E.x , avec des électrons au niveau de Fermi; le puits de Corinne est donc un puits de &quot;chute libre , type Torricelli&quot; ; on calcule les niveaux d'énergie as usual : &lt;math&gt;E_n = n^(2/3).E_1&lt;/math&gt; d'où T = exp -2Pi (E/E1)^3/2 , dite formule de Fowler.


=== Pic de Gamow de fusion nucléaire ===

Deux protons doivent se retrouver très proches (typiquement 1fm) pour fusionner alors que la barrière coulombienne les sépare : calculer T nécessaire. Montrer qu'à 10 keV , il manque un facteur 100 , ce qui est rédhibitoire , sauf à inventer l'effet tunnel (Gamow 1928). En déduire la température de Gamow de fusion.

La barrière devient l'usuel puits coulombien d'énergie &lt;math&gt;E_n = -E_1 \cdot (1836/2) Z_1Z_2 \cdot A_{reduit} \cdot {1 \over n^2} = -E_1 {1 \over n^2}&lt;/math&gt; ; 

#d'où T(E) = exp -2Pi sqrt(E1/E).

#Ce facteur est d'autant plus grand que l'énergie E est élevée , mais alors le facteur de Boltzmann f(E) intervient comme exp- E/kT : 

Au final , montrer que la rapidité de réaction nucléaire varie comme exp - (27Pi E1/kT)^1/3 et calculer cette valeur pour une température de 10k.eV. Montrer que la variation avec la température est assez rapide avec un '''indice''' n = 1/3 (27Pi E1/kT)^(2/3). En déduire que brûler de l'oxygène a un indice très supérieur à celui de l'hydrogène. [Dans la théorie &quot;d'ordre zéro&quot; , on a pris cet indice n très grand, ce qui donne la théorie &quot;asymptotique&quot;, fausse évidemment, mais qui a le mérite de donner le dahus d'une étoile]. 


'''Solution''' :

#il faut trouver le minimum de +2Pi sqrt(E1/E) + E/kT soit sqrt(E*/E) + E/kT donc la dérivée en E nulle : ce calcul donne E =  = (E1(pi.kT)²)^(1/3) et f(E)T(E) = exp - (27Pi E1 /kT)^(1/3) dont l'indice est donc n = 1/3 (27Pi E1/kT)^2/3.
admettons que la température d'ignition de fusion de O-O soit 2 fois celle de H-H alors on aura 

n(O) = n(H).(1/2)^2/3 . Z1^(4/3) A^(2/3) soit environ 64. n(H) : ce calcul n'est qu'une tendance : plus les éléments sont lourds et plus la puissance du réacteur varie fortement avec la température et plus les calculs  se rapprocherons de ceux que l'on a établi pour n asymptotiquement infini.

==== Exercice : étroitesse du pic ====
poursuivre le développement pour trouver la largeur du pic de Gamow et montrer son étroitesse.

== L'étoile standard ==

On veut donner ici les OdGL de l'étoile standard de la séquence principale du diagramme de H-R.

=== Nb d'Avogadro stellaire ===
Une telle étoile sera considérée comme une boule homogène d'hydrogène ionisé qui ne s'effondre pas grâce à la fusion nucléaire 4H -&gt; He + 2 positons +2 neutrinos. 
Ce modèle n'est évidemment pas très réaliste car on néglige les gradients (en particulier celui de la température qui décroît en fait de 10 MK à 6000K à la surface).

On prendra le nombre de protons (donc d’électrons) contenus dans cette étoile égal à 


{{exemple|Enoncé-simplifié|Nb d'Avogadro stellaire|&lt;math&gt; N_0 = {(\frac{\hbar c }{G m^2}})^{3/2} &lt;/math&gt;}}

&lt;math&gt; N_0 = {(\frac{\hbar c }{G m^2}})^{3/2}&lt;/math&gt;.
Calculer ce nombre , sans doute astronomique , mais bien naturel en astronomie. 
*En fait l'échelle des masses est très réduite sur 3 OdG de 0.1 No à 100 No , comme on le verra.

Solution : N_0 = {(\frac{\hbar c }{G m^2}})^{3/2}= 2.2 10^57

'''Une fois ceci admis , les valeurs dites astronomiques seront assez banales.'''

== Viriel ==
Écrire l'énergie thermique des particules &lt;math&gt;E_{th}&lt;/math&gt;, puis l'énergie gravitationnelle par proton &lt;math&gt;E_G &lt;/math&gt; en fonction de la distance p-p, appelée a , puis la relation fondamentale entre kT et a , en utilisant la relation du viriel.

Solution : 

l'énergie thermique est (N+N) .(3/2).kT ; 

l'énergie gravitationnelle &lt;math&gt;E_G&lt;/math&gt; = -3/5 Gm²N/R avec V = Na³ = 4Pi/3.R³


E = - E(thermique) = 1/2 &lt;math&gt;E_G&lt;/math&gt; d'où -3kT = - Gm²/a N^(2/3)f(A.N.)


on en tire : {{exemple|Enoncé-simplifié|relation kT-distance|&lt;math&gt; E = -kT = - \frac{\hbar c}{a} N^{2/3} &lt;/math&gt;}}

*Donc quand l'étoile perd de l'énergie, sa température '''augmente''' (on dit capacité calorifique = -3k) et son rayon diminue.
*et nous le répétons algébriquement, tant cela peut surprendre : quand l'étoile gagne en énergie , sa température diminue et son rayon augmente.

== temps de sortie d'un photon ==

calcul déjà vu plus haut : 


 {{exemple|Résultat-simplifié|t de sortie|&lt;math&gt; t_s = R/c \cdot {\sigma \over R^2 }\cdot N = N \cdot \sigma/Rc &lt;/math&gt;}} , 

typiquement 10 000 ans alors qu'un neutrino met 2 secondes. Le calcul précédent n'est donc pas exact, puisqu'il donne une valeur beaucoup trop courte : cela est dû à la section efficace beaucoup trop petite , nous l'avons signalé, d'un facteur 1000 (passer de Thomson à Kramers): nous appellerons cette erreur d'appréciation [Kr/Th].

== Luminosité universelle ==

Voici maintenant LE résultat capital de cette théorie simpliste :
* le nombre de photons dans l'étoile standard est &quot;universel&quot; 
* son temps de sortie t est calculé plus haut varie comme 1/R
* son énergie émise est environ kT et varie comme 1/R
*Alors la luminosité kT/t par photon ne dépend plus de R (donc de T) et la luminosité totale devient un nb universel!


 {{exemple|Résultat-simplifié|Luminosité universelle|&lt;math&gt; L = L_o . (\frac{N}{N_o})^3  &lt;/math&gt;}}

avec Lo = Gm²/ro². c . No = 1.6 10^31 Watts : elle ne dépend ni de T , ni de R.

Remarquer la facilité du dahus : force entre deux protons à distance ro  . c = Puissance 

*ce qui rend ce modèle un peu trop simpliste est , nous l'avons vu , que l'opacité n'est pas de Thomson.

Néanmoins, cela donne une première approximation , facile à retenir, trop grande d'un facteur Kr/Th =1/1000. On retrouve l'OdG L = 10^27 W.

== Température de Couleur ==
Oh Be A Fine Girl Kiss Me (de 40 000 K à 4 000 K) 

On aura bien sûr L = &lt;math&gt;4 \pi R^2 \cdot \sigma T_e^4&lt;/math&gt; , mais plus physiquement 
E photons/ t(sortie)= L donc 


 {{exemple||T de couleur|&lt;math&gt; T_e^4 = (R/ct_s).T^4 &lt;/math&gt;}}

*Pour T(0) = 10 MK = 10k.eV, cela donne environ Te = 10 000K

== Durée de vie de l'étoile ==

la fusion n’annihile pas la matière ! on produit seulement 0.007 Mc² = 0.007 N . mc² : c'est ce que donne le calcul d'Aston basé sur les masses molaires de He et H.

Donc
 

 {{exemple||durée de vie|&lt;math&gt; t_{vie} = [7 10^{-3}]   \frac{N mc^2}{L_0 (N/N_0)^3} = t_0 \frac{N_o^2}{N^2}&lt;/math&gt;}}


*Une étoile normale vit 10 Gyr , une étoile 10 fois plus massive vivra 100 fois moins, soit 100 Myr, ce qui n'est même pas le temps d'une demi-révolution galactique pour le Soleil, ni le temps d'écartement du rift atlantique en géologie !

== Réacteur nucléaire ==
On a vu que la réaction p +p donne e = 0.007 mc² par nucléon ; 

Pour obtenir la puissance, il faut une cadence de réaction : on prend la décomposition du neutron k = 1/tau =1/(920s). On suppose que la réaction est simple : 

donc Q (N, T) = (e /tau) . nb de cas : le nombre de cas sera nombre de couples distants de ro , soit environ (si population homogène) N^2 (r0/R)^3 ; 

Mais il faut multiplier par l'efficacité de Gamow qui ne conduit pas à un facteur d'Arrhénius mais à un facteur de Gamow (cf plus haut).

Compte-tenu de la relation Rayon-Température on aura une puissance en No/N : soit 


 {{exemple||Puissance du réacteur|&lt;math&gt; Q_o = \frac{(7\cdot 10^{-3})mc^2}{\tau} No (1836)^3 \alpha^6 &lt;/math&gt;}}

Le calcul de Q_o conduit à 7 10^38W ce qui prouve que l'efficacité de Gamow est de l'ordre de 10^(-6).

Q(N, T) = Q_o (No/N) (T/T(0))^6 

(on a pris égal à 6, '''l'indice''' de l'efficacité de Gamow : ce facteur n'est pas déraisonnable , mais il faut surtout retenir que la puissance d'un réacteur nucléaire croît beaucoup avec kT).

== Stabilité de l'étoile ==

On a donc L(T) = cste (dans ce modèle fruste) et Q(T) très rapidement croissante ce qui donne un fonctionnement stable car E = -3kT et donc -3dT/dt = Q(T)-L ( s'il y a excès de production , immédiatement l'étoile gonfle ET refroidit. 
*(Attention au raisonnement faux suivant : P= nkT et donc si T augmente , P augmente donc l'étoile se détend et donc se refroidit : cette faute(circularité) a été abondamment commentée dans le &quot;raisonnement linéaire causal&quot; de L.Viennot (LDPES, Paris-Diderot).

== Naine brune ==

Si N est trop petite , les électrons seront dégénérés (mais pas les protons) , il faut corriger la loi du viriel :  &lt;math&gt;\frac{3kT}{2} +\hbar^2/2ma^2 = -\frac{\hbar c}{ a} (N/N_o)^{2/3}&lt;/math&gt; , mais alors si T(a) max est inférieure à l'ignition nucléaire de l'ordre de 1 M K , l'étoile ne s'allumera pas : on parle d'étoile avortée. Or T(a) max a lieu pour kT(a) = mc² (N/No)^(4/3) : 

*Donc la naine reste brune si N = ~ 0.1 No : Ceci explique qu'il n'y a pas d' étoiles peu massiques .

== Masse maximale ? ==

On ne peut pas non plus avoir d'étoiles trop massiques : un calcul plus sophistiqué que celui que nous allons faire conduit à 

 N &lt; 50 No

*Voici un raisonnement simpliste type dahus : 

il faut en réalité compter dans l'énergie de l'étoile , l'énergie des photons (positive).

Si l'énergie du système est positive , il se déstabilise (la pression de radiation aura outre-passé l'attraction gravitationnelle).

Ceci donne -N.kT + N^3/No^2.kT &lt; 0 soit N &lt; No ; le calcul exact donne un facteur 50.

== Diagramme H-R ==

On rappelle que ce diagramme était fondamentalement ce que nous voulions comprendre : 

IL est TRÈS ÉTROIT : kT de surface varie en (N/No)^(1/4) à peine d'un OdG : de 40 000K à 4 000 K

et la (luminosité)^(1/3) ~ Masse : ne varie qu'entre No/10 et 100 No.

== Conclusion de l'étoile-standard ==

*La luminosité est standard L = Lo (N/No)^3 (trop grande: remplacer Thomson par Kramers). 
*On se donne un réacteur à 10 M K pour avoir une efficacité de Gamow à 10^-6 . 
*Un photon met 10 à 100 000 ans. (No/N) à sortir. 
*La durée de vie est 10Gyr .(No/N)^2. 
*N ne varie presque pas , de 0.1No à 50.No
*La température interne est quasiment toujours la même : 10 M K car Q(T) varie très vite : en fait , elle va dépendre de la &quot;métallicité&quot; , paramètre non pris en compte ici.
*Le rayon R de l'étoile est Gm²/kT N = Ro (N/No)[ et non pas (N/No)^(1/3)]
*La température de couleur Te est donc Teo .(N/No)^(1/4)

*On retrouve donc la pente de la séquence principale (soit L ~ Te^12), &quot;à la louche&quot;.

Rien n'est donc astronomique dans tous ces calculs : on raisonne simplement dans le dahus d'étoile-standard.

L'avantage est de n'avoir fait intervenir que les grandeurs fondamentales et pas de paramètres empiriques (avec une petite triche sur le 1000s de l'interaction faible et le 0.007 de conversion nucléaire qui sont contingent à l'électrofaible, et à la loi forte donnant la courbe d'Aston)

=== la profondeur ===

*'''Premier problème : la profondeur 0&lt;r&lt;R''' :Bien sûr , toutes les étoiles ne fonctionnent pas avec la section efficace de Thomson :  il faut calculer avec la formule de Kramers.

Alors , il vaut mieux dans ces conditions écrire les vraies équations que nous avons évoquées qualitativement :

*l'équilibre hydrostatique -gradP + &lt;math&gt;\rho&lt;/math&gt;G M(r)/r^2 = 0
*l'équation d'état du gaz de fermions (protons et electrons) parfaits quantiques relativistes (cf Landau :)
*l'équilibre thermique div(- K gradT) = Q-nucléaire par unité de volume et de temps

le problème est que Q dépend très fortement de T , et K n'est pas le même en conduction qu'en convection évidemment. 

Donc P(r) T(r) rho(r) et trois équations sachant que Q(T) est modélisé et K(T) aussi .

Bien sûr M(R) = M , \rho(R) &lt;&lt; rho(0) , T(R) &lt;&lt; T(0) ; L(0) = 0 ; M(0) =0; Q(T,r) = [dL(r)/dr]/4Pir² peut être utilisé si on préfère introduire la luminosité L(r).

Ce système s'écrit plus aisément en fonction d'une échelle de r astucieuse (toute fonction croissante convient) : on choisit M(r) telle que dM/dr = 4Pir².\rho(r).

Il ne reste plus qu'à : &quot;faire tourner un programme d'ordinateur&quot;.

=== la chimie nucléaire ===
*'''Deuxième problème : la chimie , qui n'a pas été abordée du tout ici.'''

Dès que l'étoile quitte la séquence principale , son évolution sera beaucoup plus rapide (l'énergie de masse varie bcp moins): il y aura une suite d'ignitions à plus haute T , et durée de vie plus rapide , entrecoupée de temps de chute de Kelvin-Helmholtz (cf plus haut) pour monter en Température. Ceci dit , l'évolution conduit à une évolution où l'étoile gonfle énormément (Géantes rouges) et donc Te baisse énormément.

Puis après avoir fait toute cette chimie (nucléosynthèse) en pelure d'oignon , quand le noyau est composé de fer , l'effondrement conduira à une naine blanche : électrons T &lt; T(fermi) dont la durée de vie est &gt;&gt; 10 Gyr.

Si N est rop grand , les protons seront éventuellement relativistes et à cette masse dite de Chandrasekhar , p +e se transformera en neutrons : comme les neutrinos s'évacuent à la vitesse c , l'effondrement instantané conduira à une étoile de neutrons (taille M ~ 1/R^3 !) avec expulsion des enveloppes. 

Enfin , si M est encore plus grand , on aura un trou noir : cf cours de R.Générale (le livre de Heyvaerts(Dunod 2006) {{ISBN|2-10-049862-2 }}a été conseillé , mais pour ce qui est de la physique stellaire , le Chandrasekhar reste inégalé ).

* Ce dahus reste donc comme tous les dahus : il donne la vision d'ensemble , mais CERTAINEMENT PAS les &quot;détails&quot; qui font que des centaines de chercheurs étudient encore les étoiles dans leur diversité.

== Aparté : Planète ==
On appelle planète un corps pour lequel N &lt;&lt; No tel qiue kT max lors de la contraction conduit à kT &lt; E1 de Bohr , or T est max quand a est mini càd au mieux ao de Bohr cela conduit à 

 {{exemple|Énoncé-simplifié|N d'une Planète|&lt;math&gt; N &lt; N_o \cdot(\alpha)^{\frac{3}{2}} &lt;/math&gt;}}

On est alors conduit à étudier le Système Solaire par exemple ou les exoplanètes (cf cours BIBRING).

== CONCLUSION ==

Il reste à traiter : 

* la profondeur : Lemde-Emde
* la chimie nucléaire
* l'étude fonction du temps : l'évolution stellaire dans le diagramme H-R.

Mais nous avons déjà la Séquence Principale:

La luminosité est standard L = Lo (N/No)^3 et donne un réacteur à kT = 10 keV pour avoir une efficacité de Gamow à 10^-6 . 

Un photon met 10 à 100 000 ans. (Ro/R) à sortir. 

La durée de vie est 10Gyr .(No/N)^2. 

N ne varie presque pas , de 0.1No à 60.No

La température interne est quasiment toujours la même : 10 M K car Q(T) varie très vite.

Le rayon R de l'étoile est Gm²/kT N = Ro (N/No).

La température de couleur Te est donc Teo .(N/No)^(1/4)

On retrouve donc la pente de la séquence principale (soit -12), &quot;à la louche&quot;.

Rien n'est donc astronomique dans tous ces calculs : on raisonne simplement dans le SUN d'étoile-standard.

L'avantage est de n'avoir fait intervenir que les grandeurs fondamentales et pas de paramètres empiriques ( avec une petite triche sur le 1000s de l'interaction faible.


Enfin , si M est encore plus grand , on aura un trou noir : cf cours de R.Générale (le livre de Heyvaerts (Dunod 2006) {{ISBN|2-10-049862-2 }}est bien fait ).

== Partie II : la Profondeur et la chimie ==
=== l'opacité et la loi de Beer-Lambert ===
Soit une cuve de largeur a , à travers laquelle on fait passer un faisceau parallèle d'intensité Io , l'intensité à la sortie de la cuve est moindre I1 &lt;Io , car la cuve a absorbé du rayonnement (puis partiellement rediffusé dans une autre direction).
Soit I1 = k Io . La profondeur optique s'appelle k
En replaçant une autre cuve I2 = k². Io 

On en tire que I(z) = Io exp- z/a (Loi de Beer-Lambert): la longueur a s'appelle profondeur d'opacité. Typiquement dans l'eau , au-delà de 20m , il fait plus sombre : c'est le &quot;grand bleu&quot;(en fait le noir !): le milieu est opaque.


Si on met un colorant absorbant , la densité ( la concentration de ce colorant va jouer d'autant plus que les centres d'absorption seront nombreux : soit leur section s , alors 1/a = n.s.

En astronomie , le gaz ionisé va absorber les photons et on note plutôt 1/a = nm . s/m avec s/m, l'opacité en m²/kg

=== l'opacité de Kramers ===
Dans le cas d'une étoile, on cherche à savoir comment sortent les photons émis par le cœur thermonucléaire. On parle alors d'opacité &lt;math&gt;\kappa&lt;/math&gt;.

Dans le cas de la diffusion Thomson (qui, à plus haute énergie, sera ensuite la diffusion Compton), on considère simplement l'interaction photon-électron, ou photon-proton.

En astronomie, la référence est souvent prise par rapport à la masse du proton, et on parle d'opacité en m²/kg : OdG : &lt;math&gt;\kappa = {8\pi \over 3}\cdot {r_0^2 \over m }&lt;/math&gt; , as usual &lt;math&gt;r_0 = {e^2 \over mc^2}&lt;/math&gt; . L'application numérique donne 1/2 cm²/g .

==== opacité de Rosseland====

La section de Thomson est indépendante de la Température T , mais le bremstrahlung-inverse intervient aussi ( pour dire vite, le transfert d'énergie entre un photon et un électron est déterminée en diffusion à deux corps ; mais si le proton intervient, alors sa &quot;masse-tampon&quot; permet d'absorber l'impulsion et alors un grand transfert d'énergie est possible. Bien sûr, n'importe quel ion peut aussi jouer ce rôle ; ainsi la &quot;métallicité&quot; va aussi intervenir.

Mais, les régions non ionisées peuvent aussi intervenir.

Au total, on est obligé de prendre une formule assez compliquée, dite opacité de Kramers-Rosseland, qui peut être 4 OdG plus grande que celle de Thomson : &lt;math&gt;\kappa_{Kramers} =\kappa_{Thomson}\cdot f(\xi , T) &lt;/math&gt; ; la dépendance en température est typiquement en T^k avec k = -3.5.

Références : Hahashi( 1962), Exer&amp;Cameron(1963), Icarus1,422 . Voir aussi Monier( ed Ellipses, 2006).

=== la chimie nucléaire ===

==== la courbe d'Aston ====

==== le cycle du Soleil, Bethe ====
En fait la réaction 4H -&gt; He + 2positrons +2 neutrinos
n'est pas une réaction simple. Deux modèles prédominent : 
* Via H + H -&gt; D +e* + neutrino (Électrofaible),D+ H-&gt; He3 , puis He3+ He3 -&gt; He4 + 2H 
* une petite fraction suit un autre canal (0.1%),passant par Be7 (+H -&gt;) B8 , puis électrofaible -&gt; Be8 , qui se fissionne en 2 He

ou bien le canal(0.9%) via Be7 électrofaible -&gt; Li7 et (+H-&gt; 2He).

* le fameux cycle de Bethe où C, N et O n'interviennent que comme catalyseurs : comme tous les cycles , il vaut mieux les écrire en rond , comme en biologie : 

''' C12''' (capte H) -&gt; N13 -&gt; C13 (capte H et e-f)-&gt;N14 (capte H) -&gt; O15 -&gt; N15

enfin N15 (capte H) -&gt; '''C12''' + He et e-f.

bilan : 4H -&gt; He +2(e-f) :
absolument prodigieux d'invention pour l'époque.
Hans Bethe(1906-2005) est un des plus grands physiciens du XXeme siècle.

===== l'énigme des neutrinos =====
résolue en 2000 , après la mise en œuvre du SNO_Ontario(1998, eau lourde comme détecteur) : oui les neutrinos électroniques oscillent en neutrinos muoniques , etc. ce qui donne une masse faible mais non nulle à ces neutrinos!

==== le flash de l'hélium ====

==== et ensuite jusqu'au fer ====

== Partie III : l'évolution ==

*L'évolution d'une étoile après sa sortie de la Séquence principale est une histoire pleine de péripéties splendides , assez rapides , qui va conduire les plus petites d'entre elles au &quot;cimetière&quot; des naines blanches.

=== naine blanche ===
essentiellement un gaz d'électrons dégénérés (kT &lt;&lt; kT(fermi) ): donc a = &lt;math&gt;a = \frac{\hbar}{m_e c}&lt;/math&gt;

=== masse de Chandrasekhar ===
évidemment ce calcul est non relativiste : au delà d'une certaine masse proche de No , le gaz est relativiste et n'est plus stable.

=== Novæ ===
Mais entre-temps on peut voir des phénomènes grandioses : les novæ , voir les supernovæ , qui , elles-même, sont de deux catégories.

=== Pulsar ===
essentiellement , la pression permet à la réaction endothermique e-f inverse de se produire :
proton + électron -&gt; neutron +neutrino :
l'étoile s'effondre &lt;math&gt;a = \frac{\hbar}{m c}&lt;/math&gt;, donc de taille 1836 fois plus petite qu'une naine blanche ; la densité est évidemment nucléaire, et la taille d'environ 10km ! si son moment cinétique s'est conservé , elle tourne très vite , et le champ magnétique est très élevé : le rayonnement cyclotron des charges produit un gyrophare : d'où le nom &quot;pulsar&quot;

=== Trou noir ===
montrer que écrire la loi de Laplace(1796) (V-libération =c) donne le rayon de Schwartzschild) :

1/2 .c^2 = GM/R 

Le centre de la Galaxie contient un tel trou noir , très étudié, car les enveloppes astro autour de ce pint sont quasi-concentriques, mais on n'en connaît pas encore bien la théorie (qui relève ici plus d'une théorie des galaxies : cf Binney-Tremaine).

===n!===
Ayant lu le Solodek (the monodromy group) et le Mermin (boojums), je ne résiste pas à signaler la différence d'approche entre ces deux auteurs de la Formule de Stirling : 

n! =~ (n/e)^n .sqrt( 2Pi n). exp (1/12n), et bien sûr est bien marqué =~  et non ~ , car c'est un physicien qui l'écrit.

===PSLQ===
Ayant lu les Borwein , ilya bcp de choses merveilleuses à rajouter via ces deux livres ainsi que ceux de Crandall, Guy , Plouffe , Engqvist ...

== Retour ==
*[[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences|Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences]] 
* voir aussi : 
[[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences : le système solaire]]

[[Catégorie:Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences (livre)]]</text>
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Ébauche en cours

Ici , quelques exercices d'astronomie , niveau licence. Certains exigent déjà des modifications !


Ils sont tous basés sur la connaissance minimale de l'analyse dimensionnelle [ cf OdGL (Ordres de Grandeur Littéraux) et SUN (Système d'unités naturel) et autre [[dahu]]s de la WP ].
L'article séminal est celui de Weisskopf dans Am.J.Phys. : why the sun shines ? 

La notion fondamentale à retenir est :

ce qui ramène tout à une échelle raisonnable est la &quot;constante d'Avogadro stellaire&quot;:


{{exemple||Nombre d'Avogadro stellaire|&lt;math&gt; N_0 = [\frac{\hbar c}{Gm^2}]^{3/2} = 2 \cdot 10^{57} &lt;/math&gt;}} 


*C'est ce nombre gigantesque qui est sensiblement l'OdG de protons dans une étoile qui fait apparemment rendre toutes les valeurs astronomiques. En fait les grandeurs ramenées à un proton se trouvent dans des OdG Littéraux raisonnables et ne sont plus astronomiques mais bien de l'OdG de la physique nucléaire ; prendre pour &quot;preuve&quot; ce seul exemple : une section caractéristique de la physique nucléaire est 1fm.1fm = 10^-30 m² et le rayon du Soleil au carré R² = (700 000 km)² = 5 10^17 m² : le rapport est donc gigantesque 5 10^47 [ Évidemment, il FAUT justifier le rayon du Soleil, et celui du proton , et pourquoi prendre R²:ro² plutôt que la puissance énième ]

C'est bien là l'utilité principale des '''dahus''' ('''dimensionnal analysis of HEURISTIC unit systems'''): éviter au maximum l'attitude copernicienne de tout ramener à l'Homme (par exemple le nombre d'Avogadro ordinaire n'est ni grand , ni petit : c'est la taille de ce qui tient dans la main , exprimé en atomes) ou à NOTRE Soleil (étoile TRÈS ordinaire), ou Notre Galaxie, etc. , mais bien au contraire essayer de tout expliquer (&quot;au maximum&quot;), via les constantes fondamentales, caractéristiques du processus.

== quelques constantes fondamentales et leurs combinaisons utiles ==
cette rubrique est là juste pour apprendre à calculer en OdG numérique, et s'étoffera au fur et à mesure de l'enrichissement de cet article.

'''On peut donc la passer en première lecture.'''

=== Exercice Anthropos : ===
calculer &lt;math&gt; \hbar c , e^2 ,  \alpha = 1/137 ,Gm^2 , N_0 ,N_p N_0\cdot \alpha^{3/2}, sqrt(N_p), N_H &lt;/math&gt; , avec N_H = nombre de nucléons dans 70kg et comparer à sqrt(N_p).

=== Exercice Luminosité d'Eddington : ===
Calculer une luminosité &lt;math&gt;L_o = N_o \cdot F_0 c&lt;/math&gt; avec Fo la force gravitationnelle entre deux protons distants de ro = d.u[e²,m, c].(Cette luminosité a à voir avec un calcul de luminosité d'Eddington)

=== Exercice section de Thomson : ===
la section efficace de Thomson est &lt;math&gt;s = \frac{8\pi}{3}r_o^2&lt;/math&gt; . Montrer que le temps mis par un photon pour sortir d'un disque de rayon R contenant N électrons et N protons est indépendant de R. ! 

Souvent en astrophysique , on préfère utiliser l'opacité (s/m) en m²/kg.

En fait celle de Thomson ne joue que pour les étoiles très lumineuses, et en fait , c'est plus une opacité de Rosseland-Gaunt-Kramers (p 274Carroll) qu'il convient d'utiliser dans la majorité des cas. On en verra plus tard la répercussion.

=== Exercice  pic de Gamow(1928): ===
un paramètre fondamental de la théorie stellaire est la température d'un réacteur de fusion :
nous verrons que la théorie de Gamow conduit à l'optimiser (pour la fusion de l'hydrogène) à : 
kT tel que : f(E) = sqrt(Eo/E) + E/ kT minimum.
Montrer que le théorème de Didon conduit immédiatement à une énergie optimale : [ Eo^2.kT/2]^(2/3). Cela conduit ensuite à des calculs de physique nucléaire à environ kT* = 10keV qui sera prise comme référence par la suite [ en fait ces calculs font intervenir à la fois l'interaction faible et l'interaction forte, et il faudrait donc introduire leurs paramètres ici] 
  
=== Exercice Four isentropique  : ===
montrer que si un four a pour taille R telle que kT.R = cste = &lt;math&gt;\hbar c \cdot N&lt;/math&gt;, le nombre de photons qu'il contient est indépendant de sa température.

*Solution : N^3/No^2

=== Exercice Pression : ===
Évaluer la pression P* = d.u[kT*, hbar,c]; puis évaluer la pression d.u.[G, M , R ] ; prendre ensuite M = mNo. N/No , puis R = Ro M/Mo ; comment varie cette pression centrale avec N ?

*Solution : on trouve P = P* (No/N)^2 , avec 
P* = kT*^4/hbar^3c^3 = d.u [corps noir]. Il peut sembler étonnant que les étoiles les plus grosses aient une pression au centre plus petite , mais on réfléchira au fait que la densité baisse avec les grosses étoiles (R ~ M !). On peut aussi appliquer brutalement 
PV = 2N.kT* avec V = Vo (N/No)^3.

A.N. : environ 1 Gbar. Ce qui est très curieux est que la masse volumique reste dans des zones proches de la matière ordinaire : typiquement pour le soleil 2kg/L , et certes 160 kg/L au centre.


=== Exercice chimie : ===
cet exercice est du niveau seconde :

Si l'Hydrogène est ionisé , trouver la masse molaire.

Si on désigne par X la proportion d'hydrogène et Y celle d'hélium , trouver la masse molaire.

S on désigne par Z la métallicité (proportion des atomes tels que A = 2Z) , trouver la masse molaire.

*Solution :

== Échelle des masses stellaires ==

La masse du Soleil  est M = 2 10^30 kg 
Calculer le rapport M/m où m est la masse d'un proton. Comparer à No

* Les étoiles ont typiquement une masse M de 0.1 à 50 No.m , ce qui représente à peine 3 OdG.
* Les quantités qui varieront comme M^k varieront donc de (3.k) OdG.

par exemple dans le diagramme de Hertzprung-Russell (Luminosité = f(T de surface) ), la Tde surface varie comme k=1/4 et la Luminosité comme k=3; donc L =~ T^12.

== Échelles de temps ==

=== Exercice Petit Prince ===

Le petit Prince est en survol basse altitude de son petit astéroïde ( de rayon R , de masse volumique &lt;math&gt;\rho&lt;/math&gt;.
Montrer que le temps de révolution est indépendant de R , donc c'est le même que sur Terre , si &lt;math&gt;\rho&lt;/math&gt; est le même.

'''Solution''' : 

&lt;math&gt; -m \omega^2 a = - GMm/a^2&lt;/math&gt;, par la deuxième loi de Kepler. Appliquée à a = R , cette loi donne : &lt;math&gt;T = 2\pi \sqrt(R/g)&lt;/math&gt; avec g = GM/R² donc 


{{exemple|Résultat|Temps petit Prince|&lt;math&gt; T_{petit Prince} = \sqrt{ {3\pi \over G \rho}}  &lt;/math&gt;}}

=== Exercice temps free fall ===

Par rapport à l'exercice précédent, montrer que le temps d'effondrement , dit de chute libre, d'une boule de gaz de rayon R, de masse volumique &lt;math&gt;\rho&lt;/math&gt;, est 1/sqrt(32) du temps précédent.

'''Solution''' : 

Utiliser le Théorème-remarquable-de-Newton (repris par Gauss) : mr&quot; = GM(ro)/r² , avec r = ro et v= 0 comme C.I. (conditions initiales) , pour tour ro &lt; R . 


Via la deuxième loi de Kepler c'est donc un mouvement identique pour toutes les couches (mvt isochrone, auto-similaire), dont la période 2 &lt;math&gt;T_{free-fall}&lt;/math&gt; est celle d'une ellipse de demi-grand axe a= R/2 donc période 1/sqrt(8) &lt;math&gt;T_{petit Prince}&lt;/math&gt; ; soit :

{{exemple|Résultat|Temps free fall|&lt;math&gt; 2 T_{free-fall} = {1 \over \sqrt 8} \cdot T_{petit Prince} &lt;/math&gt;}} 

&lt;math&gt;2 \cdot T_{free-fall} = {1 \over \sqrt 8} \cdot T_{petit Prince}&lt;/math&gt;

=== Exercice échelle de temps : Kelvin-Helmholtz ===

On prend une étoile standard , le Soleil, de rayon R = 700 000 km , de masse M = 2e30kg ,de température de surface Te = 5800K; à supposer &lt;math&gt;\rho&lt;/math&gt; = cste , quel temps a mis l'étoile à acquérir toute son énergie gravitationnelle (depuis la dispersion où R était très grand) en dissipant sa Luminosité actuelle. Ce temps est appelé &lt;math&gt;t_{K-H}&lt;/math&gt;.

'''Solution''' : 

L'énergie gravitationnelle est Eg = -GM²/R (3/5) , donc si R diminue, l'étoile libère de l'énergie , émise par luminosité de corps noir : &lt;math&gt;L = 4\pi R^2 \cdot \sigma T_e^4&lt;/math&gt;

d'où le résultat :


{{exemple||Temps Kelvin-Helmholtz|&lt;math&gt; T_{K-H} = \frac{E_g}{L} &lt;/math&gt;}}

*AN : Eg = (3/5).(2/3 e-10)(2e30)²/(7e8) = calculette = 8/35 e42 J et L = 4e26 W : t(K-H) = 2/35 e16 s

l'habitude est de travailler en année (yr) = 3.e7 s soit t(K-H) = 2e7 yr [soit 20 M yr (dixit K-H vers ~1854)]

*Or le père de la Géologie , Lyell disait (~1840) que les terrains sédimentaires avaient plus de 500 Myr =&gt; contradiction à lever : 

cela fût fait progressivement :via E= mc² (1905), Aston (défaut de masse:1919), réacteur nucléaire d'Eddington(1920), effet tunnel de Gamow (1928), cycle nucléaire de Bethe (1938) : donc un certain temps avant de lever cette contradiction. Actuellement , on ne comprend pas encore tout, mais l'essentiel, oui (théorème d'unicité de Russell-Vogt, 1928).

=== Exercice échelle de temps: t nucléaire ===

On sait aujourd'hui que la puissance du Soleil vient de la fusion nucléaire (disons pour simplifier : 4p -&gt; He + 2 positons + 2 neutrinos) .
Trouver la durée de vie du Soleil , puis d'une étoile plus massive. 

Solution :

t nucléaire = E(disponible)/Luminosité = k. (M/m)/ L = 3.2 e17 s =~ 10 Gyr (on a appelé k l' apport d'énergie de fusion par proton,soit 0.007.mc² ; et M/m ~ 1e57 est l'OdG du nb de protons dans le soleil ; la luminosité du soleil est 4. 10^(36) W).

Or L = Lo (M/Mo)^3 et E(disponible) = Eo .(M/Mo) donc 


{{exemple|Résultat|durée de vie|&lt;math&gt; t_{vie} = t_o \cdot \frac{M_0^2}{M^2}  &lt;/math&gt;}}


* Conséquence : une étoile de 10 Mo vivra 1/100 de 10 Gyr soit 100 Myr : évidemment très peu ! Les étoiles de première génération doivent être peu nombreuses. D'où la nécessité de considérer le problème de la &quot;métallicité &quot; (étoiles de &quot;seconde génération&quot;) avec attention.

* Remarque : on a pris le coefficient 0.007 correspondant à 4H -&gt; He ; si on avait pris 
56H -&gt; Fe, on devrait prendre 0.008 , ce qui n'est guère différent : on se doute qu'après avoir brûlé son hydrogène en hélium, tout se déroulera plus vite : stades stables de combustion entrecoupés d'effondrement-sursauts de Kelvin-Helmholtz.

=== Exercice échelle de temps: t de sortie d'un photon (Thomson) ===

On suppose que le Soleil est une boule de gaz ionisé où les photons sont sans arrêt absorbés puis réémis par les électrons avec une section efficace de Thomson (&lt;math&gt;\sigma = (8/3) \pi r_o^2 &lt;/math&gt;avec e²/mc² = ro et e² = q²/&lt;math&gt;4\pi \epsilon_o&lt;/math&gt;).

Ils subissent donc une marche au hasard : quel est le temps de sortie ?

Solution : 

la loi de la diffusion est t /&lt;math&gt;\tau&lt;/math&gt; = (R/l)² avec l = c&lt;math&gt;\tau &lt;/math&gt; = 1/ sqrt(2) n&lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt; 

D'où t = ~ R/c .R/l = R/c . R.n&lt;math&gt;\sigma \sqrt{2}&lt;/math&gt; = R/c. (ro/R)². N .[(8Pi/3)/(4Pi/3)]sqrt(2) 

A.N : =10 000 yr (et ~ 1/R , ce qui est pseudo-paradoxal: réfléchir à ce pseudo paradoxe en 2D par exemple)


{{exemple|Résultat|durée de sortie photon|&lt;math&gt;  t_{sortie} = t_0 (Ro/R) = ~ t_0.(M_0/M) &lt;/math&gt;}}

[ si l'on admet qu' en gros R ~ M et non en M^(1/3)]

* Si l'on ne veut retenir que des nombres universels , alors &lt;math&gt; (t_0 R_0) = {r_0 \over c} \cdot N_0r_0&lt;/math&gt;.

Le problème est que dans la réalité, l'opacité (liée à la section efficace !) n'est pas donnée par la formule de Thomson, mais par la formule de Kramers , plus compliquée.

* Élément de réponse au pseudo-paradoxe : dans une forêt 2D , le temps serait proportionnel à la taille au carré , R² et à la densité des arbres : N/ pi R² : donc en 2D , le temps de sortie est un invariant d'échelle.

=== Échelle de temps de Kramers ===
C'est plus proche de la réalité : la section de diffusion de Thomson ne convient qu'aux très hautes énergie et densité . Si l'on trace un diagramme la section efficace fonction de kT et pour différentes valeurs de densité, on trouve que pour la Séquence Principale , les deux processus les plus influents sont le brems-strahlung (inverse) et dans les régions externes la photoionisation. La section efficace est nettement plus grande. L'opacité aussi , donc la luminosité sera réduite. Donc la durée de vie augmentée.

== Échelle de longueur ; l'uniformité, possible ? ==

Le Soleil a pour rayon R = 700 000 km ; ce qui est très petit par rapport à la taille du Système Solaire = ~ distance de Oort , et à la distance entre étoiles (~ qq A.L.). Ne pas oublier néanmoins que beaucoup d'étoiles binaires existent , et même des binaires serrées !

*Il semble raisonnable d'effectuer une théorie négligeant la rotation du Soleil (si on n'étudie pas l'effet dynamo et le champ magnétique). Par suite, on suppose tout à symétrie sphérique et un seul paramètre comptera : la profondeur :
On compte 0&lt; r &lt; R , à partir du centre.

*Peut-on négliger les variations avec la profondeur (càd faire une théorie sans profondeur : tout est uniforme !) ? 

Il est évident que si l'on pense que le système est en équilibre hydrostatique dans un champ de pesanteur, le dahus donne P(0) = (GM²/R) /R^3 = GM²/R^4 donc en gros 10 000 fois celle au centre de la Terre, et bien sur P(R) ~ 0 (ne veut rien dire ! mettons qq bars!). DONC , ne pas considérer la profondeur est illusoire. Il faudra écrire les équations radiales.

De même, pour la température , on sait qu'au centre du Soleil se produisent des réactions de fusion nucléaire, et on établira qu'elles se situent aux environ de 10 keV ; alors que la température de surface nous est connue (le soleil est jaune : T(R) = 5600 K = ~1/2 eV : il faudra aussi reconstruire T(r).

Pour ce qui est de la densité et donc de la distance a(r) entre protons, les effets se compensent et les variations ne sont pas aussi extrêmes :au centre une densité de 100 , à l'extérieur une densité de 0.01 : à la limite considérer densité constante ne serait pas trop ridicule.

Afin de mieux se rendre compte de cette notion de profondeur on regardera attentivement la figure de coupe suivante : fig p 42.

La luminosité est 1 pour M(r) = 0.6 , r = 0.3 , T = 1keV-10 keV , rho = 10 (tonne/m^3) et P = 10^15 Pa .

Si il fallait faire une théorie &quot;sans profondeur&quot;, ce serait en gros les paramètres à prendre. Il conviendra donc de prendre en compte ce qu'on appelle des &quot;facteurs de forme&quot;.

Nous allons donner un exemple simple de gravimétrie terrestre juste pour tester ce que cela veut dire : 

=== la discontinuité de Bullard ===

L'intérieur de la Terre est &quot;assez bien&quot; connu grâce à la sismologie. Pour mettre en évidence ce qu'est un facteur de forme on va juste tester deux modèles : 
modèle à une couche : densité constante = 5.5 
et modèle simple : g(r) linéaire jusqu'à R/2 , puis constant = go de R/2 à R . 

Trouver la pression au centre ? 

* Solution : 

*Dans le premier cas , g(r) = gor/R via le théorème de Newton-Gauss . Et P(0) = 1/2 rho.go.R : on a bien GM²/R^4 . coef num.

* dans le deuxième cas, puisque g est linéaire, rho est constant et P(0)-P(R/2) = 1/2 rho(0).go.R/2.

Ensuite comme g(r) = cste = go ; rho varie en 1/r  comme rho(R).R/r , et on en déduit :

P(R/2) -P(R) == P(R/2) = rho(R).R.go. Ln2 .

D'autre part la masse totale M = M(R/2) + 4pi/3 . rho(R).R^3. 9/8 .

En combinant ces deux équations, on voit apparaître la discontinuité noyau-manteau et malgré tout :

P(0) = GM²/R^4 .coef.num2 .

On voit donc que dans ce cas , les modèles &quot;uniformes&quot; (à une zone) donnent bien des choses &quot;raisonnables&quot;.

=== le modèle archi-simpliste ===
&quot;A la louche&quot; , en déclarant que l'énergie nucléaire dégagée varie très vite avec T, comme T^n , avec n très élevé , voici ce que le raisonnement d'analyse dimensionnelle &quot;dahus&quot; donnerait : 


* Réacteur nucléaire de fusion  : kT(0) = quasi-constante = 10 keV =kT*;

*Hydrostatique : P = Gm²/R^4. N² (1)

* équation d'état : P V = 2N. kT soit P.R^3 ~ N. kT(0) (2)

Les équations (1) et (2) donnent : 

l'équation très importante, qui va &quot;conditionner&quot; la physique du problème.

{{exemple||Relation du viriel |&lt;math&gt; kT(0)\cdot a = \hbar c \cdot (\frac{N}{N_o})^{2/3}   &lt;/math&gt;}}

où l'on a pris R^3 = a^3 . N
 
  *[d'où la pression en 1/N²].

*Luminosité : 

{{exemple||Luminosité |&lt;math&gt; L = L_o \cdot (\frac{N}{N_o})^3   &lt;/math&gt;}}


(voir plus loin : Lo = Gm²/ro².c. No est 3OdG trop grande à cause de Kramers versus Thomson, mais quand même, elle a le mérite de se trouver vers les 10^30 W)

*Puis la Température de surface Teff telle que : L = 4pi.R².(U(photons)/V) .4/c  avec U/V = a T^4 (cf corps noir) ; donc  


{{exemple||T de surface |&lt;math&gt; T_{eff} = T_o \cdot (\frac{N}{N_o})^{1/4}   &lt;/math&gt;}}


'''L'ESSENTIEL du diagramme Hertzprung-Russell est trouvé :'''

*La température de surface des étoiles ne varie que faiblement d'à peine 1 OdG de 40 000K à 4 000 K (oh be a fine girl , kiss me).
*La luminosité de 9 OdG de 10^23 W à 10^31 W

mais on n'attachera pas plus de valeur qu'il ne faut à ce modèle dit &quot;ordre zéro&quot; , car on l'a vu les facteurs de forme sont importants : il importe d'étudier l'étoile dans sa profondeur.

== SUN du corps noir ==

Ce système d'unités naturelles est fondamental ; il est basé sur le dahus d.u.[kT , c et &lt;math&gt;\hbar&lt;/math&gt;] , on en déduit beaucoup de choses.

On demande donc de rétablir d'adord ce dahus : 

distance moyenne entre photons d : kT = &lt;math&gt;\hbar&lt;/math&gt;c/d , donc n ~ 1/d³

temps caractéristique = d/c

masse caractéristique : kT/c² (ce qui est bizarre pour des corps de masse nulle ! Évidemment, il faut plutôt penser impulsion !)

On en déduit : 

{{exemple|Résultat exact|Énergie U corps noir |&lt;math&gt; U = V.(\frac{\pi^2}{15}) kT. (kT/\hbar c)^3 = 3 \cdot PV = (4/3)\cdot TS   &lt;/math&gt;}}


car l'entropie S est telle que G := U +PV - TS = 0 car potentiel chimique nul : 

Il en résulte donc S/k = n.V = Nb de photons.

L'exemple classique est celui de l'extension adiabatique d'un corps noir : Nb de photons reste constant soit 
V.(kT)³ = cste.

Or dans une étoile, le théorème du viriel conduit à kT. R = cste : on en déduit que le nombre de photons dans une étoile est un nombre universel : cela est évidemment trop simpliste , mais donne l'OdG.

=== Nb de Photons constant ! ===

Montrer que si kT.a = cste  = &lt;math&gt; \hbar c \cdot (\frac{N}{N_o})^{2/3}&lt;/math&gt;, alors le nb de photons dans l'étoile est constant: 

  
 {{exemple||Nb de Photons|&lt;math&gt; N_{photons} = N^3/ N_o^2 &lt;/math&gt;}}

Pour les &lt;math&gt;\zeta(s)&lt;/math&gt;, voir le Landau par exemple.

== Effet tunnel de Gamow-Corinne-Wick ==

En utilisant la symétrie de Corinne (cf la WP), et donc l'astuce de Wick , alors le facteur de transmission d'une barrière est : 

{{exemple||loi de Gamow-Corinne-Wick|&lt;math&gt;  T_{GCW} = tt* = e^{ -2 \pi \cdot n(E)} &lt;/math&gt;}}

avec n(E) = nombre de niveaux d’énergie contenus dans la cuvette de Corinne obtenue par renversement de la barrière (cf la WP et la symétrie de Corinne).

'''Exemple usuel : Barrière haute de Vo et large de a''' . Calculer T 

Solution : Un puits de profondeur Vo large de a a ses niveaux tels que &lt;math&gt;E_n = \hbar^2 \pi^2 / 2ma^2 \cdot n^2&lt;/math&gt; donc T = exp - 2Pi sqrt(E/E1) indépendant de Vo si Vo très grand devant E.

*'''Émission de champ de Fowler''' : un métal dans un champ électrique externe E est photo-émissif: calculer T 

Solution : 

Appelons le potentiel de sortie Vs : la barrière est donc Vs - q.E.x , avec des électrons au niveau de Fermi; le puits de Corinne est donc un puits de &quot;chute libre , type Torricelli&quot; ; on calcule les niveaux d'énergie as usual : &lt;math&gt;E_n = n^(2/3).E_1&lt;/math&gt; d'où T = exp -2Pi (E/E1)^3/2 , dite formule de Fowler.


=== Pic de Gamow de fusion nucléaire ===

Deux protons doivent se retrouver très proches (typiquement 1fm) pour fusionner alors que la barrière coulombienne les sépare : calculer T nécessaire. Montrer qu'à 10 keV , il manque un facteur 100 , ce qui est rédhibitoire , sauf à inventer l'effet tunnel (Gamow 1928). En déduire la température de Gamow de fusion.

La barrière devient l'usuel puits coulombien d'énergie &lt;math&gt;E_n = -E_1 \cdot (1836/2) Z_1Z_2 \cdot A_{reduit} \cdot {1 \over n^2} = -E_1 {1 \over n^2}&lt;/math&gt; ; 

#d'où T(E) = exp -2Pi sqrt(E1/E).

#Ce facteur est d'autant plus grand que l'énergie E est élevée , mais alors le facteur de Boltzmann f(E) intervient comme exp- E/kT : 

Au final , montrer que la rapidité de réaction nucléaire varie comme exp - (27Pi E1/kT)^1/3 et calculer cette valeur pour une température de 10k.eV. Montrer que la variation avec la température est assez rapide avec un '''indice''' n = 1/3 (27Pi E1/kT)^(2/3). En déduire que brûler de l'oxygène a un indice très supérieur à celui de l'hydrogène. [Dans la théorie &quot;d'ordre zéro&quot; , on a pris cet indice n très grand, ce qui donne la théorie &quot;asymptotique&quot;, fausse évidemment, mais qui a le mérite de donner le dahus d'une étoile]. 


'''Solution''' :

#il faut trouver le minimum de +2Pi sqrt(E1/E) + E/kT soit sqrt(E*/E) + E/kT donc la dérivée en E nulle : ce calcul donne E =  = (E1(pi.kT)²)^(1/3) et f(E)T(E) = exp - (27Pi E1 /kT)^(1/3) dont l'indice est donc n = 1/3 (27Pi E1/kT)^2/3.
admettons que la température d'ignition de fusion de O-O soit 2 fois celle de H-H alors on aura 

n(O) = n(H).(1/2)^2/3 . Z1^(4/3) A^(2/3) soit environ 64. n(H) : ce calcul n'est qu'une tendance : plus les éléments sont lourds et plus la puissance du réacteur varie fortement avec la température et plus les calculs  se rapprocherons de ceux que l'on a établi pour n asymptotiquement infini.

==== Exercice : étroitesse du pic ====
poursuivre le développement pour trouver la largeur du pic de Gamow et montrer son étroitesse.

== L'étoile standard ==

On veut donner ici les OdGL de l'étoile standard de la séquence principale du diagramme de H-R.

=== Nb d'Avogadro stellaire ===
Une telle étoile sera considérée comme une boule homogène d'hydrogène ionisé qui ne s'effondre pas grâce à la fusion nucléaire 4H -&gt; He + 2 positons +2 neutrinos. 
Ce modèle n'est évidemment pas très réaliste car on néglige les gradients (en particulier celui de la température qui décroît en fait de 10 MK à 6000K à la surface).

On prendra le nombre de protons (donc d’électrons) contenus dans cette étoile égal à 


{{exemple|Enoncé-simplifié|Nb d'Avogadro stellaire|&lt;math&gt; N_0 = {(\frac{\hbar c }{G m^2}})^{3/2} &lt;/math&gt;}}

&lt;math&gt; N_0 = {(\frac{\hbar c }{G m^2}})^{3/2}&lt;/math&gt;.
Calculer ce nombre , sans doute astronomique , mais bien naturel en astronomie. 
*En fait l'échelle des masses est très réduite sur 3 OdG de 0.1 No à 100 No , comme on le verra.

Solution : N_0 = {(\frac{\hbar c }{G m^2}})^{3/2}= 2.2 10^57

'''Une fois ceci admis , les valeurs dites astronomiques seront assez banales.'''

== Viriel ==
Écrire l'énergie thermique des particules &lt;math&gt;E_{th}&lt;/math&gt;, puis l'énergie gravitationnelle par proton &lt;math&gt;E_G &lt;/math&gt; en fonction de la distance p-p, appelée a , puis la relation fondamentale entre kT et a , en utilisant la relation du viriel.

Solution : 

l'énergie thermique est (N+N) .(3/2).kT ; 

l'énergie gravitationnelle &lt;math&gt;E_G&lt;/math&gt; = -3/5 Gm²N/R avec V = Na³ = 4Pi/3.R³


E = - E(thermique) = 1/2 &lt;math&gt;E_G&lt;/math&gt; d'où -3kT = - Gm²/a N^(2/3)f(A.N.)


on en tire : {{exemple|Enoncé-simplifié|relation kT-distance|&lt;math&gt; E = -kT = - \frac{\hbar c}{a} N^{2/3} &lt;/math&gt;}}

*Donc quand l'étoile perd de l'énergie, sa température '''augmente''' (on dit capacité calorifique = -3k) et son rayon diminue.
*et nous le répétons algébriquement, tant cela peut surprendre : quand l'étoile gagne en énergie , sa température diminue et son rayon augmente.

== temps de sortie d'un photon ==

calcul déjà vu plus haut : 


 {{exemple|Résultat-simplifié|t de sortie|&lt;math&gt; t_s = R/c \cdot {\sigma \over R^2 }\cdot N = N \cdot \sigma/Rc &lt;/math&gt;}} , 

typiquement 10 000 ans alors qu'un neutrino met 2 secondes. Le calcul précédent n'est donc pas exact, puisqu'il donne une valeur beaucoup trop courte : cela est dû à la section efficace beaucoup trop petite , nous l'avons signalé, d'un facteur 1000 (passer de Thomson à Kramers): nous appellerons cette erreur d'appréciation [Kr/Th].

== Luminosité universelle ==

Voici maintenant LE résultat capital de cette théorie simpliste :
* le nombre de photons dans l'étoile standard est &quot;universel&quot; 
* son temps de sortie t est calculé plus haut varie comme 1/R
* son énergie émise est environ kT et varie comme 1/R
*Alors la luminosité kT/t par photon ne dépend plus de R (donc de T) et la luminosité totale devient un nb universel!


 {{exemple|Résultat-simplifié|Luminosité universelle|&lt;math&gt; L = L_o . (\frac{N}{N_o})^3  &lt;/math&gt;}}

avec Lo = Gm²/ro². c . No = 1.6 10^31 Watts : elle ne dépend ni de T , ni de R.

Remarquer la facilité du dahus : force entre deux protons à distance ro  . c = Puissance 

*ce qui rend ce modèle un peu trop simpliste est , nous l'avons vu , que l'opacité n'est pas de Thomson.

Néanmoins, cela donne une première approximation , facile à retenir, trop grande d'un facteur Kr/Th =1/1000. On retrouve l'OdG L = 10^27 W.

== Température de Couleur ==
Oh Be A Fine Girl Kiss Me (de 40 000 K à 4 000 K) 

On aura bien sûr L = &lt;math&gt;4 \pi R^2 \cdot \sigma T_e^4&lt;/math&gt; , mais plus physiquement 
E photons/ t(sortie)= L donc 


 {{exemple||T de couleur|&lt;math&gt; T_e^4 = (R/ct_s).T^4 &lt;/math&gt;}}

*Pour T(0) = 10 MK = 10k.eV, cela donne environ Te = 10 000K

== Durée de vie de l'étoile ==

la fusion n’annihile pas la matière ! on produit seulement 0.007 Mc² = 0.007 N . mc² : c'est ce que donne le calcul d'Aston basé sur les masses molaires de He et H.

Donc
 

 {{exemple||durée de vie|&lt;math&gt; t_{vie} = [7 10^{-3}]   \frac{N mc^2}{L_0 (N/N_0)^3} = t_0 \frac{N_o^2}{N^2}&lt;/math&gt;}}


*Une étoile normale vit 10 Gyr , une étoile 10 fois plus massive vivra 100 fois moins, soit 100 Myr, ce qui n'est même pas le temps d'une demi-révolution galactique pour le Soleil, ni le temps d'écartement du rift atlantique en géologie !

== Réacteur nucléaire ==
On a vu que la réaction p +p donne e = 0.007 mc² par nucléon ; 

Pour obtenir la puissance, il faut une cadence de réaction : on prend la décomposition du neutron k = 1/tau =1/(920s). On suppose que la réaction est simple : 

donc Q (N, T) = (e /tau) . nb de cas : le nombre de cas sera nombre de couples distants de ro , soit environ (si population homogène) N^2 (r0/R)^3 ; 

Mais il faut multiplier par l'efficacité de Gamow qui ne conduit pas à un facteur d'Arrhénius mais à un facteur de Gamow (cf plus haut).

Compte-tenu de la relation Rayon-Température on aura une puissance en No/N : soit 


 {{exemple||Puissance du réacteur|&lt;math&gt; Q_o = \frac{(7\cdot 10^{-3})mc^2}{\tau} No (1836)^3 \alpha^6 &lt;/math&gt;}}

Le calcul de Q_o conduit à 7 10^38W ce qui prouve que l'efficacité de Gamow est de l'ordre de 10^(-6).

Q(N, T) = Q_o (No/N) (T/T(0))^6 

(on a pris égal à 6, '''l'indice''' de l'efficacité de Gamow : ce facteur n'est pas déraisonnable , mais il faut surtout retenir que la puissance d'un réacteur nucléaire croît beaucoup avec kT).

== Stabilité de l'étoile ==

On a donc L(T) = cste (dans ce modèle fruste) et Q(T) très rapidement croissante ce qui donne un fonctionnement stable car E = -3kT et donc -3dT/dt = Q(T)-L ( s'il y a excès de production , immédiatement l'étoile gonfle ET refroidit. 
*(Attention au raisonnement faux suivant : P= nkT et donc si T augmente , P augmente donc l'étoile se détend et donc se refroidit : cette faute(circularité) a été abondamment commentée dans le &quot;raisonnement linéaire causal&quot; de L.Viennot (LDPES, Paris-Diderot).

== Naine brune ==

Si N est trop petite , les électrons seront dégénérés (mais pas les protons) , il faut corriger la loi du viriel :  &lt;math&gt;\frac{3kT}{2} +\hbar^2/2ma^2 = -\frac{\hbar c}{ a} (N/N_o)^{2/3}&lt;/math&gt; , mais alors si T(a) max est inférieure à l'ignition nucléaire de l'ordre de 1 M K , l'étoile ne s'allumera pas : on parle d'étoile avortée. Or T(a) max a lieu pour kT(a) = mc² (N/No)^(4/3) : 

*Donc la naine reste brune si N = ~ 0.1 No : Ceci explique qu'il n'y a pas d' étoiles peu massiques .

== Masse maximale ? ==

On ne peut pas non plus avoir d'étoiles trop massiques : un calcul plus sophistiqué que celui que nous allons faire conduit à 

 N &lt; 50 No

*Voici un raisonnement simpliste type dahus : 

il faut en réalité compter dans l'énergie de l'étoile , l'énergie des photons (positive).

Si l'énergie du système est positive , il se déstabilise (la pression de radiation aura outre-passé l'attraction gravitationnelle).

Ceci donne -N.kT + N^3/No^2.kT &lt; 0 soit N &lt; No ; le calcul exact donne un facteur 50.

== Diagramme H-R ==

On rappelle que ce diagramme était fondamentalement ce que nous voulions comprendre : 

IL est TRÈS ÉTROIT : kT de surface varie en (N/No)^(1/4) à peine d'un OdG : de 40 000K à 4 000 K

et la (luminosité)^(1/3) ~ Masse : ne varie qu'entre No/10 et 100 No.

== Conclusion de l'étoile-standard ==

*La luminosité est standard L = Lo (N/No)^3 (trop grande: remplacer Thomson par Kramers). 
*On se donne un réacteur à 10 M K pour avoir une efficacité de Gamow à 10^-6 . 
*Un photon met 10 à 100 000 ans. (No/N) à sortir. 
*La durée de vie est 10Gyr .(No/N)^2. 
*N ne varie presque pas , de 0.1No à 50.No
*La température interne est quasiment toujours la même : 10 M K car Q(T) varie très vite : en fait , elle va dépendre de la &quot;métallicité&quot; , paramètre non pris en compte ici.
*Le rayon R de l'étoile est Gm²/kT N = Ro (N/No)[ et non pas (N/No)^(1/3)]
*La température de couleur Te est donc Teo .(N/No)^(1/4)

*On retrouve donc la pente de la séquence principale (soit L ~ Te^12), &quot;à la louche&quot;.

Rien n'est donc astronomique dans tous ces calculs : on raisonne simplement dans le dahus d'étoile-standard.

L'avantage est de n'avoir fait intervenir que les grandeurs fondamentales et pas de paramètres empiriques (avec une petite triche sur le 1000s de l'interaction faible et le 0.007 de conversion nucléaire qui sont contingent à l'électrofaible, et à la loi forte donnant la courbe d'Aston)

=== la profondeur ===

*'''Premier problème : la profondeur 0&lt;r&lt;R''' :Bien sûr , toutes les étoiles ne fonctionnent pas avec la section efficace de Thomson :  il faut calculer avec la formule de Kramers.

Alors , il vaut mieux dans ces conditions écrire les vraies équations que nous avons évoquées qualitativement :

*l'équilibre hydrostatique -gradP + &lt;math&gt;\rho&lt;/math&gt;G M(r)/r^2 = 0
*l'équation d'état du gaz de fermions (protons et electrons) parfaits quantiques relativistes (cf Landau :)
*l'équilibre thermique div(- K gradT) = Q-nucléaire par unité de volume et de temps

le problème est que Q dépend très fortement de T , et K n'est pas le même en conduction qu'en convection évidemment. 

Donc P(r) T(r) rho(r) et trois équations sachant que Q(T) est modélisé et K(T) aussi .

Bien sûr M(R) = M , \rho(R) &lt;&lt; rho(0) , T(R) &lt;&lt; T(0) ; L(0) = 0 ; M(0) =0; Q(T,r) = [dL(r)/dr]/4Pir² peut être utilisé si on préfère introduire la luminosité L(r).

Ce système s'écrit plus aisément en fonction d'une échelle de r astucieuse (toute fonction croissante convient) : on choisit M(r) telle que dM/dr = 4Pir².\rho(r).

Il ne reste plus qu'à : &quot;faire tourner un programme d'ordinateur&quot;.

=== la chimie nucléaire ===
*'''Deuxième problème : la chimie , qui n'a pas été abordée du tout ici.'''

Dès que l'étoile quitte la séquence principale , son évolution sera beaucoup plus rapide (l'énergie de masse varie bcp moins): il y aura une suite d'ignitions à plus haute T , et durée de vie plus rapide , entrecoupée de temps de chute de Kelvin-Helmholtz (cf plus haut) pour monter en Température. Ceci dit , l'évolution conduit à une évolution où l'étoile gonfle énormément (Géantes rouges) et donc Te baisse énormément.

Puis après avoir fait toute cette chimie (nucléosynthèse) en pelure d'oignon , quand le noyau est composé de fer , l'effondrement conduira à une naine blanche : électrons T &lt; T(fermi) dont la durée de vie est &gt;&gt; 10 Gyr.

Si N est rop grand , les protons seront éventuellement relativistes et à cette masse dite de Chandrasekhar , p +e se transformera en neutrons : comme les neutrinos s'évacuent à la vitesse c , l'effondrement instantané conduira à une étoile de neutrons (taille M ~ 1/R^3 !) avec expulsion des enveloppes. 

Enfin , si M est encore plus grand , on aura un trou noir : cf cours de R.Générale (le livre de Heyvaerts(Dunod 2006) {{ISBN|2-10-049862-2 }}a été conseillé , mais pour ce qui est de la physique stellaire , le Chandrasekhar reste inégalé ).

* Ce dahus reste donc comme tous les dahus : il donne la vision d'ensemble , mais CERTAINEMENT PAS les &quot;détails&quot; qui font que des centaines de chercheurs étudient encore les étoiles dans leur diversité.

== Aparté : Planète ==
On appelle planète un corps pour lequel N &lt;&lt; No tel qiue kT max lors de la contraction conduit à kT &lt; E1 de Bohr , or T est max quand a est mini càd au mieux ao de Bohr cela conduit à 

 {{exemple|Énoncé-simplifié|N d'une Planète|&lt;math&gt; N &lt; N_o \cdot(\alpha)^{\frac{3}{2}} &lt;/math&gt;}}

On est alors conduit à étudier le Système Solaire par exemple ou les exoplanètes (cf cours BIBRING).

== CONCLUSION ==

Il reste à traiter : 

* la profondeur : Lemde-Emde
* la chimie nucléaire
* l'étude fonction du temps : l'évolution stellaire dans le diagramme H-R.

Mais nous avons déjà la Séquence Principale:

La luminosité est standard L = Lo (N/No)^3 et donne un réacteur à kT = 10 keV pour avoir une efficacité de Gamow à 10^-6 . 

Un photon met 10 à 100 000 ans. (Ro/R) à sortir. 

La durée de vie est 10Gyr .(No/N)^2. 

N ne varie presque pas , de 0.1No à 60.No

La température interne est quasiment toujours la même : 10 M K car Q(T) varie très vite.

Le rayon R de l'étoile est Gm²/kT N = Ro (N/No).

La température de couleur Te est donc Teo .(N/No)^(1/4)

On retrouve donc la pente de la séquence principale (soit -12), &quot;à la louche&quot;.

Rien n'est donc astronomique dans tous ces calculs : on raisonne simplement dans le SUN d'étoile-standard.

L'avantage est de n'avoir fait intervenir que les grandeurs fondamentales et pas de paramètres empiriques ( avec une petite triche sur le 1000s de l'interaction faible.


Enfin , si M est encore plus grand , on aura un trou noir : cf cours de R.Générale (le livre de Heyvaerts (Dunod 2006) {{ISBN|2-10-049862-2 }}est bien fait ).

== Partie II : la Profondeur et la chimie ==
=== l'opacité et la loi de Beer-Lambert ===
Soit une cuve de largeur a , à travers laquelle on fait passer un faisceau parallèle d'intensité Io , l'intensité à la sortie de la cuve est moindre I1 &lt;Io , car la cuve a absorbé du rayonnement (puis partiellement rediffusé dans une autre direction).
Soit I1 = k Io . La profondeur optique s'appelle k
En replaçant une autre cuve I2 = k². Io 

On en tire que I(z) = Io exp- z/a (Loi de Beer-Lambert): la longueur a s'appelle profondeur d'opacité. Typiquement dans l'eau , au-delà de 20m , il fait plus sombre : c'est le &quot;grand bleu&quot;(en fait le noir !): le milieu est opaque.


Si on met un colorant absorbant , la densité ( la concentration de ce colorant va jouer d'autant plus que les centres d'absorption seront nombreux : soit leur section s , alors 1/a = n.s.

En astronomie , le gaz ionisé va absorber les photons et on note plutôt 1/a = nm . s/m avec s/m, l'opacité en m²/kg

=== l'opacité de Kramers ===
Dans le cas d'une étoile, on cherche à savoir comment sortent les photons émis par le cœur thermonucléaire. On parle alors d'opacité &lt;math&gt;\kappa&lt;/math&gt;.

Dans le cas de la diffusion Thomson (qui, à plus haute énergie, sera ensuite la diffusion Compton), on considère simplement l'interaction photon-électron, ou photon-proton.

En astronomie, la référence est souvent prise par rapport à la masse du proton, et on parle d'opacité en m²/kg : OdG : &lt;math&gt;\kappa = {8\pi \over 3}\cdot {r_0^2 \over m }&lt;/math&gt; , as usual &lt;math&gt;r_0 = {e^2 \over mc^2}&lt;/math&gt; . L'application numérique donne 1/2 cm²/g .

==== opacité de Rosseland====

La section de Thomson est indépendante de la Température T , mais le bremstrahlung-inverse intervient aussi ( pour dire vite, le transfert d'énergie entre un photon et un électron est déterminée en diffusion à deux corps ; mais si le proton intervient, alors sa &quot;masse-tampon&quot; permet d'absorber l'impulsion et alors un grand transfert d'énergie est possible. Bien sûr, n'importe quel ion peut aussi jouer ce rôle ; ainsi la &quot;métallicité&quot; va aussi intervenir.

Mais, les régions non ionisées peuvent aussi intervenir.

Au total, on est obligé de prendre une formule assez compliquée, dite opacité de Kramers-Rosseland, qui peut être 4 OdG plus grande que celle de Thomson : &lt;math&gt;\kappa_{Kramers} =\kappa_{Thomson}\cdot f(\xi , T) &lt;/math&gt; ; la dépendance en température est typiquement en T^k avec k = -3.5.

Références : Hahashi( 1962), Exer&amp;Cameron(1963), Icarus1,422 . Voir aussi Monier( ed Ellipses, 2006).

=== la chimie nucléaire ===

==== la courbe d'Aston ====

==== le cycle du Soleil, Bethe ====
En fait la réaction 4H -&gt; He + 2positrons +2 neutrinos
n'est pas une réaction simple. Deux modèles prédominent : 
* Via H + H -&gt; D +e* + neutrino (Électrofaible),D+ H-&gt; He3 , puis He3+ He3 -&gt; He4 + 2H 
* une petite fraction suit un autre canal (0.1%),passant par Be7 (+H -&gt;) B8 , puis électrofaible -&gt; Be8 , qui se fissionne en 2 He

ou bien le canal(0.9%) via Be7 électrofaible -&gt; Li7 et (+H-&gt; 2He).

* le fameux cycle de Bethe où C, N et O n'interviennent que comme catalyseurs : comme tous les cycles , il vaut mieux les écrire en rond , comme en biologie : 

''' C12''' (capte H) -&gt; N13 -&gt; C13 (capte H et e-f)-&gt;N14 (capte H) -&gt; O15 -&gt; N15

enfin N15 (capte H) -&gt; '''C12''' + He et e-f.

bilan : 4H -&gt; He +2(e-f) :
absolument prodigieux d'invention pour l'époque.
Hans Bethe(1906-2005) est un des plus grands physiciens du XXeme siècle.

===== l'énigme des neutrinos =====
résolue en 2000 , après la mise en œuvre du SNO_Ontario(1998, eau lourde comme détecteur) : oui les neutrinos électroniques oscillent en neutrinos muoniques , etc. ce qui donne une masse faible mais non nulle à ces neutrinos!

==== le flash de l'hélium ====

==== et ensuite jusqu'au fer ====

== Partie III : l'évolution ==

*L'évolution d'une étoile après sa sortie de la Séquence principale est une histoire pleine de péripéties splendides , assez rapides , qui va conduire les plus petites d'entre elles au &quot;cimetière&quot; des naines blanches.

=== naine blanche ===
essentiellement un gaz d'électrons dégénérés (kT &lt;&lt; kT(fermi) ): donc a = &lt;math&gt;a = \frac{\hbar}{m_e c}&lt;/math&gt;

=== masse de Chandrasekhar ===
évidemment ce calcul est non relativiste : au delà d'une certaine masse proche de No , le gaz est relativiste et n'est plus stable.

=== Novæ ===
Mais entre-temps on peut voir des phénomènes grandioses : les novæ , voir les supernovæ , qui , elles-même, sont de deux catégories.

=== Pulsar ===
essentiellement , la pression permet à la réaction endothermique e-f inverse de se produire :
proton + électron -&gt; neutron +neutrino :
l'étoile s'effondre &lt;math&gt;a = \frac{\hbar}{m c}&lt;/math&gt;, donc de taille 1836 fois plus petite qu'une naine blanche ; la densité est évidemment nucléaire, et la taille d'environ 10km ! si son moment cinétique s'est conservé , elle tourne très vite , et le champ magnétique est très élevé : le rayonnement cyclotron des charges produit un gyrophare : d'où le nom &quot;pulsar&quot;

=== Trou noir ===
montrer que écrire la loi de Laplace(1796) (V-libération =c) donne le rayon de Schwartzschild) :

1/2 .c^2 = GM/R 

Le centre de la Galaxie contient un tel trou noir , très étudié, car les enveloppes astro autour de ce pint sont quasi-concentriques, mais on n'en connaît pas encore bien la théorie (qui relève ici plus d'une théorie des galaxies : cf Binney-Tremaine).

===n!===
Ayant lu le Solodek (the monodromy group) et le Mermin (boojums), je ne résiste pas à signaler la différence d'approche entre ces deux auteurs de la Formule de Stirling : 

n! =~ (n/e)^n .sqrt( 2Pi n). exp (1/12n), et bien sûr est bien marqué =~  et non ~ , car c'est un physicien qui l'écrit.

===PSLQ===
Ayant lu les Borwein , ilya bcp de choses merveilleuses à rajouter via ces deux livres ainsi que ceux de Crandall, Guy , Plouffe , Engqvist ...

== Retour ==
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* voir aussi : 
[[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences : le système solaire]]

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    <title>Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Le système solaire</title>
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      <text bytes="1230" xml:space="preserve">&lt;noinclude&gt;{{Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences}}&lt;/noinclude&gt;

Ici quelques exercices sur le système solaire 

== Le Soleil ==
M = 2e30 kg 
R = 7e5 km
L = 4e26 W
donc 
T de surface, Ts = 5 800 K

== Température d'une sphère noire ==

A la distance a , la sphère recevra L*Pi*r²/4Pi.a² et rayonnera 4Pi.r² &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;T^4 soit T^4 = (L/4)/4Pi.a² ; mais L = 4Pi.R²&lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;Ts^4 . Soit : T^4 = Ts^4 (R/a)² /4 donc : 

T = Ts sqrt(R/a)/sqrt(2)

AN : à la distance de 1 UA : R/a = 7e5/150 e6 = 14/3 e-3 et sqrt(140/3)= 6.83 =&gt; T = 270K. 

== Effet de Serre ==

pour la Terre , il faut compter un albedo de 0.30 : T = 254K = -18°C :L'effet de serre produit 18°+15° = 33K de plus =&gt; 288K . 
Rappel le point triple de l'eau est : 

273.16K (définition); 611.3 Pa ; 206.14 L/g (vapeur)
la température sur le globe varie entre -90° et +60°

à la distance de Mars : 
T(mars) = 270/ sqrt(1.524)= 219 K donc l'eau y est gelée , sauf effet de serre important.
le CO2 (Tt = 216K et P = 4.16 bars)

== Retour ==
*[[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences|Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences]]

[[Catégorie:Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences (livre)]]</text>
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* [[Tribologie]]

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* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences]]

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      <comment>DavidL a déplacé la page [[Discussion:Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/diagramme horaire]] vers [[Discussion:Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Diagramme horaire]]</comment>
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      <text bytes="294" xml:space="preserve">== Bandeau ? ==
Bonjour, depuis que le -bot a changé la place du texte en le replaçant en Histoire des Sciences, il n'y a guère de contributeurs , voire de contradicteurs. Les pages écrites seraient-elles si fausses ?

--[[Utilisateur:Guerinsylvie|Guerinsylvie]] 1 juin 2007 à 14:10 (CEST)</text>
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      <text bytes="481" xml:space="preserve">{{Titre simple|93 - Histoire en général, sciences auxiliaires de l'histoire, historiographie, histoire universelle, histoire ancienne}}

* [[Histoire de la musique]]
* [[Philosophie/Histoire de la philosophie|Histoire de la philosophie]]
* [[Histoire du droit privé allemand]]
* [[La Grande Chasse aux sorcières, du Moyen Âge aux Temps modernes]]
* [[Lecture de stèles grecques]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences]]

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    <title>Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/La gravimétrie</title>
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La '''gravimétrie''' est, à elle seule, un corpus très important de connaissances, tant du point de vue de la théorie que des applications. La loi d'attraction universelle de Newton (1687) étant identique à celle qu'énoncera plus tard Coulomb pour les charges électriques, '''gravimétrie et électrostatique''' sont du point de vue théorique isomorphes. On pourra aisément translater les résultats de l'une vers l'autre  : il suffit de transposer q -&gt; m et &lt;math&gt; 1/ 4\pi\epsilon_0&lt;/math&gt; -&gt; -K (avec K la constante de Cavendish).

K = 6.67 408(31) 10&lt;sup&gt;-11&lt;/sup&gt; S.I. ( Kmm'/d² est une force ). .
(pour mémoire : M(Terre)= 5.972 10^24 kg . La masse du Soleil est ~ 350 000 M(Terre). La masse de la Lune ~ 1/81).  

==Électrostatique, rappels==
Il existe d'excellents livres d'électrostatique : citons 
*le Jackson , LA bible
* le Smith : bourré d'exercices, y compris par CAO
*le Durand : toutes les figures y sont.
*le Alexeev : si vous faites tous les exo, vous serez au point.

Cela n'empêche pas de lire le Feynman, le Berkeley, le Landau.

* Le Kellog est LE livre orienté théorie du potentiel, et le travail de Poincaré.

A un plus haut niveau, Doob montre que le Laplacien et la marche brownienne avec absorption sur les bords c'est ~ pareil. Suivent alors tous les livres de &quot;théorie du Potentiel&quot; (Séminaire Brelot,etc.)

Ne suivent ici que les rappels de [bac +1 ]

=== Champ et potentiel===


=== Flux du champ E et théorème de Gauss ===


=== Mémento des formules usuelles classiques ===


===Dipôle et multipôles===

== Gravimétrie ==

===Champ, Potentiel, Théorème de Gauss===

=== Mémento des formules classiques===

Il convient surtout de remarquer que si l'on possède GM (la constante de Gauss) avec une précision de 10^(-13), on connaît très mal G ( la constante de Cavendish) avec une précision de 10^(-5) et encore pas pour les petites distances.

Exo : soit une plaque uniforme de masse volumique &lt;math&gt;\rho&lt;/math&gt; ; de part et d'autre de la plaque la pesanteur varie de Delta_g. On déplace la plaque au-dessus puis au dessous d'un sakuma. Sachant qu'un sakuma est précis à 10^(-13) évaluer l'épaisseur de plaque nécessaire.

Exo : soit un volcan conique sous-marin affleurant la surface, d'angle au sommet_O,&lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt; :les marins savaient très bien que la mer n'était pas plate au voisinage de O (la carte du ciel se modifiait ! ). Dessiner la mer au voisinage de O ( on posera h= 4km , alpha = 30°, la masse volumique : 3kg/L ).

Exo : Turcotte est LA référence.

== La Terre, niveau élémentaire==
le Diament, le Moritz, le Radix ,le Torge,les Levallois et les Melchior  etc. vont nous servir.

=== Les références usuelles===

*~Boule :

Circonférence : 40 000 km ( ancienne définition du mètre )

Masse : tq masse volumique =(1+10)/2= 5,5 kg/L . Plus exactement : 5.972 10^24 kg . ( mal connue à cause de la mauvaise connaissance de K. Ce qui est bien défini est le produit KM, la constante de Gauss ).

se comporte donc comme un point massique pour l'extérieur (théorème &quot;remarquable&quot; de Newton,1685):

g = ~ KM/R² = ~9,8 m/s²

=== Le champ de pesanteur ===

Il faut rajouter le fait que la Terre pivote : champ de force axifuge dont le potentiel vaut :  &lt;math&gt; - \frac{1}{2}m \Omega^2 (\vec{HM}\cdot \vec{HM})&lt;/math&gt;.
Donc g varie avec l'altitude, et la latitude ( pas avec la longitude si symétrie sphérique); mais il ne faut pas oublier que la Terre sur les temps géologiques s'est mise en isostasie et donc a pris, en gros, la forme d'une galette très peu aplatie, de champ G(M), légèrement différent d'un champ central à cause du bourrelet équatorial ( 40 021km)[anecdote : le Mississipi coule en s'éloignant du centre de la Terre !].
Il en résulte donc que  g(Pôle)= 9,78 &lt;  g(Equateur) = 9,82 m/s². 

LE paramètre important, sans dimension est ici &lt;math&gt;m = \Omega^2R/g = ~ 1/17^2= 1/289&lt;/math&gt;

=== Exercices, niveau bac+2 ===
* La Terre tournait plus vite il y a longtemps. Si elle tournait 2 fois plus vite, quelle valeur donneriez-vous à g(équateur) ? 

* soit un Globe sphérique de rayon R et tournant 17 fois plus vite que la Terre : dessiner les équipotentielles dans un plan méridien : montrer que les arbres donneraient la direction du Nord, que les lacs aussi ( par leur perpendiculaire) !

* soit un objet lancé au pôle nord du globe précédent avec la vitesse sqrt(gR): mouvement? mouvement par rapport au sol? Montrer que la trajectoire projetée sur l'équateur est un cercle.

===La cause de la marée, la marée &quot;statique&quot;===
====qq références====
Bernard Simon,(2007),'' la marée océanique côtière'' ,ISBN 978 2 903581 32 9 , SHOM.

Bouasse, '' Houle, seiches et marées''. ( existe pts amphidromiques )

Poincaré, ''théorie des marées'', in méthodes de la mécanique céleste.( Existe th des points amphidromiques ).

Marchuk &amp; Kagan, ''dynamics of ocean tides'', Kluwer 1989, ISBN 90 277 2552 7. Très complet. En particulier, sur la dissipation d'énergie.
 
Bruce Parker,''tidal hydrodynamics'', Wiley 1991. Recueil d'articles , assez complet. 

Open University Course : waves, tides ans shallow-water processes,1989, 0 08 036371 7, in les 7 tomes consacrés à l'océan : cours ayant pris le parti d'être au niveau zéro-culture math. Donc soigné dans l'élaboration des explications théoriques. Mais malheureusement, il se trompe. Pas si facile d'essayer une explication qualitative. L'erreur ici est de se référer à un mouvement '''circulaire''' de la Terre, qui n'a rien à faire ici. Le mot juste est mouvement '''relatif''' à T , en translation accélérée.
 
Wunsch,''physical oceanography'',2015, Princeton UP, 978 0 691 15882 2, magnifique présentation, MAIS peu clair sur les marées, car tjs cette force centrifuge, hélas!
 
Yanagi,''coastal oceanography'', Kluwer 1999, petit ouvrage, tout de suite concerné par l'amphidromie et les équations. A re-consulter.
 
Melchior, pour les marées terrestres et le nb de Love. ( plus tard ).

Odile Guerin, '' tout savoir sur la marée'', Ouest.fr , bien sauf l'explication par force centrifuge. Donne l'essentiel des éléments de compréhension, logiquement. 

Revault d'Allonnes,''la marée océanique'', bien pour la règle de Proctor.
 
SHOM, Guide du navigateur : une explication simple mais correcte de la marée. 

Je reste étonnée, après relecture de Newton, Principia, chapitre marées, de voir toutes ces explications qui confondent : mouvement relatif à T en translation circulaire, et stupidement confondu avec''' ''force centrifuge'' '''. 
fin provisoire de cette recension biblio. 

*La marée est l'élévation périodique du niveau de la mer : le flot conduit de la marée basse à la marée haute, l'estran est envahi par l'eau de mer. Le jusant a contrario découvre l'estran lors du reflux. Sur les côtes de la Manche, le marnage ( différence entre le niveau haut et le niveau bas ) peut être important (7 m à Brest, plus de 10 m en baie du Mont Saint-Michel) et induit des forts courants. Il faut s'en aviser : entrée dans les ports, ports d'échouage ou ports de pleine eau, utilisation de l'énergie marémotrice dans le barrage de la Rance, etc. Le SHOM, en France, reste LA référence pour l'activité maritime. La marée en Bretagne est due surtout à l'onde M2 (cf. plus loin), soit deux fois par jour lunaire (un jour lunaire fait 24 h 55 min en moyenne). La marée se décalant chaque jour, il convient de se munir d'un annuaire de marées.

La cause de la marée est due à la Lune et au Soleil (et aucun autre astre !). Cela fût expliqué par Newton en 1687. C'est un joli exercice de gravimétrie. La force de marée d'un Astre n'est pas sa force d'attraction gravitationnelle, mesurée par &lt;math&gt; \vec g_{Astre}(M) = K.M_A \vec {AM} / AM^3 &lt;/math&gt; , mais seulement la très petite différence entre l'action sur l'élément d'eau entourant le point P étudié à la surface de l'eau ET l'action de l'astre au centre de la Terre , disons le point T , car ce qui est étudié est le mouvement de P RELATIVEMENT à T , et il convient donc de décompter l'accélération de T due à l'Astre. D'où le résultat de Newton : l'action de marée est le champ résiduel &lt;math&gt; \vec g_A(P) - \vec g_A(T) &lt;/math&gt;, qui serait nul si P était en T, et qui est tout petit puisque P est tout près de T ( on note que la surface de l'eau est à 6400 km à peine de T, alors que TS = 1 U.A. := 1 Unité Astronomique := ~ 150 000 000 km , donc TP &lt;&lt; TS ). En pratique, on considère qu'il est suffisant de considérer l'approximation du premier ordre : &lt;math&gt; \vec g_A(P) - \vec g_A(T) = g_A^' (T).\vec {TP} &lt;/math&gt; , où g' est la dérivée de g, c'est à dire l'application linéaire tangente au point T. Il résulte que '''l'action de marée d'un Astre est non seulement à symétrie de révolution autour de l'axe TA de la figure, MAIS AUSSI à symétrie plane selon le plan équatorial, càd LE plan équatorial perpendiculaire en T à l'axe TA'''. Par ailleurs cette action est très faible ( sous-entendu par rapport à g, la pesanteur terrestre ). Ce sont les deux corollaires fondamentaux de la théorie de Newton. Nul avant lui n'avait su expliquer ces deux propriétés. On a pris l'habitude ''conventionnelle'' de représenter l'action de marée par une hauteur h(P) reliée au potentiel de la force de marée V(P) par : g h(P) = -V(P ), et bien sûr V(P) est quadratique en \vecTP . Tous calculs faits, on obtient : 

&lt;math&gt;  h(P ) =  R. \frac{M_A}{M_T}\frac{R^3}{d_A^3}. \frac {r^2}{R^2}. \frac{3 cos^2\theta -1}{2}&lt;/math&gt; 

soit, si &amp;#theta = 0 ou Pi , h = 20 cm , pour le Soleil. 

Cette formule met en évidence le fait que la force de marée agit par un facteur M_A / (TA)^3 : La Lune bien que beaucoup moins massique que le Soleil, agit néanmoins car sa distance à la Terre, TL est bien moindre : TL ~ 60 R . Il en résulte que l'action de marée est deux fois plus forte : h ~ 40cm . Il en résulte aussi qu'aucun autre astre ne peut agir.

== Les gravimètres ==

===le pendule de Kater===

Longtemps le pendule pesant a servi à mesurer g(M). 

Le pendule de Kater ou pendule réversible est une barre pesante avec deux couteaux symétriques par rapport au centre G de distance AB = l = longueur du pendule simple synchrone. En fait A et B sont deux couteaux aussi aiguisés que possible ( calcul du rayon de Hertz possible), et une bague( ou 2) permettent de régler au mieux G de façon que T(A) = T(B) si on &quot;renverse le pendule&quot;.
On obtient au mieux une précision de 10^(-6).

Exercice : cf AmJPhy.

===l'expérience de Newton ===

Il est remarquable que la masse pesante et la charge gravitationnelle s'éliminent toujours des calculs, quel que soit le matériau : Newton a passé beaucoup de temps à vérifier ce phénomène, énoncé par Galilée.

De même , en chute libre ( càd en ayant éliminé la résistance de l'air) , une plume tombe aussi vite qu'un plomb ou un platine ou un platane : dès que Newton eût à sa disposition une machine à faire le vide, il s'empressa de faire l'expérience , fort spectaculaire à vrai dire ! On peut la voir dans de multiples musées. Sinon un tube de verre de 2m de long, phi = 5cm, fait l'affaire.

===les sismographes ===

Grosso-modo, supposons que l'on maintienne un éléphant en suspension statique : quand la Terre vibre, la capacité électrique entre ses pieds et le sol varie et donne donc le mouvement du sol.

En pratique, on suspend une grosse masse au bout d'un ressort de raideur quasi-nulle ( mais évidemment , par une astuce technologique, on élimine l'allongement statique du ressort).

Exo : Ulm 1973

===les gravimètres &quot;Sakuma&quot; ===

En 1970, Sakuma a l'idée de refaire l'expérience de Newton avec un coin de cube, servant de 2ème miroir d'un michelson : Quand le coin de cube tombe, on enregistre le défilement des franges : cela donne g avec une précision fantastique ~10^(-12)

Exo : Capes 1982

Les appareils actuels sont dérivés du Sakuma et donnent la même précision absolue. Mais cet équipement est cher et requiert une &quot;base&quot; géodésique précise.

== L'intérieur de la Terre et Bullard ==

On se doutait bien que la Terre avait une masse volumique &lt;math&gt;\rho(r)&lt;/math&gt; qui décroît avec la distance. Bullard est le premier qui déclare qu'elle le fait avec une discontinuité nette au niveau Noyau - Manteau.

Aujourd'hui, on sait évaluer grâce à la sismologie, la masse volumique.
Mais le petit exercice suivant donnera le principe du raisonnement de Bullard :

*Soit une boule sphérique de rayon R ,non homogène, dont on connaît g(r) :

de 0 à R/2, g(r) =g(R)r/R ;

de R/2 à R , g(r) = cste = go

Montrer qu'il existe une forte discontinuité en R/2 
Calculer le moment d'inertie de ce Globe.

== Gravimétrie et Géodésie ==

La gravimétrie est l'étude du champ de pesanteur terrestre : si la Terre était recouverte d'eau, sa surface serait une equipotentielle du champ de pesanteur et le problème serait réglé.

Mais les continents plus légers flottent sur l'asthénosphère et émergent des océans : il faut établir les cartes donnant la distance au &quot;centre&quot; en fonction de la latitude et la longitude du point M ( encore faut-il savoir évaluer ces trois paramètres : c'est l'objet de la géodésie qui va faire au mieux ( où est le &quot;centre &quot; de la Terre, où est l'axe des pôles ), en geo-dein ( parcourir la Terre en la mesurant et en utilisant au mieux les données gravimétriques : croiser ces deux fichiers de data n'est pas si facile.

== La figure de la Terre, références ==

== la figure de la Terre, actuelle : le géoïde ==

== Les mesures géodésiques actuelles ==

=== la grande échelle ===

Les satellites ( en gros 2000 actuellement) évoluent dans le champ g de pesanteur si on considère la Terre pivotante, ou dans le champ de Gravitation pour une Terre géocentrique : il faut alors décompter les effets différentiels de la Lune et du Soleil + toutes sortes de perturbations.

Pour observer la Terre, on prend des satellites type GPS (h =~10 000 km), mais surtout des satellites géodésiques ( starlette est un précurseur ; les GEOS sont plus gros ; Grace et plus tard Goce sont encore mieux dédié à la gravimétrie.

On espère connaître la Terre avec un maillage de 50 km d'ici une décennie.

=== la petite échelle ===

Au sol, les maillages peuvent être aussi denses qu'on le veut : les métrés cadastraux peuvent en différentiel se faire par GPS ; ce qui complète utilement les relevés de géodésie. 

La France a confié au LAREG cette prestation , les data pouvant être délivrés par l'IGN : on connaît les prestations de SPOT , mais un SIG-MNT est encore plus impressionnant car on y voyage en 3D. 

Il reste à couvrir le sous-sol : quant il y a lieu, de superbes MNT sont établis (études pour enfouissement des déchets, impact d'un barrage, etc. ).

=== l'intégration des données===

On a donc deux descriptions de la Terre : 
*par satellite , avec des mailles très larges ( on essaie d'atteindre 100km : Ylm jusqu'à l =40, soient 1600 coefficients!)
* au sol , par un réseau de mailles très petites, mais qu'on a du mal à raccorder d'île en île, puisque les mesures en littoral sont mauvaises ( pas si facile en Bretagne d'avoir l'altitude sachant qu'il faut faire la part de la marée océane et de la marée terrestre). 

De plus l'Océan antarctique est très mal connu.

*Le problème, en 2008, est de fusionner les 2 types de fichiers &quot;au mieux&quot;.

Signalons cependant que si la Recherche veut se focaliser sur le voisinage d'un point du Globe, elle peut obtenir des résultats remarquables ( on voit la marée Terrestre ! ).

Ce qui peut paraître surprenant est que l'on n'a pas réussi avec le &quot;centre G &quot; de la Terre : 20 cm restent la limite , en 2008.

===la dérive des continents et Wegener===

Heureusement, les mesures GPS et bientôt les mesures Galileo donnent des variations millimétriques en différentiel : par exemple l'ouverture des Afars se mesure très bien.

Pour la Pacifique ou de continent à continent, on ne peut opérer qu'en mesure absolue. Néanmoins on dispose de bcp de points : la dérive des plaques de Wegener est parfaitement vérifiée avec quelques corrections de visco-élasticité et de plasticité, pour les prismes d'accrétion ou les zones de subduction.

Il faut aussi prendre en compte la déglaciation à l'holocène (disons depuis la dernière déglaciation il y a environ 12000 ans) des boucliers canadien et scandinave. Ce soulèvement appelé rebond glaciaire est difficile à extraire des données compte-tenu des mouvements convectifs donnant lieu à la dérive des continents. On sait très bien voir g(t) variant avec la Lune et le Soleil et + la rétroaction des marées, mais aussi les variations de l'atmosphère sont à prendre en compte à ce niveau de précision ( un gros cyclone tel Katrina apparaît dans les mesures, de même qu'un séisme type Sumatra-2004).

Il reste à les prévoir : disons dans qq décennies ?

Les progrès accomplis en 50 ans ( spoutnik : 1959) sont époustouflants et raviraient Aristarque, Ben Musa, Newton, Clairaut, Airy, etc.

==Retour==

*[[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences]]

[[Catégorie:Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences (livre)|la gravimétrie]]</text>
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    <title>Mécanique , enseignée via l'Histoire des Sciences : le système solaire</title>
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    <title>Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/L'information</title>
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        <username>DavidL</username>
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      <comment>DavidL a déplacé la page [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences : l'information]] vers [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/L'information]]</comment>
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      <text bytes="16116" xml:space="preserve">Une digression importante est la notion d''''information'''.

A priori, dans un système dynamique sans bifurcation, la neg-information ou entropie (notée $ )est nulle.
Mais il est des cas où une sensibilité aux conditions initiales donne une floppée d'orbites largement différentes dans l'espace des phases. Tout en restant déterministe, le système devient imprédictible. Le raisonnement &quot;à la Gibbs&quot; redonne cohérence à une approche thermodynamique, à priori très éloignée de la mécanique.

Sans vouloir prétendre à autre chose qu'une '''introduction à la notion d'information''', cette digression sera bien utile lors de la présentation des systèmes dynamiques.

== Ignorance et manque d'information $ ==
Le manque d'information est la &quot;mesure&quot; de notre ignorance.

Soit N questions oui/non (on dit choix binaire) posées pour découvrir le schmilblick, alors c'est, grosso-modo, qu'il y avait W = 2^N choix possibles (penser dichotomie).

Appeler N, le manque d'information ou encore '''Entropie''' (notée $)et W, le Possible ( raccourci pour dire le nombre de cas possibles), alors la liaison entre $ et W est celle gravée sur la tombe de Boltzmann(1844 -1906), précurseur génial :

'''S = lg W bits''' , avec lg (x):= logarithme à base 2

Il ne reste plus alors qu'a débobiner ce fil conducteur. SHANNON(1916-2001 ) est le principal auteur de cette '''théorie de l'Information''', complétée par Kolmogorov, Jaynes, etc.

Vers 1995, le qubit entre en scène : suite à une compréhension du paradoxe EPR ( Einstein, Podolsky, Rosen), du point de vue théorique (inégalité de Bell(1928-1990 ))puis expérimentale (Alain.Aspect(1947- )), Shor(1957- ) introduit l'algorithmique-quantique ; c'est le début de l'ère de la Quantum-Information. Au-delà du mythique ordinateur quantique, les retombées sont déjà nombreuses [la Q-cryptographie est déjà commercialisée]. Nous n'en dirons que qq mots.

== Probabilités et $ ==
===Introduction===
Soit une loterie à 8 numéros [ de 1 à 8], combien de questions binaires(oui/non) faut-il poser pour trouver le numéro sorti? Considérant que 8 = 2^3, en procédant par dichotomie, il faut poser trois questions. Et s'il y a W = 256 numéros , huit questions.

Plus généralement, pour une loterie à W numéros, W étant très grand, l'ensemble des numéros s'écrira en notation binaire à l'aide de lg W chiffres 0 ou 1. Le nombre de questions binaires à poser pour localiser un numéro quelconque sera donc $ = lg W mesuré en bits ( binary_digits)

===Généralisation===
La loterie consiste maintenant à choisir au hasard une lettre d'un livre de Emile Zola. On pourrait penser que $ = log2 26 , puisqu'il y a 26 lettres dans l'alphabet. Or, un peu de réflexion fait songer que ce nombre est plus petit, car les lettres w et z sont très peu courantes. En les éliminant a priori, on serait conduit à $= log2 24.

En fait nous voici confronté au vrai problème : étant donné M lettres , de probabilités p1, p2,pi, .., pM , avec somme pi = 1, quelle est la '''valeur moyenne''' du nombre de questions binaires à poser, appelée $, pour trouver une lettre parmi les M possibles.

La réponse est : 


{{exemple|Enoncé|Entropie de SHANNON|&lt;math&gt;\ \$ = - \Sigma p_i \cdot log_2 p_i   &lt;/math&gt;}}


La démonstration de ce théorème est due à SHANNON.

En voici une démonstration dans le cas simple M = 2 de deux lettres, disons A et B de probabilité p et q= 1-p.

Il doit être précisé ce que ''valeur moyenne'' veut dire :

La convention sera la suivante : on considère des mots de N lettres ( ici il y a donc 2^N mots ).

Soit $(N) le nombres de questions binaires pour trouver un mot.

On dira que l'$ par lettre est $ = $(N)/N quand N devient très grand ( à la limite, N-&gt; infty).

Il y a bien 2^N choix , mais $ diffère de log2 2^N = N , '''CAR''' , ''si N est assez grand'', '''la plupart''' des mots contiendront pN fois la lettre A et qN fois la lettre B.

 '''Ne retenir que ces cas et éliminer les autres, considérés comme très peu probables.'''
Cette hypothèse étant admise, La pièce est jouée : 

il ne reste plus que C(N, pN) cas et &lt;math&gt;\$ = lim 1/N \cdot log_2 [N! /(pN)!(qN!)]&lt;/math&gt; .

L'approximation de Stirling donne la réponse : $ = (-p.Ln p -q.Ln q)  /Ln2  bits (faire ce petit calcul : la réponse est donnée plus bas (calcul des C(n,p)).

Dans le cas de M lettres, le même type de raisonnement donnerait au dénominateur &lt;math&gt;\Pi_i (p_iN)!&lt;/math&gt;
, et cela donne bien la formule de Shannon.

=== Unités ===
Paragraphe inessentiel : Surtout ne jamais se bagarrer pour des questions d'unités ! ce n'est pas de la physique ; juste une histoire de convention pour s'entendre sur les valeurs numériques calculées ( ...accompagnées de leur unité par conséquent! ).

Soit z-&gt; Lnz , le logarithme complexe ; il donne lieu à des problèmes d'unités : les angles doivent être comptés avec l'unité sans dimension , le RADIAN . Les autres unités degrés ou grades ou tours s'en déduisent.

De même pour les logarithmes usuels : 

soit x un nombre réel positif : y tel que x = 10^y s'appelle l'OdG Exact (Ordre de Grandeur Exact), et la partie entière de y , l'OdG : 
y := log10 (x) bels . 

Souvent on préfère une autre base : x = 2^y' , soit y' = log2 (x) = y .[1/log 2] bits ~ 3.3 y bits
Le bit ( ou l'octave) est une unité plus petite que le bel, y' est donc évidemment plus grand que y.

Enfin certains préfèrent s'exprimer en népers ( ou := nats): y&quot; = Ln x ~ log x /log e ~ 2.3 y népers

D'autre part, usuellement on se réfère à la mesure en octets (ou bytes) d'un code informatique : 1 octet = 2^8 =256 bits.

Les chimistes, pour une raison historique, continuent à s'exprimer en Joule/Kelvin = J/K : soit!

Retenir que une mole de bits = R.Ln2 = ~ 8.32*0.69 = 5.74 J/K [nous y reviendrons !].

== Entropie statistique $ et entropie thermodynamique S(U,V)==
=== Description d'un Système à l'équilibre ===

*Un système thermodynamique est composé d'un grand nombre de particules ( typiquement pour une mole N ~ 6.10^23).L'espace des phases est donc de dimension 6N. Or, la connaissance de l'état d'équilibre MACROSCOPIQUE n'exige que la connaissance de v grandeurs macroscopiques ( Principe zéro de la thermostatique sur l'existence de la variance v ; pour un gaz pur , v= 2). Souvent le choix se porte sur le couple {volume V et énergie interne E}

*Cependant, on sait bien en mécanique quantique,qu'à un niveau d'énergie E correspond une multiplicité d'états g(E). Citons deux exemples classiques :
 
N systèmes à 2 états d'énergie 0 et e : si E = pe , alors g(E)= C(N,p).

N oscillateurs harmoniques d'énergie (n+1/2)&lt;math&gt;\hbar \omega&lt;/math&gt; : si E =N/2 +q , alors g(E)= C(N+q-1,q).

*Plus généralement, soit N(E) le nombre d'états d'énergie inférieure à E : N(E) croît de manière fantastique avec E : l'énergie n'étant en réalité définie qu'à une largeur dE près, le nombre d'états à considérer est N'(E).dE : = &lt;math&gt;\Omega&lt;/math&gt; (E, V), et nous verrons dans un instant pourquoi S = k Ln &lt;math&gt;\Omega&lt;/math&gt;, ce qui est la célèbre formule de Boltzmann(-).

*Dans le cadre de la mécanique classique, la valeur de N(E,V) est donnée par la &quot;discrétisation&quot; de l'espace des phases. Nous admettrons que : 
Soit Volume(E,V) le volume d'espace des phases délimité par l'hypersurface d'énergie E ; alors :
N(E,V) = &lt;math&gt;\frac{1}{h^{3N}}&lt;/math&gt;. Volume(E,V) , ceci si E &gt;&gt; h^2/(m (V/N)^(2/3)).

*Si de plus les particules sont INDISCERNABLES, il faudra diviser par N! le nombre d'états possibles.
L'exemple le plus connu est celui du Gaz Parfait monoatomique : N(E) = V^N . E^(3N/2).C(N) où C(N) est une constante très petite aisément calculable.

===Mise en contact thermique ===
*Si on place en ''contact thermique'' deux systèmes S1 et S2 ( le tout isolé) , alors les états accessibles seront tous les états des niveaux E1 et E2 tels que E1+E2 = E et nous admettrons :
*'''Postulat d'équiprobabilité''' : tous ces microétats ont une égale probabilité d'être réalisés.
*Alors il en résulte que la proba pour que S1 possède l'énergie E1 ( donc S2 l'énergie E-E1)est : 

p(E1) ~ &lt;math&gt;\Omega_1(E_1) \cdot \Omega_2(E-E_1)&lt;/math&gt;.

soit une fonction extrèmement pointue, dont le sommet se situe à une abscisse E1* telle que : 

&lt;math&gt;\frac{\partial Ln\Omega_1}{\partial E_1} = \frac{\partial Ln\Omega_2}{\partial E_2}&lt;/math&gt;

Aux fluctuations près ( que l'on néglige, rappelons-le, en thermostatique), on DÉCLARE que l'état le plus probable est celui réalisé macroscopiquement.

*Considérant que l'égalité précédente définit une grandeur thermométrique, il est loisible de choisir une température T* dite température statistique telle que : &lt;math&gt;1/kT^* = \frac{\partial Ln\Omega}{\partial E}&lt;/math&gt; , k ne dépendant que de l'unité choisie.

*Identifier immédiatement T* et T , température du gaz parfait :

en effet , on a vu pour ce gaz, &lt;math&gt;\Omega =k'\cdot E^{3N/2}&lt;/math&gt; donc 1/kT* = 3N/2E : en choisissant, pour valeur de k, la constante de Boltzmann, alors E = 3/2 N.kT* = 3/2 N.kT , ce qui identifie T* à T , donc à la température absolue (puisque cela a déjà été fait pour les Gaz Parfaits).

* En comparant alors les deux formules :&lt;math&gt; 1/T = k\frac{\partial Ln\Omega}{\partial E}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;1/T =\frac{\partial S}{\partial E}&lt;/math&gt;, il vient :

S(E,V,N) = k Ln &lt;math&gt;\Omega&lt;/math&gt; + f(V,N) , f étant quelconque.

*Un raisonnement identique sur la variable V, conduit à la notion de Pression d'équilibre et donc cette fois

S(E,V,N) = k Ln &lt;math&gt;\Omega&lt;/math&gt; + g(E,N) , donc g(E,N) = s(N) seulement.

*Compte-tenu de l'extensivité de S , s(N) = N.s(intraparticulaire).
Ce dernier terme n'intervient que si la &quot;particule&quot; révèle par analyse plus fine des degrés de liberté internes observables, dont la prise en compte doit alors s'intégrer à N(E) donc &lt;math&gt;\Omega&lt;/math&gt;.

=== Conclusion :{{exemple|Enoncé|Défintion de Boltzmann|&lt;math&gt; \ S = k \cdot Ln \Omega(E,V,N) &lt;/math&gt;}}===

==Interprétation du second principe==
Dans le cadre de cette interprétation de l'entropie, le principe d'évolution n'a plus qu'un caractère probabiliste.

Reprenons l'exemple-type de l'exprience de Joule&amp;Gay-Lussac : 2 compartiments égaux, contenant p particules dans C1 et N-p dans C2 aurait une réalisation C(N,p) , correspondant à une entropie S0 + k Ln C(n,p) : cet état sera &quot;extrèmement beaucoup moins&quot; probable que le cas C(N, N/2); la loi de probabilité est semblable à une gaussienne de largeur très grande en sqrt(N) , mais de '''largeur relative''' en 1/sqrt(N): très petite.

Le deuxième principe s'énonce maintenant : 


{{exemple|Enoncé|deuxième principe de Boltzmann|&lt;math&gt; Il \cdot est\cdot extremement \cdot peu \cdot probable \cdot que\cdot l \cdot entropie \cdot d \cdot un \cdot systeme\cdot isole \cdot decroisse &lt;/math&gt;}}

==Illustrations==
* Rappeler d'abord que l'incertitude sur E, appelée dE n'intervient pas, log (dE/E) étant négligeable. De ce fait pour N très grand, on perd la notion de dimension pour le nombre N(E,V) : pas étonnant alors que ce genre de situation conduise à un Logarithme. Manin en déduit qq réfexions assez profondes.
*Comme 1/T = &lt;math&gt;\frac{\partial S}{\partial E}&lt;/math&gt;, le développement de &lt;math&gt;\Omega(E+h)&lt;/math&gt; se fera non pas par addition de Taylor, mais par multiplication par un facteur f dit de Boltzmann , qui sera l'objet d'une leçon ultérieure : f = exp(h/kT) . Mais d'ores et déjà, cela permet d'intéressantes remarques : 
*cas de N oscillateurs : exp(e/kT) = C(N+q, q+1) / C(N+q-1, q) = (N+q)/q = N/q +1 , soit la formule d'Einstein : 

q/N = E/Ne = 1/[exp(e/kT)-1], et donc C(T) = dE/dT

Si les N oscillateurs se répartissent en Ni oscillateurs d'énergie ei , on retrouve la formule de Debye-Einstein :

E =&lt;math&gt;\Sigma&lt;/math&gt; Ni ei . 1/[exp(ei/kT)-1 ]: la capacité dE/dT va changer si les ei forment un pseudo-continuum : changement très intéressant à analyser mathématiquement.

*cas des N spins 1/2 : énergie 0 ou e = 2 &lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt;B/kT , on retrouve la formule de Brillouin(1/2) :
exp(e/kT) = C(N, p+1)/ C(n, p) = (N-p)/p = N/p -1, soit E = Ne /[exp(e/kT) +1 ] : l'essence du refroidissement adiabatique tant étudié par Giauque ( Nobel chimie 1949) réside dans cette formule.

* Citer un OdG de Y.Rocard ( thermodynamique,p469) : l'entropie de changement d'état d'un métal desolide en liquide est positive et voisine de R , car le volume occupé par un atome localisé est V/N et donc N{solide}(V)~ (V/N)^N , alors que dans le liquide les particules &quot;voient tout le volume&quot; , mais il faut tenir compte de leur indiscernabilité: N{liquide}(V) = V^N/N! : on arrive aisément à la conclusion.

* Voici plus fascinant: Pomérantchuk étudiant l'hélium III dégénéré a remarqué que cette fois la variation d'entropie est négative (-R Ln2)! donc il faut chauffer le liquide pour qu'il devienne solide ! Cela est compréhensible : à très basse température le liquide fermionique dégénéré occupe un seul état : &lt;math&gt;\Omega&lt;/math&gt; = 1 . Pour le solide, les atomes localisés ont un spin quelconque ( sans champ magnétique), &lt;math&gt;\Omega&lt;/math&gt;= 2^N ( cf pb ensParis 1980, Claire Lhuillier).

* Last but not least , le calcul de C(N) pour les gaz parfaits n'est autre que le calcul de la classique constante de Sackur-Tetrode. On retrouve l'entropie de l'Argon_computer à 3ChS.

===la boule B(n)===

Plaçons ici cet encart : calculer le volume de la boule B(n) : nous verrons pourquoi cela a de l'importance, plus tard. Enoncé : 

#Un cercle : le disque b(2) = Pi . R^2 et la circonférence s(2) = 2.b(2)/R 
#Une boule : b(3) = Pi. R^n et s(3) = n.b(n)/R ;
#Une boule : b(n) et s(n) = n.b(n)  ( on fait R=1).
#Trouver la suite b(n) (et bien sûr on aura s(n)). Retenir le cas TRES simple : s(6) = Pi^3

La réponse est : 
#si n est pair n= 2p , alors b(2p) = Pi^p/p!
#si n est impair , formule analogue [ à écrire c'est un peu plus compliqué, mais pas &quot;réellement&quot; , il FAUT passer au-dessus de ces détails mesquins ]

Pourquoi ? parce que b(2p+2) = (Pi/p) .b(2p) .end. [il resterait à démontrer simplement cette formule ...donc à compléter].

#b(2) = Pi 
#b(4) = b(2).Pi/2 = Pi^2/2
#b(6) = Pi^2/2.Pi/3 = Pi^3/6
#b(8) = Pi^4/6.4 = Pi^4/4! 

Et voilà : à partir de n= 3,4 le nombre b(n) qui croîssait décroît : Pi/p est supérieur à 1 si p=3, mais inférieur à 1 si p=4 ! 

et la somme des b(2p) = exp(Pi) !
La somme des b(2p)(Iz)^p vaut : exp (I Pi z) = (-1)^z ; bizarre...à vérifier.

réflexions issues du Marcel.Berger.
----
L'idée est maintenant celle-ci (due à Manin ?) :

Quand n devient très très grand, il faut compter le nombre de solutions de l'inéquation sur les entiers naturels : a^2 + b^2 +c^2 + ... n fois &lt; E^2 : ce nombre est W(2,E) quand E est TRES grand et n est TRES grand aussi ( évidemment E^2 &gt;&gt;&gt; n ) : ce problème est relié aux nombres de Waring.

=== les C(n,p)===

Plaçons ici cet encart : étude des C(n,p) quand p est très très grand p=x.n avec x fixé (inférieur à 1 , certes ! ) , càd C(n,x.n) : 

alors C(n,xn) = n!/p!q! ~ n!/ (p/e)^p sqrt(p)sqrt(2Pi)q! = n!/q! . exp(x)^n /sqrt(2Pi) . 1/sqrt(x).1/sqrt(n) . 1/ (x^x)^n . 1/n^(xn) donc ~  [[exp x .exp y .exp 1]]. [1/(x^x .y^y)]. 1/sqrt(2Pi.x.y) et l'on constate que C(n,xn) = très grand = 1/sqrt(2Pixy) . 1/(x^x.y^y)^n

Souvent on considère : C(2n, x.2n) = catalan(n) si x =1/2 ;
#Souvent on considère : C(2n, n-k) avec k &lt; sqrt(n) : alors, cela revient à dire x = 1/2 -eps avec eps = k/2n tout petit.Au total, on va retrouver la Gaussienne. 

Cet exercice est TRES important ; car il fonde la thermodynamique [[ cf exercice : trouver la position du centre de gravité d'un gaz dans une boîte ( il serait amusant de le poser sur le disque , ou sur la sphère , etc. bigre : sur la surface du cube ... ? ) .

réflexions issues du Combinatorial_issues.

== Retour==
[[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences ]]

[[Catégorie:Mécanique,_enseignée_via_l'Histoire_des_Sciences_(livre)]]</text>
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      <text bytes="16215" xml:space="preserve">&lt;noinclude&gt;{{Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences}}&lt;/noinclude&gt;

Une digression importante est la notion d''''information'''.

''A priori'', dans un système dynamique sans bifurcation, la neg-information ou entropie (notée $ )est nulle.
Mais il est des cas où une sensibilité aux conditions initiales donne une flopée d'orbites largement différentes dans l'espace des phases. Tout en restant déterministe, le système devient imprédictible. Le raisonnement &quot;à la Gibbs&quot; redonne cohérence à une approche thermodynamique, à priori très éloignée de la mécanique.

Sans vouloir prétendre à autre chose qu'une '''introduction à la notion d'information''', cette digression sera bien utile lors de la présentation des systèmes dynamiques.

== Ignorance et manque d'information $ ==
Le manque d'information est la &quot;mesure&quot; de notre ignorance.

Soit N questions oui/non (on dit choix binaire) posées pour découvrir le schmilblick, alors c'est, grosso-modo, qu'il y avait W = 2^N choix possibles (penser dichotomie).

Appeler N, le manque d'information ou encore '''Entropie''' (notée $)et W, le Possible ( raccourci pour dire le nombre de cas possibles), alors la liaison entre $ et W est celle gravée sur la tombe de Boltzmann(1844 -1906), précurseur génial :

'''S = lg W bits''' , avec lg (x):= logarithme à base 2

Il ne reste plus alors qu'a débobiner ce fil conducteur. SHANNON(1916-2001 ) est le principal auteur de cette '''théorie de l'Information''', complétée par Kolmogorov, Jaynes, etc.

Vers 1995, le qubit entre en scène : suite à une compréhension du paradoxe EPR ( Einstein, Podolsky, Rosen), du point de vue théorique (inégalité de Bell(1928-1990 ))puis expérimentale (Alain.Aspect(1947- )), Shor(1957- ) introduit l'algorithmique-quantique ; c'est le début de l'ère de la Quantum-Information. Au-delà du mythique ordinateur quantique, les retombées sont déjà nombreuses [la Q-cryptographie est déjà commercialisée]. Nous n'en dirons que qq mots.

== Probabilités et $ ==
===Introduction===
Soit une loterie à 8 numéros [ de 1 à 8], combien de questions binaires(oui/non) faut-il poser pour trouver le numéro sorti? Considérant que 8 = 2^3, en procédant par dichotomie, il faut poser trois questions. Et s'il y a W = 256 numéros , huit questions.

Plus généralement, pour une loterie à W numéros, W étant très grand, l'ensemble des numéros s'écrira en notation binaire à l'aide de lg W chiffres 0 ou 1. Le nombre de questions binaires à poser pour localiser un numéro quelconque sera donc $ = lg W mesuré en bits ( binary_digits)

===Généralisation===
La loterie consiste maintenant à choisir au hasard une lettre d'un livre de Emile Zola. On pourrait penser que $ = log2 26 , puisqu'il y a 26 lettres dans l'alphabet. Or, un peu de réflexion fait songer que ce nombre est plus petit, car les lettres w et z sont très peu courantes. En les éliminant a priori, on serait conduit à $= log2 24.

En fait nous voici confronté au vrai problème : étant donné M lettres , de probabilités p1, p2,pi, .., pM , avec somme pi = 1, quelle est la '''valeur moyenne''' du nombre de questions binaires à poser, appelée $, pour trouver une lettre parmi les M possibles.

La réponse est : 


{{exemple|Énoncé|Entropie de SHANNON|&lt;math&gt;\ \$ = - \Sigma p_i \cdot log_2 p_i   &lt;/math&gt;}}


La démonstration de ce théorème est due à SHANNON.

En voici une démonstration dans le cas simple M = 2 de deux lettres, disons A et B de probabilité p et q= 1-p.

Il doit être précisé ce que ''valeur moyenne'' veut dire :

La convention sera la suivante : on considère des mots de N lettres ( ici il y a donc 2^N mots ).

Soit $(N) le nombres de questions binaires pour trouver un mot.

On dira que l'$ par lettre est $ = $(N)/N quand N devient très grand ( à la limite, N-&gt; infty).

Il y a bien 2^N choix , mais $ diffère de log2 2^N = N , '''CAR''' , ''si N est assez grand'', '''la plupart''' des mots contiendront pN fois la lettre A et qN fois la lettre B.

 '''Ne retenir que ces cas et éliminer les autres, considérés comme très peu probables.'''
Cette hypothèse étant admise, La pièce est jouée : 

il ne reste plus que C(N, pN) cas et &lt;math&gt;\$ = lim 1/N \cdot log_2 [N! /(pN)!(qN!)]&lt;/math&gt; .

L'approximation de Stirling donne la réponse : $ = (-p.Ln p -q.Ln q)  /Ln2  bits (faire ce petit calcul : la réponse est donnée plus bas (calcul des C(n,p)).

Dans le cas de M lettres, le même type de raisonnement donnerait au dénominateur &lt;math&gt;\Pi_i (p_iN)!&lt;/math&gt;
, et cela donne bien la formule de Shannon.

=== Unités ===
Paragraphe inessentiel : Surtout ne jamais se bagarrer pour des questions d'unités ! ce n'est pas de la physique ; juste une histoire de convention pour s'entendre sur les valeurs numériques calculées ( ...accompagnées de leur unité par conséquent! ).

Soit z-&gt; Lnz , le logarithme complexe ; il donne lieu à des problèmes d'unités : les angles doivent être comptés avec l'unité sans dimension , le RADIAN . Les autres unités degrés ou grades ou tours s'en déduisent.

De même pour les logarithmes usuels : 

soit x un nombre réel positif : y tel que x = 10^y s'appelle l'OdG Exact (Ordre de Grandeur Exact), et la partie entière de y , l'OdG : 
y := log10 (x) bels . 

Souvent on préfère une autre base : x = 2^y' , soit y' = log2 (x) = y .[1/log 2] bits ~ 3.3 y bits
Le bit ( ou l'octave) est une unité plus petite que le bel, y' est donc évidemment plus grand que y.

Enfin certains préfèrent s'exprimer en népers ( ou := nats): y&quot; = Ln x ~ log x /log e ~ 2.3 y népers

D'autre part, usuellement on se réfère à la mesure en octets (ou bytes) d'un code informatique : 1 octet = 2^8 =256 bits.

Les chimistes, pour une raison historique, continuent à s'exprimer en Joule/Kelvin = J/K : soit!

Retenir que une mole de bits = R.Ln2 = ~ 8.32*0.69 = 5.74 J/K [nous y reviendrons !].

== Entropie statistique $ et entropie thermodynamique S(U,V)==
=== Description d'un Système à l'équilibre ===

*Un système thermodynamique est composé d'un grand nombre de particules ( typiquement pour une mole N ~ 6.10^23). L'espace des phases est donc de dimension 6N. Or, la connaissance de l'état d'équilibre MACROSCOPIQUE n'exige que la connaissance de v grandeurs macroscopiques ( Principe zéro de la thermostatique sur l'existence de la variance v ; pour un gaz pur , v= 2). Souvent le choix se porte sur le couple {volume V et énergie interne E}

*Cependant, on sait bien en mécanique quantique,qu'à un niveau d'énergie E correspond une multiplicité d'états g(E). Citons deux exemples classiques :
 
N systèmes à 2 états d'énergie 0 et e : si E = pe , alors g(E)= C(N,p).

N oscillateurs harmoniques d'énergie (n+1/2)&lt;math&gt;\hbar \omega&lt;/math&gt; : si E =N/2 +q , alors g(E)= C(N+q-1,q).

*Plus généralement, soit N(E) le nombre d'états d'énergie inférieure à E : N(E) croît de manière fantastique avec E : l'énergie n'étant en réalité définie qu'à une largeur dE près, le nombre d'états à considérer est N'(E).dE : = &lt;math&gt;\Omega&lt;/math&gt; (E, V), et nous verrons dans un instant pourquoi S = k Ln &lt;math&gt;\Omega&lt;/math&gt;, ce qui est la célèbre formule de Boltzmann(-).

*Dans le cadre de la mécanique classique, la valeur de N(E,V) est donnée par la &quot;discrétisation&quot; de l'espace des phases. Nous admettrons que : 
Soit Volume(E,V) le volume d'espace des phases délimité par l'hypersurface d'énergie E ; alors :
N(E,V) = &lt;math&gt;\frac{1}{h^{3N}}&lt;/math&gt;. Volume(E,V) , ceci si E &gt;&gt; h^2/(m (V/N)^(2/3)).

*Si de plus les particules sont INDISCERNABLES, il faudra diviser par N! le nombre d'états possibles.
L'exemple le plus connu est celui du Gaz Parfait monoatomique : N(E) = V^N . E^(3N/2).C(N) où C(N) est une constante très petite aisément calculable.

===Mise en contact thermique ===
*Si on place en ''contact thermique'' deux systèmes S1 et S2 ( le tout isolé) , alors les états accessibles seront tous les états des niveaux E1 et E2 tels que E1+E2 = E et nous admettrons :
*'''Postulat d'équiprobabilité''' : tous ces micro-états ont une égale probabilité d'être réalisés.
*Alors il en résulte que la proba pour que S1 possède l'énergie E1 ( donc S2 l'énergie E-E1)est : 

p(E1) ~ &lt;math&gt;\Omega_1(E_1) \cdot \Omega_2(E-E_1)&lt;/math&gt;.

soit une fonction extrêmement pointue, dont le sommet se situe à une abscisse E1* telle que : 

&lt;math&gt;\frac{\partial Ln\Omega_1}{\partial E_1} = \frac{\partial Ln\Omega_2}{\partial E_2}&lt;/math&gt;

Aux fluctuations près ( que l'on néglige, rappelons-le, en thermostatique), on DÉCLARE que l'état le plus probable est celui réalisé macroscopiquement.

*Considérant que l'égalité précédente définit une grandeur thermométrique, il est loisible de choisir une température T* dite température statistique telle que : &lt;math&gt;1/kT^* = \frac{\partial Ln\Omega}{\partial E}&lt;/math&gt; , k ne dépendant que de l'unité choisie.

*Identifier immédiatement T* et T , température du gaz parfait :

en effet , on a vu pour ce gaz, &lt;math&gt;\Omega =k'\cdot E^{3N/2}&lt;/math&gt; donc 1/kT* = 3N/2E : en choisissant, pour valeur de k, la constante de Boltzmann, alors E = 3/2 N.kT* = 3/2 N.kT , ce qui identifie T* à T , donc à la température absolue (puisque cela a déjà été fait pour les Gaz Parfaits).

* En comparant alors les deux formules :&lt;math&gt; 1/T = k\frac{\partial Ln\Omega}{\partial E}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;1/T =\frac{\partial S}{\partial E}&lt;/math&gt;, il vient :

S(E,V,N) = k Ln &lt;math&gt;\Omega&lt;/math&gt; + f(V,N) , f étant quelconque.

*Un raisonnement identique sur la variable V, conduit à la notion de Pression d'équilibre et donc cette fois

S(E,V,N) = k Ln &lt;math&gt;\Omega&lt;/math&gt; + g(E,N) , donc g(E,N) = s(N) seulement.

*Compte-tenu de l'extensivité de S , s(N) = N.s(intraparticulaire).
Ce dernier terme n'intervient que si la &quot;particule&quot; révèle par analyse plus fine des degrés de liberté internes observables, dont la prise en compte doit alors s'intégrer à N(E) donc &lt;math&gt;\Omega&lt;/math&gt;.

=== Conclusion :{{exemple|Énoncé|Définition de Boltzmann|&lt;math&gt; \ S = k \cdot Ln \Omega(E,V,N) &lt;/math&gt;}}===

==Interprétation du second principe==
Dans le cadre de cette interprétation de l'entropie, le principe d'évolution n'a plus qu'un caractère probabiliste.

Reprenons l'exemple-type de l’expérience de Joule&amp;Gay-Lussac : 2 compartiments égaux, contenant p particules dans C1 et N-p dans C2 aurait une réalisation C(N,p) , correspondant à une entropie S0 + k Ln C(n,p) : cet état sera &quot;extrêmement beaucoup moins&quot; probable que le cas C(N, N/2); la loi de probabilité est semblable à une gaussienne de largeur très grande en sqrt(N) , mais de '''largeur relative''' en 1/sqrt(N): très petite.

Le deuxième principe s'énonce maintenant : 


{{exemple|Énoncé|deuxième principe de Boltzmann|&lt;math&gt; Il \cdot est\cdot extrêmement \cdot peu \cdot probable \cdot que\cdot l \cdot entropie \cdot d \cdot un \cdot systeme\cdot isole \cdot décroisse &lt;/math&gt;}}

==Illustrations==
* Rappeler d'abord que l'incertitude sur E, appelée dE n'intervient pas, log (dE/E) étant négligeable. De ce fait pour N très grand, on perd la notion de dimension pour le nombre N(E,V) : pas étonnant alors que ce genre de situation conduise à un Logarithme. Manin en déduit qq réfexions assez profondes.
*Comme 1/T = &lt;math&gt;\frac{\partial S}{\partial E}&lt;/math&gt;, le développement de &lt;math&gt;\Omega(E+h)&lt;/math&gt; se fera non pas par addition de Taylor, mais par multiplication par un facteur f dit de Boltzmann , qui sera l'objet d'une leçon ultérieure : f = exp(h/kT) . Mais d'ores et déjà, cela permet d'intéressantes remarques : 
*cas de N oscillateurs : exp(e/kT) = C(N+q, q+1) / C(N+q-1, q) = (N+q)/q = N/q +1 , soit la formule d'Einstein : 

q/N = E/Ne = 1/[exp(e/kT)-1], et donc C(T) = dE/dT

Si les N oscillateurs se répartissent en Ni oscillateurs d'énergie ei , on retrouve la formule de Debye-Einstein :

E =&lt;math&gt;\Sigma&lt;/math&gt; Ni ei . 1/[exp(ei/kT)-1 ]: la capacité dE/dT va changer si les ei forment un pseudo-continuum : changement très intéressant à analyser mathématiquement.

*cas des N spins 1/2 : énergie 0 ou e = 2 &lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt;B/kT , on retrouve la formule de Brillouin(1/2) :
exp(e/kT) = C(N, p+1)/ C(n, p) = (N-p)/p = N/p -1, soit E = Ne /[exp(e/kT) +1 ] : l'essence du refroidissement adiabatique tant étudié par Giauque ( Nobel chimie 1949) réside dans cette formule.

* Citer un OdG de Y.Rocard ( thermodynamique,p469) : l'entropie de changement d'état d'un métal desolide en liquide est positive et voisine de R , car le volume occupé par un atome localisé est V/N et donc N{solide}(V)~ (V/N)^N , alors que dans le liquide les particules &quot;voient tout le volume&quot; , mais il faut tenir compte de leur indiscernabilité: N{liquide}(V) = V^N/N! : on arrive aisément à la conclusion.

* Voici plus fascinant: Pomérantchuk étudiant l'hélium III dégénéré a remarqué que cette fois la variation d'entropie est négative (-R Ln2)! donc il faut chauffer le liquide pour qu'il devienne solide ! Cela est compréhensible : à très basse température le liquide fermionique dégénéré occupe un seul état : &lt;math&gt;\Omega&lt;/math&gt; = 1 . Pour le solide, les atomes localisés ont un spin quelconque ( sans champ magnétique), &lt;math&gt;\Omega&lt;/math&gt;= 2^N ( cf pb ensParis 1980, Claire Lhuillier).

* ''Last but not least'', le calcul de C(N) pour les gaz parfaits n'est autre que le calcul de la classique constante de Sackur-Tetrode. On retrouve l'entropie de l'Argon_computer à 3ChS.

===la boule B(n)===

Plaçons ici cet encart : calculer le volume de la boule B(n) : nous verrons pourquoi cela a de l'importance, plus tard. Enoncé : 

#Un cercle : le disque b(2) = Pi . R^2 et la circonférence s(2) = 2.b(2)/R 
#Une boule : b(3) = Pi. R^n et s(3) = n.b(n)/R ;
#Une boule : b(n) et s(n) = n.b(n)  ( on fait R=1).
#Trouver la suite b(n) (et bien sûr on aura s(n)). Retenir le cas TRES simple : s(6) = Pi^3

La réponse est : 
#si n est pair n= 2p , alors b(2p) = Pi^p/p!
#si n est impair , formule analogue [ à écrire c'est un peu plus compliqué, mais pas &quot;réellement&quot; , il FAUT passer au-dessus de ces détails mesquins ]

Pourquoi ? parce que b(2p+2) = (Pi/p) .b(2p) .end. [il resterait à démontrer simplement cette formule ...donc à compléter].

#b(2) = Pi 
#b(4) = b(2).Pi/2 = Pi^2/2
#b(6) = Pi^2/2.Pi/3 = Pi^3/6
#b(8) = Pi^4/6.4 = Pi^4/4! 

Et voilà : à partir de n= 3,4 le nombre b(n) qui croissait décroît : Pi/p est supérieur à 1 si p=3, mais inférieur à 1 si p=4 ! 

et la somme des b(2p) = exp(Pi) !
La somme des b(2p)(Iz)^p vaut : exp (I Pi z) = (-1)^z ; bizarre...à vérifier.

réflexions issues du Marcel.Berger.
----
L'idée est maintenant celle-ci (due à Manin ?) :

Quand n devient très très grand, il faut compter le nombre de solutions de l'inéquation sur les entiers naturels : a^2 + b^2 +c^2 + ... n fois &lt; E^2 : ce nombre est W(2,E) quand E est TRÈS grand et n est TRÈS grand aussi ( évidemment E^2 &gt;&gt;&gt; n ) : ce problème est relié aux nombres de Waring.

=== les C(n,p)===

Plaçons ici cet encart : étude des C(n,p) quand p est très très grand p=x.n avec x fixé (inférieur à 1 , certes ! ) , càd C(n,x.n) : 

alors C(n,xn) = n!/p!q! ~ n!/ (p/e)^p sqrt(p)sqrt(2Pi)q! = n!/q! . exp(x)^n /sqrt(2Pi) . 1/sqrt(x).1/sqrt(n) . 1/ (x^x)^n . 1/n^(xn) donc ~  [[exp x .exp y .exp 1]]. [1/(x^x .y^y)]. 1/sqrt(2Pi.x.y) et l'on constate que C(n,xn) = très grand = 1/sqrt(2Pixy) . 1/(x^x.y^y)^n

Souvent on considère : C(2n, x.2n) = catalan(n) si x =1/2 ;
#Souvent on considère : C(2n, n-k) avec k &lt; sqrt(n) : alors, cela revient à dire x = 1/2 -eps avec eps = k/2n tout petit.Au total, on va retrouver la Gaussienne. 

Cet exercice est TRÈS important ; car il fonde la thermodynamique [[ cf exercice : trouver la position du centre de gravité d'un gaz dans une boîte ( il serait amusant de le poser sur le disque , ou sur la sphère , etc. bigre : sur la surface du cube ... ? ) .

réflexions issues du Combinatorial_issues.

== Retour==
[[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences ]]

[[Catégorie:Mécanique,_enseignée_via_l'Histoire_des_Sciences_(livre)]]</text>
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Une digression importante est la notion d''''information'''.

''A priori'', dans un système dynamique sans bifurcation, la neg-information ou entropie (notée $ )est nulle.
Mais il est des cas où une sensibilité aux conditions initiales donne une flopée d'orbites largement différentes dans l'espace des phases. Tout en restant déterministe, le système devient imprédictible. Le raisonnement &quot;à la Gibbs&quot; redonne cohérence à une approche thermodynamique, à priori très éloignée de la mécanique.

Sans vouloir prétendre à autre chose qu'une '''introduction à la notion d'information''', cette digression sera bien utile lors de la présentation des systèmes dynamiques.

== Ignorance et manque d'information $ ==
Le manque d'information est la &quot;mesure&quot; de notre ignorance.

Soit N questions oui/non (on dit choix binaire) posées pour découvrir le schmilblick, alors c'est, grosso-modo, qu'il y avait W = 2^N choix possibles (penser dichotomie).

Appeler N, le manque d'information ou encore '''Entropie''' (notée $)et W, le Possible ( raccourci pour dire le nombre de cas possibles), alors la liaison entre $ et W est celle gravée sur la tombe de Boltzmann(1844 -1906), précurseur génial :

'''S = lg W bits''' , avec lg (x):= logarithme à base 2

Il ne reste plus alors qu'a débobiner ce fil conducteur. SHANNON(1916-2001 ) est le principal auteur de cette '''théorie de l'Information''', complétée par Kolmogorov, Jaynes, etc.

Vers 1995, le qubit entre en scène : suite à une compréhension du paradoxe EPR ( Einstein, Podolsky, Rosen), du point de vue théorique (inégalité de Bell(1928-1990 ))puis expérimentale (Alain.Aspect(1947- )), Shor(1957- ) introduit l'algorithmique-quantique ; c'est le début de l'ère de la Quantum-Information. Au-delà du mythique ordinateur quantique, les retombées sont déjà nombreuses [la Q-cryptographie est déjà commercialisée]. Nous n'en dirons que qq mots.

== Probabilités et $ ==
===Introduction===
Soit une loterie à 8 numéros [ de 1 à 8], combien de questions binaires(oui/non) faut-il poser pour trouver le numéro sorti? Considérant que 8 = 2^3, en procédant par dichotomie, il faut poser trois questions. Et s'il y a W = 256 numéros , huit questions.

Plus généralement, pour une loterie à W numéros, W étant très grand, l'ensemble des numéros s'écrira en notation binaire à l'aide de lg W chiffres 0 ou 1. Le nombre de questions binaires à poser pour localiser un numéro quelconque sera donc $ = lg W mesuré en bits ( binary_digits)

===Généralisation===
La loterie consiste maintenant à choisir au hasard une lettre d'un livre de Emile Zola. On pourrait penser que $ = log2 26 , puisqu'il y a 26 lettres dans l'alphabet. Or, un peu de réflexion fait songer que ce nombre est plus petit, car les lettres w et z sont très peu courantes. En les éliminant a priori, on serait conduit à $= log2 24.

En fait nous voici confronté au vrai problème : étant donné M lettres , de probabilités p1, p2,pi, .., pM , avec somme pi = 1, quelle est la '''valeur moyenne''' du nombre de questions binaires à poser, appelée $, pour trouver une lettre parmi les M possibles.

La réponse est : 


{{exemple|Énoncé|Entropie de SHANNON|&lt;math&gt;\ \$ = - \Sigma p_i \cdot log_2 p_i   &lt;/math&gt;}}


La démonstration de ce théorème est due à SHANNON.

En voici une démonstration dans le cas simple M = 2 de deux lettres, disons A et B de probabilité p et q= 1-p.

Il doit être précisé ce que ''valeur moyenne'' veut dire :

La convention sera la suivante : on considère des mots de N lettres ( ici il y a donc 2^N mots ).

Soit $(N) le nombres de questions binaires pour trouver un mot.

On dira que l'$ par lettre est $ = $(N)/N quand N devient très grand ( à la limite, N-&gt; infty).

Il y a bien 2^N choix , mais $ diffère de log2 2^N = N , '''CAR''' , ''si N est assez grand'', '''la plupart''' des mots contiendront pN fois la lettre A et qN fois la lettre B.

 '''Ne retenir que ces cas et éliminer les autres, considérés comme très peu probables.'''
Cette hypothèse étant admise, La pièce est jouée : 

il ne reste plus que C(N, pN) cas et &lt;math&gt;\$ = lim 1/N \cdot log_2 [N! /(pN)!(qN!)]&lt;/math&gt; .

L'approximation de Stirling donne la réponse : $ = (-p.Ln p -q.Ln q)  /Ln2  bits (faire ce petit calcul : la réponse est donnée plus bas (calcul des C(n,p)).

Dans le cas de M lettres, le même type de raisonnement donnerait au dénominateur &lt;math&gt;\Pi_i (p_iN)!&lt;/math&gt;
, et cela donne bien la formule de Shannon.

=== Unités ===
Paragraphe inessentiel : Surtout ne jamais se bagarrer pour des questions d'unités ! ce n'est pas de la physique ; juste une histoire de convention pour s'entendre sur les valeurs numériques calculées ( ...accompagnées de leur unité par conséquent! ).

Soit z-&gt; Lnz , le logarithme complexe ; il donne lieu à des problèmes d'unités : les angles doivent être comptés avec l'unité sans dimension , le RADIAN . Les autres unités degrés ou grades ou tours s'en déduisent.

De même pour les logarithmes usuels : 

soit x un nombre réel positif : y tel que x = 10^y s'appelle l'OdG Exact (Ordre de Grandeur Exact), et la partie entière de y , l'OdG : 
y := log10 (x) bels . 

Souvent on préfère une autre base : x = 2^y' , soit y' = log2 (x) = y .[1/log 2] bits ~ 3.3 y bits
Le bit ( ou l'octave) est une unité plus petite que le bel, y' est donc évidemment plus grand que y.

Enfin certains préfèrent s'exprimer en népers ( ou := nats): y&quot; = Ln x ~ log x /log e ~ 2.3 y népers

D'autre part, usuellement on se réfère à la mesure en octets (ou bytes) d'un code informatique : 1 octet = 2^8 =256 bits.

Les chimistes, pour une raison historique, continuent à s'exprimer en Joule/Kelvin = J/K : soit!

Retenir que une mole de bits = R.Ln2 = ~ 8.32*0.69 = 5.74 J/K [nous y reviendrons !].

== Entropie statistique $ et entropie thermodynamique S(U,V)==
=== Description d'un Système à l'équilibre ===

*Un système thermodynamique est composé d'un grand nombre de particules ( typiquement pour une mole N ~ 6.10^23). L'espace des phases est donc de dimension 6N. Or, la connaissance de l'état d'équilibre MACROSCOPIQUE n'exige que la connaissance de v grandeurs macroscopiques ( Principe zéro de la thermostatique sur l'existence de la variance v ; pour un gaz pur , v= 2). Souvent le choix se porte sur le couple {volume V et énergie interne E}

*Cependant, on sait bien en mécanique quantique,qu'à un niveau d'énergie E correspond une multiplicité d'états g(E). Citons deux exemples classiques :
 
N systèmes à 2 états d'énergie 0 et e : si E = pe , alors g(E)= C(N,p).

N oscillateurs harmoniques d'énergie (n+1/2)&lt;math&gt;\hbar \omega&lt;/math&gt; : si E =N/2 +q , alors g(E)= C(N+q-1,q).

*Plus généralement, soit N(E) le nombre d'états d'énergie inférieure à E : N(E) croît de manière fantastique avec E : l'énergie n'étant en réalité définie qu'à une largeur dE près, le nombre d'états à considérer est N'(E).dE : = &lt;math&gt;\Omega&lt;/math&gt; (E, V), et nous verrons dans un instant pourquoi S = k Ln &lt;math&gt;\Omega&lt;/math&gt;, ce qui est la célèbre formule de Boltzmann(-).

*Dans le cadre de la mécanique classique, la valeur de N(E,V) est donnée par la &quot;discrétisation&quot; de l'espace des phases. Nous admettrons que : 
Soit Volume(E,V) le volume d'espace des phases délimité par l'hypersurface d'énergie E ; alors :
N(E,V) = &lt;math&gt;\frac{1}{h^{3N}}&lt;/math&gt;. Volume(E,V) , ceci si E &gt;&gt; h^2/(m (V/N)^(2/3)).

*Si de plus les particules sont INDISCERNABLES, il faudra diviser par N! le nombre d'états possibles.
L'exemple le plus connu est celui du Gaz Parfait monoatomique : N(E) = V^N . E^(3N/2).C(N) où C(N) est une constante très petite aisément calculable.

===Mise en contact thermique ===
*Si on place en ''contact thermique'' deux systèmes S1 et S2 ( le tout isolé) , alors les états accessibles seront tous les états des niveaux E1 et E2 tels que E1+E2 = E et nous admettrons :
*'''Postulat d'équiprobabilité''' : tous ces micro-états ont une égale probabilité d'être réalisés.
*Alors il en résulte que la proba pour que S1 possède l'énergie E1 ( donc S2 l'énergie E-E1)est : 

p(E1) ~ &lt;math&gt;\Omega_1(E_1) \cdot \Omega_2(E-E_1)&lt;/math&gt;.

soit une fonction extrêmement pointue, dont le sommet se situe à une abscisse E1* telle que : 

&lt;math&gt;\frac{\partial Ln\Omega_1}{\partial E_1} = \frac{\partial Ln\Omega_2}{\partial E_2}&lt;/math&gt;

Aux fluctuations près ( que l'on néglige, rappelons-le, en thermostatique), on DÉCLARE que l'état le plus probable est celui réalisé macroscopiquement.

*Considérant que l'égalité précédente définit une grandeur thermométrique, il est loisible de choisir une température T* dite température statistique telle que : &lt;math&gt;1/kT^* = \frac{\partial Ln\Omega}{\partial E}&lt;/math&gt; , k ne dépendant que de l'unité choisie.

*Identifier immédiatement T* et T , température du gaz parfait :

en effet , on a vu pour ce gaz, &lt;math&gt;\Omega =k'\cdot E^{3N/2}&lt;/math&gt; donc 1/kT* = 3N/2E : en choisissant, pour valeur de k, la constante de Boltzmann, alors E = 3/2 N.kT* = 3/2 N.kT , ce qui identifie T* à T , donc à la température absolue (puisque cela a déjà été fait pour les Gaz Parfaits).

* En comparant alors les deux formules :&lt;math&gt; 1/T = k\frac{\partial Ln\Omega}{\partial E}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;1/T =\frac{\partial S}{\partial E}&lt;/math&gt;, il vient :

S(E,V,N) = k Ln &lt;math&gt;\Omega&lt;/math&gt; + f(V,N) , f étant quelconque.

*Un raisonnement identique sur la variable V, conduit à la notion de Pression d'équilibre et donc cette fois

S(E,V,N) = k Ln &lt;math&gt;\Omega&lt;/math&gt; + g(E,N) , donc g(E,N) = s(N) seulement.

*Compte-tenu de l'extensivité de S , s(N) = N.s(intraparticulaire).
Ce dernier terme n'intervient que si la &quot;particule&quot; révèle par analyse plus fine des degrés de liberté internes observables, dont la prise en compte doit alors s'intégrer à N(E) donc &lt;math&gt;\Omega&lt;/math&gt;.

=== Conclusion :{{exemple|Énoncé|Définition de Boltzmann|&lt;math&gt; \ S = k \cdot Ln \Omega(E,V,N) &lt;/math&gt;}}===

==Interprétation du second principe==
Dans le cadre de cette interprétation de l'entropie, le principe d'évolution n'a plus qu'un caractère probabiliste.

Reprenons l'exemple-type de l’expérience de Joule&amp;Gay-Lussac : 2 compartiments égaux, contenant p particules dans C1 et N-p dans C2 aurait une réalisation C(N,p) , correspondant à une entropie S0 + k Ln C(n,p) : cet état sera &quot;extrêmement beaucoup moins&quot; probable que le cas C(N, N/2); la loi de probabilité est semblable à une gaussienne de largeur très grande en sqrt(N) , mais de '''largeur relative''' en 1/sqrt(N): très petite.

Le deuxième principe s'énonce maintenant : 

{{BlocCitation|auteur=deuxième principe de Boltzmann|Il est extrêmement peu probable que l'entropie d'un système isolé décroisse.}}

==Illustrations==
* Rappeler d'abord que l'incertitude sur E, appelée dE n'intervient pas, log (dE/E) étant négligeable. De ce fait pour N très grand, on perd la notion de dimension pour le nombre N(E,V) : pas étonnant alors que ce genre de situation conduise à un Logarithme. Manin en déduit qq réfexions assez profondes.
*Comme 1/T = &lt;math&gt;\frac{\partial S}{\partial E}&lt;/math&gt;, le développement de &lt;math&gt;\Omega(E+h)&lt;/math&gt; se fera non pas par addition de Taylor, mais par multiplication par un facteur f dit de Boltzmann , qui sera l'objet d'une leçon ultérieure : f = exp(h/kT) . Mais d'ores et déjà, cela permet d'intéressantes remarques : 
*cas de N oscillateurs : exp(e/kT) = C(N+q, q+1) / C(N+q-1, q) = (N+q)/q = N/q +1 , soit la formule d'Einstein : 

q/N = E/Ne = 1/[exp(e/kT)-1], et donc C(T) = dE/dT

Si les N oscillateurs se répartissent en Ni oscillateurs d'énergie ei , on retrouve la formule de Debye-Einstein :

E =&lt;math&gt;\Sigma&lt;/math&gt; Ni ei . 1/[exp(ei/kT)-1 ]: la capacité dE/dT va changer si les ei forment un pseudo-continuum : changement très intéressant à analyser mathématiquement.

*cas des N spins 1/2 : énergie 0 ou e = 2 &lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt;B/kT , on retrouve la formule de Brillouin(1/2) :
exp(e/kT) = C(N, p+1)/ C(n, p) = (N-p)/p = N/p -1, soit E = Ne /[exp(e/kT) +1 ] : l'essence du refroidissement adiabatique tant étudié par Giauque ( Nobel chimie 1949) réside dans cette formule.

* Citer un OdG de Y.Rocard ( thermodynamique,p469) : l'entropie de changement d'état d'un métal desolide en liquide est positive et voisine de R , car le volume occupé par un atome localisé est V/N et donc N{solide}(V)~ (V/N)^N , alors que dans le liquide les particules &quot;voient tout le volume&quot; , mais il faut tenir compte de leur indiscernabilité: N{liquide}(V) = V^N/N! : on arrive aisément à la conclusion.

* Voici plus fascinant: Pomérantchuk étudiant l'hélium III dégénéré a remarqué que cette fois la variation d'entropie est négative (-R Ln2)! donc il faut chauffer le liquide pour qu'il devienne solide ! Cela est compréhensible : à très basse température le liquide fermionique dégénéré occupe un seul état : &lt;math&gt;\Omega&lt;/math&gt; = 1 . Pour le solide, les atomes localisés ont un spin quelconque ( sans champ magnétique), &lt;math&gt;\Omega&lt;/math&gt;= 2^N ( cf pb ensParis 1980, Claire Lhuillier).

* ''Last but not least'', le calcul de C(N) pour les gaz parfaits n'est autre que le calcul de la classique constante de Sackur-Tetrode. On retrouve l'entropie de l'Argon_computer à 3ChS.

===la boule B(n)===

Plaçons ici cet encart : calculer le volume de la boule B(n) : nous verrons pourquoi cela a de l'importance, plus tard. Enoncé : 

#Un cercle : le disque b(2) = Pi . R^2 et la circonférence s(2) = 2.b(2)/R 
#Une boule : b(3) = Pi. R^n et s(3) = n.b(n)/R ;
#Une boule : b(n) et s(n) = n.b(n)  ( on fait R=1).
#Trouver la suite b(n) (et bien sûr on aura s(n)). Retenir le cas TRES simple : s(6) = Pi^3

La réponse est : 
#si n est pair n= 2p , alors b(2p) = Pi^p/p!
#si n est impair , formule analogue [ à écrire c'est un peu plus compliqué, mais pas &quot;réellement&quot; , il FAUT passer au-dessus de ces détails mesquins ]

Pourquoi ? parce que b(2p+2) = (Pi/p) .b(2p) .end. [il resterait à démontrer simplement cette formule ...donc à compléter].

#b(2) = Pi 
#b(4) = b(2).Pi/2 = Pi^2/2
#b(6) = Pi^2/2.Pi/3 = Pi^3/6
#b(8) = Pi^4/6.4 = Pi^4/4! 

Et voilà : à partir de n= 3,4 le nombre b(n) qui croissait décroît : Pi/p est supérieur à 1 si p=3, mais inférieur à 1 si p=4 ! 

et la somme des b(2p) = exp(Pi) !
La somme des b(2p)(Iz)^p vaut : exp (I Pi z) = (-1)^z ; bizarre...à vérifier.

réflexions issues du Marcel.Berger.
----
L'idée est maintenant celle-ci (due à Manin ?) :

Quand n devient très très grand, il faut compter le nombre de solutions de l'inéquation sur les entiers naturels : a^2 + b^2 +c^2 + ... n fois &lt; E^2 : ce nombre est W(2,E) quand E est TRÈS grand et n est TRÈS grand aussi ( évidemment E^2 &gt;&gt;&gt; n ) : ce problème est relié aux nombres de Waring.

=== les C(n,p)===

Plaçons ici cet encart : étude des C(n,p) quand p est très très grand p=x.n avec x fixé (inférieur à 1 , certes ! ) , càd C(n,x.n) : 

alors C(n,xn) = n!/p!q! ~ n!/ (p/e)^p sqrt(p)sqrt(2Pi)q! = n!/q! . exp(x)^n /sqrt(2Pi) . 1/sqrt(x).1/sqrt(n) . 1/ (x^x)^n . 1/n^(xn) donc ~  [[exp x .exp y .exp 1]]. [1/(x^x .y^y)]. 1/sqrt(2Pi.x.y) et l'on constate que C(n,xn) = très grand = 1/sqrt(2Pixy) . 1/(x^x.y^y)^n

Souvent on considère : C(2n, x.2n) = catalan(n) si x =1/2 ;
#Souvent on considère : C(2n, n-k) avec k &lt; sqrt(n) : alors, cela revient à dire x = 1/2 -eps avec eps = k/2n tout petit.Au total, on va retrouver la Gaussienne. 

Cet exercice est TRÈS important ; car il fonde la thermodynamique [[ cf exercice : trouver la position du centre de gravité d'un gaz dans une boîte ( il serait amusant de le poser sur le disque , ou sur la sphère , etc. bigre : sur la surface du cube ... ? ) .

réflexions issues du Combinatorial_issues.

== Retour==
[[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences ]]

[[Catégorie:Mécanique,_enseignée_via_l'Histoire_des_Sciences_(livre)]]</text>
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        <username>DavidL</username>
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Une digression importante est la notion d''''information'''.

''A priori'', dans un système dynamique sans bifurcation, la neg-information ou entropie (notée $ )est nulle.
Mais il est des cas où une sensibilité aux conditions initiales donne une flopée d'orbites largement différentes dans l'espace des phases. Tout en restant déterministe, le système devient imprédictible. Le raisonnement &quot;à la Gibbs&quot; redonne cohérence à une approche thermodynamique, à priori très éloignée de la mécanique.

Sans vouloir prétendre à autre chose qu'une '''introduction à la notion d'information''', cette digression sera bien utile lors de la présentation des systèmes dynamiques.

== Ignorance et manque d'information $ ==
Le manque d'information est la &quot;mesure&quot; de notre ignorance.

Soit N questions oui/non (on dit choix binaire) posées pour découvrir le schmilblick, alors c'est, grosso-modo, qu'il y avait W = 2^N choix possibles (penser dichotomie).

Appeler N, le manque d'information ou encore '''Entropie''' (notée $)et W, le Possible ( raccourci pour dire le nombre de cas possibles), alors la liaison entre $ et W est celle gravée sur la tombe de Boltzmann(1844 -1906), précurseur génial :

'''S = lg W bits''' , avec lg (x):= logarithme à base 2

Il ne reste plus alors qu'a débobiner ce fil conducteur. SHANNON(1916-2001 ) est le principal auteur de cette '''théorie de l'Information''', complétée par Kolmogorov, Jaynes, etc.

Vers 1995, le qubit entre en scène : suite à une compréhension du paradoxe EPR ( Einstein, Podolsky, Rosen), du point de vue théorique (inégalité de Bell(1928-1990 ))puis expérimentale (Alain.Aspect(1947- )), Shor(1957- ) introduit l'algorithmique-quantique ; c'est le début de l'ère de la Quantum-Information. Au-delà du mythique ordinateur quantique, les retombées sont déjà nombreuses [la Q-cryptographie est déjà commercialisée]. Nous n'en dirons que qq mots.

== Probabilités et $ ==
===Introduction===
Soit une loterie à 8 numéros [ de 1 à 8], combien de questions binaires(oui/non) faut-il poser pour trouver le numéro sorti? Considérant que 8 = 2^3, en procédant par dichotomie, il faut poser trois questions. Et s'il y a W = 256 numéros , huit questions.

Plus généralement, pour une loterie à W numéros, W étant très grand, l'ensemble des numéros s'écrira en notation binaire à l'aide de lg W chiffres 0 ou 1. Le nombre de questions binaires à poser pour localiser un numéro quelconque sera donc $ = lg W mesuré en bits ( binary_digits)

===Généralisation===
La loterie consiste maintenant à choisir au hasard une lettre d'un livre de Emile Zola. On pourrait penser que $ = log2 26 , puisqu'il y a 26 lettres dans l'alphabet. Or, un peu de réflexion fait songer que ce nombre est plus petit, car les lettres w et z sont très peu courantes. En les éliminant a priori, on serait conduit à $= log2 24.

En fait nous voici confronté au vrai problème : étant donné M lettres , de probabilités p1, p2,pi, .., pM , avec somme pi = 1, quelle est la '''valeur moyenne''' du nombre de questions binaires à poser, appelée $, pour trouver une lettre parmi les M possibles.

La réponse est : 


{{exemple|Énoncé|Entropie de SHANNON|&lt;math&gt;\ \$ = - \Sigma p_i \cdot log_2 p_i   &lt;/math&gt;}}


La démonstration de ce théorème est due à SHANNON.

En voici une démonstration dans le cas simple M = 2 de deux lettres, disons A et B de probabilité p et q= 1-p.

Il doit être précisé ce que ''valeur moyenne'' veut dire :

La convention sera la suivante : on considère des mots de N lettres ( ici il y a donc 2^N mots ).

Soit $(N) le nombres de questions binaires pour trouver un mot.

On dira que l'$ par lettre est $ = $(N)/N quand N devient très grand ( à la limite, N-&gt; infty).

Il y a bien 2^N choix , mais $ diffère de log2 2^N = N , '''CAR''' , ''si N est assez grand'', '''la plupart''' des mots contiendront pN fois la lettre A et qN fois la lettre B.

 '''Ne retenir que ces cas et éliminer les autres, considérés comme très peu probables.'''
Cette hypothèse étant admise, La pièce est jouée : 

il ne reste plus que C(N, pN) cas et &lt;math&gt;\$ = lim 1/N \cdot log_2 [N! /(pN)!(qN!)]&lt;/math&gt; .

L'approximation de Stirling donne la réponse : $ = (-p.Ln p -q.Ln q)  /Ln2  bits (faire ce petit calcul : la réponse est donnée plus bas (calcul des C(n,p)).

Dans le cas de M lettres, le même type de raisonnement donnerait au dénominateur &lt;math&gt;\Pi_i (p_iN)!&lt;/math&gt;
, et cela donne bien la formule de Shannon.

=== Unités ===
Paragraphe inessentiel : Surtout ne jamais se bagarrer pour des questions d'unités ! ce n'est pas de la physique ; juste une histoire de convention pour s'entendre sur les valeurs numériques calculées ( ...accompagnées de leur unité par conséquent! ).

Soit z-&gt; Lnz , le logarithme complexe ; il donne lieu à des problèmes d'unités : les angles doivent être comptés avec l'unité sans dimension , le RADIAN . Les autres unités degrés ou grades ou tours s'en déduisent.

De même pour les logarithmes usuels : 

soit x un nombre réel positif : y tel que x = 10^y s'appelle l'OdG Exact (Ordre de Grandeur Exact), et la partie entière de y , l'OdG : 
y := log10 (x) bels . 

Souvent on préfère une autre base : x = 2^y' , soit y' = log2 (x) = y .[1/log 2] bits ~ 3.3 y bits
Le bit ( ou l'octave) est une unité plus petite que le bel, y' est donc évidemment plus grand que y.

Enfin certains préfèrent s'exprimer en népers ( ou := nats): y&quot; = Ln x ~ log x /log e ~ 2.3 y népers

D'autre part, usuellement on se réfère à la mesure en octets (ou bytes) d'un code informatique : 1 octet = 2^8 =256 bits.

Les chimistes, pour une raison historique, continuent à s'exprimer en Joule/Kelvin = J/K : soit!

Retenir que une mole de bits = R.Ln2 = ~ 8.32*0.69 = 5.74 J/K [nous y reviendrons !].

== Entropie statistique $ et entropie thermodynamique S(U,V)==
=== Description d'un Système à l'équilibre ===

*Un système thermodynamique est composé d'un grand nombre de particules ( typiquement pour une mole N ~ 6.10^23). L'espace des phases est donc de dimension 6N. Or, la connaissance de l'état d'équilibre MACROSCOPIQUE n'exige que la connaissance de v grandeurs macroscopiques ( Principe zéro de la thermostatique sur l'existence de la variance v ; pour un gaz pur , v= 2). Souvent le choix se porte sur le couple {volume V et énergie interne E}

*Cependant, on sait bien en mécanique quantique,qu'à un niveau d'énergie E correspond une multiplicité d'états g(E). Citons deux exemples classiques :
 
N systèmes à 2 états d'énergie 0 et e : si E = pe , alors g(E)= C(N,p).

N oscillateurs harmoniques d'énergie (n+1/2)&lt;math&gt;\hbar \omega&lt;/math&gt; : si E =N/2 +q , alors g(E)= C(N+q-1,q).

*Plus généralement, soit N(E) le nombre d'états d'énergie inférieure à E : N(E) croît de manière fantastique avec E : l'énergie n'étant en réalité définie qu'à une largeur dE près, le nombre d'états à considérer est N'(E).dE : = &lt;math&gt;\Omega&lt;/math&gt; (E, V), et nous verrons dans un instant pourquoi S = k Ln &lt;math&gt;\Omega&lt;/math&gt;, ce qui est la célèbre formule de Boltzmann(-).

*Dans le cadre de la mécanique classique, la valeur de N(E,V) est donnée par la &quot;discrétisation&quot; de l'espace des phases. Nous admettrons que : 
Soit Volume(E,V) le volume d'espace des phases délimité par l'hypersurface d'énergie E ; alors :
N(E,V) = &lt;math&gt;\frac{1}{h^{3N}}&lt;/math&gt;. Volume(E,V) , ceci si E &gt;&gt; h^2/(m (V/N)^(2/3)).

*Si de plus les particules sont INDISCERNABLES, il faudra diviser par N! le nombre d'états possibles.
L'exemple le plus connu est celui du Gaz Parfait monoatomique : N(E) = V^N . E^(3N/2).C(N) où C(N) est une constante très petite aisément calculable.

===Mise en contact thermique ===
*Si on place en ''contact thermique'' deux systèmes S1 et S2 ( le tout isolé) , alors les états accessibles seront tous les états des niveaux E1 et E2 tels que E1+E2 = E et nous admettrons :
*'''Postulat d'équiprobabilité''' : tous ces micro-états ont une égale probabilité d'être réalisés.
*Alors il en résulte que la proba pour que S1 possède l'énergie E1 ( donc S2 l'énergie E-E1)est : 

p(E1) ~ &lt;math&gt;\Omega_1(E_1) \cdot \Omega_2(E-E_1)&lt;/math&gt;.

soit une fonction extrêmement pointue, dont le sommet se situe à une abscisse E1* telle que : 

&lt;math&gt;\frac{\partial Ln\Omega_1}{\partial E_1} = \frac{\partial Ln\Omega_2}{\partial E_2}&lt;/math&gt;

Aux fluctuations près ( que l'on néglige, rappelons-le, en thermostatique), on DÉCLARE que l'état le plus probable est celui réalisé macroscopiquement.

*Considérant que l'égalité précédente définit une grandeur thermométrique, il est loisible de choisir une température T* dite température statistique telle que : &lt;math&gt;1/kT^* = \frac{\partial Ln\Omega}{\partial E}&lt;/math&gt; , k ne dépendant que de l'unité choisie.

*Identifier immédiatement T* et T , température du gaz parfait :

en effet , on a vu pour ce gaz, &lt;math&gt;\Omega =k'\cdot E^{3N/2}&lt;/math&gt; donc 1/kT* = 3N/2E : en choisissant, pour valeur de k, la constante de Boltzmann, alors E = 3/2 N.kT* = 3/2 N.kT , ce qui identifie T* à T , donc à la température absolue (puisque cela a déjà été fait pour les Gaz Parfaits).

* En comparant alors les deux formules :&lt;math&gt; 1/T = k\frac{\partial Ln\Omega}{\partial E}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;1/T =\frac{\partial S}{\partial E}&lt;/math&gt;, il vient :

S(E,V,N) = k Ln &lt;math&gt;\Omega&lt;/math&gt; + f(V,N) , f étant quelconque.

*Un raisonnement identique sur la variable V, conduit à la notion de Pression d'équilibre et donc cette fois

S(E,V,N) = k Ln &lt;math&gt;\Omega&lt;/math&gt; + g(E,N) , donc g(E,N) = s(N) seulement.

*Compte-tenu de l'extensivité de S , s(N) = N.s(intraparticulaire).
Ce dernier terme n'intervient que si la &quot;particule&quot; révèle par analyse plus fine des degrés de liberté internes observables, dont la prise en compte doit alors s'intégrer à N(E) donc &lt;math&gt;\Omega&lt;/math&gt;.

=== Conclusion ===

{{exemple|Énoncé|Définition de Boltzmann|&lt;math&gt; \ S = k \cdot Ln \Omega(E,V,N) &lt;/math&gt;}}

==Interprétation du second principe==
Dans le cadre de cette interprétation de l'entropie, le principe d'évolution n'a plus qu'un caractère probabiliste.

Reprenons l'exemple-type de l’expérience de Joule&amp;Gay-Lussac : 2 compartiments égaux, contenant p particules dans C1 et N-p dans C2 aurait une réalisation C(N,p) , correspondant à une entropie S0 + k Ln C(n,p) : cet état sera &quot;extrêmement beaucoup moins&quot; probable que le cas C(N, N/2); la loi de probabilité est semblable à une gaussienne de largeur très grande en sqrt(N) , mais de '''largeur relative''' en 1/sqrt(N): très petite.

Le deuxième principe s'énonce maintenant : 

{{BlocCitation|auteur=deuxième principe de Boltzmann|Il est extrêmement peu probable que l'entropie d'un système isolé décroisse.}}

==Illustrations==
* Rappeler d'abord que l'incertitude sur E, appelée dE n'intervient pas, log (dE/E) étant négligeable. De ce fait pour N très grand, on perd la notion de dimension pour le nombre N(E,V) : pas étonnant alors que ce genre de situation conduise à un Logarithme. Manin en déduit qq réfexions assez profondes.
*Comme 1/T = &lt;math&gt;\frac{\partial S}{\partial E}&lt;/math&gt;, le développement de &lt;math&gt;\Omega(E+h)&lt;/math&gt; se fera non pas par addition de Taylor, mais par multiplication par un facteur f dit de Boltzmann , qui sera l'objet d'une leçon ultérieure : f = exp(h/kT) . Mais d'ores et déjà, cela permet d'intéressantes remarques : 
*cas de N oscillateurs : exp(e/kT) = C(N+q, q+1) / C(N+q-1, q) = (N+q)/q = N/q +1 , soit la formule d'Einstein : 

q/N = E/Ne = 1/[exp(e/kT)-1], et donc C(T) = dE/dT

Si les N oscillateurs se répartissent en Ni oscillateurs d'énergie ei , on retrouve la formule de Debye-Einstein :

E =&lt;math&gt;\Sigma&lt;/math&gt; Ni ei . 1/[exp(ei/kT)-1 ]: la capacité dE/dT va changer si les ei forment un pseudo-continuum : changement très intéressant à analyser mathématiquement.

*cas des N spins 1/2 : énergie 0 ou e = 2 &lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt;B/kT , on retrouve la formule de Brillouin(1/2) :
exp(e/kT) = C(N, p+1)/ C(n, p) = (N-p)/p = N/p -1, soit E = Ne /[exp(e/kT) +1 ] : l'essence du refroidissement adiabatique tant étudié par Giauque ( Nobel chimie 1949) réside dans cette formule.

* Citer un OdG de Y.Rocard ( thermodynamique,p469) : l'entropie de changement d'état d'un métal desolide en liquide est positive et voisine de R , car le volume occupé par un atome localisé est V/N et donc N{solide}(V)~ (V/N)^N , alors que dans le liquide les particules &quot;voient tout le volume&quot; , mais il faut tenir compte de leur indiscernabilité: N{liquide}(V) = V^N/N! : on arrive aisément à la conclusion.

* Voici plus fascinant: Pomérantchuk étudiant l'hélium III dégénéré a remarqué que cette fois la variation d'entropie est négative (-R Ln2)! donc il faut chauffer le liquide pour qu'il devienne solide ! Cela est compréhensible : à très basse température le liquide fermionique dégénéré occupe un seul état : &lt;math&gt;\Omega&lt;/math&gt; = 1 . Pour le solide, les atomes localisés ont un spin quelconque ( sans champ magnétique), &lt;math&gt;\Omega&lt;/math&gt;= 2^N ( cf pb ensParis 1980, Claire Lhuillier).

* ''Last but not least'', le calcul de C(N) pour les gaz parfaits n'est autre que le calcul de la classique constante de Sackur-Tetrode. On retrouve l'entropie de l'Argon_computer à 3ChS.

===la boule B(n)===

Plaçons ici cet encart : calculer le volume de la boule B(n) : nous verrons pourquoi cela a de l'importance, plus tard. Enoncé : 

#Un cercle : le disque b(2) = Pi . R^2 et la circonférence s(2) = 2.b(2)/R 
#Une boule : b(3) = Pi. R^n et s(3) = n.b(n)/R ;
#Une boule : b(n) et s(n) = n.b(n)  ( on fait R=1).
#Trouver la suite b(n) (et bien sûr on aura s(n)). Retenir le cas TRES simple : s(6) = Pi^3

La réponse est : 
#si n est pair n= 2p , alors b(2p) = Pi^p/p!
#si n est impair , formule analogue [ à écrire c'est un peu plus compliqué, mais pas &quot;réellement&quot; , il FAUT passer au-dessus de ces détails mesquins ]

Pourquoi ? parce que b(2p+2) = (Pi/p) .b(2p) .end. [il resterait à démontrer simplement cette formule ...donc à compléter].

#b(2) = Pi 
#b(4) = b(2).Pi/2 = Pi^2/2
#b(6) = Pi^2/2.Pi/3 = Pi^3/6
#b(8) = Pi^4/6.4 = Pi^4/4! 

Et voilà : à partir de n= 3,4 le nombre b(n) qui croissait décroît : Pi/p est supérieur à 1 si p=3, mais inférieur à 1 si p=4 ! 

et la somme des b(2p) = exp(Pi) !
La somme des b(2p)(Iz)^p vaut : exp (I Pi z) = (-1)^z ; bizarre...à vérifier.

réflexions issues du Marcel.Berger.
----
L'idée est maintenant celle-ci (due à Manin ?) :

Quand n devient très très grand, il faut compter le nombre de solutions de l'inéquation sur les entiers naturels : a^2 + b^2 +c^2 + ... n fois &lt; E^2 : ce nombre est W(2,E) quand E est TRÈS grand et n est TRÈS grand aussi ( évidemment E^2 &gt;&gt;&gt; n ) : ce problème est relié aux nombres de Waring.

=== les C(n,p)===

Plaçons ici cet encart : étude des C(n,p) quand p est très très grand p=x.n avec x fixé (inférieur à 1 , certes ! ) , càd C(n,x.n) : 

alors C(n,xn) = n!/p!q! ~ n!/ (p/e)^p sqrt(p)sqrt(2Pi)q! = n!/q! . exp(x)^n /sqrt(2Pi) . 1/sqrt(x).1/sqrt(n) . 1/ (x^x)^n . 1/n^(xn) donc ~  [[exp x .exp y .exp 1]]. [1/(x^x .y^y)]. 1/sqrt(2Pi.x.y) et l'on constate que C(n,xn) = très grand = 1/sqrt(2Pixy) . 1/(x^x.y^y)^n

Souvent on considère : C(2n, x.2n) = catalan(n) si x =1/2 ;
#Souvent on considère : C(2n, n-k) avec k &lt; sqrt(n) : alors, cela revient à dire x = 1/2 -eps avec eps = k/2n tout petit.Au total, on va retrouver la Gaussienne. 

Cet exercice est TRÈS important ; car il fonde la thermodynamique [[ cf exercice : trouver la position du centre de gravité d'un gaz dans une boîte ( il serait amusant de le poser sur le disque , ou sur la sphère , etc. bigre : sur la surface du cube ... ? ) .

réflexions issues du Combinatorial_issues.

== Retour==
[[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences ]]

[[Catégorie:Mécanique,_enseignée_via_l'Histoire_des_Sciences_(livre)]]</text>
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    <title>Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/La pression cinétique des fluides</title>
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        <username>DavidL</username>
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      <comment>DavidL a déplacé la page [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences : la pression cinétique des fluides]] vers [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/La pression cinétique des fluides]]</comment>
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      <text bytes="11768" xml:space="preserve">Voici une application importante de la mécanique dite théorie cinétique des gaz. Déjà trouvée par Daniel Bernouilli vers 1750, elle trouve son développement expérimental dans les lois du gaz parfait ( Mariotte, Dalton, Gay-Lussac, Avogadro(1811), puis subit une grande avancée gràce aux travaux de Clausius, Maxwell et VanderWaals(~ 1870): il faudra attendre Fisher, Kadanoff puis Wilson( 1972) pour mieux comprendre &quot;les exposants critiques&quot;.

==Description microscopique d'un gaz==
On se limite à la théorie du gaz monoatomique ( on pense à l'Argon), considéré comme gaz de boules dures de rayon ro, sans autre interaction que des chocs supposés élastiques. La densité particulaire n = N/V sera faible ( càd d = 1/n^(1/3) &gt;&gt; ro [Rappel des OdG : ro = 100 pm et d(CNTP)de Loschmidt= 3300pm ]

* Théorème : le libre parcours moyen entre deux chocs est &lt;l&gt; = 1/sqrt(2) . 1/n &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;(2ro)^2

Pseudo démonstration : soit les particules fixes sauf 1 ; sa sphère de protection est de rayon 2ro. Le volume balayé dans le parcours d'un libre parcours moyen contient une particule. le sqrt(2) intervient si toutes les particules bougent ( on doit alors considérer la vitesse relative)

Remarque : &lt;l&gt; est indépendant de la vitesse moyenne , donc de la température : c'est une notion purement géométrique &lt;l&gt; ~ d ( d/2ro)^2 = 3,3 nm * (15)^2 = ~ 1micron.

Le nombre de chocs par seconde est 1/&lt;math&gt;\tau&lt;/math&gt; = ~ &lt;l&gt;/&lt;v&gt; ~ 10 ns

La trajectoire d'une particule est donc terriblement chaotique. De temps à autre, la particule atteint la paroi (par diffusion, on aurait typiquement t~ &lt;math&gt;\tau&lt;/math&gt; (L/&lt;l&gt;)^2 , mais attention à la microconvection). Selon la nature de la paroi, la particule est adsorbée puis réémise (lois assez compliquées).

D'où la description suivante d'un GPM ( gaz parfait monoatomique) : c'est une assemblée de N boules dures confnées dans un volume V , s'agitant en tout sens.

Dans un petit volume Vo , il y a en moyenne (N/V) .Vo = No, avec une fluctuation de l'ordre de sqrt(No). Sous réserve de prendre Vo assez grand, la densité particulaire sera condidérée comme constante ( même dans les coins !) [ CECI POUR AUTANT QUE L'INVARIANCE PAR TRANSLATION NE SOIT PAS BRISÉE SPONTANÉMENT PAR L'EXISTENCE D'UN CHANGEMENT DE PHASE ].

L'agitation moléculaire est telle que toutes les directions des vitesses sont equiprobables (isotropie moyenne)et telle que toutes les vitesses en module sont possibles : la loi de distribution des vitesses en module sera dp = P(v).dv avec P(v) nulle à v=0 et à v= infty et unimodale ( cf loi de distribution des vitesses de maxwell).On appelle u la vitesse quadratique moyenne. Rappel : en classe de seconde, il est enseigné que plus la Température T est grande et plus l'agitation thermique est grande et plus u est grand. Ce que va préciser le paragraphe suivant.

== Température cinétique du Gaz Parfait: Ec moyenne = 3/2. NkT ==

l'Energie cinétique moyenne &lt;Ec&gt; est une grandeur thermométrique (elle permettra donc la définition d'une température) : 

Pseudo-démonstration : soit un mélange de deux gaz A et B de températures différentes: on constate que rapidement un équilibre s'établit de sorte que &lt;Ec(A)&gt; = &lt;Ec(B)&gt; [ce fait est bluffant :ce ne sont pas les distributions des vitesses qui s'égalent mais bien les Ec moyennes : les particules les plus lourdes iront moins vite, ceci juste dans le rapport sqrt( mA/mB) ]

Au cours du choc élastique de deux particules A et B, il est assez facile de montrer qu'en moyenne, 
la DIFFÉRENCE[Ec(A) -Ec(B)] décroît en valeur absolue, donc finit très vite par s'annuler (très vite:= temps de relaxation thermique).Voir aussi le joli argument de Feynman.

Si maintenant les deux gaz ne sont en contact que par une paroi diatherme, le résultat se généralise.

Deux gaz en contact thermique ont même température et même &lt;Ec&gt; . Cette grandeur permet de définir une échelle de température ; au paragraphe suivant nous verrons les raisons qui ont poussé à prendre comme définition :

&lt;Ec&gt; = 3/2 .NkT*  , où k est la constante de Boltzmann

Application numérique : u = sqrt(3RT/M) à comparer avec la vitesse du son c = sqrt(&lt;math&gt;\gamma&lt;/math&gt;.RT/M
Pour l'air, c ~ 340m/s.

Nous verrons plus tard , la relation entre &lt;Ec&gt; et l'énergie interne U(V,T) = U(T) du GP.

==Théorème de D.Bernoulli : la pression cinétique P =2/3 .&lt;Ec&gt;/ V ==
* Cela revient à montrer que P = 1/3 (N / V) .mu^2.
Formule '''pertinente''' avec l'idée que l'on se fait de la pression les particules exercent au moment de leur collision avec la paroi des impulsions dont l'effet est très faible , mais à l'échelle macroscopique on observe l'effet collectif, ne variant pas dans le temps et proportionnel à l'aire de l'élément de la paroi (on néglige les petites fluctuations): plus la densité particulaire est grande et plus &lt;Ec&gt; est grande , plus P augmente. A un facteur 2/3 près, P c'est l'énergie cinétique moyenne par unité de volume ( rappel : 1pascal := 1J/m^3)

===Démonstration ===
Ce schéma de démonstration est TRES important à retenir.

Soit '''Flux'''.dt = '''dp''' /dS la densité de flux de quantité de mouvement des particules ADSORBÉES sur la paroi durant le temps dt : le nombre de particules qui atteignent la paroi avec la vitesse vx se trouvent dans le cylindre de volume vx.dt.dS et elles laissent leur quantité de mouvement m'''v''', soit en moyenne
&lt;'''Flux'''&gt; = n &lt;vx.(m'''v''')&gt;dt  (*1/2, car on ne doit compter que les particules avec vx &gt; 0! )

La force pressante est donc dS.1/2 . nm. &lt;vx.'''v''' &gt; = '''dS''' .1/2.nm &lt;Vx^2&gt; = '''dS'''.1/6.nmu^2

En tenant compte des particules désorbées qui exercent la '''même''' impulsion, dans le même sens (s'en convaincre!), il vient 

P = 1/3 nm u^2


*Remarque : le calcul ci-dessus se généralise au transport particulaire d'une quantité quelconque q portée par chaque particule : 

&lt;math&gt;F_q&lt;/math&gt; = 1/2 .n.&lt;q.vx&gt;

En particulier est souvent demandé &lt;math&gt;F_1&lt;/math&gt; = flux particulaire à travers un petit trou : q = 1 ; et il vient donc 1/2 n. &lt;v&gt; .1/2

Le flux d'énergie cinétique est : 1/2 .n .&lt;1/2mv^2.vx&gt; = 1/2 .n.m.&lt;v^3&gt;.1/2 , d'où le pseudo-paradoxe :
Comme on montre que 1/2.m.&lt;v^3&gt;/&lt;v&gt; = 2kT &gt; 3/2 kT , les particules les plus énergétiques sortent plus vite en moyenne, mais cela est bien logique car elles vont plus vite ! Et néanmoins le faisceau qui sort a une température 3/2.kT dans son référentiel galiléen !.

=== T* = T ===
Cela résulte de ce que P.V = NkT = 2/3&lt;Ec&gt; = N.kT*

Il en résulte la loi d'Avogadro : Pour une même Pression et une même Température, le volume occupé par N particules est le même ,quelle que soit ro! : la distance interparticulaire de Loschmidt est bien 3.3 nm (CNTP).

== Corrections de gaz imparfait ==
===covolume===
Immédiatement, il apparaît que cette loi ne saurait convenir si les particules sont trop grosses: des effets d'encombrement stérique vont intervenir. On peut montrer qu'il faut écrire P = NkT/(V-b)avec b appelé covolume, et au moins pour les basses pressions b = N 4.4/3&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;ro^3

===pression interne===
La deuxième raison qui vient cette fois diminuer la distance interparticulaire est qu'en réalité les particules s'attirent via les Forces de VanderWaals : la pression sur la paroi sera moins grande : P = Nkt/V +Pint avec Pint &lt; 0.
Prenons le cas de la vapeur d'eau et de l'eau liquide, pour dégager les OdG . Pint varie comme n^2 :
si elle est un terme correctif ( ~ 10^-3) dans la vapeur, elle devient le terme dominant dans le liquide ( 10^3 !): elle est donc essentielle à l'étude de l'état liquide!

=== Équation d'état de Van der Waals===
Dans sa thèse de 1873, Van der Waals proposa donc l'équation (pour une mole) : 

(P+a/V²)(V-b) = RT .

Cette équation est une cubique en V. Au dessous d'une certaine température, il peut exister 3 volumes pour le même couple (T,P),(dont une instable): 

L'interaction a été si forte que l'invariance par translation est brisée : le gaz peut s'effondrer en myriades de gouttelettes de liquide.

C'est le grand mérite de cette équation : si on la complétait par la &quot;règle du palier de Maxwell&quot;, elle s'accordait avec les résultats expérimentaux d'Andrews, assez bien qualitativement.

Voir plus loin la théorie des transitions de phases : celle-ci montre qu'au voisinage de la brisure de symétrie, et près du &quot;point critique&quot;, la théorie de Van der Waals néglige trop les fluctuations locales et cette théorie dite de champ moyen s'effondre. Néanmoins, il aura fallu un siècle de progrès pour que ''' &quot;les exposants critiques&quot;''' entrent en scène.

==Notes et exercices==
L'équation de Van der Waals, si on la complète par une équation énergétique du type U = cT -a/V , représente qualitativement un gaz réel.

La théorie cinétique des gaz, elle, a continué à se développer dans les mains de Chapman , Enskog, Bogoliubov.

Néanmoins, à l'heure actuelle, les progrès sont plutôt dus à 2 directions de recherche : les méthodes de simulations, l'Argon_computer et les méthodes de Monte-Carlo , et la mécanique statistique développée en puissance de N/V ( développement dit du viriel), ou de la dimension d'espace (!) 4-epsilon, en faisant epsilon = 1 ! ( travaux de Wilson puis de l'Ecole de Saclay ).
===Exercice : équation réduite de VanderWaals ===

Montrer qu'au lieu de prendre R, a et b comme système d'unités naturelles, on peut prendre les coordonnées du point critique ( Pc, Vc, Tc) .

Réponse : l'équation pour une mole est une cubique : P = RT/(V-b) -a/V^2, donc pas étonnant de voir arriver du 4p^3+27q^2 ! 
Le point critique corresond à une racine triple : (V-Vc)^3 = 0
Pour de simples raisons d'homogénéité Vc = k b et l'équation précédente donne Vc = 3b , puis Pc = a/b^2 .1/27
et RTc = a/b . 8/27 (on peut aussi procéder par dérivation...)

Il n'y a donc qu'un seul gaz de VanderWaals en coordonnées réduites ! Expérimentalement, si l'on se contente d'approximations grossières, les gaz rares sont bien une seule et même famille : on dit que leurs états sont en correspondance.

On devrait trouver que PcVc/RTc = 3/8 : les résultats expérimentaux sont &quot;vaguement&quot; cohérents.

Pour avoir plus de cohérence dans les résultats, on a tenté d'utiliser des équations semi-empiriques plus complètes, mais rien à ce jour ne donne une théorie complète de l'état fluide depuis les basses pressions aux htes P, depuis les hautes T aux basses T.

C'est la raison pour laquelle l'équation d'état de VanderWaals continue à être enseignée.

===Exercice : palier de Maxwell, loi de Trouton ===
Si on positionne le palier de Maxwell de manière que le cycle monotherme ait un travail nul , on obtient la courbe de pression de vapeur saturante Ps(T) : trouver cette courbe numériquement , puis de manière semi-empirique.La loi de Trouton évoquait une correspondance entre Tc, Pc et 
Tt := 0.6 Tc et Ps(Ttrouton).

Si on fait intervenir le caractère quantique du gaz ( ce qui est nécessaire aux basses températures), alors intervient le paramètre a-dimensionné de deBoer-Casimir : cela fût utile pour prévoir la courbe de pression de vapeur de l'helium He IV et de son isotope He III.

==Compléments==
Une bonne revue est Rowlinson in Rep on Prog.Pys.

Plus récent est :

*Hansen et Mc Donald , theory of simple liquids, 2006, Ac Press , ISBN 978-0-12-370535-8,puis 2013, ISBN 978-0-12-387032-2.

*SklogWiki est consacré à la physique statistique.

*McCoy, Clisby, Lyberg ont calculé des Bn de toutes sortes.

== Retour==
[[mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences]]

[[Catégorie:Mécanique,_enseignée_via_l'Histoire_des_Sciences_(livre)]]</text>
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Voici une application importante de la mécanique dite théorie cinétique des gaz. Déjà trouvée par Daniel Bernoulli vers 1750, elle trouve son développement expérimental dans les lois du gaz parfait ( Mariotte, Dalton, Gay-Lussac, Avogadro(1811), puis subit une grande avancée grâce aux travaux de Clausius, Maxwell et VanderWaals(~ 1870): il faudra attendre Fisher, Kadanoff puis Wilson( 1972) pour mieux comprendre &quot;les exposants critiques&quot;.

==Description microscopique d'un gaz==
On se limite à la théorie du gaz monoatomique ( on pense à l'Argon), considéré comme gaz de boules dures de rayon ro, sans autre interaction que des chocs supposés élastiques. La densité particulaire n = N/V sera faible ( càd d = 1/n^(1/3) &gt;&gt; ro [Rappel des OdG : ro = 100 pm et d(CNTP)de Loschmidt= 3300pm ]

* Théorème : le libre parcours moyen entre deux chocs est &lt;l&gt; = 1/sqrt(2) . 1/n &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;(2ro)^2

Pseudo démonstration : soit les particules fixes sauf 1 ; sa sphère de protection est de rayon 2ro. Le volume balayé dans le parcours d'un libre parcours moyen contient une particule. le sqrt(2) intervient si toutes les particules bougent ( on doit alors considérer la vitesse relative)

Remarque : &lt;l&gt; est indépendant de la vitesse moyenne , donc de la température : c'est une notion purement géométrique &lt;l&gt; ~ d ( d/2ro)^2 = 3,3 nm * (15)^2 = ~ 1micron.

Le nombre de chocs par seconde est 1/&lt;math&gt;\tau&lt;/math&gt; = ~ &lt;l&gt;/&lt;v&gt; ~ 10 ns

La trajectoire d'une particule est donc terriblement chaotique. De temps à autre, la particule atteint la paroi (par diffusion, on aurait typiquement t~ &lt;math&gt;\tau&lt;/math&gt; (L/&lt;l&gt;)^2 , mais attention à la micro-convection). Selon la nature de la paroi, la particule est adsorbée puis réémise (lois assez compliquées).

D'où la description suivante d'un GPM ( gaz parfait monoatomique) : c'est une assemblée de N boules dures confinées dans un volume V , s'agitant en tout sens.

Dans un petit volume Vo , il y a en moyenne (N/V) .Vo = No, avec une fluctuation de l'ordre de sqrt(No). Sous réserve de prendre Vo assez grand, la densité particulaire sera considérée comme constante ( même dans les coins !) [ CECI POUR AUTANT QUE L'INVARIANCE PAR TRANSLATION NE SOIT PAS BRISÉE SPONTANÉMENT PAR L'EXISTENCE D'UN CHANGEMENT DE PHASE ].

L'agitation moléculaire est telle que toutes les directions des vitesses sont équiprobables (isotropie moyenne)et telle que toutes les vitesses en module sont possibles : la loi de distribution des vitesses en module sera dp = P(v).dv avec P(v) nulle à v=0 et à v= infty et unimodale ( cf loi de distribution des vitesses de maxwell).On appelle u la vitesse quadratique moyenne. Rappel : en classe de seconde, il est enseigné que plus la Température T est grande et plus l'agitation thermique est grande et plus u est grand. Ce que va préciser le paragraphe suivant.

== Température cinétique du Gaz Parfait: Ec moyenne = 3/2. NkT ==

L’Énergie cinétique moyenne &lt;Ec&gt; est une grandeur thermométrique (elle permettra donc la définition d'une température) : 

Pseudo-démonstration : soit un mélange de deux gaz A et B de températures différentes: on constate que rapidement un équilibre s'établit de sorte que &lt;Ec(A)&gt; = &lt;Ec(B)&gt; [ce fait est bluffant :ce ne sont pas les distributions des vitesses qui s'égalent mais bien les Ec moyennes : les particules les plus lourdes iront moins vite, ceci juste dans le rapport sqrt( mA/mB) ]

Au cours du choc élastique de deux particules A et B, il est assez facile de montrer qu'en moyenne, la DIFFÉRENCE [Ec(A) -Ec(B)] décroît en valeur absolue, donc finit très vite par s'annuler (très vite:= temps de relaxation thermique).
Voir aussi le joli argument de Feynman.

Si maintenant les deux gaz ne sont en contact que par une paroi diatherme, le résultat se généralise.

Deux gaz en contact thermique ont même température et même &lt;Ec&gt; . Cette grandeur permet de définir une échelle de température ; au paragraphe suivant nous verrons les raisons qui ont poussé à prendre comme définition :

&lt;Ec&gt; = 3/2 .NkT*  , où k est la constante de Boltzmann

Application numérique : u = sqrt(3RT/M) à comparer avec la vitesse du son c = sqrt(&lt;math&gt;\gamma&lt;/math&gt;.RT/M
Pour l'air, c ~ 340m/s.

Nous verrons plus tard , la relation entre &lt;Ec&gt; et l'énergie interne U(V,T) = U(T) du GP.

==Théorème de D.Bernoulli : la pression cinétique P =2/3 .&lt;Ec&gt;/ V ==
* Cela revient à montrer que P = 1/3 (N / V) .mu^2.
Formule '''pertinente''' avec l'idée que l'on se fait de la pression les particules exercent au moment de leur collision avec la paroi des impulsions dont l'effet est très faible , mais à l'échelle macroscopique on observe l'effet collectif, ne variant pas dans le temps et proportionnel à l'aire de l'élément de la paroi (on néglige les petites fluctuations): plus la densité particulaire est grande et plus &lt;Ec&gt; est grande , plus P augmente. A un facteur 2/3 près, P c'est l'énergie cinétique moyenne par unité de volume ( rappel : 1pascal := 1J/m^3)

===Démonstration ===
Ce schéma de démonstration est TRES important à retenir.

Soit '''Flux'''.dt = '''dp''' /dS la densité de flux de quantité de mouvement des particules ADSORBÉES sur la paroi durant le temps dt : le nombre de particules qui atteignent la paroi avec la vitesse vx se trouvent dans le cylindre de volume vx.dt.dS et elles laissent leur quantité de mouvement m'''v''', soit en moyenne
&lt;'''Flux'''&gt; = n &lt;vx.(m'''v''')&gt;dt  (*1/2, car on ne doit compter que les particules avec vx &gt; 0! )

La force pressante est donc dS.1/2 . nm. &lt;vx.'''v''' &gt; = '''dS''' .1/2.nm &lt;Vx^2&gt; = '''dS'''.1/6.nmu^2

En tenant compte des particules désorbées qui exercent la '''même''' impulsion, dans le même sens (s'en convaincre!), il vient 

P = 1/3 nm u^2


*Remarque : le calcul ci-dessus se généralise au transport particulaire d'une quantité quelconque q portée par chaque particule : 

&lt;math&gt;F_q&lt;/math&gt; = 1/2 .n.&lt;q.vx&gt;

En particulier est souvent demandé &lt;math&gt;F_1&lt;/math&gt; = flux particulaire à travers un petit trou : q = 1 ; et il vient donc 1/2 n. &lt;v&gt; .1/2

Le flux d'énergie cinétique est : 1/2 .n .&lt;1/2mv^2.vx&gt; = 1/2 .n.m.&lt;v^3&gt;.1/2 , d'où le pseudo-paradoxe :
Comme on montre que 1/2.m.&lt;v^3&gt;/&lt;v&gt; = 2kT &gt; 3/2 kT , les particules les plus énergétiques sortent plus vite en moyenne, mais cela est bien logique car elles vont plus vite ! Et néanmoins le faisceau qui sort a une température 3/2.kT dans son référentiel galiléen !.

=== T* = T ===
Cela résulte de ce que P.V = NkT = 2/3&lt;Ec&gt; = N.kT*

Il en résulte la loi d'Avogadro : Pour une même Pression et une même Température, le volume occupé par N particules est le même ,quelle que soit ro ! : la distance interparticulaire de Loschmidt est bien 3.3 nm (CNTP).

== Corrections de gaz imparfait ==
===covolume===
Immédiatement, il apparaît que cette loi ne saurait convenir si les particules sont trop grosses: des effets d'encombrement stérique vont intervenir. On peut montrer qu'il faut écrire P = NkT/(V-b)avec b appelé covolume, et au moins pour les basses pressions b = N 4.4/3&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;ro^3

===pression interne===
La deuxième raison qui vient cette fois diminuer la distance interparticulaire est qu'en réalité les particules s'attirent via les Forces de VanderWaals : la pression sur la paroi sera moins grande : P = Nkt/V +Pint avec Pint &lt; 0.
Prenons le cas de la vapeur d'eau et de l'eau liquide, pour dégager les OdG . Pint varie comme n^2 :
si elle est un terme correctif ( ~ 10^-3) dans la vapeur, elle devient le terme dominant dans le liquide ( 10^3 !): elle est donc essentielle à l'étude de l'état liquide!

=== Équation d'état de Van der Waals===
Dans sa thèse de 1873, Van der Waals proposa donc l'équation (pour une mole) : 

(P+a/V²)(V-b) = RT .

Cette équation est une cubique en V. Au dessous d'une certaine température, il peut exister 3 volumes pour le même couple (T,P),(dont une instable): 

L'interaction a été si forte que l'invariance par translation est brisée : le gaz peut s'effondrer en myriades de gouttelettes de liquide.

C'est le grand mérite de cette équation : si on la complétait par la &quot;règle du palier de Maxwell&quot;, elle s'accordait avec les résultats expérimentaux d'Andrews, assez bien qualitativement.

Voir plus loin la théorie des transitions de phases : celle-ci montre qu'au voisinage de la brisure de symétrie, et près du &quot;point critique&quot;, la théorie de Van der Waals néglige trop les fluctuations locales et cette théorie dite de champ moyen s'effondre. Néanmoins, il aura fallu un siècle de progrès pour que ''' &quot;les exposants critiques&quot;''' entrent en scène.

==Notes et exercices==
L'équation de Van der Waals, si on la complète par une équation énergétique du type U = cT -a/V , représente qualitativement un gaz réel.

La théorie cinétique des gaz, elle, a continué à se développer dans les mains de Chapman , Enskog, Bogoliubov.

Néanmoins, à l'heure actuelle, les progrès sont plutôt dus à 2 directions de recherche : les méthodes de simulations, l'Argon_computer et les méthodes de Monte-Carlo , et la mécanique statistique développée en puissance de N/V ( développement dit du viriel), ou de la dimension d'espace (!) 4-epsilon, en faisant epsilon = 1 ! ( travaux de Wilson puis de l’École de Saclay ).
===Exercice : équation réduite de VanderWaals ===

Montrer qu'au lieu de prendre R, a et b comme système d'unités naturelles, on peut prendre les coordonnées du point critique ( Pc, Vc, Tc) .

Réponse : l'équation pour une mole est une cubique : P = RT/(V-b) -a/V^2, donc pas étonnant de voir arriver du 4p^3+27q^2 ! 
Le point critique corresond à une racine triple : (V-Vc)^3 = 0
Pour de simples raisons d'homogénéité Vc = k b et l'équation précédente donne Vc = 3b , puis Pc = a/b^2 .1/27
et RTc = a/b . 8/27 (on peut aussi procéder par dérivation...)

Il n'y a donc qu'un seul gaz de VanderWaals en coordonnées réduites ! Expérimentalement, si l'on se contente d'approximations grossières, les gaz rares sont bien une seule et même famille : on dit que leurs états sont en correspondance.

On devrait trouver que PcVc/RTc = 3/8 : les résultats expérimentaux sont &quot;vaguement&quot; cohérents.

Pour avoir plus de cohérence dans les résultats, on a tenté d'utiliser des équations semi-empiriques plus complètes, mais rien à ce jour ne donne une théorie complète de l'état fluide depuis les basses pressions aux htes P, depuis les hautes T aux basses T.

C'est la raison pour laquelle l'équation d'état de VanderWaals continue à être enseignée.

===Exercice : palier de Maxwell, loi de Trouton ===
Si on positionne le palier de Maxwell de manière que le cycle monotherme ait un travail nul , on obtient la courbe de pression de vapeur saturante Ps(T) : trouver cette courbe numériquement , puis de manière semi-empirique.La loi de Trouton évoquait une correspondance entre Tc, Pc et 
Tt := 0.6 Tc et Ps(Ttrouton).

Si on fait intervenir le caractère quantique du gaz ( ce qui est nécessaire aux basses températures), alors intervient le paramètre a-dimensionné de deBoer-Casimir : cela fût utile pour prévoir la courbe de pression de vapeur de l’hélium He IV et de son isotope He III.

==Compléments==
Une bonne revue est Rowlinson in Rep on Prog.Pys.

Plus récent est :

*Hansen et Mc Donald , theory of simple liquids, 2006, Ac Press , ISBN 978-0-12-370535-8,puis 2013, ISBN 978-0-12-387032-2.

*SklogWiki est consacré à la physique statistique.

*McCoy, Clisby, Lyberg ont calculé des Bn de toutes sortes.

== Retour==
[[mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences]]

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    <title>Discussion:Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Mouvement dans un champ central</title>
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      <text bytes="2544" xml:space="preserve">==Qq notes==

je dois à Alain Albouy ( IMCCE) cette ferveur de recherche : après lecture de la thèse de deGandt, j'étais resté sur l'impression que Newton avait délibérément complexifier le texte des Principia.

Maintenant ( 2008) je ne le pense pas. Il l'a écrit à partir du deMotu de 2004, écrit trop vite, juste pour faire plaisir à Halley. Il faut aussi retrouver pourquoi ( malgré 1679-Hooke), il a &quot;oublié&quot; la dem de 1/r^2 : s'il a le théorème de Sciacci via Leibniz, il est possible qu'il l'ait oublié, puis soigneusement évité pour plomber toute référence à LEIBNIZ. Cela, on peut l'en croire capable.

Le Chandrasekhar est EXCELLENT , mais réagence les Principia, pour les rendre plus clairs : on perd alors la perspective historique ; mais on y gagne en compréhension.

Le livre de la Marquise est très frais ; ses commentaires aussi : mais il ne s'agit plus d'histoire mais d'histoire amoureuse.

Le Cohen est celui qui colle le plus au texte : les remarques sont pertinentes et référencées.

La revue d'histoire des sciences exactes est remplie de commentaires fascinants.
Lire certains vieux livres est aussi fabuleux.

Je n'ai pas encore réussi à pénétrer le &quot;temps de réception&quot; des Principia, car cela va à la &quot;vitesse_diffusive&quot; du calculus et de l'exclusion des &quot;tourbillons de Descartes, rénovés par Leibniz &quot; : il est clair que pour tout physicien le &quot;hypotheses non fingo&quot; est une prétérition qui &quot;passe mal&quot;. Attendre Einstein pour se réconcilier, puis la notion de boson intermédiaire, certes ...--[[Utilisateur:Guerinsylvie|Guerinsylvie]] 1 décembre 2008 à 15:18 (CET) 

==Le Pourciau ==

ébauche : 

il y a 2 idées : 
*une qui examine [le pb direct versus le pb inverse]
*une qui examine le rôle des podaires . 
J'avais connaissance du théorème de Siacci par le livre de Joy of Mechanics déjà cité in WP.

--[[Utilisateur:Guerinsylvie|Guerinsylvie]] 1 décembre 2008 à 15:18 (CET)

==Torricelli, Huygens, Leibniz  et Newton ==

Huygens est vraiment celui qui a compris le théorème de Torricelli ( Mach décortique cela très bien ). Que Leibniz le démontre via le calculus est important; mais n'apprend rien de nouveau [Tout cela n'a rien à voir avec la querelle des Forces vives du [XVIII], examinéepar Costabel]. Mais Newton connaît cela pour la 2ème édition : pourquoi ne l'inclut-il pas ? orgueil ? crainte du &quot;copiage&quot;? Là je maîtrise très peu cette question : en suspens ...  --[[Utilisateur:Guerinsylvie|Guerinsylvie]] 1 décembre 2008 à 15:18 (CET)</text>
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    <title>Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Le vide</title>
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      <text bytes="392" xml:space="preserve">Cette page est '''VIDE de SENS''' : elle représente seulement la manière dont quelqu'une peut devenir un folle_de_science ; son discours devient délirant...'''burn'out'''...

Cette page est érasée. Elle sera réécrite sitôt que possible.


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    <title>Discussion:Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Mouvement de Kepler</title>
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      <text bytes="1012" xml:space="preserve">== Excuses==
--[[Utilisateur:Guerinsylvie|Guerinsylvie]] 22 avril 2009 à 14:50 (CEST) : désolée, je suis très fatiguée. J'avais entrepris de corriger les fautes de frappe, mais sans imprimante, c'est trop difficile sur l'écran. Donc je laisse provisoirement en repos. --[[Utilisateur:Guerinsylvie|Guerinsylvie]] 22 avril 2009 à 14:50 (CEST)
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

Je reprends pour constater que ce n'est plus la bonne méthode pour enseigner cela. Il me semble à présent qu'il est meilleur d'essayer de reprendre la méthode des &quot;elliptoides&quot; de Hooke. Mais cela va m'obliger à rechercher dans la &quot;littérature&quot;. Cette méthode est bien sûr très proche de celle de Feynman ( et peut-être trouverais-je en effet des indications chez Hamilton , et/ou Maxwell. Mais évidemment pas ce soir ! à plus --[[Utilisateur:Guerinsylvie|Guerinsylvie]] 22 avril 2009 à 18:58 (CEST)

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    <title>Discussion:Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Le vide</title>
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      <text bytes="1373" xml:space="preserve">== demande d'excuses : comment en suis-je là ? ==
Je ne sais même plus comment c'est arrivé ; sans doute, le manque de sommeil, la précarité absolue auront eu raison de mon cerveau. J'ai un petit peu honte, ce qui est écrit est un mélange assez fou de déraison d'une personne, qui, de temps en temps, est encore douée de raison. C'est bizarre, ce mélange : parfois in the life, parfois en délire.

Comment m'accorder une quelconque crédibilité, après ? Et pourtant en régime_wiki, il doit bien arriver que les gens &quot;débloquent&quot;. Souvent, au début, quand j'écrivais dans la Wikipedia, vers les années 2004-2005, certaines personnes me contraient, sur des faits par ailleurs bien connus. Et je n'ai résisté que parce que je savais que mes maîtres avaient raison, qu'il y avait des livres qui l'avaient dit avant, que tout était &quot;cohérent&quot; ; mais pas vraiment parce que j'avais &quot;moi-même&quot; fait l'expérience. NON, &quot;j'étais convaincue&quot; que ce que je disais était vrai. Et pourtant, là, j'ai envie de tout éraser, c'est d'ailleurs ce que je vais faire : je reconnais mon écriture, mon style, donc c'est bien moi, guerinsylvie, qui ai écrit cela.

Là, je relis : c'est FOU , il n'ya pas d'autre mot !

J'érase.

Désolée. demande excuses  --[[Utilisateur:Guerinsylvie|Guerinsylvie]] 29 juin 2009 à 10:34 (CEST) (impression de solitude extrème)</text>
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    <title>Étymologie de la langue française/Origines du vocabulaire</title>
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        <username>Dim Blob</username>
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      <comment>/* Les doublets */</comment>
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      <text bytes="86350" xml:space="preserve">{{Étymologie de la langue française/Navigation}}

== Les mots d'origine latine ==

=== Remarques préliminaires sur l'évolution de la prononciation ===

Il convient de souligner l'importance du facteur phonétique dans l'évolution des mots. Par exemple, ''oie'' vient du latin populaire ''auca'' dérivé du latin classique ''avis'' (« oiseau ») que l'on retrouve dans ''aviculture'' (« élevage des oiseaux ») ou ''grippe aviaire'' (« transmise par des oiseaux »).

Pour comprendre les évolutions phonétiques, il faut garder à l'esprit :
* Qu'elles se sont déroulées sur de nombreuses générations. En comptant qu'une génération « vaut » vingt-cinq ans, près de cinquante générations se sont succédé entre le sac de Rome en 410 et ''Le Cid'' de Pierre Corneille, où nous constatons que nous ne prononçons pas exactement comme notre grand-mère (génération G-2).
* Que jusqu'au XX{{e|e}} siècle, il n'existait ni radio ni télévision et donc aucune norme nationale « palpable » en matière de prononciation. C'est la radio qui a facilité une prononciation homogène. Pendant la Première Guerre mondiale, des agrégés d'allemand faits prisonniers furent fusillés pour avoir refusé de servir d'interprètes entre des officiers du sud et du nord de l'Allemagne qui ne se comprenaient pas très bien. Dans les années 1950 et 1960, en Angleterre, il existait des offres d'emploi exigeant des candidats qu'ils eussent l'[[wikt:accent|accent]] de la BBC (Abréviation de ''British Broadcasting Corporation'', signifiant « Corporation britannique de radiodiffusion »), la radio nationale officielle britannique.
* Que la conjonction de ces deux phénomènes fait qu'encore au XVII{{e|e}} et XVIII{{e|e}} siècles, à la Cour, le son [wa] se prononçait [wɛ] (d'où [lə rwɛ] pour « le roi », [lə bwɛ] pour « le bois ») et que l'on ne prononçait aucune lettre finale ([lə sɛr] pour « le cerf », [nuri] pour « nourrir ») alors que le peuple parisien prononçait [rwa], [bwa], [sɛr]. À la Cour comme à la ville, on roulait les ''r''. Encore à l'époque de Victor Hugo, lorsque l'on déclamait : « le bruit sourd des canons roulants vers Austerlitz », l'auditoire entendait un véritable grondement.
* Que jusque dans les années 1950, la sonorisation était rare et imparfaite, ce qui imposait de parler en articulant, en découpant bien les syllabes sans « manger » les finales rétablies en partie au début du XIX{{e}} siècle. Imaginez un cours sans micro dans un amphithéâtre de la Sorbonne, un sermon sans micro à Notre-Dame de Paris, une plaidoirie sans micro dans la grande salle d'audience d'un tribunal aujourd'hui classé monument historique, un discours dans l'hémicycle du Sénat. Des générations de professeurs, de prêtres, d'avocats ou d'hommes politiques ont pourtant dû le faire. 

Pour le commun des mortels, se faire entendre dans une foire où tout le monde criait ne devait pas être facile, pas plus que dans la salle de garde d'un château (Essayez par exemple au Palais des Papes à Avignon un jour d'affluence : elle correspond à la salle d'accueil).

* Qu'il y a toujours eu des modes qui laissent des traces. Au XVI{{e|e}} siècle, il était de bon ton de prononcer [z] le ''r'' compris entre deux voyelles. « Paris » se prononçait [pazi], et « oratoire » [ozatwar] d'où les noms de ville en ''-Ozoir'' ou ''-Osoir'' lorsque la commune comptait une chapelle. Sous Napoléon I&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt;, et peut-être parce que Joséphine de Beauharnais éprouvait des difficultés à les prononcer, il devient à la mode d'élider les ''r'' d'où les ''inc'oyables'' et les ''mé'veilleuses''. Entre les deux, les Précieuses — qui étaient loin d'être nécessairement ridicules — ont fait la chasse à tous les gestes disgracieux ; on leur doit les mousses inventées par leurs cuisiniers à qui elles avaient demandé des plats qui n'exigeassent pas des mouvements musculaires trop marqués lors de la mastication. Cette volonté a sûrement exercé une influence sur leur prononciation.

* Que, plus généralement, les sons des langues indo-européennes s'articulent en un système qui permet de distinguer des labiales, des dentales, des palatales et que le passage de l'une à l'autre est assez simple ce qui explique, par exemple, qu'au ''qu'' latin corresponde ''v'' ou ''f'' dans les langues plus nordiques comme « quatre » (français) / « quattro » (italien) et « vier » (allemand), « voor » (flamand) et « four » (anglais) ou encore « qui » (français) / « chi » (italien) et « who » (anglais) / « wer » (allemand) ; de même, on trouve une correspondance entre le [d] et le [t] (« dent » au Sud contre « tooth » (même sens) au Nord, « dies » (« jour ») au Sud contre « Tag » (même sens) au Nord).

=== Les doublets ===
Au fil du temps, les mots latins ont évolué phonétiquement et sémantiquement en français. Par exemple, ''captivum'' a donné ''chétif'' avec le sens que nous lui connaissons, un captif étant souvent chétif du fait des mauvaises conditions de sa détention.

Lorsque, à partir du XIV{{e|e}} siècle, on se mit à traduire beaucoup de textes latins en français parce que le latin commençait à [[w:langue morte|disparaître]], alors même que le contenu des textes latins conquérait l'intérêt des lecteurs français, on traduisit ''captivum'' par ''captif'' pour désigner le prisonnier en tant que tel. On dit ainsi que ''captif'' et ''chétif'' sont des [[w:Doublet lexical|doublets]]. D'une façon générale, les mots de formation populaire se référent au concret et les mots de formation savante sont plus abstraits ; mais il existe des exceptions.

Exemples :
* ''ancêtre'' (milieu du XI{{e|e}} siècle) ~ ''antécesseur'' (XIV{{e|e}} siècle) ← ''antecessor''
* ''août'' ({{e|e}} siècle) ~ ''auguste'' ({{e|e}} siècle) ← ''augustus''
* ''arracher'' (XII{{e|e}} siècle) ~ ''éradiquer'' (XIV{{e|e}} siècle) ← ''eradicare''
* ''Auvray'' ({{e|e}} siècle) ~ ''Alfred'' ({{e|e}} siècle) ← ''Alv(e)redus''
* ''banquier'' (XII{{e|e}} siècle) ~ ''bancaire'' (XIX{{e|e}} siècle) ← ''bancarius''
* ''benêt'' (XVI{{e|e}} siècle) ~ ''béni'' ({{e|e}} siècle) ← ''benedictus''
* ''béton'' (XII{{e|e}} siècle) ~ ''bitume'' (XII{{e|e}} siècle) ← ''bitumen''
* ''biche'' (XII{{e|e}} siècle) ~ ''bête'' (XII{{e|e}} siècle) ← ''bestia''
* ''Benoît'' ({{e|e}} siècle) ~ ''Bénédict'' ({{e|e}} siècle) ← ''Benedictus''
* ''carré'' (XII{{e|e}} siècle) ~ ''quadrat'' (XVII{{e|e}} siècle, via l'[[italien]] ''quadrato'') ← ''quadratum''
* ''chaîne'' (XII{{e|e}} siècle) ~ ''catène'' (XVIII{{e|e}} siècle) ← ''catena''
* ''chaire'' (XII{{e|e}} siècle) ~ ''cathèdre'' (XIII{{e|e}} siècle) ← ''cathedra'' — N.B. : On a en réalité affaire à un triplet lexical, puisque le mot ''chaise'' n'est lui-même qu'une variante dialectale de ''chaire''.
* ''chance'' (XII{{e}} siècle) ~ ''cadence'' (XVI{{e}} siècle, via l'[[italien]] ''cadenza'') ← ''cadentia''
* ''chanoine'' (XII{{e|e}} siècle) ~ ''canonique'' (XIII{{e|e}} siècle) ← ''canonicus''
* ''chape'' (XI{{e|e}} siècle) ~ ''cape'' (XVII{{e|e}} siècle) ← ''cappa''
* ''chasser'' (fin du XII{{e}} siècle) ~ ''capter'' (XV{{e|e}} siècle) ← ''captare'' — N.B. : ''Captare'' s'est vraisemblablement altéré en ''captiare'' très tôt en bas-latin avant de donner ''chacier'' en ancien français.
* ''chaume'' (fin du XII{{e|e}} siècle) ~ ''calame'' (XVI{{e|e}} siècle) ← ''calamus''
* ''cheptel'' (XII{{e|e}} siècle) ~ ''capital'' (XIII{{e|e}} siècle) ← ''capitalis''
* ''chétif'' (XI{{e|e}} siècle) ~ ''captif'' (XV{{e|e}} siècle) ← ''captivus''
* ''chose'' (IV{{e}} siècle) ~ ''cause'' (milieu du XII{{e|e}} siècle) ← ''causa''
* ''colère'' (XIII{{e}} siècle) ~ ''choléra'' (XVI{{e|e}} siècle) ← ''cholera'' — N.B. ''Cholera'' est devenu ''colera'' en bas latin.
* ''concierge'' (XII{{e|e}} siècle) ~ ''conserve'' (XIV{{e|e}} siècle) ← ''conservus''
* ''confiance'' (XIII{{e}} siècle) ~ ''confidence'' (XIV{{e|e}} siècle) ← ''confidentia''
* ''copain'' (XVIII{{e|e}} siècle) ~ ''compagnon'' (XII{{e|e}} siècle) ← ''companio''
* ''couple'' (XII{{e}} siècle) ~ ''copule'' (XV{{e|e}} siècle) ← ''copula''
* ''cré{{--}}tin'' (XVIII{{e}} siècle) ~ ''chrétien'' (IX{{e|e}} siècle) ← ''christianus''
* ''déchéance'' (XII{{e}} siècle) ~ ''décadence'' (XVI{{e|e}} siècle) ← ''decadentia''
* ''dépit'' (XII{{e|e}} siècle) ~ ''despect'' ({{e|e}} siècle) ← ''despectus''
* ''dévoué'' ({{e|e}} siècle) ~ ''dévot'' (fin du XII{{e|e}} siècle) ← ''devotus''
* ''employer'' (début du XII{{e}} siècle) ~ ''impliquer'' (XIV{{e|e}} siècle) ← ''implicare''
* ''enchantement'' (XII{{e}} siècle) ~ ''incantation'' (XIII{{e}} siècle) ← ''incantatio''
* ''enchanteur'' / ''enchanteresse'' (XII{{e|e}} siècle) ~ ''incantateur'' / ''incantatrice'' (XV{{e|e}} siècle) ← ''incantator'' / ''incantatrix''
* ''entier (XI{{e|e}} siècle) ~ ''intègre'' ({{e|e}} siècle) ← ''integer''
* ''exploiter'' (début du XII{{e|e}} siècle) ~ ''expliciter'' (XIX{{e|e}} siècle) ← ''explicitare'' — N.B. : L'ancien français ''espleitier'' / ''esploitier'' a été refait ''exploiter'' au XVI{{e|e}} siècle.
* ''écluse'' (XI{{e}} siècle) ~ ''exclue'' (XIII{{e|e}} siècle) ← ''exclusa'', participe passé féminin du verbe ''excludere''
* ''écolier'' (XIII{{e}} siècle) ~ ''scolaire'' (XIX{{e|e}} siècle) ← ''scholaris''
* ''écouter'' (X{{e}} siècle) ~ ''ausculter'' (XVI{{e|e}} siècle) ← ''auscultare''
* ''écrit'' (XII{{e}} siècle) ~ ''script'' (XX{{e|e}} siècle) ← ''scriptum''
* ''étroit'' (XII{{e|e}} siècle) ~ ''strict'' (XVIII{{e|e}} siècle) ← ''strictus''
* ''éveux'' ({{e|e}} siècle) ~ ''aqueux'' (XVI{{e|e}} siècle) ← ''aquosus''
* ''évêché'' (X{{e|e}} siècle) ~ ''épiscopat'' (XVII{{e}} siècle) ← ''episcopatus''
* ''évier'' (XIII{{e|e}} siècle) ~ ''aquarium'' (XIX{{e}} siècle) ← ''aquarium''
* ''Edwige'' ({{e}} siècle) ~ ''Havoise'' ({{e}} siècle) ← ''Hedvigis''
* ''façon'' (XII{{e|e}} siècle) ~ ''faction'' (XIV{{e|e}} siècle) ← ''factio''
* ''faix'' (XII{{e|e}} siècle) ~ ''fasce'' (1{{e|re}} moitié du XII{{e|e}} siècle) ← ''fascis''
* ''fantôme'' (XII{{e|e}} siècle) ~ ''fantasme'' (XIII{{e|e}} siècle) ← ''phantasma''
* ''ferme'' (XII{{e|e}} siècle) ~ ''firme'' (XIX{{e|e}} siècle) ← ''firma''
* ''féal'' (XII{{e|e}} siècle) ~ ''fidèle'' (X{{e|e}} siècle, réintroduit au XVI{{e}} siècle) ← ''fidelis''
* ''fétiche'' (XVII{{e|e}} siècle) ~ ''factice'' (XVI{{e|e}} siècle) ← ''facticius''
* ''forge'' (XII{{e|e}} siècle) ~ ''fabrique'' (XIV{{e}} siècle) ← ''fabrica''
* ''frêle'' (XI{{e|e}} siècle) ~ ''fragile'' (XIV{{e}} siècle) ← ''fragilis''
* ''fuir'' (IX{{e|e}} siècle) ~ ''fuguer'' (XX{{e}} siècle) ← ''fugere'' — N.B. : ''Fugere'' a d'abord changé de conjugaison en bas latin (''fugire'') avant d'aboutir à « fuir ».
* ''gaine'' (XIII{{e|e}} siècle) ~ ''vagin'' (XVII{{e|e}} siècle) ← ''vagina'' — N.B. : ''Vagina'' donnera aussi, via l'espagnol ''vainilla'', le terme « vanille ». Ce dernier désigne à l'origine la ''petite'' gousse du vanillier, d'où le suffixe diminutif ''-illa'' (''-ille'').
* ''grêle'' (XII{{e|e}} siècle) ~ ''gracile'' (XVI{{e|e}} siècle) ← ''gracilis''
* ''Geoffroy'' ({{e|e}} siècle) ~ ''Godefroy'' ({{e|e}} siècle) ← ''Godefridus''
* ''Gilles'' ({{e|e}} siècle) ~ ''Égide'' ({{e|e}} siècle) ← ''Aegidius''
* ''hôtel'' (XI{{e|e}} siècle) ~ ''hôpital'' (XII{{e|e}} siècle) ← ''hospitalia''
* ''luette'' (fin du XIII{{e|e}} siècle) ~ ''uvule'' (XIII{{e|e}} siècle) ← ''uvula''
* ''Louis'' ({{e|e}} siècle) ~ ''Ludovic'' ({{e}} siècle) ← ''Ludovicus''
* ''mâcher'' (XII{{e|e}} siècle) ~ ''mastiquer'' (XVI{{e|e}} siècle) ← ''masticare''
* ''ménestrel'' (XI{{e|e}} siècle) ~ ''ministériel'' (XVI{{e|e}} siècle) ← ''ministerialis''
* ''métier'' (XI{{e|e}} siècle) ~ ''ministère'' (XIII{{e|e}} siècle) ← ''ministerium''
* ''moutier'' (XI{{e|e}} siècle) ~ ''monastère'' (XIII{{e|e}} siècle) ← ''monasterium''
* ''moyen'' (XIII{{e|e}} siècle) ~ ''médian'' (XVI{{e}} siècle) ← ''medianus''
* ''mûr'' (XII{{e|e}} siècle) ~ ''mature'' (XX{{e|e}} siècle, anglicisme) ← ''maturus''
* ''Maud'' ({{e|e}} siècle) ~ ''Mathilde'' ({{e|e}} siècle) ← ''Mathilda''
* ''nourrisson'' (XII{{e|e}} siècle) ~ ''nutrition'' (XIV{{e|e}} siècle) ← ''nutritio''
* ''Noël'' (XII{{e|e}} siècle) ~ ''natal'' (XVI{{e|e}} siècle) ← ''natalis''
* ''œuvre'' (XII{{e|e}} siècle) ~ ''opéra'' (XVII{{e|e}} siècle, via l'[[italien]] ''opera'', de même sens) ← ''opera'', pluriel d&lt;nowiki&gt;'&lt;/nowiki&gt;''opus''
* ''orfraie'' (XIV{{e|e}} siècle) ~ ''ossifrage'' (XVI{{e|e}} siècle) ← ''ossifraga''
* ''oreiller'' (XII{{e|e}} siècle) ~ ''auriculaire'' (XVI{{e|e}} siècle) ← ''auricularis''
* ''orteil'' (XII{{e|e}} siècle) ~ ''article'' (XII{{e|e}} siècle) ← ''articulus''
* ''paladin'' (XVI{{e|e}} siècle, via l'italien ''paladino'', XIII{{e}} siècle) ~ ''palatin'' (XIII{{e|e}} siècle) ← ''palatinus''
* ''parvis'' (XIII{{e|e}} siècle) ~ ''paradis'' (fin du X{{e|e}} siècle) ← ''paradisus''
* ''parole'' (XI{{e|e}} siècle) ~ ''parabole'' (XIII{{e|e}} siècle) ← ''parabola''
* ''pèlerin'' (XI{{e|e}} siècle) ~ ''pérégrin'' (1&lt;sup&gt;re&lt;/sup&gt; moitié du XII{{e|e}} siècle) ← ''peregrinus''
* ''pitié'' (XI{{e|e}} siècle) ~ ''piété'' (fin du X{{e|e}} siècle) ← ''pietas''
* ''poison'' (XII{{e|e}} siècle) ~ ''potion'' (XVI{{e|e}} siècle) ← ''potio''
* ''Péronnelle'' ({{e|e}} siècle) ~ ''Pétronille'' ({{e|e}} siècle) ← '' Petronilla''
* ''raison'' (X{{e}} siècle) ~ ''ration'' (XIII{{e|e}} siècle) ← ''ratio''
* ''renard'' ({{e|e}} siècle) ~ ''Renart'' ({{e|e}} siècle) ← ''Renartus''
* ''répit'' (XII{{e|e}} siècle) ~ ''respect'' (XIII{{e|e}} siècle) ← ''respectus''
* ''rouer'' (XII{{e|e}} siècle) ~ ''rôder'' (XV{{e|e}} siècle via l'ancien occitan ''rodar'', « vagabonder ») ← ''rotare''
* ''royal'' (IX{{e}} siècle) ~ ''régalien'' (XVII{{e|e}} siècle) ← ''regalis''
* ''Renaud'' ({{e|e}} siècle) ~ ''Réginald'' ({{e|e}} siècle) ← ''Reginaldus''
* ''sanglier'' (fin du XI{{e|e}} siècle) ~ ''singulier'' (fin du XIII{{e|e}} siècle) ← ''singularis'' — N.B. :  ''Sanglier'' est en réalité tiré de l'expression ''porc sanglier'', c'est-à-dire ''cochon solitaire''.
* ''sauveur'' ({{e|e}} siècle) ~ ''sauveteur'' ({{e|e}} siècle) ← ''salvator''
* ''seing'' (XII{{e|e}} siècle) ~ ''signe'' (2&lt;sup&gt;de&lt;/sup&gt; moitié du X{{e|e}} siècle) ← ''signum''
* ''serment'' (IX{{e|e}} siècle) ~ ''sacrement'' (XII{{e|e}} siècle) ← ''sacramentum''
* ''taverne'' (XII{{e|e}} siècle) ~ ''tabernacle'' (XIV{{e|e}} siècle) ← ''taberna'' — N.B. : ''Tabernacle'' vient de ''tabernaculum'', diminutif de ''taberna''.
* ''tâter'' (XII{{e|e}} siècle) ~ ''taxer'' (XIII{{e|e}} siècle) ← ''taxare''
* ''thiois'' ({{e|e}} siècle) ~ ''tudesque'' (XII{{e|e}} siècle) ← ''theodiscus''
* ''tôle'' ({{e|e}} siècle) ~ ''table'' ({{e|e}} siècle) ← ''tabula''
* ''traiteur'' (XVII{{e|e}} siècle) ~ ''tracteur'' (XVIII{{e}} siècle) ← ''tractor''
* ''Thierry'' ({{e|e}} siècle) ~ ''Théodoric'' ({{e|e}} siècle) ← ''Theodoricus''
* ''Tiphaine'' ({{e|e}} siècle) ~ ''Théophanie'' ({{e|e}} siècle) ← ''Theophania''
* ''veiller'' (XII{{e|e}} siècle) ~ ''vigiler'' ({{e|e}} siècle) ← ''vigilare''
* ''verge'' (XII{{e|e}} siècle) ~ ''vergue'' (XII{{e|e}} siècle) ← ''virga''
* ''vergogne'' (XIII{{e|e}} siècle) ~ ''vérécondie'' (XVI{{e|e}} siècle) ← ''verecundia''
* ''vouivre'' (XII{{e|e}} siècle) ~ ''vipère'' (XIII{{e|e}} siècle) ← ''vipera''

Il existe également des doublets constitués de deux termes populaires. C'est par exemple le cas de :
* ''chaînon'' (XII{{e|e}} siècle) et ''chignon'' (fin du XII{{e|e}} siècle) qui proviennent chacun du bas latin ''catenion''.
* ''chaire'' (début du XII{{e|e}} siècle) et ''chaise'' (début du XV{{e|e}} siècle) qui proviennent chacun du latin ''cathedra'' 
* ''gourde'' (XIII{{e|e}} siècle) et ''courge'' (XIV{{e|e}} siècle) qui proviennent chacun du latin classique ''cucurbita''.

'''Note :''' Les datations correspondent à la première attestation écrite d'un mot, mais ne sont pas forcément représentatives de sa première utilisation orale.

=== Les fusions ===
On notera aussi les fusions de mots : 
* '''affaire''' (initialement ce qu'il y a ''à faire'')
* '''alarme''' (initialement ''all'arme'', « aux armes »). L'italien actuel a conservé la forme originelle ''all'arme''.
* '''antan''' (initialement *''ant(e) anu'' en latin vulgaire, du syntagme latin ''ante annum'' « l'année dernière »).
* '''aujourd'hui''' (composé de ''au jour de'' et de ''hui'', du latin ''hodie'', (« en ce jour »), il signifie donc « au jour présent »). De ce fait, ''au jour d'aujourd'hui'' est un splendide pléonasme.
* '''bonhomme''' (initialement un ''bon homme'', c'est-à-dire un brave homme, un homme cultivé).
* '''gendarmes''' (initialement ''gens d'armes'').
* '''lingot''' (composé de l'article défini français ''le'' et du mot anglais ''ingot'')
* '''malgré''' (initialement ''mal gré'', « de mauvais gré »)
* '''naguère''' (initialement il ''n'y a guère'' de temps)
* '''parce que''' (initialement ''par ce'' que ce mot, etc.)
* '''voilà''' (initialement ''vois là'')

== Les emprunts ==
'''Note :''' les astérisques (*) indiquent une forme reconstruite, c'est-à-dire non attestée à l'écrit mais supposée par plusieurs autres formes. C'est par exemple le cas de l'{{w|indo-européen commun}}, qui est une langue hypothétique (puisque non attestée à l'écrit) dont découlent, entres autres, les langues indo-iraniennes, les langues celtiques, germaniques, helléniques, italiques, etc. 

=== Les emprunts au francique ===
Les mercenaires et travailleurs ruraux avaient déjà introduit quelques termes dès les années 250 après J.-C.&lt;ref name=&quot;Larousse&quot;&gt;&lt;/ref&gt;, mais ce sont surtout les {{w|Invasions barbares|Grandes invasions}} qui ont introduit le vocabulaire de la guerre et du droit salique&lt;ref name=&quot;Larousse&quot;&gt;&lt;/ref&gt;, très différent du droit romain. Par la suite, les vainqueurs ont adopté la langue de l'ex-Empire romain comme les Romains avaient eux-mêmes adopté la civilisation des Grecs, qu'ils avaient dominés militairement (L'élite romaine parlait le grec ancien ; lorsqu'il fut poignardé, Jules César s'exprima en grec ancien en reconnaissant Brutus parmi les conspirateurs ; il ne dit pas : « ''Tu quoque mi fili.'' » mais « Καὶ σὺ τέκνον. » (Kaì sù téknon.) Parmi les mots d'origine francique, citons :
* '''bordel''' qui désignait une grosse planche. Comment est-on passé du sens de « planche » à celui de « désordre » ? À partir de ces planches, on pouvait construire de pauvres maisons rudimentaires et ce fut le premier sens (le composé à partir du composant). Cette cabane de planches en « bord'eau » ou « bord'elle » (la mer, la rivière) servant de « guinguette », etc.  

:: Avec le temps, ces maisons rudimentaires n'offrirent plus le confort minimal que les gens attendaient d'un foyer et seules les plus pauvres continuaient à abriter des prostituées. Le mot se spécialisa dans le sens de « maison de passe », « maison de tolérance », et autres locutions employées jusqu'alors.

:: En latin, la maison de prostitution est appelée « lupanar ». Ce nom dérive du mot « lupa » (louve) qui désigne métaphoriquement une prostituée. L'image de la « louve » prenant soin de Romulus et Rémus ne doit donc pas être interprétée selon le sens premier du terme.

:: Les clients de ces établissements se livrant à des débordements en tout genre, le mot en vint à désigner l'état de désordre qui en résultait.

:: En anglais, la formule correspondante est « what a mess ». « mess » vient du latin « mensa », désignant la table. Le mess des officiers est l'endroit où il y a des tables pour manger. La fraternité militaire donnant parfois lieu à des excès de beuverie, le mess se trouve alors dans un état qui sert de référence en matière de désordre. Le même mot latin donne aussi « manséatique » qui désigne des montagnes aplanies comme une table (par exemple le massif ibérique).

:: En italien, la formule correspondante est « che casino » où ''casino'' a le même sens qu'en français, mais y est perçu comme un lieu de débordement et surtout très bruyant.

* '''chambellan''' de *''kamerling''.
* '''danser''' de *''dintjan'', ou de *''dansôn'' (« tirer », « traîner »).
* '''échanson''' de *''skankjo'' (même sens).
* '''épier''' de *''spehôn'' (« observer avec attention »).
* '''fauteuil''' de *''faldistôl'' (« chaise pliable »).
* '''frapper''', peut-être de *''hrappan'' (« arracher »).
* '''garou''' de *''werwolf'' (« homme-loup ») (« garou » signifiant déjà « homme-loup », il était erroné d'ajouter « loup » à ce terme).
* '''gâcher''' de *''waskôn'' (« laver »).
* '''gâteau''' de *''wastil'' (« nourriture »).
* '''grès''' de *''greot'' (« gravier, sable »).
* '''grêler''' de *''grisilôn'', de même sens.
* '''gris''' de *''grîs'', (néerlandais : ''grijs'') de même sens ; de ce mot dérive ''grisette'', « étoffe commune de teinte grise » puis par métonymie « jeune fille d'humble condition ».
* '''guerre''' : du mot francique *''werra'' (« querelle ») qui donne ''war'' et ''Wehr'' respectivement en anglais et allemand modernes. En latin, la guerre se disait ''bellum'' que l'on retrouve dans ''belliqueux''. ''Beau'' se dit ''pulcher'' en latin classique, mais une forme populaire, ''bellus'', se développa, générant une confusion entre ''bellus'' (« beau ») et ''bellum'' (« guerre ») qui favorisa l'adoption du mot francique au IX{{e}} siècle.
* '''Guillaume''' de *''Willahelm'' (« volonté de protection »).
* '''haïr''' de *''hatjan'', que l'on retrouve en néerlandais en tant que ''haten'', dans l'anglais ''to hate'', l'allemand ''hassen''. Le terme francique est issu d'une racine indo-européenne *''keh&lt;sub&gt;₂&lt;/sub&gt;d-''&lt;ref&gt;Guus Kroonen, ''Etymological Dictionary of Proto-Germanic''&lt;/ref&gt;.
* '''hargne''' de *''harmjam'' (« insulter »).
* '''haubert''' (cotte de maille) de *''halsberg'' (proprement « ce qui protège le cou »), composé de *''hals'' (« cou ») et *''bergan'' (« mettre en sûreté, protéger »). En allemand moderne, on retrouve ''Hals'' pour le cou, mais non en anglais où ''neck'' vient d'un radical *''hnakkô''. En néerlandais, on les retrouve tous les deux : ''hals'' et ''nek''.
* '''heaume''' de *''helm'' (« casque ») d'où l'allemand ''Helm'', l'anglais ''helm''.
* '''honnir''' de *''haunjan'' (« insulter »). On le retrouve dans ''honen'' (« bafouer ») en néerlandais, ou dans ''höhnen'' (« bafouer ») en allemand.
* '''honte''' de *''haunita''. Le latin disait ''pudor'', qui a donné le français ''pudeur''. Cf. ''honnir''.
* '''houx''' de *''hulis'' (« houx »). Ce radical a donné ''hulis'', ''huls'' en ancien haut allemand, ''huls'' en moyen néerlandais, ''hulst'' en néerlandais.
* '''laid''' de *''laiþ'' (« désagréable », « contrariant », « rebutant »). En néerlandais, on retrouve ''leed'' pour « désagréable », mais aussi ''lelijk'' pour « laid ». On le retrouve aussi dans l'allemand ''leid'' et ''Leid''
* '''loge''' de *''laubja'' (« hutte de feuillage »), qui donne l'allemand ''Laube''.
* '''maçon''' de *''makjo'', lui-même dérivé de *''makôn'' (« faire »). On retrouve en néerlandais le verbe ''maken'' (« faire », « construire »), en anglais ''to make'', en allemand ''machen''.
* '''malle''' de *''malha'' (« sacoche »), d'où le moyen néerlandais ''male'' (« sac de voyage », « coffre »), le néerlandais ''maal'' (« sac », « sacoche », « coffre »).
* '''marais''' de *''marisk''. En moyen néerlandais, on retrouve ''mersch'', ''maersch'' (« pré », « terrain marrécageux »). En néerlandais moderne, ''moeras'' (« marais, marécage »). L'anglais ''marsh'' et l'allemand ''Marsch'' sont également issus de la racine.
* '''maréchal''' de *''marhskalk'' (« [[wikt:palefrenier|palefrenier]] »).
* '''moue''' de *''mauwa'' (même sens), source du moyen néerlandais ''mouwe''.
* '''rang''' de *''hring'' (« anneau », « cercle »). De ce terme sont issus ''ring'' (« anneau ») en néerlandais et en anglais, ''Ring'' en allemand.
* '''riche''' de *''riki'' (« puissant »), que l'on retrouve dans le vieil anglais ''rīce'' (d'où l'anglais moderne ''rich''), le moyen néerlandais ''rijcke'', ''rijck'' (d'où le néerlandais moderne ''rijk''), l'ancien haut allemand ''rîchi'', ''rîche'' (d'où l'allemand ''reich''), etc. En ancien français, le mot a d'abord signifié « puissant » avant d'acquérir le sens moderne.
* '''renard''' de *''Reginhart'' ; a remplacé « goupil » dans le vocabulaire courant suite au succès du ''{{w|Roman de Renart}}''.
* '''sénéchal''' de *''siniskalk'' (« serviteur doyen »).
* '''trêve''' de *''treuwa'' (« contrat », « convention »). En néerlandais, on le retrouve dans ''trouw'' (« fidèle »), ''Treue'' en allemand (« fidélité »).
* '''trotter''' de *''trottôn'' (« courir »).

=== Les emprunts au moyen néerlandais ===
Le moyen néerlandais a beaucoup apporté à la langue française, notamment — mais non exclusivement — dans le vocabulaire maritime&lt;ref name=&quot;Larousse&quot;&gt;&lt;/ref&gt;. Cependant, celui-ci a diminué au XVII{{e}} siècle, laissant place à l'anglais&lt;ref name=&quot;Larousse&quot;&gt;&lt;/ref&gt;. Parmi les mots empruntés, citons :
* '''bâbord''' de ''bakboord'', composé de ''bak'' (« dos ») et de ''boord'' (« bord »). À l'époque, le gouvernail était constitué d'un {{w|aviron de gouverne}} fixé à l'arrière droit (tribord), le barreur trouvait ainsi le dos au côté gauche (bâbord)&lt;ref name=&quot;Robert&quot;&gt;{{w|Alain Rey}}, ''Dictionnaire historique de la langue française'', Dictionnaires Le Robert, Paris, 1992&lt;/ref&gt;. '''Tribord''' vient, lui, de ''stierboord'', une variante de ''stuurboord'' composé de ''stuur'' (« gouvernail »), et de ''boord'', littéralement « côté du gouvernail », puisqu'il se trouvait du côté droit&lt;ref&gt;« tribord », dans ''TLFi, Le Trésor de la langue française informatisé'', 1971–1994 [https://www.cnrtl.fr/etymologie/tribord → consulter cet ouvrage]&lt;/ref&gt;.
* '''bière''' est soit emprunté au moyen haut allemand ''bier'', soit au moyen néerlandais ''bier''. 
* '''botte''' (Au sens de « assemblage de plusieurs choses liées ensemble ») vient de ''bote'' (« touffe de lin »), rattaché au verbe ''boten'' (« frapper »).
* '''bouquin''' d'un diminutif de ''boec'' (« livre »), apparenté à ''book'' en anglais et ''Buch'' en allemand. Compte tenu du fait que les formes attestées (''boecskijn'', ''boekelkij'') rendent difficilement compte du français ''bouquin'', on a supposé une forme non attestée *''boeckijn''.
* '''brique''' de ''bricke'', ''brike''. À l'origine, il y a la racine francique *''brëkan'' (« casser », « briser ») que l'on retrouve dans le néerlandais ''breken'' (« casser »), l'anglais ''to break'' (« casser »), l'allemand ''brechen'' (« briser »). '''Brioche''' est dérivé de ''brier'' (forme normande de ''broyer'', au sens de « pétrir la pâte ») avec le suffixe ''-oche''. '''Broyer''' est issu du francique *''brëkan'', et signifie à l'origine « réduire en morceaux, en poudre, en pâte ». Au XIII{{e}} siècle, ''brique'' avait en français le sens de « petit morceau », « miette »&lt;ref name=&quot;Robert&quot;&gt;&lt;/ref&gt; ; passé le XVI{{e|e}} siècle, ce sens a disparu, sauf dans une expression populaire qui a survécu jusqu'à la fin du XIX{{e}} siècle : « bouffer des briques » (« n'avoir à manger que des miettes, c'est-à-dire rien »), où l'idée de dureté et de caractère indigeste de l'aliment comparable à de la brique de construction s'ajoute à la notion de pénurie. La '''brique à pont''', c'est une pierre de grès fin utilisée par les marins pour '''briquer''' leur navire, d'où le sens familier de ''briquer'' « frotter dynamiquement, nettoyer »&lt;ref name=&quot;Robert&quot;&gt;&lt;/ref&gt;.
* '''digue''' de ''dijc'', d'où la forme moderne ''dijk''.
* '''drogue''' (« substance psychotrope ») vient peut-être de ''droge'' (« produits séchés », « drogue »), substantivation de ''droge vate'' (« tonneaux secs »).
* '''étape''' de ''stapel'' (« entrepôt »).
* '''mannequin''' (« figurine ») de ''mannekijn'' (« petit homme »). Le sens de « panier » est emprunté au moyen néerlandais ''mannekijn'' (« petit panier »), diminutif de ''manne'' (« panier »).
* '''pamplemousse''' est emprunté au néerlandais moderne ''pompelmoes'' (avec ''moes'' prononcé \mus\), dont l'étymologie est discutée : soit composé de ''pompel'' (« gros ») (ou de ''pompoen'', « citrouille ») et de ''limoes'' (« citron »), soit lui-même emprunté au tamoul பம்பரமாசு (pamparamāsu) (« [[wikt:bigarade|bigarade]] »). À l'origine, ''pamplemousse'' désigne ''{{w|Citrus maxima}}'', mais s'applique aujourd'hui souvent à ''{{w|Citrus paradisi}}''.
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ '''Appellations des deux fruits en France et dans quelques pays francophones'''
!
! {{nobr|''Citrus maxima''}}
! {{nobr|''Citrus'' ''paradisi''}}
|-
! colspan=&quot;3&quot; | français, usage en botanique et horticulture
|-
!français
|'''pamplemousse'''
|pomélo
|--
! colspan=&quot;3&quot; | français, usage commercial et courant
|-
!
|[[image:Citrus grandis - Honey White.jpg|70px]]
|[[image:Citrus paradisi (Grapefruit, pink) white bg.jpg|70px]]
|-
!Belgique
|pomelo
|'''pamplemousse'''
|-
!Canada
|'''pamplemousse'''
|pomélo &lt;small&gt;(ou pomelo)&lt;/small&gt;, grapefruit &lt;small&gt;(anglicisme)&lt;/small&gt; ou '''pamplemousse'''
|-
!France
|'''pamplemousse'''
|'''pamplemousse''', pomélo &lt;small&gt;''(Moins courant)''&lt;/small&gt;
|-
!Suisse
|pomélo
|grapefruit ou '''pamplemousse'''
|-
|}

Le néerlandais a également fourni des mots à d'autres langues. Par exemple, dans le cas de l'anglais :
* '''cookie''' vient de ''koekje'', diminutif de ''koek'' (« gâteau »)&lt;ref&gt;« cookie », dans ''Merriam-Webster'', 2022 [https://www.merriam-webster.com/dictionary/cookie#related-phrases → consulter cet ouvrage]&lt;/ref&gt;. 
* '''Santa Claus''' (Le surnom états-unien du [[wikt:père Noël|père Noël]].) vient de ''Sinterklaas'' (désignant [[w:Nicolas de Myre|saint Nicolas]]), lui-même altération de ''Sint Nikolaas''&lt;ref&gt;« Santa Claus », dans ''Merriam-Webster'', 2022 [https://www.merriam-webster.com/dictionary/Santa%20Claus → consulter cet ouvrage]&lt;/ref&gt;.

=== Les emprunts à l'arabe ===
Même après l'effondrement de l'Empire romain, l'Occident n'a jamais cessé d'entretenir des relations entre, d'une part, Byzance et, d'autre part, les pays d'Afrique du Nord et du Proche-Orient, essentiellement à partir de la Provence, du Languedoc et de l'Italie&lt;ref name=&quot;Larousse&quot;&gt;&lt;/ref&gt;. Les Croisades ont accentué ces contacts&lt;ref name=&quot;Larousse&quot;&gt;&lt;/ref&gt;. Inversement, la conquête de la péninsule Ibérique par les Arabes n'a pas laissé de traces majeures dans le reste de l'Europe, le franchissement des Pyrénées étant, somme toute, plus difficile que la traversée de la Méditerranée. Parmi les emprunts à l'arabe, citons :
* '''adobe''' : de ألطوب (ʾāṭ-ṭwb) (« brique séchée au Soleil »). Le terme est arrivé en français au XIX{{e|e}} siècle, par le biais de l'espagnol, attesté dès le XII{{e}} siècle. [1868]
* '''alambic''' : de الإنبيق (āl-anbyq) formé de ال (āl) (« le », « la ») et du grec ancien ἄμϐιξ (ámbix) (« vase »), de même sens, peut-être via le latin médiéval des alchimistes. {{w|Albert Dauzat|Dauzat}} a proposé un intermédiaire espagnol ''alambique'', mais celui-ci est impossible car l'espagnol n'est attesté que depuis 1444. Le mot arabe a aussi donné l'italien ''lambisco'', le portugais ''alambique''. [1265]
* '''alcali''' : de القلي (āl-qily) (« soude (plante) »), via le latin médiéval ''alkali''. [1363]
* '''alchimie''' : de الكيمياء (āl-kymyāʾ) (« science des quantités »). Le terme est arrivé en français au XIII{{e|e}} siècle, par l'intermédiaire du [[latin]] médiéval ''alchimia''. L'arabe viendrait du grec ancien χυμεία (khumeía) (« mélange »), lui-même de χυμός (khumós) (« jus »), ou d'un mot copte signifiant « noir », désignant aussi l'Égypte. Les mots ''alchimie'' et ''chimie'' sont restés synonymes jusqu'à l'apparition de la [[chimie]] moderne à la fin du XVIII{{e|e}} siècle &lt;ref name=&quot;Robert&quot;&gt;&lt;/ref&gt;. [1275]
* '''alcool''' : de الكحل (āl-kuḥl) (« distillat », « poudre »), par l'espagnol ''alcohol''. [1586]
* '''alcôve''' : de القبة (āl-qubba) (« petite pièce »), par le biais de l'espagnol ''alcoba''. [1646]
* '''algèbre''' : de الجبر (āl-ǧabr) (« réduction » au sens où nous disons que le problème se ramène / se réduit à un système à deux équations), via le latin médiéval ''algebra''. [fin du XIV{{e}} siècle]
* '''algorithme''' : du nom du mathématicien perse [[w:Al-Khwârizmî|Al-Khwârizmî]], par l'intermédiaire de l'ancien espagnol ''algorismo''. La forme actuelle est calquée sur le latin médiéval ''algorithmus'', altération influencé par ''arithmetica''. [1230]
* '''amiral''' : de أميرالعلي (ʾāmyr āl-ʿalī) (« grand chef »). [1100] 
* '''avarie''' : de عَوَارِيَّة (ʿawāriyya), dérivé de عور (ʿawar) (« défaut »), par le génois ''avaria''. [1200]
* '''aya''' : de آية (ʾāya) (« verset »)
* '''azur''' : de لازورد (lāzaward) (« lapis-lazuli ») [1080]
* '''Abdallah''' : de عبد الله (ʿAbdullāh) (« serviteur de Dieu »)
* '''Abdellatif''' : de عبد اللطيف‎ (ʿAbdullāṭyf) (« serviteur de l'Aimable »)
* '''Aladin''' : de علاء الدين (ʿAlāʾad-dyn) (« noblesse de foi »)
* '''Allah''' : de الله (ʾAllāh) (« Dieu »)
* '''Al-Qaïda''' : de القاعدة (āl-Qāʿyda) (« la Base ») [XX{{e|e}} siècle]
* '''brêle''' : de بغل (beġel) (« mulet »)
* '''cafard''' : de « كافر » (kāfir) (« hypocrite », « faux dévot »)
* '''café''' : de « قهوة » (qahwah)
* '''calife''' : de « خليفة » (ḫalyfah) (« successeur [du Prophète] »)
* '''camphre''' : de « كافور » (kāfwr) issu du sanskrit « कर्पूरम् » (karpūram).
* '''candi''' : initialement dit ''condi'', par l'intermédiaire de l'italien, emprunté à l'arabe « قندي » (qandy) (« confit ») [1256]
* '''chahada''' : de « شهادة » (šahādat) (« témoignage de foi »)
* '''charia''' : de « شريعة » (šaryʿah) (« chemin pour respecter la loi [de Dieu] »)
* '''cheh''' : de « صح » (ṣaḥ) («  »)
* '''cheikh''' : de « شيخ » (šayḫ) (« maître », « vieillard », « sage »)
* '''cheykha''' : de « شيخة » (šayḫa) (« »)
* '''chéchia''' : de « شاشية » (šašyah) («  »)
* '''chérif''' : de « شريف » (šaryf) («  »)
* '''Coran''' : de « القران » (āl-Qurān) (« la Récitation »)
* '''dawa''' : de « دعوة » (daʿwa) (« appel ») 
* '''djihad''' : de « جهاد » (ǧihād) (« effort »)
* '''djinn''' : de « جن » (ǧinn) (« génie » au sens d'« être merveilleux »)
* '''estragon''' : de « طرخون » (ṭarḫwn)
* '''élixir''' : de « إكسير » (āl-ʾiksyr) (« la [[wikt:pierre philosophale|pierre philosophale]] ») formé de « ال » (āl) (« le », « la ») et du grec ancien « ξηρίον » (xêríon) (« poudre siccative à mettre sur les blessures ») 
* '''éfrit''' : de « عفريت » (ʿfryt) 
* '''émir''' : de « أمير » (ʾāmyr) (« commandant », « prince ») 
* '''fanfaron''' : de « فرفار » (farfār) (« volage », « inconstant », « bavard »)
* '''fez''' : de « فأس » (fās) (« ») 
* '''fissa''' : de « في ساعة » (fy sāʿah) (« dans l'instant », « sur l'heure »)
* '''fondouk''' : de « فندق » (funduq) (« hôtel »)
* '''Fatima''' : de « فاطمة » (Fāṭima) (« jeune chamelle sevrée »)
* '''gazelle''' : de « غزال » (ġazāl) (« antilope ») [fin du XII{{e}} siècle]
* '''goudron''' : de « قطران » (qaṭrān) (« asphalte ») 
* '''goule''' (au sens de « créature monstrueuse ») : de « غول » (ġwl) (« démon »). Le nom du criminel [[w:Ra's al Ghul|Ra's al Ghul]] vient de « رأس الغول‎ » (Rāʾs āl-Ḡwl) (« Tête de démon »).
* '''gourbi''' : de « غوربي » (ġwrby) (« ») 
* '''gwer''' : de « غور » (ġwr) («  »), diminutif de « غوري » (Ġawry) (« Ligurien »)
* '''hadith''' : de « حديث » (ḥadyṯ) (« parole du Prophète »)
* '''hajj''' : de « حج » (ḥaǧ) (« pèlerinage ») 
* '''halal''' : de « حلال » (ḥalāl) (« licite ») 
* '''hamdoullah''' : de « الحمد لله » (āl-ḥamdullāh) (« louange à Dieu »)
* '''haram''' : de « حرام » (ḥarām) (« illicite ») 
* '''hasard''' : de « الزهر » (az-zahr) (« dé », « jeu de dés »), nommé d'après « زهر » (zahr) (« fleur ») car la face gagnante du dé portait une fleur
* '''inch'Allah''' : de « ان شاء الله » (in šāʾ ʾAllāh) (« si Allah le veut »)
* '''Iblis''' : de « إبليس‎‎ » (Iblīs) (« Celui qui n'a plus d'espoir [de se repentir] »)
* '''Jafar''' : de « جعفر » (Ǧaʿfar)
* '''Jaouad''' : de « جواد » (Ǧawād)
* '''Jasmine''' : de « ياسمين » (Yāsmyn)
* '''keffieh''' : de « كوفية » (kwfīya) («  »)
* '''khey''' : de « أخي » (ʾaḫī) (« frère »)
* '''maboul''' : de « مهبول » (mahbwl) (« fou », « débile ») [XIX{{e|e}} siècle]
* '''machallah''' : de « ماشاء الله » (māšāʾallāh) (« ce que Dieu veut »)
* '''masser''' (au sens de « pétrir avec les mains ») : de « مس » (mas) (« palper », « toucher ») [XVIII{{e|e}} siècle]
* '''matelas''' : de « مطرح » (maṭraḥ) (« tapis », « lieu où l'on jette quelque chose ») [XVI{{e|e}} siècle] 
* '''mesquin''' : de « ‎مسكين » (miskyn) (« pauvre »)
* '''miramolin''' : de « أمير المؤمنين ‎» (ʾāmyr āl-mwʾminyn) (« commandeur des croyants »)
* '''momie''' : de « مومياء » (mwmyāʾ) (« corps embaumé »)
* '''mounâfik''' : de : « ‏منافق » (munāfiq) (« hypocrite »)
* '''Machrek''' : de « المشرق » (āl-Mašriq) (« le Levant »)
* '''Maghreb''' : de « المغرب » (āl-Maġrib) (« le Couchant »)
* '''Mahomet''' : de « محمد‎ » (Muḥammad) (« digne de louanges »)
* '''Moustapha''' : de « مصطفى » (Muṣṭafaā) (« l'Élu »)
* '''nifâk''' : de « نفاق‎‎ » (nifāq) (« hypocrisie »)
* '''niquer''' : de « نك » (nik) (« faire l'amour ») [XIX{{e|e}} siècle]
* '''nuque''' : de « نخاع » (nuḫāʿ) (« partie dorsale du cou ») [XIV{{e|e}} siècle]
* '''Omar''' : de « عمر » (ʿOmar) («  »)
* '''papegai''' (ancien nom français du [[wikt:perroquet|perroquet]]) : de « ببغاء » (babaġāʾ) («  »)
* '''ramdam''' : de « رمضان » (Ramaḍān) (« mois de jeûne »)
* '''roumi''' : de « رومي » (Rwmy) (« Romain »)
* '''salat''' : de « صلاة » (ṣalāt) (« ensemble de cinq prières »)
* '''salep''' : de « ثعلب » (ṯaʿlab) (« renard ») abréviation de « خصى الثعلب » (ḫuṣān aṯ-ṯaʿlab) (« testicules de renard ») Le nom complet fut choisi en raison de la forme des bulbes de cette plante.
* '''saoum''' : de « صوم‎ » (ṣawm) (« jeûne »)
* '''starfallah''' : de « أستغفر الله » (ʾastaḡfirullāh) (« Que Dieu me pardonne »)
* '''soubhanallah''' : de « سبحان الله » (subḥān allāh) (« louez Dieu »)
* '''souk''' : de « سوق » (sūq) (« marché »)
* '''sourate''' : de « سورة » (swrah) (« chapitre »)
* '''sucre''' : de « سكر » (sukar) issu du sanskrit « शर्करा » (śarkarā).
* '''sultan''' : de « سلطان » (sulṭān) (« pouvoir », « autorité »)
* '''Saïd''' : de « سعيد »‎ (Saʿyd) (« heureux »)
* '''Salîm''' : de « سليم » (Salym) (« le Saint », « le Parfait »)
* '''Shaytân''' : de « شيطان » (Šayṭān) (« l'Adversaire »)
* '''talc''' : de « تلك » (talk)
* '''tarbouche''' : de « طربوش » (ṭarbwš) (« ») 
* '''toubib''' : de « طبيب » (ṭabyb) (« médecin ») [1617]
* '''wallah''' : de « والله » (wallāh) (« par Dieu »)
* '''wesh''' : de « واش » (wāš) (« quoi »)
* '''Wahid''' : de « واحد » (Wāḥid) (« l'Unique ») 
* '''zakât''' : de « زكاة » (zakāt) (« purification »)
* '''zinzolin''' : de « جنجلان » (ğunğulān) (« semence de sésame »)
* '''zob''' : de « زب » (zubb) (« pénis »)

Beaucoup de mots empruntés à l'arabe commencent par ''al'' ou ''a'' car, en arabe, ''al'' est l'article défini qui a été accolé au substantif lors de l'emprunt. (Comme si un enfant qui maîtrisait encore mal le français disait ''le lane'' pour ''l'âne''.)

Un cas intéressant est l'emprunt du mot « صفر » (ṣifr) qui signifie « vide » et a été transcrit à la fois par « chiffre » et par « zéro » (la notation arabe des chiffres utilisant un point pour le zéro).

=== Les emprunts à l'italien ===
Les royales épouses et les nobles dames venues d'Italie au XVI{{e|e}} siècle et au début du suivant ont apporté la civilisation du Quattrocento dans leurs bagages : vocabulaire des cours ducales et princières  et du commerce qui avait permis les développements économiques lombard et toscan. Bref, quelque 8000 mots à l'époque, dont environ 10% sont utilisés encore aujourd'hui. Sur les 2000 à 8000 italianismes que comptait la langue française, seulement 700 environ ont survécu. Citons :
* '''accort''' : de ''accorto'' (« clairvoyant », « adroit »)
* '''amouracher''' : de ''amoracciare'' («  »)
* '''assassin''' : de ''assassino'' (« meurtrier »)
* '''avoir martel''' (terme aujourd'hui disparu) : être jaloux(se)
* '''bambin''' : de ''bambino'' (« bébé », « enfant »)
* '''bamboche''' : de ''bamboccio'' (« poupard », « bébé joufflu »)
* '''banque''' : de ''banca''. La banque est un banc ou plutôt une petite table sur laquelle on pose l'argent à changer, ce qui constituait l'activité première des banques. En cas de faillite (d'une racine signifiant « tomber » que l'on retrouve dans « défaillir ») du banquier, la corporation lui interdisait symboliquement de continuer son activité en lui cassant sa table. (D'où l'italien « bancarotta », qui a donné le français « banqueroute ».)
* '''bataillon''' : de ''battaglione''
* '''berlingot''' : de ''berlingozzo''
* '''bombe''' : de ''bomba''
* '''birouchette''' : de ''baroccio'' (« charrette à deux roues »)
* '''brocoli''' : du pluriel de ''broccolo''
* '''burler''' (terme aujourd'hui disparu) : se moquer
* '''brusque''' : de ''brusco'' (« âpre », « aigre »)
* '''cabriole''' : de ''capriola'' (« saut de cabri »)
* '''caprice''' : de ''capriccio'' (« frisson »)
* '''carrière''' : de ''carriera'' (« chemin de chars »)
* '''carrosse''' : de ''carrozza''
* '''carrousel''' : de ''carosello''
* '''carton''' : de ''cartone''
* '''cartouche''' : de ''cartuccia''
* '''charlatan''' : de ''ciarlatano''
* '''citrouille''' : de ''citruolo''
* '''colonel''' : de ''colonello''
* '''cortège''' : de ''corteggio''
* '''courtisan(e)''' : de ''cortigiano(a)''
* '''courtiser''' : de ''corteggiare''
* '''couci-couci''' : de ''così così'' (« ainsi ainsi »)
* '''désastre''' : de ''disastro'' (« mauvaise étoile »)
* '''discote''' (terme aujourd'hui disparu) : de ''discotto'' (« éloigné »)
* '''escadre''' : de ''squadra''
* '''escadron''' : de ''squadrone''
* '''escarpe''' (terme aujourd'hui disparu) : de ''scarpa'' (« chaussure »)
* '''escarpin''' : de ''scarpino''
* '''escroc''' : de ''scrocco''
* '''espadon''' : de ''spadone'' (« grande épée »)
* '''-esque''' : de ''-esco''
* '''estafette''' : de ''staffetta'' (« courrier à cheval »)
* '''estivallet''' (terme aujourd'hui disparu) : de '' '' (« bottine »)
* '''fantassin''' : de ''fantaccino''
* '''fantoche''' : de ''fantoccio'' (« marionnette »)
* '''filigrane''' : de ''filigrana''
* '''frasque''' : de ''frasca'' (« soudain écart de conduite »)
* '''fresque''' : de ''fresco'' (« frais ») 
* '''ganache''' : de ''ganascia''  (« mâchoire »)
* '''gonze''' : de ''gonzo'' (« idiot »)
* '''hippogriffe''' : de ''ippogrifo''
* '''imbattre''' (terme aujourd'hui disparu) : de ''imbrattare''
* '''intrigue''' : de ''intrigo''
* '''jalousie''' (au sens de « treillis de bois ou de fer permettant d'observer sans être vu ») : de ''gelosia''
* '''lasagne''' : du pluriel de ''lasagna''.
* '''le plus de temps''' : de ''il più del tempo''
* '''leste''' : de ''lesto'' (« adroit, agile »)
* '''manège''' : de ''maneggio''
* '''masque''' : de ''maschera''
* '''page''' (au sens de « serviteur d'un aristocrate ») : de ''paggio''
* '''paillasse''' (au sens de « bouffon ») : de ''pagliaccio'' (« bateleur », « clown », « pitre »)
* '''pécore''' : de ''pecora'' (« brebis »)
* '''pédant''' : de ''pedante''
* '''pianelle''' (terme aujourd'hui disparu) : de ''pianella'' (« chaussure de daim »)
* '''pizza'''
* '''pizzaïolo''' : de ''pizzaiolo''
* '''poltron''' : de ''poltrone'' (« paresseux »)
* '''porcelaine''' : de ''porcellana''
* '''salami''' : du pluriel de ''salame''
* '''sbire''' : de ''sbirro''
* '''sigisbée''' : de ''cicisbeo'' (« galant », « dameret »)
* '''spadassin''' : de ''spadaccino'' (« bretteur »)
* '''spaghetti''' : du pluriel de ''spaghetto''.
* '''spurquesse''' (terme aujourd'hui disparu) : de ''sporchezza'' (« saleté »)
* '''supercherie''' : de ''soperchieria''
* '''taffetas''' : de  ''taffetà''
* '''trop mieux''' : de ''troppo meglio''
* '''trop plus''' : de ''troppo più''
* '''voltiger''' : de ''volteggiare'' (« voleter »)
* '''zibeline''' : de ''zibellino'' 

L'essentiel du vocabulaire français lié à la musique est emprunté à l'italien. Citons :
* '''allégro''' = joyeux
* '''andante''' = simple, habituel (mot à mot : qui marche [à pieds])
* '''adagio''' = lentement (Si vous circulez en véhicule sur les routes d'Italie, vous constaterez que ce mot apparaît fréquemment à l'entrée des parkings souterrains ou aux abords des écoles.)
* '''scherzo''' = plaisanterie
* '''ténor''' = de « tenore » qui désigne le « contenu essentiel » ; formule comparable aux expressions françaises « teneur de la loi » ou « teneur en oxygène ». Le ténor est le chanteur qui assume l'essentiel de l'opéra.

À la période romantique s'ajouteront des mots allemands comme « Lied » (« chant »).

=== Les emprunts au russe ===
Vers la fin du {{XIXe siècle}}, la popularité des romans russes, traduits en français, apportent beaucoup de nouveaux mots (''steppe'', ''cosaque'', ''toundra'', etc.)&lt;ref name=&quot;Larousse&quot;&gt;{{W|Jean Dubois (linguiste)|Jean Dubois}}, {{W|Henri Mitterand}}, {{W|Albert Dauzat}}, ''Dictionnaire étymologique et historique du français'', {{W|Éditions Larousse}}, 2007&lt;/ref&gt;. À leur tour, la {{w|révolution russe}} et le développement du socialisme introduisent nombre de nouveaux termes en français (''kolkhoze'', ''bolchévique'', ''koulak'', ''soviet'', etc.)&lt;ref name=&quot;Larousse&quot;&gt;&lt;/ref&gt;. Parmi les nombreux emprunts, citons :
* '''bogatyr''' : de « богатырь » (bogatyr’) (« héros »).
* '''combinat''' : de « комбинат » (kombinat).
* '''cosmonaute''' : de « космонавт » (kosmonavt).
* '''datcha''' : de « дача » (datcha).
* '''drojki''' : de « дрожки » (drojki).
* '''goulag''' : lexicalisation de « ГУЛАГ » (GULÁG), acronyme de « Главное Управление Лагерей » (Glávnyj Upravlěniě Láger') (« Direction Principale des Camps »).
* '''icône''' : de « икона » (ikona) (« image religieuse »).
* '''isba''' : de « изба » (izba).
* '''jaleïka''' : de « жалейка » (zhaléika).
* '''kopeck''' : de « копе́йка » (kopéjka).
* '''lezguinka''' : « лезгинка » (lezginka).
* '''mammouth''' : de « мамант » (mamant), variante désuète de « мамонт » (mamont).
* '''mazout''' : de « мазут » (mazout), qui viendrait de l'arabe « مَخْزول » (makhzoul) (« résidu »).
* '''morse''' : de « морж » (morj).
* '''moujik''' : de « мужик » (muzhik), diminutif de « муж » (muzh) (« homme »).
* '''niet''' : de « нет » (niet) (« non »).
* '''novitchok''' : de « новичок » (novitchok) (« novice »).
* '''oblast''' : de « область » (oblast').
* '''pérestroïka''' : de « перестройка » (perestroika).
* '''podzol''' : de « подзол » (podzol).
* '''rouble''' : de « рубль » (rubl').
* '''sarafane''' : de « сарафан » (sarafan).
* '''taïga''' : de « тайга » (taiga).
* '''télègue''' : de « телега » (telega).
* '''tsar''' : de « царь » (tsar’), lui-même du vieux slave « цѣсарь » (cěsarĭ), emprunté au latin « Caesar » via le grec ancien « Καῖσαρ » (Kaîsar), source aussi de l'allemand « Kaiser » (d'où ''kaiser'' en français).
* '''ukase''' : de « указ » (ukaz).
* '''vodka''' : de « водка » (vodka), diminutif de « вода » (voda) (« eau ») avec le suffixe « ­-ка » (-ka).
* '''yourte''' : de « юрта » (júrta).

=== Les emprunts à l'allemand ===
Les emprunts à l'allemand sont souvent limités à des vocabulaires spéciaux, notamment celui de la guerre&lt;ref name=&quot;Larousse&gt;&lt;/ref&gt;. Ils ont été apportés par les mercenaires allemands et suisses des XVI{{e}} et XVII{{e}} siècles, et, dans une moindre mesure, par l'{{w|Occupation de la France par l'Allemagne de 1870 à 1873|occupation allemande de 1870 à 1873}} et l'{{w|Occupation de la France par l'Allemagne pendant la Seconde Guerre mondiale|occupation de 1940 à 1943}}&lt;ref name=&quot;Larousse&gt;&lt;/ref&gt; :
* '''accordéon''' : de ''Akkordeon'', mot forgé en 1829 par {{w|Cyrill Demian}}, inventeur de l'instrument.
* '''aspirine''' : de ''Aspirin''.
* '''aux fines herbes''' (« au revoir ») : c'est une déformation de « auf Wiedersehen ».
* '''blitzkrieg''' : de ''Blitzkrieg'' (« guerre éclair »), composé de ''Blitz'' (« éclair ») et de ''Krieg'' (« guerre »).
* '''blockhaus''' : de ''Blockhaus''
* '''bunker''' : de ''Bunker''
* '''cobalt''' : emprunt à l'allemand ''Kobalt'', de ''Kobold'', nom d'un lutin malicieux.
* '''devise''' : au sens financier, probablement de ''Devise''
* '''écologie''' : de ''Ökologie'', terme forgé par {{w|Ernst Haeckel}} en 1866.
* '''ersatz''' (mot à mot ''qui se tient à la place de'').
* '''feldwebel''' : de l'allemand ''Feldwebel'', même sens.
* '''flic''' est dérivé de « Fliege » (« mouche », d'après le sens argotique « espion »), ou de « Flick » (« garçon, jeune homme »).
* '''fritz''' : du prénom allemand ''Fritz'', diminutif de ''Friedrich''.
* '''Gestapo''' : de l'allemand, ellipse de '''''Ge'''heime '''Sta'''ats'''po'''lizei'' (« police secrète d’État »).
* '''heimatlos''' : emprunt à l'allemand ''heimatlos'' (« apatride »).
* '''homosexuel''' : probablement de ''homosexual'', composé de ''homo-'' et de ''sexual''.
* '''képi''' : de ''Käppi''.
* '''lansquenet''' : de ''Landsknecht'' (« fantassin »).
* '''loustic''' est la francisation de ''[[wikt:lustig|lustig]]'' (« joyeux »). Dans les troupes allemandes, il y avait un bouffon que l'on appelait « Lustig » (« le Joyeux »).
* '''nazi''' : de ''Nazi'', contraction de '''''Na'''tionalso'''zi'''alist''.
* '''obus''' : de ''Haubitze'' (« obusier »), lui-même emprunté au tchèque ''houfnice'' (« catapulte »).
* '''putsch''' : de ''Putsch''.
* '''se faire appeler Arthur''' (« se faire gronder ») : dans cette locution, « Arthur » est une déformation de « acht Uhr » signifiant « huit heures » ; pendant la [[w:Seconde Guerre mondiale|Seconde Guerre mondiale]], en France occupée, le [[wikt:couvre-feu|couvre-feu]] était à huit heures du soir. Les patrouilles allemandes avaient donc pour habitude de prévenir les retardataires en leur indiquant leur montre et en leur disant « acht Uhr! ».
* '''thalweg''' : de ''Thalweg'', composé de ''Thal'' (« vallée ») et de ''Weg'' (« chemin »).
* '''Wehrmacht''' : de ''Wehrmacht''.

=== Les emprunts aux langues américaines indigènes ===
Tous les produits exotiques découverts aux « Indes occidentales » comme l'on disait alors ont été importés, le plus souvent via l'Espagne ou le Portugal avec leur nom d'origine plus ou moins bien compris et déformé. Ainsi :
* '''avocat''' et '''hamac''' des Caraïbes
* '''cacahuète'''
* '''chocolat'''
* '''topinambour''' qui en même temps qu'il désignait le tubercule comestible avait aussi le sens de « personne de caractère ombrageux », caractère que l'on attribuait à la tribu Topinambour d'où ont été exportées les premières de ces plantes.

Cela explique que ces mots soient peu ou prou identiques dans toutes les langues européennes d'aujourd'hui. On notera le cas de l'espagnol qui appelle « platanas », les bananes. Lorsque les premiers Conquistadores rapportèrent des bananes à Séville, les badauds leur demandèrent combien il en poussait « là-bas ». « Autant que de platanes à Séville » fut la réponse qui parut par trop exagérée (bien qu'elle fut vraie) et conduisit à appeler le fruit « platana » à Séville puis dans toute l'Espagne.

Indépendamment de ces importations, espagnol et portugais ont laissé quelques mots apportés par les mercenaires et liés à la vie militaire tels « adjudant » ou « camarade ».

L&lt;nowiki&gt;'&lt;/nowiki&gt;'''adjudant''' est celui qui aide (Du verbe ''adjutare'', « aider ») un officier (un aide de camp) comme l'adjuvant est un additif qui renforce (qui aide) les qualités d'un remède ou d'un produit industriel comme le béton.

Le '''camarade''' est celui avec qui l'on partage sa chambre (« camera » d'où la « camera obscura » (chambre noire) qui aboutit plus simplement à la caméra [de cinéma]). Le camarade est le compagnon de chambrée, le '''compagnon''' étant celui avec (cum) qui l'on partage le pain (panis).

Du portugais l'on peut aussi retenir :
* '''pintade''' qui est l'abrégé de « galina pintada » (poule peinte)
* '''sombrer''' qui vient  — via un verbe français « soussoubrer » — d'un verbe portugais « soçobrar » signifiant « aller sous l'eau ».

=== Les emprunts à l'anglais ===
S'ils sont aujourd'hui importants, surtout à travers l'américain, il n'en fut pas ainsi pendant longtemps ne serait-ce que parce que les familles anglaises parlaient français et que la première grammaire française fut rédigée en anglais pour permettre aux féodaux autochtones d'acquérir la langue d'expression de leurs souverains.

Les premiers emprunts à l'anglais apparaissent au XVIII{{e|e}} siècle sous la double influence du libéralisme politique qui se développe en Angleterre et définit les notions et les mots de « parlementaire » ou de « comité » et de l'expansion pré-industrielle comme de l'hégémonie maritime qui succède à celle des pays du Sud de l'Europe d'où « rail », et « tunnel ».

=== Les emprunts aux autres langues ===
Les autres langues ont moins apporté, en dehors de mots désignant des institutions ou des produits locaux (comme les boyards, le caviar). Citons :

Le vieux norrois avec :
* '''garer''' : de « varask » (« être sur ses gardes »).
* '''quille''' (terme de marine), emprunté au vieux norrois « kilir », pluriel de « kjǫlr ».
* '''saga''', signifiant « récit mythologique ou historique » ; le mot est à rapprocher de l'anglais « to say » (« dire ») et de l'allemand « sagen » (même sens).
* '''vague''' est issu de « vágr », apparenté à l'anglais « wave ».

Le japonais avec :
* '''emoji''' : de « 絵文字 » (emoji).
* '''judo''', de « 柔道 » (jūdō), composé de « 柔 » (ju) (« souplesse ») et « 道 » (do) (« voie »), littéralement « voie de la souplesse ».
* '''kakemono''' emprunté au japonais « 掛物 » (kakemono).
* '''manga''' tiré de « 漫画 », lui-même composé de « 漫然 » (manzen) (« sans intention ») et « 画 » (ga) (« dessin »).
* '''zen''' : emprunt au japonais « 禅 » (zen), issu du chinois « 禪 » (chán), lui-même abréviation de « 禪那 » (chánnà), du sanskrit « ध्यान » (dhyāna) (« méditation »).

Le turc avec :
* '''babouche''', de « papuç » (« chaussure »).
* '''derviche''', emprunté au turc « derviş », lui-même emprunt au persan « درويش » (derwiš) (« mendiant, pauvre »).
* '''kebab''', tiré de « kebap ».

L'occitan avec :
* '''aïoli''' : de « alhòli ».
* '''bosquet''', issu de « bosquet », diminutif de « bòsc » (bois) avec le suffixe « -et ».
* '''garrigue''', emprunté à l'occitan « garriga », de l'ancien occitan « garric » (« chêne kermès »).
* '''malfrat''', probablement issu de « maufaras », « malfaras » (« malfaiteur »).
* '''muscat'''.
* '''péguer''', mot utilisé en Occitanie signifiant « coller », est issu de l'occitan « pegar » (même sens).
* '''pétanque''', de l'occitan « petanca ».

=== Le fond gaulois ===
La littérature gauloise était essentiellement composée de poésies épiques et transmise exclusivement par voie orale. C'est pourquoi s'il reste encore de nombreuses traces du gaulois dans les noms de lieux, cette langue n'a laissé — essentiellement à travers le latin — qu'une quarantaine de mots :
* '''alouette'''
* '''berceau'''
* '''bordigue''', cabane avec des étagères pour garder le poisson au bord de la mer
* les '''braies''', les « pantalons » de l'Antiquité, d'où viennent les mots « braguette » et « débraillé ». 
* '''bruyère'''. Le mot a été, par ailleurs confondu avec le mot latin « ruscus » qui signifiait « houx ». Un terrain à bruyères était appelé « bruscia » (qui signifiait « taillis », « buisson ») puis « brousse » (et « broussaille ») mais aussi « brosse » d'où les premières brosses qui n'étaient pas faites pour se coiffer mais pour laver le linge ou le sol et donc fabriquées à partir de végétaux très durs et acérés. « brosse » et « brousse » se spécialisèrent par la suite mais il reste des traces de cette synonymie en français moderne : « brosser » lorsque l'on parle d'un animal qui se faufile dans les taillis (ex : En brossant, le lièvre évita le chasseur.). Par analogie, on appelle aussi « brosse », la rangée de poils que l'on trouve au bout des pattes ou antennes de certains insectes et qui leur permettent, par exemple, de se situer dans l'espace tout en servant à la pollinisation.
* '''cervoise''', bière d’orge ou de blé sans houblon.
* '''charrue''' qui désigne à l'origine un char gaulois puis un char agricole puis finit par se limiter à un instrument muni de roues et d'un soc.
*'''chêne''' qui est une fusion du gaulois latinisé ''casanus'' et du mot bas latin ''fresne''
* '''glaner'''
* '''sillon''' d'une racine signifiant ''amasser de la terre''
* probablement '''tamis''' avec le même sens.
* '''taisson''' qui est l'ancien nom du blaireau.
* '''talus''', de ''talo'' qui désigne le front puis, par analogie avec la pente du front, un terrain en pente dans le langage des mineurs

=== L'emprunt par composition lexicale ===
Une forme particulière d'emprunt est la composition lexicale à partir de racines grecques et latines, contrairement à l'emprunt proprement dit où un mot étranger courant est introduit dans la langue d'accueil. Initié dès le XVI{{e|e}} siècle, le procédé a été particulièrement utilisé de 1750 à 1950 (pour avoir des chiffres ronds) dans tous les domaines de la vie scientifique et technique. En principe les deux racines doivent être ou grecques ou latines mais l'on rencontre des mots mixtes.

Les spécialités médicales en sont un bon exemple ; à partir de « -logie » (de « λόγος », l'étude) on construit :
* « andrologie » [] de « ἀνήρ », l'homme en grec ancien.
* « anthropologie » [] de « ἄνθρωπος », l'être humain en grec ancien.
* « cardiologie » [1797] de « καρδία », le cœur en grec ancien. 
* « coprologie » [] de « κόπρος », l'excrément en grec ancien.
* « dermatologie » [1836] de « δέρμα », la peau en grec ancien. Le mot latin « pellis » désigne initialement la peau de bête tannée ; appliquer ce terme à la peau humaine a dû être quelque peu grossier à l'origine, comme aujourd'hui parler de la « gueule » de quelqu'un.
* « gynécologie » [] de « γυνή », la femme en grec ancien.
* « hématologie » [] de « αἷμα », le sang en grec ancien.
* « œnologie » [] de « οἶνος », le vin en grec ancien.
* « oncologie » [1970] de « ὄγκος », la tumeur en grec ancien ; les tumeurs constituent un amas en imagerie médicale comme à la palpation
* « ophtalmologie » [1753] de « ὀφθαλμός », l'œil en grec ancien
* « proctologie » [1970] de « πρωκτός », l'anus en grec ancien
* « scatologie » [] de « σκῶρ », l'excrément en grec ancien.
* « urologie » [] de « οὖρον », l'urine en grec ancien

De la même façon, on construit :
* « saurien » [1800] (de « σαῦρος » (« lézard »)) reptile à écailles
* « dinosaure » [1845] (de « δεινός » (« terrible ») et « σαῦρος » (« lézard »)
* « ichtyosaure » [1824] (de « ἰχθύς » (« poisson ») et « σαῦρος » (« lézard »)
* « lycoperdon » [] (de « λύκος » (« loup ») et « πέρδομαι » (« flatuler »)
* « callipyge » [] (de « κάλλος » (« beauté ») et « πυγή » (« fesse »)
ou encore, en vrac :
* « alopécie »  [{{e}} siècle] qui désigne la chute des cheveux comparée à celle des poils du renard (« ἀλώπηξ ») se produisant chaque année.
* « dromadaire » [XII{{e}} siècle] qui est le coureur (« δρομάς ») du désert
* « éthologie » [1856] l'étude des mœurs (« ἦθος »)
* « hippopotame » [1265] qui est le cheval (« ἵππος ») du fleuve (« πόταμος »)
* « hippodrome » [1534] qui est la course (« δρόμος ») du cheval (« ἵππος »)
* « pétrole » [XIII{{e}} siècle] de « πετρέλαιον »
* « rhinocéros » [1288] qui a une corne (« κέρας ») sur le nez (« ῥίς »)

Certains mots furent composés autrement :
* « chauve-souris » vient du bas latin ''calvas sorices'' (pluriel), altération sous l'influence de ''calvus'' (« chauve »), du bas latin ''cawa sorix'', formé de ''cawa'' (« chouette ») et ''sorix'' (« souris »), signifiant littéralement « chouette-souris ». Le petit de ce mammifère volant s'appelle le « chauve-souriceau » (« chauve-souricelle » au féminin). Le nom anglais de cet animal est « bat », ce qui insipira Bill Finger et Bob Kane pour la création de [[w:Batman|Batman]].

* « soutien-gorge » [1904] dérive de ''soutien'' et de ''gorge''. Dans ce mot, ''gorge'' signifie métaphoriquement « poitrine » ou « sein ».

== Les noms propres (personnes, villes, personnages de roman) devenus noms communs ==
Le plus connu est '''Poubelle''' du nom du préfet de police de Paris, qui imposa, en 1884, de placer les déchets dans un récipient et non de les déposer en vrac sur la chaussée et institua leur collecte régulière mais l'on peut également citer :
* le père '''Clément''' qui fut le premier à obtenir des clémentines dans un orphelinat d'Oran en 1902 par greffe d'un hybride d'oranger et de mandarinier sur un pied de mandarinier.
* John Loudon '''MacAdam''' qui utilisa un revêtement qui venait d'être mis au point pour solidariser les routes et les rendre plus confortables.
* En 1950, après avoir assisté à une grande exposition du peintre Vittore '''Carpaccio''', le chef Giuseppe Cipriani inventa une recette de viande de bœuf crue à laquelle il donna le nom de famille de l'artiste.
* '''Casanova''' est le nom de famille d'un Italien qui écrivit de célèbres mémoires érotiques (et non « pornographiques » ; bien qu'« érotisme » et « pornographie » viennent tous deux du [[grec ancien]], les sens respectifs de ces deux mots sont très différents.) Aujourd'hui, on appelle « casanova » un homme désirant ardemment séduire de nombreuses femmes.
* '''Doberman''' est le nom de famille d'un gardien de fourrière d'une petite ville allemande qui, chargé d'exterminer les chiens errants, réussit à les croiser de façon à obtenir une race de chiens de garde et en sauva ainsi quelques-uns d'une mort prématurée
* John '''Duns''' Scot (1266-1308) est un théologien et philosophe écossais. Devenu « dunce » en anglais, son nom pris le sens du mot français « cancre » désignant un écolier paresseux. Dans les écoles anglo-américaines, on coiffait autrefois les mauvais élèves de chapeaux coniques portant le mot « ᴅᴜɴᴄᴇ ». L'anglais « dunce cap » correspond métaphoriquement au français «  [[wikt:bonnet d’âne|bonnet d'âne]] ».
* '''Guillaume''' est l'imprimeur qui introduisit les guillemets (appelés initialement « guillaumets ») dans l'imprimerie ; dans ce secteur, un autre Guillaume, Massiquot (1797-1870) laisse son nom sous une forme orthographique simplifiée (massicot) au dispositif qui permet de couper les feuilles.
* Louis '''Pasteur''' dont le nom se retrouve dans la plupart des langues dans des termes comme « pasteuriser » ou « pasteurisation » 
* François '''Barrême''', mathématicien (1640-1703) auteur d'un des premiers manuels pratiques de comptabilité
* Partisane de la réforme vestimentaire, l'employée des postes Amelia '''Bloomer''' fit la promotion de [[wikt:culotte|culottes]] bouffantes ; avec le temps, ces sous-vêtements prirent le nom de leur promotrice.
* Devenu aveugle très jeune, Louis '''Braille''' improvisa un système d'écriture en relief facilement lisible du bout des doigts.
* Carlo '''Tonti''' qui conçu les tontines (dans une tontine, un emprunteur offre 100 euros par an pour rémunérer un capital initial de 10 000 euros par exemple. Au fur et à mesure que les prêteurs meurent la rémunération annuelle qui reste constante à 100 euros est répartie sur les seuls survivants ; ce procède fut très utilisé par les rois de France du milieu du XVII{{e}} siècle aux abords de la Révolution française puis par les premières institutions mutualistes)
* '''Figaro'''. Personnage de [[w:Pierre-Augustin Caron de Beaumarchais|Pierre-Augustin Caron de Beaumarchais]], il est le barbier du Comte Almaviva ; « aller chez le figaro » signifie « aller chez le barbier/coiffeur ». Dans la deuxième pièce de la trilogie lui étant consacrée, il dit à la scène 3 de l'acte V : « Sans la liberté de blâmer, il n'est point d'éloge flatteur. » Depuis sa fondation le 15 janvier 1826, le journal quotidien ''[[w:Le Figaro|Le Figaro]]'' met cette réplique en exergue comme étant sa devise.
* '''Frangipane'''. Marquis italien, Frangipani mis au point en 1558 un parfum pour les gants ; ledit parfum connut rapidement du succès pour accommoder les pâtisseries.
* '''Fuller'''. Eugène Fuller est l'architecte qui dessina les plans de la géode. Les nano-particules ont une structure qui rappelle une géode. Pour honorer Fuller on eut l'idée de donner son nom à la structure.
* '''Bougainvilliers''', navigateur qui ramena la plante. De même, camélia (initialement écrit Camellia) à qui Linné (qui nomma nombre de plantes de façon raisonnée) donna ce nom en souvenir du père jésuite qui l'avait ramené du Japon : Camellus
* '''Oignon''' était le responsable du protocole de Louis XIV et il exigeait des Grands qu'ils fussent rangés. Par la suite, la référence à ce royal ordonnancement fut oubliée et l'image d'oignons rangés sur un marché se substitua à l'originale.
* '''Calepin'''. En 1502, Ambrogio Calepino publia un dictionnaire de latin. Le mot « calepin » désigna d'abord un dictionnaire (latin ou non) puis évolua vers le sens de recueil de notes.
* '''Sandwich''' est le nom d'un comte anglais (1718-1792) qui, joueur infatigable, demanda qu'on lui servît son repas entre deux tranches de pain pour ne pas quitter le salon de jeu.
* '''grégorien''' : Pape de 590 à 604, Grégoire XIII fixa définitivement les textes rituels et plaça la messe à la première place des cérémonies du culte, sur le plan artistique. Il fit établir une sélection de chants épurés destinés à toutes les fêtes de l'année (l'antiphonaire) et fonda une école de musique destinée à diffuser une nouvelle interprétation mélodique. Il réforma également le calendrier julien.
* '''Lalune''' était un général dont les bourdes étaient nombreuses d'où l'expression ''bête comme la lune''
* À l'inverse, Jean '''Colin-Maillard''', aveuglé par le sang d'une blessure infligée par l'ennemi se saisit d'un maillard (« marteau » — à comparer avec « maillet » —) et frappant plus ou moins au hasard massacra nombre de ses adversaires ; d'où le jeu de colin-maillard.
* '''Hooley''' était un Irlandais qui rançonnait les paysans en faisant montre d'une extrême violence vis à vis de ceux qui ne se soumettaient pas à ses exactions d'où les « hooligans » des stades.
* Étienne de '''Silhouette''' était contrôleur général des Finances au XVIII{{e}} siècle. Son nom est resté dans la langue soit en raison des nombreuses caricatures que l'on fit de lui soit du fait de ses passages rapides aux affaires qui ne permettaient que de l'y apercevoir.
* '''dulcinée''' désigne poétiquement une femme inspirant une passion romanesque. Cet emploi provient du nom d'un personnage de ''[[w:Don Quichotte|L'Ingénieux Hidalgo Don Quichotte de la Manche]]'', l'œuvre la plus connue de [[w:Miguel de Cervantes|Miguel de Cervantes]] (1547-1616).
* '''Paparazzo''' est le nom d'un photographe apparaissant dans le film ''[[w:La Dolce Vita|La Dolce Vita]]'' (1960). Aujourd'hui, on appelle « paparazzo » un photographe ayant comme domaine de prédilection la vie privée des célébrités.

Dans le genre « grunge » on trouve ''isabelle'' et ''bourdaloue''.

* '''isabelle''' est la couleur de la robe d'un cheval ou du pelage d'un chat qui associe jaune pâle, rouge et noir. La légende veut qu'une noble dame prénommée Isabelle ait fait vœu de ne pas changer sa chemise entre le départ de son époux pour la guerre et son retour. Il existe deux variantes : Isabelle la Catholique lorsque le roi soutint le siège de Grenade (1491) qui dura un an et l'archi-duchesse Isabelle, petite fille de Catherine de Médicis  et de Henri II lorsque son époux — Albert — partit pour Ostende et revient en triomphateur après que la ville ait cessé de lui résister pendant trois ans. D'où la couleur de la chemise au retour du bien-aimé. Il semble cependant aux philologues modernes que le mot est tout simplement l'emprunt du mot ''hiza'' (lion) à l'arabe à cause de la couleur du pelage de ce fauve.
* '''Bourdaloue''' (ce n'est plus légende mais réalité) était un prédicateur de Notre-Dame de Paris à l'éloquence fort prisée des dames de la bourgeoisie parisienne. Rhétoricien accompli, il captivait son public pendant plusieurs heures et certaines dames eurent l'idée de s'équiper d'un petit vase très discret leur permettant de satisfaire leurs besoins naturels sans quitter leur place (à l'époque les robes étaient assez larges)
* Dans l&lt;nowiki&gt;'&lt;/nowiki&gt;''Orlando innamorato'', Matteo Maria Boiardo raconte que le roi circassien '''Sacripante''' fit preuve d'une bravoure et d'une force extraordinaires pour porter secours à la dame de ses pensées sans qu'on le payât en retour. Francisé en ''sacripant'', le nom de ce personnage désigna d'abord un bravache (Au même titre que « matamore » et  « rodomont ».), puis un mauvais sujet et une personne dont la compagnie est peu recommandable. Aujourd'hui, il s'emploie affectueusement pour désigner un individu espiègle ou malicieux (En particulier les petits garçons, au même titre que « chenapan », « coquin » et « garnement »).

Coté paillettes, au contraire, le '''strass''' fut inventé par un joailler parisien : Georges Frederic Strass (1770-1773)

Pour ce qui est des villes citons :
* '''angora''' : Initialement on ne parlait pas d'un chat angora mais d'un chat d'Angora, ancien nom de la ville d'Ankara en Turquie
* '''bougie'''. Cire fine de Bougie, ville située dans l'Algérie actuelle, prisée dès le XIV{{e}} siècle car elle ne produisait pas trop de fumée pour un bon éclairage.
* '''corbillard'''. Dès le XVI{{e}} siècle, on appelait « corbeillard » le coche d'eau — peint en noir — qui assurait une navette entre Paris et Corbeil. Le mot pris son sens actuel au XVIII{{e}} siècle. Les bateaux-mouches ont une origine identique : une navette entre Lyon et le quartier de La Mouche.
* '''cordonnier'''. Étymologiquement, c'est celui qui travaille le cuir à la façon des Cordouans (habitants de Cordoue en Espagne) ou, plus probablement, le cuir en provenance de cette ville.
* '''cravate'''. C'est à l'origine le large ruban que les soldats du Royal Croate étaient autorisés à porter par Louis XIV. « Croate » se prononça rapidement « cravate ».
* '''faïence'''. Ce type de poterie fut imaginé dans le région italienne de Faenza (une cinquantaine de kilomètres au sud-est de Bologne).
* '''jeans'''. Vers 1850, Levi-Strauss fabrique des pantalons avec de la toile servant à bâcher les chariots dont il renforce les coutures avec des rivets. Cependant une dizaine d'années plus tard il trouve encore plus résistant : un tissu de coton fabriqué à Nîmes depuis la fin du XVI{{e}} siècle, teint en bleu avec de l'indigo. Ce tissu de Nîmes deviendra ''denim'' d'abord prononcé ''denime''. Comme Nîmes n'est pas un port, c'est de Gênes que le tissu prend la mer pour les États-Unis d'où sa seconde appellation de ''tissu bleu de Gênes'' devenu ''blue-jeans'' puis simplement ''jeans''.
*'''sardine'''. Originellement il s'agit d'un poisson pêché en Sardaigne.

Sans dériver de noms de personnes, des noms communs sont issus de noms de personnages de roman ou de noms commerciaux :
* Le ''Roman de Renart'' fut aussi célèbre au Moyen Âge que les aventures d'Harry Potter de nos jours. Il met en scène un goupil (c'est à dire en ancien français un renard) nommé « Renart » (Du francique ''Reginhart'', signifiant « le fort en conseil ») qui berne Ysengrin le loup, Noble le lion ou encore Tibert le chat. Ce récit eut tellement de succès que le nom de son personnage principal se substitua au mot « goupil », issu du latin « vulpes ». En 1973, Walt Disney Pictures s'inspira de cette œuvre pour ''[[w:Robin des Bois (film, 1973)|Robin des Bois]]''. En 1985, ce roman fut adapté assez librement et « modernisé » dans une série d'animation française intitulée ''[[w:Moi Renart|Moi Renart]]''. En 1919, l'écrivain américain [[w:Johnston McCulley|Johnston McCulley]] publie ''[[w:Le Fléau de Capistrano|Le Fléau de Capistrano]]'' un récit dont le héros a choisi de lutter contre l'injustice en cachant sa véritable identité sous le nom espagnol du renard. (« zorro » Pour désigner le justicier homonyme, les hispanophones disent et écrivent « El Zorro ».)
* La '''syphilis''' (une maladie sexuellement transmissible) doit son nom au berger Syphilus des ''Métamorphoses'' d'Ovide, un des auteurs latins les plus lus au Moyen Âge. (Qui connut d'ailleurs une « renaissance ovidienne ».) Le plus original est que cette maladie, importée du Nouveau Monde, n'existait pas à l'époque antique. C'est un traducteur de Vérone, Girolamo Fracastoro, qui ajouta cet épisode à son modèle en 1530, époque où cette maladie faisait aussi peur que le sida aujourd'hui ; car, les Européens n'ayant jamais été au contact de l'agent infectieux, ils étaient nombreux à en mourir. Selon les endroits, on donnait différents surnoms à la syphilis : « mal italien » (pour les Français), « mal français » (pour les Italiens, les Espagnols, les Russes, les Allemands, les Anglais et les Polonais), « mal espagnol » (pour les Portugais et les Néerlandais), « mal anglais » (pour les Écossais), « rash de Canton » / « ulcère chinois » (pour les Japonais).

Nicolas '''Chauvin''', personnage d'un vaudeville de 1831 (''La Cocarde tricolore'') représentait un soldat de l'Empire un peu bébête au patriotisme quelque peu excessif.

* '''éclair''' La fermeture Éclair est une marque de fermeture à glissière. Cette marque s'étant imposée dans toute l'Europe on parle aussi de « chisura lampa » (même formule) en italien.
* '''frigidaire''' est une marque de réfrigérateur (on parlait initialement d&lt;nowiki&gt;'&lt;/nowiki&gt;''armoire réfrigérante'' d'où ''réfrigérateur'')
* '''klaxon''' est le nom du premier fabricant de cet outil.
* '''texto''' est une marque déposée par SFR pour désigner les SMS. (c'est à dire originellement l'élément du ''Short Message Service'' que l'on a francisé en ''Service messager succinct''.)

À Marseille, entre les deux guerres mondiales on n'utilisait pas d'eau de Javel (nom de l'inventeur) mais de la pigeonne, du nom de la marque locale.

On trouve des phénomènes identiques dans toutes les langues. Ainsi, l'italien appelle « montgomery » (Du nom d'un général qui portait ce vêtement avec élégance.) ce que l'anglais nomme « duffle coat ».

== Les abréviations ==
Le fait que certains mots constituent des acronymes reste parfois conscient mais est oublié :
* « apud » [] pour « amine precursor uptake and decarboxylation  » (Il s'agit de cellules de la crête neurale qui migrent chez l'embryon et jouent un rôle important dans le système neuro-endocrinien.)
* « cyborg » [1960] pour « cybernetic organism »
* « CEDEX » [1972] pour « courrier d'entreprise à distribution exceptionnelle »
* « CIDEX » [] pour « courrier individuel à distribution exceptionnelle »
* « glare » [] pour « glass laminate aluminium reinforced epoxy » ()
* « laser » [1960] pour « light amplification by stimulated emission of radiations » ()
* « maser » [1954] pour « microwave amplification by stimulated emission of radiations » ()
* « prion » [1982] pour « proteinaceus infective only particule » (particule infectieuse de nature protéique)
* « quasar » [1965] pour « quasi-stellar radio source » (radiosource quasi-stellaire)
* « radar » [1944] pour « radio detecting and ranging » ()
* « sida » [1981] pour « syndrome d'immunodéficience acquise » 
* « sonar » [1970] pour « sound navigation and ranging » ()
* « snob » est l'abréviation (s. nob.) de « sine nobilitate » (non noble), mention que portaient les collèges anglais habitués à n'accueillir que les enfants de la noblesse lorsqu'ils s'ouvrirent à la bourgeoisie. Que ce fut vrai ou médisance, on disait que les enfants issus de la bourgeoisie affectaient des comportements habituels à la noblesse et cherchaient à se montrer plus nobles que les nobles.
* « S.O.S. » qui a gardé les points séparateurs est (par rétroacronymie) l'abréviation de « Save our souls » (Sauvez nos âmes). Au temps du code Morse, le ''s'' correspondant à trois brèves et le ''o'' à trois longues, l'envoi d'un S.O.S. se traduisait par la répétition sans fin de trois brèves, trois longues et trois brèves.

* « jeep » constitue l'évolution ultime de la prononciation des initiales « G.P. » pour « General Purpose » (tous usages) caractéristique essentielle voulue par les militaires commanditaires de cette voiture. Le mot est à rapprocher de « G.I. » terme affectueux pour désigner les soldats américains dont les effets portent le terme « G.I. » pour « Government Issue » (propriété de l'État).

Comme tous les mots communs, les abréviations donnent des dérivés : radarisé, snober, snobinard, apudlike

== Les onomatopées ==

Ce mot vient du latin ''onomatopoeia'', issu du grec ancien « ὀνοματοποιία ». Il s'agit de mots qui visent à imiter un son ou à suggérer la chose nommée :
* ''boum'', ''paf'', ''crac''
* ''brrr'' qui remonte au XVIII{{e|e}} siècle
* ''gazouillis''
* ''glouglou''
* ''frou frou'' qui vient de ''frifilis'', mot du XVIII{{e|e}} qui évoque le froissement des tissus
* susurrer
* vrombir
* murmure : initialement le mot désignait un bruit assourdissant.
* ''patte'' serait la traduction du bruit fait par le frottement des poils des pattes d'un animal qui court vite
* ''bat'', le bruit que l'on fait en bâillant est à l'origine du latin ''batare'' qui a donné le français « bâiller ».
* ''slogan'' vient du gaélique écossais ''sluagh-gairm'' (« cri de guerre »).

== Les mots forgés de toutes pièces ==
* '''Ordinateur''' : dans la plupart des pays, on parle de ''computer'' (= qui calcule). En France, lorsque la machine commença à être connue, on parlait ''d'ensemble électronique'' ou  encore de ''calculateur électronique'' pour celles qui n'étaient pas dédiées à la gestion mais à des calculs proprement dits. Le principal constructeur de l'époque, pour ne pas dire le seul, IBM souhaita trouver un mot spécifique à sa marque et chargea un linguiste, J. Perret de cette démarche. Ce dernier, en retenant que la machine triait rapidement les données, rechercha un vieux mot de théologie &quot;ordinateur&quot; et le &quot;vendit&quot; à IBM. Il est dit dans la Bible que Dieu est le Grand Ordinateur car Il trie et assemble. La protection de la marque ayant pris fin, le mot est tombé dans le domaine public.

* Récemment les informaticiens ont à nouveau puisé dans le vocabulaire de la théologie en imaginant d'utiliser le mot ''ontologie'' pour désigner la description  sémantique d'un domaine c'est à dire l'ensemble des mots du domaine et des relations qui les unissent.

* '''Bikini''' et '''monokini'''. Le créateur du premier bikini — même si sa culotte était bien plus haute et couvrante que la nôtre — savait que ce vêtement allait faire scandale, d'autant qu'aucun mannequin professionnel n'avait accepté de le présenter au public et qu'il avait dû s'adresser pour ce faire à une danseuse de spectacle nu. Tout le monde avait alors à l'esprit le petit atoll de Bikini où eut lieu la première explosion atomique expérimentale en grandeur réelle ; le créateur retint donc de nom à la fois pour la petite surface du vêtement (comme l'atoll) et l'explosion « atomique » qu'il allait créer. Lorsque la mode d'un bronzage quasi intégral fut lancée, on joua à nouveau sur le mot en appelant « monokini » un maillot composé seulement de la pièce du bas comme si le préfixe ''bi-'' de « bikini » caractérisait l'existence de deux parties (à comparer à la plaisanterie éculée : « Elle a attrapé des microbes et même des crobes entiers. »).

* '''français moyen''' date très exactement d'un discours d'un homme politique de l'entre deux guerres, Édouard Herriot, prononcé le 19 août 1924 et désigne en fait ce que les statisticiens appelleraient plutôt le français modal.

D'autres mots sans avoir été inventés ont eu une introduction dans la langue française liée à un phénomène bien identifié. Ainsi :
* '''rescapé'''. Le mot appartient à un dialecte wallon. En 1906, la France connut une des plus grandes tragédies industrielles, l'explosion de la mine de Courrières qui fit près de 1100 morts. Des mineurs belges étaient venus aider au sauvetage de leurs camarades français bloqués depuis plusieurs jours dans un puits à la suite d'un éboulement. Interrogés par un journaliste, ils parlèrent des « rescapés ». Ce mot fut repris par l'ensemble de la presse et introduit du jour au lendemain dans le français standard qui en généralisa vite le sens.

* '''côté cour''' et '''côté jardin'''. Cette expression des gens de théâtre est une première manière de politiquement correct (sous peine de mort). Sous l'Ancien Régime français, le théâtre royal comportait deux loges, l'une pour le roi et l'autre pour la reine. La mise en scène faisait ainsi naturellement référence au côté de la reine ou au côté du roi. Avec la Révolution française, un tel référentiel pouvait valoir un aller immédiat pour l'échafaud. Une des loges était située du côté d'une cour et l'autre du côté d'un jardin, d'où la substitution.

== Références ==
=== Sources ===
&lt;references/&gt;

=== Bibliographie ===
* ''TLFi, Le Trésor de la langue française informatisé'', 1971–1994 [https://www.cnrtl.fr/definition/ → consulter cet ouvrage]
* {{w|Alain Rey}}, ''Dictionnaire historique de la langue française'', Dictionnaires Le Robert, Paris, 2019

[[Catégorie:Étymologie de la langue française (livre)|Origines du vocabulaire]]</text>
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== Les mots d'origine latine ==

=== Remarques préliminaires sur l'évolution de la prononciation ===

Il convient de souligner l'importance du facteur phonétique dans l'évolution des mots. Par exemple, ''oie'' vient du latin populaire ''auca'' dérivé du latin classique ''avis'' (« oiseau ») que l'on retrouve dans ''aviculture'' (« élevage des oiseaux ») ou ''grippe aviaire'' (« transmise par des oiseaux »).

Pour comprendre les évolutions phonétiques, il faut garder à l'esprit :
* Qu'elles se sont déroulées sur de nombreuses générations. En comptant qu'une génération « vaut » vingt-cinq ans, près de cinquante générations se sont succédé entre le sac de Rome en 410 et ''Le Cid'' de Pierre Corneille, où nous constatons que nous ne prononçons pas exactement comme notre grand-mère (génération G-2).
* Que jusqu'au XX{{e|e}} siècle, il n'existait ni radio ni télévision et donc aucune norme nationale « palpable » en matière de prononciation. C'est la radio qui a facilité une prononciation homogène. Pendant la Première Guerre mondiale, des agrégés d'allemand faits prisonniers furent fusillés pour avoir refusé de servir d'interprètes entre des officiers du sud et du nord de l'Allemagne qui ne se comprenaient pas très bien. Dans les années 1950 et 1960, en Angleterre, il existait des offres d'emploi exigeant des candidats qu'ils eussent l'[[wikt:accent|accent]] de la BBC (Abréviation de ''British Broadcasting Corporation'', signifiant « Corporation britannique de radiodiffusion »), la radio nationale officielle britannique.
* Que la conjonction de ces deux phénomènes fait qu'encore au XVII{{e|e}} et XVIII{{e|e}} siècles, à la Cour, le son [wa] se prononçait [wɛ] (d'où [lə rwɛ] pour « le roi », [lə bwɛ] pour « le bois ») et que l'on ne prononçait aucune lettre finale ([lə sɛr] pour « le cerf », [nuri] pour « nourrir ») alors que le peuple parisien prononçait [rwa], [bwa], [sɛr]. À la Cour comme à la ville, on roulait les ''r''. Encore à l'époque de Victor Hugo, lorsque l'on déclamait : « le bruit sourd des canons roulants vers Austerlitz », l'auditoire entendait un véritable grondement.
* Que jusque dans les années 1950, la sonorisation était rare et imparfaite, ce qui imposait de parler en articulant, en découpant bien les syllabes sans « manger » les finales rétablies en partie au début du XIX{{e}} siècle. Imaginez un cours sans micro dans un amphithéâtre de la Sorbonne, un sermon sans micro à Notre-Dame de Paris, une plaidoirie sans micro dans la grande salle d'audience d'un tribunal aujourd'hui classé monument historique, un discours dans l'hémicycle du Sénat. Des générations de professeurs, de prêtres, d'avocats ou d'hommes politiques ont pourtant dû le faire. 

Pour le commun des mortels, se faire entendre dans une foire où tout le monde criait ne devait pas être facile, pas plus que dans la salle de garde d'un château (Essayez par exemple au Palais des Papes à Avignon un jour d'affluence : elle correspond à la salle d'accueil).

* Qu'il y a toujours eu des modes qui laissent des traces. Au XVI{{e|e}} siècle, il était de bon ton de prononcer [z] le ''r'' compris entre deux voyelles. « Paris » se prononçait [pazi], et « oratoire » [ozatwar] d'où les noms de ville en ''-Ozoir'' ou ''-Osoir'' lorsque la commune comptait une chapelle. Sous Napoléon I&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt;, et peut-être parce que Joséphine de Beauharnais éprouvait des difficultés à les prononcer, il devient à la mode d'élider les ''r'' d'où les ''inc'oyables'' et les ''mé'veilleuses''. Entre les deux, les Précieuses — qui étaient loin d'être nécessairement ridicules — ont fait la chasse à tous les gestes disgracieux ; on leur doit les mousses inventées par leurs cuisiniers à qui elles avaient demandé des plats qui n'exigeassent pas des mouvements musculaires trop marqués lors de la mastication. Cette volonté a sûrement exercé une influence sur leur prononciation.

* Que, plus généralement, les sons des langues indo-européennes s'articulent en un système qui permet de distinguer des labiales, des dentales, des palatales et que le passage de l'une à l'autre est assez simple ce qui explique, par exemple, qu'au ''qu'' latin corresponde ''v'' ou ''f'' dans les langues plus nordiques comme « quatre » (français) / « quattro » (italien) et « vier » (allemand), « voor » (flamand) et « four » (anglais) ou encore « qui » (français) / « chi » (italien) et « who » (anglais) / « wer » (allemand) ; de même, on trouve une correspondance entre le [d] et le [t] (« dent » au Sud contre « tooth » (même sens) au Nord, « dies » (« jour ») au Sud contre « Tag » (même sens) au Nord).

=== Les doublets ===
Au fil du temps, les mots latins ont évolué phonétiquement et sémantiquement en français. Par exemple, ''captivum'' a donné ''chétif'' avec le sens que nous lui connaissons, un captif étant souvent chétif du fait des mauvaises conditions de sa détention.

Lorsque, à partir du XIV{{e|e}} siècle, on se mit à traduire beaucoup de textes latins en français parce que le latin commençait à [[w:langue morte|disparaître]], alors même que le contenu des textes latins conquérait l'intérêt des lecteurs français, on traduisit ''captivum'' par ''captif'' pour désigner le prisonnier en tant que tel. On dit ainsi que ''captif'' et ''chétif'' sont des [[w:Doublet lexical|doublets]]. D'une façon générale, les mots de formation populaire se référent au concret et les mots de formation savante sont plus abstraits ; mais il existe des exceptions.

Exemples :
* ''ancêtre'' (milieu du XI{{e|e}} siècle) ~ ''antécesseur'' (XIV{{e|e}} siècle) ← ''antecessor''
* ''août'' ({{e|e}} siècle) ~ ''auguste'' ({{e|e}} siècle) ← ''augustus''
* ''arracher'' (XII{{e|e}} siècle) ~ ''éradiquer'' (XIV{{e|e}} siècle) ← ''eradicare''
* ''Auvray'' ({{e|e}} siècle) ~ ''Alfred'' ({{e|e}} siècle) ← ''Alv(e)redus''
* ''banquier'' (XII{{e|e}} siècle) ~ ''bancaire'' (XIX{{e|e}} siècle) ← ''bancarius''
* ''benêt'' (XVI{{e|e}} siècle) ~ ''béni'' ({{e|e}} siècle) ← ''benedictus''
* ''béton'' (XII{{e|e}} siècle) ~ ''bitume'' (XII{{e|e}} siècle) ← ''bitumen''
* ''biche'' (XII{{e|e}} siècle) ~ ''bête'' (XII{{e|e}} siècle) ← ''bestia''
* ''Benoît'' ({{e|e}} siècle) ~ ''Bénédict'' ({{e|e}} siècle) ← ''Benedictus''
* ''carré'' (XII{{e|e}} siècle) ~ ''quadrat'' (XVII{{e|e}} siècle, via l'[[italien]] ''quadrato'') ← ''quadratum''
* ''chaîne'' (XII{{e|e}} siècle) ~ ''catène'' (XVIII{{e|e}} siècle) ← ''catena''
* ''chaire'' (XII{{e|e}} siècle) ~ ''cathèdre'' (XIII{{e|e}} siècle) ← ''cathedra'' — N.B. : On a en réalité affaire à un triplet lexical, puisque le mot ''chaise'' n'est lui-même qu'une variante dialectale de ''chaire''.
* ''chance'' (XII{{e}} siècle) ~ ''cadence'' (XVI{{e}} siècle, via l'[[italien]] ''cadenza'') ← ''cadentia''
* ''chanoine'' (XII{{e|e}} siècle) ~ ''canonique'' (XIII{{e|e}} siècle) ← ''canonicus''
* ''chape'' (XI{{e|e}} siècle) ~ ''cape'' (XVII{{e|e}} siècle) ← ''cappa''
* ''chasser'' (fin du XII{{e}} siècle) ~ ''capter'' (XV{{e|e}} siècle) ← ''captare'' — N.B. : ''Captare'' s'est vraisemblablement altéré en ''captiare'' très tôt en bas-latin avant de donner ''chacier'' en ancien français.
* ''chaume'' (fin du XII{{e|e}} siècle) ~ ''calame'' (XVI{{e|e}} siècle) ← ''calamus''
* ''cheptel'' (XII{{e|e}} siècle) ~ ''capital'' (XIII{{e|e}} siècle) ← ''capitalis''
* ''chétif'' (XI{{e|e}} siècle) ~ ''captif'' (XV{{e|e}} siècle) ← ''captivus''
* ''chose'' (IV{{e}} siècle) ~ ''cause'' (milieu du XII{{e|e}} siècle) ← ''causa''
* ''colère'' (XIII{{e}} siècle) ~ ''choléra'' (XVI{{e|e}} siècle) ← ''cholera'' — N.B. ''Cholera'' est devenu ''colera'' en bas latin.
* ''concierge'' (XII{{e|e}} siècle) ~ ''conserve'' (XIV{{e|e}} siècle) ← ''conservus''
* ''confiance'' (XIII{{e}} siècle) ~ ''confidence'' (XIV{{e|e}} siècle) ← ''confidentia''
* ''copain'' (XVIII{{e|e}} siècle) ~ ''compagnon'' (XII{{e|e}} siècle) ← ''companio''
* ''couple'' (XII{{e}} siècle) ~ ''copule'' (XV{{e|e}} siècle) ← ''copula''
* ''cré{{--}}tin'' (XVIII{{e}} siècle) ~ ''chrétien'' (IX{{e|e}} siècle) ← ''christianus''
* ''déchéance'' (XII{{e}} siècle) ~ ''décadence'' (XVI{{e|e}} siècle) ← ''decadentia''
* ''dépit'' (XII{{e|e}} siècle) ~ ''despect'' ({{e|e}} siècle) ← ''despectus''
* ''dévoué'' ({{e|e}} siècle) ~ ''dévot'' (fin du XII{{e|e}} siècle) ← ''devotus''
* ''employer'' (début du XII{{e}} siècle) ~ ''impliquer'' (XIV{{e|e}} siècle) ← ''implicare''
* ''enchantement'' (XII{{e}} siècle) ~ ''incantation'' (XIII{{e}} siècle) ← ''incantatio''
* ''enchanteur'' / ''enchanteresse'' (XII{{e|e}} siècle) ~ ''incantateur'' / ''incantatrice'' (XV{{e|e}} siècle) ← ''incantator'' / ''incantatrix''
* ''entier (XI{{e|e}} siècle) ~ ''intègre'' ({{e|e}} siècle) ← ''integer''
* ''esclandre'' ({{e|e}} siècle) ~ ''scandale'' ({{e|e}} siècle) ← ''scandalum''
* ''exploiter'' (début du XII{{e|e}} siècle) ~ ''expliciter'' (XIX{{e|e}} siècle) ← ''explicitare'' — N.B. : L'ancien français ''espleitier'' / ''esploitier'' a été refait ''exploiter'' au XVI{{e|e}} siècle.
* ''écluse'' (XI{{e}} siècle) ~ ''exclue'' (XIII{{e|e}} siècle) ← ''exclusa'', participe passé féminin du verbe ''excludere''
* ''écolier'' (XIII{{e}} siècle) ~ ''scolaire'' (XIX{{e|e}} siècle) ← ''scholaris''
* ''écouter'' (X{{e}} siècle) ~ ''ausculter'' (XVI{{e|e}} siècle) ← ''auscultare''
* ''écrit'' (XII{{e}} siècle) ~ ''script'' (XX{{e|e}} siècle) ← ''scriptum''
* ''étroit'' (XII{{e|e}} siècle) ~ ''strict'' (XVIII{{e|e}} siècle) ← ''strictus''
* ''éveux'' ({{e|e}} siècle) ~ ''aqueux'' (XVI{{e|e}} siècle) ← ''aquosus''
* ''évêché'' (X{{e|e}} siècle) ~ ''épiscopat'' (XVII{{e}} siècle) ← ''episcopatus''
* ''évier'' (XIII{{e|e}} siècle) ~ ''aquarium'' (XIX{{e}} siècle) ← ''aquarium''
* ''Edwige'' ({{e}} siècle) ~ ''Havoise'' ({{e}} siècle) ← ''Hedvigis''
* ''façon'' (XII{{e|e}} siècle) ~ ''faction'' (XIV{{e|e}} siècle) ← ''factio''
* ''faix'' (XII{{e|e}} siècle) ~ ''fasce'' (1{{e|re}} moitié du XII{{e|e}} siècle) ← ''fascis''
* ''fantôme'' (XII{{e|e}} siècle) ~ ''fantasme'' (XIII{{e|e}} siècle) ← ''phantasma''
* ''ferme'' (XII{{e|e}} siècle) ~ ''firme'' (XIX{{e|e}} siècle) ← ''firma''
* ''féal'' (XII{{e|e}} siècle) ~ ''fidèle'' (X{{e|e}} siècle, réintroduit au XVI{{e}} siècle) ← ''fidelis''
* ''fétiche'' (XVII{{e|e}} siècle) ~ ''factice'' (XVI{{e|e}} siècle) ← ''facticius''
* ''forge'' (XII{{e|e}} siècle) ~ ''fabrique'' (XIV{{e}} siècle) ← ''fabrica''
* ''frêle'' (XI{{e|e}} siècle) ~ ''fragile'' (XIV{{e}} siècle) ← ''fragilis''
* ''fuir'' (IX{{e|e}} siècle) ~ ''fuguer'' (XX{{e}} siècle) ← ''fugere'' — N.B. : ''Fugere'' a d'abord changé de conjugaison en bas latin (''fugire'') avant d'aboutir à « fuir ».
* ''gaine'' (XIII{{e|e}} siècle) ~ ''vagin'' (XVII{{e|e}} siècle) ← ''vagina'' — N.B. : ''Vagina'' donnera aussi, via l'espagnol ''vainilla'', le terme « vanille ». Ce dernier désigne à l'origine la ''petite'' gousse du vanillier, d'où le suffixe diminutif ''-illa'' (''-ille'').
* ''grêle'' (XII{{e|e}} siècle) ~ ''gracile'' (XVI{{e|e}} siècle) ← ''gracilis''
* ''Geoffroy'' ({{e|e}} siècle) ~ ''Godefroy'' ({{e|e}} siècle) ← ''Godefridus''
* ''Gilles'' ({{e|e}} siècle) ~ ''Égide'' ({{e|e}} siècle) ← ''Aegidius''
* ''hôtel'' (XI{{e|e}} siècle) ~ ''hôpital'' (XII{{e|e}} siècle) ← ''hospitalia''
* ''luette'' (fin du XIII{{e|e}} siècle) ~ ''uvule'' (XIII{{e|e}} siècle) ← ''uvula''
* ''Louis'' ({{e|e}} siècle) ~ ''Ludovic'' ({{e}} siècle) ← ''Ludovicus''
* ''mâcher'' (XII{{e|e}} siècle) ~ ''mastiquer'' (XVI{{e|e}} siècle) ← ''masticare''
* ''ménestrel'' (XI{{e|e}} siècle) ~ ''ministériel'' (XVI{{e|e}} siècle) ← ''ministerialis''
* ''métier'' (XI{{e|e}} siècle) ~ ''ministère'' (XIII{{e|e}} siècle) ← ''ministerium''
* ''moutier'' (XI{{e|e}} siècle) ~ ''monastère'' (XIII{{e|e}} siècle) ← ''monasterium''
* ''moyen'' (XIII{{e|e}} siècle) ~ ''médian'' (XVI{{e}} siècle) ← ''medianus''
* ''mûr'' (XII{{e|e}} siècle) ~ ''mature'' (XX{{e|e}} siècle, anglicisme) ← ''maturus''
* ''Maud'' ({{e|e}} siècle) ~ ''Mathilde'' ({{e|e}} siècle) ← ''Mathilda''
* ''nourrisson'' (XII{{e|e}} siècle) ~ ''nutrition'' (XIV{{e|e}} siècle) ← ''nutritio''
* ''Noël'' (XII{{e|e}} siècle) ~ ''natal'' (XVI{{e|e}} siècle) ← ''natalis''
* ''œuvre'' (XII{{e|e}} siècle) ~ ''opéra'' (XVII{{e|e}} siècle, via l'[[italien]] ''opera'', de même sens) ← ''opera'', pluriel d&lt;nowiki&gt;'&lt;/nowiki&gt;''opus''
* ''orfraie'' (XIV{{e|e}} siècle) ~ ''ossifrage'' (XVI{{e|e}} siècle) ← ''ossifraga''
* ''oreiller'' (XII{{e|e}} siècle) ~ ''auriculaire'' (XVI{{e|e}} siècle) ← ''auricularis''
* ''orteil'' (XII{{e|e}} siècle) ~ ''article'' (XII{{e|e}} siècle) ← ''articulus''
* ''paladin'' (XVI{{e|e}} siècle, via l'italien ''paladino'', XIII{{e}} siècle) ~ ''palatin'' (XIII{{e|e}} siècle) ← ''palatinus''
* ''parvis'' (XIII{{e|e}} siècle) ~ ''paradis'' (fin du X{{e|e}} siècle) ← ''paradisus''
* ''parole'' (XI{{e|e}} siècle) ~ ''parabole'' (XIII{{e|e}} siècle) ← ''parabola''
* ''pèlerin'' (XI{{e|e}} siècle) ~ ''pérégrin'' (1&lt;sup&gt;re&lt;/sup&gt; moitié du XII{{e|e}} siècle) ← ''peregrinus''
* ''pitié'' (XI{{e|e}} siècle) ~ ''piété'' (fin du X{{e|e}} siècle) ← ''pietas''
* ''poison'' (XII{{e|e}} siècle) ~ ''potion'' (XVI{{e|e}} siècle) ← ''potio''
* ''Péronnelle'' ({{e|e}} siècle) ~ ''Pétronille'' ({{e|e}} siècle) ← '' Petronilla''
* ''raison'' (X{{e}} siècle) ~ ''ration'' (XIII{{e|e}} siècle) ← ''ratio''
* ''renard'' ({{e|e}} siècle) ~ ''Renart'' ({{e|e}} siècle) ← ''Renartus''
* ''répit'' (XII{{e|e}} siècle) ~ ''respect'' (XIII{{e|e}} siècle) ← ''respectus''
* ''rouer'' (XII{{e|e}} siècle) ~ ''rôder'' (XV{{e|e}} siècle via l'ancien occitan ''rodar'', « vagabonder ») ← ''rotare''
* ''royal'' (IX{{e}} siècle) ~ ''régalien'' (XVII{{e|e}} siècle) ← ''regalis''
* ''Renaud'' ({{e|e}} siècle) ~ ''Réginald'' ({{e|e}} siècle) ← ''Reginaldus''
* ''sanglier'' (fin du XI{{e|e}} siècle) ~ ''singulier'' (fin du XIII{{e|e}} siècle) ← ''singularis'' — N.B. :  ''Sanglier'' est en réalité tiré de l'expression ''porc sanglier'', c'est-à-dire ''cochon solitaire''.
* ''sauveur'' ({{e|e}} siècle) ~ ''sauveteur'' ({{e|e}} siècle) ← ''salvator''
* ''seing'' (XII{{e|e}} siècle) ~ ''signe'' (2&lt;sup&gt;de&lt;/sup&gt; moitié du X{{e|e}} siècle) ← ''signum''
* ''serment'' (IX{{e|e}} siècle) ~ ''sacrement'' (XII{{e|e}} siècle) ← ''sacramentum''
* ''taverne'' (XII{{e|e}} siècle) ~ ''tabernacle'' (XIV{{e|e}} siècle) ← ''taberna'' — N.B. : ''Tabernacle'' vient de ''tabernaculum'', diminutif de ''taberna''.
* ''tâter'' (XII{{e|e}} siècle) ~ ''taxer'' (XIII{{e|e}} siècle) ← ''taxare''
* ''thiois'' ({{e|e}} siècle) ~ ''tudesque'' (XII{{e|e}} siècle) ← ''theodiscus''
* ''tôle'' ({{e|e}} siècle) ~ ''table'' ({{e|e}} siècle) ← ''tabula''
* ''traiteur'' (XVII{{e|e}} siècle) ~ ''tracteur'' (XVIII{{e}} siècle) ← ''tractor''
* ''Thierry'' ({{e|e}} siècle) ~ ''Théodoric'' ({{e|e}} siècle) ← ''Theodoricus''
* ''Tiphaine'' ({{e|e}} siècle) ~ ''Théophanie'' ({{e|e}} siècle) ← ''Theophania''
* ''veiller'' (XII{{e|e}} siècle) ~ ''vigiler'' ({{e|e}} siècle) ← ''vigilare''
* ''verge'' (XII{{e|e}} siècle) ~ ''vergue'' (XII{{e|e}} siècle) ← ''virga''
* ''vergogne'' (XIII{{e|e}} siècle) ~ ''vérécondie'' (XVI{{e|e}} siècle) ← ''verecundia''
* ''vouivre'' (XII{{e|e}} siècle) ~ ''vipère'' (XIII{{e|e}} siècle) ← ''vipera''

Il existe également des doublets constitués de deux termes populaires. C'est par exemple le cas de :
* ''chaînon'' (XII{{e|e}} siècle) et ''chignon'' (fin du XII{{e|e}} siècle) qui proviennent chacun du bas latin ''catenion''.
* ''chaire'' (début du XII{{e|e}} siècle) et ''chaise'' (début du XV{{e|e}} siècle) qui proviennent chacun du latin ''cathedra'' 
* ''gourde'' (XIII{{e|e}} siècle) et ''courge'' (XIV{{e|e}} siècle) qui proviennent chacun du latin classique ''cucurbita''.

'''Note :''' Les datations correspondent à la première attestation écrite d'un mot, mais ne sont pas forcément représentatives de sa première utilisation orale.

=== Les fusions ===
On notera aussi les fusions de mots : 
* '''affaire''' (initialement ce qu'il y a ''à faire'')
* '''alarme''' (initialement ''all'arme'', « aux armes »). L'italien actuel a conservé la forme originelle ''all'arme''.
* '''antan''' (initialement *''ant(e) anu'' en latin vulgaire, du syntagme latin ''ante annum'' « l'année dernière »).
* '''aujourd'hui''' (composé de ''au jour de'' et de ''hui'', du latin ''hodie'', (« en ce jour »), il signifie donc « au jour présent »). De ce fait, ''au jour d'aujourd'hui'' est un splendide pléonasme.
* '''bonhomme''' (initialement un ''bon homme'', c'est-à-dire un brave homme, un homme cultivé).
* '''gendarmes''' (initialement ''gens d'armes'').
* '''lingot''' (composé de l'article défini français ''le'' et du mot anglais ''ingot'')
* '''malgré''' (initialement ''mal gré'', « de mauvais gré »)
* '''naguère''' (initialement il ''n'y a guère'' de temps)
* '''parce que''' (initialement ''par ce'' que ce mot, etc.)
* '''voilà''' (initialement ''vois là'')

== Les emprunts ==
'''Note :''' les astérisques (*) indiquent une forme reconstruite, c'est-à-dire non attestée à l'écrit mais supposée par plusieurs autres formes. C'est par exemple le cas de l'{{w|indo-européen commun}}, qui est une langue hypothétique (puisque non attestée à l'écrit) dont découlent, entres autres, les langues indo-iraniennes, les langues celtiques, germaniques, helléniques, italiques, etc. 

=== Les emprunts au francique ===
Les mercenaires et travailleurs ruraux avaient déjà introduit quelques termes dès les années 250 après J.-C.&lt;ref name=&quot;Larousse&quot;&gt;&lt;/ref&gt;, mais ce sont surtout les {{w|Invasions barbares|Grandes invasions}} qui ont introduit le vocabulaire de la guerre et du droit salique&lt;ref name=&quot;Larousse&quot;&gt;&lt;/ref&gt;, très différent du droit romain. Par la suite, les vainqueurs ont adopté la langue de l'ex-Empire romain comme les Romains avaient eux-mêmes adopté la civilisation des Grecs, qu'ils avaient dominés militairement (L'élite romaine parlait le grec ancien ; lorsqu'il fut poignardé, Jules César s'exprima en grec ancien en reconnaissant Brutus parmi les conspirateurs ; il ne dit pas : « ''Tu quoque mi fili.'' » mais « Καὶ σὺ τέκνον. » (Kaì sù téknon.) Parmi les mots d'origine francique, citons :
* '''bordel''' qui désignait une grosse planche. Comment est-on passé du sens de « planche » à celui de « désordre » ? À partir de ces planches, on pouvait construire de pauvres maisons rudimentaires et ce fut le premier sens (le composé à partir du composant). Cette cabane de planches en « bord'eau » ou « bord'elle » (la mer, la rivière) servant de « guinguette », etc.  

:: Avec le temps, ces maisons rudimentaires n'offrirent plus le confort minimal que les gens attendaient d'un foyer et seules les plus pauvres continuaient à abriter des prostituées. Le mot se spécialisa dans le sens de « maison de passe », « maison de tolérance », et autres locutions employées jusqu'alors.

:: En latin, la maison de prostitution est appelée « lupanar ». Ce nom dérive du mot « lupa » (louve) qui désigne métaphoriquement une prostituée. L'image de la « louve » prenant soin de Romulus et Rémus ne doit donc pas être interprétée selon le sens premier du terme.

:: Les clients de ces établissements se livrant à des débordements en tout genre, le mot en vint à désigner l'état de désordre qui en résultait.

:: En anglais, la formule correspondante est « what a mess ». « mess » vient du latin « mensa », désignant la table. Le mess des officiers est l'endroit où il y a des tables pour manger. La fraternité militaire donnant parfois lieu à des excès de beuverie, le mess se trouve alors dans un état qui sert de référence en matière de désordre. Le même mot latin donne aussi « manséatique » qui désigne des montagnes aplanies comme une table (par exemple le massif ibérique).

:: En italien, la formule correspondante est « che casino » où ''casino'' a le même sens qu'en français, mais y est perçu comme un lieu de débordement et surtout très bruyant.

* '''chambellan''' de *''kamerling''.
* '''danser''' de *''dintjan'', ou de *''dansôn'' (« tirer », « traîner »).
* '''échanson''' de *''skankjo'' (même sens).
* '''épier''' de *''spehôn'' (« observer avec attention »).
* '''fauteuil''' de *''faldistôl'' (« chaise pliable »).
* '''frapper''', peut-être de *''hrappan'' (« arracher »).
* '''garou''' de *''werwolf'' (« homme-loup ») (« garou » signifiant déjà « homme-loup », il était erroné d'ajouter « loup » à ce terme).
* '''gâcher''' de *''waskôn'' (« laver »).
* '''gâteau''' de *''wastil'' (« nourriture »).
* '''grès''' de *''greot'' (« gravier, sable »).
* '''grêler''' de *''grisilôn'', de même sens.
* '''gris''' de *''grîs'', (néerlandais : ''grijs'') de même sens ; de ce mot dérive ''grisette'', « étoffe commune de teinte grise » puis par métonymie « jeune fille d'humble condition ».
* '''guerre''' : du mot francique *''werra'' (« querelle ») qui donne ''war'' et ''Wehr'' respectivement en anglais et allemand modernes. En latin, la guerre se disait ''bellum'' que l'on retrouve dans ''belliqueux''. ''Beau'' se dit ''pulcher'' en latin classique, mais une forme populaire, ''bellus'', se développa, générant une confusion entre ''bellus'' (« beau ») et ''bellum'' (« guerre ») qui favorisa l'adoption du mot francique au IX{{e}} siècle.
* '''Guillaume''' de *''Willahelm'' (« volonté de protection »).
* '''haïr''' de *''hatjan'', que l'on retrouve en néerlandais en tant que ''haten'', dans l'anglais ''to hate'', l'allemand ''hassen''. Le terme francique est issu d'une racine indo-européenne *''keh&lt;sub&gt;₂&lt;/sub&gt;d-''&lt;ref&gt;Guus Kroonen, ''Etymological Dictionary of Proto-Germanic''&lt;/ref&gt;.
* '''hargne''' de *''harmjam'' (« insulter »).
* '''haubert''' (cotte de maille) de *''halsberg'' (proprement « ce qui protège le cou »), composé de *''hals'' (« cou ») et *''bergan'' (« mettre en sûreté, protéger »). En allemand moderne, on retrouve ''Hals'' pour le cou, mais non en anglais où ''neck'' vient d'un radical *''hnakkô''. En néerlandais, on les retrouve tous les deux : ''hals'' et ''nek''.
* '''heaume''' de *''helm'' (« casque ») d'où l'allemand ''Helm'', l'anglais ''helm''.
* '''honnir''' de *''haunjan'' (« insulter »). On le retrouve dans ''honen'' (« bafouer ») en néerlandais, ou dans ''höhnen'' (« bafouer ») en allemand.
* '''honte''' de *''haunita''. Le latin disait ''pudor'', qui a donné le français ''pudeur''. Cf. ''honnir''.
* '''houx''' de *''hulis'' (« houx »). Ce radical a donné ''hulis'', ''huls'' en ancien haut allemand, ''huls'' en moyen néerlandais, ''hulst'' en néerlandais.
* '''laid''' de *''laiþ'' (« désagréable », « contrariant », « rebutant »). En néerlandais, on retrouve ''leed'' pour « désagréable », mais aussi ''lelijk'' pour « laid ». On le retrouve aussi dans l'allemand ''leid'' et ''Leid''
* '''loge''' de *''laubja'' (« hutte de feuillage »), qui donne l'allemand ''Laube''.
* '''maçon''' de *''makjo'', lui-même dérivé de *''makôn'' (« faire »). On retrouve en néerlandais le verbe ''maken'' (« faire », « construire »), en anglais ''to make'', en allemand ''machen''.
* '''malle''' de *''malha'' (« sacoche »), d'où le moyen néerlandais ''male'' (« sac de voyage », « coffre »), le néerlandais ''maal'' (« sac », « sacoche », « coffre »).
* '''marais''' de *''marisk''. En moyen néerlandais, on retrouve ''mersch'', ''maersch'' (« pré », « terrain marrécageux »). En néerlandais moderne, ''moeras'' (« marais, marécage »). L'anglais ''marsh'' et l'allemand ''Marsch'' sont également issus de la racine.
* '''maréchal''' de *''marhskalk'' (« [[wikt:palefrenier|palefrenier]] »).
* '''moue''' de *''mauwa'' (même sens), source du moyen néerlandais ''mouwe''.
* '''rang''' de *''hring'' (« anneau », « cercle »). De ce terme sont issus ''ring'' (« anneau ») en néerlandais et en anglais, ''Ring'' en allemand.
* '''riche''' de *''riki'' (« puissant »), que l'on retrouve dans le vieil anglais ''rīce'' (d'où l'anglais moderne ''rich''), le moyen néerlandais ''rijcke'', ''rijck'' (d'où le néerlandais moderne ''rijk''), l'ancien haut allemand ''rîchi'', ''rîche'' (d'où l'allemand ''reich''), etc. En ancien français, le mot a d'abord signifié « puissant » avant d'acquérir le sens moderne.
* '''renard''' de *''Reginhart'' ; a remplacé « goupil » dans le vocabulaire courant suite au succès du ''{{w|Roman de Renart}}''.
* '''sénéchal''' de *''siniskalk'' (« serviteur doyen »).
* '''trêve''' de *''treuwa'' (« contrat », « convention »). En néerlandais, on le retrouve dans ''trouw'' (« fidèle »), ''Treue'' en allemand (« fidélité »).
* '''trotter''' de *''trottôn'' (« courir »).

=== Les emprunts au moyen néerlandais ===
Le moyen néerlandais a beaucoup apporté à la langue française, notamment — mais non exclusivement — dans le vocabulaire maritime&lt;ref name=&quot;Larousse&quot;&gt;&lt;/ref&gt;. Cependant, celui-ci a diminué au XVII{{e}} siècle, laissant place à l'anglais&lt;ref name=&quot;Larousse&quot;&gt;&lt;/ref&gt;. Parmi les mots empruntés, citons :
* '''bâbord''' de ''bakboord'', composé de ''bak'' (« dos ») et de ''boord'' (« bord »). À l'époque, le gouvernail était constitué d'un {{w|aviron de gouverne}} fixé à l'arrière droit (tribord), le barreur trouvait ainsi le dos au côté gauche (bâbord)&lt;ref name=&quot;Robert&quot;&gt;{{w|Alain Rey}}, ''Dictionnaire historique de la langue française'', Dictionnaires Le Robert, Paris, 1992&lt;/ref&gt;. '''Tribord''' vient, lui, de ''stierboord'', une variante de ''stuurboord'' composé de ''stuur'' (« gouvernail »), et de ''boord'', littéralement « côté du gouvernail », puisqu'il se trouvait du côté droit&lt;ref&gt;« tribord », dans ''TLFi, Le Trésor de la langue française informatisé'', 1971–1994 [https://www.cnrtl.fr/etymologie/tribord → consulter cet ouvrage]&lt;/ref&gt;.
* '''bière''' est soit emprunté au moyen haut allemand ''bier'', soit au moyen néerlandais ''bier''. 
* '''botte''' (Au sens de « assemblage de plusieurs choses liées ensemble ») vient de ''bote'' (« touffe de lin »), rattaché au verbe ''boten'' (« frapper »).
* '''bouquin''' d'un diminutif de ''boec'' (« livre »), apparenté à ''book'' en anglais et ''Buch'' en allemand. Compte tenu du fait que les formes attestées (''boecskijn'', ''boekelkij'') rendent difficilement compte du français ''bouquin'', on a supposé une forme non attestée *''boeckijn''.
* '''brique''' de ''bricke'', ''brike''. À l'origine, il y a la racine francique *''brëkan'' (« casser », « briser ») que l'on retrouve dans le néerlandais ''breken'' (« casser »), l'anglais ''to break'' (« casser »), l'allemand ''brechen'' (« briser »). '''Brioche''' est dérivé de ''brier'' (forme normande de ''broyer'', au sens de « pétrir la pâte ») avec le suffixe ''-oche''. '''Broyer''' est issu du francique *''brëkan'', et signifie à l'origine « réduire en morceaux, en poudre, en pâte ». Au XIII{{e}} siècle, ''brique'' avait en français le sens de « petit morceau », « miette »&lt;ref name=&quot;Robert&quot;&gt;&lt;/ref&gt; ; passé le XVI{{e|e}} siècle, ce sens a disparu, sauf dans une expression populaire qui a survécu jusqu'à la fin du XIX{{e}} siècle : « bouffer des briques » (« n'avoir à manger que des miettes, c'est-à-dire rien »), où l'idée de dureté et de caractère indigeste de l'aliment comparable à de la brique de construction s'ajoute à la notion de pénurie. La '''brique à pont''', c'est une pierre de grès fin utilisée par les marins pour '''briquer''' leur navire, d'où le sens familier de ''briquer'' « frotter dynamiquement, nettoyer »&lt;ref name=&quot;Robert&quot;&gt;&lt;/ref&gt;.
* '''digue''' de ''dijc'', d'où la forme moderne ''dijk''.
* '''drogue''' (« substance psychotrope ») vient peut-être de ''droge'' (« produits séchés », « drogue »), substantivation de ''droge vate'' (« tonneaux secs »).
* '''étape''' de ''stapel'' (« entrepôt »).
* '''mannequin''' (« figurine ») de ''mannekijn'' (« petit homme »). Le sens de « panier » est emprunté au moyen néerlandais ''mannekijn'' (« petit panier »), diminutif de ''manne'' (« panier »).
* '''pamplemousse''' est emprunté au néerlandais moderne ''pompelmoes'' (avec ''moes'' prononcé \mus\), dont l'étymologie est discutée : soit composé de ''pompel'' (« gros ») (ou de ''pompoen'', « citrouille ») et de ''limoes'' (« citron »), soit lui-même emprunté au tamoul பம்பரமாசு (pamparamāsu) (« [[wikt:bigarade|bigarade]] »). À l'origine, ''pamplemousse'' désigne ''{{w|Citrus maxima}}'', mais s'applique aujourd'hui souvent à ''{{w|Citrus paradisi}}''.
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ '''Appellations des deux fruits en France et dans quelques pays francophones'''
!
! {{nobr|''Citrus maxima''}}
! {{nobr|''Citrus'' ''paradisi''}}
|-
! colspan=&quot;3&quot; | français, usage en botanique et horticulture
|-
!français
|'''pamplemousse'''
|pomélo
|--
! colspan=&quot;3&quot; | français, usage commercial et courant
|-
!
|[[image:Citrus grandis - Honey White.jpg|70px]]
|[[image:Citrus paradisi (Grapefruit, pink) white bg.jpg|70px]]
|-
!Belgique
|pomelo
|'''pamplemousse'''
|-
!Canada
|'''pamplemousse'''
|pomélo &lt;small&gt;(ou pomelo)&lt;/small&gt;, grapefruit &lt;small&gt;(anglicisme)&lt;/small&gt; ou '''pamplemousse'''
|-
!France
|'''pamplemousse'''
|'''pamplemousse''', pomélo &lt;small&gt;''(Moins courant)''&lt;/small&gt;
|-
!Suisse
|pomélo
|grapefruit ou '''pamplemousse'''
|-
|}

Le néerlandais a également fourni des mots à d'autres langues. Par exemple, dans le cas de l'anglais :
* '''cookie''' vient de ''koekje'', diminutif de ''koek'' (« gâteau »)&lt;ref&gt;« cookie », dans ''Merriam-Webster'', 2022 [https://www.merriam-webster.com/dictionary/cookie#related-phrases → consulter cet ouvrage]&lt;/ref&gt;. 
* '''Santa Claus''' (Le surnom états-unien du [[wikt:père Noël|père Noël]].) vient de ''Sinterklaas'' (désignant [[w:Nicolas de Myre|saint Nicolas]]), lui-même altération de ''Sint Nikolaas''&lt;ref&gt;« Santa Claus », dans ''Merriam-Webster'', 2022 [https://www.merriam-webster.com/dictionary/Santa%20Claus → consulter cet ouvrage]&lt;/ref&gt;.

=== Les emprunts à l'arabe ===
Même après l'effondrement de l'Empire romain, l'Occident n'a jamais cessé d'entretenir des relations entre, d'une part, Byzance et, d'autre part, les pays d'Afrique du Nord et du Proche-Orient, essentiellement à partir de la Provence, du Languedoc et de l'Italie&lt;ref name=&quot;Larousse&quot;&gt;&lt;/ref&gt;. Les Croisades ont accentué ces contacts&lt;ref name=&quot;Larousse&quot;&gt;&lt;/ref&gt;. Inversement, la conquête de la péninsule Ibérique par les Arabes n'a pas laissé de traces majeures dans le reste de l'Europe, le franchissement des Pyrénées étant, somme toute, plus difficile que la traversée de la Méditerranée. Parmi les emprunts à l'arabe, citons :
* '''adobe''' : de ألطوب (ʾāṭ-ṭwb) (« brique séchée au Soleil »). Le terme est arrivé en français au XIX{{e|e}} siècle, par le biais de l'espagnol, attesté dès le XII{{e}} siècle. [1868]
* '''alambic''' : de الإنبيق (āl-anbyq) formé de ال (āl) (« le », « la ») et du grec ancien ἄμϐιξ (ámbix) (« vase »), de même sens, peut-être via le latin médiéval des alchimistes. {{w|Albert Dauzat|Dauzat}} a proposé un intermédiaire espagnol ''alambique'', mais celui-ci est impossible car l'espagnol n'est attesté que depuis 1444. Le mot arabe a aussi donné l'italien ''lambisco'', le portugais ''alambique''. [1265]
* '''alcali''' : de القلي (āl-qily) (« soude (plante) »), via le latin médiéval ''alkali''. [1363]
* '''alchimie''' : de الكيمياء (āl-kymyāʾ) (« science des quantités »). Le terme est arrivé en français au XIII{{e|e}} siècle, par l'intermédiaire du [[latin]] médiéval ''alchimia''. L'arabe viendrait du grec ancien χυμεία (khumeía) (« mélange »), lui-même de χυμός (khumós) (« jus »), ou d'un mot copte signifiant « noir », désignant aussi l'Égypte. Les mots ''alchimie'' et ''chimie'' sont restés synonymes jusqu'à l'apparition de la [[chimie]] moderne à la fin du XVIII{{e|e}} siècle &lt;ref name=&quot;Robert&quot;&gt;&lt;/ref&gt;. [1275]
* '''alcool''' : de الكحل (āl-kuḥl) (« distillat », « poudre »), par l'espagnol ''alcohol''. [1586]
* '''alcôve''' : de القبة (āl-qubba) (« petite pièce »), par le biais de l'espagnol ''alcoba''. [1646]
* '''algèbre''' : de الجبر (āl-ǧabr) (« réduction » au sens où nous disons que le problème se ramène / se réduit à un système à deux équations), via le latin médiéval ''algebra''. [fin du XIV{{e}} siècle]
* '''algorithme''' : du nom du mathématicien perse [[w:Al-Khwârizmî|Al-Khwârizmî]], par l'intermédiaire de l'ancien espagnol ''algorismo''. La forme actuelle est calquée sur le latin médiéval ''algorithmus'', altération influencé par ''arithmetica''. [1230]
* '''amiral''' : de أميرالعلي (ʾāmyr āl-ʿalī) (« grand chef »). [1100] 
* '''avarie''' : de عَوَارِيَّة (ʿawāriyya), dérivé de عور (ʿawar) (« défaut »), par le génois ''avaria''. [1200]
* '''aya''' : de آية (ʾāya) (« verset »)
* '''azur''' : de لازورد (lāzaward) (« lapis-lazuli ») [1080]
* '''Abdallah''' : de عبد الله (ʿAbdullāh) (« serviteur de Dieu »)
* '''Abdellatif''' : de عبد اللطيف‎ (ʿAbdullāṭyf) (« serviteur de l'Aimable »)
* '''Aladin''' : de علاء الدين (ʿAlāʾad-dyn) (« noblesse de foi »)
* '''Allah''' : de الله (ʾAllāh) (« Dieu »)
* '''Al-Qaïda''' : de القاعدة (āl-Qāʿyda) (« la Base ») [XX{{e|e}} siècle]
* '''brêle''' : de بغل (beġel) (« mulet »)
* '''cafard''' : de « كافر » (kāfir) (« hypocrite », « faux dévot »)
* '''café''' : de « قهوة » (qahwah)
* '''calife''' : de « خليفة » (ḫalyfah) (« successeur [du Prophète] »)
* '''camphre''' : de « كافور » (kāfwr) issu du sanskrit « कर्पूरम् » (karpūram).
* '''candi''' : initialement dit ''condi'', par l'intermédiaire de l'italien, emprunté à l'arabe « قندي » (qandy) (« confit ») [1256]
* '''chahada''' : de « شهادة » (šahādat) (« témoignage de foi »)
* '''charia''' : de « شريعة » (šaryʿah) (« chemin pour respecter la loi [de Dieu] »)
* '''cheh''' : de « صح » (ṣaḥ) («  »)
* '''cheikh''' : de « شيخ » (šayḫ) (« maître », « vieillard », « sage »)
* '''cheykha''' : de « شيخة » (šayḫa) (« »)
* '''chéchia''' : de « شاشية » (šašyah) («  »)
* '''chérif''' : de « شريف » (šaryf) («  »)
* '''Coran''' : de « القران » (āl-Qurān) (« la Récitation »)
* '''dawa''' : de « دعوة » (daʿwa) (« appel ») 
* '''djihad''' : de « جهاد » (ǧihād) (« effort »)
* '''djinn''' : de « جن » (ǧinn) (« génie » au sens d'« être merveilleux »)
* '''estragon''' : de « طرخون » (ṭarḫwn)
* '''élixir''' : de « إكسير » (āl-ʾiksyr) (« la [[wikt:pierre philosophale|pierre philosophale]] ») formé de « ال » (āl) (« le », « la ») et du grec ancien « ξηρίον » (xêríon) (« poudre siccative à mettre sur les blessures ») 
* '''éfrit''' : de « عفريت » (ʿfryt) 
* '''émir''' : de « أمير » (ʾāmyr) (« commandant », « prince ») 
* '''fanfaron''' : de « فرفار » (farfār) (« volage », « inconstant », « bavard »)
* '''fez''' : de « فأس » (fās) (« ») 
* '''fissa''' : de « في ساعة » (fy sāʿah) (« dans l'instant », « sur l'heure »)
* '''fondouk''' : de « فندق » (funduq) (« hôtel »)
* '''Fatima''' : de « فاطمة » (Fāṭima) (« jeune chamelle sevrée »)
* '''gazelle''' : de « غزال » (ġazāl) (« antilope ») [fin du XII{{e}} siècle]
* '''goudron''' : de « قطران » (qaṭrān) (« asphalte ») 
* '''goule''' (au sens de « créature monstrueuse ») : de « غول » (ġwl) (« démon »). Le nom du criminel [[w:Ra's al Ghul|Ra's al Ghul]] vient de « رأس الغول‎ » (Rāʾs āl-Ḡwl) (« Tête de démon »).
* '''gourbi''' : de « غوربي » (ġwrby) (« ») 
* '''gwer''' : de « غور » (ġwr) («  »), diminutif de « غوري » (Ġawry) (« Ligurien »)
* '''hadith''' : de « حديث » (ḥadyṯ) (« parole du Prophète »)
* '''hajj''' : de « حج » (ḥaǧ) (« pèlerinage ») 
* '''halal''' : de « حلال » (ḥalāl) (« licite ») 
* '''hamdoullah''' : de « الحمد لله » (āl-ḥamdullāh) (« louange à Dieu »)
* '''haram''' : de « حرام » (ḥarām) (« illicite ») 
* '''hasard''' : de « الزهر » (az-zahr) (« dé », « jeu de dés »), nommé d'après « زهر » (zahr) (« fleur ») car la face gagnante du dé portait une fleur
* '''inch'Allah''' : de « ان شاء الله » (in šāʾ ʾAllāh) (« si Allah le veut »)
* '''Iblis''' : de « إبليس‎‎ » (Iblīs) (« Celui qui n'a plus d'espoir [de se repentir] »)
* '''Jafar''' : de « جعفر » (Ǧaʿfar)
* '''Jaouad''' : de « جواد » (Ǧawād)
* '''Jasmine''' : de « ياسمين » (Yāsmyn)
* '''keffieh''' : de « كوفية » (kwfīya) («  »)
* '''khey''' : de « أخي » (ʾaḫī) (« frère »)
* '''maboul''' : de « مهبول » (mahbwl) (« fou », « débile ») [XIX{{e|e}} siècle]
* '''machallah''' : de « ماشاء الله » (māšāʾallāh) (« ce que Dieu veut »)
* '''masser''' (au sens de « pétrir avec les mains ») : de « مس » (mas) (« palper », « toucher ») [XVIII{{e|e}} siècle]
* '''matelas''' : de « مطرح » (maṭraḥ) (« tapis », « lieu où l'on jette quelque chose ») [XVI{{e|e}} siècle] 
* '''mesquin''' : de « ‎مسكين » (miskyn) (« pauvre »)
* '''miramolin''' : de « أمير المؤمنين ‎» (ʾāmyr āl-mwʾminyn) (« commandeur des croyants »)
* '''momie''' : de « مومياء » (mwmyāʾ) (« corps embaumé »)
* '''mounâfik''' : de : « ‏منافق » (munāfiq) (« hypocrite »)
* '''Machrek''' : de « المشرق » (āl-Mašriq) (« le Levant »)
* '''Maghreb''' : de « المغرب » (āl-Maġrib) (« le Couchant »)
* '''Mahomet''' : de « محمد‎ » (Muḥammad) (« digne de louanges »)
* '''Moustapha''' : de « مصطفى » (Muṣṭafaā) (« l'Élu »)
* '''nifâk''' : de « نفاق‎‎ » (nifāq) (« hypocrisie »)
* '''niquer''' : de « نك » (nik) (« faire l'amour ») [XIX{{e|e}} siècle]
* '''nuque''' : de « نخاع » (nuḫāʿ) (« partie dorsale du cou ») [XIV{{e|e}} siècle]
* '''Omar''' : de « عمر » (ʿOmar) («  »)
* '''papegai''' (ancien nom français du [[wikt:perroquet|perroquet]]) : de « ببغاء » (babaġāʾ) («  »)
* '''ramdam''' : de « رمضان » (Ramaḍān) (« mois de jeûne »)
* '''roumi''' : de « رومي » (Rwmy) (« Romain »)
* '''salat''' : de « صلاة » (ṣalāt) (« ensemble de cinq prières »)
* '''salep''' : de « ثعلب » (ṯaʿlab) (« renard ») abréviation de « خصى الثعلب » (ḫuṣān aṯ-ṯaʿlab) (« testicules de renard ») Le nom complet fut choisi en raison de la forme des bulbes de cette plante.
* '''saoum''' : de « صوم‎ » (ṣawm) (« jeûne »)
* '''starfallah''' : de « أستغفر الله » (ʾastaḡfirullāh) (« Que Dieu me pardonne »)
* '''soubhanallah''' : de « سبحان الله » (subḥān allāh) (« louez Dieu »)
* '''souk''' : de « سوق » (sūq) (« marché »)
* '''sourate''' : de « سورة » (swrah) (« chapitre »)
* '''sucre''' : de « سكر » (sukar) issu du sanskrit « शर्करा » (śarkarā).
* '''sultan''' : de « سلطان » (sulṭān) (« pouvoir », « autorité »)
* '''Saïd''' : de « سعيد »‎ (Saʿyd) (« heureux »)
* '''Salîm''' : de « سليم » (Salym) (« le Saint », « le Parfait »)
* '''Shaytân''' : de « شيطان » (Šayṭān) (« l'Adversaire »)
* '''talc''' : de « تلك » (talk)
* '''tarbouche''' : de « طربوش » (ṭarbwš) (« ») 
* '''toubib''' : de « طبيب » (ṭabyb) (« médecin ») [1617]
* '''wallah''' : de « والله » (wallāh) (« par Dieu »)
* '''wesh''' : de « واش » (wāš) (« quoi »)
* '''Wahid''' : de « واحد » (Wāḥid) (« l'Unique ») 
* '''zakât''' : de « زكاة » (zakāt) (« purification »)
* '''zinzolin''' : de « جنجلان » (ğunğulān) (« semence de sésame »)
* '''zob''' : de « زب » (zubb) (« pénis »)

Beaucoup de mots empruntés à l'arabe commencent par ''al'' ou ''a'' car, en arabe, ''al'' est l'article défini qui a été accolé au substantif lors de l'emprunt. (Comme si un enfant qui maîtrisait encore mal le français disait ''le lane'' pour ''l'âne''.)

Un cas intéressant est l'emprunt du mot « صفر » (ṣifr) qui signifie « vide » et a été transcrit à la fois par « chiffre » et par « zéro » (la notation arabe des chiffres utilisant un point pour le zéro).

=== Les emprunts à l'italien ===
Les royales épouses et les nobles dames venues d'Italie au XVI{{e|e}} siècle et au début du suivant ont apporté la civilisation du Quattrocento dans leurs bagages : vocabulaire des cours ducales et princières  et du commerce qui avait permis les développements économiques lombard et toscan. Bref, quelque 8000 mots à l'époque, dont environ 10% sont utilisés encore aujourd'hui. Sur les 2000 à 8000 italianismes que comptait la langue française, seulement 700 environ ont survécu. Citons :
* '''accort''' : de ''accorto'' (« clairvoyant », « adroit »)
* '''amouracher''' : de ''amoracciare'' («  »)
* '''assassin''' : de ''assassino'' (« meurtrier »)
* '''avoir martel''' (terme aujourd'hui disparu) : être jaloux(se)
* '''bambin''' : de ''bambino'' (« bébé », « enfant »)
* '''bamboche''' : de ''bamboccio'' (« poupard », « bébé joufflu »)
* '''banque''' : de ''banca''. La banque est un banc ou plutôt une petite table sur laquelle on pose l'argent à changer, ce qui constituait l'activité première des banques. En cas de faillite (d'une racine signifiant « tomber » que l'on retrouve dans « défaillir ») du banquier, la corporation lui interdisait symboliquement de continuer son activité en lui cassant sa table. (D'où l'italien « bancarotta », qui a donné le français « banqueroute ».)
* '''bataillon''' : de ''battaglione''
* '''berlingot''' : de ''berlingozzo''
* '''bombe''' : de ''bomba''
* '''birouchette''' : de ''baroccio'' (« charrette à deux roues »)
* '''brocoli''' : du pluriel de ''broccolo''
* '''burler''' (terme aujourd'hui disparu) : se moquer
* '''brusque''' : de ''brusco'' (« âpre », « aigre »)
* '''cabriole''' : de ''capriola'' (« saut de cabri »)
* '''caprice''' : de ''capriccio'' (« frisson »)
* '''carrière''' : de ''carriera'' (« chemin de chars »)
* '''carrosse''' : de ''carrozza''
* '''carrousel''' : de ''carosello''
* '''carton''' : de ''cartone''
* '''cartouche''' : de ''cartuccia''
* '''charlatan''' : de ''ciarlatano''
* '''citrouille''' : de ''citruolo''
* '''colonel''' : de ''colonello''
* '''cortège''' : de ''corteggio''
* '''courtisan(e)''' : de ''cortigiano(a)''
* '''courtiser''' : de ''corteggiare''
* '''couci-couci''' : de ''così così'' (« ainsi ainsi »)
* '''désastre''' : de ''disastro'' (« mauvaise étoile »)
* '''discote''' (terme aujourd'hui disparu) : de ''discotto'' (« éloigné »)
* '''escadre''' : de ''squadra''
* '''escadron''' : de ''squadrone''
* '''escarpe''' (terme aujourd'hui disparu) : de ''scarpa'' (« chaussure »)
* '''escarpin''' : de ''scarpino''
* '''escroc''' : de ''scrocco''
* '''espadon''' : de ''spadone'' (« grande épée »)
* '''-esque''' : de ''-esco''
* '''estafette''' : de ''staffetta'' (« courrier à cheval »)
* '''estivallet''' (terme aujourd'hui disparu) : de '' '' (« bottine »)
* '''fantassin''' : de ''fantaccino''
* '''fantoche''' : de ''fantoccio'' (« marionnette »)
* '''filigrane''' : de ''filigrana''
* '''frasque''' : de ''frasca'' (« soudain écart de conduite »)
* '''fresque''' : de ''fresco'' (« frais ») 
* '''ganache''' : de ''ganascia''  (« mâchoire »)
* '''gonze''' : de ''gonzo'' (« idiot »)
* '''hippogriffe''' : de ''ippogrifo''
* '''imbattre''' (terme aujourd'hui disparu) : de ''imbrattare''
* '''intrigue''' : de ''intrigo''
* '''jalousie''' (au sens de « treillis de bois ou de fer permettant d'observer sans être vu ») : de ''gelosia''
* '''lasagne''' : du pluriel de ''lasagna''.
* '''le plus de temps''' : de ''il più del tempo''
* '''leste''' : de ''lesto'' (« adroit, agile »)
* '''manège''' : de ''maneggio''
* '''masque''' : de ''maschera''
* '''page''' (au sens de « serviteur d'un aristocrate ») : de ''paggio''
* '''paillasse''' (au sens de « bouffon ») : de ''pagliaccio'' (« bateleur », « clown », « pitre »)
* '''pécore''' : de ''pecora'' (« brebis »)
* '''pédant''' : de ''pedante''
* '''pianelle''' (terme aujourd'hui disparu) : de ''pianella'' (« chaussure de daim »)
* '''pizza'''
* '''pizzaïolo''' : de ''pizzaiolo''
* '''poltron''' : de ''poltrone'' (« paresseux »)
* '''porcelaine''' : de ''porcellana''
* '''salami''' : du pluriel de ''salame''
* '''sbire''' : de ''sbirro''
* '''sigisbée''' : de ''cicisbeo'' (« galant », « dameret »)
* '''spadassin''' : de ''spadaccino'' (« bretteur »)
* '''spaghetti''' : du pluriel de ''spaghetto''.
* '''spurquesse''' (terme aujourd'hui disparu) : de ''sporchezza'' (« saleté »)
* '''supercherie''' : de ''soperchieria''
* '''taffetas''' : de  ''taffetà''
* '''trop mieux''' : de ''troppo meglio''
* '''trop plus''' : de ''troppo più''
* '''voltiger''' : de ''volteggiare'' (« voleter »)
* '''zibeline''' : de ''zibellino'' 

L'essentiel du vocabulaire français lié à la musique est emprunté à l'italien. Citons :
* '''allégro''' = joyeux
* '''andante''' = simple, habituel (mot à mot : qui marche [à pieds])
* '''adagio''' = lentement (Si vous circulez en véhicule sur les routes d'Italie, vous constaterez que ce mot apparaît fréquemment à l'entrée des parkings souterrains ou aux abords des écoles.)
* '''scherzo''' = plaisanterie
* '''ténor''' = de « tenore » qui désigne le « contenu essentiel » ; formule comparable aux expressions françaises « teneur de la loi » ou « teneur en oxygène ». Le ténor est le chanteur qui assume l'essentiel de l'opéra.

À la période romantique s'ajouteront des mots allemands comme « Lied » (« chant »).

=== Les emprunts au russe ===
Vers la fin du {{XIXe siècle}}, la popularité des romans russes, traduits en français, apportent beaucoup de nouveaux mots (''steppe'', ''cosaque'', ''toundra'', etc.)&lt;ref name=&quot;Larousse&quot;&gt;{{W|Jean Dubois (linguiste)|Jean Dubois}}, {{W|Henri Mitterand}}, {{W|Albert Dauzat}}, ''Dictionnaire étymologique et historique du français'', {{W|Éditions Larousse}}, 2007&lt;/ref&gt;. À leur tour, la {{w|révolution russe}} et le développement du socialisme introduisent nombre de nouveaux termes en français (''kolkhoze'', ''bolchévique'', ''koulak'', ''soviet'', etc.)&lt;ref name=&quot;Larousse&quot;&gt;&lt;/ref&gt;. Parmi les nombreux emprunts, citons :
* '''bogatyr''' : de « богатырь » (bogatyr’) (« héros »).
* '''combinat''' : de « комбинат » (kombinat).
* '''cosmonaute''' : de « космонавт » (kosmonavt).
* '''datcha''' : de « дача » (datcha).
* '''drojki''' : de « дрожки » (drojki).
* '''goulag''' : lexicalisation de « ГУЛАГ » (GULÁG), acronyme de « Главное Управление Лагерей » (Glávnyj Upravlěniě Láger') (« Direction Principale des Camps »).
* '''icône''' : de « икона » (ikona) (« image religieuse »).
* '''isba''' : de « изба » (izba).
* '''jaleïka''' : de « жалейка » (zhaléika).
* '''kopeck''' : de « копе́йка » (kopéjka).
* '''lezguinka''' : « лезгинка » (lezginka).
* '''mammouth''' : de « мамант » (mamant), variante désuète de « мамонт » (mamont).
* '''mazout''' : de « мазут » (mazout), qui viendrait de l'arabe « مَخْزول » (makhzoul) (« résidu »).
* '''morse''' : de « морж » (morj).
* '''moujik''' : de « мужик » (muzhik), diminutif de « муж » (muzh) (« homme »).
* '''niet''' : de « нет » (niet) (« non »).
* '''novitchok''' : de « новичок » (novitchok) (« novice »).
* '''oblast''' : de « область » (oblast').
* '''pérestroïka''' : de « перестройка » (perestroika).
* '''podzol''' : de « подзол » (podzol).
* '''rouble''' : de « рубль » (rubl').
* '''sarafane''' : de « сарафан » (sarafan).
* '''taïga''' : de « тайга » (taiga).
* '''télègue''' : de « телега » (telega).
* '''tsar''' : de « царь » (tsar’), lui-même du vieux slave « цѣсарь » (cěsarĭ), emprunté au latin « Caesar » via le grec ancien « Καῖσαρ » (Kaîsar), source aussi de l'allemand « Kaiser » (d'où ''kaiser'' en français).
* '''ukase''' : de « указ » (ukaz).
* '''vodka''' : de « водка » (vodka), diminutif de « вода » (voda) (« eau ») avec le suffixe « ­-ка » (-ka).
* '''yourte''' : de « юрта » (júrta).

=== Les emprunts à l'allemand ===
Les emprunts à l'allemand sont souvent limités à des vocabulaires spéciaux, notamment celui de la guerre&lt;ref name=&quot;Larousse&gt;&lt;/ref&gt;. Ils ont été apportés par les mercenaires allemands et suisses des XVI{{e}} et XVII{{e}} siècles, et, dans une moindre mesure, par l'{{w|Occupation de la France par l'Allemagne de 1870 à 1873|occupation allemande de 1870 à 1873}} et l'{{w|Occupation de la France par l'Allemagne pendant la Seconde Guerre mondiale|occupation de 1940 à 1943}}&lt;ref name=&quot;Larousse&gt;&lt;/ref&gt; :
* '''accordéon''' : de ''Akkordeon'', mot forgé en 1829 par {{w|Cyrill Demian}}, inventeur de l'instrument.
* '''aspirine''' : de ''Aspirin''.
* '''aux fines herbes''' (« au revoir ») : c'est une déformation de « auf Wiedersehen ».
* '''blitzkrieg''' : de ''Blitzkrieg'' (« guerre éclair »), composé de ''Blitz'' (« éclair ») et de ''Krieg'' (« guerre »).
* '''blockhaus''' : de ''Blockhaus''
* '''bunker''' : de ''Bunker''
* '''cobalt''' : emprunt à l'allemand ''Kobalt'', de ''Kobold'', nom d'un lutin malicieux.
* '''devise''' : au sens financier, probablement de ''Devise''
* '''écologie''' : de ''Ökologie'', terme forgé par {{w|Ernst Haeckel}} en 1866.
* '''ersatz''' (mot à mot ''qui se tient à la place de'').
* '''feldwebel''' : de l'allemand ''Feldwebel'', même sens.
* '''flic''' est dérivé de « Fliege » (« mouche », d'après le sens argotique « espion »), ou de « Flick » (« garçon, jeune homme »).
* '''fritz''' : du prénom allemand ''Fritz'', diminutif de ''Friedrich''.
* '''Gestapo''' : de l'allemand, ellipse de '''''Ge'''heime '''Sta'''ats'''po'''lizei'' (« police secrète d’État »).
* '''heimatlos''' : emprunt à l'allemand ''heimatlos'' (« apatride »).
* '''homosexuel''' : probablement de ''homosexual'', composé de ''homo-'' et de ''sexual''.
* '''képi''' : de ''Käppi''.
* '''lansquenet''' : de ''Landsknecht'' (« fantassin »).
* '''loustic''' est la francisation de ''[[wikt:lustig|lustig]]'' (« joyeux »). Dans les troupes allemandes, il y avait un bouffon que l'on appelait « Lustig » (« le Joyeux »).
* '''nazi''' : de ''Nazi'', contraction de '''''Na'''tionalso'''zi'''alist''.
* '''obus''' : de ''Haubitze'' (« obusier »), lui-même emprunté au tchèque ''houfnice'' (« catapulte »).
* '''putsch''' : de ''Putsch''.
* '''se faire appeler Arthur''' (« se faire gronder ») : dans cette locution, « Arthur » est une déformation de « acht Uhr » signifiant « huit heures » ; pendant la [[w:Seconde Guerre mondiale|Seconde Guerre mondiale]], en France occupée, le [[wikt:couvre-feu|couvre-feu]] était à huit heures du soir. Les patrouilles allemandes avaient donc pour habitude de prévenir les retardataires en leur indiquant leur montre et en leur disant « acht Uhr! ».
* '''thalweg''' : de ''Thalweg'', composé de ''Thal'' (« vallée ») et de ''Weg'' (« chemin »).
* '''Wehrmacht''' : de ''Wehrmacht''.

=== Les emprunts aux langues américaines indigènes ===
Tous les produits exotiques découverts aux « Indes occidentales » comme l'on disait alors ont été importés, le plus souvent via l'Espagne ou le Portugal avec leur nom d'origine plus ou moins bien compris et déformé. Ainsi :
* '''avocat''' et '''hamac''' des Caraïbes
* '''cacahuète'''
* '''chocolat'''
* '''topinambour''' qui en même temps qu'il désignait le tubercule comestible avait aussi le sens de « personne de caractère ombrageux », caractère que l'on attribuait à la tribu Topinambour d'où ont été exportées les premières de ces plantes.

Cela explique que ces mots soient peu ou prou identiques dans toutes les langues européennes d'aujourd'hui. On notera le cas de l'espagnol qui appelle « platanas », les bananes. Lorsque les premiers Conquistadores rapportèrent des bananes à Séville, les badauds leur demandèrent combien il en poussait « là-bas ». « Autant que de platanes à Séville » fut la réponse qui parut par trop exagérée (bien qu'elle fut vraie) et conduisit à appeler le fruit « platana » à Séville puis dans toute l'Espagne.

Indépendamment de ces importations, espagnol et portugais ont laissé quelques mots apportés par les mercenaires et liés à la vie militaire tels « adjudant » ou « camarade ».

L&lt;nowiki&gt;'&lt;/nowiki&gt;'''adjudant''' est celui qui aide (Du verbe ''adjutare'', « aider ») un officier (un aide de camp) comme l'adjuvant est un additif qui renforce (qui aide) les qualités d'un remède ou d'un produit industriel comme le béton.

Le '''camarade''' est celui avec qui l'on partage sa chambre (« camera » d'où la « camera obscura » (chambre noire) qui aboutit plus simplement à la caméra [de cinéma]). Le camarade est le compagnon de chambrée, le '''compagnon''' étant celui avec (cum) qui l'on partage le pain (panis).

Du portugais l'on peut aussi retenir :
* '''pintade''' qui est l'abrégé de « galina pintada » (poule peinte)
* '''sombrer''' qui vient  — via un verbe français « soussoubrer » — d'un verbe portugais « soçobrar » signifiant « aller sous l'eau ».

=== Les emprunts à l'anglais ===
S'ils sont aujourd'hui importants, surtout à travers l'américain, il n'en fut pas ainsi pendant longtemps ne serait-ce que parce que les familles anglaises parlaient français et que la première grammaire française fut rédigée en anglais pour permettre aux féodaux autochtones d'acquérir la langue d'expression de leurs souverains.

Les premiers emprunts à l'anglais apparaissent au XVIII{{e|e}} siècle sous la double influence du libéralisme politique qui se développe en Angleterre et définit les notions et les mots de « parlementaire » ou de « comité » et de l'expansion pré-industrielle comme de l'hégémonie maritime qui succède à celle des pays du Sud de l'Europe d'où « rail », et « tunnel ».

=== Les emprunts aux autres langues ===
Les autres langues ont moins apporté, en dehors de mots désignant des institutions ou des produits locaux (comme les boyards, le caviar). Citons :

Le vieux norrois avec :
* '''garer''' : de « varask » (« être sur ses gardes »).
* '''quille''' (terme de marine), emprunté au vieux norrois « kilir », pluriel de « kjǫlr ».
* '''saga''', signifiant « récit mythologique ou historique » ; le mot est à rapprocher de l'anglais « to say » (« dire ») et de l'allemand « sagen » (même sens).
* '''vague''' est issu de « vágr », apparenté à l'anglais « wave ».

Le japonais avec :
* '''emoji''' : de « 絵文字 » (emoji).
* '''judo''', de « 柔道 » (jūdō), composé de « 柔 » (ju) (« souplesse ») et « 道 » (do) (« voie »), littéralement « voie de la souplesse ».
* '''kakemono''' emprunté au japonais « 掛物 » (kakemono).
* '''manga''' tiré de « 漫画 », lui-même composé de « 漫然 » (manzen) (« sans intention ») et « 画 » (ga) (« dessin »).
* '''zen''' : emprunt au japonais « 禅 » (zen), issu du chinois « 禪 » (chán), lui-même abréviation de « 禪那 » (chánnà), du sanskrit « ध्यान » (dhyāna) (« méditation »).

Le turc avec :
* '''babouche''', de « papuç » (« chaussure »).
* '''derviche''', emprunté au turc « derviş », lui-même emprunt au persan « درويش » (derwiš) (« mendiant, pauvre »).
* '''kebab''', tiré de « kebap ».

L'occitan avec :
* '''aïoli''' : de « alhòli ».
* '''bosquet''', issu de « bosquet », diminutif de « bòsc » (bois) avec le suffixe « -et ».
* '''garrigue''', emprunté à l'occitan « garriga », de l'ancien occitan « garric » (« chêne kermès »).
* '''malfrat''', probablement issu de « maufaras », « malfaras » (« malfaiteur »).
* '''muscat'''.
* '''péguer''', mot utilisé en Occitanie signifiant « coller », est issu de l'occitan « pegar » (même sens).
* '''pétanque''', de l'occitan « petanca ».

=== Le fond gaulois ===
La littérature gauloise était essentiellement composée de poésies épiques et transmise exclusivement par voie orale. C'est pourquoi s'il reste encore de nombreuses traces du gaulois dans les noms de lieux, cette langue n'a laissé — essentiellement à travers le latin — qu'une quarantaine de mots :
* '''alouette'''
* '''berceau'''
* '''bordigue''', cabane avec des étagères pour garder le poisson au bord de la mer
* les '''braies''', les « pantalons » de l'Antiquité, d'où viennent les mots « braguette » et « débraillé ». 
* '''bruyère'''. Le mot a été, par ailleurs confondu avec le mot latin « ruscus » qui signifiait « houx ». Un terrain à bruyères était appelé « bruscia » (qui signifiait « taillis », « buisson ») puis « brousse » (et « broussaille ») mais aussi « brosse » d'où les premières brosses qui n'étaient pas faites pour se coiffer mais pour laver le linge ou le sol et donc fabriquées à partir de végétaux très durs et acérés. « brosse » et « brousse » se spécialisèrent par la suite mais il reste des traces de cette synonymie en français moderne : « brosser » lorsque l'on parle d'un animal qui se faufile dans les taillis (ex : En brossant, le lièvre évita le chasseur.). Par analogie, on appelle aussi « brosse », la rangée de poils que l'on trouve au bout des pattes ou antennes de certains insectes et qui leur permettent, par exemple, de se situer dans l'espace tout en servant à la pollinisation.
* '''cervoise''', bière d’orge ou de blé sans houblon.
* '''charrue''' qui désigne à l'origine un char gaulois puis un char agricole puis finit par se limiter à un instrument muni de roues et d'un soc.
*'''chêne''' qui est une fusion du gaulois latinisé ''casanus'' et du mot bas latin ''fresne''
* '''glaner'''
* '''sillon''' d'une racine signifiant ''amasser de la terre''
* probablement '''tamis''' avec le même sens.
* '''taisson''' qui est l'ancien nom du blaireau.
* '''talus''', de ''talo'' qui désigne le front puis, par analogie avec la pente du front, un terrain en pente dans le langage des mineurs

=== L'emprunt par composition lexicale ===
Une forme particulière d'emprunt est la composition lexicale à partir de racines grecques et latines, contrairement à l'emprunt proprement dit où un mot étranger courant est introduit dans la langue d'accueil. Initié dès le XVI{{e|e}} siècle, le procédé a été particulièrement utilisé de 1750 à 1950 (pour avoir des chiffres ronds) dans tous les domaines de la vie scientifique et technique. En principe les deux racines doivent être ou grecques ou latines mais l'on rencontre des mots mixtes.

Les spécialités médicales en sont un bon exemple ; à partir de « -logie » (de « λόγος », l'étude) on construit :
* « andrologie » [] de « ἀνήρ », l'homme en grec ancien.
* « anthropologie » [] de « ἄνθρωπος », l'être humain en grec ancien.
* « cardiologie » [1797] de « καρδία », le cœur en grec ancien. 
* « coprologie » [] de « κόπρος », l'excrément en grec ancien.
* « dermatologie » [1836] de « δέρμα », la peau en grec ancien. Le mot latin « pellis » désigne initialement la peau de bête tannée ; appliquer ce terme à la peau humaine a dû être quelque peu grossier à l'origine, comme aujourd'hui parler de la « gueule » de quelqu'un.
* « gynécologie » [] de « γυνή », la femme en grec ancien.
* « hématologie » [] de « αἷμα », le sang en grec ancien.
* « œnologie » [] de « οἶνος », le vin en grec ancien.
* « oncologie » [1970] de « ὄγκος », la tumeur en grec ancien ; les tumeurs constituent un amas en imagerie médicale comme à la palpation
* « ophtalmologie » [1753] de « ὀφθαλμός », l'œil en grec ancien
* « proctologie » [1970] de « πρωκτός », l'anus en grec ancien
* « scatologie » [] de « σκῶρ », l'excrément en grec ancien.
* « urologie » [] de « οὖρον », l'urine en grec ancien

De la même façon, on construit :
* « saurien » [1800] (de « σαῦρος » (« lézard »)) reptile à écailles
* « dinosaure » [1845] (de « δεινός » (« terrible ») et « σαῦρος » (« lézard »)
* « ichtyosaure » [1824] (de « ἰχθύς » (« poisson ») et « σαῦρος » (« lézard »)
* « lycoperdon » [] (de « λύκος » (« loup ») et « πέρδομαι » (« flatuler »)
* « callipyge » [] (de « κάλλος » (« beauté ») et « πυγή » (« fesse »)
ou encore, en vrac :
* « alopécie »  [{{e}} siècle] qui désigne la chute des cheveux comparée à celle des poils du renard (« ἀλώπηξ ») se produisant chaque année.
* « dromadaire » [XII{{e}} siècle] qui est le coureur (« δρομάς ») du désert
* « éthologie » [1856] l'étude des mœurs (« ἦθος »)
* « hippopotame » [1265] qui est le cheval (« ἵππος ») du fleuve (« πόταμος »)
* « hippodrome » [1534] qui est la course (« δρόμος ») du cheval (« ἵππος »)
* « pétrole » [XIII{{e}} siècle] de « πετρέλαιον »
* « rhinocéros » [1288] qui a une corne (« κέρας ») sur le nez (« ῥίς »)

Certains mots furent composés autrement :
* « chauve-souris » vient du bas latin ''calvas sorices'' (pluriel), altération sous l'influence de ''calvus'' (« chauve »), du bas latin ''cawa sorix'', formé de ''cawa'' (« chouette ») et ''sorix'' (« souris »), signifiant littéralement « chouette-souris ». Le petit de ce mammifère volant s'appelle le « chauve-souriceau » (« chauve-souricelle » au féminin). Le nom anglais de cet animal est « bat », ce qui insipira Bill Finger et Bob Kane pour la création de [[w:Batman|Batman]].

* « soutien-gorge » [1904] dérive de ''soutien'' et de ''gorge''. Dans ce mot, ''gorge'' signifie métaphoriquement « poitrine » ou « sein ».

== Les noms propres (personnes, villes, personnages de roman) devenus noms communs ==
Le plus connu est '''Poubelle''' du nom du préfet de police de Paris, qui imposa, en 1884, de placer les déchets dans un récipient et non de les déposer en vrac sur la chaussée et institua leur collecte régulière mais l'on peut également citer :
* le père '''Clément''' qui fut le premier à obtenir des clémentines dans un orphelinat d'Oran en 1902 par greffe d'un hybride d'oranger et de mandarinier sur un pied de mandarinier.
* John Loudon '''MacAdam''' qui utilisa un revêtement qui venait d'être mis au point pour solidariser les routes et les rendre plus confortables.
* En 1950, après avoir assisté à une grande exposition du peintre Vittore '''Carpaccio''', le chef Giuseppe Cipriani inventa une recette de viande de bœuf crue à laquelle il donna le nom de famille de l'artiste.
* '''Casanova''' est le nom de famille d'un Italien qui écrivit de célèbres mémoires érotiques (et non « pornographiques » ; bien qu'« érotisme » et « pornographie » viennent tous deux du [[grec ancien]], les sens respectifs de ces deux mots sont très différents.) Aujourd'hui, on appelle « casanova » un homme désirant ardemment séduire de nombreuses femmes.
* '''Doberman''' est le nom de famille d'un gardien de fourrière d'une petite ville allemande qui, chargé d'exterminer les chiens errants, réussit à les croiser de façon à obtenir une race de chiens de garde et en sauva ainsi quelques-uns d'une mort prématurée
* John '''Duns''' Scot (1266-1308) est un théologien et philosophe écossais. Devenu « dunce » en anglais, son nom pris le sens du mot français « cancre » désignant un écolier paresseux. Dans les écoles anglo-américaines, on coiffait autrefois les mauvais élèves de chapeaux coniques portant le mot « ᴅᴜɴᴄᴇ ». L'anglais « dunce cap » correspond métaphoriquement au français «  [[wikt:bonnet d’âne|bonnet d'âne]] ».
* '''Guillaume''' est l'imprimeur qui introduisit les guillemets (appelés initialement « guillaumets ») dans l'imprimerie ; dans ce secteur, un autre Guillaume, Massiquot (1797-1870) laisse son nom sous une forme orthographique simplifiée (massicot) au dispositif qui permet de couper les feuilles.
* Louis '''Pasteur''' dont le nom se retrouve dans la plupart des langues dans des termes comme « pasteuriser » ou « pasteurisation » 
* François '''Barrême''', mathématicien (1640-1703) auteur d'un des premiers manuels pratiques de comptabilité
* Partisane de la réforme vestimentaire, l'employée des postes Amelia '''Bloomer''' fit la promotion de [[wikt:culotte|culottes]] bouffantes ; avec le temps, ces sous-vêtements prirent le nom de leur promotrice.
* Devenu aveugle très jeune, Louis '''Braille''' improvisa un système d'écriture en relief facilement lisible du bout des doigts.
* Carlo '''Tonti''' qui conçu les tontines (dans une tontine, un emprunteur offre 100 euros par an pour rémunérer un capital initial de 10 000 euros par exemple. Au fur et à mesure que les prêteurs meurent la rémunération annuelle qui reste constante à 100 euros est répartie sur les seuls survivants ; ce procède fut très utilisé par les rois de France du milieu du XVII{{e}} siècle aux abords de la Révolution française puis par les premières institutions mutualistes)
* '''Figaro'''. Personnage de [[w:Pierre-Augustin Caron de Beaumarchais|Pierre-Augustin Caron de Beaumarchais]], il est le barbier du Comte Almaviva ; « aller chez le figaro » signifie « aller chez le barbier/coiffeur ». Dans la deuxième pièce de la trilogie lui étant consacrée, il dit à la scène 3 de l'acte V : « Sans la liberté de blâmer, il n'est point d'éloge flatteur. » Depuis sa fondation le 15 janvier 1826, le journal quotidien ''[[w:Le Figaro|Le Figaro]]'' met cette réplique en exergue comme étant sa devise.
* '''Frangipane'''. Marquis italien, Frangipani mis au point en 1558 un parfum pour les gants ; ledit parfum connut rapidement du succès pour accommoder les pâtisseries.
* '''Fuller'''. Eugène Fuller est l'architecte qui dessina les plans de la géode. Les nano-particules ont une structure qui rappelle une géode. Pour honorer Fuller on eut l'idée de donner son nom à la structure.
* '''Bougainvilliers''', navigateur qui ramena la plante. De même, camélia (initialement écrit Camellia) à qui Linné (qui nomma nombre de plantes de façon raisonnée) donna ce nom en souvenir du père jésuite qui l'avait ramené du Japon : Camellus
* '''Oignon''' était le responsable du protocole de Louis XIV et il exigeait des Grands qu'ils fussent rangés. Par la suite, la référence à ce royal ordonnancement fut oubliée et l'image d'oignons rangés sur un marché se substitua à l'originale.
* '''Calepin'''. En 1502, Ambrogio Calepino publia un dictionnaire de latin. Le mot « calepin » désigna d'abord un dictionnaire (latin ou non) puis évolua vers le sens de recueil de notes.
* '''Sandwich''' est le nom d'un comte anglais (1718-1792) qui, joueur infatigable, demanda qu'on lui servît son repas entre deux tranches de pain pour ne pas quitter le salon de jeu.
* '''grégorien''' : Pape de 590 à 604, Grégoire XIII fixa définitivement les textes rituels et plaça la messe à la première place des cérémonies du culte, sur le plan artistique. Il fit établir une sélection de chants épurés destinés à toutes les fêtes de l'année (l'antiphonaire) et fonda une école de musique destinée à diffuser une nouvelle interprétation mélodique. Il réforma également le calendrier julien.
* '''Lalune''' était un général dont les bourdes étaient nombreuses d'où l'expression ''bête comme la lune''
* À l'inverse, Jean '''Colin-Maillard''', aveuglé par le sang d'une blessure infligée par l'ennemi se saisit d'un maillard (« marteau » — à comparer avec « maillet » —) et frappant plus ou moins au hasard massacra nombre de ses adversaires ; d'où le jeu de colin-maillard.
* '''Hooley''' était un Irlandais qui rançonnait les paysans en faisant montre d'une extrême violence vis à vis de ceux qui ne se soumettaient pas à ses exactions d'où les « hooligans » des stades.
* Étienne de '''Silhouette''' était contrôleur général des Finances au XVIII{{e}} siècle. Son nom est resté dans la langue soit en raison des nombreuses caricatures que l'on fit de lui soit du fait de ses passages rapides aux affaires qui ne permettaient que de l'y apercevoir.
* '''dulcinée''' désigne poétiquement une femme inspirant une passion romanesque. Cet emploi provient du nom d'un personnage de ''[[w:Don Quichotte|L'Ingénieux Hidalgo Don Quichotte de la Manche]]'', l'œuvre la plus connue de [[w:Miguel de Cervantes|Miguel de Cervantes]] (1547-1616).
* '''Paparazzo''' est le nom d'un photographe apparaissant dans le film ''[[w:La Dolce Vita|La Dolce Vita]]'' (1960). Aujourd'hui, on appelle « paparazzo » un photographe ayant comme domaine de prédilection la vie privée des célébrités.

Dans le genre « grunge » on trouve ''isabelle'' et ''bourdaloue''.

* '''isabelle''' est la couleur de la robe d'un cheval ou du pelage d'un chat qui associe jaune pâle, rouge et noir. La légende veut qu'une noble dame prénommée Isabelle ait fait vœu de ne pas changer sa chemise entre le départ de son époux pour la guerre et son retour. Il existe deux variantes : Isabelle la Catholique lorsque le roi soutint le siège de Grenade (1491) qui dura un an et l'archi-duchesse Isabelle, petite fille de Catherine de Médicis  et de Henri II lorsque son époux — Albert — partit pour Ostende et revient en triomphateur après que la ville ait cessé de lui résister pendant trois ans. D'où la couleur de la chemise au retour du bien-aimé. Il semble cependant aux philologues modernes que le mot est tout simplement l'emprunt du mot ''hiza'' (lion) à l'arabe à cause de la couleur du pelage de ce fauve.
* '''Bourdaloue''' (ce n'est plus légende mais réalité) était un prédicateur de Notre-Dame de Paris à l'éloquence fort prisée des dames de la bourgeoisie parisienne. Rhétoricien accompli, il captivait son public pendant plusieurs heures et certaines dames eurent l'idée de s'équiper d'un petit vase très discret leur permettant de satisfaire leurs besoins naturels sans quitter leur place (à l'époque les robes étaient assez larges)
* Dans l&lt;nowiki&gt;'&lt;/nowiki&gt;''Orlando innamorato'', Matteo Maria Boiardo raconte que le roi circassien '''Sacripante''' fit preuve d'une bravoure et d'une force extraordinaires pour porter secours à la dame de ses pensées sans qu'on le payât en retour. Francisé en ''sacripant'', le nom de ce personnage désigna d'abord un bravache (Au même titre que « matamore » et  « rodomont ».), puis un mauvais sujet et une personne dont la compagnie est peu recommandable. Aujourd'hui, il s'emploie affectueusement pour désigner un individu espiègle ou malicieux (En particulier les petits garçons, au même titre que « chenapan », « coquin » et « garnement »).

Coté paillettes, au contraire, le '''strass''' fut inventé par un joailler parisien : Georges Frederic Strass (1770-1773)

Pour ce qui est des villes citons :
* '''angora''' : Initialement on ne parlait pas d'un chat angora mais d'un chat d'Angora, ancien nom de la ville d'Ankara en Turquie
* '''bougie'''. Cire fine de Bougie, ville située dans l'Algérie actuelle, prisée dès le XIV{{e}} siècle car elle ne produisait pas trop de fumée pour un bon éclairage.
* '''corbillard'''. Dès le XVI{{e}} siècle, on appelait « corbeillard » le coche d'eau — peint en noir — qui assurait une navette entre Paris et Corbeil. Le mot pris son sens actuel au XVIII{{e}} siècle. Les bateaux-mouches ont une origine identique : une navette entre Lyon et le quartier de La Mouche.
* '''cordonnier'''. Étymologiquement, c'est celui qui travaille le cuir à la façon des Cordouans (habitants de Cordoue en Espagne) ou, plus probablement, le cuir en provenance de cette ville.
* '''cravate'''. C'est à l'origine le large ruban que les soldats du Royal Croate étaient autorisés à porter par Louis XIV. « Croate » se prononça rapidement « cravate ».
* '''faïence'''. Ce type de poterie fut imaginé dans le région italienne de Faenza (une cinquantaine de kilomètres au sud-est de Bologne).
* '''jeans'''. Vers 1850, Levi-Strauss fabrique des pantalons avec de la toile servant à bâcher les chariots dont il renforce les coutures avec des rivets. Cependant une dizaine d'années plus tard il trouve encore plus résistant : un tissu de coton fabriqué à Nîmes depuis la fin du XVI{{e}} siècle, teint en bleu avec de l'indigo. Ce tissu de Nîmes deviendra ''denim'' d'abord prononcé ''denime''. Comme Nîmes n'est pas un port, c'est de Gênes que le tissu prend la mer pour les États-Unis d'où sa seconde appellation de ''tissu bleu de Gênes'' devenu ''blue-jeans'' puis simplement ''jeans''.
*'''sardine'''. Originellement il s'agit d'un poisson pêché en Sardaigne.

Sans dériver de noms de personnes, des noms communs sont issus de noms de personnages de roman ou de noms commerciaux :
* Le ''Roman de Renart'' fut aussi célèbre au Moyen Âge que les aventures d'Harry Potter de nos jours. Il met en scène un goupil (c'est à dire en ancien français un renard) nommé « Renart » (Du francique ''Reginhart'', signifiant « le fort en conseil ») qui berne Ysengrin le loup, Noble le lion ou encore Tibert le chat. Ce récit eut tellement de succès que le nom de son personnage principal se substitua au mot « goupil », issu du latin « vulpes ». En 1973, Walt Disney Pictures s'inspira de cette œuvre pour ''[[w:Robin des Bois (film, 1973)|Robin des Bois]]''. En 1985, ce roman fut adapté assez librement et « modernisé » dans une série d'animation française intitulée ''[[w:Moi Renart|Moi Renart]]''. En 1919, l'écrivain américain [[w:Johnston McCulley|Johnston McCulley]] publie ''[[w:Le Fléau de Capistrano|Le Fléau de Capistrano]]'' un récit dont le héros a choisi de lutter contre l'injustice en cachant sa véritable identité sous le nom espagnol du renard. (« zorro » Pour désigner le justicier homonyme, les hispanophones disent et écrivent « El Zorro ».)
* La '''syphilis''' (une maladie sexuellement transmissible) doit son nom au berger Syphilus des ''Métamorphoses'' d'Ovide, un des auteurs latins les plus lus au Moyen Âge. (Qui connut d'ailleurs une « renaissance ovidienne ».) Le plus original est que cette maladie, importée du Nouveau Monde, n'existait pas à l'époque antique. C'est un traducteur de Vérone, Girolamo Fracastoro, qui ajouta cet épisode à son modèle en 1530, époque où cette maladie faisait aussi peur que le sida aujourd'hui ; car, les Européens n'ayant jamais été au contact de l'agent infectieux, ils étaient nombreux à en mourir. Selon les endroits, on donnait différents surnoms à la syphilis : « mal italien » (pour les Français), « mal français » (pour les Italiens, les Espagnols, les Russes, les Allemands, les Anglais et les Polonais), « mal espagnol » (pour les Portugais et les Néerlandais), « mal anglais » (pour les Écossais), « rash de Canton » / « ulcère chinois » (pour les Japonais).

Nicolas '''Chauvin''', personnage d'un vaudeville de 1831 (''La Cocarde tricolore'') représentait un soldat de l'Empire un peu bébête au patriotisme quelque peu excessif.

* '''éclair''' La fermeture Éclair est une marque de fermeture à glissière. Cette marque s'étant imposée dans toute l'Europe on parle aussi de « chisura lampa » (même formule) en italien.
* '''frigidaire''' est une marque de réfrigérateur (on parlait initialement d&lt;nowiki&gt;'&lt;/nowiki&gt;''armoire réfrigérante'' d'où ''réfrigérateur'')
* '''klaxon''' est le nom du premier fabricant de cet outil.
* '''texto''' est une marque déposée par SFR pour désigner les SMS. (c'est à dire originellement l'élément du ''Short Message Service'' que l'on a francisé en ''Service messager succinct''.)

À Marseille, entre les deux guerres mondiales on n'utilisait pas d'eau de Javel (nom de l'inventeur) mais de la pigeonne, du nom de la marque locale.

On trouve des phénomènes identiques dans toutes les langues. Ainsi, l'italien appelle « montgomery » (Du nom d'un général qui portait ce vêtement avec élégance.) ce que l'anglais nomme « duffle coat ».

== Les abréviations ==
Le fait que certains mots constituent des acronymes reste parfois conscient mais est oublié :
* « apud » [] pour « amine precursor uptake and decarboxylation  » (Il s'agit de cellules de la crête neurale qui migrent chez l'embryon et jouent un rôle important dans le système neuro-endocrinien.)
* « cyborg » [1960] pour « cybernetic organism »
* « CEDEX » [1972] pour « courrier d'entreprise à distribution exceptionnelle »
* « CIDEX » [] pour « courrier individuel à distribution exceptionnelle »
* « glare » [] pour « glass laminate aluminium reinforced epoxy » ()
* « laser » [1960] pour « light amplification by stimulated emission of radiations » ()
* « maser » [1954] pour « microwave amplification by stimulated emission of radiations » ()
* « prion » [1982] pour « proteinaceus infective only particule » (particule infectieuse de nature protéique)
* « quasar » [1965] pour « quasi-stellar radio source » (radiosource quasi-stellaire)
* « radar » [1944] pour « radio detecting and ranging » ()
* « sida » [1981] pour « syndrome d'immunodéficience acquise » 
* « sonar » [1970] pour « sound navigation and ranging » ()
* « snob » est l'abréviation (s. nob.) de « sine nobilitate » (non noble), mention que portaient les collèges anglais habitués à n'accueillir que les enfants de la noblesse lorsqu'ils s'ouvrirent à la bourgeoisie. Que ce fut vrai ou médisance, on disait que les enfants issus de la bourgeoisie affectaient des comportements habituels à la noblesse et cherchaient à se montrer plus nobles que les nobles.
* « S.O.S. » qui a gardé les points séparateurs est (par rétroacronymie) l'abréviation de « Save our souls » (Sauvez nos âmes). Au temps du code Morse, le ''s'' correspondant à trois brèves et le ''o'' à trois longues, l'envoi d'un S.O.S. se traduisait par la répétition sans fin de trois brèves, trois longues et trois brèves.

* « jeep » constitue l'évolution ultime de la prononciation des initiales « G.P. » pour « General Purpose » (tous usages) caractéristique essentielle voulue par les militaires commanditaires de cette voiture. Le mot est à rapprocher de « G.I. » terme affectueux pour désigner les soldats américains dont les effets portent le terme « G.I. » pour « Government Issue » (propriété de l'État).

Comme tous les mots communs, les abréviations donnent des dérivés : radarisé, snober, snobinard, apudlike

== Les onomatopées ==

Ce mot vient du latin ''onomatopoeia'', issu du grec ancien « ὀνοματοποιία ». Il s'agit de mots qui visent à imiter un son ou à suggérer la chose nommée :
* ''boum'', ''paf'', ''crac''
* ''brrr'' qui remonte au XVIII{{e|e}} siècle
* ''gazouillis''
* ''glouglou''
* ''frou frou'' qui vient de ''frifilis'', mot du XVIII{{e|e}} qui évoque le froissement des tissus
* susurrer
* vrombir
* murmure : initialement le mot désignait un bruit assourdissant.
* ''patte'' serait la traduction du bruit fait par le frottement des poils des pattes d'un animal qui court vite
* ''bat'', le bruit que l'on fait en bâillant est à l'origine du latin ''batare'' qui a donné le français « bâiller ».
* ''slogan'' vient du gaélique écossais ''sluagh-gairm'' (« cri de guerre »).

== Les mots forgés de toutes pièces ==
* '''Ordinateur''' : dans la plupart des pays, on parle de ''computer'' (= qui calcule). En France, lorsque la machine commença à être connue, on parlait ''d'ensemble électronique'' ou  encore de ''calculateur électronique'' pour celles qui n'étaient pas dédiées à la gestion mais à des calculs proprement dits. Le principal constructeur de l'époque, pour ne pas dire le seul, IBM souhaita trouver un mot spécifique à sa marque et chargea un linguiste, J. Perret de cette démarche. Ce dernier, en retenant que la machine triait rapidement les données, rechercha un vieux mot de théologie &quot;ordinateur&quot; et le &quot;vendit&quot; à IBM. Il est dit dans la Bible que Dieu est le Grand Ordinateur car Il trie et assemble. La protection de la marque ayant pris fin, le mot est tombé dans le domaine public.

* Récemment les informaticiens ont à nouveau puisé dans le vocabulaire de la théologie en imaginant d'utiliser le mot ''ontologie'' pour désigner la description  sémantique d'un domaine c'est à dire l'ensemble des mots du domaine et des relations qui les unissent.

* '''Bikini''' et '''monokini'''. Le créateur du premier bikini — même si sa culotte était bien plus haute et couvrante que la nôtre — savait que ce vêtement allait faire scandale, d'autant qu'aucun mannequin professionnel n'avait accepté de le présenter au public et qu'il avait dû s'adresser pour ce faire à une danseuse de spectacle nu. Tout le monde avait alors à l'esprit le petit atoll de Bikini où eut lieu la première explosion atomique expérimentale en grandeur réelle ; le créateur retint donc de nom à la fois pour la petite surface du vêtement (comme l'atoll) et l'explosion « atomique » qu'il allait créer. Lorsque la mode d'un bronzage quasi intégral fut lancée, on joua à nouveau sur le mot en appelant « monokini » un maillot composé seulement de la pièce du bas comme si le préfixe ''bi-'' de « bikini » caractérisait l'existence de deux parties (à comparer à la plaisanterie éculée : « Elle a attrapé des microbes et même des crobes entiers. »).

* '''français moyen''' date très exactement d'un discours d'un homme politique de l'entre deux guerres, Édouard Herriot, prononcé le 19 août 1924 et désigne en fait ce que les statisticiens appelleraient plutôt le français modal.

D'autres mots sans avoir été inventés ont eu une introduction dans la langue française liée à un phénomène bien identifié. Ainsi :
* '''rescapé'''. Le mot appartient à un dialecte wallon. En 1906, la France connut une des plus grandes tragédies industrielles, l'explosion de la mine de Courrières qui fit près de 1100 morts. Des mineurs belges étaient venus aider au sauvetage de leurs camarades français bloqués depuis plusieurs jours dans un puits à la suite d'un éboulement. Interrogés par un journaliste, ils parlèrent des « rescapés ». Ce mot fut repris par l'ensemble de la presse et introduit du jour au lendemain dans le français standard qui en généralisa vite le sens.

* '''côté cour''' et '''côté jardin'''. Cette expression des gens de théâtre est une première manière de politiquement correct (sous peine de mort). Sous l'Ancien Régime français, le théâtre royal comportait deux loges, l'une pour le roi et l'autre pour la reine. La mise en scène faisait ainsi naturellement référence au côté de la reine ou au côté du roi. Avec la Révolution française, un tel référentiel pouvait valoir un aller immédiat pour l'échafaud. Une des loges était située du côté d'une cour et l'autre du côté d'un jardin, d'où la substitution.

== Références ==
=== Sources ===
&lt;references/&gt;

=== Bibliographie ===
* ''TLFi, Le Trésor de la langue française informatisé'', 1971–1994 [https://www.cnrtl.fr/definition/ → consulter cet ouvrage]
* {{w|Alain Rey}}, ''Dictionnaire historique de la langue française'', Dictionnaires Le Robert, Paris, 2019

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== Les mots d'origine latine ==

=== Remarques préliminaires sur l'évolution de la prononciation ===

Il convient de souligner l'importance du facteur phonétique dans l'évolution des mots. Par exemple, ''oie'' vient du latin populaire ''auca'' dérivé du latin classique ''avis'' (« oiseau ») que l'on retrouve dans ''aviculture'' (« élevage des oiseaux ») ou ''grippe aviaire'' (« transmise par des oiseaux »).

Pour comprendre les évolutions phonétiques, il faut garder à l'esprit :
* Qu'elles se sont déroulées sur de nombreuses générations. En comptant qu'une génération « vaut » vingt-cinq ans, près de cinquante générations se sont succédé entre le sac de Rome en 410 et ''Le Cid'' de Pierre Corneille, où nous constatons que nous ne prononçons pas exactement comme notre grand-mère (génération G-2).
* Que jusqu'au XX{{e|e}} siècle, il n'existait ni radio ni télévision et donc aucune norme nationale « palpable » en matière de prononciation. C'est la radio qui a facilité une prononciation homogène. Pendant la Première Guerre mondiale, des agrégés d'allemand faits prisonniers furent fusillés pour avoir refusé de servir d'interprètes entre des officiers du sud et du nord de l'Allemagne qui ne se comprenaient pas très bien. Dans les années 1950 et 1960, en Angleterre, il existait des offres d'emploi exigeant des candidats qu'ils eussent l'[[wikt:accent|accent]] de la BBC (Abréviation de ''British Broadcasting Corporation'', signifiant « Corporation britannique de radiodiffusion »), la radio nationale officielle britannique.
* Que la conjonction de ces deux phénomènes fait qu'encore au XVII{{e|e}} et XVIII{{e|e}} siècles, à la Cour, le son [wa] se prononçait [wɛ] (d'où [lə rwɛ] pour « le roi », [lə bwɛ] pour « le bois ») et que l'on ne prononçait aucune lettre finale ([lə sɛr] pour « le cerf », [nuri] pour « nourrir ») alors que le peuple parisien prononçait [rwa], [bwa], [sɛr]. À la Cour comme à la ville, on roulait les ''r''. Encore à l'époque de Victor Hugo, lorsque l'on déclamait : « le bruit sourd des canons roulants vers Austerlitz », l'auditoire entendait un véritable grondement.
* Que jusque dans les années 1950, la sonorisation était rare et imparfaite, ce qui imposait de parler en articulant, en découpant bien les syllabes sans « manger » les finales rétablies en partie au début du XIX{{e}} siècle. Imaginez un cours sans micro dans un amphithéâtre de la Sorbonne, un sermon sans micro à Notre-Dame de Paris, une plaidoirie sans micro dans la grande salle d'audience d'un tribunal aujourd'hui classé monument historique, un discours dans l'hémicycle du Sénat. Des générations de professeurs, de prêtres, d'avocats ou d'hommes politiques ont pourtant dû le faire. 

Pour le commun des mortels, se faire entendre dans une foire où tout le monde criait ne devait pas être facile, pas plus que dans la salle de garde d'un château (Essayez par exemple au Palais des Papes à Avignon un jour d'affluence : elle correspond à la salle d'accueil).

* Qu'il y a toujours eu des modes qui laissent des traces. Au XVI{{e|e}} siècle, il était de bon ton de prononcer [z] le ''r'' compris entre deux voyelles. « Paris » se prononçait [pazi], et « oratoire » [ozatwar] d'où les noms de ville en ''-Ozoir'' ou ''-Osoir'' lorsque la commune comptait une chapelle. Sous Napoléon I&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt;, et peut-être parce que Joséphine de Beauharnais éprouvait des difficultés à les prononcer, il devient à la mode d'élider les ''r'' d'où les ''inc'oyables'' et les ''mé'veilleuses''. Entre les deux, les Précieuses — qui étaient loin d'être nécessairement ridicules — ont fait la chasse à tous les gestes disgracieux ; on leur doit les mousses inventées par leurs cuisiniers à qui elles avaient demandé des plats qui n'exigeassent pas des mouvements musculaires trop marqués lors de la mastication. Cette volonté a sûrement exercé une influence sur leur prononciation.

* Que, plus généralement, les sons des langues indo-européennes s'articulent en un système qui permet de distinguer des labiales, des dentales, des palatales et que le passage de l'une à l'autre est assez simple ce qui explique, par exemple, qu'au ''qu'' latin corresponde ''v'' ou ''f'' dans les langues plus nordiques comme « quatre » (français) / « quattro » (italien) et « vier » (allemand), « voor » (flamand) et « four » (anglais) ou encore « qui » (français) / « chi » (italien) et « who » (anglais) / « wer » (allemand) ; de même, on trouve une correspondance entre le [d] et le [t] (« dent » au Sud contre « tooth » (même sens) au Nord, « dies » (« jour ») au Sud contre « Tag » (même sens) au Nord).

=== Les doublets ===
Au fil du temps, les mots latins ont évolué phonétiquement et sémantiquement en français. Par exemple, ''captivum'' a donné ''chétif'' avec le sens que nous lui connaissons, un captif étant souvent chétif du fait des mauvaises conditions de sa détention.

Lorsque, à partir du XIV{{e|e}} siècle, on se mit à traduire beaucoup de textes latins en français parce que le latin commençait à [[w:langue morte|disparaître]], alors même que le contenu des textes latins conquérait l'intérêt des lecteurs français, on traduisit ''captivum'' par ''captif'' pour désigner le prisonnier en tant que tel. On dit ainsi que ''captif'' et ''chétif'' sont des [[w:Doublet lexical|doublets]]. D'une façon générale, les mots de formation populaire se référent au concret et les mots de formation savante sont plus abstraits ; mais il existe des exceptions.

Exemples :
* ''ancêtre'' (milieu du XI{{e|e}} siècle) ~ ''antécesseur'' (XIV{{e|e}} siècle) ← ''antecessor''
* ''août'' ({{e|e}} siècle) ~ ''auguste'' ({{e|e}} siècle) ← ''augustus''
* ''arracher'' (XII{{e|e}} siècle) ~ ''éradiquer'' (XIV{{e|e}} siècle) ← ''eradicare''
* ''Auvray'' ({{e|e}} siècle) ~ ''Alfred'' ({{e|e}} siècle) ← ''Alv(e)redus''
* ''banquier'' (XII{{e|e}} siècle) ~ ''bancaire'' (XIX{{e|e}} siècle) ← ''bancarius''
* ''benêt'' (XVI{{e|e}} siècle) ~ ''béni'' ({{e|e}} siècle) ← ''benedictus''
* ''béton'' (XII{{e|e}} siècle) ~ ''bitume'' (XII{{e|e}} siècle) ← ''bitumen''
* ''biche'' (XII{{e|e}} siècle) ~ ''bête'' (XII{{e|e}} siècle) ← ''bestia''
* ''Benoît'' ({{e|e}} siècle) ~ ''Bénédict'' ({{e|e}} siècle) ← ''Benedictus''
* ''carré'' (XII{{e|e}} siècle) ~ ''quadrat'' (XVII{{e|e}} siècle, via l'[[italien]] ''quadrato'') ← ''quadratum''
* ''chaîne'' (XII{{e|e}} siècle) ~ ''catène'' (XVIII{{e|e}} siècle) ← ''catena''
* ''chaire'' (XII{{e|e}} siècle) ~ ''cathèdre'' (XIII{{e|e}} siècle) ← ''cathedra'' — N.B. : On a en réalité affaire à un triplet lexical, puisque le mot ''chaise'' n'est lui-même qu'une variante dialectale de ''chaire''.
* ''chance'' (XII{{e}} siècle) ~ ''cadence'' (XVI{{e}} siècle, via l'[[italien]] ''cadenza'') ← ''cadentia''
* ''chanoine'' (XII{{e|e}} siècle) ~ ''canonique'' (XIII{{e|e}} siècle) ← ''canonicus''
* ''chape'' (XI{{e|e}} siècle) ~ ''cape'' (XVII{{e|e}} siècle) ← ''cappa''
* ''chasser'' (fin du XII{{e}} siècle) ~ ''capter'' (XV{{e|e}} siècle) ← ''captare'' — N.B. : ''Captare'' s'est vraisemblablement altéré en ''captiare'' très tôt en bas-latin avant de donner ''chacier'' en ancien français.
* ''chaume'' (fin du XII{{e|e}} siècle) ~ ''calame'' (XVI{{e|e}} siècle) ← ''calamus''
* ''cheptel'' (XII{{e|e}} siècle) ~ ''capital'' (XIII{{e|e}} siècle) ← ''capitalis''
* ''chétif'' (XI{{e|e}} siècle) ~ ''captif'' (XV{{e|e}} siècle) ← ''captivus''
* ''chose'' (IV{{e}} siècle) ~ ''cause'' (milieu du XII{{e|e}} siècle) ← ''causa''
* ''colère'' (XIII{{e}} siècle) ~ ''choléra'' (XVI{{e|e}} siècle) ← ''cholera'' — N.B. ''Cholera'' est devenu ''colera'' en bas latin.
* ''concierge'' (XII{{e|e}} siècle) ~ ''conserve'' (XIV{{e|e}} siècle) ← ''conservus''
* ''confiance'' (XIII{{e}} siècle) ~ ''confidence'' (XIV{{e|e}} siècle) ← ''confidentia''
* ''copain'' (XVIII{{e|e}} siècle) ~ ''compagnon'' (XII{{e|e}} siècle) ← ''companio''
* ''couple'' (XII{{e}} siècle) ~ ''copule'' (XV{{e|e}} siècle) ← ''copula''
* ''cré{{--}}tin'' (XVIII{{e}} siècle) ~ ''chrétien'' (IX{{e|e}} siècle) ← ''christianus''
* ''déchéance'' (XII{{e}} siècle) ~ ''décadence'' (XVI{{e|e}} siècle) ← ''decadentia''
* ''dépit'' (XII{{e|e}} siècle) ~ ''despect'' ({{e|e}} siècle) ← ''despectus''
* ''dévoué'' ({{e|e}} siècle) ~ ''dévot'' (fin du XII{{e|e}} siècle) ← ''devotus''
* ''employer'' (début du XII{{e}} siècle) ~ ''impliquer'' (XIV{{e|e}} siècle) ← ''implicare''
* ''enchantement'' (XII{{e}} siècle) ~ ''incantation'' (XIII{{e}} siècle) ← ''incantatio''
* ''enchanteur'' / ''enchanteresse'' (XII{{e|e}} siècle) ~ ''incantateur'' / ''incantatrice'' (XV{{e|e}} siècle) ← ''incantator'' / ''incantatrix''
* ''entier (XI{{e|e}} siècle) ~ ''intègre'' ({{e|e}} siècle) ← ''integer''
* ''esclandre'' ({{e|e}} siècle) ~ ''scandale'' ({{e|e}} siècle) ← ''scandalum''
* ''exploiter'' (début du XII{{e|e}} siècle) ~ ''expliciter'' (XIX{{e|e}} siècle) ← ''explicitare'' — N.B. : L'ancien français ''espleitier'' / ''esploitier'' a été refait ''exploiter'' au XVI{{e|e}} siècle.
* ''écluse'' (XI{{e}} siècle) ~ ''exclue'' (XIII{{e|e}} siècle) ← ''exclusa'', participe passé féminin du verbe ''excludere''
* ''écolier'' (XIII{{e}} siècle) ~ ''scolaire'' (XIX{{e|e}} siècle) ← ''scholaris''
* ''écouter'' (X{{e}} siècle) ~ ''ausculter'' (XVI{{e|e}} siècle) ← ''auscultare''
* ''écrit'' (XII{{e}} siècle) ~ ''script'' (XX{{e|e}} siècle) ← ''scriptum''
* ''étroit'' (XII{{e|e}} siècle) ~ ''strict'' (XVIII{{e|e}} siècle) ← ''strictus''
* ''éveux'' ({{e|e}} siècle) ~ ''aqueux'' (XVI{{e|e}} siècle) ← ''aquosus''
* ''évêché'' (X{{e|e}} siècle) ~ ''épiscopat'' (XVII{{e}} siècle) ← ''episcopatus''
* ''évier'' (XIII{{e|e}} siècle) ~ ''aquarium'' (XIX{{e}} siècle) ← ''aquarium''
* ''façon'' (XII{{e|e}} siècle) ~ ''faction'' (XIV{{e|e}} siècle) ← ''factio''
* ''faix'' (XII{{e|e}} siècle) ~ ''fasce'' (1{{e|re}} moitié du XII{{e|e}} siècle) ← ''fascis''
* ''fantôme'' (XII{{e|e}} siècle) ~ ''fantasme'' (XIII{{e|e}} siècle) ← ''phantasma''
* ''ferme'' (XII{{e|e}} siècle) ~ ''firme'' (XIX{{e|e}} siècle) ← ''firma''
* ''féal'' (XII{{e|e}} siècle) ~ ''fidèle'' (X{{e|e}} siècle, réintroduit au XVI{{e}} siècle) ← ''fidelis''
* ''fétiche'' (XVII{{e|e}} siècle) ~ ''factice'' (XVI{{e|e}} siècle) ← ''facticius''
* ''forge'' (XII{{e|e}} siècle) ~ ''fabrique'' (XIV{{e}} siècle) ← ''fabrica''
* ''frêle'' (XI{{e|e}} siècle) ~ ''fragile'' (XIV{{e}} siècle) ← ''fragilis''
* ''fuir'' (IX{{e|e}} siècle) ~ ''fuguer'' (XX{{e}} siècle) ← ''fugere'' — N.B. : ''Fugere'' a d'abord changé de conjugaison en bas latin (''fugire'') avant d'aboutir à « fuir ».
* ''gaine'' (XIII{{e|e}} siècle) ~ ''vagin'' (XVII{{e|e}} siècle) ← ''vagina'' — N.B. : ''Vagina'' donnera aussi, via l'espagnol ''vainilla'', le terme « vanille ». Ce dernier désigne à l'origine la ''petite'' gousse du vanillier, d'où le suffixe diminutif ''-illa'' (''-ille'').
* ''grêle'' (XII{{e|e}} siècle) ~ ''gracile'' (XVI{{e|e}} siècle) ← ''gracilis''
* ''Geoffroy'' ({{e|e}} siècle) ~ ''Godefroy'' ({{e|e}} siècle) ← ''Godefridus''
* ''Gilles'' ({{e|e}} siècle) ~ ''Égide'' ({{e|e}} siècle) ← ''Aegidius''
* ''hôtel'' (XI{{e|e}} siècle) ~ ''hôpital'' (XII{{e|e}} siècle) ← ''hospitalia''
* ''Havoise'' ({{e}} siècle) ~ ''Edwige'' ({{e}} siècle) ← ''Hedvigis''
* ''luette'' (fin du XIII{{e|e}} siècle) ~ ''uvule'' (XIII{{e|e}} siècle) ← ''uvula''
* ''Louis'' ({{e|e}} siècle) ~ ''Ludovic'' ({{e}} siècle) ← ''Ludovicus''
* ''mâcher'' (XII{{e|e}} siècle) ~ ''mastiquer'' (XVI{{e|e}} siècle) ← ''masticare''
* ''ménestrel'' (XI{{e|e}} siècle) ~ ''ministériel'' (XVI{{e|e}} siècle) ← ''ministerialis''
* ''métier'' (XI{{e|e}} siècle) ~ ''ministère'' (XIII{{e|e}} siècle) ← ''ministerium''
* ''moutier'' (XI{{e|e}} siècle) ~ ''monastère'' (XIII{{e|e}} siècle) ← ''monasterium''
* ''moyen'' (XIII{{e|e}} siècle) ~ ''médian'' (XVI{{e}} siècle) ← ''medianus''
* ''mûr'' (XII{{e|e}} siècle) ~ ''mature'' (XX{{e|e}} siècle, anglicisme) ← ''maturus''
* ''Maud'' ({{e|e}} siècle) ~ ''Mathilde'' ({{e|e}} siècle) ← ''Mathilda''
* ''nourrisson'' (XII{{e|e}} siècle) ~ ''nutrition'' (XIV{{e|e}} siècle) ← ''nutritio''
* ''Noël'' (XII{{e|e}} siècle) ~ ''natal'' (XVI{{e|e}} siècle) ← ''natalis''
* ''œuvre'' (XII{{e|e}} siècle) ~ ''opéra'' (XVII{{e|e}} siècle, via l'[[italien]] ''opera'', de même sens) ← ''opera'', pluriel d&lt;nowiki&gt;'&lt;/nowiki&gt;''opus''
* ''orfraie'' (XIV{{e|e}} siècle) ~ ''ossifrage'' (XVI{{e|e}} siècle) ← ''ossifraga''
* ''oreiller'' (XII{{e|e}} siècle) ~ ''auriculaire'' (XVI{{e|e}} siècle) ← ''auricularis''
* ''orteil'' (XII{{e|e}} siècle) ~ ''article'' (XII{{e|e}} siècle) ← ''articulus''
* ''paladin'' (XVI{{e|e}} siècle, via l'italien ''paladino'', XIII{{e}} siècle) ~ ''palatin'' (XIII{{e|e}} siècle) ← ''palatinus''
* ''parvis'' (XIII{{e|e}} siècle) ~ ''paradis'' (fin du X{{e|e}} siècle) ← ''paradisus''
* ''parole'' (XI{{e|e}} siècle) ~ ''parabole'' (XIII{{e|e}} siècle) ← ''parabola''
* ''pèlerin'' (XI{{e|e}} siècle) ~ ''pérégrin'' (1&lt;sup&gt;re&lt;/sup&gt; moitié du XII{{e|e}} siècle) ← ''peregrinus''
* ''pitié'' (XI{{e|e}} siècle) ~ ''piété'' (fin du X{{e|e}} siècle) ← ''pietas''
* ''poison'' (XII{{e|e}} siècle) ~ ''potion'' (XVI{{e|e}} siècle) ← ''potio''
* ''Péronnelle'' ({{e|e}} siècle) ~ ''Pétronille'' ({{e|e}} siècle) ← '' Petronilla''
* ''raison'' (X{{e}} siècle) ~ ''ration'' (XIII{{e|e}} siècle) ← ''ratio''
* ''renard'' ({{e|e}} siècle) ~ ''Renart'' ({{e|e}} siècle) ← ''Renartus''
* ''répit'' (XII{{e|e}} siècle) ~ ''respect'' (XIII{{e|e}} siècle) ← ''respectus''
* ''rouer'' (XII{{e|e}} siècle) ~ ''rôder'' (XV{{e|e}} siècle via l'ancien occitan ''rodar'', « vagabonder ») ← ''rotare''
* ''royal'' (IX{{e}} siècle) ~ ''régalien'' (XVII{{e|e}} siècle) ← ''regalis''
* ''Renaud'' ({{e|e}} siècle) ~ ''Réginald'' ({{e|e}} siècle) ← ''Reginaldus''
* ''sanglier'' (fin du XI{{e|e}} siècle) ~ ''singulier'' (fin du XIII{{e|e}} siècle) ← ''singularis'' — N.B. :  ''Sanglier'' est en réalité tiré de l'expression ''porc sanglier'', c'est-à-dire ''cochon solitaire''.
* ''sauveur'' ({{e|e}} siècle) ~ ''sauveteur'' ({{e|e}} siècle) ← ''salvator''
* ''seing'' (XII{{e|e}} siècle) ~ ''signe'' (2&lt;sup&gt;de&lt;/sup&gt; moitié du X{{e|e}} siècle) ← ''signum''
* ''serment'' (IX{{e|e}} siècle) ~ ''sacrement'' (XII{{e|e}} siècle) ← ''sacramentum''
* ''taverne'' (XII{{e|e}} siècle) ~ ''tabernacle'' (XIV{{e|e}} siècle) ← ''taberna'' — N.B. : ''Tabernacle'' vient de ''tabernaculum'', diminutif de ''taberna''.
* ''tâter'' (XII{{e|e}} siècle) ~ ''taxer'' (XIII{{e|e}} siècle) ← ''taxare''
* ''thiois'' ({{e|e}} siècle) ~ ''tudesque'' (XII{{e|e}} siècle) ← ''theodiscus''
* ''tôle'' ({{e|e}} siècle) ~ ''table'' ({{e|e}} siècle) ← ''tabula''
* ''traiteur'' (XVII{{e|e}} siècle) ~ ''tracteur'' (XVIII{{e}} siècle) ← ''tractor''
* ''Thierry'' ({{e|e}} siècle) ~ ''Théodoric'' ({{e|e}} siècle) ← ''Theodoricus''
* ''Tiphaine'' ({{e|e}} siècle) ~ ''Théophanie'' ({{e|e}} siècle) ← ''Theophania''
* ''veiller'' (XII{{e|e}} siècle) ~ ''vigiler'' ({{e|e}} siècle) ← ''vigilare''
* ''verge'' (XII{{e|e}} siècle) ~ ''vergue'' (XII{{e|e}} siècle) ← ''virga''
* ''vergogne'' (XIII{{e|e}} siècle) ~ ''vérécondie'' (XVI{{e|e}} siècle) ← ''verecundia''
* ''vouivre'' (XII{{e|e}} siècle) ~ ''vipère'' (XIII{{e|e}} siècle) ← ''vipera''

Il existe également des doublets constitués de deux termes populaires. C'est par exemple le cas de :
* ''chaînon'' (XII{{e|e}} siècle) et ''chignon'' (fin du XII{{e|e}} siècle) qui proviennent chacun du bas latin ''catenion''.
* ''chaire'' (début du XII{{e|e}} siècle) et ''chaise'' (début du XV{{e|e}} siècle) qui proviennent chacun du latin ''cathedra'' 
* ''gourde'' (XIII{{e|e}} siècle) et ''courge'' (XIV{{e|e}} siècle) qui proviennent chacun du latin classique ''cucurbita''.

'''Note :''' Les datations correspondent à la première attestation écrite d'un mot, mais ne sont pas forcément représentatives de sa première utilisation orale.

=== Les fusions ===
On notera aussi les fusions de mots : 
* '''affaire''' (initialement ce qu'il y a ''à faire'')
* '''alarme''' (initialement ''all'arme'', « aux armes »). L'italien actuel a conservé la forme originelle ''all'arme''.
* '''antan''' (initialement *''ant(e) anu'' en latin vulgaire, du syntagme latin ''ante annum'' « l'année dernière »).
* '''aujourd'hui''' (composé de ''au jour de'' et de ''hui'', du latin ''hodie'', (« en ce jour »), il signifie donc « au jour présent »). De ce fait, ''au jour d'aujourd'hui'' est un splendide pléonasme.
* '''bonhomme''' (initialement un ''bon homme'', c'est-à-dire un brave homme, un homme cultivé).
* '''gendarmes''' (initialement ''gens d'armes'').
* '''lingot''' (composé de l'article défini français ''le'' et du mot anglais ''ingot'')
* '''malgré''' (initialement ''mal gré'', « de mauvais gré »)
* '''naguère''' (initialement il ''n'y a guère'' de temps)
* '''parce que''' (initialement ''par ce'' que ce mot, etc.)
* '''voilà''' (initialement ''vois là'')

== Les emprunts ==
'''Note :''' les astérisques (*) indiquent une forme reconstruite, c'est-à-dire non attestée à l'écrit mais supposée par plusieurs autres formes. C'est par exemple le cas de l'{{w|indo-européen commun}}, qui est une langue hypothétique (puisque non attestée à l'écrit) dont découlent, entres autres, les langues indo-iraniennes, les langues celtiques, germaniques, helléniques, italiques, etc. 

=== Les emprunts au francique ===
Les mercenaires et travailleurs ruraux avaient déjà introduit quelques termes dès les années 250 après J.-C.&lt;ref name=&quot;Larousse&quot;&gt;&lt;/ref&gt;, mais ce sont surtout les {{w|Invasions barbares|Grandes invasions}} qui ont introduit le vocabulaire de la guerre et du droit salique&lt;ref name=&quot;Larousse&quot;&gt;&lt;/ref&gt;, très différent du droit romain. Par la suite, les vainqueurs ont adopté la langue de l'ex-Empire romain comme les Romains avaient eux-mêmes adopté la civilisation des Grecs, qu'ils avaient dominés militairement (L'élite romaine parlait le grec ancien ; lorsqu'il fut poignardé, Jules César s'exprima en grec ancien en reconnaissant Brutus parmi les conspirateurs ; il ne dit pas : « ''Tu quoque mi fili.'' » mais « Καὶ σὺ τέκνον. » (Kaì sù téknon.) Parmi les mots d'origine francique, citons :
* '''bordel''' qui désignait une grosse planche. Comment est-on passé du sens de « planche » à celui de « désordre » ? À partir de ces planches, on pouvait construire de pauvres maisons rudimentaires et ce fut le premier sens (le composé à partir du composant). Cette cabane de planches en « bord'eau » ou « bord'elle » (la mer, la rivière) servant de « guinguette », etc.  

:: Avec le temps, ces maisons rudimentaires n'offrirent plus le confort minimal que les gens attendaient d'un foyer et seules les plus pauvres continuaient à abriter des prostituées. Le mot se spécialisa dans le sens de « maison de passe », « maison de tolérance », et autres locutions employées jusqu'alors.

:: En latin, la maison de prostitution est appelée « lupanar ». Ce nom dérive du mot « lupa » (louve) qui désigne métaphoriquement une prostituée. L'image de la « louve » prenant soin de Romulus et Rémus ne doit donc pas être interprétée selon le sens premier du terme.

:: Les clients de ces établissements se livrant à des débordements en tout genre, le mot en vint à désigner l'état de désordre qui en résultait.

:: En anglais, la formule correspondante est « what a mess ». « mess » vient du latin « mensa », désignant la table. Le mess des officiers est l'endroit où il y a des tables pour manger. La fraternité militaire donnant parfois lieu à des excès de beuverie, le mess se trouve alors dans un état qui sert de référence en matière de désordre. Le même mot latin donne aussi « manséatique » qui désigne des montagnes aplanies comme une table (par exemple le massif ibérique).

:: En italien, la formule correspondante est « che casino » où ''casino'' a le même sens qu'en français, mais y est perçu comme un lieu de débordement et surtout très bruyant.

* '''chambellan''' de *''kamerling''.
* '''danser''' de *''dintjan'', ou de *''dansôn'' (« tirer », « traîner »).
* '''échanson''' de *''skankjo'' (même sens).
* '''épier''' de *''spehôn'' (« observer avec attention »).
* '''fauteuil''' de *''faldistôl'' (« chaise pliable »).
* '''frapper''', peut-être de *''hrappan'' (« arracher »).
* '''garou''' de *''werwolf'' (« homme-loup ») (« garou » signifiant déjà « homme-loup », il était erroné d'ajouter « loup » à ce terme).
* '''gâcher''' de *''waskôn'' (« laver »).
* '''gâteau''' de *''wastil'' (« nourriture »).
* '''grès''' de *''greot'' (« gravier, sable »).
* '''grêler''' de *''grisilôn'', de même sens.
* '''gris''' de *''grîs'', (néerlandais : ''grijs'') de même sens ; de ce mot dérive ''grisette'', « étoffe commune de teinte grise » puis par métonymie « jeune fille d'humble condition ».
* '''guerre''' : du mot francique *''werra'' (« querelle ») qui donne ''war'' et ''Wehr'' respectivement en anglais et allemand modernes. En latin, la guerre se disait ''bellum'' que l'on retrouve dans ''belliqueux''. ''Beau'' se dit ''pulcher'' en latin classique, mais une forme populaire, ''bellus'', se développa, générant une confusion entre ''bellus'' (« beau ») et ''bellum'' (« guerre ») qui favorisa l'adoption du mot francique au IX{{e}} siècle.
* '''Guillaume''' de *''Willahelm'' (« volonté de protection »).
* '''haïr''' de *''hatjan'', que l'on retrouve en néerlandais en tant que ''haten'', dans l'anglais ''to hate'', l'allemand ''hassen''. Le terme francique est issu d'une racine indo-européenne *''keh&lt;sub&gt;₂&lt;/sub&gt;d-''&lt;ref&gt;Guus Kroonen, ''Etymological Dictionary of Proto-Germanic''&lt;/ref&gt;.
* '''hargne''' de *''harmjam'' (« insulter »).
* '''haubert''' (cotte de maille) de *''halsberg'' (proprement « ce qui protège le cou »), composé de *''hals'' (« cou ») et *''bergan'' (« mettre en sûreté, protéger »). En allemand moderne, on retrouve ''Hals'' pour le cou, mais non en anglais où ''neck'' vient d'un radical *''hnakkô''. En néerlandais, on les retrouve tous les deux : ''hals'' et ''nek''.
* '''heaume''' de *''helm'' (« casque ») d'où l'allemand ''Helm'', l'anglais ''helm''.
* '''honnir''' de *''haunjan'' (« insulter »). On le retrouve dans ''honen'' (« bafouer ») en néerlandais, ou dans ''höhnen'' (« bafouer ») en allemand.
* '''honte''' de *''haunita''. Le latin disait ''pudor'', qui a donné le français ''pudeur''. Cf. ''honnir''.
* '''houx''' de *''hulis'' (« houx »). Ce radical a donné ''hulis'', ''huls'' en ancien haut allemand, ''huls'' en moyen néerlandais, ''hulst'' en néerlandais.
* '''laid''' de *''laiþ'' (« désagréable », « contrariant », « rebutant »). En néerlandais, on retrouve ''leed'' pour « désagréable », mais aussi ''lelijk'' pour « laid ». On le retrouve aussi dans l'allemand ''leid'' et ''Leid''
* '''loge''' de *''laubja'' (« hutte de feuillage »), qui donne l'allemand ''Laube''.
* '''maçon''' de *''makjo'', lui-même dérivé de *''makôn'' (« faire »). On retrouve en néerlandais le verbe ''maken'' (« faire », « construire »), en anglais ''to make'', en allemand ''machen''.
* '''malle''' de *''malha'' (« sacoche »), d'où le moyen néerlandais ''male'' (« sac de voyage », « coffre »), le néerlandais ''maal'' (« sac », « sacoche », « coffre »).
* '''marais''' de *''marisk''. En moyen néerlandais, on retrouve ''mersch'', ''maersch'' (« pré », « terrain marrécageux »). En néerlandais moderne, ''moeras'' (« marais, marécage »). L'anglais ''marsh'' et l'allemand ''Marsch'' sont également issus de la racine.
* '''maréchal''' de *''marhskalk'' (« [[wikt:palefrenier|palefrenier]] »).
* '''moue''' de *''mauwa'' (même sens), source du moyen néerlandais ''mouwe''.
* '''rang''' de *''hring'' (« anneau », « cercle »). De ce terme sont issus ''ring'' (« anneau ») en néerlandais et en anglais, ''Ring'' en allemand.
* '''riche''' de *''riki'' (« puissant »), que l'on retrouve dans le vieil anglais ''rīce'' (d'où l'anglais moderne ''rich''), le moyen néerlandais ''rijcke'', ''rijck'' (d'où le néerlandais moderne ''rijk''), l'ancien haut allemand ''rîchi'', ''rîche'' (d'où l'allemand ''reich''), etc. En ancien français, le mot a d'abord signifié « puissant » avant d'acquérir le sens moderne.
* '''renard''' de *''Reginhart'' ; a remplacé « goupil » dans le vocabulaire courant suite au succès du ''{{w|Roman de Renart}}''.
* '''sénéchal''' de *''siniskalk'' (« serviteur doyen »).
* '''trêve''' de *''treuwa'' (« contrat », « convention »). En néerlandais, on le retrouve dans ''trouw'' (« fidèle »), ''Treue'' en allemand (« fidélité »).
* '''trotter''' de *''trottôn'' (« courir »).

=== Les emprunts au moyen néerlandais ===
Le moyen néerlandais a beaucoup apporté à la langue française, notamment — mais non exclusivement — dans le vocabulaire maritime&lt;ref name=&quot;Larousse&quot;&gt;&lt;/ref&gt;. Cependant, celui-ci a diminué au XVII{{e}} siècle, laissant place à l'anglais&lt;ref name=&quot;Larousse&quot;&gt;&lt;/ref&gt;. Parmi les mots empruntés, citons :
* '''bâbord''' de ''bakboord'', composé de ''bak'' (« dos ») et de ''boord'' (« bord »). À l'époque, le gouvernail était constitué d'un {{w|aviron de gouverne}} fixé à l'arrière droit (tribord), le barreur trouvait ainsi le dos au côté gauche (bâbord)&lt;ref name=&quot;Robert&quot;&gt;{{w|Alain Rey}}, ''Dictionnaire historique de la langue française'', Dictionnaires Le Robert, Paris, 1992&lt;/ref&gt;. '''Tribord''' vient, lui, de ''stierboord'', une variante de ''stuurboord'' composé de ''stuur'' (« gouvernail »), et de ''boord'', littéralement « côté du gouvernail », puisqu'il se trouvait du côté droit&lt;ref&gt;« tribord », dans ''TLFi, Le Trésor de la langue française informatisé'', 1971–1994 [https://www.cnrtl.fr/etymologie/tribord → consulter cet ouvrage]&lt;/ref&gt;.
* '''bière''' est soit emprunté au moyen haut allemand ''bier'', soit au moyen néerlandais ''bier''. 
* '''botte''' (Au sens de « assemblage de plusieurs choses liées ensemble ») vient de ''bote'' (« touffe de lin »), rattaché au verbe ''boten'' (« frapper »).
* '''bouquin''' d'un diminutif de ''boec'' (« livre »), apparenté à ''book'' en anglais et ''Buch'' en allemand. Compte tenu du fait que les formes attestées (''boecskijn'', ''boekelkij'') rendent difficilement compte du français ''bouquin'', on a supposé une forme non attestée *''boeckijn''.
* '''brique''' de ''bricke'', ''brike''. À l'origine, il y a la racine francique *''brëkan'' (« casser », « briser ») que l'on retrouve dans le néerlandais ''breken'' (« casser »), l'anglais ''to break'' (« casser »), l'allemand ''brechen'' (« briser »). '''Brioche''' est dérivé de ''brier'' (forme normande de ''broyer'', au sens de « pétrir la pâte ») avec le suffixe ''-oche''. '''Broyer''' est issu du francique *''brëkan'', et signifie à l'origine « réduire en morceaux, en poudre, en pâte ». Au XIII{{e}} siècle, ''brique'' avait en français le sens de « petit morceau », « miette »&lt;ref name=&quot;Robert&quot;&gt;&lt;/ref&gt; ; passé le XVI{{e|e}} siècle, ce sens a disparu, sauf dans une expression populaire qui a survécu jusqu'à la fin du XIX{{e}} siècle : « bouffer des briques » (« n'avoir à manger que des miettes, c'est-à-dire rien »), où l'idée de dureté et de caractère indigeste de l'aliment comparable à de la brique de construction s'ajoute à la notion de pénurie. La '''brique à pont''', c'est une pierre de grès fin utilisée par les marins pour '''briquer''' leur navire, d'où le sens familier de ''briquer'' « frotter dynamiquement, nettoyer »&lt;ref name=&quot;Robert&quot;&gt;&lt;/ref&gt;.
* '''digue''' de ''dijc'', d'où la forme moderne ''dijk''.
* '''drogue''' (« substance psychotrope ») vient peut-être de ''droge'' (« produits séchés », « drogue »), substantivation de ''droge vate'' (« tonneaux secs »).
* '''étape''' de ''stapel'' (« entrepôt »).
* '''mannequin''' (« figurine ») de ''mannekijn'' (« petit homme »). Le sens de « panier » est emprunté au moyen néerlandais ''mannekijn'' (« petit panier »), diminutif de ''manne'' (« panier »).
* '''pamplemousse''' est emprunté au néerlandais moderne ''pompelmoes'' (avec ''moes'' prononcé \mus\), dont l'étymologie est discutée : soit composé de ''pompel'' (« gros ») (ou de ''pompoen'', « citrouille ») et de ''limoes'' (« citron »), soit lui-même emprunté au tamoul பம்பரமாசு (pamparamāsu) (« [[wikt:bigarade|bigarade]] »). À l'origine, ''pamplemousse'' désigne ''{{w|Citrus maxima}}'', mais s'applique aujourd'hui souvent à ''{{w|Citrus paradisi}}''.
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ '''Appellations des deux fruits en France et dans quelques pays francophones'''
!
! {{nobr|''Citrus maxima''}}
! {{nobr|''Citrus'' ''paradisi''}}
|-
! colspan=&quot;3&quot; | français, usage en botanique et horticulture
|-
!français
|'''pamplemousse'''
|pomélo
|--
! colspan=&quot;3&quot; | français, usage commercial et courant
|-
!
|[[image:Citrus grandis - Honey White.jpg|70px]]
|[[image:Citrus paradisi (Grapefruit, pink) white bg.jpg|70px]]
|-
!Belgique
|pomelo
|'''pamplemousse'''
|-
!Canada
|'''pamplemousse'''
|pomélo &lt;small&gt;(ou pomelo)&lt;/small&gt;, grapefruit &lt;small&gt;(anglicisme)&lt;/small&gt; ou '''pamplemousse'''
|-
!France
|'''pamplemousse'''
|'''pamplemousse''', pomélo &lt;small&gt;''(Moins courant)''&lt;/small&gt;
|-
!Suisse
|pomélo
|grapefruit ou '''pamplemousse'''
|-
|}

Le néerlandais a également fourni des mots à d'autres langues. Par exemple, dans le cas de l'anglais :
* '''cookie''' vient de ''koekje'', diminutif de ''koek'' (« gâteau »)&lt;ref&gt;« cookie », dans ''Merriam-Webster'', 2022 [https://www.merriam-webster.com/dictionary/cookie#related-phrases → consulter cet ouvrage]&lt;/ref&gt;. 
* '''Santa Claus''' (Le surnom états-unien du [[wikt:père Noël|père Noël]].) vient de ''Sinterklaas'' (désignant [[w:Nicolas de Myre|saint Nicolas]]), lui-même altération de ''Sint Nikolaas''&lt;ref&gt;« Santa Claus », dans ''Merriam-Webster'', 2022 [https://www.merriam-webster.com/dictionary/Santa%20Claus → consulter cet ouvrage]&lt;/ref&gt;.

=== Les emprunts à l'arabe ===
Même après l'effondrement de l'Empire romain, l'Occident n'a jamais cessé d'entretenir des relations entre, d'une part, Byzance et, d'autre part, les pays d'Afrique du Nord et du Proche-Orient, essentiellement à partir de la Provence, du Languedoc et de l'Italie&lt;ref name=&quot;Larousse&quot;&gt;&lt;/ref&gt;. Les Croisades ont accentué ces contacts&lt;ref name=&quot;Larousse&quot;&gt;&lt;/ref&gt;. Inversement, la conquête de la péninsule Ibérique par les Arabes n'a pas laissé de traces majeures dans le reste de l'Europe, le franchissement des Pyrénées étant, somme toute, plus difficile que la traversée de la Méditerranée. Parmi les emprunts à l'arabe, citons :
* '''adobe''' : de ألطوب (ʾāṭ-ṭwb) (« brique séchée au Soleil »). Le terme est arrivé en français au XIX{{e|e}} siècle, par le biais de l'espagnol, attesté dès le XII{{e}} siècle. [1868]
* '''alambic''' : de الإنبيق (āl-anbyq) formé de ال (āl) (« le », « la ») et du grec ancien ἄμϐιξ (ámbix) (« vase »), de même sens, peut-être via le latin médiéval des alchimistes. {{w|Albert Dauzat|Dauzat}} a proposé un intermédiaire espagnol ''alambique'', mais celui-ci est impossible car l'espagnol n'est attesté que depuis 1444. Le mot arabe a aussi donné l'italien ''lambisco'', le portugais ''alambique''. [1265]
* '''alcali''' : de القلي (āl-qily) (« soude (plante) »), via le latin médiéval ''alkali''. [1363]
* '''alchimie''' : de الكيمياء (āl-kymyāʾ) (« science des quantités »). Le terme est arrivé en français au XIII{{e|e}} siècle, par l'intermédiaire du [[latin]] médiéval ''alchimia''. L'arabe viendrait du grec ancien χυμεία (khumeía) (« mélange »), lui-même de χυμός (khumós) (« jus »), ou d'un mot copte signifiant « noir », désignant aussi l'Égypte. Les mots ''alchimie'' et ''chimie'' sont restés synonymes jusqu'à l'apparition de la [[chimie]] moderne à la fin du XVIII{{e|e}} siècle &lt;ref name=&quot;Robert&quot;&gt;&lt;/ref&gt;. [1275]
* '''alcool''' : de الكحل (āl-kuḥl) (« distillat », « poudre »), par l'espagnol ''alcohol''. [1586]
* '''alcôve''' : de القبة (āl-qubba) (« petite pièce »), par le biais de l'espagnol ''alcoba''. [1646]
* '''algèbre''' : de الجبر (āl-ǧabr) (« réduction » au sens où nous disons que le problème se ramène / se réduit à un système à deux équations), via le latin médiéval ''algebra''. [fin du XIV{{e}} siècle]
* '''algorithme''' : du nom du mathématicien perse [[w:Al-Khwârizmî|Al-Khwârizmî]], par l'intermédiaire de l'ancien espagnol ''algorismo''. La forme actuelle est calquée sur le latin médiéval ''algorithmus'', altération influencé par ''arithmetica''. [1230]
* '''amiral''' : de أميرالعلي (ʾāmyr āl-ʿalī) (« grand chef »). [1100] 
* '''avarie''' : de عَوَارِيَّة (ʿawāriyya), dérivé de عور (ʿawar) (« défaut »), par le génois ''avaria''. [1200]
* '''aya''' : de آية (ʾāya) (« verset »)
* '''azur''' : de لازورد (lāzaward) (« lapis-lazuli ») [1080]
* '''Abdallah''' : de عبد الله (ʿAbdullāh) (« serviteur de Dieu »)
* '''Abdellatif''' : de عبد اللطيف‎ (ʿAbdullāṭyf) (« serviteur de l'Aimable »)
* '''Aladin''' : de علاء الدين (ʿAlāʾad-dyn) (« noblesse de foi »)
* '''Allah''' : de الله (ʾAllāh) (« Dieu »)
* '''Al-Qaïda''' : de القاعدة (āl-Qāʿyda) (« la Base ») [XX{{e|e}} siècle]
* '''brêle''' : de بغل (beġel) (« mulet »)
* '''cafard''' : de « كافر » (kāfir) (« hypocrite », « faux dévot »)
* '''café''' : de « قهوة » (qahwah)
* '''calife''' : de « خليفة » (ḫalyfah) (« successeur [du Prophète] »)
* '''camphre''' : de « كافور » (kāfwr) issu du sanskrit « कर्पूरम् » (karpūram).
* '''candi''' : initialement dit ''condi'', par l'intermédiaire de l'italien, emprunté à l'arabe « قندي » (qandy) (« confit ») [1256]
* '''chahada''' : de « شهادة » (šahādat) (« témoignage de foi »)
* '''charia''' : de « شريعة » (šaryʿah) (« chemin pour respecter la loi [de Dieu] »)
* '''cheh''' : de « صح » (ṣaḥ) («  »)
* '''cheikh''' : de « شيخ » (šayḫ) (« maître », « vieillard », « sage »)
* '''cheykha''' : de « شيخة » (šayḫa) (« »)
* '''chéchia''' : de « شاشية » (šašyah) («  »)
* '''chérif''' : de « شريف » (šaryf) («  »)
* '''Coran''' : de « القران » (āl-Qurān) (« la Récitation »)
* '''dawa''' : de « دعوة » (daʿwa) (« appel ») 
* '''djihad''' : de « جهاد » (ǧihād) (« effort »)
* '''djinn''' : de « جن » (ǧinn) (« génie » au sens d'« être merveilleux »)
* '''estragon''' : de « طرخون » (ṭarḫwn)
* '''élixir''' : de « إكسير » (āl-ʾiksyr) (« la [[wikt:pierre philosophale|pierre philosophale]] ») formé de « ال » (āl) (« le », « la ») et du grec ancien « ξηρίον » (xêríon) (« poudre siccative à mettre sur les blessures ») 
* '''éfrit''' : de « عفريت » (ʿfryt) 
* '''émir''' : de « أمير » (ʾāmyr) (« commandant », « prince ») 
* '''fanfaron''' : de « فرفار » (farfār) (« volage », « inconstant », « bavard »)
* '''fez''' : de « فأس » (fās) (« ») 
* '''fissa''' : de « في ساعة » (fy sāʿah) (« dans l'instant », « sur l'heure »)
* '''fondouk''' : de « فندق » (funduq) (« hôtel »)
* '''Fatima''' : de « فاطمة » (Fāṭima) (« jeune chamelle sevrée »)
* '''gazelle''' : de « غزال » (ġazāl) (« antilope ») [fin du XII{{e}} siècle]
* '''goudron''' : de « قطران » (qaṭrān) (« asphalte ») 
* '''goule''' (au sens de « créature monstrueuse ») : de « غول » (ġwl) (« démon »). Le nom du criminel [[w:Ra's al Ghul|Ra's al Ghul]] vient de « رأس الغول‎ » (Rāʾs āl-Ḡwl) (« Tête de démon »).
* '''gourbi''' : de « غوربي » (ġwrby) (« ») 
* '''gwer''' : de « غور » (ġwr) («  »), diminutif de « غوري » (Ġawry) (« Ligurien »)
* '''hadith''' : de « حديث » (ḥadyṯ) (« parole du Prophète »)
* '''hajj''' : de « حج » (ḥaǧ) (« pèlerinage ») 
* '''halal''' : de « حلال » (ḥalāl) (« licite ») 
* '''hamdoullah''' : de « الحمد لله » (āl-ḥamdullāh) (« louange à Dieu »)
* '''haram''' : de « حرام » (ḥarām) (« illicite ») 
* '''hasard''' : de « الزهر » (az-zahr) (« dé », « jeu de dés »), nommé d'après « زهر » (zahr) (« fleur ») car la face gagnante du dé portait une fleur
* '''inch'Allah''' : de « ان شاء الله » (in šāʾ ʾAllāh) (« si Allah le veut »)
* '''Iblis''' : de « إبليس‎‎ » (Iblīs) (« Celui qui n'a plus d'espoir [de se repentir] »)
* '''Jafar''' : de « جعفر » (Ǧaʿfar)
* '''Jaouad''' : de « جواد » (Ǧawād)
* '''Jasmine''' : de « ياسمين » (Yāsmyn)
* '''keffieh''' : de « كوفية » (kwfīya) («  »)
* '''khey''' : de « أخي » (ʾaḫī) (« frère »)
* '''maboul''' : de « مهبول » (mahbwl) (« fou », « débile ») [XIX{{e|e}} siècle]
* '''machallah''' : de « ماشاء الله » (māšāʾallāh) (« ce que Dieu veut »)
* '''masser''' (au sens de « pétrir avec les mains ») : de « مس » (mas) (« palper », « toucher ») [XVIII{{e|e}} siècle]
* '''matelas''' : de « مطرح » (maṭraḥ) (« tapis », « lieu où l'on jette quelque chose ») [XVI{{e|e}} siècle] 
* '''mesquin''' : de « ‎مسكين » (miskyn) (« pauvre »)
* '''miramolin''' : de « أمير المؤمنين ‎» (ʾāmyr āl-mwʾminyn) (« commandeur des croyants »)
* '''momie''' : de « مومياء » (mwmyāʾ) (« corps embaumé »)
* '''mounâfik''' : de : « ‏منافق » (munāfiq) (« hypocrite »)
* '''Machrek''' : de « المشرق » (āl-Mašriq) (« le Levant »)
* '''Maghreb''' : de « المغرب » (āl-Maġrib) (« le Couchant »)
* '''Mahomet''' : de « محمد‎ » (Muḥammad) (« digne de louanges »)
* '''Moustapha''' : de « مصطفى » (Muṣṭafaā) (« l'Élu »)
* '''nifâk''' : de « نفاق‎‎ » (nifāq) (« hypocrisie »)
* '''niquer''' : de « نك » (nik) (« faire l'amour ») [XIX{{e|e}} siècle]
* '''nuque''' : de « نخاع » (nuḫāʿ) (« partie dorsale du cou ») [XIV{{e|e}} siècle]
* '''Omar''' : de « عمر » (ʿOmar) («  »)
* '''papegai''' (ancien nom français du [[wikt:perroquet|perroquet]]) : de « ببغاء » (babaġāʾ) («  »)
* '''ramdam''' : de « رمضان » (Ramaḍān) (« mois de jeûne »)
* '''roumi''' : de « رومي » (Rwmy) (« Romain »)
* '''salat''' : de « صلاة » (ṣalāt) (« ensemble de cinq prières »)
* '''salep''' : de « ثعلب » (ṯaʿlab) (« renard ») abréviation de « خصى الثعلب » (ḫuṣān aṯ-ṯaʿlab) (« testicules de renard ») Le nom complet fut choisi en raison de la forme des bulbes de cette plante.
* '''saoum''' : de « صوم‎ » (ṣawm) (« jeûne »)
* '''starfallah''' : de « أستغفر الله » (ʾastaḡfirullāh) (« Que Dieu me pardonne »)
* '''soubhanallah''' : de « سبحان الله » (subḥān allāh) (« louez Dieu »)
* '''souk''' : de « سوق » (sūq) (« marché »)
* '''sourate''' : de « سورة » (swrah) (« chapitre »)
* '''sucre''' : de « سكر » (sukar) issu du sanskrit « शर्करा » (śarkarā).
* '''sultan''' : de « سلطان » (sulṭān) (« pouvoir », « autorité »)
* '''Saïd''' : de « سعيد »‎ (Saʿyd) (« heureux »)
* '''Salîm''' : de « سليم » (Salym) (« le Saint », « le Parfait »)
* '''Shaytân''' : de « شيطان » (Šayṭān) (« l'Adversaire »)
* '''talc''' : de « تلك » (talk)
* '''tarbouche''' : de « طربوش » (ṭarbwš) (« ») 
* '''toubib''' : de « طبيب » (ṭabyb) (« médecin ») [1617]
* '''wallah''' : de « والله » (wallāh) (« par Dieu »)
* '''wesh''' : de « واش » (wāš) (« quoi »)
* '''Wahid''' : de « واحد » (Wāḥid) (« l'Unique ») 
* '''zakât''' : de « زكاة » (zakāt) (« purification »)
* '''zinzolin''' : de « جنجلان » (ğunğulān) (« semence de sésame »)
* '''zob''' : de « زب » (zubb) (« pénis »)

Beaucoup de mots empruntés à l'arabe commencent par ''al'' ou ''a'' car, en arabe, ''al'' est l'article défini qui a été accolé au substantif lors de l'emprunt. (Comme si un enfant qui maîtrisait encore mal le français disait ''le lane'' pour ''l'âne''.)

Un cas intéressant est l'emprunt du mot « صفر » (ṣifr) qui signifie « vide » et a été transcrit à la fois par « chiffre » et par « zéro » (la notation arabe des chiffres utilisant un point pour le zéro).

=== Les emprunts à l'italien ===
Les royales épouses et les nobles dames venues d'Italie au XVI{{e|e}} siècle et au début du suivant ont apporté la civilisation du Quattrocento dans leurs bagages : vocabulaire des cours ducales et princières  et du commerce qui avait permis les développements économiques lombard et toscan. Bref, quelque 8000 mots à l'époque, dont environ 10% sont utilisés encore aujourd'hui. Sur les 2000 à 8000 italianismes que comptait la langue française, seulement 700 environ ont survécu. Citons :
* '''accort''' : de ''accorto'' (« clairvoyant », « adroit »)
* '''amouracher''' : de ''amoracciare'' («  »)
* '''assassin''' : de ''assassino'' (« meurtrier »)
* '''avoir martel''' (terme aujourd'hui disparu) : être jaloux(se)
* '''bambin''' : de ''bambino'' (« bébé », « enfant »)
* '''bamboche''' : de ''bamboccio'' (« poupard », « bébé joufflu »)
* '''banque''' : de ''banca''. La banque est un banc ou plutôt une petite table sur laquelle on pose l'argent à changer, ce qui constituait l'activité première des banques. En cas de faillite (d'une racine signifiant « tomber » que l'on retrouve dans « défaillir ») du banquier, la corporation lui interdisait symboliquement de continuer son activité en lui cassant sa table. (D'où l'italien « bancarotta », qui a donné le français « banqueroute ».)
* '''bataillon''' : de ''battaglione''
* '''berlingot''' : de ''berlingozzo''
* '''bombe''' : de ''bomba''
* '''birouchette''' : de ''baroccio'' (« charrette à deux roues »)
* '''brocoli''' : du pluriel de ''broccolo''
* '''burler''' (terme aujourd'hui disparu) : se moquer
* '''brusque''' : de ''brusco'' (« âpre », « aigre »)
* '''cabriole''' : de ''capriola'' (« saut de cabri »)
* '''caprice''' : de ''capriccio'' (« frisson »)
* '''carrière''' : de ''carriera'' (« chemin de chars »)
* '''carrosse''' : de ''carrozza''
* '''carrousel''' : de ''carosello''
* '''carton''' : de ''cartone''
* '''cartouche''' : de ''cartuccia''
* '''charlatan''' : de ''ciarlatano''
* '''citrouille''' : de ''citruolo''
* '''colonel''' : de ''colonello''
* '''cortège''' : de ''corteggio''
* '''courtisan(e)''' : de ''cortigiano(a)''
* '''courtiser''' : de ''corteggiare''
* '''couci-couci''' : de ''così così'' (« ainsi ainsi »)
* '''désastre''' : de ''disastro'' (« mauvaise étoile »)
* '''discote''' (terme aujourd'hui disparu) : de ''discotto'' (« éloigné »)
* '''escadre''' : de ''squadra''
* '''escadron''' : de ''squadrone''
* '''escarpe''' (terme aujourd'hui disparu) : de ''scarpa'' (« chaussure »)
* '''escarpin''' : de ''scarpino''
* '''escroc''' : de ''scrocco''
* '''espadon''' : de ''spadone'' (« grande épée »)
* '''-esque''' : de ''-esco''
* '''estafette''' : de ''staffetta'' (« courrier à cheval »)
* '''estivallet''' (terme aujourd'hui disparu) : de '' '' (« bottine »)
* '''fantassin''' : de ''fantaccino''
* '''fantoche''' : de ''fantoccio'' (« marionnette »)
* '''filigrane''' : de ''filigrana''
* '''frasque''' : de ''frasca'' (« soudain écart de conduite »)
* '''fresque''' : de ''fresco'' (« frais ») 
* '''ganache''' : de ''ganascia''  (« mâchoire »)
* '''gonze''' : de ''gonzo'' (« idiot »)
* '''hippogriffe''' : de ''ippogrifo''
* '''imbattre''' (terme aujourd'hui disparu) : de ''imbrattare''
* '''intrigue''' : de ''intrigo''
* '''jalousie''' (au sens de « treillis de bois ou de fer permettant d'observer sans être vu ») : de ''gelosia''
* '''lasagne''' : du pluriel de ''lasagna''.
* '''le plus de temps''' : de ''il più del tempo''
* '''leste''' : de ''lesto'' (« adroit, agile »)
* '''manège''' : de ''maneggio''
* '''masque''' : de ''maschera''
* '''page''' (au sens de « serviteur d'un aristocrate ») : de ''paggio''
* '''paillasse''' (au sens de « bouffon ») : de ''pagliaccio'' (« bateleur », « clown », « pitre »)
* '''pécore''' : de ''pecora'' (« brebis »)
* '''pédant''' : de ''pedante''
* '''pianelle''' (terme aujourd'hui disparu) : de ''pianella'' (« chaussure de daim »)
* '''pizza'''
* '''pizzaïolo''' : de ''pizzaiolo''
* '''poltron''' : de ''poltrone'' (« paresseux »)
* '''porcelaine''' : de ''porcellana''
* '''salami''' : du pluriel de ''salame''
* '''sbire''' : de ''sbirro''
* '''sigisbée''' : de ''cicisbeo'' (« galant », « dameret »)
* '''spadassin''' : de ''spadaccino'' (« bretteur »)
* '''spaghetti''' : du pluriel de ''spaghetto''.
* '''spurquesse''' (terme aujourd'hui disparu) : de ''sporchezza'' (« saleté »)
* '''supercherie''' : de ''soperchieria''
* '''taffetas''' : de  ''taffetà''
* '''trop mieux''' : de ''troppo meglio''
* '''trop plus''' : de ''troppo più''
* '''voltiger''' : de ''volteggiare'' (« voleter »)
* '''zibeline''' : de ''zibellino'' 

L'essentiel du vocabulaire français lié à la musique est emprunté à l'italien. Citons :
* '''allégro''' = joyeux
* '''andante''' = simple, habituel (mot à mot : qui marche [à pieds])
* '''adagio''' = lentement (Si vous circulez en véhicule sur les routes d'Italie, vous constaterez que ce mot apparaît fréquemment à l'entrée des parkings souterrains ou aux abords des écoles.)
* '''scherzo''' = plaisanterie
* '''ténor''' = de « tenore » qui désigne le « contenu essentiel » ; formule comparable aux expressions françaises « teneur de la loi » ou « teneur en oxygène ». Le ténor est le chanteur qui assume l'essentiel de l'opéra.

À la période romantique s'ajouteront des mots allemands comme « Lied » (« chant »).

=== Les emprunts au russe ===
Vers la fin du {{XIXe siècle}}, la popularité des romans russes, traduits en français, apportent beaucoup de nouveaux mots (''steppe'', ''cosaque'', ''toundra'', etc.)&lt;ref name=&quot;Larousse&quot;&gt;{{W|Jean Dubois (linguiste)|Jean Dubois}}, {{W|Henri Mitterand}}, {{W|Albert Dauzat}}, ''Dictionnaire étymologique et historique du français'', {{W|Éditions Larousse}}, 2007&lt;/ref&gt;. À leur tour, la {{w|révolution russe}} et le développement du socialisme introduisent nombre de nouveaux termes en français (''kolkhoze'', ''bolchévique'', ''koulak'', ''soviet'', etc.)&lt;ref name=&quot;Larousse&quot;&gt;&lt;/ref&gt;. Parmi les nombreux emprunts, citons :
* '''bogatyr''' : de « богатырь » (bogatyr’) (« héros »).
* '''combinat''' : de « комбинат » (kombinat).
* '''cosmonaute''' : de « космонавт » (kosmonavt).
* '''datcha''' : de « дача » (datcha).
* '''drojki''' : de « дрожки » (drojki).
* '''goulag''' : lexicalisation de « ГУЛАГ » (GULÁG), acronyme de « Главное Управление Лагерей » (Glávnyj Upravlěniě Láger') (« Direction Principale des Camps »).
* '''icône''' : de « икона » (ikona) (« image religieuse »).
* '''isba''' : de « изба » (izba).
* '''jaleïka''' : de « жалейка » (zhaléika).
* '''kopeck''' : de « копе́йка » (kopéjka).
* '''lezguinka''' : « лезгинка » (lezginka).
* '''mammouth''' : de « мамант » (mamant), variante désuète de « мамонт » (mamont).
* '''mazout''' : de « мазут » (mazout), qui viendrait de l'arabe « مَخْزول » (makhzoul) (« résidu »).
* '''morse''' : de « морж » (morj).
* '''moujik''' : de « мужик » (muzhik), diminutif de « муж » (muzh) (« homme »).
* '''niet''' : de « нет » (niet) (« non »).
* '''novitchok''' : de « новичок » (novitchok) (« novice »).
* '''oblast''' : de « область » (oblast').
* '''pérestroïka''' : de « перестройка » (perestroika).
* '''podzol''' : de « подзол » (podzol).
* '''rouble''' : de « рубль » (rubl').
* '''sarafane''' : de « сарафан » (sarafan).
* '''taïga''' : de « тайга » (taiga).
* '''télègue''' : de « телега » (telega).
* '''tsar''' : de « царь » (tsar’), lui-même du vieux slave « цѣсарь » (cěsarĭ), emprunté au latin « Caesar » via le grec ancien « Καῖσαρ » (Kaîsar), source aussi de l'allemand « Kaiser » (d'où ''kaiser'' en français).
* '''ukase''' : de « указ » (ukaz).
* '''vodka''' : de « водка » (vodka), diminutif de « вода » (voda) (« eau ») avec le suffixe « ­-ка » (-ka).
* '''yourte''' : de « юрта » (júrta).

=== Les emprunts à l'allemand ===
Les emprunts à l'allemand sont souvent limités à des vocabulaires spéciaux, notamment celui de la guerre&lt;ref name=&quot;Larousse&gt;&lt;/ref&gt;. Ils ont été apportés par les mercenaires allemands et suisses des XVI{{e}} et XVII{{e}} siècles, et, dans une moindre mesure, par l'{{w|Occupation de la France par l'Allemagne de 1870 à 1873|occupation allemande de 1870 à 1873}} et l'{{w|Occupation de la France par l'Allemagne pendant la Seconde Guerre mondiale|occupation de 1940 à 1943}}&lt;ref name=&quot;Larousse&gt;&lt;/ref&gt; :
* '''accordéon''' : de ''Akkordeon'', mot forgé en 1829 par {{w|Cyrill Demian}}, inventeur de l'instrument.
* '''aspirine''' : de ''Aspirin''.
* '''aux fines herbes''' (« au revoir ») : c'est une déformation de « auf Wiedersehen ».
* '''blitzkrieg''' : de ''Blitzkrieg'' (« guerre éclair »), composé de ''Blitz'' (« éclair ») et de ''Krieg'' (« guerre »).
* '''blockhaus''' : de ''Blockhaus''
* '''bunker''' : de ''Bunker''
* '''cobalt''' : emprunt à l'allemand ''Kobalt'', de ''Kobold'', nom d'un lutin malicieux.
* '''devise''' : au sens financier, probablement de ''Devise''
* '''écologie''' : de ''Ökologie'', terme forgé par {{w|Ernst Haeckel}} en 1866.
* '''ersatz''' (mot à mot ''qui se tient à la place de'').
* '''feldwebel''' : de l'allemand ''Feldwebel'', même sens.
* '''flic''' est dérivé de « Fliege » (« mouche », d'après le sens argotique « espion »), ou de « Flick » (« garçon, jeune homme »).
* '''fritz''' : du prénom allemand ''Fritz'', diminutif de ''Friedrich''.
* '''Gestapo''' : de l'allemand, ellipse de '''''Ge'''heime '''Sta'''ats'''po'''lizei'' (« police secrète d’État »).
* '''heimatlos''' : emprunt à l'allemand ''heimatlos'' (« apatride »).
* '''homosexuel''' : probablement de ''homosexual'', composé de ''homo-'' et de ''sexual''.
* '''képi''' : de ''Käppi''.
* '''lansquenet''' : de ''Landsknecht'' (« fantassin »).
* '''loustic''' est la francisation de ''[[wikt:lustig|lustig]]'' (« joyeux »). Dans les troupes allemandes, il y avait un bouffon que l'on appelait « Lustig » (« le Joyeux »).
* '''nazi''' : de ''Nazi'', contraction de '''''Na'''tionalso'''zi'''alist''.
* '''obus''' : de ''Haubitze'' (« obusier »), lui-même emprunté au tchèque ''houfnice'' (« catapulte »).
* '''putsch''' : de ''Putsch''.
* '''se faire appeler Arthur''' (« se faire gronder ») : dans cette locution, « Arthur » est une déformation de « acht Uhr » signifiant « huit heures » ; pendant la [[w:Seconde Guerre mondiale|Seconde Guerre mondiale]], en France occupée, le [[wikt:couvre-feu|couvre-feu]] était à huit heures du soir. Les patrouilles allemandes avaient donc pour habitude de prévenir les retardataires en leur indiquant leur montre et en leur disant « acht Uhr! ».
* '''thalweg''' : de ''Thalweg'', composé de ''Thal'' (« vallée ») et de ''Weg'' (« chemin »).
* '''Wehrmacht''' : de ''Wehrmacht''.

=== Les emprunts aux langues américaines indigènes ===
Tous les produits exotiques découverts aux « Indes occidentales » comme l'on disait alors ont été importés, le plus souvent via l'Espagne ou le Portugal avec leur nom d'origine plus ou moins bien compris et déformé. Ainsi :
* '''avocat''' et '''hamac''' des Caraïbes
* '''cacahuète'''
* '''chocolat'''
* '''topinambour''' qui en même temps qu'il désignait le tubercule comestible avait aussi le sens de « personne de caractère ombrageux », caractère que l'on attribuait à la tribu Topinambour d'où ont été exportées les premières de ces plantes.

Cela explique que ces mots soient peu ou prou identiques dans toutes les langues européennes d'aujourd'hui. On notera le cas de l'espagnol qui appelle « platanas », les bananes. Lorsque les premiers Conquistadores rapportèrent des bananes à Séville, les badauds leur demandèrent combien il en poussait « là-bas ». « Autant que de platanes à Séville » fut la réponse qui parut par trop exagérée (bien qu'elle fut vraie) et conduisit à appeler le fruit « platana » à Séville puis dans toute l'Espagne.

Indépendamment de ces importations, espagnol et portugais ont laissé quelques mots apportés par les mercenaires et liés à la vie militaire tels « adjudant » ou « camarade ».

L&lt;nowiki&gt;'&lt;/nowiki&gt;'''adjudant''' est celui qui aide (Du verbe ''adjutare'', « aider ») un officier (un aide de camp) comme l'adjuvant est un additif qui renforce (qui aide) les qualités d'un remède ou d'un produit industriel comme le béton.

Le '''camarade''' est celui avec qui l'on partage sa chambre (« camera » d'où la « camera obscura » (chambre noire) qui aboutit plus simplement à la caméra [de cinéma]). Le camarade est le compagnon de chambrée, le '''compagnon''' étant celui avec (cum) qui l'on partage le pain (panis).

Du portugais l'on peut aussi retenir :
* '''pintade''' qui est l'abrégé de « galina pintada » (poule peinte)
* '''sombrer''' qui vient  — via un verbe français « soussoubrer » — d'un verbe portugais « soçobrar » signifiant « aller sous l'eau ».

=== Les emprunts à l'anglais ===
S'ils sont aujourd'hui importants, surtout à travers l'américain, il n'en fut pas ainsi pendant longtemps ne serait-ce que parce que les familles anglaises parlaient français et que la première grammaire française fut rédigée en anglais pour permettre aux féodaux autochtones d'acquérir la langue d'expression de leurs souverains.

Les premiers emprunts à l'anglais apparaissent au XVIII{{e|e}} siècle sous la double influence du libéralisme politique qui se développe en Angleterre et définit les notions et les mots de « parlementaire » ou de « comité » et de l'expansion pré-industrielle comme de l'hégémonie maritime qui succède à celle des pays du Sud de l'Europe d'où « rail », et « tunnel ».

=== Les emprunts aux autres langues ===
Les autres langues ont moins apporté, en dehors de mots désignant des institutions ou des produits locaux (comme les boyards, le caviar). Citons :

Le vieux norrois avec :
* '''garer''' : de « varask » (« être sur ses gardes »).
* '''quille''' (terme de marine), emprunté au vieux norrois « kilir », pluriel de « kjǫlr ».
* '''saga''', signifiant « récit mythologique ou historique » ; le mot est à rapprocher de l'anglais « to say » (« dire ») et de l'allemand « sagen » (même sens).
* '''vague''' est issu de « vágr », apparenté à l'anglais « wave ».

Le japonais avec :
* '''emoji''' : de « 絵文字 » (emoji).
* '''judo''', de « 柔道 » (jūdō), composé de « 柔 » (ju) (« souplesse ») et « 道 » (do) (« voie »), littéralement « voie de la souplesse ».
* '''kakemono''' emprunté au japonais « 掛物 » (kakemono).
* '''manga''' tiré de « 漫画 », lui-même composé de « 漫然 » (manzen) (« sans intention ») et « 画 » (ga) (« dessin »).
* '''zen''' : emprunt au japonais « 禅 » (zen), issu du chinois « 禪 » (chán), lui-même abréviation de « 禪那 » (chánnà), du sanskrit « ध्यान » (dhyāna) (« méditation »).

Le turc avec :
* '''babouche''', de « papuç » (« chaussure »).
* '''derviche''', emprunté au turc « derviş », lui-même emprunt au persan « درويش » (derwiš) (« mendiant, pauvre »).
* '''kebab''', tiré de « kebap ».

L'occitan avec :
* '''aïoli''' : de « alhòli ».
* '''bosquet''', issu de « bosquet », diminutif de « bòsc » (bois) avec le suffixe « -et ».
* '''garrigue''', emprunté à l'occitan « garriga », de l'ancien occitan « garric » (« chêne kermès »).
* '''malfrat''', probablement issu de « maufaras », « malfaras » (« malfaiteur »).
* '''muscat'''.
* '''péguer''', mot utilisé en Occitanie signifiant « coller », est issu de l'occitan « pegar » (même sens).
* '''pétanque''', de l'occitan « petanca ».

=== Le fond gaulois ===
La littérature gauloise était essentiellement composée de poésies épiques et transmise exclusivement par voie orale. C'est pourquoi s'il reste encore de nombreuses traces du gaulois dans les noms de lieux, cette langue n'a laissé — essentiellement à travers le latin — qu'une quarantaine de mots :
* '''alouette'''
* '''berceau'''
* '''bordigue''', cabane avec des étagères pour garder le poisson au bord de la mer
* les '''braies''', les « pantalons » de l'Antiquité, d'où viennent les mots « braguette » et « débraillé ». 
* '''bruyère'''. Le mot a été, par ailleurs confondu avec le mot latin « ruscus » qui signifiait « houx ». Un terrain à bruyères était appelé « bruscia » (qui signifiait « taillis », « buisson ») puis « brousse » (et « broussaille ») mais aussi « brosse » d'où les premières brosses qui n'étaient pas faites pour se coiffer mais pour laver le linge ou le sol et donc fabriquées à partir de végétaux très durs et acérés. « brosse » et « brousse » se spécialisèrent par la suite mais il reste des traces de cette synonymie en français moderne : « brosser » lorsque l'on parle d'un animal qui se faufile dans les taillis (ex : En brossant, le lièvre évita le chasseur.). Par analogie, on appelle aussi « brosse », la rangée de poils que l'on trouve au bout des pattes ou antennes de certains insectes et qui leur permettent, par exemple, de se situer dans l'espace tout en servant à la pollinisation.
* '''cervoise''', bière d’orge ou de blé sans houblon.
* '''charrue''' qui désigne à l'origine un char gaulois puis un char agricole puis finit par se limiter à un instrument muni de roues et d'un soc.
*'''chêne''' qui est une fusion du gaulois latinisé ''casanus'' et du mot bas latin ''fresne''
* '''glaner'''
* '''sillon''' d'une racine signifiant ''amasser de la terre''
* probablement '''tamis''' avec le même sens.
* '''taisson''' qui est l'ancien nom du blaireau.
* '''talus''', de ''talo'' qui désigne le front puis, par analogie avec la pente du front, un terrain en pente dans le langage des mineurs

=== L'emprunt par composition lexicale ===
Une forme particulière d'emprunt est la composition lexicale à partir de racines grecques et latines, contrairement à l'emprunt proprement dit où un mot étranger courant est introduit dans la langue d'accueil. Initié dès le XVI{{e|e}} siècle, le procédé a été particulièrement utilisé de 1750 à 1950 (pour avoir des chiffres ronds) dans tous les domaines de la vie scientifique et technique. En principe les deux racines doivent être ou grecques ou latines mais l'on rencontre des mots mixtes.

Les spécialités médicales en sont un bon exemple ; à partir de « -logie » (de « λόγος », l'étude) on construit :
* « andrologie » [] de « ἀνήρ », l'homme en grec ancien.
* « anthropologie » [] de « ἄνθρωπος », l'être humain en grec ancien.
* « cardiologie » [1797] de « καρδία », le cœur en grec ancien. 
* « coprologie » [] de « κόπρος », l'excrément en grec ancien.
* « dermatologie » [1836] de « δέρμα », la peau en grec ancien. Le mot latin « pellis » désigne initialement la peau de bête tannée ; appliquer ce terme à la peau humaine a dû être quelque peu grossier à l'origine, comme aujourd'hui parler de la « gueule » de quelqu'un.
* « gynécologie » [] de « γυνή », la femme en grec ancien.
* « hématologie » [] de « αἷμα », le sang en grec ancien.
* « œnologie » [] de « οἶνος », le vin en grec ancien.
* « oncologie » [1970] de « ὄγκος », la tumeur en grec ancien ; les tumeurs constituent un amas en imagerie médicale comme à la palpation
* « ophtalmologie » [1753] de « ὀφθαλμός », l'œil en grec ancien
* « proctologie » [1970] de « πρωκτός », l'anus en grec ancien
* « scatologie » [] de « σκῶρ », l'excrément en grec ancien.
* « urologie » [] de « οὖρον », l'urine en grec ancien

De la même façon, on construit :
* « saurien » [1800] (de « σαῦρος » (« lézard »)) reptile à écailles
* « dinosaure » [1845] (de « δεινός » (« terrible ») et « σαῦρος » (« lézard »)
* « ichtyosaure » [1824] (de « ἰχθύς » (« poisson ») et « σαῦρος » (« lézard »)
* « lycoperdon » [] (de « λύκος » (« loup ») et « πέρδομαι » (« flatuler »)
* « callipyge » [] (de « κάλλος » (« beauté ») et « πυγή » (« fesse »)
ou encore, en vrac :
* « alopécie »  [{{e}} siècle] qui désigne la chute des cheveux comparée à celle des poils du renard (« ἀλώπηξ ») se produisant chaque année.
* « dromadaire » [XII{{e}} siècle] qui est le coureur (« δρομάς ») du désert
* « éthologie » [1856] l'étude des mœurs (« ἦθος »)
* « hippopotame » [1265] qui est le cheval (« ἵππος ») du fleuve (« πόταμος »)
* « hippodrome » [1534] qui est la course (« δρόμος ») du cheval (« ἵππος »)
* « pétrole » [XIII{{e}} siècle] de « πετρέλαιον »
* « rhinocéros » [1288] qui a une corne (« κέρας ») sur le nez (« ῥίς »)

Certains mots furent composés autrement :
* « chauve-souris » vient du bas latin ''calvas sorices'' (pluriel), altération sous l'influence de ''calvus'' (« chauve »), du bas latin ''cawa sorix'', formé de ''cawa'' (« chouette ») et ''sorix'' (« souris »), signifiant littéralement « chouette-souris ». Le petit de ce mammifère volant s'appelle le « chauve-souriceau » (« chauve-souricelle » au féminin). Le nom anglais de cet animal est « bat », ce qui insipira Bill Finger et Bob Kane pour la création de [[w:Batman|Batman]].

* « soutien-gorge » [1904] dérive de ''soutien'' et de ''gorge''. Dans ce mot, ''gorge'' signifie métaphoriquement « poitrine » ou « sein ».

== Les noms propres (personnes, villes, personnages de roman) devenus noms communs ==
Le plus connu est '''Poubelle''' du nom du préfet de police de Paris, qui imposa, en 1884, de placer les déchets dans un récipient et non de les déposer en vrac sur la chaussée et institua leur collecte régulière mais l'on peut également citer :
* le père '''Clément''' qui fut le premier à obtenir des clémentines dans un orphelinat d'Oran en 1902 par greffe d'un hybride d'oranger et de mandarinier sur un pied de mandarinier.
* John Loudon '''MacAdam''' qui utilisa un revêtement qui venait d'être mis au point pour solidariser les routes et les rendre plus confortables.
* En 1950, après avoir assisté à une grande exposition du peintre Vittore '''Carpaccio''', le chef Giuseppe Cipriani inventa une recette de viande de bœuf crue à laquelle il donna le nom de famille de l'artiste.
* '''Casanova''' est le nom de famille d'un Italien qui écrivit de célèbres mémoires érotiques (et non « pornographiques » ; bien qu'« érotisme » et « pornographie » viennent tous deux du [[grec ancien]], les sens respectifs de ces deux mots sont très différents.) Aujourd'hui, on appelle « casanova » un homme désirant ardemment séduire de nombreuses femmes.
* '''Doberman''' est le nom de famille d'un gardien de fourrière d'une petite ville allemande qui, chargé d'exterminer les chiens errants, réussit à les croiser de façon à obtenir une race de chiens de garde et en sauva ainsi quelques-uns d'une mort prématurée
* John '''Duns''' Scot (1266-1308) est un théologien et philosophe écossais. Devenu « dunce » en anglais, son nom pris le sens du mot français « cancre » désignant un écolier paresseux. Dans les écoles anglo-américaines, on coiffait autrefois les mauvais élèves de chapeaux coniques portant le mot « ᴅᴜɴᴄᴇ ». L'anglais « dunce cap » correspond métaphoriquement au français «  [[wikt:bonnet d’âne|bonnet d'âne]] ».
* '''Guillaume''' est l'imprimeur qui introduisit les guillemets (appelés initialement « guillaumets ») dans l'imprimerie ; dans ce secteur, un autre Guillaume, Massiquot (1797-1870) laisse son nom sous une forme orthographique simplifiée (massicot) au dispositif qui permet de couper les feuilles.
* Louis '''Pasteur''' dont le nom se retrouve dans la plupart des langues dans des termes comme « pasteuriser » ou « pasteurisation » 
* François '''Barrême''', mathématicien (1640-1703) auteur d'un des premiers manuels pratiques de comptabilité
* Partisane de la réforme vestimentaire, l'employée des postes Amelia '''Bloomer''' fit la promotion de [[wikt:culotte|culottes]] bouffantes ; avec le temps, ces sous-vêtements prirent le nom de leur promotrice.
* Devenu aveugle très jeune, Louis '''Braille''' improvisa un système d'écriture en relief facilement lisible du bout des doigts.
* Carlo '''Tonti''' qui conçu les tontines (dans une tontine, un emprunteur offre 100 euros par an pour rémunérer un capital initial de 10 000 euros par exemple. Au fur et à mesure que les prêteurs meurent la rémunération annuelle qui reste constante à 100 euros est répartie sur les seuls survivants ; ce procède fut très utilisé par les rois de France du milieu du XVII{{e}} siècle aux abords de la Révolution française puis par les premières institutions mutualistes)
* '''Figaro'''. Personnage de [[w:Pierre-Augustin Caron de Beaumarchais|Pierre-Augustin Caron de Beaumarchais]], il est le barbier du Comte Almaviva ; « aller chez le figaro » signifie « aller chez le barbier/coiffeur ». Dans la deuxième pièce de la trilogie lui étant consacrée, il dit à la scène 3 de l'acte V : « Sans la liberté de blâmer, il n'est point d'éloge flatteur. » Depuis sa fondation le 15 janvier 1826, le journal quotidien ''[[w:Le Figaro|Le Figaro]]'' met cette réplique en exergue comme étant sa devise.
* '''Frangipane'''. Marquis italien, Frangipani mis au point en 1558 un parfum pour les gants ; ledit parfum connut rapidement du succès pour accommoder les pâtisseries.
* '''Fuller'''. Eugène Fuller est l'architecte qui dessina les plans de la géode. Les nano-particules ont une structure qui rappelle une géode. Pour honorer Fuller on eut l'idée de donner son nom à la structure.
* '''Bougainvilliers''', navigateur qui ramena la plante. De même, camélia (initialement écrit Camellia) à qui Linné (qui nomma nombre de plantes de façon raisonnée) donna ce nom en souvenir du père jésuite qui l'avait ramené du Japon : Camellus
* '''Oignon''' était le responsable du protocole de Louis XIV et il exigeait des Grands qu'ils fussent rangés. Par la suite, la référence à ce royal ordonnancement fut oubliée et l'image d'oignons rangés sur un marché se substitua à l'originale.
* '''Calepin'''. En 1502, Ambrogio Calepino publia un dictionnaire de latin. Le mot « calepin » désigna d'abord un dictionnaire (latin ou non) puis évolua vers le sens de recueil de notes.
* '''Sandwich''' est le nom d'un comte anglais (1718-1792) qui, joueur infatigable, demanda qu'on lui servît son repas entre deux tranches de pain pour ne pas quitter le salon de jeu.
* '''grégorien''' : Pape de 590 à 604, Grégoire XIII fixa définitivement les textes rituels et plaça la messe à la première place des cérémonies du culte, sur le plan artistique. Il fit établir une sélection de chants épurés destinés à toutes les fêtes de l'année (l'antiphonaire) et fonda une école de musique destinée à diffuser une nouvelle interprétation mélodique. Il réforma également le calendrier julien.
* '''Lalune''' était un général dont les bourdes étaient nombreuses d'où l'expression ''bête comme la lune''
* À l'inverse, Jean '''Colin-Maillard''', aveuglé par le sang d'une blessure infligée par l'ennemi se saisit d'un maillard (« marteau » — à comparer avec « maillet » —) et frappant plus ou moins au hasard massacra nombre de ses adversaires ; d'où le jeu de colin-maillard.
* '''Hooley''' était un Irlandais qui rançonnait les paysans en faisant montre d'une extrême violence vis à vis de ceux qui ne se soumettaient pas à ses exactions d'où les « hooligans » des stades.
* Étienne de '''Silhouette''' était contrôleur général des Finances au XVIII{{e}} siècle. Son nom est resté dans la langue soit en raison des nombreuses caricatures que l'on fit de lui soit du fait de ses passages rapides aux affaires qui ne permettaient que de l'y apercevoir.
* '''dulcinée''' désigne poétiquement une femme inspirant une passion romanesque. Cet emploi provient du nom d'un personnage de ''[[w:Don Quichotte|L'Ingénieux Hidalgo Don Quichotte de la Manche]]'', l'œuvre la plus connue de [[w:Miguel de Cervantes|Miguel de Cervantes]] (1547-1616).
* '''Paparazzo''' est le nom d'un photographe apparaissant dans le film ''[[w:La Dolce Vita|La Dolce Vita]]'' (1960). Aujourd'hui, on appelle « paparazzo » un photographe ayant comme domaine de prédilection la vie privée des célébrités.

Dans le genre « grunge » on trouve ''isabelle'' et ''bourdaloue''.

* '''isabelle''' est la couleur de la robe d'un cheval ou du pelage d'un chat qui associe jaune pâle, rouge et noir. La légende veut qu'une noble dame prénommée Isabelle ait fait vœu de ne pas changer sa chemise entre le départ de son époux pour la guerre et son retour. Il existe deux variantes : Isabelle la Catholique lorsque le roi soutint le siège de Grenade (1491) qui dura un an et l'archi-duchesse Isabelle, petite fille de Catherine de Médicis  et de Henri II lorsque son époux — Albert — partit pour Ostende et revient en triomphateur après que la ville ait cessé de lui résister pendant trois ans. D'où la couleur de la chemise au retour du bien-aimé. Il semble cependant aux philologues modernes que le mot est tout simplement l'emprunt du mot ''hiza'' (lion) à l'arabe à cause de la couleur du pelage de ce fauve.
* '''Bourdaloue''' (ce n'est plus légende mais réalité) était un prédicateur de Notre-Dame de Paris à l'éloquence fort prisée des dames de la bourgeoisie parisienne. Rhétoricien accompli, il captivait son public pendant plusieurs heures et certaines dames eurent l'idée de s'équiper d'un petit vase très discret leur permettant de satisfaire leurs besoins naturels sans quitter leur place (à l'époque les robes étaient assez larges)
* Dans l&lt;nowiki&gt;'&lt;/nowiki&gt;''Orlando innamorato'', Matteo Maria Boiardo raconte que le roi circassien '''Sacripante''' fit preuve d'une bravoure et d'une force extraordinaires pour porter secours à la dame de ses pensées sans qu'on le payât en retour. Francisé en ''sacripant'', le nom de ce personnage désigna d'abord un bravache (Au même titre que « matamore » et  « rodomont ».), puis un mauvais sujet et une personne dont la compagnie est peu recommandable. Aujourd'hui, il s'emploie affectueusement pour désigner un individu espiègle ou malicieux (En particulier les petits garçons, au même titre que « chenapan », « coquin » et « garnement »).

Coté paillettes, au contraire, le '''strass''' fut inventé par un joailler parisien : Georges Frederic Strass (1770-1773)

Pour ce qui est des villes citons :
* '''angora''' : Initialement on ne parlait pas d'un chat angora mais d'un chat d'Angora, ancien nom de la ville d'Ankara en Turquie
* '''bougie'''. Cire fine de Bougie, ville située dans l'Algérie actuelle, prisée dès le XIV{{e}} siècle car elle ne produisait pas trop de fumée pour un bon éclairage.
* '''corbillard'''. Dès le XVI{{e}} siècle, on appelait « corbeillard » le coche d'eau — peint en noir — qui assurait une navette entre Paris et Corbeil. Le mot pris son sens actuel au XVIII{{e}} siècle. Les bateaux-mouches ont une origine identique : une navette entre Lyon et le quartier de La Mouche.
* '''cordonnier'''. Étymologiquement, c'est celui qui travaille le cuir à la façon des Cordouans (habitants de Cordoue en Espagne) ou, plus probablement, le cuir en provenance de cette ville.
* '''cravate'''. C'est à l'origine le large ruban que les soldats du Royal Croate étaient autorisés à porter par Louis XIV. « Croate » se prononça rapidement « cravate ».
* '''faïence'''. Ce type de poterie fut imaginé dans le région italienne de Faenza (une cinquantaine de kilomètres au sud-est de Bologne).
* '''jeans'''. Vers 1850, Levi-Strauss fabrique des pantalons avec de la toile servant à bâcher les chariots dont il renforce les coutures avec des rivets. Cependant une dizaine d'années plus tard il trouve encore plus résistant : un tissu de coton fabriqué à Nîmes depuis la fin du XVI{{e}} siècle, teint en bleu avec de l'indigo. Ce tissu de Nîmes deviendra ''denim'' d'abord prononcé ''denime''. Comme Nîmes n'est pas un port, c'est de Gênes que le tissu prend la mer pour les États-Unis d'où sa seconde appellation de ''tissu bleu de Gênes'' devenu ''blue-jeans'' puis simplement ''jeans''.
*'''sardine'''. Originellement il s'agit d'un poisson pêché en Sardaigne.

Sans dériver de noms de personnes, des noms communs sont issus de noms de personnages de roman ou de noms commerciaux :
* Le ''Roman de Renart'' fut aussi célèbre au Moyen Âge que les aventures d'Harry Potter de nos jours. Il met en scène un goupil (c'est à dire en ancien français un renard) nommé « Renart » (Du francique ''Reginhart'', signifiant « le fort en conseil ») qui berne Ysengrin le loup, Noble le lion ou encore Tibert le chat. Ce récit eut tellement de succès que le nom de son personnage principal se substitua au mot « goupil », issu du latin « vulpes ». En 1973, Walt Disney Pictures s'inspira de cette œuvre pour ''[[w:Robin des Bois (film, 1973)|Robin des Bois]]''. En 1985, ce roman fut adapté assez librement et « modernisé » dans une série d'animation française intitulée ''[[w:Moi Renart|Moi Renart]]''. En 1919, l'écrivain américain [[w:Johnston McCulley|Johnston McCulley]] publie ''[[w:Le Fléau de Capistrano|Le Fléau de Capistrano]]'' un récit dont le héros a choisi de lutter contre l'injustice en cachant sa véritable identité sous le nom espagnol du renard. (« zorro » Pour désigner le justicier homonyme, les hispanophones disent et écrivent « El Zorro ».)
* La '''syphilis''' (une maladie sexuellement transmissible) doit son nom au berger Syphilus des ''Métamorphoses'' d'Ovide, un des auteurs latins les plus lus au Moyen Âge. (Qui connut d'ailleurs une « renaissance ovidienne ».) Le plus original est que cette maladie, importée du Nouveau Monde, n'existait pas à l'époque antique. C'est un traducteur de Vérone, Girolamo Fracastoro, qui ajouta cet épisode à son modèle en 1530, époque où cette maladie faisait aussi peur que le sida aujourd'hui ; car, les Européens n'ayant jamais été au contact de l'agent infectieux, ils étaient nombreux à en mourir. Selon les endroits, on donnait différents surnoms à la syphilis : « mal italien » (pour les Français), « mal français » (pour les Italiens, les Espagnols, les Russes, les Allemands, les Anglais et les Polonais), « mal espagnol » (pour les Portugais et les Néerlandais), « mal anglais » (pour les Écossais), « rash de Canton » / « ulcère chinois » (pour les Japonais).

Nicolas '''Chauvin''', personnage d'un vaudeville de 1831 (''La Cocarde tricolore'') représentait un soldat de l'Empire un peu bébête au patriotisme quelque peu excessif.

* '''éclair''' La fermeture Éclair est une marque de fermeture à glissière. Cette marque s'étant imposée dans toute l'Europe on parle aussi de « chisura lampa » (même formule) en italien.
* '''frigidaire''' est une marque de réfrigérateur (on parlait initialement d&lt;nowiki&gt;'&lt;/nowiki&gt;''armoire réfrigérante'' d'où ''réfrigérateur'')
* '''klaxon''' est le nom du premier fabricant de cet outil.
* '''texto''' est une marque déposée par SFR pour désigner les SMS. (c'est à dire originellement l'élément du ''Short Message Service'' que l'on a francisé en ''Service messager succinct''.)

À Marseille, entre les deux guerres mondiales on n'utilisait pas d'eau de Javel (nom de l'inventeur) mais de la pigeonne, du nom de la marque locale.

On trouve des phénomènes identiques dans toutes les langues. Ainsi, l'italien appelle « montgomery » (Du nom d'un général qui portait ce vêtement avec élégance.) ce que l'anglais nomme « duffle coat ».

== Les abréviations ==
Le fait que certains mots constituent des acronymes reste parfois conscient mais est oublié :
* « apud » [] pour « amine precursor uptake and decarboxylation  » (Il s'agit de cellules de la crête neurale qui migrent chez l'embryon et jouent un rôle important dans le système neuro-endocrinien.)
* « cyborg » [1960] pour « cybernetic organism »
* « CEDEX » [1972] pour « courrier d'entreprise à distribution exceptionnelle »
* « CIDEX » [] pour « courrier individuel à distribution exceptionnelle »
* « glare » [] pour « glass laminate aluminium reinforced epoxy » ()
* « laser » [1960] pour « light amplification by stimulated emission of radiations » ()
* « maser » [1954] pour « microwave amplification by stimulated emission of radiations » ()
* « prion » [1982] pour « proteinaceus infective only particule » (particule infectieuse de nature protéique)
* « quasar » [1965] pour « quasi-stellar radio source » (radiosource quasi-stellaire)
* « radar » [1944] pour « radio detecting and ranging » ()
* « sida » [1981] pour « syndrome d'immunodéficience acquise » 
* « sonar » [1970] pour « sound navigation and ranging » ()
* « snob » est l'abréviation (s. nob.) de « sine nobilitate » (non noble), mention que portaient les collèges anglais habitués à n'accueillir que les enfants de la noblesse lorsqu'ils s'ouvrirent à la bourgeoisie. Que ce fut vrai ou médisance, on disait que les enfants issus de la bourgeoisie affectaient des comportements habituels à la noblesse et cherchaient à se montrer plus nobles que les nobles.
* « S.O.S. » qui a gardé les points séparateurs est (par rétroacronymie) l'abréviation de « Save our souls » (Sauvez nos âmes). Au temps du code Morse, le ''s'' correspondant à trois brèves et le ''o'' à trois longues, l'envoi d'un S.O.S. se traduisait par la répétition sans fin de trois brèves, trois longues et trois brèves.

* « jeep » constitue l'évolution ultime de la prononciation des initiales « G.P. » pour « General Purpose » (tous usages) caractéristique essentielle voulue par les militaires commanditaires de cette voiture. Le mot est à rapprocher de « G.I. » terme affectueux pour désigner les soldats américains dont les effets portent le terme « G.I. » pour « Government Issue » (propriété de l'État).

Comme tous les mots communs, les abréviations donnent des dérivés : radarisé, snober, snobinard, apudlike

== Les onomatopées ==

Ce mot vient du latin ''onomatopoeia'', issu du grec ancien « ὀνοματοποιία ». Il s'agit de mots qui visent à imiter un son ou à suggérer la chose nommée :
* ''boum'', ''paf'', ''crac''
* ''brrr'' qui remonte au XVIII{{e|e}} siècle
* ''gazouillis''
* ''glouglou''
* ''frou frou'' qui vient de ''frifilis'', mot du XVIII{{e|e}} qui évoque le froissement des tissus
* susurrer
* vrombir
* murmure : initialement le mot désignait un bruit assourdissant.
* ''patte'' serait la traduction du bruit fait par le frottement des poils des pattes d'un animal qui court vite
* ''bat'', le bruit que l'on fait en bâillant est à l'origine du latin ''batare'' qui a donné le français « bâiller ».
* ''slogan'' vient du gaélique écossais ''sluagh-gairm'' (« cri de guerre »).

== Les mots forgés de toutes pièces ==
* '''Ordinateur''' : dans la plupart des pays, on parle de ''computer'' (= qui calcule). En France, lorsque la machine commença à être connue, on parlait ''d'ensemble électronique'' ou  encore de ''calculateur électronique'' pour celles qui n'étaient pas dédiées à la gestion mais à des calculs proprement dits. Le principal constructeur de l'époque, pour ne pas dire le seul, IBM souhaita trouver un mot spécifique à sa marque et chargea un linguiste, J. Perret de cette démarche. Ce dernier, en retenant que la machine triait rapidement les données, rechercha un vieux mot de théologie &quot;ordinateur&quot; et le &quot;vendit&quot; à IBM. Il est dit dans la Bible que Dieu est le Grand Ordinateur car Il trie et assemble. La protection de la marque ayant pris fin, le mot est tombé dans le domaine public.

* Récemment les informaticiens ont à nouveau puisé dans le vocabulaire de la théologie en imaginant d'utiliser le mot ''ontologie'' pour désigner la description  sémantique d'un domaine c'est à dire l'ensemble des mots du domaine et des relations qui les unissent.

* '''Bikini''' et '''monokini'''. Le créateur du premier bikini — même si sa culotte était bien plus haute et couvrante que la nôtre — savait que ce vêtement allait faire scandale, d'autant qu'aucun mannequin professionnel n'avait accepté de le présenter au public et qu'il avait dû s'adresser pour ce faire à une danseuse de spectacle nu. Tout le monde avait alors à l'esprit le petit atoll de Bikini où eut lieu la première explosion atomique expérimentale en grandeur réelle ; le créateur retint donc de nom à la fois pour la petite surface du vêtement (comme l'atoll) et l'explosion « atomique » qu'il allait créer. Lorsque la mode d'un bronzage quasi intégral fut lancée, on joua à nouveau sur le mot en appelant « monokini » un maillot composé seulement de la pièce du bas comme si le préfixe ''bi-'' de « bikini » caractérisait l'existence de deux parties (à comparer à la plaisanterie éculée : « Elle a attrapé des microbes et même des crobes entiers. »).

* '''français moyen''' date très exactement d'un discours d'un homme politique de l'entre deux guerres, Édouard Herriot, prononcé le 19 août 1924 et désigne en fait ce que les statisticiens appelleraient plutôt le français modal.

D'autres mots sans avoir été inventés ont eu une introduction dans la langue française liée à un phénomène bien identifié. Ainsi :
* '''rescapé'''. Le mot appartient à un dialecte wallon. En 1906, la France connut une des plus grandes tragédies industrielles, l'explosion de la mine de Courrières qui fit près de 1100 morts. Des mineurs belges étaient venus aider au sauvetage de leurs camarades français bloqués depuis plusieurs jours dans un puits à la suite d'un éboulement. Interrogés par un journaliste, ils parlèrent des « rescapés ». Ce mot fut repris par l'ensemble de la presse et introduit du jour au lendemain dans le français standard qui en généralisa vite le sens.

* '''côté cour''' et '''côté jardin'''. Cette expression des gens de théâtre est une première manière de politiquement correct (sous peine de mort). Sous l'Ancien Régime français, le théâtre royal comportait deux loges, l'une pour le roi et l'autre pour la reine. La mise en scène faisait ainsi naturellement référence au côté de la reine ou au côté du roi. Avec la Révolution française, un tel référentiel pouvait valoir un aller immédiat pour l'échafaud. Une des loges était située du côté d'une cour et l'autre du côté d'un jardin, d'où la substitution.

== Références ==
=== Sources ===
&lt;references/&gt;

=== Bibliographie ===
* ''TLFi, Le Trésor de la langue française informatisé'', 1971–1994 [https://www.cnrtl.fr/definition/ → consulter cet ouvrage]
* {{w|Alain Rey}}, ''Dictionnaire historique de la langue française'', Dictionnaires Le Robert, Paris, 2019

[[Catégorie:Étymologie de la langue française (livre)|Origines du vocabulaire]]</text>
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    <title>Photographie/Personnalités/F/Toni Frissel</title>
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== Biographie ==

[[Image:Toni Frissell.jpg|thumb|250px|Toni Frissell, vers 1935.]]
'''Toni Frissell''', de son vrai nom '''Antoinette Frissell Bacon''', était une photographe états-unienne née le 10 mars 1907 à New York et morte le 17 avril 1988 à Long Island. Elle était connue pour ses photographies de mode, ses reportages sur la Seconde Guerre mondiale et pour ses portraits de célébrités américaines et européennes, d'enfants et de femmes de toutes classes sociales.

Toni Frissel travailla avec les plus grands photographes de son époque, apprentie de [[Cecil Beaton]] puis assistante d'[[Photographie/Personnalités/S/Edward Steichen|Edward Steichen]]. Son premier travail comme photographe de mode fut réalisé en 1931 pour le magazine Vogue, par la suite on retrouva ses photographies dans Harper's Bazaar. Elle travailla beaucoup en extérieurs, en valorisant l'idée de l'activité féminine.

== Pendant la seconde guerre mondiale ==

[[File:Tuskegee airman2.jpg|thumb|right|250px|Portrait du ''Tuskegee airman'' Edward M. Thomas par Toni Frissell, Mars 1945.]]
En 1941, Toni Frissel offrit ses services photographiques à la Croix Rouge américaine. Elle travailla ensuite dans le 8e corps de l'Armée de l'Air et devint ensuite photographe officielle des forces féminines de l'Armée. Elle prit des milliers de photographies des infirmières, des blessés, des combattants du front, des aviateurs et des orphelins de guerre. Ses photographies dynamiques de femmes militaires et des pilotes d'élite afro-américains du 332e Groupe de Combat (the &quot;Tuskegee Airmen&quot;) furent utilisées pour susciter le soutien du public aux femmes et aux noirs engagés dans l'action militaire.

{{clr}}
== Après la seconde guerre mondiale ==

[[Image:Weeki Wachee spring 10079u.jpg|thumb|250px|Weeki Wachee spring, Florida (1947). Cette image fut utilisée pour les couverture de l'album ''Undercurrent'' de [[w:Bill Evans|Bill Evans]] and [[w:Jim Hall|Jim Hall]], des albums ''Tears in Rain'' de [[w:This Ascension|This Ascension]] et ''Oceana'' d'[[w:Osvaldo Golijov|Osvaldo Golijov]] et aussi pour l'album ''Whispering Sin'' de [[w:The Beauvilles|The Beauvilles]].]]

Dans les années 1950, Toni Frissell photographia un grand nombre de personnalités américaines et européennes comme Winston Churchill, Eleanor Roosevelt, John F. Kennedy ou Jacqueline Kennedy. Elle travailla ensuite pour ''Sports Illustrated'' et ''Life''. Marquant toujours son intérêt pour les activités féminines et le sport, elle fut en 1953 la première femme à faire partie de l'équipe de ''Sports Illustrated'' et l'une des rares femmes photographes de sport pendant plusieurs décennies.

Par la suite elle concentra son activité sur la photographie des femmes dans tous les aspects de leurs vies, souvent comme un témoignage de la condition humaine.

Elle photographia aussi divers sujets comme le mur de Berlin, la Convention nationale républicaine de 1968, etc.

== Collections ==

Toni Frissel a donné à la ''Library of Congress'' une collection considérable de 270.000 négatifs noir et blanc, 42.000 diapositives en couleurs, 25.000 agrandissements, de très nombreuses planches-contact et un ensemble de documents manuscrits relatant près de 40 années de son activité photographique. Elle avait également établi une sélection des 1.800 œuvres qu'elle jugeait les plus représentatives de son travail.

== Galerie de photographies ==
&lt;gallery&gt;
File:332ndFighterBriefing1945-high-res.jpg
File:332ndFighterGroup-pilot.jpg
File:Ambroseclark.jpg
File:Blitzshelter.jpg
File:Bocce players by Toni Frissell.jpg
File:Churchillwithsonandgrandson.jpg
File:Fashion model underwater in dolphin tank, Marineland, Florida cph3g08173u.jpg
File:Gauchowheat edit2.jpg
File:Jackieowedding.jpg
File:Weeki Wachee spring 10079u.jpg
File:Lilli Palmer &amp; Rex Harrison by Toni Frissell 1950.jpg
File:London V2 Frissell2.jpg
File:London Victoria Station by Toni Frissell 1951.jpg
File:Miketodd.jpg
File:Nuns clamming - Toni Frissell LC-F9-04-5709-012-17.jpg
File:Rua_medieval_de_Alfama.jpg
File:Saratogaracetrack.jpg
File:Toni Frissell in Europe ppmsca19005u.jpg
File:Toni Frissell, Dovima in Montego Bay 3g04324u.jpg
File:Toni Frissell (1907-1988) in 1942.jpg
File:Tuskegee airman2.jpg
&lt;/gallery&gt;

{{DEFAULTSORT:Frissel, Toni}}

[[Catégorie:Personnalités de la photographie]]</text>
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    <title>Discussion:Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/La chute libre, avec vitesse initiale</title>
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      <text bytes="6414" xml:space="preserve">==lesson &quot;Chute libre&quot; à réorganiser ==
--[[Utilisateur:Guerinsylvie|Guerinsylvie]] 24 juillet 2010 à 10:12 (CEST) Bonjour, je vais nettoyer cette page, puisque, encore une fois la WP va changer, mais sans trop se préoccuper d'histoire des sciences : ce n'est certes pas sa fonction première. Pour ma part, j'avais été éblouie de la démonstration de Torricelli, tout comme Mersenne, alors que, des décennies durant, j'ai utilisé la démonstration par l'analytique  la racine double en tanA : or pour les gens de ma génération, la DEFINITION de la parabole, c'était par Foyer-Directrice ; c'est donc LA démonstration. Par contre, il faut que je trouve qq'un pour faire une &quot;animation&quot; Cabri-géomètre ou autre : ce qui est visuel est tellement plus facile à comprendre. Car, pour l'heure, j'ai beau dire que c'est plus facile ( et plus élégant), c'est en pure perte, vu que la géométrie des coniques en 2010 ...n'est plus enseignée. Au travail .
:--[[Utilisateur:Guerinsylvie|Guerinsylvie]] 24 juillet 2010 à 17:34 (CEST) Voilà, c'est chose faite. La figure du triangle isocèle ORPo, avec OPo = RPo = 1/2.gto² manque terriblement. Il faudrait vraiment que qq'un m'apprenne à dessiner ! c'est dommage. Il me faudra aussi relire Galilée, Mersenne et Torricelli ; avec le temps qui passe, j'oublie les dates exactes, d'autant qu'entre les lettres et les livres publiés il y a un sacré délai.
::Merci, il faut tester [[Faire son film]]. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|&lt;font color=&quot;#FF6600&quot;&gt;$&lt;/font&gt;♠]]) 24 juillet 2010 à 21:05 (CEST)
::: --[[Utilisateur:Guerinsylvie|Guerinsylvie]] 26 juillet 2010 à 18:14 (CEST) :- Bonjour vous, je viens de voir votre message et d'aller regarder [[Faire son film]]. merci. mais je n'avance pas bcp. respect. sylvie.
: funéparabole est encore à ré-écrire car la typo est peu lisible, mais l'idée est correcte ; ok, ...plus tard. j'ai ENCORE changé la notation de l'article à cause de l'article en:anglais. grr...
==lifting==
--[[Utilisateur:Guerinsylvie|Guerinsylvie]] ([[Discussion utilisateur:Guerinsylvie|discussion]]) 27 mars 2015 à 15:20 (CET): bonjour, je procède à un lourd lifting, pour pouvoir passer en pdf. De plus, je dois raccourcir. J'élimine la belle démonstration de Torricelli qui suit

=== Note historique ===
Cette solution a été donnée par Galilée, améliorée par Torricelli, son élève (de 1641 à 1642). Voici &quot;sa&quot; démonstration :

Soit &lt;math&gt;\alpha~&lt;/math&gt; = angle (OH,Vo). Soit Po le point de portée maximale,sur la courbe(S). Il faut démontrer, avec &lt;math&gt;\phi = 2\alpha~&lt;/math&gt;, que &lt;math&gt;OP =  {h \over cos^2 \alpha}&lt;/math&gt;.

Décomposons le mouvement du boulet B(t) comme le fait Torricelli : 
*Soit &lt;math&gt;\vec{OR} = \vec{V_0}t&lt;/math&gt;, le &quot;mouvement comme rien&quot; ! 
*&lt;math&gt;\vec{RB} = 1/2 \cdot \vec{g}t^2&lt;/math&gt;, la chute verticale.
*&lt;math&gt;\vec{OB}(t) = \vec{OR} + \vec{RB}&lt;/math&gt;

Prendre crayon+papier.

Au temps to, la parabole B(t) oscule la courbe de sûreté en Po, confondu avec B(to).

A supposer provisoirement et à démontrer ultérieurement que ORo soit '''bissectrice''' de l'angle HOPo (on a vu que OPo était une corde focale),
'''le triangle ORoPo est donc isocèle'''. Considérer le losange OPoRoQ de côtés égaux OPo=RoPo=RoQ=OQ = 1/2 g.t0^2, de centre I : '''dessiner ce losange''', c'est essentiel. La tangente en Po coupe z=h en I et donc la cote de I  &lt;math&gt;z_C&lt;/math&gt; vaut juste h = OH ; par ailleurs avec &lt;math&gt;\theta = 2 \phi ~&lt;/math&gt;, 
*alors on lit géométriquement :

&lt;math&gt;OI = \frac {OH}{cos\alpha} ~&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;OP = \frac {OI}{cos\alpha}&lt;/math&gt; , soit &lt;math&gt;OP = \frac {OH}{cos^2 \alpha}&lt;/math&gt;, CQFD.

*'''Raisonnement anti-historique''' (?) : mais comment Torricelli a-t-il compris que ORo était '''bissectrice''' de l'angle HOPo ? En fait Torricelli avait-il déjà fait ce qu'on appelle le raisonnement de Clairaut? Pour lui, il était clair que Po était le point d'intersection de deux paraboles de tir,voisines, tirées &quot;au mieux&quot; pour atteindre Po : soit Po', ce point qui &quot;à la limite &quot; deviendra Po :
 
On aura &lt;math&gt;\vec{OP_0^'} = 1/2 \vec{g}t^{'2} + \vec{V_o'}t^'&lt;/math&gt; 

et donc aussi &quot;courbe dérivée&quot; : &lt;math&gt;\vec{PoP_0^'} = [\vec{V_o'} - \vec{V_o}]t^'&lt;/math&gt; :

La '''remarque capitale''' est alors la suivante : puisque &lt;math&gt;||\vec{V_0}|| = cste &lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\vec{V_0V'_0}&lt;/math&gt; est '''ORTHOGONAL''' à &lt;math&gt;\vec{V_0}&lt;/math&gt;: donc '''PoPo' ''' perpendiculaire à '''Vo'''. Et donc les deux tangentes devaient donc se couper à angle droit, donc sur la droite orthoptique, soit en I sur la directrice. Donc PoO était corde focale. Dès lors, Torricelli enchaînait sur le calcul précédent.

{note de pertinence : '''Réciproquement''', par renversement temporel, pour Po , c'était O le point le plus loin et donc la vitesse en Po était aussi bissectrice, cette fois de (Poz,PoO), donc les deux vitesses en O et en Po sont orthogonales : le triangle OCPo est rectangle en C}}. 

Il existe aussi un raisonnement à la Didon avec les composantes Vz et Vg de la vitesse (proposé en exercice).

On peut ainsi faire dire à Torricelli que non seulement il avait compris la parabole comme antipodaire d'une droite (ce qui était bien connu), mais avait aussi compris la notion d'enveloppe d'un réseau de trajectoires &lt;math&gt;T_{\alpha}&lt;/math&gt; en considérant l'intersection-limite de &lt;math&gt;T_{\alpha}&lt;/math&gt;et &lt;math&gt;T_{\beta}&lt;/math&gt;. Ce qui précède Clairaut d'un siècle! Quand on lit Torricelli en 2010, on a &quot;envie&quot; de lire cela ; se méfier si l'on est historien : c'est du &quot;re-construit finalisé&quot; ( au sens de Bkouche ).

== lifting2==
[[Utilisateur:Guerinsylvie|Guerinsylvie]] ([[Discussion utilisateur:Guerinsylvie|discussion]]) 27 mars 2015 à 18:10 (CET) : bigre, bigre ! il y avait pas mal de fautes ! Et je n'ai pas fini de tout corriger ! Quand on veut arriver à un pdf à peu près potable, cela met finalement autant de temps que de rédiger un article de revue. Ma foi, il faut s'accrocher. Je ne peux laisser traîner un tel document si peu soigné. En fait, si je me souviens bien, j'avais transbordé des articles de la Wp ici, sans même trop savoir s'il ne valait mieux pas écrire dans la Wversité ; et puis le fait de travailler seule, après que le petit groupe de travail se soit dissous,m'a fait abandonner. Ecrire un livre, seule, n'était pas ma préoccupation.</text>
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    <title>Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/La chute ralentie sur plan incliné (suite)</title>
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        <username>DavidL</username>
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      <minor />
      <comment>DavidL a déplacé la page [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences, la chute ralentie sur plan incliné (suite)]] vers [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/La chute ralentie sur plan incliné (suite)]]</comment>
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      <text bytes="13929" xml:space="preserve">Ceci est la suite de la leçon : la chute ralentie sur plan incliné ([[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/la chute ralentie sur plan incliné]]).


== Exercices deuxième série ==
=== Auge de Torricelli: ===

Il y a beaucoup de manière d'approcher un arc de cercle; voici celle de Torricelli:avancer horizontalement en A(a/2 ; 0) ; puis monter au point B(a ; h = a²/2R). Dessiner symétriquement l'autre demi-cuvette. Et calculer la période des oscillations.

==== Solution-Auge : ====

Soit V la vitesse atteinte après chute de B en A : le parcours AO dure t= a/2V = 1/2 .sqrt(R/g). Le parcours AB dure AB/[(V+0)/2] soit un peu plus que sqrt(R/g). Donc T = ~ 4.(3/2)sqrt(R/g) ; soit la valeur Pi = ~ 3 ! Ce n'est pas si mal pour une auge aussi rudimentaire.

Galilée disait,lui, que le trajet de B en O durait 2 sqrt(R/g), soit Pi ~ 4 , car il prenait simplement la durée selon la corde BO, durée qui ne dépend pas de la corde et donc est valable pour la verticale! il est en contradiction manifeste avec l'expérience; car si B est très voisin de O sur le cercle, et qu'on lâche simultanément le mobile en B et le mobile en O' à la verticale de O - OO'= 2R, on imagine mal les voir arriver simultanément en O : 1&gt; Pi/4 se voit aisément expérimentalement. Il est fréquent qu'un très grand physicien se trompe aussi, surtout quand une science est en train de naître. Mersenne fût un des premiers à signaler cette faute et à demander la valeur (2Pi), réponse qui ne sera fournie que par Huygens, plus tard.

=== Cercle osculateur de Huygens : ===

30 ans après, les mathématiques des courbes ont beaucoup progressé grâce à Descartes, Fermat surtout. Huygens connaît le résultat : le cercle surosculateur au point O d'une courbe symétrique y = f(x) est R = x²/2f(x), x petit. Il connaît la période de SA cycloïde. Montrer qu'il peut en déduire la période des petites oscillations du pendule simple.

Solution : soit O le point le plus bas de la cycloïde de Huygens: l'équation s'écrit x=~2a. u et y = a u²/2 . Donc R = 4a . Or SA période est 2Pi.sqrt(4a/g). Il l'identifie à la période du pendule circulaire de rayon R =4a. On a enfin le fameux facteur 2Pi.

Remarque : à l'époque, on ne s'exprimait pas ainsi. On comparait un temps à un temps : celui par exemple de la chute libre selon une distance verticale 2R , t0 = 2.sqrt(R/g) et Mersenne avait posé la question de trouver par la théorie le rapport, qu'on savait proche de 2 + sqrt(2). De plus Mersenne avait soigneusement observé que la période des oscillations du pendule circulaire N'ÉTAIT PAS CONSTANTE : elle augmentait légèrement avec l'amplitude; Borda(1733-1799)donna bien plus tard la formule approchée :
 &lt;math&gt;T = T_0 [1 + \frac{\theta_0^2}{16}]&lt;/math&gt;,

l'élongation maximale exprimée en radian. La leçon sur le pendule explicitera tout cela.

===Pourquoi &lt;math&gt;\pi^2&lt;/math&gt; =~g?===
Soit la question : pourquoi 9.8696 est-il proche de g = 9.81 m/s² ? La question peut paraître saugrenue, puisque g dépend des unités! Bonne pioche! c'est de ce côté-là qu'est la réponse.

Réponse : du temps de la Révolution française furent jetées les bases d'un système de Poids et Mesures &quot;pour tous les Temps, pour tous les Hommes&quot;, selon la formule de Talleyrand(grand diplomate français,1754-1838). Il fallait pour une unité les qualités suivantes : 
* être pérenne
* être universelle
* être facilement accessible
* être précise

la longueur d'un pendule simple qui battrait la seconde fût envisagée.[Certainement un des premiers à l'énoncer est [[Isaac Beeckman]] (1588-1637)]. Et l'on savait grâce à la formule de Clairaut comment corriger de la variation de g avec la latitude. Mais on savait que cette formule n'était pas exacte : il y avait quelque écart (après corrections) entre Londres, Paris et Potsdam. On pensait la Terre de révolution : aussi par souci d'universalité, choisît-on le quart du méridien égal à 10 000 km par définition, ce qui était très proche de la longueur du pendule, d'où la réponse : si le mètre avait été la longueur du pendule on aurait eu g = Pi² par définition!

Il s'en est donc fallu d'un décret. Cette définition via le méridien n'était malheureusement pas facilement accessible. On revînt à la longueur entre deux traits tracés sur une règle non dilatable (en platine iridié, à une température de 15°C). La règle fût placée au Pavillon du BIPM et servît pour fabriquer les étalons secondaires de toutes les nations jusqu'en 1959 (cf l'article S.I. dans la WP). Par rapport à cette règle, le méridien fait 40 007 km, car les physiciens n'avaient pas mieux comme précision sur ce méridien, à l'époque ![[un exercice difficile est la mesure d'un arc de méridien, car il s'agit d'un arc d'ellipse ! cela peut se trouver grâce à l'introduction de fonctions de mathématiques supérieures, introduites et calculées pour cela , appelées les fonctions elliptiques.

=== Jeu de Pistes ===
(de réflexion!). 

Soit une piste de ski verte rectiligne de pente alpha. Une débutante Tortor effectue la descente DA = L, schuss, en un temps T, puis parcourt sur le plat la longueur AB = 2L dans le même temps T, soit au total 2T. Jeannot pense plus astucieux de partir d= 10m plus haut.Il raisonne ainsi : certes, je partirai de D, après Tortor, avec un retard sqrt(2d/g'), mais ensuite en chaque point j'aurai une vitesse plus grande qu'elle , et je la dépasserai, peut-être pas en A , mais je suis sur de la dépasser dans le plat. 

Oui! mais à quelle distance Jeannot doit-il placer le poteau d'arrivée P ? Réponse QCM: AP = L/2 ; L ou 2L ? 

_ _ _ 

Réponse : AP = ... .

Solution : L = 1/2.g'.T². Évidemment Jeannot se trouve exactement d = 10m derrière Tortor avec la même vitesse, soit 2L/T , d'où son retard tau = d/(2L/T), mais avec une vitesse légèrement supérieure de 2L/T .(d/2L) = d/T : il ne comblera son retard qu'au bout du temps T, soit au bout de 2L de terrain plat !Donc AP= 2L! Ce qui est très surprenant, c'est que si d&lt;&lt;L , le résultat ne dépende pas de d [en réalité Jeannot double Tortor sur le fil en faisant le calcul complet]: en général, on évalue mal la performance de Jeannot (il faut dire qu'on skie rarement dans le vide !).

2/ Sur un plan incliné d'angle alpha, un skieur au point A doit regagner dans le temps minimum une ligne située plus bas. Il peut descendre schuss selon la ligne de plus grande pente et atteindre le point B. Mais il peut aussi choisir le chemin le plus court qui mène en H tel que AH soit perpendiculaire à la ligne d'arrivée. D'après le théorème des cordes, les deux temps sont identiques. Soit alors M milieu de BH : Le skieur a-t-il intérêt à viser un point entre M et B ou un point entre M et H ? 

Réponse : 

Le temps minimum sera obtenu en suivant la bissectrice de l'angle BAH {le prouver!}: donc le point choisi sera le point I situé entre M et H.

==Jeu de pistes de Mersenne, suite à ceux de Galilée ==
Mersenne a publié très vite après la célèbre publication en Hollande par ELZEVIR des &quot;discorso&quot; sur les deux nouvelles sciences de Galilée( 1638), un traité, les Mechaniques, qui ne sont pas une traduction fidèle de Galilée, mais qui sont intéressantes. En voici qq exercices : voir Lenoble , Clavelin , Drake , etc.

== Mouvement de glissement sur la parabole  ==
( tiré de X 1978 par exemple)

Le problème du toboggan est traité par Cabannes ( p196); revoir l'exercice classique ( Julia) : les courbes telles que le vecteur réaction '''N''' soit constamment nul au cours du mouvement dans le champ de pesanteur sont évidemment les paraboles de chute ! Revoir aussi le pb de la liaison unilatérale : soit une courbe concave de courbure 1/R au point M , et soit '''F''' la force appliquée vers la concavité et faisant l'angle aigu béta avec la normale''' n''' : le rayon de courbure de la trajectoire non liée est tel que mv²/r = F.cos (béta). La particule s'échappe si r &gt; R , ce qui se réécrit F cos(béta) - mv²/R &lt; 0 , ce qui n'est autre que la réaction N, et N &lt; 0 est impossible : d'où décollement hors de la courbe-toboggan.

¤¤¤
 
'''partie I : mouvement sans frottement sur toboggans paraboliques''' : 

1/. Sur la parabole (P1), &lt;math&gt; x= -p \cdot tan \theta&lt;/math&gt;, et &lt;math&gt;y= - p/2 \cdot tan^2 \theta &lt;/math&gt; , et v²= - 2gy .En projetant sur la normale, on trouve la réaction &lt;math&gt; N = mg \cdot cos \theta + mv^2/R&lt;/math&gt;, soit après calcul &lt;math&gt;N = mg \cdot cos^3 \theta &gt; 0&lt;/math&gt; , donc la particule ne décolle pas. 

Sur le tronçon convexe P2), intuitivement la particule décollera encore moins et atteindra le point B de jonction avec le tronçon (P3).

2/.Sur la parabole (P3), on veut encore avoir N &gt; 0 avec cette fois &lt;math&gt; N/m = g \cdot cos \beta + 2g y_B /q \cdot cos^3 \beta&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;y_B = p/2 \cdot tan^2 \beta - 2 p/2 \cdot tan^2 \alpha&lt;/math&gt;, ce qui donne la relation R1 demandée : &lt;math&gt;p(tan^2 \beta - 2 tan^2 \alpha) + q/cos^2 \beta &gt; 0&lt;/math&gt;. {Remarque : on peut aussi utiliser le cours d'introduction en écrivant r&lt; R, ce qui redonne aisément &lt;math&gt; v^2/g cos\beta  &lt; -R = q/cos^3\beta&lt;/math&gt;, d'où  &lt;math&gt;2y_B +q/cos^2 \beta &gt; 0&lt;/math&gt;; or sur une parabole &lt;math&gt; 2y + q \cdot tan^2\theta = cste = valeur en B&lt;/math&gt;, soit (R1) }. La particule atteint O3 si sa cote est négative, d'où la condition (R2) : &lt;math&gt; p ( tan^2\beta - 2tan^2\alpha + q (tan^2\beta) &lt; 0&lt;/math&gt; : (R1) et (R2)sont compatibles.

3/.Si la particule décolle, il y a &quot;chute libre&quot;, évidemment si y &gt; y(P3), soit si &lt;math&gt; -g/v_o^2cos^2\beta &gt; -1/q&lt;/math&gt;, ce qui n'est autre que la condition (R1), certes !

'''partie II : mouvement avec frottement solide :''' 

intuitivement, il faut se référer à ce que l'on connaît du plan incliné : si &lt;math&gt;\theta&lt; Arctan f &lt;/math&gt;, v décroît et sinon v croît. MAIS, il faut rajouter l'effet courbure de la parabole, et donc ici c'est &lt;math&gt;v \cdot exp f \theta &lt;/math&gt; qui jouera le rôle de v. Que l'équation différentielle s'intègre n'est sans doute pas fortuit, car si en un point Po, &lt;math&gt; f(\theta) = v^2 +gp(1+tan^2 \theta) = 0&lt;/math&gt; , cela annule N , et donc la parabole (P) est osculatrice à la parabole de chute libre, mais alors c'est CETTE parabole-ELLE-MEME, et donc N reste nulle, et donc le frottement ne doit jouer aucun rôle, et donc le signe de l'expression précédente va rester cst : c'est bien ce à quoi va conduire la question 1 : f(\theta). exp(2f \theta)= cste. Une fois comprise cette &quot;explication&quot; , le reste des questions est une suite d'inégalités assez &quot;taupe&quot; .

1/. écrivons donc : &lt;math&gt; m dv/dt = -mg \cdot (sin \theta - f \cdot cos\theta) + fmv^2/R&lt;/math&gt;, et remarquons que &lt;math&gt;dv/dt = 1/2 dv^2/d\theta /R&lt;/math&gt; et le &quot;miracolo de Padua&quot; arrive : l'équation s'intègre car &lt;math&gt;R cos\theta = p /cos^2\theta = 2y + cte&lt;/math&gt; et il en résulte que &lt;math&gt;d( v^2 +gp/cos^2) + 2f ( v^2 +gp/cos^2)d\theta = 0&lt;/math&gt;, soit par intégration : 

&lt;math&gt;(v^2+gp/\cos^2\theta)\cdot e^{2f\theta} = cste&lt;/math&gt; . CQFD.

Galilée ne savait pas traiter cela ! gageons que Torricelli non plus !

==Chute ralentie et système du premier ordre==

c'est une leçon très importante : l'équation dV/dt = g sinA -k V en est le pré-texte.

*'''[[Électrocinétique]] linéaire-règles'''

Juste quelques rappels qu'on peut sauter

*Une capacité C d'un condensateur est la fonction suivante :

à la borne A, la plaque porte la charge &lt;math&gt;q_A&lt;/math&gt; (algébrique)telle que 

&lt;math&gt;q_A = - q_B = C \cdot U_{AB}= C (V_A - V_B)&lt;/math&gt;. C est en farad ; 1 F= 1 volt/coulomb.

Si q est c_ , alors U est c_.

*Une auto-inductance L d'un solénoïde est la fonction suivante :

&lt;math&gt; U_{AB} = L \frac{dI_A}{dt}&lt;/math&gt; . L est en henry ; 1 H = 1 volt-seconde/coulomb.

Si U est c_ , alors la dérivée de I est c_ .

*Dans des cas très spéciaux de discontinuités ou de C(t) ou de L(t) , il faut revenir sur la définition de ces 2 composants.
*L'électrocinétique linéaire consiste à &quot;bidouiller&quot; des équations-différentielles construites autour de circuits électriques bâtis avec ce type de composants ( et qq autres LINEAIRES simples, mais pas à retard et pas dépendant du temps ! ). Smale s'est payé le luxe d'écrire une bafouille là-dessus !


===Variables d'état ===

Théorème : tout système linéaire d'équations différentielles linéaires à coefficients constants réels peut en choisissant convenablement les variables d'état se ramener à :

&lt;math&gt; \dot X = A \cdot X&lt;/math&gt;, 

A matrice réelle, et X appelé vecteur qualifiant l'état du système.

=== Résolution par Euler ===

&lt;math&gt;X(t) = exp(A t) \cdot X(t_0)&lt;/math&gt;

*Critère de stabilité : det( A -p I) = 0 doit être un polynôme P(p) de Hurwitz.

=== Modes propres et symétries ===

Très souvent en mécanique, il s'agit d'oscillateurs couplés dont les vibrations sont somme de modes propres : un '''mode propre''' est le cas d'un vecteur d'état dont tous les points ont une évolution temporelle homothétique : &lt;math&gt; X(t) = X_k \exp {(p_k \cdot t)}&lt;/math&gt; , avec pk racine du polynôme de Hurwitz. Cette notion de mode-homothétique a été développée par Fourier (~1820) : qu'un mouvement (apparemment compliqué) soit superposition linéaire de mouvements aussi simples lui est apparu comme &quot;une révélation mystique&quot;. Évidemment, cela ne vaut que pour ce type d'équations.

*S'il y a '''symétrie''', il existe une façon de décomposer l'espace des états en sous-espaces orthogonaux, ce qui facilite grandement le calcul de exp(At).

*L'essentiel est dit : se reporter au Gantmacher (théorie des matrices) pour plus de précisions, ou à un livre sur les sys_lin (Gilles, Pélegrin)

== Retour==
retour à [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences]]

[[Catégorie:Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences (livre)]]</text>
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        <username>DavidL</username>
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      <text bytes="14008" xml:space="preserve">&lt;noinclude&gt;{{Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences}}&lt;/noinclude&gt;

Ceci est la suite de la leçon : la chute ralentie sur plan incliné ([[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/la chute ralentie sur plan incliné]]).


== Exercices deuxième série ==
=== Auge de Torricelli: ===

Il y a beaucoup de manière d'approcher un arc de cercle; voici celle de Torricelli:avancer horizontalement en A(a/2 ; 0) ; puis monter au point B(a ; h = a²/2R). Dessiner symétriquement l'autre demi-cuvette. Et calculer la période des oscillations.

==== Solution-Auge : ====

Soit V la vitesse atteinte après chute de B en A : le parcours AO dure t= a/2V = 1/2 .sqrt(R/g). Le parcours AB dure AB/[(V+0)/2] soit un peu plus que sqrt(R/g). Donc T = ~ 4.(3/2)sqrt(R/g) ; soit la valeur Pi = ~ 3 ! Ce n'est pas si mal pour une auge aussi rudimentaire.

Galilée disait,lui, que le trajet de B en O durait 2 sqrt(R/g), soit Pi ~ 4 , car il prenait simplement la durée selon la corde BO, durée qui ne dépend pas de la corde et donc est valable pour la verticale! il est en contradiction manifeste avec l'expérience; car si B est très voisin de O sur le cercle, et qu'on lâche simultanément le mobile en B et le mobile en O' à la verticale de O - OO'= 2R, on imagine mal les voir arriver simultanément en O : 1&gt; Pi/4 se voit aisément expérimentalement. Il est fréquent qu'un très grand physicien se trompe aussi, surtout quand une science est en train de naître. Mersenne fût un des premiers à signaler cette faute et à demander la valeur (2Pi), réponse qui ne sera fournie que par Huygens, plus tard.

=== Cercle osculateur de Huygens : ===

30 ans après, les mathématiques des courbes ont beaucoup progressé grâce à Descartes, Fermat surtout. Huygens connaît le résultat : le cercle surosculateur au point O d'une courbe symétrique y = f(x) est R = x²/2f(x), x petit. Il connaît la période de SA cycloïde. Montrer qu'il peut en déduire la période des petites oscillations du pendule simple.

Solution : soit O le point le plus bas de la cycloïde de Huygens: l'équation s'écrit x=~2a. u et y = a u²/2 . Donc R = 4a . Or SA période est 2Pi.sqrt(4a/g). Il l'identifie à la période du pendule circulaire de rayon R =4a. On a enfin le fameux facteur 2Pi.

Remarque : à l'époque, on ne s'exprimait pas ainsi. On comparait un temps à un temps : celui par exemple de la chute libre selon une distance verticale 2R , t0 = 2.sqrt(R/g) et Mersenne avait posé la question de trouver par la théorie le rapport, qu'on savait proche de 2 + sqrt(2). De plus Mersenne avait soigneusement observé que la période des oscillations du pendule circulaire N'ÉTAIT PAS CONSTANTE : elle augmentait légèrement avec l'amplitude; Borda(1733-1799)donna bien plus tard la formule approchée :
 &lt;math&gt;T = T_0 [1 + \frac{\theta_0^2}{16}]&lt;/math&gt;,

l'élongation maximale exprimée en radian. La leçon sur le pendule explicitera tout cela.

===Pourquoi &lt;math&gt;\pi^2&lt;/math&gt; =~g?===
Soit la question : pourquoi 9.8696 est-il proche de g = 9.81 m/s² ? La question peut paraître saugrenue, puisque g dépend des unités! Bonne pioche! c'est de ce côté-là qu'est la réponse.

Réponse : du temps de la Révolution française furent jetées les bases d'un système de Poids et Mesures &quot;pour tous les Temps, pour tous les Hommes&quot;, selon la formule de Talleyrand(grand diplomate français,1754-1838). Il fallait pour une unité les qualités suivantes : 
* être pérenne
* être universelle
* être facilement accessible
* être précise

la longueur d'un pendule simple qui battrait la seconde fût envisagée.[Certainement un des premiers à l'énoncer est [[Isaac Beeckman]] (1588-1637)]. Et l'on savait grâce à la formule de Clairaut comment corriger de la variation de g avec la latitude. Mais on savait que cette formule n'était pas exacte : il y avait quelque écart (après corrections) entre Londres, Paris et Potsdam. On pensait la Terre de révolution : aussi par souci d'universalité, choisît-on le quart du méridien égal à 10 000 km par définition, ce qui était très proche de la longueur du pendule, d'où la réponse : si le mètre avait été la longueur du pendule on aurait eu g = Pi² par définition!

Il s'en est donc fallu d'un décret. Cette définition via le méridien n'était malheureusement pas facilement accessible. On revînt à la longueur entre deux traits tracés sur une règle non dilatable (en platine iridié, à une température de 15°C). La règle fût placée au Pavillon du BIPM et servît pour fabriquer les étalons secondaires de toutes les nations jusqu'en 1959 (cf l'article S.I. dans la WP). Par rapport à cette règle, le méridien fait 40 007 km, car les physiciens n'avaient pas mieux comme précision sur ce méridien, à l'époque ![[un exercice difficile est la mesure d'un arc de méridien, car il s'agit d'un arc d'ellipse ! cela peut se trouver grâce à l'introduction de fonctions de mathématiques supérieures, introduites et calculées pour cela , appelées les fonctions elliptiques.

=== Jeu de Pistes ===
(de réflexion!). 

Soit une piste de ski verte rectiligne de pente alpha. Une débutante Tortor effectue la descente DA = L, schuss, en un temps T, puis parcourt sur le plat la longueur AB = 2L dans le même temps T, soit au total 2T. Jeannot pense plus astucieux de partir d= 10m plus haut.Il raisonne ainsi : certes, je partirai de D, après Tortor, avec un retard sqrt(2d/g'), mais ensuite en chaque point j'aurai une vitesse plus grande qu'elle , et je la dépasserai, peut-être pas en A , mais je suis sur de la dépasser dans le plat. 

Oui! mais à quelle distance Jeannot doit-il placer le poteau d'arrivée P ? Réponse QCM: AP = L/2 ; L ou 2L ? 

_ _ _ 

Réponse : AP = ... .

Solution : L = 1/2.g'.T². Évidemment Jeannot se trouve exactement d = 10m derrière Tortor avec la même vitesse, soit 2L/T , d'où son retard tau = d/(2L/T), mais avec une vitesse légèrement supérieure de 2L/T .(d/2L) = d/T : il ne comblera son retard qu'au bout du temps T, soit au bout de 2L de terrain plat !Donc AP= 2L! Ce qui est très surprenant, c'est que si d&lt;&lt;L , le résultat ne dépende pas de d [en réalité Jeannot double Tortor sur le fil en faisant le calcul complet]: en général, on évalue mal la performance de Jeannot (il faut dire qu'on skie rarement dans le vide !).

2/ Sur un plan incliné d'angle alpha, un skieur au point A doit regagner dans le temps minimum une ligne située plus bas. Il peut descendre schuss selon la ligne de plus grande pente et atteindre le point B. Mais il peut aussi choisir le chemin le plus court qui mène en H tel que AH soit perpendiculaire à la ligne d'arrivée. D'après le théorème des cordes, les deux temps sont identiques. Soit alors M milieu de BH : Le skieur a-t-il intérêt à viser un point entre M et B ou un point entre M et H ? 

Réponse : 

Le temps minimum sera obtenu en suivant la bissectrice de l'angle BAH {le prouver!}: donc le point choisi sera le point I situé entre M et H.

==Jeu de pistes de Mersenne, suite à ceux de Galilée ==
Mersenne a publié très vite après la célèbre publication en Hollande par ELZEVIR des &quot;discorso&quot; sur les deux nouvelles sciences de Galilée( 1638), un traité, les Mechaniques, qui ne sont pas une traduction fidèle de Galilée, mais qui sont intéressantes. En voici qq exercices : voir Lenoble , Clavelin , Drake , etc.

== Mouvement de glissement sur la parabole  ==
( tiré de X 1978 par exemple)

Le problème du toboggan est traité par Cabannes ( p196); revoir l'exercice classique ( Julia) : les courbes telles que le vecteur réaction '''N''' soit constamment nul au cours du mouvement dans le champ de pesanteur sont évidemment les paraboles de chute ! Revoir aussi le pb de la liaison unilatérale : soit une courbe concave de courbure 1/R au point M , et soit '''F''' la force appliquée vers la concavité et faisant l'angle aigu béta avec la normale''' n''' : le rayon de courbure de la trajectoire non liée est tel que mv²/r = F.cos (béta). La particule s'échappe si r &gt; R , ce qui se réécrit F cos(béta) - mv²/R &lt; 0 , ce qui n'est autre que la réaction N, et N &lt; 0 est impossible : d'où décollement hors de la courbe-toboggan.

¤¤¤
 
'''partie I : mouvement sans frottement sur toboggans paraboliques''' : 

1/. Sur la parabole (P1), &lt;math&gt; x= -p \cdot tan \theta&lt;/math&gt;, et &lt;math&gt;y= - p/2 \cdot tan^2 \theta &lt;/math&gt; , et v²= - 2gy .En projetant sur la normale, on trouve la réaction &lt;math&gt; N = mg \cdot cos \theta + mv^2/R&lt;/math&gt;, soit après calcul &lt;math&gt;N = mg \cdot cos^3 \theta &gt; 0&lt;/math&gt; , donc la particule ne décolle pas. 

Sur le tronçon convexe P2), intuitivement la particule décollera encore moins et atteindra le point B de jonction avec le tronçon (P3).

2/.Sur la parabole (P3), on veut encore avoir N &gt; 0 avec cette fois &lt;math&gt; N/m = g \cdot cos \beta + 2g y_B /q \cdot cos^3 \beta&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;y_B = p/2 \cdot tan^2 \beta - 2 p/2 \cdot tan^2 \alpha&lt;/math&gt;, ce qui donne la relation R1 demandée : &lt;math&gt;p(tan^2 \beta - 2 tan^2 \alpha) + q/cos^2 \beta &gt; 0&lt;/math&gt;. {Remarque : on peut aussi utiliser le cours d'introduction en écrivant r&lt; R, ce qui redonne aisément &lt;math&gt; v^2/g cos\beta  &lt; -R = q/cos^3\beta&lt;/math&gt;, d'où  &lt;math&gt;2y_B +q/cos^2 \beta &gt; 0&lt;/math&gt;; or sur une parabole &lt;math&gt; 2y + q \cdot tan^2\theta = cste = valeur en B&lt;/math&gt;, soit (R1) }. La particule atteint O3 si sa cote est négative, d'où la condition (R2) : &lt;math&gt; p ( tan^2\beta - 2tan^2\alpha + q (tan^2\beta) &lt; 0&lt;/math&gt; : (R1) et (R2)sont compatibles.

3/.Si la particule décolle, il y a &quot;chute libre&quot;, évidemment si y &gt; y(P3), soit si &lt;math&gt; -g/v_o^2cos^2\beta &gt; -1/q&lt;/math&gt;, ce qui n'est autre que la condition (R1), certes !

'''partie II : mouvement avec frottement solide :''' 

intuitivement, il faut se référer à ce que l'on connaît du plan incliné : si &lt;math&gt;\theta&lt; Arctan f &lt;/math&gt;, v décroît et sinon v croît. MAIS, il faut rajouter l'effet courbure de la parabole, et donc ici c'est &lt;math&gt;v \cdot exp f \theta &lt;/math&gt; qui jouera le rôle de v. Que l'équation différentielle s'intègre n'est sans doute pas fortuit, car si en un point Po, &lt;math&gt; f(\theta) = v^2 +gp(1+tan^2 \theta) = 0&lt;/math&gt; , cela annule N , et donc la parabole (P) est osculatrice à la parabole de chute libre, mais alors c'est CETTE parabole-ELLE-MEME, et donc N reste nulle, et donc le frottement ne doit jouer aucun rôle, et donc le signe de l'expression précédente va rester cst : c'est bien ce à quoi va conduire la question 1 : f(\theta). exp(2f \theta)= cste. Une fois comprise cette &quot;explication&quot; , le reste des questions est une suite d'inégalités assez &quot;taupe&quot; .

1/. écrivons donc : &lt;math&gt; m dv/dt = -mg \cdot (sin \theta - f \cdot cos\theta) + fmv^2/R&lt;/math&gt;, et remarquons que &lt;math&gt;dv/dt = 1/2 dv^2/d\theta /R&lt;/math&gt; et le &quot;miracolo de Padua&quot; arrive : l'équation s'intègre car &lt;math&gt;R cos\theta = p /cos^2\theta = 2y + cte&lt;/math&gt; et il en résulte que &lt;math&gt;d( v^2 +gp/cos^2) + 2f ( v^2 +gp/cos^2)d\theta = 0&lt;/math&gt;, soit par intégration : 

&lt;math&gt;(v^2+gp/\cos^2\theta)\cdot e^{2f\theta} = cste&lt;/math&gt; . CQFD.

Galilée ne savait pas traiter cela ! gageons que Torricelli non plus !

==Chute ralentie et système du premier ordre==

c'est une leçon très importante : l'équation dV/dt = g sinA -k V en est le pré-texte.

*'''[[Électrocinétique]] linéaire-règles'''

Juste quelques rappels qu'on peut sauter

*Une capacité C d'un condensateur est la fonction suivante :

à la borne A, la plaque porte la charge &lt;math&gt;q_A&lt;/math&gt; (algébrique)telle que 

&lt;math&gt;q_A = - q_B = C \cdot U_{AB}= C (V_A - V_B)&lt;/math&gt;. C est en farad ; 1 F= 1 volt/coulomb.

Si q est c_ , alors U est c_.

*Une auto-inductance L d'un solénoïde est la fonction suivante :

&lt;math&gt; U_{AB} = L \frac{dI_A}{dt}&lt;/math&gt; . L est en henry ; 1 H = 1 volt-seconde/coulomb.

Si U est c_ , alors la dérivée de I est c_ .

*Dans des cas très spéciaux de discontinuités ou de C(t) ou de L(t) , il faut revenir sur la définition de ces 2 composants.
*L'électrocinétique linéaire consiste à &quot;bidouiller&quot; des équations-différentielles construites autour de circuits électriques bâtis avec ce type de composants ( et qq autres LINEAIRES simples, mais pas à retard et pas dépendant du temps ! ). Smale s'est payé le luxe d'écrire une bafouille là-dessus !


===Variables d'état ===

Théorème : tout système linéaire d'équations différentielles linéaires à coefficients constants réels peut en choisissant convenablement les variables d'état se ramener à :

&lt;math&gt; \dot X = A \cdot X&lt;/math&gt;, 

A matrice réelle, et X appelé vecteur qualifiant l'état du système.

=== Résolution par Euler ===

&lt;math&gt;X(t) = exp(A t) \cdot X(t_0)&lt;/math&gt;

*Critère de stabilité : det( A -p I) = 0 doit être un polynôme P(p) de Hurwitz.

=== Modes propres et symétries ===

Très souvent en mécanique, il s'agit d'oscillateurs couplés dont les vibrations sont somme de modes propres : un '''mode propre''' est le cas d'un vecteur d'état dont tous les points ont une évolution temporelle homothétique : &lt;math&gt; X(t) = X_k \exp {(p_k \cdot t)}&lt;/math&gt; , avec pk racine du polynôme de Hurwitz. Cette notion de mode-homothétique a été développée par Fourier (~1820) : qu'un mouvement (apparemment compliqué) soit superposition linéaire de mouvements aussi simples lui est apparu comme &quot;une révélation mystique&quot;. Évidemment, cela ne vaut que pour ce type d'équations.

*S'il y a '''symétrie''', il existe une façon de décomposer l'espace des états en sous-espaces orthogonaux, ce qui facilite grandement le calcul de exp(At).

*L'essentiel est dit : se reporter au Gantmacher (théorie des matrices) pour plus de précisions, ou à un livre sur les sys_lin (Gilles, Pélegrin)

== Retour==
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    <title>Mécanique, enseignée via l'histoire des Sciences/La chute avec résistance de l'air</title>
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      <comment>DavidL a déplacé la page [[Mécanique, enseignée via l'histoire des Sciences, la chute avec résistance de l'air]] vers [[Mécanique, enseignée via l'histoire des Sciences/La chute avec résistance de l'air]]</comment>
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      <text bytes="7453" xml:space="preserve">La chute avec résistance de l'air comprend deux parties : l'une, 1D, traite du problème à une dimension sur l'axe Oz ; l'autre traite de la balistique extérieure, c'est à dire le mouvement 2D, en {x,z}.

==Mouvement de chute sans vitesse initiale ==
La modélisation de la résistance de l'air ne sera pas discutée ici : on admettra simplement que c'est , en math, une force selon la tangente, s'opposant à la vitesse, de module f(v) adapté selon les modèles. Les deux premiers modèles sont les plus importants. 

=== mouvement à  résistance &quot;linéaire&quot;===
La résistance est supposée être linéaire en v .
L'équation étudiée sera donc :
 
&lt;math&gt;\ddot{z} = g - k \dot z&lt;/math&gt;

Changeons légèrement la notation : 

&lt;math&gt;\ddot{z} = g - \frac 1 \tau \dot z&lt;/math&gt;

En choisissant les unités-réduites &lt;math&gt;g = 1&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\tau = 1&lt;/math&gt;, on construit un système cinématique : il faut et suffit d'étudier

&lt;math&gt;\ddot{z} = 1 -  \dot z&lt;/math&gt; 

pour ce qui est de l'étude algèbre-analyse ; mais ce n'est pas toujours judicieux ( parfois, il vaut mieux garder les &quot;unités&quot; ).

Ici, on trouve assez vite, avec vo = 0 : 

&lt;math&gt;v = g\tau .( 1- e^{-\frac t \tau} )&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;z = g\tau.(t-\tau) + g \tau^2 .e^{-\frac t \tau}&lt;/math&gt;

au bout de quelques &lt;math&gt;\tau&lt;/math&gt;,τ, le mouvement est de vitesse constante &lt;math&gt;V_{limite} = g\tau&lt;/math&gt;

====notes====

'''note''' : L'ajout d'une vitesse initiale Vo ne vient rien rajouter de spécial au mouvement, car la condition-initiale &quot;s'épuise&quot;  au bout de qq τ : il convient juste de rajouter : à la vitesse , Vo .exp(-t/τ) et à l'abscisse z , le terme , Vo.τ( 1- exp(-t/τ)). Inutile de donner au projectile une énergie cinétique énorme si le mouvement est à étudier pendant une durée supérieure à qq tau : elle sera irréductiblement consommée. Et c'est indépendant de Vo ! on veut dire que la '''constante de temps''' τ est indépendante de V0 ;  certes la distance atteinte néanmoins sera un peu plus grande : d = qq Vo.τ mais ne sera que linéaire en Vo.


note2 : on vérifie que si t&lt;&lt;&lt; τ, on retrouve : z = 1/2 g t² , et si le terme t/τ est petit , v = gt - z /τ = ~  gt -1/2 gt²/τ.  et bien sûr z = 1/2 gt²(1- t/3τ) : ce qui est pertinent z(t) est moins grand car z&quot; est moins grand { on a simplement fait, en maple, series(z(t), t=0)}.

note3 : si Vo n'est pas nul , et très grand ( devant gτ ) , alors le dl doit commencer par Vo.t , mais comme on l'a dit, la vitesse &quot;relaxe&quot; vers la valeur-limite.

note4 : on  pourra vérifier la conservation de l'énergie-puissance : à chaque instant v.dv/dt = g.v - kv.v ; on peut aussi remarquer une autre écriture v.dv/dx = g - kv , certes assez bizarre.

note5 : la résistance linéaire en -kV n'est réaliste que pour des petites particules de brouillard sédimentant doucement dans l'air. Evidemment, dans un fluide plus visqueux, le résultat est différent. 

===mouvement plus réaliste, à résistance quadratique ===
la résistance est en V².
L'équation étudiée sera, axe dirigé vers le bas :

&lt;math&gt;\dot{v} = g - k v^2.sgn(V)&lt;/math&gt;

Changeons légèrement les notations  et supposons la vitesse vers le bas) :

&lt;math&gt;\dot{v} = g - v^2/H&lt;/math&gt; 

En choisissant les unités réduites g=1 et H= 1, cela permettra éventuellement de réduire l'algèbre-analyse. ( et on pose g.T²= H).

&lt;math&gt;\dot{v} = 1 - v^2&lt;/math&gt; :

on voit &quot;apparaître&quot; la fonction tanh(t). Mais '''attention''', si on change le sgn de la vitesse , -1 - v² apparaît , et cela sera tan(t) qui apparaîtra .

la solution du mouvement est donc : 

&lt;math&gt;v(t) = V_l . \tanh( t/T) ~&lt;/math&gt; ou bien 

&lt;math&gt;v^2(x) = gH [1- e^{-2z/H}] ~&lt;/math&gt;

&lt;math&gt; z(t) = H Log \cosh(t/T)= V_l.t -H Log 2 + H Log ( 1- e^{-2t/T} )~&lt;/math&gt;

====notes====

'''note 1''' : Si on réécrit l'équation sous la forme : 

&lt;math&gt;v.\frac{dv}{dx} = g - v^2/H&lt;/math&gt;, 

on voit que 2.Ec := v²  va s'épuiser avec une '''constante de longueur 2H''' : inutile de &quot;consommer&quot; trop d'énergie au départ si l'on compte aller plus loin que qq H , cette énergie va s'épuiser. remarquer que ici c'est une distance qq H qui est fixée ; c'est le temps mis qui dépendra de Vo, typiquement de l'ordre de H/Vo.

'''note 2''' : cette fois l'action de la condition initiale Vo est plus difficile à visualiser, car l'équation n'est pas linéaire ; il faut vraiment intégrer : 

&lt;math&gt;2E_c(x) = gH + (V_0^2-gH)e^{-2z/H}&lt;/math&gt; cela est facile en termes de z ; mais si l'on veut faire intervenir le temps, il vaut mieux faire un décalage temporel de temps ; et calculer le temps antérieur depuis lequel il faut lâcher le mobile pour qu'il arrive à l'instant t=0, en z=0 avec la vitesse Vo = gH tanh(ta/T) , alors V(t) = gH tanh[(t+ta)/T] ; sinon pas d'expression simple. 

'''note3''' : Mais '''attention''' : si le mobile part avec une vitesse vers le haut, on rappelle que la forme analytique du mouvement est légèrement différente ( symétrie de Corinne) : V(t) = gH tan[ta-t)/H], vers le haut, et quand t sera égal à ta avec Vo= gH tan(ta/T), le mouvement reprendra comme dit plus haut.

'''note 4''' : la leçon n'a pas vocation à discuter tous les Cx du monde : R(V) = -1/2 Cx . a S V² , où a = masse volumique du fluide ( en général l'air) , S le maître-couple , donc ici sphère : Pi.R² . et Cx = 0.5 .On apprend parfois (1/2Cx)= 0.25 ce qui est heureusement identique ; une demi-sphère inverse ( sorte de parachute), c'est Cx ~1 et un corps profilé peut donner ~ 0.05.

'''note.5''' : cas dv/dt = g - v^n = 1-v^n : il apparaît clair maintenant, que plus l'exposant n sera élevé, et plus le mobile atteindra vite l'asymptote : le cas-limite de n très grand, représentant une sorte de &quot;mur de vitesse&quot; : le mobile ne s'aperçoit de rien : donc v = gt , puis au temps t = V_limite/g , boum : v = cste = V_limite.

Enfin, si la résistance est tq dv/dt = 1- f(v)/f(V1) avec f(v) croissante, on voit qu'il s'agira à peu près du même mouvement.

si par contre, f(v) n'est pas croissante ( crise par décollement de couche-limite): il faut regarder si 1-f(v)/f(V1) reste positif toujours : si oui, pas de bobo : v va croître vers V1 ; mais si mg = R(V) a trois racines, avec R(V) f cubique par exemple : V1 et V3 seront racines attractrices , mais V2 sera &quot;répulsive&quot;  : selon que la balle atteint ou non V2 , la vitesse-limite sera différente : V1 ou V3 : conclusion : '''dès que f(V) n'est pas monotone ''' reprendre le pb à la base : ce sera le cas des balles de golf.

==distinguer les cas==

Comment distinguer expérimentalement le cas linéaire ou quadratique, ou en V^n ? ce n'est pas si facile que l'on pourrait croire ! En effet, la courbe expérimentale va enregistrer des positions aux différents temps successifs. On pourra en tirer avec une moindre précision v(k) au temps t(k) et à la position x(k). L'hodographe aura toujours la même allure : existence d'une vitesse limite V_l , càd d'une asymptote. La tangente à l'origine sera toujours V= gt. Donc la forme générale de la courbe est la même. Il s'agit de distinguer y = tanh(t) de y = 1- exp-t. Pas si facile. La courbe y = tanh(t) suit &quot;plus longtemps&quot; sa tangente, mais brr...
Les tests pour vérifier un caractère d'ordre 1 ou 2 sont jouables ; mais encore une fois ne pas espérer trancher aisément.

==voir aussi ==
balistique extérieure

== retour ==
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences ]]

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    <title>Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/La balistique extérieure</title>
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      <comment>DavidL a déplacé la page [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences, la balistique extérieure]] vers [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/La balistique extérieure]]</comment>
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      <text bytes="26188" xml:space="preserve">La balistique extérieure, ici, concerne le mouvement d'un '''point matériel''' &lt;ref&gt;Ceci ne concerne pas des pans entiers de la balistique extérieure : celle des sports de ballon en particulier. Certes intéressants aussi, mais ... chaque chose en son temps (ici les traités sont déjà assez lourds )&lt;/ref&gt; soumis à la [[w:pesanteur|pesanteur]] uniforme, selon son poids mg et la résistance de l'air notée mg f(v).

Ce qu'il y a de plus caractéristique par rapport au mouvement de [[w:Evangelista_Torricelli#Parabole de sûreté|Torricelli]] est l'apparition d'une [[w:asymptote|'''asymptote''']], ce que savaient bien les artilleurs : [[w:Niccolo Fontana Tartaglia|Tartaglia]], Ufano, etc.

Il faudra se souvenir essentiellement de l'équation de [[w:Hodographe|l'hodographe]] : 

&lt;math&gt;\frac{dV_x}{d\phi}= - f(v).v&lt;/math&gt;

Ici &lt;math&gt;V_x&lt;/math&gt; est la composante horizontale du vecteur vitesse, et &lt;math&gt;\phi&lt;/math&gt; l'angle complémentaire de l'angle de hauteur &lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt; (on dit parfois la déclinaison) : comme &lt;math&gt;\phi&lt;/math&gt; ne cesse d'augmenter, &lt;math&gt;V_x&lt;/math&gt; diminue toujours et finit par tendre vers zéro. Qui plus est, x(t) reste fini.

Cette leçon sera développée du point de vue historique, pour mieux préciser les rôles des chercheurs dans ce domaine.

Elle sera excessivement développée par rapport au cours technique classique, mais ...elle pourra servir de référence... ?

== Mouvement ; asymptote ==

Le cas d'un point matériel soumis à un champ de pesanteur uniforme tombant sans vitesse initiale est traité dans l'article [[Chute avec résistance de l'air]]. Il a fait apparaître la notion très importante de ''vitesse-limite''. De même dans le cas d'un projectile, il apparaît la notion d'asymptote de la trajectoire.

La restriction champ de pesanteur uniforme est gardée ici ; si la trajectoire du mobile dépasse 100km, il faut modifier.

Le vecteur vitesse sera repéré par son module v et son angle de hauteur A : les composantes cartésiennes sont donc &lt;math&gt;V_x = v \cos A \quad ; \quad V_y = v \sin A&lt;/math&gt;.

L'analyse des forces est : poids mg  et résistance fluide  de module r(v): = mg f(v), de direction opposée à la vitesse.
=== [[Hodographe]] ===
L'accélération montre que la courbe est concave vers le bas : donc, quand l'abscisse curviligne s augmente, l'angle de la vitesse avec l'horizontale, A(t)  diminue de sa valeur initiale Ao à -90° : la fonction t-&gt; - A(t),fonction croissante monotone, peut être avantageusement choisie comme '''échelle de temps''':
====échelle des temps ====
*Les équations de Frenet donnent :
*dv/dt = -g sinA -g.f(v)
*mv²/R = mg cosA soit -v.dA/dt = g cosA.

d'où l'échelle de temps : dt = -V(A)/(g cosA).dA

On en tirera dx = -v²/g .dA ; dy =dx.tanA pour avoir la trajectoire, dont les coordonnées intrinsèques sont R = V²(A)/(g.cosA) ;

====équation dite hodographe de la balistique ====

En éliminant dt :
&lt;math&gt;d(v \cos A)/dA = v.f(v) ~&lt;/math&gt;
 
équation du premier ordre, avec C.I. de Cauchy ( Ao, Vo).

D'où v = V(A), ce qui est l'[[hodographe]] en coordonnées polaires.

Quand A tend vers -90°,développer la dérivée, '''v tend vers une limite V1''' telle que : 

'''f(V1) = 1'''

On retrouve la notion de vitesse-limite de l'article [[chute avec résistance de l'air]].

===La trajectoire ===
Pour obtenir la trajectoire, il ''suffit'' donc d'intégrer l'équation précédente, puis :

&lt;math&gt; -g \, dx = v^2 \,\cdot dA \quad -g\,dy = v^2 \,\tan A \,\cdot dA \quad -g\,dt= v \,\sec A \,\cdot dA  \quad -g\,ds = v^2\,\sec A \,\cdot dA ~&lt;/math&gt;

Tout s'exprime donc &quot;à une quadrature près&quot; si on sait résoudre l'équation de l'hodographe (Bernoulli, 1695). 

Cette trajectoire est dissymétrique par rapport à sa culmination (qui correspond à A = 0), car l'équation (B) donne v(A) &gt; v(-A) et x(t) représente l'aire balayée par l'hodographe (cf. [[Vitesse#Coordonnées polaires|vitesse aréolaire]]).

==== asymptote de la trajectoire ====
L'immense différence avec le cas de Torricelli est que :
* la vitesse est bornée par V1 et ne croît donc pas indéfiniment.
* et x est fonction croissante du temps mais majorée par V1²/g .Pi/2 donc bornée : '''la portée est finie''', quelle que soit la &quot;hauteur de la citadelle&quot; : c'est bien ce qu'affirmaient les artilleurs, la [[trajectoire parabolique]] de Torricelli n'étant solution valable que dans le cas irréaliste où l'on néglige la résistance de l'air.

=== Cas intégrables ===
L'équation de l'hodographe est donc l'équation fondamentale de la Balistique.

*Le cas le plus facile d'intégrabilité est donné par Lagrange : f(v) = kv^n = (v/V1)^n . L'équation est alors une [[équation de Bernoulli]], et s'intègre comme telle ( on obtient une équation différentielle '''linéaire''', du premier ordre ).
*Drach(CRAS1914) donne les différentes formes de f(V) pour lesquelles l'intégration est possible, y compris via les fonctions elliptiques.
* En pratique, les artilleurs préfèrent une intégration numérique de (B), compte-tenu de la formule empirique de f(V) déterminée en soufflerie ; il faut en effet tenir compte de la variation de la densité de l'air avec l'altitude, donc en réalité f(V)*d(z), ce qui est plus dur à résoudre.
Enfin , pour les tirs assez lointains, il ne faut pas oublier la [[déviation vers l'Est|déviation de Coriolis]] ( cf la [[Grosse Bertha]]).

== Le cas irréaliste linéaire ==

Ce cas est totalement irréaliste, mais il est étudié simplement parce qu'il est facilement intégrable !!!

Il donne, par le tracé des trajectoires, une certaine intuition du mouvement, considéré par beaucoup comme fausse.

L'équation différentielle est : 
&lt;math&gt; \frac{d \vec v}{dt} = \vec g - {\vec v}/{\tau} &lt;/math&gt;

'''L'hodographe est donc la droite''':
&lt;math&gt; \vec v = \vec g \tau  + ( \vec v_0 - \vec g \tau)e^{-\frac{t}{\tau}}&lt;/math&gt;

la trajectoire du projectile P est :
&lt;math&gt;\vec{OP} = \vec g \tau.t + ( \vec v_0 \tau -\vec g \tau^2)(1- e^{-\frac{t}{\tau}}) &lt;/math&gt;

{ébauche : aide figure demandée, svp }

La trajectoire est dissymétrique par rapport à son point de culmination : pour la même altitude positive, il y a deux racines dont la demi somme décroît régulièrement, et les angles A1 et A2 ont une somme négative.

*remarques annexes : 
#Pour t &lt; \tau, on retrouve la trajectoire parabolique + termes perturbatifs : 
&lt;math&gt;^{\vec {OP} = \vec v_0 t + \frac 1 2  \vec g t^2  - [ \vec v_0 t^2/2\tau  + \vec g t^3/6 \tau^2] +...}&lt;/math&gt;

# L'hodographe peut se retrouver en polaire via l'équation-Balistique ( bien que cela soit inutilement compliqué ! ) : l'équation est 2-Bernoulli, on prend donc T(A) = g\tau.1/v comme fonction inconnue et l'équation se simplifie : -dT/dA = T. tan(A) +1/cos(A) ( +CI) eq dif linéaire dont la solution est : T(A) = g \tau . 1/v = sin(A) + cos(A) [ (gt/Vo -sin(Ao))/cos(Ao)] : l'hodographe est bien un segment de droite.

====courbe de sûreté ====
Elle est beaucoup plus difficile à calculer que dans le cas de Torricelli, mais faisable.

Donnons ici un exemple : la courbe de sûreté dans le cas où la vitesse initiale est &lt;math&gt;V_0 = g \tau&lt;/math&gt; est (unités réduites) : 

&lt;math&gt; z = 1 - Ln 2 + Ln(1-x^2)&lt;/math&gt;

* Bien sûr, si &lt;math&gt;V_0&lt;/math&gt; &gt;&gt; V-limite, on retrouve les résultats de Tartaglia-Ufano, ce qui est assez &quot;intuitif&quot; : la balle va tout droit et &quot;épuise ses forces&quot; : au bout de quelques &lt;math&gt;\tau&lt;/math&gt;, elle aura perdu sa vitesse, et elle sera à environ &lt;math&gt;V_0 \tau&lt;/math&gt; de l'origine ; la gravité deviendra dominante et les conditions initiales marginales : donc tous les mouvements seront ressemblants, à savoir, un &quot;arrondi&quot; puis l'asymptote verticale. La conclusion est donc triviale : la courbe de sûreté ressemble à un demi-cercle poursuivi vers le bas par l'asymptote.

{{boîte déroulante début|align=left|titre= je veux voir le calcul de la courbe de sûreté}}

&lt;math&gt;x = V_0 cos(A) \tau (1- e^{-t/\tau})&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;z = - g tau .t + V_o sin(A) +g \tau^2 1- e^{-t/\tau})&lt;/math&gt;

On pose : g=1 \tau = 1 ;  cos(A) = c ; sin(A) = s  ; on a pris le cas Vo = 1 .

On élimine le temps et on obtient la trajectoire : 
y = x (1+s)/c + Log (1-x/c)    { on a bien x &lt;c }
On dérive par rapport à A pour avoir l'équation de la caractéristique de Clairaut : 

0 = x (s+1)/c² - x  s/c² .1/ ( 1-x/c) qui se simplifie et donne x = c/(1+s)

On remplace dans l'équation de la trajectoire : y = 1 + log s - log (1+s)

On obtient donc l'enveloppe en paramétrique, en f de A , mais ici, elle se simplifie : éliminons A en passant à l'arc moitié ; tout se simplifie : y = 1-log 2 + log (1-x²) . L'asymptote est OkP.

* ( je ne sais pas s'il y a plus simple, les simplifications miraculeuses sont souvent dues à une mauvaise vision du calcul ... En tout cas, on peut vérifier directement l'apex : le max de z(t) = 2 -2 exp(-t) -t  a bien lieu pour t = Ln 2 et z = 2-1-Ln2 .OkP .

* le calcul s'organise de même pour un Vo différent.

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{{boîte déroulante début|align=left|titre= je veux voir le calcul général : beurck}}

x = u.c(1-exp) et z = (u+1) (1-exp) -t 
On élimine t pour avoir la trajectoire, et on y adjoint l'équation de Clairaut : 

z = x t + x/ uc +  log ( 1-x/uc) '''ET''' la dérivée prise par rapport à A : 
Elle se simplifie par x , et donne  x= u².c/(u+s) , et on reporte dans z : on obtient donc la courbe de sûreté en paramétrique : 

&lt;div style=&quot;text-align: center;&quot;&gt;
&lt;math&gt; x = u^2. \frac {\cos A}{u+\sin A} \quad et  \quad  z  = u.\frac{1+ u \sin A}{u + \sin A} + Log \frac{\sin A}{u+\sin A }&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt; 

Il faudrait vérifier si cela se simplifie par élimination de A , ou bien s'il y a une explication simple à la manière de Torricelli. Bien sûr, on retrouve l'asymptote avec le Log (sin A ) et cette asymptote est bien en x = u ; si u &gt;&gt;1 , on retrouve l'intuition de Tartaglia : x ~u cos A et z ~ u sin A ('''et''' - Log u)

Conseil : dessiner en coordonnées cartésiennes , on dessine mal ce demi-cercle si l'on n'y voit qu'une &quot;arche&quot;.

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== Le cas assez réaliste : résistance en v² ==


* En fait, en pratique, on recourt à des abaques.
{ L'empirisme le plus total ( ???) montre que la portée  est : pour z=0 , x = Portée(k=0)/( k +0.5exp(-2k/3)). (1+ résidu(k)), avec résidu(k)&lt; 0.0025 avec k = (Vo²/V1²) sin (A) . (Cet empirisme des artilleurs est conforté par le fait que le résultat est bon pour k petit et pour k grand?)} : grr... ça fait 5 ans au moins que cette formule traîne, et cela m'agace ...

== Cas des balles en rotation ==

Quand une balle est en rotation,liftée ou coupée, c’est-à-dire d'axe de rotation horizontal, perpendiculaire à '''Vo''', alors la traînée et la portance restent dans le plan vertical ( g, Vo): la trajectoire reste plane. Si la balle est brossée vers le bas (rotation sens direct), la balle sera aspirée vers le haut, et si la rotation est très vive, la trajectoire peut même présenter des boucles ! Elle peut même passer derrière le canonnier : expérience de Heim . Si la balle est brossée par le haut, la balle sera par le même effet Magnus aspirée vers le bas. Ces effets sont utilisés au ping-pong, au tennis, au golf. dans le cas des balles de golf, les trous &quot;slazsenger&quot; ont même été brevetés, car ils modifient la portance.

Évidemment, sinon, la trajectoire n'est plus plane : le coup franc &quot;platini&quot; au football le démontre.

== Histoire des sciences ==
Il est clair que depuis le temps des frondes, flèches, arbalètes, catapultes, onagres, ballistes, pierrières, trébuchets, scorpions, puis arquebuses, mousquets, canons (Chute de Byzance,1453), la balistique extérieure a suscité de nombreuses recherches.

L'artillerie développe énormément la recherche. Donc en Europe de 1500 à 1638, un effort prodigieux est mené, pour performer l'enseignement d'Aristote. Tartaglia a une solution fausse, mais proche de la réalité avec la notion d'asymptote. 
*Ce sont Galilée et Torricelli qui mettent définitivement en forme le mouvement de [[chute libre]] avec lancer, au grand dam des artilleurs : Torricelli a historiquement complètement traité ce problème '''dans le vide''' (cf : [[parabole de sûreté]]). Mais il savait fort bien que sa description ne s'accordait pas à celle des artificiers (à cause de la résistance de l'air). 
*Il faut attendre Newton pour avoir vraiment le développement de la théorie ; puis Bernoulli pour mettre en forme ce qui sera nommé la balistique extérieure. En particulier pour invalider cette hérésie du calcul de Torricelli qui donnait une portée infinie pour un angle A = -90°. 
*Ensuite, le calcul porte soit sur des améliorations numériques, soit sur des cas d'intégrations spéciaux, œuvres plutôt de mathématiciens : la balistique extérieure a connu son apogée vers les années 1910 ; aujourd'hui, les calculs sont conduits souvent par ordinateur.

*Néanmoins, l'effort le plus grand aura été opéré par [[Galilée]] : cette idée osée d'imaginer la trajectoire dans un fluide évanescent ; d'analyser l'impetus de départ ; de voir qu'il ne s'épuisait jamais ; mais qu'au contraire la chute libre était &quot;composition&quot; des mouvements '''Vo'''.t et 1/2 '''g'''.t², et que le '''Vo''' de départ pouvait être compté '''comme rien''', etc, etc, efforts amplement racontés dans les Dialogues de [[1632]] et les Discours de [[1638]].

===histoire===
Tartaglia,Ufano, Blondel, Bernoulli, Euler ,  , Cranz,  , Adhémar, Ansi que Patrick Milligan, Peter Daher, Mathieu Godin des genies en balistique

== résistance de l'air en V² , dite quadratique ==
ébauche

{c'est un cas réaliste ; rappelons que en 1D, on a vu : &lt;math&gt;\ddot z = - 1/2 C_x a S/m .v^2 = -v^2/ H&lt;/math&gt; , avec typiquement Cx = 0.5 pour une sphère et 0.05 pour un bon profilé.Dans l'air pour une bille de plomb, H = m/(1/2C_x a S = R .\rho /a . 1/3 .4 = ~10 000 R , si R=1cm, H= 100m, si R= 10cm ( diamètre =20 !), H = 1 km, et 1m, 10 km (mais il faut penser alors, si c'est l'atmosphère, à faire attention à a(z) : en gros, un objet qui tombe ne passe pas mach_1}.

L'équation est :

&lt;div style=&quot;text-align: center;&quot;&gt;
&lt;math&gt; \dot u = - v.u \quad et \quad \ddot z = 1 - v.\dot z&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;

Elle est plus compliquée que la précédente car les f-inconnues {u= Vx,w = Vy } sont couplées par le terme v = sqrt( u²+w² ). On a introduit les coordonnées réduites. Faire attention à {1 ou -1}
=== les équations ===
introduire la déclinaison B = Pi/2-A.
On a déjà écrit les équations en A , on les réécrit en B :=: phi . On écrit sin(B) = s et cos (B) = c , et Attention : t = tan(B/2) ; la primitive depuis Pi/2 de 2/s^3 est : 2/s^3 = 2c²+2s² / s^3 = 2c²+s²  /s^3  +1/s donc primitive = f(B) = - c/s^2 +Log t : '''elle n'est PAS compliquée''' , la tracer soigneusement et se familiariser avec elle, car elle va jouer un grand rôle dans la suite des calculs. Bien sûr sa dérivée est 2/s^3 et donc sa pente en Pi/2 ( la vitesse est alors horizontale) vaut 2.

L'équation de l'hodographe s'écrit : du/dB = - u^3/s^3 et donc 1/u² -1/uo² = f(B) - f(Bo) : on introduit un angle fondamental : celui de l'asymptote-backward : soit Bc tel que f(Bc) = f(Bo) -1/uo² ; Bc est donc inférieur à Bo ; et alors 1/u² = [f(B) - f(Bc)] : u ne va cesser de décroître jusqu'à la valeur nulle. On a donc obtenu v(B) = u(B)/sin(B)  : c'est à dire l'hodographe en polaire, c'est à dire dS /dB  en f de B : c'est la description de la trajectoire en coordonnées intrinsèques de Frenet , donc c'est FINI : il suffit de tracer point par point, à la méthode enfantine, ...en mettant un pied devant l'autre, c'est à dire pour ceux qui ont l'habitude de ce langage, en &quot;tortue-logo&quot;.

Hélas, on a pris de très mauvaises habitudes : on VEUT VOIR les équations ''cartésiennes'' de la trajectoire, et même le mouvement sur la trajectoire : x=f(t) et y= g(t) ...alors que la description la plus &quot;naturelle&quot;, décrire le mouvement s(t),  a été oubliée ...

====une simplification fortuite : l'abscisse curviligne ====

le chemin parcouru se calcule très bien dans ce cas particulier : 

u = Vo. cos(A) . exp(-s/H) : on retrouve cette notion acquise lors du mouvement 1D : l'énergie de départ s'épuise au long du chemin et on aura beau augmenter la charge de poudre, càd Vo, cela ne servira à RIEN : on ira plus vite au lieu-dit, on n'ira pas plus LOIN. 

&lt;div style=&quot;text-align: center;&quot;&gt;
&lt;math&gt; rappel \quad R := 1/u^2 \quad ; \quad \frac{dR}{dB} = \frac{2}{ \sin^3(B)} \, ; \quad \frac{ds}{dB} = \frac{1}{2R}\frac{dR}{dB} \,  ; \quad \frac{dx}{dB} = \frac{1}{R \sin^2(B)}&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;

d'où :

&lt;div style=&quot;text-align: center;&quot;&gt;
&lt;math&gt; s = \frac 1 2 H. Log \quad  [1 + \frac{V_0^2.\sin^2 B_0}{gH} . (f(B)-f(B_0))]  = \frac 1 2  H. Log [f(B) -f(Bc)] +c  &lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;


&lt;div style=&quot;text-align: center;&quot;&gt;
&lt;math&gt;rappel : f(V) = -\cos(B)/\sin^2(B)+ Log \, \tan (B/2)&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;

* '''Il en résulte que''' :
*Supposons juste pour &quot;apprivoiser&quot; cette équation qui paraît formidable, de prendre : Vo sin(Bo) &gt;&gt; sqrt(gH) ,alors Bc est voisin de Bo et pratiquement pour un infime déroutement depuis Bo en Bo +(Bo-Bc) = 2Bo-Bc : on a déjà s = cste + 1/2 H . Log (f(B)-f(Bo)) , qui ne dépend plus de Vo sinon par la constante : donc les portions ultérieures sont &quot;identiques&quot;, puisque le rayon de courbure sera le même. Donc, on trouve :

sur une certaine portion du trajet, le mobile va quasiment en ligne droite, jusqu'à une abscisse qui croît avec Vo ( ouf ! heureusement) mais seulement comme H . Log Vo.sin(Bo)/sqrt(gH) , puis toutes les portions sont ~identiques. En particulier, le sommet S de la trajectoire est atteint pour B=0 et s vaut : s(Sommet) = s(B=0). En général, le &quot;1&quot; est négligeable, et on retrouve que toutes les portions se ressemblent au-delà du sommet S. En ce point, la courbure vaut 1/R = [f(Pi/2)-f(Bo)]/H = -f(Bo)/H (on peut contrôler bien sûr que en ce point , u²/g = R ), ensuite &quot;en général&quot;, R augmente beaucoup et &quot;on&quot; atteint l'asymptote. Les développées de toutes ces courbes se ressemblent (et penser bien sûr à la développer d'une parabole au voisinage de son apex) à une petite translation près. 

Ainsi, les calculs sont lourds et fastidieux, mais n'apportent pas grand-chose à la description de Tartaglia : si Vo est grand, une grande ligne droite, puis le &quot;cercle&quot; puis l'asymptote : il reste juste à contrôler &quot;visuellement&quot; la taille de ce cercle : la variation de taille est-elle conforme à 1/R = -f(Bo)/ H   (à grand Vo): évidemment si on tire avec Bo voisin de Pi/2 ( çàd à l'horizontale) R ~ Vo²/g ! c'est le cas des fusils (souvent, on tire à l'horizontale).

Donc, prudence : il faut moduler ces arguments en fonction de l'angle de tir : sans doute est-il préférable de regarder séparément les multiples facettes de ce double-réseau {Vo et Bo}.

* On peut préciser :
*Tartaglia et Ufano : il y a une première partie quasiment rectiligne, jusqu'à l'arrivée au sommet : le trajet a lieu en un temps d'autant plus court que Vo est grande ( cinétique du deuxième ordre , dirait-on en chimie !) : si ts &lt; H/Vo , alors ts ~ Vo/g . Log (1/ tan(Bo/2)) et le trajet parcouru est ~H. Log ( Vo²/gH .Log (1/tan(Bo/2))) soit encore une &quot;belle&quot; séparation du rôle de Vo et de Bo : 

&lt;math&gt;L(sommet) =~ H. Log ( Vo^2/gH  + H . Log (  Log(1/ \tan(Bo/2)))&lt;/math&gt; 

Ce qui permet les deux tracés essentiels : 

*ceux à Vo = cste pour trouver la courbe de sûreté : tracer les trois trajectoires à 30°, 45° et 60° est très parlant.

* ceux à Bo constant et Vo variable : il n'est pas évident que ces courbes ne se coupent pas : encore à déchiffrer.

====largage d'une bombe====

Puis, on reprend l'étude à partir du sommet S et on refait tous les calculs de Charbonnier : c'est le problème du largage d'une bombe.
* L'asymptote se trouve à Xa tel que : 

&lt;math&gt; Xa = H. \int_{\frac{\pi}{2}}^\pi dB / [ -c + s^2Log (t) + s^2. (gH/u_0^2)]&lt;/math&gt;

Cette intégrale n'a absolument rien de très difficile, mais il faut faire ressortir comment intervient le paramètre uo²/gH ; car c'est en gros de cela que va dépendre la taille de la courbe de sûreté.


{{boîte déroulante début|align=left|titre= ébauche : drôle de délire , bizarre...}}

Si tout ceci est faux, je ne m'en étonnerai pas : pas eu le temps de regarder suffisamment...
Typiquement avec du plomb, V-limite est de 100 m/s, voire 300m/s donc  H ~10 -100km : on ne pourra jamais avoir de canon de grande portée : 50 km, voir 100 km mais pas plus !!! Sauf à changer la masse des obus ( cela varie comme M^(1/3)) d'un facteur mille pour changer la constante de longueur d'un facteur 10 , mais peu importe vraiment Vo, il suffit de garder ~50m/s ( encore faut-il le faire ! ) : c'est la '''très grande leçon de ce calcul ''': tout réside dans la longueur H et la portée ne dépend que très peu de Vo , ce qui est '''contre-intuitif'''. 
*'''Sauf que...2eme argument''' avec H = 10km , on est juste dans l' OdG de la hauteur de l'atmosphère, pour une raison apparemment toute autre : mg Ha = kT , la température de la Terre. Est-ce un hasard ? mais non , mais non ...:
Car, quand on dit V-limite de l'ordre de 300m/s  on pense 330 m/s et vitesse du son V_son , et compressibilité : et pourquoi Ha ? par compressibilité de l'air ... en effet Ha = ~ (V_son)^2 /g  ( j'ai laissé tomber gamma ) : quand les bombardieri ont atteint des OdG de 100m/s , non seulement, ils se sont rapprochés du mur du son, mais encore : ils ont atteint des altitudes de l'ordre de 10km , donc le vide ( pas vraiment, mais on le touche...(sourire)) : mais alors...il faut reprendre TOUS les calculs, puisque on est en train d'écrire que la densité de l'air varie : et varie exponentiellement avec la même constante de longueur. '''Il urge''' de re-considérer le problème de l'altitude et des degrés de &quot;finesse de l'air&quot; : les artilleurs avaient remarqué sans doute que les canons tiraient plus loin en air &quot;ténu&quot; (?). Et là ça se gâte : au fond, on demande de reprendre le problème avec une constante de longueur H qui varie avec l'altitude comme H(z=0).exp(z/Ha), avec H(z=0) ~ Ha : brr...négligeons g , on aurait qqch comme : dv/dt = - v²/Ho . exp(-z/Ho). Mais cela change tout : d(v²)/dz = -2 v² exp-z =&gt; v² ~ exp ( exp(-z)) et donc ne s'annule pas à l'infini ...l'obus peut arriver dans le vide ...
(( Oui, cela se tient : c'est la m idée que celle de la trempe : x' = -x/T avec une cste T qui varie dans le temps en s'allongeant infiniment : T(t) = exp t/To , alors : xo n'arrive pas à relaxer à zéro , mais se &quot;gèle&quot; à une distance finie ))
*D'où deux grandes idées : aller tout doucement dans le vide et de là tirer ; ou bien construire des V2, des fusées, etc. ; ce qui techno-logiquement est à peu près la même idée.
FIN de délire  
{{boîte déroulante fin}}

====une trajectoire particulière en détail pour se familiariser ====
prendre B= A = Pi/4 ; Vo = V-limite : oui, ça se calcule bien 

====courbe de sûreté ====
certes plus compliquée , mais pas le dessin par informatique ; &quot;en gros&quot;, on a les mêmes formes en dôme + asymptote. Assez bizarre a priori : la courbe ne &quot;gonfle pas quand Vo augmente&quot; ! Elle est de la taille de H, la longueur caractéristique de la résistance de l'air.

====notes====
ébauche 

{{boîte déroulante début|align=left|titre= voir les notes en ébauche}}


je vais fourguer ici les notes ...bien utiles pour ne pas oublier ...des calculs parfois laborieux , en tout cas, il faut se familiariser.
* '''note 1 ''' :&lt;math&gt;\ddot z = - exp-z/H . v^2/a&lt;/math&gt; : cette eq est bizarre, pour l'instant je ne la maitrise pas . Ok , je sais l'intégrer mais c'est tout.
Creusons autour : &lt;math&gt;dE/dz = -2/a exp( -z/H) . E &lt;/math&gt; donne &lt;math&gt; Log E/Eo = +2H/a (exp- z/H -1)&lt;/math&gt; soit &lt;math&gt;E = Eo exp(exp(-z/H))2H/a . exp-2H/a&lt;/math&gt; donc pour z &gt;&gt; H , il subsiste un reliquat d'énergie qui a passé la barrière : E(infty) = Eo .exp-2H/a : qualitativement les paramètres sont dans le sens correct : pour a donné, généralement une particule pénètre de qq a  et s'arrête ; mais ici a dépend en qq sorte de z , via a(z) = a exp +z/H , donc c'est &quot;comme si&quot; on pouvait aller de plus en plus loin ; ce qui reste est cette compétition ; je le vois aussi comme un processus de trempe : E ''devrait'' relaxer à zéro , mais  le temps de relaxation s'étire indéfiniment ; le processus se gèle et au temps infty, E n'est toujours pas relaxée à zéro : E s'est gelée à la valeur E. exp -2H/a : m'ouais , au fond j'opte pour cette interprétation, provisoirement, elle me va .

*'''note 2''' : mettre ici qq valeurs numériques réduites pour éviter les redites , et comparer les abaques de Charbonnier, Adhémar, Cranz etc. Si je peux obtenir les calculs d'Otto, pourquoi pas.etc : sans faire un traité ...qui ne m'intéresse pas outre-mesure.

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== Notes et références de l'article ==
&lt;references/&gt;
pourquoi ça apparaît en bleu ci-dessus ? je ne maîtrise pas certaines fonctions d'édition ... tant pis ...

== Voir aussi ==
=== Articles connexes ===
* [[Grosse Bertha]].
* [[Chute avec résistance de l'air]]
* [[Chute libre (physique)|Chute libre]] et [[trajectoire parabolique]]], [[parabole de sûreté]], [[Ellipse de sûreté]],pour mémoire : là , pas de résistance de l'air.

=== Liens et documents externes ===
* Appell : traité de mécanique rationnelle
* Whittaker : analytical dynamics
*traités de balistique de Charbonnier(1921) de Ottenheimer (1929) , d'Adhémar ( mémorial Sc math ,fasc 65), de Carl Cranz, de Moulton.
*de Mestre a écrit : trajectoire d'un projectile en sport.
*en Histoire des Sciences : Mach écrit(§19,p145): Saint-Bach(1561); Tartaglia(1537);Rivius(1582); Benedetti; Vailati ;les armes à feu au XIVeme font que la reflexion progresse.Puis Galilée, puis Torricelli plus encore .* Voir aussi Koyré  ; +* Maury JP : ''Mersenne''(ed Vuibert 2003).

==retour==
*[[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences ]]

[[Catégorie:Mécanique]]</text>
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        <username>DavidL</username>
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      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="26267" xml:space="preserve">&lt;noinclude&gt;{{Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences}}&lt;/noinclude&gt;

La balistique extérieure, ici, concerne le mouvement d'un '''point matériel''' &lt;ref&gt;Ceci ne concerne pas des pans entiers de la balistique extérieure : celle des sports de ballon en particulier. Certes intéressants aussi, mais ... chaque chose en son temps (ici les traités sont déjà assez lourds )&lt;/ref&gt; soumis à la [[w:pesanteur|pesanteur]] uniforme, selon son poids mg et la résistance de l'air notée mg f(v).

Ce qu'il y a de plus caractéristique par rapport au mouvement de [[w:Evangelista_Torricelli#Parabole de sûreté|Torricelli]] est l'apparition d'une [[w:asymptote|'''asymptote''']], ce que savaient bien les artilleurs : [[w:Niccolo Fontana Tartaglia|Tartaglia]], Ufano, etc.

Il faudra se souvenir essentiellement de l'équation de [[w:Hodographe|l'hodographe]] : 

&lt;math&gt;\frac{dV_x}{d\phi}= - f(v).v&lt;/math&gt;

Ici &lt;math&gt;V_x&lt;/math&gt; est la composante horizontale du vecteur vitesse, et &lt;math&gt;\phi&lt;/math&gt; l'angle complémentaire de l'angle de hauteur &lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt; (on dit parfois la déclinaison) : comme &lt;math&gt;\phi&lt;/math&gt; ne cesse d'augmenter, &lt;math&gt;V_x&lt;/math&gt; diminue toujours et finit par tendre vers zéro. Qui plus est, x(t) reste fini.

Cette leçon sera développée du point de vue historique, pour mieux préciser les rôles des chercheurs dans ce domaine.

Elle sera excessivement développée par rapport au cours technique classique, mais ...elle pourra servir de référence... ?

== Mouvement ; asymptote ==

Le cas d'un point matériel soumis à un champ de pesanteur uniforme tombant sans vitesse initiale est traité dans l'article [[Chute avec résistance de l'air]]. Il a fait apparaître la notion très importante de ''vitesse-limite''. De même dans le cas d'un projectile, il apparaît la notion d'asymptote de la trajectoire.

La restriction champ de pesanteur uniforme est gardée ici ; si la trajectoire du mobile dépasse 100km, il faut modifier.

Le vecteur vitesse sera repéré par son module v et son angle de hauteur A : les composantes cartésiennes sont donc &lt;math&gt;V_x = v \cos A \quad ; \quad V_y = v \sin A&lt;/math&gt;.

L'analyse des forces est : poids mg  et résistance fluide  de module r(v): = mg f(v), de direction opposée à la vitesse.
=== [[Hodographe]] ===
L'accélération montre que la courbe est concave vers le bas : donc, quand l'abscisse curviligne s augmente, l'angle de la vitesse avec l'horizontale, A(t)  diminue de sa valeur initiale Ao à -90° : la fonction t-&gt; - A(t),fonction croissante monotone, peut être avantageusement choisie comme '''échelle de temps''':
====échelle des temps ====
*Les équations de Frenet donnent :
*dv/dt = -g sinA -g.f(v)
*mv²/R = mg cosA soit -v.dA/dt = g cosA.

d'où l'échelle de temps : dt = -V(A)/(g cosA).dA

On en tirera dx = -v²/g .dA ; dy =dx.tanA pour avoir la trajectoire, dont les coordonnées intrinsèques sont R = V²(A)/(g.cosA) ;

====équation dite hodographe de la balistique ====

En éliminant dt :
&lt;math&gt;d(v \cos A)/dA = v.f(v) ~&lt;/math&gt;
 
équation du premier ordre, avec C.I. de Cauchy ( Ao, Vo).

D'où v = V(A), ce qui est l'[[hodographe]] en coordonnées polaires.

Quand A tend vers -90°,développer la dérivée, '''v tend vers une limite V1''' telle que : 

'''f(V1) = 1'''

On retrouve la notion de vitesse-limite de l'article [[chute avec résistance de l'air]].

===La trajectoire ===
Pour obtenir la trajectoire, il ''suffit'' donc d'intégrer l'équation précédente, puis :

&lt;math&gt; -g \, dx = v^2 \,\cdot dA \quad -g\,dy = v^2 \,\tan A \,\cdot dA \quad -g\,dt= v \,\sec A \,\cdot dA  \quad -g\,ds = v^2\,\sec A \,\cdot dA ~&lt;/math&gt;

Tout s'exprime donc &quot;à une quadrature près&quot; si on sait résoudre l'équation de l'hodographe (Bernoulli, 1695). 

Cette trajectoire est dissymétrique par rapport à sa culmination (qui correspond à A = 0), car l'équation (B) donne v(A) &gt; v(-A) et x(t) représente l'aire balayée par l'hodographe (cf. [[Vitesse#Coordonnées polaires|vitesse aréolaire]]).

==== asymptote de la trajectoire ====
L'immense différence avec le cas de Torricelli est que :
* la vitesse est bornée par V1 et ne croît donc pas indéfiniment.
* et x est fonction croissante du temps mais majorée par V1²/g .Pi/2 donc bornée : '''la portée est finie''', quelle que soit la &quot;hauteur de la citadelle&quot; : c'est bien ce qu'affirmaient les artilleurs, la [[trajectoire parabolique]] de Torricelli n'étant solution valable que dans le cas irréaliste où l'on néglige la résistance de l'air.

=== Cas intégrables ===
L'équation de l'hodographe est donc l'équation fondamentale de la Balistique.

*Le cas le plus facile d'intégrabilité est donné par Lagrange : f(v) = kv^n = (v/V1)^n . L'équation est alors une [[équation de Bernoulli]], et s'intègre comme telle ( on obtient une équation différentielle '''linéaire''', du premier ordre ).
*Drach(CRAS1914) donne les différentes formes de f(V) pour lesquelles l'intégration est possible, y compris via les fonctions elliptiques.
* En pratique, les artilleurs préfèrent une intégration numérique de (B), compte-tenu de la formule empirique de f(V) déterminée en soufflerie ; il faut en effet tenir compte de la variation de la densité de l'air avec l'altitude, donc en réalité f(V)*d(z), ce qui est plus dur à résoudre.
Enfin , pour les tirs assez lointains, il ne faut pas oublier la [[déviation vers l'Est|déviation de Coriolis]] ( cf la [[Grosse Bertha]]).

== Le cas irréaliste linéaire ==

Ce cas est totalement irréaliste, mais il est étudié simplement parce qu'il est facilement intégrable !!!

Il donne, par le tracé des trajectoires, une certaine intuition du mouvement, considéré par beaucoup comme fausse.

L'équation différentielle est : 
&lt;math&gt; \frac{d \vec v}{dt} = \vec g - {\vec v}/{\tau} &lt;/math&gt;

'''L'hodographe est donc la droite''':
&lt;math&gt; \vec v = \vec g \tau  + ( \vec v_0 - \vec g \tau)e^{-\frac{t}{\tau}}&lt;/math&gt;

la trajectoire du projectile P est :
&lt;math&gt;\vec{OP} = \vec g \tau.t + ( \vec v_0 \tau -\vec g \tau^2)(1- e^{-\frac{t}{\tau}}) &lt;/math&gt;

{ébauche : aide figure demandée, svp }

La trajectoire est dissymétrique par rapport à son point de culmination : pour la même altitude positive, il y a deux racines dont la demi somme décroît régulièrement, et les angles A1 et A2 ont une somme négative.

*remarques annexes : 
#Pour t &lt; \tau, on retrouve la trajectoire parabolique + termes perturbatifs : 
&lt;math&gt;^{\vec {OP} = \vec v_0 t + \frac 1 2  \vec g t^2  - [ \vec v_0 t^2/2\tau  + \vec g t^3/6 \tau^2] +...}&lt;/math&gt;

# L'hodographe peut se retrouver en polaire via l'équation-Balistique ( bien que cela soit inutilement compliqué ! ) : l'équation est 2-Bernoulli, on prend donc T(A) = g\tau.1/v comme fonction inconnue et l'équation se simplifie : -dT/dA = T. tan(A) +1/cos(A) ( +CI) eq dif linéaire dont la solution est : T(A) = g \tau . 1/v = sin(A) + cos(A) [ (gt/Vo -sin(Ao))/cos(Ao)] : l'hodographe est bien un segment de droite.

====courbe de sûreté ====
Elle est beaucoup plus difficile à calculer que dans le cas de Torricelli, mais faisable.

Donnons ici un exemple : la courbe de sûreté dans le cas où la vitesse initiale est &lt;math&gt;V_0 = g \tau&lt;/math&gt; est (unités réduites) : 

&lt;math&gt; z = 1 - Ln 2 + Ln(1-x^2)&lt;/math&gt;

* Bien sûr, si &lt;math&gt;V_0&lt;/math&gt; &gt;&gt; V-limite, on retrouve les résultats de Tartaglia-Ufano, ce qui est assez &quot;intuitif&quot; : la balle va tout droit et &quot;épuise ses forces&quot; : au bout de quelques &lt;math&gt;\tau&lt;/math&gt;, elle aura perdu sa vitesse, et elle sera à environ &lt;math&gt;V_0 \tau&lt;/math&gt; de l'origine ; la gravité deviendra dominante et les conditions initiales marginales : donc tous les mouvements seront ressemblants, à savoir, un &quot;arrondi&quot; puis l'asymptote verticale. La conclusion est donc triviale : la courbe de sûreté ressemble à un demi-cercle poursuivi vers le bas par l'asymptote.

{{boîte déroulante début|align=left|titre= je veux voir le calcul de la courbe de sûreté}}

&lt;math&gt;x = V_0 cos(A) \tau (1- e^{-t/\tau})&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;z = - g tau .t + V_o sin(A) +g \tau^2 1- e^{-t/\tau})&lt;/math&gt;

On pose : g=1 \tau = 1 ;  cos(A) = c ; sin(A) = s  ; on a pris le cas Vo = 1 .

On élimine le temps et on obtient la trajectoire : 
y = x (1+s)/c + Log (1-x/c)    { on a bien x &lt;c }
On dérive par rapport à A pour avoir l'équation de la caractéristique de Clairaut : 

0 = x (s+1)/c² - x  s/c² .1/ ( 1-x/c) qui se simplifie et donne x = c/(1+s)

On remplace dans l'équation de la trajectoire : y = 1 + log s - log (1+s)

On obtient donc l'enveloppe en paramétrique, en f de A , mais ici, elle se simplifie : éliminons A en passant à l'arc moitié ; tout se simplifie : y = 1-log 2 + log (1-x²) . L'asymptote est OkP.

* ( je ne sais pas s'il y a plus simple, les simplifications miraculeuses sont souvent dues à une mauvaise vision du calcul ... En tout cas, on peut vérifier directement l'apex : le max de z(t) = 2 -2 exp(-t) -t  a bien lieu pour t = Ln 2 et z = 2-1-Ln2 .OkP .

* le calcul s'organise de même pour un Vo différent.

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{{boîte déroulante début|align=left|titre= je veux voir le calcul général : beurck}}

x = u.c(1-exp) et z = (u+1) (1-exp) -t 
On élimine t pour avoir la trajectoire, et on y adjoint l'équation de Clairaut : 

z = x t + x/ uc +  log ( 1-x/uc) '''ET''' la dérivée prise par rapport à A : 
Elle se simplifie par x , et donne  x= u².c/(u+s) , et on reporte dans z : on obtient donc la courbe de sûreté en paramétrique : 

&lt;div style=&quot;text-align: center;&quot;&gt;
&lt;math&gt; x = u^2. \frac {\cos A}{u+\sin A} \quad et  \quad  z  = u.\frac{1+ u \sin A}{u + \sin A} + Log \frac{\sin A}{u+\sin A }&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt; 

Il faudrait vérifier si cela se simplifie par élimination de A , ou bien s'il y a une explication simple à la manière de Torricelli. Bien sûr, on retrouve l'asymptote avec le Log (sin A ) et cette asymptote est bien en x = u ; si u &gt;&gt;1 , on retrouve l'intuition de Tartaglia : x ~u cos A et z ~ u sin A ('''et''' - Log u)

Conseil : dessiner en coordonnées cartésiennes , on dessine mal ce demi-cercle si l'on n'y voit qu'une &quot;arche&quot;.

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== Le cas assez réaliste : résistance en v² ==


* En fait, en pratique, on recourt à des abaques.
{ L'empirisme le plus total ( ???) montre que la portée  est : pour z=0 , x = Portée(k=0)/( k +0.5exp(-2k/3)). (1+ résidu(k)), avec résidu(k)&lt; 0.0025 avec k = (Vo²/V1²) sin (A) . (Cet empirisme des artilleurs est conforté par le fait que le résultat est bon pour k petit et pour k grand?)} : grr... ça fait 5 ans au moins que cette formule traîne, et cela m'agace ...

== Cas des balles en rotation ==

Quand une balle est en rotation,liftée ou coupée, c’est-à-dire d'axe de rotation horizontal, perpendiculaire à '''Vo''', alors la traînée et la portance restent dans le plan vertical ( g, Vo): la trajectoire reste plane. Si la balle est brossée vers le bas (rotation sens direct), la balle sera aspirée vers le haut, et si la rotation est très vive, la trajectoire peut même présenter des boucles ! Elle peut même passer derrière le canonnier : expérience de Heim . Si la balle est brossée par le haut, la balle sera par le même effet Magnus aspirée vers le bas. Ces effets sont utilisés au ping-pong, au tennis, au golf. dans le cas des balles de golf, les trous &quot;slazsenger&quot; ont même été brevetés, car ils modifient la portance.

Évidemment, sinon, la trajectoire n'est plus plane : le coup franc &quot;platini&quot; au football le démontre.

== Histoire des sciences ==
Il est clair que depuis le temps des frondes, flèches, arbalètes, catapultes, onagres, ballistes, pierrières, trébuchets, scorpions, puis arquebuses, mousquets, canons (Chute de Byzance,1453), la balistique extérieure a suscité de nombreuses recherches.

L'artillerie développe énormément la recherche. Donc en Europe de 1500 à 1638, un effort prodigieux est mené, pour performer l'enseignement d'Aristote. Tartaglia a une solution fausse, mais proche de la réalité avec la notion d'asymptote. 
*Ce sont Galilée et Torricelli qui mettent définitivement en forme le mouvement de [[chute libre]] avec lancer, au grand dam des artilleurs : Torricelli a historiquement complètement traité ce problème '''dans le vide''' (cf : [[parabole de sûreté]]). Mais il savait fort bien que sa description ne s'accordait pas à celle des artificiers (à cause de la résistance de l'air). 
*Il faut attendre Newton pour avoir vraiment le développement de la théorie ; puis Bernoulli pour mettre en forme ce qui sera nommé la balistique extérieure. En particulier pour invalider cette hérésie du calcul de Torricelli qui donnait une portée infinie pour un angle A = -90°. 
*Ensuite, le calcul porte soit sur des améliorations numériques, soit sur des cas d'intégrations spéciaux, œuvres plutôt de mathématiciens : la balistique extérieure a connu son apogée vers les années 1910 ; aujourd'hui, les calculs sont conduits souvent par ordinateur.

*Néanmoins, l'effort le plus grand aura été opéré par [[Galilée]] : cette idée osée d'imaginer la trajectoire dans un fluide évanescent ; d'analyser l'impetus de départ ; de voir qu'il ne s'épuisait jamais ; mais qu'au contraire la chute libre était &quot;composition&quot; des mouvements '''Vo'''.t et 1/2 '''g'''.t², et que le '''Vo''' de départ pouvait être compté '''comme rien''', etc, etc, efforts amplement racontés dans les Dialogues de [[1632]] et les Discours de [[1638]].

===histoire===
Tartaglia,Ufano, Blondel, Bernoulli, Euler ,  , Cranz,  , Adhémar, Ansi que Patrick Milligan, Peter Daher, Mathieu Godin des genies en balistique

== résistance de l'air en V² , dite quadratique ==
ébauche

{c'est un cas réaliste ; rappelons que en 1D, on a vu : &lt;math&gt;\ddot z = - 1/2 C_x a S/m .v^2 = -v^2/ H&lt;/math&gt; , avec typiquement Cx = 0.5 pour une sphère et 0.05 pour un bon profilé.Dans l'air pour une bille de plomb, H = m/(1/2C_x a S = R .\rho /a . 1/3 .4 = ~10 000 R , si R=1cm, H= 100m, si R= 10cm ( diamètre =20 !), H = 1 km, et 1m, 10 km (mais il faut penser alors, si c'est l'atmosphère, à faire attention à a(z) : en gros, un objet qui tombe ne passe pas mach_1}.

L'équation est :

&lt;div style=&quot;text-align: center;&quot;&gt;
&lt;math&gt; \dot u = - v.u \quad et \quad \ddot z = 1 - v.\dot z&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;

Elle est plus compliquée que la précédente car les f-inconnues {u= Vx,w = Vy } sont couplées par le terme v = sqrt( u²+w² ). On a introduit les coordonnées réduites. Faire attention à {1 ou -1}
=== les équations ===
introduire la déclinaison B = Pi/2-A.
On a déjà écrit les équations en A , on les réécrit en B :=: phi . On écrit sin(B) = s et cos (B) = c , et Attention : t = tan(B/2) ; la primitive depuis Pi/2 de 2/s^3 est : 2/s^3 = 2c²+2s² / s^3 = 2c²+s²  /s^3  +1/s donc primitive = f(B) = - c/s^2 +Log t : '''elle n'est PAS compliquée''' , la tracer soigneusement et se familiariser avec elle, car elle va jouer un grand rôle dans la suite des calculs. Bien sûr sa dérivée est 2/s^3 et donc sa pente en Pi/2 ( la vitesse est alors horizontale) vaut 2.

L'équation de l'hodographe s'écrit : du/dB = - u^3/s^3 et donc 1/u² -1/uo² = f(B) - f(Bo) : on introduit un angle fondamental : celui de l'asymptote-backward : soit Bc tel que f(Bc) = f(Bo) -1/uo² ; Bc est donc inférieur à Bo ; et alors 1/u² = [f(B) - f(Bc)] : u ne va cesser de décroître jusqu'à la valeur nulle. On a donc obtenu v(B) = u(B)/sin(B)  : c'est à dire l'hodographe en polaire, c'est à dire dS /dB  en f de B : c'est la description de la trajectoire en coordonnées intrinsèques de Frenet , donc c'est FINI : il suffit de tracer point par point, à la méthode enfantine, ...en mettant un pied devant l'autre, c'est à dire pour ceux qui ont l'habitude de ce langage, en &quot;tortue-logo&quot;.

Hélas, on a pris de très mauvaises habitudes : on VEUT VOIR les équations ''cartésiennes'' de la trajectoire, et même le mouvement sur la trajectoire : x=f(t) et y= g(t) ...alors que la description la plus &quot;naturelle&quot;, décrire le mouvement s(t),  a été oubliée ...

====une simplification fortuite : l'abscisse curviligne ====

le chemin parcouru se calcule très bien dans ce cas particulier : 

u = Vo. cos(A) . exp(-s/H) : on retrouve cette notion acquise lors du mouvement 1D : l'énergie de départ s'épuise au long du chemin et on aura beau augmenter la charge de poudre, càd Vo, cela ne servira à RIEN : on ira plus vite au lieu-dit, on n'ira pas plus LOIN. 

&lt;div style=&quot;text-align: center;&quot;&gt;
&lt;math&gt; rappel \quad R := 1/u^2 \quad ; \quad \frac{dR}{dB} = \frac{2}{ \sin^3(B)} \, ; \quad \frac{ds}{dB} = \frac{1}{2R}\frac{dR}{dB} \,  ; \quad \frac{dx}{dB} = \frac{1}{R \sin^2(B)}&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;

d'où :

&lt;div style=&quot;text-align: center;&quot;&gt;
&lt;math&gt; s = \frac 1 2 H. Log \quad  [1 + \frac{V_0^2.\sin^2 B_0}{gH} . (f(B)-f(B_0))]  = \frac 1 2  H. Log [f(B) -f(Bc)] +c  &lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;


&lt;div style=&quot;text-align: center;&quot;&gt;
&lt;math&gt;rappel : f(V) = -\cos(B)/\sin^2(B)+ Log \, \tan (B/2)&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;

* '''Il en résulte que''' :
*Supposons juste pour &quot;apprivoiser&quot; cette équation qui paraît formidable, de prendre : Vo sin(Bo) &gt;&gt; sqrt(gH) ,alors Bc est voisin de Bo et pratiquement pour un infime déroutement depuis Bo en Bo +(Bo-Bc) = 2Bo-Bc : on a déjà s = cste + 1/2 H . Log (f(B)-f(Bo)) , qui ne dépend plus de Vo sinon par la constante : donc les portions ultérieures sont &quot;identiques&quot;, puisque le rayon de courbure sera le même. Donc, on trouve :

sur une certaine portion du trajet, le mobile va quasiment en ligne droite, jusqu'à une abscisse qui croît avec Vo ( ouf ! heureusement) mais seulement comme H . Log Vo.sin(Bo)/sqrt(gH) , puis toutes les portions sont ~identiques. En particulier, le sommet S de la trajectoire est atteint pour B=0 et s vaut : s(Sommet) = s(B=0). En général, le &quot;1&quot; est négligeable, et on retrouve que toutes les portions se ressemblent au-delà du sommet S. En ce point, la courbure vaut 1/R = [f(Pi/2)-f(Bo)]/H = -f(Bo)/H (on peut contrôler bien sûr que en ce point , u²/g = R ), ensuite &quot;en général&quot;, R augmente beaucoup et &quot;on&quot; atteint l'asymptote. Les développées de toutes ces courbes se ressemblent (et penser bien sûr à la développer d'une parabole au voisinage de son apex) à une petite translation près. 

Ainsi, les calculs sont lourds et fastidieux, mais n'apportent pas grand-chose à la description de Tartaglia : si Vo est grand, une grande ligne droite, puis le &quot;cercle&quot; puis l'asymptote : il reste juste à contrôler &quot;visuellement&quot; la taille de ce cercle : la variation de taille est-elle conforme à 1/R = -f(Bo)/ H   (à grand Vo): évidemment si on tire avec Bo voisin de Pi/2 ( çàd à l'horizontale) R ~ Vo²/g ! c'est le cas des fusils (souvent, on tire à l'horizontale).

Donc, prudence : il faut moduler ces arguments en fonction de l'angle de tir : sans doute est-il préférable de regarder séparément les multiples facettes de ce double-réseau {Vo et Bo}.

* On peut préciser :
*Tartaglia et Ufano : il y a une première partie quasiment rectiligne, jusqu'à l'arrivée au sommet : le trajet a lieu en un temps d'autant plus court que Vo est grande ( cinétique du deuxième ordre , dirait-on en chimie !) : si ts &lt; H/Vo , alors ts ~ Vo/g . Log (1/ tan(Bo/2)) et le trajet parcouru est ~H. Log ( Vo²/gH .Log (1/tan(Bo/2))) soit encore une &quot;belle&quot; séparation du rôle de Vo et de Bo : 

&lt;math&gt;L(sommet) =~ H. Log ( Vo^2/gH  + H . Log (  Log(1/ \tan(Bo/2)))&lt;/math&gt; 

Ce qui permet les deux tracés essentiels : 

*ceux à Vo = cste pour trouver la courbe de sûreté : tracer les trois trajectoires à 30°, 45° et 60° est très parlant.

* ceux à Bo constant et Vo variable : il n'est pas évident que ces courbes ne se coupent pas : encore à déchiffrer.

====largage d'une bombe====

Puis, on reprend l'étude à partir du sommet S et on refait tous les calculs de Charbonnier : c'est le problème du largage d'une bombe.
* L'asymptote se trouve à Xa tel que : 

&lt;math&gt; Xa = H. \int_{\frac{\pi}{2}}^\pi dB / [ -c + s^2Log (t) + s^2. (gH/u_0^2)]&lt;/math&gt;

Cette intégrale n'a absolument rien de très difficile, mais il faut faire ressortir comment intervient le paramètre uo²/gH ; car c'est en gros de cela que va dépendre la taille de la courbe de sûreté.


{{boîte déroulante début|align=left|titre= ébauche : drôle de délire , bizarre...}}

Si tout ceci est faux, je ne m'en étonnerai pas : pas eu le temps de regarder suffisamment...
Typiquement avec du plomb, V-limite est de 100 m/s, voire 300m/s donc  H ~10 -100km : on ne pourra jamais avoir de canon de grande portée : 50 km, voir 100 km mais pas plus !!! Sauf à changer la masse des obus ( cela varie comme M^(1/3)) d'un facteur mille pour changer la constante de longueur d'un facteur 10 , mais peu importe vraiment Vo, il suffit de garder ~50m/s ( encore faut-il le faire ! ) : c'est la '''très grande leçon de ce calcul ''': tout réside dans la longueur H et la portée ne dépend que très peu de Vo , ce qui est '''contre-intuitif'''. 
*'''Sauf que...2eme argument''' avec H = 10km , on est juste dans l' OdG de la hauteur de l'atmosphère, pour une raison apparemment toute autre : mg Ha = kT , la température de la Terre. Est-ce un hasard ? mais non , mais non ...:
Car, quand on dit V-limite de l'ordre de 300m/s  on pense 330 m/s et vitesse du son V_son , et compressibilité : et pourquoi Ha ? par compressibilité de l'air ... en effet Ha = ~ (V_son)^2 /g  ( j'ai laissé tomber gamma ) : quand les bombardieri ont atteint des OdG de 100m/s , non seulement, ils se sont rapprochés du mur du son, mais encore : ils ont atteint des altitudes de l'ordre de 10km , donc le vide ( pas vraiment, mais on le touche...(sourire)) : mais alors...il faut reprendre TOUS les calculs, puisque on est en train d'écrire que la densité de l'air varie : et varie exponentiellement avec la même constante de longueur. '''Il urge''' de re-considérer le problème de l'altitude et des degrés de &quot;finesse de l'air&quot; : les artilleurs avaient remarqué sans doute que les canons tiraient plus loin en air &quot;ténu&quot; (?). Et là ça se gâte : au fond, on demande de reprendre le problème avec une constante de longueur H qui varie avec l'altitude comme H(z=0).exp(z/Ha), avec H(z=0) ~ Ha : brr...négligeons g , on aurait qqch comme : dv/dt = - v²/Ho . exp(-z/Ho). Mais cela change tout : d(v²)/dz = -2 v² exp-z =&gt; v² ~ exp ( exp(-z)) et donc ne s'annule pas à l'infini ...l'obus peut arriver dans le vide ...
(( Oui, cela se tient : c'est la m idée que celle de la trempe : x' = -x/T avec une cste T qui varie dans le temps en s'allongeant infiniment : T(t) = exp t/To , alors : xo n'arrive pas à relaxer à zéro , mais se &quot;gèle&quot; à une distance finie ))
*D'où deux grandes idées : aller tout doucement dans le vide et de là tirer ; ou bien construire des V2, des fusées, etc. ; ce qui techno-logiquement est à peu près la même idée.
FIN de délire  
{{boîte déroulante fin}}

====une trajectoire particulière en détail pour se familiariser ====
prendre B= A = Pi/4 ; Vo = V-limite : oui, ça se calcule bien 

====courbe de sûreté ====
certes plus compliquée , mais pas le dessin par informatique ; &quot;en gros&quot;, on a les mêmes formes en dôme + asymptote. Assez bizarre a priori : la courbe ne &quot;gonfle pas quand Vo augmente&quot; ! Elle est de la taille de H, la longueur caractéristique de la résistance de l'air.

====notes====
ébauche 

{{boîte déroulante début|align=left|titre= voir les notes en ébauche}}


je vais fourguer ici les notes ...bien utiles pour ne pas oublier ...des calculs parfois laborieux , en tout cas, il faut se familiariser.
* '''note 1 ''' :&lt;math&gt;\ddot z = - exp-z/H . v^2/a&lt;/math&gt; : cette eq est bizarre, pour l'instant je ne la maitrise pas . Ok , je sais l'intégrer mais c'est tout.
Creusons autour : &lt;math&gt;dE/dz = -2/a exp( -z/H) . E &lt;/math&gt; donne &lt;math&gt; Log E/Eo = +2H/a (exp- z/H -1)&lt;/math&gt; soit &lt;math&gt;E = Eo exp(exp(-z/H))2H/a . exp-2H/a&lt;/math&gt; donc pour z &gt;&gt; H , il subsiste un reliquat d'énergie qui a passé la barrière : E(infty) = Eo .exp-2H/a : qualitativement les paramètres sont dans le sens correct : pour a donné, généralement une particule pénètre de qq a  et s'arrête ; mais ici a dépend en qq sorte de z , via a(z) = a exp +z/H , donc c'est &quot;comme si&quot; on pouvait aller de plus en plus loin ; ce qui reste est cette compétition ; je le vois aussi comme un processus de trempe : E ''devrait'' relaxer à zéro , mais  le temps de relaxation s'étire indéfiniment ; le processus se gèle et au temps infty, E n'est toujours pas relaxée à zéro : E s'est gelée à la valeur E. exp -2H/a : m'ouais , au fond j'opte pour cette interprétation, provisoirement, elle me va .

*'''note 2''' : mettre ici qq valeurs numériques réduites pour éviter les redites , et comparer les abaques de Charbonnier, Adhémar, Cranz etc. Si je peux obtenir les calculs d'Otto, pourquoi pas.etc : sans faire un traité ...qui ne m'intéresse pas outre-mesure.

{{boîte déroulante fin}}

== Notes et références de l'article ==
&lt;references/&gt;
pourquoi ça apparaît en bleu ci-dessus ? je ne maîtrise pas certaines fonctions d'édition ... tant pis ...

== Voir aussi ==
=== Articles connexes ===
* [[Grosse Bertha]].
* [[Chute avec résistance de l'air]]
* [[Chute libre (physique)|Chute libre]] et [[trajectoire parabolique]]], [[parabole de sûreté]], [[Ellipse de sûreté]],pour mémoire : là , pas de résistance de l'air.

=== Liens et documents externes ===
* Appell : traité de mécanique rationnelle
* Whittaker : analytical dynamics
*traités de balistique de Charbonnier(1921) de Ottenheimer (1929) , d'Adhémar ( mémorial Sc math ,fasc 65), de Carl Cranz, de Moulton.
*de Mestre a écrit : trajectoire d'un projectile en sport.
*en Histoire des Sciences : Mach écrit(§19,p145): Saint-Bach(1561); Tartaglia(1537);Rivius(1582); Benedetti; Vailati ;les armes à feu au XIVeme font que la reflexion progresse.Puis Galilée, puis Torricelli plus encore .* Voir aussi Koyré  ; +* Maury JP : ''Mersenne''(ed Vuibert 2003).

==retour==
*[[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences ]]

[[Catégorie:Mécanique]]</text>
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        <username>DavidL</username>
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      </contributor>
      <comment>Liens de wikibooks vers wikipédia</comment>
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      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="26277" xml:space="preserve">&lt;noinclude&gt;{{Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences}}&lt;/noinclude&gt;

La balistique extérieure, ici, concerne le mouvement d'un '''point matériel''' &lt;ref&gt;Ceci ne concerne pas des pans entiers de la balistique extérieure : celle des sports de ballon en particulier. Certes intéressants aussi, mais ... chaque chose en son temps (ici les traités sont déjà assez lourds )&lt;/ref&gt; soumis à la [[w:pesanteur|pesanteur]] uniforme, selon son poids mg et la résistance de l'air notée mg f(v).

Ce qu'il y a de plus caractéristique par rapport au mouvement de [[w:Evangelista_Torricelli#Parabole de sûreté|Torricelli]] est l'apparition d'une [[w:asymptote|'''asymptote''']], ce que savaient bien les artilleurs : [[w:Niccolo Fontana Tartaglia|Tartaglia]], Ufano, etc.

Il faudra se souvenir essentiellement de l'équation de [[w:Hodographe|l'hodographe]] : 

&lt;math&gt;\frac{dV_x}{d\phi}= - f(v).v&lt;/math&gt;

Ici &lt;math&gt;V_x&lt;/math&gt; est la composante horizontale du vecteur vitesse, et &lt;math&gt;\phi&lt;/math&gt; l'angle complémentaire de l'angle de hauteur &lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt; (on dit parfois la déclinaison) : comme &lt;math&gt;\phi&lt;/math&gt; ne cesse d'augmenter, &lt;math&gt;V_x&lt;/math&gt; diminue toujours et finit par tendre vers zéro. Qui plus est, x(t) reste fini.

Cette leçon sera développée du point de vue historique, pour mieux préciser les rôles des chercheurs dans ce domaine.

Elle sera excessivement développée par rapport au cours technique classique, mais ...elle pourra servir de référence... ?

== Mouvement ; asymptote ==

Le cas d'un point matériel soumis à un champ de pesanteur uniforme tombant sans vitesse initiale est traité dans l'article [[Chute avec résistance de l'air]]. Il a fait apparaître la notion très importante de ''vitesse-limite''. De même dans le cas d'un projectile, il apparaît la notion d'asymptote de la trajectoire.

La restriction champ de pesanteur uniforme est gardée ici ; si la trajectoire du mobile dépasse 100km, il faut modifier.

Le vecteur vitesse sera repéré par son module v et son angle de hauteur A : les composantes cartésiennes sont donc &lt;math&gt;V_x = v \cos A \quad ; \quad V_y = v \sin A&lt;/math&gt;.

L'analyse des forces est : poids mg  et résistance fluide  de module r(v): = mg f(v), de direction opposée à la vitesse.
=== [[Hodographe]] ===
L'accélération montre que la courbe est concave vers le bas : donc, quand l'abscisse curviligne s augmente, l'angle de la vitesse avec l'horizontale, A(t)  diminue de sa valeur initiale Ao à -90° : la fonction t-&gt; - A(t),fonction croissante monotone, peut être avantageusement choisie comme '''échelle de temps''':
====échelle des temps ====
*Les équations de Frenet donnent :
*dv/dt = -g sinA -g.f(v)
*mv²/R = mg cosA soit -v.dA/dt = g cosA.

d'où l'échelle de temps : dt = -V(A)/(g cosA).dA

On en tirera dx = -v²/g .dA ; dy =dx.tanA pour avoir la trajectoire, dont les coordonnées intrinsèques sont R = V²(A)/(g.cosA) ;

====équation dite hodographe de la balistique ====

En éliminant dt :
&lt;math&gt;d(v \cos A)/dA = v.f(v) ~&lt;/math&gt;
 
équation du premier ordre, avec C.I. de Cauchy ( Ao, Vo).

D'où v = V(A), ce qui est l'[[hodographe]] en coordonnées polaires.

Quand A tend vers -90°,développer la dérivée, '''v tend vers une limite V1''' telle que : 

'''f(V1) = 1'''

On retrouve la notion de vitesse-limite de l'article [[chute avec résistance de l'air]].

===La trajectoire ===
Pour obtenir la trajectoire, il ''suffit'' donc d'intégrer l'équation précédente, puis :

&lt;math&gt; -g \, dx = v^2 \,\cdot dA \quad -g\,dy = v^2 \,\tan A \,\cdot dA \quad -g\,dt= v \,\sec A \,\cdot dA  \quad -g\,ds = v^2\,\sec A \,\cdot dA ~&lt;/math&gt;

Tout s'exprime donc &quot;à une quadrature près&quot; si on sait résoudre l'équation de l'hodographe (Bernoulli, 1695). 

Cette trajectoire est dissymétrique par rapport à sa culmination (qui correspond à A = 0), car l'équation (B) donne v(A) &gt; v(-A) et x(t) représente l'aire balayée par l'hodographe (cf. [[Vitesse#Coordonnées polaires|vitesse aréolaire]]).

==== asymptote de la trajectoire ====
L'immense différence avec le cas de Torricelli est que :
* la vitesse est bornée par V1 et ne croît donc pas indéfiniment.
* et x est fonction croissante du temps mais majorée par V1²/g .Pi/2 donc bornée : '''la portée est finie''', quelle que soit la &quot;hauteur de la citadelle&quot; : c'est bien ce qu'affirmaient les artilleurs, la [[trajectoire parabolique]] de Torricelli n'étant solution valable que dans le cas irréaliste où l'on néglige la résistance de l'air.

=== Cas intégrables ===
L'équation de l'hodographe est donc l'équation fondamentale de la Balistique.

*Le cas le plus facile d'intégrabilité est donné par Lagrange : f(v) = kv^n = (v/V1)^n . L'équation est alors une [[équation de Bernoulli]], et s'intègre comme telle ( on obtient une équation différentielle '''linéaire''', du premier ordre ).
*Drach(CRAS1914) donne les différentes formes de f(V) pour lesquelles l'intégration est possible, y compris via les fonctions elliptiques.
* En pratique, les artilleurs préfèrent une intégration numérique de (B), compte-tenu de la formule empirique de f(V) déterminée en soufflerie ; il faut en effet tenir compte de la variation de la densité de l'air avec l'altitude, donc en réalité f(V)*d(z), ce qui est plus dur à résoudre.
Enfin , pour les tirs assez lointains, il ne faut pas oublier la [[déviation vers l'Est|déviation de Coriolis]] ( cf la [[Grosse Bertha]]).

== Le cas irréaliste linéaire ==

Ce cas est totalement irréaliste, mais il est étudié simplement parce qu'il est facilement intégrable !!!

Il donne, par le tracé des trajectoires, une certaine intuition du mouvement, considéré par beaucoup comme fausse.

L'équation différentielle est : 
&lt;math&gt; \frac{d \vec v}{dt} = \vec g - {\vec v}/{\tau} &lt;/math&gt;

'''L'hodographe est donc la droite''':
&lt;math&gt; \vec v = \vec g \tau  + ( \vec v_0 - \vec g \tau)e^{-\frac{t}{\tau}}&lt;/math&gt;

la trajectoire du projectile P est :
&lt;math&gt;\vec{OP} = \vec g \tau.t + ( \vec v_0 \tau -\vec g \tau^2)(1- e^{-\frac{t}{\tau}}) &lt;/math&gt;

{ébauche : aide figure demandée, svp }

La trajectoire est dissymétrique par rapport à son point de culmination : pour la même altitude positive, il y a deux racines dont la demi somme décroît régulièrement, et les angles A1 et A2 ont une somme négative.

*remarques annexes : 
#Pour t &lt; \tau, on retrouve la trajectoire parabolique + termes perturbatifs : 
&lt;math&gt;^{\vec {OP} = \vec v_0 t + \frac 1 2  \vec g t^2  - [ \vec v_0 t^2/2\tau  + \vec g t^3/6 \tau^2] +...}&lt;/math&gt;

# L'hodographe peut se retrouver en polaire via l'équation-Balistique ( bien que cela soit inutilement compliqué ! ) : l'équation est 2-Bernoulli, on prend donc T(A) = g\tau.1/v comme fonction inconnue et l'équation se simplifie : -dT/dA = T. tan(A) +1/cos(A) ( +CI) eq dif linéaire dont la solution est : T(A) = g \tau . 1/v = sin(A) + cos(A) [ (gt/Vo -sin(Ao))/cos(Ao)] : l'hodographe est bien un segment de droite.

====courbe de sûreté ====
Elle est beaucoup plus difficile à calculer que dans le cas de Torricelli, mais faisable.

Donnons ici un exemple : la courbe de sûreté dans le cas où la vitesse initiale est &lt;math&gt;V_0 = g \tau&lt;/math&gt; est (unités réduites) : 

&lt;math&gt; z = 1 - Ln 2 + Ln(1-x^2)&lt;/math&gt;

* Bien sûr, si &lt;math&gt;V_0&lt;/math&gt; &gt;&gt; V-limite, on retrouve les résultats de Tartaglia-Ufano, ce qui est assez &quot;intuitif&quot; : la balle va tout droit et &quot;épuise ses forces&quot; : au bout de quelques &lt;math&gt;\tau&lt;/math&gt;, elle aura perdu sa vitesse, et elle sera à environ &lt;math&gt;V_0 \tau&lt;/math&gt; de l'origine ; la gravité deviendra dominante et les conditions initiales marginales : donc tous les mouvements seront ressemblants, à savoir, un &quot;arrondi&quot; puis l'asymptote verticale. La conclusion est donc triviale : la courbe de sûreté ressemble à un demi-cercle poursuivi vers le bas par l'asymptote.

{{boîte déroulante début|align=left|titre= je veux voir le calcul de la courbe de sûreté}}

&lt;math&gt;x = V_0 cos(A) \tau (1- e^{-t/\tau})&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;z = - g tau .t + V_o sin(A) +g \tau^2 1- e^{-t/\tau})&lt;/math&gt;

On pose : g=1 \tau = 1 ;  cos(A) = c ; sin(A) = s  ; on a pris le cas Vo = 1 .

On élimine le temps et on obtient la trajectoire : 
y = x (1+s)/c + Log (1-x/c)    { on a bien x &lt;c }
On dérive par rapport à A pour avoir l'équation de la caractéristique de Clairaut : 

0 = x (s+1)/c² - x  s/c² .1/ ( 1-x/c) qui se simplifie et donne x = c/(1+s)

On remplace dans l'équation de la trajectoire : y = 1 + log s - log (1+s)

On obtient donc l'enveloppe en paramétrique, en f de A , mais ici, elle se simplifie : éliminons A en passant à l'arc moitié ; tout se simplifie : y = 1-log 2 + log (1-x²) . L'asymptote est OkP.

* ( je ne sais pas s'il y a plus simple, les simplifications miraculeuses sont souvent dues à une mauvaise vision du calcul ... En tout cas, on peut vérifier directement l'apex : le max de z(t) = 2 -2 exp(-t) -t  a bien lieu pour t = Ln 2 et z = 2-1-Ln2 .OkP .

* le calcul s'organise de même pour un Vo différent.

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{{boîte déroulante début|align=left|titre= je veux voir le calcul général : beurck}}

x = u.c(1-exp) et z = (u+1) (1-exp) -t 
On élimine t pour avoir la trajectoire, et on y adjoint l'équation de Clairaut : 

z = x t + x/ uc +  log ( 1-x/uc) '''ET''' la dérivée prise par rapport à A : 
Elle se simplifie par x , et donne  x= u².c/(u+s) , et on reporte dans z : on obtient donc la courbe de sûreté en paramétrique : 

&lt;div style=&quot;text-align: center;&quot;&gt;
&lt;math&gt; x = u^2. \frac {\cos A}{u+\sin A} \quad et  \quad  z  = u.\frac{1+ u \sin A}{u + \sin A} + Log \frac{\sin A}{u+\sin A }&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt; 

Il faudrait vérifier si cela se simplifie par élimination de A , ou bien s'il y a une explication simple à la manière de Torricelli. Bien sûr, on retrouve l'asymptote avec le Log (sin A ) et cette asymptote est bien en x = u ; si u &gt;&gt;1 , on retrouve l'intuition de Tartaglia : x ~u cos A et z ~ u sin A ('''et''' - Log u)

Conseil : dessiner en coordonnées cartésiennes , on dessine mal ce demi-cercle si l'on n'y voit qu'une &quot;arche&quot;.

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== Le cas assez réaliste : résistance en v² ==


* En fait, en pratique, on recourt à des abaques.
{ L'empirisme le plus total ( ???) montre que la portée  est : pour z=0 , x = Portée(k=0)/( k +0.5exp(-2k/3)). (1+ résidu(k)), avec résidu(k)&lt; 0.0025 avec k = (Vo²/V1²) sin (A) . (Cet empirisme des artilleurs est conforté par le fait que le résultat est bon pour k petit et pour k grand?)} : grr... ça fait 5 ans au moins que cette formule traîne, et cela m'agace ...

== Cas des balles en rotation ==

Quand une balle est en rotation,liftée ou coupée, c’est-à-dire d'axe de rotation horizontal, perpendiculaire à '''Vo''', alors la traînée et la portance restent dans le plan vertical ( g, Vo): la trajectoire reste plane. Si la balle est brossée vers le bas (rotation sens direct), la balle sera aspirée vers le haut, et si la rotation est très vive, la trajectoire peut même présenter des boucles ! Elle peut même passer derrière le canonnier : expérience de Heim . Si la balle est brossée par le haut, la balle sera par le même effet Magnus aspirée vers le bas. Ces effets sont utilisés au ping-pong, au tennis, au golf. dans le cas des balles de golf, les trous &quot;slazsenger&quot; ont même été brevetés, car ils modifient la portance.

Évidemment, sinon, la trajectoire n'est plus plane : le coup franc &quot;platini&quot; au football le démontre.

== Histoire des sciences ==
Il est clair que depuis le temps des frondes, flèches, arbalètes, catapultes, onagres, ballistes, pierrières, trébuchets, scorpions, puis arquebuses, mousquets, canons (Chute de Byzance,1453), la balistique extérieure a suscité de nombreuses recherches.

L'artillerie développe énormément la recherche. Donc en Europe de 1500 à 1638, un effort prodigieux est mené, pour performer l'enseignement d'Aristote. Tartaglia a une solution fausse, mais proche de la réalité avec la notion d'asymptote. 
*Ce sont Galilée et Torricelli qui mettent définitivement en forme le mouvement de [[chute libre]] avec lancer, au grand dam des artilleurs : Torricelli a historiquement complètement traité ce problème '''dans le vide''' (cf : [[parabole de sûreté]]). Mais il savait fort bien que sa description ne s'accordait pas à celle des artificiers (à cause de la résistance de l'air). 
*Il faut attendre Newton pour avoir vraiment le développement de la théorie ; puis Bernoulli pour mettre en forme ce qui sera nommé la balistique extérieure. En particulier pour invalider cette hérésie du calcul de Torricelli qui donnait une portée infinie pour un angle A = -90°. 
*Ensuite, le calcul porte soit sur des améliorations numériques, soit sur des cas d'intégrations spéciaux, œuvres plutôt de mathématiciens : la balistique extérieure a connu son apogée vers les années 1910 ; aujourd'hui, les calculs sont conduits souvent par ordinateur.

*Néanmoins, l'effort le plus grand aura été opéré par [[Galilée]] : cette idée osée d'imaginer la trajectoire dans un fluide évanescent ; d'analyser l'impetus de départ ; de voir qu'il ne s'épuisait jamais ; mais qu'au contraire la chute libre était &quot;composition&quot; des mouvements '''Vo'''.t et 1/2 '''g'''.t², et que le '''Vo''' de départ pouvait être compté '''comme rien''', etc, etc, efforts amplement racontés dans les Dialogues de [[1632]] et les Discours de [[1638]].

===histoire===
Tartaglia,Ufano, Blondel, Bernoulli, Euler ,  , Cranz,  , Adhémar, Ansi que Patrick Milligan, Peter Daher, Mathieu Godin des genies en balistique

== résistance de l'air en V² , dite quadratique ==
ébauche

{c'est un cas réaliste ; rappelons que en 1D, on a vu : &lt;math&gt;\ddot z = - 1/2 C_x a S/m .v^2 = -v^2/ H&lt;/math&gt; , avec typiquement Cx = 0.5 pour une sphère et 0.05 pour un bon profilé.Dans l'air pour une bille de plomb, H = m/(1/2C_x a S = R .\rho /a . 1/3 .4 = ~10 000 R , si R=1cm, H= 100m, si R= 10cm ( diamètre =20 !), H = 1 km, et 1m, 10 km (mais il faut penser alors, si c'est l'atmosphère, à faire attention à a(z) : en gros, un objet qui tombe ne passe pas mach_1}.

L'équation est :

&lt;div style=&quot;text-align: center;&quot;&gt;
&lt;math&gt; \dot u = - v.u \quad et \quad \ddot z = 1 - v.\dot z&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;

Elle est plus compliquée que la précédente car les f-inconnues {u= Vx,w = Vy } sont couplées par le terme v = sqrt( u²+w² ). On a introduit les coordonnées réduites. Faire attention à {1 ou -1}
=== les équations ===
introduire la déclinaison B = Pi/2-A.
On a déjà écrit les équations en A , on les réécrit en B :=: phi . On écrit sin(B) = s et cos (B) = c , et Attention : t = tan(B/2) ; la primitive depuis Pi/2 de 2/s^3 est : 2/s^3 = 2c²+2s² / s^3 = 2c²+s²  /s^3  +1/s donc primitive = f(B) = - c/s^2 +Log t : '''elle n'est PAS compliquée''' , la tracer soigneusement et se familiariser avec elle, car elle va jouer un grand rôle dans la suite des calculs. Bien sûr sa dérivée est 2/s^3 et donc sa pente en Pi/2 ( la vitesse est alors horizontale) vaut 2.

L'équation de l'hodographe s'écrit : du/dB = - u^3/s^3 et donc 1/u² -1/uo² = f(B) - f(Bo) : on introduit un angle fondamental : celui de l'asymptote-backward : soit Bc tel que f(Bc) = f(Bo) -1/uo² ; Bc est donc inférieur à Bo ; et alors 1/u² = [f(B) - f(Bc)] : u ne va cesser de décroître jusqu'à la valeur nulle. On a donc obtenu v(B) = u(B)/sin(B)  : c'est à dire l'hodographe en polaire, c'est à dire dS /dB  en f de B : c'est la description de la trajectoire en coordonnées intrinsèques de Frenet , donc c'est FINI : il suffit de tracer point par point, à la méthode enfantine, ...en mettant un pied devant l'autre, c'est à dire pour ceux qui ont l'habitude de ce langage, en &quot;tortue-logo&quot;.

Hélas, on a pris de très mauvaises habitudes : on VEUT VOIR les équations ''cartésiennes'' de la trajectoire, et même le mouvement sur la trajectoire : x=f(t) et y= g(t) ...alors que la description la plus &quot;naturelle&quot;, décrire le mouvement s(t),  a été oubliée ...

====une simplification fortuite : l'abscisse curviligne ====

le chemin parcouru se calcule très bien dans ce cas particulier : 

u = Vo. cos(A) . exp(-s/H) : on retrouve cette notion acquise lors du mouvement 1D : l'énergie de départ s'épuise au long du chemin et on aura beau augmenter la charge de poudre, càd Vo, cela ne servira à RIEN : on ira plus vite au lieu-dit, on n'ira pas plus LOIN. 

&lt;div style=&quot;text-align: center;&quot;&gt;
&lt;math&gt; rappel \quad R := 1/u^2 \quad ; \quad \frac{dR}{dB} = \frac{2}{ \sin^3(B)} \, ; \quad \frac{ds}{dB} = \frac{1}{2R}\frac{dR}{dB} \,  ; \quad \frac{dx}{dB} = \frac{1}{R \sin^2(B)}&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;

d'où :

&lt;div style=&quot;text-align: center;&quot;&gt;
&lt;math&gt; s = \frac 1 2 H. Log \quad  [1 + \frac{V_0^2.\sin^2 B_0}{gH} . (f(B)-f(B_0))]  = \frac 1 2  H. Log [f(B) -f(Bc)] +c  &lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;


&lt;div style=&quot;text-align: center;&quot;&gt;
&lt;math&gt;rappel : f(V) = -\cos(B)/\sin^2(B)+ Log \, \tan (B/2)&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;

* '''Il en résulte que''' :
*Supposons juste pour &quot;apprivoiser&quot; cette équation qui paraît formidable, de prendre : Vo sin(Bo) &gt;&gt; sqrt(gH) ,alors Bc est voisin de Bo et pratiquement pour un infime déroutement depuis Bo en Bo +(Bo-Bc) = 2Bo-Bc : on a déjà s = cste + 1/2 H . Log (f(B)-f(Bo)) , qui ne dépend plus de Vo sinon par la constante : donc les portions ultérieures sont &quot;identiques&quot;, puisque le rayon de courbure sera le même. Donc, on trouve :

sur une certaine portion du trajet, le mobile va quasiment en ligne droite, jusqu'à une abscisse qui croît avec Vo ( ouf ! heureusement) mais seulement comme H . Log Vo.sin(Bo)/sqrt(gH) , puis toutes les portions sont ~identiques. En particulier, le sommet S de la trajectoire est atteint pour B=0 et s vaut : s(Sommet) = s(B=0). En général, le &quot;1&quot; est négligeable, et on retrouve que toutes les portions se ressemblent au-delà du sommet S. En ce point, la courbure vaut 1/R = [f(Pi/2)-f(Bo)]/H = -f(Bo)/H (on peut contrôler bien sûr que en ce point , u²/g = R ), ensuite &quot;en général&quot;, R augmente beaucoup et &quot;on&quot; atteint l'asymptote. Les développées de toutes ces courbes se ressemblent (et penser bien sûr à la développer d'une parabole au voisinage de son apex) à une petite translation près. 

Ainsi, les calculs sont lourds et fastidieux, mais n'apportent pas grand-chose à la description de Tartaglia : si Vo est grand, une grande ligne droite, puis le &quot;cercle&quot; puis l'asymptote : il reste juste à contrôler &quot;visuellement&quot; la taille de ce cercle : la variation de taille est-elle conforme à 1/R = -f(Bo)/ H   (à grand Vo): évidemment si on tire avec Bo voisin de Pi/2 ( çàd à l'horizontale) R ~ Vo²/g ! c'est le cas des fusils (souvent, on tire à l'horizontale).

Donc, prudence : il faut moduler ces arguments en fonction de l'angle de tir : sans doute est-il préférable de regarder séparément les multiples facettes de ce double-réseau {Vo et Bo}.

* On peut préciser :
*Tartaglia et Ufano : il y a une première partie quasiment rectiligne, jusqu'à l'arrivée au sommet : le trajet a lieu en un temps d'autant plus court que Vo est grande ( cinétique du deuxième ordre , dirait-on en chimie !) : si ts &lt; H/Vo , alors ts ~ Vo/g . Log (1/ tan(Bo/2)) et le trajet parcouru est ~H. Log ( Vo²/gH .Log (1/tan(Bo/2))) soit encore une &quot;belle&quot; séparation du rôle de Vo et de Bo : 

&lt;math&gt;L(sommet) =~ H. Log ( Vo^2/gH  + H . Log (  Log(1/ \tan(Bo/2)))&lt;/math&gt; 

Ce qui permet les deux tracés essentiels : 

*ceux à Vo = cste pour trouver la courbe de sûreté : tracer les trois trajectoires à 30°, 45° et 60° est très parlant.

* ceux à Bo constant et Vo variable : il n'est pas évident que ces courbes ne se coupent pas : encore à déchiffrer.

====largage d'une bombe====

Puis, on reprend l'étude à partir du sommet S et on refait tous les calculs de Charbonnier : c'est le problème du largage d'une bombe.
* L'asymptote se trouve à Xa tel que : 

&lt;math&gt; Xa = H. \int_{\frac{\pi}{2}}^\pi dB / [ -c + s^2Log (t) + s^2. (gH/u_0^2)]&lt;/math&gt;

Cette intégrale n'a absolument rien de très difficile, mais il faut faire ressortir comment intervient le paramètre uo²/gH ; car c'est en gros de cela que va dépendre la taille de la courbe de sûreté.


{{boîte déroulante début|align=left|titre= ébauche : drôle de délire , bizarre...}}

Si tout ceci est faux, je ne m'en étonnerai pas : pas eu le temps de regarder suffisamment...
Typiquement avec du plomb, V-limite est de 100 m/s, voire 300m/s donc  H ~10 -100km : on ne pourra jamais avoir de canon de grande portée : 50 km, voir 100 km mais pas plus !!! Sauf à changer la masse des obus ( cela varie comme M^(1/3)) d'un facteur mille pour changer la constante de longueur d'un facteur 10 , mais peu importe vraiment Vo, il suffit de garder ~50m/s ( encore faut-il le faire ! ) : c'est la '''très grande leçon de ce calcul ''': tout réside dans la longueur H et la portée ne dépend que très peu de Vo , ce qui est '''contre-intuitif'''. 
*'''Sauf que...2eme argument''' avec H = 10km , on est juste dans l' OdG de la hauteur de l'atmosphère, pour une raison apparemment toute autre : mg Ha = kT , la température de la Terre. Est-ce un hasard ? mais non , mais non ...:
Car, quand on dit V-limite de l'ordre de 300m/s  on pense 330 m/s et vitesse du son V_son , et compressibilité : et pourquoi Ha ? par compressibilité de l'air ... en effet Ha = ~ (V_son)^2 /g  ( j'ai laissé tomber gamma ) : quand les bombardieri ont atteint des OdG de 100m/s , non seulement, ils se sont rapprochés du mur du son, mais encore : ils ont atteint des altitudes de l'ordre de 10km , donc le vide ( pas vraiment, mais on le touche...(sourire)) : mais alors...il faut reprendre TOUS les calculs, puisque on est en train d'écrire que la densité de l'air varie : et varie exponentiellement avec la même constante de longueur. '''Il urge''' de re-considérer le problème de l'altitude et des degrés de &quot;finesse de l'air&quot; : les artilleurs avaient remarqué sans doute que les canons tiraient plus loin en air &quot;ténu&quot; (?). Et là ça se gâte : au fond, on demande de reprendre le problème avec une constante de longueur H qui varie avec l'altitude comme H(z=0).exp(z/Ha), avec H(z=0) ~ Ha : brr...négligeons g , on aurait qqch comme : dv/dt = - v²/Ho . exp(-z/Ho). Mais cela change tout : d(v²)/dz = -2 v² exp-z =&gt; v² ~ exp ( exp(-z)) et donc ne s'annule pas à l'infini ...l'obus peut arriver dans le vide ...
(( Oui, cela se tient : c'est la m idée que celle de la trempe : x' = -x/T avec une cste T qui varie dans le temps en s'allongeant infiniment : T(t) = exp t/To , alors : xo n'arrive pas à relaxer à zéro , mais se &quot;gèle&quot; à une distance finie ))
*D'où deux grandes idées : aller tout doucement dans le vide et de là tirer ; ou bien construire des V2, des fusées, etc. ; ce qui techno-logiquement est à peu près la même idée.
FIN de délire  
{{boîte déroulante fin}}

====une trajectoire particulière en détail pour se familiariser ====
prendre B= A = Pi/4 ; Vo = V-limite : oui, ça se calcule bien 

====courbe de sûreté ====
certes plus compliquée , mais pas le dessin par informatique ; &quot;en gros&quot;, on a les mêmes formes en dôme + asymptote. Assez bizarre a priori : la courbe ne &quot;gonfle pas quand Vo augmente&quot; ! Elle est de la taille de H, la longueur caractéristique de la résistance de l'air.

====notes====
ébauche 

{{boîte déroulante début|align=left|titre= voir les notes en ébauche}}


je vais fourguer ici les notes ...bien utiles pour ne pas oublier ...des calculs parfois laborieux , en tout cas, il faut se familiariser.
* '''note 1 ''' :&lt;math&gt;\ddot z = - exp-z/H . v^2/a&lt;/math&gt; : cette eq est bizarre, pour l'instant je ne la maitrise pas . Ok , je sais l'intégrer mais c'est tout.
Creusons autour : &lt;math&gt;dE/dz = -2/a exp( -z/H) . E &lt;/math&gt; donne &lt;math&gt; Log E/Eo = +2H/a (exp- z/H -1)&lt;/math&gt; soit &lt;math&gt;E = Eo exp(exp(-z/H))2H/a . exp-2H/a&lt;/math&gt; donc pour z &gt;&gt; H , il subsiste un reliquat d'énergie qui a passé la barrière : E(infty) = Eo .exp-2H/a : qualitativement les paramètres sont dans le sens correct : pour a donné, généralement une particule pénètre de qq a  et s'arrête ; mais ici a dépend en qq sorte de z , via a(z) = a exp +z/H , donc c'est &quot;comme si&quot; on pouvait aller de plus en plus loin ; ce qui reste est cette compétition ; je le vois aussi comme un processus de trempe : E ''devrait'' relaxer à zéro , mais  le temps de relaxation s'étire indéfiniment ; le processus se gèle et au temps infty, E n'est toujours pas relaxée à zéro : E s'est gelée à la valeur E. exp -2H/a : m'ouais , au fond j'opte pour cette interprétation, provisoirement, elle me va .

*'''note 2''' : mettre ici qq valeurs numériques réduites pour éviter les redites , et comparer les abaques de Charbonnier, Adhémar, Cranz etc. Si je peux obtenir les calculs d'Otto, pourquoi pas.etc : sans faire un traité ...qui ne m'intéresse pas outre-mesure.

{{boîte déroulante fin}}

== Notes et références de la page ==
&lt;references/&gt;

== Voir aussi ==
=== Livres ===
* [[Vol balistique et missiles balistiques]].

=== Articles sur wikipédia ===
* [[w:Grosse Bertha|Grosse Bertha]],
* [[w:Chute avec résistance de l'air|Chute avec résistance de l'air]],
* [[w:Chute libre (physique)|Chute libre]] et [[w:trajectoire parabolique|trajectoire parabolique]], [[w:parabole de sûreté|parabole de sûreté]], [[w:Ellipse de sûreté|Ellipse de sûreté]], pour mémoire : là, pas de résistance de l'air.

=== Liens et documents externes ===
* Appell : traité de mécanique rationnelle
* Whittaker : analytical dynamics
*traités de balistique de Charbonnier(1921) de Ottenheimer (1929) , d'Adhémar ( mémorial Sc math ,fasc 65), de Carl Cranz, de Moulton.
*de Mestre a écrit : trajectoire d'un projectile en sport.
*en Histoire des Sciences : Mach écrit(§19,p145): Saint-Bach(1561); Tartaglia(1537);Rivius(1582); Benedetti; Vailati ;les armes à feu au XIVeme font que la réflexion progresse.Puis Galilée, puis Torricelli plus encore .* Voir aussi Koyré  ; +* Maury JP : ''Mersenne''(ed Vuibert 2003).

[[Catégorie:Mécanique]]</text>
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      <contributor>
        <username>DavidL</username>
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      </contributor>
      <comment>/* Histoire des sciences */ Lien vers wikipédia</comment>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="26282" xml:space="preserve">&lt;noinclude&gt;{{Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences}}&lt;/noinclude&gt;

La balistique extérieure, ici, concerne le mouvement d'un '''point matériel''' &lt;ref&gt;Ceci ne concerne pas des pans entiers de la balistique extérieure : celle des sports de ballon en particulier. Certes intéressants aussi, mais ... chaque chose en son temps (ici les traités sont déjà assez lourds )&lt;/ref&gt; soumis à la [[w:pesanteur|pesanteur]] uniforme, selon son poids mg et la résistance de l'air notée mg f(v).

Ce qu'il y a de plus caractéristique par rapport au mouvement de [[w:Evangelista_Torricelli#Parabole de sûreté|Torricelli]] est l'apparition d'une [[w:asymptote|'''asymptote''']], ce que savaient bien les artilleurs : [[w:Niccolo Fontana Tartaglia|Tartaglia]], Ufano, etc.

Il faudra se souvenir essentiellement de l'équation de [[w:Hodographe|l'hodographe]] : 

&lt;math&gt;\frac{dV_x}{d\phi}= - f(v).v&lt;/math&gt;

Ici &lt;math&gt;V_x&lt;/math&gt; est la composante horizontale du vecteur vitesse, et &lt;math&gt;\phi&lt;/math&gt; l'angle complémentaire de l'angle de hauteur &lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt; (on dit parfois la déclinaison) : comme &lt;math&gt;\phi&lt;/math&gt; ne cesse d'augmenter, &lt;math&gt;V_x&lt;/math&gt; diminue toujours et finit par tendre vers zéro. Qui plus est, x(t) reste fini.

Cette leçon sera développée du point de vue historique, pour mieux préciser les rôles des chercheurs dans ce domaine.

Elle sera excessivement développée par rapport au cours technique classique, mais ...elle pourra servir de référence... ?

== Mouvement ; asymptote ==

Le cas d'un point matériel soumis à un champ de pesanteur uniforme tombant sans vitesse initiale est traité dans l'article [[Chute avec résistance de l'air]]. Il a fait apparaître la notion très importante de ''vitesse-limite''. De même dans le cas d'un projectile, il apparaît la notion d'asymptote de la trajectoire.

La restriction champ de pesanteur uniforme est gardée ici ; si la trajectoire du mobile dépasse 100km, il faut modifier.

Le vecteur vitesse sera repéré par son module v et son angle de hauteur A : les composantes cartésiennes sont donc &lt;math&gt;V_x = v \cos A \quad ; \quad V_y = v \sin A&lt;/math&gt;.

L'analyse des forces est : poids mg  et résistance fluide  de module r(v): = mg f(v), de direction opposée à la vitesse.
=== [[Hodographe]] ===
L'accélération montre que la courbe est concave vers le bas : donc, quand l'abscisse curviligne s augmente, l'angle de la vitesse avec l'horizontale, A(t)  diminue de sa valeur initiale Ao à -90° : la fonction t-&gt; - A(t),fonction croissante monotone, peut être avantageusement choisie comme '''échelle de temps''':
====échelle des temps ====
*Les équations de Frenet donnent :
*dv/dt = -g sinA -g.f(v)
*mv²/R = mg cosA soit -v.dA/dt = g cosA.

d'où l'échelle de temps : dt = -V(A)/(g cosA).dA

On en tirera dx = -v²/g .dA ; dy =dx.tanA pour avoir la trajectoire, dont les coordonnées intrinsèques sont R = V²(A)/(g.cosA) ;

====équation dite hodographe de la balistique ====

En éliminant dt :
&lt;math&gt;d(v \cos A)/dA = v.f(v) ~&lt;/math&gt;
 
équation du premier ordre, avec C.I. de Cauchy ( Ao, Vo).

D'où v = V(A), ce qui est l'[[hodographe]] en coordonnées polaires.

Quand A tend vers -90°,développer la dérivée, '''v tend vers une limite V1''' telle que : 

'''f(V1) = 1'''

On retrouve la notion de vitesse-limite de l'article [[chute avec résistance de l'air]].

===La trajectoire ===
Pour obtenir la trajectoire, il ''suffit'' donc d'intégrer l'équation précédente, puis :

&lt;math&gt; -g \, dx = v^2 \,\cdot dA \quad -g\,dy = v^2 \,\tan A \,\cdot dA \quad -g\,dt= v \,\sec A \,\cdot dA  \quad -g\,ds = v^2\,\sec A \,\cdot dA ~&lt;/math&gt;

Tout s'exprime donc &quot;à une quadrature près&quot; si on sait résoudre l'équation de l'hodographe (Bernoulli, 1695). 

Cette trajectoire est dissymétrique par rapport à sa culmination (qui correspond à A = 0), car l'équation (B) donne v(A) &gt; v(-A) et x(t) représente l'aire balayée par l'hodographe (cf. [[Vitesse#Coordonnées polaires|vitesse aréolaire]]).

==== asymptote de la trajectoire ====
L'immense différence avec le cas de Torricelli est que :
* la vitesse est bornée par V1 et ne croît donc pas indéfiniment.
* et x est fonction croissante du temps mais majorée par V1²/g .Pi/2 donc bornée : '''la portée est finie''', quelle que soit la &quot;hauteur de la citadelle&quot; : c'est bien ce qu'affirmaient les artilleurs, la [[trajectoire parabolique]] de Torricelli n'étant solution valable que dans le cas irréaliste où l'on néglige la résistance de l'air.

=== Cas intégrables ===
L'équation de l'hodographe est donc l'équation fondamentale de la Balistique.

*Le cas le plus facile d'intégrabilité est donné par Lagrange : f(v) = kv^n = (v/V1)^n . L'équation est alors une [[équation de Bernoulli]], et s'intègre comme telle ( on obtient une équation différentielle '''linéaire''', du premier ordre ).
*Drach(CRAS1914) donne les différentes formes de f(V) pour lesquelles l'intégration est possible, y compris via les fonctions elliptiques.
* En pratique, les artilleurs préfèrent une intégration numérique de (B), compte-tenu de la formule empirique de f(V) déterminée en soufflerie ; il faut en effet tenir compte de la variation de la densité de l'air avec l'altitude, donc en réalité f(V)*d(z), ce qui est plus dur à résoudre.
Enfin , pour les tirs assez lointains, il ne faut pas oublier la [[déviation vers l'Est|déviation de Coriolis]] ( cf la [[Grosse Bertha]]).

== Le cas irréaliste linéaire ==

Ce cas est totalement irréaliste, mais il est étudié simplement parce qu'il est facilement intégrable !!!

Il donne, par le tracé des trajectoires, une certaine intuition du mouvement, considéré par beaucoup comme fausse.

L'équation différentielle est : 
&lt;math&gt; \frac{d \vec v}{dt} = \vec g - {\vec v}/{\tau} &lt;/math&gt;

'''L'hodographe est donc la droite''':
&lt;math&gt; \vec v = \vec g \tau  + ( \vec v_0 - \vec g \tau)e^{-\frac{t}{\tau}}&lt;/math&gt;

la trajectoire du projectile P est :
&lt;math&gt;\vec{OP} = \vec g \tau.t + ( \vec v_0 \tau -\vec g \tau^2)(1- e^{-\frac{t}{\tau}}) &lt;/math&gt;

{ébauche : aide figure demandée, svp }

La trajectoire est dissymétrique par rapport à son point de culmination : pour la même altitude positive, il y a deux racines dont la demi somme décroît régulièrement, et les angles A1 et A2 ont une somme négative.

*remarques annexes : 
#Pour t &lt; \tau, on retrouve la trajectoire parabolique + termes perturbatifs : 
&lt;math&gt;^{\vec {OP} = \vec v_0 t + \frac 1 2  \vec g t^2  - [ \vec v_0 t^2/2\tau  + \vec g t^3/6 \tau^2] +...}&lt;/math&gt;

# L'hodographe peut se retrouver en polaire via l'équation-Balistique ( bien que cela soit inutilement compliqué ! ) : l'équation est 2-Bernoulli, on prend donc T(A) = g\tau.1/v comme fonction inconnue et l'équation se simplifie : -dT/dA = T. tan(A) +1/cos(A) ( +CI) eq dif linéaire dont la solution est : T(A) = g \tau . 1/v = sin(A) + cos(A) [ (gt/Vo -sin(Ao))/cos(Ao)] : l'hodographe est bien un segment de droite.

====courbe de sûreté ====
Elle est beaucoup plus difficile à calculer que dans le cas de Torricelli, mais faisable.

Donnons ici un exemple : la courbe de sûreté dans le cas où la vitesse initiale est &lt;math&gt;V_0 = g \tau&lt;/math&gt; est (unités réduites) : 

&lt;math&gt; z = 1 - Ln 2 + Ln(1-x^2)&lt;/math&gt;

* Bien sûr, si &lt;math&gt;V_0&lt;/math&gt; &gt;&gt; V-limite, on retrouve les résultats de Tartaglia-Ufano, ce qui est assez &quot;intuitif&quot; : la balle va tout droit et &quot;épuise ses forces&quot; : au bout de quelques &lt;math&gt;\tau&lt;/math&gt;, elle aura perdu sa vitesse, et elle sera à environ &lt;math&gt;V_0 \tau&lt;/math&gt; de l'origine ; la gravité deviendra dominante et les conditions initiales marginales : donc tous les mouvements seront ressemblants, à savoir, un &quot;arrondi&quot; puis l'asymptote verticale. La conclusion est donc triviale : la courbe de sûreté ressemble à un demi-cercle poursuivi vers le bas par l'asymptote.

{{boîte déroulante début|align=left|titre= je veux voir le calcul de la courbe de sûreté}}

&lt;math&gt;x = V_0 cos(A) \tau (1- e^{-t/\tau})&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;z = - g tau .t + V_o sin(A) +g \tau^2 1- e^{-t/\tau})&lt;/math&gt;

On pose : g=1 \tau = 1 ;  cos(A) = c ; sin(A) = s  ; on a pris le cas Vo = 1 .

On élimine le temps et on obtient la trajectoire : 
y = x (1+s)/c + Log (1-x/c)    { on a bien x &lt;c }
On dérive par rapport à A pour avoir l'équation de la caractéristique de Clairaut : 

0 = x (s+1)/c² - x  s/c² .1/ ( 1-x/c) qui se simplifie et donne x = c/(1+s)

On remplace dans l'équation de la trajectoire : y = 1 + log s - log (1+s)

On obtient donc l'enveloppe en paramétrique, en f de A , mais ici, elle se simplifie : éliminons A en passant à l'arc moitié ; tout se simplifie : y = 1-log 2 + log (1-x²) . L'asymptote est OkP.

* ( je ne sais pas s'il y a plus simple, les simplifications miraculeuses sont souvent dues à une mauvaise vision du calcul ... En tout cas, on peut vérifier directement l'apex : le max de z(t) = 2 -2 exp(-t) -t  a bien lieu pour t = Ln 2 et z = 2-1-Ln2 .OkP .

* le calcul s'organise de même pour un Vo différent.

{{boîte déroulante fin}}


{{boîte déroulante début|align=left|titre= je veux voir le calcul général : beurck}}

x = u.c(1-exp) et z = (u+1) (1-exp) -t 
On élimine t pour avoir la trajectoire, et on y adjoint l'équation de Clairaut : 

z = x t + x/ uc +  log ( 1-x/uc) '''ET''' la dérivée prise par rapport à A : 
Elle se simplifie par x , et donne  x= u².c/(u+s) , et on reporte dans z : on obtient donc la courbe de sûreté en paramétrique : 

&lt;div style=&quot;text-align: center;&quot;&gt;
&lt;math&gt; x = u^2. \frac {\cos A}{u+\sin A} \quad et  \quad  z  = u.\frac{1+ u \sin A}{u + \sin A} + Log \frac{\sin A}{u+\sin A }&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt; 

Il faudrait vérifier si cela se simplifie par élimination de A , ou bien s'il y a une explication simple à la manière de Torricelli. Bien sûr, on retrouve l'asymptote avec le Log (sin A ) et cette asymptote est bien en x = u ; si u &gt;&gt;1 , on retrouve l'intuition de Tartaglia : x ~u cos A et z ~ u sin A ('''et''' - Log u)

Conseil : dessiner en coordonnées cartésiennes , on dessine mal ce demi-cercle si l'on n'y voit qu'une &quot;arche&quot;.

{{boîte déroulante fin}}

== Le cas assez réaliste : résistance en v² ==


* En fait, en pratique, on recourt à des abaques.
{ L'empirisme le plus total ( ???) montre que la portée  est : pour z=0 , x = Portée(k=0)/( k +0.5exp(-2k/3)). (1+ résidu(k)), avec résidu(k)&lt; 0.0025 avec k = (Vo²/V1²) sin (A) . (Cet empirisme des artilleurs est conforté par le fait que le résultat est bon pour k petit et pour k grand?)} : grr... ça fait 5 ans au moins que cette formule traîne, et cela m'agace ...

== Cas des balles en rotation ==

Quand une balle est en rotation,liftée ou coupée, c’est-à-dire d'axe de rotation horizontal, perpendiculaire à '''Vo''', alors la traînée et la portance restent dans le plan vertical ( g, Vo): la trajectoire reste plane. Si la balle est brossée vers le bas (rotation sens direct), la balle sera aspirée vers le haut, et si la rotation est très vive, la trajectoire peut même présenter des boucles ! Elle peut même passer derrière le canonnier : expérience de Heim . Si la balle est brossée par le haut, la balle sera par le même effet Magnus aspirée vers le bas. Ces effets sont utilisés au ping-pong, au tennis, au golf. dans le cas des balles de golf, les trous &quot;slazsenger&quot; ont même été brevetés, car ils modifient la portance.

Évidemment, sinon, la trajectoire n'est plus plane : le coup franc &quot;platini&quot; au football le démontre.

== Histoire des sciences ==
Il est clair que depuis le temps des frondes, flèches, arbalètes, catapultes, onagres, balistes, pierrières, trébuchets, scorpions, puis arquebuses, mousquets, canons (Chute de Byzance,1453), la balistique extérieure a suscité de nombreuses recherches.

L'artillerie développe énormément la recherche. Donc en Europe de 1500 à 1638, un effort prodigieux est mené, pour performer l'enseignement d'Aristote. Tartaglia a une solution fausse, mais proche de la réalité avec la notion d'asymptote. 
*Ce sont Galilée et Torricelli qui mettent définitivement en forme le mouvement de {{w|chute libre}} avec lancer, au grand dam des artilleurs : Torricelli a historiquement complètement traité ce problème '''dans le vide''' (cf : {{w|parabole de sûreté}}). Mais il savait fort bien que sa description ne s'accordait pas à celle des artificiers (à cause de la résistance de l'air). 
*Il faut attendre Newton pour avoir vraiment le développement de la théorie ; puis Bernoulli pour mettre en forme ce qui sera nommé la balistique extérieure. En particulier pour invalider cette hérésie du calcul de Torricelli qui donnait une portée infinie pour un angle A = -90°. 
*Ensuite, le calcul porte soit sur des améliorations numériques, soit sur des cas d'intégrations spéciaux, œuvres plutôt de mathématiciens : la balistique extérieure a connu son apogée vers les années 1910 ; aujourd'hui, les calculs sont conduits souvent par ordinateur.

*Néanmoins, l'effort le plus grand aura été opéré par {{w|Galilée}} : cette idée osée d'imaginer la trajectoire dans un fluide évanescent ; d'analyser l'impetus de départ ; de voir qu'il ne s'épuisait jamais ; mais qu'au contraire la chute libre était &quot;composition&quot; des mouvements '''Vo'''.t et 1/2 '''g'''.t², et que le '''Vo''' de départ pouvait être compté '''comme rien''', etc, etc, efforts amplement racontés dans les Dialogues de [[1632]] et les Discours de [[1638]].

===histoire===
Tartaglia,Ufano, Blondel, Bernoulli, Euler ,  , Cranz,  , Adhémar, Ansi que Patrick Milligan, Peter Daher, Mathieu Godin des genies en balistique

== résistance de l'air en V² , dite quadratique ==
ébauche

{c'est un cas réaliste ; rappelons que en 1D, on a vu : &lt;math&gt;\ddot z = - 1/2 C_x a S/m .v^2 = -v^2/ H&lt;/math&gt; , avec typiquement Cx = 0.5 pour une sphère et 0.05 pour un bon profilé.Dans l'air pour une bille de plomb, H = m/(1/2C_x a S = R .\rho /a . 1/3 .4 = ~10 000 R , si R=1cm, H= 100m, si R= 10cm ( diamètre =20 !), H = 1 km, et 1m, 10 km (mais il faut penser alors, si c'est l'atmosphère, à faire attention à a(z) : en gros, un objet qui tombe ne passe pas mach_1}.

L'équation est :

&lt;div style=&quot;text-align: center;&quot;&gt;
&lt;math&gt; \dot u = - v.u \quad et \quad \ddot z = 1 - v.\dot z&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;

Elle est plus compliquée que la précédente car les f-inconnues {u= Vx,w = Vy } sont couplées par le terme v = sqrt( u²+w² ). On a introduit les coordonnées réduites. Faire attention à {1 ou -1}
=== les équations ===
introduire la déclinaison B = Pi/2-A.
On a déjà écrit les équations en A , on les réécrit en B :=: phi . On écrit sin(B) = s et cos (B) = c , et Attention : t = tan(B/2) ; la primitive depuis Pi/2 de 2/s^3 est : 2/s^3 = 2c²+2s² / s^3 = 2c²+s²  /s^3  +1/s donc primitive = f(B) = - c/s^2 +Log t : '''elle n'est PAS compliquée''' , la tracer soigneusement et se familiariser avec elle, car elle va jouer un grand rôle dans la suite des calculs. Bien sûr sa dérivée est 2/s^3 et donc sa pente en Pi/2 ( la vitesse est alors horizontale) vaut 2.

L'équation de l'hodographe s'écrit : du/dB = - u^3/s^3 et donc 1/u² -1/uo² = f(B) - f(Bo) : on introduit un angle fondamental : celui de l'asymptote-backward : soit Bc tel que f(Bc) = f(Bo) -1/uo² ; Bc est donc inférieur à Bo ; et alors 1/u² = [f(B) - f(Bc)] : u ne va cesser de décroître jusqu'à la valeur nulle. On a donc obtenu v(B) = u(B)/sin(B)  : c'est à dire l'hodographe en polaire, c'est à dire dS /dB  en f de B : c'est la description de la trajectoire en coordonnées intrinsèques de Frenet , donc c'est FINI : il suffit de tracer point par point, à la méthode enfantine, ...en mettant un pied devant l'autre, c'est à dire pour ceux qui ont l'habitude de ce langage, en &quot;tortue-logo&quot;.

Hélas, on a pris de très mauvaises habitudes : on VEUT VOIR les équations ''cartésiennes'' de la trajectoire, et même le mouvement sur la trajectoire : x=f(t) et y= g(t) ...alors que la description la plus &quot;naturelle&quot;, décrire le mouvement s(t),  a été oubliée ...

====une simplification fortuite : l'abscisse curviligne ====

le chemin parcouru se calcule très bien dans ce cas particulier : 

u = Vo. cos(A) . exp(-s/H) : on retrouve cette notion acquise lors du mouvement 1D : l'énergie de départ s'épuise au long du chemin et on aura beau augmenter la charge de poudre, càd Vo, cela ne servira à RIEN : on ira plus vite au lieu-dit, on n'ira pas plus LOIN. 

&lt;div style=&quot;text-align: center;&quot;&gt;
&lt;math&gt; rappel \quad R := 1/u^2 \quad ; \quad \frac{dR}{dB} = \frac{2}{ \sin^3(B)} \, ; \quad \frac{ds}{dB} = \frac{1}{2R}\frac{dR}{dB} \,  ; \quad \frac{dx}{dB} = \frac{1}{R \sin^2(B)}&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;

d'où :

&lt;div style=&quot;text-align: center;&quot;&gt;
&lt;math&gt; s = \frac 1 2 H. Log \quad  [1 + \frac{V_0^2.\sin^2 B_0}{gH} . (f(B)-f(B_0))]  = \frac 1 2  H. Log [f(B) -f(Bc)] +c  &lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;


&lt;div style=&quot;text-align: center;&quot;&gt;
&lt;math&gt;rappel : f(V) = -\cos(B)/\sin^2(B)+ Log \, \tan (B/2)&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;

* '''Il en résulte que''' :
*Supposons juste pour &quot;apprivoiser&quot; cette équation qui paraît formidable, de prendre : Vo sin(Bo) &gt;&gt; sqrt(gH) ,alors Bc est voisin de Bo et pratiquement pour un infime déroutement depuis Bo en Bo +(Bo-Bc) = 2Bo-Bc : on a déjà s = cste + 1/2 H . Log (f(B)-f(Bo)) , qui ne dépend plus de Vo sinon par la constante : donc les portions ultérieures sont &quot;identiques&quot;, puisque le rayon de courbure sera le même. Donc, on trouve :

sur une certaine portion du trajet, le mobile va quasiment en ligne droite, jusqu'à une abscisse qui croît avec Vo ( ouf ! heureusement) mais seulement comme H . Log Vo.sin(Bo)/sqrt(gH) , puis toutes les portions sont ~identiques. En particulier, le sommet S de la trajectoire est atteint pour B=0 et s vaut : s(Sommet) = s(B=0). En général, le &quot;1&quot; est négligeable, et on retrouve que toutes les portions se ressemblent au-delà du sommet S. En ce point, la courbure vaut 1/R = [f(Pi/2)-f(Bo)]/H = -f(Bo)/H (on peut contrôler bien sûr que en ce point , u²/g = R ), ensuite &quot;en général&quot;, R augmente beaucoup et &quot;on&quot; atteint l'asymptote. Les développées de toutes ces courbes se ressemblent (et penser bien sûr à la développer d'une parabole au voisinage de son apex) à une petite translation près. 

Ainsi, les calculs sont lourds et fastidieux, mais n'apportent pas grand-chose à la description de Tartaglia : si Vo est grand, une grande ligne droite, puis le &quot;cercle&quot; puis l'asymptote : il reste juste à contrôler &quot;visuellement&quot; la taille de ce cercle : la variation de taille est-elle conforme à 1/R = -f(Bo)/ H   (à grand Vo): évidemment si on tire avec Bo voisin de Pi/2 ( çàd à l'horizontale) R ~ Vo²/g ! c'est le cas des fusils (souvent, on tire à l'horizontale).

Donc, prudence : il faut moduler ces arguments en fonction de l'angle de tir : sans doute est-il préférable de regarder séparément les multiples facettes de ce double-réseau {Vo et Bo}.

* On peut préciser :
*Tartaglia et Ufano : il y a une première partie quasiment rectiligne, jusqu'à l'arrivée au sommet : le trajet a lieu en un temps d'autant plus court que Vo est grande ( cinétique du deuxième ordre , dirait-on en chimie !) : si ts &lt; H/Vo , alors ts ~ Vo/g . Log (1/ tan(Bo/2)) et le trajet parcouru est ~H. Log ( Vo²/gH .Log (1/tan(Bo/2))) soit encore une &quot;belle&quot; séparation du rôle de Vo et de Bo : 

&lt;math&gt;L(sommet) =~ H. Log ( Vo^2/gH  + H . Log (  Log(1/ \tan(Bo/2)))&lt;/math&gt; 

Ce qui permet les deux tracés essentiels : 

*ceux à Vo = cste pour trouver la courbe de sûreté : tracer les trois trajectoires à 30°, 45° et 60° est très parlant.

* ceux à Bo constant et Vo variable : il n'est pas évident que ces courbes ne se coupent pas : encore à déchiffrer.

====largage d'une bombe====

Puis, on reprend l'étude à partir du sommet S et on refait tous les calculs de Charbonnier : c'est le problème du largage d'une bombe.
* L'asymptote se trouve à Xa tel que : 

&lt;math&gt; Xa = H. \int_{\frac{\pi}{2}}^\pi dB / [ -c + s^2Log (t) + s^2. (gH/u_0^2)]&lt;/math&gt;

Cette intégrale n'a absolument rien de très difficile, mais il faut faire ressortir comment intervient le paramètre uo²/gH ; car c'est en gros de cela que va dépendre la taille de la courbe de sûreté.


{{boîte déroulante début|align=left|titre= ébauche : drôle de délire , bizarre...}}

Si tout ceci est faux, je ne m'en étonnerai pas : pas eu le temps de regarder suffisamment...
Typiquement avec du plomb, V-limite est de 100 m/s, voire 300m/s donc  H ~10 -100km : on ne pourra jamais avoir de canon de grande portée : 50 km, voir 100 km mais pas plus !!! Sauf à changer la masse des obus ( cela varie comme M^(1/3)) d'un facteur mille pour changer la constante de longueur d'un facteur 10 , mais peu importe vraiment Vo, il suffit de garder ~50m/s ( encore faut-il le faire ! ) : c'est la '''très grande leçon de ce calcul ''': tout réside dans la longueur H et la portée ne dépend que très peu de Vo , ce qui est '''contre-intuitif'''. 
*'''Sauf que...2eme argument''' avec H = 10km , on est juste dans l' OdG de la hauteur de l'atmosphère, pour une raison apparemment toute autre : mg Ha = kT , la température de la Terre. Est-ce un hasard ? mais non , mais non ...:
Car, quand on dit V-limite de l'ordre de 300m/s  on pense 330 m/s et vitesse du son V_son , et compressibilité : et pourquoi Ha ? par compressibilité de l'air ... en effet Ha = ~ (V_son)^2 /g  ( j'ai laissé tomber gamma ) : quand les bombardieri ont atteint des OdG de 100m/s , non seulement, ils se sont rapprochés du mur du son, mais encore : ils ont atteint des altitudes de l'ordre de 10km , donc le vide ( pas vraiment, mais on le touche...(sourire)) : mais alors...il faut reprendre TOUS les calculs, puisque on est en train d'écrire que la densité de l'air varie : et varie exponentiellement avec la même constante de longueur. '''Il urge''' de re-considérer le problème de l'altitude et des degrés de &quot;finesse de l'air&quot; : les artilleurs avaient remarqué sans doute que les canons tiraient plus loin en air &quot;ténu&quot; (?). Et là ça se gâte : au fond, on demande de reprendre le problème avec une constante de longueur H qui varie avec l'altitude comme H(z=0).exp(z/Ha), avec H(z=0) ~ Ha : brr...négligeons g , on aurait qqch comme : dv/dt = - v²/Ho . exp(-z/Ho). Mais cela change tout : d(v²)/dz = -2 v² exp-z =&gt; v² ~ exp ( exp(-z)) et donc ne s'annule pas à l'infini ...l'obus peut arriver dans le vide ...
(( Oui, cela se tient : c'est la m idée que celle de la trempe : x' = -x/T avec une cste T qui varie dans le temps en s'allongeant infiniment : T(t) = exp t/To , alors : xo n'arrive pas à relaxer à zéro , mais se &quot;gèle&quot; à une distance finie ))
*D'où deux grandes idées : aller tout doucement dans le vide et de là tirer ; ou bien construire des V2, des fusées, etc. ; ce qui techno-logiquement est à peu près la même idée.
FIN de délire  
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====une trajectoire particulière en détail pour se familiariser ====
prendre B= A = Pi/4 ; Vo = V-limite : oui, ça se calcule bien 

====courbe de sûreté ====
certes plus compliquée , mais pas le dessin par informatique ; &quot;en gros&quot;, on a les mêmes formes en dôme + asymptote. Assez bizarre a priori : la courbe ne &quot;gonfle pas quand Vo augmente&quot; ! Elle est de la taille de H, la longueur caractéristique de la résistance de l'air.

====notes====
ébauche 

{{boîte déroulante début|align=left|titre= voir les notes en ébauche}}


je vais fourguer ici les notes ...bien utiles pour ne pas oublier ...des calculs parfois laborieux , en tout cas, il faut se familiariser.
* '''note 1 ''' :&lt;math&gt;\ddot z = - exp-z/H . v^2/a&lt;/math&gt; : cette eq est bizarre, pour l'instant je ne la maitrise pas . Ok , je sais l'intégrer mais c'est tout.
Creusons autour : &lt;math&gt;dE/dz = -2/a exp( -z/H) . E &lt;/math&gt; donne &lt;math&gt; Log E/Eo = +2H/a (exp- z/H -1)&lt;/math&gt; soit &lt;math&gt;E = Eo exp(exp(-z/H))2H/a . exp-2H/a&lt;/math&gt; donc pour z &gt;&gt; H , il subsiste un reliquat d'énergie qui a passé la barrière : E(infty) = Eo .exp-2H/a : qualitativement les paramètres sont dans le sens correct : pour a donné, généralement une particule pénètre de qq a  et s'arrête ; mais ici a dépend en qq sorte de z , via a(z) = a exp +z/H , donc c'est &quot;comme si&quot; on pouvait aller de plus en plus loin ; ce qui reste est cette compétition ; je le vois aussi comme un processus de trempe : E ''devrait'' relaxer à zéro , mais  le temps de relaxation s'étire indéfiniment ; le processus se gèle et au temps infty, E n'est toujours pas relaxée à zéro : E s'est gelée à la valeur E. exp -2H/a : m'ouais , au fond j'opte pour cette interprétation, provisoirement, elle me va .

*'''note 2''' : mettre ici qq valeurs numériques réduites pour éviter les redites , et comparer les abaques de Charbonnier, Adhémar, Cranz etc. Si je peux obtenir les calculs d'Otto, pourquoi pas.etc : sans faire un traité ...qui ne m'intéresse pas outre-mesure.

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== Notes et références de la page ==
&lt;references/&gt;

== Voir aussi ==
=== Livres ===
* [[Vol balistique et missiles balistiques]].

=== Articles sur wikipédia ===
* [[w:Grosse Bertha|Grosse Bertha]],
* [[w:Chute avec résistance de l'air|Chute avec résistance de l'air]],
* [[w:Chute libre (physique)|Chute libre]] et [[w:trajectoire parabolique|trajectoire parabolique]], [[w:parabole de sûreté|parabole de sûreté]], [[w:Ellipse de sûreté|Ellipse de sûreté]], pour mémoire : là, pas de résistance de l'air.

=== Liens et documents externes ===
* Appell : traité de mécanique rationnelle
* Whittaker : analytical dynamics
*traités de balistique de Charbonnier(1921) de Ottenheimer (1929) , d'Adhémar ( mémorial Sc math ,fasc 65), de Carl Cranz, de Moulton.
*de Mestre a écrit : trajectoire d'un projectile en sport.
*en Histoire des Sciences : Mach écrit(§19,p145): Saint-Bach(1561); Tartaglia(1537);Rivius(1582); Benedetti; Vailati ;les armes à feu au XIVeme font que la réflexion progresse.Puis Galilée, puis Torricelli plus encore .* Voir aussi Koyré  ; +* Maury JP : ''Mersenne''(ed Vuibert 2003).

[[Catégorie:Mécanique]]</text>
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      <text bytes="26274" xml:space="preserve">&lt;noinclude&gt;{{Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences}}&lt;/noinclude&gt;

La balistique extérieure, ici, concerne le mouvement d'un '''point matériel''' &lt;ref&gt;Ceci ne concerne pas des pans entiers de la balistique extérieure : celle des sports de ballon en particulier. Certes intéressants aussi, mais ... chaque chose en son temps (ici les traités sont déjà assez lourds )&lt;/ref&gt; soumis à la [[w:pesanteur|pesanteur]] uniforme, selon son poids mg et la résistance de l'air notée mg f(v).

Ce qu'il y a de plus caractéristique par rapport au mouvement de [[w:Evangelista_Torricelli#Parabole de sûreté|Torricelli]] est l'apparition d'une [[w:asymptote|'''asymptote''']], ce que savaient bien les artilleurs : [[w:Niccolo Fontana Tartaglia|Tartaglia]], Ufano, etc.

Il faudra se souvenir essentiellement de l'équation de [[w:Hodographe|l'hodographe]] : 

&lt;math&gt;\frac{dV_x}{d\phi}= - f(v).v&lt;/math&gt;

Ici &lt;math&gt;V_x&lt;/math&gt; est la composante horizontale du vecteur vitesse, et &lt;math&gt;\phi&lt;/math&gt; l'angle complémentaire de l'angle de hauteur &lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt; (on dit parfois la déclinaison) : comme &lt;math&gt;\phi&lt;/math&gt; ne cesse d'augmenter, &lt;math&gt;V_x&lt;/math&gt; diminue toujours et finit par tendre vers zéro. Qui plus est, x(t) reste fini.

Cette leçon sera développée du point de vue historique, pour mieux préciser les rôles des chercheurs dans ce domaine.

Elle sera excessivement développée par rapport au cours technique classique, mais ...elle pourra servir de référence... ?

== Mouvement ; asymptote ==

Le cas d'un point matériel soumis à un champ de pesanteur uniforme tombant sans vitesse initiale est traité dans l'article [[Chute avec résistance de l'air]]. Il a fait apparaître la notion très importante de ''vitesse-limite''. De même dans le cas d'un projectile, il apparaît la notion d'asymptote de la trajectoire.

La restriction champ de pesanteur uniforme est gardée ici ; si la trajectoire du mobile dépasse 100km, il faut modifier.

Le vecteur vitesse sera repéré par son module v et son angle de hauteur A : les composantes cartésiennes sont donc &lt;math&gt;V_x = v \cos A \quad ; \quad V_y = v \sin A&lt;/math&gt;.

L'analyse des forces est : poids mg  et résistance fluide  de module r(v): = mg f(v), de direction opposée à la vitesse.
=== [[Hodographe]] ===
L'accélération montre que la courbe est concave vers le bas : donc, quand l'abscisse curviligne s augmente, l'angle de la vitesse avec l'horizontale, A(t)  diminue de sa valeur initiale Ao à -90° : la fonction t-&gt; - A(t),fonction croissante monotone, peut être avantageusement choisie comme '''échelle de temps''':
====échelle des temps ====
*Les équations de Frenet donnent :
*dv/dt = -g sinA -g.f(v)
*mv²/R = mg cosA soit -v.dA/dt = g cosA.

d'où l'échelle de temps : dt = -V(A)/(g cosA).dA

On en tirera dx = -v²/g .dA ; dy =dx.tanA pour avoir la trajectoire, dont les coordonnées intrinsèques sont R = V²(A)/(g.cosA) ;

====équation dite hodographe de la balistique ====

En éliminant dt :
&lt;math&gt;d(v \cos A)/dA = v.f(v) ~&lt;/math&gt;
 
équation du premier ordre, avec C.I. de Cauchy ( Ao, Vo).

D'où v = V(A), ce qui est l'[[hodographe]] en coordonnées polaires.

Quand A tend vers -90°,développer la dérivée, '''v tend vers une limite V1''' telle que : 

'''f(V1) = 1'''

On retrouve la notion de vitesse-limite de l'article [[chute avec résistance de l'air]].

===La trajectoire ===
Pour obtenir la trajectoire, il ''suffit'' donc d'intégrer l'équation précédente, puis :

&lt;math&gt; -g \, dx = v^2 \,\cdot dA \quad -g\,dy = v^2 \,\tan A \,\cdot dA \quad -g\,dt= v \,\sec A \,\cdot dA  \quad -g\,ds = v^2\,\sec A \,\cdot dA ~&lt;/math&gt;

Tout s'exprime donc &quot;à une quadrature près&quot; si on sait résoudre l'équation de l'hodographe (Bernoulli, 1695). 

Cette trajectoire est dissymétrique par rapport à sa culmination (qui correspond à A = 0), car l'équation (B) donne v(A) &gt; v(-A) et x(t) représente l'aire balayée par l'hodographe (cf. [[Vitesse#Coordonnées polaires|vitesse aréolaire]]).

==== asymptote de la trajectoire ====
L'immense différence avec le cas de Torricelli est que :
* la vitesse est bornée par V1 et ne croît donc pas indéfiniment.
* et x est fonction croissante du temps mais majorée par V1²/g .Pi/2 donc bornée : '''la portée est finie''', quelle que soit la &quot;hauteur de la citadelle&quot; : c'est bien ce qu'affirmaient les artilleurs, la [[trajectoire parabolique]] de Torricelli n'étant solution valable que dans le cas irréaliste où l'on néglige la résistance de l'air.

=== Cas intégrables ===
L'équation de l'hodographe est donc l'équation fondamentale de la Balistique.

*Le cas le plus facile d'intégrabilité est donné par Lagrange : f(v) = kv^n = (v/V1)^n . L'équation est alors une [[équation de Bernoulli]], et s'intègre comme telle ( on obtient une équation différentielle '''linéaire''', du premier ordre ).
*Drach(CRAS1914) donne les différentes formes de f(V) pour lesquelles l'intégration est possible, y compris via les fonctions elliptiques.
* En pratique, les artilleurs préfèrent une intégration numérique de (B), compte-tenu de la formule empirique de f(V) déterminée en soufflerie ; il faut en effet tenir compte de la variation de la densité de l'air avec l'altitude, donc en réalité f(V)*d(z), ce qui est plus dur à résoudre.
Enfin , pour les tirs assez lointains, il ne faut pas oublier la [[déviation vers l'Est|déviation de Coriolis]] ( cf la [[Grosse Bertha]]).

== Le cas irréaliste linéaire ==

Ce cas est totalement irréaliste, mais il est étudié simplement parce qu'il est facilement intégrable !!!

Il donne, par le tracé des trajectoires, une certaine intuition du mouvement, considéré par beaucoup comme fausse.

L'équation différentielle est : 
&lt;math&gt; \frac{d \vec v}{dt} = \vec g - {\vec v}/{\tau} &lt;/math&gt;

'''L'hodographe est donc la droite''':
&lt;math&gt; \vec v = \vec g \tau  + ( \vec v_0 - \vec g \tau)e^{-\frac{t}{\tau}}&lt;/math&gt;

la trajectoire du projectile P est :
&lt;math&gt;\vec{OP} = \vec g \tau.t + ( \vec v_0 \tau -\vec g \tau^2)(1- e^{-\frac{t}{\tau}}) &lt;/math&gt;

{ébauche : aide figure demandée, svp }

La trajectoire est dissymétrique par rapport à son point de culmination : pour la même altitude positive, il y a deux racines dont la demi somme décroît régulièrement, et les angles A1 et A2 ont une somme négative.

*remarques annexes : 
#Pour t &lt; \tau, on retrouve la trajectoire parabolique + termes perturbatifs : 
&lt;math&gt;^{\vec {OP} = \vec v_0 t + \frac 1 2  \vec g t^2  - [ \vec v_0 t^2/2\tau  + \vec g t^3/6 \tau^2] +...}&lt;/math&gt;

# L'hodographe peut se retrouver en polaire via l'équation-Balistique ( bien que cela soit inutilement compliqué ! ) : l'équation est 2-Bernoulli, on prend donc T(A) = g\tau.1/v comme fonction inconnue et l'équation se simplifie : -dT/dA = T. tan(A) +1/cos(A) ( +CI) eq dif linéaire dont la solution est : T(A) = g \tau . 1/v = sin(A) + cos(A) [ (gt/Vo -sin(Ao))/cos(Ao)] : l'hodographe est bien un segment de droite.

====courbe de sûreté ====
Elle est beaucoup plus difficile à calculer que dans le cas de Torricelli, mais faisable.

Donnons ici un exemple : la courbe de sûreté dans le cas où la vitesse initiale est &lt;math&gt;V_0 = g \tau&lt;/math&gt; est (unités réduites) : 

&lt;math&gt; z = 1 - Ln 2 + Ln(1-x^2)&lt;/math&gt;

* Bien sûr, si &lt;math&gt;V_0&lt;/math&gt; &gt;&gt; V-limite, on retrouve les résultats de Tartaglia-Ufano, ce qui est assez &quot;intuitif&quot; : la balle va tout droit et &quot;épuise ses forces&quot; : au bout de quelques &lt;math&gt;\tau&lt;/math&gt;, elle aura perdu sa vitesse, et elle sera à environ &lt;math&gt;V_0 \tau&lt;/math&gt; de l'origine ; la gravité deviendra dominante et les conditions initiales marginales : donc tous les mouvements seront ressemblants, à savoir, un &quot;arrondi&quot; puis l'asymptote verticale. La conclusion est donc triviale : la courbe de sûreté ressemble à un demi-cercle poursuivi vers le bas par l'asymptote.

{{boîte déroulante début|align=left|titre= je veux voir le calcul de la courbe de sûreté}}

&lt;math&gt;x = V_0 cos(A) \tau (1- e^{-t/\tau})&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;z = - g tau .t + V_o sin(A) +g \tau^2 1- e^{-t/\tau})&lt;/math&gt;

On pose : g=1 \tau = 1 ;  cos(A) = c ; sin(A) = s  ; on a pris le cas Vo = 1 .

On élimine le temps et on obtient la trajectoire : 
y = x (1+s)/c + Log (1-x/c)    { on a bien x &lt;c }
On dérive par rapport à A pour avoir l'équation de la caractéristique de Clairaut : 

0 = x (s+1)/c² - x  s/c² .1/ ( 1-x/c) qui se simplifie et donne x = c/(1+s)

On remplace dans l'équation de la trajectoire : y = 1 + log s - log (1+s)

On obtient donc l'enveloppe en paramétrique, en f de A , mais ici, elle se simplifie : éliminons A en passant à l'arc moitié ; tout se simplifie : y = 1-log 2 + log (1-x²) . L'asymptote est OkP.

* ( je ne sais pas s'il y a plus simple, les simplifications miraculeuses sont souvent dues à une mauvaise vision du calcul ... En tout cas, on peut vérifier directement l'apex : le max de z(t) = 2 -2 exp(-t) -t  a bien lieu pour t = Ln 2 et z = 2-1-Ln2 .OkP .

* le calcul s'organise de même pour un Vo différent.

{{boîte déroulante fin}}


{{boîte déroulante début|align=left|titre= je veux voir le calcul général : beurck}}

x = u.c(1-exp) et z = (u+1) (1-exp) -t 
On élimine t pour avoir la trajectoire, et on y adjoint l'équation de Clairaut : 

z = x t + x/ uc +  log ( 1-x/uc) '''ET''' la dérivée prise par rapport à A : 
Elle se simplifie par x , et donne  x= u².c/(u+s) , et on reporte dans z : on obtient donc la courbe de sûreté en paramétrique : 

&lt;div style=&quot;text-align: center;&quot;&gt;
&lt;math&gt; x = u^2. \frac {\cos A}{u+\sin A} \quad et  \quad  z  = u.\frac{1+ u \sin A}{u + \sin A} + Log \frac{\sin A}{u+\sin A }&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt; 

Il faudrait vérifier si cela se simplifie par élimination de A , ou bien s'il y a une explication simple à la manière de Torricelli. Bien sûr, on retrouve l'asymptote avec le Log (sin A ) et cette asymptote est bien en x = u ; si u &gt;&gt;1 , on retrouve l'intuition de Tartaglia : x ~u cos A et z ~ u sin A ('''et''' - Log u)

Conseil : dessiner en coordonnées cartésiennes , on dessine mal ce demi-cercle si l'on n'y voit qu'une &quot;arche&quot;.

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== Le cas assez réaliste : résistance en v² ==


* En fait, en pratique, on recourt à des abaques.
{ L'empirisme le plus total ( ???) montre que la portée  est : pour z=0 , x = Portée(k=0)/( k +0.5exp(-2k/3)). (1+ résidu(k)), avec résidu(k)&lt; 0.0025 avec k = (Vo²/V1²) sin (A) . (Cet empirisme des artilleurs est conforté par le fait que le résultat est bon pour k petit et pour k grand?)} : grr... ça fait 5 ans au moins que cette formule traîne, et cela m'agace ...

== Cas des balles en rotation ==

Quand une balle est en rotation,liftée ou coupée, c’est-à-dire d'axe de rotation horizontal, perpendiculaire à '''Vo''', alors la traînée et la portance restent dans le plan vertical ( g, Vo): la trajectoire reste plane. Si la balle est brossée vers le bas (rotation sens direct), la balle sera aspirée vers le haut, et si la rotation est très vive, la trajectoire peut même présenter des boucles ! Elle peut même passer derrière le canonnier : expérience de Heim . Si la balle est brossée par le haut, la balle sera par le même effet Magnus aspirée vers le bas. Ces effets sont utilisés au ping-pong, au tennis, au golf. dans le cas des balles de golf, les trous &quot;slazsenger&quot; ont même été brevetés, car ils modifient la portance.

Évidemment, sinon, la trajectoire n'est plus plane : le coup franc &quot;platini&quot; au football le démontre.

== Histoire des sciences ==
Il est clair que depuis le temps des frondes, flèches, arbalètes, catapultes, onagres, balistes, pierrières, trébuchets, scorpions, puis arquebuses, mousquets, canons (Chute de Byzance,1453), la balistique extérieure a suscité de nombreuses recherches.

L'artillerie développe énormément la recherche. Donc en Europe de 1500 à 1638, un effort prodigieux est mené, pour performer l'enseignement d'Aristote. Tartaglia a une solution fausse, mais proche de la réalité avec la notion d'asymptote. 
*Ce sont Galilée et Torricelli qui mettent définitivement en forme le mouvement de {{w|chute libre}} avec lancer, au grand dam des artilleurs : Torricelli a historiquement complètement traité ce problème '''dans le vide''' (cf : {{w|parabole de sûreté}}). Mais il savait fort bien que sa description ne s'accordait pas à celle des artificiers (à cause de la résistance de l'air). 
*Il faut attendre Newton pour avoir vraiment le développement de la théorie ; puis Bernoulli pour mettre en forme ce qui sera nommé la balistique extérieure. En particulier pour invalider cette hérésie du calcul de Torricelli qui donnait une portée infinie pour un angle A = -90°. 
*Ensuite, le calcul porte soit sur des améliorations numériques, soit sur des cas d'intégrations spéciaux, œuvres plutôt de mathématiciens : la balistique extérieure a connu son apogée vers les années 1910 ; aujourd'hui, les calculs sont conduits souvent par ordinateur.

*Néanmoins, l'effort le plus grand aura été opéré par {{w|Galilée}} : cette idée osée d'imaginer la trajectoire dans un fluide évanescent ; d'analyser l'impetus de départ ; de voir qu'il ne s'épuisait jamais ; mais qu'au contraire la chute libre était &quot;composition&quot; des mouvements '''Vo'''.t et 1/2 '''g'''.t², et que le '''Vo''' de départ pouvait être compté '''comme rien''', etc, etc, efforts amplement racontés dans les Dialogues de 1632 et les Discours de 1638.

===histoire===
Tartaglia,Ufano, Blondel, Bernoulli, Euler ,  , Cranz,  , Adhémar, Ansi que Patrick Milligan, Peter Daher, Mathieu Godin des genies en balistique

== résistance de l'air en V² , dite quadratique ==
ébauche

{c'est un cas réaliste ; rappelons que en 1D, on a vu : &lt;math&gt;\ddot z = - 1/2 C_x a S/m .v^2 = -v^2/ H&lt;/math&gt; , avec typiquement Cx = 0.5 pour une sphère et 0.05 pour un bon profilé.Dans l'air pour une bille de plomb, H = m/(1/2C_x a S = R .\rho /a . 1/3 .4 = ~10 000 R , si R=1cm, H= 100m, si R= 10cm ( diamètre =20 !), H = 1 km, et 1m, 10 km (mais il faut penser alors, si c'est l'atmosphère, à faire attention à a(z) : en gros, un objet qui tombe ne passe pas mach_1}.

L'équation est :

&lt;div style=&quot;text-align: center;&quot;&gt;
&lt;math&gt; \dot u = - v.u \quad et \quad \ddot z = 1 - v.\dot z&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;

Elle est plus compliquée que la précédente car les f-inconnues {u= Vx,w = Vy } sont couplées par le terme v = sqrt( u²+w² ). On a introduit les coordonnées réduites. Faire attention à {1 ou -1}
=== les équations ===
introduire la déclinaison B = Pi/2-A.
On a déjà écrit les équations en A , on les réécrit en B :=: phi . On écrit sin(B) = s et cos (B) = c , et Attention : t = tan(B/2) ; la primitive depuis Pi/2 de 2/s^3 est : 2/s^3 = 2c²+2s² / s^3 = 2c²+s²  /s^3  +1/s donc primitive = f(B) = - c/s^2 +Log t : '''elle n'est PAS compliquée''' , la tracer soigneusement et se familiariser avec elle, car elle va jouer un grand rôle dans la suite des calculs. Bien sûr sa dérivée est 2/s^3 et donc sa pente en Pi/2 ( la vitesse est alors horizontale) vaut 2.

L'équation de l'hodographe s'écrit : du/dB = - u^3/s^3 et donc 1/u² -1/uo² = f(B) - f(Bo) : on introduit un angle fondamental : celui de l'asymptote-backward : soit Bc tel que f(Bc) = f(Bo) -1/uo² ; Bc est donc inférieur à Bo ; et alors 1/u² = [f(B) - f(Bc)] : u ne va cesser de décroître jusqu'à la valeur nulle. On a donc obtenu v(B) = u(B)/sin(B)  : c'est à dire l'hodographe en polaire, c'est à dire dS /dB  en f de B : c'est la description de la trajectoire en coordonnées intrinsèques de Frenet , donc c'est FINI : il suffit de tracer point par point, à la méthode enfantine, ...en mettant un pied devant l'autre, c'est à dire pour ceux qui ont l'habitude de ce langage, en &quot;tortue-logo&quot;.

Hélas, on a pris de très mauvaises habitudes : on VEUT VOIR les équations ''cartésiennes'' de la trajectoire, et même le mouvement sur la trajectoire : x=f(t) et y= g(t) ...alors que la description la plus &quot;naturelle&quot;, décrire le mouvement s(t),  a été oubliée ...

====une simplification fortuite : l'abscisse curviligne ====

le chemin parcouru se calcule très bien dans ce cas particulier : 

u = Vo. cos(A) . exp(-s/H) : on retrouve cette notion acquise lors du mouvement 1D : l'énergie de départ s'épuise au long du chemin et on aura beau augmenter la charge de poudre, càd Vo, cela ne servira à RIEN : on ira plus vite au lieu-dit, on n'ira pas plus LOIN. 

&lt;div style=&quot;text-align: center;&quot;&gt;
&lt;math&gt; rappel \quad R := 1/u^2 \quad ; \quad \frac{dR}{dB} = \frac{2}{ \sin^3(B)} \, ; \quad \frac{ds}{dB} = \frac{1}{2R}\frac{dR}{dB} \,  ; \quad \frac{dx}{dB} = \frac{1}{R \sin^2(B)}&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;

d'où :

&lt;div style=&quot;text-align: center;&quot;&gt;
&lt;math&gt; s = \frac 1 2 H. Log \quad  [1 + \frac{V_0^2.\sin^2 B_0}{gH} . (f(B)-f(B_0))]  = \frac 1 2  H. Log [f(B) -f(Bc)] +c  &lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;


&lt;div style=&quot;text-align: center;&quot;&gt;
&lt;math&gt;rappel : f(V) = -\cos(B)/\sin^2(B)+ Log \, \tan (B/2)&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;

* '''Il en résulte que''' :
*Supposons juste pour &quot;apprivoiser&quot; cette équation qui paraît formidable, de prendre : Vo sin(Bo) &gt;&gt; sqrt(gH) ,alors Bc est voisin de Bo et pratiquement pour un infime déroutement depuis Bo en Bo +(Bo-Bc) = 2Bo-Bc : on a déjà s = cste + 1/2 H . Log (f(B)-f(Bo)) , qui ne dépend plus de Vo sinon par la constante : donc les portions ultérieures sont &quot;identiques&quot;, puisque le rayon de courbure sera le même. Donc, on trouve :

sur une certaine portion du trajet, le mobile va quasiment en ligne droite, jusqu'à une abscisse qui croît avec Vo ( ouf ! heureusement) mais seulement comme H . Log Vo.sin(Bo)/sqrt(gH) , puis toutes les portions sont ~identiques. En particulier, le sommet S de la trajectoire est atteint pour B=0 et s vaut : s(Sommet) = s(B=0). En général, le &quot;1&quot; est négligeable, et on retrouve que toutes les portions se ressemblent au-delà du sommet S. En ce point, la courbure vaut 1/R = [f(Pi/2)-f(Bo)]/H = -f(Bo)/H (on peut contrôler bien sûr que en ce point , u²/g = R ), ensuite &quot;en général&quot;, R augmente beaucoup et &quot;on&quot; atteint l'asymptote. Les développées de toutes ces courbes se ressemblent (et penser bien sûr à la développer d'une parabole au voisinage de son apex) à une petite translation près. 

Ainsi, les calculs sont lourds et fastidieux, mais n'apportent pas grand-chose à la description de Tartaglia : si Vo est grand, une grande ligne droite, puis le &quot;cercle&quot; puis l'asymptote : il reste juste à contrôler &quot;visuellement&quot; la taille de ce cercle : la variation de taille est-elle conforme à 1/R = -f(Bo)/ H   (à grand Vo): évidemment si on tire avec Bo voisin de Pi/2 ( çàd à l'horizontale) R ~ Vo²/g ! c'est le cas des fusils (souvent, on tire à l'horizontale).

Donc, prudence : il faut moduler ces arguments en fonction de l'angle de tir : sans doute est-il préférable de regarder séparément les multiples facettes de ce double-réseau {Vo et Bo}.

* On peut préciser :
*Tartaglia et Ufano : il y a une première partie quasiment rectiligne, jusqu'à l'arrivée au sommet : le trajet a lieu en un temps d'autant plus court que Vo est grande ( cinétique du deuxième ordre , dirait-on en chimie !) : si ts &lt; H/Vo , alors ts ~ Vo/g . Log (1/ tan(Bo/2)) et le trajet parcouru est ~H. Log ( Vo²/gH .Log (1/tan(Bo/2))) soit encore une &quot;belle&quot; séparation du rôle de Vo et de Bo : 

&lt;math&gt;L(sommet) =~ H. Log ( Vo^2/gH  + H . Log (  Log(1/ \tan(Bo/2)))&lt;/math&gt; 

Ce qui permet les deux tracés essentiels : 

*ceux à Vo = cste pour trouver la courbe de sûreté : tracer les trois trajectoires à 30°, 45° et 60° est très parlant.

* ceux à Bo constant et Vo variable : il n'est pas évident que ces courbes ne se coupent pas : encore à déchiffrer.

====largage d'une bombe====

Puis, on reprend l'étude à partir du sommet S et on refait tous les calculs de Charbonnier : c'est le problème du largage d'une bombe.
* L'asymptote se trouve à Xa tel que : 

&lt;math&gt; Xa = H. \int_{\frac{\pi}{2}}^\pi dB / [ -c + s^2Log (t) + s^2. (gH/u_0^2)]&lt;/math&gt;

Cette intégrale n'a absolument rien de très difficile, mais il faut faire ressortir comment intervient le paramètre uo²/gH ; car c'est en gros de cela que va dépendre la taille de la courbe de sûreté.


{{boîte déroulante début|align=left|titre= ébauche : drôle de délire , bizarre...}}

Si tout ceci est faux, je ne m'en étonnerai pas : pas eu le temps de regarder suffisamment...
Typiquement avec du plomb, V-limite est de 100 m/s, voire 300m/s donc  H ~10 -100km : on ne pourra jamais avoir de canon de grande portée : 50 km, voir 100 km mais pas plus !!! Sauf à changer la masse des obus ( cela varie comme M^(1/3)) d'un facteur mille pour changer la constante de longueur d'un facteur 10 , mais peu importe vraiment Vo, il suffit de garder ~50m/s ( encore faut-il le faire ! ) : c'est la '''très grande leçon de ce calcul ''': tout réside dans la longueur H et la portée ne dépend que très peu de Vo , ce qui est '''contre-intuitif'''. 
*'''Sauf que...2eme argument''' avec H = 10km , on est juste dans l' OdG de la hauteur de l'atmosphère, pour une raison apparemment toute autre : mg Ha = kT , la température de la Terre. Est-ce un hasard ? mais non , mais non ...:
Car, quand on dit V-limite de l'ordre de 300m/s  on pense 330 m/s et vitesse du son V_son , et compressibilité : et pourquoi Ha ? par compressibilité de l'air ... en effet Ha = ~ (V_son)^2 /g  ( j'ai laissé tomber gamma ) : quand les bombardieri ont atteint des OdG de 100m/s , non seulement, ils se sont rapprochés du mur du son, mais encore : ils ont atteint des altitudes de l'ordre de 10km , donc le vide ( pas vraiment, mais on le touche...(sourire)) : mais alors...il faut reprendre TOUS les calculs, puisque on est en train d'écrire que la densité de l'air varie : et varie exponentiellement avec la même constante de longueur. '''Il urge''' de re-considérer le problème de l'altitude et des degrés de &quot;finesse de l'air&quot; : les artilleurs avaient remarqué sans doute que les canons tiraient plus loin en air &quot;ténu&quot; (?). Et là ça se gâte : au fond, on demande de reprendre le problème avec une constante de longueur H qui varie avec l'altitude comme H(z=0).exp(z/Ha), avec H(z=0) ~ Ha : brr...négligeons g , on aurait qqch comme : dv/dt = - v²/Ho . exp(-z/Ho). Mais cela change tout : d(v²)/dz = -2 v² exp-z =&gt; v² ~ exp ( exp(-z)) et donc ne s'annule pas à l'infini ...l'obus peut arriver dans le vide ...
(( Oui, cela se tient : c'est la m idée que celle de la trempe : x' = -x/T avec une cste T qui varie dans le temps en s'allongeant infiniment : T(t) = exp t/To , alors : xo n'arrive pas à relaxer à zéro , mais se &quot;gèle&quot; à une distance finie ))
*D'où deux grandes idées : aller tout doucement dans le vide et de là tirer ; ou bien construire des V2, des fusées, etc. ; ce qui techno-logiquement est à peu près la même idée.
FIN de délire  
{{boîte déroulante fin}}

====une trajectoire particulière en détail pour se familiariser ====
prendre B= A = Pi/4 ; Vo = V-limite : oui, ça se calcule bien 

====courbe de sûreté ====
certes plus compliquée , mais pas le dessin par informatique ; &quot;en gros&quot;, on a les mêmes formes en dôme + asymptote. Assez bizarre a priori : la courbe ne &quot;gonfle pas quand Vo augmente&quot; ! Elle est de la taille de H, la longueur caractéristique de la résistance de l'air.

====notes====
ébauche 

{{boîte déroulante début|align=left|titre= voir les notes en ébauche}}


je vais fourguer ici les notes ...bien utiles pour ne pas oublier ...des calculs parfois laborieux , en tout cas, il faut se familiariser.
* '''note 1 ''' :&lt;math&gt;\ddot z = - exp-z/H . v^2/a&lt;/math&gt; : cette eq est bizarre, pour l'instant je ne la maitrise pas . Ok , je sais l'intégrer mais c'est tout.
Creusons autour : &lt;math&gt;dE/dz = -2/a exp( -z/H) . E &lt;/math&gt; donne &lt;math&gt; Log E/Eo = +2H/a (exp- z/H -1)&lt;/math&gt; soit &lt;math&gt;E = Eo exp(exp(-z/H))2H/a . exp-2H/a&lt;/math&gt; donc pour z &gt;&gt; H , il subsiste un reliquat d'énergie qui a passé la barrière : E(infty) = Eo .exp-2H/a : qualitativement les paramètres sont dans le sens correct : pour a donné, généralement une particule pénètre de qq a  et s'arrête ; mais ici a dépend en qq sorte de z , via a(z) = a exp +z/H , donc c'est &quot;comme si&quot; on pouvait aller de plus en plus loin ; ce qui reste est cette compétition ; je le vois aussi comme un processus de trempe : E ''devrait'' relaxer à zéro , mais  le temps de relaxation s'étire indéfiniment ; le processus se gèle et au temps infty, E n'est toujours pas relaxée à zéro : E s'est gelée à la valeur E. exp -2H/a : m'ouais , au fond j'opte pour cette interprétation, provisoirement, elle me va .

*'''note 2''' : mettre ici qq valeurs numériques réduites pour éviter les redites , et comparer les abaques de Charbonnier, Adhémar, Cranz etc. Si je peux obtenir les calculs d'Otto, pourquoi pas.etc : sans faire un traité ...qui ne m'intéresse pas outre-mesure.

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== Notes et références de la page ==
&lt;references/&gt;

== Voir aussi ==
=== Livres ===
* [[Vol balistique et missiles balistiques]].

=== Articles sur wikipédia ===
* [[w:Grosse Bertha|Grosse Bertha]],
* [[w:Chute avec résistance de l'air|Chute avec résistance de l'air]],
* [[w:Chute libre (physique)|Chute libre]] et [[w:trajectoire parabolique|trajectoire parabolique]], [[w:parabole de sûreté|parabole de sûreté]], [[w:Ellipse de sûreté|Ellipse de sûreté]], pour mémoire : là, pas de résistance de l'air.

=== Liens et documents externes ===
* Appell : traité de mécanique rationnelle
* Whittaker : analytical dynamics
*traités de balistique de Charbonnier(1921) de Ottenheimer (1929) , d'Adhémar ( mémorial Sc math ,fasc 65), de Carl Cranz, de Moulton.
*de Mestre a écrit : trajectoire d'un projectile en sport.
*en Histoire des Sciences : Mach écrit(§19,p145): Saint-Bach(1561); Tartaglia(1537);Rivius(1582); Benedetti; Vailati ;les armes à feu au XIVeme font que la réflexion progresse.Puis Galilée, puis Torricelli plus encore .* Voir aussi Koyré  ; +* Maury JP : ''Mersenne''(ed Vuibert 2003).

[[Catégorie:Mécanique]]</text>
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      <text bytes="26268" xml:space="preserve">&lt;noinclude&gt;{{Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences}}&lt;/noinclude&gt;

La balistique extérieure, ici, concerne le mouvement d'un '''point matériel''' &lt;ref&gt;Ceci ne concerne pas des pans entiers de la balistique extérieure : celle des sports de ballon en particulier. Certes intéressants aussi, mais ... chaque chose en son temps (ici les traités sont déjà assez lourds )&lt;/ref&gt; soumis à la [[w:pesanteur|pesanteur]] uniforme, selon son poids mg et la résistance de l'air notée mg f(v).

Ce qu'il y a de plus caractéristique par rapport au mouvement de [[w:Evangelista_Torricelli#Parabole de sûreté|Torricelli]] est l'apparition d'une [[w:asymptote|'''asymptote''']], ce que savaient bien les artilleurs : [[w:Niccolo Fontana Tartaglia|Tartaglia]], Ufano, etc.

Il faudra se souvenir essentiellement de l'équation de [[w:Hodographe|l'hodographe]] : 

&lt;math&gt;\frac{dV_x}{d\phi}= - f(v).v&lt;/math&gt;

Ici &lt;math&gt;V_x&lt;/math&gt; est la composante horizontale du vecteur vitesse, et &lt;math&gt;\phi&lt;/math&gt; l'angle complémentaire de l'angle de hauteur &lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt; (on dit parfois la déclinaison) : comme &lt;math&gt;\phi&lt;/math&gt; ne cesse d'augmenter, &lt;math&gt;V_x&lt;/math&gt; diminue toujours et finit par tendre vers zéro. Qui plus est, x(t) reste fini.

Cette leçon sera développée du point de vue historique, pour mieux préciser les rôles des chercheurs dans ce domaine.

Elle sera excessivement développée par rapport au cours technique classique, mais ...elle pourra servir de référence... ?

== Mouvement ; asymptote ==

Le cas d'un point matériel soumis à un champ de pesanteur uniforme tombant sans vitesse initiale est traité dans l'article [[Chute avec résistance de l'air]]. Il a fait apparaître la notion très importante de ''vitesse-limite''. De même dans le cas d'un projectile, il apparaît la notion d'asymptote de la trajectoire.

La restriction champ de pesanteur uniforme est gardée ici ; si la trajectoire du mobile dépasse 100km, il faut modifier.

Le vecteur vitesse sera repéré par son module v et son angle de hauteur A : les composantes cartésiennes sont donc &lt;math&gt;V_x = v \cos A \quad ; \quad V_y = v \sin A&lt;/math&gt;.

L'analyse des forces est : poids mg  et résistance fluide  de module r(v): = mg f(v), de direction opposée à la vitesse.
=== [[Hodographe]] ===
L'accélération montre que la courbe est concave vers le bas : donc, quand l'abscisse curviligne s augmente, l'angle de la vitesse avec l'horizontale, A(t)  diminue de sa valeur initiale Ao à -90° : la fonction t-&gt; - A(t),fonction croissante monotone, peut être avantageusement choisie comme '''échelle de temps''':
====échelle des temps ====
*Les équations de Frenet donnent :
*dv/dt = -g sinA -g.f(v)
*mv²/R = mg cosA soit -v.dA/dt = g cosA.

d'où l'échelle de temps : dt = -V(A)/(g cosA).dA

On en tirera dx = -v²/g .dA ; dy =dx.tanA pour avoir la trajectoire, dont les coordonnées intrinsèques sont R = V²(A)/(g.cosA) ;

====équation dite hodographe de la balistique ====

En éliminant dt :
&lt;math&gt;d(v \cos A)/dA = v.f(v) ~&lt;/math&gt;
 
équation du premier ordre, avec C.I. de Cauchy ( Ao, Vo).

D'où v = V(A), ce qui est l'[[hodographe]] en coordonnées polaires.

Quand A tend vers -90°,développer la dérivée, '''v tend vers une limite V1''' telle que : 

'''f(V1) = 1'''

On retrouve la notion de vitesse-limite de l'article [[chute avec résistance de l'air]].

===La trajectoire ===
Pour obtenir la trajectoire, il ''suffit'' donc d'intégrer l'équation précédente, puis :

&lt;math&gt; -g \, dx = v^2 \,\cdot dA \quad -g\,dy = v^2 \,\tan A \,\cdot dA \quad -g\,dt= v \,\sec A \,\cdot dA  \quad -g\,ds = v^2\,\sec A \,\cdot dA ~&lt;/math&gt;

Tout s'exprime donc &quot;à une quadrature près&quot; si on sait résoudre l'équation de l'hodographe (Bernoulli, 1695). 

Cette trajectoire est dissymétrique par rapport à sa culmination (qui correspond à A = 0), car l'équation (B) donne v(A) &gt; v(-A) et x(t) représente l'aire balayée par l'hodographe (cf. [[Vitesse#Coordonnées polaires|vitesse aréolaire]]).

==== asymptote de la trajectoire ====
L'immense différence avec le cas de Torricelli est que :
* la vitesse est bornée par V1 et ne croît donc pas indéfiniment.
* et x est fonction croissante du temps mais majorée par V1²/g .Pi/2 donc bornée : '''la portée est finie''', quelle que soit la &quot;hauteur de la citadelle&quot; : c'est bien ce qu'affirmaient les artilleurs, la [[trajectoire parabolique]] de Torricelli n'étant solution valable que dans le cas irréaliste où l'on néglige la résistance de l'air.

=== Cas intégrables ===
L'équation de l'hodographe est donc l'équation fondamentale de la Balistique.

*Le cas le plus facile d'intégrabilité est donné par Lagrange : f(v) = kv^n = (v/V1)^n . L'équation est alors une [[équation de Bernoulli]], et s'intègre comme telle ( on obtient une équation différentielle '''linéaire''', du premier ordre ).
*Drach(CRAS1914) donne les différentes formes de f(V) pour lesquelles l'intégration est possible, y compris via les fonctions elliptiques.
* En pratique, les artilleurs préfèrent une intégration numérique de (B), compte-tenu de la formule empirique de f(V) déterminée en soufflerie ; il faut en effet tenir compte de la variation de la densité de l'air avec l'altitude, donc en réalité f(V)*d(z), ce qui est plus dur à résoudre.
Enfin , pour les tirs assez lointains, il ne faut pas oublier la [[déviation vers l'Est|déviation de Coriolis]] ( cf la [[Grosse Bertha]]).

== Le cas irréaliste linéaire ==

Ce cas est totalement irréaliste, mais il est étudié simplement parce qu'il est facilement intégrable !!!

Il donne, par le tracé des trajectoires, une certaine intuition du mouvement, considéré par beaucoup comme fausse.

L'équation différentielle est : 
&lt;math&gt; \frac{d \vec v}{dt} = \vec g - {\vec v}/{\tau} &lt;/math&gt;

'''L'hodographe est donc la droite''':
&lt;math&gt; \vec v = \vec g \tau  + ( \vec v_0 - \vec g \tau)e^{-\frac{t}{\tau}}&lt;/math&gt;

la trajectoire du projectile P est :
&lt;math&gt;\vec{OP} = \vec g \tau.t + ( \vec v_0 \tau -\vec g \tau^2)(1- e^{-\frac{t}{\tau}}) &lt;/math&gt;

{ébauche : aide figure demandée, svp }

La trajectoire est dissymétrique par rapport à son point de culmination : pour la même altitude positive, il y a deux racines dont la demi somme décroît régulièrement, et les angles A1 et A2 ont une somme négative.

*remarques annexes : 
#Pour t &lt; \tau, on retrouve la trajectoire parabolique + termes perturbatifs : 
&lt;math&gt;^{\vec {OP} = \vec v_0 t + \frac 1 2  \vec g t^2  - [ \vec v_0 t^2/2\tau  + \vec g t^3/6 \tau^2] +...}&lt;/math&gt;

# L'hodographe peut se retrouver en polaire via l'équation-Balistique ( bien que cela soit inutilement compliqué ! ) : l'équation est 2-Bernoulli, on prend donc T(A) = g\tau.1/v comme fonction inconnue et l'équation se simplifie : -dT/dA = T. tan(A) +1/cos(A) ( +CI) eq dif linéaire dont la solution est : T(A) = g \tau . 1/v = sin(A) + cos(A) [ (gt/Vo -sin(Ao))/cos(Ao)] : l'hodographe est bien un segment de droite.

====courbe de sûreté ====
Elle est beaucoup plus difficile à calculer que dans le cas de Torricelli, mais faisable.

Donnons ici un exemple : la courbe de sûreté dans le cas où la vitesse initiale est &lt;math&gt;V_0 = g \tau&lt;/math&gt; est (unités réduites) : 

&lt;math&gt; z = 1 - Ln 2 + Ln(1-x^2)&lt;/math&gt;

* Bien sûr, si &lt;math&gt;V_0&lt;/math&gt; &gt;&gt; V-limite, on retrouve les résultats de Tartaglia-Ufano, ce qui est assez &quot;intuitif&quot; : la balle va tout droit et &quot;épuise ses forces&quot; : au bout de quelques &lt;math&gt;\tau&lt;/math&gt;, elle aura perdu sa vitesse, et elle sera à environ &lt;math&gt;V_0 \tau&lt;/math&gt; de l'origine ; la gravité deviendra dominante et les conditions initiales marginales : donc tous les mouvements seront ressemblants, à savoir, un &quot;arrondi&quot; puis l'asymptote verticale. La conclusion est donc triviale : la courbe de sûreté ressemble à un demi-cercle poursuivi vers le bas par l'asymptote.

{{boîte déroulante début|align=left|titre= je veux voir le calcul de la courbe de sûreté}}

&lt;math&gt;x = V_0 cos(A) \tau (1- e^{-t/\tau})&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;z = - g tau .t + V_o sin(A) +g \tau^2 1- e^{-t/\tau})&lt;/math&gt;

On pose : g=1 \tau = 1 ;  cos(A) = c ; sin(A) = s  ; on a pris le cas Vo = 1 .

On élimine le temps et on obtient la trajectoire : 
y = x (1+s)/c + Log (1-x/c)    { on a bien x &lt;c }
On dérive par rapport à A pour avoir l'équation de la caractéristique de Clairaut : 

0 = x (s+1)/c² - x  s/c² .1/ ( 1-x/c) qui se simplifie et donne x = c/(1+s)

On remplace dans l'équation de la trajectoire : y = 1 + log s - log (1+s)

On obtient donc l'enveloppe en paramétrique, en f de A , mais ici, elle se simplifie : éliminons A en passant à l'arc moitié ; tout se simplifie : y = 1-log 2 + log (1-x²) . L'asymptote est OkP.

* ( je ne sais pas s'il y a plus simple, les simplifications miraculeuses sont souvent dues à une mauvaise vision du calcul ... En tout cas, on peut vérifier directement l'apex : le max de z(t) = 2 -2 exp(-t) -t  a bien lieu pour t = Ln 2 et z = 2-1-Ln2 .OkP .

* le calcul s'organise de même pour un Vo différent.

{{boîte déroulante fin}}


{{boîte déroulante début|align=left|titre= je veux voir le calcul général : beurck}}

x = u.c(1-exp) et z = (u+1) (1-exp) -t 
On élimine t pour avoir la trajectoire, et on y adjoint l'équation de Clairaut : 

z = x t + x/ uc +  log ( 1-x/uc) '''ET''' la dérivée prise par rapport à A : 
Elle se simplifie par x , et donne  x= u².c/(u+s) , et on reporte dans z : on obtient donc la courbe de sûreté en paramétrique : 

&lt;div style=&quot;text-align: center;&quot;&gt;
&lt;math&gt; x = u^2. \frac {\cos A}{u+\sin A} \quad et  \quad  z  = u.\frac{1+ u \sin A}{u + \sin A} + Log \frac{\sin A}{u+\sin A }&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt; 

Il faudrait vérifier si cela se simplifie par élimination de A , ou bien s'il y a une explication simple à la manière de Torricelli. Bien sûr, on retrouve l'asymptote avec le Log (sin A ) et cette asymptote est bien en x = u ; si u &gt;&gt;1 , on retrouve l'intuition de Tartaglia : x ~u cos A et z ~ u sin A ('''et''' - Log u)

Conseil : dessiner en coordonnées cartésiennes , on dessine mal ce demi-cercle si l'on n'y voit qu'une &quot;arche&quot;.

{{boîte déroulante fin}}

== Le cas assez réaliste : résistance en v² ==


* En fait, en pratique, on recourt à des abaques.
{ L'empirisme le plus total ( ???) montre que la portée  est : pour z=0 , x = Portée(k=0)/( k +0.5exp(-2k/3)). (1+ résidu(k)), avec résidu(k)&lt; 0.0025 avec k = (Vo²/V1²) sin (A) . (Cet empirisme des artilleurs est conforté par le fait que le résultat est bon pour k petit et pour k grand?)} : grr... ça fait 5 ans au moins que cette formule traîne, et cela m'agace ...

== Cas des balles en rotation ==

Quand une balle est en rotation,liftée ou coupée, c’est-à-dire d'axe de rotation horizontal, perpendiculaire à '''Vo''', alors la traînée et la portance restent dans le plan vertical ( g, Vo): la trajectoire reste plane. Si la balle est brossée vers le bas (rotation sens direct), la balle sera aspirée vers le haut, et si la rotation est très vive, la trajectoire peut même présenter des boucles ! Elle peut même passer derrière le canonnier : expérience de Heim . Si la balle est brossée par le haut, la balle sera par le même effet Magnus aspirée vers le bas. Ces effets sont utilisés au ping-pong, au tennis, au golf. dans le cas des balles de golf, les trous &quot;slazsenger&quot; ont même été brevetés, car ils modifient la portance.

Évidemment, sinon, la trajectoire n'est plus plane : le coup franc &quot;platini&quot; au football le démontre.

== Histoire des sciences ==
Il est clair que depuis le temps des frondes, flèches, arbalètes, catapultes, onagres, balistes, pierrières, trébuchets, scorpions, puis arquebuses, mousquets, canons (Chute de Byzance,1453), la balistique extérieure a suscité de nombreuses recherches.

L'artillerie développe énormément la recherche. Donc en Europe de 1500 à 1638, un effort prodigieux est mené, pour performer l'enseignement d'Aristote. Tartaglia a une solution fausse, mais proche de la réalité avec la notion d'asymptote. 
*Ce sont Galilée et Torricelli qui mettent définitivement en forme le mouvement de {{w|chute libre}} avec lancer, au grand dam des artilleurs : Torricelli a historiquement complètement traité ce problème '''dans le vide''' (cf : {{w|parabole de sûreté}}). Mais il savait fort bien que sa description ne s'accordait pas à celle des artificiers (à cause de la résistance de l'air). 
*Il faut attendre Newton pour avoir vraiment le développement de la théorie ; puis Bernoulli pour mettre en forme ce qui sera nommé la balistique extérieure. En particulier pour invalider cette hérésie du calcul de Torricelli qui donnait une portée infinie pour un angle A = -90°. 
*Ensuite, le calcul porte soit sur des améliorations numériques, soit sur des cas d'intégrations spéciaux, œuvres plutôt de mathématiciens : la balistique extérieure a connu son apogée vers les années 1910 ; aujourd'hui, les calculs sont conduits souvent par ordinateur.

*Néanmoins, l'effort le plus grand aura été opéré par {{w|Galilée}} : cette idée osée d'imaginer la trajectoire dans un fluide évanescent ; d'analyser l'impetus de départ ; de voir qu'il ne s'épuisait jamais ; mais qu'au contraire la chute libre était &quot;composition&quot; des mouvements '''Vo'''.t et 1/2 '''g'''.t², et que le '''Vo''' de départ pouvait être compté '''comme rien''', etc, etc, efforts amplement racontés dans les Dialogues de 1632 et les Discours de 1638.

===histoire===
Tartaglia,Ufano, Blondel, Bernoulli, Euler, Cranz, Adhémar, Ansi que Patrick Milligan, Peter Daher, Mathieu Godin des génies en balistique

== résistance de l'air en V² , dite quadratique ==
ébauche

{c'est un cas réaliste ; rappelons que en 1D, on a vu : &lt;math&gt;\ddot z = - 1/2 C_x a S/m .v^2 = -v^2/ H&lt;/math&gt; , avec typiquement Cx = 0.5 pour une sphère et 0.05 pour un bon profilé.Dans l'air pour une bille de plomb, H = m/(1/2C_x a S = R .\rho /a . 1/3 .4 = ~10 000 R , si R=1cm, H= 100m, si R= 10cm ( diamètre =20 !), H = 1 km, et 1m, 10 km (mais il faut penser alors, si c'est l'atmosphère, à faire attention à a(z) : en gros, un objet qui tombe ne passe pas mach_1}.

L'équation est :

&lt;div style=&quot;text-align: center;&quot;&gt;
&lt;math&gt; \dot u = - v.u \quad et \quad \ddot z = 1 - v.\dot z&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;

Elle est plus compliquée que la précédente car les f-inconnues {u= Vx,w = Vy } sont couplées par le terme v = sqrt( u²+w² ). On a introduit les coordonnées réduites. Faire attention à {1 ou -1}
=== les équations ===
introduire la déclinaison B = Pi/2-A.
On a déjà écrit les équations en A , on les réécrit en B :=: phi . On écrit sin(B) = s et cos (B) = c , et Attention : t = tan(B/2) ; la primitive depuis Pi/2 de 2/s^3 est : 2/s^3 = 2c²+2s² / s^3 = 2c²+s²  /s^3  +1/s donc primitive = f(B) = - c/s^2 +Log t : '''elle n'est PAS compliquée''' , la tracer soigneusement et se familiariser avec elle, car elle va jouer un grand rôle dans la suite des calculs. Bien sûr sa dérivée est 2/s^3 et donc sa pente en Pi/2 ( la vitesse est alors horizontale) vaut 2.

L'équation de l'hodographe s'écrit : du/dB = - u^3/s^3 et donc 1/u² -1/uo² = f(B) - f(Bo) : on introduit un angle fondamental : celui de l'asymptote-backward : soit Bc tel que f(Bc) = f(Bo) -1/uo² ; Bc est donc inférieur à Bo ; et alors 1/u² = [f(B) - f(Bc)] : u ne va cesser de décroître jusqu'à la valeur nulle. On a donc obtenu v(B) = u(B)/sin(B)  : c'est à dire l'hodographe en polaire, c'est à dire dS /dB  en f de B : c'est la description de la trajectoire en coordonnées intrinsèques de Frenet , donc c'est FINI : il suffit de tracer point par point, à la méthode enfantine, ...en mettant un pied devant l'autre, c'est à dire pour ceux qui ont l'habitude de ce langage, en &quot;tortue-logo&quot;.

Hélas, on a pris de très mauvaises habitudes : on VEUT VOIR les équations ''cartésiennes'' de la trajectoire, et même le mouvement sur la trajectoire : x=f(t) et y= g(t) ...alors que la description la plus &quot;naturelle&quot;, décrire le mouvement s(t),  a été oubliée ...

====une simplification fortuite : l'abscisse curviligne ====

le chemin parcouru se calcule très bien dans ce cas particulier : 

u = Vo. cos(A) . exp(-s/H) : on retrouve cette notion acquise lors du mouvement 1D : l'énergie de départ s'épuise au long du chemin et on aura beau augmenter la charge de poudre, càd Vo, cela ne servira à RIEN : on ira plus vite au lieu-dit, on n'ira pas plus LOIN. 

&lt;div style=&quot;text-align: center;&quot;&gt;
&lt;math&gt; rappel \quad R := 1/u^2 \quad ; \quad \frac{dR}{dB} = \frac{2}{ \sin^3(B)} \, ; \quad \frac{ds}{dB} = \frac{1}{2R}\frac{dR}{dB} \,  ; \quad \frac{dx}{dB} = \frac{1}{R \sin^2(B)}&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;

d'où :

&lt;div style=&quot;text-align: center;&quot;&gt;
&lt;math&gt; s = \frac 1 2 H. Log \quad  [1 + \frac{V_0^2.\sin^2 B_0}{gH} . (f(B)-f(B_0))]  = \frac 1 2  H. Log [f(B) -f(Bc)] +c  &lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;


&lt;div style=&quot;text-align: center;&quot;&gt;
&lt;math&gt;rappel : f(V) = -\cos(B)/\sin^2(B)+ Log \, \tan (B/2)&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;

* '''Il en résulte que''' :
*Supposons juste pour &quot;apprivoiser&quot; cette équation qui paraît formidable, de prendre : Vo sin(Bo) &gt;&gt; sqrt(gH) ,alors Bc est voisin de Bo et pratiquement pour un infime déroutement depuis Bo en Bo +(Bo-Bc) = 2Bo-Bc : on a déjà s = cste + 1/2 H . Log (f(B)-f(Bo)) , qui ne dépend plus de Vo sinon par la constante : donc les portions ultérieures sont &quot;identiques&quot;, puisque le rayon de courbure sera le même. Donc, on trouve :

sur une certaine portion du trajet, le mobile va quasiment en ligne droite, jusqu'à une abscisse qui croît avec Vo ( ouf ! heureusement) mais seulement comme H . Log Vo.sin(Bo)/sqrt(gH) , puis toutes les portions sont ~identiques. En particulier, le sommet S de la trajectoire est atteint pour B=0 et s vaut : s(Sommet) = s(B=0). En général, le &quot;1&quot; est négligeable, et on retrouve que toutes les portions se ressemblent au-delà du sommet S. En ce point, la courbure vaut 1/R = [f(Pi/2)-f(Bo)]/H = -f(Bo)/H (on peut contrôler bien sûr que en ce point , u²/g = R ), ensuite &quot;en général&quot;, R augmente beaucoup et &quot;on&quot; atteint l'asymptote. Les développées de toutes ces courbes se ressemblent (et penser bien sûr à la développer d'une parabole au voisinage de son apex) à une petite translation près. 

Ainsi, les calculs sont lourds et fastidieux, mais n'apportent pas grand-chose à la description de Tartaglia : si Vo est grand, une grande ligne droite, puis le &quot;cercle&quot; puis l'asymptote : il reste juste à contrôler &quot;visuellement&quot; la taille de ce cercle : la variation de taille est-elle conforme à 1/R = -f(Bo)/ H   (à grand Vo): évidemment si on tire avec Bo voisin de Pi/2 ( çàd à l'horizontale) R ~ Vo²/g ! c'est le cas des fusils (souvent, on tire à l'horizontale).

Donc, prudence : il faut moduler ces arguments en fonction de l'angle de tir : sans doute est-il préférable de regarder séparément les multiples facettes de ce double-réseau {Vo et Bo}.

* On peut préciser :
*Tartaglia et Ufano : il y a une première partie quasiment rectiligne, jusqu'à l'arrivée au sommet : le trajet a lieu en un temps d'autant plus court que Vo est grande ( cinétique du deuxième ordre , dirait-on en chimie !) : si ts &lt; H/Vo , alors ts ~ Vo/g . Log (1/ tan(Bo/2)) et le trajet parcouru est ~H. Log ( Vo²/gH .Log (1/tan(Bo/2))) soit encore une &quot;belle&quot; séparation du rôle de Vo et de Bo : 

&lt;math&gt;L(sommet) =~ H. Log ( Vo^2/gH  + H . Log (  Log(1/ \tan(Bo/2)))&lt;/math&gt; 

Ce qui permet les deux tracés essentiels : 

*ceux à Vo = cste pour trouver la courbe de sûreté : tracer les trois trajectoires à 30°, 45° et 60° est très parlant.

* ceux à Bo constant et Vo variable : il n'est pas évident que ces courbes ne se coupent pas : encore à déchiffrer.

====largage d'une bombe====

Puis, on reprend l'étude à partir du sommet S et on refait tous les calculs de Charbonnier : c'est le problème du largage d'une bombe.
* L'asymptote se trouve à Xa tel que : 

&lt;math&gt; Xa = H. \int_{\frac{\pi}{2}}^\pi dB / [ -c + s^2Log (t) + s^2. (gH/u_0^2)]&lt;/math&gt;

Cette intégrale n'a absolument rien de très difficile, mais il faut faire ressortir comment intervient le paramètre uo²/gH ; car c'est en gros de cela que va dépendre la taille de la courbe de sûreté.


{{boîte déroulante début|align=left|titre= ébauche : drôle de délire , bizarre...}}

Si tout ceci est faux, je ne m'en étonnerai pas : pas eu le temps de regarder suffisamment...
Typiquement avec du plomb, V-limite est de 100 m/s, voire 300m/s donc  H ~10 -100km : on ne pourra jamais avoir de canon de grande portée : 50 km, voir 100 km mais pas plus !!! Sauf à changer la masse des obus ( cela varie comme M^(1/3)) d'un facteur mille pour changer la constante de longueur d'un facteur 10 , mais peu importe vraiment Vo, il suffit de garder ~50m/s ( encore faut-il le faire ! ) : c'est la '''très grande leçon de ce calcul ''': tout réside dans la longueur H et la portée ne dépend que très peu de Vo , ce qui est '''contre-intuitif'''. 
*'''Sauf que...2eme argument''' avec H = 10km , on est juste dans l' OdG de la hauteur de l'atmosphère, pour une raison apparemment toute autre : mg Ha = kT , la température de la Terre. Est-ce un hasard ? mais non , mais non ...:
Car, quand on dit V-limite de l'ordre de 300m/s  on pense 330 m/s et vitesse du son V_son , et compressibilité : et pourquoi Ha ? par compressibilité de l'air ... en effet Ha = ~ (V_son)^2 /g  ( j'ai laissé tomber gamma ) : quand les bombardieri ont atteint des OdG de 100m/s , non seulement, ils se sont rapprochés du mur du son, mais encore : ils ont atteint des altitudes de l'ordre de 10km , donc le vide ( pas vraiment, mais on le touche...(sourire)) : mais alors...il faut reprendre TOUS les calculs, puisque on est en train d'écrire que la densité de l'air varie : et varie exponentiellement avec la même constante de longueur. '''Il urge''' de re-considérer le problème de l'altitude et des degrés de &quot;finesse de l'air&quot; : les artilleurs avaient remarqué sans doute que les canons tiraient plus loin en air &quot;ténu&quot; (?). Et là ça se gâte : au fond, on demande de reprendre le problème avec une constante de longueur H qui varie avec l'altitude comme H(z=0).exp(z/Ha), avec H(z=0) ~ Ha : brr...négligeons g , on aurait qqch comme : dv/dt = - v²/Ho . exp(-z/Ho). Mais cela change tout : d(v²)/dz = -2 v² exp-z =&gt; v² ~ exp ( exp(-z)) et donc ne s'annule pas à l'infini ...l'obus peut arriver dans le vide ...
(( Oui, cela se tient : c'est la m idée que celle de la trempe : x' = -x/T avec une cste T qui varie dans le temps en s'allongeant infiniment : T(t) = exp t/To , alors : xo n'arrive pas à relaxer à zéro , mais se &quot;gèle&quot; à une distance finie ))
*D'où deux grandes idées : aller tout doucement dans le vide et de là tirer ; ou bien construire des V2, des fusées, etc. ; ce qui techno-logiquement est à peu près la même idée.
FIN de délire  
{{boîte déroulante fin}}

====une trajectoire particulière en détail pour se familiariser ====
prendre B= A = Pi/4 ; Vo = V-limite : oui, ça se calcule bien 

====courbe de sûreté ====
certes plus compliquée , mais pas le dessin par informatique ; &quot;en gros&quot;, on a les mêmes formes en dôme + asymptote. Assez bizarre a priori : la courbe ne &quot;gonfle pas quand Vo augmente&quot; ! Elle est de la taille de H, la longueur caractéristique de la résistance de l'air.

====notes====
ébauche 

{{boîte déroulante début|align=left|titre= voir les notes en ébauche}}


je vais fourguer ici les notes ...bien utiles pour ne pas oublier ...des calculs parfois laborieux , en tout cas, il faut se familiariser.
* '''note 1 ''' :&lt;math&gt;\ddot z = - exp-z/H . v^2/a&lt;/math&gt; : cette eq est bizarre, pour l'instant je ne la maitrise pas . Ok , je sais l'intégrer mais c'est tout.
Creusons autour : &lt;math&gt;dE/dz = -2/a exp( -z/H) . E &lt;/math&gt; donne &lt;math&gt; Log E/Eo = +2H/a (exp- z/H -1)&lt;/math&gt; soit &lt;math&gt;E = Eo exp(exp(-z/H))2H/a . exp-2H/a&lt;/math&gt; donc pour z &gt;&gt; H , il subsiste un reliquat d'énergie qui a passé la barrière : E(infty) = Eo .exp-2H/a : qualitativement les paramètres sont dans le sens correct : pour a donné, généralement une particule pénètre de qq a  et s'arrête ; mais ici a dépend en qq sorte de z , via a(z) = a exp +z/H , donc c'est &quot;comme si&quot; on pouvait aller de plus en plus loin ; ce qui reste est cette compétition ; je le vois aussi comme un processus de trempe : E ''devrait'' relaxer à zéro , mais  le temps de relaxation s'étire indéfiniment ; le processus se gèle et au temps infty, E n'est toujours pas relaxée à zéro : E s'est gelée à la valeur E. exp -2H/a : m'ouais , au fond j'opte pour cette interprétation, provisoirement, elle me va .

*'''note 2''' : mettre ici qq valeurs numériques réduites pour éviter les redites , et comparer les abaques de Charbonnier, Adhémar, Cranz etc. Si je peux obtenir les calculs d'Otto, pourquoi pas.etc : sans faire un traité ...qui ne m'intéresse pas outre-mesure.

{{boîte déroulante fin}}

== Notes et références de la page ==
&lt;references/&gt;

== Voir aussi ==
=== Livres ===
* [[Vol balistique et missiles balistiques]].

=== Articles sur wikipédia ===
* [[w:Grosse Bertha|Grosse Bertha]],
* [[w:Chute avec résistance de l'air|Chute avec résistance de l'air]],
* [[w:Chute libre (physique)|Chute libre]] et [[w:trajectoire parabolique|trajectoire parabolique]], [[w:parabole de sûreté|parabole de sûreté]], [[w:Ellipse de sûreté|Ellipse de sûreté]], pour mémoire : là, pas de résistance de l'air.

=== Liens et documents externes ===
* Appell : traité de mécanique rationnelle
* Whittaker : analytical dynamics
*traités de balistique de Charbonnier(1921) de Ottenheimer (1929) , d'Adhémar ( mémorial Sc math ,fasc 65), de Carl Cranz, de Moulton.
*de Mestre a écrit : trajectoire d'un projectile en sport.
*en Histoire des Sciences : Mach écrit(§19,p145): Saint-Bach(1561); Tartaglia(1537);Rivius(1582); Benedetti; Vailati ;les armes à feu au XIVeme font que la réflexion progresse.Puis Galilée, puis Torricelli plus encore .* Voir aussi Koyré  ; +* Maury JP : ''Mersenne''(ed Vuibert 2003).

[[Catégorie:Mécanique]]</text>
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        <username>DavidL</username>
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      <comment>/* Mouvement ; asymptote */</comment>
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      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="26278" xml:space="preserve">&lt;noinclude&gt;{{Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences}}&lt;/noinclude&gt;

La balistique extérieure, ici, concerne le mouvement d'un '''point matériel''' &lt;ref&gt;Ceci ne concerne pas des pans entiers de la balistique extérieure : celle des sports de ballon en particulier. Certes intéressants aussi, mais ... chaque chose en son temps (ici les traités sont déjà assez lourds )&lt;/ref&gt; soumis à la [[w:pesanteur|pesanteur]] uniforme, selon son poids mg et la résistance de l'air notée mg f(v).

Ce qu'il y a de plus caractéristique par rapport au mouvement de [[w:Evangelista_Torricelli#Parabole de sûreté|Torricelli]] est l'apparition d'une [[w:asymptote|'''asymptote''']], ce que savaient bien les artilleurs : [[w:Niccolo Fontana Tartaglia|Tartaglia]], Ufano, etc.

Il faudra se souvenir essentiellement de l'équation de [[w:Hodographe|l'hodographe]] : 

&lt;math&gt;\frac{dV_x}{d\phi}= - f(v).v&lt;/math&gt;

Ici &lt;math&gt;V_x&lt;/math&gt; est la composante horizontale du vecteur vitesse, et &lt;math&gt;\phi&lt;/math&gt; l'angle complémentaire de l'angle de hauteur &lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt; (on dit parfois la déclinaison) : comme &lt;math&gt;\phi&lt;/math&gt; ne cesse d'augmenter, &lt;math&gt;V_x&lt;/math&gt; diminue toujours et finit par tendre vers zéro. Qui plus est, x(t) reste fini.

Cette leçon sera développée du point de vue historique, pour mieux préciser les rôles des chercheurs dans ce domaine.

Elle sera excessivement développée par rapport au cours technique classique, mais ...elle pourra servir de référence... ?

== Mouvement ; asymptote ==

Le cas d'un point matériel soumis à un champ de pesanteur uniforme tombant sans vitesse initiale est traité dans l'article {{w|Chute avec résistance de l'air}}. Il a fait apparaître la notion très importante de ''vitesse-limite''. De même dans le cas d'un projectile, il apparaît la notion d'asymptote de la trajectoire.

La restriction champ de pesanteur uniforme est gardée ici ; si la trajectoire du mobile dépasse 100km, il faut modifier.

Le vecteur vitesse sera repéré par son module v et son angle de hauteur A : les composantes cartésiennes sont donc &lt;math&gt;V_x = v \cos A \quad ; \quad V_y = v \sin A&lt;/math&gt;.

L'analyse des forces est : poids mg  et résistance fluide  de module r(v): = mg f(v), de direction opposée à la vitesse.
=== {{w|Hodographe}} ===
L'accélération montre que la courbe est concave vers le bas : donc, quand l'abscisse curviligne s augmente, l'angle de la vitesse avec l'horizontale, A(t)  diminue de sa valeur initiale Ao à -90° : la fonction t-&gt; - A(t),fonction croissante monotone, peut être avantageusement choisie comme '''échelle de temps''':

====échelle des temps ====
*Les équations de Frenet donnent :
*dv/dt = -g sinA -g.f(v)
*mv²/R = mg cosA soit -v.dA/dt = g cosA.

d'où l'échelle de temps : dt = -V(A)/(g cosA).dA

On en tirera dx = -v²/g .dA ; dy =dx.tanA pour avoir la trajectoire, dont les coordonnées intrinsèques sont R = V²(A)/(g.cosA) ;

====équation dite hodographe de la balistique ====

En éliminant dt :
&lt;math&gt;d(v \cos A)/dA = v.f(v) ~&lt;/math&gt;
 
équation du premier ordre, avec C.I. de Cauchy ( Ao, Vo).

D'où v = V(A), ce qui est l'[[hodographe]] en coordonnées polaires.

Quand A tend vers -90°,développer la dérivée, '''v tend vers une limite V1''' telle que : 

'''f(V1) = 1'''

On retrouve la notion de vitesse-limite de l'article [[chute avec résistance de l'air]].

===La trajectoire ===
Pour obtenir la trajectoire, il ''suffit'' donc d'intégrer l'équation précédente, puis :

&lt;math&gt; -g \, dx = v^2 \,\cdot dA \quad -g\,dy = v^2 \,\tan A \,\cdot dA \quad -g\,dt= v \,\sec A \,\cdot dA  \quad -g\,ds = v^2\,\sec A \,\cdot dA ~&lt;/math&gt;

Tout s'exprime donc &quot;à une quadrature près&quot; si on sait résoudre l'équation de l'hodographe (Bernoulli, 1695). 

Cette trajectoire est dissymétrique par rapport à sa culmination (qui correspond à A = 0), car l'équation (B) donne v(A) &gt; v(-A) et x(t) représente l'aire balayée par l'hodographe (cf. [[Vitesse#Coordonnées polaires|vitesse aréolaire]]).

==== asymptote de la trajectoire ====
L'immense différence avec le cas de Torricelli est que :
* la vitesse est bornée par V1 et ne croît donc pas indéfiniment.
* et x est fonction croissante du temps mais majorée par V1²/g .Pi/2 donc bornée : '''la portée est finie''', quelle que soit la &quot;hauteur de la citadelle&quot; : c'est bien ce qu'affirmaient les artilleurs, la [[trajectoire parabolique]] de Torricelli n'étant solution valable que dans le cas irréaliste où l'on néglige la résistance de l'air.

=== Cas intégrables ===
L'équation de l'hodographe est donc l'équation fondamentale de la Balistique.

*Le cas le plus facile d'intégrabilité est donné par Lagrange : f(v) = kv^n = (v/V1)^n . L'équation est alors une {{w|équation de Bernoulli}}, et s'intègre comme telle ( on obtient une équation différentielle '''linéaire''', du premier ordre ).
*Drach(CRAS1914) donne les différentes formes de f(V) pour lesquelles l'intégration est possible, y compris via les fonctions elliptiques.
* En pratique, les artilleurs préfèrent une intégration numérique de (B), compte-tenu de la formule empirique de f(V) déterminée en soufflerie ; il faut en effet tenir compte de la variation de la densité de l'air avec l'altitude, donc en réalité f(V)*d(z), ce qui est plus dur à résoudre.
Enfin , pour les tirs assez lointains, il ne faut pas oublier la {{w|déviation vers l'Est|déviation de Coriolis}} (cf la {{w|Grosse Bertha}}).

== Le cas irréaliste linéaire ==

Ce cas est totalement irréaliste, mais il est étudié simplement parce qu'il est facilement intégrable !!!

Il donne, par le tracé des trajectoires, une certaine intuition du mouvement, considéré par beaucoup comme fausse.

L'équation différentielle est : 
&lt;math&gt; \frac{d \vec v}{dt} = \vec g - {\vec v}/{\tau} &lt;/math&gt;

'''L'hodographe est donc la droite''':
&lt;math&gt; \vec v = \vec g \tau  + ( \vec v_0 - \vec g \tau)e^{-\frac{t}{\tau}}&lt;/math&gt;

la trajectoire du projectile P est :
&lt;math&gt;\vec{OP} = \vec g \tau.t + ( \vec v_0 \tau -\vec g \tau^2)(1- e^{-\frac{t}{\tau}}) &lt;/math&gt;

{ébauche : aide figure demandée, svp }

La trajectoire est dissymétrique par rapport à son point de culmination : pour la même altitude positive, il y a deux racines dont la demi somme décroît régulièrement, et les angles A1 et A2 ont une somme négative.

*remarques annexes : 
#Pour t &lt; \tau, on retrouve la trajectoire parabolique + termes perturbatifs : 
&lt;math&gt;^{\vec {OP} = \vec v_0 t + \frac 1 2  \vec g t^2  - [ \vec v_0 t^2/2\tau  + \vec g t^3/6 \tau^2] +...}&lt;/math&gt;

# L'hodographe peut se retrouver en polaire via l'équation-Balistique ( bien que cela soit inutilement compliqué ! ) : l'équation est 2-Bernoulli, on prend donc T(A) = g\tau.1/v comme fonction inconnue et l'équation se simplifie : -dT/dA = T. tan(A) +1/cos(A) ( +CI) eq dif linéaire dont la solution est : T(A) = g \tau . 1/v = sin(A) + cos(A) [ (gt/Vo -sin(Ao))/cos(Ao)] : l'hodographe est bien un segment de droite.

====courbe de sûreté ====
Elle est beaucoup plus difficile à calculer que dans le cas de Torricelli, mais faisable.

Donnons ici un exemple : la courbe de sûreté dans le cas où la vitesse initiale est &lt;math&gt;V_0 = g \tau&lt;/math&gt; est (unités réduites) : 

&lt;math&gt; z = 1 - Ln 2 + Ln(1-x^2)&lt;/math&gt;

* Bien sûr, si &lt;math&gt;V_0&lt;/math&gt; &gt;&gt; V-limite, on retrouve les résultats de Tartaglia-Ufano, ce qui est assez &quot;intuitif&quot; : la balle va tout droit et &quot;épuise ses forces&quot; : au bout de quelques &lt;math&gt;\tau&lt;/math&gt;, elle aura perdu sa vitesse, et elle sera à environ &lt;math&gt;V_0 \tau&lt;/math&gt; de l'origine ; la gravité deviendra dominante et les conditions initiales marginales : donc tous les mouvements seront ressemblants, à savoir, un &quot;arrondi&quot; puis l'asymptote verticale. La conclusion est donc triviale : la courbe de sûreté ressemble à un demi-cercle poursuivi vers le bas par l'asymptote.

{{boîte déroulante début|align=left|titre= je veux voir le calcul de la courbe de sûreté}}

&lt;math&gt;x = V_0 cos(A) \tau (1- e^{-t/\tau})&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;z = - g tau .t + V_o sin(A) +g \tau^2 1- e^{-t/\tau})&lt;/math&gt;

On pose : g=1 \tau = 1 ;  cos(A) = c ; sin(A) = s  ; on a pris le cas Vo = 1 .

On élimine le temps et on obtient la trajectoire : 
y = x (1+s)/c + Log (1-x/c)    { on a bien x &lt;c }
On dérive par rapport à A pour avoir l'équation de la caractéristique de Clairaut : 

0 = x (s+1)/c² - x  s/c² .1/ ( 1-x/c) qui se simplifie et donne x = c/(1+s)

On remplace dans l'équation de la trajectoire : y = 1 + log s - log (1+s)

On obtient donc l'enveloppe en paramétrique, en f de A , mais ici, elle se simplifie : éliminons A en passant à l'arc moitié ; tout se simplifie : y = 1-log 2 + log (1-x²) . L'asymptote est OkP.

* ( je ne sais pas s'il y a plus simple, les simplifications miraculeuses sont souvent dues à une mauvaise vision du calcul ... En tout cas, on peut vérifier directement l'apex : le max de z(t) = 2 -2 exp(-t) -t  a bien lieu pour t = Ln 2 et z = 2-1-Ln2 .OkP .

* le calcul s'organise de même pour un Vo différent.

{{boîte déroulante fin}}


{{boîte déroulante début|align=left|titre= je veux voir le calcul général : beurck}}

x = u.c(1-exp) et z = (u+1) (1-exp) -t 
On élimine t pour avoir la trajectoire, et on y adjoint l'équation de Clairaut : 

z = x t + x/ uc +  log ( 1-x/uc) '''ET''' la dérivée prise par rapport à A : 
Elle se simplifie par x , et donne  x= u².c/(u+s) , et on reporte dans z : on obtient donc la courbe de sûreté en paramétrique : 

&lt;div style=&quot;text-align: center;&quot;&gt;
&lt;math&gt; x = u^2. \frac {\cos A}{u+\sin A} \quad et  \quad  z  = u.\frac{1+ u \sin A}{u + \sin A} + Log \frac{\sin A}{u+\sin A }&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt; 

Il faudrait vérifier si cela se simplifie par élimination de A , ou bien s'il y a une explication simple à la manière de Torricelli. Bien sûr, on retrouve l'asymptote avec le Log (sin A ) et cette asymptote est bien en x = u ; si u &gt;&gt;1 , on retrouve l'intuition de Tartaglia : x ~u cos A et z ~ u sin A ('''et''' - Log u)

Conseil : dessiner en coordonnées cartésiennes , on dessine mal ce demi-cercle si l'on n'y voit qu'une &quot;arche&quot;.

{{boîte déroulante fin}}

== Le cas assez réaliste : résistance en v² ==


* En fait, en pratique, on recourt à des abaques.
{ L'empirisme le plus total ( ???) montre que la portée  est : pour z=0 , x = Portée(k=0)/( k +0.5exp(-2k/3)). (1+ résidu(k)), avec résidu(k)&lt; 0.0025 avec k = (Vo²/V1²) sin (A) . (Cet empirisme des artilleurs est conforté par le fait que le résultat est bon pour k petit et pour k grand?)} : grr... ça fait 5 ans au moins que cette formule traîne, et cela m'agace ...

== Cas des balles en rotation ==

Quand une balle est en rotation,liftée ou coupée, c’est-à-dire d'axe de rotation horizontal, perpendiculaire à '''Vo''', alors la traînée et la portance restent dans le plan vertical ( g, Vo): la trajectoire reste plane. Si la balle est brossée vers le bas (rotation sens direct), la balle sera aspirée vers le haut, et si la rotation est très vive, la trajectoire peut même présenter des boucles ! Elle peut même passer derrière le canonnier : expérience de Heim . Si la balle est brossée par le haut, la balle sera par le même effet Magnus aspirée vers le bas. Ces effets sont utilisés au ping-pong, au tennis, au golf. dans le cas des balles de golf, les trous &quot;slazsenger&quot; ont même été brevetés, car ils modifient la portance.

Évidemment, sinon, la trajectoire n'est plus plane : le coup franc &quot;platini&quot; au football le démontre.

== Histoire des sciences ==
Il est clair que depuis le temps des frondes, flèches, arbalètes, catapultes, onagres, balistes, pierrières, trébuchets, scorpions, puis arquebuses, mousquets, canons (Chute de Byzance,1453), la balistique extérieure a suscité de nombreuses recherches.

L'artillerie développe énormément la recherche. Donc en Europe de 1500 à 1638, un effort prodigieux est mené, pour performer l'enseignement d'Aristote. Tartaglia a une solution fausse, mais proche de la réalité avec la notion d'asymptote. 
*Ce sont Galilée et Torricelli qui mettent définitivement en forme le mouvement de {{w|chute libre}} avec lancer, au grand dam des artilleurs : Torricelli a historiquement complètement traité ce problème '''dans le vide''' (cf : {{w|parabole de sûreté}}). Mais il savait fort bien que sa description ne s'accordait pas à celle des artificiers (à cause de la résistance de l'air). 
*Il faut attendre Newton pour avoir vraiment le développement de la théorie ; puis Bernoulli pour mettre en forme ce qui sera nommé la balistique extérieure. En particulier pour invalider cette hérésie du calcul de Torricelli qui donnait une portée infinie pour un angle A = -90°. 
*Ensuite, le calcul porte soit sur des améliorations numériques, soit sur des cas d'intégrations spéciaux, œuvres plutôt de mathématiciens : la balistique extérieure a connu son apogée vers les années 1910 ; aujourd'hui, les calculs sont conduits souvent par ordinateur.

*Néanmoins, l'effort le plus grand aura été opéré par {{w|Galilée}} : cette idée osée d'imaginer la trajectoire dans un fluide évanescent ; d'analyser l'impetus de départ ; de voir qu'il ne s'épuisait jamais ; mais qu'au contraire la chute libre était &quot;composition&quot; des mouvements '''Vo'''.t et 1/2 '''g'''.t², et que le '''Vo''' de départ pouvait être compté '''comme rien''', etc, etc, efforts amplement racontés dans les Dialogues de 1632 et les Discours de 1638.

===histoire===
Tartaglia,Ufano, Blondel, Bernoulli, Euler, Cranz, Adhémar, Ansi que Patrick Milligan, Peter Daher, Mathieu Godin des génies en balistique

== résistance de l'air en V² , dite quadratique ==
ébauche

{c'est un cas réaliste ; rappelons que en 1D, on a vu : &lt;math&gt;\ddot z = - 1/2 C_x a S/m .v^2 = -v^2/ H&lt;/math&gt; , avec typiquement Cx = 0.5 pour une sphère et 0.05 pour un bon profilé.Dans l'air pour une bille de plomb, H = m/(1/2C_x a S = R .\rho /a . 1/3 .4 = ~10 000 R , si R=1cm, H= 100m, si R= 10cm ( diamètre =20 !), H = 1 km, et 1m, 10 km (mais il faut penser alors, si c'est l'atmosphère, à faire attention à a(z) : en gros, un objet qui tombe ne passe pas mach_1}.

L'équation est :

&lt;div style=&quot;text-align: center;&quot;&gt;
&lt;math&gt; \dot u = - v.u \quad et \quad \ddot z = 1 - v.\dot z&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;

Elle est plus compliquée que la précédente car les f-inconnues {u= Vx,w = Vy } sont couplées par le terme v = sqrt( u²+w² ). On a introduit les coordonnées réduites. Faire attention à {1 ou -1}
=== les équations ===
introduire la déclinaison B = Pi/2-A.
On a déjà écrit les équations en A , on les réécrit en B :=: phi . On écrit sin(B) = s et cos (B) = c , et Attention : t = tan(B/2) ; la primitive depuis Pi/2 de 2/s^3 est : 2/s^3 = 2c²+2s² / s^3 = 2c²+s²  /s^3  +1/s donc primitive = f(B) = - c/s^2 +Log t : '''elle n'est PAS compliquée''' , la tracer soigneusement et se familiariser avec elle, car elle va jouer un grand rôle dans la suite des calculs. Bien sûr sa dérivée est 2/s^3 et donc sa pente en Pi/2 ( la vitesse est alors horizontale) vaut 2.

L'équation de l'hodographe s'écrit : du/dB = - u^3/s^3 et donc 1/u² -1/uo² = f(B) - f(Bo) : on introduit un angle fondamental : celui de l'asymptote-backward : soit Bc tel que f(Bc) = f(Bo) -1/uo² ; Bc est donc inférieur à Bo ; et alors 1/u² = [f(B) - f(Bc)] : u ne va cesser de décroître jusqu'à la valeur nulle. On a donc obtenu v(B) = u(B)/sin(B)  : c'est à dire l'hodographe en polaire, c'est à dire dS /dB  en f de B : c'est la description de la trajectoire en coordonnées intrinsèques de Frenet , donc c'est FINI : il suffit de tracer point par point, à la méthode enfantine, ...en mettant un pied devant l'autre, c'est à dire pour ceux qui ont l'habitude de ce langage, en &quot;tortue-logo&quot;.

Hélas, on a pris de très mauvaises habitudes : on VEUT VOIR les équations ''cartésiennes'' de la trajectoire, et même le mouvement sur la trajectoire : x=f(t) et y= g(t) ...alors que la description la plus &quot;naturelle&quot;, décrire le mouvement s(t),  a été oubliée ...

====une simplification fortuite : l'abscisse curviligne ====

le chemin parcouru se calcule très bien dans ce cas particulier : 

u = Vo. cos(A) . exp(-s/H) : on retrouve cette notion acquise lors du mouvement 1D : l'énergie de départ s'épuise au long du chemin et on aura beau augmenter la charge de poudre, càd Vo, cela ne servira à RIEN : on ira plus vite au lieu-dit, on n'ira pas plus LOIN. 

&lt;div style=&quot;text-align: center;&quot;&gt;
&lt;math&gt; rappel \quad R := 1/u^2 \quad ; \quad \frac{dR}{dB} = \frac{2}{ \sin^3(B)} \, ; \quad \frac{ds}{dB} = \frac{1}{2R}\frac{dR}{dB} \,  ; \quad \frac{dx}{dB} = \frac{1}{R \sin^2(B)}&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;

d'où :

&lt;div style=&quot;text-align: center;&quot;&gt;
&lt;math&gt; s = \frac 1 2 H. Log \quad  [1 + \frac{V_0^2.\sin^2 B_0}{gH} . (f(B)-f(B_0))]  = \frac 1 2  H. Log [f(B) -f(Bc)] +c  &lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;


&lt;div style=&quot;text-align: center;&quot;&gt;
&lt;math&gt;rappel : f(V) = -\cos(B)/\sin^2(B)+ Log \, \tan (B/2)&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;

* '''Il en résulte que''' :
*Supposons juste pour &quot;apprivoiser&quot; cette équation qui paraît formidable, de prendre : Vo sin(Bo) &gt;&gt; sqrt(gH) ,alors Bc est voisin de Bo et pratiquement pour un infime déroutement depuis Bo en Bo +(Bo-Bc) = 2Bo-Bc : on a déjà s = cste + 1/2 H . Log (f(B)-f(Bo)) , qui ne dépend plus de Vo sinon par la constante : donc les portions ultérieures sont &quot;identiques&quot;, puisque le rayon de courbure sera le même. Donc, on trouve :

sur une certaine portion du trajet, le mobile va quasiment en ligne droite, jusqu'à une abscisse qui croît avec Vo ( ouf ! heureusement) mais seulement comme H . Log Vo.sin(Bo)/sqrt(gH) , puis toutes les portions sont ~identiques. En particulier, le sommet S de la trajectoire est atteint pour B=0 et s vaut : s(Sommet) = s(B=0). En général, le &quot;1&quot; est négligeable, et on retrouve que toutes les portions se ressemblent au-delà du sommet S. En ce point, la courbure vaut 1/R = [f(Pi/2)-f(Bo)]/H = -f(Bo)/H (on peut contrôler bien sûr que en ce point , u²/g = R ), ensuite &quot;en général&quot;, R augmente beaucoup et &quot;on&quot; atteint l'asymptote. Les développées de toutes ces courbes se ressemblent (et penser bien sûr à la développer d'une parabole au voisinage de son apex) à une petite translation près. 

Ainsi, les calculs sont lourds et fastidieux, mais n'apportent pas grand-chose à la description de Tartaglia : si Vo est grand, une grande ligne droite, puis le &quot;cercle&quot; puis l'asymptote : il reste juste à contrôler &quot;visuellement&quot; la taille de ce cercle : la variation de taille est-elle conforme à 1/R = -f(Bo)/ H   (à grand Vo): évidemment si on tire avec Bo voisin de Pi/2 ( çàd à l'horizontale) R ~ Vo²/g ! c'est le cas des fusils (souvent, on tire à l'horizontale).

Donc, prudence : il faut moduler ces arguments en fonction de l'angle de tir : sans doute est-il préférable de regarder séparément les multiples facettes de ce double-réseau {Vo et Bo}.

* On peut préciser :
*Tartaglia et Ufano : il y a une première partie quasiment rectiligne, jusqu'à l'arrivée au sommet : le trajet a lieu en un temps d'autant plus court que Vo est grande ( cinétique du deuxième ordre , dirait-on en chimie !) : si ts &lt; H/Vo , alors ts ~ Vo/g . Log (1/ tan(Bo/2)) et le trajet parcouru est ~H. Log ( Vo²/gH .Log (1/tan(Bo/2))) soit encore une &quot;belle&quot; séparation du rôle de Vo et de Bo : 

&lt;math&gt;L(sommet) =~ H. Log ( Vo^2/gH  + H . Log (  Log(1/ \tan(Bo/2)))&lt;/math&gt; 

Ce qui permet les deux tracés essentiels : 

*ceux à Vo = cste pour trouver la courbe de sûreté : tracer les trois trajectoires à 30°, 45° et 60° est très parlant.

* ceux à Bo constant et Vo variable : il n'est pas évident que ces courbes ne se coupent pas : encore à déchiffrer.

====largage d'une bombe====

Puis, on reprend l'étude à partir du sommet S et on refait tous les calculs de Charbonnier : c'est le problème du largage d'une bombe.
* L'asymptote se trouve à Xa tel que : 

&lt;math&gt; Xa = H. \int_{\frac{\pi}{2}}^\pi dB / [ -c + s^2Log (t) + s^2. (gH/u_0^2)]&lt;/math&gt;

Cette intégrale n'a absolument rien de très difficile, mais il faut faire ressortir comment intervient le paramètre uo²/gH ; car c'est en gros de cela que va dépendre la taille de la courbe de sûreté.


{{boîte déroulante début|align=left|titre= ébauche : drôle de délire , bizarre...}}

Si tout ceci est faux, je ne m'en étonnerai pas : pas eu le temps de regarder suffisamment...
Typiquement avec du plomb, V-limite est de 100 m/s, voire 300m/s donc  H ~10 -100km : on ne pourra jamais avoir de canon de grande portée : 50 km, voir 100 km mais pas plus !!! Sauf à changer la masse des obus ( cela varie comme M^(1/3)) d'un facteur mille pour changer la constante de longueur d'un facteur 10 , mais peu importe vraiment Vo, il suffit de garder ~50m/s ( encore faut-il le faire ! ) : c'est la '''très grande leçon de ce calcul ''': tout réside dans la longueur H et la portée ne dépend que très peu de Vo , ce qui est '''contre-intuitif'''. 
*'''Sauf que...2eme argument''' avec H = 10km , on est juste dans l' OdG de la hauteur de l'atmosphère, pour une raison apparemment toute autre : mg Ha = kT , la température de la Terre. Est-ce un hasard ? mais non , mais non ...:
Car, quand on dit V-limite de l'ordre de 300m/s  on pense 330 m/s et vitesse du son V_son , et compressibilité : et pourquoi Ha ? par compressibilité de l'air ... en effet Ha = ~ (V_son)^2 /g  ( j'ai laissé tomber gamma ) : quand les bombardieri ont atteint des OdG de 100m/s , non seulement, ils se sont rapprochés du mur du son, mais encore : ils ont atteint des altitudes de l'ordre de 10km , donc le vide ( pas vraiment, mais on le touche...(sourire)) : mais alors...il faut reprendre TOUS les calculs, puisque on est en train d'écrire que la densité de l'air varie : et varie exponentiellement avec la même constante de longueur. '''Il urge''' de re-considérer le problème de l'altitude et des degrés de &quot;finesse de l'air&quot; : les artilleurs avaient remarqué sans doute que les canons tiraient plus loin en air &quot;ténu&quot; (?). Et là ça se gâte : au fond, on demande de reprendre le problème avec une constante de longueur H qui varie avec l'altitude comme H(z=0).exp(z/Ha), avec H(z=0) ~ Ha : brr...négligeons g , on aurait qqch comme : dv/dt = - v²/Ho . exp(-z/Ho). Mais cela change tout : d(v²)/dz = -2 v² exp-z =&gt; v² ~ exp ( exp(-z)) et donc ne s'annule pas à l'infini ...l'obus peut arriver dans le vide ...
(( Oui, cela se tient : c'est la m idée que celle de la trempe : x' = -x/T avec une cste T qui varie dans le temps en s'allongeant infiniment : T(t) = exp t/To , alors : xo n'arrive pas à relaxer à zéro , mais se &quot;gèle&quot; à une distance finie ))
*D'où deux grandes idées : aller tout doucement dans le vide et de là tirer ; ou bien construire des V2, des fusées, etc. ; ce qui techno-logiquement est à peu près la même idée.
FIN de délire  
{{boîte déroulante fin}}

====une trajectoire particulière en détail pour se familiariser ====
prendre B= A = Pi/4 ; Vo = V-limite : oui, ça se calcule bien 

====courbe de sûreté ====
certes plus compliquée , mais pas le dessin par informatique ; &quot;en gros&quot;, on a les mêmes formes en dôme + asymptote. Assez bizarre a priori : la courbe ne &quot;gonfle pas quand Vo augmente&quot; ! Elle est de la taille de H, la longueur caractéristique de la résistance de l'air.

====notes====
ébauche 

{{boîte déroulante début|align=left|titre= voir les notes en ébauche}}


je vais fourguer ici les notes ...bien utiles pour ne pas oublier ...des calculs parfois laborieux , en tout cas, il faut se familiariser.
* '''note 1 ''' :&lt;math&gt;\ddot z = - exp-z/H . v^2/a&lt;/math&gt; : cette eq est bizarre, pour l'instant je ne la maitrise pas . Ok , je sais l'intégrer mais c'est tout.
Creusons autour : &lt;math&gt;dE/dz = -2/a exp( -z/H) . E &lt;/math&gt; donne &lt;math&gt; Log E/Eo = +2H/a (exp- z/H -1)&lt;/math&gt; soit &lt;math&gt;E = Eo exp(exp(-z/H))2H/a . exp-2H/a&lt;/math&gt; donc pour z &gt;&gt; H , il subsiste un reliquat d'énergie qui a passé la barrière : E(infty) = Eo .exp-2H/a : qualitativement les paramètres sont dans le sens correct : pour a donné, généralement une particule pénètre de qq a  et s'arrête ; mais ici a dépend en qq sorte de z , via a(z) = a exp +z/H , donc c'est &quot;comme si&quot; on pouvait aller de plus en plus loin ; ce qui reste est cette compétition ; je le vois aussi comme un processus de trempe : E ''devrait'' relaxer à zéro , mais  le temps de relaxation s'étire indéfiniment ; le processus se gèle et au temps infty, E n'est toujours pas relaxée à zéro : E s'est gelée à la valeur E. exp -2H/a : m'ouais , au fond j'opte pour cette interprétation, provisoirement, elle me va .

*'''note 2''' : mettre ici qq valeurs numériques réduites pour éviter les redites , et comparer les abaques de Charbonnier, Adhémar, Cranz etc. Si je peux obtenir les calculs d'Otto, pourquoi pas.etc : sans faire un traité ...qui ne m'intéresse pas outre-mesure.

{{boîte déroulante fin}}

== Notes et références de la page ==
&lt;references/&gt;

== Voir aussi ==
=== Livres ===
* [[Vol balistique et missiles balistiques]].

=== Articles sur wikipédia ===
* [[w:Grosse Bertha|Grosse Bertha]],
* [[w:Chute avec résistance de l'air|Chute avec résistance de l'air]],
* [[w:Chute libre (physique)|Chute libre]] et [[w:trajectoire parabolique|trajectoire parabolique]], [[w:parabole de sûreté|parabole de sûreté]], [[w:Ellipse de sûreté|Ellipse de sûreté]], pour mémoire : là, pas de résistance de l'air.

=== Liens et documents externes ===
* Appell : traité de mécanique rationnelle
* Whittaker : analytical dynamics
*traités de balistique de Charbonnier(1921) de Ottenheimer (1929) , d'Adhémar ( mémorial Sc math ,fasc 65), de Carl Cranz, de Moulton.
*de Mestre a écrit : trajectoire d'un projectile en sport.
*en Histoire des Sciences : Mach écrit(§19,p145): Saint-Bach(1561); Tartaglia(1537);Rivius(1582); Benedetti; Vailati ;les armes à feu au XIVeme font que la réflexion progresse.Puis Galilée, puis Torricelli plus encore .* Voir aussi Koyré  ; +* Maury JP : ''Mersenne''(ed Vuibert 2003).

[[Catégorie:Mécanique]]</text>
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    <title>Discussion:Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/La pression cinétique des fluides</title>
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        <username>DavidL</username>
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      <comment>DavidL a déplacé la page [[Discussion:Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences : la pression cinétique des fluides]] vers [[Discussion:Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/La pression cinétique des fluides]]</comment>
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      <text bytes="2556" xml:space="preserve">==Equation d'état==
--[[Utilisateur:Guerinsylvie|Guerinsylvie]] ([[Discussion utilisateur:Guerinsylvie|discussion]]) 3 avril 2015 à 14:18 (CEST) : en fait, en me relisant, je pense qu'il faudrait deux niveaux ; la première leçon, oui, sur Pression cinétique ; mais une deuxième sur équation d'état qui irait plus loin, en particulier sur le viriel, le gaz de boules dures, etc. ; et une troisième sur la liquéfaction, càd la transition de phase. En effet ce qui est '''extraordinaire''' pour l'eau est qu'elle est , sous P = 1 atm, gazeuse à 100,001 °C mais liquide en peu en-dessous, avec un immense palier à T = 100°C. Comment trouver ce palier dans l'eq d'état ? dire que c'est VanderWaals + la condition de Maxwell, c'est rajouter cette condition. Il faudrait expliquer pourquoi c'est la méca_stat qui explique cela.

Il faudrait aussi pouvoir intégrer tout le beau travail fait par la SklogWiki, qui renvoie ensuite à McCoy, Clisby et autres Lyberg ( vers 2004_2007 ). C'est terrible de voir tous les efforts si décoordonnés ! Il m'apparaît évident que si Clisby+Lyberg se donnaient la peine d'écrire un bel article sur &quot;gaz de disques_durs&quot; pour compléter l'article de Tonks(1936), on progresserait plus vite. 

Par ailleurs, la rédaction actuelle pêche dans sa mise en page. Toujours de sacrés pb de ponctuation, et de style ! ce n'est pas '''beau''' à visualiser, ni agréable à lire ! mais là, la limitation, c'est l'auteure.

==Plan de l'article==
[[Utilisateur:Guerinsylvie|Guerinsylvie]] ([[Discussion utilisateur:Guerinsylvie|discussion]]) 11 avril 2015 à 13:18 (CEST) : Avril 2015 : à relire le Feynman , et le Brush, je me demande s'il ne convient pas de traiter &lt;Ec&gt; après le théorème de Bernoulli(1738). En effet, il est incompréhensible de comprendre l'intervalle d'un siècle ( Herapath 1838 ), pour la réception de Bernoulli, si on croît à la '''définition''' de T en 1738 ! Mais évidemment, il faudrait parler de la théorie de Newton des gaz, et aussi de la chaleur_phlogistique considérée comme du coton_élastique. Ces obstacles n'ont été gommés que progressivement. Bernoulli n' a aucune conscience de la relation entre &lt;Ec&gt; et T. '''Bernoulli ne fait aucune référence à la thermo'''. D'ailleurs, on peut retrouver du proto-Bernoulli chez Hermann, ''phoronomia''. 

Ainsi, le plan deviendrait, plus conforme à la progression historique : 

Intro. La pression cinétique de Bernoulli. Le libre parcours moyen de Clausius. L'énergie cinétique moyenne. Les corrections. Conclusion.</text>
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[[Fichier:Eclipse-SVG.svg|left]]
{{w|Eclipse (projet)|Eclipse}} est un {{w|environnement de développement}} intégré (EDI), générique et extensible (site officiel http://www.eclipse.org). Son système de plugins permet d'ajouter des fonctionnalités diverses.

Initialement prévu pour développer en Java, grâce aux plugins il peut maintenant également gérer des projets développés avec d'autres langages de programmation tels que :
* Le C et le C++ grâce à l'ensemble de plugins CDT ('''C''' '''D'''evelopment '''T'''oolkit)&lt;ref&gt;https://eclipse.org/cdt/&lt;/ref&gt; (compilateur non intégré).
* Le Python via PyDev&lt;ref&gt;({{en}}) http://pydev.org/&lt;/ref&gt;.
* Avant l'arrivée d'Android Studio, le développement pour Android se faisait avec Eclipse grâce à l'ensemble de plugins ADT ('''A'''ndroid '''D'''evelopment '''T'''oolkit).

Certains IDE sont basés sur Eclipse, et permettent par exemple le développement de logiciel embarqués pour des {{w|Système temps réel|systèmes temps réel}}.

{{Section|Installation de Eclipse|{{{1|}}}}}

La page de téléchargement d'Eclipse permet de récupérer une version déjà adaptée au langage ciblé sur http://www.eclipse.org/downloads/. Mais pour installer un plugin manuellement, il faut :
* Lancer Eclipse, puis dans le menu déroulant :&lt;code&gt;Help&gt;Software Updates&gt;Find and Install...&lt;/code&gt;
* Cocher ''Search for new features to install'', bouton ''Next''. Bouton ''New Remote Site...'', entrer l'adresse de téléchargement :
 Name: Nom du plugin
 URL: adresse du plugin, ex : http://www.eclipse.org/cdt/downloads.php
* Bouton ''Finish'', choisir un miroir proche puis continuer l'installation.

{{Section|Utilisation de Eclipse|{{{1|}}}}}

L'interface de l'IDE Eclipse est basée sur différentes perspectives.
Une seule perspective n'est visible à la fois, et se compose de plusieurs vues.
Exemples :
* La perspective &quot;Java&quot; se compose par défaut de la vue &quot;Package Explorer&quot;, de la vue éditeur de code en Java avec un onglet par fichier ouvert, de la vue &quot;Outline&quot; donnant la hiérarchie des éléments composant la classe du fichier ouvert.
* La perspective &quot;Debug&quot; est ouverte automatiquement au lancement d'une application en mode débogage et se compose par défaut de la vue &quot;Debug&quot; affichant la pile d'appel, de la vue des points d'arrêt nommée &quot;Breakpoints&quot;, de la vue éditeur de code en Java avec un onglet par fichier ouvert, de la vue &quot;Outline&quot; donnant la hiérarchie des éléments composant la classe du fichier ouvert.
*Deux ou plusieurs perspectives peuvent être affichées conjointement.

Chaque vue est une sous-fenêtre qui a un titre et se place dans un cadre particulier de la fenêtre de l'IDE.
Les vues peuvent être déplacées à la souris par ''drag and drop'' pour changer la disposition de la perspective.
Plusieurs vues peuvent partager le même cadre, auquel cas, une barre d'onglets permet de basculer entre les vues.
Un double clic sur le titre d'une vue provoque l'affichage du cadre qui la contient en pleine fenêtre, réduisant les autres cadres à une icône sur les côtés. Un second double clic restaure les cadres.

Le menu &quot;Window&quot; permet de changer de perspective, et d'ajouter des vues à la perspective courante.
Une vue peut également être retirée de la perspective affichée en utilisant la croix à droite du titre de la vue.

[[Image:MediaWiki 1.24 alpha index.php debug in Eclipse 3.2 with xDebug running in a virtual box.png|vignette|center|upright=3|Eclipse]]

{{Section|Édition de lignes|s{{{1|}}}}}

L'éditeur de code possède des raccourcis clavier pratiques rendant l'édition des lignes de code plus rapide :

{|
! style=&quot;width: 18em;&quot; colspan=&quot;2&quot; | Touches
! Effet
|-
| style=&quot;text-align:right&quot; | {{Touche|Shift}}
| {{Touche|↵ Enter}}
| Ajouter une nouvelle ligne après la ligne courante.
|-
| style=&quot;text-align:right&quot; | {{Touche|Ctrl}}
| {{Touche|↑}}/{{Touche|↓}}
| Faire défiler la vue vers le haut/le bas.
|-
| style=&quot;text-align:right&quot; | {{Touche|Ctrl}}{{Touche|Shift}}
| {{Touche|↑}}/{{Touche|↓}}
| Déplacer le curseur sur le membre précédent/suivant de la classe.
|-
| style=&quot;text-align:right&quot; | {{Touche|Alt}}
| {{Touche|↑}}/{{Touche|↓}}
| Déplacer la ligne courante ou les lignes sélectionnées vers le haut/le bas dans le texte.
|-
| style=&quot;text-align:right&quot; | {{Touche|Ctrl}}{{Touche|Alt}}
| {{Touche|↑}}/{{Touche|↓}}
| Dupliquer la ligne courante ou les lignes sélectionnées vers le haut/le bas.
|-
| style=&quot;text-align:right;&quot; | {{Touche|Ctrl}}{{Touche|Shift}}
| {{Touche|:}}
| Commenter/Décommenter la ligne courante.
|}

{{Section|Complétion de code|s{{{1|}}}}}

L'éditeur de code peut compléter automatiquement le code là où se trouve le curseur :

{|
! style=&quot;width: 18em;&quot; colspan=&quot;2&quot; | Touches
! Effet
|-
| style=&quot;text-align:right;vertical-align:top;&quot; | {{Touche|Ctrl}}
| style=&quot;vertical-align:top;&quot; | {{Touche|Espace}}
| Ouvrir la liste des suggestions de complétion.
Une fois la suggestion choisie, la validation se fait par l'une des touches suivantes :
* {{Touche|↵ Enter}}, n'ajoute rien derrière la suggestion ;
* {{Touche|Espace}} ou {{Touche|.}}, ajoute également le caractère produit derrière la suggestion.
Toute autre touche produit le caractère sans valider (annuler la complétion).
|-
| style=&quot;text-align:right;&quot; | {{Touche|Alt}}{{Touche|Shift}}
| {{Touche|:}}
| Complète avec la seule possibilité, ou produit un bip s'il y a plusieurs possibilités.
|}

{{Section|Navigation et autres astuces|s{{{1|}}}}}

* Dans les codes sources dépassant la hauteur de fenêtre de l'éditeur, placez le pointeur de la souris sur l'accolade fermante d'un bloc pour voir apparaître un résumé du code d'ouverture du bloc en bulle d'aide. Ceci est for utile pour vérifier quel bloc est fermé par l'accolade sans avoir à faire défiler le code.
* Placez le pointeur de la souris sur un identifiant de classe, méthode ou variable et enfoncez la touche {{Touche|Ctrl}} pour faire apparaître un lien cliquable vers la définition.

&lt;noinclude&gt;

{{Section|Références|{{{1|}}}}}
{{Références}}

[[Catégorie:Logiciels d'édition de texte]]
&lt;/noinclude&gt;</text>
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[[Fichier:Eclipse-SVG.svg|left]]
{{w|Eclipse (projet)|Eclipse}} est un {{w|environnement de développement}} intégré (EDI), générique et extensible (site officiel http://www.eclipse.org). Son système de plugins permet d'ajouter des fonctionnalités diverses.

Initialement prévu pour développer en Java, grâce aux plugins il peut maintenant également gérer des projets développés avec d'autres langages de programmation tels que :
* Le C et le C++ grâce à l'ensemble de plugins CDT ('''C''' '''D'''evelopment '''T'''oolkit)&lt;ref&gt;https://eclipse.org/cdt/&lt;/ref&gt; (compilateur non intégré).
* Le Python via PyDev&lt;ref&gt;({{en}}) http://pydev.org/&lt;/ref&gt;.
* Avant l'arrivée d'Android Studio, le développement pour Android se faisait avec Eclipse grâce à l'ensemble de plugins ADT ('''A'''ndroid '''D'''evelopment '''T'''oolkit).

Certains IDE sont basés sur Eclipse, et permettent par exemple le développement de logiciel embarqués pour des {{w|Système temps réel|systèmes temps réel}}.

{{Section|Installation de Eclipse|{{{1|}}}}}

La page de téléchargement d'Eclipse permet de récupérer une version déjà adaptée au langage ciblé sur http://www.eclipse.org/downloads/. Mais pour installer un plugin manuellement, il faut :
* Lancer Eclipse, puis dans le menu déroulant :&lt;code&gt;Help&gt;Software Updates&gt;Find and Install...&lt;/code&gt;
* Cocher ''Search for new features to install'', bouton ''Next''. Bouton ''New Remote Site...'', entrer l'adresse de téléchargement :
 Name: Nom du plugin
 URL: adresse du plugin, ex : http://www.eclipse.org/cdt/downloads.php
* Bouton ''Finish'', choisir un miroir proche puis continuer l'installation.

{{Section|Utilisation de Eclipse|{{{1|}}}}}

L'interface de l'IDE Eclipse est basée sur différentes perspectives.
Une seule perspective n'est visible à la fois, et se compose de plusieurs vues.
Exemples :
* La perspective &quot;Java&quot; se compose par défaut de la vue &quot;Package Explorer&quot;, de la vue éditeur de code en Java avec un onglet par fichier ouvert, de la vue &quot;Outline&quot; donnant la hiérarchie des éléments composant la classe du fichier ouvert.
* La perspective &quot;Debug&quot; est ouverte automatiquement au lancement d'une application en mode débogage et se compose par défaut de la vue &quot;Debug&quot; affichant la pile d'appel, de la vue des points d'arrêt nommée &quot;Breakpoints&quot;, de la vue éditeur de code en Java avec un onglet par fichier ouvert, de la vue &quot;Outline&quot; donnant la hiérarchie des éléments composant la classe du fichier ouvert.
*Deux ou plusieurs perspectives peuvent être affichées conjointement.

Chaque vue est une sous-fenêtre qui a un titre et se place dans un cadre particulier de la fenêtre de l'IDE.
Les vues peuvent être déplacées à la souris par ''drag and drop'' pour changer la disposition de la perspective.
Plusieurs vues peuvent partager le même cadre, auquel cas, une barre d'onglets permet de basculer entre les vues.
Un double clic sur le titre d'une vue provoque l'affichage du cadre qui la contient en pleine fenêtre, réduisant les autres cadres à une icône sur les côtés. Un second double clic restaure les cadres.

Le menu &quot;Window&quot; permet de changer de perspective, et d'ajouter des vues à la perspective courante.
Une vue peut également être retirée de la perspective affichée en utilisant la croix à droite du titre de la vue.

[[Image:MediaWiki 1.24 alpha index.php debug in Eclipse 3.2 with xDebug running in a virtual box.png|vignette|center|upright=3|Eclipse]]

{{Section|Édition de lignes|s{{{1|}}}}}

L'éditeur de code possède des raccourcis clavier pratiques rendant l'édition des lignes de code plus rapide :

{|
! style=&quot;width: 18em;&quot; colspan=&quot;2&quot; | Touches
! Effet
|-
| style=&quot;text-align:right&quot; | {{Touche|Shift}}
| {{Touche|↵ Enter}}
| Ajouter une nouvelle ligne après la ligne courante.
|-
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| Faire défiler la vue vers le haut/le bas.
|-
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|-
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|-
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|-
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| Commenter/Décommenter la ligne courante.
|}

{{Section|Complétion de code|s{{{1|}}}}}

L'éditeur de code peut compléter automatiquement le code là où se trouve le curseur :

{|
! style=&quot;width: 18em;&quot; colspan=&quot;2&quot; | Touches
! Effet
|-
| style=&quot;text-align:right;vertical-align:top;&quot; | {{Touche|Ctrl}}
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| Ouvrir la liste des suggestions de complétion.
Une fois la suggestion choisie, la validation se fait par l'une des touches suivantes :
* {{Touche|↵ Enter}}, n'ajoute rien derrière la suggestion ;
* {{Touche|Espace}} ou {{Touche|.}}, ajoute également le caractère produit derrière la suggestion.
Toute autre touche produit le caractère sans valider (annuler la complétion).
|-
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| Complète avec la seule possibilité, ou produit un bip s'il y a plusieurs possibilités.
|}

{{Section|Navigation et autres astuces|s{{{1|}}}}}

* Dans les codes sources dépassant la hauteur de fenêtre de l'éditeur, placez le pointeur de la souris sur l'accolade fermante d'un bloc pour voir apparaître un résumé du code d'ouverture du bloc en bulle d'aide. Ceci est fort utile pour vérifier quel bloc est fermé par l'accolade sans avoir à faire défiler le code.
* Placez le pointeur de la souris sur un identifiant de classe, méthode ou variable et enfoncez la touche {{Touche|Ctrl}} pour faire apparaître un lien cliquable vers la définition.

&lt;noinclude&gt;

{{Section|Références|{{{1|}}}}}
{{Références}}

[[Catégorie:Logiciels d'édition de texte]]
&lt;/noinclude&gt;</text>
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[[Fichier:Eclipse-SVG.svg|left]]
{{w|Eclipse (projet)|Eclipse}} est un {{w|environnement de développement}} intégré (EDI), générique et extensible (site officiel http://www.eclipse.org). Son système de plugins permet d'ajouter des fonctionnalités diverses.

Initialement prévu pour développer en Java, grâce aux plugins il peut maintenant également gérer des projets développés avec d'autres langages de programmation tels que :
* Le C et le C++ grâce à l'ensemble de plugins CDT ('''C''' '''D'''evelopment '''T'''oolkit)&lt;ref&gt;https://eclipse.org/cdt/&lt;/ref&gt; (compilateur non intégré).
* Le Python via PyDev&lt;ref&gt;({{en}}) http://pydev.org/&lt;/ref&gt;.
* Avant l'arrivée d'Android Studio, le développement pour Android se faisait avec Eclipse grâce à l'ensemble de plugins ADT ('''A'''ndroid '''D'''evelopment '''T'''oolkit).

Certains IDE sont basés sur Eclipse, et permettent par exemple le développement de logiciel embarqués pour des {{w|Système temps réel|systèmes temps réel}}.

{{Section|Installation de Eclipse|{{{1|}}}}}

La page de téléchargement d'Eclipse permet de récupérer une version déjà adaptée au langage ciblé sur http://www.eclipse.org/downloads/. Mais pour installer un plugin manuellement, il faut :
* Lancer Eclipse, puis dans le menu déroulant :&lt;code&gt;Help&gt;Software Updates&gt;Find and Install...&lt;/code&gt;
* Cocher ''Search for new features to install'', bouton ''Next''. Bouton ''New Remote Site...'', entrer l'adresse de téléchargement :
 Name: Nom du plugin
 URL: adresse du plugin, ex : http://www.eclipse.org/cdt/downloads.php
* Bouton ''Finish'', choisir un miroir proche puis continuer l'installation.

{{Section|Utilisation de Eclipse|{{{1|}}}}}

L'interface de l'IDE Eclipse est basée sur différentes perspectives.
Une seule perspective n'est visible à la fois, et se compose de plusieurs vues.
Exemples :
* La perspective &quot;Java&quot; se compose par défaut de la vue &quot;Package Explorer&quot;, de la vue éditeur de code en Java avec un onglet par fichier ouvert, de la vue &quot;Outline&quot; donnant la hiérarchie des éléments composant la classe du fichier ouvert.
* La perspective &quot;Debug&quot; est ouverte automatiquement au lancement d'une application en mode débogage et se compose par défaut de la vue &quot;Debug&quot; affichant la pile d'appel, de la vue des points d'arrêt nommée &quot;Breakpoints&quot;, de la vue éditeur de code en Java avec un onglet par fichier ouvert, de la vue &quot;Outline&quot; donnant la hiérarchie des éléments composant la classe du fichier ouvert.
*Deux ou plusieurs perspectives peuvent être affichées conjointement.

Chaque vue est une sous-fenêtre qui a un titre et se place dans un cadre particulier de la fenêtre de l'IDE.
Les vues peuvent être déplacées à la souris par ''drag and drop'' pour changer la disposition de la perspective.
Plusieurs vues peuvent partager le même cadre, auquel cas, une barre d'onglets permet de basculer entre les vues.
Un double clic sur le titre d'une vue provoque l'affichage du cadre qui la contient en pleine fenêtre, réduisant les autres cadres à une icône sur les côtés. Un second double clic restaure les cadres.

Le menu &quot;Window&quot; permet de changer de perspective, et d'ajouter des vues à la perspective courante.
Une vue peut également être retirée de la perspective affichée en utilisant la croix à droite du titre de la vue.

[[Image:MediaWiki 1.24 alpha index.php debug in Eclipse 3.2 with xDebug running in a virtual box.png|vignette|center|upright=3|Eclipse]]

{{Section|Édition de lignes|s{{{1|}}}}}

L'éditeur de code possède des raccourcis clavier pratiques rendant l'édition des lignes de code plus rapide :

{|
! style=&quot;width: 18em;&quot; colspan=&quot;2&quot; | Touches
! Effet
|-
| style=&quot;text-align:right&quot; | {{Touche|Shift}}
| {{Touche|↵ Enter}}
| Ajouter une nouvelle ligne après la ligne courante.
|-
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| Faire défiler la vue vers le haut/le bas.
|-
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|-
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|-
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| Dupliquer la ligne courante ou les lignes sélectionnées vers le haut/le bas.
|-
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| Commenter/Décommenter la ligne courante.
|}

{{Section|Complétion de code|s{{{1|}}}}}

L'éditeur de code peut compléter automatiquement le code là où se trouve le curseur :

{|
! style=&quot;width: 18em;&quot; colspan=&quot;2&quot; | Touches
! Effet
|-
| style=&quot;text-align:right;vertical-align:top;&quot; | {{Touche|Ctrl}}
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| Ouvrir la liste des suggestions de complétion.
Une fois la suggestion choisie, la validation se fait par l'une des touches suivantes :
* {{Touche|↵ Enter}}, n'ajoute rien derrière la suggestion ;
* {{Touche|Espace}} ou {{Touche|.}}, ajoute également le caractère produit derrière la suggestion.
Toute autre touche produit le caractère sans valider (annuler la complétion).
|-
| style=&quot;text-align:right;&quot; | {{Touche|Alt}}{{Touche|Shift}}
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| Complète avec la seule possibilité, ou produit un bip s'il y a plusieurs possibilités.
|}

{{Section|Navigation et autres astuces|s{{{1|}}}}}

* Dans les codes sources dépassant la hauteur de fenêtre de l'éditeur, placez le pointeur de la souris sur l'accolade fermante d'un bloc pour voir apparaître un résumé du code d'ouverture du bloc en bulle d'aide. Ceci est fort utile pour vérifier quel bloc est fermé par l'accolade sans avoir à faire défiler le code.
* Placez le pointeur de la souris sur un identifiant de classe, méthode ou variable et enfoncez la touche {{Touche|Ctrl}} pour faire apparaître un lien cliquable vers la définition.
* Cliquez sur un identifiant de membre de classe pour faire apparaître toutes les occurrences d'utilisation dans le fichier : à la fois dans le texte et dans la barre de défilement. Les blocs apparaissant dans la barre de défilement sont cliquables pour faire défiler le code à la position de l’occurrence. Il y a deux couleurs distinctes pour les occurrences utilisées en lecture (accès, appel, ...) et celles utilisées en écriture (affectation).
*:Il peut arriver que cela ne semble pas fonctionner car l'éditeur peut être dans un mode autre que celui par défaut. Il faut dans ce cas appuyer une ou deux fois la touche {{Touche|Échap}} pour que cela fonctionne.

&lt;noinclude&gt;

{{Section|Références|{{{1|}}}}}
{{Références}}

[[Catégorie:Logiciels d'édition de texte]]
&lt;/noinclude&gt;</text>
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== Page de garde du livre ==

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&lt;nowiki&gt;== Sommaire ==
{{Sommaire}}

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== Sommaire du livre ==

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''Partie''&lt;nowiki&gt;
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== Modèle de sommaire dans les chapitres du livre ==

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== Page de garde du livre ==

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}}
&lt;nowiki&gt;== Sommaire ==
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== Sommaire du livre ==

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''Partie''&lt;nowiki&gt;
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== Modèle de sommaire dans les chapitres du livre ==

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== Préface ==

Ce cours est le contre-pied d'une physique pour les nuls. Le niveau déclaré est propédeutique. Répétons :

{{BlocCitation|
La science affouille, bafouille, cafouille ; Clairement, elle progresse.
|auteur=pseudo-maxime d'Histoire des Sciences}}

Ce cheminement chaotique de la science en marche, il faut le maîtriser pour oser être scientifique soi-même. Il convient donc de l'enseigner.

Voulant poursuivre le travail de Pierre Provost (ancien professeur au lycée Louis-Le-Grand, Paris), ce cours désire faire comprendre en profondeur la mécanique.Il ne s'agira pas tant de formules, mais au contraire de réflexions sur les fondements.

La pensée directrice de ce petit opuscule est claire : 
éviter le contact abrupt et traumatisant avec le Principe Fondamental de la Dynamique { F = dp/dt = m a} :

'''Pierre Provost''', dans la &quot;Mécanique, présentée autrement&quot; (édition L'Harmattan), défendait la thèse soutenue ici : '''par définition''',  '''F''' est la cause de d'''p'''/dt, cause à trouver expérimentalement, de façon à obtenir des '''équations différentielles''' (du second ordre, couplées éventuellement) à résoudre, dont la solution doit être vérifiée par l'expérience. Cette démarche est proche de celle de Newton et de Poincaré.

*Beaucoup d'exercices corrigés permettront aussi d'acquérir un minimum de technicité. 
Ces exercices font partie intégrante du cours. Ils sont là pour illustrer le principe Shadok suivant : pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué ? ''La réponse est'' : quand une théorie est juste, '''TOUT ce qui s'en déduit''' doit mener à des conclusions auto-cohérentes. La plupart du temps, c'est en confrontant la théorie à ses propres contradictions par des gedanken-experiments que l'on est amené à la récuser : par exemple, Einstein raisonnait souvent ainsi, mais bien d'autres avant lui. On forme ainsi ce qui est le plus important en physique : contre une '''intuition spontanée''' (parfois fausse), on parvient à construire un '''raisonnement éduqué''' ; ce qui est un des principes formateurs en science. Koyré disait: une théorie même fausse, c'est déjà beaucoup mieux qu'une avant-théorie : on peut la contredire et progresser.


Quelques points qui méritent d'être signalés :
*l'idée non nouvelle que Newton n'a rien inventé[ cf en 2005, diatribes stériles : Poincaré versus Einstein ; car évidemment, il y a TOUJOURS une histoire avant l'histoire]. Newton a magnifiquement remis en forme les postulats de la mécanique (puis il les a largement appliqués à tout ce qui avait déjà été écrit auparavant, y compris par lui-même); il ne s'est crédité lui-même que de l'invention de la Loi de gravitation universelle ( et des théorèmes dits &quot;remarquables&quot; (1685)) et de la compréhension  de la force_centripète. Mais ayant écrit ce prodigieux traité que sont les &quot;Principia&quot; (1687), il est de ceux qui ont le plus de distance vis à vis de ces mêmes Principes et même la notion de temps absolu y est discutée ; et nous verrons que c'est l'approche de Laplace, Poincaré et V.I.Arnold qui servira de guide d'enseignement, via la notion d''''ESPACE  DES PHASES''', beaucoup plus que les 3 lois de Newton, difficiles à enseigner. 
*la '''symétrie de Corinne''' (la transformation dite du temps euclidien en physique théorique : t -&gt; i.t) peu connue, la '''transmutation''' de la force de Newton par changement d'échelle de temps (Arnold-Needham vers 1980), une manière assez originale de &quot;transmuter&quot; la loi de Hooke-Hamilton, ''' le droit aux changements d'échelle''' (surtout ceux symplectiques évidemment). 
*la notion d'homogénéité et d'&quot;unités réduites&quot; sera sans cesse utilisée, car elle SIMPLIFIE les calculs, si bien utilisée.

== Introduction ==

Historiquement, la mécanique ne sort pas ex nihilo de la tête d'un mécanicien génial. Les années ont permis de dégager l'essentiel ; mais on peut dire qu'à la fin du {{s-|XVII|e}}, on a compris que les phénomènes terrestres '''ET''' l'astrophysique se déduisent des mêmes principes et des mêmes lois ; dès lors, la mécanique (science des mouvements) prend son envol grâce au travail gigantesque de [[Isaac Newton|Newton]] (1642-1727)qui publie ses [[Principia]] en 1687. Il lui faut bien sûr comprendre-inventer le calcul différentiel et intégral (en anglais : le calculus).


#La science qui décrit le mouvement s'appelle la '''Cinématique'''. En caricaturant, c'est géométrie + temps (Il Saggiatore de Galilée : nul n'entre ici s'il n'a une âme de géomètre). Elle sera plutôt la première partie du cours (on excepte la dynamique du choc : lois empiriques de Huygens(1619-1695)).
#La science qui décrit comment les forces se compensent pour atteindre un état de non-mouvement s'appelle la '''Statique''' (un des grands fondateurs fût Stevin(1548-1620)).
#Enfin, la '''Dynamique''' explique comment la description de ces forces permet de les interpréter comme les Causes du mouvement.


Néanmoins le parcours tortueux d'une science n'est pas celui-là ! et bien se rappeler hélas ceci :
 
'''La vérité finit toujours par triompher...''' ........... (Jan Hus, brûlé vif en 1415, mort cette année-là) ;

'''Quand ses contradicteurs sont tous morts.''' ..... (Planck(1858-1947)).

Autant dire, que nous faisons notre cet aphorisme de Faraday(1791-1867):

'''Ne crois que ce que tu peux vérifier. Sinon, reste sceptique et éveillé.'''

L'auteur collectif de cet ouvrage désire que cette introduction soit courte : il rend néanmoins un hommage souriant aux préfaces de H. Bouasse, célèbre professeur de Toulouse, auteur d'un traité de physique aussi impressionnant que passionnant (quoique parfois criticable).

___________________________________________

== Quelques titres de leçons ==
* Expérience fondamentale du tube de Newton : la plus belle du cours de physique élémentaire ; Brunold a dit qu'elle a éveillé plus d'une vocation !
'''Leçon : La chute libre verticale''' 

*[[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences, la chute libre|La chute libre]]
La loi de la chute libre verticale est, '''avec les conditions initiales  { &lt;math&gt;z_0 = 0 m ;v_0 =0 m/s&lt;/math&gt;}'''

{{exemple|Énoncé simplifié|loi de Galilée(1564-1642)|&lt;math&gt; \frac {d^2z}{dt^2} = g   &lt;=&gt;  v = \frac{dz}{dt} = g t + 0 &lt;=&gt; z =\frac{1}{2}g t^2 +0 t+0 &lt;=&gt; v^2 = 2gz&lt;/math&gt;}}

Sans perte de généralité. On peut remonter aux conditions initiales (C.I) quelconques : (z_0,v_0) : &lt;math&gt; z(t) = z =\frac{1}{2}gt^2 + v_0 t + z_0&lt;/math&gt;
*Exercices et Solutions : beaucoup , beaucoup sont présentées. Un élève de seconde devra éviter les exercices les plus difficiles, certes !

'''Leçon : le choc frontal : lois de Huygens(1619-1695)''' 
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Le choc frontal|Le choc frontal]]
* Expérience princeps: &quot;le carreau&quot;. 
* Généralisation ; TP-Cours.
* Chocs inélastiques. 
* Résumé
 
{{exemple|Énoncé simplifié|loi de Huygens(1619-1695)|&lt;math&gt; dans R^* , [P ; -P]_{before}^* = [-P ; P]_{after}^* &lt;/math&gt;}}
Si le choc est non -élastique, Loi de Newton : remplacer after[-eP ; eP] avec e coefficient de restitution (inférieur à 1)
*Exercices et Solutions
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

'''Leçon : la chute libre, avec vitesse initiale'''
*[[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences, la chute libre, avec vitesse initiale|La chute libre, avec vitesse initiale]]
Reprendre dans la wikipédia, l'article sur [[parabole de sûreté]]
 
* Résumé

{{exemple|Énoncé|loi de Galilée-Torricelli|&lt;math&gt; \vec{OM} = \frac{1}{2} \vec {g} t^2 + \vec {V_0} t &lt;/math&gt;}}

{{exemple|Énoncé|Parabole de sûreté de Torricelli(1608-1647) |&lt;math&gt; OP = OH \cdot {2 \over (1+\cos\theta)}; avec OH := \frac{V_0^2}{2g}&lt;/math&gt;}}
*Exercices et Solutions.

'''Leçon : chute ralentie le long d'un plan incliné''' 
*[[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences, la chute ralentie sur plan incliné|La chute ralentie sur plan incliné]]

*[[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences, la chute ralentie sur plan incliné (suite)|La chute ralentie sur plan incliné (suite)]]
*Résumé
{{exemple|Énoncé|loi des cordes de Galilée(1564-1642)|&lt;math&gt; g(\alpha) = g \cdot \sin\alpha &lt;/math&gt;}}

 '''Leçon : la notion de diagramme horaire''' 

*[[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences, diagramme horaire|Diagramme horaire]]
reprendre l'article de la WP sur [[diagramme horaire]] :
Beaucoup d'exemples y sont traités.
* Résumé 
{{exemple|Énoncé|loi de Torricelli(1608-1647),notation moderne|&lt;math&gt; \vec{V}(t)= \vec{f}(t) &lt;=&gt; \vec{OM}(t)= \int_0^t \vec{f}(u)du &lt;/math&gt;}}

'''Leçon : diagramme des espaces; plan de phase''' 
*[[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences, plan de phase|Plan de phase]]
reprendre l'article de la WP sur [[diagramme des espaces]] 
* Résumé 
{{exemple|Énoncé|loi de Torricelli(1608-1647), notation moderne|&lt;math&gt; V(x):= \frac{dx}{dt} = f_{donnee}(x) &lt;=&gt; t = \int_0^x \frac{1}{f(u)} du&lt;/math&gt;}}

Et aussi

{{exemple|Énoncé|2eme loi de Torricelli(1608-1647), notation moderne|&lt;math&gt; V(x):= \frac{dx}{dt} = f(x) &lt;=&gt; \frac{1}{2}V^2(x) + (-1) \cdot\int_0^x f(\xi) d\xi = cste&lt;/math&gt;}}

'''Leçon intermède : la symétrie'''
*[[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences, intermède: la symétrie|Intermède: la symétrie]]
* la symétrie de scaling et le théorème du viriel 
*exercices
* la symétrie de Corinne 
datant sans doute de de Moivre, cette symétrie montre pourquoi changer le champ de pesanteur g en son opposé consiste à changer le temps réel en son imaginaire pur (i.t). Bien plus tard, la notion de &quot;temps euclidien&quot; en physique théorique sera peu ou prou analogue.

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*devoir n°1
*[[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences, devoir surveillé1|Devoir surveillé 1]]
Ce devoir fût prévu pour être fait après ces leçons préparatoires à l'étude du principe fondamental de la dynamique. Il n'y a encore pas de temps_dynamique_de_Newton , le temps est juste un paramètre cinématique_unicursal... et il faudra expliquer ce que cela signifie ! 

== Conclusion provisoire ==

Au-delà du Principe de Torricelli, Huygens, via Descartes, a su dégager l'essence de la dynamique :

Soit un système isolé, composé de deux sous-systèmes S1 et S2.
Ils échangent entre eux des descartes [1 descartes = 1 N.s], si bien que l'Impulsion Totale se conserve. Si on connaît le taux horaire d'échange, F2/1 , alors l'équation différentielle d'évolution de S1 sera : 

{{exemple|Énoncé|'''Définition''' de Newton(1642-1727)|&lt;math&gt;\ \Delta P_1/\Delta t ::= F_{2/1}= - \Delta P_2/\Delta t&lt;/math&gt;}}

*Le chapitre de Statique qui suit n'est pas Fondamental, mais permet utilement de se familiariser avec la notion de Forces (en newtons : N), de &quot;moment&quot; de force (en m.N) et surtout avec le travail (en joule : = 1N.m) et '''le principe des travaux virtuels'''. On passe trop sous silence l'immense apport de  [[Simon Stevin]] (1548-1620)dans la statique(1586) et l'hydrostatique(1586).

*Une leçon est difficile : l'inertie à la rotation. S'y révèle le théorème du &quot;moment&quot; cinétique, via l'isotropie de l'espace.

*Puis, la leçon suivante récapitule ce que l'on peut déduire des Principes d'avant 1687.

*La Dynamique s'achève (et '''commence''' !) par ce monument que sont les Principia (1687): une fois énoncé le PFD (Principe Fondamental de la Dynamique), il ne restera plus qu'à développer les calculs (parfois '''fort astronomiques''' : de Clairaut ( et Madame LePaute) à Le Verrier ; parfois de '''subtile analyse''' : de Poincaré au théorème KAM, notion de chaos déterministe ; plus récemment calcul des trajectoires périodiques d'étoiles type Chenciner-Montgomery).

* Bien sûr on n'oubliera pas la contribution d'Euler-Lagrange.
* Non plus que l'admirable travail d' Hamilton(1805-1865).

La ToC et ses annexes permettront de naviguer aisément dans les chapitres supplémentaires.
* En savoir plus ? Cliquer dans la ToC (Table of Contents)-TdM(Table des Matières) : leçon [[/Remarques-en-vrac/]].

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      <text bytes="3041" xml:space="preserve">* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Remarques-en-vrac|Remarques en vrac]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/La chute libre|La chute libre]] 
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Le choc frontal|Le choc frontal]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/La chute libre, avec vitesse initiale|La chute libre, avec vitesse initiale]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/La chute ralentie sur plan incliné|La chute ralentie sur plan incliné]] 
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/La chute ralentie sur plan incliné (suite)|La chute ralentie sur plan incliné (suite)]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Diagramme horaire|Diagramme horaire]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Plan de phase|Plan de phase]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Intermède: la symétrie|Intermède: la symétrie]]
* [[mécanique, enseignée via l'histoire des Sciences/La chute avec résistance de l'air|La chute avec résistance de l'air]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Devoir surveillé 1|Devoir surveillé 1]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/La balistique extérieure |la Balistique extérieure]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Statique|Statique]]

* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Les Principes avant 1687|Les Principes avant 1687]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/PFD|Principe Fondamental de la Dynamique]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Quelques exercices|Quelques exercices]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Mouvement de Hooke|Mouvement de Hooke]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Mouvement de Kepler|Mouvement de Kepler]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Mouvement dans un champ central|Mouvement dans un champ central]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Devoir surveillé 3|Devoir surveillé 3]]
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* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/L'inertie à la rotation|L'inertie à la rotation]]

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Annexes :
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/La pression cinétique des fluides|La pression cinétique des fluides]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Résonances en astronomie|Résonances en astronomie]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Quelques exercices d'astronomie|Quelques exercices d'astronomie]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Le problème de Schwarzschild|Le problème de Schwarzschild]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Le système solaire|Le système solaire]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/La gravimétrie|La gravimétrie]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/L'information|L'information]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Le vide|Le vide]]

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* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Le choc frontal|Le choc frontal]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/La chute libre, avec vitesse initiale|La chute libre, avec vitesse initiale]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/La chute ralentie sur plan incliné|La chute ralentie sur plan incliné]] 
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/La chute ralentie sur plan incliné (suite)|La chute ralentie sur plan incliné (suite)]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Diagramme horaire|Diagramme horaire]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Plan de phase|Plan de phase]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Intermède : la symétrie|Intermède: la symétrie]]
* [[mécanique, enseignée via l'histoire des Sciences/La chute avec résistance de l'air|La chute avec résistance de l'air]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Devoir surveillé 1|Devoir surveillé 1]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/La balistique extérieure |la Balistique extérieure]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Statique|Statique]]

* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Les Principes avant 1687|Les Principes avant 1687]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/PFD|Principe Fondamental de la Dynamique]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Quelques exercices|Quelques exercices]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Mouvement de Hooke|Mouvement de Hooke]]
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* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Mouvement dans un champ central|Mouvement dans un champ central]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Devoir surveillé 3|Devoir surveillé 3]]
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* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/L'inertie à la rotation|L'inertie à la rotation]]

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Annexes :
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/La pression cinétique des fluides|La pression cinétique des fluides]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Résonances en astronomie|Résonances en astronomie]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Quelques exercices d'astronomie|Quelques exercices d'astronomie]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Le problème de Schwarzschild|Le problème de Schwarzschild]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Le système solaire|Le système solaire]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/La gravimétrie|La gravimétrie]]
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* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/La chute libre|La chute libre]] 
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Le choc frontal|Le choc frontal]]
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* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/La chute ralentie sur plan incliné|La chute ralentie sur plan incliné]] 
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/La chute ralentie sur plan incliné (suite)|La chute ralentie sur plan incliné (suite)]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Diagramme horaire|Diagramme horaire]]
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* [[mécanique, enseignée via l'histoire des Sciences/La chute avec résistance de l'air|La chute avec résistance de l'air]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Devoir surveillé 1|Devoir surveillé 1]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/La balistique extérieure |la Balistique extérieure]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Statique|Statique]]

* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Les Principes avant 1687|Les Principes avant 1687]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/PFD|Principe Fondamental de la Dynamique]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Quelques exercices|Quelques exercices]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Mouvement de Hooke|Mouvement de Hooke]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Mouvement de Kepler|Mouvement de Kepler]]
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* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Devoir surveillé 3|Devoir surveillé 3]]
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* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/L'inertie à la rotation|L'inertie à la rotation]]

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Annexes :
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/La pression cinétique des fluides|La pression cinétique des fluides]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Résonances en astronomie|Résonances en astronomie]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Quelques exercices d'astronomie|Quelques exercices d'astronomie]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Le problème de Schwarzschild|Le problème de Schwarzschild]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Le système solaire|Le système solaire]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/La gravimétrie|La gravimétrie]]
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* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Statique|Statique]]

* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Les Principes avant 1687|Les Principes avant 1687]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/PFD|Principe Fondamental de la Dynamique]]
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* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Mouvement de Hooke|Mouvement de Hooke]]
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* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/L'inertie à la rotation|L'inertie à la rotation]]

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Annexes :
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/La pression cinétique des fluides|La pression cinétique des fluides]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Résonances en astronomie|Résonances en astronomie]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Quelques exercices d'astronomie|Quelques exercices d'astronomie]]
* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Le problème de Schwarzschild|Le problème de Schwarzschild]]
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* [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/La gravimétrie|La gravimétrie]]
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== Termes ==
=== M ===
;Marshaller
:[[Programmation/Sérialisation|Sérialiser]] un objet dans un format propre à python et indépendant de l'architecture des ordinateurs. Un ordinateur A peut recevoir un objet envoyé par un ordinateur B de cette façon à travers internet ou autre. Le format est volontairement opaque et peut changer entre deux versions de python. Il est donc préférable ques les deux ordinateurs utilisent la même version. Il ne doit pas être utilisé pour la persistence, pour cela, le module ''pickle'' ou ''shelve'' doit être privilégiés&lt;ref&gt;https: //docs.python. org/3/library/marshal.html (enlever les espaces dans l'url)&lt;/ref&gt;.

== Références ==
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== Termes ==
=== M ===
;Marshaller
:[[Programmation/Sérialisation|Sérialiser]] un objet dans un format propre à python et indépendant de l'architecture des ordinateurs. Un ordinateur A peut recevoir un objet envoyé par un ordinateur B de cette façon à travers internet ou autre. Le format est volontairement opaque et peut changer entre deux versions de python. Il est donc préférable ques les deux ordinateurs utilisent la même version. Il ne doit pas être utilisé pour la persistence, pour cela, le module ''pickle'' ou ''shelve'' doit être privilégiés&lt;ref&gt;https: //docs.python. org/3/library/marshal.html (enlever les espaces dans l'url)&lt;/ref&gt;.

== Références ==
{{Références}}

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